印刷する閉じる

ド⽂系こそ知るべき偉⼤な｢微分･積分｣のヒミツ
300トン以上の⾶⾏機が⾶べるのも微分･積分のおかげ
冨島 佑允 : クオンツ、データサイエンティスト
2023年12⽉04⽇

⾶⾏機が安全に⾶ぶのも、微分・積分のおかげ（写真︓CHAI／PIXTA）

微分・積分は「現代社会の礎」と⾔われるほど重要な数学理論であり、理解すれば「世界の⾒⽅がガラリと変わる」とも⾔われています。本稿は『⾒るだけでわかる微分・積分』より⼀部抜粋・編集のうえ、数式を使わずにその本質をご紹介します。

微分積分は未来を予測するための数学最初に、「微分積分っていったい何︖」という話をしたいと思います。
微分積分は⾼校数学の1つの⼭場で、「とにかく難しい」という印象をお持ちの⽅も多いのではないでしょうか。
実際、微分積分は昔から多くの学⽣を苦しめてきました。私が⾼校⽣のときも、初めての微分積分の授業で「まったく意味がわかりません︕」と叫んだ同級⽣の男⼦⽣徒がいました。
このように多くの⼈を悩ませてきた微分積分ですが、⽇本のみならず、世界中の⾼校や⼤学で必ず教えられる科目になっています。つまり、それだけ世の中に役⽴つ重要な分野なのです。
その理由は、微分積分は未来を予測するために⽣み出された「未来予測の数学」だからです。
現代⽂明は微分積分の“予測”なしには成り⽴ちません。
天気予報、⼈⼯衛星やロケットの進路の予測、コロナウイルスなど感染症の広がり⽅の予測、⾃然災害の被害予測、⾦融市場における株価の動きの予測など……。それらの“予測”はすべて、微分積分を使って⾏われています。
簡単な予測の計算であれば、実は⼩中学校のときに多くの⽅が経験しています。例えば、「たけし君が時速5キロで歩いて10キロ先の目的地に向かうとすると何時間後に到着するか」といった計算がそれです。
この問題の答えは「2時間後」ですが、こうした計算問題は、数学で未来予測を⾏う第⼀歩といえます。というのも、歩き始めた時点で、何時間後に目的地に着くかという未来のことが計算でわかってしまうからです。
微分積分は、こういった予測のための計算を洗練させて実⽤性を⾼めたものだと考えてください。
先ほどの例では、たけし君はずっと時速5キロで歩き続けることになっていますが、実際にはずっと同じ速さで歩き続けることは難しいでしょう。少し疲れたので遅く歩いたり、下り坂で⾛ってみたりといった変化が必ずあるはずです。
こういった現実的な状況を考えるときに、微分積分が必要になります。

「変化を積み重ねる」ことで未来を予測する
では、具体的に微分積分でどうやって未来を予測しているのか、その仕組みをこれから説明していきます。
今さらの説明ですが、微分積分は「微分」と「積分」という2つの⾔葉をつなげたものです。
微分と積分は、それぞれ別の計算テクニックですが、未来を予測するために⼀緒に使われることが多いため“微分積分”とセットで呼ばれます。
その基本的な考え⽅は、「変化を積み重ねる」ことで未来を予測する、というものです。
「千⾥の道も⼀歩から」という⾔葉がありますが、未来の姿は、現在からスタートして少しずつ変化が積み重なった結果です。ということは、未来の姿を知るためには、現在からの「変化の積み重ね」がどうなるかを知ればよい、ということになります。
「変化の積み重ね」がどうなるかを知るためには、2つのステップが必要です。
第1ステップは、1つひとつの⼩さな変化を考えること。物事がどう変わっていくか、その1つひとつを知ることができれば、その先にどう変化していくのかも⾒えてきます。
第2ステップは、その変化が積み重なっていくと最終的にどうなるのかを把握することです。
つまり、まずは1つひとつの⼩さな変化を知り、次にその変化が積み重なった結果を⾒ることで、未来の姿がわかるのです。
このとき、第1ステップ（⼩さな変化を考える）に使われるのが微分、第2ステップ（その変化を積み重ねた結果を考える）に使われるのが積分になります。
まとめると、図表1－1のようなイメージになります。このイメージを頭に⼊れてからこの後の⽂章を読んでいくと、微分積分の何たるかが明確に理解できるようになるでしょう。

出所『⾒るだけでわかる微分・積分』

では、微分積分の考え⽅は、現実社会でどのように活⽤されているのでしょうか。

300トン以上もある⾦属の塊が空を⾶べる理由
例えば、空を⾶ぶ⾶⾏機。⾶⾏機は巨⼤な⾦属の塊で、ジャンボジェット機などは300トン以上もあります。私の⽗は、「あんな⾦属の塊が空を⾶ぶなんてありえない」といって、⾶⾏機に乗るのを嫌がりますが、気持ちは少しわかります。
実際に、あれだけ巨⼤な⾦属の塊を⾶ばすためには緻密な設計が必要です。そのため、⾶⾏機を設計する際は、実際に空を⾶んでいるときを想定して、周辺の空気の流れ、機体にかかる圧⼒（気圧）などを分析しなければなりません。
そこで、航空機メーカーは、コンピューターを使った⾶⾏シミュレーションを⾏いながら機体を設計していきます。
つまり、実際に空に⾶びあがる前に、微分積分を駆使して「空を⾶んでいるときに何が起きるか」の徹底した予測を⾏い、それにもとづいて⾶⾏機を設計しています。
⾶⾏機の周囲を取り巻く空気の流れは、とても複雑です。まず、⾶⾏機そのものが胴体、主翼、尾翼、ジェットエンジンなど⾊々なパーツに分かれているため、機体のどの部分かによって空気の流れは⼤きく違います。
また、どこかの⽅角から風が吹いてきたり、機体の姿勢が変わったりといった、ちょっとしたことでも空気の流れは変わってしまうのです。
このような複雑な状況を扱うために、微分積分が活躍します。
具体的な⼿順としては、図表4－2のように⾶⾏機周辺の空間をコンピューター上で⼩さなブロックに切り分け、ブロックごとに気圧を計算します。気圧の計算が重要なのは、⽻の上側と下側の気圧差から⽣じる⼒（＝揚⼒）によって⽻が上向きの⼒を受け、それによって⾶⾏機が浮かんでいるからです。

ちなみに、図表4－2をよく⾒ると、⾶⾏機の機体に近いところほど格⼦が細かくなっていますね。これは、⾶⾏機から離れたところの空気の流れよりも、⾶⾏機のすぐそばの空気の流れの⽅がより重要なので、ブロックをより細かくして計算を正確にしているからです。

⾶⾏機が⾶ぶのも微分積分のおかげ
気圧を計算するためには、ブロックごとの空気の出⼊りを把握する必要があります。例
えば、あるブロックに⼊ってくる空気の量が出ていく量よりも多ければ、そのブロックにおける空気の密度が上昇し、気圧が上がります。
これは電⾞の混み具合と対⽐させて考えるとわかりやすいかもしれません。朝の通勤ラッシュでは、乗ってくる⼈数が降りていく⼈数より多いために⾞両内の⼈⼝密度が⾼まっていきますが、それと同じようなイメージです。
逆に、通勤時間帯を過ぎれば、乗ってくる⼈数より降りていく⼈数の⽅が多くなるので、⾞両内の⼈⼝密度が下がっていきます。同様に、あるブロックに⼊ってくる空気の量よりも出ていく量の⽅が多ければ、そのブロックにおける空気の密度が低下するた
め、気圧が下がります。
このように「⼩さなブロックへの空気の出⼊り」という問題に落とし込むことで、コンピューターを使った計算が可能になります。
⼩さなブロックに切り分けるという⽅法には、⼩さく刻むことで単純化するという微分の考え⽅が活かされています。
けれども、単に⼩さなブロックに切り分けただけでは、そのブロックへの空気の出⼊りをどうやって計算するのかという課題が残ってしまいます。
そこで、もう⼀段踏み込んだ単純化を⾏います。微分の考え⽅を使ってさらに「時間」も短く切り刻むのです。
⼩さなブロックに区切ることで単純化（＝微分の考え⽅）し、さらに、短い時間を考えることでもう⼀段の単純化（＝微分の考え⽅）を⾏うという、2段構えで微分の考え⽅を適⽤しているのです。
ブロックごとの気圧の計算が終わったあとは、計算結果を⾜し合わせることで元に戻します（＝積分の考え⽅）。そうすると⾶⾏機全体にかかる気圧がわかり、安全に⾶べるのか『⾒るだけでわかる微分・積分』（PHP研究所）。書影をクリックす
るとAmazonのサイトにジャンプします

どうかを分析することができます。
⾶⾏機が安全に空を⾶べるのは、微分積分のおかげなのです。

東洋経済ID関連サービス

法⼈向け関連サイト

The ORIENTAL ECONOMIST

業界地図デジタル

法⼈向けデータサー

東洋経済education × ICT

東洋経済STORE

東洋経済広告会社四季報オンライン

東洋経済デジタルコンテンツライブラリー

東洋経済プロモーシ

シキホー︕Mine

株式ウイークリー

東洋経済新報社について
運営会社

採⽤情報

公式アカウント⼀覧

東洋経済オンラインについてサービス紹介広告掲載

WEBサービスでの情報収集

プライバシーポリシー

Copyright©Toyo Keizai Inc.All Rights Reserved.

知的財産

特定商取引法に基づく表⽰