数理解析研究所講究録1085 巻 1999 年 82-90

82Grothendieck duality の計算と多変数 Hermite 補間問題
新潟大学工学部田島慎– (Shin-ichi TAJIMA)

1

序
多変数多項式環$\mathrm{c}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$の零次元イデアル$I$に対し, 「イデアル

$I$

に関する剰

余の具体的表現を求めること」 と「 Hermite 型の補間公式を構成すること」は代数学の基本的問題である. $I\neq\sqrt{I}$ となる –般の場合にこれらの計算を行うことは, 多くの困難を伴う. 実際, Hermite 型補間問題について –般的に論じられるようになったのは, その重要性にもかかわらずごく最近のことである (de Boor andらの論文を参照のこと)$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{n}[3]$, Sauer and$\mathrm{X}\mathrm{u}[9],$$\mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}1\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}[8]$.

今年 (1998 年) の 6 月に, 零次元イデアル$I$が complete intersection である場合は, Jacobiの多変数補間積分を解析することで Grothendieck duality が超関数を用いて計算可能となることが明かになった. 本稿では, Grothendieck duality に関するこの結果を利用することにより, 多変数剰余定理や多変数 Hermite 補間定理を構成的に導けることを示す.

2

多変数多項式環での剰余と補間$\mathrm{c}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$に項順序を入れ, 以下その順序を固定して考える. 零次元イ$I\subset \mathrm{C}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$に対しこの項順序による Gr\"obner 基底を取り, 標準的方法で

多項式環
デアル

剰余

$\mathrm{C}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/I$を単項式 $b_{i}(z)(i=1,2, \ldots, M)$ を基底とするベクトル空間とみなす. このベクトル空間を $V$ とおく.
$V=span\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{M}\}$.

ただし $M=dim\mathrm{c}$ $(\mathrm{c}[z1, Z_{2}, \ldots , z_{n}]/I)$ .

さて, 多項式の略のつもり)$\varphi$の, イデアル$I$による剰余を$\mathrm{N}\mathrm{f}(\varphi)\in V$.
$\mathrm{N}\mathrm{f}(\varphi)(z)=\sum_{i}c_{i(\varphi)(}biz)$で表すことにする (Normal form

83
なる表現を持つので,$c_{i}$

達は明らかに $V$ の双対ベクトル空間

1,,$c_{i}(b_{j})=\{$$0$

が成り立つので, {ci} は超関数$c_{i}$$\{b_{i}\}$$V^{*}$の要素を定める. また$i=j$$i\neq j$の双対基底となる. 多変数剰余定理を具体的な形で得るには,を決定すればよいことになる.

基本問題 I(剰余定理)
零次元イデアル$I$と, ある項順序が与えられたとする. ベクトル空間 $V=\mathrm{C}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/I$の基底 $\{b_{1}.’ b_{2}.’\ldots, b_{M}\}$ の双対基底 $\{c_{1}, c_{2}.’\ldots, c_{M}\}$ を具体的に構成する方法を求めよ.

次の例で示すように, 双対基底の構成問題は多変数の Hermite 型補間問題と表裏一体の関係にある.
イデアル $I=\langle y-x^{2}, x^{3}-X\rangle\subset \mathrm{C}[x, y]$ をとる. 多項式環の項順序として, 辞書式項例

順序 $y\succ x$ をとる. この時, 生成元 $y-x^{2},$ $x^{3}-X$ 自体がイデアルることから, $V=span\{1, X, X^{2}\}$ とおける.

$I$

$I$

のグレブナ基底であの零点集合は $A=\{(1,1), (-1,1), (0,0)\}$ である. 剰余$\mathrm{N}\mathrm{f}(\varphi)(_{X}, y)=c_{2}(\varphi)X^{2}+c1(\varphi)_{X}+c0(\varphi)$はこの場合$c_{2}( \varphi)=\frac{1}{2}\varphi(1,1)+\frac{1}{2}\varphi(-1,1)-\varphi(0,0),$$C1(\varphi)$. $= \frac{1}{2}\varphi(1,1)-\frac{1}{2}\varphi(-1,1),$で与えられる. 点 $(1, 1)$ , $(-1,1),$ $(0,0)$ に台をもつデルタ関数と, 超関数$C_{0}$$c_{2},.c_{1},$$C_{0}(\varphi)=\varphi(0,0)$$\delta_{(1,1)},$ $\delta_{()}-1,1,$$\delta(0,0)$

を用いる

は

$c_{2}= \frac{1}{2}\delta_{(1,1)}+\frac{1}{2}\delta_{(-}1,1)-\delta_{(0,0)},$ $c1= \frac{1}{2}\delta_{(1,1)}-\frac{1}{2}\delta_{(-1,1}C_{0}),=\delta_{(0},0)$と表すことができる. デルタ関数$\delta_{(1,1)},$ $\delta_{(}-1,1$),$\delta_{(0,0}$

)

は双対空間

$V^{*}$に属することに注意しておく. $\mathrm{N}\mathrm{f}=x^{2}C_{2}+xc_{1}+c_{0}$ をこれらデルタ関数に関して展開すれば,

Nf$=( \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2})\delta_{(1)}1,+(\frac{1}{2}X^{2}-\frac{1}{2}x)\delta_{(-}1,1)+(-x+12)\delta_{(}0,0)$を得る. これは補間公式そのものである.

さて, 一般に零次元イデアル$V^{*}$

の要素は,

$A$

$I$

の零点集合を $A$ とおくと, ベクトル空間 $V$ の双対空間に台をもつような超関数で特徴づけることが出来る. いま, $A$ は複度を$\mu_{k}$$\ell$$I$

個の点により annihilate されるようなものとして$A_{1},$ $A_{2},$$\ldots,$$A\ell$とおく. これに応じて$V_{k}^{*}=\{h\in V^{*}|supp(h)\subset A_{k}\}$から成るとし, 各$A_{k}$の重84と定めると, 畷は$\mu_{k}$次元のベクトル空間となる.

基本問題 II (補間問題)
ベクトル空間$1,2,$ $\ldots,$ $\mu_{k})$$V^{*}$の基底を具体的に構成せよ. さらに$V^{*}$の基底 $e_{k,j}^{*}(k=1,2,$$\ell,$$\ldots,$$j=$が与えられた時, それらの双対基底を求めるアルゴリズムを構成せよ.

このように双対性に注目すれば, 剰余問題と補間問題とは本質的に同– のものであることがわかる.

Grothendieck duality と HHHermite-Jacobi の補間積分

3$-$変数の場合, Hermite 補間積分と留数理論を組み合わせることで, 剰余定理と Hermite

型の補間公式を具体的に導くことが出来る. この節では, イデアルが零次元で complete

intersection である場合に, Hermite-Jacobi の多変数補間積分と Grothendieck residue の概念に基づいて, 剰余定理と補間公式を導く.
以下, $X=\mathrm{C}^{n},$$\mathcal{O}_{X}$は $X$ 上の正則関数のなす層,

す層とする. 多項式の regular sequence $f1,$$f_{2},$$\ldots,$$\Omega_{X}$は $X$ 上の $n$ 次正則微分形式のな$f_{n}\in \mathrm{C}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$が$\mathit{0}_{x}$上で生成するイデアルも $I=\langle f1, f_{2}, \ldots, f_{n}\rangle$ で表すことにする.

Grothendieck duality

米田 pairing より導かれる次の pairing$\Omega_{X}/I\Omega_{X}\cross \mathcal{E}xt_{\mathcal{O}_{X}}n(ox/I, \mathcal{O}_{X})arrow \mathrm{C}$の双Grothendieck duality と呼ばれる. 有限次元ベクトル空間
対ベクト) 空間は intrinsic にはで与えられることになる. この pairingは perfect であり$\Omega_{X}/I\Omega_{X}$$\mathcal{E}xt_{\mathcal{O}x}^{n}$は, 解析的にはイデアル
ので,

$I$

$\mathcal{E}xt_{\mathcal{O}_{x}}^{n}(Ox/I, O_{X})$

可能とするために,$(O_{X}/I, \mathcal{O}_{X})$の零点集合 $A$ の選点における多変数丁数の和として表現されるの要素は超関数の定義関数に対応している. D-加群による扱いを$\mathcal{E}xt_{\mathcal{O}\mathrm{x}}^{n}(O_{X}/I, \mathit{0}_{x})$のかわりに, 代数的局所コホモロジ–群$\mathcal{H}_{[A]}^{n}(Ox)$を用いて議論をすすめる.
さて$i:\mathcal{E}xtn\mathcal{O}_{X}(O_{X}/I, O_{X})arrow H_{[A]}^{n}(O\mathrm{x})$を自然な写像とする. 次が成り立つ.
補題(i) $i(\mathcal{E}xt_{oX}^{n}(O_{X}/I, \mathcal{O}_{X}))=\{h\in H_{[A]}^{n}(o_{x})|Ih=0\}$(ii) ベクトル空間 $\{h\in H_{[A]}^{n}(o_{X})|Ih=0\}$ はれる.

$O_{X}$

上 $m=i([ \frac{1}{f_{1}f_{2}\cdots fn}])$ で生成さ85
この補題と次の節で述べる計算法等を組み合わせれば双対空間を具体的に決定できる. 双対性の計算の基礎となるのは次に述べる再生核である.
多項式 $f_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ の Hefer 分解

Hermite-Jacobi の多変数補間積分$f_{i}(z)-fi( \zeta)=\sum qji,j(z, \zeta)(_{Z}j-\zeta_{j})$を取り, $q(z, \zeta)=det(q_{i},j(Z, \zeta))$ とおく. 正則関数 $\varphi\in Ox(X=\mathrm{C}^{n})$ に対し$K\varphi(z)$$=$$\frac{1}{(2\pi i)^{n}}\int\cdots\int\frac{q(z,\zeta)\varphi.(\zeta)}{f_{1}(\zeta)f_{2}(\zeta)\cdot\cdot f_{n}(\zeta)}d\zeta$$=$${\rm Res}(\varphi(\zeta)d\zeta,$$[ \frac{q(z,\zeta)}{f_{1}(\zeta)f_{2}(\zeta)\cdots f_{n}(\zeta)}])\in \mathrm{C}[Z_{1}, Z_{2}, \ldots, z_{n}]$を対応させる Hermite-Jacobi の積分変換 $K$ を考える. 但し${\rm Res}$は Grothendieck residue

map$\Omega_{X}/I\Omega_{X}\cross \mathcal{E}xtn_{X}(oOx/I, O_{X})arrow \mathrm{C}$である. 明らかに$\varphi\in I$の時, $K\varphi=0$ であり, 更に$K:\mathrm{C}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/Iarrow \mathrm{C}[Z_{1}, Z_{2}, \ldots, z_{n}]/I$は恒等写像となる (Berenstein and$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}[2]$). 従って$[ \frac{q(z,\zeta)}{f_{1}(\zeta)f_{2}(\zeta)\cdots f_{n}(\zeta)}]$は再生核とみなすことが出来る.
剰余定理$q(z, \zeta)$

とおく. このときのイデア)1/ $I$ による (変数$\{b_{i}\}$$z$に関する) 剰余を $\mathrm{N}\mathrm{f}(q)(z, \zeta)=\sum q_{i}(\zeta)b_{i}(z)$の双対基底の定義関数は$[ \frac{q_{i}(\zeta.)}{f_{1}(\zeta)f_{2}(\zeta)\cdot\cdot f_{n}(\zeta)}]\in H_{[A]}^{n}(o_{x})$で与えられる.

例$f1=x^{3},$ $f_{2}=y^{2}+2x^{2}+3x,$ $I=\langle x^{3}, y^{2}+2x^{2}+3x\rangle$とする.

イデアル $I$ の零点集合は $A=\{(0,0)\}$ で原点のみからなる.
$span\{1, X, X^{22}, y, Xy, Xy\}$

剰余 $\mathrm{C}[x, y]/I$ を $V=$と同–視する.

,$f_{1}(x, y)-f1(\xi, \eta)$$=$$(_{X^{2}}+\xi_{X}+\xi 2)(_{X\xi)}-$$f_{2}(x, y)-f_{2}(\xi, \eta)$$=$$(2x+2\xi+2)(x-\xi)+(y+\eta)(y-\eta)$より$q(x, y, \xi, \eta)=\xi^{2}\eta+\xi\eta X+\eta X+\xi 22y+\xi xy+x^{2}y$86を得る. 双対空間

は$V^{*}$$\mathcal{O}x$上$m=[ \frac{1}{\xi^{\mathrm{s}}(\eta+22\xi 2+3\xi)}]\in H_{[A]}^{2}(o_{x})$で生成されていることは明らかである. 代数的局所コホモロジ一群に対する変換則 (cf.
$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}- \mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{S}[4]$, p.656-p.662) を用いると, 生成元 $m$ の原点におけるローラン展開式
$m$

$=$

$[ \frac{\eta^{4}-2\xi^{22}\eta-\mathrm{s}\xi\eta^{2}+9\xi^{2}}{\xi^{3}\eta^{6}}]$$=$$[ \frac{1}{\xi^{3}\eta^{2}}]-[\frac{2}{\xi\eta^{4}}]-[\frac{3}{\xi^{2}\eta^{4}}]+[\frac{9}{\xi\eta^{6}}]$を得る. この展開式を使って $qm$ を定義関数にもつ超関数を計算すれば, 作用素

Nf $=c_{0}+c1x+C_{2}x+c3y2+C_{4}xy+C_{5}x^{2}y$が具体的に求まる. 留数計算をすれば, 超関数 ci $(i=0,1,2, \ldots, 5)$ の多項式$\varphi\in \mathrm{C}[x, y]$への作用が$c_{0}(\varphi)=\varphi(0,0),$$c_{1}( \varphi)=-\frac{3}{2}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}(\mathrm{o}, \mathrm{o})+\frac{\partial\varphi}{\partial x}(0,0)$,,$c_{2}( \varphi)=\frac{3}{8}\frac{\partial^{4}\varphi}{\partial y^{4}}(0,0)-\frac{3}{2}\frac{\partial^{3}\varphi}{\partial x\partial y^{2}}(0,0)-\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}(0,0)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}(0,0)$,$c_{4}( \varphi)=-\frac{\partial^{3}\varphi}{\partial y^{3}}(0,0)+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x\partial y}(0,0)$$c_{3}( \varphi)=\frac{\partial\varphi}{\partial y}(0,0),$$c_{5}( \varphi)=\frac{3}{40}\frac{\partial^{5}\varphi}{\partial y^{5}}(0,0)-\frac{1}{2}\frac{\partial^{4}\varphi}{\partial x\partial y^{3}}(0,0)-\frac{1}{3}\frac{\partial^{3}\varphi}{\partial y^{3}}(0,0)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{3}\varphi}{\partial x^{2}\partial y}(0,0)$となることが確かめられる.
注意

この例では, 変換則を適用することで $m$ のローラン展開を簡単に求めることができた (グレブナ基底によるわり算を利用することでも計算出来る)

sequence $f1,$$f_{2},$$\ldots,$$f_{n}$. 一般には regularが定める代数的局所コホモロジー群の元 $m$ の具体的な表現 (ロ–ラン展開) をこのような方法で求める事はそれほど簡単ではない. しかし, 次の節で述べる

様に, D-加群の理論を用いることによりこの種の計算を効率的に行うことが出来る.
さて, 双対空間の基底 (の定義関数) が既に求まっているならば, 積分核$[ \frac{\mathrm{N}\mathrm{f}(q)(z,\zeta)}{f_{1}(\zeta)f_{2}(\zeta)\cdots f_{n}(\zeta)}]$をそれらについて展開して整理すれば補間公式が導かれる. 以下のようにすればよい. まず, 積分核を基底 $e_{k,j}^{*}(k=1,2, \ldots, \ell, j=1,2, \ldots, \mu_{k})$ の定義関数に関して展開し直す.
とおく. e 如はベクトル空間 $V$ に属するようなの係数を’多項式となる. 次の補題は明かである.

得られた展開式の$e_{k}^{*},$$e_{k,j}$

$z$

の

87
補題

$\{e_{k,j}\}$は, 基底$\{e_{k,j}^{*}\}$の双対基底である.

従って, 次の結果を得る.
補間定理$e_{k,j}(f)=f_{k,j}$,$k=1,2,$$\ldots,$$p,$$j=1,2,$$\ldots,$$f_{k,j}\in \mathrm{C}$$\mu_{k},$を満たす $f\in V$

は $-$ 意に存在し, $f= \sum e_{k,j}(z)fk,j$ で与えられる.

4

ホロノミック D-加群を用いた計算$X=\mathrm{C}^{n}$上の正則関数のなす層を $Ox$ で表し, $X$ 上の正則関数を係数に持つ線型微分作

用素全体のなす環の層をに, regular sequence $f1,$$D_{X}$$f_{2},$

で表す事にする. 層$\ldots,$の零点集合を $A$ で表す. この時$D_{X}$

は coherent である. 今までと同様$f_{n}\in \mathrm{C}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$の生成するイデア) を $I$ とおき, そ$\mathcal{H}_{[A]}^{n}(Ox)$は連接な左$D_{X}$

加群の構造を持ち, 更に, 佐藤-

河合-柏原の意味で極大過剰決定系となる.
代数的局所コホモロジー群の要素 $m=i([ \frac{1}{f_{1}f_{2}\cdots fn}])$ に対し $m$ を annihilate する偏微分作用素全体のなす左零点集合 $A$ が$H_{[A]}^{n}(\mathcal{O}x)$$\ell$$D_{X}$

個の点イデアルを $J=\{R\in D_{X}.|Rm=0\}$ と置く.
$A_{1},$ $A_{2},$$\ldots,$$A_{l}$から成るとすると, 代数的局所コホモロジー群の直和分解$\mathcal{H}_{[A]}^{n}(Ox)=\mathcal{H}_{[A_{1}]}^{n}(\mathcal{O}_{X})\oplus \mathcal{H}_{[A}n(2]\mathit{0}_{x})\oplus\cdots\oplus \mathcal{H}n_{A_{\ell}]}([\mathcal{O}X)$に応じた次の分解が存在する.
$m=m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{\ell}$ ,代数的局所コホモロジー群$?t_{[A_{k}]}^{n}(O_{X})$$m_{k}\in \mathcal{H}_{[A_{k}]}^{n}(Ox)(k=1,2, \ldots , \ell)$.

は Dx-加群として単純なことから次の結果を導くことができる.

基本定理$(\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}[\dot{1}0])$$\{cm_{k}|c\in \mathrm{C}\}$

で表せば,$A_{k}$

において $\{h|Ph=0, h\in H_{[A]}^{n_{k}}(oX), P\in J\}=$が成立する.

さて, 多項式 $f1,$$\delta_{A_{k}}$各点$f_{2},$$\ldots,$$f_{n}$$Jm_{k}=\mu_{k}\delta_{A_{k}}$のヤコビ行列式を $J$ とおき, 点が成り立つ (ただし$\mu_{k}$は点$A_{k}$$A_{k}$に台をもつデルタ関数をの重複度). このことを基

本定理と組み合わせて使えば $m$ の具体的表示を求めることが出来る.
例

前節の例と同じイデアル $I=\langle x^{3}, y^{2}+2x^{2}+3x\rangle$ を考える.
代数的局所コホモロジー類 $m=[ \frac{1}{x^{3}(y^{2}+2X^{2}+3x)}]$ は原点に台を持ち, $x^{3}m=0,$ $(y^{2}+$$2x^{2}+3x)m=0$ , を満たすことは明かである. そこでいま,$x^{3}$

倍するという零階の微分作

88
用素を

$F_{1}$

で表し $y^{2}+2x^{2}+3x$ 倍するという零階の微分作用素を$F_{2}$

で表すことにする.

さらに$P=6xD_{x}+(2xy+3y)D_{y}+4x+24$とおけば, $m$ の微分作用素環における annihilator ideal $J$ は$F_{1},$ $F_{2},$$P$で生成されることが分かる:$J=\langle F_{1}, F_{2}, P\rangle$.

従って, $m$ は次の偏微分方程式系を満たす.
$x^{3}m=0,$ $(y^{2}+2x^{2}+3x)m=0$ ,$(6xD_{x}+(2xy+3y)D_{y}+4x+24)m=0$ .
原点におけるローラン展開を求めるために$m= \sum_{\beta\alpha},a_{\alpha},\beta[\frac{1}{x^{\alpha}y^{\beta}}]$とおき, $x^{3}m=xy^{2}m=X2ym=4y^{6}m=0$ に注意して偏微分方程式を解けば$m=const \cdot\{[\frac{1}{x^{3}y^{2}}]-[\frac{2}{xy^{4}}]-[\frac{3}{x^{2}y^{4}}]+[\frac{9}{xy^{6}}]\}$

を得る. ヤコビ行列式を $m$ に掛ければ$6[ \frac{1}{xy}]$となることから定数が決まる.

$f1(x, y)=(x^{2}+y^{2})^{2}+3x^{2}y-y^{3},$ $f2(x, y)=x^{2}+y^{2}-1$

例を考える. イデア)

とおき, $I=\langle f1(x, y), f_{2}(X, y)\rangle$の準素イデア) 分解は $I_{1}=\langle y-1, x^{2}\rangle,$ $I_{2}=\langle 4y^{2}+4y+1,4X^{2}-4y-5\rangle$$I$

とおくと, $I=I_{1^{\cap}}I_{2}$ で与えられる. イデアル$I$の零点 $A=V(I)$ は三点$A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3}$からなり, $V(\sqrt{I_{1}})=\{A_{1}\},$ $V(\sqrt{I_{2}})=\{A_{2}, A_{3}\}$ と既約分解される. ただし $A_{1}=(0,1),$ $A_{2}=$$(-c_{2}3, - \frac{1}{2}),$$A_{3}=( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$$1/(f1(x, y)f_{2}(x, y))$とおいた. 各論での重複度はいずれも 2 に等しい.

の定めるコホモロジー類 $m\in \mathcal{H}_{[A]}^{2}(Ox)$ の台は三点$A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3}$から成るので, それに応じて $m$ は$m=m_{1}+m_{2}+m_{3}$と分解できる.

数式処理システム Kan を用いて計算すると, コホモロジー類 $m$ の annihilator イデアルは,

$F_{1},$ $F_{2},$$P$で生成されることが分かる. ただし$F_{2}3=x^{2}+y^{2}-1$ ,$F_{1}=(x^{2}+y^{2})^{2}+3x^{2}y-y,$$P=(2yx+x)D_{x}+(-2x^{2}-4y2+y+3)D_{y}-6y+5$

89
である.

偏微分方程式系$F_{1}m_{k}=F_{2}m_{k}=Pm_{k}=0$ ,を解くことにより, 各点
まる. 簡単な計算で$A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3}$$m_{1}= \frac{1}{9}[\frac{1}{x^{2}(y-1)}]$$k=1,2,3$

における $m$ のローラン展開が (定数倍を除いて) 求を得る. 点での展開を求めるには係数体を代$A_{2},$ $A_{3}$

数拡大しておく必要がある. ここでは代数拡大をおこなわないで, $m_{2}+m_{3}$ の部分分数展
開を求めてみることにする. まず, 微分方程式を解くことにより$m_{2}+m_{3}=[ \frac{a_{0}}{(4_{X^{2}}-3)(2y+1)}+\frac{a_{1}x+3a0}{(4x^{2}-3)(2y+1)^{2}}+\frac{2a_{1}x+6a0}{(4x^{2}-3)2(2y+1)}]$をえる. ここで, ヤコビアン $J(x, y)=-6x^{3}+18y^{2}x$ と$\overline{\mathcal{T}}^{\backslash }\backslash$

ルタ関数との関係を用いると,$J(m_{2}+m_{3})$$=(-6x+138yx)2[ \frac{a_{0}}{(4_{X^{2}}-3)(2y+1)}+\frac{a_{1}x+3a0}{(4x^{2}-3)(2y+1)2}+\frac{2a_{1^{X+}}6a0}{(4x^{2}-3)2(2y+1)}]$$=[ \frac{-9x(a_{1}X+3a_{0})}{(4_{X^{2}}-3)(2y+1)}+\frac{-3x(a_{1^{X}}+3a\mathrm{o})}{(4x^{2}-3)(2y+1)}]$.

$=[ \frac{18a0x-9a1}{(4_{X^{2}}-3)(2y+1)}]$$=2 \delta_{(\frac{\sqrt{3}}{2},-}+2\frac{1}{2})(\frac{-\sqrt{3}}{2}\delta,-\frac{1}{2})=[\frac{32x}{(4_{X^{2}}-3)(2y+1)}]$から, $a_{0}=2,$ $a_{1}=0$ と定まる. これより, コホモロジー類 $m$ の$V(\sqrt{I_{2}})$

上での部分分数展開$m_{2}+m_{3}=[ \frac{2}{(4_{X^{2}}-3)(2y+1)}+\frac{6}{(4x^{2}-3)(2y+1)^{2}}+\frac{12}{(4_{X^{2}}-3)2(2y+1)}]$を得る.

Laplace 変換による計算の効率化

5

零次元イデアル$I$

が complete inetersection である場合に多変数剰余定理や Hermite] のローラン展開が求まれば十分置ある.
従って, 数学的には (計算の効率を無視すれば) , 今までに述べた方法で剰余定理や補間公
補間公式を導くには, 各点$A_{k}$

における$\mathrm{E}\frac{q_{i}}{f_{1}f_{2}\cdots f_{n}}$式を導くことが出来る. しかし, 多項式 $f1,$$f_{2},$$\ldots,$$f_{n}$の係数がすべて有理数であるとしても実際の計算は数式処理に頼らざるをえない. ローラン展開の計算を効率よく行うアルゴ
リズムを構成する必要がある. その為にはラプラス変換を利用して問題を定式化するとよい.

代数的局所コホモロジー類 $m$ のラプラス変換を考えるだけでなく, $m$ の満たす偏微分90
方程式系も込めてラプラス変換し, さらに$[ \frac{q_{i}}{f_{1}f_{2}\cdots f_{n}}]$のローラン展開の計算を指数多項式の微分の計算に帰着させるわけである.

ラプラス変換の利用については, 機会をあらためて述べる予定である.

参考文献
[1]

$\mathrm{C}.\mathrm{A}$. Berenstein, R. Gay, A. Vidras and A. Yger, Residue Currents and Bezout

Identities, Progress in math. 114, Birkh\"auser, 1993.

[2]. Berenstein and. Taylor, Interpolation problems inharmonic analysis, J. d’Analyse math. 38 (1980), 188-254.

$\mathrm{C}.\mathrm{A}$$\mathrm{B}.\mathrm{A}$$C^{n}$

with applications to[3] C. de Boor and A. Ron, Computational aspects of polynomial interpolation in several
variables, Mathematics of Computation 58 (1992), 705-727.

[4] P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience 1978.
[5] M. Kashiwara, On the maximally overdetermined system of linear differenial equations, . Publ RIMS,Kyoto Univ. 10$I$$(197\mathit{5}),\mathit{5}63-579$.

[6] M. Kashiwara, On the holonomic systems of linear differntial eqauations,II. Inven-tiones mathematicae 49[7]$(19\mathit{7}8),121-13\mathit{5}$.

. M\"oller, Systems of algebraic equations solved by means of endomorphisms,
Lect. Notes in Comp. Sci. 673 (1993), 43-56.
$\mathrm{H}.\mathrm{M}$[8] H.M M\"oller, Gr\"obner bases and numerical analysis, in Gr\"obner Bases and Applica-

tions (eds B. Buchberger and F. Winkler), London Math. Soc. Lecture Notes 251(1998), 159-178.
[9] T. Sauer and Y. Xu, On multivariate Hermite interpolation, Advances in Computational Math. 4 (1995), 207-259.

[10] S. Tajima, Grothendieck residue calculus and holonomic$D$-modules, Proc. of theFifth International Conference on Complex Analysis, Beijing 1997, 301-304.
[11] 田島慎–, Hermite-Jacobi 多変数補間積分とホロノミヅク$\mathrm{D}$-加印, 京都大学数理解析

研究所講究録「代数解析と特殊関数」掲載予定[12] S. Tajima, T. Oaku and Y. Nakamura, Multidimensional residue calculus and holo-

nomic -modules, 京都大学数理解析研究所講究録 「特異点と複素解析幾何」 1033
(1998), 59-70.
$D$