数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 176-183176
楕円曲線に附随する外モノドロミー表現とある種の Eisenstein 測度関数について

都立大・理中村博昭 (Hiroaki Nakamura)

Department of Mathematics,
Tokyo Metropolitan Univerisity\S 0. 外モノドロミー表現とは.
を含む整閉整域 $B$ を任意に固定し、そのスペクトラムを $S$ とする。 $S$ 上の双曲型代数曲線の smooth な族 $f:Carrow S$ が与えられたときに、基本群の完全系列
有理数体$\mathbb{Q}$$1arrow\pi_{1}$(Cae, )$\overline{y}$$arrow\pi_{1}(C,\overline{y})arrow\pi_{1}(S,\overline{x})arrow 1$

上の geometric fiber
は $C$ のが生じる。 ここで は $S$ 上の任意の geometric point,
ここから附随する外モノドロミー
上にとったはの任意の持ち上げとする。
とし,表現$C_{X}$$\overline{x}$$\overline{y}$$ac_{e}$$\overline{x}$$\overline{x}$$\varphi_{C/S}$:$\pi_{1}(S,\overline{x})arrow \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(\pi_{1}(C_{l},\overline{y}))$が定義される。双曲型代数曲線の連続的な変形 $C/S$ のうち非自明な成分は、右辺の非可の像として大きく映し出されて換だが有限生威な群の変換群の中に数論的基本群いると考えられる (遠アーベル哲学)。 このことから幾何学的性質の群論的な意味づけがの取り方に依存しないた
期待される。 外モノドロミー表現の群論的な構造は、基点$\pi_{1}(S)$$\overline{x},\overline{y}$め、 しばしば基点は略して書かれる。
$S$ が体は外ガロア表現とのスペクトラムの場合、 $\pi_{1}(S)=\mathrm{G}\mathrm{a}1(k/k)$ であり、いわれる。 とくに $C/k=\mathrm{P}^{1}-\{0,1, \infty\}/\mathbb{Q}$ の場合は、伊原康隆先生を中心に詳しく研究のメタアーベル化を担う主要な対がされている ([I1-3] ほか多数)。 特にこの場合、$k$$\varphi C/k$$\varphi c/k$

象として普遍ヤコビ和幕級数とよばれる高度に数論的な対象が [I1] で取り出された。 そして、その係数として現れるガロア群の指標が、 理論の円要素の 進実現として知られていた Soule 指標と結ひついたことを出発点として、 1980 年代後半からのさまざまな研究が行われた ([I2-3] やその文献などを参照されたい)。
筆者は、 これらの理論を高種数の曲線の場合に移植することで、 当時模索状態であった Grothendieck 予想 (cf. [NTM]) に対するヒントとすることを目論んだ。 その過程で、$C/k=$ 楕円曲線ひく 1 点の場合を上智大の角皆宏氏とともに取り組んだ。そこでやはり、のメタアーベル化を担うある基本的な幕級数表現に出会い、その係数を与えるガロア群の指標を楕円曲線に附随する不変量を用いて記述したのが [N1-2] である。 この幕級
数表現は、 base が体でなくても同様に構成できるから、 $E-\{O\}/S$ が普遍的な場合、即”
ち $S=$ “-line として楕円曲線の普逼族の場合を考えれば、 もう少し幾何学的に具$\mathrm{K}$$l$$\varphi_{C/k}$$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}$$j$

体的な不変量に結ひつく可能性があった。 1993 年の冬に京都から城崎行きの列車に偶然乗り合わせた阪大の伊吹山先生から Dedekind 和との関連の可能性を示唆して頂いて以来様々な Dedekind 和について情報収集を行っていたが、 1995 年頃から徐々に
Eisenstein 級数の周期積分を通じて一般化された Dedekind 和と結ひつくことが分かってきた。他の方面の研究が重なっていたこともあり、 この方面への取り組みはその後も遅々としていたが、最近になってようやく具体的な数値を入れての計算プログラムが都立大の177学生であった森本康彦氏の協力で計算機の上に載り、 ささやかながら新しい展望が開けつつある。本稿では、以上の背景となっている理論的事項を幾らかまとめて報告する。数値
実験については、簡単な例を紹介するにとどめる。

\S 1. 合同核上の測度関数乙しばらくの間、は上記のように一般としておき、原点抜き楕円曲線の族$E-\{O\}/S$ が、標準的に方程式 $\mathrm{Y}^{2}=4X^{3}-g_{2}X-g_{3}(g_{2},g_{3}\in B, \Delta:=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\in B^{\mathrm{x}})$で与えれているとする。 以下しばしばとかく。 これは楕円曲線マイナス$\Pi=\langlex_{1}, x_{2}, z|[x_{1}, x_{2}]z=1\rangle$と表示
原点の副有限基本群であり、適当な生成系を用いてできる階数 2 の自由副有限群である。 ここでとしては原点の周りを一$S=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$$=\pi_{1}(E_{\overline{x}}\backslash O)$$z=x_{2}x_{1}x_{2}^{-1}x_{1}^{-1}$

回りするループに対応するものがとれる (惰性群の生成元)。
\S 0 の基本完全系列$1arrow\Piarrow\pi_{1}(E\backslash O,\overline{y})arrow\pi_{1}(S,\overline{x})arrow 1$において、 -section の定義座標 $t=-2x/y$ から定まる section 準同型 $\pi_{1}(S)arrow\pi_{1}(E\backslash O)$
を通じて, 外モノドロミー表現の持ち上げ$\mathrm{O}$$\tilde{\varphi}$:$\pi_{1}(S)arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\Pi)$が得られる。 この表現は、 兇涼罎梁得 群(z) を保ちそこへは円分指標で作用している。
垣の位相群としての交換子群を ’, そのまた交換子群を ” とかく。
で生成される free
ここで、 この表現のアーベル商 ab $:= \prod/\prod’$ はの像加群であり, から誘導されるモノドロミー表現$x_{1},$ $x_{2}$$\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}$$\hat{\mathbb{Z}}$$\varphi$$\varphi^{ab}$:$\pi_{1}(S)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}(\Pi^{ab})=\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\hat{\mathbb{Z}})$

を $E-\{O\}/S$
は楕円曲線の等分点への作用 (の射影極限) に他ならない。その核がを通じてメタアーベル商 $/\Pi’’$の合同核ということにする。 次の命題は、に作用する様子を一本の 2 変数測度関数で記述できることを示している。 今、 $\Pi’/\Pi’’$ は共役と自然な線形延長によって完備群環上の階数 1 の加群になるが, 生成元としての像が取れることに注意しておく。 この状況で一般に次が成り立つ。
$\pi_{1}(S_{\infty})$$\pi_{1}(S_{\infty})$$\varphi$$\hat{\mathbb{Z}}[[\Pi^{ab}]]$$\overline{z}\in\Pi’/\Pi’’$

$z$

が (1)
命題 1. 自由副有限群 $\Pi=\langle x_{1}, x_{2}, z|[x_{1}, x_{2}]z=1\rangle$ の自己同型写像(2) アーベル化 $\Pi/\Pi’$ には自明に作用する, という 2 条件を満たすとき, 唯一の元で次のよの作用が up toが存在して, 勝手な元 $x\in\Pi$ へのうに書ける:$\alpha\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\Pi)$$\alpha(\langle z\rangle)=\langle z\rangle,$$\mathrm{E}_{\alpha}\in\hat{\mathbb{Z}}[[\Pi^{ab}]]$mod$\alpha(x)x^{-1}\equiv((\overline{x}-1)\mathrm{E}_{\alpha})\cdot\overline{z}$ここで$\overline{x}$は $x$ の$\Pi’’$$\alpha$$\Pi’’$.

ab での像をあらわす。

簡単なチェックにより、 \mbox{\boldmath $\alpha$}\mapsto E。は加法的 (i.e.,E\mbox{\boldmath $\alpha$}\beta =E。
) な準同型であることが分かる。 の prO-l 版は S.Bloch の構成したものと同等である (cf. [T])。
$+\mathrm{E}\beta$$\mathrm{E}$\S 2.

$\mathrm{E}$の幾何学的不変量による表示.

楕円曲線の族 $E-\{O\}/S$ の状況で、合同核
ドロミー表現の持ち上げ
は命題 1 の$\pi_{1}(S_{\infty})$$\tilde{\varphi}(\sigma)\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{I}\mathrm{I})$$\alpha$に対して, モノの仮定を満たすから, 対応しての一般の元$\sigma$

178$\mathrm{E}_{\sigma}\in\ovalbox{\tt\small REJECT}[[\mathrm{n}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{n}$が定まる。

$\Pi^{ab}\ovalbox{\tt\small REJECT} i^{2}$であるから、 E。は副有限群$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2}$上の$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

値測度とみなせる。 そこで対応$\pi_{1}(S_{\infty})arrow\hat{\mathrm{Z}}[[\hat{\mathrm{Z}}^{2}]]$$\sigma\mapsto \mathrm{E}_{\sigma}$を楕円曲線族 $E/S$ の幾何学的な不変量を用いて具体的に記述したいと考えるのが自然である。
ここで着目する不変量を記述するために、楕円曲線の N-等分点へのモノドロミー表とする。 Tate 加群の ‘座標 5の核に対応するエタール被覆を
現を決めているから自然にレベル $N$ のモジュラー曲線への射 $S_{N}arrow X(N)$ がある。
に対してモジュラー曲線 $X(N^{2})$ の上には、各組$S_{N}$$\pi_{1}(S)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z}/N\mathrm{Z})$$\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}$$\mathrm{x}=(_{NN}^{\lrcorner}r,rp)$$\theta_{\mathrm{x}}(\tau)=q_{\tau}^{6B_{2}}$(%)e12’:ラチ (ラトー$\mathfrak{y}$$\in(\frac{\mathrm{z}}{N})^{2}$$[(1-q_{z}) \prod_{\mathrm{n}\geq 1}(1-q_{\tau}^{n}q_{z})(1-q_{\tau}^{n}q_{z}^{-1})]12$,

上で無限積表示を持つカスプ点以外では正則な関数が知られていという上半平面る。 (いわゆる Siegel 単数の 12 乗である。ここで $z=(r_{1}\tau+r_{2})/N$ , B2(T)=T2-T+-61)。
を引き戻した S。上の関数の累乗根関数の自然な射 $S_{\infty}arrow S_{N^{2}}arrow X(N^{2})$ によってモノドロミーをとることで指標$\tau\in \mathfrak{H}$$\theta_{\mathrm{x}}$$\rho_{\mathrm{x}}$:$\pi(S_{\infty})arrow\hat{\mathrm{z}}$は 1 の累乗根をかけるだけであることと S。の定だけずれてもが得られる。 が上では数体が 1 の累乗根をすべて含んでいることに注意すると、で定まる指標である。
$\mathbb{Z}^{2}$$\theta_{\mathrm{x}}$$\mathrm{x}$$\pi_{1}(S_{\infty})$定理 1. 各
第 $N$ 成分を$\sigma\in\pi_{1}(S_{\infty})$に対しての元とみなした時のとする。 このとき係数は$\mathrm{E}_{\sigma}\in\hat{\mathrm{Z}}[[\hat{\mathrm{Z}}^{2}]]$$\mathrm{E}_{\sigma,N}=\sum_{\mathrm{r}\in(\mathrm{Z}/N\mathrm{Z})^{2}}e_{\sigma,N}(\mathrm{r})\cdot \mathrm{r}$$\mathrm{x}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathbb{Z}^{2}$$\rho_{\mathrm{x}}$を$.\mathrm{k}\mathrm{m}_{N}\hat{\mathbb{Z}}[(\mathrm{Z}/N\mathrm{Z})^{2}]$$\frac{1}{12}\rho_{\mathrm{r}/N}(\sigma)$$(\mathrm{r}\neq 0)$$\frac{1}{12}\rho_{\Delta}(\sigma)-\rho_{N}(\sigma)$$(\mathrm{r}=0)$$e_{\sigma,N}(\mathrm{r})=\{$

で与えられる。 ここでを意味している。 また$\rho_{\mathrm{r}/N}$$\rho_{\Delta},$は$\rho_{N}$$\mathrm{r}=N\mathrm{x}$は$B^{\mathrm{x}}$mod $N$ を満たす任意のの元$\Delta(=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}),$$N$$\mathrm{x}\in(\frac{\mathrm{z}}{N})^{2}$に対する \rho エのそれぞれの累乗根に関する Kummer 指標である。
この定理の prO-l 版はで示した。 簡単な読み替えで上のように profimite 版でも成立する。 詳しい証明は [N5] を参照されたい。
$[\mathrm{N}1,3]$\S 3.

$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}$上の E.

\S 1 の構成は、楕円曲線の moduli stack$M_{1,1}/\mathbb{Q}$とその上の universal effiptic curve

上に制限して考えに対しても適用できる。 ここでは特にはは自然にの副有限完備化と同一視され、合同核る。 するとは、 Melnikov 等の結果として、可算無限の核となる。
生成の自由副有限群であることが知られているが、具体的には次のように捉えることが出$Earrow M_{1,1}$$S=M_{1,1}\otimes\overline{\mathbb{Q}}$$\pi_{1}(S)$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})^{\wedge}arrow \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\hat{\mathbb{Z}})$$\pi_{1}(S_{\infty})$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}$$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}$

179
来る。

$\Gamma(N)\subset \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$を主合同部分群、 $P(N)\subset\Gamma(N)$ をモジュラー曲線 $X(N)$ 上のカ

スプ点たちに対応する惰性群で生成される正規部分群とする。 このとき $\{\Gamma(N)/P(N)\}_{N}$はレベル $N$ について乗法的に全射射影系をなし、 自然に$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}=.\mathrm{k}\mathrm{m}_{N}(\Gamma(N)/P(N))^{\wedge}$とみなせる。 つまりの各元は曲がりなりにもの整数行列の sequence としての表示をもつ。 そこで \S 1 で構或した合同核上の測度関数 :を行列成分の言葉で具体的に記述する問題が生じる。 今の場合、
であること
の定数体が
と或る技術的理由から定理 1 において本質を失うことなく $e_{\sigma,N}(0)=0$ とすることができる。 またの場合のは、の累乗根関数に対する ( に収束する) 行
列 $A\in\Gamma(N^{2})$ たちのモノドロミー作用で近似される。 Kubert-Lang の本にあるようなの even (Siegel units の独立性から の像は、 完備群環の対称性をもつ) でかつ augmentation $=0$ の部分の多くを占めることは定性的に示せるが、 もう少し定量的に計算する手段があることが望ましい。 実際、の対数微分がレベル $N$ , weight
2 の Eisenstein 級数であることから、上半平面上のある点からまでの道に沿った
Eisenstein 級数の周期積分を計算することに帰着する。 このようなものは古典的に計算さ$2\cross 2$$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}$$\mathrm{E}$$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}arrow\hat{\mathbb{Z}}[[\hat{\mathbb{Z}}^{2}]]$$S_{\infty}$$\mathrm{r}\neq 0$$e_{\sigma,N}(\mathrm{r})$$\overline{\mathbb{Q}}$$\theta_{\mathrm{r}/N}$$\sigma$$\mathrm{E}$$‘ \mathrm{x}rightarrow-\mathrm{x}’$$\hat{\mathbb{Z}}[[\hat{\mathbb{Z}}^{2}]]$$\theta_{\mathrm{x}}(\tau)$$A\tau_{0}$$\tau_{0}$

れていて、後述するようにベルヌイ数やその組合せであるデデキント和で書き表される。

\S 4.

$\mathrm{E}$

の

$l$

進展開.

上記 profinite の文脈で述べて来たが、素数話が出来る。 この場合、 の代わりにそれをのとき、 定義域はより少し大きな$l$を決めて prO-l の文脈にしても平行なに射影した像を考える。 こに取るなど、 \S 1 の構成の幾っかの箇所における自然な読み替えについて、 ここでは数え上げないが、は l-合同核からの加法的準同型写像となる。 基本の prO-l アーベル化での像を
群 兇寮言 元とすると、 このターゲットの環は $T_{i}=\overline{x}_{i}-1(i=1,2)$ を可換な変数とする幕級数環と同型であり、$U_{i}:=\log(\overline{x}:)(i=1,2)$ を変数とする幕級数環に埋め込まれる。 そこで、各$\mathrm{E}$$\mathrm{E}^{(l)}$$\mathbb{Z}_{l}[[\mathbb{Z}_{l}^{2}]]$$\pi_{1}(S_{\infty})$$\pi_{1}(S\iota\infty)$$\mathrm{E}^{(l)}$$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}^{(l)}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})^{\wedge}arrow \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z}_{l}))$$\mathbb{Z}_{l}[[\mathbb{Z}_{l}^{2}]]\wedge$$x_{1},$ $x_{2}$$\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}$$\mathbb{Z}_{l}[[T_{1}, T_{2}]]$$\mathbb{Q}\iota[[U_{1}, U_{2}]]$$\sigma\in \mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}^{(l)}$に対して$\mathrm{E}_{\sigma}^{(l)}$のティラー展開を$\mathrm{E}_{\sigma}^{(l)}=\sum_{i,j=0}^{\infty}e_{ij}^{(l)}(\sigma)\frac{U_{1}^{i}U_{2}^{j}}{i!j!}$と書いたときの展開係数$e_{ij}^{(l)}$:$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}arrow \mathbb{Z}_{l}$はどう記述できるであろうか? 上に述べた E。

の対称性などから分かることは $e_{00}^{(l)}=0,$ $i+j=odd$ ならば$e_{ij}^{(l)}$$=0$. 残りの係数の解析的な記述を与えるのが次の定理である。
その前 [こ Eisenstein cocycle I こついて復習する。 偶数 $k\geq 4$ [こ対して weight
Eisenstien 級数を$k$の$E_{k}( \tau):=\frac{(k-1)!}{(2\pi i)^{k}}\sum_{(m_{1},m_{2})}’(m_{1}\tau+m_{2})^{k}1$

で定義する
ここで組
全体にわたる和である。 よく知られているように、 このはモジュラー群に関する weight のモジュラー形式であり、 $q=\exp(2\pi i\tau)$ [こついて Fourier 展開するとき定数項一 $B_{k}/k$ を持っ。その Eichler
積分 (i.e.,(k–l) 階不定積分) のひとっを$(m_{1}, m_{2})\in \mathbb{Z}^{2}\backslash \{(0,0)\}$$(\tau\in\ovalbox{\tt\small REJECT})_{0}$$E_{k}$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$$k$$F_{k}( \tau)=-\frac{1}{(k-2)!}\int_{\tau}^{i\infty}(E_{k}(u)+\frac{B_{k}}{k})(\tau-u)^{k-2}du-\frac{B_{k}}{k}\frac{\tau^{k-1}}{(k-1)!}$180にとることができる。 これの行列$A=(\begin{array}{l}abd\mathrm{c}\end{array})\in \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$に関する変動幅$\phi_{k}(A):=F_{k}(A\tau)(c\tau+d)^{k-2}-F_{k}(\tau)$に関する $(k-2)$ 次の多項式になる。その各係数の実部のみを取り出したものとすると実は 係数であることが知られている。そこで $Sym^{k-2}(\mathbb{Q}^{2})$ を に関の作用を $f(\tau)arrow f(A\tau)(c\tau+d)^{k-2}$ で入れてする $(k-2)$ 次多項式の空間として
上の l-cocycleの Eichler-Shimura 対応物としての.
おくと、 Eisenstein 級数は、を$\tau\in \mathfrak{H}$$\tau$$Re\phi_{k}$$\mathbb{Q}$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$$E_{k}$$Re\phi_{k}$:$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})arrow Sym^{k-2}(\mathbb{Q}^{2})$が得られる。それを$Re \phi_{k}(A)=\sum_{:+j=k-2}p_{j}.\cdot(A)\tau^{:}$

を次のように導入の 進版:とおく。 この係数指標乃 :できる。 実際、 $k(=i+j),$ を固定するとき、 自然数 $A,$ $B$ を十分大きくとれば$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})arrow \mathbb{Q}$$l$$p_{j}^{(l)}.\cdot$$\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}^{(l)}arrow \mathbb{Q}\iota$

$j$

$l$

(1)
(2)

$\sigma\in \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})\Rightarrow A\cdot p_{j}.\cdot(\sigma)\in \mathrm{Z}_{l}$$\sigma\in P(l^{n+B})\Rightarrow A\cdot p_{j}.\cdot(\sigma)\in l^{n}\mathrm{Z}_{l}$

値の指標
.mod
が成り立つようにできる。そこで $\Gamma(l^{n+B})/P(l^{n+B})$ 上のを定義する。 こについて射影極限をとり, その結果を $A$ で割ったものとして’をれは $A,$ $B$ のとり方によらずに定まる。
$‘ A\cdot p_{1j}$$(\mathrm{Z}_{l}/l^{\mathrm{n}}\mathrm{Z}_{l})$$p_{\dot{l}j}^{(l)}$$l^{n}$$n$定理 2. 各$\sigma\in \mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}^{(l)}$に対して、$\mathrm{E}_{\sigma}^{(l)}=\sum_{:,j}e_{1j}^{(l)}.(\sigma)U_{1}U_{2}/i!j!$$p_{j}^{(l)}.\cdot(\sigma)$の展開係数は、( $i+j\geq 2$ , even),$. \frac{e!_{j}^{l)}(\sigma)}{i!j!}=\{$0(otherwise).
で与えられる。

\S 5. 定理 1\Rightarrow 定理 2 の鍵となるある合同式.
に関する Eisenstein 級数の Eichler-Shimura 積分
定理 2 では weight $k\geq 4$ のから生じる cocycle を論じたが、 定理 1 では、そこで述べたように合同部分群 $\Gamma(N)$ に関する weight 2 の Eisenstein 級数の積分の情報がこめられている。 そこで両者を結ひつ(但し $k=2$
けるためには、 もう少し一般に偶数 $k\geq 2$ と組
級数のときはとする) に対して定義される、 Eisenstien$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$$\mathrm{x}=(r_{1}/N, r_{2}/N)\in(\frac{\mathrm{z}}{N})^{2}$$\mathrm{x}\neq 0$’$E_{k}^{(\mathrm{x})}( \tau):=\frac{(k-1)!}{(2\pi i)^{k}}\sum_{\mathrm{a}\in(\mathrm{Z}/N\mathrm{Z})^{2}}e^{2:(r_{1}a_{2}-r_{2}a_{1})/N}\sum_{\mathrm{m}\equiv \mathrm{a}(N)}\pi\frac{1}{(m_{1}\tau+m_{2})^{k}}$は、 $m_{1}\equiv a_{1},$ $m_{2}\equiv a_{2}$ (mod $N$ ) を満たす組$Sym^{k-2}(\mathbb{Q}^{2})$ に値を持つ$(m_{1}, m_{2})\in \mathbb{Z}^{2}\backslash \{(0,0)\}$ 全体にわたる和である。 これについてを考える (\mbox{\boldmath $\tau$}\in H)。 ここで$\mathrm{m}=$$\sum’$

や上定義されるが、それは適切な意味で
cocycle が Eichler-Shimura 積分で上の cocycle にまでの延長が研究されている (e.g., Sczech [Scz])。延長さ
さらに$\Gamma(N)$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Q})$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$181
れていると様々な formation に関する研究に便利であるが、ここでは簡単のため
上における Rademacher 関数 (の一般化の一種)$\Phi_{\mathrm{x}}^{(k)}$:$\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})$$\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})arrow \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{k-2}(\mathbb{Q}^{2})=\mathbb{Q}[X, \mathrm{Y}]_{\deg=k-2}$$A= (\begin{array}{l}abdc\end{array})\mapsto\sum_{r=0}^{k-2}\Phi_{\mathrm{x}}^{(r+1,k-1-r)}(A)X^{r}\mathrm{Y}^{k-2-r}$を考えよう。 これは $A=(_{cd}^{ab})$ をえられる。

$\mathrm{c}\geq 0$となるように$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$に取るとき、次のように与$\Phi_{\mathrm{x}}^{(k)}((\begin{array}{l}ab\mathrm{c}d\end{array}))=\{\begin{array}{l}-^{P_{k}}\Lambda_{k}^{r_{1}N}\int_{0}^{b}\mathrm{z}(tX+\mathrm{Y})^{k-2}dt,(c=0)\cdot-^{P_{k}}\Lambda_{k}^{r_{1}N}\int_{0}^{\frac{a}{e}}(tX+\mathrm{Y})^{k-2}dt+\sum_{r=0}^{k-2}(-1)^{r}()X^{r}(aX+c\mathrm{Y})^{k-2-r}s_{\mathrm{x}}^{(k-1-r,r+1)}(a,c)(c>0)\end{array}$上の定義式の最後に現れる因子種を与えている:$s_{\mathrm{x}}^{(k-1-r,r+1)}(a, c)$が古典的な Dedekind 和の一般化の一.

$s_{\mathrm{x}}^{(k-1-r,r+1)}(a, c)= \sum_{i=0}^{c-1}\frac{P_{k-1-r}(^{r_{1}N\underline{+i}}[perp]_{c})}{k-1-r}\frac{P_{r+1}(r_{2}/N+a\frac{r_{1}/N+\dot{\iota}}{c})}{r+1}$(ここで $P_{k}(T)$ は周期的ベルヌイ多項式とする。 ) 定理 1 と定理 2 を結ひっける合同式は次のように述べられる。
補題. $N,$ $r,$
を $N\geq 1,$ $k\geq 2,0\leq r\leq k-2$ を満たす自然数とし、と互いに素な有理数のなす環とする。 この時、 $k,$ のみから定まる自然数
在して任意の $A\in\Gamma(N)$ に対して合同式
$k$

を分母が
が存

$\mathbb{Z}_{N}’\subset \mathbb{Q}$

$N$

$r$

$D_{k,r}$$\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}(k -2r)x^{k-2-r}(-y)^{r} \Phi_{(\pi’\#)}^{(1,1)}t(A)$ $\equiv\Phi_{0}^{(r+1,k-1-r)}(A)$mod$(k -2r)\frac{N}{12D_{k,r}}\mathbb{Z}_{N}’$.

が成立する。

この補題の中に現れるはベルヌイ多項式の係数などからなる有限個の有理数の共通分母として与えることができる ([N4])。 この補題は、 $r=k-2$ のときを筆者が示し、$D_{k,r}$一般の場合を定数倍を除いた作業仮説として修士の学生であった森本康彦氏に提示した。

森本氏 ([M]) は連分数を利用したアルゴリズムに基づく数値実験にょって未確定の定数が

182
2 項係数
を決めて

$\mathrm{C}^{k}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2}$$r$) であろうと予想した。 さらに森本氏は [M] の中で、 この予想のもとで$k$を動かしたとき、補題が$\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{u=0}^{N-1}\Leftarrow \mathrm{Y}-yX)^{k-2}\Phi 0_{\#)}^{1)}’,(A)\equiv\Phi_{\mathrm{O}}^{(k)}(A)(X, \mathrm{Y})$の形にまとまることも氏の予想の信憑性を裏付けていることを確認している。厳密な証明
はベルヌイ多項式に関する合同式を初等的に組み合わせることでまもなく得られた$([\mathrm{N}4])_{\text{。}}$のテイラー展開係数に対応し、右辺のとき、補題の左辺のモーメント和がそこで、展開係数と云わずに、モーメ
が Eisenstein 級数の周期積分に相当する。
ント和に関する主張にすれば、定理 2 を profinite 版の E。についての主張に焼き直すことは容易である。

$N=l^{m}$$\mathrm{E}_{\sigma}^{(l)}$$E_{k}(\tau)$

最後に簡単な数値例を紹介する。行列 $A$ として$A=(\begin{array}{ll}122 -4961363 -14761\end{array})\in\Gamma(11^{2})$り, $k=6,$ $N=11$ のときに上の合同式を検証しよう。
である。右辺 (Eichler-Shimura 積分の実部に相当) は$\bigwedge_{\urcorner}\text{の}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathrm{D}\text{、}^{}\mathrm{A}}0\leq r\leq 4$に依らす$(\begin{array}{l}4r\end{array})\frac{11}{12D_{4,r}}\mathbb{Z}_{11}’=11\mathbb{Z}_{11}’$$\Phi_{0}^{(6)}(A)(X, \mathrm{Y})=\frac{6157810527168637}{315}X^{4}+\frac{117260782677249595}{504}\mathrm{Y}X^{3}$$+ \frac{37381997569467617}{36}\mathrm{Y}^{2}X^{2}+\frac{5190578682530622937}{2520}\mathrm{Y}^{3}X$$+ \frac{1930511018334372017}{1260}\mathrm{Y}^{4}$であり、 左辺のモーメント和は$\sum 10(x\mathrm{Y}-yX)^{4}\Phi_{(_{11})}^{(,1)},\mathrm{A}(\frac{1*}{11}A)=\frac{157339}{6}X^{4}+\frac{717205}{6}\mathrm{Y}^{4}-\frac{230146}{3}\mathrm{Y}^{3}X$$x,y=0$$+ \frac{557102}{3}\mathrm{Y}X^{3}-102157\mathrm{Y}^{2}X^{2}$

以外の項の係数は 11 と互いに素である。
を計算すると(左辺)となる。 これらはいずれもここで (右辺)–$X^{2}\mathrm{Y}^{2}$$\Phi_{0}^{(6)}(A)(X, \mathrm{Y})-\sum_{x,y=0}^{10}(x\mathrm{Y}-yX)^{4}\Phi_{(_{11})}^{(,1)},\mathrm{A}(\frac{1\sim}{11}A)$$=^{\underline{12315621037816679}_{X^{4}+}\underline{117260782583656459}_{\mathrm{Y}X^{3}}}$

504

630

$+ \frac{37381997573145269}{36}\mathrm{Y}^{2}X^{2}+\frac{5190578682723945577}{2520}\mathrm{Y}^{3}X$$+ \frac{\iota 1930511018183758967}{1260}\mathrm{Y}^{4}$$\equiv 0$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 11\mathbb{Z}_{11}’$

.

をと

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