数理解析研究所講究録 1243 巻 2002 年 30-44

30
Privalov 空間の準同型
信州大学理学部

真次康夫 (Yasuo Matsugu)
植木誠一郎 (Sei-ichiro Ueki)

Faculty of Science, Shinshu University

1Introduction$B\equiv B_{n}$を$\mathbb{C}^{n}$

Lebesgue 測度,$S$化したものを表す.

の単位球,$S\equiv\partial B$

を単位球面とする.

上の Euclid 測度であり, $\nu(B)=1,$$\alpha\in(-1, \infty)$$\nu,$$\sigma$はそれそれ$\sigma(S)=1$$\mathbb{C}^{n}$上のとなるように正規に対し, $c_{\alpha}=\Gamma(n+\alpha+1)/\{\Gamma(n+1)\Gamma(\alpha+1)\}$ ,$d\nu_{\alpha}(z)=c_{\alpha}(1-|z|^{2})^{\alpha}\nu(z)(z\in B)$と置く. ここで,$\Gamma$はガンマ関数である. この時,$\nu_{\alpha}$

は $B$ 上の正値 Borel 測度であり, $\nu_{\alpha}(B)=1$ である. $H(B)$ は $B$ 上の正則関数の全体を表す.
$p\in(1, \infty)$

に対し, $B$ 上の Privalov 空間 $N^{p}(B)$ を次のように定義する:$N^{p}(B)=\{f\in H(B)$: $\sup_{0<r<1}\int_{S}\{\log(1+|f_{r}|)\}^{p}d\sigma<\infty\}$ .

但し, $f_{r}(\zeta)=f(r\zeta)(0<r<1, \zeta\in S)$ である. $B$ 上の Ne

a 空間 $N(B)$ , Smirnovm

族 $N^{*}(B)$ を次のよ’ うに定義する:$N(B)=\{f\in H(B)$ : $\sup_{0<r<1}\int_{S}\log(1+|f_{r}|)d\sigma$$f\in N(B)$に対し, $S$ のほとんど全ての点$N^{*}(B)=\{f\in N(B)$$p\in[1, \infty),$ $\alpha\in(-1, \infty)$$\zeta$で$f^{*}(\zeta)\cdot\equiv \mathrm{h}.\mathrm{m}f_{r}(\zeta)r\uparrow 1$

く }.
が存在する.

: $\lim_{r\uparrow 1}\int_{S}\log(1+|f_{r}|)d\sigma=\int_{S}\log(1+|f^{*}|)d\sigma\}$ .

に対し, $B$ 上の荷重 Bergman-Pri

擦 v 空間$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$のように定義する:$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})=\{f\in H(B)$:$\int_{B}\{1.\mathrm{o}\mathrm{g}(1+|f|)\}^{p}$$d\nu\text{。}<\infty\}$

便宜上, $N^{1}(B)\equiv N^{*}(B),$ $(AN)^{p}(\nu_{-1})\equiv N^{p}(B)(1\leq p<\infty)$ と置く.

.

を次

31
各 $p\in[1, \infty),$ $\alpha\in[-1, \infty)$ に対し, $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ 上の$||$. ||p,。’

を次のよう (こ定$d_{p,\alpha}(\cdot, \cdot)$

義する:$||f||_{p,\alpha}=\{[\int s\{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+|f^{*}|)\}^{p}d\sigma]^{\frac{1}{p}}[\int_{B}\{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+|f|)\}^{p}d\nu_{\alpha}]^{\frac{1}{\mathrm{p}}}$$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{f}$$\alpha=-1-1<\alpha’<\infty$.
$(f_{\dot{J}}g\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha}))$$d_{p,\alpha}(f, g)=||f-g||_{p,\alpha}$

この時,$||\cdot||_{p,\alpha}$.

は次の 5 つの条件を満たす(i) 各 $f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ に対して, $0\leq||f||_{p,\alpha}<\infty$ .
(ii) $||f||_{p,\alpha}=0$ となるのは $B$ 上で $f=0$ の時に限る.
(iii) $f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha}),$$\lambda\in \mathbb{C}$に対して,$\min\{1, |\lambda|\}||f||_{p,\alpha}\leq||\lambda f||_{p,\alpha}\leq\max\{1, |\lambda|\}||f||_{p,\alpha}$が成り立つ.

(iv)$||f+g||_{p,\alpha}\leq||f||_{p,\alpha}+||g||_{p,\alpha}$(v)$||f\cdot g||_{p,\alpha}\leq||f||_{p,\alpha}+||g||_{p,\alpha}$$||\cdot||_{p,\alpha}$のこの性質により$(f, g\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha}))$$(f,g\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha}))$$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ラー乗法は何れも連続である. 従って$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$.

$(1 \leq p<\infty, -1\leq\alpha<\infty)$

して閉じており, 従って algebra をなす. また,て不変な距離になる. この距離に関して.

は $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ 上の平行移動に関し$d_{p,\alpha}$$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$t よ加法, 乗法 \sim こ関

は完備であり, その加法, 乗法, スカ$((AN)^{p}(\nu_{\alpha}), d_{p,\alpha})$は $F$ -mlgebra をなす.

さら \sim こ,における収束は $B$ 上の広義一様収束を導く.

Privalov 空間 $N^{p}(B_{1})$ は I. I. Privalov [8] の中で最初 e こ考察された関数空間であり, その性質については M. Sto 垣 [13], A. V. Subbotin [15] 等で論じられて 1 る. また, 1 次元
は M. Stoll [13] の中で最初 \sim こ導入 れ論じの場合の Bergman-Privalov 空間 AN$($$)^{1}(\nu)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$られたものである.

2Notations and Preliminaries$B$から $B$ の上への両正則写像の全体を $Aut(B)$ で表す. 各 $a\in B$ こ対し,生成される線型部分空間を $[a]$ で表す. P。を$\mathbb{C}^{n}$(こよってから $[a]$ の上への直交射影とする. $a=0$

め時, $P_{0}=0$ であり, $a\neq 0$ の時,$P_{a}(z)= \frac{\langle z,a\rangle}{\langle a,a\rangle}a$$a$$(z\in \mathbb{C}^{n})$32と表現される. さらに写像 \mbox{\boldmath $\varphi$}。を次のように定義する:$(z\in B)$$\varphi_{a}(z)=\frac{a-P_{a}(z)-\sqrt{1-|a|^{2}}(z-P_{a}(z))}{1-\langle z,a\rangle}$.

この時, \mbox{\boldmath $\varphi$}。について次のことが成立する ([10]Theorem 2.2.2, Theorem 22.6):

Lemma 1. 各 $a\in B$ に対し,
(i)$\varphi_{a}(0)=a,$ $\varphi_{a}(a)=0$

(\"u)

.

$\varphi_{a}\in Aut(B),$(iv)$(J_{\mathrm{R}} \varphi_{a})(z)=(\frac{1-|a|^{2}}{|1-\langle z,a\rangle|^{2}})^{n\dagger 1}$

但し,$(J_{\mathrm{R}}\varphi_{a})(z)$は$z$$\text{か^{}\sim}\supset\varphi_{a^{-1}}=\varphi_{a}$.

.

(i\"u)$\varphi$$(z\in B)$$1-| \varphi_{a}(z)|^{2}=\frac{(1-|a|^{2})(1-|z|^{2})}{|1-\langle z,a\rangle|^{2}}$$(z\in B)$.

における \mbox{\boldmath $\varphi$}。の実ヤコビアンである.

を $B$ から $B$ への単葉な正則写像とする.

$z\in B$

に対し,$\Omega_{\varphi}(z)$を次のように定義

する:$\Omega_{\varphi}(z)=\frac{||\varphi’(z)||^{2}}{|J_{\varphi}(z)|^{2}}$但し,$\varphi’(z)$$J_{\varphi}(z)$

は

$z$

にお} る
$\mathrm{e}$は $z$ におけるLemma 2.

$\varphi$$\varphi$$\varphi$の微分であり,$||\varphi’(z)||$は.
$\varphi’(z)$の作用素ノルムである. また,の複素ヤコビアンである. 次は容易に示される:

は $B$ から $B$ への単葉な正則写像で, $\sup_{w\in\varphi(B)}||(\varphi^{-1})’(w)||<\infty$ を満たすものと仮定する. この時,$\sup_{z\in B}$\Omega ,(z)<o 科が成り立つ.
$\psi$

を$\lim_{tarrow\infty}$

ような関数$\underline{\psi(t}1=\infty$$t$$\psi$

を満たす$\mathrm{R}$上の 2 回微分可能非負非減少な凸関数とする. このに対し, Hardy-Orlicz 空間 $H_{\psi}(B)$ , 荷重 Bergman-Orlicz 空間$A\psi(\nu_{\alpha})$を$A_{\psi}(\nu_{\alpha})$は次のように定義する:$H_{\psi}(B)=\{f\in H(B)$: $\sup_{0<r<1}\int_{S}\psi(\log|f_{r}|)d\sigma<\infty\}$ ,$A_{\psi}(\nu_{\alpha})=\{f\in H(B)$: $\int_{B}\psi(\log|f|)d\nu_{\alpha}<\infty\}$ .

$\psi(t)=\{\log(1+e^{t})\}^{p}$$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$$(1 <p<\infty)$ の時,である. これらの $H_{\psi}(B)$ , A や$(\nu_{\alpha})$$H_{\psi}(B)$は $N^{p}(B)$ であり,は次のように特徴づけられる:33
Lemma 3($\mathrm{C}$. Ouyang-J. Riihentaus [7]).

$f\in H(B)\backslash \{0\}$に対し, 次は $f\in H_{\psi}(B)$である為の必要十分条件である:$\int_{B}\psi’’(\log|f(z)|)\frac{|(\nabla f)(z)|^{2}}{|f(z)|^{2}}(1-|z|^{2})d\nu(z)<\infty$

但し,$|( \nabla f)(z)|^{2}=\sum_{j=1}^{n}|_{\partial z_{j}}^{\lrcorner\partial}(z)|^{2}$

.

である.

Lemma 4([4]). $-1<\alpha<\infty$ とする. $f\in H(B)\backslash \{0\}$ に対し, 次は$f\in A_{\psi}(\nu_{\alpha})$である為の必要十分条件である:$\int_{B}\psi’’(\log|f(z)|)\frac{|(\mathcal{R}f)(z)|^{2}}{|z|^{2}|f(z)|^{2}}.(1-|z|^{2})^{2}d\nu_{\alpha}(z)<\infty$但し,$( \mathcal{R}f)(z)=\sum_{j=1}^{n}z_{j_{\partial z_{j}}}^{\lrcorner\partial}(z)$特に $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$である.

$(-1<\alpha<\infty, 1\leq p<\infty)$については次のことが成り立つ:

Lemma 5([5]). $-1<\alpha<\infty,$ $1\leq p<\infty$ とする.
$f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$$\tilde{\Delta}$に対し, 次は$f\in H(B)\backslash \{0\}$である為の必要十分条件である:$\int_{B}\overline{\Delta}(\{\log(1+|f|)\}^{p})$ $d\nu\text{。}<\infty$

但し,

.

.

は $B$ 上の Bergman 計量に関する Laplacian である.

Lemma 6([10]Theorem 6.6.5).

$T$$H^{\infty}$(B)- から$H(B)$ への乗法的線型写像とする.

は $T(A(B))\supset\neq \mathbb{C}$ を満たすものとする.

ここで,$A(B)=C(\overline{B})\cap H(B)$$T$

を $B$ 上の有界正則関数の全体は超球環である. この時, $B$ から $B$ への正則写像$\varphi$が存在し, $T$は次の形で与えられる:$T(f)=f\circ\varphi$$(f\in H^{\infty}(B))$.

次は Lemma 1 等を用いて簡単な計算により示される:

Lemma 7. $1\leq p\leq q<\infty,$ $-1\leq\alpha<\infty$ とする. $\varphi\in Aut(B)$ に対して,は有界である.
成作用素:$C_{\varphi}$による合$(AN)^{q}(\nu_{\alpha})rightarrow(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$Lemma 8([14]Theorem 6.5). $f\in N(B)$ に対し,
次が成立する:$\varphi$$S$

上の正値 Borel 測度

$\mu$

が存在し,

34
(i)

$(z\in B)$$\log(1+|f(z)|)\leq P[\mu](\approx)$

但し, $P[\mu]$ は

$\mu$

.

の Po 可 on 積分である:

P 同 (z) $= \int_{S}P(z, \zeta)d\mu(\zeta)$ ,(\"u)$|| \mu||=\sup_{0<r<1}\int_{S}\log(1+|f_{r}|)d\sigma$$P(z, \zeta)=\frac{(1-|z|^{2})^{n}}{|1-\langle z,\zeta\rangle|^{2n}}$.

.

特に $f\in N^{*}(B)$ の場合は, $||\mu||=||f||_{N^{*}(B)}$ である.

3Main Results
次の Theorem 1, Theorem 2, Coro 垣$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$1 は一変数の結果 [6, 9, 16] の多変数版である:

Theorem 1. $1\leq p<\infty,$ $-1\leq\alpha<\infty$ とする.
い (すなわち$\gamma\not\equiv 0$$\gamma$を $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ 上の連続な自明でな) 乗法的線型汎関数とする. この時, $B$ の点 $w$ が存在して$\gamma(f)=f(w)$$\gamma$は$(f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha}))$を満たす.

Proof.

$\mathbb{C}^{n}$の座標関数を $\pi_{j}(1\leq j\leq n)$ とすると各に対しアヮj$=\gamma(\pi_{j})$$\pi_{j}$は $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ に属する. このとし, $w=(w_{1}, \ldots,w_{n})$ と置くと $w$ は$\mathbb{C}^{n}$$\pi_{j}$の点である.

まず, 任意の多項式 $f$ に対して,(1)$\gamma(f)=f(w)$が成り立つことを証明する. $f$ は$\mathbb{C}^{n}$における多項式であるから$\pi j$を用いて$f= \sum_{\alpha\in \mathrm{Z}_{+}^{h}}c_{\alpha}\pi_{1}^{\alpha_{1}}\cdot\pi_{2}^{\alpha_{2}}\cdots\pi_{n}^{\alpha_{n}}$と表される. 但し,$\{c_{\alpha}\}_{\alpha\in \mathrm{Z}_{+}^{n}}\subset \mathbb{C}$は有限個を除いて 0 である.

$\gamma$あるから,$\gamma(f)=\sum_{\alpha\in \mathrm{Z}_{+}^{\mathfrak{n}}}c_{\alpha}\gamma(\pi_{1})^{\alpha_{1}}\cdot\gamma(\pi_{2})^{\alpha_{2}}\cdots\gamma(\pi_{n})^{\alpha_{n}}$$= \sum_{\alpha\in \mathrm{Z}_{+}^{n}}c_{\alpha}w_{1}^{\alpha_{1}}\cdot w_{2}^{\alpha_{2}}\cdots w_{n}^{\alpha_{\mathfrak{n}}}$$= \sum_{\alpha\in \mathrm{Z}_{+}^{*}}.c_{\alpha}w^{\alpha}$$=f(w)$ .

は乗法的線型汎関数で35ゆえに (1) が成り立つ.

次に $w\in B$ であることを証明する. 仮に $w\not\in B$ とすると次の 3 条件を満たす$\mathbb{C}^{n}$における多項式 $f$ が存在する:(i)$|f|<1$ in(ii)$f(\zeta)=1$(iii)$f(w)\geq 1$$\overline{B}\backslash \{\zeta\}$.

.
.

但し, $\zeta=\frac{1}{|w|}w\in S$ である.

この $f$ に対して, $f_{j}=f^{j}(j\in \mathrm{N})$と置くと各あり, $B$ 上で$0\leq\{\log(1+|f_{j}|)\}^{p}\leq(\log 2)^{p}$$(j\in \mathbb{N})$$f_{j}$

も多項式で,$\lim_{jarrow\infty}\{\log(1+|f_{j}|)\}^{p}=0$を満たす. 従って, Lebesgue 収束定理により$\lim_{jarrow\infty}\int_{B}\{\log(1+|f_{j}|)\}^{p}d\nu_{\alpha}=0$が成り立つ. ゆえに$\lim_{jarrow\infty}||f_{j}||_{p,\alpha}=0$である. この時,$\gamma$の連続性により(2)$\lim_{jarrow\infty}\gamma(f_{j})=0$

が従う.

他方, 各

$f_{j}$

は多項式であるから (1) が成立するので$f_{j}$$\gamma(f_{j})=f_{j}(w)=\{f(w)\}^{j}$$f$の決め方より,$(j\in \mathrm{N})$.

の取り方より $f(w)\geq 1$ であるから,$\gamma(f_{j})\geq 1$

となる.

(3)

$(j\in \mathrm{N})$(2) と (3) は矛盾する. ゆえに $w\in B$ でなけれぱならない.

最後に各 $f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ に対して,$\gamma(f)=f(w)$が成り立つことを証明する.

$\mathbb{C}^{n}$における多項式全体は $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ にお 1 て稠密であるから, 各 $f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$ に対して, ある多項式列$\{f_{j}\}_{j\in \mathrm{N}}$$\lim_{jarrow\infty}||f_{j}-f||_{p,\alpha}=0$が存在して,

(4)

36
を満たす.

$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$$\lim_{jarrow\infty}fj=f$における収束は $B$ 上の広義一様収束を導くので (4) にょり

は $B$ 上で広義一様収束である. 従って, $B$ の各点で収束するので, 特に点 $w$

において収束する. すなわち,(5)$\lim_{jarrow\infty}f_{j}(w)=f(w)$が成り立つ. 各$f_{j}$

は多項式であるから (1) 1 こより$\gamma(f_{j})=f_{j}(w)$が成り立つ. さらに$\gamma$(6)$(j\in \mathrm{N})$の連続性と (4) により(7)$.\mathrm{b}\gamma(f_{j})=\gamma(f)$$\simarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$が従う. (5) $\sim(7)$ により$\gamma(f)=f(w)$が成り立つ.

口Theorem 2. $1\leq p<\infty,$ $1\leq q<\infty,$ $-1\leq\alpha<\infty$ とする.
$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$$B$

への連続な環準同型とし,から $B$ への正則写像$\varphi$が存在し,$\Gamma((AN)^{q}(\nu_{\alpha}))\neq \mathbb{C}\supset$$\Gamma$$H^{\infty}(B)$

仮に

在して,

$\overline{\Gamma}$

をから $H(B)$ への環準同型写像になる.

$\tilde{\Gamma}(A(B))=\mathbb{C}$$\Gamma(f)$と仮定すると,して $A(B)$ に属する関数列$\{fj\}j\in \mathrm{N}$$\tilde{\Gamma}(A(B))=\mathbb{C}$$\tilde{\Gamma}$.

の $H^{\infty}(B)$ への制限写像とすると,は$\tilde{\Gamma}(A(B))\neq\supset \mathbb{C}$$(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$$\tilde{\Gamma}$はを満たすことを示す.

によりある $f\in(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$ が存において稠密であるから, この $f$ に対が存在して,\sim l\rightar ow im科
が成り立つ. 金,$\Gamma$$\Gamma((AN)^{q}(\nu_{\alpha}))\neq\supset \mathbb{C}$は非定数である. $A(B)$ はを満たすものとする. この時,$(f\in(AN)^{q}(\nu_{\alpha}))$であるから$H^{\infty}(B)\subset(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$を $(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$ からは次の形で与えられる:$\Gamma(f)=f\mathrm{o}\varphi$

Proof.

$\Gamma$(1)$||f_{j}-f||_{q,\alpha}=0$であるから, 各$j\in \mathrm{N}$に対して$\tilde{\Gamma}(fj)$は定数関数であり,従って, ある複素数 9 が存在して,$\Gamma(f_{j})=\tilde{\Gamma}(f_{j})\equiv c_{j}$を満たす.

$\Gamma$の連続性と (1) により$\lim_{jarrow\infty}||\Gamma(f_{j})-\Gamma(f)||_{p,\alpha}=0$

(2)

37
であるから, (2) と合わせると,$\lim_{jarrow\infty}||c_{j}-\Gamma(f)||_{p,\alpha}=0$が成り立つ.

$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$における収束は $B$ 上の広義一様収束を導くから,は $B$ 上で広義一様収束し, 従って $B$ の各点で収束する.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} 1\mathrm{i}c_{j}=\Gamma(f)(w)$であり, 特に $w=0$ として\Gamma (f)(w)=\sim l\rightarrow im 科
すなわち,$\Gamma(f)$が成立する.

$\overline{\Gamma}$.

は $H^{\infty}(B)$ から $H(B)$ への環準同型写像であり,は$\Gamma$$\varphi$$\overline{\Gamma}(A(B))\supset\neq \mathbb{C}$$\tilde{\Gamma}(A(B))\neq\supset \mathbb{C}$を満たすが存在して,$(f\in H^{\infty}(B))$$\overline{\Gamma}(f)=f\circ\varphi$$\tilde{\Gamma}$であるからは定数関数である. このことは $f$ の取り方に反する. よってので, Lemma 6 により, $B$ から $B$ への正則写像が成立する.

ゆえに各 $w\in B$ に対して$\simarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} c_{j}=\Gamma(f)(0)$$c_{j}=\Gamma(f)(0)$$\lim_{jarrow\infty}c_{j}=\Gamma(f)$の $H^{\infty}(B)$ への制限写像であったから, 各 $f\in H^{\infty}(B)$ に対して,(3)$\Gamma(f)=f\circ\varphi$

である.

最後に各 $f\in(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$ に対して,$\Gamma(f)=f\circ\varphi$が成り立つことを証明する.
$(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$

$H$ “

(B) は

$(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$に対して $H^{\infty}(B)$ に属する関数列において稠密であるから, 各 $f\in$$\{f_{j}\}_{j\in \mathrm{N}}$が存在し,$\lim_{jarrow\infty}||f_{j}-f||_{q,\alpha}=0$(4)$\lim_{jarrow\infty}f_{j}=f$(5)を満たす. 従って,は $B$ 上の各点収束である. また,$\Gamma$の連続性と (4) により(6)$\lim_{jarrow\infty}\Gamma(f_{j})=\Gamma(f)$は $B$ 上の各点収束であることがわかる. さらに各

$j\in \mathrm{N}$に対して, $f_{j}\in H^{\infty}(B)$ である

から (3) により$\Gamma(f_{j})=f_{j}\circ\varphi$$(j\in \mathrm{N})$

(7)

38
が成り立つ. (5) $\sim(7)$ により $B$ 上の各点$\Gamma(f)$

$z$

で,

(z)=\sim l\rightarrow im 科$\Gamma(f_{j})(z)$$= \lim_{jarrow\infty}(f_{j}\mathrm{o}\varphi)(z)$$=(f\mathrm{o}\varphi)(z)$.
口CoroUary 1. $1\leq p<\infty,$ $1\leq q<\infty,$ $-1\leq\alpha<\infty$ とする.
$(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$$\Gamma$を $(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$ からの上への連続な同型写像とするとき, 次が成立する:(i) $\varphi\in Aut(B)$ が存在し,$\Gamma$は$\Gamma(f)=f\circ\varphi$$(f\in(AN)^{q}(\nu_{\alpha}))$を満たす.

00 $p=q$ .
Proof. (i) は Theorem 2 から従う.

(\"u) を示す為にまず, $p<q$ とする. W. Rudin[10], p.140, Theorem 738 及び, J. H. Shapiro [12], p.246, Corollary 25 にょり$f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha})\backslash (AN)^{q}(\nu_{\alpha})$$(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$である関数 $f$ が存在する.

$f\in(AN)^{p}(\nu_{\alpha}),$$\Gamma^{-1}(f)\in$であり,$f=\Gamma(\Gamma^{-1}(f))=\Gamma^{-1}(f)\circ\varphi$となる.

$\varphi\in Aut(B)$$f\not\in(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$$p\leq q$であるから, Lemma 7 にょり $f\in(AN)^{q}(\nu_{\alpha})$ である. これはに反する. ゆえに $p\geq q$ でなければならない. 今の議論と同様にしてが示される. 従って, $p=q$ であることがわかる.

次の Theorem 3 で仮定する$\varphi$

口の条件は Cowen-MacCluer[2]Theorem 3.41 で取り上げられている:

Theorem 3. $1\leq p<\infty,$ $-1\leq\alpha<\infty$ とする.

$\varphi$

あり, $\sup\Omega_{\varphi}(z)<\infty$ を満たすものとする. この時,は $B$ から $B$ への単葉な正則写像で$C_{\varphi}$: $(AN)^{p}(\nu_{\alpha})arrow(AN)^{p}(\nu_{\alpha})$$z\in B$は有界である.

Proof. 先ず, $\alpha=-1,0\in\varphi(B)$ の場合を考える.
時,$\psi$$a=\varphi^{-1}(0),$$\psi=\varphi\circ$\mbox{\boldmath $\varphi$}。と置く.

このは $B$ から $B$ への単葉な正則写像で $\psi(0)=0$ である. Schwarz の補題にょり$|\psi(z)|\leq|z|$$(z\in B)$

(1)

39
が成り立つ. また,$\sup_{z\in B}\Omega_{\psi}(z)\leq\sup_{z\in B}\Omega_{\varphi}(z)\cdot\sup_{z\in B}\Omega_{\varphi_{a}}(z)$であり, 仮定より$\sup_{z\in B}\Omega_{\varphi}(z)<\infty$

Lemma 2\ddagger,$\text{り}$$\sup_{z\in B}\Omega_{\varphi_{a}}(z)<\infty$

であるから

(2)

$K \equiv\sup_{z\in B}\Omega_{\psi}(z)<\infty$となる.

各 $f\in N^{p}(B)\backslash \{0\}$ に対し, $f\circ\psi\in H(B)\backslash \{0\}$ であり,$|\nabla(f\mathrm{o}\psi)(z)|^{2}\leq n|(\nabla f)0\psi(z)|^{2}||\psi’(z)||^{2}$$(z\in B)$(3)が成り立つ. (1), (2), (3) により$\int_{B}\chi’’(\log|(f.0\psi)(z)|)\frac{|\nabla(f\mathrm{o}\psi)(z)|^{2}}{|(f\mathrm{o}\psi)(z)|^{2}}(1-|z|^{2})d\nu(z)$$\leq\int_{B}\chi’’(\log|f(\psi(z))|)\frac{n|(\nabla f)(\psi(z))|^{2}||\psi’(z)||^{2}}{|f(\psi(z))|^{2}}(1^{\cdot}-|\psi(z)|^{2})d\nu(z)$$=n \int_{B}\chi’’(\log|f(\psi(z))|)\frac{|(\nabla f)(\psi(z))|^{2}}{|f(\psi(z))|^{2}}(1-|\psi(z)|^{2})\Omega_{\psi}(z)|J_{\psi}(z)|^{2}d\nu(z)$$\leq nK\int_{B}\chi’’(\log|f(\psi(z))|)\frac{|(\nabla f)(\psi(z))|^{2}}{|f(\psi(z))|^{2}}(1-|\psi(z)|^{2})|J_{\psi}(z)|^{2}d\nu(z)$$\leq nK\int_{B}\chi’’(\log|f(w)|)\frac{|(\nabla f)(w)|^{2}}{|f(w)|^{2}}(1-|w|^{2})|d\nu(w)$が成立する. 但し, $\chi(t)=\{\log(1+e^{t})\}^{p}$$f\in N^{p}(B)$$(t\in \mathbb{R})$である.

であるから Lemma 3 より$\int_{B}\chi’’(\log|f(w)|)\frac{|(\nabla f)(w)|^{2}}{|f(w)|^{2}}(1-|w|^{2})d\nu(z)<\infty$

である.

(4)

(5)

(4), (5) 及び Lemma 3 により $f\circ\psi\in N^{p}(B)$ であることが従う. $\varphi_{a}\in Aut(B)$であるから Lemma 7 より $f\circ\psi\circ\varphi_{a}\in N^{p}(B)$ である. すなわち $f\circ\varphi\in N^{p}(B)$ である.
$\varphi$による合成写像

ことにより,$C_{\varphi}$$C_{\varphi}$は $N^{p}(B)$ から $N^{p}(B)$ への線型写像となり, 閉グラフ定理を用いる: $N^{p}(B)arrow N^{p}(B)$ は有界であることが示される.

40
の場合は,

$\mathrm{O}\not\in\varphi(B)$により$f\in N^{p}(B)$$\psi=\varphi_{b}\circ\varphi$$(b=\varphi(0))$

に対し, $f\circ\psi\in N^{p}(B)$ が従う.

であり, $\varphi_{b}\in Aut(B)$ であるから Lemma 7 よりけ$f\circ\varphi=$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$:$\circ\varphi_{b}$)と置$\circ\cdot\psi\in N^{p}(B)$$1\mathrm{e}$$\psi$

ば $0\in\psi(B)$ である.

の決め方より$f\mathrm{o}\varphi_{b}\in N^{p}(B)$である. このことから$\mathrm{O}\in\varphi(B)$$\varphi=\varphi_{b}0\psi$

である.

の場合と同様にしての時は, Lemma 4 及ひ, Lemma 5 を用いて $\alpha=-1$ の時とほぼ同様にして示される.

口

次は単位円板上の定理$([1]\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}4.1)$を単位球 $B$ 上で考察したものである:

Theorem 4. $1\leq p<\infty,$ $1\leq q<\infty,$ $-1<\alpha<\infty$ とする.

$\varphi$

を $B$ から $B$ への正則写像とする.
$\varphi$が$\sup_{0<r<1,\eta\in S}\int_{S}(\frac{1-|\varphi(r\zeta)|^{2}}{|1-\langle\varphi(r\zeta),\eta\rangle|^{2}})^{np}d\sigma(\zeta)<\infty$を満たす時》次が成立する:(i)$||f\mathrm{o}\varphi||_{N^{p}(B)}\leq K||f||_{N(B)}$$(f\in H(B))$ .

但し,$K \equiv\sup_{0<r<1,\eta\in S}[\int_{S}(\frac{1-|\varphi(r\zeta)|^{2}}{|1-\langle\varphi(r\zeta),\eta\rangle|^{2}})^{np}d\sigma(\zeta)]\frac{1}{p}$

(ii)

(iii)
(iv)

(b)

従って,

珂 $(B)arrow N^{p}(B)$ は有界であることが示される.

$-1<\alpha<\infty$

(a)

上記

$\varphi$$C_{\varphi}(N(B))\subset N^{p}(B)$$C_{\varphi}$$C_{\varphi}$.

.

: $N(B)arrow N^{p}(B)$ は連続である.
: $N^{q}(B)arrow N^{p}(B)$ は有界である.

が$\sup_{w\in B}\int_{B}(\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{p(n+1+\alpha)}d\nu_{\alpha}(z)<\infty$を満たす時, 次が成立する:(i)$||f\mathrm{o}\varphi||_{(AN)^{p}(\nu_{\alpha})}\leq K||f||_{(AN)^{1}(\nu_{\alpha})}$$(f\in H(B))$ .

但し,$K \equiv\sup_{w\in B}[\int_{B}(\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{p(n+1+\alpha)}d\nu_{\alpha}(z)]p[perp]$(\"u)$C_{\varphi}$:$(AN)^{q}(\nu_{\alpha})arrow(AN)^{p}(\nu_{\alpha})|\mathrm{h}\text{有界て}.\text{ある}$

.

.

41
Proof. (a) を証明する. $f\in N(B)$ に対し, Lemma 8 により$S$

上の正値 Borel 測度

$\mu$

が

存在し, 次が成立する:$\log(1+|f(z)|)\leq P[\mu](z)$$(z\in B)$

,

(1)

.

(2)

$|| \mu||=\sup_{0<r<1}\int_{S}\log(1+|f_{r}|)d\sigma$

各 $r\in(0,1)$ に対し, (1) により.

$\int_{S}\{\log(1+|(f\mathrm{o}\varphi)(r\zeta)|)\}^{p}d\sigma(\zeta)\leq\int_{S}\{P[\mu](\varphi(r\zeta))\}^{p}d\sigma(\zeta)$(3)

ここで》 H\"older の不等式 (こより$\{P[\mu](\varphi(r\zeta))\}^{p}=[\int_{S}P(\varphi(r\zeta), \eta)d\mu(\eta)]^{p}$$\leq\int_{S}\{P(\varphi(r\zeta), \eta)\}^{p}d\mu(\eta)\cdot||\mu||^{p-1}$(4)が成立する. (2), (3), (4) により$\int_{S}\{\log(1+|(f\mathrm{o}\varphi)_{r}(\zeta)|)\}^{p}d\sigma(\zeta)$$\leq[\sup_{0<r<1}\int_{S}\log(1+|f_{r}|)d\sigma]^{p-1}\cdot\int_{S}\{P(\varphi(r\zeta), \eta)\}^{p}d\mu(\eta)$$\leq K^{p}||f||_{N(B)}^{p-1}\cdot||\mu||$$=K^{p}||f||_{N(B)}^{p}$.

従って, (i) が成り立つ. (ii), (iii) は (i) から従う. また, $1\leq q<\infty$ であるから H\"older の不等式により $||f||_{N(B)}\leq||f||_{N^{q}(B)}$ が成立するから (i) により,$||f\circ\varphi||_{N^{\mathrm{p}}(B)}\leq K||f||_{N^{q}(B)}$である. この不等式により$C_{\varphi}$$(f\in N^{q}(B))$: $N^{q}(B)arrow N^{p}(B)$ は連続であるから (iv) が従う.

次に (b) を示す. $f\in H(B)$ に対し, $\log(1+|f|)$ ?よ $B$ 上の M-劣調和関数であるから,$z\in B$に対し,$\log(1+|f(z)|)\leq\int_{B}\log(1+|(f\mathrm{o}\varphi_{z})(w)|)d\nu_{\alpha}(w)$が成立する. Lemma 1 により$(J_{\mathrm{R}} \varphi_{z})(w)\cdot(1-|\varphi_{z}(w.)|^{2})^{\alpha}=(\frac{1-|z|^{2}}{|1-\langle z,w\rangle|^{2}})^{n+1+\alpha}(1-|w|^{2})^{\alpha}$

(5)

42
であるから,$\int_{B}\log(1+|(f\circ\varphi_{z})(w)|)d\nu_{\alpha}(w)$$=c_{\alpha} \int_{B}\log(1+|f(\varphi_{z}(w))|)(1-|w|^{2})^{\alpha}d\nu(w)$$=c_{\alpha} \int_{B}\log(1+|f(w)|)(J_{\mathrm{R}}\varphi_{z})(w)\cdot(1-|\varphi_{z}(w)|^{2})^{\alpha}d\nu(w)$$=c_{\alpha} \int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|z|^{2}}{|1-\langle z,w\rangle|^{2}})^{n+1+\alpha}(1-|w|^{2})^{\alpha}d\nu(w)$(6)$= \int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|z|^{2}}{|1-\langle z,w\rangle|^{2}})^{n+1+\alpha}d\nu_{\alpha}(w)$が成立する. (5), (6) より$\log(1+|f(z)|)\leq\int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|z|^{2}}{|1-\langle z,w\rangle|^{2}})^{n+1+\alpha}d\nu_{\alpha}(w)$が成り立つ.

$\varphi(z)\in B$$(z\in B)$であるから (7) により$\int_{B}\{\log(1+|(f\mathrm{o}\varphi)(z)|)\}^{p}d\nu_{\alpha}(z)$$\leq\int_{B}[\int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{n+1+\alpha}d\nu_{\alpha}(w)]^{p}d\nu_{\alpha}(z)$である. H\"older の不等式により$[ \int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{n+1+\alpha}d\nu_{\alpha}(w)]^{p}$$\leq\int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{p(n+1+\alpha)}d\nu_{\alpha}(w)$$\cross[\int_{B}\log(1+|f(w)|)d\nu_{\alpha}(w)]^{p-1}$

(7)

43
となる. 従って,$\int_{B}\{\log(1+|(f\circ\varphi)(z)|)\}^{p}d\nu_{\alpha}(_{\sim}^{\gamma})$$\leq[\int_{B}\log(1+|f(w)|)d\nu_{\alpha}(w)]^{p-1}$$\cross\int_{B}d\nu_{\alpha}(z)\int_{B}\log(1+|f(w)|)(\frac{1-|\varphi(z)|^{\underline{9}}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{p(n+1+\alpha)}d\nu_{\alpha}(w)$$=[ \int_{B}\log(1+|f(w)|)d\nu_{\alpha}(w)]^{p-1}$$\cross\int_{B}\log(1+|f(w)|)d\nu_{\alpha}(w)\int_{B}(\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{|1-\langle\varphi(z),w\rangle|^{2}})^{p(n+1+\alpha)}d\nu_{\alpha}(z)$$\leq K^{p}||f||_{(AN)^{1}}^{p}$(’\mbox{\boldmath $\alpha$}、が成り立つ. これより (i) が従う. (ii) は (a) の (iv) と同様にして示される.

口

References[1] J. S. Choa and H. O. Kim. Composition operators between Nevanlinna-type
spaces. J. Math. Anal. Appl., Vol. 257, . $378-402$ , 2001.
[2] Carl C. Cowen and Barbara D. MacCluer. Composition Operators on Spaces of$\mathrm{p}\dot{\mathrm{p}}$Analytic Functions. CRC Press, 1994.
[3] B. D. MacCluer and J. H. Shapiro. Angular derivatives and compact composition
operators on the Hrady and Bergman spaces. Can. J. Math., Vol. 38, pp. 878-906,

1986.
[4] Y. lVIatsugu and J. lVIiyazawa. Acharacterization of weighted Bergman-Orlicz
spaces on the unit ball of . preprint.
[5] Y. Matsugu and J. Miyazawa. Acharacterization of weighted Bergman-Privalov
spaces on the unit ball of . preprint.
. Proc.
and[6] N. Mochizuki. Algebras of holomorphic functions between$\mathbb{C}^{n}$$\mathbb{C}^{n}$$H^{p}$$N_{*}$

Amer. Math. Soc., Vol. 105, pp. 898-902, 1989.
.
[7] C. Ouyang and J. Riihentaus. Characterizations of Hardy-Orlicz spaces on
Math. Scand., Vol. 80, pp. 25-40, 19.97.
[8] I. I. Privalov. Boundary Properties of Singled-Valued Analytic Functiones. Izd.
Moskov. Univ., Moscow, 1941. in Russian.
$\mathbb{C}^{n}$44[9] J. W. Roberts and M. Stoll. Prime and principal ideals in the algebra$N^{+}$. Arch.

Math., Vol. 27, pp. 387-393, 1976.
[10] W. Rudin. Function Theory in the Unit Ball of$\mathbb{C}^{n}$. Springer-Verlag, New York,

Heidelberg, Berlin, 1980.
[11] W. Rudin. Functional Analysis. McGraw-Hill, New York, second edition, 1991.
[12] J. H. Shapiro. Zeros of functions in weighted Bergman spaces. Michigan Math.
, げ 1. 24, pp. 243-256,1977.
[13] M. Stoll. Mean growth and Taylor coefficients of some topological algebras ofanalytic functions. Ann. Polon. Math., Vol. 35, pp. 139-158, 1977.
[14] M. Stoll. Invariant Potential Theory in the Unit of Ball of . Cambridge Univ.
Press, 1994.
[15] A. V. Subbotin. Functional properties of Privalov spaces of holomorphk nctions
in several variables. Math. Notes., VO1. 65, pp. 230-237, 1999.
[16] N. Yanagihara and Y. Nakamura Composition operators on the class. $TRU$
Math., Vol. 14, pp. 9-16, 1978.
$J.$$\mathbb{C}^{n}$$\mathrm{m}^{l}$$N^{+}$