数理解析研究所講究録
第 1897 巻 2014 年 142-160

142

Classification of$\log$

del Pezzo surfaces of index three

明治大学研究知財戦略機構

安武和範 *

Kazunori Yasutake (Meiji University)

概要

本稿では， ゴレンシュタイン指数が 3 である対数的デルペッツォ曲面の分類の概略を述べる．本稿の内容は京都大学の藤田健人氏との共同研究 [3] に基づく．
$\mathbb{Q}-$

目次
1

はじめに

1

2

指数 3 の対数的端末曲面特異点

2.1

重み付き双対グラフの定義

2.2

指数 3 の対数的端末曲面特異点の重み付き双対グラフ

2
2
3

作戦

3

40 次元解消の例

7

5

中間三重組

12

6

底四重組

13

1

はじめに

3

定義体の標数は任意とする．高々対数的端末特異点をもつ正規射影代数曲面 は，反標準因子 $-K_{S}$ が豊富な -カルティエ因子であるとき，対数的デルペッッォ曲面と呼ばれる．対数的デルペッツォ曲面は有理曲面であることが知られている [4]. 対数的デルペッ$S$$\mathbb{Q}$tz13008@meiji.ac.jp1

143
ツオ曲面 $S$ に対して，($\mathbb{Q}-$ゴレンシュタイン) 指数 $i(S)$ が次で定義される:$i(S)$ $:= \min$$i(S)\leq 2${$a\in \mathbb{N}|-aK_{S}$はカルティエ因子}.

となるときは完全に分類がされている ([1] 事実 1.1 を参照). 本稿の目的は，[1] の 1,2 章で述べられている作戦に沿って $i(S)=3$ である対数的デルペッツォ曲面の分類を与えることである．

記法．双有理写像 $M–*S$ と$S$$C$ の $M$ における狭義変換を $C^{M}$
内の曲線 $C$ に対して，で表す．
$\triangle x$$\triangle x$

を $(v1)$ -条件を満たす非特異射影曲面 $X$ の$0$

次元部分スキームとし， : $Zarrow X$ を$\psi$の $0$ 次元解消とする (定義は [1] の 1.3 節をみよ).

であるとき， 次元解消で現れる
$0$

$P$

上の例外曲線を$P\in\Delta_{X}$$\Gamma_{P,1},$$\cdots,$の数字は相対標準因子 $K_{Z/X}$ の重み付き双対グラフのうち$P$において multp $\triangle x=k$$\Gamma_{P,k}$で表す．ここで，添字の上空にあるものが$\Gamma_{P,1} \Gamma_{P,2} \Gamma_{P,k-1} \Gamma_{P,k}$$ _{}1)-$ $-$$(k-1)k)$となるように定める (重み付き双対グラフの定義については 2.1 節にある).

他，本稿で用いる記法は [1] および [3] に従う．

2 指数 3 の対数的端末曲面特異点$i(S)=3$ である対数的デルペッツォ曲面の研究において重要であった，指数
本章では，3 の対数的端末曲面特異点の重み付き双対グラフの分類を与える．

2.1 重み付き双対グラフの定義$E= \sum w_{j}D_{j}$ をまず，重み付き双対グラフについて復習する． を非特異射影曲面，$S$上の有効因子で単純正規交叉 (simple normal crossing) かつ全ての

$j$

$S$

について $wj>0$ と$E$ の重み付き双対グラフは以下で定義される．
する．

各既約成分
$m$

$D_{j}$に対応して頂点 $vj$ を置く．

$D_{i}$

本の直線で結ぶ．既約成分 $D$ に対応する頂点とし，$v_{(w)}$と書く．さらに$D$が $(-n)$ -曲線$v$と$D_{j}$$v_{i}$

に対して， の重み$(C\cong \mathbb{P}^{1}$

2

が $m$ 点で交わるとき，$v$

かつ $C^{2}=-n)$

$w$

と吻を

を $w:=coeff_{D}E$であるとき，頂点を

144$n$ と表す．
2.2 指数 3 の対数的端末曲面特異点の重み付き双対グラフ$P\in S$を指数 3 の対数的端末曲面特異点でゴレンシュタインでないもの，$\alpha:Marrow S$

を $P\in S$ の極小特異点解消とする．
$-3K_{M/S}$ の重み付き双対グラフは表 1 のいずれかになる．証明については， 上では [5], 任意標数では [3] をみていただきたい．
$\mathbb{C}$注意 2.1. 重み付き双対グラフから得られる情報のうち，次の 3 点は特に頻繁に用いた．
$(-n)$ -曲線の重みは必ず 2 である．
1. $n\geq 4$ のとき，

2. $(-3)$ -曲線が重み 1 で現れるときは，それ自身が連結成分となる．
3. 重みが 1 の曲線同士が互いに交わることはない．

3 作戦
藤田氏の解説 [1] の 1,2 章において述べられている作戦を，$i(S)=3$ の場合に合わせた形で述べる．
$S$

を $i(S)=3$ である対数的デルペッツォ曲面とし， : $Marrow S$ を極小特異点解消とす$\alpha$$L_{M}:=\alpha^{*}(-3K_{S}),$ $E_{M}:=-3K_{M/S}=-3K_{M}-L_{M}$
る．
とおくと，

$L_{M}$

はネフかつ巨大な因子，

は有効因子となる． は少なくとも 1 つは非標準的な対数的端末特異点を持つので，$M$ は有理曲面であるため，射影平面は非零であることに注意しておく．

$E_{M}$$E_{M}$$S$

しくはヒルツェブルフ曲面$\mathbb{F}_{n}:=\mathbb{P}_{\mathbb{P}^{1}}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}(n)),$すことで得られるが，もし $M$ 自身が$\mathbb{P}^{2}$か$\mathbb{F}_{n}$$(^{\exists}n\geq 0)$$\mathbb{P}^{2}$

ものブローアップを繰り返であれば，$S\cong \mathbb{P}(1,1,3)$

または $\mathbb{P}(1,1,6)$であることがわかる．

以下では， は$S$$\mathbb{P}(1,1,3)$

でも $\mathbb{P}(1,1,6)$ でもないとしよう．このとき，$K_{M}+L_{M}$ はネ$L_{M}>0$ を満たすことが確認できるため ([3] Prop.3.4),

フであり，さらに $(K_{M}+L_{M})$$(M, E_{M})$$(3, 1)$は [1] における $(3, 1)$ -基礎対になる([3] では 3-basic pair とよんでいる). 逆に$i(S)=3$ である対数的デルペッツォ曲面の極小特異点解消として得ら-基礎対は皆，れるので ([3] Prop.3.4), $(3, 1)$ -基礎対を全て分類してしまえばよいということになる．
$(3, 1)$ -基礎対 $(M, E_{M})$ から，$2K_{M}+L_{M}$ (の狭義変換) との交点数が負であ[1] より，る $(-1)$ -曲線を全てつぶしていくことにより (それらの合成を: $Marrow Z$ とおこう), 長$\phi$

さ

1 の $(3, 1)$ -擬基礎多重組

狭義変換，$\Delta_{Z}$は$\phi$

が得られる．ここで，次元スキームである． を$(Z, E_{Z};\Delta_{Z})$

に対応する

$0$

$E_{Z}$$L_{Z}$

3

は $E_{M}$ の $Z$ における$(Z, E_{Z};\Delta_{Z})$の基本因子と

145

表$(A_{n}(l, m)$$1$$-3K_{M/S}$ の重み付き双対グラフ．

(resp. $D_{n}(m))$ の双対グラフは

4$A_{n}$(resp.

$D_{n})$型である．)

146

する $(L_{Z}=-3K_{Z}-E_{Z}$ が成り立つ$)$. もし 2 $K_{Z}+L_{Z}$ がネフでなければ，$(Z, E_{Z};\Delta_{Z})$は長さ 1 の $(3, 1)$ -基礎多重組になる．もし $2K_{Z}+L_{Z}$ がネフであれば，さらに $3K_{Z}+L_{Z}$(の狭義変換) との交点数が負である $(-1)$ -曲線を全てつぶしていくことにより (それらの合成を

: $Zarrow X$ とおこう), 長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組$\psi$

る．ここで，$E_{X}$

は $E_{Z}$ の $X$ における狭義変換，は$\Delta_{X}$$\psi$$(X, E_{X};.\triangle z, \Delta_{X})$

に対応する

$0$

が得られ

次元スキームであ$(3, 1)$ -基礎対 $(M, E_{M})$ からは次のいずれかが得られることる．以上の議論をまとめると，がわかった．

1. 長さ 1 の $(3, 1)$ -基礎多重組 $(Z, E_{z;}\Delta_{Z})$ .

2. 長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組 $(X, Ex;\Delta_{Z}, \Delta_{X})$ .
$(-1)$ -曲線のつぶす順序によらずに注意として，1. と 2. のいずれが得られるかは，$(M, E_{M})$ のみによって決まる．また，錐定理により $Z,$ $X$ はともにもしくはのいずれかであり，それぞれ $(2K_{Z}+L_{Z})\cdot l<0,$ $(3K_{X}+L_{X})\cdot l<0$ を満たす．ここで，はの時は直線， のときは -束のファイバーを表す．他方，長さ 1 の $(3, 1)$ -基礎多重組
) から(resp.
(resp. 長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組$\mathbb{P}^{2}$$\mathbb{F}_{n}$$\mathbb{P}^{2}$$l$$\mathbb{P}^{1}$$\mathbb{F}_{n}$$(Z, E_{Z};\Delta_{Z})$$\Delta_{X}$と$\Delta_{Z})$$(X, E_{X};\Delta_{Z}, \Delta_{X})$$\Delta_{Z}$の $0$ 次元解消を行うことで $(3, 1)$ -基礎対が復元できる．

ゆえに，目標である $i(S)=3$ の対数的デルペッツォ曲面の分類は，長さが 1 もしくは 2である $(3, 1)$ -基礎多重組の分類に帰着された．よって，残るは $(3, 1)$ -基礎多重組を全て分類するだけであるのだが，次に見るように，複数の $(3, 1)$ -基礎多重組が 次元解消により$0$

同じ $(3, 1)$ -基礎対を与えるといったことがたびたび起こる．

例 3.1.

$X=\mathbb{P}^{2},$$P_{ij}\not\in\triangle x$$\psi$$Ex=l_{1}+l_{2}+l_{3}$とする．ここで$l_{i}$$\deg(\triangle x\cap l_{i})=2$ かつとする．さらに，: $Zarrow X$ を$\Delta x$

の $0$

は直線，

$l_{1}\cap l_{2}\cap l_{3}=\emptyset,$$\Delta x\subset l_{1}\cup l_{2}\cup l_{3}$次元解消とすると，$\Delta_{Z}=\{Q_{ij}|1\leq i<j\leq 3\}$

$Ez=l_{1}^{Z}+l_{2}^{Z}+l_{3}^{Z}$とおくと，$(X, Ex;\Delta_{Z}, \Delta_{X})$$P_{ij}:=l_{i}\cap l_{j},$とする．このとき，となる．

$Q_{ij}=l_{i}^{Z}\cap l_{j}^{Z},$は長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組

で$\rho(Z)=7,$ $(l_{1}^{Z})^{2}=-1$ であるので，双有理射:
今，は高々 2 つしか既となるものがとれる．特に，も約成分を持たない． に対応した 次元スキーム
をとれば，長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組になっていることが確認できるが，構成法より 2 つは共通のになっている:$\psi’$$Zarrow X’=\mathbb{P}^{2}$$E_{X’}:=\psi_{*}’Ez=\psi_{*}’(l_{2}^{Z}+l_{3}^{Z})$$\psi_{*}’(l_{1}^{Z})=0$$\psi$$0$$\Delta_{X’}$$(X\prime, E_{X’};\Delta_{Z}, \Delta_{X’})$$(3, 1)$ -基礎対に対応する．

このようなリスト内での” 重複 “ をできるだけ排除するために，中間三重組 (mediantriplet) と底四重組 (bottom tetrad) というものを導入しよう．

5

147

定義 3.2.

(1) 長さ 1 の $(3,1)$ -基礎多重組$Z=\mathbb{F}_{n}$$(b)Ez$ が, ここで$\mathbb{F}_{n}/\mathbb{P}^{1}$$K_{Z}+L_{Z}$ が巨大が中間三重組であるとは，

かつ $K_{Z}+L_{Z}$ が巨大でなく次の条件を満たすこととする．

であるか，もしくは，$(a)\triangle z\cap\sigma=\emptyset$$(Z, E_{Z};\triangle_{Z})$$\sigma\subset Z$は minimal section.

特に $n=0$ であれば$\Delta_{Z}=\emptyset.$$\sigma\leq Ez$ かつ $coeff_{\sigma}Ez\geq coeff_{D}E_{Z}$ を満たす．
の切断 $D$ を含むとき，$coeff_{\sigma}E_{Z}=coeff_{D}E_{Z}$ であれば $n+D^{2}\geq\deg(\triangle z\cap D)$ を満たす．
さらに，(2) 長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組$(X, E_{X};\Delta_{Z}, \Delta_{X})$は次のいずれかを満たすとき底四重組と呼ばれる．
$(A)2K_{X}+L_{X}$ は巨大．

$(B)X$ は$\mathbb{F}_{n},$$2K_{X}+L_{X}$は非自明であり射影$\mathbb{F}_{n}arrow \mathbb{P}^{1}$

に関して自明，さらに次を満

たす :$(B1)\triangle x\cap\sigma=\emptyset$,

ここで $\sigma\subset X$ はminimal section. 特に $n=0$ であれば$\triangle x=\emptyset.$$(B2)\sigma\not\leq E_{X}$もしくは $n=0$$(D^{2})\geq\deg(\triangle x\cap D)$$(B3)\sigma\leq E_{X}$

かつ $n\geq 1$とするとき，任意のの切断 $D\leq E_{X}$ は$\mathbb{F}_{n}/\mathbb{P}^{1}$を満たす．

とする．このとき，任意の$n+(D^{2})\geq\deg(\triangle x\cap D)$$\mathbb{F}_{n}/\mathbb{P}^{1}$の切断 $D\leq E_{X}$ はを満たす．

$(C)2K_{X}+L_{X}$ は自明であって，であるか，$X\simeq \mathbb{P}^{2}$かつ$\triangle x=\emptyset$$X\simeq \mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{1},$$\mathbb{F}_{2}$のであれば次も満たすとする．
いずれかとする．さらに，
は非特異 2 次曲線で は直線を表す．このとき，$(C1)E_{X}=C+l$ とする．ここでで$|C\cap l|=\{P\}$ かつを満たす．さらに，$X\simeq \mathbb{P}^{2}$

$C$

$l$

$\deg(\triangle x\backslash \{P\})\geq 4$$\triangle x\cap C\cap l\neq\emptyset$

あれば$\triangle z\cap l\backslash \{P\}\neq\emptyset$$(C2)E_{X}=l_{1}+l_{2}+l_{3}$$l_{1}\cap l_{2}\cap l_{3}=\emptyset$$(C3)E_{X}=2l_{1}+l_{2}$となる．

とする．ここで$l_{1},$$l_{2},$$l_{3}$は異なる直線を表す．このとき，

かつ $\#|\triangle x\cap((l_{1}\cap l_{2})\cup(l_{1}\cap l_{3})\cup(l_{2}\cap l_{3}))|\geq 2$ を満たす．

とする．ここで$l_{1},$$l_{2}$$P:=l_{1}\cap l_{2}$ とおく．
は異なる直線を表す．

このとき，次が成り立つ．
$(a)\#|\triangle x\cap l_{1}\backslash \{P\}|\leq 1$

mult
$(b)$

$P_{1}\triangle x\leq 2$. さらに，もし$\{P_{1}\}=|\triangle x\cap l_{1}\backslash \{P\}|$であれば，

かつ mult $P\Delta x=mult_{P}(\triangle x\cap l_{2})$ を満たす．

$\deg(\triangle x\cap l_{2})=3$ を満たす．
もし $\deg\triangle x=4$ であれば，$(c)\deg\triangle x\geq 5$ かつ$\{P_{1}\}=|\Delta x\cap l_{1}\backslash \{P\}|$

であれば，か $\deg(\Delta_{X}\cap l_{1})=1$ のいずれかが成り立つ．

6$mult_{P_{1}}(\triangle x\cap l_{1})=2$

148$(3, 1)$ -基礎多重組は中間三重組や[3] の Theorem 3.12 および Lemma 5.1-5.3 により，

底四重組へ取り替えることができる．
命題 3.3.

(1) 長さ 1 の $(3, 1)$ -基礎多重組 $(Z, E_{Z};\Delta_{Z})$ に対して，同じ $(3, 1)$ -基礎対を与える中間
三重組 $(Z’, E_{Z’}, \Delta_{Z’})$ が存在する．

(2) 長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組
る底四重組$(X\prime, E_{X’};\Delta_{Z}, \Delta_{X’})$$(X, E_{X};\Delta_{Z}, \Delta_{X})$に対して，同じ $(3, 1)$ -基礎対を与えが存在する．

証明は [3] の 3 章および 5 章をみていただきたい．

$i(S)=3$ の対数的デルペッツォ曲面の分類は，中間三重組や底四重以上をまとめると，組の分類により得られることまでわかった．中間三重組や底四重組の定義は一見すると複雑であるが，実際に分類を行おうとすると，$(3, 1)$ -基礎多重組に比べて考察すべき数がずっと少なくなるために非常に有効である．また，例でみたように一般には複数の $(3, 1)$ -基礎
多重組が同一の対数的デルペッッォ曲面に対応することもあるが，中間三重組や底四重組に対しては，その” 型” が違えば異なる対数的デルペツツォ曲面を与えることもわかっている (詳しくは [3] の 10 章を参照).
注意 3.4. 底四重組の $(C)$ の条件は最も複雑である．例えば，$(C2)$ は例 3.1 にあるようなかぶりを排除するための条件となっている．これらは，まず，長さ 2 の $(3, 1)$ -基礎多重組
を全て分類した後に，そのリストのかぶりをできるだけ減らしていくといった作業の末に生まれた条件である．よって，現状では指数が 3 の場合に限ったものであり，残念なことに，指数が 4 以上のときはこの部分をどのように一般化するかについて全く見通しは立っていない．

4 0 次元解消の例
前章より，我々の目的は中間三重組や底四重組の分類に絞られたのだが，その分類をよリスムーズに行うためには，そこで現れる 次元解消についてあらかじめ考察しておくこ$O$とが必要である．本章ではそのような 次元解消の例をいくつか述べる．より詳しくは [1]$O$の 1.3 節，[2] の 2 章や [3] の 4 章や [4] の 2 章をみていただきたい．
まず中間三重組の場合から述べる．
$Q\in\Delta_{Z},$ $\phi:Marrow Z$ を
例 4.1. $(Z, Ez;\triangle z)$ を中間三重組，

7$\Delta z$の $0$$(M, E_{M})$
次元解消，

149

を対応する $(3, 1)$ -基礎対とする．このとき，$E_{M}=\phi^{*}E_{Z}-2K_{M/Z}$ となることに注意し
ておく．

(1)

$Q$

ば，

$E_{M}$

めには

は l

$Q$

で含むため矛盾．もしであれば， が有効因子となるたでなければならない．よって $s=2$ がわかる．このとき， の周りでは，を係数$\Delta_{Z}=\emptyset$$\Delta z\subset l$(2)の周りで $E_{Z}=sl(s\geq 1)$ かつ $Q\in l$ は非特異としよう．もし $s\geq 3$ であれ$\mathcal{S}=1$$s$$E_{M}$$Q$

かつ $E_{M}=2l^{M}$ となる．

の周りで $E_{Z}=s_{1}l_{1}+s_{2}l_{2}(s_{i}\geq 1),$ $Q\in l_{i}$ は非特異， と$l_{1}$

断的に交わるとしよう．

$s_{1}\geq s_{2}\geq 1$

は $Q$ において横$l_{2}$とすると，(1) と同様に考えることにょり$s_{1}\leq 2$であることがわかる．

の時を考える． -条件よりとしてよい．もし
であれば
mult
がゎ
は有効因子にならないため，mult
かる．よって，mult $QZ1$ かつ の上空ではとなる．対応する重み$(s_{1}, s_{2})=(1,1)$$(\nu 1)$

$Q(\triangle z\cap l_{1})\geq 2$$mult_{Q}(\triangle z\cap l_{2})=1$$E_{M}$$Q(\triangle z\cap l_{1})=1$$E_{M}=l_{1}^{M}+l_{2}^{M}$$Q$

付き双対グラフは$l_{1}^{M} l_{2}^{M}$$\emptyset(1)\sqcup \emptyset(1)$である．

次に $(s_{1}, s_{2})=(2,1)$ の時を考える．
$mult_{Q}(\triangle z\cap l_{2})=1$
を $Q$

でのブローアップ，$\Gamma_{Q,1}$とし， : $M_{1}arrow Z$$\mu_{1}$をその例外曲線とする．このとき，かつとは交わる．つまり， の重み付き双対$\Gamma_{Q,1}^{M},$$coeff_{\Gamma_{Q,1}^{M}}E_{M}=coeff_{\iota_{2}^{M}}E_{M}=1$$\Gamma_{1}^{M}$$l_{2}^{M}\leq E_{M},$$E_{M}$$l_{2}^{M}$

グラフは部分グラフとして$\Gamma_{Q,1}^{M}\emptyset-\emptyset(1)(1)l_{2}^{M}$を含む．これは，対数的端末特異点の分類に反する (係数が 1 のものが互いに交ゎることはない). よって， ,-条件から mult
かつ mult$Q(\Delta_{z}\cap l_{1})=1$$(\nu 1)$

$Q(\triangle z\cap l_{2})\geq 2$との交点ををでのブローアッとなる． ととし，の狭義変換の連結成分となる．(1) と合ゎせると，プとする．このとき， は$\Gamma_{Q,1}$$l_{2}^{M_{1}}$$l_{2}^{M_{2}}$mult $QZ$$\mu_{2}:M_{2}arrow M_{1}$$Q_{1}$$Q_{1}$$E_{M}$

mult $Q(\Delta_{Z}\cap l_{2})=2$ となることがわかる．

$E_{M}$の上空で8の重み付き双対グラフは $Q$

150$\emptyset-$$\emptyset l_{2}^{M}(1)$となる．

最後に $(s_{1}, s_{2})=(2,2)$ の時を考える．

$(\nu 1)$

$E_{M}$

が $(-1)$ -曲線を含まないことや次元解消の性質 ([4] Lemma 2.3) を用いることでmult $Q(\Delta_{z}\cap l_{1})+1$ となることがわかる．対応する重み付き双対グラフはmult $QZ$$Q$$0$-条件より mult $Q(\Delta_{z}\cap l_{2})=1$ としてよい．

の上空で$l_{1}^{M} \Gamma_{Q,1}^{M} \Gamma_{Q,k-1}^{M} l_{2}^{M}$$\emptyset\infty 2----$ -$-\emptyset(2)(2)2)(2)$である．ここで，$k=$ mult$Q\Delta Z$である．[3] においてはと$l_{1}$$l_{2}$

が $Q\in l_{i}$ で接する場合など他の場合にも考察をしている．
次に底四重組の場合をみる．
例 4.2.

$(X, E_{X};\Delta_{Z}, \Delta_{X})$$(Z, E_{Z};\Delta_{Z})$$K_{Z/X}$を底四重組，$P\in\triangle x,$$\psi:Zarrow X$

を$\Delta_{X}$の $0$ 次元解消，$E_{Z}=\psi^{*}E_{X}-$を対応する長さ 1 の $(3, 1)$ -擬基礎多重組とする．このとき，となることに注意しておく．

(1) $P$ の周りで $E_{X}=sl(s\geq 1)$ かつ $P\in l$ で非特異としよう．もし $s\geq 3$ であれば，$E_{M}$は $l^{}$ を係数$s$$s=1$ であれば，で含むため矛盾．

$\Delta_{X}\subset l$

らに，Example 4.1 より $P$ の上空では$\Delta_{Z}=\emptyset$

かつ $E_{Z}=l^{Z}$

となる．さ

がわかる．

$mult_{P}(\Delta_{X}\cap l)\leq 2$ となることを背理法で示す．
以下では $s=2$ の時を考える．まず，そのため，その例外曲線，$mult_{P}(\triangle x\cap l)\geq 3$をとしよう． :とする．このとき，$\mu_{1}$$Z_{1}arrow X$$E_{Z_{1}}$でのブローアップ， をである． の$\Gamma_{P,1}$$coeff_{\Gamma_{P,1}}E_{Z_{1}}=1$$Ez_{1}=\mu_{1}^{*}(E_{X})-\Gamma_{P,1}$

上空にある

$P$

$P$

に対応する重み付き双対グラフを書くと$r_{10^{P,1l^{Z_{1}}}-\emptyset}(1)(2)$となっている． ををその例外曲線，$P_{1}$$\Gamma_{P,1}$と$l^{Z_{1}}$の交点とし，
を君でのブローアップ，である．
とする．このとき，$\mu_{2}:Z_{2}arrow Z_{1}$$\Gamma_{P,2}$$coeff_{\Gamma_{P,2}}E_{Z_{2}}=2$$E_{Z_{2}}=\mu_{2}^{*}(E_{Z_{1}})-\Gamma_{P,2}$

9

151

に対応する重み付き双対グラフは $P$ の上空で

$E_{Z_{2}}$$\Gamma_{P,1}^{Z_{2}} \Gamma_{P,2} l^{Z_{2}}$$ _{}1)2)(2)- _{}-\emptyset$

である．この議論から，mult
持つため矛盾．よって mult$P(\Delta_{x}\cap l)\geq 3$$P(\Delta_{X}\cap l)\leq 2$は係数が 3 以上の既約成分をであれば，$E_{M}$が得られた．

mult $P(\Delta_{x}\cap l)=1$ のとき，mult $P\Delta_{x}\leq 2$ となることを背理法で示す．そのため，
mult$P\triangle x\geq 3$としよう．このとき，$\triangle x$の$Z_{1}$

での弱変換 ([4] Definition 2.1) を$\Delta z_{1}$$\deg(\Delta z_{1}\cap\Gamma_{P,1})=mult_{P}\Delta x-1\geq 2$で表せば，となるため，を A でのブローアップ，
をその例外曲線とすると，がとれる．
$P_{1}\in(\Delta z_{1}\cap\Gamma_{P,1})\backslash l^{Z_{1}}$$\mu_{2}:Z_{2}arrow Z_{1}$$\Gamma_{P,2}$であればである．この議論を続けることで，multpが得られた．
因子になれず矛盾することがわかる．よって multp$\Delta_{X}\geq 3$$coeff_{\Gamma_{P,2}}E_{Z_{2}}=0$$E_{M}$

は有効$\Delta_{X}\leq 2$$(\Gamma_{P,1})^{2}=-1$ かつ $\Gamma_{P,1}\leq E_{Z}$ より $\deg(\Delta_{Z}\cap\Gamma_{P,1})\neq 0$
もし mult $P\triangle x=1$ であれば，でなければならない．ここで，$E_{Z}$に対応する重み付き双対グラフは$\emptyset-o_{(1)}^{P,1}l^{zr_{1}^{Z}}(2)$$supp\Delta z\cap\Gamma_{P,1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P,1}=:Q$ , multであった．Example 4. 1 を用いることで，
$QZ$
mult
, multがわかる．このとき， に対応する重み$Q(\triangle z\cap\Gamma_{P,1})=2$$Q(\triangle z\cap l^{Z})=1$$E_{M}$付き双対グラフは $P$ の上空で
$l^{M} \Gamma_{Q,1} \Gamma_{P,1}^{M}$$\emptyset-$となる．

multp $\triangle x=2$ であるとき，$(\Gamma_{P,1}^{Z_{2}})^{2}=-2$である．これから対グラフは $P$ の上空では$\emptyset-o^{P,1}l^{Z}r_{2}^{Z}(2)(1)$10$E_{Z}$に対応する重み付き双152であることがわかる．仮に$Q\in l^{Z_{2}}\cap\Gamma_{P,1}^{Z_{2}}$が $P$ の上空の点 $Q$ を含むとすると，Example 4.1 より

でなければならない．しかしながら，$\phi:Marrow Z$ をとすれば，$(\Gamma_{P,1}^{M})^{2}=-4$$\Delta_{Z}=\emptyset$$\Delta_{Z}$である．

$E_{M}$$\Delta_{Z}$となるため矛盾．よって

かつ $coeff_{\Gamma_{P,1}^{M}}E_{M}=1$の $0$ 次元解消
$P$

の上空では

に対応する重み付き双対グラフは $P$ の上空で
$l^{M} \Gamma_{P,1}^{M}$$\emptyset 2(\vec{2)(}1)$

である．

mult $P(\Delta_{x}\cap l)=2$ のとき，multp$\Delta_{X}\leq 4$

multp $\Delta_{X}=2$ のとき，

$P_{1}=\Gamma_{P,1}\cap l^{Z_{1}}$

曲線を
$P$

$\Gamma_{P,2}$となることが上と同様にしてわかる．

でのブローアップをと改めておきなおすと，$coeff_{\Gamma_{P,2}^{Z}}E_{Z}=2$である．

$E_{Z}$$\mu_{2}$:$Z_{2}arrow Z_{1}$, その例外の重み付き双対グラフでの上空にあるものをみると，$\emptyset-$となっている．このとき，Example 4. 1 より

$P$

の上空では

けないが，対数的端末特異点の分類をみると， の上空で$P$

$supp\Delta_{Z}\subset\Gamma_{P,2}^{Z}$. でなければい$\deg(\Delta_{Z}\cap\Gamma_{P,2}^{Z})=2$となることがわかる (重さが 2,2,1 と直線で並ぶ所に注目).

mult $PX4$ のときを考える．

$\Delta_{Z_{2}}$る．乃でのブローアップを$(\Gamma_{P,2}^{Z})^{2}=-2$

であり，$\Gamma_{P,2}^{Z}$で$\mu_{3}:Z_{3}arrow Z_{2}$をとでの弱変換とし，, その例外曲線をとおく． において$\Delta_{X}$のはちょうど 3 つの曲線

$P_{2}\in\Delta_{Z_{2}}$$Z_{2}$$\Gamma_{P,3}$$l^{Z},$$\Gamma_{P,1}^{Z},$$\Gamma_{P,3}^{Z}$$Z$と交わる．特に，$Ez$ の重み付き双対グラフは $P$ の上空で
$l^{Z} \Gamma_{P,2}^{Z} \Gamma_{P,1}^{Z}$という形をしている．このとき，Example 4.1 よりり，その曲線のうちいずれか一つはの分類より $P$ の上空で$\Delta_{Z}=\emptyset$$E_{M}$$\Gamma_{P,2}^{M}$

もまたちょうど 3 つの曲線と交わの中で係数が 2 で現れるため，対数的端末特異点となることがわかる．

最後に multp $\Delta_{X}=3$ が起こらないことを確認する．このときも上のように考えると

11

153

$\triangle z=\emptyset$となるが，$\Gamma_{P,3}^{M}$となるため矛盾する．

は $(\Gamma_{P,3}^{M})^{2}=-1$ かつ $coeff_{\Gamma_{P,3}^{M}}E_{M}=1$

よって multp $\triangle_{X}=3$ が起こらないことがわかる．

(2) $P$ の周りで $E_{X}=s_{1}l_{1}+s_{2}l_{2}(s_{i}\geq 1),$は非特異， ととしておく．このとき，$P\in l_{i}$$l_{2}$$l_{1}$

は $P$ において横である．
断的に交わるとしよう．さらに$(s_{1}, s_{2})=(1,1)$ の時のみ考えよう．
-条件より multp $(\triangle x\cap l_{2})=1$ として$\mu_{1}:Z_{1}arrow X$ をよい．
でのブローアップ，をその例外曲線とする．もし$s_{1}\geq s_{2}\geq 1$$s_{1}\leq 2$$(\nu 1)$

$P$

mult

$P(\Delta_{x}\cap l_{1})\geq 2$$\Gamma_{P,1}$であれば，$\Gamma_{P,1}^{Z}$

は $(\Gamma_{P,1}^{Z})^{2}=-2$ かつ $coeff_{\Gamma_{P,1}^{Z}}E_{Z}=1$を満たし，さらに， の異なる 2 つの既約成分で係数が 1 となるものと交わる．つまり， の重み付
$E_{Z}$$E_{Z}$

き双対グラフは部分グラフとして$\emptyset-O_{(1)}l_{2}^{Z}\Gamma_{P,1}^{Z}\Gamma_{P,2}^{Z}(1)2-\emptyset_{(1)}$を含む．対数的端末特異点の分類 (重さが 1 のものは互いに交わらない) ことに注意す

れば，でないといけないが，このとき
coeとなってしまい矛盾．よって，mult
かっい．同様に考えていくと，mult$\deg(\triangle z\cap\Gamma_{P,1}^{Z})=2$

は $(\Gamma_{P,1}^{M})^{2}=-4$ かっ$P(\triangle x\cap l_{1})=1$$ff_{\Gamma_{P,1}^{M}}E_{M}=1$$P\Delta_{x}=1,$ $\deg\triangle z=2$$l_{2}^{Z}\cap\Gamma_{P,1}^{Z}$$\Gamma_{P,1}^{M}$$supp\triangle z$

でなければいけなは2点$l_{1}^{Z}\cap\Gamma_{P,1}^{Z}$とよりなることもわかる．

残る場合は [3] の Lemma 4.7 をみてほしい．

5

中間三重組
ここでは中間三重組 $(Z, E_{Z};\triangle_{Z})$ の一例として，$Z=\mathbb{P}^{2}$のときをみる． を直線と$l$

$L_{Z}\sim hl,$ $Ez\sim dl$$Kz+Lz\sim(h-3)l$ がネフかつ $(K_{Z}+L_{Z})\cdot Lz=$
し，としよう．
$h\leq 5$ と$(h-3)h>0$ より $h\geq 4$ . さらに，
$2K_{Z}+L_{Z}\sim(h-6)l$ がネフではないので，なり，上と合わせると $h=4,5$ が得られた．以下では $h=5$ のときのみを考えるが，$h=4$のときも全く同じようにできる．
$h=5$ のとき，
$3K_{Z}+L_{Z}=-Ez$ より $d=4$ となる．

命題 5.1. $C\leq E_{Z}$ を被約既約成分とすると，$\deg C\leq 2$ かっ mult $cE_{Z}=2$ となる．特に， は非特異である．
$C$$\phi:Marrow Z$ を$\deg C=d$ とする．
証明．

$\Delta z$

12

の $0$

$C^{2}-(C^{M})^{2}=$次元解消とする．

154$L_{Z}\cdot C+2p_{a}(C)-2p_{a}(C^{M})$が成り立つ．実際，$\Delta_{Z}=\{Q\}$, mult ${}_{Q}C=m$ のときは，左辺$K_{M}+L_{M}=\phi^{*}(Kz+L_{Z})$になる．また，$2p_{a}(C)-2p_{a}(C^{M})=m(m-1)$ である．
$m=C^{M}\cdot(K_{M}-\phi^{*}K_{Z})=C^{M}\cdot(\phi^{*}Lz-L_{M})=C\cdot Lz$と $C^{M}\cdot L_{M}=0$ に注意すると，となるので $C^{2}-(C^{M})^{2}=L_{Z}\cdot C+2p_{a}(C)-2p_{a}(C^{M})$ が確認された．一般の場合$d^{2}-(C^{M})^{2}=5d+d(d-3)+2$ となり，も同様にできる． がであるので，$(C^{M})^{2}=-2-2d\leq-4$ が得られる．対数的端末特異点の分類より coeff $cE_{Z}=2$ がわは$m^{2}$$C^{M}$$\mathbb{P}^{1}$

かり，命題が示された

口上の命題より $(A)E_{Z}=2l_{1}+2l_{2},$$l_{1},$$l_{2}$は異なる直線，もしくは $(B)E_{Z}=2C,$$C$は非特異 2 次曲線，のいずれかであることがわかった．具体的な分類に入る前に，次の重要な補題を示しておく．証明は [1] の命題 2.4. をみていただきたい．
補題 5.2.

$E_{0}$$L_{Z}\cdot E_{Z}=2\deg\Delta_{Z},$を $E_{Z}$ の非特異な既約被約成分とする．このとき，$L_{Z}\cdot E_{0}=\deg(\Delta_{Z}\cap E_{0})$$(A)E_{Z}=2l_{1}+2l_{2},$$l_{1}$と$l_{2}$$l_{1},$

が成り立つ．
$l_{2}$は異なる直線のとき$L_{Z}\cdot l_{i}=5$ より $\deg(\Delta_{Z}\cap l_{i})=5$$L_{Z}\cdot Ez=20$の交点を $Q$ とする．
である．さらに，

より $\deg\Delta z=10$ である．

$Q\not\in\Delta_{Z}$とすると，Example 4.1 より$\Delta_{Z}\subset(l_{1}\cup l_{2})\backslash Q$となる．

のときは， -条件より mult $Q(\Delta z\cap l_{2})=1$ としてよい．mult $Q(\Delta_{z}\cap l_{1})=k$とすると，Example 4.1 より mult $QZ+1$ である．

$Q\in\Delta_{Z}$$(\nu 1)$

これらは全て中間三重組になっていることも確認できる．

$(B)Ez=2C,$ $C$ は非特異 2 次曲線のとき$L_{Z}\cdot C=10$

より $\deg(\Delta_{Z}\cap C)=10$ である．このとき，Example 4.1 より$\Delta_{Z}\subset C$

がわ

かる．

これらも全て中間三重組になっていることが確認できる．

以上のような議論を考えうる全ての場合に行っていくことで中間三重組の分類がなされる．

6 底四重組
ここでは底四重組 $(X, E_{X};\Delta_{Z}, \Delta_{X})$ の分類法の一例として，のときをみる．
$L_{X}\sim hl,$ $E_{X}\sim dl$ としよう．
$2K_{X}+L_{X}\sim(h-6)l$ がネフより $h\geq 6$ . さを直線とし，$h<9$ となり，合わせると $h=6,7,8$$3K_{X}+L_{X}\sim(h-9)l$ がネフではないので，らに，$X=\mathbb{P}^{2}$$l$$h=6$ のときは非常に複雑なので，$h=7,8$ のときのみをかく．
が得られた．このうち，

13

155

$h=6$ のときは [3] の 9 章をみてほしいのだが，そこで使われる手法自体は以下で述べる

ものと同じである．

補題 6.1.

$E_{0}$$\deg\Delta_{X}),$$L_{X}\cdot E_{0}=\deg(\Delta z\cap E_{0}^{Z})+2\deg(\Delta x\cap E_{0})$を$\Delta_{X}$を $E_{X}$ の非特異な既約被約成分とする．このとき，$L_{X}\cdot E_{X}=2(\deg\Delta_{Z}+$が成り立つ．ここで，$\psi:Zarrow X$の $0$ 次元解消とする．

証明は [1] の命題 2.4. をみていただきたい．
$h=8$ のとき，
$3K_{X}+L_{X}=-E_{X}$ より $d=1$となる．特に $E_{X}=l$ である．補題 6.1$\deg\triangle z+\deg\triangle x=4,$ $\deg(\triangle z\cap l^{Z})+2\deg(\triangle x\cap l)=8$ が成り立つ．よって，
より，$\deg\Delta_{X}=4,$ $\deg(\Delta_{X}\cap l)=4$ となる．ゆえにとなっている．逆にこれ$\Delta z=\emptyset,$$\Delta x\subset l$らは全て底四重組になっていることも確認できる．
$(A)E_{X}=l_{1}+l_{2},$$h=7$ のとき，
$d=2$ となる．このとき，$E_{X}=2l,$$l$

は直線，もしくは $(C)E_{X}=C,$$(A)E_{X}=l_{1}+l_{2},$$l_{1}$と$l_{2}$$l_{1},$$l_{2}$$C$$(B)$は異なる直線，は非特異 2 次曲線，のいずれかである．
$l_{1},$$l_{2}$は異なる直線のときの交点を $P$ とする．補題 6.1 より，$\deg\Delta z+\deg\Delta x=7,$ $\deg(\triangle z\cap l_{i}^{Z})+$$2\deg(\triangle x\cap l_{i})=7$$P\not\in\triangle x$が成り立つ．

であれば，例 4.1, 4.2 より $\deg\triangle z=1,$ $\deg\triangle x=6,$ $\deg(\triangle z\cap l_{i}^{Z})=1,$やもわかる．
となる．さらに，
であれば，例 4.1, 4.2 より $\deg\Delta_{Z}=2,$ $\deg\triangle x=5,$ $\deg(\Delta z\cap l_{i}^{Z})=1,$$\deg(\Delta x\cap l_{i})=3$
やもとなる．さらに，$\deg(\Delta x\cap l_{i})=3$$\triangle x\subset(l_{1}\cup l_{2})\backslash Q$$\triangle z=l_{1}^{Z}\cap l^{Z}$$P\in\triangle x$$\triangle x\subset(l_{1}\cup l_{2})$$\triangle z=(l_{1}^{Z}\cap\Gamma_{P,1})\cup(l_{2}^{Z}\cap\Gamma_{P,1})$わかる．逆にこれらは全て底四重組になっていることも確認できる．
$(B)E_{X}=2l,$$l$は直線のとき$\deg\Delta_{Z}+\deg\Delta_{X}=7,$ $\deg(\Delta z\cap l^{Z})+2\deg(\Delta_{X}\cap l)=7$ が成り立つ．
補題 6.1 より，
よって $(\deg(\Delta z\cap l^{Z}), \deg(\Delta x\cap l))=(7,0),$ $(5,1),$ $(3,2),$ $(1,3)$ のいずれかである．少し場合が多いので，それぞれの場合に分けてみていく．
$(B1)(\deg(\Delta z\cap l^{Z}), \deg(\triangle x\cap l))=(7,0)$ のとき

このとき，例 4.1 より$\Delta_{Z}\subset l^{Z}$である．

$(B2)(\deg(\Delta z\cap l^{Z}), \deg(\Delta_{X}\cap l))=(5,1)$ のとき

まず $(multP\Delta x, multP(\Delta x\cap l))=(1,1)$ の場合を考える．
$\psi:Zarrow X$ を解消，

$Q=\Gamma_{P,1}\cap l^{Z}$

$P$

の上空で

$E_{Z}$

とする．

の形は

14

$\triangle x$の $0$ 次元

156

であることに注意すよりとなっている．このとき，
れば，例 4.2 より，mult $Q\Delta Z=2$ , mult $Q(\Delta z\cap l^{Z})=1$ , mult$(\Gamma_{P,1}^{Z})^{2}=-1$$\Delta_{Z}\cap\Gamma_{P,1}^{Z}\neq\emptyset$$Q$$\deg(\Delta_{Z}\cap(lz\backslash Q))=4,$$\Delta_{Z}\cap(lz\backslash Q)\subset l_{Z}\backslash Q$$(\Delta z\cap\Gamma_{P,1})=2,$であることがわかる．

$\psi_{1}:Z_{1}arrow X$ を $P$ におけ
次に $(multP\Delta_{x}, mult_{P}(\Delta_{x}\cap l))=(2,1)$ の場合を考える．

るブローアップ，$\Gamma_{P,1}$

をその例外曲線とする．このとき$\psi$

は$\psi_{1}$を経由する．

$Q=l^{Z}\cap\Gamma_{P,1}^{Z}$

とおく．

の形は

このとき，

$E_{Z}$となっている．ここで，破線は coeffであることを表している．もし
であれば，例 4.1 よりであるが，このとき，はかつの連結成分となり，対数的端末特異点の分類より矛盾．
$\Delta_{Z}\cap$$r_{P,2}^{zE_{Z}=}0$$(\Gamma_{P,1}^{M})^{2}=-4,$$\deg(\Delta z\cap\Gamma_{P,1}^{Z})=2$$\Gamma_{P,1}^{Z}\neq\emptyset$$\Gamma_{P,1}^{M}$$coeff_{\Gamma_{P,1}^{M}}E_{M}=1$

よって，例 4.1 より$E_{M}$$\Delta_{Z}\subset(l^{Z}\backslash Q)$

である．

$(B3)(\deg(\Delta_{Z}\cap l^{Z}), \deg(\Delta_{X}\cap l))=(3,2)$ のとき$supp\triangle x=\{P\}$$\psi:Zarrow X$ を
, $(multP\Delta X, multP(\Delta x\cap l))=(4,2)$ の場合．

次元解消とし，$Q=l^{Z}\cap\Gamma_{P,2}^{Z}$$\Delta x$

の $0$

とおく．

このとき， の形は$E_{Z}$となっている．例 4.1, 4.2 より，$\Delta_{Z}\subset l_{Z}\backslash Q$$supp\triangle x=\{P\},$$($

multp $\Delta_{X}, multp(\triangle x\cap l)$ ) $=(2,2)$ の場合．

$R=\Gamma_{P,1}^{Z}\cap\Gamma_{P,2}^{Z}$する．
$E_{Z}$

である．

の形は

15

と

157

となっている．例 4.1, 4.2 より $\deg(\triangle z\cap l^{Z})=3,$$\deg(\triangle z\cap(\Gamma_{P,2}\backslash R))=2$

らに $c=$ mult $Q(\Delta_{z}\cap l^{Z}),$ $d=$ mult $Q(\triangle z\cap\Gamma_{P,2})$ とおけば，mult

である．さ$QZ+d$ となる．

ここで $(c, d)$ の可能性は $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,1)$ , $(3,1)$ , $(1,2)$ である．
$supp\triangle x=\{P_{1}, P_{2}\},$$\Delta x$の $0$$E_{Z}$$(mult_{P_{i}}\Delta_{X}, mult_{P_{i}}(\Delta_{X}\cap l))=(2,1)$次元解消とする．

$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z}$$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},1}^{Z},$

とする．

の形は

となっている．このとき例 4.1, 4.2 より，$\Delta_{Z}\subset(l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}\})$$supp\triangle x=\{P_{1}, P_{2}\},$ $(mult_{P_{1}}\Delta_{X}, mult_{P_{1}}(\Delta_{X}\cap l))=(2,1),$$\psi:Zarrow X$ を$l))=(1,1)$ の場合．
$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z}$$E_{Z}$$\Delta_{X}$

の

$0$

である．
$(mult_{P_{2}}\triangle x,$ $mult_{P_{2}}(\triangle x\cap$

次元解消とする．

$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},1}^{Z},$

とおく．

の形は

となっている．このとき例 4.1, 4.2 より，mult$Q_{2}\triangle Z=$

mult $Q_{2}(\triangle z\cap l^{Z})=1,$である．

$supp\triangle x=\{P_{1}, P2\},$$\triangle x$$\psi:Zarrow X$ を
の場合．

の $0$

$\triangle z\backslash Q_{2}\subset l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}\}$$(mult_{P_{i}}\Delta_{X}, mult_{P_{i}}(\triangle x\cap l))=(1,1)$次元解消とする．

$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},1}^{Z},$

このとき，$E_{Z}$となっているmult$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z}$$Q_{2}(\triangle z\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z})=2,$$\psi:Zarrow X$ を
の場合．

とおく．

の形は

このとき例 4.1,

4.2 より，mult16$Q_{i}\triangle z=$mult$Q_{1}(\triangle z\cap\Gamma_{P_{1},1}^{Z})=$

158

mult

$Q_{2}(\Delta z\cap\Gamma_{P_{2},1})=2$, mult $Q_{i}(\Delta z\cap l^{Z})=1,$ある．

$\Delta_{Z}\backslash \{Q_{1}\cup Q_{2}\}\subset(l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}\})$

でのときは以上でつくされている．

$(\deg(\Delta_{Z}\cap l^{Z}), \deg(\Delta_{X}\cap l))=(3,2)$$(B4)(\deg(\Delta z\cap l^{Z}), \deg(\Delta_{X}\cap l))=(1,3)$ のとき$supp\Delta_{X}=\{P_{1}, P_{2}\},$ $(mult_{P_{1}}\Delta_{X}, mult_{P_{1}}(\Delta_{X}\cap l))=(2,2),$ $(mult_{P_{2}}\Delta_{X},$ $mult_{P_{2}}(\triangle x\cap$$\psi:Zarrow X$ を$l))=(1,1)$ の場合．
$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1},$$E_{Z}$$W=\Gamma_{P_{1},1}^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z}$$\Delta x$の$0$次元解消とする．

$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z},$

とする．

の形は

となっている．このとき例 4.1, 4.2 より，mult $Q_{2}\Delta Z=$ mult
mult $Q_{2}(\Delta z\cap l^{Z})=1,$$\deg(\Delta z\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z})=2,$$Q_{2}(\triangle z\cap\Gamma_{P_{2},1})=2,$$supp\Delta z\backslash \{Q_{2}\}\subset\Gamma_{P_{1},2}^{Z}\backslash \{W\}$である．

$supp\Delta_{X}=\{P_{1}, P_{2}\},$ $(mult_{P_{1}}\Delta_{X}, mult_{P_{1}}(\Delta_{X}\cap l))=(2,2),$ $(mult_{P_{2}}\Delta_{X},$ $mult_{P_{2}}(\Delta_{X}\cap$$\psi:Zarrow X$ を$l))=(2,1)$ の場合．
$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z},$$E_{Z}$$W=\Gamma_{P_{1},1}^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z}$$\Delta x$の$0$次元解消とする．

$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z},$

とする．

の形は

となっている．このとき例 4.1, 4.2 より，$\deg(\Delta z\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z})=2,$$l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}\},$

$d=$

mult

$\Delta z\cap(\Gamma_{P_{1},2}^{Z}\backslash Q_{1})\subset\Gamma_{P_{1},2}^{Z}\backslash \{W, Q_{1}\}$$Q_{1}(\Delta z\cap\Gamma_{P_{1},2})$である．さらに$\Delta_{Z}\cap(l^{Z}\backslash Q_{1})$欧$c=mult_{Q_{1}}(\Delta z\cap l^{Z})$,とおけば，mult $Q_{1}\triangle z=c+d$ となる．ここで $(c, d)$ の可能性は$(0,0),$ $(1,1),$ $(1,2)$ である．
$supp\Delta_{X}=\{P_{1}, P_{2}\},$ $(mult_{P_{1}}\Delta_{X}, multP_{1}(\Delta_{X}\cap l))=(4,2),$ $(mult_{P_{2}}\triangle x,$ $mult_{P_{2}}(\Delta_{X}\cap$$\psi:Zarrow X$ を$l))=(1,1)$ の場合．
$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z}$$E_{Z}$$\triangle x$

の

とする．

の形は

17

$0$

次元解消とする．

$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z},$159となっているこのとき例 4.1, 4.2 より，mult $Q_{2}\Delta Z=$ mult $(\Delta_{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z})=2,$

mult $Q_{2}(\Delta z\cap l^{Z})=1,$$supp\triangle z\backslash Q_{2}\subset l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}\}$である．

$supp\Delta_{X}=\{P_{1}, P_{2}\},$ $(mult_{P_{1}}\Delta_{X}, mult_{P_{1}}(\Delta_{X}\cap l))=(4,2),$ $(mult_{P_{2}}\triangle x,$ $mult_{P_{2}}(\triangle x\cap$$\psi:Zarrow X$ を$l))=(2,1)$ の場合．
$Q_{2}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{2},1}^{Z}$$\triangle x$の$0$次元解消とする．

$Q_{1}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{1},2}^{Z},$

とする．

の形は

$E_{Z}$となっている．このとき例 4.1, 4.2 より，$\triangle z\subset l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}\}$である．

$supp\Delta_{X}=\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\},$ $(mult_{P_{1}}\triangle_{X}, mult_{P_{1}}(\triangle x\cap l))=(multp_{2}\Delta_{X},$ $multp_{2}(\triangle x\cap$$\psi:Zarrow X$ を$l))=(2,1),$ $(mult_{P_{3}}^{I}\triangle_{X}, mult_{P_{3}}(\triangle x\cap l))=(1,1)$ の場合．

解消とする．

$Q_{i}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{i},1}^{Z}$となっているとする．

このとき例 4.1,

mult $Q_{3}(\Delta_{Z}\cap l^{Z})=1,$$\Delta_{X}$の $0$

4.2 より，mult$Q_{3}\triangle z=$$supp\triangle z\backslash Q_{3}\subset l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}\}$$supp\Delta_{X}=\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\},$$E_{Z}$の $0$ 次元の形は$E_{Z}$

を$\Delta_{X}$

mult

である．

$(mult_{P_{i}}\triangle_{X}, mult_{P_{i}}(\triangle x\cap l))=(2,1)$次元解消とする．

$Q_{i}=l^{Z}\cap\Gamma_{P_{i},1}^{Z}$

の形は

18

とおく．

$(\triangle z\cap\Gamma_{P_{3},1}^{Z})=2,$$\psi:Zarrow X$
の場合．

160

となっている．このとき例 4.1, 4.2 より$l^{Z}),$$\deg(\Delta_{X}\cap l))=(1,3)$$\Delta_{Z}\subset l^{Z}\backslash \{Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}\}$である．

$(\deg(\Delta_{z\cap}$のときは以上でつくされている．

$(C)E_{X}=C,$ $C$ は非特異 2 次曲線のとき$\deg\Delta z+\deg\Delta x=7,$ $\deg(\Delta_{Z}\cap C)+2\deg(\Delta_{X}\cap C)=14$ が成り立つ．
補題 6.1 より，

例 4.1, 4.2 より$\Delta_{Z}=\emptyset,$$\deg\Delta x=7,$ $\deg(\Delta_{X}\cap C)=7$となる．さらに，$\Delta_{X}\subset C$

も

わかる．

逆にこれらは全て底四重組になっていることも確認できる．

以上のような議論を考えうる全ての場合に行っていくことで底四重組の分類がなされる．

謝辞．講演の機会を与えていただいた松下大介先生に感謝致します．藤田健人さんには講究録の原稿 [1] を送っていただき，また本稿執筆に際して多くの有益なコメントを頂きましたこと感謝致します．

参考文献[1] 藤田健人，対数的デルペッッォ曲面の分数的指数について，数理解析研究所講究録に掲載予定[2] $K.FN_{t}jita,$ Logdel Pezzo surfaces with not small fractional indices, preprint,

arxiv: 1401.0988[3] K.Fujita and K.Yasutake, Classification of logdel Pezzo surfaces of index three,

preprint, arxiv: 1401.1283[4] N. Nakayama, Classification of logdel Pezzo surfaces of index two, J. Math. Sci.
Univ. Tokyo 14 (2007), no. 3, 293-498.
[5] H.Ohashi and S.Taki, $K3$ surfaces and logdel Pezzo surfaces of index three,
Manuscripta Math.139 (2012), no. 3-4, 443-471.

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