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学生論文賞

受賞論文要約111“““‘'‘'‘m\UII・E・ 111111111111‘'‘111111111“1111111111‘'・‘ 11111‘'‘1 1I1I1I1U1l1l1l1U1I 111‘111111・2‘1\111111・E・-““1IIIIIIIIIIIIIIIU l1 111・ 1111・l・ 111111111\1111“'“‘u・UI“・11111“'‘ UI・5“u・a・2“‘'・2・2“・'‘'‘11111‘ 1111“

プロッキングをともなう待ち行列網の安定条件に関する研究(指導教官三根久教授)

1.

京都大学大学院工学研究科修士課程数理工学専攻

はじめに庄境誠

ピスを受けた客は 0" O2 , 0 8 の確率でユニットー I へもど

本論文の目的は，プロッキング現象をともなう 2 つのるか，ユニットー E へ進むか，あるいはシステムを退去すタイプの待ち行列網，すなわち，多重プログラミングモるものとする.このシステムに対するパラメータを次のデルとタンデム型モデルの安定条件についての解析であように設定する.

る.これらの待ち行列綱は適当なマルコフ性を有する場(i) 最大多重度 M合，撲出生死滅過程と呼ばれる連統時間マルコフ過程に部分待ち行列網の系内人数(多重度)は M 以下に保たより記述することができ，ンステムが安定であれば，定れる.多重度が M に達していない場合，ユニットー I に常確率ベクトルは幾何形式をもつことが知られている.

空きがあれば入力行列の客はユニットー I へ進む.

以下ではこの結果を利用して，特に計算機システムに対れば，ユニット E へ進む.解析上. M~max (N+1.

応する多重プログラミン!1'モデルの安定条件の陽表現をc+r) とする.

与える.さらに，臨界到着率の性質について議論する.

これによって，安定なシステムの設計が可能になる.

なけ(ii) スケジューリング規則 G
多重度が M の時，客がシステムから退去すると入力

2. 多重プログラミングモデル

行列の客が 1 人ユニットーかユニットー E に進む.前者を多重プログラミング計算機システムは図 1 に示される

規則 A ，後者を規則 B と呼ぶ.

ように入力行列と部分待ち行列網とから成る.後者は 2(i 完全ブロッキング点川 ， l~r* 孟 min(M-N， r)

つのサーピス施設，ユニットー I とユニットー E を含む.ユユニットー I の客数が N に達すると，その後でユニッニットー I は c 個の+ーピス率直の指数サーパー (CPU)トー E でのサーピスを受け終った客はユニットー I へ進めと容量 N-c の有限パッファをもっ.ユニットー III士 r

す.そのままサーパーを占有する.この現象をプロッキン

個のサービス率 P の指数サーバー 0/0) と無限容量のパグと呼び，サーパーがプロックされるという.プロックさッファをもっ.客(ジョブ)はパラメータ』のポアソン過れたサーパー数が刊に達するとその瞬間にまだブロッ程にしたがって入力行列に到着する.ユニットー I でサークされていないサーパーもすべてサービスを中断する.
これを完全プロッキングがおこるという.

(iv) サービス再開点 d*， O~d帯主玉川一 1
完全ブロッキングがおこった後，プロックされているザーパー数が d* まで減るとプロッグきれていないす・ー
パーはサーピスを再開する.

3. 定常確率ベクトル
次のような状態空間を定めれば，このモデルは擬出生死滅過程として記述できる.
状態空間 E={(i ， j , k) , i 孟 O ， j=O.1 … N+d*

万平d*平1 ， N+d*+I ， … ， N平子玉 -1 ，
N+ 同一 I ， N+ 川， 0 豆島三三 M}

入力行列内の客数

j :ユニットー I 内の客およびユニットー E にサービス後も留っている客の総数，パーっきのものは完全プロッキングがおこり，ユユット -II ではサービス

図 1

172 (58)が行なわれていないことを示す.
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オベレーションズ・リサーチ

k: ユニットー E で現在サーピスを受けているか，待つ81 80ている客の数
ただし ， j+k<M のとき i=O，,

p=

また ， j+k=M のと

き k=M-j であることに注意すると，すべての状態は082Al Ao
A2AlAoA2Al Ao。

2 変数の組で表わすことができる.この過程の無限小生
図 2成作用素 Pは可能な状態遷移に着目すれば図 2 に示されるプロック三重対角形式となる.ただし，図 2 においてAo , A1>A2'Bo , B1>B2 はしかるべき次元の行列である.
この過程が正再帰的であるとき，システムは安定であるといわれ，定常状態における入力行列の客数は確率 lで有限となる .P および A=Ao+Al+A2 の定常確率ベクトルを x=(y ， XO ， X 1> …)および π で表わすと次の定理が成り立つ.

テムは安定である . À< π A 2 e なら(i) xi=xoRt ，

ミ 0 ， R は R2A2+RA1+Ao=0 の最(ii)À* は刊に関して狭義に単調増加する.
システム設計に関するパラメータについて次の定理がえられる.
(i) がは Nìこ関して狭義に単調増加する.

(日 )a が c に反比例するとき，げは c に関して狭義に単(凶)ß が r に反比例するとき，次のことが成り立つ.
え *(r=ro ， r*= η )>À*( γ =ro ー 1 ， r*=r rJ,(ii) ye+xo(!-R)-le=l , (yxo)/B1

Bo \ー¥B2A+RAdが成り立つ.

M-N主主 ro> η>1
け (r=ro ， r*=1)=え *(ro ー 1 ， r*=I) ,安定条件

M-N ミ ro>1

rA=rﾟ/cJ2a(定理 2À*(r=ro , r*= η) くが (r=ro+ 1, r*= η) ，rB=rﾟ/c(J2+(J.
)
a(勾/γn、 ι、ノro~M-N~ η>1

守o(n)= L:; (~三) (min(M-N!~oT特に ， r* を最大値 min(M-N ， r) に設定すると, r)

一一刀‑r*+l)!

げ (r=I)< げ (r=2)< …<げ (r=M-N ー 1) くが (r=M-N)> か (r=M-N+1)> …

とおく.システムがスケジューリング規則 G にしたがう)(‑r、何hZcfJl

8uα<ここで，

rCmin(A(‑r.N)‑lπ。 =j L:;子一+二，L:;.
roi(C~lCJ γ ，.， jlj~O

J!

町長+CCF!N+54
一一,C! i=mlncを -r ， N)となる.

(i付げは P に関して狭義に単調増加し，とき，安定条件は式 (1) で与えられる.

,A

M~N+r のとき，がは一定調減少する.

小解4.

(i)げは ， N 十 F之 M>N なる M に関して狭値をとる.

定理 5

À< π A 2 e なら，かっそのときにかぎりシス定理 1

定理 4

義に単調増加する.またroi

ri-m1nCM-r ， Nl( 白石 (M ， N+r) ーj) !

limÀ*=O , limﾀ*=ca(J.
F→p~'。

である.また α に関して

limﾀ*=Oa•oおよび(rﾟ(J.
/(J2'

規則 A

lrß (J./((J2+ (J.)，

規則 B

limÀ*=~a~OOが成り立つ.

6.

おわりに+cCrNず -1以上で示された臨界到着率の性質の中で特に注目すべC! 加(川ーのー 1) i= れ榊

き点は次のとおりである.すなわち単一ユニットシステ

r~ 初 (N+ 同一j-'--__1- 1ri-rnlnCM-r ， Nl(min(M ， N+r) ーj) !
Jである.

ムではサーピス率 a の c 個の指数サーパーは+ーピス率

ca の 1 個の指数+ーパーに取り換えるほうが望ましい
ことが知られているが，プロッキングがおこる場合には

5. 臨界到着率の性質逆転現象が認められる点，また最大多重度を N+r 以上

式(1)の右辺をけとおき，臨界到着率と呼ぶ.にしても臨界到着率はまったく増加しない点等である.

定理 3

À* はポに関して狭義に単調増加する.

したがって，以下 d* を最大値同一 1 に設定する.このとき，次の定理が成り立つ.
1984 年 3 月号

なお本論文では上とは形態を異にする多重プログラミ
ングモデルおよび 2 段， 3 段のタンデム型モデルについても同様の解析を試み安定条件について議論している.
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