乱流モデルを用いた鉛直サーマルの数値解析
水工学研究室八木 健太郎

指導教官

福嶋 祐介

水の中に濃度の異なる流体が投入される現象は，主として海洋汚染防止や廃水処理の関連で関心が持たれている．この現象は，海洋土木工事，海洋資源開発，ならびに上下水処理などの事項と関連が深い．
数値解析して実験の結果と比較することで，現象の本質を明らかにし，環境汚染の予測や防止に役立てる．
１．はじめに鉛直重力密度流のフロント部の流動は，後続する流れの有無によって，鉛直プルームと鉛直サーマルに分類される．いま，密度が一定の淡水中に塩分を含んだ水塊がノズルから下方に流下する場合を考える．プルームフロントは，ノズルから流出した塩水が先端部を形成し，後続部では鉛直噴流として流動する．プルームの先端部は楕円形状に膨らんだ特徴のある形をつくる．（図―１）
このような流れで後続からの塩分の供給がない場合の流動を鉛直サーマルと呼ぶ．
これまでサーマルの流動はサーマル理論により解析されていた．福嶋・田中は，サーマルモデ
ルという一次元の積分モデルを用いて，鉛直プルームフロントと鉛直サーマルの流動特性の特徴

図―１

鉛直サーマル模式図を再現した．サーマルモデルそのものは，モデルの構成が簡単であるから計算時間が極めて少ないという長所がある．その反面，モデル自身に空気の連行係数やサーマルフロントに働く抗力係

２．解析方法
鉛直サーマルの流動を解析するため，図―２に示すような計算断面を用いた．

数を含むことになる．モデル自身の普遍性の点で密度流を解析するためには乱流構造を考慮すも，シミュレーションモデルの適用性の観点からる必要がある．そのために乱流モデルとして，kもこれらのパラメータの値をどのように決める-εモデルを用いる．これは渦動粘性係数の概念にかが問題となる．

基づき，乱流運動エネルギーk と分子粘性逸散率

本研究では，積分型のモデルを用いないで，微εを未知数として，乱流場を再現するモデルであ分型の基礎方程式に基づいた解析をする．これにる．また，それぞれの輸送方程式の離散化手法

より，連行係数などのパラメータがモデル中に含としては S.V.Patankar による， SIMPLEまれることを避けることができる．この解析で鉛（ Semi - Implicit Method for

直サーマルを実験の結果と比較し，どの程度再現Pressure-Linked Equation）法を採用した．

できるかを検証する．

これは移流拡散流速に対する独自の離散化手法，

+∂  ν t ∂c  ∂  ν t ∂c  （４）+ ∂x  σ t ∂x  ∂z  σ t ∂z 乱流運動エネルギーk の方程式∂k∂k∂k ∂  ν t ∂k  ∂  ν t ∂k + +u + w= ∂t∂x∂z ∂x  σ k ∂x  ∂z  σ k ∂z 2ν ∂c ∂u − ε （５）+ ν t   + Rg tσ t ∂z ∂z 分子粘性逸散率εの方程式∂ε∂ε∂ε∂  ν ∂ε  ∂  ν t ∂ε + +u+w=  t∂t∂x∂z ∂x  σ ε ∂x  ∂z  σ ε ∂z 図−２計算断面ν t ∂c ε   ∂u ε2+ c1ε ν t   + (1 − c3ε )Rg − c2εσ t ∂z kk   ∂z 2

圧力補正式の導入により，基礎変数を扱っているにも関わらず，その取り扱いが容易であり実用的

・・・（６）な手法である．

ここで，μは水の粘性係数，D は塩分の分子拡散係数である．νt は渦動粘性係数であり，次の式で３．基礎方程式

u,w を x,y 方向それぞれの平均流速成分，ρを表される．

平均圧力，重力加速度を g で表す．

ν t = Cµ連続式∂ρ ∂ρu ∂ρw++=0∂t
∂x
∂z（１）

x 方向の運動量方程式∂p ∂ ∂u ∂u∂u  ∂u+u+ w  = − +  2 ρν t
∂x ∂x ∂x ∂x∂z  ∂tρ∂   ∂w ∂u   ∂ 2u ∂ 2u （２）++ ρν t  +  + µ∂z   ∂x ∂z   ∂x 2 ∂z 2 z 方向の運動量方程式k2ε（７）

４．福嶋・田中の鉛直重力流の室内実験概要
プログラムの検証をするために福嶋・田中が行った実験と比較した．その実験の概要を以下に記述する．
実験は図―３に示す装置で行われた．高さ 1500ｍｍ，幅 1000mm，奥行き 150mm の主水槽に淡水（水道水）を貯め，水槽の上部中央に取り付けたノズルから，フルオレッセインナトリウム（ウ∂p ∂ ∂w  ラニン色素）で着色した塩水を流入させる．ノズ∂w∂w  ∂w+u+ w  = − ρg − +  2 ρν t∂z ∂z ∂z  ルは図−４に示すように，外形 6mm のビニール∂x∂z  ∂tρ∂   ∂u ∂w   ∂ 2w ∂ 2w （３）++ ρνt  +  + µ∂x   ∂z ∂x   ∂x2 ∂z 2 拡散方程式

 ∂ 2c ∂ 2c ∂c∂c∂c++ u + w = D ∂x 2 ∂z 2 ∂t∂x∂z


管を 24 本均等に配置し束ねたものである．このようにすることで，各ビニール細管の流量をほぼ等しくなるように保って，奥行き方向に均一な割合で流れを制御できる．
鉛直サーマル実験では 165cm3/s の流量で塩水を 2.2s 流した後，注水を停止する．

から流入させる． x 方向１格子（0.6cm）を流入境界とする．境界には計算開始から 2.2 秒の間18.333cm/s の流速を与えた．食塩水の濃度は，1%，3%，5%の 3 ケースの計算をした．水および食塩水の温度は 14℃とし，そのときの相対密度差は表−１のとおりである．
表−１

食塩水濃度

初期相対密度差（％）

R

110.00711

230.02168

350.03635

Case No.

６．計算結果
図−３実験断面

サーマルの流下速度 Uf の流下距離 z による変化を図−５で示す．初期塩分濃度が多いほど流下速度が大きくなっている．また，計算値では流入直後に速度が急激に減少しているのがわかる．この違いは，実験と計算では流入方法が異なることと，流下速度算定方法によるものだと考えられる．
低減部では，3％，5％の実験値と計算値はほぼ一致している．1％のときは実験値と比べ計算値が小さな値となっている．
流動幅 W と流下距離の関係を図−６に示す．食
塩水濃度が 3%と 5％の場合は，実験値とほぼ一致しているとこがわかる．1％の場合，流下距離が

図―４流入口の拡大図
重力密度流フロント部の流れではフロントが流下する際，大きな渦運動を伴い，流動幅や流下速度が大きく変動する．このような渦運動の影響を低減するため，各実験条件に対し 3 回以上の実験を行い，その平均値をもって実験値とする．
５．計算条件
計 算 領 域 は ， x 軸 方 向 100.2cm ， z 軸 方 向150.0cm とした．格子間隔は x 軸方向に 0.6cm，z 軸方向に 1cm とした．食塩水は領域上部の中央

図−５流下速度の流下方向変化

図−６

流下幅の流下方向変化
図−８

濃度コンターと流速ベクトル図

いて等濃度線を描きサーマル形状を表した．
７．結論
これらの結果より塩分濃度が 3%，5%の場合は，サーマルを再現することができたが，1%の場合は，鉛直サーマルの再現性が乏しいことがわかった．
これは相対密度差が小さいために流下速度も遅くなり，その結果サーマルが水平方向に広がって，
図−７

最大塩分濃度の流下方向変化

その形状を維持出来なくなったためである．

30cm 位までは，実験値とほぼ同じ値になっていまた，濃度コンターと流速ベクトルを同時に描るが，それ以降の流動幅は比較的大きな値となっくことにより，鉛直サーマルの内部の流速と濃度ている．実験値の場合も 1％の流動幅が 3％，5％の関係を表すことができた．と比べ大きくなる傾向はあるが，計算値はそれが顕著に表れている．
図−７はサーマルの最大塩水濃度 c max を初期

9．参考文献1) 福嶋祐介・田中日出紀(2001)，鉛直プルーム塩水濃度 c0 で無次元化した値を，流下距離 z を流フロントと鉛直サーマルの流動モデルの提案，入位置の長さ b で無次元化した距離に対して示

ながれ 20，pp．45-58．

したものである．初め 5％が大きくなっているように見えるが，これは 5％の流下速度が速いために，塩水を流入中に流下距離が大きくなり，最大濃度に流入流体の濃度が出てしまったである．低減部では 1%が少し小さな値となっている．
図−８は塩分濃度が 3％で，計算開始から 10秒後の流速と濃度を表したものである．流速はベクトルで表し，濃度は初期濃度で除したものを用

2) 衞藤俊彦（2001）， k − ε モデルによる泥水流の解析，長岡技術科学大学修士論文．
3) 玉井信行，新体系土木工学 22 密度流の水理，
技報堂出版，1980．
4) S.V.Patankar 著，水谷幸夫・香月正司 共訳，
コンピュータによる熱運動と流れの数値解析，
森北出版，1985．