旧日。の図書館にある茶棚 低 どの大きさだっ ゐ コンピュー タはヅートザ ソズ に縮んでし｜｜：｜｜ll l l｜｜ll・l｜｜｜いものの，少なくとも時間のうち。 C 解くとどができることを紹介しようするように妥ぐなつたっ東 お陰で，上でするには インターネット

今でば数万 愛薮 の 綴 形計

M解げでしまうりさ-

らじて 鼠 遍化ゴード が線形計画問題でも ゾプァに縄ゐて解 洩 できる。―昔前
究 環境が実現し ゐ ようにも ぽ、えゴリズム が溌 表されたのは 1964埠 のことであるの 山 集合上低おげる 凹 関数の最小化問題を解くために，
Tu" は凹 の中で 2 つのアルゴリズムを撮 菓 している ; ―れるのは四関数を 凹 集合上で最COnCa 卜 tyTutど』 般 には象とする場合だ げ，山，"nいるように大域的さに差し ぬ 傘の上の雨粒

撮 小点を 艮 つけだすこどは ( たぶん ) 難し

的関 敬が凹関魏 になると，ところから 滴 って凹 ・こ。

h 山 mLb 。 "ndmethod)

Inetho 寸);である。その後，

巧う―
凸計画 法

(outer approximationmethod)
60 箪 代に開発されたこの 3 つの手法が今が加わるが，山っ で卦四 計画法の主役を続げているの亡と )・

ゐ いのは Tuy[gl のさて，この節で紹介しく( 詳しくば日をlk と SOland の分校限定法川と最小点がい ぐつ古 美行 可は 2 次元の問題だから 雨とろを―つ - つ 列挙 す賄 lk-S" 8an 口のアルゴリズム山が 敬 える 凹 最小化問題、にば

下に示すような 沙し将 別 な構造が必要である。

:最 パト イヒア(g@)玉 Z =" 乃 (zJ)
ヌ条件z e D

ば コンパクト な凸は 円関数であるが " 90) 成分り違それぞれの 凹関薮九の 和として表されなけれ ぼ ならない・( "Pambl 。，であるというが，，このとき ア は公 離( j のように分離可能、

凹昂 小化問 題ぱ 後述ずるように ネヅ トワーク 流 問題な
どの中に東ぐさんある・
大学電子情報工学系

ﾑq 05-Q研 3 っぐば 南天 玉 台 1-1『アルゴリズム ば，ずD

値，; と上累値巧 を計算し，ｱ における各変数

巧の 下罪

D を含む矩形 M を定める、

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オ ベレーシ 。シズ。りザーチ

を解くことでJの下界値Jの得られることがわかる．同時に（4■）の最適解盃は（1）の実行可能解でもあるから，J（岳）＜JOならば暫定値をJO＝、r（ 虚）と更新できる．

次に効率を左右するのはステップ2における〟たの分割法である．これには様々な方法が提案されており，中にはアルゴリズムの収束が保証されないものもある［2】・
最も簡単で確実なのは，
β∈argmax（ム（互卜刊（′豆ノ）lJ＝1，…，γ1）

に対し，区間［J告，uき】の真ん中で矩形〟たを2分割して〟r＋1，〟叶2を生成する方法である．

図1凹関数￡と下包関数仇

ここまで説明すれば，整数計画法を少しでも勉強したことのある人なら誰でも，このアルゴリズムが線形整数

この爪オを，通常の分枝限定法の手続きにしたがって，い計画間魅に用いられている普通の分枝限定法とそっくりくつかの矩形達なことに気がつくはずだ・つまり，下界値fを求めるた
めに解いた凸最小化間魅（4）は，（1）の子問魅：〟た＝（疋∈R柁l！た≦把≦㌦），た＝1，…フr，最小化J（′疋）に分割して行く．つまり，以下の3つのステップを繰り（5）条 件 影∈β∩凡才た返して最適解を含む領域を絞り込むのである：の緩和問簸であり，整数計画法における変数の連続緩ステップ1．適当な矩形凡才たを選ぶ；

和が，ここでは凹関数ムの下包鋸をとる操作に置き代わっただけなのである．ただし，整数計画法とは違っステップ2．β∩凡才た上でのJの下界値fが暫定値JO以て一般に有限回での収束は保証されない．そのため，上ならば〟たを捨て去る（限定操作）；

ステップ2で行なう〟たを捨て去るかどうかの判定は，J≧JOではなく，あらかじめ定めておいた許容誤差∈＞

ステップ3．f＜JOならば，几がを2つの矩形〟叶1，0に対して凡才叶2に分割する（分枝操作）．

f＋∈≧JO

効率の鍵を振るのはもちろんステップ2における目的関数Jの下界値fであるが，その計算には′の分離可能で行なうことが多い．その結果，アルゴリズムの出力性が効力を発揮する・まず，各ノに対して（7吾，研ぎ））とがは厳密な最適解ではなく，亡一最適解（e−Optimalsolu−再訪叫））を結ぶアフィン関数鋸を定義する：

tion）と呼ばれる・しかし，ここで注意したいのは，が〜‖一鋸（が発見的な近似解法によって得られる局所的な近似解で′J（可）−J（J‡し．．可J（〜タト‖J、‥′（2）′′トアユ●

はなく，大域的に見ても真の最適値との誤差を∈しかもたない点である．その意味で，このFalk−Solandの分枝すると図1からもわかるように，区間牲堵では鋸の限定法は大域的最適化に分類される．

値がムのそれよりも大きくなることはないので，2．2．Solandの廉価版

ダ（諾）≡∑；＝1鋸（肥）≦J（諾）フ∀影∈凡才た，（3）分離可能な凹最小化問題（1）を解くには，それと同じような制約条件をもつ凸最小化問題（4）をいくつか僻けが成り立つ・このように定義されたダをJの〟た上におばよいことがわかった．「同じような」と書いたのは，ける下旬関数（lowerenvelopfunction）と呼ふ 式（3）か（4）忙は（1）にない新たな制約疋∈〟たが加わっているら直ちに，凸最小化問題：からである・ところが，この制約のせいで（4）がずいぶん解きにくくなってしまうことがある．

最小化 タ（影）条 件 諾∈β∩〟た
1999年5月号（4）

例えば，刀がネットワーク流によって定義される凸多© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（11）233

り立つのでフ ∫○≦ノー（壷）≦ノ†＝∑Jタ．才（斎J）となって几が面体で，因的関数ははステップ2で捨てられているはずである．

∴・−＝二 ●二、・∴∴∵∴ご・）

このような方法で矩形凡才の分割を進めていくと，朋によって与えられているとしよう由 ただしタ ∪≡1J盲ニが凸多面体ならば義はその端点となるので，凪が達の各ilフ…ヲm）であ計∴新たに椚個の変数

辺［gタフ碩の両端はβのいずれかの端点と対応することになる．ところが皿の端点の数は有限僻しかなめ．した・二 ・． ・「㌧がって，生成される財んの数も有限個となり，分枝限定法は誤差巴を考慮しなくとも有限回での収束が保証されを導入すれば，問観は暫に関して分離可能な凹最小化問る。このときの出力α○はOM最適解，つまり厳密な大域題となり，Falk−Solandのアルゴリズムの守備範囲漉入

的最適解である，る申 しかし，その中で何度も解かれる凸最小化間艶（3）には・・、■∴・：こ；J・．・・

亡、−こ．−∫・・′・J∴・− ・ ・ミ・
30年も昔の大域的最適化アルゴリズムを2つ紹介したなる館帯制約（sideconsrai‡止）が加わるた軌 せっかくのが，果してその実力はといえば，［1，8］を紐解くかぎり，ネットワーク構造は破壊されて利用できない。

おもちゃサイズの問魅がいくつか解かれているだけで魅

そこでSolandはこの厄介な制約（6）を無視してしまっ

力に乏しめ七 しかし，その実観は30年も昔のコンピューたp つ優り，（4）の代わり陀タを依って行なわれているのである・2つのアルゴリズ
ムを現代のノート上でプログラムして実験してみれば，最小化 タ（脛）■−・・

条 件 お∈β

その意外な効率のよさに驚かされるに違いないモ

さて，この2つの分枝限定法，一体どちらが優れていを子問題（5）の緩和問題として提案したのである［8】D 間るだろうか？両者の用いる下界値f，fに（8）の関係が魅（7）の実行可能領域は（4）の部分飽食なので，（7）の最あることから，生成される分枝木はFalk−Solandの方が適値をグとすれば，fおよぴ（5）の最適値′＊との間に小さいことを予想できる．しかし，Falkの方は元の間泡構造を存分に活用できるうえ，刀が凸多面体ならば，

ヂ≦∫≦∫＊（8）各緩和間邁を解くのに強力なパラ〆睦びッ夕顔用単体法の関係が成り立つu したがって，下男剛直の精度はわくら（parame七ric cosもsimplex method）を使うこともできか悪くなるものの，分枝限定法の各ステップで∫は∫のる叩 そこでタ この節では馳1kのアルゴリズムの利点を代役を立派に務めることができるのであるひ また，（7）

清かせる2つの非凸計画問温を紹介し，古興的な方法には元の問題構造をその蔑ま引き継いおり，制約条件が常よってアルゴリズムのリニューアルを試みよう・

匿同じである。そのため，その最適解義は次の反復忙おける緩和間魅の初期実行可能解として利用することもできる止 さら把βが凸多面体であることを仮定すれば，以凱且。生産輸送間領
難itchcock型輸送問温で，流入ロゼ＝1，‥．フmと流出田J＝1，‥。フmをそれぞれ工≠象 倉庫に見立て，生産下に示すような棚ぼたもあるり

それ把はステップ3での分割方法を少し改め，と輸送に関わる総費用を最小化する問題を生産輸送問題（productiorl】もramspo班ationproblem）と呼ぶ：

β∈a・rgmaX‡ん（意J）一鋸（斎J）＝＝1っ…ファー）に対する区間緻鵜］の，責ん申ではなく，斎βを墳にして且居たを2分割する．つま勘∴新たに生成される矩形
財叶且とゴぼr＋2のβに対する辺はそれぞれ最相佃野）＝∑≡1（∑；＝竺C拘＋柚））条件∑芸挿・ブ＝野元っ

2＝1フ…うアれ（91）、−∵ ㌧ −・・

ゴー： ′・濫≧叫の≦即≦臥【g；＋且ヲ朋・：＋1］＝［g警ヲ孟β］，匿＋27′〜よ；＋2】＝［盃βヲ撒

各工場哀の生産費用カは，規模の経済の働き陀よって単となる．問題（7）には紆∈朗戊を要求する制約がないの

調非減少な凹関数が仮定される・各工場盲から各倉庫Jで＼二㌔が区間鵬■穏の内部にあるとは限らなれ しかへの輸送費用は線形であるが，線形関数も凹関数なのでし，その癖合，任意のj陀対してプj（孟J）≦ダブ（蓋J）が成（9）は分離可能な凹最小化間泡である・この間温のネット

認詔亀（12）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ0リサーチ

ワークに頂点5を加えて各流入口才と枝（β，りで結べば，ラグランジュ乗数入の値としては様々なものが考えられ60年代後半から70年代にかけて盛んに研究された最小る（例えば【5］）が，ここではfよりも強力な下界値がわ

凹重用流問題（minimum concave cost負ow problem）

ずかな手間で得られなければ意味がない．そこで提案すに帰着されるが，（9）では線形費用枝の数7乃n一に比べてるのは，線形計画問題（10）対する双対最適解の利用であ非線形費用枝の数mが著しく少ないことが大きな特徴

る■つまり，制約∑吏ご占J＝みJに対する双対最適解ijをとなっている．また，工場の数門？が2に固定されれば，（11）のラグランジュ乗数入Jの値として用いるのである・

問題（11）から制約お≦ぁと即∈〟んを取り去り，（9）は0（門・logTl）の計算時間で大域的に最適化できるこ

さらにJ盲をその下包酌に置き換えれば（10）のラグランとも知られている［10］・ジュ綾和間送が得られる・ところが（10）は線形計画問魅問題（9）に対して分枝限定法を用いる場合，輸送費用は線形なのでy−空間の矩形〟＝†y∈R −】0≦y≦なので，そのラグランジュ緩和問題の最適値は入＝えで祝）にだけ分割を行ない，最大値Jをとる・図1に示した差と飢の関係，それに追加されている制約お≦あとy∈〟たの影響から，入＝〃た＝（y∈Rm】Jた≦y≦視た），た＝1，…，r，iとしたときの（11）の最適値才人は，子問題の最適値′＊を生成すればよい・区間［Jぎ，視ぎ］における木の下包飢をと（10）の最適値fに対してとってSolandの綬和問題（7）を求めれば，〟た上の子間監は結局，通常のHitchcock問魅に緩和されることがJ≦J入≦ノー寒（12）わかる：の関係を満足することになる［6］・最小化 ダ（影）＝∑≡1∑芸1毎句＋d条 件 ∑完1∬去J≦′昆i，盲＝1

ラグランジュ緩和問詰（11）を僻けば，、rよりも優れた，・‥，〝1（10）∑芸1J盲J＝あj，ブ＝1，・‥，n下界値J入の得られることはわかったn しかし，（11）の目的関数は厄介な凹関数である．実は，このことも恐れ諾≧0．

るにたりない・問題（11）はm個の凹最小化問魅：

ただし，ダの各定数は下のようにまとめてある：
最小化 ∑完1C玉ノ（入）こと盲J＋J血i）

Ji（叶トイ障条件∑沌ⅣJ壷メ＝机＼ノ0≦ご盲J≦あJフJ＝1フ…，陀，J㌘≦机≦ポり

d＝＝≡1（脚㌘）

忙分解できるが，このそれぞれはm ＝ 2の生産輸送こして得られた（10）の構造には満足できるが，それが与問魅（9）にはかならないのであるt したがって，（13）はえる非力な下界値JはSolandのアルゴリズム最大の弱0（mlogγl）の計算時間で解決することができる［10ト こ点である．それでは，その下界値を強化するには一休どれより，ラグラジュ緩和による下界値f入は，Hitchcockうすればよいだろうか？

問題（10）に要する手間に加え，0（mn．logγ−）だけ余計な問題（10）が整数計画問題に使われる普通の分枝限定仕事すれば得られることになる．

法の連続緩和に相当することは前節の申に述べた，整数

このラグランジュ緩和を組み込み，JとJ入の2段構計画法に照らして次に思いつくのはラグランジュ緩和でえで限定操作を行なう分枝限定法の実験結果は［7］に報ある・各Jに対してラグランジュ乗数入メを導入し，制約告されている．それによると，1J∋OMHzのワークステー∑句＝あjを緩和してみよう・同時にヱ去Jが倉庫Jの要ション上で（m，m）＝（30，100）までのテスト問患が遅求量みjを越えられないことも考慮すれば，下のラグラン

くとも5分程度のCPU時間のうちに解かれている．変

ジュ緩和問題が得られる：数の捻数はm†ュ＋m ＝ 3030だから数万変数の問題で最小化ゐ（肥，y；入）＝も解ける線形計画法に比べればいささか寂しい気もする∑芸1（∑完1C調）ユ圭＋仙））＋み（入）条 件 ∑紺句＝y吏，（13）︶

U

往いモ∫〃

C盲J＝Cり十が，Solandのアルゴリズムが同じテスト間騒に対してi＝1，…，m（汀㍉円）＝（15，50）のときにギブアップしていることを考（11IO≦影≦わ，y∈且4た．

えれば，リニューアルは成功したと考えてよいだろう．

最近では400MHzを越えるPCヰ〉珍しくないので，現代

ただし，〃c J（入）＝C壱ゴーÅJ；み（入）＝∑Å舟・J＝1

版ノートの上ではこの倍のサイズの間島でも難なく処理できるはずだ．

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1999年5月号（13）235

凱望① 汐ップサック療法計画問題

ナ ー・さ十．：一・・．．

次に紹介するのは非線形のナップサック間観である：

後半は駆け足忙なってしまい，読者に「非凸計画間鞄・二 l‥．＿ ■二二 ＿≠解けない開腹」と感じていただけたかどうか心配であるが，もしも引き出しの中佐非凸型であるという理由∵ さバ．∵‥・・．・・（14）

でポッ縦なった薫デルがあったら，ほこりを払って間違

こ ・… 、 … 、構造の再確認を願いたい年 分離可能で，非凸に作用する係数はすぺて正であることを仮定サるが，このとき困的∫は正の数阻止で準凹関数（quasiconcaVe func七ion）となることが知られてぃる勘 ここではさら旺，多選選択
か≠ソプ骨q沙汐間簡（mul七iple−ChQice knapsack problem）

変数の数が比較的少く，さら忙ネットワークなどの気の利いた構造が見つかれば，その間観ほ曹っと「解ける問観」だ。をれを兇纏めるときに役立つ参考書として巌後陀［4］を挙げておこう□のように
参考文献

弟∩弟＝夢，壱≠ど；U≡iJ盲＝†1ク…，・陀）（15）
川馳1kフ』偲。and 軋M・Solandフを仮定する一An algorithmfo‡・SeparablenonconvexprogrammlngprOblems，

ところで，間顔（14）は凹最小化でなければ分醒可能でもないn しかし∫の対数をとれば，れっきとした凹関数
榔（詔）＝∑芸1log（∑御仁端＋∂妄）

財α孔αダ′βc盲e几Ce胤5（1969）っ550・仙569．
［到Horst，軋and軋Tuyフαgoみαgのp官立m盲zαま豆0几ご刀e一如m立花夏β忌壱c郎proαCゐeβ）Springer（Berlinフ199恥［朝Konmoヲ 紺。and甘．Kunoゥ 軋inea工・mu且tiplica一となり，しかも（呵か庵賢帝げ拘＋琉ビと陀分離可能となる一 対数は単翻関数なので，∫の代わり匿log∫を最小化しても（14）の最適解は正しく求められる。

問鞄（14）は整数計画問題でもあるので，Solamdの下界値∫を求めるにはlogの下包をとるだけでなく芦 0−1変数彗逮の連続緩和も必要になる申 しかし，それ以外の手続きは生産輸送問親の場合と同じである；つ優り，連続な線形ナップサック問隠を解いて∫と双対最適解Åを求める；択捉Åを乗数とするラグランジュ緩和間窺を解析てタ より緊密な下界値∫入を生成する− このラグランジュ靡和問鞄は，仮定（15）の瀞陰でト樹脂匪変数をもつ問観m偶に分解で曹る。分解されたそれぞれの問鞄は，凹暴力、イヒではあるが変数をソートする手間だけで解くことができる0 したがって∫と∫入陀よる2段階の限定操作は，連続線形ナップサック問魅を解く草間も加えて￠（円log円′）の計算時間のうちに終わってしまう掛

文献［6ヨ旺報告されている実験船果もきわめて慮好で，150M既zのワークステーショニン上で（m・，m）＝（207120）までのテスト間騒が大体1分以内陀は処理されてめる。
しかし，この間亀（15）の場合忙頭を悩ませるのは効率性より，むしろその健蘭道である。線形乗法蘭数（1inearmⅦ1七iplica伍ve乱1mCtiom）∫の最適化忙よっで，そこに含まれるアブイン関数達が同時に最適化されると解釈すれば，（14）は予算を共服する独立したm個の部門からの輿なる要求を同時紀聞嘗Åれようとするとき匿役立つか七ive programmingフ 財α兢emαま左cαgクγ0タ柑mm官花ダ

56（1992）フ5ト64．
［4〕KorlmOッ斑・，p且Ⅶha趨andH．甘u洪軸繭ぬ融血￠花且￠び動乱ゐ胸㍑CO花里e∬ぶれcねγeβ，Kluwer（のor一赴ec主項199け［51Kubo7M。and朋1Kasugai，AI．agrangean ap−

proaぬtothe払cilitylocationproblemwithcon−
CaVe COStSヮ J．挽e ￠．風 ダoc五壇0∫Jαpαれ34（1991）ソ125−136．

［6］Kuno，T。つSolvingaLClassofmultiplicativepro

gramsⅥ7ith O−1knapSaCk corlS七raints， ISE−TR−
98−147フUniversityofTsukuba（′‡baraki，1998）toappearinJ・のpま，撒紺叩研か卵函南如耶［71臥no，甘uand甘hUtsunomiyaフA I．agrangianbase（且 branch−and−boundalgorithm払r produc−
七ion岬七ransporta七ion problems， ‡SE−T毘−98−150ぅ

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払rcerもainconcaveminimizationproblemsonmeもー
WOrksフ の・鳳￡だま如β且魂（′1993）っ99−109・もしれな眈© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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