解説

微分積分はとても楽しい
村 川 秀 樹Hideki MURAKAWA

理工学部数理情報学科准教授

Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Informatics#""!

1．ボールを投げる，打つ，蹴る
野球，サッカー，バスケットボール，バレーボー（1）と記述されます．ここで，加速度"と力 ! は太字

ル，卓球，テニスなど，ボールを投げたり，蹴ったで書かれています．質量は何グラム，何キログラム

り，打ったりすることは皆さんにとって馴染みが深というように，数値だけの量ですが，例えば力は，いことだと思います．ここでは，ボールの運動を数どの方向にどのくらいの力がかかっているのか，方学的な側面から追ってみたいと思います．なお，こ向も大事な要素です．つまり， やの文章は，高校数学のベクトルと微分を習得していです．高校では， ,る生徒・学生が読むことを念頭において記述していルを表現します．しかし，大学数学では太字を使うます．これらを習得していない人には難しいかもしことが多いので，ここでは太字を使います（矢印をれませんが，雰囲気だけでも感じていただけると幸使わないきちんとした理由はあります）．物体の位いです．

置や速度なども同様にベクトル量です．3 次元空間"! !!

" ! はベクトルなど，矢印を使ってベクトす．ここでは，ボールの運動を考えますが，ボール$"!%!&!'"で 記 述 し ま す．今は，質点の運動を考えていますので，$は時間と共に 動 き ま す ． 時 刻 を $で 表 す と ， 位 置 $は$!$""!%!$"!&!$"!'!$""のように，時刻 $を変数とする関数です．この，位置 $を使って質点の速度 #や加速度 "を表現することができます．速度を位の大きさを無視して，質点の運動を考えます．ここ置で表すためには，小学生の時に学んだ

内の 質 点 の 位 置 を
1.1

Newton の運動方程式と微分方程式

物体の運動を考えるとき，全ての質量が物体の質量中心に集まっていると考え，点の運動として考えることがあります．この点のことを質点といいまで説明することは，Newton の運動方程式を基本とします．質点の質量をにかかる力をは，#，質点の加速度を "，質点

速さ＝! とすると，Newton の 運 動 方 程 式

道のり時間（2）が基本です．小学生の頃は一定の速さ，道のり（方向は関係ない）を考えましたが，実際は，どの向き―９―にどの速さで（＝速度），どの方向にどのくらいの1.2

斜め投げ上げでは，時刻距離を移動するかが大事で，更に，これらは時々#$#に質点を位$!#" 置 %$!#"#"から右図のように#
速さ $にあった質点は，短い時間 !#が た っ た と き 位 置#，仰 角 !で 投 げ る（打$!##!#"に移動します．これを（2）の右辺に当て つ，蹴る）場合を考えてみまし
はめるとょう．ここでは，質点は '方向 図 1 初期の速さと投射角には動かないものとして，'方$!##!#"!%!#"
向の動きは考えません．鉛直上向きを &軸正の向!#き，水平右方向を %軸正の向きとします．質点には重力のみの力がかかっているものとします．重力が得られます．短い時間 !#をどんどん小さくしては &軸の下向きにかかっており，%方向には影響をいったときの極限 !#" #を考えると，時刻 #にお与えません．重力加速度を #として，この状況をける質点の速度 #が得られます．したがって，（3）に当てはめると，$!
#!#"$ !#!#"%"!!#%% $#が得られます．ベクトル値関数の導関数は高校では%"!!#&% $!"#
習いませんが，成分ごとの導関数を並べたものです．つまりを得ます．時刻 #$#における状況もまとめて書く!$$!!%"!&"!'"と，!# !# !# !##& !%%
です．このように，速度は単位時間当たりの位置の&&" !#% $#&& !%&変化率です．加速度は，単位時間当たりの速度の変&&" % $!"#化率ですので，&%%!#!"$##（4）&&&!#"$#%$#!
!
&&!%!#"$$#&)*!
"!#"$ !#!#"$ !#% !#"&&!#&&$!&!#"$$*'(!のように，位置の 2 階導関数で表されます．これ!# #刻々と変化します．ある時刻 のときに位置を，Newton の運動方程式（1）に代入すると，以下が得られます．下方 4 式を初期条件といいます．こを得ます．

"!!#$% $!
%の（連立）微分方程式を解けば，質点の運動が分か（3）ります．実際にこの方程式は解くことができて，解はこのような，微分を含む方程式を微分方程式といいます．現象に合わせて，! を適切に設定して，微分方程式を解けば物体の運動を理解することができます．

#%%!#"$$#!&)*!"#$&!#"$$#!*'(!"#!$%##%で与えられます．実際に，これらの関数が（4）のすべての方程式と条件を満たしていることを確かめ― １０ ―

図 2 （4）の数値解$てみてください．この解から を消去して

図 3 （5）の数値解'と &の関係式を求めると，質点が運動して通る軌跡が分&'た も の で す．パ ラ メ ー タ ー を "$", #$",%!$"!として !を色々と変えて計算しています．

!をいろいろと変えて数値計算を行い，結果を図て3 に描いています．
この場合は，仰角 15°程度で投げるのが一番遠くかります．図 2 は数値計算結果を - 平面に描画し実線は質点の軌跡を，○▽×などは，ある時間間隔まで投げられそうです．
1.4＋速度の 2 乗に比例する抵抗毎の質点の位置を表しています．○や▽の間隔が広

実は，物体の速さが遅い場合には粘性抵抗と呼ばいところでは質点が速く動いており，間隔が狭いとれる速度の 1 乗に比例する抵抗が優位に働き，物体ころでは速さが遅いことを示しています．物体にかの速さが速い場合には慣性抵抗と呼ばれる速度の 2かる力が重力のみの場合には，その物体は放物運動乗に比例する抵抗が優位に働きます．慣性抵抗は物を行うことが見て取れます．この場合は，同じ初速体の重さや形状に大きく依存します．スカイダイビ

であれば，仰角 45°で投げ上げると最も飛距離が長ングをするときに，パラシュートを開く前と後ではくなることが分かります．

大きく落下スピードが変わることが容易に想像できます．パラシュートを開いた状態では大きな慣性抵

1.3

抗がかかります．

＋速度に比例する抵抗

実際にボールを投げる場合には，仰角 45°で投げさて，ここで少し横道にそれさせてください．数るよりも，もっと低く投げる方が遠くまで投げられ学者にとって，定義は最も大事なものです．定義さることを経験している人は多いと思います．それれていないものや変な言葉遣いは大変気になりまは，空気抵抗など，重力以外の要因が関係しているす．上に「速度の 2 乗」という言葉があります．速からです．ここでは，速度に比例する抵抗がある場度合を考えましょう．抵抗は質点が動く向きと逆向き!はベクトルです．ベクトルの 2 乗とは何でし!のことかなと思う人もいるかもょうか．内積 !"に働きます．抵抗の係数をしれません．しか し，内 積 は「速 さ の 2 乗」です"とすると，質点の運（動は次の方程式により記述されます．

!$ !#&$## # $ !"!&$$"#!!$#'$!#"!"!!'$!$!$#!"!$#!##）．ベクトルの 2 乗 !#は普通は考えられません．ですので，「速度の 2 乗」という言葉は変な言葉なのです．ここでは，大きさが速度の絶対（5）値（速さ）の 2 乗であり，向きは速度の向きであるベクトルのことを，便宜的に「速度の 2 乗」と呼ぶことにしています．式で書くと，#!#!のことです．

この方程式を，（4）と同じ初期条件の下で考えま本題に戻ります．質点に重力，速度の 1 乗，2 乗

す．これも，実際に解を求めることができます．パに比例する抵抗がかかっている場合の微分方程式

ラメーターをは，次のものです．

"$", #$", "$", %!$"!とし― １１ ―

図5

図 4 （6）の数値解#&)&&$"#'#!#"'!!(('!"'"#"!"("#"'&& "%# "%"% "% "%&% "#(（6）&&$ "%# #!$# )((! "# ! "#&&&$&!#""(%!!' ""'% " ""(% ""(%
ここで，! は 比 例 定 数 で す．微 分 方 程 式（4）や現実的なパラメーターを用い た 場 合 の（6）の数値解（ⅰ）初速 185 km/h，仰角 35°（ⅱ）初速 185 km/h，仰角 60°（ⅲ）初速 140 km/h，仰角 35°（ⅳ）初速 140 km/h，仰角 60°

すが，これらは同じ長さを表しています．これらは互いに換算可能なのでどれを用いても良いのですが，計算の際には一つに揃える必要があります．重さや時間に関しても同様です．

そう簡単ではありません．
（線形，非線形という言##&"%（m/s ），ボ ー ル の 重 さ を$#!""$（kg），空 気 抵 抗 の 係 数 を ##!（kg/s），!#!"!!"（kg/m）とします．そうすると，野球の葉については周りの先生に聞いてください．）

硬式ボールを打つ（または投げる）ことを微分方程（5）は線形であり，解を求めることは容易なのですが，（6）は非線形方程式であり，解を求めることはパラメーターを##", $#", ##!, !#",&!#"!として !をいろいろと変えて数値計算を行

重力加速度を2式を用いて考えることができます．打球時の初速と仰角をいくつか変えて数値計算した結果を図 5 に描い，結果を図 4 に描いています．この場合は，仰角いています．縦軸と横軸の目盛の数値は打った場所

25°程度で投げるのが一番遠くまで投げられそうでからの距離（メートル）を表しています．打球時のす．

現実的な軌道に近いのではないでしょうか．

1.5

1.6

現実的なパラメーター設定＋回転

図 2〜図 4 では，0 や 1 などの適当な数値をパラ上の状況では，本塁打を打つ（飛距離が 120 mメーターに用いて計算を行いました．実際にボールを超える）ためには打球時の速さが 185 km/h 程あを投げたときの軌跡とは違うと感じたかもしれませ

る必要があります．しかし，実際には初 速 が 180ん．それは現実に即したパラメーターを設定していkm/h より遅くても本塁打になることがあります．

ないためです．微分方程式はただの数学的な式では

また，185 km/h の球速でボールを投げられる人はなく，実際の値を用いて，現実の状況を考えることいませんが，外野の奥からホームまで返球できる野ができます．実際の値を用いる場合には，「単位」

球選手はいます．これらのことには，ボールの回転がそろっている必要があります．例えば，長さの単が関わっています．ボールにバックスピンをかけて位にはキロメートル，メートル，マイル，インチな投げれば，ボールはよく飛びます．伸びるボールやどいろいろあります．1 キロメートル＝1000 メート

落ちるボールといった表現がありますが，これらもル≒0.62 マイル≒39370 インチです．数値は違いま回転によるものです．

― １２ ―

回転しながら運動する物体にはその進行方向に対回転するかを表しています．プロ野球選手は&#&!$

して垂直の力が働きます．このことは Magnus 効果と呼ばれます．回転ベクトルを"$!#$#$""としま

前 後 で ボ ー ル を 投 げ ら れ る そ う で す．図 7（i），（ii）を見てみると，130 km/h の投球でも，うまくす．ここで， は角速度を表します．物体が速度回転をかければ 120 m の遠投が可能であることが"#$!($)$#"で 動 い て い る と し ま す．こ の と き，Magnus 効果によって生じる力は，比例定数を "と見て取れます．
（iii），（iv）を比べてみると，同じして，道を描くことも分かります．

!) $"""#$!!"")$"($#"

初速度のフライでも回転のかかり方次第で異なる軌

1.7より詳しい考察*+

これまでに質点の投射について， - 平面上でので記述されます．ここで，×は外積を意味する記号です．この効果を考慮した微分方程式は次で与えら・質点の放物運動，れます．

・＋

粘性抵抗がある場合，・＋慣性抵抗がある場合，・＋回転による効果がある場合!$ #%*$#% % $［（6）の右辺］!""#+$$"%##'%+$［（6）の右辺］#""##*'
#'
#'%

（7）
を考えてきました．かなり現実に近いボールの軌跡

パラメーターを %$$, %$$, $$#, !$$,"$$, )#$$#, !$30°として "をいろいろと変が見えたと思います．しかし，実際にボールが飛ぶのは 3 次元の空間ですし，ボールの形状による影響や風の影響もあります．野球におけるナックルボー

えて数値計算を行い，結果を図 6 に描いています．

ル，サッカーにおける無回転シュートは，ボールが角速度が大きいと不思議な振る舞いのように思う人「回転しない」ことによって起こる，予測ができなもいるかもしれません．子供のころに，ピンポン玉い挙動です．野球ボールは縫い目があることによっや紙の筒を回転させて遊んだことがある人はなるほてよく曲がります．ゴルフボールはディンプル（表どと思うと思います．Magnus effect，マグナス効面にあるたくさんのへこみ）があることによって，果，マグヌス効果などのキーワードで検索すると，よく飛びます．これらのことを考慮し，現象をより実際にこのような現象を見ることができます．
図 7 は現実的なパラメーターを用いた場合の数値%$(#'（ m / s ），%$##$&（kg），$$#（kg/s），!$####$（kg/m），"$####$&と設定しています．回転数は 1 秒間に何計算結果です．ここでは，

2

図7

図 6 （7）の数値解

現実的なパラメーターを用い た 場 合 の（7）の数値解!"（ⅰ）初速 130 km/h，仰角 10°，回転数!"（ⅱ）初速 130 km/h，仰角 6°，回転数!"（ⅲ）初速 185 km/h，仰角 60°，回転数!"（ⅳ）初速 185 km/h，仰角 60°，回転数$&"%#""!"!#!"― １３ ―

図8

ボールの周りの空気の流れと，ボール後方の複雑な流れ詳細に調べるためには，空気の流れを捉える必要がと，解の振る舞いを視覚的に見ることができるようあります．になります．偏微分やベクトル解析と呼ばれるもの

空気の流れを捉えるためには，流体の運動方程式を学習すると，更に世界は広がります．図 8 のようである，次の Navier-Stokes 方程式と呼ばれる方程なシミュレーションが可能となり，解明されていな式を考えることになります．

い現象を解明することやモノづくりに生かすことが!$#!
# %!"$!&!#!!"$!
$"#" $"!&! "可能になります．
人は自身の知識や思考力を越えて物事を理解する（8）ことはできません．しかし，知識は身に付けることができますし，思考力は鍛えることができます．勉
強をすればするほど，できることや興味が増え，どここでは敢えて記号や式の意味は伝えないことにしんどん面白く，どんどん楽しくなります．ここで紹ます．これで本当に空気の複雑な流れが捉えられる介したことは，高校で学ぶ微分や積分の先にあるものかと疑問に思うようなシンプルな形に見えます．のです．微分積分を学ぶと，その先には楽しい世界

図 8 は，適 切 な 初 期 条 件，境 界 条件 を 設 定 し て，が待っています．

（8）に対する数値計算を行った結果です．流線と呼ばれるものを可視化しています．これは，静止して

2．私の研究いる空気の中を，ボールがまっすぐに飛んでいく状

申し遅れましたが，2019 年 4 月に数理情報学科況をシミュレーションしたものです．ボールの後方に着任しました，村川秀樹です．この記事は，自己には様々な向きの渦が見られ，かなり複雑な流れで紹介を兼ねているようです．私は，自然現象，社会あることが分かると思います．

現象，理工医などの諸科学における問題等，様々な現象の理解のために応用数学の立場から研究を行っ

1.8 勉強はすればするほど楽しいています．数理モデリング，数値計算，解析，数値

ボールを投げるということを題材に，数学的な取解析，現実問題の解明に向けた応用などを行っていり扱いや微分方程式を紹介しました．高校物理や高ます．実は，第 1 節で紹介した「ボールを投げる」

校数学の知識だけでは，式（4）とその解についてという題材は研究していません．皆さんにとって，考察するのがやっとです．空気抵抗や Magnus 効果

身近で分かりやすいであろうと思い選んだ題材でのことを知り，微分方程式の構成の仕方や解析の仕す．私は，もっと「面白い」（≒難しい）ことを研方を知ると，より詳しい解析が可能になります．プ

究しています．これまでに，氷の融解1），結晶成ログラミングを学び，数値計算ができるようになる

長，地下水の流れ1），生態系2），化学反応3），核廃棄― １４ ―

図9

様々な現象に対する数値シミュレーション

物 埋 設 処 理3），分 子 配 列4），細 胞 集 団5）6），細 胞 選３）D. Hilhorst and H. Murakawa, Singular limit analysis of別6），上皮細胞6），神経細胞6）7）8）などについて数学

a reaction-diffusion system with precipitation and dissolu-的視点からの研究を行ってきました．この世の中に

tion in a porous medium, Networks and Heterogeneous Media, 9（4）（2014）, 669-682.

は，分からないことがたくさんあります．特に，生４）E. Mainini, H. Murakawa, P. Piovano and U. Stefanelli,

物学や医学では分からないことだらけです．そうしCarbon-nanotube geometries as optimal configurations,

た分からないことを，数学を用いることによって解Multiscale Modeling and Simulation : A SIAM Interdisci-明できる場合があります．実際の現象や問題の解明に貢献できた時は，ものすごく気分が高揚します．
内容については控えますが，これまでの研究で行

plinary Journal, 15（4）（2017）, pp.1448-1471.
５）A. Ducrot, F. Le Foll, P. Magal, H. Murakawa, J.
Pasquier and G. Webb, An in vitro cell population dynamics
model incorporating cell size, quiescence, and contact inhi-ってきたいくつかの数値シミュレーションを図 9 にbition, Math. Models Methods Appl. Sci., 21（2011）, 871-

載せます．面白そうだなと感じていただければ幸い

892.

です．

６）J. A. Carrillo, H. Murakawa, M. Sato, H. Togashi and O.
Trush, A population dynamics model of cell-cell adhesion
incorporating population pressure and density saturation, J.
Theor. Biol., 474（2019）, 114-24.

参考文献
１）H. Murakawa, Reaction-diffusion system approximation to７）Y. Matsunaga, M. Noda, H. Murakawa, K. Hayashi, A.

degenerate parabolic systems, Nonlinearity, 20（2007）,

Nagasaka, S. Inoue, T. Miyata, T. Miura, K. Kubo and K.

2319-2332.

Nakajima, Reelin transiently promotes N-cadherin-２）H. Murakawa, An efficient linear scheme to approximate

dependent neuronal adhesion during mouse cortical devel-nonlinear diffusion problems, Jpn. J. Ind. Appl. Math., 35

opment, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 114 vol.8（2017）,（1）（2018）, pp.71-101.

2048-2053.

― １５ ―

８）O. Trush, C. Liu, X. Han, Y. Nakai, R. Takayama, H.

organization of neurons within a columnar unit in the Dro-

Murakawa, J.A. Carrillo, H. Takechi, S. Hakeda-Suzuki, T.

sophila medulla, 39（30）（2019）, J. Neurosci., 5861-5880.

SuzukiandM.

Sato,N-cadherin

orchestrates

self-― １６ ―