数学 ８

日常的な事象における問題について、関数関係に着目し構想を立て解決すること（ストーブ）－57－

出題の趣旨
事象の中にある関数関係を見いだし考察する場面において、次のことができるかどうかをみる。
・数学的に表現したことを事象に即して解釈すること
・問題解決の方法を数学的に説明すること・数学的な結果を事象に即して解釈すること
日常生活や社会の事象を考察する場面では、事象の中にある関数関係を見いだし、数学的に表現・処理して問題を解決し、得られた結果の意味を考察することが求められる場合がある。
その際、問題解決の方法について数学的に説明できることが大切である。
本問では、１８Ｌの灯油が入ったストーブを使用する際、６時間使用して灯油をちょうど使い切るような「強」と「弱」の設定の組み合わせを考える場面を取り上げた。はじめに、ストーブの使用時間と灯油の残量を基に、「強」の場合と「弱」の場合について、１８Ｌの灯油を使い切るまでの使用時間の違いを求める方法を説明する文脈を設定した。さらに、ストー
ブを６時間使用して、１８Ｌの灯油をちょうど使い切るような「強」と「弱」の設定の組み合わせを、結衣さんがかいたグラフの様子から捉える文脈を設定した。

設問(１)
趣旨
二つのグラフにおける y 軸との交点について、事象に即して解釈することができるかどうかをみる。

■学習指導要領における領域・内容〔第２学年〕 Ｃ 関数(1) 一次関数について、数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
（ア）一次関数について理解すること。

１．解答類型と反応率
問題番号
８(1)

解
１２３４

ア

答

類型と解答しているもの。
（ストーブを使用し始めるときの灯油の残量）

イと解答しているもの。
（ストーブを使用し始めるときの時間）

ウと解答しているもの。
（「強」の場合のストーブの１時間あたりの灯油使用量）

エと解答しているもの。
（「弱」の場合のストーブの１時間あたりの灯油使用量）

99

上記以外の解答０

無解答

反応率（％）

83.7
6.9
5.6
3.0
0.0
0.8

－58－-58-

正答◎２．分析結果と課題○

正答率は 83.7％ であり、二つのグラフにおける y 軸との交点について、事象に即して解釈することができている。

３．学習指導に当たって○数学的に表現したことを事象に即して解釈できるようにする

問題解決のために用いるグラフと座標軸との交点について、事象に即して解釈できるように指導することが大切である。
本設問を使って授業を行う際には、ストーブの使用時間と灯油の残量の関係を調べるためにつくったグラフにおいて、y 軸との交点Ｐが何を表しているかを読み取ることができるように指導することが考えられる。その際、点Ｐの x 座標が０であり、y 座標が１８であることに着目し、これが使用時間が０時間のときの灯油の残量が１８Ｌであることを表していることを確認することが大切である。
さらに、グラフと x 軸との交点は y 座標が０であることから、灯油の残量が０Ｌになるときのストーブの使用時間（１８Ｌの灯油をちょうど使い切るまでの使用時間）を表していることを確認することも大切である。

設問(２)
趣旨
事象を数学的に解釈し、問題解決の方法を数学的に説明することができるかどうかをみる。

■学習指導要領における領域・内容〔第２学年〕 Ｃ 関数(1) 一次関数について、数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるよう指導する。
イ 次のような思考力、判断力、表現力等を身に付けること。
（イ）一次関数を用いて具体的な事象を捉え考察し表現すること。

－59－-59-

１．解答類型と反応率
問題番号
８

(2)

解

答類型

反応率
（％）

正答

（正答の条件）アを選択し、次の(a)、(b)について記述しているもの、又は、イを選択し、次の(c)、(d)又は(c)、(e)について記述しているもの。
(a)「強」の場合の式と「弱」の場合の式に y ＝０ を代入すること。

(b)

上記(a)に対応する x の値の差を求めること。

(c)「強」の場合のグラフと「弱」の場合のグラフの y 座標が０である点に着目すること。

(d)上記(c)に対応する x の値の差を求めること。

(e)上記(c)に対応する２点間の距離を読み取ること。

（正答例）〈アを選択した場合〉
・「強」の場合の式と「弱」の場合の式について、それぞれの式にy ＝０ を代入し、x の値の差を求める。（解答類型１）〈イを選択した場合〉
・「強」の場合のグラフと「弱」の場合のグラフについて、y の値が０のときの x の値の差を求める。（解答類型10）

・「強」の場合のグラフと「弱」の場合のグラフについて、y 座標が０のときの２点間の距離を読み取る。（解答類型13）

１２ア(a)、(b)について記述しているもの。

を(a)についての記述が十分でなく、(b)について記述しているもの。

選 （正答例）
択・２つの式に０を代入して x の値の差を求める。

・０を代入して x の値の差を求める。

6.2

◎0.1

○

3.1

○(b)についての記述が十分でなく、(a)について記述しているもの。
（正答例）
３・２つの式に y ＝０ を代入してそれらの式から使用時間の差を求める。

・
４５
６７

２つの式に y ＝０ を代入してそれらの式から x の値を求める。

(a)についての記述が十分でなく、(b)についての記述が十分でないもの。
(a)のみを記述しているもの。（(a)についての記述が十分でないものを含む。
）(b)のみを記述しているもの。（(b)についての記述が十分でないものを含む。
）
式を用いることについて記述しているが、(a)、(b)について記述していないもの。

８

上記以外の解答

９

無解答

0.1
1.3
4.2
4.3
11.5
7.4－60－10

11イ(c)、(d)について記述しているもの。

を(c)についての記述が十分でなく、(d)について記述しているもの。

選 （正答例）
択・

２つのグラフが０Ｌのときの x の値の差を求める。

・０Ｌのときの x の値の差を求める。

3.8◎

0.2○3.9○0.2◎

0.0○0.1○(d)についての記述が十分でなく、(c)について記述しているもの。
1213（正答例）
・

２つのグラフの y の値が０のとき、使用時間の差を求める。

・

２つのグラフの y の値が０のときの x の値を読み取る。

(c)、(e)について記述しているもの。
(c)についての記述が十分でなく、(e)について記述しているもの。

14（正答例）
・

２つのグラフが０ L のときの２点間の距離を読み取る。

(e)についての記述が十分でなく、(c)について記述しているもの。
15（正答例）・161718192021

２つのグラフの y 座標が０のときの距離を読み取る。

(c)についての記述が十分でなく、(d)についての記述が十分でないもの。
(c)についての記述が十分でなく、(e)についての記述が十分でないもの。
(c)のみを記述しているもの。（(c)についての記述が十分でないものを含む。
）(d)のみを記述しているもの。（(d)についての記述が十分でないものを含む。
）(e)のみを記述しているもの。（(e)についての記述が十分でないものを含む。
）
グラフを用いることについて記述しているが、(c)、(d)、(e)について記述していないもの。

22

上記以外の解答

23

無解答

99

上記以外の解答０

無解答
正答率－61－-61-

1.5
0.0
1.6
9.6
0.1
10.1
5.6
8.3
0.5
16.2
17.7

２．分析結果と課題○

解答類型７の具体的な例としては、以下のようなものがある。
（例）
・それぞれの式から「強」の場合は１時間あたり４Ｌ、「弱」の場合は１時間あたり２．
５Ｌ灯油が減ることがわかる。
・一次関数の式から傾きに着目すると、「強」の場合は －４、「弱」の場合は －２．
５であるから、「強」の場合の方が灯油の消費が早い。
このように記述した生徒は、ストーブの使用時間と灯油の残量の式から傾きに着目して、「強」の場合と「弱」の場合について、それぞれの１時間あたりの灯油使用量を説明しているが、ストーブの使用時間の違いがおよそ何時間になるかを求める方法を数学的に表現できなかったと考えられる。

○

解答類型８の具体的な例としては、以下のようなものがある。
（例）・y ＝－４x ＋１８と y ＝－２．
５x ＋１８の差を求めればよい。
・「強」の場合の式と「弱」の場合の式で連立方程式を解き、出てきた x の値がストーブの使用時間の差となる。
このように記述した生徒は、「差」について記述しているが、「強」の場合と「弱」の場合のストーブの使用時間の差を求める方法について誤って捉えていると考えられる。

○

解答類型21の具体的な例としては、以下のようなものがある。
（例）
・グラフを見て比べると、「強」では４時間半くらいで灯油がなくなり、「弱」では７時間くらいで灯油がなくなる。よって、「弱」の方が長く使える。
・グラフを見ると、灯油を使い切るのに「強」よりも「弱」の方が１.５倍くらいの時間がかかる。
このように記述した生徒は、ストーブの使用時間と灯油の残量のグラフから、灯油を使い切るまでのおよその使用時間について読み取っているが、「強」の場合と「弱」の場合のストーブの使用時間の違いがおよそ何時間になるかを求める方法を数学的に表現できなかったと考えられる。

－62－

○

平成30年度【中学校】数学Ｂ３(3)で類題を出題している（正答率13.9％）。「平成30年度【中学校】報告書」において、「事象を数学的に解釈し、問題解決の方法を数学的に説明すること」に課題があると分析している。これに関連して本設問では、「１８Ｌの灯油を使い切るまでの『強』の場合と『弱』の場合のストーブの使用時間の違いがおよそ何時間になるかを求める方法を、式やグラフを用いて説明する」問題を出題した（正答率17.7％）。今回の結果から、事象を数学的に解釈し、問題解決の方法を数学的に説明することに、引き続き課題があると考えられる。

－63－

３．学習指導に当たって○問題解決のために数学を活用する方法を考え、説明できるようにする

様々な問題を数学を用いて解決できるようにするために、問題解決の構想を立てたり、問題解決の過程や結果を振り返ったりする活動を取り入れることが大切である。その際、数学を活用する方法を説明できるように指導することが大切である。
本設問を使って授業を行う際には、ストーブを使用し始めてから１８Ｌの灯油を使い切るまでの「強」の場合と「弱」の場合の使用時間の違いはおよそ何時間になるかを求める方
法について、式やグラフをどのように用いればよいかを説明する場面を設定することが考えられる。このとき、式を用いる場合とグラフを用いる場合について、例えば、次のような説明ができるようにすることが大切である。
〈式を用いる場合〉「強」の場合の式と「弱」の場合の式について、それぞれの式に y ＝０ を代入し、x の値の差を求めればよい。
〈グラフを用いる場合〉「強」の場合のグラフと「弱」の場合のグラフについて、y の値が０のときの x の値の差を求めればよい。
このような説明ができるようにするためには、例えば、使用時間の違いを求めた後にその方法を説明する活動を取り入れることが考えられる。その際、解決の方法として表現が不十分な説明を取り上げ、問題解決の見通しを共有した場面や使用時間の違いを求める過程を共有した場面を振り返りながら、十分な説明にしていく場面を設定することが考えられる。
上記のことを含めた学習活動の例として、次のことが考えられる。

学習活動の例
問題解決の見通しを共有する場面
灯油を使い切るまでの「強」と「弱」の場合の使用時間の違いがおよそ何時間になるかを求めます。
どのように求めればよいでしょうか。見通しを立てましょう。
教師〈式を用いる場合〉〈グラフを用いる場合〉

式に０を代入すれば分かるよ。

グラフの０Ｌのところを見ると分かりそう。

xとyのどっちに０を代入すればいいのかな。

グラフが０Ｌのところってどこかな。

灯油が０Ｌになるときだから、yに０を代入すればいいね。

yの値が０のところを見ればいいよ。

－64－使用時間の違いを求める過程を共有する場面＜式＞

y に０を代入すればよい＜グラフ＞

y の値が０のところを見ればよい「強」の場合y ＝－４x ＋１８ に y ＝０ を代入すると
０＝－４x ＋１８
４x ＝１８５ 「強」の使用時間
x ＝４．
「弱」の場合y ＝－２．
５x ＋１８ に y ＝０ を代入すると
０＝－２．
５x ＋１８２．
５x ＝１８２「弱」の使用時間
x ＝７．
この差を求めると
７．
２－４．
５＝２．
７
答 ２．
７時間

使用時間の違い

y の値が０のときのx の値を読み取ると
２ 時間「強」の使用時間 およそ７．
「弱」の使用時間 およそ４．
５ 時間
この差を求めると
７．
２－４．
５＝２．
７
答 およそ２．
７時間式やグラフを用いて使用時間の違いがおよそ何時間になるかを求めることができましたね。
問題解決の方法を説明する場面

黒板で示したような見通しの表現では使用時間の違いを求める方法としては不十分ですね。何がたりなかったのでしょうか。

＜式＞

y に０を代入すればよい＜グラフ＞

y の値が０のところを見ればよい「強」のグラフと「弱」のグラフの y の値が０のところと書いた方が正確だね。

どの式に代入しているか分からないね。
x の値を求めることを付け加えた方がいいね。

y の値が０のところの x の値を見ればいいことが書かれていないね。

x の値を求めるだけだと、7.2－4.5＝2.7を計算した部分の説明がされてないよ。

x の値の差を求めることを書いた方がいいね。

この問題の解決の方法はどのようにまとめるとよさそうですか。

「強」の場合の式と「弱」の場合の式について、それぞれの式に y ＝０ を代入し、x の値の差を求める。

－65－「強」の場合のグラフと「弱」の場合のグラフについて、y の値が０のときのx の値の差を求める。

設問(３)
趣旨
グラフの傾きや交点の意味を事象に即して解釈することができるかどうかをみる。

■学習指導要領における領域・内容〔第２学年〕 Ｃ 関数(1) 一次関数について、数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
（ア）一次関数について理解すること。

１．解答類型と反応率
問題番号
８

解

答

ア、ウ

(3)

類

（％）

イと解答しているもの。

２

２と解答しているもの。
３６と解答しているもの。
解答しているもの、又は無解答解答しているもの。

４と解答しているもの。
上記以外の数値を６解答しているもの、しているもの。

又は無解答

上記以外の数値を６77.21.1

上記以外の数値をアに 強、ウに 弱 と５と解答解答しているもの、

1.1

0.4
0.8

3.9又は無解答
４７２と解答しているもの。
９1011と解答しているもの。

８６と解答しているもの。
解答しているもの、又は無解答解答しているもの。

４と解答しているもの。
上記以外の数値を６解答しているもの、しているもの。

又は無解答

上記以外の数値をと解答解答しているもの、又は無解答－66－-66-

2.1
0.2

上記以外の数値を

アに 弱、ウに 強 と12正答

エ４１

４

反応率型

0.2

0.2
0.5

3.1

◎

99

上記以外の解答

０

無解答

5.4
3.7

２．分析結果と課題○

正答率は 77.2％ であり、グラフの傾きや交点の意味を事象に即して解釈することができている。

３．学習指導に当たって○数学的な表現を事象に即して解釈できるようにする

式やグラフなどの数学的な表現を事象に即して解釈できるようにするために、与えられた条件やこれまでの問題解決の過程や結果と数学的な表現を関連付けて考えられるように指導することが大切である。
本設問を使って授業を行う際には、結衣さんがかいたグラフにおいて、点（２，１０）で直線の傾きが－４から－２．
５に変わることや、x 軸と点（６，０）で交わることに着目できるようにすることが大切である。また、ストーブを使用し始めてから２時間で設定を変更していることや、ストーブを６時間使用して１８Ｌの灯油をちょうど使い切っていることを確認することも大切である。その上で、ストーブの使用時間と灯油の残量に示された式やグラフを基に「はじめに設定を『強』にして２時間使用し、その後、設定を『弱』にしてから４時間使用する」ことを読み取ることができるように指導することが大切である。

本問全体の学習指導に当たって○日常生活や社会の事象における問題の解決に関数を活用できるようにする

日常生活や社会の事象における問題から関数関係を見いだし、それを活用して問題を解決できるように指導することが大切である。
例えば、本問のように、体育館でストーブを使用する場面において、ストーブの説明書の情報を基に、１８Ｌの灯油を６時間でちょうど使い切るための「強」と「弱」の設定の組み合わせを考える場面を設定することが考えられる。その際、まず「強」と「弱」それぞれの場合に１８Ｌの灯油を使い切るまでの時間について式やグラフを用いて調べ、どちらか一方だけでは、６時間でちょうど使い切ることができないことを明らかにする場面を設定することが考えられる。その上で、問題解決の過程や結果を振り返り、ストーブを６時間使用して、１８Ｌの灯油をちょうど使い切るような「強」と「弱」の設定の組み合わせについて話し合う活動を取り入れることが考えられる。
このような活動を通して、日常生活や社会の事象の中の関数関係に着目し、構想を立て、問題を解決できるようにすることや、その過程を振り返り、関数を活用することのよさを実感できるようにすることが大切である。

－67－-67-

授業アイディア例「スト ーブの灯油 をち ょうど使い 切るための 設定の 仕方を考え よう」～グ ラ フ を事 象 に 即し て 解 釈 し 問題 を 解 決す る こ と ～ストーブを６時間使用して、１８Ｌの灯油をちょうど使い切るように、使用計画を立てます。前の時間につくったストーブの使用時間と灯油の残量のグラフを使って考えましょう。

ストーブの使用時間と灯油の残量のグラフ

１ ．設 定 の 条件 を 考 え る 。

前の時間に、「強」と「弱」のどちらか一方だけでは18Ｌの灯油をちょうど６時間で使い切ることはできないということを確認しました。
ちょうど使い切るには、どうすればよいでしょうか。
教師
途中で「強」と「弱」を切り替えないといけないよね。

１８Ｌの灯油６時間ちょうどで使い切る

何回も切り替えたら大変だから、切り替えは１回で考えようよ。

＜設定の仕方＞
・「強」と「弱」を切り替える
・切り替えは１回

体育館は寒いから、最初は「強」にした方がいいね。

・最初の設定は「強」

２ ．１ 時 間 後に 「 強 」 か ら「 弱 」 に切 り 替 えた 場合 の グラ フ を 考え る 。

まず、初めの設定を「強」にして１時間使用したときのグラフはこうなりますね。それでは、１時間後に設定を「弱」にした場合、６時間で灯油をちょうど使い切ることになるでしょうか。
ポイントグラフを使って考えてみましょう。
「強」のグラフの右端と（６，０）を結んだよ。
どうして（６，０）と結んだの。
６時間使用して灯油を使い切らないといけないからだよ。
この１時間後からのグラフ（「弱」のグラフと比べると平行ではないように見えるけど、傾きが違うのかな。

）は「弱」を表しているでしょうか。
このグラフだと、５時間で14Ｌ減ることになっていて、14÷５＝2.8 で、１時間あたりの灯油使用量が2.8 Lだから、説明書の情報とは合わないね。

１時間後からのグラフを「弱」にすると、１時間あたりの使用量が2.5 Lだから、こんなグラフ（ ）になるよ。
でも、このグラフだと（６，０）を通っていないから６時間では灯油をちょうど使い切ることにはならないね。

－68－

３ ．グ ラ フ を用 い て 切 り 替え る タ イミ ン グ を考 える 。

グラフの傾きが１時間あたりの灯油使用量を表しているということを基に考えることが大切ですね。では、およそ何時間で設定を「強」から「弱」に変えればよいでしょうか。
初めの設定を「強」にして１時間だとちょうど使い切ることにならなかったから、次は２時間にしてみよう。
「強」にして２時間使うということは（２，10）を通る「弱」のグラフをかけばいいね。
「弱」は１時間で2.5 L使うから、４時間で10Ｌ使うことを基にグラフをかくと（６，０）を通ったよ。だから、２時間後に切り替えればいいね。
３時間後や４時間後など、２時間後以外で６時間ちょうどで使い切ることができる切り替えのタイミングはないのでしょうか。

ポイント

２時間以外のところから「弱」にしたグラフをかいてみたよ。（６，０）を通る場合は他にはないから、２時間で設定を「強」から「弱」に変えればいいことが分かるよ。
「強」のグラフから切り替えるタイミングを考えていたけど、６時間で使い切るようにするには（６，０）を通るように「弱」のグラフをかいてもいいよね。
２つのグラフは（２，10）で交わるから、この場合も２時間で「強」から「弱」に切り替えれば、条件に合うことが分かるね。
どちらの方法で考えても、初めに設定を「強」にして２時間使用し、その後、設定を「弱」にしてから４時間使用すると18Ｌの灯油を６時間でちょうど使い切ることができるといえるね。
４ ．問 題 解 決の 過 程 を 振 り返 る 。

今日は、ストーブの灯油をちょうど使い切るための設定の仕方をグラフを用いて考えてきましたね。分かったことや大切だと思った考え方を振り返ってみましょう。
〔振り返りを書いた生徒の端末〕
・問題を解決するときには、グラフの交点や傾きに着目することが大切だと思った。
・「強」から「弱」に変えるタイミングが２時間より短くても長くても、ちょうど６時間で使い切ることができないことが、グラフを使うとよく分かった。

・説明書の情報とグラフの傾きを関連付けることが大切だと感じた。
・私は「強」の場合を１時間、２時間と順に考えたけど、（６，０）を通る「弱」のグラフをかいて、「強」のグラフとの交点を読み取る考えの方がいいなと思った。

本授業アイディア例 活用のポイント！
● 傾きや交点の意味を事象に即して捉えられるようにするために、グラフの特徴と問題場面に含まれる情報を関連付けられるようにすることが大切である。
● 問題解決する際に、条件を満たすグラフが他にはないことを明らかにするなどの活動を通して、グラフを用いることのよさを実感できるようにすることが大切である。

－69－