数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 139-148

139

Periodic homeomorphisms on surfaces andsingular points of curves
佐賀大学・理工学部・数理科学科

廣瀬

進 (Susumu Hirose)

Department of Mathematics, Faculty of Science and Engineering
Saga University

1. INTRODUCTION

FIGURE 1
Dehn [7] showed that mapping class groups of closed orientable surfaces are generated by Dehn twists illustrated in the left hand of Figure 1 (precisely saying, a twist
illustrated is called a right handed Dehn twist), Lickorish [15] reduced the numberof generators and Humphries [13] showed that Dehn twists about the circles shownof , ain the right hand side of Figure 1 generate the mapping class group$\Sigma_{3}$$\mathcal{M}_{3}$closed oriented surface of genus 3. By the symbol , we also mean the right handeddefined by:
Dehn twist about the curve indicated by . Let be an element of, wheremeans apply first then apply . By using “Teruaki for
Mathematica“ $(T4M)$ , implemented by K. Ahara (Meiji Univ.) and T. Sakasai (Univ.
of Tokyo), we can check the action of on the simple closed curves shown in Figure 1
brings these simple closed curves back to their original position (offand see that
commutes with the Dehn twists about
course, up to isotopy). This means that
comthese simple closed curves, so, by the above mentioned result of Humphries,
$k$

$k$

$\phi=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 8$$i$$i\cdot j$$\mathcal{M}_{3}$$\phi$$j$$\phi$$\phi^{12}$$\phi^{12}$$\phi^{12}$is centerless,. Powell [18] showed that, if $g\geq 3,$
mutes with any elements of.
should bewhich commutes with any elements ofi.e. the element of
Therefore,. In this note, we will introduce a method to find a word of$\mathcal{M}_{3}$$\mathcal{M}_{g}$$\phi^{12}=id_{\Sigma_{\theta}}$

Dehn twists, which represent periodic map.

$\mathcal{M}_{g}$$\mathcal{M}_{g}$$id_{\Sigma_{g}}$140

For the detail of fact shown in this note, please see a preprint [12], which is available
from http: $//www$ . ms. saga-u. ac. $jp/\sim_{hirose}/work$ . html. Ftom the next section,

we write this note in Japanese. If you cannot read Japanese, please learn Japanese orcheck this preprint.

This research was partially supported by Grant-in-Aid for Encouragement of Young
Scientists (No. 16740038), Ministry of Education, Science, Sports and Culture, Japan.

2. NIELSEN による周期的写像の分類
以下,

で向き付けられた種数$\Sigma_{g}$$g$の閉曲面を表す. また, 特に断らない限りの同相写像は常に向きを保つものとする. 曲面$\Sigma_{g}$$\Sigma_{g}$上上の写像 $f$ が周期的 (periodic)

であるとは, 1 以上の整数 $n$ で $f^{n}=id_{\Sigma_{9}}$ なるものが存在することであり, そのような $n$ の内, 最小の数を $f$ の周期 (period) とよぶ.
いま,

$n$

を

については,$\Sigma_{g}$$f$上の周期的写像 $f$ の周期であるとする.

$\Sigma_{g}$を $n$ 回の作用させることではじめて元の位置に戻ってくるが, 中には

途中で元の位置に戻ってくるような点がある. つまり, 曲面$0<k<n$ なる整数て,上のほとんど全ての点$k$$\Sigma_{g}$

上のある点

$P$

で $f^{k}(p)=p$ となるものが存在してしまうのだが,のことを $f$ の multiple point とよぶ. また,$M_{f}$

に対し
この $P$

で $f$ の multiple point 全体の集合

を表す.
曲面
し,
で

$f$

$P$

$\Sigma_{g}$

の点の内,

$f$

でうつりあうものを同一視してできる空間をの軌道空間 (orbit space) という. このとき,の代表するもの回を対応づける写像ている. すなわち,$\Sigma_{g}/f$[ $f$ の multiple point ]$\in\Sigma_{g}/f$$\pi_{f}|_{\Sigma_{g}\backslash M_{f}}$

の点

$P$

に対して,

を考えると, これはのほとんど全ての点の上で$\pi_{f}$

は通常の

$n$

であらわ

$\Sigma_{g}/f$の点重分岐被覆となっ$n$

重被覆であるが,において分岐している. そこで, [ $f$ の multiple point]

を $f$ の branch point と呼び,らわす. このとき,$\pi_{f}$$\Sigma_{g}$$\Sigma_{g}/f$$B_{f}(=\pi_{f}(M_{f}))$:で $f$ の branch point 全体の集合をあ$\Sigma_{g}\backslash M_{f}arrow(\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f}$は通常の $n$ 重被覆となって

いる.
この

$n$

重被覆を記述する準同型$(\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f}$$\Omega_{f}$の点) を次の通り定める.

決める. 基本群$\pi_{1}((\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f}, x)$:$\pi_{1}((\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f}, x)arrow \mathbb{Z}_{n}$まず,$\pi_{f}(\tilde{x})=x$の元は $x$ を基点とするなる$\Sigma_{g}$

(ただし,

$x$

は

の点あを一つ$(\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f}$内の looP

141

$l$

:

の

$[0,1]arrow(\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f}$$\Sigma_{g}$上への lift

つまり$l(1)\sim$

で $l(O)=l(1)=x$ となるものによって記述される.

: $[0,1]arrow\Sigma_{g}$ で$l\sim$$l(0)=\tilde{x}\sim$

なるものを考えると,は $l(0)=\tilde{x}\sim$ の $f$ による軌道上にあるので, 整数のがある. そこで,$\Omega_{f}([l])=k\in \mathbb{Z}_{n}$$\pi_{1}((\Sigma_{9}/f)\backslash B_{f}, x)$の可換化すなわちと定める. このとき,$H_{1}((\Sigma_{g}/f)\backslash B_{f})$

から

$k$

この loop$l$$\pi_{f}(l(1))=l(1)=x\sim$ ,で $f^{k}(\tilde{x})=l(1)\sim$ なるも$\mathbb{Z}_{n}$$\mathbb{Z}_{n}$が可換群であるため^の準同型$\omega_{f}$が$\Omega_{f}$から誘導される.
2 つの$\Sigma_{g}$上の周期的写像 $f,$ $f’$ に対して, 同相写像のが存在するとき (つまり,同じであるとき),

$f$

$f$

$g$

で $f^{j}=g\circ f\circ g^{-1}$ なるもと $f’$ との違いが見かけ上だけで力学的な振る舞いがと $f’$ とが共役 (conjugate) であるという. (ちなみに,

Nielsenの論文では topologically equavalent と呼ばれている.)
周期的写像 $f$ の branch point たち $B_{f}=\{Q_{1}, Q_{2}, \cdots Q_{b}\}$ について,$Q_{i}$を中心とする (他の branch point を囲まない程度に) 十分小さい円周に時計回りの向きを入れたものを$S_{Q_{1}}$とする.

Theorem 2.1. [17] 閉曲面$\Sigma_{g}$上の 2 つの周期的写像 $f,$ $f’$ が共役であるための必要十分条件は次の 3 条件である.

(1) $f$ の周期 $=f’$ の周期,

(2)

$B_{f}$の点の個数 $=B_{f’}$ の点の個数,(3) $B_{f’}=\{Q_{1}’, Q_{2}’, \cdots Q_{b}^{j}\}$ の点の番号付けを適当にかえれば, 各 について $w_{f}(S_{Q}:)=$$i$$\omega_{f’}(S_{Q’}.)$

が成り立っ.

この定理より,$\theta_{i}=\omega_{f}(S_{Q}:)$

口と定めると, 列$[g, n;\theta_{1}, \cdots\theta_{b}]$で $f$ の共役類が完全に記述される. なお, 以下では, この列の代わりに, 等価な情報を与える total valencyと呼ばれるデータ $(n, \theta_{1}/n+\cdots+\theta_{b}/n)$ を用いる (ただし, この記述を用いる場合, どの種数の曲面上の周期的写像を考えているかは, あらかじめ断っておく必要がある).
この記述方法は, 足利正氏と石坂瑞穂氏 [5] によって導入されたものである. なお,

total valency に現れる分数はしばしば既約分数により表示される.

Introduction で述べられた周期的写像は, この表示を用いると, $(12, 1/12+2/3+1/4)$上の周期的写像である. 次の節では, この周期的写像の Dehn twist にと表される$\Sigma_{3}$よる表示を求める方法を述べる.

142

3. INTRODUCTION で述べた DEHN TwIST の積の 1 つの見つけ方
まずは, 一般的な状況を考える. すなわち,
し,

$f$

る.

の

branch point の個数を$\Sigma_{g}\cross D^{2}$の$\mathbb{Z}_{n}$

る

$b$

$b$

とする.

を

$f$

$D^{2}$

で上の周期 $n$ の周期的写像と$\Sigma_{g}$上の単位円板を表すこととす$\mathbb{C}$

上の $(x, t)arrow(f(x), \exp(2\pi i/n)\cdot t)$ で定義される同相写像は作用を定めるが,

この商空間$(\Sigma_{g}\cross D^{2})/\mathbb{Z}_{n}$$\Sigma_{g}\cross D^{2}$

は [ $f$ の branch point,

$0$

上

] で定ま

個の点を商特異点とする. これらの特異点を以下に述べる方法, Hirzebruch-Jungresolution, により解消する.
ここで,

$Q$

を $f$ の branch point で valency が1 点で交わる 2 本の線

応して,$L_{-1},$

を描き,$L_{0}$$\theta/n$であるものとする.

$L_{-1}$の脇にはを添えておくことにする. 以下では, 説明の都合上
もしも$k_{0}$$k_{0}$

が $n$ を割り切るならば,が $n$ を割り切らないときは,を書き加え,$n+k_{1}$が$L_{0}$

して,もしもと 1 点で交わりが $k_{t-1}$ を割り切るならば,$k_{i}$(「停止」). 一方,$k_{i}$

が$k_{i-1}$

線とは交わらない 1 本の線$L_{-1}$

小の自然数

の脇には

とは交わらない 1 本の線$k_{1}$$L_{i}$$\theta$$L_{1}$

をその脇に添えておまで既に書き加えたとこれ以上, 線を書き加えないことにするを割り切らないならば, 更に,$L_{t+1}$$L_{0}$

これ以上, 線を書き加えないことにする. 一方,

さらに, この操作を, 停止するまで続ける. すなわち,

く.

をと定めておくことにする.

$k_{0}=\theta$

で割り切れるような最小の自然数$k_{0}$$n$

これに対を書き加え,$k_{i-1}+k_{i+1}$

が$L_{i}$$k_{i}$と 1 点で交わり他ので割り切れるような最をその脇に添えておく. ここで, 各線に添えた数のことを, その線$k_{i+1}$と呼ぶ.

の multiplicity

ここまでの操作で得られた図に対して, 境界つきの 4 次元多様体を構成する. 線$L_{-1}$

き, 他の線$S_{i}$

2 次元円板 $B$ 上のに対しては,

上の$D^{2}$. に対しては,$L_{k_{*}}$と定めておく.

.

束 (この場合はただの直積) を構成してお2 次元球面亀上の束は Euler 数, すなわち
$S_{i}$$D^{2}$$S_{i}$$D^{2}$

束を構成しておく.

の自己交差数$s_{i}\cdot s_{:}$

2 次元球面により決定されるが,$S_{i}=^{L_{i}\text{と交差する直線の_{}i}multiplicity\text{の総和}}-\ovalbox{\tt\small REJECT}$

さらに,

2 本の線が交差するとき, それらの線に対応する

plumbing をとると, 境界つきの 4 次元多様体が得られ, その境界はおける $[Q, 0]$ の近傍の境界と同相である. そこで,に上で構成した 4 次元多様体を貼り付ければ,$[Q, 0]$$D^{2}$

束の$(\Sigma_{g}\cross D^{2})/\mathbb{Z}_{n}$にの近傍を取り除き, 代わり

1 つ商特異点が解消されたことになる.

143

この手段を, あと残りの $b-1$ 個の商特異点に対して適用すれば, 境界付き 4 次元多様体が構成できる. ただし, 以上の操作によって境界の微分同相型に変化がないことに注意せよ.

FIGURE 2. 自己交差数 $-1$ の球面を破線で囲んだ$l$

ここで, 問題となっているて上の構成を行うと,$\Sigma_{3}$上の周期的写像 $f=(12,$ 1/12+2/3+1/4$)$$(\Sigma_{3}/f)\cross 0\subset(\Sigma_{3}\cross D^{2})/\mathbb{Z}_{12}$に対しが Figure 2 の左上に描かれている

互いに横断的に交わる球面の和集合に置き換えられる. この絵において, multiplictyが 12 の球面は商空間
らに,$\Sigma_{3}/f$に, 他の球面は $f$ の branch point に由来している.

さ

Figure 2 に描かれている通り, 繰り返し blow-down することにより, 自己交

差数 $-1$ の 2 次元球面を完全に取り除く(大まかな言い方をすれば, この様な 2 次元

球面は null-homotopic な単純閉曲線に沿った Dehn twist に対応しているので, 余計なものとして取り除いている ?). すると, 最終的に,$(0,0)$

を孤立特異点とする平面

曲線 $x^{4}=y^{3}$ が得られる.
そこで,のモノドロミーを求めるのであるが, そもそも, モノドロミーとは$x^{4}=y^{3}$

何だろう : 写像$\Psi$:

線である. ここで,
めると,

写像

$\psi$$\mathbb{C}^{2}arrow \mathbb{C}$$\epsilon$

を十分小さい数とし,$L_{\epsilon}=S_{\epsilon}^{3}\cap\Psi^{-1}(0)$:$S_{\epsilon}^{3}-L_{\epsilon}arrow S^{1}$

を $\Psi(x, y)=x^{4}-y^{3}$ で定めると,を$S_{\epsilon}^{3}=${$\Psi^{-1}(0)$$(x,$ $y)\in \mathbb{C}^{2}|$

国が問題の平面曲$2+|y|^{2}=\epsilon^{2}$}, と定は結び目になっている (一般的には, 絡み目になっている).
$\psi(x, y).=\frac{\Psi(x,y)}{|\Psi(x,y)|}$で定義すると, これは,$L_{\epsilon}$の Seifert 曲面

144

をファイバーとするを $x^{4}-y^{3}=0$ の
ミーとは,$S^{1}$

上の曲面束となっている.

この fibration$\psi$:$S_{\epsilon}^{3}-L_{\epsilon}arrow S^{1}$

Milnor-fibration [16] と呼ぶ. 先に述べた, $x^{4}-y^{3}=0$ のモノドロ

この fibration のモノドロミーのことである.

モノドロミー自身は, 境界つきの曲面上定まっているが, 境界に円板でふたをしてそのふたの上に恒等写像によりモノドロミーの定める写像を拡張すると, 問題となっている $f$ と isotopic な写像が得られる. 従って, モノドロミーの Dehn twist 表示が得られれば,

の表示が得

$f$

られる.
ところで, 平面曲線 $x^{4}-y^{3}=0$ の特異点の周りが $(4, 3)$ -torus knot であることなどは, すでに,Milnor [16] によって知られていることであり, well-known とすべきところかもしれないが,$f$以外の周期的写像へのアプローチも考慮して目で見える形

で述べるのが目的であるので, あえて A’Campo の divide の理論 [2, 3, 4] を用いた方法を述べることにする. なお, 他にも, モノドロミーを求めるいろいろな方法があり, 例えば,

ロシアの数学者たちによる real morsification を用いた方法もあるそうである (Gusein-Zade [1] の方法などを参照).

まずは,$x^{4}-y^{3}=0$を特異点の近所で pertub する. そのために, 合田洋氏 (東京農工大学), 平沢美可三氏 (名古屋工業大学), 山田裕一氏 (東京電機大学) による論文 [10] の方法を述べることにする. なお, 以下の説明では, Figure 3 を参照していただきたい. まずは, 横の長さが力$\grave{\grave{1}}y$

$x$

のべき

(この場合 4) に等しく, 縦の長さのべき (この場合 3) に等しい長方形を描き, 縦横の長さが 1 の正方形に分割する. この長方形の右上の角から正方形の対角線を描き, 長方形の縁に到達するまで延長し, 長方形の縁で 90 度反射させ, 更に延長し, 長方形の縁に達したら 90 度反射

させ... を長方形の角に到着するまで繰り返す.

このようにして描かれた対角線をつなぎ合わせた線画の角を丸めたものが perturb された $x^{4}-y^{3}=0$ の図である. これは, 単位円板に proper にはめ込まれた曲線とみなすことが出来,

dinide と呼ばれるものの一種とみなせる.

単位円板 $D$ 内に proper かつ generic (横断的な 2 重点のみを交点として許容している) にはめ込まれたコンパクトな 1 次元多様体 $P$ を divide とよぶ.

Divide $P$ に対し, 次の様にして絡み目 $L(P)$ が定まる :$L(P)=\{(u,v)\in TD|u\in P, v\in T_{u}P, |u|^{2}+|v|^{2}=1\}\subset S^{3}$

.

145

$arrow$

FIGURE 3$P$のを Figure 3 の右側に書いた divide とすると, $L(P)$ は $x^{4}-y^{3}=0$ の特異点の周り$L_{\epsilon}$に isotopic である. ここで,Figure 3 において水平方向の座標を 「高さ」 とみなすことにすると, $P$ の高さ関数に極大値と極小値が唯一っづっあると見ることが出来る. 高さ関数に関して, このような性質が成り立つ divide を ordered Morse divideと呼ぶ. Ordered Morse divide に対しては, O. Couture, B. Perron [6] や, 合田洋氏,
平沢美可三氏, 山田裕一氏 [10] による, $L(P)$ 自身とそのファイバー曲面を目で見る方法がある. まず, 問題の divide を Figure 4 の左側のように, 平行に走った破線のFIGURE 4
上に描く. さらに, 同じ Figure の右側のように, 各破線に対して, 一枚づっ円盤を描き, divide 上の各交差点に対して, 手前にーっ, 奥にーっねじれたバンドを貼り付
け,

さらに, 極大点と極小点の各々に対して, -っねじれたバンドを貼り付けることにする.

こうして出来た曲面 $F(P)$ の境界が $L(P)$ であり, $F(P)$ はファイバー結び

目 $L(P)$ のファイバー曲面である. ここで, あとの説明の都合上, $F(P)$ を Figure 4

146の下の様に変形しておく. この曲面は境界成分が 1 つある種数 3 の曲面であり, その壌界を円盤でふさいで得られる閉曲面と Figure 1 に描かれている曲面との間の同相写像を, 番号付けられた閉曲線が互いに対応するものとして定めておく.

3 次元球面内の曲面 $R$ が 2 つの$S^{3}$$S^{3}$

内の曲面$R_{1},$$R_{2}$の村杉和であるとは, 以下の条件を満たすことである;(1)$R=R_{1} \bigcup_{\Delta}R_{2}$

すものとし,(2)$S^{3}$, ただし, 2 次元円盤

ここで$\mu\iota$(resp.

$v_{i}$) は$\bullet$(resp.

$R_{1}$

内に次の条件を満たす 3 次元球体$\bullet$

は $\partial\Delta=\mu_{1}\cup\nu_{1}\cup\cdots\cup\mu_{n}$ 火$\Delta$$B_{1},$$B_{2}$$R_{2}$

Gabai $[8, 9]$ は,であるならば,$R_{2}\subset B_{2}$$(S^{3}, \partial R)$$R_{1}$と$R_{2}$

であり, さらにが亮を fiber としの村杉和 $R$ について

) 上の proper arc である.

,

$R_{1}\cap\partial B_{1}=R_{2}\cap\partial B_{2}=\Delta$$\phi_{i}$

を満た

がある:

$B_{1}\cup B_{2}=S^{3},$ $B_{1}\cap B_{2}=\partial B_{1}=\partial B_{2}=S^{2}$$R_{1}\subset B_{1},$$\nu_{n}$.

を monodromy とする fibered link$(S^{3}, \partial R)$

が $R$ を fiber としmonodromy とする fibered link であることを示した. Figure 5 に描かれた$\phi_{1}\cdot\phi_{2}$$S^{3}$を内に埋FIGURE 5
め込まれた annulus を $(positive)Hopf$ band と呼び, その境界を (positive) Hopf linkと呼ぶ. (Psitive) Hopf link は (positive) Hopf band をファイバーとする fibered linkであり, その monodromy は core となっている曲線に沿った right handed Dehn twist
である.

Figure 4 において,$B_{i}$

で$i$を core とする Hopf band を表すと, $F(P)$ は$B_{i}$

でGabai の結果より $L(P)$ の monodromy が 6あることが分かり, $f=(12,1/12+2/3+1/4)$ の right handed Dehn twist による表の村杉和となっており,$\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 8$

示が求まった.
論文 [12] において, 種数 4 以下の有向閉曲面上の周期的写像の Dehn twist による表示を完全に求めた. 中には, 上記の方法で表示の得られるものも複数存在する.

しかし, 商空間に対して Hirzebruch-Jung resolution を適用し blow-down を繰り返して

147

も, 平面曲線の孤立特異点に帰着しない場合が少なからずあり, その場合は手と計算機で直に扱っている. ここで挙げた方法を一般化し, 全ての周期的写像の Dehn twist
による表示を求める (このような短いノートで, 方法がほぼ完全に述べられる程度に)容易な方法を開発することが望まれる.

Acknowledgments. The author would like to express his gratitude to Professors

Tadashi Ashikaga, Ikuko Awata, Hisaaki Endo, Mikami Hirasawa, Masaharu Ishikawa,
Mizuho Ishizaka, Yukio Matsumoto, Haruko Nishi, Yoshihisa Sato, Shigeru Takamura
and Yuichi Yamada for fruitful discussions and comments, and to Professors Kazushi
Ahara and Takuya Sakasai for their useful program “Teruaki for Mathematica”.
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