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ピタゴラス数と５の倍数
ないとう

内藤

やすまさ康正伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊

特集 教材研究伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．
0，1，4，5，6，9 だけの足し算

アルキメデスが円に内接，外接する正 96 角形を0，1，4，5，6，9 の 6 つの数を考えます。この中の 2 数を加えた (2 桁になるときは一の位の) 数が再びこの中のどれかになる足し算を考えます。例えば，1+4=5や4+6=0 がそうです。組み合わせを調べると，次の表の通り， 0 か 5 を使わないわ
けにはいかないことに気づきます。
和014569001456911×56×0445×90×556901466×01×5990×45×

数学Aで学ぶ整数の性質で， 5 の倍数に関してはその判定法が一の位が 0 または 5 であること以外の記述はありません。小学校のときから馴染んでいる上，以後活用する機会も少ない 5 の倍数に光を当てて生徒たちを合同式まで案内するささやかな試みを紹介したいと思います。

作って 3110<π<3という円周率の評価を得た
771

ことは有名ですが，東京大学の問題も円周は内接する多角形の周長より長いという平凡な事実を用いて示すものです。内接する多角形は正多角形から始めて，正 6 角形では π>3 しか得られませんから次は正 12 角形で，というのが自然な流れでしょうか。
調べてみると，正 8 角形でも π>3.05 という評価が得られることがわかります。
い ず れ に せ よ  2− 2 や  2− 3 の 値 の 評 価が必要になります。

§3．直径 26 の目論見
東京大学の問題を試験会場でどのように解くのが賢明かという立場ではなく，あとからのんびり味わおうという趣向ですが，半径 13 の円を利用してという条件の目論見は次のような解法を期待したからです。
座標平面において，原点 O を中心とする半径 13の四分円で考えます。

§2．東京大学の問題
新入生に対して入学前の春休みに次のような自由課題を課したことがあります。
問題 1⑴

円周率 π とは何か？

⑵

π>3.05 であることを，平成 26 年にちなんで直径 26 の円を利用して示せ。

この四分円において，5 点
A(0，12)，B(5，12)，C(9，9)，D(12，5)問題とともに，格子をかき入れた直径 26 の円をそして E(12，0) をとると，印刷して出題したところ，多くの力作が得られまし3+4=5 と 5+12=13た。半径 13 の意図を見破ったレポートもありました。円周率が 3.05 より大きいことを証明せよは2003 年の東京大学の前期入試問題です。の 2 つが効いてAB=BC=CD=DE=5となります。ですから

9一の位で考えるということは 10 を法とした合同(四分円弧の長さ)>(折れ線 ABCDE の長さ)
より式に他なりませんから，授業の展開においても合同13π>4×52式へのスムーズな橋渡しが期待できると思います。

よって直ちに
π>40>3.05
13§5．５を法とした合同式という評価を得るのです。点 C が円の内部にあるというのが，無理数さえ用いない簡単な計算で済ませる鍵となります。円周全体で考えれば円に内接しない 12 角形を用いたことになります。
そして，本稿でクローズアップしたいのが，評価に用いた線分の長さがすべて 5 であることです。
a+b =c  を満たすピタゴラス数 a，b，c には5 の倍数が必ず含まれており，そのことを活かしたアイディアだったのです。

5 を法とした合同式で考えると次のように更にシンプルになります。 5 を法としたときの整数の平方は
 (±1)≡1




0 ≡0

(mod 5)(mod 5)ですから，平方剰余は 1，4 のいずれかになります。
つまり，a，b ，c  は 5 で割ると余りは 0，1，4 のいずれかであって，2，3 にはならないということです。すると，a，b ，c  のいずれも 5 の倍数でないとすると§4．一の位で実験・観察a≡±1，b ≡±1，c ≡±1

問題 2(mod 5)ということですから，a+b =c  になる組み合わピタゴラス数には 5 の倍数が必ず含まれるかどうか調べよ。

せがないことは一目瞭然です。
さて，平方剰余が ±1 ならば 4 乗剰余は 1 のみでこのような“True or False ?”形式で生徒に投げかけた結果得られた，最も素朴な解答の要点が冒頭の計算なのです。すべての自然数は，その平方の一の位を調べると次の表のようになります。
n01234n014916 25 36 49 64 81

一の位014965566798491

平方数の一の位は 0 を除けば 5 を中心に左右対称で，す。これを活かす手がないか考えてみました。すると，ピタゴラス数 (互いに素とします) がa=m−n，b=2mn，c=m+nで表せることから abc が 5 の倍数であることを示せばよく，4 乗剰余が利用できそうです。実際に，もし m，n がともに 5 で割り切れなければ，m≡n≡1 (mod 5)ですから，abc=(m−n)(2mn)(m+n)

これは平方剰余の大切な性質です。結局，自然数の=2mn(m−n)

平方どうしの計算は一の位に着目すると0，1，4，5，6，9だけで考えればよいことになります。したがって
a+b =c  という計算が成立するとすれば，平方数 a，b ，c  のいずれかの一の位には必ず 0 か 5 が含まれるというのが冒頭§1. の結論ですから，ピタゴラス数には 5 の倍数が必ず含まれることが証明できました。
実験や観察によって法則を予測・発見し，証明し，それを活用するという流れは，演繹に偏りがちな普段の授業では味わえない大切な過程です。整数論に偉大な業績を残したオイラーやガウスも膨大な数値計算から法則を抽出したと言われています。

10(mod 5)

 (±2)≡4≡−1≡2mn(1−1)=0で，証明が終わります。
ところで(m，5)=1，(n，5)=1 のとき，m≡n≡1 (mod 5)は，考えてみればフェルマーの小定理に他なりません。
フェルマーの小定理
p を素数とする。
(a，p)=1 ならば a ≡1(mod p)

再び東京大学の問題ですが，次も実質的には同じことを問うています。

という問題を参考文献〔 1 〕をもとに考えて出題して問題 3n を自然数とする。
n−n は 30 の倍数であることを示せ。(東大)5 以外の自然数を法とした同様の話題も尽きません。例えば 9 を法とした立方剰余は，のときn≡0≡0n≡±1 のときn≡(±1)≡±1n≡±2 のときn≡(±2)≡∓1n≡±3 のときn≡(±3)≡0n≡±4 のときn≡(±4)=±64≡±1です。
そこで，冒頭と同じ趣向で 2014 年にちなんで，問題 4

れば否定的な解決ができることを自ら発見したレポートを届けてくれました。
遠山啓が合同式は凡人を天才に引き上げるもの§6．結びに変えてn≡0みました。 3 年生でしたが， 9 で割った余りで考えだといってよい(参考文献〔 2 〕) と述べるとおり，
よい記号はよい思考を生み出すという格言を高校生が実感できる筆頭教材だと思います。合同式の学習のきっかけのひとつとして， 5 の倍数を使ったささやかな試みを紹介させていただきました。
《参考文献》〔1〕

チャレンジ整数の問題 199
水上〔2〕



l +m +n =14 を満たす整数の組 l，m，n は

日本評論社

初等整数論
遠山

勉著
啓著

日本評論社
(東京都立立川高等学校)

あるか？

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