数理解析研究所講究録 1431 巻 2005 年 123-136

123

Noether 作用素と多変数留数計算アルゴリズム
新潟大学工学部情報工学科

田島 慎一 (Shinichi TAJIMA)

Department of Information Engineering,
Niigata University

1

序

19 世紀から 20 世紀中頃にかけ, 多くの研究者により, Cauchy の一変駅留数理論(1814, 1826-1857) を多変数の場合に拡張・応用することが試みられた. 19 世紀に. Didon. Jacobi の先駆的仕事 $(1834, 35)$ やなされた代表的研究として,(1873), P. Appell (1882), \’E. Picard $(1883, 1886)$ , H. Poincare’ $(1886,87)$ らの研究が上げられる. 20 世紀前半の研究として, S. Lefschetz (1916), G. de Rham (1936),
B. Segre (1938), R. Caccioppoli (1949) がある. 1930 年代からの E. Martinelli による一連の仕事 (1938, 45, 53, 55) 等により, 多変数留数が本質的にホモロジ一代数的特性を持つことが明らかにされ, 1960 年頃には J. Leray $(1958, 59)$ による留数理論と Grothendieck 場数理論 (1957, 66, 68) が創り上げられた.
この Grothendieck による理論は, 導來圏の枠組を構築・駆使して多変数の留数理$\mathrm{M}.\mathrm{F}$$\mathrm{C}.\mathrm{G}$論と双対性理論を展開していくものであり, 高度に抽象的である. しかし, 解析学の観点からみても, Grothendieck 理数は Cauchy の一変数物数理論も最も自然な拡
Tong (1973), .
張のひとつであると言える. 1970 年代に, R. Harvey (1970),$\mathrm{Y}.\mathrm{L}.$$\mathrm{P}$

Griffiths (1976) らは Grothendieck residue symbol と古典的な多変数留数積分表示との関係を示した.
. Ramis-G. Ruget (1974) は複素解析的な立場から duality. Coleff-M. Herrera (1978) は留数カレントの理論を展開した.
の研究を行い,Grothendieck 留数は代数幾何はもとより, 特異点論や特性類の理論とも密接な関係がある. 複素多様体に対する Lefschetz の不動点定理や正則ベクトル場の特異$\mathrm{J}.\mathrm{P}$$\mathrm{N}.\mathrm{R}$点における解析等では, 必須の概念と言える. また, 多変数補間問題や計算機代数の諸問題への応用等, 広範囲に亘り様々な応用がある,
本稿では, この Grothendieck local residues の計算法について代数解析の観点から考察する. ホロノミック $D$ 加群の理論に基づいて代数的局所コホモロジー類に付随するネター作用素を解析し, その結果を用いて Grothendieck local residues を計算する新たなアルゴリズムを導出する.

124

2

代数的局所コホモロジー

有理数全体 のなす体を $K$ で表す. 変数 $x=(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ を不定元とする有理数係数の 変数多項式全体のなす環 $K[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ を $K[x]$ とおく. 個の多項式の$f_{n}\in K[x]$ であり, 正規列 $F=\{f_{1}, \ldots, f_{n}\}$ をなすものが与えられたとす組をとおき, イる. これらの多項式が $K[x]$ において生成するイデアル
デア)のにおける零点集合 $V(I)=\{x\in X|f(x)=0^{\forall},f\in I\}$との準素イデアル分解を $I=I_{1}\cap I_{2}\cap\cdots$ ロムロ. . .
を $Z$ とおく. イデアルをで表し,する. 準素イデアルムに付随する素イデアル
を
で表す.
の零点集合
における
$\mathbb{Q}$

$n$

$n$

$f_{1},$$\ldots,$$I$$\langle f_{1}, \ldots, f_{n}\rangle$$X=\mathbb{C}^{n}$$\mathrm{s}I\subset K[x]$$\cap I_{I}$$I$$X=\mathbb{C}^{n}$$\sqrt{I_{\lambda}}\subset K[x]$$V(\mathfrak{p}_{\lambda})$$\mathfrak{p}_{\lambda}$$\mathfrak{p}_{\lambda}$$Z_{\lambda}$

次の自然な写像$\mathrm{i}$: $Ext_{K[x]}^{n}(K[x]/I, K[x])arrow H_{[Z]}^{n}(K[x])$による Grothendieck symbol1$[f_{1}\ldots f_{n}]\in Ext_{K[x]}^{n}(K[x]/I, K[x])$の像を $\tau_{F}\in H_{[Z]}^{n}(K[x])$ で表すことにする.

零次元多様体 $Z$ はイデアルの馬素イデアル分解に応じ,と既約分解される. 従って, 代数的局所コホモロジー類
つ代数的局所コホモロジー類による直和分解$Z=Z_{1}\cup Z_{2}\cup\cdots\cup Z_{\lambda}\cup$$\ldots\cup Z_{\ell}$$\tau_{F}$は$Z_{\lambda}$に台を持$\tau_{F}=\tau_{F,1}+\cdots+\tau_{F,\lambda}+\cdots+\tau_{F,\ell}$を持つ. 但し,
米田 pairing$\tau_{F,\lambda}\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$${\rm Res}\langle\cdot, \cdot\rangle$:

は$Z_{\lambda}$に台を持つ直和因子である.

$K[x]/I_{\lambda}\mathrm{x}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K[x]}(K[x]/I_{\lambda}, H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])dx)arrow K$

はベクトル空間 $K$ [x]/ムは非退化である。従って, 代数的局所コホモロジー類
は複素領域上の佐藤超函数 ([29]) とに作用する線形汎関数と見なせる. さらにに考えることができる. 実際ホロノミック D\mbox{\boldmath $\varpi$}加群の理論を適用すると顎’ は台を持つデルタ函数の高階偏微分の一次結合として表現出来ることが分かる ([30]).
これらのことを正確に述べるため, まず, デルタ函数の定義を与える.
であり素イデアルを生成するものを
いま, 個の多項式$\tau_{F_{\lambda}}$$\tau_{F,\lambda}$$Z_{\lambda}$$\{P\lambda,1,p\lambda,2, \ldots,p" n\}$$n$$\mathfrak{p}_{\lambda}$

取る. 自然な写像$Ext_{K[x]}^{n}(K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}, K[x])arrow H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$による Grothendieck symbol$[ \det(\frac{\partial(p_{\lambda 1_{7}}p_{\lambda 2.’.\cdot.\cdot\cdot\prime}p_{\lambda n})}{\partial(x_{1},x_{2},,x_{n})})]\in Ext_{K[x]}^{n}(K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda\}}K[x])$$p_{\lambda,1}p_{\lambda,2}\cdots p_{\lambda,n}$

125

の像を
$\delta_{Z_{\lambda}}=[\frac{\det(\frac{\partial(p_{\lambda,1},p_{\lambda.2}.\cdot..\cdot,p_{\lambda,n})}{\partial(x_{1},x_{2,)}x_{n})}}{p_{\lambda_{7}1}p_{\lambda,2}\cdot p_{\lambda,n}},.’]$

で表すことにする. 代数的局所コホモロジー類
他ならない.
注意 デルタ函数を\not\in$\delta z_{\lambda}$は$Z_{\lambda}$に台をもつデルタ函数にを付けておくのが普通である
する際係数としてが ここではこの係数を掛けずにデルタ函数を定義している.
$( \frac{1}{2\pi \mathrm{i}})^{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

いま,$\tau_{F,\lambda}=T_{F,\lambda}\delta z_{\lambda}$

作用素を$T_{F,\lambda}^{*}$

なる微分作用素と置くと ’ 点$\beta\in Z_{\lambda}$$T_{F,\lambda}$が与えられたとする.

における$T_{F,\lambda}$

の形式随伴
に関し

$\text{留数}\{\xi\llcorner{\rm Res}_{\beta}(\frac{\varphi(x)dx}{f_{1}(x)\cdots f_{n}(x)})$

次を得る.
${\rm Res}_{\beta}( \frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x)\cdot\cdot f_{n}(x)})$$=$${\rm Res}_{\beta}(|| \frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x)\cdot\cdot f_{n}(x)}])$$=$${\rm Res}_{\beta}(\varphi(x)\tau_{F,\lambda}dx)$$=$${\rm Res}_{\beta}(\varphi(x)(T_{F,\lambda}\delta_{Z_{\lambda}})dx)$$=$${\rm Res}_{\beta}((T_{F,\lambda}^{*}\varphi)(x)\delta_{Z_{\lambda}}dx)$$=$$(T_{F,\lambda}^{*}\varphi)(\beta)$

を用いると, 代数的局所コホモロジー類の線形汎関数としての作用が表現でき, その結果, 留数値を具体的に求めることが出来るようになる,

即ち, 偏微分作用素$\tau_{F,\lambda}\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$$T_{F,\lambda}$

補足 ここで [38] に従って多少, 説明を加えておこう. まず, 点留数値を求める事を,${\rm Res}_{\beta}( \frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x)..f_{n}(x)}))$$\varphi(x)$l に対し$\beta\in Z_{\lambda}$

における${\rm Res}_{\beta}( \frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x).f_{n}(x)})$を対応させる写像$\varphi(x)arrow{\rm Res}_{\beta}(\frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x)..f_{n}(x)})$を積分
この線形写像は, 代数的局所コホモロジーに微分作用素として作用す核とする積分として与えられているが, 実際にはにおけるローラン展開」 を計算すれの点る. この作用を求めるにはにおけるローラン展開」 とは, 代数の点ば良いことになる. ここで,ので表すとき,の点 に台を持つ直和因子を的局所コホモロジーの evaluation として捉える.

$\tau_{F}$$\varphi(x)$$\mathrm{r}_{\tau_{F}}$$\mathrm{r}_{\tau_{F}}$$\beta\in Z_{\lambda}$$\beta\in Z_{\lambda}$$\beta$$\tau_{F,\lambda,\beta}$$\tau_{F,\lambda}$$X$

対なる標準的開集合による被覆に関する相
cohomology での表現を意味する.

および $\{x\in X|x_{i}\neq 0\},$$\check{\mathrm{C}}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$$\tau_{F,\lambda,\beta}$$\mathrm{i}=1,2,$$\ldots,$$n$自体は, $X$ および $\{x\in X|f_{i}(x)\neq 0\},$ $i=1,2,$
代数的局所コホモロジー
cohornology を用いて, 言わば大域的に与えられなる開集合をもちいた相対ている. それに対し, 局所留数の計算では, 前者とは異なる被覆による表現が必要$\tau_{F}$$\check{\mathrm{C}}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$$\ldots,$

$n$

126

の点 $\beta\in Z$ におけるcohomology として扱う限り, 一般にとされることになる. しかし, 代数的局所コホモロジー

ローラン展開を直接的に求めることは,極めて困難であると思われる.
さてここで 先程導入した偏微分作用素$\check{\mathrm{C}}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$ジ–$\text{類}\backslash \backslash \tau_{F,\lambda}\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$

に対し
の油点

$\tau_{F}$に注目しよう. 代数的局所コホモロを与える事は, 代なる微分作$T_{F,\lambda}$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{素_{}\backslash }$$\tau_{F,\lambda}=T_{F,\lambda}\delta_{Z_{\lambda}}$におけるローラン展開を与えることと数的局所コホモロジー
を用いると, 相同値である. 従って, この節で述べたことは, 「偏微分作用素$\sim,\lambda$$\beta\in Z_{\lambda}$$T_{F,\lambda}$

対 Cech cohomology での直接的計算をおこなわないで代数的局所コホモロジー類
数としての作用が表現でき, その結果留数値をの線形$=\Xi\{\mathrm{X}$$\backslash \grave{;}\mathrm{f}^{\backslash }\bm{1}6\neq 5$$\tau_{F,\lambda}\in H_{[Z_{\lambda 1}^{1}}^{n}(K[x])$的に求めることが出来るようになる」 とまとめることが出来る.
偏微分作用素’ を用いた表現触 1=TF,\lambda \mbox{\boldmath $\delta$}z、を代数的局所コホモロジーのネター作用素表示と呼ぶことにする ([38]).
$T_{F},$$\tau_{F,\lambda}$

準素イデアルと Noether 作用素

3をで表す. 与えられた有理数係数多項式を係数とする Weyl 代数
イデアルを上で生成される左に対し,二次元準素イデアルム
を 1\breve I、で表す. 馬素イデアルムに加州で表し, 対応する左によるイデアル
付随する素イデアル猟に対しても同様に, 左を定める.
加群剰余をとることで$K[x, \frac{\partial}{\partial x}]$$D_{X}$$\subset K[x]$$D_{X}$$I_{\lambda}$$D_{X}/D_{X}I_{\lambda}$$D_{X}$$D_{x}I_{\lambda}$$D_{X}$$D_{X}$$D_{X}$$D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}\subset D_{X}$$\lambda I_{\mathfrak{p}_{\lambda}}=D_{X}/D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$

準同型写像全体のなす $K$ ベクトル空間をを零次元準と置く, この $K$-ベクトル空間
は共Noether space と呼ぶことにする. Dxoe 加群
素イデアルムのは有限次元 $K$ ベクトル空間とにホロノミック系であるので,なる. 次元は $\dim_{K}(K[x]/I_{\lambda})$ に等しい.
$D_{X}$

車群$\lambda I_{I_{\lambda}}$から$M_{\mathfrak{p}_{\lambda}}$への$D_{X}$$Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}} , \lambda I_{\mathrm{p}_{\lambda}})$$Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, M_{\mathrm{p}_{\lambda}})$${\rm Max}$$M_{I_{\lambda}},$$M_{\mathfrak{p}_{\lambda}}$$Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$

補題 31$Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$は右 $K[x]$ 浄, 加群の構造を持つ 6

更に, 次を得る.
定理 31 ([42], [45])$d_{\lambda}=\dim_{K}(K[x]/I_{\lambda})/^{t}\dim_{K}(K[x]/\mathrm{p}_{\lambda})$

個の要素からなる集合
件 (N) を満たすものが存在する.

$Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$(N)の$d_{\lambda}$$\forall\rho\in Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}}),$$\exists!c_{0},$$c_{1},$

とおく. このとき,$\{\rho_{0}, \rho_{1}, \ldots, \rho_{d_{\lambda}-1}\}$$c_{d_{\lambda}-1}\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}$$\ldots,$$\rho=\rho_{0}c_{0}+\rho_{1}c_{1}+\cdots+\rho_{d_{\lambda}-1}c_{d_{\lambda}-1}$であり次の条

$s.t$

.

.

のことを, ホロノミック
以下, 条件 (N) を満たすような集合系 M 太に付随する Noether 作用素基底と呼ぶことにする.
$\{\rho_{0}, \rho_{1,)}\ldots\rho_{d_{\lambda}-1}\}$

127

左 $D_{X}$ 準同型写像 $\rho\in Hom_{D_{X}}(D_{X}, D_{X})$ に対し $R=\rho(1)$ とおく.

注意

$D_{X}I_{\lambda}$$arrow$$\rfloor\rho$$\downarrow$$D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$

このとき,$\rho$

が $Hom_{D_{X}}$$arrow M_{I_{\lambda}}arrow 0$$D_{X}$$arrow$$D_{X}$$(AI_{I_{\lambda}}\cdot, \mathbb{J}I_{\mathrm{p}_{\lambda}})$$arrow M_{\mathfrak{p}_{\lambda}}arrow$0.

の要素を定める必要十分条件は,$fR\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda},$$\forall f\in I_{\lambda}$

で与えられる 4

いま, 多項式の組 $B=\{b_{0}(x), b_{1}(x), \ldots, b_{l_{\lambda}-1}(x)\}$ であり, 剰余空間 $K[x]$ 浄, のの代
$K$ ベクトル空間としての基底となるものを取る. この時, 微分方程式系$M_{\mathfrak{p}_{\lambda}}$

数的局所コホモロジー解のなす空間$Hom_{D_{X}}(\lambda I_{\mathfrak{p}_{\lambda}}, H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x]))\cong\{\eta\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])|p\eta=0, \forall p\in \mathfrak{p}_{\lambda}\}$は$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{K}\{b_{j}(x)\delta_{Z_{\lambda}}|i=0,1, \ldots, l_{\lambda}-1\}$と一致することは明らかである. このこと

を重複度をもつ一般の場合に拡張したのが次の定理である.
定理 32 ([38])集合$\{\rho_{0}, \rho_{1}, \ldots, \rho_{d_{\lambda}-1}\}\subset Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, l\mathfrak{l}I_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$す Noether 作用素基底とする.
$R_{0},$ $R_{1},$$R_{d_{\lambda}-1}$$\ldots,$$\rho_{0}(1),$ $\rho_{1}(1),$をとる (ここで$f$

1 は, 1$\rho_{d_{\lambda}-1}(1)$$\ldots,$の$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{\lambda}\in lI_{I_{\lambda}}$$D_{X}$は条件 (N) を満たにおける代表元を意味している).

この時 2$Hom_{D_{X}}(D_{X}/D_{X}I_{\lambda}, H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x]))\cong\{\eta\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])|f\eta=0, \forall f\in I_{\lambda}\}$は$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{K}\{h.b_{j}\delta_{Z_{\lambda}}|0\leq \mathrm{i}\leq d_{\lambda}-1,0\leq j\leq l_{\lambda}-1\}$で与えられる.

代表元の組ムに依存しているので,$\{R_{0}, R_{1}, \ldots, R_{d_{\lambda}-1}\}$はホロノミック系の分解の仕方, 即ちイデアルのことを準素イデアルムに付随したNoether 微分作用素基底と呼ぶことにする ([42]). Noether 微分作用素基底の構成
アルゴリズムに関しては [45] を参照されたい.

4$\{R_{0}, R_{1}, \ldots, R_{d_{\lambda}-1}\}$

ネター作用素とホロノミック D-門群を統制
この節では, ホロノミック系を用いることで代数的局所コホモロジー
できることを述べる ([33, 35]). さらにそのホロノミック系を用いることで, 代数的のネター作用素表示が計算可能となることを示す ([43]).
局所コホモロジー$\tau_{F,\lambda}$$\tau_{F,\lambda}$

128$\ovalbox{\tt\small REJECT},\lambda$$Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})=\{P\in D_{X}|P\tau_{F,\lambda}=0\}$は$\mathrm{i}.\mathrm{e}.$,.

を $M_{F,\lambda}=D_{X}/Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$ で定める. この $Dx$ 加群
加階云
において単純となる.
に台を持つホロノミック系であり, 各点

さらに, 左$M_{\tau_{\lambda}}$と置く,の Weyl 代数 $D_{X}$ 上の annihilator イデアルを $Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$$D_{X}$$I_{F,\lambda}$$\beta\in Z_{\lambda}$$Z_{\lambda}$

従って, ホロノミック系$M_{F,\lambda}$の代数的局所コホモロジー解の次元は,$\dim_{K}Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x]))=\dim_{K}(K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda})$となり,$\text{そ}\mathit{0}\mathit{3}_{\square }^{\mathrm{A}}Z_{\lambda}\text{の}$相異\sim 点の$\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{数}\sim$

しい.

さて, 正規列 $F=\{f_{1}, \ldots, f_{n}\}$ のヤコビ行列式$\det(\frac{\partial(f_{1},...’

f_{n})}{\partial(x_{1)}..,x_{n})}.)$

を」 で表し,$F$$d_{\lambda}=\dim_{K}(K[x]/I_{\lambda})/\dim_{K}(K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda})$とおく.

に台を持つ delta 関数を$Z_{\lambda}$$\delta_{Z_{\lambda}}\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$で表す. 次が成立する.

定理 4.1([33, 35, 39]) ホロノミックな偏微分方程式系 $P\eta=0,$
であり,を満たす代数的局所コホモロジー類$J_{F}\eta=d_{\lambda}\delta_{Z_{\lambda}}$$\eta\in H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$すものは,$\forall P\in Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$

を満た

に限る.

$\tau_{F,\lambda}$を特徴つけを用いると代数的局所コホモロジー
即ち, ホロノミック系
られることになる.
のネター作用素表示について考える, そ
さて, 次に代数的局所コホモロジー
準同型写像すべてがな
から
二身 Mp、へののためにまず加群$M_{F,\lambda}$$\tau_{F,\lambda}$$\tau_{F,\lambda}$$D_{X}$$M_{F,\lambda}$$D_{X}$$D_{X}$

す空間を考える.

定義 4.1 ([43]) $K$ ベクトル空間
付随する
Noether 空間と呼ぶ.

$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$をホロノミック系$M_{F,\lambda}$に${\rm Max}$は, 有限次元 $K$
はホロノミックであるのでベクトル空間となる,
さて, 準同型写像 $\sigma\in Hom_{D_{X}}(D_{X}, D_{X})$ が与えられたとする. $S=\sigma(1)\in D_{X}$
とおく.
$D_{X}$

加群$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, M_{\mathrm{p}_{\lambda}})$$M_{F,\lambda}$$Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$$arrow$

このとき,$\sigma$が$arrow$$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$$PS\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$である. このように,$arrow M_{\tau_{\lambda}}arrow 0$$\downarrow\sigma$$\downarrow$$D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$$D_{X}$,$D_{X}$$arrow M_{\mathfrak{p}_{\lambda}}arrow$0.

の元とみなせる条件は明らかに$\forall_{P}\in Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$の要素を表現するような偏微分作用素のことをイデアルに付随するネター微分作用素とよぶことにする.
がの各点で単純であることから, 次の結果を得る.
$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, M_{\mathrm{p}_{\lambda}})$$Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$$M_{F,\lambda}$$Z_{\lambda}$

$S$

128

の要素で, 零でないものとを $K$ ベクトル空聞 $Hom_{D_{X}}$
命題 4.1
とおく. このとき, 次が成立する.
する. 対応するネター微分作用素を$(M_{F,\lambda}, M_{\mathrm{p}_{\lambda}})$$\sigma_{F,\lambda}$$S_{F,\lambda}$$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x]))\cong \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{K}\{S_{F,\lambda}u\delta_{Z_{\lambda}}|u\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}\}$証明.

.

が右 $K$ [x]/や, 加群の構造をもつことから,$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$$Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, \mathrm{A}I_{\mathfrak{p}_{\lambda}})\cong \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{K}\{S_{F,\lambda}u|u\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}\}$を得る. 他方,$Hom_{D_{X}}$ $(\mathrm{A}I_{\mathfrak{p}_{\lambda}}, H_{[Z_{\lambda}|}^{n}(K[x]))$$\cong \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{K}\{u\delta_{Z_{\lambda}}|u\in K[x]/\mathrm{p}_{\lambda}\}$であるので,$Hom_{D_{X}}$(M 己 ,$\lambda$$H_{[Z_{\lambda}]}^{n}(K[x])$)$\cong \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{K}\{S_{F,\lambda}u\delta_{Z_{\lambda}}|u\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}\}$を得る. 口を満たす代数的局所コホモロジーであるこ自体がホロノミック系
特に,なる微分作用素 T いも $u\in K[x]$ 浄, を用いて $T_{F},’=S_{F,\lambda}u$とから,と表されることになる. このような は, 次の補題を用いることで求めることが出来る.
$X_{F,\lambda}$$\sim,\lambda$$\tau_{F,\lambda}=T_{F,\lambda}\delta_{Z_{\lambda}}$

$u$

補題 41

(i)
(ii)

とする. この時, 次は同値である.

$u\in K[x]$$\tau_{F,\lambda}=S_{F,\lambda}u\delta_{Z_{\lambda}}$.

$J_{F}S_{F,\lambda}u-d_{\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$

証明.

$J_{F}\tau_{F,\lambda}=d_{\lambda}\delta_{Z_{\lambda}}$が成り立つので,

.

より,

を得る.
を得る, 逆もあきらか. 口$Ann_{D_{X}}\cdot(\delta_{F,\lambda})=D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$$(J_{F}S_{F,\lambda}u-d_{\lambda})\delta_{Z_{\lambda}}=0$$J_{F}S_{F,\lambda}u-d_{\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$

留数計算アルゴリズ\Delta

5

第 2 節で述べたように, Grothendieck local residues を求める (ごは,なるネター作用素表示を求めれば良い. 従って, 基本的には [44] と同様に$\tau_{F,\lambda}=T_{F,\lambda}\delta z_{\lambda}$$\bullet Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$$\bullet$$\bullet$の構成$Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$$\tau_{F,\lambda}=T_{F,\lambda}\delta_{Z_{\lambda}}$に対するネター微分作用素
なる作用素$T_{F,\lambda}=S_{F,\lambda}u_{\lambda}$$S_{F,\lambda}$

の構成

0) 構成

130

を行えばよいことになる.
さて, いま非負の整数 をとる. これに対し, 高々 階の偏微分作用素 $P\in D_{X}$上生成する左イを満たすものすべてを考える. この集合が
であり
で
を
加群
で表す. 対応する左
デアルを
$k$

$f_{\hat{v}}$$D_{X}$$P\tau_{F,\lambda}=0$$Ann_{D_{X}}^{(k^{\wedge})}$$D_{X}$$(\tau_{F,\lambda})$表す. 特に, $k=0$ の時は遵
得る.

イデアル

$D_{X}/Ann_{D_{X}}^{(k^{\wedge})}(\tau_{F,\lambda})$$nn_{D_{X}}^{(\mathit{0})}$$(\tau_{F,\lambda})=D_{X}I_{\lambda}$$Ann_{D_{X}}^{(k)}(\tau_{F,\lambda})\subset Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda}),$となることから,$k=0,1,$$\ldots$$M_{F,\lambda}^{(k)}$$M_{F,\lambda}^{(0)}=\mathcal{M}_{I_{\lambda}}$をは$Ann_{D_{X}}^{(k)}(\tau_{F,\lambda})\subset Ann_{D_{X}}^{(k+1)}(\tau_{F,\lambda})$を満たす増加列をなすことから$0arrow Hom_{D_{X}}(\lrcorner\nu I_{F,\lambda}^{(k+1)}, M_{\mathrm{P}\lambda})arrow Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}^{(k)}, M_{\mathrm{p}_{\lambda}})$なる単射を得る. 特に$0arrow Hom_{D_{X}}(M_{F,\lambda}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})arrow Hom_{D_{X}}(M_{I_{\lambda}}, M_{\mathfrak{p}_{\lambda}})$なる単射が存在する. このことから次が導かれる.
補題 5.1

微分作用素の組基底であり, 更に, 条件$J_{F}R_{\lambda,j}\in D_{X}\mathfrak{p},$$J_{F}R_{\lambda,d_{\lambda}-1}\not\in D_{X}\mathfrak{p},$を満たすとする. この時,は準素イデアル$\{R_{\lambda,0}, \ldots, R_{\lambda,d_{\lambda}-1}\}$$s_{0},$$s_{1},$$\ldots,$$s_{d_{\lambda}-2}\in K[x]$$j=0,1,$$I_{\lambda}$のネター作用素$d_{\lambda}-2$$\ldots,$であり微分作用素$R_{\lambda,0}s_{0}+R_{\lambda,1}s_{1}+\cdots+R_{\lambda,d_{\lambda}-2^{S}d_{\lambda}-2}+R_{\lambda_{7}d_{\lambda}-1}$

がイデアル$Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$のネター微分作用素となる様なものが存在する,

従って, 予め準素イデアルムのネター作用素基底のネター微分作用素
くと, それらを利用してイデアル
く求める事が出来る.
準備が整ったので, 以下に Grothendieck local residues$\{R_{\lambda,1}, \ldots , R_{\lambda,d_{\lambda}}\}$$Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$${\rm Res}_{\beta}( \frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x)\cdot\cdot f_{n}(x)})$

,

を求めてお

$S_{F,\lambda}$

を効率よ$\beta\in Z_{\lambda}$の計算アルゴリズムの概略を与える. ただし, 多項式環 $K[x]$ には項順序 をいれての計算等が利用できるあり, Gr\"obner 基底の計算や多項式の Normal formの準素イデアル分解 Il\cap . . ロム
ものとする. また, イデアルは既に求めてあるとする.
や各に付随する素イデアル$\succ$$\mathrm{N}\mathrm{F}(*, \succ)$$I=\langle f_{1}, \ldots f_{n}\rangle$$I_{\lambda}$$\mathfrak{p}_{\lambda}$$\cdot$$\cap\cdots\cap I_{\ell}$

131

留数計算アルゴリズムの概略(i) 継母イデアルムの Noether 微分作用素基底
ただし,$J_{F}R_{\lambda,d_{\lambda}-1}\not\in D_{X}\mathfrak{p},$$R_{\lambda,1},$$J_{F}R_{\lambda,j}\in D_{X}\mathrm{p},$$R_{\lambda,d_{\lambda}}$$\ldots,$$j=0,1,$を求める ([45]).

$d_{\lambda}-2$$\ldots,$を満たすとする.

(ii)$s_{0},$$s_{d_{\lambda}-2}\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}$$s_{1},$$\ldots,$

を未知の係数とし,$S_{F,\lambda}=R_{\lambda,0}s_{0}+R_{\lambda 1,\}}s_{1}+\cdots+R_{\lambda,d_{\lambda}-2^{S}d_{\lambda}-2}+R_{\lambda,d_{\lambda}-1}$

とおく.

(iii) $k=1$ とおく. 微分作用素(a)$Ann_{D_{X}}^{(t_{u}^{\alpha})}(\tau_{F,\lambda})$(b) 方程式(c)(iv) 条件(v)$S_{F,\lambda}$が求まるまで, 以下を行う,を求める ([46]).
$\forall_{P}\in Ann_{D_{X}}^{(k^{\wedge})}(\tau_{F,\lambda})$$PS_{F,\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda},$を解く.

$\mathrm{k}:=\mathrm{k}+1$$J_{F}R_{\lambda,d_{\lambda}-1}u-d_{\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$

をみたす$r(x)=\mathrm{N}\mathrm{F}(u(x)((S_{F,\lambda}^{*}\varphi)(x)), \succ)$$u\in K[x]/\mathrm{p}_{\lambda}$を求める.

を計算する,

このとき,$r( \beta)={\rm Res}_{\beta}(\frac{\varphi’(x).dx}{f_{1}(x)\cdot\cdot f_{n}(x)})$,$\beta\in Z_{\lambda}$が成り立つ (cf. [44]).
の持
これで本稿の目的は遂げられたことになる. 最後に, 形式随伴作用素
つ基本的性質を述べ, 上記の留数計算法と論文 [33, 35, 39, 40, 47] 等で与えた留数計算法との相違等を示しておく.
まず, 論文 [39, 40, 47] 等で与えた留数計算法の概略を復習しよう.
とおき, さらにをベクトル空間とみなし$T_{F,\lambda}^{*}$$K[x]/I_{\lambda}$$E_{\lambda}$$E_{J,\lambda}=\{J_{F}(x)g(x) \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{\lambda}|g\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}\}$,$E_{K,\lambda}= \{h(x)\in E_{\lambda}|{\rm Res}_{\beta}(\frac{h(x)dx}{f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)})=0, \beta\in Z_{\lambda}\}$とおく. この時$E_{\lambda}$$K[x]$

に対しまず$E_{J,\lambda},$$\varphi_{K,\lambda}\in E_{K,\lambda}$

はと直和分解される. 与えられたを考え, 連立方程式を解くことで$E_{\lambda}=E_{J,\lambda}\oplus E_{K,\lambda}$$\varphi_{\lambda}=\varphi(x)$mod$I_{\lambda}$

による直和分解$\varphi_{\lambda}=\varphi_{J,\lambda}+\varphi_{K,\lambda}$$\varphi(x)\in$$\varphi J,\lambda\in$

132を求める. 次に${\rm Res}_{\beta}( \frac{\varphi(x).dx}{f_{1}(x)\cdot\cdot f_{n}(x)})={\rm Res}_{\beta}(\frac{\varphi_{J,\lambda}(.x)dx}{f_{1}(x)\cdot\cdot f_{n}(x)})$に注目し, $\varphi_{J,\lambda}(x)=J_{F}(x)g(x)$ mod$I_{\lambda}$

なる$g\in K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}$

を使い${\rm Res}_{\beta}( \frac{\varphi_{J,\lambda}(x)dx}{f_{1}(x)\cdots f_{n}(x)})={\rm Res}_{\beta}(\frac{J_{F}(x)g(x)dx}{f_{1}(x)\cdots f_{n}(x)})=d_{\lambda}g(\beta)$

により留数値を求めるという手順を踏む.
は次のふたつの性質を持つことを思い出そう.
さて, ここで$T_{F,\lambda}$(i)$PT_{F,\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda},$(ii)$\forall P\in Ann_{D_{X}}(\tau_{F,\lambda})$$J_{F}T_{F,\lambda}-d_{\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda}$

特に,

,

.

$fT_{F,\lambda}\in D_{X}\mathfrak{p}_{\lambda)}\forall f\in I_{\lambda}$$T_{F,\lambda}^{*}$を自然に誘導する. 上記の$T_{F,\lambda}$が成り立つので:$T_{F,\lambda}^{*}$

は$K[x]/I_{\lambda}arrow K[x]/\mathfrak{p}_{\lambda}$の性質 (i) と柏原・河合の双対定理 ([19]) より$T_{F,\lambda}^{*}(E_{K,\lambda})=\{0\}$を得る. 同様に, (ii) より$T_{F,\lambda}^{*}(J_{F}(x)g(x))=d_{\lambda}g(x)$を得る. 従って, 形式随伴作用素$J_{F}(x)g(x)$mod$I_{\lambda}$$T_{F,\lambda}^{*}$

を$\varphi$に施すと,$\mathfrak{p}_{\lambda}$$\varphi_{\lambda}=\varphi_{J,\lambda}+\varphi K,\lambda$と $\varphi J,\lambda(x)=$より$(T_{F,\lambda}^{*}\varphi\dot{)}(x)=d_{\lambda}g(x)$を得る. 形式随伴作用素
直接計算できる事が著しい.

$T_{F,\lambda}^{*}$

6

mod$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathfrak{p}_{\lambda}$を用いることで, 連立方程式を解くことなく $g(x)$ があとがき

Grothendieck local residues は Cauchy の一変数画数を高次元の場合に一般化したものである. Grothendieck の留数理論の中で最も基本的概念であり, 様々な応用を持つ. Grothendieck 留数の計算においては, なんらかの形で transformation law
を利用することが従来, 頻繁に行われていたと思われる. しかし transformation
law を用いるということは, もともとのイデアルと異なるイデアルを導入しそのイデアルを計算に利用することを意味する. 従って, 留数値そのものだけでなく何ら

133

かの数学的構造を調べたりする必要がある場合は, 従来の計算法は様々な支障を伴う恐れが生じる.
本稿で与えた留数計算アルゴリズ では, 此れにたいし, 準素イデアルに付随したネター微分作用素基底を用いる. これらのネター微分作用素は準素イデアルの重複の仕方を記述するものであり, しかも, ネター微分作用素と素イデアルを組み合わせることで面素イデアルを完全に特徴付けることが可能である. つまり, 我々$\text{ム}$が与えたアルゴリズムは, 計算のためにイデアルの取り替え等をおこなったりせずに, 寧ろ 「準素イデアルの構造を明らかにする事で留数値の計算を可能にしたもの」 と言える.

加群の理論を用いて留数を扱っている. 一般に Grothendiecklocal residues は微分作用素として働くことが知られている. 従って, 多変数留数を加群の枠組みを用扱う際に, 可換環の枠ではなく微分作用素環の枠組み, 即ちいることは極めて自然であると思われる.
加群を用いて代数的局所コホモ
導出したアルゴリズムでは, ホロノミック
ロジーのネター作用素表示を求めることがその中核をなしている. このような考加群を用いて, 関数や超関数等を統制し, 様々な具え方, 即ち, 「ホロノミック体的計算に役立たせる」 という考えは佐藤幹夫先生によるものであり, 代数解析学の根本的な哲学とも言えるものであろう. このように考えると, 本研究は代数解析学の基本原理に従うことで多変数留数計算アルゴリズ を導出したものと言える.
本研究では$D_{X}$$D_{X}$$D_{X}$$D_{X}$$\Delta$

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