数学教育研究,第 4号 上越教育大学,1989年 ,pp.
4ト44(m , 孤 ) 型 の 星 型 多 角 形 の 内 角 の 和 に つ い て飯

0.序島 康之

命題 1 〔m, n〕型の星型多角形の内角の和は (m‑ 2n)× 2∠Rである｡

中学校において,凸多角形の内角の和の公式の一般化 として.星型多角形の内角の和をなお, n= 1のときは,正 m角形の定義,扱うことがある｡ (5, 2)型の星型多角形および内角の和の公式 となっている｡の内角の和などは証明問題 としてよ く扱われ,また一般の 〔m, n)型の星型多角形の内角2.円周角に着 目した証明との和の公式 も帰納的に推測するところまでは,それに基づ く一般化

しばしばなされている く1) ｡ しか し, 〔m,命題 1の証明n〕型の場合の証明は,簡単な記述 しか見 当

たらない (2) .

1つの角に対 して.対応する弧の長 さを考そこで本稿では,星型多角形の内角の和にえると,次の図より関する証明を, 2通 りの仕方で与えるとともm‑ 2n孤に,若干の一般化ができることを示す.

×27Er

11 星型多角形の定義 と,内角の和に関する公式
一般に,凸 m角形の内角の和 は (m‑ 2)
したが って, 1つの角の大 きさは,∠Rであるが,星型多角形の場合には,次のm‑ 2n命題 1に示す公式が成立する｡

m定義 1 mと nは互いに素であるとする｡円周上に,円周を m等分する点 Po.P1.

×2∠R

よって,内角の和は,m‑ 2n,.
..
,Pn̲1をとる｡ PoPh,×2∠R

Pれ PZA‥‥というように,順次,mPh (… J .) P(k.1). (...4 .
.
)を結‑ (m‑ 2n) ×2∠RJl

この証明では.円周を等分 しているため,んでできる図形を 〔m. n〕型の星1つの角の大 きさが得 られているが.内角の型多角形 と呼ぶ ｡ く3)

和が一定であるためには,等分である必要 はない｡つまり,星型多角形の概念を次のように一般化 したときに,命麿2が成立する｡
定義 2 mと nは互いに素であるとする｡円債.P1.
周上に一列に並ぶ m佃の点 Po

藤,Pれ P2.
I.
,P ̲I をとる｡ PIPAn(5.2)‥.
.というように,噸次.

〔7, 3〕‑41‑

3.内角 十外角 = 2∠ Rに注 目した証明

Ph (M｡J 巾) P (I . I) A (巾｡J n)を結んでできる図形を一般化されたi恥

次の補題を使えば,命庵 2は証明できる｡

n〕型卑星型多角形 と呼ぶ｡

補選3 一般化 された (m, n)型の星型多角形の外角の和は 4m∠Rである｡
命題 2の証明
任意の角において.外角 十内角 = 2∠ Rで

÷あるか ら,≠角形の内角の和 は

l■t■∑(点 Plでの内角) 十∑(点 Plでの外角)
1
三1
1
三1‑∑2∠ R= 2m∠R

(孤‑ 2n) ×2∠Rである｡

補選 3より(5, 2〕〔7‥ 3)

命題 2 一般化された (m, n〕型の星型多角形の場合の内角の和の公式 となる｡

l■∑(頂点 Piでの外角)‑4n∠Rl王l

命出 2の証明

なので,なお, n= 1のときは,円に内接する凸多■l∑(
頂点 Plでの内角)
1
三1m佃の点によって.

円周 はm個の小弧に分割されている｡そ‑ 2m∠R‑4m∠R

して,それぞれの角‑ (m‑ 2n) ×2∠R Jに対応する弧 は,右捕頚3の証明

n佃
図のように,A‑2､一般化 された (m, n〕型の星型多角形の分の小弧か ら成 って外角の和は n個の凸 m角形の外角の和に等 しいる｡

いことを示すことによって証明する｡

よって,角に対応する弧の和 は.

まず,与え られた多角形の最初の辺 Po P.

mx (m‑ 2n)個の小弧か ら成 るため,を 2つの辺 Po Plと P暮P爪 に分けても,(m‑2n)佃分の円周 と等 しい｡

外角の和 は変わ らない｡なぜな ら,下図にお内角の和はこれ らの弧の和に対応する円周いて増減を考えると.増えるのは∠ α の部分,角の和であるか ら, (m‑ 2n) ×2∠Rと減 るのは∠ β, rの部分であるが, APIなる｡雷

PI Pn に注 目するば, α+♂‑Tなので相注意 1;このことを (7, 2)の場合で図示

殺 して しまうか らである｡

すると,次のよ うになる｡

ー42‑

注意 4:星型多角形の定義では, mと nが互

この操作を n回繰 り返すことによって,最初の辺 PoPAを n佃の辺 P｡Pl. PIP2

いに素であることとしているが,た,..
.. Pn
̲1P.に分けても,外角の和 は変6. 2)を下図のようにとえば, 〔わ らない｡

(3, 1)を二つ組み合わせたものとして解釈すれば爪と nは互いに素さらに. この操作をすべての辺について行うな らば,与え られた多角形の外角の和 は,でな くても,公式 は成立する｡

mn個の辺か らなる多角形 PIPl, PIP2,.
., P.
̲IPn,.
‥ P巾ーlPoの外角の和に等 しくなる｡ このとき,任意の点を n固ずつ通ることになるため, これは,多角形 Po

P1..
.P..̲Z の回りを n固回ることに等 しい.
すなわ ち.与え られた星型多角形の外角の和+.‥ P.
.
̲1の外角の n倍に
紘,多角形 PoPl
等 しくなるため,nX 2∠R=2m∠R

注1.この間潜 は,上越地区の中学校での数学教となる｡ ■注意 2:捕朗3の考え方を (5. 2)の場合

育に関する研究団体 ,∑会の研究会で,谷で図示すると,次のようになる.

口勝則先生 (磯部中)の発表の中で指摘された｡

2.
Coxeter,H.
S.
M''RegularPolytopes",
Dover,
1973,p.
943.
Coxeterは,正 n角形は点 Poを360/∩oの回転を繰 り返 してほどこす ことによって得 られることに注 目し,逆に,回転に着 目
するな らば nは整数でな くて もかまわない
注意 3 ;証明の仕方か らわか るように, このことを式 して,正 n角形の概念を, nを整方法による証明の場合,必ず しも各数か ら 2より大 きい任意の有理数 n=p/dに点が円周上にある必要 はない｡たと>1なる場合を星型多角形 と呼び拡張 し,d.Pn PZn...
.,
えば,折線 PoPnPn̲A p o がある点の回りを n周 し記号

骨 で表 している｡

また,正多角形 tnIに対 して成り立つていればよい｡従 って,更なる一般化が可能だが,本稿では述べないこととする｡

公式は星型多角形 (e1に対 して も n‑旦d也を代人するままで成立するものが多いこと

n三dを指摘 している｡内角の和は,三をそのまま代人 しても成立 しないが.

角の大 きさを考えると,(p‑2d)×2∠ R÷p= (1‑2d/p)×2∠R‑43‑

1つの内‑ (卜2/m)×2∠Rか ら, n回転すると考えればよい. ｣となり,正多角形での公式が一般化 される｡
それ以外の長 さ,面積に関する公式 は,

cotなど三角関数が必要になるため,高校

p/dIの記号の良 さを示せ るが,な らば t
中学校では上述の例程度にとどまる｡

oxeter
そのため,星型多角形 の定義を Cに従 って回転によって行 うな らば tp/dI

そ して,研究会の場では, この推測 は受 けの記号を用い,正 n角形 との関係を示すこ入れ られ ,納得 していただいた｡とが,また ｢円周上にm個の点を とって,2.
後 日,上述の証明が分か りに くいので, ちn区間 ご とに点 を結ぶ ｣ とす るな らば,う一度説明 して くれないか と,ある人か ら尋(恥n )の記号を用い,注意 4を取 り上 げね られたので.上述の推測の図的な意味などる方が妥 当と思われる｡

を説明 したのだが,納得 して もらえなかった.
そこで, この推測の直接的な証明を考えたの

付記 1:上記の証明は, もちろん,そのままだが,す ぐに思いつかなか ったため,注意 2

中学生に与えることを意図 して書いたものでに示 した変形を考えてみた｡それによって.

はない｡‑
実際の指導場面の中で,上記の内容

捕題 3の証明が作 られた｡同時に,その証明2)などについて詳 しを扱 うとすれば, (5,な らば納得 していただけた.

く網べたり,一般の (7A,∩)の場合を具体的

3.
明確な文章にするため, 〔皿,∩)などの定にい くつか調べた後に,注意 1や注意 2に示

oxeter r幾何学入門 ｣な義を調べてみた｡ Cしたような変形を,act
ionpr
oofとして示す

どにその定義を見出せたのだが,考えていたことが考え られる｡そして,それによって.のと違い,回転に基づ くものであった｡そし一般的な手続 きを推測 したり,又 ,元 々定義て,正 n角形の一般化 として,すべての角やされている (A.
∩〕型の星型多角形以外のど辺の長 さが同 じものだけが扱われていた｡ このような図形にまで一般化できるのか,それの場合,角の大 きさなどは一意的に決まって∩ )型の星型多角形の定義に基づ くと, (m,しまうので,内角の和 はあまり面白いテーマ

はどの程度一般化できるのか,などに焦点をにはな らない｡そこで,それ らの一般化 とし当てた括動をすることが考え られる｡て,命題 2及び補選 3の証明のアイデアを記述できないか と考えた｡

付記 2:もちろん, ここに示 した噸序で,証4.tm/∩)の場合の簡単な証明方法を考える

明が形成 されたわけではない｡証明の形成過と,円に内接する性質を使えば,円周角の大程を考察するための事例 として,その過程をきさに帰着できること,つまり円周の大 きさ以下に簡単に記述 してお く｡に注 目すれば簡単に計算できることに気付い1.
谷口先生より問題が提示 され,内角の和はた (命題 1の証明).同時に,内角の和を求求めに くそうだけれど,外角の和が分かれば,めるためな らば,弧の和が求め られればよい

問題 は解決する｣ (命題 2の 2番 目の証明部

ため,弧の大 きさが等 しくな くて も構わない分)と考えた｡ ｣そのときの外角の和に関すことに気付いた (命題 1の第‑の証明)｡

る証明札 補恕 3の証明とは違い,次のよう5.
以上をまとめ,星型多角形の内角の和に関する 2通 りの証明方法 と,それに基づ く若干な (証明な しの)推測であった｡‑
1回や り過ごすのだ｢元に戻 るまでに, ∩の一般化 として, ここにまとめた.

‑44‑