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高校数学で扱えるフラクタルの例
なかしま

中島

ひろ と熙人伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに問題

フラクタルとは，ある部分だけ切り出しても，全1 辺の長さが 1 である正方形の各頂点に，その正体と相似であるような構造をもつ図形の総称であ方形を相似比 1：a (0<a<1) で縮小した正方形をる。これは 1975 年にブノワ・マンデルブロによっ繋ぎ，それらの正方形の残った 3 つの頂点に同じ相て考案された比較的新しい概念であり，数学的に厳似比 1：a で更に縮小した正方形を繋ぐ。これを繰密な定義はいまだに整備されていない。

り返し，図 1 のように次々と細かく枝分かれさせてしかし，フラクタル図形には，次元が整数値とないったとき，枝分かれした先が，重なり合うことも，らないことなどの興味深い性質があることが知られ枝と枝の間に隙間ができることもなく，丁度接するている。また，自然界には海岸線からオウムガイのような a の値を考える。次の問いに答えよ。

貝殻に至るまで，フラクタル構造を持つとみなせるものが多く存在している。画像処理や CG など，工学分野への応用も研究されている。
このように，フラクタルは概念こそ新しいものの，数学内外の様々な分野での研究が進んでおり，生徒たちが将来どこかで目にする機会は少なくないと思われる。そのため，機会を捉えて紹介する価値は大いにある。そこで，本稿では，高校数学の範囲内で比較的平易に扱うことができ，尚且つ生徒の興味を引きそうな性質を備えたフラクタルの例を 2 つ紹介する。
⑴§2．正多角形のフラクタルの縮小係数

1 番目の正方形の下に伸びる 2 本の枝の先だけを考え，図 2 のように点 A，B，C，D をおき，線フラクタル図形は，基本となる図形を縮小して元分 CD の中点を M とする。ただし，2 本の枝の先の図形と組み合わせるという過程を無限に繰り返すが丁度接する点は M と一致している。このとき，ことを前提としている。そのため，無限という概念

線分 CM の長さを a を用いて表せ。に触れる機会の多い数学Ⅲの極限の単元は，フラクタルを紹介する好機である。コッホ雪片の周の長さと面積の極限を求める問題などは広く知られているが，立式の際に三角比などの既習事項を応用することが求められるため，ここではより平易な例題を扱う。
以下の問題は，筆者が，極限の単元を扱った際の定期考査で実際に出題した問題である。

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CM の長さは初項 a，公比 a の無限等比級数で解

CM=a+a+a+……
a0， a <1 よりわせ，内容に広がりを持たせて扱うことができる。

CM=

a⫽
1−a1
枝の先が丁度接するとき，CM= AB となる
2⑵ことを利用し，a の値を求めよ。
1CM= AB に，⑴ の結果と AB=1 を代入す
2解

このように，正多角形のフラクタルの縮小係数の問題は，計算が比較的平易でありながら，状況に合あるから，ると§3．ワイエルシュトラス関数
関数の連続性と微分可能性は，しばしば生徒が混同してしまうことのある概念である。そこで，教科書などでは関数 f ()=   のグラフを描き，この関数が =0 で連続であるが微分可能ではないことを示し，違いを直感的に理解させる説明がよく用いられる。

a1= ⋅1
1−a 2

ここで，余談としてこのような連続であるが微両辺に 1−a を掛けて

2a =1−a分不可能な点は，幾つまで増やすことができるか

これを解くと

1a= ，−12という問いかけをしてみると，生徒の意見は割れる。

0<a<1 より

a=1
⫽2

かべば，そのような点を 1 点から 2 点に増やすこと

数学Ⅰで既習の =  −1  のグラフなどが思い浮が簡単であることはすぐにわかる。では，3 点，4 点，このクラスの授業では授業でフラクタル図形を扱……と増やしていき，そのような点を無限に多くもったことがなかったため，丁寧に誘導を設けて出題

つ関数は存在するのか，と投げかける。すると生徒した。それもあってか，正答率はこちらでおおまかは，極限の計算で，無限大に発散するようなものをに想定していたよりも高かった。このときは，解説扱う場合には直感が通用しないような例を幾つも見の際にフラクタルという言葉の説明と，応用例などているため，安易に肯定することはできない。

に関して触れることができた。

このような前置きを話してから，改めて連続でまた，今回は正方形のフラクタルを考えたが，正あるが微分不可能な点は無限に増やすことができる

三角形の場合を同様に考えると図 3 のようになる。

かと問うと，生徒は答えに詰まることが多い。そこの場合，枝先が丁度接する縮小係数は，黄金比こで，次のワイエルシュトラス関数を紹介できる。

ϕ=1+ 5の逆数，すなわち ϕ  となる。
2f ()= ∑ a cos (b π)ただし 0<a<1，b は奇整数，ab>1+ 32 π
この関数は，連続かつ至るところ微分不可能な関数の例として，カール・ワイエルシュトラスが 1872年に紹介したものである。その性質を証明しようとすると，多くの高校生にとっては複雑な計算を行わなければならない。しかし，グラフ描画ソフトを用いて，この関数のグラフの成り立ちを説明することはできる。そして，フラクタルとしての性質もそこに関係してくる。
また，正五角形のフラクタルで同様に考えると，縮小係数は ϕ  となる。授業ではフィボナッチ数列の一般項の極限が ϕ となることにも触れていたため，そのこととも関連付けて紹介した。

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図 4 は，上の定義式において a=8，b=7 とし，9n の上限を 2，3，……と変化させたグラフである。
n の上限が大きくなるにしたがって，曲線の各所に極値が現れ，それが繰り返されていく様子がわかる。

また，各々の極値のところでグラフが先鋭になって§4．おわりにいくのもわかる。このようにして，n  ∞ とした

この題材を授業で扱おうと思ったのは，筆者が高とき，このグラフには無限に多くの微分不可能な点校生のときに参考文献 〔 1 〕 を読み，正三角形や正があることを想像することができる。

五角形のフラクタルと，黄金比の関係が印象に残っ

ここで，ワイエルシュトラス関数のグラフがフラていたのがきっかけである。その後も，数学の内外クタル構造を備えていることに注目させたい。実際，を問わず様々なところにフラクタルという言葉が現

図 4 で n=4 や 5 のときのグラフの一部を拡大すれるのを見て，興味を引かれたのを記憶している。

れば，全体と同じような形の曲線が現れる。むしろ，生徒にとってもそのようなきっかけとなる授業の題

フラクタル構造を備えることによって，連続性を保材を，引き続き研究したい。

ったまま，無限に多くの微分不可能な点を存在させ《参考文献》ることができている，という点を補足できる。
n の上限

グラフ

〔1〕

アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー，ベルンハルト・ペトリ黄金分割―自然と数理と芸
術と―共立出版，2005〔2〕

高安秀樹フラクタル

新装版朝倉書店，

2010

2

〔3〕

日本数学会編岩波

数学辞典

第 4 版岩波書店，2007(東京都田園調布学園中等部・高等部)

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図429