数理解析研究所講究録998 巻 1997 年 174-187

174

Galois 群や基本群から元の対象を復元する問題に関する歴史と最近の発展(Recovering geometric objects from Galois groups
fundamental groups –History and recent development)$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}/\mathrm{o}\mathrm{r}$玉川安一男 (AKIO TAMAGAWA)

京都大学数理解析研究所 (RIMS, Kyoto Univ)\S 0. Introduction
体 $K$ に対し、 その分離閉包 $K$ sep を 1 つ固定します。 この時、 $G_{K}$ で $K$ の絶対を表します。 これは、の取り方を変えてもすべて (内部Galois 群
自己同型を除いて標準的に) 同型な profinite 群を与えます。 $K\mapsto G_{K}$ によって、 体の圏から profinite 群 modulo 内部自己同型の圏への (反変) 関取が定義されます。
( は方、 連結 scheme $X$ に対し、 その上の geometric point
分離剛体) を 1 つ固定します。 この時、 $\pi_{1}(X)$ で $X$ の基本群を表します。
これは、の取り方を変えてもすべて (内部自己同型を除いて標準的に) 同型な profi$X\vdasharrow\pi 1(X)$ によって、 scheme の圏から profinite 群 modulo 内
群を与えます。
nite
部自己同型の圏への (共変) 宿患が定義されます。
$K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K^{\mathrm{S}}\mathrm{e}\mathrm{p}/K)$$\overline{x}:\mathrm{S}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{c}}}(\Omega)arrow X$$\Omega$$\pi_{1}(X, \overline{X})$$\overline{x}$Remark.

$G_{K}$

は基本群としてとらえられます:$G_{K}\simeq\pi_{1}(\mathrm{s}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}(K))$.

また、 locallynormal な (連結) scheme $X$ に対しては、 $\pi_{1}(X)$ は
絶対 Galois 群 $G_{K}$ の商群としてとらえられます。 ここで、 $K$ は $X$ の関数体です。例
えば、 $X$ が更に regular の時には、の有限次部分拡大で $X$ の任意の余次元
1 の点とに対して離散付値が不分岐になるようなものすべての合成体をすれば、$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\text{、}}$$K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/K$$x$$K^{\mathrm{u}\mathrm{r}}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{x}$$\pi_{1}(X)\simeq \mathrm{G}\mathrm{a}1(K^{\mathrm{u}\mathrm{r}}/K)$となります。
さて、 $G_{K}$ は体 $K$ から、 $\pi_{1}(X)$ は scheme $X$ から、 それぞれ決まるわけですが、逆に、 $K$ や $X$ は $G_{K}$ や $\pi_{1}(X)$ という位相群だけから (どのくらい) 復元されるか、というのがここで取り上げる基本的な問題です。 より詳しく言えば、 以下のようないろ
いろな versions が考えられます。 ここでは、 scheme とその基本群の場合に説明します。

(Absolute versions) Schemes 全体のなす圏の 「よい」部分圏$C$をとれば、 $X,$ $Y\in C$

に対して、
Typeset by-TEX$A_{\mathcal{M}}S$175(Equiv): $\pi_{1}(X)\simeq\pi_{1}(Y)$(Isom):$X\simeq Y$$\Rightarrow$.

$\mathrm{I}_{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{m}}(X, \mathrm{Y})^{\sim_{\mathrm{I}_{\mathrm{S}\mathrm{o}}\mathrm{m}}}arrow(\pi_{1}(X), \pi_{1}(\mathrm{Y}))/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(\pi_{1}(Y))$.

$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}):\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}’(X, Y)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\sim’\pi_{1}(X), \pi_{1}(Y))/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(\pi_{1}(Y))$.

(Relative versions) を「よい」体とする時、 (geometrically connected) k-schemes全体のなす圏の 「よい」部分圏をとれば、 $X,$
に対して、
$k$

$C_{k}$$(\mathrm{E}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v})_{k}$$(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m})_{k}$$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m})_{k}$:$\pi_{1}(X)\simeq Gk\pi_{1}(Y)$: Isomk
:

ここで、
において、

$\mathrm{Y}\in C_{k}$$\Rightarrow$$X\simeq Yk$.

$(x, Y)^{\sim_{\mathrm{I}_{\mathrm{S}\mathrm{o}}\mathrm{m}_{G_{k}}}} arrow(\pi_{1}(x), \pi 1(Y))/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(\pi_{1}(Y\bigotimes_{k}\overline{k}))$$\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{k}’}(x, Y)^{\sim_{\mathrm{H}}}arrow \mathrm{o}\mathrm{m}\prime G_{k}(\pi_{1}(X), \pi 1(Y))/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(\pi_{1}(Y\bigotimes_{k}\overline{k}))$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}’$$G_{k}$は$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$.

の「適当な」部分集合を表します。 また、 relative versions(あるいは isomorphism) とは、 構造射 $X,$ $Yarrow$

上の homomorphism

から関手性によ て決まる $\pi_{1}(X),$homomorphism (あるいは isomorphism) をいいます。
$\dot{D}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}(k)$Remark.

.

$\pi_{1}(Y)arrow\pi_{1}(\mathrm{S}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{c}}}(k))$$=G_{k}$と両立するの定義にもよりますが、$\mathrm{H}\circ \mathrm{m}’$$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m})$$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m})_{k}$となります。
また、 (Isom) あるいは
あるいは
と書けば、

(Isom)$\Rightarrow$$\Rightarrow$$(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m})_{k}$$(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m})_{k}$$\Rightarrow$$\Rightarrow$(Equiv),$(\mathrm{E}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v})_{k}$において $X=Y$ の場合だけを考えたものを (Aut)$(\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t})_{k}$(Isom)$(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m})_{k}$$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$(Equiv)$+$(Aut),$(\mathrm{E}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{V})_{k}+(\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t})_{k}$となります。
上の定式化は、 「よい」 とか 「適当な」 とかいう言葉が入っていてあいまいですが、漠然と Grothendieck 予想と呼ばれることが多いと思います。 もともと Grothendieckが予想したのはが素体上沼限生成な体の場合の relative versions で、 彼は、 この場合のの対象を anabelian -schemes と呼びました。 (但し、呼んだだけで定義はしませんでした。)$([\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{l},2])$$C_{k}$

.

$k$

$k$

上のような問題が、 どのような場合にどのように解かれているかを解説するのが本稿の目的ですが、 正確な statements については現時点で最良 (というか 「極良」) のもの以外省略して references に譲り、 むしろ証明に重点を置いて解説したいと思います。
それも、 証明全部ではなく、 「局所構造の復元」 という点にのみ注目します。 ここで、
局所構造とは、
や $\pi_{1}(X)$ の中のさまざまな分解群あるいは惰性群 (の集合) のことで、 これを群論的に復元することが、 多くの場合に証明の最も重要なステップの 1$G_{K}$$\cdot\supset$になります。
なお、 上記の問題に関しては、 他にも [Nakamura8]がありますので、 興味のある方は合わせて参照して下さい。

$[\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{p}7][\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}2]$

などの解説

176
I. Galois groups\S 1. Local fields
局所体の絶対 Galois 群がら元の局所体がどのくらい復元できるかという問題ですが、 もともと局所的な問題なので、 \S 0 で述べた 「局所構造の復元」 という観点からは. .
外れており、 以下の文献を挙げるのにとどめさせていただきます。
$\cdot$Real :$\circ G_{K}\simeq G_{\mathbb{R}}\Leftrightarrow K$: real closed :$[\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}][\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{C}]$$p \frac{-}{}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{C}:}$$\circ G_{K}\simeq G_{\mathrm{K}}(\exists \mathrm{K}, [\mathrm{K}:\mathbb{Q}_{p}]<\infty)\Leftrightarrow K:$

p–adically closed:[Neukirch2] [Popl] [Efrat] [Koenigsmann]? :[Ritter] [Jenkner][Yamagata]:
Description of[Wingberg] [Diekert][Jakovlevl,2] [Kochl,3] [Zel’venskii] [Jannsen](Description of: [Koch2])
Restriction on group isomorphisms :(normal automorphisms) [Mochizuki3] (filtration-preserving isomorphisms)$\mathrm{o}[K_{i} :\mathbb{Q}_{p}]<\infty,$$G_{K_{1}}\simeq G_{K_{2}}\Leftrightarrow$$[\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{l}]$$\circ$$G_{K},$$[K : \mathbb{Q}_{p}]<\infty$$[\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{W}\mathrm{i}]$$G_{\mathrm{F}_{q}((T))}$$\circ$$[\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{i}2]$\S 2. Global fields$[K : \mathbb{Q}]<\infty$

または$[K : \mathrm{F}_{p}(T)]<\infty$の時に、 絶対 Galois 群 $G_{K}$ から元の体 $K$を復元するという問題です。文献は次の通りです:[Uchida1,2,4,5]$[K : \mathbb{Q}]<\infty:[\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{l}-4][\mathrm{I}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{l}-3][\mathrm{I}\mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}][\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{o}][\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{l},2]$(cf. [Hironaka] [Sueyoshi])$[K:\mathrm{F}_{p}(T)]<\infty$: [Uchida3]

に対する分解
この場合に復元したい局所構造は、 もちうん、 $K$ の各 (有限) 素点
群 $D_{v}=G_{K_{v}}$ です。 ポイントは、 Neukirch (冥福を祈ります) による、 Brauer 群のlocal-global principle を使うアイディアです。
に対して、 $K$ が 1 の原始 乗根を含んでい
簡単のため、 ある奇素数る場合を考えます。 この時、
$v$
’

$l$

$l\neq \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)$$H^{2}(c_{K}, \mathbb{Z}/l\mathbb{Z})\simeq \mathrm{B}\mathrm{r}(K)[l]$$H^{2}(D_{v}, \mathbb{Z}/\iota \mathbb{Z})\simeq$,$\mathrm{B}\mathrm{r}(Kv)[l](\simeq \mathbb{Z}/.l\mathbb{Z})$.

となりますから、次の完全列が存在します。
$0arrow..H^{2}(GK. ’ \mathbb{Z}/\iota \mathbb{Z})$.

特に、 素点の集合 $S$ に対して

$arrow$.

$\oplus.H2(vD_{v}, \mathbb{Z}/\iota \mathbb{Z}.)arrow \mathbb{Z}/..l\mathbb{Z}arrow 0$

.

177

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}$:$H^{2}(G_{K,/l\mathbb{Z})} \mathbb{Z}arrow\prod_{v\in S}H^{2}(D_{v}, \mathbb{Z}/l\mathbb{Z})$を考えると、 $S$ が (有限) 素点全体の集合の時にはは単射、 $S$ が有限集合の時にはは全射になることがわかります。 更に、 $K$ の有限次拡大を走ることにより、$K$ をに含まれる $K.\text{の任意の拡大に取り替え_{て}も同様_{の単射}性_{、}}$ 全射性が成り立ちます。
さて、の閉部分群 $D$ に対して、 次のような群論的な条件を考えます。
$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}$$\overline{K}$$G_{K}$$(*)D$ の任意の開部分群 $D’$ に対して、$H^{2}(D’, \mathbb{Z}/l\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}/l\mathbb{Z}$.

例えば、 各素点に対する分解群
正確には、 のへの延長を 1 つ選ぶが定まるごとに分解群
やその各開部分群は、 条件 $(*)$ を満たします。
. 主張は、全体は、 $(*)$ を満たす閉部分群の中で包含関係に関して極大なもの全体と –致する、 ということです。 これを示すには、 $(*)$ を満たすような $D$ に対して、の) 素点を満たすただ 1 つの (が存在することを示せば十分です。 $D$
sep$L$に対応する $K$とする時、 上述の単射性、 全射性を $L$ に対して適用すの部分体を.
れば、 $L$ の素点 $w$ で.
$D_{v}$$v$$K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}$$v$–$\overline{v}$–$D_{\overline{v}}$$D_{\overline{v}}$$K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}$$D\subset D_{\overline{v}}$$\overline{v}$$H^{2}(G_{L_{w}}, \mathbb{Z}/l\mathbb{Z})\neq 0$となるものがただ 1 つ存在することがわかります。 これを、 更に $L$ の各有限次拡大 $L’$
がの素点 が (ただ 1 つ) 定まり、 求める性質に対して考えて行けば、成り立つことがわかります。詳細は省略します。
.
$K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}$$D\subset D_{\overline{v}}$$\overline{v}$\S 3. Finitely generated fields\S 2 の結果は、 更に有限生成体に拡張されます。 文献は次の通りです :[Pop2,4,5] [Mochizuki2,4] (cf. [Voevodskii3])$[\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}1_{0}\mathrm{V}1-3][\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{S}][\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}1]$

現時点での最良の結果を次に掲げておきます。

(Absolute version)

Theorem$([\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{p}5])$.

$K_{i}$

Isom($/\mathrm{F}_{p}$: finitely $generated/\mathbb{Q}\Rightarrow$$(K_{2}, K_{1})arrow \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(\sim c_{K}1’ G_{K_{2}})/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(c_{K_{2}})$version もありますが、 例えば$[\mathrm{p}_{0_{\mathrm{P}}}4]$.

の結果は、 そこに述べられたままだと正しくありません。)(Relative version)

Theoremsome prime $p,$$([\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{i}4])$$K_{i}$.

$k$: sub -adic (i.e.

: finitely gen$p$$k\subset\exists L$: finitely genera) for$er\mathrm{a}te\mathrm{d}/k\Rightarrow$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{k(K}2,$ $K_{1})arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{G}^{\mathrm{o}}(\sim \mathrm{p}_{k}\mathrm{e}\mathrm{n}cK_{1}, c_{K_{2}})/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G_{K_{2}\overline{k}})$(もちろん、 finitely$ted/\mathbb{Q}_{p}$$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}/\mathbb{Q}$ならば、 任意のPop が復元したのは、 次のような局所構造です。

$P$.

に対して sub -adic です。)
$P$

178
をその上の valuation (から順序加群への準同型
が defectをの剰余体とする。 この時、で、 いくつかの条件を満たすもの) .
less とは、 等式

Definition. $K$ を体とし、$K^{\cross}$

$v$

$k$

$v$

$\text{、}$$v$$\dim_{\mathbb{Q}}(v(K^{\cross})\bigotimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q})+\dim(k)=\dim(K)$が成立することをいう。 (一般にする時、$\dim(F)^{\mathrm{d}\mathrm{f}}=^{\mathrm{e}}\{$$\leq$

は成立。) 但し、 体 $F$ に対して、(transcendence degree of $F$ over F)(transcendence degree of $F$ over ) $+1$$\mathrm{F}$$\mathrm{F}$をその素体と(if char $(F)>0$ ),(if).
$\mathrm{c}\mathrm{h}a\mathrm{r}(F)=0$の) 各 defectless valuaPop は、 有限生成体 $K$ に対して、 $K$ の (正確にはの中の分解群だちが、 位相群
tion に対して決まる. だけから復元できることを証明は、 Brauer 群のある種の弱い local-global principle が鍵示しましたとなっており、 彼自身 “far-reaching generalization of Neukirch’s Galois characterization of the places of global fields” と書いているように、 前の \S で述べた Neukirch のアイディアの拡張と言えます。但し詳細はかなり複雑で、 数学基礎論の ‘model theory’$K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}$$G_{K}$$G_{K}$$([\mathrm{P}_{0}\mathrm{p}4])\circ$なども用いており、 ここで説明するのは省略させていただきます。
また、 [Spiess] では、 $K$ が代数体上の 1 変数代数関数体の場合に、 Neukirch のアを利用) を用いて Pop の定理の別証を与えの代わりにイディアの別の拡張 (ています。
.
なお、 望月氏の結果 (あるいは [Tamagawal]) では、 多様体の基本群の射影極限として関数体の絶対 Galois 群の場合を導いています。
$H^{3}$$H^{2}$

II. Fundamental groups\S 4. Curves of genus
文献は次の通りです

Genus

$0$

:

$0:[\mathrm{N}a\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}-3]$

Toward general curves:(cf. [Voevodskii2])$[\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}6,7,9][\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{T}\mathrm{s}]$[Tsunogai] (cf. [Voevodskii2])

ここでは、 中村氏による局所構造の復元の方法について述べます。
上の smooth, hyperbolic な曲線とし、 $x*$ をその (smoothを代数体、 $X$ をな) コンパクト化とします。 各 $x\in X^{*}-X$ (の延長) に対し、 分解群
惰性群
$k$

$k$

$I_{x}$$D_{x}\text{、}$が $\pi_{1}(X)$ の中に定まり、 次の完全列が存在します。

1$I_{x}$$arrow$$arrow$$D_{x}$$arrow$$\pi_{1}(X)$

1
但し、
の時、

$\kappa(x)$$D_{x}$

ここで、$arrow$$arrow$$G_{\hslash(x)}$$arrow$

1$arrow$1.

寡口$\cap$$\pi_{1}(X\bigotimes_{k}k)$$r\cdot \mathrm{x}arrow$$G_{k}$

は $x$ の剰余体を表します。 目標は、 ちを群論的に復元することです。 (こはにおける正規化群として復元されます。 )( の profinite 完備化) と同型で、は位相群としては$I_{x}$の $\pi_{1}(X)$$\hat{\mathbb{Z}}$$I_{x}$$\mathbb{Z}$$\pi_{1}(X\otimes\overline{k})$のた中で self-normalizing (すなわち$I_{x}$の$\pi_{1}(X\bigotimes_{k}\overline{k})$における正規化群は$I_{x}$に–致) で179あることがわかります。 また、の元は共役によってはアーベルなので、 これによって、$I_{x}$$D_{x}$の自己同型を定めますが、$I_{x}$$G_{\kappa(x)}arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(I_{x})=\hat{\mathbb{Z}}^{\cross}$

が定まります。 これが cyclotomic character であること (すなわち) はよく知られています。
$J$ を
中村氏は、 逆に次のことを示しましたのと同型な閉部分群で$I_{x}\simeq\hat{\mathbb{Z}}(1)$:$\hat{\mathbb{Z}}$$\pi_{1}(X\otimes\overline{k})$$k$self-normalizing なものとする時、がある $x\in x*-X$ (の延長) に対する惰性群に–致するための必要十分条件は、 $\pi_{1}(X)$ の閉部分群 $E$ であって

$I_{x}$$J$(i) $E\cap\pi_{1}(x\otimes\overline{k})k=J$ ;は(ii)の開部分群 ;
(iii) 共役によって定まるの 3 条件を満たすものが存在することである。
$G_{k}$$\mathrm{p}\mathrm{r}_{X}(E)$は cyclotomic$\mathrm{p}\mathrm{r}_{X}(E)arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(J)=\hat{\mathbb{Z}}^{\cross}$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\text{、}}$

十分性の証明は、 ある. に対してが言えればよいわけです (self-normalizingを仮定していることに注意。) が、 もしどの惰性群にも入らないと仮定すると、$J\subset I_{x}$$x$$\pi_{1}(x\bigotimes_{k}$$k^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}})$の適当な開部分群 $H$ を取れば、. $J\cap H$ の

$H^{\mathrm{a}\mathrm{b}}$における像が惰性群の像で生成される部分群に含まれないようにできてしまうことがわかり、 Frobenius weight を考えると (iii) に矛盾します。

\S 5. Affine curves
ここでは、 [Tamagawal] における局所構造の復元について述べます。
上 proper, smooth, geometrically connected で種牛が 2を有限体とし、 $X$ を以上の曲線とします。 ([Tamagawal] で最終的に扱うのは affine 曲線なのですが、 簡単のため proper の場合に説明します。 ) 復元したいのは、 $X$ の各閉点(の延長)に対して定まる、 分解群 $D_{x}\subset\pi_{1}(X)$ です。 \S 2 で述べた関数体 $k(X)$ の場合と比べて難しいのは、 惰性群が自明になっていることで、 したがって
はのの剰余体と –致しています。
絶対 Galois 群は有限体ですから、となり、は自明になってしまいます。
今、の惰性群が自明なので、 次の図のようになっています。.
$k$

$k$

$x$

$D_{x}$$D_{x}\simeq\hat{\mathbb{Z}}$$\kappa(x)$$G_{\kappa(x)}$$\kappa(x)$$x$$H^{2}$$x$$arrow\sim$$c_{\cap}\kappa(x)$$D_{x}\cap$1$arrow$$\pi_{1}(X\bigotimes_{k}k)$$arrow$$\pi_{1}(X)$$1^{J1}Xarrow$$G_{k}$$arrow$1.

勿つまり、 部分群$D_{x}$

は、$s_{x}$:$G_{\kappa(x)^{arrow}x}\sim_{D\subset\pi_{1}(x}$)の部分的な section を与えています。 (実は、は、 自然な射) 関手性を適用して得られる射と –致しています。 ) 簡単のため $\kappa(x)=k$にはの section になります。
とすれば、

という

$arrow X$$\mathrm{p}\mathrm{r}_{X}$$s_{x}$$\pi_{1}\theta$$-$$s_{x}$$\mathrm{p}\mathrm{r}_{X}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\kappa(x))$

180の勝手な (位相群としての) section : $G\text{た}arrow\pi_{1}(X)$ が与えられになっているかを群論的なた時、 その像 $s(c_{k})$ がある $x\in X(k)$ に対する分解群
情報だけから判断する必要があります。
$(\pi_{1}(X_{H})=$$\pi_{1}(X)$ の黒帯部分群 $H$ に対し、 対応する $X$ の被覆を $X_{H}$ で表します。
$H$ となることに注意して下さい。)
まず、
さて、 逆に$s$$\mathrm{p}\mathrm{r}_{X}$$D_{x}$$\exists x\in X(k)\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$D_{x}=s(c_{\text{た}})\Leftrightarrow s(G\text{た})\subset\forall H\subset\pi_{1}(X),$$X_{H}(k)\neq\emptyset$

openは分解群の–般論から直ちにわかります。
となることに注意します。実際、の方は、 Tikhonov の定理によって $\lim_{arrow}X_{H}(k)$ も空でないことがわかり、 したがって$\Leftarrow$$\Rightarrow$$H$s(G た) に対応する $X$ の (Pro) 被覆に k- 有理点があることになり、 その k- 有理点を1 つ取って対応する分解群 $D$ を考えれば、 $D\subset s(c_{k})$ となりますが、 $D$ も $s(G_{k})$ もによって G たに同型に落ちるので、 $D=s(G_{k})$ が帰結されます。

$\mathrm{p}\mathrm{r}_{X}$

そこで、 各 $H$ に対して $X_{H}(k)$ が空でないかどうかを群論的に判定できればよいことになります。 これは、 Lefschetz trace formula によって達成されます。 簡単のために $X_{H}=X$ としますと、$X(k)\neq\emptyset$というわけです。 ここで、
nius を表します。

$\Leftrightarrow$$\sum_{i=0}^{2}\mathrm{t}\Gamma(\varphi \text{た}|H_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{i}(\pi_{1}(\mathrm{x} \bigotimes_{\text{た}}\overline{k}), \mathbb{Q}_{l}))>0$.

$l$は char $(k)$ と異なる素数、$\varphi_{k}$は$k$の (geometric) Frobe-\S 6. General curves
ここでは、 望月氏の仕事を紹介します。文献ば [Mochizukil,2,4] です。

結果は次の通りです。 (この他にもさまざまな versions があります。詳しくは論文を参照して下さい。 )Theorem: smooth, hyperbolic$([\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}\mathrm{u}\mathrm{k}}\mathrm{i}4])$

$C$

.

$k$

: sub -adic, $V$ : (connected) smooth$p$$\mathrm{v}\mathrm{a}riety/k$,$c\mathrm{u}r\mathrm{v}e/k\Rightarrow$.

$\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{\text{た}^{}\mathrm{d}\circ}}\mathrm{m}(V, c)^{\sim}arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}^{\circ}(c_{k}^{\mathrm{P}}\pi_{1}(\dot{\mathrm{e}}\mathrm{n}V), \pi_{1}(C))/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(\pi_{1}(c_{\overline{\text{た}}}\prime))$$\S 4_{\text{、}}$\S 5 では Frobenius weight や Lefschetz trace formula という 寡進的」 な道具

進的」 です。
が使われましたが、 望月氏の議論は完全に$K$ をの有限次拡大体とし、をその整数環とします。 $X$ を $K$ 上 proper,上のsmooth, geometrically connected で種数 $g\geq 2$ の曲線とし、 劣をその適当なmodel とする時、 ここで復元したい局所構造は、 だいたい、 劣の special fiiber の各既約成分の generic point に対して定まる分解群 $(\subset\pi_{1}(X))$ です。 より正確な問いは、以下のように述べられます $L$ を、 $K$ を含む 進完備な離散付値体で剰余体が $K$ の剰余体の上の 1 変数代数関数体になっているものとする。 $G_{K}$ 上の射 : $G_{L}arrow\pi_{1}(X)$
がある
上の射 .
から来るかどうか (すなわが与えられた時、
ち幾何的かどうか) を群論的に判定せよ。
$\lceil_{p}$$O_{K}$$\mathbb{Q}_{p}$$O_{K}$:$P$$\alpha$$\alpha$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(K)$$\mathrm{S}$$\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)arrow X$

181

この問いに対する答えは、 さまざまな進的な議論を組み合わせてできるかなり複雑なものですが、 ここでは、 ごく簡単に議論の概略を述べます。
で $X$ の Picard scheme の次数
以下、の部分を表します。 ( $J=J^{0}$ は $X$ の$XarrowJ^{1}$)
によって $\pi_{1}(X)arrow\pi_{1}(J^{1})$ が定まります
Jacobian variety です。 自然な射$P$

$J^{n}$$n$.

が、 その geometric part は、$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})arrow\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})^{\mathrm{a}}\mathrm{b}$空 $\pi_{1}(J^{1}\bigotimes_{K}\overline{K})\simeq T(J)$となっています。 ここで、 $T(I)$ は $J$ の Tate 加群$\lim_{arrow}I[n](\overline{K})$です。

第 1 段階では、 $\pi_{1}(X)arrow\pi_{1}(J^{1})$ という群論的構造を用いて、 $\pi_{1}(J^{1})arrow G_{K}$ のを (1 つ) 見つけます。 [Mochizuki2] では、 $\pi_{1}(X)$ の幾何的な section
進 cohomology の Poincar\’e duality を用いて $\pi_{1}(J^{2g-2})arrow G_{K}$ の canonical bundle に対応する (したがって幾何的な) section を復元し、 それによって $\pi_{1}(J^{1})arrow G_{K}$ の幾何的な section を見つけました。 [Mochizuki4] では、 次のような簡明な観察によって Poincar\’e duality を排除することに成功しました。 (この観察は、でなくを示すために必要となります (\S 0 参照) 。また、 上の定理の ‘truncated version’ を証明する上でも重要です。 ) 簡単のため、 $X$ が good reduction を持つとし、上 proper, smooth な $X$ の model とします。全射
実を$\alpha_{0}$$P$$(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m})_{K}$$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m})_{K}$$O_{K}$$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})arrow\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})\mathrm{e}\prime \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}=\pi_{1}(\mathfrak{X}\bigotimes_{K}O_{K}\mathrm{u}\mathrm{r})0$の核による $\pi_{1}(X)$ の商を1で表すと、 次の完全列が存在します。

$\pi_{1}(X)^{\mathrm{e}^{l}}\mathrm{t}$’$arrow$$arrow$$\pi_{1}(X)^{\mathrm{e}^{J}}\mathrm{t}$$arrow$$\pi_{1}(x_{\dagger}\otimes\overline{K})K\mathrm{e}\mathrm{t}$1$arrow$

1$arrow$

1.

$G_{K}||$$\pi_{1}(X)\uparrow$$arrow$$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})$$arrow$$G_{K}$$arrow$。の
section $G_{K}arrow\pi_{1}(X)$ については、 それによる惰性群に落とすと geometric partがと可換になります。

ここで、 幾何学的な像は、$\pi_{1}(X)^{\mathrm{e}’}\mathrm{t}$$G_{K^{\mathrm{u}}}$$J$$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})^{\mathrm{e}’\mathrm{t}}$ordinary reduction を持つ場合には、 逆にこの性質を持つ section は、
すと (ある意味で) 幾何的になることがわかります。 -般の場合はわりに$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})$のMal\v{c}ev Lie 環 (に$\mathbb{C}_{P}=\overline{K}\wedge$$\pi_{1}(J^{1})$に落との代$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}\overline{K})^{\mathrm{e}’\mathrm{t}}$をテンソルしたもの) の ‘weightzero quotient’ を取る必要があります
第 2 段階では、 勝手な: $G_{L}arrow\pi_{1}(X)$ に対し (あるいは、 勝手な section$\alpha$$G_{L}arrow$$G_{K}$$\pi_{1}(X\otimes L)$と言っても同じ)$\text{、}$

それを$\pi_{1}(J^{1})$(あるいは $\pi_{1}(J^{1}\otimes L)$ ) に落とした時に

$K$

$K$

幾何的かどうかを群論的に判定します。 これは、いる sectionの「差」 を考えれば、$\alpha$と第 1 段階で既に幾何的とわかって
.

.

$-$

$\alpha_{0}$$H^{1}(G_{L}, \pi_{1}(J1\otimes\overline{K})K)=H^{1}(G_{L}, \tau(J))$の中の幾何的な部分、 すなわち
L- 有理点からくる部分を群論的に特徴付けるという問題になります。 ここでは、 P–divisible groups の問の射が generic fibers (つまりGalois 表現) の射によって統制されるという Tate の定理を用います。 (もし $L=K$$J\text{の}.$182
ならば、 これは Bloch-Kato の意味の e-part $=$ f-Part $=g$ -part ということになります。)
第 3 段階では、 $J^{1}(L)$ が空でない時に、が空でないことに注意します。
上の line bundle の十分大きい
これは、 $J^{1}(L)$ の元に対応すると素な罧を考えれば、 その section の零点のなす divisor の support に、 $L$ 上と素な次数の拡大体$X(L^{\mathrm{t}\mathrm{a}}\mathrm{m}\mathrm{e})$$X_{L}$$P$$P$に値をとる有理点があることからわかります。
第 4 段階は、 \S 5 と同様の問題ですが、 ずっと複雑です。 第 3 段階までを各被覆に適用することにより、 与えられた section
に対して、
:
を含
$\alpha$む$\pi_{1}(X\bigotimes_{K}L)$$\alpha(G_{L})$$G_{L} arrow\pi_{1}(X\bigotimes_{K}L)$の各開部分群 $H$ に対応する$X \bigotimes_{K}L$の被覆 $X_{H}$ が$L^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}_{-}}$

有理点を持つかどうかを群論的に判定することができます。 問題は、 これは自身が幾何的であることの必要条件でしかないことで、 これで十分であることを言わなければなりません。有限体上の場合は、 Tikhonov の定理によって有理点の塔が自明な意味で収束したのです$\alpha$が、 今度は、 有理点の塔が有理点として (ただ 1 の点に)進収束することを示します。 (唯–性から descent できて L- 有理点となることがわかります。) この$\overline{L^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}_{-}}}$$\cdot\dot{\mathcal{D}}$

$P$

部分は、

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{N}$

版の

$P$

進 Hodge $\text{理論_{の}力を借ります_{。}}$\S 7. Higher-dimensional varieties
現在ある肯定的な結果はすべて曲線の場合に帰着して示されており、 「局所構造の復元」 という観点から付け加えることはありません。文献は次の通りです:(Negative)$\circ$Siegel modular varieties, Hilbert modular varieties:$[\mathrm{I}\mathrm{h}\mathrm{N}\mathrm{a}]$(Affirmative)$\circ$$\circ$Configuration spaces of curves: [Nakamura4-6]
Hyperbolically fibered surfaces: [Mochizuki5]$(\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}.

M_{0,n})$$[\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{k}][\mathrm{I}\mathrm{h}\mathrm{N}a]$\S 8. Curves over algebraically closed fields
文献は次の通りです:(Negative)

char $=0$ :$\mathrm{o}\pi_{1}(X)\simeq\langle.\cdot\alpha_{1}.’\ldots, \alpha_{\mathit{9}}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{g}, \gamma 1, \ldots, .\gamma n-|[\alpha_{1}.’\beta_{1}]\ldots[\alpha_{\mathit{9}}.’\beta_{g}]\gamma_{1}\ldots\gamma n=1\rangle^{\sim}:$$[\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{a}]$: free profinite group of rank
(Description of):$\circ c_{\text{た}()}x$$G_{\mathbb{R}(T)}$$|k|$: [Douady] (cf. [Bogomolov1-3])$[\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{N}\mathrm{e}]$char $=p>0$ :$\mathrm{o}\pi_{1}(X)\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}-p’\simeq(\ldots\rangle^{\sim \mathrm{p}\mathrm{r}}\mathrm{O}^{-p’}$$\circ$:$[\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{a}]$Abhyankar’s conjecture: [Abhyankarl, ]: free profinite group of rank:$\circ c_{k}(\mathrm{x})$

$2$

$|k|$

$[\mathrm{s}_{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}1,2][\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{d}][\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}1][\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{p}}6]$$[\mathrm{p}_{0_{\mathrm{P}}}3,6][\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}4]$(cf. [Bogomolov1-3])

183(Affirmative (char $=p>0)$ )$\circ$$\circ$Examples: [Harbater2,3] (cf. [Asada])
Genus : [Tamagawa3]$0$

ここでは、 [Tamagawa3] における局所構造の復元について簡単に説明します。

.

$k$

を標数 $p>0$ の代数閉体とし、 $X$ をを $X$ の (smooth な)$k$

上 smooth, connected な曲線とします。

compact 化、ををその種数、の点の数とします。 各 $x\in S$ (の延長) に対して定まる惰性群 ( 分解群) $I_{x}\subset\pi_{1}(X)$ の集
合を $\pi_{1}(X)$ だけから群論的に復元するというのが問題です。
の標数が の時には、このようなことは望めません。 実際、 $n>0$ ならば、 上で述べたように $\pi_{1}(X)$ は階数$2g+n-1$ の自由 profinite 群となり、 したがって、 一般には惰性群の集合を保たない$x*$$S^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}x*-X$

$n$

$g$

$=$

$k$

$0$

ような自己同型がいくらでもあります。

証明は、 まず、 $\pi_{1}(X)$ から群論的に $(g, n)$ を復元します。 この部分で既に標数 だとうまくいかない ( $2g+n$ は復元可能) のですが、 商標数に固有な現象である p-rankに関する Deuring-Shafarevich の公式などを用いてクリアします。
あとは、 次のような問題になります$\pi_{1}(X)$ の開部分群 $H$に対して、 対応する $X$の被覆を $X_{H}\text{、}X_{H}$ における $S$ の (集合論的な) 逆像をとする。 $\pi_{1}(X)$ の各開部分群 $N$ に対し、 $G_{N}=\pi_{1}(X)/N\cdot \text{が}SN$ に作用するが、 これを (同型を除いて) 群$0$:$S_{H}$

論的に復元せよ。
これができれば、 作用の固定部分群の集合としての中の惰性群の集合が復元されます。 ここでは、 有限群の置換表現に関する次の簡単な補題の力を借ります。
$G_{N}$

Lemma. Let
be a finite $gro$ up, anda finite set on whichacts.
If, for all $i=1,2$ and for all, the stabilizer ofin is cyclic, then thefollowing are $eq$ uivalen .
(i)
is isomorphic to
as G-sets.
(ii) For any bgroup $H$ of $G,$
holds.
$G$$X_{i}$$G$$P_{i}\in X_{i}$$P_{i}$$(i=\mathit{1},\mathit{2})$

$G$

$t$

$X_{1}$$X_{2}$$\#(H\backslash X1)=\#(\dot{H}\backslash X2)$

$s\mathrm{u}$$\pi_{1}(X)$の各開部分群 $H$ に対して

$n_{H}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}=\#(s_{H})$は群論的に復元されていますから、が至る所高高 tame ならば、 (惰性群が巡回群になるので) この補題から直ちにのへの作用が (同型を除いて) 復元されます。 -般には、 各 $H=\pi_{1}(X_{H})$に対する tame 基本群の中の惰性群の集合をまず復元し、 それらを 「つなげる」 ことによって証明します。

$X_{N}/X$$G_{N}$$S_{N}$$\pi_{1}^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}}(X_{H})$184
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$p$

$p$

$p$

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[Uchida3][Uchida4][Uchida5][Voevodskilil]$\mathrm{Q}$[Voevodskii2]

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–,$\mathrm{Q}$[Wingberg][Yamagata][Zel’venskii]

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