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教科横断的な授業実践∼地震を図形の方程式で捉える∼
もり のたかひろ

森野 高広

伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．きっかけ数学 B の空間ベクトルの学習で，空間の問題を想像することが難しいやベクトルの計算はできるが，実際に何が起きているかわからないと感じていた生徒が多かった。想像しにくい空間図形の問題を機械的に処理することができることは，空間ベクトルの良さではあるが，実際の現象と絡めた題材で，この単元の良さを感じてもらいたいと思った。
そこで私が，教材として採用したのが地震の震源の深さを求める問題である。地震の波は震源から観測地に向かって直接伝わってくる。この現象を捉えるためには空間図形の考え方が必要であり，今回は球の方程式を活用した解法を紹介する。

§2．地震の基礎知識について
この教材を扱うためには，中学理科の知識がある§3．扱う教材の説明について今回扱う問題や地図について以下のような注意を行う。
○本問題は実際に起こった地震ではなく空想のものである。
○次の図は大津市を中心とした実際の縮尺に合わせた地図である。
○上側が北で，右側が東を表し，1 目もり 10kmの距離である。
○問題文にある，初期微動による揺れは P 波，主要動による揺れは S 波によるものとする。
○各地点の標高はすべて 0 m とし，地球が球面であることは考慮しない。
○ 2 =1.4， 3 =1.7， 5 =2.2， 7 =2.6，
 11 =3.3， 13 =3.6 を用いてもよい。

程度必要になる。授業の最初には地震の現象についての以下のような知識を確認するようにした。
○地震地下の岩石が破壊されることで大地が揺れる現象○地震波
震源断層から発せられ，岩盤・地層中を伝わる波○P波先に伝わる波。この波による揺れを初期微動という。
○S波次に伝わる波。この波による揺れを主要動という。
○初期微動継続時間
最初に P 波が到達し，次に S 波が到達するまでの時間

8§4.1．地震の震央の位置，震源の深さを求める①【問題】

ある地震が関西圏内で起こった。このとき長浜，舞鶴，宝塚の 3 地点で同時刻に初期微動と主要動を観測した。この時，初期微動継続時間は各 3 地点とも 3.5 秒であった。
今回の地震におけるこの地域一帯の P 波の速さを秒速 5 km，S 波の速さを秒速 4 km とする。

次の問いに答えよ。
⑴

この地震の震央の位置を求めよ。

⑵

この地震の震源の深さを求めよ。

【解答】⑴ 長浜，舞鶴，
宝塚の各地点を N，M，Tとする。
この 3 地点で同時に初期微動と主要動を観測した§4.2．地震の震央の位置，震源の深さを求める②ため，震央から各 3 地点までの距離は等しい。

【問題】

つまり，この 3 点を通る円の方程式をとき敦賀，亀岡，
四日市の 3 地点で， + +l+m+n=0 とすると，この円の中震源で地震が発生してから最初の揺れを観測す心が震央と一致する。

るまでの時間を計測した。
敦賀では地震がこの円が，N(3，4) を通るから発生して 12 秒後に初期微動を観測した。亀3+4+3l+4m+n=0

岡では地震が発生して 10 秒後に初期微動をM(−4，5) を通るから

観 測 し た。四 日 市で は 地 震 が 発 生 し て(−4)+5−4l+5m+n=0

14.4224 秒後 (4 13 秒として計算してください)T(−5，−2) を通るから(−5)+(−2)−5l−2m+n=0
これらを整理して，解くとに初期微動を観測した。今回の地震におけるこの地域一帯の P 波の速さを秒速 5 km，S 波の速さを秒速 4 km とする。次の問いに答えよ。

l=2，m=−2，n=−23 + +2−2−23=0

よってある地震が関西圏内で起こった。この

これを式変形すると (+1)+(−1)=25
中心は点 (−1，1)，半径 5 の円となり，震央は大津から西に 10 km，北に 10 km の地点である。

⑴

この地震の震央の位置を求めよ。

⑵

この地震の震源の深さを求めよ。

【解答】⑴ 敦賀，亀岡，四日市の各地点を T，K，Y とする。(この点は空間座標とする)
震源から敦賀までの距離は 5×12=60 km
よって，震源は T を中心として半径 60 km の球面上にある。この球面の方程式は(−2)+(−8)+ z =36……

同様に，震源から亀岡までの距離は
5×10=50 km
震源はKを中心として半径 50 km の球面上にあり球面の方程式は (+3)+ + z =25……

震源から四日市までの距離は5×4 13 =20 13 km⑵各地点から震源までの距離を l km とする。初震源は Y を中心として半径 20 13 km の球面上期微動を観測するまでの時間を t 秒とするとにあり l=4(t+3.5)

球面の方程式は (+3)+ + z =25

l=5t

これを解くと

t=14，l=70⑴ より震央までの距離は 50 km であり，三平方の定理より震源の深さは 70 −50 =20 6 =20× 2 × 3 ≒47.6 km……

震源は 3 つの球面の共有点であるため
− より5+8=24

− より=0，……に代入して

=3

これより震央の位置は大津から北に 30 km の地点9⑵に代入してz=± 7

図1

震源の z 座標は負の数と定めると，震源の座標は (0，3，− 7 )
よって震源の深さは

 7 ×10≒26 km§5．地学における求め方
地学ではコンパスと定規を用いて作図による求め方がある。次の手段で作図すると震央の位置と，震源の深さが平面上にも現れることになる。
①

観測地を中心として震源までの距離を半径とする円を描く。

②

円と円の交点を通る直線を計 3 本引く。

③

3 本の直線の交点 S が震央となる。

④

1 つの観測地 (下の図は四日市) と震央を通る直線に対して震央を通る垂線を引く。(図の点線)⑤④ の垂線とその観測地を中心とする円との交点 A，B をとる。

⑥⑤ の交点と震央までの距離 AS または BS(図の太字) が震源の深さになる。

生徒にはなぜ以上の ①∼⑥ の方法で震源の深さが求められるかを考えさせる。球と球の共有点の集合が円になる。また，その円の中心が震央となるため，震源の深さ，線分 AS はともに円の半径と一致する。
図 1 は授業で生徒が線分 AS の長さが震源の深さと一致する理由について説明する際に使った図である。

10§6．ICT の活用
本授業では，空間で起こる事象を想像し，数学の問題として捉えることで，問題解決していくことを目的にしていた。そのため，生徒が答えにたどり着くまでは，グラフを作成するソフトで確認することはしなかった。基本的には生徒がノートや黒板に記述した図のみで問題解決を行った。生徒同士の説明やグループでの協議，生徒の発表などで書面上解答にたどり着いたときに，グラフ作成ソフトで球の方程式を立体的に見せた。その時に，考えていた通りになったと満足げな生徒もいれば，それまで説明を聞いて納得できなかったことがわかったと感じた生
徒もいた。
図2

図 2 は§4.2 の問題での球面の方程式を上空から見て，z=0 の平面での図形である。ちょうど真ん中で 1 点で交わるところが震央である。しかしここでは，球面は z=0 の平面上で交わっているのではなく，地下深く，つまり z<0 の点で共有している。

図3間が同じ§4.1 の場合は円の方程式を用いて，空間の事象を平面のみで扱うことができた。しかし，実際には各観測地での時間が同じになることはほとん
どない。より現実的な問題としては§4.2 の内容が適切である。ただ，いきなり§4.2 の内容に取り組むと空間のイメージがつかめない可能性があり，まずは§4.1 の問題に取り組むことで地震という現象を空間的に捉える機会とする。また，最後に数式を用いない地学の方法についても考えることで，地学図 2 は§4.2 の問題での球面の方程式を立体的に見たものである。ここで震央と震源の違いについて明らかになるだけでなく，球面の方程式を使って求める理由も理解できる。
本問題だけでなく，ICT の活用については慎重に扱うべきであると考える。各々の授業で何を目的にするかによって ICT を活用することが効果的であるかを常に吟味する必要がある。単にわかりやす
いから，図を描く手間が省けるという理由のみで ICT 教材を使用するのでは，生徒に対して適切な負荷を与えられないことに繋がってしまう。本時のように，想像しにくい空間図形を途中で見せてしまうと，生徒の思考は止まる可能性がある。生徒たちなりに納得した解答を出した後に確認をしたり，生徒が説明する際に使う補助的な図として扱ったりでも数学が生かされていることを知ってもらいたい。
今後は教科横断的に様々な教材を扱うことで，多面的な視点を持つだけでなく数学の良さをより多くの生徒が感じてもらうようなきっかけを作っていきたい。
また，本教材では地震の波の伝わる速さや震源の深さの数値は実際に起こりうる値を採用している。
しかし，地学の視点で考えると本教材は厳密さに欠ける。例えば，波の伝わる速さは本問題では常に一定の速さであると仮定をしたが，実際には地震が起きた周辺の地質によって速さは異なるものとして考えなくてはいけない。このように本教材で踏まえられていない現象は多数あるが，今後地学を深く学習する生徒にとってより興味を持つきっかけとなれば幸いである。

した。授業の展開，生徒の反応に応じて，どこまでの図を掲示するかを柔軟に判断することが望ましい。

§7．おわりに地震の震源の深さを求める際に観測するまでの時《参考文献》〔 1 〕 数学 B  数研出版
〔 2 〕 地学基礎改訂版 啓林館〔 3 〕 ニューステージ新地学図表 浜島書店
(滋賀県立守山高等学校)

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