⽔⼯学オンライン連続講演会
2023.06.26

極値統計を実務に応⽤する際の課題〜 Gumbelからの６５年，⽔⽂統計をとりまく状況の変化を数理的側⾯から概観

北野 利⼀
名古屋⼯業⼤学 社会⼯学専攻／統計数理研究所（客員）＊ （まずは確率の話）そもそも極値分布とは？
本⽇の内容（キーワード） ＊ 再現期間 〜 再現レベル（＝確率外⼒）との関係＊ （次に統計の話）統計といえば検定，例えば，
統計的検定の前提を（どの程度）疑う必要があるのか？
＊ 節約原理（オッカムのカミソリ）と G. Box の格⾔「すべてのモデルは間違いである．しかし，．．．」＊ 適合度とモデル選択「候補分布にあてはめて，そのなかから選ぶ」という発想からの脱却 → 「プロクルステス寝台」問題（略：寝台問題）＊ 推定に伴う統計的誤差と本質的な確率変動，そして，
アンサンブル標本を扱う時代の不確実性の捉え⽅

1

self-similarity<latexit sha1_base64="Lti8+rTdqTfSdKEQh+rs/YgDCXs=">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</latexit>

dlog
d log xGenesis： 極値分布の本質 〜 ⾃⼰相似性
max-stable
4Max. of Daily Precipitation [mm] y
100
200
300
400
500

６０年間の年最⼤値データを例⽰

20

d
d log

log
n

✓

= ⇠

Annual Max.
3−Year−Max.
相似形なので，期間の⻑い最⼤値分布の中⼼部も，期間の短い最⼤値分布の裾部となる．
（したがって，極値分布は，全てが裾部であるとも⾔える）

Michelangelo

神（は，
⾃らを模して，⼈間を作った）
確率分布の本質は，微分⽅程式（Systemsof frequency curves）にあり．ガウスによる正規分布の導出も微分⽅程式から．

.

<latexit sha1_base64="Dan+1PUUzCvlobTJC5O+RVJc4ac=">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</latexit>dy
d log x

◆

100

アダム
（⼈間）

Michelangelo✓dy
d log n

1 .

◆

log x
5 .
25
Return Period [Year] （ . は．0.25, 1.25, 6.25 年に対応します）<latexit sha1_base64="thWD0CGX1AcBGCuiisDyu4f9w8s=">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</latexit>

⽣起率を⽤いて表すと， ⇠ がプロックサイズ n に依存せず，得られる曲線 y ⇠ log n がブロックサイズ n に対して，
⾃⼰相似性があることが表されている．
<latexit sha1_base64="IWIB/pwKXCjO0sv4kK9x58w65xA=">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</latexit><latexit sha1_base64="NF3Kpq1MeQsowqIBBvJps/wBrAY=">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</latexit>= ⇠→<latexit sha1_base64="IWIB/pwKXCjO0sv4kK9x58w65xA=">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</latexit>

2

北野利⼀：伊勢湾台⾵級の⾼潮と確率潮位，2013 年度（第49回）⽔⼯学に関する夏期講習会，B コース．B-3-1〜B-3-20．
北野利⼀・⾼橋倫也・⽥中茂信: 気候モデルから得られる多数のアンサンブルデータを⽤いた確率降⽔量の推定法，⼟⽊学会論⽂集B1（⽔⼯学），73, pp. I_1-I_6, 2017.
北野利⼀ : 成分毎の最⼤値と閾値を超過する多変量極値：それらの相互関係，それらの単純極値分布と乱数⽣成法，⽇本統計学会誌，vol. 51, pp.123-156, 2021.（付録に解説）<latexit sha1_base64="1ItjhWHeSu4nLaJ8SdP1oXzEqis=">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</latexit>＊ 再現期間 x = 1

1 (y)<latexit sha1_base64="7SaLiFEAp3uxyg5x/R3DT0sRKpY=">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</latexit><latexit sha1_base64="/i9WWMvZ/EGX2Jd7XmnvcUrXX4k=">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</latexit>⇠>0<latexit sha1_base64="wcxHR5TJWHcfbEknrXfVSxwg8+U=">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</latexit>.2<latexit sha1_base64="ZzVkHxfsK1S28TSlYmWhMcBhQOU=">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</latexit>

1

2
10
Return Period [Year]1 (µn ) = 1/n ,50

Logarithmic trend of the increase of the extremes
Gumbel, E. 1958⇠=0<latexit sha1_base64="7SaLiFEAp3uxyg5x/R3DT0sRKpY=">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</latexit><latexit sha1_base64="/i9WWMvZ/EGX2Jd7XmnvcUrXX4k=">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</latexit>

⇠>0

⇠=0

⇠<0

<latexit sha1_base64="wcxHR5TJWHcfbEknrXfVSxwg8+U=">AAACanichVG7SgNBFD1Z3/GRqI1iE4wRq3BXREUsBBtLXzGBJITddaKDm91ldxPU4A/YWQlaKYiIn2HjD1j4CaKdgo2FN5sF0aDeYWbOnLnnzpkZ3TGl5xM9RpS29o7Oru6eaG9f/0AsPji05dlV1xAZwzZtN6drnjClJTK+9E2Rc1yhVXRTZPW95cZ+tiZcT9rWpn/giGJF27FkWRqaz1S2sC8TiwkqxZOUpiASrUANQRJhrNrxaxSwDRsGqqhAwILP2IQGj1seKggOc0XUmXMZyWBf4AhR1lY5S3CGxuwejzu8yoesxetGTS9QG3yKyd1lZQIpeqAbeqV7uqUn+vi1Vj2o0fBywLPe1AqnFDse2Xj/V1Xh2cful+pPzz7KmA+8SvbuBEzjFkZTXzs8fd1YWE/VJ+mSntn/BT3SHd/Aqr0ZV2ti/RxR/gD153O3gq3ptDqbVtdmkksUfkU3xjCOKX7vOSxhBavIBO5OcIbzyIsypIwqY81UJRJqhvEtlIlPvJCLmQ==</latexit>

200

.2

1

2
10
Return Period [Year]

⇠<0

50

200

<latexit sha1_base64="+vSqsHZcMl2wtfm7fm86/ncFQdA=">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</latexit>

n (µn ) = 1

1P1 (yn ) = 1/n＊したがって，位置⺟数 µn は，再現期間 n 年の再現レベルに対応する．
<latexit sha1_base64="Ni7JBawan7bBKCFWwZcMXvlDGNk=">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</latexit><latexit sha1_base64="MNy4dAclBblpOcKupZ9QQuHUeO8=">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</latexit>n は期間⻑を表す）＊ 期間最⼤値分布（いわゆるGEV分布）と⽣起率関数（添字✓◆<latexit sha1_base64="IWIB/pwKXCjO0sv4kK9x58w65xA=">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</latexit><latexit sha1_base64="qfta0pKEPsyOMbQxYTqcWYsAYhE=">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</latexit><latexit sha1_base64="H9SRyWeLsyAlRp8dZtDHFfWymso=">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</latexit>

Pn (y) = exp {n (y)}

n (y) =

y

1+⇠
✓
y
= exp
<latexit sha1_base64="1AxWc5Mw4R0dvyZjspOkQM2hxDQ=">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</latexit>

1/⇠

µn

n

µn

n

(⇠ 6= 0)<latexit sha1_base64="PB8QbD9lFeXlOwQ19If0w+bYEg4=">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</latexit>◆<latexit sha1_base64="KSciBz6ZPNuuvgS/sP/SRhrcXZY=">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</latexit>(⇠ = 0)Trinity Theorem 三位⼀体定理（⽗・⼦・精霊；この３つの本性は同⼀）◆
1Ⅱ．（標準）Fréchet 分布（期間最⼤値）： F (x) = exp
xⅠ．（標準）Gumbel 分布（期間最⼤値）： G(z) = exp
e z
exp (
)
Ⅲ．（標準）Weibull 分布（期間最⼩値）： W ( ) = 1<latexit sha1_base64="KFBZ9aPuhzF8DOdh/6SGRM6cw1c=">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</latexit><latexit sha1_base64="gQVcFcBgPZ+3QYdgOaF7KmSgOg0=">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</latexit><latexit sha1_base64="jzd3g7GUSwPRYeaiM37rKDKyL9s=">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</latexit>✓3いわゆるロングテールの本質とは？
薄!?

dens. = 0.005↓

dens. = 0.002
↓

1

1

厚?

↑

↑

↑
P = 0.905

P = 0.951↑
P = 0.951

00

P = 0.833

問：左右どちらの分布が，ロングテールですか？

4いわゆるロングテールの本質とは？

1

1

ペッタンコの裾の確率を寄せ集めると，無視できない程度の確率がある．このことは，裾の確率変動を飼い慣らすことが困難である証拠（実現値は，どこに現れるかな？）
⽬に⾒えているのは９割．残りの１割が隠れている．

Prob. =0.991

P = 0.951
P = 0.833↓
残り５％から⼀気に，残り１％に減少（もう残りがない）

.95

↑

.9

.9

.95

↑

↑
↑

Prob. =0.975

P = 0.951↑
P = 0.905
残り５％のうちの半分に減少（まだ残りがある）

無視できない裾の確率（ここでは 5%）の確率密度が⾒えない → 相応する実現値は神出⻤没で出現
さらに⾔えば，極値理論の⾃⼰相似性から，極値理論の適⽤範囲では，どこでも裾になる．
年最⼤値が極値分布に従うなら，その最頻値も（より⼩さいブロックサイズの期間最⼤値分布の）裾なのである！

ロングテールの確率変数は，「飼いならす」ことが本質的に困難となる！
補⾜： The taming of chance, by I. Hacking, 1990 （正規分布に基づく統計学が様々な分野に応⽤された成功事例物語）

5

＊統計的検定の前提を（どの程度）疑う必要があるのか？
⺟分布を正規分布とした統計的問題の典型例：平均値に関するティ検定<latexit sha1_base64="M1QGwulKiKB3X7GKScjchSWFXLQ=">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</latexit>

検定統計量

X̄
t = p

µ
s2n /n< qt(0.95, df)（有意⽔準５％で⽚側検定の場合）

標準化には，標本平均と標本分散が含まれる．これらの確率的変動が従う分布を想定しないと，有意性を確率で評価できない．
Snedecor & Cochran, Statistical Methods, 1st. Ed. 1937, 8th Ed. 1989
私の本棚のものは，7th Ed. 1980

→ Snedecor & Cochran によれば，正規分布を⽤いる４つの理由
１．... some are approximately normal, ... （そもそも正規分布で近似できる？＝理由になっていない？！）
２．a simple transformation ... may induce approx. normality. （これも，理由になっていない？！）
３．The normal distribution is relatively easy to work with mathematically. ...
Such results may hold well enough rough-and-ready to use ... （間に合わせだけど役に⽴つ，まさにコレ！）
４．sample mean tends to become normal ... as the size of sample increases. （中⼼極限定理）○→ さらに⾔えば，天⽂学者ガウスは，標本平均が⺟平均の推定となる確率分布として◎微分⽅程式をつくり，その微分⽅程式を解いて正規分布を導いていることが理由と考える．

統計的な判断には謙虚さも必要である．信じるに⾜る根拠を探す努⼒よりも，＊ 節約原理（オッカムのカミソリ）

疑うに⾜る事実根拠を⽤意する努⼒をする．そして，⽤意できないのなら，深追いせずに，（数理的な）論理を⼤事にするのが筋か？

＊ All models are wrong, but some are useful. (G. Box)
＊ 厳密な真理の探究よりも，むしろ筋を通すこと（論理の⼀貫性）の重視→ 案外，それが真理への⼀番の近道かもしれないよ６<latexit sha1_base64="8EkLRDg+aEFLo7FiR/nIcOo/rzI=">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</latexit>

von Mises の定理

dlim
y ! y1 dy⇢<latexit sha1_base64="Lti8+rTdqTfSdKEQh+rs/YgDCXs=">AAACyXichVFNaxNBGH66ftVYbVovQi+DsVKhhFkpbVGEgpeCl36YttApYXczSYfOfnR2EpIuOXnzD3jwpCAi/gwv4t1Df4J4ESqI4qFvNotSg/ouO/O8z7zPO8/M+IlWqeX8eMw5d/7CxUvjl0tXJq5emyxPTW+lcdsEshbEOjY7vpdKrSJZs8pquZMY6YW+ltv+wcPB+nZHmlTF0WPbS+Re6LUi1VSBZ4mqlxuiabwgy4QJWaMvDtteo/8r03GLdfuM5UBo2bRzpbP19xnrjdQLo1r79g4T8w/EPBNdVS9XeJXnwUaBW4AKiliLy68h0ECMAG2EkIhgCWt4SOnbhQuOhLg9ZMQZQipfl+ijRNo2VUmq8Ig9oLFF2W7BRpQPeqa5OqBdNP2GlAyz/CN/w0/4e/6Wf+I//9ory3sMvPRo9odamdQnn97Y/PZfVUizxf5v1T89WzSxnHtV5D3JmcEpgqG+c/TsZPPexmx2m7/kn8n/C37M39EJos7X4NW63HiOEj2A++d1j4Ktu1V3sequL1RWbhVPMY4Z3MQc3fcSVrCKNdRo3w/4gu/44TxyDp2uczQsdcYKzXWcCefJKbLxsKs=</latexit>

1

F (y)
f (y)

⇄

= ⇠

d
log
d log x✓dy
d log x◆= ⇠ここでの F と f は，任意の分布関数の累積確率と確率密度を表す（標準フレシェではないことに注意）．

Domain of aKracLon （吸引領域）
正規分布，対数正規分布，ワイブル分布 → 極値Ⅰ型（Gumbel 分布）
平⽅根指数分布（江藤分布） → 極値Ⅰ型（Gumbel 分布）
対数ガンマ分布 → 極値Ⅱ型（Fréchet 分布）（なるほど！ ⽶国の⽔⽂統計）「極値理論の⼯学への応⽤」のためのマイルストーン
Gumbel, E. J. (1958): Statistics of Extremes の後に，デルタ計画の報告書が出版（1960年）が，しかし，…その後，de Haan, L. (1990): Fighting the arch-enemy with mathematics で，治⽔計画に本格的な（近代的な）極値解析が導⼊．
そのころ，⽇本では，．．．さまざまな候補分布とデータとの適合性の議論
合⽥良実，宝馨・⾼棹琢⾺ 共著 “⽔⽂頻度解析における確率分布モデルの評価規準”への討議・回答，⼟⽊学会論⽂集, 405, p.265-272, 1989.

Galambos, J.(1978): The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics の後，現在まで，極値理論の進展

1983 年

1987 年

2001 年

2004 年

2006 年2015 年

2016 年

この他にも重要な極値理論のテキストが多くある（⽇本語では，⾼橋・志村, 2016; ⻄郷・有本, 2020）
応⽤⽔⽂統計学（岩井・⽯⿊, 1970）にも極値理論は記載

7k<latexit sha1_base64="Co699MtSMqNilkNOwltgphGhKfA=">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</latexit>

ポアソン分布との関連性：

Pn (y) =（単変量も他変量も同じ）<latexit sha1_base64="6gzAjTTnhdc3tiI0asdky0ogn0o=">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</latexit>

Pn (yA , yB ) = exp

n, (AB)

kA
^kB
X
i=0

<latexit sha1_base64="wfs9Rhkq645xDJzgYI7i6oMwuyo=">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</latexit>

= exp

i
n, AB

i!

exp(
k!

kA i
n, A|B(kA)
k = 0,n (y)n (y)}

8kB in, B|Ai)! (kBn, (AB) (yA , yB )== exp {i)! kA = kB = 0,<latexit sha1_base64="6M0P2kPZp9BswmfanXEAva7fZJ4=">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</latexit>n (y)=閾値超過極値に対する確率（GP 分布）： 1 Pu (y) =n (u)n,(AB) (yA ^ uA , yB ^ uB )n,(AB) (yA , yB )Pu (yA , yB ) =n,(AB) (uA , uB )<latexit sha1_base64="qN0TwWosQVEnBRP7Kv0CpSvf1ak=">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</latexit>n,(AB) =✓1+⇠n,(AB) (yA ,yB ), ...

y

u
u

◆ 1/⇠

<latexit sha1_base64="WO8pnK30XjsmayrrRsk3vCB+SDw=">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</latexit>

補⾜： 多変量極値（２変量の場合を例⽰）， V (xA , xB ) =⻫次性 ：log F (xA , xB ) に対して，<latexit sha1_base64="pX5kUUN7vEhiame6VcsEFPdAqog=">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</latexit>

V (xA , xB ) = V (xA /m, xB /m)/m（これは多変量の⽣起率の⽐例性を表す．例えば，再現期間５０年か２００年を超えるイベント数が成⽴することが不可⽋． に対し，再現期間１０年か４０年を超えるイベント数は５倍の多さとなる．

これを１次元に縮退させたものから，１次元の極値分布に必要な⽣起率関数を得ることも可）<latexit sha1_base64="Hn1gfSXqdfdrdGLjwhYBfXj0IkI=">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</latexit>

この時，横断分布 H(t) を導⼊すれば， V (xA , xB ) =<latexit sha1_base64="qfImxR/21q7HvMfxeQcwXvaEC+Y=">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</latexit>

Z 1✓
0

t
1 t
_
xA
xB

と表される．横断分布の平均は定義域 [0, 1] の中点にあることが要件（唯⼀の制約条件）．

◆

H(dt)

ここで重要なことは，多変量極値では，外⼒の⼤きさを再現期間に変換して，その従属性を検討するのである．
逆に⾔えば，外⼒の⼤きさそのもので従属性を論じることは，本質的な⽅向性を⾒誤ることになる．
1995-1997 Neptune Project にて，２＆３変量（多変量）極値理論を海岸堤防の設計（破壊確率の算定）に適⽤
de Haan, L. & J. de Ronde, Sea and wind: multivariate extremes at work, 1998.

both photosʼ source: wikipedia

ポアソン確率のヒミツ
deaths from horse kicks 統計学⼊⾨︓東京⼤学出版会

平均
１２２

Ladislaus vonBortkewitsch（1868 –1931)

Siméon Denis
Poisson(1781-1840)

平均（⽣起数）が分かれば，⽣起確率を求めることができる

２００年間で１２２回⽣じるイベントが⽣じない年は，１０９年あることが分かる．

<latexit sha1_base64="dd73N7sntXBDEmg1Hv5vmiCj8UE=">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</latexit>

事象が⽣じない確率p(k = 0) = e<latexit sha1_base64="B+qLFb8Ech8yb+ujU3qnM/3i1NY=">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</latexit>e

３分の１の法則（平均１回⽣じる事象は，
⽣じないことより，⽣じる可能性が
２倍ある）

３の法則

122
200

<latexit sha1_base64="PwoFy3dpwl2YXB0KpWiTE5A5dkY=">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</latexit>

e

1

e

3

<latexit sha1_base64="EsiOLcMNIs0ASnYy9BXG84wNoDs=">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</latexit>（平均３回⽣じる事象でも，
たまたま⽣じていないこともある）

＞ 0.5
108.7
=
(= 0.543)
200

1
⇡
= 1
3

2
3

1
⇡
= 0.0520

平均⽣起数 λ と外⼒ y を結びつけて考えるのが，極値統計理論．

9

（３の法則と１／３の法則を⽤いて分かること）

追加イメージ（１）標準 Gumbel 分布

標準正規分布
−１

−1

0

1

2

200-yr. max.
15-yr. Max.

Precipitation [mm]

外挿とは？
単なる延⻑
というより，もう少し深い
背景がある．

−2

−1

0

1

2

3

4

5

⾃⼰相似性から，
サンプル（年最⼤値データ）が，全体的に「転送」される

900

追加イメージ（２）

3

600

−2

３

９０％

1-yr. Max.
0

−3

２

９５％

300

−２

.1

1

15

200

Return Period [Year]

3000

9’

10

ポイントプロセスモデル（点過程モデル）
GP よりも柔軟表現なのに現在の⽔⼯で普及していない．
ただし，r や u を幾らにとるか悩ましい問題は変わらない．
<latexit sha1_base64="8TEW1JqWx+CUwUsRe+o3PWF90i0=">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</latexit>

L(µR ,R , ⇠) /<latexit sha1_base64="SBIVTm7npwUJIHq4EHLf63wbK7Q=">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</latexit>

L(µR ,

n
Y

i=1

exp

⇢

R , ⇠) / exp

n R (Yi,r )R⇢n R (u)
R

r ⇢
Y

j=1
m ⇢
Y
j=1

d R (Yi,j )dy（各ブロック上位 r 番めまでの最⼤値）

d R (Yj )dy（閾値 u を超過した極⼤値）

ここで⾔いたいことは，「外⼒に対する分布に当てはめる」というよりも，「⽣起数に対するポアソン分布に当てはめている」ということである．このようなことができるのは，極値理論（から導かれる⽣起率関数）を適⽤するからである．極値理論とは異なる理論体系を構築するのは，⾮常に困難であり，荊棘の道をすすむことになるだろう．ただし，極値統計理論の適⽤にあたり，適⽤すべき極値（すなわち，裾のデータ）を慎重に抽出する必要がある．
データに合う分布を求めるのではなく，分布に合うようにデータの刈り込みをする必要がある．

Goodness of fit 適合性 と Model selection モデル選択
適合性を検定する場合，適合していることを帰無仮説にとり，適合していないこと（対⽴仮説）を検出しようと検定している（したがって，積極的に「適合」を検討しているわけではない）
モデルとデータの距離を測る情報量基準に基づいて，モデルの選択を⾏う．
⽐較するに値するモデル間に対して，⽐較を⾏うべきであろう（Compare apple to orange）．

データに語らせる⼿法（data-driven approach）というと，きこえが良く，より客観的であることを印象付けるが，統計的解析には，基本的に，主観が必ず⼊る（はずだ）．

統計的有意性とＰ値に関する⽶国統計協会の声明（2016）11

The ASA Statement on p-Values: Context, Process, and Purpose, by Wasserstein, R. L. & N. A. Lazar, The American Statistician, 20, 129-133, 2016
⽇本計量⽣物学会，佐藤俊哉（訳），2017 掲載

科学的結論の⼟台となっているのは「統計的有意性」という概念であり，通常，Ｐ値とよばれる指標で評価される．
Ｐ値は，データと特定の統計モデル（仮説を含む）が⽭盾する程度を⽰す指標のひとつ．
P 値が 0.05 ということは、その仮説が 95％の確率で正しいことを意味するものではない。これは、帰無仮説が真であり、他の全ての仮定が正しいならば、観察されたような極端な結果が得られる確率が5%あることを意味する。
そしてまた、P 値は知⾒の重要性を⽰すものでもない。

「可否」による２分類の決定は実⽤的であるが，Ｐ値だけで決定が正しいかどうかが保証されるものではない．

科学的な主張や結論を正当化するために、 データ解析や科学的推論を 機械的で明⽩なルール （「P≤0.05」
といった）におとしめるようなやり⽅は、誤った思いこみ と 貧弱な意思決定につながりかねない。
⼆分割された⼀⽅の側で、 結論が直ちに「真実」となったり、他⽅の側で 「誤り」となったりすることはありえない。
P 値は有⽤な統計指標ではあるが、誤⽤と誤解がまかり通っている。このことにより、⼀部の学術雑誌では P 値の利⽤を控えさせたり、⼀部の科学者や 統計家が P 値の使⽤をやめるよう勧めたりしているが、その際の主張は P 値が導⼊されたときから本質的に変わっていない。
ある科学誌は、P値を使った論⽂の発表を禁⽌するという思い切った対策を打っている。⽣物統計学者Andrew Vickersは、この科学誌の試み
を、交通事故を減らすために⾃動⾞を運転しないように呼びかけるようなもので、逆効果かもしれないと⾔う。おそらく、呼びかけたい⼈々の多くがこのメッセージを無視するからだ。Vickersは、「統計をレシピではなく科学として扱う」ことを研究者に教えるべきだと⾔う。
統計学者 Andrew Gelman は、P 値についての理解が深まったとしても、統計を利⽤して、あり得ないレベルの確実性を作り出したいという
⼈間の衝動がなくなることはないと警告する。 「⼈間は、現実には⼿にすることができないものを追い求めます」と彼は⾔う。
「確かさが欲しいのです」。
Statisticians issue warning over misuse of P values, by Monya Baker, Nature, 531, p.151 (2016)

昔の significant の意味：なにかいつもとちがうことが起こっているからちょっと注意してみた⽅がよいですよ，
現在の significantの意味：なにか重要なことが起こっている（に変化）
そして，統計的に意味があることは，〇〇学的にも意味がある，という誤解に．
⼭中伸弥，⻘井貴之，佐藤俊哉，医療統計学の専⾨家を交えた⿍談，蛋⽩質核酸酵素，54，1792〜1803

水文統計における「プロクルステスの寝台」問題
人里離れた谷道を行く旅人に，「日も暮れてきたので，しばらく休ん
で行きませんか．私の寝台は大変珍しいもので，どんな旅人にもよく合うので，旅の疲れもあっという間に癒えるでしょう」と丁重な物言
いで自宅に招き，寝台に寝かせた．そして，旅人の体が寝台からはみ出したら，はみ出た分を切り落とし，寝台の長さに足りなければ，頭と脚に縄を結んで無理やり引っ張って，寝台に合うように引き伸ばす．
これが，盗賊プロクルステスが，旅人を襲ったやり方で，そのため，ストレッチャー（伸張賊）とも呼ばれていたのだが，英雄テセウスによって，プロクルステスが旅人にやったことと同じやり方で，プロクルステスを寝台に寝かせ，退治したと伝えられている1, 2)．このことから，「プロクルステスの寝台」とは，無理にでも基準に合わせることや杓子定規を戒めるための成句になっている3)．
1) Baldwin, J.: Old Greek Stories, 1895. https://www.gutenberg.org/ebooks/11582 （杉谷代水 訳，希臘神話，富山房，1909; 復刻版 2011）2) Bulfinch, T.: The age of fable, 1855. （野上弥⽣⼦訳，ギリシア・ローマ神話，岩波書店，1991 ）3) 例えば，世界大百科事典 第2版，平凡社，https://kotobank.jp/word/プロクルステス-127913

12

13

多数アンサンブル標本を扱う時代の不確実性の捉え⽅
滑らかに連続するところに，
変動成分，すなわち，誤差はほとんどないだろうと考えるのは，間違いである．

ノンパラメトリックもきこえは良いが，きちんと議論するには，間接量を⽤いて，メンドクサイ計算が必要．
北野ら: 2017

なぜなら，
順序統計量は互いに従属しており，塊として変動するから．
北野ら: 2021 参照

⼤事なことは，rank と order (stats.)とそして，誤差に対する理解<latexit sha1_base64="KInJCF5xExPC93uUyxaxfcvi4Ow=">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</latexit>

誤差変動の基本公式： V(X n ) =（統計学の基本）

2n<latexit sha1_base64="er2W+KBsIBctVAH4as1d9Gdk7bM=">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</latexit>

2
R

再現レベルに対しては， V(µ̂R ) ⇡K（経験度 K ，北野ら: 2008）<latexit sha1_base64="8MInkSjQINvwqCphk2A7J3yqmqk=">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</latexit>

北野利⼀・渡部哲史・⼩林健⼀郎: 単純極値変数と超過数の視点から⾒た降⽔量の極値の数理特性，⼟⽊学会論⽂集B1（⽔⼯学），77, pp.I_1153-I_1158, 2021.
北野利⼀・⾼橋倫也・⽥中茂信: 確率降⾬量の統計解析におけるモデル適合性の限界，⼟⽊学会論⽂集B1（⽔⼯学），67, pp.I_277-I_282, 2008.

14

さらに総体で⾒れば左図だが，まとめと課題実現するのは，その１つである．右図の60年最⼤の⿊丸が最も⼤きいものに着⽬すると，．．．

⿊丸と
⾚線の違い
60年×200メンバ

定数の推定と確率変数の予測（北野ら，2013）
.2

1

2

10
Return Period [Year]

50

200

60年×5メンバ
.2

1

2

10
Return Period [Year]

50

200

＊ 極値を扱うためには，極値理論の理解が⼤切である．
欧⽶では，歴史的に，極値理論の専⾨家が⽔⼯学研究のプロジェクトに含まれてきた．少なくとも統計の専⾨家との交流は不可⽋（経済・ファイナンスに関わる確率・統計の専⾨家に意⾒を求めることも⼀⼿）．

＊ できるかぎり，極値理論（点過程を含む）を適⽤できるような努⼒をする．
→「プロクルステスの寝台」問題：データの⾝の丈に合わせた試⾏錯誤も良いが，確率分布を⽐べることは簡単では無い（compare apple to orange）. データを極値分布（点過程の尤度）という寝台に合わせるように，
もう１つの試⾏錯誤（cut-and-try）が必要である．極値理論に基づいた結果を最終的に採⽤するためには，
プロクルステスを退治したテセウスの知恵と⼯夫が必要である．

＊ 多変量極値への展開のための周辺分布である単変量との接続を意識する．
さらに，⾮定常性の課題の１つとして，Hurst (1951) が発⾒したロングメモリは，極値の問題と考えている．

＊ 推定誤差と本質的な確率変動，そして，悩ましい記録更新（とび抜けた新記録値）
寝ても覚めても我々を悩まされるのは，神出⻤没な新記録値である．それゆえに，我々は無いものねだりの確からしさを求めがちであることを⾃覚した意思決定をしなければならない．このことは，合⽥と宝の討議の時代と問題意識は同じである．この 65 年間の極値理論の進展は，その取組み⽅を変えるだろう．