令和2年12月11日(金) 第6回水工学オンライン連続講演会

水理学・水文学の学理の進展と実装への橋渡し

中央大学理工学部

教授 山田 正

講演内容
〇数学・物理学をつくった人びと〇統計学をつくった人びと〇水文学への不確実性の導入〇信頼区間・予測区間に基づく水文頻度解析〇宇宙線ミュー粒子を使った土木構造物の内部構造可視化の技術の開発〇水文学的アプローチによる内部被ばく量の計算法〇一様流中の空洞とくぼみが及ぼす流速場の変化〇非線形を考慮した水面波の屈折に関する研究〇悪戦苦闘中の乱流理論〇私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ数学・物理学をつくった人びと

数学・物理学をつくった人びと
ガリレオ ガリレイ(伊)(Galileo Galilei)

ピエール・ド・フェルマー(仏)(Pierre de Fermat)
1607-1665

1564 - 1642

ヨハネス・ケプラー(独)(Johannes Kepler)

1571-1630

エヴァンジェリスタ・トリチェリ(伊)(Evangelista Torricelli)1608-1647

クリスティアーン・ホイヘンス(蘭)(Christiaan Huygens)1629-1695

ロバート・フック(英)(Robert Hooke)
1635-1703

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
アイザック・ニュートン(英)(Sir Isaac Newton)

ヨハン・ベルヌーイ(スイス)(Johann Bernoulli)

レオンハルト・オイラー(スイス)(Leonhard Euler)

1642-1727

1667-1748

1707-1783

ダニエル・ベルヌーイ(スイス)(Daniel Bernoulli)

ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ(仏)(Joseph-Louis Lagrange)

1700-1782

1736-1813

ゴットフリート・ヴィルヘルム・
ライプニッツ(独)(Gottfried Wilhelm Leibniz)
1646-1716

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
ピエール＝シモン・ラプラス(仏) フリードリヒ・ヴィルヘルム・
ベッセル(独)(Pierre-Simon Laplace)(Friedrich Wilhelm Bessel)
1749-1827

1784-1846

アドリアン＝マリ・ルジャンドル(仏)(Adrien-Marie Legendre)
1752-1833

クロード・ルイ・マリー・
アンリ・ナヴィエ(仏)(Claude Louis Marie Henri Navier)1785-1836

マイケル・ファラデー(英)(Michael Faraday)

1791-1867

ガスパール＝ギュスターヴ・
コリオリ(仏)(Gaspard-Gustave Coriolis)

1792-1843

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(独)(Carl Gustav Jacob Jacobi)

1804-1851

ジェームズ・プレスコット・ジュール(英)(James Prescott Joule)

1818-1889

ヘルマン・ルートヴィヒ・
フェルディナント・フォン・ヘルムホルツ(独)(Hermann Ludwig Ferdinandvon Helmholtz)

1821-1894

ウィリアム・ローワン・ハミルトン(英)(Sir William Rowan Hamilton)
1805-1865

ジョージ・ガブリエル・ストークス(アイルランド)(Sir George Gabriel Stokes)

ウィリアム・トムソン(英)(William Thomson)

1819-1903

1824-1907

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
グスタフ・ロベルト・キルヒホフ(露)(Gustav Robert Kirchhoff)アレクサンドル・ギュスターヴ・エッフェル(仏)(Alexandre Gustave Eiffel)

ジョン・ウィリアム・
ストラット(英)(John William Strutt)

1824-1887

1832-1923

1842-1919

ジェームズ・クラーク・マクスウェル(英)(James Clerk Maxwell)1831-1879

ジョサイア・ウィラード・ ニコライ・ジュコーフスキー(露)ギブズ(米)(Nikolai Joukowski)(Josiah Willard Gibbs)
1847-1921

1839-1903

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
カール・フェルディナント・
ブラウン(独)(Karl Ferdinand Braun)

1850-1918

ヘンドリック・アントーン・
ローレンツ(オランダ)(Hendrik Antoon Lorentz)
1853-1928

マルティン・ヴィルヘルム・クッタ(独)(Martin Wilhelm Kutta)

ルートヴィヒ・プラントル(独)(Ludwig Prandtl)

1867-1944

1875-1953

ポール・ランジュヴァン(仏)(Paul Langevin)アルベルト・アインシュタイン(独)(Albert Einstein)

1872-1946

1879-1955

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
セオドア・フォン・カルマン(ハンガリー)(Theodore von Kármán)

1881-1963

ニールス・ボーア(デンマーク)(Niels Henrik David Bohr)

1885-1962

エルヴィン・
シュレーディンガー
(オーストリア)（Erwin Schrödinger)

1887-1961

アマーリエ・エミー・ネーター(独)(Amalie Emmy Noether)
1882-1935

ジェフリー・
イングラム・テイラー(英)(Sir Geoffrey Ingram Taylor)

ヴォルフガング・エルンスト・パウリ(スイス)(Wolfgang Ernst Pauli)

1886-1975

1900-1958

写真はWikipediaより引用

数学・物理学をつくった人びと
ヴェルナー・カール・ハイゼンベ
ルク(独)(Werner Karl Heisenberg)

ジョン・フォン・ノイマン(オーストリア)(John von Neumann)

1901-1976

1903-1957

スティーヴン・ウィリアム・
ホーキング(英)（Stephen William Hawking)

1942-2018

ポール・エイドリアン・モーリス・ジェームス・ライトヒル(英)ディラック(英)(Sir James Lighthill)(Paul Adrien Maurice Dirac)
1902-1984

1924-1998

写真はWikipediaより引用

統計学をつくった人びと

統計学をつくった人びと
ピエール・ド・フェルマー(仏)ヨハン・ベルヌーイ(スイス)

トーマス・ベイズ(英)(Pierre de Fermat)(Johann Bernoulli)
1667-1748(Thomas Bayes)

アブラーム・ド・モアブル(仏)ピエール＝シモン・ラプラス(仏)(Abraham de Moivre)(Pierre-Simon Laplace)
1749-1827

1607 - 1665

ブレーズ・パスカル(仏)（Blaise Pascal）
1623-1662

1667 – 1754

1702-1761

写真はWikipediaより引用

統計学をつくった人びと
シメオン・ドニ・ポアソン(仏)カール・ピアソン(英)(Siméon Denis Poisson)
1781-1840(Karl Pearson)
1857-1936

フランシス・ゴルトン(英)アンリ・レオン・ルベーグ(仏)(Sir Francis Galton)(Henri Leon Lebesgue)
1875-1941

1822-1911

ウィリアム・シーリー・ゴセット(英)(William Sealy Gosset)

1876-1937

ジョン・メイナード・ケインズ(英)(John Maynard Keynes)

1883 - 1946

写真はWikipediaより引用

統計学をつくった人びと
リヒャルト・フォン・ミーゼス(オーストリア)(Richard von Mises)
1883-1953

パフヌーティー・リヴォーヴィッチ・
チェビシェフ(露)(Pafnuty Lvovich Chebyshev)
1821-1894

エミール・ユリウス・ガンベル(独)(Emil Julius Gumbel)

1891-1966

ウラジミール・スミルノフ(露)ロナルド・エイルマー・フィッシャー(英)イェジ・ネイマン(ポーランド)(Vladimir Smirnov)
1887-1974(Sir Ronald Aylmer Fisher)(Jerzy Neyman)
1894-1981

1890 - 1962

写真はWikipedia，MacTutor，アデレード大学HP，Geniより引用

統計学をつくった人びと
エゴン・シャープ・ピアソン(英)アンドレイ・コルモゴロフ(露)レオナルド・ジミー・サヴェージ(米)(Egon Sharpe Pearson)
1895-1980(Andrei Kolmogorov)
1903-1987(Leonard Jimmie Savage)

エイブラハム・ウォールド(ハンガリー)伊藤 清(日)(Abraham Wald)
1902-1950(Ito Kiyoshi)

1915-2008

1917 - 1971

カリャンプディ・ラダクリシュナ・ラオ(印)(Calyampudi Radhakrishna Rao)
1920-

写真はWikipedia，日本数学会HP，MacTutorより引用

統計学をつくった人びと
赤池 弘次(日)(Akaike Hirotsugu)
1927-2009

写真は統計数理研究所HPより引用

水文学への不確実性の導入
・決定論と確率過程論
・降雨流出解析水文学への不確実性の導入
・決定論と確率過程論
・降雨流出解析決定論と確率過程論（確率論）
決定論：原因と結果が一意的に決まる．
ニュートン力学は，決定論的因果律を発見することこそが科学であるという考え方の代表例である．
確率過程論(確率論)：原因と結果の間に不確定な要素が存在し，確定的には決まらない．
やってみなければor起こってみなければわからない不確実な事象を扱うのが確率過程論．
物理学→ハイゼンベルクの不確定性原理
両者の間には昔から哲学論争が存在するが，ここで言いたいのは，二者択一の問題ではなく（どちらかが正しいという問題ではなく），その人の世界に対する認識や信念の問題，対象とする事象のスケー
ルに関する複雑な問題である．
金子郁容(1990):〈不確実性と情報〉入門

不確実性の分類

社会的・経済的・自然的現象自体．
→物理的不確実性
地震，地盤沈下，降雨などの気象

不確実性

上記の現象に関する人間の知識．
→不可知性
人間の知識不足，認識不足，忘失

上記の現象に対する人間の行動．
→意思決定に伴う不確実性
住民：避難判断の意思決定時の行動
管理者：避難指示発令・レベルの意思決定

参考・加筆)松尾稔：地盤工学-信頼性設計の理念と実際-，技報堂出版，p.7，1984．

ニュートン力学と量子力学
ニュートン力学（決定論，因果律）

量子力学（確率論的解釈）

ニュートンの運動の第二法則: mα=f

シュレディンガー方程式:

流れの方程式Navier−Stokes方程式
不定流, etc.

粒子の速度分布の方程式
Boltzmann方程式

分布に関する方程式
Fokker-Planck方程式

流出現象の方程式
例：タンクモデル，貯留関数法，応答関数，集中型モデル，
分布型モデル

Ito calculus=Fokker-Planck
方程式に基づく本研究で提案する式

確率過程的モデルの関係図
transition probabilities
normalization

Liouville equation

Brownian motion
random walkmicroscopic fluctuation
central limit theorem

Boltzmann equation

Markov process

Markov process
Chapman-Kolmogorov
equationdifferentiability Master equation
conditions
Jump process
Kolmogorov equation

small jump
Smoluchowski equation
diffusion equation
with drift term
truncated
4th order terms

energyequipartition

Einstein’s relation
fluctuation-dissipation
theoremLangevin equation

Kramers-Moyal
expension
Gaussian
white noisest
1 ,2nd order terms

random movement of a particle
viscous force by Stokes’s law

・Ito Lemma & Ito processdescribe motion due to random event

Higher-orders
Fokker-Planck
equation・Stratonovich stochastic calculus
Schrödinger equation

more natural to physical law’s確率過程的モデルの関係図
transition probabilities
normalization

Liouville equation

Brownian motion
random walkmicroscopic fluctuation
central limit theorem

Boltzmann equation

Markov process
1827 ブラウン運動(R.Brown1827):
Markov process
Chapman-Kolmogorov
花粉から飛び出た微粒子の媒質中のランダムな動き
equation
1905 アインシュタインの関係式(A.Einstein1905):

differentiability
Master equation
1908 ランジュバン方程式(P.Langevin1908):dv
conditions
ブラウン運動を形式的に表現 Jump process= K(v) + b (v)R(t)dt
Kolmogorov
equation1910 ペランの実験(J.Perrin1910):

small jump
ブラウン粒子の変位の拡散係数Dは，D=k T/6πaηにenergyequipartition

Einstein’s relation
fluctuation-dissipation
theoremLangevin equation

B

Smoluchowski
equation
従うことがペランによって実験的に証明された
Kramers-Moyal
1921diffusion
equation (N.Wiener1921):expension
ウィーナー過程
withdrift term
確率過程的な時系列を数理モデル化

1942 確率微分方程式，Ito Calculus(伊藤清1942):

Gaussian
ランジュバン方程式の数学的意味付けを行い，確率
truncated
white noiseth
微分積分の概念を用いて解析的に解けるようにした
st
4 order terms
1 ,2nd order terms

random movement of a particle
viscous force by Stokes’s law

・Ito Lemma & Ito processdescribe motion due to random event

Higher-orders
Fokker-Planck
equation・Stratonovich stochastic calculus
Schrödinger equation

more natural to physical law’s確率過程的モデルの関係図
transition probabilities
normalization
Markov process

Liouville equation

Brownian motion

Boltzmann equation

random walkmicroscopic fluctuation
central limit
theorem
1838 リウヴィル方程式/定理(Liouville1838):

Markov process
Chapman-Kolmogorov
equationdifferentiability Master equation
conditions
Jump process
Kolmogorov equation

small jump
Smoluchowski equation
diffusion equation
with drift term

Kramers-Moyal
expension

確率分布の時間発展を記述した最初の方程式

1872 ボルツマン方程式(Boltzmann1872):
energyEinstein’s relation
気体中の粒子間(2粒子)の衝突を考えた速度

equipartition
分布関数の時間発展を記述する方程式

fluctuation-dissipation
1906 チャップマン・コルモゴロフ方程式
theorem(Smoluchowski1906):
Langevin equation
マルコフ過程における遷移確率を記述する
方程式

1913 フォッカー・プランク方程式
1918 (Fokker1913,Planck1918):
確率密度関数の時間発展を記述する方程式

random movement of a particle

truncated
4th order terms

Gaussian 1931 コルモゴロフの前向き方程式
viscous force by Stokes’s law
white noise(Kolmogorov1931):
stnd
1 ,2 order terms
Fokker−Planck方程式がマルコフ過程に・ItoLemma & Ito process
成り立つことが示された
describemotion due to random event

Higher-orders
Fokker-Planck
equation・Stratonovich stochastic calculus
Schrödinger equation

more natural to physical law’s確率過程論
確率過程(確率経路)：確率微分方程式(SDE)（1本1本の見本路を見る世界）
Stochastic Differential Equationdx(t) = y(x(t), t)dt + z(x(t), t)dw(t)確率密度関数：Fokker-Planck方程式(FPE)（分布関数の時間発展を見る世界）
Fokker-Planck Equation¶p(x(t), t)¶y(x(t), t)p(x(t), t) 1 ¶2 z 2 (x(t), t)p(x(t), t)
=+
¶t
¶x
2
¶x 2

時間 t
確率過程: x(t)

水文学への不確実性の導入
・決定論と確率過程論
・降雨流出解析Fokker-Planck方程式と確率微分方程式の関係
Langevin方程式：

dv= K(v) + b (v)R(t)dt
Fokker-Planck方程式：¶p(v, t)¶K(v)p(v, t) 1 ¶2 b (v)2 D(v)p(v, t)
=+
¶t
¶v
2
¶v 2
対応する確率微分方程式は，dv = K(v)dt + b (v) D(v)dw(t)流出の基礎式とSDEの関係① 常微分方程式型の流出モデル
dq= aq b {r - q}dtr(t) = r(t)+ r¢(t)

②
0.12
0.10

PDF

b

G.I.Taylorの拡散理論を応用すると，

0.08
0.06

③

0.04
0.02
0.00

dq = aq {r - q}dt + aq r¢dt
b

20

10

0

10

20

レ ーダ雨量 地上雨量 mm 60min

dq = aq {r - q}dt + aq
b

b

Dr dw

流出高に関する確率微分方程式を得る．

流出高に関するFokker-Planck方程式を得る．

Dr = s TL2b2¶p(q) ¶aq b {r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
+
=
¶t
¶q
2
¶q 2

流出高に関するSDEとFPEの関係
流出高のSDE：
流出高のFPE：

dq = aqb {r - q}dt + aqbs TL dw2b2¶p(q) ¶aq b {r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
+
=
¶t
¶q
2
¶q 2

t
r(t)
q(t)

r(t) = r(t)+ r¢(t)
FPE(distribution)：2b2¶p(q) ¶aq b {r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
+
=
¶t
¶q
2
¶q 2

SDEs(paths)：tdq = aqb {r - q}dt + aqbs TL dw

Fokker-Planck方程式の解析解(定常時)2b2¶p(q) ¶aq b {r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
+
=
¶t
¶q
2
¶q 2

分布が定常状態の場合を考える
2b2¶aqb{r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
=
t
¶q
2
¶q2

r(t)

q(t)

r(t) = r(t)+ r¢(t)
FPE(distribution)：2b2¶p(q) ¶aq b {r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
+
=
¶t
¶q
2
¶q 2
SDEs(paths)：tdq = aqb {r - q}dt + aqbs TL dw

流量・水位の確率密度関数¶G(q) p(q) ¶2 F(q) p(q)
=
¶q
¶q2

2
b
2
¶aqb{r - q}p(q) 1 ¶ (aq s TL ) p(q)
=
¶q
2
¶q2

1
G(q) = aqb{r - q}, F(q) = (aqbs TL )22

G(q)p(q) =として1回積分すると¶F(q)p(q)+C¶qp(q)について解くと

1
p(q) = p0eF(q)確率密度関数：p(q) = p0

dqò G(q)F (q)2(aq s TL )bq1-b
2 q2-b
as 2TL 1-b as 2TL 2-b
2r

2

e

となる．

流量の確率密度関数から水位の確率密度関数へ変換
確率変数Xの確率密度関数をfx(x)とする．このときXの関数Y=g(X)で与えられる確率変数Yの確率密度関数fy(y)を求める．

fy (y)dy = P ( y £ Y £ y + dy)y

Y=g(X) → X=g-1(Y)y+dy= P ( g-1 (y) £ X £ g-1 (y + dy))y

æ -1
g (y) ö-1
= P ç g (y) £ X £ g (y) +
dy ÷
f (y)
dy
è
ø
一方で確率変数Xに関して P ( x £ X £ x + dx ) = fx (x)dxy=g(x)

-1

y

x
0

æ -1
g-1 (y) ö-1
P ( x £ X £ x + dx ) = P ç g (y) £ X £ g (y) +dy ÷ x=g-1(y)
dy
è
ø
æ -1
g-1 (y) ödg-1 (y)-1-1
P ç g (y) £ X £ g (y) +dy ÷ = fx (g (y))
dy
dy
dy
è
ø
-1
dg
(y)
-1
fy (y) = fx (g (y))
dy

y

0

x

x+dx

f(x)

x
0

x+dx
x=g-1(y)流出高の分布がわかったとき流量・水位の分布はどうなるのか？

流出高の確率密度関数

水位の確率密度関数

dg-1 (h)ph (h) = pQ (g (h))
dh

æ 2 æ q1-b q 2-b ööp(q) = p0
exp ç 2 ç r÷÷(aq bs TL )2
è as TL è 1- b 2 - b øø-12

dg-1 (y)fy (y) = fx (g (y))
dy3-1h = CQ 55

y=g(x)

æ h ö3
Q=ç ÷
èC ø

？

x=g-1(y)-1dg (y)dy3

2

dQ 5 - 5 3
= C h
dh 3

流量の確率密度関数

dg-1 (Q)pQ (Q) = pq* (g (Q))
dQ
-1

流出高，流量，水位の関係式い各々の関係式：Q=g(q*)やh=g(Q)がわかれば良い！
河道の効果は無視できるスケールの流域を想定すると，

Q=

1
Aq* = g(q* )3.6

流出高⇔流量の関係

流域面積:
A [km2]矩形断面水路で等流状態を考えると，
5

1
Q = A ´ q* = Bi ´ h3
n
3
5
3
5
æ
ö
Q
Q = ah 3 ® h = ç ÷ = CQ 5èaø

h = CQ

3
5

æhö
Q=ç ÷
èC ø

5
3

流域末端の流量:Q [m3/s]3
5

æ1ö
1(C = ç ÷ , a = B
i)
èaø
n
3

2

dQ 5 - 5 3
®
= C h
dh 3

流量⇔水位の関係

流域面積：A [km2], 川幅：B [m],マニングの粗度係数：n , 河床勾配： i

流量の分布がわかったとき水位の分布はどうなるのか？

流出高の確率密度関数

水位の確率密度関数
53æ h ö 5 - 35 23
ph (h) = pQ (ç ÷ ) C hèC ø 3

æ 2r q22 q öp(q) = p0
exp
ç
÷
2
2
(aq bs )2
è as 1- b as 2 - b ø
1-b

2-b

dg-1 (y)fy (y) = fx (g (y))
dy3
-1

Q=

1
Aq* = g(q* )3.6

y=g(x)
x=g-1(y)-1dg (y)dy

h = CQ 55

æ h ö3
Q=ç ÷
èC ø

？
3

2

dQ 5 - 5 3
= C h
dh 3

3
5

h = CQ = g(Q)

流量の確率密度関数

pQ (Q) = pq* (3.6Q 3.6
)
A
A
36/98

流量の分布がわかったとき水位の分布はどうなるのか？

流域面積A=100 km2
平均降雨 r = 50 mm/h
1384 m3/s 抵抗則 m = 4
降雨の偏差 σ = 4µQ =σQ = 93.5 m3/s

µh = 7.33 m
σh = 0.30 m

流域面積A=100 km2
平均降雨 r = 50 mm/h
抵抗則 m = 4
河道幅 B = 50 m
粗度係数 n = 0.025
河道勾配 i = 1/1600

流量の不確実性

3.6Q 3.6
pQ (Q) = pq* ()
AA

これが水位の不確実性
53æ h ö 5 - 35 23
ph (h) = pQ (ç ÷ ) C hèC ø 3

水位の確率分布の応用
rh, m σ4 = 4 mm/h, m=4
2 mmmm/h,
50 mm h, Σrr=50

9.0

越水破壊の
リスクカーブ

越水破壊する確率
8.5

天端高1

h m

8.0

天端高1 p h

0.6 m

7.5

7.3 m

天端高2

天端高2

7.0

levee

6.5

6.0
0.0

levee

水位の確率密度関数

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.02

1

1.4

PDF(h)[ref.]
交通事故で死亡：1/1万
飛行機死亡事故：1/50万
薬剤死亡リスク：1/200万

越水するリスク=天端高の高さの違いによるリスクの増減信頼区間・予測区間に基づく
水文頻度解析

水害による死者数と水害被害額の関係
死
者
数
（人）
1000

西
日
本
水
害

被
害
35000額
（億円）

死伊
者
数勢
：湾

4697（人）※1

カ
ス
リ
ー
ン
台
風

10000

40000

台
風

長
崎

関
東
・
東
北
豪
雨

死者数

水
害

100

及令
び和
死前 元
25000者
数線 年
：に 台
よ風
20000
る第
大 19
雨号
99（人）※2

東
海
豪
雨

30000

被害額

15000

10

10000

2020

2018

2016

2014

2012

2010

2008

2006

2004

2002

2000

1998

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

1968

1966

1964

1962

1960

1958

1956

1954

1952

1950

1948

0
1946

1

84（人）※3

5000

令
死和
者 2
数
：年
7
月
豪
雨

注）死者数は，水害・土砂災害による合計値であり，各年の水害被害額は，2005年価格に実質化したものである．また，2019年度と2020年度の項目にはそれぞれ，「令和元年台風第19号及び前線による大雨」および「令和2年7月豪雨」に伴う死者数のみを記入した．
※1消防白書より※2消防庁災害対策本部：令和元年台風第１９号及び前線による大雨による被害及び消防機関等の対応状況（第６３報）※3内閣府 防災情報のページ：令和2年7月豪雨による被害状況等について（11月2日14:00現在）※1946年から2018年までの水害による死者数および水害被害額は，国土交通省 「水害統計調査」に掲載されているものを用いた．

近年における記録的豪雨の多発について
平成27年関東・東北豪雨

平成28年北海道豪雨

・鬼怒川水系に線状降水帯による降水が集中し，鬼怒川が決壊した．

・4つの台風の上陸・接近による全道各地での記録的大雨は発生するとともに，前例のない広域な被害（氾濫，橋脚の流出，農業被害）が生じた．

【出典】国土交通省 関東地方整備局【出典】：国土交通省「平成２８年台風第１０号による出水状況について」

平成29年7月九州北部豪雨

平成30年7月西日本豪雨

・台風と梅雨前線の影響により，河川の氾濫や大規模な土砂崩れが発生した．
・河川に流れ込んだ流木による被害が増加した．

【出典】時事ドットコム

・台風と梅雨前線の影響により西日本各地で記録的豪雨が発生した．
・西日本を中心に多くの地域で河川の氾濫や土砂災害が発生し，平成最悪の被害となった．

【出典】ふるさとチョイス令和元年台風第19号の被害状況<概要>
・ １０月６日３時に発生した台風第１９号は，非常に強い勢力を保ったまま，１２日１９時前に伊豆 半島に上陸し，１３日１２時に北海道の南東海上で温帯低気圧に変わった．
・ 大型で強い台風の接近に伴い，西日本から東日本の太平洋側を中心に激しい雨が降り，１２日１５
時３０分，群馬県，埼玉県，東京都，神奈川県，山梨県，長野県，静岡県に，同日１９時５０分，宮城県，福島県，茨城県，栃木県，新潟県に，１３日０時４０分，岩手県に大雨特別警報が発表された．

<被害>※10月25日(金)からの大雨による被害状況を含む

・人的被害 ：死者 99名 ，行方不明者3名 （令和2年2月12日（水）9時00分 消防庁）
【出典】 消防庁災害対策本部 「令和元年台風第１９号及び前線による大雨による被害及び消防機関等の対応状況（第65報）」

千曲川（長野県）における氾濫の様子

阿武隈川（福島県）における氾濫の様子

千曲川
堤防決壊部分

堤防決壊部分

【出典】朝日新聞 「長野市の千曲川の堤防決壊 広範囲で住宅に濁流」 2019年10月13日09時43分
https://www.asahi.com/articles/ASMBF2404MBFUTIL007.html）【出典】：毎日新聞https://mainichi.jp/graphs/20191013/hpj/00m/040/001000g/15

令和2年7月豪雨の被害状況<概要>
・令和2年7月3日から14日にかけて，梅雨前線が本州付近に停滞し，西方と南方から流入する大量の水蒸気が九州を中心に西日本から東日本にかけて集まりやすい状態が続いたため，広い範囲で豪雨が発生した．特に3日から8日にかけては，九州で多数の線状降水帯が発生した．このことによって，球磨川での決壊や筑後川での氾濫が発生した．

<被害>
・人的被害 ：死者 84名 ，行方不明者2名 （令和2年12月3日 14時00分時点）【出典】 内閣府 令和2年7月豪雨による被害状況について
http://www.bousai.go.jp/updates/r2_07ooame/pdf/r20703_ooame_39.pdf

球磨川（熊本県）における氾濫の様子【出典】朝日新聞 「写真で見比べる災害前後 熊本で数十年に一度の大雨」 2020年7月4日 13時56分
https://www.asahi.com/articles/ASN744J5QN74UQIP019.html?iref=pc_extlink

筑後川（福岡県）における氾濫の様子【出典】読売新聞 「九州豪雨，筑後川が再び氾濫…5県で78万人に避難指示」
2020年7月8日 https://www.yomiuri.co.jp/national/20200708OYT1T50176/

地球温暖化の進行に伴う降雨量の増加
地球温暖化に伴う気候変動により，将来の洪水リスクは増加する．
今世紀末において，全国の一級水系における・年最大流域平均雨量は約1.1～1.3倍，・基本高水を超過する洪水の発生頻度は約1.8～4.4倍となる予測が示されている．

【出典】国土交通省 国土技術政策総合研究所 気候変動適応研究本部：気候変動適応策に関する研究（中間報告），国総研資料 749号，Ⅱ-112-154，2013．

一方で， 従来の水文頻度解析の課題：年最大雨量への定常性の仮定

従来の水文頻度解析手法例について
320 mm

400 mm

図 利根川八斗島地点 年最大流域平均3日雨量【STEP1】 候補確率分布モデルの列挙【STEP2】 確率分布モデルの母数推定【STEP3】確率分布モデルの適合度・安定性評価
適合度評価基準：SLSC （寶・高棹，1988）
安定性評価基準：Jackknife推定誤差

指数分布
Gumbel分布
平方根指数型最大値分布
一般化極値分布対数ピアソン III 型分布
岩井法
対数正規分布 3 母数クォンタイル法
対数正規分布 3 母数(Slade II)
対数正規分布 2 母数(Slade I, L 積率法)
対数正規分布 2 母数(Slade I, 積率法)

年最大流域平均72時間降水量[mm]図 利根川八斗島地点 雨量確率図（Gumbel確率紙）

従来の水文頻度解析では，過去数十年間分の観測実績に基づき，洪水対策における設計外力（計画水文量）の算定を行う．

推定精度と標本サイズの関係（200年確率）

観測値に当てはめたGumbel分布による200年確率年最大流域平均3日雨量（322.0 mm）を真値として扱う．
そのGumbel分布から大きさnの標本を5000個生成．標本の大きさ別に，アンサンブル標本にGumbel分布を当てはめ， 200年確率年最大流域平均3日雨量群を算出．下図は，各アンサンブル標本から算定した200年確率年最大流域平均3日雨量による相対誤差と標本の大きさの関係である．

相対誤差 ＝ (真値 - 計算値) /真値 ×100 [%]200年確率年最大流域平均
3日雨量に関する相対誤差 [%]真値＝観測値に当てはめたGumbel分布による200年確率年最大流域平均3日雨量
計算値＝モンテカルロ法で作成した標本に当てはめたGumbel分布による200年確率年最大流域平均3日雨量

相対誤差値（アンサンブル標本別に5000事例をプロット）
相対誤差の95%信頼限界値

母集団分布から生成した標本の大きさ n

従来の水文頻度解析の課題
平成27年9月関東・東北豪雨
年最大日降水量=350mm

40

確率年 [年]

非超過確率

平成27年9月
関東・東北豪雨

図 利根川水系五十里観測所における1957年から2015年に渡る38年間分の年最大日降水量の観測値時系列

従来の水文頻度解析では，

記録的豪雨の確率年は，数千年～数万年となる場合が多い．

観測値に当てはめた
Gumbel分布
観測値（年最大日降水量）

年最大日降水量 [mm/day]

計画確率年による評価が困難
適合度重視の従来手法の下では，
関東・東北豪雨は，“想定外”として扱われる．

信頼区間と予測区間の概要
95%予測区間（将来の観測値）

95%信頼区間

観測値に当てはめた
Gumbel分布
観測値（年最大日降水量）

確率年 [年]

非超過確率（観測値に当てはめた確率分布モデル）

信頼区間は，統計モデル（回帰直線，確率分布
モデル等）の振れ幅を表す．
※95%信頼区間：100回観測を繰り返して，得られた100個の統計モデルのうち95個が存在する範囲．

95%信頼限界線
95%予測限界線

降雨量 [mm]

予測区間は，未来の観測値がとりうる値の範囲．

d4PDFへの力学的ダウンスケーリングによる気候変動解析
対象とする気候変動シナリオ• 気候システムの自由度がもたらす極端現象••の生起確率を推定可能となる．
（極端現象の生起リスクを確率分布として定量化可能）
数十年間に渡る降雨観測で(たまたま)経験しなかった大雨を評価可能となる．

全球平均地上気温 [℃]

力学的ダウンスケーリング情報を用いる利点

力学的ダウンスケーリングの実験デザイン
山田ら（e.g. 2018）は，
d4PDF(20km)への力学的ダウン
スケーリングを行い，北海道地方
における気候変動解析を実施した．

d4PDFが格納するデータの概要【図面出典】北海道地方における気候変動予測（水分野）技術検討委員会，資料【論文出典】山田朋人，星野剛ら：北海道における気候変動に伴う洪水外力の変化，河川技術論文集，第24巻，pp.391-396，2018.

仮説検定論の歴史 – 確率限界法検定 –確率限界法検定は，Kolmogorov-Smirnov検定が有する“仮定した確率分布の両端部に対する検定力の低さ”を改善した検定理論として森口（1995）により提案された．
【出典】※森口繁一：確率表現関数の検定について―Kolmogorov-Smirnov検定を考え直す―，日本統計学会，第25巻，233-244，1995

u （累積確率）※両側確率5%x （年最大総降雨量 [mm]）確率限界法検定に基づく信頼区間の水文頻度解析への導入
T年確率規模相当の上側信頼限界値がもつ超過確率は，「対象確率年」と「信頼区間の超過確率」との積により求まる．

95%信頼区間

95%上側信頼限界値

100年確率水文量の95%上側信頼限界値の超過確率

確率年 [年]

非超過確率 [%]

対象確率年

1
× 2.5%
100
対象確率年
片側確率（95%信頼区間）= 2.5 × 10−4 (1/4千)
信頼区間の導入により，従来では考慮されなかった規模の豪雨が生起するリスクを算出することができる．

他のリスクとの相対評価が可能となる
年最大総降雨量 [mm]
確率紙には，草木ダム流域における41年間分の年最大総降雨量の観測値およびこれら41個の観測値を当てはめたGumbel分布，確率限界法検定により導出した当該Gumbel分布の95%信頼区間を記入した．

[ref.]交通事故で死亡：1/2万 [/年/人]
飛行機死亡事故：1/50万 [/年/人]
薬剤死亡リスク：1/200万 [/年/人]

確率限界法検定に基づく予測区間の水文頻度解析への導入
T年確率規模相当の上側予測限界値がもつ超過確率は，「対象確率年」と「予測区間の片側確率」との積により求まる．

対象確率年

東海豪雨(2000年)
428 mm/day

99%予測区間確率年 [年]

非超過確率

200年確率水文量の99%上側予測
限界値の超過確率

1× 0.5%
200
対象確率年
片側確率（99%予測区間）= 2.5 × 10−5 (1/4万)

年最大日降水量 [mm/day]
図 名古屋地方気象台における99年間分の年最大日降水量の観測値（1901年~1999年），
これら99個の値に当てはめたGumbel分布および確率限界法検定による99%予測区間

予測区間の導入により，将来期間における激甚豪雨の規模およびその生起リスクが算出可能となる．

ベイズ理論に基づく信頼区間の将来変化
過去気候（観測実績）

常呂川北見基準地点

観測値に当てはめたGumbel分布
観測値に当てはめたGumbel分布の95%信頼区間（確率限界法検定）

将来実験によるベイズ予測分布
将来実験によるベイズ予測分布の95%信頼区間（確率限界法検定）
観測値（年最大24時間降雨量）

年最大24時間降雨量[mm]有限なデータに基づき推定された
計画降雨量値の不確実性が信頼区間という形で定量化され，その将来変化の推定が可能となった．

確率年 [年]

非超過確率

将来気候
（4℃上昇）

100年確率年最大24時間降雨量の95%信頼区間の将来変化
観測実績：157.7mm
将来気候：224.6mm
95%上側信頼限界値（観測実績）：
198.8mm
95%上側信頼限界値（将来気候）：
294.4mm

図 常呂川北見地点流域における24時間降雨量の観測値（黒点），これらの観測値に当てはめたGumbel分布（青実線）および確率限界法検定に基づく当該Gumbel分布の95%信頼区間（青色で表示された範囲）とMCMC法に基づき観測値に当てはめたGumbel分布に力学的ダウンスケーリング適用後の将来実験結果を取り入れベイズ更新されたGumbel分布（解析用データに当てはめたGumbel分布の予測分布，赤実線），確率限界法検定に基づくベイズ更新された当該Gumbel分布の95%信頼区間（赤色で表示された範囲）

d4PDF(5km, 過去実験)へのリサンプリングの適用による信頼区間の評価
確率限界法検定に基づく信頼区間の精度を評価するために，過去実験結果へのリサンプリングの実施により得られる確率雨量の度数分布が信頼区間に含まれる割合（＝被覆率）を算出する．
95%信頼区間：被覆率:94.4%【200年確率】

過去気候

確率年 [年]

非超過確率

相
対
頻
度

年最大24時間降雨量 [mm]95%信頼区間：被覆率:95.5%【100年確率】
相対
頻度

年最大24時間降雨量 [mm]
年最大24時間降雨量 [mm]
確率限界法検定に基づく信頼区間は，物理的モンテカルロ法による確率雨量の頻度分布に高い精度で適合している．

d4PDF(5km, 将来実験)へのリサンプリングの適用による信頼区間の評価
確率限界法検定に基づく信頼区間の精度を評価するために，将来実験結果へのリサンプリングの実施により得られる確率雨量の度数分布が信頼区間に含まれる割合（＝被覆率）を算出する．
95%信頼区間：被覆率:91.2%【200年確率】

将来気候(4℃上昇)

確率年 [年]

非超過確率

相
対
頻
度

年最大24時間降雨量 [mm]95%信頼区間：被覆率:94.3%【100年確率】
相対
頻度

年最大24時間降雨量 [mm]
年最大24時間降雨量 [mm]
確率限界法検定に基づく信頼区間は，物理的モンテカルロ法による確率雨量の頻度分布に高い精度で適合している．

ベイズ理論に基づく予測区間の将来変化
過去気候（観測実績）

常呂川北見基準地点

将来気候(4℃上昇)
観測値に当てはめたGumbel分布
観測値に当てはめたGumbel分布の95%信頼区間（確率限界法検定）

将来実験によるベイズ予測分布
将来実験によるベイズ予測分布の95%信頼区間（確率限界法検定）

確率年 [年]

非超過確率

予測区間の更新により，地球温暖化進行時における極値降雨量の規模ならびにその生起リスクが評価可能となる．

100年確率年最大24時間降雨量の95%予測区間の将来変化
観測実績：157.7mm
将来気候：224.6mm
95%上側予測限界値（観測実績）：
280.7mm
95%上側予測限界値（将来気候）：
437.9mm

観測値（年最大24時間降雨量）

年最大24時間降雨量[mm]図 常呂川北見地点流域における24時間降雨量の観測値（黒点），これらの観測値に当てはめたGumbel分布（青実線）および確率限界法検定に基づく
当該Gumbel分布の95%予測区間（青色で表示された範囲）とMCMC法に基づき観測値に当てはめたGumbel分布に力学的ダウンスケーリング適用後の将来実験結果を取り入れベイズ更新されたGumbel分布（解析用データに当てはめたGumbel分布の予測分布，赤実線），確率限界法検定に基づくベイズ更新された当該Gumbel分布の95%予測区間（赤色で表示された範囲）

宇宙線ミュー粒子を使った土木構造物の内部構造可視化の技術の開発
・ミュー粒子とは・土構造物の観測結果

57

宇宙線ミュー粒子を使った土木構造物の内部構造可視化の技術の開発
・ミュー粒子とは・土構造物の観測結果

58

宇宙線ミュー粒子（ミュオン）による探査
1955
導水路

1970

1995
筑波山

2007

2017

昭和新山

氷河

Tanaka et al. (2007)

ピラミッド
George (1955)

溶鉱炉

断層調査

Nagamine et al. (1995)

Nishiyama et al. (2Tanaka et al. (2011)
Nagamine et al. (2005)
Alvarez et al. (1970)

地下鉄

火山内流体移動
三次元トモグラフィ

Jourde et al. (2016
湊 (1992)鈴木 (2012)

59

宇宙線ミュー粒子
一次宇宙線：
宇宙を飛び交っている高エネルギーの放射線（主に陽子）．

二次宇宙線：
一次宇宙線が大気中の粒子と衝突して生じる
様々な放射線（宇宙線シャワー）．
地表に降り注ぐ宇宙線のうち，高エネルギー
成分のほとんどがミュー粒子．
ミュー粒子は電子などと同様の素粒子．
相互作用が少ないため物質中の透過力が大きい

物質中での透過距離
粒子

透過距離(m)電子・X 線

数 m あるいはそれ以下

陽子・中性子・パイ中間子

10m 以下（不安定、検出困難）

ニュートリノ地球規模（検出困難）

ミュー粒子

100～1000m（検出容易）
60

素粒子の標準理論【2014年ノーベル賞】
高エネルギー加速器研究機構(2003)に加筆

ミュー粒子は電子の200倍の重さを持ち，寿命は約2μs
61

なぜミュー粒子を観測ができるのだろうか？
• ミュー粒子の寿命は2μs(=2×10-6s)．
• 光速（3×108m/s）で移動しても600mしか進まない．
• 上空10,000m以上のところで発生したミュー粒子がなぜ地表まで到達するのか？

• 相対論的効果による時間の遅れがあるため．
• ミュー粒子と一緒に移動すれば寿命は2μsだが，地表で観測すると146μsとなる．
• これを距離に換算すると43,700mとなる．

t' =

t
2

= 145.7v
1−  c
 = 145.7 s  299.77 106 m / s= 43,700m

c=2.998×108m/s
v=0.9999c=2.9977×108m/s
光速の99.99%
62

これからの物理探査・地盤工学• これまでは古典物理学（ニュートンの運動方程式とマックスウェルの電磁気学）で良かった．
• これからは現代物理学（量子論と相対論）も必要．
• 実際にGPS(GNSS)では既に一般相対性理論が使わ
れている．

63

宇宙線ミュー粒子探査の歴史• 1955年：坑道内部で岩盤密度を7%程度の精度で検出(George,1955)• 1968年：ピラミッド内部で測定し，100mに対して2mの違いを検出(Alvarez et al., 1970)
キャップストーン• 1979年：鉱床を対象とした（2m厚）
数値実験(Malmqvist et al., 1979)• 1980~90年代：大型構造物を対象とした非破壊検査(湊)64

火山のラジオグラフティ• 1995年ごろから成果が出始める

薩摩硫黄島
Tanaka et al., 200965

ミュー粒子の透過強度
鉄

物質名
鉄
炭素
水

粒子

透過距離(m)

ミュー粒子

100m 以上

陽子・電子

0.1m

ミュー粒子

1000m 以上

陽子・電子

0.5m

ミュー粒子

5000m 以上

陽子・電子

1m

炭素

Nagamine(2003)より

水・ミュー粒子は物質中でほとんど直進する
μ：ミュー粒子

ILC

e：電子
P：陽子

66

ミュー粒子を用いた空洞探査の原理：空洞がある場合：空洞がない場合67

宇宙線ミュー粒子を使った土木構造物の内部構造可視化の技術の開発
・ミュー粒子とは・土構造物の観測結果

68

観測概要
観測現場
◆谷田川第一排水樋管

樋管80m

全長約80m
高さ2.3m,幅2.3m

観測期間

排水機場

谷田川

◆2020/1/8～2020/2/14
冬場は非出水期であり観測に影響が出にくい

観測方法
・ミュー粒子検出器を樋管内に設置
・一定時間経過ごとに，測点から測点へ検出器を移動させる

2.3m
2.3m
69

渡良瀬遊水池観測概要
使用機器◆マルチ検出器

主検出器

・主検出器と5つの副検出器で構成される
主検出器と副検出器の距離：1.4m
主検出器の直径：24.5cm
副検出器の直径：24.5cm〃高さ：5cm

1.4m
約1.7m
副検出器

・同時に5方向のミュー粒子を計測できる・副検出器はそれぞれ天頂角 ∗ 30°,15° 0°，-15°,-30°傾いている
・主検出器と副検出器を同時に通過した
ミュー粒子のみを計測
・主検出器は球形であるため，どの副検出器から見ても主検出器の断面積は同じ

撮影：中央大学 河川・水文研究室

総重量：約120kg*天頂角：鉛直方向を0°としたときの角度

𝜃鈴木敬一，大沼寛，奥村忠彦，宮川彰彦(2010)，宇宙線ミュー粒子を利用したマルチ計測器と三次元トモグラフィ技術の開発,
土木学会第66回年次学術講演会論文集，VI-236

70ミュー粒子数と面密度の関係式
ミュー粒子フラックス𝐼 ∗1 と面密度ℎ ∗2 の関係について，2つの実験式が提案されている∗1 単位時間・単位面積・単位立体角あたりのミュー粒子数 個ΤsΤcm2 Τsr∗2 面密度 [hg/cm2 ] = 土被り m × 密度 [g/cm3 ]◆ 湊の式 1)𝐼(ℎ,𝜃) = 𝐼00 cos𝑛 𝜃 ∙ 𝑒 −ℎΤΛ(ℎ)
ただし, Λ(ℎ) = 𝐴 + 𝐵ℎ + 𝐶ℎ2
𝑛 = 𝛼 + 𝛽ℎ
𝐼00 = 0.00723 [/ cm2 ΤsΤsr]，𝐴 = 17.61 [cm2 Τhg]，
𝐵 = 0.1404 [cm4 Τhg 2 ]，𝐶 = −7.069 × 10−5
[cm6 Τhg 4 ]，𝛼 = 1.495 ，𝛽 = 0.002018 [cm2 Τhg]

◆ 三宅の式 2)𝐴(ℎ sec 𝜃 + 𝑎)−𝛼 ∙ exp(−𝛽ℎ sec 𝜃) ・両式とも，角度と面密度に応じてフラックスがℎ+𝐻
指数関数的に減少することを示している
・10hg/cm2 以下の浅い地下では湊の式の方が，それより深い地下では三宅の式の方がよく合う
A=174 [/cm2 ΤsΤsr]，H=400 [hg/ cm2 ]，とされる 3)𝑎=11 [hg/cm2 ]，𝛼=1.53 ，𝛽=8.0 × 10−4𝐼(ℎ,𝜃) =[cm2 Τhg]1) 湊進 (1992) ,宇宙線透視像，放射線，第19巻，第1号，pp.49-56

本研究では湊の式を採用

2) 三宅三郎(1979),地下深部における宇宙線研究，日本物理学会誌，第34巻，第4号，pp.292-301

713) 鈴木敬一，金沢淳(2012)：宇宙線ミュー粒子を利用した探査技術の応用地質分野への適用，応用地質学会誌，第57巻，第6号，pp.266-276

観測概要
観測測点と波線
渡良瀬遊水池方面

排水機場方面66m
波線…主検出器と副検出器の中心同士を通る直線

副検出器は5つあるため，1つの測点に5本の波線がある
観測区間

66m

測点間隔

1.0m

測点数

67点 (0番~66番)

計測時間

偶数測点：8時間
奇数測点：15時間

72トモグラフィ解析による密度分布の可視化★堤防の密度分布を可視化するために，トモグラフィ解析を行った
トモグラフィ…逆解析技術のひとつ．
その多くは，対象領域を取り囲む形で走査線(線源と検出器)を配置し，対象の内部の物性の分布を調べる技術

ミュオントモグラフィでは密度

例．CT (コンピュータ断層撮影)
Computed Tomography

X線

回転

X線を照射，体を通過した後，検出器を通る照射したX線量と検出したX線量の差から，
X線吸収率を求める

73
https://www.kenkan.gr.jp/information/ctcheck.html

解析結果
トモグラフィ解析結果
計算条件

グリッドの大きさ：1m×1m
初期値𝑋0 ➡ 空気密度：0.0 [g/cm3 ]地盤密度：1.6 [g/cm3 ]密度 [g/cm3 ]1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

渡良瀬遊水池方面

排水機場方面

天端
8
6
4
2

裏のり

表のり

1.81g/cm3

・このセルの70%が地盤，30%がコンクリートだと仮定して平均密度を計算する
堤防地盤70cm
1m
コンクリートの密度を2.3g/cm3 (道路橋示方書参照)とするとセルの平均密度はコンクリート30cm
2.3 gΤcm3 × 0.3 + 1.6 gΤcm3 × 0.7 = 1.81 [gΤcm3 ]1m

解析結果の値と合う➡ 密度の大きい部分はコンクリートと思われる
74

水文学的アプローチによる
内部被ばく量計算法

どうやって簡単に内部被ばくを計算する？
放射性原子の摂取
フラックスr(t)原子核崩壊による
放射性原子の流出
フラックス qp(t)排泄による放射性原子の流出フラックス qb(t)
摂取，流出フラックスの次元は[個/単位時間]
貯留量N(t)の次元は[個, 無次元]

放射性原子の原子数での摂取フラックスr(t)放射性原子の人体における
貯留量 N(t)

原子核崩
壊による
放射性原
子の流出
フラック
ス qp(t)排泄による放射性原子の流出フラックス qb(t)放射性原子の実効的流出フラックス
qe(t)=qp(t)+qb(t)

人体を単一のタンクとみなし，水文学の流出解析で広く用いられている水文
学的集中化法によって人体における放射性同位体の数を計算する．
76

これまでにどういう研究があったのか？

国際放射線防護委員会(ICRP)による先行研究
この方法が内部被ばくを計算する標準的な手法として広く使われている
人体を忠実に再現した数理モデル（左図）によって内部被ばくを計算する．
例えば、腸管で吸収された放射性同位体が血流によって運ばれた肝臓で原子核崩壊した時に，放射線が肝臓に与える線量を，モンテカルロシミュレーショ
ンによって計算機で求める．
⇒ 分布型モデルに相当，複数の臓器でやるととても複雑な計算になる！

Ref)
http://www.rpi.edu/dept/radsa
fe/public_html/project.htm

現実に即した精巧な方法で正確な線量を計算するには便利．しかし、あまりにも複雑で放射線医学の専門家以外が全体像を理解するのは難しい．
放射線防護の目的なら全身で受ける線量が知りたい．

放射性同位体の連続式
使う方程式は放射性同位元素の連続の方程式

dN (t )= r (t ) − qe (t )dt= r (t ) − q p (t(t)) − qb (t )流出量 q(t) がどうなってるか？
まずは原子核崩壊による物理的流出を考える

78

原子核崩壊とは？
重くて不安定な元素が放射線を発して軽くて安定した元素になる現象⇒ 軽くなった質量分のエネルギーが放射線として発せられる原子核崩壊の種類• α崩壊: ヘリウム粒子• β崩壊: 電子，ニュートリノ
• γ崩壊: 電磁波• 電子捕獲: 電磁波• 内部転換: 電子など，多くの種類がある

79

原子核崩壊とは？
2種類の原子核崩壊について議論する．
⇒ 福島第一原発事故の後，発電所の近辺で観測されている放射性同位元素はこの二種類の原子核崩壊をする同位体だから (cf: セシウム137, セシウ
ム134)• β崩壊: 電子，ニュートリノ
• γ崩壊: 電磁波

80

β崩壊
重くて不安定な中性子が軽くて安定した陽子になり，放射線としてβ線(電子)とニュートリノを発するタイプの原子核崩壊

Nucleus:
核子: 陽子と中性子
neutrons (n) and protons (p) 線 (e-, 電子): 電荷-1で質量を持つ
ヒトの遺伝子にダメージを与える

ニュートリノ (ν): 透過力が非常に高くヒトの身体は通り抜けてしまう 線 (電磁波): 電荷と質量を持たない
おおよそ半分が人体に吸収される
1個の中性子が陽子になる
81放射性同位体の数の減衰
・放射性同位体は原子核崩壊によって指数関数的に減少する
・実験，理論の両面からわかっている
初期条件: N(0)=N0, 減衰係数 ap は核種にのみ依存
放射性原子の数N(t)放射性原子の数N(t)N (t ) = N 0 e− p t

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

1

2

3

4

5

経過時間 t原子核崩壊による放射線同位体の個数 N(t) の単位時間あたりの減少量(原子核崩壊の回数)は，放射性同位体の個数 N(t) に比例

1.00

片対数グラフがlinear！

0.50

0.20
0.10
0.05

0.02
0.01
1

2

3

4

5

経過時間 tdN (t )= − p N (t ) = −q p (t )
dt
82

半減期

半減期: 物質の量が半分に減るまでの時間
1. 物理学的半減期: Tp

原子核崩壊によって半分に減るまでの時間(実験的に決まっている)
2. 生物学的半減期: Tb

排泄，代謝によって体内で半分に減るまでの時間(計測によって決められている)
3. 実効半減期: Te両方の効果によって体内で半分に減るまでの時間

83半減期と減衰係数の関係• 半減期Tpは半分に減るまでの時間• 定義通りに計算すれば両者の関係がわかる

N (Tp ) = N 0 e− pT p

1
= N0
2

より

ln 2
p =
Tp

• 生物学的半減期Tbと実効半減期Teも物理学的半減期Tpと同様

ln 2
b =
Tb

ln 2
e =
Te

これらの関係は大事なので繰り返し使う

流量フラックスと貯留量の関係
放射性原子の原子数での摂取フラックスr(t)放射性原子の人体における貯留量 N(t)原子核崩壊による放射性原子の流出フラックス

qp(t) = apN(t)排泄による放射性原子の流出フラックス qb(t) = abN(t)放射性原子のトータルの流出フラックス

qe(t)=qp(t)+qb(t) = (ap+ab)N(t)=aeN(t)流出フラックスと貯留量の関係がわかった! 85

３種の半減期の関係
原子核崩壊による放射性同位体の流出フラックス
放射性同位体の数の無限小時間での変化
原子核崩壊は過去の状態に依存しないmemory-lessなポアソン過程に従う現象．そのため，その放射性原子は指数関数的に減少する排泄による放射性同位体の流出フラックスqe (t ) = q p (t ) + qb (t )=  p N (t ) +  b N (t )= ( p +  b ) N (t )=  e N (t )実験，計測によって確認された事実  p + b = e86

３種の半減期の関係
再掲:

減衰係数aと半減期Tの関係は

ln 2
p =
Tp

ln 2
b =
Tb

ln 2
e =
Te

だったので，今求めた式にこの関係式を代入すると

 p + b = e
1 1 1
 + =
Tp Tb Te
物理学的半減期と生物学的半減期，実効半減期の関係がわかった！
87

実効半減期の具体的な計算(cf) セシウム137の場合
物理学的半減期: T p = 30 years
生物学的半減期: Tb = 70 days (平均的な成人男性の場合)(ref) J. A. Tuszynski and J. M. Dixon, Biomedical Applications for Introductory Physics (2001)

さっきの関係式に上の数字を入れて計算すると……

1 1 1
1
1
1
+ = 
+
=
Tp Tb Te30 y 70 d Te

Te = 69.6 d  Tb
物理学的半減期が生物学的半減期と比べて極端に長い
88場合，実効半減期は生物学的半減期とほぼ等しい．

人体における放射性同位体の原子数使う方程式は放射性同位元素の連続の方程式

dN (t )= r (t ) − qe (t )dt= r (t ) − q p (t ) − qb (t )は先程の議論から qe(t)=aeN(t) とわかったので，

dN (t )= r (t ) −  e N (t )dtと1階線形常微分方程式に書き換えられる．
これは初等的に解ける微分方程式！

89

人体における放射性同位体の原子数dN (t )= r (t ) −  e N (t )
dt
を解くと，
t

N (t ) =  r ( )e0− e ( t − )d

初期条件は N(0)=0, つまり時刻 t = 0 において身体の中に放射性同位体は存在しない，とした．
90

人体における137Csの放射能強度
ここまで議論してきたのは放射性同位体の原子の数 (個)⇒ 単位時間あたりに何回の原子核崩壊が起こるかを考える

1秒間に起こる原子核崩壊の回数が放射能強度(Bq)
放射性同位体の原子数N(t)と放射能強度h(t)は比例関係にあり，両者を結びつける比例定数が物理学的減衰係数 ap p N (t ) = h(t )
放射性同位体の原子数

放射能強度
91

放射線強度h(t)の人体における連続の方程式
摂取フラックス，流出フラックス
についても放射線強度と原子数の関係は同様

qer (t ) =  p qea (t )rr (t ) =  p ra (t )[Bq/単位時間][Bq/単位時間]

人体における放射線強度と放射性原子数の連続の方程式は同形の方程式で記述できる

dN (t )
dh(t )p=  p ra (t ) −  e p N (t ) = rr (t ) −  e h(t )dtdt p N (t ) = h(t )92放射能の摂取フラックス
放射能の摂取フラックス

r0
r (t ) = 0(0  t  t m ) 放射能の摂取フラックスが図(t  t m )のような階段関数だったら?

摂取フラックス(個/単位時間) r

0

1.0

0.8

時刻 tm まで一定量 r0 で放射性同位体の摂取が続き，時刻 tm 以降は摂取がなくなる，と考える

0.6

0.4

0.2

0.0

0.5

t1.0m

1.5

時刻 t

2.0

2.5

3.0

93

人体におけるセシウム137の個数の表式

解析解が得られて，

 r0− e t(0  t  t m ) (1 − e ) eh(t ) = 
 r0 (−1 + e etm )e − et (t  t )
m
 e

94

r0
放射能の摂取フラックス(Bq/year)

2.5
2.0
1.5

r0/ae

人体における137Csの放射能
強度 h(t) (Bq)r0 1,tm 5y
137Csの放射能強度の時系列
人体におけるh t r0

1.0

0.5

0

22

44

66

88

10
10

time year

経過時間 t (year)

摂取開始後，1年以内に平衡状態に達し，摂取終了後1年以内に人体から取り除かれる(セシウムの実効半減期は約70日)

セシウムは人体にとって必要のない元素95だから．

137Csの原子核崩壊の累積回数

放射能強度 h(t) は単位時間あたりに起こる原子核崩壊の回数．
⇒ よって，放射能強度を時間積分することで，ある時刻までに体内で起きた原子核崩壊の累積回数 f (t) がわかる．

t (t ) =  h( )d0

原子核崩壊の累積回数

96セシウム137の原子核崩壊の累積個数の表式
原子核崩壊の累積回数t

 (t ) =  h( )d
0

 r0
− et
 2 ( et − 1 + e ) e (t ) =  r0  t + e − et (1 − e etm )
e m
2
 e

(t  t m ) (t m )  lim  (t ) =

r0t m

t →

(t  t m )e

第3章で使います97r0tm/ae

セシウム137の原子核崩壊の累積個数の時系列

原子核崩壊の累積回
数 f(t)

1.0

0.8

原子核崩壊の累積回数であることに注意，いつまでも体内に残るわけではない．

0.6

0.4

0.2

0

10

10

20

20

30

30

40

40

50

50

時刻 t (年)
実効半減期が摂取期間より極端に短いとき，摂取終了後，f(t)はほぼ一定のまま

放射性物質の摂取が終わればもうそれ以上被曝す98
ることはない放射能強度の実測値との比較

2000
(Bq)
1000

(a)

137Csの放射能強度

300
200

(Bq/month)100

137Csの放射能強度の平均摂取量

チェルノブイリ事故後のドイツで，ホールボディカウンタによって人体におけるセシウム137の放射能強度の調査が行われた．
⇒ 実測値と本研究の手法で得られた解析解を比較する(b)

ホールボディーカウンタ
によって計測された放射能強度
本研究の手法で求められた放射能強度の解析解

20
40
60
80
20
40
60
80
チェルノブイリ事故からの経過時間 (月)チェルノブイリ事故からの経過時間 (月)Ref) W. Rühm et al., Health Physics. 77, 373-382 (1999)

本研究の手法で得られた解析解はホールボディーカウンターで計測された実測値を十分正しく再現できる

99

放射線が人体に与えるエネルギー
放射線が人体に与えるエネルギー(健康への影響を議論するときはこれが重要！)• 1回の原子核崩壊で人体へ吸収される放射線のエネルギー (MeV, エネル
ギー)• 吸収線量 (Gy, J/kg, エネルギー/体重)• 等価線量 (Sv, J/kg)• 実効線量 (Sv, J/kg) ⇐ 一番大事！
– 放射性セシウムではこれら3つの線量は等しい– ヨウ素や鉄など，人体で必要とされる元素の放射性同位体では異なる ⇒ 生
化学的特性を考える

100

セシウム137の原子核崩壊図
原子核崩壊図から人体
人体へのダメージを求めるにに吸収される放射線のは放射線1本のエネルギーが必エネルギーを求める
要
セシウム137の原子核崩壊図
137
55 Cs

max 0.5120 MeV b94.6%
137 m
56 Ba
max 1.174 MeV b-

0.6617 MeV g

5.4%
137
56 Ba

青い矢印はβ線(電子)

85.1%

101
赤い矢印はγ線(光，電磁波)

β線のエネルギースペクトラム−

n → p + e + νe

ベータ崩壊ではβ線とニュートリノを放射され，β線とニュートリノの間でエネルギーの分配が行われる(エネルギーとスピン角運動量の保存のためにPauliが提唱)

β線の運動エネルギーは確率論的にしか決められない(最大値は決定している)
実験的にも理論的にも確かめられており，その理論はFermiによって築かれた
0.05

Ke

: b線の平均運動エネルギー

K emax: b線の最大運動エネルギーp(K) (arbitrary)

0.04

0.03

1 max
Ke  Ke3

0.02

K emaxKe

0.01

平均運動エネルギーを使う
0.1

0.2

0.3

0.4

β線の運動エネルギー (MeV)

0.5

dn
2
=
β線のエネルギースペクトラム dE 4 4  6 c 6Emax − m 2 c 4 Emax ( E − Emax )dEmax
102Ref) 八木浩輔，原子核物理学，朝倉書店(1971)γ線の人体への吸収率
体内で発生したγ線(電磁波)は，一部は人体へ吸収され，残りは身体をすり抜ける>>γ線の人体への吸収率は国際放射線防護委員会の研究では 60 %米国核医学会の研究では 40%>>間を取って50%とする>>水中での光子は E = ℏw= 0.1 – 1.0 MeV のエネルギー帯では20 cm 程度の長さで半分に減衰する(半減距離は密度に反比例)．
人体でも同じ議論ができるだろう．
波長で言うと l = 1.2×10-12 – 1.2×10-11m 程度(w=c/2pl)103

1回の原子核崩壊あたりに人体へ吸収される放射線のエネルギー
137
55 Cs

max 0.5120 MeV −
94.6%

γ線の人体への吸収率は50%

137 m
Ba
56

0.6617 MeV 

max 1.174 MeV −

85.1%

5.4%
137
56 Ba

1回の原子核崩壊あたりで人体が受けるエネルギーE = 0.946 1 / 3  0.512 MeV (e- )+ 0.054 1 / 3 1.174 MeV (e - )+ 0.8511 / 2  0.661 MeV ( )= 0.465 MeV

104

10

42

1
0.1

K

24

Mn 60
Na
Co
90
Sr+90Y 59
18
F（β+） 32
P 58 Fe
137
Co（β+）131Cs
85
I
Sr（EC）65
47
Zn（β+）
Sc
75
Se（EC）
22

1

0.1

52

57

Co
14
C
51
Cr

Na

99m
Tc
35

Sr

24Na

14C

42K

51Cr

52Mn

60Co

22Na

59Fe

90Sr

58Co

90Y

65Zn

18F

99mTc

32P
137Cs
131I
85Sr
47Sc
75Se

0.01

国際放射線防護委員会(ICRP)が定めた1回の原子核崩壊あたりで人体に吸収されるエネルギー (MeV)101崩壊あたりの人体への吸収エネルギー既往研究との比較

0.01
0.01
0.01

57Co

10
1
0.1
10
0.1
本研究の手法で計算された1回の原子核崩壊
あたりで人体に吸収されるエネルギー (MeV)105
1回の原子核崩壊で吸収されるエネルギーを精度よく計算できる

実効線量の計算
原子核崩壊の累積回数f(t)と1崩壊あたりの平均エネルギー<E>をかけて，人体に吸収される総エネルギーを求められる

人体に吸収される総エネルギー =  (t )  E(MeV)

人体に吸収される総エネルギーを体重で割ることで実効線量 Heff(t) (Sv,
シーベルト)が求められる
人体に吸収される総エネルギー

H eff (t ) =JとMeVの単位換算

 (t )  E (MeV) 1.6 10 −13 (J/MeV)
体重 (kg)(Sv, J/kg)
106

預託実効線量
Definition
放射性物質を摂取したとき，生涯に渡って受ける実効線量(成人の場合，50年間で受ける実効線量が想定)

ICRPによる既存の研究
預託実効線量係数(1Bq摂取した時に受ける実効線量, Sv/Bq)
が ICRP Publ.72によって定められている.

本研究は実効線量 Heff(t) を時間の関数として記述
預託実効線量係数は時刻tに50年を代入して得られる Heff(50y)107国際放射線防護委員会(ICRP)によって定められた9核種の預託実効線量係数(mSv/Bq)

預託実効線量係数の比較

90
137

Cs

131

Sr

I

K

P

32P
40K
59Fe

40
59
Fe
32

14C

65

Zn

60

Co

14

C

60Co
65Zn
90Sr
131I
137Cs

本研究の手法で求められた9核種の預託実
効線量，59Fe, 65Zn, 90Sr, 131Iを修正 (mSv/Bq)

預託実効線量係数の計算においても放射線医学の既往研究と同精度の結果

108

預託実効線量の計算

例題

Question
100 Bq/kg (厚生労働省が定めた一般食品の放射性セシウムの基準値)のセシウム137が含まれた肉を1日当たり1 kg，50年間に渡って摂取した．この時に受ける預託実効線量はいくらか？
50年間での原子核崩壊の累積回数

100(Bq/kg ) 1(kg/d )  365(d/y)  50( y)13 (50 y) 
=

1
.
6

10
e
ln 2 / 70(d)  24(h/d )  60 2 (s/h )r0t m

預託実効線量H eff (50 y) = (50 y)  0.4651(MeV) 1.6 10 −13 (J/MeV)
70(kg )

 17 (mSv)

ICRPによる預託実効線量係数0.013 mSv/Bqを用いた計算結果は23 mSv
1年当たりの線量は0.34 mSv/y109

自然放射線による被曝
大気からのラドンの吸入(1.26 mSv)
宇宙線 (0.39 mSv)

食品，水に含まれる放射性物質(0.29 mSv) (40K, 14C, etc.)

大地からの放射線(0.48 mSv) (40K, 87Rb, 232Th,etc.)
・我々は2.4 (mSv/year) の被曝に自然に晒されている(世界平均)
・1日1箱タバコを吸う人は1年あたり100mSv，1回の胸部CT検査は
約7mSv，日本からヨーロッパへの飛行機での移動は0.1mSvの被爆・国が定めた基準値の放射性セシウムから受ける実効線量は自然放射線による被曝と比べても非常に小さい・UNSCEARは年間100 mSv以下の被曝は疫学的に有意な健康被害は110
見出だせないとしている

土壌から人体への農作物を通した
放射性セシウムの輸送: 模式図
(a)

(b)

放射性セシウムの放射性降下物:(Bq/m2・y)

イネ(実測値が公開されている)土壌の単位面積あたりの放射能強度: (Bq/m2)(c)

土壌からイネへの放射性セシウムの移行 (典型例としてイネを選んだ)

白米に混入した放射性セシウムからの放射能の摂取: (Bq/y)
人体における放射能強度:(Bq/body)
排泄による放射能強度の流出: (Bq/y)2-3章の手法がそのまま使える！
111

土壌から人体への農作物を通した
放射性セシウムの輸送: フローチャート(a) 土壌

放射性セシウムのフォールアウト:(Bq/m2·y)

土壌の放射能強度l:(Bq/m2)
先行研究で得られた土壌におけるセシウムの滞留半減期を用いる(d) イネ

イネの単位重量あたりの放射能強度 (Bq/kg) → 白米の摂取による放射能の年間摂取量(Bq/y) (白米の年間消費量)(e) 人体白米の摂取による放射能の
年間摂取量: (Bq/y)(b) 土壌

土壌の単位面積あたりの放射能強度 (Bq/m2) → 単位重量あたりの放射能強度(Bq/kg) (セシウムの鉛直浸透
深さ,土の単位重量)

人体における放射能強度:(Bq/body)(c) イネ

人体における放射能強度と実効線量
は2-3章で議論した手法で計算できる土壌における単位重量あたりの放射能強度 (Bq/kg) → イネの単位
重量あたりの放射能強度 (Bq/kg) (土壌からイネへの移行係数)112

土壌の放射能強度と放射能の年間摂取量の関係を結ぶパラメータ

本研究で用いるパラメータ
土壌におけるセシウムの滞留半減期
土壌におけるセシウムの鉛直浸透深さ
土の単位重量
土壌からイネへのセシウムの移行係数
白米の平均年間消費量(成人男性の場合)

値
18.1 y0.03 m2000 kg/m3
0.4
60 kg/y

白米の摂取による放射能の年間摂取量= 0.4 (m2/y)×土壌における放射能強度
Ref) M. Komamura et al., Bull. Natl. Inst. Agro-Environ. Sci., Vol. 24, pp. 1-21 (2006)
I. Tanihata, RADIOISOTOPES, 62, 724-740 (2013)
D. Braja, Fundamentals of Geotechnical Engineering fourth edition, Cengage Learning (2012)
National Institute for Agro-Environmental Sciences (1997)
113
A. B. Abdullah et al., International Rice Research Institute (2005)

4.0×106

放射性降下物は事故の直後にのみ観測されている

0(Mar. 2011)

20

40
60
時刻 (year)80

単位面積あたりの放射性セシウムの降下量(福島県双葉町) (Bq/m2・y)

3.6×106

単位面積あたりの土壌中の放射能強度(福島県双葉町) (Bq/m2)

土壌における放射能強度の時系列

100

放射性降下物の実測値を用いて，人体と同様に土壌における放射能強度を計算した．114

200
100

・危険側に見積もっても50年間で受ける線量は300mSv，1年あたりは6mSV.
・防護が目的であるから危険側に見積もっているが，実態はもっと低い(半分以下)．

0

実効線量 (mSv)300

放射性セシウムが沈着した土壌で収穫された白米を摂取したときの実効線量の時系列

0

10

20

30

40

50

時刻 (year)⇒ 放射性降下物が沈着した土壌で収穫された白米は有意な発がんリスクを及ぼさない115(繰り返しになるが)100 mSv/yの線量率

再掲: 自然放射線による被曝
大気からのラドンの吸入(1.26 mSv)
宇宙線 (0.39 mSv)

食品，水に含まれる放射性物質(0.29 mSv) (40K, 14C, etc.)

大地からの放射線(0.48 mSv) (40K, 87Rb, 232Th,etc.)
・我々は2.4 (mSv/year) の被曝に自然に晒されている(世界平均)
・1日一箱タバコを吸う人は1年あたり100 mSv，1回の胸部CT検査は約7
mSv，日本からヨーロッパへの飛行機での移動は0.1 mSvの被爆・国が定めた基準値の放射性セシウムから受ける実効線量は自然放射線による被曝と比べても非常に小さい・UNSCEARは年間100 mSv以下の被曝は疫学的に有意な健康被害は
116
見出だせないとしている

非線形性を考慮した
水面波の屈折に関する研究

非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究

基礎方程式

dki

=−
dt
xi

(12)

dxi 
== Vi + Cgi ) (13)(dt kiki は波数， xi （ i =1,2,x,yに相当）は波群（束）の中心位置
 ( = r + kiVi ) は角振動数
Vi は流れの速度，r は流れの速度で動く系から測定される角振動数
Cgi は波の群速度【出典】山田 正, 渡辺 一浩, 小森 宏：非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究，土木学会論文報告集， 342 号 p. 143-152，1984．

非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究【出典】山田 正, 渡辺 一浩, 小森 宏：非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究，土木学会論文報告集， 342 号 p. 143-152，1984．

非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究(iii)球面浅瀬を通過する波の屈折
図一9は図に示す等深線をもつ球面浅瀬を通過する波の波向線を示している. この場合には波向線が交差しているが, これはその点で波高が無限になることを意味している. この場合が線形幾何光学的屈折理論の限界であるものと思われる. 本研究の主要目的はまさにこの波向線交差の問題の解明にある. ところで線形幾何光学的屈折理論がなぜ現実には現われない波向線交差を生じさせるのかという点につき, 著者らは次のように考える. 海底地形の影響により波向線の間隔が狭まると波高は増大する. このとき実際の水面波では非線形効果により波高の高い部分の位相速度あるいは群速度は波高の低い部分より大きくなる. すなわち同位相線あるいは波峰線は波高の高いところが低いところより速く進む. さらに後に示すように波高に空間的な分布があると, 非線形効果により, kx, kyは修正を受ける(実際にはこの効果の方が大きい). このような理由から波峰線に直交する
波向線は交差を免れる. しかし線形幾何光学的屈折理論では波高が高くても低くても位相速度や群速度にば何らの影響も与えず, kx, kyも何ら修正を受けないことから波向線の交差が生じてしまうと. このような波高の大きいところが低いところに回り込むことを"波の非線形性に基づく回折効果"とよぶと, これは先に述べた伊藤・谷本らのいう"
屈折における回折の効果5)"に相当していよう. ただし彼らの理論は
著者らの用いているいわゆるRay methodとは異なっているため, その効果が線形理論の枠内で表現できるのに対し, Ray methodを用いる
限り回折の効果は波動のもつ非線形性に起因していると考えられる.

【出典・引用】山田 正, 渡辺 一浩, 小森 宏：非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究，土木学会論文報告集， 342 号 p. 143-152，1984．

非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究

図一12(a)より明らかなように球面浅瀬を通過する直後まで波向線は収束し続けるが, その後は交差することなく横方向に広がっている. このように分散関係式に非線形性を導入することにより(幾何光学理論の枠内では)初めて波向線は交差しなくな
り, より実際の現象に近い解を得ることができるようになった. さらに図一12(a)に示
す波向線の形は本理論とはまったく異なった基礎方程式から得られる放物形方程式を用いたRadder9)の結果と定性的に一致している.

【図面・文章の出典・引用】山田 正, 渡辺 一浩, 小森 宏：非線形性を考慮した水面波の屈折に関する研究，土木学会論文報告集， 342 号 p. 143-152，1984．

一様流中の空洞とくぼみが及ぼす流速場の変化パイピングの定義付け

広義のパイピング破壊

１ ヒービング破壊(盤ぶくれ，ガマ)（heaving）

２ ボイリング破壊（boiling）

３ 狭義のパイピング破壊（内部浸食）（internal erosion）

河川の高水時，地下水圧が大きくなり，表土を半円丘形に持ち上げる現象．

ヒービング時よりもさらに水圧が高くなり，大量の土砂とともに地下水が表土を破って吹き上がる破壊現象．

ボイリングあるいは他の原因で堤内地にくぼみや空洞ができ，そこに集中した
浸透水によって，地表に内部侵食が起こり，空洞（水みち）が上流側へ延長していく破壊現象．

出典： 中島秀雄（2003） 『図説 河川堤防』技報堂出版．

パイピングイメージ図

１ ヒービング破壊(盤ぶく
れ)（heaving）
河川の高水時，地下水圧が大きくなり，表土を半円丘形に持ち上げる現象．

U

２ ボイリング破壊（boiling）

ヒービング時よりもさらに水圧が高くなり，大量の土砂とともに地下水が表土を破って吹き上がる破壊現象．

３ パイピング破壊（piping）
ボイリングあるいは他の原因で堤内地にくぼみや空洞ができ，そこに集中した浸透水によって，地表に内部侵食が起こり，空洞（水みち）が上流側へ延長していく破壊現象．

パイピング現象を地盤内に存在する
出典： 空洞及びくぼみの内部侵食による進行と定義
中島秀雄（2003） 『図説 河川堤防』技報堂出版．

既往の考え方〇Justin(1923)【限界流速法】
土粒子に生じる水圧 P [MLT-2] が粒子の有効応力 W [MLT-2] とつりあうときの流速2vc
P = 2 A w
=W
2g

vc =

Wg
A w

A：粒子断面積 [L2]g：重力加速度 [LT-2]

v ： 流速 [LT-1]

：水の単位体積重量[MT-2T-2]
w〇Terzaghi(1922)【限界動水勾配法】
土粒子に生じる水圧 P [MLT-2] が粒子の有効応力 W [MLT-2] とつりあうときの動水勾
配ic ： 限界動水勾配
' ' ：土の水中単位体積重量 [MT-f = ic w =  '

ic =

w

f ：浸透力[MT-2T-2]-2T-2]T-2]
 w 2：水の単位体積重量[MT

土粒子が移動し始める基準は存在するが，進行過程を表現する式は存在しない！

空洞が円形である以下の条件での解を導く

yr〇計算に用いた条件

１）一様流速U中の2次元の飽和浸透流
２） 空洞の内外におけるDarcy則の成立
３） 流れはx軸に対して対称
４） 空洞内部に特異点は無い
６） 空洞の境界における水頭の連続性
７） 空洞の境界の法線方向の流速の連続
空洞を透水係数の違いで表現

a

θ

U
vi

x

hi ki
ui

vo

uo

ho ko

ui , vi , uo , vo : 空洞内部,外部でのx , y方向流速 [LT-1]
hi , ho : 空洞内部,外部での水頭 [L]ki , ko : 空洞内部,外部での透水係数 [LT-1]
a : 空洞の半径 [L]U : 一様流速 [LT-1]

地下水流れの基礎方程式
yr

用いる文字の定義を右図に示す

連続式より

 u v
div(u ) =
+
=0
x y

a
vi

空洞の内外で透水係数は一様とするとDarcy則より


h

u
=
=
−
k

x
x


h
v =
= −k

y
y

x

hi ki
ui

vo

( = −kh )

θ

U

uo

ho ko

ui , vi , uo , vo : 空洞内部,外部でのx , y方向流速 [LT-1]
これを連続式へ代入すると，以下のラプラス方程式を得る hi , ho : 空洞内部,外部での水頭 [L]ki , ko : 空洞内部,外部での透水係数 [LT-1] 2h  2h
a : 空洞の半径 [L]h = 2 + 2 = 0 （直交座標表示）
xy
U : 一様流速 [LT-1]
2
：速度ポテンシャル[L]h = 1   r h  + 1  h = 0 （極座標表示）
22

r r  r 

r 

2
2
U 
a 2 ko − ki 
Urcos = −Ux 空洞外部：ho (r , ) = −  r +空洞内部：hi (r , ) = −cos
ki + koki + koko 
r ki + ko 

円形空洞周りの流れの解の導出

この流れ場の流線・等ポテンシャル線の形状を見るため，複素速度ポテンシャルを y求める．

rr 方向の流速 ur と流線関数 の関係式
 1 
ur ==r r 
流線関数を求め，複素速度ポテンシャルとして表示

a

vi

hi ki
ui

vo

uo

空洞内部： Wi (r , ) = i + i i =

θ

U

ho ko

2ki
2ki
Ur cos  + i
Ur sin 
ki + k o
ki + k o
k o − ki a 2 
k o − ki a 2  cos  + iU  r − sin 
空洞外部：Wo (r , ) = o + i o = U  r +
k
+
k
r
k
+
k
r
i
o
i
o





x

一様流中の円周りの流れに対する双対定理（空洞周り，円柱周り流れの関係）
Ⅰ

Ⅱ



a2 
a2 
 x + iU 1 + 2
y
WⅠ(x , y ) = U 1 − 2
2 
2  x +y  x +y 

ki  ko



a2 
a2 
 x + iU 1 − 2yWⅡ (x , y ) = U 1 + 2
2 
2  x +y  x +y 

k i  k o
90度反時計回転してⅠ  (− 1) すると，同じ形になっている！

空洞周り流れ

Ⅰ
Ⅰ

流れ方向



cos

 xⅡ 
2
  =  yⅡ   sin
2


− sin

x,y入れ替え

円柱周り流
れ

Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ

流れ方向




2  xⅠ  =  yⅠ   − yⅠ   xⅠ cos 
2  90度回転&y×(-1)

WⅠ( y , x ) = WⅡ (x , y )実験と計算結果の比較
円形空洞周りの流れの解の導出
a = 100 ,U = 1, ko = 1, ki = 1000 として，流線・等ポテンシャル線を可視化
y

U

r

θ

x

流れ方向

佐藤ら(2007)による実験

計算結果と概ね一致している！



円形空洞周りの流れの解からパイピングの進行形状に対する考察

速度ポテンシャルを  = − kh とした時の複素速度ポテンシャル
空洞内部：Wi (r , ) = i + i i = k + k Ur cos  + i k + k Ur sin 
2ki

i

2ki

o

i

o



k o − ki a 
k o − ki a 2  sin 
(
)
W
r
,

=

+
i

=
U
r
+
cos

+
iU
r
−
o
o
空洞外部： o



k
+
k
r
k
+
k
r
i
o
i
o




2

円の中心より上流側で流線を引き込んでいる
境界垂直方向の流速分布（逆方向）境界の剥離が境界垂直方向の流速に比例すると内部侵食は矢印の方向に進行する

流れ方向




空洞は楕円もしくは円弧に近い形状に変化していくと推測できる！

〇円形空洞周りの解を楕円周りの解に変換するため，等角写像理論のJoukowski変換を用いる

Joukowski変換:
yU

z = +

r

b2


y

x

U

r

x

等角写像とは「角度が保存される座標変換」

z = f ( )  = x + iyz = x' +iy'

座標変換

W ( )W (z ( ))

z0 z
 0

写
像

写像前後のベクトルの比をとると・・・

z0 z

 0

z ( ) − z ( 0 ) dz
注目
(
=
0)
 → 0 − 0
d

= lim

dz
( 0 ) = rei ( 0 ) ： 0d

点では全てのベクトルが同じ回転を受ける！

楕円形空洞周りの流れの解

Joukowski変換：z =  +b2

を用いて円周り→楕円周りの解へ変換された複素速度ポテンシャル2 z + z 2 − 4b 2 k − k

2
a
o
i


Wo (z ) = U
+
2
2

2
ki + ko z + z − 4b 

b 2 ：任意定数
空洞に引き込まれる流線の範囲〇 U = 1, k o = 1, ki = 1000として，短軸  が一定のもとで長軸  を変化させた流線図

 =1

 = 1 に固定

 =5

 = 10 /  の増加に従って，より遠くの流線を引き込んでいる＝楕円が扁平になるほど端点での流速が大きくなっている！
 /  =1

 /  = 10

 /  = 20

楕円形空洞周りの流れの解

Joukowski変換：z =  +b2を用いて円周り→楕円周りの解へ変換された複素速度ポテンシャ
空洞の縦横比α/βと一様流速Uに対する流速の最大値の関係
ル2
 z + z 2 − 4b 2 k − k

2
a
o
i


Wo (z ) = U
+
2
2

2
ki + ko z + z − 4b 〇 U = 1, k o = 1, ki = 1000 として，短軸図b 2 ：任意定数
空洞に引き込まれる流線の範囲


が一定のもとで長軸を変化させた流線

比例関係に漸近している

 =1
 =1

/

 =5

 = 10パイピングは加速度的に進行していく！
の増加に従って，より遠くの流線を引き込んでいる＝楕円が扁平になるほど端点での流速が大きくなっている！
 /  =1

 /  = 10

 /  = 20

地表面上にくぼみが存在した場合への応用
x = 0 での等ポテンシャル線が直線になることを利用し，h x =0 = 0 とおくと・・・

x:流れ方向くぼみに引き込まれる流線の範囲

地表

x=0

地中

地表面上のくぼみ周りの流れにも同じ式が適用できる！
 /  =1

 /  = 10

 /  = 20

悪戦苦闘中の乱流理論

乱流の統計理論的研究の歴史
年
人物・研究(キーワード)
1938 G.I.Taylor「一様等方性乱流理論」◎ 1941

A.N.Kolmogorov「局所等方性乱流理論」

内容
速度の相関(Ex. 2点2時刻相関)が中心的役割を果たすことを強調．

乱流の慣性領域における普遍的構造を2つの仮説と次元解析により見出した．

1948 W.K.Heisenberg
速度の3次相関を乱流粘性とおくことで慣性領域と「Heisenbergの渦粘性モデル」 散逸領域のスペクトルの概形を解析的に求めた．

1950 Millionshtchikov (1941),
年代 Proudman & Reid (1954),
Tatsumi (1957)「準正規(Q.N.)理論」◎ 1959R. H. Kraichnan「直接相互作用近似(D.I.A.)」

1960 R. H. Kraichnan(1965, 1966)
年代 「A.L.H.D.I.A.」
1981 Kaneda「Lagrange的くりこみ近似(L.R.A.)」◎ 1984

Yoshizawa「T.S.D.I.A.理論」

速度の確率密度関数が正規分布になるとして4次相関
を2次相関の積で表現し，3次相関および2次相関について厳密な表式を解いた．
→Ogura(1963)はQ.N.理論ではエネルギースペクトルが負になることを指摘した．
乱流場の応答を表すグリーン関数を新たに導入し，相関関数とグリーン関数の両者を用いて閉じた方程式系を構成した．D.I.A.は最も洗練されたクロージャー理論である．
→Kraichnan(1959)はD.I.A.が異時刻相関がガリレイ不変性を満たしていないため慣性領域におけるKolmogorovの-5/3乗則を導けないことを指摘した．
Lagrange的枠組みで構成されたDIA理論．
KraichnanのA.L.H.D.I.A.に対してより系統だった柔軟性に富んだ統計理論を構築した．
DIAと多重スケール解析の手法を組み合わせることで非一様性乱流を解析する統計理論を構成した．

Kraichnanの直接相互作用近似(Direct-Interaction Approximation: DIA)
支配方程式群k  u (k, t ) = 0

(1)



2
 +  k  ui ( k , t ) =  M iab ( k )  ua ( l, t ) ub ( m, t ) tk =l +m(2)

k : 波数k : 波数ベクトルu : 波数空間流速ベクトル
ν : 動粘性係数
D : 非圧縮オペレーター

(13)


2
+

k

 Gij ( k ; t , s ) = 2 M iab ( k )  ua ( l, t ) Gbj ( m; t , s ) + Pij ( k )  ( t − s ) tk =l +mikk
M iab ( k ) = ( ka Pib ( k ) + kb Pia ( k ) ) ， Pij ( k ) =  ij − i j2k2▼DIA方程式
速度の2次相関QとGreen関数Gについての閉じた方程式系を構成する
Approach

1. 摂動展開：ui, Gijをλのべきに展開する．
2. ガウス統計に基づく計算：展開した式を支配方程式群に代入し，λについて最低次のu(0)がGauss分布に従うとして統計平均をとる．
3. 部分和：ui, Gijについての無限級数を自明でない最低次の項(O(λ2))で打ち切り．
4. くりこみ(無限部分和)： 得られた式のQ(0), G(0)を本物のQ, Gでそれぞれ置き換える．

KraichnanのD.I.A.理論と非一様性乱流の統計理論との比較▼DIA理論▼TSDIAの理論構成
Approach

Approach1.

1. 摂動展開：ui, Gijをλのべきに展開する．

いて空間と時間のスケールを分離．
2.

速い変動成分のフーリエ表現： 揺らぎ速度場は速い空間変数について局所的な平均流Uに

2. ガウス統計に基づく計算：展開した式を支配方程式群に代入し，λ2スケールの導入： スケールパラメータδsを用乗った座標系でフーリエ変換を実行する．
3.

スケールパラメータによる展開： 物理量fをス

について最低次のu(0)がGauss分

ケールパラメータδを用いてべき乗展開する．

布に従うとして統計平均をとる．

(最低次の方程式はDIAのN-S式に等しい．)

3. 部分和：ui, Gijについての無限級

4.

付随するGreen関数を導入する．

数を自明でない最低次の項(O(λ2))
で打ち切り．

5.

基本場に統計的性質を仮定：最低次の速度相関とGreen関数に一様等方性を仮定．(TSDIAに

4. くりこみ(無限部分和)： 得られたおける非一様性効果は1次近似以降に入ってく式のQ(0), G(0)を本物のQ, Gでそれぞれ置き換える．

Green関数の導入： 揺らぎ速度場のN-S式にる)

6.

DIAによる統計量の計算：基本場の統計的性質を利用して速度や圧力の相関をDIAの手法を用いて計算する．

TSDIAにおいてスケールパラメータの2次オーダーまで考慮したK-εモデル
*







U

U

U


U
U
2
D U
j
j
j
Rij = K  ij − T  i ++ 1   i + + 2  i x j





3

x
Dt

x

x

x

x
i 
i 
 m m 
  j* U i U m U j U m  U m U m + 3 
+ +  4 
 xm x j
xm xi  xi x j 
K 2 DKK 3 D
T = C1+ C2 2+ C3 3, C1 = 0.1230,

 Dt
 Dt
K3
K3
K3
K3
1 = C1 2 ,  2 = C2 2 , 3 = C3 2 ,  4 = C4 2
K2





C1 = 0.0427,

C2 = 0.0542,

C2 = 0.1470,



C3 = 0.0297,

C4 = 0.0525*は，テンソルの縮約を取ると消えるような構造をしている
上記の表式を歪速度𝑆𝑖𝑗 と渦度𝛺𝑖𝑗 を用いて書き直す

1  U i U j 
Sij = + ,

2  x jxi 

1  U i U j 
ij = −

2  x jxi 

C3 = 0.0933

TSDIAにおいてスケールパラメータの2次オーダーまで考慮したK-εモデル
スケールパラメータの2次までの表式を歪速度𝑆𝑖𝑗 と渦度𝛺𝑖𝑗 を用いて書き直す

2
Rij = K  ij − 2T Sij +  1  Sim S mj  +  2 ( Sim  mj + S jm  mi )
tre
3
DSij
+  3 im  mj  +  4
treDt
K 2 DKK 3 D
T = C1+ C 2 2+ C 3 3, C1 = 0.1230,

 Dt
 Dt
K3
K3
K3
 1 = C1 2 ,  2 = C2 2 ,  3 = 0,  4 = C4 2
K2





C1 = 0.119(= 4.0  0.0297),

C2 = 0.1470,

C3 = 0.0933



C2 = 0.0492(= 4×0.0123),1
 Sim S mj  = Sim S mj − S nm S mn ijtre
31im  mj  = im  mj −  nm  mn ijtre
3C4 = 0.0105(= 2×0.00525)

私の研究に対する思い出と
若手研究者へのメッセージ

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ
私の研究人生も半世紀になろうとしています．ここまでやって来られたのもひとえに指導頂いた先生方，そして研究者仲間に恵まれていたからだと思っています．中央大学の学生時代は国際水理学会会長を務められた林泰造先生の指導を受け，その後移った東京工業大学では吉川秀夫先生，日野幹雄先生，福岡捷二先生
らに指導頂きながら助手時代を過ごしました．学外では，東京大学の虫明功臣先生と親しくさせて頂き，当時研究室にいらっしゃった沖大幹先生や鼎信次郎先生と知り合うことができました．さらに，京都大学の岩佐義朗先生，中川博次先生，

髙棹琢馬先生を通じて，池淵周一先生や椎葉充晴先生，寶馨先生，中北英一先生，

立川康人先生と親しくお付き合いさせて頂くことで自分も成長させてもらいました．皆さんとは，若い頃から国内外の学会で顔を合わせ，研究の話から他愛無い話まで喧々諤々の時もあれば穏やかな時もあって，何度となく議論させてもらいました．特に，中川先生，高棹先生には何度となく祇園や先斗町界隈で飲ませて頂いたことも，研究者としてのその後の経験に繋がっています．

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ
忘れてならないのは中央大学，防衛大学校，北海道大学などにおいて私の研究室に来てくれた学生諸君です．現在，教え子たちがこれまでの論文をまとめてくれています．その論文数が査読付き，査読なし論文を合わせて1400篇近くになるとのことで，彼らの頑張りに改めて感服しています．査読なし論文の1000篇余りは学生が中心に書いた論文なので出来には差があるかもしれませんが，この成果は大切な財産です．熊本県知事が県議会でダム建設再開を表明した演説にも，私が長く提唱してきた「不確実性」という言葉が使われ，これも学生たちが長く研究してきた成果です．他にも，気象，水位，氾濫予測等，河川工学に関わる多くの計算手法の提案を始め，水文学的アプローチによる放射能に関する研究，避難の意思決定に関する研究，水質問題に関する研究，ミュー粒子を活用した探査技術に関する研究など，私の学生が頑張った研究成果は挙げれば限りがありませんが，
本当に多くの成果を遺してくれました．彼らの研究成果が，水文学とは水を扱う

全ての学問であるということを体現してくれていると思います．これらの研究成果を学生たちと積み重ねて来られたことは私の研究人生の最大の歓びです．

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ
一方で，今の若手研究者の皆さんには若干の心配している点があります．私は多くの先生方や研究者仲間と研究について議論する場が日常的にありました．
しかし，最近の学会活動を始めとする研究会に活気，覇気を感じません．研究の世界に老いも若いもありません．積極的に意見を主張し，議論し，そして発展させて，世界に挑んでほしいと思います．

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ
最後に，今年はコロナ騒ぎで大変な年でした．しかし，大学に行けないため
日頃読みたいと思っていた本を読めた年でした．その中の一冊で，菅原正巳先生の本を紹介します．数学者リーマンが教授になるための審査講演会をガウスの前で発表した際の論文を菅原先生が翻訳したものです（「幾何学の基礎をなす仮説について」，復刻版，筑摩書房）．流出解析の一分野を創られた菅原先生が相対性理論や微分幾何学など純粋数学の論文を熟読，精通されているのです．さらに，一般相対性理論を創ったアインシュタインは，川はなぜ曲がるのかというエッセイに近い論文も執筆しています．後世，アインシュタインは，流線が曲がったところにはコリオリ力と同じような力が働いて二次流が発生し，この二次流が川の蛇行の大元であると述べてます．菅原先生やアインシュタイ
ンらは，純粋数学や物理学を探求するとともに，自然現象にも深く興味をもった本質的な研究をされていたということです．

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ

今の私たちに水文学の学理としての進化を目指し探求している研究者がどれだけいるだろうか…

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ

さらに，水文学は社会に応用されることが期待されている学問であり，同時に，科学的に深く探求すべき学問であると理解しています．もちろん，数多くの水文研究者が日々研究に邁進し，その成果を公表していることも知っています．しかし，果たしてその成果が社会に応用されているでしょうか．応用的学問と言う割には応用できる成果が少なく，学理的に探究しているという割には科学的に浅い
研究にはなっていないでしょうか．最近，日野幹雄先生が「乱流の科学～構造と制御～」という1000頁を超す著書をまとめられました．私たちにこれと同等レベ
ルの水文学の書籍を執筆することができるでしょうか．

私の研究に対する思い出と若手研究者へのメッセージ
近年，日本は水害が激甚化し，頻発していることは周知です．こうした世情にあって我々水文学を専門とする研究者がいかにあるべきか，もう一度考えて頂きたい．そして，人命と資産を守り，国民の安寧を願うまちづくりに資するような研究をしていきたいと強く思います．さらに，若い人たちにはその研究成果をもって諸外国を席巻してほしいと期待するばかりです．
勝手なことばかり述べましたが，ここで述べたことは私自身が今後研究者として生きていくための枷とすべきことであり，ここに記録することで後進につながり，水文学としての学理の進展につながれば良いと思っています．

JIS(Japanese International School)

日本国際学校の開校セレモニー（2016年5月7日）

日本国際学校の校舎

チャオプラヤ川下流域の洪水被害の軽減に向けて