数理解析研究所講究録
第 1764 巻 2011 年 7-15

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実閉体の一つの応用–LOJASIEWICZ の不等式
名古屋大学多元数理科学研究科

塩田 昌弘 (MASAHIRO SHIOTA)GRADUATE SCHOOL OF MATHEMATICS,
NAGOYA UNIVERSITY

1. 序文
上の多項式関数またはの準代数的部分集合に関する問題について次のような原則というか哲学というか、 そんなものがある。
ある問題が局所的に constructive に証明されれば、 大域的に成り立っ。
ここで準代数的部分集合とか constructive に証明とかいっているが、 それはこの講究$R^{n}$$R^{n}$

録の私のもう一つ別の論文で定義されている。以下もいくつかの言葉を再定義せずに用いる。局所的とは「任意のの各元に対して、その近傍が存在して．
．
．
」のこと、 または「Rn の有界な閉部分集合の各元に対して、 . . . 」 のことで、 それが大域的とは 「$R^{n}$$R^{n}$の各元に対して．
．
．
」 のことである。 この哲学は厳密にはうそで、 あまい意味で本当である。 (ここで有界な閉部分集合と言って、 コンパクトとは言っていない。 その理由はの有界な閉部分集合はコンパクトであるが、 一般の実閉体 $R$ ではの有界な準代
数的閉部分集合はコンパクトとは限らないからである。 また constructive に準代数的部
分集合がコンパクトであるかどうか判定できないが、 有界な閉部分集合であるかどうかは判定できる。 以下の議論はコンパクトでなくて有界な閉部分集合で考える。) 例で示す。
問題
変数多項式関数は有界である。」
もちろんこの問題は局所的に正しく、大域的に正しくない。 さらに局所的に constructive に証明できる。 実際 $b>0\in R$ に対してとと置けば、 はで constructive に記述できていて、 $x\in[-b, b]^{n}$ で $|f(x)|\leq c$ がなりたつ。 あまい意味
で問題は正しいとは次の意味である。 その前に代数的実 Puiseux ベキ級数のある性質を述べる。 それが必要である。
$R$ を代数的実
Puiseux ベキ級数体とし、 は をベキ級数の変数とする。 これ以降は常にこの体を意味し、 は常に代数的実 Puiseux ベキ級数の変数とする。 $R$ が実閉体
は $R$ の元で $(t^{1/2})^{2}=t$ となる。 前の論文の注意 5であることを思い出してほしい。
より $R$ の元の 2 乗は正であるので、 $t>0$ となる。 同様に、 $1-t=(1-t/2-t^{2}/8+\cdots)^{2}$となり、 前の論文の定義 1 より括弧の中の元は $R$ の元なので、 $1-t>0$ で $t<1$ となる。 ここで 1 は本質的でなく、 任意の正の実数 に対して、 $t<a$ となる。 すなわちは $R$ の中でと開区間 $(0, \infty)$ の隙間にある。 隙間があると思ってほしい。 また $1/t$ はにあり、 $0<\cdots<t^{2}<t<1<1/t<1/t^{2}<\cdots$ となる。
$R^{n}$$R^{n}$$\ulcorner_{n}$$f(x)= \sum_{|\alpha|<m}a_{\alpha}x^{\alpha}$$c= \sum_{|\alpha|\leq m}|a_{\alpha}|b^{|\alpha|}$

$R$

$c$

$a_{\alpha}$

$b$

$R$

$t$

$t$

$t^{1/2}$

$a$

$0$

$\infty$2000 Mathematics Subject Classification. $12D10,12J15,14P10$ .
Key words and phrases. Lojasiewicz の不等式、 代数的実 Puiseux ベキ級数体、 実閉体$t$8名古屋大学多元数理科学研究科 塩田昌弘

ここで上の問題に戻る。 関数 $f(x)$ の変数 の動く範囲を $R$ から $R$ に拡張する。 そので $f$を記述すれば、関数を区別するため、と書く。 ただしと変わらない。 (区間も R. での区間は、 もし と が実数なら、 $(a, b)$ では $R$ の区間とで考えても局所的に問も取れるので、 での区間を $(a, b)_{R},$ $[a, b]_{R}$ のように書く。)
は有界である。 なぜなら上のの任意の有界閉部分集合で題は正しい。 すなわちは constructive に作れるから。 よって有界閉部分集合 $[-1/t, 1/t]_{R}^{n}$ では有界で、特にで有界になる。 ただし は例えば、 $1/t^{m+1}$ とする。 よって $|f(x)|<1/t^{m+1}$ が上でいえる。 これが「あまい意味で本当である」 ということである。 もちろん $1/t^{m+1}$
が実数でないので役に立たない。 しかし問題によっては、 に当たるのが実数で取れ、実数の中で正しいことがある。 そんな一つの問題をこれから説明する。
$x$$f_{R}$$f_{R}$$f_{R}(x)= \sum_{|\alpha|\leq m}a_{\alpha}x^{\alpha}$

$b$

$a$

$R$

$R$

$R^{n}$$f_{R}$$f_{R}$$c$$R^{n}$$R^{n}$$c$$c$

2. LOJASIEWICZ の第二不等式
Lojasiewicz の不等式には第一と第二がある。第一はよく知られているが、第二はそうではない。 しかし、応用数学で使われているそうである。昔、応用数学の人と Loj asiewiczの不等式について話をしていて、 話が噛み合なかったことがある。 こちらは第一のつもりで、 相手は第二のつもりで話をしていたからである。

Lojasiewicz の第二不等式． を変数多項式関数、 $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ を変数とする。
での準代数的近傍 と 1 より小さい正の有理数 が存在して、 不$f$

すると $f^{-1}(0)$ の$R^{n}$$n$$V$$\theta$

等式$|f(x)|^{\theta} \leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|$,$x\in V$がなりたっ。

Loj asiewicz はこれを局所的に証明した [2]。但しその証明は constructive なものではなく、ベクトル場の積分を使っている。 この論文では constructive に局所的に証明する。
簡単な証明である。大事なことは、序文にあった はここでは にあたり、 は有界閉集$c$$\theta$$c$合によって決まったが、 この は によって決まることである。 だから $R$ を に代えても は変わらない。 だから Lojasiewicz の不等式は大域的に成り立つ。 この証明では代数的実 Puiseux ペキ級数体を 2 度使う。 最初は局所的に証明するのを constructive にするため。 ここではどうしても必要なわけではない。 ただ準代数的連続曲線を考えるので十分である。 2 度目では、 大域的証明で $R$ を で置き換えて、 $R$ のいわゆるコンパ
クト化をする。 普通の一点コンパクト化は、 不等式に微分があるので、 不十分である。
ここでも 6 節で述べるように、代数的実 Puiseux ベキ級数体という言葉を使わずに、証明できる。 しかし代数的実 Puiseux ベキ級数を通して見れば、 すべてがよく見える。
証明をするとき、 は定値関数ではない、 また $f^{-1}(0)$ は空集合でないとして良い。
$\theta$$R$$f$$\theta$

$R$

$f$

.

に代えると不等式は成り立っとはいえない。 例えば $n=1$ で $f(x)=$$1+x^{2}$ のとき $x=0$ で $f(x)=1$ かつ $f_{(x)=0}ddt$ なので、 不等式は成り立たない。
注意$\rceil$$V$を$R^{n}$

注意 2. $n=1$ なら証明は次のように簡単である。 $f^{-1}(0)$ は有限集合なので、 $f(0)=0$とし、 の近傍で考えれば良い。 $f(x)=a_{k}x^{k}+a_{k+1^{X^{k+1}+}}\cdots$ , $a_{k}\neq 0$ とする。 すると$0$

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実閉体の一つの応用♂ に近いので、 $f(x)=a_{k}x^{k}$ だと思い、 $\theta=(k-1)/k$ と置けば、が の近くでいえる。 大域的にはげの次数一 ) ( $f$ の次数) と置$f(x)$ は $0$ の近傍で$|f(x)|^{\theta}\leq|_{dx}^{fd}(x)|$$a_{k}$$0$$\theta=$

$1$

$/$

けば良い。
よって不等式の証明は $n>1$ と仮定して行う。

注意 3. 同様にもし $f$ : $[0, \infty)arrow R$ が準代数的 (グラフが準代数的という意味) 連続
関数で $f(0)=0$ ならば、 の区間 $[0, \infty)$ での近傍と有理数 が存在して、 $0<\theta<1$
で、 $f$ は $V-\{0\}$ で級で、 そして、 不等式
$0$

$V$

$\theta$$C^{1}$$|f(x)|^{\theta} \leq|\frac{df}{dx}(x)|$,$x\in V-\{0\}$がなりたつ。 どうしてかといえば、次の節で説明することだが、 の区間 $[0, \infty)$ での近$q\in Z,$ $p,$ $q>0$ が存
傍と、 代数的実 Puiseux ベキ級数 $\sum_{n=p,p+1},..a_{n}t^{n/q},$ $a_{n}\in R,$
在して、 $\sum_{n=..p+1},..a_{n}t^{n/q}$ は $U-\{0\}$ の各点で収束して、そこで $\sum_{n=p,p+1},..a_{n}t^{n/q}=f(t)$となる。 よって $U-\{0\}$ で関数 $\sum_{n=p,p+1},..a_{n}x^{n/q}$ を調べれば良い。 $p\leq q$ なら $\theta=1/2$としを十分小さくとれば不等式が成り立つ。 (なぜなら $xarrow 0$ なら $f_{(x)}dxdarrow\infty$ であるから。) $p>q$ とする。 そのときは $\theta=(p/q-1)/(p/q)$ と置けば、 不等式は注意 2 と同じようにして証明できる。 実は Lojasiewicz の不等式の証明は問題をこの場合に帰着させて行う。
$0$

$U$

$p,$

$V$

注意 4. $\theta=1$ で良いならば不等式は次のように簡単に証明できる。 (これも注意 3 に帰着させるのが簡単な証明である。) $f\cdot(0)=0$ として、の小さな近傍で不等式が成り立っのを見ればいい。 (Lojasiewicz の不等式を局所的に証明しても、 大域的に証明したのどこでも通用ことにならないのは、 が場所によって変わってくるからである。
$V$$\theta=1$
する が必要である。
ならこの問題はない。 準代数的な が取れるというのは、とおけば、 準代数的集合の定義より明らかである。) 背理法で証明する。 なりたたないの点全体を $X$ と置く。 すなわち
$0$

$R^{n}$$\theta$$\theta$$V= \{x\in R^{n}:|f(x)|\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|\}$$R^{n}$$X= \{x\in R^{n}:|f(x)|>\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|\}$とすると、 $X$ は準代数的集合の条件 (前の論文の定義 3) を満たすので、 $X$ は準代数的集合である。仮定より $X$ の閉包は を含む。 そのとき準代数的連続写像 : $[0, \infty)arrow R^{n}$を $[0, \infty)$があって、 $\phi(0)=0$ かつ $\phi((0, \infty))\subset X$ となる (curve selection lemma)
をで置き換える。 すの変数とする。 さらに $m$ を十分大きな自然数として、
は の近くでると級で $\mathscr{Q}ds(0)=0$ と仮定できる。 (これも次の節で分かることである。) $\phi=(\phi_{1}, \ldots, \phi_{n})$ と置き、 注意 3 の $f$ に $fo\phi$ を当てはめる。 すると が に近け$0$$\phi$。

$\phi(s)$$\phi$$0$$s$$\phi(s^{m})$$C^{1}$

$s$

$0$

れば、
$|f \circ\phi(s)|\leq|f\circ\phi(s)|^{\theta}\leq|\frac{dfo\phi}{ds}(s)|\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}o\phi(s)\frac{d\phi}{ds}(s)|\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}o\phi(s)|$がいえる。 よって
処か に近いところでいえる。 矛盾。

$|f(x)| \leq\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{i}}^{\partial}\lrcorner_{-}(x)|$$0$が$\phi$の像で$0$に近いところ、 すなわち $X$ の何10名古屋大学多元数理科学研究科 塩田昌弘

3. 代数的実 PUISEUX ベキ級数
代数的実 Puiseux ベキ級数を Lojasiewicz の不等式の証明で使えるように、 それを幾何学的に解釈する。複素数ではこうは解釈できない。実数では幾何学と結びつき、複素数では結びつかないことがある。
まず代数的実 Puiseux ベキ級数体の順序を前の論文よりもっと自然に幾何学的に定義する。 ベキ級数の変数を とし、 $(t, x)$ -平面で代数的実 Puiseux ベキ級数 $x=f(t)=$$\sum_{n=p,p+1},..a_{n}t^{n/q}$ のグラフを考えたい。 まずベキ級数は収束ベキ級数である
ことは次のようにして分かる。
$f$ は代数的なので、でない 2 変数多項式関数 $P(t, x)$ があり、 $P(t, f(t))$ が関数としてではなく、代数的に となる。 $P$ は で割り切れないとして良い。 $P$ は に関して $m’$に $P$ を拡張したものとする。 すると
でに近い各複素数 に対して次とする。
は 以外で の近くで滑らかである。
$P_{C}(t, x)=0$ は $m’$ 個の複素数根を持つ。またさらにから -複素数平面への射影は を除いて の近くで被覆写像になっている。
$\{(t,\tau)\in C^{2}: t_{C}^{\supset}(t^{m’}, x)=0\}\ni(t, x)arrow t\in C$ はを除いて の近くでトリ
よって写像
$t$

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n}$

$0$

$0$

$x$

$t$

$C^{2}$$P_{C}$$0$$P_{C}^{1}(0)$$P_{C}^{1}(0)$

$0$

$t$

$t$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

ビアルな被覆写像になる。複素数で考えているので、集合 $\{(t, x)\in C^{2}:P_{C}(t^{m’}, x)=0\}$を除いての での芽は解析的多様体の芽の有限和になっている。 (なぜなら、一般に、
$0$

$0$

複素解析的な関数がに$0$$C^{0}$

拡張可能なら$0$でも複素解析的だから。) 収束ベキ級数と $h(t, x)$ があって $h(0,0)\neq 0$ で $P_{C}(l^{m}, x)=h(t, x) \prod_{i}$ (x–gi $(t)$ ) となる。

$x$$g_{i}(t)$に $f(t^{m’})$を代入すると、 $P_{C}(t^{m^{l}}, f(t^{m’}))=0$ なので、 ある について $f(t^{m’})=g_{i}(t)$ となる。 よって $f(t^{m’})$ が解析的となる。 これはが収束ベキ級数であることを意味する。
よって を十分小さい正の実数とすれば、 $f(t)$ は開区間
で収束値をとる。 よっ
でグラフが書ける。 そのグラフの -軸での芽を考える。 それを graphて開区間と書くことにする。 例えば、 $f(t)\equiv 0$ なら、 graph $f$ は -軸の正の部分の における芽。 $f(t)=t$ なら、 半直線 $\{(t, x)\in R^{2}:t=x, t>0\}$ の での芽。 相異なる 2 つの graph $fi$ と graphがあれば、 必ず、 どちらかがその他より上にある。 graph $fi$ がgraph より上にあるとき、 $f_{1}>f_{2}$ と書くことにする。 するとこれは順序になり、 この順序は前の論文の代数的実 Puiseux ベキ級数体の順序と同じものになる。 こう順序を定義すると、 ベキ級数 はどの正の実数より小さいこと、 $1/t$ はどの実数より大きいこと、 $0<\cdots<t^{2}<t<1<1/t<1/t^{2}<\cdots$ であることは自然である。
がこのことから でない $R$ の元 $\sum_{n=q,q+1},\cdots a_{n}t^{n/p}$ が正であるとは、 先頭の係数でないように取れば、 それが正であること、 が分かる。
逆に準代数的連続関数 : $(0, \infty)arrow R$ があれば、 代数的実 Puiseux ベキ級数 $f(t)=$で$\sum_{n=p,p+1},\ldots a_{n}t^{n/q}$ があり、 十分小さい正の実数があって $g(t)=f(t)$ が区間成り立っのが次の理由でいえる。 準代数的集合の定義より有限個の $(t, x)$ -変数多項式$i$$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n}$$(0, \epsilon)$$\epsilon$$(0, \epsilon)$

$f$

$x$

$0$

$t$

$0$

$f_{2}$$f_{2}$$t$$0$$a_{q}$$0$$g$$(0, \epsilon]$$\epsilon$$f_{ij}(t, x)$と $*ij\in\{=, >\}$ があってgraph $g= \bigcup_{i}\bigcap_{j}\{(t, x)\in R^{2} : f_{ij}(t, x)*ij0\}$となる。 ここで graph は関数 のグラフで、 それは一次元なので、んと粉で要らなの軸での芽いのをできるだけ除くと、 graphg の 軸での芽と、 ひとつの零点
$g$

$g$

$x$

$f_{ij}^{-1}(0)$

$x$

11
実閉体の一つの応用とが同じものになる。 すなわちひとつ (ii) と正の実数 があり$\epsilon$

graph $g\cap[0, \epsilon]\cross R=\{(t, x)\in[0, \epsilon]\cross R : f_{ij}(t, x)=0\}$となる。 よって前の議論と同じようにしてせることが分かる。

$g$の芽が代数的実 Puiseux ベキ級数で書き表

次に $R$ を $R$ に拡張することの幾何学的な意味を見る。 各 $R$ の元、 すなわち各代数的

実 Puiseux ベキ級数 $f(t)$ に対して、十分小さい正の実数 をとり、 開区間で定義$(f_{i},\ldots,f_{n})$$f$
された関数 の における芽と $f$ を解釈している。だから、
の元
は開区
間
から
への写像の での芽になる。
の一点を任意にとり、 それを $(0, \infty)$
からその点への恒等写像の での芽と解釈する。 このようにして
の元を
の元だ
は
と思えば、
に含まれる。だから
をの準代数的部分集合 $X$ を、 ちょうどに広げたように広げると、の部分集合$(0, \epsilon)$$\epsilon$$0$$(0, \epsilon)$$R^{n}$$R^{n}$$0$$R^{n}$$0$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$$\{f=(f_{1}, \ldots, f_{n})\in R^{n};{\rm Im} f\subset X\}$ができる。 ただしは写像 $f$ の像ではなく、 $f$ を写像だと思えば、 その像の芽である。 これが前の論文の Artin-Lang の定理で述べた
すなわち、${\rm Im} f$$X_{R}$$X= \bigcup_{i}\bigcap_{j}\{x\in R^{n} :f_{ij^{*}ij}0\}$のとき$X_{R}= \bigcup_{i}\bigcap_{j}\{x\in R^{n} :f_{ijR^{*}ij}0\}$

と定義した
はそれを
と同じものになる。 ただしんは上の多項式関数で上に拡張したもの、 物は「 」 または「 $>$ 」である。 これではん と物よらず、 $X$
のみによるものであることが納得できる。
最後に $R$ の位相であるが、 それは $R$ と同じように定義する。 すなわち $R$ の開集合とは $R$ の開区間の和集合である。
には積位相を入れる。今は代数的実 Puiseux ベキ級
数体だけを考えているが、 一般の位相体でもこうして位相を入れる。 重要なことは、が $R$ を含めば、がの準代数的部分集合の中で開 (閉)に対して、は集合ならば、の中で開 (閉) 集合になることである。 それは容易に分かる。
$R$ の元が他の元が に近いということ。
に近いということはでない $R$の元 $\sum_{n=q,q+1},\cdots a_{n}t^{n/p}$ が に近いということは、 先頭の係数が でないように取れ
ば、 有理数 $q/P$ が大きいことである。
$X_{R}$$R^{n}$$R^{n}$$f_{ijR}$$=$$X_{R}$$R$$R^{n}$$R$$R^{n}$$X_{1R}$$\gamma_{1}$$X_{1}\subset X_{2}$$X_{1}$$X_{2}$$X_{2R}$$\gamma_{1}-\gamma_{2}$$\gamma_{2}$

$0$

$0$

$0$

$0$

$a_{q}$

4. CONSTRUCTIVE な局所的な証明
Lojasiewicz の第二不等式を constructive に局所的に証明する。
界閉部分集合とする。 各 $u\in[0, \infty)$ に対して
を

$C$

を

$R^{n}$の準代数的有$\phi(u)$$\phi(u)=\inf\{\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|:|f(x)|=u, x\in C\}$で定義する。 すると は準代数的かつ下に半連続になる。 (準代数的なことは次の事実から分かる。
の準代数的部分集合 $Z$ に対して $\psi(u)=\inf\{x\in R: (u, x)\in Z\}$ と置
けば、$\phi$$R^{2}$

graph $\psi=\{(u, x)\in R^{n}:\forall(u, x’)\in Zx\leq x’, \forall\epsilon>0\in R\exists(u, x’)\in Zx’<x+\epsilon\}$12
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塩田昌弘

をとなり、 この集合は constructive に記述されているので準代数的。 ) よって$\lim_{uarrow+0}\phi(u)$ で置き代えて、で連続とする。 ただし は十分小さなは閉区間正の実数。 こう置き換えても準代数的集合の定義より は準代数的である。 このとき
$0<\theta<1$ なる有理数を見つけ、が小さな に対してなるたつようにすれば良い。 $\phi(0)>0$ なら明らかなので、 $\phi(0)=0$ とする。 $R^{n}\cross R$ の部分閉集合 $X$ を$\phi(0)$$[0, \epsilon]$$\phi$$\epsilon$$\phi$$|u|^{\theta}\leq\phi(u)$$u$$X= \{(x, u)\in C\cross(0, \epsilon]:|f(x)|=u, \sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|=\phi(u)\}$で定義する。 すると $X$ は準代数的で、$\overline{X}-X$

は $C\cross\{0\}$ の元を含む。 curve selec-tion lemma(至る所に書いてある、例えば [3]) より準代数的連続写像$\alpha=(\alpha_{1}, \alpha_{2})=$: $(0,1]arrow X\subset C\cross(0, \epsilon]$ が存在して $\lim_{uarrow 0}\alpha_{2}(u)=0$ となる。 そのとき級だとして良く、 さは単調増加関数とし、注意 4 の中と同じようにして はらにとして良い。 すると注意 3 より $0<\theta<1$ なる有理数 と正の実数 が存なら次の不等式が成り立っ。
在して、 もし$(\alpha_{11}, \ldots, \alpha_{1n}, \alpha_{2})$$\alpha$$\alpha_{2}$$C^{1}$$\delta$$\theta$$| \frac{d\alpha}{du}|\leq 1$$u\in(0, \alpha_{2}^{-1}(\delta)]$$|f \circ\alpha_{1}(u)|^{\theta}\leq|\frac{df\circ\alpha_{1}}{du}(u)|\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}o\alpha_{1}(u)||\frac{d\alpha_{1i}}{du}(u)|\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}o\alpha_{1}(u)|$ゆえに$|f(x)|^{\theta} \leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|$となる。 ここでであるので、 証明ができた。

$C\cap f^{-1}([-\alpha_{2}^{-1}(\delta),$,$x\in C\cap f^{-1}([-\alpha_{2}^{-1}(\delta),$$\alpha_{2}^{-1}(\delta)])$$\alpha_{2}^{-1}(\delta)])$は $C\cap f^{-1}(0)$ の $C$ における準代数的近傍口

注意 5. 上の証明は $constructive_{o}$ ゆえに、 どのような実閉体でも成り立っ。

5. 大域的な証明$f_{R}$を$R^{n}$の準代数的有界閉部分集合 $[-1/t, 1/t]_{R}^{n}$ 上で考える。注意 5 より集合$[-1/t, 1/t]_{R}^{n}$$f_{R}^{-l}(0)\cap$となる有理数 が存在しで成り立つ。 ゆえに $V\cap R^{n}$ がの $[-1/t_{:}1/t]_{R}^{n}$ での準代数的近傍 $V$ と $0<\theta<1$$\theta$で成り立っ。 特に$f^{-1}(0)$ のでの準代数的近傍であるように $V$ を取れることを示せば良い。 どんな準での準代数的近傍である、 ということはな
代数的近傍 $V$ でも $V\cap R^{n}$ が $f^{-1}(0)$ のい。 例えば $V=\{x\in R^{n}$ : dis $(x,$ $f_{R}^{-1}(0))\leq t\}$ では、 そうはならない。 あまりに小さす
ぎ $V\cap R^{n}=f^{-1}(0)$ となる。 そなわちある程度大きな $V$ を取らなければいけない。
大域的な証明は 4 節の証明をもっと丁寧に見るだけである。 4 節の証明のように $C$上の関数 をを固定できないから変数をもう一つ増やす。 集合て、$|f_{R}|^{\theta} \leq\sum_{n=1}^{n}|_{\partial x_{i}}^{\perp\partial_{R}}|$が$V\cap R^{n}$$V$$R^{n}$$R^{n}$$[0, \infty)^{2}$$\phi(s, u)=\inf\{\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|:|f(x)|=u, |x|\leq s\}$$\phi$

13
実閉体の一つの応用で定義し、 $\Phi(u)=\lim_{sarrow\infty}\phi(s, u)$ と置き、$R^{n}\cross[0, \infty)^{2}$の部分集合 $X$ を$X= \{(x, s, u)\in R^{n}\cross[0, \infty)^{2}:|f(x)|=u, \sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|=\phi(s, u), |x|\leq s\}$で定義する。 するともも $X$ も準代数的で、 $X$ は $R^{n}\cross[0, \infty)^{2}$ の閉集合で、を固定すると $\phi(s, u)$ は に関して単調減少関数。 二つの場合に証明を分けて考える。
と正の実数があって、 集合 $[s_{0}, \infty)\cross(0, u_{0}]$ 上で $\Phi(u)=\phi(s, u)$ となる場合。
$\phi$$\Phi$$u$$s$$s_{0}$$u_{0}$

この場合は本質的に局所的な場合と同じである。 $C=\{x\in R^{n}:|x|\leq s_{0}\}$ と置く。
は有界準代数的閉集合である。 上でのみ を考える。 すると局所的な場合の証明は終わっているので、 ある $f^{-1}(0)\cap C$ の での準代数的近傍と $0<\theta<1$ となる有理

$C$

$C$

$f$

$C$

数

が存在して、 不等式$V_{C}$」が上でいえる。
を小さく取りかえて、$\{x\in C:|f(x)|\leq u_{0}\}\subset V_{C}$ となるようにしておき、を集合 $\{x\in C:|f(x)|\leq u_{0}\}$で置き換える。 そのとき $V=\{x\in R^{n}:|f(x)|\leq u_{0}\}$ と置けば、 問題の不等式は上でいえる。 なぜなら $V-V_{C}$ の任意の元 に対して、 $|x|>so$ かっ $|f(x)|\leq u_{0}$ なの元 $x’$ があって $|f(x’)|=|f(x)|$ かつので、となり、となるからである。 ゆえに大域の場合も成り立っ。
どのように正の実数とを取っても、 $[s_{0}, \infty)\cross(0, u_{0}]$ 上で $\Phi(u)=\phi(s, u)$ とはならない場合。 正の実数 を大きくとって、 $|x|<s_{0}$ なるのある元 で は値するとをとるとする。
curve selection lemma の証明 ([3] の 1 $08$ ページ) と同じようにして次のことがいえる。 (詳しく説明するには、 もう少し定義しなければいけないことがあり、大雑把に説明しても何かを仮定しなければいけない。 それで、証明は省略する。)の [, oo における準代数的近傍と準代数的連続埋め込$UarrowR^{n}$
み:があって、 $(\psi(s, u), s, u)\in X$ がどんな の元 $(s, u)$ に対して成り立っ。
ここでは大きいのでと仮定できる。 そうすれば正の自然数 $m$ があって$\theta$$|f|^{\theta} \leq\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{i}}^{\partial}$$V_{C}$$|$$u_{0}$$V_{C}$$V$$x$$V_{C}$$\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial t}(x’)|=\sum_{i=1}^{n}|_{\partial t}^{\partial}f(x)|$$|f(x)|^{\theta}=|f(x’)|^{\theta} \leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial t}(x’)|=\sum_{i=1}^{n}|_{\partial t}^{1\partial}(x)|$$s_{0}$$u_{0}$$R^{n}$$s_{0}$$[s_{0}, \infty)\cross\{0\}$$s_{0)}\infty)\cross[0$

$f$

$x$

$0$

$U$

$)$

$U$

$\psi$$s_{0}\geq 2$$s_{0}$$U\supset\{(s, u)\in[s_{0}, \infty)\cross[0, \infty):u\leq s^{-m}\}$成り立っ。 (このことは次のようにしていえる。 準代数的連続写像 : $(0,1/s_{0}]arrow U$
を $\alpha(v)=(1/v, 0)$ で定義し、 その での芽をはと置く。 するとの元である。 よって に近いはの元 に対しての元である。 特に $m$ を十分大きくとり、 $\beta_{a}(t)=(0, at^{m}),$ $a\in[0,1]$ と置けば、 各
は
に近い
の元で、
$\cup\{\alpha_{0}+\beta_{a}:a\in[0,1]\}\subset U_{R}$ となる。 これはを大きく取り替えると、 上の包含関係を意味している。 しかしなので、 を大きくしなくても $m$ を大きくすれば、包$\alpha$$0$$R^{2}$$0$$\alpha_{0}$$\alpha_{0}$$\alpha_{0}+\beta$$\beta$$[s_{0}, \infty)_{R}\cross\{0\}$$U_{R}$$R^{2}$$0$$\beta_{a}$$s_{0}$$s_{0}\geq 2$$s_{0}$

含関係は成り立つ。)

記号を簡単にするため、

はを上の包含関係の後者の集合とする。するとの準代数的部分集合だが、有界ではない。またの各元 に対して、の元 を $|x’|\leq|x|$
かっ $|f(x’)|=|f(x)|$ となるように任意にとれば、 常に
と
よって
なる。
上でのみ不等式を証明すれば良い。 これで本質的に $n=2$ の場合に問題は帰着された。
は次にで有界ではないが、 ある意味で有界にしたい。準代数的連続写像$(0,1/s_{0}]\ni varrow\psi(1/v, 0)\in R^{n}$ のはでの芽をと置く。するとの元で、 さらに$U$${\rm Im}\psi$${\rm Im}\psi$$x’$$R^{n}$$x$$R^{n}$$\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{i}^{-}}^{\lrcorner\partial}(x’)|\geq\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{i}}^{\partial}\lrcorner_{-}(x)|$${\rm Im}\psi$$({\rm Im}\psi)_{R}$$R^{2}$$0$$\gamma_{0}$$\gamma_{0}$$R^{n}$

14
名古屋大学多元数理科学研究科

塩田昌弘の元である。 (3 節の ( ) の定義より。) 正の の元 を $(-c, c)_{R}^{n}$ が を含む
ようにとる。すると局所的に不等式は で成り立つので、 $[-c, c]_{R}^{n}$ での」 がの準代数的近傍 $W$ と $0<\theta<1$ なる有理数 が存在して、 $W$ で閥
で、 どういうことか調べる。
成り立つ。 これがに近いの元は $W$ に属する。 よって、 3 節
は $f_{R}^{-1}(0)\cap(-c, c)_{R}^{n}$ の元なのでで述べた の位相のことから、 $m$ をさらに大きく取り替えると、 写像 $(0,1/s_{0}]\ni\tau)arrow$
は $W$ に属する。 よってとなる。
$\psi(1/’\iota’, v^{m})\in R^{n}$ のでの芽$R$$({\rm Im}\psi)_{R}$$c$$\gamma_{0}$$f_{R}^{-1}(0)\cap[-c, c]_{R}^{n}$$R$$\theta$$\theta\leq\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{l}}^{\partial_{E}}$$|$$R^{n}$$R^{n}$$\gamma_{0}$$\gamma_{0}$

$R$

$0$

これは

$f_{R}$$|f_{R}(\gamma_{m})|^{\theta}\leq|_{\partial x_{i}}^{\perp\partial_{R}}(\gamma_{m})|$$\gamma_{m}$の定義より、 ある正の実数$v_{1}$があって$|f \circ\psi(1/v, \cdot u^{m})|^{\theta}\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}o\psi(1/v, v^{m})|$となることを意味する。

$\psi$,の定義より $|fo\psi(s, u)|=u$ かつなので、 $|fo\psi(1/v, v^{m})|=v^{m}$ かつ$v\in(0, v_{1}]$$\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{i}}^{\lrcorner\partial}\circ\psi(s, u)|=\phi(s, u)$」$\circ\psi(1/v, v^{m})|=\phi(1/v, v^{m})$ となり、 不等式$\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{i}}^{\partial}$$v^{m\theta}\leq\phi(1/v, v^{m})$,$v\in(0, v_{1}]$,$w\in(0, v_{1}^{m}]$が成り立っ。 よって $v^{m}=w$ と置けば
$w^{\theta}\leq\phi(1/w^{1/m}, w)$となる。 さらに $w=|f(x)|$ となる $x\in R^{n}$ を取り、 もし $|x|\leq 1/w^{1/m}$ なら$|f(x)|^{\theta} \leq\phi(1/w^{1/m}, w)\leq\sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)|$となる。 $w\in(0, v_{1}^{m}]$ かつ $w=|f(x)|$ かつ $|x|\leq 1/w^{1/m}$ という条件は $|x||f(x)|^{1/m}\leq 1$と $|f(x)|\leq v_{1}^{m}$ という条件を意味する。 よって$V=\{x\in R^{n}:|x||f(x)|^{1/m}\leq 1, |f(x)|\leq v_{1}^{m}\}$での準代数的近傍でが成り立つ。 は $f^{-1}(0)$ の
口あることは明らかである。 こうして大域的に不等式は証明される。
と置けば、 $V$ で$|f|^{\theta} \leq\sum_{i=1}^{n}|_{\partial x_{l}}^{\lrcorner\partial}|$$V$$R^{n}$

6. 付け足しLojasiewicz の第一不等式は上の証明と同じように証明できる。 というか、 上の証明
が少し分かれば明らかである。 第一不等式を書いておく。
と仮定する。 すを$fi$ とで定義された準代数的連続写像とし、のでの準代数的近傍 $V$ があって、 $V$ で $|fi|\geq|f_{2}|^{m}$ が成ると正の実数 $m$ とり立っ。
を $\{x\in R^{n}:|x|\leq 1\}$ と置き換えて考えれば、 第一不等式に関しては局所的と大域的の違いはない。 だから第二不等式より証明は、 はるかに簡単である。 しかし第二の無限遠点で不等式は微分があるので、 このようには置き換えれない。 どうしても
第二不等式がどうなるか考えないといけない。 無限遠点で問題を考えるのは代数的実
Puiseux ベキ級数を使うと大変分かりやすい。
$f_{2}$$f_{1}^{-1}(0)\subset f_{2}^{-1}(0)$$R^{n}$$f_{2}^{-1}(0)$$R^{n}$$R^{n}$$R^{n}$

15
実閉体の一つの応用

第二不等式が大域的に成り立つのは、 [1] に書かれている。 それは私が $R$ を で置き換えれば成り立っことに気がっき、他の著者に説明して、彼らが を表面的に使わず
$R$

$R$

に書き上げたのである。元の証明を書く機会がなかったので、今この論文を書いた。体を置き換えるという方法が役に立っことを知ってもらいたいので書いた。実代数幾何学と基礎論の人以外は体を置き換えるのをいやがる。 しかし、やってみれば、誰でもすぐ$R$

を $R$ の立場から見るということに、 慣れる。 また、 これは、 きっと役に立っ。 既に

他の応用例がある。
また今までの議論はすべて、 どんな実閉体上のどんな順序極小構造でも、少し形をかえて、成り立つ。

REFERENCES[1] J. Bolte, A. Daniilidis, A. Lewis and M. Shiota, Clarke subgradients of stmtifiable func-

tions, SIAM J. optimization,18(2007), 556-572.
[2] S. Lojasiewicz, Une propriete topologique des sous-ensembles analytiques reels, in Les\’equations aux d\’eriv\’ees partielles, CNRS, Paris, 1963, 87-89.
[3] M. Shiota, Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Progress in Math., 150, Birk-h\"auser, 1997.

E-mail address: shiota@math.nagoya-u.ac.jp