数理解析研究所講究録 1453 巻 2005 年 127-138

127
複合分岐点近傍においてみられる進行パルスの散乱現象
京都大学数理解析研究所 上田 肇一 (Kei-Ichi UEDA)
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University
千歳科学技術大学物質光科学科 寺本 敬 (Takashi TERAMOTO)
Department of Photonics Material Science, Chitose lnstitute of Science and Technology
北海道大学電子科学研究所 西浦 廉政 (Yasumasa NISHIURA)
Research Institute for Electronic Science, Hokkaido University

1

はじめに
反応拡散系における典型的なパルスの相互作用として融合型の対衝突と非融合型の対衝突が対衝突後のパターンが変化する仕組みについて考察する. 融合タイプの対衝突にみられる反射, 融合, 対消滅の散乱ダイナミクスは図 4 のような現象である. パルスは対衝突した後–つのパルスに合体し, その後伝播や対消滅といった現象がみられる. 非融合タイプの対衝突後にみられる反射, 対消滅の散乱パターンは図 10 のある.

この 2 つのタイプの対衝突の場合に関して,ようなものである.

パルス間の距離が離れたところで対消滅と反射が起きる. このような融合型と非融合型の散乱パターンの変化に関する数理的メカニズ において不安定定常解 (分水嶺$\Delta$

解 $[4][5])$ が重要な役割をしていることを示す.
ここでは次の 3 変数反応拡散方程式を用いて数値実験を行なう.
$u_{t}=D_{u}u_{xx}+k_{2}^{\wedge}u-u^{3}-k_{3}v-k_{4}’w+k_{1}$$\tau v_{t}=D_{v}v_{xx}+u-\gamma v$

,

(1)

,

$\theta w_{t}=D_{w}u_{xx}\}+u-w$ .

この方程式はガス放電系において導出された方程式である [6]. パラメータは$10^{-5},$$dt=1.\mathrm{O}\mathrm{x}10^{-3}$2,
数値シミュレーションは空間刻みとした, 他のパラメータは融合型と非融合型の 2 つの場合において異$k_{1}=-3.0,$ $k_{2}=2.0,$ $k_{3}=2.0$ とする.

時間刻みなるパラメータを用いる.

$D_{u}=5.0\mathrm{x}$$dx=5.0\mathrm{x}10^{-3}$融合型
パラメータを $D_{w}=0.01,$ $k_{4}=2.4_{?}\gamma=2.5,$ $\tau=900,$ $\theta=1.0$ とし,D。をコントロールパラ

メータとしてパルスの衝突実験を行った. 初期値として 2 つのパルスを十分離れた位置にとっ$D_{v}=1.28028\mathrm{x}10^{-3}$ の場合は反た. $D_{v}=1.282$ 付近で衝突後のパターンが変化する (図 1).
の場合は融合が起きて, しばらく 1 山の状態で るが, やがて射が起き, $D_{v}=1.28029$$1_{\sqrt}\mathrm{a}$$\mathrm{x}10^{-3}$こ左か右のどちらかに伝播する. 融合した後どちらの方向に伝播するかは初期値に依存する.
のパラメータ付近で解軌道の様子を調べると, パルスが対衝突した後, ある (分水嶺解の役割に示す. 二つをする) 双角解に近づくことがわかる. 双角解は不安定次元 2 の定常解で図$2(\mathrm{a})$パルスが合体したときの解の形はほぼ左右対称な形になっているため衝突後の角角解において

128

図 1: (a) 融合 $D_{v}=1.28208\mathrm{x}10^{-3}.,$$(\mathrm{b})$反射 $D_{v}=1.28209\mathrm{x}10^{-3}.u$ のみ表示.

の不安定成分は無視できる. したがって不安定方向は 方向の不安定成分によってほぼ決まる. 実際, 凹角不安定解に正 (負) の摂動に関しては融合 (反射) する様子が再現される (図2(e)(f) . 融合解と双角解に関する分岐図は図 3 のようになる.
$\phi_{1}$$\phi_{2}$$)$$\geq-\tilde{\approx}.\sim\langle \mathrm{a})$.

$..u\vee’$.

$-$

図 2: (a) 双二型分水嶺解 $D_{v}=1.28208$. (b) 第一固有値に対すモード. 実る固有関数, (c) 第二固有値 $(\lambda_{2}=4.338311 \mathrm{x}10^{-2})$ に対する固有関数の正 (負) の摂動を加えたと線 $:u$ 成分. 点線 成分. 破線 $:w$ 成分. (e)((f)) 摂動実験 (a) に$\mathrm{x}10^{-3}$$(\lambda_{1}=3.442044 \mathrm{x}10^{-1})$$(\mathrm{d})\mathrm{G}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}$$:v$$\phi_{1}$きの反応.
さらに D。を小さくすると,付近において再び対衝突後のパターンが変化する. パルスは融合した後の変化を調べると図 4 のように変化することがわかる. つまり,では融合した後に (分水嶺解の役割では融合するが, $D_{v}=2.9465$$D_{v}=2.9480$の単角解の下の枝に対応する解)(図に近づき、一度パルスの幅が膨らんだ後をする) 単角解
3では単角解に近づき, 膨らむことなく消滅する. このような変消滅する. $D_{v}=2.9450$
化を定常パルス解の分岐構造から理解する. 図 5 は を変化させたときの 1 山パルス解のサド
ル・ノード分岐点, ピッチフォーク分岐点, Hopf 分岐点の変化を示している. Hopf 分岐点はサドル・ノード分岐点から出現し, 分岐点からサブクリティカルに不安定な振動パルス解が現れる. つまり, Bogdanov-Takens 点が存在する. $\tau=900$ においても不安定周期解がサブクリ$D_{v}=2.94\mathrm{x}10^{-4}$$\mathrm{x}10^{-4}$$\mathrm{x}10^{-4}$$\mathrm{x}10^{-4}$$\tau$のようになる. 融合と対テイカに分岐し, 分岐点近くにおけるフローを模式的に表すと図消滅を分けるパラメータは Hopf 分岐点の右側 (図) であり, シミュレーションで確認され$3(\mathrm{b})$$3(\mathrm{b})\mathrm{C}$129$\mathrm{X}10^{- 3}$

(a)

$(($
A
(b)

黒色の線は並進モードの不安定モードを持つ不安定次元 1 の解. 灰色の線は不安定次元 2 以上の解 (b) 単角解のサドル・ノー
図 3: (a) 上 (下) の枝は単角定常解 (双角定常解) に関する枝.

ド分岐点近くのフロー.

130

図 4: (a) 対消滅 $(D_{v}=2.9450 \mathrm{x}10^{-4})$ .
$(D_{v}=2.9480 \mathrm{x}10^{-4})$

参照)(b) 振動した後消滅 $(D_{v}=2.9465\mathrm{x}10^{-4})$ .

$(\mathrm{c})$. 右図はそれぞれの場合に対応した融合後の模式的な解の流れ. (図 3融合$(\mathrm{b})\mathrm{C}$131
る現象は Hopf 分岐点近くのフローに対応することがわかる (図 4). 実際 単角解に対して摂動実験を行なっても同様に消滅と膨らんだ後消滅する現象が再現される. (図 6)$76.\mathrm{w}$$\tau=40$$’/\}|$

L.,

.

(a)

$...’.\prime^{-}.-$.

$\acute{.}’,.’/\cdot..\neq’.\sim’$

76$\6$,\hslash 0^{l1\mathfrak{l}\mathrm{I}}$$\mathrm{W}1\mathrm{I}$$(\mathrm{d})D\}$

図 5: (a) 単角解のサドル・ノード分岐点, ピッチフォーク分岐点, Hopf 分岐点の変化. 右図はHopf 分岐点の変化の様子. 黒色の線は安定解, 灰色の線は不安定な解,.C.
す.

$\mathrm{H}$は Hopf 分岐点を表$(\mathrm{b})\tau=1.0,(\mathrm{c})\tau=11.0,(\mathrm{d})\tau=40$

最一固有値 $(\lambda_{1}=1.119969)$ に対する型の分水嶺解 $(D_{v}=2.945\mathrm{x}10^{-4})$ .
モード. (e)関数. (c) 第二固有値 $(\lambda_{2}=3.337082\mathrm{x}10^{-2})$ に対する固有関数 (d) Goldstoneの正 (負) 方向の摂動を加えたときの反応
摂動実験.
図 6: (a)$\text{固}\epsilon$$(\mathrm{b})$$\text{単^{}\backslash }\text{角}$$((\mathrm{f}))$$\phi_{1}$

3

非融合型

をコントロー
パラメータを $D_{v}=6.5\mathrm{x}10^{-3}D_{w}$ $=7.5\mathrm{x}10^{-3},$ $\gamma=8.0_{7}\theta=10.0$ とする.
ルパラメータとする. 図 7 は定数定常解と定常パルス解に関する分岐図である. サドル・ノー
ド分岐点が存在し, その近くに Hopf 分岐点とピッチフォーク分岐点が存在する. ピッチフォ–
ク分岐はスーパークリティカルに分岐して安定なトラベリングパルスが出現する. を変化さ
$k_{4}$}$\tau$

132の時の 1 山パルス解と定数定常解に関する分岐図. 黒色の線はは Hopf 分岐点
はピッチフオーク分岐点,
安定な定数定常解, 灰色の線は不安定パルス解,を表す. サドル・ノード点の値は $k_{4}’=2.9195$ .
図 7: $\tau=1200$ 及び $\tau=1262$$5$$\mathrm{H}$$\mathrm{P}$せることによってピッチフォーク分岐点と Hopf 分岐点の位置が入れ替わる. つまりある にお点と呼ぶ).
いてピッチフォーク分岐点と Hopf 分岐点は一致する (この点ををパラメータにとったときの相図である. 領域 I では安定なパルス解が存在せ
図8はず, 解は定数定虚弱に収束する. 領域 では安定トラベリングパルス解が存在せず, 安定定常$\tau$$\mathrm{P}\mathrm{H}$$(k_{4}, \tau)$$\mathrm{I}\mathrm{I}$

パルス解が存在する. 領域 III ではピッチフォーク分岐により安定トラベリングパルス解が存
はパルスが対衝突した後消滅
在し, 2 つのパルスが対衝突した後反射現象がみられる. 領域してしまう領域である, 図 9 は分岐図を模式的に表したものである. 注目すべきことは領域 IV
が領域 III よりもピッチフォーク分岐点の近くに存在することである. このことはパルスの速度が遅い方が対消滅が起きることを意味する (図 10). これはピッチフォーク分岐のみが関わる[2] の場合と異なり Hopf 分岐点が存在するためである.
この現象を荒っぽく説明すると, 安定トラベリングパルスに関する basin が小さくなるため$\mathrm{I}\mathrm{V}$である. 図 9 からしている, つまり,点の近くで不安定な振動トラベリングパルスがサブクリティカルに分岐
安定なトラベリングパルスはピッチフォーク分岐点の近くで安定性を失っており, その分岐点近くのパラメータではトラベリングパルス解の basin が小さい. この結果,
衝突などの摂動が加わることにより安定性を失いやすくなり, パルスの対消滅現象が起こりや$\mathrm{P}\mathrm{H}$

すくなっていると考えることができる.

4

1 山 ルスの分岐構造$J\backslash ^{\mathrm{o}}$非融合現象の対消滅と反射がみられるパラメータ領域はピッチフォーク分岐と Hopf 分岐同時に起きる点近くでみられることがわかった. パルスの衝突後の振る舞いはトラベリングパル
スが不安定化したパラメータ付近で起きることがわかったが, 縮約理論を用いるとあるいくつかの条件を満たす場合, そのような不安定化はピッチフォーク分岐と Hopf 分岐が同時に起きるパラメータ近傍において必ず存在することがわかる.
ここでは Hopf 分岐点とピッチフォーク分岐点の複合分岐点近くにおける 1 山パルスのダイナ
ミクスを記述する有限次元の常微分方程式を導出する. このような分岐点近くにおける解析は$[1][2]$ における手法と同様に行なう. (ここでは厳密な証明ではなく、形式的な計算を行なう. )次のような $N$ 変数反応拡散方程式について考察する.
$u_{\mathrm{t}}=Du_{xx}+F(u, \eta)$

(2)

133

をパラメータにとったときの相図. 実線 (点線) はピッチフォーク分岐点 (Hopf 分岐点). I 解は定数定常解に収束する. II:安定定常パルス解が存在しトラベリングパルスは存在しつのパルスが対衝突した後に対消滅
ない. III: 2 つのパルスが対衝突した後に反射する.
する.
図 8:

$k_{4}-\tau$$\mathrm{I}\mathrm{V}:2$

図 9: (a)( b) \mbox{\boldmath $\tau$} を$\mathrm{P}\mathrm{H}$

点の下 (上) の値で固定したときの模式的な分岐図. SSP:安定定常パル

USP:不安定定常パルス. STP:安定トラベリングパルス. UTP:不安定トラベリングパルス.
UOTP:不安定振動トラベリングパルス. UOP:不安定振動定常パル人
ス.

134

(c)

(b)

(a)

図 10: $\tau=1262.5$ のときの散乱パターン. (a) 対消滅 { $k_{4}=2.956)$ . (b) 反射 $(k_{4}=2.96)$ .

$(\mathrm{c})$反射 $(k_{4}.=2.97)$ .
$F:R^{N}arrow R^{N}$

ここで $u=(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{N})\in R^{N},$

トロールパラメータ,

St)

$D$

は滑らかな関数,をコン

は非負の対角成分を持つ対角行列とする.

を Hopf 分岐とピッチフォーク分岐が同時に起きるパラメータとする.
また (2) において定常 1 山パルス解 $S(x)$ が存在し, $S(x)=S(-x)$ を満たす.

$\tilde{k}=(\tilde{k}_{1)}\tilde{k}_{2})\in R^{2}$$k=\tilde{k}+\eta=(\tilde{k}_{1}+\eta_{1)}\tilde{k^{\wedge}}_{2}+772)$$\mathcal{L}(u,\cdot k):=Du_{xx}+F(u, k),$$u_{\ell}=\mathcal{L}(u)+\eta\cdot g(u)$ただし,$\mathcal{L}(u)=\mathcal{L}(u;\tilde{k}),$$(g_{1}(u), g_{2}(u))$, となる.

$L=\mathcal{L}’(S(x);\overline{k})$$\psi,$$L^{*}$$\psi^{*},$$\psi,$(3).

とする. ピッチフォーク分岐と Hopf 分岐に関する固有とし, それらは $L\psi=-S_{x}$ と $L\xi=i\omega_{0}\xi(\omega_{0}\in R^{+}.)$ を

$\xi$

$L$

$\xi^{*}$とすると (2) は$g(u)=g(u;\eta),$ $\eta\cdot g(u;\eta)=\mathcal{L}(u,\cdot\tilde{k}+\eta)-\mathcal{L}(u),$ $\eta=(\eta_{1}, \eta_{2}))g(u)=$値に対応する固有関数をそれぞれ
を の共役作用素とすると $L^{*}\phi^{*}=0,$
みたす.
はが存在する.
$\phi^{*},$$k=(k_{1}, k_{2})\in R^{2}$$\xi,$$\phi^{*},$$\psi^{*},$$\langle\psi, S_{x}\rangle_{L^{2}}=0,$$L^{*}\psi^{*}=-\phi^{*},$$L^{*}\xi^{*}=-i\omega_{0}\xi^{*}$となるような$\xi^{*}$$\langle S_{x}, \psi^{*}\rangle_{L^{2}}=1,$$\langle’\psi, \psi^{*}\rangle_{L^{2}}=0,$$\langle\xi, \xi^{*}\rangle_{L^{2}}=1$を満たすようにとる. またことのき$\langle\psi, \phi^{*}\rangle_{L^{2}}=1,$$\langle S_{x}, \phi^{*}\rangle_{L^{2}}=0$が成り立つ. 固有関数に関して次のような空間対称性を仮定する.

82) Hopf 分岐に関する不安定モードは偶関数 ピッチフォーク分岐に対応する不安定モード
は奇関数する. つまり,$\langle\psi, \xi^{*}\rangle=0,$$\langle S_{x}, \xi^{*}\rangle=0$が成り立つ.
$E_{1}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{P_{x}, \psi\},$$E_{2}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\xi,\overline{\xi}\},$$E=E_{1}\oplus E_{2}$とする.

$q\in R,$ $r\in C$

を新たな変数,$\eta_{1},$$\eta_{2}$は十分小さなパラメータとし$u(x, t)=S(x-p)+q\psi(x-p)+(r\xi(x-p)+c.c.)+\zeta(x-p)+w$

(4)

735
(

$\mathrm{c}.\mathrm{c}$. は複素共役) と表す. ただし,$\zeta=q^{2}\zeta_{2000}+(r^{2}(_{0200}+qr\zeta_{1100}+c.c.)+|r|^{2}\zeta_{0110}$ $+\eta_{1}\zeta_{00\{)1}+\eta_{2}(\mathrm{o}002$とし,$\zeta i\mathrm{j}kl$

を関数で次の方程式を満たすようなものとする.
$L\zeta_{2000}.+\Pi_{2000}=\alpha_{2000}\xi+\alpha_{2000}\overline{\xi}_{\dot{J}}$,$(L-2i\omega_{0}I)(_{0200}+\Pi_{0200}=\alpha_{11200}\xi+\overline{\alpha}_{1\mathrm{J}200}\overline{\xi}$,$(L-i\omega_{0}I)(_{1100}+\mathrm{I}1_{1100}=\alpha_{1100}\psi+\alpha_{1100}’\phi$$L\zeta_{0110}.+\Pi_{0110}=\alpha_{0110}\xi+\overline{\alpha}_{0110}\overline{\xi})$$L_{\mathrm{b}0001}’+\mathrm{I}\mathrm{I}_{0001}=\alpha_{(3001}\xi+\overline{\alpha}_{0001}\overline{\xi}$,.

$+\overline{\alpha}_{0002}\overline{\xi.}$.

$L\zeta_{0002\ulcorner}-^{\mathrm{I}}\mathrm{n}_{0002}=\alpha_{0002}\xi$

ここで$\Pi_{020\mathit{0}}=\frac{1}{2}F’’(S)\xi^{2}$$\prod_{2000}=\frac{1}{2}F’’(S)\psi^{2}.+\psi_{x)}$$1\mathrm{I}_{0110}--F’’(S)\xi\cdot\overline{\xi}$$\alpha_{jklm}$,$\Pi_{0001}=g_{1}(S)$$\Pi_{1100}=F’’(S)\psi\cdot\xi+\xi_{x}$$\Pi_{0002}=g_{2}(S)$,.

は次の方程式を満たす.

$\langle\prod_{2000}-\alpha_{2000}\xi_{)}\xi^{*}\rangle_{L^{2}}=0$,$\langle\prod 11\mathit{0}\mathit{0}-\alpha_{1100}’\phi,$ $\psi^{*}\rangle_{f_{J}^{2}}=0$$\langle\prod 0200-\alpha_{0200}\xi\backslash \xi^{*}\rangle_{L^{2}}=0$,.

$\langle\prod \mathit{0}002-\alpha_{0002}\xi, \xi^{*}\rangle_{L^{2}}=0_{!}$

$w$

,

,

$\langle\Gamma \mathrm{I}_{0110}-\alpha_{0110}\xi,$$\alpha_{0020}=\overline{\alpha}_{0200}$,,$\xi^{*}\rangle_{L^{2}}=0$$\alpha_{1010}=$$\{\prod 11\mathrm{t})(\}-\alpha_{1100}\psi_{)}\phi^{*}\rangle_{I,}2=0$

,

,

,

$\{\Gamma \mathrm{I}_{0001}-\alpha_{0001}\xi_{\dagger}\xi^{*}\rangle_{L^{2}}=0$と 1010)$\alpha_{1010}=\overline{\alpha}_{1100}$.

に関して次を仮定する.

S3)$w\in E^{[perp]}$であり,$||w||_{I_{\lrcorner}^{2})}||w_{x}||L^{2}\leq O(q^{3}+|r|^{3}+\eta^{3/2})$(4) を (3) に代入した後, 両辺を$\psi^{*}$$\phi^{*},$)$\xi^{*}$をみたす.

で内積をとると$\dot{p}=q+(\alpha_{1100}’qr+c.c.)+(m_{1200}qr^{2}+C.\mathrm{C}.)$$+m_{3000}q^{3}+m_{0110}q|r|^{2}+m_{1001}q\eta_{1}+m_{1002}q\eta_{2}+h.\mathit{0}.t.$,$\dot{q}=g1001q\eta 1+g1002q\eta 2+(\alpha_{1100}qr+c.c.)$$+g_{3000}q^{3}+(g_{1200}qr^{2}+C.C.)[perp]_{\mathrm{I}}g_{1110}q|r|^{2}+h$ .O. $t.$,$\dot{r}=\mathrm{i}\omega r+\alpha_{0001}\eta_{1}+\alpha_{0002}\eta_{2}+(g_{0101}r\eta_{1}+c.c)+(g_{0102}r\eta_{2}+c.c.)$$+\alpha_{2000}q^{2}+(\alpha_{0200}r^{2}+C.\mathrm{C}.)+\alpha_{0110}|r|^{2}+(h_{210(]}q^{2}r+c.c.)$$+(h_{0300}r^{3}+c^{1}.c.)+(h_{0210}r|r|^{2}+c.c.)+h$ .O. $t.$ ,が得られる. ここで m 喚 l,$g_{ijkl},$$h_{ijkl}$は定数であり,具体的な形はスペースの関係で省略する.

次の変数変換を行なう$v=q+\mathrm{V}_{1100}qr+\mathrm{V}_{1010}q\overline{r}+V\}_{200}\mathrm{q}\mathrm{r}^{2}+V_{1020}\mathrm{q}?"$,$w=r+W_{0001}\eta_{1}+W_{0002}\eta_{2}+W_{2000}q^{2}+W_{0200}r^{2}+W_{0020}\overline{r}^{2}+W_{0110}|r|^{2}$$+W_{0011}\eta_{0}\overline{r}+W_{0011}’\eta_{1}\overline{r}+W_{2010}q^{2}\overline{r}+W_{0120}\overline{r}|r|^{2}+W_{0300}r^{3}+W_{0030}\overline{r}^{3}$.

196$\check{}\check{\mathrm{c}}^{-}T^{\backslash }\backslash$$V_{1100}=- \frac{g_{1100}}{i\omega}$,$V_{1010}= \frac{g_{1010}}{i\omega}$,$V_{1200}=- \frac{g_{1200}+g_{1100}V_{1100}+h_{0200}V_{1100}+h_{0200}V_{1010}}{2\mathrm{i}\omega}$$V_{1020}= \frac{g_{1020}+g_{1010}V_{1010}+h_{0020}V_{1100}+f_{l_{0020}}.V_{1010}}{2i\omega}$$W_{0001}= \frac{h_{0001}}{i\omega},$$W_{0002}= \frac{h_{0002}}{i\omega}$,,$W_{0011}= \frac{h_{0011}+2W_{0020}\overline{h}_{0001}+W_{0110}h_{0001}}{2i\omega}$,$W_{0012}= \frac{h_{0012}+2W_{0020}\overline{h}_{0002}+W_{0110}h_{0002}}{2i\omega}$,$W_{2000}= \frac{h_{2000}}{i\omega},$,$W_{0200}=- \frac{h_{0200}}{i\omega},$ $W_{0020}= \frac{h_{0020}}{3i\omega},$$\mathcal{W}_{0110}^{r}=\frac{h_{0110}}{i\omega}$$W_{201\mathit{0}}= \frac{h_{2010}+2W_{2000}g_{1010}+2W_{0020}h_{\mathit{2}\mathrm{t}\mathrm{I}00}t+W_{0110}h_{2000}}{2i\omega}$,,$W_{0120}= \frac{h_{0120}+2W_{0200}h_{0020}+2W_{0020}\overline{h}_{0110}+W_{(\mathrm{J}110}h_{0110}+W_{0110}h_{0020}}{2i\omega}$,,$W_{0300}=- \frac{h_{0300}+2W_{0200}h_{0200}+W_{0110}h_{02\mathrm{t}\mathrm{J}1}}{2i\omega},$$W_{0030}= \frac{h_{0030}+2W_{0020}h_{0020}+W_{0110}h_{0020}}{4i\omega}.$

とする.

’

このようにして次の方程式が得られる.
$\dot{v}=G_{1001}\eta_{1}v+G_{1002}\eta_{2}v+G_{3000}v^{3}+G_{1110}v|w|^{2}$,$(^{\ulcorner}|\mathrm{J})$$\dot{w}=i\omega w+H_{0101}\eta_{1}w+H_{0102^{7}f2}w+H_{2100}v^{2}w+H_{0210}w|w|^{2}$.

ただし,$G_{1001}=g_{1001}+V_{1100}h_{0001}+V_{1010}h_{0001}$,$G_{1002}=g_{1002}+V_{1100}h_{0002}+\mathfrak{i}_{1010}’\overline{h}_{0002}$,$G_{3000}=g_{3000}+V_{1100}h_{2000}+V_{1010}\overline{f}_{l_{2000}}$,$G_{1110}=g_{1110}+V_{1100}g_{1010}+V_{1100}h_{0110}+V_{1010}g_{1100}+V_{1010}\overline{h}_{0110}$$H_{0101}=h_{\mathrm{t}1101}+2W_{0200}h_{0001}+W_{0110}\overline{h}_{0001}$,$H_{0102}=h_{0102}+2W_{0200}h_{0002}+W_{0110}\overline{h}_{0002}$,,$H_{2100}=h_{21\mathrm{t}\mathrm{I}0}+2W_{2}000g_{1100}+2W0200h2000+W_{0110}\overline{h}_{2000_{\rangle}}$$H0210=h0210+2W_{0200}h_{0110}+2W0020h_{0200}+W0110h0200+W_{0110}\overline{h}_{0110}$ .

ここで $w=Ae^{\mathrm{i}\varphi}(A, \varphi\in R)$ とし (5) に代入すると$\dot{\varphi}=\omega_{0}+\mu_{2}’+h.\mathit{0}.t.$,$\dot{v}=(-\mu_{1}+p_{11}v^{2}+p_{12}A^{2})v+h.0.t.$(6),$\lrcorner\dot{4}=(-\mu_{2}+p_{21}v^{2}+p_{22}A^{2})A+h.\mathit{0}.t.$,が得られる. ここで $p_{11}={\rm Re} G_{3000},$ $p_{12}={\rm Re} G_{1110},$ $p_{21}={\rm Re} H_{2100},$ $I^{l}22={\rm Re} H021\mathrm{C}\cdot\mu_{1}=$$-{\rm Re} G_{10()1}\eta_{1}-{\rm Re} G_{1002}\eta_{2_{l}}.\mu_{2}=-{\rm Re} H_{\mathrm{t}\mathrm{J}101}\eta_{1}-{\rm Re} H0102\eta 2,$ $\mu_{2}’=-{\rm Im} H_{0101}\eta_{1}-\mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{n}H_{0102}\eta_{2}$

であ

137

138

図 11: 条件 (8) を満たしたときの (7) の phase portrait fig : $hb+hbflow$ .

[3] Y. A. KUZNETSOV, Elements of Appfied Bifurcation Theory, Springer, (1998).
[4] Y. NISHIURA, T. TERAMOTO AND K. -I. UEDA, Scattering and separators in dissipative. 056210-1-056210-7,(2003),
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