数理解析研究所講究録998 巻 1997 年 126-131

126

保型形式と

$P$

進 Hodge 理論

東大数理斎藤毅 (Takeshi Saito)

email: -saito@$\mathrm{t}$$\mathrm{m}\mathrm{s}$.u-tokyo.ac.jp

を正規化された固有 cusp 形式とし, p を素数とする. 以下簡単のため
を f に伴う 2 次元の絶対 Galois 群と仮定する.
の l 進表現とする. p\neq p が f の level と素ならば,は で不分岐であり,$f= \sum_{n1}^{\infty}=a_{n}q^{n}$$a_{n}\in \mathbb{Q},$$n\in \mathrm{N}$$G_{\mathbb{Q}}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$$\rho f,I$$p$$\rho_{f,\ell}$$\mathrm{T}\mathrm{r}\rho_{f^{l}},(F\Gamma p)=a_{p}$により,は同形を除き定まる.
の分解群は, p\neq p に対しては, 局所 Langlandsへの制限 f対応と両立することが知られている. ここでは, 進 Hodge 理論によって定義される
男手 Dpst を考えることにより, この両立性が p=p でもなりたつことを示す. (保型形式に伴う p 進表現については, [D1] を参照. 以下段落ごとに参照すべき文献をその段落の最後に掲げる.)
まず局所 Langlands 対応との両立性について説明する. まず表現\rho tp の分解群への制限をみる. Grothendieck の monodromy 定理により, $P\neq\ell$
なら, \rho f, 如の惰性群\subset Gp への制限は, 準巾単である. すなわち の開部分群 と巾零作用素 N で\mbox{\boldmath $\sigma$}\in J なら $\rho f,I(\sigma)=\exp(t_{\ell,p}(\sigma)N)$ を満たすものが存在する. ここでは の 巾乗根への作用で定まる準同型である. よって, 核が:$\sigma\in Wp$ での F 半単純表現’7 ” で Tr ’
開な Weil 群にとは標準写像あるものがただ–つ存在する. ここで Weil 群の表よる, Frobenius 置換によって生成される ( と同型な) 部分的の逆像であり,現が F 半単純とは, 任意の元\mbox{\boldmath $\sigma$}\inの作用が半単純なことである. この表現’\rho f, 如とから定まる Weil-Deligneのことを,巾子 monodromy 作用素 $N$ の対群の表現という, (この段落は [D3] 参照)の cuspidal 保型表現とすると,を f によって生成されるアデ一ノレ方,に分解する.
の各素点 に対し,は,
これはテンソル積\mbox{\boldmath $\pi$}fの (無限次元) 既約許容表現である. $v=p$ とすると, 局所 Langlands 対応により,により,に対応する Weil-Deligne 群の 2 次元の表現\mbox{\boldmath $\sigma$}(\mbox{\boldmath $\pi$}f,p) が定まる. 仮定
これは上有理的である. (この段落は参照.)
上で述べた両立性とは,である. この条件により$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}- \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{s}- \mathrm{c}_{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{y}_{0}1$$\rho_{f,\ell}$$G_{p}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(.\overline{\mathbb{Q}}_{p}/\mathbb{Q}_{p})$$\rho_{f,l}$$f,\ell,p$$P$$G_{p}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathbb{Q}}_{p}/\mathbb{Q}_{p})$$t_{I,p}$$I_{p}arrow \mathbb{Z}_{l}(1)\simeq \mathbb{Z}\ell$$J$$I_{p}$$I_{p}$$p$$p$$W_{P}\subset G_{p}$$\rho_{f^{l_{P}}},,(\sigma)=\mathrm{T}\mathrm{r}\rho f,\ell,p(\sigma),$$f_{\rangle}$$p$$G_{p}arrow \mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{F}}_{p}/\mathrm{F}_{p})$$W_{P}$$W_{p}$$\mathbb{Z}$$W_{P}$$(’\rho_{f\ell_{P},N},,)$$\rho f,\mathit{1},p$$GL_{2}(\mathrm{A})$$\pi_{f}\backslash$$=\otimes_{v}\pi_{f,v}$$v$$\mathbb{Q}$$\pi_{f,v}$$GL_{2}(\mathbb{Q}v)$$\pi_{f,v}$$a_{n}\in \mathbb{Q}$$[\mathrm{D}2],[\mathrm{K}\mathrm{u}]$$\mathbb{Q}$定理.

$(C\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}yol[\mathrm{c}l)$p\neq \ell ならば,$(’\rho_{f^{\ell_{p}}},,, N)\simeq\sigma(\pi f,p)$.

のことである.
とする. まず関手 Dpst の定義をする. Bst を Fontaine が定義した環とする.
の有限次元 進表現 $V$ に対し
これはを含む $B_{dR}$ の部分環である. 分解群$p=\ell$$B_{\text{。}\Gamma is}$$G_{p}$$P$$D_{pst}(V)= \bigcup_{J\subset I_{\mathrm{p}}}(B\otimes Vst)^{J}$

Typeset by$A_{\mathcal{M}}S- \mathrm{I}ffl$127の開部分群を走り, 右肩の」は不変部分を表す. 以下$D=D_{pst}(V)$ とかく. $D\text{は有限次元}\hat{\mathbb{Q}}^{n}pr(=B_{st}J)$ 線形空間であり $\dim D\leq\dim$ V がsemi-stable の略) であなりたつ. $\dim D=\dim V$ となるとき, V は(るという. $D=D_{p_{St()}}V$ 上の Weil-Deligne 群の表現を Fontaine に従って定義する.
Galois 群 の自然な Bst への作用と V への作用は, D への半線形な作用を定める. 半線形というのはへの自然な作用と両立するということである. Frobeniusと修は, Bst 上の半線形な作用素だから, これを使って Galoisの線形な作用が得られる.
に対し,正することにより, Weil 群
はその標準写像による像である. D の N は Bst の $N$ によってひきおこされる. V が夜型形式 f から定まる表現\rho f,p, のとき, このようにして定まる Weil-Deligneの表現の F 半単純化を $(’\rho_{f,p,P}, N)$ で表す (この段落は [Fo] 参照.)
とおく.

ここで $J$ は惰性群

$I_{p}$$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{t}$$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}$$G_{p}$$G_{p}\text{の}\hat{\mathbb{Q}}_{p}^{nr}$$\text{群^{の}作用を}\varphi\circ n(\sigma)\sigma$$\varphi$$W_{p}$$\text{ここで}\sigma\in \mathrm{w}_{p}$$n(\sigma)$$W_{p}arrow \mathbb{Z}$$P$

主定理. 表現\rho \rho f,p,$p$

は potentially semi-stable であり,$(’\rho_{f,p,p}, N)\simeq\sigma(\pi f,p)$.

$\text{命題^{}\vee}$$\sigma(\pi_{f,p})$.

に対し, monodromy filtration は vveight 五 ltration を与える.

命題の意味を説明する. 巾零 monodromy 作用素 $N$ : $Varrow V$ に対し, その mon-odromy filtration とはの ffltration

が同型 $Gr_{i}Varrow Gr_{-i}V$をひきおこすものとして特徴づけられる. この Filtration が weight filtration を与えるの Weil 群への (任意の) もちあげ\mbox{\boldmath $\sigma$}\in)とは, 幾何的 Frobenius
そのにたいし,
GriV への作用の固有値が代数的数であり, その全ての共役の複素絶.
対値が $p^{(+}k-1i$ ) となることをいう.
一般に motive から定まる p 進表現について, monodromy ffltration は weight fil$V$$V_{i}$

で $N(V_{i})\subset V_{i-2}$ で$N^{i}$$Fr_{p}\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{F}}_{p}/\mathrm{F}_{p})$$W_{p}$$/2$

tration を与えると予想されているが, これが確かめられている場合はそう多くない.
証明の概略は次のとおり. まず\rho f,p, がであることは, 兵頭-加藤辻により証明された Cst 予想とこの表現が久賀-佐藤多様体のコホモロジーの直和因子であることの帰結である.
予想とは, 進体上の semi-stable reduction をもつ proper smooth 多様体の
進 etale cohomology は stable 奉現であるという命題である. ここで, semi-stablereduction をもつというのは, 整数環 O 上の proper な正則モデルで, 閉ファイバーが心立な正規交叉因子となるものをもっという意味である. 進表現 $V$ が stable 表現であるとは $\dim V=\dim(V\otimes B_{S}t)^{I}$ ということであり, $D_{pst}(V)$ への惰性群 I の作用が参照)
自明といっても同じことである. (この段落は久賀-佐藤多様体とは, modular 曲線 M 上の普遍楕円曲線 $Earrow M$ のファイバ積 $X=E\cross_{M}E\cdot \mathrm{r}\cdot \mathrm{x}_{M}E$ のコンパクト化である. 因子 E の個数は, f の重さ k かの有限髭面大ら 2 を引いたものである. 後で触れるように, 久賀-佐藤多様体は,
上 semi-stable reduction をもつので, そのコホモロジ一, 従ってさらにその直和因子はとわかる. .
同型を示すには, 上で紹介した Carayol の結果により, と $P\neq P$ を比べればよい.
.
正確にいえば,$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{t}$$P$$C_{st}$

$P$

$P$

$p$

$.[\mathrm{K}],[\mathrm{T}]$$\mathbb{Q}_{P}$$\rho_{f,p,p}$$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{t}$

$P$

(1)
$\mathrm{T}\mathrm{r}(\sigma|D_{p})=\mathrm{T}\mathrm{r}(\sigma|V\ell)$128

が, $\sigma\in W_{p},$ $n(\sigma)\geq 0$ についてなりたつ. ここで, 巧は\rho f,p,\ell の表現空間,$D_{p}=D_{pst}(V)p$ で, $n:Warrow \mathbb{Z}$ は標準写像である.

(2)$D_{p}\text{上の}$

Nが

$0$

$\Leftrightarrow$

巧上の N が .
$0$の元) 左辺はを示せばよい. (1) 1 こおいて, 定義によれば右辺は 進数 (正確には\ell 進数であるが, これが両辺ともに有理数 (一般には f の Fourier 係数によって生成される代数体の元) で等しい, というのが (1) の等式の意味である.
これを最終的には Lefschetz の跡公式に帰着することによって示す. Lefschetz の跡公式は p 進 etale cohomology についても, cristalline cohomology に対しても次のように同じ形をしているから, 上のような等式を導くことができるのである.
$P$

Lefschetz の跡公式. $X$ を標数
Fを$X$$..p.\cdot>0$$\mathbb{Q}_{p}^{nr}$の代数閉体 k 上の proper smooth 多様体とし,の代数的対応とすると,$T\mathrm{r}(\Gamma :がなりたつ. ここで$\ell\neq p$

H^{*}(X, \mathbb{Q}_{l}))=T\mathrm{r}(\Gamma’.

H_{c}*(risx/W))=(\triangle, \Gamma)$

であり, $Tr(H^{*})$ は跡の交代和,$(\Delta, \Gamma)$

は交点数を表す.

cristalline cohomology についての跡公式は, Gillet-Messing と Gros により独立に cristalline cycle 写像を定義することにより示されている.. (\ell 進 cohomology の[Cycle] 参照)
Lefschetz 公式については
上の (1) の証明は, 表現\rho f,\ell の cohomological な構成により,$\mathrm{S}\dot{\mathrm{G}}\mathrm{A}4\frac{1}{2}$(1’)$\mathrm{T}\mathrm{r}(\sigma 0\tau_{q^{\mathrm{O} :}}\tau H*(x\overline{\mathbb{Q}}_{\mathrm{p}}, \mathbb{Q}_{l}))=\mathrm{T}\mathrm{r}(\sigma \mathrm{o}T_{q^{\mathrm{O}\tau}}:D(H^{*}(x_{\overline{\mathbb{Q}}_{p}}, \mathbb{Q}p)))$に帰着される. ここで, $X$ は上ででてきた久賀-佐藤多様体であり, Tq(q は f のレベル
や と素な素数) は Hecke 作用素, は普遍楕円曲線 E の-l 倍や成分の置換が定める$X$ の自己同型である. (この段落は [Sch] 参照.)
しかしこの跡の等式を Lefschetz 跡公式から直接導くことはできない. なぜならの作用は Galois 群の作用であり, Lefschetz 跡公式は, 幾何的な作用素についてなりた
つものだからである. そこで Galois 群の作用を幾何的な作用で置き換えることが必要になる. それを可能にするものがこれから説明する weight スペクトル系列である.
weight スペクトル系列とは, 一般に局所体上の semi-stable reduction をもつ多様体に対し, その cohomology を reduction の既約成分やそれらの共通部分の cohomology
で表すスペクトル系列である.
}\hat{\mathbb{Q}}_{p}^{n}r$ の有限次拡大 $K$ の整数部 OK 上の久賀を, $\mathbb{Q}_{P}\text{
佐藤多様体 X の semi-stable モデルとする. これは次のようにして得られる. まず曲線の安定還元定理 [De-Mu] を modular 曲線 $M$ に適用してその semi-stable モデルを得る. これの上の普遍楕円曲線のファイバー積をとって, 久賀-佐藤多様体のは proper smooth なのでこれで cusp 以外モデルを得る. cusp 以外では
では semi-stable モデルが定まる. 最後に Deligne にしたがって, cusp で特異点を解消して semi-stable モデルを得る. Deligne は特異点解消を体上で与えているが, この構成は相対的にも全く同様に行える. こうして久賀-佐藤多様体の semi-stable モデルが構成される. Galois 群, Hecke 作用素, 自己同型の作用は自然にこのモデルに延長されることに注意しておこう. (この段落は [D1] 参照)$p$$\tau$$\sigma$$x_{o_{K}}$の最大不分岐拡大の完備化$M_{O_{K}}$$Earrow M_{O_{t\mathrm{f}}}$

129-Zink の weight スペクトル系列は, このとき$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}- \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{p}_{0}\mathrm{r}\mathrm{t}$$E_{1}^{**}=H*(\mathrm{Y}^{(*)}, \mathbb{Q}_{\ell}(*))\Rightarrow H^{*}(X_{\mathbb{Q}\mathrm{p}}, \mathbb{Q}_{l})$の reduction であり,という形になる. ここで, はは Y の正規化,
はの特異部分を表す. これらは\sim 上の (連結ではない) 射影非特異多様体である.
は半安定曲線から構成されるので, 3 重の交わりはないことに注意する. 添字は複雑なので説明を略す. (この段落は参照)
このスペクトル系列は Galois 群の作用と, Hecke 作用素の作用と, $X$ の自己同型の$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}^{(0)}$$x_{o_{K}}$$\mathrm{Y}^{(1)}$$\mathrm{Y}$$X_{O_{K}}$$M_{O_{\mathit{1}\zeta}}$$[\mathrm{R}- \mathrm{Z}],[\mathrm{I}]$

作用を保つので, 右辺の跡の交代和を求めるには左辺の跡の交代式を求めれば十分である. Lefschetz 跡公式を適用するには, $\sigma\in W,$ $n(\sigma)\geq 0$ のへの作用を使って\mbox{\boldmath $\sigma$}を幾何的に表せばよい.
の自己準同型\mbox{\boldmath $\sigma$}g6Om を絶対と定義する. するとこれの F-p への作用は自明なので\mbox{\boldmath $\sigma$}geom は幾何的な準同型である.
さらに\mbox{\boldmath $\varphi$} の p 進 etale cohomology への作用は自明なので\mbox{\boldmath $\sigma$} の作用との作用は等
しい. 従って\mbox{\boldmath $\sigma$} のかわりに\mbox{\boldmath $\sigma$}ge。m の作用を考えることにより, p 進 cohomology への作用の跡を Lefschetz 跡公式を使って表すことができる.
に対しても全く同様な議論が平行してなりたつ. まず辻によって最終的に解決した Cst-予想により,$H^{*}(\mathrm{Y}^{(*)}, \mathbb{Q}_{l})$$0\varphi^{n(\sigma)}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{S}\varphi$$\sigma_{g\mathrm{e}om}$$p$$D_{pst}(H*(x\overline{Q}_{\mathrm{p}}, \mathbb{Q}\ell))=H_{1\mathrm{S}}^{*r}\mathrm{o}\mathrm{g}-\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{y}(\mathrm{Y}/W)\otimes\hat{\mathbb{Q}}_{p}^{n}$である. ここで右辺のは兵頭-加藤により定義された $\log$ crystalline
cohomology である. この同型は, Galois 群の作用, Frobenius の作用, Hecke 作用$H_{1\mathrm{s}}^{*}\mathrm{o}\mathrm{g}-\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{y}(\mathrm{Y}/W)$$\varphi$

素の作用そして自己同型の作用を保つ. (この段落は参照)$\log$
さらに右辺のcrystalline cohomology については, Mokrane が次の weight ス
ペクトル系列を示している$[\mathrm{H}- \mathrm{K}\mathrm{o}],[\mathrm{K}\mathrm{o}],[\mathrm{T}]$$E_{1}^{**}=H_{cris}^{*}(\mathrm{Y}(*)/W)\Rightarrow H_{logcr}^{*}-ys(\mathrm{Y}/W)$.

このスペクトル系列は, 上の \ell 進のものと全く同じ形をしている. (この段落は [M] 参$\text{照})$.

上と同様に,の代わりに\mbox{\boldmath $\sigma$}ge。m の作用を考えることにより,Lefschetz 跡公式から, 跡が \ell 進の場合と全く同様に表されることが導かれる. 以上に$\dot{\sigma}\in W_{p}(n(\sigma)\geq 0)$

より (1) が証明される.
monodromy 作用素 $N$ についての主張 (2) を示すには, weight スペクトル系列をもっと詳しく調べることが必要となる. weight スペクトル系列のうち, $X$ の自己同型が, ある指標で作用する部分を取り出すと,
項めうち でないものは次のようになる$E_{1}$$0$$Brightarrow A^{2}$$A^{1}$$A^{0}arrow B$ .

極限の $N$ は左上の B から右下の $B$ への恒等写像によってひきおこされる. ここで$A^{2}=\oplus_{y}Sym^{k2}-H1(E)y$ はの閉ファイバ– の成分のうち, supersingularはその点が moduli する supersingular 楕円
point につぶれるものに関する直和で,$A^{0},$$M_{O_{K}}$$E_{y}$

130

曲線である. $B=\oplus_{x}Sym^{k2}-H1(E_{x})$ はの閉ファイバーの特異点に関する直はその点が moduli する supersingular 楕円曲線である.
和で,は上のような既
約成分 $y\text{に関する直和}\oplus yH1(y)\otimes Sym^{k-2}H1(E_{y})$ と, そうでない既約成分に関する直和\oplus z $H_{!}^{1}(z, symk-2R^{1}\alpha_{*}1)$ の直和である. ここでは parabolic cohomologyを表す. Weil 予想により, これらは全て pure である. つまり, 幾何的 Frobenius の作用の固有値は代数的数で, その共役全ての複素絶対値は下の行では $P^{k-2/2}$ , 真ん中の行では $P^{k-1/2}$ , 上の行では $P^{k-2/2}$ となる.
boundary 射 $Barrow A^{2}$ とは次の様に表される. 各 super sigular point ごとに modular 曲線の reduction での逆像をとったものの双対グラフを考える.
を点 が moduli する supersingular 楕円曲線とする. $Barrow A^{2}$ は,が定める複体に $Sym^{k-2}H1(E_{t})$ をテンソルしたものの に関する直和であり, A0\rightarrow B はこれの双対である. .. これより容易に N は項の同型をひきおこすことが示せる.
命題はこの事実と上に述べた Weil 予想から直ちに従う. (2) を示すためには, この事実から
および B への Weil 群の作用と Hecke 作用素の作用の跡が と p で–致することを示せばよい. これは楕円曲線の自己準同型の跡の性質から導かれる.
(Lefschetz 跡公式から導くこともできる). このようにして (2) も示される. 以上で定理と命題の証明の解説を終わる.
$M_{O_{K}}$$A^{1}$$E_{x}$$H_{!}^{1}$$A^{\mathit{0}}arrow B$$t$$M_{O_{K}}$$E_{t}$$\Gamma_{t}$$t$$\Gamma_{t}$$t$$E_{2}$$A^{0}$$p$

ここでは楕円保型形式について述べたが, 総実代数体の次数を奇数と仮定すれば,Hilbert 保型形式についても同様のことが示せることがほぼわかった. これについてはまた他の機会に述べたいと思う. 簡単な解説になってしまったことをおわびします.
詳しくは文献 [S] を見てください.

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$p$

$p$

$redu\text{。}tion$

$p$

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$p$

$P$

$\text{。}rystal\iota ineCoh\text{。}m\circ logy$