数理解析研究所講究録
第 1627 巻 2009 年 72-86

72

Certain aperiodic automorphisms of unital
simple projectionless-algebras$C^{*}$

北海道大学理学院数学科
佐藤康彦(Yasuhiko Sato)

Department of Mathematics
Hokkaido University.

1

Introduction

Jiang-Su algebra を代表とする非自明な projection の無い -algebra にっぃて、 これらは $c*$ -algebra の分類理論において重要な役割を持っている。本講
演では projection の無い $c*$ -algebra の自己同型の共役性について、以下の定$C^{*}$

理を中心に述べる。
定理 1.1. $A$ を単位的、単純、 projectionless を満たす、後述の補題 2. 1 で得られる帰納的極限 $c*$ -algebra とする。 (これは $K_{1}(A)$ が与えられた有限巡回群の帰納的極限となり、かつ唯一つの trace を持つ。) この $c*$ -algebm $A$ の
自己同型
が Aut $(A)/$ WInn(A) のについて以下が成立する。 もし、中で非周期的な時、任意の $\epsilon>0$ に対して 近似的内部自己同型
Aut $(A)$と $\gamma=$ Ad $W\in$ WInn $(A)$$W\in U(\pi_{\tau}(A)’’)$ が存在してこれらは $\pi_{\tau}0\gamma=$$\tau$$\alpha_{f}\beta$$\alpha,$$\beta$$\sigma\in$、

Ad$Wo\pi_{\mathcal{T}^{\text{、}}}$$\Vert W-1\Vert_{2}<\epsilon$、$\alpha=\gamma 0\sigma 0\beta\circ\sigma^{-1}$を満たす。
ここで、 WInn $(A)$ とは

WInn $(A)=\{\alpha\in$ Aut $(A)$ :のことを表し、$\pi_{\tau}$

は$\tau$$\pi_{\tau}\circ\alpha=$Ad$W\circ\pi_{\tau}$

による GNS 表現を表す。

,$W\in U(\pi_{\tau}(A)’’)\}$

73

定理の中で扱う $C$ “-algebra は 2 節の補題によって具体的に構成される。
これは Jiang-Su algebra の構成の一般化となっている。従って $G=\{0\}$ の場
合、 $Z$ は、 Jiang-Su algebra となる。 定理の中で扱う群が有限巡回群の帰納的極限と特殊な群を扱っているが、 これは Jiang と Su の論文 [8] の中で分類されている $c*$ -algebra の-群がこれらのみなので本講演で扱う群もこれ$K_{1}$

らに限りたい。一般に可算なアーペル群によって同様の結果を得ることを目指すならば、具体的に C’-algebra を構成する所から考えなければならない。
algebra の構成は本講演の最後で報告する定理により与えているが、本講演では有限巡回群の帰納的極限に限り上の主定理を述べていく。
$C^{*}-$

定理 1.1 について、 自己同型の分類としての位置付けを簡単に説明する。
まず、 von Neumann algebras の自己同型については Connes 2 により von
Neumann algebras の自己同型に関する Rohlin の性質を用いて研究されている。 特に彼は injective type-factor の自己同型を outer conjugacy により分類している。 $c*$ -algebras の場合については、 岸本によりalgebraに関する Rohlin の性質をもつ自己同型についていくつかの結果が得られて
$[$

$]$

$II_{1}$$C^{*}-$[9], [10], [11], $[12])$ これらは finite $c*$ -algebra に関するものである。
Rohlin の性質を持つ自己同型の分類について infinite C’-algebras の場合は、
中村 [15] により非周期的な自己同型として特徴付けられ、 KK-class によりこれらが分類されている。 これら全ての結果は Rohlin の性質を定義するた
め projection を多く含む real rankを持つ $c*$ -algebra の上でなされている。 そこで我々は、 projectionless $c*$ -algebra の上でこれらの議論がどの様に形を変えて現れるかという事に興味を持った。 上述の主定理をその一つの結果と位置付けたい。特に Jiang-Su algebra を projection の無い
algebraとして扱った動機については第 4 節で説明する。
いる

$($

、

$0$

$|$

$C^{*}-$

2

A construction of projectionless$C^{*}$-algebras

まず Jiang-Su algebra の構成からはじめる。 Jiang-Su algebra の building
block は Prime dimension drop algebra と呼ばれる以下の $c*$ -algebra であった。
$I_{n}=\{f\in C([0,1], M_{p_{n}q_{n}});f(0)\in M_{p_{n}}\otimes 1_{q_{n}},$ここで、$p_{n},$$q_{n}$

は互いに素な自然数とする。 この$(K_{0}(I_{n}), K_{0}(I_{n})_{+}, [1_{I_{n}}])=(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_{+}, 1))$$f(1)\in 1_{p_{n}}\otimes A/I_{q_{n}}\}$$C^{*}-$,

algebra の K-群は

$K_{1}(I_{n})=\{0\}$になこの事から、群はにより作られる帰納的極限 $c*$ -algebra のり、 かつ
jection が自明なものしか現れない。 Jiang-Su algebra の構成方
$I_{n}$$K_{1}$$\{0\}$

74

法は connecting map$C^{*}-$: $I_{n}arrow I_{n+i}$ を適当にとり、 得られる帰納的極限
algebra が単純で、 trace を唯一つしか持たないものにする事である。具体$\varphi_{n}$的には $P,$ $Q$ という十分に大きな互いに異なる素数をとり、 次の $I_{n+1}$ の添え
字を $p_{n+1}=Pp_{n},$ $q_{n+}i=Qq_{n}$ とおく。増幅数の総和 $m=PQ$ を次の様に分ける。
$m=PQ=aq_{n+1}+r_{0}=\psi_{n+1}+r_{1}$

ここで、$r_{0},$

を満たす自然数とする。

は $0<r_{0}\leq q_{n+1},0<r_{1}\leq p_{n+1}$$ri$

れらの添え字により$\xi_{j}^{(n)},$$j=1,2,$$m$$\ldots,$

こを$\xi_{j}^{(n)}(t)=\{\begin{array}{ll}1/2t, 1\leq j\leq r_{0}1/2, r_{0}<j\leq m-r_{1}1/2t+1/2, m-r_{1}<j\leq m,\end{array}$により定義し、$\xi^{(n)}(f)=\bigoplus_{j=1}^{m}f\circ\xi_{j}^{(n)},$$f\in I_{n}$

とおく

$0$

この定義により$\xi^{(n)}(f)(0)=f(0)\otimes 1_{r_{0}}\oplus f(1/2)\otimes 1_{m-r0}$となるが、 $q_{n+1}|r_{0}q_{n},$ $q_{n}+i|m-r_{0}$ により unitary $u_{0}\in U(M_{d_{n+1}})$ が存在して$u_{0}\xi^{(n)}(f)(0)u_{0}^{*}\in M_{p_{n+1}}\otimes 1_{q_{n+1}}$を満たす。 同じく $t=1$ の点でも、 $u_{1}\in U(M_{d_{n+1}})$ が存在して、$u_{1}\xi^{(n)}(f)(1)u_{1}^{*}\in 1_{p_{n+1}}\otimes M_{q_{n+1}}$をつなぐ unitary を $u\in U(C([0,1])\otimes M_{d_{n+1}})$ とし、と置くと、 $Z= \lim(I_{n}, \varphi_{n})$ は単純かつ唯一つの trace を持つ、 [8]。
Ad
定理 1.1 で扱う
algebra について、 この構成は buildjection の無いを満たす。

$u_{0},$$\varphi_{n}=$$u_{1}$$u\circ\xi^{(n)}$$C^{*}-$

ing block を $A_{n}=$,$\{f\in C([0,1], M_{p_{n}q_{n}g_{n}});f(0)\in M_{p_{n}}\otimes 1_{g_{n}q_{n}}, f(1)\in 1_{g_{n}p_{n}}\otimes M_{q_{n}}\}$

は互いに素な自然数とし、回群の位数となる。 この $c*$ -algebra の $K$ -群は、とする、 但し、 ここでも

$p_{n},$$q_{n}$$(K_{0}(A_{n}), K_{0}(A_{n})_{+}, [1_{A_{n}}])=(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_{+}, 1)$,$g_{n}\in \mathbb{N}$は有限巡$K_{1}(A_{n})=\mathbb{Z}/g_{n}\mathbb{Z}$となる。 上の Jiang-Su algebra と似た構成により、 但し添え字の取り方を少し注意深くとって、 connecting map: $A_{n}arrow A_{n+i}$ を定義すると、 $A=$$\lim(A_{n}, \varphi_{n})$ で表す帰納的極限 $c*$ -algebra は単純で、かっ唯一つの trace を持
ち、 $K_{1}(A)$ が与えられた有限巡回群の帰納的極限となる。定理の形で述べると以下の通り。
$\varphi_{n}$75

補題 2.1. $G$ を有限巡回群の帰納的極限とおく。 この時 dimension drop
algebm $A_{n}=I[\rho_{n}, d_{n}, q_{n}],$ $(p_{n}, q_{n})=1$ の列と、 単射的 -homomorphisms$*$

で以下を満たすものが存在する。帰納的極限 $c*$ -algebm
は単位的、単純、 projectionless-algebra で、 唯一つの$\varphi_{n}:A_{n}arrow A_{n+i}$$A= \lim_{arrow}(A_{n}, \varphi_{n})$

tmce

3

$\tau$$C^{*}$を持ち、 $K_{1}(A)=G$ を満たす。

UHF-algebra

第 2 節で与えた非自明な projection の無い $c*$ -algebra の構成から次の事が自然に示せる。
命題 3.1. $A$ を補題 2.1 で与えられた projectionless $C^{*}- algebra$
を $A$ の
唯一つの trace とする。 この時、 $UHF$ algebm $B$ と matrix algebm からなるがbuilding blockの中に存在して、 以下を満たす。
、$B_{n},$$n\in \mathbb{N}$$\tau$$\pi_{\tau}(A)’’$$B=\overline{(\cup B_{n})}^{||\cdot\Vert}$,$\pi_{\tau}(A)\subset B\subset\pi_{\tau}(A)’’$,$(\pi_{\tau}(A)\cap B_{n}’)’’=\pi_{\tau}(A)’’\cap B_{n}’$.

証明の概説は以下の通り。 $d_{n}=p_{n}q_{n}g_{n},$ $C_{n}=C([0,1])\otimes M_{d_{n}}$ と置く。今、前述の構成から: $A_{n}arrow A_{n+1}$ が得られているが、 これは自然に:$B=\lim(C_{n},\varphi_{n})$へ拡張できる。
と置くと、 これが欲しい UHF-algebraになる。 この事は特に [21] が詳しい。 また、 この $B$ を更に詳しく考察すると、欲しい性質を満たすが得られる。詳細は [20] を参照されたし。
UHF-algebra の自己同型について、一般に AT-algebra もしくは purely infinite
algebra の自己同型について、 Evans Kishimoto の intertwining argument と呼ばれる outer conjugate にする以下の定理がある o$\varphi_{n}$$\varphi_{n}$$C_{n}arrow$$C_{n+1}$$B_{n}$$C^{*}-$

定理 3.2. $B$ を $UHF- algebm$
を $B$ の唯一つの tmce
Aut $(B)$ とする
この時、 もし
Aut $(B)/$ WInn $(B)$ が非周期的ならば、 unita 瑠$u\in U(B)$ とAut $(B)$ が存在して、$[\alpha],$$\circ$$\tau$$[\beta]\in$$\sigma\in$$\alpha=Adu\circ\sigma\circ\beta 0\sigma^{-1}$

を満たす。

、

$\alpha,$$\beta\in$

76

この Evans Kishimoto の intertwining argument は証明の中で主に用いる

Rohlin の性質が、 projection からなる単位の分解によって定義されているので、直接 projection の無い $c*$ -algebra に適応する方法は知られていない。定理 1.1 の証明はこの Evans Kishimoto の intertwining argument を構成法か
ら自然に得られた命題 3.1 の UHF-algebra の上で議論して、 その過程での relative commutant の性質から projection の無い $c*$ -algebraの自己同$B_{n}$$A$型にする方法をとる。

以下定理 1.1 の証明の概要を述べる。
自己同型に関する intertwining argument を行うが、証明で用いる stability
は Connes による hyper finite typeに対する以下のもの。
-factor$\pi_{\tau}(A)’’$$II_{1}$を $M$
を $M$ の tmce と置く。
補題 3.3. $M$ を hyper finite type $II_{1^{-}}factor$に対しの非周期的な自己同型と仮定する。 ($i.e.$ , 任意のは外部的)$\delta>0$$F$と $M$ の有限部分集合と有限部分集合
この時、任意のに対し、$G$ が存在して以下を満たす。任意の unitary $u\in M$ で、 $||[u, y]\Vert_{2}<\delta,$ $y\in G$
かつを満たすものに対して、 unita 瑠 $v\in M$ が存在して$x\in F$ を満たす。 ここで
x 2 $=\tau$ (x x)1/2。更に, もし $F$ が$\theta$、$\tau$$n\in \mathbb{N}$$\theta^{n}$$\epsilon>0$$\Vert u-v\theta(v^{*})\Vert_{2}<\epsilon$$*$$\Vert[v, x]\Vert_{2}<\epsilon,$

$||$

$||$

空集合の場合は $G$ は同じく空集合としてよい。

stability を zv

Autに適応する事により 任意の $u\in$$U(\pi_{\tau}(A)’’\cap B_{n}’)$ に対して、 $v’\in U(\pi_{\tau}(A)’’)$ が存在して
この

$\in$

$(\pi_{\tau}(A)’’)$$v’\overline{\alpha}(v’)^{*}\approx\Vert\cdot\Vert_{2}u$$[v’, x]\approx||\cdot||_{2}0$,$x\in(B_{n-1})^{1}$を得る。 この $v’$ を用いて、 E.K. intertwining argument を行なうと、
Aut $(\pi_{\tau}(A)’’)$ が存在して、$\sigma_{1}0\overline{\alpha}0\sigma_{1}=Adw\circ\sigma_{0}0\overline{\beta}0\sigma_{0}^{-1}$$\sigma_{i}=\lim$

Ad $v_{2n+1+i^{O}}’$ Ad $v_{2n-1+i}’o\cdots v_{i}’$ ,$\sigma 0,$$\sigma_{1}\in$,$v_{2n-1+i}’\in U(\pi_{\tau}(A)’’),$$i=0,1$ .

を満たすものが得られる。但し、一般には $v_{2n+1+i}’$ と $v_{2n-1+i}’$ は 日 2 に関してのみ可換性を持ち$|$$\sigma_{i}=\lim$

Ad $v_{2n+1+i^{O}}’$ Ad$v_{2n-1+i}’o\cdots v_{i}’\not\in$

Aut

であり、

Ad

$v_{2n+1+i}’\not\in$Aut$(\pi_{\tau}(A))$,$i=0,1$$(\pi_{\tau}(A))$

$|$

77

となる。 この可換性を $c*$ -algebra の norm に関する可換性にする事と、 をの中に入れる事が避けるべき問題となる。実際、 intertwining argument$V’$$\pi_{\tau}(A)$のの帰納法の中で表れる状況を説明すると以下の通り。今、 $v_{2n-1}$ がの中に $c*$ -algebra の norm に中に入っているとする。 $2n$ を大きくとりに関し、関し近似的に含ませることができる。
$\pi_{\tau}(A)$$B_{2n}$$\Vert\cdot\Vert_{2}$Ad$u_{2n+1^{O}}\alpha_{2n-1}\approx\Vert\cdot\Vert_{2}\beta_{2n}$On $B_{2n+1)}$

ここで、$\alpha_{2n-1}=$

Ad $u_{2n-1}o\alpha_{2n-3}$ ,$\beta_{2n}=$

Ad $u_{2n}o\beta_{2n-2}$を満たす $u_{2n+1}\in U(\pi_{\tau}(A))$ が得られる。 この $u_{2n+1}$ に関し stability より$v_{2n+1}’\in U(\pi_{\tau}(A)’’)$ が得られ以下を満たす。
$[v_{2n+1}’, x]\approx||\cdot||_{2}0$,$x\in(B_{2n})^{1}$.

この可換性を norm の可換性にするため有限次元環に関する conditional exを間に挟む。 つまり
pectation: $\pi_{\tau}(A)’’arrow B_{2n}’\cap\pi_{\tau}(A)’’$ により $v_{2n+1}’’=$. を定義する。 $v_{2n+1}’’\in\pi_{\tau}(A)’’\cap B_{2n}’=(\pi_{\tau}(A)\cap B_{2n}’)’’$ により $v_{2n+1}\in\pi_{\tau}(A)\cap B_{2n}’$ が存在して、$\Phi$$\Phi$$\Phi(v_{2n+1}’)\approx||\cdot||_{2}v_{2n+1}’$$v\approx v’’\approx v_{2n+1}’$を満たす。 この $v_{2n+1}$ は $v_{2n-1}$ と $c*$ -algebra の norm に関し可換となるので、$\sigma_{1}=\lim_{narrow\infty}$

Ad $v_{2n+1}v_{2n-1}\cdots v_{1}\in$ Autとなる 自 己同型が得られる。同じく、り、られ、$\sigma_{0}\in\pi_{\tau}(A)$$\beta$$(\pi_{\tau}(A))$の側でも intertwining argument によの自己同型が得られる。結果、 unitary $W\in U(\pi_{\tau}(A)’’)$ が得$\sigma_{0}0\overline{\alpha}0\sigma_{0}^{-1}=AdW\circ\sigma_{1}\circ\overline{\beta}0\sigma_{1}^{-1}$の unitary だが、 この関係式かを満たす。 ここで、 $W$ は誤差が集まりの自己同型になる。
ら Ad $W$ はを不変にし、 この $c*$ -algebra
結果、が従う。
$\pi_{\tau}(A)’’$$\pi_{\tau}(A)$$\pi_{\tau}(A)$$[\alpha]\sim[\beta]$

この定理 1.1 の結論は Ad $W$ が weakly inner automorphism なので、定理が同一の32 と比べると弱い結論になるが、 その分定理 1.1 の仮定では$K$ -群の値を持つという条件を課していない弱い仮定となっている。 この $K$ -群の条件によらない事を見る目的で、対象となる projection の無い $c*$ -algebra
を Jiang-Su algebra から拡張して考察した。
$\alpha,$$\beta$78

4Motivation for the main theorem
Jiang-Su algebraを吸収する real rankを持つ
algebra $A$ について、
この上で与えられた自己同型
Aut $(A)$ に対し asymptotically unitarily
を変形して Rohlin の性質を付け加える問題が考えら
equivalent の範囲でれる。 ここで Rohlin の性質とは以下の定義とする。
$C^{*}-$$0$$\mathcal{Z}$$\alpha\in$$\alpha$

定義 4.1. $A$ を単位的
を $A$ の自己同型とする。 次の性質を満
mlgebra$A$ の有限部分集合 $F$
たす時 は Rohlin の性質を持っと言う。任意のに対し projection からなる単位の分解 $\{e_{j}^{(0)}:j=0, \ldots, k-1\}\cup\{e_{j}^{(1)}$ :$k\}\subset P(A)$ が存在し
$i=0,$$C^{*}-$$\alpha$、$k\in \mathbb{N}$$\alpha$、、$\epsilon>0$$\ldots,$$\sum_{j=0}^{k-1}e_{j}^{(0)}+\sum_{j=0}^{k}e_{j}^{(1)}=1_{A}$$\Vert\alpha(e_{j}^{(i)})-e_{\sim+1}^{i)}\Vert<\epsilon$,$i=0,1$ ,$j=0,$$\Vert[a, e_{j}^{(i)}]\Vert<\epsilon$$a\in F,$

$i=0,1,$ $j=0,1,$$\ldots,$,$\ldots,$$k+i-2$ ,,$k+i-1$ を満たす。

この Rohlin の性質は A. Kishimoto [12]により定義されたものである。 $A$
が purely infinite $c*$ -algebra の場合、 Kirchberg の定理からな上の Rohlin の性質を持つ自己同型のでをテンソルする
Aut
ことで
Aut $(A)$ と asymptotically unitarily equivalent な Rohlin の性質を持つ自己同型が得られる。 同様の事が、 $Z$ の場合にも示せるのではないかと期待される。但し、 $Z$ は projection が無いので適切に Rohlin の性質を定義する方法は未だ知られていない。 しかし、 Rohlin の性質に近い次の様な自$A\cong A\otimes \mathcal{O}_{\infty}$$\tilde{\sigma}\in$$\mathcal{O}_{\infty}$$(\mathcal{O}_{\infty})$$\alpha\in$

己同型が得られている。
$Z$ の有限部分集合 $F$に対し positive element か
任意のらなる単位の分解 $\{f_{j}:j=0, \ldots, k-1\}\subset Z$ が存在し
$k\in \mathbb{N}$、、$\epsilon>0$$\tau(1-\sum_{j=0}^{k-1}f_{j})<\epsilon$$\sigma(f_{j})=f_{j+1}$,$j=0,$$\Vert f_{i}f_{j}\Vert<\epsilon$$\Vert[a, f_{j}]\Vert<\epsilon,$,$a\in F,$,$\ldots,$$k-2$ ,

$i\neq j$$j=0,1,$$\ldots,$

$k-1$

79

を満たす。
この

を用いて次の事が示せている。 ある性質のよい TAF-algebra$\sigma$$A$

でを満たすものについて、と同様に、任意の に対しては Rohlin の性質を持つ。 ここでTAF-algebra が満たすよい性質とは技術的な物であるので省略するが、広いクラスの TAF-algebra についてこの性質が示せる [20]。特にこのクラスは Rohlin の性質を持つ自己同型による接合積について閉じている。
が Rohlin の性質を持つ事は以下の補題とそ$A\otimes \mathcal{Z}\cong A$$\mathcal{O}_{\infty}$$\alpha$$\alpha\otimes\sigma$$A$$\alpha\otimes\sigma$の技術的な性質を用いる事で示される。

補題 4.2. $A$ を単位的 TAF-algebm でを満たすとする。 この時、任意の自己同型
Aut $(A)$ とに対し、 projection からなる単位の分
解 $(p_{n})_{n}\in P((A\otimes Z)_{\infty})$ が得られて以下を満たす。
は互いにの中で直行する、但し $j=0,1,$ $k-1$$\alpha\in$$A\otimes \mathcal{Z}\cong A$$k\in \mathbb{N}$$((\alpha\otimes\sigma)^{j}(p_{n}))_{n}$$(A\otimes Z)_{\infty}$、$\ldots,$$\tau(1_{A\otimes \mathcal{Z}}-\sum_{j=0}^{k-1}(\alpha\otimes\sigma)^{j}(p_{n}))<n^{-1}$,for any $\tau\in T(A\otimes Z)$ ,ある $c>0$ で以下を満たすものが存在する、任意の $q\in P(A\otimes \mathcal{Z})$ と $\epsilon>0$に対し大きい自然数
が存在し$N_{q}\in \mathbb{N}$$c\tau(q)-\epsilon\leq\tau(qp_{n})$,$\tau\in T(A\otimes Z),$$n\geq N_{q}$を満たす。
証明は [20] の中に詳しく載せたのでここでは省く。

またこの自己同型$\sigma$にっいて、 次の事も示せている。

定理 4.3.
Aut $(Z)$ が上述の条件 (positive element による Rohlin の性
質 を満たす事と以下は同値。
$\sigma\in$$)$$[\sigma]\in$

主定理の動機とは、 この

5$\sigma$

Aut $(Z)/$ WInn $(Z)$ .
を数学的に一意化させたいという事です。

A generalization of dimension drop algebras

1 節で簡単に述べたが、任意の可算アーペル群

に対して、 これを-群として実現する projection の無い $c*$ -algebra が具体的に構成できる。 これは Jiang-Su algebra の構成方法の拡張である。
$G$$K_{1}$

80

定理 5.1. $G$ を可算アーベル群とする。 この時単位的、単純、 projectionlesstrace を唯一持つ -algebm $Ac$ と、 dimension drop algebm からなる building、.

$C^{*}$

block$A_{n\text{、}}$.connecting map $\varphi_{n}:A_{n}arrow A_{n+}i$ が得られ次を満たす。
$K_{1}(A_{G})=G$ ,$A_{G}= \lim(A_{n}, \varphi_{n})$$A_{G}\otimes \mathcal{Z}\cong A_{G}$,.

ここで言う dimension drop algebra とは有限生成アーベル群に対して得られる以下の C -algebra。定義のため少し記号を準備する。
を番目の素数、のをを有限生成アーペル群とおく。
を
自由アーベル部分群、のねじれ部分群とおく。 この時 $r_{0}^{(n)}=$で $p_{i}||G_{n,1}|$ となるものに対し、と定義する。
rank
をの部分群で $\{g\in G_{n};o(g)=p_{i}^{n}, n\in \mathbb{N}\}$ により生成されるものとおく、 こ
こで $o(g)$ はとの位数を表す。
を$j=1,$$*$$i$$p_{i}$$G_{n}$$G_{n}$$G_{n,0}$$G_{n}$$G_{n,1}$$(G_{n,0})\in \mathbb{Z}+$$i\in \mathbb{N}$$G_{n,i}$$G_{n}$$r_{i}^{(n)}\in \mathbb{N}$$g$$\ldots,$,$G_{n,i}= \bigoplus_{j=1}^{r_{i}^{(n)}}\mathbb{Z}_{d_{i,j}^{(n)}}$を満たす自然数とする
で$k_{i,j}^{(n)}\in \mathbb{N},$$r_{i}^{(n)}$$d_{i,j}^{(n)}\in \mathbb{N},$

$0$

つまり

$G_{n,1}$は$k_{i,j}^{(n)}\leq k_{i_{1}j+1}^{(n)},$$G_{n,i,j}=\mathbb{Z}_{d_{\mathfrak{i},j}^{(n)}}$$d_{i_{1}j}^{(n)}=p_{i^{1j}}^{k^{(n)}}.$,

一型の有限アーベル群 oはとおく。
$(p_{i}^{k_{i,j}^{(n)}} )$$G_{n}$$G_{n}=G_{n_{1}0} \oplus G_{n,1}=\mathbb{Z}^{r_{0}^{(n)}}\oplus\bigoplus_{p_{i}||G_{n1}|},\bigoplus_{j=1}^{r_{i}^{(n)}}\mathbb{Z}_{d_{i,j}^{(n)}}$と直既約分解される。

$g_{i,j}^{(n)}$を$G_{n}$の標準的生成元で$g_{0,j}^{(n)}=(0\oplus\cdots\oplus 0\oplus 1_{j}\oplus 0\oplus\cdots\oplus 0)\oplus 0_{G_{n,1}},1\leq j\leq r_{0}^{(n)}$$g_{i,j}^{(n)}=0_{G_{n,0}}\oplus(0\oplus\cdots\oplus 0\oplus 1_{G_{n,i,j}}\oplus 0\oplus\cdots\oplus 0),$

$1\leq j\leq r_{i}^{(n)}$とおく。

上で表された有限生成アーベル群$G_{n}$に対して、$S^{(n)}= \{(0,0), (0,1)\}\bigcup_{p_{i}1}\bigcup_{|G_{n,1}|}\{(i,j);j=1,2, \ldots,r_{i}^{(n)}\}$

ここ

81

と定義する

$I_{i,j}^{(n)},$$\circ$$(i,j)\in S^{(n)}$を$[0,2\pi]$

区間と置く、$T_{j}^{(n)},$$j=1,2,$個のト ラス $\mathbb{T}=\{e^{it};t\in[0,2\pi]\}$ と置き、 $z(t)=e^{it}\in \mathbb{T},$める。 同一視を写像: $[0,2\pi]arrow I_{i,j}^{(n)},$ $(i,j)\in S^{(n)}$ と写:を$r_{0}^{(n)}$$r_{0}^{(n)}$$\ldots,$$rightarrow$$\Phi$$\iota_{i,j}^{(n)}$$j=1,2,$$r_{0}^{(n)}$$\ldots,$により定める。

$X_{n}$$t\in \mathbb{R}$$\tau_{j}^{(n)}$と定,$\prime \mathbb{F}arrow T_{j}^{(n)}$を one point union,$X_{n}=I_{0,0}^{(n)} \vee I_{0,1}^{(n)}\bigvee_{j=}\bigvee_{1}^{r_{0}^{(n)}}T_{j}^{(n)}\bigvee_{p_{i}1|}\bigvee_{G_{n,1}|}j=1r_{i\vee I_{i,j}^{(n)}}^{(n)}$により表し、 その基点を$\iota_{i,j}^{(n)}(0),$$(i,j)\in S^{(n)},$$\tau_{j}^{(n)}(z(O)),$より定め、 $c^{(n)}=\tau_{j}^{(n)}(z(O))=\iota_{i_{l}j}^{(n)}(0)\in X_{n}$ とおく$a_{i,j}^{(n)}=\iota_{i,j}^{(n)}(2\pi)\in X_{n},$と定義する。
と互いに素な$0$$j=1,2,$$r_{0}^{(n)}$$\ldots,$にまた端点をそれぞれ$(i,j)\in S^{(n)}$有限生成アーベル群
すものに対し、 $c*$ -algebra$G_{n}$$\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n}\in \mathbb{N}$$A(G_{n},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})$で$|G_{n,1}||\tilde{p}_{n}\tilde{q}_{n}$を満たを$A(G_{n},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})=\{f\in C(X_{n})\otimes M_{d_{n}};f(a_{0,0}^{(n)})\in M_{\tilde{P}n}\otimes 1_{\tilde{q}_{n}},$$f(a_{i,j}^{(n)})\in M_{d_{n}/d_{i,j}^{(n)}}\otimes 1_{d_{i_{1}j}^{(n)}}\}$$f(a_{0,1}^{(n)})\in M_{\tilde{q}_{n}}\otimes 1_{\tilde{p}_{n}}$,,とおく、 ここでこれらを本講演ではに対する dimension drop algebra と呼ぶ。特に我々はによりに対する dimension drop algebra を表す
with$d_{n}=\tilde{p}_{n}\tilde{q}_{n}(d_{i,j}^{(n)}=p_{i}^{k_{i,j}^{(n)}})_{0}$$A(G_{n},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})$$G_{n},\tilde{p}_{n\prime}\tilde{q}_{n}$$I(\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})$$\{0\},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n}$$(\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})=1$$|$(i.e.,$I(\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})=\{f\in C(I_{0,0}^{(n)}\cup I_{0,1}^{(n)})\otimes M_{d_{n}};f(a_{0,0}^{(n)})\in M_{\tilde{p}_{n}}\otimes 1_{\tilde{q}_{n}}, f(a_{0,1}^{(n)})\in 1_{\tilde{p}_{n}}\otimes M_{\tilde{q}_{n}}\})$

これは Jiang-Su algebra の building block であった。
$M_{d_{n}}$の minimal projection $e_{0,0}$と$j=1,2,$を以下で定義する。
$r_{0}^{(n)}$$\ldots,$を一つ固定して、$f_{i,j}^{(n)}\in A(G_{n},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n}),$$f_{0,j}^{(n)}\in A(G_{n},\tilde{p}_{n}\tilde{q}_{n})$$(i,j)\in S^{(n)},$ $i\geq 1,$$j=1,2,$,$r_{i}^{(n)}$$\ldots,$$f_{0,j}^{(n)}(x)=\{\begin{array}{ll}\exp(ite_{0,0}), x=\tau_{j}^{(n)}(z(t))\in T_{j}^{(n)}, t\in[0,2\pi],1_{d_{n}}, otherwise\end{array}$$f_{i,j}^{(n)}(x)=\{\begin{array}{ll}\exp(ite_{0,0}), x=\iota_{i_{1}j}^{(n)}(t)\in I_{i,j}^{(n)}, t\in[0,2\pi],1_{d_{n}}, otherwise.\end{array}$

以下の命題により、この dimension drop algebra が [8] における dimension
drop algebra の自然な拡張であると考える。

,

82

命題 5.2.

を有限生成アーベル群で上述の様に表されたとする pn とを自然数でを満たすものとおく。
を蘇に対する dimension drop
-algebmとおく。 この時、$\sim$$G_{n}$$\tilde{q}_{n}$$\circ$$(\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})=1,$$|G_{n,1}||\tilde{p}_{n}\tilde{q}_{n}$$C^{*}$$A_{n}$$G_{n},\tilde{p}_{n}$,$A(G_{n},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})$$K_{1}(A_{n})\cong G_{n}$であり、 この同一視により$[f_{0,j}^{(n)}]_{K_{1}(A_{n})}=g_{0,j}^{(n)},$$(i,j)\in S^{(n)},$ $i\geq 1$

Proof.

$1\leq j\leq r_{0}^{(n)}$,$[f_{i,j}^{(n)}]_{K_{1}(A_{n})}=g_{i,j}^{(n)}$,が成立する。

を上の形で表す。 また $I_{n}=$とおく。 ここで、 我々は既に $K_{1}(I_{n})\cong\{0\}$ の結果を得ている。 ま$G_{n},$$I(\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})$$d_{n}(=\tilde{p}_{n}\tilde{q}_{n}),$$A_{n}=A(G_{n},\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})$た記号を以下のように準備する。
,$B_{n,0}$$=p_{i}| \bigoplus_{|G_{n1}|},\bigoplus_{j=1}^{r_{i}^{(n)}}M_{d_{n}/d_{i,j}^{(n)}}$$X_{n,0}$$= \bigcup_{j=1}^{r_{0}^{(n)}}\tau_{j}^{(n)}(z((0,2\pi)))\bigcup_{p||}\bigcup_{|G_{n,1}|}\bigcup_{j=1}^{r_{i}^{(n)}}\iota_{i,j}^{(n)}((0,2\pi))\subset X_{n}$$C_{n,0}$$=C_{0}(X_{n,0})\otimes M_{d_{n}}$,.

定義から自然に以下の exact sequence が得られる。
$0arrow c_{n,0}-e_{\star A_{n}\frac{\sigma_{\iota}}{}I_{n}\oplus B_{n,0}}arrow 0$.

これから $K$-群の exact sequence が以下のように導かれる。
$K_{0}(I_{n}\oplus B_{n,0})-\delta AK_{1}((C_{n,0})^{\sim})arrow K_{1}(A_{n})arrow 0$

ここで$\delta_{0}$とは exponential map を表す。

$(\tilde{p}_{n},\tilde{q}_{n})=1$$M_{d_{\eta}/d_{i,j}^{(n)}}\subset B_{n,0}$

により、の$K_{0}(I_{n})\cong \mathbb{Z}$

かつ $[1_{I_{n}}]_{K_{0}(I_{n})}=1$ が得られる。

$e_{i,j}$を

minimal projection とおくと、 以下が従う。 $K_{0}(B_{n,0})\cong$$\oplus \mathbb{Z}r_{i}^{(n)}$$\oplus$,かつ$p_{i}||G_{n,1}|j=1$$[e_{i,j}]=0\oplus\cdots\oplus 0\oplus 1_{i,j}\oplus 0\oplus\cdots\oplus 0\in K_{0}(B_{n,0})$83

また簡単な計算から次が従う。

$K_{1}((C_{n,0})^{\sim}) \cong\bigoplus_{j=1}^{r_{0}^{(n)}}\mathbb{Z}\oplus\bigoplus_{p_{i}||G_{n1}|},\bigoplus_{j=1}^{r_{i}^{(n)}}\mathbb{Z}$$[f_{0,j}^{(n)}]_{K_{1}((C_{n,0})^{\sim})}=(0\oplus\cdots\oplus 0\oplus 1_{j}\oplus 0\oplus\cdots\oplus 0)\oplus 0_{\oplus_{i_{t}j}\mathbb{Z}}$かっ,$[f_{i,j}^{(n)}]_{K_{1}((C_{n,0})^{\sim})}=0_{\oplus_{j}\mathbb{Z}}\oplus(0\oplus\cdots\oplus 0\oplus 1_{i,j}\oplus 0\oplus\cdots\oplus 0)$$h\in(A_{n})$ saと $u\in U((C_{n,0})^{\sim})$ を次で定義する。

$h(x)=\{\begin{array}{ll}(1-\frac{t}{2\pi})1_{d_{n}}, x=\iota_{i,j_{t}}^{(n)}(t)\in I_{i)j}^{(n)}, i\geq 1,1 d_{n}, othemise.\end{array}$$u(x)=\{\begin{array}{ll}\exp(-it)1_{d_{n}}, x=\iota_{i,j}^{(n)}(t)\in I_{i,j}^{(n)}, i\geq 1,1_{d_{n}}, otherwise.\end{array}$の定義により、 また下を得る。

$\delta_{0}$$\sigma(h)=1_{I_{n}}\oplus 0_{B_{n,0}}$

かつ $\tilde{\rho}(u)=\exp(2\pi ih)$ により以$\delta_{0}([1_{I_{n}}\oplus 0_{B_{n,0}}]_{Ko(I_{n}\oplus B_{n_{1}}o)})=-[u]=0_{\oplus_{j}\mathbb{Z}}\oplus(d_{n}\oplus\cdots\oplus d_{n})$$h_{i,j}^{(n)}\in(A_{n})$sa’$(i,j)\in S^{(n)}$with $i\geq 1$ を以下で表す。

$h_{i,j}^{(n)}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{t}{2\pi}e_{i_{1}j}\otimes 1_{d_{i,j}^{(n)}}, x=\iota_{i,j}^{(n)}(t)\in I_{i,j}^{(n)}, t\in[0,2\pi],0_{d_{n}}, otherwise\end{array}$$\sigma(h_{i,j}^{(n)})=0_{I_{n}}\oplus e_{i,j}$

により、 以下が従う。

$\delta_{0}([0_{I_{n}}\oplus e_{i,j}])$$=$$[\exp(-2\pi ih_{i_{\dot{\beta}}}^{(n)})]_{K_{1}((C_{n_{1}0})^{\sim})}=-d_{i,j}^{(n)}[f_{i,j}^{(n)}]$$=0_{\oplus_{j}\mathbb{Z}}\oplus(0\oplus\cdots\oplus 0\oplus-d_{i,j}^{(n)}\oplus 0\oplus \cdot\cdot\cdot\oplus 0)$

結果、次式が得られて証明が終了する。
$K_{1}(A_{n})$$\cong$$K_{1}((C_{n,0})^{\sim})/\delta_{0}(K_{0}(I_{n}\oplus B_{n,0}))$$= \bigoplus_{j=1}^{r_{0}^{(n)}}\mathbb{Z}\oplus\bigoplus_{p_{i}||G_{n1}|},\bigoplus_{j=1}^{r^{(n)}}\mathbb{Z}_{d_{\mathfrak{i},j}^{(n)}}$

,

84

かっ
$[f_{0,j}^{(n)}]_{K_{1}(A_{n})}=[f_{0,j}^{(n)}]_{K_{1}((C_{n,0})^{\sim})/\delta_{0}(K_{0}(I_{n}\oplus B_{n,0}))}=g_{0,j}^{(n)},$$[f_{i,j}^{(n)}]_{K_{1}(A_{n})}=[f_{0,j}^{(n)}]_{K_{1}((C_{n,0})^{\sim})/\delta_{0}(K_{0}(I_{n}\oplus B_{n,0}))}=g_{i,j}^{(n)},$$1\leq j\leq r_{0}^{(n)}$$i\geq 1,$,$(i,j)\in S^{(n)}$.

I
この拡張された dimension drop algebra を building block として上述のprojectionlessalgebra が得られるが、 この projectionless $c*$ -algebra についても同様の UHF-embeddability が示される事が解っている。 故に、 全
く同様の方針でこの $c*$ -algebra についても主定理と同様の事が示せると期待$C^{*}-$

できる。

References[1]

B. Blackadar. Compantson theory for simple-algebms. Operator Algebras and Applications (London Math. Soc. Lecture Notes Series,135). Ed. D. E. Evans and M. Takesaki. Cambridge University Press,
Cambridge, 1988, pp. 21-54.

[2]

A. Connes. Outer conjugacy class of automorphisms of factors, Ann.
Scient. Ec. Norm. Sup. (4) 8 (1975), 383-420.

[3]

G. A. Elliott. On the classification of -algebms of real $mnk$ zero. J.
Reine Angew. Math. 443 (1993), 179-219.

[4]

G. A. Elliott and G. Gong. On the classification of -algebms of real$mnkzem,$. Ann. of Math. (2) 144 (1996), 497-610.

$C^{*}$$C^{*}$$C^{*}$

$\Pi$

[5]

D. E. Evans and A. Kishimoto. Trace scaling automorphisms of certain
stable $AF$ algebras. Hokkaido Math. J. 26 (1997), no. 1, 211-224.

[6]

R. H. Herman and A. Ocneanu. Stability for integer actions on $UHF$-algebms. J. Funct. Anal. 59 (1984), no. 1, 132-144$C^{*}$[7]

M. Izumi. The Rohlin property for automorphisms of-algebms.
Mathematical physics in mathematics and physics (Siena, 2000), 191206, Fields Inst. Commun., 30, Amer. Math. Soc., Providence, RI,$C^{*}$

2001.

85

[8]

X. Jiang and H. Su. On a simple unital projectionless C’-algebra. Amer.
J. Math. 121 (1999), no. 2, 359-413.

[9]

A. Kishimoto. The Rohlin property for automorphisms of $UHF$ algebms.
J. Reine Angew. Math. 465 (1995), 183-196.

[10]

A. Kishimoto. The Rohlin property for shifts on $UHF$ algebms andautomorphisms of Cuntz algebras. J. Funct. Anal. 140 (1996), no. 1,

100-123.

[11]

A. Kishimoto. Automorphisms of AT algebms with the Rohlin property.
J. Operator Theory 40 (1998), no. 2, 277-294.

[12]

A. Kishimoto. Unbounded derivations in AT algebms. J. Funct. Anal.
160 $(1g98)$ , no. 1; 270-311.

[13]

H. Lin. Tracially $AFC^{*}$ -algebras. Thrans. Amer. Math. Soc. 353 (2001),

693-722.
[14]

H. Lin. The Rokhlin property for automorphisms on simple-algebms.
Operator theory, operator algebras, and applications, 189-215, Contemp. Math., 414, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.

[15]

H. Nakamura. Aperiodic automorphisms of nuclear purely infinite sim$ple$ C’-algebras. Ergodic Theory Dynam. Systems 20 (2000),
no. 6,$C^{*}$

1749-1765.

[16]

H. Osaka and N. C. Phillips. Stable and real $mnk$ for crossed productsby automorphisms with the tmcial Rokhlin property. Ergodic Theory
Dynam. Systems 26 (2006), no. 5, 1579-1621.

[17]

H. Osaka and N. C. Phillips. Furstenberg tmnsformations on irmtionalrotation algebms. Ergodic Theory Dynam. Systems 26 (2006), no. 5,

1623-1651.

[18]

G. K. Pedersen.
-algebras and their automorphism groups.” London
Mathematical Society Monographs, 14. Academic Press, Inc. [Harcourt
Brace Jovanovich, Publishers], London-New York, 1979.

[19]

M.

$C^{*}$

Rrdam and W. Winter.

$arXiv:0801.2259$

The Jiang-Su algebm revisited.

86

[20]

Y. Sato. Certain apentodic automorphisms of unital simple projectionless-algebms, arXiv:0807.4761 [math.OA] 29 Ju12008.
$C^{*}$[21]

K. Thomsen. Inductive limits of interval algebms: the tmcial state
space. Amer. J. Math. 116 (1994), no. 3, 605-620.

[22]

A. S. Toms and W. Winter. Z-stable ASH algebms.arXiv:math/0508218