数理解析研究所講究録
第 1914 巻 2014 年 94-103

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THE LOWEST EIGENVALUE OF NON-COMMUTATIVEHARMONIC OSCILLATORS廣島文生 (九大数理), 佐々木格 (信州大理工)を考える．
の最低固有値が単純であることは長い間の未解決問題であった．この論文ではその単純性を示す．

ABSTRACT. 調和振動子の非可換化と考えられる非可換調和振動子
パラメターが$\alpha\neq\beta$$Q(\alpha, \beta)$のとき，$Q(\alpha, \beta)$

1. はじめに1.1. 新幹線の中で．非可換調和振動子は A. Parmeggiani と M. Wakayama [PWOI,
PW02, PW03] によって調和振動子の非可換化として導入された 1. 著者は 2012 年 12月に若山正人氏 (九大 IMI) の非可換調和振動子に関する講演を RIMS で聴講した．そこで知ったのがここで紹介する最低固有値の単純性の問題である．物理に表れるスピンなどの内部自由度のないハミルトニアンは多くの場合最低固有値に対応する固有ベ
クトルは節 (ゼロ点) をもたず，至る所正な関数である．その結果，互いに直交する固有ベクトルが存在することはなく，最低固有値は単純になる．またスピンがある場合には対称性から最低固有値が縮退していることがわかることが多い．果たして非可換調和振動子の最低固有値の縮退度はどうなっているのか？例えば，行列系数をもつ物理的に最近脚光を浴びている Rabi 模型$\epsilon(\begin{array}{ll}1 00-1 \end{array}) \otimes I+(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array}) \otimes x+I\otimes(-\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2})$の最低固有値が$\epsilon\neq 0$で単純であることは経路積分で示すことが出来る [HH12]. 非可換調和振動子の場合は対称性の議論，経路積分の議論などがDate: July 12, 2014.
2000 Mathematics Subject Classification. $35P05,$ $35P15.$$\alpha=\beta$のとき [Tan09] 以

Key words and phrases. non-commutative harmonic oscillator, multiplicity, the lowest eigenvalue,

crossmg, no crossmg.
$1[Parl0]$に非可換調和振動子のくわしい解説がある．

95
外，上手く出来ず，摂動論的な議論になってしま t), 結局特別な$\alpha,$$\beta$に対してのみ単純性が知られているにすぎなかった．

RIMS で聴講したあと，福岡に戻る新幹線の中で少し計算してみると，最低固有値の縮退度が，パラメターのある領域$(\subset \mathbb{R}_{+}x\mathbb{R}_{+})$

で 2 以下であることが示せた．この結果自体は驚くに値しないが，実はこのとき，最低固有値に対応する固有ベクトルが偶関数になることに気づいた．2013 年に研究会を開催する機会があった．そこで再度，若山正人氏が講演で 「最低固有値に対応する固有ベクトルが全て偶関数ならば，最低固有

値は単純」 という結果を発表していた．何ということか．つまり，単純性をいうためには，最低固有値に対応する固有ベクトルが偶関数であることを言えばいいことになった．まさにそれがここで述べる結果である．

1.2. 定義など．非可換調和振動子は$Q=Q( \alpha, \beta)=A\otimes(-\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}x^{2})+J\otimes(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})$

,

(1.1)

と定義される$\mathcal{H}=\mathbb{C}^{2}\otimes L^{2}(\mathbb{R})$上の自己共役作用素である．ここで $A,$ $J\in Mat_{2}(\mathbb{R})$ で，$A$ は正定値な対称行列， は$J$

歪対称行列．さらに $A+iJ$ は正定値となるものである．[PW02, PW03] で$A=(\begin{array}{ll}\alpha 00 \beta\end{array}), J=(\begin{array}{l}0-110\end{array})$

としていいことが示されている．ここで，パラメターは$\alpha>0, \beta>0, \alpha\beta>1$(1.2)

をみたす．この論文では上の $A$ と $J$ を固定する．すぐに次の Lemma が示せる．

Lemma 1.1.

は $D(Q)=\mathbb{C}^{2}\otimes(D(d^{2}/dx^{2})\cap D(x^{2}))$ 上で自己共役で離散固有値$Q$$E_{0}\leq E_{1}\leq E_{2}\leq\cdots\nearrow\infty$$\alpha=\beta$のとき，$Q(\alpha, \beta)$

のみもつ．

は 2 つの調和振動子の直和と同型になる;$Q( \alpha, \alpha)\cong(^{-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}7}2+\frac{\alpha^{2}-1}{2}x^{2}0 -\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{\alpha^{2}-1}{2}x^{2)}0.$96
故にこのとき全ての固有値は 2 重に縮退している．
一方で$q=\beta/\alpha$$\alpha\neq\beta$のとき，$Q(\alpha, \beta)$

または $q=\alpha/\beta$ .

は調和振動子の -変形と見なすことが出来る．ここで$q$

また，このとき$Q$のスペクトルは縮退の様子もこめて非自明である．最低固有値 $E=E_{0}$ に対応する固有ベクトルを基底状態と呼ぶ．非可換調和振動子が定義されて以来の未解決問題に「 $Q(\alpha, \beta)$ の固有値の縮退度を決めよ」というものがある．いま，$\alpha\neq\beta$

する．写像$c_{\eta}$:としよう．$E_{n}=E_{n}(\alpha, \beta)$ は $n$ 番目の固有値を表すと$(\alpha, \beta)\mapsto E_{n}(\alpha, \beta)\in \mathbb{R}$は固有値曲線と呼ばれている．固有値の縮退度を評価することは固有値曲線の交点を調べることに帰着される．

1.3. 今までの研究経過．縮退度に関する今までの研究結果を紹介する．
[PW03] で全ての固有値の縮退度はたかだか 3 であることが示された．また別証明
が [OchOl] にある．
数値計算レベルでは [NNW02] で交点の様子が調べられている．ここでは最低固有値に交点がないことが示唆された．

[IW07] では$(n- \frac{1}{2})\min\{\alpha, \beta\}\sqrt{\frac{\alpha\beta-1}{\alpha\beta}}\leq E_{2n-1}\leq E_{2n}\leq(n-\frac{1}{2})\max\{\alpha, \beta\}\sqrt{\frac{\alpha\beta-1}{\alpha\beta}}$が導かれた．これから $E$ の縮退度は$\beta$$<3\alpha$または $\alpha<3\beta$ のとき 2 以下であることがわかる．

[Par04] では[HS12] では$\alpha\beta$

が十分に大きいとき $E$ が単純であることが示された．

$(\alpha, \beta)\in D$西$=\{(\alpha, \beta)|\alpha, \beta>\sqrt{2}\}$ベクトルは偶関数であることが示された．また，

で $E$ の縮退度は 2 以下で，その固有$(\alpha, \beta)\in D$$E$

なるある集合 $D\subset D$ 西でが単純であることが示された．

[Wak12] で，$\alpha\neq\beta$のとき基底状態が全て偶関数であれば， は単純であることが示$E$された．これから [Wak12] と [HS12] を合わせれば，$E$ が $(\alpha, \beta)\in D$ 西で単純であることがわかる．

長い間の未解決問題である $E$ の単純性を$\alpha\neq\beta$

で示すことがこの論文の目的である．

97
2.
2.1.

の分解．生成消滅作用素$Q(\alpha, \beta)$の分解$Q(\alpha, \beta)$$a^{*},$$a$で $Q$ を表すと見通しがよくなる．

$a= \frac{1}{\sqrt{2}}(x+\frac{d}{dx}) , a^{*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-\frac{d}{dx})$としよう．このとき $Q$ は(2.1)$Q=A(a^{*}a+ \frac{1}{2})+\frac{J}{2}(aa-a^{*}a^{*})$のように表せる．
$P_{+}$(resp.

$P_{-}$とする，i.e.,) を$\mathcal{H}_{+}$$\mathcal{H}_{+}$(resp.
(resp.

$\mathcal{H}_{-}$$\mathcal{H}_{-}$$|n \rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{*})^{n}|0\rangle$

元空間とする．その結果) を偶関数の部分空間とする (resp. 奇関数). そして) への射影とする．

. ここで$|n\rangle$

を$a^{*}a$$|0\rangle=\pi^{-1/4}e^{-x^{2}/2}.$$L^{2}(\mathbb{R})=\oplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}|n\rangle$の $n$ 番目の固有ベクトル$\mathbb{C}|n\rangle$

を$|n\rangle$

で張られる 1 次が従う．よって全ヒルベルト空間は$\mathcal{H}\cong\{(\begin{array}{l}XY\end{array}) X, Y\in\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}|n\rangle\}\cong\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}, \mathcal{H}_{n}=(_{\mathbb{C}|n\rangle}^{\mathbb{C}|n\rangle})$.

以下でこの同型対応は断りなしで使う．$a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle,$ $a^{*}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$ なので，$aa:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{n-2},$る．よって$a^{*}a^{*}:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{n+2}$$Q:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{n-2}\oplus \mathcal{H}_{n}\oplus \mathcal{H}_{n+2}$

けることが出来る．

$\mathbb{C}|n\rangle$となる．さらに$a^{*}a$. これらの考察からへの直交射影を$|n\rangle\langle n|$$Q$は$\mathcal{H}_{n}$を不変にしていの不変部分空間を見つとする．そして$P_{\uparrow}(n)=(0 oo) , P_{\downarrow}(n)=(\begin{array}{ll}0 00 |n\rangle\langle n|\end{array})$

(2.2)

とする．

$|2n\rangle$$T_{+1}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(4n)+P_{\downarrow}(4n+2$$T_{+2}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\downarrow}(4n)+P_{\uparrow}(4n+2$$T_{-1}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(4n+1)+P_{\downarrow}(4n+3$$T_{-2}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\downarrow}(4n+1)+P_{\uparrow}(4n+3$は偶関数， $|2n+1\rangle$ は奇関数なので $T_{+1}+T_{+2}=P_{+},$ $T_{-1}+T_{-2}=P_{-}$ となる．

$\mathcal{H}_{\sigma p}=Ran(T_{\sigma p})$としよう．このとき$\mathcal{H}$は$\mathcal{H}=\bigoplus_{\sigma=\pm,p=1,2}\mathcal{H}_{\sigma p}$のように分解できる．

(2.3)

98
Lemma 2.1 ([HS13]). 作用素

Proof.

$Q$$a^{2}P_{j}(n)\supset P_{j}(n-2)a^{2},$$n=0$ , 1, 2,$\cdots,$$j=\uparrow,$$JP_{\downarrow}(n)=P_{\uparrow}(n)J$「$Q_{\sigma p}=Q$$\mathcal{H}_{\sigma p}$$\downarrow$は$\mathcal{H}\sigma$

p, $\sigma=\pm,$ $p=1,2$ , で reduce される．

$a^{*}a^{*}P_{j}(n)\supset P_{j}(n+2)a^{*}a^{*},$$a^{*}aP_{j}(n)\supset P_{j}(n)a^{*}a,$. がわかる．明らかに $AP_{j}(n)=P_{j}(n)A,$となる．それで$QT_{\sigma p}\supset T_{\sigma p}Q$

$JP_{\uparrow}(n)=P_{\downarrow}(n)J,$となり，定理が従う．口としよう．このとき$Q= \bigoplus_{\sigma=\pm_{)}p=1,2}Q_{\sigma p}$

(2.4)

となる．

FIGURE 1.

FIGURE 2.

FIGURE 3.

FIGURE 4.

$\blacksquare$

は$T_{+1}$の値域$\blacksquare$

は$T_{+2}$の値域$\blacksquare$

は$T_{-1}$$\blacksquare$

は $T_{-2}$ の値域の値域

2.2. Jacobi 行列表現．
$U_{+1}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(8n)+P_{\downarrow}(8n+2))-\sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(8n+4)+P_{\downarrow}(8n+6))$としよう．この作用素は$\mathcal{H}_{+1}$(2.5)

上のユニタリーで$\overline{Q}_{+1}=U_{+1}^{-1}Q_{+1}U_{+1}=T_{+1}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{+1}$

(2.6)

99
となる．ここで $S=$$(_{1}^{0}$$01)$. 同様にユニタリー$U_{+2},$ $U_{-1},$ $U_{-2}$で$\overline{Q}_{+2}=U_{+2}^{-1}Q_{+1}U_{+2}=T_{+2}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{+2},$$\overline{Q}_{-1}=U_{-1}^{-1}Q_{-1}U_{-1}=T_{-1}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{-1},$$\overline{Q}_{-2}=U_{-2}^{-1}Q_{-2}U_{-2}=T_{-2}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{-2}$なるものが構成できる．数列 $a=(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots)$ と $b=(b_{0}, b_{1}, , b_{2}, \cdots)$ に対して，Jacobi
行列を次で定義する．

$a_{1}a_{0}b_{1}$$a_{1}b_{2}$$J(a, b)=(_{0}^{b_{0}}a_{0}$(2.7)$0.\cdot)$.
$\cdots$

この作用素は$\ell^{2}=\ell^{2}(\mathbb{N}_{0})$に作用する．ここで$a_{+}(n)=-\sqrt{(2n+1)(2n+2)},$$\mathbb{N}_{0}=\mathbb{N}\cup\{0\}.$$n=0$ , 1, 2,$a_{-}(n)=-\sqrt{(2n+2)(2n+3)},$$b_{+1}(n)=\{\begin{array}{ll}\alpha(1+4n) for even n\beta(1+4n) for odd n,\end{array}$$b_{+2}(n)=b_{+1}(n)|_{(\alpha,\beta)arrow(\beta,\alpha)},$$b_{-1}(n)=\{\begin{array}{ll}\alpha(3+4n) for even n\beta(3+4n) for odd n,\end{array}$$b_{-2}(n)=b_{-1}(n)|_{(\alpha,\beta)arrow(\beta,\alpha)}$として$a_{\sigma}=$$(a_{\sigma}(O), a_{\sigma}(1), \cdots)$,$b_{\sigma p}=(b_{\sigma p}(0), b_{\sigma p}(1)\cdots)$

とおく．Jacobi 行列$\hat{Q}_{\sigma p}$系になる．

$e_{n}=(\delta_{n,j})_{j_{=0}}^{\infty}\in\ell^{2}$

を $Y_{+1}(^{|4}0^{n\rangle})=e_{2n},$$Y_{+1}\overline{Q}_{+1}Y_{+1}^{-1}$は$\ell^{2}$$(\begin{array}{ll} 0|4n +2\rangle\end{array}),$は$\mathcal{H}+$1 の完全正規直交の標準的な基底．ユニタリー作用素乳 1:$Y_{+1}(\begin{array}{ll} 0|4n +2\rangle\end{array})=e_{2n+1}$と思える．同様にユ$n=0$ , 1, 2,で定める．そうすると$Q_{+1}$$\mathcal{H}_{+1}arrow\ell^{2}$

を $\hat{Q}_{+1}=$

タリー作用素を定義して次の Lemma をえる．

Lemma 2.2 (Jacobi 行列表現 [HS13]).

$Q_{\sigma p}$

は」acobi 行列

を

(2.8)

$\hat{Q}_{\sigma p}=\frac{1}{2}J(a_{\sigma}, b_{\sigma p})$によって定義する．集合 $\{(0)$ ,$\cdots$$\hat{Q}_{\sigma p}$

に同値．

100
$\alpha=\beta$のときになる．具体的には$\hat{Q}_{\sigma 1}=\hat{Q}_{\sigma 2}$$\hat{Q}_{\sigma p}$は次のように与えられる．

$\hat{Q}_{+1}=\frac{1}{2} (^{-\sqrt{12}}0\alpha -\sqrt{34}-\sqrt{12}5\beta -\sqrt{56}-\sqrt{34}9\alpha -\sqrt{78}-\sqrt{56}13\beta -\sqrt{910}-\sqrt{78}17\alpha -\sqrt{9.10}2.1\beta 0)$,$\hat{Q}_{-2}\hat{Q}_{-1}\hat{Q}_{+2} \frac{1}{2}(^{-\sqrt{23}}\frac{1}{2}(^{-\sqrt{23}}\frac{1}{2}(^{-\sqrt{12}}003\beta 03\alpha\beta -\sqrt{45}-\sqrt{23}-\sqrt{45}-\sqrt{23}-\sqrt{34}-\sqrt{12}7\alpha 7\beta 5\alpha -\sqrt{67}-\sqrt{45}-\sqrt{67}-\sqrt{45}-\sqrt{56}-\sqrt{34}11\beta 11\alpha 9\beta -\sqrt{89}-\sqrt{67}-\sqrt{89}-\sqrt{67}-\sqrt{78}-\sqrt{56}15\alpha 15\beta 13\alpha -\sqrt{1011}-\sqrt{1011}-\sqrt{910}-\sqrt{78}-\sqrt{89}-\sqrt{89}17\beta 19\beta 19\alpha-\sqrt{9.10}..\cdot.\cdot\cdot)_{)}-\sqrt{1.011}.\cdot..\cdot.\cdots)-\sqrt{1.011}2.1\alpha 2.3\alpha 2.3\beta 0..\cdot 00’.$’

Lemma 2.3.

Proof.

$\lambda$を$Q_{\sigma p},$$\hat{Q}_{+1}$$\sigma=\pm,$$p=1$ , 2, の固有値は単純である．

の固有値で$u=(u_{n})_{n=0}^{\infty}\in\ell^{2}$

を固有ベクトルとする．このとき漸化式$u_{n+1}=a_{+}(n)^{-1}((\lambda-b_{+1}(n))u_{n}-a_{+}(n-1)u_{n-1}) , n\in \mathbb{N}_{0}$が従う． $a_{+}(n)\neq 0$ に注意せよ． $(2.9)-(2.10)$ の解は$\hat{Q}_{+1}$,$u_{0}\in \mathbb{C}$によって一意的に決まる．

の固有値は単純である．他の場合も同様に示せる．口$\lambda_{\sigma p}(n)=\lambda_{\sigma p}(n, \alpha, \beta)$$Spec(Q_{\sigma p})$(2.9)
(2.10)$u_{-1}=0$

その結果

,

を第

$n$

$\lambda_{\sigma p}(n)\leq\lambda_{\sigma p}(n+1)$

番目の$Q_{\sigma p}$の固有値とする．このとき. 次の Corollary が従う．

$\{\lambda_{\sigma p}(n)\}_{n=0}^{\infty}=$101
Corollary 2.4. 固有値曲線$F\{(\alpha, \beta)\mapsto\lambda_{\sigma p}(n)=\lambda_{\sigma p}(n, \alpha, \beta), n=0, 1, 2, 3, \cdots\}$交点を持たない．つまり任意の$(\alpha, \beta)$

はと $n\neq m$ に対して，$\lambda_{\sigma p}(n, \alpha, \beta)\neq\lambda_{\sigma p}(m, \alpha, \beta)$.

3. 最低固有値の単純性
この論文の主定理は以下である．

Theorem 3.1. [HS13]$\alpha\neq\beta$とする．このとき$Q(\alpha, \beta)$の最低固有値は単純である．

この定理を証明するために次の Proposition を応用する．
Proposition 3.2. 次の (1),(勿を仮定する:(1)数．このとき$Q(\alpha, \beta)$$\alpha\neq\beta;(2)$全ての $Q$ 基底状態が偶関の最低固有値は単純である．

Proof. [Wak12] をみよ．口
$Q_{\sigma}=Q_{\sigma 1}\oplus Q_{\sigma 2},$

$Q_{+}\oplus Q_{-}.$$\sigma=+,$ $-$$E_{\sigma}= \inf Spec(Q_{\sigma})$Lemma 3.3.

$u=(\begin{array}{l}u_{1}u_{2}\end{array})$

Proof. 固有値方程式とする．このとき $Q$ は遇と奇に直和分解できる: $Q=$としよう．

を $Q$ の固有ベクトルとする．このとき$A(- \frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}x^{2})u+J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})u=\lambda u$$u_{j}\in C^{3}(\mathbb{R})$.

から$\frac{1}{4}\frac{d^{4}}{dx^{4}}u=(-\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}})\{\lambda A^{-1}-\frac{x^{2}}{2}-A^{-1}J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})\}u$$= \frac{1}{2}[\frac{d^{2}}{dx^{2}}, \frac{x^{2}}{2}+A^{-1}Jx\frac{d}{dx}]u+\{\lambda A^{-1}-\frac{x^{2}}{2}-A^{-1}J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})\}^{2}u$$=(x \frac{d}{dx}+\frac{1}{2})u+A^{-1}J\frac{d^{2}}{dx^{2}}u+\{\lambda A^{-1}-\frac{x^{2}}{2}-A^{-1}J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})\}^{2}$(3.1)

が超関数の意味でわかる．$u_{j}\in D(x^{2})\cap D(d^{2}/dx^{2})$ に注意する．

$x^{2}u_{j},$ $d^{2}u_{j}/dx^{2}\in L^{2}(\mathbb{R})$なので，$u_{j}\in W_{1oc}^{4,2}(\mathbb{R})$が (3.1) からわかる．ソボレフの埋蔵定理から$u_{1},$ $u_{2}\in C^{3}(\mathbb{R})$

が

従う．口

Lemma 3 4.
$\cdot$$E_{+}\leq E_{-}$

が従う．

102

Proof.

$\Phi_{-=}(\begin{array}{l}\Phi_{-1}\Phi_{-2}\end{array})$

ある．偶関数を規格化された$Q_{-}$の基底状態とする．

$\Phi_{-j},$$j=1$ , 2, は奇関数でを$\tilde{\Phi}_{-}\in \mathcal{H}_{+}$$\tilde{\Phi}_{-j}(x)=\{\begin{array}{l}\Phi_{-j}(x) , if x\geq 0,-\Phi_{-j}(x) , if x<0.\end{array}$$\tilde{\Phi}_{-=}(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}\tilde{\Phi}_{-2}\end{array}),$で定義する．

$\tilde{\Phi}_{-j}\in D(-d^{2}/dx^{2})$と$\Vert(d/dx)\tilde{\Phi}_{-j}\Vert^{2}=\Vert(d/dx)\Phi_{-j}\Vert^{2},$$( \tilde{\Phi}_{-j’}, x\frac{d}{dx}\tilde{\Phi}_{-j})=(\tilde{\Phi}_{-j’}, x\frac{d}{dx}\tilde{\Phi}_{-j})$,$j’,j=1$ , 2に注意する．そうすると$E_{+}\leq(\tilde{\Phi}_{-}, Q\tilde{\Phi}_{-})=(\Phi_{-}, Q\Phi_{-})=E_{-}$

.

(3.2)
口

故に $E_{+}\leq E_{-}$ .

Lemma 3.5. $E+<E_{-}$ が従う．

Proof. $E_{+}=E_{-}$ と仮定する．このとき (3.2) から$Q_{+}$

はの基底状態であることに他ならない．一方$E_{+}$(resp.
$\tilde{\Phi}_{-j}$.

よって$\tilde{\Phi}_{-j}$$\tilde{\Phi}_{-j}\in C^{3}(\mathbb{R}).\tilde{\Phi}$は遇), 次が従う．

を規格化して$\tilde{\Phi}_{-}$.

$E_{+}=(\tilde{\Phi}_{-}, Q\tilde{\Phi}_{-})$

これは$\tilde{\Phi}_{-}$

がは $Q$ の固有ベクトルでその固有値$\Vert\tilde{\Phi}\Vert=1$$\Phi_{-}(0)=(\begin{array}{l}00\end{array})=\tilde{\Phi}_{-}(O)$

$($

とする．

resp.

$\Phi_{-j}$が奇であるから$\frac{d}{dx}\tilde{\Phi}_{-j}(O)=(\begin{array}{l}00\end{array}))$. ゆえには常微分方程式$\frac{d}{dx}(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}\tilde{\Phi}_{-2}\tilde{\Phi}_{-1}’\tilde{\Phi}_{-2}’\end{array})= (x^{2}+\frac{2E+}{\alpha}\frac{1}{\beta}00 x^{2_{-\frac{a_{E+}1}{\beta}}^{-\frac{}{}}}00 \frac{2x001}{\beta} -00\frac{12x}{\alpha})(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}\tilde{\Phi}_{-2}\tilde{\Phi}_{-1}’\tilde{\Phi}_{-2}’\end{array})$(3.4)$(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}(0)\tilde{\Phi}_{-2}(0)\tilde{\Phi}_{-1}’(0)\tilde{\Phi}_{-2}’(0)\end{array})=(\begin{array}{l}0000\end{array})$に従う．(3.3) の右辺は(3.3) は一意的な解$E_{+}<E_{-}$.

$(\tilde{\Phi}_{-1},\tilde{\Phi}_{-2},\tilde{\Phi}_{-1}’,\tilde{\Phi}_{-2}’, x)$$(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}(x)\sim\Phi_{-2}(x)\tilde{\Phi}_{-1}’(x)\tilde{\Phi}_{-2}’(x)\end{array})=(\begin{array}{l}0000\end{array})$(3.3)

についてなめらかなので微分方程式をもつ．これは$\Vert\tilde{\Phi}_{-}\Vert=1$に矛盾する．よって口103
Theorem 3.1 の証明．

$\alpha\neq\beta$とする．Proposition 3.2 によって $ker(Q-E)\subset \mathcal{H}+$ を示

せば十分．Lemma 3.4 から，$E_{+}<E_{-}$ . よって基底状態は遇関数になる．よって定理が従う．口

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