ネットワークモデルの応用井料隆雅
東京大学工学系研究科（客員）東北大学情報科学研究科（本務）18 Sep 2021

Takamasa Iryo

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講師紹介

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• 井料隆雅（いりょう たかまさ）– 東京大学大学院工学系研究科
特定客員大講座担当教授（兼務：今日はこっち）– 東北大学大学院情報科学研究科
人間社会情報科学専攻 教授（本務：日頃はこれ）

18 Sep 2021

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交通量配分3• 所与の起終点交通量を所与のネットワーク上に割り当てる（＝配分する）• 交通需要を交通ネットワークがどのように処理するのかを計算する．
• さまざまな施策の効果を評価できる．
– 最適化問題の制約条件にすることにより（MPEC/Bi-level）最適な施策を計算できる．

18 Sep 2021

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交通量配分の計算のポイント• ドライバー（利用者）の行動は交通状況に依存する．
• 交通状況はドライバーの行動に依存する．
• ∴ ドライバーの行動と交通状況は相互作用する．
– ドライバー同士の行動が相互作用する，ともいえる．
この「相互作用」をどうモデルかし，どう解くかが交通量配分の最大のポイントである．
※ 相互作用があるシステムでは，需要と交通行動がわかっても，正しい将来予測や施策評価はできない．

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相互作用の逐次計算

5• 交通シミュレーションの例– 1台1台の車に，ネットワーク上での挙動のルールを与えて，そのとおりに動かす．
– 挙動のルールが「過去から今現在までの交通状況のみに依存する」であれば，各車両の挙動を，時間軸方向に沿って，逐次計算すればよい．
• ある時間までの車両の挙動の計算結果が，その時間における各車両の挙動を決定し，それによって，直後の時間までの交通状況を計算できる．
• 数学的に言えば常微分方程式を解いていることになる．

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ドライバーの将来予測？

6• ドライバーは，過去の経験に基づいて，交通状況の将来予測が可能であろう．
– 頻繁に道路を使っていれば，どの経路がより早く目的地に着くかについて，経験に基づく戦略を持つことになる，と考えられる．
– 予測を強いられることもある：到着時刻制約があれば，所要時間を予測して出発時刻を決めなくてはならない．

• 将来予測が可能である／必要とすれば，時系列に沿った逐次的な計算はできなくなる．

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Day-to-dayの繰り返し計算

7• 繰り返し道路を使用するドライバーの学習過程もシミュレーションしてしまえばよい？
– 複数日のシミュレーションを繰り返す．
– ドライバーは，過去の日の混雑状況を参照する．
– 今日≒昨日としてもよいし，学習モデルを考えてもよい．

• この考え方自体は正しい．
• 均衡状態とは，この繰り返し計算が収束すると考えられる状態である．

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均衡状態の一意性と安定性

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ここは正しい（学習過程のモデルが正しければ）

ここは，本当にそれでいいのか？

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均衡状態の一意性と安定性

9• 均衡状態が複数ある場合は，どこに収束するかがわからない．計算の初期状態に依存する．
• 安定な均衡状態がなければ，そもそも均衡状態を将来実現する状態とすることはできない．

Beckmann et al. 1956 https://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/misc/specpub-beckmann-mcguire-winsten.pdf
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Mohring effect

Mohring, H. (1972). Optimization and Scale Economies in Urban BusTransportation. The American Economic Review, 62(4), 591–604.

10• バスの利用者数が増えると，それにあわせてバスの本数が増えるので，待ち時間が減って，利用者の一般化旅行費用は減る（正の外部性）
費用

供給曲線

均衡解
均衡解

需要曲線

均衡解

交通量
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Day-to-day dynamics

11• 均衡状態の安定性を調べるためには，ドライバーが日々どのように行動を調整するかを数理モデルで示す必要がある．
• Day-to-day dynamics• 定義のしかたは様々だが，ここでは微分方程式による定義を紹介．
– Evolutionary dynamics (Sandholm, 2010)18 Sep 2021

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Day-to-day dynamics••

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2つの選択肢で合計利用者数=1
選択肢Aを選ぶ人数 = x とする．

𝑥𝑥̇ = 𝑟𝑟 1 − 𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑟𝑟 : BからAに移る速度
𝑠𝑠 : AからBに移る速度

𝑥𝑥̇ = 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝 + 1 − 𝑥𝑥 − 𝑝𝑝 − 𝑞𝑞 + 𝑥𝑥 Smith dynamic

𝑥𝑥̇ = 𝑥𝑥 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝 + 1 − 𝑥𝑥 − 1 − 𝑥𝑥 𝑝𝑝 − 𝑞𝑞 + 𝑥𝑥
= 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥)(𝑞𝑞 − 𝑝𝑝)
Replicator dynamic

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𝑝𝑝 : Aの費用
𝑞𝑞 : Bの費用

Day-to-day dynamics
𝑥𝑥̇ = 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥)(𝑞𝑞 − 𝑝𝑝)

右辺を内点均衡解（q=p）のまわりでテイラー展開∆𝑥𝑥/∆𝑥𝑥
̇= 𝑥𝑥 ∗ (1 − 𝑥𝑥 ∗ ) 𝑞𝑞" − 𝑝𝑝"

𝑞𝑞! − 𝑝𝑝! < 0 であれば，均衡解からのズレは0に収束
𝑞𝑞! − 𝑝𝑝! > 0 であれば，均衡解からのズレは0から発散

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Day-to-day dynamics

14• 混雑する（＝負の外部性を持つ）交通システムであれば，𝑝𝑝" > 0, 𝑞𝑞" < 0なので，均衡解は安定．
• 正の外部性を持てば，𝑝𝑝" < 0, 𝑞𝑞" > 0なので不安定．
• 一般化交通費用が単調増加であることは，均衡解の安定性の十分条件である．
– ゲーム理論ではStable gameと呼ばれる．
– Smith dynamicによる証明(Smith, 1984)– そのほかの複数のDynamicsでも示されている．

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複雑な相互作用の均衡

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It is well known that uniqueness andstability are guaranteed properties oftraffic equilibria in static user-equilibrium
traffic assignment problems, if the link
travel utilities are assumed to be strictly
monotonically decreasing with respect tothe link traffic volumes. However, these
preferable properties may not necessarily
hold in a wide range of transport
problems with complex interactions, e.g.
asymmetric interactions (including
dynamic traffic assignment), socialinteractions, or with economies of scale.

Iryo & Watling (2019)18 Sep 2021

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複雑な相互作用の動学

16• … the existence of positive interactions. In thetraditional context of transport studies, interactions
between users are considered to be mostly originatedby congestion phenomena, which creates negativeinteractions (snip). In contrast, positive interaction ischaracterised by a situation in which the increased
patronage of a transport facility increases its
attractiveness for other users.

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複雑な相互作用の動学

two alternatives and two user groups
two-dimensional problem

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複雑な相互作用の動学

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複雑な相互作用の動学

可能性のある全ケースを9種類に場合わけして性質を特定
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一意な安定均衡解があるケースは1個しかない！
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複雑な相互作用の動学

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There exist two groups oftravellers, called leaders andfollowers in a city. Followers
always observe leadersbehaviour because they want
to imitate it and leaders also
have slight social interactions
between them.

Leader-follower model
端点解か，内点解か，不安定解かはDay-to-dayの動学の特性に依存する．
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混雑を原因とする不安定な均衡

21• 出発時刻選択問題，いわゆるVickryモデル.

住宅地XCBD• 一般化旅行費用 = 遅れ時間＋スケジュールコスト• 均衡解は簡単にとける．

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混雑を原因とする不安定な均衡

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一般化交通費用
遅れ時間

スケジュールコスト

到着時刻

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混雑を原因とする不安定な均衡

23• 実際にドライバーが選ぶのは出発時刻！

住宅地XCBD• 渋滞での遅れ時間の予測が外れることが，安定性を損なう原因となる．
• 数学的な証明：Iryo (2019)18 Sep 2021

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数値計算例 (Iryo et al. 2020)
t indicates date (continuous number)Within-day time is discretised into 100 time slots.

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数値計算例

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まとめ26• 交通システムの将来予測や施策立案のためには，システム内での利用者の相互作用の影響を考えなくてはならない．
• 均衡状態：相互作用の結果，最終的に安定して実現する（しそう）な状態．
– それを条件とした交通量配分：利用者均衡配分• 均衡解の一意性と安定性の問題– 必ずしも成立するわけではない．
– Day-to-dayの選択行動調整過程をどうモデリングするか？

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宣伝 Further readings•••

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Iryo, T. (2019). Instability of departure time choice problem: A case withreplicator dynamics. Transportation Research Part B, 126, 353-364.
Iryo, T., & Watling, D. (2019). Properties of equilibria in transport problems
with complex interactions between users. Transportation Research Part B,126, 87–114.
Iryo, T., Smith, M. J., & Watling, D. (2020). Stabilisation strategy for unstabletransport systems under general evolutionary dynamics. Transportation
Research Part B, 132, 136–151.

Sandholm(2010)
おすすめ！

18 Sep 2021

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