膜構造の畳み込みに関する折紙的アプローチに関する基礎的研究
渡邉尚彦∗
川口健一∗∗
梗概

開閉式膜屋根構造等，展開式膜構造に用いられる折り畳みパターンの設計には折紙的アプローチが役立つ．折紙的アプローチでは膜のせん断変形を無視し曲げ変形を折線に集中させた幾何学を仮定する．本研究では板の固有曲げモードをヒントとして折りモードを得，実際に折り畳むことのできる「可折条件」を考慮した折線の調整法を示し，畳込み経路解析を行う，という各手法を提案する．

1

はじめに2面的な広がりを持つ構造物を畳み込む，或いは畳み込まれた構造物を展開するという手法は建物の合理的な施工，解体，展開型・可変形状型構造の開発などの分野で様々な応用が考えられてきている [1]．宇宙工学の分野では宇宙展開型アンテナ，太陽電池パネル，ソーラーセイルなどへの応用を目指し，多くの畳み込みパターンが提案されている [2][3][4][5][6]．本研究は平面材の折り畳みパターンの構造を明らかにするため，「折紙的アプローチ」の有用性に着目し，折りの数理に関して得られている成果を膜構造の折り畳みに応用しようとするものである．実際の膜材料はせん断変形，曲げ変形，ねじれ変形を伴うが，本研究では問題を明確化するため，これらの変形は生じないものとし，膜の幾何学的変化を折線により接続された剛体的平面により生じるものと仮定する．提案する解析の主な流れは(1) 板の固有曲げモードから折線を抽出し折面化する手法の提案(2) 実際に可折条件を満たすような折線を調整する手法の開発(3) 得られた折線を基に剛体的畳込み経路解析を行うというものである．(1) はできるだけ恣意性を排した方法
で平面の本来持っている曲げ変形モードを歪みエネルギーの小さい順に得，それをもとに主要な折線を得るというものである．(2) は得られた折線が実際に折り畳み可能かを判定する方法を示し，可折でない場合折線を補足・削除・座標移動を施すことで実際に折り畳み可能な折線構造を得るというものである．(3) は不伸長変位解析を面の折り畳みに適用するというものである．
なお本論文で「折面化」とは，曲げモードなどの曲面を「折線のつけられた面」として近似する際に必要な折線の一部分を得る作業を表す．ただし，そこで得られる折線は可折なものであるとは限らない．また「可折面」とは実際に可折条件を満たすような折線のつけられた平面のことである．以降この定義に従う．以下に各部分の手法について説明する．
∗ 東京大学大学院工学系研究科修士課程∗∗ 東京大学生産技術研究所助教授

折面化

面の自然な折線を得るために座屈波形がヒントにされることがある．三浦らは「ミウラ折り」を薄肉円筒シェルに現れるダイヤモンド座屈波形をヒントに得，板の Elastica問題の解としての結果も得ている．[7][8][9][10] 円筒シェ
ルのねじり荷重作用時に現れる座屈波形もチューブの折畳み時の折線を得るためのヒントとされている [11]．しかし本論文では荷重条件に依存しない面の純粋な曲がり易さを表す形を得るために弾性剛性マトリクスKE のみを用いて[KE − λI]u = 0(1)によって固有曲げモードuを得ることとする．固有値が小さいほど対応する曲げモードの歪みエネルギーは小さい．
ここで得られた曲面は直観的に構成される折線を想起させるものもあるが，そうでない場合に曲げの偏在情報から折線に変換する一般性のある方法が必要とされる．本研究では，曲面を可展的な区分的多角形の集合として直接近似するのは困難であるが曲線であれば折線として近似することが比較的容易であることに着目し，曲面を x 軸 y 軸に平行な線で切った断面の曲線の極値点間を線形補間するという作業を繰り返す方法によって近似的折面を得ることとする．

3

可折条件

面の折りの幾何学的性質に関して「平坦可折条件」「剛体可折条件」が知られている．
「平坦折り」とは，折線情報が与えられている平面がもし平坦に折り畳めるならば成り立つべき山谷線の位置情報を扱ったもので前川定理，川崎定理をはじめその一般化がなされている [12][13][14][15]．
一方「剛体折り」とは各面がプレートで辺がヒンジとしてモデル化されるような区分的多角形の集合体が，与えられた山谷線情報から各面が伸びや曲げを生じずに剛体的変位をしうるかという問題を扱うものであり，Gauss 写像を用いた検討や機構を持つ４価の頂点についての研究 [9][16]がこれまで多く行われている．しかし「平坦可折条件」の研究の発展に比べると「剛体可折条件」については実際的かつ一般的方法が確立されていない．以下では既往の研究で見られた「平坦可折条件」の成果を使って，部分的に与えられている折線情報から実際に平坦可折な山谷線を構成する方法を提案する．ここでは折面化した際の折線情報をできるだけ生かすという方針である．また「剛体折り」については判定法を数値解析によるものと図式解法によるものを提案し，その有用性を数値解析結果から検証する．
3.1 平坦折り条件
以下では折線を平面に描かれたネットワーク情報の幾何的操作として扱う．単頂点に集中する線分について平坦折り条件とは以下のものを考慮する．
[i] 各折線間角度は 180 度以下[ii] 頂点の１頂点から出る直線の本数は４本以上の偶数[iii] 折線の成す一つ置き角の和は 180 度（川崎定理）[iv] 山谷線の本数の差は２（前川定理）[v]θ1 > θ2 , θ2 < θ3 の θ2 両端の山谷は逆（隣接山谷条件）[iii][iv][v] は平坦可折条件として知られている諸性質であり，[i][ii] は折線構成操作のため便宜上加えたものである．[v][iv][v] は線分の接続・座標情報のみ扱う問題であり，[ii][iii] は山谷情報を扱う問題である．従って与えられた折線に対して平坦可折を目指して行われる調整操作は
判定 [i][ii] より「頂点・辺の追加・削除」
判定 [iii] より「節点座標移動」
判定 [iv][v] より「山谷変更」となる．[iii] より平坦可折な山谷は座標情報に依存して単なる折線の接続情報からは決定できないことから，折線ネットの決定→頂点座標調整→山谷調整といった順に操作を行うものとする．接続情報を決定する「線分の追加・削除」操作についてはどの節点からスタートしてもできるが（ただし結果は異なる），[iii] を考慮した「節点座標移動操作」は効果的な順番を考慮する必要がある．ここに内部の多角形の核を外側に向かって膨張するように操作を行う方法を提案する．具体的に幾何グラフを扱うにあたって図１に示すような頂点座標データと辺の情報を使用した．

3.2 剛体折り条件

図３：記号 li (θi , ρi )剛体折り判定について，平面につけられた各折線は微小な二面角の変化が起こしうるか，という観点から，以下のように定式化し，判定することができる．
半直線が集中する局所的な頂点を考える．半直線の折線

l1 , l2 , · · · , ln の x 軸からの平面角を θ1 , θ2 , · · · , θn とする．
また l1 , l2 , · · · , ln の２面角の補角をそれぞれ ρ1 , ρ2 , · · · , ρnとする．z 軸周りの回転，x 軸周りの回転それぞれの操作を表す行列をそれぞれ Ai , Ci とし，χi = Ai Ci A−1とすi
ると，もし１枚の連続的な面が折られてつけられた折線ならば

χ1 χ2 · · · χn = I(2)が成り立つ．今剛体可折ならば平坦に開かれた状態から微小変位 (∆ρ) を起こしうると考え，sin ∆ρi = ϵi , ϵi sin θi を

δis , ϵi cos θi をδic と表記することにすると，近似操作，高次項省略の結果，左辺の表現行列は∑n∑n
s ss c1−i,j=1 δi δj−∑n sδi∑i=1nci,j=1 δi δj∑n i<j c si,j=1 δi δji<j∑ns∑i<jnc c
1−i,j=1 δi δj∑ni<j c

δi=1 i

δi=1 i−1−∑nδ
i=1 is sc ci,j=1 (δi δj + δi δj )i<j(3)のようになる．ここでϵは山谷によって符号が異なる，微小な二面角の変化に相当する値である．これが単位行列 Iとなることに注意し，行列の各成分に着目する．
まず，ϵ に関して１次のものしか含まない (1,3),(2,3) 成(頂点座標データ)
P (i)=(x,y) : 頂点 i の座標
pmv (i) = ±1 : 頂点 i の面外変位方向 (山を+, 谷を-)(辺データ)
kv (j) : 辺 j の始点の頂点番号
1kv (j) : 辺 j の終点の頂点番号2ke (j) :辺 j の始点の時計回りに回ったときに最初に出会う辺
1rke (j) : 辺 j の終点の時計回りに回ったときに最初に出会う辺
2rke (j) : 辺 j の始点の反時計回りに回ったときに最初に出会う辺
1lke (j) : 辺 j の終点の反時計回りに回ったときに最初に出会う辺
2l
kmv (j) = ±1 : 辺 j の山谷情報 (山を+, 谷を-)分に着目するとこれは

[Aϵ1 =cos θ1sin θ1cos θ2sin θ2· · · cos θn· · · sin θnϵ1

] ϵ2  . =0 .  . ϵn(4)図１：辺の周りの情報となる．(1,2)(2,1) 成分に着目すると

ϵT Cϵ = 0

図２：判定 [iii] をもとに行った座標調整

C マトリクスは[ 0 cos θ sin θ − sin θ cos θ1210以上の流れに沿って可折面化する方法を適用した例を図 2に示す．

sym2(5)cos θ1 sin θ3 − sin θ1 cos θ3cos θ2 sin θ3 − sin θ2 cos θ3······].
.
.

(6)

または




0− cos θ2 sin θ1− cos θn sin θ1cos θ1 sin θ20cos θ1 sin θ3cos θ2 sin θ3······cos θ1 sin θncos θ2 sin θn− cos θn sin θ2.
.
.
− cos θn sin θ3···0(7)となる．式 (4)(5) は式 (2) の必要条件であるがこれらの幾何解釈は次の通りとなる．
∑∑
式 (4) を αi =ϵi λi = 0 とすると，各αi は，方向λi ，大きさ ϵi を持ったベクトルと考えることができ，実際の折れ面と対応させて考えるとλi は平坦に開かれた状

3.3 数値解法
形式的折線図の座標データから与えられるA, C マトリクスに対し，式 (4)(5) を満たすモードの符号の存在判定をすることにより，山谷の剛体可折性を判定することができる．式 (5) は非線形より Newton-Raphson 法に準じた繰り返し計算により行う．まずAの一般逆行列A− を使ってϵ′ = [I − A− A]α(8)と解の候補 ϵ′ をたて（ここで α は各線分の折線属性にあわせ，±1 で表されたものとする），態での各折線方向，ϵi は二面角の補角の大きさに相当する

f (ϵ′ ) = ϵ′T Cϵ′ことに着目できる．式 (4)(5) が成り立つということは各(9)折線属性に合わせてベクトル表記された折線を結んだときが０になるまでϵ, αを繰り返し更新するというものである．

[1] 閉経路を描くことができ（式 (4)）[2] 向き付けされた面積が０となる（式 (5)）

ここで収束したϵの符号と，はじめに仮定した山谷αとのとなることに相当する．

る．多頂点の場合はA, C マトリクスを重ね合わせ，全体具体的な剛体可折性図式判定手順を図４を例に示す．

符号一致性によって剛体折り可能であったかを判定できマトリクスと個別のマトリクスについて収束計算を行うことで判定を行う．

3.4 数値解析結果
以上で定式化を行った剛体折り判定の数値解法の妥当性を以下の例で検証した．
図５，６に示す４価と５価の単頂点，図７, ８に示す２頂点と４頂点の場合について，考えうる全ての山谷の組合せから剛体可折なものを選び取ることができるかどうかを検討した．
各図に示す li の山谷を ±1 で表し，その組合せを α ベクトルとして入力し，繰り返し計算によって収束した ϵ の符号のモードとの一致性より剛体可折判定を行う．
表１は図５に示す４価頂点のそれぞれ線の山谷属性（例
えば 1 を山折り-1 を谷折りとする）に合わせて入力された α と収束した ϵ の値である．表中の左の○×は実際の剛体可折性を示し，それぞれに対し行った判定結果（入力値と出力値の符号の一致性）とともに示した．式 (6) をもとにしたC1 ，式 (7) をもとにしたC2 の２種類のマトリクスを使用しそれぞれ収束結果を比較した．
図４：剛体折り図式判定方法

また表２は５価頂点についてC1 マトリクスを使って行っ

まず谷折り線は外側のベクトル，山折り線は中心に向かうた解析で入力値 α と収束値 ϵ で符号が全て一致した山谷ベクトルとして山谷の折線属性にしたがい，方向を持たせの組合せの収束値を選び出している．それぞれ収束値の負る（(b)(e)(h)）．次に，その方向ベクトルを l1 から順に値に網掛けがされている．

反時計回りに抜き出し，長さを調節しながら閉経路になる

表３は２頂点について全体マトリクスによる計算で入力ようにする．ここでどうしても閉経路にならないもの (c)値と出力値の符号が一致した山谷の組合せのみをすべては剛体折り不可能．式 (5) より閉経路になっても向き付けあげた．表３の中で網掛けがされているのが各頂点 p1 , p2された面積が０にならないもの (i) も剛体折り不可能．閉についても剛体可折と判定されたものである．

経路かつ向き付けされた面積が０となるものが剛体折り可能と判定する．実際に (d) だけが剛体可折である．

表４は図８の４頂点に対して判定を適用したものであり，全体マトリクスも各頂点周りのマトリクスについても複頂点の場合はまず各頂点で局所剛体可折かどうかをベ剛体可折と判定された山谷のパターンを選び出している．

クトル図を描くことによって確認し，それぞれベクトル長

表４の下表は全体マトリクスで剛体可折とは判定されなさの相互関係が無矛盾であれば剛体可折と判定できる．

かったが各頂点については剛体可折と判定されたパターン

表１：図５の判定

図５:４価単頂点

図６:５価単頂点

表３：図７の判定 表４：図８の判定

表２：図６の判定

図７：複頂点パターン

図８：４頂点パターン

であり，また平坦可折なパターンでもある．
まず表１からはC1 , C2 どちらのマトリクスを使用した場合においても正しい剛体可折判定を行い，判定の正しく面の曲げ変形が生じることを確認することができ，仮定に反するモードであることが分かる．
畳み込み解析

4

行われた場合にϵはC1 , C2 ほぼ同じ値に収束している．ただし入力値として剛体可折でない組み合わせのものを入力した場合には収束値の挙動に違いが見られ，C1 では ϵiが０となるものが現れる場合が多いのに対し，C2 では剛体可折な山谷モードに収束する．また収束値は，平坦可折(a)初期変位step 200

step 500

(b)

初期変位

step100

step200(c)初期変位step 50

step 200

な４価単頂点の向かい合う折線での二面角間に成立する関係 ∥l1 ∥ = ∥l3 ∥, ∥l2 ∥ = ∥l4 ∥ が成立していることにも着目できる．表２に示すような５価頂点の場合は４価頂点のように二面角関係は一意に定まらず，C1 とC2 とで収束値も異なる値となった．しかし符号に着目した場合，どちらも正しい剛体折り判定を行っていた．表に示す剛体可折という判定が得られた山谷モードは実際にも剛体可折となっている．表３に示す２頂点の場合，全体マトリクスを使用した判定のみでは各頂点周りでは剛体可折でない山谷モードを選び出してしまうことが分かる．表４の上表の判定結果は直感的には全てのモードを尽くしていないような印象を与えるが，表下のような山谷モードは実際折ってみると

図９：各種折線の畳み込み経路解析例
折面の畳込み解析にあたって，折面をトラス要素でモデル化し，半谷・川口ら [18][19] によって提案された一般逆行列を使用した部材不伸長畳込み経路解析を行った．増分表６：8 × 8 板の固有値変位として重ねあわされる不伸長変位モードの各係数は，ポテンシャルエネルギーの最大勾配を得るものを採用し，また増分変位は線形項までを考慮したものとし，

ϵ = Bu(10)

H = [I − B − B]

(11)

T

∆x = HH f (∆t)(12)

によって各ステップの∆xを得るものとする．折線はトラス部材で表現するが，その山谷属性を各頂点 z 座標の初期変位として表現した．その z 成分は，内部点は集中する山谷線の差によって初期面外変位方向成分を決定し，周縁部は折面の周縁部の折線情報と一致するようにと決定した．
この方法により折線情報の与えられた平面の畳込み経路が解析しうることを例として図９に示す．(a)(b) は面内荷重をかけたもの，(c) は図のようなねじり荷重をかけたものである．

5以下で平板の固有モード解析から折面化，条件を満たす折線の構成，畳込み解析という一連の流れを示す．
図 10,11 は2.で提案した方法によって得た固有曲げモードと折面モードである．要素は有限要素法による９節点

degenerated-shell 要素を使用し，負又は０近傍の固有値のものを除いて小さな固有値に対応する順に並べた．なお z軸方向変位は拡大して表示している．

mod18,20,22 を除くと折線が想起しやすい変形となって一連の流れいることが分かる．ここで mod18,22 は比較的折線が想起しにくいのでこれらを選び，可折条件を満たすような折線への変換を行う．

mod22 の折面から判断できる山谷線は図 12(a) に示す部分である．内部は山谷が判別できない．ここに平坦可折面化操作を行うと (b) のような谷線が決定される．これは平坦折可能な折線であるが，剛体可折ではないため図右のような補助的な折線を入れる．図 11 の mod18 の山谷は平坦可折条件もやはり剛体可折条件も満たしていないため剛体折りを満たすような斜折線を挿入する．以上のようにmod18,22 はともに剛体可折ではないが，ここでは例題として折線を追加して可折面化を行っている．以上のような可折面化によって決定された山谷をもとにトラスモデルの

図 10:固有曲げモード

畳込み解析を行った．
表７：解析諸元x × y 寸法
初期変位/辺長 (z/l)
荷重条件 (mod18)
荷重条件 (mod22)
拘束条件
ステップ幅 dt(a)図 11:折面化されたモード(b)(c)

図 12 mod22 の可折面化

表５：解析諸元
寸法Young’s Modulus (E)Poisson Ratio (ν)

50.0 × 50.0
±1/50
端４点と辺中点から z=0 面内方向へ各 1.0
周縁 16 点から z=0 面内方向へ各 1.0
内部４点を固定0.1

160.0 × 160.0 × 1.0[mm]200000[N/mm2 ]0.3

図 13 より，最終的な畳込み形状にあって折面化した周縁部での山谷情報は保存されていると分かる．しかし mod18
では畳込み進行中に明らかに面の交差が見られる．

なお mod22 を図 11 の折面化されたときの周縁部のみの情報から対称的な初期変位を作成し畳込み解析を試みたとき，可折面でないため解析プロセスが停止してしまっ[2] Osamu Mori,Yuichi Tsuda,
Maki Shida,
Jun’ichiro
Kawaguchi,“Dynamic and Static Deployment Motions of
Spin Type Solar Sail,”18th International Symposium on Space
Flight Dynamics,2004

たが，可折面化操作によって面の内部の谷線を考慮した初期変位としたときに図のように解析が進行した，という点で可折性条件を考慮することの必要性がわかる．

[3] 野島 “折紙・針金構造,”矢川編, 構造工学ハンドブック, 丸善,pp.819822,948-958,2004[4] 渡辺, 名取,“大型太陽電池セルの折り畳みと展開,”第 48 回宇宙科学技術連合講演会,pp.796-800,2004[5] 升岡, 古谷 “スピン展開ソーラーセイル膜面のための回転二重波折りパターンの提案とその展開実験,”第 46 回構造強度に関する講演会,
日本航空宇宙学会,2004[6] 三浦, 山本, 田畑, 谷沢,“テンショントラスアンテナの鏡面構成と機械特性,”第 31 回構造強度に関する講演会講演集, 日本航空宇宙学会・
日本機械学会,1989

mod18
初期変位

step 1000

step 1305[7] Miura,“Proposition of Pseudo-Cylindrical Concave PolyhedralShells,”Proceedings of the IASS Symposium on Folded Plates
and Prismatic Structure,1970[8] K.Tanizawa,K.Miura,“Large Displacement Conﬁgurations ofBi-Axially Compressed Inﬁnite Plate,”Transactions of theJapan Society for Aironautical Sciences,Vol.20,No.50,pp.177187,1978

mod22
初期変位

step 400

step 700[9] Miura,“A Note on Intrinsic Geometry of Origami”Proceedingsof the First International Meeting of Origami Science andTechnology,Ferrara,Italy,pp.239-249,1989

図 13：mod18,22 の畳み込み経路

6

まとめと課題
膜構造の折線構造に対する折紙的なアプローチによる解析法を提案した．以下にそれぞれ提案した手法の妥当性について得られた知見をまとめる．
１．弾性マトリクスを用いた曲げモードに基づく折線パターンの抽出法を提案した．

[10] Miura,“Fold-Its Physical and Mathematical Principle”Proceedings of the Second International Meeting ofOrigami Science and Scientiﬁc Origami,Otsu,Japan,pp.4150,1994[11] S.D.Guest, S.Pellegrino,“The folding of triangulated cylinders, Part I,II: ,” ASME Journal of Applied Mechanics, 61,
pp.773-783,1994[12] Kawsasaki,“OnHigh
DimentionalFlatOrigamis,”Proceedings of the First International Meeting ofOrigami Science and Technology,Ferrara,Italy,pp.131-141,1989

２．平坦可折条件を整理した．
３．剛体可折判定法を提案した．
４．提案した平坦可折条件を満たす折線の構成法は幾つかの折りパターン例を可折面化するものの，まだ適用範囲が限定される．
５．提案した剛体可折判定法は，導出では必要条件にすぎなかったが，多くの解析例から正しく剛体可折性が判定できることが分かった．
今後の課題として
１．固有値が畳込み特性に持つ意味を明確化すること
２．剛体可折判定法は完全な剛面を想定しているため実際の膜材より硬いという点の緩和[13] Kawasaki,“R(γ)=I,”Proceedings of thenational Meeting of Origami ScienceOrigami,Otsu,Japan,pp.31-40,1994

Second Interand Scientiﬁc[14] T.C.Hull,“TheCombinatoricsofFlat
Folds:ASurvey,”Proceedingsof3rdInternational
MeetingofOrigami
Science,Mathematics,andEducation(T.Hull(ed),“Origami3”,AKPeters,2002)[15] S-M.Belcastro.T.C.Hull:A
Mathematical
Modelfor
Non-Flat Origami,Proceedings of the 3rd International
Meeting of Origami Science,Mathematics and Education(T.Hull(Ed),“Origami3”,AKPeters,2002)[16] D.Huﬀman,“Curvature and crease:a primer on paper,”IEEETransactions on Computers,vol.C-25,No.10,pp.1010-1019,1976

すること[17] 島貫, 加藤, 渡辺,“展開図を用いた折り紙操作過程における手順毎の折り方構成,”電子情報通信学会研究報告 [パターン認識・メディア
理解], PRMU2002-19, p.71-78,2002などが挙げられる．

[18] 半谷裕彦, 川口健一：形態解析−一般逆行列とその応用, 培風館,1991.

３．面の接触を考慮に入れた畳込み経路解析モデルの確立[19] 川口, 那花, 半谷,“骨組み構造の畳み込み解析,”日本建築学会構造系
論文集,No.498,pp.99-104,1997

参考文献[1] F.Otto,“IL5WandelbareDacherRoofs),”Wittenborn and Company,1972(Convertible[20] 宮崎, 川口, 半谷,“矩形板要素による膜構造の安定化移行解析,”膜構造研究論文集’95，日本膜構造協会,pp.13-17,1992

The “Origamic” Approach for Fundamental Study of Membrane Folding
Naohiko Watanabe∗1
Ken’ichi Kawaguchi∗2
SYNOPSIS
The “Origamic” approach gives us useful information and suggestion in the design of folding pattern of membrane,
which can be applied to retractable membrane roof or foldable membrane structures. In the Origamic approach,membrane is assumed that it has perfect shear rigidity and its ﬂexural deformation occurs only along the crease line.
In the paper extraction of basic folding pattern from eigen modes of bending deformation is ﬁrstly proposed. Thenthe condition of foldability and its applications to the generation of foldable pattern in the ﬁnite displacement range
are also proposed. Finally the patterns and conditions are examined by folding analysis.
*1 Graduate Student,Department of Engineering,University of Tokyo*2 Associate Professor,Institute of Industrial Science,University of Tokyo