〜セクターと比例(３日目)〜

2年

授業者：堀内 大介（筑波大学大学院修士課程教育研究科１年）

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氏名：組番

０．前回の復習
昨日の授業では・line of Superficies の目盛りの仕組み
・比例中項を使った証明
・line of Superficiesの目盛りにはが関係しているを学びました。
今日の授業では新しい目盛りの line of Solids がどのような問題に利用できるか考えます。

１．line of Solids の使用
今回は line of Solids を使うことでどんな問題を解くことができるか考えてみよう。
線分 A をコンパスでとり、セクターを line of Solids の１−１で広げる。
角度を保ち、そして２−２の点での長さをコンパスでとる。その長さを線分 B の長さとする。このとき線分Ａと線分Ｂの長さの関係を考えてみよう。

ＡＢ

2このことは次の古代ギリシアの 3 大問題(3 大作図問題)に深く関連しています。
(1)示された立方体の体積を 2 倍にするような辺の長さを作図せよ。
(2)示された角の 3 等分線を作図せよ。
(3)示された円と同じ面積の正方形を作図せよ。
(1)〜(3)に挙げられた問題は実はすべて定木(目盛りのない定規)とコンパスでは作図できないことが証明されています。

しかしセクターを使うと(１)の問題は解くことができる。確かめてみよう。

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示された立方体の体積を 2 倍にするような辺の長さを作図することができたということは元の立方体の一辺を a とおくと、その体積は a 3 となる。その 2 倍の体積となる立方体の一辺を b とおくとその体積は a を用いると b 3 = 2a 3 となる。
つまり b = 3 2a を作図していることになる。定木とコンパスでは不可能だと証明された作図が line of Solids を使うことで可能となるのはなぜか考えてみよう。
(ヒント)
line of Superficies の目盛りの謎は比例中項を用いて証明することができました。

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AI : AL = 1 : 3 2 となることを証明しよう。
(証明)

線分ＡＢ上に ∠DIH = ∠IHF = 90°、 ∠DLK = ∠LKG = 90°となる
ような点ＩとＬをうつ。

∆HFI においてＡＩとＡＦの比例中項はＡＨとなるので
AH 2 =…①∆IHD においてＡＨとＡＤの比例中項はＡＩとなるので
AI 2 =5

よって

AH =

…②2②を①に代入すると⎛ AI 2 ⎞⎜⎜⎟⎟ =⎝ AD ⎠

AI 4= AI ⋅ AF 、 AI ≠ 0 より
AD 2AI 3 =…③∆KGL においてＡＧとＡＬの比例中項はＡＫとなるので

AK 2 =…④∆LKD においてＡＫとＡＤの比例中項はＡＬとなるので
AL2 =
よって

AK =…⑤2⑤を④に代入すると⎛ AL2 ⎞⎜⎜⎟⎟ =⎝ AD ⎠AL4= AG ⋅ AL 、 AL ≠ 0 より
AD 2③と⑥から…⑥

AI 3 : AL3 = AD 2 ⋅ AF : AD 2 ⋅ AG=
今、 AF : AG =AL3 =( AD ≠ 0 だから)であるから

AI 3 : AL3 =ゆえに

AI : AL =：6(証明終わり)line of solids の目盛りのうちかた(和訳)
中心がＡで半径が line of Lines と等しい円を描き、四等分する点をCEBD とする。直径 CB、ED が交差するように描く。そこで半径 AC を分割する。最初に 10 等分する。そして線分 AD と AC の１０分の１である AF の間に 2 つの比例中項 AI,AH を探し出す。再び AD と AC の１０分の 2 である AG の間に 2 つの比例中項 AL,AK を探し出す。これを続けると、AB は等間隔にない 10 個の部分に分割される。
この和訳と５,６ページでの証明を比較して下線の意味を考えてみよう。
ここで AD,AF,AI,AH の長さの関係は次のような比の関係にある。

：
結局、立方根は＝：＝：

を 2 回使うことで作図が可能になる。

しかし特殊な器具が必要になる。

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まとめ
3 回の授業では以下のような流れでセクターという器具が発明された経緯とその使い方、目盛りの持つ数学を学んできました。16 世紀から17 世紀にかけてこの道具はガリレオ・ガリレイなど様々な人によって発明され、そのうちの一人が授業で取り上げたエドモンド・ガンターです。
セクターに用いられている数学とその歴史を学ぶことを通して、今まで皆さんが持っている数学に対する考え方に何かしらの影響を与えることができたらいいなと思いながら授業を行いました。
以下のページでは、授業で扱うことができなかった line の紹介をしています。セクターにはまだまだ多くの数学が含まれていて、私自身よくわからない点があります。そこには当時の人々がどのような思いでこのような目盛りを刻むことになったのかを知るきっかけになります。皆さんもセクターだけでなく、身の回りにあって何気なく使っている多くの道具に込められた思いや数学に対する考え方を探ってみることもおもしろいと思います。

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最後に3 回の授業では①line of Lines、②line of Superficies、③line of Solidsの 3 本を取り上げました。しかし実際、セクターには 12 本の line がひかれています。
左図においてセクター の端にある目盛りは④line of Meridian(漸長緯度目 盛 ) と 呼 ば れ 、 Edmund
Gunter が初めてセクターに刻んだと言われている線です。
セクターの真ん中にある D,S,I,C,O,T という目盛りは⑤line③of Inscribed bodies と呼ばれ、Ｄは 12 面体、Ｓは球体、Ｉは20 面体、Ｃは立方体、Ｏは八面体、T は四面体を表します。
line of Solids と line of Linesの間には2 本のline があります。
それは⑥line of Mettals と呼ばれ、金属の配合を表していて、①

黄金、水銀、鉛、銀、銅、鉄、スズといった金属を記号で表して い ま す 。 ま た ⑦ line of⑦④

Equated Bodies と呼ばれる線もあり、これは D,I,G,S,O,T の⑥記号で表され、意味は⑤と同じですが、球体の直径が与えられたとき、その球体と等しい正ｎ面体の一辺を求めることができます。

⑤9左図においてセクターの端にある目盛りは⑧line of Tangent です。
⑧の隣にある線は⑨line of
Secant と呼ばれる線です。
セクターの真ん中にある
10,9,8,7,S,6,5,90,Q という目盛り を 持 っ た 線 は ⑩ line of②Quadrature と呼ばれ、正ｎ角形の一辺の長さを求めることができます。

⑨②line of Superficies の内側にある線は⑪line of Sin と呼ばれる線です。
最後に②と⑪の間にある線は⑫line of Segments と呼ばれ、5,6,7,8,9,10 の目盛りがうたれています。円弧を与えられた比⑪で分割することができます。

⑧⑫⑩10補足
３回の授業で取り上げたセクターは主に航海術において利用されていました。この補足では航海における使い方を紹介します。
ここでは等間隔(line of Line)、sin、tan、sec、漸長緯度目盛(line ofMeridian)の線を使い、針路と航程から緯差と経差を求める方法を述べます。北緯 50°の地を発し、北東微北(NEbN)の針路で進み、航程 6°における緯差を求める。
※用語解説
・line of Sin：sine の値を 100 倍した位置にその角度を刻む。末端は90°である。
・line of Tangent：定規の長さを 100 とし、tangent の値を 100 倍して目盛りをつける。
・line of Meridians：定規の長さを 1/100 を、赤道の 1°とした時の長さで約 70°まで、左右の定規を一杯に開き、さらに右の定規に続き 86°まである。
・針路：船の進むべき方向をいい、真北から東まわりに 360°まで測る。
・航程：航程線に沿って測った距離をいう。
・航程線：地球面上の２点を結ぶ線が各子午線と常に同一の角度をなす曲線で一種の螺旋となる。すなわちコンパス上一定の方位を保って航海するときの航路の線をいう。
セクターの line of Lines の目盛り上中心から 60 までの長さをコンパスでとり、sin の目盛りの 90 と 90 との間隔としてセクターを開く。NEbNの余角 65°15’を sin 目盛り上にとりＡとＢとするとき、ＡＢの長さをline of Lines の目盛りにあて 50 を得る。すなわち緯差は 5°であると知る。要するに、
sin 針路：１＝緯差：航程をセクターで作図していることになる。
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次に経差を求める。要するに
tan 針路：１＝経差：航程を作るのである。コンパスでとられた 0〜33°45’の長さを 90 と 90 の間隔とする。コンパスを漸長緯度目盛り(line of Meridian)の 50 と 55 の間の長さに開き、OA とＯＢにあてＡとＢの点を得る。ＡＢの長さを line ofLines の目盛りにあて、5,5°であることを知る。

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