じん人 類と数 理
ほね

祝日「春分の日」の決め方

るい

つきず

おく さい

う ちゅう

宇宙は138億歳

え もの

い ちしきかんそく

太古の昔から、人類は実世界の物事を抽象的なしまうのです！

べん り「数」として表す便利さを知っていました。そして、る日 がここを 通」
日「春 分のたく数を巧みに表す「数字」
を発明し、数学という学問

運動方

程式で

りょう

はん い

［体の中の放射性炭素］

生 きて い る 間 は 大

冬至

夏至

くさび形数字が 書かれた古代
バビ ロニアの 粘 土 板（ 紀 元 前
1800年ころ）。直角三角形の辺の長さが整数 比になる組み合わせが60進法で書かれている。

運動方程式は、物体に働く力から、物体がその先のどの時点にどの位置にあるかを計算できる数式です。

りょう し

量子コンピュータ
じゅん

ぼうだい

すべてを順に調べると膨大な回数を必要とする問題も、量子の「重ね合わしん ほうえい

倍数がよく現れますが、これは古代バビロニアを見つけることができます。の数学がはじまりです。古代バビロニアでは従来のコンピュータ

くらい60をひとまとまりに位を上げる60進法という1計算表し方を使って、高度な数学を発展させまし2計算た。60進法による計算は、暦の制定などに3計算必要な精密な天文計算に使われ、その後も、

100計算

せいみつ

かん

わくせい

みちび

惑 星の運 動に関する数式を導いたケプラー

100
100
100
99100×く ふう

すべて計算して正解を見つける

せいしつ

倒れにくい形や角度を考えています。

分かってくると、その性質から実世界を理解し、り よう

く ふうすがたやまびこ利用する工夫が重ねられてゆきます。世界の姿をせいかくる科学と、正確さやうら づ真正さを裏付けてく
りょうりん

れる数 学は両 輪のはってん

ぎ じゅつ

科 学や技 術 が育っ人工知能（A I）
はってん

かか

AIの発展に数理は深く関わってだれいます。誰もが使いこなす時代に向け注目です。

イスラムの天体観測儀アストロラーベ（12世紀）。中世のイスラム地域では、実験や観察を重視した科学的な方法でさまざまな学問が発展し、西欧近代科学の源流となりました。

現代「遠くの山まで届いた」とうれしくなりませんか。
きょ り

私たちは、山との距離が大きいと声が戻ってくる時間がかかるという経験から、
ひ れい
せいしつ使っているのです。

現代では、膨大なデータから現実世界をシミュレーションできるコンピュータの登場によって、世界の理解や新しい発見、技術開発が飛躍的にく し進んでいます。これからも人類は、数理を駆使してしん ぶっ しつ数が多いものをみんなの意見とする」に じ かんせん

すべて等しくなります。
また、ピタゴラスツリーのどうかを数式ではんていように、部分と全体の形が判定できます。と決めることで、そう じ相 似となるような 構 造をくら「フラクタル」と呼びます。

簡単に比べられないそれぞれの意見を、比べやすい「 数 」におかマル

きげんしょう大小比較

ものを「数理モデル」といいます。数理モデルを洋服ののう

脳のひらめきの数式デザインに活かしたドレスがあります。
こ たいすうかんきょう

か

創造や共感が生まれる

わりあい

かんたん

じょうけん

かんけい

らわす研究が進められ

ひ かくてきかんたんを掛け合わせることは比較的簡単ですが、掛すう がく てき

へん かけい かています。

えかんすう

かんれん

り ろん

こうりつてきる、二次関数がえがりょう

数も ようパターンの模様

ぶんかいがドレスのデザ

飲んだ薬が時間とともに分解されてどれくらてきせつ

つづインに用いられています。

理論」で効率的に探しています。

あたい

けた値だけを見て、元の素数を割り出すには、り よう

かぎ2つの大きな素数の掛け算から、ひと組の鍵を理

元の素 数が分からない限り、一方の鍵で暗号 化したデータはもう一方の鍵でしか解 読
ふくごう か（復号化）できない、という性質があるため、インターネット社会の安全を守るために広く使われています。

安全なカーブのカタチ

マンホール のふたの形
あな

ぜったい

はかはば見てみましょう。

計算

低効
く

体内で分解されて減ってゆくがきちんと飲むと効き続ける。

朝出る・答 えを

昼

夜

時間

せいしつ

この好みや前に見たサイトな社 会

暮らしていふく ず けいても幅が同じ「定幅図形」の円が使われて

へん か

れい

昼の分を夜に飲んだ場合「オススメ」のしくみ穴に絶対落ちないように、どこを測っ安全なカーブには、曲がり具合の変化が一定の

数学 の世 界で 活躍 する日本 人解す

高

身近な経験 を例に数理作る暗号方式（公開鍵暗号）が生まれました。

［ 1日3 回 飲むくすりの場合］

まずは
３つのけい けん

算数
・
数学

デル化モ

じょうほうとうけいてきどの情報から、統計的にえら選ばれています。

います。いろいろな図形の性質を知ってい曲線が使われています。

ると、何かをしたり作ったりするときに、より学習資料「一家に 1 枚」世界とつながる 数理ほうほうよい方法が見つかるのです。

定幅図形

次の一手をどうするかどこを測っても同じ幅になる

伊藤 清（1915-2008）
は、数学の一分野である「確率解析学」
における功績により、社会の技術的発展と日常生活に対して優れた貢献をなした数学者に贈られる賞である「ガウス賞」の第 1回受賞者となりました［2006］。伊藤の成果は、現代の金融工学・経済学などの発展にも大きな影響を及ぼしています。
また、1936年に創設され、数学で最高権威の賞の一つとされる「フィールズ賞」も、これまでに3人の日本人（小平 邦彦［1954］、広中 平祐［1970］、森 重文［1990］）が受賞しています。

せんたく しそんとく

すう ち かム理ゲー

ぶんせき

おたがいの選択肢や損得を数値化して分析できるり ろん

ふくざつづくりに役立てられています。数理は、こうした複雑な正方形

円

たいしょう

対象も数学であつかうことができます。

ルーローの三角形

自分の選択

ポスターのはい けい も よう
背景模様 について
はい ご

この模様は、身近な世界の背後に広がる数やカタチの世界をしゅるい

36度

72度

く べつ

このタイルの辺には区別があり、右図のように辺の色と向きをくそろえて並べると、どれだけ広く並べても同じパターンの繰りイメージしたものです。ペンローズ・タイルという２種類のひし形をすき間なく並べてできた模様になっています。

へんぜったいペンローズ・タイル

おもしろ

せいしつ返しが絶対に起こらない、という面白い性質があります。

辺の色と向きを合わせて並べる論で分ひとりじめする

ゆう り「ゲーム理論」。有利な手の発見や、社会のルールなら数 理モデルが 描き出す模様をデザインしたドレス（エマ理永、木本圭子、合原一幸 作成）

せいぎょしたり制御したりできるようになるのです。

効かない

膨大な計算が必要です。この性質を利用して、

関

現実世界

係 を 表すよ そくります。変化のしかたを数学で表せると、予測

り かい

だ

描き出す美しい薬の量と飲む回数

現実世界のものごとを数や図形の関係で表すと、
せい しつ

私たちは、数理し ぜんという考え方を自然に使って生活しています。

さがあらわに関連して現れ投票数

その 数学的な性質を利用して、理解したり答えを出したりすることができます。

つながり方をあつかう「グラフに じが時間の経過とともにどのように変化するかを二次関数で表す数理モデルが得られています。このモデル

かん けいり ようげんしょう

ぞう かしています。こうしたことを考えて、ある生物の個体数

へん か

駅と路線を点と線で表し、そのてき どにはさまざまな条件が関係し、適度に増加や減少をい減るのか分かれば、薬が適切に効き続ける

げん じつ せ かい

じっさい

毎年同じ割合で増えれば、予測は簡単ですが、実際脳の仕組みも数式であへけん さくよ そく

ある環境における生物の個体数を予測したいとき、きょうかんそうぞう

シカク

数理

とくちょう

現象の特徴や性質を見つけ、それを数式で表した

みんなの思い積み木でできた ◯や ▢の世界。
シンプルな数やカタチをあやつって、そう ぞう
想像やひらめきを楽しむ子どもたち。
それは、数理へのパスポートです。
広い世界へとつながる数理へ、ようこそ！

ピタゴラスツリーの構造［ 数理モデルが作るデザイン］

置き換えているのです。

体内の薬の量な数を「素数」といいます。２つの大きな素数について詳しくはこちら！

一つだけ選び、かくしょく

ると、 各色の面積の和は二次 感染で社会に広まるか

副作用

1とその数でしか割り切れない7や13のよう「世界とつながる 数理 」

えらデル 化
モ

きせいしつ

この

「それぞれが最も好ましいものをかんたん

ほどのデ ザインを見てみウイルスが広まる条件

人 間

つ

乗り換えのルート検索

インターネットの安全と素数

ひつようます。この定理を考えて先ために１回の量と飲む回数をどうすべきか分かのぼうだい

面積と 4 つの黄色の正方形の面積の和も等しくなり

計算

提供：木村建次郎（神戸大学）

あ

みんなの意見、どうまとめてる？

数理 とは 数学を道具として使うこと距離と時間距離だけでなく、数理を使って感じているものは他にもきっとありますよ。

そ すう

か数理

比例

わ

せっ

黄色い正方形の面積の和と等しいので、赤の正方形の便利ですね。

数学の未解決問 題を解くことで、乳がんやコンクリート構造物などの革 新的な検 査技術が開発されました。
開発された検査技
術「マイクロ波マンモグラフィ」による乳がんの検査画像

めんせき

形の面積が 2つの青い正方形の面積の和に等しく多数決

べん り

計算

地図：国土地理院の長さの二乗の和に等しいという定理から、赤い正方なります。青の正方形の面積もそれぞれ接している

ほう ほう

距離
= 速度 × 時間

スーパーコンピュータ「富岳」
を使ったゲリラ豪雨の予測

かえ

直角三角形において、斜辺の長さの二乗が他の二辺×（とれた魚の数÷印の付いた魚の数）=4×（3÷1）

同じ方法が使えるのはさがく

こうぞう

います。三平方の定理（ピタゴラスの定理）という、湖全体の魚の数＝印を付けた魚の数

ぼうだい実験をはぶいて新物質を探せます。

しゃへんの斜辺 が合わさっている構 造の 繰り返しになって何を決めるかや人数が違ってもデル 化モ

しんぶっしつピタゴラスツリーは、正方形の一辺に直角三角形

ちがシミュレーションを使うと、膨大なじっけん

3

かい はつ

新物質の開発世界を切りひらなの 経ん

多数決は、山との距離

ひ やくてきしょう。

む い しき比例 の性質を無意識にげんじつ せ かいいてゆくことで数理とどてゆきました。

ぼうだい

世界とつながるやまびこがおそ返ってくるのが遅い時、どう感じる？

湖全体の魚とれた魚

生 命

ように発展し、近代のじん こう ち のう科学技術明らかにしようとす

かか

たいてい数理が関わっているのです。

みみ

来
未り かい

1

いっぺんべん り

とても便利に使えるのです。

験

数 学によって数や図 形 のさまざ まな性 質が三平方の定理を使ったデザイン（岡本健太郎 制作）

一 部から全体を知りたいとき、数理は験

中世〜
近代

せいしつすいそく

私たちがものを作るときや使うときの工夫には、なの 経

つから、湖全体の魚の数を推測できます。

図形の性質

そうぞう

たおん

現在

魚の数と、その中の目印の付いた魚の数

立体図形

計 算

私たちは、経験から立体図形 の性質を想像して、の時代まで使われていたようです。

よある作品は、「ピタゴラスツリー」と呼ばれる図形をせいさくめじるし

数理

足を開かせたり、座らせたりする人が多いのではないでしょうか？

数学の世界を表現している切り絵アーティストの一部の魚に目印を付けておけば、とれたすわ少ない計算で答えを見つける

せい しつ［ 図形の性質によるデザイン］

湖の魚の数え方デル 化
モ

いろいろなおき方安定させるのに、どんな工夫をしてる？

量子で重ね合わせて…
答え は12計算
33100

つづベースに制作されています。

球単純化

人形をおく

量子コンピュータ

××

気 中 と 同じ

年代の古さ

す

ひつよう

せいてい

2

計算すると、大幅に少ない回数で答え

あらわぎ ろん

なの 経ん

おおはば

時 間や角度を表す数字には、60や60のこよみみせ」によって全体をひとまとめにしてけんちくぶつ験

現代につながる60 進法の数学

はってん

地

おう ごん ひれるといわれ、様々な立場から議論が続いています。

死亡

宇 宙

ひつよう
げんだい

し ぜんかい死 ぬ と 減る 一方

秋分

ひ りつ

（1: 1.618 …）。自然界や建築物に黄金比が見いださいるものは、数理を使うとモノサシになるのです。

予測

表現 と 数理

もっといた年代を知ることができます。変化の仕方が分かっても分かります。

ひょう げん

人間が最も美しいと感じる比率といわれる黄 金 比へん かます。そのばらつきで予想の範囲予測や制御など多くの場面で使われています。

へ一定の割合で減ってゆくので、その量をはかると生きて減った量が生まれました。

春分

わりあい

ら芸術 か ！
見る

放射性炭素は、すべての生き物の中にあって、死ぬとえた計算を何度もして予測していせいぎょゅつ
げいじ

ほうしゃせいたん そか

気温や風など条件を少しずつ変こうして決まります。ものの動きを数学で表すことは、観測からこんなことまで分かってちゅうしょうてきじょうけん

式で予測できます。暦の「春分の日」が何日になるかも数理を使えば、重力の方程式と木や骨に付けた傷で獲物の数を記録していた

うんどうほうてい

こよみ

よ そく

年代測定のマストアイテム

よ そく

台風の進路予測

太陽をめぐる地球がいつどの位置にいるかは運動方程ほうていしきき ろく

しん ろミニクイズ

分け合う

制作・著作 文部科学省…
析 する と相手の選択

ひとりじめする

分け合う

くずれたケーキを分け合う

力づくでひとりじめ

自分 20点

相手 20点全部取られてしまった

自分 0点

相手 100点

ぬ自分 100点

相手 0点

仲良くはんぶんずつ

自分 50 点

相手 50点背景のタイルには、グレーに塗られた３つ組のタイルがたくさんあります。決まったルールで塗られていますが、１か所だけ間違って塗られているところがあります。
それはどこでしょう？

相 手 が ど ちら を 選 択しても、自分は「ひとりじめする」方が有利です。
しかし、二人とも同じよう に 考 える と、両 方 が「分 け 合う」より 結 果 的には損をしてしまいます。
表を読みとくと、話し合うことでより良い選択ができることが分かります。

企画・監修 国立研究開発法人理化学研究所数理創造プログラム（iTHEMS）
監 修 協 力 宮内智（さいたま市立美園南中学校）
制

作

理研 iTHEMS「一家に１枚 “数理”」制作チーム
永井智哉、金子委利子、熊倉大騎、入谷亮介（iTHEMS）
篠崎菜穂子（フリーアナウンサー／数学コミュニケーター）
島田卓也（プランナー／科学コミュニケーター）
佐久間弘子（広報室）
西山朋子（脳神経科学研究センター）
宍戸みどり（iTHEMS 推進室）

編集・デザイン ヤマノ印刷株式会社

2024年3月
第 1 版発行

ミニクイズの答え：「宇宙は138 億歳」の左上。詳しくは webで。

ら歴 史か ！
見る

古代

ねん だい そく てい

しゅくじつ

しれき