数理解析研究所講究録
第 1650 巻 2009 年 162-172

162

Yang-Baxter maps from the discrete KP hierarchy筧三郎 (Saburo Kakei)
立教大学理学部数学科

Department of Mathematics, Rikkyo University
Ralph Willox
東京大学大学院数理科学研究科

Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo
Jonathan J.C. Nimmo
Department of Mathematics, University of Glasgow

1

はじめに

1.1

本研究の動機(量子)Ymg-Baxter 方程式における 行列は, 通常はベクトル空間 のテンソル積上に作用するものである。 Drinfeld は, 集合 $X$ の直積 $X\cross X$ の上の写像に対する YangBaxter 方程式を研究することを提唱した [1]。すなわち,
$R$

$R$

:

$X\cross X$$V$$X\cross X$$arrow$$(v$$(u, v)$$V\otimes V$

(1)

$(v$

$\mapsto$$(f(u, v), g(u, v))$に対して,
$R_{12}$:$X\cross X\cross X$$arrow$$X\cross X\cross X$$\iota v$$(u, v_{i}w)$$\backslash v$$\mapsto$(2)$(f(u, v), g(u, v), w)$

等とするとき, Yang Baxter 方程式$arrow$$R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}$(3)を満たす写像を考えるわけである。 この性質を持つ写像 $R$ は, (Yang-Baxter 方程式の集合論的解”, または, $(Yang$-Baxter maP’ と呼ばれる [2]。
Yang-Baxter map が有理写像であり, しかも係数が正値性を持つ場合には, 超離散極限 [3, 4]$(A, B\in \mathbb{R})$$\lim_{\epsilonarrow+0}\epsilon\log(e^{A/\epsilon}+e^{B/\epsilon})=\max\{A, B\}$
(4)(

によって, max-plus 代数 (tropical semi-field) による Yang-Baxter map が得られる。 さらに, 超離散化の結果として得られる Yang-Baxter map は, 量子群の結晶基底の理論に現れる 「組み合わせ論的 $R$ 行列」 と一致することがある。組み合わせ論的 $R$ 行列は,

い

163

わゆる 「箱玉系」 [4] の時間発展を記述することが見出されており,このことを利用して,箱玉系のさまざまな拡張がなされている [5, 6, 7]。
これらの研究を, 古典可積分系の理論, 特に KP 階層の理論の枠組みで眺めなおして,そこに現れる諸概念が, 古典可積分系においてどういう役割を果たすかを調べることが本

餅究のそもそもの動機であった。すなわち, 箱玉系に現れる量子可積分系の構造の対応物
を, 古典可積分系の中に見出すことを行いたいわけである。 そこで, まずは次のことを目.

標として研究を行った。
Yang-Baxter map の特殊解, およびそれらの変換までを, (離散) ソリトン理論から理解したい。
$\bullet$$\bullet$Yang-Baxter map の持つ対称性を (離散) ソリトン理論の観点から理解したい。
(できる限り) 連続極限, 超離散極限をとりやすい形で定式化を行ないたい。

これらの目標は今のところ完全には達成されていないが, 目標達成のための手段として「離散 KP 階層」の新しい定式化 [8] を行ったので, 本稿ではそのことを中心に報告する。

1.2

例: 離散 $KdV$ 方程式

前節で説明した問題意識をよりはっきりさせるために, ここでは離散 $KdV$ 方程式 [9](5)$\frac{1}{u_{n+1}^{t+1}}-\frac{1}{u_{n}^{t}}=\delta(u_{n}^{t+1}-u_{n+1}^{t})$を例にとって, Yang-Baxter map,

および箱玉系との関係を議論しておく。

離散 $KdV$ 方程式と Yang-Baxter map(5) は, 次の連立系に書き換えることができる。
$u_{n}^{t+1}= \frac{v_{n}^{t}}{1+\delta u_{n}^{t}v_{n}^{t}}$,この方程式を有理写像持つ有理写像を次のように定める :(6)$v_{n+1}^{t}=u_{n}^{t}(1+\delta u_{n}^{t}v_{n}^{t})$$(u_{n}^{t}, v_{n}^{t})\mapsto(u_{n}^{t+1}, v_{n+1}^{t})$としてとらえるために, パラメータ$\kappa,$

$\mu$

を

$R(\kappa, \mu)$$R( \kappa, \mu):(u, v)\mapsto(\frac{v(1+\mu uv)}{1+\kappa uv},$$\frac{u(1+\kappa uv)}{1+\mu uv})$.

(7)

このとき, 離散 $KdV$ 方程式 (6) は$(T_{1}u, T_{\ell}v)=R(\delta, 0)(u, v)$(8)としてとらえられる。さらに, (7) のが次の (パラメータ付き)Yang-Baxter 方程式を満たすことが, 直接計算することにより示される。
$R(\kappa,\cdot\mu)$$R_{12}(\lambda_{1}, \lambda_{2})R_{13}(\lambda_{1}, \lambda_{3})R_{23}(\lambda_{2}, \lambda_{3})=R_{23}(\lambda_{2}, \lambda_{3})R_{13}(\lambda_{1,}.\lambda_{3})R_{12}(\lambda_{1}, \lambda_{2})$($\lambda_{3}=0$(9)とすれば, 離散 $KdV$ 写像 (8) を含む関係式が得られる。 )上の議論で重要となるのは, (6) における補助場
をどのように定めるかである。 今の場合には, 後述する離散 KP 階層の理論により自然に定められる。
$v_{n}^{t}$

164

離散 $KdV$ 方程式と箱玉系
離散 $KdV$ 方程式 (5) において, naive な意味で超離散極限をとっても, 発展方程式は得られない。 実際, (5) を(10)$\frac{1}{u_{n+1}^{t+1}}+\delta u_{n+1}^{\ell}=\frac{1}{u_{n}^{t}}+\delta u_{n}^{t+1}$と係数が正になるように移項して,$u_{n}^{t}=e^{U_{n}^{t}/\epsilon}$

,

(11)

$\delta=e^{-\Delta/\epsilon}$

とおいてから超離散極限をとると,(12)$\max\{-U_{n+1}^{t+1}, U_{n+1}^{t}-\triangle\}=\max\{-U_{n}^{t}, U_{n}^{t+1}-\Delta\}$の値が与えられても,なる方程式が得られる。 しかしこの場合,定めることが一般にはできない。
この困難を解決するために, いったん (6) の形に移って考える。 (6) よりなので,$U_{n}^{\ell},$$U_{n+1}^{t},$$U_{n}^{t+1}$$U_{n+1}^{t+1}$を$u_{n}^{t+1}v_{n+1}^{t}=u_{n}^{t}v_{n}^{t}$(13)$v_{n}^{t}=v_{n-k}^{t} \prod_{j=1}^{k}\frac{u_{narrow j}^{t}}{u_{n-j}^{t+1}}$となる。 そこで,$karrow\infty$において$\lim_{narrow-\infty}u_{n}^{t}=1$,$n arrow\infty 1i\underline{n}1v_{n}^{t}=\frac{1}{1-\delta}$.

$\prod_{j=1}^{\infty}\frac{u_{n-j}^{t}}{u_{n-j}^{t+1}}\ll\infty$(14)を要請すると(15)$v_{n}^{t}= \frac{1}{1-\vec{\delta}}\prod_{j=1}^{\infty}\frac{u_{n-j}^{t}}{u_{n-j}^{t+1}}$となるので,

これを (6) の第 1 式に用いて,$u_{n}^{t+1}= \{\delta u_{n}^{t}+(1-\delta)\prod_{k=-\infty}^{n-1}\frac{u_{k}^{t+1}}{u_{k}^{t}}\}^{-1}$(16)が得られる。 この形にしておいてから (11) とおいて超離散極限をとると,$U_{n}^{t+1}= \min\{\triangle-U_{n}^{t},$なる方程式が得られる。
セルオートマトン (容量$\sum_{j=1}^{\infty}(U_{n-j}^{t}-U_{n-j}^{t+1})\}$(17)とすれば, 高橋薩摩 [10] によって導入されたソリトンの箱玉系) に対する差分方程式に他ならない。

$\triangle=1$$\infty$(注) 離散 $KdV$ 方程式と高橋薩摩のソリトンセルオートマトンとの関係は, 辻本広
田 [11] によって明らかにされた。 そこでは, 離散 $KdV$ 方程式と離散 Lotka-Volterra
方程式とを結ぶ Miura 型変換.
$w_{n}^{t}= \frac{u_{n}^{t}u_{n+1}^{t}}{1-\delta u_{n}^{t}u_{n+1}^{t}}$

(18)

165

を補助場として用いて連立方程式にして, 上と同様の議論によって方程式 (17) を導いている。辻本・広田の補助場
は, (6) のとは別のものであり, Yang-Baxter
map は得られないことを注意しておく。
$w_{n}^{t}$2$v_{n}^{t}$

離散 KP 階層の差分作用素による定式化

KP 階層に対応する離散方程式の階層は, これまでに様々な手法で扱われてきた [12, 13,$14_{:}15,16.17,18]$ 。ここでは, 差分作用素を用いて定式化を行なう [8]。
$(M+1)$ 次元の格子の関数 $f$ :$\mathbb{Z}^{M+1}arrow \mathbb{C}$の座標を,に対して, シフト作用素$\mathbb{Z}^{M+1}$$(\ell, m)=(\ell,\cdot m_{1_{\dot{\prime}}}.

$T_{\ell}f(\ell, m)=f(\ell+1, m)$ ,$T_{l},$.

.

, m_{l}n)$とする。 この格子の上を次で定める :$T_{j}(j=1, \ldots, M)$$T_{j}f(\ell,\cdot m)=f(\ell, \ldots, m_{j}+1, \ldots)$

(19)

.

さらに,
$W(\ell, m):=I+w_{1}(\ell, m)T_{\ell}^{-1}+w_{2}(\ell, m)T_{\ell}^{-2}+\cdots$,$\overline{W}(\ell, m):=\overline{w}_{0}(\ell, m)+\overline{w}_{1}(p_{m)T_{\ell}+\overline{w}_{2}(l,m)T_{p}^{2}+}\ldots$という作用素を導入し, これらの作用素 $W(\ell_{;}m),$ものとする :$(T_{j}\overline{W})(1-\alpha_{j}+\alpha T_{\ell})=B_{j}\overline{W}$$B_{j}=\alpha_{j}T_{\ell}+(1-\alpha_{j})u_{j}$

ここで,

,

が, 次の差分方程式を満たす$(\overline{W}=It^{\gamma} or \overline{W}, j=1, \ldots, M)$$u_{j}:=(T_{j}\overline{w}_{0})/\overline{w}_{0}$はパラメータである。
さらに, (形式的)Baker-Akhiezer 関数

,

(21)

.

$\alpha_{j}(j=1, \ldots, M)$$\Psi_{\lambda}(l, m),$で定める。 ただし,$\overline{\Psi}_{\lambda}(\ell, m)$を$\Psi_{\lambda}(\ell, m):=W(l, m)(1-\frac{\lambda}{a})\prod_{j=1}^{\ell M}(1-\frac{\lambda}{b_{j}})^{m_{j}}$

,

(22)

$\overline{\Psi}_{\lambda}(\ell, m):=\overline{W}(\ell, m)(1-\frac{\lambda}{a})\prod_{j=1}^{\ell M}(1-\frac{\lambda}{b_{j}})^{m}j$

,

(23)

$\alpha_{j}=a/b_{j}(i=1, \ldots, M)$

は次の線形差分方程式を満たすことが分かる :である。 こうすると,$T_{j}\Phi(\ell, m)=\{\alpha_{j}T_{\ell}+(1-\alpha_{j})u_{j}\}\Phi(\ell, m)$

線形方程式 (24) の両立条件より, 任意の$u_{j}(\ell, m)$$\overline{W}(\ell, m)$

(20)

,

$j\dot,$$k=1,$$\Psi_{\lambda}(\ell, m),$$\overline{\Psi}_{\lambda}(\ell, m)$$(\Phi=\Psi or \overline{\Psi}, j=1, \ldots, M)$$\ldots,$$M$が満たすべき非線形差分方程式が得られる [16] :.

に対して, ポテンシャル $u_{j}=$$\{\begin{array}{l}u_{j}(T_{j}u_{k})=u_{k}(T_{k}u_{j}),\alpha_{j}(1-\alpha_{k})(T_{j}u_{k})+\alpha_{k}(1-\alpha_{j})(T_{\ell}u_{j})=\alpha_{k}(1-\alpha_{j})(T_{k}u_{j})+\alpha_{j}(1-\alpha_{k})(T_{\ell}u_{k})\end{array}$こうして{ られる差分方程式の階層を, 離散 KP 階層と呼ぶことにする。
$\acute\ovalbox{\tt\small REJECT}$

(24)

(25)

166

(注) 線形方程式 (24) の右辺に現れている差分作用素は,にっいて 1 階である。 これを高次にする 「高次離散時間発展」 を導入することもできるが, 今回の議論には必要$T_{\ell}$

ないのでここでは深入りしない。
$\ell$

タウ関数” $\tau=\tau(\ell, m)$ は, (20) の$\overline{w}_{0}(\ell, m)$

に対して

(26)

$\overline{u|}0(\ell, m)=\frac{\tau_{\ell \mathcal{T}}}{\tau}$とすることによって導入される。 このとき,(27)$u_{j}= \frac{T_{j}\overline{u|}0}{\overline{w}_{0}}=\frac{\tau(T_{p}T_{j}\tau)}{(T_{\ell}\tau)(T_{j}\tau)}$であり, (25) より次の「広田三輪方程式」 が得られる :.

$(b_{j}-b_{k})(T_{p}\tau)(T_{j}T_{k}\tau)+(b_{k}-a)(T_{j}\tau)(T_{\ell}T_{k}\tau)+(a-b_{j})(T_{k}\tau)(T_{\ell}T_{j}\tau)=0$

このことから分かるように, $(M+1)$ 次元の格子において, 各方向$\ell,$$m_{1},$$\ldots,$$m_{h1}$(28)は全て等価である。

3$(1+1)$ 次元系へのリダクション

前節での定式化から $(1+1)$ 次元の離散方程式を得るには, 適当なリダクションを行なうことになる。 ここでは, $(M+1)$ 個の離散変数から 個を選んで, それらを全て 1 ずつ進めたときに 関数が不変であるという条件を, “ $(1, \ldots, 1)\vee$ -reduction” と呼ぶことにする。
$k$$\tau$$k$

3.1(1,1) リダクション$\Rightarrow$

個

離散 $KdV$ 型方程式

(1, 1) リダクションを考える場合, 次の 2 つの可能性があり得る。
Type I:$M=2$ で $(\ell, m_{1}+1, m_{2}+1)$ を考える

Type II:$M=3$ で $(\ell, m_{1}.m_{2}+1, m_{3}+1)$ を考える$\Rightarrow$

離散 $KdV$ 方程式$\Rightarrow$

離散変形 $KdV$ 方程式

どちらの場合も, 独立変数としてはをとることにする。 TypeI と Type II の違い
は, リダクションを置く変数の中に着目する独立変数が含まれるかどうかにある。それぞ$\ell,$$m_{1}$

れについて, 具体的に見ていこう。

3.1.1

Type $I:M=2$ での (1,1) リダクション

この節では $M=2$ として, 以下の条件を要請する。
$\tau(\ell, m_{1}+1, m_{2}+1)=\tau(\ell, m_{1}, m_{2})$,$\Psi(\ell, m_{1}+1, m_{2}+1)=\zeta\Psi(\ell, m_{1}, m_{2})$$(\zeta\in \mathbb{C})$

.

(29)

167

この条件の下で $\Phi:=T_{2}\Psi$ とすると, 次の形の Lax 対が得られる :(30)$\{\begin{array}{l}T_{l}[Matrix]=[Matrix][Matrix],T_{1}[Matrix]=[Matrix][Matrix].\end{array}$

両立条件を計算すると,$T_{1}u= \frac{v}{1+\delta uv}$,

$T_{p}v= \frac{uv}{T_{1}u}$$( \delta=\frac{\alpha_{1}(\alpha_{2}-1)}{\alpha_{2}(\alpha_{1}-1)})$(31)となり, (6) の離散 $KdV$ 方程式が得られる。

3.1.2

Type II: $M=3$ での (1,1) リダクション

この節では $M=3$ として, 以下の条件を要請する。

,$\tau(l, m_{1_{\dot{\prime}}}m_{2}+1_{j}m_{3}+1)=\tau(\ell, m_{1}, m_{2)}m_{3})$$\Psi(\ell, m_{1}, m_{2}+1, m_{3}+1)=\zeta\Psi(\ell, m_{1}, m_{2}, m_{3})$(32)$(\zeta\in \mathbb{C})$

この条件の下で $\Phi:=T_{2}\Psi$ とすると, 次の形の Lax 対が得られる :$\{\begin{array}{l}T_{\ell}[Matrix]=[Matrix][Matrix],T_{1}[Matrix]=[^{(1-\alpha_{1}\alpha_{2}^{-1})v^{-1}}\alpha_{1}\alpha_{3}^{-1}\zeta (1-\alpha_{1}\alpha_{3}^{-1})v\alpha_{1}\alpha_{2]}^{-1}[Matrix]\cdot\end{array}$(33)

両立条件を計算すると,(34)$\{\begin{array}{l}T_{1}u=v\frac{\alpha_{1}(1-\alpha_{3}^{-1})+(\alpha_{1}\alpha_{3}^{-1}-1)uv}{(\alpha_{1}\alpha_{2}^{-1}-1)+\alpha_{1}(1-\alpha_{2}^{-1})uv},T_{\ell}v=\frac{uv}{T_{1}u}=u\frac{(\alpha_{1}\alpha_{2}^{-1}-1)+\alpha_{1}(1-\alpha_{2}^{-1})uv}{\alpha_{1}(1-\alpha_{3}^{-1})+(\alpha_{1}\alpha_{3}^{-1}-1)uv}\end{array}$が得られる。 これは, [19] で離散変形 $KdV$ 方程式と呼ばれているものに等価である。 また, (7) のを用いると, (34) は$R(\kappa, \mu)$$(T_{1}u, T_{\ell}v)=R( \frac{\alpha_{3}(\alpha_{2}-1)}{\alpha_{2}(\alpha_{3}-1)},$$\frac{\alpha_{3}(\alpha_{1}-\alpha_{3})(\alpha_{1}-\alpha_{2})}{\alpha_{2}\alpha_{1}^{2}(\alpha_{3}-1)^{2}})(u, v)$(35)と表すことができる。 さらに, パラメータに対して適当な条件をおくと超離散極限をとることができて, [20] での「運搬車付き箱玉系」の方程式に一致する。 また, 上の写像 $R$
は, [7] の Proposition 4.1 の写像の $M=1$ の場合を, 逆超離散化したものとみなすこともできる。

(注) Lax 対 (33) において

(すなわち $b_{3}=b_{1}$ ) とすると, TyPe I の Lax 対 (30)が得られる。すなわち, Type I は Type II の特別な場合としてとらえられる。 この”という特殊化は, [20] の言葉で言えば運搬車の容量を無限大にとることにあたる。 また, 同じことであるが, [7] の言葉ではパラメータ重対称テンソル積表現のクリスタルをとることに対応) をにとることにあたる。
$\alpha_{3}=\alpha_{1}$$(\alpha_{3}=\alpha_{1}$$\kappa(\kappa$$\infty$

168

3.2

(1,1,1) リダクション$\Rightarrow$

離散 Boussinesq 型方程式

(1, 1, 1) リダクションの場合は, 次の 3 つの可能性があり得る。

Type I;$M=2$ で $(\ell+1_{i}m_{1}+1, m_{2}+1)$ を考える$\Rightarrow$

Type II: $M=3$ で $(\ell, m_{1}+1.m_{2}+1, m_{3}+1)$ を考える
Type III:

離散 Boussinesq 方程式$\Rightarrow$

離散変形 Boussinesq 方程式$M=4$ で $(\ell, m_{1}, m_{2}+1, m_{3}+1_{\dot{c}}m_{4}+1)$ を考える

前節末の (注) でも述べたのと同様に, この場合も, Type I, Type II の方程式は, 最も一般的である Type III のパラメータを特殊化することでとらえられる。 そこで, 以下では
まず Type III から扱うことにする。

3.2.1

Type III: $M=4$ での (1,1,1) リダクション

この節では $M=4$ として, 以下の条件を要請する。
,$\tau(\ell,\cdot m_{1}, m_{2}+1, m_{3}+1, m_{4}+1)=\tau(\ell, m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4})$(36)$\Psi(\ell, m_{1}, m_{2}+1, m_{3}+1, m_{4}+1)=\zeta\Psi(\ell, m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4})$

この条件の下で,$\Phi:=T_{2}\Psi,$ $\Theta:=T_{2}T_{3}\Psi$とすると, 次が得られる$(\zeta\in \mathbb{C})$:$\{\begin{array}{l}T_{\ell}[Matrix]=[Matrix][Matrix],T_{1}[Matrix]=[Matrix][Matrix].\end{array}$(37)

この (37) の両立条件を考えるのであるが,像ととらえるか,的に解けて,$(u, T_{p}v)\mapsto(T_{1}u, v)$

それを解く際に $(u, v)\mapsto(T_{1}u, T_{\ell}v)$ という写ととらえるかで話が違ってくる。前者の場合は一意$\frac{T_{1}u_{j}}{u_{j}}=\frac{(a-b_{j+2})u_{j+1}-(b_{1}-b_{j+2})v_{j+1}}{(a-b_{j+1})u_{j}-(b_{1}-b_{j+1})v_{j}}$,$\frac{T_{\ell}v_{j}}{v_{j}}=\frac{(a-b_{j+2})u_{j+1}-(b_{1}-b_{j+2})v_{j+1}}{(a-b_{j+1})u_{j}-(b_{1}-b_{j+1})v_{j}}$(38)なる関係式が得られる。 このことから, 有理写像:
を次のように移すものとして定める :$\tilde{R}(a, b_{1})$$\mathbb{C}^{3}\cross \mathbb{C}^{3}arrow \mathbb{C}^{3}x\mathbb{C}^{3}$

を,$((u_{1} , u_{2}, u_{3}), (v_{1;}v_{2}\dot, v_{3}))$$\tilde{R}(a,\cdot b_{1}):\{\begin{array}{l}u_{j}\mapsto u_{j}\frac{(a-b_{j+2})u_{j+1}-(b_{1}-b_{j+2})v_{j+1}}{(a-b_{j+1})u_{j}-(b_{1}-b_{j+1})v_{j}},(j=1,2,3)v_{j}\mapsto v_{j}\frac{(a-b_{j+2})u_{j+1}-(b_{1}-b_{j+2})v_{j+1}}{(a-b_{j+1})u_{j}-(b_{1}-b_{j+1})v_{j}}.\end{array}$

(39)

169

(37) の両立条件を
意的には解けない。 そこで, 積
解は一意に定められ,$(u., T_{\ell}v)\mapsto(T_{1}u_{\dot{1}}v)$$u_{1}u_{2}u_{3},$という写像ととらえる場合には, そのままでは一$v_{1}v_{2}v_{3}$がそれぞれ保たれるという条件をつけると(40)$\{\begin{array}{l}\frac{\hat{u}_{j}}{u_{j}}=\frac{\tilde{a}_{j+1}\tilde{a}_{j+2}u_{j+1}u_{j+2}+\tilde{a}_{j+2}\tilde{b}_{j}u_{j+2}\overline{v}_{j}+\tilde{b}_{j}\overline{b}_{j+1}\overline{v}_{j}\overline{v}_{j+1}}{\tilde{a}_{j+:}\tilde{a}_{j}u_{j+2}u_{j}+\tilde{a}_{j}\tilde{b}_{j+1}u_{j}\overline{v}_{j+1}+\tilde{b}_{j+1}\tilde{b}_{j+2}\overline{v}_{j+1\overline{1^{1j+2}}}},\frac{v_{j}}{\overline{v}_{j+1}}=\frac{\tilde{a}_{j+2}\tilde{a}_{j}u_{j+2}u_{j}+\tilde{a}_{j}\tilde{b}_{j+1}u_{j}\overline{v}_{j+1}+\tilde{b}_{j+1}\tilde{b}_{j+2}\overline{v}_{j+1}\vec{v}_{j+2}}{\tilde{a}_{j+1}\tilde{a}_{j+2}u_{j+1}u_{j+2}+\tilde{a}_{j+2}\tilde{b}_{j}u_{j+2}\overline{v}_{j}+\tilde{b}_{j}\tilde{b}_{j+1}\overline{v}_{j}\overline{v}_{j+1}},\end{array}$が得られる。 ただし $\hat{u}_{j}=T_{1}u_{j},\overline{v}_{j}=T_{p}v_{j},\tilde{a}_{j}=a-b_{j+1}.\tilde{b}_{j}=bi-b_{j+1}(j=1_{\}}2,3)$ であり, 添え字は $mod 3$ で考える。 そこで, パラメータを書き換えて, 有理写像 $R(a,$を,を次のように移すものとして定める :$b)$$((u_{1}, u_{2}, u_{3}), (v_{1;}v_{2}, v_{3}))\in \mathbb{C}^{3}\cross \mathbb{C}^{3}$$\{\begin{array}{l}u_{j}\mapsto u_{j}\frac{(a-b_{j+1})(a-b_{j+2})u_{j+1}u_{j+2}+(a-b_{j+2})(b-b_{j})u_{j+2}v_{j}+(b-b_{j})(b-b_{j+1})v_{j}v_{j+1}}{(a-b_{j+1})(a-b_{j})u_{j+2}u_{j}+(a-b_{j})(b-b_{j+1})u_{j}v_{j+1}+(b-b_{j+1})(b-b_{j+2})v_{j+1}v_{j+2}},v_{j}\mapsto v_{j}\frac{(a-b_{j+1})(a-b_{j})u_{j+2}u_{j}+(a-b_{j})(b-b_{j+1})u_{j}v_{j+1}+(b-b_{j+1})(b-b_{j+2})v_{j+1}v_{j+2}}{(a-b_{j+1})(a-b_{j+2})u_{j+1}u_{j+2}+(a-b_{j+2})(b-b_{j})u_{j+2}v_{j}+(b-b_{j})(b-b_{j+1})v_{j}v_{j+1}}.\end{array}$$(i=1,2,3$ , 添え字は $mod 3$ で考える

(41)

$)$

この写像は, 幾何クリスタルの理論から得られる Yang-Baxter map [21] において, 変を適当にスケールしたものである。 この $R(a, b)$ に対しても, パラメータ付きのYang-Baxter 方程式 (9) が成立する。
さらに, (39) のと組み合わせて,
数 $u,$$v$$\tilde{R}(a, b)$(42)$\tilde{R}_{12}(\lambda_{1}, \lambda_{2})\tilde{R}_{13}(\lambda_{1}, \lambda_{3})R_{23}(\lambda_{2}, \lambda_{3})=R_{23}(\lambda_{2}, \lambda_{3})\tilde{R}_{13}(\lambda_{1:}\lambda_{3})\tilde{R}_{12}(\lambda_{1}, \lambda_{2})$を満たすことも示される。今の場合は直接計算することでも示されるが, (39) の(41)(42) が成立することは, 図 2 により分かる。すなわち, 始状態 $(u,v,\hat{w})$ から終状態にたどり着く経路が 2 つあるということに他ならない。有理写像に対する関係式 (9), (42) は, このように立方体に関する整合性としてとらえると見通しが良いので, “CAC (Consistensy Around a Cube)” と呼ばれている [22]。
$\tilde{R},$の $R$ を図 1 のような矢印で表すことにすると,$(\tilde{\hat{u}},v_{r}\simeq\tilde{w})$

図 1: 写像 $R$ の図示

離散 KP 階層からすると 「時間発展」はと考えるのが自然であるが, それに対する
Yang-Baxter 方程式を考える際には,だけでなく $R$ も同時に考える必要があることが分かる。
$\tilde{R}$$\tilde{R}$170

図 2: CAC 条件

3.2.2

Type II: $M=3$ での (1,1,1) リダクション

この節では $M=3$ として, 以下の条件を要請する。
$\tau(\ell, m_{1}+1, m_{2}+1, m_{3}+1)=\tau(\ell, m_{1}, m_{2}, m_{3})$

,

(43)

$\Psi(\ell, m_{1}+1, m_{2}+1.m_{3}+1)=\zeta\Psi(\ell, m_{1}, m_{2}, m_{3})$

この条件の下で,$\Phi:=T_{2}\Psi$.

$\Theta:=T_{2}T_{3}\Psi$$(\zeta\in \mathbb{C})$とすると, 次が得られる :$\{\begin{array}{l}\tau_{p}[Matrix]=[Matrix][Matrix],T_{1}[Matrix]=[Matrix][Matrix].\end{array}$(44)

3.1.2 節末の (注) と同様に, この Lax 対は最も一般的な Type III の Lax 対 (33) において$\alpha_{4}=\alpha_{1}(b_{4}=b_{1})$ としたものと一致する。両立条件より得られる差分方程式は (38),(40)$b_{4}=b_{1}$でとしたものに他ならない。

3.2.3

Type $I:M=2$ での (1,1,1) リダクション

この節では $M=2$ として, 以下の条件を要請する。
$\tau(\ell+1, m_{1}+1, m_{2}+1)=\tau(\ell, m_{1}, m_{2})$ ,$\Psi(\ell+1, m_{1}+1, m_{2}+1)=\zeta\Psi(\ell, m_{1}, m_{2})$(45)$(\zeta\in \mathbb{C})$

この条件の下で得られる Lax 対は, 上の (44) において, さらに条件 $\alpha_{3}=1(b_{3}=a)$ を加えたものと一致する。 両立条件より, (38) で $b_{4}=b_{1},$ $b_{3}=a$ とした差分方程式が得られる。 しかし, $(u, T_{\ell}v)\mapsto(T_{1}u, v)$ という写像を作ろうとしても, Lax 対の両立条件をこの向きに解くことはできない。解けない理由であるが, 今の場合は, 両立条件からという関係式が得られるためである。

$T_{\ell}v_{2}=u_{3}$(注) ここでは詳しく議論しないが, この場合に得られる差分方程式は, Boussinesq 方程式への自然な連続極限を持つ。 この場合, 離散系のソリトン解は, 連続系でのソリトン解に自然に極限移行する。

171

4

おわりに

今回は, 差分作用素を用いた離散 KP 階層の定式化から, どのような Yang-Baxter map が得られるかを具体的に計算してみた。離散 KP 階層の reduction として得られる差分ソリトン方程式 (例えば離散 $KdV$ 方程式) は, $R$ という写像と組み合わせることで, Yang-Baxter

関係式を満たすことを示した。離散ソリトン方程式と直接対応する写像髭は, Yang-Baxter
map の文脈では “companion map) と呼ばれるものである [2]。しかし, 323 節での例のように, 図 1 のの方向の写像は, 必ず構成できるというわけではないようである。
このことが一般的にどのような意味を持つのかは, 今のところ明らかではない。
Yaiig-Baxter map の研究においては, ある条件の下での幾何学的な分類理論が完成している [22]。分類に現れる写像が, すべて離散 KP 階層から得られるものと対応するかど$R^{i,}$

うかは, 現時点では不明である。渋川によって導入された “dynamical Yang-Baxter map’[23] も, 離散ソリトン系と対応するかどうかは分かっていない。
また, ソリトンオートマトンの表現論的研究 [5, 6, 7] においては, さまざまな表現に対応する組み合わせ $R$ を用いたオートマトンが構成されており, それらを離散 KP 階層の立場から再構成することが可能であると期待される。表現論的アプローチに現れる種々の概念 (柏原作用素, KKR 全単射, ...) の対応物を考えることも, 興味深い問題であろう。

これらの問題に少しでも解答を与えるべく, 現在研究を進めているところである。

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