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数理解析研究所講究録
第2075巻 2018年 158-167

Generalized Weyl modules and Demazure submodules oflevel‐zero extremal weight modules.
東京工業大学理工学研究科数学専攻野本文彦 (Fumihiko Nomoto)Department of Mathematics, Tokyo Institute of Technology
概要

本稿は,RIMS 共同研究 「表現論と組合せ論」 での講演内容をまとめたものである.アフィン Lie
代数の上半三角部分代数上の一般化 Weyl 加群の次数付き指標と量子アフィン代数 \lrcorner_{\mathrm{i} の extremal ウエ
イ ト加群の Demazure 部分加群のある商加群の次数付き指標が本質的に一致するという結果を紹介する.さらに,その応用として,後者の次数付き指標のテンソル積分解との関係性を明らかにする.

1

Introduction

を有限次元複素単純 Lie 代数とし, \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} を \mathfrak{g} のuntwisted affinization, \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} =\mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} \oplus\mathfrak{h}_{\mathrm{a}R}\oplus\mathfrak{n}島を 9\mathrm{a}Rの三角分解とする.Orr‐Shimozono [OS] は非対称 Macdonald 多項式の t=0 と t=\infty における特殊化を,量子 alcove path で表す公式を証明した.そして最近 Feigin‐Makedonskyi [FM] は, \mathfrak{g} のdomiant\mathfrak{g}

ウエイ ト $\lambda$ とWeyl 群の元 w に対し, \mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} 上の一般化 Weyl 加群 W_{w $\lambda$} を導入し,その次数付き指標
が,(始点が w で向きが t(w_{\mathrm{o} $\lambda$) の reduced expression で与えられるような) 量子 alcove path の集合\mathcal{Q}\mathcal{B}(w;t(w_{\mathrm{o} $\lambda$)) の次数付き指標 C_{w}^{t(w_{\mathrm{o} $\lambda$)} に一致することを示した.ただし, w。は W の最長元で, t(w_{\mathrm{o} $\lambda$)
は,拡張アフィンWeyl 群において w_{\mathrm{o} $\lambda$ の平行移動を表す元である.」特に, w=w。のときには,この次数付き指標は非対称 Macdonald 多項式の t=\infty における特殊化 E_{w_{\mathrm{o} $\lambda$}(q, \infty) へ w 。を作用させたものに一致する.

一方で我々は,(degree operator を持つ) 量子アフイン代数 U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) 上の extremal ウエイ ト加群のDemazure 部分加群 V_{w}^{-}( $\lambda$) (U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{R} )=U_{\mathrm{v} ^{-}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} )\otimes U_{\mathrm{v} ^{0}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} )\otimes U_{\mathrm{v} ^{+}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) を三角分解とすると, V_{w}^{-}( $\lambda$) は
U_{\mathrm{v} ^{-}(\mathrm{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群である) を考え,その商加群 V_{w}^{-}( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$) の次数付き指標が, $\lambda$ 型の量子 Lakshmibai‐
Seshadri (\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}) パスの集合 QLS ( $\lambda$ ) の次数付き指標 gchwQLS ( $\lambda$ ) に一致することを示した ([NNS]).
w 。のときには,この次数付き指標は非対称 Macdonald 多項式の t= \infty における特殊化
特に, w
E_{w_{\mathrm{o} $\lambda$}(q, \infty) に一致する.
本講演で紹介した主結果は, \mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} 上の一般化 Weyl 加群 W_{w $\lambda$} の次数付き指標 と, U_{\mathrm{v} ^{-}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群
V_{\overline{w} ( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$) の次数付き指標の間の関係を明らかにしたことである.定式化すると,以下のように
\cdot

=

なる.

Theorem 1.1 ( Theorem5.2). $\lambda$ を dominant ウエイトとし, w を Weyl 群 W の元とする.このと=き,次が成り立つ.

w_{\mathrm{o} (\overline{\mathrm{g}i\mathrm{h}W_{ww_{0} $\lambda$} )=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{w_{\mathrm{O} ww_{\mathrm{o} ^{-}( $\lambda$)/X_{\overline{w}_{\mathrm{o} ww_{\mathrm{o} ( $\lambda$).

ここで, P を9のウエイ ト lattice とする.さらに,一は, q\mapsto q^{-1}, \overline{e^{ $\mu$}}=e^{ $\mu$} ( $\mu$ \in P) で与えられる\mathbb{Q}(q)[P] 上の involution であって, \mathbb{Q}(q)[P] 上の \mathbb{Q}(q) ‐線形な Weyl 群の作用は, w\cdot e^{ $\mu$}:=e^{w $\mu$} (w\in W,$\mu$\in P) で与えられるものとする.

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本稿では,一般化 Weyl 加群,QLS パス,extremal ウエイ ト加群と Demazure 部分加群およびその商加群の定義を述べた上で,主結果をあらためて紹介する.さらに,主結果の応用として,QLS パスの集合
が,(degree operator を持たない) U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐結晶の構造を備えており,テンソル積分解
as U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐crystal\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$+ $\mu$)\simeq \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$)\otimes \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\mu$)を持つことを踏まえ,次数付き指標 \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{w_{0}ww_{\circ} ^{-}( $\lambda$+ $\mu$)/X_{\overline{w}_{\mathrm{O} ww_{\mathrm{O} }( $\lambda$+ $\mu$)) を \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) と \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\mu$) を用いて表す展開公式を紹介する.

なお,本稿の主結果 (Theorem 1.1) の詳細及び証明に関しては,[No] を参照していただきたい.第6章「応用」 に関しては,東京工業大学の内藤聡氏,筑波大学の佐垣大輔氏との共同研究である.
本稿では,以下の記号を用いる:\mathfrak{g} :有限次元複素単純 Lie 代数.

P^{+}:=\oplus_{i\in I}\mathbb{Z}\geq 0^{$\varpi$_{i}:} dominant ウエイトの集合.
P^{++}\oplus_{i\in I}\mathbb{Z}>0$\varpi$_{i} : regular dominant ウエ

I : \mathfrak{g} のDynin 図形の頂点集合.

:=\{$\alpha$_{1}\}_{i\in 1} : \mathfrak{g} の単純ルート.
\{$\alpha$_{i}^{\vee}\}_{i\in I} : 佳の単純コルート.

イトの集合.
\triangle :\mathfrak{h}=\oplus_{i\in I}\mathbb{C}$\alpha$_{\check{i} : \mathfrak{g} の Cartan 部分代数.
\mathfrak{h}^{*}=\oplus_{i\in I}\mathbb{C}$\alpha$_{i} : \mathfrak{h} の双対空間.
\mathfrak{h}_{\mathrm{R} ^{*}=\oplus_{i\in I}\mathbb{R}$\alpha$_{i} : \mathfrak{h}^{*} の実形\rangle : \mathfrak{h}^{*}\mathrm{x}\mathfrak{h}\rightar ow \mathbb{C} : \mathfrak{h} と \mathfrak{h}^{*} の双対的な paưing.
\{$\varpi$_{i}\}_{i\in I}:\mathfrak{g} の基本ウエイト(つまり, \langle$\varpi$_{i},$\alpha$_{j}^{\ve }\rangle=$\delta$_{ij}, i,j\in I を満たす).

佳 のルート系.

\triangle^{+} : \mathfrak{g} の正ルート全体.
$\Delta$^{-} : \mathfrak{g} の負ルート全体.

W:=\langle s_{i} |i\in I\rangle : \mathfrak{g} のWeyl 群.ただし,si はに関する単純鏡映.

$\alpha$_{i}Q:=\displaystyle \sum_{i\in I}\mathbb{Z}$\alpha$_{i}\subset \mathfrak{h}_{\mathrm{R} ^{*} : \mathfrak{g} のルート格子.
P:=\displaystyle \sum_{i\in I}\mathbb{Z}$\varpi$_{i}\subset \mathfrak{h}_{\mathrm{R} ^{*} : \mathfrak{g} のウエイト格子.

P(w) (w\in W) : w の長さ.
e

: W の単位元.

w。: W の最長元.

ただし, s_{i}, i\in I は, \mathfrak{h}^{*}, \mathfrak{h} 上に次のように作用する:

s_{i}\mathrm{v}= $\nu$-\{ $\nu,\ \alpha$_{\check{i} \rangle$\alpha$_{i}, \mathrm{v}\in \mathfrak{h}^{*}\rangles_{i}h=h-\langle$\alpha$_{i}, h\rangle$\alpha$_{\check{i} , h\in \mathfrak{h}.
また, $\alpha$\in $\Delta$ が $\alpha$=w$\alpha$_{i}2と表せる時, $\alpha$^{\vee}:=w$\alpha$_{\check{i} とする.

一般化 Weyl 加群と次数付き指標\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} :=\mathb {C}[t, t^{-1}]\otimes \mathfrak{g}\oplus \mathb {C}c\oplus \mathb {C}D を アフィンLie 代数とし, \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}、 =\mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\oplus\mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\oplus\mathfrak{n}島を三角分解とする.
Definition 2.1 ( [\mathrm{F}\mathrm{M} , Definition 2.1]). $\lambda$ をdominant ウエイトとし, w\in W とする.一般化 Weyl 力\mathrm{n}群 W_{ww_{\mathrm{o} $\lambda$} とは,生成元 v を持つ cychc \mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ‐加群であって,以下の関係式のみを持つものである:(h\otimes t^{k})v=0 for all h\in \mathfrak{h}, k>0,(f_{ $\alpha$}\otimes t)v=0 for $\alpha$\in w$\Delta$^{-}\cap$\Delta$^{-},(e_{ $\alpha$}\otimes 1)v=0 for $\alpha$\in w$\Delta$^{-}\cap$\Delta$^{+},(f_{w $\alpha$}\otimes t)^{-\langle w_{\circ} $\lambda,\alpha$^{\vee}\rangle+1}v=0 for $\alpha$\in$\Delta$^{+}\cap w^{-1}$\Delta$^{-},(e_{w $\alpha$}\otimes 1)^{-\langle w_{\circ} $\lambda,\alpha$^{\vee}\rangle+1}v=0 for $\alpha$\in$\Delta$^{+}\cap w^{-1}$\Delta$^{+},
ここで, e_{ $\alpha$}, f- $\alpha$ ( $\alpha$\in$\Delta$^{+}) は \mathfrak{g} のChevalley 生成元である.

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一般化 Weyl 加群 W_{ww_{\mathrm{o} $\lambda$} は関係式
hv=\langle ww_{\mathrm{o} $\lambda$, h\rangle v, h\in \mathfrak{h}を加えることで, \mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\oplus\mathfrak{h} ‐加群と見なせる.これにより, W_{ww_{0} $\lambda$} は \mathfrak{h} ‐ウエイト加群となる.さらに, W_{ww_{\mathrm{o} $\lambda$}
は,次の条件により次数付き加群の構造を持つ:(1) \deg(v)=0,(2) x\otimes t^{k}\in \mathfrak{n}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} 型の元を乗ずると 次数が k 増える.
以上により,一般化 Weyl 加群 W_{ww_{0} $\lambda$} の次数付き指標が次で定義される:
gch W_{ww_{\mathrm{O} $\lambda$} :=\displaystyle \sum\dim(W_{ww_{\mathrm{O} $\lambda$}[ $\gamma$, k])q^{k}e^{ $\gamma$}.

ここで W_{ww_{\mathrm{o} $\lambda$}[ $\gamma$, k] は,次数 k, \mathfrak{h} ‐ウエイ ト $\gamma$ の元からなる部分空間である.Feigin‐Makedonskyi は一般化 Weyl 加群 W_{ww_{\mathrm{O} $\lambda$} の次数付き指標を量子組cove path の集合の次数付き指標と一致することを示した [ $\Gamma$ \mathrm{M} , Theorem 2.21]).
\rangleRemark 2.2 ([FM]). ウエイ ト $\mu$\in P に対応する非対称 Macdonald 多項式を E_{ $\mu$}(q, t) \in \mathbb{Q}(q, t)[\mathrm{P}] とし,その t= 0 (resp., t=\infty ) での特殊化 \mathrm{h}\mathrm{m}_{t\rightar ow 0}E_{ $\mu$}(q, t) (resp., \mathrm{h}\mathrm{m}_{t\rightar ow\infty}E_{ $\mu$}(q, t) ) を E_{ $\mu$}(q, 0) (resp.,
E_{ $\mu$}(q, \infty)) で表す.
(1) w=e の時,
E_{ $\mu$}(q, 0)=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}W_{w_{\mathrm{o} $\lambda$}が成り立つ ( [\mathrm{F}\mathrm{M} , Corollary 2.23]).
(2) w=w 。の時,

E_{ $\mu$}(q^{-1}, \infty)=w_{\mathrm{o} \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}W_{ $\lambda$}が成り立つ ([FM, Corollary 2.24]). 但し, \mathbb{Q}(q)[\mathrm{P}] 上の \mathbb{Q}(q) ‐線形な Weyl 群の作用は, w\cdot e^{ $\mu$} :=e^{w $\mu$}(w\in W, $\mu$\in P) で与えられるものとする.

3

量子 Lakshmibai‐Seshadri パスと次数付き指標

3.1

量子 Bruhat グラフ

Definition 3.1 ( [\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{P} , Definition 6.1]). 量子 Bruhat グラフ (\mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W) とは,頂点集合が W であって,次で定まる directed edge を持つ有向グラフである. u, v\in W に対して u\rightarrow v がQBG (W) のdirectededge であるとは,ある $\beta$\in$\Delta$^{+} が存在して次の2条件を満たすことである:(1) v=us_{ $\beta$} が成り立つ.

(2) (2a) \ell(v)=\ell(u)+1 あるいは (2b) P(v)=\ell(u)-2\langle $\rho$, $\beta$^{\vee}\rangle+1 のいずれかが成り立つ.
ただし, $\rho$:=\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{ $\alpha$\in $\Delta$+} $\alpha$ とする.

頂点 u, v \in W の間に directed edge が存在する時, $\beta$ \in \triangle^{+} と合わせて, u\rightar ow $\beta$ v と記し, $\beta$ をこの
directed edge のラベルと呼ぶ.また,(2a) を満たす directed edge をBruhat edge, (2b) を満たす di‐rectededge を quant $\iota$ \mathrm{m} edge と呼ぶ.

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\mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W) のdirected edge u\rightar ow v $\beta$ (u, v\in W) に対し,

\mathr{v}(u\rightaowv):=\left{bgin{ary}l 0&\mathr{i}\mathr{f}u\rightaowv$\beta\mthr{i}\mathr{s}\mathr{}\mathr{B}\mathr{}\mathr{u}\mathr{}\mathr{}\mathr{}\mathr{e}\mathr{d}\mathr{g}\mathr{e},\ $beta^{\ve}&\mathr{i}\mathr{f}u\rightaow$\betav\mathr{i}\mathr{s}\mathr{}\mathr{q}\mathr{u}\mathr{}\mathr{n}\mathr{}\mathr{u}\mathr{m}\athrm{e}\athrm{d}\athrm{g}\athrm{e}.\nd{ary}\ight.
と定める.さらに,任意の u, v \in

W

(3.1)

に対し, \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W) 上の最短な \mathrm{d}‐rected path u=x0 \rightar ow$\gamma$_{1}x\mathrm{i} \rightar ow^{$\gam a$_{2}. . . \rightarrow x_{r}=v$\gamma$_{r} を取り,

\mathrm{v}\hslash(u\Rightarrow v) :=\mathrm{v}h(x0\rightarrow x\mathrm{i})+\cdots+ ④比 (x_{r-1}\rightarrow x_{r})\in Q^{\vee} ;と定める.ウエイト帆 (u\Rightarrow の は u から v への \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W) 上の最短な directed path の取り方に依存しない ([\mathrm{P}\mathrm{o} , Lemma 1(2), (3)] ) . dominant ウエイ ト $\lambda$\in P^{+} に対し, \mathrm{w}\mathrm{t}_{ $\lambda$}(u\Rightar ow v) :=\langle $\lambda$, \mathrm{w}\mathrm{t}(u\Rightar ow v)\rangle とし,
これを u から v への \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W) 上の \mathrm{d}‐rected path の $\lambda$- ウエイ トと呼ぶ.
3.2

量子 Lakshmibai‐Seshadri パス

本稿では簡単のために, $\lambda$ がregular dominant ウエイトのときに限定して量子 Lakshmibai‐Seshadri
パスの定義を述べる.

Definition 3.2 ([LNSSS2, Definition 3.1]). $\lambda$\in P^{++} をregular dominant ウエイトとする.Weyl 群の$\sigma$_{8} ) が以下
列 w_{1} , . .. , w_{s} と,増加有理数列 0=$\sigma$_{0}<\cdots<$\sigma$_{8}=1 の組 $\eta$= ( w_{1}, w2, . . ., w_{ $\varepsilon$};$\sigma$_{0}, $\sigma$_{1},
$
\
l
a
m
b
d
a
$
$\et
a
$
の条件を満たすとき, を 型の量子 Lakshmibai‐Seshadri (QLS) パスであるいう:\ldots,(C) 各 1\leq i\leq s-1 に対し, w_{i+1} から w_{i} への \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}_{ $\sigma.\ \lambda$}(W) におけるパスが存在する.
$\lambda$ 型QLS パス全体の集合を \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) で表す.

Remark 3 3. $\lambda$ がregular ではない一般の dominant ウエイトの場合には,QLS パスの定義はグラフ\mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W) の代わりに,parabohc 量子 Bruhat グラフ \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W^{S_{ $\lambda$} ) により記述される. \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W^{S_{ $\lambda$} ) は, $\lambda$の固定化部分群 W_{S_{ $\lambda$}} の(minimal‐length) coset representative の集合 W^{3_{ $\lambda$}} =W/W_{S_{ $\lambda$}} をグラフの頂点\cdotとして持っている.

集合 \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) は,(degree operator を持たない) 量子アフイン代数 U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) 上のある量子 Weyl 加群
W_{\mathrm{v} ( $\lambda$) の結晶基底を実現している (see [LNSSS3, Theorem 4.1.1], [NS1, Theorem 3.2], [Na, Remark
2.15]). さらに,dominant ウエイ ト $\lambda$, $\mu$\in P^{+} に対し, U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐結晶としての同型\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$+ $\mu$)\simeq \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$)\otimes \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\mu$)が存在する.特に, $\lambda$=\displaystyle \sum_{i\in I}m_{i}$\varpi$_{i}\in P^{+} とすれば, U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}R}) ‐結晶としての同型\displayst le\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\lambda$)\cong\bigotimes_{i\nI}\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\varpi$_{i})^{\otimesm}
が( I 上の全順序に取り方に依らず) 存在する.

:

162

3.3

\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) の次数付き指標$\lambda$ を dominant

ウエイ トとする.QLS パス $\eta$= (w\mathrm{i}, \ldots , w_{s}; $\sigma$ 0, \ldots , $\sigma$_{ $\vartheta$})\in \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) と w\in W に対し,\displaystyle\mathrm{w}\mathrm{t}($\eta$):=\sum_{i=1}^{s}($\sigma$_{i}-$\sigma$_{i-1})w_{i}$\lambda$\inP,\displaystyle\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{g}_{w}($\eta$):=\sum_{i=1}^{8}$\sigma$_{i}\mathrm{w}\mathrm{t}_{$\lambda$}(w_{$\iota$+1}\Rightar ow _{i}),w_{s+1}:=wと定める.QLS パスの定義により, $\sigma$_{i}\mathrm{v}\hslash_{ $\lambda$}(w_{i+1}\Rightar ow w③ が非負整数であることがわかる (1\leq i\leq s-1) .
さらに, $\sigma$_{s}=1 であることを合わせて, \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{g}_{w}( $\eta$) が非負整数であることがわかる.
これらを用いて, \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) の次数付き指標を w\in W ごとに,\displayst le\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w}\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\lambda$):=\sum_{$\eta$\in\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\lambda$)}q^{-\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{g}_w}($\eta$)} \varepsilon$^{\mathrm{w}\mathrm{t}($\eta$)}.
と定める.
Remark 3.4. $\lambda$ を dominant ウエイ トとする.

4

(1)

w=e

の時, \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{e}\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$)=E_{w_{\mathrm{o} $\lambda$}(q^{-1},0) が成り立つ ([LNSSS2, Lemma 7 7 and Theorem 7 9]).

(2)

w=w

。の時, \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w} 。 \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$)=E_{w_{\mathrm{o} $\lambda$}(q, \infty) が成り立つ ([NNS, Theorem 3.2.7]).

\cdot

\cdot

extremal ウエイ ト加群

本章では,degree operator を持つ量子アフイン代数 U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}R}) 上の extremal ウエイ ト加群の V( $\lambda$)( $\lambda$\in P^{+}) , その Demazure 部分加群 V_{w}^{-}( $\lambda$) (w\in W) , そしてその商加群 V_{\overline{w} ( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$) を定義し,次数付き指標についての先行研究 [NNS] の結果を紹介する.
本章では,imtwisted アフィンルート系についての記号として,以下のものを用いる.
\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} : \mathfrak{g} の untwisted affinization.

I_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} :=I\mathrm{u}\{0\}.
\mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} = (\oplus_{j\in I_{\mathrm{t}\mathrm{t} }.\mathb {C}$\alpha$_{j}^{\ve })\oplus \mathb {C}D : 佳 \mathrm{a}\mathrm{R} のCartan 部

分代数.

\{$\alpha$_{\check{j} \}_{j\in I_{\mathrm{t}\mathrm{f} . \subset\mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} : \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\#} のsimple coroot の集合.

\langle\cdot, \rangle : \mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ^{*}\mathrm{x}\mathfrak{h}_{\mathrm{a}f }\rightar ow \mathb {C} : 標準的な pairing.

(特に, \langle$\alpha$_{j}, D\rangle =$\delta$_{j,0} and \langle$\Lambda$_{j}, D\rangle =0(j\in I_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} )が成り立つ)$\delta$=\displaystyle \sum_{j\in I_{\mathrm{t} }.a_{j}$\alpha$_{j}\in \mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ^{*} : \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} の null root.
\displaystyle \sum_{j\in I_{\mathrm{f}\mathrm{f} .a_{\check{j} $\alpha$_{\check{j} \in \mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} : \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} の 標準的な中c=\{$\alpha$_{j}\ _{j\inI_{\mathrm{f}\mathrm{f} .\subset\mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ^{*} : \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} のsimple root の集合.

心元.

$\Lambda$_{j}\in \mathfrak{h}^{*}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}(j\in I_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) : fundamental ウエイト.

イ ト格子.

D\in \mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} : degree operator.

\acute{W}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} :=\langle s_{i} |i\in I_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} \rangle : \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} のWeyl 群.

P_{\mathrm{a}H}:= (\oplus_{j\in I\mathrm{f}\mathrm{f} .\mathb {Z}$\Lambda$_{j})\oplus \mathb {Z} $\delta$\subset \mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ^{*} : \mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} の ウエ

Q_{\mathrm{a}f } :=\oplus_{j\in I_{\mathrm{f}\mathrm{f} }.\mathbb{Z} $\alpha$ j : \mathfrak{g}_{\mathrm{a} $\kap a$ のルート格子.

この記号の下で, \mathfrak{h}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} =\mathfrak{h}\oplus \mathbb{C}c\oplus \mathbb{C}D となっている.本章では, $\lambda$\in \mathfrak{h}^{*} は \langle $\lambda$, c\rangle=\langle $\lambda$, D\rangle=0 により,\mathfrak{h} 諭の元とみなす.この同一視の下で, $\varpi$_{i}=$\Lambda$_{i}-a_{\check{i} $\Lambda$_{0} となっている (i\in I) .

163

4.1

extremal ウエイ ト加群

本節では,まず extre— ウエイ ト加群を定義し,その構造について概説する.
M

を可積分 U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}R}) ‐加群とする.ウエイ ト $\lambda$(\in P_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) を持つウエイ トベクトル u\in M がextremalである (see [Kas2, §3.1]) とは,ウエイトベクトルの族 \{v_{x}\}_{x\in W_{f\mathrm{. f} } が存在して,以下を満たすことである:(1) v_{e}=v_{\rangle}(2) n:=\langle x $\lambda$, $\alpha$_{\check{j} \rangle\geq 0 を満たす任意の j\in I_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} and x\in Wffi に対し, E_{j}v_{x}=0, F_{j}^{(n)}v_{x}=v_{s_{j}x} が成立.
(3) n:= \langle x $\lambda$, $\alpha$_{\check{j} \rangle \leq 0 を満たす任意の j\in I_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} and x\in W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} に対し, F_{j}v_{x}=0, E_{j}^{(-n)}v_{x}=v_{s_{j}x} が成立.

但し, E_{j}, F_{j} (_{j}\in I_{\mathrm{a} のは U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}f }) のChevalley 生成元であり, E_{j}^{(k)}, F_{j}^{(k)}, k\in \mathbb{Z}\geq 0 は,それらの divided
power である.以下, S_{x}v で上記の v_{x} を表す (x\in W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) .
$\lambda$\in P_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} に対し,extremal ウエイト加群 V( $\lambda$) は,生成元 v_{ $\lambda$} と, v_{ $\lambda$} はextre— ウエイトベクトルであるという定義関係式で生成される可積分 U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群である (詳細は [Kasl, §8] and [Kas2, §3] を参照).
V( $\lambda$) は,結晶基底 (\mathcal{L}( $\lambda$), \mathcal{B}( $\lambda$)) 及び大域基底 \{G(b) | b\in \mathcal{B}( $\lambda$)\} を持つ ([Kasl, Proposition 8.2.2]).
G(u $\lambda$)=v $\lambda$ を満たす \mathcal{B}( $\lambda$) の元を u_{ $\lambda$} とし, u_{ $\lambda$} を含む \mathcal{B}( $\lambda$) の連結成分を \mathcal{B}_{0}( $\lambda$) で表す.
また, U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) \subset U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) であるから,extremal ウエイト加群を U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群としてみることもできる.このとき,任意の i\in I に対して, U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群としての自己同型 z_{i} : V($\varpi$_{i})\rightarrow V($\varpi$_{i});v_{ $\varpi$}. \mapsto v_{$\varpi$_{l} ^{[1]} :=( 毅) が存在する.ここで, u_{ $\varpi$}^{1^{1}\mathrm{J}_{:} \in \mathcal{B}( $\varpi$③は,ウエイト $\varpi$_{i}+ $\delta$ を持つ唯一の元である.また,この写像z_{i} : V($\varpi$_{i})\rightarrow V( $\varpi$ の は,結晶基底の全単射 z_{i} : \mathcal{B}($\varpi$_{i})\rightarrow \mathcal{B}($\varpi$_{i});u_{ $\varpi$}:\mapsto u 毘 を誘導する.この全単射は

G u

柏原作用素と可換である.

dominant ウエイト $\lambda$\in P^{+} を $\lambda$=\displaystyle \sum_{i\in I}m_{i}$\varpi$_{i}, m_{i}\in \mathbb{Z}\geq 0, i\in I と表せるとする.頂点集合 I 上の全順序を固定し, \tilde{V}( $\lambda$):=\otimes_{i\in I}V($\varpi$_{\mathfrak{i} )^{\otimes m_{i} とする.すると, U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群としての埋め込み $\Phi$_{ $\lambda$} : V( $\lambda$)\mapsto\overline{V}( $\lambda$);v\mathrm{x}\mapsto\overline{v}_{ $\lambda$} :=\otimes_{i\in I}v_{ $\varpi$ i}^{\otimes m} . が存在する ([\mathrm{B}\mathrm{N} , eq. (4.8) and Corollary 4.15] ) . さらに, z_{i,k} を V($\varpi$_{\mathfrak{i} )^{\otimes m_{i}上の k‐番目の因子にのみ z_{i} として作用する (他の因子には恒等写像として作用する) U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群の自己同型とする. z_{i,k} (i\in I, 1\leq k\leq \mathrm{m}_{i}) 達は互いに可換である.

dominant ウエイト $\lambda$=\displaystyle \sum_{i\in I}m_{i}\mathrm{w}_{i}\in P^{+} に対して,集合 \overline{\mathrm{P}\mathrm{a}r( $\lambda$)} (resp., Par( $\lambda$ )) とは,長さ m_{i} 以下(resp., 未満) の分割 $\rho$^{(i)} (i\in I) の |I| 個の組 $\rho$=($\rho$^{(i)})_{i\in I} 全体からなる集合とする.但し,長さ 0 未満の分割は,空分割 \emptyset とみなす.定義より明らかに Pax ( $\lambda$)\subset\overline{\mathrm{P}\mathrm{a}x( $\lambda$)} である.
$\rho$=($\rho$^{(i)})_{i\in I}\in\overline{\mathrm{P}\mathrm{a}r( $\lambda$)} に対し,

s_{ $\rho$}(z^{-1}):=\displaystyle \prod_{i\in I}s_{$\rho$^{(\cdot)} (z_{i,1}^{-1}, . ., z_{i,m}^{-1}.).

と定義する.ここで, s_{ $\rho$}(x)=s_{ $\rho$}(x_{1}, \ldots, x_{m}) は,長さ m(\geq 1) 以下の分割 $\rho$=($\rho$_{1}\geq\cdots\geq$\rho$_{m-1}\geq 0) に対応する Schur 多項式である.このとき, $\rho$=($\rho$^{(i)})_{i\in I}\in\overline{\mathrm{P}\mathrm{a}r( $\lambda$)} に対し s_{ $\rho$}(z^{-1})(\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{g}$\Phi$_{ $\lambda$})\subset Img $\Phi$_{$\lambda$} が成り立つことが直ちにわかる ([NS2, §7.3] 参照). これにより, U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群の準同型 z_{ $\rho$} : V( $\lambda$)\rightarrow V( $\lambda$)を,次の図式が可換になるように定義する:

V( $\lambda$) \rightar ow^{$\Phi$_{ $\lambda$} \overline{V}( $\lambda$)

z_{ $\rho$\downarrow} \downarrow s_{ $\rho$}(z^{-1})V( $\lambda$) \rightar ow^{$\Phi$_{ $\lambda$} \overline{V}( $\lambda$) ;164

U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐加群の準同型 z_{ $\rho$} : V( $\lambda$)\rightarrow V( $\lambda$) は, \mathbb{C}‐線形写像 z_{ $\rho$} : \mathcal{L}( $\lambda$)/\mathrm{v}\mathcal{L}( $\lambda$)\rightar ow L( $\lambda$)/\mathrm{v}\mathcal{L}( $\lambda$) を誘導する.
この写像は,柏原作用素と可換である.この写像 z_{ $\rho$} を用いると,\mathcal{B}( $\lambda$)=\{z_{ $\rho$}b| $\rho$\in \mathrm{P}\mathrm{a}x( $\lambda$), b\in \mathcal{B}_{0}( $\lambda$)\}と表せる ([\mathrm{B}\mathrm{N} , p. 371

4.2

Demazure 部分加群

この節では,extremal ウエイト加群 V( $\lambda$) のDemazure 部分加群を定義し,その次数付き指標の QLS
パスの集合による表示公式を紹介する.
w\in W に対して,extre— ウエイト加群 V( $\lambda$) のDemazure 部分加群を V_{w}^{-}( $\lambda$) :=U_{\mathrm{v} ^{-}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} )S_{w}v_{ $\lambda$}\subset
V( $\lambda$) で定義する.ここで, U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} )=U_{\mathrm{v} ^{-}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} )\otimes U_{\mathrm{v} ^{0}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a} -)\otimes U_{\mathrm{v} ^{+}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) は量子アフイン代数 U_{\mathrm{v} (\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) の三角分解とする. V_{w}^{-}( $\lambda$) は,ウエイト分解を持つ:

V_{w}^{-}($\lambda$):=\displayst le\bigoplus_{$\mu$\inP_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} V_{w}^{-}($\lambda$)_{$\mu$}.
これにより, V_{w}^{-}( $\lambda$) の指標 \mathrm{c}\mathrm{h}(V_{\overline{w} ( $\lambda$) を\displaystyle\mathrm{c}\mathrm{h}V_{w}^{-}($\lambda$):=\sum_{$\mu$\inP.$\kap a$}\dim(V_{w}^{-}($\lambda$)_{$\mu$})e^{$\mu$}と定義する.さらに, e^{ $\delta$}=q とすることで,次数付き指標が定義できる.

\displayst le\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}V_{w}^{-}($\lambda$):=\sum_{1}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{ }(V_{w}^{-}($\lambda$)_{$\mu$+k$\delta$})e^{$\mu$}q^{k}$\mu$\inP,k\in\mathrm{Z}^{\cdot}

この次数付き指標は,次のように QLS パスで表示できる.

Proposition 4.1 ( [\mathrm{N}\mathrm{N}\mathrm{S} , Theorem 5.1.1]). $\lambda$\in P を dominant ウエイト, w\in W の元とする.このとき,次が成り立つ.

\displayst le\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}V_{w}^{-}($\lambda$)=(\prod_{i\nI}\prod_{r=1}^{m_{i}(1-q^{-r})^{-1})\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w}\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\lambda$)
4.3.

商加群 V_{w}^{-}( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$)

Demazure 部分加群 V_{w}^{-}( $\lambda$) の部分加群 X_{\overline{w} ( $\lambda$) を次のように定義する.

X_{\overline{w}($\lambda$):=$\rho$\displayst le\in\frac{\sum}{\mathrm{P}\mathrm{a}r($\lambda$)}U_{\mathrm{v}^{-}(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f})S_{w}z_{$\rho$}v_{$\lambda$}= $\rho$\in\frac{\sum}{\mathrm{P}\mathrm{a}r($\lambda$)}z_{$\rho$}(V_{w}^{-($\lambda$).

$\rho$\neq(\emptyset)_{i\in I} $\rho$\neq(\emptyset)_{i\in I}

このとき, \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}V_{w}^{-}( $\lambda$) と同様に,商加群 V_{w}^{-}( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$) の次数付き指標 \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{\overline{w} ( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$) が定義される:\displaystyle\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{w}^{-}($\lambda$)/X_{\overline{w} ($\lambda$) :=\sum_{$\mu$\inP,k\in\mathrm{Z} \dim( V_{\overline{w} ($\lambda$)/X_{\overline{w} ($\lambda$) _{$\mu$+k$\delta$})e^{$\mu$}q^{k}.
この次数付き指標は,次のように QLS パスで表示できる.

Proposition 4.2 ( [\mathrm{N}\mathrm{N}\mathrm{S} , Corouary 5.3.3]). $\lambda$\in P を dominant ウエイト, w\in W の元とする.このとき,次が成り立つ.
\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{\overline{w} ( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$) =\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w}\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$)
.

165

5

主結果
\mathbb{Q}(q) 上の involution — を \overline{q}=q^{-1} で定義し,\overline{f}:=\displayst le\sum_{$\mu$\inP}\overline{f_ $\mu$}e^{$\mu$}for

f=\displaystyle \sum_{ $\mu$\in P}f_{ $\mu$}e^{ $\mu$}\in \mathb {Q}(q)[P]with f_{ $\mu$}\in \mathbb{Q}(q)とする.主結果は以下の通りである.

Theorem 5.1 ([No, Theorem 5.1.2]). $\lambda$\in P^{+} を dominant ウエイ ト, w を Weyl 群 W の元とする.
このとき,次が成り立つ.

w_{\mathrm{o} \displaystyle \frac{\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}W_{w _{\mathrm{o} $\lambda$} {}=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w_{0}w _{\mathrm{O} \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$).

この定理と Proposition 4.2から,次数付き指標についての次の等式が得られる:

Theorem 5.2 ([No, Theorem 5.1.3]). $\lambda$\in P^{+} を dominant ウエイト, w を Weyl 群 W の元とする.
このとき,次が成り立つ.

w_{\mathrm{o} (\neg \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}W_{ww_{\mathrm{Q} $\lambda$}=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{w_{\mathrm{O} ww_{\mathrm{Q} ^{-}( $\lambda$)/X_{w_{\mathrm{O} ww_{\mathrm{Q} ^{-}( $\lambda$)

6

.

応用

Feigin‐Makedonskyi [FM] は,dominant ウエイト $\lambda$, i \in I , 及び w \in I に対し,次数付き指標\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}W_{ww_{\mathrm{o} ( $\lambda$+$\varpi$_{i})} を 一般化 Weyl 加群 W_{ww_{\mathrm{O} $\varpi$}. と W_{vw_{\mathrm{O} $\lambda$} (v \in W) の言葉で記述する公式を証明している.さらに全く同様の証明により,dominant ウエイト $\lambda$, $\mu$ に対し,次数付き指標 \mathrm{g}i\mathrm{h}W_{ww_{\mathrm{o} ( $\lambda$+ $\mu$)} を
W_{ww_{\mathrm{Q} $\lambda$} と W_{vw_{\mathrm{o}} $\mu$}(v\in W) の言葉で記述することが出来る (正確な公式の記述には,量子 alcove walk を必要とする.ここでは省略する). この公式を Theorem 5.2により,QLS パスの言葉で記述すると,次が得られる.

Theorem 6. 1. $\lambda$ をreguladominant ウエイト, $\mu$ をdominant ウエイトとする. $\eta$=(y\mathrm{i}, \ldots, y_{s}; $\sigma$ 0, \ldots, $\sigma$_{8})\in\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) に対し, $\xi$:=\displaystyle \sum_{p=0}^{e-1}\langle $\mu$, \mathrm{v}h(y_{p+1}\Rightarrow y_{p})\rangle \in \mathbb{Z}\geq 0 と定める.このとき,次が成り立つ.

\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w_{\mathrm{O} w _{\mathrm{Q} QLS($\lambda$+$\mu$)=\displaystyle\sum_{$\eta$=(y_{1},\ldotsy.;$\sigma$_{0},\ldots,$\sigma$.)\in\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\lambda$)}q^{-\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{g}_{w_{\cir }w _{\cir }($\eta$)- \xi$_{X}\mathrm{w}\mathrm{t}($\eta$)}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{h}_{w_{9}y_{*} QLS ( ) .
$\mu$Remark 6.2. $\lambda$ がregular でない dominant ウエイトの場合にも,類似の結果が得られている.この場合,\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) の元は parabohc 量子 Bnmat グラフ \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W^{S_{ $\lambda$} ) における directed path の存在により条件付

けられており,Theorem 6.1を記述するためには,‘lift” という操作により,piabohc 量子 BrAat グラ
フ \mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{G}(W^{S_{ $\lambda$} ) における directed path を (通常の) 量子 Bruhat グラフ QBG(W) における directed

path に持ち上げる必要がある (see [LNSSSI, Theorem 7. 1
第3章で説明した通り, U_{\mathrm{v} '(\mathfrak{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f} ) ‐結晶としての同型\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$+ $\mu$)\simeq \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$)\otimes \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\mu$) , $\lambda$, $\mu$\in P^{+}が存在する.そして特に,\displayst le\mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}($\lambda$)\simeq\bigotimes_{i\nI} QLS ($\varpi$_{i})^{\otimes m}\cdot, $\lambda$=\displaystyle\sum_{i\nI}m_{i}$\varpi$_{i}166が存在する. \mathrm{T}\mathrm{h} $\omega$ \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}6.1 は,このテンソル積の分解に沿って, \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\varpi$③ の次数付き指標から帰納的に, \mathrm{Q}\mathrm{L}\mathrm{S}( $\lambda$) の次数付き指標 (すなわち,一般化 Weyl 加群 W_{ww_{\mathrm{o} $\lambda$} や Demazure 部分加群の商加群(V_{\overline{w} ( $\lambda$)/X_{\overline{w} ( $\lambda$)) の次数付き指標) を定める漸化式である.

7

謝辞
最後に,RIMS共同研究 「表現論と組合せ論」 において講演の機会を与えて下さった和地輝仁先生にこの場を借りてお礼申し上げます.

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