本書は 50 ページ以上の新しい内容を散りばめた改訂版である．もともとの章や節の意味を保ちながら，7 の章と 29 の節に再編成した．主な加筆は，20 節にあるリー微分と内部積という多様体上の内在的な 2 つの作用素（とても重要なので省略するわけにはいかなかった），22 節にある境界の向きに関する新しい命題，および四元数とシンプレクティック群についての新しい付録である．
間違いと誤植の修正以外では，すべての証明を再度考え抜き，多くの文章を研磨し，新しい具体例，演習問題，ヒント，解答を加えた．この過程において，各節を時に大きく書き直した．修正はあまりにもたくさんあるので，ここですべてを列挙することはできない．各章は，そこに大体どのような内容が書いてあるのかということについての導入的な文章から始めるようにした．概念に対する考え方がどのように発展してきたかということの時系列を提示するために，折に触れてその概念の歴史的な原点を示し，歴史的な文献を参考文献に追加した．
どんな著者も，志を共にしてくれる読者を必要とする．第 2 版を準備している
ときに，あらゆる段階において一緒に仕事をしてくれた忠実で献身的な読者である

George F. Leger と Jeﬀrey D. Carlson がいてくれたことは，私にとって大きな幸運であった．この 2 人は，各節ごとに改訂稿をくまなくチェックして，詳細な指摘，訂正，助言をくれた．実は，Jeﬀ が書いた 200 ページにわたるコメントはそれ自身，批評の傑作であった．本書が最終的にとても明快なものとなったのは，2 人の多大な尽力の結果である．George と Jeﬀ の両方に心からの感謝を贈りたい．また，編集者の David Kramer 氏を始めとする多くの他の読者からの意見にも助けられた．
最後に，Philippe Courrège，Mauricio Gutierrez，Pierre Vogel が有益な議論をしてくれたこと，改訂中にジュシュー数学研究所とパリ第 7 大学に滞在させて頂いたことに感謝したい．いつものことであるが，読者の意見を歓迎する．

2010 年 6 月 パリにてLoring W. Tu

ラウル・ボット（Raoul Bott）と私が Diﬀerential Forms in Algebraic Topologyを出版してからもう 20 年以上が経つ．この本はある程度の好評を博した一方で，読者が多様体に慣れていることを前提としており，それゆえに平均的な初年度の大学院生にとってすぐに読み始められるものではない．半期分の抽象代数論と 1 年分の実解析の知識のみを仮定した多様体の入門書を書くことで，このギャップに橋を渡すことが，長い間私の目標であった．さらにこの 20 年間，幾何学やトポロジーと物理学の間に多大な相互作用があったことも受け，若い数学者や意欲のある学部生だけでなく，幾何学やトポロジーの確かな基礎を身につけることを望む物理学者も，読者対象として含めたいと考えた．
多様体についての素晴らしい本が巷にあふれていることに鑑みれば，新しい本の執筆に着手するからには，自己満足のために書くのでなければ，しかるべき執筆動機を読者に示しておかねばならない．私にとって真っ先に思い浮かぶのは，例えば単純な空間のド・ラームコホモロジーを計算できるところまで読者を素早く連れて行けるような，厳密だが読み得る本を書きたかったということである．
第 2 の動機は，意図的に点集合トポロジー1 を前提としなかったところから生じている．同じ制約を設けている多くの本では，多様体をユークリッド空間の部分集合として定義せざるを得ず，これは射影空間などの商多様体を理解しにくくするという欠点がある．そこで私は，最初の 4 つの節を点集合トポロジーとは独立に構成し，必要な点集合トポロジーは付録におくことにした．最初の 4 つの節を読みながら，同時に学生諸君は，5 節以降で必要となる点集合トポロジーを習得するために付録 A を学ぶとよい．
本書は初心者が読み，学習するためのものであり，辞書的にならないようにしたつもりである．したがって本書では，数学者ならば誰もが知っているはずの最小限の多様体論のみを議論している．扱う範囲を絞ったことで，中心的なアイデアがより明確に浮かび上がってくるのではと期待している．
また，説明の流れを断たないように，型通りの証明や計算的な証明のうちいくつかは演習として残した．他の演習も説明の中で自然な場所に散りばめてあり，文章の中においた演習に加えて各節の最後にも問題をおいた．特定の演習と問題のヒン
1（訳者注） 位相空間論ともいう．

x

第 1 版の刊行にあたって

トと解答は本の最後にまとめてあり，完全な解答を用意したものについては星印をつけた．
本書はこれまで，幾何学とトポロジーについての 4 部作の第 1 巻として，その構想を練ってきた．第 2 巻は先で挙げた Diﬀerential Forms in Algebraic Topology であり，第 3 巻 Diﬀerential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic

Classes は，すぐに日の光を浴びるであろう．第 4 巻 Elements of Equivariant
Cohomology は，ラウル・ボットが 2005 年に亡くなる以前からの彼との長期的なプロジェクトであったが，未だ修正中である．
このプロジェクトは創案から 10 年が経過した．私はこの期間中，私自身が所属する大学に加えて，多くの機関の支えと厚遇の恩恵を頂いた．具体的には，フランスの高等教育・研究省にはシニア研究員（bourse de haut niveau）の立場を頂き，アンリ・ポアンカレ研究所，ジュシュー数学研究所，パリ高等師範学校数学科，パリ第 7 大学，リール大学には様々な期間で滞在させて頂いた．本書の完成には，これらすべての機関の重要な貢献があった．
私の同僚である Fulton Gonzalez，Zbigniew Nitecki，Montserrat Teixidor iBigas は，多くの有用な指摘や訂正を提供してくれた．私の学生である Cristian
Gonzalez-Martinez と Christopher Watson，そして特に Aaron W. Brown と Jeffrey D. Carlson は，詳細に誤りを指摘し，改良のための助言をしてくれた．シュプ
リンガー社の Ann Kostant と彼女のチームである John Spiegelman と ElizabethLoew の各氏には，それぞれ校正上の助言，組版，製作においてお力添えをいただいた．そして，Steve Schnably と Paul Gérardin が揺るぎない心の支えとなってくれた．以上の方々に心から感謝している．また，Aaron W. Brown が記号の一覧や多くの解答の TEX ファイルを準備してくれたことにも感謝している．George Legerには，私の本の執筆計画すべてに献身してくれたことと，さまざまなバージョンの原稿を注意深く読んでくれたことに特に感謝の意を贈りたい．他の本のときと同様，本書の執筆時における彼の励まし，フィードバック，助言は，私にとって非常に貴重なものであった．最後に，ラウル・ボットによる幾何学とトポロジーの授業が私の数学的な思考の形成を助けてくれたこと，そして彼の模範的な生き方が我々すべてを鼓舞してくれていることを記したい．

2007 年 6 月 マサチューセッツ州，メドフォードにてLoring W. Tu