数理解析研究所講究録 1255 巻 2002 年 205-212

205

The Maximal Smoothing Effect of Dispersive Equations with
Constant Coefficients
姫路工業大学 理学部
保城 寿彦 (Toshihiko HOSHIRO)

1

序論

本稿では定数係数分散型方程式の smoothing effect について考察する。特に時空間で解を考える際、初期値より最大の滑らかさが得られる為の必要十分条件を与える。我々が考えるのは次の初期値問題の解についてである。
$i_{Tt}^{\partial u_{-}}+P(D)u$(1)$=f(t, x)$ ,$\{$$u(0, x)$$=u\mathrm{o}(x)$,$(t, x)\in \mathrm{R}^{n+1}$$x\in \mathrm{R}^{n}$.

ここで $u=u(t, x),$ $D=i^{-1}(\partial/\partial x_{1}, \ldots, \partial/\partial x_{n})$, 表象 $P(\xi)$ は

$\xi$

,

についての $m$ 次$(m>1)$

実係数多項式とする。
ここで議論する現象は以下の様に説明することができる。方程式が分散型であれば準古典近似の意
味での粒子は波動方程式等の双曲型方程式と違ってどの様な速度でも持つことができ、 その速度は周波数に依存する。従って解は時空間で考えるとある種の均質化がおこり、 その結果初期値より滑らかさが増す。実際この十年以上にわたってこの様な現象が研究者の興味を引き、 多くの結果が論文として発表されてきた。 このうち本稿の結果と関連する過去の知られた結果のうち重要なものについて紹介しよう。 まず Schr\"odin.
立に初期値 $u_{0}(x)$ が$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$$L^{2}(\mathrm{R}^{n})$$\langle D\rangle^{1/2}u(t, x)\in L_{loc}^{2}(\mathrm{R}^{n+1})$

方程式つまり $P(D)=\Delta$ の場合、 Sj\"olin [16] と Vega $[!7]$ が独に属すとき、 解は空間方向に 1/2 階滑らかさが上がる、 すなわちとなることを発見した。彼らの本来の興味は Schr\"odinger 方程式のとき、 $u_{0}(x)= \lim_{tarrow 0}u(t, x)$ となるための初期値 $u_{0}(x)$ に対する滑らかさの条件にあった為、 その結果を他の分散型方程式に一般化することは無かった。一般化したのは Constantin と Saut [4] である。彼らの考えた方程式が分散型となる条件は次の様なものであった。

(2)$| \frac{\partial P}{\partial\xi_{j}}(\xi)|\geq c(1+|\xi|)^{m-1}\cdot\frac{|\xi_{j}|}{|\xi|}$,$\xi\in \mathrm{R}^{n},$$|\xi|\geq R,$$j=1,$$\ldots,$

$n$

.

ここで
及び $R$ は正の定数である。彼らはこの条件の下、 斉次方程式 つまり (1) で $f(t, x)\equiv 0$のとき、 $u_{0}(x)\in L^{2}(\mathrm{R}^{n})$ なら $\langle D\rangle^{(m-1)/2}u(t, x)\in L_{loc}^{2}(\mathrm{R}^{n+1})$ となることを示した。 まず本稿の最初の興味は彼らの条件が適切か、 言い換えれぱ条件 (2) が結論が成立する為に必要かどうかということにある。
$c$

解の大域的挙動についてはによっ
加藤一谷嶋 [12]及び Ben Artzi-Klainerman [2]て得られた。彼らの結果から $P(D)=\Delta$ かつ $f(t, x)\equiv 0$ の場合、 以下の不等式が成立することが206$\lambda \mathrm{o}t^{\backslash }6_{0}s>1/2\not\in J\wedge f_{\sim}^{-}T\mathrm{f}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{b}}\Re sRtf\mathrm{i}\mathrm{E}\Re T[]_{\vee}\sim*\backslash 1\llcorner T\mathrm{i}\mathrm{E}\emptyset\hat{\pi}\Re C\theta^{*}\backslash \hslash\not\in \mathrm{b}T$(3)$\int_{0}^{T}\int_{\mathrm{R}^{n}}|\langle x\rangle^{-s}\langle D\rangle^{1/2}e^{it\Delta}u\mathrm{o}(x)|^{2}$となる。 (注$dxdt\leq C||u0||_{L^{2}(\mathrm{R}^{n})}^{2}$: 実は低周波数の部分での時間大域的評価については指数$s$に関してデリケートな現象がある。次の事実が知られている。
$\int_{0}^{\infty}\int_{\mathrm{R}^{n}}|(x\rangle^{-s}\langle D\rangle^{1/2}e^{1t\Delta}.u_{0}(x)|^{2}$$dxdt\leq C||u_{0}||_{L^{2}(\mathrm{R}^{n})}^{2}$が成立する為の必要十分条件は空間の次元 $n$ が 2 の場合は $s>1$ で 3 以上の場合は $s\geq 1$ である。
また次元が 1 の場合には如何なる指数 に対しても成立しない。 この事実は Schr..ffi.nger 方程式の場
が $\lambda>0$ のとき球面で次元が n–l であるのに対し\lambda $=0$ の合のレベル集合
であることが起因することに注意しよう。
) 本稿の第二の興味は (3) のタイプのとき点で次元が 0$s$$\{\xi\in \mathrm{R}^{n}||\xi|^{2}=\lambda\}$$1\mathrm{h}1$

評価式を定数係数初期値問題 (1) に一般化することにある。

2

結果

結果を述べる前に $P_{m}(\xi)$ を $P(\xi)$ の主要部、 すなわち
$P_{m}( \xi)=\sum_{|\alpha|=m}a_{\alpha}\xi^{\alpha}$とし、 Constantin-Saut の分散型条件 (2) の代わりに次の条件を導入する。

(4)$|\nabla P_{m}(\xi)|\neq 0$

本稿の最初の結果は定理 1 関数,for$\xi\in S^{n-1}$.

:

を $x\in U$ で $\chi(x)\equiv 1$ となるものとする。但しここで $U$ は空でない有が斉次すなわち $f\equiv 0$ となる場合
界開集合とする。いま正の定数$C$ と $T$ があって、初期値問題$\chi\in C_{0}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$$.(\mathit{1})$の解に対して不等式(5)$\int_{0}^{T}||\chi(\cdot)u(t, \cdot)||_{H^{(m-1)/2}}^{2}dt\leq C||u0||_{L^{2}}^{2}$が成立するとき、 主要部 $P_{m}(\xi)$ は条件 (4) をみたす。

上の定理は条件 (4) が局所的に最大の滑らかさが得られるときに必要であることを主張するものである。

逆も成り立つ。 より詳しく次の大域的評価式が成立する。

定理 2 $u(t, x)$ を初期値問題 (1) の解とする。いま主要部$s>1/2$ となる指数

(6)

$s$

$P_{m}(\xi)$ が分散型条件 $()$ をみたすとき、
及ひ $T>0$ に対して正定数 $C$ が存在して次の不等式が成立する。

$\int_{0}^{T}||\langle x\rangle^{-s}\langle D\rangle^{(m-1)/2}u(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}dt$$\leq C(||u_{0}||_{L^{2}}^{2}+\int_{0}^{T}||\langle x\rangle^{s}\langle D\rangle^{-(m-1)/2}f(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}dt)$.

207
ここで分散型条件 (2) 及び (4) の関係について述べよう。 まず明らか条件 (2) がなりたてぼ条件(4) が成立する。 しかし条件 (4) は条件 (2) と較べて真に緩い条件であろうか ? Constantin-Saut の条件 (2) は一次変換について不変ではない。従ってここでは一次変換をすれば条件 (4) から条件 (2) が従うかどうかが問題となる。実際 $m=2$ の場合には両者は同等になる。 しかしながら $m\geq 3$ のとき
条件 (4) に較べて条件 (2) は真に緩い条件であるといえる。例えば$P( \xi)=\xi_{1}^{3}+\xi_{1}^{2}\xi_{2}-\xi_{1}\xi_{2}^{2}+\frac{1}{6}\xi_{2}^{3}$は条件 (4) をみたすが条件 (2) はみたさない。実際$\frac{\partial P}{\partial\xi_{1}}$$\frac{\partial P}{\partial\xi_{2}}$$=$$3\xi_{1}^{2}+2\xi_{1}\xi_{2}-\xi_{2}^{2}$$=$$(3\xi_{1}-\xi_{2})(\xi_{1}+\xi_{2})$$=$$\xi_{1}^{2}-2\xi_{1}\xi_{2}+\frac{1}{2}\xi_{2}^{2}$$=$$(\xi_{1}-\lambda_{+}\xi_{2})(\xi_{1}-\lambda_{-}\xi_{2})$,である。 ここで $\lambda\pm=(2\pm\sqrt{2})/2$ である。 ここで, –1 であることから $P(\xi)$ は条件(4) をみたすことがわかる。他方、 一次変換した後条件 (2) が成立することを仮定すると$\lambda_{\pm}\neq 1/3$

(7)$\theta\partial P/\partial\xi_{1}+(1-\theta)\partial P/\partial\xi_{2}$が単位円上高々 2 点零点をもつ様に実数を定めることができるはずだが、 二次式 (7) の判別式はで全ての実数に対し正の値をとる。 よって$\theta$$28\theta^{2}-14\theta+2$$\theta$$\theta\partial P/\partial\xi_{1}+(1-\theta)\partial P/\partial\xi_{2}$

$=$

において

$\lambda_{+}(\theta)\neq\lambda_{-}(\theta)$$(2\theta+1)(\xi_{1}-\lambda_{+}(\theta)\xi_{2})(\xi_{1}-\lambda_{-}(\theta)\xi_{2})$となり、 よって単位円上で 4 個の零点をもつことがわかる。

定理 2 の様な大域的結果はスペクトル理論に関する論文 Agmon-H\"ormander [1] で導入された Besov 型の関数空間を用いた結果に精密化できる。結巣を述べるためにまず次の様な関数空間を導入する。 まず D0 $=\{x\in \mathrm{R}^{n}||x|\leq 1\},$ $k\geq 1$ に対して $D_{k}=\{x\in \mathrm{R}^{n}|2^{k-1}\leq|x|\leq 2^{k}\}$ とおをく。 またの特性関数とする。そして$D_{k}$$\chi_{D_{k}}$$B_{T}= \{u\in L_{loc}^{2}([0, T]\cross \mathrm{R}^{n})|||u||_{B_{T}}=\sum_{k=0}^{\infty}2^{k/2}||\chi_{D_{k}}u||_{L^{2}([0,T]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}<\infty\}$,$B_{T}^{*}= \{u\in L_{loc}^{2}([0, T]\cross \mathrm{R}^{n})|||u||_{B_{T}^{*}}=\sup_{k\geq 0}2^{-k/2}||\chi_{D_{k}}u||_{L^{2}([0,T]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}<\infty\}$

明ら力 ‘$s>1/2$ のときであることがわかる。精密化された結果とは:とおく$\text{。}$$l_{\sim}^{\wedge}$$\langle x\rangle^{-s}L^{2}([0, T]\cross \mathrm{R}^{n})\subset B_{T}$定理 3 $u(t, x)$ 初期値問題 (1) の解とする。 主要部$P_{m}(\xi)$and$B_{T}^{*}\subset\langle x\rangle^{s}L^{2}([0, T]\cross \mathrm{R}^{n})$は分散型条件 (4) をみたすものとする。 このとき正数 T に対し正定数 $C$ が存在して次の不等式が成立する。

(8)$||\langle D\rangle^{(m-1)/2}u||_{B_{T}^{*}}\leq C(||u_{0}||_{L^{2}}+||\langle D\rangle^{-(m-1)/2}f||_{B_{T}})$.

208
本稿を書き上げてから、筆者は千原浩之氏の最近の結果 [3] が上の定理 2 を含むことを知った。
これについては千原氏の web site をご覧頂きたい。

追加

3$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

証明の概略

ここでは各定理の証明の方針あるいはアイデアについて説明する。詳細については [9] をみられたい。
定理 1 の証明について:

を開集合 $U$ のなかの 1 点とし、を単位球面 $S^{n-1}$ 上の点、 を正定数でその値は後で決めるものとする。 また関数
を $|\xi|\leq 10^{-10}$ で $h(\xi)=1,$ $|\xi|\geq 2\cdot 10^{-10}$ で $h(\xi)=0$ となるものとする。 そして大きな正のパ

ここでの証明の議論は土居氏 [7] のものと同様である。 まず$x_{0}$$\omega_{0}$$h(\xi)\in C_{0}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$$\delta$

ラメータ$\lambda$に対し初期値問題の初期値崗 (x) を$u_{0}(x)=h( \delta^{-1}(\frac{D}{\lambda}-\omega_{0}))\delta(x-x_{0})$\mbox{\boldmath$\tau$}aw\mbox{\boldmath$\tau$}期Hh$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}(1(\delta^{-1}(\frac{D}{)\lambda}$$\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}1\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{p}1\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\text{である_{。}初期}1\mathrm{E}\theta^{\mathrm{f}}\text{上の}u_{0}\text{と定める_{。}\mathrm{c}arrow \mathrm{C}\delta(x)\mathfrak{l}1\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\text{の}i’J\mathrm{s}\text{タ関}}-$\mbox{\boldmath$\tau$}-#\mbox{\boldmath$\omega$}*‘0)のae\dagerf^z\Re\mptysetafigu{\mbox{\boldmath$\tau$}(tfl,$|_{arrow \text{つ}\mathrm{A}\mathrm{a}\text{て}^{}\wedge}\yen_{\backslash }\text{ある}\mathrm{A}\mathrm{a}|\mathrm{g}$

$x$

)

考えよう。
の
ノルムについて $||u_{0}||=c(\delta\cdot\lambda)^{n/2}$ であり、超局所的に考えるとその大部
まず初期値の近傍に集中していることに注目しよう。 あらつぼく言って解 $u(t, x)$ のエネル
分が点
ギーは方程式の特性曲線に沿って伝わるから、初期値問題 (1) の解 $u(t, x)$ のエネルギーは時刻 がの近傍に集中していることがいえる。従つて充分小さいとき、 点$u_{0}$$L^{2}-$$(x_{0}, \lambda\omega_{0})$$t$$(x_{0}-t\nabla P_{m}(\lambda\omega 0), \lambda\omega 0)$$||\langle D\rangle^{(m-1)/2}\chi(x)u||$の値は点$x_{0}$–t\nabla Pm(ん\acute 0) が開集合$d(\delta\cdot\lambda)^{n/2}\cdot\lambda^{(m-1)/2}$(9)の境界 $U$ に達するまでは小さくなりえず、 おおよそとしての大きさをもつことがいえる。 より正確には$U$$d=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x_{0}, \partial U)$$T( \lambda)=\min(\lambda^{-1\dot{n}+2-\epsilon 0},$

とおいたとき、 $0\leq t\leq T(\lambda)$ をみたす時刻$\frac{d}{2\lambda^{m-1}\cdot\sup_{|\omega-\omega_{0}|\leq 4\delta}|\nabla P_{m}(\omega)|})$

$t$

に対し

$||\langle D\rangle^{(m-1)/2}\chi(x)u||\geq c’\cdot\delta^{n/2}\cdot\lambda^{(n+m-1)/2}$となる。 ここの部分の証明は土居氏 [7] やーノ瀬氏 [10] の方法と同様で、更にその起源は Lu\leftarrow 溝畑の定理の証明に使われた溝畑先生の ener 釘 method [13] に遡ることができる。
をとる
この事実を認めると定理 1 の証明は簡単である。すなわち $P_{m}(\omega_{0})=0$ となる様に点とより長い時間にわたって上の不等式が成立するため、評価式 (5) が成立しないことがわかるのである。実際$\omega_{0}$$c_{1}(\delta\cdot\lambda)^{n}$$=$$C||u_{0}||^{2}$$\geq$$\int_{0}^{T(\lambda)}||\langle D\rangle^{(m-1)/2}\chi(x)u||^{2}dt$$\geq$$(c’)^{2}\cdot\delta^{n}\cdot T(\lambda)\cdot\lambda^{n+m-1}$.

209
従って充分大きな$\lambda$に対して$T(\lambda)\leq C\cdot\lambda^{-m+1}$

で、 このとき上の不等式が成立するには依存するが正定数及び単位球面上の点は依存しない。 この不等式は単位球面上で主要部が零点を持つときには不可能である。 なぜなら $\omega_{0}\in S^{n-1}$ を $P_{m}(\omega_{0})=0$ となるようにとり、正数に対し $\delta>0$ を充分小さくとれば、の定義 (9) より充分大きなに対し$\lambda$の範囲は正数$C$$\delta$$\omega_{0}$$P_{m}$$\epsilon$$T(\lambda)$$\lambda$$T(\lambda)\geq\epsilon^{-1}\cdot\lambda^{-m+1}$$\mathrm{L}$’となるからである。 よって定理 1 が示された。

定理 2 の証明について:

甲 0 でかつ $t<0$ ま, たは $T<.t$ のとき $f(t, x)\equiv 0$ となる場
合に関する高周波数の部分の評価式の証明の概略について述べる。その他の場合は実は自明またはこの部分の評価式からくる。 その議論については [8] 及び [9] をみられたい。
まず論文 [8] において注 したように初期値問題 (1) 右辺 $f(t, x)$ から解 $u(t, x)$ を対応させる作
用素の表象は $(-\tau+P(\xi))^{-1}\backslash$ である。従って定理 2 の結果は特異性のある表象をもつ作用素についての評価式とみることができる。 この様な事象は smoothing effect の研究だけでなくスペクトル理論の極限吸収でも扱われている。 そこでここではそのスペクトル理論の技術を応用する。詳しくいえばMourre の commutator method を利用する。その議論はまず特異性のない表象をもつ作用素で近似
して、 その作用素に近づけていった際にある種の作用素ノルムが有界にとどまることを示すのである。
まず単位球面の開被覆 $\Omega_{j}(j=\pm 1, \ldots, \pm n)$ を $j>0$ の \Leftar ow き,となる様にとり、 その被覆にともなう 1 の分割を
$j<0$ のとき$(j=\pm 1, \ldots, \pm n)$ とする。 すなわち
$0\leq\varphi_{j}\leq 1$でかつ単位球面上の任意の点

ここでは初期値問題 (1) で、$u_{0}$$gl\cdot\backslash$$\partial_{\xi_{j}}P_{m}(\omega)>0(\omega\in\Omega_{j})$$\partial_{\xi_{j}}P_{m}(\omega)<0(\omega\in\Omega_{-j}.)$$\varphi_{j}(\omega)$$\varphi_{j}\in C_{0}^{\infty}(\Omega_{j}),$で $\sum_{j}\varphi_{j}(\omega)=1$数$c$となる様に関数$\varphi_{j}$$\omega$をとるのである。 更に正定数

があって

$R$

を充分大きくとって、 ある正,’$|\partial_{\xi_{j}}P(\xi)|\geq c|\xi|^{m-1}$,$|\xi|\geq R_{\mathrm{k}}$$\frac{\xi}{|\xi|}\in\Omega_{j}\cup\Omega_{-i}$が成り立つ様にする。 この際分散型条件 (4) を用いていることに注意しよう。
“
を $\lambda\geq 2R$ で $\varphi_{0}(\lambda)=1,0<\lambda\leq R$ で
ここで関数.
とって上述の作用素の近似を次で 義する。
$\varphi_{0}\in C$.

$\varphi_{0}(\lambda)=0$$(\mathrm{R}_{+})$$\acute{.\mathrm{E}}$$\psi_{j}(\xi)=\varphi \mathrm{o}(|\xi|)\varphi_{j}(.\frac{\xi}{|\xi|})$

,
.

$t$

$.\iota$$Q_{j,(\epsilon,\epsilon’)}( \xi)=i\epsilon’+\{\sum_{k=1}^{m}\frac{(i\epsilon)^{k}}{k!}(\partial_{\xi_{|j|}}^{k}P)(\xi)\}\cdot$$G_{j,(\epsilon,\epsilon’)}$

(D)

sgnj,

,

$=\psi_{j}(D)(i\partial_{t}+P(D)+Q_{j,(\epsilon,\epsilon’)}(D))^{-1}$$G= \sum_{j}G_{j,(\epsilon,\epsilon’)}(D)$.

ここで次の命題が成立する。
$<\mathrm{p}\mathrm{p}$

題 1 分散型条件 (4) を仮定する。 このとき $s>1/2$ に対して作用素ノルム$||\langle x\rangle^{-s}\langle D\rangle^{m-1}G\langle x\rangle^{-s}||_{\mathcal{L}(L^{2}(\mathrm{R}^{n+1}))}$

となる様に

210
は小さな正のパラメータ$\epsilon$

及ひ

この命題を認めると更に$\epsilon’$に依存しない定数でおさえられる。

$\epsilon’arrow 0$$\epsilon,$と極限をとれば上述の初期値問題について$\int_{0}^{T}||\langle x\rangle^{-s}\{D)^{(m-1)/2}\varphi \mathrm{o}(|D|)u(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}dt$$\leq$$C_{s} \int_{0}^{T}||\langle x)^{\epsilon}\{D\rangle^{-(m-1)/2}f(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}dt$と解 $u(t, x)$ は右辺 $f(t, x)$ と較べて decay は悪いが滑らかさについては m–l 階良くなるということを示す評価式が得られる。
をパラメータで微分すると、. 命題 1 の証明は Mourre の方法による。作用素$G_{j(\epsilon,\epsilon’)}(D)$$\epsilon$$\psi_{j}(D)[x_{j}, (i\mathrm{a}+P(D)+Q_{j(\epsilon,d)}(D))^{-1}]$となり、 これからある種の微分不等式が得られるのである。 ここでは指数する。一般の $s>1/2$ のときの議論は [8]$Q_{j,(\epsilon,\epsilon’)}(D)$をみられたい。以下では Gj
を , そしてを $Q(D)_{\text{ }}G_{j,(\epsilon,\epsilon’)}(D)$ を $G(D),$、$\psi_{j}$$\psi$$s$が 1 の場合のみ議論$(\epsilon,\epsilon’)(D)$$||||_{\mathcal{L}(L^{2}(\mathrm{R}^{n+1}}$

のみ議論するので)) を $||||$ と表すことにする。 また $j>0$ と仮定する。
まず$G_{0}=(i\mathrm{a}+P(D)+Q(D))^{-1}$とし、 更に$F=\langle x)^{-1}(D\rangle^{m-1}\psi(D)G_{0}\{x\rangle^{-1}$とおく。 これを$\frac{dF}{d\epsilon}$$\epsilon$

に関して微分すると$=$$-\langle x)^{-1}\{D\rangle^{m-1}\psi(D)[x_{j}, G_{0}]\langle x\rangle^{-1}$$=$$-\langle x\rangle^{-1}x_{j}\langle D\rangle^{m-1}\psi(D)G_{0}\{x\rangle^{-1}-(x\rangle^{-1}[\langle D\rangle^{m-1}\psi(D),x_{j}]G_{0}\langle x\rangle^{-1}$$+\langle x\rangle^{-1}\langle D)^{m-1}\psi(D)G_{0}x_{j}\langle x)^{-1}$は滑らかで 2 階微分が有界だから $\psi(\xi)\leq\psi^{1/2}(\xi)$ およひとなる。 ここで $0\leq\psi(\xi)\leq 1$ で関数となり、 これから次の微分不等式が得られる。
$\psi$$|\nabla\psi(\xi)|\leq C\psi^{1/2}(\xi)$(10)$|| \frac{dF}{d\epsilon}||\leq C(||\langle D\rangle^{m-1}\psi^{1/2}(D)G_{0}\langle x\rangle^{-1}||+||\langle x\rangle^{-1}G_{0}\langle D\rangle^{m-1}\psi^{1/2}(D)||)$.

ここで以下の補題が成り立つ。

補題 1 正定数$\epsilon 0$

及ひ $C$ が存在して $0<\epsilon<\epsilon_{0}$ 及ひ $\epsilon!>0$ をみたす$\epsilon,$$d$に対して次の不等式が成り立つ。

,(11)$||F||\leq C\cdot\epsilon^{-1}$(12)$||\langle D\rangle^{m-1}\psi^{1/2}(D)G_{0}(x\rangle^{-1}||+||(x\rangle^{-1}G_{0}(D\rangle^{m-1}\psi^{1/2}(D)||$$\leq C\cdot\epsilon^{-1/2}\cdot||F||^{1/2}$.

211
この補題の証明については [8] や [14] を参照していただきたい。 これを認めるとあとはルーチンな議論である。すなわち得られた 3 つの不等式 (10), (11), (12) から$|| \frac{dF}{d\epsilon}||\leq C\cdot\epsilon^{-1}$がいえるが、 この不等式をパラメータ$\epsilon$

に関して積分し、 更に (10) 及び (12) を用いると$|| \frac{dF}{d\epsilon}||\leq C\cdot\epsilon^{-1/2}|\log\epsilon|^{1/2}$となることがわかる。 よってこの結果をパラメータ
かるから、 よって以上の議論より$\epsilon$

について積分すると$||\langle x\rangle^{-1}G_{j(\epsilon,\epsilon’)}(D)\langle x\rangle^{-1}||$

が有界でありことがわ
及びによらない定数$||F||$

がパラメータ$\epsilon’$$\epsilon$

でおさえられることがわかった。

:

定理 3 の証明について
定理 2 と同様に非斉次の高周波数の部分の不等式力体質的である。命題 1 のかわりに$\chi_{B_{k}}$を球$B_{k}=\{x\in \mathrm{R}^{n}||x|\leq 2^{k}\}$の特性関数として、$||\chi_{B_{k}}\langle D\rangle^{m-1}G\chi_{B_{k’}}||_{\mathcal{L}(L^{2}(\mathrm{R}^{n+1}}))\leq C\cdot 2^{(k+k’)/2}$が成り立つことを示せばよい。 ここ $C$ はパラメータ
及ひ $k’$ によらない定数である。 これは
更にを領域 $\{x\in \mathrm{R}^{n}|\ell\leq x_{j}<\ell+1\}$ の特性関数として$\epsilon’,$$\epsilon,$$k$$\chi_{\ell}$$||\chi_{\ell}\langle D\rangle^{m-1}G_{j,(\epsilon,\epsilon’)}(D)\chi_{m}||_{\mathcal{L}(L^{2}(\mathrm{R}^{n+1}}))$

及び $m$ に依存しない定数でおさえられることからくる。 その証明の議論は [11]
及ひ [15] の議論と同じものである。

がパラメータ$\epsilon’,$$\ell$$\epsilon,$

参考文献[1] S. Agmon and L. H\"ormander, Asymptotic properties solutions to differential equations with simple characteristics, Jour. d’Analyse Math. 30 (1976), 1-38.

[2] M. Ben-Artzi and S. Klainerman, Decay and regularity for the Schr\"odinger equation,
Jour. d’Analyse Math. 58 (1992), 25-37.
[3] H. Chihara, Smoothing effects of dispersive pseudodifferential equations, Preprint[4] P. Constantin and. Saut, Local smoothing properties of dispersive equations,Jour. Amer. Math. Soc. 1(1988), 413-439.
$\mathrm{J}.\mathrm{C}$[5] W. Craig, T. Kappeler and W. Strauss, Microlocal dispersive smoothing for the
Schr\"odinger equation, Comm. Pure Appl. Math. 48 (1995), 769-860.

212[6] H. Cycon and P. Perry, Local time-decay of high energy
Schr\"odinger equation, Math. $\mathrm{Z}188(1984)$ , 125-142.

$scatter^{\backslash }ing$

states for the[7] S. Doi, Smoothing effects of Schr\"odinger evolution groups on Riemannian manifolds,
Duke. Math. Jour. 82 (1996), 679-706.
[8] T. Hoshiro, Moum’s method and smoothing $pmpe\hslash ies$ of dispersive equations, Commun. Math. Phys. 202 (1999), 255-265.

[9] T. Hoshiro, Decay and ’\eta ularity for dispersive equahons uith constant coefficients,
Preprint.
[10] W. Ichinose, Some remarks on the Cauchy problem for Schr\"odinger type equations,
Osaka J. Math. 21 (1984), 565-581.

[11] A. Jensen and P. Perry, Commutator method and Besov space estiamtes for
Schr\"odinger operators, J. Operator Theory 14 (1985), 181-188.
[12] T. Kato and K. Yajima, Some examples of smooth operators and the associated.
smoothing effect, Rev. Math. Phys. 1(1989),$481\triangleleft 96$[13] S. Mizohata, Some remarks on the Cauchy $pmble\eta$ J. Math. Kyoto Uinv. 1(1961),

109-127.
[14] E. Mourre, Absence of singular continuous spectrum forCommun. Math. Phys. 78 (1978), 391-408.

$oe\hslash ain$selfadjoint operators,[15] E. Mourre, Opervnteur \mbox{\boldmath $\omega$}njugu\’es et propriitis de propagation, Commun. Math. Phys.
91 (1983),.
$279-3\mathrm{m}$[16] P. Sj\"olin, Regularity of solutions to(1987), 699-715.

$\theta\iota e$

Schr\"odinger $equatio\eta$ Duke. Math. Jour. 55[17] L. Vega, The Schr\"odinger equaho : pointnise converqence to the initial data, Proc.
Amer. Math. Soc. 102 (1988), 874-878.
$n$