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文献抄録|
Brei町lan，

LeO:Th泡Poisson

Traffic Distribution ,A叫 n.

Tendency inM，α th.

Stat. ,34(1963) , 308‑‑311.
Th氾deen，〔定理J 仮定 (a) ， (b) , (c) のもとでlimP(Nt(I. )=jν， ψ=1 ， 2 … ， n)n À: ν=0 ー0-7" e ーん

Torbj rn:
ANoteonThePoiss制1Tendency inTraffi
c Distribution, A叫 n.
Mα th. f党αι ，vo.
135(1964) , 1823‑‑
1824.

前者は 1 車線道路上を自由走行している車の任意の長さの空間内にある台数は初期の位置のいかんに拘らず以下のべるような仮定のもとで時聞が経過するにつれてポアソン分布に近ずくととを証明し，後者は全く同じ仮定のもとで時聞が経過するにつれて車の位置はポアソン過程になるととを証明した。後者の示した定理は前者を含むものであるが，その証明の大半は前者と同様でありただ補助定理の証明が異なっているにすぎない。

開1Jν!ととでん =σJI， Jとの定理の証明には ， Xk(t) を時刻 t で k 番目の車の位置とし ， Xk(t)eI. を k 番目の試行で ν 型の成功ふが生ずる事象 ， Xk(t)$I1 UI2 U' ・叫んを失敗 F の生ずる事象とすれば，時刻 Z で無限試行
Zlω， Z2ω，…を考え，試行は初期状総 X!， Xa ， ・を固定するとき独立であるから結局P(Zk<り =S，)=Ph<B) (ν=1 ， 2，… .n)aP(Zk<')=Fつ =1- L: Pk~<')についての或制限のもとで S， の起る回数 N叫が

時刻 t=O での車の位置を負軸上で Xt， X2 ， ……とする。これらは stochastic pointprocess の観(1) limP(N， t=jν，n/ν
ν=1.2，…，叫)=0 づ~e ーん,, =1測値である。との process について次の仮定 (a) ，.
11J!となればよい。従って補助定理として次の十分条件(b) , (c) を設ける。

をあげている。

(a)pflim 豆盟旦こ同内にある Xk の個数 =σì==l'‑.
.
.
‑8:c)

ただし σ>0 は定数。

〔補助定理ユ00(1) lim L:Pk ぷ四)=À
m- ∞(b) 任意の区間 I(有限の長さの〉に対して(z) limsupPk'(時)=0間→∞

L: P(XkεI)~玉且f(11=1 ， 2. …，叫)k-l

(ν=1.2. … .n)kならば (1) が成立する。

k

ただし M は I の長さのみに関係する数。

Xk には速度れが対応し ， {Vk} は互に独立でかつ {Xk} とも独立な確率変数列で共通分

これは次元ベクトル確率変数の母関数を用いて簡単に証明してある。(鈴木武次〉

P.1. WeldingandD.J. Day:Simu
lationof

布(P(Vk<VJ
G(v)=~。>0)(の孟 0)(c) 的)=J:g州叫， g(明)は a.e 連続で，念場合にしか使えない。車両・乗務員・運売掛・乗客のランダムな乱れを考えると，どうしても，シミュレーションに頼らざるを得ない。

任意有限区間上で有界。

It. I2 ， …… ， In を任意の互に重ならない空間上のIIt!， II21 ， … "， IInl は間合いの要素
停車時分

ホームに到着して停車してから，再び発車するまでの時分.

有限とする。
Nt(I.) を時刻 t で区間 L 内にある車の台数とナれば次の定理が成立する。

GazetteInternationalJune4.1965;43ら~441
現在用いれれている線路容量の式は，すべて正常に従う。

区間とし，それぞれの長さ

UndergroundRailway Operation. Rα ilwα y

平均30秒(実績).

プラットフォーム空き間時分

ホームにあった列車が出発してから，つぎの列車が到着するまでの侍© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

207分.

平均60.秒(実績).

t 凪2.)

到着へッド第 1 の列車の停車時分+プラットフ
ォーム空き間時分.

出発へッド

プラットフォーム空き問時分+第 2建の列車の停車時分.

~T

いずれにせよ，停車時分+プラットフォーム空き

暗間時分の和が 3 分をとえると乗客整理がむつかしく向なる。

ぷ

サーピスの質の基本条件列車の到着等間隔がどの位守られるか。始発駅の出発が等間隔でも，駅間運売時分と停車時分の変動により，途中から到着が不0等間隔になる。
駅間運転時分

実態調査

1963年 7 月，CentralLineのMar­

bldArch‑LiverpoolStreet 間(東行〉で 5 晩にわたり調査した。ダイヤ面では 2 分ヘッド，乙の区間 9 駅を 16分で走行する。
先行列車による制約図 1 のように(i-l) 列車

が 0+ 1) 駅を出発する時刻から ， i 列車が j 駅を出発する時刻を引いた時間差を d とする。

(阻 1)

瓦ι---".Á

eij : 他のランダムな変化(ぬとの j は平均値ゼロ，標準偏差既知の正規分布〉
停車時分モデルラッシュ時には停車時分は乗降により影響を受ける。また，先行列車との間隔にも影響を受ける。調査の結果，停車時分はプラットフォーム空き間時分に比例している ζ とがわかった。実例!から，
ぷ J= α jPiJ +bJ+gi+Tij
Sij

列車の j 駅における停車時分

PiJ :j 駅におけるプラットフォーム空き間時分，(i- l)列車出発後， i 列車が到着するまでの時分

距αj と bJ :j 駅における旅客の状態と駅の設計に

秘の乗務員聞のランダムな差の効果より決まる常数η J : その他のランダムな差による効果〈のと 7・ ij とは，平均値ゼロ，標準偏差既知の正規分布である。なお，先行列車によって影響される〉

時由との d と ζ の駅間の運行時分との関係をとると，
図 2 のようになり ，t10j まではりだが ， t10j を越すと越した時分だけりが増えてゆく。そとで，とCentraI Line のシミュレーション
上記の関係式を用い，列車の特性が等しく，同一方向で停車駅もダイヤも同じ場合，ラッシュ時のシミュレーションができる。の増分は ， t1i
J- t1 øj と念る (t1 tJ は実際の遅延時ある時刻にまテけるある列車の位置は分〉。

1.

実験計画法を用いて調査したが，列車問の差や運転士聞の差が大きくきいていることがわかった。

〈この 2 要因の相乗作用より列車聞の差の方が大きい)

最初の駅をいつ出発したか?

2. 駅間の走行速度

3. その前の駅の停車時分
4. 先行列車の位置て決められる。 Ferranti Sirius に対してフ。ログラ

還行時分モデル1+(L1iJ‑LOJ)+ ぬ +eiJ ・ H ・ H ・.....・ H ・..( 1)

ムを組み， 30列車を 1 プロックとして(各ブロック

TJ : 駅 j と(j+1)の聞の平均自由運行時分(先やってみた。始発駅の各列車出発時刻は，との駅のt
ij==TJは 1 晩を表わす)，

ここで行列車による制約がない場合の〉ゐ:運転士閣のランダムな差の効果

MarbleArch-Bank 関東行で出発ヘッドの実際分布からサンプリングで求めた。
i 列車の位置を決めるためには ， (i -l) 列寧の位

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置……といった具合でo 列車の位置を決めなければならないが， 30列車のうちのはじめの 5 列車を除ている車の間隔にある程度の開きがあるときにのみ横断，割込み等をするととができる。したがって，

くと，得られた結果は任意に決めたはじめの列車ととの種の横断に際して生ずる遅れ，または細い道路は全く無関係になるととがわかった。そこで各系列にできる行列等を議論するには，主要道路を走る車のはじめの 5 列車を除いた25列車について結果を求の間隔，つまり車頭間隔(時間を単位に測るときはめた。 10晩についてやってみたが，よく実情とあっ車頭時間〉の分布がまず問題になる。はじめに，こている。の車頭間隠分布を取扱ったのは Garwood(1940) でVictoriaLine のシミュレーション
とれから建設される Victoria L
ine (Victoriaｭあり，その後 Tanner(1951) ， Mayne(1954) , W
eiss-Maradndin(1962) ,Oliver& Bisb田 (1962) ，Wa1thamstow 間 12駅)のうち Victoria ‑ S
evenGaver(1963) などによって扱われたととをまず簡単

Sisters 聞の 9 駅でやってみた。停車時分は (2 )式に紹介した後，との論文では Tanner(1962) によるを用いたが，考え(主道路を通る車は，一般に“ダンゴ"を作っα J ， bJ , Ci ， ηj は現行の線区から得られた数値を使った。ている)を継承しているととを序論で明らかにしてVietoriaLine の特長と製表方式いる。

乙の線には自動運転が行われることに友っているダンゴ (bunch という〉の数は確率変数として与えられ，のでとれも入れた。

その母関数は K(Z) であるとする。

異製表は各列車の各駅にまテける出発，到着時刻を表なる bunch は互いに独立であるし，また他の変量わすものと，各駅にJs-ける出発到着ヘッドの分布図にもすべて独立であるとする o bunch単位で考えるとの 2 様式とした。と，それは平均到着率んの Poisson 到着，シミュレーションの結果

点、における「赤信号J

第 1 の目的は，普通の状態で 1 時間に 30本という交差(側線からの車が横断できない期間)の長さ R は分布関数 F(t) にしたがう確列車計画で乱れがどれ位になるかを調べるととであ率変数，った。シミュレーションの結果から，基本的な 2 分にしたがうと仮定されている。側線からの車は「青ヘッドの場合信号」のときにのみ通過でき，かっそれに要する時

Oxford Circus 駅で北向では 3 分

I青信号」の畏さは平均 1/ んの指数分布以上になると乗残しが生ずるが，こういう乙とは，間は O とする。しかし.その後品という時間は，次たかだか 4% しかないととがわかった(なJs-，列車の車は通過できない。の乱れは従来程度のものを予想している〉。

第 2 の目的は，ラッシュ時の最小ヘッドを討プナ

1 台の車が交差点を通過した後，次の車が通過できるまでの時間(もしその機会をとらえるとのでき105秒， 120 秒と 3 種類とっる事があれば)は，待ち行列モデルに辛子けるサービた。 105 秒以上では問題がないが， 85秒ではムリで，ス時間と考えられる。 Gaver はこれを Completionるととであった。 85秒，

平均のヘッドが 14秒増加するととが，わかった。

time と称したが，将来への応用分布のLaplace 変換を求め，シミュレーションは，新設備完成前に業務の様子を予測するのに役立つ。しかし，については，もっと複雑念場合もっとフ。ログラムを大巾に拡張変更し念ければ念ら左い。と結んでいる。国鉄でも森口繁一教授にお願いして，通勤輸送のシミュレーションの研究を既に 3 年にわたりやっているのてe興味深かった。(矢部真〉

行列台数の母関数，この論文でもまずこの量 ο のそれを用いて，待ち待ち時間の Laplace 変換を，平衡分布が存在するとの仮定のもとで計算してある。

ζ れから， Pollagek の公式に似た平均待ち時間の公式がえられるが，これは仮定から当然予想される結果でもあろう。もし

1 台づっ到着したときには平均待ち時間は否=会葬斡寸ム J. 2E(σ2)
亥耳石町 a 亥1- J. 2 0)

Hawkes, A.
G.:QueueingforGaps inTrafｭ
fic, Biometrika , 52, 1& 2, (1965) , 79‑85.
主道路に細い道路が交わっている交差点では，細い道路から来た車(又は歩行者〉は主道路を通過しr , ë はそれぞれ E(R) , E(のである。更に，

到

着が bunch で起る場合にはその平均待ち時間伊は

w= 否+血盟主{訂~‑Jμ\2(1- J. ,u ë) I

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2209となる。ことで， μ は bunch の平均個数， μ(2) はその 2 次の factorial moment である。の要素，第 2 段で叫 d固の要素を使ったときの cost=<J1jn1+<J 2j 向 (j=l ， … ， r) とその場合の(森村英典)<J j( 四 10 n2)

Proschan , FrankandT.A. Bray:Optimum
Redundancy under Multiple Constraints,
印刷.

さきに Kettelle は制約条件が 1 つだけの場合にの方法を示した (Opns.
265) 。この論文では，

redundancyallocationRes. , 10 (1962) , 249‑

制約条件がもっと多い場にまで Kettelle の方法を拡張している。

ナなわ

ち ， k 段からなる系があって，との系は各段がいずれも正しく動作するときにかぎって動作するものとする。そして第 i 段は i 型の要素別個を並列に結んだものであり，また i 型の要素 1 個当りの γ 種類の‘cost' J<ij (i ニ 1 ，… ， k; j=l ， … ， r) を考え，
‘cost' に関ナる T 個の線型の条件

m と n2 の各組合せについて計算し，

ζ うしてーdomiｭ

natedallocation(n1 , n2) を消していくと残ったもdomioatingのが第 1 段と第 2 段の要素に関するsequence である。との sequence を横にかき並べ，第 3 段の要素のcost と reliability を陶=叫30 ，向。十

1 ，…について縦にかき並べ，これから第 1 段，第 2 段，第 3 段の要素に関ナるdOIIÚ­natin
gsequence を求める手順は上と同様である。
この手順を繰り返すととによって第 1 段から第 k 段までの domioating sequence が求められ，

こうして得られた allocation

unｭはすべてstrictlydominated であり，逆にすべての stric t1 y unｭ

dominatedallocation はとの sequence に含まれzL10刊さり j (j =1 , "'， γ)るととが証明されている。従ってこの seguence から与えられた cost <J1o… , Cl に対する optimun re ・のもとで系の信頼度dundancyallocation が求められる。

kP(n)=lIunreliabilityQ(n1on2)=1 ー (1-q1 nl )(1-q2町〉を枚の表をつくりあげる。との表で strict1 yRes. , 13, 5, (1965).

系の信頼度を最大にする

おける値を縦にかき並べ，これから第 1 段で m 個

cost の条件の数は 3 以下，

この方法で(l‑'}ini)

各段の0
要素の数は 10 以下で最大 64 段までの問題を IBM 7を最大にする叫 h …，川を決ナる 1 つの方法を示し

90 で計算するている。ここに '}i は i 型の要素の故障確率であflowchart が示されているが，り.

段の要素の数制はある starting value 制@以上

もちろん各要素は独立にはたらくものと仮定している。

programがつくられており，そのそれに先立つて各で考えれば十分であり，また近似計算

その方法はの Kettelle 論文の方針にそって red­Q(n" …，叫.)2ó: Q( 叫 1 ，…， n.‑l)+q.n.

undancyallocation 叫 =(nlo …，川)の dominatingを使うと，計算の精度をほとんど犠牲にナることなsequenceS を求めていくものであるが，いまはし計算量を相当節約できること，さらにまた costdomination の定や reliability の比較にある tolerance limit を設

cost の条件が γ 個であるから

義を次のようにする。まずり (n)= I:~=向 j 耐とまテくとき，ある 2 つのと d に対して

redundancy allocasion 叫 1

P( 叫 1) 二三 P( 叫りであり.

かっすべての j (j=l , …, r) についてり(叫りさり (n 2 )がけ，そのlimit

以下の 2 つの数値を同じものとみ

なすと dominating sequence の数も少なくなり，扱いやすくなることが述べられ，実際に計算した経験的なデータも示されている。(阿部俊一)

なりたつならば，がはがを dominate するとい

い，特にこれらの式のうち 1 つでも不等号がなりたつならば，がは d を strictly にdominate するという。

乙の定義から，例えば第 1 段と第 2 段だけについてのdominating sequence

1 段の costを求める方法は，第<J1jnl (j =1 ，…，ゆと reliability (1‑q1 n1 ) の向=帥 1 0 ，向。 +1 ，…にまT ける値を横にかき並べ，<同様に第 2 段の cost J)
2jn2 (i =1 , …, rと re 1i ability (1-q2n2) の叫 2=n2 0 ，四回 +1 ，…に© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.