数学ⅡＢゼミ① １２月１８日（火）

数学史を通して、新しい数学を発見しよう。

日 時 ： 平成１３年１２月１８日（火），１９日（水），２１日（金）１３：１５〜１４：０５
場 所 ： パソコン室年組番氏 名

授業者：筑波大学大学院 修士課程教育研究科 教科教育専攻 数学教育コース 中嶋俊朗

10．事前課題
問題Ａ：
接線の方程式を求めるのに、どんな解法がありましたか？
問題１：円 ｘ２＋ｙ２＝５ について、次の接線の方程式を求めよ。
① 円周上の点（1,−2）における接線② 点（1,3）から円に引いた接線

答．ｘ−２ｙ＝５

答．２ｘ＋ｙ＝５、−ｘ＋２ｙ＝５

問題２：放物線 ｙ＝３ｘ２ について、次の接線の方程式を求めよ。
① 放物線上の点（1,3）における接線

答．ｙ＝６ｘ−３② 点（1,0）から放物線に引いた接線

答．ｙ＝０、ｙ＝１２ｘ−１２

問題Ｂ：接線の作図はできましたか？
問題３：円 O について、次の接線を作図せよ。
① 円周上の点 P における円 O の接線② 円外の点 Q から引いた円 O の接線問題４：放物線について、次の接線を作図せよ。
① 放物線上の点 P における放物線の接線② 放物線外の点 Q から引いた放物線の接線

2

1．古代ギリシア時代（初期ヘレニズム時代）
ギリシア数学について
古代ギリシアの数学に関する我々の知識の大部分は、ユークリッドとアポロニウスによるものである。この二人はヘレニズム時代初期の紀元前３世紀に活躍した人物だ。
ギリシア人は必要な記号を欠いていたため、現在の意味する代数学を持っていなかった。代数演算の変わりに幾何学を使わざるを得なかった。大部分は幾何学的代数学と呼ぶのがふさわしい。使う二つの主な方法は「面積のあてはめ」と「比例の方法」である。
ユークリッド：ユークリッドの生涯について知られているのは、彼がムセイオンの最初の教師の一人で、最高の教師だったことだけだ。おそらく彼はプラトンのアカデメイアで最初の教育を受けたのだろう。
ユークリッドはおよそ 12の著作を書いたが、その大部分は失われている。
『円錐曲線論』、これはすぐにアポロニウスによるいっそう包括的な著作によって取って代わられることになった。
幸いにも 5 つの著作が現存している。その中に彼の主著である『原論』がある。
①②③
アポロニウス：「偉大なる幾何学者」として知られるアポロニウスは、紀元前 262 年頃に南イタリ
アのペルガ①で生まれた。彼はおそらくアレクサンドリア②のムセイオンで教育を受けたものと思われる。また、重要な科学上の中心地であるペルガモン③に移る前に、しばらくの間そこで教えていたことは③確かである。いま、彼の人生につい①てはわずかなことしか知ることはできず、彼のほとんどの著作も失われてしまった。しかし、後代の人々の言葉からそのいくつかの内容をある程度想像することができる。
②
文献資料

ギリシアの数学的活動を評価するに際しては、その数学的著作の大部分はすでに失われてしまっていることを忘れてはならない。実際、古典期からはわずかの断片しか残されておらず、何世紀も後に書かれた注釈者や編集者の言及によらねばならないことが多い。ヘレニズム期はそれでもかなりよく保存されているが、ここでも古代エジプトやバビロニアにおけるような一次文献はないのである。現存する最古の数学文献は「何度も筆写された写本の写本」である。紀元前３世紀はギリシア数学の黄金期であるが、我々の知識のほとんどが、３人の天才数学者ユークリッド、アポロニウス、アルキメデスの現存する著作（完全からは程遠い）からのものである。

3
ユークリッドの『原論』：かつて書かれた数学書の中で最も大きい影響力（活版印刷術の発明以来、1000 以上の版がある）を持ったものである。本来はこれが編集されたのは学生のための教科書としてだったことは重要である。
『原論』は全部 13 巻から構成され、467 もの命題を含みギリシア古典期の初歩的な数学的知識をすべて見いだすことができる。しかし、後半の数巻には初歩のレベルをはるかに超えたものである。さらに専門的な高等な問題（たとえば円錐曲線や球面幾何学）は除かれている。
『原論』は全時代を通じて最も影響力のあった著作である。この偉大な著作は紀元前 300 年頃に書かれた（あるいはさらにありそうなことだが集められて編纂された）。しかし、現存する最も古いテキストは紀元後 10 世紀頃のビザンティンのものである。それらはほとんど紀元後４世紀にアレクサンドリアのテオンによって書かれた版に由来する。８世紀の終わりまでに『原論』はアラビア語に翻訳され、12 世紀にはアラビア語版がラテン語に翻訳され、ヨーロッパに移入された。
『原論』
は 1484 年に初めて出版（印刷）されている。ギリシア語から直接翻訳されたラテン語版は 1505年に出版され、ギリシア語原文の方は 10 年後に出版している。しかし、詳細な研究に基づいたテキストは 19 世紀末まで現れなかった。それは偉大なデンマークの学者Ｊ．Ｌ．ハイベルクが 1883年から 1888 年にかけて出版した校訂版である。この版は 1926 年のトマス・ヒース卿の英語訳を含む、以後の版すべての基礎となった。このようなやっかいな一連の事実は現在伝わっているかなり少数のギリシア数学の著作の文献史の典型である。事実、ギリシア語原文がすでに現存せず、研究者はアラビア語訳を用いなければならないことも時々ある。アポロニウスやアルキメデスの著作のいくつかがそうである。
【 引用文献：数学を築いた天才たち㊤ 講談社 BLUE BACKS 】

２．比例中項の関係
次の図において比例中項の関係 RS２＝PS・SQ が成り立つことを証明せよ。
【証明】4【 引用文献：ユークリッド原論 （訳・解説 中村幸四郎 他 共立出版） 】【参考①】Ⅱ巻 命題１４①②③④⑤

下線部①・・・原論Ⅰ巻 命題４４

下線部④・・・比例中項の関係

下線部②・・・原論Ⅱ巻 命題５

下線部⑤・・・面積のあてはめ

下線部③・・・原論Ⅰ巻 命題４７

5
【参考②】ピタゴラスの定理（三平方の定理）
Ⅰ巻 命題４７

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３．円錐曲線について
アポロニウスの『円錐曲線論』：『円錐曲線論』は８巻から構成され、487 を越える命題を含んでおり、それらはすべてギリシアの天才たちの特徴でもある厳密に演繹的な方法で証明されている。
最初の４巻は 12〜13 世紀のギリシア語手稿によって我々に伝えられている。続く３巻はアラビア語でのみ残っている。第８巻は失われたが、17 世紀にハレーによってパッポスから復元された。
【 引用文献：数学を築いた天才たち㊤ 講談社 BLUE BACKS 】
円錐曲線について円錐曲線の発見はメナイクモス（BC．350〜？）に帰せられる。どうして円錐の切断によって曲線の生ずることを考えに至ったかは不明である。古代人は直円錐以外の円錐を知らなかったが、３種類の円錐曲線を作った。
（次ページの図）これらの名称はユークリッドとアルキメデスとによって用いられ、これは、アポロニウスがその３曲線に今日われわれの知っている名称を与えるまで存続した。
ユークリッドは、円錐曲線に関する組織的な論文『円錐曲線論』４巻を書いた。その範囲はアポロニウスの最初の４巻の範囲とだいたい同じであったが、その取り扱いはやや一般的ではなかった。
これは、ところどころにおいてアリスタイオスの著作を基にしていて、多くの先駆者（アリスタイオスやメナイクモス）の命題を総合したものであったと思われる。しかし、ユークリッドの円錐曲線論とアリスタイオスの立体の軌跡とは、アポロニウスの円錐曲線論によってただちに圧倒されたために失われてしまった。
アポロニウスの円錐曲線論は権威ある論文とみなされ、その他の一切に取って代わった。エウトキウス（紀元後 520 年頃活躍）は最初の 4 巻を出版しそれに注釈をつけた。この注釈は残存していてハイベルクの 4 巻のギリシア語のテキストに含まれている。第 1 巻から第 4 巻はグレゴリによりエウトキウスの注釈をつけて、ギリシア語とラテン語とで出版されることになっていたが、仕事の進行中にグレゴリが死亡したので、ハレーがこの全企画の責任を引つぎ、それにアラビア語からの第 5 巻から第 7 巻の翻訳と第 8 巻の試行的な復元とを付け加えた。
【 参考文献：ギリシア数学史 T・L ヒース著 平田寛他訳 共立出版 】

7３−１．アポロニウスの『円錐曲線論』のエドモンド・ハーレーによる翻訳
３−１−１．翻訳本の表紙等

8３−１−２．最初の定義
左側：ギリシア語

ｐ１３

右側：ラテン語

左側：ラテン語右側：ギリシア語

ｐ１４9
最初の定義の英語訳【 引用文献：CONICS by APOLLONIUS OF PERGA （Greek text (Heiberg) ）Translated by Ｒ．Catesby Taliaferro 】

10
最初の定義の日本語訳
１．

もし、1 本の直線がその点と同じ平面にない円周の点から描かれ、どの方向へも延長され、その点が固定されその直線がはじめの点に戻ってくるまで円の円周にそって動かすならば、つくられた表面は、互いに垂直に反対の位置にある 2 つの表面からなる。各々は、それらを描く直線が無限に作られるとき、無限に作られる。その表面を円錐面という。固定された点を頂点といい、頂点から円の中心まで描かれる直線を軸という。
２．円そして頂点と円周の間の円錐面によって囲まれた図形を円錐という。そして表面の頂点である点も円錐の頂点という。そして、頂点から円の中心へ引いた直線を軸、円を円錐の底面という。
３．底辺に対して垂直な軸を持つものを直円錐、底辺に対して垂直でない軸を持つものを斜円錐という。
４．ひとつの平面のどんな曲線においても、ある直線に平行にこの曲線から引いたすべての直線を二等分するこの曲線から引いた直線を直径という。曲線上にあるその直線（直径）の端をその曲線の頂点という。各々の平行線は直径に対して縦線方向に引かれる。
５．同様に、ひとつの平面上にあるどんな２曲線においても、ある直線に平行にどちらかの曲線に引いたすべての直線を二等分する直線を横線方向の直径をという。曲線上にある直径の端を曲線の頂点という。二曲線間にあり、ある直線に平行に引かれ、曲線間の切り取られたすべての直線を二等分する直線を直立の直径という。各々の平行線は直径に対して縦線方向に引かれる。
６．直径になる二つの直線が他方に平行な直線を二等分するとき、曲線の共役な直径という。
７．曲線の直径であって、平行な直線を直角に分ける直線を曲線の軸という。
８．共役な直径であって、互いに平行な直線を直角に分ける直線を曲線の共役な軸という。
命題 ４
円ＢＣに平行な平面によって切り、曲線ＤＥをつくる。曲線ＤＥは軸上に中心をもつ円である。
命題 ７
直線ＢＣまたはその延長線に垂直な直線ＤＥを含むもう一つの平面で円ＢＣを切り、円錐面上に切断面として曲線ＤＥＦを作る。切断面と三角形ＡＢＣの共通部分を直線ＦＧとする。切り口ＤＥ
Ｆ上に任意に点Ｈをとり、Ｈを通り直線ＤＥに平行な直線をＨＫとする。直線ＨＫは直線ＦＧと交わり、切断面ＤＥＦの反対側に延長されるなら、ＦＧによって二等分されるだろう。

11

４．命題１１（放物線の定義）
４−１．エドモンド・ハーレーによる翻訳（ギリシア語からラテン語）
命題１１

12
４−２．命題１１の英語訳
A

B

CD【 引用文献：CONICS by APOLLONIUS OF PERGA （Greek text (Heiberg) ）Translated by Ｒ．Catesby Taliaferro 】

13４−３．命題１１を理解する
命題１１を読み、何をどう示しているか理解する。
【命題１１ 最初の部分（イタリック体 の部分）の日本語訳】
A

円錐が軸を通る面で切断され、軸三角形の底辺に垂直な直線で円錐の底面を切断する別の面で切断し、さらにその切り口の直径が軸三角形のひとつの辺に平行にしなさい。そうすると、切り口と円錐の底面の共通部分に平行に円錐の切り口からその直径に引いたどんな直線も、その正方形（square）は、切り口の頂点から始まる直径上のそれによって切られる直線と、円錐の頂角と切り口の頂点の間の直線に対して、軸三角形の底辺の正方形が三角形の残りの二辺で挟まれる長方形に対して持つ比と同じ比になる別の直線で挟まれた長方形と等しい。そして、その切り口のことを放物線と呼ぶ。
→ ワークシート① へ
４−４．放物線の定義で放物線を作図する
放物線の定義より、放物線上の点を作図する方法を考える。
→ ワークシート① へ14
数学ⅡＢゼミ② １２月１９日（水）数学史を通して、新しい数学を発見しよう。

日 時 ： 平成１３年１２月１８日（火），１９日（水），２１日（金）１３：１５〜１４：０５
場 所 ： パソコン室年組番氏 名

授業者：筑波大学大学院 修士課程教育研究科 教科教育専攻 数学教育コース 中嶋俊朗

15

０．比例中項の復習
比例中項の関係

放物線の定義１． 作図ツールの使い方【カブリジオメトリー（CABRI GEOMETRY Ⅱ）】
１−１．カブリの操作について →Ａ．クリック

操作マニュアルＧ．作図する

Ｂ．ドラッグ① 点を描く

⑨ 軌跡を描く

Ｃ．図形の削除② 交点をとる⑩ 点対称の点をとる

Ｄ．作図を途中でやめる③ 直線を描く⑪ 図形に名前をつける

Ｅ．取り消し／やり直し④ 円を描く⑫ トレースを残す

Ｆ．図形の選択や移動⑤ 垂線を描く⑬ 非表示にする／表示する⑥ 平行線を描く⑦ 中点をとる⑧ コンパスで長さをとる

16１−２．放物線の定義を使い放物線を作図する。

２．放物線の性質（Ⅰ巻：命題 33、35、46、Ⅱ巻：命題 5、7）

直線ＡＢを直径とする放物線がある。
直線ＢＣを縦線方向に引く。
直線ＡＣは切り口に接する。
直線ＡＣと直線ＧＢは等しい。
直線ＡG と切り口の間に引ける直線はない。

直径をＡＢＤとする放物線がある。
直線ＡＣが切り口に接し、点Ｃを通る直線ＨＣＭが直線ＡＤに平行に引かれ、任意の点Ｌが切り口にとられる。
直線ＬＮＦＥをＡＣに平行に引く。
ＬＮ＝ＮＦである。

17

円錐の切り口または円周ＡＢＣがある。
ＦＧはそれに接し、ＡＣはＦＧに平行でＥで二等分される。

ＢＥは切り口の直径である。

２． 放物線の接線の作図①放物線上の点における接線②放物線外の点からの接線

18
数学ⅡＢゼミ③ １２月２１日（金）数学史を通して、新しい数学を発見しよう。

日 時 ： 平成１３年１２月１８日（火），１９日（水），２１日（金）１３：１５〜１４：０５
場 所 ： パソコン室年組番氏 名

授業者：筑波大学大学院 修士課程 教育研究科 教科教育専攻 数学教育コース 中嶋俊朗

19

放物線の接線の性質を用いて、作図ツールを使って作図する。
０−１．定義・性質で直径、頂点、接点、縦線方向の関係を考えて、作図する。
０．

定義４
直径：平行な直線を二等分する直線
縦線方向：平行線
頂点：直線と直径の交点

命題３３
ＡＢが直径
ＣＤが縦線方向でＡＥとＥＤが等しいとき
ＡＣは接線である

命題４６
ＡＢＤが直径ＡＣが接線
ＨＣＭとＡＤが平行でＬＮＦＥとＡＣが平行のとき
ＬＮとＮＦは等しい

命題７
ＦＧが接線
ＡＣとＦＧが平行でＡＥとＥＣが等しい とき
ＢＥは直径である

20①放物線上の点における接線②放物線外の点からの接線

作業手順

作業手順

①

①②②③③④④⑤⑤⑥⑥

21
１．その他の円錐曲線（双曲線・楕円）の定義
１−１．命題１２

22

命題１２の主張
命題１１と同様に円錐曲線ＤＥＦをつくる。
直径ＦＧを延長させたとき、三角形ＡＢＣの一辺ＡＣを頂点を越え点Ｈで出会う。
点Ａを通り、切り口の直径ＦＧに平行に直線ＡＫを引き、ＦＧに垂直にＦから直線ＦＬを
ＫＡ２：ＢＫ・ＫＣ＝ＦＨ：ＦＬ となるように引く。
任意に切り口に点Ｍをとり、Ｍを通ってＤＥに平行に直線ＭＮを引く。Ｎを通るＦＬに平行な直線ＮＯＸを引く。直線ＨＬを結び、Ｘまで延長させ、Ｌ、Ｘを通り、ＦＮに平行に直線ＬＯ、ＸＰを引く。

ＭＮの正方形は、ＦＸに幅をＦＮとし、ＨＦ、ＦＬによって囲まれた長方形に相似な図形
ＬＸだけ越えられ、あてはまる平行四辺形ＦＸに等しい。（ＭＮ２＝ＸＮ・ＮＦ）

23
１−２．命題１３

24

命題１３の主張
命題１１と同様に円錐曲線ＤＥＦをつくる。
三角形ＡＢＣの両辺で出会う平面で切る。（ＦＧとＢＣが垂直で、切り口が円にならないように）
点Ａを通り、切り口の直径ＥＤに平行に直線ＡＫを引き、ＥＤに垂直にＥから直線ＥＨを
ＡＫ２：ＢＫ・ＫＣ＝ＤＥ：ＥＨ となるように引く。
任意に切り口に点Ｌをとり、Ｌを通ってＦＧに平行に直線ＬＭを引く。

ＬＭの正方形は、ＥＨに幅をＥＭとし、ＤＥ、ＥＨによって囲まれた長方形に相似な図形だけ不足して、あてはまる面積に等しい。（ＬＭ２＝ＸＭ・ＭＥ）

25
１．

その他の円錐曲線の性質（Ⅰ巻命題 34、36､47、Ⅱ巻命題５、６、７）
内容
直径が直線ＡＢの双曲線、楕円、円周がある。
切り口に任意に点Ｃをとる。点Ｃから縦線方向に直線ＣＤを引く。
ＢＤ：ＤＡ＝ＢＥ：ＥＡとなるようにする。直線ＥＣを引く。

直線ＣＥは切り口に接する。

直径が直線ＡＢの双曲線、楕円、円周がある。
直線ＣＤが接線で、直線ＣＥを縦線方向に引く。

ＢＥ：ＥＡ＝ＢＤ：ＤＡ
切り口と直線ＣＤの間に引ける直線はない。

26
直径が直線ＡＢで、中心がＣの双曲線、楕円、円周がある。
切り口に接線ＤＥを引く。
直線ＣＥを結び、延長to DE.

する。点Ｎを切り口に任意にとる。直線ＤＥに平行にＮを通って直線ＨＮＯＧを引く。

ＮＯ＝ＯＧ

直径が直線ＤＢＥである放物線または双曲線ＡＢＣがあり、直線ＦＢＧが切り口に接し、任意の直線ＡＥＣが切り口内でＡＥとＥＣを等しくする。Ａ
ＣとＦＧは平行で直径が直線ＡＢである
楕円、円周があり、ＡＢは中心を通らない直線ＣＤをＥで二等分する。

切り口にＡで接する接線はＣＤに平行である。

27
円錐の切り口または円周ＡＢＣがある。
ＦＧはそれに接し、ＡＣはＦＧに平行でＥで二等分され、ＢＥを結ぶ。

ＢＥは切り口の直径である。

３． 接線の性質を用いて、作図ツールを使って作図する。
３−１．定義・性質で直径、頂点、接点、縦線方向の関係を考えて、作図する。

定義４・５

直径：平行な直線を二等分する直線
縦線方向：平行線
頂点：直線と直径の交点

放物線との違い
命題３４、３６

ＢＥ：ＥＡ＝ＢＤ：ＤＡ

28
３．双曲線の接線の作図
３−１．双曲線上の点における接線

３−２．双曲線外の点からの接線

４．楕円の接線の作図
４−１．楕円上の点における接線

４−２．楕円外の点からの接線

29

円錐曲線の定義
放物線(parabola) あてはまる

双曲線（hyperbola）超過する

楕円（ellipse）不足する

30

カブリ(CABRIGEOMETRY Ⅱ)の使い方

2001.12.19

Ａ．クリック：マウスの左ボタンを１回押す
Ｂ．ドラッグ：移動させたい図形を指し、マウスの左ボタンを押しながら目的の位置まで動かす。
Ｃ．図形の削除：削除したい図形を選択し，点線表示されたら、Delete キーを押す。
Ｄ．作図を途中でやめる：作図画面の外でクリックする。
Ｅ．取り消し／やり直し：1 回前の操作のみ取り消したり、もとに戻したりすることができる。

Ｆ．図形の選択や移動選択したい図形を示すメッセージが表示されたらクリックします。
図形をドラッグし(ポインタが手でつかんだ形になります)、移動したい場所に移動させます。
図形の選択を解除するには、何もない場所でクリックします。

31Ｇ．作図する①点を描く
作図したい場所でクリックする②交点をとる
交点をとろうとする２つの図形(線分，直線など)を選択する。

③直線を描く直線が通る点をクリックして引きたい方向にカーソルを移動しクリックする。

④円を描く
円の中心をクリックし、中心から離しクリックして半径を決める。

⑤垂線を描く
作図される直線に垂直な直線を指定し垂線が通す点をクリックする。
⑥平行線を描く
作図される直線に平行な直線を指定し、平行線が通る点をクリックする。
⑦中点をとる２点を選ぶ。
⑧コンパスで長さをとる
線分の長さをコンパスでとる⑨軌跡を描く
軌跡を描きたい図形(点)を選択し、経路上にある点を選択する。

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨32⑩点対称の点をとる
もとの図形を選択し、対称の中心点を選択する。
⑩⑪図形に名前をつける
点をクリックして選択する、ボックスに文字を入力する。
⑫トレースを残す「跡」を表示する図形を選択する。
図形が点線に変わる。
動かす図形をドラッグする。

⑪⑫⑬非表示にする／表示する
非表示にしたい図形を選択する。
非表示の図形は点線で表示される。
⑬

図形の色・太さ・線の種類変更
色・太さ・線種を選択し、図形を選択する。