Proceedings of the 13th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 8-10, 2016, Chiba, Japan

PASJ2016 MOP068

観測の観点からみたエッジ放射の一般的特性についての検討
INVESTIGATION OF GENERAL PROPERTIES OF EDGE RADIATION IN VIEWPOINT
OF OBSERVATION
江田茂#, A), 高林雄一 A), 金安達夫 A) , 岩崎能尊 A)
Shigeru Koda #, A), Yuichi TakabayashiA), Tatsuo KaneyasuA) , Yoshitaka Iwasaki A)
A)
Saga Light Source, Tosu, Saga 841-0005, Japan

Abstract
Edge radiation is a kind of long wavelength radiation due to high energy electron passing though a straight section
between two bending magnets. For observation wavelength λ, there is a characteristic scale of λγ2 at the straight section
length. Using the characteristic scale, elementary properties of edge radiation are investigated in wavelength regions ofvisible, infrared and THz at practical straight section length of electron accelerators with beam energy of 0.1-10 GeV.

1.

一般にはじめにエッジ放射は、二つの偏向磁石に挟まれた直線部を高エネルギー電子が通過する際に放射される長波長の光である。偏向電磁石による放射光が長波長極限において波長の 3 乗根に比例して広がり角が増大するのとは対照的にエッジ放射はその放射角が~1/γrad 領域に集中する。非常に単純な磁石配置にもかかわらず長波長域において高い輝度を持つ興味深い放射現象であり、赤外ビームライン、ビームモニターへの応用等様々な議論が行われてきた[1-4]。100MeV から数 GeV 程度の電子加速器の長さ数メートル程度の直線部においては、THz から可視の領域でエッジ放射発生の条件が成立しており、エッジ放射は、この領域で一般的な放射現象と考えられる。既存の中高エネルギーの電子加速器のエネルギー範囲において観測実験を目的として、エッジ放射の基礎的性質を整理、検討した。
Paraxial 近似[5]に基づくと、エッジ放射は偏向磁石端部からの放射ではなく、偏向磁石間の直線区間から放射されると解釈される。エッジ放射の空間分布は簡便な解析式によって表すことが出来、観測波長λに対して固有のスケールλγ2 を持っている。このスケールに対して、電子の通過する直線部長さの大小が放射特性を特徴づける。本報告では、この固有スケールの観点から0.1~10GeV の既設中高エネルギー電子加速器におけるエッジ放射の基礎的特性を THz~可視の波長領域において検討する。また、観測上の制約、制限について理論的、実験的観点から検討し、現実の加速器における、エッジ放射の観測可能性及び SAGA-LS 蓄積リングにおける実際の観測結果について議論する。

2.

2.1 Paraxial 近似
単一電子によるエッジ放射定式化のため、長軸(z 軸)方向を運動する相対論的電子からの一般的な放射をGeloni らの paraxial 近似[5]に基づいて示す。Helmholtz
方程式から角振動数ωの電場は SI 単位系においては___________________________________________ε
Eと与えられる。ここで 、 ω 、 c 、 ρ(1)jε、 、 μ 、 はそれ

ぞれ角振動数ωの電場成分、光速、電荷の角振動数ωのフーリエ成分、電流密度の角振動数ωのフーリエ成分、真空の誘磁率、真空の誘電率である。Paraxial 近似は以下を仮定する。
(1) 電場 transverse 成分のｚ方向への変化は小さい(∂/∂z<<1)。
(2) 点電荷の速度を光速で近似(v=c)。

zEの
ここで観測位置 において観測される電場()transeverse 成分を E⊥ = Ex , E y として、位相因子をかけ~ 
た電場 E = E⊥ exp(− iωz / c ) とおけば、(1)式からこの電~場Eは     s ( z ) z    iω  2 2iω ∂  ~ e−   2 ν ⊥ ( z ) − ∇ ⊥ δ (r − r0 ( z ))∇⊥ + E = expiω c ∂z εcc   c  v(2)を満たす。ここで ∇ ⊥ は transverse 成分の偏微分 (∂/∂~x+∂/∂y)を意味する。この電場 E の一般解は観測位置z が十分遠方である場合、z 軸に対する観測角をθとす
るとエッジ放射一般論# koda@saga-ls.jp

 c2  c 2∇ 2 E + ω 2 E = ∇ρ − c 2 μiωj z'
iω e zdziω~ v ( z') − θ  exp iω +E≈−dz '  ⊥zθ 2 − 2θ ⋅ r0 ( z ' ) + z 'θ 2 24πε c 2 z − ∞  c
 0 2γ z ( z ) c 2c()(3)
で 与 え ら れ る 。 こ こ で v⊥ は 電 子 の 運 動 速 度 の- 542 -Proceedings of the 13th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of JapanAugust 8-10, 2016, Chiba, JapanPASJ2016 MOP068

 ωL  iωθ 2 z  ie
11  (7)~E≈exp
sin  θ 2 + 2 θccπεcz24γ1 θ 2 +   
γ 2 
transeverse 成分、 r0 は電子軌道の transeverse 成分、

γ z はローレンツ因子の z 軸射影成分である。この電場によって位置 z で観測される角振動数、立体角当りの放射エネルギー[J・sec/str]は一般に2d 2Wz 2 ~=E (ω )dωdΩ πμc(4)と な る 。 こ れ に よ り (5) 式の放 射 強 度 [photons/sec/0.1%b.w./mm2]はf =で与えられる。これから単一電子に対する観測距離 z での 0.1% バ ン ド 幅 、 単 位 面 積 あ た り の 放 射 強 度 f[photons/sec/0.1% b.w./mm2]は2π d 2W
f = 10 − 9 2hz dωdΩ(5)で与えられる。

 Lω  2 1 
2 ×10 −9 e 2θ2θ + 2 sin 2 222γ  (8)π εhcz  2 1  4c θ + 2 γ となる。 (7)式からエッジ放射が radial 放射であることがわかる。 (8)式は単一電子のエッジ放射が長軸(θ=0)を中心とする同心円状の強度分布を持ち、そのピークはおよそθ~1/γrad 程度のところにあることを示している。また(8)式は、直線部長さ L が放射分布の同心円構造の動径方向の周期を決める一方で、電場の振幅には無関係であることを示している。(8)式において放射強度が最大となる観測角、直線部長さの条件は2.2 エッジ放射
エッジ放射の観測モデルを Figure 1 に示す。ローレンツ因子γの電子が二つの偏向磁石に挟まれた長さ L の直線部を通過する際に放射されるエッジ放射を観測位
置 z において観測角θで観測している状況を示している。
観測位置は直線部から十分遠方で、偏向磁石はハードエッジであると仮定する。
である。

θ=1γ, L = 1 λγ 22(9)2.3 直線部長さによるエッジ放射の分類
エッジ放射の強度が強い観測角θ=1/γ付近での放射強度の直線部長さ L に対する依存性を考える。(4),(7)式より放射エネルギーはθ=1/γにおいて

 πL d 2We 2γ 2sin 2  2 =dωdΩ 4π 3εc λγ Figure 1: Observation model of edge radiation.
この時、観測される電場を paraxial 近似で考える。この近似の一般解である電場は(3)式右辺で示されているように長軸方向の積分として表されている。これは観測される電場が長軸方向の積分区間毎の寄与に分解できることを意味しており、Figure1 で示されたモデルでは電界を上流偏向部、直線部、下流偏向部それぞれの区間の部分積分 E1,ES,E2 の和すなわち

~  E = E1 + Es + E2(10)である。(10)式における直線部長さ L に対する放射強度依存性を Figure 2 に示す。図からわかるように放射強度は、直線部長さをゼロから増大させた場合、L=λγ2/2で最大となり、長さ周期 λγ 2 で放射強度が振動する。
(10)式の sin 項においてλγ2 がこの振動の固有スケールを与えており、放射の性質は直線部長さ L とこの固有スケールとの大小関係によって分けられる。

(6)と表現できる。大きく軌道を偏向させる偏向磁石部の積分 E1, E2 は(3)式の位相項の変化が激しく積分は非常に小さくなり無視でき、結局電場の寄与は直線部のみになる[5]。直線部は(3)式において r0 = 0 , γ z = γ を意味する。これを計算すると(3)式の電場はFigure 2: Dependence of edge radiation intensity on astraight section length at observation angle θ=1/γ.
Straight section length is normalized by λγ2.

- 543 -

Proceedings of the 13th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 8-10, 2016, Chiba, JapanPASJ2016 MOP068

Figure 2 より L<λγ2/2 の領域では、放射強度は直線部長さに単調に増大し、特に L がλγ2/2 に比べ十分小さい領域では、(10)式からほぼ直線部長さ L の自乗に比例しd 2W
e 2 L2≈dωdΩ 4πεcλ2 γ 2(11)と近似できる。
現実的な蓄積リングやリニアックの直線部長さとエッジ放射の波長域の関係を検討する。Figure 3 にビームエネルギーに対するエッジ放射が最大となる直線部長さ L=
λγ2/2 を観測する波長に対応して示す。
λ=0.1mm (3THz)
λ=3mm (0.1THz)

λ=1mm (0.3THz)

λ=1μm (300THz)

λ=10μm (30THz)

λ=0.4μm (750THz)

100

λγ2/2[m]101

重ね合わされ、これによって短波長放射が制限される。
今、観測位置 z が直線部長さより十分大きいと仮定すると(7)式の exp 項内の位相項がこの上限を決める。この位相項が観測波長λとλ+Δλでπ変わる場合、λとλ+Δλの波長を同時観測した場合、合成された電場は位相が反転し実効観測電場が相殺される。これが大まかな短波長限界を与える。これにより観測可能な短波長側の条件はλ>λ≤0.010.1

110E[GeV]

Figure 3: Dependence of strait section length, which
satisfies maximum intensity condition L=1/2λγ2, onelectron energy (red line) at observation angle θ=1/γ.
Blue dot area is shown as practical region of the straightsection ( L=0.1~20 m).
Figure 3 から観測角θ=1/γ付近では 100MeV 級加速 器 で 赤 外 か ら THz 領 域 ( λ =10 μ m~1mm, f=30THz~0.3 THz)、１GeV 級で、赤外（～10μm）から可視域、これより高いエネルギーでは可視域より短波長でエッジ放射の最大条件を満たす。おおまかに言えば1GeV 級以下の電子加速器の現実的な直線部長さでは、可視、赤外、THz 領域のエッジ放射の発生条件が一般的に成立している。また数 GeV 以上の加速器では、現実的な直線部長さでは長波長域で L<λγ2/2 が成立し、最大強度条件を満たす長さには達しておらず (11) 式の近似が成立する。
また同じ直線部長さにおいて、より短波長のエッジ放射で最大強度条件に達するには Figure 2 及び(10)式から、周期性を利用して直線部長さを(2n+1)λγ2/2 (n は自然数 ) を満たすように選べば、より短波長での最大強度条件が成立する。
2.4 観測上の制約
エッジ放射を観測する上での制限、限界について、解析的及び実験上の観点双方から検討する。
(8) 式で与えられる単一電子によるエッジ放射では放射強度において短波長限界はない。これは観測波長分解能が無限小の時であり、現実の有限波長分解能Δλでは、λ±Δλ/2 の波長範囲の電場が観測点において(12)である。波長分解能 Δλ / λ =0.1% 、ビームエネルギー1GeV、観測位置 10m では短波長側の観測可能範囲はλ>5.2nm (237eV)程度となる。
長波長側の観測限界については、 (11) 式の議論から
L<<λγ2/2 の関係を見たす長波長領域で、観測波長の自乗に反比例して放射強度が低下する。これから観測可能な長波長側の波長条件は0.10.001
0.012z  Δλ ⋅ γ2  λ 2L(13)γ2となる。ビームエネルギー1GeV、直線部 1m では(13)式で与えられる長波長側の波長域はλ≦520nm である。
有限エミッタンスビームでは、電子毎の観測角θがエミッタンスによって分布する。これは放射強度分布の同心円構造の極大極小を均し、エッジ放射のピーク強度を低下させる。この条件は、大まかには (8) 式の sin 内の（観測角 θ に依存する）位相項が個別電子によってπ/2程度に分布することである。単一電子由来の同心円構造のエッジ放射分布が観測できるためにはエミッタンス
εには上限があり、（直線部において分散関数の変化が小さいとすれば）、同心円分布が観測可能なエミッタンス
条件はおよそβz 2  λ  η   σ P  ε< 2 −    z + β 2  2 L  z   P  22(14)である。ここでβ、η、σp/p はそれぞれベータ関数、分散関数、運動量広がりである。分散のない直線部で、ベータ関数 5m、観測距離 z=10m、観測波長λ=600nmとした時、ε<1.2 mmrad である。
また現実の観測では、エッジ放射の空間分布が 1/γrad 程度の広がりであるため、明瞭なエッジ放射観測のためには、直線部の残留ダイポール磁場のキック角が 1/γrad より十分小さいことが求められる。(3)式からエッジ放射は直線区間中の各微小直線部からの電場の積分であり、エッジ放射の角度分布に比べ無視できない残留キックがあるとそのキック前後の区間からのエッジ放射が軸ずれした電場として重ね合わされ、電場分布が乱される。現実の加速器では、単純な直線部においても 4,6 極磁石、ステアリング磁石等が設置されており、これら磁極の残留ダイポール磁場をコントロールすることが観測上- 544 -

Proceedings of the 13th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 8-10, 2016, Chiba, Japan

PASJ2016 MOP068

青 (435.8nm) それぞれの波長での計算結果をビットマップ画像の RGB に対応させ 1 枚の画像に統合した。
3. SAGA-LS におけるエッジ放射観測
CCD カメラによる観測画像に対し、波長毎の同心円構
SAGA-LS 電子蓄積リングは、電子エネルギー1.4GeV、 造はほぼ同様の分布を再現している。また観測、計算と周長 75.6m の 8 回対称ラティスで数メートルの直線部が も単一電子由来のエッジ放射の特徴的な同心円状の強随所にある。本リングでは可視域のエッジ放射が Figure 度分布が示されている。
3 で示した最大強度条件を満たす波長域にあり、また結論＆まとめ(12-14) 式で与えられる波長、エミッタンス条件をほぼ満 4.
たしている。
エッジ放射の一般的な性質について paraxial 近似に可視域観測実験を、既設観測ポートのある直線部LS8 で行った。直線部ビーム軸上の不正磁場による微 基づき検討した。単一電子からのエッジ放射は radial 偏小なダイポールキックによるエッジ放射の干渉を避ける 光であり、空間分布は見込み角 1/γ程度の同心円状構ため、簡便で有効な方法として、シングルキックによって 造である。その分布は簡便な解析式で表現できる。観測
蓄積軌道に意図的に大きな COD を生成し、LS8 中央 角θ=1/γでの放射のピーク強度は直線部長さに対して部の直線部からのエッジ放射だけが他の軌道からの放 周期的依存性を有し、 λγ 2 で振動する。 0.1GeV~ 数射と分離されて観測されるようにした。これによって明瞭 GeV の電子加速器の直線部において長波長域（可視、なエッジ放射を容易に観測できた[6]。 観測では直線部 赤外、THz）のエッジ放射は、一般的な放射現象と考えら
LS8 で発生したエッジ放射を下流に設置した 90 度ミれる。短波長、長波長限界内でエミッタンスが十分小さく、ラーで大気側に反射し、スクリーン上の強度分布をカ
直線部の残留ダイポール磁場を十分制御できれば単一ラー CCD カメラで撮影した。スクリーン上で観測されたエッジ放射分布の CCD 画像及び計算画像を Figure 4 電子由来のエッジ放射固有の空間分布の観測は可能と考えられる。に示す。計算画像の条件を表 1 に示す。
重要となる。

本研究は JSPS 科研費 26390125 の助成を受けて行われた。

参考文献

Figure 4: Observation result obtained by a color CCD
camera at SAGA-LS stragiht section LS8 (left) and acalculated image (right). Spatial scales of both images areidentical. Large arc at right side in the observation image
is considered to be a part of optical system for theobservation.
Table 1: Calculation Conditions
Electron energy
Observation position z
Straight sction length
Beta fuctions at center of LS8
Betatron coupling
Emittance
Dispersion function at center of LS8
Momentum dispersion σP/P

1.4 GeV12.1 m3.1 m(βx, βy)=(7.7 m, 6.9 m)
1.4%(εx,εy)=.(25.1 nmr, 0.36 nmr)
ηx=0.60.00067[1] J. Ablett et al., “NSLS-II Conceptual Design Report”,
Brookhaven National Laboratory, 8-16 (2006).
[2] V. N. Korchuganov, N. V. Smolyakov, and N. Yu.
Svechnikov, “Edge Radiation at SIBERIA-2 Storage Ring”,
Proceedings of Russian Particle Accelerator Conference
2008, 148-150 (2008).
[3] T. E. May, R. A. Bosch and R. L. Julian, “Infrared Edge
Radiation Beamline at ALADDIN “, Proceedings ofParticle Accelerator Conference 99, 2394-2396 (1999).
[4] N. Smolyakov, H. Yoshida, A. Hiraya, “Edge radiation andits potential to electron beam diagnostics at HiSOR”,
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A,448, 73-75 (2000).
[5] G. Geloni, V. Kocharyan, E. Saldin, E. Schneidmiller, and M.
Yurkov, “Theory of edge radiation PartI: Foundations andbasic applications”, Nuclear Instruments and Methods inPhysics Research A, 605, 409-429 (2009).
[6] S. Koda, Y. Takabayashi, T. Kaneyasu, Y. Iwasaki,“Observation of edge radiation from a straight section ofSAGA-LS storage ring”, Japanese Journal of Applied
Physics 54, 056401, 1-5 (2015).

計算画像を得るためのエッジ放射強度計算は単一電子由来のエッジ放射電場である(7)式に対して波長分解能Δλ/λ=0.1%で平均して得られた放射ネルギーを計算し、これに有限エミッタンス、運動量分布によるビーム広がりを畳み込んで計算した。赤 (700nm) 、緑 (546.1nm) 、- 545 -