数理解析研究所講究録
第 855 巻 1993 年 11-30

11
半単純リー群の leading exponent の記述
東大数理山本敦子 (Atsuko YAMAMOTO)\S 1. Introduction
半単純 Lie 群$G_{\mathbb{R}}$の既約表現$G_{\mathbb{R}}$

$\pi$

の行列要素

の Cartan 分解 $G_{\mathbb{R}}=K_{\mathbb{R}}A_{\mathbb{R}}I\{\mathbb{R}’(g=kak’)$$f_{\pi}$:と Weyl 群 $W$ の元 $w$ を用

いて $f_{\pi}(kak’) \sim\sum_{w\in W}b_{w}(k, a, k’)a^{\rho-w\lambda},$ ( $k,$ $k’\in K_{\mathbb{R}},$$a^{\rho-w\lambda}=e^{<\rho-w\lambda,\log a>})$ロでない場合($aarrow\infty$$aarrow\infty$$\pi$$\lambda$:generic,としたときある解析関数 $b_{w}(k, k’)$ に近づくものである.

に対し, 係数に対して $<l\circ ga,$ $\alpha>arrow\infty$ となること) こ$\alpha$$b_{w}$

が垣等的にゼロではない Weyl 群の元の集合を $S(\pi)$ と書くことにする. $S(\pi)$ の元の関係があるとき,$a\in A_{\mathbb{R}},$と表せる. ここでの係数 $b_{w}(k, a, k’)$ は, 恒等的にゼとは, 任意の正ルート

こで既約表現の漸近展開は$G_{\mathbb{R}}arrow \mathbb{C}$$w_{1},$ $w_{2}$$a^{\rho w_{1}\lambda}-/a^{\rho-w_{2}\lambda}arrow 0(aarrow\infty)$

が Bruhat order で $w_{1}>w_{2}$となる. つまり, 行列要素の漸近挙動は Bruhat order で minimal なものによって決まるということで, これをふまえると既約表現$\pi$に対する $S(\pi)$ の Bruhat order で minimal な元の全て $S_{0}(\pi)$ を求めることが表現の leading exponents を求めることに相当する.

leading exponents:$S_{0}(\pi)$$;=\{w\in S(\pi)|w_{\text{て}miima1}^{|hB_{n^{ru}}hat}$

この Weyl 群の元の集合 $S_{0}(\pi)$

Order

$\}$

.

を求める方法を, 松木-大島が提示した [MO].

この方法では $S_{0}(\pi)$ は松木, 大島が導入した $G/B(G$ はその Borel 部分群) の K-軌道 ( $K$ は$I\zeta_{\mathbb{R}}$$G_{\mathbb{R}}$の複素化, $B$ はの複素化) 間の closure relation を示

す diagram を使って求まる. ここでの diagram とは $G/B$ 上の K-軌道と 1対 1 対応に対応する clan と呼ばれる記号表記とそれらを結ぶ数字付き矢印からなる. 松木-大島の方法はその diagram 上を既約表現$\pi$に対応する K-軌道の clan $\Gamma(\pi)$ から矢印の向きに従ってたどり, そのときに通った矢印に付いている数字から Weyl 群の元を求める という方法である. そこで, 松木-大島のTypeset by$\mathcal{A}_{\mathcal{M}}S-TEK$

12
方法によって得られる Weyl 群の元の全てを clan$\Gamma(\pi)$から associated clanと呼ばれる記号表記を新しく作り, これに情報を付加する二つのステップと,一意に行われるいくつかの作業, を組み合わせることにより求められることがわかった. ここでの新しい方法では diagram を書き出さなくても $S_{0}(\pi)$ のの.

元の全てを重複なく 求めることができる. 加えて新しく導入した associatedclan は, 松木-大島の diagram の意味を理解する上で大きな助けともなる.

\S 2. M-O diagram (命題 $2.1$$g_{R}$

が I 型の時).

{ $G/B$ の各 K-orbit }$\underline{1:1}${Borel subalgebra の

$K$

-共役類}

であることから各共役類の代表元として(Levi 分解)$b=a\oplus \mathfrak{n}$(ただし$g^{\sigma}=$舳である involution

なる Borel subalgebra$\Sigma^{+}$$\mathfrak{b}$$\sigma$に対し$\alpha$は$\sigma$-stable かっ$\theta- stable.$

) と

がとれる.

を n に対応するルート系 $\Sigma(g, a)$ の正ルート系とすると, このような$(a, \Sigma^{+})$の取り方は $i$ -共役類を除いて一意に決まる. [M]$(a, \Sigma^{+})$

に対し, simple roots を

A型

B型

C型
D型

$\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}, (\alpha_{n})\}$とする.

$\alpha_{O^{1}-}\alpha_{O^{2}-}\ldots\underline{\alpha}_{n_{O}-1}$$\alpha_{O^{1}-}\alpha_{O^{2}-}\ldots\underline{\alpha}_{n_{0^{-1}\Rightarrow}}\alpha_{O^{n}}$$\alpha_{O^{1}-}\alpha_{O^{2}-}\ldots\underline{\alpha}_{n_{0^{-1}\Leftarrow}}\alpha_{O^{n}}$$\alpha_{O^{1}-0^{\tau}-}\alpha\ldots\underline{\alpha}_{n-2^{/_{\alpha_{O}^{O_{n}}}^{\alpha}}}\backslash ^{n-1}$13$a^{*}$の直交基底$\{e_{1}, \cdots, e_{n}\}$を次のようにとる.
$(1 \leqq i\leqq n-1)$$\alpha_{i}=e_{i}-e_{i+1}$$\alpha_{n}=e_{n},$$e_{n-1}+e_{n}$$2e_{n},$以上の方法で作れる$a^{*}$( それ$\text{そ^{}\backslash }$れ B,C,D 型のとき)の直交基底の集合を EG、で表す.

$E_{G_{R}}=\{(e_{1}, \cdots, e_{n})|_{\text{上て}\ell F\tilde{b}\text{れる}(e_{1}}^{\text{全ての}(a,\Sigma^{+})}$

定$\text{義_{}2.2}$

. [

の記号の列

$MO|\{+, -,\underline{a}, \overline{a}, \star|a\in \mathbb{N}\}$$\gamma_{1},$$\gamma_{2},$$\cdots,$$\gamma_{n}$に対$\text{し_{}n}e$

$\}$

)

の元からなる順序付けられたが次の 4+1 条件を満たすとき$(e_{1}$,$\cdot$

. .,

$n$

個

$e_{n})\in E_{G_{N}}$に対する clan と呼ぶ.

1)$\theta e_{i}=e_{i}$2)$\theta e_{i}=e_{j}(i\neq j)$3)$\theta e_{i}=-e_{j}(i<j)$4)$\theta e_{i}=-e_{i}$1’)$e_{i},$のとき$\gamma_{i}$

のとき

のとき

$e_{j}\in\{+, -\}$

は $+$ または -.
$\gamma_{i}=\gamma_{j}=\underline{a}(\exists a\in \mathbb{N})$のとき$\gamma_{i}=\star$$\gamma_{i}=\underline{a}\gamma_{j}=\overline{a}(\exists a\in \mathbb{N})$

である.

である.

のとき次は同値.

$\gamma_{i}=\gamma_{j}\Leftrightarrow e_{i}-e_{j}$(注 1).

である.

が compact root

1 つの符号を定めると Weyl 群, Cayley 変換でうつりあうものを同じ符号にするとそれぞれの符号は一意に決まる.
(注 2). 同じ $(e_{1}, \cdots, e_{n})\in E_{G_{R}}$ に対して定義される clan は同じものとみなす. 例えば

事実 $2.3$ .

$\underline{1}+\underline{2}\underline{1}\overline{2}-=\underline{4}+\underline{1}\underline{4}\overline{1}-$である.

clall の中には同じ自然数が 2 つずつあらわれる. また,を clan とするときである $j<i$であるなら,が存在する.
1 つの$\gamma_{1}\cdots\gamma_{n}$例 $2.4$ . $n=3$ で$\gamma_{i}=\overline{a}(a\in \mathbb{N})$$(\theta e_{1}, \theta e_{2}, \theta e_{3})=(-e_{3}, -e_{2}, -e_{1})$$\gamma_{1}\gamma_{2}\gamma_{3}=\underline{1}\star\overline{1}$である.

$\gamma_{j}=\underline{a}$

のとき

14
定理 $2.5$ . [MO]{ $G/B$ 上の -orbit}$K$$1:1rightarrow\{\gamma_{1}\cdots\gamma_{n}|_{\text{の^{}1}clan^{n}}^{\gamma\cdots\gamma\}h(e_{1},\cdots,e_{n})\in E_{G_{N}}}\}$

ここから先は旗多様体 $G/B$ 上の K-orbit を考察するので
固定する.

$n$

$(\alpha, \Sigma^{+})$を1つ個の ( $A$ 型では $(n-1)$ 個の) parabolic subgroup を$P_{i}$$:=${$\{-\alpha_{i}\}\cup\Sigma^{+}$

に対する parabolic subgroup}で定義する.

定$\text{義_{}2.6}$. [$MO|G_{\mathbb{R}}$の M-O diagramとは $G/B$ 上の K-orbit を頂点集合としてもち, それらをつなぐ数字付き矢印が次を満たすものである.

.

$\Gamma$と$\Gamma’$を $K$ -orbit (を表す clan) とするとき
かつ$\dim\Gamma+1=\dim\Gamma’$のとき図中\Gamma から出て$($$\Gamma’$$\Gamma P_{i}=\Gamma’P_{i}$に入る 「矢印

すなわち$\Gamma^{\downarrow}\Gamma_{i}$$i$(orbit として)」 が存在する.

とな\acute 2 ている.)

事実 $2.7$ . 定義から M-O diagram 内では次の事が成り立っている.

. closed orbit に入る矢印はない.

. open orbit から出る矢印はない.
. ひとっの clan に同じ数字が付いた矢印で入るものと出るものが同時に存在することはない.

例 $2.8$ . $g_{R}=su(m, n-m)$ (Cartan の分類で Am 型) のときにはまたはのみがおこるので clan はのみからなる.

$\theta e_{i}=e_{i}$$\theta e_{i}=e_{j}$$\{+-\underline{a}|a\in \mathbb{N}\}$定理 2.9. [MO1 古典群の M-O diagram は組合せ論的に定義できる.

15
\S 3.
定義 $3.1$ . [$AI\mathbb{I}$$A1\mathbb{I}$-型のM-O diagram

型 M-O diagram]$AI\mathbb{I}$-型 $(g_{\mathbb{R}}=\epsilon u(m, n-m)$ )M-O

diagram は次で帰納的に定められる.
1) diagram を構成する clan は$n$個の記号からなりこれを$\Gamma=\gamma_{1}\cdots\gamma_{n}$とするとき次が成り立つ.
$\#\{i\in N|\gamma_{i}=+\}-\#\{i\in N|\gamma_{i}=+\}=m-(n-m)$

$2)+$

と

–

のみからなる clan に入る矢印はない. (つまり closed orbit に対応する clan は $\{+, -\}$ のみからなる.)3) clan$\gamma_{i}\neq\gamma_{i+1}$$\{+, -\}$$\Gamma$に対し,$\Gamma$のとき, 「矢印のときに入る 「矢印$i$」 $(i=1,2, \cdots, n-1)$ がな \langle , かつ

」 が\Gamma から出て$\gamma_{i}’=\gamma_{i+1}’=\underline{1}$(図 3.1.2) を満たす\Gamma ’$i$$\Gamma’$に入る. ここで(図 3.1.1) それ以外のとき$=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{i-1}\gamma_{i}’\gamma_{i+1}’\gamma_{i}+2$$\gamma_{n}$$\Gamma’$である.

..
$\gamma_{i-1}\pm_{\downarrow^{\mp\gamma_{i+2}}}i$...

$\gamma_{i-1}\underline{1}\underline{1}\gamma_{i+2}$$\gamma_{i-1}\gamma_{i}\gamma_{i}\gamma_{i+2}\downarrow^{i+1}\cdots$

...

...

例 $3.2$ .
$g_{\mathbb{R}}=\epsilon u(2,2)$$g_{\mathbb{R}}=\epsilon u(2,1)$$++-2\searrow$$l^{+_{2^{-}1}+}\backslash \searrow$$\sqrt{}^{-+_{1}+}$$+_{\frac{1}{1}}\underline{1}\searrow_{\underline{1}+}\swarrow^{\underline{1}_{\frac{1}{2}+}}\underline{1}$$\gamma_{i+1}$

欧$\gamma_{i}’=\gamma i+1,$ $\gamma_{i+1}’=\gamma_{i}$(図 3.12)(図 3.1.1)(は\gamma i,$\gamma_{i-1}\gamma_{i+1}\gamma_{i}\gamma_{i+2}$

...

16
定理 3.3. [O]の既約表現$G_{\mathbb{R}}$$\pi$に対応する $G/B$ 上の K-orbit から open

orbit まで矢印の向きに進む時に通る矢印の数字を順に $i(1),i(2),\cdots,i(k)$ とする.
$\copyright_{0}(\pi):=${$s_{i(1)}s_{i(2)}\cdots s_{i(k)}|$

ただし$S_{\dot{J}}\in W$は上で得られる $i(1),$$\alpha_{j}$$\cdots,$$i(k)$}

に対する reflection.

とするとき$\otimes_{0}(\pi)=S_{0}(\pi)$

例 $3.4$ . $g_{\mathbb{R}}=5u(2,1)$ の時 (例 32 参照)$\copyright_{0}(+-+)=\{s_{2}s_{1}, s_{1}s_{2}\}=\{312,231 \}$$=\{213\}$$\otimes_{0}(+\underline{1}\underline{1})=\{s_{1}\}$$\dot{i\text{王}}3.5$$\text{例_{}3.6}$. この方法では重複して求められる事がある.

.

$g_{\mathbb{R}}=5U(2,2)$の時 (例 32 参照)$\copyright_{0}(\underline{1}\underline{1}+-)=\{s_{3}s_{2}s_{1}, s_{3}s_{2^{S}3}, s_{2}s_{3}s_{2}\}$

$=$
$=$

{4123, 1432, 1432}{4123, 1432}\S 4. clan から \copyright o を求める
定理

$AI\mathbb{I}$.

$g=\epsilon u(m, n-m)$$0^{\text{ }}$-型)の既約表現に対する clan$\pi$から次の手順で得られる数字の列を置換とみなすとその全ての集合は重複なく \copyright (\pi )o と一致
する.
$\mp$

順

$A1\mathbb{I}.1$$(Am.1.3)$. clan$\pi=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{m+n}$

中の

$+$

&--を

$5$

つの条件

$(A\mathbb{I}I.1.1)\sim$を満たすよう線で結ぶ. これによってできた clan の全体を\Gamma (1) とする.

定$\text{義_{}4.1}$. この定義の中では $1<2<\cdots<n<n+1<-n<-n+1<$. . . $<-2<-1$ の順序を用いる. (負の整数は届型以外で使われる) この先の作業で構成する記号どうし線で結ばれた clan $\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n’}\in\Gamma(x)(n’=n$17or-l) に対し記号$\gamma_{j}$$\gamma_{i}$と $\gamma_{j}(i<$ のが線で結ばれているとき (図 4.1.1)

は pair をなすといい $P(i,j)$ で表しと$\gamma_{i}$$\gamma_{j}$$\gamma_{i}$...

$\gamma_{t}$をはさむは離れているという.

(図 4.12)(図 4.1.1)...

$\gamma_{t}$とを pair の元と呼ぶ. $P(i,j)$と $t(i,j, t\in \mathbb{N})$ に対し $i<t<j$ のとき (図 4.1.2) $P(i,j)$ は$t<i$ または $j<t$ のとき (図 4.1.3) $P(i,j)$ と$\gamma_{i}$$\gamma_{j}$

...

...

$\gamma_{i}$...

$\gamma_{t}$...

$\gamma_{j}$...

(図 4.13)...

$\gamma_{t}$...

$\gamma_{i}$...

$\gamma_{j}$...

$P(i, j)$ と $P(t, u)(i, j, t, u\in Z,)$

or

...

$\gamma_{i}$...

$\gamma_{j}$...

$\gamma_{t}$...

に対し $i<t<u<.j$ のとき (図 4.14)$P(i, j)$ は $P(t, u)$ をはさむ $(P(t, u)$ は $P(i,j)$にはさまれる) といい, $i<t<$$j<u$ のとき (図 4.15) $P(i,j)$ と $P(t, u)$ は交差するといい. $i<j<t<u$のとき (図 4.16) $P(i,j)$ と $P(t, u)$ は離れているという.

(図 4.1.4)...

$\gamma_{i}$...

$\gamma_{t}$...

$\gamma_{u}$...

$\gamma_{j}$...

(図 4.1.5)...

$\gamma_{i}$...

$\gamma_{t}$...

$\gamma_{j}$...

$\gamma_{u}$...

(図 4.16)...

$\gamma_{i}$...

$\gamma_{j}$...

$\gamma_{t}$...

$\gamma_{u}$...

手順の続きを述べる. 手順 $m.1$ の条件を以下に述べる. ここで $m\geqq n-m$と仮定しても一般性を失わない.

18$(AI\mathbb{I}.1.1)$

各 $\gamma_{i}=-(i\in \mathbb{N})$ は clan 中の+ のいずれかただ一つと線で結ばれる (複号同順).
$(Am.1.2)$

ここでできる $+$ とーからなる pair どうしは交差しない.

(例)

はよい.

(Am.1.3) ここでできる

$+$

はだめ.

とーからなる pair は pair にならない+ をはさ

まない.

(例)

はよい.

$\prod_{+-}$

はだめ.

$+$

$\mp \text{順_{}Am.2}$$\Gamma(2)$定$\Gamma(1)$の各元の-a と$\underline{a}(\forall a\in \mathbb{N})$を線で結ぶ. この全体をとする.

$\text{義_{}4.2}$$1,2)$. (一意). 写像$P_{x}$:{$\Gamma(2)$の pair $P(i,j)$}$arrow \mathbb{N}$: $P(i,j)\mapsto P_{x}(i,j)(x=$を次で定める.
からなる$(P_{1}(i,j),$$P_{2}(i,j))=\{\begin{array}{l}(j,i)(i,j)\end{array}$

$pai$

の

$\text{と^{}\grave{\grave{a}}}\text{_{と^{との_{き^{}\mp}}}}P(i,j_{\backslash })P$$\text{れ^{}r}kA\ointきt\text{^{}\pm}$そ

手 $||EAm.3$ .
満たすように$\Gamma(2)$$n$の clan に対し次の位置関係の条件 $(Am.3.1)\sim(AI\mathbb{I}.3.5)$ を個の数字 { $P_{1}(i,j),$ $P_{2}(i,j),$ $k|$ 悔は pair の元でない} を並べる. これで数字の列 ($\otimes_{0}(\pi)$の元) が得られた.

$P_{1}(t, u),$ $P_{2}(t, u)P_{1}(p, q),$ $P_{2}(p, q)$が並ぶ順序は (A) か (B) を満たすが,(Am 3.1) $P(t, u)$ が $P(p, q)$ をはさんでいるとき$\gamma_{t}\in\{+, -\}$ならば (B) のみを満たしそれ以外のときは (A) のみを満たす.

(Am 32) $P(t, u),$ $P(p, q)$ が交差しているとき$\gamma_{t}\in\{+)^{-\}}$ならば (B) のみを満たしそれ以外のときはどちらでもよい.

(Am 33) $P(t, u),$ $P(p, q)$ が離れているときはどちらでもよい.

19
(A)

$P_{1}(t, u)\cdots P_{1}(p, q)\cdots P_{2}(p,.q)\cdots P_{2}(t, u)\cdots$(B)$P_{1}(p, q)\cdots P_{1}(t, u)\cdots P_{2}(t, u)\cdots P_{2}(p, q)\cdots$$(AI\mathbb{I}.3.4)k,$$h$( $k<h$ で$\gamma_{k},$(AI[I.3.5) $P_{1}(i, j),$ $P_{2}(i, j),$(D)
$AI\mathbb{I}$は pair の元でない) は (C) を満たす.

. . . . . . $k\cdots\cdots h\cdots\cdots$

(C)

定理

$\gamma_{h}$$k$($\gamma_{k}$, は pair の元でない) は (D) を満たす.

$P_{1}(i, j)\cdots k\cdots P_{2}(i, j)\cdots$の証明は clan が cloed orbit から何回矢印を通ったものであるかを表す写像を定義して 2 っの clan が矢印で結ばれている場合どちらが矢印の先にあるものかを判断できるようにして示した. ここでは証明は略する.

定$\text{義_{}4.3}$. 手順 $4K.3$ にて (A) のみを満たすことを$t\prec p$

で, (B) のみを満たすことを $p\prec t$ で表し, $(A),(B)$ のどちらも満たすことができるとき $(t\sim p)$で表すことにする. また次の例の計算では $(A),(B),(D)$ の代わりにそれぞれ$(A’),(B’),(D’)$ の表示を用いている.

(A’)

...

(B’)

...

(D’)

例 $4;4$ . clan

$t$

$p$

...

...
...

$t$

...

$i$

$+-\underline{1}+-+\underline{1}$

$p$

...
...
$k$

. に対しては$+- \prod_{12}$

$p$

$t$

...
...

...
$\Gamma(1)$$i$は$+- \prod_{45}$$+6$$\frac{1}{3}$$+- \prod_{12}$$\frac{1}{7}$$-+ \prod_{56}$$\frac{1}{3}$$+4$$\frac{1}{7}$

$t$

$p$

...

...

...

20

$+6$

$\frac{1}{7}$$-+ \prod_{56}$$+1$$\frac{1}{7}$$+1$$\frac{1}{7}$の 5 つあり, それぞれにたいする(図 4.4.1)$+- \prod_{12}$(図 4.4.2)$+- \prod_{12}$(図 4.4.3)(図 4.4.4)

十1(図 4.4.5)

十1$\Gamma(2)$は21
よって手順 $Am.3$ より, (図 4.4.1) に対し $4\prec 3$ であるので

4334
さらに

$(1\sim 4)$$(1\sim 3)$

であるので143341
413314431134であり $(Am.3.4)(AI\mathbb{I}.3.5)$ より

143634141363144316134$P(1,2)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(2,1)$が得られ,$P(3,7)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(3,7)$であるので$P(4,5)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(5,4)$$\copyright_{0}(+-\underline{1}+-+\underline{1})\supset\{\begin{array}{l}253674152367145326174\end{array}\}=:\copyright_{0}\{1\rangle$(図 44.2) に対しても同様に考えて153435151343155314135$(1\sim 3)$$(1\sim 5)$より$5\prec 3$

が得られ,$P(1,2)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(2,1)$$P(3,7)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(3,7)$$P(5,6)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(6,5)$であるので$\copyright_{0}(+-\underline{1}+-+\underline{1})\supset\{\begin{array}{l}263475162347l56324175\end{array}\}=:\copyright_{0}\{2\rangle$(図 44.3) に対しても同様に考えて$3\prec 2\prec 1$より3216123$P(1,5)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(5,1)$$P(2,4)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(4,2)$$P(3,7)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(3,7)$

であるので

が得られ,

22

$\copyright_{0}(+-\underline{1}+-+\underline{1})\supset\{3456127\}=:\copyright_{0}\{3\}$(図 4.4.4) に対しても同様に考ると$3\prec 2$

2\sim 5
$3\prec 5$より3521253
3251523が得られ,$P(2,4)^{P_{\underline{1}}\cross}j2(4,2)$$P(3,7)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(3,7)$$P(5,6)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(6,5)$であるので$\copyright_{0}(+-\underline{1}+-+\underline{1})\supset\{\begin{array}{l}36412573461527\end{array}\}=:$\copyright o$\langle 4\rangle$(図 44.5) に対しても同様に考えて$3\prec 4\prec 2$

であるので3421243が得られ,$P(2,6)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(4,6)$$P(3,7)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(3,7)$$P(4,5)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(5,4)$であるので$\copyright_{0}(+-\underline{1}+-+\underline{1})\supset\{3541647\}=:\copyright_{0}\langle 5\}$以上により\copyright o $(+-\underline{1}+-+\underline{1})=\otimes_{0}\{1\}u\otimes_{0}$ \langle$2)u\otimes_{0}\langle 3\rangle$

目 \copyright o$=\{\begin{array}{ll}2536741 63241755236714 34561275326174 36412572634751 34615276234715 3541647\end{array}\}$が得られる.

$\{4\rangle$$u\otimes_{0}\langle 5$}

23\S 5. $CI$-型の M-O diagram
定. [CI 型 M-O diagram] [MO] CI 型 ( $g_{R}=$ 仲 (n, )) M-O diagram は次で帰納的に定められる.
$\text{義_{}5.1}$$\mathbb{C}$1) diagram を構成する clan
$2)+$$\gamma_{i},$は $n$ 個の記号からなる.

とーのみからなる clan に入る矢印はない.

3) clanつ\gamma i$\Gamma$に対し,$\Gamma$$\neq\gamma_{i+1}$に入る 「矢印$\Gamma$のとき, 「矢印$\gamma_{i+1}\in\{+, -\}$

のとき

$i$

」 $(i=1,2, \cdots, n-1)$ がなく, か$i$」 が\Gamma から出て$\gamma_{i}’=\gamma_{i+1}’=\underline{1}$に入る.

$\Gamma’$(図 5.1.1)

ここで$\Gamma’$$\gamma;=\underline{a},\gamma_{i+1}=\overline{a}a\in \mathbb{N}$のとき $\gamma_{i}’=\gamma_{i+1}’=\star$ (図 5.12) それ以外のとき$\gamma_{i}’=\gamma_{i+1},$ $\gamma_{i+1}’=\gamma_{i}$5.13) を満たす\Gamma /である.

$=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{i-1}\gamma_{i}’\gamma_{i+1}’\gamma_{i}+2$(図 5.1.1)$\gamma_{n}$は(図(図 5.12)

...

...

...

...

$\gamma_{i-1}\pm_{i,\downarrow}\mp\gamma_{i+2}$...

$\gamma_{i-1}\underline{a}_{\downarrow}\overline{a}i\gamma_{i+2}$...

$\gamma_{i-1}\underline{a}\underline{a}\gamma_{i+2}\cdots$$\gamma_{i-1}\star\star\gamma_{i+2}$...

(図 5.13)...
$\gamma_{i-1}\gamma_{i}\gamma_{i}\downarrow^{i+1}\gamma_{i+2}\cdots$...
4) clan$\Gamma$

とき, 「矢印に対し,$n$$\Gamma$」 が$\Gamma$$\gamma_{i-1}\gamma_{i+1}\gamma_{i}\gamma_{i+2}\cdots$に入る 「矢印

から出て$\Gamma’$$n$」 がなく, $\gamma_{n}\in\{+, -, \underline{a}|a\in N\}$ のにはいる. ここで\Gamma ’ は\gamma nのとき (図 5.14) $\gamma_{n}’=\overline{a}\gamma_{n}\in\{+, -\}$ のとき (図 5.15)$\Gamma’=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n-1}\gamma_{n}’$$\gamma_{i}’=\star$である.

(図 5.1.5)(図 5.1.4)......

.....

$\downarrow n\gamma_{n-1}\pm$$.\downarrow^{\gamma_{n-1}\underline{a}}n$......

$\gamma_{n-1}\overline{a}$......

$=\underline{a}(a\in \mathbb{N})$$\gamma_{n-1}\star$

を満たす

24
例 $5.2$ . $g_{R}=5p(2, R)$ の M-O diagram$+++-+22112\searrow 1\backslash$$\int_{\downarrow_{\overline{1}}^{\underline{1}},+_{2}\downarrow_{\star\underline{1}}^{\iota^{\star}}}\iota_{\downarrow^{\int_{1^{*}}^{--}}}+\searrow\downarrow^{2}\nearrow^{\star}\star^{1}\star\underline{1}-2^{-}2$\S 6. associated clan
定義 $6.1$ . (associated clan)$g_{\mathbb{R}}$が古典群のとき (AI,$A\mathbb{I}$, Am, BI, CI, CI,

DI, Dm 型のとき) $\{+, -, \underline{a}|a\in N\}$ の元からなる順序付けられた $2n$ 個 (BI型のときは $(2n+1)$ 個) の記号の列\gamma 1
きは$\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\gamma_{n+1}\gamma-n$件を満たすとき$(e_{1}$, .
$\cdot$1)$\theta e.;=e_{i}$

のとき

2)

$\theta e_{i}=e_{j}$

のとき

1)’

$e_{i},$$e_{j}\in\{+, -\}$.,$\gamma_{-2}\gamma_{-1}$$e_{n})\in E_{G_{N}}$$\gamma_{i}$事実 $6.3$ .

$g_{\mathbb{R}}$) が$e_{-i}$$:=-e_{i}$(BI 型のととし, 次の 2+1 条\iota こ対する as sociatecd clan と呼ぶ.

は $+$ または $-$ .

$\gamma_{i}=\gamma_{j}=\underline{a}(\exists a\in \mathbb{N})$

’

である.

のとき次は同値,$\gamma_{i}=\gamma_{j}\Leftrightarrow$

事実 $6.2$ .

$\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\gamma_{-n}\cdots\gamma_{-2}\gamma_{-1}$ei–ej が compact root

が皿型のとき associated clan と clan は –致する.

$(e_{1}, \cdots, e_{1})\in E_{\mathbb{R}}$の clan から associated clan を求めることができる. 逆もできる. (CI 型の場合は事実 75)

25

s7. associated clan から
定理 CI.

$g=\epsilon \mathfrak{p}(n, \mathbb{R})$の既約表現を求める (CI-型)$\otimes_{0}$に対応する associated clan$\pi$$\pi’$

から次の手順で得られる数字の列を置換とみなすとその全ての集合は重複なく\copyright (\pi )o と一致する. (AI 型でも成り立つ)$\mp$

順 CI.1. associated clan$\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\gamma_{-n}\gamma_{-n-1}\cdots\gamma_{-1}$

中の $+$ とーを次の3 つの条件を満たすよう線で結ぶ. これによってできた clan を\Gamma (1) とする.

(CI.I.I) 各 person$\gamma_{i}=\pm(i\in \mathbb{Z})$は associated clan 中の$\mp$のいずれかただ一っと線で結ばれる (複号同順).

(CI.1.2) pair $P(i,j)(i,j\in Z)$ が存在するとき pair $P(-j, -i)$ も存在する.
(Ci.1.3) ここでできる pair どうしは交差しない.

手

$||E$

$\Gamma(2)$CI.2. (一意)$\Gamma(1)$の各元の-a と$\underline{a}(\forall a\in \mathbb{N})$を線で結ぶ. この全体を

とする.

.

定義 $7.1$ 写像$P_{x}$$P_{x}(i,j)(x=1,2)$:{$\Gamma(2)$の pair $P(i,j)|0<i<|j|$}$arrow \mathbb{N}$: $P(i,j)\mapsto$を次で定める.
からなる$(P_{1}(i,j),$ $P_{2}(i,j))=\{\begin{array}{l}(-i,j)(-j,i)\end{array}$$P_{pr^{j_{\backslash})}}\text{そ^{}(i}$$l\prime At^{\grave{\dot{a}}}\text{の^{}\pm}ai\text{の_{}p}^{p_{\text{とき_{と^{と_{き^{}\mp}}}}}}$

れ写像$P_{1}$: {$\Gamma(2)$の pair $P(i,$ $-i)$$P_{1}(i, -i)=\{-ii$} $arrow Z:P(i, -i)arrow*P_{1}(i, -i)$ を次で定める.

$P(i,-\iota\delta\pm$

とそれ
外 とき

$\mp$

からなる pair のとき$\text{の^{}a^{\grave{\backslash }}}$$\mu\backslash \lrcorner$

手順 CI.3. clan$\Gamma(2)$に対し次の位置関係の条件を満たすように

$n$

個の数

字 $\{P_{1}(i,j), P_{2}(i,j), P_{1}(k, -k)|i<|j|\}$ を並べる. これで数字の列 (\copyright o$(\pi)$の元) が得られた.
$P_{1}(t, u),$ $P_{2}(t, u)P_{1}(p, q),$ $P_{2}(p, q)$が並ぶ順は (A),(B),(C) いずれかを満たすが,(CI 3.1) $P(t, u)$ が $P(p, q)$ をはさんでいるとき $\gamma_{t}\in\{+, -\}$ ならば (C) のみを満たす. それ以外のとき (A) のみを満たす.

26(Ci.3.2) $P(t, u),$ $P(p, q)$ が交差しているとき$\gamma_{t}\in t+,$$-$} ならば (C) のみを満たす. それ以外のとき $t<p$ として $(A),(B),(C)$ のいずれかを満たす.

$(Ci.3.3)P(t, u),$ $P(p, q)$ が離れていて $t<p$ のとき $(A),(B),(C)$ のいずれかを満たす.

(A)

...

(B)

. . . $P_{1}(p, q)$ . . . $P_{1}(t, u)$ . . . $P_{2}(t, u)$ . . . $P_{2}(p, q)$ . . .

(C). . . $P_{1}(p, q)$ . . . $P_{2}(p, q)$ . . . $P_{1}(t, u)$ . . .

$P_{1}(t, u)$. . . $P_{2}(t, u)$ . . . $P_{1}(p, q)$ . . . $P_{2}(p, q)$ . . .

$P_{2}\cdot(t, u)$...

ただし, (A),(B),(C) 中定義されていないもの $(P_{2}(i, -i)$ など) はないものとみなす.
$( \{\oint|J)$. $q=-p$ のとき, (B) は$P_{1}(t, u)\cdots P_{1}(p, -p)\cdots P_{2}(t, u)\cdots$

と

なる.

定

$\text{義_{}7.2}$. 手順 CI.3 にて (A) のみを満たすことを$t\prec p$

で, (C) のみを満たすことを $p\prec t$ で表し, $(A),(B),(C)$ のいずれかを満たすことを $(t\sim p)$ で表すことにする. また次の例の計算では (A),(B),(C) の代わりに (A’),(B’),(C’)の表示を用いている.

(A’)

...

(B’)

...

$p$

. ..

(C’)

...

$p$

. ..

例 $7.3$ . associated clan

...

$t$

$t$

$t$

$p$

...

$p$

...

$t$

...

$-+\underline{1}\underline{1}\underline{2}\underline{2}-+$

$t$

(

$=$

...

$p$

...

...

$p$

...

...
clan

$-2-1 \prod_{-+}$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{4}$$-\underline{2}_{4}$$-\underline{2}_{3}$...

$-+\underline{1}\underline{1}$は$-+ \prod_{12}$$t$) に対しては$\Gamma(1)$27の 2 つ.

それに対する$\Gamma(2)$はそれぞれ$-+ \prod_{12}$$\prod_{\frac{1}{3}\frac{1}{4}}$$-4-3 \prod_{\underline{2}\underline{2}}$$-+_{1} \prod_{-2-}$

手順 CI.3 の為には必要な pair $P(i,j)(0<i\leq|j|)$ の線のみ残すと見やすい.

(図 7.3.1)$-+ \prod_{12}$$\prod_{\frac{1}{3}\frac{1}{4}}$$-\underline{2}_{4}$$-+_{1}$$-\underline{2}_{3}$$-2$(図 7.3.2)

よって手順 CI.3 より, (図 7.3.1) に対し $(1\sim 3)$ であるので

3311
3113
1133

$P(1,2)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(-1,2)$

であり

であるから
$P(3,4)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(-4,3)$$\otimes_{0}(-+\underline{1}\underline{1})\supset\{\begin{array}{llll}-4 3 -1 2-4-1 2 32-1 -4 3\end{array}\}=:\copyright_{0}\langle 1\}$.

(図 7.3.2) に対し $3\prec 2\prec 1$ であるので$P(1, -1)\underline{P_{1}}-1$

3

3

2

1

であり

であるから

$P(2, -2)\underline{P_{1}}-2$$P(3,4)P_{\underline{1}}\cross P_{2}(-4,3)$$\copyright_{0}(-+\underline{1}\underline{1})\supset\{-43-2-1\}=:$\copyright o {$2\rangle$.

28
以上により,$\copyright_{0}(-+\underline{1}\underline{1})=\copyright_{0}\{1\}u$

例 $7.4$ . associated clan$\Gamma(1)$\copyright o \langle 2}$\underline{1}+\underline{2}\underline{1}\underline{3}\underline{4}\underline{4}\underline{2}\underline{5}\underline{3}-\underline{5}$$\{\begin{array}{lll}-4 3-1 2-4-1 2 32--14 33--42-1 \end{array}\}$

(

$=$

clan

.

$\underline{1}+\underline{2}\underline{1}\overline{2}\star$) に対してはは$-\underline{5}_{1}$$\frac{1}{1}$のみであるので$\Gamma(2)$は手順 CI.3 の為には必要な pair $P(i,j)(0<i\leq|j|)$ の線のみ残すと見やすい.

$-\underline{5}_{1}$よって手順 CI.3 より,$1\prec 2$$(1\sim 3)$$(1\sim 6)$より$3\prec 6\prec 2$$P(1, 4)$336112331162311362113362$P_{\underline{1}}\cross P_{2}(-4,1)$$P(2, -2)\underline{P_{1}}-2$$P(3, -5)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}(5,3)$$P(6, -6)^{P_{\underline{1}}\cross P_{2}}6$

が得られ,

29
であるから
$\copyright_{0}(\underline{1}+\underline{2}\underline{1}\overline{2}\star)=\{\begin{array}{lllll}6-541-2 3 3-54 1 6-25-4 1 3 6-2-4 1 5 3 6-2\end{array}\}$.

定理 CI の証明は associated clan の導入により罎の場合と同様にできる

ことが事実 75 事実 7.6 よりわかる.
定義より事実 75 事実 76 が成り立っ.

事実 $7.5$ .

$(e_{1}, \cdots, e_{n})\in E_{G_{N}}$であるとき, 次が成り立つ.

$\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\gamma_{-n}\cdots\gamma_{-2}\gamma_{-1}$$\gamma_{i}=$に対する associated clan が土のとき $\gamma-i=\mp$ である.

$\gamma_{i}=\gamma_{j}=\underline{a}(a\in N)$. $i=1,2,$$\cdots,$ $n$のとき$\gamma_{-i}=\gamma_{-j}=\underline{b}(b\in \mathbb{N})$

である.

に対し

きとかきのつ&$=\gamma=\gamma=\pm_{-=^{\text{と}}}\underline{b}$$\gamma_{i}’=\{\frac{\gamma}{d}\star_{i}\pm$$ffi^{j}$

のと

その

とすると

$\gamma_{1}^{/}\gamma_{2}’\cdots\gamma_{n}^{/}$$\gamma_{-i}’’=\gamma_{-j}’’=\underline{c}$すると.

$\text{き_{}J^{<|\underline{j_{c}}|}=}$

$=$

かまつたは

$j<ij=\underline{d}$}とのすとるきとは $(e_{1}, \cdots, e_{n})$ の clan である.

逆に $(e_{1}, \cdots, e_{n})$$\gamma_{-i}’’=\mp\cdot\gamma_{i}^{/}=\star$

{

の

のとき

clan

に対し,

$\gamma_{1}’\gamma_{2}’\cdots\gamma_{n}’$$\gamma_{i}’’=\gamma_{-i}’’=\underline{a}$$\gamma_{i}’=\underline{d}\text{か_{}\mathcal{D}}\gamma_{j}’=\overline{d}$.

$\gamma_{i}’=$$\gamma_{i}^{/}=\gamma_{j}^{/}=\underline{b}$

のとき

のとき

$\gamma_{i}’’=\gamma_{-j}’’=\underline{d},$$\gamma_{1}’’\gamma_{2}’’\cdots\gamma_{n}’’\gamma_{-n}’’\cdot.\cdot\cdot\gamma_{-1}’’=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\gamma_{-n}\cdots\gamma_{-1}$

事実 $7.6$ . associated clan での CI 型士のとき $\gamma_{i}’’=\pm$ ,$(g=s\mathfrak{p}(n, \mathbb{C})$,$\gamma_{i}’’=\gamma_{j}’’=\underline{b}$$\gamma_{-i}’’=\gamma_{j}’’=\underline{f}$である.

の) M-O diagram では

定義 5.1 での (図 5.1.1)\sim (図 5.1.5) は次のようになる.

(図 76.1)(図 5.1..1)...

$\gamma;-1\pm_{i}\mp\gamma;+2^{\cdot}$...

.

$\gamma_{i-1}\pm\mp\gamma i+2^{\cdot}$

. ...
:

$\gamma_{-i-2}\pm\mp\gamma_{-i+1}$...

$\gamma_{-:-2}\underline{b}\underline{b}\gamma_{-i+1}$...

$\Rightarrow$$\downarrow$$\downarrow$

...

..

...

...

(図 762)...

$\gamma_{i-1}\underline{a}\underline{a}\gamma i+2^{\cdot}$(図 5.12)...

:$\gamma_{i-1}\underline{a}\underline{a}\gamma;+2^{\cdot}$$\gamma:-1\underline{a}\underline{b}\gamma_{i+2}$. ...

.. ...

$\gamma_{-i-2}\underline{a}\underline{b}\gamma_{-i+1}$...

$\gamma_{i-1}\underline{a}_{\downarrow}\overline{a}\gamma;+2$$i$$\Rightarrow$...

$\gamma_{i-1}\star\star\gamma i+2^{\cdot}$

..

...

$\gamma_{i-1}\underline{b}\underline{a}\gamma_{i+2}$.. ...

. と$\gamma_{-i-2}\underline{a}\underline{b}\gamma_{-t+1}$

...

30
(図 763)(図 5.1.3)
...

...

...

$\gamma;\gamma i+\iota\cdots\cdots\gamma-i-1\gamma-i$...

. ... ... $\gamma-;\gamma-i-1$...

$\gamma\{-1\gamma;\gamma_{i}\gamma:+2\downarrow^{i+1}$$i$$\Rightarrow$...

$\gamma i-1\gamma i+\iota\gamma i\gamma;+2^{\cdot}$(図 5.1.4)......

..
$($$\gamma_{n-1}\underline{a}$図 $7.6.4)$......

$\gamma\{+\iota\gamma_{*}$$\gamma_{n-1}\underline{a}\underline{b}\gamma-n+1$$n$$\Rightarrow$$\downarrow$$\downarrow$......

$\gamma_{n-1}\overline{a}$(図 5.1.5)$($. . .. ..

$\gamma_{n-1}\pm$......

$\gamma_{n-1}\underline{b}\underline{a}\gamma-n+1$

図 $7.6.5)$. . . .. .

$\gamma_{n-1}\pm\mp\gamma_{-n+1}$$n\downarrow$$\Rightarrow$$\downarrow$. . . . ..

例 $7.7$ .

$g_{R}$. .. . . .

$\gamma_{n-1}\star$: $5p(2, R)$ の.

$\gamma_{n-1}\underline{a}\underline{a}\gamma_{-n+1}$......
.. ...

M-O diagram (図 7.7.1) とその associated clan による表示 (図 7.7.2).

(図 7.7.1)(図 7.72)$+_{2}+ \searrow l^{+_{21}}\backslash \int_{\underline{1}\underline{1}}^{12}\backslash \swarrow^{2^{-}}+\star-\star-+$$+^{1}\downarrow_{\star}$$\underline{1}^{2}\overline{1}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\star^{1}\downarrow_{-}$$21\backslash _{\star}\downarrow_{\star}\swarrow^{2}$

REFERENCES
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[MO] T. Matsuki and T. Oshima, Embeddings of $dis$ crete series into principal series,
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[Y]
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Matsuki-Oshima diagram, 平成 4 年度東京大学数理科学研究科修士論文[M]$a\cdot nd$