数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 34-37

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Nomizu, Hattori, Mostow の定理の発展
久矢糟谷(東京工業大学)$*$

1. Nomizu, Hattori, Mostow の定理概観がコンパクトであるもの $(G$を単連結可解リー群とし、 $G$ は離散部分群 で商がを可解多様体と呼ぶ。の格子と呼ぶ) を持つとする。 この時、 コンパクト等質空間を罧零多様体と呼ぶ。多様体としては $G$ はユークリツド空間
特に、 $G$ が罧零の時、は を基本群とする Eilenberg-Maclane 空間 K( , 1) でと同相であり、可解多様体の de Rhamは可解多様体ある。 を $G$ のリー環とする。双対空間の外積代数$G$$\Gamma$$\Gamma\backslash G$$\Gamma\backslash G$$\Gamma\backslash G$$\Gamma\backslash G$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma\backslash G$$\wedge \mathfrak{g}^{*}$$\mathfrak{g}$の左不変形式のなす部分複体と見なすことが出来る。野水克己氏は論文
複体[11] で以下を示した。
$A^{*}(\Gamma\backslash G)$

定理 1.1$\Gamma\backslash G$

を幕零多様体とする。 このとき、 包含関係$\wedge \mathfrak{g}^{*}\subset A^{*}(\Gamma\backslash G)$

はコホモロジーの同型$H^{*}(\mathfrak{g})\cong H^{*}(\Gamma\backslash G, \mathbb{R})$を導く。

注意 1.2 松島与三氏は論文 [9] で一次と二次のコホモロジーで同型を示しており、実際は野水氏の結果はこの松島氏の結果の発展として出来たものである。
を考える。
: $Garrow GL(V)$ を の表現とする。 を -module と見て、 複体の平坦ベクトル束 $E$ とそこにまた、 : $\Gammaarrow GL(V)$ をモノドロミーとするようなを考える。服部晶夫氏は論文 [4] にて以下を示した。
値をとる de Rham 複体$V$$G$$\rho$$\wedge \mathfrak{g}^{*}\otimes V$$\mathfrak{g}$$\Gamma\backslash G$$\rho$$A^{*}(\Gamma\backslash G, E)$を可解多様体とし、 $G$ は以下を満たすとする。
定理 L3が実固有値のみを持つ。
$(*)$ 全ての $g\in G$ で、 随伴作用素: $Garrow GL(V)$ を $G$ の表現で、 全ての $g\in G$ で (g) が実固有値のみを持つものとす$\Gamma\backslash G$$Ad_{g}$$\rho$$\rho$る。 この時包含関係$\wedge \mathfrak{g}^{*}\otimes V\subset A^{*}(\Gamma\backslash G, E)$

はコホモロジーの同型$H^{*}(\mathfrak{g}, V)\cong H^{*}(\Gamma\backslash G, E)$を導く。
条件 $(*)$ を満たす $G$ を服部氏は三角 (Triangular) リー群と呼んだ。 (実際、実三角行列に埋め込める) 現在では、 完全可解 (completely solvable) ) 一群と呼ばれることが多い。
$|$$*$〒 152-8551 東京都目黒区大岡山 2-12-1 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻-mail: kasuya@math.titech.ac.jp
web: http: $//www$ . math. itech. ac. $jp/^{\sim}kasuya/$$t$35で が自明な場合はもちろん定理の条件を満たすので、 $(*)$ を満たす
注意 1.4 V$G$ に対して、 同型が成り立つ。 この同型が応用上最も重要である
ため、 多くの文献では単にこの同型のみが引用されていることが多いが。 しかし、 実際に証明をする上で、 自明ではない表現 を考えることは本質的に重要なことである。
論文 [11] と [4] の証明を読み比べてみるとそのような事情がよくわかるであろう。
$=\mathbb{R}$$\rho$$H^{*}(\mathfrak{g})\cong H^{*}(\Gamma\backslash G, \mathbb{R})$$\rho$

また G. D. Mostow 氏は論文 [10] において以下を示した。

を可解多様体とし、条件を仮定する。
像 (Ad)(G) と定理 1.5$(\star)$$\Gamma\backslash G$$\rho$$(Ad\oplus\rho)(\Gamma)$$\oplus\rho$: $Garrow GL(V)$ を$G$の表現とする。 さらに以下のが $Aut(\mathfrak{g})\cross GL(V)$ のなかで同一の Zariski 閉包を持つ。
この時、 包含関係$\wedge \mathfrak{g}^{*}\otimes V\subset A^{*}(\Gamma\backslash G, E)$

はコホモロジーの同型$H^{*}(\mathfrak{g}, V)\cong H^{*}(\Gamma\backslash G, E)$を導く。
実は Mostow の定理は Hattori の定理を含んでいる。 (参照 [2])注意 1.6 一般の可解多様体でコホモロジーの同型が成り立つ訳ではない。
例$:G=\mathbb{R}\ltimes\phi \mathbb{R}^{2}$

この時可換で、$\Gamma\cong \mathbb{Z}^{3}$$\phi(t)=(\begin{array}{ll}cos\pi t -sin\pi tsin\pi t cos\pi t\end{array})\backslash \Gamma=2\mathbb{Z}\ltimes \mathbb{Z}^{2}.$は 3- トーラスであり、 $\dim H^{1}(G/\Gamma, \mathbb{R})=3$ . 一方、より、を満たさない。
1。よって、 同型$\dim H^{1}(\mathfrak{g})=$$G/\Gamma$$\mathfrak{g}$は非$H^{*}(\mathfrak{g})\cong H^{*}(G/\Gamma, \mathbb{R})$

これらの定理が発表された当時は可解多様体は幾何学対象としてあまり調べられていなかったようである。 ところが、 論文 [15] で、 W. P. Thurston 氏がケーラー構造を持たないシンプレクテイック多様体の (歴史上初めての) 例としてある幕零多様体が挙げられたことによって、 幕零多様体や可解多様体は幾何学的対象として注目されるようになり、 以後活発に研究されるようになる。 (参照 [12]) (実は Thurston 氏の例は小平邦彦氏も発見しており、 現在では Kodaira-Thurston 多様体と呼ばれることが多い)
de Rham コホモロジーが明示的に計算できることは幾何学において、 大きなアドバンテージである。 野水の定理や服部の定理は幕零多様体や可解多様体の研究において、 基本定理としての重要な役割をしている。 実際 MathSciNet で調べると、 論文 [11] の 100件以上の、 論文 [4] の 40 件以上の引用のほとんどが 1990 年以後の論文からの引用であり、 古典的結果が時代を超えて、 現代数学の中で価値を増していく様が見て取れよう。

2. Nomizu, Hattori, Mostow の定理の発展に対して、 Nomizu, Hattori, Mostow
注意 1.4 で説明したように、一般の可解多様体の定理を単純に拡張することは出来ない。 論文 [2] ではリー群 $G$ の Modi 丘 cation とり、Mostow の定理の場合に帰着するアイディアが与えられている。 また、論文 [1] では代数群を用いて、 可解多様体を含むようなコンパクト aspherical 多様体を構成し、 そのコホモロジーを計算している。 さらに本稿では筆者がこれまでに出した、Nomizu, Hattori,Mostow の定理の発展的な結果を紹介する。 それぞれの詳細は挙げられている著者の論文を参照されたい。
$\Gamma\backslash G$

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1. (de Rham ホモトピー論的拡張 [6])野水の定理は Sullivan の極小モデル ([16]) を幾何学的に構成できる重要な例に成っている。 筆者は野水の定理の de Rham ホモトピー論的拡張として、 可解多様体の (局所系に関する) Sullivan の極小モデルを幾何学的に構成した。

2. (計算法の拡張 [7]) コホモロジーの同型$H^{*}(\mathfrak{g}, V)\cong H^{*}(\Gamma\backslash G, E)$と表現 の組に対しても、 コホモロジーが成り立たないような可解多様体を計算するような複体を明示的に構成した。
$\Gamma\backslash G$$\rho$$H^{*}(\Gamma\backslash G, E)$

さらに同様のことを Dolbeault コホモロジーに対しても行った。 これは坂根由昌
氏による野水の定理の Dolbeault 版 ([14]) の拡張に成っている。

3. (代数化による拡張 [8])は Eilenberg-Maclane 空間 $K(\Gamma, 1)$ であるので、可解多様体のコホモロジーは離散群 の群コホモロジーである。 可解リー群の離散群は torsion-free polycyclic群の一種である。 ([13]) 筆者は torsion-free polycyclic 群の群コホモロジーがある代数群の有理コホモロジー (参照 [5]) と同型であることを示した。 この結果は$\Gamma\backslash G$$\Gamma$Nomizu, Hattori, Mostow の定理の “代数化” であり、 ある意味でこれらの定理を含むものとなっている。

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