極小曲面の数値解析法に関する研究
石 原 競2
大 森 陣 司1
孝1!
I!

ノサミ

概 要

この論文では膜構造を設計する初期削絡における原型 1111
面を数値解析により求める手法に閲して記述している。これまで、多くの研究が原型 rltl
而として等張力 IJI閉そのものを角材斤対象としてきでいるが、我々のー辿の研究では、等張力曲面 と 骨l、rJll面が等価であることから、 世l、曲面を変分問題としてとらえ有限要素t劫平析を行ってきた。しかしながら、各節点の x，y，z座標全てを未知量とした解析は、強い非線形性のため収束解を得ることは困難となる場合があることがこれまでの解析でわかっている。そこで本論では、E耐に関する拘束条件を汎J禁1数に加えることによって、解を得る手法を提案する。また、これとは別に曲tz法により解曲面を得る方法についても併せて述べる。
面をフーリエ級数により仮定して Ri1 序

木ら[.1]は、角やぺク卜ルの方向余弦を与えることによりm民￨4
持造に いられる脱材は、面外方向の剛性をもたず、面内張力のみにより栄精を形成するため、その形状には自ずから制約がある。さらに、力学的に合理的曲面を求める刀法を提案している。文献 [3][4)で近似lは、この方法により、求解過程にある干盟主の改善が何られる ことを示している。しかしながら、条件によっては、要素耳炎犬が大きく歪んだ曲面が収束解として求めな曲面とするために、 !
鹿面全体にできるだけ均一な張られたり、解曲面が求解過程の履歴に依存するという力が作用する 比態となる山町、すなわち、等媛カ I
tll
面問題点、があることも同時に明 らかになった [4)
(Fig.
J)。

を設計時の原型曲面とすることか望ましし、。この等張本論では、すべての節点座擦を未知泣として、恐志、的111線に仮る膜力曲面により与えられる}倒犬は、ある削1な拘束条件を設けないで解を得るという立場に基づき111面と盟論的面の面舵を段小とする曲面である、極小[聞論展開を行っている。また、これとは別に解曲聞をに同ーとなることが知られている。本論では、このことを積極的に利用して、等強力曲面という力学的な観点、によらず、脱面の表耐占を品小にするという幾何学

tz法による角材斤についても議フーリエ級数で仮定し Ri論し、極J'¥fI
Jl
面を求める統一的な解析手法について述べる。

ll
而を見いだす万法につい的な立場か ら!附持造の原型Uて論ずる。

2 理論背景111而の表極小山聞を見いだす具体的な方法として、 1

面積を州刻数とする変分問題を与え、 ここでは、曲面前述の方向余弦をm~ 、て白山良を低減させて解析すを三郎防面体近似して有限要素法により角斬を行う。

る手法は収束性向 tの観点からJ
附1，"1こ良い結果を示し

しかしながら、強L、非線形性のため、角斜斤において、節ているが、自由度低減をしないや手間条件式を完全には点、の自由度を変更するという繁雑な操作を行わなけれ満たしてはいなし、。また、そこでJTJ ~ 、られている方向ば解山而を得ることがで、きなかった。これに対して、鈴余弦の設定は経験に基づくものであり、理論的な似拠

h9上1名古屋大'学助教綬工学

を持つものではない。
板小山面をF8M でお世散化する l時、各節点において

2 名占尽大'‘{~大学院生‑57‑

3 定式化

x¥y，zの 3つの空間座棋を全て独立な未知 J:@:として解析することが困難な理山として、以下の 2点が考えら曲面の内包{材占を付帯条件とする刷、l曲面の汎僕散れる。に、前節で述べた各要素回実に関する拘束として、要まず第一点は、未知品の聞に存在すると考えられる素面積を等しくするという付議条件を導入する。この従属関係である。 有限要素法を用いて解く時、各節点場合の削渇数は次式のようになる。

ilx，y，z
座標全てを独立した未知直として扱うの未知iと、結果として係数マトリクスが特異になる協合が存J(1'，λv，入s)

乞S.
+入v(尚一 乞 に)在することが認められる。これは、未知虫の間に何ら

一花 S.)2+λSF(Se

かの従属，関係か有唱するためと考えるのが自然である。
自由度を低減する手法はこの従属関係を恋意的に陥に(1)

各パラメ ータ は、以下のようなものである。

表していると考えられる。
第二点は、多面体の表面積を最小にするという変分r:
位置ベク トル(節点座標)，S.
:要素表面積問題が世j、曲面を多面体で近似するための尺J
支を一意.
v
要 紫 内 包 倒i， t
令指 定する内包{柑tには与えていないという事実である。端的にいえば、解入v.内 包 備 に 関 す る Lagrangeの未定乗数

形状を表す節点位置はその曲面を表すことのできる位

入s:
要素面積に関する La
grangeの未定乗数

置ならば、如伺なるところにあってもよいということ

m:要素数である (Fig.
2)。従って、自由度の低減は節点を強制的(1)式の第三項か新たに導入された付併条例二である。こに拘束していることに他ならなし、。
以上の考察から、ここで問題としている極小曲面問

れは、表面積を要素数で除したもの、つまり各要素面題を FEMにより数値的に解析する際、各節点、の位置積全体の平均と各要素面積を等しくする付帯条件であを伺らかの規準の下で拘束することが必要であることる。今後、この付帯条件を等師責付帯条件と呼ぶことがわかる。 ここでは、解析過程で FEMの要素に大き1)式を1'，.
Av及ひ(.
Asについて変分し停留にする。次に (な歪を生じ させないようにすることを目的として、各条件式を求める。 三角形有限要素による要素毎の停留要索の面積を付帯条件とすることにより節点の位置を条件式は次のとおりである。

拘束する方法について考察を加えてみる。
解析過程により

6ペ A{n'xr~2} 一 λv ~~ム?ゴ叫 =0(2)ór~ : A{n'xr~3} 一入v ~ ~ム?ゴ叫 = 0(3)ór~ : A{n'xr~l} 一 λv liAfケ;;l= 0(4)

l J.
.
. J

Dが変化する

D

幽‑

l J.
.
.
.
.
. JHl J"'. J

什τ~o.
Av:
同

図 1 自由度低減が及ぼす影響‑j写S;(Zf+Z;+Z;)= 0

6入s:(D.
)
2=0.
，.
)
:=.
，.
ー:?
，; 〈=??'一行'写S•‑2一' D.= S.‑士

A= 1+2λsD.

Age=j何 ‑r~')
図 2・同一曲面で異なる節点位置カ清濯する例

新たなパラメーターは、

(5)

(6)

口円vr﹁υne;要素の法線ベクトル

ムg要素の重心の移動を表すベクトル

ザ要素に閲する位置ベクトル

図 6 正方形境界モデル初期形伏なお、プライム記号(')は、 xy平面への斜影z成分を削除したもの)を表す。 (式 (2)~(6) をもとに修正方程式を作成し Newton­

Raphson法を用いて解くことにより、 曲面耳炎犬を決定する ことができる。
図 7 正方形境界モデルー内包体積小4 数値解析例
以上のような付帯条件の導入により得ることのできた解汚災犬は、 Fig.3~8に示す帯モデルと正方形境界モテマ

ルの 2つだけであった。これ以外のモデルの解析では、を指定すると収束解を得ること
平面状態より内包{柑1

図8:正方形境界モデル内包体積大ができない。これは、離散上の曲面において各要素面積が等しくなるような分割がー蝦に存在しないためで5 複合変分汎関数についてある。

次に、式 (1)の新たに導入した第三項を、付帯条件ではなく、独立した汎関数として扱い、第一、三項で構成される汎関数と第三項で表される汎周数との線形結合により得られる新しい汎朗数を考える。具体的に。
、は、未知量入 sを勝目量臼に置き換えればよ L

図 3・帯モテソレ:初期可処た

この場合の汎j
鶏数は次のようになる。

J(1'，入v) = 乞 S.+入v(VLV.)o‑:+弓(S.‑士写S.)2(7)上式は、各要素直摘を等 しくする汎周数に重み係数
図4:帯モデル内包体積 小αを乗じて、元々の汎民散を線形結合した形とな って L、る。元々 別の意味を持つ 2つの汎関数の結合により表数と呼ぶこされるこの汎関数をここでは複合変分州美jとにする。
停留条件式は、 αが既知であることから次のようになる。

6可 A{山~2} 一入v jtA?ゴ吋 =0

図 5 帯モデル内包体罰大l JUe)

(8)

円叶dr﹁υ(9)，ir; 巾 <X1'il}‑'x¥
1 ~ ド?ケ;; l =0(10)を見いだすことができる。 Fig.15~Fig.1 8 は 、 Fi g.IO に)‑1((1^̲ ，，̲el)h;Ahem73}‑Avpu?
三r勺 =0

示されるような、面積を等 しく する拘束の追加によっ

Fig.1I ~ Pi g.l t1は、 F ig.9 に示されるような、停留点をl J"'e Jl J'"'e J

州

1も‑jp;(Z;+Z;+Z;)=O持つ角TÎ~斤であり、。を減少して解を似ることによ って解て解をねるそれぞれの例に対応した解であ る。

A は丹き倹え られて、 次のようになる。
11= 己竺主
24卜J己の停留条件式 (8)~( 1 1)をこれまでの 宇宙条件式(2)~(6) と比較すると未知吐であった入sがW:ilfllα となったため、式 (6)か新し L、停留条件式ではなくなってい極小曲面の停留点る。従って、各要素而砧を等しくする条件式が~品に表￨されなく なる。

↑等面積汎関数の停留点

この方法の良いところは、外部より導入する条件を絶)11減によ っ対的なものにするのではな く、重み係数日の}て、拘束を強くしたり弱くしたりできることにあ る。

ig.
9及
次に、複合変分汎関数の意味を考えてみる。 PF
igurc9・if[み係数αの操作により砂j、IUI
而を郎、だす過程

び Pig.10 は、起!定される こ郡類の問題における耐~~汎関数で表される illl
面Jすえている。 Fig.
9は、停留点か存

1 f f f f L7~7~~
L̲L̲̲/
̲ / / / / 7~
L ̲l 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 f f f f 7‑‑'

在する場合を悲促してし喝。これは、重み係数日に適当L̲
1̲/ / / / 7 7 7 7 7
1 f f f f f f f‑fな値を与え、αのMlを枇かさせて等笛蹴倒朕底究の拘束を

1 J

少しずつ緩和してい く、 最終的にはαを 0にして収束解F 777777777Jが得られれば付格条件のなし、糊純刷、l畑形状が得… ー1f f f/_/~トーι，ペ'L_L_/

f { { / / /"、、」ーす二L 7ーヌ

g.I
Oは、函南汎民散で表される IHIられた ことになる。Fif f f f f f'..../、 ちdヲ
f つF
I I 1 // 下~7一一7，

liri
がフ ラットで解が見いだせない場合つ まり迎慌では解を求めることができない場合を想定している。この

外部から停留点を与える

場合は、等師'l1.汎附数により 外部ヵ、ら停留点をえるこ

FigureJ
O・等要素面積汎隊隊が 停WI点を与える例とになる。当然ながら、 nを 0にすれば、 解は求められなし、。

6 複合変分 汎関数による数値解析例
飯合変分汎￨史倣による月初T結果を示す。 Fig.l1~ 14
は、四半円を 9分割 したモデルである。初期耳炎犬より、F
igureJ1:四半円涜界モテ'ル:初朋形状 TopView

01
こ通当な数値を与えて、品終的にαを 0にする。従っig.
13
及ひ:J4は、事訴争な極小出l面形状を成していて、 F
g.15る。 次に、 Fi"，

くさと》

18は、順に αの値を下げながら内を増加する。Fig.18の解1
闘犬で・0 を減少すること
包{材IFigu
re1
2 凹半円境界モデ ル 初W
J形状ができなくなった。
phunuα=0.0000
Vo
lume=10.
0λv=0.
352392Area=14.
18

図13 四半円境界モデル， 内包体積 小∞α=0.0 oVolum
e=25.
0
λv=0.
509191Ar
ea=21.03

図18 正方形境界:内包体罰大7 Ritz法による極小曲面の解析
これまで、有限要素法による解析を行ってき た。こ図14・四半円境界モテ守
ル:内包体積 大tz法により
こでは、解曲面をフーリエ級数で仮定し Ri解析を行う。有限要素法では、節点の位置を一意に定めることが不可能であるとの判断から収束解を得ることが庄雌であったが、解曲面をフーリエ級数で展開した場合は、節点の問題は、もはや存在しなくなり安定して収束解を求めることができると考えられる。

J'部分の表面軍iと内包体磁を Fig.
l9
次に、解曲面の微Iに示す。 Fig.
19より、表直献と内包体稲は次のように定図]
5:正方形境界モデル・初期形状 To
pView

式化される。

r0 1

r dx 1dy ~ ， dr2=~ 0 ~lzydyJ
lzxdx J

drl=~i~、河~之三λ

口くOくりくb く5:">
<:'ラ
くXメミ込
￨>く 1>
くりくl?<:Sラ〈ミラくミメミ

Izxdxdy 1
dS=drlX dr
2= ~ zydydx~
1‑dxdy Jb<¥>
くf>く工〉
くD く:ラ〈ミメミλ
かくじく~X\?く主メミラくミメミ!>く\>ぐNメ~メミメミ、ZZ

hりり udよ︐dwvZ

AU . J U

日rxbくt><¥ ひぐツミメむ、一
認はVニ

一Z 一
一‑一+ω

伝~~メξ夫、王繍J

Area=196.
60

i'X1>くり><.sラ<'Sラ~?く豆戸主永行之I2くりく.¥><て〉くミメミ求、

1ちζ\>くじ:<.\~;，<ミメミ妻、ム陥

民1~之主芯ミ主主主~そ

α=1.
000
Volume=40.
0

従 って、表面積は次式のようになる、

︐︐︐︐︐︐ = て︑S し

図16・正方形境界モデル，)

dS= I
drlxd
ηI= 1+z;+z~d叫

Jsfz.

dx拘yの領域のように表される。なお、 S。は考慮すべき x，である。仮定限散は次式のように定義する。

2::2::AiJsin xcos yz=O'JO'，t;;;;1 J=l(2 一一久‑ 1的2=2ーァ1ー仇2=一ーIπ)

閃17 正方形境界 内 包 体 積 小a‑61‑D(12)∞

LL11 cosαIX α)Y・m::z="(13)

SIIl，)0'，

Yolumc=50.
Area=103.
48λv=0.135720;1) ;1，=y=乞乞 A
m(14)

si
叩 ，x倒 的 Uリ白)各パラメータは、Aリ:重み1*数.
、 m，l1:波数である。

図2
1:Rit
z法による解4斤・内包体積以上の定式化より、汎肢敗は次のようになる。
Yolume=200.0039.
70
Area=1λv=0.339560

J(II小人)=5(11リ)+入 v(同 ‑ V(Aリ))=Jsfz.

JLIi立弓dx匂 +λ v

dx匂(15)(16)

重み係数 Aリとんについて変分し停留条件式を求めると、次のようになる。

図22:Rilz法による解析:内包体積 大ム/oA，) :ZzO'，cos0'， X Slnμ +zyO')smα，x仁田町宮 dxdy

JJzdxdy=o>'v

凶‑

8=0・・・・
・(17)~四面白

本論文では、節点座標のすべてを未知畳として解を(18)0

主士豊玉

得る方法について議論を行い、 E献を等しくする条件(17)及び (18)式を解いて得られる解死角民を Fig.
(20)を付得条件ではなく、汎関数として級い線形結合によ~(22) に示す。

り得られる複合変分刊現数として扱う方法を提案した。

当初の予測とおり汎慌散に外部から拘束を与えるこ

この方法は重み好救αlこより闘員を等しくする樹立を加となく、収束解を得た。考慮すべき領域全体に仮定関減することによって拘束に強弱を付けて解を求めるこ数を用いるRi tz 法では、その解法の性質上、境界Jf~状とができ、数値解析を通して収束状況が非常に良好でが単純である協合に限られるが、安定的に解析を行なあることが示された。

うことか可能である。

有限要素法解析に続き、曲面をフーリエ級数展開しDRilz法により解を求めることを試みたところ、安定的に求解できることが示された。担制、曲面形状を求める
際、空間をメッシュ分割する事により多副本近似解をヘレ

itz法とで、求める FEMと空間内に僕散仮定を行なう RV

求解過程の安定性が異なる点について、今後、さらに詳細に検討する予定である。

y

図19・表面積と内包{柑iの微小部分

図20:Ritz法による解析‑初期状態
円〆白pnv

参考文献[1) 鈴木仰J 、~~山彦 :働1'1111面の変数低減による郁良

要ヨドタ断、日本起諜学会揃邑系論文報告集 No.
425、1991、pp.
JJ1・120[2] 大森博司、手却京伸幸、松労働fi~哉、松岡理:有限要素法による世J'i1l1
面の数値制斤、膜構造研指命文集'88[.3)石原競、大森博司:張力it¥}i宣に関する基礎的研究(その 8:自由度の低減について)、白木建築学会大会

梗概集 '92pp.1819‑1820

，

[~) 1
(.Ishiharall.Ohmor
i:MinimalSlI巾ceAnalysisingFinileElemenlMelhod，TheoricalandAp‑bylIspliedMechanicsVo.
l42pp.
65・74hodso
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時ineering，NagoyaUniversity'GraduatedStudent‑63‑