数理解析研究所講究録1032 巻 1998 年 1-12

1

Rough signal で driven された微分方程式に関する T. .
Lyons の理論とその確率微分方程式への応用$\mathrm{J}$京大理(Shinzo Watanabe)

渡辺信王

1. 確率微分方程式の理論は、 与えられた拡散方程式に対応する確率モデル、 いわゆる Kolmogorovの拡散過程、 を構成するため、伊藤清によって確立された理論であり、今日の確率論において伊藤の確率解析、 あるいは確率演算法として重要な方法を提供している。拡散過程を連続な道をもつ強マル

コフ過程と考えるとき、 その構成法としての確率微分方程式の方法は、 Stroock-Varadhan によるマ
ルチンゲール問題の特別の場合であり、 マルチンゲール問題の方法に吸収されてしまったとも云い得る。 しかし、確率微分方程式の方法は、 マルチンゲール問題の方法にない重要な面をもっている。 それは、確率微分方程式の解が、 Wiener 空間から状態空間上の道の空間への写像を与えていると云う点である。一般に、 Wiener 空間上の可測関数や可測写像は、 Wiener 汎関数、 あるいは Wiener 写像と呼ばれ、確率解析の重要な対象であるが、確率微分方程式の理論はその解を Wiener 汎関数、 あ
るいは Wiener 写像として Wiener 空間上に構成する方法を与える。 そして、 このようにして得られた Wiener 汎関数や Wiener 写像は特に伊藤汎関数、伊藤写像と呼ばれて、 今日の確率論で最も重要な Wiener 汎関数、 あるいは Wiener 写像の例となっている。

Wiener 以来、 Wiener 汎関数積分の方法について多くの研究が行われ, (たとえば、$L^{2}-$

汎関数の Wiener-chaos (Wiener-It\^o) 展開、 Cameron-Martin, Donsker 等による積分の変換論、Feynmann-Kac の公式、 Donsker-Varadhan, Schilder 等による大偏差理論と漸近理論、 等々, それは確率論とその応用の問題に有効に応用されるようになる。 しかし、 Malliavin 解析が導入さ$)$れるまでは、 主として連続な汎関数、 すなわち Wiener 空間の Banach 位相 (道の空間の–様収束の位相) に関し連続であるような Wiener 汎関数が主要な応用の対象であり、伊藤汎関数は –般に不連続な汎関数であるので、 それに対してあまり有効に適用されることが無かった。近年の Malliavin

解析等の発展により、伊藤汎関数にも有効に適用される Wiener 汎関数積分の理論が可能になり、応用の可能性も著しく増大したことは、 良く知られている通りである。
伊藤汎関数は、 Malliavin 解析の意味では (確率微分方程式を与えるデータが+分滑らかな場合) 滑らかな汎関数であるにもかかわらず、 一般には連続でない。 そのため、 伊藤汎関数の取扱には、 しばしば槙重さが要求される。特に、 これらの汎関数は、 Wiener 空間上の関数としては測度の曖昧さを残して–意的に定まるが、 1 点は測度

$0$

$0$

であるため、 -つ–つの固定された Wiener 空2

間の点における値は定まらない。即ち、伊藤汎関数を Wiener 空間の道ごとに定めることは出来ず、したがってその道ごとの取扱は–般に不可能であった。
ところで、約 4 年前、英国の T. J. Lyons ([L1], [L2], [LQ1], [LQ2]) は、 rough signal で driven
された微分方程式の概念を定義し、 その理論を精力的に展開してきた。 その理論の本質的な部分は、

L. C. Young$([\mathrm{Y}])$が論じた P-th variation をもつ道に関する積分論を発展させた実解析の方法であり、 そのこと自身は確率論と無関係なものである。 しかしこの理論を確率微分方程式に応用してみると、 伊藤汎関数の構造や性質に関する新しい重要な知見が得られる。特に、 それは、 雑な

道 (rough path) の概念を明確に定義することにより、確率微分方程式の道ごとの取扱をあたえる。
そして、 そのことは、確率微分方程式の知られている諸結果についても、 その新しい見方や簡単な別証明、 あるいは結果の改良を与えるように思われる。以下で Lyons の結果の簡明で判り易い解説を与え、特に確率微分方程式の近似定理 (たとえば [IW] や$\text{「}\mathrm{K}\text{」}$に与えられているもの) に関する応用を考えてみたい。確率微分方程式への応用に主眼を置いたため、 Lyons の精密かつ–般的理論を、特別な場合に限って筆者のかなり独断的な変更を加えて、 紹介していることをお断りしておきたい。

2. 状態空間は–般の多様体でよいが、 簡単のため

上の確率微分方程式$\mathrm{R}^{d}$$dX(t)= \sum^{\mathrm{f}}i=1Li(x(t))\circ dw(it)+L_{0}(X(t))dt$,(1)$X(0)=x$を考えよう。 ここで$L_{i}:x\in \mathrm{R}^{d_{\text{ト}}}arrow Li(X)\in \mathrm{R}^{d}$は$\mathrm{R}^{d}$上の$C^{\infty}$,$i=0,1,$-vector field で、 $L_{i}(x)=(L_{i}^{k}(x))_{k=}^{d}1$ とすると、$\ldots,$$r$$L_{i}^{k}(x)$の 1 階以上の微分はすべて有界とする。 $L_{i}(x)$ は、 しばしば微分作用素$L_{i}(x)=k1 \sum_{=}^{d}L^{k}(_{X}i)\frac{\partial}{\partial x^{k}}$と同–視される。任意の固定された $T>0$ に対し、 $W_{0}(\mathrm{R}^{r})=\{w\in C([0, T]arrow \mathrm{R}^{r})|w(0)=0\}$ ,$P$を$W_{0}(\mathrm{R}^{r})$上の Wiener 測度とすると、 $(W_{0}(\mathrm{R}^{r}), P)$ ははその上で canonical に実現された$r$$\mathrm{r}$-次元 Wiener 空間で,

-次元 Wiener process となる。

$\circ$$w\in W_{0}(\mathrm{R}^{r})$は Stratonovich の意味の確率微分である。確率微分方程式の–般論で (1) の解 $X(t)=x(t;x, w)$ が–意的に存在し、各$x\in \mathrm{R}^{d}$

ごとに伊藤写像$X^{x}:.w\in W_{0}(\mathrm{R}^{r})\}arrow X(\cdot;x, w)\in W_{x}(\mathrm{R}^{d})(:=\{w\in C([0, T]arrow \mathrm{R}^{d})|w(0)=x\})$が定まる。 しかし、 この写像はあくまで Wiener 写像、 すなわち $P$-可測写像 (正確には、 互いに P-a.e. に–致する同値類の元)として定まるのであって、一般には (道の空間の–様収束位相に関

3し) 連続な代表元は存在せず、 -つ–つの固定された$w\in W_{\mathrm{o}(\mathrm{R}^{r})}$に対する$X(\cdot;X, w)\in W_{x}(\mathrm{R}^{d})$の値を意味付けることは出来ない。

これに対し、確率微分方程式の骨格 (skeleton) と云う概念がある。 これは、
$H=${$h\in W_{0}(\mathrm{R}^{r})|t\in[0,$ $T]\mapsto h(t)\in \mathrm{R}^{r}$$(H\text{のノルムは、}||h||_{H}=||\dot{h}||_{L^{2}([0},\tau]arrow \mathrm{R}^{r}))$$h\in H$は絶対連続、 かっ$\dot{h}=\frac{dh}{dt}\in L^{2}([\mathrm{o},$$\tau]arrow \mathrm{R}^{r})$}を Cameron-Martin Hilbert subspace とするとき、を与えて、 (1) の代わりに常微分方程式,$\frac{d\phi}{dt}(t)=\sum_{i=1}^{r}L_{i}(\phi(t))\cdot\frac{dh^{i}}{dt}+L_{0}(\phi(t))$(2)$\phi(0)=x$を考えたときの $-$ 意解 $\emptyset(t)=\phi(t;x, h)$ のことである。 このとき、 各$x\in \mathrm{R}^{d}$に対し、 写像 $h\in H\mapsto\phi(\cdot;x, h)\in W_{x}(\mathrm{R}^{d})$ が定まり、 Banach アフィン空間 $W_{x}(R^{d})$ -値写像として、連続
かつ Fr\’echet 微分の意味で$C^{\infty}$

であることも見易い。 $\phi(t;x, h)$ を $X(t;x, w)$ の骨格と云うのは、$X(t;x, w)$ が” ある意味で” $\phi(t;x, h)$ の$h$に $w$ を代入したものと考えられるからである。例えば、

Wong-Zakai による次の定理は、 そのことの–つの意味付けと考えられる。
『定理 1 』
$n=1,2,$$([\mathrm{W}\mathrm{Z}], [\mathrm{S}\mathrm{V}])$$\ldots$

簡単のため $T=1$ とする。 $w\in W_{0}(\mathrm{R}^{r})$ に対し、 $\pi_{n}(w)\in H$ ,, をその折線近似 :$\pi_{n}(w)(t)=(2^{n}t-k)w((k+1)2^{-n})+(k+1-2^{n}t)w(k2^{-}n)$ ,$t\in[k2^{-n}, (k+1)2^{-n}]$ ,$k=0,1,$$\ldots,$$2^{n}-1$, とするとき、$\phi(\cdot;x, \pi_{n}(w))arrow X(\cdot;x, w)$,$W_{x}(\mathrm{R}^{d})$での確率収束の意味で、$narrow\infty$が成り立つ。

この定理における $w\in W_{0}(\mathrm{R}^{r})$ を近似する H-値 Wiener 汎関数の列 $\pi_{n}(w)$ の選び方はデリケートであって、 単に $\pi_{n}(w)$ が $w$ に、 aa. $w$ で–様収束するだけでは、 定理の結論は得られない, ([IW] p.484 の$w$$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}$の例)。 このことは、$W_{x}(\mathrm{R}^{d})- \text{値}$の–様収束の位相に関し、 連続な変形を持たない (a$.\mathrm{e}$Wiener 汎関数 $X(t;x, w)$ が、. に–致する同値類の中に連続なものが無い) と云う事実の反映である。 このような伊藤汎関数の不連続性をしめす代表例として、 L\’evy の確率面積がある。確率面積の重要性は、 Wong-Zakai の近似定理を–般化した確率微分方程式の近似定理において、 既に認識されていた。 たとえば、 [IW] や「$\pi_{n}(w)$の $w$ への収束の他に、 $\pi_{n}(w)$ の面積積分の$\mathrm{K}$」 における近似定理はラフに云って、

L\’e 禍の確率面積への収束を保証する条件のもとで、 $\phi(\cdot, x.\pi_{n}(w))$ の $X(t;x, w)$ への収束が成り立つと云う –般原理の形で述べられている。 この

般原理は、以下で紹介する T. J. Lyons の–般論で明解になり、 その本質が解明されたと云える。
ここでは、 まず L\’e 禍の確率面積の示す不連続性を詳しく解析しておこう。

4$r\geq 2$

かつ$L_{0}(x)\equiv 0$$d=r(r+1)/2$ とし、

かつ $i=1,$ $\ldots,$ $r$$x\in \mathrm{R}^{d}$の座標を$x=(X^{i}, X^{(i,j}))1\leq i<j\leq r$

とかく。

に対し、

$L_{i}(x)= \frac{\partial}{\partial x_{i}}+j;\sum_{j<i}\frac{x^{j}}{2}\frac{\partial}{\partial_{X^{(j,i}})}-j;j\sum_{i>}\frac{x^{j}}{2}\frac{\partial}{\partial_{X^{(i,j}})}$と置き、 -次元 Wiener 空間上で確率微分方程式 (1) を考える。

このとき、 この初期値 $x=0$$r$に対する解 $X(t;0, w)$ は $X(t;0, w)=(w^{i}(t), s^{(i},j)(t, w))\text{、}$ ただし$S^{(i,j)}(t, w)= \frac{1}{2}\int_{0}^{t}w^{i}(S)\circ dw^{j}(_{S)-w^{j}(}S)\circ dw(is)$

,

(3)

$i<j$

で与えられる。 $S^{(i,j)}(t, w)$ 達を、 L\’evy の確率面積という。 $S^{(i,j)}(t, w)$ の骨格は、 通常の面積積分,$s^{(i,j)}(t, h)= \frac{1}{2}\int_{0}^{t}[h^{i}(s)j(s)-h^{j}(S)\dot{h}^{i}(s)]dS$で与えられる。 $s^{(i,j)}(t, h)$ は、の関数と考えても、
判るが、

$h$

$h$

$\dot{t}$

を固定して

について

に最大値ノルム$H$$i<j$ ,

-値の関数と考えても、あるいは$\mathrm{R}$上で連続であり、 Re’chet の意味で$([\mathrm{S}])$$t$$C^{\infty}$を動かして$W_{0}$(R)-値であることは容易にを与えたとき、 このノルムに関して決し$||h||_{\infty}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq s\leq t|h(s)|$て連続でないことも見易い。 この点に関し、 杉田(4)$h\in H$はもっと強い主張として、 $s^{(i,j)}(t, h)$ は、

Wiener 測度を許容する任意の $H$ 上のノルムにかんしても、 決して連続でないことを示した。 ここ
で Wiener 測度を許容する$H$上のノルムとは、 L. Gross の意味の可測ノルム$([\mathrm{G}])$, すなわち $H$ を

そのノルムで完備化して得られる Banach 空間を $B$ とするとき、 $B$ に Wiener 測度 1 がのっていること、 別の言葉でいうと、 $B$ 上に Borel 確率測度$\mu$が存在し、 三つ組 $(B, H, \mu)$ が Gross の意味で抽象 Wiener 空間になるということである。 Wiener 空間 $(W_{0}(\mathrm{R}^{r}), H, P)$ はそれ自身 $-$つの抽象 Wiener 空間であるが、 Wiener 測度の実現はこれに限る訳では無い。 より強いノルム(たとえば、 -H\"older norm $(\alpha<1/2)$ ) による抽象 Wiener 空間の方が、 より精密な実現であり、$\alpha$$H$上の関数もより連続になりやすい。

特に、 $s^{(i,j)}(t, h)$ も、 あるより精密な抽象 Wiener 空間では連続になるかもしれない。 しかし、杉田の結果は、 そうなることはない ;L\’evy の確率面積はその意味で Wiener 測度に関じ’ 本質的” に不連続だ、 ということを主張している。杉田の結果を正確に理解するために、 抽象 Wiener 空間に関する次の基本的事実を注意しておく。

1.

$(W_{0}(\mathrm{R}^{r}), H, P)$

を Wiener 空間、 $(B, H, \mu)$ を, (Cameron-Martin-空間 $H$ を共有する)

つの抽象 Wiener 空間とするとき、 それぞれの空間の $P$-可測関数 (の同値類) と \mu -可測関数(の同値類) との間に、 次の性質を満たす 1 対 1 対応が–意的に存在する。

(i) $h\in H$ に対応する 1 次の Wiener chaos $h(w)\in L^{2}(W_{0}(\mathrm{R}^{r}), P)$ と $h(x)\in L^{2}(B, \mu)$が対応する。

5(ii)$h_{1},$$\ldots,$$h_{n}\in H$と上の連続関数 $f(x_{1}, \ldots, x_{n})$ に対し、 $f(h_{1}(w), \ldots , h_{n}(w))$ と$\mathrm{R}^{n}$$f(h_{1}(x), \ldots, h_{n}(X))$(iii) $F_{n}(w)$ と$\tilde{F}_{n}(x)$が対応する。

が対応し、確率収束の意味で凡 $(w)arrow F(w)$ かつ瑞 $(x)arrow\tilde{F}(x)$となるとき、 $F(w)$ と$\tilde{F}(x)$が対応する。

以後、 この対応によって対応する $F$ と$\tilde{F}$は同じ Wiener 汎関数のそれぞれの空間上での表現と考え、 区別しない。

2. Cameron-Martin 空間 $H$ 上の関数

について、 次のことは同値である。

$\Phi(h)$(i) ある抽象 Wiener 空間 $(B, H, \mu)$ があって, $\Phi(h)$ は $H$ 上の $B$ の相対位相で連続。
(ii) ある抽象 Wiener 空間 $(B, H, \mu)$ と、 $B$ 上の連続関数 $F(x)$ があって、 $F|_{H}=\Phi$ となる。

($(\mathrm{i}\mathrm{i})$なら同じ $(B, H, \mu)$ で (i) が成り立つが、 (i) なら

象 Wiener 空間 $(B’, H, \mu^{;})$ 上で$\Phi$$(B, H, \mu)$にコンパクトに埋め込まれた抽の連続拡張が存在する)杉田の結果を定理として述べると次のようになる。

『定理 2 』
(1)$(B, H, \mu)$を任意の抽象 Wiener 空間とするとき、 $S^{(i,j)}(t, h)$ は, ( を固定して R-値の関$t$数と考えても、 あるいは

$t$

を動かして

$W_{0}(\mathrm{R})$-値の関数と考えても,) $H$ 上の $B$ の相対位相で連続でない。 このことは、 上の注意 2 より、 $s^{(i,j)}(t, h)$ は抽象 Wiener 空間 $(B, H, \mu)$ 上
で連続拡張を持たないといっても同じことである。

任意の抽象 Wiener 空間 $(B, H, \mu)$ を考えるとき、 上の注意 1 によって L\’evy の確率面

(2)

積 $S^{(i,j)}(t, w)$ に対応する $B$ 上のの関数と考えても、 あるいは

$t$

$\mu$

-可測関数 (の同値類) $S^{(i,j)}(t, X)$ は、 ( を固定して R-値
$t$

を動かして

$W_{0}(\mathrm{R})$-側の関数と考えても、) $B$ 上連続な変形を持たない。
証明の概略は次のようである。簡単のため $r=2$ で $\Phi:=s^{(2}1,$ ) $(1, h)$ の場合を考える。 $H$ 上の対称な Hilbert-Schmidt 作用素 $A$ が定まって、 $\Phi(h)--(Ah, h)_{H}$ となる。 $A$ の固有値、 固有関数も(式は省略するが) 具体的に求まり、 それらを$\Sigma_{k}|\lambda_{k}|=\infty$

, 即ち

$A$

$\lambda_{k}$,$\ldots$とするとき、基本的なことは、は、 Hilbert-Schmidt ではあるが、 トレ一スクラスではないと云う事実である。 しかも、 今の場合は、 固有値を並び変えると、$(B, H, \mu)$$k=1,2,$$e_{k}(t),$$\Sigma_{k=1}^{n}\lambda_{k}$は任意の値に近づきうる。

を任意の抽象 Wiener 空間とする。 $e_{k}\in H$ に対する 1 次の Wiener chaos を $e_{k}(x)$とし、れ, $n=1,2,$$\pi_{n}(x)=k\sum_{=1}e_{k}(_{X})ek\in H$$\ldots$6とおくと、 伊藤-西尾の定理 ([IN]) より、 $narrow\infty$ のとき、$\mu- \mathrm{a}.\mathrm{a}.x$に対し $B$ の位相で $\pi_{n}(x)arrow x$となり、 このことは固有関数 $\{e_{k}(t)\}$ の並べ方に無関係に成り立つ。 もし $\Phi(h)$ が $B$ 上で連続拡張 $F(x)$ を持つならば、 $\Phi(\pi_{n}(x))=F(\pi_{n}(x))arrow F(x)$ となるが、$\Phi(\pi_{n}(x))$$=$$\sum_{k=1}^{n}\lambda_{kk}e(X)^{2}$$=$$\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}(ek(X)2-1)+\sum^{n}\lambda_{k}k=1$

この右辺の第–項は、 固有関難の並べ方に無関係に、 $B$ 上での確率面積の実現$S^{(1,2)}(1, x)= \sum_{=k1}^{\infty}\lambda_{k}(ek(X)2-1)$へ収束する。 第二項は並べ方を変えると勝手な値に近づくから、 これは矛盾である。 したがって、$\Phi(h)$は $B$ 上で連続拡張 $F(x)$(2) の証明を持つことはない。

: 抽象 Wiener 空間 $(B, H, \mu)$ 上で、$S^{(1,2)}(1, x)=\Sigma_{k=1}^{\infty}\lambda_{k}(ek(X)2-1)$と$\mu- \mathrm{a}.\mathrm{a}.x$

で–致する連続関数 $F(x)$ が存在したとする。 このとき、$F(x+h)-F(x)=2\overline{h}(X)+(Ah, h)_{H}$ ,$h\in H,$$\mu-aa.x\in B$

が成り立つことが、 容易に示せる。 ここで、 $\overline{h}=\sum^{\infty}k=1\lambda k(ek, h)_{H}\cdot ek\in H.$のWiener chaos$\overline{h}(x)$これより、 1 次

は、 $B$ 上で連続変形をもつが、 そうすると $\overline{h}\in B’:=B$ の共役、 となることが知られている。 すると $x=0$ と置いて、$F(h)-F(0)=(Ah, h)_{H}$となるが、 これは $\Phi(h)=(Ah, h)_{H}$ が $B$ 上に連続拡張 $F(x)-F(\mathrm{O})$ をもっことを意味し、(1) と矛盾する。

3. $r\geq 2$ かっ $d=r(r+1)/2$ とし.
$H_{r}(\cong \mathrm{R}d\cong \mathrm{R}r\mathrm{x}so(d)):=\{x=(x^{i}, x^{(i}’ j))|1\leq i<j\leq r\}$と置き、 これに群演算を次のように定義する$x\cdot y:=z=(z^{i}, Z(i,j))$$H_{r}$$x=(x^{i}, x^{(i}’))j,$ $y=(y^{i}, y^{(i}’)j)$ に対し, ここで、$z^{i}=x^{i}+yi$

このとき

:

,

$z^{(i,j)}=X(i,j)+y^{(j}+ \frac{1}{2}(_{X^{ijj}}i,))y-xy^{i}$.

は、 $0=(0,0)$ を単位元とするべき零リー群になり、 これを、 -生成元、スッテプ 2 の$r$

自由べき零 ) 一群という。 $r=2$ のときは、 特に Heisenberg 群という。 $T>0$ を任意に固定し、$\uparrow$$D(T)=\{(S, t)|0\leq s\leq t\leq\tau\}$

7と置き、 次の空間を導入する。

{$=$$\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$$\omega=(\omega(s, t))$: $D(T)arrow H_{r}|$ 連続かつに対し $\omega(s, t)\cdot\omega(t, u)=\omega(S, u)\}$$0\leq s\leq t\leq u\leq T$『例 1 』 $H$ 上に、-値関数 $\omega[h]=(\omega[h](S, t)),$ $h\in H$ , が、$\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$$\omega[h](s, t)=(h^{i}(t)-h^{i}(s), S^{(j}i,)(s, t;h))\in\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$,によって、 定まる。 ここで$S^{(i,j)}(s, t;h)$$=$$\frac{1}{2}\int\int_{s\leq t\leq t\leq t}12([\dot{h}i)t_{1}\dot{h}j(t_{2})-\dot{h}j(t1)\dot{h}^{i}(t_{2})]dt1dt_{2}$$=$$\frac{1}{2}\int_{s}^{t}\{[h^{i}(\tau)-h^{i}(s)]\dot{h}j(\mathcal{T})-[h^{j}(\tau)-h^{j}(S)]\dot{h}i(\mathcal{T})\}d\mathcal{T}$.

『例 2 』 -次元 Wiener 空間 $(W_{0}(\mathrm{R}^{r}), H, P)$ 上に$r$が、 次の様に定まる$\Omega_{2}$(Rr)-値 Wiener 汎関数 $\omega[w]=(\omega[w](S, t))$:$\omega[w](_{S}, t)=(w^{i}(t)-w^{i}(S), s(i,j)(_{S}, t;w))\in\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$,ここで$S^{(i,j)}(S, t;w)$$=$$\frac{1}{2}\int\int_{S}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq t][\circ dw^{i}(t_{1})\circ dw^{j}(t2)-\circ dw^{j}(t1)\circ dw^{i}(t_{2})$$=$$\frac{1}{2}\int_{s}^{t}[w^{i}(\mathcal{T})-w^{i}(s)]\circ dw(_{\mathcal{T}}j)-[w^{j}(_{\mathcal{T}})-w(-js)]\circ dw^{i}(\tau)$『例 3 』 $c=(c_{ij})\in so(r)$ とする。例 2 において$\omega[w]$

.

の代わりに

$\omega_{c}[w](s, t)=(w^{i}(t)-w^{i}(S), s(i,j)(_{S}, t;w)+c_{ij}(t-s))\in\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$としたものも、$\Omega_{2}$(Rr)-値 Wiener 汎関数である。

特に、 $S^{(i,j)}(0, t;h)$ や $S^{(i,j)}(\mathrm{o}, t;w)$ は、前に定義された $S^{(i,j)}(t;h)$ や $S^{(i,j)}(t;w)$ と–致する。

$2<p<3$ とする。 $x=(X^{i}, X^{(i,j)})\in H_{r}$ に対し$x^{(1)}=(x^{i})\in \mathrm{R}^{r},$$x(2)=(x^{(i,j)})\in so(d)$す。 $\omega=(\omega(s, t)),$ $\theta=(\theta(s, t))\in\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$ に対し、$d^{(p)}( \omega, \theta)=0\leq S<\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\leq T\{\frac{|\omega^{(1)}(s,t)-\theta^{(1})(s,t)|}{|t-S|^{1}/p}+\frac{|\omega^{(2)}(s,t)-\theta^{(2})(s,t)|}{|t-s|^{2}/p}\}$と定義する。
$\Omega_{2}^{(p)}(\mathrm{R}^{r})=\{\omega\in\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})|d^{(p)}(0, \omega)<\infty\}$

と表わ

8

と置くと、

は、 距離

$\Omega_{2}^{(\mathrm{p})}(\mathrm{R}^{r})$$\Omega_{2}^{(p)}(\mathrm{R}^{r})\subset\Omega_{2}^{(p’)}(\mathrm{R}^{r})$汎関数$\omega[w]$「命題』

であり、埋め込みは連続かつコンパクトである。例 2 の

例 2 の \Omega 2(Rr)-値 Wiener 汎関数$\omega^{(1)}$$\omega_{c}[w]$$\omega[w]$(Rr)-値 Wiener

は、任意の $2<p<3$ に対し、$\ldots$$\Omega_{2}^{(p)}$(Rr)-値に関しても、 同様である。

の部分については、 よく知られていることである。

Wiener chaos だから、 $n=1,2,$の$\Omega_{2}$については、 次の命題が成り立つ。

Wiener 汎関数である。例 3 の証明は、に関し、 完備な距離空間となる。 $2<p<p’<3$ のとき、$d^{(p)}$$\omega^{(2)}$の部分についても、 2 次に対してモーメント評価$E[|\omega^{(2)}(s, t)|^{m}]\leq K|t-s|^{m}$,$m=1,2,$$\ldots$

がすぐ得られ、 それから Kolmogorov-Prohorov 連続性定理の証明と同様の評価を行って示せる。

T.Lyons の基本定理は次のように述べることができる。 上で与えた確率微分方程式 (1) の解 $X(t;x, w)$ とその骨格、即ち常微分方程式 (2) の解 $\phi(t;x, h)$ を考える。 Cameron-Martin 空
間$\mathrm{H}$上に、 距離 $d_{H}^{(p)}(h, g),$ $h,$ $g\in H$ を
$d_{H}^{(p)}(h, g)=d(p)(\omega[h], \omega[g])$によって、 定める。 ここで

『定理 3

(1)

は、 例 1 で定義されたものである。

$\omega[h]$$\text{』}([\mathrm{L}2])$

任意の 2 $<P<3$ に対し、 $\phi(\cdot;x, h)$ は (Banach アフィン空間$h\in H$ の距離$d_{H}^{(p)}$$W_{x}(\mathrm{R}^{d})$-値写像 考えて)$k$

に関する連続関数である。

(2)$\Omega_{2}^{(3)-}(\mathrm{R}^{r})=\cup\Omega 2<p<32(p)(\mathrm{R}^{r})$と置く。

$x\in \mathrm{R}^{d}$を与えると、 写像$F_{x}$:$F_{x}$:$\omega\in\Omega(23)-(\mathrm{R}r)-F(x\omega)\in W_{x}(\mathrm{R}^{d})$が存在して、 すべての $2<p<3$ に対し、 この写像の$\Omega_{2}^{(p)}(\mathrm{R}^{r})$して連続、 かつ
$F_{x}(\omega[h])=\phi(\cdot;x, h)$となる。 このような写像$F_{x}$

は–意的に定まる。

,$h\in H$への制限は、 距離$d^{(p)}$に関9(3) 上の命題より、例 2 の$\omega[w]$は、$\Omega_{2}^{(3)}-(\mathrm{R}^{r})- \text{値}$

Wiener 汎関数であるが、 $P-aa.w\in W0(\mathrm{R}^{r})$に対し$F_{x}(\omega[w])=X(\cdot;x, w)$が成り立つ。 もっと –般に、 例 3 の$\omega_{c}[w]$に対し、$F_{x}(\omega_{c}[w])=x_{\mathrm{C}}(\cdot;x, w)$が成立する。 ここで$X_{c}$

は、 確率微分方程式 (1) で、 $L_{0}(x)$ を$L_{0}(x)+ \sum 1\leq i<j\leq rCij[Li, L_{j}](_{X)}$で置き換えたものの解を表わす。
この定理は、 ラフに云って、 伊藤汎関数 $X(\cdot;x, w)$ は、 Wiener path $w=(w^{i})$ と、 その確率面
積 $S(t, w)=(S^{(i,j)}(t, w))$ をペアーにした Wiener 汎関数 $[w, s(\cdot, w)]$ の連続関数であることを主張する。実際、 Lyons は、$\Omega_{2}(\mathrm{R}^{r})$を固定して、 -つの rough pathの元$\omega$

を (order 2) の rough path と呼び、 $2<p<3$ となる$\omega\in\Omega_{2}^{(p)}(\mathrm{R}^{r})$を与えたとき、$\omega$で driven された” 微分方程式(5)$\frac{d\xi}{dt}(t)=i1\sum_{=}^{r}L_{i}(\xi(t))\cdot\frac{d\omega^{i}}{dt}+L_{0}(\xi(t))$の概念を定義し、 その” 解” を実際に構成して、 それを上は、$\omega$の $\omega^{(1)}=(\omega^{i})$$F_{x}(\omega)$$P$と定義した。 (この方程式は、見かけの部分のみに関係しているが、 実は方程式の定義により部分にも関係しているのである。) これは、本当にーつの rough path$\omega$$\omega^{(2)}=(\omega^{(i,j)})$のをあたえて展開される議論であるので、 確率論と無関係な実解析の世界であり、 その意味で完全に道ごとの取扱でもある。

Lyons の議論は、 rough path を–つ与えて、 次のようなステップで展開される。
(i) まず、 その path の iterated integral を path の multiplicative functional として定義する。 ここでは、 K. T. Chen$([\mathrm{C}])$による

iterated integral の代数的考察が一つの鍵とな

り、 道の p-th variation の解析が基本となる。

(ii)multiplicative functional を–般化した almost multiplicative functional の概念を導入し、 その応用として l-form の rough path による line integral を定義する。

(iii) l-form の rough path による line integral を用いて、 方程式 (5) の定義を与え、 その解の構或を Picard の逐次近似の方法で行う。

10

最後に、確率微分方程式の近似定理への応用について、考えてみよう。 Lyons の定理よりただちに従うこととして『定理 4 』

$W_{0}(\mathrm{R}^{r})$上の H-値 Wiener 汎関数の列 $\pi_{n}(w)$ が Wiener path $w$ の次の意味の近似

ある $2<p<3$ に対し, ( $\omega[\pi_{n}(w)],$$\omega[w]$は、 例$d^{(p)}(\omega[\pi_{n}(w)], \omega[w])arrow 0$$1_{\text{、}}$,:

例 2 で各々定義して)in prob.,$narrow\infty$,(6)であるとき、$\phi(\cdot; x, \pi_{n}(w))arrow X(\cdot;x, w)$

もっと –般に、$\omega[w]$を例 3 のin$W_{x}(\mathrm{R}^{d})$in prob.,,$narrow\infty$で置き換えたとき、 結論 (7) は、 解 $X$ を$\omega_{c}[w]$.

$X_{c}$(7)で置き換えて成立する。

[IW] や [K] にある近似定理を, ある意味で、 非常に–般的に述べた定理であり、 実

これは際 [IW] や [K] の定理に含まれない多くの場合をカバーしているものと思われる。 例として、$\pi_{n}(w)\in H$

が、 $H$ の正規直交基底 (ONB) $\{e_{n}(t), n=1,2, \ldots\}$ より、$\pi_{n}(w)=\sum_{1karrow-}ek(w)\cdot e_{k}$と与えられている場合を考えよう。 ここで、 $e_{k}(w)$ はの$e_{k}$に対応する 1 次の Wiener chaos、即ち次Wiener integral である :$e_{k}(w)= \sum_{i=1}\int_{0}1)r\dot{e}_{k}(it)dw^{i}(t$.

(いま、 簡単のため、 $T=1$ としている。)

まず、 伊藤-西尾の定理 ([IN]) より、 $2<P<3$ に対し、$\mathrm{a}.\mathrm{a}.$-w で$|| \pi n(w)-w||_{\mathrm{P}}:=0\leq S\sup_{<t\leq 1}\frac{|(\pi_{n}(w)-w)(t)-(\pi n(w)-w)(_{S)}|}{|t-s|^{1}/_{\mathrm{P}}}arrow 0$,$narrow 0$となる。
次に、 $1\leq i<j\leq r$ となる$i,$ $j$に対し、$S^{(i,j)}(s, t;\pi(nw))$$=$$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\sum(e_{k}(w)e\iota=1nl(w)-\delta k\iota)[\int_{s}^{t}\dot{e}_{k}^{i}(u)du\int^{u}S\dot{e}_{\iota}j(v)dv-\int^{t}s\dot{e}_{k}^{j}(u)du\int^{u_{6_{\iota}^{i}}}Sv()dv]$$+$$\sum_{k=1}^{n}[\int_{s}^{t}\dot{e}_{k}^{i}(u)du\int^{u}Sd\dot{e}^{j}(kvv)-\int^{t}sd\dot{e}_{k}(j)uu\int^{u}Sd\dot{e}^{i}k(v)v]$:$=I_{1}(n)(_{S}, t)+I2(n)(_{S,t})$11となる。 第 1 項については、$||I_{1}(n)(\cdot, \cdot)-S(i,j)$ $($., ;$\cdot$$w)||p/2:= \sup_{10\leq S<t\leq}\frac{|I_{1}^{(n)}(_{S},t)-s^{(j}i,)(_{S},t)|}{|t-s|^{2}/p}arrow 0$となることが示せる。 このことは、 $(e_{k}(w)el(w)-\delta_{k}l),$ $k,$ $l=1,2,$の空間$C^{2}$$\ldots$,

in prob.,

が 2 次の Wiener chaos

での直交基底であることに注意すれば、 $n$ について–様なモーメント評価が得られ、Kolmororov-Prohorov 型の評価を行なうことにより従う。詳細は省略する。我々は、の$narrow\infty$$\omega[\pi_{n}(w)]$における極限点が知りたい訳だが、 このためには、 deterministic な第 2 項:$\Omega_{2}^{(p)}(\mathrm{R}^{r})$$I_{2}^{(n)}(s, t)= \sum_{=k1}^{n}[\int_{s}^{tu}\dot{e}^{i}(ku)du\int^{u}S)\dot{e}^{j}(kvvd-\int^{t}sd\dot{e}_{k}(ju)u\int S\dot{e}(iv)kdv]$の $narrow\infty$ のときの挙動を、解析すればよいことが判った。特に、 定理 4 の前提

めには、 次の条件 (8) が云えればよい(6) が成り立つた:$||I_{2}^{()}n(\cdot, \cdot)||\mathrm{p}/2arrow 0$,$narrow\infty$.

(8)

従って、 $I_{2}^{(n)}(s, t)$ に対する条件 (8) が成り立つときは、定理 (4) の結論 (7) が導かれることが判った。

条件 (8) が、 自明に確かめられる例として、 次の場合がある。 $L^{2}([0,1]arrow \mathrm{R})$$\{f_{n}(u)\},$$n=1,2,$$\ldots$

の

ONB

より、

$f_{n,i}(u)=(fn,i(u)^{j})j=1\in L^{2}r([0,1]arrow \mathrm{R}^{r})$,$i=1,$$\ldots,$$r$, $n=1,$$\ldots$,を、$f_{n,i}(u)^{j}=\delta ijf_{n}(u)$で定めるとき、 $\{.f_{n,i}(u)\},$ $i=1,$
$H$

の

ONB

$\{e_{k}\}$か乳$\ldots,$$r$, $n=1,$$\dot{e}_{k}(.u)=\{f_{n,i}(u.).\}$である。 従って、 このような$\{e_{k}\}$,$\ldots$$j=1,$, は$-$$\ldots r$$L^{2}([0,1]arrow \mathrm{R}^{r})$として与えられる場合には、の$I_{2}^{(n)}.\equiv 0$

ONB となるが、となることは明らかの場合に条件 (8) が成り立ち、 結局、 この場合には、 定理

4(4) が成り立つ。定理 1 の折線近似は、 その典型的な例であり、 それは $\{f_{n}(u)\}$ として Haar 関

数系を取った場合である。

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