21

数理解析研究所講究録
第 733 巻 1990 年 21-32

ベナール対流における 2 次元ロール解の非線形発展

和歌山大学・教育
日本原子力研究所

水島二郎 (Jiro Mizushima)
藤村薫 (Kaoru Fujimura)

1. Introduction
ベナール対流はその理論的な取り扱いが比較的簡単であったため、 これまでに線形安定性をはじめ、 弱非線形安定性非線形平衡解の性質が詳しく調べられてきた。 さらに、 有限の大きさの容器の中の対流については実験 (Gollub &Benson, 1980) やモデルを用いた数値シミュレーション (Yahata, 1982; 1984) によって対流の発生からカオス化及び乱流状態への遷移について詳しく調べられている。
流体層の空間的な広がりが大きい場合にっいてはべナール対流の線形安定性は Pellew&Southwe11(1940) Jeffreys (1928) および Reid&Harris (1958) により調べられた。 弱非線形安定性は Gor’kov (1957) や Malkus &Veronis (1958) によ っ て調べられ、 ランダウ係数が負であること、 すなわち超臨界平衡状態が存在することが示され、 その定常解が求められている。 また、 Schluter, Lortz&Busse (1965) は弱非線形安定性の方法を用いて定常解を計算し 2 次元ロール状の対流のみが安定であることを示し、 その安定条件を求めた。
. さらに、 ロール状の対流が上下 2 枚の平板簡の熱輸送を最大にすることが示された。 これは Malkus&Veronis (1958) の結果とも一致している。
Busse (1967) はロール解の非線形定常解を求めさらにそのロール解の 3 次元撹乱に対する線形安定性を調べた。 その結果、ロール解は zigzag モードと cross-roll モードに対して不安定であり、 ロール解が安定に存在するパラメーター領域は元の静止状態の不安定領域に比べてずっと小さくなることがわかった。
Busse の結果は Busse &Whitehead (1971) により実験的に確かめられた。 Clever&Busse (1974) と Busse&Clever (1979) はさらに詳しぐ定常ロ ル解の性質を調べ、 その
3 次元撹乱に対する線形安定性を調べた。 その結果、 さきに挙げた zigzag と $cross- ro\mathbb{I}$ の 2
つの不安定性以外にも Eckhaus instability, Oscillatory instability, knot instability, skewed
varicose instability などがあることが明らかになった。 そして、 2 次元ロール解が安定に存在するパラメーター領域が詳しく調べられた。 そのパラメーター領域はブッセのバルーンと呼ばれている。

.

ー

最近、 Nagata &Busse (1983) と Mizushima &Saito (1988) は鉛直流体層における自然対流の非線形安定性を調べ、 線形不安定の結果生じる 2 次対流の非線形平衡解が存在する
パラメータ領域と自然対流が線形不安定であるパラメータ領域が異なることを見いだした。
すなわち、 従来のランダウ方程式を出発点とする弱非線形安定性理論に従えば線形不安定であるパラメータ領域においては撹乱はその振幅がどこまでも大きくなるかあるいは平衡振幅を持っかいずれかであることが予想されるにも関わらず撹乱の振幅がゼロに減衰することを見いだした。

この一見矛盾する現象は Fujimura&Mizushima (1987) により基本波と基本波の 2 倍の波数を持っ高調波との非線形共鳴で説明されることがあることが明らかになった。
同様の現象は異なる回転速度で回転する同軸 2 円筒間の流体中に発生する流れ (テイラー流) においても、 生じることが報告されている $(Li, 1986)$ 。ベナール対流においてもこのような非線形共鳴が生じているのではないだろうか。 こうした疑問がこの論文の出発点である。 実際、 Nagata &Busse (1983) は彼らの論文 の 中で Clever &Busse (1974) が線形不安定なパラメータ領域中の一部において平衡解を求めることができなかったことを述べている。 しかし、 ベナール対流においては撹乱に対する解の対称性から、 鉛直流体層中

122の自然対流の場合とは異なり、 基本波と基本波の 2 倍の波数を持つ第一高調波との非線形共鳴ではなく基本波の 3 倍の波数を持つ第 2 高調波との非線形共鳴が予想されている。 その結果、 Busse らのこれまでに得た結果を修正する必要が生じる可能性がある。
この論文ではまずロール状の撹乱の非線形平衡解を求め実際に非線形平衡解が存在す
るパラメータと元の静止状態がロール状撹乱に対して線形不安定であるパラメータ領域が異なっていることを示し、次にこの現象が基本波と第 2 高調波との非線形相互作用で説明されることを示す。

2. 基礎方程式と線形安定性
温度の異なる 2 枚の水平平板間に流体が満たされているとし、 座標系は鉛直方向に軸と軸をとる。 次元を持つ変数にアスタリスク を付けるこ
軸をとり、 それに直角にとにすると、 流体が静止した熱伝導状態は次の式で表される。

$z_{*}$$*$$x_{*}$$y_{*}$$U_{*}=0$,$\Theta_{*}=\theta_{0}-\beta z_{*}$$P_{*}=p_{0}-g \rho_{0}(z_{*}+\frac{1}{2}\gamma\beta z_{*}^{2})$

, for

,
(1)

$- \frac{d}{2}\leq z_{*}\leq\frac{d}{2’}$は静はそこでの流体の密度である。
は流体層の中央における温度であり、$\beta=\delta\theta/d$
は上下 2 枚の固体壁ので表される。
止状態における流体層中の温度勾配で、温度差であり、 は平板間の間隔である。 また、.\gamma は流体の熱膨張係数であり、 は重力加速度を表す。 浮力項を除いては流体の物質的は性質は一定であるとするブシネスク近似をを支配する方程用いると、 流体の速度 $u$ と流体が静止した熱伝導状態からの温度の変化
式は次のように書くことができる。
ここで、$\beta$$\theta_{0}$$\rho_{0}$$\delta\theta$

$d$

$g$

$\theta$$\nabla.u=0$

,

(2)

,

(3)

$\frac{\theta u}{\theta t}+u.Vu=-\nabla\Gamma+PR\theta\lambda+P\Delta u$$\frac{\theta\theta}{\theta t}+u.\nabla\theta=\lambda.u+\Delta\theta$,(4)

代表的な時間としてはを用いて無次元化されている。
代表的な温度として上下 2 枚の平板間の温度差の項に含ま(3) 式において勾配の形でかける項はすべて方向の単位ベク トルを表す。
$P$$R$
次式で定義される。
また、 はレイリー数、 はプラントル数であり、れている。
ここで、 すべての物理量は代表的な長さとして流体層の厚さ$d$$d^{2}/\kappa$、、$\lambda$$\delta\theta$$z$$\nabla\Gamma$$R= \frac{\gamma g\delta\theta d^{s}}{\nu\kappa}$,

は流体の熱拡散係数、 は動粘性係数を表す。
と温度\mbox{\boldmath $\theta$} に対する境界条件は次のように書ける。
ここで、$\kappa$$\nu$$u=\theta=0$(5)$P= \frac{\nu}{\kappa}$

上下 2 枚の固体壁における速度 $u$

at $z=\pm 1/2$ ,(6)

ベナール対流の線形安定性は Pellew &SouthweI (1940), Jeffreys(1928) や Reid &Harris(1958) により詳しく調べられた。 その結果次のようなことがわかっている。 この2

問題では安定性の交代の原理 (principle of exchange of stability) が成り立ち、 もし増幅する
撹乱があるとすればその撹乱の波としての位相速度はゼロである。 最も不安定である撹乱
は中点を中心として鉛直方向に対称な空間構造を持っている。 図 1 に線形中立安定曲線を示す。 図 1 において黒丸を結んだ曲線が中立安定曲線であり、 その左側の曲線はのちの議論で用いるために中立安定曲線の波数を 1/3 に縮めて描いたものである。 撹乱の線形臨界
レイ リー数は $.1163236 である。
は 1707.762 であり、 そのときの水平方向の臨界波数
線形安定性理論の範囲内では増幅する撹乱の平面形については何もわからないが、 仮に 2次元ロール形の撹乱を考えると臨界波長は $2\pi/a$ 。 $=2.016$ となり、 およそ流体層の厚さの 2倍の周期を持つロール状の 2 次対流が発生することになる。
$R_{c}$$a_{c}$$\alpha$. 図 1. 線形申立安定曲線.

プラントル致には依存しない. 左側の曲線はのちの議論で用いるために中立安定曲線の波数を 1/$ に縮めて描いたものである.

3. ロール状撹乱の非線形平衡解$(x, z)$ 平面での
この節では、 2 次元ロール状撹乱の非線形平衡解を詳しく調べる。
を導入すると、 (1), (2), (3) 式は次のように書くことができる。
流れ関数$\psi$$\frac{\theta\Delta\psi}{\theta t}-P\Delta^{2}\psi+PR\frac{\theta\theta}{\theta ae}=J(\psi, \Delta\psi)$,,$\frac{\theta\theta}{\theta t}+\frac{\theta\psi}{\theta x}-\Delta\theta=J(\psi, \theta)$

(7)

(8)

ここで、 $J(f, g)$ は次式で定義されるヤコビアンであり、$J(f, g) \equiv\frac{\theta(f,g)}{\theta(ae,z)}$$\Delta$は次式で定義される $(x, z)-$ 平面における 2 次元ラプラシアンである。
$\Delta\equiv\frac{\partial^{2}}{\theta x^{2}}+\frac{\theta^{2}}{\theta z^{2}}$$\psi$,と$\theta$.

に対する境界条件は次のように書くことができる。
$\psi=\frac{\theta\psi}{\theta z}=\theta=0$3

at $z=\pm 1/2$ .

(9)

24
$\psi$と$\theta$を次のように$x$方向にフーリエ展開する。

,$\psi=\sum_{n=-N}^{N}\phi_{n}e^{in\alpha x}$$\theta=\sum_{n=-N}^{N}\theta_{n}e^{in\alpha x}$

(10)

,

(11)

は純虚数であり、$\phi_{-n}=-\phi_{n}$ただし、上式では展開を $n=-N$ から $N$ までで打ち切った。
とに対する方の関係がある。 フーリエ係数の関係があり、 は実数で、
程式は次のようになる。
$\phi_{n}$$\theta_{-n}=\theta_{n}$$\theta_{n}$$\phi_{n}$,$\frac{\theta S_{n}\phi_{n}}{\theta t}-PS_{n}^{2}\phi_{n}+in\alpha PR\theta_{n}=N_{1n}$$N_{1n}= \sum_{p+q=n}i\alpha[p\phi_{p}S_{q}D\phi_{q}-qD\phi_{p}S_{q}\phi_{q}]$$\frac{\theta\theta_{n}}{\theta t}+in\alpha\phi_{n}-S_{n}\theta_{n}=N_{2n}$$\theta_{n}$

,

(12)

,

$N_{2n}= \sum_{p+q=n}vi\alpha[p\phi_{p}D\theta_{q}-qD\phi_{p}\theta_{q}]$

.

(13)

ここでは、平衡解を求めるため上式で $\theta/\theta t=0$ とおく。 ところで、線形安定性の結果最も不安定な撹乱は 方向に対称な撹乱であった。 従って、 基本モードとして 方向に対称な撹乱を取ることにする。 方向の対称性を考慮すれば直接に相互作用をするのは基本波数の奇数倍の波数を持っ 方向に対称な撹乱と偶数倍の波数を持っ反対称な撹乱である。 現実のべナール対流においてはこのような相互作用も重要な効果を及ぼしているが、 ここでは、ブッセらの結果と比較をする必要性もあり、 対称性を考慮しで基本波数の奇数倍の波数を持
このつ撹乱は 方向に対称であり、 偶数倍の波数を持っ撹乱は反対称であると仮定する。
および\mbox{\boldmath $\theta$}\pi をチェビシェフ多項式で展開する。 すなわち、 奇数の $n$ を持つ仮定のもとにに対しては次の展開を行う。
$z$

$z$

$z$

$z$

$z$

$\phi_{n}$$\phi_{n},$$\theta_{n}$$\phi_{n}=i\sum_{m=0}^{M/2+1}a_{nm}(1-(2z)^{2})^{2}T_{2m}(z)$また、 偶数の $n$ を持つ$\phi_{n},$$\theta_{n}$,$\theta_{n}=\sum_{m=0}^{M/2+1}b_{nm^{\backslash }}(1-(2z)^{2})T_{2m}(z)$

,

(14)

に対しては次のように展開する。

$\phi_{\pi}=i\sum_{m=0}^{M/2+1}a_{\pi m}(1-(2z)^{2})^{2}T_{2m+1}(z)$,$\theta_{\pi}=\sum_{m=0}^{M/2+1}b_{nm}(1-(2z)^{2})\text{乃_{}m+1}(z)$

.

(15)

これらの展開式を (7), (8) 式に代入
し、とおいて得られる $2(n+1)(m+2)$ 個の実係数 $a_{nm}$ と ffl。に対する代数方程式をコロケーション法を用いたニュートン・ラフソンの方法で解いた。
ここで、 $T_{\pi}(x)$ は $n$ 次のチェビシェフ多公式である。$\theta/\theta t=0$425
ここで得られた、 非線形平衡解の結果を示す前に、 今回の計算結果と Clever &Busse(1974) の結果との比較を行っておこう。 表 1 にプラントル数 $P=7.0$ (水) の場合の臨界
波数 $\alpha_{c}=3.117$ (正確には $\alpha_{e}=3.1163236$ であるが、 Clever &Busse との比較のため、 こ
こでは臨界波数としてこの値を用いる) におけるヌッセルト数に対する両者の結果を示す。
展開の打ち切り項数は $N=12,$ $M=30$ と採った。
R

Nu(Clever

2000
2500
3000
5000
10000
20000
30000
50000

&

Nu(Present Result)Busse)

1. 214
1. 478
1. 667
2. 112
2. 618
3. 1193. 4403. 894

1. 21292
1. 47502
1. 66250
2. 10299
2. 60790
3. 10686
3. 42016
3. 85185

表 1. 今回の計算結果と Clever &Busse (1974) の結果とのヌッセルト数の比較.
3.117. $P=7.0$.

$\alpha_{e}=$今回の計算結果の方がより正確であることを除けば、 両者の結果はほぼ同じである。

Clever &Busse に比べて今回の結果の方がより正確であるのはおもに展開の打ち切り項数$N$

および $M$ が今回の計算の方が大きいことに依っている。

の分布を図 2 に示す。
$P=7.0$ の場合の非線形平衡解の $z=0$ での振幅
図 2 からわかるように平衡振幅は $R=2000.0$ に対しては 1 本の曲線から成り立っているが、$R=30000$ 及びそれ以上のレイ リー数に対しては 2 本の曲線から成り立っていることがわかる。
線形安定性理論から容易に推測できるのは $R=2000.0$ の曲線のように 1 本の曲線から成り立っている場合だけである。
$w_{1}\equiv i\alpha\phi_{1}$

図 2. 非糠形平衡解の $x=0$ での振幅

$v_{1}$

シ\phi \sim の分布.

$P=7.O$.

2 本の曲線が集まっている付近の様子を詳しく見るために $1.5\leq\alpha\leq 1.8$ の部分を拡大した図を図 3 に示す。 図 3 は $R=30000$ での平衡振幅のみを描いてある。 図 3 から、たとえば\alpha $=1.7$ 付近では平衡解が 3 つ存在していることがわかる。

いままで、 ベナール

対流の非線形平衡解に関して数多くの研究がなされてきたが、 平衡解のこのような性質については見過ごされてきた。 すなわち、 平衡解については十分に調べられないまま、 線形安

526

定領域には常に平衡解があるとして、 その平衡解の 3 次元撹乱に対する安定性が議論されてきた。
ここでの計算結果からでは求められた平衡解が安定な平衡解であるのかまたは不安定な平衡解であるのかは不明である。
しかし、次節で述べる弱非線形安定性理論より、 こ

1.5

1.8

1.7

1.6
$\alpha$. $R= 000.0$ .
ここでは $\alpha=1.8$ 付近の微細な平衡解が安定であるパラメータ領域を図 4 に示す。
構造は無視している。 図 4 において、 領域 I はただ 1 つ平衡解が存在する領域であり、 線
形安定性から容易に想像する平衡解の分布である。 領域 II は平衡解が 1 つも存在しない領域であり、 線形安定性理論からは容易に想像できない性質である。 実は、 Clever & Busse(1974) 及び Busse &Clever (1979) が平衡解を求めるのに失敗した領域はこの領域である。
領域 III はただ 1 っの安定な平衡解と不安定な平衡解が 2 つ存在する領域であり、 注意深
く調べないと領域 I と判別が難しい領域である。
図 3. 非 n 形平\mbox{\boldmath $\varpi$}解の z=0 での g\hslash wl\equiv i\alpha \phi \sim の分布.

$P=7.0$.

$P=7.0$ 領域 I ではただ 1 っ平衡解が存在する.
図 4. 平衡解が存在するパラメータ領域.
領域 $p$ では平衡解が 1 $0$ も浮在しない. 領域 $m$ ではただ 1 っの安定な平衡解と不安定な平衡解が 2 つ存在する.

4. 弱非線形安定性理論
前節ではロール状撹乱の非線形平衡解を直接に求めた。 その結果線形安定性理論からは容易に推測できない結果を得た。 この結果はモード間の非線形共鳴で説明できることを

6

27

この節で示す。

振幅展開法を用いた通常の弱非線形安定性理論に従えば波数に対する振幅方程式が次のように得られる。
の複素振幅$\alpha$を持っ単一の基本モード$A_{1}$$\frac{dA_{1}}{dt}=\lambda_{1}A_{1}+\lambda_{-111}|A_{1}|^{2}A_{1}$

.

(16)

が負のときは平衡振幅
この振幅方程式に従えば、 増幅撹乱\mbox{\boldmath $\lambda$}1 $>0$ はランダウ係数$|A_{1}|_{\epsilon q}=(-\lambda_{1}/\lambda_{-111})^{1/2}$を持つ。 低レイリー数では $\alpha_{c}=3.1163236$ に対してはのちに述べる第 2 高調波との共鳴の影響はな \langle (15) 式が成り立ち、 プラントル数 $P=7.0$ において平衡振幅 $w_{1}\equiv|A_{1}|_{eq}/\alpha$ を計算すると、 表 2 のようになる。
$\lambda_{-111}$$R$$w_{1}$(Neakly Nonlinear)

1710(Fourier Trancation)$0.21$ 4244

$0.214122$

$0$

$0$

.502383.500831.941117$0.931211$
1. 40973
1.37800
2.08888
1.99476
2.63995
2.46596
3.587193.21677
4.43589
3.833315.23353
4.37230
5.999854.859236.744915.30812$1720$

1750$0$$1800$

1900
2000
2200
2400
2600
2800
3000
表 2. 平衡振幅の比較.

$w_{1}$$w_{1}$

対する弱非線形安定性理論の方法と 7– リエ打ち切りの方法による結果. $P=7.0$ .

$\alpha_{c}=\theta.1163236$

表 2 では比較のため前節で説明したフーリエ打ち切りの方法による結果も同時に示し(15) 式から計算した値は臨界レイ リー数付近ではほぼ正しいがレイリー数が大きくなるに従ってフーリエ打ち切りによる正確な値からずれていく (図 5 参照)

た。

。

図 6. 非線形平衡解 の $z=0$ での振幅
\alpha =3.116$2$0.
較. $P=7.0$$w_{1}\equiv 2\alpha\phi\iota$.

と弱;[線形安定性理論力. ら求めた

$w\iota$の比(15) 式に従う限り、線形不安定な撹乱が振幅ゼロまで減衰することは考えることは不可能である。 撹乱の振幅が小さくなると非線形項が無視でき、 線形安定特性により撹乱は成長することが予想される。

7

28

鉛直流体層での自然対流の非線形発展過程においては基本波とその高調波との非線形共ベナー ) 対流のロール鳴により、 同様な現象が現れた (Fujimura &Mizushima, 1987)
解は 方向に対称性があるため、 基本波と 3 倍の波数を持つ第 2 高調波との非線形共鳴が起こることが予想される。 基本波と第 2 高調波との非線形共鳴を考慮に入れると振幅方程式
は次のようになる。
$s$

。

$z$

,

$\frac{dA_{1}}{dt}=\lambda_{1}A_{1}+\lambda_{-111}|A_{1}|^{2}A_{1}+\lambda_{-S31}|A_{3}|^{2}A_{1}+\lambda_{-1-13}A_{1}^{*2}A_{3}$,$\frac{dA_{3}}{dt}=\lambda_{3}A_{3}+\lambda_{-113}|A_{1}|^{2}A_{3}+\lambda_{-333}|A_{3}|^{2}A_{3}+\lambda_{111}A_{1}^{3}$

(17)
(18)

また、 す
及び
はそれぞれ基本波及び第 2 高調波に対する複素振幅である。
べての係数(17), (18) に基づいて 1 対 3 共鳴の平衡解を分類するためは実数である。
ここで、$A_{1}$$A_{3}$$\lambda$にまず、$A_{n}(t)=a_{\pi}(t)e^{i\theta_{n}(t)}$,$(n=1,3)$$\Theta=\theta_{3}-3\theta_{1}$

とおく と、 4 自由度系の方程式である (17) と (18) は$\frac{da_{1}}{dt}=c_{1}a_{1}+c_{2}a_{1}^{3}+c_{3}a_{1}a_{2}^{2}+c_{4}a_{1}^{2}a_{2}\cos\Theta$$\frac{da_{3}}{dt}=d_{1}a_{3}+d_{2}a_{1}^{2}a_{3}+d_{3}a_{3}^{S}+d_{4}a_{1}^{3}\cos\Theta$$\frac{d\Theta}{dt}=-(d_{4}a_{1}^{3}a_{3}^{-1}+3c_{4}a_{1}a_{3})\sin\Theta$

,

,

,

(19)
(20)
(21)

のように 3 自由度系の方程式に帰着される。 この式の定常解を求めることは容易であり、結局可能な解として以下の 3 通りの解が得られる。

(1) 単一モード解 (P)$a_{1}=0$,$a_{3}^{2}=-d_{1}/d_{3}$

この解は $c_{1}+c_{3}d_{1}/d_{3}<0$ であれば安定に保たれる。

(2) 混合モード解 (M)$a_{1}=ra_{3}$,$a_{3}^{2}=-d_{1}/(d_{2}r^{2}+d_{S}+d_{4}\cos\Theta r^{3})$$\Theta=n\pi$,$n=0,$$\pm 1,$$\pm 2,$$\ldots$

ただし、 は$\gamma$$d_{4}\cos\Theta c_{1}r^{3}+(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})r^{2}-d_{1}c_{4}\cos\Theta r+(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})=0$の根である。

(3) 伝播波モード解 (T)$a_{1}^{2}=-3c_{4}d_{4}^{-1}a_{3}^{2}$

8

,

29

$a_{\}^{2}= \frac{3c_{1}+d_{1}}{9c_{2}c_{4}d_{4}^{-1}-3c_{3}+3c_{4}d_{2}d_{4}^{-1}-d_{3}’}$$\cos\Theta=-\frac{c_{1}a_{1}+c_{2}a_{1}^{3}+c_{3}a_{1}a_{3}^{2}}{c_{4}a_{1}^{2}a_{3}}$.

$R=$
方程式 (17) と (18) の係数を実際に計算し、 平衡解を求めた。 図 6 に $P=7.0$の分布を示す。 フーリエ打ち切りの方法から計算した結果図
3000.0 における平衡振幅
3 と比較すると定性的にはもちろんのこと、 定量的にもよく一致していることがわかる。
、$w_{1}$の場合の $R=3000$ における分岐
図 7-1 2 に $P=10^{-4},0.05,0.1,0.12,0.7$ および曲線を示す。 ただし、 通常の分岐曲線のように横軸に分岐パラメータ $R$ を用いる代わりに
波数\alpha が採ってある。
はそれぞれ単一モーこれらの図に書き込まれている文字 $P,$ $M$ ,ド解、 混合モード解、 伝播波モード解を表す。 括弧で囲まれていないモードは安定なモードを、 $[]$ で囲まれたモードは不安定なモードを意味し、で囲まれたモードは不安定な伝播$P<10^{-3}$ およ
波でホップ分岐を経て安定な変調された波に移行するモードを意味する。
$P=10^{-4}$$P>10^{2}$$P<10^{-3}$び
では絶対値としてはの結で分岐曲線は漸近形を持っ。
果に $10^{4}P$ を掛けたものに漸近し、 $P>10^{2}$ では $P=10^{3}$ の結果に漸近する。 それぞれの安定特性は $P=10^{-4}$ および $10^{4}P$ のときの安定特性と一致する。 安定特性を考えなければ、 $P\leq 0.12$ では伝播波モードが存在するが、 $P\geq 0.13$ では存在しないことがわかった。
$10^{3}$$T$$\{\}$

波数\alpha が共鳴波数\alpha $=\alpha,(\equiv 1.7232445)$ から大きくずれると、 第 2 高調波は亜臨界となり基本波を中心とした力学系に従属的にしか影響できなくなる。 そのような場合の撹乱の, のとき、
振舞いは単一モードに対するランダウ方程式 (16) によって支配される。
$,(18)$(17)で記述される解へ滑らかに移行することが予想されるが、(16) で記述される解から$11$ および 12 では (16) で計算される平衡振幅が一点鎖$10$
その様子を見るために図$P>0.7$ の場合には (16) の解が (17), (18) の解に滑らかに移行する
線で表されている。
が、 $P>0.7$ の場合には (16) の解が (17), (18) の解に滑らかに接続されておらず、滑らかにっながるためにはより高次の非線形相互作用を考慮に入れなければならないと推測できる。
ここまでは撹乱の 方向の対称性を考慮に入れて議論を行ってきた。 対称性を考慮に入れない、 一般的な場合には基本波と 2 倍の波数を持っ第 1 高調波および 3 倍の波数を持っ第 2 高調波の 3 つの波が相互作用を行う。 このとき、 これら 3 つの波の振幅を支配する方程式は次のようになる。
$\alpha\downarrow\alpha$

$7$

、

、

$z$

9

30

図 7. 分岐曲糠. $P,$ $M$ ,はそれぞれ単一モード解、混合モード解、 伝播波モード解を衰す。 括弧で岡まれていないモードは安定なモードを、$[]$ で囲まれたモードは不安定なモードを意味し、で囲まれたモードは不安定な伝播波でホ プ分岐を経て安定な変調された波に移行するモードを意味する。 $P=10^{-4}$ $R=3000$$T$$\{\}$,.

図9. 分岐曲線.

$P=0.1$

図 11. 分岐曲線.

図 8. 分岐曲線.

.

. $R=3000$ .

$P=0.7$

図1. $R=3000$ .

$0$. 分岐曲線.

図 12. 分岐曲糠.

10$P=0.05$ . $R=3000$$P=0.12$.

. $R=3000$ .

$P=10^{s}$. $R=3000$.

31$\frac{dA_{1}}{dt}=\lambda_{1}A_{1}+\lambda_{-111}|A_{1}|^{2}A_{1}+\lambda_{-221}|A_{2}|^{2}A_{1}+\lambda_{- 31}|A_{3}|^{2}A_{1}$$+\lambda_{-322}A_{2}^{2}A_{3}^{*}+\lambda_{-1-13}A_{1}^{*2}A_{3}$

,

(19)

$\frac{dA_{2}}{dt}=\lambda_{2}A_{2}+\lambda_{-112}|A_{1}|^{2}A_{2}+\lambda_{-222}|A_{2}|^{2}A_{2}+\lambda_{-S32}|A_{3}|^{2}A_{2}$$+\lambda_{-21\}A_{1}A_{3}A_{2}^{*}$

,

(20)

$\frac{dA_{3}}{dt}=\lambda_{3}A_{s}+\lambda_{-113}|A_{1}|^{2}A_{s}+\lambda_{-223}|A_{2}|^{2}A_{3}+\lambda_{-333}|A_{3}|^{2}A_{3}$$+\lambda_{-122}A_{2}^{2}A_{1}^{*}+\lambda_{111}A_{1}^{\}$

,

(21)

この方程式系においてもすべての係数 はは第 1 高調波の複素振幅である。
この方程式系の係数を実際に評価し、 平衡解の振る舞いを詳しく調べたが、実数である。
スペースの都合でここでは省略することにする。
ここで、$\lambda$$A_{2}$

11

32

References
H.Yahata (1982) ?kansition to turbulence in the Rayleigh-B\’enard convection, Prog. Theor.
Phys., 68, pp1070-1081.
H.Yahata (1984) Onset of chaos in sime hydrodynamic model systems of equation. in
Chaos and Statistical Methods. (ed. Y.Kuramoto, Springer). pp232-241.

J.P.Gollub and S.V.Benson (1980) Many routes to turbulent convection, J.F.M. 100,
pp449-470.
A.Pellew and R.V.Southwell (1940) On maintained convective motion in a fluid heatedfrom below, Proc.Roy.Soc. A176, pp312-343.
H.Jeffreys (1928) Some cases of instabihty in fluid motion, Proc. $Roy$ . Soc. A 118, pp195-

208.

W.H.Reid and D.L.Harris (1958) Some further results on the B\’enard problem, Phys.Fluids
65, pp625-645.
L.P.Gor’kov (1957) Stationary convection in a plane liquid layer near the critical heattransfer point, $Zh$ . Eksp. Theoe. $Fiz$ . $33$ , pp402-407.

W.V.R.Malkus and G.Veronis (1958) Finite amplitude cellular convection, J.F.M. 4, pp225260.
A.Schluter, D.Lortz and F.H.Busse (1965) On the stability of
convection, J.F.M. 23, pp129-144.

$st$eady finite ampli ude$t$

F.H.Busse (1967) On the stability of two-dimensional convection in a layer heated &om
below, J.Math. and Phys. 46, pp140-150.
F.H.Busse and J.A.Whitehead (1971) Instabilities of convection rolls in a high Prandtl
number fluid, J.F.M. 47, pp305-320.

R.M.Clever and F.H.Busse (1974) Transition to time-dependent convection, J.F.M. 65,
pp625-645.
F.H.Busse and R.M.Clever (1979) Instabilities of convection rolls in a fluid of moderate
Prandtl number, J.F.M. 91, pp319-335.

M.Nagata and F.H.Busse (1983) Three-dimensional tertiary motions in a plane shear flow,
J.F.M. 135, pp1-26.

J.Mizushima and Y.Saito (1988) Equilibrium characteristics of the secondary convection
in vertical fluid layer between two flat plates, F.D.R. 2, pp183-191.
K.Fujimura and J.Mizushima (1987) Nonlinear interaction of disturbances in free convection between vertical parallel plates, in Nonlinear Interactions in Fluids (ed.
R.W.Miksad et al.). pp123-130.

R.Li (1986) Analysis for Taylor vortex flow, Ph.D.thesis, Virginia Polytechnic Institute.

12