INTERPRÉTATION, INTUITIONET PROBABILITÉSArthur Charpentier
Professeur d’actuariat à l’Université du Québec, Montréal

Selon le dictionnaire – en l’occurrence Romeuf [1956] –, un actuaire est un« mathématicien spécialisé dans le calcul des probabilités, dont les services sont utilisés, soit
par des services financiers, pour des calculs d’amortissement, soit par des établissementsdont l’activité comporte un risque calculable ou est basée sur la couverture d’un risque,comme les assurances ». Cela dit, même en étant spécialiste du calcul de probabilités, lesraisonnements fallacieux ou les intuitions erronées sont nombreuses. Et peuvent parfois
aboutir à des conclusions fausses. C’est précisément le but de la formation des actuaires :il faut non seulement être à l’aise pour faire des calculs, mais aussi développer une
intuition robuste quand il s’agit de manipuler des tableaux statistiques, voire des données
plus riches encore. Et avec l’explosion du nombre de données à disposition des actuaires, ilest à la fois plus facile de se tromper sur les interprétations d’une corrélation, et de plus enplus simple de contrôler les données pour rendre les modèles plus robustes. Les actuaires,
et les assureurs en général, se doivent de connaître quelques paradoxes classiques afind’affiner leurs intuitions et de rendre leurs interprétations plus justes (et moins sujettes àdes corrélations fallacieuses (1)).

Le paradoxe de Simpson

En 1951, Edward Simpson avait décrit unphénomène étrange, observé dans destableaux de contingence [Simpson, 1951],
reprenant alors un paradoxe évoqué par
Karl Pearson dès 1899 [Pearson, 1899], et surtout par
George Udny Yule en 1903 [Yule, 1903]. L’exemple
le plus connu est le « biais du genre » dans les admissions aux programmes de cycle supérieur, à Berkeley,évoqué dans Bickel, Hammel et O’Connell [1975].

Mais considérons ici un exemple encore plus simple
pour illustrer ce point (voir tableau 1 p. 102).
L’interprétation de ces statistiques est assez simple.
Pour le premier tableau, si on doit aller à l’hôpital,
mieux vaut aller à l’hôpital B, car il semble plus sûr(avec 90 % de taux de survie, contre 80 % pourl’autre). Maintenant, si on tient compte de l’état de santé :• si on est en bonne santé, on a intérêt à choisirl’hôpital A, qui a 98 % de taux de survie (97 %pour l’autre) ;Risques n° 99101

Interprétation, intuition et probabilitésTableau 1 - Statistiques de décès dans deux hôpitaux
Total
HôpitalAdmissions

Survivants

Décès

Taux de survieA

1 00080020080 %B

1 000900

10090 %Hôpital

Admissions

Survivants

Décès

Taux de survie

A600

590

1098 %

B

900

870

3097 %

Personnes en bonne santé

Personnes en mauvaise santé
HôpitalAdmissions

Survivants

Décès

Taux de survie

A

400

210

190

53 %

B

100

307030 %Source : Exemple fictif. Arthur Charpentier.

• si on est en mauvaise santé, on a intérêt à choisirl’hôpital A, qui a 53 % de taux de survie (30 %pour l’autre hôpital).
Autrement dit, sans cette information relative à lasanté, on choisit B, mais avec cette information
supplémentaire, on choisit (toujours) A. Commel’aurait dit Pierre Desproges : « Étonnant, non ? »Sur l’interprétation
mathématiqueP

our comprendre ce paradoxe, nul besoin decomprendre les subtilités de la théorie de lamesure ou tout autre concept avancé deprobabilité. En fait, la raison peut être expliquée à un enfant de dix ans. En effet, quand on
conditionnait par la connaissance de l’état de santé,
on préférait A car :590
870
21030et≥≥
600
900
400
100102Risques n° 99

Et pourtant, quand on regarde globalement, on
préfère B car :210 + 590
30 + 870≤
400 + 600
100 + 900
Graphiquement, ces fractions sont les pentes de lafigure 1 (voir p. 103). Si on compare les admissions
dans les hôpitaux indépendamment de l’état de santé(en haut à droite sur la figure), la pente associéeà B est plus faible que celle de A, donc le taux desurvie est meilleur avec B qu’avec A. En revanche, si
on conditionne par l’état de santé, on va toujours
préférer A à B.
L’explication de la possibilité d’un tel paradoxe est
assez triviale d’un point de vue mathématique. Mais,comme souvent avec les paradoxes mathématiques, leplus important est l’interprétation et l’explication del’origine du paradoxe. Dans l’exemple des hôpitaux, laraison vient du fait que le choix de l’hôpital et l’étatde santé ne sont pas des variables indépendantes. Eneffet, l’hôpital B opère ici une sélection et privilégie
les personnes en bonne santé. On ne peut alors pas

Interprétation, intuition et probabilités

dire « toutes choses étant égales par ailleurs, si on
choisit l’hôpital A… » : les variables explicatives
sont ici corrélées, ce qui biaise complètement l’interprétation du modèle.
Figure 1 - Nombre de décès en fonction du nombre d’admissions(les taux de décès sont les pentes)• le médicament C a un effet aléatoire : dans 51 % descas, l’état de santé est de 1, sinon il est de 5.
Les trois médicaments peuvent être visualisés surla figure 2 (voir ci-dessous).
Figure 2 - État de santé – de 1 (souffrance atroce) à 6 (très bonnesanté) – après consommation d’un médicament (A, B et C, degauche à droite).

Hôpital (A)•Mauvaise santé (A)

Médicament A

Décès (nombre)•

Hôpital (B)•

Médicament B

Médicament C

Mauvaise santé (B)•Bone santé (B)•• Bonne santé (A)Admissions (nombre)

Source : Arthur Charpentier.

Les implications en théorie
de la décisionD

ans le chapitre “Induction andProbabilities” de [Gardner, 1987],
Martin Gardner considère l’exemple suivant, qui concerne l’utilisation d’unmédicament.
L’état de santé est mesuré sur une échelle allant de1 à 6 (de « souffrance atroce » à « parfait état de santé ») :Source : Arthur Charpentier

Un médecin se demande quel médicament administrer à un patient. Le critère de choix est simple : unmédicament est « meilleur » qu’un autre si la probabilité de se trouver dans un meilleur état de santé est
plus grande.
• A sera préféré à B car, dans 56 % des cas, l’état desanté sera meilleur en prenant A.
• A sera préféré à C car, dans 51 % des cas, l’état desanté sera meilleur en prenant A.

• le médicament A a un effet constant : en le prenant,les patients ont un état de santé de 3 ;• B sera préféré à C (en calculant les probabilités
jointes, en supposant l’indépendance entre les étatsde santé, en prenant B et C) car, dans 61,78 % descas, l’état de santé sera meilleur en prenant B.

• le médicament B a un effet aléatoire : dans 56 % descas, l’état de santé est de 2 et, dans 22 % des cas,l’état de santé est 4 ou 6 ;Si on résume, A est toujours le meilleur choix s’il
est en vente. En revanche, C est toujours le pire deschoix, car les deux autres sont « meilleurs ».

Risques n° 99

103Interprétation, intuition et probabilités

Supposons maintenant qu’on ne demande plus aupatient de prendre un médicament précis, mais degarder parmi deux celui qui fait le meilleur effet. Par
exemple (toujours en supposant les effets indépendants), en prenant B et C, il y a 28,56 % de chances(0,51 x 0,56) qu’un patient soit dans l’état 2 avec Bet dans l’état 1 avec C. Dans ce cas le médecinprescrira B (et son état sera alors 2) ; il y a 27,44 %de chances (0,49 x 0,56) qu’un patient soit dansl’état 2 avec B et dans l’état 5 avec C. Dans ce cas, lemédecin prescrira C.

Au-delà du calcul de probabilités (dont les actuaires
seraient des spécialistes), on arrive à une situation
bien étrange. Si, sur le marché, seuls A et C sont envente, alors tout médecin raisonnable recommandera
à son patient de prendre A. Mais si B est en vente,
alors il devrait lui recommander de prendre C.

• Dans 28,56 % des cas, l’état de santé sera meilleur
avec A qu’avec (B + C).

C• Dans 33,22 % des cas, l’état de santé sera meilleur
avec B qu’avec (A + C).
• Dans 38,22 % des cas, l’état de santé sera meilleur
avec C qu’avec (A + B).
Ici, C sera le médicament préféré, car il a plus
d’une chance sur trois de procurer une meilleuresanté que les deux autres. En revanche A sera le pirechoix.

Oublier des variables
explicatives dans un modèle
e second exemple est plus compliqué àanalyser (mais il est relativement classiquedans les problèmes de choix lors d’élections, par exemple). En revanche, le premier
est intéressant à plusieurs titres. On a vu que regarderles données agrégées conduisait à des conclusionsétonnantes. De manière générale, oublier des variables
importantes dans une régression donne des conclusions
souvent fausses.
Sur la figure 3 (voir ci-dessous) sont représentées,pour une centaine de pays, la consommation de cigarettes
par habitant et l’espérance de vie (à la naissance). On

Espérance de vie (à la naissance)

Figure 3 - Consommation de cigarettes par habitant et espérance de vie

Source : Arthur Charpentier, données OMS.

104Risques n° 99

Interprétation, intuition et probabilités

y voit clairement une relation croissante, que l’on
traduirait (hâtivement) par « plus on fume, plus on
vit longtemps ». On travaille ici sur des données
agrégées, et la lecture plus juste serait de dire que,dans un pays, plus la consommation de cigarettes est
importante, plus l’espérance de vie est importante.
C’est en fait un effet de richesse que l’on visualise ici(sans qu’il soit représenté explicitement). Cette variable
cachée est l’analogue de l’état de santé du patient dansle premier exemple.
Sur la figure 4 (voir plus bas), on a quatre groupes(quatre états de santé pour reprendre les exemples
précédents). Si on oublie de les prendre en compte,
on observe un effet négatif de la variable explicative(en abscisse) sur la variable que l’on souhaite expliquer(en ordonnée). En revanche, si on raisonne ensuite
par sous-groupe, on voit au contraire que l’effet est
plutôt positif.

plus sollicités pour rechercher des tendances dans ces
masses de chiffres, afin de « séparer un signal du bruit »,pour reprendre l’expression de Nate Silver (2). Faireparler les données est finalement assez simple. Mais
les faire parler pour extraire un message cohérent etconsistant l’est beaucoup moins. On l’a vu, manipuler
des tableaux croisés relativement simples peut amenerà des conclusions fausses. Car oublier des variables
explicatives importantes dans un modèle fait dire aux
chiffres le contraire de ce qu’ils disent réellement ! Lanotion de data driven est de plus en plus présente,mais elle est dangereuse. Se laisser conduire par lesdonnées peut amener un peu n’importe où. Il est
important d’apprendre à écouter ses données, tout en
gardant un regard critique à leur sujet.

Figure 4 - Impact de l’oubli de variables explicatives dans un modèle de régression

Source : Arthur Charpentier.

NotesData science et interprétation
statistique

Depuis plusieurs mois, on insiste sur le fait
que les actuaires doivent avoir une culture
des données, qu’ils doivent être des datascientists. Les assureurs collectent en effet
beaucoup de données, et les actuaires sont de plus en

1. Notion de « spurious regression » en anglais.
2. Silver N., The Signal and the Noise, Penguin Group, 2012.

Bibliographie
BICKEL P. J. ; HAMMEL E. A. ; O’CONNELL J. W., “SexBias in Graduate Admissions: Data from Berkeley”, Science,
vol. 187 (4175), 1975, pp. 398-404.
Risques n° 99105

Interprétation, intuition et probabilités

GARDNER M., “Induction and Probabilities”, Time Traveland Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman& Company, 1987.
PEARSON K. ; LEE A. ; BRAMLEY-MOORE L., “Genetic(Reproductive) Selection: Inheritance of Fertility in Man”,
Philosophical Transactions of the Royal Society, série A,
vol. 192, pp. 257-330, http://rsta.royalsocietypublishing.
org/content/192/257.citation#related-urls106

Risques n° 99

ROMEUF J. (dir.), Dictionnaire des sciences économiques,
tome 1, PUF, 1956.
SIMPSON E. H., “The Interpretation of Interaction inContingency Tables”, Journal of the Royal StatisticalSociety, série B, vol. 13 (2), 1951, pp. 238-241.
YULE G. U., “Notes on the Theory of Association of
Attributes in Statistics”, Biometrika, vol. 2 (2), 1903,
pp. 121-134.