数理解析研究所講究録
第 1722 巻 2010 年 117-125

117

極小有界等質代表領域上の Bergman 空間における Toeplitz 作用素の有界性
名古屋大学多元数理科学研究科 山路 哲史 (Satoshi Yamaji)
Graduate School of Mathematics,
Nagoya University

1

序arish-Chandra 実現された有界対称領域上の Bergman 空間において，有限正Borel 測度を表象とする Toeplitz 作用素が有界作用素となるための条件は Zhu[12]$H$による結果が知られている．この結果を極小有界等質領域に関して拡張する．
なお，講演では有界等質代表領域に関して拡張を行ったが，その後の研究で極小有界等質領域まで拡張できることがわかった．有界等質代表領域は極小有界等質領域であることが知られている ([7]).

1. lBergman 空間$\mathcal{U}\subset \mathbb{C}^{n}$$dV$ を Lebesgue 測度とする．Lebesgue
を有界領域と正則同値な領域，測度に関して二乗可積分かつ正則な関数からなる空間を$L^{2}(\mathcal{U})$の閉部分空間となり，$L_{a}^{2}(\mathcal{U})(z\in \mathcal{U})$$\overline{K_{z}(w)}$を$\mathcal{U}$1.2を用いて $Pf(z)=\langle f,$への直交射影 $P$上の関数とかける．

$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$$K_{z}\rangle$$\mathcal{U}\cross \mathcal{U}$$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$は$K_{z}\in$$K_{\mathcal{U}}(z, w):=$の Bergman 核という．例えば，単位円板 $D:=\{z\in \mathbb{C}||z|<1\}$ のBergman 核は
核はから$L^{2}(\mathcal{U})$とする．
は，ある関数$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$$K_{D}(z, w)= \frac{1}{\pi}\frac{1}{(1-z\overline{w})^{2}}$$K_{H}(z, w)= \frac{1}{\pi}(\frac{i}{z-\overline{w}})^{2}$,

上半平面 $\mathbb{H}:=\{z\in \mathbb{C}|{\rm Im} z>0\}$ の Bergman

である．

Toeplitz 作用素$u\in L^{\infty}(\mathcal{U})$に対し，$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$上の Toeplitz 作用素耽を$T_{u}f=P(uf)$$(f\in L_{a}^{2}(\mathcal{U}))$

118で定義する．このとき，Bergman 核の定義から$T_{u}f(z)=\langle uf,$ $K_{z} \rangle=\int_{\mathcal{U}}K_{\mathcal{U}}(z, w)f(w)u(w)dV(w)$が成立することがわかる．このの複素 Borel 測度$\mu$と.

を一般化した作用素を考える．すなわち， 上$\mathcal{U}$$T_{u}$$f\in L_{a}^{2}(\mathcal{U})$に対し，測度$\mu$を表象にもつ Toeplitz 作用素$T_{\mu}$を$T_{\mu}f(z)= \int_{\mathcal{U}}K_{\mathcal{U}}(z, w)f(w)d\mu(w)$で定義する．

13主定理

1988 年，Zhu[12] はが有界対称領域の Harish-Chandra 実現で， が 上の有の有界性を測度の Carleson 性や Berezin
限正 Borel 測度のとき，Toeplitz 作用素$\mathcal{U}$$\mathcal{U}$$\mu$$T_{\mu}$

変換及び平均関数と呼ばれる関数の有界性によって特徴づけた．この結果が極小有界等質領域においても成立することを述べる．

定理．

$\mathcal{U}\subset \mathbb{C}^{n}$を極小有界等質領域， をし， 上の関数$\mathcal{U}$$\mu$$\tilde{\mu},\hat{\mu}$$\mathcal{U}$上の正 Borel 測度とする．
$r>0$ に対を,$\tilde{\mu}(z)$$;=$$\Vert k_{z}\Vert_{L^{2}(d\mu)}^{2}$$\hat{\mu}(z)$$;=$$\frac{\mu(B(z,r))}{Vo1(B(z,r))}$で定義する．ここで， は正規化した Bergman 核 つまり，$($$k_{z}$$k_{z}=K_{\mathcal{U}}(z,$ $z)^{-\iota/2}K_{z})$,半径 の Bergman 円板とする．このとき，以下は同値である．
$(a)T_{\mu}$ は上の有界作用素である．
$(b)$が 上の有界関数である．
.Berezin 変換$(c)$
すべての $p\geq 1$ で は姥に関する Carleson 測度である．
$(d)$が 上の有界関数である．
平均関数$B(z, r)$ は中心 $z$ ,$r$

$L_{a}^{2}(u)$$\mathcal{U}$$\tilde{\mu}(z)$$\mu$$\hat{\mu}(z)$$(\mathcal{U}$ $)$$\mathcal{U}$

2

定義

2.1

極小有界等質領域

まずは複素領域に関する定義を述べる．
を有界領域とする．有界対称領域，有界等質領域とは以下を満たす領域のことである．
$\mathcal{U}\subset \mathbb{C}^{n}$

119

.
.
.

$s_{a}os_{a}=id$ かつを孤立固定点とする
内の任意の点 に対し，正則写像 が存在するとき， は有界対称領域であるという．

$\mathcal{U}$

$a$

$a$

$\mathcal{U}$上の双$\mathcal{U}$$s_{a}$$\varphi(a)=b$ を満たす内の任意の点に対し，るとき， は有界等質領域であるという．

$\mathcal{U}$

$a,$

$b$

$\mathcal{U}$上の双正則写像$\varphi$が存在す$\mathcal{U}$極小領域とは，次を満たす領域のことである．
$\det J(\psi, t)=1$ を満たす任意の双正則写像$D$ は$Vol(D’)$ が成立するとき，$t$: $Darrow D’$ に対し $Vol(D)\leq$$\psi$を中心とする極小領域であるという．

有界領域が極小領域であるための必要十分条件として，次が知られている．
$t\in D$
命題 2.1 ([7, Proposition 3.6], [10, Theorem 3.1]).
を有界領域とし，$D$ が中心とする．このとき，の極小領域であることは，すべての $z\in D$ で$D\subset \mathbb{C}^{n}$$t$$K_{D}(z,t)= \frac{1}{Vo1(D)}$が成立することと同値である．
例えば 単位円板 $D$ の Bergman 核は$K_{D}(z, w)= \frac{1}{\pi}\frac{1}{(1-z\overline{w})^{2}}$なので $D$ は$F$

$0$を中，$\llcorner\grave\grave$とする極小領域である．また，Harish-Chandra 実現された有界対称領域，及びそれの等質領域への拡張にあたる有界等質代表領域も O を中心とする極小領域であることが知られている ([7, Proposition 3.8]). 任意の有界等質領域は有界等質代表領域と正則同値である．したがって，すべての有界等質領域は極小領域と正則同値であることがわかる．
以下， を極小有界等質領域とする．
$\mathcal{U}$2.2

Berezin 変換$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$上の有界作用素 $T$ に対し， 上の関数$\tilde{T}$$\mathcal{U}$$\tilde{T}(z):=\langle Tk_{z},$ $k_{z}\rangle$

を$(z\in \mathcal{U})$は作用素 $T$ の Berezin 変換と呼ばれる．また， 上の Borelに対し， 上の関数 をで定義する．

$\tilde{T}(z)$度$\mathcal{U}$$\mu$$\grave{l}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1J}$$\mathcal{U}$$\tilde{\mu}$$\tilde{\mu}(z):=\int_{\mathcal{U}}|k_{z}(w)|^{2}d\mu(w)$で定義する．

$\tilde{\mu}(z)$が$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$は測度$\mu$の Berezin 変換と呼ばれる．ここで，上の有界作用素であるとき，再生性から$\overline{T_{\mu}}(z)=\langle T_{\mu}k_{z},$$k_{z} \rangle=\frac{1}{K_{\mathcal{U}}(z,z)^{1/2}}T_{\mu}k_{z}(z)$Toeplitz 作用素$T_{\mu}$120が成立する．右辺は$\frac{1}{K_{\mathcal{U}}(z,z)^{1/2}}\int_{\mathcal{U}}K_{\mathcal{U}}(z, w)k_{z}(w)d\mu(w)=\int_{\mathcal{U}}|k_{z}(w)|^{2}d\mu(w)$

なので，

(2.1)

$\overline{T_{\mu}}(z)=\tilde{\mu}(z)$となることがわかる．

2.3
$\mu$

Carleson 測度
を$\mathcal{U}$$p\geq 1$ とする．次を満たす正の定数 $M$ が存在すると上の正 Borel 測度，

き，は堵 (u) に関する Carleson 測度であるという : すべての$\mu$$f\in If_{a}(\mathcal{U})$に対し，$\int_{\mathcal{U}}|f(z)|^{p}d\mu(z)\leq M_{\mu}\int_{\mathcal{U}}|f(z)|^{p}dV(z)$が成立する． が堵$\mu$$(\mathcal{U}$ $)$の Carleson 測度であることは，堵

$(\mathcal{U}$$)\subset$

g$(\mathcal{U}, d\mu)$で包含写像$i_{p}:L_{a}^{p}(\mathcal{U})arrow L_{a}^{p}(\mathcal{U}, d\mu)$が有界作用素であることと同値である．

2.4

Positive Bergman operator の有界性

主定理における $(c)\Rightarrow(a)$ を示すために，positive Bergman operator と呼ばれる上の作用素を以下で定義する．
$L^{2}(\mathcal{U}, dV)$

$P_{\mathcal{U}}^{+}$$P_{\mathcal{U}}^{+}g(z):= \int_{\mathcal{U}}|K_{\mathcal{U}}(z, w)|g(w)dV(w)$ここでは$P_{\mathcal{U}}^{+}$

がfor$g\in L^{2}(\mathcal{U}, dV)$

.

(2.2)

上の有界作用素であることを示す．

$L^{2}(\mathcal{U}, dV)$

積分核を持つ作用素の有界性を論じる際に用いられる手法の一つに Schur の定理 (cf. [13, Theorem 36]) がある．これを用いると(2.3)$\int_{\mathcal{U}}|K_{\mathcal{U}}(z, w)|h(w)dV(w)\leq Ch(z)$を満たす上の正値関数 を一つ見つければよいことがわかる． が対称領域のC は Forelli-Rudin 不等式を用いてこの関数を構成している
場合，Zhu および(cf. [13, Theorem 7.5], [4, Proposition 8]). しかし，この方法を有界等質代表領域で考えることは難しい．
一方，等質 Siegel 領域 上の Bergman 空間における positive Bergman operatorの有界性は Be’kolle’,Kagou により示されている ([2]).
$h$$\mathcal{U}$$Engli\check{s}$$\mathcal{D}$$P_{\mathcal{D}}^{+}$$\mathcal{U}$121
定理 2.2 ([2, Theorem II.7] ). P なは

$L^{2}(\mathcal{D}, dV)$上の有界作用素である．

実際 等質 Siegel 領域においては Schur の定理の仮定を満たす正値関数が構成できるため，定理 22 が得られる．
有界等質領域は Siegel 領域と正則同値であることが知られている． を から$\Phi$$\mathcal{D}$への双正則写像とする．このとき，$L^{2}(\mathcal{U}, dV)$から$L^{2}(\mathcal{D}, dV)$への写像$\mathcal{U}$$U_{\Phi}$を$U_{\Phi}f(\zeta):=f(\Phi^{-1}(\zeta))|\det J(\Phi^{-1}, \zeta)|$で定義する． は$U_{\Phi}$$(U_{\Phi})^{-1}=U_{\Phi^{-1}}$を満たすユニタリ作用素である．また，$P_{\mathcal{U}}^{+}\circ U_{\Phi}=U_{\Phi}oP_{\mathcal{D}}^{+}$が成立する．したがって，上の有界作用素であることと上の有界作用素であることは同値である．
以上を補題としてまとめておく．
$P_{\mathcal{U}}^{+}$

が$L^{2}(\mathcal{U}, dV)$

$P_{D}^{+}$

が$L^{2}(\mathcal{D}, dV)$

補題 233

P 甘は$L^{2}(\mathcal{U}, dV)$上の有界作用素である．

極小有界等質領域の Bergman 核の評価

Toeplitz 作用素の有界性を調べる際，Zhu は領域を Bergman 円板で分割し，各円板上で積分の評価を行うという手法を用いた．領域の分割に関しては対称性は用いられておらず等質性のみで行うことが出来るので，極小有界等質領域 につ$\mathcal{U}$いても次が成り立っ．
補題 3.1 ([1, Lemma 5]). 次の条件 $(S1)$ から $(S3)$ を満たす点列$\{w_{j}\}\subset \mathcal{U}$が取れる:$(S1)\mathcal{U}=$俺舞 $1B(w_{j}, r)$ .

$(S2)B(w_{i}, r/4)\cap B(wj, r/4)=\emptyset$$(S3)$

次を満たす$N$がとれる : 各.
$z\in \mathcal{U}$が含まれる $B(w_{j}, 2r)$ は $N$ 枚以下．

各円板上で積分の評価を行う際，以下の定理が重要な役割を果たす．定理 32 は
伊師英之氏との共同研究により得られたものである．
$C_{r}>0$ を次が満たすようにと定理 3.2 ([8, Theorem 1.1]). 任意の $r>0$ に対し，れる :に対し，を満たすすべての $z,$$a\in \mathcal{U}$$\beta_{\mathcal{U}}(z, a)\leq r$$C_{r}^{-1} \leq|\frac{K_{\mathcal{U}}(z,a)}{K_{\mathcal{U}}(a,a)}|\leq C_{r}$が成立する． は$\beta_{v}$$\mathcal{U}$の Bergman 距離を表すとする．

122
Harish-Chandra 実現された有界対称領域
クト集合$B(O, r)\cross\overline{\Omega}$$\Omega$の Bergman 核$K_{\Omega}(z_{1}, z_{2})$はコンパ上の連続関数として拡張できるので，定理 32 は容易に証明することが出来る．しかし，極小有界等質領域がこの性質を持つかはわからない．
そのため，以下を利用する．

定理 3.3 ([8, Theorem 1.2]).の Siegel 円板
から階数$\mathcal{U}$$n_{j}$

れる$n_{j}\in N$ ,$1\leq i\leq r$ に対し，の階数を とする．
を次が成り立つようにとへの正則写像$r$$\mathcal{U}$$\mathcal{U}_{n_{j}}$:$s_{j}\in \mathbb{R}$$\theta_{j},$$K_{\mathcal{U}}(z, z’)=C \prod_{j=1}^{r}K_{\mathcal{U}_{n_{j}}}(\theta_{j}(z), \theta_{j}(z’))^{s_{j}}$ここで、 Siegel 円板は有界対称領域である．各$(^{\forall}z,$$K_{\mathcal{U}_{n_{j}}}$$z’\in \mathcal{U})$.

を評価することで極小有界等質領域の Bergman 核の評価を行う．これにより得られる定理 32 の評価式を用いる事で，有界対称領域においた考察する際に Zhu が用いた以下の補題は極小有界等質領域においても成立することがわかる．
補題 3.4 ([11, Lemma 3.3]). 次を満たす定数
任意の $z,$に対し，$M_{r}$がとれる : $\beta(z, a)\leq r$ を満たす

$a\in \mathcal{U}$$M_{r}^{-1}\leq|k_{a}(z)|^{2}Vol(B(a, r))\leq M_{r}$が成立する．

補題 3.5 ([11, Lemma 3.5]). 次を満たす $C>0$ がとれる : 任意の $f\in O(\mathcal{U}),$ $p\geq$$1,$$a\in \mathcal{U}$に対し，$|f(a)|^{p} \leq\frac{C}{Vol(B(a,r))}\int_{B(a,r)}|f(z)|^{p}dV(z)$が成立する．

これらの補題を用いて Zhu と同様の証明を行うことによって Carleson 測度に関する次の定理が示せる．これは主定理における (c) と $(d)$ の同値性を意味する．
$P\geq 1$ とする．この定理 3.6 ([12, Theorem 7]). を 上の正の Borel 測度とし，に関する Carleson 測度であることはとき， が堵
$\mathcal{U}$$\mu$$\mu$$(\mathcal{U}$ $)$$\sup_{a\in \mathcal{U}}\frac{\mu(B(a,r))}{Vo1(B(a,r))}<\infty$となることと同値である．

123

4

主定理の証明定理 36 で $(c)\Leftrightarrow(d)$ が得られたため，ここでは $(a)\Rightarrow(b)\Rightarrow(d)$ と$(a)$ を示す．
$(a)\Rightarrow(b)$ に関してはは有界作用素なので (2.1) より$(c)\Rightarrow$$T_{\mu}$$\tilde{\mu}(z)=\overline{T_{\mu}}(z)=|\langle T_{\mu}k_{z},$$k_{z}\rangle|\leq\Vert T_{\mu}\Vert\Vert k_{z}\Vert^{2}=\Vert T_{\mu}\Vert<\infty$となる．

次に $(b)\Rightarrow(d)$ を述べる．補題 34 より，$M_{r}^{-1}\leq|k_{z}(w)|^{2}Vol(B(z, r))$が成立する．この式を $B(z, r)$ 上

$w$

に関して

$\mu$

で積分すると$M_{r}^{-1} \int_{B(z,r)}d\mu(w)\leq Vol(B(z, r))\int_{B(z,r)}|k_{z}(w)|^{2}d\mu(w)$が得られる．したがって，$\frac{\mu(B(z,r))}{Vo1(B(z,r))}$となるので$\leq$$M_{r} \int_{B(z,r)}|k_{z}(w)|^{2}d\mu(w)$$\leq$$C\Vert k_{z}\Vert_{L^{2}(d\mu)}^{2}=M_{r}\tilde{\mu}(z)$を得る．ゆえにを示す．任意の$\hat{\mu}(z)\leq M_{r}\tilde{\mu}(z)$最後に，$(c)\Rightarrow(a)$$\Vert T_{\mu}f\Vert_{2}^{2}$.

$\hat{\mu}(z)$$f\in L_{a}^{2}(\mathcal{U})$$=$上の有界関数である．
に対し，は$\mathcal{U}$$\int_{\mathcal{U}}|\int_{\mathcal{U}}K_{\mathcal{U}}(z, w)f(w)d\mu(w)|^{2}dV(z)$$\leq$$\int_{\mathcal{U}}(\int_{\mathcal{U}}|K_{\mathcal{U}}(z, w)||f(w)|d\mu(w))^{2}dV(z)$$=$$\int_{\mathcal{U}}(\int_{\mathcal{U}}|F_{z}(w)|d\mu(w))^{2}dV(z)$が成立する．ここで，とおいた．このとき，はとなる．ここで， Carleson 測度なので，正の定数$F_{z}(w):=\overline{K_{\mathcal{U}}(z,w)}f(w)$$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$なので$F_{z}\in L_{a}^{1}(\mathcal{U})$

(4.1)

$\mu$

$\overline{K_{\mathcal{U}}(z,\cdot)}\in$$M_{\mu}$が存在し，$\int_{\mathcal{U}}|F_{z}(w)|d\mu(w)\leq M_{\mu}\int_{\mathcal{U}}|F_{z}(w)|dV(w)$とできる．Carleson 測度の定義から$M_{\mu}$は$z$(4.2)によらないことを注意しておく．(4.1)と (4.2) より$\Vert T_{\mu}f\Vert_{2}^{2}\leq M_{\mu}^{2}\int_{\mathcal{U}}(\int_{\mathcal{U}}|K_{\mathcal{U}}(z, w)||f(w)|dV(w))^{2}dV(z)$

(4.3)

124
$f^{+}(z):=|f(z)|$ とおくと (4.3) の右辺はが成り立つ．ここで，ける．定理 23 より， は有界作用素なので$M_{\mu}^{2}\Vert P_{\mathcal{U}}^{+}f^{+}\Vert_{2}^{2}$とか$P_{\mathcal{U}}^{+}$$\Vert T_{\mu}f\Vert_{2}\leq M_{\mu}\Vert P_{\mathcal{U}}^{+}f^{+}\Vert_{2}\leq M_{\mu}\Vert P_{\mathcal{U}}^{+}\Vert\Vert f\Vert_{2}$となる．

次に$L_{a}^{2}(\mathcal{U})^{\perp}$$T_{\mu}f\in \mathcal{O}(\mathcal{U})$に対し$\langle T_{\mu}f,$$\langle T_{\mu}f,$を示す．すでにを示したので，すべての $g\in$となることをいえばよい．これは$T_{\mu}f\in L^{2}(\mathcal{U})$$g\rangle=0$$g\rangle$$=$$\int_{\mathcal{U}}\{\int_{\mathcal{U}}K_{\mathcal{U}}(z, w)f(w)d\mu(w)\}\overline{g(z)}dV(z)$$=$$\int_{\mathcal{U}}\overline{\{\int_{\mathcal{U}}K_{\mathcal{U}}(w,z)g(z)dV(z)\}}f(w)d\mu(w)$

$=$

$0$

(4.4)

より従う．ここで，$\int_{\mathcal{U}}\int_{\mathcal{U}}|K_{\mathcal{U}}(w, z)g(z)f(w)|d\mu(w)dV(z)\leq M_{\mu}\Vert P_{\mathcal{U}}^{+}\Vert\Vert f\Vert_{2}\Vert g\Vert_{2}<\infty$,

なので Fubini の定理より，(4.4) における積分の順序交換は可能である．

以上より$T_{\mu}$は$L_{a}^{2}(\mathcal{U})$上の有界作用素である．

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