数理解析研究所講究録
978 巻 1997 年 102-114

102

Farsighted Stability in Prisoners’ Dilemma1

東京都立大学経済学部

武藤

滋夫 (Shigeo

Muto)

東北大学経済学部

鈴木

明宏 (Akihiro

Suzuki)

序論

本論文においては、 間接支配の下での安定集合及び Chwe [19941 により定義された largest consistent set を囚人のジレンマに適用し、 どのよ うな結果が得られるかを考察する。 本論文の構成は以下の通りである。 第 2 節では安定集合とlargest consistent set を定義する。 第 3 節では各プレイヤーの取り うる戦略

が純戦略の場合にそれらを適用する。 第 4 節では混合戦略に拡張した場合の分析を行う。 第 5 節と第 6 節では 2 人のプレイヤーがの)(合意に拘束力はないもの

協調して行動する可能性を許した場合を扱う。 第 7 節は本論文のまとめと今後の研究の方向性について述べる。

2

定義

元のゲームとして、 $N=\{1,2\}$ をプレイヤーの集合、集合
ヤー$(i=1,2)\text{、}$$i$

各プレイヤーの戦略がそれぞれをプレイヤー$S_{i}$$x_{1}\in S_{1}$,$x_{2}\in S_{2}$

$i$

の戦略の

のときのプレイの利得を $u_{i}(x_{1},x_{2})$ とする 2 人の戦略形ゲーム $(N,\{S_{i}\}i\in N’\{u\}ii\in N)$ を考える。

そこで最初に、 このゲームの戦略の組の集合$S_{1}\cross S_{2}$上の支配関係を 2 種類定義する。
$x=(X_{1},X_{2})$,$y=(y_{1},y_{2})\in S_{1^{\cross S_{2}}}$とする。 $x_{j}=y_{j}$ のとき

$x$

は

$i$

を通して $y$ より導かれるといい $yarrow_{i}x$ で表すことにする。 $yarrow_{i}x$ かつ $u_{i}(x)>u_{i}(y)$ $( i,j\in N, i\neq j)$であるとき、

$i$

を通して

$x$

は $y$ をた、 そのよ うなプレイヤー
いい、$x\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}y$支配するといい、が存在するとき、 単に$x$

は $y$ を

$x\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{i}y$(直接)で表す。 ま支配するとで表す。

ある戦略の組の列$\chiarrow_{(k)}\chi k-\iota ki$

$i$

(直接)

$x^{0}(=x),X^{1m},\cdots,\chi(=y)$とプレイヤ

かつ $\mathcal{U}(i(k)y)>ui(k)(X^{k1}-)(k=1,\cdots,m)$$\text{ー}$の列$i(1)\ldots.i(m)$でが成り立つものが存在するとき、

103

$x$

は

$y$

を間接支配するといい$x$inddom$y$で表す。 この間接支配の定義は

Harsanyi(1974), Chwe(1994) による。 以降、 本論文ではこれらの支配関係を用いて戦略の組に関する安定集合,$(S_{1}\cross S2’ \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m})$定義 : 集合

largest consistent set という概念を考える。

の安定集合の定義は以下の通りである。

$V\subset S_{1}\cross S_{2}$が次の 2 条件を満足するとき、は$V$$(S_{1}\mathrm{x}S2’ \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m})$の安定集合であるという。
(1)

内部安定性

: 任意の $x,y\in V$ について

(2) 外部安定性 : 任意の $y\not\in V$ について

この定義において「$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}$」を「$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}$

」

$x$

dom

$X\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}y$$y$は成立しない。

となるような $x\in V$ が存在する。

に変えると (

$S_{1}\cross S_{2}$,inddom) の安定集合の定義が得られる。 又、 largest consistent set の定義は以下の通りである。

定義 : 集合$K\subset S_{1}\cross S_{2}$が次の 2 条件を満足するとき、 $K$ は consistent set であるという。
(1), 任意の $x\in K$ について $xarrow_{i}x’$ となる全ての $i\in N$ と$x”,$$=x$ ’ または $x”$

inddom$x’$$X’\in s_{\iota^{\mathrm{x}S}2}$を考えると、である $x”\in K$ の内 $U^{i}(\chi’’)\leq U^{i}(X)$ となるものが存在す

る。

(2)

任意の $y\not\in K$ について $xarrow_{i}x’$ となるある $i\in N$ と$x’\in s_{1}\cross s_{2}$が存在して、$x”=X$ ’ または $x”$ inddom $x’$ である任意の $x”\in K$ に対して $U^{i}(X’’)>U^{i}(y)$。

そして任意の consistent set $K’$ に対して $K\supset K’$ が成り立つ consistent set $K$ を

large st consistent set (LCS) という。

3

囚人のジレンマの安定集合と LCS (純戦略の場合)

この章以降では利得行列が次の表 1 であらわされる囚人のジレンマを扱う。

表 1: 囚人のジレンマの利得行列

104

この節では取り うる戦略が純戦略のみの場合を考えることにする。 そのため、$S_{1}=S_{2}=\{C, D\}$ である。 直接支配に関しては図 1 で表される。 ここでは 「 $arrow$ 」「

支配関係を表していて、 例えば$\mathrm{C}\mathrm{C}arrow \mathrm{c}\mathrm{D}$」は$CC\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{2}cD$

での意味である。

2
CC – CD$\downarrow 1$$1\downarrow$

DC $-_{2}$ DD
図 1: 囚人のジレンマにおける純戦略の支配関係(1)$(S_{1^{\cross s}2},\mathrm{d}_{0}\mathrm{m})$$(\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m})$の安定集合$-$ つの戦略の組だけでは他の戦略の組全てを支配することはできない、

り外部安定性を満たさないので$\langle$$\mathrm{C}\mathrm{C}\},$$\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{D}\},$$\langle$$\mathrm{D}\mathrm{C}\}$,$\{\mathrm{D}\mathrm{D}\}$つまは安定集合ではない。また、3 つ以上の戦略の組からなる集合に関しては、 その内のいずれか 2 つの組について支配関係が成り立っため内部安定性が満たされず、 これも安定集合とはならない。 よって、 後は 2 つの戦略の組からなる集合を調べればよい。 この内、

2 つの戦略の組に関して片方のプレイヤーの戦略が等しい場合、 支配関係が存在してしまう。 よって、 そのような集合は内部安定性を満たさない。 故に、 残
った集合は

CD と

$\mathrm{D}\mathrm{C}$$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$と$\{\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}\mathrm{C}\}$の 2 つになる。この内を支配するので安定集合となる。 また、 {$\dagger^{\mathrm{c}\mathrm{C},\mathrm{D}}\mathrm{D}$$\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{J}$} については DD がについては DD が支配されないため、 外部安定性を満たさない。 従って、 この場合の安定集合は$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$(2)(だけとなる。

$S_{1}\cross S_{2}$,inddom) の安定集合元の個数が 3,4 の場合は(1)と同様に内部安定性を満たさず、 元の個数が 1 の集合は外部安定性を満たさない。 元の個数が 2 個のものを考えると候補
は$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$$\mathrm{C}\mathrm{C}$と {$\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}$CJ だけである。

$\mathrm{C}\mathrm{C}$が DD を支配しないことは明らか。 また、のとき両プレイヤーの利得は 4 で DD のときの両者の利得 1 を上回っている

ため、 DD が$\mathrm{C}\mathrm{C}$を間接支配することはない。 よって、満たす。 さらに、DD は CD と$\mathrm{D}\mathrm{C}$$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$は内部安定性をを支配するから外部安定性も満たし、$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$

105

は安定集合となる。 しかし、たさない。 従って、$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$$\{\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}\mathrm{C}\}$はDD を支配しないので外部安定性を満のみが安定集合である。

( 3 )largest consistent set
以下のよ うな写像$f:2^{s_{1}\cross S_{2}}arrow 2^{s_{1^{\mathrm{X}}}S_{2}}$を考える。

$f(X)=\{a\in S_{1}\cross S_{2}|\forall d,i\mathrm{S}.\mathrm{t}.aarrow_{i}d,\exists e\in X(d=e$or inddom$d$$e)_{\mathrm{S}.\mathrm{t}}.U^{i}(\mathit{0})\geq U^{i}(e)\}$

すると、 この写像 $f$ の不動点は consistent set であり、

$s_{1^{\cross S}2}$に何回か $f$ を作用させたときの不動点 $f^{(j)}(S\cross s)12f(j-\iota)(=s\cross s)12K\equiv$ は LCS である。 よって、
$f(S_{1}\cross S_{2})=\{CC,DD\}_{\backslash }f(f(ss_{2})1^{\mathrm{X}})=\{CC,DD\}=f(s_{1}\mathrm{X}S_{2})_{0}$従って.LCS は$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$である。

以上の結果をまとめると表 2 のようになる。

衣$\angle$: 縄萩袷$\mathrm{t}/y$砺冗 (ノ J 女疋果五 と$\mathrm{L}\mathrm{U}$

化 (1)

囚人のジレンマの安定集合と LCS (混合戦略の場合)

4

この場合、 各プレイヤーの戦略集合は $s_{1}=s_{2}=[0,1]$ で表される。 又、
プレイヤー

$i$

が

$\mathrm{C}$とき、 プレイヤー$x_{i}\in S_{i}$でをとる確率を表すことにする。 すると戦略の組が $x=(X_{1},X_{2})$ の$i$の利得は以下のようになる。

$u_{i}(x)=1-X_{i}+4Xj$$(i\neq j)$ 。

すると明らかに、 協力すると自己の利得が減少し相手の利得が増加する。 また、$x=(x_{1},x_{2})$,$x’=(x_{1}’,x_{2})’$とすると$x_{i}<X_{i}’,x=X’jj\Rightarrow x\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{i}X’$も明らかである。 よって、 以下の命題が成り立つ。

命題 1: 線分 OA を任意の連続な右上がりの線とする

線分
証明$\mathrm{O}\mathrm{A}$上の点全体の集合を V とすると、 V は(図 2 参照)$(s_{1}\cross s_{2},\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m})$。この時、の安定集合となる。

: 外部安定性が成り立つことは上で述べたことより明らかである。 次に内部安定性についてだが、 この場合 $x_{1}=x_{1}$’ か $x_{2}=X_{2}’$ が成り立たない限り 2 点の間

106に支配関係は存在しない。 よって、 内部安定性も満たされる。
従って、 集合 V は安定集合である。

(証明終)$X_{1}$

図 2:

次に、 (

$S_{1^{\cross s}2}$$(s_{1^{\cross S}2},\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m})$の安定集合,inddom) の安定集合について考える。 ところが上のよ うな集合

は既に外部安定性を満たしているため、 この形の ($S_{1}\cross S2$’inddom) の安定集合を得るには内部安定性のみ考えれば良い。

命題 2:$\mathrm{O}$から$\mathrm{O}$$O’=(x_{1},x_{2})$(ただし、の内少なく とも

’ に向かって両者の利得が増加していく線の集合を V とすると V は (証明$x_{1},x_{2}$$S_{1}\cross S2$–$\mathrm{O}\mathrm{O}$

’

方は 1)

とする。 連続で(図 3 参照)

上の点全体’inddom) の安定集合となる。

: 外部安定性が成り立つことは明らか。

$\mathrm{O}\mathrm{O}$’ 上の任意の 2 点 $x,x’$ をとると

107

直接支配関係は存在しない。 一般性を失うことなくの性質よ り等号は成り立たない)
り逆はありえない)と。更に $x’$ inddom$x^{k- 1k}arrow\chi i^{k}$$\text{、}$$x$$x_{1}’>x_{1}$,$x_{22}’>x$

と仮定する
(

$u_{i^{k}}(x^{k- 1})<u_{i^{k}}(x’)$’($i^{k}=1$とする$\mathrm{O}\mathrm{O}$$(\mathrm{O}\mathrm{O}’$’ の性質よまたは2,$k=1,\ldots,m)$となるような戦略の組の列 $x^{01\prime}(=X),x,\ldots,x^{m}(=X)$ が存在する。 この中で最初に$x_{1}^{k}\geq X_{1}’$$X_{2}^{p}\geq X_{2}’\Rightarrow i^{p+1}=1$

または$x_{2}^{k}\geq x_{2}’$となる点をが成り立つ。 ところが、$x^{p}$とすると$u_{i^{p+\mathrm{l}}}(X^{p})>u_{i^{p}}+1(X’)$$X_{1}^{p}\geq\chi’1\Rightarrow i^{p+1}=2$が成り立ち $x’$ が

$x$

,

を間

(証明終)

接支配することに矛盾する。 よって、 内部安定性も成り立つ。

命題 2 によれば個人合理的な点はある安定集合に含まれることがわかるが、個人合理的でない点に関しては次の命題が成り立つ。
命題 3: 任意の ($s_{1^{\cross}}S2$

得が 1 未満となる点
証明

:

$x$

$x$

’inddom) の安定集合に対して $x\not\in V$

inddom(O,O) となる

で任意の$x\in S_{1}\cross S_{2}$$x$い。 しかし、に対して$(\mathrm{O},\mathrm{o})\in V$

$x$

$x$

。また、 $-$ 方の利。

が存在しないことを示せばをとる。

$u_{2}(x)>u_{2}(0,0)=1$ であるから$V$が個人合理的でない$\text{、}$$(\mathrm{O},\mathrm{o})\in V$が言える。 そこ

’ 例えば $u_{1}(x)<1$ ならばinddom(O,O) ならば最初に 2 が動かなければならな

2 がどのような $x’=(0,x_{2}’)$ に動いても $u_{2}(x’)>u2(X)$ であるから次に41 が動く誘因はない。 よって$x$inddom(O,O) とはならない。

場合は命題 2 と同様の議論によりやはり

$x$

$x$

が個人合理的である

inddom(O,O) とはならない。

逆に個人合理的でない任意の $x=(X_{1},X2)\in s_{1}\cross S_{2}$ をとると $u_{1}(x)<1$ の場合には$x’=(\mathrm{o}_{x_{2}},-)$

を考えれば$(\mathrm{O},0)\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}x$である事が分かる。

(証明終)

inddom の場合、 命題 2 と 3 により個人合理的な点が安定集合に含まれ、 か
つそれだけが安定集合に含まれうることがわかった。 これまでは安定集合について考察を行って来たが largest consistent set は以下の命題の通りとなる。

命題 4: 取り うる戦略が混合戦略のとき LCS は個人合理的な点全体の集合、 す
なわち $\{X\in S\iota^{\cross S}2|u_{1}(X)\geq 1,u_{2}(x)\geq 1\}$ である。

証明

: 純戦略の場合と同様に写像 $f$ を考えると$f(S_{1}\cross S_{2})=\{X\in S_{1}\cross S_{2}|u_{1}(x)\geq 1,u_{2}(x)\geq 1\},$$f(f(S_{1}\cross S_{2}))=f(S_{1}\cross S_{2})$108となることがわかる。
実際、 任意の個人合理的でない点 $x=(x_{1},x_{2})$ をとる。 一般性を失うことなく$u_{1}(x)<1$とすることができる。 $x’=(0,x_{2})$ を考えると $Xarrow_{1}X’$ である。 まず、 明ら

かに $u_{1}(X’)>u(1)x$

。

$x”$

inddom$x’$となる点 $x”$ の内プレイヤ $-1$ が動いて達成できる点は間接支配の定義よ り$u_{\iota}(x\prime\prime)>\mathcal{U}(1)x’>\mathcal{U}_{1}(x)$成できる点はの形のみであるから$x\not\in f(S_{1}\mathrm{x}s_{2})$$x”=(0,X_{2}’’)$。プレイヤー 2 のみが動いて達$u_{1}(x’’)>u_{1}(\chi)$。よ$\text{っ}$て$\text{、}$。

次に、 任意の個人合理的な点 $x=(X_{1},X_{2})$ をとり、 $xarrow_{i}x’$ となるような任意の$x’\in s_{1}\cross s_{2}$と $i\in N$ を考える。 ただし、 $f$ の定義よりのみ考えれば十分である。 この場合当然$u_{i}(x)<u(i)x’$ であるから

なる

$x”$

$X_{ii}’<X$,$x_{-i}’=x- i$。更に$x\in f(s_{1}\mathrm{X}S_{2})$$x$$x\neq(\mathrm{O},\mathrm{O})$$x_{i}’’=_{X_{j}’}$$X_{i}’’=X_{i}’$であるからが個人合理的な点であるからの場合についてとなる。 する とである。 この場合、をとると賜 $(x”)=1$ で、 $u_{i}(x’)>1$ ,$x”\mathrm{d}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{-i}}X’$$u_{i}(X)<\mathcal{U}_{i}(x’)$,$x_{-i}’’=x_{i}’/4$’$X_{- i- i}’’<X$$u_{i}(X)\geq u(i\chi)_{\text{。}}\prime\prime$

よ

,
と

となり
$\text{っ}$て、。以上のことから $f(S_{1^{\cross S}2})=\{X\in S_{1}\mathrm{x}S2|u(1x)\geq 1,\mathcal{U}_{2}(x)\geq 1\}0$ 同様に考えると $f(f(S_{1^{\cross s_{2})}})=f(s_{1^{\cross}}s_{2})$ も確かめられる。

joint move の導入 (1)5$xarrow_{i}x’$

——

(証明終)

純戦略の場合——これまでは各プレイヤーが単独で動く場合のみを考察してきた。 そこで次に、両者が同時に動くことを許した場合について考察する。 以下では全ての$i\in P\subset\{1,2\}$とにする。
$x\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{12}y$定義:に対して $u_{i}(x)>u_{i}(y)$ が成り立つとき、 それを $u_{P}(x)>u_{P}(y)$ で表すこ

また、 $u_{N}(x)>u_{N}(y)$ であるとき、(は $y$ を結合支配する$x\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{1y}$,$x\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{2y}$$X\mathrm{C}$,$X\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{12}y$のいずれかが成り立つとき$k=1,\cdots,m)$
$x$

$x$

は $y$ を提携支

-dom で表す。
$y$: ある戦略の組の列 $x^{0}(=_{X),x^{1},\cdots,x^{m}}(=y)$ と提携の列

とき、

といい、

で表す。 すると、 以下の支配関係が得られる。

配するといい、

定義$X$

で $\chi_{j}^{k-1}=x_{j}^{k}(j\not\in P^{k})$$P^{1},\cdots,$ $P^{m}(P^{k}\subset\{1,2\}_{\text{、}}$

かつ $u_{P^{k}}(y)>u_{P^{k}}(x^{k- 1})$ が成り立つものが存在する

は $y$ を間接提携支配するといい$x\mathrm{c}$-indddom で表す。
$y$

109

この場合、純戦略における支配関係は図 4 のよ うになる。 これまでの 「「(inddom 」 をそれぞれ$s_{\iota^{\cross S}2}$「,c-dom) の安定集合, (c-dom 」 ,$S_{\iota^{\cross s}2}$「$\mathrm{c}$$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{J}$,-inddom 」 に置き換えることで,c-inddom) の安定集合, 提携を許した largest

consistent set (c-LCS) が定義される。 以下ではこれらを用いて前節までと同様の分析を行う。

図 4: 純戦略の下での支配関係 (c-dom)(1)($S_{\iota^{\cross S}}2$’c-dom) の安定集合

結合支配を導入しても個数が 1,

3,がDD を支配できるようになっただけなので元の4 の場合は安定集合にはならない。 結局、の 2 つが残るが {さないし.

$\mathrm{C}\mathrm{C}$$\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}$$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$$\{\mathrm{C}\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{D}\}$と$\{\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}\mathrm{C}\}$CJ については DD が支配されないので外部安定性を満たについては$\mathrm{C}\mathrm{C}$が DD を支配してしまうので内部安定性を満たさない。 よって、 この場合は安定集合は存在しない。
(2)($S_{1^{\cross s}2}$,c-inddom) の安定集合元の個数が 3,4 の場合は (1)と同様に安定集合とはならない。 元の個数

が 2 個のもので内部安定性を満たすものは {$\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{J}$だけであるが、 これは DDを支配しないので外部安定性を満たさない。残りは {CCJ,である。 この内、$\langle$$\mathrm{C}\mathrm{D}\},$$\mathfrak{i}\mathrm{D}\mathrm{C}\}$$\{\mathrm{C}\mathrm{D}\},$ $\{\mathrm{D}\mathrm{C}\},$$(\mathrm{D}\mathrm{D}$が外部安定性を満たさないのは明らか。

}の4つ$\{\mathrm{D}\mathrm{D}\}$は$\mathrm{C}\mathrm{C}$を支配しないのでやはり安定集合ではない。 最後に {CCJ であるが CC が他の全てを支配するからこれが安定集合となる。
(3)

提携を許した largest consistent set

3 節と同様に写像 $f$ を考えると $f(S_{1}\cross S_{2})=\{CC\},$$\mathrm{c}$-LCS は$\{\mathrm{C}\mathrm{C}\}$である。

以上の結果をまとめたものが下の表 3 である。

$f(f(S_{1}\cross S_{2}))=\{CC\}$ 。よって、

110

表 3: 純戦略の場合の安定集合と LCS(2)joint move の導入 (2)6——

混合戦略の場合——

ここでは 4 節と同様に取り うる戦略が混合戦略の場合について議論する。 まず、 ($S_{1}\cross S2$’c-dom) の安定集合について、 以下の命題が成り立つ。

命題 5: 取り うる戦略は混合戦略と し、$A,B$ を結ぶ右下がりの連続な線なる集合は (
証明

$S_{\iota^{\cross s}2}$$A=(\mathrm{O},1),B=(1,0)$(図 5 参照)とする。 このとき 2 点を考えると、 線 $AB$ 上の点全体から,c-dom) の安定集合である。

: 外部安定性について。 線 AB より上の点$x$は $AB$ 上の点 $y(x_{1}=y_{1})$に支配されることは明らか。 AB より下の点 $z=(x_{1},x_{2})$ は $w=(X_{1}’,X_{2})’$ に支配される。
ただし、 $x_{2}’-x2=\chi’-1\chi 1$。

内部安定性は任意の AB 上の点はその右上方や左下方に AB 上の異なる点を持(証明終)たないことより明らか。

$x_{1}$

図 5:($S_{1^{\cross s}2}$,c-dom) の安定集合

次に、 提携を許した largest consistent set について考える。 前と同様に写像$f$を考えると $f(S_{1}\cross S_{2})=\{x\in s_{1^{\mathrm{X}}}s2|u_{1}(x)\geq 1,\mathcal{U}_{2}(x)\geq 1\}$となる。 実際、 4 節での議

111

論より個人合理的でない点はな点$X$$f(s_{\iota^{\cross}}S_{2})$に対して $u_{N}(X’)>u_{N}(\chi)$ となるに含まれない。 また、 任意の個人合理的$x’$を考えると、

よって、 $x\in f(S_{1^{\cross S}2})_{\circ}$$u_{2}(x)>u_{2}(X’’)$ である。

$f(f(S_{1}\cross S_{2}))=f(S\cross s_{2})1$$x”=(\mathrm{o}_{x_{2}’},)$

は$x”\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{1}X$

で同様の議論によって。従って、 以下の命題が得られる。

命題 6: 取り うる戦略が混合戦略のとき$\mathrm{c}$-LCS は個人合理的な点全体の集合で

ある。

最後に (

$S_{1^{\cross s}2},\mathrm{c}$-inddom) の安定集合について考える。

補題 1: $O=(0,0)$ 以外の任意の個人合理的な 2 点は同 $-$ の ($S_{1^{\cross s}2},\mathrm{c}$-inddom) の安定集合に存在できない。
証明$x\mathrm{c}$: 相異なる-inddom$x’$$O=(\mathrm{O},\mathrm{O})$または$x’\mathrm{c}$以外の任意の個人合理的な 2 点 $x,x’$ をとる。 このとき-inddom が成り立てばよい。
$x$(i) $x_{1}=x_{1}’$ または $x_{2}=x_{2}’$ のとき、 明らかに

$x$c-inddom$x’$

または $x’$ c-inddom $x$ が成り立つ。
(ii) $x_{i}>x_{i}’(\forall i\in N)$ のとき。 $u_{N}(x)>u(Nx’)$ ならば’方の $i\in N$ について

$x_{j}’’= \frac{x_{i}’-X_{i}+4_{X}j}{4}-\epsilon$$u_{i}(x)\leq \mathcal{U}(i\chi)$

(

c-dom

$x’$

であるから、 ある $-$となる場合を考える。 この場合はは $+$ 分小さい正の数)$\mathcal{E}$$x$となる点 $x”$ を考える と、$x_{i}’’=X_{i}’$,$x’arrow_{j}x\prime\prime$$X”arrow x12$ でかつ $u_{j}(x)>u_{j}(X’)$ 。更に、
$u_{i}(\chi)-u(ix)\prime\prime=-\chi_{i}+4x_{j}+x_{i^{-}}’’4_{X’’}j=-X_{i}+4x_{j}+x_{i}’-\chi_{i}’+x_{i}-4X_{j}+4\epsilon$$=4\epsilon>0$,$4(\mathcal{U}_{j}(x)-u(_{X’}j)’)=4(-x+4_{X_{ij}}+\chi-j4\prime\prime=x^{\prime r})i-4X+16X_{i^{+}}X’-i--j1\chi_{i}+4x_{j}4\epsilon 6X_{i}’$$=15(_{X_{i^{-}}}x_{i}’)-4\epsilon>0$ 。

よって、$x\mathrm{c}$-inddom

$x’$

(iii)

$X_{ii}<X’(\forall i\in N)$(iv)$x_{i}>x_{i}’$

$x”$

。

のときも (ii) と同様に考えればよい。

かつ $x_{j}<\chi’j$ のとき。 (ii) のように $x_{j}’’=X_{j}$ ,を考えると$x\mathrm{c}$-inddom$x’$。

$X_{i}’’= \frac{4x_{i}+x_{j}’-Xj}{4}-\mathcal{E}$

となる

(証明終)

,

112

補題 2: 任意の (証明:$S_{1^{\cross}2}S,\mathrm{c}$-inddom) の安定集合を,$\mathrm{c}$-LCS を $K$ とすると

$S_{1}\cross S_{2}$: 補題 2 と命題 6 より明らか。

$S_{\iota^{\cross}}S_{2},\mathrm{C}$証明。

,c-inddom) の安定集合に含まれない。

補題 4: 任意の $x_{1},x_{2}\in(1/4,1]$ に対して $(x_{1},1)$ 又は $(1,x_{2})$($V\subset K$

Chwe(1994) を参照。

補題 3: 任意の個人合理的でない点は (
証明

$V$

$1$

点のみからなる集合は-inddom) の安定集合である。

: 内部安定性は明らかに成り立つから、 外部安定性のみ考えれば十分である。 そこで、 点 $A=(1,1)$ のみからなる集合を考える。 A 点以外の場合についても同様。 まず、 図 6 の領域 OCAB 内の任意の点 $y$ に対しては

次に、 AC$x’=(xX_{2})\iota$”$(-x_{1}+4x_{2}=3)$

上かそれより上方の点が領域 OCAB 内に入るように$x_{2}’$$A\mathrm{c}$-domy が成り立つ。

$x=(x_{1},x_{2})$を定めれば $A$ c-inddom

$X$

については
。

AB より下方の点についても同様。 従って、 外部安定性も満足する。

$x_{1}$

図 6:($S_{1}\cross S_{2},\mathrm{C}$-inddom) の安定集合

補題 5: 集合 $\{(0,0),(1,1/4)\}$ と $\{(0,0),(1/4,1)\}$ は (証明: $\{(0,0),(1,1/4)\}$

点$x$

まず外部安定性であるが、 $u_{N}(z)>u_{N}(x)$ である点

$z\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}_{12}X$に対しては-inddom) の安定集合である。

の場合のみ考える。 $z=(1,1/4)$ とし点 $w=(15/16,0)$ を考えると$u_{2}(w)=u_{2}(z)$ である。

ては明らかに$S_{\iota^{\cross}2}s,\mathrm{C}$なのでそれ以外の点について考える。

$x’=(x_{1},0)$とすると$xarrow_{2}x’$,$x’arrow_{12}z$$x_{1}\in$

で

$(0$

$x$

につい

,15/16 となる$)$$u_{2}(z)>u2(X)$

,

113

-inddom$u_{N}(z)>u_{N}(\chi’)$であるから$u_{N}(z)>u_{N}(\chi’)$となる点 $x’$ を考えればとなる点$x_{1}=0$$x$$z\mathrm{c}$

については

$x$

$X_{1}>15/16$ の場合には-inddomであることがわかる。 次に、$Z\mathrm{C}$$(0,\mathrm{o})\mathrm{d}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{2}}\chi$。

ついては点 $x’=(0,x_{2})$ を考えれば $(0,0)$$\mathrm{c}$$x$$x_{2}=0$ または $U^{2}(x)\geq U^{2}(z)$-inddom$X$となる点$x_{1}$

仝渓

:

に

(証明終)

-inddom) の安定集合は以下の 2 種類のみである。

に個人合理的かつパレート効率的な点
1 点のみからなる集合,⊇弦 $\{(0,\mathrm{o}),(1,1/4)\}$ と $\mathrm{t}^{(0,0)},(1/4,1)\}$証明$x$に対して $u_{1}(0,x_{2})\geq 1$

であることよりわかる。

$S_{1}\cross s_{2},\mathrm{C}$$x_{1}’=x_{1}$となることがわかる。

内部安定性の成立については $u_{1}(0,0)=u_{1}(Z)=1$ と任意の命題 7:(,となる。

,△里茲Δ塀弦腓。

安定集合となることは補題
4, 補題 5 で証明された。 これ以外には安定集合が存在しないことは以下の通り。

個人合理的でない点を含む集合が安定集合でないことは補題 3 で示した。 点$(0,0)$ と支配関係を持たない点は $U^{i}(x)=1$ を満たす点 $x$ であるが、 $(0,0)$ 以外にこのような点を 2 つ以上含む集合は補題 1 より内部安定性を満たさない。

奮

で個人合理的な点を 2 つ以上含む集合も補題 1 より内部安定性を満たさない。
最後に、 パレート効率的でない個人合理的な点 1 点よりなる集合を$\{x\}$とする。

するとこれは内部安定性を明らかに満たすが、 他方殉 (X’) $>u_{N}(x)$ となる点 $x’$ が存在する。 当然、 $x’$ は$x$に支配される事はない。 従って、

△鯔

たさない

(証明終)

集合は安定集合とはなり得ない。

7

,

結論

この分析の結果、純戦略においては間接支配の安定集合と largest consistent

set は

–

致したが混合戦略の場合には異なる結果が得られた。 また、 無限回繰り返しゲームでの均衡と間接支配の安定集合との関連が見られた。 つま り、

joint move を含まない場合には全ての個人合理的な点はある安定集合に含まれるという Folk Theorem と類似の結果が得られ、 joint move を含む間接支配の安定集合では (裏切る,

裏切る)

以外ではパレート効率的な点のみが残るという、 renegotiation-proof 均衡を繰り返しゲームに適用した場合に得られる結果と非常に類似した結果が得られた。 Folk Theorem

については

van

114

Damme(1991) を$\text{、}$Maskin(1989) van

renegotiation-proof 均衡についてはFarrell andDamme (1989) を参照。 $-$ 方、 LCS は joint move を含む

含まないのいずれの場合も個人合理的な点全ての集合となり、 良い predictionが得られなかった。 また、 直接支配の安定集合も個人合理的でない点も含まれうるという結果が得られこれも良い prediction とは言えない。 最後に今後の研究の方向性と しては多人数版の囚人のジレンマなどの性質の類似したゲームへの適用が考えられる。 また、 Bhaskar(1989),Muto(1993) によって研究されている相互手番のゲームの均衡と間接支配の安定集合との関連についての研究も興味深いと思われる。

参考文献

Bhaskar,V. (1989), ”Quick Responses in Duopoly Ensure Pricing,” Economics

Letters 29 103-107.
Chwe,M.S.-K.

$(1994),$ ”$\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}$Coalitional

Stability,”Journalof

Economic Theory 63,299-325.
Farrell,J.P. and Maskin,E. (1989), ”Renegotiation in Repeated Games,”

Games and Economic Behavior 1,327-360.
Harsanyi,J.C. (1974), ”An Equilibrium-Point Interpretation of Stable Sets

and a Proposed Alternative Definition,” Management Science 20, 1472-

1495.
Muto,S. (1993), ”Alternating-Move Preplays and vN-M Stable Sets in Two

Person Strategic Form Games,” Center for Economic Research discassiuon$\mathrm{p}$aper No.9371,Tilburg,The Netherlands.

van Damme,E. (1989), ”Renegotiation-Proof Equilibria in RepeatedPrisoners’ Dilemma,” Journal of Economic Theory 47,206-217.

van Damme, E. (1991), ”Stability and Perfection of Nash Equilibria,”
Springer-Verlag.