JTN 2015
Universidad de Valladolid
June 29-July 3, 2015

Distribución del número de puntos en familia de curvas sobre cuerpos finitos
E. Lorenzo1 , G. Meleleo2 , P. Milione3
1 Universiteit Leiden, The Netherlands, e.lorenzo.garcia@math.leidenuniv.nl
2 Università degli Studi “Roma Tre”, Italia, meleleo@mat.uniroma3.it
3 Universitat de Barcelona, España, pmilione@ub.edu

Uno de los resultados más influyentes en teoría de números es el teorema de densidad de Čebotarev: este generaliza el teorema de Dirichlet sobre la equidistribución de primos racionales en progresión aritmética y proporciona
un conocimiento completo de la distribución de los primos en una extensión galoisiana de cuerpos de números
fijada. Pasando de cuerpos de números a cuerpos de funciones (en un paralelo que siempre ha enriquecido la teoríade números) nos encontramos con que un problema análogo es considerado por la conjetura de Sato-Tate para curvas: esta estudia la distribución de los endomorfismos de Frobenius de las diferentes reducciones módulo p de unmodelo entero de una curva fijada. Este estudio puede continuarse en varias direcciones, una de ellas pudiéndose
formular en el problema siguiente: dada una familia de curvas definidas sobre F p y de género g, comprender cómo
se distribuyen las trazas de los endomorfismos de Frobenius de las curvas dentro de la familia. Los resultados eneste sentido pueden encontrarse a veces bajo el nombre de conjectura de Sato-Tate vertical pues el primo p es
ahora fijado y es la curva que varía dentro de la familia. Ahora bien, dos enfoques diferentes son posibles según si
se estudia esta distribución en los límites para g tendiendo a infinito o para p tendiendo a infinito.
Los primeros ejemplos de tales investigaciones consideran familias de curvas hiperelípticas de género g definidas
sobre Fq , siendo q una potencia de p: en [5] se estudia la distribución sobre esta familia al q-límite (aplicando un
resultado de equidistribución de Deligne) y en el artículo fundador [4] se obtiene la distribución mencionada alg-límite, expresada ahora como suma de q + 1 variables aleatorias independientes.
A partir de ese momento, históricamente se comienza a tratar este problema de forma sistemática, considerandofamilias de curvas siempre más generales. Concretamente, en [1] se estudia el caso de familias de curvas que sonrecubrimientos trigonales cíclico de la recta proyectiva, en [7] se estudia la familia de curvas trigonales y en [2, 3]
se consideran ya familias de curvas que son recubrimientos cíclicos de la recta proyectiva, de grado un primo
arbitrario ` .Dentro de este panorama parece entonces consecuente estudiar estas distribuciones para familias decurvas que constituyen un recubrimiento no cíclico de la recta proyectiva: es por esta razón que en [6] se estudia
la familia de curvas cuyo cuerpo de funciones es un recubrimiento bicuadrático de Fq (t) y se logra calcular paraella la distribución tanto al g-límite como al q-límite.
Con esta exposición se pretende introducir la audiencia a las ideas básicas concernientes las distribución depuntos en familias de curvas sobre cuerpos finitos, con particular atención a los resultados obtenidos en el caso derecubrimientos bicuadráticos. Concretamente, el resultado obtenido es el que se enuncia a continuación.
Sea Bg (Fq ) la familia de curvas de género g y definidas sobre Fq que son un recubrimiento bicuadrático
de la recta proyectiva PFq sobre Fq y considérese la descomposición siguiente como unión desjunta de ciertassubfamilias de curvas hiperelípticas:
Bg (Fq ) =[B(g1 ,g2 ,g3 ) (Fq ),(1)g1 +g2 +g3 =g

en donde B(g1 ,g2 ,g3 ) (Fq ) denota la subfamilia de curvas C ∈ Bg (Fq ) tales que sus tres cocientes hiperelípticos
tienen géneros g1 , g2 y g3 .

Entonces en el límite para g1 , g2 , g3 tendiendo a infinito, se tiene la distribución siguiente:!
q+1|{C ∈ B(g1 ,g2 ,g3 ) (Fq ) : Tr(FrobC ) = −M}|0= Prob ∑ X j = M|B(g1 ,g2 ,g3 ) (Fq )|0
j=1(2)

en donde X j son variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas, tales que −1 with probability
Xj =1 with probability
 3 with probability3(q+2)
4(q+3)
64(q+3)q4(q+3).

(3)

References[1] A. Bucur, C. David, B. Feigon, and M. Lalín, Statistics for traces of cyclic trigonal curves over finite fields, Int. Math. Res. Not.
(2009).
[2] A. Bucur, C. David, B. Feigon, and M. Lalín, Biased statistics for traces of cyclic p-fold covers over finite fields, WIN - Women inNumber, Fields Institute Communications, American Mathematical Society, (2011).
[3] A. Bucur, C. David, B. Feigon, N. Kaplan, M. Lalín, E. Ozman, and M. Wood, The distribution of points on cyclic covers of genus
g, (preprint) (2015).
[4] P. Kurlberg and Z. Rudnick, The fluctuation in the number of points on a hyperelliptic curve over a finite field, J. Number Theory
129, 3, pp. 580-587 (2009).
[5] N. M. Katz and P. Sarnak, Random matrices, Frobenius eigenvalues, and monodromy, American Mathematical Society Colloquium
Publications, vol. 45, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.
[6] E.Lorenzo, G. Meleleo and P. Milione, Statistics for biquadratic covers of the projective line over finite fields, (preprint), (2015).
[7] M. Wood, The distribution of the number of points on trigonal curves over Fq , Int. Math. Res. Not. 2012, 23, pp. 5444-5456 (2012).