数理解析研究所講究録
第 1570 巻 2007 年 36-40

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有界な解析関数の空間の間の等長線形写像
岡安隆照 (Takateru Okayasu)
Professor Emeritus, Yamagata University

山形大学名誉教授

で解析的な連続関数
複素平面 $C$ 上のコンパクト集合 $K$ で定義され, $K$ の内部の全体が作る Banach 空間を $A(K)$ によって表す. $A(K)$ は, 点毎に定義された積を積として環をなす.
コンパクトハウスドルフ空間 $X$ で定義された複素数値連続関数の全体が作るバナッハ環 $C(X)$ の閉部分環 $M$ が, 恒等関数 1 を含み, $X$ の点を分離するとき $M$ を $X$$K^{o}$上の関数環と呼ぶ.

複素平面上の 2 つのコンパクト集合をとするとき, $A(K_{1})$ から $A(K_{2})$ の上からへの位相同型 が一意にで解析的なへの環同型 は次の形をもつ:存在して, 任意の $f\in A(K_{1})$ に対して
$K_{1},$$K_{2}$$K_{1}$$K_{2}$$K_{2}^{o}$$\psi$$\psi(f)=fo\eta$

.

から関数環
しかるに長沢 [5](Cf. [3]) によって一般に, 関数環の上への環同型 によって,の離線形写像 は$A_{1}$$\phi$$A_{1}$$A_{2}$$\eta$$A_{2}$の上への等距$\psi$$\phi(f)=\phi(1)\psi(f)$,$f\in A_{1}$と書かれる. ここに $|\phi(1)|=1$ である. したがって $A(K_{1})$ から $A(K_{2})$ の上への任意を荷重とする, による荷重合成写像の等長線形写像 は$\phi$$\phi(1)$$\eta$$\phi(f)=\phi(1)(fo\eta)$

である (Cf. [4]).

,$f\in A_{1}$37

特に, 円板環 $A(D)$ の等長線形写像は,bius 変換による合成写像の, 絶対値 1 の複素数倍である.によっ
複素平面上の領域 $G$ で定義された有界な解析関数の全体が作る環をて表す.
はそのスペクトル上の関数環である. それ故それも, 用語の乱用をからするとき許して, 関数環と呼ぶ. 複素平面上の 2 つの領域をの上への等長線形写像もまた上記の形をもつことが知られている. このとき は等角写像になる. ただしにはそれらが最大であることを課する. ここに領域 $G$ が最大であるとは, の境界の任意の点 に対してそれを特異点とする $G$上の有界な解析関数が存在することである. ていねいに述べれば次のとおりである:からの上への等長線形写像 は,もしも領域が最大ならば,から倍である.の上への等角写像 による合成写像のこの事実は 1942 年に Chevalley と角谷によって得られた次の定理 (出版されなかったが [4], Rudin [8] によって再証明された) から, 再び [5] によって知られる :$M\ddot{o}$$H^{\infty}(G)$$H^{\infty}(G)$$G_{1},$$H^{\infty}(G_{1})$$G_{2}$$H^{\infty}(G_{2})$$G_{1},$$\eta$$G_{2}$$G$$G_{1},$$G_{2}$$H^{\infty}(G_{2})$$H^{\infty}(G_{1})$$G_{2}$$G_{1}$$G_{1},$$G_{1}$

が最大ならばの上への等角写像への環同型 は次の形をが一意に存在して, 任意の $f\in H^{\infty}(G_{1})$ に対$H^{\infty}(G_{1})$$G_{2}$$\phi$$\phi(1)$$\eta$

定理. 領域もつ:から$G_{2}$$\xi$$\eta$から$H^{\infty}(G_{2})$$\psi$

して$\psi(f)=fo\eta$から
この報告の目的は,点から考察を試みることである.
$H^{\infty}(G_{1})$$H^{\infty}(G_{2})$.の上への等長線形写像について, 別の視$\theta$

コンパクトハウスドルフ空間 $X$ の部分集合 が, $X$ 上の複素数値連続関数の全体が作るバナッハ空間 $C(X)$ の部分空間 $M$ の境界であるとは, 任意の $f\in M$ がそこで最大絶対値を実現するときにいう. が $M$ の Choquet 境界であるとは, それが次における $M$ 上の点汎関数の条件を満たす点 $\xi\in X$ から成るときにいう:$\Gamma$$\Gamma$$\xi$$\tau_{M}(\xi)(f)=f(\xi)$の表現測度は$\xi$,$f\in M$における Dirac 測度に限られる. このことは,$\tau_{M}(\xi)$

が $M$ の双対空間の閉単位球の端点になることと同値である [2]. $M$ の Choquet 境界を表す.
が境界であることはいうまでもない.
$\Pi_{M}$$\Pi_{M}$によって

38が関数空間ならば, すなわち, $C(X)$ の, 恒等関数 1 を含み, $X$ の点を分離する部分空間ならば. Choquet 境界の閉包は $M$ の最小の閉境界である. 一般に最小の閉境界を Shilov 境界と呼ぶ.
$M$$\theta$

からの上への単位を保存は有界であるとする. を領域する等長線形写像とする.のスペクトル,の中に埋め込み,をそれぞれ上に自然に拡張して得られる関数に属する関数をそれぞれそれをから, そのよと同一視し同じ記号によって表す. は, そのようにみなしたの上への等長線形写像になる.
うにみなしたのはの双対空間とする. このとき閉単位球の端点である. このことと, が単位を保存することから$G_{1},$$G_{1},$$G_{2}$$\phi$$H^{\infty}(G_{2})$$H^{\infty}(G_{1})$$\hat{G}_{1},\hat{G}_{2}$$H^{\infty}(G_{1}),$ $H^{\infty}(G_{2})$$G_{2}$$H^{\infty}(G_{1})$$\hat{G}_{1},\hat{G}_{2}$$H^{\infty}(G_{2})$$H^{\infty}(G_{1})$$\phi$$H^{\infty}(G_{2})$$H^{\infty}(G_{1})$$\phi^{*}(\tau_{H}\infty(G_{2})(\zeta))$$\zeta\in\Pi_{H}\infty(G_{2})$$H^{\infty}(G_{1})^{*}$$\phi$$\phi^{*}(\tau_{H}\infty(c_{2})(\zeta))=\tau_{H\infty(G_{1})}(\xi)$が成り立つことがわかる.
上への制限の座標関数 の$z$

$G_{1}$による像を$\phi$$\tilde{\phi}$

によって表す. 任意の $f\in H^{\infty}(G_{1})$に対して$\phi(f)(\zeta)=f(\xi)$が成り立つ. 特に,$\tilde{\phi}(\zeta)=\xi$である. よって任意の $f\in H^{\infty}(G_{1})$ に対して$\phi(f)(\zeta)=(fo\tilde{\phi})(\zeta)$,$\zeta\in\Pi_{H^{\infty}(G_{2})}$が成り立つ.
がの閉包に入らないとする. このときゐに対して次にが存在して $(z-\tilde{\phi}(\zeta_{0}))f_{0}=1$ が成り立つ. しかし は環同型だから,$\zeta_{0}\in G_{2}$$\tilde{\phi}((0)$$G_{1}$$\in H^{\infty}(G_{1})$$\phi$$0=(\phi(z)(\zeta_{0})-\tilde{\phi}(\zeta_{0}))\phi(f_{0})(\zeta_{0})=1$である.
が起こってしまう. したがってを作る得ることがわかる. それが任意の $f\in H^{\infty}(G_{1})$ に対して $f$ と の合成とは一致する (Cf. [7]).に属すること, もちろんである. よって$\tilde{\phi}(G_{2})\subset G_{1}$$\tilde{\phi}$$H^{\infty}(G_{2})$$fo\tilde{\phi}$$\phi(f)$$fo\tilde{\phi}$

39$\phi$の逆写像にを考えることによって が 1 対 1 の, 上への写像であることもわかる.
が最大ならばも最大であることもわかる.
なお, が単位を保存するとは限らないならばそれが$\tilde{\phi}$$G_{1}$$G_{2}$$\phi$$\phi(f)=\phi(1)(fo\tilde{\psi})$の形をもつことはいうまでもない. ただし,$f\in H^{\infty}(G_{1})$$\psi=\frac{\phi}{\phi(1)}$である.

で定義された有界な解析関数の全体が作る関数空多次元の複素空間の領域が適切な条件を満たすとき同間の間の等長線形写像も,じ構造をもつことが期待される. 実際 ‘甘い’ 条件の下では, そのとおりである.
$G_{1},$$H^{\infty}(G_{1}),$$G_{2}$$H^{\infty}(G_{2})$$G_{1},$$G_{2}$$\theta$

しかし ‘緩い’ 条件の下で議論をすすめることは容易ではない.

次の定理が知られている:
定理 (Ahern-Schneider [1]).

かな境界をもつとき,数 が一意に存在して,$H^{\infty}(G)$次元の複素空間の有界な領域 $G$ が ‘強擬凸’ で, 滑ら上の等長線形写像 は次の形をもつ: $G$ 上の双解析関$n$$\phi$$\eta$$\phi(f)=\phi(1)(fo\eta)$ ,$f\in H^{\infty}(G)$.

ここに $|\phi(1)|=1$ である.

特に ,$*\supset$次元の複素空間の開単位球上の(Rudin [9]).
$n$$H^{\infty}$

空間の等長線形写像は今述べた形をも参考文献
1. P. R. Ahern, R. Schneider, Isometries of$H^{\infty}$, Duke Math. Journ. 42 (1975),

321-326.
2. H. Bauer, \v{S}ilovcher un und Dirichletsches Problem, Ann. Inst. Fourier(Grenoble) 11 (1961), 89-136.
$R$$d$

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3. K. Hoffman, Banach spaces of analytic fun ctions, Prentice-Hall Inc., 1962.
4. S. Kakutani, Rings of analytic functions, Lectures on Functions of a Complex
Variable, Univ. Michigan Press, Ann Arbor, 1955, 71-83.
5. M. Nagasawa, Isomorphisms between commu tative Banach algebras with applica tion to rings of an alytic fun ctions, K\^odai Math. $Sem$ . Rep. 11 (1959), 182-188.
6. 岡安隆照, 解析関数からなる関数空間の等距離線形作用素について, 数理解析
研講究録 1535 (2007), 25-30.
7. R. R. Phelps, Lectures on Choquet’s theorem, Van Nostrand Math. Studies 7,1966; 2nd ed., Lecture Notes in Math. 1757, Springer, 2001.
8. W. Rudin, Some theorems on bounded analytic fun ctions, Trans. Amer. Math.
Soc. 78 (1955), 333-342.
9. W. Rudin, Function theory in the unit ball of , Springer-Verlag, New York,$C^{n}$

1980.