チュートリアル講演
⼆重ベータ崩壊原⼦核⾏列要素計算の現状

⽇野原

伸⽣

筑波⼤学計算科学研究センター
原⼦核理論研究室
Feb. 12, 2021

ニュートリノを伴わない⼆重ベータ崩壊とその周辺

内容
pニュートリノレス⼆重ベータ崩壊
p原⼦核⾏列要素
p原⼦核構造理論
pまとめ

⼆重ベータ崩壊
β崩壊

二重β崩壊(2νββ)

二重β崩壊(0νββ)

Avignone et al Rev. Mod. Phys. 80 481 (2007)より

どの原⼦核でββ崩壊は起こる︖
β崩壊が禁⽌されていて、ββ崩壊終状態が始状態よりエネルギーが低い(Q>0)ことが条件

isobar(同重体)

ββTable of Isotopeより
エネルギーがジグザグしているのは対相関のせい
ββ崩壊核は偶々核(中性⼦数・陽⼦数ともに偶数)で(β崩壊に対して)安定核

ββ崩壊が起きない場合
double electron capture(34種類)

ECEC
安定核が1つだけの場合(ほとんどのodd A)どの原⼦核でββ崩壊は起こる︖
12核種で0νββが起こりうる
2νββの半減期(測定値)
T1/2 (year)
48Ca

5.3+1.2-0.8

76

T1/2 (year)
116Cd

2.69 0.09 1019

1.88 0.08 1021

128

Te

2.25 0.09 102482Se

0.87+0.02-0.01 1020

130Te

7.91 0.21 1020

96

2.3 0.2 1019

136

Xe

2.18 0.05 1021

100Mo(g)7.06+0.15-0.13 1018
6.7+0.5-0.4 1020

150Nd(g)150

9.34+0.67-0.64 1018
1.2+0.3-0.2 1020

238

2.0 0.6 1021

Ge
Zr

100

Mo(e)

110

Pd

1019

Nd(e)
U

Barabash, Universe 6, 159 (2020)

ニュートリノの階層構造性
ニュートリノには3つの質量固有状態
重いニュートリノ1つと軽いニュートリノ2つ(NH, 正常階層)か
重いニュートリノ2つと軽いニュートリノ1つ(IH, 逆階層)か︖

JUNO collaborationのページより

太陽ニュートリノ振動︓ Δmsol2 : 7.37 × 10-5 eV2
⼤気ニュートリノ振動︓ |Δmatm2|︓ 2.56 × 10-3 eV2

原⼦核⾏列要素
電⼦ニュートリノ有効質量0νββ半減期
⼆重ベータ崩壊半減期(実験で測定)位相空間因⼦原⼦核⾏列要素位相空間因⼦︓0νββで出てくる電⼦がとれる(運動量)位相空間のサイズ
原⼦核⾏列要素︓始状態原⼦核から終状態原⼦核への遷移⾏列要素(理論値)位相空間因⼦

Stoica and Mirea, Front. Phys. 7, 12 (2019)

異なるグループの計算でおおよそ値は⼀致

原⼦核⾏列要素の理論計算の現状
原⼦核構造理論
NR/R EDF: ⽣成座標法
QRPA:準粒⼦乱雑位相近似
IBM2:相互作⽤するボソン模型
SM: 殻模型

Engel and Menéndez, Rep. Prog. Phys. 80, 046301 (2017)

研究グループ、理論によって値がバラバラ(2~3倍のずれ)
半減期からニュートリノの有効質量を評価するのに問題

原⼦核⾏列要素の値が異なる理由
研究グループによって⾏列要素の値が異なる理由は︖
p ⼆重ベータ崩壊演算⼦の違い
p 理論模型よる違い
p ⼀粒⼦模型空間の違い
p 核⼦間相互作⽤の違い

⼆重ベータ崩壊演算⼦
e-

e-

|i>

|n>

始状態核
(N,Z)

q

|f>
終状態核
(N-2,Z+2)

クロージャー近似

i: initial f:final states, Ee1, Ee2: electron energy
J: charge changing hadronic current
q0: neutrino energy, En: intermediate state energy

q0 ~ 100 MeV と⼤きいのでEnを平均値で置き換え

15%くらいの誤差
中間状態核(N-1,Z+1)の構造を計算しなくてよい(2νββのときはクロージャ近似は使えない)
重いニュートリノの場合も中間状態によらない

⼆重ベータ崩壊演算⼦
J: ハドロンカレントの核⼦間の⾏列要素✓

hp|JLµ (x)|p0 i = eiqx ū(p) gV (q 2 ) µ

⾮相対論近似<latexit sha1_base64="hKfCWFV7R63GfwHfvByjO46xic4=">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</latexit>

JL (q) =

X

Z 1
0

qdq

igM (q 2 )X j0 (qrab )[hF (q) + hGT (q) a ·q + Ē

ab

フェルミ項

hF (q) =ガモフ・テラー項

2
hGT (q) = gA
(q 2 )

テンソル項

hT (q) =2mp◆

q⌫ + gP (q 2 ) 5 q µ ū(p0 )中性⼦を⼀つ陽⼦に変える(原⼦核では中性⼦がアイソスピン+1/2)

eiq·xa Ô(xa )⌧aa2RM0⌫ = hf | 2⇡gA

gA (q 2 ) 5 µµ⌫b ] + j2 (qrab )hT (q)Ŝab ](Ei + Ef )/2⌧ˆa ⌧ˆb |ii

Ŝab = 3( a · r̂ab )( b · r̂ab )gV2 (q 2 )2
gA (q 2 )gP (q 2 )q 2
g 2 (q 2 )q 4
gM
(q 2 )q 2
+ P
+
3mp
12m2p
6m2p

gA (q 2 )gP (q 2 )q 2
3mp

R = 1.2A1/3 fm

2gP2 (q 2 )q 4
gM
(q 2 )q 2
+
12m2p
12m2p

p gMは⼩さいとして無視
p gPからの寄与は原⼦核⾏列要素に30%程度だがよく無視される

a·b崩壊演算⼦原⼦核⾏列要素︓始状態原⼦核から終状態原⼦核への遷移⾏列要素(実験値ではない)<latexit sha1_base64="a0SGA9GAFKh3Ea3GYKc4zukOcLI=">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</latexit>

M0⌫ = hf |M̂0⌫ |ii =

GT
M0⌫

gV2 F
T
M0⌫ + M0⌫
2
gA

gV = gV (0) = 1
gA = gA (0) = 1.260νββのダイアグラムからクロージャー近似・⾮相対論近似などを経て計算。
フェルミ(F)、ガモフテラー(GT)、テンソル(T)の3つからなる。(ガモフテラーが主に効く)
gA4は位相因⼦の⽅に含めている

精度良く原⼦核⾏列要素の値M0νを求めるには
p 崩壊の始状態核| i 〉と終状態核| f 〉を精度良く計算
p 遷移演算⼦の正確な計算

原⼦核の波動関数<latexit sha1_base64="kDVBzI6zK7AfuaE9MrIkxl8X2J8=">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</latexit>

フェルミ粒⼦の多体状態

| i=

Z

drn1 · · · drp1 · · ·X

sn1 ···sp1 ···C(rn1 sn1 , · · · , rp1 sp1 , · · · )⇥ ĉ†n (rn1 )ĉ†n (rn2 ) · · · ĉ†n (rnN )ĉ†p (rp1 )ĉ†p (pp2 ) · · · ĉ†p (rpZ )|0i
中性⼦がN個陽⼦がZ個

原⼦核は空間的に局在。安定核では3次元調和振動⼦の解で展開するほうがよい<latexit sha1_base64="iCJ726jZiE0QD7RnHnAW+JrMPBY=">AAACwHichVHLThRBFD00PmB8MOKGxE3HCWYmMZM7xCiBkBDYuBwGBzAM6XS3BV2h+mF1zSTQmR/wB1iwgsSF8QP8ABe61IULPsG4xMSNC2/3dGKUiLdTXafOvedWnVwvUTI1RGdj1viVq9euT0xWbty8dXuqemd6I4372hddP1ax3vLcVCgZia6RRomtRAs39JTY9PZX8/zmQOhUxtEzc5CIndDdi+Su9F3DlFNd7LUD6WSRCh01rPe8MNPDhr1kd3JuWNcN+7mTKXuUNYEw7sPewNVJIBsVp1qjJhVhXwStEtRQRjuuvkMPLxDDRx8hBCIYxgouUv620QIhYW4HGXOakSzyAkNUWNvnKsEVLrP7/N/j03bJRnzOe6aF2udbFC/NShuz9IXe0Dl9pLf0lX7+s1dW9MjfcsC7N9KKxJl6NbP+47+qkHeD4LfqEoXH1Zd7MtjFfOFFsrekYHKX/qj/4PDofH2hM5s9oFP6xv5O6Izes8No8N1/vSY6x8gH1Pp7HBfBxlyz9bhJa49qyyvlqCZwD/dR53k8wTKeoo0u33uCD/iEz9aKFVix9XJUao2Vmrv4I6zDX/lapvM=</latexit>

nlml (r) = Rnl (r)Ylml (✓, ')スピン・軌道相互作⽤ (魔法数を説明(Mayer, Jensen, ノーベル賞(1963))
全⾓運動量
スピン軌道⼒がある場合の⼀粒⼦軌道はn,l,j,m(=jz)がよい量⼦数<latexit sha1_base64="eaOsK3y0qx0HLE63vozrpqXkwJk=">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</latexit>X11hlml ms |jmiYlml (✓, ')| ms i
nljm (r) = Rnl (r)
2
2
m ,m
l

s

ĉ†n/p,nljm<latexit sha1_base64="37XAZvuWT5WtZ7eBmZbGRe3qsDU=">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</latexit>

殻模型計算††††††殻模型基底 |↵i = ĉn,n1 l1 j1 m1 ĉn,n2 l2 j2 m2 · · · ĉn,nN lN jN mN ĉp,n1 l1 j1 m1 ĉp,n2 l2 j2 m2 · · · ĉp,nZ lZ jZ mZ |0i<latexit sha1_base64="yyCAFP8xyt65q5gSqFyPbb0pqBw=">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</latexit>

⾮活性(粒⼦は励起しない)

⼀粒⼦エネルギー

N=4
N=3

模型空間

N=2
N=1

⾮活性(粒⼦が詰まっている)

N=0
殻模型波動関数<latexit sha1_base64="io8JFajX2JPLYiBa6ju3GcLawjM=">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</latexit>| i=<latexit sha1_base64="Fv90tZ7LDS9ibHbPCRIFI/WPM+w=">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</latexit>

X↵C↵ |↵i

Ĥ| i = E| i

基底をたくさん重ね合わせて状態を作る

p 基底間の有効相互作⽤の⾏列要素(<β|H|α>)を計算・対⾓化
p 有効相互作⽤は模型空間に依存。実験データに合わせて決定・あるいは現象論的なものを使う

スピン軌道⼒とガモフ・テラー遷移
ガモフ・テラー⾏列要素
スピン反転が⼊る
スピン軌道⼒︓スピン反転軌道の⼀部がエネルギー的に離れたところに模型空間外なのでこの寄与が計算に⼊らない

模型空間

中性⼦

陽⼦

重い原⼦核ではスピン軌道⼒による準位の組み換えがあちこちで起きて模型空間を広くとるのは難しい
この効果をgAに繰り込む必要がある

殻模型計算48Ca: N=28, Z=20

Iwata et al., Phys. Rev. Lett. 116, 112502 (2016)

模型空間︓sd+pf shell
次元は48Tiで2×109

40
28

20
8

f5/2
p1/2
p3/2

励起状態スペクトル
N=3

f7/2
d3/2
s1/2
d5/2

N=2

136Xe: N=82, Z=54

Menendez et al., Nucl. Phys. A 818, 139 (2009)

模型空間︓(A>124)
82

50

原⼦核⾏列要素

h11/2
d3/2
s1/2
g7/2
d5/2

N=5の一部
N=4の一部

殻模型計算Yoshinaga et al., PTEP 2018, 023D02 (2018)

82Se: N=48, Z=34、76Ge: N=44, Z=32

励起状態スペクトル

模型空間

50
40
28

g9/2

N=4の一部

f5/2
p1/2
p3/2

N=3の
一部

原⼦核⾏列要素殻模型計算p 多体問題を有限サイズの模型空間で厳密に解く。あらゆる多体相関が⼊る
p ⼤次元の計算(⾏列対⾓化)。スパコンを使って⼤規模計算が可能に。
p 模型空間のサイズに応じて繰り込まれた有効相互作⽤を設定
同じ領域の原⼦核の様々な実験データを再現するように相互作⽤を調整
p 軽い質量の原⼦核では正確、重い原⼦核の計算は難しい。
p 原⼦核⾏列要素の値は⼩さめ

gAクエンチング問題
β崩壊の実験値と理論値に系統的なずれ(N=1模型空間の殻模型計算)
β崩壊のガモフテラー遷移演算⼦
軸性ベクトル結合定数(bare) gA ~ 1.26
gAeff ~ 0.82gA (A<16), 0.74gA (16<A<40),
0.77gA (40<A<60), 0.68gA (60<A<80)

⼆重ベータ崩壊でのgAはどうするべきか︖
⾏列要素の理論同⼠の⽐較ではgAの値は合わせたものを⽐較

クエンチングの理由は不明だが理解されつつある

Martinez-Pinedo et al., Phys. Rev. C 53, R2602 (1996)

計算に⼊っていない多体相関(短距離相関、模型空間外への励起)
⼆体のカレントを⼊れると10%のクエンチングで説明できる

p
n

e

ν

Menendez, et al., PRL107, 062501 (2011)

Gysbers et al., Nature Physics 15, 428 (2019)

2νββ
gAを決めるのに実験データのある2νββが使える

本当は分⺟はレプトンのエネルギーに依存

より正確に評価するとSimkovic et al., Phys. Rev. C 97, 034315 (2018)
Gando et al., Phys. Rev. Lett. 122, 192501 (2019)平均場理論
殻模型

平均場理論

調和振動⼦ポテンシャルから作られる⼀粒⼦状態を重ね合わせて原⼦核の波動関数を構築

相互作⽤から平均(⼀体)ポテンシャルを作って⼀粒⼦状態を作る(重ね合わせはしない)

重ね合わせで相互作⽤が⼊る

ポテンシャルに相互作⽤が⼊る

⾃⼰無撞着性(self-consistency)
ポテンシャルはすべての核⼦(軌道)からの寄与で決まる

平均ポテンシャル

核⼦の配位(⼀粒⼦軌道)・密度
軌道はポテンシャルで決まる

平均場理論p 重ね合わせをしないので⼤きな⼀粒⼦模型空間が取れる
p すべての原⼦核で同じ相互作⽤が使える
p 計算量は少ない
p 多体相関は⼗分には⼊らない(⼀体ポテンシャルで近似)基底状態の四重極変形度

Stoitsov et al., Phys. Rev. C 68, 054312(2003)

平均場近似を超えて平均場近似の波動関数を使った原⼦核⾏列要素
projected HFB(Hartree-Fock-Bogoliubov)

平均場近似(相互作⽤を1体ポテンシャルで近似)を超えた相関を取り込む
摂動論的な扱い︓QRPA (準粒⼦乱雑位相近似)、second RPA
⾮摂動論的な扱い︓ GCM(⽣成座標法)

proton-neutron QRPA
平均場近似

a+ : 平均ポテンシャルの軌道
中性⼦

相関を⼊れた基底状態

陽⼦

j
i
l

平均場近似を超えた相関が⼊っている

中間状態核も計算できる

重ね合わせる次元は106程度k

準粒⼦乱雑位相近似(QRPA)
⼆重ベータ崩壊への応⽤

中間状態核(N-1,Z+1)

pnQRPApnQRPA

始状態核(N,Z)p 中間状態を始状態、終状態それぞれからpnQRPAで作る

終状態核(N-2,Z+2)p 中間状態への仮想的な励起をすべて⾜し上げる
p ２つの中間状態は(近似が⼊ってるので)異なる︓マッチングが必要
p 平均場近似を超えた相関(中性⼦-陽⼦相関)を⼊れた原⼦核⾏列要素計算

中性⼦ー陽⼦相関とは
中性⼦・陽⼦(アイソスピンT=1/2,スピンS=1/2のフェルミ粒⼦系)
アイソベクトル型(T=1, S=0)対相関 → フェルミ⾏列要素を抑制

n

n

n

p

Tz=1

p

n

Tz=0

p

p

Tz=-1

アイソスカラー型(T=0, S=1)対相関 → ガモフテラー⾏列要素を抑制

n

p

Sz=1

n

p

n
Sz=0

p

n

p

Sz=-1

ガモフテラー演算⼦型相互作⽤(T=1, S=1)→ガモフテラー⾏列要素pnQRPA計算例
アイソスカラー中性⼦ー陽⼦対相関依存性
2νββ

0νββ

Vogel and Zirnbauer Phys. Rev. Lett. 57, 3148 (1986)

Kortelainen and Suhonen, Phys. Rev. C 75, 051303(2007)

gpp:アイソスカラー型対相関の強さ
p アイソスカラー型対相関で⾏列要素は強く抑制される
p 対相関を強くしすぎると計算が破綻(平均場の中性⼦ー陽⼦対凝縮相への相転移)

pnQRPA
アイソスカラー中性⼦ー陽⼦対相関の強度(gpp)をどうやって決めるか︖
p アイソスカラー型中性⼦ー陽⼦対相関は偶々核の基底状態の情報からは決められない(よくわかってない)。
p 2νββの半減期を合わせるように決める。
p β崩壊の半減期などから決める。
p 奇核の情報から決める(奇核の計算は平均場理論では難しい)。
殻模型でのgppは︖
p 同じ模型空間で計算できる核(奇核・β崩壊など)の情報から決まっていた。
p 殻模型とQRPAでは模型空間が違うので殻模型での相互作⽤はそのまま使えない。

pnQRPAp 平均場理論を出発点として中性⼦­陽⼦チャネルの相関を取り込む
p アイソスカラー型中性⼦ー陽⼦対相関(gpp)によって⾏列要素が強く抑制される
p QRPA近似が良くない場合がある
p 基底状態の平均場近似がよくない場合︓変形ゆらぎが⼤きい場合・変形共存など
p 系が相転移近傍にある場合(摂動論の破綻)(アイソベクトル(同種粒⼦)対凝縮→アイソスカラー(中性⼦-陽⼦)対凝縮相)
p 原⼦核⾏列要素の値は様々

⽣成座標法(GCM)
平均場を⽣成座標q(集団⾃由度)にそって重ね合わせて基底状態を構築

|

ki =

⼆重ベータ崩壊始状態・終状態<latexit sha1_base64="kBDzgRCXTx2xw47CwrTVjy0UhwQ=">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</latexit>X

fk (q)| (q)iq 重み関数平均場

p 殻模型︓調和振動⼦の直交基底の⼤次元重ね合わせ
p GCM︓平均場の⾮直交基底の数百個程度の重ね合わせ
p qを選んで(ポテンシャルを変えて)⼊れたい相関を選択的に取り⼊れる。
集団的⾃由度︓変形パラメター、対振幅など。
選んだ相関に関するゆらぎ(平均場を超えた相関)が⼊る。
p 重み関数はSchrödinger⽅程式(Hill-Wheeler⽅程式)で決定
p 重ね合わせる前に平均場の破った対称性の回復(射影)が必要→⼤規模計算
p 平均場理論の⼤きな⼀粒⼦模型空間で計算可能

GCM計算例
⽣成座標に四重極変形度βを⽤いた例(1次元)

原子核行列要素は大きめ
T. Rodriguez and G. Martinez-Pinedo, Prog. Part. Nucl. Phys. 66, 436 (2011)
Vaquero, Rodriguez, Egido, Phys. Rev. Lett. 111,142501 (2013)

Yao et al. Phys. Rev. C 91, 024316 (2015)

GCM計算例
NH and J. Engel, Phys. Rev. C 90, 031301(R) (2014)

GCMにアイソスカラー型対相関を⼊れると原⼦核⾏列要素はどうなるか︖

GCMの⽣成座標にアイソスカラー型中性⼦ー陽⼦対振幅を導⼊
10

M 0n

5
0
GCM SkO0
QRPA SkO0
GCM SkM*
QRPA SkM*

-5
-10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

gT =0 /ḡT =1

p GCMとQRPAはアイソスカラー対相関について同様の振る舞い
p QRPAと違って相転移で破綻しない

GCM
p 複数の平均場を基底として重ね合わせて基底状態を作る
p ⼿で与えた⾃由度(⽣成座標)に沿って重ね合わせる(変形・対相関など)
p ⽣成座標を適切に選べば相転移の記述が可能
p 興味ある物理現象を選択的に記述ができるが計算が収束しているかがわからない
p 原⼦核⾏列要素の値は⼤きめの傾向にある(アイソスカラー型対相関が⼊ってない)
p アイソスカラー型対相関をいれた系統的な計算はない。
p 中間状態核は計算できない(2νββは厳しい)

GCMと殻模型の原⼦核⾏列要素の⽐較
Jiao et al., Phys. Rev. C 96, 054310 (2017)
GCM計算︓⽣成座標は四重極変形度(2つ)、アイソスカラー型対振幅

同じHamiltonianを使うとアイソスカラー対相関を⼊れたGCMと殻模型計算との原⼦核⾏列要素の値が⼀致

まとめと今後の展望
p ⼆重ベータ崩壊︓マヨラナ粒⼦・ニュートリノの質量階層性の決定p 原⼦核⾏列要素の計算︓原⼦核構造理論(殻模型・QRPA・GCM)によって値にばらつき
p 崩壊演算⼦の形。模型空間依存性・gAクエンチング
p ⼀粒⼦模型空間。殻模型で拡張するのは難しい
p 理論模型による違い。平均場近似では⼊る多体相関が不⼗分
p 有効相互作⽤。アイソスカラー型対相関が重要
p 殻模型︓模型空間の拡張・重い原⼦核の計算へ
p QRPA: β崩壊・2νββ、0νββすべてを同じ相互作⽤で計算可能。
相互作⽤を統⼀的に決められる︖
p GCM: アイソスカラー型対相関を⼊れた計算へ。