数理解析研究所講究録
第 1999 巻 2016 年 174-187

174

The power of the test based on the non-central-statistic under non-normality$t$

赤平昌文 (Masafumi Akahira)(University of Tsukuba)

筑波大学

1

はじめに

通常，2 標本間題において，正規性の仮定の下で 2 つの平均の同等性の検定や，それらの差の区間推定において，非心 統計量が用いられ非心 分布のパーセント点が必要となるが，解析的に求めることは困難である．そのためにその数表が作成され，
$t$

$t$

種々の近似式も提案されてきた (Johnson et al. [JKB95], Bagui [B93], Akahira[A95], Akahira et al. [AST95]). しかし，正規性の仮定は強いので，それを外す試みも行われてきた Bentkus $et al. [BJSZ07],$ Akahira $et al. [AOK13])$ .
本稿において，非正規性の下で [AOK13] において導出された非心 統計量の分布
$($

$t$

のパーセント点の 2 次近似を用いて，その統計量に基づく検定の検出力関数を求める．そして，その例も挙げる．なお，関連する結果は [BJSZO7] においても得られている．

非心 統計量の分布のパーセント点の高次近似
本節では [AOK13] に従って非心 統計量とその分布のパーセント点について述べ, , , .. . をたがいに独立に平均 , 分散 1 を持つ分布 $P(\mu, 1)$
る．まず，は有限な 6 次モーメントをもつとに従う非退化連続型確率変数列とする．また

2

$t$

$t$

$X_{1},$ $X_{2}$. ..

$X_{n}$$\mu$$X_{1}$

する．ここで$\mu_{j}:=E[(X_{1}-\mu)^{j}](j=2, \ldots, 6)$,$\overline{X}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i},$$S_{n}^{2}:= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$とする．また， $\mu\neq 0$ のとき非心 統計量を $T_{n}:=\sqrt{n}X^{-}/s_{n}$ と定義する．ただし，は自由度とする．特に分布 $P(\mu, 1)$ が正規分布 $N(\mu, 1)$ であるとき，を持つ非心 分布に従う．
$n-1$ , 非心度
いま， $\sigma_{n}:=E(S_{n})$ とおいて，任意の実数 について$t$

$S_{n}=\sqrt{S_{n}^{2}}$$T_{n}$$\mu\sqrt{n}$

$t$

$t$

$P_{\mu}\{T_{n}\leq t\}=P_{\mu}\{\sqrt{n}X^{-}-tS_{n}\leq 0\}$$=P_{\mu}\{\sqrt{n}(X^{-}-\mu)-t(S_{n}-\sigma_{n})\leq-\mu\sqrt{n}+t\sigma_{n}\}$になる．また， $Z:=\sqrt{n}(X-\mu)$ ,$a_{n}(t):=-\mu\sqrt{n}+t\sigma_{n}$とおくと$P_{\mu}\{T_{n}\leq t\}=P_{\mu}\{Z-t(S_{n}-\sigma_{n})\leq a_{n}(t)\}=P_{\mu}\{Y_{n}\leq a_{n}(t)\}$(2.1)になる．ここで， $Y_{n}:=Z-t(S_{n}-\sigma_{n})$ とおく と $E_{t}(Y_{n})=0$ になる．いま，$t=O(\sqrt{n})$ の場合について考える．このとき，, 臨の分散，3 次のキュムラント
$\sigma_{n}$

175
はそれぞれ

$\sigma_{n}=1-\frac{1}{8n}(\mu_{4}-1)-\frac{1}{128n^{2}}\{8(6\mu_{3}^{2}-\mu_{6}+3\mu_{4}+2)+15(\mu_{4}-1)^{2}\}+O(\frac{1}{n^{3}})$(2.2)$V_{t}(Y_{n} \rangle=1-\frac{t\mu_{3}}{\sqrt{n}}+\frac{t^{2}}{4n}(\mu_{4}-1\rangle-\frac{i}{8n\sqrt{n}}(9\mu_{3}-2\mu_{5}+3\mu_{3}\mu_{4})+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$, (2.3)$\kappa_{3,t}(Y_{n})=\frac{\mu_{3}}{\sqrt{n}}-\frac{3t}{4n}\{2(\mu_{4}-3)-\mu_{3}^{2}\}+\frac{3t^{2}}{4n\sqrt{n}}\{\mu_{5}-\mu_{3}(\mu_{4}+5)\}$(2.4)$- \frac{t^{3}}{16n^{2}}(1+2\mu_{6}-12\mu_{3}^{2}-3\mu_{4}^{2})+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$になる．特に，分布 $P(\mu, 1)$ が正規分布 $N(\mu, 1)$ のときには$\sigma_{n}=1-\frac{1}{4n}-\frac{7}{32n^{2}}+O(\frac{1}{n^{3}})$

$Vt$

(臨)

$=1+ \frac{t^{2}}{2n}+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$,,$(2.5\rangle$$\kappa_{3,t}(Y_{n})=-\frac{t^{3}}{4n^{2}}+O(\frac{1}{n\sqrt{n}}) (2.6\rangle$になる．ここで， $W_{n}:=Y_{n}/\sqrt{V(Y_{n})}$ とすると，(2.1) より$P_{\mu} \{T_{n}\leq t\}=P_{\mu}\{W_{n}\leq\frac{t\sigma_{n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{V_{t}(Y_{n})}}\}$となるから Cornish-Fisher 展開を用いて$($

2. $1)\sim(2.4)$ より%の分布のパーセント

点の高次近似を得る．
定理 2.1$( \oint AOK13])$%の分布の上側 100 % 点は，等式$\alpha$$\frac{t_{\alpha}\sigma_{n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{V_{t_{\alpha}}(Y_{n})}}=u_{\alpha}+\frac{1}{6}\kappa_{3,t_{\alpha}}(W_{n})(u_{\alpha}^{2}-1)+O(\frac{1}{n}) (2.7\rangle$から近似的に求められる．ただし，
砺，$V_{t}(Y_{n})$ はそれぞれ (2.2), (2.3)$u_{\alpha}$

は標準正規分布 $N(O, 1)$ の上側 100 % 点で，$\alpha$として与えられ，また$\kappa_{3,t}(W_{n})=\kappa_{3,t}(Y_{n})\{V_{t}(Y_{n})\}^{-3/2}$とし， 3,t(臨) は (2.4) として与えられている．
$\kappa$定理 2.1 を用いると，非心母数の区間推定を高次のオーダーまで行うことができる．
系 2.1 ([AOK13])

非心

$t$

統計量 %に基づいて，漸近的に信頼係数 $1-\alpha$ の非心176
母数 $\delta:=\mu\sqrt{n}$ の下側信頼限界$\hat{\delta}$と信頼区間$[\underline{\delta}, \overline{\delta}]$は，それぞれ$\hat{\delta}=\sigma_{n}T_{n}-\sqrt{V_{T_{n}}(Y_{n})}\{u_{\alpha}+\frac{1}{6}\kappa_{3,T_{n}}(W_{n})(u_{\alpha}^{2}-1)\}+O_{p}(\frac{1}{n})$,$\underline{\delta}=\sigma_{n}T_{n}-\sqrt{V_{T_{n}}(Y_{n})}\{u_{\alpha/2}+\frac{1}{6}\kappa_{3,T_{n}}(W_{n})(u_{\alpha/2}^{2}-1)\}+O_{p}(\frac{1}{n})$,$\overline{\delta}=\sigma_{n}T_{n}+\sqrt{V_{T_{n}}(Y_{n})}\{u_{\alpha/2}+\frac{1}{6}\kappa_{3,T_{n}}(W_{n})(u_{\alpha/2}^{2}-1)\rangle+O_{p}(\frac{1}{n})$によって与えられる．

特に，分布 $P(\mu, 1)$ が正規分布 $N(\mu, 1)$ のとき， $(2.5)\sim(2.7\rangle$ より(2.8)$\frac{t_{\alpha}\sigma_{n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{1+_{n}^{2}\frac{t}{2}x+O(_{\overline{n}}1\tau_{n})}}=u_{\alpha}-\frac{t_{\alpha}^{3}(u_{\alpha}^{2}-1)}{24n^{2}}(1+\frac{t_{\alpha}^{2}}{2n})^{-3/2}\{1+O(\frac{1}{n})\rangle$になる．ここで， $N(\mu, 1)$ のときには，$\sigma_{n}$は任意の自然数

$n$

について

(2.9)

$\sigma_{n}=E(S_{n})=\sqrt{\frac{2}{n-1}}r(\frac{n}{2})/\Gamma(\frac{n-1}{2})$として与えられるので，その近似式 (2.2) を用いるより精確になることに注意．実は，式 (2.8) は [A95] において導出された，自由度 , 非心度 をもつ非心 分布の上側 100 % 点の近似式$\delta$$v$$t$$\alpha$$\frac{t_{\alpha}b_{\nu}-\delta}{\sqrt{1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{v}^{2})}}=u_{\alpha}-\frac{t_{\alpha}^{3}(u_{\alpha}^{2}-1)}{24\{1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{v}^{2})\}^{3/2}}\{\frac{1}{\nu^{2}}+\frac{1}{4\nu^{3}}+O(\frac{1}{\nu^{4}})\}$

からも得られる．ただし， $\nu=n-1,$(2.10)$\delta=\mu\sqrt{n},$$b_{1 ノ}:= \sqrt{\frac{2}{\nu}}\frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}=1-\frac{1}{4\nu}+\frac{1}{32\nu^{2}}+\frac{5}{128v^{3}}+O(\frac{1}{\nu^{4}})$に関する方程式 (2.10) の解の存在性と一意性については [AST95]とする．なお，において論じられている．近似式としては (2.10) の方が (2.8) より精確である．何故なら，任意の自然数 $n$ について $\sigma_{n}=E(S_{n})=b_{n-1}$ となるからである．
$t_{\alpha}$

次に，定数 $c,$$d$について $t=c\sqrt{n}+d$ とすると，(2.3), (2.4) より

K,d(臨) $:=1-c \mu_{3}+\frac{c^{2}}{4}(\mu_{4}-1)+\frac{d}{2\sqrt{n}}\{c(\mu_{4}-1)-2\mu_{3}\}+\frac{d^{2}}{4n}(\mu_{4}-1\rangle$-$\frac{c}{8n}(9\mu_{3}-2\mu_{5}+3\mu_{3}\mu_{4})+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$,(2.11)

177$\kappa_{3,c,d}(Y_{n}):=\frac{1}{\sqrt{n}}[\mu_{3}-\frac{3c}{4}\{2(\mu_{4}-3)-\mu_{3}^{2}\}+\frac{3c^{2}}{4}\{\mu_{5}-\mu_{3}(\mu_{4}+5)\}$$- \frac{c^{3}}{\lambda 6}(1+2\mu_{6}-12\mu_{3}^{2}-3\mu_{4}^{2})]-\frac{3d}{16n}[4\{2(\mu_{4}-3)-\mu_{3}^{2}\}$$-8c \{\mu_{5}-\mu_{3}(\mu_{4}+5)\}+c^{2}(1+2\mu_{6}-12\mu_{3}^{2}-3\mu_{4}^{2})]+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$(2.12)になる．ここで，(2.11) の右辺の定数項について$1-c \mu_{3}+\frac{c^{2}}{4}(\mu_{4}-1)\geq 0$となる([BJSZ07]). 何故なら， $E(X)=0,$ $E(X^{2})=1$ となる確率変数 $X$ について$E[ \{X-\frac{c}{2}(X^{2}-1)\}^{2}]=1-c\mu_{3}+\frac{c^{2}}{4}(\mu_{4}-1)$となるからである、 いま，非心 統計量の分布の上側 100 % 点(2.7) において，第 1 次近似まで考えると$t$$\alpha$$\frac{t_{\alpha}\sigma_{n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{V_{c,d}(Y_{n})}}=u_{\alpha}+o(1)$$t_{\alpha}$の高次近似式,

すなわち$t_{\alpha}= \frac{1}{\sigma_{n}}\{\mu\sqrt{n}+u_{\alpha}\sqrt{V_{c,d}(Y_{n})}\}+o(1\rangle$になる．ここで，(2.2), (2.11) より$t_{\alpha}= \mu\sqrt{n}+u_{\alpha}\{1-c\mu_{3}+\frac{c^{2}}{4}(\mu_{4}-1)\}^{1/2}+o(1)$となる．そこで， $c=\mu$ とすると d0u。を得る．ただし$=\sigma$$\sigma_{0}:=\{1-\mu\mu_{3}+\frac{\mu^{2}}{4}(\mu_{4}-1)\}^{1/2}$とする．このとき，(2.11), (2.12) からそれぞれ
V ou (琉)$\mu$ $)$$\sigma$$\alpha$$= \sigma_{0}^{2}+\frac{\sigma_{0}u_{\alpha}}{2\sqrt{n}}\{\mu(\mu_{4}-1)-2\mu_{3}\}$$+ \frac{\sigma_{0}^{2}u_{\alpha}^{2}}{4n}(\mu_{4}-1)-\frac{\mu}{8n}(9\mu_{3}-2\mu_{5}+3\mu_{3}\mu_{4})+O(\frac{1}{nfn})$,(2.13)

178$\kappa_{3,\mu,\sigma_{0}u_{\alpha}}(Y_{n})=\frac{1}{\sqrt{n}}[\mu_{3}-\frac{\mu}{16}\{12(2(\mu_{4}-3)-\mu_{3}^{2})-12\mu(\mu_{5}-\mu_{3}(\mu_{4}+5))$$+\mu^{2}(1+2\mu_{6}-12\mu_{3}^{2}-3\mu_{4}^{2}$$- \frac{3\sigma_{0}u_{\alpha}}{16n}[4\{2(\mu_{4}-3)-\mu_{3}^{2}\}-8\mu\{\mu_{5}-\mu_{3}(\mu_{4}+5)\}$$+ \mu^{2}(1+2\mu_{6}-12\mu_{3}^{2}-3\mu_{4}^{2})]+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$(2.14)$=: \frac{A}{\sqrt{n}}+\frac{B}{n}+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$となるから，定理 2.1 より非心

$t$

統計量

$T_{n}$の分布のパーセント点の直接的表現を得る．
定理 2.2([AOK13])$T_{n}$の分布の上側 100$\alpha$%点の高次の近似式は$t_{\alpha}$$t_{\alpha=\frac{1}{\sigma_{n}}}[ \mu\sqrt{n}+\sqrt{V\mu,\sigma 0u_{\alpha}(臨)}\{\frac{1}{6}\kappa_{3},(\frac{1}{n})\}]$

として与えられる．ただし，$\sigma_{n},$$V_{\mu,\sigma 0u_{\alpha}}(Y_{n})$はそれぞれ $(2.2)$ , $(2.13)$ で与えられ，$\kappa_{3,\mu,\sigma_{0}u_{\alpha}}(W_{n})=\sigma_{0}^{-3}[\frac{A}{\sqrt{n}}-\frac{3Au_{\alpha}}{4n}\{\mu(\mu_{4}-1)-2\mu_{3}\}+\frac{B}{n}+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})]$とし， $A,$ $B$ は (2.14) で与えられるとする．

統計量に基づく検定の検出力関数
まず，, . . . , , . . . をたがいに独立に，平均 , 分散 を持つ分布は未知とし， $\sigma>0$ とする．ここに従う確率変数列とする．ただし，, 分散 1 をもつ分布, . . はたがいに独立に，平均,...,で，$P(\mu/\sigma, 1)$ に従うので，を改めてとする．なお，非心統計量 $\%=\sqrt{n}X/S_{n}$は尺度不変であることに注意．そこで，, . . . , , . . . をたがいに独立に分布$P(\mu, 1)$ に従うと仮定して，仮説 $H:\mu=\mu_{0}$ , 対立仮説 $K:\mu=\mu 0+(\delta/\sqrt{n})$の水準 の検定問題を考える．ただし， $\delta>0$ とする．ここで，対立仮説は隣接性 (contiguity) をもつことに注意．次に，仮説 $H$ : $\mu=\mu_{0}$ の下で非心 統計量

3

非心

$t$

$X_{1},$ $X_{2}$$\sigma^{2}$$X_{n}$$\mu$$P(\mu, \sigma^{2})$$\sigma^{2}$$\mu,$$X_{1}/\sigma,$ $X_{2}/\sigma$$X_{n}/\sigma$$\mu/\sigma$.

$\mu/\sigma$$\mu$$X_{1},$ $X_{2}$$X_{n}$$\alpha$$t$$T_{n}=\sqrt{n}X/S_{n}$について$\alpha=P_{H}\{T_{n}>C_{n}\}=P_{H}\{\sqrt{n}X^{-}-C_{n}S_{n}>0\}$$=P_{H}\{\sqrt{n}(X^{-}-\mu 0)-C_{n}(S_{n}-\sigma_{0n})>-\mu 0\sqrt{n}+C_{n}\sigma_{0n}\}$(3.1)となる．ただし，(2.2) より$\sigma_{0n}:=E_{H}(S_{n}\rangle$$=1- \frac{1}{8n}(\mu_{0,4}-1)$-$\frac{1}{128n^{2}}\{8(6\mu_{0,3}^{2}-\mu 0,\epsilon+3\mu_{0,4}+2)+15(\mu_{0,4}-1)^{2}\}+O(\frac{1}{n^{3}})$

(3.2)

179
とし， $\mu_{0,j}:=E_{H}[(X_{1}-\mu_{0})^{j}](j=2,3,$とする．このとき， $Y_{n}=\sqrt{n}(\overline{X}-$$\mu_{0})-C_{n}(S_{n}-\sigma_{0n})$ として定理 2.2 より (3.1) を満たす
を$\ldots\rangle$$C_{n}$$C_{n}^{(0)}= \frac{1}{\sigma \mathfrak{o}n}[\mu 0\sqrt{n}+\sqrt{V_{\mu 0,\sigma_{0}^{(o)}u_{\alpha}}(Y_{n})}\{u_{\alpha}+\frac{1}{6}\kappa_{3,\mu_{0},\sigma_{0}^{\langle 0)}u_{\alpha}}(W_{n})(u_{\alpha}^{2}-1)+O(\frac{1}{n})\}]$とする．ただし$\sigma_{0}^{(0\rangle}:=\{1-\mu_{0}\mu_{0,3}+\frac{\mu_{0}^{2}}{4}(\mu_{0,4}-1)\}^{1/2}$$V_{\mu 0,\sigma_{0}^{\langle 0)}u_{\alpha}}($琉$)= \sigma_{0}^{(0)^{2}}+\frac{\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}}{2\sqrt{n}}\{\mu_{0}(\mu_{0,4}-1)-2\mu_{0,3}\}+\frac{1}{4n}\sigma_{0}^{(0)^{2}}u_{\alpha}^{2}(\mu_{0,4}-1)$$- \frac{\mu_{0}}{8n}(9\mu_{0,3}-2\mu_{0,5}+3\mu_{0,3}\mu_{0,4})+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$,$\kappa_{3,\mu_{O},\sigma_{0}^{\langle O\rangle}e\iota_{\alpha}}(Y_{n})=\frac{1}{\sqrt{n}}[\mu_{0,3}-\frac{\mu 0}{16}\{12(2(\mu_{0,4}-3)-\mu_{0,3}^{2})-12\mu_{0}(\mu_{0,5}-\mu_{0,3}(\mu_{0,4}+5))$$+\mu_{0}^{2}(1+2\mu_{0,6}-12\mu_{0,3}^{2}-3\mu_{0,4}^{2})\}]$$- \frac{3}{16n}\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}[4\{2\langle\mu_{0,4}-3)-\mu_{0,3}^{2}\}-8\mu_{0}\{\mu_{0,5}-\mu_{0,3}(\mu_{0,4}+5)\}$$+ \mu_{0}^{2}(1+2\mu_{0,6}-12\mu_{0,3}^{2}-3\mu_{0,4}^{2})]+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$$=: \frac{A_{0}}{\sqrt{n}}+\frac{B_{0}}{n}+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})$とする．もう少し変形すれば$C_{n}^{(0)}= \mu_{0}\sqrt{n}+\sigma_{0}^{く\mathfrak{o})}u_{\alpha}+\frac{1}{6\sqrt{n}}A_{0}\sigma_{0}^{(0)}(u_{\alpha}^{2}-1)+\frac{u_{\alpha}^{2}}{4\sqrt{n}}(\mu_{0}(\mu_{0,4}-1)-2\mu_{0,3})$(3.3)$+ \frac{\mu_{0}}{8\sqrt{n}}(\mu_{0,4}-1)+O(\frac{1}{n})$

となる．
次に，

$T_{n}$に基づく検定の検出力関数は，$\beta(\delta):=P_{K}\{$$\mu=\mu_{0}+(\delta/\sqrt{}n\gamma$

として

翫 $>C_{n}^{(0\rangle}\}=P_{K}\{\sqrt{n}X^{-}-C_{n}^{(0)}S_{n}>0\}$(3.4)$=P_{K}\{\sqrt{n}(X^{-}-\mu)-C_{n}^{(0)}(S_{n}-\sigma_{1n})>-\mu fn+C_{n}^{(0)}\sigma_{1n}\}$になる．ただし，$\sigma_{1n}=E_{K}(S_{n})=1-\frac{1}{8n}(\mu_{1,4}-1)-\frac{1}{128n^{2}}\{8(6\mu_{1,3}^{2}-\mu_{1,6}+3\mu_{1,4}+2)+15(\mu_{1,4}-1)^{2}\}$$+O( \frac{1}{n^{3}})$$\mu_{1,j}:=E_{K}[(X_{1}-\mu\rangle^{j}] (j=2,3, \ldots)$

,

(3.5)

180
とする．ここで， $Y_{n}=\sqrt{n}(X-\mu)-C_{n}^{(0)}(S_{n}-\sigma_{1n})$ として (3.4) から$\beta(\delta)=P_{K}\{Y_{n}>-\mu\sqrt{n}+C_{n}^{(0)}\sigma_{1n}\}$$=P_{K} \{\frac{Y_{n}}{\sqrt{V_{K}(Y_{n})}}>\frac{C_{n}^{(0)}\sigma_{1n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{V_{K}(Y_{n})}}\}$(3.6)となる．一方，$\sigma_{0}^{(1)}:=\{1-\mu\mu_{1,3}+\frac{\mu^{2}}{4}(\mu_{1,4}-1)\}^{1/2}$

として，$V_{K}(Y_{n})=V$

(琉)

(1)

$\mu,\sigma_{0}u_{\alpha}$$= \sigma_{0}^{(1)^{2}}[1+\frac{u_{\alpha}}{2\sigma_{0}^{(1)}\sqrt{n}}\{\mu(\mu_{1,4}-1)-2\mu_{1,3}\}$$+ \frac{u_{\alpha}^{2}}{4n}(\mu_{1,4}-1)-\frac{\mu}{8\sigma_{0}^{(1)^{2}}n}(9\mu_{1,3}-2\mu_{1,5}+3\mu_{1,3}\mu_{1,4})+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})]$(3.7)となる．いま，(3 3), (3 5), (3 7) より$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\frac{C_{n}^{(0\rangle}\sigma_{1n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{V_{K}(Y_{n})}}=\frac{1}{\sigma_{0}^{(1)}}[-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}+\frac{A_{0}\sigma_{0}^{(0)}}{6\sqrt{n}}(u_{\alpha}^{2}-1)+\frac{u_{\alpha}^{2}}{4\sqrt{n}}\{\mu_{0}(\mu_{0,4}-1)-2\mu_{0_{)}3}\}$$+ \frac{\mu 0}{8\sqrt{n}}(\mu_{0,4}-\mu_{1,4})+\frac{u_{\alpha}\delta}{4\sigma_{0}^{(1)}\sqrt{n}}\{\mu(\mu_{1,4}-1)-2\mu_{1,3}\}$-$\frac{\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}^{2}}{4\sigma_{0}^{(1)}\sqrt{n}}\{\mu(\mu_{1,4}-1)-2\mu_{1,3}\}+O(\frac{1}{n})]$(3.8)となる．そこで$\lambda:=1-\mu_{0}\mu_{1,3}+\frac{\mu_{0}^{2}}{4}(\mu_{1,4}-1)$

とおくと$\frac{1}{\sigma_{0}^{(1)}}=\lambda^{-1/2}\{1+\frac{\delta\mu_{1,3}}{2\lambda\sqrt{n}}-\frac{\delta\mu_{0}(\mu_{1,4}-1)}{4\lambda\sqrt{n}}-\frac{\delta^{2}}{8\lambda n}(\mu_{1,4}-1)$$+ \frac{3}{8}(\frac{\delta^{2}\mu_{1,3}^{2}}{\lambda^{2}n}+\frac{\delta^{2}\mu_{0}(\mu_{1,4}-1)}{4\lambda^{2}n}-\frac{\delta^{2}\mu_{0}\mu_{1,3}(\mu_{1,4}-1)}{\lambda^{2}n})+O(\frac{1}{n\sqrt{n}})\rangle$

(3.9)

181
となり，これを (3.8) に代入して， $\mu=\mu_{0}+(\delta/\sqrt{n})$ とすれば$\gamma_{n}:=\frac{C_{n}^{(0)}\sigma_{1n}-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{V_{K}(Y_{n})}}$$= \lambda^{-1/2}[-\delta+\sigma_{O}^{(0)}u_{\alpha}+\frac{A_{0}\sigma_{0}^{(\mathfrak{o})}}{6\sqrt{n}}(u_{\alpha}^{2}-1)+\frac{u_{\alpha}^{2}}{4\sqrt{n}}\{\mu_{0}(\mu_{0,4}-1)-2\mu_{O,3}\}$$+ \frac{\mu_{O}}{8\sqrt{n}}(\mu_{0,4}-\mu_{1,4})+\frac{u_{\alpha}}{4\sqrt{\lambda n}}(\delta-\sigma_{0}^{(O)}u_{\alpha})\{\mu_{0}(\mu_{1,4}-1)-2\mu_{1,3}\}$$+ \frac{\delta\mu_{1,3}}{2\lambda\sqrt{n}}(-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha})-\frac{\delta\mu_{0}(\mu_{1,4}-1)}{4\lambda\sqrt{n}}(-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha})+O(\frac{1}{n})]$$=: \lambda^{-1/2}\{-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}+\frac{d}{\sqrt{n}}+O(\frac{1}{n})\}$$($

3. $10)$になる．さて，対立仮説 $K$ の下で，琉の 3 次のキュムラントは (2.14) より $\mu=$$\mu_{0}+(\delta/\sqrt{}\tilde{n})$であることに注意すれば$\kappa_{3,K}(Y_{n})=\kappa_{3,\mu,\sigma_{o}^{(1)}u_{\alpha}}(Y_{n})$$= \frac{1}{\sqrt{n}}[\mu_{1,3}-\frac{\mu_{0}}{16}\{12(2(\mu_{1,4}-3)-\mu_{1,3}^{2})-12\mu_{0}(\mu_{1,5}-\mu_{1,3}(\mu_{1,4}+5))$$+ \mu_{0}^{2}(1+2\mu_{1,6}-12\mu_{1,3}^{2}-3\mu_{1,4}^{2})\}]+O(\frac{1}{n})$(3.11)$=: \frac{1}{\sqrt{n}}A_{1}+O(\frac{1}{n})$となる．そこで， $W_{n}:=Y_{n}/\sqrt{V_{K}(Y_{n})}$ とすれば， $E_{K}(W_{n})=0,$ $Vx(W_{n})=1$ となり，(3.7), (3.9),より$(3.11\rangle$$\kappa_{3,K}(W_{n})=\frac{1}{\{V_{K}(Y_{n})\}^{3/2}}$$\kappa$

3, $K$ (琉)$= \frac{1}{\sqrt{n}}A_{1}\sigma_{0}^{(1\rangle^{-3}}+O(\frac{1}{n})$$= \frac{1}{\sqrt{n}}A_{1}\lambda^{-3/2}+O(\frac{1}{n})$になる．よって．Edgeworth 展開を用いて，任意の実数

$a$

について

$P_{K} \{W_{n}\leq a\}=\Phi(a)-\frac{A_{1}}{6\lambda^{3/2}\sqrt{n}}(a^{2}-1)\phi(a)+O(\frac{1}{n})$となるから，(3.6) より検出力関数$\beta(\delta)=P_{K}\{W_{n}\geq\gamma_{n}\}$$=1-\Phi(\lambda^{-1/2}(-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}))$$+ \frac{1}{\sqrt{\lambda n}}\{\frac{A_{1}}{6\lambda}(\lambda^{-1}(-\delta+\sigma_{0}^{(\mathfrak{o}\rangle}u_{\alpha})^{2}-1)-d\}\phi(\lambda^{-1/2}(-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha}))+O(\frac{1}{n})$(3.12)

182を得る．ただし$d= \frac{1}{6}A_{0}\sigma_{0}^{(0)}(u_{\alpha}^{2}-1)+\frac{u_{\alpha}^{2}}{4}\{\mu_{0}(\mu_{0,4}-1)-2\mu_{0,3}\}+\frac{\mu_{0}}{8}(\mu_{0,4}-\mu_{1,4})$$+ \frac{1}{4\sqrt{\lambda}}u_{\alpha}(\delta-\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha})\{\mu_{0}(\mu_{1,4}-1)-2\mu_{1,3}\}+\frac{\delta\mu_{1,3}}{2\lambda}(-\delta+\sigma_{0}^{(0\rangle}u_{\alpha})$$- \frac{1}{4\lambda}\delta\mu_{0}(\mu_{1,4}-1)(-\delta+\sigma_{0}^{(0)}u_{\alpha})$

とする．

4

応用例
非心 統計量に基づく検定の検出力関数をいくつかの例について述べる．
$t$

をたがいに独立に，いずれも $N(\mu, 1)$
まず，
, , ,
に従う確率変数列とする．このとき，仮説 $H:\mu=0$ , 対立仮説 $K:\mu=\delta/\sqrt{n}$ の
水準 の検定問題を考える．ただし， $\delta>0$ とする．いま， $H$ の下で統計量 $T_{n}=$は自由度 $n-1$ の (中心)t 分布 (
分布) に従うので， $t_{\alpha}=t_{\alpha}(n-1)$に基づく検定の検出を $t_{n-1}$ 分布の上側 100 % 点とすれば，(3.4) と同様にして力関数は

例 4.1 (正規分布)$X_{1},$ $X_{2}$$\cdots$$X_{n}$$\cdots$$\alpha$$t_{n-1}$$\sqrt{n}\overline{X}/S_{n}$$\alpha$$T_{n}$$\beta_{0}(\delta)=P_{K}\{T_{n}>t_{\alpha}\}=P_{K}\{\sqrt{n}(X^{-}-\frac{\delta}{\sqrt{n}})-t_{\alpha}(S_{n}-\sigma_{1\dot{n}})>-\delta+t_{\alpha}\sigma_{1n}\}$$=P_{K} \{\frac{\sqrt{n}(X_{\sqrt{n}}^{-\delta}-)-t_{\alpha}(S_{n}-b_{n-1})}{\sqrt{1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{n-1}^{2})}}>\frac{t_{\alpha}b_{n-1}-\delta}{\sqrt{1+l_{\alpha}^{2}(1-b_{n-1}^{2})}}\}$(4.1)になる．ただし$\sigma_{1n}=E_{K}(S_{n})=\sqrt{\frac{2}{n-1}}r(\frac{n}{2})/\Gamma(\frac{n-1}{2})=b_{n-1},$$V_{K}( \sqrt{n}(X^{-}-\frac{\delta}{\sqrt{n}})-t_{\alpha}(S_{n}-b_{n-1}))=1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{n-1}^{2})$となることに注意．ここで$b_{n-1}=1- \frac{1}{4n}-\frac{7}{32n^{2}}-\frac{19}{128n^{3}}+O(\frac{1}{n^{4}})$より$1-b_{n-1}^{2}= \frac{1}{2n}+\frac{3}{8n^{2}}+\frac{3}{16n^{3}}+O(\frac{1}{n^{4}})$であるから$\frac{t_{\alpha}b_{n-1}-\delta}{\sqrt{1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{n-1}^{2})}}=t_{\alpha}-\delta-\frac{t_{\alpha}}{4n}\{t_{\alpha}(t_{\alpha}-\delta)+1\}+O(\frac{1}{n^{2}})$

(4.2)

183
になる．また，Cornish-Fisher 展開によって$l_{\alpha}=t_{\alpha}(n-1)=u_{\alpha}+ \frac{1}{4n}(u_{\alpha}^{3}+u_{\alpha})+O(\frac{1}{n^{2}})$になるから，(4.2) より$\frac{t_{\alpha}b_{n-1}-\delta}{\sqrt{1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{n-1}^{2})}}=u_{\alpha}-\delta+\frac{1}{4n}u_{\alpha}^{2}\delta+O(\frac{1}{n^{2}})$となる．さて，とおくと，対立仮説 $K$ の下で$W_{n}$の平均，分散，3 次のキュムラントは$E_{K}(W_{n})=0, V_{K}(W_{n})=1, \kappa_{3,K}(W_{n})=O(\frac{1}{n^{2}})$になる ([A95]).

よって Edgeworth 展開を用いて，任意の実数 $a$ について

$P_{K} \{W_{n}\leq a\}=\Phi(a)+O(\frac{1}{n})$になる．このとき (4.1) から$\beta_{0}(\delta)=P_{K}\{W_{n}>\frac{t_{\alpha}b_{n-1}-\delta}{\sqrt{1+t_{\alpha}^{2}(1-b_{n-1}^{2})}}\}=1-\Phi(u_{\alpha}-\delta)+O(\frac{1}{n})$

(4.3)

になる．
一方，一般の非心 統計量に基づく検定の検出力関数 (3.12) を用いると，いまの場
合， $\mu_{0}=0,$ $\mu=\delta/\sqrt{n},$ $\mu_{0,2}=\mu_{1,2}=1,$ $\mu_{0,3}=\mu_{1,3}=\mu_{0,5}=\mu_{1,5}=0,$ $\mu_{0,4}=$$t$$\mu_{1,4}=3,$$\sigma_{0}^{(0)}=1,$$A_{0}=A_{1}=d=0,$$\lambda=1$となるから$\beta(\delta)=1-\Phi(u_{\alpha}-\delta)+O(\frac{1}{n})$となり，(4.3) から$\beta_{0}(\delta)-\beta(\delta)=O(\frac{1}{n})$

になる．

184
まず，
, . . . をたがいに独立に，いずれも(Lebesgue 測度に関する) 密度関数 $f(x-\mu)$ をもつ分布に従う確率変数列とする．た例 4.2 (対称分布)$X_{n}$$X_{1},$ $X_{2},$は実母数とする．ここで，$f()$ を偶関数とし，$V_{\mu}(X_{1})=E_{\mu}[(X_{1}-\mu)^{2}]=1$$:=E_{\mu}(X_{1})$とする．このとき，$=\mu$ で，任意の奇数 $j(\geq 3)$ に対して $\mu_{j}:=E_{\mu}[(X_{1}-\mu)^{j}]=0$ になる．いま，仮説 $H$ : $\mu=0$ , 対立仮説
$K:\mu=\delta/\sqrt{n}$ の水準の検定問題を考える．ただし， $\delta>0$ とする．このとき，一般の非心 統計量に基づく検定の検出力関数 (3.12) を用いると，いまの場
合， $\mu_{0}=0,\mu_{0,2}=\mu_{1,2}=1,$ $\mu_{0,3}=\mu_{1,3}=\mu_{0,5}=\mu_{1,5}=0,$ $\mu_{0,4}=\mu_{1,4}=$$A_{0}=A_{1}=d=0,$ $\lambda=1$ となるから，例 4.1 と同様にk(定数),
だし，$\mu$$\mu_{1}’$$\alpha$$t$$\sigma_{0}^{(0\rangle}=1,$$\beta(\delta)=1-\Phi(u_{\alpha}-\delta)+O(\frac{1}{n})$になる．
例 4.3 (指数分布)

まず，$X_{1},$ $X_{2}$,...,$X_{n}$, . . . をたがいに独立に，いずれも pdf.

$f(x,\theta\rangle=\{\begin{array}{ll}e^{-(x-\theta)} (x>\theta) ,0 (x\leq\theta)\end{array}$をもつ指数分布に従う確率変数列とする．ただし，$\mu:=\mu_{1}’=E_{\theta}(X_{1})=\theta+1$$\theta$は実母数とする．このとき，になり，また， $\mu_{j}:=E_{\theta}[(X_{1}-\theta)^{j}](j=2, \ldots, 6)$とすると， $\mu_{2}=1,$ $\mu_{3}=2,$ $\mu_{4}=9,$ $\mu_{5}=44,$ $\mu_{6}=265$ になる．いま，仮説$H$ : $\mu=1$ , 対立仮説 $K:\mu=1+(\delta/\sqrt{n})$ の水準の検定問題を考える．ただし，$\delta>0$ とする．ここで，一般の非心統計量に基づく検定の検出力関数 (3.12) を用
いると，いまの場合， $\mu_{0}=1,$ $\mu_{0,2}=\mu_{1,2}=1,$ $\mu_{0,3}=\mu_{1,3}=2,$ $\mu_{0,4}=\mu_{1,4}=$$\alpha$

$t$

$9,$

$\mu_{0,5}=\mu_{1,5}=44,$$\mu_{0,6}=\mu_{1,6}=265$

より $\lambda=1,$$\sigma_{0}^{(0)}=1,$$A_{0}=A_{1}=-7$ となり，$d=- \frac{7}{6}(u_{\alpha}^{2}-1)+\delta^{2}+O(\frac{1}{\sqrt{n}})$になるから，$\beta(\delta)=1-\Phi(u_{a}-\delta)+\frac{\delta}{6\sqrt{n}}(14u_{\alpha}-13\delta)\phi(u_{\alpha}-\delta)+O(\frac{1}{n})$になる．このとき，検出力関数の 2 次近似 (4.4) の数値計算を行う 1.
$*$

$*1$

数値計算とグラフは橋本真太郎氏 (広島大) による．

(4.4)

185

表1

検出力闘数の 2 次近似 (4.4) の数値計算 $(\alpha=0.05\rangle$

表 2 検撮力関数の 2 次近似 (4.4) の数値計算 $(\alpha=0.01)$

186

翌

$0$

1

2

4

3

5

6

7

$\delta$

図1$\alpha=0.05$$0$1のときの検出力関数の 2 次近似 (4.4) のグラフ

2

3

4

5

6

7

$\delta$

図2$\alpha=0.01$のときの検出力関数の 2 次近似 (4.4) のグラフ

187
おわりに

5

本稿では，正規性の条件を外したときに，非心 統計量の分布のパーセント点の近$t$似を用いて仮説検定問題において検出力関数を漸近的に求めた．実際に，Edgeworth
展開を用いて $1/\sqrt{n}$ のオーダーまで求めたが，その先のオーダーまで求めることも可能である．また，検出力関数は非心 統計量の裾確率の謙算になるので，大偏差確$t$率の観点から論じることもできるであろう．
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point of the non-central -distribution. Commun. Statist.-Simula. Comput., 24(3), 595-605.
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$t$

$t$

$i$

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$t$$t$