数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 102-111

102

ANR 空間からホモロジー球面への集合直写象の次数
明治大学四反田義美 (Shitanda Yoshimi)

Meiji University School of Political Science and Economics

1序
位相空間 $X$ の各点$x$に位相空間 $Y$ の空でない閉集合$\varphi(x)$を対応させるとき，この対応を集合値写像という．この論文では，集合値写像をギリシャ文字で : $Xarrow Y$ と記し，通常の写像をローマ字で $f:Xarrow Y$ と記すこと$\varphi$にする．集合値写像は，上半連続であるものとする (cf. [5]).

不動点定理や同変点定理は，多くのトポロジストにより研究されてきた (cf.
[2], [7], [8], [9]). またこれらは，集合値写像の場合へも一般化されてきた(cf. [4], [5], [10], [11]).
この際に，重要な概念が許容写像 (admissiblemapping) である． : $Xarrow Y$
が許容写像とは，連続写像 $p:\Gammaarrow X$ と $q:\Gammaarrow Y$ の組で，ある条件を満たすものをいう (cf. Definition 2).
ANR 空間 $X$ が $H^{n}(X;Z)\cong Z$ を満たし， $N$ が 次元ホモロジー球面であるとき， : $Xarrow Y$ の次数が次式で定義される．
$\varphi$$n$$\varphi$$\deg(\varphi)=\{\deg((p^{*})^{-1}q^{*}):(p^{*})^{-1}q^{*}.

この論文では，$\varphi$H^{n}(N;Z)arrow H^{n}(X;Z)\}$: $Xarrow N$ の次数を詳しく調べることにする．我々の主要な結果は次のとおりである (cf. Theorem 3.4, Theorem 4.1). 我々の結果は，[10] の Theorem 5.3 と Theorem 6.3 の別証明でもある．この結果に関連して，Y.Hara and Y.Moriwaki [6] も $\varphi:Marrow S^{n}$ の次数について， $M$ が次元多様体の場合に同様の結果を我々とは異なる方法で得ている．
$n$Main Theorem 1. Let $X$ be an $ANR$ space with a free involution
and$N$ be an-dimensional homology sphere. Suppose that $\dim X=n$ and$H^{n}(X;Z)\cong Z$ and $c(X, T)^{n}\neq 0$ . If an admissible mappings: $Xarrow N$
satisfies
for any $x\in X$ , then there exists a unique odd
number $m$ such that $\deg\varphi=\{m\}.$
$T$

$n$

$\varphi$$\varphi(x)\cap\varphi(Tx)=\emptyset$

103
これに関して， $c(X, T)^{n}=0$ の場合にも一意的な偶数 $m$ が存在して，$\deg(\varphi)=\{m\}$となるという結果が得られる (cf. Theorem 3.5).

Main Theorem 2. Let $X$ be an $ANR$ space with a free involution and$N$ be an-dimensional homology sphere with a non trivial involution $T’.$
Suppose that $\dim X=n$ and $H^{n}(X;Z)\cong Z$ and an admissible mappings: $Xarrow N$ satisfies
for any $x\in X$ . Then there exists
a unique even number $m$ such that $\deg(\varphi)=\{m\}$ . In particular, if $T’$ is anorientation reversing involution, then $\deg\varphi=\{0\}.$
$T$

$n$

$T’\varphi(x)\cap\varphi(Tx)=\emptyset$$\varphi$

準備

2

)で
この論文では，アレクサンダー・スパニアーコホモロジー論を) で表す．これらは，一般に同型では表し，特異コホモロジー論を$\overline{H}^{*}$$H^{*}$$G$$G$

ないが，ANR 空間では同型となる．

(2.1)$\mu;\overline{H}^{*}\prime(X;G)\cong H^{*}(X;G)$.

詳細については，スパニアーのテキスト ([12]) を参照．

係数群が $G$ のときは， $G$ を明示するが，標数が 2 の素体 F2 のときは，係を使う． $f$ $:Xarrow Y$ が固有写像 (proper map)
数群を省いて，$H^{*}$$\overline{H}^{*}$とは，任意のコンパクト集合 $K\subset Y$ に対して， $f^{-1}(K)$ がまたコンパクトとなる写像を云う． : $Xarrow Y$ が完全写像 (perfect map) とは， $f$ が閉写像かつ$f$

任意の $y\in Y$ に対して， $f^{-1}(y)$ がコンパクトとなる写像を云う． $f:Xarrow Y$がコンパクト写像 (compact map) とは， $f(X)$ が $Y$ のコンパクト集合に含まれるときを云う．

次の定義は重要である．

Definition 1. $X,$ をパラコンパクト・ハウスドルフ空間とするとき， :$Xarrow Y$ が，次の条件を満たすならば，ヴイートリス写像 (Vietoris map) と
呼ばれる．
$Y$

$f$

1. $f:Xarrow Y$ は，全射な連続写像でかつ完全写像である．
2. 任意の $y\in Y$ に対して， $f^{-1}(y)$ は，連結で非輪状空間である．すなわ
ち， $\overline{H}^{p}(f^{-1}(y);F)=0(p>0)$ が成り立つ．
$f:Xarrow Y$ が全射で閉写像で，条件 (2) を満たすとき，弱ヴイートリス写像と言う．

次の定理は，スパニアーのテキストに掲載されている重要な定理である．

104
Theorem 2.1. $X,$ はパラコンパクト・ハウスドルフ空間で，は弱ヴイートリス写像とする．このとき，
$Y$

(2.2)

$f$

: $Xarrow Y$$f^{*}:\overline{H}^{m}(Y;F)arrow\overline{H}^{m}(X;F) (m\geqq 0)$は，同型である．

Definition 2. 上半連続な集合値写像$\varphi$: $Xarrow Y$ が許容写像 (admissiblemap) とは，パラコンパクトハウスドルフ空間$\Gamma$と連続写像 $p:\Gammaarrow X$ とが存在して，次の条件を満たすときにいう．

$q:\Gammaarrow Y$

1. $p:\Gammaarrow X$ はヴイートリス写像

2. $\varphi(x)\supset q(p^{-1}(x))(x\in X)$写像の対 $(p, q)$ のことを集合値写像

許容写像$\varphi$: $Xarrow Y$ に対して，$\varphi$の選択写像対という．

$\varphi^{*}:\overline{H}^{*}(Y;F)arrow\overline{H}^{*}(X;F)$を次式で定義する．
$\varphi^{*}=$

同様にして， 、を$\varphi${$(p^{*})^{-1}q^{*}|(p, q)$$\{q_{*}(p_{*})^{-1}\}$は$\varphi$の選択写像対}.

で定義する．

ANR 空間が $X$ が $H^{n}(X;Z)\cong Z$ を満たし， $N$ がであるときに，$\varphi$の次数$\deg(\varphi)$$n$次元ホモロジー球面

が $\{(p^{*})^{-1}q^{*}:H^{n}(N;Z)arrow H^{n}(X;Z)\}$ の

次数 $\{\deg((p^{*})^{-1}q^{*})\}$ で定義される．これは一般に集合である．

許容写像の次数 13をパラコンパクトハウスドルフ空間とし， を位数 2 の群とする． $X$が対合 $T:Xarrow X$ をもつとき， が $X$ に群作用をもつことになる．その軌
道空間をを誘導する．
とする．同変写像 $f:Xarrow Y$ は:$X$$\tau$$\tau$$X_{\tau}$$f_{\tau}$$X_{\tau}arrow Y_{\tau}$: $s\inftyarrow RP^{\infty}$ を標準的な被覆射影とする．被覆空と間 $\pi x:Xarrow X_{\tau}$ に対して，分類写像:: $Xarrow S^{\infty}$$\pi_{n}:S^{n}arrow RP^{n},$$\pi_{\infty}$$f_{\tau}$が存在して$\pi_{\infty}f=f_{\tau}\pi_{X}$$c(X, T)\in H^{1}(X_{\tau})-$$H^{1}(RP^{\infty})$$X_{\tau}arrow RP^{\infty}$$f$を満たす．第 1 スティフェルホイットニー類$(or c(X, T)\in H^{1}(X_{\tau}))$を$f_{\tau}^{*}(\omega)$で定義する．

$\omega$はの生成元である．ie. $c(X, T)=f_{\tau}^{*}(\omega)$ . $\dim X=n$ は， $X$ の被覆次元を意味する．

次の定理は，基本的である．

Proposition 3.1. Let $X$ be an $ANR$ space with a free involution which
satisfies $\dim X=n$ and $H^{n}(X;Z)\cong Z.$ Suppose that $c(X, T)^{n}\neq 0$ . Thenfor an odd number and $T^{*}=-Id_{H^{n}(X;Z)}$ for an evennumber $n.$$T$$\tau*=Id_{H^{\mathfrak{n}}(X;Z)}$

$n$

105
証明は，容易であるので，要点のみ述べる．次の図式が存在する (cf. [1],[3])

$Xarrow^{f} S^{n}$(3.1)$\downarrow\pi_{X} \downarrow\pi_{n}$$X_{\tau}arrow^{f_{\tau}}RP^{n}.$この図式とギザンスミス系列を使うことにより示される．
$\Delta_{X}$を $X^{2}=X\cross X$ の対角集合とする．

$\tau_{x}$: $X^{2}arrow X^{2}$ は $T_{X}(x, y)=(y, x)$で定義される対合である． $\tau_{x:X^{2}-\Delta_{X}}arrow X^{2}-\Delta_{X}$ は自由な対合である．

次の定理は，射影 $\pi_{i}:N^{2}-\triangle_{N}arrow N$ がファイバー $(N-\{x\})$ をもつファイバー束であることから容易に分かる．

Theorem 3.2. $LetN$ be an -dimensional closed manifold. Suppose $H^{*}(N;Z)\cong$$H^{*}(S^{n};Z)$ .
:Then $H^{*’}(N-\{x\};G)\cong H^{*}(pt;G)$ for any $x\in N$ and$H^{*}(N^{2}-\Delta_{N};G)\cong H^{*}(N;G)$for the projections : $N^{2}-\triangle_{N}arrow N(i=$1, 2).
$n$’$\pi_{i}^{*}$$\pi_{i}$次の結果も，ギザンスミス系列を使うことにより，容易に示される．
は移送写像で，$\nu’$$\pi!$

は $H^{n}(N^{2}-\triangle_{N})$ の生成元とする．

:
Proposition 3.3. Let $N$ be an -dimensional homology sphere and$N^{2}-\triangle_{N}arrow N^{2}-\Delta_{N}$be the free involution. Then $c(N^{2}-\triangle_{N}, T_{N})^{n}\neq 0$
and $\pi!(\nu’)=c(N^{2}-\triangle_{N}, T_{N})^{n}$ where :$T_{N}$

$n$

$\pi$

$X$

$(N^{2}-\triangle_{N})arrow(N^{2}-\triangle_{N})_{\tau}.$をパラコンパクトハウスドルフ空間で， $T$ を対合とするとき，$\triangle_{X}^{J}=\{(x, Tx)\in X^{2}|x\in X\}$が定義される．

が自由な対合のとき，
ジー球面のとき，$T$$\pi_{i}$$\triangle x\cap\triangle_{X}’=\emptyset$が成り立つ． $N$ が

$n$

次元ホモロ

: $H^{n}(N^{2}-\triangle_{N}^{J};G)\cong H^{*}(N;G)(i=1,2)$が成り立つ．
$\varphi:Xarrow Y$$p:\Gammaarrow X$$T$を許容写像とし， $(p, q)$ を$\varphi$の選択写像対とする．すなわちはヴイートリス写像で $q:\Gammaarrow N$ は連続写像とする． $X$ が対合を持つとき，$\Gamma_{0}$を次式で定義する．
$\Gamma_{0}=\{(z, z’)\in\Gamma\cross\Gamma|p(z)=Tp(z’)\}$

ここで， $p0:r_{0}arrow X$ を $Po(z, z’)=p(z)$ で， $q0;\Gamma_{0}arrow N$ を $q0(z, z’)=q(z)$で定義する．

106$Pr:\Gamma 0arrow\Gamma$

は $Pr(z, z’)=z$ で定義される．$\deg((p_{0}^{*})^{-1}q_{0}^{*})=\deg((p^{*})^{-1}q^{*})$

も容易に確認される．対合$p0$$T_{0}$:$\Gamma_{0}arrow\Gamma_{0}$は乃 $(z, z’)=(z’, z)$ で定義される．

は同変写像である．i.e. $Tp0=p0^{T}0.$

次の定理は，ある部分は [10] の Theorem 6.3 の対偶命題として得られる．
その証明は，[10] の Theorem 6.3 の別証明でもある．

Theorem 3.4. Let $X$ be an $ANR$ space with a free involution and $N$ be
an -dimensional homology sphere. Suppose that $\dim X=n,$ $H^{n}(X;Z)\cong$$Z$
and $c(X, T)^{n}\neq$ O. If an admissible mappings: $Xarrow N$ satisfies
for any $x\in X$ , then there exists a unique odd number $m$
such that $\deg\varphi=\{m\}.$
$T$

$n$

$\varphi$$\varphi(x)\cap\varphi(Tx)=\emptyset$

Proof. 仮定から
$\pi$

:

$Q$

: $r_{0}arrow N^{2}-\Delta_{N}$ を $Q(z, z’)=(q(z), q(z’))$ で定義できる．
に対する分類写像を:$N^{2}-\Delta_{N}arrow(N^{2}-\triangle_{N})_{\tau}$$g_{\tau}$$(N^{2}-\Delta_{N})_{\tau}arrow RP^{\infty}$とする．

次の可換図式を考えよう．
$X\underline{p0} \Gamma_{0} arrow^{Q} N^{2}-\Delta_{N} arrow^{g} s\infty$(3.2)$\downarrow\pi x \downarrow\pi_{\Gamma_{0}} \downarrow\pi \downarrow\pi_{\infty}$$X_{\tau}arrow^{(po)_{\tau}}(\Gamma_{0})_{\tau}arrow^{Q_{\tau}}(N^{2}-\Delta_{N})_{\tau}arrow^{g_{\tau}}RP^{\infty}.$

ここで$X_{\tau},$

である．

$(\Gamma_{0})_{\tau},$$(p_{0})_{\tau},$$Q_{\tau},$

は軌道空間で$(N^{2}-\triangle_{N})_{\tau}$$g_{\tau}$(3.3)

は，各々$Po,$ $Q,$$g$$\pi x,$$\pi r_{0},$$\pi,$$\pi_{\infty}$は被覆射影から誘導された写像である．

$(p_{0})_{\mathcal{T}}^{*}(c(X,T))=Q_{\tau}^{*}g_{\tau}^{*}(\omega)$が成り立つことは容易に分かる． $(p_{0})_{\tau}^{*}(c(X, T))=c(\Gamma_{0}, T_{0})$ と置く． $c(X, T)^{n}\neq$$0$から $c(\Gamma_{0}, T_{0})^{n}\neq 0$ が分かる．
$\pi x:Xarrow X_{\tau}$$H^{n}(X)$とするとき， $(\pi_{X})_{!}(\mu)=c(X, T)^{n}$ が成り立つ．ここでの生成元である．

$(\pi x)_{!}$

$\mu$

は

は，移送写像 (transfer maP) である．

$c(N^{2}-\Delta_{N}, T_{N})^{n}\in H^{n}((N^{2}-\triangle_{N})_{\tau})$

は $c(N^{2}-\triangle_{N}, T_{N})^{n}=g_{\tau}^{*}(\omega^{n})$ を満たす．このとき，ギザンスミス系列により $\nu’\in H^{n}(N^{2}-\triangle_{N})$ が存在して， $c(N^{2}-\triangle_{NN!}T)^{n}=\pi(v’)$ を満たすことが分かる．
$(\pi x)_{!}(\mu)=c(X, T)^{n}$(3.4)と $(po)_{\tau}^{*}(c(X, T))=c(\Gamma_{0}, To)$ により，$Q^{*}(\nu’)=p_{0}^{*}(\mu)$

.

が分かる．
また $(p_{0}^{*})^{-1}Q^{*}:H^{n}(N^{2}-\Delta_{N})\cong H^{n}(X)\cong F_{2}$ . も分かる．次の可換図式

を用いて，

107

$X\underline{p0}\Gamma_{0}arrow^{Q}N^{2}-\triangle_{N}$(3.5)$\downarrow pr$$\downarrow=$$\downarrow\pi_{1}$$Xarrow^{p}\Gammaarrow^{q}$$p_{\Gamma}^{*}$

and$\pi_{1}^{*}$$N$が同型であることから， $\deg((p^{*})^{-1}q^{*})$ が奇数であることを得る．

続いて，

(3.6)

$\deg(T_{N}^{*})=\{\begin{array}{ll}1 odd number n-1 even number n.\end{array}$を以下で示す．
$QT_{0}=T_{N}Q$と $\deg(Q^{*})\neq 0$ により， $\deg(T_{0}^{*})=\deg(T_{N}^{*})$ が成り立つ．また $p_{0}T_{0}=Tp_{0}$ と $\deg(p_{0}^{*})=\pm 1$ により， $\deg(T_{0}^{*})=\deg(T^{*})$ が成り立つことから，$\deg(T_{N}^{*})=\deg(T^{*})=\pm 1.$を得る．これから我々の主張を得る．
を $H^{n}(N;Z)$ の生成元とし，$\hat{l\ovalbox{\tt\small REJECT}}$義する．ただし$\pi_{i}^{*}$$\pi_{1}:N^{2}-\triangle_{N}arrow N$$\hat{\nu}’=\pi_{1}^{*}(\hat{\nu})$

で定

である．

: $H^{n}(N;Z)\cong H^{n}(N^{2}-\triangle_{N;}Z)\cong Z$ と

(3.7)

を

$l\ovalbox{\tt\small REJECT}’\wedge\in H^{n}(N^{2}-\triangle_{N;}Z)$から，$\pi_{1}=\pi_{2}T_{N}$$(\pi_{1}^{*})^{-1}\pi_{2}^{*}(\hat{\nu})=\{\begin{array}{ll}+\hat{v} odd number n-\hat{\nu} even number n\end{array}$が分かる．
続いて， $\deg((p^{*})^{-1}q^{*})$ が $p,$の選び方に依らずに，一意的に定まること

$q$

を示す．
$(p, q)$て，$\Gamma_{0}$と $(p’, q’)$ を$\varphi$の選択写像対とする．すなわち，$Xarrow^{p}\Gammaarrow^{q}N$ に対しを定義したように， $Xarrow^{p’}\Gamma’arrow^{q’}N$ に対して，$\Gamma_{0}’$と$Xarrow^{p_{0}^{\acute{}}}\Gamma_{0}’arrow^{q_{0}^{\acute{}}}N$が定義される．
$\Gamma_{01},$$\Gamma_{01}$を$\Gamma_{01}=\{(z, z’)\in\Gamma\cross\Gamma’|p(z)=Tp’(z’)\}$$\Gamma_{10}=\{(z’, z)\in\Gamma’\cross\Gamma|p(z)=Tp’(z’)\}.$

で定義する．
$p_{1}:\Gamma_{01}arrow X,$

定義する．
ある．

$p_{1}’:\Gamma_{10}arrow X$$\hat{\pi}_{1}:\Gamma_{01}arrow\Gamma$と$\hat{\pi}_{1}’$を各々 $p_{1}(z, z’)=p(z)$ , $p_{1}’(z’, z)=p’(z’)$ で:$\Gamma_{10}arrow\Gamma’$はそれぞれ第 1 成分への射影で

108
次の可換図式を考察する．
$X\underline{p} \Gamma arrow^{q} N$$\uparrow= \uparrow\hat{\pi}_{1} \uparrow\pi_{1}$$p_{1} \hat{Q}$$X- \Gamma_{01} arrow N^{2}-\Delta_{N}$(3.8)$\downarrow T \downarrow\hat{T} \downarrow T_{N}$$p_{1}’ \hat{Q}’$$X- \Gamma_{10} arrow N^{2}-\Delta_{N}$$\downarrow= \downarrow\hat{\pi}_{1}’ \downarrow\pi 1$$Xarrow^{p’} \Gamma’ arrow^{q’} N.$

ここで， $\hat{Q}(z, z’)=(q(z), q’(z’))$ , $\hat{Q}’(z’, z)=(q’(z’), q(z)).\hat{T}:\Gamma_{10}arrow\Gamma_{10}$は $\hat{T}(z, z’)=(z’, z)$ である．

この図式と $\deg(T^{*})=\deg(T_{N}^{*})$ から $\deg((p^{*})^{-1}q^{*})=\deg((p^{\prime*})^{-1}q^{J*})$ が成り立つことが分かる．口

次の定理も定理 3.4 と同様にして証明される．

Theorem 3.5. Under the condition of Theorem 3.4, assume $c(X, T)^{n}=0$
instead of $c(X, T)^{n}\neq$ O. Then there exists a unique even number $m$ suchthat $\deg(\varphi)=\{m\}.$許容写像の次数 24前節の定理では， $N$ の対合が存在しない場合を扱った．ここでは， $N$ に自明でない対合が存在する場合の次数を議論する．

Theorem 4.1. Let $X$ be an $ANR$ space with a free involution and $N$ be
an -dimensional homology sphere with a non trivial involution $T’$ . Suppose
$T$

$n$

that $\dim X=n$ and $H^{n}(X;Z)\cong Z$ and an admissible mappings : $Xarrow N$
satisfies
for any $x\in X$ . Then there exists a unique evennumber $m$ such that $\deg(\varphi)=\{m\}$ . In particular, if $T’$ is an orientation
reversing involution, then $\deg\varphi=\{0\}.$$\varphi$$T’\varphi(x)\cap\varphi(Tx)=\emptyset$

Proof.

$N^{2}-\triangle_{N}^{J}$は，$T_{N}$

不変集合ではあるが，$T_{N}$は，$N^{2}-\triangle_{N}’$上で自由な対合ではない．
であること
Proposition 3.3 と同様にして， $H^{n}(S^{\infty}\cross(N^{2}-\Delta_{N}’))$が分かる．v’ をその生成元とする．対合 $T_{N}’(x, z, z’)=(Tx, z’, z)$ に対して，$\cong F_{2}$$\omega=c(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\Delta_{N}’),T_{N}’)$

まず，$H^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}’))$

と置く．
が全ての

$k$

について

$\omega^{k}$を含むことを示そう．

109
T’ が非自明なので， $T’(z_{0})\neq z_{0}$ となる元 $z_{0}\in N$ が存在するので，同変写像$h:S^{\infty}arrow S^{\infty}\cross(N^{2}-\triangle_{N}^{J}) , k:S^{\infty}\cross(N^{2}-\Delta_{N}’)arrow S^{\infty}$

は $h(x)=(x, z_{0}, z_{0})$ , $k(x, z, z’)=x$ であり，が存在する．ここで，を満たすので，我々の主張を得る．
$h,$

$k$

$k_{\tau}h_{\tau}=Id_{RP}\infty$$\hat{q}:S^{\infty}\cross\Gamma_{0}arrow s\infty\cross N^{2}$

より，

は，

$\hat{q}$を $\hat{q}(x, z, z’)=(x, q(z), q(z’))$ で定義する．仮定$\hat{q}:S^{\infty}\cross\Gamma_{0}arrow S^{\infty}\cross(N^{2}-\triangle_{N}^{J})$$\pi_{\Gamma_{0}}:S^{\infty}\cross\Gamma_{0}arrow s\infty\cross_{\tau}\Gamma_{0},$$(N^{2}-\Delta_{N}’)arrow S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}’)$とも見倣される．

$\pi_{N^{2}}:S^{\infty}\cross N^{2}arrow s\infty\cross_{\tau}N^{2}$と$\pi:S^{\infty}\cross$は被覆射影である．また $H^{n}(N^{2}-\triangle_{N}’)\cong F_{2}$の生成元は v’ で表される．このとき， $j^{*}(\nu\cross 1)=\nu’$ , i (l$*$$\cross\nu$) $=\nu$ ’ が成り立つ．ただし $j:N^{2}-\triangle_{N}’arrow N^{2}$ は自然な入射である．

続いて，次の可換図式を考えよう．
$\tilde{j}(x, z)=(x,j(z))$$\tilde{j}:S^{\infty}\cross(N^{2}-\triangle_{N}’)arrow S^{\infty}\cross N^{2}$は，で定義された写像である．

(4.1)$\{0\} arrow H^{*}(S^{\infty}\cross N^{2}) arrow^{j^{*}\tilde{}}H^{*}(S^{\infty}\cross(N^{2}-\triangle_{N}’))$$\downarrow \downarrow(\pi_{N^{2}})_{!} \downarrow\pi!$$H^{*}(S^{\infty}\cross N^{2})arrow^{(\pi_{N^{2}})_{!}}H^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}N^{2})arrow^{j_{\tau}^{*}\tilde{}}H^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}^{J}))$$\downarrow\hat{q}^{*} \downarrow q_{\tau}^{*} \downarrow\hat{q}_{\tau}^{*}$$且^{}*(S^{\infty}\cross\Gamma_{0})\underline{(\pi}r_{0})_{!}arrow\overline{H}^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}\Gamma_{0})arrow^{=}$$\overline{H}^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}\Gamma_{0})$

ここで

(4.2)

$\pi!(v’)=0, H^{k}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}’))=F_{2}\oplus F_{2}(k\geqq n)$.

が成り立つことを示そう．

ギザンスミス系列$arrow H^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}’))arrow\pi^{*}H^{*}(S^{\infty}\cross(N^{2}-\triangle_{N}’))arrow^{1}H^{*}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}^{J}))\pi$から，容易に$H^{k}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}’))\cong F_{2}(0\leqq k\leqq n-1)$を得る．
もし $\pi_{!}(\nu’)\neq 0$ とすると， 次元で $\pi^{*}=0$ と $\dim H^{n}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\triangle_{N}^{J}))=$
$n$

$1$

を得る．よって上の完全系列から$\pi_{!}(v’)=\omega^{n}$を得る．さらに $k>n$ のと

きに， $H^{k}(S^{\infty}\cross_{\tau}(N^{2}-\Delta_{N}’))=0$ を得る．このことは，全ての$\omega^{k}\neq 0$であることに矛盾する．故に (4.2) を得る．

$k$

について

110
$\overline{j}^{*}(1\cross\nu)=\nu’$であるから$\tilde{j}_{\tau}^{*}(\pi_{N^{2}})_{!}(1\cross\nu)=0$$v))=0$ を得る．故に，同型$\hat{q}^{*}(1\cross\nu)=0$$(\pi r_{0})_{!}$を得る．ここで，$(\pi_{\Gamma_{0}})_{!}$:

を得る．また$\hat{q}_{\tau}^{*}((\pi_{N^{2}})_{!}(1\cross$$\overline{H}^{n}(S^{\infty}\cross\Gamma_{0})\cong\overline{H}^{n}(S^{\infty}\cross_{\tau}\Gamma_{0})$からが同型であることは，ギザンスミス系

から分かる．また同様にして， $\hat{q}^{*}(v\cross 1)=0$ を得る．と $q^{*}=0$ : $H^{n}(N)arrow H^{n}(\Gamma)$
故に，:を得るので， $\deg(q^{*})$ は偶数であることが分かる．
これから次数の一意性を証明する． $(p, q)$ と $(p’, q’)$ を の選択写像対とする．
とは，各々$\hat{R}(z, z’)=(q(z),Tq’(z’))$::と $\hat{R}’(z’, z)=(T’q’(z’), q(z))$ で定義される．

列と$H^{*}(X)\cong\overline{H}^{*}(\Gamma_{0})$$\hat{q}^{*}=0$$H^{n}(S^{\infty}\cross N^{2})arrow H^{n}(S^{\infty}\cross\Gamma_{0})$$\varphi$$\hat{R}$$\hat{R}’$$\Gamma_{01}arrow N^{2}-\Delta_{N}$q$=$q’ のとき，$\hat{R}$$\Gamma_{10}arrow N^{2}-\Delta_{N}$は同変写像である．すなわち，

で $\hat{T}(z, z’)=(T(z’), T(z))$ . しかしながら$\hat{T}$$\hat{R}T_{0}=\hat{T}\hat{R}$である．ここは， $N^{2}-\Delta_{N}$ 上で自由な対合ではない．

次の図式を考えよう．

$Xarrow^{p} \Gamma arrow^{q} N$$\uparrow= \uparrow\pi_{1} \uparrow\pi_{1}$$Xarrow^{p}\Gamma_{01}arrow^{R^{\hat{}}}N^{2}-\Delta_{N}$(4.3)$\downarrow T \downarrow\tau \downarrow T_{N}$$Xarrow^{p}\Gamma_{10}arrow^{R^{\hat{}}/}N^{2}-\triangle_{N}$$\downarrow= \downarrow\pi_{1} \downarrow\pi_{1}$$Xarrow^{p’} \Gamma’ arrow^{T’q’} N.$$\pi_{i}^{*}(i=1,2)$は同型であるので，(4.4)$\deg((p^{*})^{-1}q^{*})=\deg((p^{J*})^{-1}q^{J*}T^{J*})$.

を得る．
$T’$ が向きを保つ対合のとき， $\deg((p^{*})^{-1}q^{*})=\deg((p^{\prime*})^{-1}q^{\prime*})$ . である．
T’ が向きを反転する対合のとき， $q’(z’)=q(z’)$ とするとき，$\deg((p^{*})^{-1}q^{*})=$$-\deg((p^{*})^{-1}q^{*})$である．よって $\deg((p^{*})^{-1}q^{*})=0$ である．

いずれにしても，$\varphi$の次数は一意的に定まる．
口

次の結果も同様に証明される (cf. Proposition 3.1).

Corollary 4.2. Under the same conditions as Theorem 4.1, assume thatan involution $T’$ on $N$ is free. Then there exists a unique even number$m$ such that $\deg\varphi=\{m\}$ .
In particular, if is an even number, then$n$$\deg\varphi=\{0\}.$

111
参考文献
[1] R. Brown, The Lefschetz Fixed Point Theorem, Scott, Foresman andCompany, Glenview III, London, (1971).

[2] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, Berlin,(1972).
[3] R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin (1989).
[4] L. G\’orniewicz, Remark on the Lefschetz-type fixed point theorem,
Bulletin de l’academie Polonaise des sciences 21, No.ll, (1973), 983-

989.
[5] L. G\’orniewicz, Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings, Kluwer Academic Publishers, (1999).

[6], Hara and Y. Moriwaki, The degree of multivalued maps from manifolds to spheres, J. Fixed Point Theory Appl. 11 (2012) 253-259.

$Y$[7] M. Nakaoka, Continuous maps of manifolds with involution I, Osaka
J. Math. 11, (1974), 129-145.

[8] M. Nakaoka, Continuous maps of manifolds with involution II, Osaka
J. Math. 11, (1974), 147-162.

[9] M. Nakaoka, Continuous maps of manifolds with involution III, Osaka
J. Math. 12, (1975), 197-208.

[10] Y. Shitanda, A fixed point theorem and equivariant points for setvalued mappings, Publ. RIMS. Kyoto Univ. Vol. 45, No. 3, (2009),

811-844
A generalization of antipodal point theorems for setvalued mappings, Hokkaido Math. J. . Vol. 20, No. 3, (2010), 217-238[11] Y. Shitanda,[12] E. H. Spanier, Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York (1966).