２年組番

氏名

授業資料

授業者 ： 阿部 千里（筑波大学大学院教育研究科教科教育専攻数学教育コース1 年）

1619 年 3 月 26 日 デカルトがオランダの物理学者ベークマンにあてた手紙【 「デカルト著作集 −幾何学−」 原亨吉 解説】より※下線は授業者（阿部）が加えた

１

デカルト以前の数学
１−１ アラビア①例；アル・フワーリズミ（９世紀頃 アラビア）の方程式の分類【「中世の数学」 編著者 鈴木孝典 共立出版株式会社】②例；ウマル・ハイヤーム（１１２３歿 ペルシア）の方程式の分類【 「数学史〜形成の立場から〜」 著者中村幸四郎】より

１−２ ヨーロッパ①例；カルダノ（１５０１〜１５７６ イタリア）の方程式の分類【「ARTIS MAGN? 」 カルダノ】より②例；ヴィエタ（１５４０〜１６０３フランス）

ヴィエタは、方程式を次のように書いている。
B3 in A quad−D plano in A +A cubo aequator Z solido
未知量を母音（A、E、I など） 既知量を子音（B、D、Gなど）、未知量の平方をquad,未知量の立方をcubo,既知量の平方をplano,既知量の立方をsolido などで表した。

２デカルト２−１ 人物紹介
ルネ デカルト （１５９６〜１６５０）
・フランスのトゥーレーヌのラ・エで生まれる。古い家系で働く必要はなかったが、「哲学者」「軍人」「数学者」として生涯を過ごした。
・著作には『方法序説』『精神指導の規則』などがある。
⇒「幾何学」は、『方法序説』の中の例として取り上げられた部分である。

≪デカルトのお話≫
デカルトは虚弱な体質のために 8 歳まで家にとどまり、それからラ・フレーシュのイエスズ会の学校へ送られた。校長はすぐに彼に眼を留め、この才能ある生徒に朝の授業に出席できると思うまで好きなだけベッドにとどまることを許可した。デカルトは生涯を通じてその習慣を守った。
デカルトは後に、「朝のベッドでの長く静かな瞑想は、私の最良の哲学的かつ数学的思想の第一の源泉である」と述べている。ソクラテスは軍務で雪の中に何時間も立っていたときも思考することができたと伝えられているが、デカルトの精神は暖かいところで横になっているときしか正しく働かなかった。
【「数学を築いた天才たち上」スチュアート・ホリングデール著 岡部恒治 監訳】より

２−２ デカルト『精神指導の規則』「この考察は幾何学に大なる光をもたらす。というのは、ほとんどすべての人が幾何学において三種の数量すなわち線・面・物体を考えるという誤りに陥っているからである。
実際すでに述べたように、線及び面は真に物体と区別したものとして表象せられず、また線と面相互についてもそうなのである。しかして三者が、単純に、悟性によって抽象されたものとして考えられる場合でも、それらが、数量の相違なる種（species）だとはいえない、あたかも人間において、動物（animal）と生物（vivens）とが、実体（substantia）の相異なる種であるとはいえないように。」【「精神指導の規則」（1950）．デカルト著．野田又夫訳

岩波書店】より

２−３ 『幾何学』 第 1 巻
２−３−１ 円と直線だけを用いて作図しうる問題について【「LA GEOMETRIEREN? DESCARTES」】より

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より※下線は授業者（阿部）が加えた【問い】
上の文をもとに、ある線が次のように与えられているとき，上の下線部①〜②を線で表してみよう。

①[加法] 線に他の線を加える②[減法] 線から他の線を除く

【問い】
下の四角で囲った部分は③〜⑤についてのデカルトの方法です。なぜ正しいのか証明してみよう。
③[乗法] 或る線（単位）があり、さらに他のふたつの線があるとき、この線の一方に対して、他方が単位に対する比を持つ第 4 の線を見いだす。

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より【証明】④[除法] ２線の一方に対して、単位が他方に対する比を持つ第 4 の線を見いだす。

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より【証明】

⑤[平方根の抽出] 単位とある線との間に、1 個 2 個、またはそれ以上の比例中項を見いだす。

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より【証明】

２−３−２ 平面的な問題

【「LA GEOMETRIEREN? DESCARTES」】より

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より

２−４ デカルトの「幾何学」 第 2 巻
２−４−１ 曲線の性質について【「LA GEOMETRIEREN? DESCARTES」】より

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より

予備知識
古代ギリシャのアポロニウス(紀元前 2 世紀)以来、幾何学には目覚しい発見がなかった。それは、古典時代の幾何学問題がほとんど完全に解釈されたからでである。よって、曲線も細かく分類されず、定木とコンパスによるものと、それ以外のものとしか考えられなかったのだった。

２−４−２ デカルトによる曲線の分類【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】よりつまり・・・・①②③

方程式が２つの不定量について２次のとき３次または４次のとき５次または６次のとき
：
：
：→→→

第１類
第２類
第３類

２−４−３ 曲線を方程式で表現してみよう！

【「LA GEOMETRIE

REN? DESCARTES」】より

【「デカルト著作集１」 原亨吉訳 白水社】より＜参考＞

アポロニウスはその著書『円錐曲線論』で、円錐曲線（「放物線」「楕円」「双曲線」）を、1 つの円錐を異なる傾きの平面で切ることによって示している。

円

楕円

放物線

双曲線

ワークシート①2年組番 名前＜問題＞

デカルトの方法で z2=az＋bb の z の長さを表そう。

右の図で、LM＝b、NL＝a2

N を中心とし、半径 NL の円を描いて、LN⊥LM とすると、事前課題の「方べきの定理」を利用して、まず、△ OLM∽△LPM である。よって、LM：OM＝（ゆえに、LM２＝（）・（）

そして、OM＝ｚ とすると、b２＝ｚ（）

これは、解きたい方程式と同じである。
つまり、この図の OM が求めたい z である。

またZ=ON＋NM より、この線は次のように表される。

aa2z= ++ b224ワークシート②）
：
（）

2年組

番 名前

＜問題＞

z2 =az−bb の z の長さを表そう。

a2

右の図で、LN＝ 、LM＝ｂ、またＮを中心とし、半径ＬＮの円とＬＮに平行な直線との交点をＱ，Ｒとする。

まず、△ＬＭＲ∽△ＱＭＬである。よって、ＬＭ：ＱＭ＝（ゆえに、ＬＭ2＝（）・（）：（）

そして、ＱＭ＝ｚ とおくと、ｂ2＝ｚ（）

また、ＲＭ＝ｚ としても、同じ式になる。
そしてこれは、解きたい方程式と同じである。
つまり、先ほどと同様、この図の QM、RM が求めたい z である。
また、長さはaa2
QM = z = −− b224a
RM = z = +2となる。

a2− b24）

ワークシート③2年組番

氏名【穴埋め問題】●デカルトの方法で曲線の方程式を導いてみよう！

KN をカブリで LN と平行にすると、 K と B が一致する。
BA = xGA = a

LB = bBC = yとおくと、△ LCB ∽△ LGA より、
BC : LB = （）：（）

なので、y :b = （）：（）とできる。

よって、 ab = （）y =（）つまり、L を上下に動かしたときに点 C が描く軌跡は，現代でよく知られている（）である。