数理解析研究所講究録
第 1576 巻 2008 年 169-191169

ゼータ関数の高階導関数と正則化行列式
元信州大学 浅田明 (ASADA Akira)

無所属

Freelance Matheamtician (Former: Sinsyu University)

概要
無限次元では 簡単な微積の計算でも発散の問題が起きる。是を処理する為 Schatten 級作用素 $G$ を指定し $G$ と Hilbert 空間 $H$ の$G$ のスペクトル組 $\{H, G\}$ を考えゼータ関数 $\zeta(G, s)=tr(G^{e})$を利用することを提案し 無限次元積分の正則化などを定義しGauss 型経路積分などに応用し この研究会でも報告してきた$($

スケーリング変換のヤコビアンの正則化、 講究禄 1408(200$4)$
正則化無限積と正則化行列式、講究禄 1500 (2006))
今回は 正則化無限次元積分の計算で使われる正則化無限積の中で従来あまり使われることの無かった $\zeta(G, s)$ の高階導関数を使って計算できるものが有ることと その応用について報告する。
、

1

。

はじめに
ヒルベルト空間 $H$ の座標を $x=(x_{1}, x_{2}, \ldots)$ ,は $H$ の正規完備直交系、 としたとき

無限次元では例えば$x=|sum_{n=1}^{\infty}x_{n}e_{n},$ $\{e_{1}, e_{2}, \ldots\}$$\sigma_{1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}$,でさえも $H$ の上では定義できない。 $x_{n}=n^{-s}$ とすれば $x\in H$ であれば

$s>1/2$ だがら$\sigma_{1}(x)$は $s>1$ でしか存在しない。 しかし $\sigma_{1}(x)=\zeta(s)$ だか

解析接続により$\sigma_{1}(x)$は $s\neq 1$ であれば $s>1/2$ で定義できる。

こうした方法で そのまま計算すれば発散するものに有限の値を与えるため $H$ の正値シャッテン級作用素 $G$ で その -関数 $\zeta(G, s)=trG^{S}$ が$\zeta$$s=0$ で正則と成るものを固定する。 $G$ の固有値・固有関数を $\mu_{1}\geq\mu_{2}\geq$. . . ,;

$Ge_{n}=\mu_{n}e_{n}$このとき$\sigma_{1}(x)$, とし $H$ の正規完備直交系をの正則化 ::
出て定義する。 同様に:を$\sigma_{1}(x)$$\sigma_{1}(x)$$x_{1},$ $x_{2},$解析接続を使って$:= \sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{s}x_{n}|_{s=0}$$\ldots$の$\{e_{1}, e_{2}, \ldots\}$$k$,-次基本対称式$\prod_{n=1}^{\infty}(1+tx_{n})=1+\sum_{n=0}^{\infty}\sigma_{k}(x)t^{k}$$\sigma_{k}(x)$;と固定する。

170の正則化を$\prod_{n=1}^{\infty}(1+\mu_{n}^{s}tx_{n})|_{s=0}=1+\sum_{n=1}^{\infty}$

無限積で定義する。 しかし:$\sigma_{k}(x)$:$t^{k}$,の正則化はこの式からは得られな
レイーシンガー行列式がい。無限積の正則化は

det$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$$G= e^{\zeta’(G,0)}=\prod_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{\mu_{\dot{n}}}|_{\delta=0}$,であることから:$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$$:= \prod_{n=1}^{\infty}x_{n^{\dot{n}}}^{\mu}|_{s=0}$,をで定義するのが適切である ([2])。この式は スケーリング作用素$I_{x}e_{n}=x_{n}e_{n}$ で定義したとき log $I_{x}=I_{\log x}$ ; $I_{\log x}e_{n}=\log x_{n}e_{n}$ を使って
$I_{x}$:$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$$:=e^{tr(G}$log$I_{x}$) $|_{S=0}$,とも書ける。 これから $H$ (の稲密な部分空間) で定義された作用素 $T$ がlog $T=S;e^{S}=T$ を持つとき $G$ に関する正則化行列式 det $cT$ を$\det_{G}T=e^{tr(GS)}|_{s=0}$,で定義する。

正則化無限積・正則化行列式は 無限次元積分を $\zeta(G, s)$ を用いて正則化する正則化無限次元積分の計算に現われる ([2])。 正則化無限次元積分
については

公式

$\int_{I_{y}(\mathcal{D})}f(y)$$\int_{\mathcal{D}}\prod_{n=1}^{\infty}f_{n}(x_{n})$:$d^{\infty}y$:$=$$\int_{\mathcal{D}}|\det_{G}I_{x}|^{-1}I_{y}^{-1,*}f(y)$:$d^{\infty}x$

:

$=$

:

$\prod_{n=1}^{\infty}\int_{a_{n}}^{b_{n}}f_{n}(x_{n})dx_{n}$:$d^{\infty}x:$,:が成立するので、正則化無限積の計算は正則化無限次元積分の計算のために必要である。 $( \mathcal{D}=\{\sum_{n}x_{n}e_{n}|a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\})$ .
正則化無限積が計算できる例としては $\zeta(G, s)$ や その導関数の $s=0$
での値を使うものが知られていたが、 ここでは それ以外に高階導関数の特殊値を使って計算できる例を述べる。

171

2

ヒルベルト空間とシャッテン級作用素の組
1 節に書いたように $H$ をヒルベルト空間 係数は$K, K=\mathbb{R}$又はをその上の正値シャッテン級作用素 ([11]) で その -関数 $\zeta(G, s)=trG^{s}$$\mathbb{C})$

$($

、

$G$

$\zeta$が $s=0$ で正則なものとする。 $\{H, G\}$ の重要な量としては $\nu=\zeta(G, 0)$ や$\zeta(G.s)$の最初の極の位置$d$がある。 また

$d$

での留数

$c$

も使われる。

このような組 $\{H, G\}$ の例としては $X$ をコンパクト

リーマン多様体$E$ をその上のベクトルバンドルとしたとき $H=L^{2}(X, E),$ $G$ は $E$ の切断に働く非退化正値楕円形作用素 $D$ のグリーン作用素 がある ([8])。
のとき $d=n/m,$ は $X$ の次元 $m$ は $D$ の階数である。
$\{H, G\}$ では $H$ の完備正規直交系は $G$ の固有ベクトルに固定$G$される。 は正だから $Ge_{n}=\mu_{n}e_{n},$ $\mu_{1}\geq\mu_{2}\geq\cdots$ , とする。 $H$ のノルム、$(x, y)$ として $G$ からソボレフ k- ノルム,
内積を
内積を
こ

$n$

$e_{1},$ $e_{2},$$\ldots$$\Vert x\Vert,$$\Vert x\Vert_{k}=\Vert G^{-k/2}x\Vert$

で導入する。ただし$(x, y)_{k}=(G^{-k/2}x, G^{-k/2}y)$,[よ $G^{k}e_{n}=\mu_{n}^{k}e_{n}$ で定義する。 $k<0$ であれば

$G^{k}$

は $H$ の稠密な部分空間,$\mathcal{D}(G^{k})$$G^{k}$のソボレ
でしか定義されない。
( $k=0$ のときは $H$ ) と書く。 集合としての完備正規直交系は$\mathcal{D}(G^{-k/2})$

フ k- ノルムによる完備化を $W^{k}$

は $W^{k}\subset W^{l},$ $l<k$ である。 $W^{k}$$\{e_{1,k}, e_{2,k}, \ldots\}$,$e_{n,k}=\mu_{n}^{k/2}e_{n}$,で与えられる。 また$G^{l/2}$である。

$W^{k}$(1)の集合としての包含関係を使って$\bigcap_{l<k}W^{l}=W^{k-0}$とする。 $W^{k-0}$ の点列$\lim_{narrow\infty}x_{n}=x$で: $W^{k}\cong W^{k+l}$ ,,$\bigcup_{l\succ k}W^{l}=W^{k+0}$$\{x\iota, x_{2}, \ldots\}$, if and only if

,

,

(2)

, for all $l;l<k$ ,(3), for some $j;j>k$ ,(4)$W^{0\pm 0}=H^{\pm}$については$\lim_{narrow\infty}\Vert x_{n}-x\Vert_{l}=0$

また $W^{k+0}$ の点列 $\{y_{1}, y_{2}, \ldots\}$ については$\lim_{narrow\infty}y_{n}=y$, if and only if$\lim_{narrow\infty}\Vert y_{n}-y\Vert_{j}=0$で収束を定義する。 この位相でングは$\langle x,y\rangle_{k}=(x_{0},y_{0})_{k}$,$W^{k-0}$$x=G^{l}x_{0},$と $W^{k+0}$ は双対になる。 ペアリ$y=G^{-l}y_{0},$$x_{0},y_{0}\in W^{k}$

,

172
である。
$d$

の定義から
$e_{\infty,k}= \sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{d/2}e_{n,k}\in W^{k-0}$,,$e_{\infty,k}\not\in W^{k}$(5)

である ( $k=0$ のときはと書く)
をは $\{H, G\}$ だけでは決まらないから e\infty 。を指定するのは $\{H, G\}$ に新たな構造を入れることになる$e_{\infty,0}$が$e_{\infty}$。

$e_{\infty}$

それについては触れない。
定義 1 。空間$W^{k,\#}$( $k=0$ の時は $H\#$ ) を$W^{k,\#}=W^{k}\oplus Ke_{\infty,k}\subset W^{k-0}$,(6)で定義する。
定義から $x\in W^{k,\#}$ は $x=x_{f}+te_{\infty,k};x_{f}\in W^{k}$ と一意的に書ける。

これから$x= \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}e_{n,k}=\sum_{n=1}^{\infty}(x_{f,n}+t\mu_{n}^{d/2})e_{n,k}$と書ける。

$e_{1},$ $e_{2},$,$\sum_{n=1}^{\infty}|x_{f,n}|^{2}<\infty$

,

(7)

を使えば

$\ldots$$x= \sum_{n=1}^{\infty}x_{n,k}e_{n}$,$x_{n,k}=\mu_{n}^{k/2}x_{n}$,である。また $e_{\infty,k}=G^{k/2}e_{\infty}$ だから$G^{k/2}H^{\#}=W^{k,\#}$,,$G^{l/2}W^{k,\#}=W^{k+l,\#}$である。
$W^{k,\#}$

はヒルベルト空間でないが $x=x_{f}+te_{\infty,k},$ $y=y_{f}+ue_{\infty,k}$ として$\langle x,y\rangle_{k}=\lim_{s\downarrow 0}(G^{\epsilon/2}(x_{f}+\sqrt{s}te_{\infty,k}), G^{s/2}(y_{f}+\sqrt{s}ue_{\infty,k}))_{k}$で内積を入れればヒルベルト空間$W^{k,\natural}|_{\sim}^{-}$,$\langle e_{n,k}, e_{\infty,k}\rangle_{k}=0$となる。 とくに$H^{\mathfrak{y}}=W^{0,\natural}$$x_{1}=r$

としたとき
られた空間

$\theta_{1},$$\hat{H}$cos$\ldots$

なる。 この内積では$\langle e_{\infty,k}, e_{\infty,k}\rangle_{k}=c$,

は $H$ の極座標を $\Vert x\Vert=r$ として$\theta_{1},$$x_{2}=r$の制約と同一視できる。
$\theta_{2},$,$\lim_{narrow\infty}$

sin

sin

$\theta_{1}$cos$\theta_{1}\cdots$$\theta_{2},$sin$\ldots$,$\theta_{n}=0$

をはずして

得

173

3

正則化無限積と正則化行列式「はじめに」 に書いたように $H$ の座標の基本対称式の正則化 ::$\sigma_{k}(x)$は$\prod_{n=1}^{\infty}(1+\mu_{n}^{s}x_{n}t)|_{s=0}=1+\sum_{k=1}^{\infty}$:$\sigma_{k}(x)$:$t^{k}$,

で定義される。 スケーリング作用素 $I_{x};I_{x}e_{n}=x_{n}e_{n}$ を使えば

: $\sigma_{1}(x):=tr(G^{s}I_{x})$ ,
だから :

(8)

: は Paicha の renormalized trace と解釈できる $([6],[10])$$\sigma_{1}(x)$

。

また
$=$

$\log(\prod_{n=1}^{\infty}(1+\mu_{n}^{s}x_{n}t)$$\sum_{n=1}^{\infty}\log(1+\mu_{n}^{s}x_{n}t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k+1}\mu_{n}^{ks}x_{n}^{k}t^{k}$$\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{ks}x_{n}^{k})\frac{(-1)^{k}}{k+1}t^{k}$$x\in H$ なら $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}^{k}<\infty,$ $k\geq 2$ だから : $\sigma_{1}(x)$ : が存在すれば

であり

:

,

$\sigma_{k}(x)$:, $k\geq 2$ は存在する。 しかし

総ての座標の積$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$の正則化はこの方法ではできない。
定義 2 。数列を持つとき$x_{1},$ $x_{2},$$x_{1},$ $x_{2},$が Agmon 角 $\theta;\theta+\epsilon\leq Arg.x_{n}\leq\theta+2\pi-\epsilon$$\ldots$の $G$ (と$\ldots$$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}:_{G}(=:\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}:_{G,\theta})$:$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}:_{G,\theta}=\prod_{n=1}^{\infty}x_{n^{\mathfrak{n}}}^{\mu^{*}}|_{s=0}$,$\theta$

正則化無限積 :) に関する$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$

$;=$

:

を

$x^{a}=|x|^{a}e^{aArg.x},$$\theta<$

Arg.a $<\theta+2\pi$ , (9)で定義する。
$x_{1},$ $x_{2},$::$\ldots$を変数と見たとき :$\prod_{n=1}^{\infty}|x_{n}|$$\prod_{n=1}^{\infty}(tx_{n})$

:

$=$

:

$=$

$|$

:

$t^{\nu}$$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$:$\prod_{n}x_{n}$

: ,

:

$|$

$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}:$: は各変数$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}^{c}$$x_{n}$に付いて線形で$:=(: \prod_{n=1}^{\infty}x_{n}:)^{c}$,$c\in \mathbb{R}$,,をみたす。 また各変数について線形なことから:$\prod$$x_{n}$:$n\not\in\{i_{1},\ldots,i_{m}\}$$=$$\frac{\partial^{m}}{\partial x_{i_{1}}\cdots\partial x_{i_{m}}}$:$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$$:= \frac{:\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}:}{x_{i_{1}}\cdots x_{i_{m}}}$

(10)

174
として良い。
$x= \sum_{n}x_{n}e_{n}\in H\#$ら:$\sigma_{\infty}x$のとき:$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$: は総ての座標の積の正則化だか: と書いてよい。 $x=x_{f}+te_{\infty},$ $t\neq 0$ で$\sum_{n=1}^{\infty}|\mu_{n}^{-d/2}x_{f^{n}},|<\infty$

であれば

:

$\sigma_{\infty}x$:$=$$\prod_{n=1}^{\infty}t^{\mu_{\dot{n}}}\mu_{n^{\dot{n}}}^{\mu d/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{x_{fn}}{\mu_{n}^{d/2}t})^{\mu_{n}^{\iota}}|_{s=0}$$t^{\nu}( \det G)^{d/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{x_{[,n}}{\mu_{n}^{d/2}t})$だから :: は存在する。 定義から$\sigma_{\infty}x$:,$\sigma_{\infty}G^{a}x:=(\det G)^{a}$:$\sigma_{\infty}x:$,:$\sigma_{\infty}tx:=t^{\nu}$:$\sigma_{\infty}x:$,が成立する。 また $x=x_{f}+te_{\infty}\in H\#$ にたいし $\dot{x}=-x_{f}+te_{\infty}$ とすれば
$x_{f}\in W^{d}$ であれば $x= \sum_{n}x_{n}e_{n},\dot{x}=\sum_{n}\dot{x}_{n}e_{n}$ として $\dot{x}_{n}=t^{2}-x_{fn}^{2}$ だから :: は存在する。従って :: は $x\in W^{d}\oplus Ke_{\infty}$ のとき$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}\dot{x}_{n}$$\sigma_{\infty}x$

解析的である。
スケーリング作用素 $I_{x};I_{x}e_{n}=x_{n}e_{n}$ の対数 log

log $x=$ (として$I_{\log x}$$\log x_{1}$, log$x_{2},$$\ldots$$I_{x}$

は),で与えられる。 このとき:$\prod_{n=1}^{\infty}x_{n}$$:=e^{tr(G}$log$I_{g}$) $|_{s=0}$

,

(11)

である。 これから
定義 3 。線形作用素 $T$ が対数 $S=\log T$ を持つとき $T$ の $G$ に関する正則化行列式 det $GT$ を$\det_{G}T=e^{tr(GS)}|_{s=0}$

,

(12)

で定義する。

logT は一意的でないから一般には $\det_{G}T$ は一意的でない。例えば$\det_{G}(tT)=t^{\nu}\det_{G}T$

だから

$\nu$

,

が整数で無ければ det $c(tT)$ は一意ではない。 また$\det_{G}(PTP^{-1})=\det_{P^{-1}GP}T$

,

175
だが

これは一般には $\det_{G}T$ とは異なる。
det $G(PTP^{-1})=$ det $GT$ が成立する充分条件としては $P=I+K;K$
はコンパクト作用素、 または $PG=GP$ がある。 $K$ が ある $l<0$ につとなれば $G^{l}e_{\infty}\in H$ だから $P=I+K$ は $H\#$ の作用
素に拡張され $H\#$ を $H\#$ に写す (極分解 $K=UL,$ $U$ は unitary, $L$ は正定
いて $KG^{l}$ は有界と $LG^{l}$ が有界が同値だから $KG^{l}$ が有界と $G^{l}K$値を使えば $KG^{l}$ が有界

が有界は同値である) 。 この条件は $K$ が $H^{-}$ のコンパクト作用素になる条件である。
$G$ の固有空間による $H$ の分解を $H= \sum_{m}\oplus E_{m}$ とすれば $PG=GP$ の
時 $PE_{m}=E_{m}$ だから$P= \sum_{m}\dotplus P_{m}$,,$P_{m}=P|E_{m}$$G|E_{m}=\mu_{(m)}I_{m}$となる。 $P$ が $H\#$ の作用素に拡張され $H\#$ を $H\#$ に写せば,

$Pe_{\infty\infty}$=ce\infty 。として $\lim_{marrow\infty}\Vert P_{m}-cI_{m}\Vert=0$ である。 このとき$\lim_{marrow\infty}\mu_{(m)}^{l}||P_{m}-cI_{m}\Vert=0$,のコンパクト作用素となる。
ある $l<0$ で成立すれば $P-cI$ はこれから $K$ が $H^{-}$ のコンパクト作用素になるような逆をもつ $I+K$ の形の作用素の群を $cI;c\in K^{x}$ で拡大した群 $Sym(H\#)$ は det の対称性が$H^{-}$$\kappa\#$$G$などを添加して拡大した群が正則化積分を計算するときには役に立つ。 これについては 7 節で 改めて述べる。

の群になるが、 更にこの群に

4$G^{k},$$k\in \mathbb{R}$

正則化積分$a=(a_{1},a_{2}, \ldots),$ $b=(b_{1}, b_{2}, \ldots),$ $\sum_{n}a_{n}e_{n},\sum_{n}b_{n}e_{n}\in H\#$,$\mathcal{D}_{a,b}$$=$$\{\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}e_{n}\in H^{\#}|a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\}$$\mathcal{D}_{a,b}^{N}$$=$$\{\sum_{n=1}^{N}x_{n}e_{n}|a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\}\subset \mathbb{R}^{N\#}\subset H$

$*$

$=$

$(c_{1},c_{2}, \ldots)\in D_{a,b}$とすれば$\mathcal{D}_{a,b}$,の関数 $f$ の正則化積分はとし,$*N=(c_{N+1},c_{N+2}, \ldots)$$s$,に関する解析接続を使って, (13)$\int_{\mathcal{D}_{a,b}}f(x):d^{\infty}x:=\lim_{Narrow\infty}f(x_{1}, \ldots x_{N}, *N)d(x_{1}^{\mu_{1}^{l}})\cdots d(x_{N}^{\mu_{\dot{N}}})|_{\partial=0}$176で定義される ( $a_{n}=-\infty,$ $b_{n}=\infty$ でも良い) この定義は $f$ が全微分可能
なら の取り方によらない。
は $Arg(-1)=\pi$ ととるか $-\pi$ ととるかで
なお $a_{n}<0$ の場合は
この積分の値は異なる可能性がある。 の偏角は 総ての座標について。

$*$$x_{n^{n}}^{\mu^{s}}$$- 1$

同じにとるということにする。 従って $a_{n}<0$ の場合には正則化積分は2 種類の値を持つ可能性がある。

1$a_{n}e_{n,k},$$\sum_{n}b_{n}e_{n,k}\in W^{k,\#}$のとき, ソボレフ空間の部分集合を$W^{k,\#}$$\mathcal{D}_{a,b;k}=\{\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}e_{n,k}\in W^{k,\#}|a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\}$,の上の関数についても同様に正則化無限次元積分で定義したときが定義できる。 この場合の積分を$\mathcal{D}_{a,b;k}$$\int_{\mathcal{D}}\cdot,b;kf(x)$:$d^{\infty;k}x:$,とすれば$d((\mu_{1}^{k/2}x_{1})^{\mu i})\cdots d((\mu_{N}^{k/2}x_{N})^{\mu_{N}^{s}})$$(\mu_{\iota^{1}}^{\mu}\cdots\mu_{N^{\dot{N}}}^{\mu})^{k/2}d(x_{1}^{\mu 1})\cdots d(x_{N^{\dot{N}}}^{\mu})$,だから: $d^{\infty;k}x:=(\det G)^{k/2}$ :
一般に

である。

$I_{\xi}e_{n}=\xi_{n}e_{n}$$d^{\infty}x:$

,

(14)

をスケーリング変換とすれば$\int_{I(\mathcal{D}.,)}I_{\zeta}^{\#}(f):d^{\infty}I_{\xi}x:=\epsilon b\int_{\mathcal{D}}\cdot,b|\det_{G}I_{\xi}|f:d^{\infty}x:$

,

(15)

が成り立つ。 ただし $\det_{G}T$ は $T$ の $G$ に関する正則化行列式;

det $cT=e^{tr(G^{s}S)}|_{s=0}$ ,である。

$I_{\xi}$の正則化行列式は:$\xi_{1},$$\xi_{2},$$\ldots$$S=\log T;e^{S}=T$ ,の正則化無限積;$\prod_{n=1}^{\infty}\xi_{n}:c=\prod_{n=1}^{\infty}\xi_{n^{\dot{\mathfrak{n}}}}^{\mu}|_{s=0}$,になる。 (1) から $f(x)= \prod_{n=1}^{\infty}f_{n}(x_{n})$ の時は$\int_{\mathcal{D}}\cdot,bf(x):d^{\infty}x:=:\prod_{n=1}^{\infty}\int_{a_{n}}^{b_{n}}f_{n}(x_{n})dx_{n}:$

,

(16)

177
だから

正則化行列式、 正則化無限積の計算は大切である。 例えば (15)から,

$f_{I}(x)$$=$$\prod_{n=1}^{\infty}*(2m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$

$*$

$=$

sin or $cos,$ $I=((*1, m_{1}),$ $(*2, m_{2}),$$\ldots$),

であれば $\mathcal{D}_{0,\mu^{d/2}}=\{\sum_{n}x_{n}e_{n}\in H\#|0\leq x_{n}\leq\mu_{n}^{d/2}\}$ として$\int_{\mathcal{D}_{0,\mu^{d/2}}}f_{I}(x)f_{J}(x)$: $d^{\infty}x:=0,$ $I\neq J$,$\int_{\mathcal{D}_{0,\mu^{d/2}}}fi(x)^{2}$:$d^{\infty}x:=\epsilon_{I}$,となる。 ここで$\epsilon_{I}=\{\begin{array}{ll}\frac{(\det G)^{d/2}}{2^{\nu-m}} m_{i}\neq 0 except m numbers\frac{(\det G)^{d/2}}{2^{m}} m_{i}=0 except m numbers.\end{array}$である ([2],[4])。 これから $H\#$ の周期関数のフーリエ展開が計算できる。
この場合の周期格子は $H$ でで生成されるアーベル$n=1,2,$
$H\#$
の
群
で
での閉包
と
この格子は
で生
$n=1,2,$成される。 現在の所 この周期だけがでの周期関数を考えるのに意とと味があり計算可能な格子である。 また$\mu_{n}^{d/2}e_{n},$$\ldots$$\mathbb{Z}^{\infty}$$\mu_{n}^{d/2}e_{n},$$\hat{\mathbb{Z}}^{\text{。。}}$$\ldots$$e_{\infty}$$H^{\infty}$$\hat{\mathbb{T}}^{\infty}=H\#/\hat{\mathbb{Z}}^{\infty}$$\mathbb{T}^{\infty}=H/\mathbb{Z}^{\infty}$の間には$\hat{\mathbb{T}}^{\infty}=\mathbb{T}^{\infty}\cross S^{1}$

がの関係がある。是はあることを示唆している。
$\hat{\mathbb{T}}^{\infty}$,$\mathbb{T}^{i}nfty$$S^{1}=(\mathbb{R}e_{\infty}/\mathbb{Z}e_{\infty})$,の何らかの意味での弱コンパクト化でまた (15) から$\int_{\mathcal{D}_{a,b}}$となる。 これから$\mathcal{D}_{a,b}$::$d^{\infty}x$,$:=: \prod_{n=1}^{\infty}(b_{n}-a_{n}):$の正則化体積を$vol(\mathcal{D}_{a,b})$で定義できる。 定義から$:=: \prod_{n=1}^{\infty}(b_{n}-a_{n}):$,正則化体積は平行移動不変;: $vol(D_{a,b})$ $:=:vol(\mathcal{D}_{a+c,b+c}):$ ,である。 しかし正則化体積は開 (閉) 集合であっても必ずしも存在しない
ので、 これから $H\#$ のボレル集合族にたいする測度を定義することはでき

178
ない。他方

正則化体積を使って正則化積分のリーマン式定義を与える

可能性はある。

また極座標を使えば:$d^{\infty}x:=r^{\nu-1}drd^{\infty}\omega$,$d^{\infty} \omega=\prod_{n=1}^{\infty}\sin^{\nu-n-1}\theta_{n}d\theta_{n}$,となる ([2],[3])。 $G$ が楕円形作用素 $D$ のグリーン作用素のとき$\zeta(D+mI, 0)=\nu+\sum_{k=1}^{d}\frac{{\rm Res}_{s=k}\zeta(D,s)}{k}m^{k}$

だから

$\nu$

,

を $m$ の関数と見ることができる。 これは正則化積分の極座標表

示から次元正則化 ([1], Part I, \S 7,\S 8参照) の解釈を与える可能性を示唆している。

は一意にはきまらないので、 これを決める条
なお一般には log $T$ や件が必要である。例えば 有限個 ( $m$ 個) の を除き $\xi_{t}<0$ であればが$|\xi|=(|\xi_{1}|, |\xi_{2}|, \ldots)$ と符号が $(-1)^{\nu-m}$ だけことなるから積分はとするかで異なる。
整数でないと 値は $-1=e^{\pi i}$ とするか$\mu_{n}^{\mu_{\dot{n}}}$$\xi_{t}$$\nu$$I_{|\xi|},$$e^{-\pi i}$

正則化積分は( $a=0,$ $b=(x_{1},$$x_{2},$$\ldots),$$x_{1}>0,$ $x_{2}>0,$ $\ldots$

の時) 分

数幕積分
$I_{x}^{a}f(x)= \frac{1}{\Gamma(a)}\int_{0}^{x}(x-t)^{a-1}f(t)dt$,

を使って$\int_{\mathcal{D}_{0,b}}f(x):d^{\infty}x:=\lim_{narrow\infty}I_{x\iota}^{\mu_{1}^{s}}\cdots I_{x_{\hslash}}^{\mu_{n}^{*}}f(x_{1}, \ldots x_{n}, *^{n})|_{s=0}$,とも書ける ([2])。 この場合解析接続はlog,$( \prod_{n=1}^{\infty}\Gamma(1+\mu_{n}^{s}))=-\gamma\zeta(G,s)+\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m}\frac{\zeta(m)}{m}\zeta(G,ms)$の極が実軸上 に収束するので、実軸を通らずにを取らなければならない。
$0$$\mathbb{R}_{i_{1},\ldots,i_{N}}^{N}=\{\sum_{j=1}^{N}x_{n_{j}}e_{n_{j}}|x_{n_{j}}\in \mathbb{R}\}$$0$に行く右反平面内の路を $H$ の部分空間とみて$H_{i_{1},\ldots,i_{N}}^{\#}=(\mathbb{R}_{1}^{N},\ldots,i_{N})^{\perp}\oplus \mathbb{R}e_{\infty,\{t_{1},\ldots,i_{N}\}}$$e_{\infty,\{i_{1},\ldots,i_{N}\}}= \sum_{n\not\in\{i_{1},\ldots,i_{N}\}}\mu_{n}^{d/2}e_{n}$, とすれば

$H_{i_{1},\ldots,i_{N}}^{\#}$

積分が定義できる。 ここでの正則化体積要素を :$dx_{i_{1}}\cdots dx_{i_{N}}$

:

,

で

同様に正則化とすれば$d^{\infty-\{i_{1},\ldots,i_{N}\}_{X;}}$$d^{\infty-\{i_{1},\ldots,i_{N}\}}x:=:d^{\infty}x.$,179である。 この場合は交換関係は可換としているが反可換だと$dx_{i_{1}}\wedge\ldots\wedge dx_{i_{N}}\wedge:$$=$$d^{\infty-\{i_{1)}\ldots,i_{N}\}}$:$(-1)^{N}\nu-N$ : $d^{\infty-\{i_{1},\ldots,i_{N}\}}x:dx_{i_{1}}\wedge\ldots\wedge dx_{i_{N}}$ ,が整数でなければ (実係数としては) 定義できない (複素係数だと非可換トーラスと同じような交換関係を使って 定義可能になる)

となり

$\nu$

。

での正則化体積要素 (積分) の存在は無限次元トーラスに ポワンカレ双対をもつ
ラム型コホモロジーが存在することを示している。一般に ヒルベルト多様体などの無限次元多様体に弱位相が定義でき 弱位相でコンパクトであれば ポワンカレ双対を持つ \vdash ・ラム型
$H_{i_{1},\ldots,i_{N}}^{\#}$$\vdash$.

$H\#/\hat{\mathbb{Z}}^{\infty}$

コホモロジーが定義できないかは今後の問題である ([7] 参照)

5

$G$

。

の対数

$\{G^{t}|t\geq 0\}$は $H$ 上の作用素の半群だが $t>0$ のとき $\lim_{narrow\infty}\mu_{n}^{t}=0$ だから $t=0$ ではノルム位相では不連続で強位相でしか連続にならない。

また$\lim_{\downarrow 0}\frac{(G^{h}-I)x}{h}=Ax$,となる $A$ は $x\in H^{+}$ でしか定義できない。定義から $Ae_{n}=$ log$\mu_{n}e_{n}$だから$A=\log G$ ,log $Ge_{n}=\log\mu_{n}e_{n}$ ,と書く。 これから $G^{t}G^{s}=G^{s+t},$ $s,$ $t\geq 0$ により$\frac{d^{n}}{dt^{n}}G^{t}=(\log G)^{n}G^{t}$

,

(17)

は $H$ の有界作用素でlog
微分を定義する極限はノルム位相でよいが、 $t=0$ での微分の定義でのが ( $t\geq 0$ で) 成立する。 $t>0$ であれば$GG^{t}$極限は強位相の意味でとる。 また$(\log G)^{m}G^{c}=G^{c}(\log G)^{m}$が任意の $m\in N,$$c\in \mathbb{C}$について成立する。

とすれば 群
相は $\lim_{narrow\infty}\Vert x_{n}-x\Vert_{k}=0$ が総ての$W^{\infty}= \bigcap_{k}W^{k}$,の位で定義される。
について成り立つとき $\lim_{narrow\infty}x_{n}=$$\{G^{t}|t\in \mathbb{R}\}$$k$

は$W^{\infty}$$W^{\infty}$

180
として入れる。 この場合 (16) はで) 成り立つ。
に ($x$

この位相に関する強位相の意味で常$t\in \mathbb{R}$

定義から $e^{\log G}=G$ となって
$e^{t(\log G)^{m}}=G^{t(\log G)^{m-1}}$,$m\geq 1$,(18)が成り立つ。 ここで $e^{t(1ogG)^{m}}$ は$e^{t(\log G)^{m}}e_{n}=e^{t(\log\mu_{n})^{m}}e_{n}$で,定義される。ただし $\lim_{narrow\infty}\log\mu_{n}=-\infty$ だから$\lim_{narrow\infty}\mu_{n}^{k}\mu_{n}^{(\log\mu_{n})^{m-1}}=\infty$

$m$

が偶数なら

,

が総ての $k>0$ に対し成り立つ。 したがって $G^{(\log G)^{m-1}}$ の定義域はより狭い。 一方 $m$ が奇数のときは$\lim_{narrow\infty}\mu_{n}^{-k}\mu_{n}^{(\log\mu_{n})^{m-1}}=0$$W^{\infty}$,

が総ての $k>0$ に対し成り立つから $G^{(\log G)^{m-1}}$ はトレース級作用素になる。逆に $G^{-(\log G)^{m-1}}$ は $m$ が偶数ならトレース級 $m$ が奇数なら 定義
域はより狭くなる。群 $\{G^{t(1ogG)^{m}}|t\in \mathbb{R}\}$ を考えるときは 内積$W^{\infty}$,$(x, y)_{exp;m,t}=(G^{t|\log G|^{m}/2}x, G^{t|\log G|^{m}/2}y)$

を導入し
部分を

それから作られるソボレフ型空間を$\bigcap_{t\in \mathbb{R}}W_{exp;m}^{t}=W_{exp;m}^{\infty}$$W_{exp;m}^{t}$

とおき

その共通

,

で考えればよい。更に $m$ も動かすのならといった空間を考えればよいが以下の計算では これらの空間は
使わない。
として

$\bigcap_{m\in N}W_{exp;m}^{\infty}=$$W_{exp;m}^{\infty}$$W_{exp;\infty}^{\infty}$

log $Ge_{n}=\log\mu_{n}e_{n}$ だから$tr$($G^{s}$

log

$G$

)

$= \sum_{n=1}^{\infty}\log\mu_{n}\mu_{n}^{s}=\frac{d}{ds}\zeta(G, s)$,となって$\det_{G}G=e^{\zeta’(G,s)}|_{\epsilon=0}=\det G$

,

(19)

181
である。 ただし detG は $G$ の Ray-Singer 行列式である。 一般に log $T^{m}=$
$m$

log

$T$

だから
$\det_{G}T^{m}=(\det_{G}T)^{m}$,が成立する。従って $G$ が (正値) 楕円形作用素 $D$ のグリーン作用素であればdet $GD=\det D$ ,

(20)

となる。
また $trG^{s}=\zeta(G, s)$ から$\frac{d^{n}}{ds^{n}}trG^{s}=tr(\frac{d^{n}}{ds^{n}}G^{s})=\frac{d^{n}}{ds^{n}}\zeta(G, s)$,が得られる。 これから解析接続により$\frac{d^{m}}{ds^{m}}trG^{s}|_{s=0}=\sum_{n=1}^{\infty}(\log\mu_{n})^{m}\mu_{n}^{s}|_{s=0}=\zeta^{(m)}(G,0)$

,

(21)

である。 $trG^{s}$ を $trG^{s+c}$ に置き換えることにより
補題 1

。

$m$

を

$0$

または正の整数、とすれば$c\in \mathbb{C}$$\frac{d^{m}}{ds^{m}}trG^{s+c}|_{s=0}=\zeta^{(m)}(G,c)$

,

(22)

である。

注意。 この式は $\zeta(G, s)$ が $s=c$ で正則なとき意味があるが、 $s=c$ で極を持っているときは 正則化無限積の非存在を示すのに使える。

log
$G$

$G$

(や

は作用素として $G$ とかなり違ったものになるようである。
その逆) とは同じようには扱えないが$\frac{d}{dx}$は実軸上テーラー展開可能な関数の空間では$e^{s_{Tx}^{d}}f(x)=\tau_{a}f(x),$

となり

と log

$\tau_{a}f(x)=f(x+a)$だから log$\tau_{a}=a\frac{d}{dx}$,はかなり違う。
微分の対数についても 分数幕微分 (不定積分) の半群 $\{I^{a}|a\geq 0\}$ の$\tau_{a}$

生成作用素

$A$

$\tau_{a}$が緩増加で $f(O)=0$ となる

$f$

に対し

$Af(x)= \gamma f(x)+\int_{0}^{x}\log(x-t)\frac{df(t)}{dt}dt$

,

182

$\gamma$はオイラーの定数、 となることから $\log(\frac{d}{dx})=-A$ として$\log(\frac{d}{dx})1$$=$$-(\log x+\gamma)$$\log(\frac{d}{dx})x^{n}$$=$$-x^{n}$と計算される。 これらはの多項式の空間では

log$( \frac{d}{dx})(\log x)^{n}$$=$,log $x+((1+ \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})-\gamma)x^{n}$ ,多項式の空間を別の関数空間に移すが、 log x$-((\log x)^{n+1}+\gamma(\log x)^{n}+$$+ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{n-k}n!\zeta(n-k+1)}{k!}(\log x)^{k})$,同じ空間に移す。
なお $(\tau_{h}-I)^{a}$ を 2 項展開でとなって$( \tau_{h}-I)^{a}=\tau_{ah}(I+\sum_{N-0}^{\infty}\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}\tau_{-nh}),$,で定義すれば $f(x)=0,$ $x\leq 0$ で

$f$が C\infty =級のとき$I^{a}f(x)= \lim_{harrow 0}\frac{(\tau_{h}-I)^{a}f(x)}{h^{a}}$

と成るが

,

同様に
$\log(\tau_{h}-I)=\log\tau_{h}+\log(I-\tau_{h})=h\frac{d}{dx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_{-nh}}{n}$を用いると $f(x)=0,$ $x\leq 0$ となる$C^{\infty}$,-級関数にたいしては$\log(\frac{d}{dx})f(x)=\lim_{h\downarrow 0}(\log(\tau_{h}-I)-\log h)f(x)$,となる。
これらの例は$\log(\frac{d}{dx} )$が微分$\frac{d}{dx}$が微分で果たす役割と似た働きをことを示唆している ([5])。

とかなり違うことオイラー数$\gamma$

またネーピア数$e$が微分の対数で果たす

183

6

$\zeta(G, s)$の高階導関数による正則化無限積の計算

補題 1 により $\zeta(G, s)$ の高階導関数を用いて$e^{t\zeta^{(k)}(G,m+s)}|_{s=0}$

$=$

$=$

$e^{t\frac{d^{k}}{d*}F^{trG^{m+s}}}|_{s=0}=e^{ttr(\frac{d^{k}}{d*^{k}}G^{m+*})}|_{s=0}$$e^{ttr((\log G)^{k}G^{m+})}|_{s=0}=\det_{G}e^{t(\log G)^{k}G^{m}}$,となる。従って定理 1。

$\zeta(G, s)$が $s=c$ で正則の時

det$ce^{t(\log G)^{k}G^{c}}=e^{t\zeta^{(k)}(G,c)}$

,

(23)

である。

exp $(\log G)=G$ だから $k\geq 1$ のとき

この式はdt $GG^{t(\log G)^{k-1}G^{c}}=e^{t\zeta^{(k)}(G,c)}$ ,とも書きなおせる。 なお$a\in \mathbb{R}$

(24)

とすれば

$\det_{G}G^{a+t(\log G)^{k-1}G^{c}}=(\det G)^{a}e^{t\zeta^{(k)}(G,c)}$

,

(25)

となる。なお (23) で $k=0,$ $c=0$ とすると

det $Ge^{t}=e^{t\zeta(G,0)}=(e^{t})^{\nu}$ ,となり $\det_{G}C=C^{\nu}$ が従う。

が楕円形作用素 $D$ のグリーン作用素の時$\exp(-tG^{-m})$ の正則化行列式は$G$$D^{m}$の熱核 $\exp(-tD^{m})=$det $G^{e^{-tG^{-m}}}=e^{-t\zeta(G,-m)}$ ,だから zeta $(G, -m)=0$ であれば det $Ge^{-tG^{-m}}$ はに関係せず 常に値が-級1 である。例えば $H$ を $[0,1]$ の境界条件 $f(O)=f(1)=0$ を満たす関数の空間の完備化とし $G$ を $D=-d^{2}/dx^{2}$ のグリーン作用素とすれば$t$$C^{2}$$\zeta(G, s)=\frac{1}{\pi^{2}}\zeta(2s)$$\zeta(s)$,はリーマンの -関数、 だから $\zeta(G, -m)=0,$ $m\in N$ となり$\zeta$合の熱核の正則化行列式は時間
補題 2

$t$

この場

1; 無関係に 1 となる。

についてが正則化行列式を持ち
Campbell-Haussdorff の公式が成り立ち $G^{s}S_{2}=S_{2}G^{s}$ であれば。

$T_{1}=e^{S_{1}},$$T_{2}=e^{S_{2}}$det $GT_{1}T_{2}=\det_{G}T_{1}\det_{G}T_{2}$ ,$T_{1}^{s},$$T_{2}^{s}$

184
である。

証明。 仮定から $trG^{s}S_{2}H=$ tr $S_{2}G^{s}H=trG^{s}HS_{2}$ が任意の $H$ について成立する。 従って $trG^{s}[S_{2}, H]=0$ である。他方 Campbell-Haussdorffの公式 ([91) から団が小さいとき$T_{1}^{t}T_{2}^{t}=e^{tS_{1}}e^{tS_{2}}=e^{t(S_{1}+S_{2})+[s_{2},f(t,S_{1},S_{2})]}$,である。従って$\det_{G}(T_{1}^{t}T_{2}^{t})$$=$$e^{tr(G\log(T_{1}T_{2}))}|_{S=0}=e^{tr(G(t(S_{1}+S_{2})+[S_{2},f(t,S_{1},S_{2})])}|_{s=0}$$=$$e^{tr(G(t(S_{1}+S_{2}))}|_{s=0}=e^{tr(GtS_{1})}|_{s=0}e^{tr(G^{\epsilon}tS_{2})}|_{s=0}$,となり解析接続で補題が成立する。
補題 2

により

微分方程式
$\frac{d}{dt}U_{t}+G^{m}U_{t}=0$,正則化行列式について $C$ がの一般の解 $U_{t}=\exp(-tG^{m})C$ についてはと可換であれば$G^{s}$

det $o(e^{-tG^{m}}C)=\det_{G}e^{-tG^{m}}\cdot dt_{G}C$ ,がなりたつ。
定理 1 から
定理 2。

$\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|<\infty$の時 $k\in N,$$c\in \mathbb{C}$とすれば $\zeta(G, s)$ が $s=c$ で正則であれば:$\prod_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{t(\log\mu_{n})^{k-1}\mu_{n}^{C}}(1+x_{n}):_{G}=e^{t((G,c)}(k)\prod_{n=1}^{\infty}(1+x_{n})$である。また $\zeta(G, s)$ が $s=c$ で極をもてば:は発散する。

,(26)$\prod_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{t(\log\mu_{n})^{k-1}\mu_{n}^{e}}(1+x_{n})$:の座標を $(x_{1}, x_{2}, \ldots),$ $x= \sum_{n}x_{n}e_{n}$ とし::を$H\#$の中で定義された関数と思えば この例は $H$ の中でもかなり多くの元$x\in H\#$$\prod_{n}x_{n}$$:=:\sigma_{\infty}x$: が定義されることを示している。例えば $c=0$ で $t>0$ ,が 1 でない奇数 または $t<0$ で が偶数の時 あるいは Rec $<0$ の時$x\in H$ で: $\prod_{n}x_{n}$
$k$

$k$

が奇数 または $t<0$ で が偶数のときは $x\in H$ となる。従って:: は $H$ の稠密な部分集合の上でも定義できる。
ただし $\nu=\zeta(G, 0)$ が整数でなければ この関数は一価でない。

$t>0$ で$k$$\sigma_{\infty}x$

$k$

185

また $a>d/2$ の時

:
だから領域
る)

だが

$\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{a}e^{\mu_{n}^{d}}e_{n}\in H^{\#}$$\prod_{n=1}^{\infty}\mu_{n}^{a}e^{\mu_{n}^{d+e}}$$:=(\det G)^{a}e^{\zeta(d+\epsilon)}$,$\mathcal{D}_{0,\mu^{\text{。}}\rceil^{\mu^{d}}}=\{\sum x_{n}e_{n}\in H\#|0\leq x_{\dot{n}}\leq\mu_{n}^{d}\}(H$の部分集合になは正則化体積を持たない。

注意。 $\ell^{1}=\{\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}e_{n}|\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|<\infty\}$ とすれば (集合として)$W^{-d/2,\#}$である。

$e_{\infty^{d}/2}= \sum_{n=1}^{\infty}e_{n}$$\ell^{1}\subset$

だから $e_{\infty,-d/2}+\ell^{1}\subset W^{-d/2,\#}$ であり $y\in e_{\infty,-d/2}+l^{1}$ であれば

$y= \sum_{n=1}^{\infty}(1+x_{n})e_{n}$である。集合としては$P^{1}\subset H$,$\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|<\infty$だから$G^{k}(e_{\infty,-d/2}+p^{1})\subset H\#$である。また$e^{t(\log G)^{k}G^{c}}$,, if $k\geq d/2$ ,|; ついては$e^{t(\log G)^{k}G^{c}}(e_{\infty,-d/2}+\ell^{1})\subset H\#$

, if

$G^{-d/2}e^{t(\log G)^{k}G^{c}}$is bounded,が成り立つ。 これらの場合 それによるの像 ( $H$ の部分集合)の上では ::: が存在する。従って $H$ の稠密な部分集合の上で :が 存在する。
$e_{\infty,-d/2}+\ell^{1}$$\sigma_{\infty}x$$\sigma_{\infty}x$$x= \sum_{n}x_{n}e_{n},$ $y= \sum_{n}y_{n}e_{n}$$I_{x}e_{n}=x_{n}e_{n}$とするとき $x \cdot y=\sum_{n}x_{n}y_{n}e_{n}$ , またちをで定義されるスケーリング作用素とすれば$I_{x}I_{y}=I_{x\cdot y}$,$GI_{x}=I_{x}G$,である。 また $I_{e_{\infty,-d/2}+x}=I+I_{x}$である。特に $x,$ $y\in p1$ ならだから $u,$ $v\in e_{\infty,-d/2}+p^{1}$ であれば $u\cdot v\in e_{\infty,-d/2}+p^{1}$ となり $\{I_{u}|u\in$$x\cdot y\in\ell^{1}$$e_{\infty,-d/2}+\ell^{1}\}$は作用素の積で半群になる。特に恥が逆をもてば det$GI_{u}$は存在し

de$t_{G}I_{u}=\prod_{n=1}^{\infty}(1+x_{n})$である。 また
ばだから$x\in\ell^{1}$$\Vert y\iota\Vert<C$,$u= \sum_{n=1}^{\infty}(1+x_{n})e_{n}$であれば $y_{i}= \sum_{n}y_{i,n}e_{n},$ $i=1,2,$$\epsilon>0$

にたいし

,

が弱収束すれ$\sum_{n>N}x_{n}^{2}<(\epsilon/4C)^{2}$ となる $N$ を$\ldots$

186

固定し
ような

$|y_{i,n}-y_{j,n}|^{2}<\epsilon/4\Vert x\Vert^{2},$$k$$n=1,$$\ldots$, $N$ が $i,j>k$ なら成立するを撰べば$\Vert x\cdot(y_{i}-y_{j})||<\frac{\epsilon||x||}{2||x||}+\frac{\epsilon 2C}{4C}=\epsilon$,$i,j>k$ ,$u\in$
はコンパクトになる ( $x\in H$ でも正しい) 。従って
は $I+K,$ $K$ はコンパクトで逆を持つ作$e_{\infty,-d/2}+\ell^{1}$ が逆を持てばだから$I_{u},$$I_{x}$$I_{u}$

用素になる。

7

正則化行列式の対称性

3 節に書いたように 一般には $\det_{G}PTP^{-1}=\det_{G}T$ は成り立たない。
これが成立するような $P$ としては $I+K,$ $K$ はコンパクト作用素の形 (この形の逆をもつ作用素の群を ) か $PG=GP$ となるもの (このような作のコンパクト作用素
用素の群を $C=G$ ) がある。 $P=I+K$ で $K$ がに拡張されれば $P$ は $H\#$ に拡張できる ( $Pe_{\infty}\in H\#$ となる) このような$P$ の作るとする。 $PG=GP$ となる $P$ は必ずしも $H\#$の部分群を$\mathcal{K}$$H^{-}$。

$\mathcal{K}^{\natural}$$\mathcal{K}$

正則化無限次元積分の計算に使えない。 のに属しないものは $cI$
の元で
を固定する
の形である。 またこのとき $P=cI+K,K$ はコンパクト となるので、正の自己同型にかぎれば)を $K^{x}I$ で拡大
則化行列式の対称性の群は (の作用素には拡張できず固有値に縮退がなければ

$G$

$H\#$

$\mathcal{K}$$C_{G}$$H\#$$\mathcal{K}^{\natural}$

した群 $Sym(H\#)$ になる。
$k<0$ , や log $G$ と
しかし 非有界の$G^{k},$

ともに $c^{(\log G)^{k}}$ などの元はGauss 型経路積分の計算のようにいろいろ使えるので、$Sym(H^{\#})=\mathcal{K}^{\natural}\cdot\{cI|c\neq 0\}$に$G^{k}$

や $G^{(\log G)^{k}}$ を添加した群を,正則化行列式の対称性の群として扱うのは意味がある。
$f(G)$ を $G$ の関数とすれば $[G, e^{f(G)}]=0$ である。 ただし$e^{f(G)}e_{n}=e^{f(\mu_{n})}e_{n}$で定義される。 $e^{f(G)}$ は有界とはかぎらない (もかぎらない)しかし $f(G)$ が log $G$ と$G^{c_{1}},$は,$W^{k}$や$W^{\infty}$$\ldots G^{c_{m}}$。

$\det_{G}e^{f(G)}$$e^{f(G)}$で定義されるとの幕級数であればは定理 2 から計算できる。具体的には$f(G)= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m}t_{k,m}(\log G)^{k}G^{c_{k,m}}$

,

(27)

187

$t_{k,m}\in K$

.

$m$

は

または正の整数、 $c_{k,m}\in K$ で $\zeta(G, s)$ は$0$$c_{k,m}$で正即\sim の形とする。 従って$e^{f(G)}=e^{\Sigma_{m}G^{c_{0,m}}}\prod_{k=1}^{\infty}G^{(\log G)^{k-1}}e^{\Sigma_{m}t_{k,m}G^{c_{k,m}}}$

,

(28)

である。 このとき

de$t_{G}e^{f(G)}=e^{\Sigma_{k=0}^{\infty}\Sigma_{m}t_{k,m}\zeta^{\langle k)}(G,c_{k,m})}$

,

(29)

となる。 ただし和 $\sum_{k=}^{\infty}\sum_{m}t_{k,m}\zeta^{(k)}(G, c)$ は収束するものとする。

(27) の形の関数で有限和となるものの全体は$\mathfrak{S}=(N\cup\{0\})\cross(K\backslash Sing(\zeta(G, s)))$Sing $(((G, s))$ は,の特異点の集合、の元を基底とする $K$ 上のベクトル空間である。従って (27) の形で 意味のある作用素全体は 何らかの意味での完備化になるが 例えば$\zeta(G, s)$$K^{\mathfrak{S}}$$K^{\mathfrak{S}}$$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\log G)^{m}G^{c}=G^{c+1}$,といった関係があるので、 この完備化を記述するのは難しい。また (27) の形で意味のある作用素といっても 定義域が 必ずしも確定しないので意味を正確に述べるのも困難である。 しかし $\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m}t_{k,m}\zeta^{(k)}(G, c_{k,m})$が収束する という条件は確定する。

定義 4。

$K^{\mathfrak{S}}$の拡大$K^{\mathfrak{S},*}=${$K^{\mathfrak{S},*}$を$e^{f(G)}|\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m}t_{k,m}\zeta^{(k)}(G,$ $c_{k,m})$converges},(30)で定義する。
$T\in K^{\mathfrak{S},*}$

であれば $\det_{G}T$ が存在する。 また (28) により$K_{0}^{\mathfrak{S},*}$$\mathbb{K}_{k}^{\mathfrak{S},*}$とすれば$\mathbb{K}_{0}^{\mathfrak{S},*}$$\{e^{\Sigma_{m}t_{0,m}G^{c_{0,m}}}\in K^{\mathfrak{S},*}\}$$=$$\{G^{(\log G)^{k-1}}e^{\Sigma_{m}t_{k,m}G^{c_{k,m}}}\in K^{\mathfrak{S},*}\}$

は$K^{\mathfrak{S},*}$の部分群であり、$K^{\mathfrak{S}*}$$K^{\mathfrak{S},*}=\prod_{k=0}^{\infty}K_{k}^{\mathfrak{S},c}$と分解される。

,

$=$

,

,

$k\geq 1$

,

は

(31)

188

$e^{G}\in K^{\mathfrak{S},*}$

だが $G$ は $H^{-}$ でのコンパクト作用素だから$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n!}G^{n}$

も $H^{-}$

でのコンパクト作用素になる。 よってである。 更に
はを含むが $e^{t(\log G)^{k-1}}$ も $t>0,$ が偶数 または $t<0$ ,$k\geq 1$ の元でもが奇数ならコンパクトになるので、|; 属するものがある。 しかし $k\geq 1$ であればの中にはに含まれない元があ$\mathcal{K}^{\natural}\cap K^{\mathfrak{S},*}\neq\{I\}$$\mathcal{K}^{\natural}\cap K^{\mathfrak{S},*}$$k$$K_{0}^{\mathfrak{S},*}$$k$$K_{k}^{\mathfrak{S},*},$$\mathcal{K}^{\natural}$$\mathcal{K}^{\natural}$$K_{k}^{\mathfrak{S},*}$る (含まれる元もある)$K^{\mathfrak{S},*}$。

従って$\kappa\#\cap K^{\mathfrak{S},*}$の決定は難しそうである。

は (ベクトル空間として) 無限次元で大をとする。
生成された群:$\overline{Sym}(H\#)$$K^{x}I\subset K^{\mathfrak{S},*}$だから

これによる $Sym(H\#)$ の拡$\overline{Sym}(H\#)$$\overline{Sym}(H^{\#})=(\mathcal{K}^{\natural}, K^{\mathfrak{S},*})$である。
の決定ができないので、の正規化、 も決定できないが、$\mathcal{K}^{\natural}\cap K^{\mathfrak{S},*}$は$\mathcal{K}^{\natural}$と$K^{\mathfrak{S},*}$

,

から

(32)

$\overline{Sym}(H\#)/N(\mathcal{K}^{\natural});N(\mathcal{K}^{\mathfrak{y}})$は$\mathcal{K}^{\natural}$$K^{\mathfrak{S},*}/(\mathcal{K}^{\natural}\cap K^{\mathfrak{S},*})\subset\overline{Sym}(H\#)/N(\mathcal{K}^{\mathfrak{y}})$

だから

,

(33)

は どれかの無限次元である。 なおの定義域でコンパクトになる作用素 $(+I)$ の形の逆を持つ作用素の全体として特徴付けられるが詳細は省略する。
(33) から $H\#$ の自己同型という制約をはずせば 共役変換が正則化行
列式を保存するような写像 (必ずしも有界作用素でない) の作る群はや $Sym(H\#)$ より かなり大きい群になる。
$e^{f(G)}\in K^{\mathfrak{S},*}$$N(\mathcal{K}^{\natural})$$\mathcal{K}^{\natural}$8$G$が正でない場合

この節では

$G$

が (非退化な) ディラック作用素 $p$ のグリーン作用素など正負とも無限の固有値を持つ場合を考える。
仮定から $G$ の固有値は $\mu\pm,1\geq\mu\pm,2\geq\ldots>0;Ge\pm,n=\pm\mu_{n}$$e\pm,n$となる。 $H$ の $\{e\pm,1, e\pm,2, \ldots\}$ で張られる部分空間を $H\pm,$ $G|H\pm=G\pm$とする。 また $|c_{\pm}|=\pm G\pm$ とすれば $|G|=|G_{+}|+|G_{-}|$ である。 $P\pm=$$G|G|^{-1}|H\pm$ とおく。 これらは $H$ から $H\pm$ への射影である。
$G$ は-関数 $\zeta(G, s)$ のほかに -関数$\zeta$$\eta$$\eta(G, s)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{+,n}^{s}-\sum_{n=0}^{\infty}\mu_{-,n}^{s}$,が定義できる。 また $\zeta(|G|, s)=\zeta(G^{2}, s/2)$ である。 これらは $s=0$ で正189則と仮定する ([8] 参照)。 これらを用いて$\zeta(c_{\pm})=\frac{\zeta(|G|,s)\pm\eta(G,s)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\mu_{\pm,n}^{s}$

,

(34)

とおく。定義と仮定から $((G\pm, s)$ も全平面に有利型に解析接続され $8=0$
で正則である。 $\nu\pm=\zeta(G\pm, 0)$ と置く。 このとき$\det_{|G|}G=\det G=(-1)^{\nu-}\det|G|$ ,となるからなければ detG は一意ではない。 とくに $G$ が対が整数で$\nu_{-}$

であれば $\nu_{+}=\nu_{-}=\nu/2$ だから $nu$ が偶数の称;\mbox{\boldmath $\mu$}+,n $=\mu_{-,n},$ $n=1,2,$
時に限り detG は一意的にさだまる。
$\ldots$$\{H\pm, G\pm\}$には 2 節の議論を適用するには$\{H, G\}=\{H_{+}, G_{+}\}\oplus\{H_{-}, G_{-}\}$,と考えたほうがよい。 このとき ( $H$ が実係数として)$H=H_{+}\oplus H=H\oplus(\mathbb{R}e_{+,\infty}\oplus \mathbb{R}e_{-,\infty})$

,

(35)

とする。 $e_{\infty}=e+,\infty+e_{-,\infty}$ だから $H\#\subset H\#,2$ である。従って $H\#$ の正則化体積要素 :harp の体積要素::と:の積は異なっていて :: は $H\#,2$ の正則化体積要素 ::$e \pm,\infty=\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{d/2}e$$d^{\infty}x$$d^{\infty}x\pm$$H_{\pm}^{\theta}$$d^{\infty,2}x$$d^{\infty}x_{+}::d^{\infty}x_{-}$である。微分形式として扱うときは

:
となって

$\nu$

$d^{\infty,2}x$が対称であれば$G$$:=(-1)^{\nu(\nu-2)/8}$:$d^{\infty}x_{+}:$$\wedge:d^{\infty}x_{-}:$

が偶数になる必要がある。対称でない場合は,このような式は得られない。
また $G$ が対称であれば$Je+,n$$=$$Je+,\infty$$=$$Je_{-,n}=-e_{+,n},$$e_{-,n},$$e_{-,\infty},$$n=1,2,$$Je_{-,\infty}=-e+,\infty$

.. ,

’

と置いて $H\#,2$ に $\sqrt{}$-1-作用素 $J$ を定義できる。 これから $H\#,2$ を複素空間として取り扱えるが現在の所それについて特別の結果は得ていない。

正則化無限積については$x=x++x_{-},$ $x\in H\#,2x\pm\in H^{\#}\pm$ であれば:である。また$s_{\pm}$$\tau\pm$$\sigma_{\infty}x_{|G|}:=:\sigma_{\infty}x_{+}:_{G+^{I\sigma_{\infty}x_{-}}}:_{G-}$

,

(36)

が $H\pm$ の稠密な部分空間で定義された作用素で log $\tau\pm=$が存在するとき$T=\tau_{+}\dotplus\tau_{-}$

は $H$ の稠密な部分空間で定義されlog $T=\log T_{+}\dotplus\log T_{-}=S_{+}\dotplus S_{-}$ ,

190
だから

,

$\det_{|G|}T=\det c_{+}T_{+}\det_{G-}T_{-}$となる。 ただし$\tau_{+}\dotplus\tau_{-}$

は$\tau_{+}$と$\tau_{-}$(37)のホイットニー和;$\tau_{+}\dotplus T_{-}(x++x_{-})=T_{+}x++T_{-}x_{-}$,である。 これから

det$=$$|G|e^{(tP(lG)^{m}+c_{+}^{c+})\dotplus(t_{-}P_{-}(\log G_{-})^{m}-G_{-}^{e-})}++og+$$e^{(+}t+\zeta^{()}m(G_{+,c+}))+(t_{-}\zeta^{(m-)}(G_{-},c_{-})$(38)

等が得られる。

$|G|P=P|G|$ となる $P$ は $(2,2)$ -行列の直和 $P=$
$P_{n}\in GL(2, \mathbb{R})$ である。従って共役変換で正則化行列式を不変にする有界作用素の群 $Sym(H\#,2)$ はをで拡大したものに$G$が対称のとき$\sum_{n=1}^{\infty}P_{n},$$\mathcal{K}^{\natural}$$GL(2, \mathbb{R})$なる。

(38) から$f \pm(c_{\pm})=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m}t\pm,k,m(\log c_{\pm})^{k}G_{\pm}^{c\pm,k,m}$と置 [ $e$ ば$\det_{|G|}e^{f+(c_{+})\dotplus f-(G_{-})}$$=$$e^{\Sigma_{k}\Sigma_{m+,k,m}}+,+,k,met\zeta^{(k)}(Gc)\Sigma_{k}\Sigma_{m}t_{-.k,m}\zeta^{(k)}(G_{-},c_{-,k,m})$である。
前節と同様に群$K^{\mathfrak{S},*,\pm}$を定義し$K^{\mathfrak{S},*,2}=\{e^{f+(G)}+\dotplus e^{f-(G_{-})}|e^{f\pm(G\pm)}\in K^{\mathfrak{S},*,\pm}\}$とすれば $Sym(H\#,2)$ と列式の対称性の群$K^{\mathfrak{S},*,2}$$\overline{Sym}(H\#,2)$から生成された群がになる。 なお,

この場合の正則化行$e^{f+(c_{+})\dotplus f-(G_{-})}e\pm,n=e^{f\pm(\mu\pm,)}\mathfrak{n}e\pm,n$’の拡大はで拡大しても得られない。
写像空間等に今までの議輪を適用するときはは -次単位行
列のグリーン作用素を使うが このときも同様にできる ([2])。 $H$ は -次元空間を添加して拡大されるから この時はを $GL(n, \mathbb{R})$ で拡大することになる。
だから $GL(2, \mathbb{R})$ による$\mathcal{K}^{\mathfrak{y}}$$K^{\mathfrak{S},*,2}$$D\otimes I_{n},$$I_{n}$$n$$n$$\mathcal{K}^{\natural}$

191
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