九点円を生徒が発見する授業に関する一考察―数学史とコンピュータを利用して―筑波大学大学院修士課程教育研究科
竹谷 正章構成
１ はじめに
２ 研究の目的・方法

要約「数 学 基 礎 」で導入される数学史は生徒の数学３ 教材について嫌いの歯止めとなりうるか。本研究では､９点円とその４ 授業内容

発見史を教材とし、コンピュータを用いて､生徒に発授業概要 三角形のこころのふしぎの探求

見体験させた上で歴史的過程に触れることにより、作図ツールの理解（１時間目）生徒の数学に対する考え方の変容を探った。結果，９点円の発見とその歴史（２，３時間目）

数学に対する興味・関心が深まり、数学は暗記中心５ 結果と考察であるなどの従来の考えからの変容を見出すことが６ おわりにできた。またコンピュータ利用は､その便利さの中に参考文献当時の発見の凄さを見出した生徒も多かった。

１ はじめに２０００年１２月，１９９９年に行われた国際教育到達度評価学会の「国際数学・理科教育調査」によると，日本の中学生は数学や理科のテストの成績は上位であるが，勉強が好きだと答える割合は最低レベルにあると報じられた１。この記事によると，数学が「大嫌い」「嫌い」とする生徒は、前回（１９９５）の調査より５ポイント増えて５２％になり，半数を超えたという。また、生徒の高等学校入学時の学力格差も拡大しており、高等学校で２００３年度から導入される「数学基礎」もこれらへの対応の１つである。
特に｢数学基礎｣の（１）数学と人間との活動においては、数学における概念の形成や原理・法則の認識の過程と人間や文化のかかわりを中心として、数学史的な話題を取り上げるとされている２，３。数学史を用いることによって、数学者の営みに触れ、数学を文化としてとらえることにより、生徒が数学をより身近なものとして認識し、興味・関心を高めることができれば、生徒の理数離れの歯止めの１つとなりうるのではないだろうか。

そこで，本研究では，９点円とその発見・発展過程を教材とし、その発見の過程の類似体験した上で，歴史的過程に触れることによって，生徒の数学に対する考え方の変化を探るものとする。９点円は､数学Ａ「平面幾何」で扱われる三角形の五心と密接な関係があり､一部教科書では扱われている４。その際、９点円とその諸性質の証明及び５
それらの歴史に関しては，恩田（１９９８）が指摘するように一次文献を資料として用いることにする。また吉田（１９８５）６は中学３年生に対して１２時間かけ、９点円の定理について多様な角度から考察を行っている。本研究では授業時間の制約から、それらの考察のために、Cabri GeometryⅡ(以下カブリⅡ)を用いることにする。なお、カブリⅡに関しては、筑波大学数学教育学研究室７において多くの研究がなされている。
２ 研究の目的・方法
目的

数学的事実が発見・発展される歴史的過程について、体験活動を通して触れることにより，生徒の数学観の変容を探る

この目的のために次の課題を設定する。
課題Ⅰ

生徒の発見活動が、９点円のもつ性質や三角形や円のもつ不思議さの認識につながったか。

課題Ⅱ

生徒の発見活動及び９点円の発見・発展の歴史に触れたことが、生徒の数学観に変容をもたらしたか。

なお、生徒の数学観の変容については、授業の前後の調査をもとに、課題Ⅰ及びⅡによって達せられたかにより考察する。
３ 教材について９点円は，三角形の３辺の中点，垂心と３頂点を結ぶ線分の中点，３本の垂線の足の９点を通る円であり，別名でフォイエルバッハの円とも呼ばれ、フォイエルバッハの定理など，様々な美しい性質がある。カジョリ『初等数学史』８、９によると，９点円を発見したのはオイラーとされているが，オイラー１人による発見ではなく，幾人かの人々が独立に発見したものであるとされており、その後も多くの数学者の考察の対象となっている。
そこで､本研究では９点円の持つ性質を生徒に発見させる活動を行い､それをもとに多くの数学者の考察の対象となったことを、文献を通して触れることにより､当時の数学者の在り方について触れるようにした。その際､歴史的な流れは、生徒による９点円の性質の発見活動の後に行った。
なお、本研究では一次文献として、Smith『A Source Book in Mathematics 』１０を用いた。また、９点円の探求に際し扱われる三角形の五心は、数学Ａ「平面図形」の中で扱われている。

４ 授業内容（１）指導目標 ９点円の諸性質を、カブリⅡを用いて発見的に学習する。９点円の発見をめぐる歴史的な流れを理解する。
（２）対象 学校法人茗溪学園中学校高等学校 中学校３年生１クラス４５人（３）時間数 ３時間（４）既習事項 中学校の内容は既習。数学Ａ「数と式」、数学Ⅰ「２次関数」および「図形と計量」は既習。数学Ａ「平面図形」は未習（履修しない）である。
（５）準備物 ワークシート、資料（一次文献を含む）、ＦＤ、事前・事後調査（６）授業概要 「三角形のこころのふしぎの探求」
作図ツールの理解(１時間目)
三角形の外接円・内接円を作図ツールを用いて描く*生徒はカブリⅡの使用は初めてであり、その使い方についての理解をすすめた。
①三角形の外接円の描き方を考える。
・コンパスと定木のみを用いて与えられた三角形の外接円を作図す
三角形の外接円る方法を考える。
・作図の方法がわかったら，カブリⅡを用いて作図する。
②三角形の内接円の描き方を考える。
・カブリⅡの画面上の三角形を見ながら作図する。
・三角形を変形し，どんな三角形でも内接していることを確かめる。

三角形の内接円

９点円の発見(２・３時間目)
垂足三角形に着目し，９点円の性質を発見する。
③ユークリッド『原論』により，三角形の外接円・内接円の歴史にふれる。

三角形の垂心と垂足三角形④三角形の重心・垂心・垂足三角形を導入する。
・外心・内心との関連性（３つの直線の交点となる）に着目させた上で導入した。

⑤垂足三角形の外接円（９点円）の性質を発見する。
・ＦＤにすでに作図してある９点円の図を、三角形ＡＢＣの頂点を動かすことにより変形して，一般的な三角形において，以下の９点円の定理が成り立つことを発見する。
９点円の定理 三角形の３辺の中点，垂心と３頂点を結ぶ線分の中点，３本の垂線の足は同一円周上にある。

９点円の定理⑤の活動の様子
左上の図の点Ａを動かして変形している・９点円の定理のブリアンションとポンスレーによる証明（原典・Smith前出）を読む。
ブリアンション・ポンスレーによる証明（Smith）⑥三角形の外心・内心・重心・垂心・９点円の中心の相互関係を発見する。
・ＦＤにすでに作図してある図を、三角形ＡＢＣの頂点を動かすことにより変形して，一般的な三角形において，これらの点の関係を発見する。

↓変形すると正三角形の場合すべて一致することがわかる

フォイエルバッハの定理
フォイエルバッハによる証明（Smith）⑦フォイエルバッハの定理とその証明（原典・Smith 前出）を読む。
・内容を深追いするのではなく，⑥で発見した諸性質を証明しつつ、フォイエルバッハの定理の証明がなされていることに着目し、９点円をフォイエルバッハの円ともいうことにふれる。

⑧９点円発見の歴史（カジョリ『初等数学史』）を読む。
・多くの数学者の考察の対象となり，何度も再発見された点に着目させる。
⑨まとめ(生徒の考察)
カ ジ ョリ A History of

問１ 過去の数学者はどうして９点円についての研究をしたと思うか。

Mathematics 5ed

問２ ９点円やそれに関するいくつかの性質を再発見したが，それらを再発見したことに対してどう思うか。

なお、授業を進めるにあたり、以下の点に留意した。
・生徒の回答・感想に直接影響を与える発言をしない・９点円の諸性質を生徒に発見させ、その後歴史的流れを示すという過程を取った。
５ 結果・考察⑨の問および事前・事後調査の結果を基に、課題ⅠⅡの考察をする。
（１）「課題Ⅰ 生徒の発見活動が、９点円のもつ性質や三角形や円のもつ不思議さの認識につながったか。」⑨問１の回答に、当時の数学者の視点を通して、図形のもつ不思議さの認識に関する回答が見られた。
・三角形に隠された性質が不思議で興味深いことであったため。三角形にはいろいろな性質が会ったため，それを発見して，有名になりたかった。どうして思ったか？僕自身が，三角形の性質というものが不思議で興味深いものだと思ったから。
・三角形や円には，まだまだ 未知なものがたくさんあります。だから，それを，少しでも解明するために，円の研究をはじめ，９点円に結びついたのだと思います。
・円や三角形が面白くて，不思議だと思ったから。昔の人は研究したのだと思う。かたちがめずらしくったのかなぁ。
・調べれば調べるほど，たくさんいろんな発見があってたのしいし、おもしろいし、注目もうけるから。
・数学というと数 字 と図形なので三角形の性質はいろんな不思議なことがかくされている
ので，９点円の性質は調べれば調べるほどわかってくると思 う。（たぶんまだいろいろあると思うが。）また三角形からいろいろするのに考える参考書のようなものになるからだと思った。

⑨問１では、当時の数学者はどうして研究したのかという問にしたが、生徒が図形のもつ不思議さを認識していない限り、このような回答は出ないであろう。
なお、授業のはじめに三角形や円の性質についての知識を調査したところ、今回の内容との関連では、三角形の重心を挙げた生徒が１名いただけで、９点円やその性質に関して回答した生徒はいなかった。また、⑨問２では、カブリⅡを発見活動の手段として用いたが、・昔の人はパソコンも何も使わすにこのことを発見したことはすごいと思う。
・昔の人は，コンピュータなどを持っていないし，なかったから，自分たちでは簡単に思ったけど，当時の人たちは紙とかでやったと思うので，とても苦労したなと思った。
・神秘的。でも昔の人はどうやって発見したのだろうと思った。パソコンがないと，絶対にできないと思った。数学は奥が深いものだと思った。など、自らの体験に基づき、当時の数学者の発見の大変さも見出している。以上のことは、次の生徒の⑨問２に対する回答に見ることができる。
・今まで，私はこのような性質があったなんて，知りませんでした。昔の人はパソコンがないのに，発見することができたなんて，そうとう頭の良い人たちなんだと思った。発見したときの楽しさを知ることができました。

以上のことから、生徒は発見活動に基づいて図形の持つ不思議さの認識をしていると考えられる。よって、課題Ⅰは達せられたと考える。
（２）「課題Ⅱ 生徒の発見活動及び９点円の発見・発展の歴史に触れたことが、生徒の数学観に変容をもたらしたか。」について⑨問２の回答として、図形に対する興味や関心の高まりのほかに，数学の歴史を通して，数学のおもしろさを捉えなおしたり，数学の発見のよさを感じている。また，コンピュータを利用したことによって，当時のなされた発見の凄さを感じた生徒も多かった。
・図にかくとわからないことがコンピュータだと一瞬にして図形が動くのが面白かった。ただの３つの点や線の組み合わせだけで９点の性質のような不思議な性質ができているなんですごいと思った。今回の発見のように今，私たちがあたりまえのように使っている定理を昔の人たちは長い時間をかけて発見している，と思うと"数学"というものも歴史があるのだな−と思う。
・いろんな数学者の研究を振り返ることによって，９点円の意味，その不思議さを知り，数学のおもしろさを改めて考えさせられたと思う。
・円やいろいろな図形について私は今まで教えられて知ってきましたが，今回の授業で自ら発見することは気持ちいいことだなぁーと思いました。数学者の人たちはこれを目標にがんばったのかなぁーと感じました。

事後調査の以下の質問に関しては、数学を自ら発見することによってそのよさを感じた生徒や，数学＝暗記というイメージからの脱却が図れた生徒もいた。
また，それらの理由として，コンピュータを用いて実際に動かしてみたからという生徒も多かった。
質問 この授業を通してあなたが変わったと思う点を自由に書いてください。（理由も書いてください）
・前までは、シャーペンとか握ってやるのが数学で、誰かが説明して理解していくのが数学だと思っていたけど、この授業を受けて、自分でやって自分で理解できる数学っていうのもあることを知った。
・数学を勉強することに関して意欲が深まった。・・理由いろいろな人が「発見」というものをしているため。自分もそういう発見をしてみたいと思ったから。
・「発見することの楽しさ」を知ることができた。同時にその難しさも知ることができた。・・理由この授業でいろいろ発見させてくれたので。
・今まで性質などを丸暗記していて，あまり自分でどうしてこうなるのかをあまり自分で考えていなかった。でも，それが少し出来るようになった気がする。・・理由三角形を自分で動かして性質を見つけたりしたから。

また、数学の発見に関して、「数学はどんな学問だと思いますか」という問いを授業の前後でしたところ、以下のように、数学を発見するものと捉えている生徒が増えている。
事前調査（複数回答・上位）

事後調査（複数回答・上位）

難しい・・・・・・・・１０

発見する学問・・・・１０

わからない・・・・・７

難しい・・・・・・・・・・・４

めんどくさい・・・・５

楽しい・・・・・・・・・・・３以上のことから、生徒には自らの発見活動及び９点円の発見・発展の流れを通して、数学観の変容が見られている。よって、課題２は達せられたと考える。
（３）考察⑨問１において、図形の性質に関しての回答は、予想された範囲の回答であった。本研究では、その性質の探求にあたっては、カブリⅡを用いたが、高１１
島（２０００）は、数学史教材に対するコンピュータの役割として、時間・内容的に再現が困難な場合のコンピュータ活用により理解に必要な時間の短縮ができると指摘している。吉田の研究では、⑤９点円の定理の探求で１２時間かかっているが、本研究のカブリⅡを用いた活動では、大幅に時間を短縮できた。一方で、９点円のもつ性質を発見することに焦点をあてたため、証明は Smith の文献のどこにあるかということに触れるにとどめた。吉田の研究では最終的に定理の証明がなされており、生徒の「証明とかはできなかったので，本当に発見したとはいえないが、楽しかった。」との指摘もあった。⑨問２の回答からはコンピ
ュータを用いて容易に体験がなされたために、当時の数学者の発見のすごさがより強調されたと考えると、本研究のカブリⅡの利用は生徒の図形の認識において妥当であったと考える。
この授業を進めるにあたっては、９点円の諸性質を生徒に発見させる活動のあとに､それらを一次文献（Smith）との対比させ、９点円発見の歴史的流れ（カジョリ『初等数学史』）を読むという方法をとった。これは、本研究で用いた一次文献（Smith）が、定理の発見者の簡単な紹介と定理の証明が主であり、歴史

にはほとんど触れられておらず、それを補完する必要があったためでもある。よって、不明確な当時の数学的・時代的背景や当時の数学者の考え方の話題をせず、生徒の回答・感想に直接影響を与えないよう留意した。このため、９点円の発見の活動と､その結果である歴史がうまく結びつくかが、この授業における問題点でもあったが、生徒の回答を見ると､一次文献（Smith）が、体験と歴史の橋渡し的役割をうまく果たしたといえる。また、９点円発見の歴史的流れ（カジョリ『初等数学史』）を読んだことによって、・昔の人が調べていたから，本当にそうなのかという疑問が出てきて，自分でそれをちゃんと証明できるようにするため，いっぱいの人が研究した。（⑨問１回答）のように､数学者の数学に対するあり方についての一端までも考えさせることができたといえる。よって､この授業のような､生徒の活動を先行させたあとに数学史に触れる方法は，有効であったと考える。

発見活動

一次文献の講読

９ 点 円 発 見 の 流 れ生徒の６ おわりに本研究では，数学的事実が発見・発展される歴史的過程について、体験活動を通して触れることにより，生徒の数学観の変容を探ることを目的とした。その結果，数学に対する興味・関心が深まる生徒や，数学が暗記中心であるなどのこれまでの考えからの転換が進む生徒など、変容を見出すことができた。また、体験活動のためにカブリⅡを用いたが､その便利さの中に当時の発見の凄さを見出した生徒も多かった。
一方、今回の授業では､当時の数学的・時代的背景や当時の数学者の考え方について直接話題にしなかったが､⑨問１，２については、当時の数学者の在り方などを、生徒の間で議論することにより、更なる変容の深化をはかることができたのではないかと考えられる。

謝辞
私立茗溪学園中学校高等学校の鈴木誠先生、島一史先生をはじめ，数学科の先生方には，研究授業の実践に際し，多大なるご協力をいただきました。ここに御礼申し上 げます。
註） 本研究は、科学研究費、基盤研究Ｂ(2)展開研究（課題番号 10558032、研究代表者礒田正美）の一貫として行われた。
註） 授業の詳細並びに資料等は次に掲示している。
http://130.158.186.11/mathedu/forAll/project/2000/index
引用・参考文献
１ 朝日新聞朝刊（２０００，１２，６）
２ 文部省（１９９９） 高等学校学習指導要領解説 数学編 理数編 ｐｐ３１−３４
３ 吉田明史・飯高茂（２０００） 改訂高等学校学習指導要領の展開数学科編 明治図書ｐｐ６８−８３
４ 永尾汎他（１９９７） 改訂版高等学校数学Ａ 数研出版 ｐｐ１２８−１３４、ｐｐ１５４５ 恩田洋一（１９９８） 一次文献を利用した数学史教育に関する一考察〜数学基礎に関連して〜 平成１０年度筑波大学大学院教育研究科修士論文 ｐｐ６−１３６ 吉田稔（１９８５） 算数・数学教育実践講座第１２巻 ニチブン ｐｐ１０１−１２２７ 筑波大学数学教育学研究室（２０００） 数学教育改革の推進とテクノロジーの利用の実証に関する研究〜ミレニアム・プロジェクトに応えて〜 中学校・高等学校数学科教育課
程の開発に関する研究（７） 等
８ 小倉金之助補訳（１９６０） カジョリ初等数学史下近代 共立出版 ｐｐ３９２−３９３
９ Florian Cajori(1991) A History of Mathematics 5ed

Chelsea Publising Company

pp297-298
１０David Smith(1959)

A Source Book in Mathematics

Dover Publications

pp337-345
１１ 高島由順（２００１） 高校数学における数学史に基づいた教材作成の視点 第３３回
数学教育論文発表会論文集 日本数学教育学会 ｐｐ８３−８８（上記以外の授業資料作成における参考文献）
中村幸四郎他訳（１９９６） ユークリッド原論−縮刷版− 共立出版 ｐｐ８１−８３
岡部恒治訳（１９９３） 数学を築いた天才たち（上・下） 講談社
矢野健太郎（１９６７） モノグラフ数学史改訂版 科学新興新社
岩波数学辞典増訂版 岩波書店
銀林博訳（１９６５） コクセター幾何学入門第２版 明治図書 ｐｐ１８−１９数学セミナー編集部 数学１００の定理 日本評論社 ｐｐ１２−１３