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実数係数の 3 次方程式の解の公式作成とその使い方
さわはた澤幡みちまさ通正伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．解の公式の実数解である。

 についての 3 次方程式a +b +c+d=0

よって，……(＊)の解の公式を作成する。ただし，係数はすべて実数とする。
=−bとおいて (＊) を  の 3 次方程式に変
3a4A
4A
B− B +B+ B +2727，m=l =22としても一般性を失わない。
l，m は実数であるから
4A
B− B +27，2換する。

a −  b b b+b −+c −+d=03a3a3al=4AB+ B +
272

展開して整理すると

a + c−m=b
2b bc+−+d=03a27a 3a

1b
1 2b bcc−
+−+d =0aa 27a 3a3a……①

=−l−m， +A+B=0……②l=の形の 3 次方程式が解ければよいことが分かる。
ここで，l，m を実数とするとき，恒等式=(+l+m){ −(l+m)+l −lm+m}……③が成り立つから，③ の左辺と ② の左辺を比較すると，−3lm=A……④l +m=B……⑤A④ より，lm=−として，両辺を 3 乗すると3l m=−A
27……⑥⑤，⑥ より，l ，m は 2 次方程式
t −Bt−A
=027……⑦4A
B− B +27，2m= −3lm+l +ml+m± 3 (l−m)i2

ただし① の形から 3 次方程式 (＊) は

よって，③ より，② の解はa0 であるから
 +4A
B+ B +272

したがって，3 次方程式 (＊) の解は
=−bbl+m± 3 (l−m)i−l−m，−+3a3a2

ただし，A=1b
1 2b bcc−，B=−+daa 27a 3a3aのとき，
l=4A
B− B +27，2

m=

4A
B+ B +2729とする。

である。更に，p=[注意]
3 次方程式の解の公式は，係数が複素数の場合でも方程式 ⑦ 以下の式を適当に修正すれば得られる。
ただし，高校の範囲で複素数の平方根は扱えない。
係数を実数に限定した 3 次方程式の解の公式は，恒等式イとおくと，pq= ウ
ら，a= カ111−
 273エ，p −q = オ，b=− キ=a +b +c −3abc……⑧⑵

数学Ⅱ(数研出版)
P 36 演習問題 3 ⑴)を利用して作成した。

⑴ で求めた変曲点の  座標を a として，=+a を関数 f () に代入せよ。

⑶

3 次方程式  +3 +9+5=0 を解け。

ヒント：恒等式(a+b+c)(a+b +c −ab−bc−ca)

1 】⑴ のように因数定理を利用できる形に限られて=a+b +c −3abc を利用してよい。

いる。ところが，2020 年からの新テストでは，例えば，花子さんと太郎さんの対話形式で【問題 1 】⑵ のような 3 次方程式の解を求めることが考えられる。
参考として【作問例】を作成した。3 次方程式の解の公式の使い方も学習できるのではないかと考える。
また，出題する場合は適宜空欄を作ればよい。

(高等学校数学科用

数学Ⅱ(数研出版)
P 56

例題 10)

3 次方程式  +3 +9+5=0 を解け。
その際，対話の流れとなるのは，恒等式 ⑧ を利用する今回紹介した解法と考えられる。例えば，2018年の摂南大・文系では以下のような問題が出題された。問題文中の波線部分は，恒等式 ⑧ を利用している (【問題 2 】参照)。
【問題 2 】(2018

数学Ⅰ・Ⅱ・A・B

入試問題集理系，数研出版

P 11)

整数 a，b を係数とする  の 3 次方程式3 +a+b=0 は無理数
111=+
 273 

111−− 273 を解にもつとする。このとき，a，b を求めよう。
まず，(− p+q){ +( p−q)+ p + pq+q }

10

共同して解くために，放課後に交わされたものである。
花子：今日の授業で扱ったように，⑴ は関数 f ()を 2 回微分すれば求められそうね。

だね。 f ″()=0 とおくと，=−1 となって，この3 次方程式  +4 −8=0 を解け。

= + アの授業で上のような課題が出された。以下の会話は

f ′()=3 +6+9， f ″()=6+6【問題 1 】



ある日，花子さんと太郎さんのクラスでは，数学

太郎：えっと，§2．問題例⑵

であるかが得られる。

教科書で扱われている 3 次方程式は，次の【問題⑴

座標を求めよ。

(高等学校数学科用

，q=関数 f ()= +3 +9+5 の変曲点の (a+b+c)(a +b +c −ab−bc−ca)



【作問例】
⑴

111+ 27
3pq− p +q 

値の前後で， f ″() の符号が変化するから，答えは，
=−1 だね。
花 子：⑵ は a=−1 だ か ら， f () に =−1 を代入すればよいわね。
太郎：代入はf (−1)=(−1)+3(−1)+9(−1)+5 だね。
花子：(−1) を展開すると， −3 +3−1 だね。
太郎：他の項も展開すると，
3(−1)=3 −6+3，9(−1)=9−9となるね。
花子：これらを f (−1) に代入して整理すると，⑵の答えは，f (−1)= +6−2となるわね。
太郎：残るは ⑶ のみ。授業の最後に，
 3 次方程式は 2 次の項を含まないa +b+c=0 の形のものが解ければ，一般の 3次方程式の解が求められると板書していたような……。

花子：この問題の場合は 3 次方程式  +6−2=0

花子：それなら，bc=−2 の両辺を 3 乗した等式の解が求まれば，3 次方程式  +3 +9+5=0b c =−8 を作ると，b  と c  は 2 次方程式の解は，=−1 で求まるというわけね。

t +2t−8=0 の 2 つの解と考えられるわよ。

太郎： 3 次方程式の解を求める方法は，まず因数定

太郎：これなら解ける。因数分解すると，理を利用できるかを考えるんだったね。3 次方程式(t+4)(t−2)=0 から

t=−4，2 +6−2=0 は整数解はないことはすぐにわかる

花子：b，c は実数だから，b=− 4 ，c= 2 またけど。

は b= 2 ，c=− 4 かな。もっとも b，c は対称

花子：ヒントの恒等式を使うのでしょうね。複数のだから，b=− 4 ，c= 2 だけでよいでしょうね。



文字を含んだ式は，着目する文字の次数に注目するのだったわね。
太郎：恒等式の右辺は，a，b，c のどの文字に着目しても 3 次式……。
花子：それなら，a を  に書き換えてみたらどうかしら。
太郎：(+b+c)( +b +c −b−bc−c)= +b +c −3bcとなるね。左辺と右辺を交換して書いてみると
太郎：ここで， −3bc+(b +c )=0 の解は，
=−b−c または −(b+c)+(b −bc+c )=0だね。さらに  −(b+c)+(b −bc+c )=0 の解は，b，c は実数だから，
=(b+c)± (b+c)−4(b −bc+c )
2=(b+c)± 3 (b−c)i2となるね。

 +b +c −3bc=(+b+c)( +b +c −b−bc−c)
花子：なるほど，両辺とも  について降べきの順に整理すると，
 −3bc+(b +c )=(+b+c){ −(b+c)+(b −bc+c )}となるわね。すると，左辺の形の 3 次式は，右辺のように因数分解できるわけね。
太郎：左辺のような形をしていれば，3 次方程式
 −3bc+(b +c )=0 が解けるというわけだ。
花子：今回の 3 次方程式  +6−2=0 は，−3bc=6 かつ b +c =−2と考えればよいのね。
太郎：あとは，bc=−2 と b +c =−2 から b，cの値を求めればよいわけだ。2 つの式だから，どちらかの文字を消去して，残りの文字について解けば求まるはずだが，あまりやりたくないなあ。

花子： b と c の値を代入すると，3 次方程式
 +6−2=0 の解は 4 + 2 ± 3 (− 4 − 2 )i
= 4 − 2 ，2
太郎：やっと 3 次方程式  +3 +9+5=0 の解が求まる。⑶ の答えは，


=−1+ 4 − 2 ，−1+

 4 + 2 ∓ 3 ( 4 + 2 )i2

だね。1 つの解が =−1+ 4 − 2 では，因数定理は使えないわけだ。
《参考文献》〔 1 〕 数学Ⅱ，数研出版〔 2 〕 2018P 36，P 56

数学Ⅰ・Ⅱ・A・ B

理系，数研出版

入試問題集

P 11
(茨城県

水戸葵陵高等学校)

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