伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊cos  cosh  と sin  sinh い とう伊藤ゆたか裕

伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに複素数 z に対して，指数関数 e  を参考文献 〔 1 〕 のRamanujan の数学を見ていたとき，次の箇所に目が止まった。
他にも超幾何級数に関する奇妙な公式に，やはり特殊値を代入することで，(−1)(2 )
(4k)!


cos  cosh = ∑ (−1) (2 )(4k+2)!
sin  sinh = ∑……①e =1+zzz z
+ + +……= ∑1! 2! 3!
 k !と定める。この無限級数はすべての複素数 z について絶対収束するので，すべての複素数 z に対して e が定まる。
さらに，三角関数 sin z，cos z を
sin z=……②e −e e +e ，cos z=
2i2のごとき，人を食ったような公式を山ほど導きだしと定める。これですべての複素数 z に対して sin z，ている。(中略) 上の二つの公式などは，美的感覚とcos z が定まる。

茶目っ気の融合した傑作と思う。
どちらも初めて見る公式でありとても面白いと思っ た が，超 幾 何 級 数 に 触 れ た こ と が な い た め，
Ramanujan がどのように上の公式を導いたのか全

このように定めた複素変数の指数・三角関数は，実変数の場合の拡張になっている。
これらの性質の証明については，適当な関数論の本などを参照して頂きたい。

く見当が付かなかった。
しかし，複素関数として sin，cos を考えると公式 ①，② が導けるのでは，とその時感じた。そこで，§3．公式 ①，② を導く
上の三角関数の定義から，実数  に対してその方向で考えてみたところ上手くいったので，以下でその証明を述べたい。

cos =e +e 2であるから，§2．準備

cos  cosh =






複素級数 ∑ z について， ∑  z  が収束するとき，=1 (e+e +e +e )4=

1  (i+1)   (i−1)  +∑
∑
4  n !
n!


複素級数 ∑ z は絶対収束するという。絶対収束する級数について，次が成り立つ。
(−1)(i−1)   (−1)(i+1)  +∑n!
n!

+∑

・複素級数 ∑ z が絶対収束するとき，複素級数e +e  e +e ⋅22

1 番目と 4 番目の ∑， 2 番目と 3 番目の ∑ でまと



めて

∑ z は収束する。






・複素級数 ∑ z， ∑ w がともに絶対収束するとき，










∑ z± ∑ w= ∑ ( z±w)が成り立つ。

24





=

1  2(i+1)   2(i−1)  +∑
∑
4  (2n) !
(2n) !
=(i+1) +(i−1)
1 ∑2 (2n) !


ここで，(i+1)+(i−1)=(2i)+(−2i)=(1+(−1))i 2であるから，n=2k ( k は 0 以上の整数) のとき， (i+1) +(i−1) =2(−1) 2(k⋅2) (2k) !

sin  cosh  については，(i+1) +(i−1) =0である。これより，

sin  cosh = 2(−1) 21 ⋅
∑2  (2⋅2k) !


=∑

1
sin  sinh ′−cos  cosh ′
2であるから， (−1) (2 )(4k) !
sin  cosh = ∑(−1)

を得る。

(k⋅2) (2k) !

を得る。

公式 ② については，sin =を得る。

cos  cosh =(−1)

n=2k+1 ( k は 0 以上の整数) のとき，=∑e −e 2i§5．入試問題§3 の計算のところで，次の入試問題を思い出しを用いて同様に計算すると得られる。
複素関数を経由して実関数の等式を導く所に面白たので紹介しておく。
【問題】

さを感じる。

i は虚数単位とする。

(1+i)+(1−i)>10を満たす最小の正の整数 n を求めよ。

§4．cos  sinh  と sin  cosh (京都大学 2019)

公式 ①，② から，cos  sinh  と sin  cosh  についても，同様の公式を導くことを考える。
(cos  cosh )′=−sin  cosh +cos  sinh (sin  sinh )′=cos  sinh +sin  cosh であるから，この両式を加えて，
1cos  sinh = {(cos  cosh )′+(sin  sinh )′}2となる。
ここで，公式 ①，② の無限級数は項別微分が可能であるから (これも証明については適当な解析学の本などを参照)，

 

(−1) (2k)(2 )=2 ∑
(2⋅2k) !
(−1) (2k+1)(2 )+ ∑
(2(2k+1)) !
2(2 )
4(2 )
6(2 )=2−+−+…
(2⋅2) !
(2⋅4) !
(2⋅6) !
13(2 )
5(2 )
7(2 )−++−+…
(2⋅1) !
(2⋅3) !
(2⋅5) !
(2⋅7) !
12(−1)(2 ) (−1)(2 ) + ∑(4k) !
(4k+2) !
∑     =2 ∑(−1)



(−1)


=2 ∑

数として，n=2m のとき，(1+i)+(1−i)=(1+(−1))i 2n=2m+1 のとき，(1+i)+(1−i)
={(1+(−1))+(1−(−1))i}i 2である。
さらに，k を 0 以上の整数として m=2k，2k+1

cos  sinh =

極形式を用いる解法が一般的であると思うが，本稿の流れに沿った略解を述べる。m を 0 以上の整  k(2 )
(2k) !

 と場合分けすれば，(1+i)+(1−i)

=(−1)2(n=4k のとき) 

(−1) 2(n=4k+1 のとき)

0(n=4k+2 のとき)(−1)2 (n=4k+3 のとき)となる。あとは，常用対数を用いて2>10，2>10を満たす k の範囲を求め，符号に注意して計算すれば，求める最小の n は 71 となる。

k⋅2⋅ (2k) !

25

§6．おわりに超幾何級数を利用する方法に比べるとかなり地味《参考文献》〔1〕

藤原正彦

Ramanujan の数学な方法ではあると思うが，複素関数を用いることでhttps⁚www.jstage.jst.go.jparticle

予想以上にあっさりと公式 ①，② を導くことができsugaku194757457_4_407_pdf

た。

−charjaそして，このような面白い公式を数多く発見した
Ramanujan の凄さを，初めて肌で感じることとなった。

26〔2〕

山口博史

複素関数

朝倉書店

(神奈川県立生田高等学校)