AC と CK の積は６倍の AB である。よって、AB、BC、AC の積の３倍は６倍の AB である。しかし AC の立方と CK または BCの立方との差は仮定より２０であり、また第６章の最初の定理から、これは DA、DE、DF の和である、すなわちこれらの３つの立体は２０をつくる。しかし BCを負にとると、AB の立方は AC の立方と３倍の AC と CB の平方との積との和から、BC の立方、３倍の BC と AC の平方の積を引いたものである。証明によって、３倍の CB と AC の平方との積と、３倍の AC と BC の平方との積の差は、AB、BC、AC の積の３倍である。したがってこれは６倍の AB であり、BC は負であるから AC と BC の平方の３倍との積に６倍の AB を加えると、３倍のBC と AC の平方との積になる。よって CB と AC の平方の３倍との積は負であることが示された。したがってこれに等しいものは正であり、それゆえ３倍のCB と AC の平方との積、３倍の AC と CB の平方との積、６倍の AB の和は何もつくらない。それゆえ AC の立方と BC の立方との差は、AC の立方、３倍のAC と CB の平方との積、３倍の CB と AC の平方との積（負）、BC の立方（負）、６倍の AB の総和である。AC の立方と CB の立方との差は２０であるから、これらは２０である。さらに第６章の２つ目の定理から BC を負とおくと、AB の立方は、AC の立方、３倍の AC と BC の平方との積、BC の立方（負）、３倍のBC と AC の平方との積（負）の総和である。したがって AB の立方と６倍のAB との和は、AC の立方、３倍の AC と CB の平方との積、３倍の CB と ACの平方との積（負）、CB の立方、６倍の AB の総和であるから２０である。したがって、AB の立方と６倍の AB の和は２０である。そして GH の立方と６倍の GH の和も２０であるから、原論１１巻の３１と３５でいわれているようにGH と AB は等しいといえる。よって GH は AC と CB との差である。しかしAC と CB、または AC と CK は面積を含んだ数、線分であり、その面積は未知数の個数の３分の１に等しく、未知数の立方は方程式の中の(定)数とは異なる。
それゆえに規則がある。
RULE未知数の個数の３分の１の立方に定数の半分の平方を加え、全体の平方根をとり、ひとつの場合は定数の半分を加え、もうひとつの場合は定数の半分を引くと、binomial と apotome をそれぞれ得る。このとき、binomial の立方根から apotome の立方根を引き、残ったものが未知数の値である。例の中では立方と未知数の６倍が２０であり、６の３分の１である２をとる。その立方は８である。定数の半分である１０を平方すると 100 である。８と 100 を加え 108 となり、その平方根 108 をとる。そしてこれに定数の半分である１０を加え、また１０を引くと 108 + 10 と 108 − 10 を得る。これらの立方根をとり、前者の立方根から後者の立方根を引いたものが求める未知数の値である。
すなわち 3 108 + 10 − 3 108 − 10

第１１章−解説−例として GH の立方と GH の６倍が２０に等しいとしよう。GH＝x とおけばこれは x3+6x=20 を表す(現代表記)。ここで二つの立方体の一辺である AC=u,CK=CB=v を次を満たすように定める。
u3-v3=20uv=6/3=2このとき u-v=x となる。
なぜならば立方体 AE（＝u3）は次のように分割できる。
² 一辺 u-v の立方体１個² 一辺 v の立方体１個² それぞれの辺が u-v, u-v, v である直方体３個² それぞれの辺が v, v, u-vである直方体３個すなわち、u3=(u-v)3+v3+3v(u-v)2+3v2(u-v)
ここで、下のそれぞれ二つの直方体はくっついて u, v, u-v の直方体になるので、u3=(u-v)3+v3+3uv(u-v)
よって、u3-v3=(u-v)3+3uv(u-v)
仮定より u3-v3＝20、uv=2 であるから20=(u-v)3+6(u-v)
ここで20=x3+6x であるから u-v=x が成り立つ。−第１２章冒頭の英訳−Let the cube be equal to unknowns and number. I take two cubes DC andDF whose sum shall be the number, so that the product of the side AB by theside BC shall be a third of the number of unknowns. Then I say that if it isdone thus, the line AC is equal to the value of the unknowns.
Sum 和product 積side 辺value 値 a third of 〜〜の３分の１―配布資料―CONCERNING A CUBE EQUALS TO UNKNOWNS AND NUMBER第１２章立方が未知数と数に等しいとする。そして DC,DF をふたつの立方体とし、その各々の一辺、AB,BC の積が未知数の個数の３分の１に等しいとする。また二つの立方体の（体積の）和が数に等しいとする。このとき AC が未知数に等しいといえる。AB と BC の積は未知数の個数の３分の１であるから、AB と BCの積の３倍は未知数の個数に等しい。よって AC は未知数であると仮定されたから、AC と、AB と BC の積の３倍との積は一次の項（ unknowns）に等しい。
しかし AC と、AB と BC の積の３倍は６つの立体をつくる。そのうちの３つはAB と BC の平方との積であり、もう一方の３つは BC と AB の平方との積である。したがってこれら６つの立体は一次の項に等しい。したがって第６章の初めの定理により、これら６つの立体に二つの立方体 DC,DF を加えたものは立方体 AE を構成する。立方体 DC と DF は与えられた（定）数に等しい。したがって立方体 AE は与えられた一次の項と数に等しい。これが示すべきことであった。
まだ AC と、AB と BC の積の３倍との積が６つの立体に等しいことを示すことが残っている。これはもし AB と、BC と AC の積との積が２つの立体、ABと BC の平方との積、BC と AB の平方との積に等しいことが示せれば十分である。AC と、AB と BC の積は AB と面 BE との積に等しい。なぜならすべての辺はすべての辺と等しいからである。しかしこれは AB と、CD と DE の和との積に等しい。AB と DE との積は CB と AB の平方との積に等しい、なぜならすべての辺はすべての辺と等しいからである。したがって AC と、AB と BC の積は AB と BC の平方との積、BC と AB の平方との積に等しい。
RULE未知数の個数の３分の１の立方が、定数の半分の平方よりも大きくないとき、後者から前者を引け。そしてその平方根を定数の半分に加えよ。また定数の半分から引け。そうすれば binomial と apotome をそれぞれ得る。それらの立方根の和が求める x の値である。

第１2 章−解説−x3=6x+40(現代表記)。ここで二つの立方体の一辺である AB=u, BC=v を次を満たすように定める。

u3+v3=40・・・①
uv=6/3=2・・・②このとき u+v=x となる。
なぜならば立方体 AE（＝(u+v)3）は次のように分割できる。
² 一辺 u の立方体１個² 一辺 v の立方体１個² それぞれの辺が u, v, v である直方体３個² それぞれの辺が v, u, uである直方体３個すなわち、(u+v)3=u3+v3+3uv2+3vu2ここで、下のそれぞれ二つの直方体はくっついて u, v, u+v の直方体になるので、(u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)
よって、仮定より u3+v3＝40、uv=2 であるから(u+v)3=40+6(u+v)
ここでx3=40+6x であるから u+v=x が成り立つ。
②を両辺３乗して，u3v3=8これに v3=40‐u3 を代入してu3(40‐u3)=8 ここで u3=U とおき整理すると，U2+8=40Uよってこれはマールと数がジズルに等しいものであるから解ける。４０を半分にする。すると２０になる。それを自身に掛けると４００になる。
そこから８をひく。３９２が残る。その平方根をとると 392 になる。２０にそれを加えたものは 20+ 392 であり、20 からそれをひいたものは 20- 392 である。
（これらが u3、v3 である。
）したがってこれらの立方根の和が求める x の値である。よってx= 3 20 + 392 + 3 20 − 392