数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 94-105

94
等質空間の部分多様体の Poincar\’e の公式
田崎博之 (Hiroyuki Tasaki)

筑波大学数学系

Institute of Mathematics,
University of Tsukuba

Riemann 等質空間 $G/K$ の部分多様体 $M$ と $N$ に対して、 $\dim M+\dim N\geq$$\dim(G/K)$ のとき、 $G$ 上の関数

$g\mapsto \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)$の積分$\int_{G}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)d\mu(g)$を $M$ と $N$ の幾何学的量で表現する等式を Poincare’ の公式と呼ぶ。 この公式は 19

世紀末に $G/K$ が平面であり $M$ と $N$ が曲線の場合に発見され、 以後、適用範囲は
球面、 実空間形、 複素空間形とその複素部分多様体へと拡がり、 現在では一般のRiemann 等質空間にまで一般化されている。 実空間形における Poincare’ の公式は種々の変分問題に応用され成功をおさめているが ([13] 参照) Howard [2.] による
一般の Riemann 等質空間における Poincare’ の公式の定式化は、記述が具体的ではないため変分問題への応用までには到っていない。 そこで Howard の定式化した
Poincare’ の公式をより具体的に記述することを問題にした。 ここでは、 複素空間
形とその他のいくつかの Riemann 等質空間における Poincare’ の公式の具体的な記述について解説する。
$\text{、}$1. Howard の定式化
ます、 Howard の定式化した Riemann 等質空間内の部分多様体に関する Poincar\’eの公式ついて簡単に説明する。
$E$ を内積, を持つ有限次元実ベクトル空間とする。 $E$ の内積は $E$ 上の 次外を $E$ の正規直交基上の内積を自然に誘導する。 このとき、積代数底とすると、$\langle$$k$$\rangle$$\bigwedge_{k}E$$e_{1},$$\ldots,$$e_{n}$$\{e_{i_{1}}\wedge\cdots\wedge e_{i_{k}}|1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq k\}$はの誘導された内積に関して正規直交基底になる。
Riemann 等質空間 $G/K$ の点 と における接ベクトル空間の部分ベクトル空$\bigwedge_{k}E$

$x$

$y$

間 $V\subset T_{x}(G/K)$ と $W\subset T_{y}(G/K)$ に対して角度を一般化した量 $\sigma_{K}(V, W)$ を次のように定める。 $V$ の正規直交基底
り、 $g_{x}o=x,$ $g_{y}o=y$ を満たす $G$ の元$v_{1},$$\ldots,$$v_{p}$$g_{x},$ $g_{y}$と $W$ の正規直交基底$w_{1},$$\ldots,$ $w_{q}$をとをとる。 これらを使って、$\sigma_{K}(V, W)=\int_{K}||dg_{x}^{-1}(v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{p})\wedge dk^{-1}dg_{y}^{-1}(w_{1}\wedge\cdots\wedge w_{q})||d\mu(k)$によって $\sigma_{K}(V, W)$ を定める。 被積分関数のノルムは、 接ベクトル空間 $T_{o}(G/K)$の内積から自然に定まる外積代数の内積に関するノルムである。 \near ow ルムがあるた95のとと $W$ の正規直交基底
め被積分関数は の正規直交基底のとり方り方に依存しない。 さらに $K$ 上で積分しているため、 $\sigma_{K}(V, W)$ はにも依存しない、すなわち、 と $W$ にのみ依存して定まる。 これを使って Howard
による Poincare’ の公式の定式化を与えることができる。
$V$$v_{1},$$\ldots,$$w_{1},$$v_{p}$$\ldots,$ $w_{q}$$g_{x},$ $g_{y}$$V$

定理 1.1(Howard [2]) Riemann 等質空間 $G/K$ の Lie 群 $G$ はユニモジュラーであると仮定する。 $G/K$ の部分多様体 $M$ と $N$ が $\dim M+\dim N\geq\dim(G/K)$ を満たしていると仮定する。 このとき、 次の等式が成り立つ。
$\int_{G}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)d\mu(g)=\int_{M\mathrm{x}N}\sigma_{K}(T_{x}^{[perp]}M, T_{y}^{[perp]}N)d\mu(x, y)$$\sigma_{K}$.

は $K$ の $T_{o}(G/K)$ への線形イソトロピー表現から定まるので、線形イソトロピー

表現が同値になる Riemann 等質空間においては同じ形の Poincare’ の公式が成り立つ。 このことを Howard は転送原理と呼んでいる。
の値を調はその定め方から $G$ の作用に関して不変になる。 したがって、べるには原点 における接ベクトル空間 $T_{o}(G/K)$ の部分ベクトル空間に対して考を $T_{o}(G/K)$ の二つの部分ベクトル空間の組に対する関数とえれば十分である。
$K$はの作用に関して不変になる。 このことを使って Howard はみなすと、が一定になる例をいくつか示している。 たとえば、 $G/K$ が実空間形の場合、 $K$ はは一$T_{o}(G/K)$ 内の同じ次元の部分ベクトル空間全体に推移的に作用するため、定値をとる。 よって Poincare’ の公式の右辺は二つの部分多様体の体積の積の普遍定数倍になる。 すなわち、 次の定理が成り立つ。
$\sigma_{K}$$\sigma_{K}$$\mathit{0}$$\sigma_{K}$$\sigma_{K}$$\sigma_{K}$$\sigma_{K}$定理 L2 $G/K$ を

次元実空間形とする。 $G/K$ の 次元部分多様体 $M$ と分多様体 $N$ が $p+q\geq n$ を満たすとき、 次の等式が成り立つ。
$n$$\int_{G}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap.

$p$

$q$

次元部

.

gN)d\mu(g)=\frac{\mathrm{v}\mathrm{o}1(S^{p+q-\cdot l})\mathrm{v}\mathrm{o}1(G)}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(S^{p})\mathrm{v}\mathrm{o}1(S^{q})}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(N)$また $G/K$ が複素空間形の場合、 $K$ は $T_{o}(G/K)$ 内の同じ次元の複素部分ベクト

は複素部分ベクトル空間に対して一定値ル空間全体に推移的に作用するため、をとる。 よって複素部分多様体に対する Poincare’ の公式の右辺は二つの複素部分多様体の体積の積の普遍定数倍になる。 すなわち、 次の定理が成り立つ。
$\sigma_{K}$定理 13 $G/K$ を 次元複素空間形とする。 $G/K$ の 次元複素部分多様体 $M$ と次元複素部分多様体 $N$ が $p+q\geq n$ を満たすとき、 次の等式が成り立つ。
$n$

$p$

.

$\int_{G}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)d\mu(g)=\frac{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\mathrm{C}P^{p+q-n})\mathrm{v}\mathrm{o}1(G)}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\mathrm{C}P^{p})\mathrm{v}\mathrm{o}1(\mathrm{C}P^{q})}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(N)$

$q$

96
と $N$ がホモロジー類を代表する場合は、$M$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)$

は $M$ と $N$ のホモロジーに依存して変化する。 この複素空間形における複素部分多様体に関する Poincare’ の公式は、 最初 Santa16[9] にょって示され、 Howard[2] によって再定式化された。 さらにこの Poincare’ の公式
は複素空間形以外にも拡張されている。 これについては定理 42 で述べる。
$T_{o}(G/K)$ の部分ベクトル空間の集合への $K$ の作用の推移性が成り立たない場合には、 $K$ の $T_{o}(G/K)$ への線形イソトロピー作用が誘導する $T_{o}(G/K)$ 内の 次元部分ベクトル空間全体のなす実 Grassmann 多様体 $G_{k}(T_{o}(G/K))$ への作用を詳しを具体的に記述する必要がある。 そこで、 Poincare’ の
く調べ、それを元にして不変量になるが、 一般の場合には$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)$

は

$g$

$k$

$\sigma_{K}$

公式を具体的に記述するという問題を次の二つの問題に分割して考える。

(1) $K$ の $G_{k}(T_{o}(G/K))$ への作用の不変量を定める。
(2)$\sigma_{K}$を (1) で求めた不変量で表現する。

複素空間形の場合に (1 戸ま多重 K\"ahler 角度を導入することで解決したが、 (2) は現
在進行中である。 実空間形と複素空間形以外の Riemann 等質空間の場合には、 この問題に対してはまだ若干の結果が得られているに過ぎない。 これらの結果についての解説を行なう。

2. K 浦$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{g}\mathrm{g}$定理 13 では複素空間形内の複素部分多様体に関する Poincare’ の公式を示したが、 この節では一般の実部分多様体に関する Poincare’ の公式について考える。 実
2 次元部分多様体には K\"ahler 角度と呼ばれる不変量があり、 K\"ahler 角度を使って複素空間形内の実 2 次元部分多様体と実余 2 次元部分多様体に関する Poincare’ の公式を示す。 そこでまず K\"ahler 角度の定義とその基本的性質について述べる。
を 次元複素ベクトル空間とし、 その標準的な実内積と K\"ahler 形式をとで表す。 すなわち、$\mathrm{C}^{n}$$\langle\cdot, \cdot\rangle$$n$$\omega$$\omega(u, v)=\langle\sqrt{-1}u, v\rangle$$(u, v\in \mathrm{C}^{n})$.

をとり、内の実 2 次元部分ベクトル空間 $V$ に対してその正規直交基底$\theta(V)=\cos^{-1}|\omega(v_{1}, v_{2})|$ によって $V$ の K\"ahler 角度を定める。 ここでは部分ベをとり K\"ahler
クトル空間や部分多様体の向きは考えないので、絶対値
角度の動く範囲は $[0, \pi/2]$ とする。 (向きを考える場合は絶対値をとらず K\"ahler 角
度の動く範囲は $[-\pi/2, \pi/2]$ になる。 )K\"ahler 形式 はユニタリ群 $U(n)$ の作用にもユニタリ群 $U(n)$ の作用に関して不変
関して不変になるので、 K 肚 角度になる。 $V$ の Kiler 角度が 0 になるための必要十分条件は $V$ が複素部分ベクトル空間になることであり、 $V$ の K\"ahler 角度が $\pi/2$ になるための必要十分条件は $V$ と$\sqrt{-1}V$ が直交することである。 このように K\"ahler 角度は実 2 次元部分ベクトル空$\mathrm{C}^{n}$$v_{1},$ $v_{2}$$\theta(V)$$|\omega(v_{1}, v_{2})|$$\omega$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\theta(V)$間が複素部分ベクトル空間とどの程度違うかを計る基本的な不変量である。

97
複素空間形の部分多様体に関するの公式を考える場合、 転送原理より
複素射影空間の場合を考えれば十分である。複素射影空間$U(n)$ の線形イソトロピー表現は $U(1)\mathrm{x}U(n)$ のへの表現$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{C}P^{n}\ovalbox{\tt\small REJECT} U(n+\mathfrak{y}/U(1)\cross$$\mathrm{C}^{n}$$(z, A)v=zvA^{*}$$((z, A)\in U(1)\cross U(n),$$v\in \mathrm{C}^{n})$と同値になる。 ここでの標準的ユニタの元は横ベクトルとみなしている。
リ基底を
で表す。
$0\leq\theta\leq\pi/2$ を満たす
内の K\"ahler 角度が の実 2 次元部分ベクに対して、
トル空間全体をで表す。 $U(n)$ の作用は実 2 次元部分ベクトル空間の K\"ahler 角度を不変にするので、 $U(n)$ はに作用する。
$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{e}_{1},$$\ldots,$$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{e}_{n}$$\theta$$\theta$$\mathrm{C}^{n}$$G_{\theta}^{n}$$G_{\theta}^{n}$

補題 21(Kang-T.[5])$U(n)$ の$G_{\theta}^{n}$への作用は推移的である。 さらに$V_{\theta}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\mathrm{R}}\{\mathrm{e}_{1}, \cos\theta\sqrt{-1}\mathrm{e}_{1}+\sin\theta \mathrm{e}_{2}\}$

とおくと$G_{\theta}^{n}=U(n)\cdot V_{\theta}$が成り立つ。

内の実 2 次元部分ベクトル空間の $U(n)$ の作用に関す
内の実 2 次元部分ベクト
る完全不変量であることを意味している。 すなわち、
ル空間 $V$ と $W$ に対して、 ある $g\in U(n)$ が存在して $W=g\cdot V$ が成り立つことと$\theta(V)=\theta(W)$ が同値になる。
この補題は K\"ahler 角度が$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{C}^{n}$定理 22(T. [11]) 次元複素射影空間内の任意の実 2 次元部分多様体 $M$ と任意の実 $(2n-2)$ 次元部分多様体 $N$ に対して、 次の等式が成り立つ。
$n$$\mathrm{C}P^{n}$$\int_{U(n+1)}\#(M\cap gN)d\mu(g)$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(U(n+1))$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{C}P^{1})\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{C}P^{n-1})$$\cross\int_{M\mathrm{x}N}(\frac{1}{4}(1+\cos^{2}\theta_{x})(1+\cos^{2}\tau_{y})+\frac{n}{4(n-1)}\mathrm{s}.\mathrm{n}^{2}\theta_{x}\mathrm{s}.\mathrm{n}^{2}\tau_{y})d\mu(x, y)$

ここで$\theta_{x}$は $T_{x}M$ の K\"ahler 角度であり$\tau_{y}$は$T_{y}^{[perp]}N$の K肚

$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$.

角度である。

この定理の $N$ が複素部分多様体の場合を Knag-T. [5] で示し、 $n=2$ の場合をのイソト
Kang-T.[6] で示した。 定理 22 を含めてこれらの結果の証明では、$\sigma_{K}$ロピー群上の積分を具体的に計算した。 ここでその積分の計算の概略を述べておく。 Howard による Poincar\’e の公式の定式化 (定理 1.1) と補題 2.1 の標準形より、$K=U(1)\cross U(n),$$\mathrm{e}(\theta)=\cos\theta\sqrt{-1}\mathrm{e}_{1}+\sin\theta \mathrm{e}_{2}$とおくと$\sigma_{K}(V_{\theta}, V_{\tau}^{[perp]})=\int_{K}|\langle \mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\theta), k\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\tau))\rangle|d\mu(k)$98
を使って具体的に表示できれば、 Poincar\’e の公式の具体的表示が得られへの作用は忠実ではないので、 $K$ 上の積分は $U(n)$る。 $K=U(1)\cross U(n)$ の上の積分の定数倍になる。 $U(n)$ 上の積分を計算するために、 コンパクト対称対$(U(n), U(2)\cross U(n-2))$ を利用する。
を$\theta,$$\tau$$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{u}(n)=(\mathrm{u}(2)+\mathrm{u}(n-2))+\mathrm{m}$,$\mathrm{m}=\{\{\begin{array}{ll}0 X-X^{*} 0\end{array}\}|X\in M_{2,n-2}(\mathrm{C})\}$

はこのコンパクト対称対に対応する Lie 環の標準分解になる。 の極大可換部分
空間 をとる。 に関する制限ルート系をとり、 内の基本胞体を $C$ で表す。 $B=$
$U(2)\cross U(n-2)$ とおいて、 写像 を$\mathrm{m}$

$a$

$a$

$a$

$\rho$$\rho:B\cross C\cross Barrow U(n)$; $(s, a, t)\mapsto s(\exp a)t$によって定め、 $U(n)$ 上の積分を余面積公式を使って $B\cross C\cross B$ 上の積分に変換す
ると$\int_{U(n)}|\langle \mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\theta), k\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\tau))k\rangle|d\mu(k)$$=$$C \int_{B\mathrm{x}C\mathrm{x}B}|\langle$$\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\theta),$$(s\exp$

at)$\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\tau))\rangle$$| \prod_{\lambda}\sin^{m(\lambda)}$A(a) $d\mu(s, a, t)$

はルート の重を得る。 ここで、 は正の制限ルート全体を動くものとし、複度を表す。 また、 定数 $C$ はユニタリ群の体積等を使って具体的に表示することからができる。 積分変数の内で $(s, t)\in B\cross B$ に関する積分を先に実行する。
をで表すと、 $B=U(2)\cross U(n-2)$ の作用はへの直交射影を不変にするので、$m(\lambda)$$\lambda$$\lambda$$\mathrm{C}^{n}$$P:\mathrm{C}^{n}arrow \mathrm{C}^{2}$$\mathrm{C}^{2}$$\int_{B\mathrm{x}B}|\langle$ $\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\theta),$$\mathrm{C}^{2}$$(s\exp$

at)$\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\tau))\rangle$

at)

$=$

$\int_{B\mathrm{x}B}|\langle$ $s^{-1}\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\theta)),$$(\exp$$=$$\int_{B\mathrm{x}B}|\langle$ $s^{-1}\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\theta)),$$P[(\exp$ at)$|d\mu(s, t)$$\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\tau))\rangle$$|d\mu(s, t)$$\cdot(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}(\tau))]\rangle$$|d\mu(s, t)$.

の二次の外積の中だけを最後の積分の内で に関する積分は、.(el\triangle e(の) がの二次の外積に値を持つ関数の内積に関する積分に帰着する。
動くことになり、
すなわち、積分の計算が $n=2$ の場合に帰着する。 この場合、 実 4 次元ベクトル空間上の 2 次の外積は自己双対な元と反自己双対な元に分解するので、 Kang-T.[6]ではこれを利用しての積分を計算することができた。 この結果を上の積分に適用しもう一つの $B$ 上の積分と $C$ 上の積分を実行することにより定理 22 の結果が得られる。概略を述べた以上の積分の計算は随分長いものであり、 より一般的な次元の場合にはこの積分の計算の方針はより困難を伴うことになる。 この長い積$s^{-1}$$s$$\mathrm{C}^{2}$$\sigma_{K}$$\mathrm{C}^{2}$

99
分の計算の見通しがよくなるような統一的観点がないか現在模索しているところである。

3. 多重 K 浦 ler 角度
複素射影空間内の一般の実部分多様体に関する Poincare’ の公式を定式化するために、 この節では K\"ahler 角度の概念を一般化し多重 K\"ahler 角度を導入する。 多内の実部分ベクトル空間の $U(n)$ の作用に関する完全不変量
重 K 肚 角度はになり、 多重 K\"ahler 角度を使うと複素射影空間内の一般の実部分多様体に対するPoincar\’e の公式を定式化することができる。
の標準的 K\"ahler 形式を で表す。
前節と同様に$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{C}^{n}$$\omega$

内の実 次元部分ベクトル空間 $V$ に対
定義 31(T. [10]) $1<k\leq n$ とする。
を交代 2 次形式として標準形にする $V$ の双対空間の基して、 の $V$ への制限
であって次の等の正規直交基底底をとる。すなわち、 $V$ の双対空間$k$$\mathrm{C}^{n}$$\omega|_{V}$$\omega$$V^{*}$$\alpha^{k}$$\alpha^{1},$$\ldots,$式を満たすものをとることができる。
$\omega|_{V}=\sum_{i=1}^{[k/2]}\cos\theta_{i}\alpha^{2i-1}\wedge\alpha^{2i}$.

,$0\leq\theta_{1}\leq\cdots\leq\theta_{[k/2]}\leq\pi/2$

とおいてこれを $V$ の多重 K\"ahler 角度と呼ぶ。 $n<k\leq 2n-1$
内の実 次元部分ベクトル空間 $V$ に対して、 $\theta(V)=\theta(V^{[perp]})$ によっ$\theta(V)=(\theta_{1}, \ldots, \theta_{[k/2]})$のときは、$\mathrm{C}^{n}$$k$て $V$ の多重 K\"ahler 角度を定める。

を標準形にすること
注意 32 上の定義において $n<k\leq 2n-1$ の場合にもはできるが、 そのときには最初のいくつかの が自動的に 0 になってしまい、 $V$$\omega|v$$\theta_{i}$の不変量としては不要なものになる。 それらを取り除いて多重 Kiler 角度を定義することもできるが、 この場合は直交補空間での の標準形を考えた方が簡単な
角度を V ，梁申 Kiler 角度として定めること
ので、 ここでは $V$ の多重 K 肚$\omega$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$にした。
注意 33 研究集会での講演後、剣持先生の情報から Salavessa [8] も特別な次元の場合に上で定義した多重 K\"ahler 角度と同等なものを考察していることを知った。

[8] は $2n$ 次元 Einstein-Kiler 多様体内の実 $2n$ 次元部分多様体の多重 Kiler 角度([8] では単に K\"ahler 角度と呼んでいる) の微分を詳しく調べている。
多重 K\"ahler 角度の定義から直接わかることをいくつか述べておく。
注意 3.4 $k\leq n$ とする。とが成り立つ。

$\mathrm{C}^{n}$

内の実

$k$

次元部分ベクトル空間 $V$ に対して以下のこ(1) ユニタリ群 $U(n)$ の作用は多重 K\"ahler 角度を保存する。 すなわち、 $g\in U(n)$に対して $\theta(gV)=\theta(V)$ が成り立つ。

100(2) $k=2$ のとき、 多重 Kiler 角度は Kihler 角度に他ならない。

(3) $\theta(V)=(0, \ldots, 0)$ となるための必要十分条件は、 $V$ 内に複素 $[k/2]$ 次元部分
ベクトル空間が存在することである。 が偶数である場合、 $\theta(V)=(0, \ldots, 0)$となるための必要十分条件は、 $V$ 自身が複素部分ベクトル空間になることである。
$k$(4) $\theta(V)=(\pi/2, \ldots, \pi/2)$ となるための必要十分条件は、 $V$ と $\sqrt{-1}V$ が直交することである。

(5) $k=1$ の場合は、 1 次元ベクトル空間上の交代 2 次形式は 0 のみだから、任意の実 1 次元部分ベクトル空間 $V$ に対して $\theta(V)=\pi/2$ が成り立つ。 他方、$U(n)$ は内の単位ベクトル全体に推移的にする。すなわち、 これらの立場
では実 1 次元部分ベクトル空間は全部同じものと見ていることになる。 同様に実超平面も全部同じものと見ていることになる。
$\mathrm{C}^{n}$内の実同様に$\mathrm{C}^{n}$$k$$G_{k}(\mathrm{C}^{n})$次元部分ベクトル空間全体の或す実 Grassmann 多様体を第 1 節とで表す。

命題 35(T.[10]) $k\leq n$ とする。 $0\leq\theta_{1}\leq\cdots\leq\theta[k/2]\leq\pi/2$ を満たす$(\theta_{1}, \ldots, \theta_{[k/2]})$$\theta=$に対して、$G_{k\theta}^{n}=\{V\in G_{k}(\mathrm{C}^{n})|\theta(V)=(\theta_{1}, \ldots, \theta_{[k/2]})\}$

とおく。 $U(n)$ の作用は実部分ベクトル空間の多重 Kiler 角度を不変にするので、$U(n)$ はへの作に作用することはすでにわかつている。 実はこの $U(n)$ の用は推移的である。 さらに$G_{k_{j}\theta}^{n}$$G_{k_{j}\theta}^{n}$$V_{\theta}^{k}= \sum_{i=1}^{[k/2]}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\mathrm{R}}\{\mathrm{e}_{2i-1}, \cos\theta_{i}\sqrt{-1}\mathrm{e}_{2i-1}+\sin\theta_{i}\mathrm{e}_{2}\dot{.}\}$とおくと (最後の項は$k$が奇数の場合のみ加える)$(+{\rm Re}_{k})$$G_{k;\theta}^{n}=U(n)\cdot V_{\theta}^{k}$$\text{、}$,が成り立つ。

$n<k\leq 2n-1$ のときは
$V_{\theta}^{k}=(V_{\theta}^{2n-k})^{[perp]}$

とおく。命題 35 より $U(n)$ は$G_{k\theta}^{n}=\{V\in G_{k}(\mathrm{C}^{n})|\theta(V)=(\theta_{1}, \ldots, \theta_{[k/2]})\}$に推移的に作用する。 すなわちが成り立つ。
定義 3.1 では交代 2 次形式の標準形という線形代数の概念を使って多重 Kiler
角度を定義した。 ここでは等長変換群の観点から多重 K\"ahler 角度の幾何学的意味$G_{k_{j}\theta}^{n}=U(n)\cdot V_{\theta}^{k}$

101について説明する。
多様体は$\mathrm{C}^{n}$

内の実

$k$

次元部分ベクトル空間全体の成す実 Grassmann$G_{k}(\mathrm{C}^{n})=O(2n)/O(k)\cross O(2n-k)$と等質空間として表現できる。 よく知られているようにこれはコンパクト対称空への間である。 多重 K\"ahler 角度を考える際に問題になったのは、 $U(n)$ の自然な作用である。 $O(2n)/U(n)$ もコンパクト対称空間になることから、 $U(n)$ のへの作用は Hermann 作用と呼ばれる作用になっている。 一般にコンパク
ト Lie 群 に対して、 $(G, K_{1})$ と $(G, K_{2})$ が対称対になるとき、のコンパクト対
称空間 $G/K_{1}$ への自然な作用を Hermann 作用と呼ぶ。 上の例では$G_{k}(\mathrm{C}^{n})$$G_{k}^{\mathrm{R}}(\mathrm{C}^{n})$$G$$K_{2}$$G=O(2n)$ ,$K_{1}=O(k)\cross O(2n-k)$ ,$K_{2}=U(n)$となっている。 Hermann[1] の結果より、 Hermann 作用は平坦な断面を持つ。一般に Riemann 多様体の等長変換群の任意の軌道に交わり直交する部分多様体を断面と呼ぶ。 断面は全測地的部分多様体になることが知られている。 例えば、 実対称行列への直交群の作用を 次対称行列 $X$ と $g\in O(n)$ に対して $gXg^{-1}$ によって定めると、 対角行列全体はこの作用の断面になる。 これは対称行列が直交行列で対角化できるということよりも少し詳しい情報を含んでいる。 命題 35 で述べたから $U(n)$ の実 Grassmann 多様体への作用に関する平坦な断面が自然に定まることがわかる。
$n$$V_{\theta}^{k}$$G_{k}(\mathrm{C}^{n})$命題 36(T. [10])$G_{k}(\mathrm{C}^{n})$の部分集合$\{V_{\theta}^{k}|\theta\in \mathrm{R}^{[k/2]}\}$

は、 $U(n)$ の$G_{k}(\mathrm{C}^{n})$への作用に関する平坦な断面である。
注意 37 多重 K\"ahler 角度は実 Grassmann 多様体上の関数とみなすことができ、 $U(n)$ の作用に関して不変になっている。 したがって、多重 Kiler 角度の値
は $U(n)$ の作用に関する断面での値で決定される。 多重 Kiler 角度を命題 36 で述べた断面に制限すると、 平坦トーラスの標準的な座標系になって$G_{k}(\mathrm{C}^{n})$$(\theta 1, \ldots, \theta[k/2])$いる。

多重 KAler 角度の定義はのユニタリ構造にのみ依存しているので、概 Hermite 多様体の実部分多様体の接ベクトル空間の多重 Kiler 角度を考えることができる。 この多重 K 肚 ler 角度を使って複素射影空間内の一般の実部分多様体に関する Poincare’. の公式を次のように定式化することができる。
$\mathrm{C}^{n}$定理 38(T.[10]) $p\leq 2n\leq p+q$ と $q\leq 2n\leq p+q$ を満たす自然数

$p$

して

$\sigma_{p,q}^{n}(\theta^{(p)}, \theta^{(q)})$$= \int_{U(1)\mathrm{x}U(n)}\sigma(V_{\theta(p)}^{2n-p}, k^{-1}\cdot V_{\theta(g)}^{2n-q})d\mu U(1)\mathrm{x}U(n)(k)$$(\theta^{(p)}\in \mathrm{R}^{[\min\{p,2n-p\}/2]}, \theta^{(q)}\in \mathrm{R}^{[\min\{q,2n-q\}/2]})$

と

$q$

[こ対

102
を定める。 または が 1 または $2n-1$ [こ等しいときは、 どの実 1 次
元または実 $2n-1$ 次元部分ベクトル空間を使ってもは同じ定数に定まる。 このとき、内の任意の実 次元部分多様体 $M$ と任意の実 次元部分多様体 $N$に対して、 次の等式が成り立つ。
$\}$

こよって

$p$

$\sigma_{p,q}^{n}$$q$$\sigma_{p,q}^{n}$$\mathrm{C}P^{n}$

$p$

$q$

$\int_{U(n+1)}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)d\mu_{U(n+1)}(g)=\int_{M\mathrm{x}N}\sigma_{p,q}^{n}(\theta(T_{x}M), \theta(T_{y}N))d\mu_{M\mathrm{x}N}(x, y)$.

定理 38 において二つの部分多様体 $M$ と $N$ が $\dim M+\dim N=2n$ を満たすと
き、 Poincar\’e の公式は次に述べるようにより詳しく記述できる。

定理 39(T. [12]) $1\leq p\leq n$ を満たす自然数$P_{p}^{n}(X_{1},$$\ldots,$$p$に対して、 多項式

$X_{[p/2],y_{1},\ldots,y_{[p/2]})}$が存在し、 次の条件を満たす。

(1) 多項式(2) {1,$\ldots$$P_{p}^{n}(x_{i}, y_{j})$の次数は各, [7)/2 垣の任意の置換$x_{i}$$\alpha$とめに関して高々 1 である。

について、 次の等式が成り立つ。

$P_{p}^{n}(x_{i}, y_{j})=P_{p}^{n}(x_{\alpha(i)}, y_{j})=P_{p}^{n}(x_{i}, y_{\alpha(j)})=P_{p}^{n}(y_{j}, x_{i})$(3).

内の任意の実 次元部分多様体 $M$ と任意の実 $(2n-p)$ 次元部分多様体$N$ に対して、 次の等式が成り立つ。
$\mathrm{C}P^{n}$$p$$\int_{U(n+1)}\#(M\cap gN)d\mu_{U(n+1)}(g)$$= \int_{M\mathrm{x}N}P_{p}^{n}(\cos^{2}\theta_{i}(T_{x}M), \cos 2\theta_{j}(T_{y}N))d\mu_{M\mathrm{x}N}(x, y)$Howard [2] (p.21) \d ag er.

$\text{り}$$P_{1}^{n}= \frac{2\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(U(1))\mathrm{v}\mathrm{o}1(U(n))\mathrm{v}\mathrm{o}1(S^{2n})}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(S^{1})\mathrm{v}\mathrm{o}1(S^{2n-1})}$

が成り立ち、 特には定数である。 これは $U(n)$ がの単位ベクトル全体に推移的に作用することからわかる。 また、定理 22 の結果は次のように述べることができる。
$\mathrm{C}^{n}$$P_{1}^{n}$$P_{2}^{n}(x, y)$$=$$\frac{\mathrm{v}\mathrm{o}1(U(n+1))}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{C}P^{1})\mathrm{v}\mathrm{o}1(\mathrm{C}P^{n-1})}\frac{1}{4(n-1)}\cdot[(2n-1)-(x+y)+(2n-1)xy]$

.

と
多項式
の
は上で述べたように具体的な形が得られているが さらに具体的な形を与えることができた。 これでにおける次元の和が全体の次元に一致する部分多様体の組に対する Poincar\’e の公式はすべて得られたことになる。
$\text{、}|$$P_{1}^{3}$$P_{2}^{3}$$P_{3}^{3}$$\mathrm{C}P^{3}$

103
定理 3.10(T. [12]) 次の等式が成り立つ。

.

$P_{3}^{3}(x, y)= \frac{\mathrm{v}\mathrm{o}1(U(4))}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\mathrm{R}P^{3})^{2}}(4-\frac{4}{3}(x+y)+\frac{20}{9}xy)$

Kang は$P_{4}^{4}$の部分的な表現を与えた。

定理 3.11 (Kang[3]) 次の等式が成り立つ。

.

$P_{4}^{4}(x_{1}, x_{2},1,1)= \frac{\mathrm{v}\mathrm{o}1(U(5))}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\mathrm{C}P^{2})^{2}}\cdot\frac{1}{8}\cdot(3+x_{1}+x_{2}+3x_{1}x_{2})$

現時点では複素射影空間内の部分多様体に対する Poincare’ の公式の具体的な表
示がわかつているのはここまでである。 定理 39 の多項式は が一般の場合にはどうなるかわかつていない。 さらに、 部分多様体の次元の和が全体の次元を越える
場合には、 Poincare’ の公式の具体的な表示はわかつていない。 つまり定理 38 のの具体的表示はまだよくわかつていない。 これらは今後の課題であ$p$$\sigma_{p,q}^{n}(\theta^{(p)}, \theta^{(q)})$り、 現在模索中である。

4. 他の空間
複素空間形以外のいくつかの Riemann 等質空間に対しても、 Poincare’ の公式の具体的表示が得られているが、 ここでは主に等質概 Hermitian 多様体内の概複素部分多様体に関する Poincare’ の公式について述べる。
定理 41(Kang-Sakai-Takahashi-T. [4]) $G/K$ を複素 次元等質概 Hermitian
多様体とする。 $G$ はユニモジュラー Lie 群であり, $K$ は 次外積代数に既約に作用していると仮定する。 このとき $G/K$ 内の任意の複素 次元概複素部
分多様体 $M$ と任意の概複素部分多様体 $N$ であって $\dim M+\dim N=\dim(G/K)$$n$$\bigwedge_{p}T_{o}^{(1,0)}(G/K)$

$p$

$p$

を満たすものに対して、 次の等式が成り立つ。
$\int_{G}\#(M\cap gN)d\mu(g)=\frac{\mathrm{v}\mathrm{o}1(K)}{(\begin{array}{l}np\end{array})}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(N)$$G/K$ が既約 Her 面$\mathrm{t}\mathrm{e}$.

対称空間の場合には、 酒井がこの定理の拡張を最近得た。

定理 42(Sakai[7]) $G/K$ を複素$G/K$ の複素部分多様体であって、$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}^{M}=p$,$n$次元既約 Hermite 対称空間とする。 $M,$ $N$ を$\mathrm{c}\mathrm{o}\dim_{\mathrm{C}}N=q$を満たしているとする。 $K$ がしているならば、 次の等式が成り立つ。

$\bigwedge_{p}T_{o}^{(1,0)}(G/K)$,または$p+q\leq n$$\bigwedge_{q}T_{o}^{(1,0)}(G/K)$に既約に作用$\int_{G}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M\cap gN)d\mu(g)=\frac{(n-p)!(n-q)!\mathrm{v}\mathrm{o}1(K)}{n!(n-p-q)!}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(N)$.

104$\not\in\Phi\sigma)\mathrm{f}R\not\in\xi^{\backslash }ffif-.\mathcal{F}_{\mathrm{B}}^{*}75|\mathrm{J}\backslash *\sigma)$\d ag er$\dot{\mathit{0}}[] \mathrm{z}f_{X’\supset \mathrm{C}\mathrm{V}^{\backslash }o_{0}}\vee$compact type
$A$

$III$

$D$

$\mathit{1}II$$BD$ $I$$SU(l)/S(U(m) \cross U(l-m))$any(if $m=1$ )$p=1$ (if $m\neq 1$ )$p$$p=1$ , 2
SO $(2l)/U(l)$$p\neq l-1$
SO $(2l)/SO$ (2) $\cross SO(2l-2)$
SO $(2l+1)/SO$ (2) $\cross SO(2l-1)$ any$Sp(l)/U(l)$$p=1$ , 2$p=1$ , 2, 3
(10)
$p$

$C$

$I$

$E$

$III$

$E$

$VII$

$(e_{6(-78)}, \epsilon 0$$+\mathrm{R})$$(e_{7(-133)}, \mathrm{e}_{6}+\mathrm{R})$$p=1$ , 2, 3, 4

特に Santalo’ の結果 (定理 13) は $AIII$ の $m=1$ の場合になりすべてのて仮定を満たすので、 定理 42 に含まれる。

$p$

につい

参考文献
[1] R. Hermann, Variational completeness for compact symmetric spaces, Proc.
Amer. Math. Soc., vol.ll (1960), 544-546.
[2] R. Howard, The kinematic formula in Riemannian homogeneous spaces, Mem.
(1993).
Amer. Math. Soc., No 509,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.106$[3] H. Kang, Integral geometry in the four dimensional complex projective space,
preprint, 2001.

[4] H. Kang, T. Sakai, M. Takahashi and H. Tasaki, Poincare’ formulas of complex
submanifolds, preprint, 2002.
[5] H. Kang and H. Tasaki, Integral geometry of real surfaces in complex projective, nO.1 (2001), 155-164.
spaces, Tsukuba J. Math.,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.25$[6] H. Kang and H. Tasaki, Integral geometry of real surfaces in the complex
projective plane, Geom. Dedicata, v01.90 (2002), 99-106.

[7] T. Sakai, Poincare’ formula in irreducible Hermitian symmetric spaces, preprint,

2002.
[8] Isabel(math .

$\mathrm{M}.\mathrm{C}$. Salavessa, On the Kaehler angles of submanifolds, preprint$\mathrm{D}\mathrm{G}/0204349$).

[9] L. A. Santa16, Integral geometry in Hermitian spaces, Amer. J. Math.,(1952), 423-434.

$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.74$

105[10] H. Tasaki, Generalization of K\"ahler angle and integral geometry in complex
projective spaces, in Steps in Differential Geometry, Proceedings of CollOquium on Differential Geometry, Debrecen, 2000 (edited by L. Kozma, P. T.
Nagy and L. Tam\’assy), Published by the Institute of Mathematics and Informatics, University of Debrecen, 2001, pp.349-361. Available electronically at:.emis.
http:$//\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}$$\mathrm{d}\mathrm{e}/\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}/\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{D}2000/$[11] H. Tasaki, Integral geometry of submanifolds of real dimension two and codimension two in complex projective spaces, to appear in Proceedings of MSJ-IRI

2000.
[12] H. Tasaki, Generalization of Kiler angle and integral geometry in complex
projective spaces , preprint, 2001.
$\mathrm{I}\mathrm{I}$[13] 田崎博之, 等質空間の部分多様体の積分幾何学, 数学, 第 54 巻, 第 3 号, 2002
年 7 月, 280-291.