伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊恒等式についての一考察
よね え

米江

よしのり

慶典

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特集 教材研究伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに“任意の 2 次以下の多項式 Q() に対して

 P()Q()d=0”

恒等式については以前に拙稿三角関数の恒等式についての一考察(数研通信 54 号) で三角関数について考えましたが今回は少し見方を変えて考⇒“任意の実数 p，q，r に対して

 P()Q()d=0”
えます。

すなわち§2．考察問題
いくつかの問題を発展事項と共に考えます。問題
1 は〔 2 〕からの引用です。

“ 3 つの文字に関する恒等式”と考えて処理すればよいことになります。
【発展】

問題 1

この問題の P()=次の 2 つの条件を同時に満たす  の 3 次の多項式 P() を求めよ。
の多項式1d( −1) (n=0，1，2，…)P()= 2 n! d 

任意の 2 次以下の多項式 Q() に対して

 P()Q()d=0
の n=3 の場合になります。なお，ルジャンドルの多項式については入試問題として多数出題されていP(1)=1ます。例えば，多項式 P()，Q() の内積は【略解】
 P()Q()d(P()，Q())=P()=a +b +c+d (a0)，Q()= p +q+r

とおく。このとき，条件から(P()，P())= b5 + d3 +q a5 + c3 +r b3 +d =0

条件を8(m=n のとき)

次は，関数方程式から 2007 年 京都大学 前期 理ありませんが参考として掲載します。

5(これは a0 を満たす)，b=0，2問題 23c=− ，d=02【考察】

22n+1系 の問題を考えます。なお，設問は考察には関係

これらを解いてP()=(mn のとき)質を満たすことを確認させてもよいでしょう。

また，条件から a+b+c+d=1

よって0性) ことや，数学 B で学習するベクトルの内積の性

b dacb+ =0， + =0， +d=053533a=を満たす (mn のときの P() と P() の直交が任意の実数 p，q，r に対して成り立つ。
ゆえにによって定義され，この内積がp5  3 −  は，ルジャンドル
225  3− 22すべての実数で定義され何回でも微分できる■

関数 f () が f (0)=0， f ′(0)=1 を満たし，さらに任意の実数 a，b に対して
1+ f (a) f (b)0 であってf (a+b)=

f (a)+ f (b)1+ f (a) f (b)を満たしている。
⑴

任意の実数 a に対して，−1< f (a)<1 であることを証明せよ。

⑵

= f () のグラフは >0 で上に凸であることを証明せよ。

f (a)=f (a)+ f (0)1+ f (a) f (0)

したがって， f (0)〔{ f (a)}−1〕=0
これが“任意の実数 a についての恒等式”であるから， f (0)=0

この問題 2 の仮定【考察 2 】“ f (0)=0”①において，特に，b=0 とおくとはf (a)=“関数 f () の微分可能性”，f (a)+ f (0)1+ f (a) f (0)したがって“ f ′(0)=1”

f ′(a)

および=“任意の実数 a，b に対して

f ′(a){ f (0) f (a)+1}−{ f (a)+ f (0)} f (0) f ′(a){ f (0) f (a)+1}

1+ f (a) f (b)0 であってf (a+b)=………②f (a)+ f (b)を満たしている”
1+ f (a) f (b)ことから求めることができます。更に，微分方程式を解くことによって②において，特に，a=0 とおくと〔{ f (0)}+3〕{ f (0)}=0
よって，{ f (0)}+3>0 であるから
f (0)=0e −1f ()= e +1【考察 3 】を得ます。このことから問題 2 は右上図からも分か①において，特に，a=b=0 とおくとるように明らかです。また，問題 2 においては，入試問題の観点から

f (0)=
したがって“任意の実数 a，b に対して1+ f (a) f (b)0 を満たしている”ことが仮定されていますが，一般的に記述の必要はないと考えてもよいでしょう。
ここに，問題 2 を次の問題 2′として出題してもよいことになります。ただし，設問は省略します。

よってf (0)+ f (0)1+ f (0) f (0)f (0)〔{ f (0)}−1〕=0

f (0)=0， f (0)=1， f (0)=−1

以上，考察 1 から考察 3 を考えましたが，実際，生徒は考察 1 ，考察 2 で考えることはほとんどなく，考察 3 で考え途中で頓挫する場合が圧倒的です。恒等式の学習内容の再確認からも“問題 1 の略解と問題 2' の考察 1 を合わせて問題 2′指導する”

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 f () が f ′(0)=1 を満たし，さらに任意【発展】
関数方程式に関する出題は理系においては珍しくの実数 a，b に対してf (a+b)=ことも重要だと考えます。

ありませんが文系においては稀です。発展事項としf (a)+ f (b)1+ f (a) f (b)て授業に取り入れても興味深いと考えます。1997を満たしている。

年 明治大学 政治経済学部 の入試問題を問題 3 とここで，問題 2′においての f (0)=0 の求め方にして掲載しておきます。
問題 3

ついて考えます。

実数全体で定義された実数値関数 f () が次【考察 1 】f (a+b)=f (a)+ f (b)1+ f (a) f (b)①において，特に，b=0 とおくと………①の条件⒜，⒝を満たすとする。
⒜

1+≦ f ()⒝f () f ()≦ f (+)9このとき，次の各問に答えよ。

“ −1=(−1)(+1) は恒等式であり，⑴

f (0)=1 を示せ。

(−1)(+1)=0 は方程式である”⑵

任意の実数  に対して， f ()>0 を示せ。

ことからこれらを③として書き表すのはやはり適当⑶

<0 に対して， f ()<1 を示せ。

でないと考えます。

§4．おわりに§3．授業実践にあたっての注意
虚数単位 i と恒等式について，複素数の相等a+bi=c+di  a=c かつ b=d(a，b，c，d は実数)
を“ i についての恒等式”と考える生徒もいますから，数学Ⅱの授業時に注意が必要です。
また，方程式と恒等式についても，例えば， 2 次方程式  −1=0 を解くとき生徒の代表的な解答として次の考察 1 ，考察 2 が挙げられます。
【考察 1 】 −1=0………③

=±1

解答としては当然 考察 1 ですが，考察 2 を解答とする生徒も少なくありません。③について10合を分けて答えることはほとんどありません。恒等式と方程式の違いはもちろんのこと問題 2 ，問題 3の関数方程式などと関連して指導する必要があると思います。また，教科書には多項式についての恒等式のみの記述しかありませんので，時機をみて問題2′ の考察 1 などを取り上げてもよいのではないでしょうか。ご意見いただければ幸いです。

〔 2 〕 改訂版 教科書傍用 4 STEP 数学Ⅱ+ B 【考察 2 】
よって

意の関係式を恒等式とみるか，方程式とみるかで場〔 1 〕 改訂版 数学Ⅱ数研出版株式会社

=±1 −1=(−1)(+1)=0

恒等式と考えa=c かつ b=dと答えます。題《参考文献》

したがって (−1)(+1)=0
よって生徒にa+b=c+dを解かせると多くが，数研出版株式会社〔 3 〕 復刊 近代数学講座 5 特殊函数小松勇作
著 株式会社朝倉書店(鳥取県立米子東高等学校)