過去の「シリーズ日本経済を考える」については、
財務総合政策研究所ホームページに掲載しています。
https://www.mof.go.jp/pri/research/special_report/index.html

シリーズ
日本経済を考える

スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデル
 および SABR モデルについて―
東京大学 公共政策大学院／財務総合政策研究所

117 服部 孝洋＊1１．はじめに 1＊

服部（2021）では実務的な側面に焦点をあてて、連載

スワップションの基本的な内容の説明を行いました。

２．ブラック・モデルとノーマル・
モデルとは
２．
１

正規分布と対数正規分布

日本経済を
考える

同論文ではスワップションから算出したインプライ

服部（2020a）でブラック・モデル（ブラック 76 モ

ド・ボラティリティ（Implied Volatility, IV）が様々

デル）の説明をしました。ブラック・モデルとは通常な形で金融市場で用いられていると言及しましたが、のブラック・ショールズ・モデルにおける原資産を先読者が Bloomberg などでスワップションの IV のデー物に適用したモデルでした。このモデルの特徴は先物タを取得する場合、モデルを選択しなければなりませのリターンが正規分布に従うことを前提としますが、ん。マーケットで用いられるモデルはブラック・モデ

このことは先物価格が対数正規分布に従うことを意味

ルとノーマル・モデルであり、モデルの選択によってします。図 1は正規分布と対数正規分布を比較した図算出される IV の値や動きは異なります。そのため、になりますが、この図からわかるとおり、対数正規分

IV を用いる実務家はそれらの違いやその関係がどの

布はマイナスの値をとらないという特性を有します。

ようなものであるかを把握しておくべきです。また、先物の価格はゼロ以下にはなりませんから、これは望スワップションのデータを用いてスマイル・カーブをましい性質といえます。実際、国債先物の IV では服部

描く場合、そのカーブの補間のためにも特定のモデル（2020a）で指摘したとおり、ブラック・モデルが用いを選択する必要があります。本稿では実務で最も広くられています。

用いられている SABR（「セーバー」と読みます）と呼ばれるモデルについて解説を行います。
本稿は初学者を想定読者としたうえで、実務上、必図 1 対数正規分布と正規分布
確率（密度）＜正規分布＞＜対数正規分布＞

要な部分に絞り、できる限り直観的な説明を試みます。その一方、スワップションで用いられるモデルの説明をするため、最低限押さえるべき数式を紹介します。数式の導出や厳密な議論については適時文献を紹介することで補足します。

0

価格（金利）＊1） 本稿の作成にあたって、石田良氏、内山朋規教授、中山季之氏、藤原哉氏など様々な方に有益な助言や示唆をいただきました。本稿の意見に係る部分は筆者の個人的見解であり、筆者の所属する組織の見解を表すものではありません。本稿の記述における誤りは全て筆者によるものです。また本稿は、本稿で紹介する論文の正確性について何ら保証するものではありません。本稿につき、コメントをくださった多くの方々に感謝申し上げます。

56

ファイナンス2021 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 117

原資産のリターンが正規分布に従う場合、原資産の前は、スワップションでもブラック・モデルが用いら

価格が対数正規分布に従う点はファイナンスのテキス

れていることがほとんどでした。金利がマイナスに突トで丁寧に説明されるポイントです。数式での展開入するなかで、ブラック・モデルの IV を Bloombergは、例えばハル（2016）などを参照していただきたなどのベンダーが提供しなくなり、スワップ・レート

いのですが、直感的には、リターンに対して正規分布

が正規分布に従うノーマル・モデルが普及されていくを仮定している場合、価格に注目すると、価格が 2 倍ことになりました。

になる確率と価格が 1/2 倍になる確率は同じになります。同様に、価格が 3 倍になる確率と価格 1/3 倍にな２．
２数式を用いたモデルの概要

る確率は同じになります。このイメージを持てば、リ

ここから、数式を用いてモデルを整理していきま

ターンに正規分布を想定すると、価格の上昇に対しす。ブラック・モデルでは、スワップ・レート（厳密て、価格の下落は小さくなり、図 1 の右図のように、には金利スワップのフォワード・レート）を Ft とし価格についての分布が非対称になることや価格そのもて、下記のようなモデル化がなされます。

のがマイナスになることはないイメージを持つことができます＊2。

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡スワップションは原資産が金利スワップのオプショ

従う動きというイメージをもってください（ウィー

分布に従うことを想定します。すなわち、ブラック・

ナー過程の厳密な説明はハル（2016）などファイナ
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵


モデルに基づいた場合、スワップ・レートは対数正規分布に従うことを意味しますから、スワップ・レート（フォワード・レート）そのものはマイナスにならないという想定がなされます。これは名目金利がマイナ
スにならないことを想定すれば良い性質といえます。
名目金利はマイナスにならないと想定されていたた
め、スワップ・レートが対数正規分布に従うという仮定は良い性質とされてきました。実際、金利がマイナスになりうるモデルは、2010 年以前のテキストでは、そのモデルの有する欠点として説明されることが少な
くありません＊4。実務的にも、マイナス金利以前は、
スワップションの IV を計算するときのデフォルトのモデルはブラック・モデルに基づくものでした。もっとも、現在のように金利がマイナスになった世界では、スワップ・レートが対数正規分布に従うモデルを用いることができないわけです。筆者自身が経験したことですが、マイナス金利を経験する 2010 年中盤以

日本経済を
考える

ここで、𝑑𝑑𝐹𝐹はウィーナー過程であり、正規分布に
dW𝑡𝑡 t=𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 フォワード・レート） のリターン（変化率）が正規
＊3

連載



ンですから、ブラック・モデルを用いて IV を計算す
る場合、具体的にはスワップ・レート（厳密にはその（1）ンスのテキストを参照してください）。（1）は直感的
には、（微小時間における）スワップ・レート（厳密12𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃= 𝐴𝐴𝜎𝜎 √𝑇𝑇 [𝑒𝑒 −𝑑𝑑 /2 + 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)]

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑁𝑁には金利スワップのフォワード・レート）の変化率√2𝜋𝜋（dFt/Ft）が正規分布に従うことを意味しています。


ここにおける σ𝐹𝐹
B がしばしば、ブラック・ボルといわ
− 𝐾𝐾



𝑑𝑑 =

れますが、スワップ・レートの変化率が正規分布に従𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇

うことは前述のとおり、スワップ・レート（金利水𝑇𝑇+𝑛𝑛
準）が対数正規分布に従うことを想定していることか𝐴𝐴 = ∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)ら、ログノーマル・ボルと呼ばれることも少なくあり
𝑡𝑡=𝑇𝑇+1

ません。 
一方、スワップ・レートそのものが（対数正規分布
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃= 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑 )]𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵

12でなく）正規分布に従うモデルをノーマル・モデルと

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡いいます。具体的には、下記のようなモデルを想定し
2
ます。

𝑑𝑑1 =


ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾)=+𝜎𝜎𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵𝑑𝑑𝑑𝑑/2𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
𝐹𝐹𝑡𝑡

𝜎𝜎𝐵𝐵

𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡  （2）𝜎𝜎 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎



𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊

𝑁𝑁𝐵𝐵＊2） 厳密には対数収益率、すなわち log（当日の終値／前日の終値）を指します。但し、収益率の絶対値が小さい場合、これは収益率（（当日の終値−前日
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌の終値）／前日の終値）とほぼ一致することが知られています。
＊3） 本稿ではわかりやすさを重視し、スワップ・レートとして説明しています。スワップションにおいて、原資産が金利スワップのフォワード・レートであり、それが正規分布や対数正規分布に従うという想定は初学者にとって直観的な理解が得にくい点です。例えば、1 か月後に行使される 10 年スワッ1 −𝑑𝑑2/2
プションの場合、1 か月後のスワップ・レートが正規分布（対数正規分布）に従うという想定をしており、1 か月後のスワップ・レートを現時点でみれ
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 −𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [𝑒𝑒+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁
ば、スワップのフォワード・レートに相当します。
√2𝜋𝜋 ）モ＊4） ファイナンスのテキストでは、例えば Vasicek モデルはマイナス金利になる可能性があり、その点を改善したものが CIR（Cox-Ingersoll-Ross

デルと説明されます。ハル（2016）では「CIR モデルでは、金利がゼロに近づくとき、金利の動きは非常に小さくなる。いかなる場合でも負の金利が発生することはない。」（p.1119）と説明されています。

∑[𝜎𝜎𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑘𝑘) −𝜎𝜎𝐵𝐵𝐾𝐾(𝑘𝑘, 𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]2
𝐹𝐹 −
𝑑𝑑 =
 ファイナンス 2021 Oct.
𝑘𝑘∈𝐾𝐾
𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇57

ここでいう σN がノーマル・ボルです。このようなオプション・プレミアムや満期などを入力しても、オモデル化をすると、（微小時間における）スワップ・

プションの公式そのものが異なるがゆえ、異なる IV

レートそのものが正規分布に従います。前述のとおの値が得られるわけです。

り、リターン（変化率）に正規分布を仮定すると、価服部（2021）でも記載しましたが、実際の取引で格は対数正規分布になります。リターンに対して正規は、例えば ATMF の 1 month into 10 year の円金利分布を仮定している以上、価格が 2 倍になる確率と1／

スワップションを購入するために〇銭というプレミア

2 倍になる確率は同じになるわけですが、金利の変化

ムを業者に支払っているだけです。このプレミアムが正規分布に従うと想定すれば、金利が上がる場合もは、いわばスワップションの供給者と需要者の需給で下がる場合も等確率で起こるため、金利水準そのもの決まっているといえます。このプレミアムを解析的にも左右バランスの取れた分布（正規分布）に従います。

解かれたオプションの公式に当てはめて IV を計算す

このモデルは古くは、1900 年にルイ・バシュリエ

るとは、投資家がある金利モデル（具体的には式（1）が提唱していたことから、ノーマル・モデルはバシュ

および式（2））が仮に正しいと想定した場合、ある

リエ・モデル といわれることもあります。バシュリ

プレミアムでスワップションを購入した投資家がそのエは 1900 年の論文が半世紀後、奇跡的な経緯を経て、背後で想定しているボラティリティがどのようなもの

経済学者ポール・サミュエルソンによって見いださかを解釈していることを意味します。このように考えれ、効率的市場仮説などファイナンスに対し多大な貢ると、その解釈として出てきたボラティリティがもっ献をしました＊6。バシュリエの論文は近年になりマイともらしいかは、そのモデルが前提としている仮定がナス金利が観察されるようになり、そのモデルが復興

現実に合っているかに依存します（もっとも、実務的したとの意見もあります。

には、オプションの公式を用いて IV を算出する場合、

＊5

連載
日本経済を
考える

オプションのプレミアムからボラティリティへの変換

２．３ ノーマル・モデルとブラック・モデル
を用いて IV を算出するとはどういうこ

式としての実用性がフォーカスされる傾向がある点に留意が必要です）。

とを意味するか
式（1）と式（2）でノーマル・モデルとブラック・２．
４

シフティッド・ログノーマル・モデル

モデルを説明されても初学者はその具体的なイメージ

前述のとおり、ノーマル・モデルが普及し始めた背がわきにくいかもしれません。詳細は後述しますが、景には、金利がマイナスになったことが原因です。

式（1）と式（2）という形でスワップ・レートの動

もっとも、ここでの主眼はモデルに基づいてオプショ

きをモデル化することで、（ヨーロピアン・タイプの）ンのプレミアムをボラティリティ（IV）として解釈しスワップションのプレミアムをそれぞれ解析的に書きたいという点です。その意味では、関心事は金利の水下すことができます。もちろん、前提となる金利の動準ではなく、金利がどの程度変化するか、という点ときについて異なるモデル化がなされていますから、解いうこともできましょう。そのため、ブラック・モデ

析的に導出されたスワップションの価格式（オプショルに対して、金利と権利行使価格を両方とも一定程度

ンの公式）は、式（1）と式（2）のどちらに立脚す

シフトさせて、金利が正になるように調整したうえで、るかで異なります（スワップションの公式は 3.2 節でオプションのプレミアムからボラティリティを解釈す説明します）。服部（2020a）で説明したとおり、市るというアイデアもありえます。具体的には、（1）の場で取引されるプレミアムや満期などの情報が得られモデルを dFt ＝ σB（Ft ＋ shift）dWt という形で、ス

れば、（解析的に導出した）オプションの公式に立脚

ワップ・レート（F）に shift を足すことでシフトさせしてボラティリティ（IV）を逆算できますが、同じます。これはログノーマル・モデル（ブラック・モデ＊5） 学術的な研究ではバシュリエ・モデルと記載されることもありますが、筆者の印象では、実務的にはノーマル・モデルという表現が使われることがほ
とんどです。例えば、Bloomberg などのベンダーや金融機関のレポートなどでは基本的にはノーマル・モデルやノーマル・ボルという表現が使われます。そのため、本稿ではノーマル・モデルやノーマル・ボルという表現を使っています。
＊6） この辺りの歴史的経緯を知りたい人は櫻井（2016）などを参照してください。

58

ファイナンス2021 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 117ル）をシフトさせていることから、シフティッド・ロ
グノーマル・モデルと呼ばれます。
実際、シフティッド・ログノーマル・モデルは実務

３．スワップションの公式
３．
１ データでみるノーマル・ボルとブラッ
ク・ボルの違いで広く用いられています。その一因として、長年ブ
ラック・モデルが用いられていたため、システム対応

ここからスワップションの公式（ノーマル・モデル

が簡単である点が挙げられます。一方、シフティッやブラック・モデルを前提に解析的に解かれたオプ

ド・ログノーマル・モデルを使う最大の問題はどの程ションの価格式）および IV 算出のイメージを説明し度シフトさせるかでしょう。理屈上はフォワード・

ますが、まずは実際のノーマル・ボルとブラック・ボ

レートがプラスになるようにシフトさればよいわけで

ルがどのような値をとるかをみてみます。図 2 が 10

すが、マイナス金利の深さはその時々で変わります。

年のスワップション（満期 1 か月）から算出したノー

どの程度シフトされるかは商慣行によるところが多マ ル・ ボ ル と ブ ラ ッ ク・ ボ ル の 推 移 を 示 し て い まく、例えば、Bloomberg では 2％がデフォルトで用いす＊8。これをみると、まず、値そのものはかなり違うられる傾向にあります。櫻井（2016）では「現在ヨーことがわかります。また、全体的に似た動きをしていロッパでは 1％のシフトが一般化されつつあると聞くるものの必ずしも相関しない期間も少なくないことがが、マイナス金利状態が続けば、何らかのシフト幅が確認できます。

コメントしています。円金利について筆者の実感ではているという印象です。

図 2 10 年金利スワップのスワップション（満期 1 か月）における
IV の推移
（bps）
120
100

ノーマル・モデルを使うことにデメリットを感じる80

実務家がいる背景には、より一層システム対応が必要

40になる点に加え、同モデルでは金利が上下に起こる確率が同程度という想定している点にあります。金利がマイナスである中、金利がプラスに向かう確率とさらにマイナスが深堀される確率が同じであると想定するのは非現実とみることもできるかもしれません。このように思うのであれば、スワップ・レートが対数正規分布に従うことを想定するシフティッド・ログノーマ
ル・モデルを用いることが現実的ともいえます。いずれにせよ、実務では、両方ともメリットがあることか
ら両方とも併用されているということが現状です。

ノーマル・ボルブラック・ボル

60
20
0
05

06

07

08
09
10
11
12
13
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡
実務家は、ブラック・ボルとノーマル・ボルの違い

𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 を、下記の近似式で概ね把握しています。
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵 



（3）



この式を前提とすると、両者の動きに違いが生まれる
1 −𝑑𝑑2/2

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [

𝑒𝑒

√2𝜋𝜋
理由は、ノーマル・ボルの場合、フォワード・レートの

ちなみに、筆者の実感ではノーマル・ボルに比べ、動きが加わるからと解釈できます。例えばブラック・ボ


シフティッド・ログノーマル・モデルの IV はデータ

ルが上昇していても、金利低下が進む局面ではノーマ
𝐹𝐹 − 𝐾𝐾の取得が困難という印象があります 。それもあり、＊7

学者や実務家が IV を使った分析をする場合、ノーマ
ル・モデルを使うケースが多い印象です。

日本経済を
考える

1% や 2％などといった区切りの良い数値が用いられ

連載

市場のコンセンサスになると考えられる」（p.534）と+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁𝑑𝑑 =𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇
ル・ボルはむしろ低下するということが起こりえます。

式（3）の近似式が成立しているかについて数値例

𝑇𝑇+𝑛𝑛を確認しておきます。例えば、2013 年 3 月末の 10 年

𝐴𝐴 = ∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)スワップション（満期 1 か月）のブラック・ボルは
𝑡𝑡=𝑇𝑇+1

0.398% であり、ノーマル・ボルは0.570% でした＊9。


𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]＊7） データが仮に取得できても、どの程度シフトさせているかが明示されていないこともあります。
＊8） ここでは、マイナス金利でない期間を見せています。マイナス金利になった期間については、ブラック・ボルは計算できなくなります。
＊9） この値は Bloomberg の値を参照しています。
2

𝑑𝑑1 =


ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵 /2𝜎𝜎𝐵𝐵

ファイナンス2021 Oct.

59

その時の 10 年金利スワップは 0.67% であり、（少々を払うというポジションが生まれるため、向こう 10

大雑把ですが満期が短いことからフォワード・レート

年間にわたり、利払い日ごとに変動金利（無担保コー

が現在のスポットレートと変わらないことを想定する＊11や LIBOR）を受け取る一方、ル翌日物金利（TONA）と）0.67×0.570 ≒ 0.398% という形で近似的な関係が固定金利（権利行使価格）を払うというポジションが確認できます。

生まれます。そのため、これらのキャッシュ・フロー

ちなみに、式（1）と（2）を眺めると、式（3）が成立しそうであることが想像されますが、式（3）はあくまで近似式である点に注意が必要です。この式そのものは Corb（2012）などファイナンスのテキストでも良く紹介される近似式であり、実務でも広く用いられています。ノーマル・ボルとブラック・ボルの関係式について正確な導出はテクニカルであるため省略
し ま す が、 導 出 を 知 り た い 読 者 は Dimitroff et al.
（2016）などを参照してください＊10。

連載
日本経済を
考える

60

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡を割り引くという作業が必要になります。
𝐹𝐹= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡
ここでは結論だけ述べますが、ノーマル・モデルに


基づくと（式（2）に基づくと）、ペイヤーズ・スワッ
𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡  𝑡𝑡
プションのプレミアム（価格）は下記になります（下= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑡𝑡
記の式がノーマル・モデルに基づくスワップションの= 𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑑𝑑 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑 


𝐹𝐹𝑡𝑡

𝐵𝐵


𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵 ＊12。
公式になります）


𝑡𝑡

𝑡𝑡

𝐵𝐵 𝑡𝑡

𝑡𝑡

 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁1𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
2
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [𝑒𝑒 −𝑑𝑑 /2 + 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)] 
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈
 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎√2𝜋𝜋𝐵𝐵
 𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵
 （4）
 


1 −𝑑𝑑2/2
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [𝑒𝑒+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)]
√2𝜋𝜋
1
𝜎𝜎
√𝑇𝑇
ここで𝑁𝑁d および A は下記の通りです（N は標準正規−𝑑𝑑2/2
けるオプションの公式（価格式）
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [𝑒𝑒+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁
√2𝜋𝜋
IV とはモデルを使ってボラティリティを解釈して分布の累積密度関数です）。
𝑇𝑇+𝑛𝑛
𝐹𝐹 − 𝐾𝐾いると記載しましたが、ここではヨーロピアン・タイ=𝐴𝐴 = ∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0,𝑑𝑑 𝑡𝑡)
𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇
𝐹𝐹 − 𝐾𝐾
プのスワップションの公式（価格式）を紹介し、ノー
𝑡𝑡=𝑇𝑇+1
𝑑𝑑 =

𝜎𝜎
√𝑇𝑇

𝑁𝑁
マル・モデルとブラック・モデルに基づいた IV はど

𝑇𝑇+𝑛𝑛

のように計算されているかを確認します。スワップ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑
𝐴𝐴 = ∑1 𝑇𝑇+𝑛𝑛
𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)ションのプレミアムの公式は多くの書籍で紹介されて
𝐴𝐴𝑡𝑡=𝑇𝑇+1= ∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)
2
いますが、その導出については大学院レベルのファイln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵 /2 𝑡𝑡=𝑇𝑇+1
𝑑𝑑1 = 𝛼𝛼 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑 )] 𝑧𝑧
 はスワップションのプレミア
ここで、
Payers
ナンスの知識が必要になります。ここではその公式を
𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
2normal𝛼𝛼 1𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝐾𝐾, 𝐹𝐹) =
∙(
1−𝛽𝛽
2
𝜒𝜒(𝑧𝑧
𝜎𝜎 (𝐾𝐾, 𝐹𝐹)( =)(1− 𝛽𝛽)(1は−デ
𝛽𝛽𝑘𝑘 )4 )カ𝐹𝐹 2 DF
𝐹𝐹ン4 )]2 (ト、𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑−4 ウフ+
ォ(1−𝛽𝛽ワー
レーム、
紹介するとともに、IV の計算のイメージを掴むこと 𝐵𝐵(𝐹𝐹𝐹𝐹)
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
1 −) + =21920(𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑 F2 は[1
) ド・
(1
−
𝛽𝛽)
(1
𝛽𝛽
)) +2⋯4 ] 𝐹𝐹
𝐹𝐹 ィ ス
𝑘𝑘
2
24
𝐾𝐾
𝐾𝐾
(𝐹𝐹𝐹𝐹)[1 + 24 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝐾𝐾) + 1920 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝐾𝐾) +𝛽𝛽 ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵2 /2T は満期、ト・ファクター、K は権利行使価格、nはを趣旨とします。スワップションの公式の導出を知り
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹
𝑑𝑑𝑊𝑊1 2 − 3𝜌𝜌2
2
2 𝑑𝑑1 =
(1
−
𝛽𝛽)
𝛼𝛼
1
𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
2𝜎𝜎22 ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾)
2
原資産である金利スワップの年限です。これらはマー
たい読者は例えば Corb（2012）や木島・藤原（2019）
𝐵𝐵 1 ++
𝜎𝜎𝐵𝐵 /2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =(1 − 𝛽𝛽) + 𝛼𝛼𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
∙ {1 + [𝑣𝑣 2𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊]−𝑇𝑇3𝜌𝜌
+22⋯2}
(1−𝛽𝛽)/2 +24(𝐹𝐹𝐹𝐹)∙ 24{1 + [(𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽) 𝑑𝑑14 =+𝑣𝑣 ] 𝑇𝑇 +(1−𝛽𝛽)/2
ケットで観察することができる値です。例えば、行使を参照してください。
24  (𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽) 4𝜎𝜎(𝐹𝐹𝐹𝐹)
𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 24= 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌

価格が1% の 1 year into
10 year のペイヤーズ・ス
ここではペイヤーズ・スワップションを考えます
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼


1−𝛽𝛽
𝜈𝜈
𝐹𝐹
(
)
ワップションが市場で取引されていた場合、行使価格
が、通常の株価や先物を原資産にする場合との違い
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑣𝑣
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵𝑧𝑧√𝑇𝑇
𝐹𝐹= (𝐹𝐹𝐹𝐹) 2𝜈𝜈 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ((1−𝛽𝛽) )2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( )
𝛼𝛼
𝐾𝐾
𝑧𝑧
=
(𝐹𝐹𝐹𝐹)
は 1%、満期は 1 になりますし、プレミアムやフォワー
は、スワップションの権利行使した場合、金利スワッ
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝛼𝛼
𝐾𝐾
2
+ 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 − 𝜌𝜌 2
ド・レート、ディスカウント・ファクターはその時のプを一定期間にわたり受ける・払うというポジション (√1 − 2𝜌𝜌𝜌𝜌√1
𝑑𝑑𝑊𝑊1
𝜒𝜒(𝑧𝑧)(𝑘𝑘)=−𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 + 𝑧𝑧)+ 𝑧𝑧 − 𝜌𝜌∑[𝜎𝜎𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝜎𝜎
(𝑘𝑘,
𝐹𝐹;
𝛼𝛼,
𝛽𝛽,
𝑣𝑣,𝜌𝜌−𝜌𝜌)]2𝜌𝜌𝜌𝜌
𝐵𝐵
𝜒𝜒(𝑧𝑧)= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (1 −)マーケットで観測できます。そのため、IVが生まれるため、行使したあと複数のキャッシュ・フ
1 − 𝜌𝜌を算出す
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇𝑘𝑘∈𝐾𝐾
る場合、オプションのプレミアムを式（4）の左辺にローが生まれる点です。例えば、10 年のペイヤーズ・
 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑
1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇𝐹𝐹(𝑇𝑇)~𝑁𝑁(𝐹𝐹(𝑡𝑡), 𝜎𝜎𝑁𝑁2 (𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)) 2
入れる一方、その他の情報を右辺にいれます。そのう
スワップションを行使した場合、10 年金利スワップ
𝐹𝐹(𝑇𝑇)~𝑁𝑁(𝐹𝐹(𝑡𝑡),𝜎𝜎𝑁𝑁 (𝑇𝑇 − 𝑡𝑡))
𝛽𝛽

2
𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑑𝑑𝑊𝑊1
∑[𝜎𝜎𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘,𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐹𝐹; =𝛼𝛼,𝛼𝛼(𝐹𝐹𝛽𝛽, 𝑣𝑣,+𝜌𝜌)]



𝑘𝑘∈𝐾𝐾
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼,=𝛽𝛽,𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊＊10） Corb（2012）では、σN≈F×σLN より良い近似として下記の近似式が紹介されています。
∑[𝜎𝜎𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘, 𝐹𝐹;𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]22
𝜎𝜎𝐵𝐵2 𝑇𝑇
2𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵 × (1 −)𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑇𝑇 𝑘𝑘∈𝐾𝐾
24
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎)𝐵𝐵 × (1 −24
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼(𝐹𝐹 +＊11） 実務的には TONA の複利を受け渡しますが、詳細は服部（
2020b）を参照してください。
＊12） 書籍によっては標準正規分布を n（∙）として、

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑==𝛼𝛼(𝑣𝑣𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴[(𝐹𝐹 − 𝐾𝐾)𝑁𝑁(𝑑𝑑)+ 𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇𝑛𝑛(−𝑑𝑑)]
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴[(𝐹𝐹 − 𝐾𝐾)𝑁𝑁(𝑑𝑑) + 𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇𝑛𝑛(−𝑑𝑑)]
という形で表現するケースもあります。
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊
𝑑𝑑𝑑𝑑




𝑑𝑑𝑊𝑊1
𝛽𝛽
ファイナンス 2021 Oct.

３．２ ノーマルおよびブラック・モデルにお𝑑𝑑 =𝐹𝐹 − 𝐾𝐾

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑊𝑊1 
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑
 𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 シリーズ 日本経済を考える 117
𝐹𝐹𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑𝜎𝜎𝑡𝑡 𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵
= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡
𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
1 −𝑑𝑑2/2

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 σ=N 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑒𝑒
+ 𝑑𝑑 金利モデルを（1）あるいは（2）という想定に基づき∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)]
えで、この式が成立するようなを数値的に計算し𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
√2𝜋𝜋
𝜎𝜎
≈
𝐹𝐹
×
𝜎𝜎

𝑁𝑁
𝐵𝐵
ます。この値がノーマル・モデルに基づいたIV（ノーボラティリティを解釈しているとみることができます。
 マル・ボル）です。なお、式（4）においてちなみに、特定のモデルに基づかない IV も開発さ
A が掛け
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹𝐹𝐹×−𝜎𝜎𝐵𝐵𝐾𝐾
1 −𝑑𝑑2/2
𝑑𝑑 =
られている理由は、スワップションが行使された場れており、これはモデル・フリー・インプライド・ボ
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =𝑒𝑒+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)]
𝜎𝜎𝑁𝑁𝐴𝐴𝜎𝜎√𝑇𝑇𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [√2𝜋𝜋合、n 年スワップを払うというポジションが生まれる
ラティリティと呼ばれます。具体的には VIX などで
1 −𝑑𝑑2/2

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛= 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇 [𝑒𝑒+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)]
ため、n 年間キャッシュ・フローが発生し、その時点
こ の 考 え 方 は 用 い ら れ て い ま す が、 詳 細 は 服 部
𝑇𝑇+𝑛𝑛
√2𝜋𝜋
𝐹𝐹 − 𝐾𝐾
時点のキャッシュ・フローを割り引いているためです。
（2020a）を参照してください。日本国債については
𝑑𝑑 =  𝐴𝐴 = ∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇
𝑡𝑡=𝑇𝑇+1
一方、ブラック・モデルに基づくと（式（1）に基日本国債 VIX が存在しますが、この場合、国債先物
 𝐹𝐹 − 𝐾𝐾
づくと）、ペイヤーズ・スワップションのプレミアム
オプションに基づき計算されるため、7 年金利の変動
𝑑𝑑 =
𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]𝑇𝑇+𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
は下記の通りになります（下記の式がブラック・モデ
を捉えています。米国ではスワップションのデータを
𝐴𝐴 = ∑
 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)ルに基づくスワップションの公式になります）。
𝑡𝑡=𝑇𝑇+1
𝑇𝑇+𝑛𝑛

用いたモデル・フリー・インプライド・ボラティリ

𝑘𝑘∈𝐾𝐾

ブラック・モデルですが、国債先物オプションの場合は∑[𝜎𝜎 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘, 𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]2

𝐵𝐵

日本経済を
考える

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1 
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 =ちろんスマイルは存在します。スマイルカーブの詳細𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2
ここで注意すべき点は、前述のとおり、ブラック・モは服部（2020a）を参照していただきたいですが、ス
∑[𝜎𝜎𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘, 𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]2
𝑑𝑑𝑊𝑊1マイルカーブとは、イールドカーブのように、縦軸に𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
デルでは金利がマイナスになると算出できなくなる点で
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 −𝑘𝑘∈𝐾𝐾
𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇  F）になった場合、マイナスの値す。金利がマイナス（
IV、横軸に権利行使価格をとることで、IV と権利行
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇 （F/K）の部分が𝑑𝑑𝑑𝑑 = 使価格の関係を図示することで𝛼𝛼(𝐹𝐹 + 𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1
に対数をとることができないため、ln
IV と権利行使価格の𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
2∑[𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘, 𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)] 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2
計算できなくなります。なお、上記はスワップションの関係を直感的に捉えるものでした。スマイルカーブを

連載

ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 2 /2
ティも開発されています＊13。
𝐴𝐴 =∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡) 𝐵𝐵 𝑑𝑑1 =𝜎𝜎
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑡𝑡=𝑇𝑇+1= 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1𝐵𝐵) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )] （5）
 

𝛽𝛽
４．
SABR
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )] = 𝛼𝛼𝐹𝐹
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑊𝑊1  モデル
ここで d1 とln(𝐹𝐹/𝐾𝐾)
d2 は下記の通りになります。
+ 𝜎𝜎𝐵𝐵2 /2
𝑑𝑑1 = 
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2
𝜎𝜎𝐵𝐵
４．
１ スマイルカーブの補間のデフォルトの
2
𝑑𝑑𝑊𝑊
𝑑𝑑𝑊𝑊
𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵 /2
1
2 =
ツール

𝑑𝑑1 =

𝜎𝜎𝐵𝐵

オプションが有する重要な問題としてボラティリ
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇
ティ・スマイルがありますが、スワップションにもも
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊
𝑑𝑑𝑊𝑊
1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
描く上で、マーケットでクオートされるデータを用い𝑘𝑘∈𝐾𝐾
A ＝ e －rT のケースに相当します（国債先物オプション
るわけですが、すべての権利行使価格のオプションの𝛽𝛽
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼(𝐹𝐹 + 𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑑𝑑𝑊𝑊 
1 におけるブラック・モデルについては服部（2020a）を価格が市場で見れるわけではないため、スマイルカー
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊
2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼(𝐹𝐹 + 𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 =ブを描くためには、カーブの補間が必要です。スワッ𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2 IV のカーブを補間する際、業界におけるおよびPayersPayers
ここで式の定義上、
プションの
Black
normal
𝑑𝑑𝑊𝑊1汎用的なツールとして
𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
と書きましたが、前述のとおり、スワップションのプ
SABR と呼ばれるモデルが用い


レミアムは
られています。例えば、Bloomberg でもスマイルカー
 1 つですし、権利行使価格なども同じ値に
なります。ノーマル・ボル（
σN）とブラック・ボル
ブを補間するツールとして SABR がデフォルトの設定
参照してください）。

（σB）の値や動きが異なる理由は、金利の動きに対すとされていますし、IHS Markit（マークイット）社

る想定が異なるためであり、その結果、オプションのが提供するデータでも SABR モデルが用いられていま公式である（4）あるいは（5）が異なるためです。そす＊14。そのため、スワップションに係る分析を始めるの意味で、ノーマル・ボル（σN）とブラック・ボル

場合、SABR モデルは実務家が必ず目にするモデルと（σB）とは、オプションのプレミアムなどの情報からいえます。

＊13） シカゴ・オプション取引所（CBOE）は、米ドルスワップションに基づく CBOE Interest Rate Swap Volatility Index（ティッカーは SRVIX）を提供しています。このインデックスの詳細や具体的な計算方法は CBOE のウェブサイトに掲載されている Fact Sheet や White Paper を参照してください。
＊14） Bloomberg では、線形補間や CEV モデルなど他の方法も選択できる仕様になっています。
ファイナンス2021 Oct.

61

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡= 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 
𝐹𝐹𝑡𝑡

筆者の意見では、スワップションの IV の補間におとされます。もっとも、ボラティリティが確率的なふいて SARB モデルが用いられる理由は、2 点あります。

るまいをするモデルも開発されており、これを確率的

1 点目は Hagan et al.（2002）が IV を近似的に求め

ボラティリティ（Stochastic Volatility, SV）といいまる式を導出したためです。実務で使う場合は、計算にす。三菱東京 UFJ 銀行（2014）によれば、ボラティリ

かかる時間が非常に重要になるのですが、Hagan et al.

ティ・スマイルを表現するためには、（1）ボラティリ

𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵

1 −𝑑𝑑2/2（2002）のモデルでは近似式（これをハーガン近似とティを時間以外の要素（現資産価格自身など）に依存
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃= 𝐴𝐴𝜎𝜎 √𝑇𝑇𝑒𝑒+ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁(𝑑𝑑)]
[𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

いいます）があるため、計算負荷が小さく、素早く計
算できます（近似式は BOX 1 を参照してください）
。

𝑁𝑁

√2𝜋𝜋

した関数とする、（2）ボラティリティに確率構造をいれる（原資産とは別のノイズをいれる）、（3）ジャンプ

𝐹𝐹 − 𝐾𝐾
また、これに付随して、市場慣行として活用されてい𝑑𝑑 =
𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇るブラック・モデルとの関係性が明瞭である点も指摘います。SABR モデルは、スマイルを捉えるため、（2）

ルと SARB モデルの関係が明示されています）。2 点研究においてモデルの開発や推定方法などかなり活発

目は、解析的に求められる性質に加え、その他のモデ
𝑡𝑡=𝑇𝑇+1に研究が進められていますが、SABR モデルは、SV が
め、実際の値に対してフィットが高まるためです。

かをみるため、ここから SABR モデルを具体的に見てできます（Hagan et al.（2002）では、ブラック・ボ
𝑇𝑇+𝑛𝑛

𝐴𝐴 = ∑ 𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡)ル（例えば CEV（Constant Elasticity of Variance）

項など追加的な項を加える、という拡張を必要としての観点で拡張モデルと解釈できます。実は SV は学術

金融実務で活用されている一例といえます＊17。

連載) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1どのようにボラティリティに確率構造が入っているモデル）に比べ、新たなパラメータが加わっているた

日本経済を
考える

ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵2 /2みましょう。SABR モデルでは下記のようなモデル化
そもそも補間するうえでなぜモデルが必要なのかと
𝑑𝑑1 =

𝜎𝜎𝐵𝐵
いう疑問を持たれる読者がいるかもしれません。たし
かにマーケットで見える IV を直線（線形）でつなぐ



を行います。

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1 というアイデアもあり、Bloomberg などではそのよ

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2

うな補間を選択することも可能です。イールドカーブを補間する際も、全く同じ問題があり、素朴に線形に

𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌


つなぐ方法もあればスプライン関数などを用いて補間するという方法があります＊15。素朴に直線で補間する
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇dF ＝ αF β dW1 をみると、αF βがウィーナー過程でのに対して、明示的なモデルを用いるメリットは、ある dW1 にかけられており、これがフォワード・レー

カーブのフィットを高めることや明らかな裁定機会を
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

トの変動を規定します。もっとも、α の動きは、dα

生む補間

＊16

∑[𝜎𝜎𝐵𝐵(𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘, 𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]2

を避けること等であり、実務的にもモデ𝑘𝑘∈𝐾𝐾

ルを用いた補間が普及しています。



４．２ SABR モデルは確率的ボラティリティ・
モデル
SABR モデルの特徴は、ボラティリティが確率に依

存する点です。債券市場の実務では、通常、ボラティ

リティは確率的ではなく、確定的（非確率的）な変数
＝ vαdW2 という形で別のウィーナー過程（dW2）に依存しますから、ボラティリティが確率的に動くことがわかります（ここでは再びウィーナー過程の動きは𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼(𝐹𝐹 + 𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1

正規分布に従うイメージを思い出してください）。こ𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2
こで α を σ という形で通常のボラティリティを示すパ
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
ラメータで記載したほうがわかりやすいと筆者は感じる の で す が＊18、SABR モ デ ル で は、S「A」BR がAlpha を意味するため、このモデルを紹介する場合、＊15） イールドカーブの補間は三宅・服部（2016）を参照してください。
＊16） SABR についてはマイナス金利の環境などでも裁定が発生しない Arbitrage-Free SABR が開発されています。詳細は Hagan et al.（2014）など
を参照してください。
＊17） スワップションは本文で本稿が説明する通り、SABR モデルが良く使われますが、実務では、（1）、（2）あるいは（1）と（2）の併用（Stochastic
Local Volatility Model, SLV モデル）が用いられることも少なくありません。SLV モデルの詳細は新原（2011）をご参照ください。
＊18） α を σ という形で通常のボラティリティのパラメータで表現することで、ノーマル・ボルやブラック・ボルとの関係が明瞭になります。また、CEV モ
デルでは α に相当する部分を通常、σ で表現しています。CEV モデルは BOX 3 を参照してください。

62

ファイナンス2021 Oct.

𝑡𝑡=𝑇𝑇+1



シリーズ 日本経済を考える 117

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]。SABR モデルと呼ばれてもそれに倣っています＊19）ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵2 /2
𝜎𝜎𝐵𝐵およびフォワード・レート与えた際の行使価格
k のブいる所以は、このモデルが確率的に従っていることにがキャリブレートされるパラメータです）。

𝑑𝑑1 =ボラティリティを α で表現することが通例です（本稿
ラック・ボルをσB（k,F；α,β,v,ρ）とします（α,β,ν,ρ

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2 
上記を前提とすると、実際にマーケットで取引され加え、α,β,ρ に基づくモデルであるからです（SABR は
Stochastic Alpha-Beta-Rho model の頭文字をとって

𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
るスワップションの行使価格は様々ですから、その行
使価格ごとに、両者の差をとり、その二乗の合計、すいます）。
各パラメータについてはノーマル（ブラック）・モ

なわち、𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇

デルやスマイルカーブの形状などの観点で解釈することができます。例えば、β＝ 0 の場合、dF ＝ αdW1 で∑[𝜎𝜎𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘, 𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]2  

すから、上記の式は（2）というノーマル・モデルに

𝑘𝑘∈𝐾𝐾

（6）



なります。また、β＝ 1 では、dF ＝ αFdW1 ですから、を計算することができます。キャリブレーションでは𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼(𝐹𝐹 + 𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

ブラック・モデルになります。そのため、βが 1 から

上式を最小化するようにパラメータ（α,β,v,ρ）を計算
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2 

0 へ行くにつれてブラック・モデルからノーマル・モ

します。これが SABR モデルにおけるキャリブレー
𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌

デルのような性質へシフトしていくと解釈できます。

ションのイメージです。例えば、ブルームバーグの

SABR モデルを説明したファイナンスのテキストで

えで、ATM の値を完全に一致させるという制約を課

レーダーを除き、推定されたパラメータを考えることしたうえで、マーケットで取引される値と最も誤差がは少ないという印象です。例えば、（執筆時点では）小さくなるようにパラメータをキャリブレートしていBloomberg でも推定したパラメータの値はユーザーます。

に公表されていません。そのため、パラメータの最低𝜎𝜎 (𝐾𝐾, 𝐹𝐹) =𝛼𝛼IV の値は Bloomberg などのベンダーが提供する値
𝑧𝑧
∙(
)

𝐵𝐵

日本経済を
考える

されます。もっとも、実務的には一部のクオンツやト連載

ツールである
Volatility Cube では、β＝ 0.5 としたうは各パラメータをどのように解釈できるかの解説がな

1−𝛽𝛽𝜒𝜒(𝑧𝑧)()(1 − 𝛽𝛽)2(1 − 𝛽𝛽𝑘𝑘 )4
𝐹𝐹
𝐹𝐹
限の解釈について BOX 2 で説明していますが、詳細(𝐹𝐹𝐹𝐹) 2 [1 +𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 を用いることが少なくありませんが、金融機関もレ
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙4 ( ) + ⋯ ]
( )+

24

𝐾𝐾

1920

𝐾𝐾

を知りたい人は Rebonato et al.（2009）や Crispoldi

ポートなどを通じてデータを提供しています。もっと(1 − 𝛽𝛽)𝛼𝛼1et al.（2015）などを参照していただければ幸いです。
∙ {1 + [+𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
2 − 3𝜌𝜌 2
も、スワップション市場の場合、国債などと比べて、+
𝑣𝑣 ] 𝑇𝑇 + ⋯ }

４．３

24

2

2

(𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽)4 (𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽)/2

キャリブレーションおよびデータ

242

市場価格のデータを得ることが困難である点が特徴です。スワップション市場のイメージは、各証券会社に𝜈𝜈
ここからどのように SABR モデルを推定するかを考

1−𝛽𝛽𝐹𝐹( スワップションのマーケット・メイクを担当するト)
2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( )ン＊20 といいます。例えば、ある行使価格 k のオプショがなされているというわけではありませんし（スワッ

𝑧𝑧 =

𝛼𝛼

(𝐹𝐹𝐹𝐹)

えていきますが、ファイナンスにおいて実際のデータ

𝐾𝐾レーダーがおり、その間をつなぐブローカーがいま22𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 − 𝜌𝜌
√1 − す。スワップションの場合、国債のような頻度で売買にパラメータを合わせることをキャリブレーショ
𝜒𝜒(𝑧𝑧) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ()
1 − 𝜌𝜌

ンがマーケットで取引されているとします。その行使

プションの場合、流動性が問題になりえる点について

価格 k のブラック・ボルを σB （k）とします。一方、は服部（2021）で議論しました）、そもそも常に売買

ハーゲン近似を用いれば、ブラック・ボルは SABR モがあるとは限らない OTC 市場（店頭市場）において𝐹𝐹(𝑇𝑇)~𝑁𝑁(𝐹𝐹(𝑡𝑡), 𝜎𝜎𝑁𝑁2 (𝑇𝑇MRK− 𝑡𝑡))



𝜎𝜎𝐵𝐵2 𝑇𝑇
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎−)
デルのパラメータ（
α,β,v,ρ
𝐵𝐵 × (1 ）及びその他のインプット
24

フェアな価格を得ること自体は非常に難しいことです（フォワード・レート）が定まれば算出できます（詳（この点は次回の論文で少し丁寧に説明します）。

細は BOX 1 を参照）
。そこで、ここでは、パラメータ

Bloomberg などのベンダーが提供する IV においては、



𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴[(𝐹𝐹 − 𝐾𝐾)𝑁𝑁(𝑑𝑑) + 𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇𝑛𝑛(−𝑑𝑑)]

＊19） ボラティリティは通常、σ で表すため、筆者は下記のように書くとわかりやすいと感じるのですが、SABR モデルにおいてこのように記載することはありません。

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝐹𝐹𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1 
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2 ＊20） 余談ですが、マクロ経済学では、Calibration を「カリブレーション」と訳しますが、ファイナンスでは「キャリブレーション」と和訳する傾向があります。ここではファイナンスの慣行に従っています。
ファイナンス2021 Oct.

63

証券会社などマーケット・メイカーを繋ぐブローカー

４．
４ ボラティリティ・サーフィス（キューブ）

が板を出しているため、そこで観察できる気配値（イ服部（2020a）では行使価格と IV の関係の理解をンディケーション）であるプレミアム（ないしそれを深めるために、イールドカーブのように、横軸に行使

ボラティリティに変換した IV）を、式（6）でいうと価格、縦軸に IV をとることで図表化することを議論）として用いることにな
ころの市場価格（σB （k）しました。服部（2020a）では、IV は ATM 周辺で値ります。そのうえで、SABR モデルのパラメータを前が小さく、アウト・オブ・ザ・マネーにいくにつれ述のような形でキャリブレートすることで、直接観察

IV があがることから、IV を縦軸、行使価格を横軸とすることができない IV を補間し、スマイルカーブを描して描いたカーブはスマイルのような形になると説明きます。

をしました。服部（2021）で説明したとおり、国債

MRK

ちなみに、債券などのデータを提供するマークイッ

先物オプションに比べ、スワップションの場合は、7。

年以外の年限が取引されていることに加え、1 年を超

マークイット社の強みは、Totem と呼ばれる IPV＊22

える満期のデータも取得できることから、単なる 2 次

支援サービスなど幅広い市場データに基づいている点

元のカーブではなく、3 次元を表現したボラティリです。その意味では、データのカバレッジが広いこと

ティ・サーフィスを描くことができます。

ト社もスワップションのデータを提供しています

＊21

連載
日本経済を
考える

に加え、データの取得先が透明であるという利点を有

例えば、図 3 は Blomberg で算出された円金利ス

しています。マークイット社は SABR モデルをキャリ

ワップションで算出されたボラティリティ・サーフィ

ブレートしたうえで、様々な IV の時系列データを提スです。図 3 では、縦に IV、横に行使価格（ストラ

供しています。具体的には、SABR モデルなどをベーイク）、奥行きにオプションの満期（満期日）をとっスに各スワップションの IV などを提供しており、例ていますが、この図をみると OTM にいくにつれて IV

えば、10 年の OIS を原資産とするスワップションにが上がっており、スマイルカーブが確認できます。市

ついて、ATM だけでなく、50bps アウト・オブ・ザ・

場参加者はこのようにサーフィスを図示して投資家がマネーの IV の時系列データなどを提供しています。

どのような期待形成をしているかを確認しています。
さらに、スワップションの場合、IV、満期、行使価

図 3 ボラティリティ・サーフィスのイメージ

注：Bloomberg の Volatility Cub を用いています。時点は 2021 年 9 月です。
出所：Bloomberg＊21） Bloomberg にせよ、マークイット社にせよ、スワップションの IV のデータを用いる場合は、これらのベンダーと契約を結ばなければいけない点が特徴です。国債のような現物の場合、財務省や日本証券業界などは無償でデータを提供しています。
＊22） IPV とは、Independent Price Verification の略であり、金融商品のポジションの公正価値算定の検証プロセスを指します。

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ファイナンス2021 Oct.

𝐾𝐾

𝑇𝑇

1

シリーズ 日本経済を考える 117

𝐷𝐷𝐷𝐷(0, 𝑡𝑡) 格に加え、年限も考えられますから、いわば 4 次元をという形で shift をいれることで原資産であるスワッ

考えることが可能であり、これをボラティリティ・

プ・レートをシフトさせます。例えば Bloomberg のキューブといいます。

ツールでもマイナス金利下でのスマイルカーブの補間

𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴[𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]４．５に お い て は、Shifted SABR が 用 い ら れ て い ま す

シフティッド SABR モデル（Shifted SABR におけるハーゲン近似についても shift

𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎𝐵𝐵2 /2 SABR モデルについてもマイナス金利が許容されて𝜎𝜎𝐵𝐵ないという問題点があります（SABR モデルにおけるF βは、F がマイナスである場合、実数に収まるとは限

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑊𝑊1 
らないので、マイナス金利は許与されていません
𝛽𝛽𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2
2 節ではシフティッド・ログノーマル・モデルを紹介− 𝜎𝜎𝐵𝐵 √𝑇𝑇

et al.（2015）などを参照してください）。
なお、これについても前述のとおり、どの程度シフトされるかは定める必要があります。例えば、Bloomberg
が提供するVolatility Cubというファンクションでは

1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
しましたが、SABR𝑑𝑑𝑊𝑊
モデルについてもシフティッド

SABR が実務では広く用いられています。シフティッ

ついてもマイナス金利を許容する様々なモデルが開発さ

ド・ブラック・モデルでは金利がマイナスであるとモれているため、詳細は Antonov et al.（2019）などをデルが使えなくなるため、金利をシフトさせてボラティ

参照してください。

200bpsとデフォルト設定がなされています。SABRに(𝑘𝑘) − 𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝑘𝑘,リティを評価するという方法でしたが、シフティッド
𝐹𝐹; 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝑣𝑣, 𝜌𝜌)]2
SABR モデルも同じ発想です。具体的には、

連載

𝑀𝑀

）
。

＊23

項が入ることで調整がなされますが詳細は Crispoldi

日本経済を
考える

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼(𝐹𝐹 + 𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑊𝑊1
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑊𝑊2

𝑑𝑑𝑊𝑊1 𝑑𝑑𝑊𝑊2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌

BOX 1 ハーガン近似について
ハーガン近似は下記の通りです。ここでのポイントは、SARB のパラメータ（α,β,ρ,ν）を与え、マーケッ
トで得られるフォワード・レート（F）を用いれば、行使価格（K）に対して、ブラック・ボルが決まる点です。数式の導出に関心がある人は原論文である Hagen et al.（2002）を参考にしてください。

𝛼𝛼𝑧𝑧
𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝐾𝐾, 𝐹𝐹) =∙ ( 𝑧𝑧 )
𝛼𝛼
1−𝛽𝛽
2
4
𝜒𝜒(𝑧𝑧)()(1 − 𝛽𝛽)(1 − 𝛽𝛽)𝜎𝜎𝐵𝐵 (𝐾𝐾, 𝐹𝐹) =)
2 𝐹𝐹
4 𝐹𝐹 ) + ⋯ ] ∙ (2(𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽𝜒𝜒(𝑧𝑧)) [1 +(1 −24𝛽𝛽)2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 (𝐹𝐹𝐾𝐾) +(1 1920
− 𝛽𝛽𝑘𝑘 )4 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 4 (𝐾𝐾
𝐹𝐹
2(𝐹𝐹𝐹𝐹)[1 + 24 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝐾𝐾) + 1920 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝐾𝐾) + ⋯ ](1 − 𝛽𝛽)2𝛼𝛼 21𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
2 − 3𝜌𝜌2 2∙ {1 + [(1 − 𝛽𝛽)2+
𝛼𝛼 2(1−𝛽𝛽) + 1
𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
2− 3𝜌𝜌2 𝑣𝑣2 ] 𝑇𝑇 + ⋯ }(1−𝛽𝛽)/2
24 𝑣𝑣 ] 𝑇𝑇 + ⋯ }∙ {1 + [ 24 (𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽) + 4 (𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽)/2 +24 (𝐹𝐹𝐹𝐹)
4 (𝐹𝐹𝐹𝐹)24
ここで z と χ（z）のように定義されています。
1−𝛽𝛽
𝜈𝜈
𝐹𝐹
(
)
2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( )𝑧𝑧 = 𝜈𝜈 (𝐹𝐹𝐹𝐹)(1−𝛽𝛽
𝐹𝐹
)
2
𝛼𝛼
𝐾𝐾
𝑧𝑧 = (𝐹𝐹𝐹𝐹)
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( )𝛼𝛼𝐾𝐾
√1 − 2𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝑧𝑧 2 + 𝑧𝑧 − 𝜌𝜌𝜒𝜒(𝑧𝑧) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (√1 − 2𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝑧𝑧 2 + 𝑧𝑧 − 𝜌𝜌 )
1 − 𝜌𝜌
𝜒𝜒(𝑧𝑧) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ()
1 − 𝜌𝜌

2 (𝑇𝑇𝐹𝐹(𝑇𝑇)~𝑁𝑁(𝐹𝐹(𝑡𝑡), 𝜎𝜎− 𝑡𝑡))
𝑁𝑁

𝐹𝐹(𝑇𝑇)~𝑁𝑁(𝐹𝐹(𝑡𝑡), 𝜎𝜎𝑁𝑁2 (𝑇𝑇 − 𝑡𝑡))




𝜎𝜎𝐵𝐵2 𝑇𝑇
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵 × (1 −𝜎𝜎 2 𝑇𝑇 )
𝐵𝐵
𝜎𝜎𝑁𝑁 ≈ 𝐹𝐹 × 𝜎𝜎𝐵𝐵 × (1 − 24 )
24＊23） 正確には、β＝ 0 の場合、前述のとおり、ノーマル・モデルになるため、β＝ 0 の時のみマイナス金利でも活用できるといえます。



𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴[(𝐹𝐹 − 𝐾𝐾)𝑁𝑁(𝑑𝑑) + 𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇𝑛𝑛(−𝑑𝑑)]
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴[(𝐹𝐹 − 𝐾𝐾)𝑁𝑁(𝑑𝑑) + 𝜎𝜎𝑁𝑁 √𝑇𝑇𝑛𝑛(−𝑑𝑑)]



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BOX 2 SABR モデルにおける各パラメータの解釈
本稿で説明したとおり、ファイナンスのテキストでは、SABR モデルにおける各パラメータをどのように解釈したらよいかについて解説がなされますが、典型的にはパラメータを変えた場合、スマイルカーブ
がどのように変化するかを見せることで解説します。以下では簡易的に各パラメータの解釈について説明します。

アルファ（α）の解釈
αはそもそもボラティリティを示していましたが、確率ボラティリティの初期値（t ＝ 0 時点の値）になります。これは、スマイルカーブの水準を動かす（パラレルにシフトさせる）パラメータです。

ベータ（β）の解釈
βはスマイルの傾きを捉えるパラメータです。βは 0 から 1 の値をとりますが、1 から 0 になるにつれてスマイルの傾きが急になります。市場慣行ではβは 0.5 とされる傾向があります＊24。本文でも説明しま
したが、Bloomberg の Volatility Cube というツールでもβ＝ 0.5 と設定されています。Crispoldi et al.
（2015）では実際にキャリブレートした場合、0.3〜0.5 程度の値をとる、としています。

ニュー（ν）の解釈：ボル・オブ・ボル

連載
日本経済を
考える

ν はボラティリティ（α）にかかっているため、これはボラティリティの変動度合いを捉えるパラメー
タです。そのため、ν は「ボラティリティのボラティリティ（ボル・オブ・ボル）」と呼ばれます。ν の解釈は、スマイルの曲がり具合（曲率、curvature）を示し、ν が小さくなるにつれ、スマイルカーブの曲がβ
り具合が平らに近くなります。ν ＝ 0 とした場合、dF ＝ αF dW1 のみになりますが、この場合、CEV モβデルといいます。これは dW1 に αF が掛けられているとみれば、ボラティリティが金利水準（F）に依存するモデルといえます。CEV と SABR の対応関係を考えると、SABR モデルは CEV モデルのボラティリ
ティに確率を導入して拡張したと解釈できます。CEV モデルについては BOX 3 を参照してください。
ロー（ρ）の解釈

ρ は dW1 と dW2 の二つの確率的な動きの相関を定めるパラメータであり、− 1 から 1 の間の値をとります。Crispoldi et al.（2015）によれば、ρ は多くの市場において負の値をとりますが、このことはフォワードレートの低下（上昇）とボラティリティの増加（低下）の関係があるということを意味します。ρ
はスキューに影響を与えるパラメータであり、ρ のマイナスが大きいほどスマイルの傾きが急になるという効果をもたらします。

BOX 3 ローカル・ボラティリティ・モデル
ファイナンスのテキストでは、SABR モデルの前に CEV モデルが紹介されます。CEV モデルは、Coxand Ross（1976）が提案したモデルですが、ブラック・ショールズ・モデルについて、スキューを表β現するために拡張したモデルといえます。CEV モデルとは dF ＝ σF dW というモデルでしたが、具体的には、β＜ 1（β＞ 1）のとき、原資産の価格が下落（上昇）するとボラティリティが高くなり、左裾（右裾）が厚くて右裾（左裾）が薄い分布となり、スキュー表現することが可能できます。また、CEV モデル
は解析解が存在しており、計算負荷が小さく、素早く計算できるというメリットも有しています＊25。この観点では、SABR モデルは、CEV モデルのボラティリティに確率を導入することで、ボラティリティ・
スマイルを表現しながら、フィットを上げることを企図した自然な拡張と解釈することができます。
＊24＊25＊24）例えば、ジョン・ハル教授も 2016 年に記載した Interest Rate Models and Negative Rates の中で users generally select a value for βas β＝ 0.5 と記載しています。Rebonoto et al.（2009）ではβ＝ 0.5 としている理由としてその他のパラメータを安定化させるために市場参加者が工夫している慣習に近いものであり、「the choice of β＝ 0.5 has more of a ʻsociologicalʼ or game-theoretical explanation（selfreinforcing coordination of tradersʼ behaviour）than a fundamental one（ in terms of market informational efficiency）」（p.70）としています。なお、β =0.5 の場合、dF ＝ α√F dW1 となりますが、これを squared root CEV model と呼ぶことがあります。
＊25）CEV モデルの詳細は、ハル（2014）の p.980-891 を参照してください。

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シリーズ 日本経済を考える 117

数理ファイナンスのテキストでは、CEV モデルは「ローカル・ボラティリティ・モデル」と整理されます。ローカル・ボラティリティ・モデルとは、ボラティリティが時間と原資産価格の関数で表現されるモデルを指し、CEV モデルは最もシンプルなローカル・ボラティリティ・モデルと整理されます。もっとも、金融市場の実務家はローカル・ボラティリティ・モデルといった場合、Dupire の公式などノンパラメト
リック（あるいはセミパラメトリック）にボラティリティの関数形を定めるモデルを想定する傾向にあります（CEV モデルはパラメトリックにボラティリティの関数形を定めるモデルといえます）。
本稿ではこれらの詳細は省きますが、ローカル・ボラティリティ・モデルは三菱東京 UFJ 銀行（2014）
や櫻井（2016）などを参照してください。なお、ダーマン（2005）ではボラティリティ・スマイルに実務家として直面する中で、スマイルを表現するモデルを開発した体験が生々しく記載されています（ダーマンが開発した Derman and Kani モデルもローカル・ボラティリティ・モデルとして著名なモデルです）。

５．終わりに
本稿では、スワップションに係るモデルについて実の詳細や発展的なモデルについては大学院レベルの数の分野の全体像やモデルの詳細を知りたい読者は、これを説明したテキストが膨大にあるため、関連文献（例
えば Rebonato et al.（2009）、Crispoldi et al.（2015）、
Antonov et al.（2019）、三菱東京 UFJ 銀行（2014）、
木島・藤原（2019）、竹原（2020）など）を参照してください。
これまで二回にわたりスワップションについて説明しましたが、次回は LIBOR 不正操作を発端とした金利指標改革について説明していきます。
参考文献．木島正明・藤原哉（2019）「リーマンショック後の金融工学」［1］

Credit Pricing Corp

Former Physicists and Mathematicians Springer.

［13］．Corb, H.（2012） Interest Rate Swaps and Other

Derivatives Columbia Business School Publishing［14］．Cox, J., Ross, S.（1976） The valuation of options

for alternative stochastic processes Journal of
Financial Economics 3（1-2）, 145-166.
［15］．Crispoldi, C., Wigger, G., Larkin, P.（2015） SABR
and SABR LIBOR Market Models in Practice：With
Examples Implemented in Python Palgrave
Macmillan.
［16］．Dimitroff, G. Fries, C., Lichtner, M., Rodi, N.（2016）
Lognormal vs Normal Volatilities and Sensitivities inPractice Working Paper.
［17］．Hagan, P., Kumar, D., Lesniewski, A., Woodward, D.
（2002） Managing Smile Risk Wilmott 84-108.
［18］．Hagan, P.., Kumar, D., Lesniewski, A., Woodward, D.
（2014） Arbitrage-Free SABR Wilmott 60-75.
［19］．Rebonato, R., McKay, K., White, R.（2009） The
SABR/LIBOR Market Model：Pricing, Calibrationand Hedging for Complex Interest-Rate Derivatives
Wiley.

日本経済を考える

理ファイナンスの知識が必要になります。そのため、こ連載務で必要となる知識を中心に説明をしました。モデル［10］．ジョン・ハル（2016）「フィナンシャルエンジニアリング〔第 9 版〕―デリバティブ取引とリスク管理の総体系」きんざい［11］．三宅裕樹・服部孝洋（2006）「イールド・カーブ推定の動向―日本における国債・準ソブリン債を中心に―」『ファイナンス』11 月号、65-71.
［12］．Antonov, A., Konikov, M., Spector, M.（2019）Modern
SABR Analytics：Formulas and Insights for Quants,［2］．櫻井豊（2016）「数理ファイナンスの歴史」きんざい．新原祐喜（2011）「確率局所ボラティリティ・モデルのもと［3］でのヘッジ戦略：最尤経路を利用したバリア・オプションの静的ヘッジ」IMES Discussion Paper Series 2011-J-5［4］．竹原浩太（2020）「マイナス金利モデルについて―金利デリバティブの視点から―」『オペレーションズ・リサーチ』65（7），381-388.
［5］．三菱東京 UFJ 銀行（2014）「デリバティブ取引のすべて〜変貌する市場への対応〜」きんざい．エマニュエル・ダーマン（2005）「物理学者、ウォール街を［6］
往く。―クオンツへの転進」東洋経済新報社．服部孝洋（2020a）「ボラティリティ・スマイルとスキュー―［7］
日本国債市場における正規分布から乖離した動きについて―」『ファイナンス』6 月号、47-55.
［8］．服部孝洋（2020b）「金利スワップ入門―基礎編―」『ファイナンス』8 月号、56–65.
［9］．服部孝洋（2021）「債券（金利）オプション入門−スワップ
ションについて−」『ファイナンス』8 月号、49-60.
ファイナンス2021 Oct.

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