中学校第３学年

数学 Ｂ
注１２３意

先 生 の 合 図 が あ る ま で， 冊 子 を 開 か な い で く だ さ い。
調 査 問 題 は ， １ ペ ー ジ か ら 10 ペ ー ジ ま で あ り ま す 。
解 答 は ， す べ て 解 答 用 紙（ 解 答 冊 子 の 「 数 学 Ｂ 」）に記 入 し て く だ さ い。
４ 解 答 は ， Ｈ Ｂ ま た は Ｂ の 黒 鉛 筆（ シ ャ ー プ ペ ン シ ルも 可 ）を 使 い ， 濃 く ， は っ き り と 書 い て く だ さ い 。
５ 解 答 を 選 択 肢 か ら 選 ぶ 問 題 は， 解 答 用 紙 の マ ー ク 欄の 記 号 を 黒 く 塗 り つ ぶ し て く だ さ い。
６ 解 答 を 記 述 す る 問 題 は， 指 示 さ れ た 解 答 欄 に 記 入 して く だ さ い。 解 答 欄 か ら は み 出 さ な い よ う に 書 い て くだ さ い。
７ 解 答 に は， 定 規 や コ ン パ ス は 使 用 し ま せ ん。
８ 解 答 用 紙 の 解 答 欄 は， 裏 面 に も あ り ま す。
９ 調 査 時 間 は ， 45 分 間 で す 。
10 「 数 学 Ｂ 」 の 解 答 用 紙 に ， 組 ， 出 席 番 号 ， 性 別 を 記
入 し， マ ー ク 欄 を 黒 く 塗 り つ ぶ し て く だ さ い。問題は，次のページから始まります。

１

ひ ぐち いち よう

じょう わん こつ桃子さんは，樋口一葉のおよその身長が， 上 腕骨（肩とひじの間の骨）の長さから推定されたことを新聞記事で知り，その内容を下のようにまとめました。
桃子さんのまとめ一葉さんの身長は１４０cm 台
写真や絵から身長を算出できる
ひ ぐち いち よう明治時代に活躍した作家・樋 口 一 葉（1872 〜 1896）の 身 長 は 140 cm 台 だ っ た こ と を， 解 剖 学 と 郷 土 史 の写真研究者が明らかにした。
この研究者らは，樋口一葉の写真を分析し，一葉が身につけていた和服から，一葉の上腕骨の長さを突き止めたそうだ。
そして，男女の身長と上腕骨の長さとの関係から求めた，

樋口一葉

明治時代の頃の成人の身長を推定する式に当てはめて，（東京都台東区立一葉記念館蔵）一葉の身長を推定した。

桃子さんは，明治時代の頃の成人の身長について調べたところ，上腕骨の長さ（cm）から身長（cm）を推定する式があることが分かりました。そして，その式をおよその数を使って，下のように表しました。
男性の身長 ＝ 2.8 ×（上腕骨の長さ）＋ 73……

女性の身長 ＝ 2.5 ×（上腕骨の長さ）＋ 79……

上腕骨の長さ

上腕骨の長さ中数Ｂ−前ページの式を使って，次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 桃子さんは，一万円札の肖像になっている
ふくざわ ゆ きち

福沢諭吉の身長を調べることにしました。
じょう わん こつ

そこで，写真を分析して， 上 腕 骨 の長さを約３６cm と求めました。
こ の と き， 前 ペ ー ジ の

写真の 式 を 使 う と，福沢諭吉の身長は約何 cm と考えられますか。
下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

約１６４cm

イ約１６９cmウ約１７４cm

エ

約１７９cmオ

約１８４cm福沢諭吉（慶應義塾福沢研究センター蔵）（２）明治時代の成人の女性２人について，上腕骨の長さの差が４cm のとき，この２人の身長の差は何 cm と考えられますか。２人の身長の差を求めなさい。

上腕骨の長さの差

上腕骨の長さの差（３）明治時代の成人について，上腕骨の長さの差と身長の差の関係を考えます。
男性２人の上腕骨の長さの差と女性２人の上腕骨の長さの差が同じとき，男性２人の身長の差と女性２人の身長の差では，どちらが大きいと考えられますか。下のア，イの中から１つ選びなさい。また，選んだ理由を説明しなさい。
ア

男性２人の身長の差イ

女性２人の身長の差
中数Ｂ−

２

直樹さんは，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和がどんな数になるかを考えています。
２１ のとき２１+１２ ＝ ３３

33 ＝ 11 ×   3３５ のとき

３５+５３ ＝ ８８88 ＝ 11 ×   8４７ のとき

４７+７４ ＝１２１８２ のとき

121 ＝ 11 × 11
い つ で も 11 の 倍 数 にな る の か な。

上で調べたことから，直樹さんは，次のことを予想しました。
直樹さんの予想
２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は，11の倍数になる。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）上のに当てはまる式を書きなさい。

中数Ｂ−（２）直樹さんの予想が正しいことの説明を完成しなさい。
11 の倍数であることを説明するには，11 と自然数の積になることをいえばいいんだ。

説明

２けたの自然数の十の位の数を x，一の位の数を y とすると，２けたの自然数は，10 x ＋ y
十の位の数と一の位の数を入れかえた数は，10 y ＋ xと表される。
したがって，それらの和は，（10 x ＋ y ）＋（10 y ＋ x ）＝（３）直樹さんは，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は，どんな数になるかを考えてみたいと思い，いくつかの場合を調べました。
４１のとき

４１-１４＝２７５３のとき

５３-３５＝１８８２のとき

８２-２８＝５４⋮⋮

これらのことから，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差について，どのようなことが予想できますか。
前ページの直樹さんの予想のように，「は，…… になる。」という形で答えなさい。ただし，５５のように，十の位の数と一の位の数が等しい数は考えないことにします。
中数Ｂ−３

くぎ

文化祭でパネルを作ることになり，ベニヤ板と釘が必要になりました。
次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１）学校に保管してあった同じ種類のベニヤ板をたくさん用意しました。
そのベニヤ板の枚数を，次のようにして求めました。
１枚の厚さが４mm のベニヤ板を全部積み重ねて，厚さをはかった
ところ，約 60 cm ありました。

約 60 cm

60 ÷ 0.4 ＝ 150
したがって，ベニヤ板の枚数は約 150 枚です。

上のように，ベニヤ板１枚の厚さが分かっているとき，ベニヤ板の枚数を求めるために，次のような考えが使われています。
枚数を直接数えなくても，全体の求められるので，枚数を上のを調べれば全部の枚数がに置きかえて考える。には，同じことばが当てはまります。そのことばを書きなさい。

中数Ｂ−くぎ（２）同じ種類の釘をたくさん用意しました。

容器に同じ種類の釘がたくさん入っています。このとき，釘の本数を求めようと思います。
この容器から釘を取り出して，釘全体の重さをはかったところ，約４００g でした。

釘全体の重さが分かっているとき，釘の本数を求めるためには，何を調べて，どのような計算をすればよいですか。下のアからウの中から調べるものを１つ選びなさい。また，それを使って釘の本数を求める方法を説明しなさい。
ア

釘１本の長さイ

釘１本の重さウ

釘１本の太さ（３）同じものがたくさんあるときには，その総数を工夫して求めることができます。（１）や（２）の場合で，総数を求める方法に共通する考えを，下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

総数を直接数える。

イ

総数を厚さから求める。

ウ

総数を重さから求める。

エ

比例を利用する。

オ

反比例を利用する。
中数Ｂ−

４

拓也さんは，次の問題を考えています。
問題
下の図１のように，∠ＸＯＹの辺ＯＸと辺ＯＹ上に，ＯＡ＝ＯＢとなるように点Ａと点Ｂを，ＯＣ＝ＯＤとなるように点Ｃと点Ｄを，それぞれとります。
点Ａと点Ｄ，点Ｂと点Ｃをそれぞれ結ぶとき，ＡＤ＝ＢＣとなることを証明しなさい。

Ｘ

図１

ＡＣＯ

ＤＹＢ

拓也さんは，証明の方針を下のようなメモにまとめました。
拓也さんのメモ
１AD ＝ BC を証明するためには，AOD とBOC の合同を示せばよい。
図１の２AOD とBOC を見やすくするために，２つの図に分けて，仮定を表すと，下のようになる。
ＸＸ

Ａ

ＡＣＣＯ

３ＤＢ

２ をもとにすると，

ＹＯ

Ｄ

ＢＹ

AOD と BOC の合同が示せそうだ。

中数Ｂ−次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）拓也さんのメモの １ にあるように，ＡＤ＝ＢＣを証明するために，ＡＯＤとＢＯＣの合同を示せばよいのは，合同な図形のどのような性質からですか。下のアからエの中から１つ選びなさい。
ア

合同な図形の対応する辺の長さは等しい。

イ

合同な図形の対応する角の大きさは等しい。

ウ

合同な図形の周の長さは等しい。

エ

合同な図形の面積は等しい。

（２）前ページの問題で，ＡＤ＝ＢＣとなることを証明しなさい。

（３）拓也さんは，ＡＤ＝ＢＣを， ＡＯＤ≡
ＡＯＤ≡

ＢＯＣをもとにして証明しました。

ＢＯＣをもとにすると，前ページの問題の図形について，ＡＤ＝ＢＣ以外に新しいことが分かります。それを下のアからエの中から１つ選びなさい。
アＯＣ＝ＯＤイ

ＯＣ＝ＢＤウ∠ＯＡＤ＝∠ＯＢＣエ∠ＯＡＤ＝∠ＢＯＣ

中数Ｂ−５

里奈さんたちは，下のパンフレットを見ながら，８月に行く「富士五湖めぐり」と「富士山６合目登山」の計画を立てています。
富士山頂
3,776 m

富士山
ぐるっとマップ

９合目

3,550 m

登山道

下山道

８合目

富士山登山コース

3,350 m

６合目

2,500 m

５合目

2,305 m

吉田口

河口湖口

もと すこ

本栖湖

やまなか こ

山中湖

さい こ

西湖

富士五湖めぐりコース

しょう じこ精 進湖

かわぐち こ河口湖

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 富士五湖めぐりで，５つの湖のうち２つの湖で写真を撮影するとき，２つの湖の選び方は全部で何通りあるかを求めなさい。ただし，湖に行く順番は考えないものとします。

（２）里奈さんと憲一さんは，富士山の６合目の気温について話しています。
里奈さん「６合目の気温を調べようとしたけれど，６合目には観測所がないから，気温が分からないよ。
」
憲一さん「気温は，地上から１万 m ぐらいまでは，高さが高くなるのにともなって，ほぼ一定の割合で下がることが知られているよ。
」
里奈さん「そのことを利用すれば，６合目の気温は分かるかな。
」

下線部から，「地上から１万 m ぐらいまでは，高さが高くなるのにともなって，気温が一定の割合で下がる」と考えるとき，高さ x m の気温をy ℃とすると，x と y の間には，いつでもいえる関係があります。次ページのアからオの中から正しいものを１つ選びなさい。
中数Ｂ−アy は x に比例している。

イy は x に反比例している。

ウy は x の一次関数である。

エx と y の和は一定である。

オ

x と y の差は一定である。

（３）里奈さんは，富士山周辺と山頂の８月の平均気温を調べました。そして，
下 の 表 の よ う に ま と め， 高 さ（標高）x m のと き の 気 温 を y ℃とし て，グラフに表しました。
観測所の標高と 2007 年 8 月の平均気温
観 測 所

標高（m）

平均気温（℃） 観 測 所（気象庁調べ）

標高（m）

平均気温（℃）

Ａ（甲府）

273

27.7

Ｄ（河口湖）

860

23.3

Ｂ（勝沼）

394

26.7

Ｅ（山中）

992

21.7

Ｃ（古関）

552

24.9

Ｆ（富士山）

3775

6.4

標高と気温のグラフ（℃）y353025

A BCDE201510F

5Ｏ

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

x4000（m）

里奈さんは，「高さが高くなるのにともなって，気温が一定の割合で下がる」ことをもとに，表やグラフのＤとＦのデータを用いて，６合目のおよその気温を求めることにしました。
このとき，６合目（２５００m ）のおよその気温を求める方法を説明しなさい。ただし，実際に気温を求める必要はありません。

中数Ｂ−10これで，数学Ｂの問題は終わりです。

平成 20 年度

全国学力・学習状況調査

平成 20 年 4 月

文部科学省