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円錐の側面に糸を巻きつける
し み ずだん清水 団伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに§2．立方体高校 1 年生の問題集として 4STEP 数学Ⅰ・Aを利用しています。その中の例題で，次のような問題がありました。
【例題 47】底面の半径を 1 ，母線の長さ 3 の直円錐がある。その頂点を O とし，底面の円周上の 1点をAとする。右の図のように，Aから直円錐の側面を 1 周してAまで糸を巻きつける。
その糸の長さが最短となるときの糸の長さを求めよ。

私も授業の板書では，このような立方体をたくさん描きました。しかし，実際に立方体はこのようには見えません。
手前の正方形 BFGC が平行四辺形ではなく，正方形に見えるのであれば，奥に位置する辺もピタッと重なるはずです。(遠近法で見ることも考えると，ややこしくなるので，平行光線で眺めるものとします。) いくつかの面が見えるように立方体を描くと，下の図のようになります。

この図を見ていて思ったのは，
最短で巻きつけた糸によってできる円錐の切り口はこのような形になるのだろうか？ということです。こうではないということは直感でわかり，切り口も平面ではないのではないかと考え，調べてみることにしました。
平面図形の問題で，答えを推測されないようにわざと図形を不正確に書くことがあります。個人的には正確な図を書いた方がいいとは思うのですが，この立体の見取図はそのような意図ではなく，描くのが難しいのでこう描いたということなのかなあと推察します。
立体図形においては，実際にはそう見えない図というのがいくつかあります。

この図は，適当に平行四辺形を組み合わせて描いているのではありません。立方体を見る方向を定めて，計算して描いています。

§3．平面への射影
図を描くには，見る方向を決めて，その方向に垂直な平面に射影する必要があります。
1 辺の長さが 1 の立方体 ABCD-EFGH で，E を
原点，EF，EH，EA をそれぞれ， 軸， 軸，z 軸と考えます。

10cos θ cos ψ
鋭角 θ，ψ を用いて a = sin θ cos ψsin ψ
原点を見た立体を平面

の方向から cos θ cos ψ+ sin θ cos ψ+ z sin ψ=0

F(1，0，0) の射影 F′( p，q，r) は
FF′=−(cos θ cos ψ)a よりp1
q = 0 −(cos θ cos ψ)ar0……☆

1−cosθ cosψ= −sin θ cos θ cosψ−cos θ cos ψ sin ψに射影します。そして，射影した平面で， 
新しい横軸Xの方向を  =−sin θcos θ0=−sin θ−cos θ sin ψ
縦軸 Y の方向を  = −sin θ sin ψcos ψとすれば，−cos θ sin ψ−cos θ sin ψ −sin θ sin ψcos ψ=−(sin θ) −(cos θ sin ψ)

    a ⟂ ，a ⟂ ， ⟂  =  =1F(−sin θ，−cos θ sin ψ)

E(0，0，0) の射影は E′(0，0，0) です。
新しい座標系 XY において，となります。
E(0，0)となります。
H(0，1，0) の射影 H′( p，q，r) は
HH′=−(sin θ cos ψ)a より，



p0
q = 1 −(sin θ cos ψ)ar
0A(0，0，1) の射影 A′( p，q，r) は
AA′=ta より pt cos θ cos ψq = t sin θ cos ψr−1t sin ψ☆に代入して，

−sin θ cos θ cosψ= 1−sinθ cosψ−sin θ cos ψ sin ψt cosθ cosψ+t sinθ cosψ+(t sin ψ+1) sin ψ=0∴∴=cos θt cosψ+t sinψ=−sin ψ∴p0
q = 0 −(sin ψ)ar1−cos θ cos ψ sin ψ= −sin θ cos ψ sin ψ1−sinψ−cos θ cos ψ sin ψ= −sin θ cos ψ sin ψcosψ−cos θ sin ψ=cos ψ −sin θ sin ψcos ψ=0⋅ +(cos ψ)となり，新しい座標系 XY において，A(0，cos ψ)となります。

 −sin θcos θ0−cos θ sin ψ−sin θ sin ψ −sin θ sin ψcos ψ=(cos θ) −(sin θ sin ψ)

t=−sin ψとなり，新しい座標系 XY において，となります。
 −sin θcos θ0となり，新しい座標系 XY において，H(cos θ，−sin θ sin ψ)となります。
任意の点 P(a，b，c) の射影を新しい座標系 XY で表すと


EP=aEF+bEH+cEA−sin θθ+b+c −cos −sincosθ sin cos0 ψ θ sin ψ ψ−a sin θ+b cos θ= −a cos θ sin
ψ−b sin θ sin ψ+c cos ψ =aとなります。 2 つ目の立方体の図は θ=ψ=πと6して描いています。

11§4．円錐の底面と母線Y =0 とすると底面の円上の動点 P(cos t，sin t，0) の射影を新X=

しい座標系 XY で表すとt sin θ+sin t cos θ −cos−cost cos θ sin ψ−sin t sin θ sin ψ =
 −sinsinψ (t−θ)
cos (t−θ) 
EP=Y=1 の楕円となります。
よって，X +sinψA(1，0，0) と O(0，0，2 2 ) は新しい座標系 XY
では

あとは t を変化させて max X，min X となる t を求めることになります。(あとは wolfram Alphaに任せましょう。)

πと6π
2π≦t≦とすると，33min Xt=

して，円錐を描いてみます。見える部分を−π6
X=πcos  t− +2 662 6 sin t−πθ=ψ=として6A(−sin θ，−cos θ sin ψ)，O(0，2 2 cos ψ)となります。立方体のときと同様に，θ=ψ=2 2 sin (t−θ) cos ψsin ψ cos (t−θ)+2 2 cos ψπ2 6 +1−2 arctan≒−1.25277
6 2 6 −1max X
t=−π2 6 +1+2arctan≒2.299966 2 6 −1π2π≒−1.04719，≒2.09439 なので，少しず33れます。見える部分を−1.25277≦t≦2.29996に修正して，となりますが (左図)，この見取図は間違いです。楕
円の長径の両端と O を結んでいますが，正しくは Oから楕円に接するように線を引かなくてはなりません。最初はグラフィックで描く誤差かと思いましたが，右図のように O の位置を低くして描くと間違いであることがはっきりとわかります。


線分 OP 上に Q( p，q，r) をとると，OQ=kOP

なので

pk(cos t−0)q= k(sin t−0)r−2 2k(0−2 2 )∴k cos tpk sin tq =r2 2 (1−k)

射影を新しい座標系 XY で表すと

 −k sin ψ cos (t−θ)+2 2 (1−k) cos ψ 
EQ=

 
k sin (t−θ)

X
Yとして k を消去しk=X
Y −2 2 cos ψ=sin (t−θ) −sin ψ cos (t−θ)−2 2 cos ψ=12バッチリです!!!!

§5．円錐の側面の最短経路
側面は中心角が線はπのおうぎ形で，最短経路の曲3cos ttπ+2 sin
36sin t =tπ
2 sin+36z
12 2 1−tπ+2 sin
36となります。(新しい座標系 XY は省略)

§6．まとめ
今回の円錐の見取図を通してわかったことです。
• 円は斜めから見ると楕円に見える。
• 母線は楕円に接するように見える。(もちろん，見た目の長さは母線の長さではない。)• 最短経路の切り口は楕円ではない。
• 最短経路の切り口は平面ではない。
• Aのところで尖っている。
• 最短経路の曲線はネクタイを結ぶ時に交差する状態に似ている。
《参考文献》
〔1〕

問題集

〔2〕

http://www.wolframalpha.com

4STEP 数学Ⅰ・A 数研出版
(東京都城北中学校・高等学校)

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