数のあそび
今日は少し数を用いた遊びのような話をしてみたいと思います。ぜひ筆記具を用意して、各点確かめつつお読み下さい。途中で少し、高等学校で学習する『図形と方程式』の考え方を使いますが、それ以上の特別な知識は必要ありません。

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有名な定理なのでご存知の方もおられると思いますが、素数を 2 個の平方数（n2 の形の整数）の和で表そうとすると、たいへん赴き深い法則が観察されます。たとえば 2 であれば

2 = 12 + 12
同様に 5 や 13 も

5 = 12 + 22
13 = 22 + 32というように 2 つの平方数の和で表すことができます。しかし、同じことを 3, 7, 11 について試してみると、どういうわけか、この形には書くことができない。読者はこの先を読まれる前に、19, 23, 29, 31といった素数を m2 + n2 の形に書くことができるか、ご自身で確認してみられることをお勧めします。
はじめはきっと『変な遊びだなあ』と思われるでしょうが、これが深い話の入り口なのです。そして、2つの平方数の和で書ける素数と書けない素数の間に、どんな違いがあるのか考えてみてください。12, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, …
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, …

素数と平方数1

この先、何度か同じような問いかけがありますが、問題を出しているのではありませんので、気楽に読み進めてください。
結果を見てから、本当にあっているか自分で確認してみる、という読み方もおすすめです。

1

結果は次のようになります：

2 = 1 2 + 12
3=
5 = 1 2 + 22
7=
11 =13 = 22 + 32
17 = 12 + 42
19 =
23 =
29 = 22 + 52
31 =..
.
このように、31 までの素数のうちでは 2, 5, 13, 17, 29 だけが 2 つの平方数の和に表されます。ここには以下のような不可解な法則を見て取ることができます： 3 以上の素数について

4 で割って 1 余る素数は、2 つの平方数の和に書くことができる。
4 で割って 3 余る素数は、2 つの平方数の和に書くことができない。

(は)つまり素数を 4 で割ったときの余りと m2 + n2 の形に書けるかどうかということが関係しているのです。
この規則はどんなに大きな素数に対しても成り立つことが証明されています。

∗
こんな奇妙かつわけのわからないことには日頃滅多に出あわないのではないでしょうか。こういった不思議な規則を一体どのようにして証明するのか、高校の数学を学んでいる段階では想像もつかないのではないかと思います。現実の世界を記述する数学の根もとの部分に、このように謎めいた事実が確かに存在しているのです。いつか理由を理解してやろうと思っている方も居られると思いますので、末尾に文献を挙げておきます。非常に難しいというわけでもないですが、今日はその話はしません。もっとやさしい話をします。

なお、この定理は、フェルマーの最終定理で有名なフランスの法律家／数学者ピエール・ド・フェルマー (Pierre de Fermat) が他の数学者に宛てて書いた 1640 年 12 月 25 日（日本は徳川家光の時代）の手紙に述べられています。ただ、ほかの多くの定理同様に氏は証明を書き残すことをしませんでした。現在まで知られている最初の証明は、1747 年にレオンハルト・オイラー (Leonhard Erler) によって得られたものです。

ピエール・ド・フェルマー
Pierre de Fermat2

1608 - 16652
さて、素数とは限らない一般の 自然数 を 2 つの平方数の和に書いてみるとどうなるでしょう。たとえば
25 で試してみると25 = 52 + 02 = 32 + 42というように、複数の方法で表すことができます。同様に 65 も65 = 12 + 82 = 42 + 72と複数とおりで表せます。では、もっとたくさんの方法で m2 + n2 の形に表せるような自然数を見つけることはできないのでしょうか。

3

そこで、各々の自然数に対して、2 つの平方数の和で表す方法が何通りあるのか具体的に数えて調べてみましょう。少し複雑になりますが、あとの目論見のためにここでは (+1)2 と (−1)2 などを区別し、また加える順番の違いも区別することにします。たとえば 25 は

25 = 52 + 02 = 02 + 52 = (−5)2 + 02 = 02 + (−5)2= 42 + 32 = 32 + 42 = (−4)2 + (−3)2 = (−3)2 + (−4)2= 42 + (−3)2 = (−3)2 + 42 = (−4)2 + 32 = 32 + (−4)2というように、12 通りと数えることにします。すると 9 までの結果は次のようになります。

1 = 02 + (±1)2 = (±1)2 + 022（4 通り）

2（4 通り）

2 = (±1) + (±1)
3=

4 = 02 + (±2)2 = (±2)2 + 02
22（4 通り）

22（8 通り）

5 = (±1) + (±2) = (±2) + (±1)
6=7=8 = (±2)2 + (±2)222（4 通り）
2

9 = 0 + (±3) = (±3) + 0..
.

2（4 通り）

便宜のため、記号 d(n) を使って n を 2 つの平方数の和で表す方法の数を表すことにして、上の結果をd(1) = 4,d(2) = 4,d(3) = 0,d(4) = 4,d(5) = 8,...と表記しましょう。この d(n) についても、(は) を反映した次のような見事な関係式が成り立ちます：{}
d(n) = 4 (n の「4m + 1」型の約数の数) − (n の「4m + 3」型の約数の数) .
(る)
たとえば n = 5 のときを考えると、上述のように d(5) = 8 ですが、5 の約数のうち「4m + 1」型なのは1 と 5 の 2 つ、また「4m + 3」型の約数はありませんので右辺は 4 × (2 − 0) = 8 となり、確かに関係が成り立っています。また n = 25 のときは、「4m + 1」型の約数は 1, 5, 25 の 3 個、「4m + 3」型の約数はありませんので、d(25) = 12 となり上に述べた結果に一致します。
式 (る) を用いれば、たとえば 5 × 13 × 17 =1105 が『32 通り』の方法で m2 + n2 形に表せることも分かります。
1105 = 42 + 332 = 92 + 322 = 122 + 312 = 232 + 242
これに順序と符号を替えたものを併せると 32 通りになります。

公式 (る) は 19 世紀プロセイン王国 (現ドイツ) の数学者
カール・ヤコビ（Carl Jacobi）によって導出されました。

43
さらに発展させて、先ほどの表に出てきた数の平均をとってみましょう。前節で見たように、1, 2, . . . 9
を平方数の和で表す方法の数はそれぞれ 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4 ですから、平均すると(4 + 4 + 0 + 4 + 8 + 0 + 0 + 4 + 4) ÷ 9 = 3.11 . . .となります。この値は調べる数の範囲を大きくするにつれて円周率 π に近づいていきます。たとえば 100までの平均は 3.16 通り、1000 までなら 3.148 通り、10000 まで調べると 3.1416 通りになります。つまり、自然数を m2 + n2 のかたちに表す方法は平均して π 通りある

(す)

これが今日の題です。さっきまで余りだの約数だのと整数らしい話をしていたところに突然 π が現れたので、意外に感じられたかもしれません。
でも、ここに π が現れた理由は、次頁以降で見るように比較的かんたんに理解することができます。
ここまでどんどん話を複雑にしてきたように見えて、実は (す) だけは易しいのです。

5

それでは、命題 (す) を論証していきます。

a
証明に先立って、議論のなかで中心的な役割を果たす大切な考え方を説明しておきます。
平面上のなめらかな閉曲線の囲む領域の面積を測りたいとする。領域が十分に大きければ、その面積は領域内にある格子点の個数におおよそ等しい。2下の図では、水色の点々で示しています。特に、領域の面積が大きければ大きいほど全体に対する誤差の割合は小さく無視できるようになります。これは積分（求積）の考え方のひとつのあらわし方と見なす事もできます。

6-

ここでは厳密に証明しませんが、閉曲線内のそれぞれの格子点のまわりに、格子点を中心とする 1 × 1の正方形を書いてみると、領域の面積を格子点数で近似できることがわかると思います。

2格子点というのは x 座標と y 座標がともに整数であるような点のことです。上の図では、水色の点々で示しています。

6b
次に、円の方程式について復習しておきましょう。方程式 x2 + y 2 = r2 は半径 r の円を表すのでした。
中心は原点にあります。このことから

d(n) は円 x2 + y 2 = n 上にある格子点の個数であることがわかります。例えば d(5) = 8 でしたが、これは半径(±2, ±1) の位置にあることに対応します。

√5 の円上に格子点が 8 つ、(±1, ±2) とy 6x07c
さて、b で述べたことから

d(1) + d(2) + · · · + d(n) + 1 = (半径√n の円の内部にある格子点の数)(ぎ)が成り立ちます。n が十分大きいと仮定したとき、右辺はおおよそ円の面積 nπ に等しいので

d(1) + d(2) + · · · + d(n) ∼ nπ
つまりd(1) + d(2) + · · · + d(n)∼π(て)nと書くことができる。ここで記号 ∼ は『おおよそ等しい』という意味で使っています。 n を大きくしていくと誤差はなくなると考えられるので、(す) が導かれます。（証明おわり）

8結論
背景がわかってしまえば、(す) に π が現れることは実に自然なことだといえます。ここでの証明の書き方は厳密なものではありませんが、微積分法を使えば、この議論に沿って厳密な証明を組み立てることはそれほど難しくありません。文献 [1] には本稿と同じ線に沿った証明が載せられています。
（原典は Gauss3の論文 です。）一方で、1 で述べた定理 (は) はなかなか自然なこととは思えない、奥の深い話といっても良いと思います。この定理は『Fermat の 2 平方数定理』などの名前で知られ、証明は [1], [2], [3] などにあります。また 2 で登場した公式 (る) は『Jacobi の公式』などと呼ばれ、証明は [1] などにあります。

数論についてもっと知りたいという方には、加藤和也氏の書かれた入門書 [4] をおすすめします。身近で具体的な話からはじまるのでわかりやすく、数論という分野の広がりも感じることができるとてもよい本です。高校生にも読めるように書かれたということで、ここに挙げた文献の中ではもっとも読みやすいものだと思います。同じ著者による書籍 [5]は、最近の発展を含むより高い内容について、できるだけ予備知識を必要とせずに解説することを目的にしています。数学科や物理学科の大学生・院生がよく読んでいるような水準の本ですが、最初のほうはやさしく書かれているので、数学が得意な高校生くらいの方も、敬遠せず手にとってみて少し雰囲気を味わってみるのも良いかと思います。

加藤 和也
1952 -

今回の話のように、奥深い理論の一部分だけに手が届く、という現象は他の分野においても時々おこることで、これは高い木の枝の先についた果実がたまたま手が届くところまでぶら下がってきている状態に似ていると私は思います。平均という上手な方法で情報を切り取った (す) の結果とその証明は気の利いたものですが、(は) や (る) なども含む全体の理論の流れというのはどっしりとしていていて広がりもあり、多様な読み方を許容するため息が出るほど見事な構造をもつものです。上に挙げた文献などとともに、ぜひ、そちらの方も機会があったら探求してみて頂きたいと思っています。

[1]『数論入門 I』（G. H. ハーディ・E. M. ライト，シュプリンガー・フェアラーク東京，2001 年／丸善出版，2012 年），『数論入門 II』（G. H. ハーディ・E. M. ライト，シュプリンガー・フェアラーク東京，2001 年／丸善出版，2012 年）[2]『数論 I』（加藤和也・黒川信重・齋藤毅，岩波書店，2005 年），『数論 II』（加藤和也・黒川信重・齋藤毅，岩波書店，2005 年）[3]『天書の証明』（アイグナー・ツィーグラー・ホフマン，シュプリンガー・フェアラーク東京，2002 年／丸善出版，2012 年）[4]『数論への招待』（加藤和也，シュプリンガー・フェアラーク東京，2012 年／丸善出版，2012 年）[5]『フェルマーの最終定理・佐藤-テイト予想解決への道』（加藤和也，岩波書店，2009 年）
2015 年 7 月24日 もやもや論者（奈良女子大）3

C. F. Gauss, “De nexu inter multitudinem classium, in quas formae binariae secundi gradus distribuuntur. earumquedeterminantem,” commentatio prior Societati Regiae exhibita (1834); Werke, 2, 269-291.

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Note奈良女子大学には、数論の研究を専門に行っている研究室があります。興味のある方は、以下のリンクからホームページを訪問してみて下さい。
数物科学科（数学）：http://www.nara-wu.ac.jp/rigaku/2014/course_math.html（おわり）10