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複素数係数の 2 次方程式の解の公式とその活用
さわはた澤幡みちまさ通正伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊

特集 教材研究伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに両辺の実部と虚部を比較すると，

数学Ⅱの内容複素数と方程式では，扱う 2次方程式の係数はすべて実数としている。また，
数学Ⅲの内容複素数平面では，定数項に虚数はあるが，その問いかけは方程式∼の解を求めよ。の形で扱っており，方程式の前に次数はつけていない。しかし，複素数係数の 2 次方程式まで解の公式を作成しておき，それを導く過程を問うことで，2020 年度からの新テストでは十分扱うことが……③2=q……④である。
④ より，=()=qとして，両辺を 2 乗すると
2q4つまり ⋅(− )=−可能であると考える。
まず，高校の範囲内で複素数係数の 2 次方程式まで解の公式を作成してみよう。

q
4……⑤③，⑤ より， ，−  は次の 2 次方程式の実数解である。
q=04t − pt−§2．解の公式a，b，c は複素数とし，a0 とする。このとき，…… ⑥⑥ の判別式を D とすると，
D= p +q ≧0

2 次方程式az +bz+c=0……(＊)(＊) の両辺に 4a を掛けると

t=

4a z +4abz+4ac=0

(2az+b) =b −4ac……①

よって，2 次方程式 (＊) を解くことは，① の方程式を解くことと同値である。
ここで，2az+b=Z，b −4ac=D とおくと，2 次方程式 ① はZ =Dp± D2

したがって左辺を z に着目して平方完成すると
となり，2 次方程式 ⑥ は実数解をもつ。
よっての解を求めることを考える。
 − = p……②を解けばよい。
Z=+i，D= p+qi (，，p，q は実数) とおい

 =
つまり

=±



− p+ Dp+ D
，=±2
2である。
このうち，④ を満たす組 (，) は，

 p+2 D ， − p+2 D ，
− p+2 D ，− − p+2 D (，)=て，② に代入すると



(+i)= p+qi左辺を展開して整理すると

p+ D
− p+ D， =22である。

 − +2i= p+qi17よって，方程式 ① の解は，複素数の範囲内で重解も例】を作成した。複素数係数の 2 次方程式の解の公含めて 2 つあることがわかった。

式の作り方も学習できるのではないかと考える。出

したがって，方程式 az +bz+c=0 の解は，題する場合は適宜空欄を作ればよい。

2az+b=+i，a0 より【問題 1 】(2018 − =ReDを満たすものとする。

1
= ImD
2(高等学校数学科用

数学Ⅲ (数研出版)

P 23 例題 3 で z を z−1 と改題)
判別式を D とするとについて，次の問いに答えよ。ただし，i は虚数単位である。
方程式 ① が実数解をもつように α が動くとき，
略【問題 2 】(2018数学Ⅲ大・理系)，数研出版

入試問題集(18九州P 10)

α を複素数とする。等式

数単位である。

2+(+i)2

ただし，， は実数で⑵を満たす複素数 z をすべて求めよ。ただし，i は虚よって，求める解は【作問例】

 − =4……①=2 3……②を満たす。
② より， ⋅(− )=−12 とすると， ，−  は 2次方程式 t −4t−12=0 の実数解である。
よって，
 =6， =2であるから
=± 6 ，=± 2
このうち，② を満たす組 (，) は(，)=( 6 ， 2 )，(− 6 ，− 2 )である。
したがって，2 次方程式 z −2 z− 3 i=0 の解は，
2+ 6 + 2 i 2− 6 − 2 iz=，22
入試での出題を見ると，次の【問題 1 】のように問いかけが複素数 z の方程式∼となっており，高校の範囲内ではこの問いかけが限界であろう。【問題 1 】は，α=+i (， は実数) とおけばよく，【問題 2 】は 2 次方程式ではないが，この問題においても z と α を同様におくことでも解ける。どちらにしても【例】を経験しておけば十分であろう。なお，
参考までに花子さんと太郎さんの対話形式で【作問18……①α( z +2)+i(2  α +1)z=0

D=(−2)−4⋅(− 3 i)=4+4 3 iz=東北

点 α が複素数平面上に描く図形を図示せよ。

2 次方程式 z −2 z− 3 i=0 を解け。

【解説】z −αz+2i=0⑴§3．問題例【例】

入試問題集(18P 17)

α を複素数とする。複素数 z の方程式

ただし，， は実数で，D=b −4ac のとき，

数学Ⅲ大・理系)，数研出版−b+(+i)
z=2a

ある日，花子さんと太郎さんのクラスでは，数学の授業で次のような課題が出された。次の会話は共同して解くために，放課後に交わされたものである。
【課題】

次の 2 次方程式を解きなさい。

z −2iz−1− 3 i=0
花子：授業では，係数が実数の場合は 2 次方程式は解の公式を使えば，複素数の範囲ですべて解けることは証明したわね。
太郎：この問題は，係数が虚数だから解の公式を使わないで解くことになるのかな。
花子：そうね。でもちょっと解の公式を使ってみましょうか。判別式を D とすると，
D=(−2i)−4⋅1⋅(−1− 3 i)=4 3 iであり，z=2i± D2となるね。
太郎：根号内に虚数があるのは見たことがない…。
花子：根号内が負の数なら，虚数を使って表せることは習ったわ。
太郎：このままでは  D の意味がわからないなあ。
だから，解の公式を使わないで解くことになるのだ
ろうね。根号記号が出てこないところまでさかのぼってみればよいのかな。

花子：今日の授業で a，b，c は実数とし，2 次方程式

=a +b+c=0 の解を求めるときに，両辺に 4a を掛けて，左辺を平方完成し，(2a+b)=b −4acと整理したよね。その後，D=b −4ac とおいて，D の符号が正，負，そして 0 の 3 つに分けて考えたわね。最終的に 2 次方程式の解の公式は 1 つに整理

=−花子：それなら，課題の 2 次方程式の左辺をここまで変形してみましょうよ。

 12 12，=−22花子：求める 2 次方程式の解は，z−i=+i より，z=可能だね。

だね。

したけれども。
太郎：ここまでの変形は，係数が複素数の場合でも 12 12，=または22

 122+ 12 122− 12+i，−+i2222と求まるね。
太郎： 2 次方程式の解が求まるのはうれしいけれど，係数が複素数になったとたんに，解の形がこれでは，…ね。

太郎：( z−i)=i +1+ 3 i，つまり，花子：解の公式は作れそうだけど，根号内に虚数が( z−i)= 3 i となるね。
花子：これに似た方程式は，複素数の極形式を利用して解いたことがあるわ。でもここでは，， を実数として，z−i=+i とおいて， と  の値を求めればよいようね。

入る場合の意味がよくわからないわね。根号をとるまえに複素数解をもつと仮定して本当に求められた。
だからこれが求める解である，という流れだったね。
太郎：アハハ。2 次方程式の解は，係数が複素数の範囲でもその解は複素数の範囲内にある，と推測で太郎：左辺に代入して整理するときるね。

 − +2i= 3 i
この等式が成り立つための条件は，i は虚数単位で[追記]
平成 30 年度 東北大学 理学部 数学系 AO 入

 − ，2 は実数だから，試Ⅱ期の第 2 問に次のような問題が出題された。

 3 − =0 かつ =2i を虚数単位とするとき，以下の問いに答えよ。

が成り立つね。
 33花子：=より，()=だから，24 ⋅(− )=−太郎： − =0 から =± として，= 3に代入すると ± =2うち， =

 32

 は実数だから，この 3が成り立つ。これでも同じ答えが
2

=±複素数 z が z +(3+3i)z+(−6+2i)=0 を満⑶a，b，c を複素数の定数とし，a0 であるとする。このとき a +b+c=0 を満たす複素数 z《参考文献》〔 1 〕 数学Ⅲ，数研出版〔 2 〕 2018

数学Ⅲ

P 23

入試問題集，数研出版

P 10，P 17〔 3 〕 平成 30 年度 AO 入試問題集P 23
http://www.tnc.tohoku.ac.jp/images/news/得られるね。
花子：そうね。どちらにしても，=±⑵が存在することを示せ。

3=0 が作れるね。
4略たすとき z を求めよ。

3とすると，  と −  を解にもつ
42 次方程式 t −⑴



 12，
2



 12と解けるわね。
2

2018_AOkakomon2.pdf(東北大学入試センター)(茨城県水戸葵陵高等学校)

太郎：この ， の 4 つの組み合わせのうち，
= 3を満たすのは，
219