方向転換の非対称性を持つ自走粒子集団における秩序化現象
理学専攻・情報科学コース
森田紫ある．空間を 2 次元とし，L × L の周期境界条件を課さないとする．
地球上には集団運動を行う生物がたくさん存在してモデルは単純で，個体 i と個体 j の距離 |xi − xj | がいる．中でも鳥や魚，微生物についてはよく知られて相互作用半径l より小さい場合に個体 i が個体 j の進行おり，それらについての研究が多く発表されている．
方向に向きを合わせるとする．
sin(θj − θi + α) − sin α
渡り鳥の雁は集団で V 字になって飛ぶことにより，風は，θがθの値に近づく作用を表す．
α は [−π, π] のijの抵抗を少なくしてより長距離を効率良く移動すると値をとる．
言われている [1]．生物が集団運動を行うことにはどの
図 1 右は α = π4 の sin(θj −θi +α)−sin α のグラフでようなメリットが存在するのだろうか．
ある．f (∆θ) = sin(∆θ +α)−sin α とおき，f (∆θ) = 0
本研究では特に魚の集団運動のひとつである回遊運を解くと，∆θ = 0, π − 2α を得る．ここで π − 2α を動に焦点を当てた．そこでまず参考にしたのが集団運分水嶺と呼ぶ．(i)θi からみた θj の位相が分水嶺 (ここ動の研究として有名な Vicsek モデル [3] である．このでは π2 ) より小さく，かつ個体 i に先行して動いていモデルのルールは簡潔で，各粒子は一定の速さで運動る時，個体 i は速度をあげて個体 j に追いつこうとすし，速度の方向は近傍の粒子の平均速度にランダムなる．つまり個体i は反時計回りに動く．(ii) 個体 j が個ノイズを加えて決定されるというものである．しかし
体iの後方にいる場合，個体i は速度を減衰して個体このモデルでは，回遊運動を再現していない．そこでjの速度に合わせる．つまり個体i は時計回りに動く．
魚にもヒトと同様に利き手が存在するとする [2]．この(iii)
個体jが個体iに先行しているが，θi からみた θj
原理を用いて，個体同士が相互作用した際に方向を揃の位相が分水嶺より大きい場合，個体iは (ii) の場合える際の回転方向に非対称性を持たせる．その結果，と同様に速度を減衰して個体jの速度に合わせる．つ
ローカルな相互作用でも大きな円運動が再現できるか
まり時計回りに動く．図 1 右のグラフからみてわかる
どうかについて観察する．
ように，負の領域のほうが多いため，α = π4 のとき全2 モデル
体としては時計回りの動きが多くなる．このように αの値が個体の回転方向に影響を与えることがわかる．
個体の運動モデルは次で与える．
またシミュレーションでは並んで走る状態を安定に保dri= (cos θi , sin θi ) (1)つために |α| < π2 とする．
dt
∑dθiβ3 シミュレーション結果= σξi + H({sin(θj − θi + α) − sin α}) (2)dt
Ni
シミュレーションではパラメーター値を L = 20，1

はじめに|xi −xj |<l

β = 1，σ = 0.5，l = 2.0，N = 300 とした．初期条件(3)は，すべての個体の位置を中央部にランダムに配置し，Ωmax
その進行方向 θi は範囲 [0, 2π] の一様乱数で与えた．計2πv0 = 2πR (4)算スキームはオイラー法 (時間ステップ dt = 0.01) でΩmaxある．
ここで，ri (t) = (xi (t), yi (t)) は個体 i の位置 (i =図 2 は α の値を変化させた場合のシミュレーション
1, 2, . . . , N )，N は個体数，θi (t) は個体の進行方向，結果である．上 2 つは α = 0.5 で，下 2 つは α = 1.0
ξi (t) は白色ガウスノイズ，σ はノイズ強度， β は相互の時の結果である．α の値が大きいと集団全体の回転作用の強さ，|vi | = 0.3，α は個体同士が相互作用して半径は小さくなる．また α = 1.0 のときは魚の回遊運方向を合わせるときに生じる回転方向の偏りである．
動の動きに似ている．さらに全体としてどの程度，集この個体はランダムウォークをする．さらに式 (2) の団運動が起こっているかを調べるために個体の方向の相互作用項の部分には回転速度に限界を持たせるため平均をとる．に H 関数 (式 (3)) を導入しており，Ωmax は角速度でN
1 ∑
Q=(5)
vi
N i=1H(x) = Ωmax tanhx

Q の値は個体全体の方向が揃っている場合は 1 に近づき，個体全体の方向が揃わず無秩序，もしくはトーラスになっている場合 0 に近づく．図 3 は Q の時間発展の様子を α ごとにプロットしている．これからわかる
ように，α の値を大きくすると Q の値は小さくなる．
α = 1.0 のときは，Q の値が 0 に近づいている．しかし無秩序になっているわけではなく，図 2 からもわかるように，回遊半径が小さくなり，実際の魚の回遊運動に似た様子が観察できた．

図 1: モデルの概略．

1

図 4: 個体の位置のスナップショット．
（左）α = 0.3, r = 3.0, β = 1.2, t = 250.
（右）α = 0.2, r = 4.0, β = 1.1, t = 150.

図 2: 個体の位置のスナップショット．
（左上）α = 0.5, t = 100.（右上）α = 0.5, t = 110.
（左下）α = 1.0, t = 100.（右下）α = 1.0, t = 110.

図 5: 分散 V の時間発展（左）円運動している場合.
（右）円運動が崩壊している場合．

4

回転方向に非対称性を持たせるために α を導入する
ことにより，全体として回転するようになった．また
α の値が増加するにつれて，集団の回転半径は小さくなり α = 1.0 で実際の魚に似た回遊運動が見られた．
さらに回遊運動について詳しく調べるために初期配置を円形にすると適切なパラメータのときに安定状態となり，トーラス状態を保つ，そしてそのトーラス状態は，秩序パラメータ Q と分散 V の値の両方によって数値的にも確認することができた．

図 3: Q の時間発展．
さらに回遊運動について詳しく調べるために，初期配置を円形にしてシミュレーションを行う．このときノイズ強度 σ を 0 にして，適切なパラメータを用いると円運動を保つ．そのパラメータは初期半径の大きさによって異なる．円運動が起こるパラメータは以下の通りである．

α相互作用半径

相互作用強度0.5

2.0

1.10.33.0

1.2

0.2

4.0

1.2

まとめ

参考文献
[1] Pawel Romanczuk, Iain D. Couzin, and Lutz
Schimansky-Geier. Collective motion due to individual escape and pursuit response. Phys. Rev.
Lett., Vol. 102, p. 010602, Jan 2009.
[2] 八田武志. 左対右 きき手大研究. 株式会社化学同人, 2008.

図 4 左の場合，綺麗な円運動をしているから Q の値は 0 になる．また少しパラメータがズレると結果は図4 右のようになり，円運動をしなくなる．また円運動が起こっていることは，分散によっても調べられる．図5 は分散の時間発展する様子をプロットしたものである．図 5 左は円運動が起こっている場合で，綺麗な波形を描いている，対照的に右は円運動が崩壊して，伸縮運動している場合の分散の様子をプロットしたものである．

[3] Tamás Vicsek, András Czirók, Eshel Ben-Jacob,
Inon Cohen, and Ofer Shochet. Novel type ofphase transition in a system of self-driven particles. Phys. Rev. Lett., Vol. 75, pp. 1226–1229,
1995.

2