数理解析研究所講究録1068 巻 1998 年 39-44

39

一般的選択確率をもつ競合在庫モデルに関する研究

1

大阪府立大学北條仁志 (Hitoshi Hohjo)

大阪府立大学

寺岡義伸 (Yoshinobu Teraoka)

Model

線的に分布している客に対して二人のプレーヤが製品を供給し、 過剰需要においては再配分されるような–期間在庫モデルについて研究する。 Player I, II と呼ばれる 2 人のプレーヤがある 品を同時に販売$\ovalbox{\tt\small REJECT}$し始め、 市場を分け合う。 Player I は $[0,1]$ 区間上の位置 に、 Player II は位置 1 に配置されている。 各プ
レーヤの発注は期首に–度だけ可能で、 即時的に納入される。 段取り費用がなく、購入費用は発注量に比例する。 各プレーヤに対してもし各時刻に在庫を抱えている場合には維持費用がかかり、 逆に在庫が不足$0$している場合には品切れ損失費用を負うものとする。 このモデルでは不足が生じた場合にはバックログされない、 すなわち不足分に対して後納入されないと仮定する。

客は $[0,1]$ 区間上に密度関数 $f(x)$ に従って分布しており、地点$x$の客は確率 $p(x)$ で Player I 側へ、残りの確率 $1-p(X)$ で Player II 側へ–人–個の製品を購入しに行く。 最初に訪れたプレ一や側に在庫がないと知るや否や もう –方のプレーヤ狽|」\sim 直ちに向かう。そこ $\text{て}.\int 0f(X)1.d_{X=}1$ , すべての に対して $0\leq p(x)\leq 1$である。 客は各地点を同時に出発し、 どちらかのプレーヤ側に向かうが、 それまでにかかる到着時間は移$x$動距離に比例するとする。 客は任意の時刻におけるプレーヤの所有する在庫量を知らない。 Player I と IIは非協力的であり、 各プレーヤの目的は発注、 維持、 不足に伴う総費用を最小化することにある。 問題は各プレーヤが期首にどれだけ発注しておけばよいのかである。 そこで発注量は独立して決定される。
モデルでは次の記号を用いて記述する:$b$$z_{i}$$r_{i}$$c_{i}$$h_{i}$$p_{i}$$t$$Q^{i}(T)$$C^{i}(\mathcal{Z}_{1}, z_{2})$:

市場上に与えられた工数 (需要量):Player $i(i=1,2)$ の発注量, 決定変数
:Player $i(i=1,2)$ の単位当たりの販売価格:Player $i(i=1,2)$ の単位当たりの購入費用:Player $i(i=1,2)$ の単位当たりの維持費用:Player $i(i=1,2)$ の単位当たりの品切れ損失費用:

単位距離当たりの移動時間: 時刻 $T$ における Playerの在庫量:Player $i(i=1,2)$ の期平均総費用$(\mathrm{i}=1,2)$

プレーヤは利益を得なければならないので、 自然な仮定として$r_{i}\geq c_{i}$を与える。

かつ $z_{2} \geq b-\int_{0^{P()}}^{1}Xf(x)bdX$ の場合
Situation 1:
この状況では到着する客すべてに対して供給することができ、 両プレーヤ共に不足は生じない。 ここでこの状況を満たしているの集合 $\{(z_{1,2}z)$ : $z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(X)f(x)bdX,$ $z_{2} \geq b-\int_{0^{P()f}}^{1}x(x)bdx\}$ を Sl
$z_{1} \geq\int_{0^{P()}}^{1}Xf(x)bdX$$(z_{1}, z_{2})$とおく。

Situation 2:$0 \leq z_{1}<\int_{0^{P}}^{1}(X)f(x)bdX$ かつ $z_{2} \geq b-\int_{0}^{1}p(X)f(X)bdX,$ $Z_{1}+z_{2}>b$の場合
この状況では Situation 1 と同様にすべての客に対して供給できる。 Player I 側に不足が生じるが、 その満たされない客は Player II 側で満たされることになる。 集合 Sl と同様、 この状況を満たす集合を S2 とおく。 以下においても同様に集合$\mathrm{S}3\sim \mathrm{S}6$を与えるものとする。

$(Z_{1}, z_{2})$の40

Situation 3:$0 \leq z_{1}<\int_{0}^{1}p(X)f(x)bdx$ かつ $z_{2} \geq b-\int_{0^{p()f}}^{1}x(x)bdX,$ $Z_{1}+Z2\leq b$の場合

この状況では Player I 側で満たされない客が Player II 側に行ってもすべてが満たされるとは限らない。

Situation 4: $0 \leq z_{1}<\int_{0^{P}}^{1}(X)f(x)bdX$ かつ $0 \leq z_{2}<b-\int 0p(X1)f(x)bdX$ の場合.
この状況では各プレーヤに訪れた最初の方の客のみが満たされ、 初めて訪れた Player によって満たされなければその後も満たされない。

Situation 5:$z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(X)f(x)bdx$

かつ $0 \leq z_{2}<b-\int^{1}0^{p(x}$ ) $f(x)bdX,$ $z_{1}+z2>b$ の場合

この場合には Situation 2 において Player I と II の役割を交替すればよい。

Situation 6:$z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(X)f(x)bdX$

かつ $0 \leq z_{2}<b-\int_{0^{P}}^{1}(X)f(X)bdX,$ $z_{1}+z_{2}\leq b$ の場合

この場合には Situation 3 において Player I と II の役割を交替すればよい。
このとき期平均総費用$C^{i}(z_{1}, z_{2})$は次の様になる :$C^{1}(Z_{1}, Z_{2})$for$[c_{1}+h_{1}]z_{1}-[h_{1}+r_{1}] \int_{0}^{1}p(x)f(x)bdX+-h\perp\int_{0^{xp()}}^{1}2xf(x)bdX$$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}1$,$[c_{1}-p_{1^{-r}}1]Z_{1}+ \frac{h_{1}+p_{1}}{2}\int_{0}^{arrow}2t{}^{t}xp(x)f(x)bdX+p_{1}\{\int_{0}^{1}p(X)f(X)bdX$$- \frac{1}{2}\int_{0^{x(X}}^{1}p)f(x)bdX\}$for$(z_{1}, z_{2}.)\in \mathrm{S}2,\mathrm{S}3$,$[c_{1}-p1-r1]z1+ \frac{h_{1}+_{\mathrm{P}1}}{2}\int_{0}^{\underline{2}t}{}^{t}xp\lrcorner(x)f(X)dX+p_{1}\{\int_{0}^{1}p(X)f(X)bdX$$- \frac{1}{2}\int_{0}^{1}Xp(x)f(x)bdX+\frac{1}{2}\int^{1-^{\underline{2}t}\mathrm{B}}\mathrm{o}{}^{t}x(1-p(X))f(x)bd_{X}\}$

$=$

for

$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}4$

,

(1)

$\{$

$[c_{1}+h_{1}]z_{1}-r_{1(b-}z_{2})+h_{1} \{\frac{1}{2}\int_{0}^{11}xp(X)f(x)bdx-\int_{0}p(x)f(X)bd_{X}$$- \frac{1}{2}\int^{1-\frac{2l}{t}\mathrm{a}}\mathrm{o}x(1-p(X))f(x)bdX\}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}5$,$[c_{1}+h_{1}-r_{1}]Z_{1}+ \frac{h_{1}+p_{1}}{2}\int_{0}^{2-}\frac{2l}{t}\mathrm{A}x(1-p(x))f(x)bd_{X}+h_{1}\{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}xp(x)f(X)bdX$$- \int_{0^{p}}^{11-^{\underline{2}t}}(x)f(x)bdx-\frac{1}{2}\int 0(1-p(X))f(x)bdX\}tAx$

for$(Z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}6$;$C^{2}(z_{1}, Z_{2})$$[c_{2}+h_{2}]z_{2^{-}}[ \frac{1}{2}h_{2}+r_{2}]\{b-\int_{0^{p}2}^{11}(x)f(X)bdx\}-\underline{h}_{2\int_{0^{x}}}(1-p(X))f(X)bdX$

for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}1$,$[c_{2}+h_{2}]_{Z_{2}}-[ \frac{1}{2}h_{2}+r_{2}](b-z_{1})+\underline{h}_{2}2\{\int_{\frac{2l1}{t}}xp(x)f(x)bdX$$- \int_{0}^{1}x(1-p(X))f(x)bd_{X}\}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}2$,$[c_{2}+ \underline{h}_{2}2 -2\ - \gamma_{2}]z_{2}-\frac{h_{2}+\mathrm{p}_{2}}{2}\int_{t}^{1}\underline{2}l2-1Xp(x)f(x)bdX+\underline{h}2^{2}\mathrm{t}\int_{\#}^{1}2\iota xp(X)f(x)bdX$$=$$\{$$- \int_{0^{1}}X(1-p(x))f(X)bdX\}-\mathrm{E}2(z_{1^{-b}})$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}3$(2),$[c_{2}+ \frac{h}{2}\mathrm{Z}-\ -r_{2}]2Z_{2^{-\frac{h_{2}+p_{2}}{2}\int^{1}}}1-^{2}t \mathrm{r}X(1-p(X))f(x)bdX-2t\{Ez1-b$$+ \int_{t}^{11}\underline{2t}\perp^{xp}(x)f(x)bdx-\int_{0}X(1-p(X))f(x)bdx\}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}4$,$[c_{2}+ \underline{h}_{2}2-2E-r_{2}]Z_{2}-\frac{h_{2}+p_{2}}{2}\int 1-\underline{2}t\Delta X1t(1-p(x))f(X)bdX$$+_{2}^{\mathrm{E}} \{\int_{0}^{1}x(1-p(X))f(x)bd_{X}+\int_{0}^{1}(1-p(X))f(x)bdx\}$

そこで
$2T$

$t_{1}= \min\{T : z_{1}=\int_{0}^{\overline{t}}p(x)f(X)bdx\}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}5,\mathrm{S}6$;

41$t_{2}= \min\{T^{\cdot}:z_{1}+z_{2^{-b}}.+\int_{\frac{2T}{t}-1}^{1}p(X)f(x)bd_{X}\}$$t_{3}= \min\{T : z_{2}=\int_{1-\frac{2T}{t}}^{1}(1-p(_{X}))f(x)bd_{X}\}$$t_{4}= \min\{T : z_{1}+z_{2}-\int_{0}^{1}p(x)f(X)bd_{X}-\int_{2-\frac{2T}{t}}^{1}(1-P(X))f(x)bdx\}$と定義する。 これにより各. このとき、 $C^{1}(z_{1}, z_{2})$ は$z_{1},$ $z_{2}$$z_{1}$

に対して$t_{1},$$\cdots,$$t_{4}$に関する区分的凸関数であり、$C^{2}(z_{1}, z_{2})$ことがわかる。 ゆえに $C^{1}(z_{1}, z_{2})$ を最小にする Player I の最適在庫量$\int_{0}^{1}p(x)f(x)bdX$

は$z_{1}^{*}$$z_{2}$に関する区分的凸関数であるはin Sl,S5$\int_{0}^{arrow^{t^{*}}}2{}^{t}p(x)f(x)bdX$$\{$.:.

が–意に定まる。

in$\mathrm{S}2,\mathrm{S}3$(3)

and S4$\int_{0}^{1}p(x)f(x)bdX+\int_{2-\frac{2t}{t}\mathrm{A}}^{1}*(1-p(x))f(X)bd_{X}-\int 1*1-\frac{2t}{t}\mathrm{a}(1-p(x))f(X)bdX$であり、 $C^{2}(z1, z2)$ を最小にする Player II の最適在庫量$b- \int_{0}^{1}p(x)f(x)bdX$

はin Sl,S2$b- \int_{0}^{\frac{2t}{t}1}p(*x)f(x)bdx-\int^{1}2p2-1(-^{t^{*}}tX)f(x)bdX$$\{$$z_{2}^{*}$

in S6$\int_{1-\frac{2t}{t}\mathrm{A}}^{1}*(1-p(x))f(X)bdX$in$\mathrm{S}4,\mathrm{S}5$

in S3

(4)

and S6.

である。 そこで$t_{1}^{*}=t_{4}^{*}= \frac{r_{1}-c_{1}+p_{1}}{h_{1}+p_{1}}t$,$t_{2}^{*}=t_{3}^{*}= \frac{r_{2}-c_{2}+p_{2}}{h_{2}+p_{2}}t$である。

2

平衡点
を Playerの 1 つの純戦略として考え、 それらの戦略により生成される利得行列を用いて 2 人のプレーヤにおける在庫量の平衡点を求める。 解析途中に得られる条件から次のような 8 つの価格領域に分割して解析をする必要がある。

この節では前節に得られたCase 1 :Case 2:
Case 3 :Case 4:
Case 5
Case 6 :Case 7:
Case 8 :$\mathrm{S}1\sim \mathrm{S}6$における最適発注量$z_{i}^{*}$$i$$0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{h_{1}-\mathrm{p}_{1}}{2},0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{h_{2}-\mathrm{p}_{2}}{2}$$0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{h_{1}-p_{1}}{2},$$\frac{h_{2}-p_{2}}{2}\leq r_{2}-c_{2}<\frac{h_{2}-p_{2}}{2}+\frac{(h_{2}+\mathrm{P}2)(r1-C1+\mathrm{p}1)}{h_{1}+_{\mathrm{P}1}}$$0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{h_{1}-p_{1}}{2},$$\frac{h_{2}-p_{2}}{2}+\frac{(h_{2}+p_{2})(r_{1}-c_{1}+p_{1})}{h_{1}+p_{1}}\leq r_{2}-c_{2}<h_{2}$$0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{h_{1}-p_{1}}{2},$ $r_{2}-C_{2}\geq h_{2}$$\mathrm{i}\frac{h_{1}-p_{1}}{2}\leq r_{1}-c_{1}<\frac{h_{1}-\mathrm{p}_{1}}{2}+\frac{(h_{1}+p_{1})(r_{2}-C_{2}+p2)}{h_{2}+p_{2}},$$0 \leq r_{2}-c_{2}<\frac{h_{2}-p_{2}}{2}$$\frac{h_{1^{-}\mathrm{P}1}}{2}+\frac{(h_{1}+\mathrm{P}1)(r2-c_{2}+p2)}{h_{2}+p_{2}}\leq r_{1}-c_{1}<h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{h_{2}-p_{2}}{2}$$r_{1}-c_{1} \geq h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{h_{2}-p_{2}}{2}$$r_{1}-c_{1} \geq\frac{h_{1}-\mathrm{P}1}{2},$$r_{2}-c_{2} \geq\frac{h_{2^{-}\mathrm{P}2}}{2}$

ここではそれらの中から平衡点の求め方を 1 つに対してのみ示す。

Case 3:$0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{h_{1}-p_{1}}{2},\frac{h_{2}-p_{2}}{2}+\frac{(h_{2}+p_{2})(r_{1}-\mathrm{C}_{1}+p1)}{h_{1}+_{\mathrm{P}1}}\leq r_{2}-c_{2}<h_{2}$Player I は 2 つの支酉 E された純戦略をもつ :$\mathrm{I}_{1}=\int_{0^{P}}^{1}(x)f(x)bdx_{\text{、}}$

I2$= \int_{0}p(X)f6(X)bdx\mathrm{o}$Player42
II も 2 つの支配された純戦略をもつ :$\int_{\frac{2t1}{t}\mathrm{z}_{-1}}*P(x)f(x)bdX$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}=b-\int_{0}^{1}p(X)f(X)bdx_{\text{、}}\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}=b-\int_{0}^{\frac{2l}{t}\perp}p(\mathrm{s}X)f(x)bdx-$。その時、 次のような縮小された利得行列を得る。

$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}$$\mathrm{I}_{1}\mathrm{I}_{2}$.

Sl と S3 の境界における連続性により$C_{1}^{1}( \int_{0}^{1}p(X)f(x)bdX,$ $\cdot)=C_{3}^{1}(\int_{0}^{1}p(X)f(X)bdx,$であるので、ここに現われた Player I の関数はすべて$C_{3}^{1}$$\cdot)$のみで与えられる。て支配される。 この支配によってさらに縮小された利得行列において$C_{3}^{2}$$C_{3}^{1}$の最適性によりの最適性により$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$は$\mathrm{I}_{1}$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}$は I2 によっによって支配される。従って平衡点として $(z_{1’ 2}^{*}z)*=( \int_{00z}^{-}2\mathrm{r}_{\perp}t*p(x)f(X)bdX, b-\int^{\frac{2t}{t}\mathrm{L}}p*(X)f(X)bdx-\int_{\frac{2l1}{t}}*p(-1X)f(x)bdx)$を得る。

他の場合にも同じ解析を行うことによって次の様な結果が得られる :Case $1:(z_{1}^{**}, Z_{2})=( \int_{01-}^{arrow}2t*{}^{t}p(X)f(X)bdX, \int^{1}2t\neq*(1-p(x))f(x)bdx)$$\mathrm{C}$as$\mathrm{e}2:(z_{1}Z*,*2)=(\int^{-}\mathrm{o}{}^{t}p(2t\perp*X)f(_{X})bdX, b-\int_{0}1p(X)f(_{X})bd_{X)}$

Case
Case $5:(z_{1’ 2}^{*}z)*=( \int_{0}^{1}p(x)f(x)bdx, \int 121-\neq^{\iota*}(1-p(x))f(x)bdx)$$4:(z_{1}^{**}, Z_{2})=( \int_{00}^{\frac{2t^{*}}{t}}p(x)f(x)bdx, b-\int^{\frac{2l^{*}}{t}}p(x)f(x)bdx)$

Case $6:(z_{1’ 2}^{*}z)*=( \int_{0}^{1}p(x)f(x)bdX+\int_{2-\frac{2t}{t}\neq}^{1}n(1-p(x))f(x)bdx-\int_{1-_{t}}1-2t^{*}\Delta(1-p(x))f(X)bdX$ ,$\int_{1-^{2}\Delta}^{1}-_{t}t^{*}(1-p(x))f(x)bdx)$

Case $7:(z_{1}^{**}, Z_{2})=(b- \int^{1}2t^{*}1-\#(1-p(X))f(x)bdX, \int_{1}^{1}*-\frac{2t}{t}\mathrm{a}(1-p(x))f(x)bdx)$

Case $8:(z_{1}^{**}, Z_{2})=( \int_{0}^{1}p(x)f(x)bdx, b-\int_{0}^{1}p(X)f(X)bdx)$3

例:Huff モデルの適用$P_{ij}=$

位置 の客が特定のショッピングセンター j へ向かう確率 ;$S_{j}=$

ショッピングセンター の規模 ;$T_{ij}=$

客の位置 からショッピングセンター までの移動時間 ;$\lambda=$

$i$

$j$

$i$

.

$j$

ショッピングの種類によって移動時間に影響を与え、 経験から推測されるパラメータ値とする。 このとき客の吸引力を表す各ショッピングセンターへの確率はその規模に比例し、 ショッピングセンターから客の位置までの距離の\mbox{\boldmath $\lambda$}乗に反比例する。 すなわち次の様に定式化される :.

$\underline{s}_{\perp}$(5)$P_{ij}= \frac{-_{\iota g}}{\sum_{j=1\overline{T}_{ij}}^{nS}\star}$

このモデルにおいて我々は $s_{0}=s_{1}\text{、}\lambda=2$ を適用する。 そのとき、 選択確率 $p(x)$ は$p(x)= \frac{(1-x)^{2}}{x^{2}+(1-x)^{2}}$となる。 今、 需要が確定的な場合を取り扱っているので、 $b=1$ とおいて差し支えない。 なぜなら得られた小数の値に$b$を掛けて得られる値に対してその前後の整数のうちで総費用を最小にする値を最適43値としてとればよいためである。 このとき客の分布が–様、 すなわち $f(x)=1$ で、 各パラメータ値が$c_{1}=c_{2}=0,$ $h_{1}=1.0,$ $P1=0.5,$ $h_{2}=2.\mathrm{o},p_{2}=1.0$ をとるときの数値例を表

0.1
0.5
1.8
2.2

(0.496,0491)(0.496,0500)(0.496,0503)(0.496,0504)(0.500,0491)(0.500,0.500)(0.500,0500)(0.500,0500)
表 1: 平衡点

1 に示す。

(0.508,0491)(0.500,0500)(0.500,0500)(0.509,0491)(0.500,0500)(0.500,0500)(0.500,0500)(0.500,0500)$(z_{1}^{**}, z_{2})$この例から需要量が確定的である場合には両者の和がその量を超えることはないことがわかる。

4

まとめ

我々は過剰需要の再配分をもつ競合在庫モデルを考えた。 このモデルは販売するという情報がすべての客へ–度に伝わり、 客が購入するような製品に対して役立つであろう。 もしかっならば、$h_{1}\leq p_{1}$Player I$\#\mathrm{Z}\int_{0}1p(X)f(x)bdX$$h_{2}\leq p_{2}$を II は $b- \int_{0^{P(}}^{1}x$ ) $f(x)bdX$ をそれぞれ平衡点として選ぶべきである。 これはもっともらしい唯– の解である。 h,, 勉が与えられたとき、 我々は ri–ci の値に対して様々な平衡点を求めることができ、 $h_{i}<p_{i}$ の範囲において興味深い結果が得られた。 この点において複数の競合問題における面白さが見受けられる。

我々のモデルでは発注が期首に–度切りと制限した。 しかしながら現実問題では競合するプレーヤ達が同時に製品を発注するとは限らない。 従って異なった発注時刻、 異なった計画期間におけるモデルが考えられる。 また–期間から多期間への拡張も考えられる。 我々は客が任意の時間にプレーヤの在庫量を知らない場合を扱った。 そのような情報は世の中ではロコミでしばしば伝わることがある。 従って情報に対する Silent, Noizy バージョンが考えられるであろう。 さらにこのモデルではモデルを簡単にするために各プレーヤの位置は$0$と 1 であると仮定した。 我々はこのモデルと任意の位置に配置されたモデルとを比較する必要もある。

参考文献[1] 児玉正憲 : 『生産在庫管理システムの基礎』, 九州大学出版会, 1996.

[2] H.Hohjo : ”A Competitive Inventory Model with Reallocation under Uniform Demand Distribution”, To appear in Mathematica Japonica, Vol.48, (1998).
[3] H.Hotelling:”stability in competition”, Economic Journal, Vol.39, pp.41-57, (1929).
[4] M. Parlar :Random”

Game Theoretic Analysis of the Substitutable Product Inventory Problem with$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$”, $Naval$ Research Logistics, Vol.35, pp.397-409, (1988).

[5] Steven A.Lippman and Kevin F.McCardle : ”The Competitive Newsboy”, Operations Research,

Vol.45, No.1, pp.54-65, (1997).

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