2021 年 度

修士論文概要

主査

舟橋 健司

副査

徳田 恵一

研究室

舟橋研究室

入学年度

2020 年度

学籍番号32414086

氏名

福田 太一

論文題目

COVID-19 流行予測のための免疫獲得者数を考慮した SEIR モデルの拡張
Extension of SEIR model considering the number of immunized people for COVID-19
epidemic prediction

1

はじめに
2022 年現在, 世界各国において新型コロナウィルス感染症 (COVID-19) の流行が続いている. 日本では緊急事態宣言・蔓延防止重点措置などの政策や複数回にわたるワクチン接種によって COVID-19 の影響力を最小限に留めてきた. このような対策は日別の感染者が増加傾向になる前に意思決定し, 実行に移すことによっ
図 1: SEIR モデルて高い効果を発揮する. しかし, 現状として前者の政策によるアプローチは感染者の増加傾向をデータで確認• SEIR モデル (自然免疫込み)した後に敷かれることが多い. そのため, この問題を解• SEIR モデル (自然免疫+ワクチン)決するためには感染規模の拡大を事前に予測し, 政策試行の迅速な意思決定を可能にしていく必要がある.

• SEIR モデル (重症者+自然免疫+ワクチン)

そこで, 本研究では従来感染症の流行予測に有効とされる SEIR モデル [1] と呼ばれる数理モデルの 1 つを用いた日本における COVID-19 の感染拡大の規模を予測する. 通常の SEIR モデルと後述する複数の拡張 SEIR3モデルを用意し, それぞれの精度比較をもって予測精度向上に必要な要素について考察する. また, SEIR モデ本研究では SEIR モデルのパラメータを推定する上で次の手順を踏んだ.

ルを用いて感染者数の傾向を予測する方法を検討する.

2

SEIR モデルの概要と拡張 SEIRモデルの提案
感染症流行下において人口はウィルスに感染する可能性のある人口である Susceptible, ウィルスに感染したが症状を発していない人口である Exposed, ウィルスに感染し症状を発した人口である Infected, 症状から回復または死亡した人口である Recovered の 4 つに分類される. 通常の SEIR モデルはこれらの人口の変化を常微分方程式で表現し, 積分計算することで Susceptible から順にボトムアップで予測する (図 1). このモデルのパラメータは主に基本再生産数, 平均潜伏期間, 平均発症時間の 3 つが存在する. 拡張 SEIR モデルは通常の SEIRモデルに予測する人口やパラメータを追加し, 様々な因SEIR モデルのパラメータ推定• Step1. 過去の最適パラメータ導出• Step2. 未来の最適パラメータ推定
Step1 では SEIR モデルで過去の Recovered の予測シミュレーションを行い, その予測値と既知である過去の観測値との RMSE(平均二乗平方根誤差) が最小になるパラメータ「過去の最適パラメータ」を乱数, または最適化アルゴリズムの一種である Adam によって導出す
る. Step2 では Step1 得られた過去の最適パラメータの時系列変化に着目し, 未来の流行を予測した際の予測値と未知である未来観測値との RMSE が最小になるであろうパラメータ「未来の最適パラメータ」を時系列分析の手法であるホルトウィンタース法, またはカルマンフィルタを用いて推定する. このようにして得られた未来の最適パラメータを SEIR モデルに投入し, 未来のCOVID-19 の流行予測を行う.

子を考慮した予測を可能としている. 本研究では, 重症者や自然免疫・ワクチンによる免疫獲得者を考慮した次の 4 つの拡張 SEIR モデルを用意した.

• SEIR モデル (重症者込み)

4

SEIR モデルの精度検証実験
精度の検証実験について, COVID-19 の流行予測を次の 2 つの時期に分けて行う.

• ワクチン接種が進んでいない時期

表 3: Infected の実測値との相関係数 (一部抜粋)(2020 年 12 月 ∼2021 年 4 月)

予測期間

• ワクチン接種を考慮する時期(2021 年 8 月 ∼2021 年 12 月)
ワクチン接種が進んでいない時期に関しては通常のSEIR モデル, SEIR モデル (重症者込み), SEIR モデ
ル (自然免疫) の 3 つのモデルを, ワクチン接種を考慮する時期に関してはこれらに加え SEIR モデル (自然免Recovered の予測値の差分

2020 年 12 月

0.973004

2021 年 8 月

0.952419

2021 年 10 月
2021 年 11 月

0.942157
0.990732

疫+ワクチン), SEIR モデル (重症者+自然免疫+ワクチン) の合計 5 つのモデルを使用し, それぞれの 1ヶ月間5の Recovered の予測値と実測値の MAPE を比較する.

M AP E =数の傾向予測nX|yt − yˆt |1n − i + 1 t=i

拡張 SEIR モデルを用いた感染者
拡張 SEIR モデルを利用した感染者数の傾向予測に|yt |ついて述べる.

yt : 観測値, ŷt : モデルの予測値2 つの時期に予測を行った際のモデルの予測値の MAPEを表 1, 表 2 に示す. 表 1 より, ワクチン接種が進んでいない時期の予測で平均的な精度が最小であったモデル
は SEIR モデル (自然免疫) であったため, この時期の予測においては自然免疫の影響の考慮することが SEIRモデルの精度向上に有効である. また, 表 2 より, ワクチン接種を考慮する時期においても同様に, 自然免疫とワクチンの影響の考慮が SEIR モデルの精度向上に有効であった.

Recovered の実測値の要素間の差分(yt+1 − yt ) と Infected の実測値は強い正の相関関係(r = 0.956457) にある. そこで, Recovered を高い精度で予測できている場合にその拡張 SEIR モデルの予測値の差分によって Infected の傾向を把握できるという仮説を立て, Infected の実測値との相関関係を調査する.

Recovered の予測値は 4 章の実験で平均的な MAPE が最小であった拡張 SEIR モデルによるものを利用した.
その結果を表 3 に示す. 2020 年 12 月, 2021 年 8 月 ,10月, 11 月において, 拡張 SEIR モデルの Recovered の予測値の差分は Infected の実測値と強い正の相関関係にあった (r > 0.90). これらの時期は 1ヶ月前に Infected の

表 1: ワクチン接種が進んでいない時期における各 SEIR
モデルの MAPE(一部抜粋)
予測期間

通常

重症者

自然免疫

2020 年 12 月

0.078721

0.074060

0.080209

2021 年 1 月
2021 年 2 月

0.020867
0.063254

0.020196
0.074968

0.020812
0.063581

傾向が変わり始めているという共通点を持つため, そのような時期に拡張 SEIR モデルを用いることで Infectedの傾向を正しく予測できることが示唆される.

6

むすび
本研究では, 感染症の流行予測に有効とされる SEIRモデルを拡張して COVID-19 の流行予測を行った. そ2021 年 3 月
2021 年 4 月

0.009542
0.012603

0.009168
0.012615

0.002200
0.011871の結果, 自然免疫とワクチンの影響を考慮することが精平均

0.036619

0.037822

0.035387

度向上に有効であった. また, 拡張 SEIR モデルの予測結果を用いて感染者数の傾向を予測した. その結果, 予

表 2: ワクチン接種を考慮する時期における各 SEIR モ測を行う時期の 1ヶ月前に感染者数の傾向が変わり始め

デルの MAPE(一部抜粋)ていた場合に感染者数の傾向を正しく予測できた. 今

予測期間

通常

自然免疫+ワクチン

重症者後の課題としては, SEIR モデルの新たな拡張による精+自然免疫度向上, Infected の傾向を全ての時期において予測でき+ワクチンるパラメータの推定などを検討している.

2021 年 8 月
2021 年 9 月

0.022574
0.092761

0.019963
0.082462

0.021297
0.119006

2021 年 10 月

0.001692

0.0031550.027888

2021 年 11 月
2021 年 12 月

0.000955
0.000187

0.006099
0.000893

0.003966
0.000786

平均

0.023634

0.022514

0.034589

参考文献[1] 西浦博、稲葉寿： 感染症流行の予測：感染症数理モ
デルにおける定量的課題

2 号, 2006.

, 統計数理, 第 54 巻, 第