平成年度大学院入学試験問題

（ 時間）

注意
問題の解答はそれぞれ別の用紙１枚に記入せよ（裏面を用いてもよい）。
各用紙ごとに，左上に問題番号，右上に受験番号と氏名を記入せよ。

力学・振り子点

図のような、質量 と長さ を持つ、太さの無視できる一様な剛体の棒が天井からぶら下がっているとする。天井との接点を支点にして、棒は自由に運動できる。鉛直下向きからの棒の向きのずれの角度を とし、鉛直軸の周りに回転運動するときの回転角度を とする。重力加速度を とする。以下の問に答えよ。

まず鉛直軸周りの回転運動が無い場合（、 は時間微分）を考える。

変数 について、と運動方程式を求めよ。
ヒント：一つの解き方として、棒の微小部分についてのを求めることもできる。）
ることにより、全体のを積分す

棒が鉛直軸付近を微小振動をしている場合に、固有振動数を求めよ。
微小振動であるので、運動方程式において、振動の振幅について２次以上の項は無視して考えよ。
次に鉛直軸周りの回転運動もあるとする。
変数 とについて、

問において、変数存量は何か。と運動方程式を求めよ。の変分により導かれた運動方程式が意味する運動の保鉛直軸周りの回転運動が一様（ が定数）であるときは、等速円運動（ が定数）であることを示し、 と の間の関係を求めよ。
上記のような等速円運動で、鉛直軸からの角度がのものを考える。この等速円運動から微小量だけずれた運動を考えたときに、その微少量のずれの運動を記述する運動方程式を求めよ。微小量の振幅についての２次以上の項は無を以下のように定義したものを視して考えよ。力学変数としては、微少量使うこと。

ここで、は問で求めたもので、 により表される。
（変数 は時間を表す。）

問の運動方程式を解き、微小なずれの時間変化を求めよ。ただし、ずれの時間平均が となるような解を求めること。 ずれの時間平均値がある場合、それが となるように元の等速円運動を取り直すことができるので、時間平均をと仮定しても、一般性を失わない。）

量子力学 静電磁場中の原子のエネルギー全角運動量の原子に、静電場シュタルク相互作用を、また静磁場及び静磁場点を印加した。原子は静電場ととはゼーマン相互作用をする。ここで、 及びはスカラー及びテンソル分極率をあらわし、とする。また、 は 因子、はボーア磁子をあらわす。また、 は原子の角運動量演算子である。の静電場がここでは特に、大きさ印加されている場合を考える。の固有状態を基底ベクトルとした、方向に印加され、大きさの静磁場が方向にについて、および、が成り立つ。ただし、である。
、およびの行列表示を求めよ。

まず、原子が静止している場合を考える。
原子の３つのエネルギー固有値を求めよ。そして、それを静磁場の大きさとして図示せよ。
次に、原子が一定速度効果から、原子は付加的な磁場速である。の関数で運動している場合を考える。このときには相対論的を感じるようになる。ただし、 は光原子が方向に運動しているとして、原子の３つのエネルギー固有値をおよび
であり、と求めよ。ただし、には、原子の運動に起因する項が加わることがわかる。
する。これから、この原子の運動によって誘起された波動関数の位相変化はアハラノフキャッシャー位相と呼ばれ、系の幾何学的配置にのみ依存する。ここで、 は相互作用、電場の印加されている距離時間である。電場の大きさのときにアハラノフキャッシャー位相の大きさを求めよ。ただし、、、、として計算せよ。

統計力学・氷のエントロピー

点

図 はある温度・圧力領域における氷の結晶構造の一部を示したものである．正四面体の重心に位置する各酸素（大きな丸印）の周りの水素原子核，すなわち陽子（小さな丸印）は，正四面体の頂点に近い位置を占め，それら正四面体が互いにつながっ分子を構た構造をしている．酸素‐酸素の各結合軸上に１個の陽子があるが，成するように，各酸素原子の周りの４個の陽子のうち，２個だけがその酸素に近接しており，残りの２個は注目する酸素に隣接する酸素の方に近接している．各酸素の周りに陽子２個だけが近接している規則をアイス・ルールと呼ぶことにする．
分子
氷を極低温に冷やすと，多くの可能な構造の中の一つの構造をとるが，の向きが全く規則的な一義的に決まった原子配置を相当長時間に渡ってとっているが存在する．ここではわけではない．従って，残留エントロピーは極低温で結晶の取りうる原子配置の数である．この残留エンボルツマン定数，の方法に基づいて答えよ．なお氷では実トロピーについて，以下で述べるに極めて近いエントロピーが確認されている．
際に，この方法で求めた氷に含まれる陽子が，酸素－酸素の結合軸上の二つの可能な位置（第一の酸素に近い位置と第二の酸素に近い位置）のいずれかをアイス・ルールの制約を受けずに任意に取りうるとすると，氷 モルあたり可能な原子配置はいくを用いて表せ．
つあるか，アボガドロ数ひとつの四面体について，酸素の周りの つの陽子の可能な原子配置のうち，アイス・ルールを満たすものの割合を求めよ．
低温における氷１モルあたりの残留エントロピーを見積もるため，アイス・を考える．
はアルールの制約のもとで実現可能な陽子の配置の数個の四面体がすべてアイスイス・ルールを無視した全配置に対し，独立なを求めた．この方法でを求めよ．
ルールを満たす割合を乗じて陽子の配置がアイスルールの制約を受けずに完全に乱雑になった場合のエントとする．比を求めよ．またその数値を有効数字 桁で答えロピーをを用いよ
よ．ただし近似値

図 はある磁性体の結晶構造の一部である．頂点を共有してつながった正四面体の各頂点には矢印で示したように磁気モーメント をもつイオン（小さな丸印）がある．また，この磁気モーメントの方向は，正四面体の頂点から重心にある磁性を示さない別のイオン（大きな丸印）に向かう軸方向に限られ，その向きは重心向き 内向き とその反対 外向き のいずれかをとる．重心の座標を原点にとると，辺の長さが の正四面体の頂点の座標はと表せる．
さて隣同士の磁気モーメントとの間にのみ，式（２）のエネルギーで与えられる磁気双極子相互作用が働くものと仮定する．

ここでは真空透磁率， は磁気イオン
ルであり，磁気モーメントの大きさはとの位置からの位置へ向かうベクトである．

をそれぞれ求めよ．

隣接する磁気モーメントに対して，内外同じ向き同士と反対向きとでのエネルとしたとき，を求めよ．
ギー差をあるひとつの正 面体の頂点を占める 個の磁気モーメントの可能なスピン配列（内 個・外 個 や 内 個・外 個 など）に対して，それぞれのエネルギー準位と縮重度について述べよ．
氷の性質とこの磁性体の性質との類似性を論ぜよ．

平成年度大学院入学試験問題（ 時間分）

注意
問題の解答はそれぞれ別の用紙１枚に記入せよ（裏面を用いてもよい）。
各用紙ごとに，左上に問題番号，右上に受験番号と氏名を記入せよ。

電磁気学・鏡像法

点

半径 の導体球が固定されており、その中心を原点 とする。この導体球の中心から距、この点電荷が導体球から受ける離 だけ離れた点 に点電荷 をおいたとき力を求めたい。ただし、真空の誘電率を とする。
まず、導体球が接地されている場合を考える。距離 の関数として点電荷にはたらの定性
く力 はどのように変化するか、鏡像法を用いて決定せよ。さらに、的なグラフを書け。と三角形は相似である。
（ヒント） 下図において、三角形
点 に鏡像を置くとよい。

次に、導体球が接地されておらず、電荷球と点電荷の距離予想せよ。

を帯びているとする。

が球の半径 よりも非常に大きいときの鏡像法を用いて、の漸近形をを求めよ。のグラフを書け。
点電荷が球表面に近づいたときの結果を解釈せよ。のの漸近形を答え、そ量子力学・可解系

点実数値をとる一自由度 を持つ量子力学系を考える。以下のような特殊なポテンシャルを持つ場合、幾つかの状態について、エネルギー固有値とその対応する固有波動関数をあら、であり、 はエルミーわに求めることができる。以下においては、である。以下の問いに答えよ。
ト共役を表し、特にハミルトニアン

におけるポテンシャルがのように、実数値の関数ミルトニアンは、ある演算子の形に表すことができる。

を使って上記のような形で与えられるとき、このハを使ってがのように、運動量 と座標 の実数値関数により表されると仮定して、をを用いて表せ。但し、あるを求めれば十分とし、唯一であるかどうかの議論は不要とする。
ハミルトニアンがについて、のような形を持つと、エネルギー固有値を持つ固有状態が成り立つので、エネルギー固有値 はゼロまたは正である。基底状態のエネルギーを求めよ。
固有値がゼロであると仮定した場合の基底状態の波動関数を使って表せ。）
基底状態のエネルギーがゼロでないのはどのような場合か、に対する条件をの時は、基底状態のエネルギーはゼロか正か。
答えよ。特にポテンシャルがのとき、これが問のようにを用いて表されることを使って、基底状態の波を求めよ。但し、波動関数の規格化定数は求めなくて良い。（ヒント：動関数が単項式であると仮定して考えよ。）

以下では、ポテンシャルが、を実数としてで与えられる場合を考える。この場合、を実数値の関数を使って、問にあるような形で表すことができないので、エネルギー固有値と波動関数を求めるには工夫が必要である。
問で求めたを使って、波動関数で定義するとき、ハミルトニアンし、ハミルトニアンの行列表示の成分をについて、を計算を求めよ。
が自然数のとき、波動関数と書くことにする。
動関数全体の線形空間をについて、もその元となることら示せ。の線形結合で得られる波の任意の波動関数を、問の結果か問の結果から、ハミルトニアン は、線形空間内にその作用を限れば、有限行列で表され、エネルギー固有値と波動関数を求める問題は、その有の場合に、 の限行列の固有値と固有ベクトルを求める問題となる。
内の波動関数に対するエネルギー固有値と固有波動関数を求めよ。固有波動関数の規格化定数は求めなくて良い。

統計熱力学・ゴム弾性点

ゴムひもの性質を統計力学を用いて理解しよう．最も簡単なモデルとして，質量と体積を無視できる長さ の剛体棒分子 個が一直線上につながった高分子鎖を考える．分子と度しかとらないものとし，どちらの状態も等しいエネルギーを分子の接合角は 度かとする．
持つとして以下の問いに答えよ．ボルツマン定数を上図のように剛体棒分子に矢印をつけ（必ず先端と根元で接合する），右向きの矢，左向きの数をとする． 個の分子で作られる高分子印のついた分子の数をとする．
鎖の始端から終端までの長さ を求めよ．ただしさらにこのときの分子配置の総数をを求めよ．

を使って表せ．
（以降の問題では解答にを用いてはいけない）

始端から終端までの長さを にした場合の鎖のエントロピーを求めよ．ただしのみの関数となるように答えを整理すること．
無次元パラメータとしての公式を用いよ．
この高分子鎖が温度を求めよ．の熱浴に接している．

両端距離をに保持した時の張力

張力の等温線の概略図を描け．

を固定して熱浴温度 を上げると，張力またその理由を簡潔に述べよ．の自由エネルギーを求めよ．

は増加するか，それとも減少するか．

現実のゴムの性質をより正確に説明するためには高分子鎖の内部エネルギー を考慮するの内部エネルギーを持つとすれば必要がある．上のモデルで１分子当たりとなり，内部エネルギーは温度だけの関数になる（したがって張力については問と同じになる）．
題
上のような内部エネルギーを持つ高分子鎖が温度の状態にある．この高分子鎖を熱浴から切り離し，を求めよ．ただしせた．このとき高分子鎖の温度の関係式を用いてよい．
必要ならの熱浴に接し，まで断熱伸張さである．

平成年度大学院入学試験問題

（ 時間）

注意
問題はからまで 問ある。これから 問選択せよ。
なお、各問題は以下の通りである。
電子回路
線の測定
核スピンの偏極粒子の収束
電磁放射
物理数学
量子力学・光と原子の相互作用選択した問題の解答はそれぞれ別の用紙１枚に記入せよ（裏面を用いてもよい）。
各用紙ごとに、左上に問題番号、右上に受験番号と氏名を記入せよ。

電子回路

点型と 型の つの半導体を接合した一般的なように電圧 と電流 を設定した場合の描け。

接合ダイオードについて、図 の特性（横軸 、縦軸 ）の概形を型のトランジスターは つの 型半導体の間に薄い 型半導体を接合したものである。トランジスターの重要な特徴として電流の増幅作用がある。以下、図 のようなトランジスター回路について考察してみよう。

今、エミッタ電流に対するコレクタ電流の利得をとして、を で表せ。また、 の値が１に近い場合に対して、トランジスターの増幅作用について簡単に記せ。
コレクタ電流がベース電流に比例するようなある動作点で、トランジスターの特性を図 のような四端子回路と見なして考えてみよう。

微小な電流変化 と微小な電圧変化と微小な電圧変化 は、をパラメータとすると微小な電流変化、と表すことができる。図 のような等価回路を考えたとき、抵抗、電圧、抵抗、を、 、 、 、、 で表せ。
電流、

ここで、で考えた四端子回路の入力側に信号源 と出力側に抵抗 を接続した場合を考えよう。これは図 の回路に相当するものである。このとき、および電圧利得を、 、 、および を用いて電流利得表せ。
において最大電力利得を与える抵抗を

ここで、トランジスターの特性が、Ω 、、で与えられた場合、最大電力利得を与える抵抗利得と電流利得を求めよ。

、、、を用いて表せ。

、
Ω 、の値を求め、そのときの電圧

下図は、電流、電圧の方向だけが逆で他の特性が等しいとのトランジス
ターを用いた 級プッシュプル回路の原理を示したものである。正弦波入力信号に対しての増幅動作を定性的に説明せよ。

線の測定

点線のエネルギースペクトル測定または時間スペクトル測定をするために必要な検出器を１つ挙げ、その検出器内で起こる 線と物質との相互作用についてから程度説明せよ。なお、測定対象とする 線のエネルギーは数までの範囲で選んでよいが、解答には選んだエネルギー領域と選んだスペクトルの種類（エネルギースペクトルか時間スペクトルか）を記し、エネルギースペクトルの場合にはエネルギー分解能のオーダーを、時間スペクトルの場合には時間分解能のオーダーについても記せ。
以下の、放射線測定に用いられる装置のうちから つを選び、使用する測定例を挙げてその機能について説明せよ。なお、測定例については つの装置に対して同じでも違っていてもどちらでもよい。
前置増幅器（）波高弁別器（）線のエネルギーを微小変化させる方法について考察してみよう。今、真空中の点においた小型線源から放射される 線を考えよう。この地点から距離 だけ離れ、角振動数を とすると、た 点の時刻 における 線の電場成分は、振幅をであったとしよう。ここで、光速を とした。
この 点と 点の間に長さ
きの 点における電場成分はの を求めよ。

、屈折率の物質を置いてみよう。このととなる。このとき

この を時間変化させることが出来たとしよう。いま、とおくと、 点で観測される 線のエネルギーはどれだけか。の第 励起準位（幅のオーダーを求めよ。

）の半減期はである。この準位の自然の 線のエネルギーをだけ変化させたい。これを実験的に実行するために、上述の位相変化をどのように実現すればよいか述べよ。
～であるとせよ。
なお、で論じた以外の方法で線源からののだけ変化させる実行可能な方法について述べよ。

線のエネルギーを核スピンの偏極点

固体中の高偏極した原子核スピンを用いて興味深い研究が行われてきている。しかし、核とすスピンを高偏極させるには工夫を要する。以降においては簡単のため核スピンはとあらわさる。ここで、磁気回転比を とすると、ゼーマン相互作用ははスピン磁れる。ただし は 方向に印加された磁場の大きさをあらわし、気量子数をあらわす。
磁場中の核スピンが温度で熱平衡しているときのスピン偏極率を求めよ。ここで、およびはスピン磁気量子数がそれぞれの状態の存在確率である。ただし、ボルツマン定数をとする。
陽子核スピンの場合、磁気回転比である。のときの核スピン偏極率を求めよ。また、磁気回転比はどうなるか答えよ。この場合は電子スピンに相当する。ただしおよびプランク定数として計算せよ 。

および、の場合に固体の試料を以下の温度に冷却するには、具体的にどのような方法があるか、またその温度はどのようにして測定することができるか、それぞれ例を挙げよ。
Ｔ以上の磁場を生成するには、具体的にどのような方法があるか、またその磁場の値はどのようにして測定することができるか、それぞれ例を挙げよ。
偏極した核スピンの信号を観測するには、核磁気共鳴法（ＮＭＲ）、放射線の非等方性の測定、メスバウアー分光法など様々な方法がある。１例をとり挙げ、その原理を説明せよ。
このように、上記のような極低温、高磁場中において電子スピンはほぼ完全に偏極しているが、陽子核スピンはほとんど偏極していない。そこで、この電子スピン偏極を陽子核スピンに移行させることを考える。
電子スピン１つと陽子核スピン１つの系を考える。高磁場 においては４つのエネルギー準位に分裂し、磁気双極子相互作用により状態はわずかに混合する（ただし、エネルギーシフトは小さく無視できるとする）。このような状況では電子スピン共鳴（電子スピン間に遷移を起こさせること）のスペクトルが３本観測される。この３本の共鳴周波数を電子の磁気回転比 、陽子核の磁気回転比 、および磁場 を用いて答えよ。
３本の電子スピン共鳴線のうち、特定の共鳴線のみを励起して飽和させる（上準位と下準位の存在確率を等しくさせる）ことにより電子スピン偏極を陽子核スピンに移行させることができる。電子スピン系は緩和時間が短く常に熱平衡しているとし、また陽子核スピン系の緩和時間は非常に長いとして、これを説明せよ。これは「固体効果」と呼ばれている。

力学・粒子の収束点

空間の一点で生成され、ばらばらな方向に運動する荷電粒子 電荷を、一つの方向＋ 軸 に出来るだけ揃えたい。その方法の一つにソレノイド電磁石を利用する方法が考えられている。（ソレノイド磁石とは、円筒の円の周りに電流を流し、軸方向に一様な磁場を作る電磁石である。） 下図参照
荷電粒子 電荷 質量の電磁場中での非相対論的運動のラグランジアンは、 を粒子の速度、 を磁場、 を電場、 を光速とすると、で与えられる。
ラグランジュ方程式をポテンシャル
析の公式を使って書き下せ。 必要ならベクトル解を使って良い

粒子の運動方程式は、で与えられることを示せ。

以下ソレノイド磁石の半径は十分大きいと仮定する。いま電場は零、磁場は一様での速度成分を持って生成された粒子あるとし の方向を 軸として、は、らせん運動をすることを示せ。

運動の条件がゆっくり変化するとき、断熱不変量として知られる量は不変である。いま磁場が 軸の関数として、ゆるやかに 断熱的に 減少するソレノイド磁石を考える。らせん運動において、磁場と垂直な － 面での粒子の運動は周期的であるかは一般化運動量のら一つの断熱不変量は、円周にわたってとった積分－ 面への射影）である。断熱不変量をとの関数として求めよ。

軸に垂直な運動量成分（）は、に進むに従いに比例して減少することを示せ。また十分強い磁場の領域には粒子が進入できないことを示せ。

電磁放射

点

ポテンシャルに束縛されて原点付近を運動する電子（質量からの電磁波の放射について考える。

、電荷 ）電子が軌道に沿って運動しているとき、時空点のポテンシャルから求められる。
る電磁場は、次式のにおけここで、は真空の誘電率、であり、 はは真空の透磁率、 は光速の解として定まる。以下では、原点から十分離れた点を、定義式から求めたい。ただし、速度は光速よりも十分に小さいと仮定する。
条件

及びの下では、と近似してよいことを示せ。ここで、上式における電場、と磁場である。また、以下では、電子ののと に関する偏微分をである。の近似を用いて、電場と磁場の無限遠での漸近形を導け。ここで、である。

ベクトル間あたりに失うエネルギーがを用いて、電磁波の放射により電子が単位時となることを示せ。
上ので計算したように、加速度をもって運動する電子は電磁波を放射することによって力学的エネルギーを失っていく。この電磁波の放射の反作用は、電子の運動方程式に減衰力として取り入れることができる。電子が周期的な運動をしており、ある時刻 と においてをみたすとしよう。このとき、からまでに減衰力 が電子になす仕事と電磁波の放射エネルギー時刻を等しいとおくことにより、減衰力がと書けることを示せ。
で求めた減衰力を含めると、電子の運動方程式はとなる。電子が時刻の解は程式とおける。ににあり、で減衰振動するとき、運動方を仮定して、 を求めよ。

式の運動をする電子は電磁波を放射する。放射されるエネルギーの時間依存性の領域で図示せよ。の概形を

物理数学
温度分布関数点は、熱伝導方程式に従って時間発展する
時刻。

において温度分布がのとき、熱伝導方程式をを用いて解け。但し、デルタ関数の変換

変換及びガウス積分の公式を用いてよい。
初期条件がで与えられたとき、を以下の２通りの方法で求めよう。

熱伝導方程式は線形であることから、は周期 のとの解を用いてを書き下せ。の周期関数である。したがって、級数に展開できる。
を求めよ。

も同様に展開することにより、次の恒等式が成り立つことを示せ。

半径の円周上を運動する質量に従う。波動関数の粒子（下図参照）は、は角度変数 の一価関数とする

この粒子のエネルギー固有値をすべて求めよ方程式。
。

このような粒子の集団が温度 の熱平衡状態にあるとき、で求めたエネルから分配関数と自由エネルギーギー固有値が定義できる。このとき、この系の比熱は、で与えられる。低温極限での比熱の温度依存性と、高温極での比熱の漸近値を求めよ。
限量子力学 光と原子の相互作用

点単一モードの光（角周波数 ）と２準位原子（励起状態及び基底状態のエネルギーを作用を量子力学的に取り扱う。ただし、励起状態のエネルギーをとし、とする。

）との相互、基底状態

まず、単一モードの光について考察する。光のハミルトニアンはであらわされる。ここで および は光子の生成および消滅演算子で、交換関係を満たす。
光子数状態… がエネルギー固有状態であることを示
はで定義される基底状し、そのエネルギー固有値を求めよ。ただし、態（真空）をあらわす。
は次に原子との相互作用を考える。原子系のハミルトニアンは回転波近似のもとでは、され、また相互作用ハミルトニアンとあらわされる。ここで、、とする。
実定数で、相互作用のないとき、全系の固有状態は、の固有状態の直積およびこのときのエネルギー固有値をもとめよ。
相互作用のあるときであらわであり、 はの固有状態及びとなる。とを考える。

相互作用ハミルトニアン
はと他の状態間ではゼロである。遷移振幅
全系のエネルギー固有値を求めよ。そして、特に求め、エネルギー構造を図示せよ。の間にのみ遷移振幅をもち、を求めよ。のときの固有状態をここで求めた状態は、原子と光の相互作用をすでに取り入れた状態で、光子の衣を着た状はこのドレスド状態「ドレスド状態」と呼ばれている。時刻 での全系の波動関数態の線形結合であらわされる。の場合を考える。系の初期状態 は、とする。この場合のを求めよ。特に、（真空）の場合について励起状態の存在波動関数を求めよ。
確率