第一工業大学研究報告第32号（2020）pp.17-24

Society 5.0 の実現に向けた積分指導法の提案– 情報科教育法の観点から –山田 猛矢 1 ，福永 知哉 2 ，中茂 睦裕 1 ，野田 幸平 3
1

第一工業大学 工学部 情報電子システム工学科（〒 899-4395 鹿児島県霧島市国分中央 1-10-2）
2
第一工業大学 共通教育センター（〒 899-4395 鹿児島県霧島市国分中央 1-10-2）
3鹿児島第一中学校（〒 899-4345 鹿児島県霧島市国分府中 214 番地）

Proposal of an Integral Instructional Method
for the Realizing Society 5.0– From the Perspective of the Informatization Education Act –Takeshi YAMADA1，Tomoya FUKUNAGA2，Mutsuhiro NAKASHIGE1，Kohei NODA3
1

Department of Informatics and Electronics, Daiichi Institute of Technology
2

Common Education Center, Daiichi Institute of Technology
3
Kagoshima Daiichi Junior High School

Abstract : This paper proposes an integral teaching method for the realization of Society 5.0. The concept of”Integral = Inverse of Diﬀerential”, which is constructed by conventional teaching methods, is a disadvantage
in learning the knowledge and skills needed to realize Society 5.0. The introduction of ”integration” by thecompartmentalized quadrature by parts proposed in this paper builds the concept of ”integration = calculation
to ﬁnd the area” and helps students in their subsequent studies. This paper proposes an instructional method
for introducing ”integration” using the categorical quadrature by parts. I will also explain how to teach therelationship between integration and diﬀerentiation.
Keywords : programming, society 5.0, integral calculus, educational teaching method

1. はじめに現在の高等学校の数学の教科書を見ると，
「データの
分析」，
「統計処理」，「p 進法」などプログラミングに必要となる内容が盛り込まれ，AI やロボットを活用して実現しようとしている Society 5.0（サイバー空間（仮想空間）とフィジカル空間（現実空間）を高度に融合させたシステムにより，経済発展と社会的課題の解決を両立する，人間中心の社会（Society））を見据えた教育内容であることを感じる．その一方で，数学 II で学習する「積分」に目を向けると，旧態依然の「積分 =微分の逆」という理解を促す指導法が続いている．解
析的に解ける方程式のみを扱うのであれば，それでよ
いかもしれないが，自然現象を記述する方程式は解析的に解けることがほとんどなく，コンピュータを用いて数値的に解くのが一般的である．方程式を数値的に解くためには，数値積分のアルゴリズムを利用するが，「積分 = 微分の逆」という理解しか持たない学生は，ア
ルゴリズムの内容を理解できず，理解するためには積分概念の再構築が必要となる．また，ロボット制御等

第一工業大学研究報告 第32号 （2020）で利用される PID 制御においても，センサーから得らかられる値と本来目標としている値の偏差の時間積分を利用するが「積分 = 微分の逆」という理解しか持たない
学生は理解できない．他にも，センサーから得られる

G(x) − F (x) = C(5)

G(x) = F (x) + C(6)となる．つまり，値に含まれるノイズの除去等に積分回路が利用されているが，これも理解できない．このように，「積分 = 微分の逆」という理解を促す指導法は，Society 5.0 を実となり，f (x) の任意の原始関数は F (x) + C で表すこ

現する知識・技術習得の弊害となっている．この問題とができる．

をどう解決するか．答えは簡単である．現在，数学 IIIの最後に学習する区分求積法を「積分」の定義として学習することである．区分求積法を「積分」の定義と

f (x) を積分することを記号で∫
f (x)dx(7)

して学習することで，従来の「積分 = 微分の逆」といで表し，これを f (x) の不定積分という．F ′ (x) = f (x)う理解ではなく，「積分 = 面積を求める計算」という理のとき，不定積分は∫
f (x)dx = F (x) + C

解が強くなる（もちろん，「積分 = 微分の逆」についても学習する）．この理解が，数値積分のアルゴリズム，

PID 制御，積分回路等の理解を容易にし，Society 5.0(8)

ただし，C は積分定数の実現，その社会を支えていく人材育成の促進へとつとなる．以上より，ながる．
本論文は，Society 5.0 の実現に向けた積分指導法について提案する．区分求積法を「積分」の定義として

微分する

出発し，
「積分 = 面積を求める計算」という理解を持っF (x) + Cてもらうための指導法について記述する．また，その

À

f (x)

(9)

積分する

ように定義した場合に必要となる「積分 = 微分の逆」についての指導法も記述する．

という関係がある．

2. これまでの「積分」の指導法———————————————————————
初めて「積分」を学ぶ生徒に対して，このような流積分は，数学 II，数学 III で学習する．
「積分」の学習

れで「積分」を導入すると，生徒たちは最終的な結論に入る前に，微分を学ぶ．まず微分係数を学び，導関である「積分 = 微分の逆」というイメージを持つだろ

数，その応用として，関数の増減について学んだあと，う．このように導入された不定積分の後に，今度は定「積分」を学ぶ．その導入は以下の通りである．

積分を学ぶ．その指導法は定積分の計算方法を機械的———————————————————————に教え，あとはひたすら積分の計算を行うというもの

これまで関数 f (x) から導関数 f ′ (x) を求めてきたが，導関数 f ′ (x) から関数 f (x) を求めることを考えてみる．
微分すると f (x) になる関数を F (x) とし，この F (x)を f (x) の原始関数と呼ぶ．また，F (x) に任意の定数

C を足しても微分すると{F (x) + C}′ = F ′ (x) = f (x)(1)

である．その後，定積分の図形的な意味を 1 ページ程
度で説明する．説明方法は以下の通りである．

———————————————————————
図 1 のように，区間 a 5 x 5 b で，f (x) = 0 のとき，
曲線 y = f (x) と x 軸，および 2 直線 x = a，x = b で囲まれた図形の面積 S を求める．曲線 y = f (x) と x 軸の間にある図形の，x 座標が a から x までの部分の面となり，F (x) + C も f (x) の原始関数である．逆に，関積を S(x) で表すと，S(a) = 0 より，S = S(b) − S(a)数 f (x) の任意の原始関数を G(x) とすると，f (x) の原となる．
また，図 2 の S(x + h) − S(x) の面積は，図 3 のよ

始関数 F (x) に対して{G(x) − F (x)}′

うに x と x + h の間に適当な値 t を選べば，図 4 のよ(2)=f (x) − f (x)

(3)

=0

(4)

うに

S(x + h) − S(x) = f (t)h(10)

と近似でき，h を左辺にもっていき，が成り立つ．導関数が 0 となる関数は定数 C に等しい

S(x + h) − S(x)= f (t)h(11)山田・福永・中茂・野田：Society5.0の実現に向けた積分指導法の提案－情報科教育法の観点から－

yy = f (x)y = f (x)y = f (x)

f (t)

S
x
a

O

x

x t x+hbxh

図 3: x と x + h の間に

図 4: S(x + h) − S(x)を f (t)h で近似t をとる

図 1: 面積 S
していると真に理解できる生徒はどれほどいるだろう
か．数式を追っていくのが得意で，最終的な結論が∫ b
f (x)dx = S(18)yy = f (x)aという結果が得られたから定積分は面積を計算しているのだと納得する生徒もいるかもしれない．しかしな

S(x + h) − S(x)がら，様々な図形の面積を小学校から計算してきた生@@R徒にとって，この説明と生徒自身の持っている面積の概念は大きくかけ離れており，一致するものではない．
それでも，そんなことはお構いなしと言わんばかりに，

x
O

x

a

x+h

b

この説明の後，面積を求める演習問題をひたすら解かされる．しかも，定積分が面積を計算しているということが演習問題を解くにつれてわかっていくようなも

図 2: S(x + h) − S(x) の面積のではなく，最後の文言が「面積を求めてみよう。」と変わっただけで，実質，積分の計算をひたすら行わせているだけである．そのような演習問題をやらされ続とした後，h → 0 の極限を取るとS(x + h) − S(x)lim
= lim f (t)
h→0
h→0
h
′

S (x) = f (x)

けることで，納得・理解できなくても定積分は面積を計(12)

ま，積分の計算能力を磨きつつ，面積を求めなさいと(13)となる．式 (13) は，S(x) が f (x) の原始関数であることを示しており，これにより次の関係が成り立つ．
∫ b
f (x)dx(14)

言われれば，本能的に定積分の計算を行っていく．結局，積分と面積の概念は一致せず，それどころか「積分 = 微分の逆」という考えが益々強まっていく．
「積分= 微分の逆」という概念さえ持っていれば，積分の計算もできるし，面積も計算できるからである．
唯一の救いは，数学 III で再び積分を学び，最後に区a[]b= S(x) a

算しているのだと信じ込み，その本質を理解しないま(15)

分求積法を学習することである．数学 III では，まず指=S(b) − S(a)(16)

数関数の積分，三角関数の積分を学び，置換積分法，部

=S

(17)

分積分法を学び，その後，区分求積法を学ぶ．しかし∫bつまり， a f (x)dx は，区間 a 5 x 5 b で，f (x) = 0 のとき曲線 y = f (x) と x 軸，および 2 直線 x = a，x = b

ながら，この頃には「積分 = 微分の逆」という概念がで囲まれた図形の面積 S を表す．

学び「積分 = 面積を求める計算」という，あらゆる応———————————————————————
以上の流れで，「定積分は面積を計算している」とい用が可能となる積分概念を構築できる機会がやってきう説明が行われる．この説明で，定積分が面積を計算

い．なぜならば，「積分 = 微分の逆」という概念で，少生徒自身の中で完成してしまい，そこから抜け出すことが困難な状態となっている．せっかく区分求積法をたのに，積分概念の再構築を行う生徒はほとんどいな第一工業大学研究報告 第32号 （2020）

なくとも高校数学の範囲においては何も困らないからである．すべての問題がこの概念で問題なく解けてしまうのである．

すために式 (20) に I 制御を追加する．
∫ t
(
)
(
)
r(τ ) − y(τ ) dτu(t) = Kp r(t) − y(t) + Ki
0(21)

3. 「積分 = 微分の逆」がもたらす理解困難な例
ここでは，「積分 = 微分の逆」という理解しか持たない学生にとって理解が困難な例として，数値積分，PID

Ki は比例定数であり，積分ゲインと呼ばれる．
式 (21) の右辺第 2 項の意味が「積分 = 微分の逆」という理解しか持たない学生に，この式の意味が理解で制御，積分回路について簡単に紹介する．

きるだろうか．区分求積法を理解している学生にとっ

3.1 数値積分
数値積分は数値解析の一分野であり，定積分の値を数値的に求めることはもちろんのこと，微分方程式をては，式 (21) を見たときに，センサー値と目標値との偏差の累積を操作量の決定に利用していることがすぐに理解できるだろう．

数値的に解く方法としても知られている．定積分の数値積分としてはニュートン・コーツの公式があり，次最後に積分回路について見ていく．積分回路は，センの式で与えられる．

∫ b
f (x)dx ≅a

3.3 積分回路

n∑サーから得られる値のノイズ除去等に利用される．図 5

wi f (xi )(19)のように，R〔Ω〕の抵抗，電気容量 C〔F〕のコンデンサーをつなぎ，Vin に交流を印加する．このときの VC

i=0

ここで，xi = a + i b−an （i = 0, 1, · · · , n）であり，wi はについて考える．VC は，コンデンサーに蓄えられてい重みである．重み wi はラグランジュ補間等で決定されRるが，ここでの詳細な説明については割愛する．
式 (19) を見たとき，「積分 = 微分の逆」という理解し

C

Vin

VC

か持たない学生が，この式を理解できるだろうか．区
分求積法を理解している学生にとっては，重み wi につ
いてはわからないかもしれないが，積分がもともと和図 5: 積分回路の極限であることを知っているため，式 (19) のように表されることも納得できるだろう．

3.2 PID 制御
次に，ロボット制御等で利用される PID 制御について見てみる．PID 制御は，Proportional-IntegralDiﬀerential Controller であり，比例，積分，微分を利用した制御方法である．ここでは，積分に関係のある
PI 制御について見ていく．まず，制御について簡単に説明する．制御とは，センサー等から得られる値（センサー値）y(t) に対して，本来目標とする値（目標値）
r(t) との偏差を 0 に近づけるように制御対象物を操作することである．制御方法としてまず思いつくのは，操作対象物に与える操作量 u(t) を，センサー値 y(t) と目る電荷 Q〔C〕に比例し，

VC =

1
Q
C

(22)

となる．また，コンデンサーに蓄えられている電荷は，コンデンサーに流れ込む電流 I を用いて
∫ tQ=
I(τ )dτ(23)0と表せる．式 (22)，(23) から
∫
1 t
VC =
I(τ )dτC 0(24)

標値 r(t) の差に比例するような量として与えることでとなる．印加する交流の周波数が十分大きいとき，コある．具体的には，Kp を比例定数として操作量

ンデンサーは抵抗 0 の導線とみなせるので()
u(t) = Kp r(t) − y(t)

I≅

(20)

Vin
R

値に短い時間で収束することができそうだが，現実的と近似できる．これを式 (24) に代入すると∫ t
1
Vin dτ
VC =RC 0には難しく，目標値の近くで偏差が残ったり（残留偏となる．

とすることである．比例定数 Kp は比例ゲインと呼ばれる．比例ゲインを適切に調整することにより，目標差），目標値の周りで振動したりする．残留偏差をなく

(25)

(26)

式 (26) の意味が「積分 = 微分の逆」という理解しか持たない学生に理解できるだろうか．区分求積法を

山田・福永・中茂・野田：Society5.0の実現に向けた積分指導法の提案－情報科教育法の観点から－

y理解している学生にとっては，印加交流電圧の累積をRC で割ったものが VC となっていることがすぐに理解できるだろう．

y = f (x)4. 区分求積法を積分の定義としたときの指導法
ここでは，初めて「積分」を学ぶ人に対する「積分」の導入法について提案する．まず，区分求積法により「積分」を定義し，次に微分と積分の関係について記述する．

4.1 積分の定義···
6x1 AKx2
x0 = aO

現在の数学 II での「積分」の導入は，関数 f (x) に対して，微分すると f (x) となる原始関数 F (x) の存在を仮定し，

6
xn = bx

図 7: 面積 S を長方形の面積の足し合わせで近似

F ′ (x) = f (x)(27)とで面積 S を近似する．このとき，長方形の幅から，∫

C：積分定数f (x)dx = F (x) + C

b−a
n

(29)

（i = 0, 1, · · · , n）

(30)

∆x =

(28)
とし，

という形で不定積分を定義し，「積分」の導入をしていxi = a + i∆x

る．しかしながら，この導入法だと，これまで記述してきたように「積分 = 微分の逆」というイメージを植えつけてしまう．我々が提案する「積分」の導入は区分求積法から入る．
まず，図 6 のように，区間 a 5 x 5 b で，f (x) = 0 のとき，曲線 y = f (x) と x 軸，および直線 x = a，x = b
で囲まれた図形の面積 S を求めるためにはどうしたらとする．そうすると，面積 S は次のように近似できる．

S ; f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + · · · + f (xn )∆x=n∑f (xi )∆x

(31)
(32)

i=1

よいかの問いかけから始める．生徒をうまく誘導しな

ここで，∆x → 0（n → ∞）を取ると，長方形の面積のがら，次のように説明し，積分は面積を求めるための足し合わせは限りなく面積 S に近づき計算であることを理解させる．

lim

y

n
∑

∆x→0

f (xi )∆x = S

(33)

i=1

となる．なお，長方形の左辺を高さとして面積を計算

y = f (x)しても，極限を取ると同じになる．
このような流れで面積を求める考え方を説明し，式∫(33) 左辺の簡単な記述方法としてインテグラル を導入する．まず，微分のときに ∆x を ∆x → 0 の極

S
x
O

a

b

図 6: 面積 S の計算方法は？

限を取ったときに，dx と記述したように，式 (33) の∑lim∆x→0 ∆x の部分は dx と書く．ギリシャ文字の∫は，ラテン文字の S なので S を縦に伸ばした と記述∫することにし，また，足し合わせる範囲を の上下に記述するようにする．つまり，式 (33) の左辺は次のように記述することを定義する．

lim

∆x→0

区間 [a，b] を n 等分し，図 7 のように長方形の右側

x = xi の高さが f (xi ) となるように n 個の長方形を準備し，この長方形 n 個の面積をすべて足し合わせるこ

n
∑
i=1

∫ b
f (xi )∆x ≡f (x)dx(34)a

このように説明することで，式 (34) の意味を次のよ
うに理解させる．図 8 のように，dx 部分は長方形の幅，

第一工業大学研究報告 第32号 （2020）∫bf (x) 部分は長方形の高さ， a 部分は長方形を a から b

この積分の意味は，図 9 右のように，x = 3 から x = 11まで足し合わせるという意味であること．このようにを n 等分し，幅 ∆x = 11−3
n ，高さが f (x) = 7 の長方

理解してもらえば，式 (34) が面積を表すことに納得で形の面積をすべて足し合わせて，∆x → 0 の極限をき，これまで生徒が築き上げてきた面積の概念とも一取ることで，面積 S を求めてるという説明を行う．も致する．

ちろん，極限を取らなくても面積を求められること，∫ b

分割した長方形の面積を足し合わせることと「縦×横（ 7 × (11 − 3) ）」が同じであるということも理解してa から b まで
足し合わせる

もらう．

{

{

a

{

f (x) dx

・台形の面積長方形 長方形の幅の高さ

台形の面積についても，同様に考えてもらう．長方形の面積を足し合わせて極限を取ることで台形の面積が計算できることを理解してもらう．図 10 左のように，

図 8: 積分の意味

x 軸，x = 2，x = 10，y = f (x) = x で囲まれた台形
さらに，ここで導入したインテグラルの意味を理解の面積 S を積分の考え方で理解してもらう．これを積y

してもらうために，面積を計算する例題や演習問題をyy = f (x)=x行う．ただし，この段階では，まだ積分と微分との関y = f (x)=x

係を示していないため，積分の機械的な計算はできな
い．そのため，長方形や三角形，台形などの，積分を使わなくても面積が計算できる図形を例にとり，積分Sの面積の求め方のイメージを掴んでもらう．この例題と演習問題が大事であり，これを行うことで難しく見えてしまう積分記号の意味を理解してもらい「積分 =

x
O

2

10

x
O

2

10

図 10: 台形の面積を積分で考える

面積を求めるための計算」という理解を獲得してもら分の式で書くとう．

∫ 10

ここで，具体的な例題として長方形と台形の面積を取り上げる．

S=

(37)

x dx

(38)

∫ 10
=

・長方形の面積f (x)dx22

図 9 左のように，x 軸，x = 3，x = 11，y = f (x) = 7となることを説明する．式の意味していることは，図で囲まれた部分の面積 S を考える．この面積 S を求め

10 右のように，x = 2 から x = 10 までを n 等分し，y

幅 ∆x = 10−2
n ，高さが f (xi ) の長方形の面積をすべて

yy = f (x)

足し合わせて，∆x → 0 の極限を取ることである．先y = f (x)7ほどの長方形の面積を求める際は，極限を取る必要は7なかったが，今回は極限を取らないと面積が正確に求められないことを理解してもらう．また，極限を取る

S
x
O

3

11

x
O

3

11

ことで台形の面積が求められることを理解してもらう．
また，数値積分の 2 点ニュートン・コーツ公式が台形公式と呼ばれ，台形の面積を足し合わせていくことを

図 9: 長方形の面積を積分で考える

紹介してもいいかもしれない．

るのは小学生でもできるが，積分の考えを身につけてこのように，関数 f (x) がわかっていれば，f (x) が曲もらうために，積分の考え方で説明する．この面積 S線であっても，細かく分割して微小長方形の面積を足を求める式を積分で書くと∫ 11
f (x)dx
S=

し合わせて極限を取ることで面積が求められることを理解してもらう．この説明を生徒が納得・理解しても

(35)

3

∫ 11
=

積を求める計算」という概念が構築される．

7 dx
3

らうまで十分時間をかけて説明することで「積分 = 面(36)

しかしながら，区分求積法による積分の計算は，無限数列の和を計算しなければならず，計算できるとし

山田・福永・中茂・野田：Society5.0の実現に向けた積分指導法の提案－情報科教育法の観点から－ても f (x) = x や f (x) = x2 ，f (x) = x3 までである．

ここで，関数 F (x) を x で微分することを考える．関

そこで，次に微分と積分の関係（「積分 = 微分の逆」）数 F (x) は，f (x) の x = 0 から x = x までの面積を表について説明し，積分の計算についてもできるようにすが，x = x がわかりにくいので変数 t を用いて
∫ x
F (x) =
f (t)dt(42)

なってもらう．
なお，「積分」の導入に区分求積法から入る方法は，0「微分」の導入時の指導方法と同じと考えている．
「微のように定義する．このように記述すると，関数 F (x)分」の導入では，まず微分の定義

は，関数 f (t) の t = 0 から t = x まで面積を表す関数

f ′ (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)hと言うことができ，生徒たちも理解しやすい．

(39)

この関数 F (x) を微分の定義に従って x で微分する．

から入り，この定義式に従って接線の傾きを求めたり，導関数を求めたりする．その後，公式として

d
F (x + ∆x) − F (x)F (x) = lim
∆x→0
dx
∆x

(43)

を示し，それ以降は，微分の定義で計算する生徒はい

ここで，式 (43) の右辺の分子に，式 (41) を用いると∫ x+∆xf (t)dtdF (x) = lim x
(44)
∆x→0
dx
∆x

ない．我々は区分求積法から「積分」の導入を行うが，となる．また，式 (44) の分子の積分は ∆x が十分小さ

あくまでも導入時において「積分 = 面積を求める計算」

いことから，幅 ∆x，高さ f (x + ∆x) の長方形の面積を植えつけたいだけであり，区分求積法で積分をすべを表すので(xn )′ = nxn−1(40)∫ x+∆xて計算するべきという主張ではない．
「積分」導入時に区分求積法から入り「積分 = 面積を求める計算」の理

f (t)dt = f (x + ∆x)∆x

解が得られれば，後の具体的な計算等は，「微分の逆」(45)xとなる．式 (45) を式 (44) に代入することで ∆x が約分を用いて計算すればよい．

されるので，∆x → 0 の極限を取ると4.2 微分と積分の関係について
ここでは，微分と積分の関係（「積分 = 微分の逆」）について記述する．区分求積法を定義として「積分」をd
F (x) = f (x)
dx

(46)

となる．これは，面積を表す関数 F (x) を x で微分す導入しているため，その後，急に「積分」は「微分の逆」という説明をしても，生徒には意味がわからない．
そこで，「積分」が「微分の逆」ということを生徒にどのように説明するかを記述する．

ると f (x) になることを表す．また，改めて式 (42) を見ると，関数 f (x) を x = 0 から x まで積分したものがF (x) となっている．つまり，関数 f (x) を積分するとF (x) となり，F (x) を微分すると f (x) となることがわかる．
式 (42) では，x = 0 から位置 x までの面積を表す関

x 軸，x = 0，x = α，関数 f (x)（f (x) = 0）で囲まれた図形の面積を表す関数を F (α) とする．この関数
F を用いると，x 軸，x = a，x = b，f (x) で囲まれた数を F (x) としたが，より一般的に任意の位置 a から図形の面積はx までの面積を考える．任意の位置 a から x までの面

∫ bf (x)dx = F (b) − F (a)積は，x = 0 から位置 x までの面積から，x = 0 から

(41)

位置 a までの面積を引けばいいので，x = 0 から位置aとなる．これは，図 11 より明らかである．なお，式a までの面積を C とし（C は定数となる），マイナス(41) のように積分範囲が定数で決められている積分を「定積分」という．

も C に含めるとすると，式 (42) は∫ x
f (t)dt
F (x) + C =

y

(47)

a

y

と書き換えられ，定数 C は積分定数と呼ばれる．式 (47)において a = 0 とおくと，定数 C は x = 0 から x = 0までの面積となるため C = 0 となり，式 (42) と一致すOaる．なお，式 (47) のように，基点 a から x までの積分

F (b)

F (a)
x

O

図 11: F (x) の表す面積bxを「a を基点とする不定積分」という．不定積分には，基点を定めていないものもあり，∫
f (x)dx = F (x) + C(48)

第一工業大学研究報告 第32号 （2020）のように記述される．一般に「不定積分」というと，この式 (48) を指す．式 (48) の両辺を x で微分すると∫
dd{F (x) + C}
(49)
f (x)dx =
dx
dx
d
=
F (x)
(50)
dx
となり，式 (46) を用いると∫
df (x)dx = f (x)
dx

(51)

となる．式 (47) についても同様で，a を基点とした不定積分を x で微分することで，f (x) が得られる．つまり，ある関数 f (x) を x で積分し，さらに x で微分すると元の関数 f (x) に戻る．これは，微分する

À

F (x) + C

f (x)

(52)

積分する

という関係があることを表す．
このような流れで積分と微分の関係を説明し，その後は現在の教科書に沿った形で積分の機械的な計算方法を教え，積分の計算練習を行えばよい．

5. おわりに
本論文は，「積分」導入時の指導法についての提案を行った．これまで行われてきた指導法により構築される「積分 = 微分の逆」という概念ではなく，「積分 = 面積を求める計算」という概念を構築してもらうために，
区分求積法による「積分」の導入，「積分」の意味を理解してもらうための例題，「積分と微分の関係」の指導法について記述した．
「積分」導入時に「積分 = 面積を求める計算」という概念を構築することで，数値積分や PID 制御，積分回路など，Society 5.0 の実現に向けた知識・技術の習得が容易となる．目の前の大学受験に向けた指導も大切かもしれないが，将来を見据えた指導も大切である．今回提案する指導法のように，導入時のみの修正で，その後の生徒の知識習得，技術習
得に大きな影響を与える可能性がある指導法は，実践する価値があると考える．
今後の課題は，「積分」導入時に区分求積法から入る
本提案を実践し，生徒のつまずくところ，生徒が理解しにくい個所を洗い出し改善することである．
謝辞
本論文を作成するにあたり御助言いただいた鹿児島第一中学校 山口太一先生に深く感謝する．

参考文献[1] 長谷川考志, ほか 20 名，“高等学校 数学 II”, 第一
学習社, 2014[2] 長谷川考志, ほか 20 名，“高等学校 数学 III”, 第一
学習社, 2014