数理解析研究所講究録 1290 巻 2002 年 28-30

28small Cover と凸多面体の彩色

酉村 保三 (Yasuzo N 色損 m\mbox{\boldmath $\varpi$}a)

大阪市立大学

Osaka City University
本稿では、 Davis-Jmuszkiewicz $[1]$ によって定義された Smal Cover の幾何的性質と、 組み合わせ論の対象である凸多面体の彩色との関連、 特に凸多面体上の Small

Cover の存在性と向き付け可能性について考察する。
群上に標準的に作用し、 その軌道空間は半直線 \sim 、射影
R+はノルムで与えられる。この 直積、すなわち実線形空間 上の標準的作用と射影を “線形モデル” と呼ぶ。
$\mathrm{Z}_{2}=\{- 1,1\}$

は$\mathrm{R}$$\pi:\mathrm{R}arrow$$n$$(\ )^{n}$$\mathrm{r}$$\pi:\mathrm{R}^{n}arrow(\mathrm{R}_{+})^{n}$は 次元単純凸多面体とする。 次元多様体
定義 1.
が 上 Small Cover であるとは、線形モデルと局所的に同型な作用があり (すなわち各点につぃて、不変近傍が存在する)、軌道空間が と同相のと同変同相写像ときをいう。 また 上の二っの Small Coverと M2 は、 同変同相写像 $f$ :が$\mathrm{P}$

$n$

$n$

$\mathrm{M}$$\mathrm{P}$$(\mathrm{Z}_{2})^{\mathrm{n}}$$\mathrm{V}\subset \mathrm{M}\mathrm{W}\subset \mathrm{R}^{n}$$x\in \mathrm{M}$$f:\mathrm{V}arrow \mathrm{W}$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\mathrm{M}_{1}$$\mathrm{M}_{1}arrow \mathrm{M}_{2}$存在する時に同型という。
例 1.

を複素平面内の単位円、 上 Z2 作用を (-1)
とおくと、 射影は、で与えられる。 その 直積[こより、次元トーラスは、 次元キューブ 上 Small Cover である。
例 2.の同一視により、計 1 次元線形モデルの商空間とし上にて、 実射影空間)作用が定義される。 これは 次元単体$\mathrm{S}^{1}\subset \mathrm{C}$$\mathrm{S}^{1}$$\pi:\mathrm{S}^{1}$$\cdot z=\overline{z}$$arrow \mathrm{I}=[- 1,1]$$\pi(z)={\rm Re} z$$1^{m}$$\pi:\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{S}^{1})^{n}arrow \mathrm{I}^{n}$

$n$

$n$

$\mathrm{I}^{n}$$n$$(\mathrm{Z}_{2})^{n}=(\mathrm{Z}_{2})^{n+1}/\{(\mathrm{g},\cdots,\mathrm{g})|\mathrm{g}\in \mathrm{Z}_{2}\}$$\mathrm{R}\mathrm{P}^{n}=\langle \mathrm{R}^{\pi\vdash 1}$$\Delta^{n}$$(\mathrm{Z}_{2})^{\mathrm{n}}$$/\mathrm{Z}_{2}$$n$上の Small Cover である。

注意. 複素線形空間上標準的作用を複素線形モデルとよひ、 局所的に複素線形モデルと同型なトーラス作用がある 上の $2n$ 次元多様体は “擬トーリック多様体{?}と呼ばれる。擬トーリック多様体と Small Cover は、多くの部分で平行な議論が可能$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{T}^{n}=(\mathrm{S}^{1})^{n}$$\mathrm{P}$である。
を 上の Smal Coverを単純凸多面体、を の 次元の面に移すような連続写像とする。 ‘男 き戻し”
Small ver の構造を持つ。
$\mathrm{P},$$\mathrm{P}$$\pi:\mathrm{M}arrow \mathrm{p}$$\mathrm{Q}$$k$$\alpha$$\mathrm{P}$$\text{、}f:\mathrm{Q}arrow \mathrm{P}$$|$$;\mathrm{M}$を$\mathrm{Q}$の $k$ 次元の面は、 自然に$\mathrm{Q}$上の29
単純凸多面体 の余次元 1 の面 (facet という) の集合を で表す。 の双対グラフ
は、 の面彩色
Kp は を頂点集合とする単体的グラフである。 上の Small Coverの点彩色)(双対グラフを以下のように定義し、 の表現写像という。
-E に面 FCP に対し、(int F) の固定部分群は の取り方に依らず、 これをで表す。特に を facet とする時、果はランク 1 の部分群であり、その生成元を対応さで表とする。 この時、 個の facet の交わりせる写像を、で生成される部分群でされる余次元 の面 に関する固定部分群果は、 \lambda (FI), 可は以下の条件 $(*)$ を満たす の面彩色 (または双対あるから、 表現写像
$F$$\mathrm{P}$$F$$\mathrm{P}$$\mathrm{M}$$\mathrm{P}$$\mathrm{M}$$\lambda:\vdasharrow(\mathrm{Z}_{2})^{n}$$\mathrm{K}_{\mathrm{P}}$$\mathrm{P}$$x\in\pi^{- 1}$$x$$\mathrm{G}_{\mathrm{F}}$$\mathrm{F}$$l$$\cdot$$\mathrm{F}$$\lambda(\mathrm{F}_{\mathrm{I}})$$\mathrm{K}\mathrm{p}$$\mathrm{P}$$:\vdasharrow(\mathrm{Z}_{2})^{n}$$\lambda$

グラフ$\mathrm{F}=\mathrm{F}_{1}\cap-\cdot\cdot\cap \mathrm{F}_{l}$$l$$\lambda:Farrow(\mathrm{Z}_{2})^{n}$の点彩色) である。

$(*)\mathrm{F}=\mathrm{F}_{1}\cap\cdots\cap \mathrm{F}_{l}$が余次元 の面の時、$l$$\lambda(\mathrm{F}_{1}),\cdots$,\lambda (F楼貅 販の点彩色) を “一次独立な彩色” と呼条件を満たすような の面彩色 (またはの組が与えられたぶことにする。逆に、単純凸多面体 と一 K 独立な彩色を以 T のように構成すること
時、表現写像が と一致する 上の Small Coverができる。
$(^{*})$$\mathrm{P}$$\mathrm{K}_{\mathrm{P}}$$\lambda:Farrow(\mathrm{Z}_{2})^{n}$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\lambda$$\mathrm{M}(\mathrm{P},\lambda):^{=}\mathrm{P}\cross(\mathrm{Z}_{2})^{n}/\sim$$\mathrm{M}(\mathrm{P},\lambda)$$(p, g)\sim(p’,$ $g\gamma\Leftrightarrow p=p’$

かつ定理 1. (Davis-Januszkiewicz) 次元単純凸多面体-\Re 独立な彩色によって分類される。
$n$$\mathrm{P}$$g^{- \mathit{1}}g’\in \mathrm{G}_{\mathrm{F}}$(int$\mathrm{F}\ni p$)

上の Small Cover は、$\mathrm{P}$上の$\lambda:Farrow(\mathrm{Z}_{2})^{n}$) は、 $m$ 角形である。 その上の表(およひ例 1. ($n=2$ の時) 2 次元単純凸多面体
は、互いに一\Re 独立な 3 つのベクトル $(1,0)$ , $(0,1)$ , 店 1) への対応で、現写像
は通常の意味の 3 色による彩色と同じである。 $m$ が奇数の時は、 $m$ 角形の彩色は 3 色である (は、 個の R 〆の連結必要で、対応する Small Cover は$\mathrm{P}$$\mathrm{K}_{\mathrm{P}}$$\lambda:\vdasharrow(\mathrm{Z}_{2})^{2}$$\lambda$$\mathrm{k}\mathrm{R}\mathrm{P}^{2}$$\mathrm{M}(\lambda \mathrm{F}(m- 2)\mathrm{R}\mathrm{P}^{2}$

和)$\circ$m が偶数なら、向き付け可能曲面$m$$\mathrm{k}$角形は 2 彩色可能であり、その場合は対応する Small Cover はである。
彩色されている場合は$\mathrm{M}(\lambda \mathrm{F}(m- 2)/2\cdot \mathrm{T}_{\text{、}^{}2}$例 2. (線形モデルの引き戻し)$n$$\mathrm{M}(\lambda \mathrm{F}(m- 2)\mathrm{R}\mathrm{P}^{2}$$3$次元単純凸多面体$\mathrm{P}$が$n$彩色されている時、表現写の像は、ある基底と考えることが出来る。この時、対応する Smal Cover像
は “線形モデルの引き戻し” である。 すなわち面を保つ連続写像 $f$ : P\rightarrow 四 r が存在してはと同型である。 特に $n=3$ の時、 3 次元単純凸多面体 が 3 彩色可能、 すなわち上に線形モデルの引き戻しが存在する必要十分条件は、 組み合わせ論の古典$\lambda:Farrow(\mathrm{Z}_{2})^{2}$$\mathrm{M}$$\mathrm{P}$$\int(\mathrm{R}^{n})$$\mathrm{P}$

的結果より、$\mathrm{P}$の全ての面が偶数角形であることである。

与えられた単純凸多面体 に対して、 その上の Smal Cover の存在性について、 その向き付け可能性も考慮して論じる。 まず 4 次元以上の場合には、 上に必すしもCover が存在しないことを注意しておく。
$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\mathrm{S}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathbb{I}$30の時、その上には Small Cover が存在しないような事実 5が存在する。
$n\geqq 4$$\mathrm{P}$例.

計 1 を任意の数とする。 曲線(, t3, 可)$n$次元単純凸多面体

点を頂点とする凸多面体を考えると、の時は常に完全グラフになることが知られている。従ってこれの双対多面体 の彩色には 色必要であり、 $k>2^{n}$ とすると、 彩色は存在:$k\geqq$$\gamma(\mathrm{t})=$$\mathrm{i}$$\mathrm{t},$$\cdot$$\Psi$$\subset \mathrm{R}^{n}$上の$k$$n\geqq 4$$k$$\mathrm{P}$$\lambda$$Farrow(\mathrm{Z}_{2})^{n}$しない。

Small Cover の向き付け可能性は、 次の定理で判定できる。
定理 2. Small Coverを固定し.となることである。
$\in(\mathrm{Z}_{2})^{n}$が向き付け可能である必要十分条件は、適当な基底とおいた時で決まる準同型写像を$\mathrm{M}(\mathrm{P}, \lambda)$$\epsilon(\mathrm{e}_{j})=1$$\mathrm{e}_{1},\ldots$$\epsilon:(\mathrm{Z}_{2})^{n}arrow \mathrm{Z}_{2}=\{0,1\}$,へ$\epsilon\lambda\equiv 1$$\text{、}$

向き付け可能な彩色” と呼ぶことにする。 例えば、.
$n=3$ の時、向き付け可能な彩色は、 (適当な基底変換で)の 4 色による, e2,彩色である。 この 4 色の任意の 3 色は一次独立なので、 彩色は一次独立性を考慮しない通常の意味での 4 彩色と同じであり、「任意の平面グラフは 4 彩色可能」 という有名な四色定理 ([2] 参照) により、 次の系が得られる。
定理 2 の条件を満たす彩色を“$\mathrm{e}_{1}$系. 任意の 3 次元単純凸多面体$\mathrm{P}$$\mathrm{e}_{3},$$\mathrm{e}_{1}+\mathrm{e}_{2}+\mathrm{e}_{3}$

上に、 向き付け可能な Small Cover が存在する。

さらに発展して、 大阪市立大学大学院生の中山央士氏は、 この系で 4 彩色された 3次元単純凸多面体 から (四面体以外の時) 、彩色の一次独立性を保持したまま、 いくつかの面をうまく塗り替えて、 向き付け不可能な彩色が構成できることを示した。
$\mathrm{P}$定理 3. 四面体以外の任意の 3 次元単純凸多面体が存在する。

$\mathrm{P}$上に、向き付け不可能な Small Cover

参考文献[1] M. Davis and T. Januszkiewicz, Corrvex polytopes, Coxeter orbifold, and Tonts actions,Duke Maffi. J. 62 (1991), 4 $17A51$ .
[21 K. Appel and W.

(1976), 711-712.

$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}\iota$

Every plamr map is four colorable, Bull. Amer. Maffi. Soc. 82