必要・十分条件と必要十分条件の指導

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はじめに導，授業研究について共有できたらと思い筆をとった。私自身の授業研究を紹介していきたい．

必要条件，十分条件，必要十分条件は大学入

ここでは定義に従って，集合に着目して解説

試頻出分野で，問題の解き方のパターンがいろをして解説したこと，またパワーポイントのアいろなところで解説されている．

ニメーションを使うことによって理解度上がっ

また出題形式といえば，たとえば次のように，たことを紹介したい．

『n が自然数のとき，n が 6 の倍数であることはn が 3 の倍数であるための条件である』というようなクイズ形式で，この解き方はパターン化していて，2n が 6 の倍数である =⇒ n が 3 の倍数である

なぜ必要条件，十分条件というのかと矢印をかき，この命題は真であり，また逆にn が 3 の倍数である =⇒ n が 6 の倍数である

必要条件，十分条件の定義は，2 つの条件 pと矢印をかき，これは偽であるから，答えは十，q について，命題 p =⇒ q が真であるとき，p分条件である，となる。

は，q であるための十分条件である，q は p であるための必要条件であるという．

生徒の方は，答えが出ればそれがよいわけで，この問題の意味について深くは考えようとしな

つまり，い．答えを埋めればそれでよいという状態になっている．単に答えを求めるだけでで，この先どp(十分条件) =⇒ q(必要条件)ういう応用がまっているのかも述べられていないので，はっきりいってこの問題を解いたら終である．この表現のうらに隠された本質的な意わりである．

味について，なぜ必要条件，十分条件といわれしかし，必要，十分条件はその後数学を解くるのか考えよう．

過程において目立たないが礎になっている．入
試問題でも同値 (必要十分条件) をきちんと示

まず命題が真であるとは教科書に解説されてさないと，正解を与えないあえて同値性に気づいるように，条件 p,q を満たすものの集合 P ，くかを試している問題もたくさん出題されていQ について，命題 p =⇒ q が真であるとき，る．だからこそ，この分野については，きちんP ⊂Qと理解をして論理力を鍛えないといけないということである．また数学 I の最初の方にでてくるというというのもその重要さ故だと考える．

が成り立っているということである．またこのまた生徒もなぜ必要条件，十分条件という名部分集合 P ，Q を考える以上もちろんこれらを前がついているのかもきちんと理解できていな

包む全体集合があるわけで，生徒にまず意識さい生徒も多い．そこでこの必要条件，十分条件のせたのは，P ，Q を包む全体集合 U を考えさせ授業準備研究をしていく中で，生徒がこの意味ることである．つまりこれらの命題とそれぞれを理解して私自身が授業で手応えをつかんだ指の条件の意味は次のようにまとめられる．.

1
緩い条件，十分条件は強い条件ということもい

この十分条件，必要条件の意味は，P ，Qえる．これらを意識させて解説させ，生徒が問を包む全体集合 U を考え，全体集合 U 要

題演習するときも上記のやり方によって作文を素の x が集合 P に属するには Q に属する作らせることによって，生徒の理解度が飛躍的ことが (少なくとも) 必要で，Q に属するに伸びた．には集合 P に属していれば十分．だから pが十分条件で，q が必要条件といわれる所以である．
ということである．この解説ではあまりには抽a = 3 は，a2 = 9 であるための条件である．

象的であるので，もっと身近な話題で解説した．
たとえば次のようなものである．

まずは矢印を使った命題の形にかえる．つ

神戸市民であることは，兵庫県民であるための練習問題

2.1

まり，条件である．ここでまずは神戸市民と命題いう集合 P ，兵庫県民という集合を Q，そして

p : a = 3 =⇒ q : a2 = 9

P と Q を含むような全体集合，たとえば日本を考える．条件 p を満たす集合 P は実数が 3 で人の集合 U という集合を考える．そして日本ある集合，つまり，P = {3}，条件 q を満たす人の集合 U から１人の日本人を考え，この日集合 Q は 2 乗したら 9 になる実数の集合，つ本人が神戸市民といわれるには兵庫県民の集合

まり Q = {3，− 3} である．明らかに，P ⊂ Qに属することが少なくとも必要で，兵庫県民でであるので，この命題は真である．またこの命あるには神戸市民の集合に属していれば十分で題の逆は，Q ̸⊂ P なので偽である．よって答えあるという意味である．また逆は，兵庫県民 Qは十分条件である．
この意味について，文章にして考えよう．全̸⊂ 神戸市民 P であるので，逆は成り立たない．

体集合 U をたとえば，実数全体としよう．ある

よって答えは十分条件となる．

U の元，x ∈ U をとり，x が Q に属するには，冒頭で述べた具体例に関しても，全体集合 UP に属せば十分で (x が 3 であれば十分で)，Pを自然数の集合として (別に実数の集合や整数に属するには，Q に属することが少なくとも必の集合でもかまわない)，この U から１つの自要である (つまり，x が 2 乗して 9 になる実数然数 n を選んで，この自然数 n が 6 の倍数の集の集合 Q に属していることが少なくとも必要)

合に属するには 3 の倍数の集合に属することがという意味である．

少なくとも必要で，また自然数 n が 3 の倍数の集合に属するには少なくとも 6 の倍数の集合に3属していれば十分であるということである．

必要十分条件 (同値) とはどういう意味か

このように，次に必要十分条件 (同値) について，これはど(1) 全体集合を考える．

ういう意味か解説する．定義は次の通りである．

(2) 全体集合の元 (主語) は何であるかをはっ

2 つの命題「p =⇒ q 」，「q =⇒ p」がともにきりさせる．

真であるとき，(3) その元が与えられた条件の集合に属する

p ⇐⇒ qには少なくとも何が必要で，どこに属しと表し，p は，q であるための必要十分条件とていれば十分であるかを考える．

いう．また，q は，p であるための必要十分条が十分条件，必要条件の本質である．以上の解件でもある．p ⇐⇒ q であるとき，p と q は同説からわかるように，どちらかというと必要は値でもあるともいう．このとき，すなわち P の2

すべての元が Q に属し (P ⊂ Q)，かつ Q のす

よって，
「p:8 割以上の点数をとる =⇒ q:資格べての元が P に属している (Q ⊂ P ) であるの試験に合格する」も真で，しかもその逆「q:資で，条件 p,q を満たすものの集合 P ，Q につい格試験に合格する =⇒ p:8 割以上の点数をとる」て，P = Q が成り立つ．

も真であるから，条件 p と q は，お互い必要十分条件で，同値である．つまり，授業で用いた具体例は次のようなものである．

「8 割以上の点数をとった人の集合 P 」

8 割以上が合格の資格試験があったとする．全∥体集合を受験した人全員とし，「資格試験に合格した人の集合 Q」

命題：p:8 割以上の点数をとるが成り立っているということで，集合 P と Q=⇒

は，人数はもちろんのこと，中の人まで同じでq:資格試験に合格するあるということである．

を考える．この命題の意味は，「8 割以上の点数つまり，をとった人すべては，資格試験に合格する」という意味で，この場合，真であり，教科書の定条件 p と q が必要十分条件 (同値) とは，義をそのまま適用すると，「資格試験に合格す条件 p と条件 q と見た目は違うけど (表現めの必要条件になるという数学特有の表現で，こそ違うが)，条件を満たす集合は同じ

理解することが難しい文章になってしまう．そということを生徒に理解させた．

る」ことは，「8 割以上の点数をとる」であるた



ちなみに，世間一般でいう (日常会話でいう)こで集合の登場である．受験した人が，「8 割以上の点数をとった人の集合 (P )」に属するには， 「合格の必要条件は，8 割以上の点数」といういい方には，合格するには 8 割以上の点数が必少なくとも「資格試験に合格した人の集合 Q」に属することが必要であるということであり，要であるし，8 割以上の点数をとれば合格する

また「資格試験に合格した人の集合 Q」に属すという意味が含まれており，実は数学でいう必るには「8 割以上の点数をとった人の集合 (P )」要十分条件の意味で使われていたということでに属すれば十分であるということである．

ある．

さて，今度は先ほどの命題の逆を考えよう．
つまり，

3.1

命題：q:資格試験に合格する=⇒

必要十分条件の具体例 (2 次方程式)『x2 − 3ax + a = 0 の 2 つの実数解が 2 つもp:8 割以上の点数をとる

正となるような a の値の範囲を求めよ．
』といを考える．これもまた真である．よって，十分う 2 次方程式の問題を考える．2 次関数とみなして解くこともできるが，ここでは基本通り方条件，必要条件を考えることができ，「8 割以上程式で解くことにしよう．の点数をとる」ことは，「資格試験に合格する」

この問題を解くときは，まず判別式 D で実ための必要条件であり，「資格試験に合格する」数をもつための条件を求める．つまり，D =99a2 − 4a > 0 と解いて，a < 0, a > をだ
4す．次に，2 つの実数解がともに正である条件

ことは，「8 割以上の点数をとる」ための十分条件となる．これは，受験した人が，「資格試験に合格した人の集合 Q」に属するには，「8 割以上を，2 つの解を α，β とおき，解と係数の関係の点数をとる人の集合 P 」に属することが少なを使って，くとも必要であるし，ある人が「8 割以上の点数をとる人の集合 P 」に属するには，「資格試験α + β = 3a > 0に合格した人の集合 Q」に属しておけば，十分であるということである．

かつ

αβ = a > 0として，これらの共通部分の範囲が，2 つとも3正の解をもつ条件だったはずである．つまり，求める範囲は a > 94 である．
ただどうして，2 つの解が正のとき，α+β > 0，α · β > 0 で置き換えて解いてよいのか．和が4最後に正という条件であると，2 つのうち 1 つが負であっても成り立つので，もう一つ条件を加えた必要条件，十分条件を考えるとき，矢印を引というふうに理解をしている人も多いのではな

いて，左から右が成り立つかのみを考え，穴埋いだろうか．これらの 2 つの式をみただけで，め問題に正解するかどうかに終始した問題が多

なんとなく解が共に正ということがいえている

いが，しっかり定義の意味を考え，命題の意味ような気がする．これを理解することこそが，することを考えていくことが大事である．問題

同値 (必要十分条件) を考えることなのである．

を解くときに必要，十分条件を考えられるようつまり，2 つの解 α，β がともに正に習慣づけをつけることが大事である．受験の⇐⇒パターンに終始して，答えが出ればよいのでは

α + β > 0，かつ，α · β > 0

なく，きちんとこの必要条件，十分条件の独特がいえるということで，表現こそ違うが，『2 つな言い回しを平易な文に書き直して理解して，の解 α，β がともに正である集合』と『α +β > 0

常に問題を解くときにイメージをもてるように，α · β > 0 を満たす集合』が同じであるというしておかないといけない．

ことを示せばよい．これは図 1 をみれば一目瞭

最 後 に で あ る が ，私 が 授 業 で 使った然で，集合が同じであるから同値で，2 つの解パ ワ ー ポ イ ン ト の ファイ ル を 自 身 の サが正のとき，α + β > 0，α · β > 0 で置き換えて

イ ト「 高 校 動 画 参 考 書 (http://essential-

解いてよいということがいえたのである (ただし，境界は含まない)．もちろん，αβ 平面で考

math.main.jp/visitors/hdougasankou/)」に掲載している．ご興味がのある読者の方は一度アえること自体，両者が実数であるという前提がクセスしていただいたら幸いである．

あってこそである．この置き換えには，本来このような意味があったのである．
α>0 かつ β>0ββ= ‑ αα

図 2: 高校動画参考書の QR コードα+β>0αβ>0

参考文献

図 1: 解の条件式の同値性[1] 『数学 I』(数研出版)

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