グレイモラセス法を用いた冷却リチウム原子の生成(Producing Ultracold Lithium
Atoms by Gray Molasses)

理学研究科
数物系専攻
谷澤

昂樹

要旨
本論文は Gray Molasses Cooling を用いた冷却 6 Li 原子気体生成の実験的研究についてまとめたものである。
冷却原子生成の手段として一般的に用いられる磁気光学トラップ (以下 MOT) には
ドップラー冷却限界と呼ばれる冷却の理論的下限値が存在する。その冷却限界より低い温度まで冷却できる方法として偏光勾配冷却と呼ばれる方法が存在する。この偏光勾配冷却は、多くのアルカリ原子に対して原子の共鳴周波数よりも低い周波数 (負の離調) の光を用いる方法が使われてきたが、6 Li 原子はその励起状態の超微細構造間隔が小さいことを理由に、これを適用できない。そのため、6 Li 原子にも有効である、正の離調の光を用いる Gray Molasses Cooling という方法を用いて冷却することを試みた。

Gray Molasses Cooling の原理を簡単に述べる。まず、偏光に空間的勾配を作ることに
よってポテンシャルの山を形成し、原子がその山を登り続けることで運動エネルギーを失っていく。また、選択則から遷移先が存在しない状態 (暗状態) が存在し、それをうまく活用した冷却法でもある。さらに 3 準位系を考えると、2 つの光の離調の差が 0 に近づ
くとき、冷えた原子が暗状態に入りやすくなることがわかり、より冷却効率が高まる。この冷却法の導入で冷却効率を上げられれば、冷却原子実験に使える原子数を増やすことができ、従来の方法では検証できなかった実験が可能になるといったメリットがある。

Gray Molasses Cooling の導入にあたって、MOT との両立が可能であり冷却に適した周波数、強度を持った光を用意できる光学系を設計、及び実装した。冷却手順として

MOT、Compression MOT(以下 CMOT)、Gray Molasses Cooling を行ったが、各段階における原子数、温度、位相空間密度などを評価した。その結果、Gray Molasses Cooling
直後で原子は 164 ± 4µK にまで冷却されており、位相空間密度は 4.8 × 10−7 となった。

4

目次

第1章

序論

6

1.1

研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

本研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71.3

冷却原子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7Gray Molasses Cooling の理論

92.1

Gray Molasses Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

VSCPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Li 原子の Gray Molasses Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

実験

26

3.1

光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

イメージング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3

MOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4

CMOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.5

Gray Molasses Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.6

実験結果考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

第4章

まとめと展望62

付録 A

ヨウ素分子安定化 ECDL

64

A.1

ヨウ素分子の光学遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

A.2

ヨウ素分子飽和吸収分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

A.3

ロックインアンプ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

A.4

展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

原子と光の相互作用77

B.1

回転波近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

B.2

ライトシフト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

角運動量の合成

81

第2章

第3章

付録 B

付録 C

5
C.1

角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

C.2

角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数 . . . . . . . . . . . . . . .

84

参考文献

88

6

第1章

序論
1.1 研究背景
1975 年、T. Hänsch, A. Schawlow がレーザー光によって原子を冷却する理論を示した [1]。それを基に、1980 年代には原子ビームの減速 [2]、光モラセスによるレーザー
冷却 [3]、MOT による原子の捕獲 [4] が実現した。これらのレーザー冷却技術は原子がレーザー場中にあるときに受ける輻射圧を利用したものである。その冷却限界温度(ドップラー冷却限界温度) は原子の自然幅 Γ で決まり、レーザー場中での冷却と加熱の寄与が釣り合うときの温度として求められる [5]。1989 年、Jean Dalibard と Claude

Cohen-Tannoudji によって偏光勾配冷却の理論が提唱された [6]。この方法は下準位の磁気副準位を考慮することで可能となる冷却法であり、ドップラー冷却限界温度より低い温
度にまで冷却することができる。1995 年には偏光勾配冷却を正に離調をとった光を用いて行う、Gray Molasses Cooling によってセシウム原子の冷却が行われた [7]。近年、この Gray Molasses Cooling において Cooling 光と Repump 光が同じ上準位を結ぶような光を使うと速度選択コヒーレント分布トラップ (Velocity Selective Coherent Population

Trapping, 以下 VSCPT) の条件が満たされることがわかり、40 K[8],7 Li[9],6 Li[10] で更なる冷却効率の向上に成功した。この冷却法は光トラップ中でも有効であり [10]、蒸発冷却における原子数のロスを抑制しながら冷却が出来る方法である。
今日の冷却原子実験は上で述べたようなレーザーを用いた冷却技術を用いて、アルカ
リ原子をはじめとする様々な原子において可能になった。その中でも Li 原子は同位体にフェルミ粒子である 6 Li とボース粒子である 7 Li が存在し、異なる量子統計に従う物性研究を行うことができる。また、フェッシュバッハ共鳴により広い領域にわたって散乱長を制御できるという性質があり、クォーク、ハドロン、分子などの様々な量子系を再現する
シミュレーションに活用できる。これまで我々の研究室では、散乱長が平均粒子間距離に比べて十分大きいユニタリー極限の状態方程式を解明し [11]、その結果を同様に s 波散乱
長で相互作用している核物質へ応用した [12]。

1.2 本研究の目的

1.2 本研究の目的
冷却原子生成において重要なパラメータとして位相空間密度 ρ がある。温度が低く、密度が大きくなったときに位相空間密度は大きくなり、その値が 1 に近づいたときに冷却原子が凝縮体としての性質を示すようになる。本研究の目的は冷却過程に Gray Molasses

Cooling を追加し、より位相空間密度の高い冷却 Li 原子を生成することである。そのために、Gray Molasses Cooling を行う上での各パラメータに対する原子の温度および原子数の依存性を調べ、その物理的理解と共に最適なパラメータを探し出すことが必要である。これまでは MOT、CMOT のあとに光トラップへ移行し蒸発冷却を行っていたが、Gray Molasses Cooling を CMOT のあとに導入することによってより効率的な冷却を試みた。
第 2 章では Gray Molasses Cooling の理論について述べる。前半 (2.1) で 2 準位系での議論を行い、後半 (2.2) で 3 準位系での議論を行う。多くの参考書に記載されるような量子力学の基礎的な理論については割愛するが、特に重要である基礎理論として原子と光の相互作用 (付録 B) と角運動量の合成 (付録 C) を付録に記述する。
第 3 章では Gray Molasses Cooling を含んだ全ての実験について述べる。Gray Mo-

lasses Cooling の他に、光学系の設計、MOT の生成および最適化、CMOT の最適化なども行ったのでその手順や結果についてもこの章で紹介する。
また付録 A では、ヨウ素分子気体を用いた光源の周波数安定化について紹介する。ヨウ素分子による周波数安定化の方法は数 nm 以上の広い波長領域にわたって任意の周波数に安定化することができ、Li 原子の分光だけでは得られない周波数が必要とされる実験を行うにあたって有用である [13]。

1.3 冷却原子の生成
はじめに、冷却 6 Li 原子生成までの全体の流れについて簡単に説明する。全ての冷却
原子実験は真空チャンバー内で行われる。真空チャンバー内の高真空側 (∼ 10−6 Pa) にあるオーブンには固体の 6 Li が入っており、温めることによって蒸気圧に応じて気体の6

Li 原子が放出される。気体となった Li 原子を 2DMOT で集め、Push 光を用いて差動排気管を通って超高真空側 (∼ 10−10 Pa) へと送る。超高真空側へ送られた 6 Li 原子は3DMOT によって冷却かつ空間的にトラップされる。トラップされた原子雲の直径は約800µm である。3DMOT では 1 分程度のローディング時間で ∼ 108 個の原子を集めることができる。この時点での温度は 2mK 程度である。これらの値から計算される位相空間
密度は ∼ 10−7 である。その後、CMOT を用いて原子のトラップ領域を小さくすると同時に原子の温度をさらに下げて、ドップラー冷却限界温度 140µK の数倍程度の温度にまで冷却する。本実験では CMOT 時で、原子雲直径およそ 400µm、温度約 780µK、MOTからの移行効率 90% 程度であった。位相空間密度は ∼ 10−5 程度であった。これまでは7

第 1 章 序論

8

CMOT のあとに光トラップを用いて原子を捕獲し、蒸発冷却によって 100nK 程度の温度まで冷却していた。このとき、原子数は 2 桁以上少なくなるが、位相空間密度が 1 に近くなり、冷却原子が量子統計に従い始める。本研究では、CMOT のあとに Gray Molasses

Cooling を用いることによって蒸発冷却前での位相空間密度をより高め、最終的に得られる冷却原子実験に使える原子の個数を増やすことを目的としている。先行研究の達成した
温度、原子の移行効率から見積もって、CMOT 後から位相空間密度を 1 桁以上増やすことができれば十分な成果が得られたと言える。

9

第2章

Gray Molasses Cooling の理論
MOT の冷却原理はいわゆるドップラー冷却であり、自然幅 Γ に由来したドップラー
冷却限界温度が存在する。ドップラー冷却限界は、光による冷却と加熱の寄与が釣り合う温度として求められる。この限界温度以下にまで冷却するために多くのアルカリ原子(K, Rb など) に対して偏光勾配冷却が適用される。一般に偏光勾配冷却に用いられる光
は、原子の共鳴周波数より低い周波数、すなわち負の離調を持った光で行われる (Bright

Molasses)。これはドップラー冷却との両立という観点では自然な考えであると言えるだ
ろう。ここで紹介する Gray Molasses Cooling は正に離調をとった光で行う偏光勾配冷却である。これらの冷却は、その冷却原理こそ似ているものの、冷却効率に対する考え方に根本的な違いがある。その違いについて述べる。
下準位の角運動量の大きさが J である 2 準位系を考える。Bright Molasses では上準位の角運動量は J ′ = J + 1 を用いる (図 2.1 左)。これにより、あらゆる偏光の光に対しても全ての基底状態から遷移できる励起状態が存在することになる。また、自然放出によって異なる J の基底状態に落ちた原子ももれなく拾い上げるために Repump 光を入れ、冷却サイクルに戻す。これは、冷却の効果を高く発揮するために原子から見て光を「明るく」しようとする考えである。これは熱い原子を冷却する際に有効な考えであり、MOT
でも同じ遷移が使われている。一方で Gray Molasses Cooling は励起状態の角運動量は基底状態と等しい J ′ = J の遷移を用いる (図 2.1 右)。このとき、ある偏光で遷移先が存在しない状態 (暗状態) が生じる。Gray Molasses Cooling では冷えた原子が暗状態に入りやすいようになっている。また、自然放出によって冷却サイクルから外れた原子であっても、それが冷えている場合は、あえて相互作用しないように暗状態に入るようにしておく。この仕組みによって熱い原子を優先的に冷却し、一度冷えた原子は光との相互作用で加熱されにくい状況を作り出している。こうして冷却効率を高めるとともに、光による加熱の寄与を小さくすることで冷却限界温度を低くしている。Gray Molasses Cooling の「Gray」という言葉の由来はこれであり、真っ白でもなく真っ黒でもなく、明るいところと暗いところの両方が存在する冷却方法という意味で Gray という言葉が使われている。
ここでは Gray Molasses Cooling の理論を述べる。初めに 2 準位系で議論を展開し、その後より実験の状況に近い 3 準位系で議論する。本論文では Gray Molasses に必要で

第2章

10

Gray Molasses Cooling の理論

ある理論のみをピックアップし、なるべく簡潔にまとめることを心掛けている。より詳細な議論については、[14]、[15] などを参考にされたい。

図 2.1 Bright Molasses と Gray Molasses の違い。基底状態の角運動量は J = 0, 1が存在し、J = 1 と励起状態 J ′ とのカップリングを冷却に用いている。例として

mJ′ = mJ + 1 の遷移を引き起こす σ+ 偏光の場合を表示している。【左：Bright
Molasses】J ′ = J + 1 の遷移での冷却。全ての基底状態に対して遷移できる励起状態が存在している。原子から見て「明るい」構成である。MOT もこの遷移を用いている。【右：Gray Molasses】J ′ = J の遷移での冷却。mJ = 1 の状態は遷移できる励起状態が存在しない暗状態である。また、自然放出によって J = 0 に落ち冷却サイクルから外れた原子に対しては、その温度が高い場合に優先的に冷却サイクルに戻すように工夫されている。

2.1 Gray Molasses Cooling11

2.1 Gray Molasses Cooling
まず、簡単のために 2 準位系での Gray Molasses Cooling の理論を述べる。すなわち、基底状態と励起状態にカップルする単一周波数の光のみが存在し、その他の準位は存在しない。ただし、基底状態、励起状態ともに磁気副準位を持っており、その縮退が解けることは考慮する。実際の実験では、基底状態 |F = 1/2⟩ と |F = 3/2⟩ を結ぶ Repump 光も用いるがここでは考えない。Repump 光も含んだ 3 準位系での議論は 2.2 節で行う。

2.1.1 偏光勾配場
図 2.2 のような、偏光が直交した 2 つの直線偏光の光を対向させて干渉させている状況を考える。それぞれの光が作る電場 E1 (z), E2 (z) は、êx + êy ikz√e2êx − êy −ikz
E2 (z) = E0 √e
2
E1 (z) = E0(2.1)

と表される。これらの電場を足し合わせて整理すると、E(z) = E0

√

[ (
(
)
(
)]
(
π ) êx + iêyπ ) êx − iêy√√
2 sin kz ++ cos kz +
4
4
2
2

(2.2)

と書ける。この式を見ると、kz = 0, π/2, π, 3π/2, · · · で直線偏光、kz = π/4, 5π/4, · · · で

σ + 偏光、kz = 3π/4, 7π/4, · · · で σ − 偏光になることが確認できる。すなわち、偏光が位置に依存しており、偏光勾配場が形成されている。そのため、この場の中に原子が存在するとき、原子はその位置によって相互作用する光の偏光が変わる。これは Gray Molasses

Cooling を理解する上で最も基本であり重要な事柄である。

2.1.2 選択則と暗状態
6Li 原子 22 S1/2 → 22 P1/2 の光学遷移 (D1 遷移) を考える (図 2.3)。下準位、上準位両方とも J = 1/2 であり、6 Li の核スピンは I = 1 なので、F = 1/2, 3/2 を取りうる。それ
ぞれの F に対して、磁気副準位 mF = −F, −F + 1, · · · , F が存在し、非摂動状態で縮退している。ある基底状態 |F, mF ⟩ に共鳴周波数を持った光が入射したとき、その光が持っている偏光に応じて遷移できる先が限定される。具体的には、σ + 偏光で mF′ = mF + 1、

σ − 偏光で mF′ = mF − 1、π 偏光で mF′ = mF のみが許される。π 偏光とは量子化軸の方向に向いた直線偏光のことである。量子化軸と垂直な方向の直線偏光は σ+ 偏光と σ−の線形結合で書けるため、これら 2 つの遷移を引き起こす。これを考慮すると基底状態|F = 3/2, mF = 3/2⟩ に σ + 偏光、および基底状態 |F = 3/2, mF = −3/2⟩ に σ − 偏光が照射されている場合、遷移できる励起状態が存在しないことがわかる。このような遷移先が存在しない状態を暗状態と呼ぶ。Gray Molasses Cooling ではこの暗状態を上手く活用

第2章

12

Gray Molasses Cooling の理論

図 2.2 偏光勾配場の概略図。黄色矢印は偏光の向きを表している。

し冷却サイクルを構築している。偏光について注意すべき点として、量子化軸に沿って入射した光が π 偏光になることはない。これは光 (もしくは電場) が横波であることから自明である。ただし、Gray Molasses は磁場ゼロの状態、すなわち量子化軸が定まっていない状況で行う冷却であり、図 2.2 に示した直線偏光の位置で π 偏光の mF′ = mF の遷移を引き起こすことができる。
また、それぞれの遷移に対して遷移強度が異なっており、その遷移強度の大きさはクレ
ブシュ・ゴルダン係数の 2 乗によって決定される (付録 C 参照)。

図 2.3 Li 原子光学遷移の選択則。赤破線で囲まれた準位は遷移できる励起状態が存在しておらず、暗状態である。

2.1 Gray Molasses Cooling13

2.1.3 偏光勾配場中のライトシフト
Gray Molasses は F = F ′ の遷移を使用する。その理由を理解するための説明を以下で行う。ここでは簡単のために F = F ′ = 1/2 の 2 準位を考える (図 2.4)。実際に実験に用いる遷移は F = F ′ = 3/2 であるが、原理に大きな違いはない。基底状態 F = 1/2 は磁気副準位 mF = ±1/2 を持ち、非摂動状態で縮退している。ある準位 i から別の準位 j へ遷移するときのクレブシュ・ゴルダン係数を Ci,j (付録 C 参照) と表す。これは、この遷移の強さを指し示している。この遷移に対応するラビ周波数 Ωi,j は、√Ωi,j = Ci,j Γ I/2Isat(2.3)と書ける。ここで、Γ は自然幅、I は光の強度、Isat は飽和強度である。このラビ周波数を用いてライトシフトの大きさを表すことができ (付録 B 参照)、∆E =ℏΩ2i,j4δ(2.4)

である。δ は光の離調である。これらの表式より、ライトシフトの大きさはラビ周波数に依存しており、ラビ周波数はクレブシュ・ゴルダン係数に依存していることが分かる。クレブシュ・ゴルダン係数は偏光によって決まる定数であるので、すなわち偏光によってライトシフトの大きさが決定するということである。この理屈で、偏光勾配場にある原子はポテンシャルの山と谷を感じることになる (図 2.5)。

図 2.4 偏光によって生じるライトシフトの違い。青矢印の横の数字はクレブシュ・ゴ
ルダン係数の 2 乗で、遷移強度の比を表している。Gray Molasses の場合、正に離調を付けた光 (Blue Detuned) で実験を行うため、基底状態のライトシフトは常にゼロまたは正である。遷移先が存在しない暗状態はライトシフトの大きさがゼロである。

第2章

14

図 2.5

Gray Molasses Cooling の理論

偏光勾配場中のライトシフト。上側の図の縦軸は基底状態の固有エネルギーの

シフト、つまりライトシフトである。それぞれの磁気副準位に対して、ライトシフトの大きさが異なっており、特に暗状態の位置においてライトシフトがゼロになっている。

2.1.4 Gray Molasses Cooling
ここまでの議論で、偏光勾配場中の原子がライトシフトによって位置に依存するポテン
シャルを感じることが分かった。Gray Molasses Cooling はこのポテンシャルの山を活用している。

Gray Molasses Cooling の過程を理解するために、例として σ + 偏光の位置にある
mF = 1/2 の原子 (図 2.6 の z = λ/8) を考える。原子はその温度に応じた運動量をもって空間を移動している。そのときポテンシャルの山を登ることになるので、原子は山の高さに応じた運動エネルギーを失う。山の頂上付近では谷底 (3λ/8 の mF = −1/2 など) に比べてクレブシュ・ゴルダン係数の値が大きく、吸収によって上準位に遷移しやすい。上準位に遷移した原子が自然放出で谷底に落ちた場合、最初の状態と比べて丁度山の高さに相当するエネルギーを失ったことになる。この過程を繰り返すことで原子はエネルギーを失っていき冷却される。別の可能性として、山の低い位置で吸収によって励起状態に遷移し、自然放出で山の頂上付近に落とされることも起こりうるだろう。しかし、クレブ

2.1 Gray Molasses Cooling
シュ・ゴルダン係数の違いから、この加熱の過程は、先に述べた冷却の過程に比べて確率的に起こりにくいという点が重要である。統計的に、山を登ったあとに谷底に落とされる原子の方が多いところに注意する。

図 2.6 Gray Molasses Cooling の過程。谷底にある原子は、運動エネルギーをポテン
シャルエネルギーに変換しながら山を登る。山の頂上付近ではクレブシュ・ゴルダン係
数が最も大きく、吸収によって上準位に励起される確率が最も高くなっている。励起状
態から自然放出で谷底に落ちた原子は実効的に山の高さに相当するエネルギーを失ったことになる。

15

第2章

16

Gray Molasses Cooling の理論

2.1.5 反跳冷却限界温度
ここまでで考えてきた 2 準位系での Gray Molasses Cooling は Sub-Doppler Coolingの一種であり、ドップラー冷却限界温度 (Li 原子で約 140µK) を下回る温度にまで冷却することができる。しかし、別の要因によって理論的な冷却限界温度が存在する。この冷却限界温度を反跳冷却限界温度と呼ぶ。その物理的意味の説明と導出を以下で行う。

Gray Molasses Cooling は、原子がポテンシャルの山を登ることによって運動エネル
ギーを失い、結果として冷却されるというメカニズムであった。このことから、ポテン
シャルの山の高さが原子の持つ運動エネルギーより十分大きいと、原子は山を登りきることができず頂上付近での光ポンピングが行われないので、冷却サイクルがうまく働かないことが予想できる。すなわち、Gray Molasses によって冷却できる限界温度 Tlim は山の高さ ∆E によって制限されており、

kB Tlim ∼ ∆E

(2.5)

であると言える。ただし、この冷却限界 Tlim は、Gray Molasses Cooling に用いる光の強度や離調を変化させてポテンシャルの山を低くすれば限りなく 0 に近づけることができる。そのため、このポテンシャルの山の高さに由来する冷却限界温度は理論的な限界ではない。
真の理論的な冷却限界は、反跳冷却限界である。これは、自然放出の際に原子が吐き出す光子 1 つが持つ運動量によって原子が反跳されることに由来する。Gray Molasses

Cooling は冷却サイクルとして自然放出によって光を吐き出すが、そのとき光子 1 つが持つ運動量

pr = ℏk(2.6)

を原子が受け取ることになる。自然放出の向きは等方的であるので、原子が持つ運動エネ
ルギーの期待値には下限値が存在し、⟨Ekinetic ⟩ =⟨p2 ⟩ℏ2 k 2
≥
2m
2m

(2.7)

である。よって、この下限値から換算される反跳冷却限界

Tr =ℏ2 k 22mkB(2.8)

が導出される。Li 原子の場合、Tr = 3.5µK である。

2.2 VSCPT
ここからは 3 準位系での Gray Molasses Cooling の理論を述べる。2.1 節でも述べた通り、Gray Molasses Cooling において自然放出によって異なる全角運動量 F の基底状態

2.2 VSCPT

17に落ちた原子を再度汲み上げるための光として Repump 光が必要である。すなわち 2.1
節と異なる点として、基底状態として F = 3/2, 1/2 の 2 つの準位が存在し、またそれぞれの基底状態と励起状態を結ぶ光 (Cooling 光,Repump 光) が存在する。Repump 光として異なる F の励起状態にポンプするような光を用いても良いが、あえて同じ F の励起状
態にポンプする。これによって系は 2 つの基底状態と 1 つの励起状態から成る 3 準位系となるが、このとき 2 準位系での冷却サイクルとは異なる冷却原理が生じる。もちろん、

2 準位系で述べた冷却サイクルの理論が破綻するわけではなく、あくまで新たに冷却効率を高める原理が追加されるという意味である。その理論について以下で説明する。

2.2.1 Λ型 3 準位系と重ね合わせ暗状態
2.1 節で少し述べたが、Gray Molasses には Cooling 光の他に Repump 光が必要である。そのため、2 つの基底状態がそれぞれ別の光によって 1 つの励起状態とカップリング
するような 3 準位系が自然と形成される。このような 2 つの基底状態と 1 つの励起状態を持つような 3 準位系をΛ型 3 準位系と呼ぶ。ここではそのΛ型 3 準位系の基本的な理論について紹介する。

図 2.7 Λ型 3 準位系

図 2.7 のような 2 つの基底状態 |1⟩ , |2⟩ および 1 つの励起状態 |3⟩ からなるΛ型 3 準位系を考える。エネルギーの基準は励起状態 |3⟩ にとってある。|2⟩ は |1⟩ より、ℏδHFS
だけエネルギーが高く、|1⟩ ↔ |3⟩ , |2⟩ ↔ |3⟩ にカップルする光の周波数はそれぞれ

第2章

18

Gray Molasses Cooling の理論

ω1 = ω0 + δ1 , ω2 = ω0 + δ2 − δHFS である。ここでは δHFS ≫ δ1 , δ2 であると仮定し、ω2の光が |1⟩ ↔ |3⟩ にカップルしたり ω1 の光が |2⟩ ↔ |3⟩ にカップルすることはないとする。波動関数 ψ = c1 |1⟩ + c2 |2⟩ + c3 |3⟩ はシュレディンガー方程式





c
c1
∂  1 c2iℏ
= H  c2 
∂t
c3
c3


−ℏω0
0
H=
V1 e−iω1 t
V1 ≡

(2.9)


0
V1 eiω1 t−ℏ(ω0 − δHFS ) V2 eiω2 t 
V2 e−iω2 t
0

ℏΩ1
ℏΩ2
, V2 ≡
22(2.10)(2.11)に従う。これに対して、c̃2 = ei(δHFS +∆)t c2 , c̃3 = eiω1 t c3 と変換することにより (付録 B
参照)、





c1
c
∂  1 c̃2
= H̃  c̃2 
iℏ
∂t
c̃3
c̃3

(2.12)


2δ
ℏ 1
0
H̃ =
2
Ω1

(2.13)

0
2δ2
Ω2


Ω1
Ω2 
2∆

を得る。ここで ∆ = δ1 − δ2 は 2 つの光の離調の差 (相対離調) である。このハミルトニ
アンを対角化すれば固有値が求まる。また、チルダ (˜) は回転系で見ていることを示すた
めの記号として用いる。
ここで次のような基底の変換を行う (図 2.8 参照)。

|1⟩ , |2⟩ , |3⟩→|g+ ⟩ , |g− ⟩ , |3⟩|g+ ⟩ = cos θ |1⟩ + sin θ |2⟩Ω2
tan θ =
Ω1,|g− ⟩ = − sin θ |1⟩ + cos θ |2⟩(2.14)|g+ ⟩ , |g− ⟩ は、|1⟩ |2⟩ 平面上で |1⟩ , |2⟩ を角度 θ だけ回転させた新たな基底である。ただしこれらは固有状態であるとは限らないことに気を付ける。Ω2 ≫ Ω1 の極限で|g+ ⟩ → |2⟩,|g− ⟩ → − |1⟩ になる。便宜上、ハミルトニアンを分解し、H̃ = H̃A + H̃AF
H̃A = ℏδ1 |1⟩ ⟨1| + ℏδ2 |2⟩ ⟨2| + ℏ∆ |3⟩ ⟨3|ℏΩ2ℏΩ1(σ1 + σ1† ) +(σ2 + σ2† )H̃AF =22
σi = |i⟩ ⟨3| (i = 1, 2)(2.15)

2.2 VSCPT

19

図 2.8

基底を変換したΛ型 3 準位系と表す。σi は、励起状態を基底状態 |i⟩ に落とす働きを持つ下降演算子である。H̃A に式(2.14) を代入すると、H̃A = ℏδ+ |g+ ⟩ ⟨g+ | + ℏδ− |g− ⟩ ⟨g− | + ℏ∆ |3⟩ ⟨3| + ℏΩg (|g+ ⟩ ⟨g− | + |g− ⟩ ⟨g+ |)δ+ = cos2 θδ1 + sin2 θδ2 ,δ− = sin2 θδ1 + cos2 θδ2Ω 1 Ω2Ωg = (δ2 − δ1 ) sin θ cos θ = (δ2 − δ1 ) 2Ω1 + Ω22(2.16)となる。この式から 2 つの基底状態 |g+ ⟩ , |g− ⟩ の間にカップリングが生じているが、これは ∆ = 0 で Ωg = 0 より消滅する。この ∆ = 0 の条件をラマン条件という。同様に H̃AFに代入するとℏΩ+ℏΩ−††(σ+ + σ+)+(σ− + σ−)22√Ω2 + Ω 2Ω+ = cos θΩ1 + sin θΩ2 = √ 1 2 2 2 = Ω21 + Ω22Ω1 + Ω 2Ω1 Ω2 − Ω2 Ω 1Ω− = cos θΩ2 − sin θΩ1 = √ 2=0Ω1 + Ω22√ℏ†∴H̃AF =
Ω21 + Ω22 (σ+ + σ+)2σ± = |g± ⟩ ⟨3|
H̃AF =(2.17)となる。この結果から基底状態の 1 つである |g− ⟩ は、離調によらず、励起状態とカップ
リングしない、すなわち |g− ⟩ は暗状態である。ただし上で述べたとおり、∆ ̸= 0 の場合

第2章

20

Gray Molasses Cooling の理論

は基底状態間のカップリングが存在しているため、完全な暗状態となるためにはラマン条件を満たさなければならない。
このことから、ラマン条件 ∆ = 0 を満たせば重ね合わせによる暗状態 |g− ⟩ が生じることが分かったが、ここで重要なのが、この暗状態 |g− ⟩ はあらゆる偏光のもとで暗状態を保つということである。すなわち、2.1 で述べた 2 準位系の暗状態とは異なり、位置によらず常に暗状態である。この重ね合わせ暗状態を活用すると、2 準位系の Gray Molasses

Cooling よりも低温にまで冷やすことができる。詳しくは次の節で述べる。

2.2.2 運動量とライトシフトを含んだラマン条件
付録 B では双極子近似によって位置の依存性を無視する理論を紹介するが、ここでは位置の関数としてレーザー場を書き表す。レーザー場が 2 つの周波数 ω1 , ω2 の光からなっているとき、E(r, t) = ϵ̂1 E01 cos(k1 · r − ω1 t) + ϵˆ2 E02 cos(k2 · r − ω2 t)= E(+) (r, t) + E(−) (r, t)(2.18)と書ける。ここで、E(±) (r, t) =1
(ϵ̂1 E01 e±ik1 ·r e∓iω1 t + ϵ̂2 E02 e±ik2 ·r e∓iω2 t )2(2.19)である。ϵ1,2 は ω1,2 の光の偏光ベクトルである。次に、運動量 p の自由原子ハミルトニ
アンは以下のように表せる。

HA =

p2
− ℏω01 |1⟩ ⟨1| − ℏω02 |2⟩ ⟨2|2m(2.20)

ω01,02 は、|1⟩ ↔ |3⟩ , |2⟩ ↔ |3⟩ の共鳴周波数であり、エネルギーの基準は励起状態 |3⟩ にとっている。回転波近似の下での原子と場の相互作用ハミルトニアンは

HAF = −d(+) · E(−) − d(−) · E(+)

(2.21)である。ここで 3 準位系での双極子ベクトル d は、

d = d(+) + d(−)(2.22)= [⟨1|d|3⟩ σ1 + ⟨2|d|3⟩ σ2 ] + [⟨1|d|3⟩ σ1† + ⟨2|d|3⟩ σ2† ](2.23)

これらより、相互作用ハミルトニアンは()
1⟨1|ϵ̂1 · d|3⟩ E01 σ1 e−ik1 ·r eiω1 t + σ1† eik1 ·r e−iω1 t2()
1− ⟨2|ϵ̂2 · d|3⟩ E02 σ2 e−ik2 ·r eiω2 t + σ2† eik2 ·r e−iω2 t
2

HAF = −

(2.24)である。

Ωi =− ⟨i|ϵ̂i · d|3⟩ E0iℏ(i = 1, 2)(2.25)

2.2 VSCPT

21と定義すると、よりシンプルに書き換えられて)ℏΩ1 ( −ik1 ·r iω1 t
σ1 ee+ σ1† eik1 ·r e−iω1 t
2(2.26))ℏΩ2 ( −ik2 ·r iω2 tσ2 ee+ σ2† eik2 ·r e−iω2 t+2となる。ここで、全体の波動関数 |ψ⟩ = c1 |1⟩ + c2 |2⟩ + c3 |3⟩ に対して、2 つの基底状態
HAF =の係数に回転系への変形

c̃i (t) = ci (t)e−iωi t(i = 1, 2)(2.27)を施すと、それぞれのハミルトニアンは以下のように書ける。

p2+ ℏδ1 |1⟩ ⟨1| + ℏδ2 |2⟩ ⟨2| + ℏ∆ |3⟩ ⟨3|2m) ℏΩ ()ℏΩ1 ( −ik1 ·r
2
H̃AF =σ1 e+ σ1† eik1 ·r +σ2 e−ik2 ·r + σ2† eik2 ·r
2
2
H̃A =

(2.28)

図 2.9 計算を上手く進めるためのエネルギーの基準の取り直し

以上の議論で回転系のハミルトニアン H̃ = H̃A + H̃AF が得られたが、計算を上手く進めるために、エネルギーの基準を ℏδ̄ に取り直す (図 2.9)。δ̄ は２つの光の離調の平均で、

δ̄ = (δ1 + δ2 )/2 で定義される。回転系のハミルトニアンは対角項の値が置き換えられて、
(
)
p2
ℏ∆
ℏ∆
+
|1⟩ ⟨1| −|2⟩ ⟨2| − ℏ δ̄ − ∆ |3⟩ ⟨3|2m
2
2) ℏΩ ()ℏΩ1 ( −ik1 ·r
2
σ1 e+ σ1† eik1 ·r +σ2 e−ik2 ·r + σ2† eik2 ·r
H̃AF =
22H̃A =(2.29)

このハミルトニアン用いてシュレディンガー方程式iℏ∂t |ψ⟩ = H̃ |ψ⟩(2.30)

を解くことを考える。ここからは波動関数を外部状態と内部状態の因子の積として表すことにする。つまり|ψ⟩ = |ψ1 ⟩ |1⟩ + |ψ2 ⟩ |2⟩ + |ψ3 ⟩ |3⟩(2.31)

第2章

22Gray Molasses Cooling の理論である。ψi (r, t) = ⟨r|ψi ⟩ とすると、それぞれの外部状態の波動関数に対して以下の運動方程式が得られる。

()
p2ℏΩ1 ik1 ·rℏΩ2 ik2 ·r
ψ3 +
e
ψ1 +
e
ψ2 − ℏ δ̄ − ∆ ψ3
2m
2
2
p2
ℏΩ1 −ik1 ·rℏ∆iℏ∂t ψ1 =
ψ1 +
e
ψ3 +
ψ1
2m
2
2
p2
ℏΩ2 −ik2 ·rℏ∆iℏ∂t ψ2 =
ψ2 +
e
ψ3 −
ψ2
2m
2
2

iℏ∂t ψ3 =(2.32)

一番上の式について、δ̄ ≫ |∆| であることから ψ3 は Γ よりも早く振動し、∂t ψ3 は真空とのカップリングによって素早く減衰するとみなせる。よって ∂t ψ3 = 0 と仮定する。さらに、p2 /2m ≪ ℏδ̄ であることから、結果として

ψ3 =Ω1 ik1 ·rΩ2 ik2 ·r
e
ψ1 +
e
ψ2
2δ̄
2δ̄

(2.33)と近似できる。これを残りの 2 つの式に代入すると、

p2ℏ∆ℏΩR i(k2 −k1 )·r
ψ1 + [ℏωAC1 +
]ψ1 +
e
ψ2
2m
2
2
ℏ∆
ℏΩR i(k1 −k2 )·rp2
ψ2 + [ℏωAC2 −
]ψ2 +
e
ψ1
iℏ∂t ψ2 =2m
2
2iℏ∂t ψ1 =(2.34)となる。ここで

ΩR =

Ω1 Ω2
2δ̄

(2.35)

はラマンラビ周波数、もしくは 2 光子ラビ周波数と呼ばれている。また、ℏωACi =ℏΩ2i
4δ̄(i = 1, 2)(2.36)はライトシフトである。これらの運動方程式は有効ラマンハミルトニアン

HR =

p2
∆
∆
+ ℏ(ωAC1 + ) |1⟩ ⟨1| + ℏ(ωAC2 − ) |2⟩ ⟨2|
2m
2
2
)
ℏΩR (
† i(k1 −k2 )·re+
σR ei(k2 −k1 )·r + σR
2

(2.37)

を用いてまとめて書くことができる。σR = |1⟩ ⟨2| はラマン下降演算子である。ψ(p) =⟨p|ψ⟩ とすると、exp (ik · r) |p⟩ = |p + ℏk⟩ なのでe−ik·r ψ(p) = e−ik·r ⟨p|ψ⟩†= e−ik·r |p⟩ |ψ⟩()†= eik·r |p⟩ |ψ⟩†= |p + ℏk⟩ |ψ⟩= ⟨p + ℏk|ψ⟩= ψ(p + ℏk)(2.38)

2.2 VSCPT

23と導かれる。今 |1⟩ の状態の原子が 2 つの光から運動量を受け取りながら |2⟩ の状態に遷移したときを考える。すなわち、受け取る合計の運動量は ℏδk = ℏ(k1 − k2 ) であり、

|p⟩ |1⟩ → |p + ℏδk⟩ |2⟩ の遷移を考える。すると、運動方程式はよりあらわに書けて、
[

]
ℏ∆
ℏΩR
p2
iℏ∂t ψ1 (p) =+ ℏωAC1 +ψ1 (p) +ψ2 (p + ℏδk)2m
2
2
(2.39)[](p + ℏδk)2ℏ∆ℏΩRiℏ∂t ψ2 (p + ℏδk) =+ ℏωAC2 −ψ2 (p + ℏδk) +ψ1 (p)2m
22となる。この遷移に対する共鳴条件は

[

] [ 2
]
∆
p
∆
(p + ℏδk)2+ ωAC2 −−+ ωAC1 +
=0
2mℏ
2
2mℏ
2

(2.40)であり、より分かりやすく書くと(∆R = ω R

2p∥ + ℏδkℏδk)+ ∆ + (ωAC2 − ωAC1 ) = 0(2.41)

で あ り 、こ れ が 運 動 量 と ラ イ ト シ フ ト を 含 ん だ ラ マ ン 条 件 で あ る 。こ こ で ℏωR =ℏ2 (δk)2 /2m はラマン反跳エネルギーで、運動量 ℏδk の原子が持つエネルギーに相当
しており、p∥ = p · δk/δk は運動量 p の δk に沿った成分である。最初の項は原子の持つ運動量によるドップラーシフトを表している。式 (2.41) を、p∥ について解くと、∆ + (ωAC1 − ωAC2 )
ℏδk
ℏδk −
2ωR
2
ℏδk
=−
(if ∆ = 0, ωAC1 − ωAC2 = 0)2p∥ =(2.42)であり、いま |p⟩ |1⟩ → |p + ℏδk⟩ |2⟩ の遷移を考えているので、|2⟩ の運動量はp∥ + ℏδk =ℏδk2(2.43)となる。すなわち、運動量を含んだラマン条件を満たして冷却を行うと、すべての原子が|−ℏδk/2⟩ |1⟩ と |ℏδk/2⟩ |2⟩ にたまっていく。このような冷却法を VSCPT という。
すべての原子が |−ℏδk/2⟩ |1⟩ と |ℏδk/2⟩ |2⟩ にたまっていくということは、運動量空間での分布が狭くなっていくということであり、それは温度が低くなることと同義である。

2.1.5 節で述べた通り、2 準位系の Gray Molasses Cooling では運動量空間での広がりは光子の反跳によって ℏk を下回ることはできない。しかし、VSCPT においては、この広がりを下回るまで分布を狭めることができ、反跳冷却限界温度を下回る冷却が可能である。VSCPT では運動量空間で p∥ = −ℏδk/2 と p∥ = ℏδk/2 の 2 つのピークが生じるが、その間隔は δk ≪ |k1 |, |k2 | より十分小さいので、2 つのピークによる実効的な運動量空間での広がりが問題になることはない。

第2章

24

Gray Molasses Cooling の理論

2.3 Li 原子の Gray Molasses Cooling
本研究で冷却する原子は 6 Li 原子である。Li 原子は原子番号 3、最外殻電子 1 つのアルカリ原子であり、全てのアルカリ原子の中で最も質量の小さい原子である。図 2.10 は 6 Liの超微細構造である。全電子スピンが S = 1/2 なので、電子基底状態 S 軌道で電子の全角運動量 J = 1/2 のみを持ち、電子第１励起状態 P 軌道では J = 1/2, 3/2 を持つような微細構造を有している。核スピンは I = 1 であり、22 S1/2 で F = 1/2, 3/2、22 P1/2 でF ′ = 1/2, 3/2、22 P3/2 で F ′ = 1/2, 3/2, 5/2 の原子の全角運動量をそれぞれ持つ。このうち、22 S1/2 ↔ 22 P1/2 間の光学遷移を D1 遷移と呼び、22 S1/2 ↔ 22 P3/2 間の光学遷移
を D2 遷移と呼ぶ。これらの遷移両方において、自然幅は Γ = 2π × 5.8724MHz である。

Gray Molasses Cooling の Cooling 光として F = F ′ を満たす D1 遷移の F = 3/2 ↔
F ′ = 3/2 を結ぶ光を用いる。その際、自然放出によって基底状態 F = 1/2 に落ちる原子を汲み上げるために Repump 光として F = 1/2 ↔ F ′ = 3/2 を結ぶ光を用いる。これまでの議論から分かる通り、これらの光はどちらも正に離調をつける。励起状態には

F ′ = 1/2 の準位も存在し、これら 2 つの光は離調は大きいが、この準位ともカップルすることになる。すなわち、厳密には 4 準位系を成している。ただし、この状況下でもこの章で述べたような冷却サイクルが働くことが先行研究 ([10] など) からわかっているのでこの条件で実験を行う。

2.3 Li 原子の Gray Molasses CoolingLi 原子の超微細構造。Cooling 光が |F = 3/2⟩ ↔ |F ′ = 3/2⟩、Repump
光が |F = 1/2⟩ ↔ |F ′ = 3/2⟩ の遷移を引き起こす。δc , δr はそれぞれ Cooling 光,Repump 光の離調である。
図 2.10

6

25

26

第3章

実験
ここでは、2 章で述べた Gray Molasses Cooling による 6 Li の冷却を実現するために行った光学系の設計から Gray Molasses Cooling の実験結果までの全ての実験について述べる。

3.1 光学系
ここでは、Gray Molasses Cooling に必要な光学系の設計と実装について述べる。Gray

Molasses Cooling を用いた冷却 6 Li 原子生成に必要な光は以下の通りである。
• 光源安定化のための 6 Li D2 線分光用の光(D2 F = 3/2 → F ′ = 5/2)

• MOT Cooling 光(D2 F = 3/2 → F ′ = 5/2)

• MOT Repump 光(D1 F = 1/2 → F ′ = 3/2)

• Probe 光(D2 F = 3/2 → F ′ = 5/2)

• Image Repump 光• Push 光(D1 F = 1/2 → F ′ = 3/2)

(D2 F = 3/2 → F ′ = 5/2)

• Gray Molasses Cooling 光(D1 F = 3/2 → F ′ = 3/2)

• Gray Molasses Repump 光(D1 F = 1/2 → F ′ = 3/2)

これらの光の周波数および強度を 100µs のタイムスケールで制御する必要がある。図3.1,3.2 は、これらの光の周波数設計図である。

3.1 光学系

27

図 3.1 D2 レーザー光の光学系設計。黒破線矢印は AOM 回折による周波数変化を表している。

図 3.2

D1 レーザー光の光学系設計

第 3 章 実験

28

図 3.3 に光学系全体の概要図、図 3.4 に D1 線の光学系の概要図を示した。図 3.5 は図

3.4 の光学系を実際に配置したものである。まず、671nm で発振する外部共振器型半導体レーザー (以下 ECDL) を 6 Li の D2 遷移 F=3/2 → 5/2 に周波数を安定化する。分光には音響光学素子 (以下 AOM) で 110MHz で回折した-1 次光を用いているので、ECDLの光は D2 遷移 F = 3/2 → F ′ = 5/2 の周波数より 110MHz 高い周波数で安定化されている。安定化された光は Tapered Ampliﬁer(以下 TA) によって増幅され、光ファイバーを通った後、Probe 光、Push 光、MOT Cooling 光に分けられる。光を分ける際には偏光ビームスプリッタ (Polarizing Beam Splitter, 以下 PBS) を用いる。さらに、D1 線
用 ECDL をビートロックで安定化するための光も分けておく。MOT Cooling 光はその周波数と強度を制御するために、AOM ダブルパスと AOM シングルパスを通しておく。

AOM ダブルパスは回折周波数を変化させても光のパスが変わらないという特徴があり、周波数制御をするためには必ず必要である。このようにして生成された MOT Cooling 光は下で説明する MOT Repump 光と 2 × 2 の偏光保持ファイバーを用いて混ぜられ、チャンバーテーブルで 2DMOT と 3DMOT の生成に使われる。
次に、D1 遷移に用いる ECDL は、D2 遷移用 ECDL の光を使ってビートロックによって約 10GHz の周波数差で安定化される [16]。安定化された光は TA で増幅された後ファイバーを通り、Image Repump 光と MOT Repump 光に分けられる。MOT Cooling 光のときと同様に、周波数と強度を制御するために AOM ダブルパスと AOM シングルパスを組んでおく。

図 3.3 光学系全体の概要図

Gray Molasses Cooling 光および Gray Molasses Repump 光は、MOT Repump 光を
AOM で調整することによって得られる。まず、MOT 生成時は図 3.4 の AOM2 に与えるラジオ波を切っておく。すなわち、光は AOM2 をただ通過するだけであり回折を受3.1 光学系

図 3.4 D1 線光学系の概要図。AOM 近傍に書いてある数字は回折周波数であり、×2の表記があるところはダブルパスであることを示している。

けない。その後 AOM3 ダブルパスで回折され、+184.6MHz × 2 の周波数変調を受けてファイバーへ入る。Gray Molasses Cooling 時には AOM2 にラジオ波が入力され、その-1 次光が Gray Molasses Cooling 光となりファイバーに入る。そのとき、一部の光は回折されずに通過し、0 次光として取り出される。0 次光は MOT Repump 光と同じパスを通り、AOM3 のダブルパスで 204.1MHz × 2 の周波数変調を受けて Gray Molasses

Repump 光として用いられる。AOM0 次光は中心に穴が空いたようなビームモードをしており、AOM での回折効率およびファイバーカップリング効率が低くなるという難点がある。しかし先行研究から、Gray Molasses Repump 光はその強度が 2Isat 程度あれば十分とされ、今回の 0 次光を活用する方法でも十分な強度が確保できることを確認した。ここで、Isat は飽和強度で 6 LiD1 線に対しては 7.59mW/cm2 である。対する Gray

Molasses Cooling 光は 20Isat 以上の強度が必要になることもあり、十分な強度を得るた
めに MOT 光よりも小さいビーム径にコリメートしたい。図 3.4 の構成だと、MOT とは別のファイバーにカップルすることになるので、ビーム径を自由に決められる。今回はファイバー直後で 70mW の光が得られた。MOT 光と混ぜる際に 1/4 のパワーを捨てなければならないことも踏まえてビーム径を 6mm に設定し、40Isat が確保できた。
この構成で光を制御する際に注意すべき点が２つある。まず、MOT Repump 光とGray Molasses Repump 光は AOM ダブルパスを 2 度通過するので、周波数制御の際は AOM1 と AOM3 の両方で周波数が決定されるという点である。すなわち、Gray

Molasses Cooling 時に Gray Molasses Cooling 光の周波数を AOM1 で制御する場合、その周波数変化は Gray Molasses Repump 光にも反映されるので、その帳尻合わせを

AOM3 でする必要があるということである。しかし、この状況は Gray Molasses Coolingにおいてはむしろ都合が良い。AOM1 の周波数だけを変化させる場合、Gray Molasses

Cooling において重要なパラメータの 1 つである相対離調 ∆ は一定に保たれる。そのため、1 つの AOM を制御するだけで、ラマン条件 ∆ = 0 を崩さずに 2 つの光の周波数29第 3 章 実験30

図 3.5 実際に光学テーブル上に配置した D1 Optical System の写真。各矢印の色が
図 3.4 の色に対応している。

3.1 光学系を制御することができる。もう 1 つの注意すべき点は Gray Molasses Repump 光は、強度も周波数と同様に 2 つの AOM によって制御されなければならない点である。AOM2の回折を弱めると Gray Molasses Repump 光の強度が強くなるので、その帳尻合わせを

AOM3 で行う。以上のような注意点が存在するが、D1 遷移全体で使用する TA は１つだ
けとシンプルであり、Gray Molasses Cooling 光に大きなパワーを用意できるという点で優れたシステムであると考えている。

図 3.6 チャンバーテーブル上での MOT 光、Gray Molasses Repump 光と Gray

Molasses Cooling 光の混ぜ方

図 3.6 は、チャンバーテーブル上での MOT 光、Gray Molasses Repump 光と Gray

Molasses Cooling 光の混ぜ方の概要図である。to X,to Y,to Z と表記した光はそれぞれ
冷却原子生成場所に x 軸,y 軸,z 軸方向に入射する。z 軸が鉛直方向であり、x 軸,y 軸は水平方向である。MOT 光は F = 50 の非球面レンズでコリメートし、ビームウエストは10mm である。Gray Molasses Cooling 光は Thorlabs 社の F810APC-635 を用いて直進光にする。ビームウエストは 6mm である。ここでは NPBS ではなく PBS を用いている
ため、1 つ目の PBS で 2 つのビームを混ぜるときに偏光が直交してしまう。しかし、そのあとの PBS でも 1:1 の強度比になるように偏光を調整することで結果的に 2 つの光を同じ偏光で取り出すことができる。この方法で光を混ぜる場合、全体の光のパワーの 1/4
は捨てることになるが、フォトディテクタでその光のパワーを観測しパワーモニターとして利用する。

31

第 3 章 実験

32

図 3.7 実際に光学テーブル上に配置した図 3.6 の光学系の写真。Z 方向の光はこの後さらに λ/2 と PBS を通過し、冷却原子生成場所へと送られる。

3.2 イメージング

33

3.2 イメージング
トラップされた原子の密度分布を得ることをイメージングという。我々は吸収イメージ
ングによって原子の密度分布を測定を行った。ここでは、その吸収イメージングの理論と、実験の詳細について述べる。

3.2.1 吸収イメージングの理論
3 次元的にトラップされた原子に対し、周波数 ω = ω0 + δ(ω0 :原子の共鳴周波数,δ:離調) を持った光 (Probe 光) が x 軸に沿って入射することを考える。ある位置 x から光が微小区間 dx だけ進んだときの強度変化 dI は、以下の式で表される。

dI = −n(x, y, z)(1 − Ω)σ(x)I(x)dx(3.1)

ここで、Ω は原子から発せられる蛍光が検出器に入る割合であり、n は原子数密度、σ は吸収断面積で、σ(x) =

σ01 + I(x)/Isat + 4δ 2 /Γ2(3.2)

である。ただし、σ0 = 3λ2 /2π は共鳴吸収断面積、Isat = πhcΓ/3λ2 は飽和強度である。

∫

これを積分し、 n(x, y, z)dx について解くと、透過率 T = IT /I0 (IT :透過光強度,I0 :初期
強度) と飽和パラメータ s0 = I0 /Isat を用いて、∫
nabs (y, z) =n(x, y, z)dx =1 + 4δ 2 /Γ2(1 − Ω)σ0(− ln(T ) +

)
s0
(1
−
T
)
1 + 4δ 2 /Γ2(3.3)と書ける。δ ≪ Γ, Ω ≪ 1, s0 ≪ 1 の条件でランベルト・ベールの法則∫
ndx = − ln(T )/σ0(3.4)

となる。− ln(T ) は光学深度 (Optical Depth, 以下 OD) と呼ぶ。Probe 光には δ = 0 の光を用いるが、分解能の良いイメージング系では Ω を無視すると原子数の過小評価につながることがあるので注意する。s0 についても、I0 〜Isat = 2.54[mW/cm2 ] 程度の強度の光を用いる場合は無視せず考慮すべきである。本研究で行った吸収イメージングに用いた Probe 光は、パワー：300µW、1/e ビーム半径：5mm であり、強度を計算するとIprobe ≃ 0.3Is となる。これより、s0 ≃ 0.3 であり T が小さいときにわずかに影響があるが、今回は無視している。また、この Probe 光強度と原子の散乱レートおよび典型的な原子数 N ∼ 108 、原子から見たレンズの立体角を用いて Ω を求めると Ω < 0.01 であることがわかり、無視している。よって以下では、式 3.4 に従って原子数を求める。
実際の実験では、パラメータ T (y, z) を以下の流れで求める。まず、上で述べた流れで原子をイメージングし、そのときのシグナルを S(y, z) とする。次に、原子雲を除去した

第 3 章 実験

34

状態でイメージングし L(y, z) とする。最後に原子なし、Probe 光なしの状態でのシグナルを取得し、BG(y, z) とする。そして下式を用いて透過率を計算する。

T (y, z) =S(y, z) − BG(y, z)
L(y, z) − BG(y, z)(3.5)

また、全原子数は y,z 軸に関しても積分することで得られて、∫ ∫N=nabs (y, z)dydz

(3.6)

である。

3.2.2 吸収イメージングの実験
吸収イメージングの Probe 光には図 3.1 に示した通り F = 3/2 → F ′ = 5/2 に共鳴の光を用いる。また、この遷移を最大限引き起こすために図 3.2 に示した Image Repump
光を用いて F = 1/2 の状態にある原子を F = 3/2 に汲み上げておく。図 3.8 は吸収イ
メージングにおける原子雲、レンズ、CCD カメラの位置関係および光の進行するパスを示した概略図である。コリメートされた Probe 光は 1 枚目のレンズで集光されたあと同じ焦点距離を持つレンズによって再び平行光に戻され CCD カメラに入射する。Probe 光の通過する位置に原子が存在する場合、原子によって光の吸収が起こる。今回の設計では吸収によってできる原子の影の大きさは実際の原子雲サイズと等しい (倍率:1 倍)。

図 3.8 吸収イメージングのイメージング系設計

図 3.9 は吸収イメージングのタイムテーブルである。MOT で原子を捕獲し、CMOT、

Gray Molasses によって原子の冷却が行われたあと、Time-of-Flight 法 (以下 TOF 法)を行うために、tTOF の時間だけ原子を熱膨張させる。TOF 法については 3.2.4 節で詳しく述べる。tTOF には、イメージングコイルの立ち上がり時間 100µs、Image Repump 光の照射時間 40µs も含まれる。イメージコイルは、吸収イメージングの最中に 100mG 程度の定常磁場を作り、量子化軸を決定する役割がある。CCD カメラは立ち上がりに数十µs かかるので、Probe 光照射の 40µs 前から露光させ、10µs 間照射される Probe 光全てを測定できるようにしておく。露光時間は 100µs である。こうして原子＋光の写真 (S)3.2 イメージング

35が撮影される。CCD カメラで繰り返し撮影をするには 70ms 以上の間隔が必要なので、S
の撮影後、70ms の間隔をあけて光のみの写真 (L) を撮影する。L の撮影時点では 70msの間隔をあけているので原子は十分拡散している。最後に、同様の時間間隔をあけた後、全ての磁場および光を切り、バックグラウンド (BG) を撮影する。以上の流れで、OD を計算するために必要な 3 枚の写真が得られた。

図 3.9 吸収イメージングのタイムテーブル

図 3.10 は実際に吸収イメージングを行って得られた画像である。撮影には Princetonの CCD カメラ (512 × 512pixel) を用いた。図 3.9 の流れで S,L,BG に対応する画像を撮影し、式 3.4,3.5 を用いて各 y,z 座標での OD を計算する。OD を 2 次元プロットすることができたら、オフセット付き 2 次元ガウシアンでフィットする。すなわち、フィッティ
ング関数はf (y, z) = Ae−(y−y0 ) /σy e−(z−z0 ) /σz + B
2

2

2

2

(3.7)

であり、フィッティングパラメータ A, y0 , z0 , σy , σz , B の値を決定する。図 3.11 は図 3.10のデータから得られた OD とそのフィッティング結果を y 軸方向に足し合わせ、1 次元のグラフとして表示したものである。原子数や温度を求めるときに、ここで決定された
フィッティングパラメータを用いる。原子数については、2 次元ガウシアンの積分値がπAσy σz となることを使って、式 3.4,3.6 より、
N = πAσy σz /σ0として求められる。温度の求め方は 3.2.4 節で述べる。

(3.8)

第 3 章 実験

36

図 3.10 実際に吸収イメージングによって得られた画像。左上：原子＋光 (S)、右上：
光のみ (L)、左下：バックグラウンド (BG)、右下：これら 3 つのデータから計算された OD。全ての画像において縦軸、横軸は pixel 数を表しており、1pixel = 16µm である。倍率は 1 倍である。

3.2.3 倍率評価
吸収イメージングの光学系設計の概要は図 3.8 に示した通りで、設計上の結像倍率は 1倍であるが、これはあくまで設計上の理論値であり正確な値ではない。そのため光学系を組んだあとに倍率を評価する必要がある。倍率評価のための実験の概要は図 3.12 の通りである。まず距離を正確に測定することができるターゲット (今回はものさし) を用意
し、ミラーを用いてターゲットでの散乱光が CCD カメラ上で結像するように配置する。
レンズの相対距離を変化させなければ結像倍率は変化しないはずなので、このターゲッ
トが何倍の像として結像されているかを測定すれば原子のイメージングの倍率もわかる。
ターゲットに用いるものは要求されるスケールで正確に距離を測定できるものであれば何でも良い。CCD カメラで撮影した画像を解析し、単位長さを表す pixel 数を求めれば倍率が得られる。測定した結果、今回のイメージング系は 0.996 ± 0.004 倍であるとわかった。以下、測定結果として示す原子雲のサイズは全てこの倍率を反映させたものになっている。

3.2 イメージング

37

図 3.11 吸収イメージングによって得られたデータとフィッティング結果を z 軸方向に積分したグラフ

図 3.12 イメージング倍率評価のための光学系概要

3.2.4 温度評価
吸収イメージングによって原子の密度分布を求められることを述べたが、TOF 法を用いることで原子の温度を評価することもできる。冷却された原子のトラップポテンシャル
を瞬間的に切ったとき、原子はその温度に依存した速度で等方的に広がっていく。トラッ
プされている原子が 3 次元ガウシアンの形状であると仮定すると、トラップを切ってから

第 3 章 実験

38

図 3.13 CCD カメラで撮影したものさしの散乱光。縦軸横軸ともに単位は pixel。

16µm/pixel の CCD カメラを使用。実物のものさしが 1 目盛り 1mm であるので、そこから倍率を計算することができる。

時間 tTOF だけ経過したときの測定される原子雲のサイズ σc は、

σc2 = σ02 + vσ2 t2TOF(3.9)の関係式で表される。ここで σ0 はトラップを切った直後 (tTOF = 0) の雲のサイズであり、vσ =√

kB T /m は温度に依存した原子雲の膨張速度である。この式より、tTOF を設定し、σc , σ0 を実験によって測定できれば、原子の温度 T を求めることができる。これらの σ の値は式 3.7 を用いて行ったフィッティングの結果を用いる。

σ0 を測定せずに温度を評価したい場合は、異なる tTOF で実験を 2 度行えばよい。吸
収イメージングを tTOF1 , tTOF2 の経過時間で行ったときの原子雲のサイズをそれぞれ

σc1 , σc2 とすると、上式より以下の 2 式が成り立つ。
2σc1= σ02 + vσ2 t2TOF1
2
σc2= σ02 + vσ2 t2TOF2(3.10)

3.2 イメージング

39

辺々引いて、温度 T について解くと、

T =

2
2
σc2
− σc1
m
2
2
tTOF2 − tTOF1 kB(3.11)となり、トラップ解放直後のサイズを測定する必要がないことがわかる。これは、σ0 が小さすぎることによる誤差や、トラップの非等方性の影響を緩和するのに効果的である。
以上の議論から、トラップ解放後の原子雲のサイズは式 3.9 に従うことが分かった。実験で温度を高精度に求めたい場合は複数の tTOF に対するデータを測定し、式 3.9 を用いてフィッティングする方法が用いられる (図 3.14)。

図 3.14 複数回の吸収イメージングによる温度評価の例。横軸が TOF の時間、縦軸が原子気体をガウシアンでフィッティングしたときの 1/e 半径、青線がフィッティン
グ結果である。

第 3 章 実験

40

3.3 MOT
3.1 で用意した光を用いて 2DMOT および 3DMOT を生成する。我々の実験装置は図3.15 のようになっている。まず、高真空側 (〜10−6 Pa) にオーブンがあり 350 ℃に温められている。そこから 6 Li 原子気体が蒸発して 2DMOT 領域に入る。2DMOT で一時的にトラップされた原子は Push 光によって差動排気管を通り、超高真空側 (〜10−10 Pa) に送られる。そしてガラスセルの中で 3DMOT によってトラップされるという構造である。
以下では、MOT における各パラメータの最適化と、その結果得られた冷却原子の評価について述べる。

図 3.15 冷却原子実験装置の概略図

3.3 MOT

3.3.1 MOT 最適化
Gray Molasses Cooling の効果をより精度よく調べるために、MOT を最適化することは必要不可欠である。ここでは、3DMOT で捕獲できる原子数が最大になるようにビームのパス、周波数、磁場などを最適化した。我々の装置は 2DMOT から Push 光で 3DMOT側へと 6 Li 原子を送り冷却原子を生成するので、まず 2DMOT および Push 光のアライ
メントを最適化したあと、3DMOT のアライメントを最適化、最後に周波数と磁場を最適化し MOT 原子数が最大になるように調整する。MOT 光の周波数および磁場の強さ
は、光軸合わせの段階である程度最大になるように調整するが、最終的には Cooling 光
周波数、Repump 光周波数、磁場の 3 つのパラメータを 3 次元的に掃引しながら最適値となる組み合わせを求める。その結果、磁場勾配:16.02 Gauss/cm(軸方向),Cooling 光離
調:−5.8Γ,Repump 光離調:−5.2Γ で原子数が最大となることが分かった (図 3.16)。よく見ると Cooling 光離調:−5.8Γ,Repump 光離調:−2.5Γ 付近にも第 2 ピークが見られるが、これら 2 つのピークは 2DMOT,3DMOT のどちらかの最適点を表していると考えている[17]。

図 3.16 MOT 光周波数および磁場勾配最適化。カラースケールは吸収イメージングによって求められた MOT 原子数を表している。赤色のエリアが最適点である。画像は磁場勾配 16.02 Gauss/cm(軸方向) で実験したものである。

41

第 3 章 実験

42

MOT 原子数評価
最適化された MOT の原子数を評価するために、3.2 で述べた方法で吸収イメージング
によって原子数を求めた。その結果、原子数は NMOT,im = 1.0 × 107 個と求まった。

MOT 原子数の評価はイメージングによって行うことも可能だが、荒い精度で良ければ
図 3.17 のようにして MOT の蛍光をレンズで集光しフォトディテクタで観測することでも行える。図 3.18 は、ある瞬間から MOT 光を照射し MOT に原子が蓄積されていく過程の蛍光をオシロスコープで観測した結果 (赤線) とそのフィッティング (青線) である。
フィッティング関数は下式である。

()
V (t) = a 1 − e−(t−t0 )/τ + b(3.12)

このフィッティング係数 a は、原子数 N に比例するはずであるので、この a が最大になるように調整すればよい。ディテクタに入ったシグナルを用いて原子数を評価することができる。ディテクタから出力されるシグナルは以下の式で表される。

(シグナル) = (原子数) × (散乱率) × (1 光子エネルギー) ×(立体角)× (ディテクタ倍率)
4π(3.13)

散乱率は、

R=

I/IsatΓ
2 1 + I/Isat + 4δ 2 /Γ2(3.14)

で計算される。今回は、Cooling 光 (D2 線) と Repump 光 (D1 線) のそれぞれの散乱率を計算し、その平均の値を採用した。1 光子エネルギーは E = hν であり、h はプランク定数、ν は光の周波数である。立体角は、MOT 点光源から見たレンズの面積を計算する
ことで求まる。ディテクタの倍率はあらかじめパワーがわかっているレーザー光をディテクタに入れ、そのときの出力電圧を測定することで決定した。3.13 を原子数について解くと、原子数は NMOT,ﬂ = 3.4 × 108 個であると求まった。この方法があくまで概算程度の精度しか得られない理由として、散乱レートが MOT 光の強度に依存することがあげられる。すなわち、MOT 光の強度揺らぎが測定に影響するので、より正確な原子数の測定を行うには吸収イメージングを用いる方が良い。
今回、2 通りの方法で原子数を求めたが、その結果

NMOT,ﬂ= 34
NMOT,im(3.15)と大きな差が生じた。イメージングでの評価に考えられる要因としては、Probe 光の周波数が共鳴周波数と一致していない、Repump 光による汲み上げがうまく働いていないな
どが考えられる。原因を入念に調査したが、現時点では結果は変化していない。蛍光からの評価に考えられる要因は、散乱レートを低く見積もりすぎていることがあげられる。
以下ではイメージングから求めた値を原子数として用いる。ただし、式 3.15 にも見られるように、蛍光から求めた原子数との間に 34 倍の差があり、原子数を過小評価している可能性があるので注意する。原子数の誤差については、次の節で説明する。

3.3 MOT43

図 3.17 MOT 蛍光をフォトディテクタで観測する方法の概略図

図 3.18 フォトディテクタで観測した MOT 蛍光のシグナルとそのフィッティング

MOT 原子数安定度評価
MOT 原子数が長期的に安定であることは、繰り返し実験を行う際の再現性を高めるために重要である。原子数の評価には、2 つの評価による差によって大きな不確定性が生じたが、原子数の揺らぎは吸収イメージングによって得られる OD の揺らぎを測定することで評価できると考えた。吸収イメージングによる原子数測定を 30 回行い、測定結果の平均値と標準偏差を求めた。その結果、(標準偏差)/(平均値) ≃ 0.10 と求まった。図 3.20
が実際のデータである。
これより、MOT 原子数は NMOT,im = (1.0 ± 0.1) × 107 となった。

第 3 章 実験

44

図 3.19 3DMOT の写真。ガラスセル中央で赤白く光っているものが MOT に捕獲された 6 Li 原子である。原子が MOT 光を吸収し、自然放出したときの蛍光を見ている。Li の共鳴光の波長は 671nm で可視領域なので MOT の蛍光を肉眼で容易に確認できる。

図 3.20 吸収イメージングによる 30 分間の MOT 原子数測定。青線が平均値である。
この実験では短いローディング時間で評価したために、平均値が原子数評価の値より小さくなっている。

3.3 MOT45

MOT 温度評価
3.2 章で述べた TOF 法で最適化後の MOT の温度評価を行った。tTOF を 200µs から
1600µs まで 200µs ずつ変化させて密度分布を測定し、式 3.9 でフィッティングを行う。
図 3.21 が実際の実験データである。フィッティングの結果、トラップ解放後の 1/e 半
径 σ0 = 0.90 ± 0.05mm、熱膨張の速さ vσ = 1.65 ± 0.03m/s と求まり、MOT の温度は1.98 ± 0.04mK と求まった。

図 3.21 MOT 解放後、tTOF を変化させながら測定した原子雲の σ 。青線がフィッ
ティング結果である。

MOT 位相空間密度評価
位相空間密度は冷却原子実験において重要なパラメータである。位相空間密度 ρ は、原√子数密度 n, ド・ブロイ波長 λDB = h/ 2πkB T M を用いて

ρ = n × λ3DB

(3.16)と表される。N 個の原子が 3 次元ガウス分布にあるとき、中心密度 n0 を用いて以下の式が成り立つ。

∫ ∞∫ ∞∫ ∞N = n0

−∞

(∫ ∞
= n0
= n0 π−∞eσ̄∴ n0 = N π −3/2 σ̄ −32−∞−u2 /σ̄ 2

−∞
3/2 3

e−x /σx e−y /σy e−z /σz dxdydz
)3
du

2

2

(

2

2

2

1/3

∵ σ̄ = (σx σy σz ))(3.17)

第 3 章 実験

46

σ̄ はトラップ解放直後のガウス半径 σ0 を用いればよく、さらに冷却原子の原子数 N 、温度 T が分かれば位相空間密度が求められる。MOT 原子数 NMOT,im = 1.0 × 107 、温度

1.98mK、σ0 = 9.0 × 10−4 m を用いて MOT での位相空間密度 ρMOT を計算すると、およそ 9.9 × 10−9 と求まった。

3.3.2 MOT まとめ設計した光学系によって、MOT で原子をトラップし冷却することに成功した。原子数が最大になるように Cooling 光,Repump 光の周波数および磁場の大きさを最適化した。その結果、磁場勾配:16.02 Gauss/cm(軸方向),Cooling 光離調:−5.8Γ,Repump 光離
調:−5.2Γ で原子数が最大となることが分かった。この条件で原子数を 2 通りの方法で評価し、吸収イメージングによる評価方法では NMOT,im = 1.0 × 107 、蛍光による評価方法では NMOT,ﬂ = 3.4 × 108 と求まった。以下の評価には吸収イメージングによって求まった原子数を用いる。温度は 1.98 ± 0.04mK であり、位相空間密度 ρMOT はおよそ9.9 × 10−9 であった。

3.4 CMOT

3.4 CMOT
3DMOT の段階で 2mK 程度にまで 6 Li 原子を冷却することに成功したが、Gray
Molasses Cooling に移る前に CMOT を行うことによってより温度を下げられる。また、
CMOT は原子をより狭い領域に圧縮することができるので位相空間密度が高くなると同時に、Gray Molasses への移行効率も向上することが期待できる。CMOT は 3DMOT
によって原子が捕獲された後、Cooling 光、Repump 光の強度と周波数を時間的に変化させると同時に、磁場勾配を強くすることで行われる。各パラメータの決定のために、3DMOT と同様に最適化を行った (図 3.22 参照)。ここでは、位相空間密度が最も高くなるように最適化した。最適化によって決定した CMOT のタイムテーブルは図 3.23 である。

図 3.22 CMOT パラメータ最適化の例。Cooling 光強度と周波数の最終値を変化させ最適パラメータを探す。カラースケールは tTOF = 1ms での原子の 1/e 半径 σ を表しており、σ が小さいほど温度が低いことを表している。紫色で示されている領域が最も温度が低い。この例だと、Final Intensity = 0%, Final Detuning = -2.7Γ 付近にピークが見られる。

47

48

第 3 章 実験

図 3.23 CMOT における各パラメータ変調のタイムテーブル。図は簡単のために線形に変化している図を用いているが、実際には変化の次数も最適化し、実装している。

3.4 CMOT
最適化後に、MOT と同様に原子数、温度、位相空間密度を評価した。イメージングに
よって原子数を求めたところ、NCMOT,im = (9.1 ± 1.3) × 106 であった。MOT からの移行効率は NCMOT,im /NMOT,im = 0.91 ± 0.13 である。図 3.24 に、TOF 法による測定の結果を示した。比較のために MOT でのデータも同時にプロットしてある。フィッティ
ングの結果、σ0 = 350 ± 26µm, vσ = 1.061 ± 0.009m/s と求まり、温度は 786 ± 11µK であった。これらの結果から、位相空間密度 ρCMOT はおよそ 6.2 × 10−7 で、MOT と比較すると ρCMOT /ρMOT = 63 である。

図 3.24 MOT および CMOT の TOF 法による広がりの測定。赤：MOT の測定デー
タとフィッティング、青：CMOT の測定データとフィッティング。

49

第 3 章 実験

50

3.5 Gray Molasses Cooling
ここまでで用意できた MOT、CMOT による冷却原子をさらに冷却し位相空間密度を高めるために Gray Molasses Cooling を適用させる。
まず、Gray Molasses Cooling に関するパラメータについて定義を確認する。図 3.25
は Gray Molasses の 2 つの光と離調についての図である。 Gray Molasses Cooling 光とGray Molasses Repump 光の離調をそれぞれ δc , δr とする。相対離調 ∆ は、
∆ = δr − δc(3.18)と定義する。また、δc は全体の離調 (絶対離調) として δall と呼ぶことにする。Cooling
光と Repump 光の強度はそれぞれ Icool , Irep と表記する。CMOT のあと Gray Molasses

Cooling を開始するまでの遅延時間を ∆t、その後 Gray Molasses Cooling を続ける時間の長さを持続時間 τ とする。水平面上で probe 光の入射方向を x 軸、水平面上でこれに垂直な向きを y 軸、鉛直上向きを z 軸と定義し、それらの方向に加える補正磁場の大きさをそれぞれ Bx , By , Bz とする。
これらのパラメータが Gray Molasses Cooling の冷却効率に影響を与える可能性が高いと考え、実験で検証した。その結果を以下に記す。

図 3.25 Gray Molasses Cooling に用いる 2 つの光とそれらの離調

3.5 Gray Molasses Cooling51

3.5.1 相対離調
初めに、2.2 節で述べた相対離調を検証する。まず、δall = 5Γ を固定し、∆ を変化させたとき、冷却に対してどのような影響があるかを測定した。図 3.26 が実験結果である。
これを見ると ∆ = 0.05Γ 付近で温度が最も低くなっている。∆ < −0.05Γ においては冷却効率が著しく悪く、原子をイメージングすることができなかった。包絡線の広がり幅が自然幅 Γ より狭いことがわかるが、これは 2 光子遷移由来の冷却効果であることを示している。ドップラー冷却との比較のために、CMOT Cooling 光の最終離調に対する温度の応答と Gray Molasses Cooling の相対離調に対する温度の応答を同じ周波数スケールで表したものを図 3.27 に示す。
図 3.26 を見ると、そのピークは ∆ = 0 から少しずれた点にあった。これはライトシフトの影響であると考えられる。式 2.36,2.41 に実際の値を代入しライトシフトによる共鳴のずれを計算したところ、0.13Γ と求まった。オーダーは一致しているが 3 倍程度異なっている。計算でクレブシュ・ゴルダン係数は 1 としたが、実際には暗状態があることやより低い係数の遷移があることから実効的に 1 より小さい値になっていることが考えられ、それによって実験値との差が生じたと考えられる。

図 3.26 相対離調と温度の関係

第 3 章 実験

52

図 3.27 Gray Molasses 相対離調に対する温度の応答と CMOT Cooling 光最終離調に対する温度の応答の比較

3.5 Gray Molasses Cooling

3.5.2 絶対離調と Gray Molasses Cooling 光強度
次に、全体の離調と Gray Molasses Cooling 光の強度との関係を調べる。3.5.1 節の結果より、∆ = 0.05Γ の条件の下で実験を行った。今回設計した光学系では図 3.4 のAOM1,AOM3 がそれぞれ全体の離調, 相対離調を独立に操作できるため便利である。図3.28 に測定結果を示した。これによると、δall = 4.5Γ, Icool = 1.5Isat (Irep = 7Isat ) で位
相空間密度が最も高くなるということが分かった。絶対離調が小さく強度が高い範囲において位相空間密度が非常に悪くなっているが、これは正の離調の光が原子によって散乱する場合、ドップラー効果によって原子を加速させる性質があり、その効果が働いているのではないかと考えている。

図 3.28 Gray Molasses Cooling 光の全体離調と強度の関係。カラースケールは最適化のための Gray Molasses Cooling 後の相対的な位相空間密度を表している。これを見ると δall = 4.5Γ, Icool = 1.5Isat 付近にピークが存在することがわかる。

53

第 3 章 実験

54

3.5.3 Repump 光強度
今回設計した光学系では、Gray Molasses Cooling 光の強度を変化させるとそれに伴って Gray Molasses Repump 光の強度も変化する。そのため、3.5.2 節で Cooling 光の強度を変化させながら測定したとき、Repump 光の強度も変化している。ここでは、図 3.4 のAOM3 の回折率を変えることで、Cooling 光強度を一定に保ったまま Repump 光の強度を変化させる。2 つの光の離調および Cooling 光強度はすでに最適化した値で実験を行った。実験の結果が図 3.29 である。まず、Repump Intensity が 4.5Isat よりも小さい範囲
では冷却効率が非常に悪くすぐに拡散してしまい解析不可能であった。それ以上の範囲では Repump 光強度が増加するにつれて原子数は大きくなり、温度は減少する傾向が見られている。温度はある一定値に漸近しているようにも見えるが、原子数で評価すると明らかに十分な強度が得られているふるまいではない。現在の光学系では得られる Repump
光強度は最大で 7Isat が限度であるので、Repump Intensity は 7Isat で固定する。

図 3.29 Gray Molasses Repump 光強度と温度、原子数の相関3.5 Gray Molasses Cooling

3.5.4 遅延時間, 持続時間
まず、遅延時間を ∆t = 0 とし、τ の値を変化させ、冷却にどのような影響があるか調べた。図 3.30 は、その実験の結果である。これを見ると約 500µs までは原子の温度が上昇し、加熱の効果が働いていることがわかる。その後、1200µs 付近でわずかに最も冷えるピークがあり、それ以降の温度は少し高くなるが、おおよそ一定の値を保っている。位相空間密度で評価し、最適な持続時間は τ = 1200µs と求まった。τ < 500µs での加熱の原因は、MOT コイルに流れる電流を切るときにかかる時定数に由来する残留磁場による影響などが考えられる。この加熱の効果を減らすために、∆t = 500us として加熱が活発な時間が経過してから Gray Molasses Cooling を行うことを試みた。しかし、最低到達温度及びそのときの位相空間密度に変化がなかったため、∆t = 0 で固定した。

図 3.30 Gray Molasses Cooling 持続時間による温度への影響

55

第 3 章 実験

56

3.5.5 補正磁場
外部磁場によるゼーマン効果によって磁気副準位が成すポテンシャルの山が形状を変え、冷却効率に影響を与えるかもしれない。Gray Molasses Cooling におけるポテンシャルの山の高さは周波数に換算しておよそ数 MHz である。ボーア磁子 µB ≃1.4MHz/Gauss であることを考えると、数百 mGauss の磁場でポテンシャルの山の高さに対して無視できない摂動を加えることになる。数百 mGauss 程の大きさを持つ地磁気をはじめ、あらゆる定常的な外部磁場を打ち消すために補正磁場を製作した。図 3.31,3.32が製作した実物の補正コイルである。x,y,z の全ての方向に対して定常磁場を作り出せる
ヘルムホルツコイルを製作した。全ての補正コイルは 1A で 2Gauss の磁場を作り出す設計になっており、計算通りの磁場を作っていることも確認した。

図 3.31 補正コイル (x,z 軸)

図 3.33,3.34,3.35 は、それぞれ x,y,z 軸の方向にかける補正磁場の大きさを変化させた
ときの冷却効率を示したものである。縦軸左は 3ms の TOF のあとに撮影した原子の 1/e半径であり、温度と正の相関がある。縦軸右は原子数である。y 軸,z 軸については特に温度にわかりやすいピークがあるが、x 軸についてはピークが見られなかった。位相空間
密度が最も高い点である Bx = 50mG, By = 150mG, Bz = 250mG をそれぞれ最適値とした。

3.5 Gray Molasses Cooling57

図 3.32 補正コイル (y 軸)

図 3.33 x 軸方向の補正磁場と冷却効率の相関第 3 章 実験

58

図 3.34 y 軸方向の補正磁場と冷却効率の相関

図 3.35 z 軸方向の補正磁場と冷却効率の相関3.5 Gray Molasses Cooling

3.5.6 Gray Molasses 評価
ここまでで、各パラメータによる冷却効率への影響を調べることができ、最適なパラメータが得られた。この条件で、最終的な Gray Molasses Cooling の移行効率、温度、位
相空間密度を評価した。
まず、Gray Molasses Cooling 後の原子数は NGM,im = (3.9 ± 0.6) × 106 個であった。
移行効率は NGM,im /NCMOT,im = 0.43 ± 0.07 と求まった。
温度は MOT,CMOT 同様 TOF 法によって測定した。図 3.36 が測定結果で、フィッティングによって、σ0 = 631 ± 7µm, vσ = 0.476 ± 0.003m/s と求まった。これより、温度は 164 ± 4µK であった。位相空間密度 ρGM は 4.8 × 10−7 となり、CMOT 後との比は、ρGM /ρCMOT = 0.77 であった。

図 3.36 MOT,CMOT,Gray Molasses 後の原子雲の TOF の様子。点は測定データであり、実線はフィッティング結果である。赤：MOT, 青：CMOT, 緑：Gray Molasses

59

第 3 章 実験

60

3.6 実験結果考察設計した光学系によって MOT, CMOT, Gray Molasses Cooling を行い、冷却効果が現れることを確かめた。
まず、MOT,CMOT は過去の実験結果 ([17] 参照) と比較すると温度が高い値になってしまった (MOT で約 2 倍、CMOT で約 3 倍)。原因の究明に尽力したが、改善は見られなかった。この時点での冷却効率の悪さは Gray Molasses Cooling の冷却効率にも悪影響を与える可能性が高く、今後改善していく必要がある。具体的な改善方法としては、

MOT 時点で最適化した光のパスは原子数が最大になるように調整されていたが、他の評価基準 (位相空間密度、温度、磁場中心との距離など) で再度最適化しなおし、その後他のパラメータについても最適化すると良いかもしれない。

Gray Molasses Cooling において相対離調 ∆ は自然幅 Γ より狭い範囲で冷却効率に対して変化をもたらす、敏感なパラメータであることが分かった。ただし、∆ が 0 から離れた領域 (∆ > Γ) でも 2 準位系で議論した Gray Molasses Cooling の効果があると期待されていたが、それは見られなかった。その原因として、Gray Molasses Cooling 開始時
点 (CMOT 直後) での温度が高いことが考えられた。その推測が妥当であるか考えるために、最適化された条件での Gray Molasses 場でのポテンシャルの山の高さを見積もった。
近似なしのライトシフト (式 B.16) に実際の値 (Repump 光強度 Irep = 7Isat と絶対離調δall = 4.5Γ) を代入したところ、山の高さは温度に換算して 112µK と求まった (Cooling
光のパラメータで計算すると 105µK であった)。1 回の冷却サイクルで山の高さと同じ温度を失うと仮定すると冷却サイクルをおよそ 6 回行えば CMOT 直後の温度から Gray

Molasses 後の温度に冷えると考えられる。ここで、単純な 2 準位系での散乱レート
Rscatt =ΓΩ2 /2
2 δ 2 + Ω2 /2 + Γ2 /4(3.19)に δ = 4.5Γ, Ω = Γ を代入すると、Rscatt = 0.01Γ となった。原子が持つ速さを CMOTの TOF フィッティング結果 v = 1.061m/s を用いると、6 回の冷却サイクルが行われるまでに原子が移動する平均の距離 d は

d=6×v
Rscatt1.061
0.01 × 5.8724 × 106≃ 1.1 × 10−4 m=6×(3.20)= 110µmと求まった。Gray Molasses Cooling 光のビームの半径は 6mm であり d に比べて大きいが、実際には暗状態の影響で今回の計算より散乱レートが小さいことが予想され、ビームの範囲から外れる原子がある可能性が高くなってくるかもしれない。そうなると移行効率の低下や、密度の低下につながるのでやはり CMOT 直後の温度を低くすることは重要であると考える。

3.6 実験結果考察
強度依存性について、Repump 光の強度が Cooling 光の強度よりも高いときに高い冷却効率を示していたが、これは先行研究で報告されている結果と異なっている。その点についてもなぜそのような違いが生じたか検証していきたい。Gray Molasses Cooling の持
続時間は 1200us で最適であり、それ以上の持続時間でも温度が変化しないのは偏光勾配のポテンシャルの山の高さが原子の運動エネルギーの大きさと同等になっていることを示していると考えられる。そのため、τ > 1us の時間において、光の強度及び離調を時間変化させ、ポテンシャルの山の高さを低くすることができれば更なる冷却が望めるかもしれない。補正磁場は特に y 軸と z 軸方向に依存性が見られた。0〜1Gauss の変化で、温度に 20% 程度の影響を与えるので、やはり補正すべきである。現時点で、Gray Molasses

Cooling 後の位相空間密度は CMOT 直後と比較して 0.77 倍と悪くなってしまった。温度は 164 ± 4µK であり、CMOT の温度を下回ったが、6 Li のドップラー限界を下回ることができなかったので、まだ満足な冷却効率を得たとは言えない。特に原子数の移行効率が低いので改善する必要がある。

61

62

第4章

まとめと展望本論文の成果は、MOT と Gray Molasses Cooling を両立する光学系の設計と Gray

Molasses Cooling の実装の結果をまとめたことである。
第 2 章では、Gray Molasses Cooling についての理論を述べた。MOT での冷却にはドップラー冷却限界 (6 Li で 140µK) が存在するが、Gray Molasses Cooling はドップラー限界以下の温度にまで冷却ができる Sub-Doppler Cooling の一種であった。多くのアルカリ原子に対してしばしば用いられている負の離調の偏光勾配冷却は、6 Li 励起状態の超微細構造の狭さゆえに適用することができない。対して、正の離調の光を用いる Gray

Molasses Cooling は 6 Li 原子に対しても有効である。その冷却原理に関しては、2 準位
系、3 準位系に分けて考えることで異なる 2 つの冷却のメカニズムを理解した。2 準位系
での議論は、空間的に偏光に勾配ができた場を考え、選択則による暗状態や、クレブシュ
ゴルダン係数の違い、それに伴うライトシフトの差などを考えることで理解できた。2 準位系で考えた Cooling 光に加えて Repump 光を考慮することによって 3 準位系成されるが、この状況において冷却された原子が重ね合わせによる暗状態に入りやすく、結果としてより効率の良い冷却サイクルが生じる。これは、2 つの光の離調が等しい (∆ = 0) というラマン条件を満たしているときに成り立つものであった。6 Li 原子においては D1 遷移の F = 3/2 ↔ F ′ = 3/2 と F = 1/2 ↔ F ′ = 3/2 の 2 つの遷移を利用することで実現できる。
第 3 章では、光学系の設計から Gray Molasses Cooling 実験の結果まで、全ての実験についてまとめた。MOT と Gray Molasses Cooling を両立できる光学系を設計し、実装した結果を示した。MOT の段階では温度が 1.98 ± 0.04mK、位相空間密度は 9.9 × 10−9 であった。CMOT を行うことによって、温度は 786 ± 11µK、移行効率は 0.91 ± 0.13 であり、位相空間密度は 6.2 × 10−7 で、MOT と比較すると 63 倍であった。Gray Molasses

Cooling を行うと温度は 164±4µK になり、移行効率は NGM,im /NCMOT,im = 0.43±0.07であった。位相空間密度は 4.8 × 10−7 で、CMOT 直後の 0.77 倍であった。
今後は、まず冷却効率をさらにあげるために MOT、CMOT、Gray Molasses Cooling
全ての段階での最適化をより入念に行い、ドップラー限界を下回る温度で、かつ位相空間
密度が CMOT から 1 桁向上させられる程度の冷却効率を目指したい。そのうえで、今回

63は検証しなかった時間変化 Gray Molasses Cooling や光トラップ中での Gray Molasses

Cooling などに挑戦したい。これらを達成すれば冷却原子生成における非常に重要な技術として研究に大きく貢献するだろう。

64

付録 A

ヨウ素分子安定化 ECDL
冷却 Li 原子気体は分子の束縛状態を利用し、外部磁場を与えることでフェッシュバッ
ハ共鳴により粒子間の散乱長を操作できる。さらに、光を用いると有効長をも独立に制御できることが近年提案されており [18][19]、我々も次世代の量子シミュレーション実験の実現に向けて取り組んでいる。目的のフェッシュバッハ共鳴を操作するための光の周波数
は原子の共鳴周波数から 1000GHz 以上離れており、原子遷移から直接オフセットロックなどで光源を安定化するのが難しいという問題がある。また、SHG を用いた 2S → 3P 遷移の共鳴周波数の光をつくるための種の光も Li の吸収線で安定化することは難しく広い波長領域で使用可能な周波数安定化システムが必要である。。
広い波長領域での周波数安定化システムとしては、周波数コム、超低熱膨張率ガラスを用いた ULE 共振器、波長計、ドップラーフリー分子分光などが挙げられる。我々はこの中でも比較的実装に時間がかからず、低コストで複数個の導入も可能なドップラーフリー
分子分光の方法を選択した。ヨウ素分子は可視-赤外領域に多くの吸収スペクトルを持っており、必要となる波長領域でも吸収線が複数存在しているので我々の実験に最適である。そのためヨウ素分子気体を用いてレーザーの周波数を安定化しようと考えた。
ここでは、671nm 付近のヨウ素分子気体の吸収線を用いた光源の安定化について述べる。その手段として用いたロックインアンプの理論についても軽く説明する。

A.1 ヨウ素分子の光学遷移
本実験で周波数安定化に用いたヨウ素分子の吸収線は電子基底状態から第二電子励起状態への遷移 (B ← X 遷移) のうちのひとつである。この B ← X 遷移スペクトルはGerstenkorn らによって出版された標準スペクトル集 [20] に記載されており、1480020000cm−1 の範囲に多くの吸収が見られることがわかる。ヨウ素分子 B ← X 遷移の吸収は、電子の全角運動量量子数 J 、基底状態の振動状態量子数 v ′′ 、励起状態の振動状態量
子数 v ′ によって指定される。今回見た吸収スペクトルに対して、これらの量子数を特定するために以下で議論する。また、その吸収線をドップラーフリー分光を用いて観測した
場合に得られる超微細構造についても考える。詳しい議論は [21] を参照されたい。

A.1 ヨウ素分子の光学遷移

65

A.1.1 吸収線の数値計算
本研究で周波数安定化に利用する吸収線はヨウ素分子 B ← X 遷移である。この吸収線の周波数を数値的に求める手法を述べる。
まず X,B 状態それぞれのポテンシャルを原子間距離 R の関数として求める。ここでは、原子核が電子よりはるかに重いことで導入できるボルン-オッペンハイマー近似を用いている。[22][23]有効分子ポテンシャルは、以下のように短距離、中距離、長距離の 3 つの区間に分けて考える。

Vmol (R) = AI exp (−BI (R − RI ))(R < RI )(RI ≤ R ≤ Ro )R − Rmi = 0, 1, 2, · · · , X =R + bRm
Cn
Vmol (R) = De − Σn n − AO exp (−BO (R − RO ))
R

(A.1)

Vmol (R) = Σi ai xi(A.2)(R > RO )(A.3)

ここで、R は原子核間距離である。その他のパラメータは X 状態、B 状態に対して独立にフィッティングによって決められる。今回は、[22] に記載されている値を用いた。この
有効分子ポテンシャルに加えて、電子の全角運動量 J に依存する遠心力項、

Vrot =ℏ2 [1 + α(R)]J(J + 1)
2µR2

(A.4)

を考慮する。これによって有効ハミルトニアンは、ℏ2 ∂ 2+ Vmol (R) + Vrot (R)2µ ∂R2ℏ2 ∂ 2=−+ Veﬀ (R)2µ ∂R2Heﬀ = −

(A.5)

であり、解くべきシュレディンガー方程式は

[ 2 2
]
ℏ ∂
−
+ Veﬀ (R) ψn (R) = En ψn (R)2µ ∂R2(A.6)となる。これを無次元化すると以下の式になる。

]∂2+ Q(R) ψn (R) = 0∂R22µQ(R) = 2 (En − Veﬀ (R))
ℏ
[

(A.7)

この形はヌメロフ法 [24] を用いた数値計算が可能であり、固有値と固有状態を求めることができる。

付録 A ヨウ素分子安定化 ECDL

66

A.2 ヨウ素分子飽和吸収分光
A.2.1 飽和吸収分光
まず初めに、図 A.1 の系でヨウ素分子の飽和吸収分光を試みた。ECDL からは約20mW の光が出射されており、その後 TA によって 100mW 程度にまで増幅されている。
pump 光に 100mW,probe 光に 1mW のパワーを用い、FM 分光法 [25] によって飽和吸収の微分信号も同時に取得している。これによって得られたシグナルが、図 A.2 である。
微分信号を見ると僅かな飽和が確認できるが、透過光強度ではほとんどわからない。これは周波数安定化に用いるエラーシグナルとしては小さすぎるため、ロックインアンプを用いて超微細シグナルの検知を試みた。

図 A.1 ヨウ素分子飽和吸収分光のセットアップ。pump 光 100mW、probe 光 1mWのパワーで実験している。セル本体はヨウ素分子の振動状態の占有数を調整し、吸収量を増やすために 240 ℃に保っている。cold ﬁnger はその温度によってセル内部の飽和蒸気圧を調整できる。

A.2 ヨウ素分子飽和吸収分光

図 A.2 飽和吸収分光によって得られた透過光強度とその微分信号。[上] 透過光強度:731MHz の半値全幅を持ったドップラー広がりが見られる。飽和吸収分光を行っているのでラムディップが見られるはずだが確認できない。[下] 微分信号:上と同時に測定した、上の信号の微分信号。灰色点線付近に小さな飽和が見られる。フィードバックのためのエラーシグナルに用いるには少なくとも電圧ゼロを交差する大きさのシグナ
ルが必要である。

67

68

付録 A ヨウ素分子安定化 ECDL

A.2.2 ロックインアンプを用いた飽和吸収分光
前小節で得られたシグナルは非常に小さく、周波数安定化のためのエラーシグナルにはならない。そこで、ロックインアンプを用いて大きなシグナルを得ようと試みた。セット
アップは図 A.3 の通りである。図 A.1 との変更点は、まず pump 光が AOM によって 1
次回折されている。pump 光のパワーは AOM 回折後で 100mW になるように調整されている。その回折光は 40kHz の周期で ON/OFF する矩形波として出力されている。すなわち、pump 光が 40kHz の周期で強度変調されてヨウ素セルに入射されている。次に、微分信号はロックインアンプに入力されている。そして、回折光に強度変調をかけていた

40kHz の信号をロックインアンプのリファレンスに入力する。これによってロックイン
アンプは 40kHz で振動する成分のみを出力するので飽和によるラムディップの微分信号を大きなシグナルで得ることができる。図 A.4 がロックインアンプを用いて得られたヨウ素分子飽和吸収シグナルの微分信号である。図 A.2 と比べて大きく、強度ゼロを交差するような信号の取得に成功した。実際にこの信号を用いて、光源の周波数安定化を行った。右から 2 番目 (周波数 0MHz 付近) のシグナルに ECDL の周波数をロックし、オフ
セットロックによって冷却原子生成用の ECDL の周波数を安定化した [16]。この方法で安定化した ECDL によって 6 Li の 3DMOT に成功した。MOT が生成されているということはこの時点でも数 MHz 程度の安定度は保たれていると言える。

図 A.3 ロックインアンプを用いたヨウ素分子の飽和吸収分光。

A.2 ヨウ素分子飽和吸収分光

図 A.4 ロックインアンプを用いて得られたヨウ素分子飽和吸収シグナルの微分信号。

図 A.5 ヨウ素安定化 ECDL を基準としたオフセットロックによるレーザー冷却用光源の周波数安定化システム。

69

付録 A ヨウ素分子安定化 ECDL70

図 A.6 ヨウ素安定化 ECDL によるオフセットロックで安定化されたレーザーで生成された 6 Li の 3DMOT。白点線で囲まれた、セル中央に浮かぶ赤い点が 3DMOT である。

A.2 ヨウ素分子飽和吸収分光

71A.2.3 線幅の改善
A.2.2 で得られたヨウ素分子気体の超微細構造は線幅が太く、超微細構造が分解できていない。そこで以下の 2 点を工夫し細い線幅でのシグナルを得ようと試みた。線幅の評価には他の超微細シグナルとの周波数間隔が十分に大きい 3 つのシグナル a1 , a10 , a15 ([21]参照) を用い、ローレンツ関数の微分形でフィッティングして求めた線幅の平均値を使用
した。
衝突広がり
セル中の原子 (もしくは分子) が他の粒子と衝突することによって、吸収スペクトルが拡がることが知られている。これを衝突広がりという。衝突広がりを含んだスペクトルの半値幅 ∆ω は、∆ω = Γ + 2N σv̄

(A.8)と記述できる。ここで、Γ は自然幅、N は粒子数、σ は散乱断面積、v̄ は粒子の平均速度である。N はセル内の気体の圧力に比例している。すなわち、セル内の粒子の圧力が高くなるほど衝突広がりが大きくなる。ヨウ素分子分光実験に用いているセルには、coldﬁnger が取り付けられており、そこを温度制御することによってセル内の飽和蒸気圧を制御できる仕組みになっている。本実験では、図 A.7 のようにして cold ﬁnger を温度制御
し、セル内の圧力を調節した。cold ﬁnger の温度とセル内部の圧力はネルンストの公式によって関係づけられており、ヨウ素分子に対するパラメータも既に与えられている。[26]ヨウ素分子に対するネルンストの公式は以下の通りである。

log10 (P ) =−3512.830− 2.013 · log10 (T ) + 18.37971
T

(A.9)

P [Pa] は飽和蒸気圧、T [K] は cold ﬁnger の温度である。この式に従い、測定した cold
ﬁnger 温度からセル内部の圧力を求めた。cold ﬁnger の温度を 15 ℃から 65 ℃の範囲で変えていき、そのときの吸収線の線幅をフィッティングによって求め、横軸圧力、縦軸線
幅としてグラフにプロットした (図 A.8)。その結果、セル内部の圧力が大きくなるにつれて線幅が太くなる傾向が見られた。実験データを線形近似すると傾きは、4.7kHz/Pa であった。

付録 A ヨウ素分子安定化 ECDL72

図 A.7 ヨウ素分子セルの cold ﬁnger 温度制御の概略図。青点線で囲んでいる箇所がcold ﬁnger。cold ﬁnger を冷やすことによって固体のヨウ素分子がたまっていき、セル内部の蒸気圧を抑制する。

図 A.8 セル内の圧力と線幅の相関。圧力が高くなるにつれて線幅が太くなる傾向が見られた。

A.2 ヨウ素分子飽和吸収分光

73

パワーブロードニング
次に、入射光の強度によって線幅が太くなる現象であるパワーブロードニングの影響を調べた。パワーブロードニングを含んだスペクトルの半値全幅は、自然幅 Γ、飽和強度

Isat を用いて、(∆ωFWHM = Γ 1 +

I

)1/2

Isat

(A.10)と書ける。本実験では、probe 光パワーが約 1mW、pump 光パワーが約 100mW で実験を行っていたため、probe 光によるパワーブロードニングの影響は十分小さく無視できると仮定した。pump 光の強度を変化させていき、測定したシグナルの線幅をグラフにプロットした (図 A.9)。式 A.10 で、自然幅と飽和強度をフィッティングパラメータとしてフィッティングを行ったところ、飽和強度は Isat = 2599[mW/cm2 ] と求まった。

図 A.9 pump 光強度と線幅の関係。

付録 A ヨウ素分子安定化 ECDL

74

以上の方法で線幅を改善する前と後でヨウ素分子の吸収スペクトルがどのように変化したかを比較した。図 A.10 は上が改善前 (pump 光強度：100mW, cold ﬁnger 温度：65℃)、下が改善後 (pump 光強度：20mW, cold ﬁnger 温度：20 ℃) のヨウ素分子気体の吸収線である。これを見ると、改善後 (下) の-580MHz, -420MHz, -150MHz 付近のシグナルにより細かい構造が見られた。ただし、パワーブロードニングを抑えるために pump 光
強度を弱くしたことによって S/N 比は悪くなっていることが確認できる。

図 A.10 線幅改善の前後の比較。上が改善前、下が改善後。

A.3 ロックインアンプ
ロックインアンプとは、ノイズに埋もれてしまうほど微弱な信号を観測するために用いられる測定機器である。その基本的な原理はヘテロダイン技術であり、特定の周波数の信号を直流に変換し、ローパスフィルタを通すことで測定したい周波数の信号だけを見ることができる。

A.3.1 簡単な解釈
図 A.11 のような状況を考える。測定したい信号 sin(ωref t) をロックインアンプに入力する。同時に測定したい信号と同じ周波数の参照信号 sin(ωref t + δ) をロックインアンプの referense として入力する。これら 2 つの信号をミキサーで掛け算すると、

sin(ωref t) × sin(ωref t + δ) =1[cos δ − cos(2ωref t + δ)]2(A.11)

A.3 ロックインアンプ

75

図 A.11 ロックインアンプの簡単な構造

時定数 τ ≫ 2π/ωref のローパスフィルタを通すと出力 Vout は、Vout =

1
cos δ
2(A.12)となる。すなわち、入力と参照信号の相対位相によって出力が変化し、δ = 0 で最大出力となる。

図 A.12 ノイズのある信号を参照信号と掛け算したときこれだけでは微弱信号を検出できる理由がまだわからないので、入力に様々な周波数成分のノイズが乗っている場合を考える (図 A.12)。参照信号は上の場合と同じで、単一周波数の正弦波である。図のように 2 つの信号を掛け算すると測定したい周波数の信号のみが掛け算のあとで直流成分として取り出せている。これを時定数の大きいローパスフィル
タで取り出せば、ノイズを遮断して目的の信号だけを得ることができる。

付録 A ヨウ素分子安定化 ECDL

76

A.3.2 飽和吸収分光の場合
ロックインアンプを用いた飽和吸収分光を考える。目的の原子に対して probe 光、

repump 光を対向方向から重ね合わせて照射する。ただし、pump 光には (sin(ωref t)+1)/2で振動するような強度変調をかけておく。その probe 光をフォトダイオードで観測した
ときのシグナル Vin は、

Vin = VDoppler + VHFS

sin(ωref t) + 1
2(A.13)となる。VDoppler は、pump 光なしでの吸収スペクトルであり、いわゆるドップラー吸収のシグナルである。VHFS は pump 光が照射されることで生じるラムディップのシグナルである。今、周波数スイープの時間スケールを十分遅くしており、∂VDoppler ∂VHFS,≪ ωref∂t∂t(A.14)

が成り立っていると仮定し、VDoppler , VHFS は定数としている。Vin をロックインアンプに入力し、参照信号として Vref = sin(ωref t) を用いると、これらの積は、[]
sin(ωref t) + 1
Vin × Vref = VDoppler + VHFS
× sin(ωref t)
2
1= VHFS + O(ωref )2(A.15)となる。O(ωref ) は、ωref のオーダーで振動する成分を表している。このシグナルをカッ
トオフ周波数が ωref よりも十分に小さいローパスフィルタを通すことによって VHFS に比例したシグナルを得ることができる。

A.4 展望今回、ヨウ素分子のドップラーフリー分光に成功し、そのエラーシグナルを用いて3DMOT ができた。ただし、実用するにあたって解決すべき課題がいくつか残されている。まず、今回周波数安定化に用いたシグナルは複数の超微細構造の吸収線が混ざったものを使用していたことである。これは単に比較的信号の大きいシグナルを用いていたためであり、冷却原子実験に応用する場合は他の超微細シグナルとのオーバーラップが少ない
シグナル (a1 , a10 , a15 ) を用いるべきである。これらのシグナルを用いて周波数の安定度を評価していきたい。次に、ノイズの低減化が必須である。ロックインアンプの性質上、非常に小さなシグナルを増幅させて表示している。そのため分光に用いている光の強度揺らぎの影響がかなり大きくノイジーなシグナルが測定されている。強度安定化を施すなどして、ノイズの低減化に努めたい。その他に、今回のシステムに最適なフィードバック回
路の製作、セル本体温度の最適化、D 型ミラーを用いた複数回セルを通過する分光、TAを injection locking に変更するなどを行っていきたい。これらの課題が解決されれば、広い周波数領域での光源の周波数安定化システムとして満足に働くであろう。

77

付録 B

原子と光の相互作用
B.1 回転波近似
周波数 ω を持った単色のレーザー場

E(t) = ϵ̂E0 cos(ωt)(B.1)

を考える。ここで ϵ̂ は偏光単位ベクトルである。この電場に位置の依存性が無いことに注意する。このアプローチは双極子近似もしくは長波長近似と呼ばれる。これは、レーザー場の波長が原子サイズに比べて十分大きいとする仮定である。cos(ωt) をオイラーの公式を用いて書き換えると、)
E0 ( −iωte+ eiωt2(+) −iωt(−)= E0 e+ E0 eiωtE(t) = ϵ̂(B.2)= E(+) (t) + E(−) (t)とかける。すなわち、E(±) (t) ∝ e∓iωt のように時間発展する。
レーザー場中にある原子が分極し、双極子となっている状況を考える。原子核から見た電子の位置を re とすると、双極子ベクトルはd = −ere(B.3)

である。よって電場 E の中に置かれた原子に対する双極子相互作用ハミルトニアンは

HAF = −d · E(B.4)となる。d は下降演算子 σ = |g⟩ ⟨e| を用いて次のように書ける。[14]d = ⟨g|d|e⟩ (σ + σ † )(B.5)

従って、原子と場の相互作用ハミルトニアンは、

HAF = − ⟨g|d|e⟩ · E(σ + σ † )

(B.6)

付録 B

78

原子と光の相互作用となる。
ここで、双極子ベクトルを以下のように変形する。

d = ⟨g|d|e⟩ (σ + σ † )(B.7)= d(+) + d(−)

ここで、d(+) ∝ σ, d(−) ∝ σ † のである。|e⟩ が e−iω0 t のように時間発展することを考えると、σ, σ † もそれぞれ、e−iω0 t , eiω0 t のように時間発展する。よって、d(+) , d(−) もまたそのように時間発展することが分かる。これを踏まえると、以下のような近似が成り立つ。

HAF = −(d(+) + d(−) ) · (E(+) + E(−) )= −d(+) · E(+) − d(−) · E(−) − d(+) · E(−) − d(−) · E(+)

(B.8)

≃ −d(+) · E(−) − d(−) · E(+)
これは ω0 + ω ≫ |ω0 − ω| であるとき、ゆっくりとしたダイナミクスを見たい場合には、速く振動する項 (∝ e±i(ω0 +ω)t ) は無視するという近似である。これを回転波近似という。
式 (B.2),(B.7) よりもう一度あらわに記述すると次のようになる。

()
HAF = − ⟨g|ϵ̂ · d|e⟩ E0 σeiωt + E0 σ † e−iωtℏΩ=(σeiωt + σ † e−iωt )
2

(B.9)

ここで、

⟨g|ϵ̂ · d|e⟩ E0ℏ(B.10)|ψ⟩ = cg |g⟩ + ce |e⟩(B.11)Ω=−
はラビ周波数である。

B.2 ライトシフト
原子の状態を次のように記述する。

ここで、cg , ce は状態の時間依存性を含んでいる。エネルギーの基準を基底状態 |g⟩ にとり励起状態とのエネルギー差を ℏω0 とすると、原子のハミルトニアン HA は、

HA = ℏω0 |e⟩ ⟨e|(B.12)である。これと、相互作用ハミルトニアン B.9 を足し合わせた全体のハミルトニアン Hを用いたシュレディンガー方程式 iℏ∂t |ψ⟩ = H |ψ⟩ は、iℏ∂t cg |g⟩ + iℏ∂t ce |e⟩ = ℏω0 ce |e⟩ +ℏΩ iωtℏΩ −iωte ce |g⟩ +e
cg |e⟩
2
2(B.13)

であり、行列表示すると、

(
iℏ∂t

cg
ce

)

(
=

0
ℏΩ −iωte2ℏΩ iωt
2 e
ℏω0

)(

cg
ce

)
(B.14)

B.2 ライトシフト

79

ここで、c̃e = ce eiωt/2 , c̃g = cg e−iωt/2 と変換する。これを用いてシュレディンガー方程式を書き換えると、

(
iℏ∂t

c̃g
c̃e

)

ℏ
=
2

(

δ
Ω

Ω
−δ

)(

c̃g
c̃e

)
(B.15)と書ける。これは回転系のシュレディンガー方程式である。このハミルトニアンを対角化し、固有値を求めると、√ℏ Ω2 + δ 2
E± = ±
2(B.16)と求まる。δ ≫ Ω を仮定し展開すると、

(
E≃±

ℏΩ2
ℏδ
+
2
4δ

)
(B.17)と近似できる。ここで δ = ω − ω0 は光の離調である。非摂動状態の固有値 ±ℏδ/2 からのずれ、±ℏΩ2 /4δ をライトシフトと呼ぶ。これは、振動電場によるシュタルクシフトと捉えることもでき、AC シュタルクシフトとも呼ばれる。基底状態に対しては、UAC = ℏΩ2 /4δである。ライトシフトについて、直感的な解釈を紹介する。原子核と電子を合わせて双極子であると考える。原子に光が入射すると原子は振動電場によって双極子となるが、その振動が電場の振動と比べて位相に遅れが生じることは容易に想像できる。周波数が共鳴周波数より低いとき (δ < 0)、電場はゆっくりと振動するので双極子の追従の位相遅れは小さくなる。その結果、双極子と電場が同じ向きを向いている時間が長くなるので、エネル
ギー的に得をする。反対に周波数が高いとき、電場の振動は早く、双極子の追従の位相遅れが大きくなる。これによって双極子が電場と同じ向きを向く時間が短くなりエネルギー
的に損をする。図 B.1,B.2 はそれぞれ離調を負と正にとった場合のライトシフトの概念図である。２つの正弦波の重なり (紫色で塗りつぶされた領域) が大きければ大きいほどエ
ネルギー的に得をすることになる。
ここで用いた δ ≫ Ω の仮定は光トラップなどで有効である。光トラップの離調は典型的に δ ∼ 107 Γ である。強度は I ∼ 108 Isat であり、ここから求まるラビ周波数はΩ=Γ√I/2Isat ∼ 104 Γ となり、δ ≫ Ω がよく満たされている。一方で Gray Molasses

Cooling では δ, Ω ∼ Γ の状況であり、近似する前の式 B.16 をライトシフト ∆E として用いるのが妥当である。

付録 B

80

図 B.1

δ < 0 の場合のライトシフト概念図

図 B.2

δ > 0 の場合のライトシフト概念図

原子と光の相互作用

81

付録 C

角運動量の合成
Gray Molasses は基底状態 |F, mF ⟩ から、励起状態 |F ′ , mF ⟩ への遷移強度を考えることで理解できる。また、それぞれの基底状態から遷移できる励起状態には選択則と呼ばれる制限がある。この選択則によってどの励起状態にも遷移できない状態すなわち暗状態が生み出される。これらの事柄は、量子力学における角運動量の合成を学ぶことによって理解できる。この章では、角運動量についての基礎と、クレブシュ・ゴルダン係数の導出までを述べる。

C.1 角運動量
C.1.1 角運動量演算子と固有状態
まず、x, y, z 軸周りの角運動量を求める演算子として、Jx , Jy , Jz を考える。これらは次のような交換関係で結び付けられている。

[Jα , Jβ ] = iℏϵαβγ Jγ

(C.1)

ここで、


 1 (遇置換)−1 (奇置換)
ϵαβγ =0 (otherwise)(C.2)

である。遇置換、奇置換はそれぞれ αβγ が xyz の偶数回の置換、奇数回の置換ということである。またこれらを用いて、全角運動量演算子 J が表せて、J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2(C.3)

式 (C.1),(C.3) の関係式から、4 つの演算子 [J 2 , Jx , Jy , Jz ] の組み合わせに対して、2 つの演算子に対する物理量のみを同時に決定することができる。また、これらの演算子には
次のような交換関係が成り立っている。

[Jα , J 2 ] = 0

(C.4)

付録 C

82

角運動量の合成

これより [J 2 , Jα ] は同時固有状態を持つことができる。どの演算子に対して同時固有状態を考えるかは任意であるが、慣例的に [J 2 , Jz ] を選ぶことが多い。その同時固有状態についての [J 2 , Jz ] の固有値をそれぞれ λj , λm とする。すなわち、

J 2 |j, m⟩ = λj |j, m⟩(C.5)

Jz |j, m⟩ = λm |j, m⟩(C.6)

である。ここで j, m は同時固有状態を決めるための量子数である。次の小節からは、この固有値 λj , λm の値を計算していく。

C.1.2 昇降演算子と固有値
量子力学における角運動量の議論をする際に便利な演算子を定義する。

J± = Jx ± iJy(C.7)

これを昇降演算子と呼ぶ (J+ を上昇演算子、J− を下降演算子と呼び、それらをまとめた呼び方が昇降演算子である)。式 (C.4) から昇降演算子に対しても同様の交換関係が得られて、[J 2 , J± ] = 0(C.8)

である。Jz との交換関係も簡単に求めることができて、[Jz , J± ] = [Jz , Jx ] ± i[Jz , Jy ] = iℏJy ± ℏJx = ±ℏJ±

(C.9)

となる。 上昇演算子と下降演算子の交換関係も計算することができて、[J+ , J− ] = −2i[Jx , Jy ] = 2ℏJz

(C.10)と求まる。
昇降演算子を固有状態 |j, m⟩ に作用させたものを考える。J 2 が Jα と交換することを考慮すると、J 2 (Jα |j, m⟩) = Jα J 2 |j, m⟩ = λj (Jα |j, m⟩)(C.11)

すなわち、Jα |j, m⟩ もまた、J 2 の固有状態であり、|j, m⟩ と同じ固有値を持っている。
次に、式 (C.9) の関係から

Jz J± |j, m⟩ = J± Jz |j, m⟩ ± ℏJ± |j, m⟩ = (λm ± ℏ)J± |j, m⟩(C.12)

が得られる。すなわち、J ± |j, m⟩ もまた Jz の固有状態であり、その固有値は λm ± ℏ である。これが昇降演算子と呼んでいる所以であり、J+ は Jz の固有値の大きさを ℏ だけ増加させ、反対に J− は ℏ だけ減少させる。m は状態に対する任意のラベルであったが、

C.1 角運動量83

その m を用いて、λm = mℏ とする。これは、全角運動量の z 軸への射影に相当している。改めて書くと、

Jz |j, m⟩ = mℏ |j, m⟩(C.13)

である。J± |j, m⟩ の固有値が λm ± ℏ = (m ± 1)ℏ であることから、

J± |j, m⟩ ∝ |j, m ± 1⟩

(C.14)

が得られる。
ラベル m に対する制限を考えるために、次のような関係式を求めておく。

J∓ J± = Jx2 + Jy2 ± i[Jx , Jy ] = J 2 − Jz2 ∓ ℏJz = J 2 − Jz (Jz ± ℏ)

(C.15)|j, m⟩ で挟むと、⟨j, m|J∓ J± |j, m⟩ = ⟨j, m|[J 2 − Jz (Jz ± ℏ)]|j, m⟩ = λj − m(m ± 1)ℏ2

(C.16)

こ こ で 、右 辺 は m が 際 限 な く 大 き く な る と き 、負 の 値 を と っ て し ま う が 、⟨j, m|J∓ J± |j, m⟩ ≥ 0 よ り 、そ う あ っ て は な ら な い 。す な わ ち m は 最 大 値 を 持 っており、ここではそれを mmax とし、

J+ |j, mmax ⟩ = 0(C.17)

であると決める。式 (C.15) を |j, mmax ⟩ に適用すると、

J− J+ |j, mmax ⟩ = [J 2 − Jz (Jz + ℏ)] |j, mmax ⟩(C.18)である。右辺は |j, mmax ⟩ の性質から明らかに 0 であるので、

J 2 |j, mmax ⟩ = Jz (Jz + ℏ) |j, mmax ⟩ = mmax (mmax + 1)ℏ2 |j, mmax ⟩(C.19)となる。すなわち、λj = mmax (mmax + 1)ℏ2 である。任意のラベル j を j = mmax (> 0)とすることによって、J 2 |j, m⟩ = j(j + 1)ℏ2 |j, m⟩(C.20)

が得られる。同様の議論によって m には最小値 mmin が存在することもわかり、

J− |j, mmin ⟩ = 0(C.21)

を満たしている。そして同じ手法で mmin の値が具体的に求まり、mmin = −j である。
これらより、−j ≤ m ≤ j(C.22)

が得られる。さらに m に対する制限を求めるために |j, −j⟩ に J+ を繰り返し作用させることを考える。そのとき m の値は 1 ずつ増えていく (式 (C.14))。そして m = mmax = j

付録 C

84

角運動量の合成に到達したところで m の増加は止まる。すなわち、m は連続的な値をとるのではなく離散的な値をとる。すなわち、m ∈ {−j, −j + 1, · · · , j − 1, j}(C.23)である。また、|j, −j⟩ に対する整数回の J+ の作用で m がこのような変化をするためには j にも制限がかかり、j は整数もしくは半整数でなければならないことが分かる。
式 (C.15) に λj を代入すると、⟨j, m|J∓ J± |j, m⟩ = |J± |j, m⟩ |2 = [j(j + 1) − m(m ± 1)]ℏ2√∴ J± |j, m⟩ = ℏ (j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1⟩√
= ℏ (j ± m + 1)(j ∓ m) |j, m ± 1⟩

(C.24)

が得られる。

C.2 角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数
2 つの角運動量 J1 .J2 の合成を考える。全角運動量はこれらの和で与えられ、J =J1 + J2 である。ここで、J1 , J2 は独立な自由度を持っており、[J1α , J2β ] = 0(C.25)

であるとする。この場合、J12 , J22 , J1z , J2z に対して同時固有状態が存在する。その同時固有状態を |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = |j1 , m1 ⟩ |j2 , m2 ⟩ と記述する。そうすると、

J12 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = j1 (j1 + 1)ℏ2 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩J22 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = j2 (j2 + 1)ℏ2 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩J1z |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = m1 ℏ |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩(C.26)

J2z |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = m2 ℏ |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩が得られる。また、全体の角運動量に対して J12 , J22 , J 2 , Jz が交換するので、別のラベルを用いた同時固有状態 |j1 , j2 ; j, m⟩ に対して、

J12 |j1 , j2 ; j, m⟩ = j1 (j1 + 1)ℏ2 |j1 , j2 ; j, m⟩
J22 |j1 , j2 ; j, m⟩ = j2 (j2 + 1)ℏ2 |j1 , j2 ; j, m⟩
J 2 |j1 , j2 ; j, m⟩ = j(j + 1)ℏ2 |j1 , j2 ; j, m⟩(C.27)

Jz |j1 , j2 ; j, m⟩ = mℏ |j1 , j2 ; j, m⟩も得られる。j1 , j2 が明確である場合、|j1 , j2 ; j, m⟩ = |j, m⟩ と省略して書くことがしばしばあるので覚えておく。
次に、これら 2 つの基底での状態 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ , |j1 , j2 ; j, m⟩ の間で変換することを

C.2 角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数85考える。変換を記述すること自体は簡単であり、∑|j1 , j2 ; j, m⟩ =∵|j1′ , m1 ; j2′ , m2 ⟩ ⟨j1′ , m1 ; j2′ , m2 |j1 , j2 ; j, m⟩

j′1 ,j′2 ,m1 ,m2∑(C.28)|j1′ , m1 ; j2′ , m2 ⟩ ⟨j1′ , m1 ; j2′ , m2 | = 1j′1 ,j′2 ,m1 ,m2である。すなわちこれは |j1 , j2 ; j, m⟩ を |j1′ , m1 ; j2′ , m2 ⟩ の基底で展開しているということであり、その展開係数が ⟨j1′ , m1 ; j2′ , m2 |j1 , j2 ; j, m⟩ である。この展開係数のことをク
レブシュ・ゴルダン係数という。逆の変換についても同様に、|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ =∑|j1′ , j2′ ; j, m⟩ ⟨j1′ , j2′ ; j, m|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩(C.29)

j′1 ,j′2 ,j,mが得られる。ここで J12 がエルミートであることを踏まえると⟨j1′ , j2′ ; j, m|J12 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = j1′ (j1′ + 1)ℏ2 ⟨j1′ , j2′ ; j, m|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩(左に作用)= j1 (j1 + 1)ℏ2 ⟨j1′ , j2′ ; j, m|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩(右に作用)(C.30)

であり、j ′ ̸= j の場合、クレブシュ・ゴルダン係数は 0 になる。よって、j1′ , j2′ による展
開は、j1′ = j1 , j2′ = j2 の場合のみ考えればよい。さらに Jz = J1z + J2z もエルミートであるので⟨j1, j2 ; j, m|Jz |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = (m1 + m2 )ℏ ⟨j1, j2 ; j, m|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩= mℏ ⟨j1, j2 ; j, m|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩(右に作用)(左に作用)(C.31)が得られ、クレブシュ・ゴルダン係数が有限の値を持つための条件として

m = m1 + m2

(C.32)

が得られる。これは角運動量の保存を意味している。また、j のとりうる値にも制限がある。2 つのベクトル J1 , J2 の足し合わせで、長さが最も長くなる時と最も短くなるときに対応しており、|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2

(C.33)である。以上から基底の変換則が導かれ|j, m⟩ =∑|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m⟩(C.34)|j, m⟩ ⟨j, m|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩(C.35)

m1 ,m2(m1 +m2 =m)|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ =∑j,m(m1 +m2 =m)|j1 −j2 |≤j≤j1 +j2となる。右辺の内積がクレブシュ・ゴルダン係数である。

86

謝辞
本論文は、大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻レーザー量子物理学研究室における前期博士課程の２年間の研究をまとめたものです。本研究を行うにあたって、ご助力をいただいた多くの方々への感謝の言葉を述べさせて頂きます。
指導教員である井上慎教授には学部 4 年生のときから 3 年間お世話になりました。井
上先生には物理に関することのみならず、研究に対しての向き合い方、学生生活の心構えなど様々な側面について熱心に指導して頂きました。井上先生のおかげで人としても大きく成長することができたと感じております。本当にありがとうございました。
堀越宗一特任准教授は本論文のテーマでもあるリチウム原子を用いた実験に関して最もご指導及びご助力を頂きました。堀越先生は研究に対して非常に大きな熱意を持っておられ、研究者としての意識の高さを強く尊敬しています。堀越先生のもとで研究生活を送れたことを有難く思っています。本当にありがとうございました。
加藤宏平特任助教は 3 年間を通していつも親身になって研究に関する質問に答えて頂き、幾度となく助けていただきました。加藤先生のアドバイスはいつも的確で、実験で行き詰まったり何かわからないことがあったときに頼りになる存在でした。本当にありがとうございました。
超低温物理学研究室の石川修六教授と生体・構造物性物理学研究室の杉崎満准教授には本論文の査読をして頂きました。お忙しい中貴重なご意見をいただき誠にありがとうございました。
本研究室の修士 1 年である小林一平氏とは研究に関してだけでなく、プライベートでも仲良くして頂きました。小林氏のおかげで研究室での学生生活を楽しく過ごすことができました。
同じく修士 1 年の京谷隆正氏はとても勤勉であり、これからのレーザー量子研究室を引っ張る先輩になってくれると確信しています。
学部 4 年の木下晃瑠と船波寛史は持ち前の明るさでムードメーカーとして研究室の雰囲
気を良くしてくれていました。1 年という短い期間でしたが彼らと共に研究生活を送ることができて良かったなと感じています。

2018 年度に前期修士課程を修了された長谷秀秋氏には学部 4 年生の最初に指導を担当
して頂きました。右も左もわからない私に初歩的なことから親切に教えて頂きました。

2019 年度に前期修士課程を修了された大前真秀氏とは 2 年間を共に過ごしました。研87
究室に入ったときから仲良くして頂き、研究室に同期のいない私にとって話しやすい先輩がいてくれたおかげで楽しく過ごすことができ、感謝しています。
最後に、これまでの学生生活を最も近くで支えて頂いた両親に心より感謝申し上げます。

88

参考文献
[1] T.W. Hänsch and A.L. Schawlow. Cooling of gases by laser radiation. Opt. Comm.
13, p.1, (1975).
[2] S.V. Andreev, V.I. Balykin, V.S. Letokhov, and V.G. Minogin. Radiative slowing
and reduction of the energy spread of a beam of sodium atoms to 1.5 K in an
oppositely directed laser beam. Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz., 34, p.463 [JETP
Lett. 34, p.442] (1981).
[3] S. Chu, L. Hollberg, J.E. Bjorkholm, A. Cable, and A. Ashkin. Three-dimensional
viscous conﬁnement and cooling of atoms by resonance radiation pressure. Phys.
Rev. Lett., 55, p.48 (1985).
[4] E.L. Raab, M. Prentiss, A. Cable, S. Chu, and D.E. Pritchard. Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure. Phys. Rev. Lett., 59, p.2631, (1987).
[5] V.S. Letokhov, V.G. Minogin, and B.D. Pavlik. Cooling and trapping of atoms
and molecules by a resonant laser ﬁeld. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 72, p.4 [Sov.
Phys.JETP, 45, pp.698-705], (1977).
[6] J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji. Laser cooling below the Doppler limit bypolarization gradients: simple theoretical models. J. Opt. Soc. Am. B, 6, pp.20232045, (1989).
[7] Boiron D, Triché C, Meacher DR, Verkerk P, Grynberg G. Three-dimensionalcooling of cesium atoms in four-beam gray optical molasses. Phys Rev A, 52,
p.R3425, (1995).
[8] Diogo Rio Fernandes, Franz Sievers, Norman Kretzschmar, Saijun Wu, C. Salomon, Frédéric Chevy. Sub-Doppler laser cooling of fermionic 40K atoms in89three-dimensional gray optical molasses. arXiv, 1210, p.1310, (2012).
[9] A. T. Grier, I. Ferrier-Barbut, B. S. Rem, M. Delehaye, L. Khaykovich, F. Chevy,
and C. Salomon. Λ-enhanced sub-Doppler cooling of lithium atoms in D1 graymolasses. Phys. Rev. A, 87, p.063411, (2013).
[10] A. Burchianti, G. Valtolina, J. A. Seman, E. Pace, M. De Pas, M. Inguscio,
M. Zaccanti, and G. Roati. Eﬃcient all-optical production of large 6 Li quantum
gases using D1 gray-molasses cooling. Phys. Rev. A, 90, p.043408, (2014).
[11] Munekazu Horikoshi, Masato Koashi, Hiroyuki Tajima, Yoji Ohashi, and Makoto
Kuwata-Gonokami. Ground-State Thermodynamic Quantities of Homogeneous
Spin-1/2 Fermions from the BCS Region to the Unitarity Limit. Phys. Rev. X,
7, p.041004, (2017).
[12] 堀越宗一, 小林淳. フェッシュバッハ共鳴を用いた磁場中励起分子状態の精密分光. 日本物理学会 2019 年度秋季大会, 11aK14-10.

[13] 谷澤昂樹. ヨウ素安定化 671nm 外部共振器型半導体レーザーの実現と冷却リチウム
原子実験への応用. 日本物理学会 2020 年度秋季大会, 10aA2-6.

[14] Daniel A. Steck. Quantum and Atom Optics. http://steck.us/teaching, (revision 0.13.1, 29 April 2020).
[15] Christopher.J.Foot. Atomic Physics. OXFORD UNIVRSITY PRESS, (2005).
[16] Munekazu Horikoshi, Aki Ito, Takuya Ikemachi, Yukihito Aratake, Makoto
Kuwata-Gonokami, and Masato Koashi. Appropriate Probe Condition for Absorption Imaging of Ultracold 6 Li Atoms. J. Phys. Soc. Jpn., 86, p.104301,(2017).
[17] 富樫康平.6 Li 極低温ユニタリガスの実現と温度評価. 修士論文, 東京大学, (2013).
[18] N. Arunkumar, A. Jagannathan, and J. E. Thomas. Designer Spatial Control ofInteractions in Ultracold Gases. Phys. Rev. Lett., 122, p.040405, (2019).
[19] Haibin Wu and J. E. Thomas. Optical control of the scattering length and eﬀective range for magnetically tunable Feshbach resonances in ultracold gases. Phys.

参考文献

90
Rev. A, 86, p.063625, (2012).

[20] S. Gerstenkorn and P. Luc. Atlas du spectre d’absorption de la molécule d’iode14800 - 20000 cm−1 . Laboratoire Aimë-Cotton, CNRS II, (1978).
[21] 西 山 明 子. 光 周 波 数 コ ム を 用 い た 超 高 分 解 能 レ ー ザ ー 分 光. 博 士 論 文, 福 岡 大学,(2014).

[22] E.J. Salumbides. Improved potentials and Born-Oppenheimer corrections by new
measurements of transitions of 129 I2 and 127 I129 I in the B3 Π0+- X 1 Σ+g bandusystem. The European Physical Journal D, 47, pp.171-179, (2008).
[23] 山崎勝義. Born-Oppenheimer 近似と断熱近似. 第 4 版, 漁火書店, (2019).
[24] B. R. Johnson. New numerical methods applied to solving the one ‐ dimensional
eigenvalue problem. The Journal of Chemical Physics, 67, p.9, (1977).
[25] Joel A. Silver. Frequency-modulation spectroscopy for trace species detection: theory and comparison among experimental methods. Applied optcs, 31,
p.000707, (1992).
[26] L. J. Gillespie and L. H. D. Fraser. The normal vapor pressure of crystalline
iodine. J. Am. Chem. Soc., 58, pp.2260–2263, (1936).