ボース・アインシュタイン凝縮体の位相コン
トラストイメージングシステムの開発(Development of Phase Contrast Imaging
system for Bose-Einstein Condensates)

理学研究科
数物系専攻
大前 真秀

1

目次

第1章
1.1
1.2
1.3

序論
研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
9
12

第 2 章 極低温ボース粒子気体
2.1 単一原子種の BEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 グロス・ピタエフスキー方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 トマス・フェルミ近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 二原子種の BEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 二原子種グロス・ピタエフスキー方程式 . . . . . . . . . . . .
2.2.2 41 K と 87 Rb のフェッシュバッハ共鳴 . . . . . . . . . . . . . .

13
13
13
14
14
15
16

第 3 章 原子と光の相互作用
3.1 複素屈折率と透過率、位相シフトの関係 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 二準位原子と光の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
21

第 4 章 位相コントラストイメージング法
4.1 位相コントラストイメージング法の原理 . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 吸収イメージング法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 位相コントラストイメージング法 . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 光源の要求仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 位相コントラストイメージング法に適したプローブ光の離調 .
4.2.2 光源の要求仕様のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 位相板の要求仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 位相板の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 実際に評価した位相板 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 位相コントラストイメージング法による位相板の評価 . . . . .
4.4.3 干渉計による位相板の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 光源の開発 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Optical Phase Lock Loop 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 周波数オフセットロック法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 OPLL 法と周波数オフセットロック法 . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 デジタル OPLL 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 周波数制御のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26
26
27
29
29
38
41
44
44
47
62
69
70
72
75
77
81

第 5 章 まとめと今後の展望

82

2付 録 A OPLL 回路

83

付 録 B 周波数ロック回路

84

付 録 C デジタル OPLL 回路

85

3

目次

4

表目次

2.1

41 K |F = 1, m

F = 1⟩ と

87 Rb |F = 1, m

F = 1⟩ の間のフェッシュバッハ

共鳴の性質 [22, 23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1

4.2

4.3
4.4
4.5

4.6
4.7
4.8

4.9

16

41 K の特性:周波数 f は、図 4.5 の赤い矢印で示した、磁場 78G での
0
D2 線の |F = 1 , mF = 1 > → |mJ = − 23 , mI = 32 > への遷移の周波数を算出したもので、波長、波数、吸収断面積は算出した f0 からの換算値である。それ以外の特性は、[27] を参照した。 . . . . . . . . . .
87 Rb の特性:周波数 f は、図 4.6 の赤い矢印で示した、磁場 78G での
0
D2 線の |F = 1 , mF = 1 > → |F = 0 , mF = 0 > への遷移の周波数を算出したもので、波長、波数、吸収断面積は算出した f0 からの換算値である。それ以外の特性は、[28] を参照した。 . . . . . . . . . . . .
透過率と位相シフトの離調依存性（41 K） . . . . . . . . . . . . . . . .
離調と 300µs の間に原子気体が上昇する温度の関係（41 K） . . . . . .
評価した大きい位相板の仕様：dektak は触針段差計による凹凸の測定
値 [nm] を表す。また、phase sift は dektak を位相シフトに換算した値[rad] を表している。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
位相板の組み合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
位相板の位相コントラストイメージングの実験結果 . . . . . . . . . .
干渉縞による位相板の評価の実験結果
A は触針段差計からの位相シフトの換算値で、B は干渉計による位相シフトの計算値である。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
各周波数制御法の相対的な評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

33
35
37

47
49
61

68
81

5

図目次

1.1

41 K と 87 Rb の混合 BEC において、混合状態から相分離までを位相コントラストイメージング法で撮影した画像 [13]。 . . . . . . . . . . . .

2.1

41 K |F = 1, m

17

2.2

0∼100G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 K |F = 1, m = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, m = 1⟩ のフェッシュバッハ共鳴：FF
60∼90G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

吸収イメージング法の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
位相コントラストイメージング法の原理 . . . . . . . . . . . . . . . .
41 K の D 線 [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
87 Rb の D 線 [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
41 K の D 線のゼーマンシフト:赤の矢印は、磁場 78G での基底状態
2|F = 1 , mF = 1 > から励起状態 |mJ = − 32 , mI = 23 > への遷移を表す。黒の矢印は、磁場 0G での基底状態 F=1 から励起状態 F=0 への遷移を表す。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 87 Rb の D2 線のゼーマンシフト:赤の矢印は、磁場 78G での基底状態|F = 1 , mF = 1 > から励起状態 |F = 0 , mF = 0 > への遷移を表す。黒の矢印は、磁場 0G での基底状態 F=1 から励起状態 F=0 への遷移を表す。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 離調と光子散乱レートの関係（41 K） . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 離調と透過率の関係（41 K） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 離調と位相シフトの関係（41 K） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 位相コントラストイメージングに用いるプローブ光の間隔:位相コント
ラストイメージングでは、300µs 程度のプローブ光を、約 20ms 間隔で当てて、それを約 100ms 間撮影する。プローブ光のオン、オフには、
AOM を用いる。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 離調と原子気体の温度上昇の関係 (41 K) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 SK の周波数範囲：SK は、41 K のスレイブレーザーである。緑色で示した範囲が、SK の周波数を変化させたい範囲である。SK の周波数は、
AOM で -110MHz されることを考慮して MK の周波数から -415MHzすると、磁場 78G での共鳴周波数から 600MHz 程度の赤方離調がつけられて、 +185MHz すると共鳴周波数にすることができる。 . . . . .

27
27
30
30

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

F = 1⟩ と

87 Rb |F = 1, m

11

F = 1⟩ のフェッシュバッハ共鳴：

17

31

32
34
34
35

36
37

40

図目次

6

4.13 SRb の周波数範囲：SRb は 87 Rb のスレイブレーザーである。緑色で示した範囲が、SRb の周波数を変化させたい範囲である。SRb の周波数は、
AOM で -110MHz されることを考慮して MRb の周波数から -734MHz
した周波数にすると、磁場 78G での共鳴周波数から 600MHz 程度の赤
方離調がつけられて、 -134MHz すると共鳴周波数にすることができる。 41
4.14 BEC イメージングの光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.15 ガウシアンビーム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.16 プローブ光の集光部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.17 小さい位相板の画像：1 インチのオプティクス用の枠に位相板が収まっているものである。位相板は、直径 15mm の円形である。 . . . . . . 45
4.18 大きい位相板の画像：アルミ合金を削った自作の枠に入っている。位相板は、一辺が 50.8mm の正方形で、このサイズの位相板は、ねじ止めされているアクリルを取ることで、取り外し、取り付けをすることができる。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.19 x 軸方向から見た小さい位相板の仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.20 z 軸方向から見た小さい位相板の仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.21 x 軸方向から見た大きい位相板の仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.22 z 軸方向から見た大きい位相板の仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.23 位相板の位相コントラストイメージングの光学系 . . . . . . . . . . . 48
4.24 位相板の位相コントラストイメージングの光学系の写真 . . . . . . . . 48
4.25 Pc の配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.26 Pc が配置されていないときの Po のイメージ：画像の中央に Po の凹凸の端の部分が見える . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.27 Pc の配置を設定するときの光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.28 Pc の配置を設定するときの実際の光学系の写真 . . . . . . . . . . . . 51
4.29 プローブ光が Pc の凹凸部分をかすめているときに CCD カメラで見える画像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.30 Pc の位置を微調するときに CCD カメラで見える画像：左の画像から、
Pc のステージの x 軸方向に 50µm 動かしたときに見えたものが真ん中の画像、さらに 50µm 動かしたときに見えたものが右の画像である。
52
4.31 Pc の z 軸方向を調整したときに CCD カメラで見えた画像 . . . . . . 52
4.32 CCD カメラによって撮影された S の画像 . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.33 CCD カメラによって撮影された L の画像 . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.34 Ipc /I0 の補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.35 強度比 Ipc /I0 の画像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.36 強度比と凹 421 の x 軸との関係 (EX1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.37 強度比と凹 419 の x 軸との関係 (EX2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.38 プローブ光の集光部分：rP は位相板の凹凸の半径で、青色で示した半径 2ω0 円に、ガウシアンビームの全パワーの 99.97%が入っている . . 58
4.39 Pc を x 軸方向に動かしたときのプローブ光と Pc の関係：Pc を x 軸方向に動かしたとき、位相板の凹凸部分に入るプローブ光の量が変わり、算出される強度比が変化する。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

図目次

4.40 プローブ光が位相板の凹凸部分を通っているとみなせる範囲 (EX1)：
赤く囲ったところは、プローブ光が完全に Pc の凹凸部分を通過したとみなしたデータ点である . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.41 プローブ光が位相板の凹凸部分を通っているとみなせる範囲 (EX2)：
赤く囲ったところは、プローブ光が完全に Pc の凹凸部分を通過したとみなしたデータ点である . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.42 干渉計による位相板の評価の光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.43 干渉計による位相板の評価の光学系の写真 . . . . . . . . . . . . . . .
4.44 位相板と干渉縞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.45 Iout の画像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.46 Iin の画像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.47 スポットの内側と外側の強度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.48 図 4.47 の Iout と Iin が重なっている部分の拡大図 . . . . . . . . . . .
4.49 A と B の相関：赤色の点は位相板の設計値からの換算値である . . . .
4.50 周波数制御法の概要：本節で説明する四種類の周波数制御法は、主に周波数・位相比較器にどのような素子を使うかが異なっている。ただし、FOL 法ではビート信号とローカルオシレーターの出力信号との位相差情報は失われている。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.51 OPLL 法の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.52 OPLL 法によってロックされているときに得られたビート信号:青の線
はローレンツ関数 y = (A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたもの。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.53 FOL 法の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.54 FOL 法によって周波数が安定化されているときにスペクトラムアナラ
イザによってられたビート信号:青の線はローレンツ関数 y = (A/π) ·r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたもの。 . . . . . . . . . . . .
4.55 図 4.55 の縦軸を線形にしたもの . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.56 OPLL と FOL の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.57 OPLL+FOL 法の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.58 OPLL+FOL 法によって周波数が安定化されているときにスペクトラ
ムアナライザによってられたビート信号:青の線はローレンツ関数 y =(A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたものである。 . . . .
4.59 OPLL 法、FOL 法、OPLL+FOL 法の比較 . . . . . . . . . . . . . . .
4.60 D-OPLL 法の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.61 HMC439QS16G の写真:向かって左側が比較したい信号の入力端子、右側が出力端子である。右側の２つの出力信号を自作の差動増幅器で差動増幅することでエラーシグナルを取り出すことができる。 . . . . .
4.62 D-OPLL 法によって周波数が安定化されているときにスペクトラムア
ナライザによってられたビート信号:VBW 100Hz、RBW 100Hz、Span
10MHz、Center Frequency 200MHz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

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74
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76
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78

79

79

図目次

8

4.63 D-OPLL 法によって周波数が安定化されているときに得られたビー
ト信号:VBW 100Hz、RBW 100Hz、Span 50kHz、Center Frequency
200MHz 青の線はローレンツ関数 y = (A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたものである。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.64 四種類の周波数制御法の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80
80

A.1 OPLL 回路の回路図：OPLL 法、FOL+OPLL 法のサーボ回路として使用した。赤く囲ったところがループ・フィルターである。設計には、過去の学位論文 [39, 40] を参考にした。 . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

B.1 周波数ロック回路の回路図：FOL 法、FOL+OPLL 法のサーボ回路として使用した。設計には、過去の学位論文 [41] を参考にした。 . . . .

84

C.1 デジタル OPLL 回路の回路図：赤く囲ったところがループ・フィルターである。設計には、過去の学位論文 [33] を参考にした。 . . . . . . . .

85

9

第1章

1.1

序論

研究の背景

ボース・アインシュタイン凝縮（BEC:Bose-Einstein Condensation）の存在は、1925
年に A. Einstein によって予言された [1]。しかし、巨視的な数の粒子が一つの波動関数を共有すると言うこの現象は想像することが難しく、現実には起こることはないだろうと思われていた。一方で、1911 年には、水銀の超伝導現象が H. K. Onnes によって
このとき既に発見されていて、1938 年には、液体ヘリウムの超流動現象が P. Kapitza
によって発見された [2]。これらの非常に低温で起こる超伝導や、超流動の原理は当初不明であったが、1938 年に、F. London は超流動がヘリウム原子のボース・アインシュ
タイン凝縮によるものであると説明した [3]。さらに 1957 年には、J. Bardeen、L. N.
Cooper、J. R. Schrieﬀer によって提唱された BCS 理論の中で、超伝導は対をなした
電子が BEC を起こしたものだと説明された [4]。このように BEC に起因する現象が出てきたことで、BEC そのものの存在は確実なものとなった。 しかし、A. Einsteinが考えていた気体における BEC はこのときまだ確認されていなかった。気体における BEC の達成には、A. Einstein の予言から 70 年後の 1995 年に可能となった。それは、レーザー冷却、磁気トラップ、蒸発冷却の技術を組み合わせることで、JILA のグ
ループが Rb 原子を用いて、MIT のグループが Na 原子を用いて、BEC の生成に成功した [5, 6]。これらアルカリ原子気体での BEC の実現により、冷却原子で物性を探索するという新しい分野が切り開かれ、以降冷却原子を用いた実験が盛んに行われた。
冷却原子系の利点の一つは、その操作性が高いことである。特に、フェッシュバッハ
共鳴を用いた粒子間相互作用の制御は、冷却原子系の実験に大きな可能性を広げた。
フェッシュバッハ共鳴は、原子核物理の研究者である H.Feshbach によって理論的に提唱され [7]、冷却原子系では、1998 年に、23 Na の BEC において観測が報告された [8]。
以降、様々な原子種や異種原子の混合系で、フェッシュバッハ共鳴によって粒子間相互作用が制御できる利点を生かした研究が行われている。

1.2

研究の目的

本研究室では混合ボース凝縮体 (BEC) のダイナミクス研究を進めている。異なる
原子種による混合 BEC で、フェッシュバッハ共鳴により粒子間相互作用を制御した研究の例を挙げると、S. B. Papp らによって行われた研究がある。彼らは、85 Rb と87 Rb の二原子種 BEC を生成し、フェッシュバッハ共鳴を利用して 85 Rb の散乱長を調整することにより、異種原子同士が空間的に混合状態から相分離するこを確認した[9]。この実験の結果は S. Ronen らによる理論的分析によって裏付けられている [10]。
本研究室の目標の一つは、このような混合 BEC の非平衡物理を実時間で非破壊に観測することである。

第1章

序論

10

BEC の観測方法としては、原子の共鳴周波数のプローブ光を原子に吸収させて、その影を CCD カメラで観測する方法 (吸収イメージング法) が一般的であるが、これは基本的に破壊測定であり、混合状態から相分離までの非平衡物理をリアルタイムで観測するような、ダイナミクス観測にはあまり適していない。このような、BEC のダ
イナミクス観測には、位相コントラストイメージング法が有効であることが知られている。これは、1996 年に M. R. Andrews らによって開発された方法 [11] である。彼
らは、原子の共鳴周波数から大きく離調したレーザー光をプローブ光に用いることで
BEC の破壊を抑え、さらに、BEC によるプローブ光の位相変化を強度変化に変換することで、BEC をほとんど非破壊に、かつ BEC の物理情報を反映したイメージを得ることに成功した。本研究室の共同研究者による先行研究 [12] では、この技術を取り入れ、41 K の BEC の成長過程を位相コントラストイメージング法によって観測することに成功した。さらに、本研究室の共同研究者による先行研究 [13] では、41 K と 87 Rbの混合 BEC において、フェッシュバッハ共鳴を利用して 41 K と 87 Rb 間の散乱長を調整することによって、異種原子同士の相互作用をゼロにしておいた状態（混合状態）
から、急に強い斥力相互作用にして、混合状態から相分離してドメインを形成するまでのダイナミクスを、位相コントラストイメージング法を用いて観測することに成功した。(このように急変させる方法をクエンチと呼ぶ。クエンチが得意であることは、
冷却原子系の利点であると言える。) 図 1.1 は、このとき位相コントラストイメージン
グ法によって撮影された、41 K と 87 Rb の BEC の混合状態から相分離までのダイナミクスを観測したイメージである。理論では、このように原子の分布が時間変化するとき、ドメインのサイズの平均値は変わるが、分布の形は変わらないと期待されている。
このように、本研究室では、混合 BEC のダイナミクス研究を進めているが、改良できる点はまだあると考えている。以下にそれを挙げる。
1. 解像度
図 1.1 を見てみると、解像度をもっと良くしたいと思える。これは、位相コント
ラストイメージング法に使用する「位相板」と呼ばれる石英ガラスで作られた光学素子のサイズが小さかったため、イメージング系の開口数を大きくすることができなかったことが原因である。位相板や、光学系について詳しくは 4.4.1
項、4.3 節で説明する。
2. 離調の制御
位相コントラストイメージングを行うには、原子の共鳴周波数から離調のついた
光源 (プローブ光) が必要で、その線幅は離調に対して十分に小さい必要がある。
また、実験の初期の調整によってとりたい離調が変わる場合もあるため、離調はある程度調整可能であることが望ましい。原子の共鳴周波数からどの程度離調をとるかや、どの程度周波数が可変な光源が必要であるかについては 4.2 項で説明する。本研究室では、位相コントラストイメージングに使う光源は、レーザー冷却に使う原子の共鳴周波数の光を、音響光学変調器 (Acousto-Optic Modulator)(以下、「AOM」と書く) によって変調する方法や、ビートロックシステムによる方法で原子の共鳴周波数から離調をとっている。しかし、AOM を用いる方法
では、離調を変えたいときに AOM を取り替える等する必要がある。その場合は光学系を一部作り直す必要があるので不便である。また、今までのビートロッ
クシステムによる方法では、振動に弱く、周波数が安定しない問題があった。

第1章

序論

11

21μm
206μm

図 1.1: 41 K と 87 Rb の混合 BEC において、混合状態から相分離までを位相コントラ
ストイメージング法で撮影した画像 [13]。

3. 一次元のイメージ
図 1.1 を見てみると、細長い BEC のイメージであることがわかる。これは、光双極子トラップ (ODT: Optical Dipole Trap) によって細長く閉じ込められた BECのダイナミクスを観測しているからである。これは、一次元のイメージである。
本研究では上に挙げた 1,2 の問題を改良するために、次のことを行った。

1. 位相コントラストイメージングに用いる位相板の評価
解像度を良くするためには、従来のサイズより大きいサイズの位相板を用意する必要がある。この大きい位相板については、共同研究者によって設計・製作されたものが既に用意されている。そこで本研究では、製作された位相板が設計通りに作られていることを、「位相コントラストイメージング法による位相板の評価」と、「干渉計による位相板の評価」の、２種類の光学的方法で評価した。
2. 位相コントラストイメージングに用いる光源の開発
位相コントラストイメージングに用いる光源は、周波数が可変で、その線幅は

第1章

序論

12

離調に対して十分小さい必要がある。この要求を満たした上で、より位相コン
トラストイメージング法に適した光源の開発を目指した。
また、共同研究者らによる研究により、3 の問題も改良がされた。
彼らは、リングトラップとシートトラップによって二次元の箱型ポテンシャルをつくり、その中に BEC を一様に閉じ込めることに成功した。これによって、これまで一次元のイメージであったものを、二次元で混合 BEC のダイナミクスを観測できることが可能となった。また、ODT による調和ポテンシャルでは、位置によって原子が感じるポテンシャルが変わってしまうのに対して、このような箱型ポテンシャルでは、
ポテンシャルの境界付近以外では、位置による原子か感じるポテンシャルは変化しな
い。このような位置によるポテンシャルの変化が無い系は、ダイナミクスを見る点において、より理想的な系であると考えられている。

1.3

本論文の構成本論文は以下の構成となっている。
●第１章では、本研究の背景と、本研究の目的について述べる。
●第２章では、本研究で取り扱う極低温ボース粒子気体の理論について述べる。
●第３章では、原子気体のイメージが持つ物理情報を知るために必要な知識である、
原子と光の相互作用について述べる。
●第４章では、位相コントラストイメージング法の原理や、位相板の評価、光源の開発等について述べる。
●第５章では、本研究のまとめと今後の展望を述べる。

13

第2章

極低温ボース粒子気体

この章では、極低温ボース粒子気体の振る舞いについて述べる。2.1 節では、グロ
スピタエフスキー方程式を導入し、単一原子種 BEC のトラップポテンシャル中での振る舞いについて述べる。2.2 節では、二原子種のグロスピタエフスキー方程式を導入し、異種原子間の散乱長をフェッシュバッハ共鳴によって制御したときの二原子種
BEC の振る舞いについて述べる。尚、ここでの議論は、文献 [14] を参考にしている。

2.1

単一原子種の BEC

この節では、二原子種 BEC の振る舞いについて議論する前に、単一原子種 BEC のトラップポテンシャル中での振る舞いについて述べる。

2.1.1

グロス・ピタエフスキー方程式

外部ポテンシャル V (r) に閉じ込められた N 個のボース粒子を考える。完全な BEC
では、全てのボース粒子は同一の一粒子状態 ϕ(r) にある。従って N 粒子系の波動関数はΨ(r1 , r2 , · · ·, rN ) =N∏ϕ(ri )(2.1)

i=1と書ける。ここで、一粒子波動関数 ϕ(ri ) は次の規格化されている。
∫
dr|ϕ(r)|2 = 1
状態 (2.1) のエネルギーは、次式で与えられる。
]
[ 2
∫
h̄
(N − 1)|∇ϕ(r)|2 + Vtrap (r)|ϕ(r)|2 +U0 |ϕ(r)|4E = N dr
2m
2

(2.2)

(2.3)

ここで、U0 は相互作用ポテンシャルであり、散乱長 a を用いて U0 = 4πh̄2 a/m と書ける。ここで凝縮状態の波動関数を導入して、√(2.4)
ψ(r) = N ϕ(r)とする。粒子の密度はn(r) = |ψ(r)|2で得られる。1/N のオーダーを無視すると系のエネルギーは、
[ 2
]
∫
h̄
1
2
2
4
E(ψ) = dr|∇ψ(r)| + Vtrap (r)|ψ(r)| + U0 |ψ(r)|
2m
2

(2.5)

(2.6)

第2章

極低温ボース粒子気体

14と書き換えられる。これを粒子数一定の条件のもと、変分法によりエネルギーを最小化する。E − µN (µ は化学ポテンシャル) を変分してゼロとおくと、
[
]
h̄2 2
−
∇ + Vtrap (r) + U0 |ψ(r)|2 ψ(r) = µψ(r)(2.7)
2mとなる。これが時間に依存しないグロス・ピタエフスキー方程式である。これは、運動エネルギー項、トラップポテンシャル項、相互作用項の三つの項から成る。

2.1.2

トマス・フェルミ近似

原子数が十分に大きな気体に対しては、グロス・ピタエフスキー方程式の運動エネル
ギー項を無視することができる。この近似を、トマス・フェルミ近似と呼ぶ。式 (2.7)
をトマス・フェルミ近似すると、[]
Vtrap (r) + U0 |ψ(r)|2 ψ(r) = µψ(r)(2.8)となる。式 (2.7) を解析的に解くことは難しいが、トマス・フェルミ近似された式 (2.7)
は簡単に解くことができて、式 (2.5) より、µ = Vtrap (r) + U0 n(r)(2.9)

が得られる。また、気体の境界では、式 (2.9) に、n(r) = 0 を代入することで、

Vtrap (r) = µ(2.10)

が成り立つ。気体の密度分布は、規格化条件∫
n(r)dr = N(2.11)

を満たすように式 (2.9) を解くことで得られる。ここで、m を粒子の質量として具体的にトラップポテンシャルを、

1
Vtrap (r) = m(ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 )2(2.12)

で表される非等方調和ポテンシャルとして気体の境界を考える。各軸上の気体の境界を半径 Ri とすると、式 (2.12) を式 (2.10) に代入することで、
√
2µ
Ri =
,
i = x, y, z
(2.13)mωi2が得られる。これをトマス・フェルミ半径と呼ぶ。

2.2

二原子種の BEC

二原子種の BEC の振る舞いを調べるには、二原子種のグロス・ピタエフスキー方程式を考える必要がある。この節では、二原子種グロス・ピタエフスキー方程式を導入し、二原子種の BEC の安定性について述べる。

第2章

極低温ボース粒子気体

2.2.1

二原子種グロス・ピタエフスキー方程式

15

時間に依存しない二原子種グロス・ピタエフスキー方程式は、トマス・フェルミ近似を適用して運動エネルギー項を無視したとき、次式で与えられる。

[]
V1 (r) + U11 |ψ1 (r)|2 + U12 |ψ2 (r)|2 ψ1 (r) = µ1 ψ1 (r)[]V2 (r) + U22 |ψ2 (r)|2 + U12 |ψ1 (r)|2 ψ2 (r) = µ2 ψ2 (r)(2.14)(2.15)

ここで、mi は粒子 i の質量で、µi は粒子 i の化学ポテンシャル、Vi は粒子 i が感じる
トラップポテンシャルである。また、相互作用項 Uij は散乱長に依存していて、

Uij =

2πh̄2
aij (i, j = 1, 2)
mij(2.16)である。ただし、mij = mi mj /(mi + mj ) は粒子 i と j の換算質量で、aij は粒子 i とj の間の散乱長である。各粒子の密度は、ni = |ψi |2 であるので、式 (2.14)、式 (2.15)より、µ1 = V1 + U11 n1 + U12 n2(2.17)µ2 = V2 + U22 n2 + U12 n1(2.18)

が得られる。ここで、一様気体の場合 (V1 = V2 = 0) を考えると、式 (2.17)、式 (2.18)より、µ1 = U11 n1 + U12 n2(2.19)µ2 = U22 n2 + U12 n1(2.20)となり、密度と化学ポテンシャルとの関係が得られる。次に、このときの安定条件を考える。系の安定条件は密度の変化によるエネルギーの変化を考えれば良く、条件は、

∂µ1
∂µ2
> 0,
>0
∂n1
∂n2

(2.21)∂µ1 ∂µ2 ∂µ1 ∂µ2−>0∂n1 ∂n2 ∂n2 ∂n1(2.22)となる。また、式 (2.21)、式 (2.22) の条件は、次の条件と同等である。

U11 > 0, U22 > 0(2.23)

2
U11 U22 > U12(2.24)

本研究で用いる 41 K |F = 1 , mF = 1⟩ と 87 Rb |F = 1 , mF = 1⟩ の混合系の場合で、
式 (2.23) と式 (2.24) から具体的に安定条件を考える。同一原子間の散乱長はボーア半
径を a0 として、それぞれ aKK = 63.5a0 [15, 16]、aRbRb = 100.4a0 [17, 18] である。
このとき、U11 、U22 は式 (2.16) より正の値となり、式 (2.23) の条件を満たす。従って、今回の混合状態が安定である条件は、散乱長 aKRb によって決まることになるが、K-Rb 間の相互の散乱長はフェッシュバッハ共鳴を用いることで調整可能である。41 Kと 87 Rb の質量比が 41:87 であることと、式 (2.16) より、式 (2.24) の安定条件は、−75a0 < aKRb < 75a0(2.25)

第2章

極低温ボース粒子気体

16となる。この条件のときは、混合状態 (miscible) を示す。また、

aKRb ≥ 75a0(2.26)の条件のとき、分離状態 (immiscible) を示し、

aKRb ≤ −75a0(2.27)の条件のときは、引力相互作用による崩壊 (collapse) を示す。

2.2.2

41

K と 87 Rb のフェッシュバッハ共鳴

ここでは、本研究で用いる 41 K と 87 Rb のフェッシュバッハ共鳴について述べる。
フェッシュバッハ共鳴近くでは、散乱長 a は磁場 B と次の関係が成り立つことが知ら
れている。
(
)
∆
a = abg 1 −(2.28)
B − B0
これは、フェッシュバッハ共鳴近くでは原子の散乱長 a が磁場 B によって −∞ < a <+∞ の範囲の任意の値にできることを意味している。ただし、abg は磁場 B が ±∞ のときの散乱長である。また、B0 は散乱長が発散するときの磁場で、∆ は B0 から散乱長がゼロになる点までの幅を表す。41 K |F = 1, mF = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, mF = 1⟩ の間のフェッシュバッハ共鳴は、G. Thalhammer らの先行研究によって観測されている[19, 20, 21]。これらの先行研究の結果から、100 G 以下の領域では、38.4G 付近に幅37G 程度の広い幅の共鳴があり、78.7G 付近に幅 1.2G 程度の狭い幅の共鳴があることがわかっている。表 2.1 に、41 K |F = 1, mF = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, mF = 1⟩ の間のフェッシュバッハ共鳴の性質をまとめる [22, 23]。 ただし、B̄ は、散乱長がゼロになる磁場であり、 da/dB はその時の散乱長の変化率である。また、図 2.1 と図 2.2 に
41 K |F = 1, m = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, m = 1⟩ の間の散乱長の理論計算を示す。尚、計FF
算結果は共同研究者からいただいたものである [24]。図 2.1 と図 2.2 を見ると、78.7G付近にある共鳴は散乱長 a を 0 にすることが可能であることがわかる。41 K と 87 Rbの BEC を混合させる為には、相互の散乱長を 0 付近に調整する必要があるので、本研究では 78.7G 付近にある共鳴を使う。
表 2.1: 41 K |F = 1, mF = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, mF = 1⟩ の間のフェッシュバッハ共鳴の性質 [22, 23]
B0 [G] ∆[G] abg [a0 ] B̄[G] da/dB

38.4
78.67

37
1.2

284
284

72.18
87.19

16.8
8.9

第2章

極低温ボース粒子気体

17

2000
1500

散乱長 [𝒂𝟎 ]

1000
500
0
-500

-1000
-1500
-2000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

磁場 [G]

図 2.1: 41 K |F = 1, mF = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, mF = 1⟩ のフェッシュバッハ共鳴：0∼100G

2000
1500
1000

散乱長 [𝒂𝟎 ]

500
0
-500

-1000
-1500
-2000

60

65

70

75

80

85

90

磁場 [G]

図 2.2: 41 K |F = 1, mF = 1⟩ と 87 Rb |F = 1, mF = 1⟩ のフェッシュバッハ共鳴：60∼90G

第2章

極低温ボース粒子気体

18

19

第3章

原子と光の相互作用

吸収イメージングや位相コントラストイメージングによるイメージからは、物体の透過率 t や、位相シフト ϕ が得られる。これらの量が原子気体の共鳴周波数や密度、
プローブ光の周波数にどのように依存しているかを知るためには、原子と光の相互作用について考察しなければならない [25, 26]。したがって、この章では原子と光の相互作用について述べる。

3.1

複素屈折率と透過率、位相シフトの関係

一般に、物質の屈折率や吸収などの光学的性質は複素屈折率 nref によって表される。この節では、複素屈折率を導入し、物質の透過率と位相シフトとの関係を示す。
一様誘電媒質中のマクスウェル方程式は、次の式 (3.1) から式 (3.6) で表せることが知られている。

∇ · D(r, t) = 0(3.1)∇ · B(r, t) = 0(3.2)∂B(r, t)∂t
∂D(r, t)∇ × H(r, t) =∂t
D(r, t) = ϵ0 E(r, t) + P (r, t)∇ × E(r, t) = −B(r, t) = µ0 H(r, t)

(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)

式 (3.4) は、式 (3.5) と式 (3.6) を代入することで、∇ × B(r, t) = µ0∂
(ϵ0 E(r, t) + P (r, t))
∂t

(3.7)

と表すことができる。
まず、電場が満たすべき波動方程式を求める。式 (3.3) の両辺に左から ∇× を作用させると、右辺は、式 (3.7) を使って計算できて、

1 ∂ 2 E(r, t)
1 ∂ 2 P (r, t)∇(∇ · E(r, t)) − ∆E(r, t) = − 2
−
c
∂t2
ϵ0 c2
∂t2

(3.8)

となる。P (r, t) は分極で、電場に比例すると考えて、

P (r, t) = nϵ0 χ(ω)E(r, t)= nα(ω)E(r, t)(α(ω) ≡ ϵ0 χ(ω))(3.9)(3.10)

第3章

原子と光の相互作用20と書くことができる。ここで、n は原子の密度である。また、χ(ω) は電気感受率、α(ω)
を複素分極率といい、式 (3.10) の関係がある。式 (3.5) の両辺に左から ∇· を作用させると、式 (3.1) と式 (3.9) より、

0 = ϵ0 ∇ · E(r, t) + ∇ · (nϵ0 χE)= ϵ0 (1 + nχ)∇ · E(r, t)(3.11)∇ · E(r, t) = 0(3.12)

よって、となる。式 (3.12) より、式 (3.8) を整理して書くと、∆E(r, t) −1 ∂ 2 E(r, t)
1 ∂ 2 P (r, t)
=
c2
∂t2
ϵ0 c2
∂t2

(3.13)となり、これが電場が満たすべき波動方程式である。
次に、分散関係を求めるために、電場の解として次のような x 方向に進む平面波を考える。

E(r, t) = E0 exp[i(kx − ωt)](3.14)

これを、式 (3.13) に代入すると、

k2 =
=

nα(ω)
ω2
[1 +
]
c2
ϵ0
ω2
[nref (ω)]2c2(3.15)となり、分散関係が得られる。ここで導入した複素屈折率 nref は、実部と虚部に分けて表示すると、

nref (ω) = nR (ω) + nI (ω)(3.16)であり、実部 nR は通常の屈折率を表し、虚部 nI は消衰係数と呼ばれる。式 (3.15)と式 (3.16) より電場は、
ωnref
E(r, t) = E0 exp[i(x − ωt)](3.17)cωnR
ωnI= E0 exp[i(x − ωt)] exp[−x](3.18)ccとなる。この式から、複素屈折率の実部 nR は波の波長や速度を変化させ、虚部 nIは波の振幅を減衰させている。すなわち誘電媒質による吸収を表していることがわかる。このように、複素誘電率を導入することによって、屈折と吸収を同時に考えることができる。
また、物質の厚さを d とすると、透過率 t と位相シフト ϕ は、nR と nI を用いて表すことができて、nI ωt = exp(−d)(3.19)cω
(3.20)
ϕ = − (nR − 1)dcとなる。したがって、物質の複素屈折率を求めれば、式 (3.19)、式 (3.20) から透過率と位相シフトを求めることができる。

第3章

原子と光の相互作用

3.2

二準位原子と光の相互作用

21原子の複素屈折率を求めるためには、原子が光に対してどのように応答するのかを求めなければならない。そのためにここでは、二準位モデルを導入し、二準位原子と光の相互作用を考察する。
二準位原子のハミルトニアンは、

Ĥ0 = E1 |1⟩ ⟨1| + E2 |2⟩ ⟨2|(3.21)と書ける。ここで、|1⟩、|2⟩ は、それぞれ基底状態と励起状態の固有状態であり、E1 、E2 は固有エネルギーである。原子の双極子モーメントを µ̂ = µ(|1⟩ ⟨2| + |2⟩ ⟨1|)、光の電場を E(t) = E0 cos (ωt) とすると、原子と光の相互作用ハミルトニアンは、

ĤI = −µ̂ · E(t) = −µ · E0

eiωt + e−iωt(|1⟩ ⟨2| + |2⟩ ⟨1|)
2

(3.22)となる。また、全系のハミルトニアンは、Ĥ = Ĥ0 + ĤI (t)(3.23)である。この問題では、ハミルトニアンが時間に依存するので、時間に依存する Schrödinger
方程式、

ih̄

∂ |Ψ⟩
= Ĥ |Ψ⟩∂t(3.24)

を解く必要がある。また、状態ベクトルを、|Ψ(t)⟩ = c1 (t)(r) exp(−iE1E2t) |1⟩ + c2 (t) exp(−i t) |2⟩h̄h̄

(3.25)とする。このとき、波動関数の規格化条件より、|c1 |2 + |c2 |2 = 1(3.26)

が成立する。式 (3.25) を式 (3.24) に代入すると、)h̄Ω ( i(ω−ω0 )te+ e−i(ω+ω0 )t c2 (t)2)
h̄Ω ( i(ω−ω0 )t= −e+ e−i(ω+ω0 )t c1 (t)2ih̄c˙1 = −(3.27)

ih̄c˙2(3.28)

0となる。ここで、Ω は、Ω = µ·Eh̄ で定義され、ラビ周波数と言われる。また、h̄ω0 =E2 − E1 を共鳴周波数という。ここで、角周波数 ω + ω0 を含む振動の項は、原子と光の相互作用する時間スケールに比べると非常に速いので、時間平均で見てゼロと近似できる（回転波近似）。δ = ω − ω0 とすると、h̄Ω iδte c2 (t)2h̄Ω −iδt
ih̄c˙2 (t) = −ec1 (t)
2ih̄c˙1 (t) = −(3.29)(3.30)

ˆ を、が得られる。ここで、二準位原子の状態ベクトル |Ψ(t)⟩ を用いて、密度演算子 ρ(t)
ˆ = |Ψ⟩ ⟨Ψ|ρ(t)(3.31)

第3章

原子と光の相互作用22と定義する。この密度演算子を行列表示すると、
(
) (
)
2
∗ (t)
ρ
ρ
|c
(t)|
c
(t)c
11
12
1
1
2
ˆ =
ρ(t)
=
ρ21 ρ22c∗1 (t)c2 (t) |c2 (t)|2(3.32)となる。これを密度行列といい、非対角成分をコヒーレンス、対角成分を存在確率という。この密度行列から、光ブロッホ方程式を導出する。まず、c1 、c2 を次のように書き換える。

c˜1 = c1 e−iδt/2(3.33)−iδt/2(3.34)c˜2 = c2 e

この書き換えは、対角成分は換わらず、ρ˜11 = ρ11 、ρ˜22 = ρ22 となり、非対角成分は、
ρ˜12 = ρ12 e−iδt 、ρ˜21 = ρ21 eiδt = (ρ˜12 )∗ に書き換わる。ここで、式 (3.33) と式 (3.34)の両辺を時間微分すると、iδc˜˙1 = c˙1 e−iδt/2 − c1 e−iδt/2
2
iδ
iδt/2
c˜˙2 = c˙2 e+ c2 eiδt/22(3.35)(3.36)

が成り立つ。また、式 (3.35)、式 (3.29)、式 (3.33) より、式 (3.37) が成り立つ。(同様に、式 (3.38) も成り立つ。)∗

1(δ c˜1 − Ωc˜2 )21= − (Ωc˜1 + δ c˜2 )2

ic˜˙1 =

(3.37)

ic˜˙2(3.38)∗

˙ = c˜1 c˜˙2 + c˜˙1 c˜2 等から、
また、ρ˜12()
dρ˜21 ∗iΩdρ˜12=
= −iδ ρ˜12 +(ρ22 − ρ11 )
dt
dt
2
dρ22
dρ11
iΩ
= −
=
(ρ˜12 − ρ˜21 )dt
dt
2(3.39)(3.40)

が成り立つ。ここで、式 (3.26) より、

ρ11 + ρ22 = 1(3.41)である。ここで、u、v を、非対角成分を用いて、

u = −(ρ˜12 + ρ˜21 )(3.42)

v = i(ρ˜12 − ρ˜21 )(3.43)のように定義すると、

u̇ = δvv̇ = −δu + Ω(ρ11 − ρ22 )
Ωv
ρ22
˙ =
2

(3.44)(3.45)(3.46)

第3章

原子と光の相互作用23となる。さらに、w を、対角成分を用いて、

w = ρ11 − ρ22(3.47)と定義すると、式 (3.41) から、u̇ = δvv̇ = −δu + Ωwẇ = −Ωv(3.48)

が得られる。よく知られている光ブロッホ方程式は、式 (3.48) に減衰項が含まれたもので、

u̇ = δv −Γ
2Γ2ẇ = −Ωv − Γ(w − 1)v̇ = −δu + Ωw −(3.49)

で表される。ここで、Γ は、自然放出レートと呼ばれるものである。式 (3.49) の定常
解は、




u
Ωδ
1




(3.50)
 v = 2 ΩΓ/2 
2δ + Ω /2 + Γ2 /4
22w
δ + Γ /4で与えられる。
●光子散乱レート式 (3.50) で示した、光ブロッホ方程式の定常解の対角成分からは、光子散乱レート
ΓP を求めることができる。式 (3.50) の w 成分より、

ρ22 =

1−w
Ω2 /4
= 2
2
δ + Ω2 /2 + Γ2 /4(3.51)(3.52)である。この式から、定常状態における励起状態の原子の割合は、最大で 1/2 である
ことがわかる。ここで、共鳴光を入射したときに励起状態の割合が 1/4 になる光の強度として、飽和強度 IS を定義すると、

2Ω2
I
= 2
IS
Γ

(3.53)

が得られる。ここで、I = 21 ϵ0 c|E|2 である。飽和強度は、実験で簡単に測定できる量であるため、よく用いられる。一秒間に自然放出は Γρ22 だけ起きているが、今は定常状態を考えているので、同じ数だけ光子を吸収して基底状態から励起状態に遷移していると考えられる。従って、一秒あたりに原子が吸収する光子の数 ΓP は、

ΓP = Γρ22 =

Ω2 /2
I/IS
Γ
Γ
=
2
2
2
2 δ + Ω /2 + Γ /4
2 1 + I/IS + δ̃ 2

(3.54)

第3章

原子と光の相互作用24δとなる。ただし、δ̃ = Γ/2である。この ΓP が、光子散乱レートとよばれるもので、冷却原子が光と相互作用したときの加熱効果などを考えるときに重要な量である。
●原子の分極と複素屈折率
一方、光ブロッホ方程式の定常解の非対角成分からは、複素分極率 α(ω) を求めることができる。式 (3.50) の u、v の成分より、

ρ12 e−iωt = σ12 = σ21 ∗δ + iΓ/2Ω= −2
2 δ + Ω2 /2 + Γ2 /4(3.55)

が得られる。原子の密度が n のとき、分極 P (t) の期待値は、密度演算子と原子の双極子モーメント µ̂ を用いて、P (t) = n tr(ρ̂(t)µ̂) で与えられ、P (t) = n tr(ρ̂(t)µ̂)= nµ(ρ12 + ρ21 )= nµΩ−δ cos (ωt) + Γ2 sin (ωt)
δ 2 + Ω2 /2 + Γ2 /4(3.56)となる。いま、二準位原子には E(t) = Re[E0 e−iωt ] という電場がかかっているので、複素分極率 α(ω) = αR + iαI と原子の分極の関係は、P (t) = Re[α(ω)E0 e−iωt ]= E0 (αR cos (ωt) + αI sin (ωt))(3.57)となる。式 (3.56) と式 (3.57) を見比べると、複素分極率の実部と虚部として、

nµ2
δ
2
2
h̄ δ + Ω /2 + Γ2 /4
nµ2
Γ/2
2
2
h̄ δ + Ω /2 + Γ2 /4

αR = −(3.58)

αI(3.59)=

が得られる。ここで、式 (3.15) より、原子気体が十分に希薄なとき ( nαϵ0 << 1) を考え
ると、
√
nα
nα
∼1+
(3.60)
nref = 1 +ϵ02ϵ0となる。式 (3.60) より複素屈折率を求めると、

nref = 1 +σ0 nλ−δ̃ + i
4π 1 + I/IS + δ̃ 2

(3.61)

が得られる。ここで、双極子モーメントは、現象論的取り扱いのアインシュタインのA 係数として知られる、

Γ=µ2 ω033πϵ0 c3 h̄

(3.62)–2 (λ– = λ/2π) で、σ0 は共鳴光の吸を用いて、線幅 Γ に書き換えた。また、σ0 = 6πλ収断面積と呼ばれるものである。複素屈折率が得られたので、式 (3.19) と式 (3.20) か第3章

原子と光の相互作用

25

ら原子気体の透過率 t と位相シフト ϕ を求める。いま、原子気体の密度は一定ではな
く空間的に変化するものと考えられる。したがってプローブ光の進行方向を z 軸にと∫り、面密度 ñ(x, y) = n(x, y, z)dz を定義すると、原子気体の透過率 t と、位相シフ
ト ϕ は、
(
)
σ0 ñ
1
D
t = exp (−) = exp −(3.63)
2 1 + I/IS + δ̃ 2
2

ϕ =

σ0 ñ
δ̃
D
= δ̃
2 1 + I/IS + δ̃ 2
2

(3.64)となる。ここで、D は、光学的厚さと呼ばれ、

D=

σ0 ñ
1 + I/IS + δ̃ 2

(3.65)

である。式 (3.63)、式 (3.64) より、原子気体の透過率 t や、位相シフト ϕ が、原子の共鳴周波数 ω0 、プローブ光の離調 δ 、原子気体の面密度 ñ にどのように依存するかを求めることができた。

26

第4章

位相コントラストイメージング法

通常 BEC の密度分布を観測する手法として吸収イメージング法が用いられる。しかし吸収イメージング法では原子が光子の吸収・放出を多数回繰り返すため、加熱や内部状態の変化が BEC を破壊し連続撮影が原理的に不可能となる。そこで、位相コントラストイメージング法について研究を行うことにした。吸収イメージング法では、原子気体に共鳴光を当て、その透過率を測定する。一方位相コントラストイメージン
グ法では、共鳴から離調を大きくとった光を用いて原子気体による光の位相シフトを測定する。そのため、位相コントラストイメージング法は BEC をほとんど非破壊で観測でき、BEC のダイナミクスを観測するための効果的な手段といえる。本研究では、位相コントラストイメージング法で定量的に BEC の物理情報を得るために「位相板が設計通りに作られている」ことを確認し、プローブ光として「レーザーの線幅が十分に細く、周波数が可変な光源」の開発を行った。4.1 節では、位相コントラスト
イメージング法の原理について述べる。4.2 節では、位相コントラストイメージングに用いる光源の要求仕様について述べる。4.3 節では、位相コントラストイメージン
グに用いる位相板の要求仕様について述べる。4.4 節では、位相板が設計通りに作られているかを確認する実験について述べる。また、4.5 節では、位相コントラストイ
メージング法に最適な光源の開発についてを述べる。

4.1

位相コントラストイメージング法の原理

光で BEC をイメージする方法は主に、吸収イメージング法と位相コントラストイ
メージング法がある。簡単に言うと、吸収イメージング法では物体によって光が吸収されることを利用して、位相コントラストイメージング法では物体によって光が屈折することを利用してイメージングを行っている。この節では、この二つのイメージン
グ法の原理を述べる。

4.1.1

吸収イメージング法

まず吸収イメージング法について述べる。吸収イメージング法では、図 4.1 の様な光学系を用いる。プローブ光としては、原子の光学遷移に共鳴な ω0 の周波数の光を用いて、このときの光の強度の変化を測定すればよい。スクリーンは、CCD カメラ
を用いることで強度変化を測定できる。
図 4.1 のように、プローブ光の電場を E0 (r, t)、原子気体を透過後の光の電場を Et (r, t)、
原子気体によって散乱された光の電場を ∆E(r, t) とすると、原子気体を透過後の電場は、一般に振幅と位相が変化して、

Et = E0 + ∆E = tE0 eiϕ

(4.1)

第4章

位相コントラストイメージング法

27
スクリーン

レンズ
プローブ光 𝑬𝟎(𝝎 = 𝝎𝟎 )原子気体
散乱光 𝚫𝑬

図 4.1: 吸収イメージング法の原理が成り立つ。この、t = t(x, y) が透過率で、ϕ = ϕ(x, y) が位相シフトとなる。透過率と位相シフトは原子気体の密度等から決定される。以下に透過率および位相シフトと密度の関係について示す。
吸収イメージング法で得られる光の強度 Iabs は、プローブ光の強度を I0 とすると、

1
Iabs = ϵ0 c|Et (x, y)|2 = t2 (x, y)I0
2

(4.2)

1
I0 = ϵ0 c|E0 |2
2

(4.3)

となる。ここで、である。したがって、吸収イメージング法では原子気体にプローブ光を吸収させ、そのイメージから透過率を算出して、原子気体の密度を計算することができる。式 (3.63)より、原子の面密度 ñ は

ñ(x, y) = −Iabs
1 + I/Is + δ̃ 2
log
σ0
I0

(4.4)

で表すことができる。

4.1.2

位相コントラストイメージング法
レンズ
プローブ光 𝑬𝟎
原子気体

位相板

スクリーン

(𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜹)

散乱光 𝚫𝑬

図 4.2: 位相コントラストイメージング法の原理
位相コントラストイメージング法では、図 4.2 の様な光学系を用いる。吸収イメー
ジング法と異なるところは、図 4.2 のように、プローブ光が集光するところに位相板

第4章

位相コントラストイメージング法28が配置されていることと、プローブ光の電場の周波数が、原子の光学遷移の共鳴から
δ だけ離調がついていることだけである。位相板とは中央に小さな凹みがある石英でつくられた光学素子のことで、この凹みを通った光のみ位相が π/2 だけ進むように設計されている。位相コントラストイメージング法では、レンズによって集光されたプ
ローブ光だけを位相板の凹みに通し、それによって位相が π/2 だけ進んだプローブ光と、散乱光との干渉によってイメージを得る。尚、本研究では中央に出っ張りのある
凸型の位相板も使用した。その場合は逆にプローブ光の位相のみが π/2 遅れることになる。
吸収イメージング法のときと同様に、スクリーン上の電場 (今回は Epc ) を計算すると、式 (4.1) より、位相板の凹凸によるプローブ光の位相シフトを ϕc として、

Epc = E0 eiϕc + ∆E = tE0 eiϕ − E0 + E0 eiϕc(4.5)

となる。また、位相コントラストイメージング法による光の強度 Ipc も先ほどと同様に求めると、式 (4.5) から、

1
ϵ0 c|Epc |22= I0 |tE0 eiϕ − E0 + E0 eiϕc |2

Ipc == I0 [t2 + 2t{(cos (ϕ − ϕc ) − cos ϕ} + 2(1 − cos ϕc )](4.6)となる。ここで、位相板の凹凸が設計通りに作られていれば、ϕc = π/2 なので、これを式 (4.6) に代入すると、

1
ϵ0 c|Epc |22π= I0 |tE0 eiϕ − E0 + E0 ei 2 |2√π
= I0 [t2 + 2 − 2 2t cos (ϕ + )]
4

Ipc =

(4.7)

となる。ここで、透過率を t ∼ 1 とすると、位相シフトは

ϕ = arccos (3 − Ipc /I0
π
√
)−
4
2 2

(4.8)

となる。よって、位相シフト ϕ は、コントラスト Ipc /I0 から求めることができる。具体的に CCD カメラで Ipc /I0 を測定するときは、原子気体がないときのイメージ L、
原子があるときのイメージ S 、及び、プローブ光がないときのイメージ D を撮影する。このとき Ipc /I0 は、撮影した三枚の画像を使ってピクセルごとに算出することが
できて、

Ipc
S−D
=
I0
L−D

(4.9)

となる。位相コントラストイメージング法では、このようにして位相シフト ϕ を求めることで、式 (3.64) から、原子の縦密度 ñ(x, y) を算出することができて、

ñ(x, y) = 2ϕとなる。

1 + I/Is + δ̃ 2
σ0 δ̃(4.10)

第4章

位相コントラストイメージング法

4.2

光源の要求仕様29

この節では、位相コントラストイメージングに用いる光源（プローブ光）の要求仕様について述べる。4.2.1 項では、位相コントラストイメージング法に適したプローブ
光の離調について述べる。また、4.2.2 項では、4.2.1 項で述べたことを踏まえて、位相コントラストイメージングに用いる光源の周波数の可変域と線幅がどの程度要求されるかを述べる。

4.2.1

位相コントラストイメージング法に適したプローブ光の離調

第３章で述べた通り、原子気体の透過率 t と、位相シフト ϕ は、原子の共鳴周波数 ω0 、プローブ光の離調 δ 、原子気体の面密度 ñ に依存して、それぞれ式 (3.63)、式(3.64) で表すことができる。また、光子散乱レート ΓP は、式 (3.54) で表される。式(3.54)、式 (3.63)、式 (3.64) から、離調が十分大きい (δ >> 1) とき、それぞれの離調に関する依存性を考えると、

ΓP

∝

1
δ2

(4.11)t ∝ e− δ2
1
ϕ ∝
δ
1

(4.12)(4.13)となる。位相コントラストイメージングでは、式 (4.12)、式 (4.11) の離調 δ を大きくとることによって光子散乱レート ΓP を 0 に、透過率 t を１に近づけ、原子気体の光子の吸収をできるだけ抑えたうえで、位相シフト ϕ を算出するのであるが、あまり離調を大きくとりすぎると、式 (4.13) より、位相シフト ϕ の値が 0 に近づいてしまう。
（もちろん、離調が小さすぎると原子気体が光子を吸収してしまい、冷却原子が破壊されてしまう。）したがって、透過率 t をほぼ１に、光子散乱レート ΓP をほぼ 0 にしつつ、位相シフト ϕ にある程度の値を持たせるためには、離調 δ をどの程度にするべきかを考える必要がある。以下で、本研究に使用する原子気体 41 K、87 Rb について、それぞれどの程度離調をとるべきかを具体的に考えていく。
本研究では、41 K の D2 線と呼ばれる、基底状態 42 S1/2 から励起状態 42 P3/2 への遷移と、87 Rb の D2 線と呼ばれる、基底状態 52 S1/2 から励起状態 52 P3/2 への遷移を見る。図 4.3、図 4.4 にそれぞれの遷移図を示す。本実験では第２章で述べたように、
主にフェッシュバッハ共鳴が利用可能な磁場 78G 付近で行われるので、実験する磁場のゼーマンエネルギー分だけ共鳴周波数がシフトしている。図 4.5、図 4.6 に、それぞれ 41 K、87 Rb の D2 線のゼーマンシフトを示す。実際に見る遷移は、41 K では、図4.5 の赤い矢印で示した、磁場 78G での基底状態 |F = 1 , mF = 1 > から励起状態|mJ = − 23 , mI = 23 > への遷移で、87 Rb では、図 4.6 に赤の矢印で示した、磁場 78G
での基底状態 |F = 1 , mF = 1 > から励起状態 |F = 0 , mF = 0 > への遷移である。
尚、図 4.5、図 4.6 の基底状態の計算には、Breit-Rabi の公式を用いた [29]。励起状態については、共同研究者の計算結果を用いた。

第4章

位相コントラストイメージング法

30

41K

𝑭=𝟑
8.4 MHz𝟒𝟐 𝑷𝟑/𝟐
5.0 MHz

8.4 MHz

𝑭=𝟐
𝑭=𝟏
𝑭=𝟎

391.016 170 03(12) THz

𝑭=𝟐
95.3 MHz𝟒𝟐 𝐒𝟏/𝟐
158.8 MHz𝑭=𝟏

図 4.3: 41 K の D2 線 [27]

𝑭=𝟑
87Rb
193.7408(46) MHz

𝟓𝟐 𝑷𝟑/𝟐
72.9113(32) MHz

𝑭=𝟐
229.8518(56) MHz

302.0738(88) MHz

𝑭=𝟏
𝑭=𝟎

384.230 484 468 5(62) THz

𝑭=𝟐
2.563 005 979 089 11(4) GHz

𝟓𝟐 𝐒𝟏/𝟐
4.271 676 631 815 19(6) GHz

𝑭=𝟏

図 4.4: 87 Rb の D2 線 [28]第4章

位相コントラストイメージング法

31

300
200
100
0
-100

周波数シフト [MHz]

-200
-300

−𝟏𝟑𝟗 MHz

𝟑𝟗𝟏. 𝟎𝟏𝟔 𝟓𝟓𝟕 THz

𝟑𝟗𝟏. 𝟎𝟏𝟔 𝟒𝟏𝟖 THz

300
200
100
0
-100
-200
-300

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

磁場 [G]

図 4.5: 41 K の D2 線のゼーマンシフト:赤の矢印は、磁場 78G での基底状態 |F =1 , mF = 1 > から励起状態 |mJ = − 32 , mI = 32 > への遷移を表す。黒の矢印は、磁場 0G での基底状態 F=1 から励起状態 F=0 への遷移を表す。

第4章

位相コントラストイメージング法

32

500
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
周波数シフト [MHz]

-500
0

10

20

30

40

50

60

−𝟗𝟑 MHz𝟑𝟖𝟒. 𝟐𝟑𝟒 𝟒𝟓𝟒 THz

70

80

90

𝟑𝟖𝟒. 𝟐𝟑𝟒 𝟑𝟔𝟏 THz

150
100
50
0
-50

6.8 GHz

-100
-150
0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

150
100
50
0
-50
-100
-150
磁場 [G]

図 4.6: 87 Rb の D2 線のゼーマンシフト:赤の矢印は、磁場 78G での基底状態 |F =1 , mF = 1 > から励起状態 |F = 0 , mF = 0 > への遷移を表す。黒の矢印は、磁場0G での基底状態 F=1 から励起状態 F=0 への遷移を表す。
図 4.5、図 4.6 より、78G の磁場がかかっているとき、41 K の D2 線の |F = 1 , mF =1 > → |mJ = − 23 , mI = 32 > の遷移と、87 Rb の D2 線の |F = 1 , mF = 1 > →|F = 0 , mF = 0 > への遷移について、それぞれの特性を表 4.1、表 4.2 にまとめる。

第4章

位相コントラストイメージング法33

表 4.1: 41 K の特性:周波数 f0 は、図 4.5 の赤い矢印で示した、磁場 78G での D2 線の|F = 1 , mF = 1 > → |mJ = − 32 , mI = 32 > への遷移の周波数を算出したもので、
波長、波数、吸収断面積は算出した f0 からの換算値である。それ以外の特性は、[27]を参照した。
特性
記号
値
周波数
波長
波数
質量
寿命
自然幅
飽和強度
吸収断面積

f0
λ
k/2π
m
τ
Γ/2π
IS
σ0

391.016 418 THz
766.700 434 nm
13042.903 4 cm−1
6.801 871 191×10−26 kg
26.37(5) ns
6.035(11) MHz
1.75 mW/cm2
280.7× 10−15 m2

表 4.2: 87 Rb の特性:周波数 f0 は、図 4.6 の赤い矢印で示した、磁場 78G での D2 線の |F = 1 , mF = 1 > → |F = 0 , mF = 0 > への遷移の周波数を算出したもので、
波長、波数、吸収断面積は算出した f0 からの換算値である。それ以外の特性は、[28]を参照した。
特性
記号
値
周波数
波長
波数
質量
寿命
自然幅
飽和強度
吸収断面積

f0
λ
k/2π
m
τ
Γ/2π
IS
σ0

384.234 361 THz
780.233 337 nm
12816.678 6 cm−1
1.443 160 60(11)×10−25 kg
26.24(4) ns
6.065(9) MHz
2.503(3) mW/cm2
290.6×10−15 m2

表 4.1 から、具体的に光子散乱レート、透過率、位相シフトが離調にどう依存するかを考える。41 K の BEC の面密度 ñ を 6.0× 1013 /m2 、プローブ光の強度を 0.5 mW/cm2とすると、光子散乱レート、透過率、位相シフトの離調依存性は、それぞれ図 4.7、図4.8、図 4.9 のようになる。

第4章

位相コントラストイメージング法

34

光子散乱レート Γ𝑃 [Hz]1000000
100000
10000
1000

100
10
-600

-400

-200

0

200

400

600

離調 δ [MHz]図 4.7: 離調と光子散乱レートの関係（41 K）

1.2
1

透過率 t

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-600

-400

-200

0

200

離調 δ [MHz]図 4.8: 離調と透過率の関係（41 K）

400

600

第4章

位相コントラストイメージング法

351

位相シフト Φ [rad]

0.5

0

-0.5

-1
-600

-400

-200

0

200

400

600

離調 δ [MHz]図 4.9: 離調と位相シフトの関係（41 K）
また、いくつかの離調における光子散乱レート、透過率、位相シフトの値を、表 4.3に示す。
表 4.3: 透過率と位相シフトの離調依存性（41 K）
離調 [MHz] 光子散乱レート [Hz] 透過率 位相シフト [rad]

100
200
300
400
500
600
700

784.1
196.2
87.2
49.1
31.4
21.8
16.0

0.9924
0.99810.99910.99950.99970.99980.99980.25380.12700.08470.06350.05080.04230.0363

表 4.3 を用いて、プローブ光による加熱の効果の観点から、離調をどの程度とるかを考える。離調を大きくとって、光子散乱レートを 0 に、透過率を１に十分近づけても、原子気体は多少ではあるがプローブ光を吸収して加熱されてしまう。よって、プローブ光を吸収することによる加熱の効果を考える必要がある。実際に行う実験では、AOM を用いて、プローブ光を断続的に BEC に照射する。具体的には、図 4.10 のように、300µs 程度のプローブ光を、約 20ms 間隔で当てて、それを約 100ms 間撮影する。

第4章

位相コントラストイメージング法

36

300𝝁s

20ms

約100ms

図 4.10: 位相コントラストイメージングに用いるプローブ光の間隔:位相コントラス
トイメージングでは、300µs 程度のプローブ光を、約 20ms 間隔で当てて、それを約100ms 間撮影する。プローブ光のオン、オフには、AOM を用いる。
まず、プローブ光を当て続ける時間 300µs の間に、原子気体がどの程度加熱するかを具体的に考える。原子が光子を一つ吸収したときに受け取るエネルギーを温度換算
δT で表すと、δT =(h̄k)22mkB(4.14)と書ける。本研究で用いる原子 41 K について、表 4.1 を用いて δT を具体的に求めると、

δTK = 398nK(4.15)(4.16)となる。一方、一秒間に光子を吸収する回数は、光子散乱レート ΓP で計算できるので、一秒間あたりの加熱レートは、ΓP,K × δTK となる。よって、300µs の間に原子気体が上昇する温度 ∆TK は、∆TK= 300[µs] × ΓP,K [M Hz] × δTK [nK](4.17)

で求めることができる。ΓP,K は離調に依存するので、離調と 300µs の間に 41 K 原子
気体が上昇する温度の関係を図 4.11 に示す。

300us間に原子気体が上昇する温度 [nK]第4章

位相コントラストイメージング法

37

70
60
50
40
30
20
10
0
100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

離調 δ [MHz]図 4.11: 離調と原子気体の温度上昇の関係 (41 K)
また、いくつかの離調における、300µs の間に 41 K 原子気体が上昇する温度の値を、
表 4.4 に示す。
表 4.4: 離調と 300µs の間に原子気体が上昇する温度の関係（41 K）
離調 [MHz] 上昇する温度 [nK]

100
200
300
400
500
600
700

93.6
23.4
10.4
3.7
2.6
1.9
1.4

BEC の温度は、1 µK 以下であることから、原子気体の温度上昇は、数 nK 程度であるのが理想であると考える。本研究では、十分にプローブ光による原子気体の温度上昇を抑えるために、離調 δ を 200MHz∼600MHz 程度とることにした。温度上昇が気になる場合はこの範囲で離調を大きくとり、位相シフトを増やしたい場合は離調を小さくとる。また、離調を 600MHz 程度とった場合でも、表 4.3 より、位相シフトは0.04 rad 程度の値となる。式 (4.8) より、このときの強度比を求めると、1.1 程度となるので、十分実験で観測できると考えられる。
ここで、プローブ光の強度を下げることによっても、ΓP を下げる。つまり、加熱
レートを下げることができるが、倍率の高いイメージングでショットノイズを考えると、プローブ光の強度をあまり下げることはできない。今回の場合で具体的に考えると、0.5mW/cm2 のプローブ光を 300µs 照射したときのエネルギーは、1.5×10−7 J/cm2程度となる。光子一個のエネルギーを 1.6×10−19 J として光子数に換算すると、光子数は、1012 /cm2 程度となる。今回用いた CCD カメラは、1 ピクセルが 13µm×13µm

第4章

位相コントラストイメージング法38

で、本研究室での最高倍率である 24 倍を考えたとき、原子のところで 13/24µm の正方形が CCD カメラの 1 ピクセルに投影されるので、1 ピクセルに入る光子数は、1012 [/cm2 ]×(13/24[µm])2 ∼ 2500 程度となる。すると、ショットノイズとして最低で√も 2500 = 50 個の光子が入ることになるので、50/2500 = 2 % 程度のノイズは必ず入ることになる。よって、倍率の高いイメージングでショットノイズを考えると、プ
ローブ光の強度はあまり下げることができないのである。

4.2.2

光源の要求仕様のまとめ

前項の議論により、本研究では 41 K の D2 線と 87 Rb の D2 線の離調 δ を 200MHz∼600MHz
程度とることにより、光子散乱レートを 0 に、透過率 t をほぼ１に近づけつつ、位相シフト ϕ を実験で観測できる程度の値で得られることがわかった。従って BEC を破壊せずに連続撮像するには、このような条件を満たす必要がある。この項では、離調を最大で 600MHz 程度とることを踏まえて、プローブ光に用いる光源の周波数がどの程度可変で、線幅がどの程度細い必要があるかを考える。
●線幅
まず、線幅について考える。第 3 章でも述べた通り、位相シフト ϕ は、離調に依存し、式 (3.64) で表すことができる。よって、位相コントラストイメージングに用いる光源の線幅が太すぎると、算出する位相シフトに影響を与えてしまう。離調 δ が十分大きいとき、位相シフト ϕ は、式 (4.13) のように離調と反比例の関係である。例えば、離調が１％程度ずれていたとき、位相シフトも１％程度ずれた値で算出される。本研究では、線幅による位相シフトの誤差を１％以下にすることを目標とした。本実験では離調は 200MHz∼600MHz とることから、これを満たすためには、線幅が 2MHz 以下の光源が必要となる。
●周波数の可変域
次に、周波数がどの程度可変である必要があるかを考える。実際の実験では、位相コントラストイメージングによって BEC のダイナミクスを見た後に、吸収イメージングを行うことで、位相コントラストイメージングによるイメージがどの程度正しいか（吸収イメージングと矛盾した原子密度になっている等していないか）を確かめることができると便利である。また、本実験では第２章で述べたように、主にフェッシュ
バッハ共鳴が利用可能な磁場 78G 付近で行われるので、実験する磁場のゼーマンエ
ネルギー分だけ周波数を調整する必要がある。また初期の調整においては離調がある
程度調整可能であった方が実験条件の調整が容易である。本研究室にはレーザー冷却のために各原子の共鳴線に周波数が安定化されたレーザーが既に実装されている。この原子線に安定化されたレーザー（マスターレーザーと呼ぶ）に対して、自由にオフ
セットをつけて別のレーザー（スレイブレーザーと呼ぶ）を安定化することで周波数が可変な光源を実現することができる。レーザーの周波数差は光ビート信号を用いて観測し、これをスレーブレーザーにフィードバックすることで所望の光源を用意する。
このようなシステムをビートロックシステムと呼ぶ。本研究では特に周波数差の観測に光ビートを利用した、ビートロックシステムを用いることにした。ビートロックシ
ステムについての詳細は、第 4.5 章で述べる。各原子のマスターレーザーは AOM やクロスオーバーラインを利用することにより共鳴線から特定の周波数オフセットがついている。本研究で位相コントラストイメージングに用いる、図 4.6 と図 4.5 の赤い矢印で示したの遷移に対しては、それぞれ 41 K のマスタレーザー (以下「MK 」と書第4章

位相コントラストイメージング法39く) が -75MHz、87 Rb のマスターレーザー (以下「MRb 」と書く) が +244MHz のオフ
セットがついている。尚、マスターレーザーの周波数の安定化には、FM サイドバンド法を用いることで、共鳴周波数からのずれを信号として取り出し、それを外部共振器レーザー（ECDL）のピエゾ素子にフィードバックすることで行っている。FM サ
イドバンド法について詳しくは、過去の学位論文 [30] を参照のこと。具体的な周波数について述べると、MK と MRb の周波数は、AOM によるオフセットも考慮すると、それぞれ MK → 391.016 343THz、MRb → 384.234 605THz に周波数が安定化されていることになる。一方、41 K と 87 Rb の BEC の共鳴周波数は、前項で求めた通り、磁場 78G のところでそれぞれ、f0,K = 391.016 418 THz、f0,Rb = 384.234 361THz である。本実験では、各種 BEC の共鳴周波数から赤方離調を最大で 600MHz 程度とりたいが、前項で述べた通り、実際の実験ではプローブ光のオン、オフを AOM を用いて行う。今回は、AOM によって -110MHz のオフセットがついている。41 K と 87 Rbの各周波数についてまとめたものを、図 4.12 と図 4.13 に示す。磁場 78G での 41 K の場合、SK を MK の周波数から -415MHz した周波数すると、共鳴周波数から 600MHz
程度の赤方離調がつけられて、 +185MHz すると共鳴周波数にすることができる。また、87 Rb の場合は、SRb を MRb の周波数から -734MHz した周波数にすると、共鳴周波数から 600MHz 程度の赤方離調がつけられて、 -134MHz すると共鳴周波数にすることができる。

第4章

位相コントラストイメージング法

40

41K

𝟒𝟐 𝑷𝟑/𝟐 |𝑭 = 𝟎 , 𝒎𝑭 = 𝟎 >139 MHz𝟑
𝟐

𝟒𝟐 𝑷𝟑/𝟐 |𝒎𝑱 = − , 𝒎𝑭 =214 MHz75 MHz𝜹 = 600 MHz

𝒇𝟎,𝑲𝟑𝟗𝟏. 𝟎𝟏𝟔 𝟓𝟓𝟕 THz

(0G)

AOM
-110 MHz

𝟑>
𝟐
185 MHz
𝑺𝑲 の
周波数範囲
415 MHz𝒇𝟎,𝑲
𝟑𝟗𝟏. 𝟎𝟏𝟔 𝟒𝟏𝟖 THz(78G)

𝑴𝑲 の周波数
391.016 343 THz

𝟒𝟐 𝐒𝟏/𝟐 |𝑭 = 𝟏 , 𝒎𝑭 = 𝟏 >

図 4.12: SK の周波数範囲：SK は、41 K のスレイブレーザーである。緑色で示した範囲が、SK の周波数を変化させたい範囲である。SK の周波数は、AOM で -110MHz
されることを考慮して MK の周波数から -415MHz すると、磁場 78G での共鳴周波数から 600MHz 程度の赤方離調がつけられて、 +185MHz すると共鳴周波数にすること
ができる。

第4章

位相コントラストイメージング法

41

87Rb
AOM
-110 MHz
151 MHz𝟓𝟐 𝑷𝟑/𝟐 |𝑭 = 𝟎 , 𝒎𝑭 = 𝟎 >244 MHz93 MHz134 MHz734 MHz𝜹 = 600 MHz

𝒇𝟎,𝑹𝒃
384.234 454 THz

(0G)

𝒇𝟎,𝑹𝒃
384.234 361 THz

(78G)

𝑺𝑹𝒃 の
周波数範囲

𝑴𝑹𝒃 の周波数
384.234 605 THz

𝟓𝟐 𝐒𝟏/𝟐 |𝑭 = 𝟏 , 𝒎𝑭 = 𝟏 >

図 4.13: SRb の周波数範囲：SRb は 87 Rb のスレイブレーザーである。緑色で示した範囲が、SRb の周波数を変化させたい範囲である。SRb の周波数は、AOM で -110MHz
されることを考慮して MRb の周波数から -734MHz した周波数にすると、磁場 78G での共鳴周波数から 600MHz 程度の赤方離調がつけられて、 -134MHz すると共鳴周波数にすることができる。
図 4.12、図 4.13 より、MK の周波数から ±500MHz 程度までのオフセットをつけることができる光源と、MRb の周波数から -800MHz 程度までのオフセットをつけることができる光源が必要であることがわかる。どちらの光源も、ビートロックシステム
は同じ手法にしたいので、マスターレーザーの周波数から ±800 MHz 程度のオフセットがつけれる光源の実装を行う。

4.3

位相板の要求仕様

図 4.14 に、実際に BEC をイメージングするときの光学系を示す。BEC の実験装置まで持って行ったファイバーのファイバーカップラーには、コリメーションレンズがついておらず、その後の１インチ、f = 100mm のレンズで拡大し、平行にされる。このときのビームの直径は約 10mm となる。対物レンズは 2 インチ、f = 150mm で、接眼レンズは 2 インチ、f = 1000mm のレンズを使う。よって、このイメージング系の
倍率は 1000/150 ∼ 6.6 となる。CCD カメラは、Andor 社の EMCCD を用いた。NA= 0.164 より、解像度は dres = 0.63 NλA = 2.95µm となる。このような光学系のときに、位相板がどのような設計である必要があるかを考える。

第4章

位相コントラストイメージング法

1インチ
f = 100mm

𝑦
𝑥

42

2インチ
f = 150mm

位相板

2インチ
f = 1000mm

CCD カメラ

ファイバー

𝑧
100mm

150mm

150mm

65mm

1000mm

図 4.14: BEC イメージングの光学系●位相板の凹みの深さ (凸の長さ)
まず、位相板の凹みの深さの設計を考える。位相板の屈折率を np 、空気の屈折率をn0 、位相板の凹みの深さを d、プローブ光の波長を λ とすると、凹みの中を進んだ光と外を進んだ光の光路差 l は、

l = (np − n0 )d(4.18)となる。位相板の屈折率は 1.453 で、空気の屈折率は真空の屈折率とほぼ同として 1とし、プローブ光の波長を、41 K の D2 線である 767nm としたときに、光路差 l が λ/4となるときの凹みの深さ d を求めると、これらを式 (4.18) に代入して、

767nm= (1.453 − 1)d4
d = 423nm(4.19)となる。よって位相板は、凹みの深さ（または凸の長さ）を、423nm に設計することにした。
●位相板の凹凸の半径
位相コントラストイメージングを行うためには、プローブ光をすべて位相板の凹凸部分に通さなければならない。ここでは、そのために必要な位相板の凹凸の直径を計算する。レーザー光は通常、ガウシアンビームの形をとると考えられる。レーザー光の進行方向に z 軸をとり、ビームの中心軸からの距離を r とし、ビーム径の最も収束している点を原点にとると、ガウシアンビームは図 4.15 のように表される。ここで、ビー
ム径の最も収束している点でのビーム半径 w0 をビームウェストいう。このとき、ガウシアンビームの半径 w(z) は、式 (4.20) が成り立つことが知られている。
√
( )2
λz
z
〜
(4.20)
w(z) = w0 1 +zR
πw0
ここで、zR はレイリー範囲といい、ガウシアンビームが実効的に平行光とみなせる範囲であり、式 (4.21) で表される。

zR =

w02 π
λ

(4.21)

第4章

位相コントラストイメージング法

43

𝑟

𝑤0

𝑤 𝑧

𝑧𝑅

𝑧

0

図 4.15: ガウシアンビーム
また、ガウシアンビームの強度分布は、式 (4.22) 式が知られている。

(
I(r, z) = I0

ω0
ω(z)

)2

(
exp

−2r2
w2 (z))(4.22)

ここで I0 = I(0, 0) はビームウェストの中心における強度である。位置 z の光軸に垂直な面上の半径 r をもつ円を通過するパワー P は、
[
(
)]
−2r2
P (r, z) = P0 1 − exp(4.23)w2 (z)
で表される。ここで、

1
P0 = πI0 w02
2(4.24)

はガウシアンビームの全パワーである。よって、円の半径が r = w(z) のとき、この円を通過するパワーの全パワーに対する比率は、P (z)= 1 − e−2 〜 0.8647
P0(4.25)となる。円の半径が r = 2w(z) のときは、同様にして、P (z)= 1 − e−8 〜 0.9997
P0(4.26)となる。以上のことから、プローブ光は、位相板の凹凸の半径を rP とすると、

rP > 2w0(4.27)

であれば、ほぼ全てのプローブ光を位相板の凹凸部分に通すことができるはずである。
実際の光学系図 4.14 のプローブ光の集光部分を考えると、図 4.16 のようになる。こ第4章

位相コントラストイメージング法

44

f=150mm𝑟𝑃

𝑤(150mm)= 5.0mm

𝑤0
2𝑤0

𝑧

150mm

図 4.16: プローブ光の集光部分
れらのことから位相板の凹凸の半径 rP の条件を計算する。式 (4.20) と式 (4.27) より、

rP >

2λz
πw(z)

(4.28)となる。z = 150mm、λ = 767nm、w(z) = 5.0mm を代入すると、式 (4.28) は、

rP >2 · 767nm · 150mm〜15µm
π · 5.0mm(4.29)となる。本研究では、十分に余裕をとって rp = 70µm とした。

4.4

位相板の評価先に述べた通り、位相コントラスイメージング法で定量的に BEC の物理情報を得るためには、位相板が設計通りにつくられていることを確認するべきである。よって
この節では、実際に評価した位相板の詳細と、位相板が設計通りにつくられているかを確認するための予備実験として行った、位相コントラストイメージング法による位相板の評価と、干渉計による位相板の評価の実験について述べる。

4.4.1

実際に評価した位相板

この項では、実際に評価した位相板の詳細について述べる。本研究で使用した位相板は２種類ある。図 4.17 と図 4.18 にそれぞれの位相板の画像を示す。

第4章

位相コントラストイメージング法

45

図 4.17: 小さい位相板の画像：1 インチのオプティクス用の枠に位相板が収まっているものである。位相板は、直径 15mm の円形である。

図 4.18: 大きい位相板の画像：アルミ合金を削った自作の枠に入っている。位相板は、一辺が 50.8mm の正方形で、このサイズの位相板は、ねじ止めされているアクリルを取ることで、取り外し、取り付けをすることができる。
これら２種類の位相板についてそれぞれ詳しく説明する。まず、図 4.17 の小さい位相板は、1 インチのオプティクス用の枠に位相板が収まっているものであり、位相板
自体は、直径 15mm の円形である。また、この位相板は過去に本研究室で用いられたものと同じものである [12, 13, 31]。この石英ガラスの中央に円形の凹みが加工されている。図 4.19、図 4.20 に、図 4.17 の小さい位相板の仕様の図を示す。ここで、x は光の進行方向に垂直な水平方向、y は鉛直方向で、z は光の進行方向を表す。4.3 節で求めた位相板の要求仕様のとおり、位相板は、凹みの深が 423nm で、凹みの直径が140µm となっている（式 (4.19)、式 (4.29) を満たしている）。図 4.17 の位相板は、東京大学大学院工学系研究科機械工学専攻 中尾・濱口研究室所属の長藤圭介 氏に収束
イオンビーム (FIB,Focused Ion Beam) によって加工していただいたものである。本研究室にある小さい位相板は、λ/4 のものが２つ (A,B) と、λ/12 のもの (C) が１つある。詳しい仕様は、過去の学位論文 [12] を参照の事。

第4章

位相コントラストイメージング法

46
𝑦

位相板

凹みの
部分
140μm

𝑥

15mm

𝑦

𝑦

423nm

𝑥

𝑧

𝑥

𝑧

140μm
15mm

図 4.19: x 軸方向から見た小さい位相板の 図 4.20: z 軸方向から見た小さい位相板の仕様
仕様
次に図 4.18 の大きい位相板について説明する。図 4.21、図 4.22 に、図 4.18 の大きい位相板の仕様の図を示す。位相板の凹みの直径などの基本的な仕様は上で説明したも
𝑦

位相板

𝑥

50.8mm
140μm

140μm

50.8mm

𝑦

𝑦
数百nm

𝑥

𝑧

数百nm

𝑧

𝑥

140μm
50.8mm

図 4.21: x 軸方向から見た大きい位相板の 図 4.22: z 軸方向から見た大きい位相板の仕様仕様のと同じであるが、位相板自体の大きさが 50.8mm×50.8mm の正方形であることと、加工の方法に違いがある。この位相板は、2014 年に東京大学大学院工学系研究科電気系工学専攻 三田研究室所属の Lebrasseur Eric 氏にエッチング法で加工し、測定していただいたものである。収束イオンビーム法ではビームの走査が必要のため、大面積の加工は難しいが、エッチング法では容易に可能である。したがって、エッチング法
では石英ガラスを凸型に加工することもできる。この方法で、合計 16 枚の凹凸型の位相板を加工、測定していただいた。位相板の測定には触針段差計が用いられていて、測定の精度は約 ±10nm である。表 4.6 に、評価した大きい位相板のデータを載せる。
本研究では、大きい位相板は凹型 4 枚、凸型 4 枚の計 8 枚を評価した。どの位相板も、凹または凸による光路差が λ/4(位相差に換算して π/2) となる 423nm をターゲットにしてつくられている。尚、位相板の名前は触針段差計による測定値からつけている。

第4章

位相コントラストイメージング法47

表 4.5: 評価した大きい位相板の仕様：dektak は触針段差計による凹凸の測定値 [nm]を表す。また、phase sift は dektak を位相シフトに換算した値 [rad] を表している。
位相板の名前 dektak [nm] phase sift [rad]
凹 396
凹 419
凹 421
凹 424
凸 417
凸 422
凸 428
凸 433

369 ± 10419 ± 10421 ± 10424 ± 10417 ± 10422 ± 10428 ± 10433 ± 101.47 ± 0.04
1.56 ± 0.04
1.56 ± 0.04
1.57 ± 0.04
1.55 ± 0.04
1.57 ± 0.04
1.59 ± 0.04
1.61 ± 0.04

上で説明した位相板は、屈折率 1.453 の石英ガラスを加工することによって作られている。また、表 4.6 の、凹 421、凹 424、凸 422、凸 428 の位相板は、凹凸がある面の反対の面に AR コートがされていて、位相板内での多重反射による干渉を防いでいる。
解像度を上げるために対物レンズの径を大きくしても、位相板が小さいと原子気体
によって散乱した光が位相板の石英ガラスに収まりきらずに位相板の縁の部分にあたってしまう可能性がある。これを考慮すると、位相板自体の大きさは、大きい方が良い。
よって今回の実験では、原子密度のより正確な評価を期待して、こちらの大きい位相板でイメージングすることにした。

4.4.2

位相コントラストイメージング法による位相板の評価上でも述べた通り、位相コントラストイメージング法で定量的に BEC の物理情報を得るためには、位相板が設計通りに作られていることを確認する必要がある。ここでは、位相板が設計通りに作られていることを確認する実験として行った、位相コント
ラストイメージングによる位相板の評価について説明する。位相コントラストイメー
ジングで位相板を評価するためには、オブジェクトとして使う位相板（以下「Po 」と書く。）と、イメージングに使う位相板（以下「Pc 」と書く。）の、２枚の位相板が必要である。図 4.23 に、位相板の位相コントラストイメージングの光学系を示す。4.3
節で述べた、実際に BEC をイメージングするときの光学系と同様に、コリメーショ
ンレンズのついていないファイバーカップラーによってビームを広げた後、2 インチ、
f = 150mm のレンズで平行にする。このときのビームの直径は、約 15mm になった。
対物レンズは 2 インチ、f = 250mm で、接眼レンズは 2 インチ、f = 1000mm のレンズを使う。式 (4.20) より、プローブ光の集光部分のビーム半径 w0 を求めると、

w0 =767nm · 250mm= 8.1µm
π · 7.5mm(4.30)となる。前項で述べたように、本研究室にある位相板の凹凸の半径は 70µm なので、プ
ローブ光の集光部分に位相板の凹凸部分をうまく置けば、完全にプローブ光を位相板の凹凸部分に通せるはずである。今回、スクリーンとしては、Basler 社の acA1600-20um

第4章

位相コントラストイメージング法

2インチ
f = 150mm

𝑷𝑶

48

2インチ
f = 250mm

𝑷𝑪

2インチ
f = 1000mm

CCD カメラ

ファイバー

𝑦
𝑥

𝑧

150mm

250mm

250mm

100mm

1000mm

図 4.23: 位相板の位相コントラストイメージングの光学系を用いた。尚、画像の取り込みには、付属のソフトウェアの pylon viewer を用いた。
また、この CCD カメラはピクセルサイズが 4.4µm×4.4µm で、イメージング系の倍率が 1000/250 = 4 なので 1 ピクセルあたり約 1.1µm のイメージに相当する。実際の光学系の写真を示す。図 4.24 のように、位相板は、マイクロメーターのついた xyz 軸のステージに乗せていて、位置を微調整できるようになっている。また、フリッパー
により取り付け、取り外しが可能である。

F=1000𝑷𝒐
𝑷𝒄

CCDカメラ𝑷𝒐

F=250

𝑷𝒐 F=150

ファイバー

図 4.24: 位相板の位相コントラストイメージングの光学系の写真
本実験では、4.4.1 項に示した位相板を、表 4.6 のように組み合わせて、位相板の位相コントラストイメージングを行った。これらの位相板は、プローブ光の位相を π/2進めるように設計された凹型の位相板である。

第4章

位相コントラストイメージング法49

表 4.6: 位相板の組み合わせ
位相板の組み合わせの名前 Po に用いた位相板 Pc に用いた位相板

EX1
EX2

凹 421

A
A

凹 419

このとき期待される強度比 Ipc /I0 を求める。式 (4.6) に、ϕ = π/2、ϕc = π/2、t = 1を代入すると、期待される強度比 Ipc /I0 は、

Ipc
=5
I0

(4.31)となる。尚、後に説明する解析の手順 2 で、P0 がない部分の強度比を１に規格化するので、ここでは t = 1 とした。
● Pc の位置の調整
先に述べた通り Pc は、凹凸部分にすべてのプローブ光が通るようにうまく配置する必要がある。それには、図 4.25 のように、x, y 軸方向 (光軸に直行する方向) と、z 軸
方向 (光軸方向) の調整が必要である。

𝑦

𝑷𝑪

𝑷𝑪

プローブ光

𝑥

𝑧

𝑧

プローブ光

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑧

図 4.25: Pc の配置

ここでは、Pc の位置の調整の手順を書く。

1. まず、図 4.24 の光学系を作って、CCD カメラで Po の凹凸が見えることを確認する。Pc がうまく配置されていなくても、CCD カメラでは次のようなものが見える。これは、Po の凹凸の端の部分が見えているのである。

位相コントラストイメージング法

50

Intensity [arb.u.]

Y [pix]第4章

X[pix]

図 4.26: Pc が配置されていないときの Po のイメージ：画像の中央に Po の凹凸の端の部分が見える2. Po の凹凸が確認出来たら、まず Pc の x, y 座標の設定をする。倍率を下げて、次以降の手順で見る干渉縞を見やすくするために、一旦図 4.27 のように、f = 1000
mm のレンズの後ろに２インチ、f = 60mm のレンズを置いて、さらにその後ろに CCD カメラを置く。
（元の CCD カメラの位置は記録しておく）。このときの実際の光学系の写真を図 4.28 に示す。

2インチ
f = 150mm

𝑷𝑶

2インチ
f = 250mm

𝑷𝑪

2インチ
f = 1000mm

2インチ
f = 60mm

ファイバー

𝑦
𝑥

𝑧

150mm

250mm

250mm

100mm

図 4.27: Pc の配置を設定するときの光学系

CCD カメラ第4章

位相コントラストイメージング法

51

図 4.28: Pc の配置を設定するときの実際の光学系の写真

3. Pc のステージの x, y 軸方向のマイクロメーターを動かすことによって、Pc の凹凸部分が CCD カメラに映るように設定する。プローブ光が Pc の凹凸部分をかすめていたら、CCD カメラ上では図 4.29 ような同心円状の干渉縞が見える。

図 4.29: プローブ光が Pc の凹凸部分をかすめているときに CCD カメラで見える画像

4. 干渉縞が見えたら、次の図 4.30 のように干渉縞の中心部分が見えるように Pc のステージの x, y 軸方向のマイクロメーターを調整する。図 4.30 は、Pc のステー
ジの x 軸方向のマイクロメーターを調整するときに見えたものである。左の画像からスタートして、Pc のステージの x 軸方向のマイクロメーターを 50µm 動かしたときに見えたものが真ん中の画像、右の画像はさらに 50µm 動かしたときに見えた画像である。

第4章

位相コントラストイメージング法

52

図 4.30: Pc の位置を微調するときに CCD カメラで見える画像：左の画像から、Pc のステージの x 軸方向に 50µm 動かしたときに見えたものが真ん中の画像、さらに 50µm動かしたときに見えたものが右の画像である。

y 軸方向についても、同様の方法で調整することができる。これで、x, y 座標の調整は終わりである。
5. 最後に、z 座標を調整する。Pc のステージの z 軸方向のマイクロメーターを動
かすと、干渉縞の同心円の間隔が変化する。プローブ光の集光部分に近づくと、干渉縞の間隔が広くなっていくので、最も広くなるところに調整する。図 4.31
は、z 座標を調整したときに CCD カメラで見えた画像である。

図 4.31: Pc の z 軸方向を調整したときに CCD カメラで見えた画像

以上で Pc の配置の調整は終わりである。最後に f = 60 mm のレンズを取り除
き、CCD カメラをもとの位置に戻す。
●実験手順
Pc の位置の調整が終わったら、位相板の位相コントラストイメージングの実験を行う。

第4章

位相コントラストイメージング法

53

1. まず、物体の影 S の画像を撮影する。図 4.24 の光学系で、CCD カメラで見えているイメージを撮影し、bmp 形式で保存する。保存された画像は、1626x1236
pix のピクセルサイズで、各ピクセルごとの強度が 0 から 255 の数値で表される。図 4.32 は、このときに撮影された画像である。

Y [pix]Intensity [arb.u.]

X[pix]

図 4.32: CCD カメラによって撮影された S の画像

2. 次に、プローブ光 L の画像を撮影する。Po を取り除き、1 と同様にイメージを撮影する。図 4.33 はこのとき撮影されたものである。

位相コントラストイメージング法

54

Intensity [arb.u.]

Y [pix]第4章

X[pix]

図 4.33: CCD カメラによって撮影された L の画像

3. 最後に、バックグラウンド D の画像を撮影する。ファイバーの直後に遮蔽物を置き、プローブ光がない状態で 1,2 と同様にイメージを撮影する。
解析した後に分かったことだが、このとき、Pc を x 軸方向に 10 µm 動かして 1,2,3 のように撮影し、後に述べる「解析の手順」で解析すると、算出した強度比に大きな違いが出ることがある。やはり Pc の位置の設定は難しいと考えられる。このことを考慮
して、Pc の位置に対する強度比の変化がどの程度かを確認するために、Pc を x 軸方
向に 10µm(マイクロメーターで測れる最小単位) 間隔で動かしながら、プローブ光がPc の凹凸部分から完全に外れるまで撮影しておく。次に解析の手順について述べる。
●解析の手順1. 得られた S, L, D のイメージから各ピクセルごとに式 (4.9) を計算して、Ipc /I0の画像をつくる。尚、画像の解析には、MathWorks 社の MATLAB を用いた。
Ipc /I0 の画像の Po が映っている部分の外側の強度比の平均値は理想的には 1 になるはずであるが、実際にそうならなかった。これは、Po があるときとないときとで全体の強度に変化が生じていることが原因であると考えられる。図 4.35のように、Po の外側の部分で、S − D と L − D に δ だけ差があるときを考える。

第4章

位相コントラストイメージング法

55

𝐼𝑝𝑐

𝐼0
𝐼0′

𝑆−𝐷
𝛿

𝐿−𝐷

0

図 4.34: Ipc /I0 の補正

このとき、求めたい Ipc /I0 は、

Ipc
Ipc I0 ′
= ′ ×
I0
I0
I0

(4.32)となる。この処理をするために、S − D の画像で Po が映っている部分の外側の領域での強度の平均を I0 とし、L − D の画像で同様の領域での強度の平均を I0 ′として I0 ′ /I0 を求めておく。そして、ピクセルごとに S − D/L − D の計算をしたものに、求めた I0 ′ /I0 を掛けることで、P0 がない部分の強度比を１に規格化した画像が得られる。このようにして得られた Ipc /I0 の画像が次のものである。

位相コントラストイメージング法56

Intensity [arb.u.]

Y [pix]第4章

X[pix]

図 4.35: 強度比 Ipc /I0 の画像

このように、位相板の凹凸の形を反映した画像が得られた。図 4.17 の位相板の写真をみても凹みの部分は全く見えないが、位相コントラストイメージングを用いると、位相板の凹凸の部分の位相シフトが確認できる。吸収イメージング法では、位相シフトは見えないので、これが位相コントラストイメージング法の利点の一つであるといえる。

2. Ipc /I0 の画像の Po が映っている部分の強度比の平均を算出する。
●結果
実験と解析の結果、Pc の位置に対する強度比の変化は、次のようになった。

第4章

位相コントラストイメージング法

57

7
6

強度比

5
4
3
2

1
0
8850

8900

8950

9000

9050

9100

9150

𝒑𝒄 /

凹421の𝑥軸 [𝜇𝑚]EX1

図 4.36: 強度比と凹 421 の x 軸との関係 (EX1)

8
7

強度比

6
5
4
3

2
1
0
2950

3000

3050

3100

3150

3200

3250

3300

凹419の𝑥軸 [𝜇𝑚]EX2

図 4.37: 強度比と凹 419 の x 軸との関係 (EX2)

4.3 節で考えたように、全パワーの 99.97% が入っている半径 2w0 を実質的なビー

第4章

位相コントラストイメージング法58

ムウェストとすると、式 (4.30) から、プローブ光の集光部分は、理想的には図 4.38 のような配置になっていると考えられる。

𝒚

𝑷𝒄

𝒓𝑷

2𝝎𝟎

𝝎𝟎
プローブ光
0

𝒙

𝒛=𝟎

16㎛
32㎛
140㎛

図 4.38: プローブ光の集光部分：rP は位相板の凹凸の半径で、青色で示した半径 2ω0円に、ガウシアンビームの全パワーの 99.97%が入っている

次の図 4.39 のように、プローブ光が凹凸部分から完全に外れている状態から、逆側に完全に外れるまで Pc を x 軸方向に動かしていったとき、強度比が初めは１付近だったものが、プローブ光が凹凸部分に入っていくのにしたがって強度比が上がる方向に変化していくはずである。

第4章

位相コントラストイメージング法

59

𝑷𝒄

プローブ光
𝑦

𝑧

𝑥

𝑷𝒄 を𝒙軸方向にずらしていく

図 4.39: Pc を x 軸方向に動かしたときのプローブ光と Pc の関係：Pc を x 軸方向に動かしたとき、位相板の凹凸部分に入るプローブ光の量が変わり、算出される強度比が変化する。

集光部分のビームの直径を 4ω0 とすると、4ω0 ∼ 32µm なので、図 4.40、図 4.41、のように、左右の強度比が約 1 のデータ点と、強度比がそこから上がり始めたデータ
点から中心に向かって 4 点をまでは、プローブ光が完全に Pc の凹凸部分に入っていないとみなして除外した (データ点の間隔は 10µm である)。それ以外のデータ点 (赤く囲ったデータ点) は、プローブ光が完全に Pc の凹凸部分を通過したときの強度比と
みなした。

第4章

位相コントラストイメージング法

60

7

6

強度比

5
4

3
2
1
0
8850

8900

8950

9000

9050

9100

9150

凹421の𝑥軸 [𝜇𝑚]

プローブ光

プローブ光

EX1

32μm

76μm

32μm

𝑃𝑐

140μm
8

図 4.40: プローブ光が位相板の凹凸部分を通っているとみなせる範囲 (EX1)：赤く囲ったところは、プローブ光が完全に Pc の凹凸部分を通過したとみなしたデータ点
である

第4章

位相コントラストイメージング法

61

8
7

強度比

6
5
4
3
2
1
0
2990

3040

3090

3140

3190

3240

3290

凹419の𝑥軸 [𝜇𝑚]
プローブ光

プローブ光

EX2

32μm

76μm

32μm

𝑃𝑐

140μm

図 4.41: プローブ光が位相板の凹凸部分を通っているとみなせる範囲 (EX2)：赤く囲ったところは、プローブ光が完全に Pc の凹凸部分を通過したとみなしたデータ点である

図 4.40 と図 4.41 で赤く囲ったところのデータ点を平均して強度比を算出した結果、次の表 4.7 ようになった。
表 4.7: 位相板の位相コントラストイメージングの実験結果
実験の名前

EX1
EX2

A : 強度比 Ipc /I0 の計算値
4.97 ± 0.11
4.72 ± 0.15

B : 期待された強度比の値
55A/B
0.99 ± 0.02
0.94 ± 0.03

表 4.7 ように、赤く囲ったデータ点では、Pc の位置による強度比の変化を小さくして位相板を評価することができた。
●考察
赤く囲ったところのそれぞれのデータ点の誤差は、強度比 Ipc /I0 の画像の Po が映っている部分のピクセルごとの標準偏差である。これらは、強度比に対して 15〜25 ％程度の誤差となっている。一方、赤く囲ったデータ点の平均は、各データ点に誤差があるため重み付き平均を使っている。これは、強度比に対して 2〜3 ％程度の誤差となっている。このことから、強度比 Ipc /I0 の画像は、算出したピクセル毎の強度のば
らつきは大きいが、各データの平均値の点は、比較的小さい範囲で安定しているということである。ピクセルごとの強度のばらつきが大きい原因は、階調が有限なことに第4章

位相コントラストイメージング法62

よる読み出しノイズと考えられる。今回設定した CCD カメラの階調は 0〜255 である。また、物体の影 S の画像については、今回の位相板の組み合わせで理想的には位相板の凹み部分の強度が他の部分に比べて５倍程度高い強度になる。従って、強度が最も高いピクセルが、最大の階調 255 となって飽和してしまわないように十分気を付けなければならない。今回の実験では、物体の影 S の画像を撮影するときはこのことに十分気をつけて撮影したため、位相板内の強度が高いところで 160 程度で、プロー
ブ光 L の画像では強度が平均で 20〜30 程度となってしまっている。よって、強度が√平均で 25 であったとしてこのノイズを考えると 25/25 = 0.2 となり、L の画像の位
相板内の部分でもこのノイズが 20%程度になると考えられる。しかし、実際に BECの位相コントラストイメージングを行う際は、今回用いた CCD カメラより階調が十分に大きいものを用いるので、階調が有限なことによる読み出しノイズは十分に低減できると考えられる。以上のことから、CCD カメラの階調に気を付けて、Pc の凹凸部分にプローブ光がほとんど通るように Pc の位置を調整すれば、評価した位相板を
BEC の位相コントラストイメージングに使用して、BEC の物理情報を定量的に得ることは可能であると言える。

4.4.3

干渉計による位相板の評価

当初、位相コントラストイメージング法で位相板を評価するときに、Pc のわずかな位置の変化によって、算出した強度比に大きな影響を与えるという問題があった。このことから、位相板が設計通りに作られているかを確かめるための別の手段として、
干渉計による位相板の評価も行った。図 4.42 に、この実験の光学系を示す。また、実際の光学系の写真を図 4.43 に示す。レーザー光源からのビーム光は、一つ目の NPBS
によって２つに分けられ、一方を評価したい位相板に通す。その後、２つに分けられたビームを２つ目の NPBS で軸を大まかに一致させることによって２つのビームを干渉させる。そうすると、図 4.44 のような、全体に干渉縞があり、中央付近に位相板のスポットの縁の部分を見ることができる。スポットの縁から外側の縞模様と内側の縞模様では、少し位相がずれているのが目で見てもわかる。この位相のずれが、位相板の凹凸部分によってできた位相シフト ϕ である。よって、この縞のずれを測ることができれば、それぞれの位相板の位相シフト ϕ を直接算出することができる。このイメージの倍率は、b/a = 900/112.5 = 8 倍である。尚 CCD カメラは、位相板の位相コントラストイメージングの実験に使ったものと同一のものを用いた。よって今回は、
1 ピクセルが 0.55µm のイメージに相当する。この干渉計による位相板の評価方法は、
位相コントラストイメージングによる評価に対して次のような利点がある。まず、位相コントラストイメージングで位相板を評価のときに行った Pc の設定のような微調整がいらないので、位相板をアライメントに比較的依存されずに評価できることができる。また、位相板の位相コントラストイメージングでは、得られる強度比に Po とPc ２つの位相情報が含まれているのに対して、干渉計の方法では、一つの位相板の絶対的な位相シフトを算出することができる。

第4章

位相コントラストイメージング法

63

NPBS
ミラー

f=100mm

CCD
カメラ

ミラー
NPBS
位相板

𝒂

𝒃

112.5mm

900mm

図 4.42: 干渉計による位相板の評価の光学系

第4章

位相コントラストイメージング法64

CCDカメラ

NPBS

f=100
NPBS
位相板

図 4.43: 干渉計による位相板の評価の光学系の写真

Y [pix]Intensity [arb.u.]

X[pix]
図 4.44: 位相板と干渉縞
適切な干渉縞の間隔について考える。干渉縞の一本が位相板のスポットの大部分を覆ってしまうほど干渉縞の間隔 d が大きいときや、縞の明暗がつぶれてわからなくなるくらいに d が小さいときは、位相板を正しく評価できない可能性がある。よって、干渉縞の間隔 d は、位相板のスポットの大きさに対して小さく、解像度に対して十分に大きい必要がある。干渉縞の間隔 d は、２本のビームが交わる角度 θ に依存してい第4章

位相コントラストイメージング法

65て、次の関係が成り立つ。

d sin

θ
λ
=
2
2

(4.33)

よって、干渉縞の間隔を調整したいときは２つ目の (f = 100 mm のレンズの直前の)NPBS の角度を調整することによって、二つのビームの交わる角度を変えればよい。
●画像の解析
まず、撮影して保存した図 4.44 の画像から、位相板のスポットの中心座標を決める。
その後、スポットの縁から外側の部分のドーナツ型の画像 Iout と内側の部分だけの画
像 Iin をつくる。尚、画像の解析には、MathWorks 社の MATLAB を用いた。図 4.45、
図 4.46 にそれぞれ、Iout と Iin の画像を示す。

Y [pix]Intensity [arb.u.]

X[pix]
図 4.45: Iout の画像

位相コントラストイメージング法

66

Intensity [arb.u.]

Y [pix]第4章

X[pix]
図 4.46: Iin の画像
このようにしてできた Iout と Iin の画像から、各 y 座標の強度を x 軸方向に足して、ピクセル数で割ることによって、図 4.47、のような強度分布が得られる。図 4.48 は、
図 4.47 の Iout と Iin が重なっている部分の拡大図である。Iout の強度分布を見ると、全体的に強度に勾配があることがわかる。これは、ビームの中心軸が位相板の中心からずれていると考えることができる。よって、強度分布のフィッティング関数はガウシア
ンビームの強度分布も考慮して、y = y0 + A{sin (ux + v) + 1} exp (−2(x − x0 )2 /w2 )とした。Iout と Iin のフィッテングでは、まず Iout の画像を定義した関数でフィッティ
ングして係数を求める。そのときの v の値を vout とする。次に Iin の画像を、Iout のフィッティングで決定した係数 u, x0 , w の値で固定してからフィッテングを行う。ことのきに決定した v の値を vin とする。位相板の凹凸による位相シフトは、このようにして求めた vin − vout で算出することができる。

第4章

位相コントラストイメージング法

67

図 4.47: スポットの内側と外側の強度分布

図 4.48: 図 4.47 の Iout と Iin が重なっている部分の拡大図●実験の結果表 4.6 で示した合計 8 枚の位相板を、上の方法で２回ずつ評価した。結果は次のよう
になった。

第4章

位相コントラストイメージング法68

表 4.8: 干渉縞による位相板の評価の実験結果
A は触針段差計からの位相シフトの換算値で、B は干渉計による位相シフトの計算値である。
位相板の名前A [rad]B [rad]B/A
凹 396

1.47 ± 0.04
1.56 ± 0.04
1.56 ± 0.04
1.57 ± 0.04
1.55 ± 0.04
1.57 ± 0.04
1.59 ± 0.04
1.61 ± 0.04

凹 419
凹 421
凹 424
凸 417
凸 422
凸 428
凸 433

1.39 ± 0.02
1.57 ± 0.01
1.60 ± 0.03
1.64 ± 0.02
1.52 ± 0.04
1.56 ± 0.01
1.58 ± 0.04
1.62 ± 0.03

0.95 ± 0.03
1.01 ± 0.03
1.03 ± 0.03
1.04 ± 0.03
0.99 ± 0.04
0.99 ± 0.02
1.00 ± 0.04
1.01 ± 0.03

A と B の相関図を図 4.49 に示す。このように、触針段差計と同程度の誤差で、８枚の位相板の絶対的な位相シフトを評価できた。以上のことから、BEC の位相コント
ラストイメージングに使う位相板が、設計通りに作られていることを確認できた。

1.7

1.65

B [rad]

1.6

1.55

1.5

1.45

凹396

1.4

1.35

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

A [rad]

図 4.49: A と B の相関：赤色の点は位相板の設計値からの換算値である

第4章

位相コントラストイメージング法

4.5

光源の開発

69

BEC のダイナミクスを見るためには、4.2 節で述べたような要求仕様を満たした
レーザー光源が必要である。本研究では、それを実現するために、Optical Phase Lock
Loop(OPLL) 法、周波数オフセットロック法、OPLL 法と周波数オフセットロック法
を組み合わせた方法、デジタル OPLL 法の、計四種類の方法を行い、位相コントラス
トイメージングに最適な周波数制御法を探った。OPLL 法、周波数オフセットロック法(FOL 法)、OPLL 法と周波数オフセットロック法を組み合わせた方法 (OPLL+FOL法)、デジタル OPLL 法 (D-OPLL 法)、の詳しい説明は、それぞれ 4.5.1 項、4.5.2 項、
4.5.3 項、4.5.4 項で述べる。
まず初めに、レーザー光の周波数を可変かつ安定化させる方法の概要について述べておく。まず、周波数を可変かつ安定化したいレーザー１と、一般的な方法で原子の共鳴周波数に周波数が安定化されたレーザー２を用意する。この２つのレーザーのビー
ト光をフォトディテクターで観測したものと、ローカルオシレーターの信号を、周波数・位相比較器に入力する。周波数・位相比較器は、二つの信号の周波数と位相を比較し（FOL 法では位相差情報は失われてしまう）、それに対応する信号を出力する素子
で、4.5.1 項から 4.5.4 項で説明する四種類の周波数制御法は、これにどのような素子を使うかが異なっている。周波数・位相比較器の出力信号はサーボ回路を介してレー
ザー１のピエゾ (PZT) 素子や LD 電流にフィードバックされ、周波数が安定する (ロックされるとも言う)。また、ローカルオシレーターの出力信号を調整することで、レーザー 1 の周波数を変えることができる。周波数制御法の概要を、図 4.50 に示す。

ローカル
オシレーター

周波数・位相
比較器

サーボ回路

LD電流

PZT

フォト
ディテクター

レーザー１
レーザー１とレーザー２の
ビート信号

レーザー２

図 4.50: 周波数制御法の概要：本節で説明する四種類の周波数制御法は、主に周波数・位相比較器にどのような素子を使うかが異なっている。ただし、FOL 法ではビート信号とローカルオシレーターの出力信号との位相差情報は失われている。

第4章

位相コントラストイメージング法

4.5.1

Optical Phase Lock Loop 法

70

ここでは、光源の要求仕様を満たすために初めに行った、OPLL 法 [32] の具体的な内容について述べる。OPLL 法では、周波数・位相比較器の部分にミキサーを使用しており、概要を図 4.51 に示す。本研究では、フォトディテクターには浜松ホトニクス社 [34]の、G4176-03 を使用し、帯域は 16GHz 程度である。G4176-03 は、バイアスティーを直接接続できるようになっており、RF ポートからシグナルを取り出すことができる。バ
イアスティーは、Mini-Circuits 社 [35] の、ZX85-12G-S+を使用し、帯域は 12GHz である。フォトディテクターで得られたビート信号は-40dB 程度であったので、フィードバッ
クに使う信号の振幅を大きくするために、Mini-Circuits 社のアンプ、ZHL-1042J+(帯域 10MHz∼4200MHz) で 27dB 分増幅した。また、パワースプリッターとミキサーにはそれぞれ、Mini-Circuits 社の、ZFSC-2-2+(帯域 10MHz∼1000MHz) と、同社の、ZFM-150+(帯域 10MHz∼2000MHz) を使用した。尚、ローカルオシレーターには、
Rohde ＆ Schwarz 社 [37] のシグナルジェネレーター、SMC100A(帯域 9kHz∼1.1GHz)を使用した。

フォト
ディテクター

レーザー２

アンプ

スペクトラムアナライザ

パワー
スプリッター

レーザー１とレーザー２の
ビート信号

レーザー１

ローカル
オシレーター

PZT
PZT
ドライバー

LD電流

ミキサー

OPLL回路図 4.51: OPLL 法の概要
各素子がどのような信号を出力しているかを考える。まず、フォトディテクターで観測される光の強度 P を計算する。レーザー 1 の光の電場を E1 sin (ω1 t + ϕ)、レー
ザー 2 の光の電場を E2 sin (ω2 t) とすると、次のようになる。

P= |E1 sin (ω1 t + ϕ) + E2 sin (ω2 t)|2
= |E1 sin (ω1 t + ϕ)|2 + |E2 sin (ω2 t)|2 + 2E1 E2 sin (ω1 + ϕ)t sin (ω2 t)= |E1 sin (ω1 t + ϕ)|2 + |E2 sin (ω2 t)|2 − E1 E2 [cos {(ω1 + ω2 )t + ϕ} − cos {(ω1 − ω2 )t + ϕ}](4.34)

ここで、光の周波数が数百 THz なのに対して、フォトディテクターの帯域が約 10GHzのため、二乗して出てきた項の中で、差周波の項以外は観測されない。よって、P= E1 E2 cos {(ω1 − ω2 )t + ϕ} + const= E1 E2 cos (δωt + ϕ) + const(δω ≡ ω1 − ω2 )(4.35)となる。また、フォトディテクターは観測した光の強度に比例する電気信号を出力す第4章

位相コントラストイメージング法

71

るので、フォトディテクターの出力信号 Pout は、Pout = A cos (δωt + ϕ) + const(4.36)となる。ここで、ローカルオシレーターの出力信号 Lout を、Lout = B sin (ωlo t + ϕlo )(4.37)とすると、ミキサーの出力信号 Mout は二つの入力信号を掛けたものなので、Mout =

1
AB sin {(ωlo − δω)t + (ϕlo − ϕ)} + (高周波の項)
2(4.38)

Power spectral density [mW]となる。ただし、フォトディテクターの後のアンプとパワースプリッターよる信号の振幅の変化は簡単のため省いてある。また、ここでも差周波の項だけをとったが、ロー
カルオシレーターの出力やミキサーの帯域によっては和周波も出力されるので、安定化させたい周波数によってはミキサーの出力の後に適当な帯域のローパスフィルターを入れる等する必要がある。ここで、ローカルオシレーターの出力周波数 ωlo を、レー
ザー 1 とレーザー 2 のビート周波数 δω と一致するように設定すると、ϕlo − ϕ = 0 のときミキサーの出力はゼロになる。その前後で符号が異なるため、この出力をサーボ回路である OPLL 回路 [32] に入れて、レーザー 1 にフィードバックすれば、ϕlo と ϕの位相が同期されて、レーザー２からローカルオシレーターの出力周波数分の離調のついた周波数への安定化が実現される。尚、フィードバックは、OPLL 回路によって、低周波成分を PZT に、高周波成分を LD 電流にフィードバックしている。このようにして周波数が安定化したときに得られたビート信号を図 (4.52) に示す。ここで、青の線はローレンツ関数 y = (A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたものである。２つのレーザーによるビート光の周波数の広がりは、ローレンツ関数で表され、線幅はそのローレンツ関数の半値全幅 2r とするのが一般的である。

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

x0
A
r

= 299.99= 0.00279 ± 0.00002= 0.0149 ± 0.0002
VBW 30kHz
RBW 30kHz
Span 10MHz
Center 300MHz
OPLL
フィッティング

295

296

297

298

299
300
301
Beat frequency [MHz]

302

303

304

305

図 4.52: OPLL 法によってロックされているときに得られたビート信号:青の線はローレンツ関数 y = (A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたもの。
しかし、OPLL 法には周波数の安定度が低いという問題があった。光学定盤に少し振動を与えたり、レーザーの近くで大きな音を立てたりすると、OPLL 法によるロックがすぐに外れてしまうのである。これは、ロックしているときはビート周波数とロー第4章

位相コントラストイメージング法72

カルオシレーターの出力周波数は一致しているのだが、光学定盤の振動や音による振動のせいでレーザー 1 の共振器長が一瞬変化し、ビート周波数 δω が急に変化するせいで、それに対する位相同期のフィードバックが追い付かないことが原因であると考えられる。OPLL 法ではロッキングレンジが小さく、ビート周波数とローカルオシレー
ター出力周波数が近くないとロックは続かないのである。ビート信号の線幅はローレンツ関数のフィッティングによれば、resolution bandwidth (RBW) と同程度の 2r ∼30kHz となっていることから、今回の求めた線幅よりも実際はさらに細いと考えられる。(線幅については 2r ∼ 30kHz でも光源の要求仕様を十分に満たしている)。また、今回用いたシグナルジェネレーター、SMC100A の周波数帯域が、9kHz∼1.1GHz であることから、周波数可動域は、±1.1GHz 程度となり、要求仕様を満たしている。

4.5.2

周波数オフセットロック法

OPLL 法よりも安定度が高い光源を用意するためには、別の周波数制御法を用いる必要がある。ここでは、そのために行った、周波数オフセットロック法（FOL 法）[30]について説明する。周波数オフセットロック法の概要を、図 4.53 に示す。この方法では、周波数・位相比較器の部分が、図 4.53 の赤で囲ったものになっている。尚、フォトディテクターと、その後のアンプ、パワースプリッター、ミキサー、ローカルオシ
レーターは、前項と同じものを使用している。
フォト
ディテクター

レーザー２

パワー
スプリッター

アンプ

スペクトラムアナライザ

レーザー１とレーザー２の
ビート信号

レーザー１

ローカルオシ
レーター

ピエゾ素子

ピエゾ
ドライバー

長いBNCケーブル

周波数
ロック回路

フェイズ
ディテクターパワー
スプリッター

アンプ

ミキサー

短いBNCケーブル

図 4.53: FOL 法の概要
ここでも、各素子がどのような信号を出力しているかを考える。レーザー 1 とレー
ザー 2 のビート信号からミキサーの出力までは OPLL 法のとき同じである。今回は、ローカルオシレーターの出力信号 Lout を、Lout = B cos (ωlo t + ϕlo )(4.39)とすると、ミキサーの出力信号 Mout は、OPLL 法のときと同様に計算して、Mout = Pout × Lout
1=
AB cos {(δω − ωlo )t + (ϕ − ϕlo )} + (高周波の項)
2(4.40)となる。この信号をパワースプリッターで２つに分けて、片方を長い BNC ケーブルに、もう片方を短い BNC ケーブルに通してから、この２つの信号をフェイズディテ

第4章

位相コントラストイメージング法73

クターに入力する。長いケーブルを通った信号を、Slong 、短いケーブルを通った信号
を、Sshort とすると、フェイズディテクターの入力部分では２つの経路の差によって
位相差 δψ が生じて、

1
AB cos {ω3 t + (ϕ − ϕlo )}41=
AB cos {ω3 t + (ϕ − ϕlo ) + δψ}
4≡ δω − ωloSlong =

(4.41)

Sshort(4.42)

ω3(4.43)となる。フェイズディテクターとその直前のアンプにはそれぞれ、Mini-Circuits 社の、ZRPD-1+(帯域 1MHz∼100MHz) と、同社の、ZHL-1-2W+(帯域 5MHz∼500MHz)を用いた。アンプは、フェイズディテクターの最低入力のパワーを得るために入っている。尚、今回用いたフェイズディテクターの帯域は、1MHz∼100MHz なので、
1MHz< δω − ωlo <100MHz になるようにローカルオシレーターの出力周波数を設定する必要があることに注意する (ローカルオシレーターの出力周波数の上限が足りない場合は、ビート周波数をプリスケーラー等で何分の一かにすると良い)。また、生じた位相差 δψ は、

δψ =

ω3 ∆L
0.66c

(4.44)

で表される。ただし、∆L は BNC ケーブルの長さの差、0.66 は使用した BNC ケーブ
ルの波長短縮率、c は真空中の光速である。フェイズディテクターは、この２つの信号の経路差によって生じた位相差 δψ に応じた出力をする。フェイズディテクターの
出力 P Dout は、ミキサーと同様に二つの入力の掛け算で表されて、

P Dout = Slong × Sshort
1
1=
AB cos [ω3 t + (ϕ − ϕlo )] × AB cos [ω3 t + (ϕ − ϕlo ) + δψ]441=(AB)2 cos (δψ) + (高周波の項)(4.45)
32となる。ここで、式 (4.45) の δψ をあらわにして書くと、[]
1(δω − ωlo )∆L
2
P Dout = (AB) cos+ (高周波の項)
32
0.66c(4.46)となる。この式と、式 (4.38) を見比べてみると、FOL 法ではフォトディテクターの出力信号とローカルオシレーターの出力信号の位相差 ϕ − ϕlo の情報が失われていることと、周波数差 δω − ωlo に ∆L/0.66c ∼ 10−8 [s] が掛けられているという違いがある。つまり、FOL 法では OPLL 法に比べて、位相まで同期していないことに加えて、低周波のフィードバックとなるため、ロッキングレンジが広くなることが期待される（線幅は広くなってしまう）。式 (4.45) より、フェイズディテクターの出力は
π
δψ =
+ nπ
(4.47)
2n = 0, ±1, ±2, …
(4.48)のときゼロになる。このとき δω が満たす条件を求めると、式 (4.44) に式 (4.43) と式(4.49) を代入して、
)
(
0.66c
1
+ ωlo
(4.49)
δω =
π n+
∆L
2

第4章

位相コントラストイメージング法74

Power spectral density [mW]となる。フェイズディテクターの出力がゼロになる前後で出力信号の符号が異なるので、出力をサーボ回路である周波数ロック回路に入れてレーザー１の PZT にフィードバックすれば、レーザー 1 は、式 (4.49) の条件を満たすところに周波数が安定するポイント (以下「ロックポイント」と言う) ができる。よって、ロックポイントは複数個できる。実際にロックするときは、ロックしたい周波数付近にビート信号を近づけてからフィードバックをオンにすれば、そのときの周波数から最も近いロックポイントにロックされる。あとはローカルオシレーターの周波数 ωlo を微調することで、ロッ
クしたままオフセットを自由につけることができる。尚、今回は上で述べた通り低周波のフィードバックしかできないので、PZT のみのフィードバックとなっている。周波数オフセットロック法で実際に周波数を安定化したときのビート信号を、図 4.54 に示す。図 4.54 の縦軸は対数スケールである。また、図 4.54 の縦軸を線形スケールにしたものを図 4.55 に示す。

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

x0
A
r

= 248.3= 0.0066 ± 0.0001= 0.64 ± 0.01
FOL
フィッティング

VBW 300kHzRBW 300kHz
Span 20MHz
Center 248MHz

238

240

242

244

246
248
250
Beat frequency [MHz]

252

254

256

258

図 4.54: FOL 法によって周波数が安定化されているときにスペクトラムアナライザによってられたビート信号:青の線はローレンツ関数 y = (A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたもの。
図 4.54 の縦軸を線形スケールにしたものを図 4.55 に示す。

Power spectral density [mW]

5x10

-3

x0 = 248.3
A = 0.0066 ± 0.0001
r= 0.64 ± 0.01

4

FOL
フィッティング3

VBW 300kHzRBW 300kHz
Span 20MHz
Center 248MHz

2
1
0
238

240

242

244

246
248
250
Beat frequency [MHz]252

図 4.55: 図 4.55 の縦軸を線形にしたもの

254

256

258

第4章

位相コントラストイメージング法

75

Relative power spectral density [dB]

今回、線幅は 2r ∼ 1.3MHz となり、OPLL 法に比べて線幅が広くなったことが確認できた。（しかし、光源の要求仕様の線幅は満たしている。）OPLL 法と今回の FOL法を比較したものを図 4.56 に示す。尚、これらのビート信号はロックされている周波数とバックグラウンドノイズが一致するように重ねてある。
10
OPLL
FOL

0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-5

-4

-3

-2

-1
0
1
Beat frequency [MHz]

2

3

4

5

図 4.56: OPLL と FOL の比較
図 4.56 を見ても、FOL 法では、OPLL 法に比べて明らかに線幅が広くなっていることがわかる。しかし、期待した通り、FOL 法では OPLL 法に比べてロッキングレンジが広くなったことで振動などの原因でロックは外れにくくなることが確認できた。また、ローカルオシレーターには OPLL 法と同じシグナルジェネレーター、SMC100Aを使用したので、周波数可動域は、±1.1GHz 程度となり、要求仕様を満たしている。
しかし、ロックポイントが複数あることで、振動などの影響でロックが外れたときに、隣接するロックポイントにロックされてしまうことがある。実験しているときは、ス
ペクトラムアナライザでロックされているビート信号をモニターしながら行うが、そのときに、あたかもロックされているはずの周波数にロックしているかのように見えるのは不便である。

4.5.3

OPLL 法と周波数オフセットロック法

前項で説明した通り、FOL 法では、OPLL 法よりもロッキングレンジを広くするによってロックを外れにくくするという改善がされているが、線幅は太くなってしまっている。ここでは、線幅を OPLL 法の細さで維持しながら、ロッキングレンジを広くとれる方法として行った、OPLL+FOL 法について説明する。発想は単純で、フォトディテクターによって得られたビート信号をパワースプリッターで２つに分けて、片方を OPLL 法、もう片方を FOL 法を用いてそれぞれ LD 電流と PZT にフィードバッ
クするというものである。図 4.57 に、OPLL+FOL 法の概要を示す。二種類の周波数制御法でフィードバックするためにビート信号を分けるのが、緑で囲ったパワースプ
リッターで、そのあとの赤色の矢印は、OPLL 法の部分、紫色の矢印は FOL 法の部
分を表している。尚、各素子は OPLL 法と FOL 法で使用したものと同じものを使用
している。

第4章

位相コントラストイメージング法76

スペクトラム
アナライザ

レーザー２

フォト
ディテクター

アンプ

パワー
スプリッターパワー
スプリッター

ローカル
オシレー
ター１

レーザー１とレーザー２の
ビート信号

レーザー１

ミキサー

PZT
PZT
ドライバー

LD電流

ローカル
オシレーター２

OPLL回路長いBNCケーブル
フェイズ
ディテク
ター

周波数
ロック回路

パワー
スプリッター

アンプ

ミキサー

短いBNCケーブル

図 4.57: OPLL+FOL 法の概要

Power spectral density [mW]

図 4.57 のようにすると、OPLL 法を用いて高周波 (MHz 程度) のフィードバック信
号を LD 電流でフィードバックし、FOL 法で低周波 (Hz 程度) のフィードバック信号
を PZT にフィードバックすれば、お互いのフィードバック信号の周波数域が大きく異なるため、競合せずに両方のフィードバックが働くはずである。つまり、多少の振動でレーザー 1 の周波数が揺らいでも、FOL 法によるフィードバックによってロックポ
イントに大まかにロックされることに加えて、OPLL 法によるフィードバックでさらに線幅を細くロックできることが期待できる。実際にこの方法でロックするときは、
まず FOL 法でロックしたい周波数でロックした後、ロックしたい周波数に設定したOPLL 法でのフィードバックをオンにする。この方法で周波数を安定化させたときのビート信号を、図 4.58 に示す。

10

1

10

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

x0 = 150
A = 0.53 ± 0.02
r
= 0.030 ± 0.001
VBW 1kHzRBW 1kHz
Span 20MHz
Center 150MHz

OPLL+FOL法
フィッティング

140

142

144

146

148
150
152
Beat frequency [MHz]

154

156

158

160

図 4.58: OPLL+FOL 法によって周波数が安定化されているときにスペクトラムアナラ
イザによってられたビート信号:青の線はローレンツ関数 y = (A/π)·r/{(x − x0 )2 + r2 }でフィッティングしたものである。

第4章

位相コントラストイメージング法77

線幅は、2r ∼ 60kHz となり、OPLL 法と同程度の線幅であることが確認できた。
(光源の要求仕様の線幅を満たしている。) OPLL 法、FOL 法、OPLL+FOL 法で周波数が安定化されたときのそれぞれのビート信号を、図 4.59 に示す。尚、先ほどと同様にロックされている周波数とバックグラウンドノイズが一致するように重ねているが、ビート信号がが重なる部分が多いと見づらいことから、OPLL+FOL 法は少しオ
フセットをつけている。

Relative power spectral density [dB]

20
10

OPLL法
FOL法
OPLL+FOL法

0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-5

-4

-3

-2

-1
0
1
Beat frequency [MHz]

2

3

4

5

図 4.59: OPLL 法、FOL 法、OPLL+FOL 法の比較
図 4.59 からも、OPLL 法と OPLL+FOL 法では線幅が同程度であることが確認できる。また、FOL 法同様、OPLL 法に比べてロッキングレンジが広くなったことで振動などの原因でロックは外れにくくなることが確認できた。また、ローカルオシレー
ター１と２には、OPLL 法と FOL 法のときと同様に、SMC100A を使用したので、今回の方法でも周波数可動域は、±1.1GHz 程度となり、要求仕様を満たしている。しかし、この方法は FOL 法を使っていることから、ロックポイントが複数あることに変わりはない。よって、FOL 法のときと同様に、振動などの原因で隣接したロックポイ
ントにロックされてしまったときに、正常にロックされていると誤認する可能性が依然としてある。また、この方法では、OPLL 法と FOL 法に使う両方の素子を使っている (特に、この方法ではローカルオシレーターが２台必要である) ため、コストや素子を置く場所、設定の面倒さ等を考えると不利であるともいえる。

4.5.4

デジタル OPLL 法

4.5.1 項で説明した OPLL 法は、周波数・位相比較器にミキサーが使われていて、これはアナログ処理である。ここでは、周波数・位相比較をデジタル処理行うことができる、デジタル周波数・位相検出器を用いた、デジタル OPLL 法 (D-OPLL 法) について説明する。尚、この方法は過去の学位論文 [33] を参考にして行った。図 4.60 に、
D-OPLL 法の概要を示す。

第4章

位相コントラストイメージング法78

スペクトラムアナライザ

フォト
ディテクター

フォトディテクター

レーザー２

アンプ

レーザー１とレーザー２の
ビート信号

レーザー１

ローカル
オシレーター

PZT
PZT
ドライバー

LD電流

デジタル周波数・
位相検出器

デジタル
OPLL回路図 4.60: D-OPLL 法の概要

OPLL 法と今回行った D-OPLL 法との大きな違いは、ミキサーの代わりにデジタル
周波数・位相検出器を用いていることである。今回使用したデジタル周波数・位相検出
器は、Analog Devices 社 [36] の、HMC439QS16G である。これを図 4.60 のように用いることで、フォトディテクターの出力信号とローカルオシレーターの出力信号の周波数差と位相差をカウントし、それに比例した信号を出力してくれる。HMC439QS16Gの凄いところは、その帯域が 10MHz-1.3GHz であることである。つまり、ロッキング
レンジが 1.3GHz ある周波数制御法であることが期待できる。HMC439QS16G の写真を図 4.61 に示す。

第4章

位相コントラストイメージング法

79

図 4.61: HMC439QS16G の写真:向かって左側が比較したい信号の入力端子、右側が出力端子である。右側の２つの出力信号を自作の差動増幅器で差動増幅することでエラーシグナルを取り出すことができる。

Power spectral density [mW]

HMC439QS16G の入力帯域は-10dBm ∼ +10dBm である。今回、フォトディテク
ターの出力信号は-40dBm 程度だったので、アンプに Mini-Circuits 社の ZKL-1R5+を用いて+40dBm した。尚、初期の頃は今まで通りアンプの後にパワースプリッターを入れて、その信号をスペクトラムアナライザでモニターしていたが、ビート信号にノイズが見えたので、今回は図 4.60 のようにもう一つフォトディテクター (同製品) を使って、ノイズがレーザー１にフィードバックされてしまっているかをモニターしている。この方法で周波数が安定化したときに得られたビート信号を図 4.62 に示す。
10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

10

-9

D-OPLL法

10

VBW 300Hz
RBW 300Hz
Span 10MHz
Center 200MHz

-10

195

196

197

198

199
200
201
Beat frequency [MHz]

202

203

204

205

図 4.62: D-OPLL 法によって周波数が安定化されているときにスペクトラムアナラ
イザによってられたビート信号:VBW 100Hz、RBW 100Hz、Span 10MHz、Center
Frequency 200MHz
また、中央付近を見やすくするために、図 4.62 の状態からスペクトラムアナライ

第4章

位相コントラストイメージング法

80

Power spectral density [mW]

ザの設定を VBW 100Hz、RBW 100Hz、Span 50kHz、に変更したものを図 (4.63) に
示す。
10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

VBW 100Hz
RBW 100Hz
Span 50kHz
Center 200MHz

10-9

D-OPLL法
フィッティング

10

-10

10

-11

x0 = 200
A = 2.66e-09 ± 0.03e-09
r= 5.4e-05 ± 0.1e-05

199.980

199.990200.000
Beat frequency [MHz]200.010200.020

図 4.63: D-OPLL 法によって周波数が安定化されているときに得られたビート信
号:VBW 100Hz、RBW 100Hz、Span 50kHz、Center Frequency 200MHz 青の線はローレンツ関数 y = (A/π) · r/{(x − x0 )2 + r2 } でフィッティングしたものである。
図 4.63 のフィッティングによって、線幅は 2r ∼ 100Hz となり、光源の要求仕様を満たしていることが確認できた。また、図 4.63 ではスペクトラムアナライザの RBWの設定が 100Hz であることから、今回求めた線幅よりも実際はさらに細い可能性がある。(これ以上スペクトラムアナライザの RBW を下げることはできない) 図 4.64 に、今までと同様に四種類の周波数制御法の比較を示す。

Relative power spectral density [dB]

20
10

OPLL法
FOL法
OPLL+FOL法
D-OPLL法

0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-5

-4

-3

-2

-1
0
1
Beat frequency [MHz]

2

3

4

5

図 4.64: 四種類の周波数制御法の比較
図 4.64 を見ても、茶色で示した D-OPLL 法は、赤色で示した OPLL 法や緑色で示し
た OPLL ＋ FOL 法と同程度かそれ以下の線幅であることが確認できる。また、振動に対しても FOL 法や OPLL ＋ FOL 法と同等かそれ以上の強度でロックを維持することが実際に確認できた。これは、期待した通り、HMC439QS16G の帯域が 10MHz∼1.3GHz
あることから、振動などの原因で一瞬レーザー１の周波数がロックした周波数から動第4章

位相コントラストイメージング法81

いても、帯域内の変化ならば元のロックポイントまでフィードバックし続けることができているのだと考えられる。
（実際に、ロックポイントから 1GHz 程度ビート信号を離してからフィードバックをオンにすると、すぐにロックポイントまでビート信号が移動してロックされるのがスペクトラムアナライザで確認できた。）尚、今回もロー
カルオシレーターには、SMC100A を使用したので、今回の方法でも周波数可動域は、±1.1GHz 程度となり要求仕様を満たしている。さらに、今回の方法では FOL 法のよ
うな、ロックポイントが複数あるわけではないので、前述したようなロックされている周波数を誤認する心配はない。

4.5.5

周波数制御のまとめ

ここでは、4.5.1 項から 4.5.4 項で説明した四種類の周波数制御法についてのまとめをする。各周波数制御について、ロッキングレンジ、線幅、ロックポイントの数について相対的に評価する。各周波数制御法の相対的な評価を表にしてまとめると、表 4.9のようになる。
表 4.9: 各周波数制御法の相対的な評価
周波数制御法の名前 ロッキングレンジ 線幅 ロックポイントの数

OPLL 法FOL 法OPLL+FOL 法
D-OPLL 法

×

〇

〇

〇

×

×

〇

〇

×

◎

〇

〇

表 4.9 から、位相コントラストイメージングには、D-OPLL 法によって周波数が安定化された光源が最適との結論を得た。

82

第5章

まとめと今後の展望

本研究では、位相コントラストイメージングシステムの開発のために、位相コント
ラストイメージングに用いる位相板の評価と、位相コントラストイメージングに用いる光源の開発を行った。
まず、位相コントラストイメージングに用いる位相板の評価では、新しく設計・製作された大きい位相板について、位相板が設計通りに作られていることを、位相コント
ラストイメージング法と、干渉計による方法の、二種類の光学的方法で評価し、BECの位相コントラストイメージングに使う位相板が、設計通りに作られていることを確認できた。
また、位相コントラストイメージングに用いる光源の開発においては、OPLL 法、
FOL 法、OPLL+FOL 法、D-OPLL 法の、四種類の周波数制御法で試し、線幅や周波数の安定度の観点から、D-OPLL 法が位相コントラストイメージングに最適な手法であるとの結論を得た。
しかし、これら評価した位相板と開発した光源を用いて、実際に BEC を位相コン
トラストイメージングするまでには至らなかった。よって、本研究で開発した位相コントラストイメージングシステムで実際に混合 BEC のダイナミクスを観測することが今後の目標である。

83

付 録A

OPLL 回路

Current Lock

Error signal
to monitor

-

20k
330

47

OP270

2𝜇

+
47p

Error in47

Error signal
to LD

-

5k

2k

1k

AD797

+

0.1𝜇

5k

1k

5k

-

Current polarity

AD797

+

ループ・フィルター
330

-

330

AD797

+
PZT Lock
200k

4.7k

470

10k

5k

-

470n

OP470

1k

+

OP270

1k

+

-15V

PZT polarity

7912

4.7k

200k

1k

OP470

10k

200k
0.1𝜇

1k

+

OP470

1N414810V

100+
Error signal to PZT

200k

Ramp inRamp on/off

OP470

10k

200k

1k

+

図 A.1: OPLL 回路の回路図：OPLL 法、FOL+OPLL 法のサーボ回路として使用した。赤く囲ったところがループ・フィルターである。設計には、過去の学位論文 [39, 40]を参考にした。

84

付 録B

周波数ロック回路

Error in

5p
330

5k

47

AD829

+

5

15p

PZT Lock

10k

-

1k
OP470

+

10k

10k

-

22n
1k

OP470

+

PZT polarity

OP470

+

2k

-15V
7912

4.7k

47k

OP470

2k

10k

+

47k
100n

2k
1N4148

OP470

10V

100

+
Error signal to PZT

図 B.1: 周波数ロック回路の回路図：FOL 法、FOL+OPLL 法のサーボ回路として使用した。設計には、過去の学位論文 [41] を参考にした。

85

付 録C

デジタル OPLL 回路

ループ・フィルター

-Vs

Error signal to LD
3.3k

470

47
10k

100p

NU

200

2

-

HMC439QS16G

+

200

1k

6

5

3

100p

47p

1

500

ND

8

AD829

470n

33p
470

PZT polarity-Vs

PZT Lock

10k
3

1k

8

-

1k

1

AD829

6

2

-Vs

33p

AD829

25p

+

OP27

3

3

-15V
7912

8

AD829

200k

-

2

-

Error signal
to monitor

1
6

1k

OP470

10k

+

1k

+

6

4.7k

10k

470n

OP470

10k

2

+

5

-

5k

+

+

200k
１μ

5

33p

1k
1N4148

OP470

+

10V

100
Error signal to PZT

図 C.1: デジタル OPLL 回路の回路図：赤く囲ったところがループ・フィルターである。設計には、過去の学位論文 [33] を参考にした。

86

謝辞

本論文は、大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻レーザー量子物理学研究室における前期博士課程の２年間の研究をまとめたものです。研究を行うにあたりご指導、ご協力をいただいた多くの方々に感謝の言葉を述べさせていただきます。
まず初めに、指導教員である井上慎教授に心から感謝の意を表します。井上先生には、学部４年生のときから現在に至るまで、お忙しい中丁寧にご指導していただきました。先生に教えていただいたことは、物理に関することだけにおさまらず、物事に取り組む姿勢や考え方など様々で、この３年間で私自身大きく成長することができたと思っています。この経験はこれからの人生で必ず生かされるものであると確信しています。３年間私の面倒を見ていただき本当にありがとうございました。本研究室の加藤宏平特任助教には、研究で壁にぶつかった際に幾度となく助けていただき、本当に頼りになる先生でした。また、物わかりの悪い私に真剣に向き合っていただき、私が理解できていないところを何度も丁寧に教えてくださりました。今思い返せば迷惑ばかりかけていたかもしれません。先生は私の研究生活にとって大きな存在でした。
本当にありがとうございました。2019 年度から本研究室に着任された堀越宗一特任准教授には、実験がうまくいかないときや、発表の要旨でつまずいているときに、様々な助言をいただきました。また、堀越先生には、デジタル OPLL 法による周波数制御をについて教えていただきました。それによって、本研究室でデジタル OPLL 法による周波数制御を実装することができました。光学定盤に振動を与えても動かないビー
ト信号をスペアナで見たときの感動は今でも忘れられません。本当にありがとうございました。超低温物理学研究室の石川修六教授と光物性物理学研究室の鐘本勝一准教
授には本論文の査読を務めていただきました。お忙しい中貴重なご意見をいただき誠にありがとうございました。前期博士課程１年の谷澤昂樹氏とは、２年間を共に過ごしてきました。谷澤氏とは、物理だけでなく、様々なことを話し、学生生活を楽しく過ごすことができました。Janek Fleper 氏とは１年間の短い間でしたが共に過ごしました。夜遅くまで実験している姿は私にとって非常に良い刺激になりました。前期博士課程１年の小林一平氏とは、実験や勉強において協力することが多く、助けられることもあったため、非常に有意義に過ごすことができました。学部４年の河野皓平氏と京谷隆正氏とは、１年間の短い期間でしたが、とても充実した時間が過ごせました。
夜遅くまで実験を２人で協力して進めている姿を見て、私も負けていられないという気持ちになりました。2017 年度に前期博士課程を修了された二村亮氏には、実験に関する基本的なことをたくさん教えていただきました。また、IFLD の組み立ての際には、二村氏が残してくださった修士論文のおかげで非常にスムーズに進めることができました。2018 年度に前期博士課程を修了された長谷秀秋氏とは２年間を共に過ごしました。実験において壁にぶつかっても諦めずに試行錯誤している様子は自分も見習いたいと思いました。最後に、これまで学生生活を支えてくれた家族に心より感謝申し上げます。

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