244

repMe ii. ep , IO.B. ,“ 06 Hrp&XI¥BYXJIHtjCφHKCHPOB&-n.分布法則がわかっている確率過程である確率的

HHO宣 rrOCJIe I\OB&TeJI1HOCThIO XOJIOB , "1JOIC/Z.AHC
CCP

固定要因，

198 , 5 (1971) , 100‑
100
4. (行動順序の定まった 2 人

あるいは分布法則が不精確にしかわかっていない要ゲームについて)因) .不確定要因は，さらにつぎの三つの型に分類〔ゲームの理論/最適化法/理論〕される.

ID. 値の範囲のみしかわかっていない，

1) オベレーチング・サイドとは独立な，本論文の抄録にさきだち，その背景について述べそれ自体の目的を追求する人および機械があるためておこう，この論文の著者ケすルメイエル (repMeii. ep ，に起こるもの，すなわち“敵"の戦略と呼びうるも

IO.B.) およびその指導者でもあるマイシェーフ (Mo ・の， 2) 過程あるいは変量の調査，研究が不十分な

HceeB , H.H.) の指導するソヒ'エト科学アカデミー・ために生ずる自然不確的要因と呼ぶもの，計算センターの「最適化法と制御理論研究室 J ，レーチング・サイドの目的(それを表わす目的関モスクワ大学「オベレーションズ・リサーチ講座数)が不明確なために生ずるもの(本来，(お岬問。p乱)J での研究は，ソ連における OR 研究められるが，の一つの中心的位置を占めている.

る) •彼らによって開発された OR の方法論を，上記マイシ且ーフの編集になる，

3) オベ

2) に含

OR においては，特別な位置を占めこれらの概念をもとに，本書は， OR そのもの

1969 年から出版され上記，構成要素)を数学的に記述し(意思決定シ既刊 7 点をもっシリーズ IOnTHMI印刷聞 耳 目 CCJIe l\O ・ステムの一つの表現方法とも考えられる) ，上述のB&HHeOnepaqH 誼 J (1 最適化法とオベレーションズ・制御不可能要因(不確定要因)について，オベレー

リサーチ」の 1 冊) •チングサイドとオベレーションズ・リサーチャーの

repMe ii. ep , IO.B. , BBel¥eHHeBTeoplll
DlIe
CJIeI
¥O
B&HII
I
I

もつ情報の違い，その入手時点の追いを考慮して，Onep&QH (オベレーションズ・リサーチ入門)， HA

ォベレーションズ・リザーチャーの行なうべき(意197
1. (A6 阪， 384 ベージ)について述べ思決定者が提供する)戦略の効果乃比較，評価，おY民 A，ることによって，紹介しておこう.この本は，同著

よび最適戦略を見いだすための方法を一般的，数学者によるモスクワ大学計算数学科の講義録，1 オベ的に論じ，多くの具体例にそれを適用している.こレーションズ・リサーチ理論とゲームの理論の方法の方法論は，従来の OR の典型的なモデルとは違っ論的，数学的基礎J 1967 がもとになったもので，た，より現実的なモデルを構築しそれを解析する類書のない興味ある書物である

r.:. めの方法を提供するものである「オベレーションズ・リサーチ」は，つぎの構成

なお，この方法論に基礎を置く，上述のグループ要素からなるものとする.オペレーション(なんらによる多くの研究論文が，本書著者ゲ、ルメイエルのかの目的を達成しようとする行動の集まり) ，オぺ編集する論文集に発表されている

レーチンゲ・サイド(onepllPY lDlI\ all CTpOH 乱，設定さl'I cCJIe I\ OB&HH且 Onep日H 量 (Mo l\eJIh， CHcTeM bI, Peme‑

れた目的を達成するよう努める人間および機械の集

HHJI) B凹 IICJIHTeJIhHbl ii.明 HTp. AH. CCCP. BblnycK1合) ，オペレーションズ・リサーチャー(オベレー(1970) , BblnycK 2(1971) , BblnycK 3 (1972) (オベレチング・サイドに属し，戦略の効果の比較，評価，ーションズ・リガーーチ(モデル，システム決定，最適戦略をみつけることによって，オベレーチン

ソビエト科学アカデミー・計算センター，第 1 巻

グ・サイド(の意思決定者)を助ける) ，活動資源(
1970)，第 2 巻 (1971) ，第 3 巻 (1972) )(peccyp 巴 &KTHBHblX Cpe I\ CTB ，目的を達するために佼抄録するゲルメイエルの論文は，上述の一般的な用できる種々の資源，量的に制限されるのが普通) ,記述での 1 )の型の不確定要因のある問題を扱った

制御不可能要因(環境ともいえよう，オベレーシコ

ので，非ゼロ和ゲームの理論に属するがp 行動の優ンズ・リサーチャーのもっその情報によって三つの先権，型に分類される.

る点で，ゲームの理論乃新しい成果を得ているとい

1. 値がわかっていない固定要因，(戦略についての)情報の伝達を考慮してい© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

245

文献抄録

えよう

仕意の e> 0 に対し ， !.(x.' ， x ，' )>Ko-e キー∞のと

本論文では，つぎのゲーム(プレイヤー l はオベ

きレーチング・サイド)を考える.プレイヤ - i(i=X ,-1 ， 2) の目的は，何次元かの空間の集合 Xl> X2 に対会

x， EXi に関して最大にしようとすることである.プレイヤー 1 は ，‑を関数ム =X.(X 2 )， X.EX. , X 2 EX2 の形で選ぶ.このような関数の集合を x. で表わす.プ3 レイヤー 2 は，このムを知って(プレイヤー 1 が通報して) ，その, ":x.EE..
rx .
. .

;;; *本)x 2 を完全に(戦略の選択時点後，その実施前十こ)知りうるとして，その戦略

l ま /;Xz キ ZJ

最後に，つぎのようにおく

し，コンパクトな X.xX2 の上で連続な関数叫 =!i(町 ， x 2 ) を ，rXl';
X2=x♂

= ~ll\*;X2 キ E2・t 以上の準備の後，つぎの定理が記述，証明される.
定理 1)

上述の条件のもとでのプレイヤー 1 の最適保証結果は max[Ko ， MJ に等しい.
Ko~M であり ，定理 2)(x λ X 2 0 ) が存在すれば，去 10 はプレイヤー 1 の最適(保証)戦略である .

目的関数を最大にするようにらの値を選ぶ.
この論文の主たる内容は，このゲームでのプレイ

M のときには，任意の e(> 0) に対し，Ko>ê ー最適 (Ko­ヤ- 1 の最適保証結果 (OllTHMRJILH凶 rapaHTHpo­

ε に等しし、最適保証結果をもたらす)戦略正 J が存

岡田凶 peaQJILT aT)と最適保証戦略とを与える定在する恥このことは ，理の記述と証明，およびこの結果に関する考察であ')ED が存在すれば成立する.
意の ê "こ対し (X.' ， X
2

Ko=M であるときにも，任， のときには，ム柿が最適(保証)定理主 )M 与~K。

る.

これらの概念について述べておこう(一般的定義

戦略であり ， M=K ミ;;Ko のときには，ん (X. ， x 2 ) の値と考察は，上記書物に詳しく論じられている) .プによらず決定される，戦略ま la が最適(保証)戦略でレイヤー 2 にとっては，ム =X.(X 2 ) を知って， maxある.

X2%
2f

ここでは，ん(X.いふら)を達成するら =XZO を選ぶのが最もよい.このようなら。の集合を B(ま.)で表わせば，プレイヤー 1 に保証される結果は mmλ(ム，九)でこの定理の本論文での証明を詳細には述べることはしないが，その考え方をみるために，2) の前半を(補足しながら)証明しておこう.

%2(B(%I)

プレイヤー 1 が a) 戦略ム a を用いる場合， b) そあり，その最大値ma_x min!.(x. , X 2 ) が最適保証結れ以外の戦略ムキム。を用いる場合のその保証結果果である.これを達成するムの値を最適保証戦略を比較する. a) の場合，プレイヤー 2 が ， X 2 0 を選とし、う.

べば，ん (x. ， x 2 )>L であり ，.
i1fX1 %z t: B( 引)o00
X. キ X 2 を選べば(プ定理を記述するためにつぎの記号を導入する.

レイヤー 1 は圭グを選ぶので ) ，ん (X 九 %)=mT

L =maxmin!2(x. , X2) =min ん(X. ， X)
2(X. , X2 ) く L となる.したがって，プレイヤー 2 はZfX
2Zl ,X1cXl
1
E = {x2lminん(X. ， X2)=L};rt、)2zz

は VA

λ ーEE
mnnη

mX2

一一

D= {(Xl>X2)I ん(X. ， X2)>L};
Kofsup!.(X. ， Xふ D キ φ;
D= φ.

m宅f仇 ， X)= !.[x. o (ら)， x2J=!仏 α ， xz);
2InVM2)42[zp(Z2) ， Z214(ま 1*' Xz);

D'=!lμlO ， X 2 ) =んとなる (X 1 0 ， x 2 0 ) が存在するーのrXOl;X2 = X 2 ,0"".
‑= 1 '<;xl .it"

2 キ Xz l).

る.

i)Aii) A( 壬 .)nD* φ の場合にわけて考えi) のとき，ん (x.(X 2 ) ， x
2~玉 L であるが ，X 2 EE 2 のtE x :%2:2 1tX1には，プレイヤー 2 は (X.(X 2 ) ， X ポ A(x.)nD となるむを選ぶはず(そうすると L より大きいんの値を得，そうでなければ L 以下のんの値しか得なし、) .このとき ， !.(x.(x2), X 2 ) 豆 K。でらる.ここで，仮定 K。註

さらにつぎのようにおく.

とき(去 .)nD= ψ ，b) の場合，ま lo キム=(x.(xふ x 2 ) の集合 A( 去.)が，)=M. ii) の場合
ーの保証結果は minm 叫ん (X. ， X2ム αJ グょっぎを成立させるものとする，

0

1 の保証結果は Ko に等しい.

X.(X 2 ) について ，)=L となる.このときのプレイヤ
ときん (X.(X 2 ) ， X2, fÐ~ (Xl X Z∞

戸X Z =x 2 0 を選ぶことになる.このときのプレイヤー
Is‑ｭ〉-一iK〆fh、)
zz

λ1m 町

xxmhanh

一一Ma,zM を使えば， a) の場合のプレイヤー 1 の保証結果がb) の場合のそれより小さくはない.これで 2) の前半が証明された.

注意。ーっとして ，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

W 2 = ん (X p X Z 何であって，'書

246評

プレイヤー 1 は， αEE(Eはある集合)しかわかっていない場合にも，定理の K。に類似の値が保証されることが述べられている.

12, 4(1972) , 1029‑1034 (非対立利害の 2 人

ゲームにおける相互情報交換の役割)

この場合には，つぎのようにすればよい.

本論文では，戦略の情報交換の裂によって3種類のゲームに分類されることを示し(上記論文のゲ

max ん(壬 1*'X 2 ， α) =minmax ん (Xl' .1'2' α)，af.E

X1(X1 af.E

D = {(X"X，)! ん(X 1 ， X 2 ， α )>L ， αf.E}，
L = maxminmaxf(x"x"a):rφ U3. ，2 fX 2 :r 1 fX 1αームはゲーム 2 と呼ぶ)それらを解析している.

抄録論文からわかるように，プレイヤー 1 がプレイヤー 2 の目的関数についてもっ情報が，その結果(最適保証結果，最適保証戦略)に本質的な影響をさらに，このことから，プレイヤー 2 にとっては，与える.この情報の種々の場合についてのいくつかその真の目的関数を隠すことが有利になることなどの研究もある.さらに，プレイヤー 1 がプレイヤ}

2 の目的関数について ，の諸考察がなされている.
この論文を基礎とする応用(および上の結果の解説)については下記の小冊子がある.

f ,(x" x"a) , af. EcRk であることだけを知っているとき(真の白の値は αof.E) ,プレイヤー 2 が， α の{直は 3 であると必ずしも真でBaTe JIb, 1I.A. &φ. 1
I.Epemlw , MaTeMaTHllaKoｭ

ない偵を(その戦略の一部として)プレイヤー 1 に

H中Jlll lI Ta 1
1COTPY Il; HlI'!e CTOBa , 3HAH lI E , 1
973 (競合通報する場合の問題，さらに，プレイヤー 1 がそのと協力の数学) .

戦略の代りに，真の目的関数でない目的関数をプレ2 人非対立ゲームにおける情報の重要イヤー 2 fこ通報して，同等の結果を得るために通報性を強調しこの理論の一つの発展方向を示したもすべき目的関数を求める問題(補助効果基準をもっ本論文はので，これに引きつづき多数の研究論文が発表されゲーム)も研究されている.最近では，これらの理論の 3 人ゲームへの拡張，階層システム理論への応た.

KyllymKH Il, H.C. , “ PO Jl'b Baa貴 MIl O量日H !þOpM lI pOBa­用が試みられている.

HIlOCTMCTOPOHBlIrp 乱X .
n:BYX.11M可 C HenporMBOnO Jl O誼\­IlI>i MlIlI HTepecaMII(坂本尖)," }f{βbt叩 C.!l.MameM. H MameM

渡辺浩，青沼龍雄，数理計画法(数学講座⑮)る

354 頁，う大きな範ちゅうに属するものであるとし、う理由で

2 ， 400 円，1974 年，筑摩書房.

数理計画法として取り扱われているもので，線形計画法は何といっても最もよく利用され，また最もよく知られたものであることから，これについての

しかし所詮はこれらがすべて数理計画法とい避けて省略できるものばかりではない.

このような状況下において数理計画法としていかに現在までの問に開発された新理論を網羅して，しかもなお本質記述も内外のものを合わせると相当数にのぼる.さ的な旧来の思想、あるいは考え方を記述しはがらまとらに非線形計画法といえば，やはり線形計画法と並めることはたいへんなことである.

んで数理計画法の中では古くから論じられてきたも二本書は数理計画法として線形計画法，非線形計画

この種の数理計画法というテーマで論述

法および動的計画法を基調じして展開しながら，全するときにいずれに主体をおし、て記述するか，いか体として数理計画法の著書というまとまった感じをので為る.

なる割合で各項目に頁数を配分するかということは持たせる良書であり，著者にとっては非常に困難な問題なのである.ある

入門書としてもていねいに記述してあることから一ものは線形計画法にかなりの頁数を配分しまたあ読をおすすめしたいと思う.

る著者は非線形の部分に割当て過ぎる場合も多々見うけることである.

とくに数理計画の分野でも，最近では諸種の何々計画法という類のものが増えていこの方面を専門家もあるし、は本書の構成内容はつぎのとおり.

第 1 章数理計画法の概念

1.1 数理計画法の位置づけ， 1.2 数理計画法の© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.