数理解析研究所講究録
1068 巻 1998 年 67-74

67

Determination of Optimal Repair-Cost Limit Replacement
Strategy by Lorenz Transform Method
Shunji OSAKI\dagger, NaotoTadashi\dagger Department of Industrial and Systems Engineering, Hiroshima University
4-1 Kagamiyama 1 Chome, Higashi-Hiroshima 739-8527. Japan.
of Economic Informatics. Hiroshima Shudo University,
1-1-1 Ozukahigashi. Asaminami-ku. Hiroshima 731-3195, Japan$\mathrm{K}\mathrm{A}\mathrm{I}\mathrm{O}^{+}+\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$$\mathrm{D}\mathrm{O}\mathrm{H}\mathrm{I}^{\uparrow}$$+\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}+$a repair-cost limit replacement )allcl develop a
Abstract: Ill this ) ) , weminimizes the expected costgraphical method to determine the optimal repair-cost linlitof the repair-cin the steadv-state.
tlle1 Lorenz
tlnit(all be))to anof the )Tlle 11letho)
data.
cost lilnit fronl$1^{\cdot}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\ln$$\mathrm{C}\mathrm{o}11_{\backslash }^{\zeta^{\backslash }},\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{C}^{\backslash }1^{\cdot}$

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$\mathrm{a}_{1}$$11^{\tau}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{A}$$\cdot$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot\ln$$\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{e}$$\mathrm{o}_{\mathrm{e}}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{t}_{1}\cdot \mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{t}\iota \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}$$1)\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{f}_{\mathrm{t}\ln(}\cdot \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11.$$(1\mathrm{p}\Gamma \mathrm{o}1)0,\mathrm{s}\mathrm{C}\mathrm{d}$$\mathrm{a}_{1^{)}1^{1\mathrm{i}\mathrm{e}(1}}$$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}_{11}1\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}_{1)}}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{C}\ln$$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}1_{\Gamma}\mathrm{e}_{\mathrm{I}}$$\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}-$$0_{\mathrm{I}}$$\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\langle \mathrm{a}11^{\cdot}(11)\mathrm{a}\mathrm{i}_{\Gamma-}\mathrm{e}\cdot \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}$$\mathrm{C}1111$

Keywords:

lilnitlllailltellant e lnod .

$1^{\cdot}(^{\backslash }1^{)}1\mathrm{a}(\mathrm{e}111(^{\backslash }11\mathrm{t}1)()1\mathrm{i}(\lambda\cdot.

$1^{\cdot}(^{1}1^{)\mathrm{a}\mathrm{i}1}-(()_{\mathrm{t}}\backslash \mathrm{t}$$1)\mathrm{d}\mathrm{l}\cdot \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}(\mathrm{e}\backslash \mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{i}_{111}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}11.$.

\mathrm{g}1^{\cdot}\mathrm{a}1^{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{r}})\mathrm{a}111\mathrm{l}\mathrm{c}\uparrow \mathrm{h}\mathrm{o}(1$$\mathrm{L}()\mathrm{r}\mathrm{e}11\text{ノ_{}}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}$“’$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot 111.11()11-$$(11$$\cdot$1. INTRODUCTIONofillof cost.
a
felllof a failed lllit is greaf tllall thecost. (
Tllat . if the) ())
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The 1

$(^{\backslash }1^{)\mathrm{a}\mathrm{i}\cdot \mathrm{t}}\mathrm{r}- \mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{b}1\mathrm{i}_{1}11\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{r}(^{\backslash }1)1\mathrm{a}((\backslash \ln(^{\tau}\mathrm{n}\mathrm{t}_{1})(1\mathrm{i}(\mathrm{i}\mathrm{c}\iota \mathrm{s}\mathrm{c}\cdot \mathrm{a}111)1^{\cdot}(\mathrm{Y}^{\prime \mathrm{i}}(1\mathrm{t}1$two”$.(,\backslash$$\iota 1\downarrow \mathrm{b}\mathrm{i}11\mathrm{b}^{X}$$\mathrm{q}$$111\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{t}(^{\backslash }11\mathrm{a}11((^{1}(1^{)}\mathrm{t}\mathrm{i}o11,\mathrm{s}$:how to ($\mathrm{i}‘ \mathrm{t};$$1^{\cdot}(^{\mathrm{J}}1)_{\dot{C}}1\mathrm{i}1^{\cdot}(\mathrm{o}\downarrow \mathrm{s}\mathrm{f}$$011(^{\backslash }.

$1^{\cdot}0\mathfrak{j}$$\mathrm{F}\mathrm{i}_{1}$$\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{i}‘ \mathrm{s}1$$1$$\mathrm{r}\mathrm{c}_{1}$$[1]\mathrm{a}11(1\mathrm{H}$$‘\backslash$$11’/.\mathrm{i}1$$‘ \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}^{\zeta}l’[2]$$\mathrm{a}1^{\cdot}111\backslash ’\backslash ’ \mathrm{c}$$\mathrm{t}11$$)\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{k}\backslash \backslash \partial \mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{H}(^{\mathrm{Y}}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}11\mathrm{g}‘ \mathrm{s}^{\backslash }[2]1)\mathrm{r}(1)\mathrm{o}$$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\cdot()\mathrm{e}111\mathrm{e}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{o}(1,\zeta$$()$$\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l},\mathrm{b}\uparrow \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}((!$$\mathrm{a}\iota \mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathit{0}\Gamma"’\backslash (1<)\backslash ’ \mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{l}$$1^{\backslash }‘ \mathrm{f}\mathrm{o}\Gamma 111\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\in \mathrm{Y}\mathrm{d}$$\mathrm{H}\mathrm{a}^{\sigma}‘’ \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}$$1$$1^{\cdot}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\backslash \backslash \mathrm{a}\mathrm{l}$$|$$\mathrm{t}1_{1}((11\mathrm{f}\mathrm{i}11\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{U}_{\backslash }‘,$$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{d}11$$1\mathrm{i}_{\mathrm{b}(\mathrm{O}}\iota 111\mathrm{t}\mathrm{e}(1(0^{\mathrm{t}}‘’ \mathrm{t}$$\mathrm{t}1_{1(}\backslash \backslash (^{\backslash 1_{1\mathrm{i}}}(1_{\mathrm{t}}\mathrm{Y}$$1^{\cdot}\mathrm{t}^{\tau}1^{)}1\dot{(}*(\mathrm{t}^{\backslash }111(\backslash 11\mathrm{f}1)\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}(\backslash ^{r}$$1\mathrm{a}$$111\mathrm{i}11\mathrm{i}_{11}1j$$\mathrm{O}11_{\iota}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}\cdot \mathrm{t}()(1$$\backslash \backslash \cdot 1\mathrm{l}\mathrm{i}(\mathrm{h}$$1$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{l}\cdot \mathrm{l}\mathrm{t}’$$1^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}\mathrm{t}\mathrm{C}^{\backslash }$$\cdot$$‘ \mathrm{c},,\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}$$\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\prime_{\sim}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}_{0}[4]\mathrm{e}\mathrm{x}_{\dot{C}}\mathrm{i}111\mathrm{i}\mathrm{n}(1\mathrm{c}1$$\mathrm{C}\mathrm{a}11\dot{C}$$1)1^{\cdot}\mathrm{o}\mathrm{I}\gamma 1\mathrm{e}111\mathrm{f}\mathrm{o}1\backslash \mathrm{t}^{\backslash }11\mathrm{i}(1_{\mathrm{t}}\mathrm{Y}1^{\cdot}(^{\backslash }1^{)}1_{1(}\dot{\mathrm{c}}\mathrm{t}^{\backslash }111(^{\backslash }11\mathrm{t}\mathrm{t}1^{(}.)\mathrm{i}1$$1^{\cdot}\xi^{\backslash }(1$$(1\mathrm{i}\backslash ’ \mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}_{1}\{1_{1}\mathrm{c}$’$\mathrm{h}\mathrm{i}1111^{1\mathrm{Y}})\langle|$$1\mathrm{i}_{\ln}\mathrm{i}\uparrow$$11\mathrm{t}\mathrm{i}_{11\mathrm{t}(\mathrm{b}}(^{\backslash }1^{\cdot}\mathrm{Y}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}1_{b}^{\iota}$$i|1\iota_{\mathrm{t}1}\mathrm{G}_{11}\mathrm{o}[()](^{\backslash }\mathrm{x}\mathrm{f}(\mathrm{r}11(1(^{\tau 1}(\mathrm{t}1_{1}\mathrm{t}^{\tau}\mathrm{r}(^{\backslash }1)_{\dot{\mathrm{c}}}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}\cdot- 1\mathrm{i}_{1}11\mathrm{i}\mathrm{t}c1\prime 1\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\nwarrow\cdot\wedge \mathrm{i}\mathrm{s}$$11^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}1)\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}$$(11\dot{\subset}111^{(}’ \mathrm{i}11^{(})\mathrm{f}1^{\cdot}(\langle\backslash \mathrm{t})\mathrm{f}\cdot 11101^{\cdot}\mathrm{t}\dot{(}\downarrow \mathrm{l}6rightarrow(\mathrm{i}(\mathrm{t}\cdot\dot{C}\iota \mathrm{h}\mathrm{t}1_{1(^{1}111}\mathrm{l}\mathrm{i}1\dot{(}\mathrm{t}_{\mathrm{b}}^{()}(^{\backslash }\mathrm{s}\mathrm{i}_{11\mathrm{t}}]_{1(}\backslash f_{1\dot{C}\{}111(^{\backslash \backslash }1^{\cdot}\mathrm{O}1^{\cdot}1_{\backslash }$$|_{\rangle\nwarrow}\cdot \mathrm{i}_{11(}\cdot 01^{\cdot}1)(1^{\cdot}\dot{r}\{\mathrm{t}\mathrm{i}11_{b}(’$$\mathrm{d}\backslash ’ 1\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}$$\mathrm{C}\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}1^{\cdot}\mathrm{t}^{\backslash }11\mathrm{t}$$\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{D}‘ \mathrm{q}\mathrm{a}l)$$\backslash (^{1}$$\mathrm{f}\mathrm{i}\cdot 0111\mathrm{t}1_{1^{\backslash }}‘\backslash \cdot \mathrm{i}\mathrm{t}^{1}\backslash 1^{\cdot}1)\mathrm{o}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{f}$$1\mathrm{i}\mathrm{f}(^{\mathrm{Y}}$

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) $1\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\cdot 1(\mathrm{l}‘ \mathrm{b}. \mathrm{E}_{\mathrm{b}}. \mathrm{I})\langle\backslash (\mathrm{i}\mathrm{a}11_{\lambda}V$$\mathrm{C}^{\cdot}\mathrm{O}11\mathrm{t}\Gamma \mathrm{i}\mathrm{l}$$1^{)\mathrm{r}(}1)_{\dot{\mathrm{C}}}1\})\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}_{1^{r}}111\mathrm{o}(1\mathrm{e}11\backslash$$111((1\xi\backslash 1_{\mathrm{b}\iota}\backslash \iota \mathrm{n}(1\mathrm{e}1^{\cdot}$$11(^{11_{1\mathrm{O}}\mathrm{u}1}"’ \mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}_{1})1\mathrm{a}(\mathrm{e}$$1^{\cdot}(11^{)}1\mathrm{a}(\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{n}1(\backslash 11\mathrm{t}1)\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}(\mathrm{i}\mathrm{e}‘ \mathrm{b}|)\backslash ^{r}"’ \mathrm{i}_{1}11\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}11.11\mathrm{i}\mathrm{l}1-\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{i}111\mathrm{I})\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}$$\mathrm{r}(^{\mathrm{Y}}1)\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}$$1)1^{\cdot}\mathrm{o}\mathrm{g}1^{\backslash }\mathrm{a}\mathrm{n}11\mathrm{n}\mathrm{i}1\mathrm{l}\mathrm{g}$$111\mathrm{i}11\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{i}\prime_{}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$$\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}‘ \mathrm{S}$$1^{\cdot}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}(\mathrm{e}\mathrm{m}e1\mathrm{l}\mathrm{f}$$(^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}$\mathrm{o}\mathrm{t}1_{1\mathrm{C}^{1}}\Gamma\backslash \mathrm{v}\mathrm{i}.\mathrm{s}\mathrm{t})$$1\mathrm{C}_{\iota}^{(\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{t}1_{1\mathrm{e}}\cdot \mathrm{l}\mathrm{e}},11\mathrm{r}\mathrm{e}(0\nwarrow^{r}\mathrm{e}^{1}1^{\cdot}1^{\cdot}11(\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i},\mathrm{s}\ln$$1^{\cdot}\mathrm{t}^{\mathrm{y}}1^{)\mathrm{a}\mathrm{i}\cdot 1}\mathrm{r}(\mathrm{i}11(1^{\cdot}\langle^{\mathrm{Y}}1)1\mathrm{a}((\backslash 111\mathrm{e}\backslash \mathrm{n}\mathrm{t}.$$\backslash _{-}\mathrm{I}(11^{\cdot}\mathrm{k}\mathrm{o})01^{\cdot}$.

$\mathrm{s}(^{\backslash }111\mathrm{i}-\backslash \wedge 1_{11}C^{\cdot}1\backslash ’(\rangle\backslash \cdot(1(\backslash (.\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{i}()11]^{)1\mathrm{t})\mathrm{t}}.\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{b}\mathrm{b}$As$\mathrm{f}\cdot 1111$($\mathrm{I}_{\lrcorner}\mathrm{o}\backslash (^{)}i111(1\mathrm{C}1 110[()]])\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}(^{)}$

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ill IIIOS($(\dot{\mathrm{c}}|\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{S}.

])()1\iota \mathrm{i}$.

$\mathrm{I}\backslash ’()\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}_{1}11\dot{\mathrm{c}}1\langle^{\backslash }$. Kaio il $11(1$.

$()_{\mathrm{h}_{(}1}\mathrm{k}\mathrm{i}$$|\mathrm{r}-\gamma \mathrm{L}^{l}$.

$\backslash 1()\mathrm{l}(^{)}1^{)1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{b}\{}1\backslash }.\backslash .

11_{1(^{\backslash }}\iota‘ 1[^{)}1^{1\mathrm{i}\backslash })((1|]_{1(}\backslash (_{()}|j11\mathrm{t}\mathrm{i}_{11}1(^{\backslash }()111\mathrm{t}^{\backslash }*((1^{\urcorner}.\mathrm{r}\cdot\iota’)$$\mathrm{t}]_{1\mathrm{O}\mathrm{b}}(\backslash (^{1}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}111)1(\rangle|_{)}1\mathrm{t}^{\backslash }111‘\urcorner \mathrm{i}1\mathfrak{l}\dot{\mathrm{r}}1\langle(\langle)1^{\cdot}(1_{\dot{\mathrm{c}}\mathrm{t}}11\mathrm{t}\langle^{\backslash }\backslash \backslash \cdot \mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}11(^{\mathrm{y}}\mathrm{b})1_{\dot{C}}1])1_{1\mathrm{i}}\mathrm{t}_{\dot{C}\{}1\mathrm{i}(1\mathrm{t}^{\backslash }\dot{\mathrm{r}}\mathfrak{i}|)\backslash 13_{\mathrm{t}}\backslash 1_{h}^{()}111_{\dot{C}}111[^{(}\mathrm{J}]$$\mathrm{t}^{1}1_{t)}^{\mathrm{t})}111\mathrm{d}11$$\bigwedge_{\dot{C}})1111)1\langle^{\tau}$.

$()1\mathrm{t}(^{\backslash }11_{\dot{C}}|\mathrm{h}\mathrm{b}\iota 1111\mathrm{t}\backslash (111_{111}(\mathrm{t}1_{1\mathrm{t}^{1}1(^{\backslash }}]^{)j\iota}\mathrm{i}\iota-(\mathrm{O}\mathrm{h}1(\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\mathrm{l})11(\mathrm{i}(11$$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{i}_{\mathrm{h}}\mathrm{t}(^{\backslash }()111\mathrm{s}\mathrm{t}()\mathrm{i})\mathrm{t}^{\backslash }1_{(\mathrm{I}\mathrm{t}}^{\cdot}$$1\mathrm{O}|)\mathrm{O}\mathrm{h}\mathrm{t}^{1}(111\mathrm{O}11-|)\dot{(}\iota 1_{(}1111\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}(^{\backslash }\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{i}_{11}1\dot{\mathrm{c}}\iota|(1*(\{\mathrm{t}]_{\mathrm{I}(^{\backslash }}\mathrm{t}|\rangle|\mathrm{i}\mathrm{l}\mathfrak{l}1’\}11^{\cdot}\mathrm{t}^{\backslash }|)\mathrm{c}|\mathrm{i}1^{\cdot}-\langle \mathrm{O}\mathrm{h}\mathrm{t}$$1_{1\mathrm{t})111}\{]_{1(^{\backslash }}(^{\mathrm{Y}}1111)\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}(_{\dot{\mathrm{c}}}.11(()\mathrm{b}1(1_{\dot{\mathrm{r}}1\mathrm{t}_{\mathrm{c}}1}$$\mathrm{i}(\mathrm{s}$il is$\mathrm{i}(\mathrm{i}\mathrm{l}1\backslash .$$]^{)1t1((}\cdot \mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}()1\mathrm{l}\mathrm{t}\backslash \iota\cdot \mathrm{h}11\dot{\mathrm{r}}\iota\lambda\cdot(\backslash ((\{1(^{\mathrm{Y}}\mathrm{t}(\backslash 111\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\backslash \iota 11(\}1^{\cdot}(^{1}1^{)_{\mathrm{c}}}\mathrm{t}\mathrm{i}1^{\cdot}-(\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\{\iota\iota 11(1(’ 1\mathrm{i}_{11((1}111)1(^{)(}(^{\backslash }$$\uparrow 11(^{\mathrm{Y}}\iota\cdot(^{\tau}1)_{C}\iota \mathrm{i}_{1}-($$\mathrm{I}\backslash _{\dot{C}}^{r_{1\mathrm{i}_{\mathrm{t}}}}$)$\mathrm{i}11\downarrow 1^{1}$$()\mathrm{f}\cdot(\mathrm{O}111^{\cdot}\mathrm{h}\mathrm{t}^{\backslash }$a$11(1\mathrm{I}\backslash ^{\tau}1(1\mathrm{f}\mathrm{b}.|\dot{\mathrm{o}}[1()]$)$\backslash \backslash \mathrm{i}\mathrm{t}1_{1\mathrm{t}}111\mathrm{k}_{1}1\langle$.

$\mathrm{I}\mathrm{i}\cdot \mathrm{t}11$((1)$\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}11$]$1\nwarrow 111^{\cdot}\mathrm{t}\mathrm{Y}1)\mathrm{d}\mathrm{i}1^{\cdot}-(\mathrm{t}).\wedge 1(1\mathrm{i}_{\mathrm{b}\{}1^{\cdot}\mathrm{i}$ill$1^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}1)_{\dot{\subset}}\iota \mathrm{i}\mathrm{l}\cdot- \mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{t}$$1\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}$$\rangle$$(11(^{\backslash }11(\backslash (^{\mathrm{Y}}\mathrm{t}111\mathrm{o}\mathrm{t}\backslash \mathrm{s}1)(^{\backslash }(\mathrm{i}\mathrm{f}\backslash ’ \mathrm{t}1_{1(^{\backslash }}1^{\cdot}(\backslash 1)\mathrm{a}\mathrm{i}_{1-(}\mathrm{o}‘ \mathrm{s}\mathfrak{s}(1\mathrm{i}\downarrow(,\mathrm{t}1^{\cdot}\mathrm{i}1)\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}11$.

lilllit$11_{\dot{C}}\{\mathrm{b}$(1 will$\mathrm{t}\mathrm{l}1(^{\mathrm{Y}}\mathrm{i}1^{\cdot}111(^{\backslash }\mathrm{f}1_{1}0$

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$(^{\backslash }(^{\backslash }\mathrm{b}\uparrow \mathrm{i}_{111\dot{\mathrm{r}}\}}\mathrm{r}(\backslash (\iota \mathrm{f}_{1(1}11\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{1}1^{\backslash }$$(^{\mathrm{Y}}\iota 1.\mathrm{s}(^{1}\mathrm{f}_{1}11\mathrm{i}111^{)}1^{\cdot}\dot{\mathrm{c}}1\langle \mathfrak{s}\mathrm{i}((^{\backslash }.$billt$(^{\backslash }$.

ill [7. 8],. The lllaill objective ill [7. 8]
butverv intere(
repair is notaction. ?. . if
to derive the optinial-limit to retire the, the failed unit is scrapped and thell a new spare is ordered. Such a policy
within a cost$\mathrm{H}\mathrm{o}\backslash \backslash 7(^{1}\backslash ’(\tau 1^{\cdot}$. it ,$\mathrm{b}11\mathrm{O}111(11)(^{\mathrm{Y}}110\{\mathrm{C}^{\backslash }\mathrm{C}1$$‘ \mathrm{c},\mathrm{t}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}$“’loln(\\vhat$\mathrm{o}_{\backslash }\mathrm{s}\mathrm{t}$$1\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}$that$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$}$\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}(^{\backslash }1)_{\dot{C}}1\mathrm{i}_{1}\cdot-\mathrm{t}\mathrm{o}‘ \mathrm{s}\mathrm{f}$lilllit$1^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}1)1\mathrm{a}((\backslash 111(^{\mathrm{Y}}11\mathrm{f}1)1^{\cdot}(\iota)1(^{\backslash }111‘ \mathrm{h}$$1^{\cdot}\mathrm{C}11\mathrm{t}\mathrm{f}_{\Gamma \mathrm{O}11}1\mathrm{c}^{\mathrm{Y}}\mathrm{x}\mathrm{i}‘ \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}(11\mathrm{t}^{\backslash },\mathrm{C},$$\backslash \backslash \cdot \mathrm{a}\}‘$$\mathrm{t}11\mathrm{C}$$\mathrm{r}\mathrm{e}_{1)\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}$$\backslash \backslash (^{1}1\epsilon\backslash$$\mathrm{e}$$\mathrm{c}\cdot 0111\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{C}^{1}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}$68seems to be plausible in many practical situations, but should be distinguished from the original
repair-cost limit problem. In this paper, we consider a repair-cost limit replacement problem
in the framework of renewal reward processes and propose an estimation method based on theLorenz curve. Notice that the basic idea in this paper is similar to the graphical one used in$[7, 8]$ but the statistical device employed here is different from the TTT statistics. The Lorenz
curve was introduced first by Lorenz [11] into Economics to describe income distributions. Since
the Lorenz curve is essentially equivalent to the Pareto curve used in the quality control, it will
statistics in every social sciences.
be one of the mostThe rnore general and tractable definition of the Lorenz curve was made by Gastwirth [12].
Goldie [13] proved the strong consistency of the empirical Lorenz curve and discovered its several convergence properties. Chandra and Singpurwalla [14] and Klekj\"o [15] investigated the$\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{p}_{0}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$relationship between the TTT statistics alld the Lorenz statistics and derived a few
and
, the
results on two statistics werepartial ordering properties.
.
that-Castro [17]. It is
Pham and Turkkan [16] and Perez-Ocon. Gamiz-Perez and-cost lilnit derived in this paper lla‘b also several )the estimator of the )above.
properties provcd in earlier
Ill Section 2.
describe-cost lilllit
The paper isasdevelop a graplli(to (theproblem under consideration. In Section 3( ,)per tlllit
thein the :,teadv-state.
)
Thcll, it , seen that the Lorenz
anrole to deriveon( . Weis clis(.
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of
$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}$$\mathrm{f}\mathrm{u}\Gamma \mathrm{t}1_{1\mathrm{e}\Gamma}$$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}1\backslash ’$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{b}\backslash ^{r}$$‘ \mathrm{s}1_{1\mathrm{O}\dagger}\backslash ’ \mathrm{n}$$\mathrm{R}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}7_{\wedge}$$0\backslash \backslash 7\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}$$0_{1}$$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}11^{\cdot}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$$1$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\mathrm{b}\iota \mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}$$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\backslash \backslash ’ \mathrm{L}‘,.$$\mathrm{t}1_{1^{1}1\mathrm{e}\mathrm{p}}‘\cdot \mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}$$\backslash \backslash \cdot \mathrm{e}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}7,\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{l}$$\mathrm{r}(^{\backslash }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}((^{\backslash }111\mathrm{C}^{1}\mathrm{n}\mathrm{f}$$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{C}^{\mathrm{Y}\uparrow 1}1(\mathrm{d}$$\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}$$\backslash \backslash \mathrm{t}^{1}$$\mathrm{t}\mathrm{i}_{111(^{1}}$$\mathrm{e}\mathrm{t}\cdot \mathrm{f}\mathrm{e}^{\mathrm{Y}}\mathrm{e}1(\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}$$\mathrm{o}\iota)\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}1^{\cdot}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}-(\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{i}_{111}\mathrm{i}\mathrm{t}\backslash \backslash \cdot \mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{c}1_{1}1\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{i}\text{ノ}$$\mathrm{b}$$\mathrm{e}\mathrm{x}_{1}$$\mathrm{i}:$$\mathrm{i}_{111}1$$\mathrm{c}\iota 11^{\cdot}\mathrm{v}\mathrm{e}1^{)}1\mathrm{a}\nwarrow‘ \mathrm{b}$$\mathrm{I}_{11}\mathrm{s}\zeta^{\backslash }(\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}114$$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{e}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}11\mathrm{t}$$\mathrm{t}11(^{)}\mathrm{o}_{\mathrm{I})}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}1,\mathrm{s}\mathrm{o}1_{1\iota \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}}11$$\mathrm{e}"’\uparrow \mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}(\mathrm{n}_{1)\mathrm{r}}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{C}\ln$$1\mathrm{l}.\mathrm{q}\backslash ‘,(^{\mathrm{Y}}$$1$$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{a}\uparrow \mathrm{e}‘\zeta$$\mathrm{s}\mathrm{l}_{\mathrm{l}\mathrm{O}\backslash \backslash },$$\uparrow \mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$)$\mathrm{L}^{\backslash }‘,\mathrm{t}1^{\cdot}01(’(11\mathfrak{b}\mathrm{b}\mathrm{i}_{\mathrm{b}}\mathrm{A}\mathfrak{s}\in)11(\backslash ’ \mathrm{a}11(1\mathrm{t}^{\mathrm{t}}\mathrm{x}\mathrm{a}111\mathrm{i}_{11\mathrm{C}}$$\mathrm{t}11(^{1}\mathrm{O}1^{)}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}1_{\Gamma}\mathrm{e}1)\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}-(0.\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}$$(\mathrm{O}11)^{r}\mathrm{e}\backslash 1^{\cdot}\mathrm{g}(^{\backslash }11\langle(\mathrm{Y}1^{)}1^{\cdot}\langle)1^{)\mathrm{c}1\uparrow}1\backslash$

2. MODEL DESCRIPTION)-llllit.
Consider aa lead tilllc $L(>())\mathrm{a}11$ ( each failed llnit is 1
for eacll llllit istoandlnakGr\\ ishe“’ to
he or

(

$\backslash \backslash ^{\mathrm{v}}11\mathrm{c}1^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}$$1_{\mathrm{C};},.\backslash ‘\zeta,\mathrm{t}(^{\mathrm{Y}}111$$1^{\cdot}\mathrm{c}_{1^{)\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\dagger}}$$‘ \mathrm{s}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}$

$1$

$()$

$\mathrm{t}1_{1\mathrm{C}\mathrm{l}}\mathrm{n}(\backslash \mathrm{a}11\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{e}}$$t^{\mathrm{Y}}1^{)}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\dot{\mathrm{c}}11$$\mathrm{f}\dot{\mathrm{c}}\mathfrak{i}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\cdot \mathrm{e}$$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\Gamma 111\mathrm{i}11\mathrm{e}\backslash \backslash \cdot 1_{1}‘ 1\uparrow 1_{1\mathrm{t})}1$$\cdot$$\downarrow \mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}\backslash$

“’

(
)
that
nlakerat thethe repair is started
the repair cost does not exceed . On tllcl
cost limit
thell
repair cost exceeds
spare unit is ordered. Tllen the spare tlllit is)of generality. it isthat the llllif $011$ (.
required for replacement is. cost for each unit is all
Tlle(eli‘s )
has a
tllat
ill $1’\in[()$ . )slrictlv illt 1 (lllotl(Yl
)
(
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$\mathrm{e}$“’tilllat($\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathfrak{i}},$$\mathrm{t}1_{1(^{\mathrm{Y}}}\mathrm{r}\mathrm{e}_{\mathrm{I}}$$‘ \mathrm{b}$$\mathfrak{c}\cdot 0111\mathrm{P}\mathrm{l}\mathrm{t})\uparrow()$. The$\mathrm{C}1l_{]}(>())$.

a$\backslash 1^{7}11(\backslash 11\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}(\backslash 11\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}11_{\dot{C}})‘ \mathrm{b}$it (1$1^{)1(^{\backslash }}\mathrm{s}1$)a$01(1\langle^{)}1^{\cdot}$$\mathrm{o}\mathrm{t}1_{1\xi^{\backslash }}1$$\mathrm{t}1_{1}\dot{\mathrm{c}}^{1}$$\mathrm{t}1_{1\mathrm{C}}$)$\mathrm{v}_{0}.$$\mathrm{e}\mathrm{c}1$at$\mathrm{t}\mathrm{i}_{111}\mathrm{e}$)$\mathrm{t}1_{1)}‘(1^{\mathrm{Y}}‘(\mathrm{i}(‘’ \mathrm{i}\mathrm{o}11$$\mathrm{t}1_{1\mathrm{f}}\backslash (1(^{\supset}\mathrm{t}\mathrm{i}.\backslash \mathrm{i}\mathrm{o}11$$(^{\backslash }\mathrm{e}\cdot \mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}(\backslash (1((;,\uparrow 1\mathrm{i}_{111}\mathrm{i}\uparrow 1’()\in[()$. $x$ ).

$/’\prime_{\mathrm{s}}(> ())$$\mathrm{t}1_{1(^{\backslash }1}1$$\backslash \backslash \cdot 11\langle^{\mathrm{Y}}11$

tllat
allcl a$\mathrm{i}\backslash \mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{k}\mathrm{C}\Gamma \mathrm{c}\mathrm{q}\uparrow \mathrm{i}_{11}1\mathrm{a}\mathrm{t}()\mathrm{s}$$\backslash C1$$1\mathrm{i}_{\mathrm{i}}\dot{C}\mathrm{t}(^{\backslash }1\backslash \cdot$$\mathrm{s}\mathrm{c}\cdot 1^{\cdot}\mathrm{a}_{1)}1$$11^{\mathrm{Y}}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}011\mathrm{t}$$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\backslash ’ \mathrm{c}^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}(^{)}(1$) $\mathrm{s}\iota 11\iota \mathrm{l}\mathrm{e})(1\mathrm{a}\downarrow‘$$()\mathrm{r}\mathrm{c}_{1)\mathrm{a}}\mathrm{i}\Gamma \mathrm{e}(1$$\mathrm{a}_{\}}\zeta$$\backslash 1^{\cdot}\subset \mathrm{i}\uparrow \mathrm{i}1$

failed.
. If

Tlle
tillle isllalld. if the de()ed illllne((
tllit isafter the lead tillle L.
, good asis$\mathrm{f}\dot{\mathrm{e}}*\mathrm{i}\mathrm{l}$($11(^{\backslash \backslash \backslash }.\mathrm{s}1)\mathrm{a}1^{\cdot}(^{\backslash }$$\mathrm{n}1(^{\mathrm{Y}}\mathrm{a}11\mathrm{r}()1)\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}\cdot$$\iota_{()}’$

after$1^{\cdot}\mathrm{O}\backslash \cdot \mathrm{i}(1(\backslash \mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}111\lambda\cdot|)\}\mathrm{c}‘ 11101^{\cdot}(1\mathrm{t}^{1}1^{\cdot}$$1$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}_{11\mathrm{i}}\dot{\mathfrak{c}}1111\mathrm{i}\mathrm{t}|_{)\mathrm{t}}\backslash \mathrm{g}\mathrm{i}11\mathrm{b}\mathrm{O}1^{)}$$1\mathrm{l}\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}(\iota 1^{\cdot}\mathrm{e}^{\mathrm{Y}}\mathrm{I})\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$$1\backslash \mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{i}11$

is )$\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\cdot \mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}(!.$$\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{n}111}(1(1\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{C}^{1}1_{\lambda}\tau$) $:,\iota\ln$)$\mathrm{a}(\mathrm{h}_{\mathrm{b}}‘ 1)\mathrm{a}\Gamma \mathrm{e}$$1\mathrm{e}$$11\mathrm{t}^{\backslash }\backslash \backslash \cdot \mathrm{a}11(1$$\iota)\mathrm{r}‘$$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{e}$$11(\}\}\backslash$alll’ loss
tllaf tlle$\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{e}$$\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathfrak{j}_{)}1\mathrm{C}$$.91lJj(^{\prime cti_{1}|_{)\mathrm{a}}\dagger \mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}})e\mathrm{I}^{)}\mathrm{r}\mathrm{o})\mathrm{t}\lambda^{\Gamma}$$\mathrm{f}\mathrm{i}_{11}\mathrm{i}\mathrm{t}_{\mathrm{f}^{\backslash }}111(^{1}\mathrm{a}11;|\},,, (> ()).

$\mathrm{a}11\langle 1$$\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}|$$1\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}(11\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}$$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}H(l’)011$$\dot{(}1\mathrm{b}\mathrm{i}_{11}\mathrm{b}’$$\mathrm{x}$$\mathrm{t}1(^{\backslash }\mathrm{f}\mathrm{i}_{1}1()\iota 11$$0111\uparrow]_{1\mathrm{t}}i\mathrm{s}l\dot{\mathrm{r}}11^{\cdot}\mathrm{f}$$\mathrm{i}_{11\uparrow \mathrm{t}^{\backslash }1}\cdot\lambda\cdot\dot{\mathrm{r}}11$$()11(^{\backslash }\langle\backslash \cdot(]_{(^{\backslash }}$$1^{\sim}\neg \mathrm{i}_{\mathrm{b}^{11})},1^{\cdot}(\rfloor([_{(^{\backslash }}1)\mathrm{i}\langle.\uparrow \mathrm{s}|1_{1\mathrm{t}^{\backslash }}(.()1\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{i}("’ 111^{\cdot}\dot{\mathrm{c}}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{i}()1\downarrow of$$.()11\mathrm{s}\mathrm{i}(1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}\langle\backslash (1\mathrm{i}_{11}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{i}_{\mathrm{b}}1^{)}\dot{\mathrm{c}}1]^{)}(^{\backslash }1^{\cdot}\dot{\mathrm{c}}11\mathrm{t}\backslash \mathfrak{s}]1(^{\tau}\mathrm{f}\mathrm{t})1]\mathrm{t}.)\mathrm{t}\lambda\cdot \mathrm{i}_{1}1^{\mathrm{t}}.)$$\langle$$\mathrm{x}_{f}.(>())$: a($.()\mathrm{s}\mathrm{t}1^{)\langle^{\backslash }1}$llllit$:11()1\mathrm{t}_{i}1_{6}(’\langle^{\backslash }|\mathrm{i}_{111(}\backslash$.

$(>()):\mathrm{c}1(()\mathrm{h}1t.()1’ \mathrm{t}_{(}^{i}1(11()1(1\mathrm{t}^{1}1$:$1\backslash ^{\mathrm{v}}(^{\backslash }111(1\mathrm{k}()\mathrm{t}]_{1(}\backslash \mathrm{f}(110\backslash T^{\cdot}\mathrm{i}_{11)\langle}‘’\dot{C}1\Leftrightarrow(1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}_{0}11\dot{\prime}\mathrm{I}1\dot{C}1\mathrm{b}\mathrm{b}111111^{)\mathfrak{s}\mathrm{i}}\mathrm{O}11\wedge$

(A-1)
(A-2)

$\prime\prime\prime_{\mathrm{b}}>L$$j_{\backslash }\cdot j$.

”’ $\mathrm{s}<h_{j}.L+C^{\cdot}$ .

of

cost.
is

$\mathrm{i}1^{\cdot}$( $\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11H((’)$$.\dot{\mathrm{c}}111(111\dot{C}\iota \mathrm{s}\dot{\mathrm{c}}111\mathrm{i}11\backslash (^{\backslash }1^{\cdot}\wedge \mathrm{t}^{\tau}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}(\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$$\uparrow \mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{b}$.

$1111\mathrm{k}_{1}1\mathrm{O}1\backslash 11$$\mathrm{r}(^{\mathrm{Y}}1)j$$\mathrm{t}11\mathrm{C}(1\mathrm{i}_{\mathrm{b}\uparrow_{1}}‘\cdot \mathrm{i}|)11\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{f}\iota_{\mathrm{J}_{-}1}1$\mathrm{S}11\mathrm{I})1^{)(}‘,()$$\dot{(}|\mathrm{s}^{\mathrm{t}},\iota 1111$

$($

alltl
)
the

$\mathrm{i}.\mathrm{i}.(1.1^{\cdot}\mathrm{a}11(101111^{\tau}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\dot{\mathrm{C}}\iota}\iota)1(^{\backslash }$$1^{\cdot}\mathrm{e}\mathrm{P}^{\mathrm{a}}\mathrm{i}_{1}$.

$/.(^{}$.

.

$\mathrm{T}11()(1(^{\mathrm{Y}}\langle \mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{i}(11111\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}$$\backslash \backslash \cdot \mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}1(^{\backslash }11\downarrow \mathrm{b}\mathrm{i}\uparrow \mathrm{t}rll(()\mathrm{a}11(1$$\dot{\subset}11^{\cdot}\mathfrak{l})\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\cdot \mathrm{a}\mathrm{l}\cdot$$H^{-1}(\cdot)$)’.

.

$(\langle)11\uparrow \mathrm{i}_{1}11\iota \mathrm{O}11\mathrm{s}$$l\cdot 11(1\langle^{\backslash }1^{\cdot}\mathrm{t}11(^{\backslash }\mathrm{t},1^{\backslash }$$\cdot$)$\mathrm{t}1_{1\langle}\backslash (1)1^{\backslash }1^{\cdot}i1\iota \mathrm{i}_{011}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}11\langle^{\backslash }\mathrm{f}_{\mathrm{t})}1]_{(\backslash \backslash }\cdot \mathrm{i}_{1}1\mathrm{k}$$\mathrm{t}1_{1\langle}\backslash 111()(1\mathrm{t}^{\backslash }1|111(\iota_{11}\backslash (()11\backslash \mathrm{i}(1(\backslash 1^{\cdot}\dot{C}\iota \mathrm{t}\mathrm{i}\langle)11$.

$\mathrm{s}\mathrm{t}(\mathrm{t}\mathrm{l}\cdot \mathrm{t}$$\cdot 1]_{1(}\backslash (()\mathrm{b}|\mathrm{s}$

69

–
I

$\mathrm{O}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}()\Pi\uparrow$,$\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{I}\iota \mathrm{l}\mathrm{c}$Pailure&Fstimation ot

Figure 1:${\rm Re}_{\mathrm{P}^{\mathrm{d}\mathrm{i}1}}$

Cosl

of Iodel 1.
$\backslash _{\mathrm{A}}$$\mathrm{C}_{011}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$

tilne ? is strictly longer
lead fillle.
when the repair cost does not exceed
is less than((
( . It) tionslql)al e)theto (lilllit.
}(
Let us. If the decision lllakcl judgesabe ordcred. tllen
tlllitcost for one cvcle is.
$1-H(\cdot)$ .
case.
expected shortage cost for one cvcle is.
other halld.
)iftheoption. the expe(or she sele
repair cost for one cvcle is
and
)
the
. Thus the total;,llortage (for olle cvcle iscost for one(
is$\mathrm{T}1_{1(^{\backslash }\mathrm{a}}\mathrm{S};,111111^{\mathrm{J}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$

Ill the(A-1)(A-2).

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}1)1\mathrm{i}(_{\backslash }^{\mathrm{Y}}‘,1$$\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}1\iota 1111^{\mathrm{J}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$

that the$‘ \mathrm{s}\mathrm{t}\backslash \backslash \cdot 1_{1\mathrm{e}1}1\mathrm{f}11(^{)}11\langle \mathrm{Y}\backslash \mathrm{v}$$\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}_{\dot{\subset}}\mathfrak{j}1$$\uparrow 1_{1\mathrm{a}1}1\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}$$111\mathrm{e}\mathrm{a}111^{\cdot}\mathrm{c}_{1^{)}\mathrm{s}}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$$\gamma|$$\mathrm{t}11(^{\backslash }\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\langle 0^{\mathrm{c}}.;\mathrm{t}$$\cdot$$\mathrm{i};,$$1_{0}$$1$$\mathrm{O}1(1_{\mathrm{C}})1^{\cdot}\mathrm{e}$$1110\uparrow \mathrm{i}\backslash ^{r}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}$$\mathrm{i}_{\mathrm{b}11(}‘\uparrow \mathrm{i}\mathrm{e}\cdot \mathrm{C}C1\uparrow 11\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}1_{1\mathrm{c}^{\backslash }}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{S};,111111$$|$$\mathrm{u}11\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{C}11\backslash 11^{\cdot}\mathrm{i}_{1}1^{)1(}\})1()111$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot \mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}11(10_{1})\mathrm{f}\mathrm{i}111\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{c}1^{)}\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}- \mathrm{c}\cdot \mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{t}$$|\mathrm{b}1_{1011}1(1$$\mathrm{c}\cdot\overline{H}(\mathit{1}_{0}’)$$\mathrm{t}11(^{1}\mathrm{O}\mathrm{l}\cdot(\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{l}$$\mathrm{t}11\mathrm{C}$$\mathrm{I}_{11}\mathrm{f}1_{1\mathrm{i}},\backslash$$11\mathrm{C}$$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{a}\mathrm{t}$$\backslash ’ \mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\backslash$$\mathrm{f}_{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}}\mathrm{n}111\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}(^{1}\mathrm{x}_{1^{)(^{1}}}\mathrm{e}\cdot\uparrow_{\mathrm{C}}(1\langle\langle)_{|\mathrm{b}\uparrow}\mathrm{c}1_{11}1^{\cdot}\mathrm{i}1\mathrm{o}11($$11\mathrm{e}\backslash \backslash l\mathrm{b}1^{)}\mathrm{a}\mathrm{r}(^{1}$$\mathrm{O}_{11}\uparrow 1_{1(^{\tau}}$$k/L\overline{H}(\mathrm{t}’ 0)$$\mathrm{t}(^{\mathrm{Y}}(1$$\mathrm{a}\mathrm{i}\Gamma$$c\mathrm{t}\mathrm{s}$$/0^{\iota_{0}}’\iota’ dH(\iota’)$$\mathrm{r}\mathrm{e}^{\mathrm{y}}1$$\mathrm{e}(:\mathrm{t}\mathrm{e}(1$$k_{f’}{}_{\mathrm{s}}H(\{’ 0)$$\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}$$\exp(^{\mathrm{Y}}(\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}$$\backslash \backslash \cdot \mathrm{h}_{\mathrm{C}}\mathrm{r}\mathrm{e}\overline{H}(\cdot)=$$\mathrm{e}\mathrm{x}_{1}$$..\backslash ^{r}(.1\mathrm{e}$.

(1)$E_{(j},(\mathrm{t}_{0}’)=/()\{’ 01’ dH(\mathrm{t}’)+h_{f}\{m{}_{\mathrm{s}}H((\mathrm{t}))+L\overline{H}(\iota_{0}’)\}+\zeta’\overline{H}(\mathrm{t}’ 0)$Also.

$\mathrm{t}1_{1(^{\backslash }11}1\mathrm{C}\dot{C}\mathrm{t}11\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}()$ofis$)11\mathrm{t}^{1}(\backslash \langle 1(^{\mathrm{Y}}$$\langle$(2)$\mathit{1}_{arrow\prime}^{arrow}\neg(_{l_{1)}\mathrm{I}}’=\prime\prime l/+\prime\prime\prime_{\mathrm{b}}H(l’())+L\overline{H}(l’()\mathrm{I}\cdot$

It$111\dot{\mathrm{c}}1\lambda^{-}\mathrm{I}$)$\langle^{\backslash _{\dot{\mathrm{c}}}}\iota 1$)$1^{)1}(1^{)}1^{\cdot}\mathrm{i}(\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}^{1}$$])1\dot{\mathrm{c}}\iota 1111\mathrm{i}11_{\sim^{1_{1\{)}}}^{(}\}1^{\cdot}\mathrm{i}/\mathrm{t})11$

.

to
( ot
(

$\mathrm{T}1_{1(}\backslash$($|(\iota_{0}1)(\dot{\mathrm{r}}111\langle^{)}\mathrm{X}])(^{\backslash }$$\mathrm{c}11(^{)}\mathrm{x}_{1^{)(\mathrm{t}}}1$

(

ed

$1$

ed

$\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{b}\{1$$\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{b}\uparrow 1$)$(^{\backslash }1^{\cdot}$) $(^{1}1$llllitllllit-stat )
-state is. fi )$|\mathrm{i}_{11}1\langle^{\backslash }\mathrm{i}_{11\mathrm{f}}11‘\backslash _{\mathrm{b}\iota_{\mathrm{t}}\cdot(1}\backslash$( $\iota\backslash \cdot$$\mathrm{t}\mathrm{i}111\mathrm{t}\backslash \mathrm{i}_{1}11$]$1(1\wedge(\mathrm{t}^{\backslash }\dot{\mathrm{c}}1$.

.

$1^{\cdot}\mathrm{t}^{\backslash }\backslash \backslash \cdot i11^{\cdot}(\iota\dot{r}11_{\wedge}‘)111\}1(\backslash 11\uparrow[18]$($\iota\lambda\cdot$$111111(^{\backslash }1(^{)}1\downarrow \mathrm{t}^{\backslash }\backslash \backslash \dot{\mathrm{c}}11$$\{$$\prime I^{\cdot}C’(\prime_{\mathrm{t})}.)=’arrow \mathrm{x}1\mathrm{i}_{111}\frac{\mathrm{L}[\uparrow 11\langle^{\backslash }\mathrm{t}()\mathrm{t}\dot{C}11\mathrm{t}()\mathrm{b}1()11(\mathrm{t}).t]]}{f}.=\mathrm{A}_{(}^{\neg},(l_{(}’))/E/(l_{(}’))$$\mathrm{T}11.\langle^{1}11\mathrm{f}11(\mathrm{Y}1)1(\mathrm{I})1$($\backslash 111$

is to$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{t}\{^{\backslash }1^{\cdot}111\mathrm{i}11\langle\tau\uparrow 1_{1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}\mathrm{o}_{1)}}\mathrm{t}\mathrm{i}111\dot{\mathrm{c}}11_{1\mathrm{t}^{\backslash }}1$

$TC(\mathrm{t}_{0}^{*}.)=$)

lllill$0\leq\iota)0<\infty$$\dot{C})\mathrm{i}_{1}$.-cost$TC(_{1’}0)$$1\mathrm{i}_{111}\mathrm{i}\mathrm{t}l’\{$.

)$\wedge.\mathrm{s}\mathrm{t}1(11$$\backslash \mathrm{t}^{\backslash }1^{\cdot}\dot{(}111\mathrm{i}11\mathrm{f}\mathrm{i}11\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}^{\backslash }$$\mathrm{t}^{\mathfrak{l}}\langle$.

$(.\cdot \mathrm{J})$

as
(4)

70
3. GRAPHICAL METHOD
directly, we here employ the following
with respect to
In stead of differentiatingbygraphical method. Define the Lorenz transform of the repair-cost distribution$TC(\mathrm{v}_{0})$$\mathrm{v}_{0}$$p\equiv H(\mathrm{v})$$\phi(p)=\frac{1}{m_{m}}\int_{0}^{p}H-1(\mathrm{v})dv$,$(0\leq p\leq 1)$.

(5)

Then the curve $\mathcal{L}=(p, \phi(p))\in[0,1]\cross[0,1]$ is called the Lorenz curve [12-17]. It should be noted. From simple algebraicthat the curve is absolutely continuous from the continuity ofmanipulations, we have$H(\mathrm{v})$$\mathcal{L}$

THEOREM 3.1: Suppose that the assumption (A-1) holds. The
is equivalent to$1\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{I}1}\mathrm{i}r\lrcorner \mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}111$)

in$\Gamma \mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}$$\mathrm{E}\mathrm{q}.(4)$$0^{111\mathrm{i}\mathrm{n}} \leq p\leq 1:\mathit{1}\uparrow I(p.\phi(p))\equiv\frac{\phi(p)+\xi}{p+\eta}$

.

(6)

where
$\xi=.,\frac{\subset|rl\mathrm{b}-\{k_{f}(r|l_{\backslash }-L)-(\}\gamma||\int}{||_{||}(m_{\mathrm{s}}-L)},\cdot$$\uparrow\int=\frac{r1\prime_{f}+L}{\prime\prime\prime-\backslash L}$

The )

is

$1^{\cdot}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{f}$$1$$01\iota \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\uparrow \mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{l}$for brevitv.
the tallg(\llf,slol$\mathrm{c}_{011\mathrm{s}}‘()(1^{1}1(111\mathrm{f}1.\backslash \cdot$.

.

$(\overline{(})$

(8)

.

is
-cost
. $-\zeta)\in(-\infty.())\cross(-\infty. ())$“,
(A-2).
-cost lilllit.

‘to$\mathrm{t}11\mathrm{C}\mathrm{e}\cdot \mathrm{u}1^{\cdot}1^{r}\mathrm{C}\mathcal{L}$$\mathrm{s}\backslash \mathrm{I}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot \mathrm{e}1)\mathrm{r}$(ill. we )$\mathrm{t}1_{1\mathrm{e}_{1})}1\mathrm{a}11\mathrm{e}(x, y)\in(-\infty$$\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{t}.,\mathrm{e}1\backslash r$$1$$\mathrm{r}\mathrm{o}\backslash ’\langle 1$)
THEOREM 3.2:
solutionthe -coordinate at the$\mathrm{S}\iota 11$$\mathrm{U}11\mathrm{i}\mathrm{c}_{1}\iota 1\mathrm{e}\mathrm{o}_{1^{)}}\{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}1$$x$

PROOF:$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\ln$$\backslash \mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}1^{\cdot}(^{1}‘ \mathrm{s}1)\mathrm{C}^{\mathrm{Y}}\mathrm{c}\cdot \mathrm{t}$tothe ulli(that$\mathrm{p}_{0}\mathrm{s}\mathrm{G}$$1^{1}1(\mathrm{Y}11(^{\mathrm{Y}}$. $+\infty)\cross(-\infty$ .

“’of$.\mathrm{s}$$+\infty)n11(1\mathrm{e}1^{\cdot}\mathrm{f}11(^{\mathrm{r}}\dot{\mathrm{c}}\mathrm{t}‘ \mathrm{s}$$\mathrm{t}\mathrm{I}1(^{\backslash }(1)\mathrm{f}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}1_{\Gamma}(^{1}1)\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}\cdot$

a:,sullllJtioll‘b (A-1)$\mathrm{t}1_{1(}1$$1\mathrm{i}_{111}\mathrm{i}\uparrow$$\mathrm{t}11\langle^{1}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}(^{1}1)\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}$(A-2) 11o1( .

$\mathrm{a}11(1$$1$.

$p^{*}=H(\iota^{1^{*}}0)(0<1_{0}^{*}’<\infty)1\mathrm{n}\mathrm{i}11\mathrm{i}_{1}11\mathrm{i}\gamma_{\mathrm{c}}\mathrm{i}_{1}\wedge \mathrm{t}I(\mathit{1}^{y.\varphi’}(p))$$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}_{11}\mathrm{t}$ofcollta(for the curve$\mathrm{t}$(A-1) and (A-2). it can be
setting it equal to zero$\mathcal{L}\mathrm{f}\mathrm{i}\cdot 0111$$‘ \mathrm{q}(^{1}(111\mathrm{t}1_{1\mathrm{a}}\mathrm{t}\xi>0$$p\mathrm{a}11(1$the.

$\Gamma_{1}^{4}\mathrm{t}1^{\cdot}\mathrm{f}$]$1(\backslash 1^{\cdot}$

.

$1$

)(

and $r/>()$ .

$\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}$$\iota 11\mathrm{u}_{1^{)}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$$\mathrm{T}11\mathrm{t}^{\backslash }11\mathrm{t}1_{1(^{\mathrm{Y}}}1\mathrm{e}$$\backslash \mathrm{v}1_{1(}\mathrm{Y}1^{\cdot}\mathrm{e}_{\mathit{1}}y^{*}$

i,sexists’B.

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{H}(^{\mathrm{s}}\mathrm{r}(^{\backslash }\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\wedge 1I(l^{).\phi}(\mathit{1}^{y}))$.

$(^{(}\mathrm{J})$$\backslash \backslash \cdot \mathrm{t}^{\backslash }1_{1\dot{\mathrm{r}}1\backslash (}.\backslash$

(1 )
$()$

( $/(](/))/(/ \int)=ll(’\underline{)}(_{\mathit{4}^{)}})/(l_{\mathit{1}}’(2/)+\mathit{1}/)>\langle)$$\dot{(}111\mathrm{t}1\uparrow]1$($fi\mathrm{t}11(\mathfrak{l}\mathrm{i}\langle)11$

A $l(])$ . $()(ly)$ ) is$\mathrm{t}\{1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{t}\{1\nwarrow \mathrm{t}\mathrm{o}11\backslash$$\iota_{;1(}^{\backslash })111.(/(())=-\zeta<()\mathrm{a}11(1(/(])arrow \mathrm{x}$EXAAIPLE 3.3: 1Ve$\mathrm{t}11\langle^{\backslash }$$\mathrm{r}(^{\mathrm{Y}}1)\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}$

-cost

.

$\mathrm{t}$]$\downarrow(^{\backslash }1)1$

ill 1).
oof is($\backslash \mathrm{X}$$\mathrm{s}\mathrm{i}11$( $(\backslash (/-)()(/))/(/_{/})\underline{)}=1/\{/\prime\prime,,,l’$(If) $\}>\langle)$ .
(I3.)$|(]))$$((1111)1\{)\mathrm{t}()(1.$$().\mathrm{I}^{\backslash }\lrcorner\cdot$$\mathrm{g}\mathrm{i}_{\lambda()}\dot{C}\iota 11(\mathrm{r}\mathrm{X}\dot{C}11111^{)}1(\tau \mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{l}\cdot(]_{1(^{\mathrm{Y}}}\mathrm{t}i)\mathrm{i})]_{1}1^{\cdot}i\}\mathrm{i}\langle\dot{\mathrm{c}}1]111(^{\backslash }\mathrm{t}11\mathrm{o}(11)1^{\cdot}\mathrm{O}1)(\rangle \mathrm{h}(\backslash (1_{\mathrm{c}1}1)\langle)\backslash (^{\backslash }.‘ \mathrm{s}_{\iota\iota])}1)\mathrm{t}\mathrm{b}(\backslash \mathrm{t}1_{1}(\iota \mathrm{t}$$(1\mathrm{i}_{\mathrm{b}}\uparrow 1^{\cdot}\mathrm{i}1)11\mathrm{t}\mathrm{i}(11H$

(

$(’)$

is

$\mathrm{k}11\mathrm{O}\mathrm{l}1^{\cdot}11$

illltl$\dagger)\mathrm{t}^{\backslash }\backslash \mathrm{b}\mathrm{t}\}_{1(}\backslash \backslash \backslash ^{\mathrm{v}}\{^{\backslash \mathrm{i}}|$$(\rangle$)$\iota\iota 11(1\mathrm{i}*\mathrm{t}_{\mathrm{l}\mathrm{i}1)\iota}1\mathrm{f}\mathrm{i}_{0}11$:(11)$H( \iota\cdot)=(^{\backslash }\mathrm{X}1)\{-(\frac{f}{\theta})’\}$.
allel the scalewith the shape paralneter/i(day).
($), $L=0.4000$ (day), $k_{f}=0.4000$ ($/day)areand $m_{m}=0.8157$ ($). The determination of the optimal repair-cost limit is )$=4.\mathrm{o}$$\mathrm{c}\cdot=0.4500$$\dot{(}|$$\mathrm{g}^{r\mathrm{i}}\backslash ’(^{\tau}111)\lambda$$\mathrm{i}_{\ln_{1^{)}}}1\mathrm{i}(^{\backslash },\mathrm{s}$$(](p)\equiv((/(^{2})(\mathit{1}))/(l_{\mathit{1}}))(_{\mathit{1}}’+\prime l)-(\mathrm{o}(/))+\zeta)$$\backslash \backslash \cdot 1_{1(^{\backslash }1}\cdot(\backslash (l()(\int))/([\mathit{1})=H^{-\mathrm{l}}(j))/\prime\prime),,,$$(1_{\mathrm{C}\mathrm{t}1}(^{\backslash }\mathrm{r}1\iota \mathrm{i}_{1}1(\mathrm{Y}(1\dagger).\backslash ’$$\mathrm{f}\mathrm{i}\cdot \mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}1_{1(^{)}}1^{)}(\rangle \mathrm{i}11\mathrm{t}\mathrm{B}=(-\prime\prime$$p^{*}=H(l_{(}^{*}))\backslash \backslash \cdot \mathrm{h}\mathrm{i}(\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}_{111}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}(^{1}\mathrm{s}}$$1^{)\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\ln}(^{\backslash \uparrow 1\theta}(^{1}=0^{(\mathrm{J}}.$$\mathrm{T}11(^{\mathrm{r}}(\mathrm{t}\mathrm{h}(^{\backslash }\mathrm{r}111(\mathrm{d}_{\mathrm{C}1\backslash }1)\mathrm{a}\mathrm{l}\cdot \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}(1_{\iota}\mathrm{b}$$\mathit{7}\mathit{0}_{\int}=0.3000$$1$$m_{\mathrm{s}}=$1.5000in Fig. 2.

$\Gamma \mathrm{t}\mathrm{Y}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}(1$$((1\mathrm{a}\backslash \tau)$

71

Figtlrc 2:of (1)($\mathrm{D}_{\mathrm{C}\mathrm{f}1}$$\Gamma \mathrm{n}\mathrm{i}_{11\mathrm{a}\mathfrak{s}\mathrm{i}\mathrm{o}1}1$$\uparrow \mathrm{i}111\mathrm{a}11^{\cdot}\mathrm{e}1$

Ill this ( ( . we.
is $(p^{*}. \phi(]J^{*}))=(().498(). 0.3849)$ . Tlms,$11\mathrm{a}1’(^{\backslash }\mathrm{B}=(-().63\{|)4$$\mathrm{a}_{\backslash }\mathrm{s}$)$\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}$.-cost lilllit

allcl the$-().7\overline{\circ}\overline{\circ}())$

curve.

with lxiinimuln-cost lilnit is$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}11$$\mathrm{B}$$()$$011\mathrm{t}11(^{1}\mathrm{L}\mathrm{o}1^{\cdot}(^{\backslash }117_{}$)($\mathrm{i}11\mathrm{t}$.8200.

$‘ \mathrm{e},1_{0}1^{)}\mathrm{e}\mathrm{f}_{\Gamma()}111$$l_{\{)}^{*}’=H^{-1}(0.4^{(}\mathrm{J}80)=$$\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}\mathrm{o}_{1}\mathrm{J}\mathrm{t}\mathrm{i}111\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}(^{1}1)\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$4. STATISTICAL ESTIMATION METHOD$\mathrm{B}\mathrm{a}^{\mathrm{c}}‘’(^{1}(1_{0}11$

theidea ill-cost limit
frolll all ordered$\mathrm{g}\mathrm{l}\cdot \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\cdot \mathrm{a}\mathrm{l}$$0_{\mathrm{P}^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}}\mathrm{I}}1_{1\mathrm{e}})\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$$\})\mathrm{e}\mathrm{e}‘ \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{l}$$\mathrm{s}(\backslash (\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}3$$\mathrm{c}o\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}‘$$\mathrm{f}1^{\cdot}()111$

all$\mathrm{a}1$$H(\uparrow’)=_{\mathit{1}^{y}}$)$l\mathrm{b}\mathrm{o}1_{\mathrm{t}}1\mathrm{t}(^{\mathrm{Y}}1\backslash r$

is(olltilluolls)$\mathrm{r}(^{1}1)\mathrm{a}\mathrm{i}\Gamma$$1^{)1()}1^{)}$$\mathrm{t}‘$)(“’ $()$)((.
a $11011^{-10}$
to ‘(ifilllat
, to
{ the
-cost
, of repair cost dataH.
is 111lkn( . The estimator of$\}\mathrm{t}_{1}\cdot \mathrm{i}$$1\mathrm{n}\mathrm{e}^{\backslash }\mathrm{t}\mathrm{h}_{0}1$$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\ln$\mathrm{S}\iota 11^{)}1)\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}$$\mathrm{t}1_{1(}\backslash$$()$$(^{}$$1\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}:$$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{e}_{1}\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}$$\mathrm{s}\mathrm{a}\ln_{1^{)}}1\mathrm{e}0=.\mathrm{t}\cdot 0\leq x_{1}\leq\alpha_{\mathit{2}}\leq\cdots\leq.\cdot p.\cdot,$-cost$\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\}_{)}\iota 1\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$$\backslash \backslash ’ \mathrm{h}\mathrm{i}(11$$\backslash \backslash \mathrm{v}\mathrm{l}\mathrm{l}$$\mathrm{t}11\mathrm{C}(^{\mathrm{Y}}\mathrm{l}\mathrm{n}1^{\mathrm{i}\Gamma \mathrm{i}\cdot \mathrm{a}})(1(\mathrm{l}\mathrm{i}\iota‘,\mathrm{t}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}(11\mathrm{g}\mathrm{i}\backslash ^{r}(\backslash 11\mathfrak{j})\lambda^{r}$$H_{j,\prime}(_{\mathit{1}}.\cdot)=\{$$\backslash \backslash \cdot]_{1\langle^{\backslash }1(}.1i=\langle$ $)$. we$\mathrm{r}\mathrm{c}_{\mathrm{P}^{1\cdot 1\mathrm{f}}}^{\mathrm{Y}}\mathrm{a}(\mathrm{e}\mathrm{n}1\mathrm{e}11)(1\mathrm{i}\mathrm{e}\cdot \mathrm{Y}^{\tau}.

.

$1.\underline{\cdot)}$.

$\cdots$.

$\prime\prime-1$.

$\mathrm{T}1_{1(^{\backslash }11}\mathrm{t}1_{1\{^{\backslash }}$$j/\prime\prime 1$$’’7’’\ell )/(.

$\mathrm{f}\mathrm{f}.()1()1^{\cdot}$

.

(12)

$\mathrm{t}_{j}.\leq.\iota\cdot<\downarrow-|,\leq’.\cdot.j+1$[1.J] is$\cdot$$L()\uparrow(^{}\prime\prime \mathrm{z}(.(/\gamma\cdot\cdot/’()$$(\mathrm{l}\mathrm{t})\{\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}(\rangle$$\langle 1\dot{\subset}\mathrm{l}\mathrm{b}$$(),’$$\backslash 1^{:}|1\mathrm{t}^{\tau}1^{\cdot}\mathrm{t}\backslash [\prime\prime]$$(.()1111(\backslash \{.(\mathrm{i}11^{(}b).

is$\mathrm{t}1_{1(^{\iota}}\wedge^{1\mathrm{t}^{\backslash }\dot{\mathrm{c}}1\mathrm{t}}()(^{)}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{i}_{111(}\backslash (\Leftrightarrow(^{\backslash })1\mathrm{i}_{11}\prime\prime.

$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\cdot(\backslash 1)\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\cdot-(\mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{f}$(),,, )$

. $(/=().$ 1. 2. . . ,, .
.

\backslash 1^{\mathrm{v}}\langle)()1)\uparrow\dot{\mathrm{c}}\mathrm{t}\mathrm{i}11\mathrm{t}1_{1(^{1}}\mathrm{b}\subset.11111)1(^{\backslash }\mathrm{L}()1^{\cdot}(^{\backslash }11/(.111^{\cdot}\backslash \cdot()\mathcal{L},,\in[(\mathrm{I}.

lilllit.

THEOREM 4.1: (i)$\mathrm{T}1_{1\mathrm{C}()}1)${.

$\backslash \backslash \cdot(^{1}])1^{\cdot}()1^{)()}\mathrm{b}(\backslash i\{11()11^{-}1^{)_{\dot{(}}\iota}1^{\cdot}\dot{C}1111\mathrm{t}\backslash \mathrm{t}_{1}\cdot \mathrm{i}\langle$$\mathrm{i}111\mathrm{a}11^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}1^{)\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}\cdot l}- \mathrm{t}\cdot()\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}_{111}\mathrm{i}\mathrm{t}$(.all$\{i^{*}|0\leq 111\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\varphi_{\dot{l}7}\prime+\xi}{i/n+\uparrow\int}\mathrm{I}j\leq"$.

be$(^{1}$“’$\mathrm{t}\mathrm{i}_{111)}\dot{\mathrm{c}}\mathfrak{s}(\backslash (1$}.

$\mathrm{c}|11\mathrm{t}1$$)$$\cdot$\mathrm{t}.11(^{\backslash }111l)\backslash \cdot 1\mathrm{i}_{11(^{\backslash }}\wedge(^{\mathrm{Y}}\mathrm{g}111()11\mathrm{f}\wedge.

$\mathrm{A}_{\mathrm{b}}\backslash \langle^{1}111])11^{\cdot}1(.\mathrm{d}1\langle.()1111\mathrm{f}(^{\iota}1]^{)\mathrm{a}1}.\mathrm{t}()\mathrm{f}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{L}^{\neg}()\mathrm{I}\mathfrak{i}\mathrm{F}\lrcorner-\backslash 1.\cdot \mathrm{J}.1$(1)1^{?}]_{()}11\mathrm{i}11_{\mathrm{b}}^{(})\mathrm{t}]_{1(^{\backslash }}1)()\mathrm{i}111(//\prime\prime.

1]\cross[().

1]$$(^{1}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}111^{\cdot}\mathrm{d}\uparrow()1^{\cdot}()\mathrm{f}\mathrm{t}11\langle)$$)\backslash ’ l_{(),1}^{\wedge}.\mathrm{r}=.\iota_{j^{*}}.$.

$\backslash \backslash \cdot 1_{\mathfrak{X}1(}.\mathrm{Y}$

(i4)

72

(ii) The estimator$\mathrm{v}_{\hat{0}n}*=x_{i}*\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{E}\mathrm{q}.(14)$is strongly consistent,$\dot{i}.\mathrm{e}$.

as$\mathrm{v}_{n}\wedge=x_{i^{*}}arrow \mathrm{v}_{0}^{*}$The result in (i) is trivial. The proof of (ii) is based on the asymptotic property$narrow\infty$ , which is due to Goldie [13].

.

$narrow\infty$$\phi_{in}arrow\phi(p)$asEXAMPLE 4.2: The repair-cost data were made by the random number following the Weibull
distribution with shape parameter $\beta=4.0$ and scale parameter $\theta=0.9$ . The other model
paralneters are same as EXAMPLE 3.3 except that $m_{m}=$ 0.8567 ($). The empirical Lorenz$(-0.6364, - 0.7195)$ , the optimal
curve based on the 30 sample data is shown in Fig. 3. Since
14/30, $\phi_{14.30})=$ (0.4667, 0.3711).
becomespoint with minimum slope($).
Thus, the estimator of the optimal repair-cost linlit is$\mathrm{B}=$$(i^{*}/n.

$\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{o}\ln \mathrm{B}$\phi_{i^{*},n})=$$($$\uparrow^{\wedge}1^{*}0n=0.8393$

Figure 3:

If
is. (

$\mathrm{t}1_{1}‘\backslash$($\mathrm{E}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$. is$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{o}1^{\cdot}\iota_{\hat{0}r\downarrow}’*=.\iota_{j}$$1\mathrm{i}\mathrm{H}^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}‘)$llfiafillg of$\mathrm{E}$(of$\mathrm{o}\mathrm{l}$)$(\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{i}_{111\mathrm{a}}11^{\cdot}\mathrm{e}_{1})\mathrm{a}\mathrm{i}1^{\cdot}-((\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{t}$$\uparrow \mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{C}(1$. it is$1\cdot(3)\backslash \backslash \cdot \mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}1^{\cdot}(^{1}\wedge 1)\mathrm{t}^{\backslash }\langle\uparrow$totovields tlle$(^{\mathrm{Y}}1111)\mathrm{i}1^{\cdot}\mathrm{i}(\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{L}_{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{c}11}/(\mathrm{t}11^{\cdot}1^{\cdot}(\backslash$$(\mathrm{a}1_{\mathrm{t}11}1\mathrm{a}\mathrm{t}\langle 1\uparrow]1(^{\mathrm{Y}}111\mathrm{i}_{1}1\mathrm{i}111\iota 1111(\backslash \mathrm{x}_{\mathrm{I}^{)}}(^{\backslash }\mathrm{t}\mathrm{t}(^{\backslash }\mathrm{t}1(()\mathrm{b}\mathfrak{s}$$\mathrm{e}\mathrm{a}‘,\backslash \cdot$$l’()$

lilnit on the$\mathrm{f}\mathrm{i}_{1}$.st$(\langle)11(\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}$$, \frac{(lE_{\mathrm{r}}((())/(l\prime_{1)}}{\overline{II}(,(’)},.\cdot F_{arrow/(}^{\backslash }l_{(}.))=\frac{(l\mathrm{A}_{/}^{\neg}(_{l_{(}}\cdot))/([/()}{\overline{ff}(_{l_{(1}}\cdot)},E_{(}(\prime_{\mathrm{t})}’)$$\prime \mathrm{r}]_{1}\mathrm{i}\mathrm{t}\langle\backslash (1^{1}1(11\mathrm{i}_{0}11$

leads

of

$\langle)1$

)

it

.

$\backslash \backslash \langle^{\backslash }\langle_{\subset}111(1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}1\mathrm{i}_{1}\cdot(^{\backslash }\dot{\mathrm{c}}111$$\backslash \backslash \cdot 1\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\cdot 1111\mathrm{l}\mathrm{a}.\backslash \cdot|_{)(^{1}\mathrm{b}}\mathfrak{s}_{1()}.11\mathrm{g}11^{\cdot}(.()1\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{i}‘,\mathrm{f}\mathrm{t}^{1}11\mathrm{f}$$()\mathrm{f}()11\Gamma 11(^{1}\mathrm{X}\uparrow \mathrm{i}_{1}1\mathrm{t}(\backslash 1^{\cdot}(\backslash \mathrm{s}\mathrm{t}$tlle$\mathrm{T}1_{1}\mathrm{a}\mathrm{t}$:.

$(]_{\mathrm{J}}^{-}.)$$|($$\iota \mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{b}’ l’()"/\mathrm{i}_{11\uparrow}()l_{()}’$

llUllleri(.all\iota.

$\uparrow \mathrm{i}_{111}\dot{\mathrm{c}}11\mathrm{i}\mathrm{t}.\backslash \cdot$

(1 )
$()$

$\overline{]}’(’(l_{\{\mathrm{I}}.)=\frac{l_{()}^{\backslash +l_{\backslash \backslash }},\prime\prime\prime-]1f^{\int_{\vee^{-(}}}}{/\prime\prime-\backslash l_{\wedge}}.$$\mathrm{S}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l})\iota \mathrm{b}\mathrm{t}$.

isest illl$i\downarrow \mathrm{t}\mathrm{o}1^{\cdot}$of$\mathrm{t}11()111\mathrm{i}11\mathrm{i}_{1}1111111\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}\mathrm{x}_{1)\mathrm{t}^{\backslash }}\langle \mathrm{t}\langle^{)}\mathrm{t}1(()\wedge\uparrow\Gamma C’(l\mathrm{t}’))$.

$\mathrm{t}1_{1(^{\mathrm{Y}}(}\cdot()11\backslash ^{\ulcorner}\langle^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}\mathrm{g}\mathrm{t}\tau 11(.(\backslash \mathrm{q}1)(\mathrm{y}(\backslash (1$’$\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{l}\cdot 0\mathrm{l}\langle 011‘,\mathrm{i}\rangle \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\langle\backslash$ofof$\mathrm{t}11(^{\backslash }(\backslash \mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\uparrow \mathit{0}1^{\cdot}\mathrm{s}j_{()\prime\prime},.\mathrm{d}11(1Tc’(l^{\wedge}’(),\})$$\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}(^{\mathrm{Y}}S\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}}1(\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\backslash ’ \mathrm{e}\mathrm{y}(1$ill THE$()\mathrm{R}\mathrm{E}_{-}\backslash 14.1$.

$\backslash \backslash \cdot(^{\backslash }(r\mathrm{X}\dot{\subset}1111\mathrm{i}11(\backslash$.

“, are silllilar
EXAMPLE 4.3: Suppose that the repair-cost clistribution and lnodcl
to those in EXAMPLE 4.2. Then the real optimal repair-cost limit and the minimum expected$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\iota \mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}_{\mathrm{C}}\mathrm{r}$730.7364 ($), respectively. On the other hand,
0.8200 ($) andcost become
the asymptotic behaviours of estimators for the optimal repair-cost limits and their associatedminimum expected cost are depicted in Figs. 4 and 5. From these figures, we observe thatthe estimators converge to the corresponding real values around which the number of data is
20. In other words, without specifying the repair-cost distribution, the proposed nonparametricmethod may function to estimate the optimal repair-cost limit precisely.
$TC(\mathrm{v}_{0}^{*})=$$\mathrm{v}_{0}^{*}=$$|_{(|,|}\wedge\backslash \Delta$

Figure 4:)$\mathrm{A}_{S\backslash ^{\tau}11}.11$$\mathrm{t}_{0}\mathrm{t}\mathrm{i}(1^{)1\mathrm{O}}1)\mathrm{e}\mathrm{r}\{\backslash r$of the$\mathrm{e};,\mathrm{t}\mathrm{i}111\mathrm{a}\mathrm{t}_{0}\mathrm{r}$for the$0_{1}$)$\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{a}1$

repair-cost lilnit.

$/C\mathrm{t}^{\wedge}|_{1,\mathrm{A}})\prime 1$$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}_{111\mathfrak{c}^{\mathrm{Y}}}\mathrm{o}:\prime \mathrm{A}_{\mathrm{b}\backslash 111},’ 1)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\langle 1$)’$1^{\cdot}0_{\mathrm{I})\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\backslash }\backslash .$of$\mathrm{t}11\mathfrak{k}^{1}(^{\mathrm{Y}},\mathrm{b}$tilllatol for$\uparrow 1_{1(^{1}\mathrm{a}^{\zeta};}\tau \mathrm{S}\mathrm{O}(\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{t}_{\mathrm{C}}(11\mathrm{n}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{i}111\iota 1111e\mathrm{x}1^{)((\mathfrak{s}_{\mathrm{C}\mathrm{c}1}}\backslash ((,\mathrm{b}\uparrow$.

REFERENCES[1]$\mathrm{D}1^{\cdot}\mathrm{i}111\backslash ’\backslash \backslash \cdot\subset.1\mathrm{t}\langle^{\backslash }1^{\cdot}$$\Pi(^{}.\mathrm{b}((’ 7’\cdot$[2]$\mathrm{f}\mathrm{I}_{\dot{C}\mathfrak{j}}\mathrm{b}\iota \mathrm{i}_{11}\mathrm{g}\mathrm{b}$$\backslash \cdot()1.$

[3]

.

. N.

ics

$\mathrm{a}\uparrow 7(f$$\mathrm{I}\mathfrak{i}$.

$\backslash \backslash ’.\dot{\mathrm{r}}111(\iota \mathrm{H}\dot{\mathrm{c}}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{f}\mathrm{i}11^{(})\mathrm{s}.\backslash b--$], ($J_{l/(’/fT}(^{}7l/\cdot$$.\backslash ^{\vee}$2t).

$\mathrm{K}_{\subset \mathfrak{i}}\mathrm{i}\mathrm{o}$.

. -{. .7..
).

$1^{)}1$R($\lrcorner l7al_{J}\dot{i}l\dot{\uparrow}ty$$\mathrm{A}_{11\langle^{\backslash }\mathrm{t}(}$vol. 18. 1)1). 121-138 (1$\mathrm{T}1_{1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}1\mathrm{t})}1$$.\cdot \mathrm{J}37-:;\lrcorner\{\mathrm{J}$$\dot{\mathrm{c}}111\mathrm{t}1();_{\mathrm{Y}}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{i}.$-t. .l..

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)$\dot{\mathrm{c}}1\mathrm{i}1^{\cdot}$

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