数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 109-117

109

種数 3 非超楕円的な族に対する Meyer 函数の構成

A construction of the Meyer function
for non-hyperelliptic families of genus 3
雄介 (Yusuke Kuno)
東京大学数理科学研究科 (The University of Tokyo)
久野

1

はじめに
近年、 有向閉曲面を一般ファイバーとするファイバー空間の構造を持った 4 次元多様体の研究、特に、 4次元ファイバー空間の全空間の符号数が、いくっかの特異ファイバー芽に局所化する現象は符号数の局所化として知られ、 トポロジー、代数幾何、複素幾何などの分野から活発な寄与がある研究対象になっている。

Meyer 函数は、 モノドロミーのデータから局所符号数を定義するために用いられてきた。 Meyer 函数とは、上の 2- コサイクルを、 ある適当な群からのある準同型
Meyer コサイクルと呼ばれる曲面の写像類群$G$$\Gamma_{g}$$\rho:Garrow\Gamma_{g}$により引き戻したときに、それをコバウンドするような $G$ 上の有理 1- コチェインのことである。 W.Meyer[10]に Meyer 函数が存在することが証明された。 超楕円的写像類群の上にも Meyer 函数が存在
により、のし、 $Endo[5],Morifuji[11]$ により研究されている。 しかし、 種数が 3 以上の時は Meyer コサイクルがには Meyer 函数は存在しない。
有理係数の 2 次元コホモロジーの生成元となることから、$Mumford[12]$ により、 Grothendiaek-Riemann-Boch 公式を用いて、 種数 3 の非超楕円的な Riemann 面の族に対して、 第一 MMM 類が有理係数で消えることが指摘されている。 Looijenga[7] により、 非特具平
面 4 次曲線のモジ $z$ ライ空間の第 2 ベッチ数が であることが証明されている。 この稿では、 これらの結$\Gamma_{1},$$\Gamma_{2}$$\Gamma_{g}$$\Gamma_{g}$

$0$

果と標語
種数 3 の非超楕円的な Riemann 面 $=$ 非特異平面 4 次曲線をふまえて、 平面 4 次曲線の写像類群$\Gamma^{Q}$と、 準同型$\rho:\Gamma^{Q}arrow\Gamma_{3}$は種数 3 非超楕円的な Riemum 面の普遁族の底空間の基本群として定義される。 我々の方法は GRR 公式を用いず、 , 島型 Artin 群と平面 4 次曲線の関係を用い、 最後は Meyer コサイクルの具体的な計算に帰着させる。 得られた Meyer 函数を用いて一般ファイバーが種数 3 非超楕円的な Riemann 面であるようなファイバー空間の局所符号数を定義し、符号数の局所化公式を導く。 この局所符号数の定義の仕方は [9] に既に見られるが、今回の種数 3 非超楕円的な場合では、位相的なモノドロミーをにリフトする必要があるところが今まで具なる。

を構成し、$\Gamma^{Q}$

上の Meyer 函数の存在と一意性を証明する。

$\Gamma^{Q}$$E_{6}$$\Gamma^{Q}$

110

2

Meyer コサイクル
まず Meyer コサイクル [10] について説明する。

群、 つまり$\Sigma_{g}$

の境界

上の

$\Sigma_{9}$$c\infty$

級有向閉曲面、$\Gamma_{g}$でその写像類の向きを保つ微分同相写像のアイソトピー類全体のなす群を表す。

$P:=S^{2}\backslash u_{k=1}^{3}D_{k}^{\circ}$$P$で種数 $g\geq 1$ の$\Sigma_{g}$$-\partial D_{1},$とおき、 パンツと呼ぶ。 ここに$-\partial D_{2}$$D_{k}$

たちは互いに交わらないを一周する、基点からのループをそれぞれ$\ell_{1},\ell_{2}$とする。

$S^{2}$$\alpha_{1},$内の 2 次元閉円板。

$\alpha_{2}\in\Gamma_{g}$に対して、 $P$

束 $Earrow P$ であって砺に関するモノドロミーが $\alpha_{k}(k=1,2)$ となるものが存在する。 $E$ は自然な向きを持ったコンパクトで境界を持つ 4 次元多様体であるのでその符号数 Sign $(E)$ が定義される。
$\tau_{g}(\alpha_{1},\alpha_{2}):=-Sign(E)$とおくと、$\tau_{9}$:は$\Gamma_{g}x\Gamma_{g}arrow Z$$\Gamma_{g}$

次に (小)Artin 群について述べる。

上の 2-コサイクルとなり、 Meyer コサイクルと呼ばれている。
を $\{a:\}:\in l$ を頂点集合とする連結グラフで、ループを含まないものと$\mathcal{G}$する。 具なる 2 頂点を結ぶ辺の個数は$0$

または 1 と仮定する。

$\mathcal{G}$に関する Artin 群 Artin$(\mathcal{G})$とは、 $\{a:\}:\in I$

を生成元集合とし、 定義関係式として(

砺 $a_{j}=a_{j}a_{i}$$a_{*}\cdot$($a:a_{j}a_{i}=a_{j}a:a_{j}$を持つ群のことである。次に、$\{r_{j}\}_{j\in J}$とが結ばれないとき)$a_{j}$$a_{i}$と$a_{j}$が結ばれるとき)

を自由群 $F=F(\{a_{j}\}_{t\in I})$ の部分集合とし、 Artin

式 $r_{j}=1,$ $j\in J$ を付け加えて定義される群を Artin 群の商群と呼び、 Art$(\mathcal{G})$に、更に関係と表す。
$G$ を群、をある準同型による Meyer コサイクルの引き戻しとする。 1- コチェ
イン
でを満たすものを に関する Meyer 函数と呼ぷ。 $G$ が表示を持つ時に、 $G$ 上のMeyer 函数の存在を判定する Meyer の判定法 [10, p.249] がある。 $G$ が Artin 群の商群の時にこれを簡明にし、 なおかっ Meyer 函数の構成法を与えたのが次の補題である。 $G=Art(\mathcal{G}, \{r_{j}\}_{j\in J})$ の時、 $\varpi:Farrow G$
を自然な射影、 $c:Farrow \mathbb{Z}$ を$\tau\in Z^{2}(G;\mathbb{Z})$$\phi:Garrow \mathbb{Q}$$c(f)$

により定める。
$\alpha(a:)=1$$\rho:Garrow\Gamma_{g}$$\delta\phi=\tau$$\tau$,$f\in F$$;=$$\sum_{*\in I}\tau_{g}(\varpi(\frac{\partial f}{\partial a}),\varpi(a:))$$=$$\sum_{k=1}^{n}\tau_{9}(\varpi(a_{1}^{e_{1}}1 a_{:_{k-1}}^{e_{k-1}}),\varpi(a_{\dot{\iota}_{k}}^{\epsilon_{k}}))$,$\neq_{\circ:}^{\delta}\in ZF$$(\mathcal{G}, \{r_{j}\}_{j\in J})$は Fox 自由微分を表し、$(f=a_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots a_{j_{\hslash}}^{\epsilon_{n}},i_{1}, \ldots,i_{n}\in I,\epsilon_{j}\in\{\pm 1\})$$\tau_{g}(\cdot, \cdot)$は双線型に拡張している。 また、 $\alpha:Farrow Z$ はで定まる準同型とする。

Lemma 2. 1(Meyer 函数の春在判定と構成法)$G=Art(\mathcal{G}, \{r_{j}\}_{J\in J})$の時、

1. $n\in N$ に対して、$n[\tau]=0\in H^{2}(G;Z)\Leftrightarrow$

2. 1. の状況で、$\phi:Garrow\frac{1}{\hslash}Z$ある$m\in \mathbb{Z}$が存在して、 任意の $i\in J$ に対して $n\cdot c(r_{j})=m\cdot\alpha(r_{j})$を$\phi(\varpi(x)):=-c(x)+\frac{m}{n}\alpha(x)$により定めると、$\phi$

は

well-d4ned で、$\delta\phi=\tau$,となる。 すなわち$x\in F$$\phi$

は$\tau$

に関する Meyer 函数となる。

S. 1. の状況で、 Meyer 函数が一意に存在する必要十分条件はある $j\in J$ について
1. の右側の条件を簡単に言うと、$c:\alpha$$\alpha(r_{j})\neq 0$が関係子上一定であるということになる。

となること。

111

3

種数 3 非超楕円的な族と非特異 4 次曲線
種数 3 の非超楕円的な Riemann 面の普遍族を、 非特異 4 次曲線を用いて構成したい。

$\mathbb{P}$で変数 $x,$ $y,$$z$に関する複素係数斉次 4 次式のなすベクトル空間の射影化を表す。
Deflnition 3.1$Q:=${ $F(x,$$y,$ $z)\in

P;C_{F}=\{[x:y:z]\in \mathbb{P}^{2}$$C$$\Phi$$:=\{(F,p)\in \mathcal{Q}xP^{2} ; p\in C_{F}\}${ $(F,p)\in C$ ;$:=$; $F(x,y,$ $z)=0\}$ は非特異}$Q”$ $;=\{(F,p)\in\overline{Q}$

;

$p$

$p$

は $C_{F}$ 上のフレックス}

は $C_{F}$上のハイパーフレックス}$Q’$ $:=Q\backslash Q’’$

Remark 3.2 $(F,p)\in C$ のとき、以上の接触をすることである。
と 4 次の接触をすることである。
$P$$PGL(3)$ は射影変換群として$P^{2}$$P$

が$C_{F}$

上のフレックスであるとは、

$P$

における

が $C_{F}$ 上のハイパーフレックスであるとは、$\overline{Q},$

$Q”$

$P$

$C_{F}$

の接練が

における

$C_{F}$$C_{F}$と3次の接線が$C_{F}$

および $Q’$ は以下の議論で補助的な役割を果たす。

に、変数変換として $Q$ に作用している。この作用は $PGL(3)$ の $C,$ $Q,$ $Q”,$ $Q’$

への作用を誘導する。
さて $C$ を種数 3 非超楕円的な Riemann 面とすると、 標準埋め込みにより $C$ はに埋め込まれ、 その像は非特異平面 4 次曲線である。 逆にを非特具平面 4 次曲線とすると、添加公式から包含写像が標準埋め込みと同一視されることが分かり $C$ は非超楕円的で種数は 3 となる。
で種数 のコンパク$P^{2}$$C\subset \mathbb{P}$$C\subset P^{2}$$M_{g}$ト Riemann 面のモジ $I$ ライ空間、$\mathbb{H}_{g}$で超楕円曲線全体のなす$M_{g}$$g$の部分空間を表すことにすれば、 次の集合論的全単射が存在する。
$M_{3}\backslash \mathbb{H}_{\theta}\underline{\simeq}PGL(3)\backslash Q$

しかし $PGL(3)$ の $Q$ への作用は自由ではないため、 素朴な商空間は特異点を持つ。 これによる困難を避けるため、 ここでは普遍族を得るために、 ホモトピー商 (Borel 構成)$Q_{PGL(3)}:=EPGL(3)x_{PGL(3)}Q=EPGL(3)xQ/(eg,F)\sim(e,gF)$$(e\in EPGL(3),g\in PGL(3),$ $F\in Q$ ) を取ることにする。 ここで $p:EPGL(3)arrow BPGL(3)$ は普遍主
$PGL(3)R_{\text{。}}$$p_{1}$: $Q_{PGL(3)}arrow BPGL(3),$ $[e,g]rightarrow p(e)$は $Q$ をファイバーとするファイバー束になる。同様に $C_{PGL(3)}$ および種数 3 非超楕円的なコンパクト Riemarm

面の連続族

(1)

$C_{PGL(3)}arrow Q_{PGL(3)}$を得る。

Deflnition 3.3 (平面 4 次曲線の写像類群) $\Gamma^{Q}:=\pi_{1}(Q_{PGL(3)})$ とおき、平面 4 次曲線の写像類群と呼ぶ。
(1) を向き付けられた$\Sigma_{3}$バンドルと見たときのモノドロミー準同型を$\rho:r^{\mathcal{Q}}arrow r_{3}$

と書く。

112

族 (1) は次の意味で普遍族と呼ぶに相応しい。 以下では種数 3 非超楕円的なコンパクト Riemann 面の連続族を種数 3 非超楕円的な族と呼んでいる。 空間 $B$ 上の種数 3 非超楕円的な族: $E_{i}arrow B$ $(i=0,1)$ が$\pi_{i}$

あるとき、

と

$\pi_{0}$が存在して、がアイソトピックであるとは、 $Bx[0,1]$ 上の種数 3 非超楕円的な族$\pi_{1}$の $Bx\{i\}$ への制限が$\pi$

Riemann 面の連続族として$\pi_{i}$$\pi$: $Earrow Bx[0,1]$: $E_{:}arrow B$ に同型 $(i=0,1)$ であることとする。 記号 $NH_{3}(B)$ で、 $B$ 上の種数 3 非超楕円的な族のアイソトピー類全体のなす集合を表す。 アイ
ソトピーの定義から、 $B$ から$\mathcal{Q}_{PGL(3)}$への連続写像により普遍族を引き戻す写像$K:[B, Q_{PGL(3)}]arrow NH_{3}(B)$ ,$[f]arrow[f^{r}C_{PGL(3)}]$は well-defined である。

Proposition 3.4 ( $Q_{PGL(3)}$ の普遁性) 任意の空間 $B$ に対して $K:[B, Q_{PGL(3)}]arrow NH_{3}(B)$ は全単射。
延里: 種数 3 の非超楕円的な族$P(E)=${: $Earrow B$ に対して、 各ファイバーの正則 1 型式の基底の空間を集めて$\pi$$(t,$ $(\omega_{1},w_{2},w_{3})mod\mathbb{C}^{*})$; $t\in B,$とおくと、 これは $B$ 上の主 $PGL(3)$ 束となる。
$\Phi(t, (w_{1},w_{2},w_{3})modC^{r}):=$($\Phi$:$w_{1},w_{2},\omega_{3}$$P(E)arrow \mathcal{Q}$}を、を $(w_{1},w_{2},w_{3})$ により$\pi^{-1}(t)$は $H^{0}(\pi^{-1}(t);K_{\ell})$ の基底$\mathbb{P}^{2}$に埋め込んだ像の定義方程式)

により定めるとこれは $PGL(3)$ 同変であるから $\Phi_{PGL(3)}$ : $P(E)_{PGL(3)}arrow Q_{PGL(3)}$ が定まる。 一方、 自然

な写像 $T:P(E)_{PGL(3)}=EPGL(3)x_{PGL(S)}P(E)arrow PGL(3)\backslash P(E)\cong B$ は可縮な空間 EPGL (3) をファ

イバーとするファイバー束であるからホモトピー同値である。

$T$のホモトピー逆を$\zeta$: $Barrow P(E)_{PGL(3)}$ とし、 $f:=\Phi_{PGL(3)^{\circ}}\xi$ とおく。 $\pi:Earrow B$ に対して $f$ のホモトピー類を対応させる写像が $K$ の逆を与える。
$\blacksquare$

また、 次も分かる。

Lemma 3.5 $tO$ と $Q’$ の非萄輿性)
1. は の中の余次元 1 の非特具連結部分多様体。
2. $Q”$ は の中の余次元 1 の非特具連結部分多様体。
$C$$\overline{Q}$$\mathcal{Q}$4

主結果
今回の主結果を述べる。

$Th\infty rem4.1$

1.
2.

$\rho^{s}[\tau_{3}]=0\in H^{2}(\Gamma^{Q};\mathbb{Q})$$H^{1}(\Gamma^{Q};\mathbb{Q})=0$

S. 〆$\tau_{3}$に関する Meyer 函数$\phi^{\mathcal{Q}}$:$\Gamma^{Q}arrow \mathbb{Q}$が一意に存在する。

Remark 4.2 最近、 2. についてはより強く、 $H_{1}(\Gamma^{Q};Z)=Z/9Z$ であることが分かった。 2. についての証
明は以下省略する。
以下では $Th\infty rem4.1$ の最初の主張の証明について述べる。

Lemma 4.3 写像$H^{2}(\pi_{1}(\overline{Q});\mathbb{Q})$$g:\overline{Q}arrow Q_{PGL(3)}$, $(F,p)rightarrow[e_{0}, F]$ の誘導する群コホモロジーの間の写像:$H^{2}(\Gamma^{Q};\mathbb{Q})arrow$は単射である。

この補題により、 最初の主張の証明のためにはき、$g^{t}$$[\overline{\tau}]=0\in H^{2}(\pi_{1}(\overline{Q});\mathbb{Q})$を示せばよい。

$\rho og_{r}$による$\tau_{3}$の引き戻しを$\overline{\tau}\in Z^{2}(\pi_{1}(\overline{Q});Z)$

と書くと

113

5

$E_{6},$ $E_{7}$

ここでは型 Artin 群と平面 4 次曲線$\pi_{1}(\overline{Q})$が Artin 群の商群として表示されることを説明し、$[\overline{\tau}]=0\in H^{2}(\pi_{1}(\overline{Q});\mathbb{Q})$の証明の概略を示す。 まず天下りであるが、 次の定義をする。

Deflnition 5.1$V_{6}$$V_{7}$$:=\{F\in Q;F(x,y,z)=x^{4}+y^{3}z+a_{1}x^{2}yz+a_{2}xyz^{2}+a_{3}x^{2}z^{2}+a_{4}yz^{3}+a_{6}xz^{3}+a_{6}z^{4}\}$$:=\{F\in Q ; F(x,y,z)=x^{3}y+y^{3}z+a_{1}x^{4}+a_{2}x^{3}z+a_{3}xyz2+a_{4}x^{2}z^{2}+a_{5}yz^{3}+a_{6}xz^{3}+a_{7}z^{4}\}$

空間$V_{6},$ $V_{7}$はそれぞれ

特に、 $[3][4]$ より$E_{6},$ $E_{7}$

特具点の半普遍変形空間の smooth locus に一致する。 ([6] や [8] を参照)。

$\pi_{1}(V_{6})\cong Artin(E_{6}),$ $\pi_{1}(V_{7})\cong Artin(E_{7})$である。 ここで Artin

形をグラフと思って定義される Artin 群である。 その頂点に対応する生成元をの上には自然に 4 次曲線族がある。 これの$\Sigma_{3}$$\alpha_{j}$$(E_{i})$は$E_{1}$

型の Dynhn 図と表すことにする。

$V_{6},$$V\tau$束としてのモノドロミー準同型について、次が知られている。

Theorem 5.2 (A’Campo [1])は、に沿う左 Dehn ツイスト 計にうつる。
上の非分離的なある単純閉曲線
1. 各 に対してのととが隣合うとき 1 で、 隣合わないに対して上での幾何学的交点数は
2. 相異なる$j$$\alpha_{j}$$j,$ $k$

とき$0$$\Sigma_{3}$

$Cj$

$t$

$c_{j}$$c_{k}$$\Sigma_{3}$$\alpha_{j}$$\alpha_{k}$である。

「左」 Dehn ツイストとなるのは我々のモノドロミー準同型の決め方による。 多くの文献では右 Dehn ツイ
ストで書いてある。 図に見るように、 曲面に Dwin 図形の形をした単純閉曲線のチェインが埋め込まれた格好になっている。

$i=7$

$|=6$

$c(E_{6})=(\alpha_{1}\cdots\alpha_{6})^{12},$ $c(E_{7})=(\alpha_{1}\cdots\alpha_{7})^{9}$

とおく。 これはそれぞれ Artin $(E:)$ の中心の生成元を与えている。上の図と Meyer コサイクルの定義に基づいて、次を計算した。 は、モノドロミー準同型 Artin$c$による Meyer コサイクルの引き戻しから Lemma 21 に出てくる$c$$(E_{1})arrow\Gamma_{3}$の様に構成した自由群 $F=F(\alpha_{1}, \ldots,\alpha:)$上の 1-コチェインである。

Proposition5.3$c(c(E_{6})^{3})=-120$, $\alpha(c(E_{6})^{3})=216$$c(c(E_{7})^{\theta})=-105,$ $\alpha(c(E_{7})^{3})=189$

また、包含写像 $V_{6}arrow Q’’,$ $Frightarrow(F, [0:1:0])$ および $V_{7}arrow Q’,$ $Frightarrow(F, [0:1:0])$ をあるファイバー束のファイバーから全空間への包含と見倣すことにより、 そのホモトピー完全列から次が分かる。
$Th\infty rem5.4$

包含準同型 $\pi_{1}(V_{6})arrow\pi_{1}(Q’’)$ および $\pi_{1}(V_{7})arrow\pi_{1}(Q’)$ は全射で、 核は $c(E:)^{3}$ が生成する。

$(i=6.7)$ 特に、 $\pi_{1}(Q’’)\cong Art(E_{0}, \{c(E_{6})^{3}\}),$ $\pi_{1}(Q’)\cong Art(E_{7}, \{c(E_{7})^{3}\})$ となる.

114

さて、 Lemma 3.5 から$\overline{Q}$は連結複素多様体で、 $Q”$ は$\overline{Q}$の非特異因子である。 よって、 群の完全列$1arrow\langle\sigma)arrow\pi_{1}(Q’)arrow\pi_{1}(\overline{Q})arrow 1$が存在する。 ここでり、 なげなわLemma 5.5$\sigma$$\epsilon$$\sigma$は$\overline{Q}$の周りを一周するあるループ (なげなわ) である。 局所方程式を調べることによを具体的なループとして求めることができる。
を十分小さい正数とするとき、$V\tau$のループ$\ell(t)=x^{S}y+y^{3}z+s^{-2}x^{4}++s^{-6}z^{4},$は $Q’$ のループと見ると、 なげなわ

特に、 $Th\infty rem5.4$ とあわせていないが、 や$c$$\alpha$$\sigma$$s=e^{2\pi\sqrt{-1}t},$$0\leq t\leq 1$を表す。

$\pi_{1}(\overline{Q})\cong Art(E_{7}, \{c(E_{7})^{3}, \sigma\})$となる。

$\sigma$の語表示については現在得られての幾何的意味を用いることで、 次を証明することができる。

Proposition 5.6 $c(\sigma)=30$ , $\alpha(\sigma)=-54$
ここで、 Lemma 2.1 を適用すると $c:\alpha=-5:9$ であるので、

6$[\overline{\tau}]=0\in H^{2}(\pi_{1}(\overline{Q});\mathbb{Q})$

が分かる。

局所符号数

を用いて種数 3 非超楕円的な族のファイバー芽に対して局所符号数を定義する。 を
2 次元の向き付けられた閉円板、 をその中心とする。 4 次元多様体 $E$ と、
写像 : $Earrow\Delta$ があり、$Th\infty rem4.1$ の$\phi^{Q}$$\Delta$$c\infty$

$P$

$\pi$

$\pi$

の
への制限が種数 3 のコンパクト Riemann 面の可微分族になっていて、 各ファイバーに定まる複素構造が非超楕円的なものであるとき、 4 つ組 $(E, \pi, \Delta,p)$ を種数 3 非超楕円的な族のファイバー芽と呼ぶことにする。 中心ファイバー $\pi^{-1}(p)$ は必ずしも位相的に退化していなくてもよい。 この様な組 $(E, \pi, \Delta,p)$$\Delta\backslash \{p\}$と $(E’, \pi’, \Delta’,p’)$ が同値であるとは、微分同相写像立ち、 更に$\varphi$$\Delta,$$\Delta’$をともに小さく取り直すと $(\Delta,p)$ から $(\Delta’,p’)$ への向きを保つと $\pi^{-1}(\Delta)$ から $\pi’-1(\Delta’)$ への向きを保つ微分同相写像$\tilde{\varphi}|_{\pi^{-1}(\Delta\backslash \{p\})}$:$\pi^{-1}(\Delta\backslash \{p\})arrow\pi^{\prime-1}(\Delta’\backslash \{p’\})$$\tilde{\varphi}$が存在して$\varphi$。$\pi=\pi’0\tilde{\varphi}$

が成りが各ファイバーごとに双正則となっているとき

を言う。
記号
で、

$\mathcal{N}\mathcal{H}_{3}$$\Delta$

で、 組 $\mathcal{F}=(E, \pi, \Delta,p)$ の同値類全体のなす集合を表す。 $\mathcal{F}=(E, \pi, \Delta,p)\in \mathcal{N}\mathcal{H}_{3}$ に対して、の境界を反時計周りに一周するループを表す。

$34$ により写像 $g:\Delta\backslash \{p\}arrow Q_{PGL(3)}$$\pi_{1}(\Delta\backslash \{p\})$の元と見ることにより、が存在して$g_{*}([\gamma])\in\Gamma^{Q}$$\pi|_{\Delta\backslash }..-$,

は種数 3 非超楕円的な族であるから、 $Th\infty rem$$\pi|_{\Delta\backslash \{p\}}$と $g^{*}C_{PGL(3)}$ はアイソトピックとなる。

が定まる。

Deflnition 6.1 (種数 3 非超楕円的なファイバー穿に対する局所符号数) loc.
loc. $sig^{Q}(\mathcal{F})=\phi^{Q}(g_{2}([\gamma]))+Sign(E)$により定める。

$\gamma$$sig^{Q}$:$\mathcal{N}\mathcal{H}_{3}arrow \mathbb{Q}$を$\gamma$を

115

次に一般ファイバーが種数 3 非超楕円的な Riemann 面になっているようなファイバー空間を定義する。

Deflnition 6.2$E$する。 有限個の点および $B$ をそれぞれ次元が 4 と 2 の$b_{1},$$\ldots,$$b_{n}\in B$

が存在して、$\pi$

級有向閉多様体、 $\pi:Earrow B$ を

$c\infty$

級写像との $B\backslash \{b_{1}, \ldots, b_{n}\}$ への制限が種数 3 コンパクト

Riemann$c\infty$面の可微分族になっていて、各ファイバーに定まる複素構造が非超楕円的なものであるとき、 $\pi:Earrow B$ を
一般ファイバーが種数 3 非超楕円的なファイバー空間と呼ぶ。

Meyer の符号数公式 [10] を用いて次が示される。

Theorem 6.3 (符号数の局所化公式) $\pi:Earrow B$ を一般ファイバーが種数 3 非超楕円的なファイバー空間、を $b_{j}\in B$ に対応するファイバー芽とすると、$\mathcal{F}_{j}\in N\mathcal{H}_{3}$Sign $(E)= \sum_{j--1}^{n}1oc.sig^{Q}(F_{j})$。

証明: $F_{j}=(\pi^{-1}(D_{j}),\pi, D_{j}, b_{j})$ と書いて、 $B_{0}=B\backslash u_{j}^{n}=1D_{j}$ とおく。 WMeyer の符号数公式 ([10],$p.2u,Satzl)$ より

Sign$( \pi^{-1}(B_{0}))=\sum_{j--1}^{n}\phi^{Q}(g_{j_{*}}(\gamma_{j}))$となるので、符号数の Novikov 加法性より、

Sign $(E)$

となる。

$=$

Sign $( \pi^{-1}(B_{0}))+\sum_{j--1}^{n}Sign(\pi^{-1}(D_{j}))$$=$$\sum_{j=1}^{n}\phi^{Q}(g_{j_{*}}([\gamma_{j}])+\sum_{j--1}^{n}Sign(\pi^{-1}(D_{j}))$$=$$\sum_{j--1}^{n}1oc.sig^{Q}(F_{j})$$\blacksquare$

Corollary 6.4 $B$ を有向閉曲面、 $\pi:Earrow B$ を種数 3 コンパクト R-emann 面の可微分族で、各ファイバーは非超楕円的であるとする。 このとき、Sign $(E)=0$

7

計算例
以下

$\Delta$は複素平面の原点を中心とする十分小さい閉円板としその座標を

$s$

とする。

1. 特異 4 次曲線全体のなす集合 $D^{Q}=P\backslash Q$ はディスクリミナントと呼ばれ、 の既約な因子である
ことが知られている。
の非特具点のまわりを一周するループ (なげなわ) をとする。 対応し$P$$D^{Q}$て、芽を$D^{Q}$$\mathcal{F}_{I}$$\sigma^{Q}$と一般の位置で横断的に交わるからの写像で 4 次曲練族を引き戻して作ったファイバーとする。 中心ファイバーの位相形は、上の非分離単純閉曲線を一点につぶして得られる、

Lefschetz の I 型である。
とから、 次が分かる。

$\Delta$$\Sigma_{3}$$\pi_{1}(Q)$

上 $c:\alpha=-5:9$ であることと、 $\sigma\in\pi_{1}(Q’)$ が$\sigma^{Q}$にうつるというこ

116
Proposition 7.1

loc.

2. 非特異なコニック
$0$

で定まる

プして、

$S_{F}$

て

のノ–

の曲面を

$S_{F}$の狭義引き戻しを楕円曲線となる。
$Q$:yz-x2 $=0$ に 8 点で交わるような斉次 4 次式

$C$$\Delta xP^{2}$$\text{フ^{}p}$$sig^{Q}(\mathcal{F}_{I})=\phi^{Q}(\sigma^{Q})=-\frac{5}{9}$とする。

$\overline{S_{F}}$は$C$をとり、 $(yz-x^{2})^{2}+s^{2}F(x, y, z)=$上特異点を持つ。

$p_{1}$

を第一成分への射影とするとファイバー芽を$P_{h}(t)=(yz-x^{2})^{2}+(\epsilon e^{2\pi\sqrt{-1}t})^{2}F(x, y, z)$$\ell_{h}$$F$を $C$ に沿ってブロウアッとすると、 例外因子は、 $C$ に二重被覆を持っ非特具な種数 3 の超$S_{F}$$\Delta x\mathbb{P}^{2}$$\mathcal{F}_{h}=(\overline{S_{F}},p_{1}, \Delta, 0)$ができる。 対応しとおく。

Proposition 7.2 (超楕円的なフアイパー諄の局所符号数)loc.

3. $z^{3}x+y^{2}x^{2}+y^{4}+s^{6}x^{4}=0$ で定まるはカスプ特具点を 1 つだけもつ。
$-1$ の楕円曲線 $C_{1}$$sig^{Q}(\mathcal{F}_{h})=\phi^{Q}([\ell_{h}])=\frac{4}{9}$$\Delta xP^{2}$の曲面を $S$ とする。

の最小特異点解消となる。 フアイパー芽$S$$\varpi$:$p_{1}$$\tilde{S}arrow S$:$Sarrow\Delta$について、 $C_{2}=p_{1}^{-1}(0)$を取ると、 例外曲線は自己交叉数のの中心ファイバーの位相形は一点と砺のカスプ特具点を同一視したものになり、 Le&chetz の II 型である。 対応して $Q$ のループ$\ell_{II}$$\mathcal{F}_{II}=(\tilde{S},p_{1}\circ\varpi, \Delta, 0)$$C_{1}$

を $\ell_{II}(t)=z^{3}x+y^{2}x^{2}+y^{4}+(\epsilon e^{2\pi\sqrt{-1}t})^{6}x^{4}$ とおく。

Proposition 7.3 (II 型フアイパー穿の局所符号数)
1oc.sig以上の計算結果は、$|2$

4. $f(x, y, z),$ $g(x, y, z)$ を$( \mathcal{F}_{lI})=\frac{1}{3}$,$\phi^{Q}([\ell_{II}])=\frac{4}{3}$] $|13$] にあるものと一致する。
$0$

でない斉次 4 次式で、 その定める 4 次曲線 $C_{f},C_{g}$ が横断的に交わっているものとする。 $f(x, y, z)+sg(x, y, z)=0$ で定まる$\Delta x\mathbb{P}^{2}$

バー芽 $\mathcal{F};=(S,p_{1}, \Delta, 0)$ に対応して $Q$ のノレープ

Proposition 7.4 上の設定で、
loc.

$\pi^{-1}(0)$$p_{f}$の Euler 数を$sig^{Q}(\mathcal{F}_{f})=-\frac{5\chi+20}{9}$,の曲面を $S$ とし$p_{1}$: $Sarrow\Delta$ とする。 ファイ

を $\ell_{f}(t)=f(x, y, z)+\epsilon e^{2\pi\sqrt{-1}t}g(x, y, z)$ とおく.

$\chi$、$\sigma=Sign(S)$とおく。 このとき、$\phi^{Q}([\ell_{f}])=-\frac{5\chi+20}{9}-\sigma$

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