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経済時

系列の季節調整叫経済統計利用者の立場から脚片岡 淳………‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖＝‖＝＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖洲………州……………………l……＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖仙l

鼠㊤ 経済時系列デ剛夕臆見られる季節変動

経済時系列データにはさまざまなものがあるが9 これらデータには1年おきに同じようなパターⅦンを繰り返すものがある。図且はいくつかの経済時系列をプロットしたものである。機械受注，家計消費支出は1年おきに同じパターンを周期的に繰り返しているのがわかる。山方卸売物価指数はこのような周期的パターンは観察されない。
図且の機械受注，家計消費支出に見られるような1年おきの周期的パターン変動は「季節変動」と呼ばれる。このような周期的なパターンが生じる要因としてはさまざまなものがある。たとえば家計の消費支出では年末に支出が多いことが図からわかるが，これはボーナス支給と関連があるであろうし9 また年末は新年に向けてさまざまな消費財の購入の出費が増えるなど，消費者行動の社会的慣習との関連もあろう。また機械受注では年度末に受注額が増加しているが，これは企業の決算期との関連があるであろう。
さてラ マクロ経済指標から景気の動向を観察し予測することはエコノミストの重要な仕事である。マクロ経済分析では，マクロ経済データの「伸び率」あるいは「成騒率」を観察することが多い。これは，トレンドがどのように変化しているかを的確に捉える必要があるためである。「伸び率」としては，前年同期比や問1 経済時系列の例前月比，あるいは3カ月前比などさまざまなバリエーションがあるが，前月比や3カ月前比の計算の際にはを表わしていない」と考えることが妥当であるためで季節変動を除外して景気動向を観察する必要がある。

ある。

たとえば消費支出の前月比を取り，消費支出が年末にこのため，エコノミストとしては，季節変動成分を増加しているのを，「年末は消費者マインドが好転し除外して経済時系列を観測する必要があるが，このたている」と見るのではなく，「社会的慣習に基づく要めの簡単な方法は，前述の前年同期比をとる方法であ因が大きく，必ずしも本質的な消費者の消費マインドるm 前年同期比とはその言葉のとおり，前年の同期に対する伸び率を計算することであり，周期的な季節変

かたおか じゅん 株式会社三菱総合研究所〒100千代田区大手田丁23−−6動成分の影響は受けない。

ただしヲ この方法を用いる際には注意を要する。図
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堵36（20）オペレーションズ￠リサーチ

残差項である．そして，季節変動成分以外を合計した

220

新たな系列200∬f＝オ亡十z≠180（2）を季調済系列とする．（1）のように，各成分の和の形

側160で表現するモデルを「加法型モデル」と呼ぶ．これに対して各成分の積の形で表現する「乗法型モデル」で

蜂140120は，
γf＝′f・ざf・Zf100（3）のようになる．なお乗法型モデルは（3）の両辺に対数0 51015 20 25 30 35 40 45をとることによって，

月（t）

図2 仮想データによる前年同期比と前月比の比較

log（yt）＝log（tt）十log（st）＋log（zt）（4）のように加法型モデルに変換できる．

2の実線はあるノ仮想的な経済時系列であるとする．図

さて，（1）式のようなモデルを考えた場合，あくまからわかるように，f＝30でトレンドの傾きが変化しでも観測できるのはr個の観測値γ亡である．一方未知ている．実際，≠＝1から≠＝30までは前月比1％成長，変数はfゎ5fの2変数であり，未知母数は27「個となオ＝31以降は2％成長として作成した時系列データでる．r個の観測値から27「個の未知母数を推定する必ある．この時系列データに対して前月比と前年同期比要がある．このことからわかるように，季節調整モデが各々プロットされている．図から明らかなように，

ルは観測値の個数に対して未知母数が圧倒的に多く，前月比は成長率，すなわちトレンドの傾きの変化を的そもそも無理のあるモデルなのである．このような場確に捉えているが，前年同期比は成長率の変化を直ち合に役立つのがベイズ的アプローチであり，トレンドに捉えることはできず，徐々に捉えていくことがわか成分オゎ および季節変動成分ざとに対して先験的に確率る。このように，成長率を計算する際に，前月比を用分布モデルを想定することにより，各成分への分解をいるか前年同期比を用いるかによって結果が異なって可能にしているのである．

くることには注意を要する．

（2）「移動平均型」と「モデル型」

さて，この例から明らかなように，前月比（四半期

図1の「機械受注」のデータは経済企画庁が発表しデータの場合は前期比）はトレンドの変化をすばやくているものであるが，受注金額の原系列は季節変動成検出できるものの，データに季節変動成分が認められ分を含んでいる．この系列については，経済企画庁がる場合，そのまま通用することができないのはあきら季節調整を行った「李調済系列」も同時に発表されてかである．季節変動成分を含むデータ系列に対してそいる． （図1の家計消費支出のデータについては季調のまま前期比を取ると，前期比データにも季節変動成済系列は発表されていない．）このように，マクロ経分が生じるためである．ここに季節調整を行う意義が済時系列データの中には，データを作成している官庁ある．つまり，季節変動成分を含む時系列データからなどで季節調整を行っているものが多い．

季節変動成分を除外すれば，前月比を計算することがさて，季節調整の方法には大きく分けて「移動平均型」と「モデル型」と呼ばれる2種類の方法がある．

できるため，トレンドの転換点を適切に把握し，情勢判断に役立てることができる．

（i）移動平均型「移動平均型」の基本的な考え方は，季節変動成分

2．季節調整の方法を含む系列に対して移動平均を取ることにより，季節（1）季節調整の基本的考え方変動成分を均（なら）してしまうということである．

季節調整の基本的な考え方を式で表現すると次のよ

この方法の代表的な手法としては，米国センサス局がうになる．いま季節変動を含む時系列データをγf（J＝開発したⅩ−11あるいはその改良版であるⅩ岬12−

1，…，r）とすると，γ壬を以下のように3つの成分に分ARIMAが知られており，世界の統計機関で利用され解する．ている．わが国においても，Ⅹ∴11法やそれを簡略化

γt＝ft＋ざf＋zf（1）

ここで≠fはトレンド成分，ぉは季節変動成分，Zfは1998年8 月号

したMITI法などが官庁統計に使われてきたが，近年Ⅹ−12−ARIMAに順次更新されつつある．

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（21）437ただし，才（卵）はトレンド成分，カ（乃）は定常自己回帰（AR）成育15（犯）は季節変動性分，寝（犯）は曜日効果項，紺（裾）は観測雑音項である。
そして，各成分に対して以下のようなモデルを想定する。
〈トレンド成分〉

トレンド成分は時系列データの趨勢的な傾向を表わす成分である￠ 仮にトレンドが直線的に増加する場合はリ
オ（卵）＝α裾】十あ（6）となり9 時間差分才（乃）−イ（乃−1）＝α（一定）となる。

ここでβをバックシフトオペレータとすると，（1−β）g（乃）＝α，（1−β）2f（弗）＝0となる。実際にはトレンドは一直線ではなく9 滑らかに変動するので，一般
的にはトレンド成分は（1【β）椚三才（紹）＝γ1（符），机（乃）〜Ⅳ（0，ガ）（7）に従っているものとする。差分の階差押わとしては通図3 Ⅹ【12…ÅRIMAの処理フロー

常1，2または3が用いられる。
〈定常由記回帰成分〉

Ⅹ−12−ARIMAの処理フローを図3に示すQ X12−

定常自己回帰成分は，∽2次の自己回帰（AR）モデル如）＝望α（グ）武断」）＋γ2（乃）γ2（裾）〜Ⅳ（0，浸）（8） ．■∴1

ARIMAは大きく分けて3つの部分からなる。まず「REGARIMA」による事前調整部分では，原系列をに従うものとする。

「ARIMÅモデルで説明できる部分」と「異常値およく季節変動成分〉び曜日変動」に分割する￠ そして「ARヱMAモデルで季節変動成分は，ある時点のデータと1年前の同時説明できる部分」とそれについてARIMAモデルに期データとがほぼ等しい。これを式で表現すると，より将来の予測を行ったものを結合し，「事前調整済・、・、み系列」とする。次にきト11により「事前調整済み系

ただしヴは季節変動の周期である。これを前述のバこぃックシフトオペレータを用いて表現すると，列」に対して季節調整を行う。最後に事後診断を行い，季節変動成分が適切に除去されているか統計的検定手（巨βヴ）s（裾）＝0が近似的に成り立つ。これから，法を用いてチェックすると同時に，安定性に関してもイ1診断を行う◎ この事後診断で不適切と判断された場合∑βZs（符）＝O
Z＝0

は「RE（言AEIMA」におけるモデル選択やⅩ【11のパが導かれる◎ したがって時間的変化を許した季節変動

ラメータ等を変更し再び事前調整および季節調整を行

成分のモデルは，う。Ⅹ−1鼠による季節調整の具体的な方法には触れな

飢（犯）＝γ3（裾）

（10）

f＝0

γ3（紺）〜Ⅳ（0，好）いが，明示的なモデルを仮定するのではなく，移動平均の手続を繰り返し行うことにより，季節変動成分をとなる。

除去する方法が取られている。

く曜田効果項〉

月次デー一夕においてひと月中の各曜日の違いの効果（畳五）驚デ飽型

が曜日効果と呼ばれるものである。この効果は「モデル型」は，観測された時系列の生成過程にモ7デルを想定し9 季節成分を除去しようという方法であfd（乃）＝∑βz（裾）d書（乃） ∠ニ1る。このタイプの代表的なものとしては，統計数理研と表現できる。ただしdヂ（弗）は第卯月中の才番目の曜日究所が開発したⅢECOMPがある。

（勘 ノ札 二貯 水，木9 免 土）の数 βゴ（乃）は第卯月時点におけるグ番目の曜日の係数である。

DECOM肝では時系列タ（邦）を5つの成分に分解する。
γ（裾）＝才（開）＋カ（犯）＋s（裾）＋寝（裾）＋紺（紹）（5）

ニこで，一意性のためにウオベレーションズ。リサーチ亀36（22）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

︵U 5 0 5 0 5 0 5 0
5 4 4 3 3 2 2 1 1

7 ∑βf（乃）＝0
オ＝1

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0という条件を加えておく．このとき，上記の曜日効果
は76寝（乃）＝∑βg（乃）dヂ（循）＝∑βど（乃）（dヂ（乃）−（ガ）

i＝1

6ど＝1

＝∑βf（乃）威（乃）と書ける．したがって曜日効果のモデルとしては一般
的に−−βf（乃）＝βf（乃−1）＋γ。（裾）6寝（乃）＝∑βど（乃）dど（搾）

（11）

f＝1

8 6 4 2 0 2 4 000 0

ゴ＝10．6と表現できる．ただしDECOMPでは曜日係数が時0．3

間的に変化しないものと仮定し システム雑音γ。（乃）0の項は除外している．

−0．3−0．600DECOMPでは上記の成分をまとめて状態空間表現している．状態空間モデルは

図4 機械受注データのDEICOMPによる分解象である．官庁統計では最新年の季調済系列を算出す∬乃＝j㌔∬乃＿1＋G乃γ乃
γ乃▲＝銑∬乃＋紺花（12）るために，前年までの系列から最新年の「季節変動成で表わすことができる．∽1＝2，す＝12，∽2＝2で曜日分」を予想し，最新年の系列からこれを除去すること効果を含まない場ノ飢こは，により，季調済系列を算出している．このため，季調替えは1年おきに実施されており，ある年の年初の季J乃＝［≠乃，f乃＿1h，ふ巨1…∫乃＿．。lみ，♪乃＿1］
1 0 0 0 ・・・

0 0 00 0 0002 −1000 …

−1−1・‥ Ⅶ1000 0 0 0 …
0 0 0 0 …

あり，トレンドの転換点が1年も経過してから変更されてしまう場合がある．ちなみに，米国センサス局で0は原則として毎月李調替えが行われている．李調香え

00000

調済系列が，1年以上経過後に遡及改定されることが1OOO

が1年毎が良いのか，毎月が良いのか，ユーザーの立場としては意見が分かれるところである．筆者の個人

0 α1 α20 1 0

G乃＝［10llO…OllO］

的な見解としては，毎月李調替えが行われる方が望ましいと考えられる．これはなるべく早期に的確な情勢判断を行いたいと考えるからである．ユーザーとしてと表現される．そして，カルマンフィルターのアルゴは，データが新たに追加されるたびに最適な李調済系リズムにより状態を推定し，各成分を求めている．

列が当然変化しうることを理解し，その上でトレンド

図4は実際に機械受注のデー

タに対してDECOMP転換点などの分析や予測を行うべきであろう。

を実行した結果である．機械受注のデータでは対数変（2）季節調整の「適切性」

換を施し，曜日効果項および定常AR成分を省いて移動平均型とモデル型の2つの類型のうちどちらがいるが，これはAIC（赤池情報量規準）を最小にす優れた手法であるのか，すなわち季節調整についてのるモテやルを選択した結果である．

「適切性」についての議論は1960年代より繰り返し行

3．季節調整をめぐるいくつかの議論われてきた．このような問いかけに対しては，「どの手法が最良であるかを判定する明確な基準は一般には（1）季調替え存在しない」という結論が最良であるように思われる．

官庁から発表される経済統計の「李調済系列」は年

この議論に関しては，川崎・佐藤に詳しく説明されてに一度遡及改定される．これを「李調香え」と呼ぶ．
時間の経過とともに新たなデータが追加される場合，季調済系列が変化するのは当然のことである．これは移動平均型においても，モデル型においても生じる現いる．本稿では，周波数領域における seasonaldipに関する過去の議論を振り返ってみたい．
経済時系列が季節変動成分を含んでいるかどうかは，図をプロットしてみれば明らかな場合が多いが，より1998年8月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（23）439

．州‖684

しているのではなく，むしろこの種の『最適』季節調

2

整の特徴づけになっている」のである。

0勺■■
一川．
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†−卜て鼻音毯。季節調整法の選択および利用止の注意点
これまでの説明のように，季節調整法には2つの顆型があり，どちらが優れているのかという議論は一般的には意味がないことを説明した。ところで，わが国を含め世界の統計機関で最も多く用いられている季節調∴J r・こ‥ ご∴・トー‥ごぶごチニ′∴ ：∴；｝ミ

整法は米国センサス局が開発したⅩNllおよびⅩ−12−
図5 機械受注データのスペクトル比較

ARIMAである。これは，永年にわたって同法が用いられてきたという歴史的経緯によるものと考えられる。

厳密には，周波数領域における分析により明確な判断

統計データを分析する際には，そのデータに対して作材料が得られる。周波数領域における分析とは簡単に成方法や処理方法に一一貫性が求められるためである申

言えばスペクトルを観察することであるn データ系列

さて，わが国では，平成8年8月に総務庁が「季節に季節変動成分が存在する場合，1年周期の周波数お調整法検討小委員会」を設置し，季節調整法としてよびその高調波のスペクトルのピークが観察される。

Ⅹ−−12−ARIMAの採用の可否について審議を行い指針

図5は機械受注のデータをスペクトル解析したものでを発表した。それによると，「季節調整法を通り闘するあるが9 図の実線（原系列のスペクトル）からわかる

場合は，センサス局法Ⅹ−12−ARIMAなど，手法のように，′＝2方×1／12＝オ6の整数倍の周波数におい適切性について一般的な評価を受けている手法を継続て，実際にピークが観測されている心的に使用する」ことなどが示されている。このためわ

さて，季節調整法の「良さ」を評価する方法について予 一二百を投じたのがNerloveであり，季調済系列の満たすべき条件の中で特にスペクトルに関して1964が国においても引き続きセンサス局法が利用される見通しである。

さて，経済統計データを利用する立場からは，移動年に以下のような基準を示している。

平均型とモデル型のどちらも選択することができる。

①季調済系列のスペクトルにおいては，季節周波数選択の際には9 自分がどのようなデータを対象に，どとその高調波でピ山クがあってはならないのような情報を求めているのかを明確にしておく必要②李調済系列のスペクトルにおいては，季節周波数がある。利用者が自身の目的を明確にせず，盲目的にとその高調波で溝（dip）があってはならない

ある手法を選択し季節調整をかけることは危険である。

李調周波数とは，月次データでは前述の／＝方／6の整数倍の周波数のことである。李調済系列のスペクト以下に，前述の代表的手法を用いる際の注意点について説明する。

ルに溝が存在する場合，これは過剰調整であるという

い1．：、フ・こ．：こ−∴J二、ユ批判である。ここで再び図5を見ていただきたい。図

Ⅹ12ARIMAのプログラムはインターネット経由では公表されている季調済系列と，DECOMPによりで米国センサス局のホームページからダウンロードす季節調整を行った各々の系列に対して9 スペクトルをることができる。URLは観察している申 DECのMPによる李調系列には sea−

http：／／www．census。gOV／ts／Ⅹ12a／final／pc／

somaldip9りが認められる。公表季調系列にも／＝方／6である。このホームページからマニュアル等もダウンでロードできる。

seasomaldip99 らしき溝が見られる。それでは，

ⅢECOMPによる季節調整は過剰調整であるのか？
この論点に関しては紙面の都合上詳しい説明は省略

さてⅩ肝12【ARIMAには，多数のオプションが付属している色 自動モデル選択のオプションもあるが，するが9 Nerloveの提案した基準は現在ではほとんど異常値や急激なトレンド変化による影響を除去したい意味を持たないというのが定説になりつつある。スペ場合は，ユーザーが自ら最適なオプションを見つけ出クトルの「溝」は，モデル型季節調整が最適に行われす必要がある。このためには，マニュアルを読みこなたことを意味しているのである℡ Grether a‡1d Ner一

し，試行錯誤を繰り返して，ユーザーの目的に鑑みて

旦0Veによれば9「ム seasomaldip99は過剰調整を表わ

最適なオプションを選択する必要がある◎
オペレーションズ。リサーチ

鯛⑬（24）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（2）DECOMP

5．まとめ

DECOMPはインターネットを経由してWeb上で実行可能である．Web上で季節調整が可能になった

経済時系列データを利用するユーザーとしての立場

ことは，非常に意義深い．すなわち，ソースプログラから，季節調整の必要性について解説した．また，季ムが配布された場合，自分でコンパイルする必要があ

節調整の基本的な考え方，代表的な2つの手法についるが，この必要がない。また，実行ファイルが入手でて説明した．また季節調整をめぐる諸議論に触れた．

きてもコンピュータのOS（オペレーティングシステ

最後に，季節調整プログラムを利用する際の注意点にム）が合わなければ実行不可能であるが，この心配もついて説明した．

ない．また，常に最新のバージョンが利用可能である

参考文献という利点がある．

DECOMPをWeb上で実行する

Web DECOMPの［1］北川源四郎，「時系列解析プログラミング」，岩波書店，1993

URLは，http：／／www．ism．ac．jp／￣sato／である．

［2］北川源四郎，「時系列の分解−プログラムDECOMPの紹介」統計数理第34巻第2号，1986［3］北川源四郎，「季節調整プログラムDECOMPとそのさて，DECOMPでは時系列データを前述のように後の展開」統計数理第45巻第2号，1997

5つの成分に分解するが，常にこの5つの成分に分解［4］木村武，「最新移動平均型季節調整法ⅩL12−ARIMAする必要はない．実際のデータ解析ではこれらのうちについて」金融研究，第15巻第2号

どの成分を用いるかの判断が必要となる．またトレン［5］木村武，「季節調整に関する実務的諸問題」統計数

ドの次数，定常AR成分の次数を決める必要がある．
これを決めるためにはAIC（赤池情報量規準）が最小となるオプションを選択すれば良い．AICはWeb
DECOMPを実行すると必ず出力される．
DECOMP利用の際の注意点は，DECOMPは各成理第45巻第2号，1997［6］佐藤整尚，「Web Decompの紹介」統計数理第45巻第2号，1997［7］坂元慶行，石黒真木夫，北川源四郎，「情報量統計学」共立出版株式会社，1983［8］川崎能典，佐藤整尚，「季節調整の「最適性」につい分のシステム雑音にすべて正規分布を想定しているこて」統計数理第45巻第2号，1997とである．このため，明らかに正規分布に従っていな［9］Bureau of the Census，

いデータ系列やデータのレベルシフトなどトレンドのence Manual（FinalVersion O．1）

急激な変化は想定していない．このような場合は非ガ［10］Nerlove，M．，

ウス型モデルを用いるなどの解決方法があるが，これadjustment procedures ，Economet7ica，32（1964）はWeb上では実行できない．Web DECOMPを利［11］Grether，D．M．and Nerlove，M．，

用するにはこれらの制約を念頭において利用する必要，1998Spectralanalysis of seasonal

Properties of optimalseasonaladjustment
且co乃0∽e′わcα，38（1970）

がある．

●」ORS」数理計画特集号論文募集のお知らせ
日本オペレーションズ・

Ⅹ−12−ARIMA Referq

リサーチ学会論文誌

論文締切り：平成10年12月15日学会必着」ORS」掲載予定：平成12年3月（vol．43，No．1）（JORSJ）編集委員会では，茨木俊秀教授をゲス発行

トエディターに迎え，数ヨ塑計画分野に関する特集号を企画しております．奮って投稿いただきますようご案内いたします．なお，本特集号への投稿論文は原稿送付先：英文に限らせていただき，通常の論文と同様に査読審査されます．投稿時には封筒に「数理計画特集〒113−0032文京区弥生2叫4−16（社）日本オペレーションズ。リサーチ学会論文誌「数理計画特集号」ゲストエディター 茨木俊秀
問合せ先：号」，および，論文第1ページ上部に「特集号用投JORSJ特集号ゲストエディター 茨木俊秀

稿論文」と，いずれも朱記してください．

京都大学 情報学研究科数理工学専攻
Fax．075（753）4866

特集テーマ： NewTrendsin MathematicalPro＿

E−mail：ibaraki＠kuamp．kyoto¶u．aC．jp

gramming （仮題）

または，JORSJ編集委員長 森戸 晋

1998年8 月号（25）441© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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