連続平面上の都市経済モデル
豊橋技術科学大学人文・社会工学系 宮田 譲
１．はじめに
Beckmann 1) は世界に先立ち，２次元連続空間の概念を経済学に導入した。この先駆的な研究はそれほどの拡がりを見せなかったが，Beckmann and Puu2) により連続空間経済学の体系的な取り扱いが発表された。彼らのアプローチは偏微分方程式を用いるものであったが，Beckmann1)によって導入されたgradient lawの精神は脈々と引き継がれている。Beckmann and Puu2)を引き継ぎ，Puu3)自身によっても連続空間経済学は発展させられている。この研究での特徴は多くのコンピュータシミュレーションを用い，理論的結果をビジュアル化していることにある。
Beckmann and Puu2)は２次元連続空間上での都市形成の研究を意図したものであるが，物流を明示的に捉えていることに特徴がある。しかしながら家計や企業の立地についての考察は必ずしも満足できるものではなく，新都市経済学的考察も必要とされよう。
本研究では家計と企業の付け値地代関数4)を導入し，偏微分方程式論を用いたより体系的な考察を行う。特に本研究で用いるFourier積分作用素5)は，経済学に初めて導入される概念である。
２．経済主体の行動（１）本研究の主要前提条件
a)連続平面上での都市を仮定する。都市はコンパクトで必要回数微分可能な単純閉曲線で囲まれている。都市内の土地条件は同質である。
b)都市には N 人の家計と M の企業が存在している。これらの数は十分に大きいものとする。家計，企業はそれぞれ同質とする。
c)都市内の土地は不在地主によって所有されている。都市には唯一の地方政府があり，地方政府は都市内の土地を不在地主から借りている。地方政府は家計，企業から市場で決まる土地レントを受け取り，それを家計に均等に再分配する。
d)後に述べるように，企業の立地ポテンシャル関数内の２つのパラメータが十分に大きいとする。この場合，都市の形状は von Thünen 環となる。
（２）企業行動地点x = (x1, x2)での企業の生産関数はCobb-Douglas 型とする。また集積の経済を考え，それを式(1)の立地ポテンシャル関数6)で表現する。

Ω( x ) ≡∫ ∫ µb( y) exp(−ω || x − y ||)dy dy
1A2(1)

ここで，A：都市域，b(y)：地点 y での企業密度，µ, ω：パラメータ，|| x – y ||：地点 x と地点 y との距
離地点 x での企業の生産関数は式(2)で表される。
αq ( x ) = Ω( x ) q A k d ( x ) α k l d ( x ) α l m B m(2)ここで，q(x)：地点xでの生産量，kd(x)：資本投入量， ld(x)：労働投入量，mB：土地投入量(固定的)，
qA：効率パラメータ，αk, αl, αm：弾力性パラメータ(αk + αl + αm = 1)

財価格，資本収益率，賃金率が与えられたもとでの企業による付け値地代は式(3)となる。ここでは企業の参入・撤退の自由を考慮して，均衡利潤はゼロとする。
⎡ p ( x )q ( x ) − r ( x ) k d ( x ) − w( x )ld ( x ) ⎤g B ( x ) ≡ max ⎢⎥mB⎦⎣(3)

subject to πB(x) = 0
ここで，p(x)：地点xでの財価格，r(x)：地点xでの資本収益率，w(x)：地点xでの賃金率，gB(x)：地点xでの企業による付け値地代，πB(x)：地点xでの企業利潤
この最適化問題を解くと，地点 x での企業による労働需要，資本需要，付け値地代関数が求まる。
1k d ( x ) = ( p ( x )Ω( x ) q A )αl⎤ αm ⎡ α k ⎤ αm ⎡ α l ⎤ αm
⎢ r ( x ) ⎥ ⎢ r ( x ) ⎥ ⎢ w( x ) ⎥ m B⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦1l d ( x ) = ( p ( x )Ω ( x ) q A )αk1αm ⎡ α kαm ⎡αk1αlα l ⎤ αm ⎡ α k ⎤ αm ⎡ α l ⎤ αm

⎢ w( x ) ⎥⎣⎦⎢ r( x) ⎥⎣⎦⎢ w( x ) ⎥⎣
⎦αkα
⎤ m⎡

1

⎡αg B ( x ) = α m ( p ( x )Ω( x ) q A ) α m ⎢ k ⎥⎣ r( x) ⎦(4)

mBαlα
⎤ mαl

⎢ w( x ) ⎥⎦
⎣

(5)

(6)

（３）家計行動地点 x における１家計の効用関数は以下で表される。

u (c( x ), m H ) ≡ c( x ) β m Hcβm

( β c + β m = 1)

(7)

ここで，c(x)：地点xにおける１家計の財消費量，mH ：地点xにおける１家計の土地使用量(固定的)，βc，βm：弾力性パラメータ
各家計は所有する労働時間lsと資本ストックksを価格に対して完全非弾力的に企業に提供する。そして所得w(x) ls+ r(x) ks + πHを得る。ここでπHは地方政府による再分配所得を表す。
立地均衡状態では家計の効用水準は立地点に依存しない値u*を取る。土地使用量が固定されていることから，財消費量も立地点に依存しない値c*となる。
これより地点 x における家計の付け値地代関数は以下となる。
g H ( x) ≡w( x )ls + r ( x )k s +π H − p ( x )c*mH(8)

また地方政府による再分配所得は以下で定義される。
πH ≡1N∫∫ [ g ( x)b( x)m + g ( x)h( x)m ]dx dxABBHH

12(9)ここで，h(x)：地点 x における家計密度
農業地代をgAで表せば，地点xの均衡地代は以下となる。
g ( x ) ≡ max {g B ( x ), g H ( x ), g A }(10)（４）財，労働，資本に関する局所バランス方程式
まず財の輸送費用には財そのものを使うとして(von Thünen 技術)，その比率を a としよう。φ(x)を単位時間当たり地点 x に運ばれる財の２次元ベクトルとする。この時，地点 x における財輸送量の変化について，以下の局所バランス方程式が成立する。
div ϕ ( x ) = q ( x )b( x ) − c*h( x ) − a || ϕ ( x ) ||(11)ここで，║·║：２次元ベクトルのノルム同様に１単位の労働を単位距離輸送する費用(労働で測られる)を b とする。ψ(x)を地点 x において単位時間当りに輸送される労働量の２次元ベクトルとすると，地点 x における労働輸送の変化について，以下の局所バランス式が成立する。
div ψ ( x ) = l s h( x ) − l d ( x )b( x ) − b || ψ ( x ) ||(12)資本ストックについては費用なしで移動自由とする。これは一旦資本ストックが装備されれば，均衡状態においては移動しないため，物流や人流に比べ移動費用は微少と考えられるためである。したがって各地点において資本均衡が成立する。
(13)
k d ( x )b( x ) = ks ( x )ここで∫ ∫ ks( x)dx dx =∫ ∫ k h( x)dx dx
1A2s

A

12

資本ストックの移動自由性から，以下が成立する。

∫∫ ks(x)dx dx = k NA

12(14)s（５）財市場と労働市場の大域的均衡条件
財局所バランス式を Gauss 発散定理を用いて積分すれば，財市場の大域的均衡条件が導出される。
なお本研究では都市での生産物は全て都市内で消費され，移出入は考えない。したがって式(15)の右辺はゼロとなる。

∫ ∫ div ϕ ( x )dx dx = ∫ ∫ [q( x )b( x ) − c h( x ) − a || ϕ ( x ) ||]dx dx = ∫A

12*A

12∂Ac n ( x ( s ))ds = 0(15)

労働についても家計の都市内外との移動を考えないため，式(16)の大域的均衡条件を得る。

∫ ∫ div ψ ( x)dx dx = ∫ ∫ [l h( x) − l ( x)b( x) − b || ψ ( x) ||]dx dx = ∫A

12Asd12∂Al n ( x ( s ))ds = 0(16)（６）財輸送業者
財の輸送は財輸送業者によってなされるものとする。財輸送業者は地点xでp(x)q(x)b(x)の財を企業から購入し，家計にp(x)c*h(x)を売る。ここで地点xに家計が存在しない場合には財は持ち越しとなり，企業が存在しない場合には売るだけとなる。
したがって地点 x での財輸送業者の利潤は以下となる。

π Tq ( x ) = p( x )c * h( x ) − p( x )q( x )b( x ) = − p( x )div ϕ ( x ) − p( x )a || ϕ ( x ) ||(17)

財輸送業者は都市全体での利潤が最大となるようなルートを探索する。これは式(17)を都市全体で積分し，それに変分法を用いることによって求められる。財輸送に関する最適条件は式(18)に帰着する。

p( x )aϕ ( x)= grad p ( x )|| ϕ ( x ) ||(18)この式においてφ(x) / || φ(x) || は財輸送の方向を表し，それが財価格の勾配となっていることを表す。
すなわち財輸送の方向は，財価格が最も高くなる方向である。これがBeckmann1)による有名なgradientlawである。
p(x)aφ(x) / || φ(x) ||は財１単位を単位距離輸送する費用を表す。地点xAと地点xBを結ぶ最適ルート上での輸送費用を求めてみよう。最適ルートを以下のようにパラメタライズする。D(s) = (x1(s), x2(s)) (0 ≤ s ≤1, xA = (x1(0), x2(0)), xB = (x1(1), x2(1)))。したがって財１単位の輸送費用は以下で表される。

∫10p ( x ( s ))a1ϕ ( x ( s)) dx ( s)dx ( s )ds = p( x B ) − p( x A )ds = ∫ grad p ( x ( s ))0|| ϕ ( x ( s)) || dsds

(19)

式(19)は最適ルート上での財１単位の輸送費用が，２地点間の価格差になっていることを表しており，財価格に輸送費用が含まれていることを意味している。
さらに財輸送業者の都市全体での総利潤はゼロであることも確認できる。
（７）通勤輸送業者
通勤は通勤輸送業者によってなされるものとする。通勤輸送業者は地点xでw(x)ld(x)b(x)の賃金を企業から受け取り，家計にw(x)lsh(x)の賃金を支払い，労働者を輸送する。ここで地点xに家計が存在しない場合には新規乗車はなく，企業が存在しない場合には降車だけとなる。
通勤輸送業者も都市全体での利潤が最大となるようなルートを探索する。これも変分法によって求められる。通勤に関する最適条件は式(20)に帰着する。

w( x )bψ ( x)= grad w( x )||ψ ( x ) ||(20)

式(20)は通勤輸送の方向が，賃金率が最も高くなる方向であることを示している。通勤輸送の最適ルート上では，賃金率に通勤費用が含まれていること，都市全体での通勤輸送業者の総利潤がゼロとなることも確認できる。
３．財価格
式(18)の財価格方程式は非線形１階編微分方程式に変形可能である。
22⎛ ∂ln p( x ) ⎞⎛ ∂ln p ( x ) ⎞⎜⎜⎟⎟ + ⎜⎜⎟⎟ = a 2∂∂xx12⎝⎠⎝⎠(21)

この方程式は解くことができ，初期多様体が１点に退化している場合，解は以下となる。

p( x1 , x 2 ) = p 0 exp a x12 + x 22(22)

財価格の初期値 p0 は，都市全体の均衡条件から決まる都市境界上での財価格によって決まる。式(22)は積分コノイド7)と呼ばれ，図−１のような解曲面となる。
４．賃金率
賃金率も同様に式(20)を変形して，非線形１階編微分方程式を導き，その解は以下となる。

w( x1 , x 2 ) = w0 exp(−b x12 + x 22 )

(23)

賃金率の空間的プロファイルは図−２となる。財価格とは逆に賃金率は都心部に向かって高くなる
が，これは企業が負担する賃金率を表すためである。

w(x)

p(x)
pn

pn

p0

city
boundary

w0

wn

wn

cityboundarycenter

図−１ 財価格の空間的プロファイル

cityboundary

centercityboundary

図−２ 賃金率の空間的プロファイル

５．最適財輸送量
ここでは最適財輸送量を求めてみよう。式(18)を変形すると，以下の１階準線形偏微分方程式が得られる。

Q( x )∂ || ϕ ( x ) ||∂ || ϕ ( x ) ||+ R( x )= q( x )b( x ) − c * h( x )− || ϕ ( x ) || (a + 1 / x12 + x 22 )∂x1
∂x 2(24)

ここでQ( x ) ≡ x1 / x12 + x 22 ， R( x ) ≡ x 2 / x12 + x 22
式(24)の左辺は財輸送の方向微分を表す。
右辺第１項は地点 x での財生産量，第２項は家計消費量，第３項は輸送で消費される財の量と拡散効果を表す。ここで拡散効果とは財輸送が遠方になるほど財輸送量の変化が小さくなることを表している。これは財輸送ルートを空間的に密にしたことによる特有の現象である。
さて式(24)を都心部からの距離をパラメータとして解くと式(25)を得る。

|| ϕ ( x ( s )) ||=s∫ [q( x(τ ))b( x(τ )) − c h( x(τ ))](τ / s)exp a(τ − s) dτ*0(25)

また財輸送ベクトルは以下で表される。

ϕ ( x ) = (|| ϕ ( x ) || x1 / x12 + x12 , || ϕ ( x ) || x 2 / x12 + x12 )(26)

式(25)の解曲面は図−３のように表される。
６．最適通勤輸送
最適通勤輸送を表現する微分方程式は，式(27)のようである。

U ( x)∂ ||ψ ( x ) ||∂ ||ψ ( x ) ||+ V ( x)= l s h( x ) − l d ( x )b( x )− ||ψ ( x ) || (b − 1 / x12 + x 22 )
∂x1
∂x 2

ここでU ( x ) ≡ − x1 / x12 + x 22 ，V ( x ) ≡ − x 2 / x12 + x 22(27)式(27)の右辺第４項は財輸送方程式と符号が逆になっているが，これは通勤が都心部から離れたところから都心部に向かうことによる混雑効果を表している。式(27)については都市境界からの距離をパラメータとして，最適通勤輸送量が以下のように求まる。ただしSは都市境界を与えるパラメータ値を表す。

||ψ ( x ( S − s)) ||=s∫ [l h( x(S − τ )) − l ( x(S − τ ))b( x(S − τ ))]((S − τ ) /(S − s))exp b(τ − s) dτ
0sd(28)さらに通勤輸送ベクトルは以下となる。

ψ ( x ) = (− ||ψ ( x ) || x1 / x12 + x12 , − ||ψ ( x ) || x 2 / x12 + x12 )(29)

式(28)の解曲面は図−４のように表される。
|| ψ ( x ) |||| ϕ ( x ) ||city
boundarycity
cityboundary boundary

residential
areabusinessarea

図−３ 最適財輸送の様子

residentialarea

residential
area

city
boundarybusinessarea

residentialarea

図−４ 最適通勤輸送の様子

７．おわりに本研究はBeckmann1)によって導入された連続型空間経済モデルにおいて，具体的に偏微分方程式を解くことにより，単一中心都市における財輸送と通勤の様子を調べたものである。本研究では立地ポテンシャル関数に強い仮定を置き，都市の形状を簡略化しているが，立地ポテンシャル関数のパラメータµ, ωを変化させることにより，複数都心モデルや土地の混合利用なども導き出せる。この点についてはFujita and Ogawa6)のように数値シミュレーションに頼らなければならない。またGISを用いることにより，より実証研究に近づけることも可能と考えている。これらを将来の課題としたい。
参考文献
1)Beckmann, M.J.: A Continuous Model of Transportation, Econometrica, Vol.20, pp.642-660, 1952
2)Beckmann, M.J. and Puu, T.: Spatial Economics: Density, Potential, and Flow, North-Holland, 1985
3)Puu, T.: Mathematical Location and Land Use Theory, Springer, 2003
4)Fujita, M.: Urban Economic Theory: Land Use and City Size, Cambridge, 19895)Duistermaat, J.J.: Fourier Integral Operators, Birkhäuser, 1996
6)Fujita, M. and Ogawa, H.: Multiple Equilibria and Structural Transition of Non-Monocentric Urban Configurations, Regional Science and Urban Economics, Vol.12, pp.161-196, 1982
7)Courant, R. and Hilbert, D.: Methods of Mathematical Physics, Vol.2, Interscience Publishers, 1962