数理解析研究所講究録
第 1784 巻 2012 年 140-149

140

The heights of irreducible Brauer charactersin 2-blocks of the symmetric groups

東京医科歯科大学・教養部

清田 正夫 (Kiyota,Masao)(General Education, Tokyo Medical and Dental Universtity)
北海道教育大学旭川校 奥山哲郎 (Okuyama,Tetsuro)(Asahikawa Campus, Hokkaido University of Education)
東京農工大学工学研究院 和田倶幸 (Wada,Tomoyuki)(Graduate school of Engineering, Tokyo University of Agriculture and Technology)

1

はじめに

この論説は，大分大学でこの 6 月に行われた代数的組み合わせ論の研究集会の報告と，かなりの部分が重複することをお許し頂きたい．ただし，そこでは省略した定理 1 の証明中，最も重要な部分である第 4 節の Case 1 の部分を，この論説では詳しく述べることを目的とする．

を有限群， を標数 $p>0$ の代数的閉体とし， を $FG$ のブロックでその defect group を$|G|_{p}=p^{a}$ とし $|D|=p^{d}$ とおく． をに含まれる任意とする．整数 の p-part を と書く．
$G$

$F$

$n$

$B$

$D$

$n_{p}$の既約 Brauer 指標とする．その次数$\varphi$$\varphi(1)$$B$

は $p^{a-d}$ で割れる．したがって $\varphi(1)_{p}=p^{a-d+e},$$h(\varphi)=e$ と書く．どのブロックにも高さと書け，を の高さ (height) といい，指標は存在する (Theorem IV.4.5 [6]).
$e$

$B$

$\varphi$に属する既約通常指標$\chi$$\chi(1)_{p}=p^{a-d+[},$
も同じことが成り立ち，$\exists f\geq 0$$0$$\exists e\geq 0$の既約 Brauer$f=h(\chi)$と書け，$\chi(1)||G|$ であることから，をやはり高さという．
となる．有名な rauer の heightzero 予想や Alperin-McKay 予想，Olsson 予想は通常指標の高さに関する予想である．しかし既約
Brauer 指標 については，
やそのか部分に関する予想は知られていない．それは次数である．
を求めることが難しいためではないか． は必ずしもを割らないため，
ブロック
には
のとき主
2をみたす既約
実際，Thackray によると，$G=McL,p=2$$|G|_{2}=2^{7}$となる$h(\varphi)=9>7=d$Brauer 指標があり，$a=d=7$(p. 166 [6]).
であるが，
より，
$0\leq h(\chi)\leq d$$\varphi$$B$$h(\varphi)$$\varphi(1)$$|G|$$\varphi(1)$$h(\varphi)\not\leq d$$B$$\varphi(1)_{2}=2^{9}$のものは，どれくらいあるだろうか? SL 2,の 2- ブロックのように，ただ一つのこともあり，SL 2, $p),$:odd のとき full defect のかブロッ$(p-1)/2$ 個すべてが高さ のこともある．我々は対称群の 2- ブロックについて，次クのように，
一般にブロックに含まれる既約 Brauer 指標で高さ

$0$

$($

$($

$0$

の定理を得た．

$p$$2^{n})$

141
定理 1(Kiyota-Okuyama-W [14]).
ク $B$ に含まれる既約 Brauer 指標で高さが$G=\mathfrak{S}_{n}$

$0$

を

$n$

$p=2$ とする．すると各 2- ブロッ次対称群とし，のものは，ただ一つである．

定理 1 を考えるに至った動機については最後の節で述べる． の既約通常指標の次数に関しては hook formula という公式があり，既約通常指標を与える Young diagram から次数が計算できる．既約 Brauer 指標の次数を求める公式はまだ知られていない．対称群のモジュラー表現については，分解行列を決定せよという未解決問題がある．既約 Brauer 指標の次数が分かっていないこ$n\leq 17$ のとが，分解行列を求めることを困難にしている．定理 1 の証明の難しさもここにある．
場合には既約 Brauer 指標の次数が知られているが [16], 定理 1 の主張が成り立つかどうかを，すべてのブロックについてチェックするだけでも大変である．定理 1 が今までに知られていなかった$\mathfrak{S}_{n}$のも無理はないと思われた．

定理 1 は次の Fong, James の定理を一般化した定理である (James の論文について越谷さんから教えて頂いたことに感謝致します).

定理 2(Fong [7], James [10]).

$G$を有限群とし， を完全体で char $(F)=2$ とする． を絶対既
$V$

$F$

$\dim_{F}(V)$ は偶数である．
約な非自明な $FG$ -加群とする．もし $V$ が self-dual ならば，対称群の既約 $FG$-加群は素体上で絶対既約で，しかも self-dual であることから，この定理の直接の系として，次の定理が成り立っ．
定理 3 (Fong [7], James [101).

$\mathfrak{S}_{n}$$V$ を非自明な既$F$を $n$ 次対称群とし，は標数 2 の体とする．

約 $FG$-加群とすると $\dim(V)$ は偶数である．

定理 1 は定理 3 がブロックごとに成り立つことを示している．定理 1 は が奇素数のときは必ずしも成り立たない．次のような例がある．以下 IBr $(B)$ で に属する既約 Brauer 指標全体の集合とし， を主ブロックとする．また既約 Brauer 指標を数字で表してあるが，それは次
注 1.1

$p$

$B$

$B_{0}$

数を表し，同じ次数の指標が二つ以上ある時は，さらにインデックスを付けている．
(1) $p=3$ のとき(1.1) $n=3,4$ のとき IBr $(B_{0})=$ { $1_{1},1_{2}=$ sign} すべて高さ(12) $n=5$ のとき IBr $(B_{0})=\{1_{1},4_{1}\}$ すべて高さ(13) $n=6$ のとき IBr $(B_{0})=\{1_{1},1_{2},4_{1},4_{2},6\}$ 高さ は 4 個，高さ 1 が 1 個(14) $n=7$ のとき $IBr(B_{0})=\{1_{1},1_{2},13_{1},13_{2},20\}$ すべて高さ $0,13 \int|G|$(2) $p=5$ のとき(2.1) $n=5$ のとき IBr $(B_{0})=\{1_{1},1_{2},3_{1},3_{2}\}$ すべて高さ(2.2) $n=6$ のとき IBr $(B_{0})=\{1_{1},1_{2},8_{1},8_{2}\}$ すべて高さ
$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

注 1.2 定理 1 の主張は既約通常指標については成り立たない．
$p=2$ のとき，単位指標と符号指標は $mod 2$ reduction で共に単位指標となるが， が奇数のときは，一致しない．よって高さ の
$p$

$0$

142
既約通常指標は主かブロックの中に 2 個以上あり得る．
対称群のモジュラー表現に関して，最近いくつかの重要な結果，特にカテゴリカルな結果がある．
Scopes は [19] で，対称群のブロックについては Donovan 予想が成り立つことを証明した．ChuangRouquier は [2] で，対称群のブロックについて，Brou\’e の abelian defect group 予想が成り立つ$B$ との主 P- ブことを，一般化して証明した．そこで，ブロック の weight を とするとき，ロックかとは derived equivalent になることを証明している．しかしこれらの結果から直ちに定理
1 が導けるようには思われない．モジュラー表現の次数や次数の phpart は derived equivalence で変と derived
は weight2 で，わってしまうためである．実際 $p=3$ のとき，主ブロック$l_{0}(B_{0}(6_{6}))=4$ とな
equivalent であるが，height の既約 Brauer 指標の個数は$\mathfrak{S}_{n}$

$B$

$w$

$\mathfrak{S}_{pw}$$B_{0}(\mathfrak{S}_{6})$$B_{0}(\mathfrak{S}_{7})$$l_{0}(B_{0}(\mathfrak{S}_{7}))=5,$$0$

り，異なる．
そこで我々が定理の証明の中で取ったのは，Green 対応と symplectic bilinear form の構成，そして James の定理を利用した $n$ に関する帰納法という古典的な方法である．しかしその証明は，

簡単ではない．

なお，対称群のモジュラー表現論と Iwahori-Hecke 環や $GL_{n}(q)$ の表現論におけるカテゴリカルな類似について，著者は不案内であるけれど，Olsson [18], Srinivasan [20], Hemmer [8], Turner[21], Donkin [31, Bessenrodt and Hill [1] 等の解説はいずれも興味深い．これらの事実と，我々の定理がどこかで結びついている可能性もある．

2

Preliminaries
対称群のモジュラー表現に関する基本的な言葉や結果を導入し，定理 1 を適切な表現に改める．

$\Omega=\{1,2, \ldots,n\}$James の [11] や James-Kerber の [13] を参照してください． を標数 2 の体とし，とする．(ここで述べる結果は の標数が 2 である必要がないことが多いが，我々の結果が標数 2
$F$

$F$

の場合なので，標数 2 としておきます．)
が $n$ の partition であるとは，以上の整数で，$\mu_{2}+\cdots=n$ を満たすことをいう．このとき第一行目が個の箱，第二行目が 個の箱，．
．
．のように，左側をそろえて，箱の作る行列をとかき， に関する Young diagram という．
$\mu=(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots)$$\mu_{1},$ $\mu_{2},$$\ldots$は$0$$\mu_{1}\geq\mu_{2}\geq\cdots,$ $\mu_{1}+$$\mu_{1}$$[\mu]$$\mu_{2}$

$\mu$

-set
.. . を に関する Young subgroup という． は -tabloids とよばれる Young diagram の各箱に
1, 2, . . . , の文字を任意に入れた -tableau を，row stabilizer で動かした同値類を basis とする．の submodule で，-polytabloids とよばれる，-tabloids に符号を付けて加えたものを basisとするものを Specht module といい， と書く．もし $F$ の標数が のときは， がすべての既約加群となる．
の partition $\mu=$$\mu_{1}>\mu_{2}>\cdots$ を満たすときに言う． がが 2-regular とは，は unique な既約 quotient module
2-regular のとき，またそのときにかぎり，Specht module
は 2-weight と 2-coreとなる．Young diagramをもつ． がすべての既約をもつ．Young diagramの右側にある階段状の箱達から，2-rim hook とよばれる縦または横$M^{\mu}:=(F_{6_{\mu}})^{\uparrow \mathfrak{S}_{n}}$を$\mathfrak{S}_{n}$$[\mathfrak{S}_{\mu}\backslash \mathfrak{S}_{n}]$による $F$ 上の置換加群とする．ここで，$\mathfrak{S}_{\mu}\simeq \mathfrak{S}_{\mu_{1}}\cross \mathfrak{S}_{\mu_{2}}\cross$$M^{\mu}$

$\mu$

$n$

$\mu$

$M^{\mu}$

$\mu$

$t$

$\mu$

$\mu$

$0$

$S^{\mu}$$S^{\mu}$$F\mathfrak{S}_{n}$$(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots)$

$n$

$\mu$

$S^{\mu}$$D^{\mu}$$F\mathfrak{S}_{n}-bOffl$$D^{\mu}$$[\mu]$$[\mu]$$w$$[\delta_{k}]$143に二個並んだ箱を取り除いたとき， の残部がふたたび Young diagram となるように，できるか$[\mu]$ぎり 2-rim hook を取り除いていく．もうこれ以上取り除けないとき，取り除いた 2-rim hooks のの weight $w$ である．さらにそのときに残った残部が 2-core
個数がである．2-rim hooks の$w$ とは一意的に定まる．(weight と core は本来 Young diagram
取り除き方は一意的でないが，に対して定まるものですが，partition に対しても同様に の weight $w$ , また単に 2-core$[\mu]$$[\delta_{k}]$$\delta_{k}$$[\mu]$$\delta_{k}$

$\mu$

$\mu$

と言うことにします．hook, weight, core という言葉は中山正が導入した言葉のようです．[20]:$\cross$

例 2.1 $n=9,$ $[4,2^{2},1]$ の場合，Young diagram は$x\cross$$\cross$$)$$\cross$となる．2-rim hook を，初めに第一行目の後ろの横二つ，次に第二列目の下から縦二つ，最後に第一列目の下から縦に二つという順で取り除くことができて，残部がであるから，2-core が [2, 1], 2-weight が $w=3$ で:ある．

$\cross$

Nakayama Conjecture(1941) (Conjecture と呼ばれているが，1947 年 G. de B. Robinson,
が
と
の中で同じ
Brauer により証明され，その後も多数の人により証明されている．)をもつ．
とが同じ 2-cores と同じ 2-weights
2- ブロックに属する
diagram$S^{\lambda}$$\Leftrightarrow Young$$[\lambda]$$S^{\mu}$$\mathfrak{S}_{n}$$[\mu]$

例 2.2 65 には 7 個の partition がある．2-regular なものには をつけた．取り除く 2-rim hookについては最初のものを で，次に取り除くものを◇でその位置を表すことにする．残った部分を．で表す．これが 2-core となる．
$l(B)$ を既約 Brauer 指標
すると二つの 2- ブロック$k(B)$ を既約通常指標の個数，があり，$\circ$$*$$B_{1},$ $B_{2}$と書$w(B)$ を weight, $d(B)$ を defect (i.e. defect group の位数の指数部分，第 1 節では
の個数，
$d$

いた) とすると，右の表のようになっている．

144
以下はいずれもよく知られている．箇条書きにしていく．

1. 2-core は

$0$

以上の整数

$k$

があって

$\delta_{k}=$$(k, k-1, k-2, \ldots , 2, 1)$という形をしている．ただし$k=0$ のときは $\delta_{0}=[0]$ とする．すると箱の個数は，$k>0$ のときは $|\delta_{k}|:=m.=k(k+1)/2$ より

三角数である．

2.

$D(B)$ を $B$ の defect group$D(B)\simeq D\in Sy1$

2$(\mathfrak{S}_{2w})$(定義は避けるが $B$ に付随して定まるの 2-部分群) とすると，$B$の主 2- ブロックに derivedとなり，Chuang-Rouquier [2] により， は$G$$\mathfrak{S}_{2w}$equivalent である．
を の partition 全体の集合とする． $:=(k+2w, k-1, \ldots, 2,1)$ という3.
がある．これは 2-regulal で 2-core が となるような partition である．
$\mathcal{P}(n)$$n$$\mu 0$$n$の patition$\delta_{k}$4.

$\mathcal{P}(n)$には次のような自然な全順序がある．

$\lambda,$$\mu_{i-1},$ $\lambda_{i}<\mu_{i},$$\ldots$とする．すると$\mu 0$は$\mu\in \mathcal{P}(n)$に対し$\lambda_{i-1}=def$$\lambda<\mu\Leftrightarrow\lambda_{1}=\mu_{1}\cdot,$$\ldots,$

を 2-core にもつ 2-regular な partition の中で最大のもの$\delta_{k}$

である．

5.

$\mu_{0}$$M^{\mu 0}=S^{\mu 0}\oplus M’$に関して，と分解し，ここで $M’\not\in B$ である．このとき$S^{\mu 0}=D^{\mu_{0}}$を満たしている．さらに次が分かる．

Lemma$D^{\mu_{0}}$

は高さ

$0$

の既約 F n- D$\mathfrak{y}$$\mathfrak{S}$$\Re$

で，その vertex は $D(B)$ で source は trivial module$F_{D(B)}$である．

ここで定理 1 を改めて詳細に述べる．

定理 1(Kiyota-Okuyama-W [14]).
ロックで 2-core を$\delta_{k}$$6_{n}$とする．するとを$D^{\mu_{0}}$$n$はの任意の 2- ブの unique な既約 $F6_{n}$ -加群である．

$p=2$ とする． を次対称群とし，$B$$B$に属する高さ$0$$\mathfrak{S}_{n}$注 2. 1 定理 1 は Fong, James の定理 3 から，が主 2- ブロックの時は正しい．また Fong, James$b$の定理 3 は，full defect の 2 ブロックは主ブロックしかないことも言っている．

3

定理 1 と同値な二つの定理
ここでは定理 1 と同値な二つの定理について述べる．後に定理 1 を証明するとき，二つの場合に分ける．それぞれの場合について，同値な定理を証明する．

を 2-regular とし，その 2-core をとする．このとき， (通常既約指標)の $p=2$ に関する高さが正である
分解数 d 。が偶数になる．

定理 3.1$\mu\in \mathcal{P}(n)$$\delta_{k}$$\Leftrightarrow$$\mu\mu$$S^{\mu}$145
もう一つの定理を述べるには，もう少し言葉や結果が必要である．やはりで，その 2-core を$\delta_{k}$$\mu\in \mathcal{P}(n)$は 2-regularとする．

$G=6_{n}=6_{\Omega}$$\Omega_{2w}=\{1,2, \ldots, 2w\}$
とす
とし，
とする．
とし，
$\Omega_{m}’=\{2w+1,\ldots,2w+m\}$$m=|\delta_{k}|=k(k+1)/2$
る．さらに
とし，
とする．ただしである．
である．すると$\Omega=\{1,2, \ldots, n\}$$G_{2w}=\mathfrak{S}_{\Omega_{2w}}$$K=6_{\Omega_{m}’}$$\Omega=\Omega_{2w}[sqcup]\Omega_{m}’$を $B$ に属する既約 $F6_{n}$ -加群でその 2-core を$D^{\mu}$$\delta_{k}$とする． を$Q$となる．したがって $(G, Q, G_{2w}\cross K)$ に関するは直既約 $F(G_{2w}\cross K)$ -加群である．
考えることができる．
$N_{G}(Q)\subseteq G_{2w}\cross K$の vertex とする．すると$D^{\mu}$$D^{\mu}$の Green 対応子 $f(D^{\mu})$ を$f(D^{\mu})$

は， という直既約 $FG_{2w}$ -加群があって，に同型になる．ここで， は$K$の defectに同型なの 2- ブロックに属する既約 $FK$ -加群である．するともうーつの同値な定$f(D^{\mu})$$T^{\mu}$$S$$T^{\mu}\otimes_{F}S$$D^{\delta_{k}}$$0$

理は次のようになる．

定理 32

$B$

に属する既約 $FG$-加群$D^{\mu}$は，$\mu\neq\mu 0$

ならば，対応する$T^{\mu}$は偶数次元となる．

定理 31 と定理 32 は共に定理 1 と同値になる．ここでは証明は省略する．

定理 1 の証明の概略

4とする．ただしその 2-coreとする．次の二つの場合に分けて，$\mu=\mu_{0}$ であることを言う．以下 $FG$ -加群は右加群とす$G=6_{n}$ の任意の 2- ブロック $B$ に属する高さ $0$ の既約 $FG$-加群をを$\delta_{k}$$D^{\mu}$る．

Case 1.
意$)$$arrow$

(1)

$\mu$

が少なくとも $k+1$ 個の nonzero parts をもつとき (このとき$\mu\neq\mu_{0}$であることに注

このとき定理 32 をいう．
が偶数次元

が偶数次元ということが言える．ここで， は $FK$ の primitive
idempotent で Young symmetrizer と呼ばれる ([9],[22]). それは standard k-tableaux 全体の中で自然な全順序に関して最大の standard tableau tl に対応するものである．
を $FK$ の defect(2)のブロックべき等元とする． は $FK$ の中心に属するから， は$FK$の $F$ -基底
, ( は standard -tableau を動く) を正規直交基底-加群となる．置換加群とするような，自然な symmetric, non-singular, G-invariant bilinear form を {, とする．す$T^{\mu}$$\Leftrightarrow D^{\mu}e_{1}$$e_{1}$$\delta$$e_{0}$$0$$S^{\mu}e_{0}$$e_{0}$$M^{\mu}$$E_{t}$

$t$

$\mu$

$\rangle$

ると$S^{\mu}=S^{\mu}e_{0}\oplus S^{\mu}e_{0’}$と書ける．ここで $e0’=1_{G}-e0\in FG$ . また$S^{\mu}e_{0}\cap(S^{\mu}e_{0})^{\perp}=(S^{\mu}\cap(S^{\mu})^{\perp})e_{0}$

146
であるから
$S^{\mu}e_{0}/(S^{\mu}e_{0}\cap(S^{\mu}e_{0})^{\perp})\simeq D^{\mu}e_{0}$となる．またを用いて，は $e0$ に属する $FK$ の primitive idempotent, つまり $e0e_{1}=e_{1}$ とする．今内積$e_{1}$$S^{\mu}e_{1}=S^{\mu}e_{0}e_{1}$

上に新たな bilinear form$b(ve_{1}, ue_{1})$$:=\langle ve_{1},$

,

$\}$

を次のように定義する．

$b$$ue_{1}x_{0})=\{ve_{1}x_{0}, u\}$

ここで $x_{0}\in K$ は $t_{1}x_{0}=t_{f}$ をみたす unique な $K$

$\{$

,

$ve_{1},$ $ue_{1}\in S^{\mu}e_{1}$に属する元とする．ただし$t_{f}$

は最小の$\delta_{k^{-}}$

tableau で，ちょうど の共役 (つまり行と列を入れ替えた tableau) になっていて，したがっては involution となっている．
まず が上 symplectic, つまり $b(ve_{1},ve_{1})=0$ for all $v\in S^{\mu}e0$ であることをいう．Spechtの $F$ -基底として，-polytabloid
加群がとれるので，$b(E_{t}e_{1}, E_{t}e_{1})=0$ をいえば十分である．ここでという形をしている．なお
で，は任意の固定した
sgn $(y)y$tableau,
は の行 stabilizer, は任意の standard
standard tableau,
はは の列 stabilizer のこと．今 char $(F)=2$ なので符号 sgn(y) は無視して良い．またで$s\cdot x_{t}=t$ をみたす unique な $G:=6_{n}$ の元のこと．すると$x_{0}$$t_{1}$$b$$S^{\mu}e_{1}$$S^{\mu}$$E_{t}$$\mu$$\rho=\rho_{s}:=\cdot\sum_{x\in R_{s}}x$$Et=\rho\cdot x_{t}\kappa_{t}$$R_{s}$$\mu-$$C_{t}$

$t$

$s$

$s$

$\kappa_{t}=\sum_{y\in C_{t}}$$\mu-$$x_{t}$$t$$b(E_{t}e_{1}, E_{t}e_{1})=\langle E_{t}e_{1}x_{0},$最後の等式は， を各$\kappa_{t}$の左右成分の右から$E_{t}\}=(\rho\cdot x_{t}\kappa_{t}e_{1}x_{0},$$\rho\cdot x_{t}\kappa_{t}\rangle=\langle\rho\cdot x_{t}\kappa_{t}e_{1}x_{0}\kappa_{t},$ $\rho\cdot x_{t}\}$が G-invariant であることから内積達の和に分解して，内積をかけて，再び足しあわせれば，ちょうど等式を意味する．

$y\in C_{t}$$y^{-1}$.

$\langle,$

また $e_{1}x_{0}\in FK$ であるから，$\kappa_{t}e_{1}x_{0}\kappa_{t}=0$$\rangle$を得る．なぜなら，$e_{1}= \sum_{g\in K}a_{g}g$と書けば，$\kappa_{t}gx_{0}\kappa_{t}=gx_{0}\cdot(gx_{0})^{-1}\kappa_{t}gx_{0}\cdot\kappa_{t}=gx_{0}\cdot C_{t}^{gx_{0}}C_{t}$は群 $X$ の元の総和を表す．さらに一般に群 $G$ の部分群 $H,$ $K$ に対し $|HK|=$$\hat{H}\hat{K}=|H\cap K|\sum_{z\in HK^{Z}}$ となることに注意して，$|H||K|/|H\cap K|$ であるから，となる．なお$X\ovalbox{\tt\small REJECT}$$gx_{0} \cdot\overline{C_{t}^{gx_{0}}}\hat{C_{t}}=gx_{0}\cdot|C_{t}^{gxo}\cap C_{t}|\sum_{z\in C_{t^{gx}}oc_{t}}z=0$$K$ の任意の元に対して，を得る．ただし最後の に一致することは， の任意の -tableau と，
上口の列 stabilizer
について，は互換を含むことが言えるので，体$6_{n}$$0$$t$$C_{t}^{k}$$C_{t}$

$\mu$

$k$

$t$

$F$

$C_{t}$であることから来る．したがって新しい bilinear form$b$$|C_{t}^{gx_{0}}\cap C_{t}|=0$

は$D^{\mu}e_{1}\simeq(S^{\mu}/(S^{\mu}\cap(S^{\mu})^{\perp}))e_{1}\simeq S^{\mu}e_{1}/S^{\mu}e_{1}\cap(S^{\mu}e_{1})^{b\perp}$

上，symplectic, non-singular となり，したがって$S^{\mu}|\{v,$ $u\rangle=0$$S^{\mu}e_{1}\}$for all$u\in S^{\mu}\}$のこと，また$D^{\mu}e_{1}$が偶数次元を得る．ここで$(S^{\mu})^{\perp}=\{v\in$$(S^{\mu}e_{1})^{b\perp}=\{ve_{1}\in S^{\mu}e_{1}|b(ve_{1}, ue_{1})=0$

for all$ue_{1}\in$のこととする．

よって (1) により，定理 32 の証明が導かれる．(この辺の言葉や結果は，HWeyl の [22] にあり，

岩堀先生の著書 [9] に詳しく書かれています．岩堀先生のご冥福を祈ります．)

147
Case 2.

個の nonzero parts をもつとき
次の James の定理を用いて に関する induction で定理 3.1 を証明する．ただし $k=0,1$ のときは 2-core の形から，ブロック $B$ は主ブロックとなり，注 2.1 で述べたように，Fong, James の
$\mu$

がちょうど

$k$

$n$

定理 3 よりすでに証明されている．よって $k\neq 0,1$ としてよい．
を の partition で，Theorem (James [12]). $\mu=(\mu_{1}, \ldots, \mu_{k}),$とする． は 2-regular とする．すると $\overline{\mu}=(\mu_{1}-1, \ldots, \mu_{k}-1),$の partition となり， は 2-regular となる．このときが成り立っ．
$=(\nu_{1}, \ldots, \nu_{k})$$\overline{\nu}=(\nu_{1}-1, \ldots , \nu_{k}-1)$$\mu$$\overline{\mu}$

また

属する

$\mu$

は $n-k$$d_{\nu\mu}=d_{\overline{\nu}\overline{\mu}}$

個の non-zero parts を持つときは，標数 の体上の加群と考えたとの$6_{n-k}$ の 2- ブロック $B$ とのブロック) にお(それぞれ 2-weight $w$ , 2-core が，がちょうど$6_{n},$$\mu_{k}\neq 0,$ $\nu_{k}\neq 0$

$n$

$k$

$0$

$S^{\mu}$$S^{\overline{\mu}}$$\overline{B}$$\delta_{k},$$\delta_{k-1}$

ける，高さが一致することが言える．このことを用いて，James の定理から， に関する induction
により，定理 3.1 がすぐに証明できる．
$n$5

関連する結果定理 1 に関連する結果と，定理 1 が成り立つのではないかと考えるに至った動機について述べる．

1 Question (Danz, K\"ulshammer, Zimmermann $[4],[5]$ ). $F$ を標数 2 の体で を の 2-regularpartition とする． を既約 $F6_{n}$ -加群とする． の source
は，もし non-trivial ならば，偶数次元か ?
$\lambda$$D^{\lambda}$

$n$

$V$

$D^{\lambda}$

定理 1 より，もしのときは， は trivial source をもつ．もしならば， は正
$FG$
の既約
ブロック
加群
が
pの高さをもつ．有限群について，に属するとする． のdefect group を とする．次の村井の定理 [15] が知られている． が正の高さをもつための必要$D^{\lambda}$$\lambda=\mu_{0}$$G$$\lambda\neq\mu_{0}$

$S$

$B$

$S$

$D$

$D^{\lambda}$

$B$

$S$

十分条件は， の vertex $P$ が，$P<D$ である力$S$$\searrow$

そうでなければ source $V$ は偶数次元である．

$P<D$ のときは， が trivial かまたは偶数次元かどうかは分からず，彼らの question が正しいかどうかは現時点では分からない． は直既約 $FP$-加群なので，一般には は 1 より大きな奇数
$V$

$V$

$V$

次元になり得る．

2 次の proposition がある．
$B$ を
Proposition (Okuyama-W [17]).
を有限群，
$B$ の
行列とする．
defect を とする．このとき
$G$

$G$

$C_{B}$ を $B$ のカルタンの p- ブロックとし，$d$$\sum_{\varphi\in IBr(B)}(\frac{\varphi(1)}{p^{a-d}})^{2}\not\equiv 0$が成り立つ．特に$C_{B}$のある固有値$\rho$$(mod p)\Rightarrow$で，Tr$(p^{d}C_{B}^{-1})\not\equiv 0$$p^{d}/\rho\not\equiv 0(mod (\pi))$$(mod (\pi))$を満たすものがある．

148
Propositionの主張で，条件$\sum_{\varphi\in IBr(B)}(\frac{\varphi(1)}{p^{a-d}})^{2}\not\equiv 0(mod p)$

とおく．

を $(*)$$G$が -可解群なら$p$ば，その任意のかブロックはを満たす．しかしは一般には成り立たない．例えば $G=$
SL 2, $p),p>3$ のとき， を full defect のかブロックとすると， は位数 の巡回群だが， は
$(*)$

$(*)$

$D$

$B$

$($

$p$

$(*)$

成り立たない．さらに結論の部分さえも成り立たない．つまりカルタン行列のすべての固有値について $p/\rho\equiv 0(mod (\pi))$ が成り立つ．同じ結果が $G=6_{p},p>3$ でが主かブロックのとき$\rho$$B$にも成り立つ．
$p=2$ でこのような例があるだろうか ? 特に対称群ではどうなのだろうか ? という疑問がこの問題を考えるきっかけとなった．定理 1 を得た結果，次が成り立つ．
Corollary. 対称群$\mathfrak{S}_{n}$$(*)$ が成り立つ．
に対し任意の 2- ブロック $B$ は，

Acknowledgements. The authors express their heartfelt thanks to Professor Hiroki Sasaki
for holding the series of conferences and giving them occasions not only to present their own
resuts but also to discuss exciting problems in Kyoto and Matsumoto.

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