中学校第３学年数学科学習指導案
期

日：令和３年 11 月 12 日

時

間：第６校時対象：第３学年

学校名：清心中学校
授業者：村上 航平
１単元（題材）名「三平方の定理（山頂から見える距離について）」
２

単元（題材）の目標(1) 知識・技能
数量や図形についての知識・理解 三平方の定理とその逆の定理を理解することができる。三平方の定理とその逆を利用して，具体的な場面で平面図形や空間図形の線分の長さを求めることができる。
(2)

思考・判断・表現
図形の計量のために，図形の中に直角三角形を見いだし，三平方の定理を利用することができる。

(3)

主体的に学習に取り組む態度
三平方の定理に関心を持ち，直角三角形の性質を調べようとしたり，具体的な問題で定理を活用したりしようとする。
３

単元（題材）の評価規準
知識・技能

思考・判断・表現

主体的に学習に取り組む態度

三平方の定理の意味とその逆の意味，平面直角三角形の３辺の長さの三平方の定理に関心をも図形や空間図形における三平方の定理が用間に成り立つ関係や，三平方ち，直角三角形の性質を調べいられる場面の意味などを理解し，知識を身の定理を用いて直角三角形のようとしている。 正三角形のに付けている。三平方の定理を用いて直角三うちの一辺の長さを求め，平高さ，弦の長さ，２点間の距角形の辺の長さを求めたり，定理を用いて正面図形や空間図形の性質を考離などが，三平方の定理を利三角形の高さ，弦の長さ，２点間の距離，直えるなど，数学的な見方や考用して求められることに関心方体の対角線の長さ，正四角錐の高さを求めえ方を身に付けている。

を高め，定理を活用しようとたりするなど，技能を身に付けている。
４している。

指導観(1)単元（題材）観本単元の三平方の定理の学習は，今まで学習してきた平面図形や空間図形，第３学年で学習した平方根の考え方や２次方程式を利用して解く必要があり，既習事項の理解を深めることができる学習である。また，中学校における図形学習の集大成としてあげられるので，数学的な探求について理解を深めるようにしていきたい。
三平方の定理をただ示すだけでなく場面を工夫し生徒が徐々に定理に接近するように，三平方の定理の証明にもふれておきたい。三平方の定理は，長方形や直方体の対角線の長さ，円錐の高さ，２点間の距離，平面図形や空間図形の計量において幅広く利用できる。そのために，図の中から直角三角形を見いだす活動を大切にして三平方の定理が利用できるということに気付かせ，いろいろな問題を解けるようにしていきたい。

(2)教材観
三平方の定理は三角形の高さや立体の高さなど，これまで求めることができなかった線分の長さを求めることができ，今後いろいろな計量の場面で活用できる重要な定理である。今まで学んできた平面図形や空間図形はもちろんのこと，平方根の考えや２次方程式を利用して解かなければならなく，これまでの学習してきた内容の集大成ともいえる。また，この定理の証明方法はいろいろあることでも有名である。その定理について，考察することで，考え方を育成し，そのことによって定理の理解を深めることができる。また，定理そのものの理解と同時に，計量の手段として応用できることも大切なので，いろいろな場面で活用させることで，定理の有用性を感じさせることができる。
(3)生徒観本校では，中学三年生は習熟度別に分級して授業を実施している。発展クラス・標準 A クラス・標準 B クラスに分かれ，習熟度別クラスで教科書の内容を学習した後，各クラスのレベルでの演習や探究的な学習を行っている。
発 展 クラス

発展・応用問題を中心にした演習および 探究活動

標準 A クラス

標準問題を中心にした演習および 探究活動

標準 B クラス

標準・基本問題を中心にした演習および 探究活動

本時の授業では標準 A クラスを対象として行う。授業規律はよく，落ち着いて授業に取り組んでいる。
積極性にやや欠け，自分の考えに根拠を明確にして伝えることに，苦手意識をもっていると考えられる。
５

年間指導計画における位置付け

学年

第１学年

単元（題材）名

主な内容

第２学年

第３学年

平面図形

基本的な平面図形と平行図形の相似

空間図形

線の性質

円周角と中心角図形の合同

三平方の定理・平行線や角の性質

・平面図形の相似と三角形の相似条件

・多角形の角についての・図形の基本的な性質

・基本的な作図の方法とその活用
・図形の移動・直線や平面の位置関係性質

上の表現（投影図）

形の合同条件びその方法・相似な図形の性質の活用
・円周角と中心角の関係

・三角形や平行四辺形の基本的な性質・相似な図形の相似比と面積比及び体積比の関係

・証明の必要性と意味及・基本的な図形の計量（球の表面積・体積）

・平行線と線分の比・平面図形の合同と三角・空間図形の構成と平面※本単元・円周角と中心角の関係の活用
・三平方の定理とその証明
・三平方の定理の活用

６

単元（題材）の指導計画と評価計画（全７時間扱い）時★目標 ○学習内容 ・学習活動■評価規準（評価方法）★直角三角形の３辺の間に成り立つ予想した関係を証明することができる。
第１時○三平方の定理の証明
・三平方の定理の証明を，パズルを用■直角三角形の３つの辺の長さの 間に成り立つ関係に関心を持つ。
（行動観察・ワークシート）【主体性】

いることで，直感的な理解を促す。

■直角三角形の３辺の間に成り立つ予想した関係を，いくつ・三平方の定理の証明を，合同な直角かの方法で証明することができる。
（行動観察・発表）

三角形４つを用いて証明する。

■直角三角形と，その各辺を１辺とする正方形の面積の関係を，辺の長さの関係として捉えることができる。
（行動観察）【協働的課題解決力】★三平方の定理を使って，辺の長さを求めることができる。
★三平方の定理の逆を理解し，直角三角形かどうか判断できる。
○三平方の定理を使って，直角三角形第２時の辺の長さを求める。
・１学期に習った平方根の考え方を復習する。
〇三平方の定理の逆を使って，与えられた三角形が，直角三角形か考える。

■三平方の定理を使って，直角三角形の辺の長さを求めることができる 。
（行動観察）■三平方の定理を使って，直角三角 形の辺の長さを求めようとしてい る。
【主体性】■三平方の定理の逆を使って，与えられた図形が，直角三角形かどうか判断しようとしている。
【主体性】★三平方の定理を利用して，正方形や正三角形の高さなどを求めることができる。
〇三平方の定理を利用して正方形の対第３時

角線の長さを求める。
〇三平方の定理を利用して，正三角形の高さを求める。

■三平方の定理を利用して，正方形の対角線や，正三角形の高さを求めることができる。
（行動観察）■三平方の定理を利用して，図形の対角線や高さなど，線分の長さを求めようとしている。
【主体性】〇特別な直角三角形の３辺の比を知る。
★三平方の定理を利用して，平面図形のいろいろな長さを求めることができる。
第４時〇座標平面上の２点間の距離を求める。
〇球の切り口の円の半径を求める。

■三平方の定理を利用して，平面図形のいろいろな長さを求めることができる。
（行動観察）■平面図形の中に直角三角形を見いだし，工夫して考えることができる。
【協働的課題解決力】★三平方の定理を利用して，空間図形のいろいろな長さを求めることができる。
第５時〇直方体の対角線が√𝑎 + 𝑏 + 𝑐 と表される理由を考える。
〇円錐や四角錐の，辺の長さや体積を求める。

■三平方の定理を利用して，空間図形のいろいろな長さを求めることができる。
（行動観察）■空間図形の中に直角三角形を見いだし，工夫して考えることができる。
【協働的課題解決力】★立体の最短経路を考え，理由を説明することができる。
第６時〇立体最短経路を考える。

■どのような経路をたどるのが最短 距離なのかを考え，三平・展開図を描いて考える。

方の定理を利用してその求め方を説明することができる。
（行動観察・ワークシー ト）■どのような経路をたどるのが最短距離なのかを，図を書き込みながら考えることができる。
【協働的 課題解決力】★どれくらい遠くから見えるか考えてみよう。
【本時】〇山頂から見える距離について
第７時■三平方の定理を利用して，山頂からどのくらい遠くまで見・建物や標高差を無視してもいいのなえるのかを考えることができる。
（行動観察・ワークシート）

ら，どんなに離れても見えそうだ。

■現実事象を理想化，抽象化しながら数学の事象として捉え，・地球を球体として考える必要があることに気付かせる。
・視線を表す直線はどのようにひくことができるだろうか。

数学的に考察している。
【協働的課題解決力】

７

指導に当たって(1)

主体性
日常生活と結びつけた手考えさせることで興味をもたせ，生徒の学習の主体性を高めたり，学習するに当たっての必然性を感じたりすることができるようにしていく。生徒の振り返り等で書かれた疑問点や考えを授業で取り上げ，生徒の自己効力感を高め，学びの主体性を高める。
(2)

協働的課題解決力
深い学びにつながるよう，議論（聴き合い）を行わせる。自分の疑問を出させたり，他の生徒の話をしっかり聴かせたりすることで，根拠を明確にしなが ら多面的・多角的に考えることにつなげ，生徒間の協働性を高めさせる。
(3)

振り返り力
授業中に理解できたこと，できなかったこと，他単元に活かせることや，他教科，日常生活に活かせること等，視点を明確にして振り返りをさせる。
(4)

課題解決につながる３つの思考法〇論理的思考（ロジカル・シンキング）：筋道を立てて根拠をもとに論理をつくるために必要〇批判的思考（クリティカル・シンキング）：前提を鵜吞みにせず、論理を強固にするために必要〇水平的思考（ラテラル・シンキング）：自由な発想をもとに、新たな視点の解決法を導くために必要
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本時（全７時間中の７時間目）(1)本時の目標
三平方の定理を利用して，山頂からどのくらい遠くまで見えるのかを考えることができる。現実事象を理想化，抽象化しながら数学の事象として捉え，数学的に考察することができる。
(2)本時の展開
時間○学習内容 ・学習活動○問題提示をする。

導入(８分)

富士山の山頂からはどこまで見渡せるでしょうか？
・４択のクイズでアンケートを実施する。
A.横浜，B.名古屋，C.大阪，D.岡山

・指導上の留意点
・学習課題を提示する。
・雲や霧などはなく，視界を遮 る も の は ない こと とする。
・アンケートは直感的に回答させる。

■評価規準（評価方法）

○実際に見渡せる距離について考える。
・建物や標高差を無視してもいいのなら，どんなに離れても見えそうだ。

展
開①(20分)・なぜ見渡せる距離が有限な ■三平方の定理を利用しのか，考えさせる。て，富士山の山頂から・こちらから，見渡せる距離どのくらい遠くまで見批判的思考（クリティカル・シンキング）を提示するのではなく，生えるのかを考えること

・地球を球体として考える必要があることに徒の発言によって気付けるができる。
（行動観察・ようにする。

ワークシート）

気付かせる。
・視線を表す直線はどのようにひくことができるだろうか。
○実際に見渡せる距離を求める。
論理的思考（ロジカル・シンキング）
・必要な情報は何か考えさせる。

・地球の半径を r，富士山の ■現実事象を理想化，抽高さを h とすると，象化しながら数学の事r=6378km，h=3.776km

象として捉え，数学的・計算に非常に時間がかかるため，電卓を使用させる。に考察している。
【協働的課題解決力】

・三平方の定理を利用すればよいことに気付かせる。
・地図上にコンパスで円を描かせて，４択クイズの答え合わせをする。
〇二子の丘から見渡せる距離を求める。
展開②(水平的思考（ラテラル・シンキング）
・二子の丘の標高はクロムブックで地理院地図を使って調べさせる。

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・富士山のときと同様に求めさせる。

分)・グーグルマップ上に円を描かせ，実際に見・二子の丘は今いる場所であ ■三平方の定理を利用しる。て，二子の丘からどの・最初に予想を立ててから取くらい遠くまで見えるり組むようにさせる。のかを考えることがで・必要な情報はこちらから提きる。
（行動観察・ワー示せず，調べさせる。

クシート）える範囲を確認させる。

(3)板書計画
スライドを提示しながら進めていく。

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