数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 37-50

37Loewner の予想に関連するある予想安藤 直也 (Naoya ANDO)

東京都立大学大学院理学研究科数学教室(Department of Mathematics, Tokyo Metropolitan University)
0 はじめに曲面土の孤立謄点の指数は 1 以下なのではないかという指数予想がしられている. さらに指数予想を一部分として含む Loewner の予想がしられている. 本講演の日的は指数予想をやはり一部分として含むがしかしながら Loewner の予想とは異なる予想について説明することである.

1 分布
$S$

を滑らかな二次元多様体とし,$U$を $S$ の開集合とする. このとき $U$ の各点にその点での接平面の一次元部分空間一つを対応させるもののことを $U$ 土の分布$\underline{(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})}$いう. $U$ 土の分布
つ $p$$\mathcal{D}$が連続$\text{て}*$で零ではないベクトル場$S\backslash U$

の点で,

$\mu$

ある (continuous) とは, $U$ の各点 $p$ のある近傍$\mathrm{V}_{p}$が存在して} の $S$ におけるある近傍

Op。が$O_{p}\text{土}\mathrm{V}_{p}\in \mathcal{D}$$O_{p}$

土連続かがなりたつときにいう.

$O_{p\mathrm{o}}\backslash \{\text{ }\}\subset U$と$\text{ }$はをみたすものとする. このとの孤立泙馬 海鳳篦垢垢襪海箸呂任 ない(すなわち$(0, 0)$ に対応する特異点である) 可能性がある. $(x, y)$ は p。の近傍土の局所座標系で,
き $U$ 土の連続分布ものとする. また\phi \epsilon 。は$\mathcal{D}$$r_{0}$$(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$を$\mathcal{D}$は正の実数で, $\{0<x^{2}+y^{2}<r_{0}^{2}\}$ が $U$ に含まれるものとする. また土の連続関数で, 任意の$(r, \theta)\in(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$に対し点 (rcos , rsin ) で$\theta$$\theta$$\cos\phi_{\mathrm{D}_{j}p0}(r, \theta)\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{s}.\mathrm{n}\phi_{\mathrm{D}_{\mathrm{i}}p_{0}}(r, \theta)\frac{\partial}{\partial y}\in \mathcal{D}$がなりたつものとする. またのとき分布$\mathcal{D}$についての$\text{ }$$\phi_{\mathfrak{D}_{j}p0}$のような連続関数全体からなる集合をの指数 (index) indp。

$(\mathcal{D})$$\Phi_{\mathfrak{D}_{j}p0}$は次のように定義される:.

(1)$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p0}(\mathcal{D}):=\frac{\phi_{\mathfrak{D}p0}j(r,\theta+2\pi)-\phi_{\mathrm{D}p0}j(r,\theta)}{2\pi}$指数はある整数の半分と表されることがわかる. (1) における指数の定義は$\mathrm{R}$で表す. こ$(r,\theta)\in(0,r\mathrm{o})\cross$の選び方にも連続関数 \psi Djpo\in \Phi \epsilon 。の選び方にも局所座標系 \Leftar ow , ) の選び方にもよら

ない.

$y$

$S$

を連結, コンパクトかつむきづけ可能とし,$S\backslash U$

は有限集合であるものとする.

38
このとき Hopf-Poincar\’e の定理によると,の Euler 数に等しい$\mathcal{D}$についての$S\backslash U$の全ての元の指数の和は $S$([Ho, pp. 113]).

孤立特異点を有する連続分布の具体例を一つあげる. 正の整数
連続なベクトル場$\mathrm{V}^{(\pm n)}$が$\mathrm{V}^{(\pm 1)}=x\partial/\partial x\pm y\partial/\partial y$$\mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$である.

上定義する連続分布を$\phi_{\mathcal{D}(\pm n)_{j(0,0)}}\in\Phi_{\mathrm{D}(\pm n)_{j(0,0)}}$$\mathrm{R}^{2}$

土のを次のように定める:$\mathrm{V}^{(\pm n)}:={\rm Re}\{(x+\sqrt{-1}y)^{n}\}\frac{\partial}{\partial x}\pm{\rm Im}\{(x+\sqrt{-1}y)^{n}\}\frac{\partial}{\partial y}$

例えば,

に対し,

$n\in \mathrm{N}$$\mathrm{V}^{(\pm n)}$$\mathcal{D}^{(\pm n)}$として, 任意のは$\mathrm{R}^{2}$.

上 $(0, 0)$ でのみ零となる.

で表す. このとき$(r, \theta)\in(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$$(0, ro)\cross \mathrm{R}$に対しがなりたつようなものをみいだすことができる. よって (1) から,$\mathrm{V}^{(\pm n)}$上の連続関数$\phi_{\mathfrak{D}\mathrm{t}\pm n)_{j(0,0)}}(r, \theta)=\pm n\theta$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(0,0)(\mathcal{D}^{(\pm n)})=\pm n$をえる.

上述の例においては, 指数は整数であった. しかしながら連続分布の選び方によっては,整数ではない (つまり $\pm 1/2,$ $\pm 3/2,$のように表される) 指数をもつ孤$\ldots$“$[perp]\backslash$

特異点が存在することもある ([Ho, pp. 109] にあげてある図をみていただきたい).

2 曲面上の孤立腑点の指数

2-1 定義$S$を$\mathrm{R}^{3}$

る. P

，

法平面 P
$P^{[perp]}$にうめこまれた曲面とする.
$p$

での $S$ への法平面とし,$p$を $S$ の一点とし, $T_{p}(S)$ を $p$ での $S$ への接平面とす$\kappa_{p}(P^{[perp]})$をP

仝 $S$ に含まれる曲線の $p$ での曲率とする.

，鯱 嚇 に動かすときそれに応じて$\kappa_{p}(P^{[perp]})$の連続関数である.

$\kappa_{p}$の極値を $S$ の

$p$

$p$

$p$

(principal direction)での– という.
$\text{主方_{}\mathrm{D}}\mathrm{n}$を $\underline{\text{
謄}f_{|5_{\backslash}}}$ という.
point)(umbilical

ちょうど二つ存在してそれらは互いに直交している.
とし, $S$ の各点とはちょうど$p$に対し$\mathrm{W}_{p}$$\mathrm{W}$$\kappa_{p}$$p$$\mathrm{W}$を $S$ の $p$ での$\mathrm{W}_{p}$で表す. このとき

での主方向とはちょうど$\mathrm{W}_{p}$

$p$

$p$

での主曲率

の一次元固有空間のが恒等写像の定数倍と表(Gaussian curvature)$\underline{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\text{率}\prime}$(mean curvature) という. Gauss 曲率$\underline{\mp\backslash \prime \mathrm{r},\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\text{率}\backslash }$と平均曲率の間に関数関係が存在するとき, つまりある滑らかな関数 $w$ が存在して$w(K, H)\equiv 0$ がなりたつとき, $S$ をがを $S$ の Weingarten 写像 (型作用素)

されるということである. $K(p):=\det(\mathrm{W}_{p})$ を $S$ の $p$ での$H(p):=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{W}_{p})/2$$\kappa_{p}$$p$ことである. 特に, $S$ の点 p が謄点であるということはちょうど

といい,

は

が定数ではないとき, での主方向はが $T_{p}(S)$ に与える一次変換をの固有値のことであり,$\kappa_{p}$での主曲率 (principal curvature) といい, 主曲率を与える法平面と $T_{p}(S)$ の共通部分を $S$ の定数であるとき,も連続的に変化する , すなわちWeingarten 曲面という.

$S$

上

39
$S$

の謄点全体からなる集合を Umb(S) で表す. もし$S=\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{b}(S)$がなりたつ (すなわち $S$が全謄的である) ならば, $S$ の各連結成分は平面または球面の一部である. もしがなりたつならば,$S\backslash \mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{b}(S)$上の連続分布で$S\backslash \mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{b}(S)$るようなものが存在する. このような分布のことを $S$ 土のとよぶ.
には$p_{0}$$p_{0}$

を $S$ の孤立謄点とする, つまり$p_{0}$$S\neq \mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{b}(S)$の各点で主方向の一つを与え(principal distribution)$\underline{\exists \mathrm{i}\overline{\theta}^{\backslash }\mathrm{J}7\mathrm{i}}$は謄点でありかつ $S$ における

$p_{0}$のある近傍以外に謄点が存在しないものとする. このとき二つの主分布についてのは互いに等しいが, この共通の数を

$S$

土での

$p_{0}$$p_{0}$の指数の指数 (index) といい indp。(S) で表す.

2-2 平均曲率一定曲面$S$

を三次元空間形の連結な平均曲率一定曲面とする. このとき $S$ 土の Hopf 微分は (等温

座標系からえられる複素座標に関して) 正則である.
であるから,$S$の謄点はちょうど Hopf 微分の零点が全謄的ではないとき $S$ の各謄点は孤立していることがわかる. $S$ は全謄

的ではないものとし,
指数はー

$S$

$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathrm{p}0}(S)/2$

$S$

の謄点

$p_{0}$

での Hopf 微分の位数を$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p0}(S)$で表す. このとき$p\mathit{0}$ので与えられる ([Ho, pp. 139]).

2-3 特別な VVeingarten 曲面$\mathrm{R}^{3}$の Weingarten 曲面 $S$ が特別. あ 6(special) とは, Gauss 曲率と平均曲率の間の関数$\text{て}$関係を与える $w$ として次の条件をみたすものをみいだすことができるときにいう:Umb(S)の各点で ,$H \frac{\partial w}{\partial X}(K, H)+\frac{1}{2}\frac{\partial w}{\partial \mathrm{Y}}(K, H)\neq 0$

がなりたつ. 例えば, 平均曲率一定曲面は特別な Weingarten 曲面である. $(x, y, z)$ はの直交座標系で, (0, 0, 0) が $S$ の謄点 $p0$ に相当しかつ $xy$ 平面が$\text{ }$$\mathrm{R}^{3}$

土

で $S$ に接するものとする.

このとき $xy$ 平面における $(0, 0)$ の近傍上定義された滑らかな関数 $f$ が存在して, そのグラ
フは $S$ にお$\iota\mathrm{e}$る$p\mathit{0}$の近傍となる. $S$ が特別な Weingarten 曲面であるとき, $f$ は $(0, 0)$ のある

近傍土二階の楕円型偏微分方程式をみたす. このことを用いて, Hartman-Wintner は $S$ が全謄的ではない連結かつ特別な Weingarten 曲面であるとき $S$ の各謄点は孤立していてかつその指数は負であることを示した ([HW]). Hartman-Wintner のこの結果と Hopf-Poincar\’eの定理を用いて, コンパクトむきづけ可能かつ種数が 0 の特別な Weingarten 曲面は球面に限ることがわかり, またコンパクトむきづけ可能かつ種数が 1 の特別な Weingarten 曲
面には謄点が存在しないことがわかる.

40
2-4 二変数同次多項式のグラフ
著者は二変数同次多項式のグラフがでの主分布のふるまいを調べた.

$g$

の原点

$\mathit{0}$$d\overline{g}/d\theta=0$$-\backslash rightarrow[perp]$

謄点として有するときの解全体からなる集合をのとき点 $(x,y)\in \mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$ で位置ベクト) 場

方向に含まれることと $x\sin$を孤をそのような同次多項式とし, 各実数とおく. そして$\tilde{g}(\theta):=g(\omega \mathrm{s}\theta, \sin\theta)$$\mathrm{R}^{3}$$\theta_{0}=y\infty \mathrm{s}\theta 0$$x\partial/\partial x+y\partial/\partial y$

なる実数

が

$\theta_{0}$$R_{g}$

が$g$$\mathit{0}$に対し$\theta\in \mathrm{R}$$R_{g}$の周りで表す. このグラフ$\mathrm{G}_{g}$の主の元であることは同値である([A1]). そこで著者は位置ベクトル場と関連づけて主分布のふるまいを調べることにした.
であるならば,$R_{g}=\mathrm{R}$r。は正の実数で,ものとする. また

$r$

$g$

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{o}}(\mathrm{G}_{g})$$=1$ がなりたつ.

は $(0, ro)$ の元とする.

$R_{g}$の元をみたしかつ任意の実数$\phi_{r,\theta_{0}}(\theta_{0})=\theta_{0}$接ベクトル$(\cos\phi_{t,\theta_{0}}(\theta))\partial/\partial x+(\sin\phi_{r,\theta_{0}}(\theta))\partial/\partial y$の元$R_{g}$

る. このとき$\theta$$\theta_{0}$に対し, U\mbox{\boldmath $\theta$}。は$R_{g}$の元$R_{g}\neq \mathrm{R}$を仮定する.

を $\{0<x^{2}+y^{2}<r_{0}^{2}\}$ に制限したもののグラフ上謄点は存在しない

連続関数で

また

以下

の

$\theta 0$$\theta 0$の$\mathrm{R}$$\theta 0$$\theta$に対し,は$\mathrm{R}$土の実数値をとる

に対し点 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ での$\mathrm{G}_{g}$へのが主方向に含まれるようなものとする.

における近傍で$\underline{\theta\backslash \yen\overline{\tau}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n})}$$\phi_{r,\theta_{0}}$$U_{\theta_{0}}\cap R_{g}=\{\theta_{0}\}$が正 (および負) であるとは,をみたすものとす$U_{\theta_{0}}\backslash \{\theta 0\}$

の任意の元

に対し
$(\theta-\phi_{r,\theta_{0}}(\theta))(\theta-\theta_{0})>0$

がなりたつときにいうことにする.
ない.

とは,
の元

$R_{g}$$\theta_{0}$$\theta 0$の元$\theta_{0}$が ( の指数に)$\mathit{0}$(および $<0$ )の元の符号の定義は $r\in(0, r_{0})$ の選び方にはよら$R_{g}$(related)$\underline{7\ovalbox{\tt\small REJECT},\mathrm{f}\mathrm{f}_{\backslash }\theta^{\dot{1}}\text{ある}}$の符号が正または負である (および正でも負でもない) ときにいうことにする.

が関係があることと$\tilde{g}$が$\theta 0$

で極値をとることは同値である ([A1]).

$R_{g}$の元$\theta_{0}$$R_{g}$の臨界符号 (critical sign) が(a) 正であるとは,$\tilde{g}(\theta_{0})=0$

であるか$\tilde{g}(\theta 0)$が正かつ極大値であるかまたは$\tilde{g}(\theta 0)$が負かつ極小値であるときにいい,(b) 負であるとは,$\tilde{g}(\theta 0)$が負かつ極大値であるかまたは$g(\theta 0)$が正かつ極小値であるときにいうことにする. R。の元である.

$R_{g}$$\theta_{0}$の関係がある元

符号が正であるならば,$\theta 0$が関係があることと$\theta 0$$\theta 0$$\theta_{0}$の臨界符号が正または負であることは同値の符号と臨界符号について次の二つがなりたつ:の符号も正である ([A1], [A2]);の符号が正 (および負) であることと$\theta 0$$\theta 0$の臨界の臨界符号が負であるとき,

41(および [0, $k(k-2)$ )$\frac{d^{2}\tilde{g}}{d\theta^{2}}(\theta_{0})/\tilde{g}(\theta_{0})\in[k(k-2),$ $\infty)$

がなりたつことは同値である ([A2]).
も R。の元である. さらにまた$\theta_{0}$$\theta_{0}$が関係があるとき,符号に等しい. 実数$\theta\in \mathrm{R}$$\theta_{0}$が$R_{g}$の元であるとき, 任意の整数が関係があることと$\theta_{0}$$)$$\theta_{0}+n\pi$

に対し \mbox{\boldmath $\the a$}。 $+n\pi$が関係があることは同値である.

の符号および臨界符号はそれそれを任意に選び, Ng,+(および$n$$N_{g,-}$)を$\theta_{0}+n\pi$の符号および臨界$[\theta, \theta+\pi)$の中の R。の関係がある元でその符号が正 (および負) であるものの個数とする. $N_{g,+}$ と $N_{g,-}$ はび方にはよらない.

土での$\mathit{0}$は R。の関係がある元で,$\theta_{2}$$\theta_{1},$$\mathrm{G}_{g}$の指数$\theta_{1}<\theta_{2}$が存在しないものとする. このときて$\theta_{1}$の符号またはわかる. さらに$\theta_{2}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{g})$$\theta_{1}$の選は $1-(N_{g,+}-N_{g,-})/2$ と表される ([A1]).

でありかつ開区間$(\theta_{1}, \theta_{2})$の臨界符号または$\theta_{2}$には$R_{g}$の関係がある元の臨界符号は正である. よっの符号は正であることがわかる. このことを用いて ,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{g})\in\{1-k/2+i\}_{\dot{\iota}\mathrm{g}}^{[k/2]}$$\theta\in \mathrm{R}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{g})\leqq 1$

ががなりたつ ([A1]).

2-5 実解析的な曲面
実解析的な曲面上の孤立謄点
平面と曲面の共通部分にそって$F$は$\mathrm{R}^{2}$$p_{0}$$p_{0}$の周りでの主分布のふるまいをしるために,$p_{0}$

での法に近づいていったときの主分布の極限の性質を調ぺた.

における $(0, 0)$ の連結な近傍土定義された実解析的な関数で,$F(0,0)= \frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=0$

がなりたちかつ$a_{F}\in \mathrm{R}$$\mathrm{R}^{3}$の原点$\mathit{0}$が $F$ のグラフ$\mathrm{G}_{F}$の謄点であるものとする.

が存在して次がなりたつ:$F(x,y)=a_{F}(x^{2}+y^{2})/2+o(x^{2}+y^{2})$$\mathrm{R}^{2}$

このとき実数における $(0,0)$ の近傍土の関数$\sigma_{F}$.

を次のように定義する:,$\sigma_{F}:=\{\frac{\mathrm{o}_{1}}{a_{F}}-\frac{|a_{F}|}{a_{F}}\sqrt{\frac{1}{a_{F}^{2}}-(x^{2}+y^{2})}(a_{F}\neq 0\text{て}..\text{ある場_{}\mathrm{D}}^{\mathrm{A}})(a_{F}=0\vee\epsilon \text{ある場_{}\mathrm{D}}^{\mathrm{A}})$

このとき

数

$k_{F}$$\mathrm{G}_{F}$が全謄的ではないならば,$F\not\equiv\sigma_{F}$の恒等的に零ではない二変数同次多項式

る偏微分係数で$k_{F}$

でありかつ 3 以上の整数 $k_{F}\geqq 3$ および次

$g_{F}$が存在して $F-\sigma_{F}-g_{F}$ の $(0, 0)$ におけ以下の階数のものが全て零となる:$F-\sigma_{F}=g_{F}+o((x^{2}+y^{2})^{k_{F}/2})$.

42を次数が 3 以上の二変数同次多項式とし,$g$続関数で, 任意の実数に対しベクトル$\theta$${}^{t}(\cos\eta_{g}(\theta),$ベクトルであるようなものとする. また実数と表されるようなもの全体からなる集合を$\mathrm{G}_{F}$てが全謄的ではなくそして$\mathit{0}$$S_{\mathit{9}F}=\emptyset$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}_{g}$$\theta_{0}$$S_{g}$

でを$g$$\sin$の Hessian とする.

\eta g(の) が$\eta_{g}$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}_{g}(\cos\theta,$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}_{g}(\cos\theta 0, \sin\theta 0)$は$\sin$$\mathrm{R}$

上の連

のの固有

が単位行列の定数倍で表す. このとき実解析的な関数 $F$ に対しであるならば, $F$ と$g_{F}$のそれそれのグラフ上においは孤立謄点である ([A4]).

$\mathrm{G}_{F}$上o$l\mathrm{h}$弧$-\backslash \infty[perp]$謄点であるものとする.

は存在しないものとする. また(こ対し点$(r\omega \mathrm{s}\theta,r\sin\theta)$$\phi_{F}$$r\mathit{0}$は正の実数で, $\{0<x^{2}+y^{2}<r_{0}^{2}\}$ にはは $(0, ro)\cross \mathrm{R}$ 土の連続関数で, 任意のでの接ベクト)$\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0})$$\lim_{rarrow 0}\phi_{F}(r, \theta_{0})=\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0})$(ii)${}^{t}(\omega \mathrm{s}\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0}), \sin\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0}))$

(i)
(ii)

$\mathrm{G}_{F}$のに対し, 次の (a), (b) がなりたつ ([A4]):$\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0}+0),$

がなりたち,は$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}_{gF}(\cos\theta 0, \sin\theta 0)$$\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0}-0)$

がなりたち,$\Gamma_{F,\mathit{0}}(\theta_{0}):=\phi_{F,\mathit{0}}(\theta 0+0)-\phi_{F,\mathit{0}}(\theta 0-0)$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{F})$の固有ベクトルである;が存在して$\lim_{\thetaarrow\theta_{0}\pm 0}\phi_{F,\mathit{0}}(\theta)=\phi_{F,\mathit{0}}(\theta_{0}\pm 0)$

そして指数

が

が存在して

(i)

(b) 二つの実数$\theta 0$の謄点

$(r,\theta)\in(0,r\mathrm{o})\cross \mathrm{R}$$\mathrm{s}(\cos \phi_{F}(r, \theta))\partial/\partial x+(\sin\phi_{F}(r, \theta))\partial/\partial y$

主方向に含まれるものとする. このとき実数(a) 実数$\mathrm{G}_{F}$は$\{n\pi/2\}_{n\in \mathrm{Z}}$の元である.

は次のように表される:$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{F})=\frac{\eta_{gF}(\theta+2\pi)-\eta_{gF}(\theta)}{2\pi}+\frac{1}{2\pi}\sum_{\theta_{0}\in S_{gp}\cap[\theta,\theta+2\pi)}\Gamma_{F,\mathit{0}}(\theta_{0})$([A4]). よって特に, $F$ と$g_{F}$のそれそれのグラフ上において$\mathit{0}$が孤立謄点でありかつ$S_{gp}=\emptyset$

であるならば, 次がなりたつことがわかる:.

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{F})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{gp})=\frac{\eta_{gp}(\theta+2\pi)-\eta_{gF}(\theta)}{2\pi}$

二変数同次多項式た$\mathit{0}$$g$からえられる量 $\{\eta_{g}(\theta+2\pi)-\eta_{g}(\theta)\}/2\pi$ の計算方法は 2-4 で説明しを孤立謄点として有する二変数同次多項式のグラフ上での$\mathit{0}$の指数の計算方法と大体同じである ([A4]).
$g$を次数が 3 以土の二変数同次多項式とする. このときたとしても,$S_{g}=\emptyset$$-\pi/2$ がなりたつ

$g$

のグラフ上

は必ずしもなりたたない. そして \sear ow の任意の元([A3]). また $F$ と$g_{F}$$\mathit{0}$$\theta_{0}$のそれそれのグラフ土において\mbox{\boldmath $\theta$}]. 弧-‘‘‘\perp 謄点であっに対し,$\mathit{0}$$\Gamma_{g,\mathit{0}}(\theta_{0})=$が孤立謄点であ

43
るとき,

の任意の元

$S_{gF}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{F})\leqq 1$$\Gamma_{F,\mathit{0}}(\theta_{0})\leqq\pi$$\theta 0$

に対しがなりたつ ([A4]).

がなりたつならば,$\Gamma_{F,\mathit{0}}(\theta_{0})\in\{-\pi/2,0, \pi/2\}$$\mathrm{G}_{F}$上$\mathit{0}$が孤立謄点でありかつ$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{F})\leqq 1$

して特別な Weingarten 曲面であるならば,
において$\mathit{0}$がなりたちかつ$S_{gF}$がなりたつ ([A4]).

$S_{gF}=\emptyset$

であり $F$ との任意の元$\mathrm{G}_{F}$$g_{F}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{gF})\leqq$$\theta 0$に対しが全謄的ではなくそのそれそれのグラフ土

は孤立謄点でありかつ次がなりたつ ([A4]):$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{F})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{o}(\mathrm{G}_{gF})=1-k_{F}/2$.

3 指数予想, Carath\’eodory の予想および Loewner の予想
孤立謄点$p_{0}$を有する曲面 $S$ に対し,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p0}(S)\leqq 1$という不等式が期待されてきた. この(index conjecture) とよぶことにする. 指数予想に関連して, 二つの予想
dory の予想とがしられている:Carath\’eodory の予想と Loewner の予想である.

予想を$\underline{\mathrm{P}_{\mathrm{B}}\text{数予_{}\iota_{\grave{d}}\backslash }^{*\mathrm{B}},}$$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}’\infty$

はコンパクトかつ強凸なる曲面には二つ以土謄点が存在するのではないかというものである. もし指数予想が正しいならば, コンパクトむきづけ可能かつ種数が 0 の曲面には二つ以上謄点が存在することが Hopf-Poincar\’e の定理を用いてわかる. コンパクトかつ強凸なる曲面はむきづけ可能かつ種数が 0 であるので, もし指数予想を肯定的に解決できるな
らば結局 Carath\’eodory の予想も肯定的に解決できることがわかる. $f$ を二実変数 $x,$

実数値をとる滑らかな関数とし,$\partial_{\overline{z}}:=(\partial/\partial x+\sqrt{-1}\partial/\partial y)/2$

とおく. 各正の整数$y$の$n\in \mathrm{N}$に対し, ベクトル場 VTゝを次のように定義する:$\mathrm{V}_{f}^{(n)}:={\rm Re}(\partial\frac{n}{z}f)\frac{\partial}{\partial x}+{\rm Im}(\mathfrak{B}_{z}f)\frac{\partial}{\partial y}$

またVf(nゝの非零点全体からなる集合上で$\mathrm{V}_{f}^{(n)}$き正の整数 $n$ に対する Loewner の予想とは.

が定義する連続分布を D ゝで表す. このと$\mathrm{V}_{f}^{(n)}$$f(n$の孤立零点の Df(nゝについての指数は$n$以下なのではないかというものである ([K], [T]). Loewner の予想に関して, 次の (a), (b)がしられている:(a) ベクトル場$\mathrm{V}_{f}^{(1)}$とは$\mathrm{V}_{f}^{(1)}=\frac{1}{2}\{\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}$である. すなわち$\mathrm{V}_{f}^{(1)}$十一$\frac{\partial}{\partial y}\}$とは $f$ の勾配ベクトル場の半分である. 勾配ベクトル場のふる

まいは $f$ の等高線によって決定されることに注意すると, Vf(lゝの孤立零点の Df(lゝについての指数は 1 以下であることがわかる, すなわち正の整数 1 に対する Loe
想は肯定的に解決される.

er の予

44
(b) ベクトル場$\mathrm{v}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2)}$

$f$

とは

$\mathrm{V}_{f}^{(2)}=\frac{1}{4}\{(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}})\frac{\partial}{\partial x}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\frac{\partial}{\partial y}\}$である. $f$ の Hessian を$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}f$で表す.

$\mathrm{V}_{f}^{(2)}$の零点とはちょうど数倍と表されるような点であるが, さらに任意の実数$\phi\in \mathrm{R}$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}_{f}$が単位行列の定に対し$-( \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}})\sin\phi+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\cos\phi$$=2\{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}_{f}(\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi/2)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi/2)\end{array}),$$(\begin{array}{l}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi/2)\omega \mathrm{s}(\phi/2)\end{array})\}$がなりたつことに注意すると, 正の整数 2 に対する Loewner の予想を滑らかな関数の Hessian の一次元固有空間から構成される連続分布の孤立

特異点の指数は 1 以下なのではないかといいかえることができる. さらにこのいいかえられたものは指数予想と同値である([SX]). よって指数予想は Loewner の予想の一部であるといわれることもある.
曲面上の主分布のふるまいに関する著者によるこれまでの研究方法は Loewner の予想に現れる連続分布$\mathcal{D}_{f}^{(n)}$のふるまいを調べる土で有効であるかどうかをしることを試みた.

その結果, $n=1$ および 2 に対しては有効である一方 $n\geqq 3$ に対しては有効ではないことがわかった. ここで Loewner の予想とは別のしかしながらやはり指数予想を一部として含む予想で著者によるこれまでの研究方法がその予想を調べる土で有効であるようなものは存在するだろうかという問題が考えられた. 第 5 節において, これらの条件をみたす予想について説明する. その予想において研究対象となっているものは滑らかな関数 $f$ からえられるある対称テンソル場によって与えられる有限多価分布である. 第 4 節において,多価分布について説明する.

4 多価分布$S$を滑らかな二次元多様体とし, $U$ を

このとき連続分布
よぶ. 分布要素$\mathcal{D}$$S$の開集合とする. またおよびその定義域 $U$ の対$(\mathcal{D}0, U_{0})$が$(\mathcal{D}, U)$

がなりたちかつ $U_{0}\cap U$ 土で$(\mathcal{D}, U)$$\mathcal{D}$を分布要素

を $U$ 上の連続分布とする.

element) と$\underline{(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}$(direct continuation)の– であるとは,$\mathrm{E}\llcorner \text{接接続}$$\mathcal{D}0\equiv \mathcal{D}$$U\mathit{0}\cap U\neq\emptyset$

がなりたつときにいうことにする. 分布要素の集45
合$\{(\mathcal{D}_{i}, U_{i})\}_{i\in \mathrm{N}}$$(\mathcal{D}:, U_{i})$$S$て(continuation) であるとは, 任意の$\underline{\mathrm{f}\mathrm{g},\beta_{J\mathrm{b}}}$$p$に対し, 定義域がにおける同値関係に対し$i\in \mathrm{N}$

に対し

$p$

$(\mathcal{D}_{2}, U_{2})$$p$を含むような分布要素全体からなる集合を

を次のように定義する: 二つの分布要素$\sim$の $U_{1}\cap U_{2}$ における近傍と記す. 同値関係$\sim$$U_{0}$

が存在して$U_{0}\text{土}\mathcal{D}_{1}\equiv \mathcal{D}_{2}$が$(\mathcal{D}_{1}, U_{1}),$$\overline{X}_{p}$元を表しているとき,(a) 連続であるが存在して(b) 完備$\vee\subset^{\backslash }\backslash$あ6$\{p\dot{.}\}:\in \mathrm{N}$$(\mathcal{D}, U)\subset(\overline{\mathcal{D}}, D)$$(\infty \mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s})$$(\mathcal{D}, U)\subset(\tilde{\mathcal{D}}, D)$

および接続

に対し

$(\mathcal{D}0, U\mathrm{o})$$\vee\epsilon*$$\tilde{\mathcal{D}}(q)$$\mathrm{s}$上の二つの連続関数(i)$\phi_{1}(q_{0})=\phi_{2}(q_{0})$$\phi_{1},$(iii) 零ではない実数$O_{\infty}$が$(\mathcal{D}, U)\in\omega$内の収束点列$\in U.\cdot$

および$i\mathrm{o}\in \mathrm{N}$が存在して任意の$i\geqq i_{0}$$(\mathcal{D}_{1}, U),$$(\mathcal{D}_{2}, U)\subset(\tilde{\mathcal{D}}, D)$$\mathcal{D}_{1}\neq \mathcal{D}_{2}$$(\mathcal{D}_{1}, U),$ $(\mathcal{D}_{2}, U)\subset$

がなりたつときにいうことにする;

をみたすならば,$\tilde{\mathcal{D}}$が分離されていてかつ次がなり$(\mathcal{D}_{1}, U),$ $(\mathcal{D}_{2}, U)\subset(\tilde{\mathcal{D}}, D)$$q_{1}$がある点が存在して次の三つの条件をみたす$(\cos\phi:)\partial/\partial x+(\sin\phi\dot{.})\partial/\partial y$$c\in \mathrm{R}\backslash \{0\}$が存在して,

土の局所座標系である.

$q_{0}\in$の $U$ におけるある近傍 $O_{q0}$ および;(ii) $i=1,2$ 4 こ対し,ただし $(x, y)$ は$\phi_{2}$

$D$

に対し乃

parated) とは, 異なる二つのある (pointwise separable) とは,$\mathcal{D}_{1}(qo)=\mathcal{D}_{2}(qo)$のの異なる二つの元を表しているときにいうことにする;

たつときにいうことにする: 二つの分布要素に対し$\tilde{\mathcal{D}}(q)$が存在して link.\rightarrow \infty $p\dot{.}\in U0$(separated) とは, 異なる二つの分布要素に対し $U$ 土至るところ$\text{て}*$がおの直接接続である;(d) 各点で分離されて 1 る (pointwise(e) 各点 分離可能$\tilde{\mathcal{D}}$に対し分布要素$i\in \mathrm{N}$$(\mathcal{D}0, U\mathrm{o})$をみたしかつある正の整数$(\mathcal{D}:, U\dot{.})$

が任意の $q\in U$ に対し$(\tilde{\mathcal{D}}, D)$$\omega\in\overline{\mathcal{D}}(p)$が任意の正の整数をみたすならば, 分布要素$(\mathcal{D}0, U\mathrm{o})\subset(\tilde{\mathcal{D}}, D)$は$(\mathcal{D}, U)$$\tilde{\mathcal{D}}$がなりたつときにいうことにする;$\{(\mathcal{D}:, U\dot{.})\}:\in \mathrm{N}$および$\text{されて}1^{\mathrm{a}}\text{る}$上の多価分布とは, 次がなりたつときにいうことにする:$(\infty \mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e})$$(\mathcal{D}:, U\dot{.})\subset(\tilde{\mathcal{D}}, D)$(c) 分離$D$と記すことにする. $D$ 土の多価分布とは, 各 $p\in D$ および各$(\mathcal{D}_{1}, U_{1})\sim$

で表す.

に対し $U\subset D$ がなりたちかつ任意の $q\in U$ に対し$(\mathcal{D}, U)$$(\mathcal{D}_{2}, U_{2})\in X_{p}$の部分集合を対応させるもののこと$\overline{X}_{p}$を $D$ 土の $\underline{\text{(many-valued
多}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{
分布}}$ とよぶことにする.
distribution)

よび分布要素で表す. そし$X_{p}$がなりたつとき,に関する同値類全体からなる集合を

を $S$ の開集合とする. このとき $D$ の各点 $p$ に$U$$(\mathcal{D}_{i+1}, U_{i+1})$の直接接続であるときにいうことにする.

の点$X_{p}$$D$がは$O_{q0}$$(\mathcal{D}:, O_{q0})$を表す

上 $c(\phi_{1}-\phi_{2})\geqq 0$ がなりたつ,$O_{\infty}$

46
$D$

を $S$ の領域とし,$\tilde{\mathcal{D}}$を $D$ 土定義された連続, 完備かつ分離されている多価分布とす

る. このときある正の整数

任意の $p\in D$ に対し$n_{0}$

価である ($D$$n_{0}$がりを$\tilde{\mathcal{D}}$およびある点に対し$\in D$勾がなりたつ.

$n_{0}$$\#\overline{\mathcal{D}}(p_{0})=n_{0}$がなりたつならば,のような整数が存在するとき,

no を正の整数とする. また$n_{0}$

価分布とする. また$\tilde{\mathcal{D}}$$p_{0}$$S\backslash D$

をみたすものとする. このときの点で ,$p\mathit{0}$は$\tilde{\mathcal{D}}$$p\mathit{0}$の $S$ におけるある近傍 Oヵの孤立特異点でありえる, つま龍疔掬擇龍表が $(0, 0)$ に対応するものとする. また r。は正の実数で, $\{0<x^{2}+y^{2}<r_{0}^{2}\}$ がに含まれるものとする. \phi う

し分布要素

を特に

を $D$ 土定義された連続, 完備かつ各まで完備に延長することはできない可能性がある. $(x, y)$ は$p_{0}$$\tilde{\mathcal{D}}$-valued) または有限多価である (finitely many-valued) ということにする.

$O\text{。}\backslash \{\text{ }\}\subset D$

座標系で,
$D$

$\#\tilde{\mathcal{D}}(p)=$を $S$ の領域とし,点で分離可能な$n_{0}$$(\mathcal{D}, U)$

$jp0$

は

$(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$土の連続関数で, 各 ’$($が存在して $(r\cos \theta, r\sin \theta)\in U$ および$\theta)\in(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$$(\mathcal{D}, U)\subset(\tilde{\mathcal{D}}, D)$に対がなりたちかつ $(r’\cos\theta’, r’\sin\theta’)\in U$ をみたす任意の $(r’, \theta’)\in(0, r_{0})\cross(\theta-\pi/2, \theta+\pi/2)$に対し$(r’, \Psi)\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{s}.\mathrm{n}\phi_{\tilde{\mathcal{D}}_{j}p0}(r’, \Psi)\frac{\partial}{\partial y}\in \mathcal{D}(r’\infty \mathrm{s}\theta’,r’\sin\theta’)$$\omega \mathrm{s}\phi_{\tilde{\mathcal{D}}}$

jp。

がなりたつようなものとする. そして \phi う;。のような連続関数全体からなる集合を \Phi うヵ

で表す.

$\overline{\mathcal{D}}$についての$\text{ }$の指数 (index)$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p0}(\tilde{\mathcal{D}})$を次のように定義する:$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p0}(\tilde{\mathcal{D}}):=\frac{\phi_{\tilde{\mathrm{D}}_{j}p0}(r,\theta+2n_{0}\pi)-\phi_{\tilde{\mathrm{D}}_{j}p0}(r,\theta)}{2n_{0}\pi}$.

(2)

有限多価分布の孤立特異点の指数は一般に有理数であり, 整数の半分と表されるとは限らない.

(2) における指数の定義は$(r, \theta)\in(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$の選び方にも連続関数 \phi う j。 \in \Phi う j。

の選び方にも局所座標系 $(x,y)$ の選び方にもよらない. 孤立特異点の指数を (2) の中でのように定義するとき, 連続, 完備かつ各点で分離可能な有限多価分布に対し Hopf-Poincar\’eの定理に相当するものがなりたつ. 特に $no=1$ であるならば,分布とみなすことができ,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p0}$$\tilde{\mathcal{D}}$を第 1 節の意味での連続(う) はやはり第 1 節の意味でのうについての

了愎瑤

等しい.

孤 “^特異点を有する連続, 完備かつ各点で分離されている有限多価分布の具体例をあげ$\Delta\backslash$る. 正の整数$n_{0}\in \mathrm{N}$$(r,\theta)\in(0, r_{0})\cross \mathrm{R}$および零ではない整数$m_{0}\in \mathrm{Z}\backslash \{0\}$に対し,$q_{0}:=m_{\mathrm{O}}/n_{0}$とおく. 各に対し点 (rcos , rsin ) での互いに異なる勾個の接ベクトルの集合$\theta$$\theta$$\{\cos(q_{0}\theta+\frac{j\pi}{n_{\mathrm{O}}})\frac{\partial}{\partial x}+\sin(q_{0}\theta+\frac{j\pi}{n_{0}})\frac{\partial}{\partial y}\}_{j=0,1,\ldots,n0-1}$を対応させるものを認識することによって,$\mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$上の連続, 完備かつ各点で分離されている一価分布う ( ) をみいだすことができる. このとき $(0, r_{0})$$\cross \mathrm{R}$土の連続関数47
として, 任意の ($\phi\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{c}_{90})_{\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathrm{Q}\mathrm{Q})},arrow\Phi\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{i}(q\mathrm{o})_{\ovalbox{\tt\small REJECT}(0,0)}$$r,$$\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow(0, r_{0})\mathrm{x}\mathrm{R}$こ対し

みたすようなものをみいだすことができる. よって (2) から,$\phi\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{i}(90)_{\ovalbox{\tt\small REJECT}(0,0)}(r,$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} q\mathit{0}\theta$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(0,0)(\ovalbox{\tt\small REJECT}^{(q\mathrm{o})})\ovalbox{\tt\small REJECT} q\mathit{0}$

を

をえる.

5 予想
$n$

を正の整数とする. そして$\mathrm{R}^{2}$の領域 $D$ 上の滑らかな関数 $f$ に対し, ff $f$ を次のような $(0, n)$ 型の対称テンソル場とする:$d^{n}f:=.

また各実数$\phi$\sum_{1=0}^{n}(\begin{array}{l}ni\end{array})\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-}\partial y}\dot{.}\dot{.}$および $D$ の各点 $p$ に対し, 次のようにおく:,$(\overline{d^{n}f})_{p}(\phi):=(fff)_{p}(\mathrm{U}_{\phi}, \ldots, \mathrm{U}_{\phi})$$\mathrm{U}_{\phi}:=\infty \mathrm{s}\phi\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{s}.\mathrm{n}\phi\frac{\partial}{\partial y}$

$D$

の点

$p$

での接平面の一次元部分空間. がなりたつとき,点$\mu \mathrm{l}$d。n-idyi.

$L$を’ $f$ の $p$ での

$L$

に対し

$(\overline{d^{n}f})_{p}$の臨界点$\phi 0$.

が存在して$\mathrm{U}_{\emptyset 0}(p)\in L$

direction) ということにする. $D$ の$\mathrm{f}\underline{\mathrm{f}_{\mathrm{D}0}\mathrm{E}\text{方}\cap \mathfrak{o}(\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}1}-$

が’ $f$ の $\underline{\text{
point) であるとは,(umbilical謄}f_{1}5\iota}$$($’$f)_{p\mathrm{o}}$が定数であるとき, すなわち

での接平面の全ての一次元部分空間が臨界方向であるときにいうことにする.

$\tilde{\mathcal{D}}_{\text{や}f}$$\mu \mathrm{l}$は’ $f$の非謄点からなる開集合土の連続, 完備かつ各点で分離可能な有限多価分布で, 各点で ff $f$の臨界方向を与えるようなものとする. 例えば,価) 分布であり,$\tilde{\mathcal{D}}_{d^{2}f}$$\tilde{\mathcal{D}}_{d^{1}f}$は $f$ の勾配ベクトル場が定める (–は $f$ の Hessian の (一つまたは二つの) 一次元固有空間から構成される (一価または二価の) 分布である. $f$ が調和関数であるならば,$( \overline{d^{n}f})(\phi)=\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n}}\cos n\phi+\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-1}\partial y}\mathrm{s}.\mathrm{n}n\phi$

がなりたつことに注意すると,$\tilde{\mathcal{D}}$$f$、

として $ff^{l}f$ の非謄点全体からなる集合土で定義された連続, 完備かつ各点で分離されている$f:=x^{4}+y^{4}$ とおくと$n$

価分布をみいだすことができる. また$f$を, 任意の ( ,y)\in R2&こ対し$x$$\frac{1}{24}(\overline{d^{3}f})_{(x,y)}(\phi)=x\cos 3\phi+y\sin 3\phi$

がなりたちそして任意の$\theta\in \mathrm{R}$に対し$\frac{1}{72}\frac{d(\overline{d^{3}f})_{(\infty \mathrm{s}\theta,\mathrm{s}\dot{\mathrm{m}}\theta)}}{d\phi}(\phi)=-\cos\phi\sin\phi\cos(\theta+\phi)$

がなりたつので, $(0, 0)$ は$\mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$$\mathrm{R}^{2}\text{土}d^{3}f$の唯一の謄点であることがわかりそして$\tilde{\mathcal{D}}_{d^{3}f}$上定義された連続, 完備かつ各点で分離可能な 3 価分布で $(0, 0)$ のとして$\overline{\mathcal{D}}_{d^{3}f}$

につ

48
いての指数

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(0,0)(\tilde{\mathcal{D}}_{d^{3}f})$

が -1/3 に等しいようなものをみいだすことができる. $n\geqq 3$ であるとき, 局所的には必ず D や にあたるものをみいたすことができる. しカルながら非$f$

謄点全体からなる集合土では D や をみいだすことができない場合もある. ここで各非謄$f$

点での ff $f$ の全ての臨界方向を用いて非謄点全体からなる集合土で$\tilde{\mathcal{D}}$

や $f$

に

構成できると仮定する (例えば, $f$ が実解析的でありかつ区間 [0, ) の中の$\pi$

点の重複度の和が非謄点$p$$\text{あ}_{arrow}^{-}$

るものを

の臨界

$(\overline{d^{n}f})_{p}$の選び方によらないならば, この仮定はみたされる). このとき

著者は次の予想をえた:

予想 D や は上述のように構成されているものとするとき, ’ $f$ の孤立謄点のう、 につ
$f$

$f$

いての指数は 1 以下である.
$n\in\{1,2\}$らば,$\mathrm{V}_{f}^{(n)}$であるならば, この予想は Loewner の予想と同値である. 一方 $n\geqq 3$ であるなの零点は ff $f$ の謄点であるとは限らないので, この予想は Loewner の予想と同値ではないことがわかる. [A5] において, 曲面上の主分布のふるまいに関する$([\mathrm{A}1]\sim[\mathrm{A}4]$における) 著者によるこれまでの研究方法をもって, $f$ が実解析的である場合に上述の予想を調べた. 特に, $f$ が同次多項式であるならば上述の予想は正しいことがわかった. さらに $f$ が同次多項式であるならば, D や のふるまいは $f$ のグラフ上での主分布のふるま$f$

いの類似物であることもわかった. このことを次の段落で説明する.
$k$

を $n$ 上り大きい整数とする. また

でありかつ

は非謄点

$p$

$\mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$

の各点

$p$

$g$

は二変数 次同次多項式で, $(0, 0)$ が’ の孤立膀点
$k$

$g$

に対する区間 $[0, \pi)$ の中のの臨界点の重複度の和$(\overline{d^{n}g})_{p}$の選び方にはよらないものと仮定する. このとき点$(x,y)\in \mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$ベクトル場が ffg の臨界方向の一つに含まれることと $x\sin\theta_{0}=y\cos\theta 0$ なる実数

(第 2 節の 2-4 をみよ) の元であることは同値である ([A5]).
$E_{g,I}^{(n)}$は $I$ 上の連続関数の集合で, 任意のでの接ベクトル$\eta_{g}\in E_{g,I}^{(n)}$$(\cos\eta_{g}(\theta))\partial/\partial x+(\sin\eta_{g}(\theta))\partial/\sim$ののうちの最大のものとする. そして $R(ffg)$ は$\theta 0$を含む開区間$I$および$E_{g,I}^{(n)}$の元$\eta_{g,\theta_{0}}$$I$をおよび任意の$\mathrm{R}$$R(ffg)$ の元とし,$\eta_{g,2}$が$I_{\theta_{0}}\backslash \{\theta 0\}$$\eta_{g,1}\equiv\eta_{g,2}$に等しい$I_{\theta_{0}}$$\theta$$\mathrm{R}$の部分集合で, 各 $\theta 0\in R(ffg)$ に対し$\theta_{0}=\eta_{g,\theta_{0}}(\theta_{0})$がなりたつ. 以下

で $\eta_{g,1}=\eta_{g,2}$ をみたすならば$\theta$

がなりたつようなもの$R_{g}=\mathrm{R}$$R_{g}\neq \mathrm{R}$を含むがなりたつようなものとする. このとき正の整数$E_{g,I_{\mathit{9}_{0}}}^{(n)}$の元の数は$N_{g}^{(n)}(\theta 0)^{2}$$R_{g}$

に対し $(\cos\theta,\sin\theta)$に等しい. $R(d^{n}g)$ の元$\theta_{0}$が$E_{g,I_{\theta_{0}}}^{(n)}$$I_{\theta_{0}}\backslash \{\theta 0\}$$N_{g}^{(n)}(\theta_{0})$がなりたつなを仮定する.

は $I_{\theta_{0}}\cap R(ffg)=\{\theta 0\}$ をみたす開区間でありかっ

のある点

が

が ffg の臨界方向に含まれるようなもが存在して$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(0,0)(\tilde{\mathcal{D}}_{d^{n}g})=1$$\theta 0$の開区間とする. また$\theta\in I$のうちの最大のものとする. このとき R(ffg)\subset R。がなりたつ.

らば, $R(ffg)=\mathrm{R}$ および

で位置

の二元

を

$\eta_{g,1}$,の連結成分土が存在して,$\tilde{g}(\theta_{0})\neq 0$$\theta_{0}$$\theta 0$

で$\theta 0$

をみたすなら49
ば,がなりたつ ([A5]). $n$ が 1 または 2 であるならば, 任意の $\theta_{0}\in R(d^{n}g)$ に$N_{g}^{(n)}(\theta_{0})=1$

対し $N_{g}^{(n)}(\theta 0)=1$ がなりたつ. $R(ffg)$ の元$I_{\theta_{0}}\backslash \{\theta_{0}\}$の任意の元$\theta$および$\theta 0$

で$\theta 0$の$\theta_{0}$に等しい$\underline{\text{符_{}\backslash }\overline{\tau}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n})}$が正 (および負) であるとは,Eg(M。の任意の元$\eta_{g,\theta_{0}}$に対し次がなりたつときにいうことにする:$(\theta-\eta_{g,\theta_{0}}(\theta))(\theta-\theta_{0})>0$

対し,
(a)

(b)

$\theta 0$が関係があることと次のいずれか一つがなりたつことは同値である ([A5]):$\tilde{g}(\theta_{0})--0$$\tilde{g}$は(およびく 0).

$\theta 0$;

で極値をとる.

よって $R(ffg)$ の元$\theta_{0}$に対し,$\theta_{0}$が関係があることと$\theta_{0}$の臨界符号 (第 2 節の 2-4 をみよ)

が正または負であることは同値である. $R(d^{n}g)$ の関係がある元
いて次の二つがなりたつ:$\theta_{0}$の臨界符号が負でありかつの臨界符号が正であるならば,$\theta_{0}$$\theta_{0}$$\theta_{0}$の符号と臨界符号につの符号も正である ([A5]);$\theta_{0}$が$(n-1) \frac{d^{2}\tilde{g}}{d\theta^{2}}(\theta_{0})\neq(k(k-n))\tilde{g}(\theta_{0})$をみたすとき,$\theta 0$の符号が正 (および負) であることと(および [0, $k(k-n)$ )$(n-1) \frac{d^{2}\tilde{g}}{d\theta^{2}}(\theta_{0})/\tilde{g}(\theta 0)\in(k(k-n), \infty)$$)$

がなりたつことは同値である ([A5]). $R(d^{n}g)$ の関係がある元でその符号が正 (および負)であるもの全体からなる集合を $R_{+}(ffg)$ (および

$R_{-}$(ffg)) で表し, $\epsilon\in\{+, -\}$ に対し$N_{g,\epsilon}^{(n)}:= \sum_{\theta 0\in R_{\mathrm{g}}(d^{n}g)\cap[\theta,\theta+\pi)}N_{g}^{(n)}(\theta_{0})$とおく.

このときある正の整数$N_{d^{n}g}$についての $(0, 0)$ の指数$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{(0,0)}(\tilde{\mathcal{D}}_{d^{n}g})$

らに ind $(0,0)$ (I) や g)がなりたつ.

\mbox{\boldmath $\theta$}0\in R。に対し$\leqq 1$$\theta_{0}\in R(ffg)$

および

で, $(N_{g,+}^{(n)}, N_{g,-}^{(n)})=(k, 0)$ そしてに対し D や は$g$

$N_{d^{n}g}$

価分布であるとすると, D や g

は $1-(N_{g,+}^{(n)}-N_{g,-}^{(n)})/N_{d^{n}g}\text{と}$ 表される ([A5]). さ
$g$

が

$k$

$\tilde{g}(\theta_{0})\neq 0$

次調和同次多項式であるとすると, 任意のがなりたちかつ$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{(0,0)}(\tilde{\mathcal{D}}_{d^{n}g})=1-k/n$$\theta_{0}$の臨界符号は正であるのをえる. この段落は第 2 節の 2-4の類似物であることが直ちにわかる.
また $f$ が実解析的であるとき, 第 2 節の 2-5 の類似物が$\tilde{\mathcal{D}}_{d^{n}f}$に対しなりたつ ([A5]).

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〒 192-0397 東京都八王子市南大沢 1–1

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