数理解析研究所講究録
1529 巻 2007 年 64-73

64Singular integral and cancellation property
小森康雄 (Yasuo Komori)

東海大学開発工学部

School of High Technology for Human Welfare
Tokai University序

本稿では \S 1 で--般化された特異積分作用素の有界性 (有界性) に関する証明の歴史を解説し, \S 2 ではその結果の Hardy 空間への応用について証明なしで結果のみ述べる.
$L^{2}$

1

特異積分作用素の1.1

一般化された特異積分作用素

有界性(古典的特異積分作用素)

定義 1

作用素

$L^{2}$$T$が積分核 $K$ を持つ古典的な特異積分作用素であるとは$Tf(x)= \mathrm{p}.\mathrm{v}.\int_{R^{n}}K(x-y)f(y)dy$と表せて,$L^{p}$$K$,$f\in S’(R^{n})$が以下の条件を満たすことをいう.
$|K(x)| \leq\frac{C}{|x|^{n}}$,$| \nabla K(x)|\leq\frac{C}{|x|^{n+1}}$

(i)

,

(ii)

$\int_{\epsilon<|x|<N}K(x)dx=0$,$0<\forall\epsilon<\forall N<\infty$.

例 (Hilbert 変換)$Hf(x)=\mathrm{p}.\mathrm{v}$.

$\int_{R^{1}}\frac{1}{x-y}f(y)dy$.

命題 1(Calder\’on and Zygmund [5])古典的な特異積分作用素は p(R 勺上の有界作用素である $(1<p<\infty)$ .

65

(i)

証明

$\sim(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$によって$\hat{K}\in L^{\infty}$がわかり ( $| \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ixy}/ydy|\leq C$ の–般化で. . $(*)$
有界性が導かれる.
そして有界性がわかると有界性が導かれるというのが Calder\’on-Zygmundの理論である.
$\text{ある})$

,

それにより

$T$の$L^{2}$$L^{2}$$\cdot$$L^{p}$

口次に convolution 型でない特異積分作用素を考える.

定義 2作用素 $T$ が積分核 $K$ を持つ–般化された特異積分作用素であるとは$Tf(x)= \mathrm{p},\mathrm{v}.\int_{R^{n}}K(x, y)f(y)dy$,$f\in S(R^{n})$と表せて, 以下の条件を満たすことをいう.
$|K(x, y)| \leq\frac{C}{|x-y|^{n}}$,$(\mathrm{i}’)$$| \nabla_{x}K(x, y)|+|\nabla_{y}K(x, y)|\leq\frac{C}{|x-y|^{n+1}}$,$(\mathrm{i}\mathrm{i}’)$

注意 古典的な場合と違い, 積分 Tf(x)( , y)f(yEy が収束するとは–般にはいえないが, 本稿で考える以下の具体例においては問題ない. 正確な$= \mathrm{p}.\mathrm{v}.\int_{R^{n}}K$$x$

定義に関しては [19], 7,8 章を見よ.

擬微分作用素を含む非常に多くの作用素が–般化された特異積分作用素になる.
ここで例としてあげるのは以下の 2 つの重要な作用素である ([3], [4]).
定義 (
$3$

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}’ \mathrm{s}$commutator)$T_{A}f(x)= \mathrm{p}.\mathrm{v}.\int_{R^{1}}\frac{A(x)-A(y)}{(x-y)^{2}}f(y)dy$

定義 (
$4$

ただし $A’\in L^{\infty}(R^{1})$ .

(1)

ただし $A’\in L^{\infty}(R^{1})$ .

(2)

曲線上の Cauchy 積分)$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}$$C_{A}f(x)=\mathrm{p}.\mathrm{v}$,.

$\int_{R^{1}}\frac{f(y)}{x-y+i(A(x)-A(y))}dy$

さらに次の定義をする.

定義 5 一般化された特異積分作用素 T が Calder\’on-Zygmund 作用素であるとは以下の条件を満たすことをいう.
$T$は $L^{2}(R^{n})$ 上の有界作用素である.

$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}’)$66

Calder\’on-Zygmund 作用素に関する以下の命題はすぐわかる.
命題 1’$\infty)$

Calder\’on-Zygmund 作用素は$L^{p}(R^{n})$上の有界作用素である $(1<p<$.

有界性を仮定しているので, Calder\’on-Zygmund の理論より有界性が導かれる. 口$T$の$L^{2}$$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}’)$$L^{p}$

ここで以下のことが問題となる.

問題一般化された特異積分作用素が$L^{2}$有界になるための条件をみつけよ.

この問題は Caldero’n-Zygmund の理論以後の特異積分の分野における 20 世紀後半の最も重要な問題の 1 つであった. 以下で詳しく解説する.

1.2

$T1$

定理

一般化された特異積分作用素の L2 有界性を証明するときの難しい点は, 古典的な場合に使えたフーリエ変換の方法 (命題 1 の証明 $(*)$ を見よ) が使えないことである.

以下では話を簡単にするためにさらに次の条件を仮定する.

$K(y, x)=-K(x, y)$注意(anti-symmetric condition).

(iv)

この仮定は本質的ではない. もちろん例にあげた Calder\’on’s commutatorと Cauchy 積分はこの条件を満たす. そしてこの条件を満たす場合は積分$Tf(x)= \mathrm{p}.\mathrm{v}.\int_{R^{n}}K(x, y)f(y)dy$の収束が保証される ([19], p. 8).

Calder\’on は最初このように問題を設定したとき 「を満たす–般化された特異積分作用素は有界である」 と思っていたようであるが ([18], p. 322),反例が見つかった ([19], P. 8). David and Journ\’e による定理を述べる前に準備を$(\mathrm{i}’),(\mathrm{i}\mathrm{i}’),(\mathrm{i}\mathrm{v})$$L^{2}$する.

命題$2(\mathrm{S}\mathrm{t}.\mathrm{e}.\mathrm{i}‘ \mathrm{n}[22])$$T$を Calder\’on-Zygmund 作用素とすると,$||Tf||_{BMO}\leq C||f||_{L}\infty$

注意

$T$

,:L\infty \rightarrow L\infty 。有界は成り立たない.

$f\in L^{2}\cap L^{\infty}$.

67

ここで $BMO$ は John and Nirenberg [13]によって導入された以下で定義される関数空間である.

定義 ( $BMO$ (bounded mean oscillation))$Q$ で次元開球, $|Q|$ でその Lebesgue 測度を表す.
$6$

$n$

$f_{Q}= \frac{1}{|Q|}\int_{Q}f(x)dx$とする.

$BMO(R^{n})= \{f\in L_{loc}^{1}(R^{n});||f||_{BMo=\sup_{Q}\frac{1}{|Q|}}\int_{Q}|f(x)-f_{Q}|dx<\infty\}$注意$L^{\infty\subset}\neq^{BMO}$’$\log|x|\in BMO(R^{n})$.

.

David and Journ\’e の $‘ T1$ 定理’ と呼ばれているのは次の定理である.
定理 1(David and Journ\’e [8])を満たす–般化された特異積分作
用素 $T$ が有界となるための必要十分条件は$(\mathrm{i}’),(\mathrm{i}\mathrm{i}’),(\mathrm{i}\mathrm{v})$$L^{2}$$T1\in BMO(R^{n})$である.

定数関数 1 に特異積分を作用させることの意味づけ (形式的には $T1=$$\int K(x, y)dy)$ については [19],. 49 または [21], . 268 を見よ. 必要条件である.
ことは命題 2 による.
注意$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$

この定理から Caldero’n’s commutator の系 1([8])

ならばCalder\’on-Zygmund 作用素である.

証明$A’\in L^{\infty}(R^{1})$$T_{A}$$L^{2}$有界性が導かれる.

は $L^{2}(R^{1})$ 上の有界作用素である. すなわち部分積分により (あくまでも形式的な計算だが)$T_{A}(1)= \int\frac{A(x)-A(y)}{(x-y)^{2}}dy=\int\frac{A’(y)}{(x-y)}dy=H(A’)(x)$

命題 2 より Hilbert 変換は $L^{\infty}arrow BMO$ 有界なので $T_{A}(1)\in BMO$.

. 口

68

1.3

$Tb$定理次に Cauchy 積分の$L^{2}$

有界性を考える

まず $‘ T1$ 定理’ がそのままでは有効でないことに注意する.
$C_{A}(1)= \int\frac{1}{x-y+i(A(x)-A(y))}dy$

Calder\’on’s commutator のときのように自明ではな
ところが複素積分を使うことによって (形式的には)が $BMO$ 関数になることは,い (系 1 の証明を参照).

$\int\frac{(1+iA’(y))}{x-y+i(A(x)-A(y))}dy=0$となる.

このことをヒントにして生まれたのが $‘ Tb$ 定理’ である.

注意 積分核 $K(x, y)=(1+iA’(y))/(x-y+i(A(x)-A(y))$ を考えると $‘ T1$
定理’ が使えると思うかもしれないが, この積分核は条件を満たさない.
$(\mathrm{i}\mathrm{i}’)$

定藏 7
在して有界な複素数値関数$b$が accretive であるとは,ある正の定数$c$が存$\Re b(x)\geq c$を満たすことをいう.
注意 $b(x)=1+iA’(x)$ が念頭にある.

定理 2(David, Journ\’e and Semmes[9])ある accretive 関数 が存在して$T$

は条件$(\mathrm{i}’),(\mathrm{i}\mathrm{i}’),(\mathrm{i}\mathrm{v})$を満たすとする.

$b$$Tb\in BMO(R^{n})$ならば $T$ は $L^{2}(R^{n})$ 上の有界作用素である.

この定理の系として次の結果を得ることができる.
系2

Cauchy 積分作用素$C_{A}$は Al\in L\infty 。のとき $L^{2}(R^{1})$ 上の有界作用素である.

有界性の証明にはこの他に perturbation を使っ
Cauchy 積分作用素のた方法 [4], [7], [20] があり, Murai [20] は最良の評価を得ている.
注意$L^{2}$69n 次元の例

1.4

Calder\’on’s commutator と Cauchy 積分の定義 ($8$$n$次元版も考えられている.

dimensional Caldero’n’s commutator)$T_{A}f(x)=.

定義

$n$

$9(\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$\mathrm{p}.\mathrm{v}.\int_{R^{n}}\frac{A(x)-A(y)}{|x-y|^{n+1}}f(y)dy$

double layer potential operator,

ただし $\nabla A\in L^{\infty}(R^{n})$.

(3)

または Cauchy integral operator for

hypersuface と呼ばれている)$C_{A}f(x)= \mathrm{p}.\mathrm{v}.\int_{R^{n}}\frac{A(x)-A(y)-\nabla A(y)\cdot(x-y)}{(|x-y|^{2}+(A(x)-A(y))^{2})^{(n+1)/2}}f(y)dy$

ただし $\nabla A\in L^{\infty}(R^{n})$ .

(4)

これらの作用素の If 有界性は roation method という方法により 1 次元の結果に帰着して証明される ([23] 参照).
定理 3$\nabla A\in L^{\infty}(R^{n})$2のとき$T_{A}$と$C_{A}$

は $L^{p}(R^{n})$ 上の有界作用素である $(1 <p<\infty)$ .

特異積分作用素の有界性$H^{p}$

以下では特異積分作用素の Hardy 空間上での有界性を考える間を定義する.

定義 10(Hardy 空間
して最大関数$H^{p}$)$\varphi\in S,$ $\int_{R^{n}}\varphi(x)dx\neq 0$

まず Hardy 空

を $-$ つ固定して $f\in S’$ に対を次のように定義する.

$M_{\varphi}f$$M_{\varphi}f(x)= \sup_{t>0}|f*\varphi_{t}(x)|$,$\varphi_{\mathrm{t}}(x)=t^{-n}\varphi(x/t)$.

そして$H^{p}(R^{n})=\{f\in S’;||f||_{H^{\mathrm{p}}}=||M_{\varphi}f||_{L^{\mathrm{p}}}<\infty\}$

注意$H^{p}$

は$\varphi$.の選び方によらない. そして $H^{p}=L^{p}(1<P<\infty)$ .

$S’(p<1)$ であるが$H^{1}\subset L^{1}$である.

$H^{p}\subset$70

命題 3(Fefferman and Stein [11])古典的な特異積分作用素は $H^{p}(R^{n})$ 上の有界作用素である $(n/(n+1)<p\leq 1)$.

以下では話を簡単にするために, Hardy 空間を考えるときは常に n/(n+$1)<p\leq 1$ を仮定する. \S 1.1 定義 1(ii) において $K$ の滑らかさを十分に仮定すれ

注意ばp を$0$に近づけることができる.

一般化された特異積分作用素に関しては以下の結果がすぐわかる.
命題 3’$1)<p\leq 1)$注意.

Caldero’n-Zygmund 作用素は $H^{p}(R^{n})arrow L^{p}(R^{n})$ 有界である $(n/(n+$$T:H^{\mathrm{p}}arrow H^{p}$有界でないことに注意せよ.

Alvarez and Milman [1], [2] は Calder\’on-Zygmund 作用素 (すなわち有界性に関して次の結果を得た.
はわかっている) の$L^{2}$

有界性$H^{p}$

定理 4(Alvarez and Milman [1], [2])Calder\’on-Zygmund 作用素 が$T$$n/(n+1)<p\leq 1$ とする$H^{\mathrm{p}}(R^{n})$(iv) を満たす上の有界作用素である必要十分条件は$T1=0$である.

この定理は必要十分条件を与えているので問題ないように思えるが,$T1= \int K(x, y)dy=0$という条件は積分核 $K$ の形にひじょうに強い制限をしており, Calder\’on’s commutator は–般にはこの条件を満たさない そこで Calder\’on’s commutator に応用できる定理を考え, 以下の結果を得た ([16] 参照).
定義 ll(local Hardy 空間, Goldberg [12])義する. そして$m_{\varphi}f(x)= \sup_{0<t<1}|f*\varphi_{t}(x)|$と定.

$h^{p}(R^{n})=\{f\in S’;||f||_{h^{\mathrm{p}}}=||m_{\varphi}f||_{L^{\mathrm{p}}}<\infty\}$

注意$H^{\mathrm{p}}\subset h^{p}$であり特に $H^{p}=h^{p}=L^{p}(1<p<\infty)$ .

local Hardy 空間は Goldberg によって擬微分作用素の有界性を調べるために導入された空間である. この空間の有用性については Evans and M\"uller [10] を参照.

71定義 12(リプシッツ空間$\dot{\Lambda}_{\alpha}$)$0<\alpha<1$とする.

$\dot{\Lambda}_{\alpha}(R^{n})=\{f;||f||_{\dot{\Lambda}_{\alpha}}=\sup_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha}}<\infty\}$

定理 4’ ([14])$T1\in\dot{\Lambda}_{a}(R^{n})$

注意

$T$.

は (iv) を満たす Calder\’on-Zygmund 作用素とする.

ならば$T:H^{p}(R^{n})arrow h^{p}(R^{n})$有界である $(n/(n+\alpha)\leq P\leq 1)$ .

条件 $n/(n+\alpha)\leq p$ は最良である.

リプシッツ空間が現れた理由は以下の事実による.
命題$4(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}[6])$.

$||f||_{\dot{\Lambda}_{\alpha}} \approx\sup_{Q}\frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q}|f(x)-f_{Q}|dx$

さらにこの定理は Calder\’on’sすなわち $BMO=\dot{\Lambda}_{0}$ とみなせるわけである
commutator に応用できる.
系 4’ ([14])$T_{A}$

証明$A’\in L^{\infty}(R^{1})\cap\dot{\Lambda}$:$H^{\mathrm{p}}(R^{1})arrow h^{p}(R^{1})$$(R^{1})$。

ならば有界である$T_{A}(1)=H(A’)(x)$ で, Hilbert 変換は$T_{A}(1)\in\dot{\Lambda}_{\alpha}$$(1/(1+\alpha)\leq P\leq 1)$$\dot{\Lambda}_{\alpha}$

上の有界作用素だから.

口Cauchy 積分に関して同様の結果を得るためには $Tb$ 定理の定理 $5([17])$$T$$b$が存在して$A’\in L^{\infty}(R^{1})\cap \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}_{\alpha}(R^{1})$

る $(1/(1+\alpha)\leq p\leq 1)$

課題$H^{p}$$n$版が必要になる.

ならば $T$ : $H^{p}(R^{n})arrow h^{p}(R^{n})$$b,$ $Tb\in\Lambda_{\alpha}(R^{n})$有界である $(n/(n+\alpha)\leq P\leq 1)$ .
$\bm{5}([17])$$H^{p}$は (iv) を満たす Calder\’on-Zygmund 作用素とする.

ある accretive 関数系

.

.

ならば

$C_{A}$:$H^{p}(R^{1})arrow h^{p}(R^{1})$有界であ次元の Calder\’on’s commutator, the double layer potential operator の有界性については現在研究中である.

72

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