数理解析研究所講究録
第 1884 巻 2014 年 18-39

18Higson 境界上の不動点の存在条件
山下 温 (Atsushi Yamashita)
千葉工業大学・工学部
Faculty of Engineering,
Chiba Institute of Technology

1 序
有限生成群 $G$ には，特定の有限生成系 $S$ を固定したときに 「語の長さ」 で距離を導入$x^{-1}y$ を $S$ の語で表したときの最小の$x,$ $y\in G$ に対してすることができる．すなわち，$G$
長さを $d_{S}(x, y)$ とおくことで， 上の距離が定まる．この距離は $S$ の取り方に依存は擬等し，かつ整数値である．しかし，二つの有限生成系 $S,$ $S’$ に対しては， と$A\geqq
1$
および
に対して
$B>0$
長な距離となる．すなわち，適当な$d_{S}$$d_{S}$$d_{S’}$$Ad_{S}(x, y)-B\leqq d_{S’}(x, y)\leqq Ad_{S}(x, y)+B (x, y\in G)$という関係がある．この意味で

$G$

上の距離

$d_{S}$

は 「 $S$ に依存しない」ものになっている．

幾何学的群論においては，この距離を用いて群 $G$ の性質を調べる．一般に，擬等長を除いてきまる距離からその距離空間の「大域的」性質を論じようとするのが粗幾何 (coarse

geometry) である (粗構造の概念を用いれば，粗幾何の対象は更に拡張することができる . さて，群上の距離は整数値であり，したがって， の位相的性質は自明 (離
$)$

$G$

$G$

$d_{S}$$G$ の「無限遠境界」 と呼ばれる空間を考えることで，自散位相) である．しかしながら，明でない位相空間を得ることができる．無限遠境界の概念は，さまざまな距離空間に対して，いくつかの方法で定義できるが，いずれにしても，距離空間から粗幾何的な情報をもった位相空間を抽出する働きをもっている．
そのような無限遠境界の一種に，Higson 境界，あるいは Higson コロナと呼ばれるものがある．これは任意の距離空間 $X$ (より一般に，粗空間) に対して定義される．距離$X$
空間 $X$ の Higson コロナは $\nu X$ と書かれ，コンパクト Hausdorff 空間となる．特に，が固有距離空間 (すなわち，任意の有界閉集合がコンパクトであるような距離空間) の場

合が重要であり，このときのコロナ$\nu X$$X$ の Higson コンパクト化と呼ばれるコン
は，

パクト化 $hX$ における剰余 $hX\backslash X$ として定義される．
$X$ を無限遠からHigson コロナは，きわめて大雑把には，円板に対する円周のように，取り巻いている対象であるが，多くの場合可算離散空間の Stone-\v{C}ech コンパクト化$\beta\omega$を含む非常にワイルドな空間である．このような空間が，どれだけ無限遠境界に期待されるような幾何的ふるまいをするのかは，興味深いところであろう．そこで最近の嶺幸太郎
氏 (東大数理) との共同研究においては，自己擬等長写像 $Xarrow X$ に対して，それが誘導する連続写像 $\nu Xarrow\nu X$ の不動点の存在や，不動点集合の性質について調べている．

19
本稿の目的は，講演で紹介した次の定理の証明を与えることである．
定理 1.1. 固有距離空間 $X$ が large-scale doubling であるとする．このとき，擬等長同型 $f:Xarrow X$ に対して，$\nu f:vXarrow vX$ が不動点を持たないためには，$xarrow\infty hmd(x, f(x))=\infty (\#)$となることが必要かつ十分である．

は任意の $R>0$ に対してあるコンパクト集合 $K\subset X$ が存在し，$X$ に課された条のとき常に $d(x, f(x))\geqq R$ であることを意味する．また，

ここで，主張$x\in X\backslash K$$(\#)$

件である large-scale doubling は，「粗幾何的な有限次元性」を含意するある性質であり(定義は \S 2 を参照),
はこの性質を満たさなはこの性質を満たす一方，双曲空間
$\nu
X$
(
系
2.3).
は
の自己同相写像である
い．なお，上での$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{H}^{n}$$\nu f$

この定理は，Stone-\v{C}ech コンパクト化の境界に関する van Douwen [2] による次の結果の粗幾何版であると考えられる (今回の文脈に合わせた形で引用する).

定理 1.2 (van Douwen). $X$ を有限次元のパラコンパクト Hausdorff 空間とするとき，同相写像 $f:Xarrow X$ に対して，が不動点を持たないため$\beta f|_{\beta X\backslash x:}\beta X\backslash Xarrow\beta X\backslash X$には、 $f$ の不動点集合がコンパクトになることが必要かつ十分である。

上の van Douwen の定理の証明においては，写像の coloring の概念が重要である．
$X$ の有限閉被覆 $\{F_{i}|i=$
般に，不動点のない連続写像 $f:Xarrow X$ の coloring とは，$1,2,$となるようなものをいう．
であって，任意の $i\in I$ に対して$\ldots,$$n\}$$f(F_{i})\cap F_{i}=\emptyset$

次は定義から容易に証明できる．
命題 1.3. コンパクト Hausdorff 空間 $X$ に対して，任意の不動点のない連続写像$f:Xarrow X$ は coloring をもつ．
$\square$Stone-\v{C}ech コンパクト化との関係では次が重要である．
命題 1.4. 正規空間 $X$ の不動点のない連続閉写像 $f:Xarrow X$ に対して，$f$ が coloring
をもてば，Stone-\v{C}ech コンパクト化への拡張 $\beta f:\beta Xarrow\beta X$ にも不動点はない．
$\{F_{i}|i=1,2, \ldots, n\}$ を
証明．

$f$

の coloringとすると，$\beta X=\bigcup_{i=1}^{n}c1_{\beta X}F_{i}$である．

$\xi\in\beta X\backslash X$

り，ある

$i$

に対して

集合である．よってを任意に取り， がの不動点でないことを示そう．上の式よclである． は閉写像なので現と $f(F_{i})$ は交わらない閉$\beta f$$\xi$$\xi\in$$X$$\beta x^{F_{i}}$の正規性より，連続写像 $\gamma:Xarrow[O, 1]$ をとなるように取れる． は$\gamma$$f$$\gamma|_{f(F_{i})}=1$に連続に拡張できる．すると
であるから，
でなければならない．

$\beta\gamma:\beta Xarrow[O, 1]$$\beta\gamma(\beta f(\xi))\in\beta\gamma(cl\beta xf(F_{i}))=\{1\}$$\gamma|_{F_{i}}=0,$$\beta\gamma(\xi)=0,$$\xi\neq\beta f(\xi)$$\square$20
van Douwen の実際に証明したことは，パラコンパクト Hausdorff 空間

$X$

の不動点の

ない同相写像 $f:Xarrow X$ が coloring をもつということである．今回の主定理 1.1 の証

明の主要部分も，結局のところは「粗幾何的な」 coloring を構成することであり，本稿の大部分はこれに費やされる．

ところで，coloring の構成には有限次元性の仮定が本質的である．van Douwen の定理
1.2 も無限次元の空間 $X$ については成立しない．反例としては，可分ヒルベルト空間 4の中で，原点を中心とする半径$n$の $n$ 次元球面の和集合 $X= \bigcup_{n=1}^{\infty}nS^{n}\subset\ell^{2}$ を考え，

$f:Xarrow X$ として各球面 $nS^{n}$ 上で対蹴写像 $x\mapsto-x$ で定義される写像をとればよい．

このとき，確かに $X$ は有限次元ではない．もし定理 1.2 の主張が成立し，には coloring $\{F_{i}|i=1,2, \ldots, N\}$ がに不動点がないとすれば，命題 1.3 によって$\beta f:\beta Xarrow\beta X$$\beta f$

存在する．これをの上に制限すると， 次元球面の対踪写像の $N$ 個の閉集合による coloring が得られる．しかし，Borsuk-Ulam の定理の簡単な応用により次元
球面の対蹄写像の coloring には，$n+2$ 個以上の閉集合が必要とわかる 1. したがって$nS^{n}\subset X$

$n$

$n$

$*$

$N<n+2$ となるように$n$を大きくとると矛盾する．

このように，有限次元性は van Douwen の定理 1.2 の成立に不可欠なのであるが，今回の文脈でこれに相当する条件と思われるのは，linearly controlled asymptotic dimension-aedim $X$ が有限であるというものである ( -asdim $X$ については \S 2 で定義を与える).
今回の主定理 1.1 も，-as $\dim X$ の有限な固有距離空間について証明できることが期待されていたが，以下での「粗幾何的な」coloring の構成は，より強い large-scale doublingというの仮定のもとで行うことしかできなかった．Large-scale doubling なものには非常に重要な空間が含まれているから，これはさほど無理な仮定ではないであろうが，以$\ell$$\ell$$\ell$$\mathbb{R}^{n}$下の問題は未解決のままである．
$X$ が large-scale doubling であるという仮定を問題 1.5. 定理 1.1 において，-asdim $X<$に弱めることはできるか？
$\ell$$\infty$

今回の結果は嶺幸太郎氏 (東大数理) との共同研究によるものである．

2 定義
本稿においては， は正の整数全体の集合を表す :$\mathbb{N}$$N=\{1,2,3, \ldots\}.$

距離空間 $X$ の点
表す:

$x$

と $r\geqq 0$ に対して，$B(x, r)$ は $x$ を中心とする半径

$r$

の閉球体を

$B(x, r)=\{y\in X|d(y, x)\leqq r\}.$$*1$

それには $\{F_{0}, F_{1}, \ldots, F_{n}\}$ を $n+1$ 個の閉集合による$S^{n}$の被覆としたとき，あるであることを示せばよい．連続写像で定めると，Borsuk-Ulam の定理から $f(x)=f(-x)=y$ となるて $x,$ $-x\in F_{i}$ならば $x,$ $-x\in F_{i},$$f:S^{n}arrow \mathbb{R}^{n}$$y$のすべての座標が$\neq 0$$i$と $x\in S^{n}$ についを $f(x)=(d(x, F_{1}), \ldots, d(x, F_{n}))$$x$が存在する． の第ならば $x,$ $-x\in F_{0}$ である．

$y$

$i$

座標が

$0$

21
$B(x, O)=\{x\}$ である．
特に，距離空間 $X$ が固有であるとは，任意の閉球体がコンパクトであることを意味する．これは，任意の有界閉集合がコンパクトであることと言ってもよい．以下では距離空間の中でも固有距離空間だけを取り扱う．固有距離空間は，明らかに局所コンパクトである．

2.1 擬等長同型と Higson コロナ
固有距離空間の問の (連続とは限らない) 写像 $f:Xarrow Y$ が擬等長同型 (quasi-

isometry) であるとは，定数 $A\geqq 1$ が存在して，次の二条件が成り立つことをいう．

(1) 任意の $x’\in X$ に対して $A^{-1}d(x, x’)-A\leqq d(f(x), f(x’))\leqq Ad(x, x’)+A.$$x\in X$ が存在して $d(y, f(x))\leqq A.$(2) 任意の $y\in Y$ に対して，$x,$

擬等長同型の典型的な例は，包含写像である．また，有限生成群の任意$S’$の二つの有限生成系に対して，それらの語距離をとすると，冒頭に述べた$G$$\mathbb{Z}^{n}arrow \mathbb{R}^{n}$$S,$

とおり，id:$d_{S},$ $d_{S’}$$(G, d_{S})arrow(G, d_{S’})$

は擬等長同型となる．

擬等長同型には，群の同型写像や同相写像のように「適切な逆写像」が存在するという形の定義もできる．まず，固有距離空間の間の写像 $f:Xarrow Y$ は，上の条件 (1) を満たすとき擬等長写像 (あるいは擬等長埋め込み) であるという．また，集合
から距離空
$S$

間 $X$ への二つの写像 $h,$ $k:Sarrow X$ が近い (close) とは，ある定数 $M>0$ が存在して，任意の $s\in S$ に対して $d(h(s), k(s))<M$ が成立することをいい，このことを $h\sim k$ で表す．このとき，次が成り立つことが簡単に示される．
命題 2.1. 固有距離空間の間の写像 $f:Xarrow Y$ が擬等長同型であるための必要十分条

件は， が擬等長写像であり，かつ擬等長写像 $g:Yarrow X$ が存在して，$f$$g\circ f\sim id_{X},$$f\circ g\sim id_{Y}$が成立することである．口

上でのは $f$ の正確な逆写像ではない．ホモトピー同値に対するホモトピー逆写像に$g$を包含写像とすると， は擬等長写像である
例えられるものである．例えば，を$g(x)=[x]$ ( の整数部分) とすると は上の命題の条が，これに対して件をみたす擬等長写像であり，したがって は，擬等長同型となる．
$f:\mathbb{Z}arrow \mathbb{R}$$g:\mathbb{R}arrow \mathbb{Z}$

$f$

$x$

$g$

$f$

$h:Xarrow \mathbb{R}$ が
固有距離空間 $X$ に対して，Higson 関数であるとは，任意の $R>0$ に対して条件$\lim_{xarrow\infty}$

diam $(h(B(x, R))$ ) $=0$が成立することである．正確に述べれば，任意の $R>0$ および$\epsilon>0$に対して，あるコ

かつ $d(y, x)<R$ のとき常に $d(h(x), h(y))<\epsilon$
上の有界なHigson 関数全体は実 Banach 環をなすことが容が成立することである．
$C_{h}(X)$
易に確かめられ，これをと書く．この $C_{h}(X)$ に対応する $X$ のコンパクト化が$X$ の Higson コンパクト化 $hX$
$X$ 上の有Higson コンパクト化である．すなわち，は，界連続関数 $f:Xarrow \mathbb{R}$ に対して

ンパクト集合$K$が存在して，$x\in X,$$\backslash K$

$X$

$f$

が $hX$ 上の連続関数に拡張する$\Leftrightarrow f\in C_{h}(X)$22が成立することで特徴づけられる $X$ のコンパクト化である．同様にして複素数値の有界な Higson 関数 (すなわち，その実部虚部が有界 Higson であるような関数) 全体は可換な $c*$ 環をなすが，この $c*$ 環に Gelfand-Naimark の定理により対応するコンパクト化が Higson コンパクト化であると言ってもよい．そして，このコンパクト化の剰余，す$\nu X$$X$
なわち $hX\backslash X$ を $X$ の Higson 境界あるいは Higson コロナといい，で表す．
$\nu X$ はコンパクトの局所コンパクト性から，
Hausdorff 空間になることがわかる．しか$\nu X$ は多くの場合距離付け可能とはならない．
し，擬等長同型，あるいは一般に擬等長写像 $f:Xarrow Y$ は，Higson コロナの間の連続写像$\nu f:\nu Xarrow\nu Y$ を誘導する．この事実と次の命題については [8, Section 2.3] を参照されたい．

命題 2.2.

$f:Xarrow Y$ と $g:Yarrow Z$ が擬等長写像のときは関手性をもつ．すなわち，$k:Xarrow Y$$\nu(g\circ f)=\nu g\circ\nu f$ と $\nu(id_{X})=id_{\nu X}$ が成り立つ．また，二つの擬等長写像
$\nu$

$h,$

に対して

$h\sim k$ならば$\nu h=\nu k$である．

これと命題 2.1 を合わせると直ちに次を得る．
$\nu f:\nu Xarrow\nu Y$ は同相写
系 2.3. 固有距離空間の間の擬等長同型 $f:Xarrow Y$ に対して，
口像である

この連続写像を実際に扱う際には，次が重要である [6, Proposition 2.5].

$\nu f$

命題 2.4. 連続写像

を $f:Xarrow Y$ と貼りあわせた写像 $f\cup\nu f:X\cup\nu X=hXarrow$$hY=Y\cup\nu Y$ を考える．この $f\cup\nu f$ は $\nu X$ の各点において連続である．また，写像$\nu f$$vf:\nu Xarrow\nu X$ はこの性質で特徴づけられる．

2.2

Large scale doubling な距離空間

さて，主定理 1.1 に現れている距離空間についての large-scale doubling という性質を定義しよう．
と $r_{0}\geqq 0$ が存
定義 2.5. 距離空間 $X$ が large-scale doubling であるとは，$X$ における半径 $2r$ の任意の球体が高々 $N$ 個の半径在して，任意のに対して，と $x\in X$ に対して，の球体によって被覆されることをいう．すなわち，任意の$N\in \mathbb{N}$$r\geqq r_{0}$$r\geqq r_{0}$$r$$B(x, 2r) \subset\bigcup_{i=1}^{N}B(y_{i}, r)$を満たすような跳，$y_{2},$$\ldots,$$y_{N}\in X$

が存在することをいう．

なお球体とは閉球体を意味するものとするが，ここに限らず本稿全体において，開球体を用いるか閉球体を用いるかは本質的ではない (これはトポロジーの議論と粗幾何の議論の大きく相違する点である). 上の定義で $r_{0}=0$ と取れるとき，距離空間 $X$ はdoubling であるという．もちろん，doubling であれば，large-scale doubling である．

23
は doubling である (したがって large-scale doubling でもあ
ユークリッド空間
る . 実際， の半径 2 の (閉) 球体は，コンパクト性から有限個 (それを $N$ 個とする の半径 1 の球体で覆うことができる．これに倍の相似拡大を施せば，半径 $2r$ の球
体が常に $N$ 個の半径 の球体で覆われると分かる．これに対し，双曲空間$\mathbb{R}^{n}$$)$$\mathbb{R}^{n}$

$)$

$r$

$\mathbb{H}^{n}(n\geqq 2)$$r$

は large-scale doubling ではない．これは双曲空間の球体の体積が半径の指数関数のオーダーで増大することの帰結である．

Doubling であるという性質は擬等長同型では不変ではないが，容易に分かる通り
large-scale doubling の方は擬等長同型で不変である．これが，主定理の主張において後者の概念を用いた理由である．

Large-scale doubling な距離空間について，次が成り立つ．正数 に対して，距離空間が 離散 ( -discrete) であるとは，任意の異なる二点$y\in S$ に対し
の部分集合
$r$

$X$

$S$

$r$

$r$

$x,$

て $d(x, y)>r$ が成立することとする．
$N$ および $r0>0$ をその定義に補題 2.6. $X$ を large-scale doubling な距離空間とし，現れる定数とする．このとき任意の $c\geqq 1$ に対して，次のような ( $N$ と から定まる)が存在する : 任意の $r\geqq 2r_{0}$ に対して，半径 $cr$ の任意の球体の 離散部分集合の元の個数は，常に $M$ 個以下である．
$c$$M\in \mathbb{N}$$r$

および球体 $B=B(x, cr)$ の任意の離散部分集合を $c\leqq 2^{q}$ となるように選び $M=N^{q+1}$ とすると，large$B$ は $M$ 個の $r/2$ 球体
scale doubling の定義を $q+1$ 回繰り返し適用することで，$B_{i}=B(x_{i}, r/2)(i=1,2, \ldots, M)$ により覆われると分かる．このとき各 $s\in S$ に対して

証明．任意のを取る．非負整数$r\geqq 2r_{0},$$S$$x\in X$$r$$q$

適当な $i=f(s)$ を選ぶと $s\in B_{i}$ である．この写像 $f:Sarrow\{1,2, \ldots, M\}$ は単射であ$d(s, t)\leqq d(s, x_{i})+d(x_{i}, t)\leqq r/2+r/2=r$ で$f(s)=f(t)=i$ とすれば，る．実際，あるから， の$S$$r$

離散性から $s=t$ である．したがって $S$ の元の個数は $M$ 以下である

口

2.3 漸近次元
次に，距離空間の粗幾何的な次元に関係した用語を導入しよう．まず，今回では直接は用いないが，被覆次元の粗幾何版として知られた，漸近次元 (asymptotic dimension) の定義を振り返っておく．
$X$ の漸近次元 asdim $X$ を次で定義する．
定義 2.7 (asdim). 固有距離空間 $X$ に対して，非負整数 に対して asdim $X\leqq n$ であるとは，あるが存在し，任意の $R\geqq R_{0}$ に対$/X$ の $n+1$ 個の部分集合族が存在して次が成立することである．
して，$n$$R_{0}$$\mathcal{U}_{0},\mathcal{U}_{1},$$\bullet$$\bullet$$\ldots,\mathcal{U}_{n}$は $X$ の被覆である．
和集合
各に対して， の異なる二つの元は，距離 $R$ 以上離れている．すなわち，$U,$
かつ $U\neq V$ ならば $d(U, V)\geqq R$ である．
各 に対して， に属する集合の直径は一様な定数で抑えられる．すなわち，ある $M>0$ が存在して，すべてのに対して diam $U\leqq M$ が成り立つ．
$\mathcal{U}_{0}U\mathcal{U}_{1}U\cdots \mathcal{U}_{n}$$i$$\mathcal{U}_{i}$$V\in \mathcal{U}_{i}$$\bullet$$i$$\mathcal{U}_{i}$$U\in \mathcal{U}_{i}$24で最小のものをこのとき，asdim $X\leqq n$ となるが存在するときは，そのような$X$ の漸近次元といい$X$となるが存在しないときは，と書く．asdim
asdim
$n$

$n$

$\leqq n$$n$

asdim $X=\infty$ とする．
上の漸近次元 asdim について aedim

である．また，漸近次元は擬等長同型には擬等長同型であるから，asdim
ついて不変である．包含写像である．また，有限生成群には擬等長同型を除いて一意的な語距離が決まるから，有限について常に生成群の漸近次元という概念が意味を持ち，例えば 元生成自由群$\mathbb{R}^{n}=n$$\mathbb{Z}^{n}=\mathbb{R}^{n}=n$$\mathbb{Z}^{n}arrow \mathbb{R}^{n}$$F_{n}$$n$asdim $F_{n}=1$ である．
漸近次元は，実際には擬等長同型よりも弱い粗同値 (coarse equivalence) について不変とをな量である．ここで $f:Xarrow Y$ が粗同値であるとは，満たす関数, および定数 $A>0$ が存在して，次の条件が成り立$\rho_{1}\leqq\rho_{2}$$\rho_{1},$$\lim_{tarrow\infty}\rho_{1}(t)=\infty$$\rho_{2}:[0, \infty)arrow[0, \infty)$

つことをいう．
$\bullet$$\bullet$

任意の $x,$ $x’\in X$ に対して $\rho_{1}(d(x, x’))\leqq d(f(x), f(x’))\leqq\rho_{2}(d(x, x’))$ .
$x\in X$ が存在して $d(y, f(x))\leqq A.$
任意の $y\in Y$ に対して，が一次関数に取れる場合が擬等長同型にほかならない 2.
$R$ とまったく無関
さて，漸近次元の定義 2.7 において， の元の直径の上界 $M$ は，係に取れることに注意しよう．ここで $M$ を $R$ の一様な定数倍という条件を付加するこ
ここでの

$*$

$\rho_{1},$$\rho_{2}$$\mathcal{U}_{i}$とで，次の線型制御漸近次元 (linearly controlled asymptotic dimension) -aedim$\ell$$X$の定義が得られる．
$X$ の線型制御漸近次元 -asdim $X$ を次で定義 2.8 ( -asdim). 固有距離空間 $X$ に対して，$\ell$$\ell$

定義する．非負整数が存在して，任意の$n$に対して，-asdim $X\leqq n$ であるとは，二つの定数埼 $>0,$ $C_{0}>0$$X$ の $n+1$ 個の部分集合族を次埼に対して，$\ell$$R\geqq$$\mathcal{U}_{0},\mathcal{U}_{1},$$\ldots,\mathcal{U}_{n}$を満たすように取れることである．
$\bullet$$\bullet$は $X$ の被覆である．
和集合
各 に対して， の異なる二つの元は，距離 $R$ 以上離れている．すなわち，$U,$
かつ $U\neq V$ ならば $d(U, V)\geqq R$ である．
各 に対して， に属する集合の直径は $C_{0}R$ で抑えられる．すなわち，すべてのに対して diam $U\leqq C_{0}R$ が成り立つ．
$\mathcal{U}_{0}U\mathcal{U}_{1}U\cdots \mathcal{U}_{n}$$i$$\mathcal{U}_{i}$$V\in \mathcal{U}_{i}$$\bullet$$i$$\mathcal{U}_{i}$$U\in \mathcal{U}_{i}$このとき，-asdim $X\leqq n$ となる が存在するときは，そのようなとなるの線型制御漸近次元といい -asdim $X$ と書く． asdim
は，-asdim $X=\infty$ とする．
$\ell$$n$$\ell$$\ell-$$\leqq n$

$n$

$n$

で最小のものを $X$
が存在しないとき$\ell$

定義から，-asdim $X\leqq n$ ならば asdim $X\leqq n$ である．したがって，asdim $X\leqq\ell-$$\ell$$*2$

擬等長同型のかわりに粗同値を考える理由の一つは次のようなものである．有限生成群 $G$ がより大きな$G$ 上の任意の二つの語距離は互いに擬等長同型なのであるが，$G’$有限生成群 $G’$ の部分群であるとき，$G$上の語距離を上に制限したものはそれと擬等長同型でないことがありうる．その場合でも，この両者は粗同値となる．

25
asdim $X$ が常に成り立ち，特に$\ell-$

asdim $X<\infty$ ならば asdim $X<\infty$である．この二つの次元 asdim と -asdim は実際に異なる．例えば $k\geqq 2$ のとき，
as $\dim G_{k}=k,$ -asdim $G_{k}=\infty$ となるような有限表示群が存在する (Nowak [7]).
$n\geqq 1,$ $k>0$
また，任意のに対して，asdim $G_{n,k}=n,$ -asdim $G_{n,k}=n+k$ となる可(に左不変固有距離を入れたもの) の例も知られている (Higes [4]).
算群
さて，large-scale doubling である固有距離空間 $X$ は，-as $\dim$ が有限である．この事
実の以下の証明は，実質的には Lang-Schlichenmaier [5] による．
$\ell$$\ell$$G_{k}$$\ell$$G_{n,k}$$\ell$

命題 2.9. 固有距離空間 $X$ か’ large-scale doubling であれば，-asdim $X<\infty$ である．
$\ell$$R_{0}=2r_{0},$ $C_{0}=2$ とする．
$r0>0$ を large-scale doubling の定義の通りに取り，
証明．
$R\geqq$$X$ の極大な $R$ 離散部分集合
馬とし，から， は可算集合である．そこで$S$

るから補題 2.6 により，

$S$

$X$ が固有距離空間であることを取る．

$S=\{p_{k}|k\in \mathbb{N}\}$が存在して，各$R\geqq R_{0}=2r_{0}$ であ
番号づける．

に対して $|S\cap B(p_{k}, 3R)|\leqq M$ であ$d(Pk,P\iota)\leqq 3R,$ $k\neq l$ ならばる．このことから写像 $\chi:\mathbb{N}arrow\{0,1,2, \ldots, M-1\}$ を，$\chi(k)\neq\chi(l)$ となるように構成できる( $\chi(1)$ から順に帰納的に定義していけばよい). そ
こで $i=0,1,$$M-1$ に対して
$M\in \mathbb{N}$$k$$\ldots,$$\mathcal{U}_{i}=\{B(p_{k}, R)|\chi(k)=i\}$は $X$ の被覆であり，任意の異なる二とおくと， の極大性から$R$つの元の距離はの各元の直径は $2R=C_{0}R$ 以下である．した以上であり，しかも$X$ は$X\leqq
M<\infty$-asdimがって，を満たす．□$S$$\mathcal{U}_{0}\cup \mathcal{U}_{1}\cup\cdots\cup \mathcal{U}_{M-1}$$\mathcal{U}_{i}$$\ell$

は -asdim $\mathbb{H}^{n}=n<\infty$ をみ
なお，上の命題の逆は成立しない．実際，双曲空間
たす ([1, Theorem 12.3.3]) が，large-scale doubling ではない．
$\mathbb{H}^{n}$$\ell$

3 主定理の証明の概略
本稿の主定理 1.1 のうち，必要性の部分は比較的容易であり，固有距離空間 $X$ がlarge-scale doubling であるという仮定さえ証明には必要ない．まず，この部分を確かめておこう．
$f:Xarrow X$ を固有距離空間 $X$ の擬定理 1.1 のうち，必要性の証明．対偶を証明する．
すなわち $\lim_{xarrow\infty}d(x, f(x))=\infty$ が成立しないとする．すると
等長同型とし，主張$(\#)$

内の非有界集合 (言い換えると $X$ での閉包がコンパクトでない集合) $A$ と定数 $M>0$
であって，

$X$

$d(a, f(a))\leqq M (\natural)$

が各 $a\in A$ に対して成立するようなもめを取ることができる．このとき Higson コンパ
クト化 $hX=X\cup\nu X$ における閉包 clhx $A$ に対して，$c1_{hX}A\cap vX\neq\emptyset$ となる．

26
そこで $\xi\in c1_{hX}A\cap\nu X$ を一つ取ると，これがの不動点となる．それを示すため，$hX$であったとしよう． はコンパクト Hausdorff だから，連続関数ん-: $hXarrow \mathbb{R}$$hX$
であってんh-( f( )) となるものが存在する．んの $X$ への制限 $h:Xarrow \mathbb{R}$ は，の定義により，Higson 関数である．
$a_{\lambda}arrow\xi\in c1_{hX}A$ となる $A$ 内の有向点列を選ぶ．このとき命題 2.4 より$\nu f(\xi)$$|h(a_{\lambda})-h(f(a_{\lambda}))|arrow 0$とがHigson 関数であることより，
である．すると$\nu f$$\xi\neq\nu f(\xi)$$(\xi$ $)$$\neq$

$\xi$

$\nu$

$f(a_{\lambda})arrow$$(a_{\lambda})$$(\natural)$$h$である．したがって，んの連続性よりん
よって， は$\xi$$\nu f$$(\xi$ $)=\overline{h}(\nuf(\xi))$となり， の取り方に矛盾する．
$\overline{h}$の不動点である．口

さて，問題となるのはこの逆，すなわち十分性の証明である．そのために基本となるの$N_{r}(S)$ によっては次の事実である．距離空間 $X$ の部分集合 および $r\geqq 0$ に対して，
の
近傍
$S$

$S$

$r$

$N_{r}(S)=\{x\in X|d(x, S)\leqq r\}$を表す．

命題 3.1 (粗幾何的 coloring と不動点の非存在). $X$ を固有距離空間とし，$f:Xarrow X$ を$X$
が擬等長写像とする．次の条件 (1)(2) を満たすの有限個の部分集合君，
$\nu
f:\nu
Xarrow\nuX$
は不動点をもたない．
存在すれば，$F_{2},$$\ldots,$$F_{N}$

は有界である．
(1)$N$ と $R>0$$N_{R}(F_{i})\cap N_{R}(f(F_{i}))$ は有界である．
(2) 任意の $i=1,2,$
に対して，$X \backslash \bigcup_{i=1}^{N}F_{i}$$\ldots,$

上の命題は，Stone-\v{C}ech コンパクト化についての命題 1.4 の粗幾何版であると考えることができ，条件 (1)(2) を満たす
は，粗幾何的な意味での の coloring$X$を「粗幾何的な意味で被覆している」と思うことができる．(1) の条件は疏たちがことを表し，(2) の条件は鶏と f(星) が「粗幾何的な意味で交わらない」 ことを表して$F_{1},$ $F_{2},$$\ldots,$$F_{N}$$f$いる．
$\xi\in\nu X$ として， が命題 3.1 の証明．
$\xi$

$K= c1_{X}(X\backslash \bigcup_{i=1}^{N}F_{i})$$X$の不動点ではないことを示そう．まず，とおくと，条件 (1) よりが固有距離空間であることより$hX$$\nu X$

$K$

$K$

は $X$

の有界閉集合，したがって，

はコンパクトである．よって Higson コンパクト化について$hX= c1_{hX}(X)=c1_{hX}(\bigcup_{i=1}^{N}F_{i}\cup K)=\bigcup_{i=1}^{N}c1_{hX}F_{i}\cup c1_{hX}K=\bigcup_{i=1}^{N}c1_{hX}F_{i}\cup K$

よって $\nu X=hX\backslash X=$$( \bigcup_{i=1}^{N}$clhx$F_{i})\backslash X$

であるから，ある に対して，$i$$\xi\in c1_{hX}F_{i}$である．
$N_{1}(F_{i})\cap N_{1}(f(F_{i}))$に対して，(2) で $R=1$ としたものより，は有界で，したがっ$K$$A=F_{i}\backslash
K’,$
$B=$
てあるコンパクト集合 ’ に含まれる．
f(Fi)’ とおけば，すべての$x\in X$ に対して $d(x, A)>0$ または $d(x, B)>0$ となるので，$F(x)=d(x, A)+d(x, B)$

この

$i$

$\backslash K$とするとき$h(x)= \frac{d(x,A)}{F(x)}$27$xarrow\infty$ のによって連続関数 $h:Xarrow[O, 1]$ を定義できる．このとき，条件 (2) により，$F(x)arrow\infty$ときが成り立つことに注意しておく．

主張 3.1.

この $h$ は Higson 関数である．

$R>0$ を任意に取る．
diam $h(B(x, R))=0$ を証明しよう．そ主張 3.1 の証明．
$d(x,y)\leqq
R$
$y\in
X,$
$|d(x,
A)-d(y,A)|\leqq d(x, y)$ および $|F(y)-$
のため，
とする．
$\lim_{xarrow\infty}$$x,$$F(x)|\leqq 2d(x, y)$に注意すると，$|h(x)-h(y)|=| \frac{d(x,A)}{F(x)}-\frac{d(y,A)}{F(y)}|$$=| \frac{d(x,A)-d(y,A)}{F(x)}+\frac{d(y,A)}{F(y)}\frac{F(y)-F(x)}{F(x)}|$$\leqq\frac{d(x,y)}{F(x)}+\frac{2d(x,y)}{F(x)}\leqq\frac{R}{F(x)}$さきに注意したとおり $xarrow\infty$ のとき $F(x)arrow\infty$ であるから，上の評価式から求める結論を得る
口

いま証明された主張より， は Higson コンパクト化 $hX$ 上の連続関数$vf(\xi)\in clhx$に拡張できる．
であったが，これと命題 2.4 より，$h$$\overline{h}:hXarrow[O, 1]$$\xi\in c1_{hX}F_{i}$ある．ところが$A=F_{i}\backslash K’,$

$B=f(F_{i})\backslash K’$

であったから$K’$$c1_{hX}F_{i}\cap\nu X=c1_{hX}A\cap vX,$ $c1_{hX}f(F_{i})\cap\nu X=c1_{hX}B\cap\nu X$$f(F_{i})$でのコンパクト性よりである．よって$\xi\in c1_{hX}A, \nu f(\xi)\in c1_{hX}B$$\xi\in c1_{hX}A\subset$
である．一方， の定義より $A\subset h^{-1}(1),$ $B\subset h^{-1}(0)$ であるので，$h$$\overline{h}^{-1}(1),$$vf(\xi)\in c1_{hX}B\subset\overline{h}^{-1}(0)$$\xi\neq vf(\xi)$である．よって$\overline{h}(\xi)=1\neq 0=\overline{h}(\nu f(\xi))$であるからである．命題 3.1 が証明された．
$\square$

こうして，主定理の証明のためには，large-scale doubling な固有距離空間 $X$ となる擬等長同型 $f:Xarrow X$ に対して命題 3.1 の条件 (1) (2)を満たす,を構成すればよいことがわかった．しかし，ここでの擬等長同型$f:Xarrow X$ は全単射であると仮定しても一般性を失わない．それは次が成り立つからで$\lim_{xarrow\infty}d(x, f(x))=\infty$$F_{1},$$\ldots$$F_{N}$

ある．

命題 3.2. 固有距離空間 $X$ の任意の擬等長同型 $f:Xarrow X$ に対して，ある固有距離空間 $X’$ および擬等長同型 $\varphi:Xarrow X’$ および全単射である擬等長同型 $f’$ : $X’arrow X’$ が存在して，$f\sim\psi\circ f’\circ\varphi$$\psi:X’arrow X$ は命題 2.1 の意味でである．但し，

idx,$\varphi\circ\psi\sim id_{X’}$を満たす擬等長写像である．

$\varphi$の逆である．すなわち$\psi$

は$\psi\circ\varphi\sim$28$C$ を無限個の点をもつコンパクト距離空間，たとえば証明．

$\mathbb{R}$の部分距離空間$C=\{0,1,1/2,1/3, \ldots\}$$Y$ を $X$
$X’=Y\cross C$ に距離としよう．
の極大な 1 離散部分集合の一つとし，$X’$$d((y, c), (y’, c’))=d(y, y’)+|c-c’|$ を入れると，は固有距離空間である．また，

各 $x\in X$ に対してとの距離が最も近い $Y$ の点の一つを選べば， : $Xarrow Y$と包含写像 $i:Yarrow X$ は互いに逆の擬等長同型である．また，$j:Yarrow X’,$ $p:X’arrow Y$をそれぞれ $j(y)=(y, 0),$ $p(y, c)=y$ で定義すると，これらは互いに逆の擬等長同型で$\varphi’(x)$$x$$\varphi’$ある．

以上を用いて擬等長同型 $\varphi:Xarrow X’$ を $\varphi(x)=i\circ\varphi’$ で定義すると，その逆$\psi:X’arrow X$

が $\psi=i\circ p$ で与えられる．このとき，擬等長同型 $\tilde{f}=\varphi’\circ f\circ i:Yarrow Y$$C>0$ を適当に選ぶと，任意の $y\in Y$ にを考えよう．すると，擬等長同型の定義から，$Y$ の点
対して $x\in Y$ であって $d(y, f(x))<C$ となるようなものが存在する (以下では，$Y$ を $f$ の定義域と考えるときは
$f$
$Y$ を
の値域と考えるときを表す文字として，
を，
$x$

は

$y$

を用いる).

を選んで，各 $x\in Y$ に対して $F_{x}=B_{Y}(f(x), C)$ とおく．但し， はにおける閉球体を表す．このは空でない有限集合である．次に各 $y\in Y$ に対して
$F^{y}=f^{-1}(B_{Y}(y, C))$ とおく．
も空でない有限集合である．各 x $\in Y$ に対して，集この$C$$B_{Y}$$Y$$F_{x}$$F^{y}$$\grave{}$

合としての分割 $c=II_{y\in F_{x}}^{D_{x}(y)}$ を，各 $D_{x}(y)$ が (可算) 無限集合となるように固定する．同様に，各 $y\in Y$ に対して，集合としての分割 $c=U_{x\in Fy}E^{y}(x)$ を，各$E^{y}(x)$が無限集合となるように固定する．こうして，集合 $X’$ の二通りの直和分割$X’=\coprod_{x\in Y}\coprod_{y\in F_{x}}D_{x}(y)=\coprod_{y\in Y}\coprod_{x\in Fy}E^{y}(x)$が得られる．すると $x\in Y,$$y\in F_{x}$に対して $d(f(x), y)\leqq C$ , すなわち $x\in F^{y}$ であるから $D_{x}(y),$ $E^{y}(x)$ がともに定義され，したがって全単射$f_{x,y}’:D_{x}(y)arrow E^{y}(x)$がある．これをすべての $x\in Y,$ $y\in F_{x}$ について貼りあわせて$f’= \coprod_{x\in Y}\prod_{y\in F_{x}}f_{x,y}’:\prod_{x\in Y}\coprod_{y\in F_{x}}D_{x}(y)=Yarrow Y=\prod_{y\in Y}\prod_{x\in F}$$E^{y}(x)$シ$f’$ の逆写像が定義できるから $f’$ は全単射である．各が得られる．同様に考えて，$(x, c)\in Y$

に対して $d(p\circ f’(x, c),\tilde{f}(x))\leqq C$ であるから $p\circ f’\sim\tilde{f}\circ p$,

したがって$\psi\circ f’\circ\varphi=i\circ pof’\circ j\circ\varphi’$$\sim i\circ f\circ pojo\varphi’$$\sim i\circ f\circ\varphi’$$=i\circ\varphi’\circ f\circ i\circ\varphi’\sim f$

$f’$
となり，
が求める擬等長同型であることが分かった．口29

4 粗幾何的な coloring の構成
以上の議論から，主定理の証明のためには，次の命題を証明すればよいことが分かった．
命題 4.1. $X$ を large-scale doubling な固有距離空間とする．全単射である擬等長同型$f:Xarrow X$ が条件$\lim_{xarrow\infty}d(x, f(x))=\infty (\#)$

を満たすならば，命題 3.1 の条件，つまりは有界(1)$N$ と $R\geqq 0$$N_{R}(F_{m})\cap N_{R}(f(F_{m}))$ は有界(2) 任意の $m=1,2,$
に対して，$X \backslash \bigcup_{m=1}^{N}F_{m}$$\ldots,$を満たす$F_{1},$ $F_{2},$,$\ldots,$,...,$F_{N}\subset X$が存在する．

の構成のためには，次の補題が基本的である．これは，任意の固有
に対して
距離空間
asdim であることの証明で用いられた DranishnikovKeesling-Uspenskij の補題 [3, Lemma 2.9] を「線型制御つき」 のバージョンに焼き直し
この$F_{1}$$F_{2}$$F_{N}$$Y$$\dim\nu Y\leqq$$Y$$X$ の部分集合族たものである．以下で，ての和集合$\cup \mathcal{U}$に対して$X\backslash \cup \mathcal{U}$が $X$ をほとんど被覆するとは， の元すべが有界となることである．
$\mathcal{U}$$\mathcal{U}$

補題 4.2. $X$ を固有距離空間とし，-asdim $X=n<\infty$ とする．このとき，次のような$\ell$$\lambda_{0}>0$

および$\epsilon_{0}>0$が存在する : 関数 $L:Xarrow[O, \infty)$ が次の二条件(a) $\lim_{xarrow\infty}L(x)=$ 科，(b) $|L(x)-L(y)|\leqq\lambda_{0}d(x, y)+\lambda_{0}$$(x, y\in X)$$X$ の部分集合族陽 $(i=0,1, \ldots, n)$を満たすならば，が存在して，次の (A)(B)(C)(D)を満たす．

(A) 任意の(B)(C) 任意の(D) 任意の$i$に対して鑑は局所有限である．
は $X$ をほとんど被覆する．

$\mathcal{U}_{0}U\mathcal{U}_{1}U\cdots \mathcal{U}_{n}$

$i$

$i$

および
および $A,$$A\in \mathcal{U}_{i},$$x\in A$

$B\in \mathcal{U}_{i},$に対して，diam $A<L(x)$ である．
$A\neq B$ ならば $d(A, B)\geqq\epsilon_{0}L(x)$ でに対して，$x\in A$ある．

この補題の証明は，紙数の都合上，割愛する．ここでは補題を認めた上で，命題 3.1 を証明し，主定理の証明を完成させよう．以下では，$X$ を large-scale doubling な固有距離$X$ か’ large-scale doubling である
$f$ を
空間とし，
を満たす全単射擬等長同型とする．
ことの定義に現れる定数 $r_{0}>0$ を一つ固定する．
擬等長同型の定義から，定数 $A\geqq 1$ であって$(\#)$$A^{-1}d(x, y)-A\leqq d(f(x), f(y))\leqq Ad(x, y)+A$(1)$A^{-1}d(x, y)-A\leqq d(f^{-1}(x), f^{-1}(y))\leqq Ad(x, y)+A$

(2)

30
となるようなものが存在する．

命題 2.9 により，-aedim $X=n<\infty$ であるから，補題 4.2 のような定数$\ell$$\epsilon_{0}>0$が存在する．必要なら$\epsilon_{0}$$\lambda_{0}>0,$を小さく取りかえて，(3)$\frac{\epsilon_{0}}{3}\leqq 1$$y=f^{-1}(x)$ とおくと，が成り立つようにしておく．いま，$f^{-1}$

が擬等長写像であること

より $xarrow\infty$ のとき $yarrow\infty$ だから，

(4)$\lim_{xarrow\infty}d(x, f^{-1}(x))=\lim_{xarrow\infty}d(f(f^{-1}(x)), f^{-1}(x))=\lim_{yarrow\infty}d(f(y), y)=\infty$

である．

そこで，十分大きい $D>0$ を取って，関数 $L:Xarrow[O, \infty)$ を(5)$L(x)= \frac{1}{D}\min\{d(x, f(x)), d(x, f^{-1}(x))\}$$D$ ので定義する．この $D$ をどの程度大きく取ればよいかは本稿の最後で明確にしよう．
取り方には関係なく，いま見たことから は補題 4.2 の条件 (a) を満たす．更に が補題 4.2 の条件 (b) を満たすことは，次から分かる．
$L$

$L$

補題 4.3. 任意の $x,$ $y\in X$ に対して，$|L(x)-L(y)| \leqq\frac{A+1}{D}d(x, y)+\frac{A}{D}$

(6)

である．

証明． $y\in X$ とする．このとき$x,$$d(y, f(y))\leqq d(y, x)+d(x, f(x))+d(f(x), f(y))$$\leqq d(x, y)+d(x, f(x))+Ad(x, y)+A$(7)$=(A+1)d(x, y)+d(x, f(x))+A$$|d(x, f(x))-d(y, f(y))|^{-}\leqq(A+1)d(x, y)+A$ である．同様に，である．よって，$|d(x, f^{-1}(x))-d(y, f^{-1}(y))|\leqq(A+1)d(x, y)+A$ も成り立つ．よって，$|L(x)-L(y)|= \frac{1}{D}|\min\{d(x, f(x)), d(x, f^{-1}(x))\}-\min\{d(y, f(y)), d(y, f^{-1}(y))\}|$$\leqq\frac{1}{D}\max\{|d(x, f(x))-d(y, f(y))|, |d(x, f^{-1}(x))-d(y, f^{-1}(y))|\}$$\leqq\frac{1}{D}((A+1)d(x, y)+A)=\frac{A+1}{D}d(x, y)+\frac{A}{D}.$(8)$d(x, f(x)),$ $d(y, f(y)),$ $d(x, f^{-1}(x))$ ,である．上の二番目の不等号をみるためには，$d(y, f^{-1}(y))$のうち最小のものに注目すればよい口31
そこで，以下では $D>0$ は(9)$\frac{A+1}{D}\leqq\lambda_{0}$を満たすように十分大きく取ってあるものとしよう．すると， は補題 4.2 の条件(a) (b) をともに満たし，したがって条件 (A) (B) (C)(D) を満たすような $X$ の部分集合族
飴 $(i=0,1, \ldots, n)$ が存在する．
条件 (A), つまり必が局所有限であることと $X$ が固有距離空間であることより，鑑は可算集合である．よって
$L$

(10)

$\mathcal{U}_{i}=\{U_{i,j}|j\in \mathbb{N}\}$と番号づけることができる．各

$U_{i,j}$必の局所有限性より $iarrow\infty$ のときを満たすから，に対して点$\overline{p}_{i},\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdotarrow\infty$を固定しよう．すると，再びである．更に， は補題 4.2 の条件 (a)$\overline{p}_{i,j}\in U_{i,j}$

$L$

(11)

$\lim_{jarrow\infty}L(\overline{p}_{i,j})=\infty$となるである．よって，任意の および $M>0$ に対して，を適当に変えることによって，(10)ない．したがって，番号づけ$L(\overline{p}i,j)\leqq M$$i$$i<k$ ならば

$i$は有限個しか(12)$L(\overline{p}_{i,j})\leqq L(\overline{p}_{i,k})$を満たすようにできる．
$\mathcal{U}_{i}=\{U_{i,j}|j\in \mathbb{N}\}$

まず $n_{0}=1$

を修正して，新しい集合族$\{V_{i,j}|j\in \mathbb{N}\}$をつくろう．そのために，として$A_{i,1}=\{k\in \mathbb{N}|\overline{p}_{i,k}\in B(\overline{p}_{i},{}_{n0}L(\overline{p}_{i,n_{0}}))\}$(13)$A_{i,k}(1\leqq k<j)$ が定義されているとき，とする．一般に，$n_{i,j-1}= \min(\mathbb{N}\backslash (A_{i,1}\cup\cdots\cup$$A_{i,j-1})$

として$A_{i,j}=\{k\in \mathbb{N}\backslash (A_{i,1}\cup\cdots\cup A_{i,j-1})|\overline{p}_{i,k}\in B(\overline{p}_{i,n_{j-1}}, L(\overline{p}_{i,n_{j-1}}))\}$と定義する．これにより，$(A_{i,j})_{j_{=1}}^{\infty}$

鑑の局所有限性より$A_{i,j}$および$(n_{i,j})_{j_{=0}}^{\infty}$(14)が帰納的に定義される．このときは有限集合となる．更に，定義から分かるとおり$n_{i,j-1}\in A_{i,j}$(15)$\min A_{i,j}=n_{i,j-1}=\min(\mathbb{N}\backslash (A_{i,1}\cup\cdots\cup A_{i,J_{-1}))}$

(16)

なので，

となり，したがって$(n_{i,j})_{j\in N}$

は狭義単調増加で$\mathbb{N}=\coprod_{j\in \mathbb{N}}A_{i,j}$

となる．

(17)

32
$i=0,1,$
この分割を用いて，$n$$\ldots,$および$j\in \mathbb{N}$に対して$V_{i,j}= \bigcup_{k\in A_{ij}},U_{i,k}$

,

(18)
(19)

$p_{i,j}=\overline{p}_{i,n_{i,j-1}}$と定義する．このとき，$A_{i,j}$の帰納的定義 (14) は(20)$A_{i,j}=\{k\in \mathbb{N}\backslash (A_{i,1}\cup\cdots\cup A_{i,j-1})|\overline{p}_{i,k}\in B(p_{i},{}_{j}L(p_{i,j}))\}$となる．
および $p_{i,j}(i=0,1, \ldots, N, j\in \mathbb{N})$ に対して成り立つ性質をまとめておく．
$V_{i,j}$

補題 4.4. 次が成立する．
は有界集合である．
(i)(ii) $\mathcal{V}=\{V_{i,j}|i=0,1, \ldots, N, j\in \mathbb{N}\}$ は局所有限であって $X$ をほとんど被覆する．
(iii) $p_{i,j}\in V_{i,j}.$(iv) $\lim_{jarrow\infty}L(p_{i,j})=\infty.$(v) $j<k$ ならば $L(p_{i,j})\leqq L(p_{i,k})$ .
(vi) $j<k$ ならば $d(Pi,j,Pi,k)>L(p_{i,j})$ .
(vii) $x\in V_{i,j},$ $j\neq k$ ならば $d(V_{i,j}, V_{i,k})\geqq\epsilon_{0}L(x)$ .
$V_{i,j}$証明．(i)の満たす条件 (C) より各$V_{i,j}= \bigcup_{k\in A_{:,j}}U_{i,k}$ は有界集合である．

$U_{i,k}$$\mathcal{U}_{i}$は有界集合であり，$A_{i,j}$は有限集合なので，(ii) まず， の局所有限性は必が局所有限であるという条件 (A) および，$\mathcal{V}$$V_{i,j}$定義から明らかである．また各$\bigcup_{i=0}^{n}\bigcup_{k\in \mathbb{N}}U_{i,k}$$i$である．よって，$\mathcal{U}_{i}(i=0,1, \ldots, n)$

ほとんど被覆すると分かる．
(iii)$p_{i,j}=\overline{p}_{i,n_{i,j-1}}\in U_{i,n_{i,j-1}}$$Pi,j\in V_{j}$に対して$\bigcup_{j\in \mathbb{N}}A_{i,j}=\mathbb{N}$

の

なので，

$\bigcup_{i=0}^{n}\bigcup_{j\in N}V_{i,j}=$が満たす条件 (B) から， が $X$ をであるが，(15) より$\mathcal{V}$$U_{i,n_{i,j-1}}\subset V_{i,j}$となる．よってである．

(iv)(v)
が狭義単調増加であることと (11), (12) から分かる．
(vi) $i<k$ とすると，(15) から $n_{i,k-1}\in A_{i,k}$ であり，したがって，での定義 (20) から，ある．よってである．これは$(n_{i,j})_{j\in \mathbb{N}}$$n_{i,k-1}\not\in A_{i,j}$$p_{i,k}=\overline{p}_{i,n_{i,k-1}}\not\in B(pi,{}_{j}L(pi,j))$$A_{i,j}$

示すべきことである．

(vii)$\mathcal{U}_{i}$の性質 (D)と， の作り方から分かる．口
$V_{i,j}$

さて，$\frac{A+1}{D}\leqq 1$を満たすように $D>0$ を大きく取れば，次が成り立つ．

補題 4.5. 任意の $x\in V_{i,j}$ に対して，$d(x,pi,j)\leqq 3L(pi,j)+1.$

(21)

33
証明．任意に$x\in V_{i,j}$をとる．すると$x\in U_{i,k}$となる$k\in \mathbb{N}$

であって

(22)

$\overline{p}_{i,k}\in B(p_{i},{}_{j}L(p_{i,j}))$となるものが存在する．このとき補題 4.3 より，$|L(p_{i,k})-L(p_{i,j})| \leqq\frac{A+1}{D}d(\overline{p}_{i,k},p_{i,j})+\frac{A}{D}$(23)$\leqq\frac{A+1}{D}L(p_{i,j})+\frac{A}{D},$

したがって，$L( \overline{p}_{i,k})\leqq L(p_{i,j})+\frac{A+1}{D}L(p_{i,j})+\frac{A}{D}$(24)$=(1+ \frac{A+1}{D})L(p_{i,j})+\frac{A}{D}$である．よって， の性質 (C) より，$\mathcal{U}_{i}$$d(x,p_{i,j})\leqq d(x,\overline{p}_{i,k})+d(\overline{p}_{i,k},p_{i,j})$$\leqq$diam $U_{i,k}+L(p_{i},j)$$\leqq L(p_{i,k})+L(p_{i,j})$(25)$\leqq(1+\frac{A+1}{D})L(p_{i,j})+\frac{A}{D}+L(p_{i,j})$$\leqq(2+\frac{A+1}{D})L(p_{i,j})+\frac{A}{D}$$d(x, y)\leqq 3L(p_{i,j})+1$ である．□
である．よって， を (21) のように大きく取れば，
$D$

さて，

$V_{i,j}$の $\epsilon_{0}L(Pi,j)/3$ 近傍を $W_{i,j}$とする :$W_{i,j}=N_{\epsilon_{0}L(p_{i,j})/3}(V_{i,j}) (i=0,1, \ldots, n, j\in \mathbb{N})$$V_{i,j}$は有界集合であったので (補題 4.4 $(i)$ ),$W_{i,j}$(26)

も有界集合である．補題 4.5 より，直ちに diam $V_{i,j}\leqq 6L(p_{i,j})+2$ を得るから，上の定義と

diam

.

$\epsilon_{0}$の取り方 (3) より，$W_{i,j} \leqq 6L(p_{i,j})+2+\frac{2\epsilon_{0}L(p_{i,j})}{3}$(27)$\leqq 8L(p_{i,j})+2,$

すなわち，$L(pi,j) \geqq\frac{1}{8}$diam$W_{i,j}- \frac{1}{4}$

(28)

$D$ を
である．更に，$\frac{5(A+1)}{D}\leqq\frac{1}{2}, \frac{2A+1}{D}\leqq\frac{1}{8}$を満たすように大きく取れば，次が成り立つ．

(29)

34
補題 4.6. $X\in W_{i,j}$ ならば diam $W_{i,j}\leqq M(x)$ である．ここで，$M(x)=16L(x)+4$ .

証明．

$x\in W_{i,j}$(30)とすると，補題 4.5 と定義 (26), および$\epsilon_{0}$の取り方 (3) より，$d(x,p_{i,j}) \leqq 4L(p_{i,j})+1+\frac{\epsilon_{0}L(p_{i,j})}{3}$(31)$\leqq 5L(p_{i,j})+1$である．したがって，補題 4.3, (29) より$L(x) \geqq L(p_{i,j})-\frac{A+1}{D}d(x,p_{i,j})-\frac{A}{D}$(32)$\geqq(1-\frac{5(A+1)}{D})L(p_{i,j})-\frac{2A+1}{D}$$\geqq\frac{1}{2}L(p_{i,j})-\frac{1}{8},$よって，(28) より$L(x) \geqq\frac{1}{16}$diam$W_{i,j}- \frac{1}{4}$

(33)

,

つまり，diam $W_{i,j}\leqq 16L(x)+4=M(x)$ である．口
上の評価 (32) と補題 4.4 (iv) より，十分大きな$j\geqq j_{0},$$x\in W_{i,j}$$j_{0}\in \mathbb{N}$

を取れば

(34)

のとき常に $L(x) \geqq\max\{1,2r_{0}\}$となることが分かる．但し， は $X$ 力 large-scale doubling であることの定義に現れる定数である．以下では，このような を一つ取って固定する．
$\grave{}\grave{}$$r_{0}$$j_{0}$

補題 4.7. 次のようなが存在する : 各 $i\in\{0,1, \ldots, n\}$ に対して適当な分割を取って，各 $s\in\{1,2, \ldots, N_{1}\}$ に対して

$N_{1}\in \mathbb{N}$$\{j\in \mathbb{N}|j\geqq j_{0}\}=II_{s=1}^{N_{1}}c_{i,s}$$j,$ $k\in C_{i,s}$(35)

ならば $f(W_{i,j})\cap W_{i,k}=\emptyset$が成り立つようにできる．

証明．以下では $i\in\{0,1, \ldots, n\}$ を固定し，$V_{i,j},$書く．その上で，$j\geqq j_{0}$$W_{i,j,Pi,j}$をそれぞれ単に陽，$W_{j,Pj}$

に対して$D_{j}^{\pm}=f^{\pm 1}(W_{j})$,$B_{j}^{\pm}=\{k>j|D_{j}^{\pm}\cap W_{k}\neq\emptyset\}$とおく．ここで$f^{\pm 1}(W_{j})$とは $f(W_{j})$ と $f^{-1}(W_{j})$ を合わせて表示したものである．

(36)
(37)

35
主張 4.1. $j(\geqq j_{0})$ に無関係な定数$N_{0}$が存在して，$|B_{j}^{\pm}|\leqq N_{0}.$主張 4.1 の証明．簡単のため$c_{j}=48\epsilon_{0}^{-1}$とおき，$B_{j}^{\pm}$

先に

(38)

$D_{j}^{\pm}+4$を次のように二つの部分に分ける :$B_{j}^{\pm}(2)$$B_{j}^{\pm}(1)=\{k\in B_{j}^{\pm}|M(p_{k})\leqq c_{j}\}$(39)$B_{j}^{\pm}(2)=\{k\in B_{j}^{\pm}|M(p_{k})>c_{j}\}$(40)について考える．

とする．
を意味する．いま$k>$を証明しよう．そのため
diam
だが，この条件は, 隅はともにと交わり，しかも定義 (26), (30)$k,$ $l\in B_{j}^{\pm}(2),$$|B_{j}^{\pm}(2)|\leqq 1$$k\in B_{j}^{\pm}(2)$$l$. diam

より $M(p_{k})>\mathcal{C}j$$k,$ $l\in B_{j}^{\pm}$より$W_{k}$

および補題 4.4 (vii) により，$\epsilon_{0}(M(p_{k})-4)/48>$$D_{j}^{\pm}$$D_{j}^{\pm}$$d(W_{k}, W_{l}) \geqq d(V_{k}, V_{l})-\frac{\epsilon_{0}L(p_{k})}{3}-\frac{\epsilon_{0}L(p_{l})}{3}$$\geqq d(V_{k}, V_{l})-\frac{2\epsilon_{0}L(p_{k})}{3}$(41)$\geqq\epsilon_{0}L(p_{k})-\frac{2\epsilon_{0}L(p_{k})}{3}=\frac{\epsilon_{0}L(p_{k})}{3}$$= \frac{\epsilon_{0}(M(p_{k})-4)}{48}>diamD_{j}^{\pm}$$k=l$ でなければならないからとなる．よって，$|B_{j}^{\pm}(2)|\leqq 1$(42)$E_{j}^{\pm}=N_{c_{j}}(D_{j}^{\pm})$

(43)

である．

次に，

$|B_{j}^{\pm}(1)|$を評価するため$R_{0}=21A\cdot(96\epsilon_{0}^{-1}+1)+8$ に対してとおくと，(1), (2) と補題 4.6 より，

diam$E_{j}^{\pm}\leqq$

diam $D_{j}+2c_{j}$$=(96\epsilon_{0}^{-1}+1)$

diam$D_{j}^{\pm}+8$$\leqq(96\epsilon_{0}^{-1}+1)(AM(p_{j})+A)+8$(44)$=16A(96\epsilon_{0}^{-1}+1)L(p_{j})+(4+A)(96\epsilon_{0}^{-1}+1)+8$$\leqq R_{0}L(p_{j})$ここで最後の不等号では，$A\geqq 1$

であること，および (34) より $L(pj)\geqq 1$ となることを用いた．一方，
任意の $k\in B_{j}^{\pm}(1)$ に対して

$p_{k}\in E_{j}^{\pm}$

(45)

36

である．実際，

かつ$Pk\in W_{k}$$M(p_{k})\leqq c_{j}$$W_{k}\cap D_{j}^{\pm}\neq\emptyset$

なので $Pk\in N_{c_{j}}(D_{j}^{\pm})=E_{j}^{\pm}$$k,$ $l\in B_{j}^{\pm}(1),$となることから$d(p_{k}, D_{j}^{\pm})\leqq$

diam$W_{k}\leqq$

である．また，(46)$k<l$ のとき $d(p_{k},p_{l})>L(Pj)$より $k>i$となる．実際，補題 4.4 (vi) により $d(p_{k},p_{l})>L(p_{k})$ であり，一方$L(p_{k})\geqq
L(p_{j})$であるから補題 4.4 (v) よりとなるので，合わせて (46) を得る．
$k\in B_{j}^{\pm}$の直径についての評価 (44) により，

$E_{j}^{\pm}$はある半径 $2R_{0}L(p_{j})$ の閉球体 $B$ に含まれている．これと (45), (46) を合わせると，が $B$ の $L(Pj)$ 離散部分集$E_{j}^{\pm}$$\{p_{k}|k\in B_{j}^{\pm}(1)\}$でありだから，(34) より合であることが分かる．一方，が存在して成立する．以上から，補題 2.6 により， には無関係な定数$j\geqq j_{0}$$L(p_{j})\geqq 2r_{0}$$p_{j}\in W_{j}$$i$が$N_{0}’$(47)$|B_{j}^{\pm}(1)|\leqq N_{0}’$$N_{0}=N_{0}’+1$ とおくときである．(42), (47) を合わせれば，(48)$|B_{j}^{\pm}|=|B_{j}^{\pm}(1)\cup B_{j}^{\pm}(2)|\leqq N_{0}’+1=N_{0}$である．主張 4.1 が証明された$W_{j}$

口はすべて有界集合であるから， が擬等長同型であることより，整数の列
$f$

(49)

フ $0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots$

を適当に選ぶと，$F_{\mu}=\{j\in \mathbb{N}|n_{\mu-1}\leqq j<n_{\mu}\}$$i\in F_{\mu},$$k\in F_{\nu},$

とおくとき$f(W_{j})\cap W_{k}\neq\emptyset$(50)

ならば $|\mu-\nu|\leqq 1$$D$ を大きくとりとなるようにできる．更に，$D>20$(51)とすると，次が成り立つ．
$f(W_{j})\cap W_{j}=\emptyset.$
主張 4.2. 任意の $j\geqq jo$ に対して，$i\geqq jo,$ $x\in W_{j}$主張 4.2 の証明．とすると，関数$L$の定義 (5) と (34), (51) により，$d(x, f(x))\geqq D\cdot L(x)>20L(x)\geqq 16L(x)+4=M(x)\geqq$ diam(52)

$W_{j}$

であるから $f(x)\not\in W_{j}$ である．□

主張 4.3. 各$F_{\mu},$$\mu\in \mathbb{N}$$f(W_{j})\cap W_{k}\neq\emptyset$

に対して，関数 $c_{\mu}:F_{\mu}arrow\{1,2, \ldots, 2N_{0}+1\}$ が存在して，$j,$のとき常に $c_{\mu}(j)\neq c_{\mu}(k)$ が成り立つ．

$k$

欧

37
主張 4.3 の証明．

であった．

の値を $j=n_{\mu}-1$と定義すが減少していく帰納法にょって決めていく．まず$c_{\mu}(j+1)$$i\geqq n_{\mu-1}$
を定義
る．
まで定義されたとして，であるとする．このときしよう．
$F_{\mu}=\{n_{\mu-1}, n_{\mu-1}+1, \ldots, n_{\mu}-1\}$から順番に$c_{\mu}(j)$$i$$c_{\mu}(n_{\mu}-1)=1$$c_{\mu}(j)$$\tilde{B}_{j}=\{k\in F_{\mu}|j<k$

とおく．

$f(W_{j})\cap W_{k}\neq\emptyset,$(53)

かつ $(f(W_{j})\cap W_{k}\neq\emptyset$ または $f(W_{k})\cap W_{j}\neq\emptyset)\}$$f(W_{k})\cap W_{j}\neq\emptyset$

はそれぞれ$D_{j}^{+}\cap W_{k}\neq\emptyset,$と$D_{\overline{j}}\cap W_{k}\neq\emptyset$

同値であるから，(54)$\tilde{B}_{j}\subset B_{j}^{+}\cup B_{j}^{-}$である．よって，主張 4.1 よりである．したがって，$c_{\mu}(j)\in\{1,2, \ldots, 2N0+1\}$ を，すべてのに対してであるように取ることができる．これで の構成が終わった．主張 4.2 も考慮すると， が求める条$|\tilde{B}_{j}|\leqq|B_{j}^{+}|+|B_{j}^{-}|\leqq 2N_{0}$$k\in\tilde{B}_{j}$$c_{\mu}(j)\neq c_{\mu}(k)$$c_{\mu}$$c_{\mu}$件を満たすことが分かる

口$c:\{j\in \mathbb{N}|i\geqq jo\}arrow\{1,2, \ldots, N_{1}\}$ を
最後に $N_{1}=4N_{0}+2$ とおき，

(55)$c(j)=\{\begin{array}{ll}c_{\mu}(j) i\in F_{\mu} で \mu は奇数 c_{\mu}(j)+2N_{0}+1 i\in F_{\mu} で \mu は偶数\end{array}$とする．このとき (50) により分割
Ci, は求める条件を満たす．補題 4.7 が証明された．
と分割
さて，目標の命題 4.1 を証明しよう．補題 4.7 ので定め，$C_{i,s}=c_{\mu}^{-1}(s)(s=1,2, \ldots, N_{1})$$\{j\in \mathbb{N}|i\geqq$$j_{0}\}=\coprod_{s=1}^{N_{1}}$$\square$$s$$\{i\in \mathbb{N}|j\geqq j_{0}\}=$$N_{1}$$\square _{s=1}^{N_{1}}C_{i,s}$に対して$N=(n+1)N_{1}$ とおく．このとき $i=0,$を取り，$\ldots,$$n$

および $s=1,$$\ldots,$$N_{1}$(56)$V_{i,j}$$F_{iN_{1}+s}= \bigcup_{j\in C_{i}}$

,。

とおけば，

$F_{1},$ $F_{2},$まず，$\ldots,$$F_{N}$

は命題 4.1 が要求する条件を満たすことを以下で証明する．

$\bigcup_{m=1}^{N}F_{m}=\bigcup_{i=0}^{n}\bigcup_{j\geqq j_{0}}V_{i,j}$であるがら，補題 4.4 (i), (ii) より，$X \backslash \bigcup_{m=1}^{N}F_{m}$は有界である．次に，任意に $R>0$ および $m=iN_{1}+s(i=0, \ldots, n, s=1, \ldots, N_{1})$を与えるときに $S=N_{R}(F_{m})\cap N_{R}(f(F_{m}))$ が有界であることを示そう．この集合 $S$ は$S= \bigcup_{j,k\in C_{i,s}}(N_{R}(V_{i,j})\cap N_{R}(f(V_{i,k})))$と表すことができる．にの右辺の の内部，つまり補題 4.4 (i) より有界集合である．この$\cup$(57)$S_{j,k}=N_{R}(V_{i,j})\cap N_{R}(f(V_{i,k}))$$S_{j,k}(j, k\in C_{i,s})$はが有限個の $(j, k)$ を除いて空集合であることが分かれば， が有界集合であると結論できる．
$S$

さて，補題 4.4 (iv) から，$J\in \mathbb{N}$

なる．この

$J$

について次が分かる．

が存在して，$i\geqq J$のとき常に $\epsilon_{0}L(p_{i,j})/3>2R$ と38$j\geqq J$ ならば
補題 4.8. $j,$ $k\in C_{i,s}$ とするとき，$i<J,$ $k\geqq K$ ならばして，$S_{j,k}=\emptyset$

証明．まず，前半を示すために$R<L(p_{i,j})/6$ より$z\in f(V_{i,k})$$j,$$S_{j,k}=\emptyset$

である．また，$K\in \mathbb{N}$

が存在

である．

$k\in C_{i,s},$ $i\geqq J$$x\in S_{j,k}$ であるとすると，とする．

$d(x, y)<\epsilon_{0}L(p_{i,j})/6,$ $d(x, z)<\epsilon_{0}L(p_{i,j})/6$となるような $y\in V_{i,j},$$d(z, y)<\epsilon_{0}L(p_{i,j})/3$ であるから，がある．すると，(58)$z\in f(V_{i,k})\cap N_{\epsilon_{0}L(p_{i,j})/3}(V_{i,j})=f(V_{i,k})\cap W_{i,j}\subset f(W_{i,k})\cap W_{i,j}$となるが，いま (35) が成り立っているからを生じる．したがって，$S_{j,k}=\emptyset$$f(W_{i,k})\cap W_{i,j}=\emptyset$となり$z\in\emptyset$

という矛盾

である．

次に，後半を示すために，$T=f^{-1}(N_{3R(\bigcup_{j<J}j}V,))$ を考える．補題 4.4 (i) および$f$が擬等長同型であることより， は有界集合，したがってコンパクトな閉包をもつ．よっ$k\geqq K$ のとき常に, すなわて補題 4.4 (ii) により，大きな $K$ を取れば，$T$$T\cap V_{i,k}=\emptyset$

ち $N_{3R}( \bigcup_{j<J}V,j))\cap f(V_{i,k})=\emptyset$ となる．したがって特に，任意の $i<J,$ $k\geqq K$ なる$j,$ $k\in C_{i,s}$に対して $S_{j,k}=N_{R}(V_{i,j})\cap N_{R}(f(V_{i,k}))=\emptyset$ である．口$j<J,$ $k<K$ を満たす有限個の $(j, k)$ を除けばこの補題 4.8 から，ことが分かり，したがって
主定理 1.1 も証明できた．

$S$$S_{j,k}=\emptyset$

である

は有界集合と分かる．以上で命題 4.1 が示された．これで，注意 4.9. 命題 4.1 で「十分大きく」取った定数 $D>0$ が実際に満たすべき条件は (9),$D$ は(21), (29), (51) である．これらをまとめると，$D> \max\{20,16A+8, \frac{A+1}{\lambda_{0}}\}$

を満たせばよいことが分かる．

参考文献[1] Sergei Buyalo and Viktor Schroeder, Elements of asymptotic geometry. EMSMonographs in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Z\"urich,

2007.

and fixed-point free maps. Topology Appl. 51 (1993),[2] Eric $K$ . van Douwen,
no. 2, 191-195.
[3] A. N. Dranishnikov, J. Keesling and V.V. Uspenskij, On the Higson corona of
uniformly contractible spaces. Topology 37 (1998), no. 4, 791-803.
[4] J. Higes, Assouad-Nagata dimension of locally finite groups and asymptotic cones.
Topology Appl. 157 (2010), no. 17, 2635-2645.
[5] Urs Lang and Thilo Schlichenmaier, Nagata dimension, quasisymmetric embeddings, and Lipschitz extensions. Int. Math. Res. Not. (2005), no. 58, 3625-3655.
$\beta X$

39[6] Kotaro Mine and Atsushi Yamashita, Metric compactifications and coarse structures. preprint, available at http: $//$ arxiv. $org/abs/1106$ . 1672
[7] Piotr W. Nowak, On exactness and isoperimetric profiles of discrete groups. J.
Funct. Anal. 243 (2007), no. 1, 323-344.
[8] J. Roe, Lectures on coarse geometry. University Lecture Series, 31. American
Mathematical Society, Providence, $RI$ (2003).