令和２年度

中学校第３学年数 学
注意１

先 生 の 合 図 が あ る ま で， 冊 子 を 開 か な い で く だ さ い。

２調 査 問 題 は ， １ ペ ー ジ か ら 22 ペ ー ジ ま で あ り ま す 。
問 題 用 紙 の 空 い て い る 場 所 は， 下 書 き や 計 算 な ど に 使 用
し て も か ま い ま せ ん。

３

解 答 は ， 全 て「 数 学 」の 解 答 用 紙 に 記 入 し て く だ さ い 。

４

解 答 は，ＨＢまた は Ｂの 黒 鉛 筆（シャ ー プ ペ ン シ ルも 可 ）を使 い， 濃 く， は っ き り と 書 い て く だ さ い。

５

解 答 を 選 択 肢 か ら 選 ぶ 問 題 は， 解 答 用 紙 の マ ー ク 欄 を
黒 く 塗 り つ ぶ し て く だ さ い。

６

解 答 を 記 述 す る 問 題 は， 指 示 さ れ た 解 答 欄 に 記 入 し てく だ さ い 。 解 答 欄 か ら は み 出 さ な い ように 書 い てくだ さ い 。

７

解 答 に は， 定 規 や コ ン パ ス は 使 用 し ま せ ん。

８

解 答 用 紙 の 解 答 欄 は， 裏 に も あ り ま す。

９

調 査 時 間 は ， 50 分 間 で す 。

10「 数 学」 の 解 答 用 紙 に， 組， 性 別 を 記 入 し， マ ー ク 欄 を
黒 く 塗 り つ ぶ し て く だ さ い。

問題は，次のページから始まります。

１下のアからエまでの数の中から， 絶対値が３より大きい数をすべて選びなさい。
ア-５イ-２ウ

１エ

４

中数− 1

２

２けたの自然数の十の位の数を x ， 一の位の数を y とするとき， その２けたの自然数を，x ， y を用いた式で表しなさい。

中数− 2

３

次の図１の

ＡＢＣにおいて， 頂点Ａを通り辺ＢＣに垂直な直線を作図します。 琴葉さんは， 図２のように， 頂点Ａを中心として円をかいたところ， その円と辺ＡＢ， ＢＣ， ＣＡとの交点が４つできました。
図１

図2ＡＢＡＣＢＣ

図２の４つの交点の中からどれか２点を点Ｄ， Ｅとすることで， 次の手順によって， 頂点Ａを通り辺ＢＣに垂直な直線を作図することができます。
手順①

点Ｄ， Ｅをそれぞれ中心として， 互いに交わるように等しい半径の円をかき， その交点の１つを点Ｐとする。

②

頂点Ａと点Ｐを通る直線をひく。

中数− 3２点Ｄ， Ｅを示した図として正しいものを， 下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
アイＡＡＤＥＤＢＥＣウＢＣエＡＡＥＢＤＥＣＢ

中数− 4ＤＣ４y は x の一次関数で，x ＝１ のとき y ＝９，x ＝３ のとき y ＝１７です。 このことから，x の増加量が２のときの y の増加量が８であることがわかります。 この一次関数の変化の割合を求めなさい。

中数− 5

５

ある中学校の３年生の男子生徒３５人がハンドボール投げを１人１回ずつ行い， 記録をとりました。 この記録の中央値は２４ m でした。
このとき必ずいえることを，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
ア

３５人の記録のうち， 最高の記録と最低の記録の差は２４ m である。

イ

３５人の記録のうち， 最も多く出た記録は２４ m である。

ウ

３５人の記録の合計を３５でわると，２４ m である。

エ３５人の記録を低い順に並べると， 低い方から１８番目の人の記録が２４ m である。

中数− 6

６

第一中学校では， リサイクルの取り組みとして容量が１０００mL の紙パックを集めています。 生徒会役員の大輝さんと菜月さんは， 紙パックを集める期間を１か月間とし， 集まった紙パックの枚数を， 全校生徒に報告しようと考えています。
最初の４日間で集まった紙パックの枚数が思っていたよりも多かったので， 二人は， １か月間で集まった紙パックの枚数を全部数えるのは大変だと思いました。 そこで， 二人は， ４日間で集まった紙パックの枚数を， 次のようにして求めました。
大輝さんの求め方
４日間で集まった紙パックの合計の厚さは１６.２ cm でした。

その中から取り出した， 紙パック１０枚の厚さは０.８ cm だった
ので， 紙パック１枚の厚さをすべて０.０８ cm と考えると，
１６.２÷０.０８＝２０２.５
したがって， ４日間で集まった紙パックの枚数は約２０３枚です。

菜月さんの求め方
４日間で集まった紙パックの合計の重さは５７４２g でした。
その中から取り出した， 紙 パ ッ ク １ 枚 の 重 さ は ３０.０g だ っ たので， 紙パック１枚の重さをすべて３０.０g と考えると，
５７４２÷３０＝１９１.４
したがって， ４日間で集まった紙パックの枚数は約１９１枚です。

中数− 7次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 前ページの大輝さんの求め方のように， 紙パック１０枚の厚さがわかっているとき， 紙パックの枚数を求めるために， 次のような考えが使われています。

紙パックの枚数を全部数えなくても， 紙パックの合計のを調べれば， 紙パックの枚数が求められるので，枚数を上のに置きかえて考える。には， 同じ言葉が当てはまります。 その言葉を書きなさい。

中数− 8

（２） 二人は， ７ページの菜月さんの求め方をもとに， １か月間で集まった紙パックの合計の重さが何 g であっても， 集まった紙パックの枚数を求められるようにしたいと思いました。 そこで， 菜月さんの求め方から， 集まった紙パックの枚数と紙パックの合計の重さの関係を， 次の式で表しました。

紙パックの枚数＝紙パックの合計の重さ

÷

紙パック
１枚の重さ

また， 二人は， 紙パック１枚の重さに違いがあるのではないかと思いました。 そこで， 集まった紙パックの中から何枚か取り出してそれぞれの重さをはかってみたところ， 紙パックによって， １枚の重さが異なることがわかりました。その中で，最も軽かった紙パックは２８g， 最も重かった紙パックは３２g でした。 二人は， 紙パック１枚の重さを２８g としたときと，３２g としたときの紙パックの枚数について話し合っています。

大輝さん 「式を使えば， 紙パックの合計の重さをもとに紙パックの枚数がそれぞれ求められるね。」
菜月さん 「紙パック１枚の重さを２８g としたときと，３２g としたときでは， 求められる紙パックの枚数に違いがあるのではないかな。」

中数− 9集まった紙パックの合計の重さを x g としたときの， 紙パックの枚数を y 枚とします。 二人は， 紙パック１枚の重さを２８g としたときと，３２g としたときの x と y の関係を， それぞれ次のような比例のグラフに表しました。
紙パックの合計の重さと枚数（枚）y１枚の重さを２８gとしたときのグラフ

２０００
１８００

１枚の重さを３２gとしたときのグラフ

１６００
１４００
１２００
１０００
８００
６００
４００
２００Ｏ１００００

２００００

３００００

４００００x５００００（ g ）１か月間で集まった紙パックの合計の重さを４５０００g とします。
このとき， 紙パックの枚数の違いがおよそ何枚になるかは， 上のグラフから求めることができます。 その方法を説明しなさい。 ただし，実際に枚数の違いを求める必要はありません。

中数−10

７

厚紙を三角形の形に切ります。 その三角形をＡＢＣとするとき，次の手順で四角形をつくることができます。
手順①

辺ＡＣの中点に点Ｄをとる。

②

辺ＢＣ上に点Ｅをとる。 ただし， 点Ｅは点Ｂ， Ｃと重ならないものとする。

③

点Ｄと点Ｅを結んでできた線分ＤＥにそって切る。

④

ＤＥＣを点Ｄを回転の中心として反時計回りに１８０°回転移動させる。

ＡＡＤ

ＢＥＦＤＣ

Ｂ

Ｅ

点Ｄは， 辺ＡＣの中点だから，ＡＤとＣＤの長さは等しいので，ＡＤとＣＤはぴったり重なります。

ＤＥＣを， 点Ｄを回転の中心として反時計回りに１８０°回転移動させた三角形をＤＦＡとすると，∠ＡＤＥと∠ＡＤＦの和は１８０°なので， 点Ｅ， Ｄ， Ｆは一直線上にあります。 これらのことから， 上の手順により， 四角形ＡＢＥＦができることがわかります。
芽依さんは， 四角形ＡＢＥＦがどんな四角形になるかを考えることにしました。

中数−11

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 芽依さんは， 前ページの手順の②で， 点Ｅを辺ＢＣ上にいろいろな位置に変えてとり，ＡＢＣから四角形ＡＢＥＦをつくり， 四角形ＡＢＥＦがどんな四角形になるかを調べることにしました。 そこで，次のような図１をかき， さらに，ＤＥＣと合同なＤＦＡをかき加えた図２をかきました。
図１

図２
ＡＡ

Ｆ

Ｄ

ＢＥ

ＤＣ

Ｂ

芽依さんは， 図２において， 四角形ＡＢＥＦはＡＦになると予想しました。 ＡＦＣＥ

ＢＥの四角形ＢＥとなることは， ある２つの角が等しいことからわかります。 その２つの角を書きなさい。

中数−12

（２） 芽依さんは， 次の図３のように， 前ページの図１のＡＢＣにおいて， 点Ｅを辺ＢＣの中点にとった図をかき， その図をもとに，ＤＥＣと合同なＤＦＡをかき加えた図４をかきました。

図３

図４
ＡＡ

Ｆ

Ｄ
Ｂ

Ｄ
ＣＥ

ＢＥ

Ｃ

芽依さんは， 図４の四角形ＡＢＥＦから， 次のように予想しました。
予想
ＡＢＣにおいて， 点Ｅを辺ＢＣの中点としたとき， 四角形ＡＢＥＦは平行四辺形になる。

芽依さんは， 上の予想が成り立つことを示すために， 辺ＡＦと辺ＢＥの関係について調べました。
調べたこと
○ＡＦ

ＢＥであることはすでにわかっている。

○

辺ＡＦと辺ＢＥについて，
ＤＥＣ≡

……①

ＤＦＡより，合同な図形の対応する辺が等しいから，
ＣＥ＝ＡＦ

……②

点Ｅは辺ＢＣの中点だから，
ＢＥ＝ＣＥ……③②， ③より，
ＡＦ＝ＢＥである。

中数−13……④前ページの調べたことの①と④をもとに， どのようなことがらを根拠にすると， 予想が成り立つことがいえますか。 下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい四角形は， 平行四辺形である。

イ

２組の向かい合う角がそれぞれ等しい四角形は， 平行四辺形である。

ウ

対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は， 平行四辺形である。

エ

１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しい四角形は，平行四辺形である。

（３） 右の図５のように，１２ページの図１のＡＢＣを， ∠Ｂの大きさが９０°であ図５Ａる三角形に変え， 点Ｅを辺ＢＣの中点としたとき，ＤＡＢＣからできる四角形

ＡＢＥＦがどんな四角形になるかを考えます。

Ｂ

このとき， 四角形ＡＢＥＦは平行四辺形の特別な形になります。

ＥＣＡＢＣにおいて， ∠Ｂの大きさが９０°で， 点Ｅが辺ＢＣの中点ならば， 四角形ＡＢＥＦはどんな四角形になりますか。「ならば， ……になる。」 という形で書きなさい。

中数−14

８

ある病院では， 来院者にアンケートを実施しています。 アンケートの結果として， 午前中の混んでいない時間帯を知りたいという要望が多くありました。
病院職員の啓太さんと春花さんは， 来院者に午前中の混んでいない時間帯に受付をしてもらえるように提案をしたいと考えています。 二人は， ある週の月曜日から金曜日までの午前中の来院者数について，次のような表にまとめました。
曜日ごとの来院者数
曜日

月

火

水

木

金

来院者数（人）

１３４

９８

１１０

１０２

１５０

上の曜日ごとの来院者数から， 調べた週の来院者数は金曜日が一番多いことがわかります。
そこで， 待ち時間を， 来院者が受付をしてから診 察 が始まるまでの時間として， 金曜日の来院者１５０人の待ち時間について調べることにしました。

中数−15

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 啓太さんは， 待ち時間について調べたことを， 次のようにまとめました。
待ち時間について調べたこと

待ち時間（分）

平均値

中央値

最頻値

最大値

最小値

７０.２

５８２５１６４

３

来院者によって待ち時間が違うため， 待ち時間の散らばりの程度を考えます。 待ち時間について調べたことをもとに， 待ち時間の範囲を求めなさい。

（２） 春花さんは， 待ち時間の分布のようすを， 次のヒストグラムにまとめました。 例えば， 待ち時間が１５０分以上１８０分未満の来院者が１２人いたことを表しています。
待ち時間の分布

（人）
５０

４５４０

３１

３０

２５２１２０

１６１２

１０００

３０

６０

９０

１２０

１５０

１８０

（分）

待ち時間が６０分未満の来院者は何人ですか。 その人数を書きなさい。

中数−16（３） 二人は， 待ち時間が短かった来院者は， どの時間帯に受付をしたのかが気になりました。そこで，受付をした時間帯ごとの待ち時間を「６０分未満」，「６０分以上１２０分未満」，「１２０分以上１８０分未満」に分け， 来院者数を次のようにまとめました。
調べたこと

（人）

８時台 （総度数５４）

３０（人）
３０

２７２０

２０

１７

１３１０１０００（人）９時台 （総度数３８）

６０

１２０

１８０

１０時台 （総度数３３）１２

１３１０（分）

０（人）

３００

６０

１２０

１８０（分）

１１時台 （総度数２５）

３０

２０２０

２０

１６１２１０１０５００

６０

１２０

１８０（分）

０５
０６０

１２０

１８０（分）上の調べたことから， 例えば， ９時台のヒストグラムでは， 待ち時間が６０分以上１２０分未満の来院者が１２人いたことがわかります。

中数−17二人は， 前ページの調べたことをもとに， 待ち時間について話し合っています。

啓太さん 「ヒストグラムの６０分未満の階級の度数を見ると，８時台が２７人で１１時台が２０人だね。 だから，６０分未満の来院者数は， ８時台の方が１１時台より多いといえるね。」
春花さん 「でも， 階級の度数で判断していいのかな。 ８時台と１１時台の総度数を見ると，６０分未満の来院者数は， ８時台の方が１１時台より多いとは言い切れないよ。」

調べたことの， ８時台と１１時台のヒストグラムを見ると， 春花さんのように 「６０分未満の来院者数は， ８時台の方が１１時台より多いとは言い切れない」 と主張することもできます。 その理由を， 相対度数を使って説明しなさい。

中数−18

９

太一さんは， 壁 にかかれた枠 に向かってボールを何回か投げ， 次の得点設定１でゲームを行いました。
得点設定１○

枠の内側に１回当たるごとの得点を３点とする。

○

枠の外側に１回当たるごとの得点を２点とする。

太一さんが得点設定１でゲームをした結果， 投げた回数は１８回，合計得点は４７点でした。 里奈さんは， 太一さんの結果を聞いて， 枠の内側， 枠の外側にそれぞれ何回当てたのかが気になりました。 そこで， 里奈さんは次の連立方程式をつくり， それを解き， 枠の内側， 枠の外側にそれぞれ１１回， ７回当てたということがわかりました。
里奈さんがつくった連立方程式
枠の内側に当てた回数を x 回，枠の外側に当てた回数を y 回とすると，
x ＋ y ＝１８
３x ＋２y ＝４７

里奈さんは， 枠の内側に当てた回数を， 投げた回数と合計得点をもとにして， すぐに求められることを洋平さんから聞きました。
洋平さんの求め方
手順 １

投げた回数に， 枠の外側に１回当たるごとの得点をかける。

手順 ２

合計得点から手順 １ の計算結果をひく。

里奈さんは， 上の洋平さんの求め方によって枠の内側に当てた回数を求めてみました。

投げた回数の１８に， 得点の２をかける。

１８× ２＝３６

合計得点の４７から３６をひく。

４７−３６＝１１

中数−19

前ページの洋平さんの求め方によって枠の内側に当てた回数を求めた結果は１１回で， 連立方程式によって求めた結果と同じになりました。 里奈さんは， ゲームを何度か行ったところ， 洋平さんの求め方によって求めた結果は， 実際のゲームの結果と同じになりました。
次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 里奈さんは， 前ページの洋平さんの求め方で， どうして枠の内側に当てた回数を求められるのかを考えようと思いました。 そこで，投げた回数が１５回で， 合計得点が４０点となる場合について， 連立方程式をつくり， それを解く過程と洋平さんの求め方を比べることにしました。
次の連立方程式を解く過程１には， 手順 １ ， ２ にそれぞれ対応する計算があります。 手順 １ に対応する計算がある部分は， 連立方程式を解く過程１の下線部です。 手順 ２ に対応する計算がある部分を， 下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
連立方程式を解く過程１
枠の内側に当てた回数を x 回， 枠の外側に当てた
回数を y 回とすると，
x ＋ y ＝１５
３x ＋２y ＝４０……①……②①の両辺を２倍すると，

２x ＋２y ＝３０②から③をひくと，

３x ＋２y ＝４０−）２x ＋２y ＝３０

アxイ④を①に代入すると，＝１０……④１０＋ y ＝１５y ＝１５−１０ウエ……③y ＝５x ＝１０，y ＝５④， ⑤より，

中数−20

……⑤

（２） 三人は， 得点設定１を， 次の得点設定２に変えてゲームを行いました。
得点設定２○

枠の内側に１回当たるごとの得点を５点とする。

○

枠の外側に１回当たるごとの得点を２点とする。

太一さんが得点設定２でゲームをした結果， 投げた回数は２５回，合計得点は９２点でした。 里奈さんは，１９ページの洋平さんの求め方を使えば， 投げた回数と合計得点をもとに， 枠の内側に当てた回数を求められると考え， 洋平さんの求め方によって次の計算をしました。

投げた回数の２５に， 得点の２をかける。

２５× ２＝５０

合計得点の９２から５０をひく。

９２−５０＝４２

洋平さんの求め方によって求めた結果は４２となりました。 この
４２は， 投げた回数の２５よりも大きいので， 枠の内側に当てた回数ではありません。
里奈さんは， 得点設定２でも， 洋平さんの求め方のように枠の内側に当てた回数をすぐに求められる方法を考えようと思いました。
そこで， 連立方程式をつくり， それを解く過程と洋平さんの求め方を比べて， その方法を考えます。

中数−21

連立方程式を解く過程２
枠の内側に当てた回数を x 回， 枠の外側に当てた回数をy 回とすると，
x ＋ y ＝２５……①
５x ＋２y ＝９２ ……②①の両辺を２倍すると，

２x ＋２y ＝５０②から③をひくと，

５x ＋２y ＝９２……③−）２x ＋２y ＝５０
３x＝４２x＝１４……④

１４＋ y ＝２５④を①に代入すると，

y ＝２５−１４
y ＝１１……⑤x ＝１４，y ＝１１④， ⑤より，里奈さんは， 上の連立方程式を解く過程２のの部分から， １９ページの洋平さんの求め方に新たな手順を加えることで，前ページの得点設定２でも， 投げた回数と合計得点をもとに， 枠の内側に当てた回数を求められることに気づきました。
里奈さんの求め方
手順 １

投げた回数に， 枠の外側に１回当たるごとの得点をかける。

手順 ２

合計得点から手順 １ の計算結果をひく。

手順 ３

手順 ２ の計算結果を３でわる。

上の里奈さんの求め方において， 新たな手順 ３ の 「手順 ２ の計算結果を３でわる。」 のわる数である３がどんな数であるかを考えます。 わる数の３がどんな数であるかは， 前ページの得点設定２の条件をもとに説明することができます。 里奈さんの求め方の手順 ３において，わる数の３は，どんな数ですか。「という形で書きなさい。

中数−22は， ……である。」

これで数学の問題は終わりです。