格子QCDによる有限温度・有限密度系における相構造の探索
若山 将征
大阪大学 核物理研究センター

2018年度 原子核三者若手夏の学校@ 千葉県 白子温泉 ホテル ニュー・カネイ
2018年8月9日
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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2016年 - 2018年

2016年
修了
2018年 - 現在
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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目次
1. 導入
QCD相図、モンテカルロ法、符号問題

2. カノニカル法
基本的アイデア、歴史、数密度からのアプローチ

3. Lee-Yangの零点の計算
cut Baum-Kuchen algorithm、LYの零点の性質

4. 格子QCDによるLee-Yangの零点の結果
温度T依存性、体積V依存性、最大粒子数Nmax依存性

5. まとめ & 今後の展望
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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QCD相図（予想図）
T (温度)

クォーク・グルーオン プラズマ相
・ 非閉じ込めカラー超電導相

ハドロン相
・ 閉じ込め

中性子星

臨界点、相転移線はどこ？？
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）μ (密度)

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QCD相図（予想図）
M. Stephanov, PoS(Lattice2006), 024

臨界点、相転移線はどこ？？
格子QCDから決定したい！ <= 符号問題の存在
M. Wakayama

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モンテカルロ法: ゲージ作用グランドカノニカル分配関数: フェルミオン行列: クォーク化学ポテンシャル: フレーバー数

任意の演算子に対する期待値

ゲージ場“U”の自由度: (格子サイズ)x4x8
超多重積分 => 不可能！
モンテカルロ法
だけ確率に重みをつけてUiを生成(importance sampling)
M. Wakayama

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符号問題
モンテカルロ法
だけ確率に重みをつけてUiを生成
モンテカルロ法実数複素数

M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）(符号問題)

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符号問題の解決に向けて・ テイラー展開法

・ 再重み付け法

実数・ 複素ランジュバン法
・ SU(2)カラーQCD
・ 有効模型
M. Wakayama

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符号問題
モンテカルロ法
だけ確率に重みをつけてUiを生成
モンテカルロ法

実数複素数
純虚数

M. Wakayama(符号問題)

実数

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QCD相図（予想図）
T (温度)μq2
純虚数化学ポテンシャル:
M. Wakayama

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目次
1. 導入
QCD相図、モンテカルロ法、符号問題

2. カノニカル法
基本的アイデア、歴史、数密度からのアプローチ

3. Lee-Yangの零点の計算
cut Baum-Kuchen algorithm、LYの零点の性質4. 格子QCDによるLee-Yangの零点の結果
温度T依存性、体積V依存性、最大粒子数Nmax依存性

5. まとめ & 今後の展望
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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カノニカル法
フガシティ展開
グランドカノニカル分配関数

フガシティ:

カノニカル分配関数

M. Wakayama

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カノニカル法
フガシティ展開
グランドカノニカル分配関数
フガシティ:

カノニカル分配関数
フーリエ変換A. Hasenfrantz & D. Toussaint,Nucl. Phys. B371 (1992)

純虚数μqではモンテカルロ法を用いて、ZGC を計算することができる。
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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カノニカル法の歴史
カノニカル法の基本的アイデア
A. Hasenfrantz & D. Toussaint, Nucl. Phys. B371 (1992)

なぜ今頃？
(離散)フーリエ変換の数値的不安定性

数値結果と比較可能な実験データがない

M. Wakayama

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カノニカル法の歴史(離散)フーリエ変換の数値的不安定性
・ 符号問題？
・ 有効数字の桁落ちが原因 !
R. Fukuda, A. Nakamura & S. Oka, Phys. Rev. D93 (2016)
Thesis of S. Oka, 1712.0897[hep-lat]

1.234567890123456 – 1.234567890123455 = 1×10-15(有効数字16桁：倍精度計算)(有効数字1桁)

多倍長精度計算
1.23456789012345633333333 – 1.23456789012345511111111(有効数字24桁)= 1.22222222×10-15 (有効数字9桁)
M. Wakayama

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カノニカル分配関数の桁落ち

バリオン数

Thesis of S. Oka, 1712.0897[hep-lat]
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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カノニカル法の歴史(離散)フーリエ変換の数値的不安定性
・ 符号問題？
・ 有効数字の桁落ちが原因 !

カノニカル分配関数

倍精度では、小さい粒子数までしか正しく求めることができない。

多倍長精度では、より大きい粒子数まで正しく求めることができる。

クォーク数
M. Wakayama

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カノニカル法の歴史
数値結果と比較可能な実験データがない（1992年当時）
RHICで測定された陽子多重度分布PnからZnの抽出が可能
RHICデータからのLee-Yangの零点

A. Nakamura& K. Nagata,
PTEP(2016)
T (温度)

J-PARC(日本)やNICA(ロシア)で高精度・高統計量による高密度領域での実験が計画中
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）μ (密度)

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カノニカル法の歴史
カノニカル法の基本的アイデア
A. Hasenfrantz & D. Toussaint, Nucl. Phys. B371 (1992)

なぜ今頃？
(離散)フーリエ変換の数値的不安定性

多倍長精度計算 (有効数字5,000桁以上)
数値結果と比較可能な実験データがない

RHIC, J-PARC & NICA

The time is good!
M. Wakayama

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クォーク数密度からのアプローチ
V.G. Bornyakov et al., Phys. Rev. D95, 094506 (2017)の求め方
クォーク数密度モンテカルロ法を使って、いくつかのクォーク数密度を計算する。

M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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クォーク数密度からのアプローチ
クォーク数密度はmulti-sine関数か多項式で近似可能(低温領域)

M. D’Elia et al., PRD95(2017)
J. Gunther et al., EPJ137(2017)
J. Takahashi et al, PRD91(2015)
T. Takaishi et al, PoS LAT 2009
M. D’Elia et al., PRD80(2009)(高温領域)

M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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クォーク数密度からのアプローチ
クォーク数密度はmulti-sine関数か多項式で近似可能(低温領域)

M. D’Elia et al., PRD95(2017)
J. Gunther et al., EPJ137(2017)
J. Takahashi et al, PRD91(2015)
T. Takaishi et al, PoS LAT 2009
M. D’Elia et al., PRD80(2009)(高温領域)
FT

無限のnに対してZnが計算できれば、任意の密度での調査が可能！
M. Wakayama

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クォーク数密度からのアプローチ
クォーク数密度はmulti-sine関数か多項式で近似可能(低温領域)

M. D’Elia et al., PRD95(2017)
J. Gunther et al., EPJ137(2017)
J. Takahashi et al, PRD91(2015)
T. Takaishi et al, PoS LAT 2009
M. D’Elia et al., PRD80(2009)(高温領域)
FT

数値計算では、nは有限。
体積が有限なので、
M. Wakayamaの最大は2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

程度。
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目次
1. 導入
QCD相図、モンテカルロ法、符号問題

2. カノニカル法
基本的アイデア、歴史、数密度からのアプローチ

3. Lee-Yangの零点の計算
cut Baum-Kuchen algorithm、LYの零点の性質

4. 格子QCDによるLee-Yangの零点の結果
温度T依存性、体積V依存性、最大粒子数Nmax依存性

5. まとめ & 今後の展望
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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Lee-Yangの零点
グランドカノニカル分配関数の零点は系の相転移について多くの情報を持つ。
T.D. Lee & C.N. Yang, Phys. Rev. 87, 404&410 (1952)

体積V ~ 小M. Wakayama

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Lee-Yangの零点
グランドカノニカル分配関数の零点は系の相転移について多くの情報を持つ。
T.D. Lee & C.N. Yang, Phys. Rev. 87, 404&410 (1952)

体積V → 大M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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Lee-Yangの零点
グランドカノニカル分配関数の零点は系の相転移について多くの情報を持つ。
T.D. Lee & C.N. Yang, Phys. Rev. 87, 404&410 (1952)

相転移点

体積V → 無限大
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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多倍長精度による計算
2Nmax次多項式を解く。

ill-posed problem（不良設定問題）！

これも、多倍長精度での計算（FMLIBパッケージ）と後述の cut Baum-Kuchen algorithm で解決！
M. Wakayama

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cut Baum-Kuchen algorithm
Cauchy積分
閉経路C内の零点の数

A. Nakamura & K. Nagata,
Prog. Theor. Exp. Phys. 2016, 033D01

M. Wakayama

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LYの零点に対するZ(n)の性質

M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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LYの零点に対するZ(n)の性質

M. Wakayama

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LYの零点に対するZ(n)の性質: 実数

M. Wakayama

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LYの零点に対するZ(n)の性質: 実数

単位円の上半分だけを調べれば十分

M. Wakayama

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目次
1. 導入
QCD相図、モンテカルロ法、符号問題

2. カノニカル法
基本的アイデア、歴史、数密度からのアプローチ

3. Lee-Yangの零点の計算
cut Baum-Kuchen algorithm、LYの零点の性質

4. 格子QCDによるLee-Yangの零点の結果
温度T依存性、体積V依存性、最大粒子数Nmax依存性

5. まとめ & 今後の展望
M. Wakayama

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格子セットアップ
・ 岩崎ゲージ作用・ クローバーフェルミオン作用・ 格子サイズ: 16*16*16*4・ mπ/mρ = 0.8
・ 密度方向の数: 19 - 40点
・ 2000 or 4000 配位

β=1.70 T/Tc=0.84β=1.80 T/Tc=0.93
β=1.85 T/Tc=0.99

β=1.90 T/Tc=1.08
S. Ejiri et al., PRD82,
014508 (2010)

β=1.95 T/Tc=1.20

β=2.00 T/Tc=1.35
M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）35/47温度依存性 (Nmax=100)

臨界温度Tc以上とTc以下では、Lee-Yangの零点分布の振る舞いは
M.W., V. Borynakov, D. Boyda, V. Goy, H. Iida,
大きく異なることが分かる。
A. Molochkov, A. Nakamura & V. Zakharov,
arXiv:1802.02014[hep-lat]

M. Wakayama

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VとNmax 依存性 (T/Tc=1.35)

Preliminary！

Roberge-Weiss相転移点
M. Wakayama

Nmax が増加するにつれて、LYZは原点に近く。

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Roberge-Weiss 対称性
A. Roberge & N. Weiss, NPB275, 735 (1986)

L: Polyakovループの期待値 V. Borynakov et al., PRD95, 094506 (2017)
M. Wakayama

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VとNmax 依存性 (T/Tc=0.93)

Preliminary！

Nmaxが増加するにつれて、LYZは実軸に近く。

M. Wakayama

2018年度 原子核三者若手夏の学校（2018.8.9）

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VとNmax 依存性 (T/Tc=0.99)

Preliminary！

Nmaxが増加するにつれて、LYZは実軸に近く。

M. Wakayama

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Nmax 依存性 (T/Tc=0.84)

Preliminary！

Nmaxが増加するにつれて、LYZは実軸に近く。

M. Wakayama

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QCD相図（予想図）
M. Stephanov, PoS(Lattice2006), 024

今回の結果 Preliminary！
T/Tc=0.99:
T/Tc=0.93:
T/Tc=0.84:

臨界点、相転移線はどこ？？
M. Wakayama

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Nmax 依存性 (T/Tc=1.08)

RW相転移点は見られない

M. Wakayama

Nmaxが増加するにつれて、LYZは複素平面上で収束？？

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目次
1. 導入
QCD相図、モンテカルロ法、符号問題

2. カノニカル法
基本的アイデア、歴史、数密度からのアプローチ

3. Lee-Yangの零点の計算
cut Baum-Kuchen algorithm、LYの零点の性質

4. 格子QCDによるLee-Yangの零点の結果
温度T依存性、体積V依存性、最大粒子数Nmax依存性

5. まとめ & 今後の展望
M. Wakayama

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まとめ(1)● QCDの臨界点・相転移線の決定は未解決問題のひとつ。
● 有限密度系での格子QCDには符号問題が存在。
● カノニカル法は、符号問題が存在しない純虚数化学ポテンシャル領域で計算をし、実数化学ポテンシャル領域の情報を引き出す。
● 多倍長精度の計算を用いることで、カノニカル法による相構造の探索が可能になってきた。

● 格子QCDを用いて分配関数を計算して、対応するLee-Yangの零点の計算を行った。

M. Wakayama

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まとめ(2)● 臨界温度Tcより高い温度と低い温度とでは、LYの零点分布は大きく異なる。
● T/Tc=1.35, 1.20では、RW相転移点が存在することを確認した。
● Tc以下の温度では、おおよその今回の結果 Preliminary！
相転移の点を見積もることができた。 T/Tc=0.99:

T/Tc=0.93:
T/Tc=0.84:● T/Tc=1.08では、複素平面上に存在する相転移点を捕らえられた可能性がある。
M. Wakayama

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将来の展望● より大きいNmaxでの計算● 現実のクォーク質量（mπ/mρ=135/770）での計算（今回の計算はmπ/mρ=0.8で行った）● 2+1 フレーバーでの計算 => ストレンジクォーク化学ポテンシャル● 符号問題がない場合でのカノニカル法の検算● 2カラーQCDでの格子計算● 有効模型（NJL模型etc.）？

M. Wakayama

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