16

数理解析研究所講究録
第2067巻 2018年 16-25

STACK によるフィードバック付問題の実践例

日本大学
日本大学

医学部 谷口 哲也 (Tetsuya Taniguchi)
医学部 宇田川 誠一 (Seiichi Udagawa)Scool of Medicine,
Nihon University

日本大学 生物資源科学部

根本

洋明 (Hiroaki Nemoto)College of Bioresource Sciences,
Nihon University

1

背景

STACK で数学の問題を受験させるとき,その受験結果が教師によってどのように評価されるかは,学牛にとって気になる点の1つである.この解説において,同じ問題を評
価無と評価有に分け,同時期に公開し,フィードバック付で学生に受験させたときの学習効果について紹介したい.

今回.日本大学医学部1年生の数学 (55分 \times 15 回) 受講者132名に対して,微分方程式の問題を講義時間外に,Moodle2と STACK3を用いて受験させた.ただし,同じ微分方程式の問題 (授業第5, 6回目) を評価無 (練習問題) と評価有 (類題問題) にわけ,2節の図1のように同時期に公開した.ただし,問題に現れる係数等はランダムに変化し,全く同じではない.評価無を受験し,その後さらに評価有を受験した人を対象に調査した.
3節のガンマ関数とベータ関数の問題,4節のガウスの発散定理の問題についても同様に公開し,調査した.

2

微分方程式の問題
トピック 3\mathrm{B} 第5,6回練習問題(採点対象外,お試し用》\mathrm{B} 第5,6回§g問題(採点対象)\ovalbox{\t smal REJ CT} 練習間題[題問題の入力方法について
図1: 微分方程式の問題の公開17

1から8までの選択肢がランダムに配置され,図2のような微分方程式の解を選択肢から選んでもらう問題を STACKにて作成した.
小テストナビゲーション

2

3

.

\mathrm{r}\bullet 1

つ轡の2階線形徴分方程式を解きなさし $\iota$.

*1蒔答\overline{x}-9i+18x=0

最大鰹点 \prime.\infty

テス \vdash 終了$\Gamma$ 謬贈にフラグ何r $\lambda$\backslash\ve \triangleright\mathb {E} a \cdot** $\Gamma$ó
\neg

けする

④ x=C_{1}e^{-\ovalbox{\t \small REJECT}} 十 C_{2}e^{-u}\otimes x=e^{ $\alpha$}(C_{\mathrm{i} +C_{2}t)③ x=C_{1} $\alpha$ \mathrm{r} 説十 C_{l} 可 \mathrm{t}t\otimes x=C_{1}\propto \mathrm{r}(-{\$} t)+C_{2} $\varepsilon$in (-6t)\mathrm{r}©

③ x=e^{1\mathrm{U} (C_{\mathrm{i} +C_{2}t)© x=cleu + C2e解

x=e^{-\propto}(C_{1}+ \ovalbox{\t \smal REJECT} t)

ただし. \mathrm{C}_{1},C_{1} は任意定数とする.

\mathrm{R}\mathrm{m}\prime\mathrm{J}\mathrm{R}つ岩の2階線形徴分方程式を解專なさい.

*r\not\in\ddot{x} —16￠ +u_{X}=0

ư[r# 100

解答欄:\mathrm{P} 問題こフラク付

選択肢: \mathrm{o}x=c_{\mathrm{i}\propto \mathrm{r} u+c_{\mathrm{n} $\varepsilon$\dot{\mathrm{m} }\mathrm{u}\mathrm{g}r;* 編集する

ナビゲーション

■2

解答楓

けする

t^{\mathrm{M} $\iota$ oe\mathrm{r}\mathrm{x} する

選\Re \mathrm{R}. $\Phi$ ￠ =C_{1}\mathrm{m}16t+C_{l} in $ x=e^{1\mathrm{U} (C_{1}+C_{l}t) ⑤ 誰(C_{1}+C』 )\oplus \mathrm{r}=C_{1}\infty $\varepsilon$ u+C_{2} 16t $\Theta$ x=C_{1}e^{-u}+C_{2}e^{-1u} \mathfrak{G}x=e^{-\mathrm{u} (C_{1}+C_{2}k)$\varepsilon$

8tx=⑦ x=C_{1} oos (-\&) + Cろ $\varepsilon$in (-16\ell)t⑧ x=C_{1}e^{u} 十 C_{l}e^{1u}ただし. c_{\mathrm{i} ,C』は任意定数とする.
悶旧3

つぎの2階線形微分方程式を解虞なさい.’1 |問 |\mathrm{r}_{1}禾解答

i‐6士十58缶 =0

最大擦貞1.00

7問鱈1C >
ラク付
\mathrm{I} ,する*\mathrm{M}\mathrm{g}\mathrm{e} 縞集する

解答欄:

\mathrm{B}\mathbb{R}: $\Phi$x=e^{-\mathrm{m}}(C_{1}+C_{l}t)©

x=C_{1}\infty $\varepsilon$ 7t+C_{1}\dot{s}\mathrm{m} $t\emptyset

x=C_{1}F+\mathrm{q}_{e^{n}}(in 7t) \mathfrak{G} x=$\varepsilon$^{1 $\alpha$}(C_{1}+\mathrm{q}t)©
x=d^{\mathrm{u}}(C_{1}+C_{1}t) © x=C_{1}\ell^{-*}+C_{l}e^{-\#}\mathfrak{G}x=e^{\mathrm{u}} C_{1}\mathrm{c}\infty 7t+C_{2} $\varepsilon$© x=C_{1} eos 3t+\mathrm{q} $\varepsilon$in 7t

ただし, c_{\mathrm{i},C_{2}} は任意足数とする.

悶 \bullet 4

l|! \mathrm{l}つ岩の2階線形撤分方程式を解きなさい.

] 問騒の.

禾繍匿
最六儒縄、1.0$\Gamma$ 問脚; 9付

けする

毒一 12\dot{x}+32x= $\vartheta$

解答欄:◎問圏謄幡集する\displaystyle \Re R: $\Phi$ x=e^{\mathrm{R} (C_{1}+C_{2}t)+\frac{1}{\mathrm{t} e 翫 ② n=C_{1} $\alpha \kappa$(-4t)+C_{2} sin (-8\displaystyle \mathrm{t})-\frac{1}{6}e^{\mathrm{u}③x=e^{-12 $\iota$}(C_{1}+C_{3}t)-\displaystyle \frac{1}{ $\varepsilon$}e^{\mathrm{u} © x=C_{1}e^{ $\alpha$}+C_{2}$\varepsilon$^{u}+\displaystyle \frac{1}{\mathrm{B} d^{\ell}
選④ x=C_{1} $\alpha$ \displaystyle \mathrm{r}8t+C_{2}\mathrm{n}\mathrm{n}4t-\frac{1}{f}e^{{\$}\ell}\emptyset x=C_{1} 評 +C_{\mathrm{g} e^{u}+\displaystyle \frac{1}{a}$\varepsilon$^{\mathrm{u}© x=c_{1\propto \mathrm{B} u+c_{2\mathrm{n}\mathrm{n} u-\displaystyle \frac{ $\iota$}{f}$\varepsilon$^{\#}③ x=C_{1}\displaystyle \mathrm{e}^{-u}+C_{2}e^{-\mathrm{u} +\frac{1}{f} 許ただし, C_{1}, C_{2} は任意定数とする.

図2: 微分方程式③x=d^{\mathrm{u} (C_{1}+C_{\mathrm{g} t)+\displaystyle \frac{1}{f} 謎18

学生が問題を解き終えた後は,フィードバックが出力され,解法についての説明がなされる.図3は.問題4についてのフィードバックである.
\blacksquare\blacksquare 4

つきの2階線形徴分方程式を解きなさい ‐小問 | 問■ l\triangleright^{-} 】 聖嫁[肌正劇
1.00/1.0f\mathrm{f} 陶圏 \mathrm{I}_{-}^{-}7\overline{7}p 村

1fT る\dot{\mathrm{g}}-\mathrm{b}+\&=\mathrm{g}^{1}\mathrm{R} : \ovalbox{\t \small REJECT}●問髄を1集すろ

あ鷹たの入力した載式旧次のとおりです :4$\Phi$ \displaystyle \mathrm{g}=P(c_{ $\iota$}+G_{9}t)+\frac{1}{ $\varepsilon$}P ② \mathrm{g}=G_{ $\iota$} $\alpha$ (一 ) +\displaystyle \mathrm{Q}\mathrm{I}\mathrm{n}(-\Re)|-\frac{1}{0}e^{\mathrm{r}\emptyset \mathrm{g}=\mathrm{e}^{-1\mathrm{r} (G_{1}+C_{3}\mathrm{t})-\mathrm{p}^{e^{u} 1 ④ x=G_{1} ご +\mathrm{q}\mathrm{e}^{u}+$\iota$^{\#}1
遷択臆

4$\vartheta${\$}=G_{1} coeu +G_{1}\displaystyle \mathrm{m}u-\frac{ $\iota$}{f}\mathrm{e}^{\mathrm{u}$\Phi$ \displaystyle \mathrm{x}=G_{1}\infty \mathrm{e}u+G_{t}\mathrm{a}\mathrm{n}8\mathrm{t}-\frac{ $\iota$}{\mathrm{g} $\varepsilon$^{\mathrm{u}\displaystyle \mathrm{g}=G_{1}$\epsilon$^{u}+\mathrm{q} $\vartheta$+\frac{\mathrm{I} {0}$\varepsilon$^{*} \displaystyle \emptyset x=C_{1}$\varepsilon$^{- *}+G\bullet e^{-*}+\frac{ $\iota$}{5} $\vartheta$\mathrm{r}=$\varepsilon$^{1\mathrm{B} (G_{ $\iota$}+G_{\mathrm{a} \mathrm{t})+ 化謎のただし, G_{1},G_{f} は任意定敵どする.
良くで皆ました。
特性方程式 P(\mathrm{A})=$\lambda$^{\mathrm{f}}-12 $\lambda$+\Re=0 の解は$\lambda$=4_{1}8 となる.よって,与えられた微分方程式1ま(D-4\}(D-8)x=e^{\mathrm{u}} となる.
(D-4\}(D-8)\mathrm{u}=0 の一般解 \mathrm{u} は.
\mathrm{u}=C_{1} $\vartheta$+G_{2} $\vartheta$ となる.また.
\#ffiffl x=\displaystyle \frac{1}{(\mathrm{R}4)(D-l\} $\vartheta$ は.

l_{0}=\displaystyle\frac{$\iota$}{(f4)[\triangleright\mathrm{B}\mathrm{g}\mathrm{g} 謎$\Gam a$1 評

よって求のたい一般屏1ま x=\mathrm{u} 十恥 より.

x=C_{1}e^{u}+G_{2}P+\mathrm{g}^{1}e^{\mathrm{u}}[G_{\underline{1} ,C_{2}| ま任息定敷}\bullet

図3: 微分方程式の問題のフィードバック③

19

図4は評価無 (pre) と評価有 (post)の得点分布を表している.
80

Diff. eq.

70

\overline{\preceq}60\displayte\ropfac{$\omeg} a$\cirsubet$\omga_{50}\mathr{n}=\mathr{E}^30\subet$\omga$\lcorne
も40

目pre
\mathb {I}\mathb {N} post

\underline{=^{20} $\omega$}
100\ovalbox{\t smal REJ CT}0\ovalbox{\t \smal REJECT}
25\ovalbox{\t smal REJ CT}
50

75

100

points {点}図4: 微分方程式の問題の成績1

図5は評価無 (pre) と評価有 (post) の得点の同時分布を表している.例えば,評価無で50点をとり,評価有で100点のものは8人いる.図5の右側はバブルチャートを表しており バブルの面積は人数に比例している.
\rangleDiff. eq.

⑦

\tilde{\mptyse\mathr{a}\overlin{facmth},bksl{\idemathro}$g\ci
pre (点)pre (点}図5: 微分方程式の問題の成績2

対角線より上側に分布している.すなわち,大部分の人の得点が上昇していることが
わかる.

20

3

ガンマ関数とベータ関数
ガンマ関数とベータ関数の問題をSTACKにて作成し,学生に公開した.

r1\vee^{-}ストナビゲーション

1

つ曜の曾を求め\triangle ).

(1\rangle $\Gamma$(1)s\infty

ロ \underline{\underline{\mathrm{z} |\bullet*l\prime\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovスerlin\vdeas{h/7$\vatraheuta$ }\ov.albox{\t \smal REJEaCT}iJrớ.1;アラグ

選択鼓: $\Phi$ 4$\Phi$

ほ ③①ゆ$\Phi$ 2$\Phi$ 1$\Phi$ 4 》后$\Phi$\displayst le\frac{\backslah\ slah}{1l$\Phi$(2) $\Gamma$(\displaystyle \frac{1}{})- \infty\mathrm{r}$\iota$ \mathrm{r}\bullet \mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{r} る*\aleph\hslash $\Phi$ l\sqrt{*}ナビゲーション

|ヨ \mathrm{n}f_{4}^{i}\otimes$\Phi$_{8}\otimes 8f_{*}^{i} $\Phi$\displaystyle\frac{F}{l$\Phi$ 8 》㌘$\Phi$\sqrt{*}(3} $\Gamma$^{1}(6)\cdot \mathrm{R}\displaystyle \ovalbox{\t \small REJECT} \mathbb{R}: $\Phi$ 4\mathrm{r} $\Phi$ 0 $\Phi$ 15 $\Phi$\infty \mathrm{Q}\infty $\Phi$ 240 $\Phi$ \mathrm{n} $\Phi$\frac{\mathrm{r} {*}m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{o}マイ本\primeサイ}ページ-(4\}\mathrm{r}\leftarrow*)=[\sqsubset\supset]ム\displaystyle \mathrm{g}\aleph n: $\Phi$\frac{*_{\backslash } $\kap a$}{u} \emptyset^{*}\dot{\mathrm{w} ^{ $\pi$} ③ -\infty^{-}$\Phi$-\grave{\mathrm{T} ^{-}

③ \displayst le\frac{1}\mathrm{ }$\Phi$\displaystyle\frac{1}{\mathrm{r}’ マイ’D2rイ n,\bullet\bullet 2

つぎの値を求めなさい。

峯儒答(1 》 B(3,4)=\bullet*\mathrm{W}\mathrm{A}1.00\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathfrak{F}\bul et : 口=コ\mathrm{r}_{\mathrm{M}\blacksquare 1_{-}^{-}7\overline{7}l\mathrm{f}\mathrm{l}|⑧ \displayte\frac{1}l,する

油対劃 $\Phi$\displaystyle \frac{2}{15}② \displaystle\frac{1}\mathrm{n}④ \displaytle\frac{1} \mathrm{S}\displaystyle\mathrm{O}\frac{1}{\mathrm{r}$\Phi$\displaystyle \frac{*fl}{4}\otimes\cdot\backslash $\kappa$⑦ \displayst le\frac{1} \mathrm{ }\otimes_{\urcorner}^{fi} 0^{$\varepsilon$_{\text{讐^{}1} -\equiv⑧ \displayst le\frac{1}\mathrm{}◎同●を編集する(2》

B(3, \displaystyle \frac{l}{l})=

和L: [=コ\displaystyle \mathrm{g}\mathfrak{W}\#: $\Phi$\frac{10}{1\mathrm{W}7}\displaystyle\otimes\frac{1\mathrm{r}{1\infty7} \displaystyle\emptyset\frac{04}{1\infty7}(3)B(\displaystle\frac{7}2,: \frac{l}2)\overline{\sim}n\mathrm{s}\bulet\sim_{\fbox{}

選択肢:\mathrm{r}\bullet 30\displaystyle\frac{5\mathrm{r} {10\cdot1}\displaytle\frac{5\mathrm{}\mathrm{}②③\displayst le\frac{5}\mathrm{ }④ \displaystyle \frac{8}{1\infty 7}$\vartheta$\displaystyle\frac{2}{1\infty7}\displaystyle \otimes\frac{1}{1n $\tau$}$\Phi$\displaystyle \frac{4}{1\infty} $\Phi$\displaystyle\frac{\mathrm{g} {1-7}④\displaystle\frac{5\mathrm{} \mathb {R}$\vartheta$\displaystyle\frac{5}{l1$\alpha$}\displaystyle\otimes\frac{5}{\mathrm{r}B\displayst le\ mptyset\frac{5}\mathrm{s}\mathrm{u}⑪④一\displayst le\frac{1u}{21}$\Phi$-\displaystyle \frac{\mathrm{r} {21}\displaystyle \mathfrak{G}-\frac{04}{21}⑦-\displaystyle \frac{2}{l1}⑬一\displaystle\frac{\mathrm{S}\mathrm{}\mathrm{}$\alph$}

つぎの値を求めなさい。

条・答(1) fl_{2}(x-2)^{\mathrm{a}}(x-4)^{5}d\mathrm{r}=最大脚点 2.\infty|_{-}^{-}7$\sigma$|, $\tauす$ 問る閣 う 付◎ \mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{r} $\pi$ \mathrm{r}\mathrm{r} $\varepsilon$

解答■:
還択肢

$\Phi$-\displaystyle \frac{4}{21}②‐\displayte\frac{infty}{\mathr {a}③-\displaystyle\frac{10}{\mathrm{n}\displayte\frac{$\varepsilon$}{1(2) \displaystyle \int_{0}\mathrm{s}\dot{\mathrm{m} ' $\theta$ \mathrm{c}\infty^{\mathrm{t} $\theta \vartheta$=

和[ : [\blacksquareコ\displaystyle \mathrm{a}\mathrm{e}\Re \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}: $\Phi$\frac{\mathrm{B} {}(3)② \displaystyle\frac{5}{R} ③ \displaytle\frac{5\mathrm{}\mathrm{}④偽⑤ \displayst le\frac{5} 12}\displaystyle\emptyset\frac{5}{1\inftyl}⑦ \displaystle\frac{5}\mathrm{u} ⑪ \displaystle\frac{5}\mathrm{l}\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+\#)^{1} h=\displayst le\mathrm{a}\Re$\varpi$0\frac{\cdot}{\mathrm{a}fl②\overline{1l}③ \dot{\overline{\mathrm{t}l④:-\emptyset 2 $\pi$\emptyset;の $\pi$ $\omega$\displayst le\frac{\mathrm{r} 4}

図6: ガンマ関数とベータ関数

特に,間違いやすい問題3については,図7のようになるべく詳しく解法をフィード
バックにて出力されるように配慮した.

21

問題3

つざの値を求めなさい.

\mathrm{I}^{-}小簡 |郁分的 .正解(1) \displaystyle \int_{2}^{4}(x-2)^{2}(x-4)^{ $\varepsilon$}dx=$\Gamma$ 問題 |^{-}.フラグ付

解答欄: 巨1331200

けする

あなたの入力した数式は次のとおりです :◎問暫を編集する
2

選択肢:\displaystyle \circ-\frac{4}{21}②一(2) \displaystyle \int_{0}^{\overline{2} $\varepsilon$\dot{\mathrm{m} ^{2} $\theta$ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}^{t} $\theta$ 調\displaystle\frac{\$}l{21}③一\displaystle\frac{10}21④-\displaystyle\frac{1\mathfrak{B}{21}\displaystyle \copyright-\frac{u $\alpha$}{21}\displaystyle \copyright-\frac{u}{21}⑦一\displaystle\frac{2} 1}③-\displaystyle \frac{8}{l1}=

解答欄: \ovalbox{\t \small REJECT}
あなたの入力した数式は次のとおりです :8

選択肢: \circ \displaystyle\frac{\mathrm{t}$\pi$}{(3) \displaystyle \int_{0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{*}②虹色③ \displayst le\frac{f*} i2}④ \displayst le\frac{ $\pi }{\mathfrak{U}\mathrm{t}⑤ \displayt e\frac{mathr {S}$\pi}{mathr {f}12© \displayst le\frac{f$\pi$}{1\mathb {R}4⑦ \displayst le\frac{f} 04}\otimes\displaystle\frac{b$\pi}{1\mathrm{B}=

解答欄: \mathrm{K}\sqsupset
あなたの入力した数式は次のとおりです :8

選択肢: \circ ①
32

② 16

③ \displaystle\frac{$\pi$}{u④ \displayte\frac{$\pi}{l©2 $\pi$\displaystyle\copyright\frac{$\pi$}{2}⑦ $\pi$\displaystyle\copyright\frac{$\pi$}{4}

部分的にあっています(1)正解です.

(2) 不正解です.
(3) 正解です.

(1\rangle

l=\displaystyle \frac{x-2}{4-2}=\frac{x-2}{2} とおくと,

x: 2\rightarrow 4 のとき t : 0\rightarrow 1 で dt=\displaystyle \frac{1}{2}d $\nu$ となる.

2^{}(X-2)^{2}(x-4)^{5}da= \displaystyle \int_{0}^{1}(2t)^{2}\{2(t-1)\}^{ $\varepsilon$}\cdot 2=2^{2+5}\displaystyle \cdot(-1)^{5}\int_{0}^{1}t^{2}(1-t)^{5}\cdot 2dl(-1)^{5}\displaystyle \int_{0}^{1}t^{3-1}(1-t)^{ $\varepsilon$-1}dt
毒=2^{2+5+1}.

=2^{2+5+1}\displaystyle \cdot(-1)^{5}B(3,6)=-\frac{32}{21} \bullet(2) \displaystyle \int_{0}^{\frac{\mathrm{r} {l} \mathrm{s}= \displayst le\int_{0}ぼ^1 }\mathrm{s}\dot{\mathrm{ }^{2} 乙 -1 $\theta$\cos^{2\cdot\frac{l*1}{}-1} $\theta$ 認=\displaystyle \frac{1}{2}B(\frac{2+1}{2}, \frac{6+1}{2})=\frac{5 $\pi$}{256}(3)\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x^{2})^{2} da=\frac{1}{2}B(\frac{1}{2}, \frac{2\cdot 2-1}{2}) =\displaystle\frac{$\pi$}{4畢皐

図7: ガンマ関数とベータ関数の問題3のフィードバック

22

図8と図9は成績を示している.評価無 (pre) より,評価有(post)の方が軒並み得点が高いことがわかる.
Gamma and beta functions
80\prec\vee-70\subset\primeJ1 60\lcorne\mathr{v}|\cir 50\propto$\omega$l\overline{\circ} 40\mathr{n}_ mE^{$\oega}mthr{L\subset\supset

臣 \mathrm{p} 「 \mathrm{e}30an post20

510
0\ovalbox{\t smal REJ CT}

囲\ovalbx{\t smalREJCT}\ovalbx{\tsmalREJCT}

回

王

田

馴 田『

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

points (点)図8: ガンマ関数とベータ関数の問題の成績1

Gamma and beta functions

1

荏\overlin{ud$Ph}\overlin{mga$th\r{}\simacute{\irc}()subet\mahr{L}0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0

2

4

pre (点)

図9: ガンマ関数とベータ関数の問題の成績2

6

8

pre (点)

10

23

4

ガウスの発散定理
図10は,ガウスの発散定理の問題を解いた後のフィードバックが出力されている.
得点100’ 1\mathcal{L}D

饗点

10.00 ’10.00 {100%)■|鴎1

半径4の球面 S= \displaystyle \{(x, y, z) | x^{2} +\oint +z^{2} = \ell\},EM

球体 V- \{(l, y, z) |x^{2}+y^{2}+z^{l} \leqq 4^{2}\} とペクトル鳩\mathrm{t}P0l tm.こフラジ袖’\mathrm{v}$\varepsilon$^{1\bulet}\prime●問 を燵 する

\rightar ow v-\not\in\{\mathrm{a}|のチスト翻\left(bgin{ary}lx(\sqrt{^l}+y z^{l})\ $nu(\sqrt{x^l}+\emptys+z^{2})3\ z(sqrt{x^2}+[$\beta+z^{2})l\end{ary}\ight)について (1)f _{\mathcal{S} (v\rightar ow, \rightar ow\Uparrow)dS--\mathrm{R}

あなたの入力した数式は次のとおりです3② \mathrm{m} $\gam a$ \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{v}\vec{v} & & ③
血v \vec{v}_{\mathrm{t}kdyiz$\Theta$\mathrm{m}_{$\gam a$}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{v}\vec{\mathrm{n} dedytz © \mathrm{m}_{ $\gamma$}2\sqrt{x^{2}+f+z^{2} d\mathrm{r}d $\phi$ z

遭択肢: $\Phi$_{\mathrm{m} $\gamma$}(x^{l}+\displaystyle \oint+z^{2}) ゐkmlb\circ \mathrm{m}_{ $\gamma$}\sqrt{x^{*}+\mathrm{t}P+z^{2} kdytz$\Phi$ \mathrm{m}_{ $\gamma$}u\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{n} dedykz②

その値

M $\gamma$© \mathrm{m}_{ $\gamma$}2(f+y^{1}+z^{2})dxd $\mu$,f _{l}(v\rightar ow, \rightar ow \mathrm{n}) おは \sqsubset\supset

あ心たの入カした数式は次のとおりです :7遁択跣① 4 $\pi$\neq\displaystyle \emptyset\frac{-}{*} ③ -\overline{*} $\Phi$\simeq_{l}© \overline{*}’\emptyset 4\mathrm{z}\#⑦ 翻⑧ 4\mathrm{m}’ただし. \rightar ow n は s の法線ペクトルとし, r=4 とおいた.
会て正“で蜜.

() 正胴です.

図10: ガウスの発散定理の問題のフィードバック 1

24

図11は,面積分を用いる別解をフィードバックにて出力している.
)\rightar ow n-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{*}+y^{l}+z^{2} \left(bgin{ar y}l x\ y z \end{ar y}\ight)に \mathrm{P}\backslash ほすると .

(u\rightar ow, \rightar ow $\iota$)-*^{2}(\sqrt{x+d+z^{2}})^{2}+ ず (\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{\mathrm{i} })^{2}+f(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} )^{\mathrm{i}(\sqrt{x^{2}+\oint+z^{2} )^{\ell}-

とくに S 上で. r^{1} となる.

\displaystyle\int\int_{S}(v\rightar ow,\rightar own)\mathrm{d}S\displaystyle \int\int_{S}rdS=r\displaystyle \int\int_{S}1dS-=r^{4} \mathrm{X} S の義図績r . . 4n^{1}=4 $\pi \gamma$^{0} \bullet-

図11: ガウスの発散定理の問題のフィードバック2

図12と図13は成績を示している.評価無 (pre) より,評価有 (post)の方が軒並み得点が高いことがわかる.
Gauss\overline{\prec q}$\omega$theorem

100
80

科$\alpha\omega$60ōp^{0}\inlcorne\subset\supset=\mathrm{Q})\otimes \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}40an post

20
0
0

5

10

\mathrm{p}_{0}|\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}(^{\mathrm{f}\mathrm{i}_{\backslash} ,)図12: ガウスの発散定理の問題の成績1

Gauss’stheorem\hat{ve^\backslh}\mathr{q}_-'\prime}\overlin{ud mathr}-\o{infy g$\alph}\dot{(f)\mathring{\ fty}
0 5 10pre (点)\mathrm{J}10

pre (点)

図13: ガウスの発散定理の問題の成績2

25

5

考察

表1の N は評価無を受験し,その後さらに評価有を受験した人数を表している.評価
無より評価有の方が軒並み点数が高い.これは,評価無を受験後,フィードバックを見て間違えた個所を復習し,再度評価有の問題を受験しているためだと推察される.

表1: 各問題の結果 (士は ‘平均士標準偏差’ を表す)

対応のある2標本 t 検定 (両側) を行ったところ,表2の結果が得られた.すべての問題
において p<0.001 であり,有意であった.また,評価有の得点から評価無の得点を引いた差得点を考え,効果量 dD=(差得点の平均)/(差得点の標準偏差) を考える ([1], P.66).

すべての問題において, d_{D}>0.8 であった.かなり詳細な解答が出力されるフィードバッ
ク付の STACK の問題は ある程度解法パターンが決まっている数学の問題に対して,学i

習効果があると推察される.ただし 標準偏差 として\grave{olbx{\tsmalREJCT}\sqrt{(l\overline{\ovalbox{\t\smal REJ CT}^{\backslash}\star'\ovalbox{\t\smal REJ CT}^{\backslash;}\mp7\mathrm{j}\ovalbox{\t\smal REJ CT}\square)/(N-1)} を用いた.

謝辞

本研究は,京都大学数理解析研究所共同事業 「数学ソフトウェアとその効果的教育利用に関する研究」 による成果である.本研究はJSPS科研費 16\mathrm{H}03067 26282033 15\mathrm{K}01091の助成を受けている.

参考文献[1] 大久保街亜,岡田謙介

伝えるための心理統計,勤草書房,2015, 第1版第6刷.