数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 193-198

193

4 つの放物元に関するトレース恒等式について (その 2)
島根大学総合理工学部 中西敏浩 (Toshihiro Nakanishi)
Shimane University

1. トレース恒等式 $A,$ $B,$ $C\in SL(2, \mathbb{C})$ に対して次式が成り立っ。
(1) trA $=trA^{-1}$(2) trAtrB $=trAB+trAB^{-1}$
この 2 つからさまざまなトレース恒等式が得られる ([1] の \S 34 を参照). 次の補題はその一例である。

Lemma 1. $A,$ $B,$ $P\in SL(2, \mathbb{C})$ , trP $=-2$ であるとする。 $a=trA,$ $b=$ tr ,$c=trAB,$ $x=-a-trAP,$ $y=-c-trABP,$ $z=-b$ -trBP とおくと
$B$$x^{2}+y^{2}+z^{2}-ayz-bxy+czx=0$2 つの放物元$P_{1},$$P_{2}\in SL(2, \mathbb{C})$(1)が固定点を共有しないとき(2)$P_{1}P_{2}=-Q^{2}$をみたす $Q\in SL(2, \mathbb{C})$ が符号を除いて一意的に存在する ( $Q$ が (2) をみたせば、 $-Q$もそうである)。 この$Q$は同時に(3)$P_{2}=Q^{-1}P_{1}Q$$P_{n+1}=P_{1}$ の隣り合うどの 2 つも固定点を共有をみたす。 放物元の列しないとき
を $P_{i}P_{i+1}=-Q_{i}^{2}(i=1,2, \ldots, n)$ をみたすように選ぶ。 ただしこれらは符号を除いて定まるから通りの選び方があることに注意。 このとき
$P_{1},$$P_{n},$$P_{2},$$\ldots,$$Q_{1},$$Q_{n}$$\ldots,$$2^{n}$$trQ_{1}Q_{2}\cdots Q_{n}=-2$

または $trQ_{1}Q_{2}\cdots Q_{n}=+2$である。 $(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n})$ は前者であれば (-) 系、 後者であれば $(+)$ 系と呼ぶ。

Theorem 1. ([3])
る。 $Q_{1,}.Q_{2},$$Q_{3},$$P_{1},$$Q_{4},$$P_{2},$$Q_{5},$は放物元であり、 相異なる固定点を持つものとす$P_{3},$ $P_{4}$$Q_{6}$を$P_{1}P_{2}=-Q_{1}^{2}$,$P_{2}P_{3}=-Q_{2}^{2},$$P{}_{3}P_{4}=-Q_{3}^{2}$$P_{4}P_{1}=-Q_{4}^{2}$,$P_{3}P_{1}=-Q_{5}^{2}$,$P_{2}P_{4}=-Q_{6}^{2}$,となるように選ぶ。 $Q_{5}’=P_{1}Q_{5}P_{1}^{-1},$ $Q_{6}’=P_{4}Q_{6}P_{4}^{-1}$ とおく。 もし194$(Q_{1}, Q_{2}, Q_{5}),$$(Q_{5}’, Q_{3}, Q_{4}),$$(Q_{1}, Q_{6}, Q_{4}),$$(Q_{6}’, Q_{2}, Q_{3})$がすべて (-) 系

あるいは、 これと同値な条件$(Q_{1}, Q_{2}, Q_{5}),$$(Q_{1}, Q_{6}, Q_{4})$および $(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4})$ がすべて (-) 系がみたされれば$trQ_{1}trQ_{3}+trQ_{2}trQ_{4}=trQ_{5}trQ_{6}$(4)Lemma 2. $A,$ $B,$ $P\in SL(2, \mathbb{C}))$ trP $=-2$ であるとする。
$PA^{-1}PA=-Q_{1}^{2},$ $A^{-1}PABPB^{-1}=-Q_{2}^{2},$をみたす$Q_{1},$$Q_{2},$$Q_{3}$$BPB^{-1}P=-Q_{3}^{2}$を

trQ $1=-trA-trAP,$ $trQ_{2}=-trAB-trABP$ trQ3 $=-trB$ -trBP)となるように選ぶと $(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})$ は (-) 系
証明.

$x=trQ_{1},$ $y=trQ_{1},$ $z=trQ_{1},$xyztrQ 1$a=trA,b=trB,c=trAB$ とおく。

$Q_{2}Q_{3}$$=trQ_{1}^{2}Q_{2}^{2}Q_{3}^{2}+trQ_{1}^{2}Q_{2}^{2}+trQ_{2}^{2}Q_{3}^{2}+trQ_{3}^{2}Q_{1}^{2}+$tr $Q_{1}^{2}+trQ_{2}^{2}+trQ_{3}^{2}+2$だから、 右辺が $-2xyz$ に等しいことを示せばよい。 $P_{1}=P,$ $P_{2}=A^{-1}PA,$ $P_{3}=$$BPB^{-1}$ とおく。
$trQ_{1}^{2}Q_{2}^{2}Q_{3}^{2}+trQ_{1}^{2}Q_{2}^{2}+trQ_{2}^{2}Q_{3}^{2}+trQ_{3}^{2}Q_{1}^{2}+trQ_{1}^{2}+trQ_{2}^{2}+trQ_{3}^{2}+2$$=$$-trP_{1}^{2}P_{2}^{2}P_{3}^{2}+trP_{1}P_{2}^{2}P_{3}+trP_{2}P_{3}^{2}P_{1}+trP_{3}P_{1}^{2}P_{2}-trP_{1}P_{2}-trP_{2}P_{3}$$-trP_{3}P_{1}+2$$=2trP_{1}P_{2}P_{3}+2trP_{1}P_{2}+2trP_{2}P_{3}+2trP_{3}P_{1}-4$$=2(trPA^{-1}PABPB^{-1}-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2)$
ここでtr $PA^{-1}PABPB^{-1}$$=$$=$$=$$trPA^{-1}PABtrPB^{-1}-trA^{-1}$

PAB2(tr $PA^{-1}trPAB$ -trA2 $B$ ) $trPB^{-1}-btrA^{-1}$ PAB-2(tr $PA^{-1}trPAB-ac+b$) $trPB^{-1}$$-b[a(trABP)-2b+c(trA^{-1}P)+2ab-trPB]-2$$[(x-a)(-c-y)-ac+b](z-b)$$-b[a(-c-y)-2b+(x-a)c+2ab+z+b]-2$$=-xyz-cxy+ayz+bxy-2$

$=$

195
したがって$2(trPA^{-1}PABPB^{-1}-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2)$$=2(-xyz-x^{2}-y^{2}-z^{2}+ayz+bxy-cxy)$$=$$-2xyz$

よって $(Q_{1)}Q_{2}, Q_{3})$ は (-) 系である

口$\circ$

2. 振れのある三角形と振れのない三角形$F$を向き付け可能な種数$g$の閉曲面とし、$p$を $F$ の 1 点とする。 $F’=F-\{p\}$とおくと $F’$ の基本群 $G$ は表示(5)$G=\langle a_{1}, b_{1}, \ldots, a_{9}, b_{g}, c:(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})\cdots(a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1})c=1\rangle$は放物型かつ $tr\rho(c)=-2$ をみたすもをもつ。 は $G$ の忠実な $SL(2, \mathbb{C})$ 表現でのとする。 $T$ を $F$ に埋め込まれた ideal triangle とすると、 は $T$ の 3 つのエンドを対応させる。 $Q_{1}^{2}=-P_{1}P_{2},$ $Q_{2}^{2}=-P_{2}P_{3}$ ,(頂点の近傍) に 3 つの放物元が符号の差を除き一意に定まる。 ここではどのよ$Q_{3}^{2}=-P_{3}P_{1}$ をみたす$\rho(c)$$\rho$$\rho$$P_{1},$$P_{2},$$P_{3}$$Q_{1},$ $Q_{2},$ $Q_{3}$

うに $(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})$ を選べば (-) 系 (あるいは $(+)$ 系) になるかについて論じる。の2.1. 平面三角形の 3 頂点を同一視した図形 を含む曲面 を考える。
における正則近傍は three-holed sphere であるか、 あるいは one-holed torus であの untwisted triangle としての実現、後者の場合にる。 前者の場合には $(T, S)$ をが予めわ力\supset っている場合の twisted triangle としての実現という。
は $(T, S)$ をを前者の場合は untwisted triangle, 後者の場合は twisted triangle と呼ぶこと
は
$S$

$T$

$S$

$T$

$T$

$S$

$T$

$T$にする。

twisted triangle

untwisted triangle

同一視された $T$ の頂点を辺は $S’$ の 3 つの ideal arc$P$$c_{1},$を除いた曲面とする。 $T$ の 3とする。 $S’$ を $S$ からを定める。 をこれらのうちの一っとし、 を$P$$c_{2},$$c_{3}$$c$

また単位開区間からの連続写像$c:I^{o}=(0,1)arrow S’$$c$196と同一視する。 は $c(O)=c(1)=p$ とおいて曲線 : $I=[0,1]arrow F$ に拡張できる。
区間 $I=[0,1]$ を閉円板 $D=\{(x, y)\in \mathbb{R}^{2} : (x-1/2)^{2}+y^{2}\leq 1\}$ 内の区間$\{(x, 0):0\leq x\leq 1\}$ と同一視する。 はめ込み写像
$c$

$c$

$\varphi:Darrow S$を$\varphi$の $I$ への制限が $c$ と一致するように選ぶ。 このとき $\hat{c}=\varphi(\partial D)$ は $S’$ 上の閉曲線である。 $c=$ 果 $(i=1,2,3)$ のときの$\hat{c}$を薩とおく。の基本群 $\pi_{1}(S’)$ の忠実な $SL(2, \mathbb{C})$ 表現 で $S’$ のの回りのノレープのホモトピー類を $-2$ をトレースにもつ放物元に写すものをーつ選ぶ。 のホモト
$S’$$\rho$$\hat{q}$

ピー類もまた奄と記す。 (こうした abuse of notation は以下でもよく用いるのとき $A,$ $B\in SL(2, \mathbb{C})$ が存在して次をみたす。
$\rho(\hat{c}_{1})=PA^{-1}PA,$$Q_{1},$ $Q_{2},$$Q_{3}\in SL(2, \mathbb{C})$$\rho(\hat{c}_{2})=A^{-1}PABPB^{-1},$$S$$Q_{1},$$Q_{2},$$Q_{3}$) こ$\rho(\hat{c}_{3})=BPB^{-1}P$(6).

(7)

を次のように選ぶ。

$Q_{1}^{2}=-PA^{-1}PA,$ $Q_{2}^{2}=-A^{-1}PABPB^{-1},$ $Q_{3}^{2}=-BPB^{-1}P$

ただし$\circ$は一意的には定まらない。

上の単純閉曲線果 $\cup\{p\}(i=1,2,3)$ の正則近傍 $N$ を選ぶ。 その境界は $S’$ 内の 2 っの単純閉曲線$d_{i},$$d_{i}’$からなる。 $\rho(d_{i})=C_{i}’,$ $\rho(c_{i}’’)=C_{i}’’$ とおくと$tr^{2}Q_{i}=(trC_{i}’+trC_{i}’’)^{2}$が成立する。 $trC_{i}’+trC_{i}’’$ は表現$\rho$にのみによって決まる量であることに注意する。

もし$trQ_{i}=-trC_{i}’-trC_{i}’’$をみたすように選ぶならば次が成り立っ。

Proposition.
は (-) 系である。

を上のように選ぶ。もし $T$ が untwisted であれば $(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})$$T$ がtwisted であれば $(Q_{1)}Q_{2}, Q_{3})$ は $(+)$ 系である。

$Q_{1},$ $Q_{2},$ $Q_{3}$

証明は Lemma 2 の応用である。 $T$ が untwisted である場合と twisted である場合との結果の違いは次のような理由から生じる。 (6) における $A,$ $B$ は $\rho(\pi_{1}(S’))$ の標準生成系$\rho(\pi_{1}(S’))=\{\begin{array}{ll}( A, B, C, P :ABCP =1) ( T \text{が} untwisted)(A, B, P:ABA^{-1}B^{-1}P=1) ( T \text{が} twisted)\end{array}$197の一部になる。 $T$ が untwisted ならば、 例えば(8)$trC_{1}’+trC_{1}’’=trA+trAP,$ $trC_{2}’+trC_{2}’’=trAB+trABP$

であれば,$trC_{3}’+trC_{3}’’=trB+trBP$となるが、 $T$ が twisted ならば (8) のようになったときは$trC_{3}’+trC_{3}’’=trB^{-1}+trB^{-1}P=-trB$ -trBPとなる。

2.2. 表示 (5) をもつ 1 点穴あき曲面 $F’$ の基本群

$G$の忠実な $SL(2, \mathbb{C})$ 表現$\rho$

でとなるものの同値類全体の空間を $R$ とする。 $F’$ は $d+1(d=6g-4)$
個の ideal arcs による三角形分割 (ideal riangulation) $\Delta=(c_{1}, \ldots, c_{d+1})$ をもつ。 $F$とする。
上の単純閉曲線果俺 $\{p\}(i=1,2, \ldots, d+1)$ の正則近傍の境界曲線を$tr\rho(c)=-2$$t$$d_{i},$$d_{i}’$

に対して$[\rho]\in R$$\lambda_{c:}(\rho)=-tr\rho(c_{i}’)-tr\rho(c_{i}’’)$

とおく。

Theorem 2 写像$\Phi_{\Delta}$:$Rarrow \mathbb{C}^{d+1}$:$\Phi_{\Delta}([\rho])=(\lambda_{c_{1}}(\rho), \lambda_{c_{2}}(\rho),$ $\cdots\lambda_{\epsilon_{d+1}}(\rho))$は単射であり、 したがって $R$ の大域座標系を与える。
像$\Phi_{\Delta}(R)$は$\mathbb{C}^{d+1}$で定義されたある多項式の零点集合に含まれることがわかっている。の補空間の成分) は untwisted なが一辺 $e\in\Delta$ を共ものと twisted なものに分類される。 今 2 つの triangleとする。 ただし四の残りの辺をの残りの辺を $a,$有しているとする。とが対辺になっているものとする。 $Q$ のもう辺形 $Q=S_{1}\cup e\cup S_{2}$ においてから を除き $f$ を加えることによって新しい三角形とするとき一つの対辺をとおく (下図参照)Qを得る。 $Q$ を $f$ で分割してできる triangle を分割からはから ( における)elementary move によって得られるという。
$\Delta$が定める (ideal) triangle(すなわち$c_{1},$$\ldots,$$c_{d+1}$$S_{1},$$b,$$S_{1}$$a$$f$$\Delta$$S_{2}$$\Delta$$\epsilon_{1},\epsilon_{2}$$T_{2}$$\Phi_{\Delta}(R)$$e$$S_{1},S_{2},T_{1},T_{2}$が twisted であるか untwisted であるかによって$\lambda_{e}\lambda_{f}=\epsilon_{1}\lambda_{a}\lambda_{c}+\epsilon_{2}\lambda_{b}\lambda_{d}$

ここで

$d$

$e$

$T_{1},$

への座標変換は次のようになる。

$\Phi_{\Delta’}(R)$

$c,$

$c$

$\Delta^{j}$$\Delta’$$S_{2}$

は表の通りである ([2] の \S 5)。

(9)

198

2.3. 上の 22 節で述べた結果はすでに [2] に与えられているが、 (-) 系. $(+)$ 系という用語を導入することによって証明をある意味で「代数化」することができた。
ここでは once punctured surface の場合を考えたが、 一般の punctured surface でも同様に議論ができる。 我々の目標は Penner の論文 [4] の結果をできるだけそのままの形で穴あき曲面群の表現の空間に拡張することであった。 我々が定義した -length が多価 (2 価) 関数なので、 いろいろと困難を引き起こしていたが、 特別な三角形分割から始めて elementary move を行うごとに -lengths を与えるの行列 ((7) に対応するもの) が (-) 系であるか $(+)$ 系であるかに注意し$SL(2, \mathbb{C})$$\lambda$$\lambda$$SL(2, \mathbb{C})$ながら座標変換することによって、一般の三角形分割に対する$SL(2, \mathbb{C})$表現空間の座標系を得ることができる。

参考文献
[1]

Maclachlan, C. and A. W. Reid, .The Anthmetic of Hyperbolic 3-manifolds,Springer, GTM 219, Springer Verlag, 2003.

[2]

Nakanishi, T. and M. N\"a\"at\"anen, complexification of lambda length as parameter
representation space of punctured surface $gr$ oups, J. London. Math.
forSoc., 70 (2004), 383-404$SL(2, \mathbb{C})$[3]

Naikanishi, T., A trace identity for parabolic elements ofJ., 30 (2007), 1-18.

[4]Penner, R. C. The decorated $Teichm?Uer$ space of punctured surfaces. Comm.
Math. Phys. 113 (1987), 299-339.

$SL(2, \mathbb{C})$, Kodai Math.