数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 184-198

184
保型形式の $P$ 進

$L$

深谷

束大数理

関数と

$K_{2}$

COLEMAN 巾級数

太香子 (TAKAKO FUKAYA)(学術振興会特別研究員 PD)
GRADUATE SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES
UNIVERSITY OF TOKYO(JSPS RESEARCH FELLOW PD).CONTENTS
1. 序
2. 保型形式の 進ゼータ関数の復習
進 Riemann ゼータ関数と Coleman 巾級数の理論について (復習)3.
巾級数 (主結果)
4. 保型形式の 進ゼータ関数とReferences
$p$

$p$

$K_{2}\mathrm{C}\mathrm{o}1\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$

$p$

1
2
5
7
14

1. 序
を素数とする. Riem 璽次璽心愎瑤砲, その負の整数での値を補間して得られる 進解析関数が存在する. これを 進 Riemam ゼータ関数という. 一般に 進ゼータ (L) 関数とは, 対応する複素ゼータ関数の特殊値
進ゼータ関数が存在する事は, もとの複を補間する 進解析関数であり,
素ゼータ関数の特殊値が 進的な強いつながりを持つ事を意味する. そしていくつかのゼータ関数に対し 進ゼータ関数の存在が知られている.
$p$

$p$

$p$

$p$

$p$

$p$

$p$

$p$

本稿の目的は, その$p$

進ゼータ関数の一つであり, modular symbol 等の方法により既に構或されている保型形式の 進ゼータ関数 (1 変数のものと ordinary な保型形式の族に対応する 2 変数のものの両方) の新たな構戒
版 Coleman 巾級数の理論」 を用いて与える事である. この方法法を 「
巾級数の理論」に「円単数は 進 Riemann ゼータ関数の場合に,「$p$$K_{2}$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$$p$の系」を適用する事で 進 Riemann ゼータ関数を得る , という岩澤健吉氏$p$

著者は日本学術振興会に援助をしていただいております (特別研究員$\mathrm{P}\mathrm{D}$

).

185
等の方法を高次元化する方法である. 特長は, 保型形式のゼータ関数の特殊値の有理性などの考察をする必要無しに保型形式の$p$

進ゼータ関数が得られる事である.
この研究について発表の機会を下さった事に感謝申し上げます.

2. 保型形式の 進ゼータ関数の復習$p$

重み $k\geq 2$ の normalized eigen cusp form $f= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(f)q^{n}$ (こ対し, $f$ の$p$

進ゼータ関数とは, $L(f, \psi, s)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(f)\psi(n)n^{-s}$ とする時, $L(f, \psi, r)$ ,はある $m\geq 0$ について conductor$\psi$

らを補間する$p$$p^{m}$の Dirichlet ?bB 標,

進解析関数である. これら保型形式の$p$$1\leq r\leq k-1$ ,進ゼータ関数はこれまで modular symbol 等の方法で構或されている.

この章では保型形式の$p$

進ゼータ関数の理論について簡単に復習をする.

詳しくは Amice-V\’elu [AV], Vishik [Vi] 等を参照されたい.

2.1. 以下では $N\geq 1$ をす整数と各々し,$p$$\epsilon$を$\mathrm{f}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{b}}$と素な整数とする.

:

$k,$

$t$

を $k\geq 2,$$t\geq 0$

を満た$(\mathbb{Z}/Np^{t}\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}arrow\overline{\mathbb{Q}}^{\mathrm{x}}$標とする. normalized eigen cusp form
$f= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(f)q^{n}\in S_{k}(X_{0}(Np^{t});\epsilon)$

に対し, $L(f, s)$ をそのゼータ (L) 関数$L(f, s)= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(f)n^{-s}=\prod_{l:\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}(1-a_{l}(f)l^{-s}+\epsilon(l)l^{k-1-2s})^{-1}$とする.
$K=\mathbb{Q}(a_{n}(f);n\geq 1)$

これを固定する. 更に2.2. 次の条件$(^{*})$

とおき,$K_{\lambda}$$\lambda$

を $K$ のが成立する時,を $K$ の素点で$\lambda$$p$の上にあるものとして,での完備化とする.

f^の

$p$

進ゼータ関数が存在する.

186$(^{*})$

元$\alpha\in\overline{K_{\lambda}}^{\mathrm{x}}$で, 次の (i)(ii) の条件を満たすものが存在する.

(i) $v_{p}(p)=1$ と正規化された付 ffiL

$v_{p}$:$\overline{K_{\lambda}}^{\mathrm{x}}arrow \mathrm{R}$$v_{p}(\alpha)<k-1$

に対し,

.

(ii)
$1-\alpha p^{-s}$

この時各$\alpha$

$(p$

$|$

に対し,

$f$

-factor of $L(f,$ $s))^{-1}$in$\overline{\mathbb{Q}_{p}}[p^{-s}]$.

の $p$ 進ゼータ関数$L_{p- \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}(f)_{\alpha}\in H_{K_{\lambda}(\alpha),k-1}$が存在する事が知られている.

2.3.

の $p$ 進ゼータ関数の属する空間について復習する.

$f$

23.1.
$G_{\infty}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\cup \mathbb{Q}_{p}(\zeta_{p^{n}})/\mathbb{Q}_{p})n\geq 1$

とおく. ここにあるが, 元. 1$a\in \mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}}$part とする. 更に

空間

の原始

$p^{n}$

乗根である. G。は標準的にに対応する G。の元を$u$$g_{a}$と書く. また$\Delta$$\mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}}$に同型でを G。の torsionという $p\neq 2$ の時 (resp. $p=2$ の時),

$1+p\mathbb{Z}_{p}$(resp.

の位相的生或元を一つ取り, 固定する.

$1+4\mathbb{Z}_{2})$

232.

は

$\zeta_{p^{1}}$$F=K_{\lambda}(\alpha)$$H_{F,:}$

とおき,$O_{F}$$i\in \mathbb{Z},$$i\geq 1$が次のように定義される.
$H_{F,i}=$

{

ら,

$a$

. $g_{a}\cdot(g_{u}-1)^{n}\in F[\Delta][[g_{u}-1]]$$\sum_{n\geq 0,a\in\Delta}$;
この空間をその整数環とする.

$H_{F,:}$$\lim_{narrow\infty}$lc、alpn-i $=0$ for all

は $u$ の取り方によらない.

$a\in\triangle$

}.

に対し,

187

$O_{F}[[G_{\infty}^{(2)}]]\otimes o_{F}F\subset H_{F,1}\subset H_{F,2}\subset H_{F,3}\subset\cdots$が成立する.

233. 空間$j\in \mathbb{Z}$$H_{F,i}$の元\emptyset 特徴付けを述べる.

に対し, 指標$i_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}10}$$\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}10}^{j}$

:

を

;

$G_{\infty}arrow \mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}}$$g_{a}$}$arrow a^{\overline{J}}$$(a\in \mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}})$と定義する.
$\psi$

を, ある $m\geq 0$ に対し, conductor が$\mu=\sum n\geq 0c_{\mathrm{n},a}\cdot g_{a}\cdot(g_{u}-1)^{n}\in H_{F,i}a\in\Delta$ら,$\mu(\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}10}^{j}\psi)=$.

$a$$p^{m}$の Dirichlet 指標とする.

について,$a^{j}\psi(a)\cdot(a^{j}\psi(a)-1)^{n}$$\sum_{n\geq 0,a\in\Delta}$と定義する時,conductor が$\mu$

は互いに相異なる 個の整数
$i$$(m\geq 0)$ の$p^{m}$

Dirichlet 指標$\psi$と有限個を除いたすべての

$j$

について,

$\mu(\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}10}^{j}\psi)$

らにより特徴付けられる.

24.

$L_{p\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},\alpha}(f)$の’1 生質について述べる.

2.4.1. 2.2 の設定において,が成り立つ時,$h\in \mathbb{Z},$$1\leq h\leq k-1$ に対して,$L_{p- \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},\dot{\alpha}}\in H_{F,h}$となる事が知られている.
更に $v_{p}(\alpha)=0$ の場合は,$L_{p- \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},\alpha}\in O_{F}[[G_{\infty}]]\otimes_{\mathit{0}_{F}}F$が知られている.
因みに$p$

進 Riemann ゼータ関数$\zeta_{p}$については$\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}\in Q(\mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}]])4$’$v_{p}(\alpha)<h$

,

188
ここに

は

$Q(\mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}]])$$\mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}]]$の全商環, が成り立つ.

242. 233 に述べた意味で, Lr 初 ic,\mbox{\boldmath $\alpha$}(f) は次のように特徴付けられる.
.
conductor
(i) :
に対し,
$\pm=(-1)^{k-r-1}\psi(-1)$ とおく. この時, $1\leq r\leq k-1$ ,$\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{Y}}}}p^{m}(m\geq 1)\text{の時}$$(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}arrow\overline{\mathbb{Q}}^{\wedge}\text{の}$$\psi$$L_{p\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},\alpha}(f)(\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}10}^{r}\psi^{-1})$$=(r-1)!\cdot p^{mr}\alpha^{-m}\cdot G(\psi, \zeta_{p^{m}})^{-1}\cdot(2\pi i)^{k-r-1}$.
となる. ここに$\frac{1}{\Omega(f)_{\pm}}\cdot L(f,\psi,r)$$G(\psi, \zeta_{p}\cdot*)^{-1}$は Gauss 和,$\sum_{x\in(\mathrm{Z}/p^{*}\mathrm{Z})^{\mathrm{x}}}.\psi(x)\zeta_{p^{n}}^{x}$であり, $L(f, \psi;r)$は関数 $L(f, \psi, s)=\sum_{1=1}^{\infty}.a:(f)\psi(i)i^{-s}$ の $s=r$ での値である. また$\Omega(f)_{-}$$\in \mathbb{C}^{\mathrm{x}}$$\Omega(f)_{+}$,は period である.

$(\mathrm{i}\mathrm{i})\pm=(-1)^{k-r-1}$

とおく. $1\leq r\leq k-1$ に対し,L,adi。,Q(f)$(\chiarrow_{\mathrm{y}\mathrm{c}10})$$=(r-1)! \cdot(2\pi i)^{k-r-1}\cdot\frac{1}{\Omega(f)_{\pm}}$.

$(1-p^{r-1}\alpha^{-1})(1-\epsilon(p)p^{k-r-1}\alpha^{-1})\cdot L(f,r)$

となる.

3.

$p$

進 RIEMANN ゼータ関数と COLEMAN 巾級数の理論について (復習)

この章では, 実質的に岩澤健吉氏によって与えられた, Coleman 巾級数の理論を用いた 進 Riemann ゼータ関数の構或法について簡単に復習する.
$p$

本稿の主結果はこの方法を応用して保型形式の 進ゼータ関数を得る事で
$p$

ある.

3.1. 久保田, Leopoldt 両氏により得られた 進 Riemann ゼータ関数とは,$r<0$ を補間する p 進解析関数で, 2 章で触れたように$p$$\zeta_{p}$$Q(\mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}]])$$\zeta(r),$の元である.
この$\zeta_{p}$の Coleman 巾級数を用いた構或について振り返る.

man 巾級数について復習する.

まず Cole-189
Coleman 巾級数の理論とは Coleman 氏 [Co] により与えられた理論で, norm写像による乗法群の逆系を巾級数
定理 3.2 ([Co]). 1 の原始$p^{n}$

で捉える以下の結果である.

$\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]$乗根の norm 系$(\zeta_{p^{n}})_{n}$を取り固定する. この

時乗法群の間の群同型が次のように存在する.
$(\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}=1}arrow\underline{\simeq}$$\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{p^{n}}]^{\mathrm{x}}$マ$f(\epsilon)\mapsto+(f((_{p^{n}}))_{n}$;.

ここに右辺の逆極限は乗法群の norm 写像によるものである. 左辺の$1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}=1}$

は$\varphi$の norm$\mathrm{N}$$\mathrm{N}$が 1 で作用する:$\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}}$$(\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-$の部分群である. ここで$\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}}arrow \mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}}$は環準同型$\varphi$:$\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]arrow \mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]$;$f(\epsilon)\vdash+f(\epsilon^{p})$に伴って乗法群にもたらされる norm 写像である.

33. Coleman 巾級数の理論を用いて 進 Riemann ゼータ関数を得る方法
について簡単に述べる.
$p$

Coleman 巾級数の理論を用いて定義されるある合或写像(3.1)$\lim_{n}\mathbb{Z}_{p}[arrow\zeta_{p^{n}}]^{\mathrm{x}}arrow(\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}=1}\underline{\simeq}arrow \mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}]]$を考察する事が鍵となる. ここで最初の同型射が Coleman 巾級数の理論により与えられるものであり, 次の写像はある自然な写像である. ([Fu3] 等を参照. ) ここにその定義は述べないが, この写像の類似を辿り得られる ,
保型形式の

$p$

進ゼータ関数の場合に用いられる写像の方は次の章でその定義を述べる.
ここで整数$c$

で $(c,p)=1$ を満たすものを取り,$( \frac{1-\zeta_{p^{n}}^{c}}{1-\zeta_{p^{n}}})_{n}$。

$1_{\frac{\mathrm{i}\mathrm{m}}{n}}\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{p^{n}}]^{\mathrm{x}}$6円単数の系を

190と定義する.
合或 (3.1)&こより, 円単数の系は$|arrow(1-g_{c})\zeta_{p}$$( \frac{1-\zeta_{p^{n}}^{c}}{1-\zeta_{p^{n}}})_{n}$

と,

$p$

進 mem

璽次璽心愎瑤鯑海.

こうして Coleman 巾級数の理論を用いて自然に定義された写像に, 円単数の系という zeta element を適用する事で,$p$

進 Riemann ゼータ関数$\zeta_{p}$が得られた.

4. 保型形式の 進ゼータ関数と$p$$K_{2}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{N}$巾級数 (主結果)

3 章で復習した理論の類似を辿り保型形式の 進ゼータ関数を得る. 鍵と$p$

なるのは後に述べる$K_{2}\mathrm{C}\mathrm{o}1\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$巾級数の理論である.

4.1.
$(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}[[q]][1/q])$$O_{\mathrm{H}}=$マ
とおく. ここに$\mathrm{H}=O_{\mathrm{H}}[1/p]$体$q$の整数環である. この完備離散付値環は$\mathrm{k}=\mathrm{F}_{p}((q))$

が$[\mathrm{k} :各 $n\geq 1$ に対し,
$q^{1/p^{n}}$は変数である. O 一よ混標数 $(0,p)$ をもつ完備離散付値体$q$\mathrm{k}^{p}]=p$の$p^{n}$

乗根$\mathrm{H}_{n}=\mathrm{H}$を素元とし, 剰余を満たす非完全体となる.
$q^{1/p^{n}}$をある$\mathrm{H}$の代数閉包を満たすように取り固定する. 1 の原始り固定する. 更に

$p$

(6、,

$q^{1/p^{n}}$) とおく.

$p^{n}$$\overline{\mathrm{H}}$の中に $(q^{1/p^{n+1}})^{p}=$乗根の norm 系$O_{\mathrm{H}_{n}}$$(\zeta_{p^{n}})_{n}$をその整数環とする.

42. 環 と 0 以上の整数 に対し代数的 $K$ 群と呼ばれるアーベル群(Quillen[Qu]) が定義される.
$A$$A=\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{p^{n}}]$は$K_{1}$も取$i$$K_{1}.(A)$や $A=\mathbb{Z}_{p}[[\epsilon-1]]$ の場合 $K_{1}(A)=A^{\mathrm{x}}$ となる事から, 定理 32

版の Coleman 巾級数の理論とみなす事ができる.

つまり混標数 $(0, p)$ をもつ完備離散付値体の剰余体 が $[k:k^{p}]=p^{:}(i\geq$
$k$

$0)$

を満たせぼ,

4.3.

$K_{i+1}$$K_{2}\mathrm{C}\mathrm{o}1\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$群が適している,という思想である.

巾級数について結果を述べるための準備をする.

191$O_{\mathrm{H}}$上の形式巾級数環$O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]$$\sigma$:に対し, 準同型$O_{\mathrm{H}}arrow O_{\mathrm{H}}$を次の (i)(ii) で特徴付けられるものとして定義する.

(i) modulo (p) をする事で導かれる準同型$\sigma$:$\mathrm{k}arrow \mathrm{k}$は $p$ 乗写像に一致する.

(ii)$\sigma(q)=q^{p}$.

更に連続準同型$\varphi$:$O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]arrow O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]$を次のように特徴付けられるものとして定義する:
一致する. 更に,$\varphi$の$O_{\mathrm{H}}$への制限は$\sigma$に$\varphi(\epsilon)=\epsilon^{p}$を満たす.
この環準同型$\varphi$によって$\mathrm{N}$:$K_{2}$

群の間に norm 写像$K_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])arrow K_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])$が導かれる.
定理 4.4([Ful]). 標準群同型が次の様に存在する.
$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])^{\mathrm{N}=1}arrow\underline{\simeq}$

各$K_{2}$

群に対し,$\hat{K}_{2}$1マ$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})$.

はある種の完備化をあらわす. (この完備化について

は [Ful] を参照されたい.

) 右辺の逆極限
8

1マ$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})$は$K_{2}$

群の norm 写像

192
によって与えられる. 左辺のする$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])$(4.1)$\sigma^{-n}$$\sigma^{n}$:より導かれる;$\varphi$の $nom\mathrm{N}$ が 1 で作用$K_{2}$$f(\epsilon)|arrow(\sigma^{-n}f)(\zeta_{p^{n}})$群の準同型によって与えられる.

は次によって特徴付けられる環準同型$\sigma^{-n}(q)=q^{1/p^{n}}$像はの部分群である. 更に群同型は, 環準同型 $(n\geq 1)$$O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]arrow O_{\mathrm{H}_{n}}$$(f(\epsilon)\in O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])$こに$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])^{\mathrm{N}=1}$, また導かれる準同型$\mathrm{k}(q^{1/p^{n}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (p))arrow \mathrm{k}\underline{\simeq}$$\sigma^{-n}$:$O_{\mathrm{H}}arrow O_{\mathrm{H}(q^{1/p^{n}})}$$\mathrm{k}arrow \mathrm{k}(q^{1/p^{n}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (p))$

こ

である

は

$p^{n}$.

$\cdot$乗写の逆写像である.

版, になっている事が写像 (4.1) を定理 3.2 の写像と比較する事によってわかる.
定理 4.41 よ定理 32 の$K_{2}$

4.5. 保型形式の 進ゼータ関数の構或について述べる. 簡単のため 2 章$p$の記号で, $N=1$ の場合についてのみ述べる. 以下では $N=1$ とする.

整数

$c,$ $d\geq$(c, 6p)=(d, 6p)=1$ を満たすものを取る. 加藤和也氏に1$ でより Beilinson elements の norm 系と言う重要な元

G,dz’、^)n\in l\leftarrow inm$K_{2}(\mathrm{Y}(p^{n},p^{n}))$([Ka]) ([Sc] にも定義が掲載されている) が定義されている. この元が今回,3 章での cyclotomic elements に代わる役割を果たす.
ここで$G_{\infty}=\mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}}$$\mathbb{Z}[(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}]$とおく. そしてアーベル群 $A$ に対し $A[[G_{\infty}]]$ をとする. また便宜上$a\in \mathbb{Z}_{p}$$1_{\frac{\mathrm{i}\mathrm{m}}{n}}A\otimes \mathrm{z}$に対し, 対応する G。の元を$g_{a}$と表す.

ある自然な写像$\lim_{n}\hat{K}_{2}(arrow \mathrm{Y}(p^{n},p^{n}))arrow\lim_{n}\hat{K}_{2}(arrow \mathrm{H}_{n})[[G_{\infty}]]$が存在し ([Ful] 参照), そして Beilinson elements の norm 系
はと$\varliminf\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})[[G_{\infty}]]$$arrow_{d},z_{p^{n}ff})_{n}$に含まれる事が示される. この像を同じの像$\langle(_{\mathrm{c},d}z_{p^{n},p^{n}})_{n}$n いて, これを我々の場合の重要な元とし, (3.1) の類似を辿り定義される合或写像によるこの元の像を考察する.
9

193
4.6. (3.1) の類似を辿り,$K_{2}$

版 Coleman 巾級数を用いて次のように合或写像を与える.
$S=O_{\mathrm{H}}[\epsilon-1]]$

とおく.

$L: \frac{[] \mathrm{i}\mathrm{m}}{}\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})[[G_{\infty}]]arrow\hat{K}_{2}(S)^{\mathrm{N}=1}[[G_{\infty}]]\underline{\simeq}$$n$$4^{d10}$$\Omega_{S}^{2}[[G_{\infty}]]=S\cdot d\log(q)\wedge d\log(\epsilon)[[G_{\infty}]]$$arrow S[[G_{\infty}]]\underline{\simeq}$$arrow O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}]][[G_{\infty}]]$最初の同型は定理 4.4 によるものである. また$\Omega_{S/\mathbb{Z}}^{1}$と$\Omega_{S/\mathbb{Z}}^{2}=\bigwedge_{S}^{2}\Omega_{S/\mathbb{Z}}^{1}$$\Omega_{S}^{2}$は, 絶対微分形式の加群に対し,$\Omega_{S}^{2}=$リ$\Omega_{S/\mathbb{Z}}^{2}/p^{n}\Omega_{S/\mathbb{Z}}^{2}$$arrow n\mathrm{m}$である. 写像 $d\log$ は$\{a, b\}-*\frac{da}{a}\wedge\frac{db}{b}$$(a, b\in S^{\mathrm{x}}),$$\{a, b\}$は symbol, で特徴付けられる写像である.

最後の写像は$\epsilon^{a}\vdasharrow\{\begin{array}{l}a^{-1}g_{a}\mathrm{i}\mathrm{f}(a,p)=10\mathrm{i}\mathrm{f}(a,p)\neq 1\end{array}$に伴う O 加群の準同型である.
$\mathrm{H}^{-}$

47. 像$L((_{c,d}z_{p^{n},p^{n}})_{n})$はおよそ次のような形になる.

$(1-g_{c,2})(1-g_{d,1})$.

.
$( \sum_{i\geq 1,(i,p)=1}\sum_{j\geq 1}q^{ij}g_{i,1}+\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},1})( \sum_{l\geq 1,(l,p)=1}\sum_{m\geq 1}q^{lm}g_{l,2}+\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},2})$

ここで,

$a,$

元であり,

$b\in \mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}}$$\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},1}$に対し,(resp.

$g_{a,1}$) は対応する第 1(resp.2) の(resp.
) は第 1 の (resp. 第 2 の)G。に対する$g_{b,2}$$\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},2}$

Riemann ゼータ関数である.
10$G_{\infty}$

$p$

の

進

194
この像の詳しい形については [Fu2] に述べたい.
は (A 進 Eisenstein 級数) ( 進 Eisenstein 級数)
この様に,$L((_{c,d}z_{p^{n},p^{n}})_{n})$$\cross$$\Lambda$の形になっている. ([Hi3] 参照.)

この様に像白体は 進ゼータ関数ではないが, これは保型形式の 進ゼー
$p$

$p$

タ関数を生み出す保型形式になっている.

48.

; とする. 像$G_{\infty}^{(1)}=G_{\infty}^{(2)}=G_{\infty}=$

より下の様にして$L((_{c,d}z_{p^{n},p^{n}})_{n})$導かれる元を universal zeta modular form
$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$と呼ぶ.

こ $\iota_{}-g\in \mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}^{(1)}]]$ はある非零因子である.

universal zeta mod-ular form は次のように特徴付けられる :写像$O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}\cross G_{\infty}]]arrow O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}^{(1)}\underline{\simeq}\cross G_{\infty}^{(2)}]]$;$xg_{a,1}g_{b,2}|arrow xg_{b}^{(1)}g_{ab^{-1}}^{(2)}$$(x\in O_{\mathrm{H}}, g_{a}^{(1)}\in G_{\infty}^{(1)}, g_{b}^{(2)}\in G_{\infty}^{(2)})$, による$L((_{c,d}z_{p^{n},p^{n}})_{n})$の像が$(1-g_{c}^{(1)})(1-g_{c^{-1}d}^{(2)})z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$となる.

が保型形式の 進ゼー
主結果は, この universal zeta modular form
タ関数を生むという定理 4.11 である. この定理を述べるための準備をする.
$p$$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$49.

$\overline{M}_{p}\infty$を level p$p$

進保型形式の空間とする ([Hil]). この空間は重みによらない空間である. そして

$q$

展開により

$\mathbb{Z}_{p}[[q]]$, 従って$O_{\mathrm{H}}$

に埋め込

まれる.
$H_{p}\infty$を$\overline{M}_{p}\infty$に作用する Hecke 作用素のなす環とする. これも重みによらないものとなる. またいては [Hil] 参照.
$G_{\infty}^{(1)}$$\mathbb{Q}_{p}(\zeta_{p^{n}})/\mathbb{Q}_{p})$をを$H_{p}\infty$の ordinary part とする.

(ordinary につ

)

–

ここで

$H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}$$M_{p}\infty$に作用する diamond 作用素のなす群,と定義する.
11$G_{\infty}^{(2)}= \mathrm{G}\mathrm{a}1(\bigcup_{n\geq 1}$

195
命題 4.10.

,$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in\overline{M}_{p^{\infty}}[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$ここにg\in Zp[[G\infty (2)]]’ よ 48 の非零因子である.

定理 4.11([Fu2]). universal zeta modular form

nary -adic
$p$

$L$

$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$は, universal ordi-

function$L_{p- adic}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}[\frac{1}{h}][[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$という次の.1 生質 (P) を満たすものを生み出す. ここに$[[G_{\infty}^{(2)}]]$$h\in H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}},$$g\in \mathbb{Z}[[G_{\infty}^{(1)}]]$

はある非零因子である.

の eigen cusp form $f= \sum_{n\geq 1}a_{n}(f)q^{n}$(P) ある $t\geq 0$ についてレベ)で下に述べる条件 $(*)$ を満たすものに対し, 準同型$\triangleright p^{t}$(4.2)$H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}arrow\overline{\mathbb{Z}_{p}}$による$L_{p- adic}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$の像が $f$ の$p$; $T(n)-+a_{n}$進ゼータ関数 $L_{p- adic}(f)\in(O_{M}[[G_{\infty}^{(2)}]])\otimes o_{M}M$(Amice-V\’elu [AV], Vishik [Vi]) になる.
$M=\mathbb{Q}_{p}(a_{n};n\geq 1)$

ここに $M$ は$\mathbb{Q}_{p}$の有限次拡大体である.

上述の条件 $(*)$ について述べる.
群$G_{\infty}^{(1)}$が–$M_{p}\infty$に作用する diamond operator の群である事から$G_{\infty}^{(1)}\subset H_{p}\infty$がいえる.

上述の条件 $(*)$ とは$(*)f$ に対応する準同型 (4.2) が上の $g,$ $h$ を消さない事.

詳細は [Fu2] に述べたい.
$$ の$L_{p- \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$は, 肥田氏による ordinaryに対応する 2 変数$p$

$L_{\mathrm{z}\succ \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$進保型形式 ([Hil], [Hi2] 参照)

進ゼータ関数である. Greenberg-Stevens 両氏 ([GS]),

北川氏 ([Ki]) によって既に 2 変数の$\Lambda$$p$は係数が Hecke 環となっ進ゼータ関数は与えられているが,こ\check \mbox{\boldmath $\tau$}12 いるところが, universal な点である.

196
また加藤氏の zeta element から 2 変数 進ゼータ関数を得る結果には, 落$p$

合氏 ([Oc]) による別の方法によるものもある.
注 4.12. ordinary とは限らない eigen cusp $fomf$ の p 進ゼータ関数 $L_{p- adic}(f)$も universal zeta modular$fomz_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$から得られるが, この詳細については

ここでは述べない. [Fu2] に述べる.

4.13. 最後に定理 4.11 に述べた

$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$による$L_{\gamma \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$の与え方を記す.

4.13.1. 肥田氏 ([Hil]) により写像$\overline{M}_{p^{\infty}}arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{z}_{p}(H_{p\infty}, \mathbb{Z}_{p})$が pairing$\overline{M}_{p^{\infty}}\cross H_{p^{\infty}}arrow \mathbb{Z}_{p}$; $(f= \sum_{n\geq 0}a_{n}(f)q^{n}, T)|arrow a_{1}(Tf)$ ,によって与えられている.
従って, 写像(4.3)$\overline{M}_{p^{\infty}}[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}_{\mathrm{p}}}(H_{p^{\infty}}, \mathbb{Z}_{p})[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$が与えられる. universal zeta modular form

$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$はこの (4.3) の左辺に含まれるが, その (4.3) による像について次の事がいえる.

この像も同じ記号を用いて
命題 4.13.2.

$\mathrm{A}=\mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}^{(1)}]]$$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$と書く.

とおく. この時次が成立する.

$z_{f}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{A}}(H_{p^{\infty}}, \Lambda)[[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$$( \subset \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}_{p}}(H_{p}\infty, \mathbb{Z}_{p})[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}])$

ここで,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{A}}(, )$は A 加群として$\text{の}13$

準同型である.

.

197
4.133. universal ordinary padic

る弓

$L$

function

は次の合或写像によ$L\ovalbox{\tt\small REJECT}=^{\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{v}}$の像である.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{v}}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(H_{p}\infty, \Lambda)[[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}, \Lambda)[[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$$arrow H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}[\frac{1}{h}][[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$.

最初の写像は自然な写像である. ふたつめの写像は次のようにして与えられる:$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}, \Lambda)arrow H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}\otimes_{\Lambda}Q(\Lambda)$

ここに $Q(\Lambda)$ は A の全商環であり,;$\psi\vdasharrow a$$a\in H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}\otimes_{\Lambda}Q(\Lambda)$.

は次を満たす元である .

$\cdot$$\psi(x)=\mathrm{T}(ax)\in Q(\Lambda)$写像$\mathrm{T}$$(x\in H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}})$.

は, Race 写像$\mathrm{T}$:$H_{p^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}\otimes_{\Lambda}Q(\Lambda)arrow Q(\Lambda)$

である.

こうして

$z_{p^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$により$L_{p- \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$が得られた.
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