2024 年度

一般入学試験

数
注Ⅰ

意事

後期日程

学（試験時間60 分）

項

１

試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。

２

この問題冊子は，25 ページあります。出題科目，ページ及び選択方法は，下表のとおりです。
出

３題

科目

ペ ー ジ

数学①

数学Ⅰ・数学Ａ

3 ～ 13

数学②

数学Ⅰ・数学Ａ
数学Ⅱ・数学Ｂ

15 ～ 25

選択

方法

数学①もしくは数学②のどちらか１科目を選択して解答しなさい。
ただし，教育学部学校教育課程を志 願し，文 系 型で数学を受 験する者は数学①を，理系型で数学を受験する者は数学②を必ず受験すること。

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁及び解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に知らせなさい。
解答用紙には解答欄以外に次の記入欄があるので，それぞれ正しく記入し，マー４クしなさい。
試験コード欄・座席番号欄①

試験コード・座席番号（数字）を記入し，さらにその下のマーク欄にマークしなさい。正しくマークされていない場合は，採点できないことがあります。
氏名欄②

氏名・フリガナを記入しなさい。
解答科目欄

③

解答する科目を一つ選び，科目名の右のにマークしなさい。マークされていない場合又は複数の科目にマークされている場合は，０点となります。
５

問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離してはいけません。

６

試験終了後，問題冊子は持ち帰りなさい。

裏表紙へ続く，裏表紙も必ず読むこと。
─ 1 ─

解答上の注意Ⅱ
１

解答は，解答用紙の問題番号に対応した解答欄にマークしなさい。

２

問題の文中のア， イウなどには，符号（－，±）又は数字（０～９）

が入ります。ア，イ，ウ，…の一つ一つは，これらのいずれか一つに対応します。
それらを解答用紙のア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。
例３

アイウ に－35 と答えたいとき
ア           イ           ウ           

分数形で解答する場合，分数の符号は分子につけ，分母につけてはいけません。
例えば，エオに － 2 と答えたいときは， －2 として答えなさい。
33カ

また，それ以上約分できない形で答えなさい。
12
例えば， と答えるところを， のように答えてはいけません。
24
４ 小数の形で解答する場合，指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えなさい。また，必要に応じて，指定された桁までにマークしなさい。
例えば，
５

キ． クケに 4.5 と答えたいときは，4.50 として答えなさい。

根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
例えば，

コサに 6 2 と答えるところを，3 8 のように答えてはいけません。
６

根号を含む分数形で解答する場合，例えばシ問題の文中の二重四角で表記されたタス
ソ

1+2 22+4 22+2と答えるところを，や366せん。
７+セに8 のように答えてはいけまなどには，選択肢から一つを選んで，答えなさい。
８同一の問題文中にチツ， テ２度目以降は， チツ，テなどが２度以上現れる場合，原則として，のように細字で表記します。

数学①〔数学Ⅰ・数学Ａ〕

数学①もしくは数学②のどちらか１科目を選択して解答しなさい。
教育学部 学校教育課程を志願し，文系型で数学を受験する者は数学①を，理系型で数学を受験する者は数学②を必ず受験すること。
解答用紙の解答科目欄に解答する科目を必ずマークすること。

─ 3 ─

数学①〔数学Ⅰ・数学Ａ〕
第1問
⑴

次のア|2


⑵に当てはまるものを，下の～のうちから一つ選べ。
3 - 7| + | 3 - 1|=



3 3 -83 -6ア

- 3 +6

-3 3 + 8a，b，c を実数の定数（a ≠ 0）とする。放物線 y = ax 2 + bx + c が 3 点((3，17)， -1，-a=)13，(0，-5) を通るとき
3イ，b =ウエ，c =である。

─ 4 ─オカ

数学①⑶次のキ，クに当てはまるものを，下の～のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
ⅰ

正の整数 m，n について，m 2 n が 8 の倍数であることは，mn が 4 の倍数であるためのⅱ

キ。

x を 4 1 x 1 10 を満たす実数とし，△ABC の 3 辺の長さを 3，7，x とする。4 1 x 1 2 10 で あ る こ と は，△ABC が 鈍 角 三 角 形 で あ る た め のク。



必要十分条件である



必要条件であるが，十分条件ではない

十分条件であるが，必要条件ではない



必要条件でも十分条件でもない

─ 5 ─

数学①
けた

⑷

1，2，3，4，5，6，7 の 7 個の数字をそれぞれ 1 回ずつ用いて，7 桁の整数をつくる。
ケコサⅰ

数字 1，2 が隣り合い，かつ数字 3，4 が隣り合う整数はⅱ

数字 1，2 が隣り合い，かつ数字 5，6 が隣り合わない整数は個ある。
シスセ個ある。

⑸

すべての辺の長さが 4 の四角錐 OABCD がある。頂点 O から面 ABCD に垂線 OH を下ろす。
ⅰ

OH の長さはⅱ

直線 OH を軸として四角錐 OABCD を回転させるとき，△OAB（内部をソタである。

含む）が通過してできる立体の体積は─ 6 ─ツチテr である。

数学①（下書き用

数学①の試験問題は次に続く。

─ 7 ─紙）数学①

第2問△ABC において，AB = 5，BC = 9，CA = 6 とする。△ABC の外接円を K とし，円 K の点 A を含まない弧 BC 上に，点 D を弦 BD と弦 CD の長さの比が 3：2となるようにとる。

⑴△ABC において余弦定理より，cos∠BAC =弦定理より，円 K の半径はカエオ
キケカコである。

─ 8 ─ウである。また，正である。

さらに，△BCD に余弦定理を用いると，BD =sin∠BCD =アイクを得る。これより，

数学①⑵

線分 CD の D を越える延長上に，DE = 3 を満たす点 E をとる。また，直線 BE と円 K の交点のうち，点 B と異なるものを F とする。このとき
BE =サであり，△CEF の面積はシ，EF =チソタツス

シセである。

さらに，直線 BD と直線 CF の交点を G とするとBG =テトナニである。

─ 9 ─

数学①

第3問
正四面体 ABCD の四つの頂点間を移動する点 P がある。点 P は時刻 0 秒に頂点 A にあるとする。その後，点 P は 1 秒ごとにその時点での頂点以外の三つの頂点にそれぞれ⑴11の確率で移動し， の確率でその時点での頂点にとどまる。
62

時刻 1 秒に点 P が頂点 A または頂点 B にある確率は

時刻 2 秒に点 P が頂点 A にある確率はは⑵オカウエアイである。また，であり，頂点 B にある確率である。

時 刻 0 秒 か ら 3 秒 ま で の 間 に， 点 P が 一 度 も 頂 点 B に な い 確 率 は
キクケ
コサシである。また，時刻 3 秒に点 P が頂点 A にある確率はである。

─ 10 ─スセソ数学①⑶正四面体 ABCD の頂点間を移動するもう一つの点を Q とする。点 Q は時刻 0 秒に頂点 B にあり，点 P と同様に 1 秒ごとに他の三つの頂点に率で移動し，1の確61の確率でその時点での頂点にとどまる。また，2 点 P，Q が2同じ頂点にある状態を「2 点 P，Q が重なっている」ということにする。
タⅰ

時刻 1 秒に 2 点 P，Q が重なっている確率はⅱ

時刻 2 秒に 2 点 P，Q が重なっている確率はⅲ

時刻 2 秒に 2 点 P，Q が重なっているとき，時刻 1 秒でも 2 点 P，Q が重なっていた条件付き確率はニヌネ─ 11 ─である。

チツテトナである。

である。

数学①第4問
x の関数 f (x) をf (x) = 2x 2 - 4x + 5と定める。

⑴

k を実数の定数とし，x の方程式
x + k = f (x)……

①を考える。①がただ一つの実数解をもつとき，k =アイウである。

①の実数解の個数は，放物線 y = f (x) と直線 y = x + k の共有点の個数と一致する。したがって，k =アイウのとき，放物線 y = f (x) と直線 y = x + kはただ一つの共有点をもつ，すなわち接していることがわかる。
エ

また，このとき①の実数解は x =直線 y = x + k の接点の座標は(オエオ

─ 12 ─，であるから，放物線 y = f (x) とカキク)である。

数学①⑵放物線 y = f (x) と直線 y = x + 6 の二つの共有点を A，B とし，それらの x座標をそれぞれ a，b（a 1 b）とする。このとき
ケコ
b-a=サである。
また，放物線 y = f (x) 上を点 P が点 A から点 B まで動くとすると，△ABPの面積が最大となるのは点 P の x 座標が面積は⑶

セソ

ケコ
タチ

t を正の定数とし，-t -シとなるときで，このときのスである。

1 E E
1x
2t における f (x) の最大値，最小値22をそれぞれ M，m とする。
f (x) = 2(x - 1) 2 + 3と変形できることから，m = 4 となるのは t =あり，M = 8 となるのは t =-ナ+ネ─ 13 ─ツニヌ-テトのときである。のときで