数理解析研究所講究録 1440 巻 2005 年 127-132127

頂点作用素代数$V_{L}^{+}$とモンスターの極大 2-局所部分群について
島倉 裕樹 (Hiroki Shimakura)
東京大学大学院数理科学研究科
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyoe-mail: shima@ms.u-tokyo.ac.jp

1

序の格子の自己同型
は格子頂点作用素代数に付随する頂点作用素代数偶格子-1 の持ち上げによる固定点として得られるものである. これは頂点作用素代数の自己同型による固定点として得られるオービフォールド模型の典型的な例である. また, ムーンの Frenkel らによる構成 ([FLM]) においてはリーチ格子 A に付随するシャイン加群$L$$V_{L}$$V_{L}^{+}$$V\#$が中心的な役割を果たす. したがってオービフォールド理論の確立やムーンシャイン) やの研究は重要である. 特に表現論 ([Abl, ADL,加温の研究のためにも自己同型群 ([Shl]) に関してよく研究がなされている. その結果 が 2-elementary totally$V_{\Lambda}^{+}$$\mathrm{D}\mathrm{N}2,$$V_{L}^{+}$$\mathrm{A}\mathrm{D}]$$L$even という条件を満たすときに既約加工の同型類全体の集合は分岐則を積として基本可換 21 群の構造を入れることができることがわかった. よってイジング模型などの場合と同を部分加群として持つ VOA に対し, 基本可換 2V 群とじように ([Mil]), このようなと同型な同型な自己同型群を得ることが出来る .1 本稿では, ムーンシャイン加群のいくつかの部分 VOA を考えて, そこから得られる基本可換 2+群について考察する. 特に,の自己同型を用いて記述する,それらの中心化群や正規化群の構造を$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$

2

準備

この章では必要な定義や事実について述べる, 頂点作用素代数の定義や一般論は [Bo,FHL, FLM] を参照していただきたい.の完全加約性が必要になる. 階数 1 の格子に対しては [Ab2, Ab3] にて示されているが,一般の階数に対してはまだ示されていない.
1.-般には$V_{L}^{+}$

128
2.1

頂点作用素代数の自己同型の加群への作用

頂点作用素代数 $V$ , その自己同型$g$, Vg 加群 $M=(M, Y_{M})$ に対して

$Y_{M\circ g}(v, z):=Y_{h\mathrm{f}}(gv, z),$$v\in V$

は $M$ 上の頂点作用素となる. よって, $M\circ g=(M, Y_{M\circ g})$ は Vg 加群と定義するととなる. これにより Aut(V) が VV 加群の同型類全体の集合上へ作用する.
$Y_{hI\mathrm{o}g}$

注意 2.1. VV 陣群 $M$ が既約であったなら, $M\circ g$ も既約である. したがって, Aut(V) が既約 VV 魚群の同型類全体の集合へ作用する. さらに, この作用は次数付き次元と分岐則を保つ.

2.2

頂点作用素代数$V_{L}^{+}$とその性質が構成される. 本稿では詳しく述べないが, 具体から格子頂点作用素代数偶格子に的な構成法に関しては [FLM] の 7 章と 8 章を参考にされたい. さらにの既約門門はこれらでが構成でき, Dong ([Do]) によって対して, 既約 VLL 二群$L$$V_{L}$$\lambda+L\in L^{\mathrm{o}}/L$$V_{L}$$V_{\lambda+L}$尽くされていることが示されている. また, Dong-Nagatomo ([DN1]) によってへの持ち上げ記述されている. 全ての元を一 1 倍する $L$ の自己同型のが$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L})$の位数は 2 となり,$\theta$

を一つと一 1 固有空間による固定部分空間はの既約加群となっている .2はを得る. そしての部分頂点作用素代数,
Dong-Nagatomo ([DN2]) t こよって階数 1 の場合, Abe-Dong ([AD]) によって一般の階数の場合にの既約加群が分類された. また,の分岐則は Abe ([Abl]) によって階とる. すると$\theta$$V_{L}^{+}$$V_{L}$の$V_{L}^{+}$$\theta$$V_{L}$$V_{L}^{-}$$V_{L}^{-}$$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$

数 1 の場合が, Abe-Dong-Li ([ADL]) によって一般の階数の場合に完全に決定された .3

2.3

2 つの命題

この節では本稿において重要な役割を果たす 2 つの命題を紹介する.
$V$を単純な VOA, $D$ を可換な有限自己同型群とする.
に対して$V(f)=\{v\in V|d(v)=f(d)v, d\in D\}$ とおく. また$V(f),$からとおく. すると, 制限によって中心化群の準同型写像
を {が得られる.
勺} の同型類の集合を保つからへの準同の部分群とすると, 同様に制限によって正規化群型写像が得られる.
$f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{D}, \mathbb{C}^{\mathrm{x}})$$H^{C}=\{g\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{D})|V(f)^{\mathit{9}}\cong$$f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{D}, \mathbb{C}^{\mathrm{x}})\}$$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}(D)$$H^{N}$$\Phi^{C}$$V(f)|f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{D},$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{D})$$H^{C}$へ$\mathbb{C}$$H^{N}$$N_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}(D)$$\Phi^{N}$

命題 22. [Shl] 準同型写像$\Phi^{C}$と$\Phi^{N}$は全射であり, その核は $D$ である.

この命題によって, もしの自己同型群がよく分かっていれば, Aut(V) における $D$の中心化群, 正規化群もわかることになる .4$V^{D}$

2-1 自己同型の持ち上げのとり方によらずの頂点作用素代数構造は一意である [DGH].
に関する情報は [Shl] におけるの決定に欠かせないものであった.
4[Shl] では逆に Aut(V) を用いての自己同型群 (の部分群) を考察することで型群に関する重要な情報を得ていた.
3 これら$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$V^{D}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$の自己同128
が 2-elementary とは,の双対格の分岐則に関する命題を紹介する. 格子
が totally even とはとが子の両方が偶格を満たすことであり,子となることである. このような格子に対して [Abl, ADL] で決定されたの分岐則を計算することで, 次の命題を得る.

次に

$L$

$V_{L}^{+}$$L$$2L^{\mathrm{o}}\subset L$$L^{\mathrm{o}}$$L$$\sqrt{2}L^{\mathrm{o}}$$L$$V_{L}^{+}$

が 2-elementary totally even であることは
命題 23. [Abl, ADL](cf. [Shl]) 偶格子の既約加群の同型類全体が分岐則の下で基本可換 2i 群の構造を持っための必要十分条件である,5$L$

3$V_{L}^{+}$から得られる基本可換 2-群とその中心化群, 正規化群

$V_{L}^{+}$から誘導される基本可換 2+群とその正規化群, 中心化群について述べる.
を 2-elementary totally even 格子とする. 単純 VOA $V$ が次を満たしているとする:

この節では
$L$

$\bullet$は$V$$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$と同型な部分 VOA$V^{0}$を持ち,$V$を V00 加群として既約分解したとき完全加約である.の既約加群の同型類全体の集合をあらわすことにする. $V=\oplus_{W\in S_{L}}\mu_{W}W$ をS。では重複度を表す. $M(W)$ で $W$ と同型な
V00 加群としての既約分解とする. ただしは分岐則の下で基本可換 2S 群の構造成分の和をあらわすことにする. 命題 23 からに対しを持つ. この対称性を $V$ の自己同型へ持ち上げる. すなわちの線形写像 $e_{f}(v)=f(W)v,$ $v\in M(W)$ と定めると $V$ の自己同型となる. よってて,の自己同型群を得る. $\tilde{S}_{L}=\{W\in S_{L}|\mu_{W}\neq 0\}$ とというおく. ここで $V$ が次を満たすとする:$V_{L}^{+}$$\mu_{W}$$S_{L}$$f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{\mathrm{L}}, \mathbb{C}^{\mathrm{x}})$$V$$E_{L}=\{e_{f}|f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}, \mathbb{C}^{\mathrm{x}})\}$

・重複度$\mu_{W}$$V$

は有限である.

すると $M(V^{0})=V^{0}$ であることから,りは$\tilde{S}_{L}$

次にと$E_{L}$$E_{L}$$(V_{L}^{+})$

は$E_{L}$の固定部分 VOA となっており, [DM] よと同型である.
はの部分群である .6 よってを考える. 命題 22 よりの Aut(V) における中心画譜の部分群と同型である. [Shl] での方法を用いることではを計算と正規化群の計算が可能であるので, 中心化群

$S_{L}$$N_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\{V)}(E_{L})/E_{L}$Aut$V^{0}$$\tilde{S}_{L}$$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}(E_{L})/E_{L}$$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}(E_{L})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$N_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}(E_{L})$$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\}}(E_{L})$することが可能である.

4

モンスターの極大 2-局所群
前章の方法をもちいて, ムーンシャイン加群の自己同型群における基本可換 2 鮮の中心化群, 正規化群を決定する. 本稿ではムーンシャイン加山$V^{\mathfrak{h}}$l こ関して次のことだけを仮定する.
5 一般に分岐則は 2 つの既約加群の同型類から同型類の形式和への対応を与える. この場合は 2 つの同型類に対して唯一の同型類が対応し, その係数が 1 となる. これにより既約加群の同型類全体の集合上に積を入れると群構造をもつのである.
6 実際にはもっと強く$\mu_{W}=1(W\in\tilde{S}_{L})$となる ([DM]).

130$V^{\mathfrak{h}}$$\bullet$は単純 VOA である.と同型な部分 VOA をもち, この部分 VOA の加群としてとなる. ただし A はリーチ格子とする.

$\text{・}V^{\mathfrak{h}}$

は

$V\#$

$V_{\Lambda}^{+}$

窪$V_{\Lambda}^{+}\oplus V_{\Lambda}^{T,-}$で 2-elementary totally even とする. このときをリーチ格子の階数 24 の部分格子から基本可換 2+群と同型なに前章の方法を適用する. すると,の部分 VOAを用いて記述することが出の部分群を得, その中心点群と正規化群を Autとなる場合について述べる .7来る. 本稿では正規化群が $2_{+}^{1+24}\cdot Conway_{1}$ と
$L$

$L$

$V^{\mathfrak{h}}$$V_{L}^{+}$$V_{L}^{+}$$(V_{L}^{+})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{\mathfrak{h}})$$2^{10+16}\cdot\Omega_{10}^{+}(2)$4.1$2_{+}^{1+24}\cdot Conway_{1}$の形を持つ部分群

まずは $L=\Lambda$ の場合を考える. このときは分岐則の下で$S_{L}$$\mathbb{Z}_{2}^{2}$の群構造を持つ. また,

V#=V\Lambda +\oplus V\Lambda T,- が V+V 加群として既約分解となっている. したがってており$E_{L}$蟹$\mathbb{Z}_{2}$である. 具体的には$V_{\mathrm{A}}^{+}$$\tilde{S}_{L}$は$\mathbb{Z}_{2}$V\Lambda T,- 上一 1 と作用する自己同型が上 1,となっ$E_{L}$ののおける中心化群 (正規化群) を求めよう. [Shl] においてはの既約下であることが示されている. さらに望となる. 以上のこ魚の同型類をそれぞれ保つ. したがって生成元である.

この$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{\mathrm{b}})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\Lambda}^{+})\cong 2^{24}.Conway_{1}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\Lambda}^{+})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\Lambda}^{+})$$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\mathfrak{b})}(E_{L})/E_{L}$とから$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\#)}(E_{L})\cong 2.2^{24}.Conway_{1}$4.2$2^{10+16}\cdot Conway_{1}$$V_{\Lambda}^{+}$

を得る.の形を持つ部分群は階数 16 の Barnes-Wall
次に A の部分格子 $L=\sqrt{2}E_{8}\oplus\Lambda_{16}$ を考える. ただしを考える. 少し記号の乱用になる格子である. そして,の部分 VOA$\Lambda_{16}$$V^{\mathrm{b}}$$V=V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}\otimes V_{\Lambda_{16}}^{+}$のの VV 既約加群としての分解に現れるの既約語群の同型類をと書き,が,の群構造を持ち,部分集合をと書くことにする. このときは分岐則の下で窪はと同型な部分群となっている. よってを得る.とはそれぞれとまずはの自己同型群に関して思い出す.
$V$

$V\#$

$S_{L}$$\tilde{S}_{L}$$S_{L}$$S_{L}$$E_{L}$$\mathbb{Z}_{2}^{10}$$V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}$$\mathbb{Z}_{2}^{10}$$V_{\Lambda_{16}}^{+}$$V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}$

個の既約加群の同型類を持つ,と$\sqrt{2}E_{8}$$\tilde{S}_{L}$$\mathbb{Z}_{2}^{20}$$2^{10}$$V_{\Lambda_{16}}^{+}$

は 2-elementary totally even であるので,$\Lambda_{16}$は分岐則を下に F2 上のベクトル空玉の構造をもつ. さらに, その上に自己同型の作用で保たれる非退化な symplectic 形式に付随するプラス型の二次形式を定義できる,8 そして自己同型群はこの形式を保つ直交群として記述され,と$S\sqrt{2}E_{8}$$S_{\Lambda_{16}}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\sqrt{2}E\epsilon}^{+})\cong O_{10}^{+}(2)$([Gr,$\mathrm{S}\mathrm{h}1]$),$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\mathrm{A}_{16}}^{+})\cong 2^{16}\cdot\Omega_{10}^{+}(2)$$V_{\Lambda_{16}}^{+})\cong O_{10}^{+}(2)\rangle\langle 2^{16}\cdot\Omega_{10}^{+}(2)$([Shl]) となる. そして, 計算によりとなることがわかる.

さて, 中心化群を求めよう. そのためにを求める.
群の元は$H^{C}$

7 前章の方法を$S_{L}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}\otimes$$W_{1}\otimes W_{2},$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}\otimes V_{\Lambda_{16}}^{+})$の$\tilde{S}_{L}$$(W_{1}\in S_{\sqrt{2}E_{8}}, W_{2}\in S_{\Lambda_{16}})$の全ての元を保つ部分の形をしており,

V\Lambda T,-$\tilde{S}_{L}$[こ上一 1 と作用するモンスター
上 1,にはの部分 VOAに用いると,に属する元が属する. 極大 21 局所部分群は同型を除いて 7 つあり, そのうち 5 つの群の中心が $2B$を用いて記述している,元を含む. [Sh2] では, 特にこれら 5 つの群を対応する
8 具体的な写像は, 既約加群の同型類の次数つき次元がに入るときに 1に入るときに 0,によって与えられる.の$V_{\Lambda}^{+}$$V_{L}^{+}$$E_{L}$$V_{\Lambda}^{+}$$2B$$V_{L}^{+}$$\mathbb{Z}[[q]]$$\mathbb{Z}q^{1/2}[[q]]$131
はの元がそれぞれ丁度一回ずつ現れている. したがってののの全ての元を保つ部分群と Autの全ての元を保つ部分群との直となる. し積, すなわち $H^{C}\cong 2^{16}$ となる. よって, 命題 22 よりはと$S\sqrt{2}E_{8}$$H^{C}$$S_{\Lambda_{16}}$$S\sqrt{2}E_{8}$$(V_{\Lambda_{16}}^{+})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+})$$S_{\Lambda_{16}}$$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\mathfrak{b})}(E_{L})/E_{L}\cong 2^{16}$たがって$C_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\#)}$$(E_{L})\cong 2^{10+16}$となる.

次に正規化群を求めよう. そのためにめる.

$H^{N}$

から元$(g_{1}, g_{2})$る. 上で述べたように$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}\oplus V_{\Lambda_{16}}^{+})$をとってこよう. ただし$S_{\sqrt{2}E_{8}}$$g_{1}$$g_{2}$$H_{N}\cong 2^{16}\cdot\Omega_{10}^{+}(2)$$\tilde{S}_{L}$を保つ部分群 $H^{N}$ を求$g_{1}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\sqrt{2}E_{8}}^{+}),$との元として現われるが決まると自動的に一対一対応を与えているので. よって, 命題 22 よりとなる.
がって$S_{L}$の$S_{\Lambda_{16}}$$g_{2}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{\mathrm{A}_{16}}^{+})$

であの元のペアはそれらの間のも決まってしまう. したがって$N_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(Vl}\text{、}(E_{L})/E_{L}\cong 2^{16}\cdot\Omega_{10}^{+}(2)$となる,

した$N_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\#)}(E_{L})\cong 2^{10+16}.\Omega_{10}^{+}(2)$5

最後に今まで述べた方法を用いることで 5 つのモンスターの極大 2-局所群に対応するの言葉で記述することが出来る. では, これらの部分群が実際にの部分群をを生成してモンスターと同型になることを証明できるだろうか. それは宮本雅彦氏の論文$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{\mathfrak{h}})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{V})$$V_{L}^{+}$[Mi2] においての再構成後にその自己同型群がモンスターとなることを示している論が単純群であることを示し,法を用いることで可能であると思われる. すなわちとモンスターとのの部分群を見つけ出しモンスターアマルガムを成す同型をいうのである. 実際にモンスターアマルガムをなす 3 つの部分群は本稿の方法でを用いてさらに捉えられる極大 2V 局所部分群である. 今後はこの方針で研究を進め,モンスターの性質を記述したい.
$V\#$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{\mathfrak{b}})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{\mathfrak{h}})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{V})$$V_{L}^{+}$

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