数理解析研究所講究録 1263 巻 2002 年 18-2918

様々な仮定の下での競合的在庫モデル

大阪府立大学北條仁志 (Hitoshi Hohjo)

大阪府立大学 寺岡義伸 (Yml 市 vbu Rraoka)
Department of Mathematics and Infomation Sciences,

Osaka Prefecture University

1. はじめに-

在庫理論に関する研究の中心は、 1 施設における在庫管理につぃて論じられており、 単一. 多期間、 単多品目等、様々な仮定の下で研究が行われてきた。 近年になって、複数の企業間における在庫の最適化$\cdot$を考える研究が盛んになってきている。例えば、古典的在庫問題として知られてぃる新聞売り子問題の競合. Lippman and. McCardle にょって現された [15]。 我々は競合する企業間的バージョンが 1997 年$\mathrm{S}.\mathrm{A}$$\mathrm{K}.\mathrm{F}$においてそれぞれの企業が、 どのような戦略をとればよいのであろうがということに興味がある。 本稿では、 ある製品を販売する 2 っの企業が、 直線上の市場に分布してぃる客に対して製品を供給するモデルについて論じる [4-9]。 主な目的は発注、 在庫維持、 不足およひ販売に関連した総費用を最小にする発注量における平衡点を具体的に求めることである。 我々はこの問題につぃてゲーム論的な解析を試みる。
2 節では本発表の基礎となる基本モデルを定式化し、 平衡解析を行う。 さらに H 剣 ll] の提案したモデル
における吸引確率を適用し、数値例を与える。 より現実的な仮定を与えるために、 3 節では基本モデルにおける客の出発時刻を一様分布に従う確率変数へと拡張する。 平衡結果が複雑であるので、数値例を挙げて基本モデルの結果と比較を行う。 2 節のモデルをより具体的に述べるために、 単純化した特別なモデルを 4節で論じる。 5 節ではいくっかの異なる仮定を与えたモデルにつぃての結果を述べ、 4 節の結果との相違点について論じる。

2. 基本モデル
2.1. 定式化
閉区間 $[0, 1]$ 上に分布している客に対して、 二人のプレーヤが製品を供給し、過剰需要は再配分されるよ

うな一期間在庫モデルにつぃて探究する。
二人のプレーヤ (Player
間上の位置 0 に、 Player$\mathrm{I}\mathrm{I}$と呼ぶ) が、 ある製品を同時に販売し、 市場を獲得する。 Player I は $[0, 1]$ 区
は位置 1 に配置されてぃる。 各プレーヤの発注は期首に一度だけ可能で、 即時的$\mathrm{I},$$\mathrm{I}\mathrm{I}$に納入される。 納入された製品は客の需要を満たすために使ゎれる。段取り費用がなく、購入費用は発注量に比例する。 各プレーヤが各時刻に在庫を保持してぃる場合には在庫維持費用がかかり、 逆に在庫が不足している場合には品切れ損失費用を負う。 あるプレーヤにおいて不足が生じた場合にはそのプレーヤにょって
バックログされないが、 もう一方のプレーヤにまだ在庫が残ってぃれば再配分にょり客の需要は満たされる。

客は $[0, 1]$ 上に連続的に分布しており、密度関数 $f(x),x\in[0,1]$ は既知である。 地点
確率 $p(x)$ で Player Illl^、残りの確率 $1-p(x)$ で Player
そこで、$\int_{0}^{1}$$x$の客はまず最初にIIIII^一人一個の製品を購入するために向かう。

f(x) 血 =1、 すべての $x\in[0,1]$ に対して $0\leq p(x)\leq 1$ である。 また、 最初 [こ訪れたプレーヤ側に在庫がないと知ると直ちにもう一方のプレーヤ側へ向かう。 しカル、 両プレーヤにょり満たされなければ客は購入をあきらめる。 客は各地点を同時に出発し、 いずれかのプレーヤ側に向がうが、 移動にかがる
時間は移動距離に比例する。 客は任意の時刻におけるプレーヤの所有する在庫量を知らない。 各プレーヤ

は相手プレーヤのコストの値を知ってぃるものとする。 Player I と垣は非協 的であり、発注、在庫維持、$f\mathrm{J}$19
品切れ損失、 および販売に関する総費用の最小化を目的としている。 決定変数は期首発注量であり、 それぞれ独立に決定される。

モデルを定式化するために、 以下の記号を導入する:
$z$

:
:
:
:
:
:
:
:

:

$r_{i}$$\mathrm{C}$:$h_{:}$$p_{i}$$t$$Q^{:}(T)$$C^{\dot{\iota}}(z_{1}, z_{2})$

各プレーヤの発注量, 決定変数

各プレーヤの単位製品当たりの販売価格
各プレーヤの単位製品当たりの購入費用, 果各プレーヤの単位時間単位製品当たりの在庫維持費用,
各プレーヤの単位時間単位製品当たりの品切れ損失費用,$\geq 0$$h_{:}\geq 0$$p:\geq 0$

単位距離当たりの移動時間
時刻 T における各プレーヤの在庫量
各プレーヤの期平均総費用

ここで、添字 は Player I に対して $i=1$ を、 Player 垣に対して $i=2$ を対応させる。 プレーヤは利益を得なければならないので、 自然な仮定として . \geq c:を与える。 一般性を失うことなく、 総需要量を 1 と仮定す
$i$$r_{1}$る。 総需要量が 1 であるので、各プレーヤの発注量 z:は $0\leq z_{i}\leq 1$ に制限することができる。 プレーヤの営の関係に業時間はすべての客の行動が終わるまでとする。 すなわち計画期間は $2t$ である。 このとき、$z_{1},$ $z_{2}$対して次の 6 つの状況を考えることができる。

Situation 1:$z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$

かつ $z_{2} \geq 1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$ の場合

この状況ではすべての客に対して製品を供給することができ、 両プレーヤ共に不足は生じない。 この状の集合 $\{(z_{1}, z_{2})\in[0,1]\cross[0,1]$ : $z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$ $z_{2} \geq 1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx\}$ を
況を満たしている$(z_{1}, z_{2})$$\mathrm{S}1$

とおく。

Situation 2:$0 \leq z_{1}<\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$ かつ $z_{2} \geq 1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$ $z_{1}+z_{2}>1$の場合

この状況でも Situation 1 と同様にすべての客に対して製品を供給できる。 時刻 までに Player I 側で不足側で満たされることになる。 集合 Sl と同様、を生じるが、 Player I により満たされなかった客は Player$t$$\mathrm{I}\mathrm{I}$の集合を S2 とおく。 以下においても同様に集合 S3-S6 を定義する。
$0 \leq z_{1}<\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$ かつ $z_{2} \geq 1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$ $z_{1}+z_{2}\leq 1$ の場合

この状況を満たす

Situation 3:$(z_{1}, z_{2})$

この状況において Player I 側では需要を満たされない客がいる。 Player$\mathrm{I}\mathrm{I}$に再配分された客の中には

Player でも需要を満たされない人もいる。
く $\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$ かつ $0 \leq z_{2}<1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$ の場合
Situation 4:$\mathrm{I}\mathrm{I}$$0\leq z_{1}$

この状況では各プレーヤに訪れた最初の方の客のみが満たされ、 初めて訪れたプレーヤによって満たされなければその後も満たされることはない。

Situation 5:$z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$

かつ $0 \leq z_{2}<1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$ $z_{1}+z_{2}>1$ の場合

この場合には Situation 2 において Player I と垣の役割を交替すればよい。

Situation 6:$z_{1} \geq\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$

かつ $0 \leq z_{2}<1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$ $z_{1}+z_{2}\leq 1$ の場合

この場合には Situation 3 において Player I とこのとき期平均総費用$C^{1}.(z_{1}, z_{2})$$\mathrm{I}\mathrm{I}$の役割を交替すればよい。

は次の様になる :20$C^{1}(z_{1}, z_{2})$$[c_{1}+h_{1}]z_{1}-[h_{1}+r_{1}] \int \mathrm{o}^{1}p(X)f(X)dx+2\underline{h}_{\mathrm{A}\int_{0}^{1}xp(X)f(x)dx}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}1$,$[c_{1}-p_{1}-r_{1}]_{Z_{1}+-\mathit{1}\mathrm{r}+}h^{t} \int_{0^{t}}^{\Delta}2xp(x)f(x)dx+p_{1}\{\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$$- \frac{1}{2}\int_{0}^{1}xp(x)f(x)dx\}$for$(z_{1},z_{2})\in \mathrm{S}2,\mathrm{S}3$,$[c_{1}-p_{1}-t_{1}]_{Z_{1}+\infty} \underline{h}_{1}+\int_{0}2xp(x)f(x)d\dotplus x+p_{1}\{\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$$- \frac{1}{2}\int_{0}^{1}xp(x)f(x)dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1-\mathrm{s}*}{}^{t}x(1-p(x))f(x)dx\}$
$=$

$\{$

for

$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}4$,(1)$[c_{1}+h_{1}]z_{1}-r_{1}(1-z_{2})+h_{1} \{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}xp(x)f(x)dx-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$$- \frac{1}{2}\int_{0}^{1-}$讐 $x(1-p(x))f(x)dx\}$for$(z_{1},z_{2})\in \mathrm{S}5$,$[c_{1}+h_{1}-r_{1}]z_{1}+ \infty\int_{0}^{2^{\ell}}\underline{h}_{\llcorner}+-\not\simeq x(21-p(x))f(x)dx+h_{1}\{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}xp(x)f(x)dx$

for$- \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1-^{l}\neq}x(1-p(x))f(x)dx\}$$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}6$;$C^{2}(z_{1}, z_{2})$$\mathrm{r}[c_{2}+h_{2}]z_{2}-[\frac{1}{2}h_{2}+r_{2}]\{1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx\}-h\lrcorner\int_{0}^{1}2x(1-p(x))f(x)dx$$[c_{2}+h_{2}]z_{2}-[ \frac{1}{2}h_{2}+r_{2}](1-z_{1})+\underline{h}_{l}2\{\int^{1}\dotplus xp(x)f(x)dx$

for$- \int_{0}^{1}x(1-p(x))f(x)dx\}$$[c_{2}+k-2\mathrm{g}-2r_{2}]z_{2}$

一$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}2$,$\mathrm{m}+\int_{\dotplus-1}^{1}xp(x)f(x)dx+-h_{A}22\{\int^{1}\dotplus xp(x)f(x)dx$$=$$- \int_{0}^{1}x(1-p(x))f(x)dx\}-22(z_{1}-1)$$\{$$[C_{2}+k-22 \mathrm{E}-r_{2}]z_{2}-\mathrm{L}\mathrm{a}_{2}+B\int_{1-}^{1}$for$(z_{1},z_{2})\in \mathrm{S}3$(2),-lA. $x(1-p(x))f(x)dx-2\mathrm{a}_{\{z_{1}-1}$$+ \int_{\lrcorner}^{1}\ell_{l}xp(x)f(x)dx-\int_{0}^{1}x(1-\mathrm{p}(x))f(x)dx\}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}4$,$[c_{2}+-hA-222-r_{2}]z_{2}- \underline{h}\mathrm{a}_{2}+\infty\int^{1}1-\underline{\ell}_{l}\mathrm{A}X(1-p(x))f(x)dx$$+_{2}^{\mathrm{g}} \{\int_{0}^{1}x(1-p(x))f(x)dx+\int_{0}^{1}(1-p(x))f(x)dx\}$for$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{S}5,\mathrm{S}6$.

ここで、$t_{1}$$t_{2}$$t_{3}$$t_{4}$=nin{T :$z_{1}= \int_{0}^{\yen}p(x)f(x)dx,$$0\leq T\leq t$},=min $\{T : z_{1}+z_{2}-1+\int_{l}^{1}\mathrm{z}_{-1}p(x)f(x)dx=0, t_{1}+t\leq T\leq 2t\}$ ,=nin{T : $z_{2}= \int_{1-_{l}}^{1}x(1-p(x))f(x)dx,$ $0\leq T\leq t$ },=min $\{T : z_{1}+z_{2}-1\dagger\int_{0}^{2_{\ell}}-2(1-p(x))f(x)\ =0, t_{3}+t \leq T\leq 2t\}$である。 これらにより与えられた対に対して,t4 が一意に定まる。
このとき、 $C^{1}(z_{1}, z_{2})$ は各領域上で固定された に対して の凸関数であり、 $C^{2}(z_{1}, z_{2})$は固定されたに対して の凸関数であることがゎがる。 ゆえに $C^{1}(z_{1}, z_{2})$ を最小にする$(z_{1}, z_{2})$$t_{1},$$z_{2}$.

in$\int_{0}^{A_{\ell}}p(x)f(x)dx$$\{$$z_{1}$

Player I の最適発注量$z_{2}$$\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$$\cdots$$\mathrm{S}1$

in

は

,

$\mathrm{S}2,\mathrm{S}3$and S4,in ,$1- \int^{1}*(\dot{\mathrm{A}}1-p-_{t}-(x))f(1x)dx$$\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx+\int_{2-}^{1}$$z_{1}^{*}$$z_{1}$(3)$\mathrm{S}5$♀ $(1-p(x))f(x)dx- \int_{1-\dot{\Delta}}^{\ell_{l}}1(1-p(x))f(x)dx$ in$\mathrm{S}6$21であり、 $C^{2}(z_{1}, z_{2})$ を最小にする Player$1- \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx$$\mathrm{I}\mathrm{I}$の最適発注量$z_{2}^{*}$

はin Sl,$t^{*}$$1- \int_{0^{t}}^{-[perp]}p(x)f(x)dx$

in S2,(4)$t^{*}$$\{$$1- \int_{0^{t}}^{-1}p(x)f(x)dx-\int_{\dot{z}_{-1}}^{1}tp(x)f(x)dxt$$\int_{1-_{t}^{t}}^{1}(1-p(x))f(x)dx-\dot{\mathrm{A}}$in$\mathrm{S}4,\mathrm{S}5$

in S3,and S6である。 ここで、$t_{1}^{*}=t_{4}^{*}= \frac{2(r_{1}-c_{1}+p_{1})}{h_{1}+p_{1}}t$,$t_{2}^{*}=t_{3}^{*}= \frac{2(r_{2}-c_{2}+p_{2})}{h_{2}+p_{2}}t$である。 これはある状況において、 プレーヤの最適発注量が相手プレーヤの決定に依存していることを示している。

22. 平衡解析
この節では、 前節に得られた局所最適解$z^{*}.\cdot,$$i=1,2$ を各プレーヤの純戦略の 1 つとして考え、 それらの戦略を並べることにより生成される双利得行列を用いて、 2 人のプレーヤにおける発注量の平衡点を求める。前節の解析過程で得られる制約条件により、次のような 8 つの利得領域上において平衡解析を進める必
要がある。

.

今、 (c) の領域における平衡点を求める。 他の領域でも同様の解析により平衡点を求めることができる。

Player I は 2 つの支配している純戦略をもつ :つの支配している純戦略をもつ :$p(x)f(x)t$ 血。 Player 垣も 2$\mathrm{I}_{1}=\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx_{\text{、}}\mathrm{I}_{2}=\int_{0^{t}}^{\lrcorner}$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}=1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)$dx、.
$dx- \int_{-\dot{\mathrm{z}}_{-1}}^{1}tp(x)f(x)dx_{\text{。}}t^{*}t$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}=1-\int_{0^{t}}^{-\mathrm{J}_{-}}p(x)f(x)$

これらの戦略を並べ、 対応する利得を当てはめると、 次のような利得行列を得る。
$\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$$\mathrm{I}_{2}\mathrm{I}_{1}(\begin{array}{ll}(C_{1}^{1}(\mathrm{I}_{1},\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}),C_{1}^{2}(\mathrm{I}_{1}\mathrm{I}\mathrm{I}_{1})) (C_{1}^{1}(\mathrm{I}_{1},\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}),C_{1}^{1}(\mathrm{I}_{1},\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}))(C_{3}^{1}(\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}),C_{3}^{1}(\mathrm{I}_{2}, \mathrm{I}\mathrm{I}_{1})) (C_{3}^{1}(\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}),C_{3}^{1}(\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}))\end{array})$

そこで $C\mathrm{j}(\cdot, \cdot),j=1,3$ は関数$\mathrm{S}1$と$\mathrm{S}3$$C^{:}(\cdot, \cdot)$

における Sj 上での値を表している。

の境界における連続性により、$C_{1}^{1}( \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$ $\cdot)=C_{3}^{1}(\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx,$となるので、 ここに現われた Player I の関数はすべて
戦略$\mathrm{I}_{1}$.

は戦略$\mathrm{I}_{2}$$\cdot)$$C_{3}^{1}(\cdot, \cdot)$

のみで与えられる。

$C_{3}^{1}(\cdot, \cdot)$の最適性により、によって支配される。 この支配関係によって縮小された双利得行列において、適性により、戦略垣 1 は戦略$\mathrm{I}\mathrm{I}_{2}$

によって支配される。 従って、平衡点として$\int_{0}^{t}p(x)f(x)dx-\int_{\dot{\mathrm{z}}_{-1}}^{1}tp(x)f(x)dx)\underline{t}^{\mathrm{r}}[perp] t$を得る。

$C_{3}^{2}(\cdot, \cdot)$の最$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})=( \int_{0^{t}}^{-{}^{t}i}p(x)f(x)dx,$

$1-$

22

表 1: 基本モデルの平衡点$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$

以上のように、 コストの大小関係から戦略の支配関係を用いることにょり、他の領域では次のような平衡点. が得られる :$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$

$t$

(a)

$( \int_{0^{t}}^{\lrcorner}p(x)f(x)dx, \int_{1--\dot{t}{}^{t}\mathrm{a}}^{1}(1-p(x))f(x)dx)$;(b) $( \int_{0^{t}}^{\lrcorner}. p(x)f(x)dx, 1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx);t$(d);(e) $( \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx, \int_{1_{t}^{t}}^{1}\dot{\mathrm{A}}(1-p--(x))f(x)dx)$ ;$( \int_{0}^{-{}^{t}\mathrm{i}}{}^{t}p(x)f(x)dx, 1-\int_{0^{t}}^{-{}^{t}\mathrm{i}}p(x)f(x)dx)$(f)( $\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx+\int_{2-}^{1}$♀ $(1-p(x))f(x)dx- \int_{1-}^{1}$ ダ $(1-p(x))f(x)dx,$);$\int_{1-^{l}\dot{\Delta_{t}}}^{1}(1-p(x))f(x)dx$(g) $(1- \int_{1-^{t}\dot{t}A}^{1}(1-p(x))f(x)dx, \int_{1-^{t}\dot{\mathrm{n}_{t}}}^{1}(1-p(x))f(x)dx)$ ;(h) $( \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx, 1-\int_{0}^{1}p(x)f(x)dx)$ .

2.3. 数値例
本節では、確率 $p(x)$ に H』[11] の提案したモデルの吸引確率を適用し、我々の平衡結果に対して数値例を与える。 まず、 Hlffi モデルの説明から始める。
ノ

:
:
:
:

$\dot{.}j$$S_{j}$$T_{\mathrm{j}}.\cdot$$\lambda$

位置 の客が特定のショッピングセンター j へ向かう確率$i$

ショツピングセンター j の規模
客の位置 からショッピングセンター j までの移動時間
ショッピングの種類によって移動時間に影響を与え、 経験から推測されるパラメータ値$i$とする。 このとき、 客の吸引力を表す各ショッピングセンターへの確率はその規模に比例し、 ショッピング

センターから客の位置までの距離の\lambda 乗に反比例する。 \lambda の値は製品の品種にょって異なり、 おおよそ 2 前
後の値をとる。 ショッピングセンターが 2 施設である時には次の様に定式化される :$P_{j}.

(5)\cdot=\mathrm{j}\sum_{j=1}^{2}S_{\mathrm{j}}/T_{1j}^{\lambda}s_{\mathrm{j}}/T_{\mathrm{j}}^{\lambda}$.

このモデルにおいて我々は$S_{0}$$=S_{1\text{、}}\lambda=2$を適用する。 そのとき、 選択確率 $p(x)$ は$p(x)= \frac{(1-x)^{2}}{x^{2}+(1-x)^{2}}$となる。 このとき客の分布が一様、 すなわち $f(x)=1$ で、 各パラメータ値が hl=l.O, 角 $=0.5,$ $h_{2}=$$2.0,p_{2}=1.0$ をとるときの数値例を表 1 に示す。 この例からわがるように、 両プレーヤの発注量の和が超えることはない。 また、 各プレーヤの発注量 . は利得$z_{1}^{*}$

1を. に関して単調に増加してぃる。

$r.\cdot-c_{1}$3. 基本モデルの拡張
31. 定式化と平衡結果
前節では、客の出発時刻が同時であるモデルを扱った。 現実的には、 出発時刻をランダムに扱うのが自然であるように思われる。 本節では、 客が各地点を$[0, t_{0}]$の一様分布に従って出発する一期間在庫モデルにっ23
いて考察する。 プレーヤの計画期間を $t_{\epsilon}=2t+t_{0}$ とする。 出発時刻及び計画期間以外の仮定は基本モデルと同様に与える。
次の関数を定義する :,$q_{1}(T)$$=$$\max\{0, (T-t_{0})/t\},$ $0\leq T\leq t+t_{0}$$q_{2}(T)$$=$$\min\{T/t, 1\},$ $0\leq T\leq t+t_{0}$$q_{3}(T)$$=$$\max\{0, (T-t_{0})/t-1\},$ $t\leq T\leq t_{\epsilon}$ ,$q_{4}(T)$$=$,$\min\{T/t-1,1\},$ $t\leq T\leq t_{\epsilon}$ .

また、$A_{1}=\{$$A_{2}=\{$

1,
0,
1,
0,

$t+t_{1}\leq t_{2}<t+t_{0}$$t+t_{0}\leq t_{2}\leq t_{\epsilon}$,;$t+t_{3}\leq t_{4}<t+t_{0}$$t+t_{0}\leq t_{4}\leq t_{\delta}$,,$t_{1}$$=$$\min\{T|z_{1}-\int_{0}^{q1(T)}p(x)f(x)dx-\frac{1}{t_{0}}\int_{q1(T)}^{q2(T)}p(x)f(x)dx=0,0\leq T\leq t+t_{0}\}$$t_{2}$$=$$\min\{T|z_{1}+z_{2}-1+\int_{q3(T)}^{1}p(x)f(x)dx+A_{1}\int_{0}^{1-q1(T)}(1-p(x))f(x)dx$$- \frac{1}{t_{0}}\{\int_{q\mathrm{a}(T)}^{q_{4}(T)}p(x)f(x)dx+A_{1}\int_{0}^{1-p_{1}(T)}(1-p(x))f(x)dx\}=0,$$t_{3}$$=$$t_{4}$$=$$t+t_{1}\leq T\leq t_{\epsilon}\}$$\min\{T|z_{2}-\int_{1-q1(T)}^{1}(1-p(x))f(x)dx-\frac{1}{t_{0}}\int_{1-q2(T)}^{1-q1(T)}(1-p(x))f(x)dx=0$$0\leq T\leq t+t_{0}\}$

,

,

,

,

$\min\{T|z_{1}+z_{2}-1+A_{2}\int_{q1(T)}^{1}p(x)f(x)dx+\int_{0}^{1-q\mathrm{s}(T)}(1-p(x))f(x)dx$$- \frac{1}{t_{0}}\{A_{2}\int_{q_{1}(T)}^{1}p(x)f(x)dx+\int_{1-q_{4}(T)}^{1-q\mathrm{a}(T)}(1-p(x))f(x)dx\}=0,$ $t+t_{3}\leq T\leq t_{\epsilon}\}$と定義する。

2 節と同様の解析方法により、 以下の結果を得ることができる。 22 節では 8 つの利得領域上において解’$z_{1}= \int_{0}0q1(t_{1}^{*})p(x)f(x)dx+\frac{1}{t_{0},)}\int_{dz_{2}^{0_{=\int_{1-q1(t_{\dot{3}})}^{1}(1-p(x))f(_{X}+\frac{1*)^{)}1}{t_{0}}\int_{1-q2(t_{3}^{*})}^{1-q1(t_{3})}(1-p(x))f(x)dx}}x}qq2(tp(x)f(x.)dx1(t_{1}^{*}$

24

表 2: $t=2.0,$ $to=1.0$ [こおける平衡点

表 3: $t=2.0,t_{0}$ $=1.5$ g こおける平衡点

表 4: $t=3.0,t_{0}=1.0$ i こおける平衡点とおく。 このとき、 平衡点(a)$(z_{1}^{0}, z_{2}^{0})$$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$$(z_{1}^{*},z_{2}^{*})$

は次の通りである :;$( \mathrm{b})\ ( \mathrm{c})(z_{1}^{0},1-z_{1}^{0}-\int_{q3(t_{\dot{2}})}^{1}p(x)f(x)dx-A_{1}\int_{0}^{1-q1(t_{2})}.(1-p(x))f(x)dx$$+ \frac{1}{t_{0}}${$\int_{q\mathrm{s}(t_{\dot{2}})}^{q4(t_{2})}.p(x)f(x)dx+A_{1}\int_{1-q2(t_{\dot{2}})}^{1-q1(\ell i)}(1-$(d) $(z_{1}^{0}, \int_{0}^{1}(1-p(x))f(x)dx)$ ;(e)$(z_{1}^{0},1-z_{1}^{0})$〆 $x))f(x)dx$ } ;$)$;$( \mathrm{f})\ ( \mathrm{g})(1-z_{2}^{0}-\int_{0}^{1-q3(t_{\dot{4}})}(1-p(x))f(x)dx-A_{2}\int_{q1(t_{4})}^{1}.p(x)f(x)dx$$+ \frac{1}{t_{0}}\{A_{2}\int_{q_{1}(i)}^{q2(t_{4})}t.p(x)f(x)dx+\int_{1-q4(t_{\dot{4}})}^{1-q\mathrm{a}(t_{4})}.(1-p(x))f(x)dx\},$(h)$( \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx, z_{2}^{0})$;(i)$(1-z_{2}^{0}, z_{2}^{0})$;$\mathrm{C}^{\cdot}$$z_{2}^{0})$;) $( \int_{0}^{1}p(x)f(x)dx, \int_{0}^{1}(1-p(x))f(x)dx)$ .

ここで、

,

$t_{1}^{*}=t_{4}^{*}= \frac{r_{1}-c_{1}+p_{1}}{h_{1}+p_{1}}t$$t_{2}^{*}=t_{3}^{*}= \frac{r_{2}-c_{2}+h}{h_{2}+h}t$である。

3.2. 数値例
23 節の数値例と比較するために、 パラメータ値として 23 節の数値例と同じ値 $h_{1}=1.0,p_{1}=0.5,h_{2}=$$2.0,n=1.0,f(x)=1$ を用いる。 表 2\sim 4 は およひ to にいくっかの数値を代入して得られた平衡結果で
$t$

ある。

数値例では、基本モデルよりいずれの場合にも値として 05 に近づいてぃた。 これは出発時刻を不確実にしたためである。

$t_{0}$

を\sim こ近づけると平衡点は (0.5, 0.5) に近づき、 \sim こ比べて

$t_{0}$を十分小さくとると、 基本

25モデルの値へと近づく。 結果として、 このモデルにおける平衡点の値は、 上限や下限を基本モデノレ [こお$\#\mathrm{e}$る

平衡点によりおさえられていると思われる。 明らかに、 いずれの場合にも二人のプレーヤの値の和が総需要量を越えることはない。 一企業における最適在庫問題では、最適解が単に凸となるのに対し、 この研究において平衡点として凸でない結果が得られたことは注目すべき点である。

4. 特別なモデル

2 節で扱ったモデルと同様の一期間在庫モデルを考える。 しかしながら以下の 3 つの仮定が異なる。

(1) 客は $[0,1]$ 上に一様に分布している。
(2) 客はまず最初に自分の地点から近い店に向かう。
(3) プレーヤの計画期間を とする。
2 節と同様の解析方法により、 以下の結果を得ることができる。 22 節と同じく 8 つの利得領域上におい$\frac{3}{2}t$て解析を行った。

;(a)(b) 0\leq rl-cl<h 沖-3\mbox{\boldmath $\tau$}\sim , $Ah-2\mathrm{a}3\leq r_{2}-c_{2}<(h_{2}+h)^{r}$ h-l や p+l(c)(d) $0 \leq r_{1}-c_{1}<\infty h\frac{-2}{3}R1,$ $r_{2}-c_{2}\geq h_{2}$ ;$0\leq r:-c:<\underline{h}_{arrow}.-2\mathrm{A}3^{\cdot}’ i=1,2$$+B\epsilon 2;\underline{2}h-3$$0\leq r_{1}-c_{1}<\lrcorner_{-}^{-}h2A3’(h_{2}+p_{2})r-c\mathrm{m}_{1}++\Rightarrow\underline{2}h-\mathrm{A}h_{1}+p3\leq r_{2}-c_{2}<h_{2;}$(e)$+\yen\leq r_{1}-c_{1}<h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<=_{3}h-2\mathrm{a}_{;}$(f)(g) $r_{1}-c_{1}\geq h_{1}$ ,0\leq r2-c2<ht-3\mbox{\boldmath $\tau$} ;$i=1,2$ .
(h)$A^{-}h2\mathrm{A}\overline{3}\leq r_{1}-c_{1}<(h_{1}+p_{1})^{\mathrm{m}_{2}}r-c++,0\underline{2h}_{\mathrm{L}^{-}B1}\leq h_{2}+pr_{2}-c_{2}<\mathrm{r}_{3}^{-}h2A$;$(h_{1}+p_{1})_{h}’-\mathrm{j}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$r:-c:\geq-h\dot{s}_{\vec{3}}-2.\cdot,$

平衡結果は次の通りである :(d) $(k_{1},1-k_{1})$ ;(e)$( \frac{1}{2}, k_{2})$;(f)$(k_{1}-k_{2}- \frac{1}{2}, k_{2})$;5. 特別なモデルの拡張
5.1. 客が購入をあきらめる可能性をもつモデル
4 節で述べたモデルでは、 初めに訪れたプレーヤに在庫がなければ、 客は需要を満たすために必ずもう一方のプレーヤを訪れようとしていた。 本節では、 この仮定を次のように変更したモデルについて論じる :もしある店に在庫がなければ、 一定の確率 1-q で購入をあきらめ、残りの確率 q で距離 1 だけ離れているもう一方の店へ向かう。
を得る :4 節で述べた利得領域上において、 次のような平衡点; (c) $(k_{1}, \frac{1}{2}-q(k_{1}+1-k_{2}))$ ; (d)
; (b)
(a)(
.
; (h)
(f) $( \frac{1}{2}-q(k_{2}+1-k_{1}), k_{2})$ ; (g)$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$$k_{1},$$k_{2}\rangle$$(k_{1}, \frac{1}{2}+q(\frac{1}{2}-k_{1}))$$(k_{1}, \frac{1}{2})$$( \frac{1}{2}+q(\frac{1}{2}-k_{2}), k_{2})$;(e)$( \frac{1}{2}, k_{2})$;$( \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

前節の結果において 以上発注する時、 あきらめる確率を伴うモデルでは、 その最適戦略の値より少ない$\frac{1}{2}$

量を発注することになる。 $q=0$ のとき、 客は最初に訪れたプレーヤに在庫がなければその時点で購入をあきらめるので、 再配分が起こらず、 プレーヤが より多く発注することはない。 $q=1$ のとき、 すべての不$\frac{1}{2}$

足分が再配分されるモデルとなり、 4 節の平衡結果に一致する。

52. 追加注文をもつモデル
本節では、発注に関して 4 節のモデルにさらなる仮定を加え、 片方のプレーヤにのみ追加注文が許される
二者競合的在庫問題を扱う。 Player I は期首に発注可能である。 また、 ある時刻に在庫調査をし、 不足の状態に至っているならば、 追加注文を行うことができる。 その発注分もリードタイム 0 で到着し、 バツクログ
は期首のみ発注可能である。 不足が生じた場合、 Player I は追加注文によりとして利用される。 Player$\mathrm{I}\mathrm{I}$26
バックログが可能であるが、 それ以外にバックログは許されな$\ovalbox{\tt\small REJECT}[searrow]$

Player I は期首発注量と追加発注量を、

Player 垣は期首発注量を期首に決定しなければならない。 このモデルにおいて、 次の記号を付け加える$\ovalbox{\tt\small REJECT}$:Player I の追加注文時刻: 時刻 における Player I の追加注文量:Player I の追加注文時における単位当たりの販売価格:Player I の追加注文時における単位当たりの発注費用$t_{0}$$z_{1}^{0}$$t_{0}$$r_{1}^{0}$$c_{1}^{0}$

自然な仮定として、を与える。 本モデノレでは、 0<t0\leq \sim こおいて考察を行った。 ここ
では Player の戦略を決定するにあたり、 次のような 2
段階決定法を用いる。
Step 1. 期首発注量 を固定して、 最適追加発注量を決定する。
Step 2.
を与えた上で最適発注量 を決定する。
本モデルでは、 以下の利得領域上において解析を行う :$r_{1}^{0}\geq c_{1}^{0}\geq 0,$ $c_{1}^{0}\geq c_{1}$$\mathrm{I}$$z_{1}$$z_{1}^{0*}$$z_{1}^{0*}$$z_{1}^{*}$(I) $t/2\leq t_{0}\leq t$ のとき(a) $0\leq r$: 一果く(b) $0\leq r_{1}-c_{1}<,$$\underline{h}_{\dot{\mathrm{L}}}-arrow 23^{\cdot}’ i=1,2$;$r_{2}-c_{2}\geq\Delta^{-}A^{2}\underline{h}_{\mathrm{L}^{-}\mathrm{A}}$(c)b j‘n$\leq r_{1}-c_{1}<-\mathrm{p}1+(\underline{2}hh_{1}+I3h)^{r}$(d)(e) $r_{1}-c_{1}\geq h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<Ah-2\mathrm{B}$ ;(f) 一果.
(II) $0<t_{0}<t/2$ のとき

h-2c+jl ,$0\leq r_{2}-c_{2}<-h2\mathrm{A}$$\vec{3}$;$\underline{2h}_{\llcorner,3}-R1+(h_{1}+p_{1})^{r-\mathrm{C}+}h_{2}\infty\leq r_{1}-c_{1}<h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<h\Delta^{-}2A+p_{2}3$$3$$r.\cdot$$\geqarrow-Ah\cdot 2\mathrm{i}3’ i=1,2$

;

27
0

$\mathrm{c}_{\mathrm{I}}<\ovalbox{\tt\small REJECT}?h$$\ovalbox{\tt\small REJECT} r_{\mathrm{I}}$.

$(1 ?)$ p’ で (ま、$z\ovalbox{\tt\small REJECT}+z(\mathrm{j}’\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} F^{L}$となるよう (こ Player I のそれぞれの発注量力 決定されている。 Player 垣もこの量に依存して発注量を決定している。

53. 停止時刻を考慮したモデル
これまでの節において我々はプレーヤの計画期間を 2 節ではでは$\frac{3}{2}t$$2t_{\text{、}}3$

節では $2t+t0\text{、}4$ 節およひ 51, 52 節と仮定してきた。 これは最後の客の行動が終わるまで両プレーヤが店を開いている状況を想定している。 しかし、 プレーヤがよりコストの削減を望むのであれば、営業時間を途中で打ちきるという戦略をとることができる。本節では、 プレーヤが任意の時刻に営業を終了できるモデルについて議論する。 これまでの記号に加え、 以下の記号を導入する。
.

$T_{1}$:

各プレーヤの営業終了時刻

このモデルでは各プレーヤは発注量 zi および停止時刻$T_{i}$

を決定する必要がある。 そこで次のような 2 段

階決定法を用いる。

Step 1. 発注量 $i=1,2$ を固定して、 最適停止時刻 . を決定する。
Step 2. . の下で最適発注量 . を決定する。
この方法により Player I に対して
>5 乃のときには、 次のような最適発注量と最適停止時刻の組を得ることができる :$T_{1}^{*}$$z_{i},$$T_{1}^{*}$$z_{1}^{*}$$h_{:}$$(z_{1}^{*},T_{1}^{*}\}$

28

これらの組み合わせから、 $h_{:}/p.\cdot>8$ のときには次のような利得領域に分割して考える必要がある。
(a)
一果く $\frac{1}{3}\sqrt{5p.(h.+p.)}...-p\dot{.},i=1,2$ ;$0\leq
r_{1}-c_{1}<\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1},$$\frac{1}{3}\sqrt{5_{h}(h_{2}+n)}-n\leq r_{2}-c_{2}<\mathrm{B}^{-}h2\mathrm{A}$
(b)
;
(c)
;
(d) $0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1},3\leq r_{2}-\underline{2}h_{L^{-}\mathrm{A}}c_{2}<h_{2;}$(e) $0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1},r_{2}-c_{2}\geq h_{2;}$(f) $\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1}\leq r_{1}-c_{1}<\infty\underline{h}_{\mapsto-,3}2,0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{1}{3}\sqrt{5n(h_{2}+n)}-n$;$0\leq r.\cdot$$3$$0 \leq r_{1}-c_{1}<\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1},\overline{3}\leq h^{-2_{E}}r_{2}-c_{2}<\triangle 2\mathrm{a}_{3}-\infty$$( \mathrm{g})\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1}\leq r_{1}-c_{1}<,$$\frac{1}{3}\underline{h}_{1^{-}A^{2},3}\sqrt{5_{h}(h_{2}+n)}-n\leq r_{2}-c_{2}<h-2_{B};\tilde{3}$(h) $\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1}\leq r_{1}-c_{1}<-h\mapsto-2\infty 3’$ !ai\mbox{\boldmath $\tau$}(i) $\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}(h_{1}+p_{1})}-p_{1}\leq r_{1}-c_{1}<-h\mapsto-2\mathrm{a},$$(3h_{2}+n)_{h_{1}+}r-\mathrm{c}\mathrm{m}_{\mathrm{P}13}++A2h-\leq r_{2}-c_{2}<h_{2;}$$\leq r_{2}-c_{2}<(h_{2}+h)^{r-\mathrm{C}}h_{1}\mathrm{m}++;+\mathrm{p}_{1}2h-\mathrm{B}\vec{3}$G) $\frac{1}{3}\sqrt{5p_{1}}$(hl+pl)-pl\leq rl-cl<h 沖-3\mbox{\boldmath $\tau$}\sim , $r_{2}-c_{2}\geq h_{2}$ ;(k)^ \exists \sim p;$\leq r_{1}-c_{1}<[perp]_{3}\underline{2h}-\mathrm{p},0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{1}{3}\sqrt{5n(h_{2}+n)}-n$(1) $\underline{2}h-s^{A1}\leq r_{1}-c_{1}<h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{1}{3}\sqrt{5_{h}(h_{2}+n)}-n$ ;(m) $r_{1}-c_{1} \geq h_{1},0\leq r_{2}-c_{2}<\frac{1}{3}\sqrt{5n(h_{2}+n)}-n$ ;(n)b -1-32$\frac{1}{3}\sqrt{5_{h}(h_{2}+n)}-n\leq r_{2}-c_{2}<\mathrm{B}^{-}h2\mathrm{B}$;(o) (hl+pl)r\mbox{\boldmath $\nu$}2e\mbox{\boldmath $\xi$}L 像 $+-A\leq 3r_{1}-\underline{2}hc_{1}<h_{1},$ $\frac{1}{3}\sqrt{5n(h_{2}+n)}-n\leq r_{2}-c_{2}<-\mathrm{A}$ ;(p) $r_{1}-c_{1}\geq h_{1},$5n(h2+n)-n\leq r2-c2<^t-3\mbox{\boldmath $\tau$} ;(q)
一果.
このとき平衡結果
は次のようになる :(a) $(0, 0)$ ; (b) $(0, k_{2})$ ; (c); (d); (e) $(0, 1)$ ; (f) $(k_{1},0)$ ; (g)
; (h)
;
(i)
$(k_{1},1-k_{1})$
;
)
; (k)
; (1)
; (m) $(1, 0)$ ; (n);(o); (p) $(1-k_{2}, k_{2})$ ; (q).
最適発注量 と最適停止時刻
との間には
のとき
のとき
という関係をもつ。 すなわち、 上の結果において . $=0$ のときには営業を行ゎないことが最適であり、 もし営業するの$\leq r_{1}-c_{1}<(h_{1}+p_{1})_{h_{2}+p2}-\mathrm{c}\infty++[perp]_{3}\underline{2}h-A1,$$3$$h2\vec{3}$$\frac{1}{3}$$r.\cdot$$\sqrt$$\geq-h[perp]_{3}^{-arrow,i=1,2}2\cdot$$(z_{1}^{*}, z_{2}^{*})$$(0, k_{2}- \frac{1}{2})$$(0, \frac{1}{2})$$(k_{1}, k_{2}-k_{1}- \frac{1}{2})$$\circ$$( \frac{1}{2},0)$$(k_{1}-k_{2}- \frac{1}{2}, k_{2})$$(k_{1},k_{2})$$(k_{1}- \frac{1}{2},0)$$(k_{1}, \frac{1}{2})$$( \frac{1}{2},k_{2})$$( \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$z^{*}.\cdot$$z^{*}.\cdot=0$$T^{*}.\cdot$$T^{*}\dot{.}=0_{\text{、}}z^{*}.\cdot>0$$T^{*} \dot{.}=\frac{3}{2}t$$z_{1}^{*}$

であれば、 客が訪れる可能性をもっ最後の時刻まで店を開けておくことが最適である。
となるのは単位製品当たりの利得 r:-ci が非常に少ない時である。言うまでもなく、 プレーヤは相手が店を開いてぃない時には開いている時よりも多くの量を発注することになる。 また両プレーヤが開店してぃる時の結果
は 4 節のモデルの結果と一致してぃる。
$\frac{3}{2}t$$T^{*}.\cdot=0$

6. まとめ本稿では様々な仮定の T での一期間競合的在庫モデルを扱った。 数値例において客の出発時刻をランダム化したモデルでは基本モデルより に近い値をとってぃる。 確率的な要因を含む場合、 一様分布に従うので$\frac{1}{2}$あれば、一番単純な解に落ち着く傾向にあると言える。 客が購入をあきらめる可能性を持っモデルでは、 そうでないモデルにおいて 以上発注してぃる最適発注量に限り、 その量より少なめに発注することがゎがった。 また、 追加注文を許されたプレーヤはその利点を十分活かした行動をとり、相手プレーヤはその行動の$\frac{1}{2}$

影響を受けて発注量を決定しなければならなくなる。 停止時刻を考慮したならば、利得が少ない時には営業を行わないことが最適であり、 店を開くのであれば特別なモデルの結果と一致することを示せた。

29$\vee’\mathrm{r}\wedge \mathrm{m}\text{、}$[1] Bryant, J. (1980). Competitive equilibrium with price setting firms and stochastic

demand.

International Economic Review 21, 619-626.
Cliffi,[2] Dresher, M. (1954). Games of strategy. Theory and Applications, Prentice Hall, Englewood
New Jersey.
10,[3] Harris, F. (1913). How Many Parts to Make at Once, Factory. The Magazine of Management135-136,152.
time,[4] Hohjo, H., Y. Teraoka (1998). On acompetitive inventory model with the random starting
Proceeding of the 1st Korea-Japan Joint Conference on Industrial Engineering and Management
Preprints, Korea, 272-275.
[5] Hohjo, H. (1999). Acompetitive inventory model with reallocation under uniform demand
distribution. Mathematica Japonica 49 , 51-64.
[6] Hohjo, H., Y. Teraoka (2000). On acompetitive inventory model with acustomer’s choice probability.

Journal of the Operations Research Society of Japan 43, 355-364.
[7] Hohjo, H. (2001). On acompetitive inventory model with the customer’s general choice probability.
Computers&Mathematics with Application 41, 523-530.
[8] Hohjo, H., Y. Teraoka (2001). Aduopolistic inventory problem with possibility giving uP purchase.
Scientiae Mathematicae Japonicae ,273-279.
$\mathrm{e}5$[9] Hohjo, H., Y. Teraoka. Acompetitive inventory model with reallocation on aplane market,
Mathematical and Computer Modelling, (to appear).
[10] Hotelling, H. (1929). Stability in Competition. Economic Journal 39 41-57.
. (1964). Defining and Estimating aTrading Area. Journal of Marketing 28, $3l38$ .
[11] Huff,[12] Kirman, A., M. Sobel (1974). Dynamic oligopoly with inventories. Econometrica 42, 279-287.
[13] Kodama, M. (1996). The basis of Production and Inventory Control Systems (in Japanese), Kyushu$\mathrm{D}.\mathrm{L}$University Press, Japan.
[14] Levitan, R., and M. Shubik (1971). Price variation duopoly with differentiated products and random
demand. Journal of Economic Theory 3, 23-39.
McCardle (1997). The Competitive newsboy. Operations Research 45,[15] Lippman, S.A., and$\mathrm{K}.\mathrm{F}.$54-64.
[16] Nakanishi, M. (1983). The Theory and Measurement of the Retailer Attraction (in Japanese),
Chikura Publishing Company, Japan.
. Goyal (1984). Optimal ordering decisions for two substitutable products with[17] Parlar, M.,
stochastic demands. Opsearch 21, 1-15.
[18] Parlar, M. (1988). Game theoretic analysis of the substitutable product inventory problem withrandom demands. Narval Research Logistics 35, 397-409.
[19] Sorai, M., I. Arizono, and H. Ohta (1986). Asolution of single period inventory model with partial
returns and additional orders. Journal of Japan Industrial Management Association 37, 100-105, (in$\mathrm{S}.\mathrm{K}$Japanese).
[20] Topkis,$\mathrm{D}.\mathrm{M}$. (1979). Equilibrium points in nonzerO-sum -person submodular games. SLAM J.
$n$Control and Optimization 17, 773-787.
[21] Wilson, R. (1934). Ascientific routine for stock control. Harvard Business Review 13, 116-128.