情報の授業で統計を扱う∗中西渉
学校法人名古屋学院 名古屋高等学校〒 461–8676 名古屋市東区砂田橋 2–1–58

watayan@meigaku.ac.jp
高校の数学の教科書には統計分野があるにもかかわらず，大学入試でほとんど出題されないため，授業で扱われることはないに等しい．教科「情報」ができた今も統計にまともに向き合っていないことに変わりはない．筆者はこの状況に不満を抱いている．そこで，情報 B の「モデル化とシミュレーション」から派生して，簡単に統計的分野を扱ってみた．その実践について報告を行なう．と触れているだけで，この「簡単な統計分析機能」

1 高校の授業における統計1.1がどの程度のことなのかは明示されていない．
いくつかの教科書では表計算ソフトの AVERAGE，数学MAX，MIN，RANK，STDEVP などの関数を使った例が現行の高等学校の数学の指導要領 [1] では，数学紹介されているが，計算させた値の意味は説明してで統計的な内容を扱うのはいない．MAX や MIN なら説明は必要ないが，標準偏数学 A 「場合の数と確率」. . . 期待値

差 STDEVP はそういうわけにはいかない．たとえば

数学 B 「統計とコンピュータ」. . . 標準偏差，相関[3] には「散らばり具合」という説明と分布図の例が係数あるが，その定量的な意味に言及してはいない．

数学 C 「確率分布」. . . 標準偏差2 本校での実践「統計処理」. . . 正規分布，母平均の推定とされている．しかし，数学 B・C のこれらの分野

以下，本校の情報の授業での実践について述べが大学入試で出題されることは極めて稀であり，出る．教科書にない内容なので，教材はプリントを用題されたとしても選択問題として回避できるため，意している．中心となるのは，標準偏差に意味づけその分野を履修しない高校生は多い．すなわち，標を行なうことである．

準偏差も知らないまま卒業する生徒も相当数いると2.1いうことである．

2.1.1

1.2

値のバラツキと標本の大きさ
ビュッフォンの針

ビュッフォンの針というのは

情報

一方，情報の指導要領 [2] には「統計」という単等間隔に平行線を無数にひき，その間隔の半分語は一度しか登場しない．情報 C の「(3) 情報の収の長さの針を無作為に落としたとき，針が平行集・発信と個人と責任」の取り扱いについて線のどれかと共有点を持つ確率はどれだけか．

表計算ソフトウェアなどの簡単な統計分析機能という問題である．もちろん積分によってその値をやグラフ作成機能などを扱うようにする．

求めることはできるのだが，高 1 ではそこまで習っていないし，せっかくパソコンがあるのだからモン
テカルロ法で近似値を求めることにする．

∗ Treating statistics in a class of information. Wataru

Nakanishi (Nagoya High School)1

授業では PEN *1 用のプログラムを配布して何度か実行させ，確率の値（とその逆数）を生徒に記録させる（図 1）．「この確率の逆数は君たちがよく知ってるある数なんだけどね. . . 何だと思う？」と尋ねると，何人かが「ひょっとして π ですか」と口にする．正解に気づくことにももちろん意味はあるが，(a) 60 回

それよりも生徒に注目してほしいのは値のバラツキが大きいことである．プログラムでは 1000 本も針(b) 600 回(c) 6000 回(d) 60000 回

図 2 サイコロを何回も投げるをばらまいているのに，1 の位さえ保証されない．
値を求められるということだ．実行させてみると，かなり近い値を得る者もいれば，1 の位が 2 になってしまう者もいる．

図 1 ビュッフォンの針

2.1.2

サイコロ

「バラツキが意外に大きい」という印象を強めるために，サイコロを何度も振って各目の出た回数を記録するシミュレーションを行なう．

図3

たとえばサイコロを 60 回振れば，各目はおよそ10 回ずつ出るはずである．しかし表計算のマクロ点の個数を増やせば誤差を減らすことができるこを使ってそのシミュレーションをやってみると，5とはわかっている．プログラム中の点の個数を変え割程度の誤差が出ることも多く，想像以上に誤差がて何度もやれば値のバラツキ具合を観察すること大きいことがわかる（図 2）．しかし，回数を 600ができるのだが，それを手作業でやるのは面倒なの回，6000 回，60000 回と増やしていけば，バラツで，自動的に反復実行するマクロを使った表計算のキの相対的な値はどんどん小さくなる．これは期待データを配布して実行させる（図 4）．点の個数を値や独立試行だけでは簡単には説明できない．そこ

10,100,. . . と増やしていき，それぞれ 15 回*2 ずつで，この値のバラツキと試行回数の関係を評価する

前述のシミュレーションを行なって結果を表示させためのシミュレーションを行なう．

2.1.3

円周率を求めるる．ここではその 15 回の最大値と最小値の差（こ円周率を求める

れをバラツキと考える）に着目する．

図 3 は，モンテカルロ法といえば真っ先に思い出回数が増えればバラツキは減るが，明らかに反比されるシミュレーションである．ランダムに発生さ例ではない．よく見ると，回数が 100 倍になったとせた点が 1/4 円に入る確率は π/4 だから，当たりころでバラツキが 1 桁小さくなっている．このことの数を総数で割ればおよそ π/4 = 0.785 . . . になるから，バラツキは試行回数（標本の大きさ）のルーので，逆にその割合を 4 倍することで円周率の近似*1 xDNCL を用いた初学者向けプログラミング教育環境．

*2 15 回というのは，本校の情報教室のディスプレイでスクロールせずに全体が見られるように決めた回数．

http://www.media.osaka-cu.ac.jp/PEN/

2

推定と検定2.3
2.3.1

母平均の推定

本来なら数学的に公式を作るのだが，これまでに得られた結果を強引に組み合わせれば，次のように母平均の信頼区間を得ることができる．母平均をm，標本平均を x とするとき，1. 1 つのデータが m ± 1.96σ に含まれる確率は95%．

∴ 1 つのデータと m の差は，95% の確率で
図 4 回数とバラツキの関係

1.96σ 以下．
2. バラツキ（m との差）は標本の大きさのルートに反比例する．

√∴ x と m の差は，95% の確率で 1.96σ/ n 以トに反比例していると推測することができる．

2.2

下．

正規分布

√
∴ 95% の確率で m は x ± 1.96σ/ n に含ま統計でよく用いられる値として，平均と標準偏差れる．

があることを紹介し，表計算ソフトで計算できるこ√
3. m の 95% 信頼区間は x ± 1.96σ/ n である．とを確認させる．ところが，生徒にしてみれば平均は容易に想像できるが，標準偏差が何を意味してい公式ができたところで，いくつか計算練習をさせてるのかはすぐにはわからない．

みる．

そこでいくつかの度数分布図（身体測定のデータ2.3.2や試験の得点分布を用いた）を見せて，これが一定

母比率の推定この公式を導くのは難しいので，これについてはの形—正規分布に近い形になることを示す．その上公式を与えて計算練習をさせる．出来合いの公式をで，標準偏差はそのグラフの裾野の広さを表してお与えてしまうのは面白くないが，計算結果の方で楽り，m ± kσ の範囲に全体の何 % が含まれるかがわしむことを考えることにする．たとえば「1 の目がかっていることを説明し，それを検証できるように100 回中 20 回出たサイコロの，1 の目のでる確率

マクロを組んだ表計算データを生徒に配布して確認の 95% 信頼区間」と「. . . 10000 回中 2000 回. . . 」

させる（図 5）．

を比較することで，2.1.2 のサイコロのシミュレーション結果の理由がわかってくる．

2.3.3

検定

サイコロが正常かどうかを論じるのは，検定を用いるのが筋ではある．そう考えて簡単な検定までを授業で扱ったこともあるのだが，生徒の反応と試験の結果はすこぶる悪かった．
「. . . は棄却できないので，成績が等しくないとは断言できない（しかし等しいと断言するわけではない）」のような否定の連
続は混乱しやすいし，公式に代入する値を勘違いし
図 5 m ± kσ に含まれる割合やすいし，かといって十分な時間もかけられないということで，2 年目からは推定だけを扱うことにした．

3実は，この話を長く続けると生徒から「情報の授[2] 文部省. 高等学校学習指導要領 第 2 章第 10 節

業でどうして数学を. . . 」という不満が出て集中力情報, 3 1999.

が欠けてしまうということも，やめてしまった理由[3] 岡本敏雄・山極隆ほか 9 名. 最新情報 C. 実教の一つである．

2.4

出版.

数学 B・C との対応

この内容は 1.1 で述べた数学の内容と重なる点が多い．しかし，本実践では標準偏差の定量的な意味づけを中心しているのに対し，数学 B「統計とコンピュータ」では表計算ソフトを用いて標準偏差や相関係数を求めさせているがその数値の意味についての説明はないし，数学 C「確率と確率分布」でも分散の性質について述べている他は数学 B と同様である．したがって本実践の内容と重なるのは数学 C「統計処理」であるが，結論に至るアプローチの方法が異なっている．数学 C では分散の性質を用いて数学的に導いているが，本実践ではシミュレーションの結果から推測する方法をとっている。前者の方が厳密であることは言うまでもないが，値を観察する後者の方法にも別の効果があると考えている。
また，2.2 で用いた身体測定のデータは数学 B で扱われている相関係数の題材としてとりあげることもできたのだが，授業時間数の都合で触れることができなかった．

3 まとめ
この実践にはいくつも問題があることはわかっている．たとえば，強引な導入を行なっている割には公式が不正確であるが，生徒たちがいずれ統計を用いるときになれば改めて勉強することになるのだから，正しいやり方はそのときに身につければいい．
また，そもそもこれは「情報」でなく数学で扱う内容だという意見もある．それは十分に承知しているのだが，しかし冒頭で述べたように，実際に数学の授業でこの内容が扱われることはほとんどない．
だからこのような不完全なものでも，まったくやらないよりマシであると考えている．

参考文献[1] 文部省. 高等学校学習指導要領 第 2 章第 4 節 数学, 3 1999.

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