数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 172-192

172

A note on a 3-dimensional extension of
the Maskit slice
荒木義明 (Yoshiaki Araki) インテリシンク株式会社 (Intellisync K.K.)
糸健太郎 (Kentaro Ito) 名古屋大学多元数理 (Nagoya University)
小森洋平 (Komori Yohei) 大阪市大理 (Osaka City University)

Introduction1$(n+1)$ 次元双曲空間 $H^{n+1}$ の向きを保つ等距離自己同型写像全体を Isom $(H^{n+1})$ と書$\langle$.

$H^{n+1}$の向きを保つ等角自己同型写像全体を Confと書$(H^{n+1})$$(H^{n+1})=Conf(S^{n})$が存在する.
の離散部分群を$(n+1)$ 次
くとき自然な同一視 Isom
Isom
元クライン群という. 通常, クライン群といえば $n=2$ の場合, すなわち Isom $(H^{3})=Conf(S^{2})$の離散部分群のことを指す. この場合は 3 次元トポロジーの研究と相まって深く研究されている.
一方で 4 次元以上のクライン群を高次元クライン群ということにする. 高次元クライン群に関する研究に関しては Apanasov [2] や Kapovich [6] などを参照されたい.
さて, 高次元クライン群の中でも特に 4 次元クライン群は, その極限集合が 3 次元空間 $S^{3}=$の中のフラクタル集合であるため幾何学的直感が働くので, 独自の面白さがあると思わこの方面では, 具体的な 4 次元クライン群の極限集合のコンピュータ画像を描く試みとしてれる.
のな
Ahara-Araki [1] がある. これは極限集合が 全体である 3 次元クライン群の中で, Conf
かで離散性を保ったまま変形できる族を見つけたものである. また, 4 次元クライン群は quatemion
mlgebra を用いた扱いが可能である. これに関しては Cao-Parker-Wang [5] や Kido [7] を参照されは $n$ 次元球面$S^{n}$

を理想境界にもち, その$S^{n}$$(S^{n})$$\mathbb{R}^{3}\cup t\infty\}$$S^{2}$$(S^{3})$

たい.

この論説でも, 具体的な 3 次元クライン群 $\Gamma\subset Conf(S^{2})$ を Confの中で離散性を保ちつつ変形することを考える. ここで考える群は, 1 点穴あきトーラス群と呼ばれるものの中でも accidentalの理想等角境界が $(0,3)$ -曲面と $(1, 1)$ -曲面からな
parabohic を持つもの : すなわち商多様体
るものである. この群の Confの中での変形空間は 1 点穴あきトーラス群の Maskit slice としてよく知られており, 複素平面の部分領域として実現できる. ここでは, この群の Confの中での変形空間が, Maskit slioe をその切り口として含むようなの部分領域として実現できることを示す. さらに, この変形空間の別の実 2 次元の切り口として, 別のタイプのクライン群のでの変形空間が現れることを示す. ここで は $H^{3}/r’$ の理想等角境界が 2 つの $(0,3)$ -曲
Conf
面と 1 つの $(0,4)$ -曲面からなるものである.
さらに Appendix では上の結果の応用として, 不連続領域が群不変な単連結成分を持っような 4次元クライン群の具体例を与え, その変形空間を考える. この群はある 6 面体 (図 11) を基本領域とする群として与えられる. 2003 年に荒木と糸が共同研究を始めた時, 最初に考えた設定がこの群の変形であった.
$(S^{3})$$H^{3}/\Gamma$$(S^{2})$$(S^{3})$$\mathbb{R}^{3}$$\Gamma’$$(S^{2})$$\Gamma’$

この研究に関するコンピ $=-$ クグラフィックスなどは.

http: $//www$ math. nagoya-u. ac. $jP/\sim_{itoken}/3d$ -maskit. htmlを参照されたい.

173
2Preliminaries

2.1

Conf

$(S^{n})$

ここの記述は主に Matsumoto [11] を参考にした. その他に Apanasov [2], Berdon [4] なども参考になる. 以下では主に $n=2,3$ のときを扱
ここでは Conf $(S^{n})$ に関する基本事項をまとめる.

う.

$x=$ $(x_{1}, \ldots, x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$ に対して$|x|=\sqrt{x_{1}^{2}++x_{n}^{2}}$と定める.

$S^{n}=\mathbb{R}^{n}\cup\{\infty\}$には$\mathbb{R}^{n}$から定まる等角構造を入れる. 向きを保つ$S^{\mathfrak{n}}$の等角自己同型に含まれる $(n-1)$ -次元球面に関するに関inversion の偶数個の積として得られることが知られている. ここで $(n-1)$ -次元球面
する inversion ゐは,が中心, 半径 $r>0$ の球面であるときは写像全体を Conf$(S^{n})$

Conf

と書く.

$(S^{n})$の任意の元は,$S^{n}$$\sigma\subset S^{n}$$a\in \mathbb{R}^{n}$$\sigma$(1)$J_{\sigma}(x)=r^{2}+a\underline{x-a}$$|x-a|^{2}$で定義され,$\sigma$が$\infty$を含む, すなわち変換で定義される. 以下では, 中心$0$$\sigma$が $(n-1)$ -次元平面であるときはその平面に関する鏡映, 半径 1 の単位球面に関する inversion を$J(x)= \frac{x}{|x|^{2}}$と書く. このとき式 (1) のLemma 2.1.

$J_{\sigma}$$f\in Conf(S^{\mathfrak{n}})$に関して」\mbox{\boldmath $\sigma$} $=r^{2}J(x-a)+a$ が成り立っ.

に対して次が成り立つ :(1) $f(\infty)=\infty$ のとき, ある $\lambda>0,$ $P\in SO(3),$$u\in \mathbb{R}^{3}$が存在して $f(x)=\lambda P(x)+u$ が成り

立っ.

(2) $f(\infty)\neq\infty$ のとき, ある $\lambda>0,$ $P\in O(3)\backslash SO(3),$ $u,$$u)+v$ が成り立っ.

$v\in \mathbb{R}^{3}$が存在して $f(x)=\lambda PJ(x-$の球面を
Lemma 2.1 (2) の場合, $f(u)=\infty$ と $f(\infty)=v$ に注意する. ここで中心 , 半径$I(f^{-1})$$I(f)$ , 中心 , 半径の球面をと書く. このとき $J_{I(f)}(x)=\lambda J(x-u)+u$ を用いると$\sqrt{\lambda}$

$u$

$v$

$\sqrt{\lambda}$$f(x)=P(J_{I(f)}(x)-u)+v$が成り立っことが分かる. 従って $f$ は $I(f)$ の内側を $I(f^{-1})$ の外側に写す. この $I(f)$ を $f$ の isometricsphere と呼ぶ.
標準的埋め込みをき, 任意の $f\in Conf(S^{n})$ に対して一意的にある$\mathbb{R}^{n}-\mathbb{R}^{n+1}$$(x_{1}, \ldots, x_{n})\in \mathbb{R}^{n}\mapsto\rangle$$(x_{1}, \ldots, x_{n}, 0)\in \mathbb{R}^{n+1}$

と定める.

が存在して
この $f\in Conf(S^{\mathfrak{n}+1})$ を $f\in Conf(S^{n})$ の Poincar\’e extension という. 具体的には,の inversion の合成であるとき,は $2k$ 個の球の合成である. ここではを含みに直交する球である.

$\sigma_{1},$$\ldots,$$\sigma_{2k}\subset S^{n}$$\tilde{f}\in Conf(S^{\mathfrak{n}+1})$$\tilde{j}|_{S^{\mathfrak{n}}}=f$$\tilde{f}$$\tilde{\sigma}_{1},$$S^{n}$$\tilde{\sigma}_{j}$$\sigma_{j}$$f$$\ldots,\overline{\sigma}_{2k}\subset S^{n+1}$

このとが成り立っ.
が $2k$ 個の球の inversion

174$(n+1)$ -次元双曲空間 $H^{n+1}$ の上半空間モデルを$H^{n+1}=\{(x_{1}, \ldots,x_{\mathfrak{n}+1})\in \mathbb{R}^{n+1}|x_{n+1}>0\}$;$ds^{2}= \frac{dx_{1}^{2}+\cdots+dx_{n+1}^{2}}{x_{n+1}^{2}}$とする. 任意の $f\in Conf(S^{n})$ に対して, その Poincar\’e exteoion $\tilde{f}\in Conf(S^{n+1})$ は $H^{n+1}$ の向きを保つ等距離同型を誘導する. 従ってこの同一視の元で Isom $(H^{n+1})=Conf(S^{n})$ が成り立っ.

Lemma 2.2 (Confは $H^{n+1}$ に固定点の元の分類). $f\in Conf(\mathbb{S}^{n})=Isom(H^{n+1})$ とする.
を持つとき elliptic であるという. $f$ が ellipti でないとき,
はに 1 つまたは 2 つの固定点を持っ. 固定点が 1 つの場合 $f$ は pambolic といい, 固定点が 2 つの場合 $f$ は loxodromic という. さ$(S^{n})$

$f$

$f$

$c$

$S^{n}$

らに次が成り立っ :(1) $f$ が elliPtic とする. ここでのみ $(n+1)$ -次元双曲空間の単位球モデル $H^{n+1}=\{x\in \mathbb{R}^{n+1}||x|<$$\partial H^{n+1}=S^{n}=\{x\in \mathbb{R}^{n+1}||x|=1\}$ で考える.
このとき $f(O)=0$ ならば, ある$1\},$$P\in SO(n+1)$ が存在して$f(x)=P(x)$が成り立っ.

(2) 以下では再び$f$$S^{n}=\mathbb{R}^{n}\cup t\infty$} で考える.

が pamboli で $f(\infty)=\infty$ ならば, ある$c$$u\in \mathbb{R}^{n},$$u\neq 0$.

と $P\in SO(n)s.t$ $P(u)=u$ が存在して$f(x)=P(x)+u$が成り立っ.
$(S)f$ が loxodromic で $f(O)=0,$ $f(\infty)=\infty$ ならば, ある $\lambda>0,$ $P\in SO(n)$ が存在して$f(x)=\lambda P(x)$が成り立っ.

特に $n=3$ の場合について見ておく. $f\in Conf(S^{3})$ が loxodromic であるとすると, $P\in SO(3)$の loxodromic な元は必ず 1 を固有値に持つので, $f$ は Confの Poincare$g(\tau,z)=(e^{1\theta_{\mathcal{T},Z}}+$
extension に共役である. また $f\in Conf(S^{3})$ が parabolic のとき, $f$ は写像に共役である. 特に $f$ が写像 $g(\tau, z)=(\tau, z+1)$ に共役であるとき, $f$ は
1),
parabolic without rotation という.
$(S^{2})$$g(\tau)=\lambda e^{i\theta}\tau,$$\tau\in \mathbb{C}$$(\tau, z)\in \mathbb{C}x\mathbb{R}\underline{\simeq}\mathbb{R}^{3}$が $H^{n+1}$ に properly discontinuous に作用するとは, 任意のコンパクト集合$K\subset H^{n+1}$ に対して $\gamma(K)\cap K\neq\emptyset$ となるが有限個であるときをいう. が $H^{n+1}$ に properly$\Gamma\subset Isom(H^{n+1})$$\gamma\in\Gamma$

をクライン群という. Isom $(H^{n+1})=Conf(S^{n})$ の同一視の元に,がクライン群であることと, $\Gamma\subset Conf(S^{n})$ が一様収束位相に関して離散的である$dis\infty ntinuous$ に作用するとき,$\Gamma\subset Isom(H^{n+1})$$\Gamma$$\Gamma$ことは同値である. 従って, ある開集合
が存在して
となる
が有限個で
あるとき,
はクライン群になる. クライン群 $\Gamma\subset Conf(S^{n})$ の region of discontinuity
を次の性質を満たす点 $x\in S^{n}$ の集合と定める : $x$ のある近傍 $U$ が存在してとなるは有限個である.
の補集合
を の limit set という.
$U\subset S^{n}$$\gamma(U)\cap U\neq\emptyset$$\Gamma$$\gamma\in\Gamma$$\Omega(\Gamma)\subset S^{\mathfrak{n}}$$\gamma(U)\cap U\neq\emptyset$$\gamma\in\Gamma$$\Omega(\Gamma)$$\Lambda(\Gamma)$$:=S^{n}\backslash \Omega(\Gamma)$$\Gamma$175$(0,3)-,$ $(0,4)-$ and $(1, 1)$ -type gorups in Conf $(S^{2})$2.2

以下では, ある群 $G$ とその部分集合 $S\subset G$ が与えられたとき,$\langle S\rangle$$S$で生成される $G$ の部分群をで表すことにする.

で表す. 中への同型写
個の点を取り除いたものを $(g, n)$ -型曲面といいの puncture に対応する元がによって像: $\pi_{1}(\Sigma_{g,n})arrow Conf(S^{2})$ が型を保つとは,
parabolic 元に写されるときをいう. この節では $(g, n)=(0,3),$ $(0,4),$ $(1,1)$ の場合に, 型を保つの生や同型写像 : $\pi_{1}(\Sigma_{g,n})arrow Conf(S^{2})$ の像の共役による正規化を調べる.
成元は図 1 のように取る.

種数

$g$

の曲面から

$n$

$\Sigma_{g,n}$$\pi_{1}(\Sigma_{g,n})$$\varphi$$\varphi$$\pi_{1}(\Sigma_{0,4})$$\varphi$

図 1:$\Sigma_{0,4},$と, その基本群 $\pi_{1}(\Sigma_{0,4})=(b,$ $c,$$\Sigma_{1,1}$$d\rangle$,$\pi_{1}(\Sigma_{1,1})=\langle a, b\rangle$

Lemma 2.3 (groups of $(0,3)- type$ ). 型を保っ中への同型写像$\phi$:$\pi_{1}(\Sigma_{1,1})$の元のホモロジー類$\pi_{1}(\Sigma_{0,3})=(b, c\rangle$$arrow Conf(S^{2})$は共役により次の形にできる :$\phi(b)=B,$ $\phi(c)=C$ ;$B(\tau)=\tau+2,$

Lemma 2.4 (groups of $(0,4)- type$ ). :が pammbolic とする. このときある写像とし, さらにに共役である ::$\pi_{1}(\Sigma_{0,4})=(b,$ $c,d\rangle$$\eta$$\eta(d)$$\eta_{\mu}$$C( \tau)=\frac{\tau}{2\tau+1}$.

を型を保つ中への同型が一意的に存在して,は次の$arrow Conf(S^{2})$$\mu\in \mathbb{C}$$\eta$$\pi_{1}(\Sigma_{0,4})=\langle b, c,d\ranglearrow Conf(S^{2})$$\eta_{\mu}(b)=B,$$\eta_{\mu}(c)=C,$$\eta_{\mu}(d)=D_{\mu}$;$B(\tau)=\tau+2,$$C( \tau)=\frac{\tau}{2\tau+1},$$D_{\mu}(\tau)=C(\tau-\mu)+\mu$.

以下では $H_{\mu}=\langle B, C, D_{\mu}\rangle$ と表す.

Lemma 2.5 (groups of (1, $1)- type$ ).
写像とし, さらに$\rho_{\mu}$$\rho(b)$$\rho$:$\pi_{1}(\Sigma_{1,1})=(a, b\rangle$

が pambohc とする.

このときある; $\pi_{1}(\Sigma_{1,1})=\langle a, b\ranglearrow Conf(S^{2})$ に共役である$\rho_{\mu}(a)=A_{\mu},$

以下では$G_{\mu}=\langle A_{\mu},$$B$$\rho_{\mu}(b)=B$) と表す.

;

を型を保つ中への同型が一意的に存在して,は次の$arrow Conf(S^{2})$$\mu\in \mathbb{C}$$\rho$:$A_{\mu}( \tau)=\frac{1}{\tau}+\mu,$$B(\tau)=\tau+2$

.

176

図 2:

2.3

$H_{\mu}$と$G_{\mu}$の基本領域 (灰色の部分)

Maskit slices for $(0,4)$ -and $(1, 1)$ -type groups.

$\mu\in \mathbb{C}$に対して上のように$\eta_{\mu},$$H_{\mu}=\langle B, C, D_{\mu}\rangle,$$\mathcal{M}_{0,4}$$=$$\mathcal{M}_{1,1}$

$=$

{
{

$\rho_{\mu},$$G_{\mu}=\langle A_{\mu}, B\rangle$$\mu\in \mathbb{C}|\eta_{\mu}$: discrete, faithful},$\mu\in \mathbb{C}|\rho_{\mu}$; discrete,を定める. ここでfaithful}

とおき, それぞれを $(0,4)-,$ $(1, 1)$ -type の Maskit slice と呼ぶ.

図 3: Maskit slice

任意の$\mu\in \mathbb{C}$$\mathcal{M}_{1,1}$の一部 (図は $2i$ を中心とする 1 辺が 4 の正方領域)

に対して$C=A_{\mu}^{-1}BA_{\mu}$,が成り立つことがチェック出来る. 従って常にる. さらに次のことが知られている :$D_{\mu}=A_{\mu}BA_{\mu}^{-1}$$H_{\mu}\subset G_{\mu}$

であり,

これより

$\mathcal{M}_{1,1}\subset \mathcal{M}_{0,4}$

が分か

177
Proposition 2.6 (Kra [8]).
から$\mathcal{M}_{1,1}$が成り立つ. すなわち, 写像$\mathbb{C}arrow \mathbb{C},$$\taurightarrow 2\tau$は$\mathcal{M}_{0,4}$の全単射を与える.

と実際が同値となる.

$G_{2\mu}$$H_{\mu}$3$\mathcal{M}_{1,1}=2\mathcal{M}_{0,4}$は共役を除いて commensurable であることが示されて,

3-dimensional extension of$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$と$2\mu\in \mathcal{M}_{1,1}$$\mathcal{M}_{1,1}$

以下では平面 $\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^{3}|z=0\}$ を $P_{z=0}$ と書いたりする. また $\hat{P}_{z=0};=P_{z=}0\cup\{\infty\}$ と書く.のときと同様に, 中への同型写像 : $\pi_{1}(\Sigma_{g,n})arrow Conf(S^{3})$ が型を保つとは,
Conf$(S^{2})$の puncture |こ対応する元が3.1$\pi_{1}(\Sigma_{g,n})$$\varphi$$(0,3)$ -and $(0,4)$$\varphi$

によって parabolic without rotation に写されるときをいう.

-type groups in Conf$(S^{3})$の中で $(0,3)$ -type group (triangle group) は rigid であった. この事
Lemma 23 より, Conf
実は Confの部分群としても正しい. すなわち, 次が成り立っ :$(S^{2})$$(S^{3})$

Proposition 3.1 (groups of $(0,3)- type$ ). 型を保つ中への同型写像$Conf(S^{3})$$\phi$: $\pi_{1}(\Sigma_{0,3})=(b,$$c\rangle$$arrow$は共役により次の形にできる :$\phi(b)=B,$ $\phi(c)=C$ ;$B(x)=x+(2,0,0),$ $C(x)=JBJ(x)$ .

この群 $\langle B, C\rangle\subset Conf(S^{3})$ は $(B(\tau)=\tau+2, C(\tau)=\tau/(2\tau+1)\rangle$ $\subset Conf(S^{2})$ の Poincar\’e densionである.

Proof. 最初に Fix $(B)\neq Fix(C)$ に注意する. 実際 Fix $(B)=Fix(C)$ とすると 2 つの parabolicが rank-2 &ae であることに矛盾. 従って, 共役をwithout rotation $B,$ は可換となりは取ることで $B(x)=x+(2,0,0)$ かつ $C(O)=0$ としてよい. parabolic without rotaiton
$
B,$
は球
群
を向きを込めて不変にすることに注意すると,)\langleFix $(C)=0$ を通る全ての球面の $(0, 3)$ -tyPe group の正面
を向きを込めて不変にすることが分かる. 従って Conf$C$$\langle B, C\rangle$$C$$\cong S^{2}$$C$$\hat{P}_{z=0}=\hat{\mathbb{C}}$$(S^{2})$

規化の話に帰着して結論を得る.
次に,

Conf

$(S^{3})$口Confの $(0, 4)$ -tyPe grouP は.

$(S^{2})$の $(0, 4)$ -tyPegroup に共役であることを見る :Proposition 3.2 (groups of $(0,4)- type$)
を型を保つ中への同型写像とし, さらにが pambohc without rotation であるとする. このときある $p=(p, q,0)\in$が存在して,
は次のに共役である ::$\eta:\pi_{1}(\Sigma_{0,4})=\langle b, c, d\ranglearrow Conf(S^{3})$$\eta(d)$$P_{r=0}$$\eta$$\eta_{p}$$\pi_{1}(\Sigma_{0,4})arrow Conf(S^{3})$$\eta_{p}(b)=B,$$\eta_{p}(c)=C,\eta_{p}(d)=D_{p}$;$B(x)=x+(2,0,0),$ $C(x)=JBJ(x),$ $D_{p}(x)=C(x-p)+p$.
ここで群$H_{p}$$:=\langle B, C, D_{p}\rangle$

は $\mu=p+qi$ に関する群 $H_{\mu}=\langle B, C, D_{\mu}\rangle\subset Conf(S^{2})$ の Poincar\’e ez-

tension である. さらに $p=(p, q, 0)\in P_{r=0}$ は -軸に関する角度を除いて一意的である.
$P$

$\pi$

回転馬 : $(p, q, r)\mapsto(p, -q, -r)$

178
Pmof. $B=\eta(b),$ $C=\eta(c),$ $D=\eta(d)$ で生成される群 $(B, C, D)$ の部分群$(0, 3)$ -tyPe であることに注意する.

$\langle B, C\rangle,$$\langle B, D\rangle$がそれぞれここで共役を取ることで $B(x)=x+(2,0,0),$ $C(x)=JBJ(x)$とすると, 共役に関する残りの自由度は $x$ -軸に関する回転のみである. ここで $x$-軸に関する回転でFix $(D)=p\in P_{z=0}$ とでき,

この $P$ は $x$ -軸に関する角度

回転瑞 : $(p, q, r)rightarrow(p, -q, -r)$ を除いて一意的である. ここで $(0, 3)$ -tyPe groupを平行移動 $T_{p}(x)=x+p$ で共役を取ること
で $(0, 3)$ -type groupを得るが, Fix $(T_{p}^{-1}DT_{p})=0$ であることから Proposition 3.1の証明より $T_{p}^{-1}DT_{p}=C$ が成り立っ. 従って $D(x)=T_{p}CT_{p}^{-1}(x)=C(x-p)+p$ を得る.
口$\pi$$\langle B, D\rangle$$\langle B, T_{p}^{-1}DT_{p}\rangle$

任意の $p=(p, q, r)\in \mathbb{R}^{3}$ に対して, Proposition 3.2 のように $H_{p}=\langle B, C, D_{p}\rangle$ を定めると, これは $(0, 4)$ -tyPe group であり, -軸に関する回転による共役で群 $H_{p’}(p’=(p, \sqrt{q^{2}+r^{2}},0)\in P_{r=0})$$x$に共役である.

3.2$(1, 1)$ -tyPegroup in Conf$(S^{3})$

ここでは $(1, 1)$ -tyPe group の Conf $(S^{3})$ における変形空間が Conf $(S^{2})$ における変形空間より本.

質的に大きくなっていることを見る. 平面 $P_{z=0}$ や $P_{r=0}$ の点とこの同一視の元で, 平面$\mathbb{C}$の点を次のように同一視する :$P_{z=0}\ni x=(x,y,0)$$rightarrow$$\tau=x+iy\in \mathbb{C}$$P_{r=0}\ni p=(p,q,0)$$rightarrow$$\mu=p+iq\in \mathbb{C}$$P_{z=}0^{\underline{\simeq}}\mathbb{C}$Poincar\’e extension は,.

に作用している群 $G_{\mu}=(A_{\mu}(\tau)=1/\tau+\mu, B(\tau)=\tau+2$} の$G_{p}=(A_{p}, B\rangle; A_{p}(x)=\hat{J}J(x)+p,$$B(x)=x+(2,0,0)$と書ける. ただし $\hat{J}(x, y, z)=(x, -y, z)$ は平面 $P_{y=0}$ に関する inversion とする. ここでパラメー
タ $P$ をの中で動かしても, $B,$ $[A, B]$ が parabolic without rotation という性質が保たれること$\mathbb{R}^{3}$は容易に見ることが出来る. 逆に $G_{\mu}\subset Conf(S^{2})$ の Conf$(S^{3})$における変形はこの形に正規化される :Theorem 3.3 (groups of (1, $1)- type$ ).
を型を保つ中への同型写
が pambolic without mtation であるとする. このときある $P=(p,q, r)\in \mathbb{R}^{3}$
像とし, さらにが存在して,
は次のに共役である ::$\rho:\pi_{1}(\Sigma_{1,1})=\langle a, b\ranglearrow Conf(S^{3})$$\rho(b)$$\rho$$\rho_{\mu}$$\rho_{p}(a)=A_{p},$$\pi_{1}(\Sigma_{1,1})arrow Conf(S^{3})$$\rho_{p}(b)=B$;$A_{p}(x)=\hat{J}J(x)+p,$

さらに $p=(p, q, r)\in \mathbb{R}^{3}$ は p-軸に関する角度$\pi$$B(x)=x+(2,0,0)$.

回転馬: $(p, q, r)rightarrow(p, -q, -r)$ を除いて一意的である. 以下では $G_{p}=(A_{p},$ $B$ } と表す.

Proof. $\rho(a)=A,\rho(b)=B$ とおく. 最初に Fix$(A)\cap Fix(B)=\emptyset$に注意する. 実際,$Fix(B)$ とすると, $x\in Fix(ABA^{-1}B^{-1})=Fix([A, B])$ が成り立っ.

without rotation であるので $B$ と $[A, B]$ は可換となるが, これは群 ( $A,$
盾する.

$x\in Fix(A)\cap$

ここで $B,$ $[A, B]$ が parbolic$B\rangle$

が血 ee であることに矛179

従って, 共役を取って $B(\infty)=\infty,$ $A(O)=\infty$ とする. 残っている共役の自由度は 中心の拡大と $SO(3)$ の元による回転である. いま原点 中心の拡大による共役をとることで, $A$ の isometric
$0$

$0$

sphere の半径を 1 とする. このとき Lemma 2.1 より, ある $p,$て $A(x)=PJ(x)+p,$ $B(x)=x+u$ と書ける. ここで$u\in \mathbb{R}^{3}$$v\in \mathbb{R}^{3}$と $P\in(3)\backslash SO(3)$ が存在し方向の平行移動を $T_{v}(x)=x+v$と書くことにすると$A(x)=T_{p}PJ(x),$ $B(x)=T_{u}(x),$ $A^{-1}=JP^{-1}T_{-p}(x),$ $B^{-1}(x)=T_{-u}(x)$となる.

このとき $A^{-1}B^{-1}AB=A^{-1}B^{-1}[A, B]BA$ を計算すると$A^{-1}B^{-1}AB(x)$となる. ただし最後の等号は,$=$$JP^{-1}T_{-p}T_{-u}T_{p}PJT_{u}(x)$$=$$JP^{-1}T_{-u}PJT_{u}(x)$$=$$JT_{-P^{-1}(u)}JT_{u}(x)$が線形なので $P^{-1}T_{-u}P(x)=P^{-1}(P(x)-u)=x-P^{-1}(u)=$$T_{-P^{-1}(u)}(x)$ が成り立っことを用いた.
いま $SO(3)$ の元 $Q$ で共役を取ることで, 始めから
$P$

$P^{-1}(u)=(u, -v,0)$ ,$u=(u,v,0)$ ,$u,v\geq 0$の形をしているとしてよい. (実際,$Q\in SO(3)$ として $u,$ $P^{-1}(u)\in \mathbb{R}^{3}$ を $(u, v, 0),$ $(u, -v, 0)\in \mathbb{R}^{3}$にそれぞれ移すものを取ればよい.)

このとき $u,$ $P^{-1}(u)$ が平面 $P_{z=0}$ に含まれているので, 写像を不変にする. さらに $P_{z=0}\ni x=$$(x, y, 0)rightarrow\tau=x+iy\in \mathbb{C},$ $P_{z=0}\ni u=(u, v, 0)rightarrow\mu=u+iv\in \mathbb{C}$ の同一視のもとで, 写像$A^{-1}B^{-1}AB(x)=JT_{-P^{-1}(u)}JT_{u}(x)$はその形から球面$xrightarrow A^{-1}B^{-1}AB(x)=JT_{-p-\iota_{(u)}}JT_{u}(x)$は$\hat{P}_{z=0}$$\taurightarrow\frac{\tau+\mu}{-\mu\tau+1-\mu^{2}}$に対応し, その行列表現は$(\begin{array}{lll}l \mu -\mu 1- \mu^{2}\end{array})\in PSL_{2}(\mathbb{C})$となる. 従って $A^{-1}B^{-1}AB$ が parabohic である必要十分条件は ${\rm Re}\mu\geq 0$ より $\mu=2$ である. 従って $u=P^{-1}(u)=(2,0,0)$ を得る.

さてここで $u=P^{-1}(u)$ より, 上で取った $Q\in SO(3)$ の取り方にはさらに -軸に関する回転分$x$の自由度があることに注意する. いま -軸に関する角度の回転を烏 $\in SO(3)$ と書くことにする. いま $P\in O(3)\backslash SO(3)$ は -軸を固定するので, ある
と書け
が存在して
る. ここで任意の に対して,と $JR$ =&eJ が成り立つことを用いると$x$$\theta\in \mathbb{R}$$x$$P=R_{\varphi}\hat{J}$$\varphi\in \mathbb{R}$$\hat{J}R_{-\theta}=R_{\theta}\hat{J}$$\theta$$R_{\theta}AR_{\theta}^{-1}(x)=R_{\theta}(R_{\varphi}\hat{J}JR_{-\theta}(x)+p)=R_{\varphi}+2\theta\hat{J}J(x)+$を得る. 従って $\theta\equiv-\varphi/2(mod \pi)$ なる馬で共役をとり,
規化 $A(x)=\hat{J}J(x)+p,$ $B(x)=x+(2,0,0)$ を得る. 特にである.

五 $(p)$ ,$R_{\theta}(p)$$R_{\theta}BR_{\theta}^{-1}(x)=B(x)$を改めて $P$ とおけば, 求める正$p\in \mathbb{R}^{3}$は姦の作用を除いて一意的

ここで$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}=${$p=(p,q,r)\in \mathbb{R}^{3}|\rho_{p}$: faithful, discrete}

口

180

とおく.

このとき定義から$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\cap P_{r=0}=\mathcal{M}_{1,1}$と見ている.
が成り立っ. ただしに対して上のように $H_{p}=(B,$ $C,$
任意の$\mathcal{M}_{1,1}\subset \mathbb{C}\cong P_{r=0}$$p\in \mathbb{R}^{3}$$D_{p}\rangle$$C=A_{p}^{-1}BA_{p}$,と $G_{p}=\langle A_{p}, B\rangle$ を定めると,$D_{p}=A_{p}BA_{p}^{-1}$が成り立っので, 常に $H_{p}\subset G_{p}$ である. いま, 上と同じくゐ $\in SO(3)\subset Conf(S^{3})$ を -軸に関回転と定義する. さらに $\mathbb{C}\ni\mu=p+iqrightarrow p=(p, q, O)\in P_{r=0}$ の同一する角度視の元に $R_{\theta}(\mu):=R_{\theta}(p)=$ ($p,$ cos
sin ) と定める. このとき次が成り立っ :$x$$\theta\in S^{1}=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$$\theta,$$q$$\theta$$q$

Theorem 3.4.
$\bigcup_{\theta\in S^{1}}R_{\theta}(\{\mu\in \mathbb{C}||{\rm Im}\mu|\geq 2\})\subset\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\subset\bigcup_{\theta\in S^{1}}R_{\theta}(\mathcal{M}_{0,4})$

Pmof.

$P\in\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$とすると$p=R_{\theta}(\mu)$を満たすいる) ので$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$

一方で$G_{p}$$\mu\in \mathbb{C}$は disscrete であるが,を取ると$H_{p}\subset G_{p}$$H_{p}=R_{\theta}H_{\mu}R_{\theta}^{-1}$より$H_{p}$

も discrete である. ここでが成り立っ (ここで $H_{\mu}\subset Conf(S^{3})$ と見てを得る.

$P \in\bigcup_{\theta\in S^{1}}R_{\theta}(\{\mu\in \mathbb{C}||{\rm Im}\mu|\geq 2\})$ならば, Poincar\’e の多面体定理より$G_{p}$が discrete

であることが分かる.

3.3

口$q=0$ 平面

寡 $P_{q=0}=Rg(\mathcal{M}_{0,4})(Th\infty rem$
この節では $P\in P_{q=0}$ の場合を考える. ここでの目標はは球面を不変にすることに$3.6)$ を示すことである. いま, $P\in P_{q=0}$ のとき群$=\hat{J}J(x)+p$
注意する. ここであ\Leftarrow )は球面九 $=0$ の向きを入れ替える. いま, 平面九 $=0$ や $P_{q=0}$の点との点を次のように同一視する :$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$$\hat{P}_{y=0}$$G_{p}=\langle A_{p}, B\rangle$$\mathbb{C}$$P_{y=0}\ni x=(x,0,z)rightarrow\tau=x+iz\in \mathbb{C}$$P_{q=0}\ni p=(p,0,r)rightarrow\mu=p+ir\in \mathbb{C}$

このとき$G_{P}$の$\hat{P}\nu=0\cong\hat{\mathbb{C}}$への作用は$G_{\mu}=\langle E_{\mu},B\rangle$と書ける. ここで

$E_{\mu}$は.

,$\hat{\mathbb{C}}$;$E_{\mu}=\overline{\tau}\underline{1}+\mu,$$B(\tau)=\tau+2$の向きを変える等角写像であり,$E_{\mu}^{2}=A_{\mu}^{2}$が成り立っ. いまを向きを保つ元から成る位数 2 の部分群とすると$G_{\mu}’=\langle E_{\mu}^{2},$$E_{\mu}^{-1}BE_{\mu},$$B$)が成り立っ. 実際 $G_{\mu}’\subset Conf(S^{2})$ と $[G_{\mu} ; G_{\mu}’]=2$ がチェックできる. さらに$E_{\mu}^{-1}BE_{\mu}( \tau)=\frac{\tau}{2\tau+1}=C(\tau)$,$E_{\mu}BE_{\mu}^{-1}(\tau)=D_{\mu}(\tau)=C(\tau-\mu)+\mu$$G_{\mu}’\subset G_{\mu}$

181

が成り
を無限位数の部分群として含み,は $H_{\mu}=(B,$ $C,$が成り立っのでが discrete である必要十分条件
立っ. ここで Klein-Maskit combination theorem を用いると$G_{\mu}’=\langle H_{\mu}, E_{\mu}^{2}\rangle$$D_{\mu}\rangle$$G_{\mu}’$$G_{\mu}’$はが discrete であることを示すことが出来る.

$H_{\mu}$

これより Theorem 36 の主張を得るが, 後にTheorem 36 の拡張 (Theorem 3.7) の証明に用いることも考えて,
combination Theorem [10] (cf. [2]) を準備する :ここでは Conf $(S^{3})$ に関する

を $H$
Theorem 3.5 (Klein-Maskit combination Theorem II). $H\subset Conf(S^{3})$ を離散群,の部分群,, B2 C を dosed topological ball とする. さらに $A\in Conf(S^{3})$ とする. これらがは discrete で $G\cong H*A$ が成り立つ. ここで $H*A$ は $H$ の次の条件を満たすとき,による HNN-extension (cf. [1 ) である :$J_{1},$$J_{2}$$S^{3}$$B_{1}$$A$$G=\langle H, A\rangle$$OJ$(1) $i=1,2$ に対して
であり, 任意の$o_{i}$

は $(J_{i}, H)- inva\dot{n}ant$ である. すなわち任意の $h\in J_{1}$. に対して $h(B_{i}^{Q})=B_{i}^{o}$$h\in H\backslash J_{i}$に対して$h(B_{i}^{o})\cap B_{i}^{o}=\emptyset$(2) 任意の $h\in H$ に対して

$h(B_{1}^{o})\cap\dot{B}_{2}=\emptyset$$(S) S^{3}\backslash \bigcup_{h\in H}h(B_{1}\cup B_{2})$は開集合を含む.

(4)

$A$

は

$\partial B_{2}$

である.

.

Bl の内部から B2 の外部への同相写像である. すなわち$A(B_{1}^{b})\cap B_{2}^{l}=\emptyset$と $A(\theta B_{1})=$

が成り立っ.

(5) $J_{2}=AJ_{1}A^{-1}$ .
とがそれぞれ埋め込まれていて互いに交わらない
注:(1), (2) は $\Omega(H)/H$ の中にということを保証する. (3) は $\Omega(H)/H\backslash (B_{1}/J_{1}\cup B_{2}/J_{2})$ が内点を持つことを意味する. (4), (5)は $A$ に関する条件で, $\Omega(H)/H$ からを取り除いたときに出来る境界が $A$ の作用とによりうまく張り合わされることを保証する.
$B_{1}^{Q}/J_{1}$$B_{2}^{l}/J_{2}$$B_{1}^{Q}/J_{i}$Outline of proof.

$B_{2}^{Q}/J_{2}$$F= S^{3}\backslash \bigcup_{h\in H}h(B_{1}\cup B_{2})$は $H$-不変の開集合を含むので開集合 $\Omega\subset F$ を

: $H*Aarrow G=\langle H, A\rangle$ を自然な準同型とすると, 任意の$h(\Omega)\cap\Omega=\emptyset$となるように取る.

$g\in H*A\backslash \{id\}$に対して $\phi(g)(\Omega)\cap\Omega=\emptyset$ が言える. 従って$\phi$$\varphi$は同型で $G=H*A$ は離散的であることが分かる.

Theorem 3.6.

口$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\cap P_{q=0}=R_{\overline{2}}\cdot(\mathcal{M}_{0,4})$.

ここで $P_{q=0}=R_{7}n(\mathbb{C})$ に注意する.

Proof.

$p\in\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$

寡 $P_{q=0}$ ならば $p\in R_{l}*(\mathcal{M}_{0,4})$ であることは Theorem 34 より分かる.

逆に $p\in$とする. このとき $H_{p}=\langle B,C,D_{p}\rangle\subset G_{p}$ は discrete である. このときに $G_{p}=(H_{p},A_{p}\rangle$
も discrete になることを Klein-Maskit combination $th\infty rem$ II を用いて示す. いま$R_{7}\pi(\mathcal{M}_{0,4})$$B_{1}=\{(x,y, z)\in \mathbb{R}^{3}|z\leq 0\}\cup t\infty\})$$J_{1}=\langle B,C\rangle$,$B_{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|z\geq r\}\cup\{\infty\}$$J_{2}=\langle B,D_{p}\rangle$

182,
Thmrem 3.4 の条件を確認する (図 4 参照). いま
の
は
とすると,
への作用の Poincar\’e extension とみなせるので,条件 (1),(2), (3) はよい. さらに条件 (4) もよく, $C=A_{p}^{-1}BA_{p},$ $D_{p}=A_{p}BA_{p}^{-1}$ より条件 (5)も成り立つ. 従って Theorem 3.5 より
は discrete となり, さらに
より
は同型写像である. 以上より
口が示された.
:
とおき,$H=H_{p},$ $A=A_{p}$ に対して
$H_{p}$$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$$p=R_{\frac{\pi}{2}}(\mu)$$\hat{\mathbb{C}}\cong\hat{P}_{y=0}$$H_{\mu}$$J_{2}=A_{p}J_{1}A_{p}^{-1}$$G_{p}=\langle H_{p}, A_{p}\rangle$$c_{P}\underline{\simeq}H_{p}*A_{p}$3.4$\pi_{1}(\Sigma_{1,1})arrow G_{p}$$\rho_{p}$$P\in\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$

Bending deformations$Th\infty rem3.6$ より$P\in R_{7}\pi(\mathcal{M}_{0,4})$ならば$G_{p}$が discrete であるが,ここではある $\varphi_{0}>0$ が存在して, 離散性を保ったままの自然な変形 $\{G_{R_{\varphi}(p)}|-\varphi_{0}\leq\varphi\leq\varphi_{0}\}$ が可能であることを見る.

この変形は, 双曲 4 次元多様体 $H^{4}/G_{p}$ をその $totauyg\infty d\infty ic$ な 3 次元部分多様体に沿って bending

したものと見なせる.

Theorem 3.7. ある$\varphi 0\in(0, \frac{\pi}{2})$が存在して任意の$\theta\in[\frac{\pi}{2}-\varphi_{0}, \pi\pi+\varphi 0]$に対して$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\cap R_{\theta}(\mathbb{C})=R_{\theta}(\mathcal{M}_{0,4})$が成り立っ.

Proof.

$P\in\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\cap R_{\theta}(\mathbb{C})$$P\in R_{\theta}(\mathcal{M}_{0,4})$とを,$J_{1},$とする.

Combination

ならば

このとき

であることは Theorem 3.4 より分かる. 逆には discrete であるが, $G_{p}=\langle H_{p}, A_{p}\rangle$ も discrete になるこ

$P\in R_{\theta}(\mathcal{M}_{0,4})$$H_{p}$

を用いて示す. $p=(p,q,r)$ に対して Bl, B2 とを $Th\infty rem3.6$ の証明と同様に定める (図 4 参照) このとき $Th\infty rem3.5$ の条件 (4),$J_{2}\subset H_{p}$$Th\infty rem(Th\infty rem3.5)$(5) は同様に成り立っので, 条件 (1), (2), (3) が成り立つことを見る. ここで, あるが存在して $p=R_{\theta}(\mu)$ であるので, 群は球面島 (C) を不変にし, その作用は埼 (e)の同一視のもとにへの作用に等しい. さらに, この同一視の元で$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$$H_{p}$$\hat{\mathbb{C}}$$B_{1}’:=B_{1}\cap R_{\theta}(\hat{\mathbb{C}})$$H_{\mu}$$B_{2}’:=B_{2}\cap R_{\theta}(\hat{\mathbb{C}})$$\cong\hat{\mathbb{C}}$のとはそれぞれ $\{\tau\in \mathbb{C}|{\rm Im}(\tau)\leq 0\}\cup\{\infty\}$ と $\{\tau\in \mathbb{C}|{\rm Im}(\tau)\geq{\rm Im}(\mu)\}\cup t\infty\}$ に対応する. ここで, 群が $(J_{i}, H_{p})$ -invariant, かつ, 任意のへの作用に関して$h\in H_{p}$ に対して
寡が成り立つことに注意する.
$\theta\leq\pi/2$$\varphi=\pi/2-\theta$
以下ではとおく. ここで任意の $h\in H_{p}$ に対して島 (C) とと仮定し,$h(B_{i})$ の位置関係について考察する.
は 2 つの open 3-ball Dl, D2 から成る. ここでとして,の内角が $\pi/2+\varphi$ である方を取る. ここで, 一般にの中の 2 つの球の交わりに対して, その 2 つの面の交わる角度を $K_{1}\cap K_{2}$ の内部で測ったもの$K_{1}\cap
K_{2}$$\psi(0<\psi<\pi)$ をの内角ということにする. 任意の $h\in H_{p}$ に対して,
はを向き$h(D_{1}\cap
B_{1})=D_{1}\cap
h(B_{1})$を込めて不変にするのでが成り立ち,
は等角写像なので $D_{1}\cap h(B_{1})$の内角も $\pi/2+\varphi$ である. 同様に, $D_{1}\cap B_{2}$ の内角が $\pi/2-\varphi$ であり, 任意の $h\in H_{p}$ に対しても $D_{1}\cap h(B_{2})$ の内角は $\pi/2-\varphi$ である.
$H_{p}$$h(B_{1}^{o}’)$の球面馬$(\hat{C} )$$B_{i}’$$B_{2}^{o}’=\emptyset$$S^{3}\backslash R_{\theta}()$$S^{3}$$D_{1}\cap B_{1}$$D_{1}$$K_{1},$ $K_{2}$$K_{1}\cap K_{2}(\neq\emptyset)$$h$$R_{\theta}(\hat{\mathbb{C}})$$h$(1) ここで$B_{1}^{Q}$

が $(J_{1}, H_{p})$ -invariant であることを見る. (B2 が $(J_{2}, H_{p})$ -invariant であることも同様である.) まず, 任意の $h\in J_{1}$ に対して $h(B_{1}^{o})=B_{1}^{Q}$ }ま定義から明らかである. 次に任意の$h\in H\backslash J_{1}$ に対して $B_{1}^{o}\cap h(B_{1}^{o})=\emptyset$ を示す.
や $h(B_{1}^{Q})$ が埼に関して Dl の方にせり出し$B_{1}^{Q}$ているので,$(D_{1}\cap B_{1}^{l})\cap(D_{1}\cap h(B_{1}^{l}))=\emptyset$を示せばよい.

$(\hat{C})$

ここで $D_{1}\cap B_{1}^{Q}$ と $D_{1}\cap h(B_{1}^{9})$ それ

183

を 1 つの面に持つので, 下の lemma 3.8 よとそれの内角が $\pi/2+\varphi$ であり, それぞれ$(D_{1}\cap
B_{1})\cap(D_{1}\cap
h(B_{1}))=\emptyset$ が成り立っ.
ならば
り, ある
が存在して
であることは, やはり Dl に制限して考え(2) 次に, 任意の $h\in H_{p}$ に対して
れば, $D_{1}\cap h(B_{1})$ と $D_{1}\cap B_{2}$ のそれぞれの内角が $\pi/2+\varphi$ と $\pi/2-\varphi$ であることと, それぞれ$h(B_{1}^{o}’)$$B_{1}’$$\varphi<\varphi_{0}$$\varphi_{0}$$h(B_{1}^{o})\cap B_{2}^{o}=\emptyset$

が$h(B_{1}^{o}’)$と’$B_{2}^{o}$(3) 最後に$R_{\theta}(\hat{\mathbb{C}})$を 1 つの面に持つことから従う.
が開集合を含むことを示す.

このことは $h(B_{t})(i=1,2)$ が$S^{3}\backslash \bigcup_{h\in H_{P}}h(B_{1}\cup B_{2})$と交わり, その半径は $r/2$ 以下であることから明らかである.

口

図 4: $Th\infty rem3.6$ (左) と $3.7$ (右) の証明の説明図.
の $(0,3)$ -type subgroup ( $B,$
で不変な
の成
を考える.
$\dot{B}_{2}’:=\{\tau\in\mathbb{C}|{\rmIm}(\tau)>{\rmIm}(\mu)\}$分は $B_{1}’:=\{\tau\in \mathbb{C}|{\rm Im}(\tau)<0\}$ であり, ( $B,$
で不変な成分はである. $H^{3}/H_{\mu}$ の convex core の相対境界は 2 つの totally geodesic $(0,3)$ -surface を含み, それ
それは理想境界, $B_{2}’/(B, D_{\mu})$ と面している.

ここで$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$に対して$H_{\mu}$$\Omega(H_{\mu})$$C\rangle$$H_{\mu}$$D_{\mu}\rangle$$B_{1}^{b}’/(B,$ $C\rangle$

に対して,
の中
Lemma 3.8 (Basmajian [3]). ある緬 $>0$ が存在して, 任意ので \langle $B,$ )に対応する totally geodesic $(0,3)$ -surface は双曲距離に関する k0-近傍を持つ.
$H^{3}/H_{\mu}$$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$$C$$\Sigma$$\subset H_{\mu}$すなわち, 普遍被覆 $\pi:H^{3}arrow H^{3}/H_{\mu}$ に関する$\Sigma$の逆像$\pi^{-1}(\Sigma)$の各連結成分は互いに交わらない k0. 近傍を持っ.

と垂直に交わる半球面であり,の 1 つの連結成分 は, 理想境界
その -近傍の相対境界の 2 つの連結成分は, それぞれとで交において角度の対称性から, 上の主張は部分群 ( $B,$
わる塊界付き球面であることに注意する. また, 群に関する totally
surfaoe に関しても同様に成り立っ.

上の主張で$\partial H^{3}=\hat{\mathbb{C}}$$\tilde{\Sigma}$$\pi^{-1}(\Sigma)$$\tilde{\Sigma}$$k_{0}$$\partial H^{3}$$\varphi 0=\varphi_{0}(k_{0})$$D_{\mu}\rangle$$H_{\mu}$$g\infty d\infty ic$

Outline of$P$roof Basmajian [3] の結果はより一般の設定におけるものである. 証明は容易なのでここにアウトラインを述べる.

$\Sigma$の逆像$\pi^{-1}(\Sigma)\subset H^{3}$の 2 つの連結成分を$\tilde{\Sigma}$と$\tilde{\Sigma}’$とする. ここで,

184

ある $k_{0}>0$ が存在して$d_{H^{3}}(\Sigma^{\sim },\tilde{\Sigma}’)\geq k_{0}$となることを示したい. いま$\tilde{\Sigma}’$の$\tilde{\Sigma}$

へのnearest pointを考えると, 任意のに対してである. 従って
retraction の像$(\Delta)\leq
Area(\Sigma)$
この$k_{0}>0$であり, 求める$k_{0}>0$ はの存在が言える. 特に,の取Area$\Delta\subset\tilde{\Sigma}$$g\in Stab_{H_{\mu}}(\tilde{\Sigma})$$g(\Delta)\cap\Delta=\emptyset$$\mu\in \mathcal{M}_{0,4}$

り方に依らない.

3.5

口$p=0$ 平面

ここでは $p\in P_{p=0}$ の場合を考える.

この平面 $P_{p=0}$ と$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$の交わりは, 平面 $P_{r=0}$ や $P_{q=0}$ の場

合と異なり, その境界がフラクラル集合ではなく加算個の解析的曲練から成ることを見る $(Th\infty rem$$3.10)$.

Deflnition 3.9 (Ford region). Kleinian group$9(\infty)\neq\infty$$\Gamma\subset Conf(S^{3})$の任意の$g\in\Gamma\backslash \{id\}$が成り立っとき,Ford$( \Gamma):=\bigcap_{g\in\Gamma}E(g)$の基本領域となる. ここで $E(g)$ は の isometric sphere の外側, すなわちを の Ford domain と呼ぶ.
を含む連結成分である. この Ford

は群

に対して

$\Gamma$$g$$(\Gamma)$$S^{3}\backslash I(g)$となる必要十分条件は, 任意のTheorem 3.10. $p\in P_{p=0}$ とする. このときして radiとなることである. さらに radi $(I(A_{p}^{n}))=1$ となる必要十分条件はが pambolic となることである.
$P\in\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$$n\in \mathbb{Z}$$(I(A_{p}^{\mathfrak{n}}))\leq 1$

Pmof. $P\in P_{p=0}$ より$P_{x=0}$の$\infty$$\Gamma$は平面 $P_{x=0}$ を固定するので, 任意のに含まれることに注意する. 従って, radiに対$[A_{p}^{n}, B]$に対しての中心は平面$(I(A_{p}^{n}))\leq 1(\forall n\in \mathbb{Z})$ と仮定すると,の Ford($A_{p}$$n$$I(A_{p}^{\mathfrak{n}})$$A_{p}\rangle$

domainFordが $\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^{3}||x|\geq 1\}$ を含む.

$((A_{p} \rangle)=\bigcap_{\mathfrak{n}\in \mathbb{Z}}E(A_{p}^{n})$このとき Poincar\’e の多面体定理より Ford $((A_{p}))\cap\{(x, y, z)\in$

は discrete である.の基本領域となり
逆に, ある に対して radi $(I(A_{p}^{n}))>1$ と仮定すると, 下の Lemma 311 より
は $eUiptic$となる. この元の order が無限ならば non-discrete になり, 有限ならばは free group でなくな
る. いずれにしてもである.

$\mathbb{R}^{3}||x|\leq 1\}$

が $G_{p}=(A_{p},$$B\rangle$$G_{p}$$n$$[A_{p}^{\mathfrak{n}}, B]$$G_{p}$$p\not\in\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$radi$(I(A_{p}^{n}))=1\Leftrightarrow[A_{p}^{n}, B]$: parabolic, も下の lemma から従う.

口Lemma 3.11. $f\in Conf(S^{3})$ は $loXodmmiC$ で $f(\infty)\neq\infty$ かっ球面
を向きを込めて固定するとする. また $B(x)=x+(2,0,0)$ とする. このとき $[f, B]$ が loxodromic, parabolic without
rotation, elliptic となる必要十分条件はそれぞれ radi $(I(f))<1,$ $=1,$ $>1$ である.
$\hat{P}_{x=0}$

Pmof.

$f^{-1}(\infty)$と$f\langle\infty$) は平面凡$=0$ に含まれることに注意する. ここで平面 $P_{x=0}$ を保つ平行移動で共役をとって $f^{-1}(\infty)=0$ としてよい. また $u=f(\infty)$ とおく. このとき $I(f)$ の中心は $0,$ $I(f^{-1})$の中心は $u$ である. ここで $e_{1}=(1,0,0)$ とおくとき, ある $P\in O(3)\backslash SO(3)$ s.t. $P(e_{1})=e_{1}$が存在して $f(x)=PJ_{I(f)}(x)+u$ と書ける. これは$P_{x=0}\cong \mathbb{C}$の同一視の元で $f\in Conf(S^{3})$185

は $f(\tau)=\lambda/\tau+\mu$ の形の Conf $(S^{2})$ の元の Poincar\’e extension であることから分かる.

ここで$r=radiI(f)$ とおく.
まず $r=1$ の場合を考える (図 5 参照). このとき, 球面 $S_{1}:=B(I(f^{-1}))$ の外側は $[f, B]=$は $B^{-1}$ で $I(f^{-1})$$fBf^{-1}B^{-1}$ によって中心の内側に移される. 実際
半径 の球面は $u+e_{1}$とに移る. ここでに, 次に $f^{-1}$ で $I(f)$ に, 次に $B$ で $B(I(f))$ に, 最後に $f$ で$u+ \frac{3}{4}e_{1}$$S_{1}$$S_{2}$$\frac{1}{4}$$S_{1}$$S_{2}$

において接しており,$S_{2}$

さらに, この点における $[f, B]$ の微分が id
この場合 $[f, B]$ は parabolic without rotation である.

$[f, B]$ は点 $u+e_{1}$ を固定する.

であることもわかるので,とが交わらないので $[f, B]$ は loxodromic となり, $r>1$ の同様に考えて $r<1$ のときはときは $[f, B]$ は円周の各点を固定するので elliptic となる.
$S_{1}$$S_{2}$$\square$$S_{1}\cap S_{2}$

図 5: Lemma 311 の証明の $r=1$ の場合の説明. 図は z. 軸方向から眺めたもの.

平面 $P_{x=0}$ や $P_{p=0}$ の点と$\mathbb{C}$の点を次のように同一視する :$P_{x=0}\ni x=(0,y,z)$$rightarrow$$\tau=y+iz\in \mathbb{C}$,$P_{p=0}\ni p=(0,q,r)$$rightarrow$$\mu=q+ir\in \mathbb{C}$.

このとき $A_{p}(x)=\hat{J}J(x)+p$ の平面 $P_{x=0}$ への制限は $A_{\mu}( \tau)=-\frac{1}{\tau}+\mu$ となり, その行列表示は$A_{\mu}=(\begin{array}{ll}\mu 1-1 0\end{array})$

となる.

ここで

$(A_{\mu})^{\mathfrak{n}}=(\begin{array}{ll}a_{n} b_{n}c_{\hslash} d_{\mathfrak{n}}\end{array})$と書くとき,$I(A_{\mu}^{n})$の半径は$\cap*1$

中心は$-0_{\hslash}4$

である.

ここで

$(\begin{array}{ll}a_{n+l} b_{n+l}c_{n+l} d_{n+l}\end{array})=(\begin{array}{ll}\mu 1-l 0\end{array})(\begin{array}{ll}a_{n} b_{\mathfrak{n}}c_{n} d_{n}\end{array})=(\begin{array}{ll}\mu a_{n}-c_{n} \mu b_{n}-d_{n}a_{n} b_{\mathfrak{n}}\end{array})$

186

より $a_{n+1}=\mu a_{n}-c_{n},$ $c_{n+1}=a_{n}$ が成り立っ.
$c_{1}=1,$$c_{2}=\mu,$という漸化式を得る. 特にら $=c_{n}(\mu)$ は

である.

$\mu$

これより

$c_{n+2}=\mu c_{n+1}-c_{n}(n\in N)$

に関する monic な $(n-1)$ -次多項式である. 具体的には,$c_{3}$$=$$\mu^{2}-1$$c_{4}$$=$$\mu^{3}-2\mu$$c_{6}$$=$$\mu^{4}-3\mu^{2}+1$,,$\cdot$..

$Th\infty rem3.10$ より$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\cap P_{p=0}=\{\mu\in \mathbb{C}||c_{n}(\mu)|\geq 1(\forall n\in \mathbb{Z})\}$

である. ただしここで $P_{p-0}$ とたい. 最後に図 10 に群$G_{p}$$\mathbb{C}$を同一視している. この領域の境界の様子は図 6, 7 を参照されの様子を表すコンピュータ画像を載せた.

の hmit set $\Lambda(G_{p})$図 6: $n=2,3,4,10$ の場合の $|c_{n}(\mu)|=1$ となる集合. ラベルしてないものは $n=10$ に対応.

図 7: $|c_{n}(\mu)|\leq 1$ となる領域を $2\leq n\leq 20$ まで重ね合わせたもの. 重なりが多いほど色を濃くし
ている.

187

図 8:

$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$と平面 $P_{p=0},$$P_{q}\triangleleft {}_{-}P_{r=0}$

図 9: 山下靖氏 (奈良女子大) による数値実験的な$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$との交わり.

の絵. non-discrete の方から近似している.

188$(p.q, r)_{-}-(0, 2 0)$$(p, q, r)=(- 0.1,1.8,0.1)$$\gamma$

図 10:
ある.

$(p, q, r)=(0, l. 9,0.04)$$(p, q, r)=(0.2,1,0.5)$$(p, q, r)=(- O.2,0.3,0.8)$$(p, q, r)=(O, 0, 1)$$\Lambda(G_{p})$のコンピュータグラフィックス. l-imit set の点は$z$の値に応じて明るさを変えて189

Appendix4(torsion のある場合)$p=(p, 0,0),$ $p>2$ に対して次のような 6 面体 (図 11 参照)$\mathcal{D}_{p}=\{x=(x, y,z)\in \mathbb{R}^{3}||x|\leq 1/\sqrt{2},$ $|z|\leq 1/\sqrt{2},$ $|x|\geq 1,$を取り, その対面の張り合わせ写像から生成される Conf
$K_{p}=\langle A_{p}, B, C\rangle$;$(S^{3})$$|x-p|\geq 1\}$(2)の離散部分群$A_{p}(x)=\hat{J}J(x)+p,$ $B(x)=x+(\sqrt{2},0,0),$ $C(x)=x+(0,0, \sqrt{2})$(3)の Confにおける変形空間を考えたい. その準備として, まを考える. この節ではこの群の中のクラインと同型な Confず
angle $\pi(=2\pi/2)$ の特異点を 1 つ持つトーラス
は抽象群 $\langle a, b|[a, b]^{2}=id\rangle$ に同型である.
の基本群群を考える. ここで orbifold$(S^{3})$$K_{p}$$\Sigma_{1,0;2}$$\omega ne$$(S^{3})$$\pi_{1}(\Sigma_{1,0;2})$$\Sigma_{1,0_{j}2}$

図 11: 基本領域$\mathcal{D}$($p=4$ の場合)

$b|[a, b]^{2}=id$ ) $arrow Conf(S^{3})$ を中:が pambolic without rotation であるとする. このときある $P=$への同型写像とし, さらにに共役である :が存在して,
は次を満たす:Theorem 4.1 (groups of (1, $0;2)- type$ ).

$\rho$$\pi_{1}(\Sigma_{1,0;2})=\langle a,$$\rho(b)$$(p, q, r)\in \mathbb{R}^{3}$$\rho_{p}(a)=A_{p},$$\rho$$\rho_{p}(b)=B$$\rho_{p}$;$\pi_{1}(\Sigma_{1,0;2})arrow Conf(S^{3})$$A_{p}(x)=\hat{J}J(x)+p,$

さらに $p=(p, q,r)\in \mathbb{R}^{3}$ は -軸に関する角度
$P$

$\pi$

$B(x)=x+(\sqrt{2},0,0)$.

回転馬を除いて一意的である.

Prvof 証明は $Th\infty rem3.1$ と同様である. ただし, $A=\rho(a),$ $B=\rho(b)$ に対して Fix $(A)\cap Fix(B)=$を示すのに, もう少し丁寧に議論する必要がある. いま Fix $(A)\cap Fix(B)\neq\emptyset$ と仮定する. 共役を取って $\infty\in Fix(A)\cap Fix(B)$ とすると, Lemma 2.1 より $A(x)=\lambda P(x)+u,$ $B(x)=x+v$ の形$\emptyset$に書ける. このとき計算から $[A, B](x)=x+\lambda P(v)-v$ となるので. $[A, B]$ は parabolic without
rotation であり, かつ $[A, B](\infty)=\infty$ が成り立っ. 従って $B$ と $[A, B]$ は可換となるが, これは群

( $A,$$B\rangle$

が ( $a,$ $b|[a, b]^{2}=id\rangle$ に同型であることに矛盾する.

以下は $Th\infty rem3.1$ と同様に考えると,$A^{-1}B^{-1}AB$ に $PSL_{2}(\mathbb{C})$ の元$(\begin{array}{lll}1 \mu -\mu 1- \mu^{2}\end{array})$190が対応し, 条件 $[A, B]^{2}=id$ より $\mu=\sqrt{2}$ が分かる. 従って求める正規化を得る.
ここで (3) で与えたクライン群 $K_{p}=\langle A_{p}, B, C\rangle\subset Conf(S^{3})$ において,without rotaiton であり, 部分群と$B,$ $C$

は $(1, 0; 2)$ -tyPe で,

口は可換な parabolic

は $(1, 1)-$
部分群であることに注意する
.
逆に
tyPe
Theorem41 を用いるとこのような群は次のように特徴付けら$\langle A_{p}, B\rangle$$\langle A_{p}, C\rangle$$\langle A_{p}, BC\rangle$

れる :Theorem 4.2. 抽象群 $g=\langle a, b, c|[a, b]^{2}=[a, c]^{2}=[b, c]=id\rangle$ から Confの中への同型写像$\psi([a, bc])$ が pammbolic udthout mtation であるとする.
: $garrow Conf(S^{3})$ において
このときあるが一意的に存在して,は次を満たすに共役である ::$(S^{3})$$\psi(b),$ $\psi(c),$$\psi$$p\in \mathbb{R}^{3}$$\psi$$\psi_{p}$$\psi_{p}(a)=A_{p},$$\mathfrak{g}arrow Conf(S^{3})$$\psi_{p}(b)=B,$ $\psi_{p}(c)=C$;$A_{p}(x)=\hat{J}J(x)+p,$ $B(x)=x+(\sqrt{2},0,0),$ $C(x)=x+(O,0, \sqrt{2})$Proof. まず$\mathfrak{g}$の部分群 $\langle a, b|[a, b]^{2}=id\rangle$ に注目すると,て $\psi(a)=A_{p},$ $\psi(b)=B$ としてよい.

るので $C(\infty)=\infty$ となる. いま

4.1 と $Th\infty rem3.3$ より
$B$

$C$

$A_{p}$$Th\infty rem4.1$

よりある.
$p\in \mathbb{R}^{3}$が存在しこのとき $C=\psi(c)$ は $B$ と可換な parabolic rotation であの isometric sphere を半径 1 に正規化しているので $Th\infty rem$は長さ而の平行移動であり, $BC$ は長さ 2 の平行移動である. 従っては一意的に決まることも分かる.
口と $C$ の平行移動の方向は直交する. また,$P$

ここで次のように定める :$\mathcal{N}=${$p=(p,q,$$r)\in \mathbb{R}^{3}|\psi_{p}$: faithful, discrete}.

このとき Poincar\’e の多面体定理より次が言える :Lemma 4.3. $N\supset\{p=(p, q,r)\in \mathbb{R}^{3}||p|\geq 2\}$ .
の Confの変形空間 $N$ は,部分群スライスとして含んでいると思われる. これを次に予想の形で書く. いま,群に,$K_{p}$$K_{p}$$\mu\in \mathbb{C}$に対して$\rho_{\mu}$$\langle A_{p}, B\rangle,$$\langle A_{p}, BC\rangle$: $\pi_{1}(\Sigma_{1,0;2})=\langle a, b|[a, b]^{2}=id\ranglearrow Conf(S^{2})$ を$A_{\mu}(\tau)=1/\tau+\mu,$ $B(\tau)=\tau+\sqrt{2}$$(S^{2})$での変形空間をのときと同様$\mathcal{M}_{1,1}$$\rho_{\mu}(a)=A_{\mu},$$\rho_{\mu}(b)=B$,と定め$\mathcal{M}_{1,0;2}=$

とおく.

$\langle A_{p}, C\rangle,${$\mu\in \mathbb{C}|\rho_{\mu}$とみて, それを: discrete, faithful}-軸に関して胴転したものをと書く.
またを -軸に関して 回転したものをと書く. このとき,が平$(0,\sqrt{2}m,\sqrt{2}n)$
行移動に関して不変であることを考え合わせると, 次が成り立っと予想される :$\mathcal{M}_{1,0;2}\subset P_{r=0}\subset \mathbb{R}^{3}$$\mathcal{M}_{1,1}\subset P_{r=0}\subset \mathbb{R}^{3}$$q$$\frac{\pi}{4}$$q$$R_{E,2}(\mathcal{M}_{1,0;2})$$\mathcal{N}$$R_{l}\pi(\mathcal{M}_{1,1})$Conjecture 4.4.

.

$\mathcal{N}\supset\bigcup_{m1n\in Z}(0, \sqrt{2}m, \sqrt{2}n)+(\mathcal{M}_{1,0;2}\cup R_{\pi/2}(\mathcal{M}_{1,0;2})\cup I/4(\mathcal{M}_{1,1}))$

191

は
の軌道から
の不連続領域について考える. まず,
次にの極限集合
は連結である. 次に $A_{p}^{-1}BA_{p}=$なる連結, 単連結な成分を持つことに注意する. これより
$K_{p}$$\Omega(K_{p})$$K_{p}$$\Lambda(K_{p})$$\mathcal{D}_{p}$$\Lambda(K_{p})$$JBJ,$ $A_{p}^{-1}CA_{p}=JCJ$ であることに注意すると$L:=\langle B, C, JBJ, JCJ\rangle\subset K_{p}$が成り立つ. ここで $L\subset Conf(S^{3})$ は球面で生成される Conf$(S^{2})$の部分群 $L’$$B(r)=\tau+\sqrt{2}$,$\hat{P}_{y=0}$を不変にし 9$:=\langle B, C,\overline{B},\overline{C}\rangle$$C(\tau)=\tau+i\sqrt{2}$,$\hat{P}_{p=0}\cong\hat{\mathbb{C}}$の Poincar\’eの同一視の元に, 次の元

extension である :$\overline{B}(\tau)=\frac{\tau}{\sqrt{2}\tau+1}$,$\overline{C}(\tau)=\frac{\tau}{i\sqrt{2}\tau+1}$

.

に持つので
この群 $L’\subset Conf(S^{2})$ は, 頂点が全て理想境界 にある正 8 面体を基本領域の内部 ( $y<0$ の領域) は第一種クライン群であり, 従って $\Lambda(L)=\hat{P}_{y=0}$ である. また球面$(K_{p}, L)$ -invariant であることも分かる.
の軌道より成る 「雪だるま」
これよりは球面$(\subset H^{3})$$\hat{\mathbb{C}}$$\Lambda(L)$$\Lambda(K_{p})$$\Lambda(L)$状の連結な集合である (図 13 参照).

図 12: $N$ の (境界の) 数値実験的な描画の試み :の中で parabolic に変形可能であろう word を推測し, その「pleated ray もどき」 を描かせた. ここでは quaternion mlgebra を用いた parabolic
element の特徴付け (cf. Kido [7]) を用いている. 底辺の正方形の範囲は $0\leq p,q\leq\sqrt{2}$ である.
$\mathcal{N}$

参考文献[1] K. Ahara and Y. Araki. Cloesification of Ideal Regular Sphairahedra. Meiji Institute forMathematical Science Report No. 022004, June 2, 2004.
[2] B. N. Apanasov. Conformal geometry of discrete groups and manifolds. de Gruyter Expositions in Mathematics, 32. Walter de Gruyter&Co., Berlin, 2000.

192

図 13:

$\Lambda(K_{p})$のコンピュータグラフィックス.

[3] A. Basmajian. Tubular neighborhoods of totally
manifolds. Invent. Math. 117 (1994), no. 2, 207-225.

$g\infty d\infty ic$

hypersurfaces in hyperbolic[4] A. F. Beardon. The $g\infty metry$ of discrete groups. (English summary) Corrected reprintof the 1983 original. Graduate Texts in Mathematics, 91. Springer-Verlag, New York,1995.
[5] W. Cao, J. Parker and X. Wang. On the classification of quaternionic Mobius transformations. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 137 (2004)

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[8] I. Kra. Horocyclic coordinates for Riemann surfaces and moduli spaces. I. Teichmuller
and Riemann spaces of Kleinian groups. J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 3, 499-578.

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8pace of punctured tori. Topology 32 (1993), no. 4, 719-749.
[10] B. Maskit. Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fund&mental Principles of Mathematical Sciences], 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
[11] S. Matsumoto. Foundations of flat conformal structure. Aspects of low-dimensional manifolds, 167-261, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokyo, 1992.