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三角形・四面体の重心座標について
すが や菅谷みつひろ

円博

伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§0．はじめに

性質 3-1

数研通信 52 号で三角形のすべての線分比を 3 つ

BD：DC=c：b，CE：EA=a：c，AF：FB=b：aの数で表すを紹介させてもらったが，その後新し

証明 3-1

い切り口が見つかったので，見方を変えて改めて考BD：DC=S：S=c：b となる。残りの 2 つの比察してみたい。(以前の数研通信も合わせてお読みも同様である。

いただきたい)性質 3-2§1．
重心座標とは△ABC の内部にある点 P について
△PBC：△PCA：△PABの比は点 P の位置について一意に定まるので，このAP：PD=(b+c)：a，BP：PE=(c+a)：b，CP：PF=(a+b)：c
証明 3-2△ABC=S=S+S+S とおくと比を△ABC の点 P における重心座標といい，S：S=(a+b+c)：a(△PBC，△PCA，△PAB) と表す。(図 1)

S：(S+S)=(a+b+c)：(b+c)(点 P における面積比と呼んでもいいだろう)

したがって
AP：PD=(S+S)：S=(b+c)：aとなり残りの 2 つの比も同様である。(図 3)
S との比較なしでも AP：PD=(S+S)：S
はいえるが，S と比較する方がわかりやすい。

§2．重心座標の性質△ABC の点 P における重心座標を (a，b，c) とする。すなわち，△PBC，△PCA，△PAB の面積をそれぞれ S，S，S とするとS：S：S=a：b：c
また，AP と BC，BP と CA，CP と AB の交点をそれぞれ D，E，F とおく。(図 2)

よって，重心座標の各値から，三角形のすべての線分比を 3 つの数を表すこと (これを 3 辺の正規化と呼ぼう) が可能となり，次の性質が成り立つ。
 
性質 3-4 aAP+bBP+cPC=0 bAB+cAC
性質 3-5 AP=a+b+c
また，点 P は △ABC の内部としたが，周上や外部においても比の一部を 0 や負の数とすることで重心座標の関係は成り立つ。(負の場合，外分になる)22

§3．三角形の五心の重心座標
参考までに五心の重心座標を掲げておく。
△ABC の 3 辺の長さを a，b，c，3 角の大きさを A，B，C で表し，D は AH と BC の交点とする。これらにより，五心におけるすべての線分の比が，正規化することによってただちに求められる。
⑴ 重心 G の重心座標は (1，1，1)
重心より 3 つの面積は等しい⑵ 内心 I の重心座標は (a，b，c)
内接円の半径 r が高さとして同じ値になる⑶

傍心 I の重心座標は (−a，b，c)
内心の場合の比の 1 つを負にすると傍心となる⑷

外心 O の重心座標は (sin 2A，sin 2B，sin 2C)
外接円の中心角の大きさで 3 つの面積が決まる⑸

垂心Hの重心座標は (tan A，tan B，tan C)
BD：DC=ADAD：=tan C：tan B
tan B tan C

性質 4-1△ABC の点Hにおける重心座標は (a，b，c)
証明 4-1△HBC，△HCA，△HAB を底辺とし，頂点を Dとする 3 つの四面体の体積はそれぞれ V，V，VDH倍であるのでDPの△HBC：△HCA：△HAB=V：V：V=a：b：cとなり，△ABC のHにおける重心座標は(a，b，c) である。(図 6)(ただし，直角・鈍角三角形は別証明)§4．重心座標の拡張
四面体 ABCD の内部の点 P において，四面体
PBCD，四面体 PCDA，四面体 PDAB，四面体PABC の体積比を四面体 ABCD の点 P における重心座標と定義する。(図 4)

性質 4-2
DP：PH=(a+b+c)：d
証明 4-2四面体 ABCD の体積を V =V+V+V+VとするとV ：V=(a+b+c+d)：d

四面体 ABCD の点 P における重心座標を(a，b，c，d) とする。すなわち，四面体 PBCD，四面体 PCDA，四面体 PDAB，四面体 PABC の体積をそれぞれ V，V，V，V とするとV：V：V：V=a：b：c：d
また，AP と △BCD，BP と △CDA，CP と△DAB，DP と △ABC の交点をそれぞれ E，F，G，H とおく。(図 5)

V ：(V+V+V)=(a+b+c+d)：(a+b+c)
したがって
DP：PH=(V+V+V)：V=(a+b+c)：dである。
ここで，AH と BC，BH と CA，CH と AB の交点をそれぞれ I，J，K とおく。
性質 4-3△AID の点 P における重心座標は(a，b+c，d)23

§5．問題の応用例

証明 4-3△ABC の点Hにおける重心座標は (a，b，c) より AH：HI=(b+c)：a
また，DP：PH=(a+b+c)：d であるので，△AID で正規化すれば，△AID の点 P における重心座標は (a，b+c，d) となる。(図 7)

例1四面体 OABC の OA の中点を P，BCを 1：2 に内分する点を Q，PQ の中点を R，OR と平面 ABC との交点を S とするとき，OR：OS を求めよ。

 
aAP+bBP+cPC+dPD=0 bAB+cAC+dAD
AP=
a+b+c+dまず，与えられた線分比が 2 つ出てくる三角形を探簡潔のために △ ABC しか記述していないが，他のけ で OR：OS=3：(3+1)=3：4 と わ か っ て し ま

3 つの三角形と，△AID のような点 P を含む内部う。(図 10)

性質 4-4性質 4-5

すと，△PBC と △OAQ とがあるが，△OAQ の Rにおける重心座標は (1，1，2) であり，実は，これだにある 6 つの三角形についても線分比は正規化でき，いずれも同様の性質がある。
ここで，一般に線分 XY 上の点 Z について，XZ，ZY を点 X における内線分，外線分と名付ける。
AF と CD，AG と DB，CF と AD の交点をそれぞれ L，M，N とすると，点Aにおける外線分となる
KB，HI，JC，FL，ND，GM の 6 本と線分 PE の正規化した値はいずれも a となる。(図 8)

また，AP の正規化された値は，点Aの 3 本の内線分 AK，AJ，AN の比の和の b+c+d になっている。(図 9)△PBC の R における重心座標は (3，2，1) である。
(図 11)

ここで，両方に共通している PR：RQ に着目すると，△OAQ の方は PR：RQ=2：2 だが，△PBCの方は PR：RQ=3：3 であるので，△OAQ の重心座標は 3 倍して (3，3，6)，△PBC の重心座標は2 倍して (6，4，2) とする。(図 12)24

以上のように正規化すると四面体 OABC の重また，三角形の五心に関しては難しい計算式もい心座標は (3，3，4，2) となる。このことからもらず高校生でも理解できるのではないだろうか。

OR：OS=(3+4+2)：(3+3+4+2)=9：12

例えば，
△ABC の外心 O について，AO と BC の=3：4 とわかる。(図 13)交点を D としたとき，BD：DC=sin 2C：sin 2Bであることを証明せよなどの問題も指導できると思われる。
最後に，三角形，四面体と拡張してきたが，同じ考え方で 5 個の四面体で囲まれた四次元の超立体についても重心座標の考え方が成り立つのではないかと予想してこの稿を終わりにしたい。

§6．おわりに重心座標という切り口で眺めたら，証明もほとん
ど自明といえるほどわかりやすくなり，しかも四面体まで拡張できたことは驚かされた。見方を変える《参考文献》
Wikipedia三角形の中心4 三線座標と重心座標(山梨県立富士河口湖高等学校)ということが数学的思考の中でいかに重要であるかが改めて思い知らされた。

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