数理解析研究所講究録
第 1687 巻 2010 年 139-147

139

成分が RDS である一般アダマール行列の構成
熊本大学・教育学部 平峰豊 (Yutaka Hiramine)
Faculty of Education, Kumamoto University

1

Introduction

群 $G$ の元を成分とする行列を用いて一般アダマール行列が定義されて, それによりsymmetric transversal design が得られる ([1]). これに対して変形一般アダマール行列は群環の元を成分として行列が定義されて, それを用いることにより非対称な場合を含めて transversal design が得られる ([4]).
ここでは, さらに少し異なる視点から一般アダマール行列を一般化して変形

一般アダマール行列の構成に利用することを考える. すなわち, 一般アダマー
ル行列では与えられた群 $U$ の元を成分としてもつ行列$[d_{ij}]$が任意の異なる 2

行 $i,j$ に対して $(*) \sum_{t}$ ditdjt $-1_{=\lambda U}$ を満たすように定められているが,の研究では少しゆるやかにして,$d_{ij}$こ

を $U$ を正規部分群として持つ群 $G$ の元でよいとしてその代わり $(*)$ が $U$ の剰余類の和集合であることを条件として課す (ただし, 群環$\mathbb{Z}[G]$の元に対して $( \sum_{g\in G}a_{g}g)^{(-1)}=\sum_{g\in G}a_{g}g^{-1}$ ).

これにより変形一般アダマール行列の新しい構成方法が与えるられる (Theorem

4.1, Theorem 4.7).

2

変形一般アダマール行列
最初に [4] の結果のうち後半で用いるものについてまとめる.

$GH(s, u, \lambda)$の定義

Definition 2.1.
$t,$$st=u\lambda)$$G$

を位数 $su$ の群とする.

$G$の s-部分集合 $D_{ij}(1\leq i,j\leq$

に対して, 次の行列$[D_{ij}]=\{\begin{array}{llll}D_{11} D_{12} \cdots D_{1t}D_{21} D_{22} \cdots D_{2t}| \cdots \cdots |D_{t1} D_{t2} D_{tt}\end{array}\}$が $G$ の位数 $u$ の部分群

( a GH $(s,$ $u,$$\lambda)$$U_{1},$$\cdots,$$U_{t}$

に関する $G$ 上の変形一般アダマール行列

matrix over $G$ relative to$U_{1},$$\cdots$,$U_{t}$,$k$$:=u\lambda=st$) であると

140

は次の条件をみたすことを$t\hat{i}$

う.

(1)

$\sum_{1\leq j\leq t}D_{ij}D_{\ell j}^{(-1)}=\{\begin{array}{ll}k+\lambda(G-U_{i}) i=\ell \text{のとき},\lambda G i\neq\ell \text{のとき}.\end{array}$GH $(s, u, \lambda)$ による
群環

GH

て点集合

$\mathbb{P}$と $B$ の定義に成分をもつ$\mathbb{Z}[G]$$(s, u, \lambda)$$\mathbb{P}$$t$次正方行列の全体を-行列 $[D_{ij}]\in M_{t}(\mathbb{Z}[G])$ relative toを次で定める.
とブロック集合$M_{t}(\mathbb{Z}[G])$$U_{1},$$\cdots,$で表す.

$U_{t}(t=u\lambda/s)$

に対し

$B$

$=$

$\mathbb{P}$

$B$

$\{$

1, 2,

$\cdots,$$t\}\cross G$

(2)

,

(3)

$\{B_{jh}:1\leq j\leq t, h\in G\}$ ,

$=$

ここで
$B_{jh}= \bigcup_{1\leq i\leq t}(i, D_{ij}h)$

の元

$G$

$x$

の点 $(i, g)\in \mathbb{P}$ への作用を $(i, g)x=(i, gx)$ で定義するとき, 次が成り立つ.

Result 2.2. ([4]) 位数 $su$ の群 $G$ に対して $[D_{ij}]\in M_{t}(\mathbb{Z}[G])$ を位数
群$U_{1},$$U_{t}(t=u\lambda/s)$$\cdots,$

に関する GH $(s, u, \lambda)$ -行列とする.

$\mathbb{P}$

と

$B$

$u$

の部分

を (2) (3)

により定めるとき次が成り立つ.
(i)

(ii)

は TD $\lambda(k, u)(k=u\lambda)$ である.

$(\mathbb{P}, B)$$G\leq$

は

$s$

Aut

$((\mathbb{P}, B))$

で,

$G$

は

$\mathbb{P}$と $B$ 上に半正則に作用して任意の点軌道

個の点クラスの和集合である.

このことから,を構成することにより transversal design がこの研究では新しい $GH(s, u, \lambda)$ の構成法を述べる.

$GH(s, u, \lambda)$

得られることが分かる.
$GH(s, u, \lambda)$から得られる transversal design は必ずしも symmetric ではな

次はその判定基準を与える.
STD に対応する GH $(s, u, \lambda)$ -行列の判定法
い.

Result 2.3. ([4]) $su$ の群 $H$ に対して $[D_{ij}]\in M_{t}(\mathbb{Z}[H])$ を位数$U_{1},$$\cdots,$$U_{t}(t=u\lambda/s)$

対応する TD$\lambda(k, u)$に関する GH $(s, u, \lambda)$ -行列とする.

$u$

の部分群

このとき $[D_{ij}]$ にが symmetric であるための必要十分条件は..
.
$[D_{ij}^{(-1)}]^{T}=[D_{12^{(-1)}}D_{11}^{(-1)}D_{1t}^{(-1)}$

が $H$ の適当な部分群$V_{1},$$\cdots,$$V_{t}$$D_{22}^{(-1)}D_{2.1}^{(-1)}D_{2t}^{(-1)}$$D_{t2_{:}^{(-1)}}D_{t1^{(-1)}}D_{tt}^{(-1)}]$に関する GH $(s, u, \lambda)$ -行列となることである.

141
次はアーベル群の指標に関するよく知られた結果である.

Result 2.4. $([7|)G$ がアーベル群で$f\in \mathbb{Z}[G]$とする.

は異なるすべての指標 $\chi\in G^{*}$ に対して $\chi(z)=0$ ならば

$G$

の単位指標

$\chi 0$と

$f=\lambda G(\exists\lambda\in \mathbb{Z})$

で

とする.

で

ある.

次は Result2.4 の一般化である.

Lemma 2.5. $U$ がアーベル群 $G$ の部分群で,$z\in \mathbb{Z}[G]$$x|u\neq\chi 0$

ある任意の指標 $\chi\in G^{*}(\chi\neq\chi_{0})$ に対して常に $\chi(z)=0$ であれば,$f\in \mathbb{Z}[G]$が存在して $z=Uf$ と表される.

(証明) 仮定より $\chi(z(U-u))=0(\forall\chi\in G^{*}, \chi\neq\chi_{0})$ . Result2.4 を適用して$z(U-u)=sG$ となる整数 が存在する. 両辺に単位指標を作用させて $s=0$ が分かる. これより $zU=uz$ . ここで $G/U$ の完全代表系を $\{g_{1}, \cdots, g_{m}\}(m=$$s$$[G:U|)$ とおくと,$z=g_{1^{W}1}+g_{2}w_{2}+\cdots+g_{m}w_{m}(\exists w_{1}, \cdots, w_{m}\in \mathbb{Z}[U])$とおけるから $(g_{1^{W}1}+g_{2}w_{2}+\cdots+g_{m}w_{m})U=u(g_{1}w_{1}+g_{2}w_{2}+\cdots+g_{m}w_{m})$ .

従って$g_{1}\chi_{0}(w_{1})U+\cdots+g_{m}\chi_{0}(w_{m})U=g_{1}uw_{1}+\cdots+g_{m}uw_{m}$(4) の$g_{1},$$\cdots,$ $g_{m}$(4)の係数を比較して,$\chi_{0}(w_{i})U=uw_{i}$,$(1\leq i\leq m)$(5)

ここで $U=\{x_{1}, \cdots, x_{u}\}$ とおけば $w_{i}=a_{i1^{X}1}+\cdots+a_{iu}x_{u}(\exists a_{1}, \cdots, a_{u}\in \mathbb{Z})$の形に表されるので, (5) に代入して$x_{1},$$\cdots,$ $x_{u}$の係数を比較すれば次を得る.

$(a_{i1}+ \cdots+a_{iu})\sum_{1\leq j\leq u}x_{j}=\sum_{1\leq j\leq u}a_{ij}ux_{j}$これより $a_{i1}+\cdots+a_{iu}=a_{i}iu=\cdots=a_{iu}u$ .
るので $w_{i}=s_{i}U(\exists s_{i}\in \mathbb{Z})$ .

よって $a_{i1}=\cdots=a_{iu}$ がわか

以上より Lemma が成り立つ.

Cosets $N/U$ に関する一般アダマール行列3

この節では Definition 2.1 とは別の視点から一般アダマール行列の拡張を行って, 次の節でそれを変形一般アダマール行列の構成に利用する.

Definition 3.1. $N$ を群 $U$ をその正規部分群として $N/U=\{U_{1}(=U), U_{2}, \cdots, Um\}$ (剰
次正方行列 $H=[h_{ij}]$ が $N/U$ に関する一般
余類分解) とおく. このとき,アダマール行列 GH( $GH(u,$ -matrix with respect to $N/U$ ) であると
$n$$(u, \lambda)$$\lambda)$

は $n=u\lambda$ で,(i)$h_{ij}\in N(1\leq i, j\leq n)$ 及び

142
(ii)

任意の $i,j,$ $t(1\leq i\neq j\leq n, 1\leq t\leq m)$ に対して$\lambda_{ijt}\geq 0$

が存在して$\sum_{1\leq t\leq n}h_{it}h_{jt}^{-1}=\lambda_{ij1}U_{1}+\cdots+\lambda_{ijm}U_{m}$つまり$Uz_{12}n$$\cdot.\cdot$$Uz_{1n}n]$$H(H^{(-1)})^{T}=[Uz_{n1}Uz_{21}n$..
.
ここで $z_{ij}\in \mathbb{Z}[N]$ かつの係数はすべて$z_{ij}$$0$

以上で $N$ の単位指標$\chi_{0}$に対して $\chi 0(z_{ij})=\lambda$
をみたすことをいう.

(1) 群 $U$ 上の通常の GH行列と見ることができる.

Remark 3.2.
(2)$(u, \lambda)$$u\lambda=(\lambda_{ij1}+\cdots+\lambda_{ijm})|U|(\forall i,j)$-行列は $U/U$ に関する GH$(u, \lambda)-$により, すべての $i,j(i\neq j)$ について次がみたされていなければならない.
$\lambda=\lambda_{ij1}+\cdots+\lambda_{ijm}$

Example 3.3.
$N$

$N=\langle a\rangle\simeq \mathbb{Z}_{4}$,$U=\langle a^{2}\rangle\simeq \mathbb{Z}_{2}$,$U_{1}=U,$ $U_{2}=Ua$とする.

の元を成分とする次の 4 次正方行列 $M=[d_{ij}]$$\{\begin{array}{llll}1 1 1 11 1 a^{2} a^{2}1 a^{2} a a^{3}1 a^{2} a^{3} a\end{array}\}$は任意の $i,j(i\neq j)$ に対して$\sum_{1\leq t\leq 4}d_{it}d_{jt}^{-1}$であることが確かめられるので,Example 3.4.
$\{1, a^{3}, a^{6}\})$,$N=\langle a\}\simeq \mathbb{Z}_{9}$$Ua(=\{a, a^{4}, a^{7}\})$

$GH$

,

,

が $cU_{1}+dU_{2}(c, d\geq 0)$ の形(2, 2) 行列 $wrtN/U$ である.
$\sim$$U=\langle a^{3}\}\simeq \mathbb{Z}_{3}$とすると $N/U=\{U(=$$Ua^{2}(=\{a^{2}, a^{5}, a8\})\}$(剰余類分解) である.

このとき,$[h_{ij}]=\ovalbox{\tt\small REJECT} 111111111$$a_{1}^{4}a^{7}a_{6}^{3}a^{3}a^{6}aa1$$a_{1}^{8}a^{2}a^{5}a_{3}^{6}a^{6}a^{3}a1$$a_{1}^{3}a_{1}^{3}a_{6}^{3}aa^{6}a^{6}1$$a_{1}^{4}a^{7}a^{3}a^{6}a^{3}a^{6}a1$$a_{1}^{5}a^{2}a_{6}^{8}a_{3}^{6}a_{3}aa1$$a_{1}^{6}a_{1}^{6}a_{3}^{6}aa^{3}a^{3}1$$a_{1}^{7}a^{4}a_{6}^{3}a^{3}a^{6}aa1$$a_{1}^{5}a^{8}a_{6}^{3}a^{2}aa^{3}a^{6}1\ovalbox{\tt\small REJECT}$

143
は一般アダマール行列 $GH(3,3)wrtN/U$ である.

Example 3.5.

$N=\langle a\}\simeq \mathbb{Z}_{6}\geq U=\langle a^{2}\}\simeq \mathbb{Z}_{3}$$N/U=\{U(=\{1, a^{2}, a^{4}\})$ ,$Ua(=\{a, a^{3}, a^{5}\})$

に対して
とおく.

このとき

{ 確かめられは $\sum_{1\leq t\leq 12}h_{it}h_{Jt}^{-1}\in\{4U, 3U+Ua, 2U+2Ua\}$ であることが$]\grave\grave\grave$て,GH(3, 4)-行列 w.r.t. N$/U$ である.

Kronecker 積の定義から次が容易に確かめられる.
Proposition 3.6. $U$ を群 $N$ の正規部分群として $H_{i}(i=1,2)$ が $N/U$ に関
も $N/U$ に関する一般ア
ならばする一般アダマール行列 GH$H_{1}\otimes H_{2}$$(u, \lambda_{i})$ダマール行列 $GH(u, \lambda_{1}\lambda_{2}u)$ である.

4

Cosets N$/U$ に関する一般アダマール行列と RDS
この節では $N/U$ に関する一般アダマール行列と群 $G(\geq N)$ における半正則相対差集合 (semiregular RDS relative to $U$ ) を用いて変形一般アダマール
行列が構成できることを示し,

さらにその例を示す.

Theorem 4.1. $G$ を位数の群,$u^{2}\mu$

を $N_{G}(U)$ の部分群とする.

を $G$ の位数 $u$ の部分群で $N(\geq U)$

-行列で,
GH
の $(u\mu, u, u\mu, \mu)$ -RDSs relative to$H=[h_{ij}])$ を $N/U$ に関する$\mathcal{D}=(D_{1}, D_{2}, \cdots, D_{n})(n=u\lambda)$の任意の n-tuple とする.

$U$

を $G$

$(u, \lambda)$$U$

このとき $n$ 次正方行列$M_{H,\mathcal{D}}=\{\begin{array}{llll}h_{11}D_{1} h_{12}D_{2} \cdots h_{1n}D_{n}h_{21}D_{1} h_{22}D_{2} \cdots h_{2n}D_{n}| | |h_{n1}D_{1} h_{n2}D_{2} \cdots h_{nn}D_{n}\end{array}\}$は $U$ に関する変形一般アダマール行列 GH $(u\mu, u, u\lambda\mu)$ である.

(6)

144

(証明) $N/U=\{U_{1}(=U), U_{2}, \cdots, U_{m}\}$ (剰余類分解) とおくと, 仮定より任
意の

$i,$

$j(i\neq j)$ に対して $\lambda_{ijk}\geq 0(1\leq i, j\leq n, 1\leq k\leq m)$ があって次を

満たす.
$=$

$\lambda_{ij1}U_{1}+\lambda_{ij2}U_{2}+\cdots+\lambda_{ijm}U_{m}$

(7)

$=$

$(\lambda_{ij1}+\cdots+\lambda_{ijm})u$(8)$\sum_{1\leq t\leq n}h_{it}h_{jt}^{-1}$

$n$

また,

$D_{ij}=d_{ij}D_{j}$$i\neq j$のとき,とおけば $M_{H,\mathcal{D}}=[D_{ij}]$ .

(7), (8) とを用いれば,$N\triangleright U$$\sum_{1\leq t\leq n}D_{it}D_{jt^{(-1)}}=\sum_{1\leq t\leq n}h_{it}(u\mu+\mu(G-U))h_{jt}^{-1}$$\sum_{1\leq t\leq n}h_{it}h_{jt}^{-1}(u\mu+\mu(G-U))=\sum_{1\leq k\leq m}\lambda_{ijk}U_{k}(u\mu+\mu(G-U))$$=u \mu\sum_{1\leq k\leq m}\lambda_{ijk}U_{k}+l^{4(\sum_{1\leq k\leq m}\lambda_{ijk}|U_{k}|)c-\mu\sum_{1\leq k\leq m}\lambda_{ijk}|U|U_{k}}$$= \mu(\sum_{1\leq k\leq m}\lambda_{ijk}u)G=\mu nG$

一方 $i=j$ のとき,.

$\sum_{1\leq t\leq n}D_{it}D_{it^{(-1)}}=\sum_{1\leq t\leq n}$

hit $(u\mu+\mu(G-U)h_{it}^{-1}$$=(u\mu+\mu(G-U))=r\iota u\mu+n’ x(G-U)$ .

これより$\sum_{1\leq t\leq n}D_{it}D_{jt}^{(-1)}=\{\begin{array}{ll}r\iota u\mu+r\iota\mu(G-U) i=j \text{のとき},n\mu G i\neq i \text{のとき}\end{array}$

従って定理が成り立つ.

口の群, $U$ を $G$ の位数 の正規部分群とする.
Corollary 4.2. $G$ を位数$H=[h_{ij}]$ を $G/U$ に関する GH-行列で, $\mathcal{D}=(D_{1}, D_{2}, \cdots, D_{n})(n=u\lambda)$$u^{2}\mu$$u$$(u, \lambda)$

を $G$ の $(u\mu, u, u\mu, \mu)$ -RDSs relative to $U$ の n-tuple とする. このとき (6) で定義される $n$ 次正方行列は $U$ に関する変形一般アダマール行列 $GH(u\mu, u, u\lambda\mu)$である.

Example 4.3. $G=\langle a,$の GH(3, 1)-行列とする.

$b\}\simeq \mathbb{Z}_{3}\cross \mathbb{Z}_{3}$. H[ん ij] を $U=\langle a\}$ に成分を持つ次$=$$H=\{\begin{array}{lll}a 1 11 a 1l 1 a\end{array}\}$また,$D_{t}=\{a^{i}b^{i^{2}+t};i\in \mathbb{Z}_{3}\}$

RDS. 従って,とおくと$(1 \leq t\leq 3)$$\mathcal{D}=(D_{1}, D_{2}, D_{3})$に対して$D_{t}$

は $G$ の$($3, 3, 3, $1)-$$M_{H,\mathcal{D}}=\{\begin{array}{lll}aD_{1} D_{2} D_{3}D_{1} aD_{2} D_{3}D_{1} D_{2} aD_{3}\end{array}\}$は Cor. 4.2 より

GH(3, 3, 3)-行列 relative to

Example 4.4.

$G=\langle r,$ $s\rangle\cross\langle t\rangle\simeq Sym(3)\cross \mathbb{Z}_{6}(r^{2}=s^{3}=t^{6}=1,$$[s, t]=1,$ $rsr=s^{-1})$ とする.

[3] により$\langle a\}$である.
$[r, t]=$145$D=\{1, t, t^{2}, t^{3}, r, rt, s, r^{2}st^{5}, rst^{4}, r^{2}st, st^{4}, rst\}$の 1 つである.
12,3, $12,4)- RDS$ in $G$ relative to$\mathcal{D}=(D_{1}, \cdots, D_{12})(12,3,12,4)$ -RDSs in $G$ relative to $U$ の任意の 12-tuple
は non-normalとする.

$U=\langle rt^{2}\rangle$

$($

さらに,

$N=\langle rt^{-1}\}\simeq \mathbb{Z}_{6}\supset U=\langle rt^{2}\rangle\simeq \mathbb{Z}_{3}$であるから,$N$

は

Example 3.5 における GH(3, 4)-行列 w.r.t. N $/U$ をもつ. これを $H=[h_{ij}]$
は GH(12, 3, 48)-行列 (relative to $U$ )としておくと Theorem 4.1 より$M_{H,\mathcal{D}}$でありこれより $TD_{4S}(144,3)$ を得る.

が定め
Lemma 4.5. Theorem 4.1 において $G$ がアーベル群のとき,
が $N/U$ に関すが対称であるための必要十分条件はる TDる GH(tt, )-行列となることである.
$M_{H,\mathcal{D}}$$H^{T}$$u\lambda\mu(u^{2}\lambda\mu, u)$$\lambda$( 証明) Result 2.3 より任意の $j,$ $\ell(1\leq i\neq\ell\leq n)$ に対して$\sum_{1\leq s\leq n}h_{sj}D_{j}(h_{s\ell}D_{\ell})^{(-1)}=\mu nG$にが成り立つことが必要十分である. このことから $G$ の任意の指標が成り立つことが必要十分条件
対して$\chi(\neq\chi_{0})$$\chi(D_{j})\overline{\chi(D_{\ell})}\chi(\sum_{1\leq s\leq n}h_{sj}h_{s\ell}^{-1})=0$である. 一方,$i\in\{j, \ell\}$に対して$|\chi(D_{i})|^{2}=\chi(D_{i}D_{i}^{(-1)})=\chi(u\mu+\mu(G-U))=u\mu-\mu\chi(U)$であるから,$\chi(\sum_{1\leq s\leq n}h_{sj}h_{s\ell}^{-1})=0$

が$\chi_{|U}\neq\chi_{0}$なる指標$\chi$

について成り立

つことが必要十分である. 補題 25 よりこれは $H^{T}$ が $G/U$ に関する GH
口
行列となることと同値である. 従って命題が成り立つ.

$(u, \lambda)-$で, H $=$ [ん ij] を例 34 の一
Example 4.6.に般アダマール行列 GH(3,3) $w$ .r.t $N/U$ とする.
は (9, 3,9, 3)-RDS relative to $U$ が存在する ([6]) から重複を許してそれを 9$N=\langle a\}\simeq \mathbb{Z}_{9}\supset U=\langle a^{3}\rangle\simeq \mathbb{Z}_{3}$$G=\langle a)\cross\langle b\rangle\simeq \mathbb{Z}_{9}\cross \mathbb{Z}_{3}$は $G$個選んで $\mathcal{D}=(D_{1}, \cdots, D_{9})$ とする. このとき Theorem 4.1 よりにおける変形一般アダマール行列 GH(9,3, 27) relative to $U$ であるが, $H^{T}$$M_{H,\mathcal{D}}$も一般アダマール行列 GH(3, 3) $w$ .r.t $N/U$ であることがチェックできるのでから得られる TD $27(81,3)$ は symmetric である.
Lemma 4.5 より$M_{H,\mathcal{D}}$$D$

が群 $G$ における $(u\mu, u, u\mu, \mu)$ -RDS relative to $U$ であれば定義より $D$

は $G$ における $U$ の右代表系であるが一般には左代表系ではない.

しかし $D$がもし左代表系でもあれば次が成り立つ.

Theorem4.7.

$G$

を位数

を $N_{G}(U)$ の部分群とする.

$u^{2}\mu$

の群,

また,

$U$

を $G$ の位数 $u$ の部分群,$H=[h_{ij}]$$(h_{ij}\in N)$$N(\geq U)$

を $N/U$ に関する-行列で $\mathcal{D}=(D_{1}, D_{2}, \cdots, D_{n})(n=u\lambda)$ を の $(u\mu, u, u\mu, \mu)$ -RDSs
GHののうち少なくとも $n-1$ 個が $G$ におけるrelative to の n-tuple で,$G$$(u, \lambda)$$U$$\mathcal{D}$

$U$

146
左代表系であるとする.

このとき $n$ 次正方行列(9)$M_{H,\mathcal{D}}’=\{\begin{array}{llll}D_{1}h_{11} D_{1}h_{12} .D_{1}h_{1n}D_{2}h_{21} D_{2}h_{22} \cdots D_{2}h_{2n}| | |D_{n}h_{n1} D_{n}h_{n2} .D_{n}h_{nn}\end{array}\}$は $U$ に関する変形一般アダマール行列 GH $(u\mu, u, u\lambda\mu)$ relative to $U$ である.

(証明) $N/U=Ug_{1}\cup\cdots\cup Ug_{m}(g_{1}, \cdots, g_{m}\in N)$ (剰余類分解) とおく.
とき, 仮定より$\sum_{1\leq t\leq n}h_{it}h_{jt}^{-1}=\lambda_{ij1}Ug_{1}+\cdots+\lambda_{ijm}Ug_{m}$$D_{ij}=D_{i}h_{ij}$とおけば $M_{H,\mathcal{D}}’=[D_{ij}]$ .

$\sum_{1\leq t\leq n}D_{it}D_{jt}(-1)$

$=$

(10)

(10) を用いて$\sum_{1\leq t\leq n}D_{i}h_{it}h_{jt}^{-1}D_{j}^{(-1)}=D_{i}(\sum_{1\leq t\leq n}h_{it}h_{jt}^{-1})D_{j}^{(-1)}$$\{\begin{array}{ll}D_{i}(\lambda_{ij1}Ug_{1}+\cdots+\lambda_{ijm}Ug_{m})D_{j}^{(-1)} (i\neq i \text{のとき} )n(ul^{l}+\mu(G-U) (i=j \text{のとき} )\end{array}$$=$$i\neq j$

このとき,

この

のとき, 仮定より $D_{i}U=G$ または $UD_{j}^{(-1)}=G$ が成り立つことに注意すれば $\sum_{1\leq t\leq n}D_{it}D_{jt^{(-1)}}=\lambda u\mu G$. 以上より$\sum_{1\leq t\leq n}D_{it}D_{jt}^{(-1)}=\{\begin{array}{ll}nu\mu+n\mu(G-U) i=j \text{のとき},n\mu G i\neq i \text{のとき}\end{array}$

従って定理が成り立つ.

口

Corollary 4.8. $G$ を位数$u^{2}\mu$

の群,

$U$

を $G$ の位数$u$の正規部分群とする.

また, $H=$ [ん ij] を $GH(u, \lambda)$ -行列 w.r. . $GU$ で $\mathcal{D}=(D_{1}, D_{2}, \cdots, D_{n})(n=$$t$$u\lambda)$

を $G$ の $(u\mu, \tau\iota, ul^{4}, \mu)$ -RDSs relative to $U$ の n-tuple であるとする.

このとき (9) で定義される $n$ 次正方行列は $U$ に関する変形一般アダマール行列GH$(u\mu, u, u\lambda\mu)$である.

において多くの $(4n^{2},2n^{2}-$の形のアーベル群
Example 4.9. 位数, n2-n)-差集合 $A$ が構成されていて ([5]) Mennon Hadamard difference setと呼ばれている. このとき $G=L\langle t\}$ を が を invert する群として定義する. [2] の Proposition 4.14 と同様にして $D=A+(L-A^{(-1)})t$ は $G$ にお$4n^{2}$

$L$

$n$

$t$

$L$

ける $(4n^{2},2,4n^{2},2n^{2})$ -RDS relative to $U=\langle t\}$ となることが容易に証明できる.

このうちで, spread 型の Mennon Hadamard difference set のように

$A=A^{(-1)}$ を満たすものを考えて,$g\in L$

さらに $L$ は基本可換 2-群でないとする.

とすると $Dg$ は $G$ における $(4n^{2},2,4n^{2},2n^{2})$ -RDS relative to $U$ であ

147
るが.

$(Dg)^{(-1)}(Dg)=4n^{2}+2n^{2}(G-\langle gt\})$ がなりたつので $Dg$ は $G$ における $U$ の左代表系でない.

また,$C_{G}(t)$は$N=\langle t\rangle\cross\langle s\rangle\simeq \mathbb{Z}_{2}\cross \mathbb{Z}_{2}$なる群を含4 次の GH(2, 2)-行列 w.r. $tN/U$ を H $=$ [ん ij] とする. 例えば次を選ぶ.

む.

$H=\{\begin{array}{llll}1 1 1 11 t s st1 1 t t1 t st s\end{array}\}$また, $\mathcal{D}=(D, D, D, Dg)$ とすると Theorem 47 より$M_{H,\mathcal{D}}’$

は $GH(4n^{2},2,8n^{2})$行列である.

Example 4.10.
$D_{i}(1\leq i\leq 4)$$F\simeq(GF(q), +)$ としては GH $(q, 1)$ とする$N=F\cross\langle a\}(a^{2}=1)$とおけば$([1|$$\{\begin{array}{ll}D_{1} D_{2}D_{3} D_{4}\end{array}\}$を GH $(q, 2)$ で各の Theorem8.3.14 参照).

$\{\begin{array}{ll}D_{1}a D_{2}D_{3} D_{4}a\end{array}\}$は GH $(q, 2)$ w.r.

このとき
$t$

. $N/F$ で

ある.

参考文献
[1] T. Beth, D. Jungnickel and H. Lenz, “ Design Theory” Volume I, Second
Edition, Cambridge University Press, 1999.
[2] A.D. Garciano, Y. Hiramine and T. Yokonuma, On Relative Difference

Sets in Dihedral Groups, Designs, codes and Cryptography, Vol. 39,(2006) 51-63.
$[$

3 Y. Hiramine, On non-syminetric relative difference sets, Hokkaido
Mathematical Journal, Vol. 37 (2008) 427-435.
$]$[4] Y. Hiramine, Modified generalized Hadamard matrices and constructions for transversal designs, to appear in Designs, Codes and Cryptography.
[5] E. S. Lander, Symmetrzc Designs; An Algebmic Approach, Lecture
Note Sries 74, Cambridge University Press, Cambridge.
[6] S. L. Ma and A. Pott, Relative Difference Sets, Planar Functions, andGeneralized Hadamard matrices, J. Algebra Vol. 175 (1995) 505-525.
[7] B. Schmidt, Characters and Cyclotomic Fields in Finite Geometry,
Lecture Notes in Mathematics 1797, Springer-Verlag, Berlin Heiderberg(2002)-