書き抜き読書ノート 227

2009 年 5 月 13 日

アイザック・アシモフ著「アシモフの雑学コレクション」
新潮文庫 1986 年 7 月 25 日刊を読む

数学

１．スイスの数学者オイラーは、論文の数では記録保持者。1766 年に失明したが、研究はつづけた。驚異的な記憶力のため、黒板 3 枚にびっしりの計算を頭のなかでやり、しかも忘れなかった。
生前に発表した論文は、800 を越え、かなり長いのもあった。死後、残された論文は、印刷しおわるまで、35 年もかかった。

２．古代ギリシャ人は、6 を最初の完全数ときめた。完全数とは割り切れる数の総和がその数ということ。つまり 1 ＋ 2 ＋ 3 が 6 なのだ。1952 年、コンピュータが使われるまでの 2000 年間に、数学者はほかに 11 個の完全数をみつけた。
現在では計、24 個。その最大のものは、12,003 ケタの数だ。

３．アメリカの 1 ドル札は、13 に関連したものがたくさん描かれている。ピラミッドの階段。
わしラテン語の「神はわれらを助く」の語は 13 字。鷲のくわえた「多数で一致」の語も 13 字。鷲しまの頭上の星の数。盾の縞の数。左足の矢の数が 13 本。右足につかんでいるオリーブの葉の数。
当初の州の数が 13。ラッキーな数としてである。
４．現在つかわれている十進法は、西暦 800 年ごろ、インド人によってはじめられた。アラビアでゼロ表記が考案され、それは非常に計算しやすいものとなった。ゼロのないローマ表記では、
MXC など、ケタ数がわかりにくい。
５．19 世紀のなかば、イギリス産のウサギ 3 組が、オーストラリアに放たれた。10 年もたたないうちに、天敵がいないので、何百万にもふえ、農業に被害を与えるまでになった。

６．生物中、最も数の多いのは昆虫類だが、その次は軟体動物。貝やイカなどの、骨のない生物である。

７．もし人口の増加率が今のままなら、3530 年ごろには、人類の質量の合計は地球と同じになり、6826 年には、現在知られている宇宙の物質の総量と同じになる。

-1-８．ユーゴースラビアの特色。
2 つのアルファベット。ラテン文字とシリル文字。
3 つの主要な宗教。ギリシャ正教、カソリック教、イスラム教。
4 つの文化。ラテン、ドイツ、スラブ、東洋。
5 つの民族。セルビア人、クロアティア人、スロベニア人、マケドニア人、モンテネグロ人。
6 つの共和国。セルビア、クロアティア、スロベニア、マケドニア、モンテネグロ、ボスニア・ヘルツェゴビナ。
7 つの隣国。イタリー、オーストリア、ハンガリー、ルーマニア、ブルガリア、ギリシャ、アルバニア。すべて国境を接している。

９．フランスの数学者のグループが、ニコラ・ブルバギというペンネームで、『数学原論』という事典を作った。そのなかで、「一」の項目は 200 ページにわたっている。
10．1 以外の数は逆に並べた数を加えてゆくと、やがては回文のような数になる。たとえば、
38＋83
121

139＋931
1070
＋0701
1771

48,017＋71,084
119,101＋101,911
221,012＋210,122
431,134

手間のかかる場合もある。
89 → 8,813,200,023,188には、24 段階を要する。
だめな数もあるとの説もある。ソ連の数学者コーデムスキーによると、196 という数をコンピュータにかけ、何千段階もやらせているが、いまだに回文数になっていないとのこと。

11．チェスの対局。対戦者二人での最初の四手の駒の動かし方は、318,979,564,000 通りある。
12．世界の国際貿易で、取引きの多さでは、コーヒーは 2 番目である。1 位は石油。
13．アメリカで年齢が 16、17 の者は、免許を持つドライバー総数の 7 パーセント。自動車での死亡事故の総数の 30 パーセントは、その連中によるもの。
14．素数とは、その数と 1 以外では、割り切れない数のこと。無限にある。この特色は、2 と 3はべつとして、どれも 1 を加えるか引くかすれば、6 で割り切れる。たとえば 17、1 を足せばいい。19 は 1 を引けばそうなる。
15．コンピュータ出現前の最大の素数は、2127 − 1 であった。1971 年、アメリカ数学会に 219927 − 1という、6002 ケタの数が報告された。IBM のコンピュータが、40 分たらずで、はじき出した。
-2-16．偉大な数学者は、数の遊びを好んだ。研究と趣味が重なっていた。たとえば、ライプニッツは何時間も、ひとりトランプを楽しんだ。なにか創造的なことを考えながら。アインシュタインの書棚には、数学ゲームの本がかなりの場所を占めていた。

17．ふつうのトランプは、52 枚が 1 組、この並べ方には、8066 のあとにゼロが 64 つづく種類がある。最も軽い水素原子も、これだけの数を集めれば、太陽の重さの 10 億倍になる。

18．回文的な数の並びには、こんなのもある。
21978 × 4 ＝ 87912
10989 × 9 ＝ 98901
2 つの式をつづけているものもある。
24 ＋ 3 ＝ 27

72 ＝ 3 × 24

47 ＋ 2 ＝ 49

94 ＝ 2 × 47

497 ＋ 2 ＝ 499

994 ＝ 2 × 497

19．イギリスの数学者シャンクスは、1873 年、円周率を 707 ケタまで算出した。15 年がかりで。
1949 年、初期の電子計算機を使ったら、3 日間で 2035 ケタまで出した。それによって、シャンクスの最後の百何十ケタのまちがいが判明した。

20．アラ ビア数字の普及には、年月がかかった。1300 年には、ヨーロッパでは商取引への使用が禁止された。ローマ数字のほうが、変造されにくいからだ。MCLX など、いじりにくい。1768などは、変えやすい。アラビア数字の全ヨーロッパでの使用は、1800 年になって公認された。

21．｢ 2520 ｣という数は、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 で割り切れる。さらに、12、14、18など…。
2520 は、17 個以上の約数を持つ、最小の整数。
22．｢ 37 ｣という数は、それと 1 以外に約数を持たない。つまり素数。しかし、つぎの数を割りきれる。111。222。333。444。555。666。777。888。999。

23．0 から 9 までの数字を使って 1 にするには。
148 35+=1296 70

同様に 100 にするには、四通りある。
138273934 12+5 =100 50 +49 =10070+2487+9 +3 =100 80 +19 =1001862765465 60
24．遺伝因子の多様性から考えて、これまでの人間を 600 億と推定しても、それぞれ、どこか違っていたと断定していい。今後もそうだろう。ただし、一卵性の双生児、3 つ子は例外。
-3-

25．アメリカ人が一生のうちに消費する資源は、ひとり平均で、インド国民の 80 人分に相当する。

26．加減乗除の記号も、時には珍しい式を作る。
13 13 13 13 169+=
×=
494936

3 3 3
3 9- = × =5 8 58 40

169 13 169
13 13+ =÷=30 15 30
15 2121 11 121 11 11=
÷=28 72874こんな例もある。
(10 × 10)＋(11 × 11)＋(12 × 12)＝ 365(13 × 13)＋(14 × 14)＝ 365
成立するのは、10 から 14 まで。偶数だが、結果は 1 年の日数。
8 だけを使って 1000 を表わす方法は、少なくとも 2 つはある。
8+8(8× 8× 8−8)−8＝1000
88888-888=1000827．9 だけを使って 10 を表す方法のうち、3 つを示す。
9+99=1099

99 9- =109 9

9 9(9+ ) =109 928．3 つの数字で表わせる最大の数は、999 だが、その数を見た者はいない。3 億 6 千万ケタを越える。

29．現在では十進法が当然となっているが、古代フランスのゴール人、中米のマヤ族そのほかは、二十進法を使っていた。
シュメール人、バビロニア人の文化を受けついだ諸民族は、六十進法を使った。2、3、4、5、6、10、12、15、20、30 で割り切れ、分配に便利だったから。1 時間が 60 分、1 分が 60 秒、角度で円を 360 度とするなど、そのなごりだ。
30．フランスの数学者フェルマー(1601 − 65)は難問を残した。xn+yn=zn は、32+42=52 のように n=2以外の場合は、整数では成立しないと書き、そのあとに、証明を書くには余白が少ないとのメモを残した。
そのご 3 世紀にわたって、多くの数学者が証明しようとしたが、いまだに成功していない。
コンピュータで、n が 2000 まではその通りと判明したが、証明とはいえない。
これが人さわがせな「フェルマーの定理」
修道士のバッチオーリは、1494 年に独自に数学事典を作った。その一部に複式簿記法があり、その普及によって、簿記法の父と称されるようになった。

31．123456787654321=111111112-4-32．足しても掛けても同じという数が、無限にある。そのパターンは。
3+1111=3× 1 =42221000+14+1111=4× 1 =53335+1111=5× 1 =6444111=1000× 1=1001999999999

まだつづく。しかし、整数だけとなると、2 しかない。
2＋2＝42×2＝433．1830 年代にイギリスの数学者バベジは、人間の 4 つの算数能力、すなわち、数字をとりあげ、計算の順序をえらび、計算し、記憶することのできる装置を設計した。
蒸気で動き、50 ケタの数字を 1000 は記憶できる。入力にはパンチカードを使い、結果はタイプされた数字で出てくる。なにか起こったらベルが鳴る。しかし、資金面で、作りようがなかった。

34．1816 年、エール大学総長ドワイトは、コネチカット州では 100 組の夫婦のうち 1 組の率で離婚すると、なげき、驚き、非難した。1977 年には、2 組に 1 組の夫婦が離婚した。
35．2 を 5 回つかって、0 から 9 までをあらわせる。
2 2- =02 2
22+2-2- =122+2+2-2-2=222+2-2+ =322× 2× 2-2-2=422+2+2- =522-2+2+2+2-2=622÷ 2-2-2=72× 2× 2+2-2=82
2× 2× 2＋ =92

36．原子のなかで、原子核の体積は約千兆分の 1。しかし、質量としては約 99.97 パーセント。
37．寿命はのびている。病気にかかりやすい幼年期をすぎた 15 歳の男の平均余命、つまり、あと何年生きたかの推定値。
ネアンデルタール人、33 年。
青銅期時代、40 年。
古代ギリシャ・ローマ時代、36 年。
-5-中世イギリス、49 年。
1900 年のアメリカ、60 年。
これらは発掘した人骨、墓碑、法的記録、人口調査による。死因の第 1 位は伝染病。
38．シーザーの時代、地球の全人口は 1 億 5 千万。現在は 2 年間でふえる全人口が、1 億 5 千万。
すいせい

39．イギ リスの天文学者ハレーは、彗星によって有名だが、1693 年にはじめて、くわしい死亡率を算出した。それにより生死の統計の研究が手がけられ、生命保険業がうまれた。

40．1 分間に、100 人が死に、240 人が生まれている。つまり、世界の人口は、1 分で 140 人増加する。

［コメント］
星新一氏が翻訳した本書の「あとがき」のテーマ「驚く楽しみ」であった。博学 SF 作家アシモフ博士が教えてくれた数学を学ぶ楽しみは、数学を学ぶ楽しみ、数学を教える楽しみを我々に与えてくれる。数学以外の項目も驚きの連続。
− 2009 年 5 月 13 日林明夫記−-6-