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漸近線の求め方に関する考察
たま い玉井かつ き克樹伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．漸近線についての生徒からの質問
数学において図を使って直感的な説明を与えることは，理解を深めるのに大いに役立つ。しかし，解析学の分野では，無限の取り扱いなど，非常に神経を使う部分がある。
数学Ⅲの参考書 (〔1〕など) で，曲線 = f () の漸近線を見つけるときには， lim  f ()=a，

無限に遠くまで延びている平面曲線 C に対し，曲線上の点が無限遠に遠ざかっていくとき，その点からの距離が限りなく 0 に近づく直線があれば，この直線を曲線 C に対する漸近線という。
正確には次のように定義する。曲線 C が媒介変数表示 =(t)，=(t) により与えられ，
(t)+(t)  ∞(t  ∞) とする。
lim (a(t)+b(t)+c)=0

lim { f ()−a}=b となるとき，=a+b が漸  

近線となる。といった記述をよくみる。このf ()=a の代わりに，接線の傾きの極限を考  lim

えて lim f ′()=a としてもよいかという質問が  となる a，b，c が存在するとき，直線a+b+c=0 を C の漸近線という。とある。
上の説明に少し付け加える。曲線 C 上の遠ざかる生徒からあった。確かに f () が微分可能な関数で点を P，P から直線 a+b+c=0 に下ろした垂あれば，直感的には正しそうである (図 1 参照)。は線を PH とする。このとき，P が無限遠に遠ざかったして，これは正しいのであろうか。ていくことは，適当な媒介変数 t を用意し，P((t)，(t)) とおくと，OP＝(t)+(t)  ∞ (t  ∞)と表すことができる。ここの t  ∞ は本質的ではない。t  −∞ でも，t +0 でも何でも構わない。
また，曲線と言えば，関数 (t)，(t) の連続性くらいは通常だと仮定する。 P から直線までの距離が限りなく 0 に近づくことは，点と直線の距離の公式より，lim PH=lim

 a(t)+b(t)+c =0，すなわち，
 a+b 

lim {a(t)+b(t)+c}=0 と表すことができる。
図1関数 =のグラフとその漸近線
−1§2．漸近線の定義
この質問に答えるためには，まず漸近線の定義を確認する必要がある。教科書には，漸近線の定義はあまり正確に記述されていない。
岩波数学入門辞典 (〔3〕) によると，漸近線を曲線が，限りなく近づくが，決して交わることのない直線と定義していないことに注意しておきたい。曲線が漸近線と交わることは許される。直線も曲線の一部であると考えれば，直線はそれ自身が漸近線であると考えることもできるが，それは除くことにするのが一般的であろう。
さて，一般の曲線の場合に漸近線の定義を確認したが，関数 = f () のグラフに限ると，この定義はどのように言い換えることができるのだろうか。

15

曲線 = f () は  を媒介変数とする自然な媒介命題 1 により，関数 = f () のグラフが   ∞変数表示 =，= f () をもつので，これを利用における漸近線をもつ場合，それを求めたければ③，して説明する。以下， f () は定義域で連続である④を満たす実数 a，b を計算すればよいことになる。と仮定する。
例えば，直線 =c が曲線 = f () の漸近線に

例えば，関数 =1=+1+のように，−1−1なるとする。曲線 = f () 上の点 P(， f ()) が式の形から lim {−(+1)}=0 と一目で漸近線

直線 =c に近づくことから，  c+0 またはが求められるときは，公式③，④に頼る必要もない。

  c−0 と考える。点 P が無限遠に遠ざかること

しかし，関数 =+  +2+3 のように，式を  から，OP = + f ()  ∞ が成り立つので，これ見ただけではそのグラフに漸近線が存在するかどうらを合わせると，かがわかりづらい関数に対しては，この命題 1 はlim f ()=±∞ または lim f ()=±∞ …①    (極限の計算さえできれば) 確実に漸近線を求められる方法になっているので，非常に便利である。

を得る。
次に，直線 =a+b が曲線 = f () の漸近

また，命題 1 の対偶をとると，③，④を満たす a，線になるとする。このときは，媒介変数は   ∞b のいずれかが存在しないならば，関数 = f ()または   −∞ と考える。曲線 = f () 上の点のグラフには   ∞ における漸近線は存在しないP(， f ()) が直線 −a−b=0 に近づくことはということになる。例えば， f ()=  とすると，f ()−a−b  0 と表すことができるので，③の極限値が存在しないので，放物線 =  にはlim { f ()−(a+b)}=0…②  を得る。
この①や②が高校の数学Ⅲの教科書 (〔2〕など) や参考書に載っている式である。

  ∞ における漸近線は存在しないことになる。

f ()=a を lim f ′()=a にお  
きかえることは可能か§4． lim  

では，本題に移る。はじめの生徒の質問を正確にf ()=a と lim { f ()−a}=b  
で漸近線が見つけられることの説明§3． lim  

書くと次のようになる。ここでも，  ∞ についてのみ考える。

参考書によく載っている方から説明する。

問題 1

 ∞ としても   −∞ としても議論は同じな定義される微分可能な関数とする。直線
=a+b が関数 = f () のグラフのので，以下，  ∞ について考える。
命題 1c を定数とし，f () を区間 (c，∞) でc を定数とし，f () を区間 (c，∞) で定義される連続関数とする。直線 =a+b  ∞ における漸近線であるならば，次が成り立つか。

が関数 = f () のグラフの   ∞ における漸近線であるならば，次が成り立つ。

証明

limf ()=a…③′

lim { f ()−a}=b…④

…③

実は，この問題に対しては，次のような反例をあlim { f ()−a}=b …④げることができる。高校生でも容易に確認できる例

である。

漸近線の性質②より，lim { f ()−(a+b)}=0 が成り立つ。

よって，④が成り立つ。④より，lim

ゆえに，limつ。

16

lim f ′()=af()−a=0

f ()−a =0 となり，③は成り立■解答

正しくない。

(反例)

f ()=sin  (>0) とおく。


三角関数の性質より，−1≦sin  ≦1
よって，− 1 =lim 1 =0 であるので，はさみうちlim −

1 sin   1≦≦

の原理より，limsin  =0
…⑤

したがって，直線 =0 は曲線 =sin  の漸近線である。すなわち，a=b=0 となる。
しかし， ⋅1 sin ′= cos  ⋅2⋅−sinf ′()==2 cos  −sin  図3sin  1 sin  =lim ⋅=0 となり，⑤より，lim関数 =sin  +2(>0) のグラフ
§5．lim f ′() の収束を仮定するとき
がいえるが，極限 lim cos   は存在しないので，極限 lim f ′() が漸近線の傾きと無関係にも思え

極限 lim f ′() は存在しない。すなわち，③′ はないので，もう少し調べてみた。すると，問題 1 に成り立たない。

おいて lim f ′() の収束を仮定すれば，③′ と④が

■この反例では， を大きくするにつれて，グラフ上の点は  軸に近づいていくので，漸近線の定義より， 軸が漸近線となる。しかし，= f () の接線の傾きは 0 に近づくことはなく，およそ −2 と 2 の間の値を行ったり来たりする (図 2 参照)。
この例からも分かるように，漸近線が接線の極限であるというのは誤解であるので注意しておきたい。

成り立つことが分かった。以下，このことを証明する。
補題 1f () を区間 (c，∞) で微分可能な関数とするとき，極限値 lim f () と極限値


lim f ′() が存在するとき，lim f ′()=0 が成り立つ。
証明

lim f ()=α，lim f ′()=β とおく。

t>c とすると，平均値の定理より，
f (t+1)− f (t)= f ′(s) …⑥，(t+1)−tt<s<t+1 …⑦を満たす実数 s が存在する。
⑦より，t  ∞ のとき s  ∞ である。
よって，⑥の両辺で t  ∞ とすると，仮定より，左辺は lim図2関数 =sin  (>0) のグラフ
f (t+1)− f (t) α−α==0 となり，(t+1)−t1

右辺は lim f ′(s)=β となる。
以上より，β=0 となるので，題意は示された。
■

今回挙げた反例は，曲線 = f () が漸近線と無限回交わる。曲線が漸近線と交わることは許されているので，これで解答としては十分であるが，この関数 f () に2を加えると，漸近線と 1 回も交わらない例を構成することもできる (図 3 参照)。



この補題は無限級数 ∑ a が収束するならば
lim a=0になるという定理の類似である。

( f () が ∑ a， f ′() が a に対応する。)
17

命題 2

命題 3c を定数とし，f () を区間 (c，∞) で定義される微分可能な関数で，極限値定義される微分可能な関数で，さらに，極限値lim f ′() が存在するとする。このとき，lim f ′() が存在すると仮定する。直線

=a+b が関数 = f () のグラフの   ∞

lim f ′()=af ()f ()も収束し，等式 lim=lim f ′()が成り立つ。

…③′

証明

lim { f ()−a}=b …④ε−N 論法を用いて示す。

lim f ′()=β，g()= f ()−β とおく。

漸近線の性質②

証明

lim



における漸近線であるならば，次が成り立つ。
c を定数とし，f () を区間 (c，∞) でlim g′()=lim { f ′()−β}=0 であるので，任意

lim { f ()−(a+b)}=0が成り立つので，④が成り立つ。②の関数を微分すると，{ f ()−(a+b)}′= f ′()−a となる。
ここで，仮定より，極限値 lim f ′() が存在する
ので，極限値 lim { f ()−(a+b)}′ も存在する。


よって，②の関数 f ()−(a+b) に対して補題
1 が使えて，lim { f ()−(a+b)}′=0の ε>0 に対し，c より大きいある正の実数 N が存在し，>N   g′() <εが成り立つ。
このとき，>N とすると，
g()−β = f () g()−g(N )≦+ g(N ) が成り立つ。すなわち，lim { f ′()−a}=0 とな=

るため，③′ が成り立つ。

■

平均値の定理より，g()−g(N )=g′(s)，N <s<−N§6．補足
生徒の質問に対しては，これで十分説明ができたと思うが，最後にいくつか注意点を補足しておく。
(注 1 )

f ()が収束しても，lim f ′() が収束limlimを満たす実数 s が存在する。
)
 g()−g(N= g′(s) <ε
−N

よって，
∴

 g()−g(N ) <(−N )εしたがって，するとは限らない。つまり，一般に等式(−N )ε  g(N ) −β <+ f ()f ()=lim f ′()

は成り立たない。

例f ()=sin  や，問題 1 の f ()=sin 一見，ロピタルの定理を使えば成り立つようにも思えるが，左辺が不定形

 ∞∞  とは限らないので，ロピタルの定理は使えない。
(注 2 )

極限値 lim f ′() が存在すると仮定すると，
等式 lim

 g()−g(N )   g(N ) +f ()=lim f ′() は成り立つ。より正確に述べると，次の命題が成り立つ。(証明は高校レベルを超える。)<ε+

ここで，>max N ，

 g(N ) 

 g(N ) ε

(∵

N >0)

 とすると，

 g(N ) <ε であるので，
−β < ε+ε=2ε
 f ()が成り立つ。
ε は任意より，lim

よって，limf ()=β が成り立つ。
f ()=lim f ′() が成り立つ。
■18命題 1 と命題 3 を合わせれば，命題 2 の別証明になる。ちなみに，この命題 3 は1 
∑ a=α   n lim a=α  lim
の類似である。

f ′() が a，(注 3 )f ()
1 が∑ a に対応する。
n f ()等式 lim=lim f ′() が成り立った




としても，関数 = f () のグラフに   ∞ にf ()f () lim f ′()   ∞ における漸近線
 
−1

収束

収束

存在する

sin  

収束

発散

存在する

 収束

収束

存在しない

sin 収束

発散

存在しない

発散

発散

存在しない表1おける漸近線が存在するとは限らない。
(例lim

5 つのパターンf ()=  や， f ()=log )

つまり，③や③′ を満たす実数 a だけ存在しても，④を満たす実数 b が存在しないならば，漸近線は存在しない。

《参考文献》〔1〕

チャート式

基礎からの数学Ⅲ

〔2〕

教科書

〔3〕

岩波数学入門辞典

高等学校

数学Ⅲ

数研出版

数研出版

岩波書店
(京都府東山高等学校)

19