Maxwell のデーモンと情報熱力学
沙川貴大，上田正仁

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はじめに：情報は物理的ᖱႎ࡮᷹ቯ࡮೙ᓮ㊂ሶ೙ᓮ

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情報は，それを蓄えるメモリ媒体に依存しなᖱႎᾲജቇ.CPFCWGT ේℂ㊂ሶ⸘▚/CZYGNN ߩ࠺࡯ࡕࡦい抽象的なものである．だからこそ，ウェブサー㊂ሶ⺰㕖ᐔⴧ⛔⸘ജቇ
バにある情報も，光ファイバを伝わる情報も，パ,CT\[PUMK ╬ᑼ㧔ࠛࡦ࠲ࡦࠣ࡞ࡔࡦ࠻࠺ࠦࡅ࡯࡟ࡦࠬ㧔ਇ⏕ቯᕈ㑐ଥࠁࠄ߉ߩቯℂ
ソコンのハードディスクに読み込まれた情報も，等価な情報と見なすことができる．情報そのものは電子や光などそれを表現する媒体とは独立 図 1: 本稿で取り上げる内容の相互関係を表わに存在できる．
す模式図．情報熱力学は三つの領域が交わるとしかし，情報には必ず，それを実装する物理 ころに位置する．Maxwell のデーモンはその中的な実体が必要である．電子や光などの物理的 心的役割を果たす．
媒体の助けを借りることなく情報を蓄えたり送信したりすることはできない．個々の情報処理 2
熱力学と情報は，煎じ詰めれば物理過程なのだ．この一見自明な事実の意味するところは，実は深刻である． 熱力学においては，エネルギーの移動の形態
なぜならこれは，情報という抽象的なものを処 は二種類ある．マクロな自由度を介したエネル理する上で，物理法則による制約が避けられな ギーの移動 (すなわち力学的な仕事) と，着目いことを意味するからである．その一方，物理 している系と環境のミクロな自由度間のエネル法則を積極的に活用することで，夢のような情 ギーの移動 (すなわち熱) である．たとえばピス報処理を実現する可能性も開ける．実際，量子 トンに入った気体分子の場合だと，マクロな自情報科学においては，量子論特有の性質をフル 由度はピストンの壁の重心座標，ミクロな自由活用することで，古典的には実行不可能な情報 度は個々の気体分子の相対座標である．熱力学処理を実現できる [1]．情報と物理媒体，そし 第二法則によれば，エネルギー移動の熱と仕事て情報処理と物理法則の間には，不可分な関係 への配分の仕方には，系の詳細によらない普遍があるのだ．Landauer はこの事情を象徴的に 的な制約がある：“Information is physical.” と表現した．
Wext ≤ −∆F.
(1)
本稿のテーマである情報と熱力学の関係は，熱力学的自然認識において本質的であるばかり これは任意の等温過程で成り立つ不等式であり，ではなく，量子制御などミクロなスケールの工 Wext は熱機関から取り出した仕事，∆F はその学的応用においても重要性が増してきている． 際の Helmholtz 自由エネルギーの変化である．
図 1 に示すように，情報の熱力学――“情報熱力 たとえば等温サイクルの場合は ∆F = 0 なの学”――は量子の世界も含めて様々な研究分野と で，(1) は第二種永久機関が存在しないという関係しており，今後研究の裾野が拡大するもの ことを意味する．ここで (1) が不等式であること期待される．本稿ではその一端を紹介する． とが重要だ．これは，うまくやれば (つまり準静1

的に熱機関を操作すれば) 取り出せるはずの仕 ように，熱力学と情報を結びつける鍵なのだ．
事も，下手をすれば取り出せなくなってしまう 実際，ある自由度にアクセスするためには，そことを意味している．取り出せなくなる理由は， の自由度についての情報を得ることが必要であ
マクロな自由度を通じて取り出そうとしたエネ り，得た情報に応じてその自由度を制御するこルギーがミクロな自由度に逃げてしまい，不可 とができる．先ほどのたとえで言えば，こぼれ逆な散逸が起こるからである．このように，エ た水の各々の位置を知った分だけ盆に返せるとネルギーの担い手である自由度を二つの階層に いうことになる．
「マクロ/ミクロ」は系の物理的スケールに関分けて捉えることが熱力学の特徴である．
さて，伝統的なマクロ系の熱力学系において する概念であるのに対し，「アクセス可能/不可は，「マクロ/ミクロ」という区別と，「アクセス 能」は情報論的な概念である．そして後者こそ可能/不可能」という区別は，実質的に等価で が熱力学第二法則における不可逆性の本質と結ある．たとえば，気体分子の相対座標にアクセ びついているのである．
スする (すなわち，それについての情報を得て制御する) ことが実質的に不可能な理由は，それがミクロだからであるというのが伝統的な熱 3
シラードエンジン
力学の立場である．
「アクセス可能/不可能」とMaxwell のデーモンの機能の本質を見事にモいう観点からすると，不可逆な過程とは，アクデル化しているのは，シラード (Szilard) エンジ
セス可能な自由度からアクセス不可能な自由度ンである．このモデルでは，デーモンは気体分にエネルギーが散逸するプロセスを意味してい子の位置を測定してその情報を得ることで，通る．しかし，もしもミクロな自由度にもアクセ常の熱力学では不可能とされる操作――不可逆ス出来れば，散逸したものを元の状態に戻すこ過程を逆行する操作――を実行する．そしてそとが出来るのではないだろうか．のことによって，第二法則 (1) の上限よりも多たとえば，比喩的な例として，「覆水盆に返らくの仕事が取り出され，しかもその仕事量は得ず」という箴言がある．これを字義どおりに解た情報量に比例している．
釈すれば，盆から床への水の散逸が不可逆であC ೋᦼ⁁ᘒ ᾲᐔⴧることを述べている．しかし，もしも床にこぼD ▫ߩಽഀ
Gれた水を一滴残らず回収することが出来れば，
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覆水を盆に返せる――水がひとりでに盆に戻る
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ことはないにしても．つまり，もしもこぼれた水のすべてにアクセスできれば，水の散逸は，F ࡈࠖ࡯࠼ࡃ࠶ࠢ▫ࠍ৻ᣇߦነߖࠆ
逆向きの操作を実行できるという意味で可逆になる．このことは一般的にアクセス可能/不可能 ⇔ 可逆/不可逆

図 2: シラードエンジンの模式図．

(2)と表現することができるだろう．つまり，「アクシラードエンジンとは以下のような熱機関でセス可能/不可能」の境界を移動することは，「可 ある．箱の中に入った一分子理想気体を考える逆/不可逆」の境界を移動することでもあるのだ． (図 2 参照)．これは温度 T の熱浴と接触しておそしてその両者の間を移動することができる り，箱の壁は透熱壁とする．(a) 最初，気体分存在が，Maxwell が考えた “デーモン” に他なら 子は熱平衡状態にあり，箱の中をランダムに飛ない．デーモンは，アクセス可能な自由度と不 び回っている．(b) 箱の中央に (厚さの無視でき可能な自由度の間のインターフェスの役割を果 る) 仕切りを入れ，箱を二つに分ける．その結たす．この観点こそが，次節で詳しく議論する 果，分子は等確率で左右どちらかの箱に入るが，2どちらに入っているかは分からない．(c) ここで している．これを標語的に言えば，デーモンが登場し，どちらの箱に分子が入って1 ビットの情報 ⇔ kB T ln 2 の仕事(3)いるかを測定する．このときデーモンは，ちょうど 1 ビット (自然対数で ln 2 ナット) の情報をということになる．つまり，1 ビット情報は得る．(d) 次にデーモンは，右側の箱に分子がkB T ln 2 の仕事のリソースとしての役割を果た入っていたときには，それを準静的に左に寄せしているのだ．
る (理想的には，この操作は仕事を必要としな
シラードエンジンにおける図 2 の (b) から (d)い)．左側の箱に入っていたときは何もしない．
までの過程は，ちょうど自由膨張 (拡散) の逆にこうすると，デーモンの登場前と比べて箱の体なっていることに注意しよう．仕事なしで気体積がちょうど半分になっていて，しかも測定結の体積が二倍になる自由膨張のちょうど逆の操果に依存しない状態になっている．(e) 最後に箱作，つまり仕事なしで体積を二分の一にする操を準静的に膨張させ，最初の大きさに戻す．こ
作を，デーモンは行っている――自由膨張は本のとき，分子が箱の壁を押すことで外部にする来不可逆であるにもかかわらず，である．デー
仕事は kB T ln 2 になる．
モンは，情報を得てそれを使って制御を行うこ以上の過程において，一見すると，等温サイとで，不可逆過程の逆過程を可能にしたことにクルであるにもかかわらず (すなわち，シラーなる．このようにシラードエンジンは，(2) にドエンジンの始状態と終状態が同じであるにも示されたアクセス (不) 可能性と (不) 可逆性のかかわらず) 正の仕事 kB T ln 2 を取り出せてい同等性の好例となっている．
る．したがってデーモンは，熱力学第二法則 (1)と矛盾しているように見える．これは熱力学第二法則の根幹に関わるパラドックスであり，多4 微小系の非平衡統計力学くの議論を巻き起こしてきた [2]．
シラードエンジンは思考実験上のミクロな熱
現在では，デーモンは熱力学第二法則と矛盾しない――すなわち物理法則はデーモンの存在 機関である．一方で近年，高分子一個や微小ビーを許容している――と考えられている．現在一 ズのようにミクロな (あるいはメソスコピック般的に受け入れられているパラドックスの解決 な) 熱力学系を，実際に測定・制御する技術が発策は Bennett によるものである．いわゆる Lan- 達している．たとえば DNA 一分子をレーザー
dauer の原理によると，デーモンが測定で得てメ で制御して (たとえば一端を固定してもう一方モリに蓄えた情報を消去する (つまり，デーモン の端を引っ張って)，kB T のオーダーの微小な仕のメモリを初期化する) ときに，必ず kB T ln 2 以 事を測定し，DNA 分子一個の自由エネルギー上の熱が散逸し，それと同量の仕事が必要であ を知ることができる．
このような微小な熱力学系においては，「マクる．この仕事がシラードエンジンから取り出し「アた仕事を打ち消してしまい，エンジンとデーモ ロ/ミクロ」という区別はあまり意味がなく，ンを合わせたサイクルからは正の仕事を取り出 クセス可能/不可能」という区別が本質的に重要せないというのが Bennett のロジックである1 ． である．というのも，このような系においては，そこで，改めてシラードエンジンを振り返っ 関連するすべての自由度がそもそもマクロではてみると，デーモンはエンジンから 1 ビット (ln 2 ないからだ．DNA を例にとると，アクセス可能ナット) の情報を得て，それを使ってエンジン な自由度とは DNA 鎖の長さ，不可能な自由度を操作することで，結果的に通常の熱力学の制 とは DNA を構成する個々の原子の相対座標で約 (1) よりも kB T ln 2 だけ多くの仕事を取り出 ある．
ところで，19 世紀以来，マクロ系の熱力学は
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本稿の著者は必ずしもこれに同意していない．しか経験則として揺るぎない地位を確立してきた．
し，このことは以下の議論の本筋には影響しない．

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しかし最近になって微小系も熱力学的に扱える デーモンがいなければ平均値の意味では決してようになった．そもそもこのような微小系でも 破れないのだ．
マクロ系と同じ熱力学が成り立つかどうかは， 結局，デーモンが伝統的な熱力学第二法則を実は自明なことではない．一つの問題は，微小 破るということの本当の意味は，可能なすべて系においても (デーモンがいなければ) 熱力学第 の場合についての期待値で比較してもなお (1)二法則 (1) が成り立つか否かということである よりも多くの仕事を取り出せるということであ――もしも成り立たないのであれば，デーモン る．デーモンによる第二法則の破れは，ゆらぎによる第二法則の破れを一分子気体で議論する の定理が主張する確率的破れとは，物理的起源ことの意味を，再考する必要が生じるだろう． が異なる．情報が関わっているのは前者だ．

1990 年代以降の非平衡統計力学の発展により， なお，微小系における kB T のオーダーの仕事
微小系における熱力学第二法則のあるべき姿が は，デーモンがシラードエンジンから取り出せ明らかになってきた．その重要な成果の一つは， る仕事と同じオーダーである．微小な熱力学系熱力学第二法則がわずかな確率で破れることを において，デーモンを実験的に実現・検証する明らかにし，その確率も特定したことである． 可能性が開かれつつある．それは，情報や制御それを見るために，(1) の両辺の差を温度で割っ といった概念を取り込んだ微小系の熱力学を構た量を導入し，σ ≡ (kB T )−1 (−∆F − Wext ) とお 築するための一歩となるかもしれない．
こう．σ はエントロピー生成という意味をもっている．これが負の値 −σ になる確率 Pr(−σ)
は，正の値 +σ になる確率 Pr(+σ) よりも，お 5
量子デーモン−σ2
よそ e だけ小さい:
さて，4 節までは古典系の話であったが，次に−σPr(−σ) ≈ Pr(+σ)e .
(4) 量子系におけるデーモンを議論する．量子デー
モンは，古典デーモンに類似の，あるいは量子マクロな系では σ がアボガドロ数のオーダーに 系に特有の，様々な性質をもっている．たとえなるため e−σ は事実上ゼロになり，エントロピー ば，古典デーモンが熱ゆらぎを小さくすること生成が負になる場合は実際には観測できない． と対応して，量子デーモンは量子ゆらぎを小さ
しかし微小系では，エントロピー生成が負にな くすることが出来る．
る場合が実験で観測され，その確率は理論の予
ここでは原子集団のスピンを操作する量子言と一致した．(4) のタイプの等式はゆらぎの デーモンを考えよう (図 3 を参照)．最初，原子集定理 (fluctuation theorem) と呼ばれている [3]． 団のスピンは z 方向に偏極して，Ŝz |φi = ~S|φi
それは平衡から遠く離れた系でも系の詳細によ を満たす量子状態 |φi にあるとする (S はスピンらず普遍的に成り立つという著しい性質を持っ の大きさ)．これに対して，以下のようにして，ている．
原子スピンの x 方向成分 Ŝx のゆらぎを小さくところで，上述のように，エントロピー生成 することを考える (これはスピン・スクイジンが負になる確率は非常に小さい．そのため，あ グと呼ばれている)．まず Ŝx を量子測定すると，らゆる場合についての平均を考えると，平均エ 量子測定に伴う波動関数の収縮の効果によって，ントロピー生成は正になることが証明できる． 測定値の付近にゆらぎが集中する．正の測定値
この意味においては，熱力学第二法則は，微小 (Sx > 0) が出たときは，磁場をかけて反時計回系でも成立する――不等式 (1) は，微小系でも， りスピンをまわし，中央に持ってくる．逆に負の測定値 (Sx < 0) が出たときは，時計回りにス2
これを正確に述べるには，時間反転したミクロな経路を導入し，経路ごとのエントロピー生成を定義する必 ピンをまわし，やはり中央に持ってくる．ここで測定結果に応じた操作を行っていることに注要があるが，本稿では省略する．
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意しよう．この操作によって，平均的な位置は い精度で実行できることである (一方，フィード変化せず，スピンの Ŝx 成分のゆらぎをせばめて バックを使わなければ，非ユニタリーな操作は確率的にしか成功しない)．スピン・スクイジンいることが分かる．
ところで，量子力学においては不確定性原理 グの例からわかるように，量子デーモンはまずが存在する――いまの場合は ∆Sx ∆Sy ≥ ~S/2 対象とする系に対して量子測定を行う．そしてである．そのため，Ŝx のゆらぎを小さくした代 その測定結果に応じた量子操作を行う．ここで償として，Ŝy のゆらぎは広がってしまう．これ 「測定結果に応じた」というところが，フィードは，量子測定によって系が不可避に撹乱された バック制御たる所以である．
ことの結果であるとも理解できる．このような
本節では量子フィードバック制御を中心に扱っ
測定の反作用は，量子デーモンに特有の性質で たが，他にも量子情報科学とデーモンの交流はある．
深まっている [4]．
SySz
Sx6

Sx

情報熱力学の第二法則

最後に，デーモンによる操作を含んだ形に一般化された熱力学第二法則を紹介する．デーモンが熱力学系に対して測定を行い，測定結果 kを確率 pk で得て，その結果を使って，(k に依存する) フィードバック制御を行ったとする．このような状況でデーモンが系から取り出せる仕事が熱力学第二法則 (1) を超え得るということはシラード以来知られていたが，最近その上限が
図 3: 量子デーモン (量子フィードバック制御) 決定された．それはによるスピン・スクイジングの模式図．左側のWext ≤ −∆F + kB T I(5)
図は Sx -Sz 平面で見たスピンの平均的な方向を，右側の図は Sx -Sy 平面で見たスピンの量子ゆらという不等式で与えられる [5]．ここで I は測定ぎを表している．
でデーモンが得た相互情報量であり3 ，その上限
P
シラードエンジンの場合を思い出すと，分子 は Shannon 情報量 H ≡ − k pk ln pk で与えらが右にあれば左によせることで，デーモンは熱 れる ( 0 ≤ I ≤ H) [6]．I = H は測定に誤差がゆらぎの幅 (箱の左右の幅) を小さくしていた． ない場合，I = 0 となるのは測定で情報が得ら
図 2 と図 3 を比較すると，量子デーモンはこれ れない場合に相当している．と本質的に同じ操作を量子的に行っていること
不等式 (5) の等号は，操作が準静的で，かつがわかる．
フィードバック後の状態が測定結果 k に依存し実は上記の量子デーモンは，「量子フィードバッ ないときに成立する．シラードエンジンはこのク制御 (quantum feedback control)」のシンプ 条件を満たしている．実際，I = H = ln 2 なのルな例になっている．量子フィードバック制御 で，シラードエンジンは等号を達成しているこは，古典的な制御工学の量子系への拡張として とが分かる．古くから知られていたデーモンのBelavkin によって 1980 年ごろに提唱され，量子 モデルは，実は最大限の能力を持ったデーモン系を制御するための重要な手法として近年注目 だったのである．この意味において，情報と仕を集めるようになってきた．量子フィードバッ
3
測定が量子的な場合は，一般化された相互情報量にク制御の特徴は，所望の非ユニタリー操作を高 なる．

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事を結びつける (3) の関係が，(シラードエンジン以外の) 一般的な状況でも，定量的に確立されたことになる．

参考文献[1] 量子測定・計算・情報の標準的な入門書として M. A.
Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation
and Quantum Information (Cambridge University
古典的な熱機関は熱の一部を仕事に変換し，Press, Cambridge, 2000)．

可逆なカルノーサイクルがその変換効率の上限を達成する．これに対して，デーモンが操作する熱機関は，情報を仕事に変換するいわば情報熱機関である．シラードエンジンはその変換効率の上限を達成するという意味で，古典的な熱機関におけるカルノーサイクルと同様の，基本的な役割を果たしていると言える．

[2] Maxwell のデーモンについて，古典から比較的最近の発展までを包括した論文集は， H. S. Leff, and A. F.
Rex, (eds.), Maxwell’s demon 2: Entropy, Classicaland Quantum Information, Computing (Princeton
University Press, New Jersey, 2003).
[3] このテーマについてのレビューは C. Bustamante,
J. Liphardt, F. Ritort, arXiv: cond-mat/0511629(2005).
[4] このテーマについてのレビューは K. Maruyama, F.

通常の熱力学では，「ここで測定とフィード
Nori, and V. Vedral, arXiv: 0707.3400 (2007)．
バックをしましょう」という状況は想定しない． [5] T. Sagawa and M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 100,もしそのようなセットアップを考えるなら，熱080403 (2008).
力学第二法則 (1) を (5) に変更する必要が生じ [6] 古典情報理論についての標準的な入門書として T. M.
Cover and J. A. Thomas, Elements of Information
る．実際，不等式 (5) は，熱力学第二法則 (1) を，theory (John Wiley and Sons, 1991).
情報を表わす変数 I を明示的に含む形に一般化したものになっている．かつてはパラドックス(さがわ・たかひろ，うえだ・まさひと，の元凶だと思われていたデーモンは，実は，情東京大学大学院理学系研究科)
報熱力学の第二法則とも呼ぶべき (5) の立役者だったのである．

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おわりに

情報熱力学においては，デーモンはもはやパラドックスの元凶ではなく，ミクロな世界における情報処理の「デバイス」としての機能を果たす．デーモンは情報を利用することで従来の熱力学第二法則 (1) を破る操作も実行でき，さらにまた，私達が熱力学第二法則の基礎を深く理解する一助にもなるはずだ．それはあたかも古代ギリシアの daemon のように，アクセス可能な世界と不可能な世界の境界に立っている．
本稿で見てきたように，情報熱力学は，物理学だけでなく，情報理論や制御工学といった，様々な分野との関連を持っている．一般化された第二法則 (5) は，情報と熱力学が交わる広大な世界のごく一端を示しているに過ぎないと思われる．情報の物理学はまだ始まったばかりである．

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