（1）査

読

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ
積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響
戸
三

要

塚
井

英
秀

臣
俊

約

本論文は，ハミルトニアン・モンテカルロ法で用いられるリープフロッグ積分による SV モデルの推定結果への影響について検証したものである．ハミルトニアン・モンテカルロ法の採択確率は，リープ
フロッグ積分で用いられるステップサイズとステップ数の２つのパラメータに依存すると言われている．そこで，この２つのパラメータの値をいくつか変えて，テストデータ，日経平均株価と東証株価指数の日次収益率を用いて，非対称 SV モデルの推定を行なった．その結果，非対称 SV モデルの推定結果は，リープフロッグ積分の２つのパラメータに依存しないことが分かった．一方，非効率性因子は，
ステップサイズに依存しないが，ステップ数には依存することが明らかとなった．同時に，日経平均株
価と東証株価指数の日次収益率を用いて非対称 SV モデルの実証分析を行なった．ボラティリティに対するショックの持続性を表すパラメータは１に近い値となること，また，収益率とボラティリティの間には負との相関があることが示され，先行研究と整合性のある結果となった．
Ⅰ．はじめに近年，ベイズ統計を基にしたマルコフ連鎖モンテカルロ（Markov Chain Monte Carlo; 以下，略してMCMC）法の一つであるハミルトニアン・モンテカルロ（Hamiltonian Monte Carlo; 以下，略してHMC）法に注目が集まっている 1）．HMC 法は，統計モデルのパラメータの更新に物理学で開発された
分子動力学法 2）を用い，更新されたパラメータの採択・棄却判定にはメトロポリス・ヘイスティングス（Metropolis-Hastings; 以下，略して M-H）法を用いている．このように HMC 法では，分子動力学法と M-H 法の２つの異なる手法を組み合わせているためハイブリッド・モンテカルロ（Hybrid Monte
Carlo）法とも呼ばれる．HMC 法では，MCMC 法でよく用いられる M-H 法やギブスサンプリング（GibbsSampling）法とは異なり，一度に多くのパラメータをサンプリングしても採択確率が低下しないといHMC 法は，Duane et al.（1987）によって素粒子物理学の格子 QCD（Quantum Chromo Dynamics）計算においてゲージ配置を効率よく生成する方法として考案された．詳しくは，Mackay（2003, Chapter 30），Neal（1994），
Neal（2011）を参照．
2） 分子動力学法とは，相互作用する分子や原子の運動をニュートン力学や解析力学等の古典力学を用いて数値的に解く方法である．詳しくは，Alder and Wainwright（1956）を参照．
1）

− 1 −

（2）

経済集志

第 91 巻第１号

う特徴がある．HMC 法のパラメータの更新を行なう分子動力学法では，ハミルトンの運動方程式が用いられる．ハミルトンの運動方程式は解析的に解けないため，数値積分で近似的に解く必要がある．
HMC 法が，MCMC 法の基本条件の一つである詳細釣り合い条件（detailed balance condition）を満足するためには，この数値積分は時間反転性と体積保存を満足する必要がある．これら２つの条件を満足する数値積分法はシンプレクティック数値積分（symplectic integrator）法と言われ，HMC 法では，２次のシンプレクティック数値積分法であるリープフロッグ（leapfrog）積分が用いられる．リープフ
ロッグ積分では，一度の更新で進める時間を表すパラメータとして，ステップサイズとステップ数の２つがある．ステップサイズとステップ数は，それぞれハミルトンの運動方程式の安定性とサンプリングの効率性に影響を与えるパラメータである．本論文では，確率的ボラティリティ変動（Stochastic
3）
Volatility; 以下，略して SV）
モデルを用いた HMC 法による実証分析を通じてリープフロッグ積分の２つのパラメータによる推定結果への影響について分析することを目的とする．
株式，株価指数，外国為替相場等のリスク資産収益率の時系列データは，ボラティリティと呼ばれる
２次のモーメントの変動が注目される．このようなリスク資産収益率データの分析では，SV モデルが広く用いられている．また，株式市場には，株価収益率とボラティリティとの間の関係として，ある種の非対称（asymmetry）な動きがあることが知られている．つまり，株価収益率が下落すると，次期にはボラティリティは上昇し，株価収益率が上昇すると，次期にはボラティリティは下落する傾向があるとしている（leverage eﬀects）．これは，株価収益率とボラティリティとの間には負の相関があることを示唆している．本論文では，このような非対称性を取り入れた SV モデルをレバレッジ効果を考慮した SV（SV with Leverage; 以下，略して SVL）モデルと呼び，分析モデルとする．
SVL モデルでは，潜在変数（latent variable）を含んでいること等からモデルのパラメータを最尤推定することが困難であり，最尤法に代わる推定方法が必要になる．この問題に対処するため，多くの先行研究では MCMC 法を用いたベイズ推定を行なっている．SVL モデルでは，モデルを記述するパラメー
タだけでなく潜在変数であるボラティリティも同時に事後分布からサンプリングする必要がある．そのためボラティリティは，観測個数と同じ個数になり，効率的にサンプリングすることが重要となる．リ
スク資産収益率に関して MCMC を用いた SVL モデルのベイズ推定による実証研究として，Yu（2005），
Omori et al.（2007）， 大 森・ 渡 部（2008）， 石 原・ 大 森（2008），Omori and Watanabe（2008），
Takahashi et al.（2009），Nakajima and Omori（2010），中島・大森（2011）等がある．
上記の SVL モデルを利用した先行研究では，MCMC 法として，M-H 法やギブスサンプリング法が利用されている．しかしながら，これらの MCMC 法は，多くの確率変数を一度に推定すると棄却率が小さくなる等の問題点があるため，Takaishi（2008，2009，2013）では，SV モデルの推定に関して
Hybrid Monte Carlo 法 を 用 い た ベ イ ズ 推 定 を 提 案 し て い る．Nugroho and Morimoto（2015） は，
HMC 法 を 改 良 し た Riemann manifold Hamiltonian Monte Carlo 法 4） を 用 い て SVL モ デ ル に よ り
TOPIX, S&P 500（Standard & Poorʼs 500 Stock Index）に関して実証分析を行なっている．また，戸塚・三井（2020）は，HMC 法を用いて米ドル・円為替レート等の外国為替相場の日次収益率データに対し，
SVL モデルを使用してベイズ推定を行なっている．しかし，これらの研究では，SVL モデルの推定結果へのリープフロッグ積分の２つのパラメータに対する影響について，充分な議論は行なわれていない．
3）
4）

SV モデルとその発展に関して詳しくは，Ghysels et al.（1996），Shephard［ed.］（2005），渡部（2005）を参照．
詳しくは，Girolami and Calderhead（2011）を参照．
− 2 −ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（3）

本論文では，テストデータ，日経平均株価と東証株価指数（Tokyo Stock Price Index; 以下，略してTOPIX）の日次収益率を用いてリープフロッグ積分のステップサイズとステップ数の値が推定結果に与える影響について検証を行なった．２つのパラメータの値を変えて推定した SVL モデルのパラメー
タの事後平均と 95％信用区間は，２つのパラメータに依存せず，ほぼ同じ値であることが示された．
また，SVL モデルのパラメータの採択確率も２つのパラメータに依存せず，SVL モデルのデータの当てはまりに依存する可能性が示唆された．一方，非効率性因子（ineﬃciency factor）はステップサイズには依存しないが，ステップ数が小さいと非効率性因子が大きく，ステップ数が大きくなると非効率性因子が一定値に近づく傾向が明らかとなった．
本論文の以下の構成は次の通りである．第Ⅱ節では，
ハミルトニアン・モンテカルロ法とリープフロッ
グ積分について概観する．第Ⅲ節では，SVL モデルについて解説する．第Ⅳ節では，HMC 法におけるリープフロッグ積分のパラメータ依存性を検証する方法とデータについて説明する．第Ｖ節では，HMC 法を用いた実証分析の結果とリープフロッグ積分のパラメータ依存性の分析結果を述べる．第Ⅵ
節では，結論と今後の課題について言及する．
Ⅱ．HMC 法１

ハミルトン力学
HMC 法では，パラメータの更新に物理学で開発された分子動力学法を用いている．分子動力学法とは，原子や分子の運動をハミルトン力学に基づく運動方程式を数値積分することで再現するシミュレー
ション方法のことである．ここでは，HMC 法の説明に必要なハミルトン力学について簡単に述べる．
ハミルトン力学では，系の状態は一般化された座標と運動量（qj, pj）,（ j＝1, ．．．, d）が張る位相空間の一点に相当し，系の時間発展は位相空間の軌跡で与えられる．この系の時間発展を表す軌跡の方程式が，以下のハミルトンの運動方程式，
dqj ∂H,＝dτ ∂pj

（１）

dpj
∂H
＝−
dτ
∂qj

（２）

となる．ここで τ は時間を表す．また，H はハミルトニアンと呼ばれ，系のエネルギーを表し，
d
pj2
≡K（p）
＋U（q）
＋U（q）
H（q, p）
＝
（３）
2mj
j =1
と定義される．K（p）と U（q）は，系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーをそれぞれ表す．また，mj は質点の質量である．
２

ベイズ推定と HMC 法

統計モデルのパラメータを θ＝ { θj } j =1，データを y＝{ yi } i =1 とすると，ベイズ推定法における事後分布f（θ￨y）は，nd（f θ￨y）＝（f y￨θ）（f θ）（
f y￨θ）
f（θ）
dθ

（４）

と表される．ここで，f（ y│θ）は尤度関数，f（θ）はパラメータ θ の事前分布である．また，
（４）式の
− 3 −

（4）

経済集志

第 91 巻第１号

分母は，規格化因子であり，周辺尤度とも呼ばれる．本論文では，事前分布が事後分布に与える影響を小さくするため，事前分布に無情報事前分布を用いる．なお，無情報事前分布とは，事前にパラメータに関する情報がない場合や，事前分布を設定する根拠がない場合などに用いられる分布のことである．
f p） と， パ ラ メ ー タ θ の 共 役 運 動 量 と 呼 ば れ る（ ４） 式 の 事 後 分 布 と は 独 立 な 標 準 正 規 分 布 （p＝ { pj } dj=1を導入する．この共役運動量の標準正規分布，

（ ）

1
p2
exp −
f（θ）
＝
2
√2π

（５）

f θ, p￨y ）は，と（４）式の事後分布との同時分布 （（f θ, p￨y ）=（f θ￨y ）
（
f p）

（６）

で与えられる．HMC 法ではこの同時分布から乱数を発生させる．（６）式より，（（
f θ, p￨y ）∝exp −）p2+ log （f y￨θ）
2= exp［−H（θ, p）]（７）となる．ここで，H（θ, p）=

1 2
p −log （f y￨θ）
2（８）をハミルトニアンとして定義する．HMC 法では，パラメータ θ と共役運動量 p は（１），（２）式に従うと考える．ただし，ここでの τ は仮想的に導入された時間を表すものとする．
HMC 法による乱数列 θ （k = 0, 1, 2, ...）の発生は以下のステップによって実行される．以下の１．か（k）

ら６．までの試行をモンテカルロ・ステップと呼ぶことにする．
1（ pi ）（k）2

１．パラメータ θi の共役運動量 pi を標準正規分布 √2π exp − 2
（k）

（k）

に従う乱数として発生させる．

なお，共役運動量 pi をランダムに発生させることが，マルコフ連鎖であることを示している．
（k）

２．初期時刻 τ＝０でのハミルトニアンHinit = H（θ , p ）を計算する．
（k）

（k）

３．３項で説明するリープフロッグ積分を用いて，（１），（２）式の微分方程式を数値的に解くこと
（k）
（k）
（k）
（k）
（k） （k）
により，初期状態（θi （τ = 0）, pi （τ = 0））=（ θi , p i ）から終状態（θ i（τ = τfin ）, pi （τ = τfin ））まで時間発展させる．

（θ（k）（τ = τfin）, p（k）（τ = τfin ））４．終状態のハミルトニアンHfin = Hを計算する．

５．新しい乱数の候補を次の確率 P で選択する．
P = min［1, exp（−Hfin + Hinit ）]．

（９）６．上記のステップを繰り返す．
３

リープフロッグ積分（１），（２）式のハミルトンの運動方程式は解析的に解けないため，差分化して数値的に解く必要がある．HMC 法が詳細釣り合い条件を満足するためには，（１），（２）式のハミルトンの運動方程式の− 4 −ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（5）

数値積分法が時間反転性と体積保存を満たす必要がある．それらの条件を満足する数値積分としてリー
プフロッグ積分が用いられる．リープフロッグ積分では，パラメータ θ と共役運動量 p をずらして時間発展させる．つまり，パラメータ θ と共役運動量 p は，ステップサイズ∊の半分ずれた時間で定義される．リープフロッグ積分で差分化された（１），（２）式は，∂H（θ, p）
（k）
,
p（k）
τ+
−
= pj （τ ）j∂θj22θ = θ（τ）（）（）
θ （τ + ）= θ （τ ）+ p τ +（ 2 ）,
（k）

（k）

（k）

j

j

j

（

（k）
p（k）
（τ + ）= pj τ +
j

2

（10）
（11）

）−（ 2 ） ∂θ∂H（θ, p）jθ = θ（τ + ）（12）となる．１回のモンテカルロ・ステップで進む仮想的な時間 τﬁn とリープフロッグ積分のステップサイ
ズ∊から，リープフロッグ積分を繰り返すステップ数 N は τﬁn＝∊N を満足する．
リープフロッグ積分による SVL モデルの推定結果への影響を調べるために，ステップサイズとステッ
プ数を変えて検証を行なう．
検証に用いたステップサイズとステップ数の組み合わせは次の通りである．
ステップサイズの影響を調べるために，ステップサイズとステップ数を（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）と変えて推定を行なう．次に，ステップ数の影響を調べるために，ステップサイズを0.02 に固定し，ステップ数を 50，250，500，2,000，3,500，5,000 と変えて推定を行なう．ステップサイ
ズは，
（10）
−
（12）式の微分を差分で近似する際の計算精度に影響を与える．したがって，ステップサ
イズの影響を調べるためには，
ステップサイズとステップ数の積を一定として，
ステップサイズとステップ数を同時に変化させる必要がある．次に，ステップ数は，（８）式で与えられるハミルトニアンで時間発展するパラメータ θ の仮想的な時間の間隔を表す．したがって，ステップ数の影響は，ステップ
サイズを一定の下でステップ数を変化させることで，推定されるパラメータ θ の時間間隔依存性を調べることである．
Ⅲ．SVL モデル
ファイナンスの時系列分析で通常利用される SV モデルは，
収益率 yt とボラティリティ σt ＝ exp（ht/2）の過程を ht ＝ lnσ 2t として 5）以下のように記述される．

yt＝exput，t＝1，（ht/2）
．
．
．
，n，

（13）

ht＋1＝μ＋φ（ht−μ）＋ηt，t＝0，
．
．
．
，n−1，

（ ） （
ut
ηt

〜i.i.d.

0
0

,

1 0
0 ση2

）
.

（14）
（15）

ここで，ut は平均０，分散１，ηt は平均０，分散 ση2 の正規分布に従う誤差項である．i.i.d. は，過去と独立で同一な分布（independent and identically distributed）を表す．ht はボラティリティの変動を示
す潜在変数となる．μ はボラティリティの平均を表し，φ はボラティリティのショックの持続性を表す
パラメータである．定常性の条件より，│φ│< 1 と仮定する．（14）式は，潜在変数 ht が１次の自己回
5）

ボラティリティ σt が負にならないようにするためである．
− 5 −

（6）

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第 91 巻第１号

帰過程に従うことを示している．非対称な動きをモデルに与えるには（13）式と（14）式で ut と ηt に対して相関関係を考えれば良い．ut と ηt とが，相関関係 ρ を持つとして SVL モデルを構築すると，

（ ） （
ut
ηt

〜i.i.d.

0
0

,

1
ρσ η

ρσ η
σ η2

）

（16）

となる．
（13）
，
（14）
，
（16）式からなるモデルは SVL モデルとなる．SVL モデル（13），（14），（16）f y│θ）は次のよう式の未知パラメータ（φ, ση, ρ, μ）をまとめて θ で表すと，SVL モデルの尤度関数 （に表される．
（f y￨θ）=

yt2exp −2 exp（ ht ）2π exp（ ht）
1

n

···

t =1

×

t =1

×

1

n−1

2πση2

2

−ρσ η yt exp（−h t/ 2）}{h t+1 −µ−φ（ht−µ）
exp −
2
2
2
2ση（1 −ρ ）1− ρ
2

（1 −φ 2 ）（h1−µ）
exp −dh1 ...dhn .
2
2ση2
2πση

1−φ 2

（17）

この積分は解析的に解けないため，SVL モデルのパラメータは最尤推定することが難しい．そこで
ボラティリティの対数値である ht を潜在変数として，他の未知パラメータと同様に HMC 法でサンプリングをして，モデルのパラメータと潜在変数を推定するために HMC 法による MCMC アルゴリズム
を以下のステップで行なう．
１．θ, h の初期値を設定する．
モデルのパラメータと潜在変数の事前分布には無情報事前分布を仮定する．
２．h│θ, y からサンプリングする．
HMC 法を用いて潜在変数 h をサンプリングする．
３．θ│h, y からサンプリングする．
HMC 法を用いてモデルパラメータ θ をサンプリングする．
４．２に戻る．
本論文では，HMC 法によるベイズ推定を用いて，SVL モデルのパラメータの推定を行なう．
Ⅳ．検証方法１

検証データ
リープフロッグ積分による計算結果のパラメータ（∊, N ）の依存性を検証するために，SVL モデル− 6 −ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（7）により作成したテストデータ，日経平均株価，TOPIX の３つのデータを用いる．テストデータは，
SVL モデル（13），（14），（16）式を用いて作成した．テストデータを作成する際に用いたパラメータは，（φ, ση, ρ, μ）＝（0.90，0.50，− 0.60，− 0.20）であり，作成したデータ数は日経平均株価と TOPIX の日
次収益率の観測個数と同一の 1,221 とした．日次収益率の算出 6）には，日経 NEEDS-FinancialQuest から取得した日経平均株価と TOPIX の終値を用いた 7）．日経平均株価と TOPIX のデータの期間は 2015
年１月５日から 2019 年 12 月 30 日までである．日経平均株価と TOPIX の日次収益率のサンプル期間
は 2015 年１月６日から 2019 年 12 月 30 日までであり，観測個数は 1,221 である．表１にテストデータ，
日経平均株価，TOPIX の日次収益率の要約統計量 8）を示す．
表１

テストデータと株価指数の日次収益率の要約統計量
2015 年１月６日−2019 年 12 月 31 日
平均

標準偏差

テストデータ0.0481（0.0333）

日経平均株価TOPIX

歪度

観測個数 1,221

超過尖度

最大値

最小値

1.16370.781417.1804（0.0701） （0.1402）

12.8962−7.69850.0251（0.0351）

1.2257−0.34146.1453（0.0701） （0.1402）

7.4262−8.2529

0.0169（0.0334）

1.1665−0.3498
6.6610（0.0701） （0.1402）

7.7153−7.5324（注）括弧内の数値は標準誤差を表す．観測個数を N，標準偏差を s とすると，平均，歪度，6/N
24/N である．
超過尖度の標準誤差はそれぞれ，s / √N２

計算条件と収束判定
HMC 法によるベイズ推定においては，稼働検査期間（burn-in period）として最初の 10,000 個を捨てた後，100,000 個の確率標本を発生させ，MCMC の標本の独立性を保証するため標本の抽出は５つおきに合計 20,000 個を用いた．また，同時に走らせる MCMC の数（チェーン数）は３とした．なお，本論文における数値計算は全てＣ言語を用いている．
HMC 法の妥当性を調べるために，サンプリングによって得られた値が，ある事後分布に収束しているか判断する必要がある．この収束診断の方法はいくつかあるが，本論文では発生させた確率標本の時
系列プロットの目視による判定と，Gelman-Rubin（以下，略して G-R）統計量を併用して判定を行なう．
なお，G-R 統計量が１に近い場合，連鎖が定常状態に収束していると判断できる 9）．

St を t 時点の日経平均株価とするとき，t 時点の日経平均株価の日次収益率 yt は，yt＝（ln St−ln St−1）×100 であり，
また，It を t 時点の TOPIX の水準とするとき，t 時点の TOPIX の日次収益率 yt は，yt＝（ln It−ln It−1）×100 となる．
7） 本論文では，リスク資産価格のボラティリティの時間変動に関して焦点を当てており，配当がボラティリティの変動に与える影響は非常に小さいと考えたため，配当調整した日経平均株価と TOPIX のデータは使用していない．
8） ここで，日経平均株価と TOPIX の平均の値は各々正の値を示しているが，標準誤差の値から，これらは統計的に6）有意な値ではないと考えられる．有意水準１％，５％，10％のいずれにおいても帰無仮説「H0：平均 μ＝0」は棄却
できず，各々の株価指数の平均を０と推測して問題はないと思われる．したがって，（13），（16）式において ut の平均を０と仮定して分析を行なうことは適当である．
9） 詳しくは，Gelman and Rubin（1992），Gelman（1996）を参照．
− 7 −

（8）

経済集志

第 91 巻

第１号

Ⅴ．検証結果
１

収束判定
図１−図６にテストデータ，日経平均株価と TOPIX の収益率を用いた SVL モデルの標本経路をそれぞれ示す．標本経路は，稼働検査期間を除いて抽出した 20,000 個の３つの MCMC の内の１つをプロットしたものである．図１−図３は，ステップサイズ∊を変えた場合の SVL モデルのパラメータ（φ, ση, μ,ρ）の標本経路である．なお，ステップサイズとステップ数は，（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，
10,000）である．これらの図から，ステップサイズを変えても SVL モデルのすべてのパラメータの標本経路は状態空間を万遍なく十分に訪れていることが分かる．図４−図６は，ステップ数 N を変えた場合のSVL モデルのパラメータ（φ, ση, μ, ρ）の標本経路である．なお，ステップ数は，50，250，500，2,000，
3,500，5,000 であり，すべての計算でステップサイズは 0.02 である．これらの図より，ステップ数を変えても SVL モデルのすべてのパラメータの標本経路は状態空間を万遍なく十分に訪れていることは明らかである．
図１ テストデータを用いた SVL モデルの標本経路；ステップサイズ依存性．パラメータφ（一段），パラメータση（二段），パラメータρ（三段），パラメータμ（四段）．

図２ 日経平均株価を用いた SVL モデルの標本経路；ステップサイズ依存性．パラメータφ（一段），パラメータση（二段），パラメータρ（三段），パラメータμ（四段）．

− 8 −ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（9）

図３ TOPIX を用いた SVL モデルの標本経路；ステップサイズ依存性．パラメータφ（一段），パラ
メータση（二段），パラメータρ（三段），パラメータμ（四段）．

図４ テストデータを用いた SVL モデルの標本経路；ステップ数依存性．パラメータφ（一段），パラメー，パラメータρ（三段），パラメータμ（四段）．
タση（二段）図５ 日経平均株価を用いた SVL モデルの標本経路；ステップ数依存性．パラメータφ（一段），パラ
メータση（二段），パラメータρ（三段），パラメータμ（四段）．

次に，表２−表３にテストデータ，日経平均株価と TOPIX の日次収益率を用いた SVL モデルの
G-R 統計量を示す．Gelman（1996）は，G-R 統計量が 1.1 以下の場合，連鎖が定常状態に収束していると判断できるとしている．本論文では，これより厳しい条件として G-R 統計量が 1.05 以下となっているときに，各パラメータが安定状態に収束していると判断する．表２と表３は，ステップサイズ∊とス− 9 −

（ 10 ）

経済集志第 91 巻第１号

図６ TOPIX を用いた SVL モデルの標本経路；ステップ数依存性．パラメータφ（一段），パラメータ，パラメータρ（三段），パラメータμ（四段）．
ση（二段）

表２

SVL モデルのパラメータの Gelman-Rubin 統計量；ステップサイズ依存性（∊, N）＝（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）
0.02

0.002

0.0002

テストデータφσηρμ1.00061.00171.00071.00001.00011.00091.00061.00021.00061.00171.00111.0001

日経平均株価φσηρμ1.00031.00051.00021.00001.00051.00171.00041.00001.00031.00031.00071.0000

TOPIX

φ
ση
ρ
μ

1.00141.00261.00021.00031.00031.00051.00061.00011.00021.00031.00011.0000ステップサイズ

表３

SVL モデルのパラメータの Gelman-Rubin 統計量；ステップ数依存性∊＝0.02（固定），N＝50，250，500，2,000，3,500，5,000
50

250

500

2,000

3,500

5,000

テストデータφσηρμ1.00061.00171.00071.00001.00001.00011.00181.00011.00031.00101.00161.00001.00031.00111.00051.00001.00021.00051.00031.00001.00001.00031.00041.0000日経平均株価φσηρμ1.00031.00051.00021.00001.00021.00051.00051.00001.00101.00231.00101.00021.00011.00011.00001.00001.00061.00081.00051.00011.00141.00281.00091.0001

TOPIX

φ
ση
ρ
μ

1.00141.00261.00021.00031.00041.00031.00061.00001.00041.00081.00021.00001.00051.00111.00011.00001.00051.00071.00041.00001.00011.00001.00011.0000

ステップ数− 10 −

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（ 11 ）

テップ数 N を変えた場合の SVL モデルのパラメータ（φ, ση, ρ, μ）
それぞれの G-R 統計量である．ステッ
プサイズとステップ数を変えても SVL モデルのパラメータの G-R 統計量は 1.05 以下となる．したがって，図１−図６の標本経路は適切に安定しており，さらに，表２−表３に示した G-R 統計量はいずれ
も 1.05 以下であることから，HMC 法による計算結果はすべて収束していると考えられる．
２

SVL モデルの実証結果

ここでは，テストデータ，日経平均株価，TOPIX の日次収益率を用いた SVL モデルの HMC 法によるパラメータ推定の結果について述べる．
2.1

テストデータを用いた HMC 法による SVL モデルの推定結果の精度

テストデータを用いた HMC 法による SVL モデルの推定結果の精度について検証を行なう．表４と表５は，ステップサイズとステップ数を変えた場合の SVL モデルのパラメータの推定結果である．
これらの表から φ の事後平均は 0.8933 から 0.8971，ση の事後平均は 0.5408 から 0.5537，ρ の事後平均は−0.6422 から−0.6107，μ の事後平均は−0.3091 から−0.2976 の値であり，ステップサイズとステッ
プ数を変えても，SVL モデルのパラメータは事後平均から大きく外れる値がないことが分かる．したがって，SVL モデルのパラメータの推定結果もステップサイズとステップ数には大きく依存しないと言える．テストデータを生成する際に用いた値と比べると，φ, μ, ρ は小さく，ση が大きい結果となっている．ただし，それぞれのパラメータの 95％信用区間は，
テストデータを生成する際に用いたパラメー
タ値を含んでいる．
ステップサイズとステップ数を変えた場合の事後平均と 95％信用区間の変化を視覚的に理解するために，図７にテストデータを用いた SVL モデルの推定結果を示す．グラフは，上段がステップサイズ
依存性，下段がステップ数依存性であり，グラフ中の黒丸は事後平均を，エラーバーは 95％信用区間を示している．図７より，SVL モデルのパラメータ（ση, φ, ρ, μ）はステップサイズとステップ数にほとんど依存していないことが分かる．

表４

テストデータを用いた SVL モデルの推定結果；ステップサイズ依存性（∊, N）＝（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）
１行目：事後平均および事後標準偏差，２行目：95％信用区間，３行目：非効率因子および標準偏差．
ステップサイズ

φ

ση

0.02

0.8971（0.0239）［0.8504，0.9433］
11.67（3.70）

0.5408（0.0478）［0.4507，0.6368］
25.35（9.48）−0.6422（0.0570）−0.2976（0.1334）［−0.7225，−0.4988］ ［−0.5569，−0.0288］
12.77（1.71）
3.88（0.65）

0.002

0.8968（0.0243）［0.8494，0.9441］
7.72（4.47）

0.5421（0.0497）［0.4504，0.6445］
21.00（4.47）−0.6205（0.0582）−0.2981（0.1336）［−0.7246，−0.4967］ ［−0.5570，−0.0301］
10.91（3.47）
4.18（0.91）

0.00020.8970（0.0238）［0.8506，0.9432］
11.67（7.24）

0.5411（0.0476）［0.4510，0.6364］
24.70（12.58）−0.6217（0.0574）−0.2978（0.1331）［−0.7238，−0.4977］ ［−0.5566，−0.0301］
16.97（4.13）
4.49（0.65）− 11 −ρμ（ 12 ）

経済集志表５

第 91 巻

第１号

テストデータを用いた SVL モデルの推定結果；ステップ数依存性∊＝0.02（固定），N＝50，250，500，2,000，3,500，5,000
１行目：事後平均および事後標準偏差，２行目：95％信用区間，３行目：非効率因子および標準偏差．
ステップ数

φ

ση

50

0.8949（0.0244）［0.8473，0.9428］
11.67（3.70）

0.5484（0.0495）［0.4561，0.6489］
25.35（9.48）−0.6156（0.0585）−0.3016（0.1340）［−0.7206，-0.4894］ ［−0.5597，-0.0323］
12.77（1.71）
3.88（0.65）

250

0.8939（0.0256）［0.8426，0.9431］
9.49（2.66）

0.5537（0.0519）［0.4552，0.6579］
21.59（2.84）−0.6119（0.0569）−0.3050（0.1380）［−0.7167，−0.4946］ ［−0.5729，−0.0278］
13.81（1.02）
3.16（0.54）500

0.8935（0.0248）［0.8439，0.9412］
14.27（4.84）

0.5535（0.0527）［0.4534，0.6612］
30.91（14.32）−0.6107（0.0571）−0.3091（0.1338）［−0.7165，−0.4933］ ［−0.5678，−0.0412］
12.47（3.56）
5.46（2.48）

2,000

0.8942（0.0244）［0.8453，0.9409］
5.97（3.09）

0.5511（0.0540）［0.4477，0.6587］
13.14（6.71）−0.6141（0.0582）−0.3034（0.1340）［−0.7218，−0.4934］ ［−0.5624，−0.0338］
9.55（4.61）
4.56（0.78）

3,500

0.8936（0.0243）［0.8449，0.9402］
6.79（0.68）

0.5527（0.0532）［0.4515，0.6602］
15.01（4.09）−0.6138（0.0581）−0.3040（0.1333）［−0.7204，−0.4924］ ［−0.5617，−0.0379］
10.44（1.03）
3.32（0.96）

5,000

0.8933（0.0243）［0.8447，0.9397］
6.59（2.61）

0.5533（0.0539）［0.4510，0.6632］
15.22（6.66）−0.6136（0.0582）−0.3049（0.1336）［−0.7209，−0.4931］ ［−0.5616，−0.0373］
8.06（3.76）
4.38（0.35）ρμ図７ テストデータを用いた SVL モデルの推定結果．ステップサイズ依存性（上段），ステップ数依存
性（下段）
．

2.2

日経平均株価を用いた SVL モデルの実証結果

日経平均株価の日次収益率を用いた HMC 法による SVL モデルの推定結果について検証する．表６と表７は，SVL モデルの推定結果を示している．これらの表から，φ の事後平均は 0.8792 から 0.8839，
ση の事後平均は 0.4602 から 0.4742，ρ の事後平均は−0.6291 から−0.6191，μ の事後平均は−0.0432 から−0.0374 の値となる．ステップサイズとステップ数を変えても，これらの事後平均から大きく外れる− 12 −

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）

表６（ 13 ）

日経平均株価を用いた SVL モデルの推定結果；ステップサイズ依存性（∊, N）＝（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）
１行目：事後平均および事後標準偏差，２行目：95% 信用区間，３行目：非効率因子および標準偏差．
ステップサイズ

φ

ση

0.02

0.8792（0.0269）［0.8255，0.9330］
22.70（9.81）

0.4742（0.0491）［0.3818，0.5760］
42.03（19.61）−0.6191（0.0648）−0.0432（0.1050）［−0.7320，−0.4773］ ［−0.2484，0.1659］
12.77（1.61）
4.23（0.68）

0.002

0.8839（0.0263）［0.8311，0.9354］
31.64（15.13）

0.4602（0.0492）［0.3668，0.5598］
67.46（32.08）−0.6289（0.0637）−{0.0374（0.1042）［−0.7395，−0.4887］ ［−0.2401，0.1704］
19.20（2.62）
5.80（0.80）

0.00020.8832（0.0265）［0.8300，0.9349］
38.59（12.77）

0.4623（0.0498）［0.3659，0.5626］
73.76（23.31）−0.6291（0.0640）−0.0381（0.1039）［−0.7415，−0.4902］ ［−0.2403，0.1686］
35.45（11.84）
7.36（1.69）

表７

ρ

μ

日経平均株価を用いた SVL モデルの推定結果；ステップ数依存性∊＝0.02（固定），N＝50，250，500，2,000，3,500，5,000
１行目：事後平均および事後標準偏差，２行目：95% 信用区間，３行目：非効率因子および標準偏差．
ステップ数

φ

ση

50

0.8792（0.0269）［0.8255，0.9330］
22.70（9.81）

0.4742（0.0491）［0.3818，0.5760］
42.03（19.61）−0.6191（0.0648）−0.0432（0.1050）［−0.7320，−0.4773］ ［−0.2484，0.1659］
12.77（1.61）
4.23（0.68）

250

0.8813（0.0290）［0.8220，0.9374］
15.01（5.13）

0.4694（0.0543）［0.3664，0.5805］
29.06（9.15）−0.6224（0.0636）−0.0399（0.1077）［−0.7384，−0.4895］ ［−0.2522，0.1736］
17.20（1.60）
4.52（1.31）500

0.8802（0.0288）［0.8216，0.9360］
16.33（3.02）

0.4690（0.0554）［0.3622，0.5794］
24.83（5.44）−0.6245（0.0657）−0.0391（0.1048）［−0.7429，−0.4870］ ［−0.2433，0.1700］
18.42（9.23）
4.55（1.26）

2,000

0.8817（0.0290）［0.8229，0.9379］
10.67（2.46）

0.4675（0.0569）［0.3587，0.5815］
18.50（6.77）−0.6247（0.0654）−0.0385（0.1052）［−0.7428，−0.4879］ ［−0.2447，0.1714］
12.31（5.42）
3.55（0.21）3,500

0.8805（0.0287）［0.8219，0.9357］
15.16（5.24）

0.4705（0.0566）［0.3624，0.5844］
24.36（7.43）−0.6239（0.0652）−0.0420（0.1051）［−0.7421，−0.4859］ ［−0.2470，0.1665］
12.24（4.70）
4.95（1.63）

5,000

0.8804（0.0288）［0.8210，0.9353］
12.70（5.73）

0.4699（0.0573）［0.3622，0.5858］
21.04（11.37）−0.6249（0.0659）−0.0399（0.1043）［−0.7432，−0.4844］ ［−0.2440，0.1683］
10.74（3.67）
4.56（0.19）

ρμ

値がないことが分かる．このことから，SVL モデルのパラメータの推定結果はステップサイズとステッ
プ数に大きく依存しないと言える．
ボラティリティに対するショックの持続性を表すパラメータ φ について検証する．表６−表７から
SVL モデルの φ の事後平均の値は 0.8792 から 0.8839 であり，
これらが１に近いことからボラティリティ
に対するショックが高い持続性を持つことが分かる．この結果は過去の研究と整合的な結果となっている．
− 13 −

（ 14 ）

経済集志第 91 巻

第１号

日経平均株価の収益率とボラティリティとの間の関係を表すパラメータである ρ について検証する．
表６と表７から SVL モデルの ρ の事後平均の値はそれぞれ−0.6289 から−0.6191 と負の値であり，さらに，どのステップサイズとステップ数でも 95％信用区間はおおむね［−0.73，−0.48］程度であることから，ρ が負である事後確率は 95％より大きいと言える．ρ の事後平均が負の値であることは，日経平均株価の日次収益率とボラティリティの対数値 h との間には，非対称性・レバレッジ効果の存在があることを示唆している．
図８ 日経平均株価を用いた SVL モデルの推定結果．ステップサイズ依存性（上段），ステップ数依存性（下段）．

ステップサイズとステップ数を変えた場合の事後平均と 95％信用区間の変化を視覚的に理解するために，図８に日経平均株価の収益率を用いた SVL モデルのそれぞれの推定結果を示す．図８から，
SVL モデルのパラメータ（ση, φ, ρ, μ）がステップサイズとステップ数にほとんど依存していないこと
が分かる．
2.3

TOPIX を用いた SVL モデルの実証結果

TOPIX の日次収益率を用いた HMC 法による SVL モデルの推定結果について検証する．表８・表９
は，SVL モデルの推定結果を示している．これらの表より，φ の事後平均は 0.8921 から 0.8991，ση の表８TOPIX を用いた SVL モデルの推定結果；ステップサイズ依存性（∊, N）＝（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）
１行目：事後平均および事後標準偏差，２行目：95％信用区間，３行目：非効率因子および標準偏差．
ステップサイズ

φ

ση

ρ

μ

0.02

0.8921（0.0260）［0.8405，0.9458］
22.70（9.81）

0.4457（0.0494）［0.3488，0.5458］
42.03（19.61）−0.6227（0.0647）［−0.7350，{0.4812］
12.77（1.61）−0.1739（0.1083）［−0.3825，0.0431］
4.23（0.68）

0.002

0.8971（0.0254）［0.8463，0.9484］
31.07（5.65）

0.4318（0.0503）［0.3332，0.5329］
59.65（12.23）−0.6337（0.0643）−0.1682（0.1093）［−0.7462，−0.4940］ ［−0.3808，0.0499］
14.61（0.69）
4.18（0.42）

0.00020.8991（0.0259）［0.8475，0.9515］
46.61（21.32）

0.4259（0.0526）［0.3237，0.5286］
83.23（40.79）−0.6387（0.0647）−0.1654（0.1094）［−0.7514，−0.4965］ ［−0.3768，0.0555］
23.64（13.72）
5.38（1.68）− 14 −

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（ 15 ）

事後平均は 0.4259 から 0.4457，ρ の事後平均は−0.6387 から−0.6227，μ の事後平均は−0.1739 から−0.1654 の値であり，ステップサイズとステップ数を変えても，これらの事後平均から大きく外れる値がないことが分かる．このことから，SVL モデルのパラメータの推定結果はステップサイズとステッ
プ数に大きく依存しないと言える．
ボラティリティに対するショックの持続性を表すパラメータ φ について検証する．表８−表９から
SVL モデルの φ の事後平均の値は，0.8921 から 0.8991 であり，
これらが１に近いことからボラティリティ
に対するショックが高い持続性を持つことが分かる．この結果は過去の研究と整合的な結果となっている．
TOPIX の収益率とボラティリティとの間の関係を表すパラメータである ρ について検証する．表８と表９から SVL モデルの ρ の事後平均の値はそれぞれ−0.6387 から−0.6227 と負の値であり，さらにどのステップサイズとステップ数でも 95％信用区間はおおむね［−0.74，−0.48］程度であることから，
ρ が負である事後確率は 95％より大きいと言える．ρ の事後平均が負の値であることは，日経平均株価と同様に TOPIX の日次収益率とボラティリティの対数値 h との間には，非対称性・レバレッジ効果の存在があることを示唆している．
TOPIX を用いた SVL モデルの推定結果のグラフを図９に示す．それぞれのグラフは，上段がステッ
プサイズ依存性，下段がステップ数依存性である．グラフ中の黒丸は事後平均，エラーバーは 95％信用区間を示している．図９より，SVL モデルのパラメータ（ση, φ, ρ, μ）はステップサイズとステップ
数にほとんど依存していないことが分かる．
表９

TOPIX を用いた SVL モデルの推定結果；ステップ数依存性∊＝0.02（固定），N＝50，250，500，2,000，3,500，5,000
１行目：事後平均および事後標準偏差，２行目：95％信用区間，３行目：非効率因子および標準偏差．
ステップ数

φ

ση

50

0.8921（0.0260）［0.8405，0.9458］
31.07（5.65）

0.4457（0.0494）［0.3488，0.5458］
59.65（12.23）− 0.6227（0.1083）− 0.1739（0.0647）［− 0.7350，− 0.4812］ ［− 0.3825，0.0431］
14.61（0.69）
4.18（0.42）250

0.8959（0.0276）［0.8402，0.9498］
26.09（2.88）

0.4362（0.0539）［0.3336，0.5420］
49.12（8.86）− 0.6320（0.1119）− 0.1681（0.0637）［− 0.7470，− 0.4969］ ［− 0.3855，0.0584］
14.37（2.21）
3.97（0.56）500

0.8953（0.0275）［0.8394，0.9486］
16.07（5.66）

0.4350（0.0554）［0.3319，0.5459］
27.06（12.58）− 0.6323（0.1090）− 0.1683（0.0655）［− 0.7501，− 0.4930］ ［− 0.3797，0.0500］
14.77（3.43）
4.97（1.10）

2,000

0.8962（0.0272）［0.8402，0.9487］
14.55（2.94）

0.4344（0.0558）［0.3291，0.5463］
22.28（4.33）− 0.6338（0.1088）− 0.1678（0.0655）［− 0.7510，− 0.4952］ ［− 0.3780，0.0509］
10.56（2.44）
3.38（0.11）

3,500

0.8959（0.0272）［0.8387，0.9473］
14.39（1.45）

0.4349（0.0565）［0.3294，0.5505］
23.39（4.60）− 0.6332（0.1088）− 0.1691（0.0656）［− 0.7505，− 0.4944］ ［− 0.3774，0.0498］
12.72（2.15）
4.13（0.28）

5,000

0.8956（0.0271）［0.8398，0.9473］
12.87（4.29）

0.4352（0.0562）［0.3287，0.5473］
24.02（8.67）− 0.6343（0.1079）− 0.1687（0.0657）［− 0.7527，− 0.4956］ ［− 0.3780，0.0472］
10.28（3.19）
3.62（0.72）− 15 −ρμ（ 16 ）

図９

３

経済集志

第 91 巻

第１号

TOPIX を用いた SVL モデルの推定結果．ステップサイズ依存性（上段），ステップ数依存性（下段）．

採択確率の依存性
リープフロッグ積分を用いた HMC 法での採択確率は，ステップサイズやステップ数に依存すると考えられている 10）．HMC 法の特徴として，
多くのパラメータを同時にサンプリングしても採択確率は低下
しない．そのため，本論文では SVL モデルのパラメータ θ と潜在変数 h をそれぞれ同時にサンプリン
グしている．表 10 −表 11 にテストデータ，日経平均株価，TOPIX を用いた SVL モデルのパラメータ
θ の採択確率を示す．
表 10

SVL モデルのθの採択確率；ステップサイズ依存性（∊, N）＝（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）
ステップサイズ

サンプルデータ

日経平均株価

TOPIX

0.02

0.9796（0.0006）

0.9896（0.0006）

0.9792（0.0010）

0.002

0.9802（0.0008）

0.9899（0.0007）

0.9774（0.0003）

0.00020.9797（0.0010）

0.9901（0.0008）

0.9760（0.0006）

表 11

SVL モデルのθの採択確率；ステップ数依存性∊＝0.02（固定），N＝50，250，500，2,000，3,500，5,000

10）

ステップ数

サンプルデータ

日経平均株価TOPIX

500.9796（0.0006）

0.9895（0.0006）

0.9792（0.0010）

250

0.9754（0.0005）

0.9845（0.0011）

0.9677（0.0021）

500

0.9763（0.0009）

0.9823（0.0017）

0.9613（0.0024）

2,000

0.9699（0.0015）

0.9712（0.0019）

0.9426（0.0024）

3,500

0.9696（0.0012）

0.9666（0.0027）

0.9370（0.0013）

5,000

0.9693（0.0007）

0.9635（0.0093）

0.9282（0.0022）

詳しくは，Takaishi（2000）を参照．
− 16 −

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（ 17 ）

一般的にリープフロッグ積分のステップサイズとステップ数の２つのパラメータを大きくすると採択率は下がると言われている．しかし，表 10 −表 11 から，今回用いたリープフロッグ積分のパラメータの範囲では，採択確率はリープフロッグ積分のパラメータには，ほぼ依存していないことが分かる．表
11 の採択確率のステップ数による依存性を見ると，ステップ数が大きくなると日経平均株価の採択確率が２〜３％程度低下しているが，テストデータと TOPIX ではそのような傾向は見られない．
日経平均株価と TOPIX における SVL モデルの採択確率の違いは特徴的である．比較のために表 12 −表 13 にテストデータ，日経平均株価，TOPIX を用いた SV モデルのパラメータの採択確率を示す．
表 12

SV モデルのθの採択確率；ステップサイズ依存性（∊, N）＝（0.02，100），（0.002，1,000），（0.0002，10,000）
ステップサイズ

サンプルデータ

日経平均株価

TOPIX

0.02

0.9620（0.0036）

0.9096（0.0058）

0.7357（0.0085）

0.002

0.9594（0.0025）

0.8976（0.0059）

0.7101（0.0044）

0.0002

0.9490（0.0036）

0.8991（0.0136）

0.7115（0.0085）

表 13

SV モデルのθの採択確率；ステップ数依存性∊＝0.02（固定），N＝50，250，500，2,000，3,500，5,000
ステップ数

サンプルデータ

日経平均株価TOPIX

500.9620（0.0036）

0.9096（0.0058）

0.7357（0.0085）

250

0.9476（0.0025）

0.9042（0.0038）

0.7160（0.0039）

500

0.9480（0.0005）

0.9086（0.0064）

0.7050（0.0059）

2,000

0.9447（0.0015）

0.8845（0.0058）

0.6982（0.0126）

3,500

0.9407（0.0004）

0.8792（0.0058）

0.6927（0.0030）

5,000

0.9442（0.0015）

0.8754（0.0121）

0.7036（0.0119）

SV モデルと SVL モデルの採択確率を比較すると，SV モデルの場合では，日経平均株価と TOPIXの採択確率は 87％以上と 69％以上であるが，SVL モデルの場合では，日経平均株価と TOPIX の採択
確率は 96％以上と 92％以上であることが分かる．これらの結果から，採択確率は，リープフロッグ積
分のステップサイズとステップ数にはあまり依存せず，モデルに依存することが示唆される．そこで，モデルのデータへの当てはまりを検証するために，周辺尤度を用いる．周辺尤度をM L（y ）
とすると，
1
1
j
n j =1 （f y￨θ ）n

M L（y ）=

−1

（18）

．
．
, n）はサンプリングされた確率標本である．表 14 に SV モデルとで与えれる 11）．ここで，θ（ j＝1, ．
j

SVL モデルの推定された対数周辺尤度の平均値と標準偏差を示す．表 14 より，日経平均株価とTOPIX の両方で SVL モデルの対数周辺尤度は SV モデルよりも大きく，SVL モデルの方が当てはまり
11）

詳しくは，Newton and Raftery（1994）を参照．
− 17 −

（ 18 ）

経済集志第 91 巻第１号

が優れているモデルであると考えらえる．このことから，採択確率はモデルのあてはまりと関係していると考えられる．
表 14

４

SV モデルと SVL モデルの周辺尤度
日経平均株価TOPIX

SV モデル− 2450.5（11.7）− 2140.0（26.1）

SVL モデル− 2126.7（15.6）− 1943.5（24.2）

非効率性因子の依存性
非効率性因子とは無相関の標本から計算する標本平均と同じ分散を得るために何倍のサンプル数が必要であるかを表す効率性の尺度である．図 10 −図 13 に，テストデータ，日経平均株価，TOPIX を用いた SV モデルと SVL モデルの非効率性因子のステップサイズによる依存性とステップ数による依存性を示す．グラフ中の黒丸は３つのチェインの平均値であり，エラーバーには標準偏差を用いた．
最初に，ステップサイズによる依存性について検証する．図 10 と図 11 から，テストデータ，日経平均株価，TOPIX を用いた SV モデルと SVL モデルの非効率性因子に明確なステップサイズによる依存性は見られない．次に，ステップ数による依存性について検証する．図 12 から，SV モデルのパラメー
タ φ と ση の非効率性因子は，ステップ数が 250 までは大きく，ステップ数が 500 で最も小さくなり，
ステップ数がそれ以上大きくなっても大きな変化がないことが分かる．また，図 13 から，SVL モデルの場合は，φ と ση の非効率性因子は，ステップ数が 4000 で最も小さくなり，それ以上では大きな変化がないことが分かる．このことから，非効率性因子を小さくするためには，ある程度大きなステップ数が必要だと結論づけられる．

図 10 SV モデルの非効率因子のステップサイズ依存性．テストデータ（上段），日経平均株価（中段），
TOPIX（下段）．

− 18 −

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（ 19 ）

図 11 SVL モデルの非効率因子のステップサイズ依存性．テストデータ（上段），日経平均株価（中段），
TOPIX（下段）．

図 12 SV モデルの非効率因子のステップ数依存性．テストデータ（上段），日経平均株価（中段），TOPIX（下段）．

− 19 −

（ 20 ）

経済集志第 91 巻第１号

図 13 SVL モデルの非効率因子のステップ数依存性．テストデータ（上段），日経平均株価（中段），TOPIX（下段）．

Ⅵ．結論と今後の課題
本論文では，テストデータ，日経平均株価と TOPIX の日次収益率を用いて，HMC 法で一般的に用いられる数値積分法であるリープフロッグ積分のステップサイズとステップ数の SVL モデルのパラメータの推定結果への影響について詳細に調べた．ステップサイズとステップ数の２つのパラメータの値を変えて推定した SVL モデルのパラメータの事後平均と 95％信用区間は，これらの２つのパラメー
タに依存せず，ほぼ同じ値であることが示された．また，SVL モデルのパラメータの採択確率もステッ
プサイズとステップ数には依存せず，SVL モデルのデータの当てはまりに依存する可能性が示唆された．一方，MCMC の効率性を表す非効率性因子はステップサイズには依存しないが，ステップ数が小
さいと非効率性因子が大きく，ステップ数が大きくなると非効率性因子が一定値に近づく傾向が明らかとなった．日経平均株価と TOPIX の日次収益率を用いた HMC 法による SVL モデルの実証分析から，
ボラティリティに対するショックが高い持続性を持つこと，さらに，収益率とボラティリティとの間には負の相関があることが先行研究と同様に示された．
今後の課題としては，リープフロッグ積分に代わる高次の近似に基づくシンプレクティック数値積分
法 12）を用いてステップサイズやステップ数による影響について調べる必要がある．また，株価指数収益率の分布は正規分布よりも裾が厚く非対称な分布に従っているため，誤差分布に t 分布 13）や非対称 t 分
布 14）等を用いた SVL モデルへのリープフロッグ積分のパラメータの依存性について調べることが考え４次のシンプレクティック数値積分法については，Forest and Ruth（1990）を参照．
t 分 布 以 外 に も 一 般 化 誤 差 分 布（Generalized Error Distribution; GED） や 一 般 化 t 分 布（Generalized tDistribution）などが考えられる．
14） 例えば，Nakajima and Omori（2010），中島・大森（2011）では，SVL モデルの誤差項の分布として一般化双曲型
非対称 t 分布（genenalized hyperbolic skewed student t distribution）を適用して MCMC により実証分析を行なっ
ている．
12）
13）

− 20 −

ハミルトニアン・モンテカルロ法におけるリープフロッグ積分による非対称 SV モデルのベイズ推定への影響（戸塚・三井）（ 21 ）

れ る． リ ー プ フ ロ ッ グ 積 分 の ス テ ッ プ サ イ ズ と ス テ ッ プ 数 を そ れ ぞ れ 自 動 的 に 調 整 す る Dual
Averaging 法 15）や No-U-Turn アルゴリズム 16）が提唱されている．さらに，
これを基に更新回数を学習ア
ルゴリズムにより決定するアルゴリズム 17）も提案されている．そのため SVL モデルにおいてこれらの方法の有効性について検討する必要がある．

参考文献［１］石原庸博・大森裕浩（2008），「TOPIX 収益率のマルコフ・スイッチング非対称確率的ボラティリティ変動モデルによる分析」，MTP フォーラム・日本ファイナンス学会『現代ファイナンス』，No.24，pp.75-100．
［２］大森裕浩・渡部敏明（2008），「MCMC 法とその確率的ボラティリティ変動モデルへの応用」，国友直人・山本拓［編］『21 世紀の統計科学Ｉ社会・経済と統計科学』，東京大学出版会，第９章，pp.223-266．
［３］戸塚英臣・三井秀俊（2020），「ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析」，日本証券経済研究所『証券経済研究』，第 112 号，pp.59-73．
［４］中島上智・大森裕浩（2011），「一般化双曲線非対称 t 分布を用いた確率的ボラティリティ変動モデルの推定と株価収益率データへの応用」，日本統計学会『日本統計学会誌』，第 40 巻，第２号，pp.61-88．
［５］渡部敏明（2005），「確率的ボラティリティ変動モデル：分析法とモデルの発展」，日本大学経済学部経済科学研究所『紀要』，第 35 号，pp.111-133．
［６］Alder, B. J. and Wainwright, T. E.（1959）, “Studies in Molecular Dynamics. I. General Method,” Journal ofChemical Physics, 31（2）,pp.459-466.
［７］Duane, S., Kennedy, A. D., Pendleton, B. J., and Roweth, D.（1997）, “Hybrid Monte Carlo,” Physics Letters, B195（2）,pp.216-222.
［８］Forest, E. and Ruth, R. D.（1990）,“Fourth-Order Symplectic Integration,” Physica, D43（1）,pp.105-117.
［９］Gelman, A.（1996）, “Inference and Monitoring Convergence,” in Gilks, W. R., Richardson, S. and Spiegelhalter, D. J.
eds., Markov Chain Monte Carlo in Practice, pp.131-143, Chapman & Hall.
［10］Gelman, A. and Rubin, D. B.（1992）, “Inference from Iterative Simulation Using Multiple Sequences（withdiscussion）,” Statistical Science, 7（4）,pp.457-511.
［11］Ghysels, E., A. C. Harvey and E. Renault（1996）, “Stochastic Volatility,” in G. S. Maddala and Rao, C. R. eds.,
Handbook of Statistics, Vol.14: Statistical Methods in Finance, pp.119-191, North-Holland; 小暮厚之・森平爽一郎［監訳］（2004），『ファイナンス統計学ハンドブック』，pp.117-189，朝倉書店．
［12］Girolami, M. and Calderhead, B.（2011）, “Riemann Manifold Langevin and Hamiltonian Monte Carlo Methods,”
Journal of the Royal Statistical Society, Series B 73, pp. 873{889.
［13］Hoﬀmani, M. D. and Gelman, A.（2014）,“The No-U-Turn Sampler: Adaptively Setting Path Lengths in Hamiltonian
Monte Carlo,” Journal of Machine Learning Research, 15, pp.1593-1623.
［14］MacKay, D. J. C.（2003）,Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press.
［15］Nakajima, J. and Omori, Y.（2012）, “Stochastic Volatility Model with Leverage and Aymmetrically Heavy Tailed
Error Using GH Skew Studentʼs t-Distribtion,” Computational Statistics & Data Analysis, 56（11）,pp.3690-3704.
［16］Neal, R. M.（2011）, “MCMC Using Hamiltonian Dynamics,” in Brooks, S., Gelman, A., Jones, G. L. and Meng, X. - L.
eds., Handbook of Markow Chain Monte Carlo, pp.113-162, Chapman & Hall.
［17］Nesterov, Y.（2009）, “Primal-Dual Subgradient Methods for Convex Problems,” Mathematical Programming, 120,
pp.221-259.
［18］Newton, M. A. and Raftery, A. E.（1994）, “Approximate Bayesian Inference by the Weighted Likelihood
Bootstrap,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B 56, pp.3-26.
［19］Nugroho, D. B., and Morimoto, T.（2015）, “Estimation of Realized Stochastic Volatility Models Using Hamiltonian
Monte Carlo-Based Methods,” Computational Statistics, 30, pp.491-516.
［20］Omori, Y., Chib, S., Shephard, N. and Nakajima, J.（2007）, “Stochastic Volatility with Leverage: Fast Likelihood
15）

詳しくは，Nesterov（2009）を参照．
詳しくは，Hoﬀman and Gelman（2014）を参照．
17） 詳しくは，Wu et al.（2019）を参照．
16）− 21 −

（ 22 ）

経済集志第 91 巻第１号

Inference,” Journal of Econometrics, 140, pp.425-449.
［21］Omori, Y. and Watanabe, T.（2008）, “Block Sampler and Posterior Mode Estimation for Asymmetric Stochastic
Volatility Models,” Computational Statistics & Data Analysis, 52, pp.2892-2910.
［22］Shephard, N.［ed.］（2005）,Stochastic Volatility: Selected Readings, Oxford University Press.
［23］Takahashi, M., Omori, Y. and Watanabe, T.（2009）, “Estimating Stochastic Volatility Models Using Daily Returns
and Realized Volatility Simultaneously,” Computational Statistics & Data Analysis, 53, pp.2404-2426.
［24］Takaishi, T. （2000）, “Choice of Integrator in the Hybrid Monte Carlo Algorithm,” Computer Physics
Communications, 133（1）,pp.6-17.
［25］Takaishi, T.（2008）, “Financial Time Series Analysis of SV Model by Hybrid Monte Carlo,” Lecture Notes in
Computar Science, 5226, pp.929-936.
［26］Takaishi, T.（2009）, “Bayesian Inference of Stochastic Volatility Model by Hybrid Monte Carlo,” Journal of
Circuits, Systems, and Computers, 18, pp.1381-1396.
［27］Takaishi, T.（2013）, “Empirical Analysis of Stochastic Volatility Model by Hybrid Monte Carlo Algorithm,” Jornalof Physics: Conference Series, 423（1）,012021.
［28］Yu, J.（2005）,“On Leverage in a Stochastic Volatility Model,” Journal of Econometrics, 127, pp.165-178.

本論文は所定の査読制度による審査を経たものである．
採択決定日：2021 年 4 月 22 日
日本大学経済学部− 22 −

経済集志・研究紀要編集委員会