フラクタル時系列の性質を用いた
建材需要予測の一手法
竹林 渉，植村 芳雄，時永 祥三
l……lll‖‖川‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州Il‖‖川‖‖‖‖‖‖川‖‖川‖lll‖‖‖‖＝‖‖‖川‖ll‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖川‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖川Illl＝＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖州

ル理論と整合しているかの理論的検討などは別の機会

1．まえがきに譲ることにする．

本研究では，フラクタル時系列の性質を用いた建材需要予測の一手法を示し，予測誤差の検討，フラクタ
ル次元の推定，実際の需要予測の例を与える［1］．製

2．需要の累計値のフラクタル性
2．10N／OFFソースによるフラクタル時系列の生品の需要予測についてはさまざまな方法が提案されて成

いるが，その多くが線形予測など時系列処理に基づく

通信トラヒックのモデル化に関連して，最近，方法であり［2］［3］，時系列が非定常であるケースでは0Ⅳ／OFFソースを重ね合わせることにより，フラク

予測誤差が大きくなる問題が存在する．

タル時系列が生成できることが理論的に示され，

ところで，株価がフラクタルであることはいくつか

LANなどのトラヒッタ解析に利用されている。（W／の事例で示されており，需要データの1つである通信

OFFソースとは，0Ⅳ区間と0押「区間が交互に現トラヒッタについても同様の性質をもつケースが指摘れるモデルであり，（W区間では一定の間隔でパケッされている［4］［5］［6］［7］．本研究で示すように，需要ト系列が発生している．パケット系列はLANなどのデータがある条件を満足して発生している場合には，通信においてはネットワークを介して送信されるコン

その集計結果はフラクタルとして近似できることがわ

ピュータデータであるが，製品需要の発生としてモデかる．われわれは，この現象を実際に住宅建材の需要ル化することも可能であろう．0Ⅳ／0押1ソースの重にあてはめて分析を行うとともに，すでに開発していね合わせがフラクタルとなることの基本的な考え方は，るフラクタル時系列の予測手法を適用して需要予測を統計的に独立である0Ⅳ／OFFソースを統計的に多行ってみる［8］［9］．

重化するとGaussian Noiseとなり，これを一定の時フラクタル時系列の予測の原理は，フラクタル時系

間区間にわたって積分するとfBm（fractionalBrow−

列をスケール関数の展開形式で表現されたインパルス

nianmotion）になることを利用している．fBmとは応答関数と入力信号との畳み込みにより表現するモデ

フうウン運動を非整数階積分して得られるものであり，

ルを仮定し，時間軸の伸長に対してインパルス応答のフラクタル時系列の発生方法として用いられている．

自己相似的な性質が保持されることを用いている［8］本研究では同様な考え方により，日々の需要データ［9］．研究では，実際に約60種類の建材需要への適用がGaussian Noiseとして近似でき，これを数日間にを行い，有効性を示す．

わたり集計することによりfBmとなることを用いてなお，本研究ではフラクタル性をもつ時系列に関して，自己相似性を用いれば経験的に予測精度のよい方法が得られることを示しており，この方法がフラクタ
たけばやし わたる 九州大学経済学部

いる．

以下では，文献［6］［7］に示された，0Ⅳ／OFFソースを統計的に多重化した場合の時系列の性質についての理論式を引用しておく．この理論式は本研究では特〒812−8581福岡市束区箱崎6−19−1に用いないが，需要カーブがフラクタルとなる根拠をうえむら よしお ㈱住建産業

与えている．

〒738−0022廿日市市木材港南1−1
ときなが しょうぞう 九州大学経済学部〒812−8581福岡市束区箱崎6−19−1
受付98．9．11採択99．9．10
2000年2月号

いま〟個の0Ⅳ／OFFソースを仮定する．関数
Ⅳ（オ）を0Ⅳ／OFFソースにより発生される時系列と考え，Ⅳ（≠）＝1であれば時刻fでパケットがあると© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
（3）51

し，W（g）ニ0であればパケットがないと定義する．

ることは不適切であることがわかる．
以上のようなことを考慮すると，新しい需要予測のソースの区別を添字夕紹により行い，ル＝個のソースを合計して得られる次の時系列を考える．

手法として，次のようなものが望ましいのではないか

珊rf）＝JT、±（卦押（㍑））血

との結論に遥Lた．まず，サンプルを集計した時系列（1）を川い変動を緩和すること，線形予測を円いるが係数

このとき，巨分に大きな〟とrをとった場合には，は時間的に安臥するものであること．このようなこと

式（l）は次の関数に収束することが証明されている．

から，プラクタル時系列の臼己相似性を用いる予測手

y（オ）＝了湖∠〃，／（〟1＋〟2）法を考察の対象とすることとなった．

＋（r2〟エ（r）〟）リ2仇抽β〝り）（2）

ここで，β∬（才＝ま‡Iu上・st指数が〃であるfBlllであフラクタル時系列の特徴は，全体の図形を縮小したものがサ 図形の部分に類似していること（逆に部分図

る．／Jl，／J2は0Ⅳ，OFF区．間の長さの平均値であり，エ（T）はW，（二妨甘l蒐間の長さの分布補間故が，変数形を拡大すると全体に類似している）である．拡大縮小によI）完全に−−■致する1ツl形は得られないが，概形はが十分に人きな場所においてとる分布の近似形から得良く似たものになる．以卜では，フラクタル理論を用られる定数である．すなわ■ち，〔ノAr，（ル芋一区間の長さいたフラクタル時系列の予測手法についてまとめておの確率粁度関数をム（芯），ム（エ）とした場合の分布関数

くL8］し9」．

を占（∬），爪（．で）としたときに，省。（∬）＝1一石（ェ），爪。（．若）＝1…昂（ヱ）をェ→∞において

3．1システムの同定

香。（ェ・）〜ムJα1エ．（∬），1＜α］＜2（3）

声ち。（．T）〜左ズ￣d2エ2（ユ・）， 【く勉＜2

一般肘な線形時変入山カシステム（′l）

として表現する。ここで，関数エー（．エ）．ム2（J）は∬が≠u〝（りニJ粧卜丁）・直）虎，√一＞ん（5）

人きい場合にゆっくり変動する関数（sloⅥ71）rVaryingを考察する．線形時変システムのインパルス応答関数

functi（：）三1）であり，定数やlogヱ，（1（）g．で）lなどが柵姉，㌃）がスケール関数め（オ）を川いて次のように展開当する。また，♂伽はん（エ）ァ⊥2（．ガ）‥恥拙け−，の，恥されると仮定する，

敢により衣現される（仇，馳は0Ⅳ，OJ7ア】ズ間♂）長さの分散，詳細は省略する）．

式（2）の証明は文献［6］［7］に示されている．式（2）から
次のような解釈が成り立つ，すなわち，0Ⅳ／／0押ソースを統計的に多重化した時系列y（りは，・観測区間全体に占める0Ⅳ【メニ間の長さの割命に比例したトレンドをもち，このトレンドからの変化がfBmにより記述できる．式（2）はHurs亡パラメータ〟を含んでおり，これはI釆問の長さの分布により求められる．

（ICく亡lゐ（上㌻）＝∑∑損料諭）如′（㌻）′ニ0．デー∩（6）

ただし，
轟J・（ノ）ニ￠（2−〃卜g）
￣−

・・−‥ニ

、 ＿．

特に，以■卜では人山力が同じ時系列である同定問越（y（f）T．r（りの場合）を考える。

いま，式（5）によl）同定された〝（′）と入力時系列

ェ（りとの差の一段小2乗近似を考え

3．フラクタル時系列の予測手法，これを最小化す

るようにインパルス応答開放の係数れを決定する．
計算にあたり式（6）で〃＝0とし，．グの範囲をノ＝1−4

需要予測の方法は，現在まできまざまなものが提案されている。この詳紳については省略するが，著者らに限定する．最適化の方法として最急降下法を用いる．

が検討したなかで，方法の改善に役∬った経験としては次のようなものがある．まず，■㌣測については線形
L別引こ其づく方法が簡単であり，理解しやすいことが言える。

しかし，この場令，時系列の変動が時間に依存する（時変システムである）ことにより，固帰係数を一定他にすることは子測精度を低下させる．また，
大き・な関越は需要そのものを観測しても正規乱数のような激しい変動をするので，そのまま￣jこ測ク）対象とす

3．2 予測手法
次に，時間軸の伸長による予測について述べる．いま，了も≦オ≦℃は時系列エ（りが観測される時間l大間

でありれ＝プもーnとする．また，0＜f≦箭はズ（〜）を予測するlズ間とする．なお，T」右の過び方には任意性があるが，期間れの時系列が，期間全体右の時系列と相似であるように選択する必要がある．

オペレ・−ションズ・リサーチ

52（4）
J

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次の量を定義する．

tlL11

β（抑−ノ）＝上乃￣ノ如−㌻−ノ）州dr∂＝αβ，α＝右／れ，右＞n．

（9）

スケーリング関数の性質により

βは時系列∬（f）のフラクタル次元であり，1＜刀＜2である．∬（f）がフラクタル性を持つ場合には，その（19β（搾−ノ）＝ノニJ（㌃）dr

自己相似性により，0＜f≦了ちにおいて，次の式が近インパルス応答関数はモデル当てはめを行った結果で似的に成立する．

あるy（g）と，もとのデータである∬（f）との差の2栗∬（f）＝∂1J抽ゐ（i，㌔壬）∬（丁）dr，才＞紘

（10）

丘f＝（〝（才）−∬（オ））2を最小にするように求めるので，
式（1却よりゐむの修正値として次を得る．

スケール関数で近似された時系列のフラクタル性とは，△ゐ乃ノ＝一2（J（犯十1トⅧ（乃十1））β（現−ノ）インパルス応答関数により，以下のように説明される．

（相

同様に式（11）に対応する表現として次を得る．

インパルス応答関数ゐ（オ，㌃）の性質はスケール伸長さβ

れても時系列の自己相似性から，同じ線形予測の関係〟（∂抑＋∂）＝占「1∑ゐ乃Jβ（針」）
ノ＝1

式を成立させる性質を保持するので，区間nで推定
β（犯−ノ）＝上：ニJ（丁）dr

されたゐ（f，㌃）を∂倍したものを用いれば，α倍に伸長した時間城においても，式（10）の予測モデルが成立す

3．4 予測誤差

る［2］［7］［8］．

予測を議論する場合には，通常，現在までの観測デ

このフラクタル性の説明は，コッホ曲線における相ータをもとにして，式（1研こより1ステップ先のサンプ

似形の出現を例としても説明できる．コッホ曲線を2次元グラフで描いた時にフラクタル図形の性質により
図形は2次元的にひろがるので，横軸をα倍に伸ばした空間には，もとの図形の∂個が入ることになる．
計算においては，α＝整数となるように1，右を選んでいる（例：右＝2了1）．サンプリングされた時系列を仮定し，サンプリング間隔を1とする．すなわち，
式（5）では才＝ゐ＋1であり，式（10）では≠＝妬十∂となるので，次の予測式となる．

〆妬＋∂）＝∂一1上抽ゐ（i，土子）∬（丁）dr，オ＞妬
t川

3．3 計算アルゴリズム
以下ではインパルス応答関数の計算や，予測の計算の手順を具体的に示す．式（6）を式（5）に代入する．
J2co∞〝（卯＋1）＝上∑∑㍑詞（乃−Z）￠（乃−㌻−ノ）J（㌃）dr 才＝OJ＝0（12）

ここで，ん＝搾とする．スケーリング関数は積分計算においてゼロとなる余分な項を除去するので，表現が
簡単化でき
幅
（13）

y（乃十1）＝∑ゐゎβ（乃−ノ）J＝1となる．ここでβ（乃−ノ）はエ（オ）を積分することにより，次の式で与えられる．ここでβはインパルス応
答の影響を制限するために，β＝4にとっておく．
0

100

200

300

400

図1fBmの予測（∂時刻，犯∂時刻先）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

2000年2月号（5）53

表1fBmの∂時刻先の予測誤差（α＝2）

以下では，時系列がフラクタルであるかどうかを検証する方法について述べるが，その中心は自己相似性と1000サンプル1。80

次元Ⅲ

予測誤差 0た25

スペクトルが周波数のべき乗で低下する性質である。

1．50

1．25

本研究では，建材の日々の需要データについて，累

0。19

0．17

計する処理を行うと，得られた時系列が近似的にフラクタルとなることを示す．

時系列がフラクタル（自己相似）であることは，通表2 本手法の裾∂時刻先の予測誤差（月＝1．5，α二2）30 60 90 120

㌻

予測誤差

3．7 4．9 5。2

常，次の2つのことを確認することにより行われる
［13］。

5．6

（別個平均の分散）

もとの時系列を恥J2，…，としたとき，これらを別個ずつ合計し平均をとった系列

ルの予測値を計算することが行われる。これを，以下ではゐ時刻先の予測とよぶ。
これに対して，式（17）に従って9 逐次的に予測された値を観測値と見なして，予測を継続していく場合を考え，これにより紹ステップ将来の値を予測する場合
を現ゎ時刻先の予測とよんでおく。犯∂時刻先の予測においてもインパルス応答が計算されているので，線形予測をそのまま継続して用いる場合と比較して，予
測誤差は極めて小さいものとなる。

匡川にはフラクタル時系列躇mの∂時刻先，乃み
時刻先の予測の様子を示している。
次に予測の平均誤差について述べる凸 まず，表1にはα＝2の場合のゐ時刻先の予測について，いくつかのフラクタル次元の時系列の平均予測誤差を示している（サンプル数は1000）。予測誤差の定義として，期間内の時系列の最大値と最小値の差（振幅）に対する予測誤差の割合（％）をとっている。これよりわかるように，0。3％程度の数値となっており，極めて小さな値である。

次に，衷2に邦あ時刻先の予測について予測誤差の平均値を示している。この結果が示すように裾∂時刻
先の予測についても誤差は6％程度におさまっている。
3．5 ウェ痢プレット係数によるプラクタル性の検、■・†ご ∬∠（∽）＝椚1
J＝（Zm＋1（摘の分散であるひαγ（￡（∽））がひαγ（ェ（プ鶴））＝♂椚β（20）となること8 ただし，0＜β＜1であり，♂は∽＝1の場合の分散である。
（1／fスペクトル）

時系列から計算したスペクトルが周波数のべき乗で低下する形状を示すこと。これは，いわゆる1／fスペ
クトルと呼ばれる。

最初の分散の計算は容易に実行できる。後半のスペ
クトルの計算においては，フーリエ変換などの方法が吋能であるが，ここでは解析精度がすぐれているウェーブレット変換による方法を用いる。

そのために，まず，時系列のウェーブレット変換の係数を計算しこれを用いて時系列がフラクタルである
ことを検証する方法について説明する［5］［9］［10］。ウェーブレット係数は相互に統計的にほぼ独立であり，

高速フーリエ変換やR／S解析（rescale range analy−sis）などの解析手法に比べて精度が良くなる。
時系列がフラクタル性をもつ場合には，そのスペク
トルの時間平均が周波数のべき乗に反比例する性質を持つことが証明されている［10］。すなわち，時系列の分散，フラクタル次元を，それぞれ，♂2，かとするとスペクトルは式（21）のようになる。

証方法

本論文で示したフラクタル時系列の予測手法が適用可能であるためには，観測された時系列がフラクタルであることが必要である。通信トラヒックなどフラクタルであることを示す実証研究が存在する一方で，従来よりフラクタルの典型であるとされた株価時系列について，そのフラクタル性を疑問視する研究も存在す

S（山）＝♂2／山【γ（21）

γ＝5−2月￠2）与えられた時系列エ（f）をウェーブレット変換する。
∬（≠）＝∑∑J芳￠芹（f）．

（23）−．−I■ごェ芹二位（棚仙九（24）

躍（f）はウェーブレット基本関数￠い）に対する次のる［12］。これらは9 実証研究の難しさを示している。
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5偲（6）オペレーションズ。リサーチフラクタルと見なせるかを求める必要がある．ここでスケール，シフト変換とにより構成される．
￠㌘（J）＝2郡／2￠（2彫仁乃）．

㈲は，フラクタルとの対比で良く用いられ，明らかに指ここで，椚，乃は，スケール変換，シフト変換のイン数関数的に相関が減少するARMAモデルについて

デックスである．￠（t）としてはDaubechiesのウェー

斤びを計算し，このしきい値を推定する．
表3には，いくつかの次数の組合せ（AR次数♪，

ブレットを用いる［11］．

J（オ）がフラクタル性をもつことから，ウェーブレMA次数q）をもつARMAモデルで発生させた時系

ット係数∬芳の滴たすべき条件として，次の関係式が列について平均的な斤びを計算した結果を示す．シミ

得られる．

ュレーションの詳細は省略するが，表3に示されてい但拗

ひαγ（J芳）＝♂22￣γm

この関係式は，ウェーブレット基本関数の性質などをる平均値について分散は0．002程度であり極めて小さくなる．
以」二のことから，0．006と0．05との中間の値を斤び用いると証明できる［9］［10］．

のしきい値として採用し，この値より小さい値であれ式㈹の両変の対数をとると，∽についての線形の直線となるので，左辺により計算されるデータに対し

ばフラクタル性をもつと仮定する．

て回帰直線を当てはめ，この直線との2東平方誤差

4．建材需要の分析

斤∽の大きさによりフラクタル性を判定できる．
β∽＝［∑（log（〃αγ（∬芳））−C。−Cl∽）2］1／2／（ノは範）帥

4．1需要の累計
以下では，実際の建材の需要を集計したデータがフ

ただし，Co，Clは回帰直線を当てはめた場合の係数でラクタルであるかどうかを検証してみる．すなわち，あり，〟は添字∽の取り得る個数である．具体的にそれぞれの日に発生する需要はランダムであるが，こは，時系列のサンプリング間隔を1とした場合に，デれを，例えば，ある日を含めて8日前までを集計してータの補間を考えないケースでは，ウェーブレット関

時系列として表現すると，フラクタル性をもつことが数￠㌘（f）の最小の台は1となるので，研＝−4，−3，−2，−1，0などとなる．この場合は〟＝5である．ま

示される．この理由としては，日々の需要がランダムに（Gaussian Noiseとみなす）発生しており（ON／た，＆はlog（ひαγ（∬若））の最大値と最小値との差であOFFソースであると考える），これを数日間にわたり，この値により2来平方誤差を正規化している．

り累計することにより多重化され，fBmとなると解フラクタル時系列である条件であるスペクトル形状釈される．

を検査する場合に，ウェーブレット係数の分散がウェ

ただし，日曜祭日や，取引が極めて少ない目についーブレット係数のインデックスの回帰直線にどれだけては，データサンプルとしてそのまま残すと，短期的近いかを検証することにより実行できることを示した．
しかし，これはあくまでも線形モデルでフラクタル性な相関を発生しフラクタル性を無くす原因となるので，を検証したにすぎないので，非線形モデルまで含める

これらの日はデータから除外した．

建材の種類を60種類とり，それぞれについて次のと，更に別のモデルを当てはめることも可能である

ようなデータ集計を行い，ウェーブレット係数から計［14］．

算したβ∽の平均値を求めた．

フラクタル時系列について，式帥のβぴを計算する（ケース1） 日々のデータと，理論的にはゼロになる．しかし，実際には計算誤（ケース2）4日単位の集計データ

差などが含まれるので，有限の小さな値となる．コン（ケース3）ある日を含めて8日前までを集計しそ

ピュータシミュレーションにより発生させたfBmにの日の値とする

ついて式即の斤びを計算すると，平均して約0．006と（ケース4）ある日を含めて15日前までを集計しなる．従って，この点びの値がどの程度以下であればその日の値とする

表3 ARMAモデルにおける斤び（時系列）
表4 ケースごとの斤∽の平均値
p

3

2

2

1

1

1

q

2

2

1

2

2

1

月ひ

0．057 0．037 0．034 0．052 0．129 0．046

ケース
月ひ

1

2

3

4

0．118 0．018 0．019 0．011© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

2000年2月号

（7）55

200

0

400

m6 u5

600

皿4

800 1000

−3

−2

0

1

0

−6

200

400

−5

600

800

w4

1000

−3

騨2

−1

m

m

図2 ケース1の時系列の例しL）とlog（〃αrJ詳）の

図3 ケ…ス3の時系列の例（上）とlog（ひαγ（ヱ芳））の特′性（下）

特性（下）このようにして得られる忍びを求めたのが表4であfBmについて式（20）のβを計算した場合と比較すると，る。また図2ヲ 3には，ケース1，3の代表的な例につ偶による変化が見られ，現実に適用する場合には注

いて，需要を示す時系列データと9 プ服を横軸にlog意が必要であるせ フラクタル次元については説明を省（ひαγ（∬芳））を縦軸にとった場合の図と9 これに当ては略しているが，ケース2では約1．9，ケース3，4でめた回帰直線を示しているゎ

は約1亡7となっている。

この衷4よりわかるように，ケース1以外は時系列にフラククル怪が見られる。すなわち，日々の需要値4。2 臣∃々の需要の性質

はGaussianであるが，4日単位の集計値や9 ＝々の需要カーブを通信トラヒックにおける0Ⅳ／0甜「ソースの多重化とみなした場合には，日々の需要が需要を最低8，15日間累計してその日の値とした場合

Gaussianで近似できることが前提となる。そこで，には，フラクタルとみなすことができる。なお，表4

以下では本研究でとりあげた例について，日々の需要

では平均値を示しているが，多くの建材で9 ケース2，の性質を調べてみる。もちろん人工的なデータではな

3，4について顕著なフラクタル性を示していること

いのでヲ 近似的な視点からの分析となる。なお需要デがわかる（厨∽の分散は0．013であり極めて小さい）。

ータによっては観測値そのものではなくその対数値を

なお，表としては省略しているが9 式（20）で計算する

βについては，∽にかかわらず−一→定借とならなけれ

とった方が近似できる 叶酷性が高くなるケースも存在する。

ばならないが，ケース2，3，4ではほぼこの条件が満

この検査には，G喝プロットによる判断を用いてい

足されている。ただし9 理想的なフラクタルであるる。表5にはQ￠プロットによる解析において傾向

56（8）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ◎リサーチ0理想的なフラクタル時系列と異なり，相互に縮小拡

表5 0Qプロットにおける傾向緑陰去後の最大残差と平均大の関係にある区間（3．2で述べた1，右）を見出す

ことが，やや複雑となる．予測をする場合には，れそのまま利用 対数値を利用
最大値

0．81

0．80

平均値

0．19

0．18

の区間でインパルス応答を計算し，これを右における時系列に適用するがこの組合せが適切でない場合には予測誤差が大きくなる可能性がある．
この間題については，簡略化されたアルゴリズムにより，もとの時系列∬（f）から最適な部分系列を抽出

Aの正規Q−Qプロットする方法を用いている．まず，∬（f）を∂倍だけ袖にそって縮小しておき，更にこの振幅を1に正規化した
時系列をz（f）としておく．観測の開始時刻である笑をゼロから一定の値だけ増加させながら，時系列
J（≠）の部分（n＜チ＜n）を求め，これを同様に振幅が1になるように正規化しておき，Z（f）との差が最
−1

0

1

2

3

4

図4 日々の需要のQQプロットの例

5

小となるn，℃を求める．
（3）インパルス応答の計算時間

式（10）においてモデルを最適化するために，逐次近似線を除去したあとの残差の最大値と平均値を示してい計算によりインパルス応答を計算する必要がある．文る．需要デ｝タは60種類の建材であり，表5ではデ献［8］［9］においては，この計算を精度良く実行するたータをそのまま解析した場／合と，データの対数値をとめに繰り返し計算の回数を20000回としている．このった場合の，それぞれの残差の最大値と平均値を示し

計算時間はかなりの負担となる．しかも，建材は多種ている．また，図4にはQQプロットの1つの例を類存在するので，それぞれの系列ごとに予測をする場示している．表5よりわかるように，00プロットでノ鋸こは，この計算時間が問題となる．

は特に大きな偏移が見らず，日々の需要はほぼGaus−

これについては，繰り返し計算の回数を減少させる
ことにより解決した．具体的には，計算回数を500回

sianで近似できることがわかる．

なおデータの検査にはズ2検定を利用することも考程度まで減少させても，予測には大きな影響を与えなえられるが，一般にデータ数が大きくなるとズ2値はいことが多くの数値例より確認できる．これにより大大きくなり，検定の結果に影響を与えるので実施して幅な計算時間の短縮がはかれる．
以上のことを考慮して，建材需要の予測について実いない．

施した結果を表6，7にまとめている．図5には予測

5．需要予測への応用の例を示している．

これよりわかるように，建材需要はfBmのような5．1需要予測の特性
次に，予測手法を実際の需要データに通用する場合

理想的な挙動は見られないが，予測誤差も線形予測にについて考察する．予測手法としては，節4．1で述べよる結果よりはかなり良好なものとなっている．また，たケース3の場合の集計データに対する予測を用いる．

fBmの乃ゐ時刻先の予測については現在の時刻からか

需要データはフラクタル性をもつが，需要のデータ特なり離れた時点でも小さな予測誤差となっているが，有の問題点を持っている．以下にその概要を示す．

建材需要の場合にはこれが約20時刻までは保証され（1）トレンドの除去

ることになっている．従って，現在から20日先まで

需要カーブは一般にトレンドを含んでいる．多くのは予測が可能となる．現実には需要予測は15日をめ場合は単調な直線で近似される．本研究でとりあげてどに見直しを行っているので，運用上では支障がない

いる例では，ほとんどのケースで直線により傾向線をと考えられる．

近似してさしつかえなかった．時系列の関東台と終了の

なお，建材需要をサンプリングする場合，そのサン時点での値を考慮して傾向線を計算する方法をとった．

プル数はいくら必要であるかについては，次のような（2）区間n，右の選択ことが経験的に言える．

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（9）57

表6 建材需要の∂時刻先の予測誤差（α＝2）

6。むすびrl＝200．苅＝300 れ＝400

本研究では，フラクタル時系列の性質を用いた建材

1．21

予測誤差

1．39

1。17

需要予測の−一手法を展開するとともに，予測誤差，フラクタル次元の推定を示し，住宅建材の需要予測へと

表7 建材需要の乃ろ時刻先の予測誤差（α＝2）

応月＝ノた。その結果建材の需要に固有の要因を考慮し

花わ＝10 mら＝20 γ乙ら＝30 mら＝40

5．7

予測誤差

6．9

15．6

7。2

て適応的な修正を加えることにより，線形予測よりも良好な予測値を与えることを示した。

今後の課題としては，他の種類の商品の需要データへの適用と9 時系列をデータベースとして構成し需要のパターンを検索する場合への利用などがあり，検討を行っていく予定である。
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100

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図5 建材需要時系列のゐ時刻先，犯∂時刻克子測の例

sourcelevel ，プ互EE／ACM Transaction on Network−
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［9］時永祥三森保 洋∵宮崎明雄，島津宣之： スケール伸こと。

（2）使用できるサンプル数が最低でも500個あること。

長変換およびウェーブレット変換によるパラメータ推定（3）データより計算される時系列がフラクタルであるを用いたフラクタル時系列予測 ，信学論（A），J79−A，12，

ことが必要であるが，サンプルの多くがゼロに近い値

pp．1−9（1996−12）．

であったり，需要がない牒が全体の1／8以上含まれている場合は方法を通用できない。

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