数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 98-108

98

THE AUTOMORPHISM GROUP OF THE ACYCLIC CLOSURE OF
A FREE GROUP
東京大学大学院数理科学研究科 逆井卓也 (Takuya Sakasai)
Graduate School of Mathematical Sciences,
The University of Tokyo

1. はじめに
本稿は多様体の微分同相 (のアイソトピー類) の一般化のひとつとしてその多様体の間のホモロジー同境を考えたとき, それらをどのように分類したらよい力\searrow ということをテーマとしています. 前半はそのための道具である群の acyclic closure と呼ばれる概念の説明を行い, 後半はそれを使って境界つき曲面などの基本群が自由群となるような多様体に対し, 自由群の acyclic closure やその自己同型群との関連を見ます. このように, 現在のところ主に代数的なアプローチをとっていますが, この対象はそれだけでは捉えきれないとい
うこともわかっており, 今後はより位相的, 幾何的な方法で研究をしていきたいと思っています.

2. STALLINGS の定理と多様体のホモロジー同境
群 $G$ に対し, そのホモロジーは Eilenberg–Ma.$cL\bm{t}e$ 空間 $K(G, 1)$ (i.e. $\pi_{1}K(G, 1)=G$ ,$i\geq 2$ に対し $\pi_{i}K(G, 1)=0$ となる弧状連結な空間) を用いて, $H_{l}(G):=H_{*}(K(G, 1))$ によって定義されるが, 低次の部分に関しては, 任意の $\pi_{1}X=G$ なる弧状連結な空間を用いて,$H_{1}(G)$$:=H_{1}(X)=G/[G, G]$ ,$\pi_{2}Xarrow H_{2}(X)Hurewiczarrow H_{2}(G)arrow 0$(完全列)によって定義することもできる. (詳しくは [2] を参照)
群準同型 $f$ : $Aarrow B$ が 24 結であるとは, $f$ が誘導するホモロジーの間の準同型$f$ : $H_{*}(A)arrow H.(B)$ が 1 次のところで同型かつ 2 次のところで全射であることをいう. 次の Stallings の定理は本稿で中心的な役割を果たす.

定理 2.1 (Stallings [14]). $A,$ $B$ を群とし, $f$ : $Aarrow B$ を 2-連結な準同型とするとき,$f$: $N_{k}(A)arrow N_{k}(B)$は任意の $k\geq 2$ に対し同型となる.
ここで群 $G$ に対し $N_{k}(G)$ は $G$ の 番目のべき零商であり, $G$ の降中心列を亡 $(G)=G$ ,$\Gamma^{i}(G)=[\dot{P}^{-1}(G), G](i\geq 2)$ で定義したとき, $N_{k}(G):=G/(\Gamma^{k}(G))$ によって与えられる.
以下, 連結な空間 $X$ に対し $N_{k}(X):=N_{k}(\pi_{1}X)$ と書くことにする.
Stallings の定理のトポロジーへの応用として, 次のような状況を考える. 以下, 多様体はすべて滑らかであるとする. $X$ をコンパクトで向き付けられた多様体とする. 技術的に簡$k$99単にするため, $X$ は連結かつ境界を持つとする. $M$ を $X$ から自分自身への標識付きのホ
モロジー同境とする. 具体的には, $M$ は向き付けられた多様体であり, 標識と呼ぶ 2 つの埋め込み $i+,$: $Xarrow M$ があり,
$i_{-}$

(1)
(2)
(3)
(4)

$i+$

は向きを保ち,$i_{-}$

は向きを保たな $Aa$$\partial M=i+(X)$ 俺 $i_{-}(X)$$i_{+},$ $i_{-}$

かつ $\iota_{+}(X)$ 寡仁 $(X)=i+(\partial X)=i_{-}(\partial X)$ ,: $Xarrow M$ はホモロジーの同型を誘導する,$i_{+}|_{\theta X}=i_{-}|_{\partial X}$

を満たしているようなものを考える. このような 3 つ組 $(M, i_{+}, i_{-})$ を $X$ 上のホモロジー
シリンダーと呼ぶことにする.
やの定義に必要な基点は $i_{+}(X)$ 寡 $i_{-}(X)$ 上に共
通にとることにする.
$\pi_{1}X$$\pi_{1}M$

FIGURE 1. $X$ 上のホモロジーシリンダー
2 つのホモロジーシリンダー $-(M, i_{+}, i_{-}),$ $(M’, i_{+}’, i_{-}’)$ が同型であることを, 微分同相$\varphi$:$Marrow\underline{\simeq}M’$

定める.

$X$

であって $\varphi\circ i+=i_{+}’,$ $\varphi\circ i_{-}=i_{-}’$ を満たすものが存在することとして上のホモロジーシリンダーの同型類のなす集合を $C(X)$ と書くことにする.
C(X)$ に対し,$(M, i_{+}, i_{-}),$ $(N,j+’ j_{-})\in$(M, i_{+}, i_{-})\cdot(N,j+,j_{-})$$:=(M \bigcup_{t_{-}^{-1}\text{。}j+}N, i_{+},j_{-})$と定めることで $C(X)$ にはモノイドの構造が入る. $C(X)$ の単位元は (X $xI$ ,id $x\{1\}$ , id $x\{0\}$ )(角を解消し, (id $x\{1\}$ )と $(id\cross\{0\})(\partial X)$ を $(id\cross\{1/2\})(\partial X)$ まで半分つつ伸ばして$(\partial X)$

くつっけておく) で与えられる. いま, このモノイド $C(X)$ の構造を調べたい.
先に述べた群の低次のホモロジーの定義より, $(M,i_{+}, i_{-})\in C(X)$ に対し,$\pi_{1}M$ は 2-連結となっていることがわかる. よってStallings の定理より, 各 $k\geq 2$ に対し$N_{k}(X)arrow N_{k}(M)\simeq$ となり, 写像$\iota_{+,i_{-}:\pi_{1}X}arrow$$i_{+},$ $i_{-}:$$\sigma_{k}$: $C(X)arrow Aut(N_{k}(X))$$((M,i_{+},i_{-})\mapsto(i_{+})^{-1}\circ i_{-})$

はモノイド準同型となっており. こうして $C(X)$ の構造を構成することができる. このを代数的に調べる 1 つの手法が得られる.
$\sigma_{k}$例 2.2.
を $X$ の微分同相で境界上恒等写像となるもののアイトソピー類のなす群とする. このとき,$\mathcal{M}(X)$$\mathcal{M}(X)arrow C(X)$$([\varphi]rightarrow(X\cross I,id\cross\{1\},\varphi\cross\{0\}))$

100という写像が定義され, これは準同型となる. この準同型とのへの作用$\sigma_{k}$の合成を考えると, それは$\pi_{1}X$$\mathcal{M}(X)$$\sigma:\mathcal{M}(X)arrow Aut(\pi_{1}X)$から誘導される自然な準同型と一致する.
注意 2.3. 例 22 で見た準同型 $\mathcal{M}(X)arrow C(X)$ は必ずしも単射とは限らない. 実際,$Ker(\mathcal{M}(X)arrow C(X))$ のとき, 定義から
は擬アイソトピー (pseudo isotopy) と呼ばれるものになる (とくに, 恒等写像とホモトピックである). 擬アイソトピーが必ずアイソトピーとなるかどうかは, $X$ の位相的性質に強く依存する. 一方で, $X$ が曲面のとき, 擬アイソト$[\varphi]\in$$\varphi$

ピーは必ずアイソトピーとなることが知られているため, $\mathcal{M}(X)arrow C(X)$ は単射となる.
この節のおわりに, モノイド $C(X)$ から群を構成する 1 つの方法を述べる. $(M, i_{+}, i_{-})$ ,$(N,j+,j_{-})\in C(X)$ がホモロジー同境であることを, 向き付けられたコンパクトな多様体
$W$

であって
$(1)(2)$

埋め=]‘\Delta み$Marrow W,N^{+}arrow\cup(-N)/(i(x)$W=j は (ホモロ (‘“)‘–=x の同型) を誘導する,$\sqrt{}$を満たすものが存在することとして定義する. $C(X)$ のホモロジー同境類のなす集合をには $C(X)$ から積構造が誘導され, 群となる. $(M, i_{+}, i_{-})$ の逆元はとすると,$\mathcal{H}(X)$$\mathcal{H}(X)$$(-M, i_{-}, i_{+})$

で与えられる. 上で述べた$\sigma_{k}$$\sigma_{k}$は群準同型: $\mathcal{H}(X)arrow Aut(N_{k}(X))$

を誘導することが確かめられる.

3. 群の ACYCLIC CLOSURE
前節でみた準同型$\sigma_{k}$: $C(X)arrow Aut(N_{k}(X))$$(k\geq 2)$に制限した (引き戻した) ものを考えると, それらは : $\mathcal{M}(X)arrow$$Aut(\pi_{1}X)$ からすべて誘導されていた. いま, これと同様なものが $C(X)$ に対しても存在す
るかどうかを考えてみたい. っまり, 下の図式を可換にするような $??$ ? に入るべきものはに関して$\sigma_{k}$を$\mathcal{M}(X)$$\sigma$何力\searrow という問題を以下考える.
$\sigma_{k}$: $C(X)arrow$

$??$

?

$arrow Aut(N_{k}(X))$$\mathcal{M}(X)\uparrowarrow^{\sigma}Aut(\pi_{1}X)\uparrow|\wedge:arrow Aut(N_{k}(X))\Vert$$\sigma_{k}$:$:= \lim_{arrow}N_{k}(X)$ を使うというのべき零完備化
この問題のひとつの答えとして,ものがある. 実際, 群 $G$ が有限生成であるとき, Bousfield [1] によってとなることが示されており, $Aut(G^{ni1})$ から $Aut(N_{k}(G))$ への自然な準同型を構成することができる. しかしながら, 一般にべき零完備化は集合として濃度が大きくなってしまい, 扱
いが難しくなる. そこで, 以下では Levine による群の acyclic closure と呼ばれる概念を導たち
入し, それを用いて, 集合として適度な大きさの群の自己同型群として, すべての$\pi_{1}X$$\pi_{1}X^{ni1}$$N_{k}(G)\underline{\simeq}N_{k}(G^{ni1})$$\sigma_{k}$を誘導する準同型を実現する.

101
群の acyclic closure の定義とその基本的性質については定義 3. 1 以降に述べるが, その定義は一見複雑なため, まず少し寄り道をしてその背景にあるものを述べたい.
$(M, i_{+}, i_{-})\in C(X)$ に対し, $Aut(\pi_{1}X)$ の元を自然に対応させることができれば何の問題が大もない. しかしながら一般にはそれは無理であり, その最も大きな原因として$r_{\pi_{1}M}$

きくなりうる」 ということが挙げられる.

$\pi_{1}X_{\frac{\prime\neg\{xi+}{i-}}\pi_{1}M$

そこで $\pi_{1}M$ がどのくらい大きくなるかを以下の考察を通して 「下から評価」 してみる.

いま, $X$ の次元は 2 以上であるとする. $(M, i_{+}, i_{-})\in C(X)$ から別の $C(X)$ の元を構成を接し, その基本群を調べてみる. まず, $M\cross\{1\}\subset MxI$ に 個の 1-ハンドルの接着球面果を, 2-ハンドル
着する. そのあとで, 同じく 個の 2-ハンドルが境界において代数的な交差数に関して $(a_{t}, b_{j})=\delta_{ii}$のベルト球面と 1-ハンドル$k$$k$$h_{1}^{2},$$h_{k}^{2}$$h_{1}^{1},$$\ldots h_{k}^{1}$$h_{:}^{2}$$\ldots,$$b_{j}$$h_{j}^{1}$を満たすように接着する. こうしてできた多様体$W$$:=M\cross I\cup h_{1}^{1}\cup\cdots\cup h_{k}^{1}\cup h_{1}^{2}\cup\cdots\cup h_{k}^{2}$の境界において, $M=M\cross\{0\}$ の反対側にできた多様体を $M’$ とする (i.e. $\partial W=M\cup-M’$ ).

$M$

FIGURE 2. 多様体 $W$
このとき, 接着に関する条件から, $H_{*}(W, M)=0$ であることがわかり, Poincar\’e-Lefschek
双対性を使うなどすれば, $H_{*}(W, M’)=H_{*}(M’, i_{\pm}(X))=0$ となることを従う. これより,$i_{-})\in \mathcal{H}(X)$ となっている)$i_{-})=(M’,$$(M’,i_{+}, i_{-})\in C(X)$ となる. (実際, $(M,$$i_{+},$$i_{+},$

ンドルに対応する基本群の元をいま, $\pi_{1}W$ を調べてみると, 個のたとき, 2-ハンドルの接着に関する条件から$k$$w_{1},$ $\ldots,$$1-\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash$$x_{1},$$\ldots$,$x_{k}$$w_{k}\in Ker(\pi_{1}M*\langle x_{1}, \ldots, x_{k}\ranglearrow proj\langle x_{1}, \ldots, x_{k}\ranglearrow H_{1}(\langle x_{1}, \ldots, x_{k})))$

とし

102
を用いて
$\pi_{1}W=\frac{\pi_{1}M*\langle x_{1}.’\ldots,x_{k}\rangle}{\langle x_{1}w_{1}^{-1},..,x_{k}w_{k}^{-1}\rangle}$の形に書ける. 逆にこのような形の群はすべて $\pi_{1}W$ として実現される. $W$ の次元は 4 以上であるから自然な準同型 $\pi_{1}M^{j}arrow\pi_{1}W$ は全射となり (次元が 5 以上なら同型), その意
味で $\pi_{1}M’$ の「下からの評価」 が得られた.
以上の考察を踏まえて, 群の acyclic closure を導入する. 群の acyclic closure (HE-closureとも呼ばれる) という概念は, 群の algebraic closure という概念の類似として Levine によって [8, 91 において定義されたが, これを扱った文献は少ない. 以下, その定義と基本的性質について簡単にまとめるが, 必要な議論や証明は [8] の中の algebraic closure に関するもの
を適宜書きかえることによって得られる. ([31 も参照)$v$

定義 3.1. $G$ を群とし,$F_{k}$$:=\langle x_{1}, \ldots, x_{k}\rangle$(1) Ker $(G*F_{k}arrow projF_{k}arrow H_{1}(F_{k}))$ の$k$の自由群とする.

を階数

$k$

個の元

$w_{1},$ $w_{2},$$\ldots$,$w_{k}$

に対し,$x_{1},$ $x_{2},$$\ldots$,$x_{k}$

を変数とする “方程式”(S) :$\{\begin{array}{l}x_{1}=w_{1}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k})x_{2}=w_{2}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k})x_{k}=w_{k}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k})\end{array}$を考える. 方程式 (S) を acyclic system と呼ぶ.
(2) $G$ 上のすべての acyclic system (んもすべて動かす) に対してその “解” が一意的に存在するとき, $G$ は acyclically closed (以下, AC と略記する) であるという. ここで, acyclic systemの解とは図式を可換にする準同型
例 3.2. 群 $G$ の元$g_{1},$$\varphi$のことである.

$g_{2},g_{3}$に対し,$\{\begin{array}{l}-1-1x_{1}=g_{1}x_{1}g_{2}x_{2}x_{1}x_{2}x_{2}=x_{1}g_{3}x_{1}^{-1}\end{array}$

は $G$ 上の acyclic system となっている.
$(x_{1}, x_{2})=(g_{1}g_{2},g_{3})\backslash$$G$が可換群のとき, この system は唯一の解を持つ.

例 32 から容易に想像がつくように, 一般に可換群は AC である. また, AC-群の中心拡
大や直極限, 射影極限もまた AC-群であることを示すことができる. とくに, べき零群やべ
き零完備化が AC であることが従う. 以下は AC-完備化というべき事実である.
定理 3.3. 任意の群 $G$ に対し, 次を満たす群

一意的に存在する:(1)$G^{acy}$は AC-群.

$G^{acy}$と準同型$\iota_{G}$: $Garrow G^{acy}$ が同型を除いて

103(2) $f$ : $Garrow A$ を $A$ が AC 群であるような準同型とするときな準同型 $f:G\sim$ acy $arrow A$ が一意的に存在する.

$\overline{f}\circ\iota_{G}=f$をみたすよう定理 3.3 で得られるを $G$ の acyclic closure という. $G$ eCy は, 体から代数閉体を作る方法と同様にして, まず $G$ にすべての $G$ 上の acyclic system の解を付け加え, その後で解の$G^{acy}$

一意性が得られるようにしかるべき部分群によって商をとることによって得られる. とくに, $G$ が集合として可算であれば $G^{acy}$ もまた可算であることがわかる.
群の acyclic closure は次のような著しい性質を持つ.
定理 3.4. (1) 任意の群 $G$ に対し, acyclic closure: $Garrow G^{acy}$ は 2-連結.
(2)を有限生成群,を有限表示可能な群とする. このとき, 任意の 2-連結な準同型
acy を誘導する.
: $Aarrow B$ は acyclic closure の同型 :$A$$\iota_{G}$

$B$

$f$

$f\sim$$A^{a_{W}}arrow B\underline{\simeq}$

定理 3.4 (1) と Stallings の定理から, 任意の群 $G$ に対し,$\iota_{G}$:$N_{k}(G)arrow N_{k}(G^{xy})\underline{\sim}$となることがわかる. 以後この 2 つを同一視する.
注意 3.5. 一般には acyclic closure への準同型
は単射とは限らない. 例えば, $G$ が完全群
(i.e. $G=[G,$ $G]$ ) のとき, 自明な準同型 $Garrow\{1\}$ は 2-連結となり, $G^{acy}\cong\{1\}^{W}=\{1\}$ となる. 一方で, $G$ が residually nilpotent (i.e. $\bigcap_{k\geq 2}\Gamma^{k}(G)=\{1\}$ ) のとき, べき零完備化への準同型 $Garrow G^{ni1}$ は単射となるので, この準同型がの単を経由することを用いると射性が得られる. とくに, 自由群
は residually nilpotent であり,
は単射
:
となる.
$\iota_{G}$$\iota_{G}$$\iota_{G}$$F_{k}$

例 3.6.

$\iota_{F_{k}}$において, 準同型

$F_{2}=\langle x_{1}, x_{2}\rangle$$\psi$:$F_{2}arrow F_{2}$$F_{k}arrow 1F_{k}^{acy}$を$\{\begin{array}{ll}x_{1} \mapsto x_{1}x_{2}x_{1}x_{2}^{-1}x_{1}^{-1}x_{2} \mapsto x_{2}\end{array}$で定義すると,はは同型でない 2-連結準同型となっている. したがって定理 3.4 (2) より$F_{n}-F_{n}^{acy}$
同型を誘導する. 定理 3.3 で述べた acyclic closure の普遍性と,であることを用いると, 一般に$\psi$$\psi$$\tilde{\psi}:F_{2}^{acy}arrow F_{2}^{acy}$$Aut(F_{n})\subset${となっていることがわかる. 上の$\varphi:F_{n}arrow F_{n}$$\tilde{\psi}$, 2-連結}\rightarrow Aut(Fnw)

は $Aut(F_{2}^{acy})\backslash Aut(F_{2})$ に属する元の例となっている.

この節のはじめで述べたことに話を戻すと, $X$ 上のホモロジーシリンダー $(M, i_{+}, i_{-})$ にの acyclic closure を用いて $Aut(\pi_{1}X^{W})$ の元を対応させることによ対し,り, モノイド準同型$i_{+}^{\sim-1}\circ i_{-}^{\sim}$$\pi_{1}X$$\sigma^{W}$が得られ, これは群$\mathcal{H}(X)$$\sigma_{k}$: $C(X)arrow Aut(\pi_{1}X^{acy})$を経由する. こうして, 可換図式

: $C(X)-^{\sigma^{*y}}Aut(\pi_{1}X^{acy})arrow Aut(N_{k}(X))$$\mathcal{M}(X)\uparrowarrow^{\sigma}Aut(\pi_{1}X)|arrow Aut(N_{k}(X))\Vert$$\sigma_{k}$:が得られた. 次の問題として以下が挙げられる.

104
問題 3.7. いろいろな多様体 $X$ に対し, $Aut(\pi_{1}X^{acy})$ の構造を調べ, 準同型: $C(X)arrow$$Aut(\pi_{1}X^{acy})$ についてその像を決定せよ. また,: $\mathcal{H}(X)arrow Aut(\pi_{1}X^{acy})$ の核はどうなっているか.
$\sigma^{acy}$$\sigma^{acy}$

4. 群のホモロジーシリンダー
この節では, (いくつかの仮定の下で) ホモロジーシリンダーの構成を群のレベルで行うことによって, 群の acyclic closure の自己同型群が自然に現れることを見る. このことは,前節において 「 $??$ ? に入るべきもの」 として群の acyclic closure の自己同型群を用いたことの正当性に関するひとつの根拠を与えている.
以下, 群 $G$ は有限表示可能かつ residually nilpotent であると仮定する. ( $G=F_{n}$ の場合$Garrow A$ からを想定している) いま, 有限表示可能な群 $A$ と 2 つの 2-連結準同型
が同型なる 3 つ組を考える. そのような 3 つ組たち$\varphi+,$ $\varphi_{-}:$$(A, \varphi+’\varphi_{-}),$$(A, \varphi+’\varphi_{-})$であることを, 同型写像$\rho:Aarrow A^{l}\simeq$$(A’, \varphi_{+}’, \varphi_{-}’)$

で図式
$A$

$G\varphi\varphi_{+}’\nearrow_{\rho}^{+}\backslash 1^{\simeq}\backslash _{G}\nearrow\varphi’-\varphi-$$A’$を可換にするようなものが存在することとして定める.
類のなす集合とする.

をこのような 3 つ組の同型$\mathcal{A}(G)$に対してはべき零商, べき零注意 4.1. Stallings の定理により, 任意の完備化の同型を誘導する. ここで, $G$ が residually nilpotent であるという仮定を用いると,$Farrow G$ は単射であることが従う.
$(G, \varphi+’\varphi_{-})$$\varphi+,$$\varphi+’\varphi_{-}$$\varphi_{-}:$$\mathcal{A}(G)$の上に$\mathcal{A}(G)x\mathcal{A}(G)$$arrow$$\mathcal{A}(G)$

$w$

$w$

$((A,\varphi_{+},\varphi_{-}), (B, \psi_{+},\psi_{-}))\vdasharrow$

によって積構造を定義する. ここで, $A*GB$ は$Garrow^{\varphi-}$$\psi_{+}\downarrow$$\varphi_{-}$$(A*GB, \varphi_{+},\psi_{-})$と$\psi_{+}$

の融合積

$A$

$\downarrow$$Barrow A*GB$が単射であることより, 群の融合積に関するホモによって構成されるものである.
ロジーの Mayer-Vietoris 完全系列が使え, 上の写像は well-defined となる. この写像によっは ( $G$ , id, id) を単位元とするモノイドになる.
てに積構造が入り,$\varphi_{-},$$\mathcal{A}(G)$$\psi+$$\mathcal{A}(G)$の元を構成例 4.2. $G$ の 2-連結準同型 : $Garrow G$ に対し, ( $G$ , id, ) を考えることでへの単射モノイド準同することができる. この対応は 2 連結準同型のモノイドから$\varphi$$\mathcal{A}(G)$$\varphi$$\mathcal{A}(G)$型となっていることが容易に砲かめられる.

105
2 つの

$\mathcal{A}(G)$の元$(A, \varphi+, \varphi_{-}),$$(B, \psi_{+}, \psi_{-})$

がホモロジー同境であるということを, ある有限表示可能な群 $C$ と 2-連結な準同型$\Phi$: $Aarrow C$,$\Psi:Barrow C$

であって図式$A$$\varphi+\nearrow\downarrow\nwarrow^{\varphi-}$

$G$

$C$

$G$

$\varphi’+\backslash _{B}f\sqrt{\varphi’-}$を可換にするようなものが存在することとして定める.
をホモロジー同境による関には係が生成する同値関係で割って得られる商を
から誘導
とおくと,
される群構造が入る. 実際,の積はホモロジー同境類を保ち,の逆元は$\mathcal{A}(G)$$(A, \varphi+, \varphi_{-})$$\mathcal{A}(G)$$(A, \varphi_{-}, \varphi+)$$\mathcal{A}(G)$$\mathcal{B}(G)$$\mathcal{B}(G)$で与えられる.

さて, ホモロジーシリンダーのときと同様,—1$\tau:\mathcal{A}(G)arrow Aut(G^{acy})$と定めると,$\tau$$((A,\varphi+,\varphi_{-})rightarrow\varphi+ \circ\overline{\varphi_{-}})$

はモノイド準同型となり, 群$\mathcal{B}(G)$を経由する.

定理 4.3 ([12]). $G$ を有限表示可能で residually nilpotent な群とするとき,$Aut(G^{acy})$ は同型.

$\tau$:$\mathcal{B}(G)arrow$

この定理の証明は Levine [8] によって与えられた $G$ からはじまって $G^{uy}$ に収束する有限表示可能な群と 2-連結な準同型の列を用いて $Aut(G^{acy})$ の元を 「近似」 することで得られる.

例 4.4. 例 36 で述べた 2-連結準同型$\psi$:$F_{2}arrow F_{2}$に対し,$\tau(F_{2}, id, \psi)=\tilde{\psi}$.

5. 曲面上のホモロジーシリンダーと DBHN-NIELSBN 型の定理のこの節では, $X$ が向き付けられた種数 の閉曲面から開円板を 1 つ除いた曲面上のホモロジーシリンダーの研究は Goussarov [5], Habiro
場合に問題 3.7 を考察する.
[6], Garoufalidis-Levine [4], Levine [101 に起源をもち, clover や clasper を用いた有限型不変量との関係とともに理論が構築されていった. 本研究はこれらをきっかけとしている.
図 3 のようにの生成系をとると, 境界を 1 周する
7’ はと表される.
については, 恒等写像とホモトピックな微分同相は恒等写像にアイソトピックであは単射とることが知られているので, 注意 23 で述べたことと併せて,なることが従う. いま考えたい可換図式$\Sigma_{g,1}$$g$$\Sigma_{g,1}$$\pi_{1}\Sigma_{g,1}\cong F_{2g}$$K1/$$\zeta$$\prod_{i=1}^{g}[\gamma_{1},\gamma_{g+i}]$$\Sigma_{g,1}$$\mathcal{M}(\Sigma_{g,1})arrow C(\Sigma_{g,1})$$\sigma_{k}$: $C(\Sigma_{g,1})-\sigma^{ey}Aut(F_{2g}^{acy})arrow Aut(N_{k}(F_{2g}))$$\mathcal{M}(\Sigma_{g.1})Jarrow^{\sigma}Aut(F_{2g})Jarrow Aut(N_{k}(F_{2g}))||$$\sigma_{k}$

:

106

FIGURE 3. 曲面$\Sigma_{g,1}$とその基本群の生成系$\{\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{2g}\}$において, これまでに以下の事実が知られていた.

定理 5.1 (Dehn-Nielsen).

$\sigma$:$\mathcal{M}(\Sigma_{g,1})arrow Aut(F_{2g})$は単射で,${\rm Im}\sigma=\{\varphi\in Aut(F_{2g})|\varphi(\zeta)=\zeta\}$.

定理 5.2 (Garoufalidis-Levine [4]). 各 $k\geq 2$ に対し,${\rm Im}(\sigma_{k} :C(\Sigma_{9^{1}},)arrow Aut(N_{k}(F_{2g})))$$=\{\varphi\in Aut(N_{k}(F_{2g}))|\varphi$と $rx$

る. .

$\}\iota\hat{\varphi}\cdot.F_{2g}arrow F_{2g}l^{i\text{存在する}}\hat{\varphi}(\zeta)\equiv\zeta mod \Gamma^{k+1}(F_{2g})$

の

$1)$

フ

$\}$

なお,
や ${\rm Im}(Aut(F_{n})arrow Aut(N_{k}(F_{n})))$ については, 写像類群や $Aut(F_{n})$ に対する Johnson 準同型の像の決定と等価であり, 重要な未解決問題となっている ([11] や [13] を参照).
本稿における主定理の 1 つ目は以下に述べる
上のホモロジーシリンダーに対するDehn-Nielsen 型の定理であり, 定理 5.1, 5.2 のひとっの一般化となっている.
${\rm Im}(\sigma_{k} :\mathcal{M}(\Sigma_{g,1})arrow Aut(N_{k}(F_{2g})))$$\Sigma_{g,1}$

定理 5.3 ([12]).

$\sigma^{acy}$:$C(\Sigma_{g,1})arrow Aut(F_{2g}^{acy})$に関して,${\rm Im}\sigma^{acy}=\{\tilde{\varphi}\in Aut(F_{2g}^{acy})|.\tilde{\varphi}(\zeta)=\zeta\in F_{2g}^{acy}\}$.

証明は定理 5.2 の証明に帰着させることが鍵となるが, $F_{2g}arrow N_{k}(F_{2g})$ が全射であるのに対し,は単射という大きな違いがあるので, いくつかの点で注意が必要となっている. それを回避するために acyclic closure の性質をうまく使う必要がある.
$F_{29}arrow\text{」_{}2g}^{acy}$

注意 5.4.
はの場合と異なり,
上においても単射とはなっていない.
例として, 自明なホモロジーシリンダー $(\Sigma_{g,1}\cross I, id\cross\{1\}, id\cross\{0\})$ にとホモロジー$Y$
同境でないホモロジー 3 球面を連結和して得られるホモロジーシリンダー$I)\#Y$, id $x\{1\}$ , id $x\{0\}$ ) は非自明な Kerの元となっている. さらに, 準同
型 :Ker飛であって, $\rho(((\Sigma_{g,1}\cross I)\#Y, id\cross\{1\}, id\cross\{0\}))=0,$
がの中で$\mathcal{M}(\Sigma_{g,1})$$\sigma^{acy}$$\mathcal{H}(\Sigma_{g,1})$$S^{3}$$((\Sigma_{g,1}\cross$$\sigma^{acy}(\subset \mathcal{H}(\Sigma_{g,1}))$$\sigma^{acy}arrow$$\rho$${\rm Im}\rho$$\mathbb{R}$稠密かつ無限生成となるようなものを Atiyah-Patodi-Singer のか不変量を応用することで構成できることがわかっている. Kerからは,によって代数的部分を取り除いた位相的部分として, 非常に興味深い対象となっている.
$\sigma^{a_{W}}$6.

$(\#\mathfrak{n}(S^{1}xS^{l}))\backslash Int(D^{l+1})(l\geq 2)$$\mathcal{H}(\Sigma g,1)$$\sigma^{acy}$上のホモロジーシリンダーと $Aut(F_{n}^{uy})$

前節に続いて, この節では $X=(\# n(S^{1}\cross S^{l}))\backslash Int(D^{l+1})(l\geq 2)$ の場合について述べる. $l=1$ のときは $(\# n(S^{1}\cross S^{1}))\backslash Int(D^{2})=\Sigma_{n,1}$ であるから, この節の内容は前節の高次元化とみることができる. 可換図式

107
: $C(X)-\sigma^{\iota cy}Aut(F_{n}^{acy})arrow Aut(N_{k}(F_{n}))$$\sigma_{k}$$\mathcal{M}(X)\uparrowarrow^{\sigma}Aut(F_{n})Jarrow Aut(N_{k}(F_{n}))\Vert$$\sigma_{k}$:に関連して, $l=2$ のときは次のことが知られている.
定理 6.1 (Laudenbach.[71). $l=2$ のとき,

(1) 恒等写像とホモトピックな $X=(\# n(S^{1}\cross S^{2}))\backslash Int(D^{3})$ の微分同相は恒等写像にア
イソトピックである. とくに, $\mathcal{M}(X)arrow C(X)$ は単射.
(2) $\sigma:\mathcal{M}(X)arrow AutF_{n}$ は全射.
主定理の 2 つ目は以下のとおり.
定理 6.2. (1) 各 $k\geq 2$ に対し, 自然な準同型 $Aut(F_{n}^{acy})arrow Aut(N_{k}(F_{n}))$ は全射.
(2) 各 $l\geq 2$ について
: $C(X)arrow Aut(F_{n}^{a\epsilon y})$ は全射.
$\sigma^{W}$

証明は大筋は定理 53 のものと同じであるが, 次元が高くなったため, 後半の議論 (定理 52の証明に帰着させたあと) はこちらの方が易しくなっている.

7. 課題
おわりに, 自由群の acyclic closure に関して懸案となっている問題を挙げる.
問題 7.1.

$F_{n}^{acy}$

や $Aut(F_{n}^{W})$ は有限生成か ?

についても有限生成かどうかわかっていない. たとえこれらが有限生成でなかったとしても, うまい生成系を見つけることができたらよいなと思う.

$C(\Sigma_{g,1})$や$\mathcal{H}(\Sigma_{g,1})$

問題 7.2. 自然な準同型
この単射性は問題 7.3.

$F_{\mathfrak{n}}^{acy}$$H_{3}(F_{\mathfrak{n}}^{acy})$$p_{n}warrow F_{\mathfrak{n}}^{ni1}=(F_{n}^{acy})^{ni1}$は単射か ?

が residually nilpotent であるということと同値である.

を決定せよ.

定理 3.4 で見たように,:は 2-連結であるから $H_{1}(F_{n}^{acy})=H_{1}(F_{n})=\mathbb{Z}^{n}$ ,$H_{2}(F_{n}^{acy})=H_{2}(F_{n})=0$ となっている. ちなみに, [12] においてボルディズム群を用いることにより, 全射$\iota_{F_{n}}$Ker$F_{n}arrow F_{n}^{acy}$$(\sigma^{acy} :C(\Sigma_{g,1})arrow Aut(F_{2g}^{a\epsilon y}))arrow H_{3}(F_{2g}^{acy})$が構成されているが,が非自明かどうかさえわかっていないので, この準同型の効力もまたよくわかっていない.
$H_{3}(F_{2g}^{acy})$

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