放射光第巻第号

()特別企画

放射光源シリーズ

ビーム光学入門
原田健太郎，宮島司 （高エネルギー加速器研究機構 物質構造科学研究所）

放射光ユーザーを対象に光源加速器の基礎について平易に解説を行うというこのシリーズだが，4 回目となる今回は「ビーム光学入門」である。光源加速器では半径数 cmの真空ダクトの中を光速の電子が回っている。1 日 3 回入射で運転が行われているとすれば蓄積時間は 8 時間であり，電子は地球から冥王星までの距離の 1.5 倍を走ることになる。加速器の中でこれほど電子を安定に走らせておくにはどうすればよいのか

その答えを与えるのが加速器中の粒子の運動理論，すなわちビーム光学である。
前半ではビーム光学の理論について述べ，後半ではビーム光学によって決まる主な 3 つのパラメータ，すなわちFigure 1. Quadrupole Field
This shows the magnetic ˆeld pattern of a focusing quadrupole magnet. The oŠ-axis particle is kicked inward in the horizontal plane andoutward in the vertical plane.

ビームサイズ，入射効率，ビーム寿命について述べる。
.

集束力と閉軌道のずれ
まずはダクトの中にビームを閉じこめておく為に必要な集束力について述べる。次に磁場誤差やエネルギーのずれに対する軌道の変化について触れ，集束力のおかげでそれ極と呼ぶ）。従って，垂直方向にも粒子を閉じこめておくらに対しての安定性も確保されることを述べる。

為には，集束と発散の 4 極磁石を交互に並べる必要があ

昔の加速器は偏向磁石によって電子を曲げ，閉じた軌道る（強集束の原理1）。その様なラティス（磁石の並び）をを作っただけのものであった。加速器に入射される現実のFODO といい，PF も PFAR も基本ラティスは FODO 構

粒子には必ず軌道から外れていく方向の初期運動量が少し造となっている（ここで，O は偏向磁石や空きスペースをはあるので，ほんの短い距離，すなわち上下の磁極に当た表す）。光学で言えば，集束は凸レンズ，発散は凹レンズるまでしか粒子を走らせることはできなかった。例えば，に対応しており， FODO セルにおいては水平垂直の両方半円状の磁石を 2 つ並べてその中心から粒子を入射し，向とも凹レンズと凸レンズが交互に並んだ形になっている渦巻き状に何周かさせてすぐに粒子を取り出すというサイのである（Fig. 2 参照）。

クロトロンは最初期の加速器であるが，磁場は均一であ加速器中の粒子の振動は色々であるが，軌道上のそれぞり，偶然にも磁場誤差（漏れ磁場）によって弱い集束力がれの場所でとにかく一番外側にいる粒子の場所を繋いで作得られていたにせよ，ビームを安定に加速させることは難った包絡線をベータトロン関数（ b で表す2 ）と言う。ましかった。もっと長い距離，安定に粒子を走らせるにはどた，個々の粒子がベータトロン関数で表される帯（筒と言うしたらよいか

最初の集束力は偏向磁石の磁極を少しうべきか）の中で行う振動をベータトロン振動と呼ぶ。

傾けることによって得られた。外側にいる粒子を内側に蹴ベータトロン関数を用いたビームの記述は，幾何光学におり戻す線形（位置の 1 次）の力を，集束力という。集束

いて光の帯がレンズによって幅を変えながら進んでいく様力によって初めて，粒子を非常に長い間加速器の中に閉じなイメージと数学的に等価であり，それがビーム光学といこめておくことができる様になったのである。

う言葉の所以でもある。

現代の一般的な加速器においては集束力を得るのに 4

ところで，現実の磁石の位置や磁場の強さには誤差があ極磁石が用いられている（Fig. 1 参照）。偏向磁石の磁極を少し傾けた場合は水平垂直両方向に対して同時に集束することができるが，4 極磁石の場合，水平方向に対して集束 （ Focusing ） で あ れ ば 垂 直 方 向 に 対 し て は 発 散（ Defocusing ）になっている（その場合を Focusing の 4

1

集束と発散を交互に用いて効果的に集束を行うことを言う。偏向磁石の磁極の傾きを大きくすると， 4 極磁石と同じく水平集束なら垂直発散という性質を持つようになる。集束力はその様な偏向磁石から得られるものであってもよい。
2 数学における b 関数とは全く異なるものである。

0801 茨城県つくば市大穂 1
1
高エネルギー加速器研究機構 物質構造科学研究所 〒305
864
5635 FAX: 0298642801 E-mail: kentaro.harada＠kek.jp
TEL: 029――(C) 2003 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

放射光Figure 2. FODO Lattice
FODO-lattice (QF: focusing quadrupole, QD: defocusing quadrupole).

第巻第号()

Figure 3. Illustration of COD
The dotted line shows the central orbit. The ‰at surface represents
the duct without any potential and the curved surface the focusing
and defocusing magnets with quadratic potential. If the center of thefocusing and defocusing potential is deviated, the central closed orbit is distorted like solid curve and this is called COD (closed orbitdistortion).

けるエネルギーのずれ）という中心軌道の周りをベータトロン振動するのである。
る 。 そ の 誤 差 に よ っ て 生 じ る 閉 軌 道 の 歪 み を ， COD(closed orbit distortion) という。ここでは，雨樋のような.

ベータトロン振動の安定性

ものとパチンコ玉を使って説明を試みる3。線形集束力はダクトの中を単に安定にまわすだけであれば 4 極磁石2 次のポテンシャルなので，断面が放物線型の雨樋を水平の集束力だけで十分であり，磁場誤差やエネルギーのずれに置くことを思い浮かべ，単なるダクトは粒子に力を及ぼが存在した場合の安定性も同時に確保される。しかし，強さないので平らな場所とする。その並びにパチンコ玉を通い集束力によってビームサイズを小さく抑えようとした場してみよう（この際，つなぎ目とか円形に閉じるための曲合，ベータトロン振動の安定性を確保することはそう簡単

げは忘れて）。雨樋が誤差無く並んでいれば玉はまっすぐではなくなる。ここでは，集束力が強い場合のベータトロに中心を通り抜けるが，誤差によって雨樋の位置が中心かン振動がどうして不安定になるかについて述べる。

らずれていると，軌道も微妙にずれてしまう。だが，誤差ベータトロン振動を不安定にする原因は共鳴現象であがそれほど大きくなければ，本来のまっすぐな軌道の近くる。共鳴とは，粒子が加速器内のある部分を通る度に力をを振動しながらパチンコ玉は安定にまわるであろう（Fig.

受け，それが常に粒子の振動の振幅を増大させる方向に働

3 参照）。すなわち，磁石に誤差があったとしても，設計くという現象である。振幅が爆発的に大きくなった粒子

軌道の近くのどこかに新たな閉軌道（ COD ）が存在し，は，最終的に真空ダクトの壁に当たって失われてしまう。

粒子はその周りをベータトロン振動するのである。なお，

リング一周のベータトロン振動数が整数（1 次の共鳴）や現実の加速器においては COD を小さくする（粒子の軌道半整数（2 次）などになった場合に共鳴が起き，一般に 3を本来の軌道に近づける）為に補正磁石という小さな偏向次共鳴（6 極磁石によって励起される）程度までが粒子を磁石が用いられている。

失わせる強い共鳴となる。例えば振動数が整数の場合，粒次に粒子のエネルギーのずれを考えよう。加速器の中の子は毎周回同じ場所を通って同じ力を受ける。非常に小さ

電子は光速であり，エネルギーの違いは質量の違いとなな磁場の誤差や非線形成分でも，何度も粒子を蹴ることでる。偏向磁石中で受ける力は同じでも，重い粒子は曲げら爆発的に振幅を増大させてしまい，最終的に粒子が失われれにくく軽い粒子は曲げられやすいのでエネルギーに応じるのである。中心軌道を通る蓄積ビームの振動数は勿論共た軌道のずれが生じてしまう。しかし集束力のおかげで少鳴でない場所に設定するが，エネルギーがずれている場合々の軌道のずれに対しては粒子の振動は安定に保たれ，閉や振動が大振幅の場合には振動数がずれてしまう。ずれの軌道の場所が変化するのみである。普通は重い粒子は設計大きさがあるところまで来ると共鳴に当たってしまうが，軌道よりも外側をまわり，軽い粒子は内側をまわる。粒子集束力が強い場合，エネルギーのずれや振幅の増大に伴うのエネルギーに応じたその様な閉軌道のずれを分散関数と振動数のずれが飛躍的に大きくなるのである。共鳴に当た言う。すなわち，エネルギーがずれた粒子は分散関数（かるまでの振幅の安定領域をダイナミックアパーチャ（エネルギーに対してはエネルギーアクセプタンス）というが，3

数学的には偏向磁石も 4 極磁石も線形の集束力であり，偏向磁
石の磁場の誤差と 4 極磁石の位置の誤差はともにポテンシャルの中心軸のずれとして記述できるので，この描像はある程度正しい。

如何にして広いダイナミックアパーチャを確保するかがビーム光学担当者（通称，軌道屋）の腕の見せ所である。

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ちなみに 4 極磁石の集束力は粒子のエネルギー（すな放射光第巻第号

()わち質量）に依るので，重い粒子の振動数は小さく，軽い粒子の振動数は大きくなる。このエネルギーによる集束力の違い（色収差）を補正しない場合，エネルギーのずれが1 に満たない内に整数共鳴にぶつかることとなる。そこで 6 極磁石を用いて色収差の補正を行うのである。6 極磁石のポテンシャルは 3 次曲線であり，リングの外側では正で内側では負4 となる。従って， 6 極磁石による力は，外側をまわる重い粒子に対しては集束，内側をまわる軽い粒子に対しては発散となり，4 極磁石の集束力の過不足を補正してやることができるのである。
なお，ビーム光学は粒子の進行方向（縦方向という）に対して垂直な方向（横方向という）を扱うが，ビームの進行方向に対しては RF 空洞によって集束力が与えられる。
分散関数の効果により，エネルギーの高い粒子は外側をまわり，エネルギーの低い粒子は内側をまわる。粒子は光速であるので，軌道長の差は RF 空洞への到達時間の差とな

Figure 4. Radiation Damping
Schematic illustration of the radiation damping. Ps is the longitudinal momentum and Px the transverse one. Because the photon isemitted in the forward direction of the particle, the total momentumof the particle is reduced to piDpph were Dpph includes a certain
fraction of the transverse momentum of the particle. By the acceleration at the RF cavity, the longitudinal momentum is increased by
Dprf that does not inlcude the transverse component. Therefore, after this process, the fraction of the transverse component in the total
momentum of the particle is reduced and the angular divergence ofthe beam becomes small.

る。電場の大きさが時間的にだんだん減っていく位相で加速を行えば，早く来た粒子（内側をまわって来た粒子）に対しては設計粒子よりも多く加速を行い，遅く来た粒子（外側を回って来た粒子）に対しては少なくできる。すな
わち，RF はエネルギーをそろえる方向の集束力を持つのである（位相安定性の原理）。
.

放射減衰と放射励起粒子の運動を安定に保つのは集束力だけではない。例えば，入射粒子は中心軌道からずれた場所に打ち込まれるので大振幅で振動を始めるが，0.1 秒も経たない内にすぐに振幅が小さくなって中心軌道上を回るようになる。これは加速器中の粒子5の振動に対する強力な減衰力のおかげである。ただし，振動を励起するメカニズムも存在するので，どんなに待ってもビームは線や点にはならない。次Figure 5. Radiation Excitation
The radiation excitation of the betatron motion arises from the synchrotron radiation at a location with nonzero dispersion functions.
``DE＝0'' shows the central orbit of on-momentum particles and``DE＝-u'' that of oŠ-momentum particles. (The amplitude of theoŠ-momentum orbit is the dispersion function times DE/E0.) Because of this diŠerence of the central orbit, after on-momentum particle emits photon, it begins to oscillate along the oŠ-momentum orbit.に，ビームサイズを決めるメカニズムでもある放射減衰と起であるが，曲げられて粒子が光を出す時，偏向磁石の中放射励起について述べる。
放射励起，放射減衰とも，その名の通り粒子が曲げられで連続的にすべての粒子が等しくエネルギーを失うわけでて光を出す6ことに起因している。粒子が光を出すとエネはない。量子力学的なミクロな視点で見れば，個々の粒子ルギーを失うので，それを RF 空洞で補ってやる必要があがまちまちな場所でまちまちなエネルギーの光子を放出しる。光は粒子自身の進行方向に向けて出されるので，粒子ているのである。従って，光を出した後の粒子の集団はエが中心軌道からずれた向きを向いていれば，そのずれた向ネルギーが不揃いになっており，量子力学からこの統計的きの運動量を必ず少し含む。ところが，RF 空洞による加な広がりをなくすことは不可能である。粒子のエネルギー速は常に中心軌道に平行な方向である（Fig. 4 参照）。従が変わると分散関数の効果で中心軌道がずれる為に，偏向って，光を出してエネルギーを失ってそれを RF で補う過磁石を通るたびに個々の粒子がまちまちに振動を始めるの程を繰り返していれば，中心軌道からずれた方向の運動量である（Fig. 5 参照）。これが放射励起である。メカニズがどんどん減って正しい方向の運動量だけになっていくのムから言って，ずれが大きければ減衰は大きく，励起の方である。これが放射減衰のメカニズムである。次に放射励はずれの大きさに無関係である。従って，放射減衰と励起のバランスで決まるある平衡状態のずれの大きさというも4集束の 6 極磁石の場合。実際には逆のポテンシャル（発散）の6 極磁石も用いて，水平垂直両方向に対して補正を行う。
5 電子と陽電子のみ。陽子など重い粒子について減衰は期待できない。
6 重い粒子は光を出さないので減衰が期待できないのである。のが存在し，それをエミッタンス e という。ちなみに，ビームの進行方向（エネルギーのずれの方向）に対しても同じ話が成立し，平衡状態での広がりをエネルギー広がりsE という。

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

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水平方向のビームの広がりは偏向磁石の中でエネルギーがばらついた粒子が振動を始めることが原因である為，その振幅を小さく抑える為には偏向磁石の中で分散関数を小さく抑えればよい。すなわち，低エミッタンスの加速器では，強い集束力によって分散関数を小さくしているのである。また，粒子を垂直（上下）方向に曲げる偏向磁石や挿入光源などがなければ，垂直方向には分散関数が存在しないので理論上はビームが全く広がらないことになる。ただし現実には，誤差磁場や水平垂直振動の結合によって垂直方向のエミッタンスが生じ，一般に水平方向のエミッタンスの 1 から10程度の値となる。
以上が軌道理論の概略である。ここからは具体的な話，ビームサイズ，入射効率，ビーム寿命について，それらがどのようにして決まるのか話したい。
.

ビームサイズ加速器中の電子のビームサイズは放射励起と放射減衰のバランスで決まる。その大きさはエミッタンス e と振動の包絡線であるベータトロン関数 b で書ける。また，エネ
ルギー広がり sE も常に存在するので，分散関数 h の存在する場所では粒子のエネルギーに依って軌道が変わる効果でビームサイズが広がる。結局ビームサイズは

s＝ eb＋h2s2Eとなる。なお，分散関数は偏向磁石と 4 極磁石をうまく並べれば，ある領域で消すことが可能である。例えば，偏向磁石を 2 台並べて，中央に 4 極磁石を置いてやる。粒子のエネルギーのずれに伴う偏向磁石の曲げの過不足を，中央の 4 極でうまく補うようにすれば，そのセクションの出 入 り 口で 軌 道を そ ろ える こ と がで き る（ Fig. 6 参照）。その様な領域を無収差（アクロマート）といい，挿入光源は分散関数のない場所に挿入されるのが一般的である。例えば e＝1 nmrad, b＝10 m, h＝10 cm, sE＝0.001とすれば，ビームサイズは 0.14 mm ，分散関数がなければ0.1 mm である。
.

入射効率
入射の際，ビームは中心軌道から離れた位置に打ち込ま

Figure 6. Example of the Achromatic Normal Cell(i) shows the optical functions of the quarter of the ring of NSLS at
HEFEI, China, (ii) is the geometry of the lattice and (iii) the typicalcentral orbit of on-momentum and oŠ-momentum particles (magniˆed). Since the achromatic section includes three bending magnets,
this lattice is called TBA (Triple Bend Achromat).

れる。入射ビームは大振幅で振動を始めるが，放射減衰の効果があるので振動は小さくなり，やがて蓄積ビームと一緒になってまわるようになる。重要なことは，入射ビーム粒子に注目した場合，その粒子の振幅は b が大きな場所の初期振幅を小さくすることと，大振幅のビームを安定にでは大きくなり， b が小さな場所では小さくなる。従っ蓄積することである。放射減衰する前に振動が不安定になて，入射点で b の値が大きければ，入射ビームの振幅はってしまったら，ビームを蓄積することが不可能になってリングの他の部分では相対的に小さくなる。入射ビームのリング 1 周を通じての平均の振幅を小さく抑えるには，しまう。
入射ビームの初期振幅は，入射点における蓄積ビームと入射ビームと蓄積ビームをできるだけ近づけ，かつその場入射ビームの位置関係，及び粒子の振動の包絡線である

所 で の b を 大き く すれ ばよ い ので あ る。 ただ し ，蓄 積

ベータトロン関数 b（とその微分）によって決まる。ある

ビームを入射ビームに近づけるのがキッカー電磁石，入射――放射光第巻第号

()ビームと蓄積ビームの間に存在して入射ビームの向きを蓄

物理口径を広くとっても，力学口径が広くなければ意味積ビームと平行にするのがセプタム電磁石の役割である。

がない。例えば，低エネルギーの放射光源のビーム寿命を

ただし，蓄積ビームをあまり入射ビームに近づけると，セ決める最大の要因はタウシェック散乱であるが，それは水プタムに蓄積ビームが当たってなくなってしまうし，b を平方向にベータトロン振動している粒子同士がぶつかり，大きくしすぎると，1 周して戻ってきた入射ビームがセプ縦方向に散乱され，RF で集束しきれないほど大きくエネタムの内側に当たってしまうことになる。ビーム光学に従ルギーがずれてしまうという現象である。RF の安定領域って適当な入射パラメータが決定される。

（bucket height物理口径）から外れた粒子はエネルギー

いずれにしても入射ビームの振幅は大きく（一般に数のずれがどんどん増大していき，最終的には分散関数の大cm），それを安定に保つには広いダイナミックアパーチャ

きな場所でダクトの壁に当たって失われるのである。しかが必要である。ダイナミックアパーチャが広ければ入射粒しながら，RF の安定領域内に存在しながらもエネルギー子のほとんど全てを蓄積することも可能であるが，逆の場のずれによって中心軌道が大きくずれ，エネルギーはそれ合，入射ビームのほとんどは失われてしまい，電流を貯め以上ずれなくともベータトロン振動の振幅が共鳴により増る為に長い時間がかかることとなる。

大して失われる場合もある。ダイナミックアパーチャが寿命に影響する場合である。すなわち，タウシェック散乱に.

よる寿命を延ばす為に RF 電圧を上げて安定領域を広げてビーム寿命
最後にビームの寿命について述べる。粒子の振動が天体も，ダイナミックアパーチャがそれよりも狭ければ結局粒間を走破するほど安定なのに，どうして蓄積していると電子は失われる為に寿命は延びないのである。また，残留ガ流が減っていくのか様々な現象が関わる難問である

スによって散乱された電子が放射減衰に依って再び蓄積が，粒子を失わせる原因は主に散乱と共鳴振動である。散ビームに取り込まれる場合にも，大振幅の電子の安定性，乱には，まわっている電子同士の散乱や真空中に漂っていすなわち広いダイナミックアパーチャが必要であることはる残留ガスによる散乱，電子が光を出した際の反跳がある言うまでもない。この場合はダクト（物理口径）よりも広が，1 回の散乱でダクトの壁に当たってなくなる場合と，いダイナミックアパーチャが確保されていれば問題ない。

散乱されたことによって振動の振幅やエネルギーのずれがなお，寿命を延ばす為のみならず，性能向上の為の工夫に大きくなり，その瞬間の振幅ではダクトに当たらないが，も広いダイナミックアパーチャは必要である。ダイナミッ共鳴が励起されて放射減衰する前に爆発的に振幅が大きくクアパーチャの狭いリングは何をやるにも難しい。

なり，最終的にダクトの壁に当たって粒子がなくなる場合

さて，以上でビーム光学の話を終えるが，現実の加速器とがある。ダクトの中で粒子がまわる領域を口径と呼ぶ

においてはビーム光学だけでは現象を説明しきれない場合が，真空ダクトの壁のように物理的に制限される口径をフがほとんどである。例えば，今回説明したビームサイズやィジカルアパーチャ（物理的口径），共鳴振動の様な力学入射，寿命についてはビーム不安定性が非常に大きな影響的な運動を介して制限される口径をダイナミックアパーチを持つ。様々なビーム不安定が存在し，複雑に影響を及ぼャ（力学的口径）という。

すのであるが，それは別の機会にまわしたい。

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