京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻
平成25 年度大学院入学試験問題
入試問題は以下の通りです．ただし，英語だけは原典の著作権保護のために，文章を点線にしてあります．文章については原典を参照してください．
また，当日，試験時間内に以下の修正・加筆を行いました．
・I-1 2ページ 問題文(3)（誤）「どうなるか答えよ」（正）「どうなるか答えよ．理由も述べよ．」
・III-2 4 ページ（誤）電気素量を e、（正）電子の電荷を e、・III-4 14 ページ 図 3 の中
○粒子 A
●粒子 B
（誤）

⇒

●粒子 A
○粒子 B
（正）

平成 24 年度専攻教育委員会

平成 25 年度大学院入学試験問題 I (3 時間)
注意(1) 問題 I-1,I-2,I-3 の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いても良い．
(2) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部 (線より上) に問題番

号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない．
(3) 解答用紙は 3 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(4) 問題冊子は表紙を含めて 7 ページまである．

1

I-1 (力学) (100 点)
質量 M ，半径 a の一様な球の運動について考えよう．以下の問いに答えよ．ただし，重力加速度を g とする．

(1) この球の中心を通る軸のまわりの慣性モーメント I を求めよ．
(2) この球を図 1 のように水平に対して角度 α を持つ真っ直ぐな固定された斜面の下に置き，球がすべらないように回転させながら，斜面に沿って紙面に平行に初速 v0 を与える．球が斜面をすべらずに上っていくときに，止まるまでにかかる時間 t と重心が上る高さ H を求めよ．

v0
g

H

α
図１

(3) 問 (2) と同じ初期条件のもとで，斜面に摩擦がないとすると，球が上る高さ
はすべらない場合と比べてどうなるか答えよ．

（次ページに続く）

2

この球を半径 R の円筒状のパイプの中に置く．図 2 はパイプの断面で，パイプの軸は紙面に垂直である．球はすべることなく回転し，紙面に垂直な方向には運動
しないものとする．ここで，パイプの中心と球の中心を結ぶ直線と鉛直下向き方向のなす角度を θ とする．

R
θ

g

図２

(4) 球をパイプの底に置き（θ=0），パイプの接線に沿って水平方向に初速 v0 を与える．球がパイプの頂上まで上るのに必要な v0 を求めよ．
(5) 球をパイプの底からわずかにパイプに沿って移動させ，離した後の運動についてラグランジアンを示し，運動方程式を解いて，球の行う運動について説明せよ．

3

I-2 (物理数学) (100 点)
以下の各問いに答えよ．

(1) 微分方程式
df+ f = etdtの一般解 f (t) を求めよ．

(2) 偏微分方程式
∂ 2f
∂f
+
=x
∂x∂y ∂yの一般解 f (x, y) を求めよ．

(3) −π ≤ x < π で定義された関数 f (x) のフーリエ級数展開は，∞∑

f (x) ∼

cn ei n x

n=−∞
∫ π

cn =

1
2π

dxf (x)e−i n x−πで与えられる．f (x) = cosh(α x)（−π ≤ x < π ，α は定数）のフーリエ級数
展開を考えることにより，
∞
∑
(−1)n
n=1

α2 + n2

=−

1
π
+
2
2α
2α sinh(πα)

を示せ．ただし，関数の滑らかな点において，関数の値が，そのフーリエ級数の収束値に一致することは仮定してよい．

(4) m > 0 のとき，３次元フーリエ変換∫ ∞∫ ∞∫ ∞√12
2
2
dx dy dz √e−m x +y +z −2πi(kx x+ky y+kz z)
x2 + y 2 + z 2−∞ −∞ −∞を求めよ．

（次ページに続く）

4

(5) 積分
∫ ∞
dx
0

sin x
x

を求めよ．例えば，以下の図１のような複素平面上の閉曲線 C での複素積分
∫
eiz
dz
z
C
を考え，適当な極限をとることにより答えを得ることもできる．

z

C

0
図１

(6) α > β > 0 の場合に，
∫ 2π
dθ
0

1
(α + β cos θ)2を求めよ．

(7) 次のような行列 A を考える．
(
A=

)
1 1
−2 4

N を自然数とするとき，行列 A の N 乗 AN を求めよ．

5

I-3 (量子力学) (100 点)
次のハミルトニアンで記述される質量 mA および mB の 2 粒子からなる量子系を考
える.

H=

p2A
p2
+ B + V (|r A − r B |)2mA 2mB(A)

ただし，pA および pB は各粒子の運動量演算子である．また，2 粒子の位置ベクトルをそれぞれ r A , r B と書き，ポテンシャル V は 2 粒子の相対距離 r = |r| (r ≡ r A −r B ) のみに依存している．以下では，r = (x, y, z) と座標をとる．また，i = 1, 2, 3 をx, y, z の代わりの添え字として使う場合もある．すなわち，r1 = x, r2 = y, r3 = z ．
同様に，相対の運動量演算子 p を p = (px , py , pz ) = (p1 , p2 , p3 ) とも書く．以下，
角運動量など他のベクトル量も同様の記法をとる．
ハミルトニアン H は次のように， 重心と相対部分に分けることができる．

~2 ∂ 2+ Hrel (r, p)(B)
2M ∂R2
ここに，M = mA + mB は全質量，R は重心の座標である．換算質量を µ で表す．
H=−(1) 換算質量 µ を mA および mB で表すとともに，相対部分のハミルトニアン
Hrel (r, p) を µ を用いて書き下せ．定常状態の全系の波動関数は Ψ(R, r) =Φ(R)ϕ(r) と変数分離型に表すことができる．重心の静止系を取り，全系のエネルギーが E であるときの波動関数 ϕ(r) が従うシュレーディンガー方程式を書け．ただし，いずれの場合も途中経過は書かなくてもよい．
以下の問いはすべて相対運動についてのものである．相対の軌道角運動量演算子を
L = r × p = (Lx , Ly , Lz ) と表す．その i-成分は，Li = ijk rj pk と書ける．ここに，
ijk はレビ・チビタの 3 階完全反対称テンソルである．すなわち，i, j, k が {1, 2, 3}の偶置換の場合 ijk = 1，奇置換の場合 ijk = −1，それ以外の場合 ijk = 0 である．また，アインシュタインの規約に従い同じ添え字については和をとる．今の場合，以下のように j ，k について 1 から 3 まで和をとっている．

ijk rj pk ≡

3 X
3
X

ijk rj pk

j=1 k=1(2) 以下の交換関係を計算せよ．ただし，i, j = 1, 2, 3 とし，(a)，(b) の解は
ijk を用いて表せ．
(a) [Li , rj ](b) [Li , pj ](c) [Lz , Lx + iLy ](3) 次の等式が成り立つことを示すとともに，その物理的意味を述べよ．
[Li , Hrel ] = 0（次ページに続く）

6

(4) 波動関数が ϕ(r) = R(r) · (x + iy)/r と書けているとする．この状態は Lz および L2 の固有状態である．Lz ϕ(r) および (Lx + iLy ) ϕ(r) を計算せよ．また，これらの結果をもとにして，Lz および L2 の固有値をそれぞれ m~，l(l + 1)~2と表すとき，m，l の値を求めよ．なお，このとき，l~ を角運動量の大きさと呼ぶ．
V (r) が次のクーロンポテンシャルの場合を考えよう．
κ
V (r) = − ,
r

(κ =

Ze2
)
4πε0

(C)

ここに，Z は自然数，e は素電荷 (e > 0)，ε0 は真空の誘電率である．

(5) ポテンシャルが式 (C) で与えられるとき，定常状態の動径波動関数を R(r) =u(r)/r と表す．ここで，長さの次元を持つ量 a を
a=

~2
κµ

と定義する．角運動量の大きさが l ~ の場合に，u が従う方程式を新しい変数
ξ = r/a を用いて表せ．またこのとき，エネルギー固有値 E と κ/a の比は lに依存するが，系によらない無次元量となることを示せ．ただし，相対運動量 p の 2 乗は角運動量 L を用いて，以下のように表すことができる．

p2 = −~2

L2
1 ∂2
r
+
r ∂r2
r2

(6) 水素原子の場合 a はボーア半径 (' 0.53 × 10−10 m) である．そこで一般に，任意の µ，κ に対して a を系の半径と呼ぶことにする．次の a)，b)，c) の 2
粒子系がクーロン力のみで結合しているとみなせる場合，その基底状態の半径が最も小さい系はどの系か，理由とともに答えよ．また，その大きさを有
効数字 1 桁で求めよ．ただし，ここでのミュー粒子，ケイ中間子は電荷 −eを持つとする．また，陽電子は電子と質量が同じで，正電荷 e を持つ粒子である．
a) 陽子 − ミュー粒子 b) 陽子 − ケイ中間子 c) 電子 − 陽電子
ただし，電子，陽子，ミュー粒子およびケイ中間子の質量の比は以下の通りであるとする．me : mP : mµ : mK = 1 : 2000 : 200 : 1000.

7平成 25 年度大学院入学試験問題 II (3 時間)
注意(1) 問題 II-1,II-2,II-3 の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いても良い．
(2) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部 (線より上) に問題番

号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない．
(3) 解答用紙は 3 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(4) 問題冊子は表紙を含めて 8 ページまである．

1

II-1 (電磁気) (100 点)
電気双極子と磁気双極子について考えよう．

(1) (x, y, z) ＝ (0, 0, d/2) に正の電荷 q(> 0)，(x, y, z) ＝ (0, 0, −d/2) に負の電荷 −q が置かれているとき，任意の点 r = (x, y, z) における静電ポテンシャル ϕ を求めよ．ただし， 真空の誘電率を ε0 とする．
(2) 問 (1) において qd = p を一定に保ちつつ d → 0 とすると電気双極子となる．このとき双極子モーメント p = (0, 0, p) を用いて，任意の点 r における静電ポテンシャル ϕを表せ． また，電気双極子によってできる電場は(

1p3r(p・r)
E=
− 3+
4πε0
r
r5

)

となることを示せ．

(3) 一様な静電場 E = (Ex , Ey , Ez ) = (0, 0, E0 ) の中に置かれた導体球の表面に誘起される電荷が作る電場は， 導体球の外では電気双極子が作る電場と等価になることを示せ．ただし，導体球の全電荷は 0 である．なお，このとき静電ポテンシャル ϕ はラプラス方程式の解として得られ，軸対称のとき， z = r cos θ とする球座標 (r, θ, φ) を用いると一般解は，∞(∑
Bl )ϕ(r, θ) =Al rl + l+1 Pl (cosθ)rl=0と与えられる．ここで Pl (cosθ) はルジャンドルの多項式であり，P0 (x) = 1
P1 (x) = x
1P2 (x) = (3x2 − 1)2となる． また， 導体球面上ではポテンシャル＝一定（＝ 0 とおいてよい），遠方では一様な静電場という境界条件が成り立つことに注意せよ．
（次ページに続く）

2

(4)閉電流が作る磁場は遠方では磁気双極子が作る磁場と等価になる． この証明を考えよう． ただし，ここでは簡単のために閉電流の流れる閉回路 C は平面上にあるとし，座標の原点 O は閉回路と同一平面内の閉回路の近傍にあるとする (図１参照）．
閉回路 C を一定の電流 I が流れているときに，点 r に作られるベクトルポテンシャ
ルはµ0 I ∫
ds
A(r) =
4π C |r − s|で与えられる． ここで µ0 は真空の透磁率，s は閉回路 C 上の点を表す位置ベクトルである．
s| の一次まで展開
まず，遠方では |r| ≫ |s| となることを用いて，被積分関数を ||r|したときのベクトルポテンシャルを書き下せ．
次に、公式

∫

1∫
(r・s)ds =(s × ds) × r
2 C
C

および

∫
C

(s × ds) = 2nSを用いて，遠方でのベクトルポテンシャルを求めよ．ここで， S は平面内に閉回路が囲む面積，n は平面に垂直な単位ベクトルである（図 1 参照）．
さらに，遠方での磁場 B を求め，m = µ0 SIn を用いて表せ．これは，問 (2) の電場と定数倍を除き同じ関数形になっており，磁気双極子の作る磁場と等価である．

I

r-s

n

r
ds

C

s
O

図１

(5) 原点 (x, y, z) = (0, 0, 0) に正の電荷 2q(> 0)，(x, y, z) = (0, 0, d) に負の電荷 −q ，(x, y, z) = (0, 0, −d) に負の電荷 −q が置かれているとき， 遠方では四重極子電場となる．遠方でこれと定数倍を除き同じ関数形をもつ四重極子磁場を作る電流分布の一例を図に描いて示せ．

3

II-2 (統計力学) (100 点)
荷電粒子系は常磁性 · 強磁性 · 反磁性など，磁場に対して様々な応答を示す．ここでは体積 V の箱の中で，z 軸の正方向を向いた一様な磁束密度 B = (0, 0, B) (B > 0)の静磁場中を運動する質量 m，電荷 q (q > 0)，スピン 1/2，粒子数 N の粒子系の統計力学を考えよう．以下，ボルツマン定数は kB = 1 とおき，温度 T はエネル
ギー単位で与える．粒子数 N ，および箱の体積 V は十分大きく，表面効果は無視できるものとする．またこの問題では簡単のため，粒子はボルツマン統計に従うものとし，粒子間の相互作用は無視する．必要があれば次の関係式を用いてよい．
Z ∞√2e−x /2a dx = 2πa (ガウス積分)−∞

log N ! ' N log N − N (スターリングの公式, N  1)
x2x3|x|  1 において log(1 + x) ' x , cosh x ' 1 +, sinh x ' x +26
まず磁場と粒子のスピンによる相互作用を考える．このとき，粒子のエネルギーはε(p, s) =

p2
− µsB
2m

(A)

と表せる．ここで µ は定数であり，s は粒子のスピンが磁場と平行，反平行の場
合に s = ±1 の値をとる．このとき分配関数は

1
Z=
N!

" Z
V

dp X
exp(−ε(p, s)/T )(2π~)3 s=±1#N(B)と与えられる．

(1) 式 (B) の積分 · 和を実行し，ヘルムホルツの自由エネルギー F を求めよ．
スターリングの公式を用いること．
(2) 内部エネルギー U を求めよ．
(3) 磁場が弱い場合，自由エネルギーは次式のように B で展開できる．
F (B) = F0 −1
χB 2 + O(B 4 )2(C)

ここで F0 は磁場がないときの自由エネルギーである．係数 χ を求めよ．

（次ページに続く）

4

z
B

y

x
図1
次に，磁場が軌道運動に与える影響を考えよう．このとき粒子は古典的には図 1 に示すように xy 方向には円運動を行い，z 方向には自由運動を行う．量子力学的に考えると，この粒子のエネルギーは1p2
ε(n, pz ) = ~ω n +
+ z
(D)
2
2m
と表せる．ここで n = 0, 1, ... と ω = qB/m は，それぞれ xy 方向の量子化された円運動の量子数と角振動数である．粒子のスピンと磁場の相互作用はここでは無視する．振動子の単位面積あたりの縮退度を σ とすると，分配関数は

1
Z=
N!

"

Z
2σV

dpz X
exp(−ε(n, pz )/T )2π~ n=0∞#N(E)と与えられる．

(4) ヘルムホルツの自由エネルギー F を求めよ．
(5) 磁場に比べて温度が十分に低い場合 (ξ ≡ ~ω/2T  1) と十分に高い場合(ξ  1) における内部エネルギー U を求めよ．またなぜその形となるか，その物理的意味を 50 ∼ 150 文字程度で簡潔に述べよ．
(6) 詳しい計算により，振動子の縮退度は σ = mω/2π~ = qB/2π~ となることが知られている．(磁場が弱い極限において自由粒子系と自由エネルギーが一致することからも同じ結果が得られる．)
問 (3) と同様に磁場が弱い場合に自由エネルギーを B で展開し，式 (C) における係数 χ を求めよ．ここで χ は負となるが，このような荷電粒子系の磁性を何と呼ぶか答えよ．

5

II-3 (量子力学) (100 点)
古典力学では，粒子のダイナミクスは系の局所的な性質で決まるが，量子力学のダイナミクスは干渉効果などに見られるように非局所的な側面を持つため，古典的には見られなかったさまざまな現象が起こる. その一例として以下のような 2 次
元の問題を考えよう.
まず，角振動数 ω で特徴づけられる 2 次元の調和振動子ポテンシャル

1
V (x, y) = mω 2 (x2 + y 2 )2(A)の中に置かれた 1 個の質量 m の量子力学的粒子を考える．この系のハミルトニア
ンは，

)
1 ( 2
px + p2y + V (x, y)
2m[x , px ] = [y , py ] = iℏ (それ以外の交換子はゼロ)
H1 =

(B)

で与えられる．

(1) 2 次元の極座標 x = r cos θ，y = r sin θ (r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π) を用いると，波動関数 ψ(r, θ) に対するシュレーディンガー方程式は，E をエネルギー固有値
として，
{ 2
}
∂
ℏ2
1 ∂
1 ∂2
1
−
+
+ 2 2 ψ(r, θ) + mω 2 r2 ψ(r, θ) = Eψ(r, θ) (C)22m ∂rr ∂r r ∂θ
2で与えられる．また，この系は xy-面内の回転対称性を持つので対応する角∂
運動量 L = xpy − ypx = ℏi ∂θ
が保存しており，L の固有状態波動関数 eilθ を用いて ψ(r, θ) = φ(r)eilθ と変数分離できる．
（ただし，波動関数の一価性から
l は整数である．
）このとき動径波動関数 φ(r) の従う方程式を書け．

(2) このハミルトニアン H1 は変数 (x, px ) に依存する部分と (y, py ) に依存する部
分とが分離しているので，上の微分方程式を用いなくても容易に解くことができる．生成消滅演算子を，qx ≡ x, qy ≡ y および対応する運動量を用いて，
√
√
(
)
(
)
mω
i pj
mω
i pj
†
aj =
qj +
, aj =
qj −(j = x, y)
(D)
2ℏ
mω
2ℏ
mω
と定義することで H1 を aj , a†j を用いて表せ．また，上式を qj , pj について解くことにより，角運動量 L = xpy − ypx を上の aj , a†j で表せ．(以下，必要な変数があれば適宜定義して使用してよい．また，生成消滅演算子の従う交換関係は [aj , a†k ] = δjk ，[aj , ak ] = 0，[a†j , a†k ] = 0 である．)（次ページに続く）

6

(3) 一般に，生成消滅演算子 a†j , aj （j = x, y ）から作られる個数演算子 a†j aj の固有値はゼロ以上の整数 0, 1, 2, . . . であるので，その固有状態は自動的にエネルギーの固有状態になっているが，角運動量 L の固有状態にはなっていな
い．L も同時に固有状態になっているような表示をもとめるために，以下の
変数変換
( ) (
)( )
√1
√i
ax
b1
2
2
=
(E)
i
1
√
√
ay
b2
2
2
を行うと，bj , b†j (j = 1, 2) も正しい生成消滅演算子の交換関係を満たすことがわかる．新しい生成消滅演算子から作られた個数演算子 b†j bj （j = 1, 2）の固有値 n1 ，n2 を用いて H1 ，L の固有値を表す式を導け．また，その結果を用いてハミルトニアン H1 の固有値のうち低い方から 4 つについて，その値と取り得る L の値を求めよ．

次に，同種の 2 個の量子力学的粒子 A, B が，式 (A) の調和振動子ポテンシャル中で運動する状況を考えよう．2 個の粒子の座標を r A = (xA , yA )，r B = (xB , yB ) とした時，標準的な手順に従って重心座標 R = (X, Y ) = (r A + r B )/2，相対座標r = (x, y) = r B − r A を導入すると，2 粒子のハミルトニアン H2 は，各々が 2 次
元調和振動子中の 1 粒子の問題と等価な重心運動部分 Hcom と相対運動部分 Hrel との和 H2 = Hcom + Hrel に分離する．ただし，)
1 ( 2PX + PY2 + mω 2 (X 2 + Y 2 )
4m
) 1
1 ( 2
m
Hrel =
px + p2y + µ ω 2 (x2 + y 2 ) (µ ≡ )2µ22
Hcom =(F)(4) 粒子の統計性は 2 粒子を交換 (r A ↔ r B ) した時の位相で決まるが，粒子の交換は相対座標で表現すると r 7→ −r であるので，この時に波動関数につく
位相によってボゾンに許される波動関数か，フェルミオンに許される波動関数かがわかる．一方，重心部分は粒子の交換で不変なので，統計性の効果を考える際には忘れてしまって良い．相対運動部分 Hrel に上の問 (1)–(3) の結果を用いることにより，ボゾン 2 個の系に許されるエネルギー準位，フェルミオン 2 個の系に許されるエネルギー準位について，それぞれ下から 2 個のエネルギーの値と縮退度を求めよ．ただし，それぞれ Hrel に対応するエネル
ギーについてのみ求めればよい．
（r 7→ −r は極座標では θ 7→ θ + π となることに注意せよ．
）（次ページに続く）

7

最後に，この 2 粒子 A,B それぞれが，仮想的に無限に細い磁束 (大きさ Θ
Φ , Φ0 =π 02πℏ/e は電荷 e の粒子に対する磁束量子）を伴って運動しているような状況を考えよう．再び相対運動に移って考えると，この状況は, 式 (F) の Hrel に以下のベクト
ルポテンシャル
( )
(
)
Θ Φ0
−y
x
A(x, y) = (Ax , Ay ) =,(G)π 2π x2 + y 2 x2 + y 2
で与えられるソレノイド磁場を加えることで実現できる．この A の作る磁場はr ̸= 0 ではゼロなので，ローレンツ力は働かず，古典的に考える限り粒子の運動に何の影響ももたらさないはずである．

(5) 式 (G) のベクトルポテンシャルに対し，相対運動のハミルトニアン Hrel の運動エネルギー部分}
1 {(px − eAx )2 + (py − eAy )22µの極座標表示 (x = r cos θ, y = r sin θ) を求め，
{
(
)2 }
ℏ2
∂
∂2
1 ∂
1
Θ
−
+
+
−i
2µ ∂r2 r ∂r r2 ∂θ
π

(H)

(I)

となることを示せ（任意の関数 f (r) に対し，p·Af (r) = f (r)(p·A)+A·(pf (r))
となることに注意せよ）．これと問 (1), (4) の結果を用いて，ボゾン 2 粒子の系に許されるエネルギー準位が (i) Θ = 0 の時と，(ii) Θ = π の時とでどう変わるか，問 (4) で求めた磁束のない時のフェルミオンのエネルギー準位との関係に注意しながら論ぜよ．ただし，問 (4) 同様，相対運動のエネルギーについてのみ考察すれば良い．また必要ならば，問 (1)–(3) の H1 の固有値は一般に，角運動量 L の量子数 l と適当に定義された整数 n (n ≥ 0) を用いて，

E = (2n + |l| + 1)ℏωと書けることや極座標について式 (C) が成り立つことを用いてもよい.

8(J)（このページは白紙である）

9

平成 25 年度大学院入学試験問題 III (3 時間)
注意(1) 問題は III-1 から III-6 まで 6 問ある．この中から 3 問選択せよ．4 問以上選択した場合は全ての解答が無効になることがある．
(2) 選択した問題の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いても良い．
(3) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部 (線より上) に問題番

号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない．
(4) 解答用紙は 3 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(5) 問題冊子は表紙を含めて 19 ページまである．

III-1

力学 (潮汐力による振動）

III-2

電磁気学 (光の散乱）

III-3

統計力学 (変分法による平均場近似）

III-4

実験 (中性子散乱）

III-5

実験 (電子回路）

III-6

天文学

1

III-1 (力学：潮汐力による振動) (100 点)
2 つの質量 m の質点 1, 2 が，重さのない長さ 2l の棒で連結され，図のように平面内を運動している．原点には質量 M の地球があって静止し，その重力（重力定数を G とする）がこの質点系にはたらいている．

図１(1) 図のように座標をとると，棒の中心の xy 座標は (R cos θ, R sin θ) で，質点 1 は棒の中心から (l cos(θ + ϕ), l sin(θ + ϕ))，質点 2 は棒の中心から(−l cos(θ + ϕ), −l sin(θ + ϕ)) の位置にある．
この質点系の運動エネルギーを座標（R, θ, ϕ）とその時間微分で表せ．
(2) 質点 1 と質点 2 の原点からの距離 r1 , r2 を R, l, ϕ で表せ．次いで，(1) の結果も用いて，質点系のラグランジアンを求めよ．
(3) まず，l = 0 の極限を考える．R に関するオイラー・ラグランジュ方程式を作れ．この質点系が地球を中心に一定の半径 R = R0 の円軌道を描いている
場合，その角速度 θ̇ は一定値 ω0 となる．ω0 を求めよ．
(4) 次に，l ≪ R として，R = R0（一定），θ̇ = ω0（一定）と近似できる場合を考える．角度 ϕ に関するオイラー・ラグランジュ方程式を作れ．そして，これを l ≪ R0 の条件のもとで |x| ≪ 1 に対する (1 + x)−α ≃ 1 − αx の近似式を使って展開せよ．
この時，ϕ が小さいならば ϕ = 0 のまわりで単振動することを示し，その角振動数を求めよ．これは，人工衛星の姿勢の潮汐力安定化とよばれる方法につながるものである．

2

（このページは白紙である）

3

III-2 (電磁気学：光の散乱) (100 点)(1) 角振動数 ! の電磁波（光）が，バネ定数 m!02（!0 は角振動数，m は電子の質量である）の弾性力で原子に束縛されている電子により散乱される場合を考える．電磁波は直線偏光しているものとし，その偏光方向を 0 として，
電場ベクトルは，E

E = E 0 sin !t(A)で表されるとする．ここで，電気素量を e，放射により失うエネルギーと関係する減衰力の係数を m(> 0) とする．古典的な電子の運動方程式，md2

x + m dx + m!2x = eE sin !t

dt2

(B)

0

0

dt

を考え，時刻 t = 0 で電磁波が入射してから，十分時間が経った定常状態にお（電子の振動を = 0 sin(!t +ける，振動双極子のモーメント (t) を求めよ．
Æ ) とした時，その振幅 0 は，電磁波の波長  = 2 =!（ は光速）より十分小さいとする．
）

p

x

x x

(2) モーメント p(t) の振動双極子からの放射を考える．散乱電磁波の進行方向

n

p

r

の単位ベクトルを として，モーメント から位置 における，散乱電磁波のポインティングベクトル は，真空の誘電率を "0 として，

S

4

S = (4)2!" 3r2 jp  nj2n0n = rr(C)と表せる．問 (1) と同様に，直線偏光している角振動数 ! の電磁波（光）が，バネ定数 m!02 の弾性力で原子に束縛されている電子により散乱される場合，
位置 における微分散乱断面積

r

d
d


= 

S r2
Si

(D)

E E

を図 1 にもとづいて，入射電磁波の電場ベクトル = 0 sin !t と，散乱電 と S i は
磁波の進行方向 のなす角  の関数として表せ．ただしここで，Sそれぞれ散乱電磁波，入射電磁波のポインティングベクトルの大きさの時間平均を表し，n = "0 jE 0j2
2

Si

(E)

である．
（次ページに続く）

4

dσ
z
r
θ

y

E
Pr

x

図１

(3)   !0; ! の場合に，横軸に入射電磁波の角振動数 !，縦軸に問 (2) で得られた微分散乱断面積 d=d を取って，! !0 を中心とする領域でグラフを描け．また，微分散乱断面積 d=d の入射電磁波の角振動数 ! 依存性について，!
!0 の領域と，!
!0 の領域に分けて説明し，それぞれの領域で起こる実際の電磁波散乱の具体的な名称を記せ（例：コンプトン散乱）．さらにいずれか一方の領域で，上に述べた散乱現象を原因として観測される自然現象の例を挙げ，その現象を物理的に概説せよ．

(4) ここで太陽光線が大気中を通過する時，大気中の分子 1 つ 1 つにより散乱されて透過光が弱められるものとし，気体分子はそれぞれ 1 個の電子を角振動
数 !0 で弾性的に束縛しているとする．この時，1 個の分子により角振動数! の光が，散乱される全断面積は次式で与えられるとする．

8 a2
 (! ) =
3 0



2

!2
!02

!2

(F)

ただし，
a0

2

= 4"e m 20とする．一方，地上から高さ h の所では，単位体積当たり N (h) 個の気体分子が存在し，次式を満たすように，地上から上昇するにつれて分子数が減少するものとする．

( ) = N (0) exp( h=)

N h

(G)

ただし， は長さの次元を持つ定数である．このとき，地上から高さ h の場
所で角振動数 ! ，強さ I の光は，dh だけ降下した時の強度が dI だけ減少するとして，dh と dI が満たす微分方程式を記せ．
（次ページに続く）

5

(5) 地表での光の強度 I (0) を，太陽からの入射光強度 I (1) と ，N (0)，(!)の関数として求めよ．

(6) 大気中の気体分子は，バネ定数 m!02 の弾性力で電子を束縛しているものとす
る．また，この角振動数 !0 が波長 0 = 100 nm の紫外線の角振動数に等しい(0 = 2 =!0) とする．このとき，波長 B = 400 nm（青）と，R = 700 nm（赤）の光が地表に到達する割合，IB (0)=IB (1) と IR (0)=IR (1) を図２から読み取って，それぞれ 2 桁程度の値で答えよ．ただし，8a20 =3 = 6:6  10 29 m2 ，N (0) = 2:7  1025 m 3 ， = 1:4  104 m とする．
1
0.98
0.96

exp(-x)

0.94
0.92
0.9
0.88
0.86
0.84
0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

X
図２

（注）現実の自然に起こる電磁波の散乱現象は，多数の原子・分子の集団としての様々な揺らぎを起源として起こっていることが，これまでアインシュ
タインやスモルコフスキーらによって議論されている．

6

（このページは白紙である）

7

III-3 (統計力学：変分法による平均場近似) (100 点)
古典統計力学においては，系のハミルトニアン H が与えられると，ボルツマン重率 exp(−βH) (β ≡ kB1T ，kB はボルツマン定数) を用いて全ての可能な状態に関する和を取ることで原理的には物理量の期待値の計算ができるが，興味ある多自由度系の場合，この計算を厳密に実行できる場合は非常に限られている．このため，何らかの近似を行うことが多い．その一例として以下のようなハミルトニアンで記述される磁性体の問題を考えよう．

H=−

1
2

∑

Jr,r′ S(r)·S(r ′ ) −r,r ′ (r̸=r ′ )∑H r ·S(r)(A)

r

ここで，スピン S(r) は長さ 1 の古典的なベクトルとして扱い，r, r ′ はスピンの存在する格子点を表す．Jr,r′ はスピンの間の交換相互作用の強さを表す正の結合定数で，Jr,r′ = Jr′ ,r を満たし，H r は外部磁場である．また，因子 1/2 は，全格子
点 r, r ′ についての和を取ると同じスピン対を二度数えてしまうことを補正するためについている．

(1) まず，この問題で用いられる便利な不等式を証明しよう．実変数 y に対して成り立つ初等的な不等式 e−y ≥ 1 − y を用いて，確率変数 X に対する任意の⟨⟩確率分布 ρ(X) を用いた期待値 e−f (X) ρ について⟨ −f (X) ⟩e≥ e−⟨f (X)⟩ρρ(f は X の実関数)(B)が成り立つことを示せ．ただし，確率分布 ρ(X) は ρ(X) ≥ 0 をみたし，これを用いた物理量 O の期待値は∫∫⟨O⟩ρ ≡ dXρ(X)O(X) ,dXρ(X) = 1(C)と定義される．また必要であれば，式 (B) を計算する際，左辺を⟩⟨e−⟨f (X)⟩ρ e−{f (X)−⟨f (X)⟩ρ } ρ(D)と書き換え，期待値の評価に e−F ≥ 1 − F を用いよ．

（次ページに続く）

8

系が温度 T で熱平衡にあるとき，その分配関数 Z(T ) はボルツマン重率 exp(−βH)
を可能な微視的状態全てにわたって加算することで求められる．
∫
Z(T ) = dX exp(−βH(X))(E)
今の場合，微視的状態は各格子点でスピンの向きを指定すれば決まるので，微視的状態和を計算するには，全格子点 r についてスピンの向きに関する以下の積分を実行すれば良い．
∫
∫ ∏
∫ 2π
∫ π
dS(r) ∏ 1dX ≡dϕr
dθr sin θr
(F)
≡
4π
4π 0
0
r
r

(2) ボルツマン重率 exp(−βH) を ρ e−βH−ln ρ と書き換えたうえで問 (1) の不等式
(B) を用いることにより，任意の確率密度関数 ρ に対して不等式()
Z(T ) ≥ exp −β ⟨H⟩ρ − ⟨ln ρ⟩ρ(G)が成り立つこと，またそこから自由エネルギー F に対する不等式

F ≤ Fρ ≡ ⟨H⟩ρ + kB T ⟨ln ρ⟩ρ(H)が導かれることを示せ．ただし，⟨O⟩ρ は式 (C) で定義されるものとする．
ここで得られた自由エネルギーに対する不等式 (H) は，真の自由エネルギー F がFρ の下限として与えられることを示しているので，これを統計力学における変分計算に用いることができる．試みに，試行確率分布 ρ として最も簡単な，全系の確率分布が各格子点 r での確率分布 ρr の積の形で与えられるものを考えよう．
∏
ρ=
ρr
(I)
r

ただし，各点での確率分布 ρr はその点にあるスピン S(r) の関数であり，各格子
点 r 上で以下の規格化条件を満たす．
∫
1
dS(r) ρr (S(r)) = 1(J)4π(3) この確率分布 (I) に対し，各点での分布を ρr 7→ ρr + δρr のように微小変化さ∑せると，式 (C) で定義される，S(r), ln ρ = r ln ρr の期待値 ⟨S(r)⟩ρ , ⟨ln ρ⟩ρも変化する．その変分δ⟨S(r)⟩ρ , δ⟨ln ρ⟩ρ(K)∫
を式 (F) の積分 dS(r)/(4π) と S(r), ρr , δρr などを用いて表せ．ただし，
δρr は点 r ごとに異なっていてよく，式 (J) の規格化条件は後で未定乗数法
を使って取り入れるので，ここでは考慮しなくてよい．
（次ページに続く）

9

上で得られた結果を用いて，式 (H) の右辺で与えられる Fρ の変分を計算しよう．
ρ が各点の ρr の積の形をしているので，⟨S(r)·S(r ′ )⟩ρ = ⟨S(r)⟩ρr · ⟨S(r ′ )⟩ρr′ などとなり，問 (3) の結果を用いることができる．また，規格化条件の式 (J) は未定乗数法を用いて考慮することにする．

(4) 式 (I) の形をした分布の中で Fρ を最小にする，変分法的に最適な解は ρr が各点 r で，− h(r)·S(r) + kB T (1 + ln ρr ) = αr∑
ただし，h(r) ≡ H r +Jr,r′ ⟨S(r ′ )⟩ρr′

(L)
(M)

r ′ (̸=r)をみたす時に得られることを示せ．ここに αr は式 (J) の規格化条件に対応
する未定乗数である．また，式 (L) を解くことにより，規格化された最適な
ρr を h(r) や S(r) などを用いて表し，h(r) がどのような役割を果たしているかに注意しながら，得られた ρr の物理的意味を議論せよ．
以上の結果を具体例に応用してみよう．簡単のため，以下の問題では格子として3 次元の単純立方格子を考え，外部磁場がなく (H r = 0)，Jr,r′ は隣接する格子点の間でのみ J(> 0)，他はゼロとしよう．この時，十分低温では r によらない一様な自発磁化 ⟨S(r)⟩ρ が発生する強磁性状態になると期待される．

(5) 式 (M) から，強磁性状態では h(r) は場所 r によらない値 h を取ると考えられる．以下，簡単のため h は z 軸の方向を向いており，h = (0, 0, h) であるとしよう．問 (4) で得られた確率分布に対し，式 (F) の角度積分を実行する
ことによりスピンの期待値∫ ∏∫dS(r ′ )dS(r)⟨S(r)⟩ρ =ρ S(r) =ρr (S(r))S(r)
(N)
4π
4π
′
r
を ξ = h/(kB T ) を用いて表せ．

(6) 式 (M) と問 (5) で得られた ⟨S(r)⟩ρ を連立して ξ について解くことにより hが求まり，そこから磁化 ⟨S(r)⟩ρ が決まる．式 (M) を満たすゼロでない h，すなわち自発磁化が存在する温度の上限 Tc を求めよ．
（式 (M) を ξ の方程式としてみたときに，その解が温度 T とともにどのように変化するかを考察して
みよ．
）

10

（このページは白紙である）

11

III-4 (実験：中性子散乱) (100 点)
図１に示すような z 軸方向に進む波数ベクトル k1 質量 m の平面波で表される中性子線をナノサイズの粒子 (質量 M ，ポテンシャル V (r)) に照射し，その散乱波から粒子のサイズを探る実験を考える．
ϕ

M

m
k1

V (r)

k2
θ
k1

b2
b1

q

z

図１

r2
r1

bN r N

bj
rj

rk

bk

図２

散乱波の波数ベクトルを図１に示す k2 とし，弾性散乱のみを考慮する (|k1 | = |k2 |)とき，粒子のポテンシャルの有効範囲から十分離れた観測地点での散乱振幅は
m
f (q) =(A)
V (r  ) exp (iq · r  ) dr 2π2と与えられるとする．ここで，q = k2 − k1 である．

(1) 中性子は原子核によって散乱されるが，原子核の大きさは散乱実験に用いる
中性子の波長に比べて著しく小さい．したがって，原子核の散乱能と位置ベクトルをそれぞれ bj と r j とすると，この原子核の中性子線に対するポテン
シャル Vj (r) は
Vj (r) = bj δ 3 (r − r j )(B)と書ける．ここで，δ 3 (r) = δ(x)δ(y)δ(z) であり，δ(x) はディラックのデルタ関数である．粒子は原子核の集合体であることを考慮して，図２で示す N個の原子核からなる粒子の散乱振幅 fm (q) はm 
fm (q) =bj exp (iq · r j )2π2 j=1
N(C)と表わされる事を示せ．ただし，原子核間の相互作用は考慮しなくてよい．

(次ページに続く)

12

実験で測定される散乱強度 I(q) は，散乱振幅の２乗に比例するので
N
2

2


 2π2
fm (q) = c I(q) = c 
bj exp (iq · r j )


m
j=1

= c

N
N 


bj bk exp (iq · r jk )(ただし，
rjk = rj − r k )(D)

j=1 k=1と表せる (c は実験条件に応じた比例定数)．

(2) 測定する粒子が溶液中に存在するなどして空間に固定されていない場合，散乱は様々な方向を向いた多数の粒子からの重ね合わせとなり，このときの散乱強度は，図 1 における ϕ に対して等方的となる．つまり，それぞれの粒子において式 (D) における r jk は大きさを変えずに様々な方向を向いており，1¯ (ただし q = |q|) は I(q) を q と r jk のなす極粒子あたりの平均散乱強度 I(q)角 χ，方位角 ω に対して以下の平均をとることで求めることができる．
 N N

 π
 2π

1
¯
dω
dχ sin χ c
bj bk exp (iqrjk cos χ)
I(q)
=
4π 0
0
j=1 k=1
ここで，rjk = |rj − r k | である．上式を計算し

¯ =c
I(q)

N 
N

j=1 k=1

bj bk

sin qrjkqrjk(E)と表されることを示せ．ただし，溶液中の粒子濃度は十分薄いとして粒子間干渉効果は無視できるとする．

¯ から粒子のサイズを見積もることを考える．
次に，散乱強度 I(q)¯ は，粒子のサイズを見積も(3) q が十分に小さい領域 (qrjk  1) の散乱強度 I(q)る指標である慣性半径 Rg (式 (G) 参照) を用いて


Rg2 2
2
¯
(F)
I(q)  cbt exp − q3と表せることを示せ．ここで，bt は全原子核の散乱能の和で bt =N
j=1

bj , である．粒子サイズの指標となる慣性半径 Rg は粒子中の散乱能分布の 2 次モー
メントであり，以下の式で与えられる．

N
1  2
(G)
Rg =
bj r
bt j=1 j(次ページに続く)13ここで位置ベクトルの原点は，原子核散乱能分布の重心としN

bj r j = 0

j=1が成立するとしてよい．また，|x|  1 の時の以下の近似式を用いてよい．

sin x  x − x3 /3!,

1 + x  exp x(4) 図３は，粒子 A と粒子 B からの散乱を横軸を q 2，縦軸を規格化散乱強度 I¯N (q)¯¯(I¯N (q) = I(q)/I(0))の自然対数 (log I¯N (q)) をとって表示している．この図より式 (F) を利用して，それぞれの粒子の慣性半径をナノメートルを単位として２桁で求めよ．
(5) 測定条件 (中性子ビーム強度，測定時間，試料中の粒子の数密度) が等しい場
合，粒子 A と粒子 B の原点散乱強度 I¯A (0) と I¯B (0) の比はI¯A (0) : I¯B (0) = 4.0 : 25であった．粒子の全散乱能 bt と質量 M および粒子の体積 V と慣性半径 Rgの間には，それぞれ近似的に以下の関係式

bt ∝ M,V ∝ Rg3が成立する．このとき，粒子 A と粒子 B の密度比を答えよ．

0.0

⢏Ꮚ$
⢏Ꮚ%

-0.2

log IN(q)

-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2.0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0
2

2.5

3.0

-3

-2

3.5

q [ 10 nm ]
図３

14

4.0

4.5

5.0

（このページは白紙である）

15

III-5 (実験：電子回路) (100 点)
物理実験や観測実験には様々な電子機器が用いられている．その中には定電圧回路，電流電圧変換回路，周波数-電圧変換回路，周波数フィルタ，センサー回路など様々な回路が組み込まれている．このような回路を構成する重要な素子がオペアンプ（演算増幅器）である．オペアンプは図１のような回路記号で表記される．端子は入力が２個（「＋側」を非反転入力端子，「− 側」を反転入力端子と呼ぶ）と出力が 1 個ある．ここでは電源端子は省略されている．オペアンプの特徴とそれを用いた回路に関する下記の問いに答えよ．

(1) 図２のような回路（反転増幅回路）によりオペアンプの特徴を考える．オペアンプの入出力間の電圧には差動利得を A とすると次のような関係がある．
VOPout = A(V+ − V− )ここで，VOPout はオペアンプの出力電圧であり，V+ , V− はそれぞれ，非反転入力端子と反転入力端子の電圧である．オペアンプを理想オペアンプとし，入力インピーダ
ンスは十分に大きく入力電流は無視でき，出力インピーダンスは十分小さいとする．
抵抗 R1 の左から右へ流れる電流を I1 とし，R2 の右から左へ流れる電流を I2 とする．
反転増幅回路の出力 Vout と入力 Vin の関係を A, R1 , R2 のみを用いて表せ．

(2) 問 (1) の回路では常に出力を安定に保つような動作をしている．出力電圧が僅かに上がると，オペアンプの反転入力端子の電圧が上がるため，オペアンプの出力は下がり，打ち消される．逆に，僅かに下がると，上げる方向に動作する．これは出力が反転入
力端子に抵抗を介して接続されていることによる動作で「負帰還（ネガティブフィードバック）」と呼ばれている．オペアンプで負帰還がかかって正常動作をしている場
合は，常に反転入力が非反転入力に一致するように出力電圧が決まる．この状態は反転入力端子と非反転入力端子が電流が流れないもののあたかもつながっているようであるので，これを「仮想短絡（バーチャルショート）」と呼ぶ．オペアンプの差動利
得 A が大きい場合の反転増幅回路の利得 Vout /Vin は A に関係なく抵抗の比で決まる
こと，またオペアンプの二つの入力電圧差は ０ となることを示せ．

(次ページに続く)

16

(3) ２個の抵抗 R1 , R2 を用いて，非反転増幅回路を示し，その出力 Vout と入力 Vin の関係を求めよ．また，反転増幅回路と同様に，差動利得 A が大きい場合の回路利得 Vout /Vin
は A に関係ないことを示せ．
(4) 次に微分回路を考える．まず，オペアンプ素子を用いないで，抵抗 R とコンデンサー
C だけを用いた微分回路を示すとともに，入力電圧 Vin と出力電圧 Vout の関係式を示せ．
(5) オペアンプ素子を用いた場合の微分回路を組む．回路図をオペアンプ素子と抵抗 Rとコンデンサー C を用いて示すとともに，入力電圧 Vin と出力電圧 Vout の関係式を示せ．
(6) 問 (4)，(5) の回路の時定数を求めよ．ただし，R = 2kΩ, C = 500pF とする．これらの回路に図３のような鋸波形の電圧が入力した場合，それぞれの出力電圧波形の概形を示せ．電圧値と時間の数値も示すこと．

(7) 回路製作の準備にあたって，次の問いに答えよ．
(a) 抵抗は一般にカラーコードによりその性能を表している．図４の抵抗はどのよ
うな仕様か答えよ．ただし，色と数字の組み合わせは，黒＝ 0, 茶＝ 1, 赤＝ 2,
橙＝ 3, 黄＝ 4, 緑＝ 5, 青＝ 6, 紫＝ 7, 灰＝ 8, 白＝ 9 である．
(b) オペアンプ素子と抵抗等などを用いて基板上に上述の回路を製作・試験する場
合に必要な工具や機器を５つあげよ．

17III-6 (天文学) (100 点)
大質量の星が形成されると，その大質量星は紫外線を放射し，周囲のガスを光電
離する．電離水素領域（HII 領域）の誕生である．電離水素領域は，X 線から電波まで，さまざまな波長で観測されている．
まず，水素ガスだけで満たされた星間空間を考えよう．
−1(1) ある O 型星が単位周波数あたり光度 Lν [W] を放射しているものとす
∫ Hz
∞
Lν
る．この放射のうち電離光子の数は S∗ =dν となる．この積分の端ν0 hνの周波数 ν0 を有効数字 3 桁で答えよ．必要ならば，以下の数字を使って良い．光速 c = 3.00 × 108 m s−1 ，プランク定数 h = 6.63 × 10−34 J s，素電荷e = 1.60 × 10−19 C ．

(2) この O 型星が 1 秒間に S∗ = 1×1049 個の電離光子を放射している場合を考える．水素の電離断面積は電離光子の周波数によらず一定で σ = 6 × 10−22 m2とする．星から距離 r = 1 × 1018 m (≃ 30pc) の場所で，水素の電離はどの程度のタイムスケールで起こるか，有効数字 1 桁で答えよ．なお，半径 r より内側で光子が電離に使われて減少することは無視して良いものとする．
(3) 単位時間あたり S∗ [s−1 ] の電離光子を放射している星から距離 r[m] の場所
で，中性水素原子，陽子，電子の数密度をそれぞれ，nH0 [m−3 ]，np [m−3 ]，ne [m−3 ] とし，電離断面積を σ[m2 ]，単位体積・単位時間あたりの再結合係数
を C[m3 s−1 ] としたときに，電離平衡の式を書け．
星からの距離 r = 1 × 1018 m の場所の水素の密度 nH (= nH0 + np = nH0 + ne )が nH = 1 × 107 m−3 で，星からの光子による電離と再結合の間で平衡が成り立っているとする．再結合係数を C = 3 × 10−19 m3 s−1 として，中性水素の割合 x ≡ nH0 /nH がどれほどになるか，有効数字 1 桁で答えよ．

(4) 水素原子の状態間のアインシュタイン A 係数 Ann′ （自発放射での，状態 nから n′ への遷移率）は，ほとんどが 108 から 104 s−1 程度であり，状態 n からn′ への輝線が放射される．これは再結合線と呼ばれ，例えば n = 3 から 2 へのバルマー線が，美しい天体写真に見られる電離水素領域の赤い輝きの原因となっている．問 (2)，(3) の結果も使って，水素原子は 1 個あたりの平均として，時間的にどのようなサイクルをたどるか記述せよ．
（次ページに続く）

18

次に，水素に加えて C，N，O などの重元素もわずかに存在する星間空間を考えよう．

(5) 電離水素領域では，例えば 2 階に電離した酸素イオン O++ （または OIII とも表す）からの輝線が強く観測される．O++ の基底状態は 3 P であり，波長500nm の放射エネルギーに相当する 1 D の励起状態がある．ところが，これらの間の輝線は，アインシュタイン A 係数が 10−2 s−1 程度と非常に小さい（禁制線とよばれる）．この理由を簡潔に述べよ．
(6) 星間空間で禁制線が放射されるメカニズムを考えるのに，このイオンの基底状態 1 とその上の状態 2 だけに注目して良いものとする．すなわち，他の励起状態や，低階や高階のイオンを考慮しない．衝突による突き上げの遷移と，衝突による突き下げおよび自発放射の遷移とがつり合っているとしよう．すなわち，
ne n1 q12 = ne n2 q21 + n2 A21
ここで，ne [m−3 ] は電子の数密度，n1 [m−3 ]，n2 [m−3 ] はそれぞれ状態 1 と 2にあるイオンの数密度である．また，q12 [m3 s−1 ]，q21 [m3 s−1 ] は衝突の係数
で 10−14 m3 s−1 程度の値を持ち，A21 [s−1 ] はアインシュタイン A 係数である．
水素がほとんど完全に電離した領域において，上記の式で，ne がきわめて小さい希薄な極限から，きわめて大きい極限までを考える．単位体積・単位時間あたりの放射光子数の，希薄な極限での値を，ne を使って表せ．
A21
また，臨界密度 nec ≡のときの値も同様に表せ．
q21
さらに，このイオンの基底状態 1 にあるものの水素原子に対する個数比をk ≡ n1 /nH とし，問 (3) のような電離水素領域でのこれらの値を k, ne で表せ．なお，k ≪ 1 である．

(7) アインシュタイン係数 A21 ≃ 10−2 s−1 ，衝突の係数 q12 ≃ q21 ≃ 10−14 m3 s−1の場合に，臨界密度 nec のオーダーを求めよ．
(8) 以上をふまえ，水素の状態間遷移と比べて，アインシュタイン A 係数がき
わめて小さいにもかかわらず，また k = 10−4 程度しかないにもかかわらず，
電離水素領域で重元素からの禁制線が強く観測される理由を述べよ．単位体
積・単位時間あたりに放射される光子数のオーダーを，水素の再結合線と禁制線でごく簡単に見積もって比べてみよ．

19平成 25 年度大学院入学試験問題 IV (1 時間 30 分)
英語(100 点)注意(1) 問題 IV-1,IV-2 の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いても良い．
(2) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部 (線より上) に問題番

号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない．
(3) 解答用紙は 2 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(4) 問題冊子は表紙を含めて 4 ページまである．

1

IV-2
以下の文章は，南部陽一郎氏のノーベル賞受賞記念講演（Nobel Lecture）をもとに作成されたものである．全文章を英訳せよ．
自発的対称性の破れ (SSB) は，物理の基本法則における対称性が破れているように見える現象である．実のところ，我々の日常生活において SSB はたいへんあり
ふれた現象である．例として，垂直に立っているまっすぐな弾性体の棒を考えよう．この棒はどの水平方向から見ても同じであり，回転対称性を持っている．しかし，この棒を押しつぶそうとして徐々に圧力をかけていくと，ある方向に曲がり
対称性は失われる．全ての方向は同等なので，この曲がりは原理的にはどの方向にも起こり得る．

(ヒント)
自発的対称性の破れ：spontaneous symmetry breaking
弾性体の：elastic
棒：rod〜に圧力をかける：apply pressure to 〜
押しつぶす：squeeze
曲がる：bend4

（このページは白紙である）

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