数理解析研究所講究録
1531 巻 2007 年 55-62

55

LARGE INDUCTIVE DIMENSION OF REMAINDERS OFSMIRNOV COMPACTIFICATIONS
赤池祐次 (YUJI AKAIKE)(呉工業高等専門学校)(KURE NATIONAL COLLEGE OF TECHNOLOGY)
知念直紹 (NAOTSUGU CHINEN)(沖縄工業高等専門学校)(OKINAWA NATIONAL COLLEGE OF TECHNOLOGY)
友安 -夫 (KAZUO TOMOYASU)(都城工業高等専門学校)(MIYAKONOJO NATIONAL COLLEGE OF TECHNOLOGY)

1. 序章
を自然数全体,
本稿で使用される記号と用語は [7] と [8] に従う.
を実数全とし, 距離空間 (X, ) の部分空間 Y の部分距離を d|Y とする.
体,
また,の通常の距離を妬で表す.
次に, (X, ) を距離空間とする. $C^{*}(X)$ を $X$ 上の実数値有界連続関数全体で一様収束位相が入っているものとし,を距離空間 (X, ) 上の実数値有界
一様連続関数全体とする.
をぴ (X) の部分集合と考えると閉部分環となり,により生成されたコンパク ト化を Smirnov コンパク ト化といい $u_{d}X$と表記する. この表記からも分かるように Smirnov コンパクト化は距離に依存
するコンパクト化であり, 以下の特徴付けは Smirnov コンパクト化をよく表している. 詳しいことは [12] あるいは [14] を参照するとよい.
$\mathbb{R}$$\mathrm{N}$$\mathbb{R}_{+}=[0, \infty)$$d$$\mathbb{R}^{n}$

$d$

$d$

$U_{d}^{*}(X)$$U_{d}^{*}(X)$$U_{d}^{*}(X)$

Proposition 1.1. [14, Theorem 2.5] (X, ) をコンパクトでない距離空間とする$d$と次は同値である.
と $u_{d}X$ は同値である,(1) $X$ のコンパクト化$B\subset
X$ に対して,$A,$(2) 互いに素な閉集合$\alpha X$$\mathrm{C}1_{\alpha X}A\cap \mathrm{C}1_{\alpha X}B=\emptyset$

であることと$d(A, B)>0$ とは同値である.

任意の有界な閉集合がコンパクトであるような距離空間をプロパーな距離空間という. ここで, コンパクトでないプロパーな距離空間の Smirnov コンパクト化の剰余は距離化可能ではないことが知られおり, この点が Smirnov コンパクト化の剰余を研究する上での困難性となっている. また, 歴史的には Smirnov コン
パクト化は 空間, すなわち近接空間の研究に伴い導入されたコンパクト化であ位相, すなる. 一般的には, 完全正則空間 $X$ において, $X$ の位相に合致する
わち (X, ) の族と $X$ のコンパクト化の族の間に–対– の対応が存在し, その対を対応させることによっ
応はに対してその Smirnov コンパク ト化て得られることが知られている. このことは, Smirnov コンパクト化を与えるこ$\delta$$\delta$$\delta$$(X, \delta)$$u_{\delta}X$

56とにより, そのもともとの空間の位相を決定できることを意味しており, 空間位相を研究する上で Smirnov コンパクト化を研究することは重要となってくる. また, Smirnov 自身により, 正規かつ可算型である
空間 $X$ において,$\dim(u_{\delta}X\backslash X)=0$ である必要十分条件として $X$ が近接縁コンパクトでコンパ
クトでないことが示されている (cf. [12]). しかし, Smirnov コンパク ト化の剰余の次元に関しては 次元となる特徴付けに関してしか現在に至るまで知られていない状況である. このような歴史的な背景を踏まえて本研究の目標は Smirnov
コンパクト化の剰余の次元を研究対象とし, 現時点で得られた結果について紹介
する.
可分な距離化可能空間 $X$ に対してはということはよく知られた事実だか, Stone-\v{C}ech コンパクト化の剰余に関して, 以下のことはよく知られている.
の$\delta$$\delta$$\delta$$0$$\dim X=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}X=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}X$

Proposition 1.2. (X, ) をコンパクトでないプロパーな距離空間とする.
$d$に素な $X$ の局所有限な閉集合族$\dim E_{1}=\dim X$ のとき, 次が成立する.

$\{E_{1}\}_{\mathrm{t}\in \mathrm{N}}$が存在し, すべての$i\in \mathrm{N}$$\dim(\beta X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)=\dim X$

特に、 $X$ をコンパクトでない$n$and 7.2.8] より$\dim X\leq\dim(\beta X\backslash X)$.

.

. また, [7, Theorem 7.1.2, 7.2.7$\dim(\beta X\backslash X)\leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)\leq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)$

7.1.3 and Theorem 7.1.15] よりに対して次元位相多様体とするとき, 次が成立する.

$\dim(\beta X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)=n$

Proof. [4, Lemma 1] より,. さらに, [7, Theorem
X. 以上により,$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)\leq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\beta X=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}$$\dim X\leq\dim(\beta X\backslash X)\leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)\leq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)\leq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}X$[7, Theorem 7.3.2] より互い$\dim X=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}X$

.

だから,

$\dim(\beta X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta X\backslash X)=\dim X$.
口

距離空間 (X, のの Smirnov コンパクト化の剰余において, 一般的には, 次の等式が成立するか否かに関しては特に知られていなかったのであるが, 筆者達は [2] において以下のことを示$\dim(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)$

した.

Theorem 1.3.

$d_{n}$を$\mathbb{R}^{n}$上の通常の距離とする. このとき, 次が成立する.

$\dim(u_{d_{n}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d_{n}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d_{n}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=n$.

また, 次の結果は距離を変えると Smirnov コンパクト化の剰余はどんな次元にもなることを示している.

Example 1.4. 任意のが存在して次を満たす.

$n\in \mathrm{N}$と任意の$k\in \mathrm{N}\mathrm{U}$$\{\infty\}$に対して,$\mathbb{R}^{n}$上の距離$\dim(u_{\rho_{n.k}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{\rho_{n,k}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{\rho n,k}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=k$.

$\rho_{n,k}$

57
上述の 3 つの結果から次のような問題が自然に出てくる.
Question 1.5.

$\dim(u_{d}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=n$十分条件を与えよ.

あるいは$\dim(u_{d}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})\leq n$となるためのもっと –般的に, 次のような問題も考えられる.

Question 1.6. $X$ をコンパクトでない位相多様体でプロパーな距離を持つものとする. このとき, $\dim(u_{d}X\backslash X)=\dim X$ あるいは $\dim(u_{d}X\backslash X)\leq\dim X$となるための十分条件を与えよ.
$d$Smirnov コンパクト化とは別に, 最近注目されているコンパクト化として Higson
コンパクト化がある (cf. [6], [10], [11]). この Higson コンパクト化は Smirnov コ
ンパクト化と同様, 距離に依存するコンパクト化であり, それゆえにプロパーな距離空間における Smirnov コンパクト化と Higson コンパクト化は類似した点がいくつか知られている. そのため, Smirnov コンパクト化の剰余の次元を調べる
ことは Higson コンパクト化の剰余の次元の研究につながると考えられる.

G. Yu
は 1990 年代後半から現在にかけて次のことを証明した : もし幾何的な有限群 の漸近次元が有限ならば, 基本群 である多様体に関して Novikov 予想とGromov-Lawson 予想の両方とも成立する (cf. [5]). また, この予想において,次元 aspherical 多様体が重要な研究対象になるのだが, その多様体を研究することはその多様体の普遍被覆が Rn になっている場合を調べれば十分であり, また,
その Higson コンパクト化の剰余を調べることが重要になる (cf. [5]). このようなことから, Question 1.5 と 1.6 は対象となるコンパクト化を Higson コンパクト化に置き換えた問題に関しても重要になる.
ここで, 最初に距離に依存する大域的 (グローバル) な性質, 一様局所連結性を

r

r

$n$

導入する.

Deflnition 1.7 (cf. [13]). 距離空間 (X, ) が -様局所連結であるとは, 任意の$d$$\epsilon>0$に対して, ある$\delta>0$が存在し, $d(x, y)<\delta$ を満たす $x,$ $y\in X$ に対し,のある連結部分集合 $P$ で $\{x, y\}\subset P$ かっ diam
きをいう.

$P<\epsilon$$X$を満たすものが取れると[1] において, 一様局所連結性と Smirnov コンパクト化の関係を示した. すなわ
ち, 一様局所連結でプロパーな距離空間の Smirnov コンパクト化は完全であることを証明した. この事実を使うと,
は–様局所連結だからその Smirnovのコンパクト化は完全であることがわかる. このことと [3] によりSmirnov コンパクト化の剰余は indecomposable continuum となる. また, Smirnov
コンパク ト化の完全性と [9, Theorem 6.4] の証明によりあるいはの Smirnov コンパクト化の剰余は unicoherent continuum$(\mathbb{R}_{+}^{n}, d_{n}|_{\mathrm{R}}\dotplus\backslash )$$(\mathbb{R}+’ d_{1}|_{\mathrm{R}}+)$$(\mathbb{R}^{n}, d_{n})(n\geq 3)$$(\mathbb{R}_{+}^{k}, d_{k}|_{\mathrm{R}_{+}^{k}})(k\geq 2)$であることがわかる.

ここでは–様局所連結な 1 次元位相多様体の Sm 辻 nov コンパクト化の剰余を調べて以下の結果が得られた.

58
Theorem 1.8. $X$ をプロパーな距離 を持つ 1 次元位相多様体とする. もし (X, )が–様局所連結ならば,
を満
$d$

$d$

$\dim(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)=1$

たす.

この定理は Question l.6 の dimX=1 のときの 1 つの解だが, 実際はより -般的な定理を得ることができ, この結果を踏まえて, 一様局所連結性と Smirnov コ
ンパク ト化の剰余の次元の関係を本稿では論ずる.

2. 1 次元複体と –様局所連結性
この章は距離化可能な 1 次元複体を対象に主問題 16 を考える. まず, 無限で稠密という概念を導入する.

Deflnition 2.1. $(X, d)$ をプロパーな距離空間とする. $X$ の部分集合
で稠密であるとは, 任意の$D\cap(X\backslash K_{e})$$\epsilon>0$

が$D$に対し, ある $X$ のコンパクト集合$K_{\text{。}}$が X\K。で \epsilon -稠密となっているときをいう.

$\infty$でこの概念を使うと, Woods によって次のことが示されている (cf. [14]).

Proposition 2.2. (X, ) をプロパーな距離空間とし,密な閉部分集合とする. このとき,は$d$$u_{d}X\backslash X$

$D$

を (X,

$u_{d|}DD\backslash D$

$d$

) での

$\infty$で稠と同相である.

Stone-\v{C}ech コンパクト化においては, このような結果はほとんど期待できな
いが, それゆえに, Smirnov コンパクト化の特徴になっている また, Theorem
1.3, 1.8 と Proposition 2.2 を適用すると以下の結果が得られる.
Corollary 2.3. $n\geq 2$ である任意の自然数分集合で$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}_{+}$と同相なものは, 部分距離$d_{n}|_{X}$

に対し,

の
で稠密な部
に関して–様局所連結ではない.

$n\in \mathrm{N}$$\mathbb{R}^{n}$$\infty$

を箱型に無限に行くに従って細かくなるように分割をとり, その l-skelton

をとる, すなわち,に無限のジャングルジムを作る. 無限に行くに従って網目が小さくなることにより, その無限のジャングルジムは–様局所連結になり,の中でで稠密になる. よって, Theorem 1.3 と Proposition 2.2 より, 以下の例が得られる.
$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$$\infty$

Example 2.4. 任意の(1) (X,(2)に対して, コンパクトでない 1 次元多面体 $X$ とあで以下を満たすものが存在する :) は–様局所連結.

るプロパーな距離$d_{X}$$n\in \mathrm{N}$$d_{X}$$\dim(u_{d_{X}}X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d_{X}}X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d_{X}}X\backslash X)=n$.

上記の例は Theorem1.3 を 1 次元複体に拡張できないことを示しているが, 網目の大きさが無限に行くにしたがって小さくならなければ, 次元が上がらないことを次の定理で示した.

59
Theorem 2.5. (X, ) をコンパクトでない 1 次元多面体で次の条件を満たす三角形分割 7 を持つものとする :(1) はプロパー.
(2) (X, ) は–様局所連結.
(3) ある $\alpha>0$ が存在して,丁{ :} がコンパクト.
$d$

$d$

$d$

$\cup$

このとき,$|\sigma|$$\sigma\in$$\backslash \mathcal{T}^{(0)},$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}|\sigma|<\alpha$$\dim(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)=1$.

3. 一様局所連結性と 2 次元以上の位相多様体の SMIRNOV コンパクト化の剰余
2 次元以上の位相多様体の Smirnov コンパクト化の剰余の次元について考察する. まず最初に Rn について調べる. この場合は–様局所連結性を持ちながら,
以下のすべての次元を取ることがわかる.

Prcposition3.1. $1\leq k\leq n$ を満たす任意のロパーな距離 で ( , のが–様局所連結かつを満たすものが存在する.
$d$$\mathbb{R}^{n}$$k,$ $n\in \mathrm{N}$に対して,$\mathbb{R}^{n}$

$n$

上のあるプ

$\dim(u_{d}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=k$

また,という条件でなければ, つまり -般的な多様体であれば次元が上がることもわかる.
$\mathbb{R}^{n}$

Example 3.2. $2\leq n<k$ を満たす任意のトでないプロパーな距離を持つ$n$$n,$ $k\in \mathrm{N}$に対して, あるコンパク

次元位相多様体 $(M, d)$ で–様局所連結かつを満たすものが存在する.

$\dim(u_{d}M\backslash M)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}M\backslash M)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}M\backslash M)=k$

Corollary23 の証明から次の例が得られるので, Proposition 3.1 の中の–様局

所連結性をはずしても次元が上がることが分る.

Example 3.3. $2\leq n<k\leq\infty$ を満たす任意ので上の距離が–様局所連結でなくが同相となるものが取れる. すなわち,$k,$ $n\in \mathrm{N}\mathrm{U}\{\infty\}$$\mathbb{R}^{n}$$\rho_{k,n}$$(\mathbb{R}^{n}, \rho_{k,n})$$u_{\rho k,n}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{\mathrm{n}}$に対し, あると$u_{d_{k}}\mathbb{R}^{k}\backslash \mathbb{R}^{k}$.

$\dim(u_{\rho_{k,n}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{\rho_{k,n}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{\rho_{k,n}}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})=k$

上述の 2 つの例をふまえれば, Question 1.5 の中の十分条件として, 一様局所連結性が考えられる.

Question 3.4.
すか ?

$(\mathbb{R}^{n}, d)$が–様局所連結であれば,$\dim(u_{d}\mathbb{R}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})\leq n$を満た一様局所連結性で代表的な空間は, 同じ形が同程度の距離だけ離れて無限に繰り返すような空間, すなわち, 無限被覆空間がその典型的な例なのだが, 問題は無限被覆空間の距離の導入の仕方になる. 当然, 底空間の距離を利用するので,被覆写像の局所同相性を使用して局所的に距離を無限被覆空間に導入する. おな
じ形がおなじ距離だけ離れていることを実現するために, 各シートは同程度離れ60ているとする. また, 大域的な条件として被覆写像が–様連続であることを条件に加えて次のように定義を導入する.

Deflnition 3.5. コンパクト距離空間 $(X, d)$ の被覆空間$((\tilde{X}, d),p)\sim$が thin であるとは以下の条件を満たすときをいう.
(1) はのプロパーな距離.
(2) 被覆写像 $p:(\tilde{X}, d)\simarrow(X, d)$ は–様連続.
(3) 次の条件を満たす $X$ の有限開被覆 が存在する.
(i) 任意のに対して, $\tilde{U}=p^{-1}(U)$ が互いに素な開集合族, すなわ
ち, ‘\check ‘/ートの和でかけ, かつ任意のに対して,:$(U_{n}, d|u_{n})\simarrow(U, d|_{U})$が等長写像となる. このとき, $U$ を により均等に被覆された開集合という.
(ii) 任意のシートに対して, $m\neq n$ であれば, ある $R>0$ でとなるものが存在する.
$d\sim$$\tilde{X}$$\mathrm{U}$$U\in \mathfrak{U}$$n\in \mathrm{N}$$\{U_{n}\}_{n\in \mathrm{N}}$$p|_{U_{n}}$$P$$\{U_{n}\}_{n\in \mathrm{N}}$$d(\mathrm{C}1_{\tilde{X}}U_{n}, \mathrm{C}1_{\tilde{X}}U_{m})>R\sim$

Definition 3.5(2) は他の条件を仮定すると導けそうだが, 次の例により, それができないことが分る.
Example 3.6.

の 2 点 $x,$ $x’$ に対して,を連結させる 2 っの弧となるものが取れる. このとき,$\rho(x, x’)=\min\{\ell(A_{0}(x, x’)), \ell(A_{1}(x, x’))\}$ と定めるとは上の距離となる. 但$\ell(A_{1}(x,x’))$
は $A_{i}(x, x’)$ の弧の長さである. ここで,し,$\mathrm{S}^{1}$$A_{0}(x, x’),$ $A_{1}(x, x’)$$\mathrm{S}^{1}$

で $x$ と$x’$

で $\mathrm{S}^{1}=A_{0}(x, x’)\cup A_{1}(x, x’)$$\mathrm{S}^{1}$$\rho$$=$$\{(\cos 4\pi t, \sin 4\pi t, t2^{-n})\in \mathbb{R}^{3} :$\mathrm{Y}_{n,1}$$=$$\{(\cos 4\pi t,\sin 4\pi t, (2^{-n}-2)(1-t)+1)\in \mathbb{R}^{3} :$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$=\mathrm{Y}_{n,0}\cup \mathrm{Y}_{n,1}$0\leq t\leq 1/2\}$,$\mathrm{Y}_{n,0}$

1/2\leq t\leq 1\}$,かつ$\mathrm{Y}$$= \bigcup_{n\in \mathrm{Z}}(\mathrm{n}+\mathrm{Y}_{n|}^{\cdot})$

但し,

と定める

$\mathrm{n}$$=$$(0,n)$

である. このとき,$p_{n}$:$Y_{\mathrm{n}}$$p_{n}( \cos 4\pi t, \sin 4\pi t, z)=(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)t^{\mathrm{a}\prime}\supset p=\bigcup_{n\in \mathrm{N}}(\pi_{n})^{-1}\circ p_{n}$$arrow$:$Y$$\mathrm{S}^{1}$

を

-*@1

と定める. 但し,
上は自然な同相写像とする. ここで,:$d((x_{0},y_{0},
z_{0})\sim,(x_{1},
y_{1},
z_{1}))=\max\{\rho((x_{0},y\mathrm{o}),(x_{1},
y_{1}))/2,|z_{0}-z_{1}|\}$の距離 をにより定める. すると :は Definition 3.5 の (1) と (3) を満たすが(2) は満たしていないので thin 被覆空間ではない.
$\pi_{n}$$Y_{n}arrow \mathrm{n}+Y_{n}$$\mathrm{S}^{1}\mathrm{x}\mathbb{R}$$d\sim$$P$$(Y, d)\simarrow(\mathrm{S}^{1}, \rho)$

コンパクトな位相多様体の thin 被覆空間は–様局所連結になる. また, もっと
一般に次のことがわかる.

Lemma 3.7.
このとき,$((\tilde{X}, d),p)\sim$

をコンパク ト距離空間 (X, ) の thin 被覆空間とする.
$d$$\sim$$X$

が局所連結であれば, (X, ) は–様局所連結となる.
$d$次元位相多様体の thin 被覆空間の Smirnov コンパクト化の剰
余の被覆次元は n になることがわかる. もっと –般に次のことがわかる.
コンパクトな$n$

61
Proposition 3.8.

を次元コンパクト距離空間 (X, のの無限 thin被覆空間であるとする. このとき,
は $\dim Z_{i}\leq n$ を満たす有限個のの和となる. 特に,となる.
$((\tilde{X}, d),p)\sim$$n$$u_{d^{\sim}}\tilde{X}\backslash \tilde{X}$$Z_{1},$ $Z_{2},$$Z_{k}$$\dim(u\sim\tilde{X}^{\backslash }\backslash \tilde{X})d=n$$\ldots,$

プロパーな距離空間 (X, ) の Smirnov コンパクト化の剰余は距離化可能ではないので, dim(udX\X)=ind(udX\X)=Ind(udX\X) かどうかはよく分らない. しかし, Smirnov コンパクト化の剰余はコンパクトな正規空間なので,は知られている (cf. $[7],[8]$ ).
よって, コンパクト 次元位相多様体の thin 被覆空間の Smirnov コンパクト化の剰余の大きな帰納的次元 (Ind) を調べることが重要となる. Theorem 2.5 を応用することで以下のことを示した.
$d$$u_{d}X\backslash X$$\dim(u_{d}X\backslash X)\leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)\leq \mathrm{I}\mathrm{n}d(u_{d}X\backslash X)$$n$Theorem 3.9.

$((\tilde{X}, d),p)\sim$

被覆空間とする. このとき,をコンパクトな 2 次元位相多様体 (X, ) の無限 thin$d$$\dim(u_{d}\sim\tilde{X}\backslash \tilde{X})=\mathrm{i}\mathrm{n}d(u_{d}\sim\tilde{X}\backslash \tilde{X})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d^{\sim}}\tilde{X}\backslash \tilde{X})=2$となる.

Corollary 3.10.
空間とするとき,$(\mathbb{R}^{2}, \rho)$をあるコンパクトな 2 次元位相多様体の無限 thin 被覆となる.

$\dim(u_{\rho}\mathbb{R}^{2}\backslash \mathbb{R}^{2})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{\rho}\mathbb{R}^{2}\backslash \mathbb{R}^{2})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{\rho}\mathbb{R}^{2}\backslash \mathbb{R}^{2})=2$

これは Question1.5 の 1 つの解になっている. Corollary3.10 の R2 は–様局所連結である.

4. 問題

Theorem 1.8 から, さらに–般的に以下のような問題が考えられる.
Question 4.1.
このとき,$(\mathbb{R}_{+}, d)$$u_{d}\mathbb{R}_{+}\backslash \mathbb{R}_{+}$

をプロパーな距離 を持ち, 一様局所連結であるとする.
とは同相であるか.
$d$$u_{d_{1}|\mathrm{n}_{+}}\mathbb{R}_{+}\backslash \mathbb{R}_{+}$

Proposition 38 から以下の問題群が自然に持ち上がる.

Question 4.2. コンパクトな$((\tilde{X}, d),p)\sim$

次元位相多様体 (X, ) の無限 thin 被覆空間に対して, 以下は常に成立するか ?
$d$

$n$

$d\mathrm{i}\mathrm{m}(u_{d}\sim\tilde{X}\backslash \tilde{X})=\mathrm{i}\mathrm{n}d(u_{d}\sim\tilde{X}\backslash \tilde{X})=\mathrm{I}\mathrm{n}d(u_{d}\sim\tilde{X}\backslash \tilde{X})=n$

Question 4.3. あるプロパーな距離空間 (X, ) で$d$$\dim(u_{d}X\backslash X)<\mathrm{I}n\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)$

を満たすようなものは存在するか ?

Question 4.4. プロパーな距離空間 (X, ) で Ind(udX
であるか ?
$d$$\backslash X$) $<\infty$ であれば,$\dim(u_{d}X\backslash X)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(u_{d}X\backslash X)$

5. 謝辞
Example 3.2 に関して貴重な意見を下さった筑波大学の酒井克郎氏に謝意を表
します.

62
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ifications, to appear in Colloq. Math.
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KURE NATIONAL COLLEGE OF TECHNOLOGY, 2-2-11
737- 8506, JAPAN-mail address:jp$E$$\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{e}9\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}-\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}.\mathrm{a}\mathrm{c}$$\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{A}$-MINAMI KURE-SHI HIROSHIMA.

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$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{Q}\mathrm{o}\mathrm{k}i\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}-\mathrm{c}\mathrm{t}.\mathrm{a}\mathrm{c}$MIYAKONOJO NATIONAL COLLEGE OF TECHNOLOGY, 473-1 YOSHIO-CHO MIYAKONOJO-SHI MIYAZAKI 885-8567, JAPAN-mail address: tomoyasuQcc. miyakonoj o-nct.

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