数理解析研究所講究録
第 1877 巻 2014 年 121-134

121

A construction of graded Lie algebras
九州大学大学院数理学府
佐々野詠淑

Nagatoshi Sasano
Faculty of Mathematics, Kyushu University

1

はじめに
$G$

を半単純代数群で，その Lie 代数が有限次元半単純 Lie 代数 であるとする． に$\mathfrak{g}$次数付け$\mathfrak{g}$が与えられてぃるとするとき， を に対応するな部分代数群とすると， は各 に自然に作用する．このとき，特に$\mathfrak{g}=\oplus_{n\in \mathbb{Z}}\mathfrak{g}_{n}$$G_{0}$$G_{0}$

ば，三つ組$(G_{0}, Ad, d_{i}(\theta))$$\mathfrak{g}_{0}$$\mathfrak{g}_{i}$

$G$

の連結

$i\neq 0$であれは概均質ベクトル空間になることが知られてぃる．

Rubenthaler はこの形の空間を研究し，放物型概均質ベクトル空間と呼んだ．これは Dynkin 図形を使って記述され，完全に分類されている．言い換えれば，次数付けられた半単純 Lie 代数に埋め込まれる簡約可能 Lie 代数およびその表現が，完全に分類されたことになる．

本稿では，逆に与えられた有限次元簡約可能 Lie 代数 およびその有限次元完全可約表現
に対し，それらを埋め込むことができるような大きな次数つき Lie 代
数を構成する方法を紹介する．そのために 上の非退化対称不変二次形式 を利用する方法を紹介する．よく知られているように，有限次元簡約可能 Lie 代数は非退化
対称不変二次形式をもつ．(例えば， が単純 Lie 代数の場合では Killing 形式のスヵ$\mathfrak{g}$$(\rho, V)$$B_{0}$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$ラー倍がそれにあたる．) 従って，本稿では主に四つ組
するが，次節でそれを詳述する．

$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$を考察の対象とまた，我々は対象とする簡約可能 Lie 代数およびその有限次元完全可約表現に概均質性などの条件は仮定しない．そのため，埋め込む先の次数つき Lie 代数は一般に無限次元になる．

本稿では特に断らない限り，Lie 代数やその表現は全て複素数体上で定義されているものとする．

122
2standard quadruplets に付随する Lie 代数
先に述べたように本稿では主に有限次元簡約可能 Lie 代数$\mathfrak{g},$$\mathfrak{g}$の有限次元完全可約表現 $(\rho, V),$ 上の非退化対称不変二次形式
からなる四つ組を扱う．その中でもどのような四つ組を扱う力 最初に以下の定義をしよう．
$B_{0}$$\mathfrak{g}$$\searrow$が以下の条件を満たすとき，この四つ組を standard

Definition 2.1.
quadruplet と呼ぶ．

$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$が忠実な表現であること，(2.1)
が完全可約な表現であること，(2.2)$\rho$$\rho$

は部分表現として$\rho$$\{0\}$

でない $V$ の部分空間へ -表現をもたない．(2.3)$0$すなわち，作用する Lie 代数と表現空間からそれぞれ無駄な部分を取り除いたもの
が standard quadruplet である．簡約可能 Lie 代数とその有限次元完全可約表現を考えるとき，Definition 2.1 の三条件を仮定しても一般性は失われない．まず，standard
quadruplet$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$から-加群の列を構成しよう．そのために次の線形写像を定$\mathfrak{g}$義する．

Definition 2.2. $v\in V,$$\phi\in V^{*}$とする．次の六つの線形写像$\hat{\Phi}:V\otimes V^{*}arrow \mathfrak{g}, \Phi_{v}:V^{*}arrow \mathfrak{g}, \Phi:Varrow Hom(V^{*}, \mathfrak{g})$,$\hat{\Psi}:V^{*}\otimes Varrow \mathfrak{g}, \Psi_{\phi}:Varrow \mathfrak{g}, \Psi:V^{*}arrow Hom(V, \mathfrak{g})$を，任意の$a\in \mathfrak{g},$$u\in V,$$\psi\in V^{*}$$B_{0}(a, \Phi(u\otimes\psi))=\langle\rho(a)u,$に対して$\psi\rangle,$$B_{0}(a, \Psi(\psi\otimes u))=\langle u,$ $\rho^{*}(a)\psi\rangle,$$\Phi_{v}(\psi)=\hat{\Phi}(v\otimes\psi)$,$\Phi(u)=\Phi_{u},$$\Psi_{\phi}(v)=\hat{\Psi}(\psi\otimes u)$,$\Psi(\psi)=\Psi_{\psi}$が成り立つものとして定義する．ただし，$\langle\cdot,$$V\otimes V^{*}$

ずれもや $Hom(V^{*},\mathfrak{g})$ などは自然に$\cdot\rangle$

で $V$ と-加群としての構造を持ち，-加群の準同型写像である．また，とき， と$\Phi$$\Psi$の間の pairing を表す．
$\hat{\Phi},\hat{\Psi},$$\mathfrak{g}$$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$$\mathfrak{g}$$V^{*}$$\Phi,$$\Psi$

はいが standard quadruplet であるは単射になる．従って，$V_{1}:={\rm Im}\Phi, V_{-1}:={\rm Im}\Psi$

と
はそれぞれ
と
とかけば，
とおき，adjoint 表現を と書けば，以下のに同型である．さらに，とおき，その上の表現を$(\rho^{*}, V^{*})$$\rho_{1},$$(\rho_{1}, V_{1})$$\rho_{-1}$$V_{0}:=\mathfrak{g}$$(\rho, V)$$(\rho_{-1}, V_{-1})$$\rho_{0}$123
写像$p_{0}:V_{1}\otimes V_{0}arrow V_{1} q_{0}:V_{-1}\otimes V_{0}arrow V_{-1}$$v_{1}\otimes a\mapsto-\rho_{1}(a)v_{1} \phi_{-1}\otimes a\mapsto-\rho_{-1}(a)\phi_{-1}$は$\mathfrak{g}$-加群の全射準同型である．こうして得られた$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2},$$V_{\pm 3},$$\ldots$$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$から新たな -加群の列$\mathfrak{g}$$Hom(V^{*}, V_{i-1})$

を standard quadruplet とする．自然数 $i\geq 1$ に対と $(\rho_{-i+1}, V_{-i+1}),$$(\rho_{i-1}, V_{-1})$$\mathfrak{g}$$V_{\pm 1}$

を以下のように構成しよう．

Definition 2.3.

し，-加群

$V_{0},$$\mathfrak{g}$-加群の準同型写像:$p_{i-1}$$V_{1}\otimes V_{i-1}arrow$と $q_{-i+1}$ : $V_{-1}\otimes V_{-i+1}arrow Hom(V, V_{-i+1})$ が与えられているとする．このとき，$V_{i}:={\rm Im} p_{i-1},$$V_{-i}:={\rm Im} q_{-i+1}$とおくと，以下のような写像$p_{i},$$q_{-i}$が定義できる:$p_{i}:V_{1}\otimes V_{i}arrow Hom(V^{*}, V_{i})$$v_{1}\otimes u_{i}\mapsto(\phi\mapsto\rho_{i}(v_{1}(\phi))u_{i}+p_{i-1}(v_{1}\otimes u_{i}(\phi)))$

,

(2.4)

$q_{-i}:V_{-1}\otimes V_{-i}arrow Hom(V, V_{-i})$$\phi_{-1}\otimes\psi_{-i}\mapsto(v\mapsto\rho_{-i+1}(\phi_{-1}(v))\psi_{-i}+q_{-i+1}(\phi_{-1}\otimes\psi_{-i}(v)))$

勉と$q_{-i}$は$\mathfrak{g}$-加群としての準同型写像であり，それら-の像をそれぞれ$V_{-i-1};={\rm Im} q_{-i}$をそれぞれとかくと，これらは -加群の構造を持つ．

$V_{i+1},$$\mathfrak{g}$とし，再び同じ方法で

.

(2.5)

$V_{i+1}$$.={\rm Im} p_{i},$$V_{-i-1}$

上の表現: $V_{1}\otimes V_{i}arrow Hom(V^{*}, V_{i})$ と:$V_{-1}\otimes V_{-i}arrow Hom(V,$を定義することによって，すべてのに対して帰納的に -加群の -graduation とを構成することができる．これを$\rho_{i+1},$$\rho_{-i-1}$$p_{i}$$q_{-i}$$V_{-}$$\mathfrak{g}$$n\in \mathbb{Z}$$(\rho_{n}, V_{n})$$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$

$n$

呼ぶ．
これらの -加群の直和を$\mathfrak{g}$$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})=\oplus_{n\in \mathbb{Z}}V_{n}$で書く．実は$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$が次数つき Lie 代数の構造を持つのだが，この節の残りの部分でこのことを確かめよう．そのために，$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$上に bracket 積を定義する．すなわち，双線形写像

を定義し，それが Lie 代数の条件を満たすことを確かめればよいのだが，まず次の双線形写像を定義する．
$[\cdot,$$\cdot]:L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})\cross L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})arrow L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$Definition 2.4. 任意の$n\in \mathbb{Z}$

$[$

$[$

.,
.,

に対して，双線形写像$]_{n}^{0}:V_{0}\cross V_{n}arrow V_{n},$$]_{n}^{1}:V_{1}\cross V_{n}arrow V_{n+1},$$[\cdot, \cdot]_{n}^{-1}:V_{-1}\cross V_{n}arrow V_{n-1}$

124を$[a, x_{n}]_{n}^{0}:=\rho_{n}(a)x_{n}$

,

(2.6)

$[v_{1},$ $x_{n}]_{n}^{1}:=\{\begin{array}{ll}p_{n}(v_{1}\otimes x_{n}) (n\geq 0)-x_{n}(\Phi^{-1}(v_{1})) (n\leq-1) ’\end{array}$(2.7)$[\phi_{-1}, x_{n}]_{n}^{-1}:=(_{q_{n}(\phi_{-1}\otimes x_{n})}^{-x_{n}(\Psi^{-1}(\phi_{-1}))} (n\leq 0)(n\geq 1)$(2.8)

によって定義する．

これらの写像は明らかに任意の $i,j\geq 0$ に対して，$[V_{1}, V]_{i}^{1}=V_{i+1}, [V_{-1}, V_{-j}]_{-j}^{-1}=V_{-j-1}$を満たす．また，任意の$v_{1}\in V_{1},$$\phi_{-1}\in V_{-1},$$n\in \mathbb{Z},$$x_{n}\in$

瑞に対して$[\phi_{-1}, [v_{1}, x_{n}]_{n}^{1}]_{n+1}^{-1}=[[\phi_{-1}, v_{1}]_{1}^{-1}, x_{n}]_{n}^{0}+[v_{1}, [\phi_{-1}, x_{n}]_{n}^{-1}]_{n-1}^{1}$(2.9)

が成り立つ．

次に，任意の$i\geq 2$に対し，双線形写像$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{\pm i}$:$V_{\pm i}\cross V_{n}arrow V_{\pm i+n}$を定義しよう．そのために，次の命題を示そう．

Proposition 2.5. $i\geq 0$ とする．任意の形写像$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{j}:V_{j}\cross V_{n}arrow V_{j+n}$$n\in \mathbb{Z}$と$i$以下の非負整数$i$に対して双線が定義され，以下の五条件を満たすとする:$[a, [u_{j}, x_{n}]_{n}^{j}]_{j+n}^{0}=[[a, u_{j}]_{j}^{0}, x_{n}]_{n}^{j}+[u_{j}, [a, x_{n}]_{n}^{0}]_{n}^{j}$,$[\phi_{-1}, [u_{j}, x_{n}]_{n}^{j}]_{j+n}^{-1}=[[\phi_{-1}, u_{j}]_{j}^{-1}, x_{n}]_{n}^{j-1}+[u_{j}, [\phi_{-1}, x_{n}]_{n}^{-1}]_{n-1}^{j}$$[u_{j}, a]_{0}^{j}=-[a, u_{j}]_{j}^{0}=-\rho_{j}(a)u_{j}$(2.10),,$[u_{j}, v_{1}]_{1}^{j}=-[v_{1}, u_{j}]_{j}^{1}=-p_{j}(v_{1}\otimes u_{j})$(2.12)(2.13),(2.14)$[u_{j}, \phi_{-1}]_{-1}^{j}=-[\phi_{-1}, u_{j}]_{j}^{-1}$ただし，$a\in V_{0},$$v_{1}\in V_{1},$$u_{j}\in V_{j},$(2.11)$\phi_{-1}\in V_{-1},$$x_{n}\in V_{n}$$\sum_{s=1}^{l}p_{i}(v_{1}^{s}\otimes u_{i}^{S})=0$である．このとき，(2.15)

125を満たす媛，．
．
．
，$v_{1}^{l}\in V_{1},$$u_{i}^{1},$$u_{i}^{l}$$\ldots,$

欧砺と任意の$x_{n}\in$

瑞に対して(2.16)$\sum_{s=1}^{l}([v_{1}^{s}, [u_{i}^{s}, x_{n}]_{n}^{i}]_{i+n}^{1}-[u_{i}^{s}, [v_{1}^{s}, x_{n}]_{n}^{1}]_{n+1}^{i})=0$が成り立つ．したがって，(2.17)$[p_{i}(v_{1}\otimes u_{i}), x_{n}]_{n}^{i+1}:=[v_{1}, [u_{i}, x_{n}]_{n}^{i}]_{i+n}^{1}-[u_{i}, [v_{1}, x_{n}]_{n}^{1}]_{n+1}^{i}$によって双線形写像$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{i+1}:V_{i+1}\cross V_{n}arrow V_{i+n+1}$が定義できるが，これは (2.10) から (2.14) と同様な以下の五条件を満たす:$[a,$ $[u_{i+1},$ $x_{n}]_{n}^{i+1}]_{i+n+1}^{0}=[[a,$ $u_{i+1}]_{i+1}^{0},$ $x_{n}]_{n}^{i+1}+[u_{i+1},$ $[a,$ $x_{n}]_{n}^{0}]_{n}^{i+1}$$[\phi_{-1},$$[u_{i+1},$ $x_{n}]_{n}^{i+1}]_{i+n+1}^{-1}=[[\phi_{-1},$$u_{i+1}]_{i+1}^{-1},$ $x_{n}]_{n}^{i}+[u_{i+1},$$[u_{i+1},$ $a]_{0}^{i+1}=-[a,$ $u_{i+1}]_{i+1}^{0}=-\rho_{i+1}(a)u_{i+1}$$[\phi_{-1},$ $x_{n}]_{n}^{-1}]_{n-1}^{i+1}$,$u_{i+1}\in V_{i+1},$ $\phi_{-1}\in V_{-1},$に対して命題の主張は正しい．従って，:
以下同様にして，帰納的に双線形写像$\cdot]_{n}^{-1}$$[\cdot,$$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{i}$(2.19)(2.21).

$x_{n}\in$(2.22)

瑞である．

Proposition 2.5 で $i=0$ のとき，すなわち，Definition 2.4 で定義した$[\cdot,$,(2.20)$[u_{i+1},$ $\phi_{-1}]_{-1}^{i+1}=-[\phi_{-1},$ $u_{i+1}]_{i+1}^{-1}=u_{i+1}(\Psi^{-1}(\phi_{-1}))$$a\in V_{0},$ $v_{1}\in V_{1},$(2.18),$[u_{i+1},$ $v_{1}]_{1}^{i+1}=-[v_{1},$ $u_{i+1}]_{i+1}^{1}=-p_{i+1}(v_{1}\otimes u_{i+1})$

ただし，

,

$\cdot]_{n}^{2}$:$V_{2}\cross V_{n}arrow V_{n+2}$$V_{i}\cross V_{n}arrow V_{i+n}$$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{0},$$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{1},$が定義できる．

がすべての $i\geq 0$ に対して定義できる．

Proof. この命題は に関する帰納法によって証明することができる．$i=0$ の場合$i$は先に述べたように，定義から直接計算によって確かめられる．
$i\geq 1$ としよう． が非負である場合と負である場合に分けて証明する．
$n=0$ のとき，(2.12) と (2.13) を使うと，
まず，$n$$[v_{1}, [u_{i}, x_{0}]_{0}^{i}]_{i}^{1}-[u_{i}, [v_{1}, x_{0}]_{0}^{1}]_{1}^{i}$$=-\rho_{i+1}(x_{0})p_{i}(v_{1}\otimes u_{i})$を得る．従って，主張の前半部分が成り立つ．

(2.23)

126
次に $n\geq 1$ とすると，任意の$v_{1}\in V_{1},$$u_{i}\in V_{i},$$x_{n}\in V_{n},$$\phi\in V^{*}$

に対して$[v_{1}, [u_{i}, x_{n}]_{n}^{i}]_{i+n}^{1}(\phi)-[u_{i}, [v_{1}, x_{n}]_{n}^{1}]_{n+1}^{i}(\phi)$$=p:+n(v_{1}\otimes[u_{i}, x_{n}]l)(\phi)-[u_{i}(\phi),p_{n}(v_{1}\otimes x_{n})]$$=[p_{i}(v_{1}\otimes u_{i})(\phi),$

晶$-[u_{i},p_{n}(v_{1}\otimes x_{n})(\phi)]1$$x_{n}]_{n}^{i}$(2.24)$+[v_{1}, [u_{i}, x_{n}(\phi)]_{n-1}^{i}]_{i+n-1}^{1}-[u_{i}, [v_{1}, x_{n}(\phi)]_{n-1}^{1}]_{n}^{i}$を得る．従って，$v_{1}^{1},$$\ldots,v\’{i}\in V_{1},$$u_{i}^{1},$$u_{i}^{\iota}\in$$\ldots,$砺と任意の$x_{n}\in$

瑞が$\sum_{s=1}^{l}p_{i}(v_{1}^{s}\otimes u_{i}^{S})=0$を満たすとき，および についての帰納法の仮定から
$i$

$n$

$\iota$$\sum_{s=1}[p_{i}(v_{1}^{s}\otimes u_{i}^{S})(\phi), x_{n}]_{n}^{i}=0,$$\iota$$\sum_{s=1}([v_{1}^{s}, [u_{i}^{s}, x_{n}(\phi)]_{n-1}^{i}]_{n+i-1}^{1}-[u_{i}^{S}, [v_{1}^{s}\otimes x_{n}(\phi)]_{n-1}^{1}]_{n}^{:})=0$が成り立つから，$\iota$(2.25)$\overline{\sum_{\epsilon=1}}([v_{1}^{s}, [u_{i}^{s}, x_{n}]_{n}^{i}]_{i+n}^{1}-[u_{i}^{s}, [v_{1}^{\theta}, x_{n}]_{n}^{1}]_{n+1}^{i})=0$を得る．
$n=-1$ のとき，についての帰納法の仮定から，任意の
に対して
$i$

$v_{1}\in V_{1},$$u_{i}\in V_{1},$$x_{-1}\in V_{-1}$$[v_{1}, [u_{i}, x_{-1}]_{-1}^{i}]_{i-1}^{1}-[u_{i}, [v_{1}, x_{-1}]_{-1}^{1}]_{0}^{i}$$=[v_{1}, u_{i}(\Psi^{-1}(x_{-1}))]_{i-1}^{1}-[u_{i}, v_{1}(\Psi^{-1}(x_{-1}))]_{0}^{i}$$=p_{i-1}(v_{1}\otimes u_{i}(\Psi^{-1}(x_{-1})))+\rho_{i}(v_{1}(\Psi^{-1}(x_{-1})))u_{i}$(2.26)$=p_{i}(v_{1}\otimes u_{i})(\Psi^{-1}(x_{-1}))$を得る．従って，主張の前半部分が成り立つ．
$n\leq-2$ のとき，(2.9) と △砲弔い討竜 舎，硫渉蠅茲 ，任意の$v_{1}\in V_{1},$$u_{i}\in V_{i},$127$x_{n}\in V_{n},$$\phi_{-1}\in V_{-1}$に対して$[v_{1}, [u_{i}, q_{n+1}(\phi_{-1}\otimes x_{n+1})]_{n}^{i}]_{i+n}^{1}-[u_{i}, [v_{1}, q_{n+1}(\phi_{-1}\otimes x_{n+1})]_{n}^{1}]_{n+1}^{i}$$=[v_{1}, [u_{i}(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), x_{n+1}]_{n+1}^{i-1}]_{i+n}^{1}+[v_{1}, [\phi_{-1}, [u_{i}, x_{n+1}]_{n+1}^{i}]_{i+n+1}^{-1}]_{i+n}^{1}$$+[u_{i}, q_{n+1}(\phi_{-1}\otimes x_{n+1})(\Phi^{-1}(v_{1}))]_{n+1}^{i}$$=[p_{i}(v_{1}\otimes u_{i})(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), x_{n+1}]_{n+1}^{i}$(2.27)$+[\phi_{-1}, ([v_{1}, [u_{i}, x_{n+1}]_{n+1}^{i}]_{i+n+1}^{1}-[u_{i}, [v_{1}, x_{n+1}]_{n+1}^{1}]_{n+2}^{i})]_{i+n+2}^{-1}$を得る．従って，$v_{1}^{\iota}\in V_{1},$$v_{1}^{1},$$u_{i}^{1},$$\ldots,$$\ldots,$$u|\in$

砺と任意の$x_{n}\in$

瑞が$\sum_{s=1}^{l}p_{i}(v_{1}^{S}\otimes u_{i}^{s})=0$を満たすとき，および についての帰納法の仮定から
$i$

$n$

$\sum_{s=1}^{l}[p_{i}(v_{1}^{s}\otimes u_{i}^{S})(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), x_{n+1}]_{n+1}^{i}=0,$$\sum_{s=1}^{l}[\phi_{-1}, ([v_{1}^{s}, [u_{i}^{s}, x_{n+1}]_{n+1}^{i}]_{i+n+1}^{1}-[u_{i}^{S}, [v_{1}^{s}, x_{n+1}]_{n+1}^{1}]_{n+2}^{i})]_{i+n+2}^{-1}=0$が成り立つから，$\sum_{s=1}^{l}([v_{1}^{s}, [u_{i}^{s}, q_{n+1}(\phi_{-1}\otimes x_{n+1})]_{n}^{i}]_{i+n}^{1}-[u_{i}^{s},$ $[v_{1}^{s},$$q_{n+1}(\phi_{-1}\otimes x_{n+1})]_{n}^{1}]_{n+1}^{i})=0$(2.28)に対して wel -defined な双線形写像$V_{i+1}\cross V_{n}arrow V_{i+n+1}$ を得ることができた．

を得る．以上をまとめて，任意の
この$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{i+1}$$n\in \mathbb{Z}$$I$が (2.18) から (2.22) の条件を満たすことは容易に確かめられる

命題 2.5 と同様に，任意の非負整数 に対して，双線形写像$j$$V_{-j+n-1}$$[\cdot,$$[\cdot,$$\cdot]_{n}^{i+1}$:1$\cdot]_{n}^{-j-1}:V_{-j-1}\cross V_{n}arrow$を$[q_{arrow}(\phi_{-1}\otimes\psi_{arrow}),$$x_{n}]_{n}^{-j-1}:=[\phi_{-1},$$[\psi_{-j},$$x_{n}]_{n}^{-j}]_{-j+n}^{-1}-[\psi_{-j},$$[\phi_{-1},$ $x_{n}]_{n}^{-1}]_{n-1}^{-j}$によって帰納的に定義することができる．以上より，すべての線形写像$[\cdot,$$\cdot]_{m}^{n}$$n,$ $m\in \mathbb{Z}$: $V_{n}\cross V_{m}arrow V_{n+m}$ が得られた．これを使って，(2.29)に対して双$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$

上に双

128
線形写像

$[$

., を
$\cdot$$]$$[x_{n}, y_{m}];=[x_{n}, y_{m}]_{m}^{n}(x_{n}\in V_{n}, y_{m}\in V_{m})$によって定義しよう．この$[\cdot,$

は任意の $x,$ $y,$$\cdot]$$z\in L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$に対して，関係式$[x, y]+[y, x]=0,$$[x, [y, z]]=[[x, y], z]+[y, [x, z]]$を満たす．従って，次の定理を得る．
はを bracket 積とする Lie 代数の構造を持つ．こTheorem 2.6.
れを standard quadruplet に付随する Lie 代数と呼ぶ．
$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$$[\cdot,$

こうして構成された Lie 代数$\cdot]$$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$は次の性質を持つ:(2.30)$[V_{1}, V_{i}]=V_{i+1}, [V_{-1}, V_{-j}]=V_{-j-1}, (i,j\geq 0)$$[V_{1}, V_{-1}]=V_{0}$3$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$次に$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$.

(2.31)

上の二次形式に非退化対称不変二次形式を定義しよう．

Definition 3.1. 双線形写像$B_{1}:V_{1}\cross V_{-1}arrow \mathbb{C}$

を

(3.1)

$B_{1}(v_{1}, \phi_{-1}) :=\langle\Phi^{-1}(v_{1}), \Psi^{-1}(\phi_{-1})\rangle$

によって定義する．この$B_{1}$

は任意の$a,$ $b\in V_{0},$$v_{1},$$u_{1}\in V_{1},$$\phi_{-1},$$\psi_{-1}\in V_{-1}$に対して$B_{1}(p_{1}(v_{1}\otimes a), q_{-1}(\phi_{-1}\otimes b))=B_{0}(p_{1}(v_{1}\otimes a)(\Phi^{-1}(\psi_{-1})), b)$$=B_{0}(a, q_{-1}(\phi_{-1}\otimes b)(\Phi^{-1})(v_{1}))$,$B_{1}(p_{1}(v_{1}\otimes u_{1})(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), \psi_{-1})=B_{1}(u_{1}, q_{-1}(\phi_{-1}\otimes\psi_{-1})(\Phi^{-1}(v_{1})))$

が成り立つ．

自然数 $i\geq 2$ に対して双線形写像$B_{i-1}$:$V_{i-1}\cross V_{-i+1}arrow \mathbb{C}$が与えられていて，関係式$B_{i-1}(p_{i-1}(v_{1}\otimes u_{i-1})(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), \psi_{-i+1})$$=B_{i-1}(u_{i-1}, q_{-i+1}(\phi_{-1}\otimes\psi_{-i+1})(\Phi^{-1}(v_{1})))$

(3.2)

129
を満たすとしよう．このとき，双線形写像$B_{i}$:$V_{i}\cross V_{-i}arrow \mathbb{C}$を$B_{i}(p_{i-1}(v_{1}\otimes u_{i-1}), q_{-i+1}(\phi_{-1}\otimes\psi_{-i+1}))$$:=B_{i-1}(p_{i-1}(v_{1}\otimes u_{i-1})(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), \psi_{-i+1})$

によって定義する．これは well-defined であり，任意の$\psi_{-i}\in V_{-i}$$v_{1}\in V_{1},$$u_{i}\in V_{i},$$\phi_{-1}\in V_{-1},$に対して同様の関係式$B_{i}(p_{i}(v_{1}\otimes u_{i})(\Psi^{-1}(\phi_{-1})), \psi_{-i})$$=B_{i}(u_{i}, q_{-i}(\phi_{-1}\otimes\psi_{-i})(\Phi^{-1}(v_{1})))$

を満たす．かくして，すべての自然数 に対し，双線形写像$i$

納的に定義できる．また，これらから$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$:が帰上の二次形式 $B$ が以下のように$B$ .

$V_{j}\cross V_{-j}arrow \mathbb{C}$定義できる．
$B( \sum_{n\in \mathbb{Z}}x_{n},\sum_{m\in \mathbb{Z}}y_{m})=\sum_{s\geq 0}B_{s}(x_{s}, y_{-s})+\sum_{t\leq-1}B_{-t}(y_{-t}, x_{t})$Proposition 3.2. Definition 3.1 で定義された$B$

は$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$(3.3)

上の非退化対称不変二次形式である．

逆に，これらの性質が standard quadruplet に付随する Lie 代数の特徴づけを与える．すなわち，普遍性に関して次の命題が成り立っ．
Proposition 3.3. 非退化対称不変二次形式$\hat{B}$をもつ次数つき Lie 代数

が次の五条件を満たすとする．このとき，$(\hat{\mathfrak{g}}_{0}, ad, \hat{\mathfrak{g}}_{1},\hat{B}_{0}|_{0\cross 0}\wedge\wedge)$

であり，それに付随する Lie 代数は$\hat{\mathfrak{g}}$$\hat{\mathfrak{g}}=\oplus_{n\in \mathbb{Z}}\hat{\mathfrak{g}}_{n}$は standard quadrupletに同型である．

は有限次元ベクトル空間である，(3.4)
90 の 上の adjoint 表現は完全可約である，(3.5)
各への制限は非退化である，(3.6)
に対して， の
各 $i,j\geq 0$ についてが成り立つ，(3.7)
が成り立つ．(3.8)$\hat{\mathfrak{g}}_{0},\hat{\mathfrak{g}}_{1}$$\hat{\mathfrak{g}}_{1}$$i\geq 0$$\hat{B}$$\hat{\mathfrak{g}}_{i}\cross\hat{\mathfrak{g}}_{-i}$$[\hat{\mathfrak{g}}_{1},\hat{\mathfrak{g}}_{i}]=\hat{\mathfrak{g}}_{i+1},$$[\hat{\mathfrak{g}}_{-1},\hat{\mathfrak{g}}_{-j}]=\hat{\mathfrak{g}}_{-j-1}$$[\hat{\mathfrak{g}}_{1},\hat{\mathfrak{g}}_{-1}]=\hat{\mathfrak{g}}_{0}$4

いくつかの例

この節では，Proposition 3.3 を応用していくつかの例を紹介しょう．まず，standard
quadruplet の間に次の同値関係を定義する．

130
Definition 4.1.
する．Lie 代数の同型写像$(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})$$a^{1},$ $b^{1}\in \mathfrak{g}^{1},$$v^{1}\in V^{1}$と$(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$$\sigma:\mathfrak{g}^{1}arrow \mathfrak{g}^{2}$を 2 つの standard quadruplets とと線形同型写像$\tau$:$V^{1}arrow V^{2}$が存在し，任意のに対して関係式$\tau(\rho^{1}(a^{1})v^{1})=\rho^{2}(\sigma(a^{1}))(\tau(v^{1}))$

,

(4.1)
(4.2)

$B_{0}^{1}(a^{1}, b^{1})=B_{0}^{2}(\sigma(a^{1}), \sigma(b^{1}))$を満たすとき，この 2 つの standard quadrupley は同値であるという．また，これを(4.3)$(g^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})\simeq(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$という記号で表す．

Proposition 4.2. 同値な standard quadruplet に付随する Lie 代数は同型である．ただし，逆は必ずしも成り立たない．
Example 4.3. (loop 代数)$\mathbb{C}[t, t^{-1}]\otimes \mathfrak{g}$$K$ をを単純 Lie 代数，
をとおき，その上の bracket 積$\mathfrak{g}$$[\cdot,$$\mathfrak{g}$の Killing 形式とする．

$\mathcal{L}(\mathfrak{g})=$$\cdot]_{0}$$[t^{n}\otimes X, t^{m}\otimes Y]_{0}:=t^{n+m}\otimes[X, Y]$(4.4)$\mathfrak{g}_{n}:=\mathbb{C}t^{n}\otimes \mathfrak{g}$(4.5)

で定義すると，$\mathcal{L}(\mathfrak{g})=\oplus_{n\in Z}\mathfrak{g}_{n}$は loop 代数と呼ばれる次数つき Lie 代数である．また，その上の非退化対称不変二次形式$K_{0}$

を$K_{0}(t^{n}\otimes X, t^{\mathfrak{m}}\otimes Y)=\delta_{n+m,0}K(X, Y)$と定義すると，$\mathcal{L}(\mathfrak{g})$$(\mathfrak{g}0, ad, \mathfrak{g}_{1}, K_{0}|_{0\cross\cdot 0})$とは明らかに Proposition 3.3 の条件を満たす．従って，$K_{0}$

は standard quadruplet であり，これは$(\mathfrak{g}, ad, \mathfrak{g}, K)$に同値である．さらに，$L(\mathfrak{g}, ad, \mathfrak{g}, K)\simeq \mathcal{L}(\mathfrak{g})$を得る．
次に有限次元単純 Lie 代数を standard quadruplet に付随する Lie 代数として構成

しよう． を単純 Lie 代数， をその Cartan 部分代数， をする． の基本系 を一つとって固定する．すると，任意ので合でもかまわない) に対して， の元$R$$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$$R$$\psi$$(\mathfrak{g}, \mathfrak{h})$$\psi$

に対する root 系との真部分集合$\theta$(空集$H^{\theta}$$\mathfrak{h}$$\alpha(H^{\theta})=\{\begin{array}{l}0 (\alpha\in\theta)2 (\alpha\in\psi\backslash \theta)\end{array}$

(4.6)

131
を満たすものがただ一つ存在する．このとき，$d_{i}(\theta)=\{X\in \mathfrak{g}|[H^{\theta}, X]=2iX\}$とすると，任意の非負整数 に対して成り立ち， はたちの直和である．また， は有限次元であるから，$i$$d_{i+1}(\theta)=[d_{1}(\theta), d_{i}(\theta)],$ $[d_{-1}(\theta), d_{1}(\theta)]=d_{0}(\theta)$$d_{i}(\theta)$$\mathfrak{g}$$d_{k}(\theta)\neq\{0\},$$\mathfrak{g}$$d_{k+1}(\theta)=\{0\}$がとなる $k\geq 1$ が存在する．さらに， の Killing 形式を $K$ とかくと，$\mathfrak{g}$$K(d_{i}(\theta), d_{j}(\theta))=0$
Killing 形式の定義から，$i+j\neq 0$ のとき，が成り立つ．すなわち，$\mathfrak{g}=\oplus_{i=-k}^{k}d_{i}(\theta)$が成り立つ．このとき，い do$=$とおくと， は$(\theta$ $)$$\mathfrak{l}_{\theta}$$d_{1}(\theta)$に完全可約で作用する．したがって，Proposition 3.3 より，次の命題が成り立つ．
Proposition 4.4.
する Lie 代数は$\mathfrak{g}$$([_{\theta}, ad, d_{1}(\theta),$$K|_{\theta\cross\cdot\theta})$は standard quadruplet であり，それに付随に同型である．

standard quadruplet に付随する Lie 代数の直和に関して次が成り立つ．これも Proposition 3.3 を使って証明できる．
ここでDefinition 4.5.
$a^{i}\in \mathfrak{g}^{i}$$(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})$とと $v^{i}\in \mathfrak{g}^{i}(i=1,2)$ に対し， 田$\rho^{1}$$((\rho^{1}$で定義される$\mathfrak{g}^{1}\oplus \mathfrak{g}^{2}$を standard quadruplet とする．

$(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$$\rho^{2}$を

田 $\rho^{2})(a^{1}, a^{2}))(v^{1}, v^{2}):=(\rho^{1}(a^{1})v^{1}, \rho^{2}(a^{2})v^{2})$の $V^{1}\oplus V^{2}$上の表現とし，$a^{i},$$b^{i}\in \mathfrak{g}^{i}(i=1,2)$に対して$B_{0}^{1}\oplus B_{0}^{2}$を$(B_{0}^{1}\oplus B_{0}^{2})((a^{1}, a^{2}), (b^{1}, b^{2})):=B_{0,-}^{1}(a^{1},b^{1})+B_{0}^{2}(a^{2}, b^{2})$で定義される

上の二次形式とする．このとき，は standard quadruplet であり，これをと$\mathfrak{g}^{1}\oplus \mathfrak{g}^{2}$$(\mathfrak{g}^{1}\oplus \mathfrak{g}^{2}, \rho^{1} 田\rho 2, V^{1}\oplus V^{2},B_{0}^{1}\oplus B_{0}^{2})$$(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})$ぶ．これを$(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})\oplus(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$Proposition 4.6.
付随する Lie 代数は，
る．すなわち，とという standard quadruplet に$(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$に付随するそれらの直和にな$L((\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})\oplus(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2}))$$\simeq L(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})\oplus L(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$が成り立つ．

の直和と呼という記号で表す．

$(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})\oplus(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$$(\mathfrak{g}^{1}, \rho^{1}, V^{1}, B_{0}^{1})$$(\mathfrak{g}^{2}, \rho^{2}, V^{2}, B_{0}^{2})$132
こうして，任意の半単純 Lie 代数が standard quadruplet に付随する Lie 代数として構成することができた．一方，次の命題が成り立つ．
Proposition 4.7.
代数

$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$を standard quadruplet とする．これに付随する Lie

は半単純 Lie 代数である．

が有限次元であるとき，$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$すなわち，Proposition 3.3 の条件を満たす有限次元 Lie 代数に埋め込まれる簡約可能 Lie 代数 及びその表現 $(\rho, V)$ は [Ru-l] にてすでに分類されている．
最後にもう一つ，有限次元単純 Lie 代数から standard quadruplet 及びそれに付随する Lie 代数の例を紹介しよう．前節の記号を引き続き使用し，新たに次の記号を定$\mathfrak{g}$

義する:

(4.7)

$\tilde{d}_{i}:=\{\begin{array}{ll}d_{-k}(\theta)\oplus d_{0}(\theta)\oplus d_{k}(\theta) (i=0)d_{-i}(\theta)\oplus d_{k-i}(\theta) (i=1, \ldots, k-1) ,\end{array}$$\tilde{\mathfrak{l}}_{\theta}:=\tilde{d}_{0}(\theta)$

.

(4.8)

このとき，騒は簡約可能 Lie 代数であり，adjoint 表現でに自然に作用する．これは完全可約な表現である．また，$i+i\not\equiv 0(mod k)$ のとき，$\sim$$\tilde{d}_{1}(\theta)$$K(\tilde{d}_{i}(\theta),\tilde{d}_{j}(\theta))=0$である．任意の整数$\overline{d}_{n}(\theta)$$:=\mathbb{C}t^{n}\otimes\tilde{d}_{r}(\theta)$$n$$n=kq+r(q\in \mathbb{Z}, 0\leq r<k)$ となる
をとり，
に対し，
$r$

とおくと，次数つき Lie 代数$\overline{\mathfrak{g}}:=\bigoplus_{n\in \mathbb{Z}}\tilde{d}_{n}(\theta)$

,

(4.9)

$[t^{n}\otimes x, t^{m}\otimes y]:=t^{n+m}\otimes[x, y]$(4.10)$\overline{K}(t^{n}\otimes x, t^{m}\otimes y) :=\delta_{n+m,0}K(x, y)$(4.11)

およびその上の二次形式が得られる．特に$\overline{d}_{n+k}(\theta)\simeq\overline{d}_{n}(\theta)$満たすので，$(\tilde{\mathfrak{l}}_{\theta}, ad, d_{1}(\theta), K|_{\theta\cross\theta}--)$

はが成り立つ．これらは Proposition 3.3 の条件を$(\overline{d}_{0}(\theta), ad, d_{1}(\theta),\overline{K}|_{\overline{d}_{0}(\theta)\cross\overline{d}_{0}(\theta)})$quadruplet であり，それに付随する Lie 代数はExample 4.8.

$\epsilon \mathfrak{o}_{m}$の $m$ 次元自然表現を$\Lambda_{1}$$\overline{\mathfrak{g}}$に同値な standardに同型である．

で表し， を$K_{m}$$N,$ $M\geq 3$ に対し，る．このとき，は standard quadruplet であり，その n-graduation は$\epsilon \mathfrak{o}_{m}$上の Killing 形式とす$(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})=(\epsilon \mathfrak{o}_{N}\oplus\epsilon \mathfrak{o}_{M}, \Lambda_{1}\otimes\Lambda_{1}, M(N, M),$

$K_{N}\oplus$$K_{M})$$\mathfrak{g}$( が偶数)$n$$V_{n}\simeq\{$$M(N, M)$( が奇数)$n$(4.12)

133
で与えられる．

$L(\mathfrak{g}, \rho, V, B_{0})$を行列の形で表すと$(\cdots a_{-2}\xi_{-3}\xi_{-1}a_{0} b_{-2}X_{1}t\xi_{-1}b_{0} \xi_{-1}t_{a_{0}}X_{1}a_{2} X_{1}X_{3}b_{0}b_{2} \cdots)$という形の，サイズが無限の行列になる．ただし，非負整数 に対して
$i$$b_{\pm 2i}\in\epsilon \mathfrak{o}_{M},$$X_{2i+1}\in M_{N,M},$ $\xi_{-21-1}\in M_{M,N}$

これは，$N,$ $M$

偶数であればである．

のうちーつが奇数，一つが偶数であれば，$B_{N+M-1},$$D_{\frac{N+M}{2}}$型の単純 Lieに奇数であるときは，$a_{\pm 2i}\in\epsilon \mathfrak{o}_{N},$$N,$ $M$

代数から前述の方法で得られるが，$L(\tilde{\mathfrak{l}}_{\theta}, ad, \tilde{d}_{1}(\theta), K|-\theta-)$がともに$N,$ $M$

がともの形で表すことはできない．

参考文献[Bu-l] N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras Chapters 1-3, Springer-Verlag
1989.
[Bu-2] N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras Chapters 4-6, Springer-Verlag

2002.

[Bu-3] N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras Chapters 7-9, Springer-Verlag

2005.
[Ka] V.G.Kac, Infinite dimensional Lie algebras, third edition, Cambridge Univ.
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[K-A] S. Kaneyuki and-H. Asano, Graded Lie algebras and generalized Jordan triple
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Kyoto Univ. 14, 1982, 189-221.

[Ru-2] H. Rubenthaler, Espaces pr\’ehomog\‘enes de type parabolique, Th\‘ese d’Etat,
Universit\’e de Strasbourg, 1982.

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Hermann, Paris, 1992.
[S-K] M. Sato and T. Kimura, classification of irreducible prehomogeneous vector
spaces and their relative invariants, Nagoya Math. J. 65 (1977), 1-155.
$A$