3 次元画像コンファレンス 2010 講演論文集, pp.129–132(2010.7.9)

キノフォームタイプ電子ホログラフィにおけるキャリア信号の導入と sinc 補正
The Introduction of Carrier Signal and Sinc-Compensation
into Kinoform-Type Electro-Holography
松田篤史
細川俊彰
松島恭治
Atsushi Matsuda
Toshiaki Hosokawa
Kyoji Matsushima
関西大学 システム理工学部 電気電子情報工学科
Department of Electrical and Electronic Engineering, Kansai UniversityABSTRACT
The electro-holography using phase modulation has the advantage of optical reconstruction without a conjugate image.
However, a non-diffractive 0-th order light that interferes with observing the reconstructed image can not be eliminatedeven in phase modulation. In addition, the edge of reconstructed image is darkened by sinc modulation caused byrectangular pixels of a spatial light modulator. In this research, we demonstrate a technique to shift the reconstructed
image by introducing carrier signal in order to separate the reconstructed image from the non-diffracting light.
Furthermore, a sinc compensation technique is also attempted in order to enlarge the reconstruction area.
Keywords: 空間光変調器，計算機合成ホログラム，非回折光，位相型フーリエ CGH，sinc 補正

1.

はじめに反射型液晶パネルによる空間光変調器(SpatialLight Modulator, 以下SLM)を用いたホログラム再生については，すでに非常に多くの研究が報告されている．
しかし，そのほとんどが振幅変調型 SLM によるホログラムの再生である．そのため，再生像に必ず発生する共役像を除去するために，4f 光学系を用いたシングルサイドバンド法[1]や，シングルサイドバンド法とハーフゾーンプレート処理を組み合わせた方法[2]等が用いられる．また，同種の方法が解像度変換光学系でも用いられている[3]．しかし，これらの手法は 4f 光学系を前提としているため，システムが複雑で大型化することが共通の問題点となる．一方，著者らは共役像が発生せず，回折効率が高い位相変調型 SLM を用いたキノフォーム型電子ホログラフィを報告している[4]．この手法では共役像が発生せず，コンパクトな 2f 光学系で再生可能であることが利点である．また，ポリゴン法[5]のように波動光学的伝搬計算を用いる計算法では，4f 光学系に比べ 1 回分 FFT の計算回数が少なくて済むという利点がある．
しかしながら，位相変調型 SLM で 2f 光学系を構成松田篤史
matsuda@laser.ee.kansai-u.ac.jp
関西大学システム理工学部電気電子情報工学科〒564-8680 大阪府吹田市山手町 3-3-35
TEL 06-6368-1121(内線 5722)

した場合，共役像は抑制できるものの，非回折光を除去することはできず，像面の中央に生じる輝点により再生像の観察が阻害される大きな問題点がある．また，再生像の周辺部では回折効率が低下し暗くなる問題点もある．
そこで本研究では，位相変調型 SLM に表示する位相分布にキャリア信号を導入することにより，像面における再生像の位置をシフトし，非回折光と分離する手法を提案した．さらに，再生像の周辺部が暗くなる原因が SLM 各セルの矩形開口による sinc 変調[6]であることから，本研究ではこれを補正することも試みた．
2.

再生像シフトと sinc 補正の原理
本研究ではレンズを用いたフーリエホログラムとして計算機合成ホログラム(Computer-Generated Hologram,
以下 CGH)の再生を行っている．フーリエ型の CGH の数値合成の原理を Fig.1 に示す．
フーリエ型 CGH では再生したい物体光波の複素振幅分布を g ( x, y ) で表すとき，その逆フーリエ変換
H u , v   F 1 g x, y (1)の位相分布を 8bit で量子化して SLM に表示する．従って，その再生はフーリエ変換の種々の性質に依存する．

2.1 キャリア信号による再生像のシフト
2f 光学系による再生では，(1)式のとおり，SLM 面と像面がフーリエ変換の関係となることから，SLM 面に

yFourier transform
Lens

Reconstruction
areayshifth x s , y s g x , y 

Optical Fourier transformCenter of reconstruction area

Object wave

fxshift
0-th order spotfHologram planex

Image plane

Fig.1 Theoretical optical model of computer-generated Fourierholograms.

表示する位相分布にキャリア信号を導入することにより，再生位置をシフトすることができる．いま SLM 面上の空間座標を ( x s , y s ) とし，SLM に表示する位相パターンをhx s , y s   exp i x s , y s (2)とする．SLM 面でのフーリエ周波数 (u, v) と空間座標には
xs  fu ， y s  fv(3)の関係があることから，フーリエ周波数表記での位相分布はH (u , v)  h(fu , fv)  expi fu , fv (4)となる．ここで，空間周波数 ( x , y ) のキャリア信号を(5)
h0 xs , y s   exp i 2  x xs   y y s とすると，空間キャリアがある場合の再生像の複素振幅分布はフーリエ変換のシフト則によりF hx s , y s h0 x s , y s  F H u, v  exp i 2f  x u   y v   g x  f x , y  f y (6)となり，Fig.2 に示すとおり再生像の位置がシフトすることがわかる．すなわち，再生像のシフト量を水平方向と垂直方向にそれぞれ xshift ， yshift とすると，シフト量は xshift  f x
 y shift  f yと表される．従って，必要なキャリア信号は
 2
xshift xs  y shift y s h0 x s , y s   exp i f(7)Fig.2 Spatial shift of reconstruction area.

ysx sy sly s

Oxskx s

Fig.3 Definition of rectangular pixels in a SLM.と表し，Fig.3 のようにピクセル構造の定義すると，
Nx12hx s , y s   k 

Ny2

1

 x s  kx s  x s  h rectNx
Nyl 22kl

 y  ly s  rect s y s となる．(4)式を用いたフーリエ周波数表記ではH u , v   hfu , fv となるので，像面における複素振幅分布はg mx, ny   F H u , v  amx, ny Fˆ 1 h 

(10)

(11)

(12)kl(8)となる．
このように，位相分布にキャリア信号を導入することにより，再生像の位置をシフトし，非回折光と分離することができる．これによりマスク等を用いて非回折光を遮蔽することが可能となる．
2.2 再生像の sinc 補正
SLM は矩形のピクセル構造を有しているため，フーリエ CGH を再生すると再生像が sinc 関数型の変調を受ける．離散化した位相パターンを整数座標 (k , l ) を用いて
hkl  expi kx s , ly s (9)amx, ny  x s y s

f 2NxNy(13) y s x smx  sincny  sinc f fとなる．ここで， (m, n) は像面の整数座標であり，またFˆ 1 は連続関数のフーリエ積分でなく，離散逆フーリエ変換を表している．この結果より，フーリエ型 CGH の再生では，再生像は単純なフーリエ変換ではなく，水平方向，垂直方向ともに sinc 関数で変調され，周辺部が暗くなることがわかる．
これを軽減するためには，再生したい物体光波を事前に補正しておく方法が有効と考えられる．すなわち，(12)式をホログラムの複素振幅分布 hkl について解くと，

Wallpaper(2D image)

20

Venus statue(3D object)

yImage plane

20x16.3
50

Object plane

Fig.4 The model of the two dimensional object.

z50Units: mmFig.6 The 3D scene used in optical reconstruction of the holographicmovie.
Table 1 Parameters used for optical reconstruction.
Hologram(a)(b)
Fig.5 Simulated reconstruction of CGHs without (a) and with the sinccompensation technique (b).

 g mx, ny  hkl  Fˆ (14) amx, ny  となることから，再生したい物体光波 g (mx, ny ) をあらかじめ a(mx, ny ) で除算することにより，再生像の sinc 変調を緩和することができる．
以上の sinc 補正の効果を確認するため，シミュレーションを行った．Fig.4 にシミュレーションに用いた 2 次元平面物体のモデルを示す．また，Fig.5 には位相分布をオーバーサンプリングして行ったシミュレーション再生像を示す．(a)は通常再生，(b)は sinc 補正を施している．通常再生に比べて sinc 補正を施した方が再生像の周辺部が明るく，細部も鮮明に再生されていることがわかる．
3.

動画ホログラムの計算
位相型 SLM と提案手法を用いて動画ホログラムの再生を行った．Fig.6 にホログラムの計算に用いた物体モデルを示す．3D シーンは超高解像度 CGH の The
Venus と同様の構成とし[7]，ホログラム面から奥行き100[mm]の位置にチェック柄の壁紙を配置し，50[mm]の位置にミロのビーナスを模した 3 次元物体を配置している．物体光波計算にはポリゴン法を用い，ファントムイメージとなることを防ぐためシルエット法[8]を用いている．
物体光波の数値合成に用いたパラメータを Table 1に示す．動画の再生を行うために，ビーナス像を 5°間隔で回転させて物体光波計算を行った．得られた複素振幅分布を sinc 補正処理した後，位相コーディングし，さらにキャリア信号で変調を行った．なお，計算はリアルタイムではなく，計 72 枚分の位相分布を事前に計算した．この時，リアルタイム計算用のチューニングは特に行っていない状態で，計算時間は Core i7-860 をNo. of pixels (Nxs×Nys)

1920×1080

Pixel pitches

8μm×8μmHologram dimensions

15.36mm×8.64mm

Reconstruction wavelength
Focal distance of Fourier lens

632.8nm400mm

Sampling interval in image plane

15.45μm

Shift distance by carrier signal13.0mm to right3D object and scene
No. of polygons of the Venus

718(front face only)
Height of Venus statue

16.3mmDimension of wallpaper (W×H)

20.0mm×20.0mm

用いて 22 分程度であった．得られた動画ホログラムは最終的に 10[fps]で表示を行った．
4.

光学再生
光学再生実験に用いた光学系を Fig.7 に示す．光源には波長 632.8[nm]の He-Ne レーザあるいは波長532[nm]の DPSS レーザを用い，平行光を SLM に入射して焦点距離 400[mm]のフーリエ変換レンズを用いた．
位相変調型 SLM として，ピクセルピッチ 8.0[μm]で解像度 1920×1080 の HOLOEYE 社製 PLUTO を用いた．
再生時には，Fig.7 に示すようにフーリエレンズの後ろ側焦点面に一辺が 20[mm]の正方形状の開口を置き，非回折光を遮蔽した．
平面画像のシミュレーション再生(Fig.5)で用いた位相分布から得られた光学再生像を Fig.8 に示す．この結果より，シミュレーションと同様に，sinc 補正を施した
光学再生像では sinc 変調による影響が緩和され，周辺部の光強度がわずかであるが改善されることがわかった．
次に，動画ホログラムの再生像の例を Fig.9 に示す．

(a)は通常再生で，(b)はキャリア信号によりシフトさせた

ND Filter
Laser

MirrorSpatialfilterCollimatorlens

Fourier lens

Mask
Fourier lens

Screen3D objectBeamsplitterImageDigital
CameraSLM

2D object
DigitalCamera

Fig.7 Experimental setup for optical reconstruction of Kinoform-type electro-holography.

場合の再生像である．(a)では，再生像の中心の非回を得ることができた．しかし，シフトの量が大きすぎると折光が再生像の観測を阻害しているが，(b)の方では再生に十分な明るさを得ることができず，シフト量の最再生像と分離した非回折光が開口により遮蔽されてい適化が必要であることがわかった．

るため見やすい映像となっていることがわかる．
謝辞
本研究は日本学術振興会の科研費(21500114)の助成を受けたものである．
The mesh data of The Venus object is provided
courtesy of INRIA by the AIM@SHAPE ShapeRepository.
参考文献
(a)
(b)
Fig.8 Optical reconstruction of Fourier CGHs without (a) and with thesinc compensation technique (b).

[1] O. Bryngdahl, A. Lohmann: J. Opt. Soc. Am. 58,620-624(1967).
[2] T. Mishina, F. Okano, I. Yuyama: Appl. Opt. 38,3703-3713(1999).
[3] 林，高木: 3D コンファレンス 2008 講演論文集,63(2008).
[4] 細川, 松島, 堀越: 3D コンファレンス 2009 講演論
文集, 101(2009).

[5] K. Matsushima: Appl. Opt., 44, 4608-4614(2005).
[6] M. A. Seldowitz, J. P. Allebach, D. W. Sweeney: Appl.
(a)(b)
Fig.9 Optical reconstruction of a holographic movie without (a) andwith the spatial shifting technique using a carrier signal (b).

Opt., 26, 2789(1987).
[7] K. Matsushima, S. Nakahara: Appl. Opt., 48,
H55-H60(2009).

5.

まとめ位相型フーリエ CGH による電子ホログラフィにおいて，キャリア信号による変調を行うことで再生像と非回折光を分離する手法を提案した．さらに，sinc 補正を併用することで像面における有効領域を拡大し，再生像の周辺部の明るさの改善を試みた．ポリゴン法により計算した動画ホログラムを再生した結果，良好な再生像[8] 近藤, 松島: 電子情報通信学会論文誌 D-II,
J87-D-II, 1487-1494(2004).