土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.

底面流速解法による連続する水没水制群を有する流れと河床変動の解析
内田 龍彦1・福岡 捷二2
1正会員

中央大学研究開発機構准教授（〒112-8551 東京都文京区春日1-13-27）
E-mail: utida@tamacc.chuo-u.ac.jp
2フェロー 中央大学理工学部特任教授，研究開発機構教授（同上）E-mail: sfuku@tamacc.chuo-u.ac.jp

本研究では，連続する水制群を有する水路の底面流速と河床変動解析法を検討している．底面流速解法
では，構造物前面の馬蹄形渦や水没構造物背後の剥離渦を伴う複雑な流れによる河床変動解析を効率的に行うため，水深積分渦度方程式と水表面流速の運動方程式を解くことによって底面流速を半直接的に求める．水没水制が周囲の渦度分布に与える影響について，前面では渦度の鉛直分布を考慮した渦度フラック
スの評価法，背面では剥離による横断方向渦度の供給量の評価法を検討した．また，水没水制群を有する
河床変動解析のために，非平衡流砂量と底面近傍流速を用いた底面せん断力，掃流力の評価方法を検討した．本解析結果と実験結果と比較し，本解析法は水没水制群を有する水路の底面流速場と河床変動特性を説明できることを明らかにした．

Key Words : bottom velocity computation (BVC) method, horizontal vorticity, water-surface velocity,
depth-integrated model, non-equilibrium sediment transport, local scour, submerged groin

1. 序論

本研究では後述するように他の水深積分解析法と区別するため，運動方程式から導かれる流速鉛直分布に関する
水制は，湾曲・蛇行部外岸などの水衝部の洗掘・河岸
方程式を解く水深積分解析法を準三次元解法と呼ぶこと
侵食対策，舟運路の確保，高水敷の形成などを目的としにする）．また，福岡ら2)は準三次元解析法が現地の河て古くから設置されてきた1)．近年では，水制周辺に生床変動対策工の設計検討に有効な手段となることを示している．しかし，静水圧分布の近似を用いた解析法であじる複雑な流れと河床形状が水際の多様な生物環境場をるため，衝突流による構造物前面の下降流等の圧力の非創出する役割も着目されてきている1)．一方，水制工の平衡性に起因する流れ等が表現できず，局所洗掘深が小設置は，河道内の流れと河床変動を変化させるため，そさく見積もられる等の課題が報告されている6)．また，の上下流に新たな水衝部などを生じさせる問題も指摘されている2)．このため，水制工を設置する際には，水制
河床勾配の急変部や水没構造物背後の剥離を考慮することが困難であり，剥離による底面流速の低下と流下に伴周辺の局所的な変化だけでなく，水制による河道スケー
う回復を十分表現できない．このため，河川構造物周辺
ルの流れと河床形状の変化を明らかにする必要がある．
の局所洗掘まで表現しようとする場合，静水圧分布の仮水制前面に生じる局所洗掘は，橋脚前面や護岸水衝部
定を用いずに流速鉛直分布を評価する必要があると考え等と同様に，馬蹄形渦によって生じる代表的な局所洗掘られる．
問題であり，古くから多くの研究がなされてきた3)．水
非越流型水制周辺の局所洗掘については，馬蹄形渦の制を含む流れと河床変動に関する実用的な数値解法に関4)
発生要因である水制前面の鉛直圧力分布の非平衡性によする研究としては，例えば，崇田・清水 は2次元数値解
る下降流を再現できる非静水圧分布の流れの三次元数値
析法による水深平均の流速解から流速鉛直分布を求める
解析法によって，説明しようとされている7),8)．馬蹄形渦方法を提案し，非越流型単一水制周りの流れに適用している．福岡ら5),6)は静水圧分布の近似を用いた準三次元解による類似の洗掘問題である橋脚前面についても，同様に非静水圧分布の流れの三次元数値解析法によって説明
析法による水没型水制周辺の流れと河床変動解析法を検討している（準三次元解法の定義は論文により異なるが， できることが報告されている8)~11)．これらの研究では，

16三次元解析法

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ものと同様であるが，本研究では，新たに水没構造物や長時間かつ広域の構造物周りの河床変動を取り扱うため，改良している．

三次元解析法
静水圧分布の仮定

静水圧三次元解析法
流速鉛直分布の仮定(関数近似)(静水圧)
準三次元解析法 5),6),22)~24)(非静水圧)
準三次元解析法 14),15),25)~32)2.

基礎方程式の単純化

既往の水深積分解析法と底面流速解法の特徴

水深積分解析法

(1) 既往の水深積分解析法
前述のように，洪水流及び洪水時の河床変動解析には，三次元解析法の適用は実用上困難であり，得られるもの
流速鉛直分布項を省略
も労力の割には高くないため，流速鉛直分布を考慮に入平面二次元解析法
れた水深積分解析法の改良が行われている．改良水深積
分解析法は，基礎方程式の導出の面から図-1 に示すよ
図-1 水深積分解析法の種類
うに区分される．遠心力二次流については，湾曲・蛇行流路を対象として多くの解析法が開発されてきた 16)~21)．
単一構造物周辺の局所洗掘が対象とされている．連続し西 本 ら 17) は ， 流 線 曲 率 に よ っ て 生 じ る 二 次 流 をて配置される水制群の数値解析としては，川口ら12)は三Engelund16)の平衡状態の湾曲二次流強度式を用いて評価
次元数値解析により設置角度の異なる一連の水没型水制し，蛇行水路の河床変動解析を行っている．現在までに群に作用する流体力分布を再現している．また，Macoy
二次流を考慮した解析法では，蛇行流路における二次ら13)は連続する非水没水制群を有する流れ，乱れ構造に流の発達・減衰を考慮するための非平衡の二次流解析
ついて，LESを用いて調べている．このように，三次元法 18),19)，さらに急な湾曲部などを対象として主流方向の数値解析法は河川構造物周りの複雑な流れ場を明らかに流速分布と二次流の相互作用を考慮できる解析法 20),21)なするツールとして，有力な手法となりつつある．しかし，どの改良が行われている．一方，より一般的に流速鉛直
現状では，著者らの知る限り，連続する水没水制群を有分布を評価する方法として，流速鉛直分布に関する方程する水路の長時間の河床変動解析を流れの三次元数値解
式を解く方法 5),6),22)~24)が提案されている（本論文では，
析法を用いて行った研究例はなく，三次元解析法を用い二次流を考慮した解析法と区別するため，このような解た河床変動計算は時空間的に小さなスケールの計算に限析手法を準三次元解析法と定義している）．流速鉛直分られている．この理由は，三次元解析法では，鉛直方向
布に関する方程式は，流速鉛直分布関数を仮定し，静水に計算格子を設けることに加え，圧力に関するポアソン
圧分布を仮定した運動方程式から，重み付残差法により方程式を解く必要があるため，計算負荷が二次元解析法
導かれている 5),6),22)~24)．以上の水深積分解析法は，図-1に比べて著しく大きくなることが挙げられる．さらに，に示すように静水圧分布の三次元基礎方程式を目的に応洪水流計算のように，水深の場所的，時間的変化が大きじて効率的に解く解析法である．これらは，静水圧分布
く，計算領域の水域と陸域の境界が変化する場において，に基づく解析法であるため，前述のように構造物周辺の三次元計算では一般に水面や河床の境界条件を適切に取複雑な流れを再現することは困難である．
り扱うことが困難となる．このため，三次元解析法は河Ghamry & Steffler25),26)は，鉛直方向の分布について，水川洪水流やそれによる河床変動解析には，計算負荷，計
平方向流速を直線，鉛直方向流速と圧力を二次曲線と仮算技術の両面からその適用性に困難を伴う．この課題を定し，連続式と各方向の運動方程式について水深積分と解決するための一つの手段としては，実用性の高い水深
モーメント積分により得られる基礎方程式系から成る非積分解析法を改良し局所洗掘解析を可能にすることであ
静水圧分布の準三次元解析法を提案している．Ghamryる．
& Steffler25),26)の非静水圧分布の準三次元解析法は，水路内田・福岡14)は，圧力の鉛直分布を仮定せずに流速鉛
漸縮部 25)や湾曲部 26)などにおいて適用され，実験の流速直分布を評価するために，渦度方程式を用いた準三次元
鉛直分布の特徴が説明できることが示されているが，構解析法を提案した．本研究では，この手法を応用し，河造物周辺等の複雑な流れ場への適用性や局所洗掘解析へ
川構造物周辺の複雑な流れと河床変動を解析するためのの応用性については検討されていない．内田・福岡 14),15)
底面流速解法を構築する．そして，既往の水没水制群をは，水平方向の渦度方程式を用いて鉛直方向の流速分布有する流れと河床変動に関する実験6)に適用し，本解析を決定する準三次元解析法を提案し，合流による主流路法の妥当性を検証する．底面流速解法の枠組みは，内と支流路の三次元構造や橋脚周辺の馬蹄形渦を表現でき
田・福岡15)が橋脚周辺の局所洗掘解析を対象に構築したることを示している．また，この手法は，一般座標系に二次流を考慮した解析法(平衡 17), 非平衡 18),19), 主流速鉛直分布の再分配 20),21))17

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z

変換され，洪水流による河床変動解析にも応用されている 27)~32)．この準三次元解法の特徴は，従来の準三次元解法 5),6),22)~26)では各方向の運動方程式から重み付残差法により流速鉛直分布に関する方程式を求めているのに対して，二つの方向の運動方程式を用いて圧力項を消去した
渦度方程式を水深積分して流速鉛直分布に関する方程式を求めている点である．渦度方程式の導入は，湾曲や蛇行流路の二次流を表現するための常套手段のひとつであり，例えば二次流の発達・減衰を評価する方程式としてもよく用いられる 18),19)．しかし，二次流の縦断方向の変化を評価するために単純化された流下方向の渦度方程式が用いられており，渦の伸縮・回転を考慮しようとしたものではない．渦の伸縮・回転のある三次元流れを表現するためには，水深平均流速場の基礎方程式に加えて，水平な二方向の渦度方程式を連立して解く必要がある．

zs

Ux

Flow
k

Psy

ubx

y

Pby

h

u x

zb

u x   y h

zbx

図-2 渦度を用いた底面流速解法

ubx  usx   y h(2)

ここに，usx：x方向の水表面流速である．流速鉛直分布
形を渦度の水深積分値のみから決定する場合14)，水表面
流速は流速鉛直分布関数に依存することになるため，河床勾配が急変する箇所などの複雑な流速鉛直分布を有す
る場合は，底面流速が適切に評価できないと考えられる．
本解析では，水表面流速usxを解くことにより，式(2)から，渦度の水深積分値yhを用いて半直接的に底面流速ubxを評価する．
図-2に渦度を用いた底面流速解法を示す．底面流速は，渦度の水深積分値と水表面流速から求まるが，渦度の水深積分値の輸送を考慮するためには，水深平均流速場が必要である．さらに，流速鉛直分布が場所ごとに異なることから，乱れの非平衡性を考慮する必要があると考えられる．このため，底面流速解法の基礎方程式は，水表
面流速の運動方程式，水深積分された運動方程式，連続式，乱れエネルギーの輸送方程式，および渦度方程式で構成される．

(2) 渦度を用いた底面流速解法の枠組み
河床変動解析を行うためには，河床近傍の底面流速の分布を適切に評価することが重要となる．ここでは，河床高が急変する場における渦度方程式を用いた底面流速の半直接的な解析法を検討する．図-2のような河床勾配が急変する段落ち直下では，河床勾配急変部で剥離が生じ，底面近傍に逆流を伴う流速鉛直分布となることが知られている．底面より僅かに上の面(z=zb，zb/h<<1)を底面とし，渦度yを底面から水面まで積分した渦度の水深
積分値yhは，水表面流速usxと底面流速ubxの差uxと鉛直方向流速の水深積分値Whの場所的変化を用いて式(1)で表わされる．

 y h  u x  Wh / x

usx

zs

(1)

ここで，流れの水平方向スケールL0，鉛直方向スケールh0とすると，連続式から，水平方向流速U0に対する鉛直方向流速W0の比W0/U0はh0/L0に比例する．このため，式(1)の右辺第一項に対する第二項の比は(h0/L0)2に比例し，(3) 底面流速解法の特徴
浅い流れにおいて，式(1)の右辺第二項は省略できる．
本解析法の計算負荷を検討するため，基礎方程式の数
また，この仮定による誤差は，後述する水深平均の流速を種々の解析法で比較する．底面流速解法の基礎方程式
や渦度の基礎方程式において，二次の相関項に含まれるには，平面二次元解析法と比べると，水表面流速の運動ことから，流れや渦度の解析結果に与える影響は小さい
方程式と水深積分された渦度方程式が付加されている．
と考えられる．また，式(1)の第二項の省略には，以下の実用的理由もある．連続式と式(1)を連立して解けば， これらを運動方程式と見なすと，解く運動方程式の数は，従来の静水圧準三次元解析法5),6),22)~24)において2次モード
鉛直方向流速の場所的変化を考慮して渦度の水深積分値まで考慮に入れた場合と同数である．Ghamry & Steffから水面と底面流速の差を求めることができる．また，
ler25),26)の非静水圧準三次元解法では鉛直方向流速の方程
水深平均流速の非静水圧分布の項は，水深平均鉛直方向式が必要であるため，1次モードの場合と同数である．
流速の方程式などを用いれば評価可能と考えられる．ししかし，鉛直方向流速と圧力の非静水圧成分を解くため
かし，これらの方程式を加えた基礎方程式群を陽的に解に，基礎方程式群を陽的に解くことが困難であり，本解析することは困難と考えられる．以上の理由により，本析法と比較して計算負荷は大きいと考えられる．非静水研究では式(1)の右辺第二項を省略し，底面流速ubx を式
圧三次元解析法と比べると，底面流速解法は，運動方程(2)で表わす．

18

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式の数が鉛直方向に2分割する場合と3分割する場合の間u(4)u 'i  i 1  3 2であり，圧力のポアソン方程式のような繰り返し計算を
3
このとき，ui=uiであり，水表面流速を他の流速成分必要とする方程式を有さないため，計算負荷は著しく小
さい．以上より，底面流速解法は従来の静水圧準三次元(Ui ,uiui)を用いて表すと，平衡状態の水表面流速usei =Ui5),6),22)~24)
解析法と同程度の計算負荷で底面流速を半直接的+(uiui)/2が得られる．式(4)を用いて，せん断応力ziをに評価するものであり，効率的な河床変動解析を可能とブジネスク近似で表現すると式(5)が得られる．
du' zi  bi
2vui
すると考えられる．
(5)
 v i 5),6),22)~26)dzh
底面流速解法では，従来の準三次元解析法と同様に運動方程式から複数の基礎方程式を導くため，三次
ここに，：水の密度，bi：底面せん断応力のi方向成分，
元解析と比べて解く方程式の種類は多くなる．しかし，
v：分子動粘性係数vmと渦動粘性係数vtの和である．底面
本解析法に用いる水深積分渦度方程式，水表面流速の運
せん断応力は，水深平均流速，底面流速を用いて，式
動方程式は，重み付き残差法等で導かれる方程式と比べ(6)で表わす．
ると，未知量や各項の物理的意味が明白で理解しやすい(6) bi  C0 2U iU  cb 2ubi ub
ため，構造物周辺のモデル化などがしやすいと考えられここに，U 2=UiUi，ub2=ubiubi である．したがって，等流る．
底面流速解法の仮定は，式(2)による底面流速の評価
状態におけるui は式(7)で与えられる．
法と，式(2)に用いる渦度の水深積分値と水表面流速の
h
h
2
(7)
ui  C0 2U iU cb ubiub
解析法に分けられる．前者については，前節に述べたよ
2v
2v
うに，河川流などの浅い流れ場全体において成立するが， v に対数分布則の水深平均の渦動粘性係数値 vt=u*h
局所洗掘を伴う河川構造物近傍においては局所的に式（=/6，：カルマン定数，u*：摩擦速度）を用い，式(1)の右辺第二項が無視できない場合があると考えられ(5)を式(4)に代入すれば Engelund16)の流速分布式が得られる．この仮定の影響については，5 章の実験結果の比較
る．このとき，cb は，C0 と以下の関係にある．このため，で検証する．後者は，具体的には水表面近傍の薄い層に
本論文では等流状態において cb が式(8)で表わされる位作用するせん断応力，渦度と流速鉛直分布の二次の相関
置に底面 zb を想定している．
項及び底面の薄い層からの渦度の供給量の評価法である．
(8)cb  C 0 / 1  2C 0 /  
次章に述べるように，これらについては，流速の三次曲線分布，渦度の直線分布の仮定に基づいて評価している． C0は水深平均流速の抵抗則を用いて評価できる．マニン
グの粗度係数を用いてC0を表わしている．



C0  gn 2 / h1/ 323. 底面流速解法(9)(2) 基礎方程式(1) 流速鉛直分布と底面せん断力の評価方法
a) 水表面流速
図-2 に示すように，non-slip 条件が課される面より僅
水面直下の極薄い層zsを考え，水面の曲率を無視すれ
かに上の面(z=zb，zb/h<<1)を底面とし，それより上の流速鉛直分布を考える．ここでは，等流状態や図-2 に示
ば，水表面の運動学的境界条件と力学的境界条件を用いす段落ち背後の剥離流れを表現する単純な関数である 3て，式(10)の水表面流速の運動方程式が得られる．
次多項式で流速鉛直分布を近似する．水深平均流速 Ui，
z
u si
u
(10)
 u sj si   g s  Psi
水表面流速 usi，底面流速 ubi，及び水面における流速鉛
t
x j
xi
直勾配がゼロの条件を課せば，水深平均流速 Ui からの
ここに，Psiは水表面流速の生産項であり，水面直下の極偏差成分 u'i の式(3)が得られる．
薄い層zsの下面に作用するi方向のせん断応力を密度で
u 'i  ui  U i  ui 12 3  12 2  1  ui 4 3  3 2 (3)割ったものである．このせん断応力をブジネスク近似で
ここに，i,j=1,2（x,y方向），ui：i方向流速，Ui：i方向水表現し，式(3)の流速分布を用いて整理すると，式(11)が得られる．
深平均流速，ui=usi Ui，ui=usi ubi，usi：水面流速，ubi：底面流速，zsz)/h，zs：水位，h：水深，である．
2v(11)
Psi  2t 12C ps usei  usi   3ui  6ui 
等流状態について考察する．対数分布は概ね2次曲線h
ここで，式(11)の導出の際には，水表面近傍の渦動粘性で近似できる16)ことから，本研究では，等流状態におい係数 vt が水深平均渦動粘性係数に比例するとし，等流状て流速の鉛直分布をuiを用いて式(4)の2次曲線で表す．











19



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態において usi=usei(=Ui +(uiui)/2)となるように比例係数を定めている．Cps は係数（Cps=3）であり，水表面流速の計算を安定させるために導入している．
b) 水深平均流速の運動方程式と連続式
水深平均流速の運動方程式と連続式を以下に示す．
なお，本解析法は，デカルト座標系で任意の境界形状を考慮するため，流体占有率が考慮されたものとなっている 33)が，本研究ではが重要でないため，基礎方程式から省略して表記する．

h U j h

0
t
x j

h ijU i h U iU j hz f  g s  0i  i 
ht
hx j
xi h h hx j

れることが多い 34)~37)．本研究では鉛直方向の流速分布を考慮するために以下に示すように評価する．生成項 Pk
は，鉛直方向流速を無視した三次元場のひずみ速度テ
ンソルの大きさを水面と河床高の場所的変化が小さい
として，近似的に水深積分した式(17)で評価する．

Pk
13
4
3


 2 S 2  S 2  SijSij  S 2 
vt
35
35
35

 (17)
(13)

ui   ij 3 j h



(18)

ここに，ij3：エディトンのイプシロン（123= 213 =1,
113= 223 =0），j：j 方向の水深平均渦度である． 水深平均渦度i は，水平方向の渦度方程式を水深積分した式(19)で記述される．

ここに，Sij：水深平均流速 Ui のひずみ速度テンソルである．また，上付きのバーは水深平均を表し，式(14)の右辺第 2 項は，式(3)を用いて水深積分した式(15)で計算す
る．

132
ui u j  ( uiu j  u j ui )
35
35

3
 uiu j35

hDiji h ERi  P i tx jui ' u j ' (19)

ここに，ER は水面と底面に垂直な渦の回転，Dij は水平方向の移流，回転・伸縮，分散，乱流混合による渦度のフラックスであり，それぞれ式(20),(21)で表現される．なお，発散型の渦度方程式では伸縮項は，水深平均成分が渦度方向の移流項と，二次の相関項が分散項とそれぞれ打ち消し合う．

c) 水深平均乱れエネルギーの輸送方程式
多くの二次元浅水流解析法では，渦動粘性係数 vt には対数分布則の場合の水深平均値が用いられている（ゼロ方程式モデル）．しかし，鉛直方向の流速分布の変形がある場合には，乱れエネルギーの生産が場所ごとに異なるため，ゼロ方程式モデルは十分でないと考えられる．本研究では，二次元浅水流方程式を用いた乱流解析によく用いられている以下の 1 方程式モデル 34)~37)を導入する．

kk 1   vh k   Pk  
U j

t
x j h xi   k xi 

ここに，S 2=SijSij，S 2=SijSij，S 2=SijSij，u2=uiui，
u2 =uiui，Sij：ui に関する水平方向ひずみ速度テンソ
ルである．式(3)の流速鉛直分布を積分すれば Ch=3 が得られるが，本研究では平衡状態において通常のゼロ方程式モデル vte=cbubh ，  と等価となるように，
Ch=9(C')4 / C3 を用いる．
d) 水深平均渦度方程式
前述のように浅い流れにおいては，水深平均鉛直方
向流速の場所的変化は小さく，水面と底面の流速差ui
は水深平均渦度i から式(18)で表わされる．

(12)

ここに，0i ：底面せん断応力，fi：i 方向の流体力項，
ij：水平応力テンソルである．fi は後述するように式(29)で表わす．ij は乱流混合及び水深平均流速からの偏差成分による運動量交換の水深平均値であり，式(14)で表わす．

 ij  2  t Sij   ui ' u j '

4Ch8u 2  7uiui  2u 2
5h 2

ERi  usis  ubib(20)

Dij  U j i  U i  j   ' j u 'i   'i u ' j


(16)

(21)

vt i  x j

ここに，s,bはそれぞれ usi, ubi の回転で評価する．渦度と流速鉛直分布に関する二次相関項は，渦度の鉛直分
布を直線近似し，積分した式(22)で評価する．

ここに，vt=Ck2/，Ckである．乱れスケールとモデル定数は，灘岡・八木 35)が用いた標準値，C= 0.09,Ch =C'=1.7 をそのまま適用した．水深積分解析法における乱れエネルギーの生産項の評価には，水平方向
流速のひずみ速度テンソルによる成分に加えて，底面せん断応力による乱れエネルギー生産分が別途考慮さ u j u j 


5 
 10

 ' i u' j   i 

20

(22)

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(3) 底面渦度と渦度の生産項の評価方法
式(19)の渦度の生成項Piは，底面の薄い層zbから供給される渦度を表している．平坦河床においては，生成項は底面近傍の乱流拡散による正味の渦度フラックスのみである(Pbi)．河床勾配急変部や水没水制背後では，図-2に示すように剥離によって底面の薄い層から渦度が供給される(Psi)ため，渦度の生成項Piをこれらの和で表わす．

Pi  Pbi  Psi(23)

乱流拡散による底面からの渦度フラックス Pbi は，底面の渦動粘性係数と渦度の鉛直勾配の積である式(24)で表わす．

Pbi  C p vtb

bei  bi

図-3 水没水制の評価方法

 uby / 2  (uby ) ( z y  tan  )Psx x  (z y  tan  )
0

(24)

h

(28)
ここに，vtb は水深平均値に換算した底面の渦動粘性係数，
 ubx / 2  (ubx ) (z x  tan  )bi は底面近傍 i 方向渦度，Cpは係数である(Cp=3/．
Psy y  (z x  tan  )0bei は底面流速 ubi に対する平衡状態の底面渦度であり，式(7)から，ここに，x,y：xy 方向計算格子間隔，z ,z ：x,y 方向xcu
bei   ij 3 b bi
2h

(25)

となる．また，vtb は底面近傍で生産されるものと周囲から輸送されるものの最大値とし，式(26)で表わす．

vtb  max h b ,  h be , vt 
2

2

2

2

(4) 水没水制の評価方法
水没水制群は河床高（厳密には，河床変動計算においてそれ以上低下しない最低河床高）として考慮する．図-3 に示すように水没水制上格子と水没水制周辺格子の境界の河床高は，水没水制上の高さとする．また，滑らかな河床形状を想定して導かれた水深積分解析法で水没
水制の鉛直壁を評価するため，水没水制の流体力の評価
法と水制周辺の渦度輸送フラックスを検討する．
従来，水没粗度を有する流れの平面二次元解析では，水没粗度の形状抵抗を評価するため，前面に流体力項を付加する必要があった例えば 38)．本解析においても，水深平均流速の運動方程式(13)では静水圧分布を仮定しているため，水没水制の形状抵抗を評価するため，流体力項
fi を付加する．流体力項 fi は，図-3 に示す前面の接近流
速 ua と抗力係数 CD を用いて水制直上流メッシュの圧力
上昇 dp を評価し，式(29)で計算する．

(26)

ここに，b2bibi，be2beibei，vt：水深平均渦動粘性係数である．底面渦度bi の評価が不適切である場合，
例えば剥離領域等の大きく流速分布が変形する箇所において，底面から過剰な渦度が供給されたり，また逆に過剰に渦度が消散されたりする場合がある．そこで，本研
究では，式(3)，式(4)の底面の流速鉛直勾配で計算される二つの渦度の間で生産項が最も小さくなる渦度を底面渦度とする．

bci bqi  0 :
bci bqi  0 :

y

河床勾配の計算格子辺りの変化，tan：剥離限界角度(1/5)である．

bi  bei bci  bqi : bi  bci (27) bci  bqi : bi  bqi

ここに，bci =beibci，bqi =beibqi であり，i は自由標であり和をとらない．bci，bqi は，それぞれ式(3)，式(4)の底面における鉛直微分値である．
河床勾配急変部や水没水制背後の剥離による渦度の供給は，薄い層z における渦度の積分値がz の平均流速で輸送されるとして式(28)で表わす．

fi  kudp, dp  C D a
xi
2

2

(29)

ここに，k：河床からの水制高さである．CDは厳密には接近流速uaの評価方法によって変化するが，ここでは接近流速uaを図-3に示す前面の格子境界において河床zbか
らの水制高zgまでの平均流速を式(3)で評価し，CDは既往の実験結果例えば38)を参考にCD=1.0を与える．
非水没構造物の前面で発達する馬蹄形渦は，主とし21土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.

ij  1
xij
U yij ,V yij ,U xyij ,Vxyij

H yij , Z yij

H xyij , Z xyiji 1 jij

yuij , ij , hij , zij

掃流砂の運動量
水平方向運動量フラックス
河床から供給される運動量フラックス

Flow

yij

河床に堆積する運動量フラックス
流れから受ける力（流体力）
河床から受ける力，重力i 1 jxu Bt

U xij ,Vxij , H xij , Z xij

ij  1

 s u B qBy

 s qBxy su B qBy

砂粒子

nFD
nFR

x
 s Pu BP  xy

図-4 計算格子における主要な変数の配置

 s Du BD  xys：砂粒子の密度，n：xy における掃流砂粒子の数，FD：砂粒子が受ける流体力，F ：砂粒子が河床から受ける抵抗力及び重Rて接近流速がもつ水平方向軸の渦の伸長によって発達す
力の流下方向成分
る15)．水没構造物では，これに加え，図-3に示すように
図-5 掃流砂の運動量保存則
底面付近の強い渦度が鉛直壁を乗り越えられないことによっても，前面に渦度が集中すると考えられる．そこで，が運動方程式(13)のそれに比べて低いと考えられること
水没粗度前面の格子から水没粗度上への渦度の移流は水と，浅い流れ場では水深平均場を決定づける式(12),(13)没水制高zgより上で考え，水面から水没粗度高さまでのが対象とする流れ場を支配していると考えられるためで
平均渦度を渦度の移流フラックスに用いる．一方，水制ある．河床変動解析も含め，すべての基礎方程式の時間
背面においては剥離によって渦度が供給される．この渦微分項が本解析法の未知量となっており，基礎方程式群
度の供給は，河床急変部と同様に，式(28)で計算する．
は時間前進陽解法によって解かれる．
河道には低水路護岸，堰，床止めなど水没構造物が数多くあり，この評価方法は洪水時の河床変動解析において極めて重要となる．本論文で示した水没水制の評価法
はこれらの水没構造物の評価法にも応用できると考えられるが，本論文の検討範囲のみでは検証は十分とは言えない．この点については，更なる検討が必要である．

4. 河床変動解析法(1) 非平衡流砂量式
水没水制周りでは，後述する図-11，図-12に示すように，前面，背面で逆流が生じるなど，複雑な底面近傍流(5) 流れの数値解析法
速場となるため，これによって引き起こされる局所洗掘
水深平均流速の基礎方程式(12),(13)の解法には保存型
33)
解析のためには流砂の非平衡性を考慮する必要がある．
CIP解法を応用している ．この解法は，移流項の保存
39)
福岡・山坂40)は，局所的な流砂量とその場所の平衡流砂性を保証した高精度な解法 だけでなく，以下のように量の差が流砂の非平衡性を生じさせるとして，非平衡流
物理量が定義されるため，複雑な境界形状を評価しやす
砂量式を導いている．非平衡流砂量式のもう一つの考え
い利点がある．図-4に計算格子における本解析における方として，Einsteinの確率過程モデル3)を拡張した解析法
変数の配置を示す．本解析法では，ある計算格子ijにおがある．Nagataら8)は，砂粒子の離脱量の算定，運動方
いて，格子の交点の値(点値，小文字の変数)，x,y方向の程式に基づく掃流砂の移動経路の計算，step-lengthに応じ格子一辺にわたる平均値(線平均値，添え字xもしくはyた堆積量の算定によって構成される非平衡流砂モデルをの大文字の変数)，格子内にわたる平均値(面平均値，添構築し，河川構造物周りの局所洗掘解析に適用している．
え字xyの大文字の変数)を同時に解くことによって，流
前者では，オイラー的に流砂運動について考え，各点の速値の補間を必要としない解析法である．このため，図
単位時間当たりの変化量を微分方程式で表しているのに-4に示すように地盤高についても，点値，線平均値，面対して，後者は砂粒子の軌跡をラグランジュ的に考え，平均値から，図-3のような鉛直壁面となる水没水制が評
33)
価しやすい利点がある．詳細は文献を参照にされたい ． 堆積過程を確率的に表している．洪水時の広範囲の河床変動解析には，前者が適用しやすいと考えられるが，こ
一方，水表面の運動方程式(10)，水深積分された乱れエの枠組みの中で後者で考慮されている砂粒子の運動の素
ネルギーの輸送方程式(16)，渦度方程式(19)，また後述の過程がどのように考慮されているのか等，両者の関係に
非平衡流砂量式については格子平均値のみを解く．これ
ついてあまり議論されていないように思われる．ここでは，これらの基礎方程式において拡散項や生産項の精度
は，福岡・山坂40)が提案したオイラー型の非平衡流砂量22土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.

uBe及びhBは平衡状態における流砂量との関係41)を用いて，式(35)で近似する．

式を流砂の質量，運動量保存則に基づいて導出し，ラグ
ランジュ型の解析法8)との関係を考察する．
流砂に関する連続式から，河床高zBの時間変化及び掃流運動している砂量は，浮遊砂を考えない場合，それぞれ式(30)，(31)で表わされる．

u B sgd  3.3qB* 1 / 3 , u BehB d  0.3qB* 2 / 3

sgd  3.3q Be* 

1/ 3

(35)

ここに，uBe2= uBei uBei ，u*e2=bs，bs：砂粒子に働くせん断力（次節参照），qB*：無次元掃流砂量，qB*= qB /(sgd 3)0.5，
qBe*：無次元平衡掃流砂量（次節参照）である．粒子のhB q B j
(31)

 PD
平均移動距離Lは，流砂量と堆積量，離脱量を関係づけtx j
る重要な量であり，いくつか経験的式が提案されている42),43)．本研究では，掃流力の場所的変化が大きい場合
ここに，：河床砂の空隙率，D，P：単位面積単位時
間辺りの砂の堆積量，離脱量，hB：見かけの掃流層厚さ， にも評価できるように，その場の掃流力で評価されていhB= qB/uB，qB ：掃流砂量，uB ：砂粒子の速度，uB2= uBiuBi， る既往の式形43)を流砂量を用いた式形に変形した式(36)uBi：i方向の砂粒子の移動速度，qBi ：i方向掃流砂量であを用いる．
る．本研究では，式(30)と(31)を足し，hBは各場所の河床
2/3
2/3
Le d  600q Be*  , L d  600 max q Be* , q B*  (36)
高の変化に比べて十分小さいとし，河床高の時間変化を式(33)の右辺第二項は，流体や河床等から受ける力の式(32)を用いて計算する．
和であり，滑動運動する二次元の砂粒子の運動方程式か
z
q
(32)
(1  B ) B  Bi  0
ら以下のように導かれる．斜面上を滑動運動する砂粒子
txiの運動方程式を式(37)で表わす．
次に，図-5に示すように，領域xyにおいて流砂に関
z 
du Bi
F u Bi gm' cos   k  i  B  (37) D
する運動量保存則を考える．掃流砂の運動量の時間変化
xi dtm u Bm
は，水平方向と底面境界における運動量フラックスの差と掃流砂が受ける力の和であることから，i方向の流砂
ここに， m：砂粒子の質量と付加質量，FD：砂粒子に作
量は式(33)で表される．
用する抗力，uBi：砂粒子の流速ベクトルと周囲の流体
流速ベクトルの差，u2=uBiuBi，m’：砂粒子の水中質
q Bi u Bj q Bi量である．右辺第一項は流体力項，第二項は動摩擦項と
(33)
t
x j
重力項である．砂粒子の運動が平衡状態にあるとき，式 Pu BPi  Du BDi   m*hB  ei   i (37)は，式(38)で表わされる．
ここに，uBPi：河床から離脱した砂粒子のi方向流速，z F u Bi gm' cos  (38) k  ei  B 0 D
uBDi：堆積する砂粒子が持っていたi方向流速，m*=ksg(1  B )

z B
DP
t

(30)

m u BcossC，C：付加質量係数，k：河床砂の動摩擦係数，s：砂の比重，：河床の最大斜面角度，i：砂粒
子の移動方向単位ベクトルのi方向成分，ei：平衡状態におけるiである．
式(33)の右辺第一項は，流砂と河床砂の間で砂粒子が交換されることによる運動量交換を表しており，以下のように表現される．河床からの離脱量と河床への堆積量
は，粒子の平均移動距離に対する流砂量と定義できる．
河床に堆積する砂量と流速はその場所の流砂量と流速によって，一方河床から離脱する砂量と流速はその場所の水理量によって決まるため，式(33)の右辺第一項は砂粒子の平均移動距離を用いて式(34)で与えられる．

mxi 

ただし，砂粒子の移動速度の変化は，周囲の流体速度に比べて小さく，抗力項の変化は小さいとしている．式(37)から式(38)を引き，hBを乗じると式(33)の右辺第二項が得られる．
式(33)は，定常，一次元流れでは，流砂速度が一定の場合は福岡・山坂の式40)に一致する．また，右辺第二項
は，hBの評価法以外は橋脚周辺の局所洗掘解析のために付加された方向変化項44)と同じである．一方，等流状態において式(33)を解くと砂粒子の移動距離が指数分布となること，河床から離脱した砂粒子の軌跡が式(37)の運動方程式に基づいていることから，砂粒子の運動の素過程を記述したNagataら8)の解析法と本質的には同一のも(34)
Pu BPi  Du BDi  q Be u Bei / Le  q B u Bi / Lのであることが分かる．本研究では，洪水流による河床
ここに，L：粒子の平均移動距離，Le：その場所の掃流
変動解析に馴染むように，従来用いられている平衡流砂量式を用いて河床からの離脱量等を記述したが，例えば力に対応する平衡状態のL，qBe：平衡流砂量，uBei：平衡状態の砂粒子のi方向移動速度である．砂粒子の流速uB， 離脱量Pをpick-up rateの算定式45)から計算することもでき23土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.

現した式(40)で評価する．

z

v 
 bs
 u  u   v c u
 cv vtb    tb cv vte      tb bs b (40)h z  b vte  z  b 
zb

zave

ub

ここに，cvvtb：底面の渦動粘性係数，vtb：水深平均換算
した底面の渦動粘性係数，vte：等流状態の水深平均渦動
粘性係数である．
斜面上の掃流力と限界掃流力は，斜面の影響を考慮し，それぞれ式(41)，(42)で与える40)．

b=bs+bdx

zr
zave：解析で取り扱う平均的な河床形状（= zbzb），
zr：河床波を有する実際の河床形状，b：全河床抵抗，bs：河床面の表面抵抗，bd：河床波の形状抵抗
図-6 本解析格子における河床の抵抗の考え方(41)

 *c   *c 0 cos (42)

ここに，：無次元掃流力（sgd=bs），i：無次元掃流力のi方向成分（i sgd=bsi），bsi：bsのi方向成分，
s：河床砂の静止摩擦係数，*c0：平坦河床上の無次元限界掃流力であり，岩垣公式3)により与える．平衡流砂量
方向ei は，式(41)の河床砂に作用する掃流力の作用方向としている（ei = *i /*）．また，河床変動解析によって水中安息角以上の斜面が形成されると瞬時に最大斜面方
向にスライドが生じるとしている．平衡流砂量の計算には芦田・道上式41)を用いる．

る．このように，各項の評価方法についてはさらに詳し
く検討すべき点もあるが，砂粒子の運動量保存則に基づく式(33)は，非平衡流砂運動を表す基本式と言える．
(2) 掃流力と平衡流砂量
掃流力と平衡流砂量について検討する．図-6 に示すように河床波がある河床の抵抗は，河床波の形状抵抗と表面抵抗であり，後者が流砂量に関係する 41)．三次元性の強い小規模河床波の発生，発達とそれによる抵抗を本解析法で直接考慮することは困難である．一方，洪水時の河床波の存在とその河床抵抗の大きさは，水面形の時間変化を計測することにより，実用的な精度で明らかにすることができる 27),31),32)．本研究では，水面形の時間変化データは多くの主要河川で計測されている現状 46)を踏
まえ，水面形の時間変化データから水路の全体的な河床変動を推定することを考える．具体的には，図-6 に示す様に河床波を有する河床形状 zr を平均した zave を取り扱い，全河床抵抗b は，底面粗度係数 n を用いて，式(6),(8), (9)で計算する．n の算定方法については本節末尾に述べる．
流砂量に関係する河床の表面抵抗によるせん断応力bs
は，河床材料に応じた相当粗度 ks を用いて，一般に式(39)で表現できる．

 bs /   ( cbs ub ) 2

 z '*2   '*i  '*i ,  '*i   *i  *c B s xi

3
 
 
qBe*  CqB '* 2 1  *c 1  *c  * 
* 


(43)

式(43)には流砂量を修正するための係数CqBを用いている．
これは，前述のように河床波などを含む移動床における
底面せん断力と同様に，与えられた水理条件のみから流砂量を精度良く求めることは一般に困難であるためである．本研究では，まず簡便のため，底面粗度係数n，流砂量の修正係数CqBは時間的に変化せず一定とする．図8の縦断図より，まず初期水面形に合うように底面粗度
係数n（0.017）を定める．次に，水面形の全体的な時間変化に合うように係数CqB（9）を定める．そして解析結果が河床変動や流砂量を再現できるかどうかを検討する．
なお，修正されたCqB（9）の値については，掃流力，限界掃流力等の評価方法にも関係するため，本論文の解析結果のみでは不十分であり，ここでは検討しない．

(39)

ここに，1/cbs=Ar+ln(zb/ks)/，Ar，ks=2d である．しかし，式(39)は等流状態を仮定して導かれたものであり，
5. 水没水制群を有する水路の河床変動解析
図-6 に示すように河床波を有する複雑な河床によって抵抗を受けている流れ場には適用できないと考えられる．
(1) 実験条件と計算条件
また，局所洗掘現象では，底面流速と乱れが局所的に変水制周りの局所流や局所洗掘に関する実験は古くから化する．このため，底面近傍の乱れは底面近傍流速に応行われている3)．水制群の多様な水理機能を評価するた
じた平衡状態の乱れと異なると考えられる．そこで，せめには，水制近傍の局所的な影響だけでなく，水制群にん断力bs は，底面レイノルズ応力をブシネスク近似で表よる河道の流砂特性の変化と縦断的な河床変動特性等の24土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.
表-1 実験条件 6)
水路幅 (m)
水路長 (m)
流量 Q (l/s)
河床材料 d (mm)
給砂量 Qs(l/s)
初期河床勾配 I0
水制長さ D(m)
水制幅(m)
初期水制高さ k (m)水制間隔 L(m)
水制設置基数
水制角度

(m)
0.35

1.5
27.5
36.4
0.80
0.004
1/600
0.50
0.05
0.03
1.0
15
直角

0.3
実験水位(初期)
実験水位(4時間後)
実験水位(30時間後)
実験河床高(初期)0.25

実験河床高(4時間後)
実験河床高(30時間後)
計算水位(初期)
計算水位(4時間後)

0.2

計算水位(30時間後)
計算河床(初期)
計算河床(4時間後)

水制設置区間(6.5m～20.5m)

1.5

計算河床(30時間後)

0.15
0

5

10

15

20

25

30

35 (m)

図-8 縦断水面形，河床形状の時間変化の比較

1

0.2
実験結果
給砂量

0.5

解析流砂量(水制群下流)
解析流砂量(水制群上流)

11

12

13

sgd 3

0
14 (m)

図-7 計算メッシュ

qB

0.1

河道スケールの影響も明らかにする必要がある．福岡ら6)は，大型移動床直線水路を用いて，水没水制群を有する
水路の河床変動に対して詳細な計測を行い，実用的な河床変動解析法を検討している．実験には，幅1.5m，全長
0
0
10
20
30
40
27.5mの移動床直線水路，長さ0.5m，幅0.05m，初期水制
通水時間
高0.03mの不透過水没水制が用いられている．水没水制
図-9
流砂量の時間変化の比較
群は，水路左岸に下流から6.5mから20.5mの区間に連続して設置され，水制設置角度，水制間隔による洗掘特性について詳細な検討が行われている．河床砂には，粒径
水30分後としている．また，実測縦断形は縦断方向に-3
d=0.80×10 mの一様粒径砂が用いられている．実験中は， 2m間隔で測定された横断方向3点平均値である．このた上流端から一定の給砂が行われている．途中，河床高，め，水制設置範囲で生じている河床の凹凸など，解析結
水面形を計測しながら，十分長い時間通水し，水路全体
果の詳細な河床形状については検証することはできない
が動的平衡状態に達した後に，流速計測が行われている． が，縦断水面形，河床形状及びそれらの時間変化につい
ここでは，水制間隔1.0mで，15基の直角水制を配置したて解析結果は概ね実験結果と一致しており，解析では水実験26)に適用し，連続する水没水制群を有する流れと河路全体の流れの抵抗と水面形，河床高の時間変化を平均
床変動解析に対する本底面流速解法の適用性，妥当性を的には再現できていると言える．図-9は流砂量の時間変検証する．実験条件を表-1に示す．
化の比較である．実験6)ではある時間帯に水路下流端の計算領域は，実験水路全体とし，上流端では実験流量
沈砂槽に堆積した砂量が計測されており，図-9の実験流及び実験給砂量を与えている．下流端では実験の下流水
砂量はその時間帯における平均流砂量を示している．解位を再現するように水位を定めている．水制は，平面座
析流砂量は，水制群の上流の断面と水制群の下流の断面標と天端高を与え，前述3.(4)の方法で取り扱う．計算メで求めている．なお，上流端の解析給砂量は，水路上流
ッシュは，図-7に示すように水制近傍で細かくなるよう
端からの実験給砂量を与えている．また，下流端流砂量に作成している．
は，通水初期に多量に流出し，緩やかに上流端給砂量に漸近している．通水30時間において，下流端流砂量と上(2) 縦断河床形状と流砂量の比較
流端給砂量の差は小さくなり，給砂量の時間変化はほと
図-8に，実験値と計算値の縦断水面形，河床形状の時
んどなくなっている．水制群下流の解析流砂量は，実験間変化の比較を示す．実験初期水面形は，通水後暫く経の下流端流砂量よりもやや小さめに計算されているが，ってから計測されていることから，計算初期水面形は通通水初期で多量の土砂が流出し，時間経過とともに緩や25

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.

河床変動量(cm)： -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

図-11(b)

10m

15m

0

1

2

20m

図-10 水路全体の河床変動の解析結果（30 時間後）
0.3m/s

1.5

1.5

-3

-3

河床変動量：(cm)
-3

-3

-3

1

1
-5

-5

-9

-3

-3

-1
-5

-11

-1

-9

-1

-7

-7 11
-

0.5

0.5

1

12.5

13

1

1

0
11.5

12

12.5

13

0
13.5 (m)(a) 実験結果
0.3m/s

1.5

11.5

12

13.5 (m)1.5
河床変動量：(cm)

0.5

0.5

-3

1
-1

-3

-1

-7
-3

-5

-3

-3

1

-7

1

-1

0

0
11.5

12

12.5

13

13.5 (m)

11.5
12
12.5
(b) 解析結果
図-11 水没水制群内の底面流速場と河床形状の比較

かに流砂量が減少する傾向を説明し，通水 30 時間の流砂量は概ね一致している．水制群上流の解析流砂量は通水初期ではほとんど砂が動いていないが，給砂による上流からの河床波が到達した後は，上流端からの給砂量とほぼ同量の流砂量が生じている．水制群上流と下流の流砂量の差は，水制群内の平均的な河床高の変化量を表している．水制群内の河床高の低下速度は，通水初期で大きく，その後低下し，時間的にほぼ一定速度となっている．以上のことから，本解析結果は，実験の流砂量の時
間変化の特徴を概ねを再現できていると言える．

13

13.5 (m)図-12 水没水制群周りの渦の作用による底面流速場の形成

底面流速と河床形状の(a)実験結果と(b)計算結果を示す．
実験結果から，河床付近では水制前面で逆流を伴う渦が発達する等，複雑な流れ場を呈している．水没水制群周りの底面流速場は，図-12に示す渦の三次元構造により形成されると考えられる．水制前面では，主として接近流速が持つ渦の伸長と底面付近の強い渦度が水制前面の鉛直壁を乗り越えられないことによって，前面河床付近の渦度が大きくなり，底面流速の逆流が生じる．水制先端部では，この前面の逆流を伴う強い横断方向の渦が主(3) 水制周辺の底面流速，局所洗掘の比較
図-10に本底面流速解法による動的平衡状態(30時間後)における水路全体の河床形状の解析結果を示す．水制設
置区間の上流部の主流域では，流れが集中し加速するため，掃流力が大きくなり，河床高が低下している．水制
設置区間の中流から下流部にかけて，水制近傍の河床は
縦断的に低下し，水制先端では局所洗掘が生じている．
図-11に水制群内（図-10の赤破線の範囲）において，

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土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.

dzmax/k（無次元最大洗掘深）8流域の大きな流速により曲げられ，馬蹄形渦が発達する
EXP.
橋脚周囲15)と同様の底面流速場を形成している．この流71（上流端水制）
CAL.
れにより，水制前面の河床洗掘が発達する．一方，水制
6
背後では，剥離による逆流が生じており，水制間の底面
流速はかなり小さくなっている．また先端部では，回り
12
5
8 9 1013
11
込む流れが発生し，これにより水制間に土砂が堆積して
15
7
2
14
いる．
4
4
6
3
解析結果と実験結果の底面流速場を比較すると，解析
5
3
結果は水没水制前面の逆流が実験結果に比べて大きい．
これは，前面では洗掘孔が発達することによって，水制
2方向に鉛直下向き流速と水深が大きくなり，渦度の水深1
積分値に占める式(1)の右辺第二項の割合は相対的に大きくなるためである．即ち，洗掘孔内においては渦度の
0
0
5
10
15
20
25
30
一部は鉛直方向流速の場所的変化に寄与するため，底面
x/D（水制上流端からの無次元距離）
流速の評価の際に右辺第二項の省略することは見かけ上
図-13 水没水制群内の水制先端の最大洗掘深の縦断分布
渦度を大きめに評価することに相当すると考えられる．
同様の解析結果は，洗掘孔を有する橋脚前面の解析結流部から下流部において，洗掘深が縦断方向に変動して果15)にも見られることから，本底面流速解析法では，見いる．底面流速の解析結果では前述したように，洗掘をかけ上洗掘孔内の渦度を大きめに評価する場合がある．
生じさせる渦度を見かけ上大きめに評価していることか
一方，河床変動解析結果を比較すると，解析結果の洗掘ら，解析では水制前面の逆流による土砂の巻き上がりがは実験結果に比べて小さい．特に，解析結果では洗掘深十分に考慮できていないためと考えられる．即ち，水制の河岸方向への発達が小さい．底面流速場の比較考察を
前面で逆流が生じるとその直上流は底面流速の収束場と踏まえると，局所洗掘解析の誤差は，後述するように主なり，上昇流が生じる．これによって河床の砂は巻き上に河床変動解析法に含まれると考えられる．しかし，解げられ，前面の洗掘が発達すると考えられる．しかし，
析結果は，水没水制周りの逆流を伴う複雑な底面流速場
本解析法で取り扱う砂の掃流運動モデルでは，逆流が弱や，主流域の河床低下，水制前面，先端の洗掘，背後のいと土砂がほとんど動かず洗掘が発達しない．局所洗掘堆積などの河床変動について，実験結果の特徴を説明で解析において土砂の巻き上がりを考慮する必要性についきている．
ては，Roulundら 11)も示している．Roulundら 11)は，三次元
図-13 に，水制前面における最大洗掘深の縦断変化に乱流モデルを用いて底面流速を求め，掃流砂モデルを用ついて，解析結果と実験結果の比較を示す．横軸は最上
いて橋脚周りの局所洗掘解析を行った．解析の洗掘深や流端水制からの距離 x を水制長 D で，縦軸は水制前面の最大洗掘深 dzmax を初期水制設置高 k で無次元化している． 洗掘速度が実験結果に比べてやや小さく，特に土砂の巻
きあがりが顕著に観測された橋脚背面でこの影響が見ら
図-13 の番号は上流からの水制番号を表しており，1 はれたことから，モデル改良のために剥離による非定常乱最上流端水制，15 は最下流端水制である．実験結果を流を考慮するとともに，土砂の巻きあがりを評価する必見ると，上流端水制では，他の群内の水制に比べて接近要があることを述べている 11)．以上のように，本解析結流速が大きいため，渦度の供給量と渦の伸長作用が大きく，強い逆流領域が発生し，大きな洗掘が生じる．一方， 果は，土砂の巻きあがりなどについて課題が残されており，実験結果に比べて洗掘深量がやや小さめに計算されその下流では，水制長 D の約 10 倍程度の範囲で水制先
6)
るものの，上流端水制の洗掘深が他に比べて大きくなる
端の洗掘が小さくなっている．実験 では上流部河床形
こと，それより下流で水制長の 10 倍程度の範囲で洗掘状に関する詳細な計測が行われていないが，図-10 に示が軽減されることが説明できている．
した解析結果から，この範囲では上流端水制の水撥ね効

果により対岸側に水みちができ，洗掘孔が発達しなかったと考えられる．それより下流では概ね縦断方向に一定である．解析結果の洗掘深はいずれも実験結果に比べると小さい．特に，上流端水制の水撥ねによって洗掘が発達しない上流部では，実験結果では上流端水制の半分程度の洗掘が生じているが，解析結果ではほとんど洗掘が生じていない．また，解析結果は実験結果に比べて，中6. 結論
本研究では，水没構造物のある水路の実用的な河床変動解析法を検討した．以下に，本研究で得られた主要な
結論と課題を示す．

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土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 67, No. 1, 16-29, 2011.
9) Olsen, N. R. B. and Melaaen, M. C.: Three-dimensional
1) 水表面流速方程式と水深積分渦度方程式を用いた水没
numerical calculation of scour around cylinders, Journal of
水制群周りの底面流速場の半直接的解法を構築した．
Hydraulic Engineering, ASCE, Vol.119, No.9, pp.1048水没水制が周囲の渦度分布に与える影響を評価するた
1054, 1993.
めに，前面では渦度の鉛直分布を考慮した渦度の越流
10) Olsen, N. R. B. and Kjellesvig, H. M.: Three dimensional
numerical flow modeling for estimation of maximum local
フラックスの評価法，背面では剥離による横断方向渦scour depth, Journal of Hydraulic Research, IAHR, Vol.36,
度の供給量の評価法を示した．本底面流速解析法は水Issue 4, pp.579-590, 1998.
没水制群前面の逆流，背面の剥離による流速低下など， 11) Roulund, A., Sumer, B. M., Fredsøe, J. and Michelsen, J.:
水没水制群周りの複雑な底面流速場の特徴を再現でき
Numerical and experimental investigation of flow andscour around a circular pile, Journal of Fluid Mechanics,
ることを明らかにした．
Vol.534, pp.351-401, 2005.
2) 水没水制群を有する河床変動解析のために，非平衡流12) 川口広司，福岡捷二，渡邊明英：設置角度の異なる
砂量と底面近傍流速を用いた底面せん断力，掃流力の越流型水制周辺の流れと流体力特性，水工学論文集，
評価方法を示した．解析結果は，水没水制群を有する
第 48 巻，pp.811-816，2004．
13) McCoy, A., Constantinescu, G. and Weber, L. J.: Numeri水路全体の縦断河床形状と流砂量の時間変化特性，水cal investigation of flow hydrodynamics in a channel with
没水制群周辺の局所的な河床形状の特徴，及び水没水
a series of groynes, Journal of Hydraulic Engineering,
制群の縦断的な最大洗掘深の分布特性を説明できるこ
ASCE, Vol.134, No. 2, pp.157-172, 2008.
とを明らかにした．
14) 内田龍彦，福岡捷二：浅水流方程式と渦度方程式を連立した準三次元モデルの提案と開水路合流部への3) 本解析では水制前面の洗掘量は実験結果よりも小さく
適用，水工学論文集，第 53 巻，pp.1081-1086，2009．
見積もられる傾向にある．これは，本解析法では，逆15) 内田龍彦，福岡捷二：水平方向渦度方程式を用いた流域などにおける砂の巻き上げが評価されていないた
底面流速の半直接解法と橋脚周りの局所洗掘解析，めと考えられる．この点については，実河川でこのよ
水工学論文集，第 54 巻，pp.841-846，2010．
16) Engelund, F.: Flow and bed topography in channel bends,
うな現象が重要となるかどうかも含めて，今後の検討
Journal of Hydraulics Division, Proc. of ASCE, Vol.100,
課題である．

謝辞：本研究の一部は，平成 21 年度科学研究費補助金若手研究(B)（課題番号：21760390，代表：内田龍彦），(財)河川環境管理財団の河川整備基金（平成 21 年度，代表：内田龍彦）の助成を受けた．ここに記して謝意を表する．
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(2010. 7. 14 受付)

A BOTTOM VELOCITY COMPUTATION METHOD FOR ESTIMATING BED
VARIATION IN A CHANNEL WITH SUBMERGED GROINS E
Tatsuhiko UCHIDA and Shoji FUKUOKA
A practical numerical bed variation method is required for evaluating various functions of groins installed in rivers. The conventional depth integrated (2D) computation method, which has been used forpractical computations of flood flows and bed variations in rivers, is inadequate for local scouring aroundhydraulic structures due to 3D flow. However, the use of full 3D turbulence flow computation methods is
not common for floods in rivers. Therefore, a refined depth integrated model is required for the practicaluse. In this paper, the Bottom Velocity Computation (BVC) method is proposed to evaluate velocity acting on sediment particles effectively and compute bed variation in a channel. In the BVC method, depthintegrated horizontal vorticity and water surface velocity equations are computed simultaneously with shallow water equations and a depth averaged turbulence energy transport equation. To compute bed variation
around submerged groins, evaluation methods for non-equilibrium bed load and bed tractive force by using bottom velocity is presented. The applicability of the method is discussed through the comparisonswith the laboratory experimental results of flows and bed variations in a channel with submerged groins.

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