Séminaire BOURBAKI
62ème année, 2009-2010, no 1024

Juin 2010

LOIS DE CONSERVATION ET RÉGULARITÉ PAR
COMPENSATION POUR LES SYSTÈMES ANTISYMÉTRIQUESET LES SURFACES DE WILLMORE[d’après Tristan Rivière]par Sylvia SERFATY

1. PROBLÈMES VARIATIONNELS INVARIANTS CONFORMES ENDIMENSION 2
Considérons un lagrangien (c’est-à-dire une fonctionnelle d’énergie) de la formeZ(1.1)
L(u) =l(u, ∇u) dx dy,
Doù D est un domaine simplement connexe et régulier de R2 (on peut se restreindre par
exemple au disque unité car les questions abordées sont locales) et u est une applicationde D à valeurs dans une variété N . Le lagrangien est coercif et à croissance quadratiquesi
c|p|2 ≤ l(z, p) ≤ C|p|2
pour C > c > 0. Il est invariant conforme si L(u ◦ f ) = L(u) pour toute application f
conforme de degré 1 qui préserve l’orientation.
La classe des problèmes variationnels invariants conformes contient l’exemple fondamental de l’énergie de DirichletZ|∇u|2gE(u) =
D

pour les applications à valeurs dans une variété N de métrique g, dont les points
critiques sont les applications harmoniques à valeurs dans N . En fait un résultat deGrüter [Gr] dit que toute énergie invariante conforme coercive en dimension 2 peut se
mettre sous la forme
Z
1
(1.2)
L(u) =|∇u|2g + u∗ ω
2 Doù u∗ ω est le  pull-back  de la 2-forme ω, et g est une métrique (ω et g sont C 1 si l
es C 1 en z et C 2 en p).
Pour définir les points critiques de L, on peut soit écrire que u est point critiquepar rapport aux variations de ses coordonnées dans une carte locale, soit considérer
la variété N comme immergée dans un espace euclidien Rn , et écrire que u est point1024–02

critique par rapport aux variations de la forme πN (u + tϕ) où ϕ ∈ C ∞ et πN est la
projection sur la variété N (bien définie et régulière dans un voisinage tubulaire de N ).
Dans le premier cas, si u est à valeurs dans une seule carte locale, l’équation des points
critiques de (1.2) est
X
X
i
(1.3)
∆ui +
Γikl (u)∇uk · ∇ul − 2
Hkl(u)∇⊥ uk · ∇ul = 0,k,lkl

où ui sont les coordonnées de u dans la carte locale, ∇⊥ désigne l’opérateur (−∂y , ∂x ),i
Γikl sont les symboles de Christoffel correspondant à la métrique g, et Hkl
est antisymétrique en k et l et relié à ω. Cette formulation intrinsèque est mal adaptée à l’étude
de la régularité des points critiques de (1.2) : en effet, tant qu’on ne sait pas que l’application est justement continue, on ne peut pas garantir qu’elle prend ses valeurs dansune carte unique, même localement. De plus, on n’y voit pas les effets d’antisymétrie
que l’on décrira ci-dessous.
Dans le deuxième cas, où l’on voit N comme immergée dans Rn , l’équation des points
critiques prend la forme(1.4)∆u + A(u)(∇u, ∇u) = 2H(u)∂x u × ∂y u,où A est la seconde forme fondamentale de la variété N (1) , et cette fois les coordonnéesde u sont prises dans l’espace ambiant. Cette forme est celle que l’on va examiner etqui permet l’étude de la régularité via l’apparition de l’antisymétrie.
Deux cas particuliers de ce type d’équations sont l’équation des applications harmoniques(1.5)∆u + A(u)(∇u, ∇u) = 0

et l’équation de la courbure moyenne prescrite(1.6)∆u = 2H(u)∂x u × ∂y u,où × désigne le produit vectoriel.
Deux questions naturelles se posent sur ces classes d’équations :– l’existence de limites faibles aux suites de Palais-Smale (ce qui permet de déduire
l’existence de solutions au sens faible de l’équation)– la régularité de ces solutions faibles.
Une difficulté majeure est que ces équations sont toutes  critiques  au sens quela puissance de la non-linéarité ne permet pas de gagner en régularité : a priori une
application u d’énergie finie est dans l’espace de Sobolev W 1,2 (qui ne s’injecte pas
dans C 0 ), et donc le second membre dans (1.4) est a priori seulement dans L1 , ce qui
ne permet de gagner aucune régularité par ellipticité. Un contre-exemple typique est
1, non régulier en 0 et solution d’une équation avec ce même type deu(x) = log log |x|
non-linéarité quadratique en le gradient :∆u = −|∇u|2 .
1. A(u)(∇u, ∇u) désigne A(u)(∂x u, ∂x u) + A(u)(∂y u, ∂y u).

1024–03

De manière frappante, Frehse [Fr] a montré que cette équation, qui est invarianteconforme, est variationnelle, c’est-à-dire provient d’un lagrangien, qui n’est lui cependant pas invariant conforme (et donc les résultats décrits ci-dessous ne s’appliquentpas).
En réalité les solutions de (1.4) ont bien davantage de régularité que W 1,2 , maispour l’obtenir, il faut utiliser (et remarquer !) une structure supplémentaire particulièredu second membre : via des transformations sur l’équation, que l’on décrira, on fait
apparaı̂tre une structure en déterminant jacobien.
Avant de détailler, énonçons tout de suite le résultat général obtenu par Tristan
Rivière, qui répond positivement à une conjecture de Hildebrandt :Théorème 1.1 (Rivière [Ri1]). — Les points critiques d’énergie finie des lagrangiens
invariants conformes en dimension 2 coercifs à croissance quadratique ont une régularitéhöldérienne C 0,α pour tout 0 < α < 1.
Le même résultat est vrai en dimension plus grande pour les points critiques stationnaires d’énergie finie, pour les mêmes lagrangiens quadratiques. Ceci généralise lerésultat de Bethuel [Be2].
Il répond également positivement à la question de la compacité des suites de PalaisSmale, on le verra ci-dessous.

2. LES INGRÉDIENTS UTILISÉS
Le théorème 1.1 étend des résultats précédents d’Hélein, Evans [He, Ev] pour lesapplications harmoniques (1.5), et Bethuel [Be] pour l’équation à courbure moyenneprescrite (1.6). Il présente en réalité un cadre unifié pour l’équation la plus générale (1.4)(et en fait même une classe plus large d’équations, on le verra ci-dessous), et permetde relaxer nettement les hypothèses précédemment faites : la variété cible N n’a plus
besoin d’être aussi régulière, la courbure prescrite H(u) n’a plus besoin d’être supposée
Lipschitz mais peut être seulement L∞ (répondant positivement à la conjecture deHeinz).
La preuve utilise deux ingrédients cruciaux (qui n’étaient qu’en partie présents dansles résultats précédents) :– une loi de conservation– l’intégrabilité par compensation, c’est-à-dire la mise en évidence, via la loi deconservation, d’une structure en déterminant jacobien.

1024–04

2.1. Intégrabilité par compensation
Le phénomène d’intégrabilité par compensation consiste en un gain de régularité
meilleur que prévu dans les équations elliptiques dont le second membre a la formed’un déterminant jacobien, typiquement−∆ϕ = ∂x a ∂y b − ∂x b ∂y a dans D
ϕ=0
sur ∂D.
Le théorème de Wente [We] dit que, si a, b ∈ W 1,2 (D), alors ϕ ∈ C 0 ∩ W 1,2 (D) avec
kϕkL∞ (D) + kϕkW 1,2 (D) ≤ Ck∇akL2 (D) k∇bkL2 (D) .
Un résultat découlant de Coifman-Rochberg-Weiss [CRW] (et dont on trouve une
preuve plus simple dans Coifman-Lions-Meyer-Semmes [CMLS]) améliore ce résultat
en ϕ ∈ W 2,1 (D) avec l’estiméekϕkW 2,1 (D) ≤ Ck∇akL2 (D) k∇bkL2 (D) .
Ces deux résultats donnent une régularité meilleure qu’attendue puisque le second
membre est seulement L1 , ce qui ne garantit pas la continuité (c’est le cas limite).
Pour les démontrer, négligeant la donnée au bord, on écrit1
1
ϕ=log ∗ (∂x a ∂y b − ∂x b ∂y a)2πr
et on fait une intégration par parties astucieuse en coordonnées polaires (et pour lerésultat de [CMLS] on utilise en plus la dualité Hardy-BMO).
On voit que le théorème de Wente permet par exemple de traiter le cas de l’équationà courbure moyenne constante ∆u = 2H ∂x u × ∂y u dont le second membre a essentiellement cette structure jacobienne. Le cas plus général H(u) avec H Lipschitz est traitédans [Be] en exploitant la même idée. La régularité u ∈ C 0,α se déduit de l’estiméede Wente par des arguments
assez classiques utilisant des estiméesR à la Morrey : onR
−2αmontre que supρ ρ|∇u|2 < ∞, ce qui entraı̂ne supρ ρ−α B(x0 ,ρ) |∆u| < ∞.
B(x0 ,ρ)Des estimées d’Adams sur les potentiels de Riesz [Ad], on déduit u ∈ W 1,p pour un
p > 2 puis u ∈ C 0,α .
2.2. Lois de conservation
Le phénomène est facile à observer dans le cas des applications harmoniques à valeursdans la sphère, et c’est le seul cas où il était déjà connu. L’équation est dans ce cas−∆u = u|∇u|2 .

(2.1)

Un calcul direct (observation de J. Shatah) donne que les solutions de (2.1) vérifient
aussi
(2.2)

∀i, j,

div(ui ∇uj − uj ∇ui ) = 0.

Ceci est une loi de conservation (la divergence d’une certaine quantité est nulle).
Le lemme de Poincaré permet d’en déduire l’existence d’applications Bji telles que1024–05

ui ∇uj − uj ∇ui = ∇⊥ Bji . On peut alors réinjecter ceci dans (2.1) pour voir que, pour
tout iX−∆ui =∂x Bji ∂y uj − ∂y Bji ∂x uj .
j

On retrouve dans le second membre une structure de déterminant jacobien qui permet
via le théorème de Wente et selon la méthode décrite ci-dessus de déduire la régularité
des applications faiblement harmoniques à valeurs dans la sphère (résultat de F. Hélein).
La loi de conservation (2.2) peut être vue comme un cas particulier d’un principe
général : le théorème de Noether, qui dit qu’à chaque fois qu’un lagrangien possède une
symétrie infinitésimale, ses points critiques vérifient une loi de conservation div J = 0(où J est le courant de Noether associé à la symétrie), voir [He]. (2.2) reflète alors
simplement l’invariance du lagrangien correspondant par les rotations de la sphère.
Dans le cas où la cible n’est plus la sphère, cette loi de conservation disparaı̂t. F. Héleina réussi à y remédier par l’introduction de la  méthode du repère mobile , une méthodeassez élaborée, qui permet de traiter le cas d’une variété cible quelconque de classe C 5
et de montrer à nouveau la régularité des applications faiblement harmoniques. Pourplus de détails, on renvoie à [He].
L’une des grandes réussites de la méthode de Tristan Rivière est de s’affranchir del’utilisation de la méthode du repère mobile, et de trouver pour la première fois uneclasse de lois de conservation valables pour toutes les variétés et non plus seulement lasphère, et demandant moins de régularité sur celles-ci.

3. LES SYSTÈMES ANTISYMÉTRIQUES
3.1. Le résultat principal
Le travail de Tristan Rivière place l’étude de l’équation des points critiques des lagrangiens invariants conformes quadratiques (1.4) dans un cadre encore plus large, où
l’on peut continuer d’utiliser les deux principes vus précédemment : lois de conservation
et intégrabilité par compensation. Ce cadre plus large est celui des systèmes d’équations
elliptiques de la forme(3.1)∆u = Ω(x, u, ∇u) · ∇u,où Ω est une matrice n × n antisymétrique à valeurs dans les champs de vecteurs,
appartenant à L2 , et u est à valeurs dans Rn (on travaille toujours sur le domaine D
en dimension 2). Il les appelle des  systèmes de Schrödinger antisymétriques . Dans
(3.1) il faut comprendre ∇u comme un vecteur de composantes ∇uj où uj sont encore
les coordonnées de u ; chaque Ωij est en fait un vecteur à deux composantes (mais Ωpeut évidemment être  dépliée  en une matrice 2n × 2n, toujours antisymétrique) etPle second membre est le vecteur de composantes j Ωij ∇uj .
La première observation cruciale est que tous les cas précédents (c’est-à-dire (1.4))
rentrent dans ce cadre plus large (noter que les équations (3.1) ne sont pas toutes

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forcément variationnelles). Par exemple l’équation de courbure moyenne prescritedans R3 , ∆u = 2H(u)∂x u × ∂y u se retrouve en choisissant0−∇⊥ u3∇⊥ u2Ω = H(u)  ∇⊥ u30−∇⊥ u1 
⊥ 2
⊥ 1
−∇ u
∇ u
0
qui est bien antisymétrique et à composantes dans L2 , si H est supposée simplement
L∞ et u ∈ W 1,2 . La seconde observation cruciale est que la forme (3.1) entraı̂ne toujours
une loi de conservation, pour une raison géométrique cette fois inconnue.
Théorème 3.1 (Rivière [Ri1]). — Soit Ω ∈ L2 (D) antisymétrique.
1. Il existe A ∈ W 1,2 (D) matrice carrée telle que(3.2)

div(∇A − AΩ) = 0

kAkL∞ + kA−1 kL∞ < +∞.

On peut alors écrire(3.3)∇A − AΩ = −∇⊥ B.

2. L’existence de tels A, B implique que (3.1) est équivalente à la loi de conservation(3.4)

div(A∇u − B∇⊥ u) = 0.

1,2
3. Si u ∈ Wloc
est solution de (3.1), ou de manière équivalente (3.4), alors u est C 0,αpour tout 0 < α < 1.

Ainsi, toutes les équations de la forme (3.1) impliquent (et sont même équivalentesà) une loi de conservation (3.4). De plus cette nouvelle loi coı̈ncide avec celle connue
dans le cas des applications harmoniques à valeurs dans la sphère et la généralise doncbien au-delà.
Une question reste mystérieuse : on ne sait pas à quelle symétrie ou à quel faitgéométrique correspond la loi de conservation (3.4).
Tristan Rivière voit le résultat ci-dessus comme un analogue de la  méthode devariation de la constante  pour les équations différentielles ordinaires : en effet, ilcommence par résoudre une équation auxiliaire, en l’occurrence (3.2) (qui peut s’écrirediv∇Ω A = 0 avec ∇Ω = ∇ − Ω), puis il exprime toute solution u de (3.1) à l’aide de A,et cela permet d’ intégrer  l’équation (3.1) sous la forme (3.4).
3.2. Les trois étapes de la preuve
Une première tentative serait de faire une décomposition de Hodge de Ω : Ω = ∇P +∇⊥ ξ.
On n’a alors qu’un contrôle dans W 1,2 de P et ξ. L’équation se réécrit∆u = ∇P · ∇u + ∇⊥ ξ · ∇u.
Le terme ∇P · ∇u empêche en fait d’obtenir de la régularité ou compacité sur u. L’idéeest de remplacer cette décomposition de Hodge par une sorte de décomposition de1024–07

Hodge non linéaire, ou de changement de jauge, inspiré d’Uhlenbeck [Uh], en écrivantΩ sous la forme(3.5)Ω = P −1 ∇⊥ ξ P + P −1 ∇Poù ξ est à valeurs dans les matrices antisymétriques et P dans les rotations, avec l’estimation(3.6)

k∇ξk2L2 + k∇P k2L2 ≤ CkΩk2L2 .

Ici, contrairement à ci-dessus, on a un contrôle L∞ sur P puisqu’il est à valeurs dans lesrotations. On peut observer par un calcul direct que −div(P ∇u) = ∇⊥ ξ · P ∇u, donc
on n’est pas loin d’avoir une équation dont le second membre est un jacobien. Il fautperturber encore un peu P pour y arriver.
Une fois la forme (3.5) obtenue, la résolution de (3.3) est équivalente à celle dediv(∇A − A P −1 ∇⊥ ξ P − AP −1 ∇P ) = 0.
À cause de l’observation précédente, on cherche A comme une perturbation de P , i.e.
sous la forme (I + ε)P , et cela revient donc à résoudrediv ∇ε P + (I + ε)∇P − (I + ε)∇⊥ ξ P − (I + ε)∇P = 0,
soit
(3.7)


div(∇ε P ) = div (I + ε)∇⊥ ξ P .

Lorsque Ω est suffisamment petit en norme L2 (on peut toujours localiser pour avoircela), ∇ξ et ∇P le sont aussi par (3.6). En écrivant le second membre en coordonnées,
on voit qu’il ne contient que des sommes de jacobiens, donc par le théorème de Wenteon obtient que ε ∈ L∞ ∩ W 1,2 . On peut alors résoudre (3.7) par point fixe dans cet
espace (en rajoutant les conditions de bord appropriées). Ceci donne que A est bien
proche dans L∞ des rotations (mais non pas d’une seule rotation (2) ) et on a donc bien
toutes les conditions de (3.2).
La loi de conservation (3.4) se déduit par un calcul direct de (3.3) et (3.1) : on vérifiequediv(A∇u − B∇⊥ u) = A∆u + ∇A · ∇u − ∇B · ∇⊥ u
= A∆u + (∇A + ∇⊥ B) · ∇u = A(∆u +Ω · ∇u).
Pour en déduire la régularité höldérienne de u, on remarque que, grâce à (3.3), A∇uvérifie le systèmediv(A∇u) = ∇B · ∇⊥ u
(3.8)
rot(A∇u) = −∇A · ∇⊥ u,c’est-à-dire un système elliptique dont les seconds membres sont des déterminantsjacobiens, dont on déduit par le théorème de Wente une estimée quantitative
2. Une des difficultés ici est que l’application qui à Ω fait correspondre P n’est pas continue.

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sur kA∇ukL2 (Br ) , puis sur k∇ukL2 (Br ) par borne sur kA−1 kL∞ (il est ici crucial
que A−1 soit L∞ , ce qui provient du fait que P l’est). La preuve de régularité setermine ensuite comme dans les cas classiques.
Les résultats de compacité des solutions de (3.1) ou des suites de Palais-Smale pour
(1.4) sont assez directs une fois connue l’équivalence avec la loi de conservation (3.4).
Théorème 3.2 (Rivière [Ri1]). — Soit uk convergeant faiblement vers u dans
W 1,2 (D), Ωk antisymétriques convergeant faiblement vers Ω dans L2 (D) et fk convergeant fortement vers 0 dans H −1 (D), tels que −∆uk = Ωk ·∇uk +fk . Alors −∆u = Ω·∇u
et u ∈ C 0,α (D).
Pour résumer, l’apport de l’approche de T. Rivière peut se synthétiser par les points
suivants :– Elle place le problème dans le cadre plus large des systèmes antisymétriques.
– L’antisymétrie est, elle, une condition stable (par rapport par exemple aux perturbations de la variété cible).
– Elle introduit des lois de conservation pour tous ces systèmes (et non plus seulement
pour les applications harmoniques à valeurs dans la sphère). Celles-ci sont trouvées
via une transformation de jauge non linéaire qui exploite l’antisymétrie.
– Ce faisant, elle s’affranchit de la méthode du repère mobile, et généralise les courants de Noether.
– Elle permet de relaxer les hypothèses de regularité sur la variété cible et la courbure
moyenne H (il suffit que H soit L∞ et que N soit C 2 ).

3.3. Généralisations
Comme on l’a mentionné, ces résultats ont des généralisations en dimension (dudomaine) supérieure, mais il faut alors travailler (au lieu de W 1,2 ) dans des espaces deMorrey qui rendent l’équation critique au lieu de sur-critique (une condition suffisanteest de supposer les points critiques stationnaires).
Rivière a aussi étendu ces idées avec F. Da Lio [DR1, DR2] à l’étude de la régularitédes  systèmes de Schrödinger antisymétriques  de la forme∆u = Ω(x, u, ∇u) · u,où Ω est antisymétrique, à l’étude d’équations non locales comme ∆1/4 u = Ω · u dont un
cas particulier est celui des applications demi-harmoniques. De nouveau, l’idée est de factoriser  par une solution A d’un problème auxiliaire, puis la structure particulièred’antisymétrie permet de gagner de la régularité par compensation.

1024–09

4. LES SURFACES DE WILLMORE
La fonctionnelle de Willmore est l’énergieZ(4.1)

W (Φ(Σ)) =~ 2 dvg|H|Σ~ est le vecteur à courbureoù Σ est une surface, Φ une immersion de Σ dans Rn et H
moyenne de la surface, et g la métrique induite sur Φ(Σ) par celle de Rn . Elle a été introduite pour la première fois par Blashke [Bl], puis étudiée par son élève Thomsen [T] etpar Willmore [Wi]. Cette énergie est invariante par difféomorphisme conforme appliquéà Φ et également par changement conforme de métrique sur l’espace d’arrivée. De plus,
Willmore a montré que, pour toute surface fermée sans bord, on a W (Φ(Σ)) ≥ 4π. Il
est aussi Rutile de noter que, par le théorème de Gauss-Bonnet, l’énergie de Willmore
le vecteur
contrôle |∇~n|2g où ~n est l’application de Gauss de la surface
R (c’est-à-dire2
normal en chaque point) et qu’elle est équivalente à étudier Σ |κ1 − κ2 | où κ1 et κ2sont les courbures principales.
Pour simplifier la présentation on se limitera au cas où la dimension de l’espace
ambiant n vaut 3. Les points critiques de W (par perturbations de la forme Φ + tξ)s’appellent les surfaces de Willmore, et quand ce sont des immersions régulières avec
n = 3, ils sont solutions de l’équation(4.2)∆g H + 2H(|H|2 − K) = 0

où K est la courbure de Gauss. Noter qu’il s’agit d’un problème d’ordre 4.
Les surfaces et l’énergie de Willmore sont importantes en géométrie conforme etinterviennent dans une variété d’applications : masse de Hawking en relativité générale,élasticité, modélisation des membranes cellulaires en biologie, optique...
Les surfaces minimales, qui sont à courbure moyenne nulle, sont des cas particuliersde surfaces de Willmore ; mais la structure de toutes les solutions de (4.2) est délicate àcomprendre. Celles-ci ne forment pas un ensemble compact à cause de l’invariance parle groupe de Möbius, par lequel il faut donc quotienter.
Voici un certain nombre de questions qui se posent naturellement sur la fonctionnelle
de Willmore :– La description complète de l’ensemble des immersions de Willmore d’une surface
Σ donnée. Sont-elles toujours régulières ? Y a-t-il compacité des suites de PalaisSmale ?
– Existe-t-il toujours un minimiseur de l’énergie de Willmore parmi les immersions
d’une surface donnée ? Peut-on l’identifier ? La conjecture de Willmore dit par
exemple qu’un tore particulier, le  tore de Willmore , est l’unique minimiseur
parmi les immersions du tore.
– L’ensemble des surfaces de Willmore en dessous d’une certaine énergie est-il compact modulo transformations conformes ?

1024–10– Y a-t-il une notion d’immersions de Willmore au sens faible ? Si oui, quelles sontleurs singularités possibles ?
L’étude de Tristan Rivière a permis d’avancer grandement dans la résolution de ces
questions et on y retrouve les deux mêmes ingrédients que dans celle des lagrangiens
quadratiques invariants conformes : les lois de conservation et l’intégrabilité par compensation.
Les difficultés apparaissent immédiatement puisque l’équation (4.2) a une structure
qui pose des problèmes encore plus grands que ceux de l’équation (1.4) : elle est très
non linéaire puisque l’opérateur dans (4.2) dépend de la métrique, et, contrairement auxéquations (1.4), elle n’a même pas de sens dans l’espace d’énergie (i.e. pour H ∈ L2 ).
À cause de cela, jusqu’ici l’équation n’était jamais utilisée.
Il était connu qu’une surface est de Willmore si et seulement si son  application de Gauss conforme  est harmonique à valeurs dans une certaine variété pseudoriemannienne. Inspiré par ses découvertes sur les applications harmoniques, Tristan
Rivière a donc cherché une  loi de conservation  ou une forme divergente de l’équation
des surfaces de Willmore, et il l’a trouvée (ici on cite le résultat pour n = 3, mais il ya un analogue pour n plus grand) :Théorème 4.1 (Rivière [Ri2]). — Φ(Σ) est une immersion de Willmore régulière(c’est-à-dire une solution régulière de (4.2)) si et seulement si(4.3)~ − 3H∇~n + H~ × ∇⊥~n) = 0,
div(2∇Hoù les opérateurs sont pris par rapport à la métrique plate en coordonnées conformes.
Noter qu’il existe une version intrinsèque de ce résultat, mais que le choix de laparamétrisation conforme est celui qui rend l’équation elliptique.
De ce résultat découlent toute une série de résultats fondamentaux d’existence, decompacité et de régularité pour les surfaces de Willmore.
Le premier point crucial est que la quantité qui est à divergence nulle dans (4.3) a
un sens dès que H est dans L2 (ce qui implique que ~n l’est aussi) c’est-à-dire dansl’espace naturel d’énergie. Ceci permet donc de donner un sens/une forme faible àl’équation (4.2). On peut alors parler de surfaces faiblement Willmore comme on parled’application faiblement harmoniques.
Cette forme faible ne permet cependant pas directement de passer à la limite dansdes suites d’immersions de Willmore faibles à cause des produits du type H∇~n. Mais larelation (4.3) peut s’ intégrer  une seconde fois : par le lemme de Poincaré, il existe~ tel que(localement) L~ = 2∇H~ − 3H∇~n + H~ × ∇⊥~n.
∇⊥ L
Un calcul permet ensuite d’arriver à la deuxième relation cruciale que(~ · ∇Φ
∇S := L~ := ∇Φ × L~ + 2H∇Φ
∇R

1024–11vérifient
(
(4.4)

~
∆S = ∇~n · ∇⊥ R
~ = ∇R~ × ∇⊥~n − ∇S∇⊥ n.
∆R

Dans ce système, on retrouve de nouveau un second membre sous forme jacobienne.
On peut alors, à l’aide d’une amélioration du théorème de Wente due à Bethuel [Be]et des techniques classiques mentionnées auparavant, en déduire que les surfaces deWillmore (faibles) sont C 0,α puis analytiques, et donc que la notion faible et la notion
forte coı̈ncident.
Théorème 4.2 (Rivière [Ri2]). — Une immersion faiblement Willmore d’énergie deWillmore finie est analytique.
Il en découle aussi l’existence de minimiseurs de l’énergie de Willmore (par semicontinuité de l’énergie dans la classe des surfaces régulières).
Le système (4.4) est un corollaire de (4.3) mais n’est cependant pas équivalent à(4.3). Il est équivalent (collaboration avec Y. Bernard [BR]) à une équation qu’on peut
appeler  Willmore conforme  car elle correspond aux points critiques de l’énergie deWillmore à l’intérieur d’une classe conforme prescrite. Ces points critiques ne sont pas
des surfaces de Willmore mais seulement des surfaces de Willmore modulo une fonction
holomorphe, dont on peut parfois se débarrasser. À cause de cela, on ne peut en tous
cas pas affirmer qu’une limite de surfaces de Willmore (faibles ou fortes) est une surface
de Willmore, mais seulement que c’est une  surface de Willmore conforme . Ceci est
cependant suffisant, comme on l’a vu, pour régler la question de la régularité, l’existencede minimiseurs pour les immersions de toute surface abstraite, et la compacité des suites
de Palais-Smale.
La découverte de T. Rivière de ces nouvelles lois de conservation permet donc dedonner un sens à l’équation (4.3) et de l’analyser et, ce faisant, d’établir un  calcul
des variations  complet pour l’énergie de Willmore, qui était complètement absent, etqui simplifie beaucoup les choses par rapport aux approches antérieures comme cellede Simon [Si]. Pour l’instant tous les résultats sont locaux, mais des résultats globaux
vont apparaı̂tre dans [Ri3].
R
Lorsque la condition |H|2 < 8π est vérifiée, l’analyse se simplifie, car il est connu
qu’on reste dans la classe des plongements (c’est la condition de Li-Yau). T. Rivièreprouve alors des résultats d’éliminabilité des singularités, et la compacité des suites
d’immersions de Willmore dans ce cas.

1024–12

RÉFÉRENCES[Ad]

D. Adams – A note on Riesz potentials, Duke Math. J. 42 (1975), 765–778.

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[CRW] R. Coifman, R. Rochberg, G. Weiss – Factorization theorems for Hardy spaces
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[DR1]

F. Da Lio, T. Rivière – 3-commutator estimates and the regularity of
1/2-harmonic maps into spheres, prépublication.

[DR2]

F. Da Lio, T. Rivière – The regularity of solutions to critical non-local
Schrödinger systems on the line with antisymmetric potential and applications, prépublication.

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Math. Z. 134 229–230.

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T. Rivière – En préparation.

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[Wi]

T. Willmore – Riemannian geometry, Oxford Univ. Press, 1997.

Sylvia SERFATY
Laboratoire J.-L. Lions
Université Pierre et Marie Curie – Paris VI
Boı̂te 247
2 place Jussieu
F-75252 Paris Cedex 05
etCourant Institute of Mathematical Sciences
251 Mercer Street
New York, NY 10012 – U.S.A.
E-mail : serfaty@ann.jussieu.fr