特集

量子コンピュータの実用化を加速する取り組み
URL

https://journal.ntt.co.jp/article/23092

DOI

https://doi.org/10.60249/23095004

量子エラー抑制とその進展などを行わず，量子ハードウェアへの負担を少なく保ったまま計算エラーの削減を行うことが可能な量子エラー抑制手法が世界中でさかんに研究されています．

遠藤傑

NTT コンピュータ & データサイエンス研究所
特 集

現在の量子ハードウェアは計算エラーの影響が非常に大きく，量子コンピュータから有意義な結果を取り出すためにはエラーの削減が必須です．現在，符号化

本稿では，主要な量子エラー抑制法のレビューを行った後，最近，私たちの研究グループから提案された世界で初めての量子エラー抑制を組み込んだ量子センシ
ングおよび量子エラー抑制の統合フレームワークである一般化部分空間展開法について解説します．
キーワード：# 量子計算，# 量子誤り抑制，# 測定結果の事後処理

量子エラー抑制

エラーを検出し，その情報を基にしてエラー

めて量子コンピュータで実用的なタスクをを能動的に訂正します．しかし，現在の量行うことができたと主張する実験論文にお量子コンピュータはさまざまなところで子ハードウェアの量子ビット数は多くて数いて，量子エラー抑制が非常に有用な役割説明されるように，量子的重ね合わせが失百であるため，量子エラー訂正を行うと実を果たすことが分かりました（2）．また，筆われることによる計算エラーの影響を抑え

効的な量子ビット数が少なくなってしまい，

者が提案した指数外挿エラー抑制（3）が非常ることが喫緊の課題となっています．本稿

量子ハードウェアの持つ計算能力を活用しに高い性能を示すことが示されました．量で解説する量子エラー抑制は，比較的最近きれないという問題があります．そこで，

子エラー抑制にはさまざまな手法が存在し提案された量子ハードウェアに対する負担冗長化を避け，実効的な量子ビット数を減ますが，一般的には複数の量子回路からのをできる限り少なく保ったまま計算エラー

らすことなく計算エラーを削減することが出力を古典コンピュータにより事後処理す（1）を抑制する概念です ．量子エラー抑制とできる一連の手法である，量子エラー抑制

ることによって，正しい計算結果を推定す

よく比較される量子エラー訂正では，複数が導入されました．量子エラー抑制実装にることが行われます．その概念図を図 1（a）の物理量子ビットを用いて 1 つの論理量子関する進展はめざましく，最近 IBM によっに示します．

ビットを表現し，その冗長性を用いて計算て行われた，127量子ビットデバイスで初

図1

ここで，量子エラー抑制は一般的に量子

量子エラー抑制の概念図

2023.921

特集

量子コンピュータの実用化を加速する取り組み

図2

状態そのもののエラーを抑制することはでで理解したい方は，せひその他のセクショ

きませんが，物理量の期待値のエラーを抑ンも読んでいただきたいと思います．筆者

量子エラー抑制のコスト要因である測

制することができます．量子エラー抑制のが執筆したレビュー論文 も必要に応じて定回数の増加については外挿法でよく理働きを図 1（b）に示します．しかしながら，参照していただきますと，より深い理解を解できるので，例として線形外挿法を考（1）

現在の量子コンピュータ，および初期の誤得られると思います．

り耐性量子計算で実行できることが期待さ■外挿法

れている多くの量子アルゴリズムが物理量

外挿法は，その名のとおり，複数の測定の期待値を活用するアルゴリズムであるた

結果を外挿することにより，計算エラーのめ，量子エラー抑制は大いに有用であるとない理想的な結果を推定する手法です

考えられています．また，量子エラー抑制

非常にシンプルではありますが，多くの実

．

（3）
（5）
,

のコストはより多くの測定回数であり，量験で用いられる強力な手法です．その概要

子ハードウェアの計算エラーの発生頻度にを図 2 に示します．横軸は計算エラーレー

えます．

えます．計算エラーレート ε 0に対応する物

理 量 の， 実 験 的 に 得 ら れ た 平 均 値 を〈O（ε 0）〉，エラーレートを 2 倍した物理量の期待値を〈O（2 ε 0）〉とすると，これらを外挿したエラー抑制された結果は O est = 2〈O（ε 0）〉−〈O（2 ε 0）〉と書けます．その際，分散を計算すると，〈O（ε 0）〉と〈O（2 ε 0）〉に相関 が な い と す る と，Var[O est ] = 4Var[〈O

対して指数関数的な測定回数が必要になる

ト，縦軸は計算結果（物理量の期待値）でことに注意が必要です．これは，直感的にす．当然ではありますが，計算エラーレー

は，量子エラー抑制が，量子ゲート数と量トは自由に減らすことができないことが問子ゲートのエラー率に関して指数関数的に題ですが，計算エラーを増加させることは必要であることが分かります．
■擬確率法

減衰する物理量の期待値を増幅する効果が比較的容易です．例えば，論理ゲート操作あるため，計算結果の分散が指数関数的にをあえてゆっくり行うこと，あるいは余分（ε 0）〉] + Var[〈O（2 ε 0）〉] となり，確かにエラー抑制後に分散が増幅され，正しい計算結果を得るにはより多くの測定回数が擬確率法は，量子ゲートの計算エラーの増加するからです．測定回数の指数増加にな論理ゲート操作を行うことで，計算エラー

詳細をプロセストモグラフィやゲートセッ

関しての証明は，量子情報理論的枠組みに頻度を増加させることはできます．そして，

トトモグラフィなどのノイズモデルを得る

よって，私たちの研究をはじめとしたいく

元々の計算結果と，計算エラーレートを増ための手法で特徴付けた後に，そのノイズつかの研究で示されています（4）．以降では，加させた計算結果を外挿することによって，を実効的に打ち消すような量子エラー抑制

量子エラー抑制法として主要な手法である

計算エラーのない理想的な計算結果を推定,を構築する方法です（3）（5）．ノイズに対応す外挿法

します．外挿法が提案された当初は，線形，る量子プロセスを ℇ と書き（量子力学版の，擬確率法（確率的エラー相殺

（3）
（5）
,

法とも呼ばれる），部

および多項式関数により外挿する Richard-

分空間展開法（7）について説明します．次に，仮想蒸留法son 外挿が提案されていましたが（5），筆者

（3）
（5）
,

（6）
，

遷移行列だと思うと分かりやすい）
，その
−1
−1
逆変換を ℇ と書きます．すると，ℇ は数

私たちの最近の研究成果である，世界初のらは計算結果が計算エラーの頻度に対して量子エラー抑制を適用した量子センシング

指数関数で減衰することが一般的であるこの手法 ，および極めて一般的な量子エラーとを指摘し，指数関数による外挿を提案し

接 実 行 す ること が で き ま せ ん．そ こ で，抑制の統合フレームワークである一般化部

ました（3）．そして，実際の実験でも非常に分空間展開法（9）を解説します．量子エラー

高い性能を示すことが示されました（2）．し抑制の概要のみ理解したい方は，外挿法をかし，外挿法は精度保証がなく，比較的ℇ −1を，私たちが計算エラーを少なく実行理解すれば十分ですが，もう少し踏み込んヒューリスティック（発見的）な手法とい

（8）

22

外挿法の概念図要2023.9

学的に強引に構築しているだけなので，一般的に「物理的なプロセス」ではなく，直できる量子エラー抑制のための操作の集合{ ℬk }k と考えることで，ℇ−1= Σk q k ℬk と分解できます．普通 { ℬk }k は単一量子ビット

Quantum Computing

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1量子ビット系に対する擬似確率法．
パウリ演算子を作用させた㊊䛧ྜ䜟䛫䜛䛣䛸䛷䠈⥲య䛸䛧䛶ィ⟬䜶䝷䞊䛾㏫ኚ᥮䜢ᵓᡂ䛩䜛䠊ࢥࢫࢺಀᩘ඲యࡢࢥࢫࢺಀᩘ :

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特 集

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(b) 㔞Ꮚ䜶䝷䞊ᢚไ᧯స䜢䠈ィ⟬䜶䝷䞊䜢ྵ䜐㔞Ꮚ䝀䞊䝖䛾䛒䛸䛻䝷䞁䝎䝮䛻⾜䛖䠊ᅗ䛿⬺ศᴟ(䝕䝫䞊䝷䝷䜲䝆䞁䜾)䝜䜲䝈䛾౛䛷䛒䜚䠈（b)
量子エラー抑制操作を，計算エラーを含む量子ゲートのあとにランダムに行う．図は脱分極㔞Ꮚ䜶䝷䞊ᢚไ᧯స䛿䝟䜴䝸᧯స䛻䛺䜛䠊 ᐃ⤖ᯝ䛻䝁䝇䝖ಀᩘ䛸➢ྕ䜢஌䛨䠈䛭䜜䜢✚⟬䛧䛯䜒䛾䛜䜶䝷䞊䛜ᢚไ䛥䜜䛯⤖ᯝ䛸䛺䜛䠊（デポーラライジング）ノイズの例であり，量子エラー抑制操作はパウリ操作になる．測定
結果にコスト係数と符号を乗じ，それを積算したものがエラーが抑制された結果となる．

量子状態に対して測定した物理量の平均値に擬確率を乗じて 足し
合わせることで，総体として計算エラーの逆変換を構成する．

図3

擬確率法の概念図

ᅗ3 ᨃ☜⋡ἲ䛾ᴫᛕᅗ

操作を仮定します．例えば，エラー確率 𝑝の脱分極ノイズ（デポーラライジングノイズ）
𝑝𝑝
3
ℇ（
ρ +−
=
（1−−
（XρX + YρY + ZρZ ）
D ρ）
4 𝑝）
4
−1
を 考 え る と， そ の 逆 変 換 は ℇ D （ ρ ）=
𝑝𝑝
3𝑝𝑝
（1 +−
）ρ −−
（XρX + YρY
4（1−𝑝𝑝）4（1− 𝑝𝑝）+ ZρZ ）と な り ま す． す る と，q 0 =𝑝𝑝
3𝑝𝑝ℬ, q 1=q 2=q 3= −（1+−−
4（1−𝑝𝑝） ）4（1− 𝑝𝑝）, 0
ρ
XρX
,
ℬ
ρ
YρY
,
ℬ
ρ
（ρ ）
= ρ , ℬ（
）
=
（
）
=
（
）
1
2
3
−1
=ZρZ です．ここで，Σkqk = 1 であり，ℇ

が一般的に物理的なプロセスでなく，qk が負になり得る擬確率なので，この手法を擬確率法と呼びます．当然，負の確率は直接ℇ（𝑙= 1,2, … NG , NG はゲート数）に対して擬l

確率法を行う場合を考えます．この概念図

17+24 はいくつ？
41!

41!

41!

A

B

C

41!

51?

41!

A

B

C

を図 3（b）に示します . このとき，それぞれの エ ラ ー に 対 し て 逆 変 換 を 構 築 し，ℇ =Σkq−1𝑙ℬ =γ Σk 𝑝（𝑙）kk|q（𝑙𝑙）
k |

（𝑙）

sgn
（q

（𝑙）
k

ℬ（Σ
）
k
k𝑝

（𝑙）
k

（𝑙）
k

（𝑙）
（𝑙）
=1, 𝑝k（𝑙）=−（qkγ（𝑙𝑙） >0, γ =Σk | qk | >1, sgn

）
=q

（𝑙）

（𝑙）
k

/ |q

| ）と変形します．ここで，γ（𝑙）kをコスト係数と呼びます．そして，それ（𝑙）ぞれの量子ゲートの後（これは定式化によっては前でもよい）で操作 ℬk を確率 𝑝k（𝑙）で発生させ，符号の積 Π 𝑙𝑙N=1 sgn（qk（𝑙））とコスト係
G

数の積 γtot = Π 𝑙𝑙N=1 γ を測定結果に乗ずれば
G

（𝑙）

提出

棄却

仮想蒸留法の直感的な古典的な説明．複数人に同じ問題を解いてもらい，1
人でも違う結果を出した場合それを棄却することで計算精度を高める．

図4

仮想蒸留法の概念図

図4 仮想蒸留法の概念図

実行することはできませんが，これは測定よいのです．そしてこれを繰り返し，積算ない量子状態をあたかも「蒸留」すること

結果の事後処理を行うことによって実効的した結果をエラー抑制された結果として得ができる手法です（6）．この手法の「古典的に「負の確率でサンプルすることができたます．その際，計算結果の分散はエラー抑な」対応物を考えると，例えば計算ミスを場合と同じ」期待値を計算することができ

制しない場合に比べ，おおよそ γtot 倍されよくする小学生たちの計算の正答率を高め

2

ます．例として，シンプルな 1 量子ビット

るため，ゲート数に対して指数関数的に多るには，同じ問題を複数人に解いてもらっの系を考えます．この場合の概念図を図 3

くの測定回数が必要になります．

て，皆の計算結果が同じだったときのみ計（a）に 示 し ま す . 理 想 の 量 子 状 態 は

筆者らは，擬確率法の提案当初では整備算結果を提出し，それ以外は棄却する，と†ρ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = U | 0 〈〉 0 | U ですが，脱分局ノイズ ℇ D

されていなかった，適切な計算エラーの特いうことが挙げられます（図 4（a））．計算

徴付け方法，任意の計算エラーを取り除くにかかわる人数が増えれば増えるほど，正ために必要な量子エラー抑制のための操作

答率は高まります．ただし，成功確率（計O とすると，ノイズがない物理量の期待値の集合 { ℬk }k を示しました ．また，ゲー

算結果を提出できる確率）は人数に対してトモデルだけでなく，リンドブラッドマス

量子状態 ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 , そしてパウリ操作を行った

Lk†Lk ρ −ρLk†Lk ）で記述されるような時間的𝑛 と す る と， 蒸 留 さ れ た 量 子 状 態

で足し合わせればよいのです．ここで，負な量子系に対しても量子エラー抑制の幅をの値を持つ擬確率が存在しても，測定結果広げました（10）．

値分解した際，ノイズが小さい場合は，最に負の符号を乗じて事後処理を行うことで■仮想蒸留法

大固有値に対応する固有状態が理想の量子の影響を受け，実際の量子状態は ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 = ℇ D（ ρ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙）であるとします．測定する物理量を〈O 〉
𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = q 0 Tr [ ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 O ] + q 1 Tr [ X ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 X O ]+q 2Tr[Y ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 YO ]+Tr[Z ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 ZO ]であるため，量子状態 X ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 X , Y ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 Y , Z ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 Z に対して物理量の期待値を測定し，擬確率の重み

物理的ではない逆変換が構築できています．

（3）d
Lk ρLk† −ター方程式 −kdt ρ = −𝑖[H , ρ ] +Σ（2に連続的なノイズモデルに対しても擬確率法が適用可能であることを示し，アナログ

仮想蒸留法はノイズのある量子状態 ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦

しかし，実際には複数量子ビットの系で，のコピーを複数準備し，その間に量子もつ量子回路中で逆変換を施すことが実用上はれ測定を行い，その結果を古典コンピュー重要です．今，複数の量子ゲートのノイズ

タで事後処理することによって，ノイズの指数関数的にします．
仮想蒸留法では量子状態のコピーの数を𝑛𝑛
ρ𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑛𝑛ρ 𝑣𝑑 =−Tr[ ρ𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ] に対応する物理量の期待値を計 算 す る こ と が で き ま す． こ こ で，

ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 =Σk 𝑝k |ψk 〈| 𝑝 0 ≥ 𝑝 1 ≥…）と 固 有〉ψk （状態の良い近似になっていることが予想されますが， ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 は コピー数 𝑛 を増やして𝑛

いくと， |ψ 0 〉に漸近していきます．また，|ψk （〉k = 1, 2,）の寄与は，𝑛 に対して指2023.923

特集

量子コンピュータの実用化を加速する取り組み

図5

数関数的に抑制されます．ただし，コピー

かんに研究されている変分量子固有値ソル数 𝑛 に対して測定回数は指数関数的に増大

バーは，分子などのエネルギーがもっともし，それに伴いコストも指数関数的に増大低い基底量子状態 ρG = |G 〈
〉 G | を求める手します．この手法は計算エラーモデルにつ法ですが，実際にはエラーの影響を受けた

いて情報がなくても，エラーが確率的なも別の量子状態 ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 になり得ます．ここで，のであるなら，計算エラーを高精度に抑制できるという利点があります．ただし，量子ゲートの回転エラーや，変分量子固有値に古典コンピュータで {c k }k を最適化します（図 5 ）
．ここで，どのような Pk を選ぶ

かは任意性があり，例えば分子の電子軌道の励起演算子などから構築する方法が提案されています（7）．この手法は，コヒーレン

もしエラーのない量子状態への射影演算子

トエラーはある程度抑制できますが，ビッ𝒫G = |G 〈〉 G | が構築できたとすると，射影

トフリップなどの確率的エラーの抑制には

𝒫𝒫𝐺𝐺 𝜌𝜌𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝒫𝒫𝐺𝐺=ρG となり，確率を 𝑝G として，−
𝒫𝒫𝐺𝐺

ソルバーのアンザツ量子回路の深さの不足

エラーを取り除くことができます（図 5（a））．

による表現力不足に起因するコヒーレント

ただし，実際には |G 〉が非常に大きい量子

エラーは，この手法ではいくらコピー数を状態であることから，𝒫G の表式をそもそ増やしても抑制できません．

も得ることができず，射影を正確に行うこ■部分空間展開法

不向きであることが知られています．

NTT の最近の成果■量子センシングに対する量子エラー抑制とはできないので，できる限りエネルギーの適用

部分空間展開法は，射影演算子（厳密にが低い空間に射影できるような射影演算子

私たちは，世界で初めて量子エラー抑制

は射影演算子の数学的性質を満たしていま（厳密には射影演算子の数学的性質を満たを量子センシングに適応するフレームワー

せんが便宜的にそう呼びます）を構築し，していないが便宜的にそう呼ぶ）を構築す

クを確立しました．量子センシングとは，ノイズのある量子状態をより正解に近い空ることを試みます．そのような射影演算子

量子状態をプローブとして用いて，測定し間に射影する手法です（7）．量子コンピューをパウリ演算子とその積 Pk を用いて， 𝒫𝒫

たい磁場などと相互作用させ，相互作用しタで計算を終えた後，測定結果を読み出す
前の量子状態がノイズの影響で理想のものと異なる場合を考えます．例えば，近年さ24

部分空間展開法の概念図

2023.9=Σkck Pk（ck は複素数）と表現し，射影後の𝒫𝒫𝒫𝜌𝜌𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝒫𝒫𝒫†

量子状態 ρse = −（ 𝑝 は射影確率）𝑝𝑝のエネルギーができる限り小さくなるようた後の量子状態を読み出し，これを繰り返
して結果を積算して，その結果から磁場の値を推定する量子情報分野です．量子セン𝜔𝜔𝜔𝜔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒

図6

量子エラー抑制 ( 仮想蒸留法 ) が量子センシングに及ぼす影響

シングで重要となるのは，量子もつれ状態

量の期待値がエラー抑制により計算できまをプローブとして用いる場合，量子ビット

す．私たちはこれを累乗部分空間法と呼び

数 N に対して，推定された統計誤差が古典ます（図 5（c））．ほかには，外挿法のエッでは実現できない量子優位なスケーリング

センスを射影演算子の構築に活用した誤りが実現できることにあります．しかし，ノ部分空間法も提案しました．また，累乗部イズが測定のたびに揺らいでいる場合は，分空間と誤り部分空間を融合した手法も可

積算値および推定される磁場の値に系統エ能です．一般化部分空間法は部分空間展開

ラーが生じてしまい，量子優位性が得られ法と仮想蒸留法の両方の利点を継承しておません（図 6（a））．私たちは，仮想蒸留法

り，コヒーレントエラー，確率的エラー両を用いれば，測定のたびにノイズが揺らぐ方を高精度に抑制することができます．そような場合であっても，仮想蒸留法がこのの結果，部分空間展開法，仮想蒸留法よりようなノイズを取り除く「フィルター」とはるかに高精度な量子エラー抑制が可能にしての役割を果たし，量子センシングで問なりました．

題となる系統的エラーを高精度に抑制できることを示しました（8）．そして，量子優位性のあるスケーリングが復活できることを示しました（図 6（b））．
■一般化部分空間展開法
私たちは，部分空間展開法と仮想蒸留法
を特殊な場合としても極めて一般的な量子
エラー抑制フレームワークである一般化部
分空間法を提案しました（9）．先ほど，部分空間展開法ではパウリ演算子およびその積Pk を用いて，射影演算子 𝒫𝒫 =Σk ck Pk をエ
ネルギーができるだけ下がるように最適化すると述べましたが，一般化部分空間展開

法の肝はパウリ演算子（とその積の）Pk を極めて一般的な演算子に拡張したということです．より具体的には，Pk として量子状態（とそれを含むより複雑な演算子）を採用しました．例えば，P 0 = I , P 1= ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 とする と， 射 影 後 の 状 態 は 𝒫𝒫 ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 𝒫𝒫†ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 + |c 1| ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 と= |c 0| ρ 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 +（c 0c 1* + c 0*c 1）
2

2

2 3

なり，あたかもノイズのある量子状態により級数展開された量子状態に対応する物理

McClean：“Virtual distillation for
quantum error mitigation，” Phys. Rev.
X, Vol. 11, No. 4, 041036, Nov. 2021.
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特 集

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遠藤傑

本稿では，量子エラー抑制の概要について知りたい
人から，細かい内容まで知りたい人まで満足いくよ
うに書いたつもりです．そのうえで，NTTの量子エ
ラー抑制の最先端の成果を丁寧に解説しましたので，ぜひご一読をお願いします．

◆問い合わせ先NTT コンピュータ& データサイエンス研究所
企画担当
TEL 046-859-4003
FAX 046-855-1149
E-mail cd-koho-ml ntt.com

2023.925