過去の「シリーズ日本経済を考える」については、
財務総合政策研究所ホームページに掲載しています。
http://www.mof.go.jp/pri/research/special_report/index.html

シリーズ
日本経済を考える

コンベクシティ入門―日本国債における価格と金利の非線形性―東京大学 公共政策大学院／財務総合政策研究所

107 服部 孝洋＊1１．はじめに 1＊の価格低下は 35% より小さな値になるのです。本稿で説明するとおり、国債のコンベクシティはデュレー

連載「金利リスク入門―デュレーション・DV01（デルションのおおよそ 2 乗の値になりますから、特に生命タ、BPV）を中心に―」（服部、2020c）では最も代保険会社など超長期債を保有する投資家にとって重要

表的な金利リスクの指標であるデュレーションについ性が高い概念といえましょう。

日本経済を
考える

て解説を行いました。デュレーションとは金利が変化

もっとも、従来の債券テキストではコンベクシティ

した時、どの程度国債の価格が低下するかを示すものの説明があまり丁寧に行われていないためか、実は債であり、国債のような固定利付債の場合はおおよそ年

券市場に長く携わった人でもなぜ債券にコンベクシ

限と一致するなど、便利な性質があります。デュレー

ティが存在するかを直感的に説明することは必ずしもションを用いれば金融機関が有する国債の金利リスク

容易ではありません。そこで本稿では紙面を割いてコ量を簡易的に計測できるなど実務的に様々な場面で用ンベクシティを説明することで、その直感について正いられています。

面から取り上げようと思います。本稿では日本国債の服部（2020c）で強調したようにデュレーションはコンベクシティについて具体例を挙げて議論をすると金利の微小の変化に基づく概念です。逆に言えば、仮ともに、生命保険が有するコンベクシティなど具体的に金利が大きく変化した場合、デュレーションのみにな事例を取り上げます。また、正確な理解のため数式基づき計算すると誤った価格変化が算出される可能性

を用いた説明も行います。なお、本稿は服部（2020c）

があります。実は、デュレーションは金利水準に依存で説明した概念を前提としているため、本稿を読む前

し、このことを捉える概念として「コンベクシティ」にそちらをご一読いただければ幸いです。

があります。例えば、読者が 40 年国債を保有しており、金利が 1% 上昇した場合を考えてみます。40 年債のデュレーションが 35 であるとすると、デュレー
ションのみを考慮すると（デュレーションは金利が動いた時の価格の感応度でしたから）35×1%=35% の価格低下という予測が立ちます。しかし、実際には金利が上昇する中で金利リスク（デュレーション）が低下するというコンベクシティの効果も考慮すると実際＊1） 本稿の意見に係る部分は筆者の個人的見解であり、筆者の所属する組織の見解を表すものではありません。本稿の記述における誤りは全て筆者によるものです。また本稿は、本稿で紹介する論文の正確性について何ら保証するものではありません。本稿につき、コメントをくださった多くの方々に感謝申し上げます。

66

ファイナンス2020 Dec.

シリーズ 日本経済を考える 107

ションは左下図のように金利と価格の間に線形の関係

２．コンベクシティとはがあると想定した概念です。デュレーションは前述の

２．１ 金利が変化した時のデュレーションのとおり、金利が動いた時の価格変化率でしたから、こ変化の傾きが金利感応度（デュレーション）に相当しま

これまでデュレーションや DV01 など微小な変化にす。左図の場合、金利がどのような水準でもその傾き伴う金利リスクを考えてきました。もっとも、金利がは一定ですからデュレーションは金利の水準に依存し大きく変化した場合の価格の変化を算出しなければなていないと想定しています。

による銀行勘定の金利リスクの計測では円金利が10 年国債のデュレーションは 9.8 程度です。デュレー

100bps（＝ 1%）上昇した場合の損失量を算出するこションは金利の微小の変化に伴う価格の変化率でしたとが要請されています。この場合、DV01 で 1bps 動から、たとえば 1bps（=0.01%）金利が上昇すると、いた時のリスク量が算出できることを考え、DV01 を

価格は 0.098% 低下することになります。仮に金利と100 倍することで、100bps 金利が上昇した場合の損

価 格 の 関 係 が 左 図 の よ う な 形 で あ れ ば、100bps

失量を考えることが一案です。もっとも、注意すべき（=1%）の金利上昇の場合、国債の価格は 9.8%（1bps

ことは、服部（2020c）で記載したとおり、DV01 はの金利上昇の 100 倍に相当）低下することになりま

微小な金利の変化で定義されており、実は金利が大幅す。デュレーションのみをもちいて金利感応度を計算に上昇した際の価格変化は単純に DV01 を比例させた

した場合、いわば、左図のような線形の関係を想定し値にならない点です 。

てリスク量を算出していることになるわけです。

＊2

冒頭で強調しましたが、デュレーションの大きさはしかし、実際の金利と価格の関係はこのような直線

金利水準の大きさに依存します。すなわち、同じクー（線形）の関係ではなく、図 1 の右側のようにカーブ

ポンと償還をもつ債券であっても、金利が 3% ついてを描きます。これをカーブの曲がり具合を表す概念をいる世界と 1% ついている世界では、デュレーション

用いて「コンベクシティ」と表現します。このようにの値そのものが変わるのです。結論を先にいえば、金金利と価格の間に下に凸の関係性がある場合、図 2 に利が高い水準にあればデュレーションは（相対的に）記載しているとおり、金利が低い場合、傾きは大きい

低い値をとりますし、金利が逆に低い水準にあれば、ためデュレーションは相対的に高い一方、金利が高い

デュレーションは（相対的に）高い値をとります。

場合は傾きが小さいため、デュレーションは相対的に

図 1 は縦軸に国債の価格、横軸に利回りをとること

日本経済を
考える

例えば、服部（2020c）で記載したとおり、現在の連載

らない時も少なくありません。例えば、バーゼル規制

小さくなります。

で、国債価格と金利の関係を示しています。デュレー
図1

デュレーションとコンベクシティの関係
価格

価格
デュレーションで想定している金利変化と価格の関係

実際の金利変化と価格の関係

コンベクシティ大コンベクシティ小
利回り

利回り＊2） 銀行の場合、保有している債券の年限が短く、コンベクシティが小さいこともあり、実務的には DV01 や 1BPV を 100 倍した値が用いられることも少なくありません。
ファイナンス2020 Dec.

67

ティという概念に触れるのですが、実はなかなか直感

図 2 金利水準とデュレーションの関係
価格的に理解しにくい概念です。筆者もこの原稿を記載す
金利が高い時、傾きは大きく
デュレーションは大きい。

るにあたり、多くの実務家と会話しましたが、債券にコンベクシティがあることを直感的に説明することが容易ではないことに改め気づかされました。

金利が低い時、傾きは小さく
デュレーションは小さい。

よくある説明は、債券価格が 0 円以下にはならない
ことに着目したものです。もし仮に図 3 のように金利と価格は線形の関係にあり、コンベクシティがなかったとしましょう。この場合、金利が上昇するにつれ、

低い金利

高い金利

利回り

いつか価格が 0 円以下になってしまいます。しかし、価格がマイナスになるとは、お金をもらって利回りを

連載
日本経済を
考える

デュレーションを金利が変化した時の「債券価格の生む債券を購入できることを意味するため、これは現変化」とするならば、コンベクシティとは金利が変化

実的ではありません。このことを考えると、金利が上した際の「デュレーションの変化」です。このようにがるにつれて傾きが低下していく（つまりデュレー

デュレーションは金利の水準に依存するため、コンベ

ションが低下していく）効果が生まれる必要があり、クシティを有する国債は、金利が大きく上昇した時

これが金利と価格の非線形の関係を生み出します。こは、金利が上昇する過程でデュレーションが徐々に低のように解釈すれば、債券価格には 0 円というフロア

下する効果が発生します。金利が上昇する中で、コンのオプションがあることがコンベクシティという価値

ベクシティがあることにより徐々にリスク量が低下しを生んでいると解釈することができます。これはコンていくことになりますから、コンベクシティはいわば

ベクシティがないと矛盾が出ることを示すといういわ

価格低下のクッションとして働きます。その一方、金ば背理法のような説明です。

利が低下した時はデュレーションが大きくなる効果があるため、金利低下に伴う価格上昇はより大きくなります。このように金利が上がっても、下がってもコン

図 3 金利水準とデュレーションの関係（コンベクシティがなかった場合）
価格

ベクシティは国債のロングの投資家にとってプラスに働くと解釈することもできます＊3。
ちなみに、国債など大部分の債券はこのような性質を有しますが、債券の中には金利が上がる（下がる）

債券価格と利回りが仮に完全に線形の関係であれば債券価格がマイナスになってしまうと逆に、デュレーションが上がる（下がる）ものもあります。このような債券は負（ネガティブ）のコンベ
クシティを持ちます。ネガティブ・コンベクシティについては BOX 1 を参照してください。

利回り

２．２ なぜ債券にはコンベクシティがあるか：
債券価格のゼロフロアを使った説明
債券のテキストではコンベクシティはこのくらいの

２．
３ なぜ債券にはコンベクシティがあるか：割り引くこととコンベクシティの関係

説明で終わることが通常です。ここから、なぜそもそこれで納得される読者もいるでしょうが、ここではも債券にはコンベクシティがあるのかを考えていきた

もう少し直接的にコンベクシティを考えるため、次のいと思います。債券市場に携わると必ずコンベクシ

ようなケースを考えてみましょう。例えば、私（筆＊3） ぺデルセン（2019）でも、「ロングの投資では、利回りが変化する際に大きなコンべクシティであることが望ましい」（p.346）と記載しています。

68

ファイナンス2020 Dec.

シリーズ 日本経済を考える 107者）がクーポン 1% を有する 100 円の 1 年国債に投資スでいえば、1 円ではなく、0.98 円を読者に渡せばよしていたとしましょう。この場合、私は 1 年待てば、

いということになるわけです。これは 1% の金利上昇

クーポン 1 円と元本 100 円を受け取ることができますに対して、（100 円の 1％分に相当する）1 円の損失で（簡単化のためクーポンが年 1 回払いとしています）。

はなく、0.98 円の損失にとどまっているわけですか

しかし、私がこの債券を購入した後、急に金利が上昇

ら、いわば非線形の関係が生まれてきているわけでし、1 年債の利回りが 2% に上昇したとします。これす。これがまさにコンベクシティの効果です。このよは政府が 2% のクーポンを有する国債を 100 円で発行

うにして考えると、我々がそもそも割り引くという行する状況へと市場が変化したことを意味します。そこ

為をおこなうがゆえ、債券のコンベクシティが発生すで、読者は（筆者とは異なり）クーポン 2% を生む 1

るということがわかります。

年債を 100 円で購入できたとしましょう。
き換えに 2％のクーポンを生む国債が欲しいですが、この議論を発展させれば、金利の高い国債ほどコン

読者はもちろんただでは渡したくありません。それでベクシティが大きいことが示せます。先ほどは 1% 金

は私は読者にいくら払って交換すべきでしょうか。ま利上昇を考える際、1％の 1 年債を考えました。今度ず、1％のクーポンを生む国債と 2％のクーポンを生は私が金利 10％の 1 年国債を購入して、すぐに 1％だ

む国債は 1 年後それぞれ 1 円、2 円のクーポンを生みけ金利が上昇したとしましょう（先ほどと同様、読者出しますから、キャッシュ・フローの違いは 1 円になは金利上昇後に 1 年国債を購入できたとします）。1

ります。そこで、仮に私が読者に 1 円を支払って、年債の金利が 10% から（先ほどと同様）1% 上昇した

2% のクーポンを生む国債を読者と交換したとします。

場合、私は（1％金利が高い）金利 11％の 1 年国債がこの場合、私はこの金利上昇に伴っていわば 1 円損し欲しいですが、読者はただでは渡したくありません。

たと解釈できますから、保有していた国債の価格が先ほどの事例では 1 年 2％で運用しましたが、今回は100 円から 99 円に低下したと解釈できます。これは金利が 11％であるため、1 年 11% で運用できますか

金利 1％上昇に対して、ちょうど 100 円の 1% に相当

ら、1 円の現在価値は 1/（1+0.11）≒ 0.9 となります。

する 1 円分低下しているわけですから、図 1 でいえば、先ほどの事例では 1 年債が 1% の金利上昇をした場合、

左図のように線形の形で低下していると解釈できます。

現在価値は 0.98 であったことを思い出すと、同じ 1％

これは金利と価格に線形の関係（つまりデュレーショ

の金利上昇であっても、1 円の現在価値は 0.98 円かンのみを想定する関係）があることを意味しています。

ら 0.9 円へと低下しており、この交換で私が支払う価

もっとも、私はこのような取引には応じません。な

格は 0.98 円から 0.9 円へと縮小しています。その意

ぜなら、私は今の 1 円と将来の 1 円の価値が違うこと

味で、（100 円の 1％分に相当する）1 円に比べ、そのを知っているからです。今 1 円を得られれば、1 年間損失分が一層小さくなりますから、金利水準が高いと運用できますから、それが金利を生みます＊4。そのた

非線形性がより一層大きいことがわかります。このこめ、（私が保有する 1％クーポンの国債に対して）1 年とからコンベクシティは金利が高いほど大きいことが後 1 円高いクーポンがもらえる国債に対して 1 円支払

わかりますが、これは金利が高ければ将来のキャッうくらいであれば、その 1 円を 1 年間運用したほうがシュ・フローに対して、私たちはより強く割り引くこよいという判断をするわけです。逆に言えば、私と読とから来ているわけです。

者が折り合える価格は、1 年運用してちょうど 1 円に年限が長い国債についてもコンベクシティが大きく相当する現在の価格（つまり、1 円を金利で割り引いなります。私が金利 1％の（1 年債ではなく）10 年国た価格）になります。ここで割り引く金利を 2% とす

債を今購入して、すぐに 1％だけ金利が上昇したとしるならば、1/（1+0.02）≒ 0.98 ですから、先ほどのケーましょう（先ほどと同様、読者は金利上昇後に 10 年

日本経済を
考える

２．４ コンベクシティと金利水準・年限の関係

連載

もちろん私としては 1％のクーポンを生む国債と引＊4） 実際に現在の円金利の中にはゼロあるいはマイナスになっているものもありますが、ここではコンベクシティの一般的な説明を行うため、金利が正であることを想定しています。
ファイナンス2020 Dec.

69

国債を購入できたとします）。先ほどの例と同様、私今 10 円受け取れば、10 年間複利で運用できるため、は読者のもつ（1％金利が高い）金利 2％の 10 年国債

10 年後 10 円以上得ることができるからです。この場と交換したいわけですが、読者はただでは渡したくあ合、複利の効果があるため、10 円はより一層大きなりません。10 年債における 1% の金利上昇の場合、金額になり、このことは将来を大きく割り引く効果を

デュレーションが 10 であるとすれば、非線形性を勘持ちますから、非線形性はより大きいことにつながり案しなければ（100 円の債券に対して）10 円だけ価ます。このことは、コンベクシティは 1 年国債より、格低下することに相当します。しかし、筆者はこの交

例えば 40 年国債など年限が長い国債のほうが大きい

換に際し、10 円支払うことはありません。なぜなら、ことを意味します。

BOX 1 ネガティブ・コンベクシティ
債券の中には、負のコンベクシティを持つ債券もあります。その最も代表的な債券が不動産担保証券（Mortgage-Backed Securities, MBS）です。MBS は、金利が低下すると担保となる住宅ローンの借り換えが生じ、年限が短くなる効果が生まれるため、負のコンベクシティを有します。例えば、MBS 市場において金利が低下（上昇）した場合、MBS は負のコンベクシティを持つため、（国債など正のコンベ
クシティを持つ債券とは異なり）デュレーションが低下（上昇）します。負のコンベクシティが興味深
連載

い点は、MBS を有する投資家は自らが有する金利リスクが変化してしまうため、この調整のためには、

日本経済を
考える

例えば米国債や金利スワップをロング（ショート）することで金利リスクをとる（減らす）必要が生まれる点です（このようなヘッジをコンベクシティ・ヘッジといいます）。これは金利が下がった（上がった）場合（すなわち、債券の価格が上がった（下がった）場合）、コンベクシティ・ヘッジのためさらに債券を買う（売る）メカニズムを生むため、金利の動きが増幅する効果を持ちます。米国の MBS 市場は
巨大な市場であるため、金利が大きく動いた時、MBS のコンベクシティ・ヘッジで市場が動いたと説明されることは少なくありません。四塚（2005）は、「近年の米国市場において、政府系金融機関やヘッ
ジファンドなどによるコンベクシティ・ヘッジは国債市場やスワップ市場を揺るがす規模にまで拡大しており、いまや MBS アービトラージを理解せずに米国債券市場を理解することはできないと言っても過言ではない」（p.11）と指摘しています。なお、タックマン（2012）では負のコンベクシティを持つ証
券としてコーラブル債を例に挙げていますが、同じメカニズムで金利が下がることによりコールがかかる確率が上がることがデュレーションを低下させる要因となり、負のコンベクシティを生みます。

たが、前述のとおり、コンベクシティは金利が変化し

３．コンベクシティのフォーマルな定義
３．１

た際のデュレーションの変化分になります。デュレー

数式を用いたコンベクシティの定義

ションを D= －1
P

dPという微分を用いた概念で定義
dr

服部（2020c）で説明したとおり、デュレーション

すると、コンベクシティは金利が変化した際のデュとは金利（r）が変化した時の価格（P）の変化でしレーションの変化ですから＊5、下記の式がコンベクシ

{

1 dP

} （ dP ）2

drdD
dD d P dr
1 d 2P
1 dP 2＊5） 厳密には−が C になるわけではありません。計算すれば、−
=
=−
+
=−
+ C = −D 2+C となります
dr
dr
dr
P2
P dr 2P dr
1dD
1 d（PD ）（ を r で微分したとしても 0 になるわけではないことに注意。）。C は−とは一致せず、正確には C = −として求められます（この脚
dr
P
P
dr

（

注を記載するにあたり、財務総合政策研究所客員研究員の石田良氏のサポートを得ました。記して感謝申し上げます。）

70

ファイナンス2020 Dec.

）

シリーズ 日本経済を考える 107

ティ（C）になります＊6。
1
C≡
P

シティまで加味すると、デュレーションが 27.25、コンベクシティが 798.1 ですから、式（2）を用いれば、

d2P

dr2

（1）

∆ P/P= － 27.75 ∆ r+

798.1
2
（∆ r）
になります。∆ r が2

金利上昇部分ですが、例えば、1% の金利変化であっまた、テイラー展開を用いれば、金利が変化した場

た場合、－ 27.75×1%+

798.1
2
（1%）
= － 23.76% とな
2合の国債の価格の変化について、デュレーションだけり、コンベクシティがあることにより、価格の下落がでなくコンベクシティまで考慮した場合、下記の式が小さくなることがわかります。

成立します（この式も債券のテキストに必ず記載がある関係式ですが、数式を使った導出は 4 節を参照して会社の事例ください）。

服部（2020c）の BOX 1 で説明したとおり、生命∆P
12
= － D ∆ r+ C（∆ r）
P
2

３．２

３．
３ コンベクシティ活用の場面：生命保険（2）

保険会社が資産側と負債側のデュレーションをマッチさせるという形で Asset Liability Management（ALM）

図 4 は 2 年から 40 年国債のコンベクシティのデュから資産サイドのデュレーションを伸ばしてきました

レーションとコンベクシティの値を示しています。

が、これは具体的には 30 年や 40 年国債など年限の長

デュレーションは年限が長くなるに比例して大きくい国債の購入を積極化させることでリスク管理を行っなっていきますが、コンベクシティも長い国債ほど大てきたわけです。もっとも、資産と負債の金利リスク

きいことが確認できます。服部（2020c）で強調したをマッチさせるという意味でいえば、ALM ではデュ

ように国債のデュレーションはおおよそ年限（平均回レーションだけでなく、コンベクシティもマッチさせ収期間）というイメージでよいですが、コンベクシた方がより望ましいリスク管理といえます。事実、ティについては平均回収期間の二乗というイメージにタックマン（2012）でも、「金利変動の影響を抑えよ

なり、コンベクシティは長くなればなるほど二次関数

うとする場合、デュレーション単体よりも、デュレー

的に増大しています（図 4 で概ねそうなっていること

ションとコンベクシティの両方を利用したほうが高いをご確認ください。国債のコンベクシティは平均回収

ヘッジ効果を得られるということである」（p.113）と期間のおおよそ二乗になる理由は 4 節で議論します）。

指摘しています。
生命保険会社が販売する商品には、例えば、終身保

図 4 日本国債のデュレーションとコンベクシティ
デュレーション
コンベクシティ

2年
1.95
4.6

5年
4.83
25.4

10 年
9.79
100.3

20 年
19.04
380.0

日本経済を
考える

を行っています。実際、生命保険会社は ALM の観点

連載

日本国債の有するコンベクシティの値

30 年
27.25
798.1

40 年
35.67
1377.5険のように非常に年限の長い契約もあります。実際、年限の長い終身保険のコンベクシティは、実務家の試算によっては 2,000 を超えるようなケースもあります

注：これは 2020 年 9 月のカレント銘柄について Bloomberg の算出値を参照しています。コンベクシティの値は Bloomberg における金利変化が％表示になっていることを調整するため、Bloomberg の値を 100 倍した値になっています。この
詳細は 4 節を参照してください。

（終身保険のコンベクシティが債券より長くなる可能

図 4 の数字を使って、30 年の日本国債について 1％て、終身保険など年限の長い商品を提供している生命の金利上昇があった場合、コンベクシティが国債の価保険会社はコンベクシティの大きな負債を有している

格低下にどのような影響を与えるかを考えてみましょと解釈できます。服部（2020c）で指摘したとおり、う。仮にデュレーションだけを考えることにすると、生命保険会社はデュレーションのミスマッチがあり、デュレーションが 27.25 ですから、1% の金利上昇に時間をかけてマッチングを進めていたわけですが、実より 27.25% の価格低下となります。一方、コンベク

はコンベクシティという観点でもミスマッチがあった性については 4.3 節を参照してください）。したがっ＊6） 服部（2020）では DV01 やベーシス・ポイント・バリューをデルタと呼ぶと説明しましたが、オプションでは、デルタの変化率をガンマと呼びます。
∂ 2Vと定義されます。ここではコンベクシティは債券価格に対する金利の 2 階微分オプションの価値を V 、原資産の価格を P とするとガンマはγ =∂P 2と説明していますが、金利を債券のデリバティブだと解釈すれば、コンベクシティはガンマそのものであることが理解できます。
ファイナンス2020 Dec.

71

わけです。

ここで∆ P CTD/ ∆ r×0.01% は 7 年国債の（チーペス

生命保険会社が抱えるコンベクシティのミスマッチト ）DV01 に 相 当 し ま す が、 先 物 の 金 利 リ ス ク 量にかかるリスクは実際に顕在化しました。ご存じのと（DV01）はこれに 1/CF を掛けた値になります。服部

おり、日本国債の金利は長期的に低下トレンドにあ（2020a）で説明したとおり、現在、CF はおおよそ

り、年々、金利が低くなっていきます。このような局

0.7 前後になりますから、CF はおおよそ 1.4 程度の値

面で日本のように金利が低下していくと、負債サイドになります。したがって、先物の変化自体は 7 年国債のコンベクシティが大きいがゆえ、デュレーションはに連動しますが、先物価格の動きは CF で拡張された

上昇していくことになります。一方、資産サイドのような大きさで動く点に注意が必要です。その結果、デュレーションはコンベクシティが相対的に小さいが先物の DV01 はおおよそ 10 年国債の DV01 に近い値

ゆえ、さほどデュレーションは伸びていきません。すになります。

連載

なわち、生命保険会社の資産と負債の構成が変化しな

大切な点は先物の金利リスク量である DV01 は変化かったとしても、資産側と負債側のデュレーションのしうる値であることです。そもそもデュレーションとミスマッチが拡大していくことになったわけです。見は「期間」の概念であり、期間とリスクが関係してい方を変えれば、デュレーションのミスマッチだけでなる以上、債券は時間を通じてリスクが低下していきまく、コンベクシティのミスマッチを解消するために、す。チーペストは、受渡適格銘のうち残存年数 7 年に生命保険会社は超長期債へ投資する必要性が生まれて近い国債ですが、チーペストは時間がたつにつれ年限いるとみることもできるのです。

が短くなります。また、チーペストであった銘柄の年

日本経済を
考える

ここではもっぱら生命保険会社の ALM にフォーカ

限が 7 年より短くなれば、チーペストとなる銘柄は変スしてコンベクシティの活用例を説明しましたが、金わりますから、例えば、チーペストの年限は 0.25 年

利上昇時のリスク量を計算するうえでコンベクシティ

延びることで金利リスクが増加することになります。

を考慮することも少なくありません。例えば、日銀のもっとも、これ以外にも国債先物の金利リスク量を金融システムレポートでは、金利が 1% 上昇したとき増加させる要因はあります。まず、金利が低下するこの金利リスク量（100 ベーシス・ポイント・バリュー）とにより、チーペストのクーポンが低くなることでが掲載されていますが、このリスク量はコンベクシ

CF が低下していることが挙げられます（CF が小さくティも考慮した値になっています 。

なると、1/CF は大きくなるため、先物のリスク量は＊7増加します）。また、コンベクシティ効果によりデュ

３．４ 国債先物の金利リスク量とコンベクシ
ティ

レーションは金利水準に依存しますから、7 年国債のデュレーション（DV01）そのものが金利低下の中でリスク管理に際して重要な役割を果たす国債先物に大きくなっている点も看過できません。

ついて、そのリスク量とコンベクシティの関係を説明

実務家は国債先物 1 枚の DV01 がおおよそ 10 万円

します。まず、先物価格を P、コンバージョン・ファ

というイメージをもっていますが、このように先物のとします。

金利リスク量は様々な要因の影響を受けますから、い

服 部（2020a） で 説 明 し た と お り、 こ の 場 合、P×

つも一定の値であるわけでなく、変化しうるものとしが成り立ちますので、金利感応度を考えるて認識しておく必要があります。実際、円金利は低下）を金利（r）で微分トレンドにありますから、国債先物の金利リスク量はクターを CF、残存 7 年の国債の価格を P
CF=P

CTD

ため、先物価格（P=1/CF×P

CTD

CTD

し、下記のように先物の DV01 を導出します。
∆P
1
×0.01%=∆r
CF

上昇傾向にあります。

∆ P CTD
×0.01%∆r

7 年国債（チーペスト）の DV01
＊7） 日銀の金融システムレポートではコンベクシティ以上の高次項も勘案した推計値になっています。

72

ファイナンス2020 Dec.

シリーズ 日本経済を考える 107

４．数式を使ったコンベクシティの説明

デュレーションは上記を金利で微分して価格で割ったものであり、下記のようになります。

４．１ デュレーションとコンベクシティの関係
コンベクシティとテイラー展開

D= －デュレーションとコンベクシティについては、債券価格に対して r についてテイラー展開による 2 次近似

［

1 ∂P
1
1
c
c
=
1×
+2×
2 +…
P ∂ r （1+r） P
（1+r）
（1+r）

c+100
（1+r）10+10×］をすることでその関係を表現できます。ここで債券価
格 P（r）について、金利 r の周りでテイラー展開するとションは平均回収期間と解釈できますが、上記の式は期下記の近似式が導出できます。
dP
1
∆ r+
P
（r+ ∆ r）≃ P
（r）+
dr
2

この式をP
（r+ ∆ r）
－P
（r）=∆ P ≃

服部（2020a）で指摘したとおり、上記からデュレー間を金利で割り引いた形になっているため、金利が上昇

d2P
2
（∆ r）
dr2

（下落）すると、平均回収期間が短く（長く）なります。
デュレーションが金利水準に依存する理由は、金利が

dP
1 d2P
2
∆ r+
（∆ r）
dr
2 dr2

と変形し、これを P で割ることで、下記の式が得られます。

高い（低い）場合、平均回収期間を強く（弱く）割り引
くため、平均回収期間が短く（長く）なるからです。
コンベクシティは金利が変化した際のデュレーショ

ここで D がデュレーション、C がコンベクシティに相当します。

ることにより、下記の式が導出できます。
C=［］1 ∂ 2P
1
1
c
c
=
1×2×
+2×3×
2 +
P ∂ r2 （1+r）2 P
（1+r）
（1+r）
c+100
（1+r）10… +10×11×

日本経済を
考える

∆P
1 dP
1 1 d2P
1
2
2
≃
∆ r+
（∆ r）
= － D ∆ r+ C（∆ r）
P
P dr
2 P dr2
2

連載

ンの変化分ですから、上記について更に金利で微分す

テイラー展開では 3 次項以降についても記載できますが、金利変化の 3 乗になると極めて小さくなるため、これをみると、各キャッシュ・フローの現在価値に

通常の固定利付債については 3 次以上の項目について年限の積がウェイトとしてかかっていることがわかりさほど気にすることがないとも言えます。実際、実務ます。例えば、10×11×では債券の実務で 3 次項を考慮することはほとんどあフローの現在価値に 10 年と 11 年の積がウェイトとしりません。また、テイラー展開は金利 r の周りで近似してかかっています。こうしてみると、年限のいわば二ているわけですので、大きな金利変化が起こった時は乗がウェイトとしてかかるため、国債の年限が長くな

そもそも粗い近似になりえる点にも注意が必要です＊8。

るほど、二次関数的にコンベクシティが大きくなるこ

c+100
は満期のキャッシュ・
（1+r）10とがわかります。

固定利付債のケース（10 年国債）割引債の場合、期中のクーポンがないため、c=0 とここで、服部（2020c）の BOX2 と同様、10 年国なります。また、そもそも割引債の価格は満期で 100債を事例にコンベクシティを考えてみます（実際の円 に な る 債 券 を r で 割 り 引 い た 値 に な る た め、

クーポンは年 2 回支払いですが簡略化しています ）。

P=

まず下記の通り、10 年国債の価格が各キャッシュ・

の割引債のコンベクシティは下記のように記載できま

フローの割引現在価値で決まるとします。

す。

＊9

c
c
c+100
+
2 +…+
（1+r） （1+r）（1+r）10P=

100
10 となることを利用すると、上式から 10 年
（1+r）

C=

10×11
（1+r）2＊8） クルーイ・マーク・ガライ（2015）では「コンベクシティを調整した債券価値は、（省略）利回りに大きな変化があった場合の近似にすぎない」（p.181）と注意を促しています。
＊9） タックマン（2012）では年 2 回の利払いで定式化しているため、厳密な説明を知りたい方は同書を参照してください。また、ここではわかりやすさを重視するため 10 年債の事例を取り上げていますが、タックマンでは T 年債という一般的な形でデュレーションとコンベクシティを定義しています。
ファイナンス2020 Dec.

73

４．２

コンベクシティの実際の計算方法＊10

1
本文ではコンベクシティは C=P

d2Pと定義しましdr2と考えていると思われます（後者の定義によるコンベ
クシティは前者の定義によるコンベクシティの

1
の
100

た。実際の計算に当たっては、0.01% 金利が変化し値になります）。したがって、実際のコンベクシティ

たときの価格変化に基づく近似式を利用することが少の値を参照するにあたり、Bloomberg などのベンダー

なくありません。まず、ここで P（r+0.01%）は金利がを使う場合、コンベクシティの定義に注意する必要が0.01% 上がった時の価格であり、P（r － 0.01%）は金あります。

利が 0.01% 下がった時の価格とすると、コンベクシ（r － 0.01%）：
なお、実務では P（r+0.01%）：=P+、Pティは下記のような形で記載することができます。

=P －として下記のように整理した記載がなされること

dP
≃
dr2
2

C=

また、

dP（r）/dr － dP（r － 0.01%）
/dr
 （3）
0.01%

ら、（3）から下記のように記載できます（0.01% は連載10である点に注意してください。）。

日本経済を
考える

［

=

［

４．３ 債券及び年金とコンベクシティの関係＊12
タックマン（2012）を参照して、時間を t、満期をT、途中のキャッシュ・フローを C、満期のキャッシュ・フローを F とすれば、一般的にコンベクシティ］

1
P（r＋0.01%）－P（r） P（r）－ P（r － 0.01%）
－
C≃
2
P（r）
（0.01%）2（0.01%）=

1［（P++P －）－ 2P］×1,000,000
PdP（r） P（r＋0.01%）－P（r）≃と近似できますし、
dr0.01%

dP（r－0.01%） P（r）－ P（r － 0.01%）≃と近似できますか
dr
0.01%
－4

も少なくありません＊11。

］

1
P（r+0.01%）+P（r－0.01%）－2P（r）
P（r）（0.01%）2を定義すると下記のように記載できます＊13。

100,000,000［P（r+0.01%）+P（r － 0.01%）－ 2P（r）］
P
（r）



（4）

したがって、P（r）、P（r+0.01%）、P（r － 0.01%）の値が得られれば、近似的にコンベクシティの値が得られます。もっとも、例えば、国債のコンベクシティ
について Bloomberg の機能では下記の（5）式のよう1の値が用いられています。
に、（4）式の
100

1C=（1+r）2

［∑

］

C
F
T
（t+1）+ （1+r）T ×T×（T+1）
t=1 （1+r）t ×t×

P



（6）

ここで式（6）の見通しをよくするため、r ≃ 0 で近
似すれば
1
P

C= （C ∑ Tt=1 （t+1）
t+FT（T+1））

（7）となります（式（7）では式（6）から r がドロップさ

1,000,000［P（r+0.01%）+P（r － 0.01%）－ 2P（r）］
（
 5）
P（r）

れている点に注意してください）。
ここで、2 年後に 300 償還される債券と 1,2,3 年後にそれぞれ 100 償還される債券を考えます。金利がゼ

これは本稿のように 1% を 0.01 と表示するのではな

ロとすれば（つまり、r ≃ 0 で近似すれば）、前者は 2

く、1% を 1 として定義しているためと想像されます。

年後に償還されるのでデュレーションは 2 ですし、後

本稿では、金利変動が x％のときの債券価格の変化率

者の平均回収期間は 2 年ですので、どちらのデュレー

は－Dションも 2 です。また、金利をゼロとすれば、どちら

（

x
100

）

（

1
+ C
2

x
100

）{
2

（

1
= － Dx+
2

C
100

）x }
2

［%］と考えていますが、Bloomberg では金利変動が{}1x％のときの債券価格の変化率を － Dx+ Cx2 ［%］2の債券価格 P も一緒です。

＊10） この節を作成するにあたり、財務総合政策研究所客員研究員の石田良氏のサポートを得ました。記して感謝申し上げます。
＊11） Bloomberg のマニュアルでもこのような表記がなされています。
＊12） この節を作成するにあたり、財務総合政策研究所客員研究員の石田良氏のサポートを得ました。記して感謝申し上げます。
＊13） タックマン（2012）では半年に 1 度クーポンを支払い、満期に 100 支払うキャッシュ・フローを考えています。

74

ファイナンス2020 Dec.

1
P

上の公式に従えば、前者のコンベクシティは （300シリーズ 日本経済を考える 107

1
P

∙2
（2+1）
）
、後者のコンベクシティは （100∙1（1+1）

上記のようなメカニズムが生まれる理由はコンベク
シティが年限の 2 乗に比例して増加するためです。2+100∙2（2+1）+100∙3（3+1））
です。ここで、1800=300

乗で効いてくるものについては、平均が同じときに

∙2
（2+1）
<100∙1（1+1）+100∙2（2+1）+100∙3（3+1）

は、ばらつきが大きい方が値が大きくなります。これ=2000 ですから、後者のコンベクシティの方が大きいは、中 =です。本文で説明したとおり、生命保険会社は終身年式が成立することからも分かります。これに似た議論

金などを販売するがゆえ、遠い将来一定期間継続してとして、バーベル型のポートフォリオのほうがブレッ

支払いが発生する可能性がありますから、その負債サド型のポートフォリオより大きなコンベクシティを持

イドのコンベクシティが大きくなる可能性を有していつことが挙げられます。これについては例えばタックます。

マン（2012）の 6.9 節で議論をしています。

小+大のとき、中 2+ 中 2< 小 2+ 大 2 という関係
2

BOX 2 コンベクシティ調整（コンベクシティ・アジャストメント）
債券のデリバティブのテキストではコンベクシティ調整（コンベクシティ・アジャストメント）という概念の説明がなされますが、この概念にも債券価格と金利の非線形の関係が深くかかわっています。
連載

金利にペイオフが依存するオプションを考える際、本稿で紹介したように金利や価格に非線形な関係があるため、債券価格の期待値と金利の期待値にずれが生じてしまいます。債券プライシングをするうえといいます＊14。例えば、コンスタント・マチュリティ・スワップ（Constant Maturity Swap, CMS）な
どデリバティブのプライシングを考える際、この知識は必要になります（今は発行が停止されています

日本経済を
考える

でその調整が必要になりますが、これはコンベクシティに伴う調整であるがゆえ、コンベクシティ調整

が、かつて財務省が発行していた 15 年変動利付国債は 10 年国債の金利を適用金利としているがゆえ、
CMS と強い関連性を有しています）。本稿ではコンベクシティ調整はテクニカルであるため省略しましたが、関心のある読者はハル（2016）の 30 章などをご参照いただければ幸いです。

５．おわりに
本稿では、コンベクシティについて特にその直感を重視した解説を行いました。筆者を含め、債券市場にかかわったものは必ずコンベクシティについて考える機会があります。しかし、多くの書籍ではその説明が簡素である印象が強く、多くの実務家にとってそのメカニズムが未消化のままであることが少なくありません。そこで本稿では様々な例を取り上げ、可能な限り直感的な説明をするとともに、生命保険会社の例などを挙げ、コンベクシティを理解しておくことの重要性を強調しました。今後はグリッド・ポイント・センシ
ティビティなどこれまで触れてこなかった金利リスクについて説明をすることを予定しています。

参考文献［1］．ミ シ ェ ル・ ク ル ー イ、 ロ バ ー ト・ マ ー ク、 ダ ン・ ガ ラ イ「リスクマネジメントの本質 第 2 版」共立出版（2015）［2］．ブルース・タックマン（2012）「債券分析の理論と実践（改訂版）」東洋経済新報社［3］．服部孝洋（2019）「イールドカーブ（金利の期間構造）の決定要因について―日本国債を中心とした学術論文のサーベイ―」ファイナンス 10 月号、41–52.
［4］．服部孝洋（2020a）「日本国債先物入門：基礎編」ファイナン
ス 1 月号、60–74.
［5］．服部孝洋（2020b）「日本国債先物入門―先渡と先物価格の乖離を生む要因―」ファイナンス 3 月号、37–41.
［6］．服 部 孝 洋（2020c）「 金 利 リ ス ク 入 門 ― デ ュ レ ー シ ョ ン・
DV01（デルタ、BPV）を中心に―」ファイナンス 10 月号、54–65.

［7］．ジョン・ハル（2016）「フィナンシャルエンジニアリング〔第9 版〕―デリバティブ取引とリスク管理の総体系」きんざい［8］．ラッセ・ヘジェ・ペデルセン（2019）「ヘッジファンドのア
クティブ投資戦略―効率的に非効率な市場」金融財政事情研究会［9］．四塚利樹（2005）「イールドカーブ戦略の理論と実践―米国
債 券 市 場 に お け る 経 験 と 展 望 ―」Waseda University

Institute of Finance, Working paper series.

＊14） 先物と先渡価格の違いについても、コンベクシティ調整という概念が出てきます。ただ、ハル（2016）など通常のファイナンスのテキストでは、証拠金の有無でその価格の乖離を説明することがほとんどです。先物と先渡価格の違いについては服部（2020b）を参照してください。
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