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数理解析研究所講究録
第2061巻 2018年 48-55

群整環上の表現加群のヴァーテックスについて
名古屋市立大学

河田成人

Shigeto Kawata
Nagoya City University(K, \mathcal{O}, k) をかモジュラー系 ( p は素数) とする.すなわち, \mathcal{O} は標数 0 の完備離散付値環で極大イデアル $\pi$ \mathcal{O} を持つもので,その剰余体 k=\mathcal{O}/ $\pi$ \mathcal{O} は正標数 p の体であるとし, Kは \mathcal{O} の商体とする.

R で \mathcal{O} または k を表し,有限群 G の R 上の群環を RG で表す.

直既約 \mathcal{O}G ‐加群 L と kG‐加群 L/ $\pi$ L の直既約分解 L/ $\pi$ L=M_{1}\oplus\cdots\oplus M_{n} に対し,ある直既約因子 M_{i} (1\leq i\leq n) でそのヴアーテックスが L のヴアーテックスに一致するものが存在するかという問題を,Auslander‐Reiten quiverと関連付けて考察したい.

有限群の表現論について詳しくは[NT], [B] を参照してください.
1. 群環上の直既約加群のヴァーテックス
ここで RG‐加群とは R 上有限生成な右 RG‐加群を意味し, RG‐表現加群 ( RG‐lattice) とは R‐自由な RG ‐加群を意味するものとする.
H を G の部分群とする.

RH ‐加群 W に対し,誘導された RG ‐加群 W\uparrow^{G}=W\otimes_{RH}RG

を W\uparrow^{G} で表す.また, RG‐加群 V に対し,作用を H に制限して RH ‐加群とみなしたもの
を V\downarrow H と書く. RG‐加群 U, V に対して U|V と書くことは,U が V のある直和因子に同型であることを表す.
RG‐加群 V が次の性質を持つとき,V は H ‐射影的であるという:

RG ‐加群の完全列 U\rightarrow V\rightarrow 0 が RH ‐加群の完全列と見て分裂していればRG ‐加群の完全列として分裂している.
RG ‐表現加群 Vが \{1_{G}\} ‐射影的であるとは,Vが射影的であることを意味する.

直既約 RG‐加群 V に対し, G の部分群の集合{ H\leq G

V : H ‐射影的}における極小部分群を V のヴァーテックスと呼び,vx(V) で表す.vx(V) は G の p‐部分群であり,共役を除いて一意的に定まることが知られている.

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さて,直既約 \mathcal{O}G‐表現加群 L に対し,次の性質 (\star) を考える :(\star)kG ‐加群 L/ $\pi$ L のある直既約因子は vx(L) をヴアーテックスとして持つ.

性質 (\star) を持つ直既約 \mathcal{O}G‐表現加群の例を幾つか挙げてみよう.
群環 RG を環として直既約分解したときの直和因子をブロックと呼ぶ.

加群であれば,V は実質的にはあるブロック B 上の加群である.

V が直既約 RG‐

RG のブロツク B に対し,G の銑部分群からなる次の集合{vx(V) |V :直既約 B ‐加群 }における極大部分群は共役を除いて一意的に定まり, B の不足群と呼ばれる.

G のSylow p‐部分群の位数を p^{s} とし,ブロック B の不足群の位数を p^{d} とする.このとき,

B ‐表現加群

V の階数は p^{s-d} で割り切られるのでp^{s-d+\mathrm{h}\mathrm{t}(V)} \Vert \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}_{R}V (\exists_{\mathrm{h}\mathrm{t}(V)}\in \mathbb{Z}_{\geq 0})と表される.この非負整数 ht (V) を V の高さと呼ぶ.
例1.1のとき,\mathcal{O}G のブロック B に属する直既約 \mathcal{O}G ‐表現加群 L は高さが 0 であるとする.こL のヴアーテックスは B の不足群 D に一致する.また,

kG‐加群 L/ $\pi$ L の直既約分解において,ある直既約因子 M は高さが 0 である.従って, M のヴアーテックスは D である.特に, p' ‐階数の直既約 \mathcal{O}G‐表現加群 L (すなわち p\paral el \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}_{\mathcal{O} L ) のヴアーテックスは
G のSylow p-分群であり,L は性質 (\star) を持つ.

Q:=\mathrm{v}\mathrm{x}(V) を直既約 RG‐加群 V のヴアーテックスとすると,

S| V\downarrow Q, V| S\uparrow^{G}を満たす直既約 RQ ‐加群 S が (共役を除いて) 一位的に存在する.この S を V のソースと呼ぶ.

例1.2

Q を G のか部分群とし, L を自明な \mathcal{O}Q ‐表現加群 \mathcal{O}_{Q} をソースに持つ \mathcal{O}G‐表現加群 (trivial source \mathcal{O}G ‐lattice) とする.

Lのヴアーテックスは Q である.このとき,L/ $\pi$ L は自明な kQ ‐表現加群 k_{Q} をソースに持つ直既約な kG‐加群であって, L/ $\pi$ L のヴアー
テックスは Q である.

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これ以降は,銑モジュラー系 (K, \mathcal{O}, k) について次の条件 (#) を仮定する :(#) (K, \mathcal{O}, k) はある p‐モジュラー系 (K', \mathcal{O}', k') の分岐指数3以上の拡大であり,k=k^{r} は代数閉体である.

kG ‐加群 M に対し, M を \mathcal{O}G ‐加群と見徹したときの射影被覆を P_{M} とし,その核を Z_{M}

とおく : 0\rightarrow Z_{M}\rightarrow P_{M}\rightarrow M\rightarrow 0. Z_{M} を M のHHeller \mathcal{O}G ‐表現加群と呼ぶ.

条件 (#) のもとでは,直既約 kG‐加群 M のHeller \mathcal{O}G‐表現加群 Z_{M} は直既約であることが保証される [K2].

例1.3 [K2, Proposition 2.2]

直既約 kG ‐加群の M のHeller \mathcal{O}G‐表現加群 Z_{M} のヴァ-テックスは M のヴアーテックスに等しく, Z_{M}/ $\pi$ Z_{M}\cong M\oplus $\Omega$ M が成り立つ.

2. 性質 (\star) を持たない直既約 \mathcal{O}G ‐表現加群

Feit の本に,直既約 \mathcal{O}G‐表現加群 L で, kG ‐加群 L/ $\pi$ L は直既約で vx(L) \neq>\mathrm{v}\mathrm{x}(L/ $\pi$ L) となる例が記載されている [ \mathrm{F} , page 111]. この節では,概分裂列に注目することで性質 (\star) を持たない直既約 \mathcal{O}G‐表現加群を見い出せることを紹介したい.

RG ‐表現加群の短完全列 \mathcal{A} :0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow^{f}Z\rightarrow 0 は次の3条件を満たすとき,概分裂列と呼ばれる :(i) \mathcal{A} は分裂していない.

(ii) X, Z は直既約である.

(iii) RG ‐準同型 g:W\rightarrow Z が分裂全射でなければ f を通過する.
L が射影的ではない直既約な RG ‐表現加群ならば, L で終わる概分裂列が一意的に存在することが知られている ([AR], [R]).

L の概分裂列を \mathcal{A}(L) : 0\rightarrow $\tau$ L\rightarrow m(L) \rightarrow L\rightarrow 0と表すことにする.Auslander‐Reiten translator $\tau$ は,operator) であり,R=\mathcal{O} のときは $\tau$=$\Omega$(HellerR=k のときは $\tau$=$\Omega$^{2} である.次の命題で述べるように,概分裂列によってHeller 表現加群は特徴付けられる.
\mathcal{O}G ‐表現加群の短完全列 S : 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0 から導かれる kG ‐加群の短完

全列 0\rightarrow X/ $\pi$ X\rightarrow Y/ $\pi$ Y\rightarrow Z/ $\pi$ Z\rightarrow 0 を \overline{S} で表す.

51

命題2.1 [ \mathrm{K}2 , Theorem 4.4]

‐モジュラー系 (K, \mathcal{O} , 紛は条件 (#) を満たすとする.

p(1) 直既約 kG‐加群 M の Heller \mathcal{O}G‐表現加群 Z_{M} について次が成り立つ :\overline{\mathcal{A}(Z_{M})} =\mathcal{A} (M) \oplus [分裂列 0\rightarrow $\Omega$ M\rightarrow $\Omega$ M\oplus $\Omega$ M\rightarrow $\Omega$ M\rightarrow 0 ](2) 直既約 \mathcal{O}G‐表現加群 L がHeller 表現加群でなければ, \overline{\mathcal{A}(L)} は分裂する.
例2.2

Q(\neq 1) を G の正規か部分群とし,直既約 \mathcal{O}G‐表現加群 T は自明な \mathcal{O}Q ‐表現加群をソースに持つとする.このとき, T のヴアーテクスは Q である.
中間項を m(\mathrm{T}) とおく.また,T の概分裂列 \mathcal{A}(\mathrm{T}) のT が属するブロック B は無限表現型と仮定する.すなわち,

B は互いに非同型な直既約 \mathcal{O}Q ‐表現加群を無限個持つとする.このとき,ある [ \mathrm{K}4 , Theorem 3. 1]. さらに,m(\mathrm{T}) は直既約でkG ‐加群 T/ $\pi$ T は既約ではないと仮定しよう.すると\mathrm{v}\mathrm{x}(T)<\neq \mathrm{v}\mathrm{x}(m(\mathrm{T})が成り立つ ([IH], [K4, Lemma 2.6]). また, T/ $\pi$ T は直既約であるので,例1.3から, T はHeller \mathcal{O}Q 表現加群ではない.従って,命題2.1(2) から \overline{\mathcal{A}(T)} は分裂する.すなわちm(T)/ $\pi$ m(T)\cong T/ $\pi$ T\oplus $\Omega$ T/ $\pi \Omega$ T
ここで T/ $\pi$ T は自明な kQ ‐加群をソースに持ち , ヴァーテックスは Q である. $\Omega$ T/ $\pi \Omega$ T\cong$\Omega$(T/ $\pi$ T) のヴアーテックスも Q なので, m(\mathrm{T}) は性質 (\star) を持たない.
注意2.3

G が r 群で

T:=\mathcal{O}_{Q}\uparrow^{G} (1 \neq<Q<\neq G) の場合は, \mathrm{v}\mathrm{x}(m(T))=G であることがInoue‐Hieda によって示されている [ \mathrm{I}\mathrm{H} , Proposition 3.2].
P と Q(\neq 1) は G のか部分群で, Q は P の真の正規部分群であるとする. T:=\mathcal{O}_{Q}\uparrow^{P}とし, S:=m(T) ( T の概分裂列の中間項) とおく.このとき例2.2と注意2.3から \mathcal{O}P ‐表現加群 S のバーテックスは P で, S/ $\pi$ S の各直既約因子のバーテックスは Q である.いまXは直既約 \mathcal{O}G‐表現加群で S をP‐ ソースに持つものとする.このとき,Xは性質 (\star) を持
たず, X/ $\pi$ X のある直既約因子のヴアーテックスは Q であり,その他の直既約因子についても,それらのヴアーテックスは Q に含まれる.このことは,次の事実の一例と言える.

命題2.4

P と Q(\neq 1) は G の銑部分群で ,Q は P の真の正規部分群であるとする.このとき,次の性質 (i) , (ii) を持つ直既約 \mathcal{O}G‐表現加群 X が存在する :(i) vx(X) =P.

52(ii) kG‐加群 X/ $\pi$ X の各直既約因子のヴアーテックスは Q に含まれ,それらのうちの少なくとも一つは Q に一致する.

3. Auslander‐Reiten 連結成分とヴァーテックス

概分裂列と Auslander‐Reiten quiver は密接な関係がある.この節では Auslander‐Reitenquiver に注目して,直既約 \mathcal{O}G‐表現加群のヴアーテックスを考察しよう.
群環 RG のAuslander‐Reiten quiver $\Gamma$(RG) とは,直既約 RG ‐表現加群の同型類の全体を点集合とし,直既約 RG‐表現加群 L から L^{r} に既約写像と呼ばれる RG ‐準同型写像が存在するときに矢 L\rightarrow L' を引くことで描かれる有向グラフのことである.ここで f : L\rightarrow L'が既約写像とは, f=g\circ h と写像の積の形で書けるのは g が分裂単射であるか h が分裂全射であるかのいずれか自明な場合しかないときをいう.Auslander‐Reiten 理論については,[ASS], [ARS], [E1], [W], [Y] を参照してください.
\mathrm{r}(R\mathrm{G}) の連結成分 $\Theta$ をAuslander‐Reiten 成分と呼び,$\Theta$ のstable part群 ( 入射加群) を取り除いて得られる有向グラフ) を $\Theta$_{s} と書く.
=

( $\Theta$ から射影加G の部分群からなる集合\{\mathrm{v}\mathrm{x}(L)|L\in$\Theta$_{s} \}には極小なものが共役を除いて唯一存在する ([Kl, Propositon 3.2], [IH]) が,それを $\Theta$ のヴァーテックスと呼び, \mathrm{v}\mathrm{x}( $\Theta$) と書く.

モジュラー表現 (R=k) の場合に,Okuyama‐Uno によって次の定理が示された.

定理3.1[OU]

群多元環 kG のブロツク B のAuslander‐Reiten 成分 $\Delta$ のtree class がA_{\infty} であれば,次のいずれかが成り立つ :(i) {vx(X) |X\in$\Delta$_{s} } =\{Q\}.
(ii) {vx(X) |X\in$\Delta$_{s} } =\{Q, P\}, Q<P\neq.

なお (ii) の場合,$\Delta$ のグラフの端に位置する直既約 kG ‐加群のヴアーテックスは Q であり,$\Delta$ の端に位置しない直既約 kG ‐加群のヴアーテックスは P である.

ちなみに, kG のブロック B がwild 表現型であれば, B の任意の Auslander‐Reiten 成分のtree class は A_{\infty} であることがErdmann によって示された [E2]. 宇野‐奥山の定理を踏まえて,整数表現における Auslander‐Reiten quiver $\Gamma$(\mathcal{O}G) の連結成分 $\Theta$ に対し, \{\mathrm{v}\mathrm{x}(X) |X\in$\Theta$_{s}\}について考察したい.

$\Theta$ のヴァーテックス \mathrm{v}\mathrm{x}( $\Theta$) について次が言える.

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命題3.2 [K6, 定理2.5]

射影的ではない直既約 \mathcal{O}G ‐表現加群 L は性質 (\star) を持つとし, L を含む Auslander‐Reiten 成分を $\Theta$ とする.

$\Theta$ がHeller \mathcal{O}G ‐表現加群を含まなければ,\mathrm{v}\mathrm{x}(L)=\mathrm{v}\mathrm{x}( $\Theta$) が成り立つ.

まず,群整環 \mathcal{O}G のブロックのAuslander‐Reiten 成分 $\Theta$ で{vx(X) |X\in$\Theta$_{s} } =\{Q\} となる例を挙げる.

例3.3とする.

L を高さが 0 の直既約 \mathcal{O}G‐表現加群とし, L を含む Auslander‐Reiten 成分を $\Theta$
L が属するブロック B が無限表現型であれば, $\Theta$ はHeller 表現加群を含まない :実際,もし $\Theta$ がHeller 表現加群を含めば,$\Theta$ に含まれるすべての直既約 \mathcal{O}G ‐表現加群の階数が |G|_{p} で割り切れる [K5, Lemma 2.4(1)] が, L の高さが 0 であることに矛盾する.ところ
で,例1.1で見たように L は性質 (\star) を持つので,命題3.2から $\Theta$_{s} の任意の直既約 \mathcal{O}G‐表
現加群 X に対し \mathrm{v}\mathrm{x}(L)=D\leq \mathrm{v}\mathrm{x}(\mathrm{X}) (ここに D は B の不足群) が言えて, D=\mathrm{v}\mathrm{x}(\mathrm{X}) が成り立つ.すなわち, \{\mathrm{v}\mathrm{x}(X) |X\in$\Theta$_{s}\}=\{D\} が従う.特に,表現加群であれば {vx(X) |X\in$\Theta$_{s} }=L が〆‐階数の直既約 \mathcal{O}G-{Sylow p‐‐部分群} である.

以下で,群整環 \mathcal{O}G のAuslander‐Reiten 成分 $\Theta$ で \{\mathrm{v}\mathrm{x}(X) |X\in$\Theta$_{S}\}\supseteq\{Q, P\}(Q\neq<P)となる例を挙げよう.例2.2と Auslander‐Reiten 成分にまつわる Green 対応 [ \mathrm{K}6 , 系2.10]を考え合わせると,次が分かる.

例3.4

Q を G の p‐部分群とし, \mathcal{O}Q ‐表現加群 T は自明な \mathcal{O}Q ‐表現加群をソースに持つとする.さらに, T が属するブロック B は無限表現型とし, T のGreen 対応子 f\mathrm{T} について fT/ $\pi$ fT は既約な kG‐加群でないとする.このとき, T の概分裂列の中間項 m(L) は直既約であり, \mathrm{v}\mathrm{x}(T)\leqq \mathrm{v}\mathrm{x}(m(\mathrm{T}) が成り立つ.すなわち,T と m(\mathrm{T}) を含む Auslander‐Reiten

成分を $\Theta$ とすると,次が言える :{vx(X) | X \in $\Theta$_{8} } \supseteq {vx(T), \mathrm{v}\mathrm{x}(m(\mathrm{T}) } (ここでvx(T) \neq<\mathrm{v}\mathrm{x}(m(T)) )またこのとき,$\Theta$ は A_{\infty} 型であり,T は $\Theta$ の端に位置している [ \mathrm{K}4 , Theorem 3.1].

最後に,宇野‐奥山の定理3. 1 (ii) のAuslander‐Reiten 成分 $\Delta$ に注目し, $\Delta$ の端に位置する kG‐加群の Heller \mathcal{O}G ‐表現加群を含む Auslander‐Reiten 成分を考えたい.

54

例3.5

直既約 kG ‐加群 M は A_{\infty} 型の Auslander‐Reiten 成分 $\Delta$ の端に位置しているとし,\mathrm{v}\mathrm{x}(M)=Q とする.また, M の概分裂列 \mathcal{A}(M) の中間項 m(M) は直既約で, \mathrm{v}\mathrm{x}(m(M))=

P>\neq Q とする. Z_{M} を M のHeller \mathcal{O}G ‐表現加群とする. \mathcal{A}(Z_{M}) の中間項 m(Z_{M}) は直既約である [ \mathrm{K}3 , Theorem 5.1] が,命題2.1(1) から, m(M) が m(Z_{M})/ $\pi$ m(Z_{M}) の直既約因子として現れる.従って, \mathrm{v}\mathrm{x}(m(Z_{M})) \geqq \mathrm{v}\mathrm{x}(m(M)) =P>\neq Q を得る.また,例1.3から\mathrm{v}\mathrm{x}(Z_{M})=Q である.従って, Z_{M} と m(Z_{M}) を含む Auslander‐Reiten 成分 $\Theta$ とすると,次が言える :{vx(X) | X \in $\Theta$_{8} } \supseteq \{Q =\mathrm{v}\mathrm{x}(Z_{M}), \mathrm{v}\mathrm{x}(m(Z_{M}))\}
なおこのとき,$\Theta$ は A_{\infty} 型であり,(ここで Q <\neq \mathrm{v}\mathrm{x}(m(Z_{M})) )Z_{M} は $\Theta$ の端に位置している [K3, Theorem].

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