矩形張力膜のしわ解析

呂 品E奇叫)半谷俗彦・2)
川￨口健一時)梗 概
膜材料は曲げ剛性が小さいので、圧縮カを受ける場合には、しわが発生する。張力膜のしわ解析は、通常、面内問題としての張カ場解析と面内、面外問題としての分岐座屈解析の 2つ方法に分類される。本論文では、張力場理論と分岐座屈解析の両理論を結合し、新しい方法を検討する。

1. はじめに張力場理輸によるしわの研究の歴史の中で、文献 [1}は古典的名

膜構造は透明性，軽さを持ち，そのため，近年世界中で，大空間構造の一つ構造形式として，多く建設されている。しかし， 薄い論文として評価の高いものである。この文献では、膜の定義として次の 2項目を採用している。

)
性が少ないため，圧縮力が作用す
膜材料は，曲げ剛性及び庄縮問1(1) 幽げ剛性を無視する(曲げ剛性 D=O)る場合には， しわが発生する。 しわは張力の消失を意味し、膜構(2) 圧縮カを伝達しない造のカ学性状及び美観に影響を与える。 しわ発生時の応力状態及図 1に示す面内力 N.・ N，.N.
，.
を用いて、項目 (2)を定式化しび変形の解析， しわ発生の予防および制御問題は重要な線題であ. N，とすると 、ておく。主面内力を N，る。

しわ"の問題は以下の 2つに大別できる。

(1)力学的しわ

j;
へ{ヰ乙J
'
川

N，

(2)幾何学的しわ

力学的しわとは、膜が圧縮場におかれ張力を消失する場合に生じ

.N，:
<!
N，

(1)

_~(竺主J' +N 2るしわである。幾何学的しわは、膜面が幾何学的に適合しない、

N.4=ームー
2‑L;N，ー

砂

境界条件におかれた時に生じる、膜商の緩みやだぶっきのことである。

N，. N，により(図 2)

本論文では、主に(1)のしわの問題から考察する。

Nyιい斗タ陥

2. しわの解析理論

y2.1 研究背景

膜構造に発生するしわの問題については現在まで多くの研究が行なわれてきている。その中で、解析的研究はa.張力場理論(例えば文献[1}と[2])F~Nlb分岐座屈理論(例えば文献[3}と[4])図 l 函内力の 2つの理論に基づいているものが大部分である。

1)東京大学大学院工学系研究科 博士課程
2) J
R京大学生産技術研究所教授工学博士(平成 10年 8月 9日逝去)
3) 東京大学生産技術研究所助教授

工学博士

‑37‑

図 2.しわの領域2.
2 研究目的
本研究では、しわ無し領域

しわ無し傾岐(九'，N，>N，，.
') としわの領域(N，N，=N"，')を区分することにより、式 (5)を満足させながらし!
内続出￨わの形状を解析する方法(ここでは，C. しわ解析理論と呼び)を考えてみる。 言い換えると 、張力場理論と分岐座屈理論において 、W膜の特性を満足させる仮定のみを採用 し、 両理論を結合し、再構築する [7] [8]。

図 3 釣合経路と分岐点

図4

しわ領域

2.
3 基本仮 定しわ無し領域

N.
，N，>O

(2)

しわの生じている領域

N，
N，=O

(3)

しわ解析理論では膜の定義として次の 3項目を採用する。
A1:主面内力において圧縮カを伝達しない。

A2:しわの生じている領域では不伸張変形によりしわ形状が
図 2において、陰影を施した領域は膜では存在しない領域となる。

決定される。
A3:
微 小な曲げ剛性が存在する(D;o'O)

式(1)を式 (3)に代入すると
N，N，=N，，'(4)

文献[1]では、ポアソン比を変数とすることで、式 (4) を満たこれらの基本仮定を具体的に説明する。
A 1 図 4に示すように、張力の作用下において、式 (2)、 (3)によす応力状態の性質を解析している。
張力場理論では上式を用いてしわの発生領域と方向のみが解析される。 つまり、個々のしわに対する詳細な変形特性(例えば、面り、しわ無し領域としわの生じている領域を分離する。 しわの生4)が成立している。
じている領域では式 (A lにおける領域の解析には張力場理論によるしわ領峻の解析

外方向変位を持つしわモード)を調査するのではなく、しわを待つ膜の巨視的な構造挙!foJを翻べるのに適した理論である。

法が利用できる。 さらに、引張り状態では N，>0、圧 縮状態ではしわモードなどしわの詳細な形状を解析する目的で採用される理論が上述した分岐座屈理論である。 つまり、しわ形状を平板のN2= 0であるから、片側応力問題としての取り 扱っかいも利用 できる[6]。

座屈形状と仮定する理論である。しわ発生前の面内力を N.. o • N，o'N"oとすると次式の釣合い式が成立している。(面内問題)。

A2:図 5に示すように変形前、後のしわ領域の xy 平面上での面.， ん と す る。 しわの生じている領域では、 しわ形状により積を A
oN.
. av.
"

面外変位 w(x、 y)が存在しているから、 Ao>ん と な っ て い る 。

d缶φ

更に、 A2の不伸張変形の仮定 より次式が成立する。

制剥，一‑=+一
一‑ー =u.
Jー~+ ー」工 = 0

aI:今

(5)

rr

IU1(+ま+ま(A.=さらに、分岐点では面内問題と次式で与えられる面外問題に対す(7)帥る釣合い式が共存することになる。
しわ形状の解析はしわの生じている領域の境界形状が指定されづ(N。
ま+九号)
2(Nd+Npoま)=0

た条件下で、式 (7)を満足する w(x. y)を求めることに帰若できγ(6)る。

IV(x.y)ここに、 D 曲げ剛性、 w 面外 方向変位、である。

釣 合 い 経 路 上 の 分 岐 点 の 探 査 お よ び 分 岐 経 路 の 追 跡 に よ って[5]、しわの解桁を行うことができる。 しかし、分岐座屈理愉をしわの解析に適用する場合の欠点は、式 (5)の成立を前提としているところにある。 つ まり、張力場理論で仮定している式 (4)の(a)
変形前(b)変形後成立を無視していると ころにある。
図 5しわ領域の面積としわ形状

‑38‑

しわ形状

A3:しわ形状の解析には、直交基底関数を用いる連続型解法とA2:しわ形状は図 6に示す正弦波関数で表されると仮定する。
n=1，2，3，'.'としてリンクモデルや有限要素法を用いる離散型解法等が考えられる。

子x

理解を容易にする ため に正弦関数を採用する l 次元の場合を図 6ゆ)=わinに示す。境界の 2点が指定された場合、この 2点を結ぶ幽線は無数に存在する。 この無数に存在する候補幽線の中か ら、 l個の幽r
川るエネノレギーに基づくエネノレギ一基準を設定する。

図6(c)n=3

ここでは、次の無次元盤を採用する。

一 口
x=一一.ム=二L
α.
lo
α.
ev

eo=aloí~l + 恥ヰ∞

しわ形状の候補曲線1>>能になる。ここでは、たるみは一次元材におけるしわを考え、前=示す。

。

‑(a}
変 形前cI/.

A3 :エネルギー基準として、曲げによるひずみエネルギーを採防 長用した場合を定式化しておく 。 ある nに対するひずみエネノ
レギー

4ハ一川町!とすると、をu1dI

阿弐' たるみ領 域(17)α付 )'戸6 10

たるみ無し傾岐ー

UR.
.

idl

巾

わ 坐ヱ}

lfd

(16)

よって、2ν

‑X‑であるから、ae.
(1伊 イi(co節までに述べた内容を図 7に示すケーブル構造を用いて具体的にtl「ι一一トァ」i 」ー→
十一4 e.

2ω.
(1ザイ c山仲

ケーブルに圧縮カが作用するとたるみが生じ、力の伝達は不可。

(15)

伝川 ば n7rX

ここではb(14)o式(13) を次式のように変化する。

(d)n=43.ケーブル構造に よる具体例

a(13)

lo=

〆手当2Aマ~~(b)n=2δ"を次式で決定することができる。

不伸張変形の仮定により、J性の存在を仮定し、曲げによ線を特定するために、微小 な曲げ陶I(a)n=1(12)(18)

たるみ無 し領1或式 (12)を用いると(b)変形後

図 7 ・ケーブルのたるみ領域

川千(‑0:(討作十=幸子δ:n(19)Al ケーブルの長さをそれぞれんとし、断面積を A、断面 2次モー メントを I、ヤング率を E とする。節点 1、 2に反対向きに

ここでは、式(14)、 (17) により得られるえを上式に代入する

荷重 fを作用する。節点 1、 2の変位を求めると、

LEAd.=d̲=e̲aV

U~ =EIπ2l(‑?
)2一。一(8)t上式を用いるとしわ領域の長さ fwは次式となる。

合ん=toー同 +d，)=l.‑2l.

α式 (11) を式 (20) に代入すると、

(9)

ρe 一
一U~ =E/1r'

式 (8)の誘導にお いて、ケーブル bは圧縮力を伝達できな いことo乙4

上式により 、各 nに対して 、・w と初期長さんの関係を次式で定義する
しわ領域の長 さt'Y

(0くα<1)(10)できる。

Y(Lα =1‑2u:を計算す ることがで きる 。 u:を最小とする nを選択することにより、しわ形状を決定することが)‑l従って、

切(21)(臼ー2/)'を用いている。

L =al.=e.‑u.LEA(20)

ι
4‑39‑

ここ では、 n =lの時、 u!
が最小値 になる。

4. 矩形張力膜の座屈解析としわ解析

岐座屈点では面内問題に対する釣合い式と面外問題における釣合い式が共存している。更に 、JA屈発生 には圧縮力 N点。の存在が必要である。 この場合の境界条件は単純支持である。

4.1 研究目的

本節では、一方向に一様な張力 N，oが作用する矩形膜(図 9(a))

丁のしわについての実験結果を最初に示す(写真 l~ 3)。 ここでは、ポアソン比の効果によってしわが発生する。 このようなしわの発」

生機構を解明するために、最初に座屈解析を行う。しかし、図 9(a)に示すようなモデノレを解析するには、有限要素法のような数値解
98.8c111

析が必要である。 そこで、こ こでは、図 9(b)に示すような解析モデルに対して、理論的な解析を行い、アスペクト比等の影響を定

写真 1 等方性性的に把握する。最後に、図 9(a)と閉じ条件の下で、二次元平面応力解析を行い、膜面の応力状態と発生したしわの関係を調査する。

写真 2 ・直交異方性 (A) θ=4S・N。
，Ny。

Ny。
(a)
張力膜(b)矩形板

写真 3 :I
立交異方i1: (Il) θ =4S・
図 9 .'解析モテツレ1)等方位の場合には、

4.
2 実験5) から
図 9の矩形板に対しては、式 (しわの定性的な性質を見るため、簡単な実験を行った。
a)に示すように、膜の一端を完全固定し、その反対倶JIに
図 9(笠~=o ‘ 竺zと =0d量 今載荷する。荷重を与える境界では、載荷方向のみローラーとし、(22)その他の方向については固定する 。等方性および直交異方性の膜に対して実験を行う 。載術荷重の大きさは、何れの場合も同じで上式より、 N.
.o' N，.
oは定数となる。式 (6)に代入すると、 Afao3kg である。写真 i は等方性の牒に発生したしわを示す。直交異は圧縮、 N，。は引張り、であることに注意して、符号を選択する

方性膜については、二種類の膜について実験を行った。それぞれ、と、二種類の繊維方向について実験を行った。矩形膜の長辺方向と繊維方向のなす角を 0とすると、どちらの膜も

.
. o'w
グw
DV'w+N.
‑N.
.
::"ー ァ =0
刊ーみで・Zyv eS;le=0のときにはし(23)eわは発生しなかった。写真 2、 3は =45度の場合である。写真2の膜は写真 3の膜よりも厚し、。直交異方性膜を 45度方向に引っここに、 D=Eh'/12(ト〆)張ったときの方が等方性般の場合よりもしわの本数が少なく、ま単純支持の境界条件を考え、座屈モードとして次式を仮定する 。

た、しわによる商外変形が大きい。

=LL \II_sin~デSlJ1w(x，y)

4.
3 平板の座屈解析(24)

4.1節に述べたように、こ こでは、図 9 (b) に示すモデルについて、解析を行う 。矩形板の境界から面内力 λ，.
， 、 N"を作用する上式を式 (23) に代入し、 N，.
を求める とと、図 9(b)に示すように、面内力があるレベルに達すると面外方向にたわみが生じる 。言いかえると、荷重に対する抵抗形式が面内抵抗から、幽げ抵抗に変化している。前で述べたように、分‑40‑

合N" =[~m+剖+ (引が2会N，.

(25)

m. nを変化するとき、 N" が最小値をとる点、で座屈が発生する。

4..
4 矩形膜の平面応カ解析

N" の最小f
直は n=lで生じるので、式 (25) を次式のように変1)引張下矩形膜のしわ
4.2節の実験では、繊維と 45・方向に引張った時に最も面外変形形する。の大き い しわが発生した。

K=I
竺 +丘 I+fと1.N"l
μ 1
111 、m(26)ノN 噛=二一‑N
宮ーD"(27)b

宮古

一一︒一μ‑

K =ニー‑N戸N，，=O. LOに対して K とμ との関係、を示すと図 LOとなる。 ある、

yN，oとμ に対して、 K が最小となるように、 nを決定する。
aa+a o，Oよりアスペクト比が大きいほど、また、 NyOが大きいほど n
図Lが大きくなることがわかる。 ここで、写真 lと写真 2、 3を比較(1)境界が自由の場合してみると、写真 2、 3の方がしわの本数が少ない。写真 2、 3は直交異方性膜を繊維方向に対して 45度方向に引張っているので、号￨張方向に直交する方向の収縮変形が大きい(ポアソン比の影響が大きし、)。 ところで、後の 4.4節にも示すように、しわは、ポアソン比の影響で生じる圧縮応力を解放するために発生する。従っ。

Nyて、写真 2、 3の膜では荷重が小さくてもす ぐにしわが生じる。
Oか ら得られる、凡が小さい時には nが小さい、と
これは、図 Lいう事実に対応すると考えられる。なお、しわの本数は幽げ剛性にも影響されるが、写真 3の膜は写真 2の膜よりも薄く、 N，が大、 N，。も大きかったときい、このため、x方向の収縮変形も 大き く(2) 筑界が固定の場合考えられる。これにより、写真 2より写真 3の場合のしわの本数2:朕の引張変形図Lが多くなったものと考えられる。

2) 平面応力の数値解析、，。

20，m=1 m=
2m=
3 m=
4 m=
5 図 9(a)の解析モデルに対 して応力分布を二次元平面応力有限要索解析により求める。ただし、比較のため二種類の境界条件につ15ンとκ 5A L /。

23(=3456いて検肘する 。つまり、二つの境界を載荷方向と直交方向につい10κ5て国定あるいは自 由とする。
1) 引 張 方 向 の 端 部 が 自 由 の 場 合 に は 、 aX b の 膜 が。

いo，，)x(b‑t.
岬)へ変形する 。最も単純な平商応力状態で2μμあり、引張方向にのみ応力が存在し、直交方向の応力は零2(L))である。(図 L2) 引張方向の端部が固定の場合には、膜の中央部のみが収縮(b) N，.
，=LO(H) N叫 =02(2))するので、圧縮力が発生する。(図 1

図10・κとμ 関係、図以下では、等方性の場合(図 13(a)) と、直交異方性で 4.
2節の繊維方向。が O度、 45度の場合(図 13(b) (c)) について解析を行った。
計算された応力より、主応力を求める。 図 L3に主応力の二成分のうち、小さい方の分布を示す。図の色の濃い部分は圧縮応力が発生している要素を示す。 また、図の白い部分では応力は零となる。 実際の膜では、圧縮応力は しわの発生により解放され る。 これにより変形状態も変化するが、面内変形のみでは幾何学的適合，()μ く L5(N =0)(b)1.
5くμ<2.
5(N"=0)

条件を満たすことができないため、面外変形が生じると考えられ

μく 0.8(N，υ=10)())
0.
8< μ < IA ( ~人。 = Iる。 中央部では圧縮応力は発生していないが、引っ張り方向と直叶交方向では応力が零であるため、この方向に収縮するような変形
図 11:1.竪屈モードはあまり拘束されなし、。従って、境界付近の函外変形が伝播して、‑41‑

写真 1 ~3 のようなしわが形成されると考えられる 。

A.
.
.
::'
z
A:.
t.
<ゥ4ーァ~/ メ;A除j

このようなp;，.1'¥

傾向は図 13の中の全ての図に対 して 共通 している が、図 13(C)のしている だけであ り、直交異方性膜を繊維方向に引張た実験では、しわがほとんど生じなかったことに対応している。

/.
'¥.

J/直交異方性で 8 = 0のときに は、 圧縮応力は涜界付近に少し分布bιb
ι17':/~117ヱ!7717.

¥町ヘ幽ぜ
叉明言 九、三先の 1)の境界条件では、引張応カのみが存在し、それに直交。

，、巴H 司て10f')¥ミ(a)等方性目前オ料の場合方向の応力は零となっている。すなわち、圧縮場のない張力場状態になっ ているので、幾何学的に不適合となることはない。従って、しわは発生 しない。

5まとめ
本研究では、張力場理論 と分岐座屈理論 を統ーを試みるしわ解

析理論について概説し簡単な考察を行った。次に一方向に引張られる矩形膜の実験を行った。座屈解析および二次元平面応力解析との比般により、そこで生じるしわの発生機構を考察した。提 案(b) 直交異方性膜材料の場合 (θ=45・)

t~包;メLぷ芝Leどl￨、:て1);;~

したしわ解析理論を発展させ、さらに詳細な解析を行うことが、

7'!
717子ヨ

今後の課題であ る。

¥て医￨
可t"

(c) 直交異方性膜材料の場合 (8=0・)おわりに本論文の作成にあたり、東京大学大学院工学系研究科 i
専士 銀 程 李

図 13:主応力分布図 (kg!
cm)

畑勲氏のご協力を受 けました。 ここに謹んで謝意を表します。
[3]
T.Suzuki，
T Ogawa，S.Mo
toyuiand T.Sueoka: Investigationon
白

本 論文の共著者の半谷裕彦教授が 1998年 8月 9 日逝去されましWrinklingProblemofMembraneStructure、ProceedingsofIASS‑MSUた。 本研究は基本的なアイディアから式の展開に 至 るま で、半谷S
ymposiu
monDomesfromAntiquitytothePresent、1988、pp.6
95
‑
702

教授 の御指導 の下に行われて来 ま した。 ここに謹んで感 謝の意 を[4]
宮村倫司，半谷裕彦 回転対称膜構造に努生するしわの有限要素法に81号、 1996、pp.6
3‑70
よる解析、日本建築学会構造系論文集、第 4表すとともにご冥福を御祈りいた します。

[5]
半谷俗彦，鍾国強，宮村倫司 :空間構造の分岐解折、構造工学におけ[参 考 文 献]

る数値解析シンポジウ ム給文集、 17，1993， pp.227‑
232ysisofP
artlyWrinkledMembr
ane，
[I]
M.S
teinand].H.Hedgepeth:Anal[6]
半谷裕彦:片側応力問題の変分不等式とポテンシ ヤ
ノレ関数、生産研究、NASATND‑
813， 1
961.7.

38巻 8号、 1
986、pp.6
2‑
6[2]
酋村敏雄.登坂宣好，本間俊雄・ 有限要素法による張力場解析手法に[7]
半谷裕彦 呂品E
奇.平面膜のしわ解析ーその 1研究背長と基本仮定，
臼

ついて、日本建築学会構造系論文報告集、第 351号、1985、pp.7
6‑83

本建築学会大会学術競演梗概集， 98年(九州)， 1005‑1006[8]呂品湾 半谷俗彦

平面肢のしわ解析ーその 2矩形張力肢の座屈解析

8年(九州)， 1007‑1008としわ解析，
臼 本建築学会大会学術講演梗概集， 9TheA
nalysisofWrinklingi
nRectangu
larTensionedMembraneStructures‑
1PinqiLu・

Yas凶ikoHangai・2Ken'ichiKawaguchil
SYNOPS
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D・
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ia1Science，UniversityofTokyo. PassedawayonAugust9，19983)AssociateProfessor，Ph.
D‑Eng.InstituteofIndustr
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cience，Universit
yofTokyo‑42‑