⼭⽥ 倫⼤
ミネソタ⼤学
２０２１年 １２⽉

船井情報科学振興財団

第４回ポスドク報告書

⽶国ミネソタ⼤学・数学科にポスドク研究員として勤めています、⼭⽥倫⼤です。数理論理学・圏論・位相幾何学及びこれらの（ホモトピー）型理論への応⽤に関する研究を⾏なっています。
⼤多数の⼤学と同様にミネソタ⼤学でも今学期から約１年半ぶりにキャンパスでの研究・教育活動が再開されました。私も⽇中キャンパスに通勤し、⼣⽅帰宅する⽣活スタイルに戻りました。単純な変化ですが、これにより⽣活に「メリハリ」と「リズム」が戻りました。また、再び他の研究者と実際に対⾯してコミュニケーションを取ることで、情報の交換がより円滑に進むことに加え、そこから精神的な充実が格段に得られることを感じています。数ヶ⽉間独りで研究に専念することも珍しくない⽣活に於いて、尊敬する研究者からの何気ない「あなたの研究は⾯⽩いね」という⼀⾔が如何に⼤きなものかを実感しています。⼈は社会的な⽣き物であり、今後どれだけテクノロジーが発達してもオンライン上の社会活動が本来のオフラインでの社会活動に完全に取って代わることはないと感じています。1また、今学期は研究に加えて久々にティーチングに携わりました。本稿では直近半年のこれら研究・教育活動について綴りたいと思います。
ティーチング
今学期は線形代数学の授業を担当しました。私は博⼠課程時代にあまりティーチングの経験を積まなかったのですが、今後のキャリアに於けるその重要性からこのタイミングでティーチングを再開することにしました。私は博⼠課程時代を英国で過ごしたことから、まずは⽶国の教育システムに慣れるために今学期は TA（ティーチング・アシスタント）として補助的な授業や宿題の採点を担当し、来学期からより発展的な科⽬に関するメインの授業を担当することにしました。
今学期担当したコースは番号が２から始まる基礎的なもので、数学を専攻しない（する予定のない）学⽣の多くもこのコースを受講しています。ゆえに授業では数学的に厳密な議論を展開するよりも問題を解くための「ハウツー」を中⼼に説明することを⼼がけました。また、質問に対しては学⽣の⽴場に寄り添って優しく根気強く接する様に⼼がけました。その甲斐があった様
で（私は学⽣の出席を取らないのですが）毎週それなりに多くの学⽣が私の授業に出席してくれました。「僕はメインの授業には⾏かないけれど Nori の授業には毎回出席している」と⾔ってくれる学⽣もいました。試験前には私のオフィスアワーに学⽣が⼩⾏列を作る程質問に来てくれました。この様に学⽣の⼒になれた時に⼤きなやり甲斐を感じました。学期終わりには今学期のティーチングに関してメンターの教授からも⾼い評価を頂くことができました。従来私は⼈に教えることが好きで得意だと感じていたのですが、今回このことを再確認しました。今後のキャリアに於いて研究だけでなく教育も通して社会に貢献していきたいとの想いを強くしました。
⼀⽅で苦労もありました。週４時間の授業やその準備に加え試験や宿題の採点もあり、その作業量に⾻が折れました。特に本コースは学⽣が悲鳴を上げるほど宿題の量が多かったのですが、合計４０⼈弱の採点をする私も負けずに（？）悲鳴を上げていました。普段の研究では x やy などの変数を扱うことが多い私にとって、具体的な数字による数値計算は普段使わない筋⾁を久しぶりに動かしたような感覚を与えました。「数学者よりも⼋百屋の⽅が計算が速い」とはよく
1 前者が後者の補助となる例は枚挙にいとまがありませんが。

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⾔ったものです。それでも⼤量の仕事を限られた時間内に処理する中でティーチングに関するコツや要領を⾝につけることができた様に思います。総じて今回の経験は実り多いものでした。
ミネアポリスのグルメ紹介
ここで少し脱線して、私のミネアポリスでの⽣活について書きたいと思います。対コロナウィル
スのワクチンが普及し、今年の春頃からミネアポリスでも多くのカフェやレストランが再び利⽤できる様になりました。ロックダウン中は全く外出できなかった分、直近半年間の週末は度々新しいレストランやカフェを開拓しミネアポリスの新しい魅⼒を発⾒しました。

ミネアポリスの銀座（？）にて握り寿司

ロブスターサンドとジャンバラヤ（左上）シーフードレストランの開放的なテラス席

値段の割に少っち（スコッチ）エッグ（悲）

夏には地元で有名な英国⾵パブでサッカーの EURO 2020 ⼤会を観戦しました。英国に５年程留学していた私からしてもこのパブは英国パブそのもので、中に⼊った瞬間英国に迷い込んだ錯覚を起こした程です。パブの中は⼤勢の観客で賑わっていたために席の確保に苦労しましたが、⼤盛り上がりの中久しぶりのサッカー観戦を楽しむことができました。
ミネアポリスは⼤都市だけあり、様々な国の料理が楽しめます。特に、私が勝⼿に「ミネアポリスの銀座」と呼んでいるエリアには本格的な握り寿司や懐⽯料理が楽しめる和⾷店が並びます。⽇本の焼⾁チェーン店「⽜⾓」も少し前にダウンタウンに開店しました。他にフレンチ・イタリアン・スパニッシュといった欧州料理から中華・韓国・ベトナムなどアジア料理も充実してPage 2 of 6

います。更に、⽜⾁に拘ったハンバーガーやジャンバラヤなどとても美味しいローカルなアメリカ料理の店もあります。個⼈的な感想として、⾷⽣活に関しては博⼠課程を過ごしたオックスフォードよりもミネアポリスの⽅が充実していると思います。美味しい⾷事を楽しみに乗り越えられることも多く、外⾷のできる⽣活に戻った幸せを噛み締めています。
研究前回の報告書では私の研究の主要分野とその概観を⽰しました。本稿ではもう少し具体的に私の研究⽬標と直近半年間の研究内容について書きたいと思います。2
私の研究の中⼼に数理論理学があります。数理論理学は「数学の数学」とも呼ばれる様に、数学⾃体を厳密に定式化しその構造や性質を調べる分野です。その中⼼には「数学は何から構成されるのか」・「数学で妥当な論証は何か」・「数学に於いて何が（不）可能であるか」といった根源的な問いがあります。「論理的な」というフレーズは⽇常的に使われますが、数理論理学に於ける「論理」とは⼤雑把に⾔えば数学で⽤いる⾔語と法則を厳密に定めるものです。⼀般的に研究の多くは既存の枠組みの中で成果を出すことを⽬指しますが、私の研究はまず以下に述べる基本的な枠組みを創り直し、そしてそこから⽣まれる新しい発⾒を⽬指しています。⾳楽に例えると「新しい⾳階を考案することで今までにない新しい⾳楽を作曲する」と⾔えそうです。
今⽇では集合論と古典論理が多くの数学者にとって「公式な」数学の基礎であり、殆どの数学は集合論と古典論理によって厳密に形式化できると広く信じられています。3集合論とは集合と呼ばれる「モノの集まり」に関する⾔語と法則を厳密に定めたものです。⼀⽅、古典論理とは全ての数学的⾔明は真か偽のどちらかである（排中律）という思想に基づく論理であり、全ての数学的分脈に於いて基本となる⾔語とこの視点から成り⽴つ法則を厳密に定めたものです。数や図形など殆どの数学的オブジェクトは集合によって定義できるため、殆どの数学的議論は集合論と古典論理の⾔語によって厳密に表現できます。また、数学に於ける殆どの定理は集合論と古典論理によって定められた法則によって導くことができます（できると考えられています）。この意
味に於いて集合論と古典論理は「数学を形式化する」又は「数学の基礎を成す」と⾔われます。
⾝近な例えを⽤いると、集合論と古典論理は数学を形式化する「プログラム⾔語」であり、この「プログラム⾔語」の⽂法に則った⽂だけが「意味のある」⾔明とされ、その演算結果が「真」である⾔明のみが「正しい」定理とされる、と⾔えます。この様に集合論と古典論理は「数学は何から構成されるのか」や「数学で妥当な論証は何か」といった問いに１つの答えを与えます。
しかし、この伝統的な数学の基礎には根本的な問題があります。例えば集合論はその存在が⾃明でない程⼤きな集合を仮定します。また、古典論理は排中律や背理法など間接的でその証明が⾃明でない法則を仮定します。数学者や論理学者の中にはこれらの集合や法則の「真実性」に疑問を呈する学派が存在し、その代表的なものが前回の報告書で紹介した構成的数学です。要す
るに、集合論や古典論理などの伝統的な⼿法は数学的実体（意味論）としてではなく記号的に「法典」の様な形で「天下り的に」数学の決まり事を定めるため、その是⾮について意⾒が分かれる場合があるということです。特に古典論理が記号的に定める「証明」に対応する意味論は⾃明ではありません。これを代数学の⽴場から⾔い換えると：各論理はその「証明」から成る圏という代数構造を持ちますが、伝統的な古典論理の圏は「崩壊する」ことが知られています。つまり代数学的な⽴場から⾒ると古典論理は「取るに⾜らない」構造を持つため数学的概念としてのその妥当性に疑問が残ります。更に⾔えば、集合論や古典論理は記号的概念であるため、その2 以下、前回の報告書の内容を⼀部必要とします。
3 しかし、数学の完全な形式化は⼤変⻣の折れる作業であり、これまでに⼀部の成果のみが形式化されました。数学者の殆どが普段⽤いるのは⾮形式的（インフォーマル）な⾔語と法則です。

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「書き⽅」の瑣末な詳細に依存します。故に、物事の本質を抽象的に調べる学問である数学の⽴場からするとこれら記号的⼿法は満⾜のいくものではありません。4また、集合論と古典論理は「計算（不）可能性」をネイティブに扱うことができません。これは集合論と古典論理の視点が静的・外延的であり、計算という動的・内包的な概念を上⼿く捉えられない点に起因しています。
これらの問題意識に基づき私の博⼠論⽂はゲーム意味論と圏論を軸に新しい数学の基礎を考案し、これが上に述べた問題を解決することを⽰しました。例えば集合論は（無限にある）⾃然数の集合を「天下り的に」仮定します。⼀⽅、私の⼿法は（有限の）組み合わせ論的な構造のみを仮定し、これに於ける「数え上げ計算」という直感的かつ記号に依らない意味論的な概念を通して⾃然数を定義します。後者は有限構造のみを仮定するため格段に「真実性」があります。また、この⾃然数は意味論的な「数え上げ計算」を通して「実在する」ため集合論の様に「天下り的」ではありません。最後に、私はこの組み合わせ論に隠れた動的・内包的な構造を発⾒し、これにより「⼀般化された計算可能性」（再帰理論）に「天下り的でない」基礎を与えました。5
⼀⽅、私の博⼠論⽂の成果は完全ではありませんでした。その問題の１つが⼀部無限構造を必要とする点です。私はこの問題を克服する⽅法を今年9⽉頃に思い付きました。これにより私のゲーム意味論を完全に有限な組み合わせ論的数学の基礎として確⽴できます。私の博⼠課程時代の指導教授の孫弟⼦（つまり私の学問的な甥6）は（有限の）組み合わせ論によって古典論理の記号的性質を克服した成果を数学の最⾼峰である学術誌 Annals of Mathematics に発表しました。7今回の私の成果は彼の論⽂の成果を⼤きく改善するため、同様にインパクトの⼤きい学術誌に投稿できると考えています。今回の論⽂の投稿まであと少しなので気を引き締めたいと思います。
私のもう１つの研究テーマは論理が成す圏論的（代数的）構造を調べることです。型理論という記号的枠組みで表現される論理と圏の間にはほぼ⼀対⼀の対応が存在し、この対応は圏論的論理学と呼ばれる豊かな理論を⽣み出しました。この論理と圏の相互作⽤は双⽅にとって⾮常に有益です：圏論は「抽象ナンセンス」と呼ばれる程抽象的であるためしばしばその「真実性」や「意義」に疑問が残りますが、論理は「真実性」を持つ圏論の⽅向性を導き、逆に圏論は論理の数学的理解を深める上で強⼒な代数的道具を与えます。8
最近の私の研究成果の中でこの研究テーマに分類されるものとして、ホモトピー型理論と呼ばれる画期的な型理論に対応する無限グルーポイドの確⽴があります。グルーポイドとは抽象代数学の基本概念である群（グループ）の⼀般化であり、無限グルーポイドはグルーポイドの無限次元の⼀般化です。前回の報告書でも紹介したホモトピー型理論は１０年程前にフィールズ賞受賞者である Vladimir Voevodsky らによって考案され近年⽬覚ましい発展を遂げた分野です。ホモトピー型理論の発端は、型理論と位相幾何学の⼀分野であるホモトピー論の間に新しい対応が発⾒されたことに始まります。これは⼀⾒全く異なる論理的概念と幾何的概念の間に架け橋を齎すものであり、⾮常に美しい発⾒です。しかし⼀⽅で、型理論に対応するホモトピー論的構造をどのように⾃然な論理として解釈できるかという根本的な疑問が未解決のままでした。また、型理論の記号的性質から論理とホモトピー論の繋がりは意味論的には解明されていませんでした。私が4 逆に論理学者・理論計算機科学者にとっては記号的概念としての論理・計算が興味の中⼼であり、これに対応する数学的実体（意味論）は記号的概念を解明する道具であることが⼀般的です。
5 https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s40687-018-0163-z.pdf
6 この甥は20歳ほど年上ですが。
7 https://annals.math.princeton.edu/2006/164-3/p09
8 代数的な⼿法が別の数学分野に強⼒な道具を与える他の例として代数的位相幾何学があります。

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今年2⽉に講演した成果9はゲーム意味論によって論理と幾何を⾃然な形で同⼀視する画期的な⼿法の第⼀歩を提⽰しました。そして今回の無限グルーポイドはこのゲーム意味論の圏論的抽象化であり、ゲーム意味論の⼟台にある無限次元の代数的構造を描くものです。この代数的構造はそれ⾃体が興味深いだけでなく、その抽象性から他の意味論や型理論への応⽤が期待されます。また次のステップとして、ゲーム意味論的・圏論的に論理や計算の動的・内包的構造を定式化する
私の⼿法10を今回の成果と組み合わせることで、全く新しいホモトピー論の組み合わせ論的・圏論的な枠組みを完成させることができると予想しています。個⼈的にとてもエキサイティングな予想だと感じています。来年はこの予想の証明を中⼼に研究を進めていきたいと考えています。
⼀⽅、今回の成果は技術的に込み⼊っており、ある等式が数ヶ⽉間証明できませんでした。
この等式を⽰すことができた時、嬉しさのあまり記念に写真を撮りました。この期間頻繁に利⽤していたカフェの店員さんもお祝いにサンドウィッチをご馳⾛して下さいました（！）。

難航した数式を⽰した瞬間の写真
尚、解析学（微分積分学）などの伝統的な数学分野はその起源に物理学を持ちますが、２０世紀前半に論理や計算といった概念が数学的に確⽴されて以降、ゲーム意味論・圏論・領域理論・再帰理論といった論理や計算を動機とした数学が発展しました。私が博⼠課程時代に携わったのはこれら論理や計算に関する⽐較的新しい数学ですが、現在はホモトピー型理論の考え⽅を基に私の⼿法をより伝統的な数学分野（解析学や位相幾何学など）に輸出していると⾔えます。
３つ⽬の研究テーマはこの「輸出」により伝統的な数学分野に新しい視点や成果を齎すことです。論理学の研究はその興味が論理⾃体に終始することが多く、他の数学分野に関わることは多くありません。ここでも論理の記号的な性質が１つのボトルネックとなっています。これに反して私の組み合わせ論的・意味論的な⼿法は伝統的な数学分野に対しても新しい視点や成果を齎す可能性があると考えています。また、この応⽤先として位相幾何学に着⽬しました。ここで詳細は省略しますが、位相幾何学は本質的に動的・内包的な概念であるため、静的・外延的な集合

9 https://www.youtube.com/watch?v=uY5LubwJ1Xo
10 https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-structures-in-computer-science/article/

abs/dynamic-game-semantics/0070D820E53986905B59AA843BA0D691

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論に基づく既存の⼿法には根本的な問題が散⾒されます。私のメンターは伝統的な意味での位相幾何学者ですが、この私の着眼点に⼤きく頷き、この問題点を克服する私の研究のアウトラインを⽰したところ「とても⾯⽩いね！」と興奮気味に話して下さいました。来年はメンターやその他の研究者と活発に議論を進める中でこの研究を発展させていきたいと思っています。
終わりに最近アカデミアの難しさを感じる機会が多い様に思います。研究に関する数学的な側⾯ではなく、もう少し⾧期的な視点で「研究者としてどの様に⽣きるか」といった側⾯についてです。数学に限らず多くの学問に於いて最も⼤切なものは画期的なアイディアです。私の経験を省みても、これまで誰も思い付かなかったアイディアを閃くことに⽐べれば、既存のアイディアを実現・改善・応⽤することはそれほど難しくないと感じます。しかし、周囲を⾒渡すと、独創とは逆に「流⾏りの研究の潮流に乗り、共同研究者と既存の理論を少しずつ改善していく」様な研究者がスムーズにキャリアを進める例が多いと感じます。逆に独創的で数学的に⾼度な成果を残している研究者がキャリアに苦戦しているケースが珍しくありません。私が博⼠課程を過ごした研究グループの中で最も優秀な１⼈だと感じた後輩は研究内容に拘り何度も研究テーマを替え苦労しながらも最終的に５００ページを超える野⼼的な博⼠論⽂を書き上げました。彼はその後３年間オックスフォード⼤学の数学科でポスドクをしていましたが、結局これまでに１本も論⽂を出版していません。過去にセミナーを通して知り合った数理論理学者は独創的な研究成果を出しているのですが、かれこれ１０年以上もポスドクをしています。逆に独創的な研究成果を出さなくても、勢いのある研究テーマの⼀端を担う研究者がスムーズにキャリアを進めているケースが散⾒されます。ある意味不公平とも⾔えるこの状況を⾒る度に虚しい感情が湧き上がります。
独創的な研究を少なくとも⽬指している私にとってもこの問題は決して他⼈事ではありません。「⽣きるために研究する」のではなく「研究するために⽣きたい」と理想を並べても、⽣き延びなければそもそも理想の研究もできずに終わってしまいます。窓⼜の狭い数学研究の世界で理想とする研究とキャリアの両⽴を如何に実現するかが今後の課題です。今学期でポスドク⽣活も３年⽬に⼊り、私の研究分野の平均ポスドク年数５−６年からするともうすぐ前半を終えることになります。来年はこれまでの研究を纏める集⼤成の年です。次の就職先も⾒つけなければなりません。周囲のアドバイスをよく聞きながら今後の道を模索していきたいと思います。
私を船井財団の奨学⽣に採⽤して頂いてから１０年の⽉⽇が経ちました。英国留学時代から書き続けてきた報告書ですが、本稿で最後となります。船井財団の皆様は当時学部課程を終えたばかりの私の（無謀とも⾔える程）野⼼的な挑戦の可能性を信じ、これを全⾯的に後押しして下さいました。２０代前半に世界⼀の研究者の下で存分に「無茶」をする機会を頂いたからこそ今⽇の私があります。これまでの経験を通して研究者としての⾃分を確⽴し、⼤局的な構想（ビジョン）と独⾃の技術を武器に野⼼的な問題に⽴ち向かうことができる様になりました。
財団の皆様は私をいつも温かく迎えて下さる家族の様な存在であり、⾦銭的なサポートだけでなく精神的に⼤きな⽀えを与えて下さいました。また、財団の交流会を通して互いに励まし学び合える⼤切な仲間とも出会いました。⼭あり⾕ありの研究⽣活の中でこれがどれだけ⼤きなことであったか⾔葉にし難い程です。末筆になりますが、財団の皆様のご⽀援に⼼からお礼申し上げます。研究と教育を通して社会に貢献できるよう今後⼀層の努⼒を重ねて参ります。

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