伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊n と n ! についての一考察− Π k k !=(n !) を中心にして−にしもと西元のりよし教善伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§0．はじめにn ! ( n の階乗) は異なる n 個のものから重複を認めないで n 個取り出して一列に並べるときの並べ方の総数であり，一方，n は異なる n 個のものから重複を認めて n 個取り出して一列に並べるときの並べ方の総数である。当然，重複を認めている場合の方(2 !)
4(＊) の右辺= 
= =41
Π k!
よって，このとき (＊) は成り立つ。
n=l(≧2) のとき，(＊) が成り立つと仮定すると，
(l !)
Π k= 
Π k!

が大きく n≧n ! であるが，これらにはどのような関係があるのであろうか。


本稿では，k と k ! の積 k k ! について，k=1 から k=n まで掛け合せると (n !)になることをである。
この等式の両辺に (l+1) を掛けると，
中心に考察する。

(l+1) Π k=(l !)(l+1)


Π k!





§1． Π k を n ! で表す=



まず，k (k=1，2，3，…，n) の積 1⋅2⋅3⋅…⋅n{(l+1)!}(l+1)
Π k!

つまり Π k と n の階乗 n ! の関係を考察する。

=

{(l+1)!}(l+1)⋅l !
Π k !⋅l !

n=5 のとき， Π k=1⋅2⋅3⋅4⋅5 である。
=これを階乗で表してみる。
1⋅2⋅3⋅4⋅5=







1 ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅51⋅2⋅3⋅4



=



=

(1⋅2⋅3⋅4⋅5)(1⋅2⋅3⋅4)(1⋅2⋅3)(1⋅2)1=(5 !)4 !⋅3 !⋅2 !⋅1 !

(n !)Π k= Π k!



24

Π k!

である。

より，(＊) は 2 以上の自然数 n に対して成り立つ。 終……(＊)

これが正しいことを数学的帰納法で証明する。
{(l+1)!}
であると推定される。

(＊) の左辺= Π k=1⋅2=4，

したがって，(＊) は n=l+1 のときも成り立つ。

n=2 のときΠ k!

よって， Π k=

これより，n が 2 以上の自然数のとき
{(l+1)!}




⑴



Π k!


(5 !)
である。
であるから， Π k= 
Π k!

【証明】

{(l+1)!}(l+1)!

これより，次の定理を得る。
定理

n が 2 以上の自然数のとき，

(n !)
Π k= つまり Π k Π k !=(n !)


Π k!




つまり，n が 2 以上の自然数のとき，k の k=1 から k=n までの積と k! の k=1 から k=n−1 まよって，log 2+log 3+…+log nでの積は (n !) に等しいということである。

+log 2 !+log 3 !+…+log n !
=(n+1)(log 2+log 3+…+log n)

生徒用として，積の記号 Π を使わなければ，






(1 ⋅2 ⋅3 ⋅…⋅n ){1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅(n−1)!}=(n !)である。これは，
log(2⋅2 !)+log(3⋅3 !)+…+log(n⋅n !)ということである。
定理 (変形版 1 )n が 2 以上の自然数のとき，(1⋅2⋅3⋅…⋅n){1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅(n−1)!}=(n+1)(log 2+log 3+…+log n)とも表せる。
Π k k !=(n !) の別表現− 2 重の Π での表現−=(n !)

kk !=(k⋅k⋅k⋅…⋅k)(1⋅2⋅3⋅…⋅k)

また，この両辺に n ! を掛ければ，

(1⋅2⋅3⋅…⋅n){1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅(n−1)!}n !

=(1k)(2k)(3k)⋅…⋅(kk)= Π ik=(n !)⋅n !

ここで，k を j に置き換える (特に意味はない。ikであるから，

(1⋅2⋅3⋅…⋅n)(1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅n !)=(n !)

を ij としたいだけ) と， Π kk != Π Π ij となる。

である。すると，n が 2 以上の自然数という条件はよって，定理はさらに次のように表せる。

不要である。
定理 (変形版 2 )(1⋅2⋅3⋅…⋅n)(1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅n !)=(n !)



n が自然数のとき， 

(3 !)=6=1296 である。
(1 ⋅1 !)(2 ⋅2 !)(3 ⋅3 !)…(n ⋅n !)=(n !)もっとも簡便に表せば，次の通りである。
定理 (変形版 4 )Π Π ij= Π i Π 2i Π 3i=1⋅(2⋅4)⋅(3⋅6⋅9)=1296

 具体例を示す。n=3 のとき


さらには，次のようにも表せる。
定理 (変形版 3 )Π Π ij=(n !)

定理 (変形版 5 )n が自然数のとき，n が自然数のとき，Π kk !=(n !)













一般には， Π Π ij= Π i Π 2i Π 3i…… Π ni =1⋅(2⋅4)⋅(3⋅6⋅9)⋅…⋅(n⋅2n⋅3n⋅…⋅n)であるから，
1⋅(2⋅4)⋅(3⋅6⋅9)⋅…⋅(n⋅2n⋅3n⋅…⋅n)=(n !)
である。
よって，次の変形版 6 を得る。

§2．定理を使って対数を使うとどのように表されるかでは，得られた定理を使ってみる。
変形版 1 から(1⋅2⋅3⋅…⋅n)(1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅n !)=(n !)
この等式の両辺の常用対数をとると，


log {(1 ⋅2 ⋅3 ⋅…⋅n )(1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅n !)}=log(n !)

定理 (変形版 6 )n が自然数のとき，

1⋅(2⋅4)⋅(3⋅6⋅9)⋅…⋅(n⋅2n⋅3n⋅…⋅n)=(n !)

§3．まとめn と n ! の間にはどのような関係があるかについて考察した。k と k ! の積 kk ! について k=1 から k=n まで掛け合わせると (n !) になるといである。左辺は，log(1⋅2⋅3⋅…⋅n)+log(1 !⋅2 !⋅3 !⋅…⋅n !)=log 2+log 3+…+log n+log 2 !+log 3 !+…+log n !
右辺は，う結果については，きれいな形にまとめられたのではないかと思う。
(山口県立岩国高等学校)

log (n !)=(n+1)(log 2+log 3+…+log n)である。

25