数理解析研究所講究録
1535 巻 2007 年 135-142

135

On some convexity of a weakly unitarily invariant norm
andAluthge transformation$\lambda-$

北海道教育大学札幌校

大久保

和義

1. はじめにを $n\cross n$ complex matrix 全体の集合とする。
として, $T=UP$ を $T$ の polar decomposition とする (ただし, $P$ : positive
semi-definite, $U$ : unitary とする。)$0<\lambda<1$ に対して $T$ の -Aluthgeで定義する ($T_{1/2}=\tilde{T}$ ;transforrreation を$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$T\in M_{n}$。

$P^{\lambda}UP^{1-\lambda}$$\lambda$

Aluthge tmnsformation$([\mathrm{A}1])_{\text{。}}$

es

weakly unitarily invariant norm$|||UXU^{*}|||=|||X|||(U\in M_{n}$ :unitary, $X\in M_{n}$ ) が成り立つとする。 また,が上の unitarily invarirt normとは $|||UXV|||=|||X|||(U,$ $V\in M_{n}$ : unitary, $X\in M_{n}$ が成り立つとする o$W(T):=\{(Tx, x)|||x||=1\}$ (numerical range of )$w(T)= \sup\{|z| : z\in W(T)\}$ (numerical radiusof ) とする o$\rho>0$ に対して $T\in M_{n}$ がある Hilbert space
上の unitary operとがあって, $T^{k}=\rho QV^{k}|_{C^{n}}$ $(k=1,2, \cdots)$ を満たすとき,
atorとよぶ (Nagy and Foias
への orthogonal projecはから参照)。 ただし,tion である。 contraction に対して,の -radiusが, $w_{\rho}(T) \equiv\inf\{r>0$ :is aに関しては, $0<\rho<\infty$)。
} で定義される (Holbrook$|||\cdot|||l^{\mathrm{i}}M_{n}-\mathrm{b}\text{の}$$k$$|||\cdot|||$$M_{n}$$T$$T$$\mathcal{K}\supset C^{n}$$\mathcal{K}$$V$$p\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$Q$$([\mathrm{N}- \mathrm{F}])$

$T$

$\mu$

$\frac{1}{r}T$$\mathcal{K}$$w_{\rho}(T)$$\mu$$\rho-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$C^{n}$$([\mathrm{H}])$$w_{\rho}(T)$に対して,$w_{\rho}(T+S) \leq\max(1, \frac{\rho}{2})\{w_{\rho}(T)+w_{\rho}(S)\}$が成り立つことが知られている。 即ち,り,$2<\rho<\infty$$0<\rho\leq 2$に対して$w_{\rho}(\cdot)$

は $M_{n}$ 上のノルムとなに対しては,$w_{\rho}(T+S) \leq\frac{\rho}{2}\{w_{\rho}(T)+w_{\rho}(S)\}$を満たす quasi-norm となる。 また, $0<\rho<\infty$ に対して,
invariax 比となる。
さらに, $w_{1}(T)=||T||$ (spectral norm of $T$ ), $w_{2}(T)=w(T)$ ,$w_{\infty}(T):=\rhoarrow\infty \mathrm{h}\mathrm{m}w_{\rho}(T)=r(T)$($r(\cdot)$$w_{\rho}(\cdot)$

は weakly unitarily: spectral radius)がいえる。

Yamazaki$([\mathrm{Y}]),$$\mathrm{W}\mathrm{u}([\mathrm{W}])$

により,

$T$

がヒルベルト空間上の有界線形作用素のとき,$\overline{W(\tilde{T})}\subset\overline{W(T)}$(1)となることが知られている。

2. Convexity of$[0,1]\ni\lambda\vdasharrow w_{\rho}(T_{\lambda})$次のことがいえる。

Theorem 1. Let$A,$ $M\in M_{n}$.

. Then the follouring assertions (i) and (ii) aoe equivalent;136(i) $W(f(A))\subset W(f(B))$ for all polynomials $f$ .

(ii) $w_{\rho}(f(A))\leq w_{\rho}(f(B))$ for all polynomials

and $0<\rho\leq 2$ .

$f$

実際, Ito,Nakazato,Okubo and Yamazakiの場合と同値であることを示した。 また,$w_{\rho}(X)\leq 1\Leftrightarrow r(X)\leq 1$ であり,$([\mathrm{I}- \mathrm{N}- \mathrm{O}- \mathrm{Y}])$$\rho=2$$1<\rho\leq 2$(i) が (ii) において $\rho=1$ ,に対して,$1\leq\rho$$|| \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\rho-1)^{k}|z|^{k-1}}{\rho^{k}}X^{k}||\leq\rho-1$であること, また,でfor $|z|\leq 1$

(2)

に対して

(3)

$W(T)= \{\bigcap_{\lambda\in C}\{z\in C||z-\lambda|\leq w_{\rho}(T-\lambda I)\}$であるから, Theeorem 1 は証明できる。
$|||\cdot|||$を$M_{n}$

上の unitarily invariant norm とする。
$g(\lambda)\equiv|||P^{\lambda}UP^{1-\lambda}|||(0\leq\lambda\leq 1)$と$\text{する}$とき,Proposition 2.

$[0,1]\ni\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT}\mapsto g(\lambda)$

is convex.

実際, $A,$ $B,$ $X\in M_{n}$ と unitarily invariant norm$|||\cdot|||$に対して$|||A^{*}XB|||^{2}\leq|||AA^{*}X|||\cdot|||XBB^{*}|||$

が成り立つ (Bhatia$([\mathrm{B}])$。従って, $T=UP$ ($\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}$の不等式を使うとdecomposition),$0\leq\alpha,$$\lambda,$$\mu\leq 1$に $-$$|||P^{\alpha\lambda+(1-\alpha)\mu}UP^{1-(\alpha\lambda+(1-\alpha)\mu)}|||\leq|||P^{\lambda}UP^{1-\lambda}|||^{\alpha}\cdot|||P^{\mu}UP^{1-\mu}|||^{1-\alpha}$がいえる。
$0\leq\lambda\leq 1$$f$に対して $F(\lambda)\equiv W(P^{\lambda}UP^{1-\lambda})$ とする。

をその極が$\sigma(T)$の外にある rational function$k$

で $S$ が positive invertible とするとき,

して,$0\leq\lambda,$$||A|| \leq\frac{1}{2}||SAS^{-1}+S^{-1}AS||$がいえることが知られているので, これを使って$||f(T_{\lambda})*|| \leq\frac{1}{2}\{||f(T_{\lambda})+f(T_{\mu})||\}$

が成り立ち, (3) を用いて次がいえる。

$\mu\leq 1$とする。 $A,$ $S\in M_{n}$

(4)

137

Theorem 3. [Patel and Yamazaki
is convex, that is,$([\mathrm{P}- \mathrm{Y}])$]$[0,1]\ni\lambdarightarrow F(\lambda)$$F(\alpha\lambda+(1-\alpha)\mu)\subset\alpha F(\lambda)+(1-\alpha)F(\mu)$$(0\leq\alpha, \lambda, \mu\leq 1)$

このことから,即ち,$h(\lambda):=w(P^{\lambda}UP^{1-\lambda})$とおくと,$[0,1]\ni\lambdarightarrow h(\lambda)$

が convex になること,$w(P^{\alpha\lambda+(1-\alpha)\mu}UP^{1-(\alpha\lambda+(1-\alpha)\mu)})\leq\alpha w(P^{\lambda}UP^{1-\lambda})+(1-\alpha)w(P^{\mu}UP^{1-\mu})$が示される。

Lemma 4.[Mathias and Okubo$([\mathrm{M}- \mathrm{O}])$] Let $A\in M_{n}$ . then for $0<\rho\leq 2$ ,$w_{\rho}(A)= \frac{2}{\rho}w($($\sqrt{\rho(2-\rho)}A(1-\rho)A$

) .
$)$

Proposition 5. Let $S\in M_{n}$ be a positive and $A\in M_{n}$ . Then for $0<\rho\leq 2$ , we have$w_{\rho}(A) \leq\frac{1}{2}w_{\rho}(SAS^{-1}+S^{-1}AS)$

実際,$(^{*})$

によって,$\lambda\in C$

.

に対して

$||A- \lambda I||\leq||\frac{SAS^{-1}+S^{-1}AS}{2}-\lambda I||$である。 従って, (3) から$W(A) \subset W(\frac{SAS^{-1}+S^{-1}AS}{2})$がいえる。 このことから, positive matrixS に対して
$w(A) \leq\frac{1}{2}w(SAS^{-1}+S^{-1}AS)$が成り立つ。 このことを使うと,$w((_{0}^{0}$$\sqrt{\rho(2-\rho)}A(1-\rho)A))$$\leq$$\frac{1}{2}w((_{0}^{0}$$=$$\frac{1}{2}w$(($\sqrt{\rho(2-\rho)}A(1-\rho)A)+(_{0}^{\mathrm{o}}$$\sqrt{\rho(2-\rho)}(SAS^{-1}+S^{-1}AS)(1-\rho)(SAS^{-1}+S^{-1}AS)$)).

$\sqrt{\rho(2-\rho)}A(1-\rho)A))$

138がいえる。 Lemma 4 から, このことは$w_{\rho}(A) \leq\frac{1}{2}w_{\rho}(SAS^{-1}+S^{-1}AS)$を意味する。
の polar decomposition を $T=UP$ として,
とすると
$T$

$w_{\rho}$($P^{\frac{\lambda+\mu}{2}UP^{1-^{\lambda}A_{2}4})\leq\frac{1}{2}w_{\rho}(SP^{\frac{\lambda+u}{2}}}-$がいえる。 このとき,Corollary 6.

$S=(P+\epsilon I)^{\frac{\lambda-u}{2}}$$T=UP\in$ 砿とと$0\leq\lambda,$

UP1-牛$\epsilonarrow 0$$0<\rho\leq 2$$\mu\leq 1$に対して A=P 雫 UP 1-半)$s-1+s-1P^{\lambda}*_{UP}1- \frac{\lambda+\mu}{2}s$を考えると次の corollary がいえる。

に対して,$(0,1)\ni\lambdarightarrow w_{\rho}(P^{\lambda}UP^{1-\lambda})$は convex である。

実際,

$0\leq\lambda,$$\mu\leq 1$に対して$w_{\rho}(P^{\frac{\lambda+\mu}{2}UP^{1-\frac{\lambda+u}{2}}}) \leq\frac{1}{2}\{w_{\rho}(P^{\lambda}UP^{1-\lambda}+P^{\mu}UP^{1-\mu})\}\leq\frac{1}{2}\{w_{\rho}(P^{\lambda}UP^{1-\lambda})+w_{\rho}(P^{\mu}UP^{1-\mu})\}$

となる。

3.

$W(T_{\lambda}),$$w_{\rho}(T_{\lambda})$の対称性, 最小性

この問題の発展として,$0\leq\lambda\leq 1$

に対する$W(T_{\lambda}),$$w_{\rho}(T_{\lambda})$の対称性,$w_{\rho}(T_{\lambda})$性に関する問題が考えられる。 このことに関するいくっかの結果を示す。

ProPosition 7. For(i)and $0<\rho$ , we have$T\in M_{2}$$\mathrm{m}\dot{\mathrm{i}}_{0\leq\lambda\leq 1}w_{\rho}(T_{\lambda})=w_{\rho}(\tilde{T})$In Particular,$\min_{0\leq\lambda\leq 1}||T_{\lambda}||=||\tilde{T}||$.

and$\mathrm{m}\dot{\mathrm{i}}_{0\leq\lambda\leq 1}w(T_{\lambda})=w(\tilde{T})$侮)$\min_{0\leq\lambda\leq 1}W(T_{\lambda})=W(\tilde{T})$実際, $0<a\leq 1$ に対して
のとき,

の最小

.

.

$P=,$ $U=$ (unitary matr 球) とおく。

$B_{\lambda}\equiv P^{\lambda}UP^{1-\lambda}=$とすると,$u_{12}\overline{u_{11}}(a^{1-\lambda}-a^{1+\lambda})$$B_{\lambda}^{*}B_{\lambda}=(|u \frac{111}{u_{12}}u_{11}+(21-|u_{11}|^{2})a^{2\lambda}(a^{1-\lambda}-a^{1+\lambda})$$|u_{11}|^{2}a^{2}+(1-|u_{11}|^{2})a^{2(1-\lambda))}$

こ

139

$\text{て}*$,characteristic polynomial$B_{\lambda}^{*}B_{\lambda}\text{の}$$f_{\lambda}(x)[] \mathrm{g}$$f_{\lambda}(x)=x^{2}-(|u_{11}|^{2}+(1-|u_{11}|^{2})a^{2\lambda}$$+|u_{11}|^{2}a^{2}+(1-|u_{11}|^{2})a^{2(1-\lambda)})x+a^{2}=f_{1-\lambda}(x)$即ち,$||T_{\lambda}||=||T_{1-\lambda}||$となる。

が convex だから,$[0,1]\ni\lambdarightarrow g(\lambda)$$0^{\mathrm{m}_{\lambda}\dot{\mathrm{i}}||T_{\lambda}||=||\tilde{T}||}\leq\leq 1$となる。
$0\leq\lambda\leq 1$に対して $\sigma(T)=\sigma(T_{\lambda})=\{\alpha, \beta\}$ とする。 $T$ が matrix

similar として,から,

$T_{\lambda}$

が matrix $[]^{\vee}$.unitarily similar とする。 $||T_{\lambda}||=||T_{1-\lambda}||$ だ$\min_{0\leq\lambda\leq 1}||T_{\lambda}||=||\tilde{T}||$となり,$|\delta_{1/2}|\leq|\delta_{\lambda}|=|\delta_{1-\lambda}|(0\leq\lambda\leq 1)$

numerical rtgeis は焦点をとして短径がえる。 即ち, (ii) が成り立つ。 また,を any polynomial とする。 このとき,$\alpha,$$\beta$$|\delta_{\lambda}|$がいえる。

$T_{\lambda}$のの楕円だから $W(T_{\lambda})=W(T_{1-\lambda})$ がいもいえる。

$\min_{0\leq\lambda\leq 1}w(T_{\lambda})=w(\tilde{T})$$f$$f(\tilde{T})=(_{0}^{f(\alpha)}$$||f(\tilde{T})||\leq$$\delta_{1/2\gamma ,f(\beta)})f(T_{\lambda})=(_{0}^{f(\alpha)}$となり,$\delta_{\lambda\gamma}f(\beta))$$|\delta_{1/2\gamma}.|\leq|\delta_{\lambda}\cdot\gamma|$

だから,||f(T\mbox{\boldmath $\lambda$}川となる。 従って, (2) から (i) がいえる。

Corollary 8. Let $T\in M_{2}$ . For $0<\lambda<1$ and for any polynomial.

$W(f(T_{\lambda}))=W(f(T_{1-\lambda}))$Moreover, for$0 \leq\lambda_{1}<\lambda_{2}\leq\frac{1}{2}$and for any polynomial

$f$

$f$

$W(f(T_{\lambda}.’))\subset W(f(T_{\lambda_{1}}))$.

Remark. Proposition 4 is not true for the caee of $n\geq 3$ .
Example 9.

$P=$$U=(_{1/\sqrt{6}}^{1/\sqrt{3}}1/\sqrt{2}$$-1/\sqrt{2}1/\sqrt{6}1/\sqrt{3}$,$-2/\sqrt{6}1/\sqrt{3}0)$

とおくと, $g(1/2)=2.798077,$ $g(2/5)=2.795949$ and $g(3/5)=2.813729$ となる。

次の結果は, Rose and Spitkovsky によって得られた。

Theorem 10. [Rose and Spitkovsky] Let $T=UP\in M_{3}$ where has at most two distinct
eigenvalues. Then for
impliae that,in particular$P$$\lambda_{1},$$\lambda_{2}\in[0,1],$$| \lambda_{2}-\frac{1}{2}|\leq|\lambda_{1}-\frac{1}{2}|$$W(T_{\lambda})=W(T_{1-\lambda})$$W(T_{\lambda_{2}})\subset W(T_{\lambda_{1}})$

140

for all $\lambda\in(0,1)$ .
In this case,$\min_{0\leq\lambda\leq 1}w(T_{\lambda})=w(\tilde{T})$.

4. Normaloid, spectraloid and convexoid matrix の特徴付 [ナ$T\in M_{n}$ is normaloid とは $||T||=r(T)$をみたすこと。
$T\in M_{n}$ is spectraloid とは $w(T)=r(T)$をみたすこと。
Proposition 11. Let $T\in M_{2}$ . Then the followzngs conditions are equivalent:$i)T$ is normaloid.
$ii)||T||=||\tilde{T}||$.

$iii)||T||=||T_{\lambda}||$$iv)||T||=||T_{\lambda}||$$v)T$ is normal.
$\mathrm{i}\mathrm{v})\Rightarrow \mathrm{v})$

for some
for all$\lambda\in(0,1)$$\lambda\in[0,1]$.

.

を示そう。 $T$ を Proposition 7 のようにおき,$\lambda=\frac{1}{2}$解はとすると, $f1/2(x)=0$ の$x= \frac{1}{2}\{(1-a)^{2}|u_{11}|^{2}+2a\pm(1-a)|u_{11}|\sqrt{(1-a)^{2}|u_{11}|^{2}+4a}\}$となり,$||\tilde{T}||=1=||T||\Leftrightarrow|u_{11}|=1$であるから $u_{12}=u_{21}=0$ となり $T$ は normal となる。
$3\leq n$に対しては$\mathrm{i}\mathrm{i}$)) は真ではない。

$\Rightarrow \mathrm{i}$Example 12. $0<\lambda<1$ とする。
$P\equiv$

とおくと, $P>0,$ $U$ unitary, $||UP||=1,$
方で$r(UP)=\lambda^{\frac{\iota}{3}}\mathrm{g}_{f_{X\text{る_{。}}}}$$P^{\frac{1}{2}}UP^{\frac{1}{2}}=$だから,$||P^{\frac{1}{2}}UP^{\frac{\iota}{2}}||=1=||UP||$, but $r(UP)<||UP||$ となる。

Proposition 11 の–般化として次のことがいえる。
Proposition 13. Let $T\in M_{2}$ and $0<\rho\leq 2$ . Then the follounngs conditions areequivalent:$i)w_{\rho}(T)=r(T)$.

$ii)w_{\rho}(T)=w_{\rho}(\tilde{T})$.

$iii)w_{\rho}(T)=w_{\rho}(T_{\lambda})$$iv)w_{\rho}(T)=w_{\rho}(T_{\lambda})$$v)T$ is normal.

for some
for all$\lambda\in(0,1)$$\lambda\in[0,1]$

.

.

141

Proposition 7 の証明のように, $T=\in M_{2}$ とおく。 このとき, Nakazi and Okubo([N-0]) から,$w_{\rho}(T)\leq 1$であるための必要十分条件は$|\alpha|,$$|\beta|\leq 1$

そして

(5)

$| \delta|^{2}+|\alpha-\beta|^{2}\leq\inf_{\zeta\in}|\frac{(\rho+(1-\rho)\overline{\alpha\zeta})(\rho+(1-\rho)\beta\zeta)-\overline{\alpha}\beta|\zeta|^{2}}{\rho\zeta}|^{2}$が成り立つことである。 従って,

$S=$ andであることが容易に分かる。 特に, もしProposition 7 から$\Rightarrow \mathrm{i}\ddot{\mathrm{u}})$$|\delta|\leq|\delta’|$とするとき $w_{\rho}(T)\leq w_{\rho}(S)$であれば $w_{\rho}(T)<w_{\rho}(S)$ となる。 また,が減少関数で, $w_{\rho}(T)\geq r(T)$ だから, ) .
)$|\delta|<|\delta’|$$[0,1/2]\ni\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow w_{\rho}(T_{\lambda})$$\mathrm{i}$$\Rightarrow$$\mathrm{i}\mathrm{i}$が示される。

iii) が# り立つときは上の議論から, あるとなり, Proposition11 から,
normal となる。

$\lambda_{0}$$|\delta|=|\delta_{\lambda}|$でが# り立つ。従って,$0\leq\lambda\leq 1$ であることがわかり,$|\delta|=|\delta_{\lambda_{0}}|$for au$||T||=||T_{\lambda_{\mathrm{O}}}||$$T$

はCorollary 14. For $T\in M_{2}$ ,$T$

is $nomaloid\Leftrightarrow T$ is spectraloid.

Proposition 15. [Yamazaki]
bounded linear operator on Hilbert space is $nomaloid\Leftrightarrow||T||=||\tilde{T}_{k}||$ for all ,whereis k-th Aluthge transfornation.
$([\mathrm{Y}])$

$A$

$T$

$k$

$\tilde{T}_{k}$$\tilde{T}_{k}$は次で定義される。
$\tilde{T}_{k}=(T_{k-1}^{\approx})$

また,$T\in M_{n}$に対して,for $k=1,2,$$\cdots$.

Ptak によって次が知られている ;$||T||=1>r(T)\Rightarrow||T^{n}||<1$

Ando は $T\in M_{n}$ に対して次のことを示した。
$||T||=1>r(T)\Rightarrow||T_{n-1}^{\sim}||<1$.

このとき, 次のことはいえる。

Proposition 16. Let $T\in M_{n}$ .
i8$T$$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{d}\Leftrightarrow||T||=||T_{n-1}^{\sim}||$.

is convexoid &IZ $c\alpha\iota v(\sigma(T))=W(T)$ where
denotes the convex hull
定義される。 このとき, Ando は Aluthge 変換を用いて, 次のことを示した。

$T\in M_{n}$$c\sigma nv(\cdot)$$\text{で}$Theorem 17. [Ando] For $T\in M_{n}$ ,is convexoid if and only if $W(\tilde{T})=W(T)$ .
$([\mathrm{A}\mathrm{n}])$$T$

関連する話題として, Spectraloid に関して Patel and Yamazaki によって次の Conjec-

ture があげられている。

142

Conjecture [Patel and Yamazaki[ For $T\in M_{n}$ ,is spectraloid if and only if $w(T)=w(T)$ .
$([\mathrm{P}- \mathrm{Y}])$

$T$

参考文献

[$AlJ$ A. Aluthge: On -hyponormal operators for $0<p<1$ , Integral Equations Operator
Theory, 13 (1990), pp. 307-315.
$p$[$AnJ$ T. Ando: Aluthge transforms and the convex hull of the spectrum of a Hilbert space
operator, Operator Theory; $Adv$ . Appl., 160 (2005), pp. 21-39.
[$BJ$ R. Bhatia: $Mat\dot{m}$ Analysis,, 1997.

$Spr\dot{\tau}nger$[$HJ$ J. A.R. Holbrook: On the Power-bounded operators of $Sz$ .-Nagy and Foiag, Acta.
Scie. Math.(Szeged), 29 (1968), pp. 297-310.

[I-N-O-YJ M. $Ito$ , H. Nakazato, K. Okubo and T. Yamazaki: On generalized numerical
range of the Aluthge transformation, Linear Algebra Appl. 370 (2003), pp. 147-161.
[N-FJ $Sz$.-Nagy and C. Foiap: Harmonic analysis of operators on Hilbert space, NorthHolland Publishing Company, 1970
[M-O] R. Mathias and K. Okubo: The induced no $7m$ of the Schur $mult\iota’plication$ operator
with respect to the operator radius, Linear and Multilinear Algebra, 37 (1994), $pp$ .

111-124.

[N-OJ T. Nakazi and K. Okubo:
283 (1998), pp.165-169.

$\rho$-contraction and 2, Linear Algebra Appl.

$\mathrm{x}2mat\dot{m}$[$OJ$ K. Okubo: On Weakly Unitarily Invariant Norm and the -Aluthge
Thansformation
for Invertible Operator, Linear Algebra and its Appl., 419 (2006), pp.48-52.
$\lambda$[P-

S. M. Patel and T. Yamazaki: On comparis $ons$ of norms and the numerical rangesof an operator with its generalized Aluthge transformation, Scientiae Mathematicae
Japonicae Online, e-2005 (2005),
7-329.

$\mathrm{Y}J$$pp.\mathit{3}l$[$\mathrm{Y}J$

T. Yamazaki: On nume rical range of the Aluthge tmnsformation, Linear AlgebraAppl., 341 (2002), $pp$ . 111-117.

[ $WJP$ . Y. $Wu$ : Numerical range of Aluthge transfo $rm$ of operator, Linear Algebra Appl.,
357 (2002), pp. 295-298.