福井大学 学術研究院工学系部門 研究報告 第 69 巻 2021 年 3 月
Mem. Fac. Eng., Univ. Fukui, Vol. 69 (March 2021)

目

次【第 69 巻 10 月分】
Python でらくらく Deep Learning－Python の深層学習ライブラリを使う－............................................................................................................................................. 平田隆幸

1

ナノスケール周期構造を付与した DLC 膜の摩擦特性............................................................................................................................................. 本田知己

11

【第 69 巻 3 月分】
分子動力学を用いた接触角温度依存性の評価............................................................................................................................................. 福島啓悟

19

APD とマイコンによる光強度規格化制御システムの改善......................................................................................................... 小林英一 牧野哲征 橋本明弘

23

学童期人口推計に基づく小学校再編方針の検討－福井市を対象として－............................................................................................................................. 寺田 宰 菊地吉信

31

Analysis on the Distribution of COVID-19 Cases by Country................................................................................................... Hidetaka TOBITA and Mitsuki FUJII

37

Memoir of Faculty of Engineering, University of Fukui
Vol. 69, March 2021
CONTENTS【Vol.69 October】
Learn Deep Learning with Python without Difficulty－Usage of Python Library of Deep Learning－................................................................................................................................ Takayuki HIRATA

1Frictional Properties of DLC Films with the Nano-scale Periodic Structures................................................................................................................................. Tomomi HONDA

11【Vol.69 March】
Molecular Dynamics Simulation for Temperature Dependence of Contact Angle.......................................................................................................................... Akinori FUKUSHIMA

19

Modification Control Systems for Normalization of Optical Intensitywith APD and Microcomputer.......................................................... Eiichi KOBAYASHI, Takayuki MAKINO, Akihiro HASHIMOTO

23

Examination of Elementary School Reorganization based on the Future
Estimation of School Age Population －A Case Study of Fukui City－...................................................................................... Tsukasa TERADA and Yoshinobu KIKUCHI

31

Analysis on the Distribution of COVID-19 Cases by Country................................................................................................... Hidetaka TOBITA and Mitsuki FUJII

37

福井大学 学術研究院工学系部門 研究報告 第 69 巻 2020 年 10 月
Mem. Fac. Eng., Univ. Fukui, Vol. 69（ October 2020 ）1

Python でらくらく Deep Learning－Python の深層学習ライブラリを使う－
平田 隆幸*Learn Deep Learning with Python without Difficulty－Usage of Python Library of Deep Learning－
Takayuki HIRATA*(Received September 28, 2020)
Deep learning is one of the key concepts of neural networks in machine learning.

Powerful

libraries of Python are available for deep learning programming. In the field of pattern recognition,
Python is a standard programming language.

User-friendly tools are provided by many user groups.

Here, I will show some useful software development tools for the beginners who are not familiar toboth Python and deep learning.

Furthermore, I will introduce the deep learning tool that enable

users to construct AI applications without programming.
Key Words: Deep Learning, Neural Network, Python, Keras, Artificial Intelligence.

1. はじめに体験できるようになった．ハードウェアに関しても，一般的な PC でさまざまなことができるようになっ Deep Learning（深層学習）は，現在のキーワード[1]てきた．PC の CPU だけでなく，GPU を使って高速にさえなってきた ．Google のチーム が開発した処理が可能となってきた．ここで，１）CPU のみで

AlphaGo [2]が，囲碁の人間のヨーロッパチャンピオン

の 実 装 ， ２ ） CPU ＋ GPU で の 実 装 ， ３ ） Googleに勝利し，さらに，元世界チャンピオンである李世Colaboratory を使うことにより，Web 上で深層学習

ドル，世界ランキング 1 位の柯潔を打ち破ったことを手軽に体験できるのをみていく．

は衝撃を与えた．AlphaGo は，人間のプロに棋譜をさらに，科学者のコミュニティを越えた社会の話

学習（教師付き学習）して強くなった．さらに，人題になっている量子コンピュータ [4]も深層学習の分間の棋譜を使わず強化学習により，自己対戦のみで野への応用が期待されている．

強くなった AlphaGo Zero が，AlphaGo を 100 対 0 で[3]

本論文では，Python をもちいた深層学習を工学部打ち負かした ．AI（人工知能）が，人間の手本無しの学生が簡単に学べるようになるにはどうすれば良に知的ゲームで人間を越えたことは，象徴的なできいのかについて考える．Programming が苦手であるごとであった．

と感じる学生が深層学習を学ぶ入り口になることを

AlphaGo Zero を含めた AlphaGo においても，ニュ

願う．

ーラルネットワークの学習方法に Deep Learning が用いられている．Deep Learning の発展によって，AI

2. ニューラルネットワーク

が多くの分野で採用されるようになった．そして，
さまざまな領域で AI が人間を超えてきている．
ライブラリを使うことで容易に Deep Learning を

2.1 ニューロン
 ニューラルネットワークは，ニューロン（神経細胞）によって構成されたネットワークである．最初* 大学院工学研究科知能システム工学専攻に，情報処理素子としてのニューロンを考えよう．

* Human

もっとも単純なニューロンのモデルは，マカロック

and Artificial Intelligent Systems Course,

Graduate School of Engineeringとピッツの形式ニューロン[5]である．

2

 マカロックとピッツの形式ニューロンは，多入力一出力の情報処理素子である．最も簡単な 2 入
力 1 出力の形式ニューロンを考える（図１参照）．
ここで，シナプス結合に対応する重みを w1，w2 とする，入力信号を x1，x2 とし，出力信号を y とする．形式ニューロンは，入力によって発火するかどうかの閾値 h をもっている．ニューロンへの入力に重みを掛けた総和 z = w1・x1＋w2・x2 ≧h の場合，出力 y=1 となり（発火），それ以外は y=0 の2 値をとる．ニューロンの出力は，シナプス結合を介して，次のニューロンに入力される．

 入力が閾値を超えると，ニューロンは興奮状態になり，発火する．それゆえ，ニューロンが発火するかどうかを決定する閾値は，重要なパラメータである．マカロックとピッツの形式ニューロンでは，

閾値 h という 1 パラメータによって，出力が決まるステップ関数がもちいられている（図２-a 参照）．
より一般的には，ニューロンが発火するかどうか決める関数として，活性化関数が使用されている．
ニューラルネットワークの学習において，活性化関数は重要な役割を果たす．典型的な活性化関数，ステップ関数とシグモイド関数の例を図２に示す．なお，ステップ関数とシグモイド関数以外にも，ソフ
トサイン，ReLU 関数などが活性化関数としてもち
形式ニューロンは，
マックローチ・ピッツ()の形式ニx1

いられている．

ューロン．



w1

y
h

 ニューラルネットワークとは，人間の脳を模して情報処理させようと研究が始まった（参考書として，

w2x2

2.2 ニューラルネットワーク

先駆的日本人研究者も甘利氏の神経回路網[6]）．ニューラルネットワークは，ニューロン（神経細胞）の挙動をモデル化した人工ニューロンを複数個の結合させたものである．人間の脳をモデルに並列処理に

図１ マカロックとピッツの形式ニューロン．ここより，高度な情報処理の実現を目的としている．並で，x1，x2 は入力信号，y は出力信号，w1，w2 は列処理，例えば画像処理など，が得意なのが特徴でシナプス結合の重みを表す．

ある．
 結合させたニューロンで構成されたニューラルネ
ットワークに目的とする情報処理をさせるためには，

a)

学習が重要である．ニューラルネットワークの学習

代表的なものとして，ステップ関数とシグ1モイド関数が示されている．

によく使われるが機械学習である．深層学習は，ニy 活性化関数の例を図２に示す．ここではューラルネットワークの機械学習の一つである(初歩的かつ網羅的な参考書として[7])．図３に，機械学
習，深層学習の包含関係図を示す．次に，ニューラ
ルネットワーク，機械学習，深層学習と順にみてい
く．

0
z
b)

Deep Learningy1

Machine Learning

Learning Algorithm

0z

図２ 活性化関数 u(z)の例．a)ステップ関数出力，b)
シグモイド関数．

図３ 深層学習とは（概念図）．

3

 機械学習は，データを学習して，分類や予測など

Neural Networks（以降 RNN と略す）と比べてみる．

をおこなえるアルゴリズムやモデルを自動的にコン

RNN は，音声認識など時系列解析によく使われる．

ピュータが構築できるようにするものである．機械

一方，CNN は，画像認識などある時刻でのパターン

学習は，学習方法のより，答えを教えずに学習させ認識を得意とする．それぞれが得意とする分野で使る「教師なし学習」，正解を与えた状態で学習させる

い分けられている．

「教師あり学習」，「強化学習」の３つに分けること Deep Learning をニューラルネットワークの応用とができる．ライブラリを使った Python による機械学

いう観点から見てみよう．医療分野における画像診

習の本も多く出版されている[8][9]．

断（CT, NMR）で，病巣部を見つける のに Deep さて，深層学習とは，機械学習の一つである．深

Learning の技術は利用されている[参照，review paper

層学習は，画像認識，音声認識，完全情報ゲームの[10][11]

アルゴリズムなどの分野で使われている．ニューラ

利用するに留まらず Deep Learning によって飛躍的

ルネットワークという観点からも現在注目を集めてに向上した．乳癌のスクリーニング検査において，]．AI を使った医療画像診断は，AI を補助的にいる，畳み込みニューラルネットワーク，リカレン

AI システムは，一般の医師のみならず熟練した専門

トニューラルネットワークの学習に，深層学習が用医より良い成績を達成した[12]．

いられる．
 ニューラルネットワークには，ニューロンの結合

3. Deep Learning とは様式によっての様々なものがある．ここでは，畳み込みニューラルネットワーク，リカレントニューラ

 Deep Learning とは，多層化したニューラルネット

ルネットワーク，そして GAN など代表的なニューワーク(最低 4 層以上)を機械学習させることである

ラルネットワークを順に見ていく．

(例えば，review 論文[13])．ここで，ニューラルネット

2.3 さまざまな Neural Networks

ットワークにおける学習とは，シナプス結合の重み Convolutional Neural Networks（畳み込みニューラ

を変えることである．学習によりシナプス結合の重ルネットワーク）や Recurrent Neural Networks（回帰みを最適化し，システムに実現したい task を達成さ

ワークの学習について考えてみよう．ニューラルネ

型ニューラルネットワーク）以外にも，全結合ニュせることである．
（AlphaGo の例でいうと，実現したー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク モ デ ル な ど 多 く の Neural

い task とはもっとも勝利の確率が高い手（最善手）

Networks モデルがある．

を選ぶことである．）

 最初に，Convolutional Neural Networks（以降 CNNと略す）をみていこう．ニューラルネットワークの歴史は古い．1950 年代には，パーセプトロンによる第 1 次のブームが，1980 年代には，アルゴリズム「バックプロパゲーション」，多層パーセプトロン，畳み込みニューラルネットワーク(CNN)などによる第 2次のブームが起こっている．CNN の歴史は，ブームとともにあった．ニューラルネットワークとしては，
決して新しくはない．しかし，コンピュータの計算能力が限られていたため，初期の CNN はニューロ

Residual Network(ResNet）
Convolutional Neural Network(CNN)
Neural Networkン層が多くなかった．
 現在のブームは，コンピュータの計算能力の向上

図４ 畳み込みニューラルネットワーク．

により，多層のニューラルネットワークモデルが可能となって，第 3 次のブームになったといえる．例

 多層化という視点からニューラルネットワークのえば，AlphaGo は多層のニューラルネットワークを発展の歴史を振り返ってみよう．ニューラルネット

学習させることつまり Deep Learning によって，棋力

ワークは，層を増やすことにより複雑な処理を実現の向上を実現している．Alpha GO は，強化学習(Aし て き た 【 簡 単 に 言 え ば ， 多 層 化 つ ま り Deep

reinforcement learning (RL))と 13 層の policy network

Learning(深層学習)である】．しかし，層を多くすること value network の２つの neural network を用いて，とには，メリットばかりではなく，デメリットも存プロ棋士越えの棋力を実現している．

在する．それは決定しなければならないパラメータ 次に，得意な応用分野という観点から Recurrent（シナプス結合の重み w）の数が増大することであ4

る．それゆえ，多層のネットワークおけるシナプス

4. Deep Learning で画像処理

結合の重みを更新する方法が重要になってくる．この問題を解決するために，現れたのが逆誤差伝搬 Python を使った Deep Learning による画像認識（back propagation）と畳み込みニューラルネットワ

をみていく．Keras[19]は，TensorFlow または CNTK，ークモデルであり，ニューラルネットワークの研究

Theano 上で実行可能な Python の高水準のニューラを大きく前進させた．
 さらに，畳み込みニューラルネットワークにおいルネットワークライブラリであり，深層学習ライブ
ラリとしてよく使われている．ここでは，Python のて，より多層化することでニューラルネットワーク

ライブラリを使うことにより，簡単に画像認識がでの性能を向上させることが試みられた．特徴抽出をきることを紹介する．具体的には，2 種類の開発環境

考えた場合，層を重ねることにより，一般的には，のもとで Python のプログラムを実行する：１）IDLE

より複雑な特徴の抽出ができることが期待されるかを使って PC の terminal 上で走らせる，２）Google のらである．Convolution 層はフィルタを持ち，Pooling

Colaboratory を使って Web 上で走らせる．データセ層と組み合わせて特徴を検出する役割を持たせるのットとして CIFAR-10 を使い，Keras を用いて画像のである．低・中・高レベルの特徴を多層形式で自然分類を実行してみよう．

に統合し，認識レベルを強化することができた．このようなネットワークの代表的な例として

4.1 画像データセット(CIFAR-10)

ImageNET[14]，AlexNET[15]などがある．

CIFAR-10 データセット[20]とは，機械学習の研究に2014 年 の 画 像 認 識 の 分 野 で ト ッ プ を 争 う

もっともよく用いられる画像データセットである．

ImageNet コンペティションにおいて，複数の部門でCIFAR-10 データセットは，10 のクラスに分類され優秀な成績をおさめたモデル（VGG モデル

[16]

）は，

た分解能が 32×32 の 60000 枚のカラーイメージか多層の CNN であった．層の数を 16 層や 19 層までら構成される．それぞれ，１クラスに付き 6000 枚の深くしたのだ．それで Very Deep と名付けられていカラーイメージを含んでいる．テスト用のものは，た．また，2014 年の the ImageNet Large-Scale Visual

それぞれのクラスからランダムに選ばれた 1000 枚

Recognition Challenge 2014 (ILSVRC14)で勝利を飾っのイメージから構成されている．訓練用のものは，た GoogLeNet[17]も 22 層だった．

残りからランダムな順に選んでつくられている．訓コンピュータの計算能力の向上により，CNN の層を増やせるようになってきた．しかし，CNN の層を練用の batch は 5000 枚のイメージから成り立っている．

増やすだけでは限界が来た．層を更に深くする試み

CIFAR-10 Dataset

はあったものの，思い通りに学習が進まなかったのである．さらに，単純に層を増やすと，性能が悪化することが報告された．
効率よく多層化するために考えられたのが，現在もよく使われている ResNet[18]である．ResNet は，Microsoft Research( 現 Facebook AI Research) のKaiming He 氏が 2015 年に考案したニューラルネッ
トワークのモデルである．ResNet は「ある層で求める最適な出力を学習するのではなく，層の入力を参照した残差関数を学習する」 ことで最適化しやすくしている．これを，ResNet では，残差ブロックとShortcut Connection を導入することで実現している．
残差ブロックでは，畳込み層と Skip Connection の組



み合わせになっている．ResNet は，残差ブロックを

図５ CIFAR-10 の画像データ例（文献[20]より引用）．

導入することで，層の深度の限界を押し上げ，精度向上を果たした．2015 年において ResNet は 152 層

図５に CIFAR-10 データセットのサンプル例を示まで深くすることが出来た．Very Deep の 16，19 層

す．飛行機，自動車，鳥，猫，鹿，犬，カエル，馬，や GoogLeNet の 22 層と比較すると，層が深くなっ

船，トラックの 10 のクラスがある．Python version，

たことが分かる．

Matlab version，binary version が公開されている．画

以上，CNN と多層化について概観した．

像分解能が 32×32 で非常に軽いのも特徴であり，例

5

えば Python version は 163MB である．

- 16s 2ms/step
4.2 IDLE で Python を走らせる

Test loss: 0.7182457206726074
Test accuracy: 0.7627999782562256

Deep Learning を体験するため，開発環境として
IDLE を使って PC 上で Python を走らせた．2020 年訓練されたモデルが keras_cifar10_trained_model.h5

9 月 20 日時点での，最新の安定な Python の version

として保存され，約 76％の精度で，分類に成功しては 3.8 である．しかし，version 3.8 の Python では，いることが分かる．

Keras 2.3.1 は 動 か な い 場 合 が あ る ． そ れ ゆ え ，Keras2.3.1 をスタンドアローンで走らすため，PC のPython version を Python 3.7 で動作させた．なお，2020
年 6 月 18 日に，Keras 2.4.0 がリリースされている．

4.3 Google Colaboratory
Colaboratory は，Web 上で Python を走らせることができるアプリケーションである[21]．

しかし，バックエンドとしては TensorFlow のみの対応となっており，Keras は TensorFlow 2.0 とのパッケ
ージ，tensorflow.keras として配布されている[19]．

a) モデルの決定 さ まざ まな ラ イブ ラリ を使 うた め ， Python のversion を変えてプログラムを走らせるように ，Anaconda の仮想環境を作成した．以下に，Anacoda
Prompt にて以下のコマンドを実行する手順を示す．
① Anaconda 仮想環境の作成
conda create --name=py37 python=3.7② 仮想環境「py37」の有効化
activate py37
環境が切り替わると Anacoda Prompt に(py37)と表示される．

b) トレーニング

 Python 3.7 が走る環境で，cifar10_cnn.py を走らせた．

c) 分類の結果

図 ６  Anaconda Prompt で Keras の example のcifar10_cnn.py を走らせている様子．
 最終的に得られた結果を以下に示す．


Saved

trainedmodel

atC:¥Users¥81904¥Desktop¥keras2.3.1¥examples¥saved_models¥keras_cifar10_trained_model.h5
10000/10000 [==============================]

図 7 Google Colaboratry の機械学習のチュートリア
ルのスナップショット．機械学習の例，画像分類の再トレーニングで，Keras モデルで花の分類をおこなっている様子を a)-c)で示している．

6

Google のアカウントを持っていると，Web 上で

47s 30ms/step - loss: 0.8121 - accuracy: 0.7338 - val_loss:

Colaboratory にアクセスできる．ノートブックを使っ

0.7903 - val_accuracy: 0.7485て，Python のコードを記述し実行できる．Colaboratry

Epoch 100/100の ノ ー ト ブ ッ ク は ， Colaboratory が ホ ス ト す る

1563/1563 [==============================] -Jupyter ノートブックである[22]．なお，Anaconda デ

47s 30ms/step - loss: 0.8069 - accuracy: 0.7348 - val_loss:ィストリビューションで PC に Python をインストー

0.6688 - val_accuracy: 0.7797

ルすると，Jupyter ノートブックを使用できるようにSavedなるので，多くの Python ユーザーにはなじみ深いも/content/saved_models/keras_cifar10_trained_model.h5のかもしれない．

10000/10000 [==============================]

 Colaboratory にアクセスすると，左側の目次の欄に- 2s 191us/step

機械学習および機械学習の例という項目が出てくる．

Test loss: 0.6688448459625244

機械学習の例では，機械学習のチュートリアルが準

Test accuracy: 0.779699981212616

trainedmodel

at

備されている．機械学習のチュートリアルとして，
画像分類の再トレーニングで，Keras モデルで花の分

以上のような結果が得られた．訓練されたモデルが類を Python を使って体験できる（参照，図７）．
さて，Web 上の Colaboratory で Deep Learning のモ

keras_cifar10_trained_model.h5 として保存され，約78％の精度で，分類に成功していることが分かる．

デル cifar10_cnn.py を走らせてみよう．なお，ノート
ブックの設定で，ハードウェアアクセラレータで5．プログラミング無しで Deep Learning

GPU を選択しておこう．ニューロン数が少ない小さなニューラルネットワークモデルなどの場合を除き，

Python を使って，簡単に Deep Learning を用いた画計算に要する時間がハードウェアアクセラレータ

像処理が可能であることを見てきた．しかし，Python

NONE の時と比較して大幅に短縮される．

のプログラミングは必要であった．Deep Learning

Keras の cifar10_cnn.py をノートブックに貼り付けを使った画像処理には，プログラミングが必要なのて実行した．

だ ろ う か ？ Sony が 提 供 し て い る Neural Network

Using TensorFlow backend.

とせずに Deep Learning を体験できる．次に，一歩進Console を使うことによって，プログラミングを必要
Downloading

data

from

https://www.cs.toronto.edu/~kriz/cifar-10-python.tar.gz

んで，プログラミングなしで Deep Learning を体験できるのを見ていこう．

170500096/170498071[==============================] - 6s 0us/step
x_train shape: (50000, 32, 32, 3)50000 train samples

5.1 Neural Network Console とはSony の Neural Network Console[23]は，ドラッグ＆ドロップで簡単にニューラルネットワークの設計・10000 test samples

実行ができるアプリケーションである．Python を知Using real-time data augmentation.

らなくても Deep Learning を体験でき，プログラミン

Epoch 1/100

グなしで Deep Learning をもちいた AI アプリケーシ

1563/1563 [==============================] -ョンの開発を可能にしてくれる．

54s 35ms/step - loss: 1.8768 - accuracy: 0.3105 - val_loss:

Neural Network Console は，サインインすることで1.5757 - val_accuracy: 0.4338

Web から実行することができる．ID が割り当てられ，

Epoch 2/100

Neural Network Console Cloud (dl.sony.com)で設計・開1563/1563 [==============================] -発が実行できる．長時間のシステム利用を除いて，

48s 31ms/step - loss: 1.5857 - accuracy: 0.4207 - val_loss:

無料で，本格的な AI アプリケーション開発がおこな

1.3747 - val_accuracy: 0.5005

える．なお，Google Colaboratory と同様に，長時間使

Epoch 3/100

用する場合など有料のサービスも提供している．同……

時に，Sony は，ローカル PC で動作する Windows 版

中略の Neural Network Console も無償で公開している．

……

Windows 版を download することにより PC のローカ

Epoch 99/100

ル環境でも実行できる．なお，現在の最新のものは，1563/1563 [==============================] -2020 年 7 月 30 日リリースの Version 1.8 である．

7

5.2 Neural Network Console を使う
ロ ー カ ル PC で Windows 版 の Neural Network
Console を動作させた例を図８に示す．Sample projecta) モデル化の 01_logistic_regression.sdcproj が示されている．これは，プロジェクトを選択すると最初に現れるエディット画面である．Main という表示が出ている中央のコラムにモデルがグラフィックに示されている．
ここで，ドラッグ＆ドロップでモデルを構築していくことになる．ブロックを重ねたり，ラインで結ぶ
ことによって，モデルの動作順を決めることができる．プログラミングにおいて，フローチャートを描
くのに対応している．
次に，このプロジェクトを例に動作を見ていこう（図９参照）．最初に，a) グラフィックを使って，ドラッグ＆ドロップによってモデルを構築する，次に，b) run ボタンを押してモデルを学習させる，
最後に，

b) 学習

c) 学習したモデルで文字の判別をおこなう．
ここでは，手書き入力された２種類の数字 4 と 9の識別がなされている．入力文字が 9 と認識されると 1 と出力し，そうでない場合は 0 と出力されるモデルになっている：2 値の出力．
図 9 の c) を見ると，上からの順に左の入力画像に対し，0，0，1，1 という出力，つまり 4，4，9，9 という判定が得られたこと が 分 か る ． こ れ は ， 図 ９ の a) モ デ ル 化 で ，BinaryCrossEntropy を使いと 2 値の出力が得られる
ように設計していることによる．また，学習の過程
が図９の b) のようにグラフで見ることができるよ
うになっているのも親切である．
手書き入力の判別モデル以外にも，CIFAR-10 の画
像データの分類を ResNet を使っておこなっているc) 評価

プロジェクトのサンプルが用意されている（resnet110.sdcproj）．ResNet 以外にも，Alexnet などを使いDeep Learning が体験できる sample が示されている．

図９ Neural Network Console の動作手順．a)モデル
化，b)学習，c)評価のステージが示されている．
6. おわりに

図８ Neural Network Console の sample project の例．

コンピュータプログラミングが苦手でも Deep
Learning を使ったさまざまな研究ができる可能性を

8示した．Keras などのライブラリを使うことにより，簡単に Deep Learning を使ったアプリケーションをつくれるようになってきた．
ここでは，Keras を取り上げたが，Python の Deep
Learning に関連したライブラリには Chainer，
PyTorch謝 辞 論文を執筆するにあたり，議論および有益なコメントをしてくださった髙田宗樹教授，および研究室のメンバーに感謝いたします．

…など多くのものがある．これらのライブラリは常に進化している．例えば，日本発(株式会社 Preferred

参考文献

Networks) の Chainer は ， 2019 年に開発終了 し ，[1] Y. LeCun, Y. Bengio & G. Hinton: Deep learning.

PyTorch へ移行した．また，ここで取り上げた Keras

Nature, 521, 436–444 (2015).

もスタンドアローンの Keras から TensorFlow 同梱版[2] D. Silver et al.: Mastering the game of Go with deepの「tf.keras」へと移行している．Keras は，3 つのバ

neural networks and tree search, Nature, 529, 484–489

ックエンド(TensorFlow, Theano, CNTK) が利用可能(2016).

でしたが，Keras 2 で開発はストップし，以降は[3] D. Silver et al.: Mastering the game of Go without

Tensorflow のみに対応し tf.keras へ移行した（[19]参human knowledge, Nature, 550, 354–359 (2017).
[4] F. Arute et al.: Quantum supremacy using a照）．
 AlphaGo で，Deep Learning が注目されるようになったことを述べたが，Deep Learning はますます身近

programmable superconducting processor, Nature,574, 505-511 (2019).

な技術なってきた．AlphaZero[24]では，囲碁・チェス[5] W. S. McCulloch &W. Pitts: A logical calculus of theだけでなく，日本の将棋についても応用されている．

ideas immanent in nervous activity. The bulletin of

さらに，Python を使って将棋 AI を簡単につくる本

mathematical biophysics, 5, 115-133 (1943).

[25]も出版されるようになってきた．このように，Deep Learning の壁はどんどん低くなり，学習しやす
くなってきている．さらに，プログラミングを必要とせず Deep Learning を使ったアプリケーションを[6] 甘利俊一：神経回路網の数理‐脳の情報処理様式‐, 産業図書, pp. 328 (1978).
[7] 山下隆義: イラストで学ぶディープラーニング
改訂第 2 版, 技術評論社, pp. 277 (2018).

設計・開発できる Neural Network Console を紹介し[8] クジラ飛行机，杉山洋一，遠藤俊輔: Python によた．本論文により，Deep Learning を学習してみよう

る AI・機械学習・深層学習アプリのつくり方, ソという壁がより低くなってくれる一助になればと思シム, pp. 399 (2018).
[9] A. Gèron 著 下田倫大 監訳 長尾高弘 訳: scikit-う．
 最後に，プログラミング技能は必要かということ

learn と TensorFlow による実践機械, オライリー・について考えてみる．少年ジャンプに連載されまたジャパン, pp. 539 (2018).

アニメ化されたので，目にした機会が多いだろう[10] M.I. Razzak, S. Naz, A. Zaib: Deep Learning forDr.STONE という漫画がある．Dr.STONE という漫画

Medical Image Processing: Overview, Challenges andは，「ある病気により」文明が失われて，原始時代か

the Future, In: Dey N., Ashour A., Borra S. (eds)

ら文明を再構築するというストーリーである．現在

Classificationの科学技術に基づいて物語は構成されている．物語

Computational Vision and Biomechanics, vol.26,のなかでは，真空管などをゼロからつくっていって

Springer, (2018).

in

BioApps.

LectureNotes

inいる．ここでは，Python のプログラムの中身を知ら[11] R. Miotto, F. Wang, S. Wang, X. Jiang, J. T. Dudley:

なくても，Deep Learning による画像分類ができるこ

Deep learning for healthcare: review, opportunitiesとを見てきた．同じように，トランジスタの動作を

and challenges, Briefings in Bioinformatics, Volume

しらなくてもコンピュータやスマートフォンを使える．これと同じであると思えば，プログラミングが19, Issue 6, November 2018, Pages 1236–1246, (2018).
[12] S. M. McKinney et al.: International evaluation of an

できなくても Deep Learning を使いこなせれば良い

AI system for breast cancer screening, Nature, 577,という考え方でも問題ではない．しかし，漫画

89–94 (2020).

Dr.STONE の状況を思えば，0 から Deep Learning の[13] J. Schmidhuber: Deep learning in neural networks:

プログラミングができればもっと楽しく AI などを

An overview, Neural Networks, Vol. 61, January,

学習できるのではないだろうか．最後に，さらに勉Pages 85-117 (2015).

強したい方のために Excel や Python を使った Deep
Learning の初歩的な参考書([26]-[28])をあげておく．

[14] J. Deng, W. Dong, R. Socher, L. Li, Kai Li and Li
Fei-Fei: ImageNet: A large-scale hierarchical image

9

database, 2009 IEEE Conference on Computer Vision
and Pattern Recognition, Miami, FL, pp. 248-255,(2009).
[15] A. Krizhevsky, I. Sutskever, E. Hinton:

ImageNet

classification with deep convolutional neural networks,
Proceedings of the 25th International Conference on
Neural Information Processing Systems (NIPS’12) Volume 1, pp 1097–1105 (2012).
[16]

K.

Simonyan,A.

Zisserman:

Very

Deep

Convolutional Networks for Large-Scale Image
Recognition, In ICLR, arXiv:1409.1556 (2015).
[17] C. Szegedy et al.: Going deeper with convolutions,
Proceeding of the 2015 IEEE Conference on Computer
Vision and Pattern Recognition (CVPR), pp. 1-9(2015).
[18] K. He, X. Zhang, S. Ren and J. Sun: Deep Residual
Learning

forConference

Image

on

Recognition,

Computer

Vision

2016

IEEE

and

Pattern

Recognition (CVPR), Las Vegas, NV, pp. 770-778(2016).
[19] Keras: https://keras.io/ja/#keras[20] CIFAR-10:
https://www.cs.toronto.edu/~kriz/cifar.html[21] Google Colaboratory:
https://colab.research.google.com/notebooks/intro.ipynb#[22] Jupyter: https://jupyter.org/[23] Sony Neural Network Console:
https://dl.sony.com/console/#/dashboard[24] D. Silver et al.: A general reinforcement learningalgorithm that masters chess, shogi, and Go throughself-play, Science, Vol. 362, 1140-1144 (2018).
[25] 山岡忠夫: 将棋 AI で学ぶディープラーニング，
マイナビ出版，pp. 277 (2018).
[26] 涌井良幸・涌井貞美: ディープラーニングがわ
かる数学入門, 技術評論社, pp. 239 (2017).
[27] 斎藤康毅：ゼロから作る Deep Learning －Python
で学ぶディープラーニングの理論と実装－，オラ
イリー・ジャパン，pp.298，(2016).
[28] Antonio Gulli (アントニオ・グッリ) ＆ Sujit Pal(サジット・パル)著，大串正矢，久保隆宏，中山
光樹訳：直感 Deep Learning –Python×Keras でア
イデアを形にするレシピ-，オライリー・ジャパン，
pp.309，(2018).

福井大学 学術研究院工学系部門 研究報告 第 69 巻 2020 年 10 月
Mem. Fac. Eng., Univ. Fukui, Vol. 69（ October 2020 ）ナノスケール周期構造を付与した DLC 膜の摩擦特性
本田 知己*

Frictional Properties of DLC Films with the Nano-scale Periodic Structures
Tomomi HONDA*(Received September 29, 2020)
Higher performance hard coatings such as diamond-like carbon (DLC) films with textured
surfaces are paid attention to their friction reduction properties. In the present study, the frictional
properties of DLC films with the periodic structures were investigated using a block-on-ring typesliding friction tester and cylinder-on-plate type reciprocating friction tester under lubrication.
These periodic structures have been generated on the DLC surfaces by means of a polarized
femtosecond laser of energies near the ablation threshold. Periodic structures have a mean spacingof about 100 nm with a length of 200-2000nm. Worn surfaces were observed by using an AFM,
and the volumes of convex and surface area were calculated. As a result, we found the friction
coefficient decreased in the case that the surface area is small and the volume of convex is large.
Key Words : Diamond-like carbon (DLC), Periodic structures, Femtosecond laser process, Volumesof convex, Surface area
1. 緒 言近年の環境問題から，CO2 などの温室効果ガスの排出低減が急務の課題となっており，自動車エンジンにも摩擦低減による燃費向上が求められている．
DLC（Diamond-like carbon）膜は，ダイヤモンド結合（sp3）とグラファイト結合（sp2）が混在する炭素構造をもち，ダイヤモンドと同等の硬度を有しながら表面の平滑性にも優れ，その低摩擦性から自動車のしゅう動部品への適用が始まっている．一方，表面に微細な凹凸を形成して潤滑油の保持機能を高めることで，ピストンスカートなどの摩擦低減が図られている[1]．機械部品の表面への凹凸の付与による摩擦摩耗特性の向上は古くから行われてきた．近年，リソグラフィー加工，レーザ加工，マイクロブラス
ト加工など，規則正しい表面テクスチャリングも可能となり，新たな表面テクスチャにより発現するトライボロジー特性が注目されている．表面テクスチ
ャによるトライボロジー特性への効果には，流体力の発生，潤滑剤の保持，摩耗粒子の捕捉があり，摩* 機械工学講座* Department of Mechanical Engineering

擦摩耗特性の向上が図られている[1]．
自動車部品への表面テクスチャの適用例を示す．
摩擦力低減を目的とした表面処理技術として，ピス
トンスカート部へのショットピーニング加工[2]や，ピストンリングへのレーザ加工[3]などが行われている．前者では，粒径 50 μm のセラミックビーズを 100
m/s 以上の速度で投射し，深さ数 μm のくぼみ（ディンプル）を付与することで，最大で 2.6 %の摩擦低減効果が得られた．後者では，レーザをスポット照射しピストンリングの側面に 10 μm 程度の深さのディンプルを付与することで，摩擦損失を最大で25 ％低減させた．また，フェムト秒レーザを用いてDLC 膜などの硬質薄膜へナノサイズの周期的な凹凸が付与できることが発見された[4]．様々な科学技
術分野においてフェムト秒域のパルス幅をもつ超短パルスレーザが，物質の制御や加工に広く利用されるようになった．この超短パルスレーザによる物質の制御・加工では分子振動や格子振動周期と同程度のごく短時間に高密度なエネルギーを注入できるため，物質内でエネルギーの空間的な拡散を極端に小さくできる[5]．その結果，熱影響の小さい高精度な加工が可能になった．またレーザ照射部の周囲では

11

12

盛り上がりが出現し，その付近にはナノスケールの周期構造が形成されやすい[6]．この現象は，フェム
ト秒レーザを加工しきい値近傍のフルエンスで照射することによって生じ[7], [8]，この周期構造は入射光によって励起された表面プラズモンと入射光との相互干渉によって生じると考えられている[9]．またレーザ波長の 1/10～1/5 のサイズの微細な周期構造が形成される．周期構造のサイズと形状は，レーザパ
ルスの偏光特性，レーザ波長，フルエンスに依存して変化する[10]．
ナノスケールの周期構造を付与した表面の摩擦特性を評価した研究では，軸受鋼[11]やステンレス鋼[12]，超硬合金[13]，セラミックス[14], [15]が用いられ，潤滑剤には純水[12]-[14] や摩擦調整剤添加油[16] が用いられており，DLC 膜を用いた評価は少ない．また，周期構造を付与した DLC 膜の油潤滑下の評価では，周期構造形成後に MoS2 を被膜した研究[17]が行われているが，周期構造を無添加基油中でしゅう動させ，摩擦摩耗の過程，耐久性を評価した研究はない．
本研究では，DLC 膜にフェムト秒レーザを照射することでナノスケール周期構造を付与した DLC 膜の一方向すべり摩擦試験と高速往復動摩擦試験を行った．また，摩擦係数の挙動と試験前後の表面形状を詳細に観察し，周期構造が摩擦摩耗特性に及ぼす影響を調べた．
2.

ック試験片を押し付けるブロックオンリング方式で行 っ た ． ブ ロ ッ ク 試 験 片 に は DLC を 成 膜 し た
SUS304，リング試験片には表面粗さを Ra = 0.05μmまで研磨した Ni-Mo 鋼（AISI4620）を用いた．試験
条件を Table 1 に示す．リング試験片を取り付けたス
ピンドルの回転数は 600 rpm で周速は 1.1 m/s 一定とし，リングを回転させてから接触させるランニングイン方式で行った．摩擦力と油温の測定間隔は，1秒（すべり距離 1.1 m 間隔）とした．垂直荷重は 10
N，すべり距離は 5 km と 30 km とした．
Fig. 2 に高速往復摩擦試験の概略を示す．本装置は様々な試験条件や接触状態に対応し，高速での往復運動（～50 Hz）が可能であるため，自動車産業をはじめ薄膜や合金などの幅広い分野で摩擦摩耗特性の評価に用いられている．試験条件を Table 2 に示す．
プレート試験片をステージに固定し，円筒試験片を50 N で押し付け，振幅 10 mm，振動数 20 Hz で 20000
回往復させた．摩擦試験は，DLC が成膜された
SUS304 のプレート試験片に，SUJ2 の円筒試験片を押し付けすべり摩擦させる，シリンダオンプレート方式で行った．
両試験ともに潤滑油にはパラフィン系工業用無添
加基油を使用し，80±4 ºC の温度範囲でしゅう動部
が完全に浸かるように満たした．80 ºC での動粘度は 6.65 mm2/s であった．

試験方法および供試材料

Load

2.1 実験装置
Fig. 1 に一方向すべり摩擦試験の概略を示す．摩擦試験は，潤滑油中で回転するリング試験片にブロ

35
8.7

17
7

(15×22)
Laser processedsurface

Load

DLC film

Fig. 1 Schematic of the block-on-ring type tester.

Table 1 Test conditions of block-on-ring type test.
Load， N
Sliding velocity， m/s
Sliding distance， km
Block specimen
Ring specimen
Lubricant oil
Oil temperature， ºC

SUJ2Fig. 2 Schematic of the cylinder-on-plate type tester.

Block specimen
Ring specimen

DLC film(58×38×4)

10, 50
1.1
5, 30
DLC
Ni-Mo steel
Paraffinic base oil80（6.65mm2/s @ 80 ºC）

Table 2 Test conditions of cylinder-on-plate type test.
50
Load， N
10
Amplitude， mm
20Frequency， Hz
Number of cycle
20000
Cylinder specimen
SUJ2
Plate specimen
DLC
Lubricant oil
Paraffinic base oil
Oil temperature，ºC80（6.65mm2/s @ 80 ºC）
2.2 供試材料
DLC は物理蒸着（PVD）法の一つである非平衡マ
グネトロンスパッタリング法を用いて成膜された．
ナノスケールの周期構造は，直線方向に偏光された

13

フェムト秒レーザを加工しきい値近傍のフルエンス

離 30 km 地点の表面形状を Fig. 5 に示す．
未加工 DLCで照射することによって偏光方向に対して直角方向

膜は表面形状の変化が小さく 30 km のしゅう動でもに形成された．レーザ発振条件は，波長 800 nm，最試験前の凸部の大部分が残り，先端が 10 nm 程度平

大出力 1.0 W，周波数 1 kHz，パルス幅 180 fs である．

面的に摩耗した．一方周期構造付与 DLC 膜では，摩試料表面でのレーザビーム径（スポット径）は約 560

擦係数の減少とともに平滑化され，数十 nm 程度のμm であった．本試験で用いる周期構造は，レーザ

深さのくぼみがみられた．

を照射しながら X 軸方向にステージを移動させ，Y軸方向に 60 μm ずつずらして平行に直線状にステー

30 km

0 km

ジの移動を繰り返して，Fig. 3 に示すような平面状に形成された．またレーザの加工出力や送り速度を200.00[nm]

200.00[nm]

変化させることで，形状の異なる周期構造が形成さ
れた．

1m

1m
2.00 µmE

0.00

2.00 µm

5.00 x 5.00 µm(a) Non processed

5.00 x 5.00 µm
HB-non-1

0.00

091025 HB-non（30km耐久）-2

0 km

30 km

2m
202.07200.00[nm]

EPeriodic structure1m

Non processedY

2.00 µm

Fig. 5X

3.

1m

5.00 x 5.00 µm

0.00

Periodic structure after laser processing.

2.00 µm

5.00 x 5.00 µm

0.00(b) Periodic structure
AFM images of the initial and worn surfaces.
W350V8Fig. 3100.00[nm]

HB

摩耗痕 1 （10N 30k ）（X 5）

3.2 高速往復動摩擦試験
3.2.1

周期構造と表面形状

レーザの加工出力と送り速度を Table 3 のように

試験結果および考察変化させることで，Fig. 6 に示すように溝深さや溝同士の間隔の異なる周期構造が形成される．出力の3.1 一方向すべり摩擦試験
一方向すべり摩擦試験結果を Fig. 4 に示す．未加
工 DLC 膜では約 20 km，周期構造付与 DLC 膜では増加に伴い溝同士の間隔は大きくなり，送り速度の増加に伴い間隔は小さくなる傾向にあった．

約 3 km のしゅう動で定常状態に遷移した．また，
30 km のしゅう動で常に周期構造付与 DLC 膜は，未加工 DLC 膜よりも低い摩擦係数を示した．未加工
DLC 膜と周期構造付与 DLC 膜の試験前，すべり距

Fr ic tion c oe ffic ie nt

0.08
0.06
0.04

5km

Specimen
Laser power, mW
Feed rate, mm/s
3.2.2

30km

N on
processed

(a)
370
4

(b)
440
2

(c)
440
4

(d)
440
8

(e)
470
4

試験時間に伴う摩擦係数の変化

Fig. 7 に往復動摩擦試験の結果をレーザ出力と送P eriodic
structure

り速度に着目して示す．試験開始時の表面形状の違いにより，摩擦係数の絶対値に差が生じ，未加工
DLC 膜より低摩擦，高摩擦を示す表面形状が存在し0.02
0Fig. 4

Load : 1 0 N
Ve locit y : 1 .1 m/s
Oil t e mp. : 8 0 ℃
Block : DLC
Ring : AISI4 6 2 0

Table 3 Laser processing conditions.

た．未加工 DLC 膜は約 4000 サイクルで定常状態へ
5

10
15
20
25
Sliding distance, km

30

Variation of friction coefficient as a functionof sliding distance.

遷移するのに対して，周期構造付与 DLC 膜では，約400 サイクルで定常となった．また定常状態に遷移した後の摩擦係数の振れ幅は 0.01 程度となった．一方向すべりと往復動でしゅう動方法は異なるが，周

14

3.2.3

原子間力顕微鏡(AFM)による摩耗こん観察

未 加工 DLC 膜 と低摩擦を 示した W370V4 とW440V2，高摩擦を示した W440V8 と W470V4 の 5
種類の摩耗こんの AFM 画像を Fig. 8 に示す．未加工
(a)

(b)

370mW, 4mm/s

440mW, 2mm/s

DLC 膜は，球状の凸部の先端が摩耗した程度であった．一方，周期構造付与 DLC では，W440V2 が中でも最も全面的に平滑化していてレーザ加工による溝が約 50nm の深さまで摩耗した．対照的に高摩擦を示した W470V4 では周期構造の大部分が摩耗せずに(c)

初 期 の 形状 を 維 持し て いた こ と がわ か る ．ま た

440mW, 4mm/s(d)440mW, 8mm/s

Polarization direction
2m

れらの中間の摩耗状態を示した．表面の凹凸の大部分が平滑化された周期構造が低摩擦を示す傾向にあった．

470mW, 4mm/s
Fig. 6

SEM photos of periodic structures.
No. of cycles
10000

0
0.08

3 0 010.00 µm

Load : 50 N
Amplit ude : 1 0mm
Fr e que ncy : 2 0 Hz
Oil t e mp. : 80 ℃
Cy linde r : SUJ2

0.02

200

400

600

800

(a)

No. of cycles
10000

C

He igh t, n m

3 0 010.00 µm

25.00 x 25.00 µm

C

0

200

400

600

800

10
15
20
H o riz o n t ia l p o s it io n ,  m

W440V20.04
Non pr oce s s e d
W37 0 V4
W44 0 V4
W47 0 V4

E’

E

1000

Variataion of the friction coefficient as afunction of test time.

期構造を付与することにより接触面がなじみやすく，
早く定常状態に遷移した．

He igh t, n m

Laser power dependence

10
15
20
H o riz o n t ia l p o s it io n ,  m

W370V4

D’

D

0.00

25

C’

299.97300.00[nm]

3 0 0 10.00 µm

3 0 010.00 µm

25.00 x 25.00 µm

E

5

10
15
20
H o riz o n t ia l p o s it io n ,  m

W470V4
Fig. 8

0.00

100
0

D

5

10
15
20
H o riz o n t ia l p o s it io n ,  m

W440V8Sliding direction

0.00

100
0

300.00301.02[nm]

25.00 x 25.00 µm

W470V4 -1

200

25

B’

W440V8 center

200

5 m

Tes t tim e, s ec

(b)

5

5 m

100
5

0.00

100
0

300.00[nm]

25.00 x 25.00 µm
W370V4-5

200

B

A’

W440V2 center

200

0Load : 5 0 N
Amplit ude : 10 mm
Fr e que ncy : 2 0Hz
Oil t e mp. : 80 ℃
Cylinde r : SUJ2

3 0 010.00 µm

5 m

20000

0.06

25

Non processed

C

Feed rate dependence

0
0.08

10
15
20
H o riz o n t ia l p o s it io n ,  m

1000

Tes t tim e, s ec

0.00

100

A

Non pr oce ss e d
W4 40 V2
W4 40 V4W4 40 V8

25.00 x 25.00 µm

5299.71300.00[nm]

5 m

HB non center

2000Fig. 7B’

B

He igh t, n m

0.04

0.02

300.00
[nm]

5 m

0.06

0

Fr ic tion co e ffic ie nt

A’

A

20000

He igh t, n m

F r ic tio n c oe ffic ie nt

前の形状が残存していた．W370V4 と W440V8 はそ

He igh t, n m(e)

W470V4 では摩耗や平滑化はほとんど起こらず試験

25

E’

AFM images of the worn surfaces.

25

D’

15

4. 考

察

た(e)と(f)のモデルは三角波の先端が平面的に取れて高原形状化（プラトー形状化）したとみることが

4.1

でき，これらと同等形状である DLC 膜は W370V4

表面形状を表す新パラメータの提案

往復動摩擦試験後の表面の算術平均粗さ Ra と摩と W440V2 であり，両者で低摩擦を示した．このよ

擦係数の間には明確な関係は見られず，微小な表面

うに，プラトー形状化により低摩擦が実現されたこ

形状の違いを評価する他のパラメータを考案する必とが確かめられた．

している．そこで，高さ情報から 3 次元メッシュを作成し，谷底から山頂までの体積と表面積を求めた．
これらの 2 つの関係を Fig. 9 に示す．未加工 DLC 膜
は表面積，体積ともに小さくグラフの左下に位置し，対照的に摩耗がほとんど進行せず高い摩擦係数を示した W440V8 と W470V4 は右上の位置した．一方低摩擦係数を示した二つは，全面的な平滑化と周期構

Volume of conve x , m

512×512 点の高さ情報を結ぶことで表面形状を形成

3

要がある．Fig. 8 で示した 25×25 μm の AFM 画像は，

120
100
80

Decrease in the number of groove

60
(f)

40

(c)

20
0

左上に位置する傾向がみられた．

(a)Volume of conve x , m

3

造の溝の残存により，表面積に対して体積が大きく，

(d)

(b)

Increase in groove depth

650

700
750
800
Surface area, m 2

120
100
80
60

(a)

40

(b)

(c)

(e)

(f) 0

Non pr oce s s e d ( =0 .0 4 7 )W3 7 0 V4 (=0 .0 4 0 )W4 4 0 V2 (=0 .0 4 2 )W4 4 0 V8 (=0 .0 6 4 )W4 7 0 V4 (=0 .0 5 6 )

20
0

700
750
800
2
Surface area, mFig. 9 Relationship between surface area andvolume of convex.
4.2

(e)

650

(d)

Fig. 104.3

表面形状のモデル化

Relationship between surface area andvolume on the model.

一方向すべりにおける表面積と体積の関係

低摩擦を示す最終面の探索のため三角波の溝断面

3.1 章で示した一方向すべり摩擦試験における試をもつモデルを作成し，溝深さと溝数を変化させ表

験後の表面形状における表面積と体積の関係を Fig.

面積と体積の関係を調べた．表面形状は Table 4 に示

11 に示す．一方向すべりでは往復動と比較して，すように変化させ，それらの結果を Fig. 10 に示す．
(a)
0
0

(b)
50
50

(c)
100
50

(d)
150
50

(e)
100
25

(f)
100
10

(a)の条件は完全平面を示し，表面積は 625 μm2，体積は 0 μm3 となる．溝数を固定し深さを変化させた(b)，(c)，(d)では，溝深さの増加に伴い表面積と体積が増加する．また溝深さを固定し溝数を変化させた

Volume of c onve x , m

Depth, nm
No. of groove

Surface profiles of models.
3

Table 4

DLC 膜上の摩耗こんの面積が小さく周期構造が摩さと溝数の表面積・体積に与える影響は，実際の往復動摩擦試験においても同様の傾向がみられた．ま

5km

40

Fig. 11

Nonprocessed
Periodic
structure

30

30km

●

0.023

▲

0.023

●

0.019

▲

0.016

20
10
0

(c)，(e)，(f)では，溝数の減少に伴い表面積は減少す
るが体積は増加する．モデル化により得られた溝深

50

630

640
650
660
Surface area, m 2

670

Relationship between surface area and volume
on the one way sliding frictional test.

16

耗し平滑化されやすい状況にある．周期構造付与
DLC 膜では，表面積は未加工 DLC 膜より小さいが，表面積に対して体積は大きい値を示した．試験方法の違いから一方向すべりでは往復動よりも摩耗や平滑化がされやすい状況にあるが，両者で同様の摩擦特性を示した．
4.4 油膜厚さと表面形状
ブロック試験片とリング試験片が弾性流体潤滑（EHL）下において線接触する場合の最小の油膜厚さは(1)式で表され[18]，本試験の条件では約 99 nm と算出される．
 u
h min
0.54  W 
 2.65 0 E   ER R
 ERL 

0.13

Fig. 12 にブロックオンリング試験のすべり距離に伴うラマンスペクトルの変化を示す．試験前の周期
構造付与 DLC 膜は，全体の波形で他に比べ D ピー
クが高く ID/IG 値は大きい．すべり距離に伴い ID/IG
は減少し波形も未加工に近づく．このことから周期構造形成時の凸部先端や表面では sp2 結合の割合が多くなる．一方，摩耗によりしゅう動面が深さ方向に進むにつれて，sp3 結合の割合が増加し，硬度が高くなることが考えられる．
130

100

100

50
R

(1)

R: 等価半径[m]α: 粘度の圧力係数[Pa-1]
u: 転がり速度[m/s]η0: 大気圧下での粘度[Pa･s]
L: 接触長さ[m]W: 垂直荷重[N]E: 等価縦弾性係数[Pa]

50

R

0

0

- 20
2044. 8- 202044. 81500
1000
W a ve n u m b e r [c m - 1 ]477. 7h min
R q21  R q2 2

(2)

3.1 章で示した試験における各試験片の粗さをTable 5 に示す．そこから未加工 DLC 膜と周期構造
付与 DLC 膜の膜厚比は 1.30，1.34 と算出され，摩擦係数は約 0.03，0.02 となる．(2)式と Table 5 の各試
験片の粗さを比較すると，ブロック試験片の粗さの違いが摩擦係数に影響を与えたと考えられる．
Table 5

Each roughness of specimen after tests.
Periodic
Nonprocessed
structure
Block roughness Rq1, nm
13.1
7.5
Ring roughness Rq2, nm
74.9
73.5
1.30
1.34
Film parameter 
4.5 表面形状と組成の変化
試験後の周期構造の組成をラマン分光光度計を用いて分析した．一般に DLC 膜を測定後に波形分離す
ると， 1350 cm-1（D-peak）と 1590 cm-1（G-peak）
付近にピークが観察される．これらの強度比 ID/IG
値の変化から sp2/sp3 組成比に関する情報が得られる[19]．また，sp2 結合の割合の増加とともに，硬度は低下する．

477. 7(a) Non processed (30km) (b) Periodic structure (0km)
190

210

150

100

R 100

R

しかし実際の表面には粗さがあり，油膜厚さを上回
ると物体間の突起同士が固体接触し摩擦係数は上昇
する．EHL 領域での突起干渉の程度を評価するパラメータとして(2)式に示す膜厚比が一般に使用される[18]．Rq1 と Rq2 はブロック試験片とリング試験片の二乗平均平方根粗さを示す．

1500
1000
W a ve n u m b e r [c m - 1 ]

50

- 10
2044. 81500
1000
W a ve n u m b e r [c m - 1 ]477. 7- 102045. 18

1500
1000
W a ve n u m b e r [c m - 1 ]477. 7(c) Periodic structure (5km) (d) Periodic structure (30km)
Fig. 12Comparison of Raman spectra for eachsliding distance.

表面形状の観察と組成分析より，摩擦試験初期では高い接触面圧と硬度の低い DLC 膜表層の組み合わせにより容易に摩耗が進行する．すべり距離に伴い周期構造が摩耗・平滑化され接触面積が増加する
ことで面圧は低下する．それと同時に，しゅう動面
で硬度の高い部分が現れ摩耗進行速度が低下する．
定常状態に遷移後は，平滑化された表面により極めて薄い油膜が形成されることで低い摩擦係数を示す．
さらに，しゅう動面に残存した周期構造の溝やくぼ
みにより潤滑油が保持されることで焼付きが抑制されて，低摩擦係数を維持したと考えられる．
5. 結 言フェム ト秒 レーザ によ り周期 構造 を付与 した
DLC 膜に対して一方向と往復動の摩擦摩耗試験を行い，周期構造が摩擦摩耗特性に及ぼす影響を調べた結果，以下の結言を得た．
(1) 一方向すべり摩擦試験と高速往復動摩擦試験ともに周期構造を付与することで，接触面がなじみやすく未加工 DLC よりも早く定常状態に遷移する．
(2) 表面形状の新しいパラメータとして導入した表面積と体積の関係から，表面積に対する体積が大きい場合に摩擦が低くなることが明らかになった．

17(3) 周期構造が摩耗して平滑化することで，潤滑膜の形成が容易になると同時に谷部が油溝として働き，
低摩擦係数が低下した．
謝 辞
本研究における測定の多くは福井大学大学院生の白川泰道 氏（現 川崎重工業株式会社）により実施された．ここに謝意を表します．また，試料の加工や DLC 膜の各種機器分析にあたり，千徳英介 氏（福井工業高等専門学校）に多大なるご協力を頂いた．
ここに感謝の意を表する．
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福井大学 学術研究院工学系部門 研究報告 第 69 巻 2021 年 3 月
Mem. Fac. Eng. Univ. Fukui, Vol. 69（ March 2021 ）19

分子動力学を用いた接触角温度依存性の評価
福島啓悟*

Molecular Dynamics Simulation for Temperature Dependence of Contact Angle
Akinori FUKUSHIMA*(Received February 1, 2021)
The temperature dependence of the liquid-solid surface tension coefficient of Fe-water isevaluated by molecular dynamics simulations. The dynamics of the droplet highly affect thecooling process of the steel, and thus it should be clarified to obtain the basic insight to improve thecooling process. From our simulations, the magnitude correlation between the contact angles of
Fe-water depends on the temperature. It means that the dynamics of the water droplet on thehigh-temperature Fe surface may be different from that on the low-temperature Fe surface.
Key Words : Contact angle of Fe-water, temperature dependence of contact angle, molecular
dynamics,

では，液体が固体に直接接触しており，この違いにより両者の熱伝達量に大きな違いが生じている．このような沸騰遷移による熱伝達量の減少は非常に複雑な現象でありまだ多くの未知の問題が存在する．
Ashraful らは膜沸騰から核沸騰への移行過程で液体が固体壁に接触し始める条件を実験的に調べた[1]．
また永井らは透明な単結晶サファイア上に液滴を噴霧し沸騰モードの変化を高速度カメラで可視化している[2]．しかし液体と固体が接触する条件の詳細は不明である．そこで我々は高温鋼表面上の液滴のダ*機械工学講座* Department of Mechanical Engineering

イナミクスを解析し、数値計算を用いて鋼の冷却過程における濡れ挙動を明らかにする．また固体壁と液体の間の自由エネルギーの温度依存性を評価し，評価した自由エネルギー値と固体-液体間の熱伝達方程式を組み合わせることで液滴の挙動を再現し濡れ挙動を決定するマクロ要因を特定する事を目的とする．その為の第一段階として，本研究では固体壁の濡れ性に着目した．固体壁の濡れ性は固体-液体の接触状態に重要であると言われているが，高温の固体壁の濡れ性については詳細には知られていない．
そこで本研究では分子動力学計算を用いて固体と高温の固体壁との濡れ性を評価した．

100Å

1. 緒 言高品質な鋼材の生産は幅広い工学分野で重要な役割を果たしており，材料作成の効率化や高性能化に関する研究が広く行われている．その一つが冷却プ
ロセスに関する研究である．鋼材はその作成過程で材料に液体を吹き付けて冷却し，液体が気相に変化する際の潜熱で冷却すされる．しかし，不均一な冷却が発生すると材料のばらつきや形状不良が発生することが知られている．工程の効率化を図るためには、不均一冷却工程の改良が重要である．不均一冷却の原因として考えられている要因の一つが，膜沸騰と核沸騰との沸騰モードの変化である．膜沸騰では固体と液体の間に蒸気膜が形成されるが，核沸騰

28.6Å

28.6

Å

Fig.1 Simulation model of this study. Gray spheres showiron atoms, purple spheres show oxygen atoms, andgreen spheres show hydrogen atoms.

20

Energy Difference [kcal/mol]

0Liquid

λ[Å]

−20
−40
−60
−80
−100
250

Solid wall

300

350

400

450

500

550

450

500

550

Temperature [K]600

Fig.2 Schematic diagram of the free energy calculation.
The distance between the liquid and the solid is used as
the parameter, λ.
2. 計算方法
計算に使用した系を Fig.1 に示す．Fig1 において，
黒で鉄原子，赤で酸素原子，紫で水素原子，緑で水分子における酸素原子を表す．固体表面は fcc の(001) 面 を 表 面 と し た ． 計 算 セ ル は
28.6Å×28.6Å×100Å とし，x 及び y 方向には周期的境界条件を、z 軸方向には上面には完全弾性壁を配置した．初期構造は水分子 800 個をランダムに配置して作成した．水分子には SPC/E[3]モデルを用いた．
また，固体壁面には電荷を与えず，水との相互作用
は Lennard-Jones ポテンシャルのみとした．クーロン
相互作用は Fennel 法[4]で計算し，相互作用のカット
オフ距離は 10Å とした．自由エネルギーの計算方法を以下に示す．本研究では熱力学的積分法を用いて固液界面の自由エネルギーを計算し，得られた自由
エネルギーから接触角を求める．Fig.2 に示すように
水スラブと固体壁が接している状態を λ=0 とし，相互作用が無い状態を λ=10 とした．λ が 0-３の間は0.5 ずつ変化させ 3-10 の間は 1 ずつ変化させる．それぞれの λ で、λ を一定に保ち水スラブ-固体壁面間に発生する力を計算する．得られた力を積分することで気液界面と固液界面の自由エネルギー差を求めた．
温度を 300K, 350K, 373K, 450K, 500K, 及び 550K
とした．
3.

結果と考察

Force [kcal/mol/Å]

20

300K
367K

10
0
−10
−20
−30

0

2

4

6
λ [Å]

8

10

12

Fig.3 Temperature dependence of force of each distance

Liquid−Solid surface tension [mN/m]

(a)

10
5
0
−5
−10
250

300

350

400

Temperature [K]

600

(b)

Fig.4 Temperature dependence of energy difference andliquid-solid surface tension coefficient.
Fig.3 に 300K と 367K におけるそれぞれの距離における水スラブに働く力を示す．負の力は水スラブに固体壁面方向への力が働いている事を表している．
λ=0 は水スラブが壁面に吸着して安定している状態を表し，λ=10 は水スラブと固体壁面が相互作用していない状態を表す．300K と 367K の場合を比較すると，温度の上昇で力の最大値が小さくなってい
る事がわかる．この力を積分してエネルギーを求めると 300K の場合は-77.3 [kcal/mol]となり，367K の場合は-60.6 [kcal/mol]となる．このエネルギーが気液
界面と固液界面のエネルギー差となる．自由エネル
ギー差の温度依存性及び固液界面の界面張力の温度依存性を Fig.4 に示す．横軸は温度を示し，縦軸はエネルギー差を表す．Fig.4(a)に示されたようにエネ
ルギー差は温度の上昇に対して減少していくことが分かる．本研究で用いた SPC/E 水モデルの気液界面の表面張力係数は Ref.5 から引用し，固液界面の表
面張力係数を計算した．その結果を Fig.4(b)に示す．
固液界面の界面張力は温度が上昇すると大きくなる
ことがわかる．しかし，温度依存性の大きさは先のエネルギー差と比較して小さい．これは，気液界面の表面張力計数が温度上昇によって小さくなる事が原因である．最後に，Fig.5 に接触角の温度依存性を示す．300K から 500K の間では接触角が大きく変化
していないことが分かる．また，温度が 550K になると接触角が増加する．この事から，固液界面の表
面張力係数は温度に依存して変化するが，気液界面21Contact angle [degree]

180
150
120
90
60
30
0
250

300

350

400
450
500
Temperature [K]

550

600

Fig.5 Temperature dependence of the contact angle of thewater droplet on the solid wallの表面張力計数も同様に低下する為、接触角の温度依存性は小さくなる事を意味している．
4. 結 言本研究では分子動力学シミュレーションを用いて鉄表面上における水の接触角の温度依存性を評価した．その結果，固液界面の表面張力は温度の影響で変化するが，接触角は温度が低い領域では変化せず，
温度が 550K 程度まで上昇すると大きくなることが分かった．これにより，高温壁面上における液滴の挙動は低温の場合における挙動と比較して大きく変化する可能性があることを示唆している．
[1] Md. Ashraful Islam, Masanori Monde, Peter Lloyd

Woodfield, Yuichi Mitsutake , Int. J. Heat and Mass
Transfer, 51-5, 1226-1237 (2008).
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307-313, (2017).
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Analysis on the Distribution of COVID-19 Cases by Country
Hidetaka TOBITA* and Mitsuki FUJII**(Received December 21, 2020)
The global cases of COVID-19 reported on the website of Center for Systems Science andEngineering at Johns Hopkins University are used to analyze the distribution by country. The
relationship between rank and size (ranking plot) is approximately represented by the power-law
distribution for the top countries, while the overall distribution follows the lognormal distribution.
Assuming a continuous power-law distribution, the power exponent determined from the data leads
to make the weight average infinity, which would be considered as gelation or pandemic. The
distribution is rationalized by the discrete-time stochastic model that employs the weekly
reproduction rate µ. The distribution of µ obtained for the time period, between April 20 andNovember 11, 2020 could be approximated by the gamma distribution. By assuming a gamma
distribution for µ with various pairs of average and variance, the required conditions to stop the
pandemic are (1) the average µ must be smaller than unity and (2) the time period for µ > 2 must
be negligibly small.
Key Words : COVID-19, Ranking Plot, Power Law, Lognormal Distribution, Pandemic,
Weekly Reproduction Rate

1. Introduction
On April 7, 2020, the Japanese government declared astate of emergency for the rapid spread of COVID-19 inJapan. On that weekend, one of the authors (HT) was
staring abstractedly at the website of Center for Systems
Science and Engineering at Johns Hopkins University,[1]listing a large number of the COVID-19 cases by country.
Simply because there are so many numbers, HT

Fig. 1 Conventional ranking plot.

examined the numbers, and tried the ranking plot,
graphically showing the relationship between rank andFig. 1 shows a conventional type of ranking plot insize. Figure 1 shows the double logarithmic plot made atwhich the y-axis shows the size and the x-axis shows thethat time. Interestingly, the top countries appear torank. Because the rank is proportional to the number

follow the power-law relationship. Recalling his own

fraction of countries whose size is larger than theexperience that a power law was found also in thecorresponding size, when the axes are exchanged to plot[2]

infection tree of SARS in 2003,

and intrigued by the

Zipf’s law like behavior, HT called for a volunteer tocollect the data, and an undergraduate student, MFapplied for this project.

the rank on the y-axis, the ranking plot shows the upperprobability distribution given as follows.
∞

Rank ∝ ∫ N (x) dx .
x

(1)

In Eq. (1), N(x) shows the number-based probability* Department of Materials Science and Engineering**Department of Materials Science and Biotechnology,

School of Engineering

density function (pdf). In the rest of this article, the rank
is shown on the y-axis, representing the upperprobability distribution.

38

The collected data from the website[1] during thethe onset of gelation in the polymer science.[4] In orderperiod from April 11 to November 11, 2020 are analyzed.

for the expected cluster size to stay finite, α must beAbylarger than 2. On the other hand, however, the obtainedis used to rationalize the formation processnecessary conditions to stop the pandemic are proposed.

α-values are always smaller than 2 during the wholeinvestigated period. This could be interpreted as
pandemic.

2. Analysis of Distribution Data

2.2 Lognormal Distribution

2.1 Power-Law Distribution

be represented by the power law reasonably well, thediscrete-time

Yamamoto[3]

stochasticof the obtained distribution.

model

proposed

Based on the analysis, theAlthough the upper tail probability distribution could
Fig. 2 shows the ranking plot on the designated date.
The power law seems to apply for the top countries,
irrespective of the dates.
∞∫ N (x) dx ∼ x−αxwhole distribution, including the lower-ranked countries,
is not.
Fig. 3 shows the least-square fit by using thefor large x’s.

(2)

Fig. 2 Ranking plots on the designated dates.

lognormal distribution. The whole distribution is well
represented by the lognormal distribution.

Fig. 3 Fitted curves by using the lognormal distribution.

The power exponent, α is approximately in the range

Recently, it has been argued that many power-law

of 0.7 – 0.9. Based on Eq. (2), the upper tail of the

distributions reported earlier both for the social andnumber-based pdf, N(x) is represented by:natural sciences are just apparent, and do not fully

N (x) ∼ x −α −1 for large x’s.
Aninteresting

characteristic

(3)
of

the

conform to a strict power law,[5] and many of them are
better represented by the lognormal distribution.[6] It is

power-law

not straightforward to distinguish these two types of

distribution is that when the pdf is converted to that on a

distribution. In this article, we do not go into the details

weight basis W(x), the power exponent changes by one.

of statistical discrimination. We just report the following

W (x) ∼ x −α for large x’s.

(4)Equation (4) shows that the power exponent of the
ranking plot is directly equal to the power exponent of

two notable characteristics of the ranking plot of
COVID-19: (1) the top countries appear to follow thepower-law distribution, and (2) the overall distribution
could be represented by the lognormal distribution.

the weight-based pdf.
Assuming a continuous distribution, the weightxw = ∫ xW (x) dx ∼ ∫ x −α +1 dx .
0

to Elucidate the

Ranking Plot

average is obtained from the following equation.
∞

3. Model-Based Investigation(5)

In COVID-19, the patients are isolated once they are

Equation (5) shows that when the exponent (–α +1) isfound to be positive. Therefore, the infectious period isgreater than or equal to –1, the integration goes tolimited. Although there may be many hidden patients

infinity. Therefore, the critical value of α is 2.

that are not counted as the cases reported on the Johns

The weight average is the expected size of the cluster
when a unit is selected randomly, which corresponds to

Hopkins’ website, we consider only the numbers
reported therein.

39

We employ a discrete-time stochastic model. Suppose

because the frequency to have µ > 4 is so small, we

the increase of cases during a certain period of time isΔxt, and the increase in the next time period is Δxt+1. The

neglected such data to determine the µ distribution. The
solid line shows the interpolation curve, connecting the

newly infected would be infectious, and let µt be thecenter points of the histogram. This curve is used for theapparent reproduction rate, defined by:Monte Carlo (MC) simulation.

µt = Δxt+1 Δxt .

(6)With the present simple model, the number of cases xt
is represented by the following equations.

xt+1 = xt + Δxt .

(7)

Δxt = µt−1Δxt−1 .

(8)

Yamamoto[3]

investigated the present model, and−α

In the MC simulation, the total number of countries is
set to be N = 190, which is equal to that of the obtained
data for the most of the investigated period. The initialvalues are set to be x0 = 0 and Δx-1 = 1 for all countries.
Fig. 5 shows the MC simulation results after 50 weeks.
Even though the initial values are the same for all
countries, a wide variation among countries is generated.
The upper figure, (a) shows that a power-law distribution
applies for the top countries, with α = 0.8, which isfound that x has a stationary power-law tail with x , if
the following equation possesses a unique positive

approximately the same magnitude of α-value as shownin Figure 2. The lower figure, (b) shows that the wholesolution.

distribution is represented reasonably well by theE( µtα ) = 1 .

(9)lognormal distribution. The important characteristics
observed for the COVID-19 data are satisfied. Note that

where E represents the expectation of the distribution.

the distribution obtained for each trial of the MC

Therefore, Eq. (9) is equivalent to:simulation∞∫ µ f (µ) d µ = 1 .
0

α

(10)

is

different,

however,

these

two

characteristics always apply, at least, approximately. It isshown that the present discrete-time stochastic model

where f is the pdf of µ.
The reported COVID-19 data showed a weekly

can generate the distribution that satisfies two importantfluctuation: the number tends to be small every Monday.

simultaneously.

characteristics

of

the

COVID-19

distribution

In addition, one week would be a reasonable infectious
time period, and we employ the weekly reproduction
rate.

Fig. 4 Distribution of the weekly reproduction rate µ.
The histogram shown in Fig. 4 is the pdf of the weekly

Fig. 5 MC simulation results at t = 50 weeks.

reproduction rate µ observed during the period, from
Fig. 6 shows the distribution after 100 weeks. Two

April 20 to November 11, 2020. The data for the top 120
countries on October 17 are used. Note that the data ofcharacteristics are satisfied also at t = 100 weeks. The

the lower ranked countries tend to involve Δxt = 0, as

magnitude of α is about 0.6, which is smaller than thatwell as µ with extraordinary large magnitude. In addition,

shown in Figure 5. In fact, the magnitude of α decreases

40with time. Assuming a continuous distribution, thewe consider the requirements to stop the pandemic. As

weight average of the distribution goes to infinity when

discussed earlier, in order to keep the weight-averagethe α is less than or equal to 2, and a shift to a smaller

cases finite, the condition, α > 2 is needed.
Fig. 7 shows the least-square fit of the µ data, byusing the gamma distribution, which is represented by

α-value implies that the situation is getting worse if thepresent µ distribution is preserved.

the following equation.

f (µ) =⎛ µ⎞µ m−1
exp ⎜ − ⎟ .
⎝ η⎠Γ(m)η m(11)

The gamma distribution fits the data reasonably well.
The determined values of two parameters are m = 10.79
and η = 0.1003.

Fig. 6 MC simulation results at t = 100 weeks.
Fig. 7 Least-square fit of the µ data by using the gamma
Yamamoto[3] reported that Eq. (10) has a positive

distribution.

βsolution α, if E(lnµ) < 0 and lim E( µ ) = ∞ . In our
β →∞obtained data, E(lnµ) = 0.0523 > 0, and therefore, thedistribution cannot reach the stationary state. It would bereasonable to think that if the average of µ, E(µ) is larger
than unity, the number of cases continues to increase.
The present data shows that E(µ) = 1.14 > 1.
The numerical integration of Eq. (10), by using thecontinuous function f(µ) shown in the solid curve in Fig.

With the gamma distribution, Eq. (10) is calculated toobtain the following equation.
∞α∫ µ f (µ) d µ =0η α Γ(m + α )
= 1.
Γ(m)

(12)

Now, let us seek the values of m and η at the criticalpoint, i.e., α = 2. Note that in order to keep the weightaverage of µ finite, α must be larger than 2. When α = 2,
Eq. (12) reduces to:4, leads to show that the trivial solution, α = 0 is theunique solution. There is no unique positive solution.

η 2 (m + 1)m = 1 .

This would be the reason for the continuous decrease of

The parameter, m is represented by using the number

α with time, and the distribution cannot reach thestationary state.
The present MC simulation shows that the present
stochastic model satisfies two notable characteristics inthe ranking plot simultaneously during the transientperiod.
4. Suggestions to Stop the Pandemic(13)

average of µ, E( µ ) = µ , as follows.

m= µ η.

(14)

By substituting Eq. (14) into Eq. (13), one obtains:η=1− µ 2.
µ(15)

Figure 8 shows the calculated results of Eq. (15). The
right axis shows the variance σ2 of µ, which is given by:

Assuming the present statistical model is valid and theupper tail of the ranking plot conforms to the power law,σ 2 = mη 2 = ηµ

(16)

41

0.8 seems to apply, which may show the statisticalself-similarity with the world data, shown in Fig. 2. It
would be reasonable to think that the above criteria forthe prevention measure are valid also for the local area.

Fig. 8 Magnitudes of η and σ2 as a function of µ at thecritical condition with α = 2.
As shown in Fig. 8, when the average is close to unity,
the µ distribution must be quite narrow with a very small

Fig. 10 Ranking plot by the prefectures in Japan.

2

variance, σ . On the other hand, if the average is smallenough, relatively broad distribution is allowed.

5. Conclusions

Fig. 9 shows the critical distribution that leads to α = 2
for µ = 0.9, 0.8 and 0.7. A common characteristic for

The global cases of COVID-19 reported on thethese curves is that the probability to have the time

website of Center for Systems Science and Engineering

period to make µ > 2 is rather small.

at Johns Hopkins University[1] are used to analyze the
distribution by country. The relationship between rank
and size (ranking plot) is approximately represented by
the power-law distribution for the top countries.
Assuming a continuous power-law distribution, thepower exponent determined from the data shows that theweight average diverges to infinity. This fact may imply
the pandemic, which corresponds to the present situationin 2020.
On the other hand, the overall distribution, including
the lower ranked countries, agrees reasonably with thelognormal distribution.

2

Fig. 9 Magnitudes of η and σ as a function of µ at theHere, we report two notable characteristics in thecritical condition with α = 2.

global ranking plot of COVID-19 during the year 2020:(1) the top countries appear to follow the power-law

On the basis of the results shown in Fig. 8 and Fig. 9,
to stop the pandemic, (1) the average µ must be
controlled to make µ < 1, and (2) the time period for µ

distribution, and (2) the overall distribution could be
represented by the lognormal distribution.
These two characteristics are reproduced well by thediscrete-time stochastic model that employs the weekly

to be greater than 2 must be small enough. When the

reproduction rate µ, during the transient period. On theµ-value increases to approach 2, some strong measure toprevent the infection spread must be undertaken to makeother hand, the present µ distribution predicts that theµ smaller.
Fig. 10 shows the ranking plot in Japan. The x-axis
shows the number of cases by the prefecture. Because
the total number of prefectures is only 47 and the data
points are too small, the statistical analysis is difficult to
conduct. However, the power law with about α = 0.7 –infection status will get worse, without changing the µdistribution.
The present µ distribution can be approximated by the
gamma distribution. By assuming a gamma distribution
is valid even when the infection situation changes, therequired conditions to stop the pandemic are (1) the
average µ must be made smaller than unity and (2) the42time period for µ > 2 must be kept small enough.
References[1] COVID-19 Dashboard by the Center for Systems
ScienceandEngineering

at

Johns

Hopkins

University, <https://coronavirus.jhu.edu/map.html>,(2020/04/11-11/11).
[2] H. Tobita: Mem. Fac. Eng. Univ. Fukui, 52, 37-41(2004).
[3] K. Yamamoto: Phys. Rev. E, 89, 042115 (2014).
[4] P.J. Flory: Principles of Polymer Chemistry, Cornell
University Press, Ithaca, USA (1953), Chap. 9.
[5] L. Benguigui and M. Marinov: arXiv:1507.0348(2015).
[6] A. D. Broido and A. Clauset: Nat. Comm. 10, 1017
(2019).

福井大学学術研究院工学系部門研究紀要編集委員会
菊池 彦光

物理工学講座（紀要編集委員長）

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吉見 泰治

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清

福井大学学術研究院工学系部門研究報告
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福井大学学術研究院工学系部門研究報告 別冊 研究活動一覧

http://www.eng.u-fukui.ac.jp/research/researchactivities-2/index.html
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https://ci.nii.ac.jp/ncid/AA12208150

福井大学学術研究院工学系部門研究報告2021 年 3 月 26 日 発行

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