京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻
平成26 年度大学院入学試験問題
入試問題は以下の通りです。ただし、英語だけは原典の著作権保護のために、文章を点線にしてあります。文章については原典を参照してください。また、当日、試験時間内に3つの修正・加筆を行いました。修正点は下記問題に赤字にて説明してあります。

平成 25 年度専攻教育委員会

平成 26 年度大学院入学試験問題

I（3 時間）注意(1) 問題 I–1，I–2，I–3 の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いてもよい．
(2) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部（線より上）に問題番
号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない.
(3) 解答用紙は 3 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(4) 問題冊子は表紙を含めて 6 ページまである．

1

I-1 (力学) (100 点)
経路に沿った座標 s が，その地点での接線の水平に対する傾斜角 θ を用いた関数で表される形状のなめらかな床を考える．この床の上にある，質量 m の質点について，座標 s に沿った運動を考えよう．図１のように，質点が時刻 t = 0 に s = 0の地点から初速度 v0 で床の上を動き始めるとする．s, θ は図１の矢印の方向を正とし，重力加速度は g とする．

θ

v0
s
h

g
図１
まず，床の形状が，s = −a sin θ (0 ≤ s ≤ a, − π2 ≤ θ ≤ 0, a は正の定数) で表される場合を考える．なお，θ ≤ 0 なので，図１とは異なり，床の形状は右下がりとなることに注意せよ．

(1) s = 0 の地点を基準とする，質点の位置エネルギーを θ の関数として求めよ．
ヒント：高さを h とすると dh/ds = sin θ となることに注意．
(2) 経路に沿った質点の速度を v (≡ ds/dt) として，v 2 を θ の関数として求めよ．
(3) 経路の曲率半径 ρ を θ の関数として求めよ．
(4) この質点に対する床の垂直抗力 N を θ の関数として求めよ．また，この質
点が床から離れる地点の座標 s を a, g, v0 を用いて表せ．
次に，床の形状が s = a sin θ (−a ≤ s ≤ a, − π2 ≤ θ ≤ π2 , a は正の定数) で表される場合について考える．

(5) この質点が床の範囲 (−a ≤ s ≤ a) の外に出ないための v0 の条件を求めよ．
また，この条件下で質点が経路に沿った座標 s で単振動することを示し，その角振動数 ω0 を求めよ．
(6) この質点に対し，経路に沿った速度 v に比例する抵抗力 −2mβv (β > 0) が働くとする．この質点が床の範囲の外に出ない条件のもとで，質点が s < 0の領域へ行かないための β の最小値 β0 を求めよ．

2

(7) 問 (6) で求めた β = β0 の抵抗が働くとき，この質点が床の範囲の外に出ないための v0 の条件を a, g を用いて表せ．
(8) この質点に対して，問 (6) で求めた β = β0 の抵抗と，経路に沿った外力 f =mg cos(Ωt) が働くとする．十分に時間が経過した後に単振動をしている質点の座標 s を，a, Ω と r (≡ Ω/ω0 ) を用いて，t の関数として表せ．ただし，ω0
は問 (5) で求めた ω0 である．また，その単振動の振幅の絶対値と，位相の遅れを，それぞれ r を横軸として図示せよ．なお，十分な時間が経過するまでの間に，質点は床の範囲の外には出ていないものとする．

3

I-2 (電磁気学) (100 点)
導体球近傍に置かれた点電荷がつくる静電ポテンシャルについて，鏡像法を用いて考える．以下では，真空中で考え，その誘電率を ε0 とする．
図１のように半径 R の導体球の中心を原点Ｏとし，電荷量 q (q > 0) の点電荷Ａを (x, y, z) = (0, 0, d) (d > R) に置いた．なお，解答に際しては，必要に応じて球座標

x = r sin θ cos φy = r sin θ sin φz = r cos θ
を用いよ．

A

ዉ૕⃿

O

図１

(1) まず，導体球が接地された場合について考える．導体球の表面で静電ポテン
シャルは一定である．導体球に誘起された電荷の代わりに，電荷量 qB の仮想の点電荷Ｂを (0, 0, dB ) に置いて考えることとする．点電荷Ａ, Ｂが導体球の外側の任意の点につくる静電ポテンシャル ϕ を，qB と dB を含む式で表せ．この結果から，qB と dB を R, d, q を用いて表せ．
(2) 次に，導体球が接地されておらず，電荷を持たない場合について考える．このとき問 (1) で求めた仮想の点電荷Ｂに加えて，仮想の点電荷Ｃを置いて考えればよい．この仮想点電荷Ｃの位置 (0, 0, dC )，およびその電荷量 qC を求めよ．
また，このとき導体球が点電荷Ａに及ぼす力の向きと大きさを求めよ．

4

(3) 次に，導体球が接地されておらず，かつ電荷量 Q (Q > 0) を持つ場合について考える．点電荷Ａには，問 (2) で求めた力に加えて導体球に与えられた電荷
Q による力が働く．点電荷Ａの位置を z 軸方向に動かしたところ両者の力が釣り合った．このとき Q/q を d と R を用いて表せ．また，Q ≫ q のとき，
(
√ )
1 q
d≃R 1+
2 Qと書けることを示せ．

次に，導体球を接地して，点電荷Ａに加えて，電荷量 −q の点電荷Ｄを (x, y, z) =(0, 0, −d) に置いた．以下では，q/d2 を一定としたまま，d, q → ∞ の極限について
考える．

(4) 鏡像法を用いて，点電荷Ａ, Ｄが導体球の外側につくる静電ポテンシャル ϕ を上の極限で求めよ．
(5) 導体球がない場合は，点電荷Ａ, Ｄが原点付近につくる電場は一様となる．その大きさ E0 を求めよ.
(6) 問 (4) で求めた静電ポテンシャル ϕ から，導体球面に誘起される電荷分布 σ を求めよ．解答は，E0 を用いて示せ．

5

I-3 (物理数学) (100 点)
以下の各問に答えよ.

(1) 次の定積分を求めよ．
∫ ∞
1
(a)
dx
4
−∞ 1 + x∫ ∞(b)
cos x2 dx
0∫ ∞(c) PV
0

xα
dx
1−x

ただし PV は主値を表し, −1 < α < 0 とする.

(2) 複素数 z に関する次の複素関数 f (z) を考える. (x は z と独立な実変数である.){x}f (z) = exp(z − z −1 )(A)2(a) f (z) を z = 0 の周りでローラン展開することで,f (z) = J0 (x) +∞∑Jn (x){z n + (−z)−n }

(B)

n=1

と変形できること, かつ, 式 (B) 中の Jn (x) が∫ π
1
Jn (x) =cos(x sin θ − nθ) dθ
2π −π

(C)

と書けることを示せ.

(b) 式 (A) と式 (B) を用いて, Jn (x) を x = 0 の周りでテイラー展開した表式を求めよ.
(c) 前問 (b) で求めた展開式 Jn (x) が次の方程式の解になっていることを示せ.
x2dd2
Jn (x) + x Jn (x) + (x2 − n2 )Jn (x) = 0
2
dx
dx

6

(D)

（このページは白紙である）

7

平成 26 年度大学院入学試験問題

II（3 時間）

注意(1) 問題 II–1，II–2，II–3 の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いてもよい．
(2) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部（線より上）に問題番
号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない.
(3) 解答用紙は 3 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(4) 問題冊子は表紙を含めて 7 ページまである．

1

II-1 (力学) (100 点)
3 次元空間 r = (x, y, z) にある静止質量 m0 の質点の相対論的ラグランジアンは，√
L = −m0 c c2 − v 2 − U (r)(A)と書ける．ここで， c は光速，v = dr ，v ≡ |v|，U (r) はポテンシャルである．
dt(1) オイラー・ラグランジュ方程式をたて，相対論的運動方程式d(γm0 v) = F ≡ −∇U
dt√
を導け．ただし，γ ≡ 1/ 1 − (v 2 /c2 ) である．

(B)

以下，静止質量 m0 ，電荷 −e (< 0) の相対論的電子のラグランジアンが，√k
L = −m0 c c2 − v 2 − r2 − ev · A(r)2(C)（k は正の定数，r ≡ |r|，A(r) はベクトルポテンシャル）で与えられる場合，どのような振動が生じるかを，以下のように調べてみよう．ただし，電子からの電磁波放射は無視できるとする．

(2) 式 (C) から，相対論的電子の運動方程式d(γm0 v) = −kr − ev × B
dt(D)を導け．ここで， B = ∇ × A は磁束密度である．

(3) B ̸= 0，k = 0 のとき，γ が一定となることを式を用いて示し，その物理的理由を述べよ．

以下，一様な定磁場を考え，B = (0, 0, B) (B > 0) とおく．

(4) k = 0 の条件下で運動方程式を解き，電子の運動を求めよ．
(5) k > 0 のときは，一般に γ は一定とならないが，近似的に γ がほぼ一定として運動方程式を解き，電子の x-y 面上の運動に，二つの異なる振動数をもつモードが生じること，およびその振動数の絶対値の差は，B に比例することを示せ．

2

（このページは白紙である）

3

II-2 (量子力学) (100 点)
ハミルトニアンが H = H0 + H̃(t) のように，時間に依存する小さな部分 H̃(t) を持つ量子力学系を考えよう．

(1) この系の状態 |ψ(t)i を，H0 の完全系 |ni (H0 |ni = En |ni, n = 0, 1, 2, · · · ) を使って，∑|ψ(t)i =an (t)e−iEn t/~ |ni(A)nと表すとき，an (t) の満たす微分方程式を求めよ．

(2) 初期 t = −∞ にこの系が H0 の固有状態 |M i にあったとして，t = ∞ で，この系が状態 |N i (N 6= M ) にある確率 PM N を H̃ についての摂動論の（自明でない）最低次で表せ．
次に，座標 x で表される 1 次元空間にある質量 m の粒子のハミルトニアンが，

H0 =

p̂2
1
+ mω 2 x̂2
2m 2

(B)

（ x̂, p̂ はそれぞれ，この粒子の座標演算子と運動量演算子, ω は正の定数）と，時間に依存する2
H̃(t) = q x̂ e−(t/τ )(C)（ q, τ は正の定数）からなるときを考えよう．

(3) ハミルトニアン H0 の基底状態と第 1 励起状態について，それぞれの規格化された波動関数を A = mω/~ と x のみを使って表せ．またそれらのエネル
ギー固有値を ~ と ω を使って表せ．
ヒント：それらの状態の波動関数は，ガウス関数 e−βx （β はある正の定数）と座標 x の多項式の積で表される．また，以下の数学公式を参考にしても
よい．
√
∫ ∞
π
−αx2
(α は正の定数)
(D)
e
dx =
α
−∞
2

(4) この粒子が当初 (t = −∞)，H0 の基底状態にある．問 (2) の結果から，摂動論の最低次では，t = ∞ で H0 のどの固有状態への遷移確率がゼロではないかを理由とともに述べよ．また，それらの状態への遷移確率を ~, m, ω, q, τ のみを使って表せ．

4

（このページは白紙である）

5

訂正 １

ただし，M は磁化で，

(
M =−

∂Ω
∂H

)
T

で与えられる．また，定磁場比熱 CH は
( )∂S
CH = T∂T H
で与えられる．

(4) 以下では 12 gµB H < µ であるとする．低温領域 kB T ≪ µ ± 12 gµB H の場合を考える．CH を温度 T について，0 でない最低次数まで展開して求めよ．結果は kB , T , m, ℏ, µ, g, µB , H, V のうち，必要なものを用いて表せ．ただし，必要であれば以下の関係式を用いてよい．F (ε) を ε の関数，a を a + µ > 0を満たす定数として，フェルミ分布関数 f (ε) に対して，kB T ≪ µ + a で次式が成立する．
()∫ ∞d2 F (ε)∂f (ε)π2dεF (ε) −= F (µ) + (kB T )2
+ O(T 4 )
(D)
2
∂ε
6
dε
−a
ε=µ
(5) 問 (4) と同じ条件下で (∂M/∂T )H を温度 T について，0 ではない最低次数まで展開して求めよ．結果は kB , T , m, ℏ, µ, g, µB , H, V のうち，必要なものを用いて表せ．
(6) 断熱消磁法（断熱的に印加磁場を減少させることによって温度を低下させる
方法）を用いて，この系の温度を低下させることを考える．磁場 H = H0 のとき，系の温度が T = T0 であったとする．また，kB T0 ≪ µ，および gµB H0 ≪ µであるとする．この状態から断熱的に磁場を減少させることによって，この系が到達できる最低温度を求めよ．結果は H0 , T0 , kB , m, ℏ, µ, g, µB , V のうち，必要なものを用いて表せ．
また，この結果を用いて，この系を，上記の範囲の磁場で絶対零度 T = 0 に到達させることが可能かどうか，理由とともに答えよ．

7

平成 26 年度大学院入学試験問題

III（3 時間）

注意(1) 問題は III–1 から III–5 まで 5 問ある。この中から 3 問選択せよ．4 問以上選択した場合はすべての解答が無効になることがある．
(2) 選択した問題の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いてもよい．
(3) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部（線より上）に問題番
号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない.
(4) 解答用紙は 3 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(5) 問題冊子は表紙を含めて 13 ページまである．

III–1

電磁気学（円筒コンデンサ）

III–2

量子力学（磁束と粒子）

III–3

統計力学（おもりと理想気体）

III–4

実験（相対論的粒子の測定）

III–5

天文学

1

III-1 (電磁気学： 円筒コ ン デン サ ) (100 点)
図１ のよ う な 半径 a, b (a < b) の 2 つの中空円筒導体で構成さ れる 同軸円筒コ ン デ
ン サを 考え ， 軸と 平行に x 軸を と る ． 極板の厚さ と 抵抗は無視でき る ほど 小さ く ，
ま た ， 円筒の長さ はこ れら の半径に 比べて 十分に 長く ， 両端部での電場の乱れは無視でき る も のと する ． 両極板間は空気で満た さ れて お り ， 空気の誘電率， 透磁率はそ れぞれ真空中と 同じ 値 ε0 , µ0 であ る も のと する ．

b a

x
図１

(1) こ の円筒コ ン デン サの x 方向の単位長さ あたり の静電容量 C ， およ び x 方向の単位長さ あ た り の自己イ ン ダク タ ン ス L を 求めよ ．
(2) 外周電極に 対し ， 内周電極に 電位差 V (V > 0) を 与え た と き ， 極板間の電場強度の最大値 Emax を V , a, b で表せ． ま た ， 特定の外周電極半径 b に 対
し Emax を 最も 低く 抑え る に は内周電極半径 a を いく ら に すればよ いか．
V(3) 密度 ρ， 誘電率 ε の非導電性誘電体液体に， 図２ のよ う にコ ン
デン サの一端を 液面に 対し て 垂直に 差し 込んだ状態で， 電極間に 電位差 V を 与え る ． こ の状態での外部の液面高さ に 対す
る 極板間の液面の高さ を ， 鉛直上向き を 正と し て 求めよ ． 重
力加速度を g と し ， 液面の形状は水平を 保っ た ま ま 高さ のみ
変わる も のと し て よ い．
図２(4) 図３ のよ う に 外周電極を 接地し た状態で， 内周電極の一端で極板間の電位差を 急に 変化さ せた と き ， 厚さ dx 間での電流と 電位の変化を dI, dV と し て ，そ れら の伝達過程を 考え ， 問 (1) の結果と 合わせる こ と で電位差の変化が x
方向に 光速で伝わる こ と を 示せ．
dx

x
図３

2

こ のコ ン デン サを 幅 ∆x で分割し て 考え る と ， 各部分での静電容量と 自己イ ン ダ
ク タ ン ス を ∆C(≡ C∆x), ∆L(≡ L∆x) と し て ， 等価回路は図４ のよ う に 表すこ とができ る ．
∆L

∆C
∆x

図４

(5) こ の回路が無限に 続く も のと し て ， 左端に 角振動数 ω の交流電圧を 与え たと き の全イ ン ピ ーダン ス Z を 求めよ ．
ヒ ン ト ： 図４ の破線枠内の回路を 減ら し て も Z は変化し な い．
(6) こ の等価回路では， あ る 一定の角振動数 ω0 よ り 角振動数が大き い交流は右へ伝わる ほど 減衰する ． こ の角振動数 ω0 を 求めよ ．
(7) ∆x → 0 の極限での Z, ω0 の値を 求め， こ の円筒コ ン デン サを 電気信号の伝達媒体と し て 用いる と き の特徴を 述べよ ．

3

訂正 ２
【誤】条件を
ௗథሺ௫ሻ
ௗథሺ௫ሻ
ቚ
ൌ
ቚ ቁ を
【正】条件 ቀௗ௫ ௫ୀ௅ௗ௫ ௫ୀ଴

(5) この系のエネルギー固有値を決める式は次のようになる．
cos(ka) cosh(λb) +λ2 − k 2
sin(ka) sinh(λb) = f (Φ)
2kλ

(F)

ただし，


√
2m(E + V0 )
−2mE
k=
,
λ=


である．f (Φ) を求めよ．また，f (0) = 1 となることを示せ．

(G)

以下では，c0 ≡ aV0 (> 0) を一定に保ちながら，V0 → +∞，a → 0，b → L の極限をとった場合を考える．この場合，V (x) は x = 0 で −∞ であるデルタ関数型ポテ
ンシャルになる．

(6) 磁束がないとき（Φ = 0），E < 0 の解の個数を，その理由とともに答えよ．
その際，以下の事実を用いてもよい．
実数パラメータ ξ ，実数変数 y に依存した関数 Fξ (y) が次式で与えられるとする．
sinh y(H)Fξ (y) = cosh y − ξyξ ≤ 3 のとき，Fξ (y) は y ≥ 0 の領域で y についての単調増加関数である．
ξ > 3 のとき，y > 0 の領域で Fξ (y) は極小値を 1 つ持ち，それ以外に極値はない．
(7) β ≡ mc0 L/2 とおく．磁束 Φ および β の値がある範囲にあるとき，E < 0 の解が存在しなくなる．このような Φ と β の範囲を求めよ．ただし，Φ の範囲
は β を用いて表せ．
5

III-3 (統計力学 : おもりと理想気体) (100 点)
図１のような，ピストンを備えた底面積 A の容器に N 個の単原子分子からなる
理想気体が封入されている．ピストンは鉛直方向にのみ，摩擦なく移動することができ，その上にはおもりが乗せられている．底面からのピストン下部の高さをX とすると，系の全エネルギー E は，

E = EK + M gX,

EK =

N
∑
p2
i

(A)

2m
i=1

と与えられる．ここで，EK は気体分子の運動エネルギーである．また，pi は i 番めの分子の運動量，m は単原子分子の質量，M (≫ m) はおもりとピストンを合わせた質量，g は重力加速度の大きさを表す．分子が重力から受ける位置エネル
ギー，ピストンの運動エネルギー，外気の圧力の寄与は無視し，また，ピストン位置の各点で容器の中の気体は平衡に達していると仮定する．以下では，N は極めて大きいと仮定し，1 に対して，1/N のオーダーの寄与は無視してよい．
M

M
M'!" # N

g

m
X

$% A

図１

まず，容器は熱を通さないものとし，おもりを含めた全体を一つの孤立系と考える．

(1) ピストンの下部が高さ X の位置に静止しているとする．気体分子の運動エ
ネルギーが，EK から EK + ∆ の範囲にある状態の数 Ω(EK )∆ を求めよ．ただし，∆ は EK と独立で，EK ≫ ∆ としてよい．プランク定数は h とせよ．
また，n 次元空間において半径 r の球の体積 Vn ，表面積 An は，それぞれ，
2π n/2 n−1
π n/2
rn ,
An =
r
(B)
Γ(n/2 + 1)
Γ(n/2)∫∞
で与えられる．ここで，Γ(z) = 0 xz−1 e−x dx はガンマ関数であり，実数 zに対し，Γ(z + 1) = zΓ(z) を満たす．
Vn =6

(2) ミクロカノニカル集団の考え方では，理想気体の運動エネルギーが EK から EK + ∆ の範囲にあるときのエントロピー S は，問 (1) で求めた状態の数Ω(EK )∆ を用いて，S = kB ln (Ω(EK )∆) と与えられる．ここで，kB はボル
ツマン定数である．平衡状態では，ピストン下部の高さ X の最も確からし
い値 X ∗ は，S を最大化するように決まる．すなわち，∂S=0∂X X=X ∗(C)が成り立つ．このことから，E, M, m, g, N, A, h のうち必要なものを用いて，X ∗ を表せ．
以下では，気体分子は容器の壁を通じて外部の熱浴と熱のやりとりをし，系は温度 T の熱平衡状態にあるものとする．

(3) ピストン下部の高さが X にあるときの，容器内の気体分子の分配関数 Z(X)∫∞√2を求めよ．ただし，必要ならば，公式 −∞ e−x /a dx = πa（a は正の実数）を用いてよい．
(4) ピストン位置に関する自由度を考える．問 (3) で求めた分配関数を用いて，
∫ ∞
−1
Y =λ
e−M gX/(kB T ) Z(X)dX(D)
0という状態和を定義する．λ は長さの次元を持つ物理量で，ここでは定数とみなしてよい．式 (D) の積分を実行し，状態和 Y を求めよ．

(5) 問 (4) で求めた状態和 Y を用いると，X の関数である任意の物理量 f (X)の期待値は，∫∞
f (X)e−M gX/(kB T ) Z(X)dX⟨f ⟩ = 0(E)Yλと計算することができる．ピストン下部の高さ X の期待値 ⟨X⟩ を求めよ．

(6) 熱力学ポテンシャル G を次のように定義する．
G = −kB T ln Y

(F)

ピストンの上に十分にゆっくりとおもりを増やしていき，全てのおもりとピストンとを合わせた質量が M ′ (> M ) となった．おもりを増加する前後のG の値を，それぞれ GM , GM ′ とし，その差 ∆G = GM ′ − GM を求めよ．

(7) 問 (6) のおもりを増加する過程において，ピストン内の理想気体がした仕事
W と，理想気体と外部の熱浴との熱の出入り Q を求めよ．ただし，仕事は気体が外部になす向きを正，熱は外部の熱浴から理想気体への流れを正とする．
7

III-4 (実験：相対論的粒子の測定) (100 点)
高エネルギーまで加速した電子と陽電子を衝突させ，中性の B 0 粒子とその反粒子B̄ 0 を同時生成した後，それぞれが荷電粒子（π 粒子と K 粒子）に崩壊する過程について考察する (B 0 → K + π − ，B¯0 → K − π + )．以下，粒子の運動は相対論的に取り扱うことにする．相対論的粒子のエネルギー E ，運動量 P ，静止質量 m の間には以下の関係がある．

E = γmc2 ，P = γmv = γβmc ，E 2 − P 2 c2 = m2 c4(A)
ここで，β ≡ v/c ，γ ≡ 1/ 1 − β 2 ，c = 3.0 × 108 m/s は光速，v は粒子の速度である．
まず，生成された荷電粒子の磁場中の軌跡を測定して粒子の運動量を求め，速度の差から，粒子の種類を識別する方法について考えよう．なお，以下では，荷電粒子の生成時刻は，電子と陽電子の衝突と同時であるとする．また，荷電粒子からの電磁波放射は無視できる．

(1) 電気素量 e = 1.6 × 10−19 C をもつ相対論的粒子は，一様な磁場（磁束密度 B ）に対して，それに垂直な平面内で曲率半径 R の円軌道上を，角速度
eB
ωB =
γm
で運動することが知られている．R，e，B を使って，粒子の運動量 P を表せ．

(2) B= 0.50 T の一様な磁場に垂直な面内を，+e の電荷を持つ粒子（π + または K + ）と，−e の電荷を持つ粒子（π − または K − ）が走り，それぞれの軌
道の曲率半径が，10 m，14 m と測定された（図１）．このとき，各粒子の運動量を求めよ．なお結果は，単位 GeV/c（1 GeV = 109 電子ボルト）を使
い，有効数字 2 桁で表せ．
(3) これらの荷電粒子の軌道上に粒子通過時刻測定器を設置し（図１），数多くの電子・陽電子衝突を起こして，粒子が生成されてから測定器を通過するまでの飛行時間を測定する．ある運動量 P を持ち，その飛行距離が L である粒子は，その質量に固有の飛行時間をもつ．そのため，飛行時間の分布には，π 粒子と K 粒子，各々に対応する二つのピークが生じる（図２）．このピー
クの時間差 Δt を，飛行距離 L，運動量 P ，二粒子の質量 m1 ，m2 を用いて表せ．ここで，P  m1 c , P  m2 c の近似がなりたつものとする．
(4) 図１の正電荷の粒子について考える．この粒子の飛行距離 L は 3.0 m，円軌
道の曲率半径 R は 10 m と測定された．これが π + 粒子である場合の飛行時
間と，K + 粒子である場合の飛行時間の差 Δt を，問 (3) の答えを用いて計算し，ナノ秒 (1 ns = 10−9 s) 単位で求めよ．有効数字は 1 桁とする．なお，
K + 粒子の質量は 0.50 GeV/c2 ，π + 粒子の質量は 0.14 GeV/c2 とする．
8

粒子通過時刻測定器
π − または K −(R = 14 m)
B または B¯00

BL

B = 0.50 T=

3m

π + または K +(R = 10 m)
図１

事象数

Δt

π+

K+

0

飛行時間
図２

（次ページに続く）

9

粒子の運動量 P ，飛行時間 t，飛行距離 L が測定できれば，その質量は一意に求められる．しかし，測定には必ず誤差が伴うため，求まる質量は本来の値のまわりに分布する．この分布の広がりについて考える．

(5) 式 (A) を用いて，粒子質量の二乗 (m2 ) を，P ，t，L で表せ．
(6) 誤差の伝播を考慮して，質量の二乗の誤差 δ(m2 ) を，E ，m，各測定値の相対誤差 δP/P , δt/t, δL/L を使って表せ．なお，δP , δt, δL の間に相関はな
いとする．
(7) K + 粒子の運動量，飛行距離，飛行時間がそれぞれ P = 1.0 GeV/c，L =3.0 m，t = 10 ns であり，測定誤差が δP = 10 MeV/c，δL = 100 μm，δt =0.1 ns とする．質量の決定に最も大きな誤差を与える測定値は何か，理由とともに答えよ．
次に，B 0 粒子の寿命を実験から測定する方法について考えよう．しかし，B 0 粒子の寿命は，時間測定精度の 0.1 ns よりはるかに短いため，直接，寿命を測定することは難しい．それでも，以下に示すように，極めて精度の高い距離の測定から寿命を測定することができる．
図３に示すように，エネルギーの異なる電子と陽電子を衝突させると，生成された粒子の重心は，高速で移動する．たとえば，エネルギー 8.0 GeV の電子と，エネルギー 3.5 GeV の陽電子を正面衝突させると，質量 10.6 GeV/c2 の共鳴状態が生成され，直後に，B 0 粒子とその反粒子 B¯0 へ二体崩壊する．なお，B 0 粒子と B̄ 0
粒子の質量は等しく，また，B 0 粒子と B¯0 粒子の質量の和と，生成された共鳴状態の質量の差は極めて小さく，無視できるとする.

(8) 生成された共鳴状態がもつ運動量の大きさを求めよ．なお結果は，単位 GeV/cを使い，有効数字 2 桁で求めよ．
(9) B 0 粒子が，生成されてから崩壊するまでに走る平均距離を測定すると 190 μmであった．B 0 粒子の崩壊寿命は何 ns か，有効数字 2 桁で求めよ．

B 0 と B¯0
3.5 GeV (陽電子)

8.0 GeV (電子)図３10（このページは白紙である）

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訂正 ３

(3) 太陽は１秒間に総量約 109 kg の質量を太陽風として放出している．太陽風を駆動するために必要な仕事率を式で表し，その値を計算せよ．ただし太陽風は無限遠で速度が 0 になるとする．

エネルギーフラックス [W m-2 nm-1](4) 単位波長幅における太陽放射のエネルギーフラックスは，波長 400 nm と 600
nm でほぼ同じである．図 2 は単位面積から放射される黒体放射のエネルギー
スペクトルであり，各曲線の上の数字は温度 [K] を示す．太陽からの放射は黒体放射とし，図 2 から太陽のエネルギースペクトルに最も近い曲線の温度を読みとることにより，太陽全体が１秒間に放射するエネルギーを求めよ．
ステファン・ボルツマン定数を σ = 5.7 × 10−8 W m−2 K−4 とする．

波長 [nm]

図２(5) 問 (4) で求めた，太陽全体が１秒間に放射するエネルギーを質量に換算し，太陽風による質量放出率の何倍であるか答えよ．
(6) 地球の公転運動により，星 X は周囲にみえる多数の星々に対してみかけの位
置が１年を通じて楕円の軌跡を描いて変化し，その長半径（年周視差）は 0.1
秒角（≃ 5 × 10−7 rad）である．また，この星の波長 400 nm と 600 nm のエ
ネルギーフラックスは，それぞれ太陽の 4 × 10−12 倍と 6 × 10−12 倍であった．
図 2 の曲線の中から星 X のエネルギースペクトルに最も近い曲線を選び，それを用いて星 X の半径が太陽のおよそ何倍であるかを求めよ．ただし，星 X
は一様な表面から黒体放射をする球と考え，星 X と地球の間に光の吸収はないものとする．

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平成 26 年度大学院入学試験問題

IV（1 時間）

英語 （100 点）
注意(1) 問題 IV–1，IV–2 の解答はそれぞれ別の解答用紙 1 枚に記入せよ．裏面を用いてもよい．
(2) 各解答用紙は横長に使用して，解答用紙表側の左上部（線より上）に問題番
号，受験番号，氏名を記入せよ．解答用紙の他の部分に受験番号，氏名を書いてはいけない．この線より上の欄には表，裏とも解答を書いてはいけない.
(3) 解答用紙は 2 問すべて提出すること．なお，問題冊子および下書き用紙は回収しない．
(4) 問題冊子は表紙を含めて 4 ページまである．

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（註）
rareﬁed : 希薄な（形容詞），Aristotle : アリストテレス，medieval times : 中世
horror vacui : ラテン語で「何もない空間（真空）に対する恐怖」
Torricelli : トリチェリ，barometer : 気圧計
Puy-de-Dome volcano : ピュイドドーム火山，Auvergne : オーベルニュ地方(1) 下線部（a）を和訳せよ．
(2) 下線部（b）に関連して，ガリレオの時代に自然科学の探求の方法が大きく変わった．どのように変わったのかを日本語で述べよ．
(3) 下線部（c）に関連して，“a critical experiment” とは何を指すのか，また
critical である理由を，本文に即して日本語で述べよ．

3

（このページは白紙である）

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