待ち行列の応用アラカルトの容易さからランダムな到着分布であるPoisson分れました．応用分野の要求は待ち行列理論を発展させ，布が仮定されていましたが（例えば［4］），1970年代

その理論がまた新しい応用分野に適用されているのでになると，より現実的なモデル化を行うためいろいろす．

なバースト到着が考えられました．単位時間あたりの参考文献

到着台数が離散Markov連鎖をなすモデルの解析［3］や，車の群を直接モデル化するために，群のサイズを任意の分布，群の中の串の到着間隔を1，群の最後尾と次の群の先頭の車の到着間隔は幾何分布に従［1］Alfa，A．S．，and Neuts，M。F．：Modelling

Vehicular Traffic using the Discrete Time Mar−
kovian ArrivalProcess，TransPortation Sci，，Vol．29（199．5），pp．109−117．

うと仮定した研究［2］がそれです．すなわち，通信［2］Cowan，R．：AnImproved Modelfor Signalised

システムにおけるバースト性が話題になる10年以上もIntersections with Vehicle−Actuated Control■，］．

前に，同等な到着過程が考えられていたのです．

Aj坤g．伽∂．，Vol．15（1978），pp．384−396．

しかし，この後交通流におけるバースト到着の研究［3］Lehoczky，］．P．：TrafficIntersection Control

は，大きく進展しませんでした。これは，交通流のバand Zero−Switch Queues under Conditions of Mar−ースト性が通信網のそれと比べてあまり高くないのと，

kov Chain DependenceInput，］．AMl．Prob．，

交通流自体それほど重要な問題ではなかったからだと

Vol．9（1972），pp．382−395．
［4］parroch，J・N−，et al・：Queues for a Vehicle¶

想像されます．
最近，通信システムのバースト入力モデルとして考Actuated Traffic Light，Operations Research，Vol．12（1964），pp。882【895．

えだされたMAP（Markovian ArrivalProcess）を交差点モデルの到着分布に用いた論文［1］が発表さ
リたちは菓をサーバとみなした待ち行列をつくることになります．
さて，アリたちはどのようにして自分の荷物（其のハキリアリの収穫行動のモデル切端）の大きさを決めているのでしょう？一般に，アリが運ぶ実の切端はアリ自身よりはるかに重く，切端が重くなるほどそれを運ぶスピードは遅くなります．
実の切端の大きさと，アリがそれを切り取る時間や運三好 直人（京都大学）

ぶスピードとの関係を調べた実験により，実際の収穫活動で運んでいる切端の大きさは，個々のアリの作業少し変わった待ち行列の応用として，昆虫の社会的行動の説明に用いられた例を紹介しましょう。

ハキリアリ（A肋spp．）というアリ科の昆虫の収効率を最大にする大きさよりずっと小さいことが報告されています［1］．収穫を集団の協力行動ととらえると，自分勝手に大きな切端を切り取ろうとして仲間が穫行動は，沢山のアリが1枚の菓から少しずつ切端を作業に取り掛かるのを遅らせるよりも，個々の作業時切り取って運ぶ集団行動であるという点で，個々がば間を短くすることによって，1匹当たりの荷物は小さらばらに動き回って食糧を集めて来るミツパテなど他くなっても，単位時間当たりに作業に取り掛かるアリの多くの昆虫のそれとは大きく異なります．さらに，の数を増やして，群れとして効率の良い収穫を行って複数のアリが同時に別々の菓に取り掛かったり，大勢いるのではないかと考えられます．

が1枚の実のいろいろなところから切り始めたりする

アリは半円の弧を切り，半円形の切端を得ると仮定のではなく，大抵の場／合は，同じ菓の前の者が切り取しましょう．すると，切り取りにかかる時間fと得らった跡から切り始めるので，仲間たちは前の者が去っれた切端の重さ〟との関係は，〟＝∂（cわ2／（2方）と表た後でないと作業に取り掛かれません．こうして，アされます．ただし，∂は菓の密度，Cはアリが菓を切

1998年5 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（33）28丁

数理情報科学シか蝕ズ柑∴∴− い‥− ． 、る速度ですし、また9 実験の分析結果に従ってワ ァリの大きさヱと切端の蚕さ脚との関係をノ紺＝α∬わ，速度c
平松豊瑚署／鋸錮燕吊酬鋸▲別洞門との関係をc＝Cユ十c2L二打と仮定します甜 このパラメ、m

現在、J斯学で最も注潤されている相互法則につい夕の組（吼机 を んれ切り取り政策ツワ と呼ぶことにしまて例を中心に解説した入門書。古典的数論から説き起し、／＼ツケの党旗からの数論入門へと導く。

し／よつ∴ このとき？アリの大きさとサービス時間（切端を境川取るのにかかる時間）との関係は，ラングランズの哲学、Ⅲ。Jr．S。スミスに焦ノぜ丈を当てた数論小敵等々、興味ある話題豊富。
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汀か】云−「二〔㌫吉−甘−ノ済済鹿、・と■なります・・∴㍍

さらに＜，1つの群れが同時に収穫に取り掛かる実の数は」ス経であると仮定しチアリたちは常に僚簡康箪著〆済渕町再剛齢瀞駅臍

行列をつくっていてブ どれか1つのサーーーバ（菓）が空

mC膚／V■こと−叫ザを対象にⅤ五sl皿訊1迅asic50プログラ

くとすぐに作業に取り掛かるものとします。

ミングの実際を解説した初学者向き入門書。例題と演習を豊富に配し、例題で学んだ内容を演習を以上の仮定のもとで9 アリの大きさの分布の密度関適1して再確認後、h さらに応用へと尊く構成をとる。

数をバズ）とするとソ サ、・…−ビス率（単位時間当たりに4．0〜：：の比戦場示、す。

1．枚の葉から作業を終えて去るアリの数の咋均）はこ、・‥・ 十一十・キ〜．−‥・−・〃二（J冒f（て貰b）在幻ゐ）一∃によって求めることができます。

観測結果から9 ∂，C∠（よ−＝1p2）の値とアリの大きさ

鞠凝ほ鮎敵／偶感削月齢剛誹跳脛
経繍√経営系学生を対象に、コンビュ・−・】・タのアルの分布イ（∬）を推定し9 単位時間当たりに得られる実ゴリズムに関する基本的な内容をやさしく解説しの切端の総量を最大にする切り取り政策（吼ゐ）を求た教科書。扱うテトh一肝・リマは数理的にならないよう配めたところメ アリたちが実際に運んでいる切端の大き慮するとと：もに、、アルゴリズ1ムの記述にはフローーー〈卜を中心に展開。Cプログラム付。
●

チャh−…ていることが報告されています［2］。はたしてヲ ハキ、∴∴・リアリの収穫行動は9 群れ全備の効率を考慮して切端−＄■1ぎ 憤激ム一風院議．るお諷蕾鮎思考−…M・− − −■一●−ヽ

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●
拳考文献

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システムダイナミックスとパソコンを導入し、営一−経済システムに関する基礎的概念を学習するための教科書。巻末に添付したSDソフトSlγ更三L臥＿Aのデモ版を使／つて、画面のモデルを操作しながら具体的に学瞥珊軋

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払閥兢裏，Vd．。148（1−996），pp】597−−−612。

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岡野道治ほか著／風慧輝明や本体芝9均⑳の悶／矧紗柑
高校や大学教育にシステム的思考を導入する必要性が強く叫ばれている今凱 本書は、著者たちがSⅧゝ鑑三′LAを利用したシステム的思考教育を試みた経験をもとにまとめた意欲的教科書。物躍、化学、生物の基礎から二王‥学的諸問題まで。
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