７－１．規則性の問題 ① ２００２年度出題【問１】与えられた図形の辺に対して，次の操作を行う。
［操作］
右の図のように，辺を３等分した中央部分に正三角形を付け加える。ただし，中央部分の線分は消す。
図Ⅰの正三角形の各辺について，上の操作を行うと図Ⅱのようになる。さらに，この操作を図Ⅱの各辺について行うと図Ⅲのようになる。
図Ⅰ

図Ⅱ

図Ⅲ

次の(1)～(3)に答えなさい。
（青森県 2002 年度）(1) 図Ⅰの１辺の長さをℓ cm とするとき，図Ⅱの周の長さをℓ を用いて表しなさい。
(2) 図Ⅰの面積を S cm2 とするとき，次のア，イに答えなさい。
ア．図Ⅱの面積を S を用いて表しなさい。
イ．図Ⅲの面積を S を用いて表しなさい。

(3) 図Ⅲの各辺について，上の操作を同様に行った。このときできる図形の辺の数を求めなさい。

解答欄

(1)

cm
ア

cm2

イ

cm2

(2)

(3)

【問２】
縦に３行，横に何列も並んだます目があります。下の図のように，１，２，３，…の自然数を順番に，奇数列のます目には第１行から第３行まで，偶数列のます目には第２行にだけ書いていき，表を作ります。なお，下の図は第 11 列以降を省略してあり，また，・ は数字を省略して表したものです。
この表の一部分を，ちょうど縦３行横３列が入るように囲み，それをわくということにします。たとえば，真ん中の列が第３列であるわくは，例１の太線で囲まれた部分です。また，真ん中の列が第４列であるわくは，例２の太線で囲まれた部分です。

次の１～４の問いに答えなさい。
（宮城県 2002 年度）
１．わくの真ん中の列が第７列のとき，わくの中にあるすべての数の和を求めなさい。

２．第 n 列の第 2 行の数を，n を用いて表しなさい。
３．わくの真ん中の列が第 n 列のとき，わくの中にあるすべての数の和を，n が奇数の場合と，n が偶数の場合に分けて考え，それぞれ n を用いて表しなさい。ただし，n は２以上とします。

４．わくの中にあるすべての数の和が 1400 のとき，わくの真ん中の列は第何列になりますか。

解答欄
１
２
３

n が奇数の場合

４

第n が偶数の場合
列【問３】n 個の箱のそれぞれに箱［1］，箱［2］，箱［3］，箱［4］，…，箱［n］と名前をつけ，球を，箱［1］に２個，箱［2］に４個，箱［3］に６個，箱［4］に８個，…，箱［n］に 2n 個入れた。ただし，n≧5 とする。
この球を，次の手順にしたがって，移動する。
１回目は，箱［2］の球のうち，１個を箱［1］に，残りを箱［3］に移す。
２回目は，１回目に引き続き，箱［3］の球のうち，１個を箱［1］に，残りを箱［4］に移す。
３回目は，２回目に引き続き，箱［4］の球のうち，１個を箱［1］に，残りを箱［5］に移す。
以下，同様に移していき，球を箱［n］に移したところで終わる。
下の図は，１回目の移動の様子を表している。

箱［1］

箱［2］

箱［3］

箱［4］

……

箱［n］

次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（秋田県 2002 年度）(1) 次の表は，太郎さんが，この球の移動でそれぞれの箱に入っている球の数をまとめた表の一部である。空欄にあてはまる数を書きなさい。
箱［1］

箱［2］

箱［3］

箱［4］

箱［5］

最 初

2

4

6

8

10

１回目

3

0

9

8

10

２回目

0

0

３回目

0

0

10
0

(2) 太郎さんは，１回目の移動後に箱［2］の球の数は０個，２回目の移動後に箱［3］の球の数は０個，３回目の移動後に箱［4］の球の数は０個になることから，次の規則に気づいた。
a 回目の移動後に，箱［a＋1］の球の数は０個になる。
このほかに a 回目の移動後に成り立つ規則を，a を用いて書きなさい。
a 回目の移動後に，(3) 次の①，②にあてはまる式を n を用いて書きなさい。
この移動は

①

回目で終わり，そのとき球が入っている箱は箱［1］と箱［n］のみである。したがって，

最初，すべての箱に入っていた球の総数は

②

個である。

解答欄

(1)

箱［１］

箱［２］

箱［３］

箱［４］

箱［５］

最初

2

4

6

8

10

１回目

3

0

9

8

10

２回目

0

0

３回目

0

0

(2)

a 回目の移動後に，

(3)

①

10
0

②

【問４】
同じ大きさの赤，青，黄３色の正三角形のタイルがある。これらのタイルを，次の図のように半直線 OA，OB の間に，赤，青，黄の順で１段目から並べ，２段目以降は前の段に続けて左から右にすきまなく並べる。
（福島県 2002 年度）① ５段目の右はしまで並べ終えたとき，並べたタイルは全部で何枚になるか，求めなさい。

② 200 枚目のタイルまで並べ終えた。このとき，半直線 OBに辺が重なるタイルのうち，赤色のタイルは何枚あるか，求
めなさい。

解答欄

①

枚

②

枚

【問５】
図１のような，１辺の長さが 1 cm の正方形の用紙 A と，辺の長さが 1 cm，2 cm の長方形の用紙 B がある。それらを何枚かずつ，すき間なく重ならないように並べて，正方形をつくる。
たとえば，用紙 A を２枚と用紙 B を１枚並べて正方形をつくると図２のようになる。また，用紙 B を２枚並べて正方形をつくると図３のようになる。このとき，次の１～４の問いに答えなさい。
（栃木県 2002 年度）

図１

図２

図３

１．用紙 A を１枚と用紙 B を４枚並べて，１つの正方形をつくると，いくつかの並べ方がある。どのように並べればよいか，そのうちの１つをかきなさい。

２．用紙 A と用紙 B を，合わせて７枚並べて１つの正方形をつくる。このとき，できた正方形の面積を求めなさい。

３．用紙 A と用紙 B を並べて，１辺の長さが a cm の正方形をつくった。この正方形に，さらに用紙 A と用紙 B をそれぞれ n 枚ずつ加えて１辺を 3 cm 長くした正方形をつくった。このとき，n を a を用いて表しなさい。ただし，途中の説明も書くこと。

４．用紙 A と用紙 B がそれぞれ 100 枚ずつある。これらを残さず用いて，正方形をいくつかつくる。このとき，すべての正方形の面積が等しくなるためには，１辺の長さを何 cm にすればよいか。考えられる１辺の長さをすべて求めな
さい。

解答欄

１

２

cm2

３

答 n＝
４

cm

【問６】
図１のような正三角形のタイルがある。このタイルと同じ大きさのタイルをすき間なく並べ，大きな正三角形をつくった。そして，図２のように，１行目のタイルに 1，２行目のタイルに左端から順に 2，3，4，３行目のタイルに左端から順に 3，4，5，6，7，４行目のタイルに左端から順に 4，5，6，7，8，9，10 と自然数の番号をつけていった。このあとも同じ規則で 20 行目まで自然数の番号をつけていくとき，次のア，イの問いに答えなさい。
（千葉県 2002 年度）
ア．６行目のタイルの枚数を求めなさい。
図１

図２

イ．番号 50 を最初につけたタイルは何行目か。

解答欄
ア

枚

イ

行目

【問７】
１辺の長さが 2 cm の黒い正方形のタイルと，１辺の長さが 1 cm の白い正方形のタイルがある。次の①と②をともにみたす方法で，１辺の長さが a cm の正方形をつくる。ただし，a は 3 以上の奇数である。
正方形をつくる方法① 黒と白の２種類のタイルをかならず使い，それぞれが重ならないように，すき間なくしきつめる。
② 黒いタイルをできるだけ多く使い，使う２種類のタイルの合計枚数を最も少なくなるようにする。
下の表は，a＝3 と a＝5 のときの，それぞれのつくられた正方形の一例と，使われた黒いタイルと白いタイルの枚数を示したものである。
つくられた正方形の１辺の長さ

3 cm

5 cm

１枚
５枚

４枚
９枚

つくられた正方形の例

黒いタイルの枚数
白いタイルの枚数
このような方法で正方形をつくるとき，次の問いに答えなさい。

（神奈川県 2002 年度）(ア) １辺の長さが 7 cm の正方形をつくるには，黒いタイルと白いタイルは合計何枚必要であるか，その数を求めな
さい。

(イ) 使われた黒いタイルの枚数が白いタイルの枚数より 11 枚多くなるのは，つくられた正方形の１辺の長さが何 cmのときであるか，その長さを求めなさい。

解答欄
(ア)

枚

(イ)

cm

【問８】
表は，１行目には，自然数を 1～200 まで左から順に並べ，２行目以降には，その上の行に書かれている数に 8 ず
つ加えた数を並べたものである。この表をもとにして，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（新潟県 2002 年度）
(１行目)
(２行目)
(３行目)
(４行目)
・
・
・

1
9
17
25
・
・
・

2
10
18
26
・
・
・

3
11
19
27
・
・
・

4
12
20
28
・
・
・

5
13
21
・
・
・
・

6
14
・
・
・
・
・

7
・
・
・
・
・
・

・
・
・
・
・
a
c

・
・
・
・
・
b
d

・
・
・
・
・
・
・

200
208
・
・
・
・
・

(1) この表中に，自然数 44 は何個あるか，答えなさい。

(2) 表中の

11

12

19

20

の部分について，４つの数 11，12，19，20 を用いて，19×20－11×12 の計算をすると248 になる。このように，表中の

a
c

b
d

に位置している４つの数 a，b，c，d を用いた式 cd－ab をつくる。

この式の値について，次の①，②の問いに答えなさい。
① 「式 cd－ab の値は，8 の倍数である」ことを，次のように証明した。このとき，次のア～ウのにあてはまる式を，a を用いて表しなさい。
(証明)b は a よりも 1 だけ大きい数なので，b＝a＋1 であり，また，条件より，c＝れる。このとき，cd－ab＝8(ア② 式 cd－ab の値が 1800 となる自然数 a は，表中に何個あるか，求めなさい。

解答欄

個
①

ア

イ

(2)
②

個

イ

と表さ

)となる。よって，a は自然数なので，式 cd－ab の値は，8 の倍数と

ウ

なる。

(1)

，d＝

ウ

【問９】
マッチ棒を使って，下の図のように１番目，２番目，３番目，…と図形を作っていく。このとき，番数(１番目，２番目，３番目，…)にともなって変わる数量がいくつかある。下の表は，その中の３つの例を示したものである。
１番目

２番目

３番目

４番目

…
…

この表をもとに，次の(1)，(2)に答えなさい。
（石川県 2002 年度）(1) 表の①について，(あ)，(い)にあてはまる本数をそれぞれ書きなさい。また，n 番目の本数を n を用いた式で表しな
さい。

(2) 表の②，③のいずれかを選び，()にあてはまる「ともなって変わる数量」を１つ書きなさい。

解答欄

(あ)

，(い)

(1)
n 番目の本数
選んだ番号(2)ともなって変わる数量

【問 10】図のように，１番目，２番目，３番目，…の順序で，１辺に２個，３個，４個，…の同じ個数の石を並べて正方形の形をつくるとき，次の①，②の問いに答えよ。
（愛知県Ｂ 2002 年度）
１番目

２番目

３番目

…
…

① ４番目の正方形をつくるのに必要な石の個数は何個か。

② n 番目の正方形をつくるのに必要な石の個数は何個か。n の式で表せ。

解答欄

①

個

②

個

【問 11】Ⅰ図のように，１番目，２番目，３番目，４番目，…と同じ大きさの正方形の白いタイルを，すきまなく規則的に並べて図形をつくっていく。このとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
（京都府 2002 年度）
Ⅰ図

１番目

２番目

３番目

４番目

…
…

(1) m 番目の図形には，白いタイルは何枚あるか。m を用いた式で表せ。

(2) Ⅱ図のように，１番目，２番目，３番目，４番目，…とⅠ図の図形の一部を，白いタイルと同じ大きさの黒いタイルに
規則的におきかえていく。いま，n 番目の図形では，白いタイルの枚数が，黒いタイルの枚数より 119 枚多かった。このときの n を求めよ。
Ⅱ図

１番目

２番目

解答欄
(1)
(2)

枚
n＝

３番目

４番目

…
…

【問 12】
図１，２のように，１辺 1 cm の正方形をつなぎ合わせた図形がある。図３は，次の規則にしたがって図１の図形から
正方形をつくるようすを示している。
＜規則＞
・２本の直線にそって切り取り，３つの図形に分ける。
・その３つの図形を，すき間や重なりのないように並べかえて，正方形をつくる。
次の問いに答えなさい。ただし答えが無理数になるときは，根号を含んだ数で答えなさい。
（兵庫県 2002 年度）(1) 図３でつくられた正方形の１辺の長さを求めなさい。
図１(2) 図２の図形から，上の規則にしたがって正方形をつくるとき，この正方形の１辺の長さを求めなさい。また，２本の切り取り線を解答欄に実線で示しなさい。
図３

ア を切り離し，別の位置につなぎ(3) 図２の図形から１辺 1 cm の正方形◯合わせたところ，その図形からも上の規則にしたがって正方形をつくる
ア の位置と２本の切り取りことができた。つなぎ合わせたときの正方形◯線を１組，解答欄に図示しなさい。

解答欄
(1)

cm
cm

(2)

(3)

ア
◯

図２

【問 13】
A，B，C の３人がじゃんけんをして，下の規則にしたがって，階段を上がったり下がったりする遊びをしている。次の問いに答えなさい。
（兵庫県 2002 年度）＜規則＞
１回のじゃんけんで，・グーを出して，勝てば１段上がり，負ければ１段下がる。
・チョキを出して，勝てば２段上がり，負ければ２段下がる。
・パーを出して，勝てば３段上がり，負ければ３段下がる。
・あいこの場合は動かない。
(1) ３人が同じ段にいて，A はグー，B と C はチョキを出した。このじゃんけんで，A と B は何段の差がつくか，答えな
さい。

(2) 図は，同じ段にいた３人が３回じゃんけんをしたときの，A と B の上がり下がりのようすを表している。３回のじゃんけんの結果，C のいる段は何通りの場合が考えられるか，答えなさい。

(3) ３人が同じ段にいて，３回じゃんけんをした結果，あいこは１度もなかったのに，３人とも最初の位置より１段上にいた。このときの，３人の３回のグー，チョキ，パーの出し方を１通り答えなさい。ただし，グーは＃，チョキは×，パーは○の記号を使うこと。

解答欄
(1)

段

(2)

通り
A
１回目

(3)
２回目
３回目

B

C

【問 14】
図１に示した同じ大きさの絵タイルと無地タイルを組み合わせて，図２のように，タイルの組を３種類つくった。次に，
図３のように，これら３種類のタイルの組を，縦 3 cm，横 2 m 40 cm の平面に，縦の列がずれないように，左側から
すきまなくはりつけた。ただし，横には同じタイルの組を繰り返しはりつけるものとする。次の問いに答えなさい。
（兵庫県 2002 年度）(1)のタイルは全部で何枚はってあるか，答えなさい。

図１
絵タイル
無地タイル
図２

(2)

と

のタイルが縦に並ぶのは何列あるか，答えなさい。

図３(3) 縦に並ぶ３枚のタイルのうち，絵タイルが１枚だけはってある列を観察すると，図３の６列目からは２列，９列目からは３列続いていた。また，それ以外に４列続いているところもあった。
４列続くのは何か所あるか，答えなさい。

解答欄
(1)

枚

(2)

列

(3)

か所

１
列
目

…

６
９
列 … 列
目
目

…

【問 15】
図１のように，数直線ℓ と直線 m は平行で距離は 1 cm である。OP はℓ と m に垂直とし，次のように点をとっていく。O を中心，OP を半径とする弧とℓ の交点を A とし，A を通る垂線と m の交点を Q とする。O を中心，OQ を半径とする弧とℓ の交点を B とし，B を通る垂線と m の交点を R とする。以下，同じようにして，数直線ℓ 上に点 C，D，…
を，直線 m 上に点 S，T，…を順にとる。
図１

図２のように，OA＝1 cm なので，数直線ℓ 上で点 A に対応する数を１とする。同じように，点 B，C，D，…についても対応する数を求める。表は，数直線ℓ 上の点とそれに対応する数を表したものである。
図２

表
数直線ℓ 上の点

１番目
A

２番目
B

３番目
C

４番目
D

…

対応する数

1

2

ア

2

…

イ

番目

…

3

…

次の問１，問２に答えなさい。
（島根県 2002 年度）
問１．次の１～３に答えなさい。
１．OC＝OR であることから，３番目の点 C に対応する数

アを求めなさい。

２．図２で，４番目の点 D に対応する数は２となる。また，数直線ℓ 上には，対応する数が３になる点もある。この点が何番目の点となるかを考え，表のイにあてはまる数を求めなさい。

３．表で，100 番目の点に対応する数は何か，求めなさい。

問２．図２で，数直線ℓ上には整数１と２の間に B，C の２個の点がある。以下 D，E，F，…と点をとるとき，整数３と４の間には何個の点があるか，答えなさい。

解答欄
１
問１

２

番目

３
問２

個

【問 16】正方形の色紙を掲示板にはるとき，必要な画びょうの数について調べた。次の(1)～(3)に答えなさい。
（徳島県 2002 年度）
図１

図２

図３

(1) 図１のように，色紙を１枚ずつ画びょうではりたい。色紙を１枚はるとき，４個の画びょうが必要である。n 枚の色紙をはるためには，画びょうは何個必要か，n を用いて表しなさい。

(2) 図２のように，色紙を１枚ずつ，その一部を重ねて横１列にはりたい。重ねた部分は１個の画びょうを使ってはるものとする。３枚の色紙を重ねてはるとき，全部で 10 個の画びょうが必要である。次の(a)・(b)に答えなさい。
(a) 色紙を８枚はるためには，画びょうは何個必要か，求めなさい。

(b) 色紙を n 枚はるためには，画びょうは何個必要か，n を用いて表しなさい。

(3) 図３のように，色紙を１枚ずつ，その一部を重ねて，横の方向に 10 枚，縦の方向に３枚，全部で 30 枚はりたい。
画びょうは何個必要か，求めなさい。

解答欄
(1)

個
(a)

個

(b)

個

(2)

(3)

個

【問 17】図１のような，縦が 4 cm，横が 2 cm の長方形のタイルと，１辺が 3 cm の

図１

正方形のタイルがそれぞれたくさんある。これらの長方形と正方形のタイルを，次の図２のように，重ならないようにすきまなく，交互に横に並べて，１番目のもよう，２番目のもよう，３番目のもよう，…というように順にもようをつくっていく。このとき，あとのア，イの問いに答えよ。
（香川県 2002 年度）

長 方 形
のタイル

正 方 形
のタイル

図２

…

１番目のもよう２番目のもようア．右の図３は，４番目のもようであり，その周囲を太線(

３番目のもよう…

)で示している。このもようの周囲の長さは何 cm か。
図３

４番目のもようイ．50 番目のもようをつくるとき，そのもようの周囲の長さは何 cm になるか。

解答欄
ア

cm

イ

cm

【問 18】平面上に正方形を１個置き，それと合同な正方形を用いて，下の図のような操作で平面を敷きつめていった。□の正方形は，１回目，２回目，３回目，…のそれぞれの操作で増やした正方形を表している。例えば，２回目の操作で増やした正方形の個数は８個である。このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2002 年度）

１回目

２回目

３回目

１．４回目の操作で増やした正方形の個数(□の個数)は何個か。

２．１回目，２回目，３回目，…のそれぞれの操作で増やした正方形の個数(□の個数)を調べると，規則的に増加していることがわかる。どのような規則で増加しているか，言葉で簡潔に書け。

３．n 回目から(n＋2)回目までの３回の操作で増やした正方形の個数(□の個数)の合計は何個か，n を使って表せ。
ただし，n は正の整数とする。

４．正四角形(正方形)のほかに，１種類の合同な図形で平面を敷きつめることができる正多角形には，
アとイがある。ア，イにあてはまる正多角形の名称を書け。

解答欄

１

個

２
３
４

個
ア

イ

【問 19】
マッチ棒が 150 本ある。このマッチ棒を使って，下の図のように，正六角形の形を左から順につくっていくとき，正六角形は最高何個までつくることができるか。
（高知県 2002 年度）

解答欄

【問 20】
図１～図４のように，1 cm きざみに 0，1，2，3，…と目盛をつけた直線ℓ と，長方形 ABCD があり，はじめは頂点
A，B がそれぞれ直線ℓ 上の目盛 0，1 と重なっている。この長方形 ABCD を，図１のように直線ℓ 上をすべることな
く矢印の向きにころがしていくとき，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2002 年度）
問１．図２において，AD＝3 cm とする。このとき，次の(1)，(2)に答えよ。

図１(1) 頂点 A が目盛 0 を離れて，次に直線ℓ 上にくるとき，頂点A が重なる目盛は何か。
(2) 長方形 ABCD をころがしていくとき，直線ℓ 上の目盛 25

図２に重なる頂点は何か。A～D から１つ選び，記号を答えよ。

問２．図３において，AD＝2 cm とする。長方形 ABCD の頂点が重なる目盛は順に 0，1，3，…となり，頂点が重ならない目盛

図３

は１番目が目盛 2，２番目が目盛 5，…となっている。このようにして目盛 0 から 100 までの中で，いずれの頂点とも重ならない目盛を小さい方から順に書き出していくとき，次の(1)，(2)
に答えよ。

図４

(1) 10 番目の目盛は何か。
(2) 最も大きい目盛は何か。

問３．図４において，AD＝2.1 cm とする。はじめは頂点が目盛 0，1 に重なっているが，ころがしていくと，しばらくは
いずれの頂点も直線ℓ上の目盛と重ならない。次にいずれかの頂点が目盛と重なるとき，その目盛は何か。

解答欄
(1)
問１
(2)
(1)
問２
(2)
問３

【問 21】
１辺が 1 cm の立方体のブロックを下の図のように積み重ねて，１番目，２番目，３番目，…と順に立体を作っていく。このとき，次の各問いに答えなさい。
（沖縄県 2002 年度）

…

１番目

２番目

３番目

４番目

…

問１．５番目の立体のブロックの個数は，全部で何個になりますか。

問２．n 番目の立体のブロックの個数は全部で何個になりますか。n を使って表しなさい。

問３．いちばん下の段のブロックの個数が 31 個になるとき，この立体のブロックの個数は全部で何個になりますか。

解答欄
問１

個

問２

個

問３

個