伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊誤った考え方でも答えが合ってしまう
確率の問題∼一般化して考えることの大切さと新たな発見∼
ふなやま

ひろ と船山寛人

伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに数学の問題を解いていく上で，誤った考え方で解いても答えが偶然合ってしまうことがある。特に場合の数や確率の単元においてはそのようなことが起こりやすいように感じる。今回紹介するサイコロの3 の倍数：

21=
6
3

2 の倍数：⑵

3 32 の倍数：1−  =46⑶6 を使って 6 の倍数になるとき，または4 53 の倍数：1−  =96

6 を使わないで 6 の倍数と考えると目の積が 6 の倍数になる問題では，サイコロを 2 個，

5411+4 1551−  +  =
= =
66
36 12
63 個投げたときのみならず n 個投げた場合においても誤った考え方で答えが一致してしまうことがわか

3
1=
62⑴

⑷

6 を使って 6 の倍数になるとき，または 6 を使った。また，6 の倍数でなく一般的に k の倍数になわないで 6 の倍数になるときと考える。

る確率を考えてみると，k に特定の条件がついた場合に成り立つ関係式があることもわかったので紹介

5
91
6 を使って 6 の倍数になる確率は 1−  =216
6していきたい。

6 を使わないで 6 の倍数になる確率は，
 3 個中少なくとも 1 つは 3 の倍数かつ少なくとも 1 つは 2§2．確率が一致する例，一致しない例(四訂版

クリアー数学演習Ⅰ・Ⅱ・A・B)

Practice 17の倍数のときである。余事象を考えると，
3個中すべて 3 の倍数でない，またはすべて 2 の倍数でないと考えられるので，その確率は
5−(4+3−2)
42=
6
216

同時に何個かのサイコロを投げるとき，次の問いに答えよ。
⑴ サイコロを 1 個投げるとき，サイコロの出た目が 2 の倍数になる確率，および 3 の倍数になる確率をそれぞれ求めよ。
⑵ サイコロを同時に 2 個投げるとき，サイコロの出た目の積が 2 の倍数になる確率，および 3 の倍数になる確率をそれぞれ求めよ。
⑶ サイコロを同時に 2 個投げるとき，サイコロの出た目の積が 6 の倍数になる確率を求めよ。
⑷ サイコロを同時に 3 個投げるとき，サイコロの出た目の積が 6 の倍数になる確率を求めよ。
〔12 同志社大〕この問題の解答は以下のように考えられる。

よって，求める確率は9142133+=216 216 216

この問題を通して，生徒から 1 つの疑問が出てきた。
⑶ の 2 個サイコロを投げるとき，目の積が 6 の倍数になる確率が，⑵ で求めた 2 の倍数になる確率と 3の倍数になる確率の積になっているのは偶然なのか？

53
5= ×
12 49

また，サイコロを 3 つ投げるときもこの関係が成立しているという。計算してみると，サイコロを 3 つ投げるとき目の積が 2 の倍数，3 の倍数になる確率
はそれぞれ 1−3 74 19，1−  =であり，
=
827
66

7 19 133× =となり成立している。
8 27 2169 6 の倍数⇔ 2 の倍数かつ 3 の倍数であるこも 1 回 2 の倍数が出るかつ少なくとも 1 回 5 の倍数とから思いついた発想であるが，題意の確率を計算が出ると考えられるので，求める確率はするにあたっては誤った考え方である。これは偶然なのかどうか考え，試しに n 個のサイコロを投げて目の積が 6 の倍数になる確率で検証したところ，以下のようにして成立することがわかった。
(解答例)

1− 109 + 9 −(5 10+8 −4 )


=









10−5−8+410(誤答)1− 105 ×1− 108 55−(4+3−2) 6−4−3+2
1−  +=
6
66









=

1− 63 ×1− 64 

(10 −5 )(10 −8 )10×10

=

10×10−10(5+8)+(5×8)
10×10=(6−3)(6−4)
6×6

=10−5−8+4
10

=

6×6−6(4+3)+(3×4)
6×6

よってこの場合は正答と誤答で確率が一致するこ=6−4−3+26(誤答)






ーレットを回したとき，目の積が 6 の倍数になる確

ここで，サイコロの個数を一般化するのではなく，出た目の積の条件を変えて考察してみることとし，目の積が 10 の倍数になる確率を考えてみることにした。その結果正答と誤答で答えが一致しないことがわかった。n 個のサイコロを投げるとき，目の積が 10 の倍数になる確率について，(解答例)(目の積が 2 の倍数の確率)×(目の積が 5 の倍数の確率) 3
5
= 1−  × 1− 66

6 ×6 −6 (3 +5 )+(3×5)
6×6

以上のことから，目の積が 6 の倍数であると偶然答えが一致するが，目の積が 10 の倍数だと一致しない理由として，10 はサイコロ 1 個投げたときの目の出方の事象に含まれていないことが要因ではないかと思った。そこでサイコロ n 個ではなく，1∼10の目が出る n 個のルーレットを回したとき，目の積が 10 の倍数になる確率を考察した。
(解答例)
10が少なくとも 1 回出て 10 の倍数，または 10が 1 回も出ないで 10 の倍数と考える。つまり10が少なくとも 1 回出て 10 の倍数，または少なくと10った。
(解答例)

1− 109 + 9 −(5 10+7 −3 )




=



10−5−7+310

1− 105 ×1− 107 (誤答)=率では，正答と誤答で確率が一致しなくなってしま(誤答)6−(5+3−2)
6とがわかった。しかし，1∼10 の目が出る n 個のル=(10−5)(10−7)
10×10

=

10×10−10(5+8)+(5×7)
10×10§3．一般化
この他にも条件を少し変えて確率を考察してみた
ところ，次のように一般化できることがわかった。
p，q は異なる素数とする。
1 から pq までの pq 通りの目が出るルーレッ
トを n 個回したとき，目の積が p の倍数になる確率を P( p)，q の倍数になる確率を P(q)，pqの倍数になる確率を P( pq) とする。
このとき，P( pq)=P( p)×P(q) が成り立つ。
(証明)
1 から pq までの目において，p の倍数は q 個，qの倍数は p 個，pq の倍数は 1 個である。

目の積が pq の倍数になる確率は，
pq が少なくとも 1 回出て pq の倍数または pq が§4．おわりに今回の問題を通して，特に場合の数や確率の指導において，答えが合って満足するのでなく，答えを1 回も出ないで pq の倍数 pq が少なくとも 1 回出て pq の倍数または少な導いた考え方が本当に正しい考え方かどうかを生徒

くとも 1 回 p の倍数が出るかつ少なくとも 1 回 q自身が検証しようとする態度を身につけさせることの倍数が出ると考えるとが大切だと改めて考えさせられた。また，どのようP( pq)な場面でも成り立つのかを考えるために，条件を変

= 1−



( pq−1)( pq)

えたり，一般化して考えたりすることの大切さと面(pq−1)−{(pq−q)+(pq−p)−(pq−p−q+1)}+(pq)
=( pq)−q ( p−1)− p (q−1)+{( p−1)(q−1)}
( pq)

〔1〕

四訂版 クリアー数学演習Ⅰ･Ⅱ･A･B 受験編(栃木県立烏山高等学校)

P( p)×P(q)《参考文献》
数研出版編集部

また= 1−

白さにも改めて気づくことができた。

( pq−q)( pq)
p)1− ( pq−( pq) 







=

{( pq) −q ( p−1) }{( pq) − p (q−1)}( pq)×( pq)=(pq)×(pq)−(pq)×p(q−1)−(pq)×q(p−1)+pq(p−1)(q−1)
(pq)×(pq)

=( pq)− p (q−1)− p (q−1)+{( p−1)(q−1)}
( pq)

=P( pq)11