2024年3月 土木学会水工学委員会連続講演会

密度流・土石流・掃流砂・浮遊砂研究における課題と展望

江頭進治
土木研究所水災害・リスクマネジメント国際センター
2013~
京都大学防災研究所→立命館大学理工学部→（株）ニュージェック
2007
1994
1973

1hh(a) Sediment concentration c=0by volume(b) Sediment particles are supported bythemselvesh(c) Sediment concentration c=c and sedimentparticles are entrained into the flow body
図

間隙水圧のいろいろ
2zz
htuz

Bed slope

Large

Smallz

hf

c*

(a)



zhalc(z)

c*

u(z)

yc z c*(a’)

zz

c*
Small

u(z)

htc z hsyzhalxxzhfu z ht(b)htc(z)(b’)

Flow discharge

c*xLarge

Relative depth
h/d
流砂を伴う流れ Flow regime of sediment and water mixtures3

運動量保存則

土石流の構成則

𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑝
1 𝜕𝜏𝑖𝑗+ 𝑢𝑗= 𝑏𝑖 −
𝛿 +𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗
𝜌𝑚 𝜕𝑥𝑗 𝑖𝑗 𝜌𝑚 𝜕𝑥𝑗
エネルギー保存則𝜕𝑘𝜕𝑘𝜕𝑝𝑢𝑖 𝜕𝜏𝑖𝑗 𝑢𝑖+ 𝑢𝑗= 𝜌𝑚 𝑏𝑖 𝑢𝑖 ++−𝛷
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗

𝛷 = 𝜏𝑖𝑗𝑢 流速

𝑝 圧力

𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗

散逸関数（単位時間単位体積当たりのエネルギー損失）

𝜏 せん断力𝜌 水の密度 𝜎 砂礫粒子の密度𝜌𝑚 水と砂礫の混合体の密度

単純せん断流（等流）
𝛷=𝜏𝜕𝑢𝜕𝑧𝛷𝜏

𝑐 砂礫の体積濃度 𝑐∗ 静止堆積層の土砂濃度

4エネルギー
散逸の原因

𝑝𝑠 𝛥𝑢

・粒子接触場のせん断

𝑝𝑠𝛥𝑢

・粒子間の非弾性衝突（2体衝突）---宮本（1985）

・粒子間隙水のせん断

衝突後

衝突前

൫1 − 𝑒 2 )𝛥𝑢2

2𝑒𝛥𝑢 2---江頭ら（1989）𝜌𝑙 2 𝑑 𝑢Τ𝑑 𝑧 2

こ線形和で評価できるものとすると、
𝛷 = 𝛷𝑠 + 𝛷𝑑 + 𝛷𝑓
5/3uu(1c)
2  u  ps tan  ( )  kd (1  e 2 ) c1/3d 2    k f d z
c 2/3
 z  z 33

  ps tan   kd (1  e2 ) c1/3d 2 (u / z)2  k f {(1  c)5/3 / c 2/3}d 2 (u / z)2𝜏𝑦𝑙 = 𝑙(𝑐, 𝑑 )𝑙𝜏𝑑𝜏𝑓𝑑

砂粒子径𝑙 間隙の空間スケール
𝑒 = 0.85反発係数
𝑘𝑑 = 0.0828

𝑘𝑓 = 0.165圧力は間隙水圧（砂粒子の運動は層流）、砂礫の接触に伴う圧力、衝突に伴う圧力から構成
𝑝 = 𝑝𝑤 + 𝑝𝑠 + 𝑝𝑑
𝑝𝑤

間隙水の圧力（静水圧） 𝑝𝑠

砂粒子接触による圧力

𝑝𝑑 非弾性衝突時に保存されるエネルギー𝑝𝑑 = 𝑘𝑑 𝜎𝑒 2 𝑐 1Τ3 𝑑2 𝜕 𝑢Τ𝜕 𝑧 2（宮本1985）

𝑝𝑠 ：砂粒子の運動は層流だから、砂粒子の水中重量は砂粒子によって支えられる。
𝑐 = 𝑐∗ において 𝑝𝑑 = 01𝑐=1 + 𝑝𝑑 Τ𝑝𝑠𝑐∗

この関係満たす関数形として、次式を仮定

1 Τ𝑛（ｎ＝５） 1997年に提案（Egashira, Miyamoto, Itoh1997）

なお、上式に至るまでに約8年！それまで、次の関係を用いて固定床上の土石流解析を行っていた。
𝑝𝑑 Τ𝑝𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (= 0.25)
6土石流の流速分布・濃度分布

運動量保存則のx成分
𝑝𝑠 tan𝜙 + 𝑘𝑑
𝜏𝑦(1 − 𝑒 2 )𝜎𝑐 1Τ3 𝑑 2𝜕𝑢𝜕𝑧

21 − 𝑐 5Τ3 2 𝜕𝑢+ 𝑘𝑓 𝜌𝑑𝜕𝑧𝑐 2 Τ3𝜏𝑑2ℎ= 𝜌𝑔sin𝜃 න ሼ(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐 + 1}𝑑𝑧𝑧𝜏𝑓

運動量保存則のｚ成分ℎ𝑝𝑠 (𝑧) + 𝑝𝑑 (𝑧) = 𝜌𝑔cos𝜃 න (𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑑𝑧𝑧

𝑝𝑑 = 𝑘𝑑 𝜎𝑐 1Τ3 𝑒 2 𝑑 2𝜕𝑢𝜕𝑧2𝑝𝑠𝑐=𝑝𝑠 + 𝑝𝑑𝑐∗

1 Τ𝑛𝑧 = 0 (理論河床)𝜕 𝑢Τ𝜕 𝑧 = 0𝑐 = 𝑐∗(𝑝 = 𝑝𝑠 , 𝜏 = 𝜏𝑦 )7zz

htuzc*c z c*

y .


d +

𝑒 = 0.85

𝜙𝑠 = 38.5度ℎΤ𝑑 = 10x理論河床𝑝 = 𝑝𝑠（𝑝𝑑 = 0）
𝜏 = 𝜏𝑦 (= 𝑝𝑠 tan𝜙൯f𝜃 = 15 𝐷𝑒𝑔.

𝜕 𝑢Τ𝜕 𝑧 = 0𝑐 = 𝑐∗

土石流の流速分布・濃度分布の解析例
8掃流砂層の流れの解析 （江頭ら

1990, 1997)

断面平均濃度だから、𝑧 = 0 と置けば、𝑝𝑑 (0) = 0, 𝜏𝑑 (0) = 0, 𝜏𝑓 (0) = 0

前述の積分の下限をℎ𝑝𝑠 (0) = 𝜌𝑔cos𝜃 න (𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑑𝑧 （ = 𝜌𝑔cos𝜃(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐ℎ）
ҧ0ℎ𝑝𝑠 (0)tan𝜙 = 𝜌𝑔sin𝜃 ‫׬‬0 ሼ(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐 + 1}𝑑𝑧 （ = 𝜌𝑔sin𝜃ሼ(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐ҧ + 1}ℎ）
両式と定義式 𝑐ҧ = 𝑐𝑠 ℎ𝑠 Τℎより、断面平均濃度は
𝜏𝑧 = ℎ𝑠1tan𝜃𝑐ҧ =𝜎Τ𝜌 − 1 tan𝜙 − tan𝜃
土石流から掃流砂まで適用できる頼りになる式

𝑧=0

𝜏𝑦𝜃

𝑐𝑠
理論河床𝑝 = 𝑝𝑠（𝑝𝑑 = 0）
𝜏 = 𝜏𝑦 (= 𝑝𝑠 tan𝜙൯9掃流砂層厚 ℎ𝑠

𝑧=ℎℎℎ𝑠𝑝𝑠 (0)＝𝑔cos𝜃 ඲ ൭𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑑𝑧 = 𝜌𝑔cos𝜃 න (𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑑𝑧
00z=0における 降伏応力 𝜏𝑦 との釣り合い条件は
𝜏𝑦 降伏応力ℎ𝑝𝑠 (0)tan𝜙 = 𝜌𝑔sin𝜃 න ሼ(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐 + 1}𝑑𝑧 （𝜏𝑦 = 𝑝𝑠 tan𝜙）0ℎ𝑠= 𝜌𝑔sin𝜃[නℎ(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐 + 1 𝑑𝑧 + න 𝑑𝑧

0ℎ𝑠

𝜌 水の密度 𝜎 砂礫粒子の密度𝑐 砂礫の体積濃度𝑐∗ 静止堆積層の土砂濃度

これよりℎ𝑠1tan𝜃=ℎ൫𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑠ҧ tan𝜙 − tan𝜃あるいはℎ𝑠11=𝜏𝑑𝑐𝑠ҧ cos𝜃 tan𝜙 − tan𝜃 ∗𝜏∗ = 𝑢∗2 Τ( 𝜎Τ𝜌 − 1)𝑔𝑑(= ℎsin 𝜃 Τ𝑑 )無次元掃流力10掃流砂層の流速分布、濃度分布、および掃流砂量はu4

u* 15K1 K 2fd  f f

*hsc s   cdz / hs  c* / 2

1
1K1 cos tan s  tan𝑢∗ =𝑔 ℎsin𝜃

1  h K 2  1  s c s  ht 12 *  u*2 /  /   1gd0

 f d  k d 1  e 2    c s

13f f  k f 1  c s  c s
53

2 3

これらを流砂量の定義式に適用すると、次の流砂量式を得る。

4qb* 
15K12 K 2
fd  f f



5/ 2
*

なお、𝜙𝑠 = 34度、𝑒 = 0.85, 𝑘𝑑 = 0.0828, 𝑘𝑓 = 0.16,𝑐𝑠 = 0.26 とすれば、（𝑞𝑏∗ = 𝑞𝑏 ൗ ൫𝜎Τ𝜌 − 1)𝑔𝑑 3 ）5Τ2𝑞𝑏∗ = 4.4𝜏∗11hsqb   cudz  cs hs u
04qb* 15K1 

K12 K 2fd  f f

1
1cos tan s  tan1  h K 2  1  s c s  ht Egashira,Miyamoto& Itoh *5 / 2

12

上式に 𝜙𝑠 = 34度、𝑒 = 0.85, 𝑘𝑑 = 0.0828, 𝑘𝑓 = 0.16,
𝑐𝑠 = 0.26 を代入とすれば、（𝑞𝑏∗ = 𝑞𝑏 ൗ ൫𝜎Τ𝜌 − 1)𝑔𝑑 3 ）12ところで、次の形の掃流砂量式が広く使われている。
Τ𝑞𝑏∗ ~𝜏∗3 2(𝑞𝑏∗ = 𝑞𝑏 ൗ ൫𝜎Τ𝜌 − 1)𝑔𝑑 3 ,𝜏∗ = 𝑢∗2 Τ( 𝜎Τ𝜌 − 1)𝑔𝑑)

𝑞𝑏 ~ℎ𝑖
流れはｈ/d の影響を受けるが、流砂量は粒子径の影響を受けない！！

ウーン？？？

移動床直線開水路において、川幅及び流砂量（式）に対する河床縦断形状の応答を見る。

流砂量式として𝐵2

𝐵1𝑞𝑏∗ ~𝜏∗ 𝑚 1 − 𝜏∗𝑐 Τ𝜏∗ 𝑚を用いて、平衡状態における勾配比を求めると、
Τ𝛥𝑧𝑖1−3 2𝑖2 Τ𝑖1 = 𝑓2 Τ𝑓1 −1Τ2 𝐵2 Τ𝐵1 (2𝑚−3)Τ2𝑚 𝑓𝑛𝑐

𝑖2

川幅の異なる直線開水路の河床縦断形状

𝜏∗𝑐 𝐵2𝑓𝑛𝑐 = 1 +𝜏∗1 𝐵11 Τ𝑚−113

𝑖2𝑖1𝑚 = 3Τ2
Τ−3 2𝑖2 Τ𝑖1 = 𝑓2 Τ𝑓1 −1Τ2 𝑓𝑛𝑐

10Τ7𝑖2 Τ𝑖1 = 𝑛2 Τ𝑛1 −6Τ7 𝐵2 Τ𝐵1 −2Τ21 𝑓𝑛𝑐
𝑚 = ５Τ2 （江頭らの式では𝑓𝑛𝑐 ＝１）

m=5/2

 c /    0.25

𝑖2 Τ𝑖1 = 𝑓2 Τ𝑓1 −1Τ2 𝐵2 Τ𝐵1 2/5𝑖2 Τ𝑖1 = 𝑛2 Τ𝑛1 −6Τ7 𝐵2 Τ𝐵1 2/7
f はDarcy-Weisbachのfriction factor
n はマニングの粗度係数。

川幅および流砂量に対する河床縦断形状の応答(Egashira et.al 2022)

Ashida & Michiue

Mayer-Peter & Muller

Egashira, Miyamoto & Itoh

上述の移動床直線開水路における下流端流砂量の実験データといくつかの流砂量式 (Egashira et.al 2022)15

ここまでの議論は、掃流砂層の運動は層流であることを前提としている。ここで、運動方程式を基準化し、前提条件の適用性を調べる。

水と砂粒子の混合体の運動量保存則は、
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑝1 𝜕𝜏𝑖𝑗+ 𝑢𝑗= 𝑏𝑖 −
𝛿 +𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝜌𝑚 𝜕𝑥𝑗 𝑖𝑗 𝜌𝑚 𝜕𝑥𝑗（𝜏 = 𝑝𝑠 tan𝜙 + 𝑓𝑛 (𝜎Τ𝜌 , 𝑒, 𝑑, 𝑐)𝑑 2 𝜕 𝑢Τ𝜕 𝑧 2 ）代表スケール、ℎ, 𝑈, ℎΤ𝑈を用いて上式を基準化すると, 上式の𝑥成分は
′′′
𝜕𝑢′
𝜕𝑢−1
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑑′″+𝑢=()−+𝑓𝑛 ℎ𝜕𝑡 ′𝜕𝑥 ′ 𝐹𝑟 2 𝜕𝑥 ′𝜕𝑥 ′2𝜕𝑢′ 𝜕 2 𝑢′
𝜕𝑧 ′ 𝜕𝑧 ′ 2𝐻′ 無次元重力ポテンシャル
𝐹𝑟 = 𝑈Τ 𝑔ℎ

これによれば、流れの巨視構造は、フルード数Frと幾何学的量h/d に支配される。粘性流体のものと対比すると、慣性力と摩擦力の比は相対水深で表現され、レイノルズ数に相当する無次元量は、ℎΤ𝑑である。
したがって、相対水深がある限界値を越えると、掃流砂層の一部が不安定になって乱流層が形成されることが推察される。
16

12  h / d  17

9  h / d  19

1tan𝜃𝑐ҧ =𝜎Τ𝜌 − 1 tan𝜙 − tan𝜃
実験によって検証することは容易でないℎ𝑠𝑐ҧ 𝑐ҧ𝑐𝑓 𝑐𝑓
砂粒子は砂粒子でささえられている。
粒子の運動は層流ℎ𝑐𝑓 = ඲ 𝑢(𝑧)𝑐(𝑧)𝑑 𝑧ൗන 𝑢(𝑧)𝑑𝑧(= 𝑞𝑏 Τ( 𝑞𝑤 + 𝑞 𝑏)ቍ
00

実験は容易。ただし、計算曲線を求めるのは簡単ではない。

 e （Deg.）

𝜃（Deg.）

輸送濃度と勾配の関係（砂粒子径によらず一意的な関係？）
伊藤・江頭（2007）17砂粒子の粒子径が小さい場合には、輸送濃度が大きくなる

cf0.6

d= 0.029 (cm)0.5○qm ≒ 10 cm2 /s□qm ≒ 30 cm2 /s▲・△ qm ≒ 50 cm2 /s

0.40.3◆qm ≒ 100 cm2/s▲

qm ≒ 200 cm2/s

0.2

Exact solution
for laminar flow

0.10051015e (deg.)

輸送濃度と勾配の関係（一意的な関係が崩れる

20(Itoh & Egashira 2007)
18

0.5

10 < ℎΤ𝑑 ≤ 15

0.4

15 < ℎΤ𝑑 ≤ 20
20 < ℎΤ𝑑 ≤ 30

0.35
0.3𝑐𝑓

Flux concentration

0.45

0.25

G1

30 < ℎΤ𝑑0.2

G20.15G3

0.1

G40.05

Exact solution

002

468

10121416

18

20Equilibrium bed slope (Deg.)
輸送濃度～平衡勾配（？）～相対水深（浮遊砂の発生が顕著な実験では平衡勾配が形成されるという前提は怪しい）19災害時には、図に示すように d=1~10mm の砂粒子は浮遊砂として流出し、氾濫するような事象が多い。 このような流れの解析はいかに？

ℎℎ𝑞𝑠 = න 𝑢𝑐𝑑𝑧
𝑐ℎ𝑠
𝜃𝑐𝑠

河床ℎ𝑠ℎ𝑠𝑞𝑏 = න 𝑢𝑐𝑑𝑧
0ℎ𝑠 1 + 𝑠𝑐tan𝜃=ℎ𝑠𝑐𝑠 tan𝜙 − tan𝜙 + 𝑐 Τ𝑐𝑠
江頭・竹林・萬矢・原田 (2020)
20

zz
htuz

Bed slope

Large

Smallz

hf

c*

(a)

zhal

c(z)

c*

u(z)

yc z c*(a’)

zz

c*
Small

u(z)

htc z hsyzhalxxzhfu z ht(b)htc(z)(b’)

Flow discharge

c*xLarge

Relative depth
h/d

流砂を伴う流れFlow regime of sediment and water mixtures21

浮遊砂の記述法
拡散方程式による浮遊砂の挙動は次のように記述されている。
𝜕𝑐𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕
+ 𝑢𝑠 + 𝑣𝑠 + 𝑤𝑠 =
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑥

𝜀𝑠𝑥

𝜕𝑐
𝜕𝑥+

𝜕𝜕𝑦

𝜀𝑠𝑦

𝜕𝑐
𝜕𝑦+

𝜕𝜕𝑧𝜀𝑠𝑧𝜕𝑐𝜕𝑧𝜀𝑠𝑥 , 𝜀𝑠𝑦 , 𝜀𝑠𝑧 : 浮遊砂の拡散係数

面的な流れでは、 𝑢𝑠 = 𝑢, 𝑣𝑠 = 𝑣, 𝑤𝑠 = 𝑤 − 𝑤0 と近似して上式は次のように書き換えられている。
𝜕𝑐𝜕𝑐𝜕𝑐𝜕𝑐𝜕𝜕𝑐𝜕𝜕𝑐𝜕𝜕𝑐+𝑢+𝑣+ (𝑤 − 𝑤0 ) =𝜀+𝜀+𝜀𝜕𝑡𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝑧 𝜕𝑧
𝑤0 砂粒子の沈降速度

𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 , 𝜀𝑧 流水からみた見かけの拡散係数22𝜀𝑠𝑧 と 𝜀𝑧 の違いには構わないで、移動床直線開水路における浮遊砂輸送の平衡状態では、次の操作が行われている。
𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕𝜕𝑐
𝜕
𝜕𝑐
𝜕
𝜕𝑐+𝑢+𝑣− 𝑤0=
𝜀𝑥+𝜀𝑦+𝜀𝑧𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑧𝑧𝑥
砂粒子沈降と拡散による輸送が釣り合っていると見なして
𝜕𝜕𝑐(𝑤 𝑐 + 𝜀𝑧 ) = 0𝜕𝑧 0𝜕𝑧𝜕𝑐
𝑤0 𝑐 + 𝜀𝑧=0𝜕𝑧Rouse 分布Lane-Kalinske 分布

この扱いは、ある時には受け入れ・・・ある時には否定し・・・
かつては、学生の教育材料として使ったこともある・・
23

元の拡散方程式は：
𝜕𝑐𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕𝑐
𝜕+𝑢+𝑣+𝑤=𝑠𝑠𝑠
𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑥𝜕𝑐𝜕𝜕𝑐𝜕𝜕𝑐𝜀𝑠𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 𝜀𝑠𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜀𝑠𝑧 𝜕𝑧・砂粒子群は左図のように河床に到達し消滅する。
・平衡状態の存在を説明するためには、浮遊粒子群の生成点とそこでの強度の空間分布則が必要である。
・そのためには、拡散方程式に生成項を加える必要がある
砂粒子群の運動 𝑢𝑠 , 𝑣𝑠 , 𝑤𝑠 とその周りの拡散拡散方程式で表現される砂粒子群の挙動

24

乱泥流、泥水密度流（Turbidity Currents）
昨年、重力流研究会（理工学系の研究者集会：工学系では、京大:藤田正治先生、竹林洋史先生、広島大：内田龍彦先生など）に出席して、50年前にtime-slip𝜌𝜃𝑣

乱泥流の模式図25

𝛥𝜌𝑔ℎsin𝜃 = (𝑓𝑏′ + 𝑓𝑖′ )𝑣 2𝜌𝛥𝜌= (𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝜌𝜕𝑐ℎ 𝜕𝑐𝑣ℎ+= 𝑊𝑒 𝑐𝑠 − 𝑤0 𝑐
𝜕𝑡𝜕𝑥𝑊𝑒
𝐾=𝑣
𝑅𝑖∗

𝐾 = 0.0015, 𝑅𝑖∗ = (𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑠 𝑔 ℎΤ𝑣 2ℎ Τ2𝑓𝑏′ = 6.0 + 2.5ln
𝑘𝑠−2（さらに、乱暴に𝑓𝑖′ = 𝑓𝑏′ とする）

平衡状態における粒子濃度は、上式の右辺＝０より𝑣 𝐾
𝑐=𝑐𝑤0 𝑅𝑖∗ 𝑠1𝐾𝑞3
𝑐=𝑤0 𝜎Τ𝜌 − 1 𝑔ℎ426単位幅流量𝑞

単位 50幅流 40量𝑞

海底勾配𝑖 = 0.01

海底勾配𝑖 = 0.0130（ｍ2/s)(m2/s）
20100020

流動深 ℎ（ｍ）

𝜏∗ =(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑐𝑔ℎ𝑖 𝑐ℎ𝑖=(𝜎Τ𝜌 − 1)𝑔𝑑
𝑑6080100120140

河床材料の粒径 𝑑（𝜇ｍ）

濃度一定の条件下における泥水密度流（乱泥流）の流動深と単位幅流量の関係
掃流砂の移動性40

濃度一定を維持するための河床材料の砂粒子径と単位幅流量の関係

i=0.01, h=6m, c=0.05, d=3mm とすると、
𝜏∗ = 1.0となる
27160

おわりに(1) 土石流から掃流砂にまたがる領域における砂粒子の運動を層流として導かれた構成則を用いて流砂量式をはじめとする、流れの特性を議論した。江頭らは、掃流力の5/2乗型の流砂量式を提案している。
(2) 掃流力の3/2乗型の流砂量式によれば、掃流力の大きいところで、流砂量はh/dに依存しない。これは、研究を始めたごろから今日でもなお疑問であって、このことを川幅の異なる移動床直線開水路における縦断勾配の掃流砂量式および川幅に対する応答を通じて、疑問に思うことを具体的に示した。
(3) 粒子沈降項を有する拡散方程式を用いた浮遊砂の記述法は、適切ではないことをこれまでに幾度か申し上げてきた。今回は、特に拡散と沈降による上下方向の輸送が釣り合っていると、みなすことは原理的にできない理由を述べ、拡散方程式に代わる浮遊砂の記述法を提案している。
(4) 新しい浮遊砂の解析法を適用して、定常・等流状態における泥水密度流（乱泥流）の流動と土砂輸送能について簡単な解析を行った。定常等流の密度流の解析ではあるが、その結果は、流路の材料にシルトや細粒砂が卓越していれば、大量の土砂を浮遊砂として輸送する密度流が形成されることを示唆している。

謝辞 以上の内容の一部は、筑波大名誉教授 宮本邦明氏、ICHARM 原田大輔氏との共同研究の途上にある。中でも（3）は、宮本邦明氏および藤田正治氏（京都大学名誉教授）とは、会合の機会が多く、その際のオードブルであったり、ワインであったり、デザートの話題として大いに勉強させていただいている。ここに記して深く感謝いたします。
28参考文献
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Itoh, T. and Egashira, S. (2007): Influence of debris flow discharge on equilibrium bed slope, Proc. 4-th Int. Conf. on DFHM
Egashira, S., Biswas, R.K., Harada, D., Miyamoto, K.(2022), On a reasonable, functional form for bed-load formulas, Proceedingsof the 39th IAHR World Congress, pp.737-742. (doi:10.3850/IAHR-39WC2521711920221438)
Conference, Chengdu, China.
江頭進治・竹林洋史・萬矢敦啓・原田大輔（2020）: 土石流・掃流砂・浮遊砂・泥流の統一解釈, 土木学会論文集B1(水工学), 76巻2号，1123-1128.
江頭進治・宮本邦明・伊藤隆郭(1997): 掃流砂量に関する力学的解釈，水工学論文集, 41巻，789-794.
Egashira, S., Miyamoto, K. and Itoh, T.(1997): Constitutive equation of debris flow and their applicability, 1-st Int. Conf. on Debris
Flow Hazards Mitigation, ASCE, 340-349.
江頭進治・佐藤隆宏・千代啓三（1994): 砂粒子を高濃度に含む流れに及ぼす粒子径の影響, 京都大学防災研究所年報，37号
B-2, 359-369.
江頭進治・芦田和男・田野中 新・高橋徹也（1991): 連続体手法による掃流砂量式に関する研究，京都大学防災研究所年報，34号 B-2, 261-271.
江頭進治・芦田和男・高濱淳一郎・田野中 新 (1990): エネルギー散逸機構に基づく流砂モデル，京都大学防災研究所年報，33号 B-2, 293-306
江頭進治・芦田和男・矢島 啓・高濱淳一郎（1989): 土石流の構成則に関する研究，京都大学防災研究所年報，32号 B-2, 487-501.
Harada, D., Egashira, S., Ahmed, T. S., & Ito, H. Entrainment of bed sediment composed of very fine material. Earth Surface
Processes and Landforms, 2022, 47(13), 3051-3061, doi:10.1002/esp.5442.
原田大輔・江頭進治(2019): 連行速度を用いた浮遊砂の解析法，土木学会論文集 B1（水工学) , 76巻2号, 1111-1116.
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29