数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 90-95

90

グラフから構成されるスピントーリック多様本
大阪市立大学理学研究科$\dagger$

畑中

$*$

美帆

Miho Hatanaka
Department of Mathematics, Faculty of Sciences
Osaka City University\S 1. グラフからのトーリック多様体の構成
この節では，グラフからトーリック多様体を構成する方法を紹介する．この報告書では、 グラフ $G$ を $n+1$ 頂点の有限単純グラフ，その頂点集合を $V(G)=\{1, 2, .とする．グラフ $G$ に対して集合 $B(G)$ を，グラフ $G$ を$I$

例 1 以下のパスグラフを考える．

$\emptyset$

この瑞に対し， $B(G)$ は以下のようになる．

{2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3

$B(G)$ の各元の中括弧を省略して，以下のように簡略化して表す．

$B(G)=\{1, 2, 3, 12, 23, 123 \}.$

次に， $B(G)$ から graph associahedron $P_{B(G)}$ を以下のように定義する．
$P_{B(G)}= \sum_{I\in B(G)}\triangle_{I}\subset \mathbb{R}^{n+1}$

出典 :「変換群の位相幾何と代数構造」数理解析研究所講究録．
〒 558-8585 大阪府大阪市住吉区杉本 3-3-138, n+1\}$

は $B(G)$ に含めない．

$\overline{123}$$B(G)=\{\{1\}$ ,.に制限した時に連結グラフになの集合とする．ただし，空集合るような $V(G)$ の部分集合$P_{3}$$I$.

91
ここで，和の記号はミンコフスキー和を意味し，$e_{1}$, . . . , $e_{n+1}$ はが連結の時$\mathbb{R}^{n+1}$

グラフ $G$ が$k$

は $\{e_{i}|i\in I\}$ の convex hull,の標準基底である． $P_{B(G)}$ は Delzant polytope になり，グラフ $G$のある超平面上にある$\mathbb{R}^{n+1}$$\triangle_{I}$次元の多面体になる ([3]).

$n$個の連結成分を持つとすると，グラフ $G$ はの非交和である．各連結グラフ$G_{i}$$k$

個の連結グラフ$G_{1}$,...,$G_{k}$の頂点の数を $v_{i}+1$ とする．この時 graphical build-ing set $B(G)$ は各連結グラフの graphical building set $B(G_{i})$ の非交和になり，graphassociahedron $P_{B(G)}$ は各連結グラフの graph associahedron
る．ここで， $P_{B(G)}$ は$\mathbb{R}^{n+1}$に埋め込まれており，各$i$$P_{B(G_{i})}$に対して $P_{B(G}$ のはめ込まれている．さらに $v_{1}+\cdots+v_{k}+k=n+1$ が成り立つ．各$\pi_{G_{i}}:\mathbb{R}^{v_{i}+1}arrow \mathbb{R}^{v_{i}}$の直積になってい$i$に埋に対して，射影を $(x, x)\mapsto x$ で定義し，射影 $\pi_{G}:\mathbb{R}^{n+1}arrow \mathbb{R}^{n+1-k}=\mathbb{R}^{v_{1}+\cdots+vk}$ を$(x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{k}, x_{k})\mapsto(x_{1}, \ldots, x_{k})$で定義する．この時，$\pi_{G}(P_{B(G)})=\pi_{G_{1}}(P_{B(G_{1})})\cross\cdots\cross\pi_{G_{k}}(P_{B(G_{k})})\subset \mathbb{R}^{v_{1}+\cdots+v_{k}}$$\pi c(P_{B(G)})$$\mathbb{R}^{v_{i}+1}$の各 facet に，facet vector を対応させる写像をグラフ $G$ が連結の時， $\pi c(P_{B(G)})$ と$\lambda_{B(G)}$$\lambda_{B(G)}$.

(0.1)とする．

を組合せ論的に求めることができる．まず$n+1$ 頂点の連結グラフ $G$ に対して $B(G)$ を求める． $n$ 次元の単体を一つとり，各 facetにグラフの頂点 1, . . . , $n+1$ を対応させる．頂点の $I=1\ldots n+1$ を除く各元 $I=i_{1}\ldots i_{k}$$\iota$$i$に対応する facet を疏で表す． $B(G)$こ対して，face$F_{i_{1}}\cap\cdots\cap F_{i_{k}}$を切り，新しくできた facet に $I=i_{1}\ldots$ 毎を対応させる．従って，graphical building set $B(G)$ の$V(G)$ を除く各元に対して facet が対応する．この方法でできた多面体は $\pi_{G}(P_{B(G)})$ になる．

$\lambda_{B(G)}$は以下のようにして決める．
$\lambda_{B(G)}(F_{I})=\sum_{i\in I}v_{i}.$ここで， $v_{i}=e_{i}(i=1, \ldots, n)$ , $v_{n+1}=-e_{1}-\cdots-e_{n}$ とする．
あとは [1] の方法で (実) トーリック多様体 $M(G)(M_{\mathbb{R}}(G))$ が構成できる．

グラフ $G$ が$k$個の連結グラフ$G_{1}$,...,$G_{k}$の非交和の時，(0.1) よりトーリック多様体 $M(G)$ は直積 $M(G_{1})\cross\cdots\cross M(G_{k})$ に微分同相になる．同様に実トーリック多様体$M_{\mathbb{R}}(G)$は直積$M_{\mathbb{R}}(G_{1})\cross\cdots\cross M_{\mathbb{R}}(G_{k})$に微分同相になる．

\S 2. グラフに対応するスピントーリック多様体
グラフ $G$ から構成できるトーリック多様体 $M(G)$ にスピン構造が入るかどうかと，実トーリック多様体$M_{\mathbb{R}}(G)$が向き付け可能かどうかを判定するために，以下の命題を使

92う． $P$ を $m$ 個の facets を持つ単純凸多面体，$\lambda$$\lambda$

を $P$ 上の characteristic function,$\lambda$’をと modulo 2 で合同な写像とする． $(P, \lambda)$ から [1] の方法で構成される擬トーリック多様体を $M(P, \lambda)$ , small cover をとする．

$M_{\mathbb{R}}(P, \lambda)$

命題 2 以下の 3 つは同値である．

(1) $M(P, \lambda)$ がスピン構造を持つ．
が向き付け可能である．

(2)$M_{\mathbb{R}}(P, \lambda’)$(3)$\epsilon(\lambda’(F))=\{1\}$となるから$\mathbb{Z}_{2}^{n}$$\mathbb{Z}_{2}=\{0$, 1 への準同型写像 が存在する．ここで，$\}$$\epsilon$$F$は単純凸多面体 $P$ の facets の集合とする．

(2) と (3) の同値については [2] により証明されている．
単純凸多面体の face cut は対応するトーリック多様体の blow-up に対応する．詳しくは， $F$ を単純凸多面体 $P$ のする．各 facet$F_{i}$$k$のラベルを個の facets$\lambda(F_{i})$$F_{1}$,...,$F_{k}$の交わりである余次元$k$の face ととする．face $F$ を切ると，新しい facet ができ，そのfacet のラベルを $\lambda(F_{1})+\cdots+\lambda(F_{k})$ で決める．このようなラベル付き単純凸多面体に対応する擬トーリック多様体は，元の単純凸多面体に対応する擬トーリック多様体を face
$F$に対応する部分多様体で blow-up したものになる．

有限単純グラフ $G$ から構成されるトーリック多様体 $M(G)$ にスピン構造が入るかどうかと実トーリック多様体$G$$M_{\mathbb{R}}(G)$の向き付け可能性について述べる．以下しばらくグラフが連結であることを仮定する．

例3(1) グラフ

$G$が 1 点からなるグラフの時，対応するトーリック多様体と実トーリック多様体はともに 1 点である．これにはスピン構造が入り，向き付け可能と決める．

(2) グラフ$G$が 2 点からなる連結グラフの時， $\pi_{G}(P_{B(G)})$ は 1-simplex であり，対応するトーリック多様体はスピン構造が入り，$\mathbb{C}P^{1}$$\mathbb{R}P^{1}$,実トーリック多様体は$\mathbb{R}P^{1}$である．命題 2 より，$\mathbb{C}P^{1}$にはは向き付け可能である．

定理 4 $G$ を $n+1$ 個の頂点を持つ連結グラフとする $(n\geq 2)$. この時，トーリック多様体$M(G)$ にはスピン構造は入らず，実トーリック多様体 $M_{\mathbb{R}}(G)$ は向き付け不可能である．

グラフ $G$ が非連結の場合を考える．グラフ $G$ が連結グラフ$G_{1}$,...,$G_{k}$の非交和とす

ると，トーリック多様体 $M(G)$ は $M(G_{1})$ , . . . , $M(G_{k})$ の直積と微分同相になる．
補題 5 多様体 $M$ が多様体

$M_{1}$,...,$M_{k}$の直積に微分同相とする．

93(1) $M$ にスピン構造が入るための必要十分条件は，各 に対して$i$$M_{i}$にスピン構造が入ることである．

(2) $M$ が向き付け可能であるための必要十分条件は，各 に対して$i$$M_{i}$が向き付け可能であることである．

補題 5 から以下の定理が成り立つ．
定理 6 $G$ を有限単純グラフとする．

(1) $M(G)$ にスピン構造が入るための必要十分条件は $M(G)$ が$(\mathbb{C}P^{1})^{k}$に微分同相であることである．

(2)$M_{\mathbb{R}}(G)$が向き付け可能であるための必要十分条件は$M_{\mathbb{R}}(G)$が$(\mathbb{R}P^{1})^{k}$に微分同相であることである．

さらにこの時のグラフは，$k$個の 2 頂点からなる連結グラフと有限個の 1 点からなるグラフの非交和である．

\S 3. BuiIding set に対応するスピントーリツク多様体
前節では，グラフから構成されるトーリック多様体にスピン構造が入るかどうかと実トーリック多様体の向き付け可能性について調べたが，この節では building set から構成されるトーリック多様体にスピン構造が入るかどうかと実トーリック多様体の向き付け可能性について述べる．building set から第 2 節で述べた方法で (実) トーリック多様体を構成することができる．
定義 7 $S$ を有限集合とする． $B$ が $S$ 上のある building set であるとは， $B$ が以下の(1),(2) を満たす，空でない(1) 各 に対して$i$(2) $B$ の元 $I,$

$J$$\{i\}$$S$の部分集合の集合である．

が $B$ の元である．の交わりがあれ$I$$t$と $J$ の和集合は $B$ の元である．

全体集合 $S$ が $B$ の元である時， $B$ を連結な building set という．

graphical building set は building set であるので，building set から構成できるトーリック多様体の方が graph から構成できるトーリック多様体よりも多い．さらに building

set$B$からできる単純凸多面体$P_{B}$は nestohedron という．

例8(1) $S=\{1\}$ とする．

$S$上の building set $B$ は{1} しかないので，nestohedron$P_{B}$は194点である．従って，(実) トーリック多様体 $M(B)(M_{\mathbb{R}}(B))$ は 1 点である．
(2) $S=\{1$ , 2 とする． 上の building set $B$ は{1, 2} か{1, 2, 12} しかない．
$S$$\}${1, 2} の時，nestohedron$\mathbb{C}P^{1}$

実トーリック多様体は,(3) $S=\{1$ , 2, 3 とする．
$\}$

$S$

がは 1 点なので，(実) トーリツク多様体 $M(B)(M_{\mathbb{R}}(B))$ は$P_{B}$1 点である． $B$ が{1, 2, 12} の時，nestohedron
様体は

$B$

$\mathbb{R}P^{1}$$P_{B}$

は 1 単体であるので，トーリック多である．

上の building set $B$ は本質的に次の 6 つある．

{1, 2, 3}, {1, 2, 3, 12}, {1, 2, 3, 12, 23, 123}, {1, 2, 3, 12, 23, 31, 123},{1, 2, 3, 123}, {1, 2, 3, 12, 123}.
それぞれの nestohedron

は 1 点，1 単体，5 角形，6 角形，2 単体，4 角形$P_{B}$

である．最後の building set からできるの像は$\lambda_{B}$$\{e_{1}, e_{2}, -e_{1}-e_{2}, e_{1}+e_{2}\}.$

従って，それぞれの building set からできるトーリツク多様体 $M(B)$ は 1 点，$\mathbb{C}P^{2}\# 3\overline{\mathbb{C}P^{2}},$$\mathbb{C}P^{1},$$\mathbb{C}P^{2}\# 2\overline{\mathbb{C}P^{2}},$$\mathbb{R}P^{1},$$3\mathbb{R}P^{2},$ $4\mathbb{R}P^{2},$ $\mathbb{R}P^{2},$$\mathbb{C}P^{2},$$2\mathbb{R}P^{2}$$\mathbb{C}P^{2}\#\overline{\mathbb{C}P^{2}}$. 実トーリック多様体 M 触 (B) は 1 点，

. 最後の 2 つはグラフからは構成できない．

以下しばらく building set が連結であることを仮定する．
定理 $9S$ を $n+1$ 個の元を持つ有限集合 $\{1, 2, . . . , n+1\},$$B$を $S$ 上のある連結なbuilding set とする．この時以下の 3 つは同値である．

(1) $M(B)$ にスピン構造が入る．
(2)$M_{\mathbb{R}}(B)$が向き付け可能である．

(3) $M(B)$ の複素次元$n$が奇数で，$B\backslash \{S\}$の任意の元 $X$ の位数が奇数である．

以下，building set が連結であることを仮定しない．
$S$

$B$

を $n+1$ 個の元を持つ集合， $B$ を $S$ 上のある非連結な building set とする．この時は連結な building setsを持つ有限集合$S_{i}$$B_{1}$,...,$B_{k}$の非交和である．各$i$に対して上のある連結な building set とする．さらに $S$ は$B_{i}$$S_{1}$

は $v_{i}+1$ 個の元,...,$S_{k}$の非交和であり，以下が成り立つ．
$v_{1}+\cdots+v_{k}+k=n+1.$

非連結グラフから graph associahedron を構成した時と同様に，nestohedron

nestohedrons$P_{B_{i}}$は$\mathbb{R}^{v_{i}+1}$$P_{B_{i}}$の直積になっている．ここで，に埋め込まれている．各で定義し，射影$i$$P_{B}$はに対して，射影$\pi:\mathbb{R}^{n+1}arrow \mathbb{R}^{n}1-k=\mathbb{R}^{v_{1}+\cdots+v_{k}}$$\mathbb{R}^{n+1}$$P_{B}$

は各に埋め込まれており，各$\pi_{i}:\mathbb{R}^{v_{i}+1}arrow \mathbb{R}^{v_{i}}$を $(x, x)\mapsto x$

を $(x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{k}, x_{k})\mapsto(x_{1}, \ldots, x_{k})$95で定義する．この時，以下が成り立つ．
$\pi(P_{B})=\pi_{1}(P_{B_{1}})\cross\cdots\cross\pi_{k}(P_{B_{k}})\subset \mathbb{R}^{v_{1}+\cdots+v_{k}}.$

従って，トーリック多様体 $M(B)$ は直積 $M(B_{1})\cross\cdots\cross M(B_{k})$ に微分同相になる．同様に実トーリック多様体$M_{\mathbb{R}}(B)$は直積$M_{\mathbb{R}}(B_{1})\cross\cdots\cross M_{\mathbb{R}}(B_{k})$に微分同相になる．

補題 5 から以下の定理が成り立つ．

定理 10 $S$ を有限集合， $B$ を $S$ 上の building set とする．さらに， $B$ は連結な buildingsets$B_{1}$,...,$B_{k}$の非交和とし，各 に対して$i$

$B_{i}$

は有限集合亀上の building set とする．

この時，次の 3 つは同値．

(1) $M(B)$ にスピン構造が入る．

(2)$M_{\mathbb{R}}(B)$は向き付け可能である．

(3) 各 building set$(I)B_{i}$$B_{i}$

が以下のどちらかを満たす．の位数が 1.

(II) トーリック多様体 $M(B)$ の複素次元$n$が奇数であり，$B_{i}\backslash \{S_{i}\}$の任意の元$X_{i}$の位数が奇数である．

注意 11 トーリック多様体の 1 次のコホモロジー群は自明である．従って，トーリック多様体にもしスピン構造が入ったとすると，それは一つだけである．

参考文献[1] M. W. Davis and T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus
actions, Duke Math. J. 62 (1991), 417-451.

[2] H. Nakayama and Y. Nishimura, The orientability of small covers and coloring

simple polytopes, Osaka J. Math. 42 (2005), 243-256.

[3] A. Zelevinsky, Nested complexes and their polyhedral realizations, Pure and Applied Mathematics Quarterly volume 2, no. 3 (2006), 655-671.