投入係数推定方法に関する比較について＊
一一一一qAS法，ラグランジュ未定乗数法，平均増加倍率法一中谷孝

久工 序

投入産出分析においては投入係数の推定が重要な位置を占めている。過去の投入係数が推計されているとき，それを現在のあるいは将来の投入係数として採用することは簡便法としてであれば容認して差しつかえないだろう・しかし，このことは投入係数の安定性を仮定することにつながる。すなわち，短期間を対象にするのでない限り，その分析は大きな制約をうけていることを意味する。

基準時の投入係数と比較時の中間需要，中間投入，総産出額等の情報から比較時の投入係数を推定する方法として，RAS法，ラグランジ＝未定乗数法（以下，単にラグ法），平均増加倍率法（以下，単に平均法）が引き合いに出される。RAS法1）の有効性については，時折検討されており，2）各方法の比較についても以前なされている。3）しかし，これらは単一期間についてしか検討されていず，投入構造の変化との関係については述べられていない。本稿では，三方法についてその有効性を時系列的に比較検討する。

︶‑︶
︶
←り白0◎

本稿は中谷・若井具宜両人による共同研究の一部であり，両者がその責を負う。
Stolle［4］において試みられた方法である。
Parikh［3］を見よ。

例えば，Henry［2］，藤本［1］を見よ。

一15一

徳山大学論叢第15号

データと結果

1 データ
採用したデータは，地域産業連関表4）の中から選ばれた全国版と中国地：域版である。これらは43部門（内生部門）で推計されており，本稿での検討は23部門に集計してなされている。地域産業連関表の推計対象年は昭和35年，40年，45年，50年の4年忌あり，これから次の3期に分割して検討する。

第1期

昭和35年一昭和40年

第2期

昭和40年一一H一昭和45年

第3期

昭和45年一昭和50年

これらの期間は，期間を決定する年の経済的特徴に大きく影響される。第ユ，第2，奥縞共，繁栄の60年代であるのに対し，第3期はその間に，いわゆるオイルショックを挟んでいる。特に昭和50年はオイルショックから立ち直り始めた最初の年であることを念頭におく必要がある。前者についても，第1；期と第2期ではその経済的特徴が異なっている。昭和35年は，いわゆる岩戸景気の山に当るのに対し，昭和40年は不況の年に当る。昭和45年は41年からのいわゆる大型景気の最後の年に当り，第2期は全期間を通じて2桁成長で特徴づけられる。

2 分布
いま基準年の投入係数行列，中間需要列，中間投入行，総産出高行から各推定方法によって比較年の投入係数行列を推定する。こうして得られた比較年の推定投入係数免ゴ＊と比較年の現実値a幻との比7∬から各推定方法の特徴を比較検討してみよう。両者の比が1に近ければ近い程，その推定方法が良好であることを意味する。その比がユより大きければ，過大推定となり，逆に1より小さければ過小推定となる。
4）通商産業省［6］，［7〕は生産者価格評価であり，名目表である。名目表であるから，期間比較のために各部門別のデフレーターにより実質化（基準年＝昭和45年）し，23部門に集計した。
一 16 一一1980年12月 中谷孝久：投入係数推定方法に関する比較について

第1図 予測・実績投入係数比率の分布（全国）

一第1期

RAS法

一一一一一第2期
・一一・第3期

へ／1 ＼＼50

ノ／i'、＼もへ／z，

M

1＼エー

一 ＼、、、ノノ＼ロ〆／ン殴
湊一 ／も＼畿'こ＝こ＼、' ' 一一 一'： '一
2．0．1 ．2 ．3．5 1．1．6 ，7．8 1．3 1．4 1．5
．9．4
1．0
1．2

ラグランジュ法

50ノ、、》'、ノヘロく／／／＼一一メベ＼／〜グノ＼'、≧＼⊇．1 ．2 ．3 ，4 ．5 ．6 ．7．9 1．0 1．1 1．2 1，3 1．4 1．5．8

平均増加倍率法，ヘハ、ノ＼'A／ A'Xx）X，50

ダ／／＼＼こ，'／'ミ、／プ＼べ＼写、へ、＼．

、、苓く・／' ！

／つ／一ノ＼＿．，づ〆ρ一'．1 ．2 ．3 ．4 ．5 ．6 ．7 ．8 ．9 1．0 1．1 1．2 1，3 1．4 1．5

‑17一

第15号

徳山大学論叢第2図 予測・実績投入係数比率の分布（中国地域）

第1期

RAS法

一一一一一第2期'一・一・一一・一第3期，，一！ ＼！
＼！
＼50

・一 ／一一・一一一一'一へ、 ＼／1＼＼

レ．

'も2ク＼＼一＼ノグv＼xx．．

、＝：二：ニニプ．1 ．2 ．3

ミ
2．0

．9 1．0 1．1 1．2 1．3 1．4 1．5．4 ．5 ．6 ．7 ．8

ラグランジュ法50、一コ'﹁︑へ︑'．9 1．0 1．1 1．2 1．3 1．4 1．5

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．2

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ン︑︑外'、@@今@、、、、、、

2．0

平均増加倍率法，へ、
1 、、ノ，、ヘへ

ヘノ〆＼詠

50

r7
／∠
／プ／／＼ヘ＼＼、＼'＼＼・き、／／／＼＼・・、ノ、」≠つノx＼／
1、＼＼N、もへミ、り．1 ．2 ．3 ．4 ．5 ．6 ．7 ．8 ．9 LO 1．1 1．2 L3 L4 1．5

一 18 一一・2．0

1980年12月 中谷孝久：投入係数推定方法に関する比較について

両者の比の分布を各推定方法毎に時系列で示したものが第1，第2両図である。これから次のようにいくつかの特徴をあげることができる。まず第1に，RAS法と平均法については，分布形が類似しており，その特徴は，特に，第2期を除き，全国において著しい。第2に，ラグ法の場合，分布の中央部への集中度が低く，すなわち，全体的に他の方法と比較して分布の一様性が高く，推定方法としては信頼性に欠ける。第3に，ラグ法に過小推定傾向は幾分見られるものの，5）全体として過大推定であるか，過小推定であるかは一概に決定できない。第4に，いずれの方法にしろ，また，全国，中国地域とも，他の期と比較して分布の一様性が第1期において高い。最後に，全国，中国地域を比較してみた場合，3方法とも中国地域の分布についてその一様性が高く，地域での投入係数の推定には注意が必要であることを示している。

このような分布の形をみていただけでは推定方法の有効性を印象的にしかとらえることができない。そこで不一致係数を導入して検討する。

3 不一致係数

不一致係数による分析に入る前に，基準値代入法6）を規定しておこう。この方法は投入係数不変の仮定に立って，基準時の投入係数を以て比較時の推定投入数とするものである。この方法によって平均平方誤差RMSEを求めれば，それは基準時から比較時の中で発生した投入構造の変化を示す。

いま，平均平方誤差，不一致係数，標本数，予測値，実績値をそれぞれ，EU，％，Ai＊，Aiとすれば，それらから，
れE＝へ／％一1Σ（・4誉一・4乞）

（1）

i＝1
れ

れ

i＝ユ

i＝1

び＝∠1／V「〃一1Σ・4一十V'％一1ΣAi2（2＞5）藤本［1］程明瞭ではない。これはラグ法による推定値の求め方が異なるためによるのかもしれない。

6） Parikh［3］でいうNo Change Forecastである。
一一 @19 一一

徳山大学論叢第15号と規定する。 勿論，不一致係数が0に近ければ近い程，推定あるいは予測がうまくいっていることを意味している。第1表からみる限り，全国について計算された不一致係数はRAS法と平均法の間にはほとんど差が見られない。これは中国地域についても同様である。中国地域の不一一致係数は一貫して全国よりも小さく，この点では地域分析にとってこれらの推定方法は有効であることを示している。ラグ法は全国の第2期を除き，他の方法と比較して不一致係数が相当高く，全国の第2期についても他の方法と差がなく，予測法として優れているとは言えない。さらに，ラグ法の場合，基準値代入法と大差はなく，ごく僅か不一致係数が小さくなっているにすぎない。
第1表 平均平方誤差と不一致係数
R A

ラグランジュ法

S 法

第1期 第2期 第3期

平均増加倍率法

第1期

第2期

第3期

第1期

第2期

第3期

基準値代入法

全国
中国

第1期

第2期

第3期

RMSEl

0．0157

0．O1750．00900．02090．0172

0．O142

0．O1570．01760．00890．0215

0．01770．0153

不一致係数

0．12920．14650．07280．16650．14250．11530．12970．14750．07200．16980．1466

0．1243（平均）

一〇．0001

0．0001

一〇．0003

一〇．00020．0001

一〇．0006

一〇．0001

0．0001

一〇．00030．00100．0007

一〇．0009（分散）

一〇．0008

一〇。0010

一〇．0046

0．00360．0043

一〇．0067

一〇．0008

一〇．0011

一〇．0046

0．00520．0051

一〇．⑪069（共分散）0．00980．01100．0094

0．O148

0．OG950．01860．00990．01130．0092

0．O1550．01020．0198RMSE

0．01350．01180．0104

0．O1910．01350．0155

0．O136

0．O1200．01030．0199α0143

0．0164

不一致係数

0．10430．09710．08180．14480．10750．12300．1052

0．09830．08130．14940．11290．1302（平均）

一〇．00020．0001

一〇．0002

一〇．00〔殴0．0003

一〇．0005

一〇．00020．0001

一〇．00020．00070．0010

一〇．0009（分散）

一〇．0049

一〇．0011

一〇．0040

一〇．0026

0．0069一〇．0052

一〇．0050

一〇．0013

一〇．0040

一〇．0009

0．0078一〇．0054

供分散）0．01100．01130．01210．01850．01340．02000．Ol110．01180．0120

0．01970．01420．0211

さらに，予測誤差の原因が平均，分散，共分散の相違のいずれかに求められるかを第1表から検討してみよう。予測誤差の原因のほとんどを三方法とも共分散に求めることができる。しかし，ラグ法の場合，他の方法と比較して分散のウエイトが若干高い。それはともかくとして，予測誤差の原因が共分散にあることから，相関係数を高めることが予測の精度を向上させることに役立つこ7）Thei 15］の規定による。
一一 @20一一

1980年12月 中谷孝久：投入係数推定方法に関する比較についてとがわかる。』 ﾇの期に推定が上手くいっているかは，単に不一致係数を比較してみただけでは判定がつかないし，危険を伴う。というのは，各期によって投入構造の変化の程度は異なるはずである。投入構造の変化程度の把握には，前述したように，基準値代入法によって計算されるRMSEをもって代替する。
基準値代入法で求められたRvaSEをみると，全国と中国地域では変化程度が異なっている。全国の場合，RntSEが次第に小さくなっているから，投入構造の変化は次第に小さくなっていると言ってよい。これに対し，中国地域のRMSEは第2；期に小さくなり，第3期に再び大きくなっている。特に，第3期の値は全国を上回っており，このことは全国よりも中国地域において投入構造の変化が大きかったことを意味する。

時系列的な比較を可能にするため，いま，「予測度」を採用する。ここで予測度を次のように定義する。ただし，Rpは各予測（るいは推定）法によるRMSEであり，EAは基準値代入法によるRMSEである。
EpEA

（3）

1）＝ユー

上式におけるEAは現実の投入係数の変化を示しており，Epは各方法によって説明できなかった変化を意味していることから，結果として，その差は各方法により説明された変化を示していると解してよいだろう。したがって，P係数は各方法が投入構造変化をどの程度説明できたかを示す指標である。その結果が第2表に示されている。
第2表 予 測 度

地 域RAS法

ラグランジュ法

平均増加倍率法

第1期【第2剃第3期第1期1第2期第3期第1剃第2期第3期

国国
全中

O．270 O．Oll O．412 O．028 O．028 O．072 O．270 O．006 O．418

0．322 O．175 O．366 O，040 O．056 O．055 O．317 O．161 O．372

これを見て驚くべきごとに，各方法ともいかに説明力が弱いかを如実に物語っている。勿論，この現象はごく少量の情報で多量の予測をしなければならな

一21一

徳山大学論叢第15号

いことから発生しているので無理のないことかもしれない。しかし，ラグ法の場合，その説明力はほとんどなく，たかだか5％程度である。ここでもRAS法と平均法については，ほぼ類似の結論を得ている。これらの方法といえども口分を通じて予測度が安定しているわけではない。第3期について比較的良好であるのに対し，第2期についてはほとんど説明力を持っていない。特に，それは全国について著しい。このことから，広い地域を対象とするからといって安易にこれらの予測法を通用すべきではない。中国地域についてさえ，第2期の予測度は低く，RAS法や平均法を投入係数の推定方法として採用するには注意が必要である。

4 回帰係数
いま基準時の現実投入係数をaid（彦）とし，比較時の現実投入係数をa昭（τ）とし，さらに，比較時の推定投入係数をσ訂＊（τ）とする。一方で，現実投入係数と比較時の現実投入係数の差をとり，他方で，比較時の推定投入係数と現実投入係数の差をとる。両者を回帰させれば，8）第3表のように，回帰係数（a係数という）を得ることができる。9）回帰a係数は（4）式のように計算されるから，a係数が1より大きいとき，はじあて予測法として意味がある。
ai ，一 （t ）一a w・ （z'） ＝＝ d（a w・ ＊（T）一aij（T）） （4）

上記の基準によれば，ラグ法は本質的に意味をなさない予測法ということができる。10）RAS法と平均法はこの場合でも類似性がみられる。両方法とも，a係数が1をわずかに上回るだけであり，予測法としては有力ではない。11）特に，第2期においては双方のa係数とも1を下回り，これらの方法が何時でも8）Parikh［3］p．480が分析した方法である。

9）他の方法として，次のようなものが考えられる。この係数は不一致係数とよく似た動き方をする。
ai s' （T）一一 a w・ （t）＝d'（ai 」一 ee（T）一一 a i 」・ （t））

ユ0）ラグ法の場合，d係数がすべて1になるのは，この方法が基準時と比較時の投入係数の平方和が最小になるように計算されるからである。
ユ1）しかし，Parikh［3］p．480にみられるように， d＞2のケースがある。
一一@22 一1980年12，月 中谷孝久：投入係数推定方法に関する比較について有効であるとはいえないことを示している。この結果はほぼ予測度の分析結果と同一である。

第3表d回帰係数
地 域

平均：増加倍率法
ラグランジュ法RAS 法
第1鵜2聯3期第瑚第2期1第3期第1聯2期1第3期

国国
全中

1．192 O．884 1．189 1．000 1．000 1．000 1．193 O．875 1．192
1．178 O．751 1．078 1．000 1．000 1．000 1．174 O．728 1．081

皿 結

投入係数の推定方法としてRAS法，ラグ法，平均法の三方法についてその有効性を検討した結果，RAS法と平均法の双方にはほぼ同様の有効性があり，ラグ法は本質的な点において有効な推定方法とはならない。RAS法にしろ，平均法にしろ，ラグ法より幾分有効な程度でそれ程有力な推定方法とはいえない。しかし，投入係数の推定には多大の労力と情報が必要であり，それらを節約する意味でも，また，投入係数不変の仮定に立つ基準値代入法より有効な推定方法であることからも棄てがたいものがある。

RAS法と平均法を推定方法として適用する場合，不一致係数だけで判定すれば，危険を伴い，何時でも有効な結果が得られるとは限らない。予測法や回帰a係数についても併せて検討することが必要である。

以上の分析では産業全体として検討されていることに注意しなければならない。個々の産業毎にみていくとき，RvaSE，不一致係数，予測度，回帰a係数が産業の特殊性を反映して産業全体のものと異なるだろう。したがって，個々の産業にまで遡り，立入った分析が必要である。また，この分析では内生部門が23部門に集計されており，投入産出分析は必ずしもこのように数少ない内生部門数で検討されず，もっと部門数を大きくして検討されることが多い。このことを考慮すれば，直接43部門，あるいはそれ以上の部門数について分析する

一23一

徳山大学論叢第15号

ことが必要である。

参考文献［1］藤本敏樹「投入構造の予測」．『経済統計研究』通商産業省，第3巻第3号，1975年．
［2〕H：enry， E． W．，

Relaヒive Efficieney o正RAS versus：Least Squares Methodsof upclating Input‑Output Structure，

The Econonzic and Social R eview，Vol．5，No．1，ユ973， PP．7‑29．
［3］ Parikh，A．，Method，Forecasts of lnput‑Output Matrices using the R．A． S．

The R eview of Economics and Statislics， Vol． LXI， No． 3，Aug． 1979， pp．477‑481．
［4］ Stone， R． and Others， A Pr og ramme for Grow th， 3 」 ， 1962・［5］ Theil， H．， Economics and lnformation Theory， North一一Holland， 1967．

［6］通商産業省『地域産業連関表（全国版）』昭和35年，40年，45年，50年各版。
【7】通商産業省広島通商産業局『地域産業連関表（中国版）』昭和35年，40年，45年，50年各版。

一24一