数理解析研究所講究録 1251 巻 2002 年 16-30

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IDEMPOTENT MODULES IN STABLE MODULE CATEGORJES
飛田明彦 (Akihiko Hida)
埼玉大学教育学部 (Faculty of Education, Saitama University)

Rickard の論文 [R1] 及ひ関連したにつぃての簡単な紹介を行います. idempotent module とは有限生或加群の stable category のある種の subcategory に対応するもので, 特に加群の variety に関連したものが重要です. 加群の tensor 積に関し$[\mathrm{B}\mathrm{I}],[\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{R}2],[\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{R}3]$

1 の直交巾等元分解のようになっていることよりこの名前で呼ばれます. これは必ずしも(というよりほとんどの場合) 有限生或ではないのですが, 有限生或加群に関する結果の証明にも有効に使われています. また, [BCRI] における, 無限生或加群に対する variety の理論てを発展させるためにも必要となります.
1 章では trian 詞 ated category と stable category についてごく簡単に説明します. 2
章では idempotent module の定義, 存在等について, 3 章ではそれらの基本的な性質, 特に, 加群の variety に関して定義される idempotent module について取り上げます. 4 章
5 章では, 有限生或とは限らない加群に対する (rank) variety の理論を, 6 章では principal
block に属する有限生或加群への応用について紹介します. 最後に 7 章では, 加群の varietyと誘導に関する [C2] の結果を紹介します (佐々木氏 (愛媛大学) による).
なお, 必ずしも最新の結果の紹介でないこと, 及び idea の源である代数的位相幾何との関連に触れられなかったことをお詫びいたします. 著者達にょる解説 [B2],[C3],[R2], 河合, 庭崎両氏による解説 [KNI],[KN2], 及び関連した論文, [W2] 等も参考にして下さい. また triangulated category については [C1], [H], [W] 等を参照して下さい.
$[\mathrm{B}\mathrm{K}],[\mathrm{D}],[\mathrm{W}\mathrm{I}]$1. TRIANGULATED CATEGORIES
Riangulated categoryとは, ml 市 tive category であり, selfequivalenceが決められており, distinguished triangle(以下 triangle) と呼ばれる列$\mathcal{T}$$\Sigma$:$\mathcal{T}arrow \mathcal{T}$$Xarrow \mathrm{Y}arrow Zarrow\Sigma X$の族が指定されており, 更にいくつかの公理をみたすものである.
$G$
を正標数
を有限群,
の代数的閉体, $kG$ を群環とする. Mod $kG$ 及ひ mod $kG$
を (right)kG- 加群の category, 有限生或 kG- 加群の category とする. stable category
StMod $kG$ とは, object は Mod $kG$ と同じであり,
$k$

$p$

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(M, N)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{kG}(M, N)/(\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}.)$と定義されるものである.

ここで: $Marrow N$ が projective hommorphism であるとは,: $Marrow P,$ : $Parrow N,$ $P$ は projective と分解されることである. kG- 加群
を injective の中に埋め込みその cokernel を取ることにより, self-equivalence$f=gh,$

$h$

$f$

$g$

$\Omega^{-1}$: StMod$kGarrow \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}kG$が得られる. 更に, triangle を次の様に決めることにより, StMod $kG$ は triangulated category となる: まず, Mod $kG$ での exact sequence$\mathrm{O}arrow Xarrow \mathrm{Y}arrow Zarrow \mathrm{O}$17に対し 可換図式$\mathrm{O}arrow Xarrow$$\mathrm{Y}arrow$

$||$

$Z$

$\downarrow$$\downarrow$$\mathrm{O}arrow Xarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}$$arrow 0$. $arrow\Omega^{-1}(X)arrow 0$が作られ, 列$Xarrow \mathrm{Y}arrow Zarrow\Omega^{-1}(X)$が得られる. この様にして作られる列と同型なものを, StMod $(kG)$ での triangle と定義する. stmod $kG$ についても同様である.
のがの triangulated subcategory とする.
をを triangulated category,$\mathrm{C}$$\mathcal{T}$$\mathrm{C}$$\mathcal{T}$$\mathcal{T}$thick subcategory であるとは, direct summand をとる操作で閉じていること, つまり,$X\oplus \mathrm{Y}\in \mathrm{C}\Rightarrow X\in \mathrm{C}$が direct sum
において任意の direct sum が存在すると仮定する.
のに対し,の任意の集合つまり,objectで閉じているとき,となることである.

$\mathrm{C}$$\mathcal{T}$$\{M\lambda|\lambda\in\Lambda\}$$\mathrm{C}$$\lambda\in\Lambda\oplus M_{\lambda}\in \mathrm{C}$をとなるとき,
における列,$\mathrm{C}$$\mathcal{T}$の localizing subcategoryという.

$\mathcal{T}$$X_{0}arrow\alpha_{0}X_{1}arrow\alpha_{1}X_{2}arrow\alpha_{2}X_{3}arrow\cdots$

に対し,$\oplus X_{i}arrow 1-\alpha\oplus X_{i}$から triangle$\oplus X_{i}arrow 1-\alpha\oplus X_{i}arrow \mathrm{Y}arrow$を作り, その第 3 項$\mathrm{Y}=\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}$$X_{i}$

を$X_{i}$の homotopy colimit という.

2. IDEMPOTENT MODULES
以下,$\mathcal{T}=\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}kG,$$\mathrm{C}$を stmod $kG$ の thick subcategory,$\mathrm{C}^{\oplus}$

を$\mathrm{C}$の生或する

localizing subcategory とする.

Theorem 21([R1]).

$X\in \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}kG$に対し,$\mathcal{T}$での triangle$Tc(X)$ : $Ec(X)arrow Xarrow Fc(X)arrow$

で次をみたすものが存在 :

(1)
(2)

$E_{C}(X)\in \mathrm{C}^{\oplus}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{C}^{\oplus}, Fc(X\cdot))=0$(この性質を $Fc(X)$ は

ここでは (quotient category$\mathcal{T}/\mathrm{C}^{\oplus}$$\mathrm{C}^{\oplus}$-local であるという)の存在を仮定して) [R2] での証明を紹介する.

$\mathcal{T}$の18
Lemma 22. (1)$M\in \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}kG$

$M$

(2)

$C\in \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kG$

と,

に対し,

:

$\mathrm{C}^{\oplus}- 1\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}1\Leftrightarrow \mathrm{C}$-local.

における列,$\mathcal{T}$$X_{0}arrow X_{1}arrow\cdots$に対して,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$( $C$, hocolim $X:$ )$\cong \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C, X:)$.

での列, $X_{0}arrow X_{1}arrow\cdots$ の homotopy colimit との object として同型である.

(3)$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}X_{i}$は$\mathcal{T}/\mathrm{C}^{\oplus}$

Pmof of Theorem 2.1. (i)する.

の object $X_{i}(i\geq 0)$$\mathcal{T}$$\mathcal{T}/\mathrm{C}^{\oplus}$

を $X_{0}=X$ として inductive に定義が定義されているとする.

$X_{i}$$S_{\dot{l}}=\oplus(C\otimes \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C,X_{i}))$( $C$ は$\mathrm{C}$の object の同型類の代表系を動く)とし, natural map$S_{:}arrow X_{\dot{r}}$から triangle$S_{i}arrow X_{:}arrow X_{\dot{l}+1}arrow$

により $X_{i+1}$ を構或する.

(ii)$Fc(X)=\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}$$X_{i}$

とおくとこれは-local である. 実際, 任意のは 0 なので,$C\in \mathrm{C}$$\mathrm{C}^{\oplus}$に対して,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C, X_{i})arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C, X_{i+1})$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C, Fc(X))=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$つまり, $Fc(X)$ は$\mathrm{C}$( $C$, hocolim-local でありよって$\mathrm{C}^{\oplus}$$X_{\dot{\iota}}$)$=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{m}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C, X_{i})=0$-local である.

(iii) triangle$E_{C}(X)arrow Xarrow F_{C}(X)arrow$

を作ると,$Ec(X)\in \mathrm{C}^{\oplus}$である. これは次の様に示される.

$S:\in \mathrm{C}^{\oplus}$

なので triangle$S_{i}arrow X_{:}arrow X_{1+1}.arrow$より,$\mathcal{T}/\mathrm{C}^{\oplus}$において $X_{i}\cong X_{i+1}$ である. よって$\mathcal{T}/\mathrm{C}^{\oplus}$において,$Fc(X)= \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\tau X_{\dot{l}}\cong \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\lim_{\mathcal{T}/C}\oplus X_{:}\cong X$である. これは $Ec(X)\in \mathrm{C}^{\oplus}$ を意味する.

Remark 23. $Tc(X)$ は定理の条件 (1)(2) により (同型を除いて) 一意に定まる.
stmod $kG$ の thick subcategory$kG$ に対して,
subcategory とする.

$\mathrm{C}$$M\otimes N\in \mathrm{C}$$N\in \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$が tensor ideal であるとは, 任意のとなることである. 以下,

ならば任意のに対して,
Lemma 24. (1). に対して $M\otimes X$ はが -local ならば任意の(2)$M\in \mathrm{C}^{\oplus}$$L\in \mathcal{T}$$\mathrm{C}$$X\in \mathcal{T}$$X\in \mathcal{T}$

次の定理が idempotent module の名の由来である.

$\mathrm{C}$を$\mathcal{T}$$M\otimes X\in \mathrm{C}^{\oplus}$$\mathrm{C}^{\oplus}$-local.

.

の$M\in \mathrm{C}$. とtensor ideal

19, Proposition 5.13, Theorem 5.19]). $E=Ec(k),$ $F=Fc(k)$ とする.
Theorem 25(
に対して,
(1)
$F_{C}(X)\cong F\otimes X$ .
$E_{C}(X)\cong E\otimes X$ ,$[\mathrm{R}1$$X\in \mathcal{T}$(2)$X\in \mathcal{T}$に対して,$X\in \mathrm{C}^{\oplus}\Leftrightarrow X\cong E\otimes X$$X$:$\mathrm{C}^{\oplus}$-local9 $X\cong F\otimes X$ .

(3)
$E\otimes E\cong E$

Pmof. (1)tensor$|_{\vee}^{\vee}C$$F\otimes F\cong F$,$E\otimes F\cong \mathrm{O}$.

: $Earrow karrow Farrow$$T_{C}(k)$$\#_{-}^{\sim}X\text{を}$,, triangle$E\otimes Xarrow Xarrow F\otimes Xarrow$が得られる. Lemma 2.4 より,(2)$X\in \mathrm{C}^{\oplus}$$E\otimes X\in \mathrm{C}^{\oplus},$$F\otimes X$

は$\mathrm{C}^{\oplus}$-local である.

は $Tc(X)$ が$X–Xarrow 0arrow$と同型であることと同値であり, $X$ が -local であることは, $Tc(X)$ が$\mathrm{C}$$\mathrm{O}arrow X--Xarrow$と同型であることと同値である.

(3) は (1) (2) より明らか.

口

3. VARIETIES FOR FINITELY GENERATED MODULES
有限生或加群に対する vari $ety$ の理論について簡単に述べる. $V_{G}(k)$ を $H^{*}(G, k)$ のmaximal ideal spectrum とし, 有限生或 kG- 加群 $M$ に対して, $Vc(M)$ を $H^{*}(G, k)$ におの annihilator によって定義される $Vc(k)$ の closed subvariety とすける$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{kG}^{*}(M, M)$る.

Proposition 31. (1)$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kG$

での完全列,$0arrow M_{1}arrow M_{2}arrow M_{3}arrow 0$

に対し, $Vc(M_{i})\subseteq V_{G}(M_{j})\cup V_{G}(M_{l})$ .
に対し,(2) $M,$$N\in \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kG$$Vc(M\otimes N)=VG(M)\cap Vc(N)$.

(3)$V_{G}(M)=\cup \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,E}^{*}(V_{E}(M_{E}))E$ここで, $E$ は $G$ の elmentary abelian(4) $G\geq H$ ならば$\mu \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}$すべてを動く.

$V_{H}(M)=(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*})^{-1}(V_{G}(M))$.

20$\ovalbox{\tt\small REJECT}(k)$のhomogeneous closed subvariety

subvariety の全体の集合とする.

$\mathcal{W}\subseteq\overline{V}c(k)$$V,$ $W\in \mathcal{W}\Rightarrow V\cup W\in \mathcal{W},$を $V$ の homogeneous closedに対し,に対し次の条件を考える.
$V$$\tilde{V}$$W\in\overline{V}\Rightarrow W\in \mathcal{W}$$V\in \mathcal{W},$$(*)$

を $Vc(M)\in \mathcal{W}$ となる $M$ からなる stmod $kG$ の full subcatに対し,
これは
とする
.
egory
Proposition 3.1 により tensor ideal subcategory である. $E(\mathcal{W})=$

この様な$\mathcal{W}$$E_{C(\mathcal{W})}(k)$$\mathrm{C}(\mathcal{W})$とおき, $V\in\tilde{V}c(k)$ に対しては, $E(V)=E(\overline{V})$ とおく.

Remark 32. $E(V)$ に関しては, cohomolo 釘と関連したより具体的な構或法がある ([Rl,は $Vc(M)\subseteq V$ となるの ffltered colimit と同型6 章]). この場合$\mathrm{C}(V)^{\oplus}$$M\in \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kG$

なものからなる subcategory と一致する.

以下,$\mathcal{V},$$\mathcal{W}$は $(*)$

を満たすと仮定する. また,$\overline{\mathcal{V}\cup \mathcal{W}}=\{Z\in\overline{V}c(k)|Z\subseteq V\cup W, V\in \mathcal{V}, W\in \mathcal{W}\}$

とおく.

Proposition 33([Rl, Proposition 62, Theorem 75]).

,$E(\mathcal{V})\otimes E(\mathcal{W})=E(\mathcal{V}\cap \mathcal{W})$$F(\mathcal{V})\otimes F(\mathcal{W})=F(\overline{\mathcal{V}\cup \mathcal{W}})$.

Theorem 34(Mayer-Vietoris triangle [Rl, Theorem 81]). 次の triangle が存在,$E(\mathcal{V}\cap \mathcal{W})arrow E(\mathcal{V})\oplus E(\mathcal{W})arrow E(\overline{\mathcal{V}\cup \mathcal{W}})arrow’$$F(\mathcal{V}\cap \mathcal{W})arrow F(\mathcal{V})\oplus F(\mathcal{W})arrow F(\overline{\mathcal{V}\cup \mathcal{W}})arrow$.

ここで, もう一種類の idempotent module $\kappa(V)$ を導入する. $E(V)$ はに対応するものであったが, これはちょうど $V$ に対応するものであり, 無限生或加群の variety を考える$\overline{V}$

際重要な役割を果たす.

Definition.

$V\in\overline{V}c(k)$に対し, $V$ のどの既約或分も含まない$W\in\overline{V}$の全体を$\mathcal{W}’$とし,$\kappa(V)=E(V)\otimes F(\mathcal{W}’)$

とおく.

Proposition 35([BCR2, Lemma 82, Theorem 85]). (1) $V\in\overline{V}c(k)$ の既約或分をとする ,$V_{1},$$V_{t}$$\text{と}$$\ldots,$$\kappa(V)\cong\oplus_{i=1}^{t}\kappa(V_{\dot{l}})$(2) $H\leq G,$ $W$ を
全ての union とすると,$(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*})^{-1}(V)$の既約或分 $Z$ で,.

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}(Z)$$\kappa(V)_{H}\cong\kappa(W)$.

が $V$ の既約或分となるもの

21
を位数 4 の elemetary abelian 2-group とする.
Example 36. $p=2,$に対し, l。 を原点と$H^{*}(G, k)=k[\zeta_{1}$ , \mbox{\boldmath $\zeta$}2 (多項式環) であり, $Vc(k)=k^{2}$ である.
を通る直線, l。を原点と $(1, 0)$ を通る直線とする.
$G=\langle g_{1}, g_{2}\rangle$$\alpha\in k$$]$$(\alpha, 1)$$F(l_{\alpha})\cong k[t]\oplus k[t]$

$G$

の作用は,
.
$g_{1}rightarrow(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})$

で与えられる. $(0, k)$ は$F(l_{\alpha})$,$g_{2}rightarrow(\begin{array}{ll}1 \mathrm{l}+t\alpha 0 1\end{array})$の submodule で,$E(l_{\alpha})\cong F(l_{\alpha})/(0, k)$.

一方,$F(l_{\infty})\cong k[t]\oplus k[t]$

$G$

の作用は,
$g_{1}rightarrow(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})$,$g_{2}rightarrow(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})$

で与えられる. また$\mathcal{U}=\{W\in\overline{V}_{G}(k)|W\neq V_{G}(k)\}$に対し,$F(\mathcal{U})\cong k(t)\oplus k(t)$

$G$

の作用は,
$g_{1}rightarrow(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})$,$g_{2}rightarrow(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})$

で与えられる.

4. RANK VARIETIES$E=\langle g_{1}, \ldots, g_{r}\rangle$

とおく.
$\langle u_{\alpha}\rangle$

を位数$V_{E}^{r}(k)=k^{r},$は位数Definition.

$p$$p^{r}$の elementary

abelian$\alpha=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r})\in V_{E}^{r}(k),$とする. $xi=g_{i}-1\in kE$に対し, $u_{\alpha}=1+ \sum\alpha_{i}x_{i}$ とおく.

$\mathit{1}^{\succ}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}$$\alpha\neq 0$の巡回群である.

$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$$kG$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(M)=${に対し,$\alpha(\neq 0)\in V_{E}^{r}(k)|M$: not$\langle u_{\alpha}\rangle$-free}$\cup\{0\}$とおく.

であるものとする. $k[y_{1}, \ldots, y_{r}]$ をを含む代数的閉体での homogeneous irreducible closed subvariety,の coordinate ring とする. $V$ を$P$ を対応する $k[y_{1}, \ldots, y_{r}]$ の homogeneous prime ideal, $k[V]=k[y_{1}, \ldots, y_{r}]/P,$ $k(V)$を $k[V]$ の field of fractions とする. $k(V)$ は $K$ の中に埋め込まれる. $k(V)\subseteq K$ とする.
$\alpha_{V}=(y_{1}^{-}, \ldots, y_{r}^{-}).\in K^{r}=V_{E}^{r}(K)$
とおく.
$K$

を

$k$

$\mathrm{t}\mathrm{r}.\deg_{k}K\geq r$$V_{E}^{r}(k)$$V_{E}^{r}(k)$22Definition.
$\mathcal{V}_{E}^{r}(k)=$とし,$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$

$kE$

{

$V_{E}^{r}(k)$の homog.

irred. closed subvariety(\neq {0})}に対し,$\mathcal{V}_{E}^{r}(M)=\{V\in \mathcal{V}_{E}^{r}(k)|\alpha_{V}\in V_{E}^{r}(K\otimes M)\}$

とおく.

Remark 4.1. これは, $K$ の取り方に依存しない. また,$M\in \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kE$

ならば,$\mathcal{V}_{E}^{r}(M)=\{V\in \mathcal{V}_{E}(k)|V\subseteq V_{E}^{r}(M)\}$である.

次の結果は有限生或加群の場合 Dade の補題として知られてぃるものの一般化である.

Theorem 42([BCR2, Corollary 56]).
$M$$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$: projective

$kE$

に対し,

$\Leftrightarrow \mathcal{V}_{E}^{r}(M)=\emptyset$.

Example 43. Example 36 の $F(\mathcal{U})=F$ を考える. $F$ は projective ではないが任意のに対して, $F$ は-froe である. 実際である.
$\alpha\in V_{E}^{r}(k)$$\langle u_{\alpha}\rangle$$\mathcal{V}_{E}^{r}(F)=\{V_{E}^{r}(k)\}$

有限生或加群の rank variety の重要な性質である tensor product theorem が, この場合にも成立する.

Theorem 44($[\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{R}2$, Corollary 7.5]). $M,$

$kE$

$N\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$に対し,$\mathcal{V}_{E}^{f}(M\otimes N)=V_{E}(M)\cap \mathcal{V}_{E}^{r}(N)$.

rank variety と加群の variety の関係については, 自然な bijection$\beta$が存在し,$M\in \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kE$: $V_{E}^{r}(k)arrow V_{E}(k)$に対して,$\beta(V_{E}^{r}(M))=V_{E}(M)$となることが知られている.

homogeneous closed subvariety と対応する idempotent module の rank variety の関係は次の様になる.
$\mathcal{V}_{E}(k)=${$V_{E}(k)$$V_{E}(k)$ ののhomog. irred. closed subvariety(\neq {0})}とおく.

Theorem 45([BCR2, Theorem 91, Corollary 92]).

$V\in \mathcal{V}_{E}(k)$ならば$\mathcal{V}_{E}^{r}(E(V))=\beta^{-1}(\overline{V}\cap \mathcal{V}_{E}(k))$$V_{E}(F(V))=\beta^{-1}(\mathcal{V}_{E}(k)\backslash \overline{V})$$\mathcal{V}_{E}^{f}(\kappa(V))=\{\beta^{-1}(V)\}$.

上記 $\kappa(V)$ の rank variety と Theorem 42, Theorem 4.4 により次を得る.

23
Remark 46.

$V\in \mathcal{V}_{E}(k),$$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$$\beta^{-1}(V)\in \mathcal{V}_{E}^{r}(M)$

$kE$

に対し,
$\mathcal{V}_{E}^{r}(\kappa(V))\cap \mathcal{V}_{E}^{r}(M)\neq\emptyset$$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$$\kappa(V)\otimes M$: not projective.

5. VARIETIES FOR INFINITELY GENERATED MODULES[BCRI] で展開されている有限生或とは限らない加群に対する variety の理論は, [BCRI]の中でも述べられている様に, 部分群との関係がうまくいかない, tensor product theorem
が成り立たない (すなわち Proposition 3.1 の (2) (4) が成り立たない) 等多少不満の残 ものであった. [BCR2] では加群の variety の新しい定義を与えこれらが成立することを示しが有効に用いられている.
ている. ここでは idempotent module$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\kappa(V)$Definition ([BCR2, Lemma 10 .3]).
$\mathcal{V}c(k)=$とし,$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$

$kG$

{

$VG(k)\text{の}$homog. irred. closed subvariety($\neq$$\{0\})$}

に対し,$\mathcal{V}_{G}(M)$$=${$V\in \mathcal{V}_{G}(k)|\kappa(V)\otimes M$: not projective}

とおく.

[BCR2] では complexity を用いて,$v_{G}(M)=${$V\in \mathcal{V}_{G}(k)\mathrm{t}$complexity of $M\otimes E(V)=\dim V$ }と定義される. もちろんこれは上記の定義と同値である. ここでは Remark 46 との関連を強調するためこの様に定義した. 次は明らかである.

Proposition 51([BCR2, Lemma 105]). $E$ が elementary abelian$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$$kE$$l\succ \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}$に対し,$\beta(\mathcal{V}_{E}^{r}(M))=\mathcal{V}_{E}(M)$.

そして期待される性質が全て成立する.

Theorem 52([BCR2, Theorem 10.6, 10.7, 10.8]). $M,$
(1)

$N\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}kG$$\mathcal{V}_{G}(M)=\cup \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,E}^{*}(\mathcal{V}_{E}(M_{E}))E$ここで, $E$ は $G$ の elmentary abelian $p$-subgroup すべてを動く.

(2) $H\leq G$ ならぼ,.

$\mathcal{V}_{H}(M)=(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*})^{-1}(\mathcal{V}_{G}(M))$(3)$\mathcal{V}_{G}(M\otimes N)=\mathcal{V}_{G}(M)\cap \mathcal{V}_{G}(N)$

.

とする.

なら

$[] \mathrm{f}^{\backslash }$,24
6. COHOMOLOGY OF MODULES 1N THE PRINCIPAL BLOCK$B_{0}(kG)$

を $kG$ の principal block とする.

関する結果を紹介する.

に対し,$\mathcal{W}\subseteq\overline{V}c(k)$ここでは$B_{0}(kG)$に属する有限生或加群にを $Vc(M)\in \mathcal{W}$ となる $M$ からなる$\mathrm{C}\mathrm{o}(\mathcal{W})$stmod $B_{0}(kG)$ の full subcategry,とおく.
に対しては,.
[B1] では, [BCR] での予想を証明するために idempotent module を用いてぃる. まず次の様な設定を考える. $L\subseteq Vc(k)$ を原点を通る直線とし, $E$ をとなる
elementary abelim psubgroup の中で極小なものとする.
となる直線の stabilizer,
をとり, $D$ を $Nc(E)$ における
とおく.
$W\in\overline{V}c(k)$$\mathrm{C}_{0}(W)=\mathrm{C}_{0}(\overline{W})$$L\subseteq \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,E}^{*}(V_{E}(k))$$l_{0}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,E}^{*}(l\mathrm{o})=L$$l_{0}$$l=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{E,D}^{*}(l_{0})$Theorem 61([Bl, Theorem 31]).
$E(l)\uparrow^{G}\cong E(L)$

Corollary 62.

$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$$kG,$ $v_{G}(M)\subseteq\{L\}$$M\cong N\uparrow^{G}$となる$N\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$

$kD$

.

ならば,

(in StMod $kG$ )が存在.

Definition ([BCR, Definition 101]).
$\mathrm{Y}_{G}=\cup \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}(V_{H}(k))\cup\{0\}H\leq G$( $H$ は $Cc(H)$ が pnilpotent ではない subgroup 全てを動く) を nucleus と呼ぶ.

Corollary 62 より次が得られる. variety が直線の場合へ帰着する議論, $D$ での議論は[BCR] と同様である.
Theorem 63([Bl, Corollary 53]).
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$M\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$$B_{0}(kG)$とする. このとき,は non-projective で,$\mathcal{V}_{G}(M)\not\subset$$H^{n}(G, M)\neq 0$となる $n>0$ が存在.

次は [BCR] で nuclear homology module と呼ぼれてぃるものに関する結果である.

Corollary 64([Bl, Theorem 12]). stmod $B_{0}(kG)$ はに一致する.
subcategory$k$と$\mathrm{C}_{0}(\mathrm{Y}_{G})$の生或する thick$\langle k, \mathrm{C}\mathrm{o}(\mathrm{Y}c)\rangle$[BCR3] では [N] 他に触発されて, stmod $kG$ の thick subcategory の分類を試みてぃる.
は stmod $B_{0}(kG)$ の thick subcategory であ
3 章の条件 $(*)$ をみたす
に対し,る. [BCR3] の結果は, nucleusに関係する部分を除けば stmod $B_{0}(kG)$ の thick subcategory はこの様なもので全てとなる, というものである. まず次の結果は,に対し,はほぼ一つの加群で生或されることを示しており, Corollary 6.4 の一般化とも$\mathcal{W}$$C\mathrm{o}(\mathcal{W})$$\mathrm{Y}c$$W\in\overline{V}_{G}(k)$$\mathrm{C}\mathrm{o}(W)$

なっている.

Theorem 65([BCR3, Proposition 54, 57]).

$M\in \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} kG,$$\mathrm{C}\mathrm{o}(W)=\langle M,\mathrm{C}\mathrm{o}(\mathrm{Y}_{G}\cap W)\rangle$.

$Vc(M)=W$ ならば,

25
を stmod $B_{0}(kG)$ の thick subcategory とし, $\mathcal{W}=\{Vc(M)|M\in \mathrm{C}\}$ とおく. 明らである. 一方,
ならば, $W=V_{G}(M)=V_{G}(N)$ となる$\mathrm{C}$かに$N\in \mathrm{C}$$M\in \mathrm{C}_{0}(\mathcal{W})$$\mathrm{C}\subseteq \mathrm{C}_{0}(\mathcal{W})$が存在し, 定理により,$M\in \mathrm{C}_{0}(W)=\langle N, \mathrm{C}_{0}(W\cap \mathrm{Y}c)\rangle\subseteq\langle \mathrm{C}, \mathrm{C}_{0}(\mathcal{W}\cap\tilde{\mathrm{Y}}_{G})\rangle$となる. よって次を得る.

Corollary 6.6 ([BCR3, Theorem 55, 58]).
$\mathrm{C}_{0}(\mathcal{W})=\langle \mathrm{C},\mathrm{C}_{0}(\mathcal{W}\cap\overline{\mathrm{Y}}_{G})\rangle$

特に,$\mathrm{Y}c=${0}(つまり order

$p$

の

.

element の centralizer は全て

stmod $B_{0}(kG)$ の thick subcatgory は全て$\mathrm{C}_{0}(\mathcal{W})$$\mathit{1}^{\succ \mathrm{n}\mathrm{i}1}\mathrm{P}^{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t})}$ならばの形である.

7. VARIETIES AND INDUCTION
71. はじめに. この章は佐々木 (愛媛大学) によります. ここでは Carlson による論文 [C2]の主定理を紹介させていただきたいと思います. 文字通り, 浅学非才をもかえりみず, あえて, 紹介したいと思うのは(1) この論文は Benson の定理 (Theorem 6.1) の議論を布行して得られたものであること(2) Introduction から (イタリック体は筆者による)
The statement and proof of the main theorem aretechnical and use
almost all of the technology of varieties for infinitly generated modules.
従って, とても読んでみたいこと(3) しかし, 実際に読んでみると, 主定理の証明のための議論のなかには読みやすいとはいえ$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}.\mathrm{y}$ない個所があること(4) この論文が掲載されている雑誌は国内では入手しやすくはないことなどによります.

記号はすべて飛田氏による前節までと同様とする. ただし, 群の加群への作用は右からとはそれぞれや $M_{H}$ ,する. また, 部分群からの誘導加群や部分群への制限カ Dffi.
$H^{s}=s^{-1}.Hs$$s\inG$
とおく. 次は念のための補部分群 $H\leq G$ と元$M_{|H}$ と表す.
に対して$L^{\uparrow G}$$M_{\downarrow H}$$L^{G}$

足である. 記号を用意する. closed subvariety $V\subseteq Vc(k)$ に対して $\mathfrak{H}(V)=\mathcal{V}c(k)\cap\overline{V}(=$$\{X\in \mathcal{V}_{G}(k)|X\subseteq V\})$ とおく.

Proposition 71. (1) subvariety $V\subseteq V_{G}(k)$ に対応する idempotent modules の varieties は, $\mathcal{V}c(F(V))=\mathcal{V}c(k)\backslash fi(V)$$\mathcal{V}c(E(V))--\mathfrak{H}(V)$である.

(2) 部分群 $H\leq G$ と kH- 加群

$L$

に対して

$\mathcal{V}_{G}(L^{G})=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}\mathcal{V}_{H}(L)$.

72. Main theorem. 定理を述べる前にひとつ言葉を用意する. irreducible subvariety
とき $H$
は部分群 $H$ からの引き戻しになっているによって support されるという. さらに, $H$ のどの真部分群によっても support されな }とき minimally support されるという. また, $X$ が $H$ によって (minimally) support されるとき, $H$ は $X$ の (minimal)
port であるということにする. Theorem 52(1) により,minimal support は基本可換 p- 部分群にとれる. 次の Lemma が基本的な道具である.
$X\in \mathcal{V}c(k)$$(\mathrm{i}\mathrm{e}, X\in \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}(\mathcal{V}_{H}(k)))$$\mathrm{A}$$.\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}$26が基本可換 p- 部分群
Lemma 72. irreducible subvariety
つとする. このとき, $KA$ の shifted cyclic subgroupで条件
任意の kG- 加群 $M$ について,$X\in \mathcal{V}c(k)$$A$を support にも$\langle u_{\alpha}\rangle$$X\in \mathcal{V}c(M)\Leftrightarrow K\otimes M$

が$K\langle u_{\alpha}\rangle$上自由加群でないを満たすものが存在する.

Proof.

$X$

は $A$ を support にもつから, ある:
して shiflml cyclic subgroupる. 写像$\beta^{-1}$$\mathcal{V}_{A}(k)arrow \mathcal{V}_{A}^{\mathrm{r}}(k)$

によって,

の像
をつくればよい.

による$\langle u_{\alpha}\rangle$$\mathrm{Y}\in \mathcal{V}_{A}(k)$$\mathrm{Y}$$\beta^{-1}(\mathrm{Y})\in \mathcal{V}_{A}^{\mathrm{r}}(k)$を$X=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{G,A}^{*}\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}^{*}$

とおく.

.

と表され

$\alpha=\alpha_{\mathrm{Y}}$と口を support にが基本可換 p- 部分群
Corollary 73. irreducible subvariety
もつとする. Lemma 72 によって, $X$ に対応する shifted cydic subgroup をとする.
kG- 加群の triangle$A$$X\in \mathcal{V}c(k)$$\langle u\rangle$$M_{1}arrow M_{2}\sigmaarrow M_{3}arrow\Omega^{-1}(M_{1})$において次は同値である:(a)(b) 係数拡大$X\not\in \mathcal{V}_{G}(M_{3})$$\sigma’$:;$K\otimes M_{1}arrow K\otimes M_{2}$が StModK

Theorem 74. $H$ を有限群 $G$ の部分群とする.

$\langle$u$\rangle$

において同型である.

$V\subseteq Vc(k)$る.
に属する任意の kG- 加群 $M$ が StMod $kG$ においてあるためには subvariety $W\subseteq V_{H}(k)$ で条件$\mathrm{C}(V)^{\oplus}$(1)(2) 直線を closed subvariety とす$H$からの誘導加群に同型で$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}(W)=V$

は基本可換 $r$ 部分群 $A\leq H$ を minimal support にもつとし,とする. 任意の $s\in G\backslash H$ について, $A^{s}\leq H$ ならば$l\subseteq W$$l=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{H,A}l’*$$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{H,A^{\epsilon}}^{\mathrm{s}}(l^{\prime s})\not\subset W$

をみたすものが存在することが必要十分である.

Proof. 以下$\mathrm{C}=\mathrm{C}(V)$とおく.

に属する任意の kG- 加群 $M$ が StMod kG において $H$ からの誘導加群に同型
まず,であると仮定する. このとき idempotent module $E(V)$ はある kH- 加群 により, $E(V)=$と表される. Mackey 分解により$\mathrm{C}^{\oplus}$$e$$e^{G}$$e^{G_{H}}= \sum_{HsH}e_{H^{\epsilon}\cap H^{H}}^{s}$であるが,$e_{H^{s}\cap H^{H}}^{s}$を$\tilde{e}_{s}$とおく. 上の Madcey 分解により,$\mathcal{V}_{H}(E(V))=\cup \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})HsH$

であることに注意する. 特に, どの $s\in G$ に対しても
まず, $HsH\neq HtH$ ならば$\mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})\subset \mathcal{V}_{H}(E(V))$$\mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})\cap \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{t})=\emptyset$

である.

.

も
に属さないことを示す.
は基本可換 $r$ 部
であることを示す. どのこ対応する shifted
分群 $A\leq H$ を support にもつとする. Lemma 72 により,が $K\{u\rangle$ 上自由であるを示すために,
cydic subgroup を $u)$ とする.
はことを示す.
に属するから,$\mathrm{Y}\in \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})$$\mathrm{Y}$$\mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{t})$$\mathrm{Y}\in \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})\}$$\langle$$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}\not\in \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{t})$$K\otimes\tilde{e}_{t}$$\mathcal{V}_{H}(E(V))=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{G,H}^{*-1}(\mathfrak{H}(V))$$\mathrm{Y}\not\in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{G,H}^{*-1}(\mathcal{V}c(k)\backslash \mathfrak{H}(V))=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}_{G,H}^{*-1}v_{G}(F(V))=\mathcal{V}_{H}(F(V))$.

27
よって, Corollary 731 こより, triangle$E(V)arrow k\sigmaarrow F(V)arrow\Omega^{-1}(E(V))$

における の係数拡大
ところで, 直和分解$\sigma’$$\sigma$: $K\otimes E(V)arrow K$ は

$K\langle u\rangle$上で射影加群を法として同型である.

$K \otimes E(V)_{|\langle u\rangle}=K\otimes\tilde{e}_{s|\langle u\rangle}\oplus\sum_{HtH\neq HsH}K\otimes\overline{e}_{t|\langle u\rangle}$

において,$K\otimes\overline{e}_{S}$上自由でないから, 上の同型を考えて,は, (u) のとり方により,は上自由であることがわかる. すなわち,$K\langle u\rangle$が成り立つ.

次に, variety$\mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})\cap \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{t})=\emptyset$$K\langle u\rangle$$\sum_{HtH\neq HsH}K\otimes\overline{e}_{t}$$\mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})$l よ特殊 4 化こ関して閉じていること, すなわち,$\mathrm{Y}\in \mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$であることを示す. そのために, 有限生或 kG- 加群
ならば
このときなるものとする.

$\mathrm{Y}$$Z\in \mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$

$N$

かつ

$Z\subseteq$

を $Vc(N)=V$$\mathcal{V}_{H}(N)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*-1}(\mathcal{V}_{G}(N))$$=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*-1}(\mathfrak{H}(V))$$=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*-1}(\mathcal{V}_{G}(E(V)))$$=\mathcal{V}_{H}(E(V))$$=\cup \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})HsH$

であるから, Theorem 52(3) により$\mathcal{V}_{H}(N_{H}\otimes\overline{e}_{s})=\mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$に属し, Theorem 25(2) にである. ところが, kG- カ I 群 $N$ は subcategory$E(V)\otimes
N\simeqN$であるから, StMod kH において同型 $N_{H}\simeq$
より, StMod kG においてによってを得る. 加群 $N$ は有限生或であるから, 有限生或 kH- 加群である. 従って,$\mathrm{C}=\mathrm{C}(V)$$L_{s}$$\sum_{HsH}N_{H}\otimes\overline{e}_{s}$$N_{H}\otimes\tilde{e}_{s}\simeq L_{s}\oplus \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$$\mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$$=\mathcal{V}_{H}(N)\cap \mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$$–\mathcal{V}_{H}(L_{s})=\mathfrak{H}(V_{H}(L_{s}))$であり, これは特殊化に関して閉じている.
特に, $6=e$ であるから, $W=VH(L_{1})$ とおけぼ, $v_{H}(e)=fi(W)$ であり, 一方,である. これで条であるから,
件 (1) が示された.
は minimal support として基本可換 p- 部分群
次に条件 (2) について考える. 直線
であるとする. 元 $s\in G\backslash H$ をとる. $A^{s}\leq H$ であると仮$A\leq H$ をもつとし,である. $A^{s}\leq H$ であるから,定する. Theorem 52(2) により,$\mathfrak{H}(V)=$$\mathcal{V}_{G}(E(V))=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}\mathcal{V}_{H}(e)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}\mathfrak{H}(W)$$V=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}W$$l\subseteq W$$l=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,A}^{*}l’$$l’\in \mathcal{V}_{A}(e)$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{S}^{*}H,A^{S}l^{\prime s}=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}^{*}H,H^{S}\cap H\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}^{*}H,A^{\theta}l^{\prime s}\in \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}^{*}H,H^{S}\cap H(\mathcal{V}_{H^{\theta}\cap H(e^{s}))=\mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})}$

28
$H$

$H$

$\wedge l\subseteq W$$\wedge\star\in \mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$

.
.
.

$|$

$\cdot$$\cdot$$H^{s}\cap H$$|$$\bullet\in v_{H^{s}\cap H(e^{s})}$.

.
$\cdot$.

$\cdot$$\wedge..\cdot.\cdot.\cdot.\cdot.$$|$.
$l’.\cdot\in \mathcal{V}_{A}(e)$$A$$\mathcal{V}_{H}(e)\cap \mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})$$W$$=\emptyset$$A^{s}$であったから,$l’ S\in \mathcal{V}_{A}*(e^{s})$, すなわち,$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,A^{*}}^{*}l^{\prime s}\not\in \mathcal{V}_{H}(e)=\mathfrak{H}(W)$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,A^{\epsilon}}^{*}l^{\prime s}\not\subset$

を得る.

逆に, subvariety $W\subseteq V_{H}(k)$ が条件 (2) を満たすと仮定し,とおく. $W$に対応する idempotent $kH$-modules を $e=E(W),$ $f=F(W)$ とお . StMod $kG$ において同型 $E(V)\simeq e^{G}$ が成り立つことを示せば十分である. 実際, これが示されれば,は kH- 加群の誘導加群に StMod $kG$ において同型である.
$2.5(2)$ により, 任意の$V=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}W-$$\langle$$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$$M\in \mathrm{C}^{\oplus}$

triangle$earrow k\sigmaarrow farrow\Omega^{-1}e$の$\sigma$を $G$ に誘導した写像$\sum_{t}a_{t}\otimes t\mapsto\sum_{t}$a$\sigma\otimes 1$:と relative augumentation$e^{G}arrow k_{H}^{G}$$\epsilon$:$k_{H}^{G}arrow k(\mathrm{i}\mathrm{e}$,箸旅膂燭鮃佑, triangle$e^{G}arrow k\epsilon(\sigma\otimes 1)arrow f’arrow\Omega^{-1}(e^{G})$を考える. これが $V$ に対応する triangle$E(V)arrow karrow F(V)arrow\Omega^{-1}(E(V))$に同型であることを示す. そのためには, Remark 23 によりは(i) 誘導加群に属する(ii) カ U 群 $f$ ’ は-local である$e^{G}$$\mathrm{C}^{\oplus}$$\mathrm{C}^{\oplus}$を示せぼよい. (i) は $e=E(W)\in \mathrm{C}(W)^{\oplus}$ であることから従う. (ii) を示すには, Lemma
22(1) により, に属する任意 ). kG- 加群 $M$ について, StMod kG において$\mathcal{O}$$\mathrm{C}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(M, f’)=0$であることを示せばよい. $M$ は有限生或であるから, 同型$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(M, f’)\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(k, M^{*}\otimes f’)$が成り立つ. よって,が射影 的であることを示せばよい. さらに, $\mathcal{V}_{G}(M^{*})=\mathcal{V}c(M)$も成り立つから,
により,であることを示せばよい.
結局であるから,$\circ$$M^{*}\otimes f’$$\mathcal{V}_{G}(M)\cap \mathcal{V}_{G}(f’)=\emptyset$$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}5.2(3)$$\mathcal{V}c(M)\subseteq \mathfrak{H}(V)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(V)\cap \mathcal{V}_{G}(f’)=\emptyset$

であることを示せぽよい.
さて, $X\in \mathfrak{H}(V)$ とする.
であったから, あるによって, $X=$の support とし, Lemma 72 によっと表される. 基本可換 p- 部分群 $A\leq H$ をに対応する shified cydic subgroup. をとする. idempotent module $f=F(W)$て,の variety はであったから, を含まない. よって, Corollary 73
により, triangle の係数拡大$\mathrm{Y}\in \mathfrak{H}(W)$$V=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}W$$\mathrm{Y}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$$\langle u\rangle$$\mathcal{V}_{H}(f)=\mathcal{V}_{H}(k)\backslash \mathfrak{H}(W)$$\mathrm{Y}$$K\otimes earrow Kdarrow K\otimes farrow K\otimes\Omega^{-1}e$

29
において,

$\sigma’$は射影加群を法として,上で同型である.

$K\langle u\rangle$

上自由であることを示す. そのために,
次に, $s\in G\backslash H$ に対しては特殊 (巴こ関して閉じて るから, 直線
であることをいう. variety
であると仮定する.
に属さないことをいえば十分である.
が$H^{s}\cap H$ の基本
換 p- 部としてのminimal support
であるから,, と表わすことができる.
分群 $B$ をとり,である.
$t=s^{-1}$ とおくと, $B^{t}\leq H$ であるから,であるかである. 一方, 条件 (2) によれば,
従って,ら, 矛盾である.
$K\otimes\tilde{e}_{s}$は$\mathrm{Y}\not\in$$K\langle u\rangle$$l\subseteq \mathrm{Y}$$1_{\sqrt}\mathrm{a}$$\mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$$\mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$$\mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})=$$l\in \mathcal{V}_{H}(\overline{e}_{s})$$\mathcal{V}_{H}(\tilde{e}_{s})$$\neg \mathfrak{o}$$l$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,H^{S}\cap H}^{*}\mathcal{V}_{H^{S}\cap H(e^{s})}$$l=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,H^{S}\cap H}^{*}l0,$$l_{0}=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H^{s}\cap H,B}^{*}l’,$$l’\in \mathcal{V}_{B}(e^{s})$$\mathcal{V}_{B^{t}}(e)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,B^{t}}^{*-1}\mathcal{V}_{H}(e)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,B^{t}}^{*-1}fi(W)$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,B^{t}}^{*}l^{\prime t}\not\in \mathfrak{H}(W)$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{H,B^{t}}^{*}l^{\prime t}\in \mathfrak{H}(W)$$\wedge l_{0}^{t}\in \mathcal{V}_{H\cap H^{t}}(e)l^{t}\in \mathcal{V}_{H}(e)=\mathfrak{H}(W)$$H^{S}\cap Hl\in \mathcal{V}|\begin{array}{ll}\wedge() (s)\end{array}|Hl_{0}\in \mathcal{V}eH\cap H^{t}\overline{e}_{S}H$$\wedge$$|\begin{array}{l}\wedge\vdots\end{array}|$$B$$l^{\prime t}\in \mathcal{V}_{B^{t}}(e)$$B^{t}$$l’\in \mathcal{V}_{B}(e^{s})$Mackey 分解により$K \otimes e^{G_{H}}\simeq(K\otimes e)\oplus\sum_{HsH\neq H}K\otimes\overline{e}_{S}$

上自由である. relative augumentatioin の $K$ への係数拡であり, 右辺の第 2 項はと一致する. これ [よ,とすれば, 合或: $K\otimes e^{G}arrow K$ は $K\otimes e$ 上では
大を#よ上, 射影加群を上, 射影加群を法として同型であったから, 準同型により
よってtriangle
Corollary 73
法として同型である.
$\epsilon$$K\langle u\rangle$$\sigma’$$\epsilon’$$\epsilon’(\sigma’\otimes 1)$$\epsilon’(\sigma’\otimes 1)$$K\langle u\rangle$$K\langle u\rangle$$e^{G}arrow k\epsilon(\sigma\otimes 1)arrow f’arrow\Omega^{-1}(e^{G})$を考えて,$\mathrm{Y}\not\in \mathcal{V}_{H}(f’)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*-1}\mathcal{V}c(f’)$

ことが結論される. これが任意ある.

$\text{の}$である. 従って,$X\in \mathfrak{H}(V)$$X=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{G,H}^{*}\mathrm{Y}\not\in \mathcal{V}c(f’)$

について成り立つから,である$fi(V)\cap \mathcal{V}c(f’)=\emptyset$

で

口

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