多段線形近似による膜の材料非線形解析のための弾性パラメタ算定法
南 宏 和*
1山本千秋*
1
瀬川信哉*
1

河野義裕*
1
梗概PTFE コーテイング・ガラス蹴倒英材料は顕著な材料非線形特性を持つ。 この膜材料が使用される膜構造建築物のより精密な応力解析のために、その非線形性を考慮する実用的方法を提案した。その方法は、多段線形近似法である。この朕材料が 2軸伸長をするときには、たて糸方向の応力 (Tx)とひずみ (e x)、よこ糸方向の応力 (Ty) とひずみ (e y) の値はこの材料の特性として定まっているある曲面上の値として生じる。
まず、こ の曲面の全領域を、多段に分割された応力範囲の一つの段の幅と、あらかじめ設定された応力比(Tx庁'y)の二つの値の区間で指定することができる小さな領域に分ける。次に、この小さな領域内では応力とひす町みの関係は線形と仮定する。そして、この小さな領域でのみ使われる値として弾性パラメタを最小 2乗法で算定する 。膜の応力解析では、多くのこの小さな領域ごとで算定され記憶された弾性パラメタを用いcm の正方形の PTFEーガラス繊維朕の空気圧を受けるときの擦みの実験て数値計算が進められる。 一辺が 40値と比較することによって、この多段線形近似法の妥当性を検証することができた。

よびガラス繊維とコ ーテイング材料 (PTFE樹』旨)の粘弾性

1 はじめに朕構造建築物の代表的な股材料である PTFE コーテッ変形特性が複合してあらわれるものであろうと考えられる。

ド・ガラス樹佐平織物 (PTFEは polytetrafluoroethylene。

A 程肢の非線形性のこのような顕著さが重視されて、膜機以下ではこの膜材料を A種膜 日と呼ぶ)が特有の顕著な異方造応力解析にその材料非線形性を考慮する方法が研究され性と材料非線形性を持つことは今や周知のことといえよう 。て来ており、 圏内でもいくつかの研究結果が報告されて L必 。

著者らは、たて糸方向応力とよこ糸方向応力の比 (応力比とこれらの研究のうちたとえば加藤ら 剣 、西川ら 6)、南ら η呼ぶ〉を一定に維持しつつ 2軸引張を与える試験法で 2軸応のものは、基本的にはコーティング材料と糸を線材に置き換2軸伸長曲線と呼ぶ)を測定し、いろいろな力ーひずみ曲線 (えてモデル化した単位の平織構造の 2軸変形で非線形 2紬応応力比での 2軸伸長曲線を示すことによってその顕著な異方カーひずみ関係を近似的に表そうとする研究である。従って、性と材料非線形性の存在を報告してきた 2)
九 最大応力が A

材料パラメタは基本的には単位平織構造モデルの構成メン

種般の 1軸破断応力のおよそ 20%の応力 (29.4KN/mバーに関するものとなる。これに対し、たとえば南 3)、日野(30kgf/cm))に逮するまで荷重を与える場合の初回の 2軸ら剖の研究は、コーテッ卜平織物を単一の速続体膜とみなし、引張の 2軸伸長曲線をみると、異方性はもちろん、伸長曲線多段線形近似手法を適用して 2軸応力.ひずみ関係を表そうの応力の全域において非線形牲が顕著であることがわかる。としたものであって、材料パラメタは普通の弾性理論で取りこのうち非線形性は比較的低い応力の範聞 (0‑10KN/m)

扱われる弾性パラメタと考えてよいものである。さらに、河において特に顕著である。そして、その非線形性の様子は応野の研究 8)も連続体朕に関するものであって、たて糸方向お力比に依存 していることが容易に理解される。 このような 2

よびよこ糸方向の応力を、たて糸方向ひずみとよこ糸方向ひ軸伸長特性は、基布であるガラス繊維布の平織構造体 (たてずみを加えた 3次元空間での曲面としてとらえ、ひずみの 4

糸とよこ糸が 3次元構造を成し℃いる 〕の 2軸変形特性、お次多項式を用いると 2軸引張試験結果と良好な対応を示すこ*1太陽工業 (株)空間技術研究所‑
45‑

とを述べている。
膝材料についての材料非線形性の取扱いに関する現在ま告の弾性パラ メタ算定法は、隣合う値の応カ比で凶まれた 2軸伸長特性曲面の限られた領域で多段線形近似をするもの

での研究の状況は以上のとおりであるが、我が園内に関するであって、既報のパラメタ算定法は全応力比を含む問幽面の限り、工業上でその材料非線形性が何らかの方法により考慮領域で同様の近似を行う方法である。本報告のパラメタ算定されて膝構造応力解析が実施される ことは未だ常態化してx、1'y、 ex、 ey]が成す顕著な非線形関係を非常法は、 [1'いない。このような状況に対応して著者らは、現在工業上でに狭い領域に限定して線形近似をしようとするもので、線形日常的に実施されている膜構造の線形弾性応力解析の有￨援近似誤差をより小さくしようとする方法である。

要紫法プログラムに容易に組み込むことができる、かつ 2軸伸長幽線に対する十分な近似ができる材料非線形性の取扱

2A積朕の 2軸伸長特性い法を追究してきた。本報告は、その追究の結果を述べるもA 極般の試料の 2軸引張試験(室温 20"C)を実施して 2のであって、既報 3)の弾性パラメタ算定法を改良した結果を

輸{ljJ長曲線を測定した結果を図 1に示す。ここで縦軸の応力述べるものである。そして、既報と同様に、A種朕の平面矩は変形前の単位幅あたりの力すなわち公称応力で、単位は形肢としての空気圧に対する捺みの実験を行い、提案する郎N/mj (=(l.02kgf/cmj) である。また横輸のひずみは公称[K性パラメタ算定法を検証した結果を述べることにする。

ひずみである。この試料は既報 劫の A種膜試料と同じ商品名

前述のとおり著者らの一人は多段線形近似による朕構造のものであり 、1軸引張破断時の応力とひずみ、および各糸の材料非線形解析のための弾性パラメタ算定法を既に報告方向の総糸密度は既報の1'able1の備とほとんど同じである。

している 九 この算定法は、代表的に選んだ有限個の応力比

また、試料の寸法および 2軸引張試験の方法 (定応力比 2軸の下での 2輸伸長曲線に対して多段線形近似を行い、その各引張方式〉も既報に説明したとお りである。採用した応力比

警告 MUaGTH

意の位世のたて糸方向 (直角座標系の x座標方向とする〉の0Iや1Tx) あるいはよこ糸方向 (同 y座標方向〉の伸長
長応力 (032タをp:定する方法であった。直交異方性弾性理論が適用できて~ìl性パラメタが肢のどこにおいても同じであれば、股の任(gzvむよd

段でどの応力比の伸長曲線にも共通の値として弾性パラメ) とよこ糸方向の応力(1'y) は、たて糸方向のひずみ (e xひずみ (εy) だけで定まる。そうすると、任意の 2軸変形状態の [T"Ty、 ε" ey]の成す関係は、 二つの直角座標・ εyそれぞれの 3次元空間に張ら系 Tx.Ty‑εxおよび Tx.TyJOれる曲面 (以下 これらの曲面を 2輸伸長特性曲面と呼ぶ。 A種朕の顕著な非線形性を表すこの曲面は特有の曲がり方をしている 〉上の点として表し得ることになる、つまり、任意%
56ex， ey(%)の応力比の下での 2軸伸長曲線上の点の動きは、これら二つの2軸伸長特性曲面それぞれの上での点の動きとして解釈しでもよい。これら特性曲面の上で、上述の代表的に選んだ有・0F︐4︑1'
y のある段の値と次の段の備とに対応する境界線で分割さ︒﹃avut V岱げ、これらが一定である境界線で図まれた領域を考えること
x あるいは'ができる。さらにこの領域が、多段に分割した 1れる小さな領域を考えることができる。この小領域は当然曲面であるが、これが適当に小さければ平面であると近似する

SJLph

明噌

限倒の応カ比のうち隣合う値をもっ二つの応力比をとりあこともできる。本報告の弾性パラメタ算定法は、上述の二つの2軸伸長特性曲面上のこのような小領域を平面とみなし、この平面を近似するように最小 2乗法を適用して弾性パラメ)の方法は、 2タを算定する方法である。これに対し、既報 3軸伸長特性幽函上の、多段に分割lした1'xあるいは %のある‑3段と次の段の値に対応する境界で図まれ、全応力比の伸長曲‑
2ーl2345εx，εy(%)

線を含む頓域の曲面を平面に近似するように最小2乗法を適用して弾性パラメタを算定するものであった。つまり、本報

図 l 初回の 2軸伸長時の測定伸長幽線

‑.
46‑&%

条件は、Tx:T"が 1:1、2:1、 1:2、1:0および 0:1で条件下の伸長曲線上の測定データ (Tx、川、ある (1:0と 0:1は正しい表し方ではないが、便宜上それTx‑Tyx‑Ty‑ey
直角座標系でプロットし、・εx直角座標系と T

ぞれたて糸方向、よこ糸方向 1軸伸長を表すことにする〉。

プロッ卜した点を結んで得られる曲面を表示した。こうすれ

なお、図 1の 2軸伸長曲線は初回の 2軸引張をした時の結果

ば、この曲面上の位置によって任意の 2軸変形状態で生じるE.x、 ey)を、である。この図の各応力比条件下の伸長曲線を見て、顕著な[T.
、Ty、 e異方性と非線形性が改めて理解され、さらに後者についてはる。この三つの座標系での曲面を前述のとおり 2軸伸長特性

その様子は応力比に依存することが理解される。続いて 2軸曲面と呼ぶことにする。 2判i
引張試験では応力比が採用した"，E.，)をグラフィ ックに表現することができ

引張荷重をいったん 0にもどし、再び同様の 2軸引張をする。

いくつかの一定値に維持されるよ うに進むが、 Tx‑T，平面上このことを繰り返すと、 2軸f[t長曲線は残留ひずみを残してではその過程は原点を通る直線で示されることになる。図 2

収飲する。本報てはこの収数した伸長曲線の図示を省くが、ではその直線を各応力比について示している。

これは初回引張の伸長曲線に比べると、非線形性がかなり小

図 2の二つの 2軸伸長特性曲面は、本来この自然現象としさくなって直線的と見られるものである。しかし、低応力域て著しい屈曲をもつこともあろうが、 不自然に凸凹があ って(0‑3KN/m) においては依然としてはっきりとした非線形はおかしいものである。従って、図 lの 2軸伸長曲線のデータから作成したこの曲面が異常・に凸凹したものであれば、ま性を残すものである 10)。
さて、このように顕著な非線形性をもっ A種膜については、ず第ーに 2軸引張試験結果の大きいぱらつきがその原因にな[Tx、Ty、 e x、 e y) はどのよってL、る、第二に測定自体が正しく行われていないことが考うに変化してゆくものであるかを理解することは、図 1の表えられる。その点、図 2の 2軸伸長特性曲面には特に異常な現からでは難しし、。そこで、図 2のように、図 1の各応力比凸凹はなく 、そのようなばらつきゃ測定の問題はないとみて2軸変形が任意に進む場合、よいと考えられる。

3 多段線形近似による 5I!
i性パラメタ算定法
および T
Tx‑Ty‑ex.‑
T，‑e，座標系での 2軸伸長特性曲面の模式図(図 3)をみながら、多段線形近似による弾性パラメタ算定法を次に説明する。
2軸伸長特性曲面の最大の T
x、Tyをそれぞれ TxM、TyMとかく。図 2の特性曲面の場合は、たて糸方向、よこ糸方向ともに同じ最大応力までの 2軸引張試験結果に基づいているか

xM=TyMである。そして、各応力比条件での 2軸伸長曲ら、 T線の応力とひずみの全区間を、たて糸方向とよこ糸方向につ<a)T，‑T
y‑εx特性幽面いてそれぞれ M 段に分割する。その分割点の応力とひずみ，
Txl，
Txγ・.，
Txm・‑・、の値をそれぞれ、たて糸方向について Oおよび 0，ε叫Ex2，・.
.，
E.xm，・・・ とかき、よこ糸方向について

OTyl，
Ty2，・・・，
Tym.・
ヘおよび 0，εyl，
εy2，・・・，εym，・・・ とかく 。
町

応力比の値を R=Tx/Tyで定義する。 2軸引張試験に採用した各応力比条件の Rについて、これが一定となる 2軸伸長特性曲面上の線を図 3に示している。
挟まれ
こうして、 2軸伸長特性曲線上で、 Rが一定の線てPる領域、およびその中の応力あるいはひずみの多段の分割区間に対応するさらに小さな領域を指定することができることになる。その小領域を線形近似区域と呼ぶことにし、図 4yに示した特性的面上の ACDBで示す。図 4は、 Tx‑T‑εxあx‑T‑ey座標系の 2軸伸長特性曲面について示すもるいは Tyので、同図(a)は応力比が 1孟R に属する特性曲面上の線形近，，(b)T‑T‑
εy特性曲面似区域を、同図(b)は O孟Rく lに属する特性曲面上の線形近似区域を示す。 1孟R に属する線形近似区域を囲む応力比一

図 2 初回の 2軸伸長時の 2軸伸長特性曲面定境界線に対応する応力比の値のうち小さい方を Ri(図 4(a)の A から B に到る曲線に対応〉、大きい方を R 1 (図4(a)け47‑J>.
>(a) 応力比が 1 ~三 R (=TxfI'y)の特性曲面上の線形近似区域

PJ。

(b)'
fx‑T')‑E ')特性曲函

図 3 2軸伸長特性曲面(綴式図〉(b)応力比が O~R く 1 の特性曲面上の線形近似区域

で Cから D に到る曲線に対応)と表す。また、 0孟R<1に属す る線形近似区域を囲む応力比一定境界線に対応する応

図 4 2翰伸長特性曲面上の 1区画(筏式図〉(図 4(b)の Aから B に到る曲線に対応〉、力比は大きい方を R，+l(
図 4(b)
で C から D に到る曲線に対応)と小さい方を R，と表せることになる。そして、これら(1)および (2)の応力と表す。
以上のように線形近似区域を決める応力、ひずみ、多段分割lの段数および応力比の記号を定めると、図 4(a)あるいは(b)に示した位置 A~D の応力とひずみ [T" T)'、 ε" E y]は、ひずみは定応力比条件での 2軸引張試験による 2軸伸長曲線(
図 1)上の m および m+1段分割点の値として得られる。
ここで、線形近似区域の 2軸伸長曲面 (図 4の A、B、C、Dを頂点とする曲面〕を近似として平面とみなす。そして、この平面内の任意の位置の応力とひずみ [T、，Ty、 E x、 E y]

[1孟Rの場合])(.E﹃tEEEJ

V'4V︒
円︑宅︾tstJlt

VAyVA︐︾
hド+︐︑

早川

E'aaEBEE‑J司tpιpc︑︐E︐.EEEE
E‑‑‑aEEzq

Bt EEEE=FEES J l l︐︑ 目︑D (T，m+h T，m+lノR川、(1)lR=R川〆TIVATiyC(T師、T，m'R川、 Exm、 E yn，)

[E E

1R=R，B(Txm+l、Txm+l/Rl、 εxm+1、 E )'m+l)J︐︐ ︐︑A (Txm、Txm/R、， ε刷、 E ym)

がExm+l、 E ym+l)Jなる線形関係式を満たす と考える。すなわち、この式を線形[0壬Rく lの場合]，，A (RT)'m、Tym， e xm、 εym)1R=凡

B (RTym+l、Tym+l， e xm
刊、 εym+l)J

C (R，+lTym、Tym， e xm、 εym)

近似区域で適用する線形応力ーひずみ構成方程式とする。

lR=R'+l

D (R，+lTm+l、Tym+l、 exm+l、 εym+l)jy(3)式は、前述のように平面近似をした線形近似区域で成立(2)1)あるいは (2)に示しする式である。つまり、この方程式は (た A、B、C、D 点での応力とひずみでも近似的に満たされxx.
.
.Eyy、E，y、ex、eyを、A、B、る。すると、弾性パラメタ E‑48c、D 点におけるその応力とひずみを代入した(3)式の右辺と4.
A種膝への多段線形近似と弾性パラメタ左辺の聞の差の 2乗の合計が最小になるように決定すること

実は図 2の 2軸伸長特性曲面は、各応力比の伸長曲線にができる。そのような最小 2乗誤差の合計を Sとかくとこれ

M=20すなわち 20段線形近似をして線形近似区域を作りこ

は、 A、B、C、D 点のことをそれぞれ k=l、2、3、4で表すれをメッシュとして作図したものである。各メッシュ (線形ことにして近似区域〉について (5)式より弾性パラメタを算定し、それらs= ~ [(乙 - Eι - E， ーにyEyを用いて(3)式が表す伸長曲線を、測定した伸長曲線 (図 1)‑eJl(4)て、たとえば i=lであれば(1)のA (Txm，Tx、 exm、m/民εym)を用いることを意味する。この Sを最小にしているのであるから、近似の弾性パラメタは方程式。~ =̲
!
J̲=̲!
J
̲=~ =~ =0dE
n dEyy dE
早dexx?戸 ︻︻である。 ここで[ 1は、この項の [Tx、Ty、 εx、 εyJ とし拭端笹h(E2凶 )日xp
F+(乙一弘一 Eめr(5)deyを満たす。すなわち、 (5)式を解いて近似弾性パラメタが算定される。

45ex， E y (%)
00
3命令キ2トho'u'v

J/}ザ︿

4(E︑之凶)戸F Rメ﹄︑

32E Z出) ノ F(内.
ち守10%232ex， ey(%)

﹃由﹃‑2却ぬ)ρ

(E ZV ↑) h 4ト(E ZVar‑oFVFa'﹂予叫︿

品評考20‑3E x， εy(%)

1010，。
。
ノ4546εx， ey(%)

E x，0段線形近似の結果
図 5 測定伸長曲線上に表示した 2‑495ey (%)

3と比較できるように示したのが図 5である。この図において、実線の辿絞曲線は図 1 の 2 軸i~l長曲線で、各段でヲ I ~ 、た短い直線のうち 口 印の付 L、たものはその測定 2軸伸長曲線に対して応力比の大きい領域側につながる線形近似区域の弾性パラメタによることを表し、ロ 印の付かないものは同様に応力比の小さい領域側にある線形近似区域の弾性パラメ タによることを表している。各段でのこれらの短い応力.ひずみ直線をみると、同じ段でも隣合う線形近似区域の閣ではその傾きにかなりの差のあることがわかる。もし 2軸伸長特性曲面がもともと平面であれば、この応力ーひずみ直線の傾きの差は理論的にはないはずである。このような傾きの大きな差は、

写真 1 平面飢擁み実験その伸長曲線の近傍では 2軸伸長特性曲面の曲がり方が小さくないことによる。しか し、この傾きの差の存在による線形よってある程度小さくできる。その意味では、図 5の応力比{E U)ω主近似誤差の問題は、 応力比条件と段数をより多くとることに条件の数と 20段程度による多段線形近似であれば、芭観的には実用上は妥当な線形近似が可能と恩われる。
5.弾性パラ メタ算定法の平面政解析への応用

FEM (材料線形仮定)

図 5に示 した多段 (20段)線形近似による各線形近似区域で算定された孫i性パラメタを用いて、 一辺 40cm の正方形
平面 A 粗服 (図 1の 2軸引張試験に用いたものと同じ A 種阪である。たて糸、よこ糸は正方形の辺に平行である〉の空p) による中央点の変位 (w，)を有限要素法 (FEM)
気圧 (1000

プログラム 剖で計算した。このプログラムの解析迎論は、
updatedLagrangi
an法に基づいて荷量増分法を適用するも唱。
p(mmAq)

図G 正方形平面股の中央変位 (w，)と圧力 (p)の関係ので、定ひずみ三角形要素を用いるものである。空気圧力は泊分ステップごとに朕面の法線方向に作用する。この圧力増

4.
9KN/m であった。

分は 2mmAqとした。変形の対称性を考慮して、平面朕の 1

図6には参考として材料線形を仮定した場合の解析値のー， 4部分を解析の対象とした。その要素分割l数は 128である。

例を示 しておく。この場合の弾性パラメタは、図 1の各伸長数で十分であることは、別途確数値解の収数結果がこの分自l

曲 線 上 で 応 力 が oと最大応力 (29.
4KN/m あ るいは認した。
このプログラムでは、荷重増分ステップごとに、各三角形14.
7KN/m)の点を結んだ割線に対して、最小 2乗法を用いる既報 21の方法で算定したものである。 雲・ うまでもなく、図要素において一回前のステップで計算された応力の大きさ1のよ うに顕著な非線形性をもっと線形仮定の弾性パラメタと応力比から 2軸伸長特性曲面上の位置を定めて線形近似区の算定結‑
果はおj線の採り方つまり主観に大きく依存するの域を特定するようになって b、る。線形近似区域が定まると、で、この解析結果を実験や 20段線形近似の結果と比較するその弾性パラメタが記憶されているので新しい増分ステ ッことにはあまり意味がない。

プでの計算をすることができる。なお、せん断応力とせん断ひずみの関係は線形と仮定し、せん断5iii性係数は 49KN/mと定めた。

6 結論

本論に提示した多段線形近似による弥性パラ メタ算定法

このような解析結果を実験 (写真1)の結果とともに図 6は、小さな寸法の平而朕という単純な形態の艇の変形実験のCで実に示す。 実験は図 1の 2軸引張試験と同様に室温 20"

結 果 (これには、単純な朕といっ ても試験体は接合部や鍛を施し、 800mmAqまでの空気圧による初回の変形時の中央変もたず初期挽みを正確に 0に設定できるものであるので、膜位をダイヤルゲージで測定した。 20段線形近似による中央材料自体の変形特性だけによる精密な結果と して測定され変位の解析値は実験備によく 一致していると言える 。なお、得る特長がある 〉との比較によってではあるが、顕著な材料

参考に図 6の空気圧が 2000mmAqのときの解析の応カ備は、非線形性をもっ A 種朕を用いた朕構造の材料非線形応力解

朕中央でたて糸、よこ糸 方向に それぞれ 10.
4KN/m、析に適用可能であると判断できる。

‑50‑

本弾性パラメタ算定法の適用途として、 一般的には、 A穏

築学会構造系論文報告集、第 436号、1992、pp.
13・
19朕を始めとして顕著な非線形性を有する朕材料を用いる朕

4)加藤史郎、PongpoPetch:材料非線形性を考慮した朕仰構造の外力に対する応力解析が考えられる。他に適用途とし造解析ー織構造絡子モデルによる構成行方程式の適用一、て、朕構造物の適正な裁断パタンの算定のために初期朕応力版制躍進研究論文集 (日本版構造協会〉 、NO.
8、1994、の設定値を考慮して行う変形解析が考えられる。この解析へ

pp.
27.
33の適用は、 A 被服では初期応カの一般的な大きさまでの応力5) 日野吉彦、石井一夫・朕構造解析における材料非線形性

範囲での材料非線形性は図 1から明らかなように特に顕著でo.
8、1994，pp.
35.
49の評価、膜構造研究論文集、Nあるから、 非常に有効であ ろうと考えられる。

6) 西 川 燕、石井一夫、小竹達也:織布特性を考慮した股榊

謝辞
K.
K.Choong同士(太陽工業委託研究員)には FE
M 有限私 南 宏 和、中原義雄・有限要素法を応用 したコーティング

989、pp.
41・
印
造の応力・変形解析法、膜構造研究論文集、1.29、1980、
平織物解析法、材料 (日本材料学会〉、Vol

pp.
916.
921

変形解析に￨渇する武重な討論の般会を得たので感謝する。

8)河野義裕:データ選定法によ る朕構造の非線形碕i性解析、

股椛造研究論文集、 No.
8、1994、pp.
5
1.
54

参考文献1) 日本朕構造協会 特定朕構造建築物技術基準、 19879) 瀬川信哉、三弁康司、笹川明・朕材の応力2)南宏和.政権造物に使用されるコーティング平織物の二軸変形特性、 日 本建築学会大会学術講演梗概~、 1984 、

pp.303.
304PTFEコーテッド ・ガラス繊維布 (股材料 A程)3)南 宏和 :ひずみ曲線からクリープを分離 した材料定数野価に関する実験的研究、構造工学論文集、 Vol.41B、1995、pp.
259.
26910)南 宏 和

PTF
Eコーテッド ・ガ ラ ス 僻 師 (肢材料 A稲)の種々の力学的特性とその評価、!瓜構造研究論文集、の非線形flfi長曲線への多段級形近似とその応用、 日本建NO.
5、1991、pp.61・70

AMethodo
ftheDeterminatioロofEl
ast
icConstantsfor
MembraneMaωrialNon
li
nearStressAna
lysisUsin
gaMulti・stepLi
nearApproximat
ion
HirokazuMina
mi*1
ChiakiYamamoto*1
SinyaSegawa*1Yosbihi
roKono*1
SYNOPSISPTFE coatedg
lassfiberfabr
i
cex
hibi
tcon
si
derable materi
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n.
li
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sibleωanalyzemoreaccuratelythese me
mbrane structures. The method employ
s multi.
steplinealized appr
oximation. The orthogonal(f.，Ty)andstrains(e"ey)oft
hec
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duse
dint
hestr
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ys
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tr
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