数理解析研究所講究録1115 巻 1999 年 120-134120

内部加熱源を考慮した粘性率が温度に強く依存する熱対流:
マントル対流 $-$ プレート運動系に関する考察
東大院理

中川貴司

東大海洋研

藤本博巳

Takashi Nakagawa((
Hiromi$\mathbb{R}\mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}$$\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}$. of Tokyo)$\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{I},\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{V}$. of Tokyo)

概要

本研究は 2 次元極座標系において粘性率が温度に依存する熱対流の数値実験をおこなった. 粘性率の
温度依存性の強さを変えると 3 つの対流スタイル (Whole Layer regime, Sluggish Lid regime, Stagnant
Lid regime) が現れる. そのうち Sluggish Lid regime は地球表面の運動をマントル対流モデル中に再現させるための必要条件となる対流スタイルであることがわかっている [Kameyama,1998]. しかし従来の研究は対流を駆動する加熱源は下部加熱だけの場合のみであった. そこで対流を駆動する加熱源としては内部加熱だけの場合と内部加熱と下部加熱の混合系を考慮した. 計算は粘性率の温度依存性の強さと対流の強さをパラメータにとって行った. 結果としては内部加熱のみの場合には粘性率の温度依存性の強さに応じて 2 つの対流スタイルが見つかった. しかし, 下部加熱を加えた系では従来の下部加熱のみの場合と同じパラメータ領域で同じ対流スタイルが現れている. その違いは Sluggigh Lid regime の存在である.
内部加熱のみの場合には Sluggish Lid regime の存在は確認できなかった. その存在可能性を内部加熱のみの場合の対流パターンの時間依存性と内部加熱と下部加熱の混合系における対流パターンの時間依存性を比べることによって) 下部加熱によって発生する積極的な上昇流かそれに匹敵する強さの上昇流 (プレートの沈み込み等によって発生する) が存在すれば Sluggish Lid regime を発生させることができる.

はじめに
マントル対流の数値モデルの研究者にとって再現したいと考えている現象は 2 つある. それはプレート
テクトニクスのマントル対流モデル中での再現と地球内部における熱化学進化の過程である. これらの現象の再現を地球の形 (3 次元球殻内) で実現できればマントル対流数値モデリングの研究のゴールと考えられる.

本研究で目的としてることはマントル対流 $-$ プレート運動系の再現である. この再現を現実のものとするためには幾つかの条件がある. 1 つはプレートのモデル中での再現, もう 1 つはプレート境界 (沈み込み現象や海嶺の生成) の再現である. ここではプレートのモデル中での再現とプレートの動きを再現するために必要条件となるマントル対流の熱対流としての対流スタイルについて議論する. このプレートらしきものの再現に必要不可欠なマントル流体の性質として考えられているものは粘性率の温度依存性である[Kameyama,1998].
程度変化すると粘性率が 1 桁程度さがる性
この粘性率の温度依存性はマントル中の温度において質を持っていることを岩石レオロジーの実験から見積もられている [Weertman 1970]. 粘性率はこのほかにマントル中の圧力や応力状態に依存すると考えられているが [e.g.Karato and $Wu,1993$], 本研究では純粋に粘性率の温度依存性の効果について調べることを目的としているので, 圧力と応力の依存性については考え$100\mathrm{K}$ていない.

このような粘性率の温度依存性を用いたマントル対流数値実験を行った例は幾つかある. それらの結果からわかっていることは粘性率の温度依存性の強さによって 3 つの対流スタイルがあることがわかった[Moresi and Solomatov, $1995;Kamey_{\mathit{0}}ma,1998$]. それら 3 つを粘性率の温度依存性の弱い順にならべていくと, Whole Layer regime , Sluggish Lid regime, Stagnant Lid regime である [e.g. $Kameyama,1998$ ]. それぞれの特徴を述べていくと, Whole Layer regime は–般的に知られているレイリ一ベナール対流と似たような特徴を持っている. それに対して Stagnant Lid regime は対流層の表面に粘性率の高い蓋ができ, その蓋と対流層とが独立して存在している状態である特徴を持っている. Sluggish Lid regime は波長の長い対流セルが時間的に安定であるにもかかわらず時間依存性の強い対流スタイルである. その原因は表面に存在する蓋が上昇流領域で傾くことでその蓋の最下部にできる小さなプリュームの影響であると考えられてい121

る.Kameyama[1998] では表面の蓋の傾きや波長の長いセルという特徴から, プレート運動を引き起こすために必要条件となる対流スタイルの候補として Sluggish Lid regime をあげている.

このような結果を得た数値実験は 2 次元箱の場合において対流を駆動する加熱源が対流層の下からの加熱である場合について行ったものである. しかし実際の地球惑星マントルの加熱状態と幾何形状はその数値
実験の状況とは少々異なっている. 地球惑星マントルの加熱状態はマントル岩石に含まれている放射性同位体の崩壊によって発生する内部加熱が主であるといわれている [Davies,1989]. 純粋な内部加熱を考慮した場合における粘性率が温度に依存する熱対流の結果は粘性率の温度依存性の強さを変えることによってConductive Lid regime と no-Lid regime の 2 つがあることがわかっている [Grasset and Parmentier,1998].
これまで紹介した結果は全て対流層の形状が箱の場合だけである. 地球惑星の幾何形状も考慮にいれると球殻中における熱対流を考えないといけない. このような加熱状態や幾何形状における熱対流の数値実験は行われている [Reese et] が, 計算機事情等によってモデルの特徴を議論するところまでは到達してい$al.,1\mathit{9}9\mathit{9}$ない.

そこで本研究では幾何形状を 2 次元極座標にして, 対流を駆動する加熱源を内部加熱だけの場合と内部加
熱と下部加熱の混合系の 2 通りの場合における粘性率が温度に依存する熱対流の数値実験を行う. この幾何形状を用いる理由として考えられることは箱型モデルや軸対称モデルで現れる側壁の境界条件について球殻のように周期境界条件が自然に満たされることである. またこの座標形状は惑星の赤道断面での現象として取り扱うことができると考えられる.

この数値実験の目的は粘性率の温度依存性の強さによって出現する対流スタイルの存在範囲をしめし,
Sluggish Lid regime の存在可能性や Sluggish Lid regime の成因について議論する. この議論によって地球表面の運動らしきものが見える基礎物理過程について何らかの寄与ができると考えられる.

モデルと数値計算法
定式化
本研究で用いるモデルはプラントル数が無限大で場合においてブジネスク近似された流体の粘性率が温度に依存している熱対流を取り扱う. ここで用いる座標系は 2 次元極座標を用いる. 基礎方程式系は運動方程式, 連続方程式, 温度方程式の 3 つである. それぞれを数式で書くと,$(r, \theta)$$\nabla\cdot\tau+RaTe_{r}=0$$\tau=-pE+2\eta\dot{e}$,$\dot{e}=.\frac{1}{2}(\nabla u+^{t}\nabla u)$$\nabla\cdot u=0$

,

(1)

(2)

,

,

$\frac{\partial T}{\partial t}+\nabla\cdot(u\mathrm{T}-\nabla\tau)=\frac{Ra_{H}}{Ra_{l}}$

(3)
(4)
(5)

方向の単位ベクトル,E は単位テンソル,\tau は粘性応力テンソル,e は歪み速度テンソルである
は対流層の温度差で定義されたレイリー数であり,RaH は内部加熱の量で定義されたレイリ一数である. それぞれの定義を数式で表すととなる. ここで$e_{r}$

は$r$$Ra_{l}$$Ra_{l}= \frac{\rho g\alpha\Delta T(ro-ri)^{\mathrm{s}}}{\kappa\eta_{l}}$$Ra_{H} \frac{\rho H(r_{O^{-}}r_{i})^{2}}{k\Delta T}Ra\tau$

(6)
(7)

122

である. 粘性率は温度の指数関数に比例していると仮定して$\eta=\eta_{l}\exp[-E(\tau-T\iota)]$(8)は境界面におけるある物理量の値を示している.l $=s$ のときは表面における物理量\sim $=b$のときは底面における物理量をそれぞれ表している. また変数 $E$ はフランクーカメネツスキパラメータをとして次のように書ける.
いう量で表面と底面との粘性率の比 (粘性率コントラスト) をとする. ここで$l$$\triangle\eta$$E=\ln\triangle\eta$.

(9)また, この系は 2 次元でブジネスク流体を用いているので, 流速場の代わりに流線関数を用いることができる. 流線関数と流速を結びつける式は$u=(u_{r’\theta}u)=( \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta},$$- \frac{\partial\psi}{\partial r})$(10)である. これをもちいて運動方程式を変形すると$( \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}-\frac{3}{r}\frac{\partial}{\partial r})[\eta(\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\theta^{2}}-r\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}))]$

$+$

$=$

$( \frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r\partial\theta}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta})[4\eta(\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r\partial\theta}-\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta})\psi]$(11)$Ra_{l^{\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}}}$となる. よって数値的に解くべき式は流線関数に関する 4 階の偏微分方程式と温度方程式の 2 つである. 境

界条件は力学的には上下面を自由表面として取り扱う. 熱的境界条件は数値実験の設定のところで述べる.
これら方程式系を構成する物理パラメータの定義は表 1 に示しておく.

数値解法
これらの方程式系をとくのに用いた数値解法は有限体積法の離散化手法に基づいた有限差分法である[Patankar,1980]. 流線関数に関する 4 階の偏微分方程式の数値解法についてのべる. この方程式を離散化した結果でてくる式はある格子点のまわりにおける 13 点差分近似式である. これを全領域について考慮すると, 角度方向の格子点数の 4 倍の帯幅をもつ帯行列を係数行列とする連立 1 次方程式に帰結できる. これを –般帯行列の LU 分解を用いて解くことで流線関数を求めることができる. 次に温度方程式の数値解法についてのべる. 温度方程式の熱拡散項と移流項を –つにまとめてそれを巾乗法をもちいて離散化する[Patankar,1980]. 時間積分については 1 次精度のオイラー陽解法を用いて行う. 時間積分の時間ステップはクーラン条件の 0.1 倍の時間ステップを用いる. 本研究の場合には統計的に定常状態まで時間積分計算を続ける. その状態に到達するまでに必要な時間積分の回数は$10^{5}$回程度である.

計算結果
数値実験の設定
計算結果についてのべる. 本研究では 2 つの場合についての計算を行った. -つは加熱源が内部加熱のみの場合であり, もう -つは内部加熱と下部加熱の混合系を考慮した場合である.
次に計算に用いたパラメータとパラメータのふりかたについて述べる. まず内部加熱と下部加熱の混合系については下部加熱のみの場合と同様の与えかたをしている. つまり, 底面における粘性率で決めたレイ123

リー数と底面と表面の粘性率の比 (粘性率コントラスト) で与えている. それに加えて $Ra_{H}/Ra_{b}$ もパラメー
タとして与えている. 内部加熱のみの場合については下部加熱がないために底面の温度と粘性はダイナミッ
クに決めなければならない. それによって下部加熱を加えた系のように底面の粘性率で決めたパラメータで計算を行うことはできない. よって表面の粘性率で決めたレイリー数とフランクーカメネツスキパラメータを与える $Ra_{H}/Ra\iota$ については 20 という -定の値を内部加熱のみの系について与えている. 内部加熱と下部加熱が両方ある系については $Ra_{H}/Ra_{l}$ を 5 から 30 の範囲で与えている. 計算に用いたパラメータについては表 2 を参照する.

数値実験の結果
まず, 内部加熱のみによる計算結果について述べる. 図 1 は対流モードの存在領域を表している. この場合
において粘性率の温度依存性を変えることによって発生する対流スタイルは 2 つしかない. 2 つのモードはそれぞれ no-Lid regime と conductive Lid regime と呼ばれている [Grasset and Parmentier,1998]. その境の間であると考えられる. これらのモードの対流パターンは図 2 に示してある. こ
界面は $Ra_{S}=104$ と$10^{5}$の図からわかることは$Ra_{S}$が下がるごとに表面の蓋が徐々に厚くなっていることを表している. つまり,Ras

が小さくなることは粘性率の温度依存性の強さが強くなっていることを表している. しかし,Ra, $=10^{4},10^{5}$のときには表面の蓋がないように見える. これによって対流モードが便宜的に 2 つにわかれる. これは温度と熱流量の鉛直構造をみるとわかる. 図 3 が鉛直構造を表している. この図の特徴は熱流量の分布にある. 実
線部で示した対流熱輸送の鉛直構造をみると $Ra_{S}=105$ のときには熱流量の勾配が垂直になるところがほとんど目立たず, 点線部で示した伝導熱輸送の構造とちょうど逆相関になっている. しかし $Ra_{S}=10^{4},10^{32},10$では対流熱輸送の構造にその勾配が垂直になっているところがあらわれており, また伝導熱輸送の構造においても対流熱輸送の勾配が変わることで生じている変曲点がみえる. つまり, 対流熱輸送の鉛直構造においてその勾配が垂直であるということはその部分は熱が対流ではなく熱伝導で伝わっていることになる. これは熱伝導による熱輸送の鉛直構造をみると, 対流熱輸送の鉛直構造の勾配が垂直になっているところが,
ちょうど線形な構造になっていることがわかる. これから,Rass $=104,103,102$ の表面の熱輸送形式は熱伝導が主であることから, これらの対流スタイルが conductive lid regime であると結論づける.
次に下部加熱と内部加熱の混合系で対流パターンをみると下部加熱のパラメータ範囲 (図 4) にしたがった
対流モードの現れかたをしている [Nakagawa,1999]. それぞれの特徴について述べる. 図 5 は $Ra_{b}=3\cross 10^{7}$
での場合における対流パターンである. 特徴としては表面に存在する蓋の最下部に境界層不安定にともなって発生する小さなプリュームが存在する. また対流パターンの波長の長くなっている. それに対の場合における対流パターンである. このパターンの特徴は表面して, 図 6 は $Ra_{b}=3\cross 10^{7}$ での分厚い蓋とその下の対流とが独立して存在していることを表している. 対流層の厚さが蓋によって薄くなっているので, その分だけレイリー数は効果的に下がっているところがら, 対流パターンの波長は低レイ$\triangle\eta=10^{3}$$\triangle\eta=10^{5}$

リー数の波長になっている.

さらに, 下部加熱と内部加熱の混合系で内部加熱の割合 (加熱比) に対する各計算パラメータの振舞いをと $Ra_{H}/Ra_{b}$ について調べたものである. これからわ調べた. 図 7 上と図 7 下は加熱比に対して,Rab と$\triangle\eta$

かることは $Ra_{b}$ との関係はほとんど相関がない$\Delta\eta$についても同じようなことがいえる. $\text{しかし},Ra_{H}/Ra_{b}$Stagnant Lid regime との境界面に直線関係があるように見える (図8). しかしながら, この関係は粘性率コントラストが上がることによって蓋の厚さが厚くなる. つまり熱伝導層が厚くなることで熱の伝わる効率が悪くなって下部加熱の効果が弱くなっているという解釈もできる.
つまり, 対流モードは粘性率コントラストで大きさだけで決まってしまうということになる.
については Sluggish Lid regime と

124

考察
ここでは, Sluggish Lid regime の存在可能性とその成因について議論を行う. Sluggish Lid regime は地

球表面の運動をマントル対流で引き起こすため必要条件とされる対流モードである [Kameyama,1998]. まずは, 存在可能性について内部加熱のみの場合と内部加熱と下部加熱の混合系における対流パターンの時間依存性について考える. 図 9 は内部加熱のみの場合において, $Ra_{S}=104$ のときの対流パターンの時間依存を選んだ理由性をみている. このパラメータでの対流モードは Stagnant Lid regime である. このノ タ$\backslash ^{\mathrm{o}}$$-\sqrt[\backslash ]{}$

としてはこのときのパラメータ (粘性率コントラストと底面の粘性率で定義したレイリー数) が下部加熱のみの場合の Sluggish Lid regime の存在領域に入っていることからである (図 1 の点線部). このパターンの時問依存性の特徴としてあげられるのは波数 3 の基本モードが卓越している場合と境界層の不安定によって発生するプリュームによってそれよりも大きな波数の対流セルが卓越している場合の繰り返しがおきているように見える. これは対流を起こすために必要な境界層不安定が冷たい熱境界層の不安定しかないためである. これは境界層不安定が強い場合には波数が大きな対流セルが卓越し, 不安定が弱い場合には波数 3の対流セルが卓越している.

次に内部加熱と下部加熱の混合系についての対流パターンの時間依存性について考える. 図 10 は $Ra_{b}=$この図からわかることは, 対流セルが安定した長波長のセル構造を持っているところである. これは Sluggish Lid regime の特徴の 1 つ$3\cross 10^{7},$ $\Delta\eta=10^{3},$$Ra_{H}/Ra_{b}=20$ のときの対流の時間依存性を表している.

をよく表している. また対流の時間依存性と冷たい熱境界層最下部の小さなプリュームの存在もあることが図からわかる. これらの対流パターンの時間依存性の特徴を比較すると, 対流セルの安定性については内部加熱のみの場合には対流セルの数が減ったり, 増えたりの繰り返しをしているのに対して, 下部加熱との混合系のときには安定した波数 2 くらいのセルがある. このことから内部加熱のみの場合の粘性率が温度依存する系の熱対流を考慮した場合には表面運動を引き起こす必要条件をして考えられている SLuggish
Lid regime の特徴をもつ対流パターンを作ることができないと考えることができる. Sluggish Lid regimeの成因について考えてみる. 加熱源の違いは –体どこにでるかを考えてみると, 内部加熱の場合には熱境界層が冷たい境界層 1 つしかないのに対して, 下部加熱との混合系では 2 つの熱境界層がある. あたたかい熱境界層の不安定によって発生する積極的な上昇流の存在が, 対流モードの数を 3 つにしていると考えられる. つまり, あたたかい熱境界層からの積極的な上昇流は表面にできた粘性率の高い蓋を薄くするだけの熱をもっており, 蓋を傾ける効果を起こしている. これによって蓋の最下部に弱い不安定プリュームができる.
よって, あたたかい熱境界層からの積極的な上昇流が Sluggish Lid regime を特徴づける対流パターンを作る可能性が高い. しかしながら, スラブがコアーマントル境界まで沈み込むことで発生する上昇流が表面にあるプレートらしきものを薄くする効果がでるくらいの強いものであると加熱源が内部加熱だけの場合でも Sluggish Lid regime に似た対流パターンを作ることは可能であると考えられる. これはマントル対流の起源が表面の運動によるものであると考えても良いことになる.
しかしながら, 本研究で考えたモデルにはプレート境界 (沈み込み帯みたいなもの) というものは考えては;Moresi
いない. 沈み込み帯を作るようなレオロジ一を考えた数値実験はいくつかやられている [$\tau_{aC}kley,1\mathit{9}\mathit{9}8$and Solomatov,1998; Trompert and Hansen,1998]. しかし, 彼らのモデルはいずれも,”Episodic over turn”
regime という表面の粘性率の高い蓋が–旦沈み込むと次に沈み込みまでにかなりの時間を要するようなス
タイルになる. これらのモデルは金星でおきていると考えられている 5 億年前の地表再生などはいえる可能性はあるが $[Turcotte,19\mathit{9}3]$ , 地球で考えられている長時間安定な沈み込みのシミュレーションには成功していない. 現在長時間安定な沈み込みをつくる数値モデリングは Nakakuki et $al.[1998]$ で行われている. まだきちんとしたモデル特性については詳しくは議論されていない.

125

結論
これらの議論から導き出せる結論としては (1) 内部加熱のみの場合において粘性率の温度依存性を考慮
した熱対流は 2 つのことなる対流をもっことがわかった.

これは箱型モデルの結論 [Grasset andParmentier,1998] と同じである. 下部加熱のみの場合では粘性率の温度依存性によって 3 つの対流モードの存在があることがわかっているが, そのうち内部加熱のみの場合に足りない対流モードは Sluggish Lid
regime である. その Sluggish Lid regime は下部加熱と内部加熱との混合系は下部加熱のみの場合の存在領域にしたがってあることがわかった (2) Sluggish Lid regime の成因として考えられるものはあたたかい熱境
界層から発生する積極的な上昇流が鍵である. しかし, 熱境界層からの上昇流と同じ強さの上昇流をスラブの$\text{モ}-\text{ト^{}\backslash ^{\backslash }}$.

沈み込みなどで生み出すことができれば, 下部加熱の効果を考えなくとも Sluggish Lid regime のような対流パターンをつくり出すことは可能であることも同時に示唆している. このためには,Nakakuki[l999](PersonalComm) で考えられている粘弾性マントル対流計算をもちいたプレート沈み込み数値実験をすることが必要となってくる (3) 内部加熱源の加熱比と対流モードとの関係については $Ra_{H}/Ra_{b}$ をパラメータにとると対流モードの存在領域は明確に分けることができるが, 加熱比の上昇の原因が表面の蓋と対流層の独立の程度, つまり表面と底面との粘性率コントラストで決まっていると考えられる. よって対流モードの存在範
囲を議論するときは従来通り粘性率コントラストとレイリー数を用いて議論した方が明確になる. これはコアからの加熱の影響はマントル対流– プレート運動系に対してはそれほど気にするべき問題ではないことがわかった.

謝辞
本研究は東京大学海洋研究所の IBM-RS6000SP を用いて数値実験を行いました. 海洋研究所の計算機管理者の皆様には長い間 CPU 時間を占有させていただいたことを感謝します. また広島大学の本多了教授,

中久喜伴益助手, 岩瀬康行助手, 東京大学海洋研究所の木戸元之さんにはさまざまなコメントを頂きました.

参考文献
Davies,G.F.,1989,,
convection model with a dynamic plate: topography,heat flow and gravity
anomalies, Geophys. J.,98,461-464.
$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}$Grasset,O. andconvection in a volumetrically heated} infinite Prandtl
number fluid with strongly temperature-dependent
for planetary thermal
evolution, J. Geophys.Res.,103,18171-18181.
$\mathrm{E}.\mathrm{M}.\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r},1\mathit{9}98,\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}:\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$Kameyama,M.,
for plate tectonics inferred from numerical experiments of mantle convection and shear zone formation, Ph.D. thesis, Univ. of Tokyo.
$1998,\mathrm{c}_{0}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}\mathrm{S}$Karato,S.-I. and P.Wu,1993,$\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$of the Upper$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}:\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{S},s_{ci2}enCe,60,771-778$

Moresi,L.-N. andInvestigation ofviscosity variations, Phys. Fluids,7,2154-2162.
$\mathrm{V}.\mathrm{S}.\mathrm{s}\mathrm{o}1_{0}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{v},1\mathit{9}95,\mathrm{N}\mathfrak{U}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}1$$2\mathrm{D}$convection with extremely large]] convection with a brittle
Moresi,L.-N. andglobal tectonic style of the Earth and Venus, Geophys. J. int,133,669-682.
$\mathrm{V}.\mathrm{S}.\mathrm{s}\mathrm{o}$$\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{v},19\mathit{9}8,\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\mathrm{e}$.

$1\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{s}_{\mathrm{P}}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}:\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{S}$on the126

convection with strongly temperature dependent viscosity in the cylindrical
Nakagawa,T.,1999,
polar coordinate and a comparative study of two heating modes,M.S.thesis,Univ. of Tokyo,$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathit{7}\mathit{5}\mathrm{p}\mathrm{p}(in$Japanese).

Nakakuki,T.,S.Honda and T.Eguchi,Modelling of subducting plate, Earth Monthly,20, 283-287(in Japanese).
Patankar,S.V.,1980,$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}$Heat Ransfer and Fluid Flow,Hemisphere.

Reese,C.C.,V.S.Solomatov,J.R.Baumgardnar and W.-S.Yang,1999,$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

Lid convectiion in a spher-

ical shell,Phys.Earth.Planet.Int., submitted.

-consistent generation of tectonis plates in three dimensional mantle convection,
Tackley,P.J.,1998,
Earth. Planet.Sci. Lett.,157, 9-22.
$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}$Trompert, and U.Hansen,1998,
behaviour, Nature,395,686-689.

$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\mathrm{R}$

Turcotte,D.L.1993,
Weertman,$\mathrm{A}\mathrm{n}$$\mathrm{J},1970,\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}$convection simulations with rheologies that generate plate-like

episodic hypothesis for Venusian tectonics, J. Geophys. ${\rm Res},98,1$ 7061-17068.
Creep Strength of the Earth’s$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e},Rev$. Geophys.Space Phys.,8,145-168.,1970.

127

図とその注釈表 1: 基礎方程式系を構成している変数の定義と単位.

$\frac{\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}1\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{S}}{\mathit{9}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\circ \mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{s}^{-}2}$

$H$

$Nu$
$P$

$r$

$r_{o}$$r_{i}$$Ra$$Ra_{H}$
$t$

$T$

$u$

$\alpha$$\psi$$\eta$$\kappa$$\rho$

heat generation rate
Nusselt number
pressure
radiusRadius of outer boundary
Radius of inner boundary
Rayleigh number
Rayleigh number defined by internal heatin ratio
timetemperature
velosity
thermal expansion
stream function
viscosity
thermal diffusivity
density$\mathrm{W}\mathrm{k}\mathrm{g}^{-1}$nonePa$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$

none
none
$\mathrm{s}$$\mathrm{K}$$\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$$\mathrm{K}^{-1}$$\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1}$Pa$\mathrm{s}$$\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1}$kg$\mathrm{m}^{-3}$128

表 2: 計算に用いたパラメータ$\mathrm{B}$は内部加熱のみの場合のパラメータであり,H は内部加熱と下部加熱の両方が存在している系のパラメータを示している.
$Ra_{b}$$\Delta\eta$$Ra_{S}$$\overline{\frac{\mathrm{N}\mathrm{o}.ERa_{H}/Ral}{\mathrm{B}\mathit{5}1029.520}}$

B6
B7
B8
B9
B10
Bll
B12
HI
H2
H3
H4
H5
H6
H7
H8
H9
HIO

$10^{3}$$10^{4}$$10^{5}$$10^{4}$$10^{3}$$10^{2}$$10^{5}$$3\cross 10^{7}$$10^{3}$3$\mathrm{x}1\mathit{0}^{7}$$10^{3}$$3\cross 10^{7}$$10^{3}$$3\cross 10^{7}$$1\mathit{0}^{3}$$3\cross 10^{7}$$10^{5}$$3\cross 1\mathit{0}^{7}$$10^{5}$$6\cross 10^{6}$$10^{2}$$6\cross 10^{6}$$1\mathit{0}^{2}$$6\cross 1\mathit{0}^{6}$$10^{4}$6$\mathrm{x}10^{6}$$10^{4}$

9.5
9.5
9.5
20
20
20
20

20
20
20
20
20
20
20
5
10
20
30
10
20

10
20
10
20

129

${\rm Re}_{9^{\dot{|}\mathrm{m}}}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}9^{\mathrm{r}\mathrm{a}}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{i}\Pi\iota \mathrm{e}\Gamma \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{I}$I0 佳,0heating)$\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{a}_{\Leftrightarrow}$

図 1: 内部加熱のみの場合における対流モードの存在範囲. 縦軸は粘性率コントラストであり, 横軸は表面の粘性率できめたレイリ一数である. 線は対流モードの境界線を表している no-lid:no-Lid regime, cond.

: conduictive Lid regime.

B5

B6

B7

B8

図 2: 内部加熱のみの場合における対流パターン. フランクーカメネツスキパラメータ $E=9.\mathit{5}$ のときである. 図は上にいくほど表面の粘性率で決めたレイリー数が低いときを示している. つまり粘性率コントラス

トが高いことを表している. 図の左側は温度場をあらわしており, 右側は流線関数を表している. 温度の等高線は実線部は無次元温度で 0.1, 破線部は 0.02 間隔. 流線関数は実線は正の値, 破線部は負の値を表して
いる.

130

科
$\mathrm{z}$$\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\varpi}{\mathrm{L}}$$\mathrm{o}$コ$\varpi\alpha \mathrm{t}\mathrm{U}$. $(\mathrm{b}):Ra_{S}=10^{4}.(\mathrm{c}):RaS=$
内部加熱のみの場合における温度と熱流量の鉛直構造. 図の左側が温度構造を表しており, 右側が熱流量の鉛直構造を表している. 熱流量の構の対流熱輸送の造の点線部が熱伝導による熱輸送であり, 実線部が対流による熱輸送を表している
構造には勾配が垂直になっているところがみられる.
図 3:$.(\mathrm{a}):Ra_{s}=10^{5}$$10^{3}.(\mathrm{d}):Ra_{S}=1\mathit{0}^{2}$$(\mathrm{c}),(\mathrm{d})$Regime diagram obtained by calculation$<\mathrm{g}\in$$\underline{\mathrm{o}\sigma}$$\mathrm{I}\mathrm{u}_{910^{\mathrm{n}a}\mathrm{b}}$図 4: 内部加熱が存在していないときの対流モードの存在領域縦軸は粘性率コントラストで, 横軸はレイ: Whole Layer regime, SLL :Sluggish Lid regime, STL :Stagnant Lid regime である.
リー数である.
$\mathrm{W}\mathrm{L}$

太い線は円筒座標系のときの対流モードの境界線であり, 細い線は 2 次元箱のときの対流モードの境界線を示している. 点線部は Whole Layer regime と Sluggish Lid regime の境界を表しており, 実線は Sluggish
Lid regime と Stagnant Lid regime との境界を表している. 図中の印は四角は Whole Layer regime, 星印
は Sluggish Lid regime, 三角は Stagnant Lid regime である.

131$\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{b}}=3\mathrm{x}10^{7},$$\mathrm{R}\mathrm{a}J\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{h}}=5$$\Delta\eta=10^{3}$$\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{I}\mathrm{J}}/\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{h}}=10$$\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{H}}/\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{b}}=20$$\mathrm{T}$甲

図 5: 内部加熱と下部加熱の混合系における対流パターン. パラメータは $Ra_{b}=3\cross 10^{7},$ $\triangle\eta=103$ のときである. 特徴は $Ra_{H}/Ra_{b}=5$ のときは波数 1 のセルが卓越している. $Ra_{H}/Ra_{b}=10,20$ は波数 2 のセルが卓越している. 図の上はそれぞれ温度場で, 下は流線関数を表している. 温度場の色は高温部が赤く, 低温

部は青く設定している. 等高線の定義は図 2 と同じである.

$\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{b}}--3\mathrm{X}\mathrm{l}0^{7},\Delta\eta-\tau-0^{5}$$\mathrm{R}\mathrm{a}./\mathrm{R}\mathrm{a}$. $–\ln$.

$\mathrm{R}\mathrm{a}..J\mathrm{R}\hslash$$–,\mathrm{n}$$\mathrm{T}$甲

図 6: 内部加熱と下部加熱の混合系における対流パターン. パラメータは$Ra_{b}=3\cross 1\mathit{0}^{7},$$\triangle\eta=1\mathit{0}^{5}$のときである. 特徴は $Ra_{H}/Ra_{b}$ がいずれの値のときにも短波長の対流セルが卓越している. 図の上はそれぞれ温度場で, 下は流線関数を表している. 温度場の色と各等高線間隔は図 5 と同じである. 白く抜けているところは無次元温度が 1 より大きくなっているところである.

132${\rm Re} \mathfrak{g}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}$diagram

図 7: 下図は加熱比と粘性率コントラストで書いた対流モードの存在範囲. 三角が Sluggish Lid regime, 四角が Stagnant Lid regime である. 上図は加熱比と底面の粘性率におけるレイリー数で書いた対流モードの存在範囲. 印は下図と同様.

Regime diagram$\sigma\frac{\Phi}{\frac{\varpi}{}}$$.\tau \mathrm{c}_{\mathrm{H}^{\prime\Pi}}.a_{\mathrm{b}}$図 8: 加熱比と加熱源強さによるレイリ一数と温度差によるレイリー数の比で書いた対流モードの存在比.

対流モードの境界線があるように見える. 図中の印の定義は前の図と同じである.

133

.

層

Snap shot of case B7––

A$\mathrm{A}*1$

.. .

A4A

■」【巴 $-\neg$ 卿「L

.

–

置雪

一 ■■圏一—,–図 9: $Ra_{S}=10^{4},$ $E=9.5$ のときにおける対流パターンの時間依存性. 図は温度場を表している. 時間は熱拡散時間を表している. 対流パターンは基本パターンである波数 3 のセルは発達しているが, ときより境界層不安定による小さなプリュームがでてきている.

134$\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{b}}=3\mathrm{x}10^{7},$$\Delta\eta=\tau \mathrm{o}^{3},\mathrm{R}\mathrm{a}_{\mathrm{H}^{/\mathrm{R}\mathrm{a}}}\mathrm{b}=20$

図 10: 内部加熱源と下部加熱源を考えたときに Sluggish Lid regime の特徴が現れているときの対流パター

ンの時間依存性. 図は温度場を表している. 時間は熱拡散時間を表している. 特徴は安定した波数 2 の対流
セルと小さなプリュームによって流れが構成されている.