プロジェクト報告書（最終） Project Final Report

提出日(Date) 2021/01/14

複雑系の数理とシミュレーション
Mathematical and simulation of complex systems
花山竜也 Tatsuya Hanayama
1. 背景
本プロジェクトの分野の現状として、自然界における様々な発生現象を取り上げて数理モデルを構築し、る。そこで、状況によって、わかりやすい方法で数学的解析を行うことを重要視している。

2. 課題の設定と到達目標

その解析により形態形成機構を解明し、数学的解析をプロジェクトが取り組む課題としては、専門的な用行っている。生物の模様や細胞運動などによって発生語の理解やメンバー間の反応拡散系への理解度の差をするパターン形成を数理モデルとして解析することに減らしつつ、反応拡散系についての数値計算とシミュよって、その条件を決定することができる。例えば、レーションを行い解析することとした。生物の拡散やヒトが怪我した後に治癒される現象などは細胞集団の模様が数理モデルで表せることを示すために数値計算振る舞いが必要になる。細胞集団の振る舞いによってプログラムを作成し、前期では捕食者―被食者系につ形成されるパターンの条件を理解し制御することがでいて着目し、後期では Fitzhugh-Nagumo 方程式の解きれば、病気の理解や新たな治療法の開発に役立つ知析に力を入れていった。各課題で様々なパラメータで識を深めることも可能である。これからのパターン形シミュレーションを行い、動画を作成することが到達成としては、人間の皮膚などのパターンを解析するこ目標となる。とを目指している。皮膚のパターン形成を理解するこ

3. 課題解決のプロセスとその結果とで、皮膚がんなどの疾患の早期発見や治療に繋がる

まず、課題を取り組むにあたって専門的な用語の理ことが期待されている。現状では、パターン形成する解に努めた。参考文献の輪読をページごとに分担してこと自体は可能が、数値計算するうえで、式が複雑に行い、各自理解した部分に関してはグループメンバーなっていき解析を行うことがやや困難になったり、わに説明できるようにした。また理解できなかった部分かりにくくなったりしている。つまり、パターンが形に関してはメンバー間での意見の共有や担当教員に意成される詳細な条件を決定するのが難しい状況になっ見を求める等をして理解を深めていき課題を進めていているのである。つまり、パターンを形成させる数理

く上での前段階として、時間をかけて取り組んでいっモデルに対する知識を深めてから、詳細に解析していた。

くことが、パターン形成条件を決定するには大切であ

前期の課題としては、最初に、捕食者―被食者系に拡散を加えた系の空間非依存的な系の解析を行った。

いき、平衡点(b,1-b) ではエネルギーが0 になる。こまず、相平面解析をすることによって、この系には3のことから平衡点(b,1-b) が安定であるということがつの定常状態があることが分かった。この3つの定常わかった。

状態は、「捕食者、被食者が不在な状態」、「捕食者2つ目に、空間的な拡散が発生し、物質の反応がなが不在で、被食者数が環境収容力に等しい状態」、

い系である拡散方程式を解析した。まず、数値計算を「捕食者と被食者が共存する状態」で、この3つの状行うためにテイラー展開を利用して離散化を行った。

態の平衡点は、それぞれ(0,0)、(1,0)、(b,1-b) であっ

数値計算プログラムは差分法を用いて、3次元グラフた。そして、三つの平衡点の安定性を解析するためにの出力と2次元グラフの時間発展での解の振る舞いを線形安定性解析を行った。その結果、(0,0)、(1,0) の確認した。境界条件はノイマン境界条件とし、d=1,Δ場合に不安定状態、(b,1-b) の場合に安定状態である

x = 1,Δt = 0.001 とパラメータを設定し、初期条件をことが判別できた。また、安定状態の場合4a がb/1-bt=0 でu =𝑒より大きい場合は安定渦状点、小さい場合は安定結節られた形の山は時間発展とともに空間全体に広がって点に判別されることが分かった。次に、安定状態の場

いき山の高さはどんどん低くなっていくのがわかっ

合の解の軌道がどのようになるかを解析するためにオた。前期全体を通しては、相平面解析によって定常点イラー法を使って数値計算を行った。数値計算からグを求め、平衡点については線形安定性解析とリアプノ

ラフを出力することで、安定渦状点の場合は解が渦をフ関数を用いて安定性について考察をしていき、捕食巻くように収束しており、安定結節点の場合は解が直者―被食者系の解と平衡点周りの流れ図を二つのパタ線的に収束していることが分かった。その後、平衡点ーンで出力した。これにより反応拡散系について理解の周りの流れ図を出力することで、a=4、b=0.7 の場が深まっていき、パターン形成へのアプローチができ

合は、初期値から平衡点であるに渦を巻くように直線たと考える。拡散項を除いた状態では反応拡散系を解的に解が収束しており、平衡点周りのベクトの流れも析したとは言えない。残された課題としては、拡散項渦を巻いていることがわかった。また、a=0.2、b=0.7を残した状態で捕食者―被食者系を解析することであの場合は、初期値から平衡点に向かって直線的に解がる。それによって真に反応拡散系を解析したというこ収束しており、平衡点周りのベクトルの流れも直線的とになり、生物学で見られるパターン形成を確認する

なものになるのがわかった。その後リアプノフ関数をことにもつながると考えた。

−(𝑥−500)2200を与えた。初期条件によって与え用いることで平衡点の安定性を証明していった。平衡後期の課題としては、最初に、双安定反応拡散方程点(b,1-b) から離れるほどエネルギーが大きくなって式の解析を行った。拡散項を０とおき、f(u) = u(1 −u)(u − a)の常微分方程式の形でヌルクラインを出力

は空間一様にu=-1.41120000000000,v=-し解の流れを確認した。u < 0,0 < u < 0.5 の時はu=01.4224000238418 を与え、t=0 で刺激としてx=0 付に収束し、0.5 < u < 1,1 < u の時はu=1 に収束して近にu =𝑒いることが分かる。二つの安定点に収束していることにし、t が0 から45 になるまで計算を続け、得られから双安定系である。その後、拡散項を加え偏微分方た解を動画化していった。刺激を受けた系はパルス解程式の形で解析を行った。差分法を用いて数値計算をを形成し、その後、時間経過で徐々に進行していくこ行い、時間発展していくフロント波解をグラフ化しとがわかった。その時、境界にぶつかっても周期的境た。a=0.5 のときは、フロント波解はその場から動か界条件によって形を保ったまま進行していくだけであず界面だけ立っていくことから、u-0 とu=1 の安定性るということも確認することができた。

−(𝑥−1)20.5とした。また、x の範囲を0 から150が等しい定常状態であることが確認でき、a=0.1 のと3つ目に、Fitzhugh-Nagumo 方程式を二次元系に拡きは、フロント波解は右に進行し、u=1 の状態が全体張し、線上の刺激として一次元のFitzhugh-Nagumo方を覆いつくしていることから、u=1 のほうがより安定

程式を数値計算したときに得られたパルス解をy 軸方状態であることが確認でき、a=0.9 のときは、フロン向に一様に並べ、その後時間発展をさせた。ただし、ト波解は左に進行し、u=0 の状態が全体を覆いつくしパルス解を並べる範囲はy 軸方向の0 から半分までとていることから、u=0 のほうがより安定状態であるこし、半分からは初期値としてu=-とが確認できた。

1.41120000000000,v=-1.4224000238418 を与え、プ2つ目に、一次元のFitzhugh-Nagumo方程式の数値ロットしていった。この系は線上の刺激を与えると時計算プログラムを作成して、解の振る舞いを動画化す

間発展とともに端点が失速していき、そこから巻き込ることを目的とした。まず、f(u, v) = u(u –α)(β−u)

んでいくため徐々にスパイラルパターンを形成してい– v , g(u, v) = u−γv +σとし、f(u, v) =0, g(u, v)=0くことがわかった。次にこの系の中心に点状の刺激をを解き、u , v 相平面で平衡点付近の流れをグラフ化与え、時間発展させた結果をプロットした。中心に点した。流れ図を出力したことより、1つの安定点に向状の刺激を与え時間発展をさせると徐々に広がっていかって流れていくことがわかったため単安定系と判断

くリング状のパターンが得られることがわかった。

した。その後、差分法を用いて数値計算を行っていっ後期全体を通しては、最初に拡散項のみの系での数た。境界条件は、周期的境界条件に設定して、パラメ値計算を行い、グラフ化することで解がどのように拡ータをα = −√3, β = √3 ϵ = 0.02, γ = 0.5, σ =散されていくか理解することができた。次に、双安定0.7, d = 1,Δt = 0.0025,Δx = 0.1875 とした。初期値

反応拡散系の解析を行い、フロント進行波解をグラフ化することで、反応拡散系の解き方や解の動きについめに数値計算のアルゴリズムを勉強したが、実際にプて理解を深めることができた。次に、Fitzhugh-ログラムに適用できたアルゴリズムは少ししかなかっ

Nagumo 方程式を数値計算し、実際にパターン形成をたため、反応拡散系の効率的で安定的な解析をするた行うことで自然界に発生するようなスパイラルパター

めに複雑な数値計算アルゴリズムを勉強し、プログランを形成することができた。このことから、自然界でムに適用することが今後の課題になる。この課題を達生物などが形成するようなパターンは数理モデルによ成し、より効率的で安定的な数値計算プログラムを作って表現できることがわかった。また全体を通すと数成することで、双安定反応拡散方程式やFitzhugh-

値計算能力やプログラム能力の向上につながったと考Nagumo 方程式以外の反応拡散系の解析を進めることえる。

ができるので、生物の拡散や魚の縞模様のパターン形

4. 今後の課題

成をアニメーション化するなどのシミュレーションを前期では反応拡散系における捕食者―被食者系の拡散項を0 と定義し、反応項だけの式として数値計算プ通して確認していくことが今後必要な作業になると考える。

ログラムを作成した、その後シミュレーションを行い解析を進めていった。しかし拡散項を0 と定義すると参考文献

捕食者―被食者系でも空間に依存しない時間的な変化[1] 三村昌泰総監修. マレー数理生物学応用編. 丸善しか見られず捕食者―被食者系を完全に解析できてい出版, 2016.

ないと言えるだろう。そのためにまず拡散方程式の解[2] 藤本武文. 興奮系におけるパターンの制御. 九州

析を課題とし、後期では拡散方程式の数値計算プログ

大学大学院総合理工学府量子プロセス理工学専攻非線ラムを作成し、シミュレーションを行い、解の振る舞

形物性学講座, 2003.

いを確認した。今後は拡散項を0と定義せず捕食者―被食者系の数値計算プログラムを作成しこの系の解析を進めていきたい。そうすることで捕食者―被食者系の解も空間に依存する形で得ることができ、反応拡散系の解析をさらに進めることができると考える。後期では双安定反応拡散方程式とFitzhugh-Nagumo 方程式の数値計算を行い、解の振る舞いをアニメーションにした。反応項と拡散項が入っている系を解析するた