数理解析研究所講究録
第 843 巻 1993 年 115-126

115

Local densities of quadratic forms(Hidenori Katsurada)

室蘭工大 桂田英典

1

序
二次形式の局所密度は二次形式の整数論にとって非常に重要な不変量である (たとえば,

非常に難しい.
理性,

Siegel[S] 参照).

そこで,

しかし,

これを精密に求めることは

これに付随する様々なべき級数を定義しその有およびその分母, 分子を調べるという試みが Kitaoka[Ki] を端緒としてなされている.

この小文ではその一端を紹介する.

まず最初に局所密度および我々が問題とするべき級数の定義を述べよう.

可換環 $R$ に対して $M_{mn}(R)$ を $R$ に成分をもつ $(m, n)$ -行列全体の集
また $R$ を整域,

合とする.

$S$

を $R$ の商体とし,$S_{n}(R)=\{(a_{ij})\in M_{nn}’(S);a_{ji}=0_{\iota i_{J}}\cdot, a_{ii}, 2a_{ij}\in R\}$とする.

$m,$ $n$を $m\geq n\geq 1$ を満たす整数,

それぞれ $p$ 進整数環,$S_{n}(Z_{p})\cap GL_{n}(Q_{p})$$\alpha_{p}(A\rangle B)$-進数体とする.

$p$にたいして,

$B$ の

$A$

$p$

を素数とする.

$Z_{p)}Q_{p}$を$A\in S_{m}(Z_{p})\cap GL_{m}(Q_{p}))B\in$による表現の密度 (局所密度)を$\alpha_{p}(A, B)=\lim_{earrow\infty}\neq\{\overline{X}\in M_{mn}(Z_{p})/p^{e}M_{mn}(Z_{p}))A[X]\equiv Bmod p^{e}S_{n}(Z_{p})\}$

で定義する.

ただし, $A[X]={}^{t}XAX$ とする.

密度を精密に求めることは難しい. とくに,$B$冒頭にのべたように局所の行列式の -進位数 $ord_{p}B$
$p$

116
が大きいときほどその表し方は複雑になる.

その複雑さの度合

我々は次の 2 っの型のべき級数を定義する

をはかるため,を上のとおりとし,

(ただし

: まず,

$n_{l}=n,$ $n_{i}>0(i=1, .., l)$を $n_{1}+$$n$$n=(n_{1)}\ldots, n_{l})\in N^{l}$

き,

そこで,

$N$

は

$0$

以上の整数の集合)$A,$ $B$を満たすの元としたと形式的べき級数 $P_{p}(A, B;n, x_{1)}\ldots, x_{l})$ を$P_{p}(A, B)n,$ $x_{1},$と定義する.

$\ldots,$$x_{l}$)$= \sum_{\lambda=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{l})\in N^{l}}\alpha_{p}(A, B[diag(p^{\lambda_{1}}E_{n_{1}}, \ldots, p^{\lambda_{l}}E_{n_{l}})])x_{1}^{\lambda_{1}}\ldots x_{l}^{\lambda_{l}}$

ここで,

diag

であり

$E_{n_{i}}$は$n_{\dot{l}}$の $p$ を落とす.

$(B_{1}, \ldots., B_{l})=(\begin{array}{lll}B_{l} 0 00 \ddots 00 0 B_{l}\end{array})$次単位行列とする.

$p$を強調する必要のないときには suffix

次に $A,$ $n$ を上のとおりとし $B$ が $B=diag(B_{1}, \ldots., B_{l}))B_{i}\in$$GL_{n_{i}}(Q_{p})\cap S_{n;}(Z_{p})(i=1, .., 1)$の形に分解されているとき,$Q_{p}(A, B;n, x_{1}, \ldots, x_{l})$を$Q_{p}(A, B, \cdot n, x_{1)}\ldots, x_{l})=\sum_{\lambda=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{l})\in N^{l}}\alpha_{p}(A, diag(p^{\lambda_{1}}B_{1)}\ldots, p^{\lambda_{l}}B_{l}))x_{1}^{\lambda_{1}}\ldots x_{l}^{\lambda_{l}}$で定義する. ここでも,$p$を強調する必要のないときには suffix の

$p$

を落と

す. すぐにわかるように, $l=1$ のとき $Q(A, B, n\rangle x_{1})$ は [Ki] で定義されたべき級数に一致する. また,$B$の分解 $B=diag(B_{1)}\ldots, B_{l})$ がジョルダン分解のとき $Q(A, B;n, x_{1}, \ldots, x_{l})$ を調べることは特に重要である.
$p\neq 2,$ $n=(1, \ldots, 1)$

とし,

$A$

たとえば

をひとっ固定したとき, 有限個のユニモジュ

ラー行列市 $ag(b_{1}, \ldots., b_{n})$ にたいして $Q(A, B;n;x_{1}, \ldots, x_{n})$ の具体的な形がわかればすべての $B\in S_{n}(Z_{p})\cap GL_{n}(Q_{p})$ にたいして $\alpha_{p}(A, B)$ がわかる
ことになる. (4 節参照) また,$B=diag(B_{1}, \ldots, B_{l}))B_{\dot{l}}\in GL_{n_{i}}\in S_{n_{i}}(Z_{p})$のときは$Q(A, B)n,$$x_{1},$$\ldots,$$x_{l}$)$B^{e}$$= \sum_{e\in\{0,1\}^{l}}x^{e}P_{(}A,$)$n$) $x_{1)}\ldots,$$x_{l}$

)

117
このとき,

となる.

問題 1.

次の問題が考えられる :$Q(A, B,\cdot n;x_{1)}\ldots., x_{l}))P(A, B;n;x_{1, )}x_{l})$は $x_{1)}\ldots,$$x_{l}$の有理関数となるか.
問題 2.

もしそうだとしたら) それらの分母の形はどうなるか,

また分子の次数はどうなるか.
この小論では 2 節で,[BS] に従って $Q(A, B;n)x_{1)}\ldots.,$$x_{l}$) の有理性を[BS] とは異なる方法での有理性を示また, 3 節の後半と 4 節で特別だが重要な場合に問題 2 を扱う.
3 節で,

示し,
す.

$P(A, B,\cdot n,\cdot x_{1)}\ldots., x_{l})$2Denef の -進積分と$P$$Q(A, B,\cdot n,\cdot x_{1}, \ldots, x_{l})$$A\in S_{m}(Z_{p})\cap GL_{m}(Q_{p}),$ $n=(n_{1)}n_{l})\in N^{l},$ $n_{1}+\ldots+n_{l}=n$る.

また $B=diag(B_{1)}\ldots, B_{l}))B_{i}\in S_{n_{i}}(Z_{p})\cap GL_{n_{i}}(Q_{p})$ とする.

では [BS] に従って,

述べ,

とす

この節

Denef の -進積分と $Q(A, B,\cdot n;x_{1)}x_{l})$ との関係を$p$

それを用いて $Q(A, B;n;x_{1)}\ldots, x_{l})$ の有理性を示す.

この節の議論は少し形をかえて $p=2$ のときにも適用できるが, 簡単のため $p\neq 2$ とする. 詳細は [BS] を参照されたい.
$Z_{p}^{*}$

を$Z_{p}$の単数群とし,$Z_{p}^{*}/Z_{p}^{*2}=\{i, \triangle\}-$$N^{t}\epsilon=)(\epsilon_{1,}\epsilon_{t})\in\{1, \triangle\}^{t}$部分集合$\Omega=\Omega(r, \epsilon)$

にたいして

とする.

$r=(r_{1}, \ldots, r_{t})\in$$M_{mn}(Z_{p})\cross\Pi_{\dot{\iota}=1}^{l}S_{n_{i}}(Z_{p})\cross Z_{p}^{t}$のを$\Omega(r, \epsilon)=\{(x, y_{1)}\ldots, y_{l)}\alpha_{1)}\alpha_{t})\in M_{mn}(Z_{p})\cross\prod_{i=1}^{l}S_{n_{i}}(Z_{p})\cross Z_{p)}^{t}$$\infty>ord_{p}(\alpha_{1})>\ldots>ord_{p}(\alpha_{t})\geq 0,p^{-ord_{p}(\alpha_{i})}\alpha_{i}\in Z_{p}^{*2}(i=1, \ldots, t)$.
,$A[x]\sim diag(y_{1)}\ldots, y_{l})\sim diag(\alpha_{1}U_{r_{1},\epsilon_{1)}}\ldots, \alpha_{t}U_{r_{2},\epsilon_{2}})\}$

で定義する.
つの$Q_{p}$

ここで,$U_{r_{i},\epsilon;}=diag(E_{r_{i)}}\epsilon_{i})(i=1, \ldots, t)$に成分をもっ対称行列 $x,$$y$が$Z_{p}$

である.

また,

2

上同値であるとき $x\sim y$ と書く.

118
\Omega は [Denl] の意味での semi-algebraic set であるこ と に注意する.
$(z_{1) )}z_{l)}\zeta_{1)}\ldots, (_{t})\in C^{l}\cross C^{t}$にたいして$\xi_{r,\epsilon}(A, B)z_{1)}\ldots,$$\xi_{r,\epsilon}(A)$$z_{\iota)}\zeta_{1)}\ldots.,$$B;z_{1)}z_{l},$ $\zeta_{1)}\ldots.,$

さ ら に$\zeta_{t}$

) を

$(t)$

$= \int_{\Omega}\prod_{i=1}^{l}|\frac{\det y_{i}}{\det T_{i}}|_{p^{i}}^{z}\prod_{=\dot{J}1}^{t}|\alpha_{J}|_{p^{j}}^{(}|dx|\prod_{i=1}^{l}|\frac{\det B_{i}}{\det y_{\dot{l}}}|^{(n_{i}\cdot+1)/2}|dy_{\dot{l}}|\prod_{=J1}^{t}|\alpha_{\gamma}|^{-1}|d\alpha_{J}$で定義する.

ここで $|dx|$ ) $|dy_{i}|,$上の正規ハール測度である.

$|d\alpha_{\gamma}|$はそれぞれ $M_{mn}(Q_{p}),$ $S_{n_{i}}(Q_{p}),$$Q_{p}$

このとき次が成立する.

Theorem 2.1. ([BS])$\Re z_{1)}\ldots.,$$\Re z_{l}$が十分大きいとき$Q(A, B;p^{-n_{1}z_{1}})$,$p^{-n_{I}z_{l}}$)$= \prod_{i=1}^{n}(1-p^{-i})^{-1}\prod_{i=1}^{l}v(B_{i})^{-1}\sum_{t=1}^{n}2^{-2t}$$\cross\sum_{(r,\epsilon)\in N^{1}\cross\{1,\triangle\}^{t}}\alpha_{r\cdot,\epsilon}\xi_{r,\epsilon}(A, B, z_{1)}\ldots, z_{l}, -m_{1)}\ldots., -m_{t})$が成り立っ.

ここで $m_{i}=r_{i}( \sum_{j=1}^{i}r_{j}-(r_{i}-1)/2)$$\alpha_{r,\epsilon}=\prod_{\dot{\iota}=1}^{t}\alpha_{r;,\epsilon_{i}}$

であり,

,
数

$\alpha_{r_{i},\epsilon;}=\prod_{j=1}^{1^{r_{i}}/2]}(1-p^{-2\gamma})\cross\{\begin{array}{l}(1+(\frac{(-1)^{r_{i}/2}\epsilon_{i}}{p})p^{-r_{i}/2})^{-l}1\end{array}$$r_{i}r^{i}l_{I\supset}g$

$5$ 数

である.

また $v(B_{i})$ は$GL_{n;}(Q_{p})$上の測$\{y_{i}\in S_{n_{i}}(Z_{p})\cap GL_{n_{i}}(Q_{p}))y_{i}\sim B_{i}\}$$P>|\frac{\det B_{\dot{t}}}{\det y_{i}}|_{p^{n_{i}}}^{(+1)/2}|dy\{|$これと Denef[Del] におけるの$S_{n_{i}}(Q_{p})\cap$

に関する体積である.

-積分の一般論 (の多変数への拡張)$p- 1^{\backslash }\not\in$によりただちに次がしめされる.

Theorem 2.2. ([BS]) $Q(A, B)x_{1},$$\ldots,$$x_{l}$) $\in Q(x_{1,}x_{l})$ でありその分母のすべての因子は次の形をしている.

1-$p^{-c}x_{1}^{b_{1}}\ldots x_{l}^{b_{l}}(c\in Z, b_{1) )}b_{1}\in N)$

119
上の方法は有理性を示すための最も直接的な方法であると思われる.

[BS] にはこの他に様々な級数が定義されその有理性が示されている.

3Igusa local zeta function 8 $P(A, B, n\cdot, x_{1}, \ldots, x_{l})$この節では Katsurada[Kal] に従って,$P(A, B,\cdot n,\cdot x_{1)}x_{l})$の関係を述べ,Igusa local zeta functionとそれを用いて $P(A, B,\cdot n,\cdot x_{1}, \ldots, x_{l})$ の有理性を示す.
$\{x_{ij}(1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n))x_{1}\rangle , x_{l}\}$

ため $X=(x_{\dot{\iota}_{J}}),$ $x=(x_{1)}\ldots, x_{l})$ とおく.
$S_{n}(Z_{p})\cap GL_{n}(Q_{p})$$g(X, x)=(g_{i\gamma}(X, x))$と$n=(n_{1}, \ldots, m)$を$Q_{p}$

上の変数とする. 簡単の$A\in S_{m}(Z_{p})\cap GL_{m}(Q_{p}))B\in$にたいして,$S_{n}(Q_{p}[X, x])$の元を$g(X, x)=A[X]-B[diag(x_{1}E_{n_{1}}, \ldots., x_{l}E_{n_{l}})]$

で定義する. $g_{\dot{\iota}i}(X, x))2g_{i\gamma}(X, x)\in Z_{p}[X, x]$ である. $I_{n}=\{(i, j)\in N^{2},\cdot 1\leq$$i\leq j\leq n\}$とし集合 $R$ にたいして $R^{<n>}=R^{I_{r\iota}}$ とおく. すなわち

$R^{<n>}=\{U=(u_{11)}u_{1n}, u_{22)}u_{2n)}u_{nn}; u_{i\gamma}\in R\}$である. $\Re u_{i\gamma}>0((i, j)\in I_{n}))\Re u_{i}>0$ ( $i=1$ , ..., l) を満たす $((u_{i\gamma}))u_{1)}$ ...,$C^{<n>}\cross C^{l}f_{\check{}}$$u_{l}$

たいして$Z(A, B,\cdot(u_{ij}))u_{1)}\ldots,$$u_{l}$)$= \int_{Z^{l}\cross M_{mn}(Z_{p})}\prod_{1\leq i\leq J\leq n}|g_{ij}(X, x)|_{p^{ij}}^{u}\prod_{i=1}^{l}|x_{i}|_{p^{i}}^{u}|dx||dX|$

とおく. ここで $|dx|_{\rangle}|dX|$ はそれぞれ $Q_{p)}^{l}M_{mn}(Q_{p})$ 上の正規 Haar 測度である. $Z(A, B;.(u_{ij}))u_{1)}u_{l})$ を $A,$ $B,$ $n$ に付随する (generalized) Igusa

local zeta function とよぶ.
$I_{n}))\Re u_{i}>0(i=1, \ldots, l)$$Z(A, B;(u_{ij}))u_{1)}\ldots,$$u_{1}$) は\Re uij $>0((i, j)\in$

で正則であるから領域$E=\{(u_{ij}))w_{1)}\ldots,$ $w_{l}$) $\in C^{<n>}\cross C^{l},\cdot\Re u_{ij}>0$ ,

)

$\in$

120
$\Re(w_{k}-4n_{k}\sum u_{ij})>-2n_{k}n(n+1)-1(k=1, \ldots, l)\}$で$Z(A, B,\cdot((u_{ij})_{P))})2u_{ij}+1-w_{1}\ldots p^{2n_{l}n(n+1)+4n_{l}\Sigma u_{ij}+1-uj})$$= \sum_{(k_{\dot{t}j})\in z<n>})$と表される.

ここで $P(A, B,\cdot(k_{ij}))x_{1))}x\iota)$ は$x_{1)}x_{l}$の収束べき級数

である.

Theorem 3.1. ([Kal].)上の記号と仮定のもとで min$k_{ij}$

が十分大き

いとき
$P(AB\}’\cdot(k_{ij}))x_{1},$$\ldots,$$x_{l}$

ここで $c_{p,m,n}$ は $p,$ $m,$ $n$) $=c_{p,m,n}(1-p^{-1})^{n(n+1)/2+l}P(A, B)n;x_{1_{J}}\ldots,$$x_{l}$)

によって決まる定数である.

すなわち この結果は $P(A, B,\cdot n;x_{1,}x_{l})$ が本質的には$Z(A, B;((u_{i_{J}})\rangle p^{2\iota\iota n(n+1)+4n\iota\Sigma u_{ij}+1-w_{1}}7)$$p^{2n(n(n+1)+4r\iota\iota\Sigma t\iota+1-ev_{l}}\mathfrak{i}j$)$P^{u_{ij}}((i.j)\in I_{n})$

す.

)

$CD$

に関する Laurent 展開の係数として実現できることを示

この結果と [Des] を組み合わせると簡単な留数解析により次を得る.

Theporem 3.2. ([Ka2])$P(A, B,\cdot n;x_{1)}x_{l})\in Q(x_{1)}x_{l})$でありその分母のすべての因子は$1-p^{-c}x_{1}^{b_{1}}\ldots.x_{l}^{b_{l}}(c\in Z, b_{1}, \ldots, b_{l}\in N)$の形をしている.

我々の方法は 2 節の方法に比較して間接的である. しかし, $Z(A, B;(u_{\{j}),$ $u_{1)}u$}の形が比較的よくわかるために $P(A, B,\cdot n;x_{1)}\ldots, x_{l})$ について (それゆえについて)より詳しい惰報を得られることが多い.
ここでは, っぎの 2 っをあげる. なお, 次節も参照.

$Q(A, B;n;x_{1)}\ldots, x_{l})$121
Theorem 3.3. [Ka4] $A\in S_{m}(Z))B\in S_{n}(Z)$ とする.

このとき$\deg P_{p}(A, B,\cdot n;x_{1)}x_{l})\leq-l$がほとんどすべての$n_{i}i=1,$ $..,$$l$について成立する. とくに $B=diag(B_{1)}\ldots, B_{l})(\deg B_{\dot{l}}=$

$p$

) のとき
$\deg Q_{p}(A, B;n;x_{1}, \ldots, x_{l})\leq-2l$

これは,1 と [Den2] を組み合わせてできる. また具体的に

定理 3.

どのような $p$ にたいしてこの不等式が成立するかについては特別な場合には 4 節. 定理 4.

1 およびその系を参照されたい.

Theorem 3.4. [Ka3] $A\in S_{m}(Z_{p})\cap GL_{m}(Q_{p}),$ $B\in S_{n}(Z_{p})\cap GL_{n}(Q_{p}),$ $l=$$1,$

$n=(n)$ とする.

このとき,$Q(A, B; n,\cdot x)=\frac{R(x)}{(1-x)\Pi_{i=^{0}0}^{m}(1-p^{(n-i)(n+\dot{\iota}-m+1)}x^{2})}$

ここで $R(x)\in Q[x]$ で,$m_{0}= \min(n-1, [m/2])$ . とくに $m$ が偶数で $A$ がユニモジュラーのとき$Q(A\rangle B;n,\cdot x)=\ovalbox{\tt\small REJECT}(1-x)\Pi_{i=0}^{m_{0}}(1-(\epsilon p^{(n+i-m+1)/2})^{n-\dot{\iota}}x)S(x)$$\check{}\vee CS(x)\in Q[x]$て$\epsilon=(\frac{(-1)^{m/2}\det 2A}{p}I\cdot$

これは, $[Ki],[BS]$ $[H]$ 等の $Q(A, B,\cdot n, x)$ にたいする結果の精密化と)なっている.

122

4

$B$

が対角行列のときの精密な結果

この節では $B\in S_{n}(Z_{p})$ が対角行列) $n=(1, )1)$ のとき $P(A, B,\cdot n,\cdot x_{1}, \ldots, x_{n})$と $Q(A, B;n,\cdot x_{1)}\ldots, x_{n})$ の分母,

分子 に関する精密な結果を述べる.

$p\neq$2, $m\geq 2n$ を仮定する. $A\in S_{m}(Z_{p}))B=diag(b_{1)}b_{n})(b_{i}\in Z_{p}\backslash \{0\})n=$$(1, )$ ) とするとき, $P(A, B;n;x_{1) )}x_{n}))Q(A, B, n,\cdot x_{1)}\ldots, x_{n})$ はそれ
$1$

ぞれ

,

$P(A, B; n, x_{1}, \ldots, x_{n})=\sum_{r_{1},\ldots,r_{n}=0}^{\infty}\alpha(A, diag(b_{1}p^{2?1}, \ldots, b_{n}p^{2r_{r\prime}}))x_{1}^{?1}\ldots x_{n}^{?_{l}}’$$Q(A, B; n,\cdot x_{1,}x_{n})=.\sum_{7_{1},\ldots,r_{n}=0}^{\infty}\alpha(A\rangle diag(b_{1}p^{r_{1}}, \ldots, b_{n}p^{r_{n}}))x_{1}^{r_{1}}\ldots x_{n}^{r_{r\iota}}$と表される. 以下, 簡単のため, $P(A, B;n;x_{1)}\ldots, x_{n})=P(A, B,\cdot x_{1)}\ldots., x_{n}))$$Q(A, B, n)x_{1},$) $=Q(A, B, x_{1)}x_{n})$ と表す. このとき, 次が成立$\ldots,$$x_{n}$

する.

Theorem 4.1. (1) 上の仮定のもとで$P(A, B,\cdot x_{1)}x_{n})=D_{p,m,n}(x_{1)}x_{n})^{-1}R(A, B;x_{1)}\ldots, x_{n})$.

ただし $D_{p,m,n}(x_{1)}x_{n})$ は$D_{p,m,n}(x_{1)} \ldots, x_{n})=\prod_{\beta=1}^{n}\prod_{\gamma=1}^{n-\beta}\prod_{\{\dot{\iota}_{1},\ldots,i_{\beta+\gamma}\}\in\{1,\ldots,n\}}(1-p^{\beta(-m+n+\gamma+1)}x_{i_{1}}\ldots x_{i_{\beta+\gamma}})$$\cross\prod_{i=1}^{n}(1-p^{-m+n+1}x_{i})\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})$.

で $R(A, B)x_{1)}x_{n})\in Q[x_{1)}x_{n}]$ である.

(2) さらに,$A\in GL_{m}(Z_{p}))B=diag(b_{1)}b_{n})(b_{i}\in Z_{p}^{*}, pZ_{p}^{*})$

るとき$\deg P(A, B;x_{1) )}x_{n})\leq-n$

.

.

とす

123
とくに $A\in S_{m}(Z)\cap GL_{m}(Q))B=diag(b_{1}, \ldots., b_{n})(b_{\dot{l}}\in Z\backslash \{0\})$ のとき$\det A,$ $\det B$

を割らないすべての素数$p$にたいして,$P_{p}(A, B, x_{1)}\ldots, x_{n})\leq$-rt.

証明は, $P(A, B)x_{1,}x_{n})$ およびそれを修正したべき級数の間に成り立っ漸化式を用いて帰納法により行う. 詳細は [Ka5],[Ka6] を参照.の漸化式は [Ka5] では二次加群を用いて代数的に証明してあるが,の方法を用いた別証明もある.

なお,

こ

3節

仮定 $m\geq 2n$ は結果の記述を簡単

この仮定がないときの結果については [Ka6] を参にするためのもので,これより次を得る,

照.

Corollary. (1) 上の定理の仮定のもとで$Q(A, B,\cdot x_{1)}x_{n})=D_{p,m,n}(x_{1)}^{2}\ldots, x_{n}^{2})^{-1}S(A, B,\cdot x_{1)}\ldots, x_{n})$ただし,$S(A, B,\cdot x_{1)}x_{n})\in Q[x_{1,}x_{n}]$.

.

(2) さらに $A\in GL_{m}(Z_{p}),$ $B=diag(b_{1)}\ldots., b_{n})(b_{i}\in Z_{p)}^{*}pZ_{p}^{*})$ ならば$\deg Q(A, B, x_{1}\rangle , x_{n})\leq-2n$.

とくに $A\in S_{m}(Z)\cap GL_{m}(Q))B=diag(b_{1)}\ldots., b_{n})(b_{i}\in Z\backslash \{0\})$ のとき$\det A,$ $\det B$

を割らないすべての素数$p$にたいして,$Q_{p}(A, B,\cdot x_{1)}\ldots, x_{n})\leq-2n$.

最後に例をあげる

Example 1. $Q$ 係数の$\epsilon,$$x,$ $y$に関する有理式 $S(\epsilon, x, y),$ $T(\epsilon, x, y)$ をそれ

ぞれ$S(\epsilon, x, y)=(1-\epsilon y^{-k})(1-x)^{-1}(1-\epsilon y^{-k+1}x)^{-1}$$T(\epsilon, x, y)=(1+\epsilon y^{-k})(1-\epsilon y^{-k}x)(1-x)^{-1}(1-y^{-2k+1}x^{2})$と定義する.

124
Proposition 4.1. (1)$S(\epsilon, x,p)=Q_{p}(A, b;x)$が $\det A,$ $b \in Z_{p)}^{*}(\frac{(-1)^{k}\det A}{p}I=\epsilon$ を満たすすべての $p\neq 2,$ $k\geq 1$ , と$A\in S_{2k}(Z_{p}),$ $b\in Z_{p}$にたいして成立する.

(2)$T(\epsilon, x, p)=Q_{p}(A, b;x)$が $\det A,$ $b \in Z_{p)}^{*}(\frac{(-1)^{k}b\det A}{p})=\epsilon$ を満たすすべての $p\neq 2,$ $k\geq 1$ , と$A\in S_{2k+1}(Z_{p}))b\in Z_{p}$にたいして成立する.

Examples 2. $Q$ 係数の$U(\epsilon, \eta)x_{1},$$\epsilon,$$\eta;x_{1)}x_{2)}y$$x_{2},$$y$に関する有理式 $U(\epsilon, \eta;x_{1}, x_{2)}y)$ を) $=(1-\epsilon y^{-k})(1+\epsilon\eta y^{1-k})$$\cross(1-\epsilon y^{1-k}\eta(x_{1}+x_{2})+(y^{3-2k}+y^{1-k}\epsilon\eta)x_{1}x_{2}-y^{3-2k}x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})+y^{4-3k}x_{1}^{2}x_{2}^{2}\epsilon\eta)$$x(1-y^{2-k}\epsilon x_{1}x_{2})^{-1}(1-y^{3-2k}x_{1}^{2})^{-1}(1-y^{3-2k}x_{2}^{2})^{-1}(1-x_{1})^{-1}(1-x_{2})^{-1}$と定義する.

Proposition 4.2.
$Q_{p}(A, B;x_{1}, x_{2})=U(\epsilon, \eta)x_{1)}x_{2},$ $p$

が $\det A,$ $b_{1)}b_{2} \in Z_{p)}^{*}(\frac{(-1)^{k}\det A}{p}I=\epsilon,$$(\underline{b}_{\llcorner}p^{b_{2)}}=\eta$)を満たすすべての素数 $p\neq 2$ , 整数 $k\geq 2$ と $A\in S_{2k}(Z_{p}))B=diag(b_{1)}b_{2})$ にたいして成立する.

Proposition 4.1 は, [ ,Hilfssatz 16] の再定式化とな ている. またのときは Maafl[M] の結果の再定式化となっている.
Proposition 4.2 はいずれの場合も定理 4 . 1 の系よりも良い結果を与えている. Proposition
4.2 と同様のことは $n=2,$ $m=2k+1$ のときも成立する.
$S$$\epsilon=1$

っ125Remark:$S(\epsilon, x, p),$ $T(\epsilon, x, p))U(\epsilon, \eta;x_{1)}x_{2}, y)$は次の関数等式を満たす.
$S(\epsilon, x, y)=-x^{2}yS(\epsilon^{-1}, x^{-1}, y^{-1}),$ $T(\epsilon, x,p)=-\epsilon^{-2}x^{2}yT(\epsilon^{-1}, x^{-1}, y^{-1}))$$U(\epsilon, \eta;x_{1)}x_{2)}y)=\epsilon^{-2}\eta^{-2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}y^{3}U(\epsilon^{-1}, \eta^{-1} ; x_{1}^{-1}, x_{2}^{-1}, y^{-1})$

一般の $m,$$n$にたいしても上のような普遍的な有理式が存在し, 同様な関数等式を満たすと予想される.

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53-86.
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