数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 50-5450

シュプリンガー多様体の$T^{\ell}$

大阪市立大学-同変コホモロジー環

阿部拓

Hiraku Abe
Osaka City University
大阪市立大学 堀口 達也
Tatsuya Horiguchi
Osaka City University1序文

本稿では，[1] の主結果とその証明の概略について述べる． 型シュプリンガー多様体 @ (以下，の表現と関係がある．ここに，の部分多様体で，対称群する) は旗多様体 Flags

$A$

$A$

$n$のヤング図形を表す．実際，シュプリンガーはコホモロジー群 H構成し，この最高次数$H^{top}(@_{\lambda}; \mathbb{C})$

上の表現が対称群$S_{n}$

型は省略$\lambda=(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{\ell})$$s_{n}$$(\mathbb{C}^{n})$の総数が$\lambda$の$\lambda$$*$$(@\lambda;\mathbb{C})$上に対称群$s_{n}$

は箱の表現をに対応する既約表現であることを見出した ([4],[5]). つまり，シュプリンガー多様体は表現論と関係がある興味深い対象である．そこで，シュプリンガー多様体のトポロジーを研究することは自然なことであろう．例えば，シュプリンガー多様体のコホモロジー環の表
示は多項式環を谷崎イデアルと呼ばれるイデアルで割った形で与えられる ([6]). 我々の目標はシュプリンガー多様体の T -同変コホモロジー環の表示を多項式環を谷崎イデアルの同変版で割った形として与えることであ$\ell$る ([1]). 我々の手法は [6] で扱われた手法を用いる．

2 シュプリンガー多様体のコホモロジー環
幕零作用素$N:\mathbb{C}^{n}arrow \mathbb{C}^{n}$を与えると，シュプリンガー多様体$s_{N}$

は旗多様体$Fla9^{S(\mathbb{C}^{n})}$の代数的部分多様体として次のように定義される．
$s_{N}=$ $\{V.$

ここに，琉は$\dim_{\mathbb{C}}V_{i}=i$$\in Flags(\mathbb{C}^{n})|NV_{i}\subseteq V_{i-1}$であるような旗多様体の元

for all $1\leq i\leq n\}$$0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset\cdots\subset V_{n-1}\subset V_{n}=\mathbb{C}^{n}$を表す．また，

任意の $g\in GL_{n}(\mathbb{C})$ に対して，次の代数多様体としての同型 (つまり同相) が成立 :$s_{N}\cong s_{gNg}-1;[x]\mapsto[gx]$ここに， $[x]$ は Flags$(\mathbb{C}^{n})$を $GL_{n}(\mathbb{C})/B$ ( $B$ は$GL_{n}(\mathbb{C})$のボレル部分群) とみたときの $x\in GL_{n}(\mathbb{C})$ を代表元とする同値類を表す．したがって，特に $N$ がジョルダン標準形であるものとして考えてよい．そこで，以下ではシュプリンガー多様体を@$\lambda$$:=$ $\{V.$$\in Flags(\mathbb{C}^{n})|N_{0}V_{i}\subseteq V_{i-1}$for all $1\leq i\leq n\}$51で表すことにする．ここに，幕零行列はジョルダンブロックのサイズ$N_{0}$$(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{\ell})$が広義単調減少であるようなジョルダン標準形であるとする．

次に，旗多様体 Flags
ホモロジーの係数は$\mathbb{Z}$とシュプリンガー多様体 @ のコホモロジー環の表示について述べる．以下，コ$(\mathbb{C}^{n})$$\lambda$とする．旗多様体 Flags$(\mathbb{C}^{n})$のコホモロジー環の表示は次の Borel の表示が良く知られている :$H^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n}))\cong \mathbb{Z}[x_{1}, .

ここに， は$I$

次の基本対称式 $e_{d}(x_{1}, \ldots, x_{n})$$d$一方，包含写像$S_{\lambda}\subseteq Flags(\mathbb{C}^{n})$.

.

, x_{n}]/I$.

(1)で生成されるイデアノレである．

$(1\leq d\leq n)$が導く射影$\rho_{\lambda}:H^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n}))arrow H^{*}(@_{\lambda})$は [2] により全射であることが知られている．したがって，シュプリンガー多様体 @ のコホモロジー環の表示$\lambda$

は (1) の表示においてさらに関係式を加えて得られる．
定理 1 ([6]) 環として次の同型が成立 :$H^{*}(S_{\lambda})\cong \mathbb{Z}[x_{1}, .

ここに，$I_{\lambda}$

は変数を$x_{i_{1}}$,...,$x_{i_{s}}$とする$d$.

次の基本対称式

こで，$1\leq s\leq n,$ $1\leq i_{1}<\cdots<i_{s}\leq n,$ $d\geq s+1-p_{\lambda}(s)$列目以降にあるすべての箱の総数を表す．

$I_{\lambda}$

注意$1I\subseteq I_{\lambda}$である．実際$\mathcal{S}=n$.

(2), x_{n}]/I_{\lambda}$で生成されるイデアルである．こ$e_{d}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{s}})$の範囲を動き，$p_{\lambda}(s)$はヤング図形$\lambda$の $n-s+1$

は谷崎イデアルと呼ばれる．のとき，$p_{\lambda}(n)=n$ なので，$1\leq d\leq n$ に対してを$e_{d}(x_{1}, \ldots, x_{n})\in I_{\lambda}$得る．

定理 1 の証明の概略を次の 3 つのステップで行う．
ステップ 1:$1\leq s\leq n$を示す．

$e_{d}(x_{1}, \ldots, x_{s})\in Ker\rho_{\lambda}$

を 1 つ固定する．

$Gr_{s}(\mathbb{C}^{n})$は$\mathbb{C}^{n}$の中の複素$s$次元部分空間全体を表すグラスマン多様体とする．

自然な射影$p:Flags(\mathbb{C}^{n})arrow Gr_{s}(\mathbb{C}^{n});V_{\bullet}\mapsto V_{s}$を考える．
$U_{\bullet}$を$(\cdots\subset N_{0}^{2}\mathbb{C}^{n}\subset N_{0}\mathbb{C}^{n}\subset \mathbb{C}^{n})$に適当な個の行と高々 $n-s$ 個の列をもつヤング図形$\mathbb{C}^{n}$の部分空間を補うことにより得られる旗とする．高々$\mu=(\mu_{1}, \ldots, \mu_{s})$に対し，シューベルト多様体を$X_{\mu}(U.)=\{V\in Gr_{s}(\mathbb{C}^{n})|\dim(V\cap U_{n-s+i-\mu_{i}})\geq i$により定義する．このとき，

$p$

による @

$\lambda$

for all $1\leq i\leq s\}$の像は次のシューベルト多様体$\mu 0=(n-s, \cdots, n-s, 0, \cdots, 0)$ は $p_{\lambda}(s)$ 個の $n-s$$s$と $s-p_{\lambda}(s)$ 個の$0$$X_{\mu 0}(U_{\bullet})$に含まれる．ここに，を並べたものを表す．よって，次の可換図式を得る．
$H^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n}))\underline{p}H^{*}(Gr_{s}(\mathbb{C}^{n}))$(3)$\rho_{\lambda}\downarrow \downarrow i^{*}$$H^{*}(@_{\lambda}) -H^{*}(X_{\mu 0}(U_{\bullet}))$シューベルト多様体$H_{*}(Gr_{s}(\mathbb{C}^{n}))$$X_{\mu}(U_{\bullet})$に対して，シューベルト類$\sigma_{\mu}$$\in H^{*}(Gr_{s}(\mathbb{C}^{n}))$を基本類のボアンカレ双対で定義する．ヤング図形 $\mu_{s,d}=(1, \cdots, 1,0, \cdots 0)$ を$d$$[X_{\mu}(U_{\bullet})]$$\in$

個の 1 と $s-d$ 個の52$0$を並べたものとする．$d\geq s+1-p_{\lambda}(s)$ のとき，$i^{*}(\sigma_{\mu_{\epsilon,d}})=0$

なので，$e_{d}(x_{1}, \ldots, x_{s})\in Ker\rho_{\lambda}$

ステップ 2:$S_{n}$が成り立つ．また，$p^{*}(\sigma_{\mu_{s,d}})=e_{d}(x_{1}, \ldots, x_{s})$を得る．

$e_{d}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i}.)\in Ker\rho_{\lambda}$を示す．

は $Fla9^{S(\mathbb{C}^{n})}$ に右から作用しているので，$H^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n}))\cong \mathbb{Z}[x_{1}, . . . , x_{n}]/I$ 上の左作用を誘導する．

実際，$w\cdot x_{i}=x_{w(i)}$
れらの作用について$S_{n}$で与えられる．一方，H @$*$$(w\in S_{n})$は$\rho_{\lambda}$$($$S_{n}$$)$$\lambda$

上には Springer により$S_{n}$が作用している．こ-同変写像である (cf [2]) ので，ステップ 1 より，$e_{d}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{s}})\in Ker\rho_{\lambda}$を得る．

ステップ 3: H @$*$$($$\cong \mathbb{Z}[x_{1}, x_{n}]/I_{\lambda}$$)$$\lambda$を示す．

ステップ 2 より，次の全射環準同型写像$\varphi:\mathbb{Z}[x_{1}, .

を得る．これら両辺の$\mathbb{Z}$.

.

, x_{n}]/I_{\lambda}arrow H^{*}(@_{\lambda})$

上の階数が一致することを示して，結果を得る．

3 シュプリンガー多様体の同変コホモロジー環
この節では 2 節で議論したことを同変版に拡張する．
$n$次元トーラス$T^{n}$

を次のように定義する:(4)$T^{n}=\{(\begin{array}{llll}g_{1} g_{2} \ddots g_{n}\end{array})|g_{i}\in \mathbb{C}^{*}(1\leq i\leq n)\}$このとき，$\mathcal{I}^{m}$

分トーラス

は Flags$T^{l}$

上に自然に作用するが，一般に$(\mathbb{C}^{n})$$T^{n}$

は@$\lambda$を保たない．そこで，@ を保つような部$\lambda$を導入する．

(5)$T^{\ell}=\{(\begin{array}{llll}h_{1}E_{\lambda_{1}} h_{2}E_{\lambda_{2}} \ddots h_{\ell}E_{\lambda_{\ell}}\end{array})\in T^{n}|h_{i}\in \mathbb{C}^{*}(1\leq i\leq\ell)\}$ここに，$E_{i}$はサイズ$i$の単位行列を表し，$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{\ell})$

定理 2 ([1]) $H^{*}(BT^{\ell})=\mathbb{Z}$ [$u_{1},$$\cdots$とする．このとき，$T^{\ell}$

は@$\lambda$を保つ．

, up] の同一視のもと，$H^{*}(BT^{p})$ -代数として次の同型が成立 :(6)$H_{T^{\ell}}^{*}(@_{\lambda})\cong \mathbb{Z}[x_{1}, \cdots, x_{n}, u_{1}, \cdots, u\ell]/\tilde{I}_{\lambda}$

ここに，$\tilde{I}_{\lambda}$

は変数を$x_{i_{1}}$,...,する $d-r$ 次の完全対称式$x_{i_{8}}$とする$r$

次の基本対称式$h_{d-r}(u_{\phi_{\lambda}(1)}, \ldots, u_{\phi_{\lambda}(s+1-d)})$$e_{r}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{8}})$と変数をの積和$\sum_{r=0}^{d}(-1)^{d-r}e_{r}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{8}})h_{d-r}(u_{\phi_{\lambda}(1)}, \ldots, u_{\phi_{\lambda}(s+1-d)})$$u_{\phi_{\lambda}(1)}$,...,$u_{\phi_{\lambda}(s+1-d)}$と53で生成されるイデアルである．ここで，$1\leq s\leq n,$ $1\leq i_{1}<\cdots<i_{s}\leq n,$ $d\geq s+1-p_{\lambda}(s)$ の範囲を動き，は次の列の最初の $s+1-d$ 個を表す．

$(u_{\phi_{\lambda}(1)}, \ldots, u_{\phi_{\lambda}(s+1-d)})$$(u_{\phi_{\lambda}(1)}, \cdots u_{\phi_{\lambda}(n)})$$=(u_{1}, \cdots u_{1}, u_{1}, u_{2}, \cdots u_{1}, u_{2}, \cdots\cdots \backslash u_{1}, u_{2}, \cdots u_{\ell}, \cdots\cdots u_{1}, u_{2}, \cdots u\ell_{d})$$\tilde{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\overline{2(\lambda_{2}-\lambda_{3})} \overline{-}-\overline{\ell(\lambda_{\ell}-\lambda_{\ell+1})}$

ただし，とする．

$\lambda_{\ell+1}=0$

注意 2 イデアルの生成元 $\sum_{r=0}^{d}(-1)^{d-r}e_{r}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{s}})h_{d-r}(u_{\phi_{\lambda}(1)}, \ldots, u_{\phi_{\lambda}(s+1-d)})$ はヤング図形$\tilde{I}_{\lambda}$

に関する factorial Schur function と一致する．

$\mu_{s,d}=(1, \cdots, 1,0, \cdots, 0)$

注意 3 イデアル$0$の生成元 $\sum_{r=0}^{d}(-1)^{d-r}e_{r}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{s}})h_{d-r}(u_{\phi_{\lambda}(1)}, \ldots, u_{\phi_{\lambda}(s+1-d)})$ で $u_{1}=\cdots=u\ell=$$\tilde{I}_{\lambda}$とすると，谷崎イデアル$I_{\lambda}$の生成元$e_{d}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{3}})$と一致する．

定理 2 の証明の概略を述べる．証明は 2 節の定理 1 の証明の手法を用いて行う．
@ 上にステップ 1 とステップ 3 は同様に示される．ステップ 2 を行うためにその作用について包含写像から導かれる射影$\rho_{\lambda}$:$H_{T^{n}}^{*}$(Flags$(\mathbb{C}^{n})$)$S_{n}$$)$$H_{T^{p}}^{*}$ $($$\lambda$

が$arrow H_{T^{p}}^{*}(@_{\lambda})$$S_{n^{-}}$の作用を定義して，同変写像であることを示せばよい．次の可換図式を考える．
$H_{T^{n}}^{*}(Flags( \mathbb{C}^{n}))\underline{\iota_{1}}H_{T^{n}}^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n})^{T^{n}})=\bigoplus_{w\in S_{n}}\mathbb{Z}[t_{1}, .

.

.

, t_{n}]$$\rho_{\lambda}\downarrow \pi\downarrow$(7)$H_{T^{\ell}}^{*}(@_{\lambda}) arrow^{\iota_{2}} H_{T^{p}}^{*}(@_{\lambda}^{T^{l}})=\bigoplus_{w\in@_{\lambda}^{\tau^{\ell}}\subseteq S_{n}}\mathbb{Z}[u_{1}, .

ここに，すべての写像は包含写像から導かれる．Flags
いる(cf [3]) ので，$H_{T^{n}}^{*}(Fla9^{\mathcal{S}(\mathbb{C}^{n}))}$と$\iota_{1}$は単射，$\iota_{2}$$\rho_{\lambda}$は全射である．

上の左作用を誘導する

一方，$(\mathbb{C}^{n})$$S_{n}$

つまり，$H_{T^{n}}^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n}))$る．@$\lambda$

上の$H_{T^{n}}^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n}))$の$T^{\ell}$

作用は，$\lambda$-固定点$\oplus_{w\in@_{\lambda}^{T^{\ell}}\subseteq S_{。}}\mathbb{Z}[u_{1}, .

.

.

, u_{l}]$を保っている．つまり，は上に$H_{T^{l}}^{*}$$($の$S_{n}$\S$S_{n}$$)$$\lambda$, u_{\ell}]$の奇数次のコホモロジーは消えては Flags$S_{n}$に右から作用しているので，$(\mathbb{C}^{n})$.

.

, t_{n}]$上に$S_{n}$

作用について 11 は Sn-同変写像である．

$H_{T^{n}}^{*}(Fla9^{S}(\mathbb{C}^{n})^{T^{n}})=\oplus_{w\in S_{n}}\mathbb{Z}[t_{1}, .に制限したものと思える．この考察を逆手にとって$@_{\lambda}^{T^{f}}$.

$H_{T^{n}}^{*}(Flags(\mathbb{C}^{n})^{T^{n}})=\oplus_{w\in S_{n}}\mathbb{Z}[t_{1}, .の左作用が座標の入れ替えにより与えられる．これらの$S_{n}$と@.

$H_{T^{\ell}}^{*}$$($@$)$$\lambda$.

.

, t_{n}]$上に$S_{n}$上の$S_{n}$

作用をの作用を定義すによる右剰余類全体と同一視できるので，$H_{T^{\ell}}^{*}(@_{\lambda}^{T^{\ell}})=$$S_{\lambda_{1}}\cross\cdots\cross S_{\lambda_{l}}$の左作用が座標の入れ替えにより定義できる．このとき，$S_{n}$上に変写像であることが分かる．(一般に$S_{n}$$\pi$はの作用が定義される．また，これらの$S_{n}$$S_{n}$

作用については$\rho_{\lambda}$$H_{T^{\ell}}^{*}$が$($@$S_{n^{-}}$$)$$\lambda$

同-同変写像ではないことに注意．) 以上の議論から結果を得る．

参考文献[1] H. Abe and T. Horiguchi,

The torus equivariant cohomology ringsof Springer varieties,$arXiv:1404.1217.$[2] R. Hotta and T.A. Springer, A specialization theorem for certain Weyl group representations and anapplication to Green polynomials of unitary groups, Invent. Math. 41 (1977), 113-127.
[3] N. Spaltenstein, The fixed point set of a unipotent transformation on the flag manifold, Nederl. Akad.

Wetensch. Proc. Ser. A79 (1976), 452-456.

54[4] T. A. Springer, Tngonometric sums, Green functions of finite groups and repre sentations of Weylgroups, Invent. Math. 36 (1976), 173-207.
[5] T. A. Springer, A construction of representations of Weyl groups, Invent. Math. 44 (1978) 279-293.
[6] T. Tanisaki, Defining ideals of the closures of the conjugacy classes and representations of the Weylgroups, T\^ohoku Math. J. 34 (1982), 575-585.