プラジオグラフ（ＰＬＡＧＩＯＧＲＡＰＨ）を使って、図形の移動について考えてみよう＜４＞いろいろなプラジオグラフ

筑波大学大学院教育研究科数学教育コース 1 年
田中 真樹子3年
名前組プラジオグラフで回転移動した図形が描けるのはなぜか＜準備＞。回転移動とは・・・各点が点 O の周りに同じ角度ずつ回転した移動だった。
O からの距離が元の図と描いた図では等しい。

何を証明すればいいのか∠POQ が一定であること
OP=OQ であること＜仮定＞

OC=AB=AP=PB

AO=BC=BQ=CQ＜証明＞①四角形 AOBC は平行四辺形を導く。
仮定より 対辺がそれぞれ等しいので、四角形 AOBC は平行四辺形。
②△AOP≡△CQO から OP=OQ を導く。
仮定より、AP=CO、AO=CQ①より∠OAB=∠BCO、また、∠BAP=∠BCQ＝６０°なので∠OAP=∠QCO
２辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいので△AOP≡△CQO
対応する辺なので OP=OQ③四角形 AOBC が平行四辺形から∠AOC+∠BCO＝１８０°を導く。
④②から∠POQ が一定（この場合は 60 度であること）を導く。
三角形の内角の和なので、∠OAB+∠BAP＋∠AOP+∠APO＝１８０°
また、③より∠OAB＋∠POQ＋∠AOP+∠COQ＝１８０°∠AOC△AOP≡△CQO より、ば∠APO＝∠COQ なので、２つの式の上下を比べて∠BAP=∠POQ（この場合は、∠BAP が 60°なので∠POQ も６０°となる。）＜結論＞
よって∠POQ が一定であることと、OP=OQ が証明され、プラジオグラフが回転移動する図形を描く道具であることが証明された。

宿題の解答①△DBE と△FEC②平行四辺形＜理由＞△ABC≡△DBE の理由

四角形 ADEF が平行四辺形の理由

正三角形の辺なので、正三角形の辺なので、FA=FC

AB=DB,△DBE≡△FEC より FA=DEBC=BE・・・①∠DBC=∠DBE+６０°

よって FA=DE・・・①∠DBC=∠ABC＋６０°

同様にして DA=FE・・・②

よって∠DBE=∠ABC・・・②①、②より２組の対辺がそれぞれ①、②より 2 辺とそのはさむ角が等しいので、四角形 ADEF は平行それぞれ等しいので、四辺形になる。

△ABC≡△DBE
同様にして△ABC≡△FECも証明できる。
○パンタグラフ（１７世紀・イタリア）◎シルベスターの証明
シルベスターは、それまで使われていたパンタグラフという、拡大・縮小機をもとに、この道具を考案しました。（前ページ参照）
では、どのように考案していったのか、追ってみましょう。（シルベスターが書いた論文「ＯＮＴＨＥ

ＰＬＡＧＩＯＧＲＡＰＨ

aliterTHE

SKEW

PAMTIGRAPH」に書いてあることを紹介します。
＜従来のパンタグラフ＞
O は固定点、P はトレースする点
Q はそれに対応して動く点
Ｏ，Ｐ，Ｑは一直線上に並んでいる∠ＰＡＰʼ＝∠ＱＢＱʼとなるようにＰʼ，Ｑʼを設定する。
すると、∠ＰʼＯＱʼは一定となる。
→ＯＱʼ：ＯＰʼ＝ＡＣ：ＡＰ

P を B に近づけると・・・＜プラジオグラフ＞

シルベスターの変形パンタグラ
フ（プラジオグラフ）の出来上がり。さらに、
BＰʼ＝ＡB，ＣＱʼ＝ＱＱʼにすると、今日、考察して証明した道具と同じになる。

◎ちょっと考えてみよう
右のように、すべて辺の長さが等しいプラジオグラフを考える。
さて、この道具で同じ図形をなぞったらどんな図形が描かれるだろうか？
①

全く同じ図形が描かれる。

②

AB の長さが短いので、回転の角度が小さな図形が描かれる。
AB の長さが短いので、元の図形③より小さい図形が描かれる。
④

まったく異なる道具となる。

⑤

その他（）

◎実際に描いてみたらどうなっただろうか。

◎そこからどのようなことがいえるだろうか。

＜発展問題＞
下の道具もプラジオグラフとよばれる道具です。今までの道具と少しずつ違います。今までの道具との違いや、描かれる図形の違い（なんでそうなるのか）について考えてみよう。
Ａ）正三角形を二等辺三角形に変えたらどうなる？
（△ABP∽△CQB、AB=AP,CQ=CB）Ｂ）正三角形を２つの相似な三角形に変えたらどうなる？
（△ABP∽△CQB→AP:CB=AB:CQ=PB:BQ）

「プラジオグラフは面白い」と、感じていただけたでしょうか。
「まったくなんでこんな道具について勉強しなくっちゃならないのかな？」「わかんないよ。証明・・・・」という声が、たくさん聞こえてきました・・・
プラジオグラフに出会って、その仕組みを知ることで、今回、私たちは少しだ
けプラジオグラフについて詳しくなりました。同時に、パンタグラフを土台にしてプラジオグラフを考案（発明）したシルベスターの見方を追うことで、私たちの証明と少し違うシルベスターの考え方に触れることができたのではないかと思います。結果、ʻ今まで知らなかったヘンな道具ʼを１つ知ることで、自分たちが見ている世界が少し拡がったと感じていただければ幸いです。
私たちが教科書を通して学んでいる数学は、先人が苦労して調べたり研究したりした結果を私たちが学び易いように整理したものです。効率よく学べる半面、なんだか機械的に数学を学ぶようで、数学の魅力が半減してしまっているのも事実です。記号・定理・証明の仕方・計算の仕方等、１つ１つの数学には歴史があります。その時代の人々が知恵を絞り、発見したり説明したりすることで数学は発展してきました。国や時代が違えば、話す言葉や考え方や習慣が異なるように、それぞれの数学の生まれや考え方にもその国・習慣に基づいた独特の文化があります。本来、数学はたくさんの人たちの文化の中で発展してきたものだからです。
ʻ学ばなければならない数学ʼではなく、知ることにより世界を広げてくれる数学を目指して授業を組みました。プラジオグラフという道具について学び、その道具が背負っている歴史について知り、考案したシルベスターが生きた時代背景に触れ、数学と向き合いたいと思ったからです。
また、普段難儀している証明について、証明の組み立て方、証明していく際の考え方等についても学んで欲しいと思いました。「回転移動」という今まで知らなかった移動について知り、道具について知っている知識を総動員して、１つ１つ小さな証明を重ねていくことでその動きを解明していきました。１つ１つが明らかになっていく過程は、大変だけど数学の醍醐味でもあります。ハイレベルなことへ挑戦することになりましたが、皆さんが一生懸命考えて解こうとした態度や考え方は、大きな糧となって皆さんの中に残ることと思います。
この学習を通じて、一味違った数学との付き合い方を学んでくれればいいな、と考えています。

◎ 振り返り１・今日の（４日間の）授業を受けて、自分にとって大事だと感じたことを書きましょう。

２．プラジオグラフについてどんなことがわかりましたか。（いくつでも○を）あ）動きの特徴がわかった。

い）回転移動とは何かがわかった。

う）プラジオグラフで回転移動の図形がかけるための条件がわかった。
え）なぜ、プラジオグラフで回転移動の図形が描けるかわかった。
お）証明について理解した。

か）パンタグラフとのちがいがわかった。

か）その他（）

３．授業のどのようなところに興味を持ちましたか。（一方に○をつけ、理由を具体的に書いてください。）

あ）→どんなところ？

い）→理由は？

あ）興味をもてたところがあった。
い）興味をもてなかった
４．シルベスターの発見に至った方法と、自分たちの証明と比べてどのように感じましたか。

5.この授業で学んだこと・考える姿勢は、普段の数学や生活のどのような場面に生かせそうですか。

6.授業の感想を自由に書いてください。

７．証明の一般性について理解できましたか。

できた・よくわからなかった