数理解析研究所講究録
第 1596 巻 2008 年 83-90

83

BEBIANO-LEMOS-PROVID\^ENCIA INEQUALITY IS MORE STRICT
THAN FURUTA INEQUALITY

富永雅 (Masaru Tominaga)
富山工業高等専門学校(Toyama National College of Technology)

mtommy@toyama-nct.ac.jp

ABSTRACT. 本稿では, 20 周年を迎える Furuta inequality:$A\geq B\geq 0,$ $r\geq 0$$A^{1+r}\geq(A^{5}B^{p}A^{S})1\not\in rr$$\Rightarrow$for $p\geq 1$ .

に関する最近の結果を概説する.
Furuta inequality を応用し $Bebiano- Lemos- Provid\hat{e}ncia$ は, 次を導いた: For $A,$ $B\geq 0$$\Vert A\Psi_{B^{t}A}+l\Vert$$\leq$\Vert A$(A B^{\epsilon}A)^{1}A^{8}\Vert$

for $s\geq t\geq 0$ .

そこで両者の相互関係を調べ, 前者の優位性を示す. これを行うにあたり, 作用素不等式とノルム不等式との自由な書き換えは本稿での展開を容易にする.
更に, Furuta inequality のノルム不等式化は, 逆不等式・補間不等式を導くことを容易にする. また, 同様の議論を grand Rruta inequality に対しても適用し, そのノルム不等式化や逆不等式を導くことにする.

1. はじめに
Furuta inequality が導かれてから 20 周年を迎えた. この間, 多くの論文に引用され,今や “Furuta inequality” をタイトルに含む論文数は MathSciNet によると 100 編を超える. ここではその Furuta inequality に関する著者の最近の結果 ([5], [6]) の概要報告を行う.
本稿で, 作用素 (operator) は, ヒルベルト空間上の有界線形作用素 (bounded hhnear operator) を意味し, 正作用素 (positive operator) $A$ を $A\geq 0$ で表す.
本稿の主役 Furuta inequality [8] (see also [4], [9], [14], [16]) は次で表される作用素不等式である:The Furuta inequality. If $A\geq B\geq 0$ , then for each $r\geq 0$ ,
(i)
(ii)
and
$p\geq0$$q\geq1$
hold forandwith $(1+r)q\geq p+r$ .

$(A^{r}zA^{p}A^{\frac{r}{2}})^{\frac{1}{q}}\geq(A^{r}\pi B^{p}A^{r}r)^{\frac{1}{q}}$$(B^{\frac{r}{2}}A^{p}B^{\frac{r}{2}})^{q}\iota\geq(B^{\frac{r}{2}}B^{p}B^{\frac{r}{2}})^{\frac{1}{q}}$

この Furuta inequality の本質は次にある:For each $r\geq 0$(FI)$A\geq B\geq 0$$\Rightarrow$$A^{1+r}\geq(A^{\frac{r}{2}}B^{p}A^{\frac{r}{2}})^{1r}r$holds for $p\geq 1$ .
2000 Mathematics Subject Clasrification. $47A63$ .

Key wods and phrases. grand Furuta inequality, Furuta inequality, L\"owner-Heinz inequality, ArakiCordes inequality, $Bebian\triangleright Lemos$-Provid\^encia inequality, norm inequality, positive operator, operator
inequality, reverse inequality.

84

更にその後, 次の Furuta inequality (FI) の一般化, つまり grand Furuta inequality[10] が導き出された :(GFI)$A\geq B\geq 0$$A^{1-t+r}\geq\{A^{\frac{r}{2}}(A^{-f}B^{p}A^{-f})^{\epsilon}A^{\frac{r}{2}}\}^{\frac{1-t+r}{\{p-t)\cdot+r}}\iota\iota$$\Rightarrow$for $0\leq t\leq 1,$ $p\geq 1,$ $s\geq 1$ and $r\geq t$ .
先の Furuta inequality (FI) If, 次の有用な作用素不等式, L\"owner-Heinz inequality (cf.

[ $15|$ ) の拡張として位置づけられている:.
この L\"owner-Heinz inequality (1.1) は, 次のノルム不等式, Araki-Cordes inequality(11)$A\geq B\geq 0$$\Rightarrow$$A^{\alpha}\geq B^{\alpha}$$(0\leq\alpha\leq 1)$$([1’]$,[3]) に同値である:For $A,$ $B\geq 0$(1.2)$\Vert A^{p}B^{p}A^{p}\Vert\leq$

II$ABA\Vert^{p}$for$0\leq p\leq 1$.

に同値である. )( $(1.2)$ は Cordes (cf. [3]) による不等式
一方, Bebianx $Lemos- Provid\hat{e}ncia[2]$ は, 次のノルム不等式 (以下, BLP norm inequality) を導いている:For $A,$ $B\geq 0$$\Vert A^{p}B^{p}\Vert\leq\Vert AB\Vert^{p}$(1.3)$\Vert A^{\underline{1}\pm\underline{t}}2B^{t}A^{1\pm\underline{t}}2\Vert$$\leq$$||A2(A^{\xi}B^{\cdot}A^{i})^{\underline{t}}\cdot A^{z}\iota\iota||$for$s\geq t\geq 0$.

この不等式 (1.3) は, 前出の不等式とある関係を連想させる. 事実, 不等式 (1.3) は Furuta
を消去
inequality (FI) から導かれ, また, 形式上の話ではあるが左右各辺の両端から$A^{\frac{1}{2}}$

した結果得られる$\Vert A^{\frac{t}{2}}B^{t}A^{\frac{t}{2}}\Vert\leq\Vert(A^{\frac{*}{2}}B’A^{\frac{l}{2}})^{\underline{t}}\cdot\Vert$

は (1.2) に同値である.

for$s\geq t\geq 0$

そこで本稿第 2 章では, Furuta inequality と BLP norm inequality との関係について吟味し, 結果として Furuta inequality の優位性を確認する. そのために, 作用素不等式とノルム不等式の同値な書き換えは, 展開を容易にする. 第 3 章では, 第 2 章でのノル
ム不等式を用いて, FNrruta inequality の逆不等式 (reverse inequality), 加えて, 補間不等式 (Complementary inequality) を与える.
更に, 第 4 章では, 先の第 2, 3 章と同様に grand Furuta inequality (GFI) と同値なノルム不等式を, 更にこれを基に (GFI) の逆不等式を導く.

85

2. FURUTA NORM INEQUALITY
本章では, Furuta inequality (FI) と BLP norm inequality (1.3) との関係 (差異) について考察する. そのための手法として, (L\"owner-Heinz inequality (1.1) と Araki-Cordes
inequality (1.2) との関係同様に) BLP norm inequality (1.3) を作用素不等式に書き換え,
更に, Furuta inequality (FI) と先の書き換えた不等式の両者について適当な置換を行う
ことにする. BLP norm inequality (1.3) に対応する作用素不等式は次の通りである:For$A,$ $B\geq 0$

(2.1)

where

$A^{\epsilon} \#\frac{t}{}B^{\epsilon}\leq A^{1+\iota}$$A\#\alpha B$

for some $s\geq t\geq 0$$B^{t}\leq A^{1+t}$$\Rightarrow$for $0\leq\alpha\leq 1$ is defined by

for $A,$ $B>0$ .

$A\#\alpha B:=A^{1}(A^{-1}BA^{-\frac{1}{2}})^{\alpha}A^{\frac{1}{2}}$(2.1) において,$B$

を $B$ 半で置き換え,$p:= \frac{s}{t}(\geq 1)$と書き改めると次のようになる:For$A,$ $B\geq 0$(2.2)$A^{f}\#_{p}\iota B^{p+\epsilon}\leq A^{1+\epsilon}$

for some $p\geq 1$ and $s\geq 0$$\Rightarrow$$B^{1+\frac{}{p}}\leq A^{1+\frac{}{p}}$.

本稿では上記不等式 (2.2) を BLP operator inequality とする.
一方, Furuta $in\Re uality$ (FI) に適当な置き換えを行うと次を得ることができる:

Theorem 2.1. Let

(2.3)

$A$

and $B$ be positive operators. Then

$A^{\epsilon} \#\frac{1}{p}B^{p+s}\leq A^{1+\epsilon}$

for some$p\geq 1$

and $s\geq 0$$\Rightarrow$$B^{1+s}\leq A^{1+\epsilon}$.

Proof. We put.
, orThen the assumption says that $A\geq C\geq 0$ , and so Furuta inequality (FI) ensures that$C$

$B^{p+\epsilon}=A^{\frac{}{2}}C^{p}A\overline{2}$$:=(A^{-\frac{}{2}}B^{p+s}A^{-\frac{l}{2}})^{\frac{1}{p}}$$B^{1+\epsilon}=(A\overline{2}C^{p}A\overline{2})^{\frac{1}{p}}+L\leq A^{1+\epsilon}$.

That is, the desired inequality (2.3) is proved.
ここで, 条件 $p\geq 1,$ $s\geq 0$ より$\square$$0 \leq\frac{p+\epsilon}{p(1+s)}\leq 1$

なので L\"owner-Heinz inequality (1.1)

を用いると

(

$A^{\iota}\#_{p}\iota B^{p+s}\leq A^{1+\epsilon}$$\Rightarrow$)$B^{1+s}\leq A^{1+\epsilon}$$\Rightarrow$$B^{1+_{\overline{p}}}\leq A^{1+_{\overline{p}}}$.

これは, (2.3) から (2.2) が導かれることを示しているので, 結果として BLP operator
inequality (2.2) に対する Furuta inequality (FI) の優位性がわかる.
次は, (2.3) に同値なノルム不等式, Furuta norm inequality である:

Corollary 2.2. Let
(2.4)

for

$p\geq 1$$A$

and $B$ be positive operators. Then$\Vert A^{\underline{1}\pm\dotplus}2B^{1+\iota}A^{1}||^{\frac{+}{p(1+\cdot)}}$$\leq$$||A^{1}z(A^{\dot{f}}B^{p+\iota}A^{\dot{f}})^{\frac{1}{p}}A^{1}z||$

and $s\geq 0$ .

Theorem 2.1 &Corollary 2.2 に L\"owner-Heinz inequa 市 ty (1.1) を適用すると次を得る:

86

Corollary 2.3. Let
(2.5)

for

and

$B$

$A^{\epsilon}\#_{p}\iota B^{p+\epsilon}\leq A^{1+s}$$t\in[0, s]_{f}$be positive operators. Thenfor some$p\geq 1$

and $s\geq 0$$\Rightarrow$$B^{1+t}\leq A^{1+t}$

or equivalently

(2.6)

for

$A$

$||A^{1}A_{2}^{\underline{|}}B^{1+t}A^{\underline{1}\pm\underline{t}}2||$

諾物$||A^{\frac{1}{2}}(A^{\frac{}{2}}B^{p+s}A^{\frac{}{2}})^{\frac{1}{p}}A^{\frac{1}{2}}||$$\leq$

and $s\geq t\geq 0$ .

$p\geq 1$

Remark 2.4. (2.6) から直接的に BLP inequality (1.3) を算出することができる. 事実,をで置き換えると(2.6) において$B$

$B\overline{1+l}$$\Vert A^{\underline{1}\pm\underline{t}}2B^{t}A^{\underline{1}\pm\not\simeq}2\Vert^{p1+\neg\ell}\underline{t}l$$\leq$

ここで,$p= \frac{\epsilon}{t}$と置くと ’$\frac{p+\iota}{p(1+t)}=1,$$\Vert A^{\frac{1}{2}}$弁結$(A\overline{2}B$

物 $+\succeq=s+$ より$A^{\frac{}{2}})^{\frac{1}{p}}A^{\frac{1}{2}}||$.

(1.3) を得る.

3. FURUTA INEQUALITY の逆不等式と補間不等式
本章では, ノルム化された Furuta inequaltiy(2.6) の逆不等式, 更には補間不等式を与える.
M. HUjii-Y. Seo [7] は, 定数 “generalized Kantorovich constant” ([11], [13])(3.1)$K(h,p)$ $:= \frac{1}{h-1}\frac{h^{p}-h}{p-1}(\frac{p-1h^{p}-1}{h^{p}-hp})^{p}$を用いて$Ar\ovalbox{\tt\small REJECT} i$

for $h(\neq 1),$$p\in \mathbb{R}$and $K(1,p)=1$-Cordes inequality (1.2) の逆不等式を導いた:

are positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for some
Theorem A. If and$h:=\frac{M}{m}(>1)$, thenscalars $0<m<M$ and
$B$

$A$

(3.2)

$||A^{p}B^{p}A^{p}||$$K(h,p)$$\leq$

I$ABA||^{p}$for$p\geq 1$.

(1.2) と (3.2) を用いることにより, (2.6) の逆不等式を与える:

Theorem 3.1. Let and be positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for somescalars $0<m<M$ and $h;= \frac{M}{m}>1$ . Then
$A$

(3.3)

for

$B$

$\Vert A^{\frac{1}{2}}(A^{i}B^{p+s}A^{\dot{z}})^{\frac{1}{p}}A^{\frac{1}{2}}\Vert$$p\geq 1$$\leq$$K(h^{1+t}, \frac{p+s}{1+t})^{\frac{1}{p}}\Vert A^{1\iota_{B^{1+t}A^{1t}}}++\not\simeq\fallingdotseq$

and $s\geq t\geq 0$ .

Proof It $f_{0}nows$ from (1.2) and (3.2) that for $p>1$ and $s\geq t\geq 0$$||A^{1}2(A\overline{2}B^{p+\iota}A^{\frac{}{2}})^{\frac{1}{p}}A^{\frac{1}{2}}||$$\leq$$=$$\leq$

because$\Delta^{l}1+t\geq 1$$||A^{2\cdot\cdot 2}2(A\overline{2}B^{p+\iota}A^{\frac{}{2}})A2||^{\frac{1}{p}}$$||A^{\epsilon_{2}L}B^{(1+t)_{1\mp l}^{2+}}A^{R_{2}}\Vert^{\frac{1}{p}}$.

$K(h^{1+t}, \frac{p+s}{1+t})^{\frac{1}{p}}\Vert A2\underline{B}^{1+t}A^{1}\Vert p1+\urcorner t\underline{\iota}\pm\dotplus\not\simeq$. So the desired inequality (3.3) holds.

口87

ノルム不等式 (3.3) に同値な作用素不等式は次の通り:

Corollary 3.2. Let andbe positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for some$h:=\frac{M}{m}>1$
scalars $0<m<M$ and. Then
$A$

$B$

(3.4)

$B^{1+t}\leq A^{1+t}$

for some$p\geq 1$

for some.

$t\geq 0$$A^{f} \#\frac{1}{p}B^{p+\iota}\leq K(h^{1+t},\frac{p+s}{1+t})^{\frac{1}{p}}A^{1+\epsilon}$$\Rightarrow$

and $s\geq t$

Remark 3.3. Theorem 3.1 と Corollary 32 において $t=s$ とすると, (3.3) と (3.4) はそれぞれ (2.4) と(2.3) の逆不等式であることがわかる.

Theorem 3.1 と Corollary 3.2 から次のように (1.3) と $(2.2)$ の逆不等式を得る:

Corollary 3.4. Suppose the hypothesis of Theorem 3.1. Then the following inequalities
hold:
(3.5)

for

$\Vert A^{1}l(A^{f}B^{f}A^{4}A^{1}2\Vert$$s\geq t\geq 0$(3.6)$K(h^{t},$ $\frac{s}{t})^{\frac}\Vert A^{1}2B^{t}A^{1t}\Vert$$\leq$, or $e\varphi ivalently$$B^{1+_{\overline{p}}}\leq A^{1+_{\overline{p}}}$for some$p\geq 1$

and.

$s \geq 0\Rightarrow A^{\iota}\#\frac{1}{p}B^{p+\iota}\leq K(h^{1+_{\overline{p}}},p)^{1}A^{1+\iota}$

Proof The inequality (3.6) is given by taking
inequality (3.5) is given by replacing $B$ within Corollary 3.2. $Mor\infty ver$ thein Theorem 3.1.

$p:= \frac{l}{t}\geq 1$$B^{\frac{t}{1+t}}$$\square$

次の系は, (3.4) において $t=0$ とすることにより得られ, 更に $p=1$ とおくと L\"owner-

Heinz inequality (1.1) の補間不等式が得られることを示している:
Corollary 3.5. Let and be positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for somescalars $0<m<M$ and $h:= \frac{M}{m}>1$ . Then
$A$

(3.7)

$A\geq B>0$

$B$$\Rightarrow$$A^{\epsilon} \#\frac{1}{p}B^{p+s}\leq K(h,p+s)^{\frac{1}{p}}A^{1+\epsilon}$for$p\geq 1$

for$s\geq 0$

and $s\geq 0$ .

In particular,
(3.8)
次に,

$A\geq B>0$
$Th\infty rem3.1$$\Rightarrow$の仮定の下,$B^{1+\epsilon}\leq K(h, 1+s)A^{1+\epsilon}$$\lambda>0$

.

に対して

$||A^{1}l(A^{i}B^{\ovalbox{\tt\small REJECT} s}A^{\frac{}{2}})^{\frac{1}{p}}A^{\frac{1}{2}}||^{p}-\lambda||A^{1A}\sim\underline{2}B^{1+t}A^{1}\dotplus\Vert^{L+}1+\overline{t}$の上限を求める. その準備として次を定義する: $q\geq 1$ と $h:= \frac{M}{m}(0<m<M)$ に対して
$I_{q}=I_{q,m,M}:=[ \frac{q(h-1)}{h^{q}-1},$ $\frac{q(h^{q}-h^{q-1})}{h^{q}-1}]$

また

(3.9)

$F(m, M, q;\lambda):=\{\begin{array}{ll}(1-\lambda)M^{q} if 0<\lambda<g\zeta hA-1hl-1\lambda m^{q}\frac{h-h^{q}}{h-1}\{(\lambda K(h, q))^{\frac{1}{q-1}}-1\} if \lambda\in I_{q}(1-\lambda)m^{q} if \lambda>\frac{q(h^{q}-h^{q-1})}{h^{q}-1}.\end{array}$

88$:=F(m, M, q;\lambda)$ は単調に減少し, $\lambda=K(h, q)^{-1}(\in I_{q})$ はに関して関数$f(\lambda)=0$ の唯一解である.
更に, M. Fujii-Y. Seo [7] による Araki-Cordes inequality (1.2) の補間不等式を引用す$\lambda>0$

6: If$f(\lambda)$

and are positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for some scalars $m<M$ ,then for each $\lambda\geq K(h,p)^{-1}$
$A$

$B$

I

(3.10)$ABA\Vert^{q}\geq\lambda\Vert A^{q}B^{q}A^{q}\Vert+F(m, M, q;\lambda)\Vert A\Vert^{2q}$for $q>1$ .

これらを応用することにより, (2.4) に関する補間不等式が得られる:

Theorem 3.6. If and $B$ are positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for somescalars $0<m<M$ and $h:= \frac{M}{m}>1$ , then for each]$A$$\lambda\in(0,$ $K(h^{1+t},1L++ \frac{\epsilon}{t})$$\Vert A^{1}5(A^{\frac{}{2}}B^{p+\epsilon}A\dot{z})^{A}pA^{\frac{1}{2}}\Vert^{p}$$\leq$$\lambda\Vert A^{1\ell_{B^{1+t}A^{1}}}+\dotplus\Vert^{R\pm}1+\frac$(3.11)$\lambda F(m^{1+t}, M^{1+t},\frac{p+s}{1+t};\frac{1}{\lambda})\Vert A\Vert^{p+l}$

andfor
Proof. Since$p\geq 1$$s\geq t\geq 0$$p\geq 1$

for each.

and $s\geq t\geq 0$ implies$\lambda\in(0, K(h^{1+tL+}1+\frac{\epsilon}{t})$$\epsilon 1^{\frac{+\epsilon}{+t}}>1$, it follows from (1.2) and (3.10) that]$\Vert A^{\frac{1}{2}}(A^{\frac{}{2}}B^{p+\iota}A^{\frac{*}{2}})^{1}pA^{\frac{1}{2}}\Vert^{p}$$\leq$$\Vert A^{e}2(A\overline{2}B^{p+e}A\overline{2})A^{\xi}\Vert$$=$$||A^{\epsilon_{2^{-}}}B^{p+\epsilon}A^{R_{2}}\Vert\pm$$\leq$$\lambda\Vert A^{\underline{1}}2B^{1+t}A^{\underline{1}}2||^{R\pm}\pm|\pm\underline{t}1+\frac-\lambda F(m^{1+t}, M^{1+t},\frac{p+s}{1+t};\frac{1}{\lambda})||A\Vert^{p+e}$.

So the desired inequality (3.11) holds.
Remark 3.7. (i) Theorem 3.6 において$\square$$p= \frac{s}{t}$とおくと, 任意の $\lambda\in(0,$$K(h^{1+t}, \frac{f}{t})$

関して次のように (1.3) の補間不等式を得る:] に$\Vert A^{\frac{1}{2}}(A^{\dot{z}}B^{\frac{l}{t}+\epsilon}A^{\frac{\cdot}{2}})^{\underline{\iota}}\cdot A^{\frac{1}{2}}\Vert^{\frac{}{t}}\leq\lambda\Vert A^{\underline{1}}2B^{1+t}A^{\underline{1}}2^{-}\Vert\overline{t}\pm t\pm\cdot-\lambda F(m^{1+t}, M^{1+t}, \frac{s}{t} ; \frac{1}{\lambda})\Vert A\Vert^{\frac{}{t}+\epsilon}$

for $s\geq t\geq 0$ .
(ii) Theorem 3.6 と同じ仮定の下, 任意の$\lambda\geq K(h^{1+t},1a_{\frac{+\iota}{+t}})$に関して次を得る:$\Vert A(A\overline{2}B^{p+\cdot 11})rA^{p}\Vert^{p}\leq\lambda\Vert A^{\underline{1}}a^{t}B^{t}A^{\underline{1}}\underline{2}\pm\pm||^{R}1+t$$- \lambda F(m^{1+t}, M^{1+t},\frac{p+s}{1+t};\frac{1}{\lambda})||A^{-1}\Vert^{-(p+e)}$

for $p\geq 1$ and $s\geq t\geq 0$ .
(iii) Theorem 3.6 により (2.4) の差に関する逆不等式を得る:$||A^{1}2(A^{8}B^{p+\epsilon}A^{\dot{z}})^{l}pA^{\frac{1}{2}}||^{p}\leq||A^{1}2B^{1+t}A^{1l}\lrcorner\underline{t}+||^{Z_{1+t}}L$$-m^{L+}1 \overline{+t}\frac{h-h^{z\pm}1+\overline{t}}{h-1}\{(K(h^{1+t},\frac{p+s}{1+t}))$for $p\geq 1$ and $s\geq t\geq 0$ .

宙-1 $-1\}\Vert A\Vert^{p+\iota}$

89

4. GRAND FURUTA INEQUALITY に同値なノルム不等式とその逆不等式(GFI) $h$ , 次のノルム不等式に同値である.

Lemma 4.1. Letis equivalent to
(4.1)

$A$

and

be positive operators. Then the grand Fumta inequality (GFI)$B$$\Vert A^{\frac{1-+r}{2}B^{r-t}A^{\frac{1-t+r}{2}}}\Vert^{p1-}\dotplus\neg\leq\Vert A:\{A^{-\pi}(A^{\frac{r}{2}}B^{r--l\cdot+r}1-t+rA^{\frac{r}{2}})^{\frac{1}{}}A^{-\frac{t}{2}}\}^{p}A^{\frac{1}{2}}t\ovalbox{\tt\small REJECT}\iota$

for
Proof. Replace

and $r\geq t$ .

$0\leq t\leq 1,$ $p\geq 1,$ $s\geq 1$

$A$

to

$A^{-1}$I

and put$C=\{A^{\frac{t}{2}}(A^{-\frac{r}{2}}B^{\ovalbox{\tt\small REJECT}-t\cdot+r}1-t+rA^{-\frac{r}{2}})\cdot A^{\pi}\}^{\frac{1}{p}}r-t\underline{1}t$or$B^{r-t}=\{A^{r}2\sim(A^{-\frac{t}{2}}C^{p}A^{-\frac{t}{2}})^{s}A^{\frac{r}{2}}\}^{\frac{1-t+r}{(p-t)\cdot+r}}$in (4.1), then we have$||A^{-\frac{1-t\neq r}{2}}\{A^{\frac{r}{2}}(A^{-\frac{t}{2}}C^{p}A^{-f})^{\epsilon}A^{\frac{r}{2}}\}^{\frac{1-t+r}{(p-t)\cdot+r}A^{-\frac{1-t+r}{2}}}t\Vert^{\frac{(p-)\cdot+r}{p\cdot(1-l+r)}}\leq\Vert A^{-\frac{1}{2}}CA^{-\Sigma}\Vert 1$

This is equivalent to the inequality$A\geq C$$\Rightarrow$,$A^{1-t+r}\geq\{A^{\frac{r}{2}}(A^{-\frac{t}{2}}C^{p}A^{-\frac{}{2}})^{\epsilon}A^{r}B\}^{\frac{1-t+r}{(p-t)\cdot+r}}$that is, (4.1) is equivalent to (GFI).

$\square$Remark 4.2. (i) (4.1) において $t=0,$ $s=1$ とする. 更にと $B$ をそれぞれ

$r$

$s$

と

$B^{1}\lrcorner_{-}$に置き換えると (2.4) が導かれる.
$(\ddot{v})$[12] において, Furuta は (4.1) に同様な不等式を与えた.

次に generalized Kantorovich constant (3.1) を用いて (4.1) の逆不等式を与える:

Theorem 4.3. Let$s$andbe positive operators such that $0<m\leq B\leq M$ for somecalars $0<m<M$ and $h:= \frac{M}{m}>1$ . Then
$A$

$B$

$\Vert A^{1}\pi\{A^{-\frac{t}{2}}(A^{\frac{r}{2}}B^{r-t-t}1-t+rA^{\frac{r}{2}})^{\frac{1}{}}A^{-\frac{t}{2}}\}^{\frac{1}{p}}A^{\frac{1}{2}}\Vert\ovalbox{\tt\small REJECT}+r$(4.2)$\leq K(h^{\frac{1-t+r’}{1-t+r}(r-t)}, \frac{(p-t)s+r}{1-t+r’})^{\frac{1}{p}}||A^{\frac{1-t+r’}{2}B^{\frac{1-l+r’}{1-t+r}(r-t)^{-t}}}A^{\frac{1-t+r’}{2}}\Vert^{R^{+r}}p\cdot(1-l+r)$

for $0\leq t\leq 1,$ $p\geq 1,$ $s\geq 1$ and $1+r\geq 1+r’>t$ , where $K(h,p)$ is the generalized
Kantorvnich constant defined by (3.1).
, the Araki-Cordes inequality (1.2) implies that
and
Proof. For$p\geq 1$$s\geq 1$$\Vert A^{1}F\{A^{-\Sigma}(A^{f}B^{r-t}\iota-t+rA^{\frac{r}{2}})\cdot A^{-\Sigma}\}^{\frac{1}{p}}A^{z}r\ovalbox{\tt\small REJECT}^{-t*+r}\underline{1}t1$$\leq$\Vert A{AIl}

$A^{R}2\Vert p\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-l+r}^{r}\iota$$(A^{r}B^{r-\iota_{1}-t\cdot+}A^{\frac{r}{2}})^{\frac{1}{}}A^{-\frac{t}{2}}$$=\Vert A^{R_{\frac{-l}{2}}^{r-t-t\cdot+}}(A^{\frac{r}{2}}B^{q}A^{\frac{r}{2}})^{\frac{1}{*}}A^{*}\Vert^{\frac{1}{p}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-+r}^{r}-t$$\leq\Vert 2t\cdot A^{\frac{r}{2}}B^{r--t}1-t+rA^{r})A\mapsto^{-t}\Vert^{\frac{1}{p}}$.

$=\Vert AB^{r-\iota_{1-t+r}}A^{\frac{(p-t)\cdot+r}{2}}\iota_{L}-\Delta_{2}^{l\underline{\cdot+r}\ovalbox{\tt\small REJECT}-l\cdot+r}\Vert^{\frac{1}{p}}$90Moreover, since $(p-t)s+r\geq 1-t+r’>0$ , it follows from the reverse Araki-Cordes
inequality (3.2) that$\Vert A^{\frac{(p-t)\cdot+r}{2}B^{\ovalbox{\tt\small REJECT}-t\cdot r}A^{1L^{-\cdot\succ}}}r-t1-l+r\iota+r\Vert^{\frac{1}{p}}$$\leq\Vert A^{\iota_{L^{-\succ}}}+r_{B^{(r-t)\frac{1-+r’}{1-l+r}oe_{1}-+}}-+A^{4L^{-}J_{2}\cdot r}\Vert p+rt\underline{+}\perp$$\leq K(h^{\frac{1-+r’}{1-+r}(r-t)}, \frac{(p-t)s+r}{1-t+r’})^{\frac{1}{p}}\Vert A^{\frac{1-t+r’}{2}B^{\frac{1-t\neq r’}{1-l+r}(r-t)^{-\iota}}}A^{\frac{1-l+r’}{2}}\Vert^{R^{+r}}p\cdot(1-+r)$

Combining them, we have the desired inequality (4.2).

.
口

Remark 4.4. grand Furuta inequality (GFI) の逆不等式 (4.2) において $t=0,$ $s=1$ と$r’,$ $B(, h)$ をそれぞれ $s,t,$し,(, 牛) に置き換えることにより, (3.3) が得られる.
$B^{1}\perp$

$r,$

$h$

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