数理解析研究所講究録
第 1880 巻 2014 年 23-31

23

Coassociative 部分多様体の具体的構成
東北大学大学院理学研究科数学専攻

河井

公大朗

Kotaro Kawai
Mathematical Institute, Tohoku University *実 7 次元のリーマン多様体 $(Y, g)$ のホロノミー群が例外型 Lie 群に含まれる
とき、 $(Y, g)$ は多様体であるという。
多様体は $Y$ 上の 3 次微分形式 により特徴づけられる。 の制限が常に になるような 4 次元部分多様体を coassociative
部分多様体という。 特に $SU(3)\subset G_{2}$ より、 (3 次元カラビヤウ多様体)
は$G_{2}$$G_{2}$$G_{2}$$\varphi$$0$$\varphi$$\cross \mathbb{R}$多様体であり、 (phase $-i$ の特殊ラグランジュ部分多様体)
はその中のcoassociative 部分多様体になる。 近年はミラー対称性の観点 [3] からも注目を集めており、 今回はその具体的構成を考える。
$G_{2}$$\cross \mathbb{R}$

1

準備

1.1

Calibrated Geometry

ケーラー多様体のコンパクト複素部分多様体が、 そのホモロジー類の中で体積を最小にすることは、 Wirtinger の不等式として知られている。 この概念を一般化
し、 Harvey と Lawson [4] ま calibration の概念を導入した。
$f$

定義 1. $(Y, g)$ を $m$ 次元リーマン多様体とし、 を $Y$ 上の $k(1\leq k\leq m)$ 次微分形式とする。 任意の向きづけられた 次元部分空間 $V\subset T_{p}M,$ $p\in M$ に対して、$\varphi$$k$$\varphi|_{V}\leq vo1_{V}$を満たすとき、$N\subset M$$\varphi$

は $Y$ 上の calibration と呼ばれる。

を向きづけられた$k$次元部分多様体とする。 $N$ は$\varphi|_{N}=vo1_{N}$をみたすとき、 $Y$ の calibrated submanifold ( -submanifold) と呼ばれる。
$\varphi$$*$

日本学術振興会特別研究員 $PD$ (課題番号:24-3603)$e$-mail: sbld07@math.tohoku.ac.jp

24
リーマン多様体のホロノミー群を用いると、 自然な calibration calibrated submanifold が定義される。 以下にいくつか例を示す。
、

これちの部分多様体は、 ミラー対称性の観点など様々な方面から注目を集めている。 一方、 これらは非線形偏微分方程式で定義され、 具体的な構成は非常に難しい。 以下ではこの具体的構成法について述べる。

1.2$G_{2}$

定義 2.

幾何学
上の 3-form$\mathbb{R}^{7}$$\varphi_{0}=e^{125}$$\varphi_{0}$–を次で定義する。
$e^{345}+e^{136}-e^{426}+e^{147}-e^{237}+e^{567},$の標準双対基底であり、 外積の記号は省略してある。
となる。
の固定部分群は例外型 Lie 群
ここで $(e^{1}, \cdots, e^{7})$ は$\mathbb{R}^{7}$$\varphi_{0}$$G_{2}$$G_{2}=\{g\in GL(7, \mathbb{R});g^{*}\varphi_{0}=\varphi_{0}\}$

Lie 群$G_{2}$は、$\mathbb{R}^{7}$

上の向き、標準計量$g_{0}= \sum_{i=1}^{7}(e^{i})^{2}$、および$\varphi$の Hodge 双対$*\varphi_{0}=e^{3467}-e^{1267}+e^{2457}+e^{1357}+e^{2356}-e^{1456}+e^{1234},$も固定する。 これらは次の関係式より$\varphi_{0}$から一意的に定まる。

$-6g_{0}(v_{1}, v_{2})vo1_{g0}=i(v_{1})\varphi_{0}\wedge i(v_{2})\varphi_{0}\wedge\varphi_{0},$

ここで $vo1_{g0}$ は$g_{0}$の体積要素、 $i(.$ は内部積を表し、$)$$v_{i}\in T(\mathbb{R}^{7})$である。

定義 3. $Y$ を向きづけられた 7-次元多様体とし、 を $Y$ 上の 3-form とする。 各がとの間に向きを保つ同型があり、それによって$y\in Y$ に対し、 $T_{y}Y$ とから、 $Y$構造と呼ばれる。 (1.1) より同一視されるとき、 3-form は $Y$ 上のが $Y$ 上のが誘導される。
上のリーマン計量 g、体積要素、は多様体と-構造であり、 がそれから誘導される計量であるとき、は torsion-free多様体呼ばれる。 更に $d\varphi=d*\varphi=0$ を満たすとき、$\varphi$$\mathbb{R}^{7}$$\varphi_{y}$$\varphi$$G_{2}$$\varphi$$\varphi\in\Omega^{3}(Y)$$*\varphi\in\Omega^{4}(Y)$$G_{2}$$(Y, \varphi, g)$$g$$G_{2}$と呼ばれる。

$(Y, \varphi, g)$$G_{2}$$\varphi_{0}$25
補題 4. $[2J(Y, \varphi, g)$ を$d\varphi=d*\varphi=0$多様体とする。 このとき Holであることは同値である。
$G_{2}$

補題 5. $[4J(Y, \varphi, g)$ が torsion-free
対$*\varphi$

は$Y$

定義 6. [4]$G_{2}$-多様体のとき、$(g)\subset G_{2}$$G_{2}$

構造$\varphi$であることと、とその Hodge 双上の calibration を定める。

-submanifold を associative 部分多様体といい、coassociative 部分多様体という。
$\varphi$$*\varphi$-submanifold を

coassociative 部分多様体は、 次のようにより扱いやすい定義がある。
補題 7. $[4JL\subset Y$ を向きづけられた 4 次元部分多様体とする。 このとき

coassociative であることと、

2$\varphi|_{L}=0$$L$がであることは同値である。

各種構成方法
先行研究のうち、 代表的なものについて述べる。

2.1

Lie 群の対称性を用いた例の構成

この手法は、 極小部分多様体に対して Hsiang, Lawson [6] により提唱された。 今

回はこの手法を用いて構成する。 次節においてその手法を詳細に述べる。
この手法で、 特殊ラグランジュ部分多様体の例も構成されている ([5], [8])。

2.2発展方程式による手法

この構成は次の事実に基づく。
事実 8.
を実解析的な 3 次元部分多様体で $\varphi|_{P}=0$ とする。 このとき
$P$ を含む
coassociative 部分多様体 $N$ が存在する。
$[4JP^{3}\subset \mathbb{R}^{7}$:
をはめ込みとする。はめ込みの族
で、が coassociative となるものを探す。一般の $P$ に対してこれを行うのは難しいが、 $P$がの 3 次元部分群の軌道である場合に、 Lotay [11] は具体例を構成した。
$P\hookrightarrow \mathbb{R}^{7}$$\iota$$\{\iota_{t}:P\hookrightarrow \mathbb{R}^{7}\}_{t\in(-\epsilon,\epsilon)}$$\bigcup_{t\in(-\epsilon,\epsilon)}{\rm Im}(\iota_{t})$$G_{2}\ltimes \mathbb{R}^{7}$2.3束の構造を用いた構成$M^{4}=\mathbb{R}^{4},$

る。

or
は
とすると、
多様体になることが知られていを 2 次元極小部分多様体とし、 その上のある階数 2 のベクトル束が$S^{4}$$\Sigma^{2}\subset M^{4}$$\mathbb{C}P^{2}$$\Lambda^{\underline{2}}M^{4}$$G_{2}$

coassociative となる条件を考える。
の場合は、 Ionel, Karigiannis, Min-Oo [7] によって、 $M=S^{4},$場合は Karigiannis, Min-Ooにより構成された。
$M=\mathbb{R}^{4}$$[9|$$\mathbb{C}P^{2}$の26
Isometric involution を用いた構成

2.4となるものとす: $Yarrow Y$ を微分同相で、 $\sigma^{*}g=g,$る。 このとき、 の固定点集合は coassociative となる。
多様体
この手法は Joyce [10] により Hol $(g)=G_{2}$ となるコンパクト多様体の構成は非上での構成に用いられた。 Hol $(g)=G_{2}$ となるコンパクト
常に難しく、 Joyce は最初の例を与えた。)$\sigma^{*}\varphi=-\varphi,$ $\sigma\neq id,$$\sigma$$\sigma^{2}=id$$\sigma$$(Y, \varphi, g)$$G_{2}$$G_{2}$$($

3

Lie 群の対称性を用いた例の構成
coassociative 部分多様体$L$の構成のために、$L$がある Lie 群 $G$ の作用によって保たれると仮定する。 よく知られているように、 $G$ が に余等質性 1 に作用しているとき、 $co$ associative となる条件の偏微分方程式は、 軌道空間上の 1 階の常微分方程式に帰着される。 この手法は次のようにまとめられる。
$L$

多様体とする。 Lie 群 $G$ が $Y$ に作用しており、 その作用を定数倍を除いて保ち、 かつ $G$ の主軌道の次元は 3 とする。

命題 9. $(Y, \varphi, g)$ をは$\varphi$$G_{2}$

1. 以下のような部分集合$\Sigma\subset Y$を見つける。 ($\Sigma$は軌道空間と思える。)$Y/G$ ”$\bullet G\cdot\Sigma=\{g\cdot x\in Y;g\in G, x\in\Sigma\}=Y,$( -orbit) $=\{0\}(\forall x\in\Sigma)$ ,$G$$T_{x}\Sigma\cap T_{x}$$\bullet$

ここで鴎 ( $G$ -orbit)#ま、 点$x$

2. 以下の条件を満たす pathc :における $G$ -orbit 方向の接空間。
$Iarrow\Sigma$$(I\subset \mathbb{R}$: 開区間 を探す。
$)$$\varphi(v_{1}^{*}, v_{2}^{*}, v_{3}^{*})|_{c}=0, \varphi(v_{i}^{*}, v_{j}^{*},\dot{c})|_{c}=0(\forall v_{i}\in \mathfrak{g}=Lie(G))$

ここで$v^{*}$$\dot{c}=\frac{dc}{dt}$、3. このとき

$L$

$:=G$

は

$v\in \mathfrak{g}$. Image$(c)$,で生成される $Y$ 上のベクトル場。
は $G$ 不変な部分多様体となる。

この手法の利点として、構成された部分多様体内の特異軌道がわかりやすく、位相を解析しやすい点が挙げられる。

4$\mathbb{R}^{7}$

4.1$\mathbb{R}^{7}$

上での構成$\mathbb{R}^{7}$を

2-form上の$G_{2}$

構造$\Lambda_{-}^{2}\mathbb{R}^{4}\cong \mathbb{R}^{4}\oplus \mathbb{R}^{3}$$\omega_{i}$とと同一視し、$(y^{1}, y^{2}, y^{3}, y^{4})$を$\mathbb{R}^{4}$の標準的な座標とする。

l-form $b^{j}(i, j=1,2,3)$ を$\omega^{1}=dy^{12}-dy^{34}, \omega^{2}=dy^{13}-dy^{42}, \omega^{3}=dy^{14}-dy^{23}, b^{;}=da^{j},$27と定める。 ここでとき$\mathbb{R}^{7}$

上の$G_{2}$

に関するファイバー座標である。 このは次のようにかける。

$(a^{1}, a^{2}, a^{3})$構造$\varphi$は$\{\omega^{1}, \omega^{2}, \omega^{3}\}$$\varphi=\sum_{i=1}^{3}b^{i}\wedge\omega^{i}+b^{123}.$

4.2$G=SU(2)$ の場合

7 への作用として、 $SU(2)$ のへの標準的な作用からに誘導されるものを考える。 このとき “軌道空間 “ は次のようにかける。
$SU(2)$ の$\mathbb{C}^{2}\cong \mathbb{R}^{4}$$\mathbb{R}$$\Lambda_{-}^{2}\mathbb{R}^{4}\cong \mathbb{R}^{7}$$\Sigma$$\Sigma=\Sigma_{1}\sqcup\Sigma_{2}$口$\Sigma_{3},$$\Sigma_{1}=\{(y^{1},0,0,0, a^{1}, a^{2}, a^{3})\in \mathbb{R}^{7};y^{1}>0, a^{i}\in \mathbb{R}\},$$\Sigma_{2}=\{(0,0,0,0, a^{1}, a^{2}, a^{3})\in \mathbb{R}^{7};\sum_{i=1}^{3}|a^{i}|^{2}>0\}, \Sigma_{3}=\{0\},$

このとき $SU(2)$$\cdot\Sigma=\mathbb{R}^{7}$となり、 軌道の位相は次のようになる。

$SU(2)\cdot x\cong\{\begin{array}{ll}S^{3} (x\in\Sigma_{1}) ,S^{2} (x\in\Sigma_{2}) ,* (x\in\Sigma_{3}) .\end{array}$$SU(2)$ の Lie 環$\mathfrak{s}u(2)$の基底 $\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\}$ を次で定める。

(4.1)$X_{1}= \frac{1}{2}(\begin{array}{ll}i 00-i \end{array}), X_{2}= \frac{1}{2}(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array}), X_{3}= \frac{1}{2}(\begin{array}{ll}0 ii 0\end{array})$

これ#ま $[X_{j}, X_{j+1}]=X_{j+2}(j\in \mathbb{Z}/3)$ を満たす。 このとき path$c$:

$Iarrow\Sigma$

で、$\varphi(X_{1}^{*}, X_{2}^{*}, X_{3}^{*})|_{c} = 0,$$\varphi(X_{i}^{*}, X_{j}^{*},\dot{c})|_{c} = 0(1\leq i, j\leq 3)$.

を満たすものを探せばよい。 これを解くと、 は次の形になる。
$c$$\{((y^{1},0,0,0), r\vec{v})\in \mathbb{R}^{7};r(4r^{2}-5(y^{1})^{2})^{2}=C, r\geq 0\}$$(\vec{v}\in S^{2}\subset \mathbb{R}^{3、}C\geq 0)$

そして次の Harvey, Lawson による例を再構成できる。

定理 10 (Harvey and Lawson [4]). 任意の$\vec{v}\in S^{2}\subset \mathbb{R}^{3、}C\geq 0$に対して、$M_{C}:=SU(2)\cdot\{((y^{1},0,0,0), r\vec{v})\in \mathbb{R}^{7};r(4r^{2}-5(y^{1})^{2})^{2}=C, r\geq 0\}$は$\mathbb{R}^{7}$の $SU(2)$ 不変

coas ociative 部分多様体である。 更に、 この $SU(2)$ 作用で不$\mathcal{S}$

変な coassociative 部分多様体はすべてこの形にかける。

28$C>0$ のとき、

$M_{C}$

は次の 2 つの連結成分$M_{C}^{\pm}:=M_{C}\cap SU$$M_{c}^{+}$(resp.

$M_{C}$) は$M_{c}^{\pm}$を持つ。

(2) . $\{((y^{1},0,0,0), r\vec{v})\in \mathbb{R}^{7};\pm(4r^{2}-5(y^{1})^{2})>0\}$上の自然束$\mathbb{C}P^{1}\cong S^{2}$$\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^{1}}(-1)$(resp.

$S^{3}\cross \mathbb{R}$) と同型である。 $C=0$ のとき$M_{0}=M_{0}^{0}\sqcup M_{0}’, M_{0}^{0}=SU(2)\cdot\{(y^{1},0,0,0,0,0,0);y^{1}\geq 0\},$$M_{0}’=SU(2)\cdot\{y^{1} ((1,0,0,0), c_{2}5\vec{v})\in \mathbb{R}^{7};y^{1}>0\},$となり、$M_{0}^{0}$は平坦な$\mathbb{R}^{4、}M_{0}’$#ま HOpf fibration $S^{3}arrow S^{2}$ のグラフ上の錐で、$S^{3}\cross \mathbb{R}$に同型である。

4.3$G=T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0}$$T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0}$の$\mathbb{R}^{7}$の場合への作用を次で定める。

$(e^{i\theta}, e^{i\psi}, R)\cdot(z^{1}, z^{2}, a^{1}, w)=(Re^{i\theta}z^{1}, Re^{i\psi}z^{2}, Ra^{1}, Re^{i(\psi-\theta)}w)$

ここで $(e^{i\theta}, e^{i\psi}, R)\in T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0},$

き “軌道空間 “$\Sigma$$(z^{1}, z^{2}, a^{1}, w)\in \mathbb{C}^{2}\oplus \mathbb{R}\oplus \mathbb{C}=\mathbb{R}^{7}$,である。 このとは次のようにかける。

$\Sigma=\Sigma_{1}u\Sigma_{2}$口$\Sigma_{3}\sqcup\Sigma_{4}\sqcup\Sigma_{5}\sqcup\Sigma_{6},$$\Sigma_{1}=\{(y^{1},0, y^{3},0, a^{1}, a^{2}, a^{3})\in S^{6};y^{1}, y^{3}\geq 0, |y^{1}|^{2}+|y^{3}|^{2}>0\},$$\Sigma_{2}=\{(y^{1},0, y^{3},0, a^{1}, a^{2},0)\in S^{6};\#\{x=0;x\in\{y^{1}, y^{3}, a^{2}\}\}=2\},$$\Sigma_{3}=$

このとき{ $(0,0,0,0,1,0,0)$ },$T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0}\cdot\Sigma=\mathbb{R}^{7}$$\Sigma_{4}=\{0\}.$となり、 軌道の位相は次のようになる。

$T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0}\cdot x\cong\{\begin{array}{ll}T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0} (x\in\Sigma_{1}) ,S^{1}\cross \mathbb{R}_{>0} (x\in\Sigma_{2}) ,\mathbb{R}_{>0} (x\in\Sigma_{3}) ,* \end{array}$$(x\in\Sigma_{4})$$T^{2}$の Lie 環$t^{2}$.

の基底を $X_{1}=(1,0),$ $X_{2}=(0,1)\in \mathbb{R}^{2}\cong t^{2}$ とする。 このとき

path $c:Iarrow\Sigma$ で、$\varphi(X_{1}^{*}, X_{2}^{*}, r\frac{\partial}{\partial r})|_{c} = 0,$$\varphi(X_{1}^{*}, X_{2}^{*},\dot{c})|_{c} = 0,$$\varphi(X_{1}^{*}, r\frac{\partial}{\partial r},\dot{c})|_{c} = 0,$$\varphi(X_{2}^{*}, r\frac{\partial}{\partial r},\dot{c})|_{c} = 0.$を満たすものを探せばよい。 これより、 次の定理を得る。

29
定理 11.

$\alpha,$$\gamma$: $Iarrow(O, \pi/2),$$\beta$:$Iarrow \mathbb{R}$を、 開区間$I\subset \mathbb{R}$上の滑らかな関数で、$\frac{d}{dt}\log(\sin\gamma)=-\frac{2\tan\beta\cdot\tan(2\alpha-\beta)\cdot\dot{\beta}}{\tan(2\alpha-\beta)+3\tan\beta},$$\frac{d}{dt}\log(\tan\gamma)=-\tan(2\alpha-\beta)\cdot(\dot{\alpha}+\dot{\beta})$を満たすとする。 このとき、 次の部分集合$M\subset \mathbb{C}^{2}\oplus \mathbb{R}\oplus \mathbb{C}\cong \mathbb{R}^{7}$$M=\{(Re^{i\theta}\cos\gamma(t)\cdot\cos\alpha(t),$ $Re^{i\psi}\cos\gamma(t)\cdot\sin\alpha(t)$,$R\sin\gamma(t)\cdot\cos\beta(t),$ $Re^{i(\psi-\theta)}\sin\gamma(t)\cdot\sin\beta(t))$$l$ま$T^{2}$

不変 coassociative cone で、 十分小さい$I\subset \mathbb{R}$; $R>0,$に対して$\psi\in \mathbb{R},$$\theta,$$t\in I\}$

$M\cong T^{2}\cross \mathbb{R}_{>0}\cross I$

となる。

5

$\Lambda^{\underline{2}}S^{4}$

5.1$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$

上での構成
上の

構造

$G_{2}$の反自己双対束
計量には、 [1] により完備なが入ることがの Levi-Civita 接続から誘導される接続を持つから、接は知られている。
空間は水平、 垂直方向への自然な分解を持っ。
$S^{4}$$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$$G_{2}$$g_{\lambda}(\lambda>0)$$S^{4}$$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$$T_{\omega}(\Lambda_{-}^{2}S^{4})\cong \mathcal{H}_{\omega}\oplus \mathcal{V}_{\omega}(\omega\in\Lambda_{-}^{2}S^{4})$命題 12 (Bryant and Salamon [1], [9]). 各 $\lambda>0$ に対して、$\varphi_{\lambda}\in\Omega^{3}(\Lambda_{-}^{2}S^{4})$と計量$g_{\lambda}$$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$上の 3-form

を次のように定める。

$\varphi_{\lambda}=2s_{\lambda}d\tau+\frac{1}{s_{\lambda}^{3}}vo1_{\mathcal{V}}, g_{\lambda}=2s_{\lambda}^{2}g_{\mathcal{H}}+\frac{1}{s_{\lambda}^{2}}g_{\mathcal{V}}$#まからの誘導計量で測った零切断からの距離。 はtautological 2-form で、はファイバー上の計量に関する体積要素である。
このとき各 $\lambda>0$ に対して、は torsion-free多様体となり、は完備で Holを満たす。
ここで $s_{\lambda}=(\lambda+r^{2})^{1/4},$$r$$S^{4}$$\tau$$vo1_{\mathcal{V}}$$g_{\mathcal{V}}$$G_{2}$$(\Lambda_{-}^{2}S^{4}, \varphi_{\lambda}, g_{\lambda})$$g_{\lambda}$$(g_{\lambda})=G_{2}$

注意 13.

$A_{-}^{2}S^{4}-${ –section}$0$$\cong \mathbb{C}P^{3}\cross \mathbb{R}_{>0}$であり、 $\lambda=0$ のとき、 計量 go ま$\iota$上の錐計量になる。
上の計量は標準的な計量ではなく、 3-symmetric
Einstein の非ケーラー計量になる。 は完備ではないが、 Hol(go) $=G_{2}$ を満たす。
$\mathbb{C}P^{3}$$\mathbb{C}P^{3}$$g_{\mathbb{C}P^{3}}$$g_{0}$

5.2$G=SU(2)$ の場合$SU(2)$ のへの作用として、 $SU(2)$ の導されるものを考える。
の局所座標$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$$S^{4}\subset \mathbb{C}^{2}\oplus \mathbb{R}$への標準的な作用から誘$S^{4}$$S^{4}-\{x^{5}=1\} arrow$$(\rfloor)$$\mathbb{R}^{4}$しリ$(x^{1}, \cdots, x^{5}) \mapsto (\frac{x^{1}}{1-x^{5}}, \cdots, \frac{x^{4}}{1-x^{5}}) =:(y^{1}, \cdots, y^{4})$.

30のファイバー座標をとり、それに随伴するの場合同様 “軌道空間 “ は次のようにかける。
$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$を取る。 このとき、$(a^{1}, a^{2}, a^{3})$$\mathbb{R}^{7}$$\Sigma$$\Sigma = \Sigma_{1}\sqcup\Sigma_{2}\sqcup\Sigma_{3},$$=$$\Sigma_{1}$$\Sigma_{2}$$\{(y^{1},0,0,0, a^{1}, a^{2}, a^{3})\in \mathbb{R}^{7};y^{1}>0, a^{i}\in \mathbb{R}\},$$=\Lambda_{-}^{2}S^{4}|_{x^{5}=-1}-\{0\}\sqcup\Lambda_{-}^{2}S^{4}|_{x^{5}=1}-\{0\},$

このとき $SU(2)$$\cdot\Sigma=\mathbb{R}^{7}$となり、 軌道の位相は次のようになる。

$SU$$SU(2)$ のLie 環$\mathfrak{s}u(2)$$\Sigma_{3}=\{x^{5}=\pm 1\}\subset S^{4},$(2)$\cdot x\cong\{\begin{array}{ll}S^{3} (x\in\Sigma_{1}) ,S^{2} (x\in\Sigma_{2}) ,* (x\in\Sigma_{3}) .\end{array}$の基底 $\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\}$ を (4.1) のように定める。 このとき

path $c:Iarrow\Sigma$ で、$\varphi(X_{1}^{*}, X_{2}^{*}, X_{3}^{*})|_{c} = 0,$$\varphi(X_{i}^{*}, X_{j}^{*},\dot{c})|_{c} = 0(1\leq i,j\leq 3)$を満たすものを探せばよい。 これを解くと、定理 14.

$\forall C\in \mathbb{R},$$\forall\vec{v}\in S^{2}\subset \mathbb{R}^{3}$$c$.

は次の形になる。

に対して、 部分集合

$M_{C}:= SU(2)\cdot\{((y^{1},0,0,0), r\vec{v});-\int_{0}^{\sqrt{r}}(\lambda+a^{4})^{1/8}dar\geq 0,y^{1}\in+\frac{(\lambda+r^{2})^{1/8}\sqrt{r}}{\cup\{\infty\}1+(y^{1})^{2}}\mathbb{R}=C,$

は$\Lambda_{-}^{2}S^{4}$$\},$内の $SU(2)$ 不変 coassociative 部分多様体であり、 次の位相を持つ。
$M_{C}\cong \mathcal{O}_{\mathbb{C}P^{1}}(-1)(C\neq 0) , S^{4}\sqcup S^{3}\cross\mathbb{R}(C=0)$.

更に、 すべての $SU(2)$ 不変部分多様体は上の形で与えられる。

これは定理 10 の一般化とも捉えられる。 同様に$\mathbb{R}_{>0}$$S^{4}$

上にも$T^{2}$$\Lambda_{-}^{2}S^{4}-$不変 coassociative cone を構成でき、$T^{*}S^{2}${ $0-$ section}($S^{2}\subset S^{4}$$\cong \mathbb{C}P^{3}\cross$: 全測地的)、内の小円上の階数 1 のベクトル束等が得られる。

参考文献[1] R. L. Bryant and S. M. Salamon, On the construction of some complete
metrics with exceptional holonomy, Duke Math. J. 58 (1989), 829-850.

[2] M. Fern\’andez and A. Gray, Riemannian manifolds with structure group
Ann. Mat. Pura Appl. (4), 32 (1982), 19-45.

$G_{2},$

31[3] S. Gukov, S.-T. Yau, and E. Zaslow, Duality and fibrations on
Turkish J. Math. 27 (2003), 61-97.

$G_{2}$-manifolds,[4] R. Harvey and H. B. Lawson, Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1982),

47-157.
[5] K. Hashimoto and T. Sakai, Cohomogeneity one special Lagrangian submanifolds in the cotangent bundle of the sphere, Tohoku Math. J., 64 (2012), no.
1, 141-169.
[6] W. Y. Hsiang and H. B. Lawson, Minimal Submanifolds of Low Cohomogeneity, J. Differential Geom. 5, (1971), 1-38.

[7] M. Ionel, S. Karigiannis, and M. Min-Oo, Bundle constructions of calibrated
submanifolds inand , Math. Res. Lett. 12 (2005), no. 4, 493-512.
$\mathbb{R}^{7}$$\mathbb{R}^{8}$[8] M. Ionel and M. Min-Oo, Cohomogeneity one special Lagrangian 3-folds inthe deformed and the resolved conifolds. Illinois J. Math. 52 (2008), no. 3,

839-865.
[9] S. Karigiannis and M. Min-Oo, Calibrated subbundles in noncompact manifolds of special holonomy, Ann. Global Anal. Geom., 28 (2005), 371-394.
[10] D.D. Joyce, Compact manifolds with special holonomy, Oxford Mathematical
Monographs, Oxford University Press, Oxford, 2000.
[11] J. D. Lotay, Calibrated Submanifolds ofMath. 58, (2007), 53-70.

$\mathbb{R}^{7}$and$\mathbb{R}^{8}$

with Symmetries, Q. J.