ベクトルは数列

平成 32 年 4 月 18 日

はじめに

1

数列の 3 項間漸化式

an+2 = pan+1 + qan(1)x2 = px + q(2)an = a1 αn−1 + a2 β n−1(3)において，その特定方程式の解を，α，β とおくと，(1) の一般項はで与えられる．これは，受験数学の参考書に一応準公式のような形で紹介されている．この一般項(3) が正しいことは，式 (1) に代入すれば，簡単に高校生でも確かめられる．
この一般項はどのようにして導かれたのであろうか．問題を解いて天下り的に導かれたのだろうか．たくさんの理由が考えられよう．
実はこの一般項は，ベクトル空間という考えから導かれたとも考えることができるのである．今回は，ベクトル空間という考えを使って，この一般項を導いてみたい．
まずはベクトル空間の定義から入ろう．

ベクトル空間2→−→ベクトルといえば，高校で学ぶ方向と大きさをもつ −x，y が頭に思い浮かぶが，これはベクトルというものを非常に矮小化した考えである．この高校で学ぶベクトルとは，「ベクトル」という全体→のある 1 種類について，掘り下げて勉強したにすぎないのである (この方向と大きさをもった −x，−→y はよく物理で使われる．) それでは，「ベクトル」とは何か．改めて定義し直すことにする．

2.1

定義：ベクトル集合 U があって，x，y ∈ U をとったとき，

1. x + y ∈ U
2. ∀ a ∈ R に対して，ax ∈ U

1

WebSite −『The Essential Math Meets』−

2

ベクトル空間の 2 つが成り立つとき，U をベクトル空間といい，U の元をベクトルという．
これはあまりにも抽象的であるが (この辺が大学の数学の難しさである)，具体例で考えれば，なにも難しいことではない．

→−→
この定義に当てはめれば，高校で学んだ −x，y もベクトルといえる．ベクトルという世界がまた広がり，行列もベクトルとなる．

2.2行列もベクトル

2 × 2 行列の集合 (全体) を V とおき，この V に属する任意の２つの行列(
A=abcd)(B=xyzw)∈Vをとる．
このとき，(abcd)((1)

A+B =+((2)α ∈ R に対して， αxyzw)

abcd)

(=
(=a+xb+y)∈Vc + z )d + w
αa αb∈Vαc αdつまり，(1) より任意の２つの 2 × 2 行列の和も 2 × 2 行列になり，(2) より 2 × 2 行列の実数倍も 2 × 2 行列になるので (当たり前だが・・・)，行列はベクトルである．一般化して n × n 行列もベクトルである．

2.3

１次独立・１次従属(xy 平面 (大学では R2 ) は明らかにベクトル空間．例えば，xy 平面の元xy) (，zw)をとれば，和と実数倍も xy 平面に属するので xy (平面はベクトル空間である．
)
( )
102
ここでこのベクトル空間 R の元を X =，Y=と２つとり，実数 a，b のに対して，01
ベクトル空間 R2 の任意の元 Z を(Z = aX + bY = a10)(+b0)1とおいたときに (元 X ，Y に対して実数 a，b を使って Z = aX + bY の形に表したものを１次結合という)，a，b の値を自由に変えることによって，Z は xy 平面のすべての元を表すことができるの()()−38.3は明らかであろう．例えば，を表すには，a = −3，b = 9 とおけばよいし，を9− 73表すには，a = 8.3，b = − 73 とおけばよい．こういう風に２つのベクトル X ，Y を１次結合で表し，係数の実数の数字を変えることによって，Z がベクトル空間 R2 の元をすべて表すことができると2WebSite −『The Essential Math Meets』−

2

ベクトル空間き，X ，Y は１次独立という．そして，この 2 つのベクトルを，R2 の基底という．また，１次独立()−1のベクトル (基底) は自由にとることができる．例えば，ベクトル空間 R2 の元を X =，1( )1Y=とをとっても良い．例えば，
1(Z = aX + bY = a(−3)−1(+b11)1)を表すとき，a = 6，b = 3 とすればよい．
( )()
1−12
逆に，ベクトル空間 R の元を X =，Y=ととって，1−1となり，例えば9(Z = aX + bY = a1)(+b1−1)−1(と R2 の元 Z をおいたとしても，Z はすべての元を表すことはできない．例えば，例えば−3)9を表そうとしても，a，b をどんな値にしても，この X ，Y をとった場合は Z はこの元を表すことができない．つまり，R2 の元をすべて表すことができない．この場合，X と Y は一次従属という．
矢印のついた高校のベクトルに当てはめて考えると，一次独立の２つのベクトルというのは２つのベクトルが違う方向を向いている (平行でない) ということで，また一次従属の２つのベクトルは，同じ方向を向いている (平行である) ということである．
ここで大事なことは，上のベクトル空間でこのベクトル空間を張るベクトル (つまり，基底のこと) を考えるとき，ベクトルは１次独立のベクトルであれば，自由にとって良いということである．
つまり，基底は自由ということである．ということは基底をとるときは，普通は一番計算しやすい基底をとる．

2.4

１次独立の数学的な判定

ベクトル空間の元をとったとき，それが１次独立か１次従属かを数学的に判定する方法がある．
ここでは具体的に２次元のベクトル空間 V で考えることにする．
２つのベクトル X ̸= 0，Y ̸= 0 ∈ V に対して，任意の実数 a，b ∈ R をとって，１次結合してそれが 0 ベクトルを表しているとする．つまり，

aX + bY = 0が成り立ったとする．このとき，a = b = 0 がいえるときは，X ，Y は１次独立であるという．
また上の式で a ̸= 0，または b ̸= 0 のときでも成り立つとき，X ，Y は１次従属であるという．実際に先ほどの例を元に計算してみることにする．

(aX + bY = a10)(+b301)(=00)

WebSite −『The Essential Math Meets』−

3

数列はベクトルとすると，確かにこの連立方程式を解いたとき，
a = b = 0 である．
( )( )
10
よって，X =，Y=は，１次独立である．
01()
( )
−11
また，X =，Y=とベクトル X ，Y をとったときも，11()( ) ( )
−110
aX + bY = a+b=110とすると，確かにこの連立方程式を解いたとき，
a = b = 0 である．よって，この場合のベクトル()( )−11
X=，Y=は，１次独立である．
01( )()
1−12ととったとする．
また逆に，R のベクトルを X =，Y=1−1( )() ( )1−10
aX + bY = a+b=1−10とすると，a = b のときでも成り立つ．つまり，例えば a = b = 3 のときでも成り立つということである．よって，この場合のベクトル X ，Y は１次従属である．
それでは，数学のある内容がベクトルといわれることによって，どのようなことが考えられるのか．以上の準備をふまえて，数列の漸化式の一般項を、ベクトル空間の考えを使って解いてみることにする．

数列はベクトル3

ここで，3 項間漸化式を，ベクトル空間の考えで解いてみることにする．

3.1問題
an+2 = 5an+1 − 6an を満たす数列の一般項を求めよ．

解答

an+2 = 5an+1 − 6an を満たす数列の集合を { an } とかくことにする．この { an } の意味は，{an } = {a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，· · · }でしかも，前後の 3 つの成分で，a3 = 5a2 − 6a1 ，a4 = 5a3 − 6a2 ，· · · ，an+2 = 5an+1 − 6an が成り立っている集合である．an+2 = 5an+1 − 6an を満たす数列は，すべての項が a1 ，a2 を使って表せる (言い換えれば，この３項間漸化式の一般項は，初項と第２項で決まるということである)．
例えば，

4

WebSite −『The Essential Math Meets』−

a3=

5a2 − 6a1a4=

5a3 − 6a2=

5(5a2 − 6a1 ) − 6a2=

19a2 − 30a1=

5a4 − 6a3=5(19a2 − 30a1 ) − 6(5a2 − 6a1 )=65a2 − 114a1=

5a5 − 6a4=

5(65a2 − 114a1 ) − 6(19a2 − 30a1 )=211a2 − 390a1a5a63

数列はベクトルといった具合である. つまり，すべての項は a1 ，a2 の影響を受けているということである．以上
ふまえて{an }={a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 · · · }={a1 ，a2 ，5a2 − 6a1 ，19a2 − 30a1 ，65a2 − 114a1 ，211a2 − 390a1 ，· · · }= {a1 ，0，− 6a1 ，− 30a1 ，− 114a1 ，− 390a1 ，· · · }+{0，a2 ，5a2 ，19a2 ，65a2 ，211a2 ，· · · }= a1 {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · }+a2 {0，1，5，19，65，211，· · · }よって，{an } は，{an } = a1 {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · } + a2 {0，1，5，19，65，211，· · · }とかける．これで，{1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · } {0，1，5，19，65，211，· · · } はベクトルのように見え，{an } は，あるベクトル空間の一次結合でかかれた元のように見える．ここで，

x = {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · }， y = {0，1，5，19，65，211，· · · }とおく．
まず，x，y が {an } に属する，つまり，x，y ∈ {an } を証明する．これは例えば，当たり前であるが，an は a1 ，a2 を使って表せる，つまり a1 ，a2 で決まるので，a1 ，a2 は任意より，a1 = 1，a2 = 0とおけば{an } = {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · }より，

5WebSite −『The Essential Math Meets』−3

数列はベクトルx = {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · } ∈ {an }ちなみにこれは，次のような意味である．x = {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · } の第１成分
から順に b1 = 1，b2 = 0，b3 = −6，b4 = −30，· · · とおくと，確かに，bn+2 = 5bn+1 − 6bn が成り立っているということである．
同様にして，a1 = 0，a2 = 1 とおけば{an } = {0，1，5，19，65，211，· · · }より，

y = {0，1，5，19，65，211，· · · } ∈ {an }も成り立つのも当たり前である．つまり，x，y は {an } の元と考えてもよい．次に {an } がベク
トル空間であることを示す．つまり，x + y ∈ {an } と a ∈ R に対して，ax ∈ {an } を示せばよい．

(1)x + y ∈ {an }を示す．

{an } = a1 {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · } + a2 {0，1，5，19，65，211，· · · } で，a1 = a2 = 1とおけば，{an } = {1，0，− 6，− 30，− 114，− 390，· · · } + {0，1，5，19，65，211，· · · } = x + yとなるので，x + y ∈ {an }先程にも述べたが，これは次のような意味である．x + y = {1，1，− 1，− 11，− 49，· · · }の第１成分から順に c1 = 1，c2 = − 1，c3 = − 11，c4 = − 49，· · · とおくと，確かに，cn+2 = 5cn+1 − 6cn が成り立っているということである(2)∀ a ∈ R に対して，ax ∈ {an }ax = {a，0，− 6a，− 30a，− 114a，· · · } も同様の考え方によって，ax ∈ {an }(1)，(2) より，{an } はベクトル空間といえる．
次に，x，y は１次独立であることを示す．αx + βy = 0 とおいたとき，α = β = 0 であることを示せばよい．つまり，

αx + βy = (α，β ，− 6α + 5β ，· · · ) = (0，0，0，· · · )を解けばよいのであるが，この方程をが成り立たせる α，β の値は α = β = 0 である．よって，x，y は１次独立である．
以上より，{an } は基底 x，y で張られる２次元のベクトル空間であることがわかった．ここで，基底は１次独立のベクトルを自由にとれるということを考えれば，突然であるが，2 次方程式 x2 = 5x−6の解を p，q とおく．このとき，(p，p2 ，p3 ，p4 ，· · · )， (q ，q 2 ，q 3 ，q 4 ，· · · )が {an } の元であることを示す．

(証) (p，p2 ，p3 ，p4 ，· · · ) の第１成分から，順に d1 = p，d2 = p2 ，d3 = p3 ，d4 = p4 ，· · · とおくと，dn+2 = 5dn+1 − 6dn が成り立っている．なぜなら，この漸化式は，pn+2 = 5pn+1 − 6pn とい6

WebSite −『The Essential Math Meets』−

4

最後に・・・う意味で，両辺を pn で割ると，p2 = 5p − 6 が成り立っているからである．同様にして，(q ，q 2 ，q 3，q 4 ，· · · ) ∈ {an } がいえる．
よって，p = 2，q = 3 より，(2，22 ，23 ，24 ，· · · )， (3，32 ，33 ，34 ，· · · ) ∈ {an }がいえた．次に，(2，22 ，23 ，24 ，· · · )，(3，32 ，33 ，34 ，· · · ) が１次独立であることを示す．z, w ∈ Rに対して，z(2，22 ，23 ，24 ，· · · ) + w(3，32 ，33 ，34 ，· · · ) = (0，0，· · · )とおくと，z = 0，w = 0 のときしか成り立たないので，１次独立ということが証明された．よって，{an } というベクトル空間は，２つのベクトル (2，22 ，23 ，24 ，· · · )，(3，32 ，33 ，34 ，· · · ) でも張られ，{an } = a1 {2，22 ，23 ，24 ，· · · } + a2 {3，32 ，33 ，34 ，· · · }の形でかいてもよいということがわかった．

{an }= {a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 · · · }= a1 {2，22 ，23 ，24 ，· · · } + a2 {3，32 ，33 ，34 ，· · · }= {2a1 + 3a2 ，22 a1 + 32 a2 ，23 a1 + 33 a2 ，24 a1 + 34 a2 ，· · · }従って，第 n 成分を比較すると，an+2 = 5an+1 − 6an の一般項

an = a1 2n + a2 3nを得る．またこのベクトル空間の考えで，数列の一般項を求めるとき，{1，2，22 ，23 ，24 ，· · · }，{1，3，32 ，33 ，34 ，· · · } も {an } の基底であることでもわかる．よって，一般項が an = a1 2n − 1 + a2 3n − 1
でもかけることがわかる．
したがって，


一般に an+2 = pan+1 +qan の一般項は，x2 = px+q の解を α，β とすると，an = a1 αn +a2 β n ，または，an = a1 αn − 1 + a2 β n − 1 とかけることになる．
4

最後に・・・
大学時代の線形代数の章末問題で，「数列 {an }∞n=1 全体のなす線形空間において，an+2 = an+1 +anを満たす全体が部分空間となることを示し，その基底と次元を求めよ．
」という問題にでくわしたことがある．当時，高校の数学と大学の数学のギャップに悩んでいて，しかも線形代数を習いたての私にとって，こんな意味の分からないことをいっている問題にとても辟易したのを覚えている．
何をどこから手を着けてよいのかわからなかったのである．だから，自分で数日間考えても，調べ

7

WebSite −『The Essential Math Meets』−

4

最後に・・・ても全くわからなかったので，当時の線形代数の先生に聞いて解決した．このとき，自分の頭の中にある数学の世界が一気に開けて，数学の世界の美しさを感じ体の震えが来た感触を今でも忘れられない．しかも，まだ頭の柔らかった当時，この応用として，第２章で述べた基底の自由さを用いて解いた３項間漸化式の解き方を，自分で発見して自分自身舞い上がった．この興奮を誰かにいいたくても，友達の誰も聞く耳を持ってくれなかったのはとても残念だった．

an+2 = pan+1 + qan の一般項を求めるとき，x2 = px + q とおいて解を求め，式を変形して等比数列を求め，数列の連立方程式を解き，数列の一般項を求めてきた．これでは、大学入試のときにしか役立たない．数学というマザーボードで考えれば、各単元は根っこでつながっているのである．今までの議論のように，数列をベクトルと考えれば，新しい世界が広がるのである．高校ではにバラバラに勉強してきた，ベクトル，行列，数列が大学では全く同じ概念であるということを知ってほしいし，与えられた問題を素直に解くのではなく，自分で何か簡単なものでもよいから発見して数学で感動してほし，新しい数学の勉強をすることによって，数学の美しさというのを感動してもらいたいと思う．
．

8