数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 170-174

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COXETER 群のホモロジーの p-PRIMARY COMPONENT について

北海道大学大学院理学研究院秋田利之
Toshiyuki Akita
Department of Mathematics
Hokkaido University

1. はじめにの 次の整数係数ホモロジー群としよう．群をを有限群，のホモロジーの一般論より，$k>0$ に対し以下のような直和分解が存在$G$$H_{k}(G,\mathbb{Z})$

$G$

$k$

する:

(1.1)

$H_{k}(G, \mathbb{Z})\cong\bigoplus_{p}H_{k}(G,\mathbb{Z})_{(p)}.$

ただし $p$ は $G$ の位数を割り切る素数を走り，$H_{k}(G,\mathbb{Z})_{(p)}$は $H_{k}(G,Z)$ の

P-P mary component である (Brown [5, \S III. 10] を参照). 一方のでの局所化とすると，普遍係数定理より$\mathbb{Z}_{(p)}$を$\mathbb{Z}$$p$$H_{k}(G,\mathbb{Z})_{(p)}\cong H_{k}(G,\mathbb{Z}_{(p)})$である (例えば Benson-Smith [3, Corollary 2.3.3] を参照).

有限群 $G$ の整数係数ホモロジー群
して $G$ の -local ホモロジー群
vanishing range, すなわちを知るには，各素数に対を知ればよいことがわかる．

$H_{k}(G,\mathbb{Z})$$H_{k}(G,\mathbb{Z}_{(p)})$

$p$

したがって
$p$

$H_{k}(G,\mathbb{Z}_{(p)})=0(1\leq k\leq n)$が成り立つ を決定することは， -local ホモロジー群を調べる際の基本を 次対称群とすると的な問題であろう．例えば
$n$

$p$

$\mathfrak{S}_{m}$

(1.2)

$m$

$H_{k}(\mathfrak{S}_{m},\mathbb{Z}_{(p)})=0(1\leq k\leq 2(p-2))$が任意の $m$ に対して成立し，しかも $m\geq p$ ならであることが確かめられる (とくに (1.2) の vanishing range は best possibleである). これらの事実を最初に証明したのが誰かを筆者は知らないが，中岡稔先生による対称群のホモロジー安定性 [11] と無限対称群の modホモロジーの決定 [12] (と簡単な計算) から従う．
$H_{2p-3}(\mathfrak{S}_{m},\mathbb{Z}_{(p)})\neq 0$

$p$

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本稿の対象である Coxeter 群は群論，表現論，トポロジー，幾何学的群論など数学な様々な分野に登場する群の族であり，対称群は Coxeter 群の重要な例である．筆者は Coxeter 群が -free であるという仮定の元で，(1.2) が一般の Coxeter 群に対しても成立することを示した．本稿では筆者の結果を簡単に解説したい．詳細は Akita [2] を参照してほしい．
$p$

2. COXETER 群とそのホモロジー
2.1. 定義．まず Coxeter 群の定義を与えよう． を有限集合，$m:S\cross Sarrow$$S$$NU\{\infty\}$を以下の条件をみたす写像とする (ここで$\mathbb{N}$は 1 以上の自然数の集合):(1) 任意の $s\in S$ に対し $m(s,s)=1$(2) 任意の相異なる $s,t\in S$ に対し $2\leq m(s,t)=m(t,s)\leq\infty.$$S$を生成集合，$(st)^{m(s,t)}=1(m(s,t)<\infty)$ を基本関係式として定義される群を $W$ とする．すなわち(2.1)$W:=\langle s\in S|(st)^{m(s,t)}=1(m(s,t)<\infty$

は Coxeter 群，$(W,S)$ は Coxeter 系とよばれる (以下 $W$ に対しその表示$W$(2.1) を固定しておく). 各 $s\in S$ は $W$ の位数 2 の元であり，積 $st(m(s,t)<$の位数はちょうど $m(s,t)$ である． の元の数を $W$ の階数とよび rank $W$を $W$ のと書く．部分集合に対し， で生成される $W$ の部分群
$S$$\infty)$$\tau\subseteq s$$T$$W_{T}$

であ放物的部分群とよぶ．とくに $W_{S}=W,$,る．$(W_{T}, T)$ は (写像に関して) Coxeter 系となる．の制限$W_{\{s\}}\cong \mathbb{Z}/2(s\in S)$

$m$

対称群

$\mathfrak{S}_{n}$$W_{\emptyset}=\{1\}$$m|_{T\cross T}$

は ($A_{n-1}$ 型の) Coxeter 群である．

$\mathfrak{S}_{n}$は$\mathbb{R}$n 上の有限鏡映群として実現できるが，一般に有限位数の Coxeter 群は有限鏡映群として実現できる．逆に有限鏡映群は Coxeter 群の表示をもつ．有限位数の Coxeter群は分類されている．より一般に “多様体上の鏡映群” も Coxeter 群であることが知られている (正確な主張は Davis [6, Theorem 10. 1.5] を参照 . Coxeter 群の一般論については [1, 4, 6, 9], 有限鏡映群については [7]$)$を参照．

2.2. 知られていたこと．対称群の (コ) ホモロジーについては多くのことが知られているが，一般の Coxeter 群のホモロジーの研究は J.-P. Serre[13] に始まる．彼は任意の Coxeter 群 $W$ に対し，$W$ の vcd (virtual cohomological dimension) が有限であること，$W$ が WFL 型というホモロジカ

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ルな有限性を満たすことを示した．彼の論文には書かれていないが，任意の $k>0$ に対し(2.2)$H_{k}(W,\mathbb{Z})$は有限アーベル群で$H_{k}(W, \mathbb{Z})\cong\bigoplus_{p}H_{k}(W,\mathbb{Z}_{(p)})$という直和分解をもつことも彼の結果から証明できる．ここで は がp-torsion をもつ素数を走る (そのような は有限個しかない). Coxeter
$p$

$W$

$P$

群は一般には有限群でないにもかかわらず，(1.1) の類似が成り立つわけである．Coxeter 群 $W$ の 1 次と 2 次の整数係数ホモロジーは具体的にわかっている．$W$ は位数 2 の元で生成されるので，ある $n_{1}(W)\geq 1$ に対し(2.3)$H_{1}(W,\mathbb{Z})\cong W/[W, W]\cong(\mathbb{Z}/2)^{n_{1}(W)}$であり，$n_{1}(W)$ の値は $W$ の表示から容易に求められる．また上の同型から任意の $W$ に対しであることも従う．2 次のホモロジーについては Ihara-Yokonuma [10], Yokonuma [14] による部分的な結果を経て，Howlett [8] が$H_{1}(W,\mathbb{Z}_{(2)})\neq 0$(2.4)$H_{2}(W,\mathbb{Z})\cong(\mathbb{Z}/2)^{n_{2}(W)}$であることを示した $(W$ の表示から $n_{2}(W)$ を求める公式も与えられている). (2.3) と (2.4) から次の命題が従う．

命題 1.

$p$

を奇素数とすると，任意の Coxeter 群 $W$ に対し$H_{2}(W,\mathbb{Z}_{(p)})=0$$H_{1}(W,\mathbb{Z}_{(p)})=$

が成り立つ．

命題は 3 次以上のホモロジー群に対しては成立しない．実際
Coxeter 群 (位数 $2q$ の二面体群と同型)(2.5)

型の$W(I_{2}(q))=\langle s,t|s^{2}=t^{2}=(st)^{q}=1\rangle$のホモロジー群は，奇素数(2.6)$I_{2}(q)$$p$が$q$を割り切るなら，$H_{k}(W(I_{2}(q)),\mathbb{Z}_{(p)})\neq 0$をみたすことが知られている．一方$q$($k\equiv 3$(mod4))

が $p$ と素であるならば，$H_{k}(W(I_{2}(q)),\mathbb{Z}_{(p)})=0(k>0)$である．Coxeter 群の (コ) ホモロジーに関するその他の結果 (とくに群環
係数のコホモロジーと mod2 コホモロジー) については Davis の本 [6]と筆者のプレプリント [21 の参考文献を参照．

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3. 主結果
$W$を Coxeter 群，$p$ を奇素数とする．$W$ の表示を定める写像 $m:S\cross Sarrow$の値 $m(s,t)$ が常に と素であるとき，$W$ を -free と呼ぶことにしよう (ただし は と素であるとする). $m(s,t)$ が と素であることと積 の位数が と素であるは同値である．例えば対称群は任意の $p\geq 5$に対し -free であり，(2.5) で定義された二面体群 $W(I_{2}(q))$ が p-free である必要十分条件は が と素であることである．

$NU\{\infty\}$

$p$

$P$

$\infty$

$st$

$p$

$P$

$p$

$p$

$q$

定理 2.

$P$を奇素数，$W$ を -free な Coxeter 群とすると $H_{k}(W,\mathbb{Z}_{(p)})=0$$(1\leq k\leq 2(p-2))$ が成り立つ．
$p$

$p$

定理は対称群の vanishing range (1.2) の一般化になっている．さらに(1.2) が best possible であることから，定理の range も best possible である．また (2.6) より -free という仮定が必要であることもわかる．定理の証明は次の二つの主張からなる．
$\mathfrak{S}_{n}$$p$主張 1. 階数が $2(p-2)$ 以下の -free な有限 Coxeter 群 $W$ に対し$p$$H_{k}(W,\mathbb{Z}_{(p)})=0(1\leq k\leq 2(p-2))$が成り立つ．

主張 2. $W$ を -free な Coxeter 群とする．$W$ が有限位数のときは rank $W>$に対して$2(p-2)$ と仮定する．もし全ての放物的部分群$p$$W_{T}(T\subsetneq S)$$H_{k}(W_{T},\mathbb{Z}_{(p)})=0(1\leq k\leq 2(p-2))$

なら，$W$ に対しても$H_{k}(W,\mathbb{Z}_{(p)})=0(1\leq k\leq 2(p-2))$が成り立つ．
$W$が $p$ -free なら $W$ の放物的部分群も $p$ -free なので，二つの主張を組み合わせると，階数による帰納法により定理を証明することができる．主張 1 は直接計算により証明される．Coxeter 群 $W$ に対し Coxeter 複体という単体複体が定義されるが，主張 2 は (1) Serre [13] による Coxeter 複体のホモトピー型の決定 (2) Coxeter 複体の同変ホモロジーに収束する
二つのスペクトル系列を用いて証明される．詳細は Akita[2] を参照してほしい．

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