数理解析研究所講究録
1079 巻 1999 年 190-195190

実数データを用いたファジィ回帰モデル同定法の研究
A study on methods to fix the fuzzy regression models with the real number data.
創価大学大学院工学研究科
田島 博之 (D2)

Graduate school of Engineering, Soka University
Hiroyuki Tajima

1.

はじめに法を提案する。 新提案モデルは同定する推定

ファジィ回帰モデルによる分析は、 従属変ファジィ数の中心値を表す関数に重点をおい数に視覚、 味覚、 聴覚等の感覚また、 意思決ている。 なお、 本研究で着目するモデルは、定のような人間の思考が絡む状況を表したデ実数値データが与えられた場合を考えている。

$-p$ が実数値あるいはファジィ数値として与えられた場合に有効である。 これらの曖昧さを多分に含んだデータを分析するうえで、 ファジィ回帰モデルはそのデータをよく表現することができる。

従来の最小二乗推定法において、 データとモデルの予測値の差は測定誤差として考え、その値は正規分布に従うと仮定されていたが、このファジィ回帰モデルにおいては、 モデル

2. 数学的準備
ファジィ数、 ファジィ回帰モデルに対する諸定義は以下に示す。 従来型モデルは、 対称三角型ファジィ数を用いていたが、 本提案型モデルでは、 非対称型三角ファジィ数を用いる。

ファジィ数向)$\tilde{A}$はその中心 $a$ と左 (減少方への広がりの幅 1 および右 (増加方向)の表現する幅自体に重要な意味を持たせている。 曖昧さには本来その要因が未知という意への広がりの幅味と、 その要因があまりにも複雑な関係からする。 メンバーシップ関数は次のように定義なるために特定するのが難しいという意味がする。

$r$

を用いて

$\tilde{A}=(a,\mathit{1},r)$と表記ある。 どちらの場合においても、 ファジィ回$\max(0,1-\frac{a-x}{l}.1$帰モデルはデータに内在的に含まれる、 未知の要因を明らかにすることなくモデルに表現

for $x<a$$\mu_{X}(x)=\{$$\max[0,1-\frac{x-a}{r})$することができる。 区間回帰モデルの応用で

for$x>a=$

あるファジィ回帰モデルは全てのデータを包括したモデルを同定する所に特徴があり、 その点は最小二乗推定法の概念とは異なる。
そこで本研究では、 従来の区間回帰モデルと最小二乗推定法の両方の概念を導入した新しい 2 つのタイプのファジィ回帰モデル同定

このファジィ数$\tilde{A}$の$\alpha$レベル集合は以下の閉区間となる。
$[\tilde{A}\iota=[(a,l_{\Gamma},\mathbb{L}$$=[a-(1-\alpha \mathcal{V},a+(\iota-a)\gamma]$

ファジィ数間の演算は次に定義する。

191
定義される。

$\tilde{A}+\tilde{B}=(a,s,t)+(b,u,v)$$=(a+b,s+u,t+v)$$k\cdot\tilde{A}=k(a,s,f)=(k\cdot a,k\cdot s,k\cdot r)$

以上よりファジィ回帰モデルを定義する。
$\tilde{Y}(\mathrm{x})=\tilde{A}+\tilde{A}\cdots+\tilde{A}^{x}0\iota^{X_{1^{+}}}\hslash$$=(a_{0},l_{0},r_{0})+x_{1}\cdot(a_{1\iota’ 1},lr)+\cdots$$...+x_{n}\cdot(\mathit{0},lr)\hslash n’ n$$=(a_{0}+\cdots+a_{n}Xl|\chi_{n}|,r+\cdots+\gamma_{n}|x|n’ 0^{+\cdots+l}n0n)$$=(a(\mathrm{x}\mathrm{t}l(\mathrm{x}),\gamma(\mathrm{x}))$

以上は本論で提案するモデルの定義である。
なお、 従来型では$e(\mathrm{x})\text{と}$$l(\mathrm{X})=r(\mathrm{x})\text{なので_{、}}$

これをして考えている。

上のモデルよりも最小二乗推定法に近いという理由で、 単純に曖昧さを表す幅の関数を3. 従来型モデル同定法二乗にする、 最小化基準を用いた目的関数の実数データに対する従来型のファジィ回帰

モデル同定法は、 与えられた全てのデータ点をそのモデルに包括する制約条件のもと、 モデルの表現する曖昧さの幅を最小にする。

目的関数 :

与えられるデータセット:;$y_{i})=((x_{i1},X\cdots,X\lambda i2’ iny\dot{\mathrm{r}})$下に定義する。

従来型問題 2

以下にそのモデル同定問題を記述する。

$(\mathrm{x}_{i}$

同定法も提案されている。 その同定問題を以$\min\sum_{i=\mathrm{t}}^{m}\mathcal{E}(\mathrm{X}_{i})^{2}$..

$i=1,2,\ldots,m$

制約条件 :

このようなデータが与えられたとき同定す$a(\mathrm{x}_{\mathrm{i}})-(1-h\mathrm{k}(\mathrm{X}_{i})\leq y_{i}$るモデルの$\alpha$

カットの$h$レベル集合が全てのデータを含むような制約条件を考える。

$a(\mathrm{x}_{i})+(\iota-h\mathrm{k}(\mathrm{x}_{\iota})\succeq.y_{i}$$i=1,2,\cdots,m$$y_{i}\in[\tilde{\mathrm{Y}}(\mathrm{X}_{i})1,$$h$$i=1,2,\cdots,m$の値はモデル同定者が同定問題を設定する際に任意に決定するパラメータである。 従来型モデル同定問題は、 この制約条件のもとフ$e_{j}>0,j=0,1,\cdots,n$決定関数 :$a\{\mathrm{x}),e(\mathrm{X})$ァジィ回帰モデルの曖昧さの幅を最小化基準として目的関数に用いた数理計画問題として以上の 2 タイプが実数データに対する従来

192型の代表的なファジィ回帰モデル同定法であは単回帰モデルの例である。

る。 なお、 従来型ではモデル同定者の意思を反映させる変数値として、$h$を用いたが新提$\mathrm{y}$案モデルではもちいないこととする。

$\nu \mathrm{t}_{X}).=dx)+’(K)$4. 新たなモデル同定法の提案$\}(_{X_{\mathit{4}}})$

本論で提案するモデル同定法はいずれも中.

禾$-_{\nu}l$

禾

,

$\nu$

$\mathrm{x}$心関数に重点を置いた最小化目的関数を設定$\nu_{i}^{-}\nu^{(_{\mathrm{f}})}$

禾する。

$x)=d_{X})-J(X)$

ここで、分析すべきデータを以下に与える。

,$X$$(\mathrm{x}_{i}$;$y_{i})=\{(X,X,\cdots,Xt\iota i2in\lambda y_{i})$$i=1,2,\cdots,m$与えられた全てのデータがそのモデルに包次に新たな最小化基準を定義する。 単回帰モデルを例に、 その基本概念を説明する。 同定するモデルの上辺、 下辺をそれぞれ次のように定義する。

$y(x)*=a(x)+\gamma(x),$括されるような制約条件のもと、 各データ点からモデルの上辺までの距離の—- 乗と、 下辺までの距離の二乗を加えた値の総和を、 最小にするような最小化基準を定義し、 それを $-$般化したのが以下の同定問題である。

$y(x)_{*}=a\{x)-l(x)$新旧足問題 1First Phase
目的関数 :

同定するファジィ回帰モデルは、 与えられた全てのデータがそのモデルに包括されるような制約条件のもと、 各データ点からモデルの上辺までの距離の二乗と、 下辺までの距離$\min\sum_{\mathrm{i}=1}^{m}1\{\nu(1_{i}).-y_{\mathrm{i}}\mathrm{f}+\{\nu(1).-yt\}^{2}i]$

制約条件式 :.

$y(\mathrm{x}_{i})_{\leqq\gamma_{i}}$の二乗を加えた値の総和を最小にする。

この考察を基に最小化基準を定義し、 独立変数$x$$y\{\mathrm{X}_{i}).\geqq\nu_{i}$$i=1,2,\cdots,m$が複数存在するような重回帰モデルにおいても定式化可能にした、 新たなモデル同決定関数 :定問題を以下に提案する。

4. 1$i=1,2,\cdots,m$

新里定法 1$y\{\mathrm{x}),y\{\mathrm{x}\}$

これによって決定された、 モデルの上辺、下辺の関数を$\hat{y}\{\mathrm{x}),\hat{y}(\mathrm{x})$. とする。

ここで、 提案する新たなモデル同定法は 2 段.

階の手順を追う。 第 1 段階においてモデルの二乗法を使った Second Phase を示す。

上辺、 および下辺の関数を求める。 以下の図

次にモデルの中心関数を求めるために最小193
制約条件式 :Second Phase
貝的関数 :$\hat{y}\{\mathrm{x}_{\dot{\prime}})_{l_{-}}\underline{<}y_{t}$$i=1,2,\cdots,m$$\hat{y}\{\mathrm{X}_{i})_{-t}.>\lrcorner$$i=1,2,\cdots,m$$\min\sum_{i=1}\{y_{i}-o(\mathrm{X}_{t})\}^{2}$決定関数 :

決定関数 :$a\{\mathrm{x})$以上が新出定法 2 の説明である。

$a(\mathrm{x})$以上が新同定法 1 の説明である。

54.

2

新同定法 2評価関数の定義
本節では、 モデルを比較評価するため、 デ新同定法 2 は、 上の新同定法 1 とは中心関数の同定法を変化させたものである。 したが$-$夕とモデルの適合度基準を示す評価関数を以下に定義する。って、 First Phase により、 モデルの上辺および下辺を決定するまでは、 問題 1 と同じ方1

モデル評価関数 1

同定されたファジィ回帰モデルの関数を以法をとる。
中心を表す関数5.

$a(\mathrm{x})$を以下に示す新たな下のように表記する。

基準によって定める同定問題を提案する。
$\tilde{Y}(\mathrm{x})=(\hat{a}\{\chi),l\wedge\{\mathrm{x}\iota\hat{r}\{\mathrm{X})\mathrm{I}$$\alpha_{i}k$

よ-F$\ovalbox{\tt\small REJECT}\underline{\prime}\overline{\mathrm{T}\prime\text{、}す関数と}-t\text{る}$$\frac{y_{i}-\hat{y}\{\mathrm{X}i)}{a\{\mathrm{X}_{i})_{-\hat{y}}\{\mathrm{X}_{i})}..$。

for$a\{\mathrm{x}_{t}\succ gi$$\alpha_{i}=\{$$\frac{\hat{y}\{\mathrm{x}_{i}.)-_{\mathcal{Y}_{i}}}{\hat{y}\{\mathrm{x}_{i})-a\{\mathrm{x})i}.$for$a\{\mathrm{x}_{i})<_{\mathcal{Y}_{i}}$以上の関数を最小化目的関数として中心関数を求める数理計画問題を用いて新同定問題

2 を定式化する。
新同定問題 2First Phase (問題 1 と同じとする)それぞれのデータ点について、 上図で表されるような$a_{i}$を以下のように算出する。

Second Phase
目的関数 :$\frac{y_{i}-\mathrm{b}^{\wedge}(\mathrm{x}_{i})-l^{\wedge}\{\mathrm{x})\mathrm{i}\}}{\hat{l}(\mathrm{x}_{t})}$$‘ \min$$- \sum_{1i=}^{m}\alpha_{i}$for \^a$(\mathrm{x}_{i}\succ_{=}y_{f}$$a_{i}=\{$$\frac{\mathrm{f}\hat{a}(\mathrm{X}_{i})+\hat{r}\{\mathrm{x}_{i})\}_{-y_{l}}}{\hat{r}\{\mathrm{x}_{i})}$for$\hat{a}\{\mathrm{x}_{i})<y_{l}$194
この値の平均値を評価関数とし、 以下のようて得られるファジィ回帰モデルは、 与えられに表記する。

たデータの多くを、 そのモデルの端に追いやってしまうことがある。 このことは、
ル平均関数値$\alpha \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}$$\alpha$レベの値が 0.317.0.317 と$\overline{\alpha}\{\mathrm{x},y)=\frac{1}{m}\sum^{m}\alpha i\approx 1i$低い値になっていることからも分かる。
新型では関数$\alpha$の平均値が0.536 また、この値が 1 に近いほど、 同定モデルの表現0.570 といずれも高い値となっている。 これする中心関数がデータの性質を良く反映しては、 モデル同定法の最小化基準にそれぞれデいるといえる。

$-F$ 点の従属変数の値を取り入れているためであり、 中心を表す直線がデータのある方向5. 2

モデル評価関数 2へ近づいているためである。 このことから同定されたファジィ回帰モデルの中心値の持つ$v( \mathrm{x},y)=\frac{1}{m}\sum_{1\mathrm{j}}m=\{\overline{\alpha}(\mathrm{X},y)-\frac{e(\mathrm{x}_{i})-|y_{i}-a(\mathrm{x}_{i}\int}{e(\mathrm{x}_{i})}\}^{2}$

意味が、 従来型よりも強いということが分かる。

この関数 2 は$\alpha(\mathrm{x}_{i})$の値が、 どの程度の分7.

まとめ散を持っているかを表現する適合度関数であ

本稿において新たに提案したファジィ回帰る。 関数 1 の値が同じような値の場合は関数モデル同定問題には、 最小化目的関数に最小2 の値が低いモデルを適合度があると判断す二乗推定法の概念を導入した。 更に用いるフる。

ァジィ数を従来型の対称三角型ファジィ数から、 非対称三角型ファジィ数へと拡張した。

6. 数値実験

本丁定法によって、 同定されるモデルの中心関数は、 強い意味を持ち、 現実的で説得力次に数値実験に用いたデータと実験結果結果を示す。
なお、 従来の同定法は文献 [16] を参照。のあるファジィ数を予測することを可能にしている。

また、 データセットとモデルの適合度を明確にするために、 2 つのタイプの評価関数をデータセット A定義した。 これにより異なったタイプの同定法によって、 定められたモデル間の比較を可能にした。

実験結果

今後は、 具体的な事例研究による汎用性の確認をするとともに、 ファジィ数を左右非対称型から台形型、 また$\mathrm{L}\mathrm{R}$型ファジィ数とした場合における定式化の問題などの研究が考えられる。

従来型のモデル同定問題を解くことによっ$\blacksquare$

195
Central Tendency, 面 13 回ファジィシステ

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本論文に関するお問い合わせば、 以下までご連絡下さい。

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創価大学大学院工学研究科$\mathrm{p}\mathrm{p}.51\cdot 63(1991\rangle$$[12]\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{n}$Lee, Hideo Tanaka: Dealing withOutliners by Fuzzy Regression Reflecting

古川長太教授研究室所属 (D2) 田島博之

Email :htajima@t soka.

$\mathrm{a}\mathrm{c}$.jp