量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)90

7終わりに
以上時間の関係上省略した話題も多いが、磁場中の電子系の問題は、物性物理と数理的構造とのいくつもの意外な関係をみせてくれたことは伝えられたものと期待したい。歴史的にはこの問題に関して、もう調べ尽くされたと思えた時期も何度かあったがそのたびに新しい発見があり、驚きをともなう興味深いブレークスルーが何度もくりかえされてきたのである。私には、未だ明らかになっていない興味深い構造がまだそこにあるかのように思えるが、みなさんにとっては如何であろうか。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)91

cord

参考文献
[1] K. V. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).
[2] The Quantum Hall Eﬀect, ed. R. E. Prange and S. M. Girvin, Springer-Verlag (1987).
[3] Quantum Hall Eﬀect, ed. M. Stone, World Scientific, (1992).
[4] 初貝安弘、固体物理

29, 550-556 (1994).

[5] Y. Hatsugai, J. Phys. C, Condens. Matter 9, 2507-2549 (1997) (Review Article).
[6] H. Aoki and T. Ando, Solid State Commun. 38, 1079 (1981).
[7] R. B. Laughlin, Phys. Rev. B 23, 5632 (1981).
[8] B. I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).
[9] See F. D. M. Haldane, in The Quantum Hall Eﬀect, ed. R. E. Prange and S. M. Girvin,
Springer-Verlag (1987).
[10] J. Zak, Phys. Rev. 134, A1602, 1607 (1964).
[11] M. Ya. Azbel, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 46, 929 (1964) [Sov. Phys. – JETP 19, 634, (1964)].
[12] D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976).
[13] G. H. Wannier, Phys. Status Solidi B 88, 757 (1978); G. H. Wannier, G. M. Obemaier, andR. Ray, ibid. B 93, 337 (1979).
[14] P.G. Harper, Proc. Phys. Soc., London, Sect. A 68, 874 (1955).
[15] L. Schweizer, B. Kramer, and A. MacKinnon, J. Phys. C 17, 4111 (1984); R. Johnstn, B.
Kramer, and A. MacKinon, Surf. Sci. 170, 256 (1986).
[16] D. J. Thouless, M. Kohmoto, P. Nightingale, and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405(1982).
[17] M. Kohmoto, Ann. Phys. (N. Y. ) 160, 355 (1985).
[18] Y. Hatsugai, Phys. Rev. B 48, 11851 (1993).
[19] Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett. 71, 3697 (1993).
[20] Y. Hatsugai, in Quntum Coherence and Decoherence ed. K. Fujikawa and, Y.A. Ono, 167
North-Holland (1996).
[21] K. Hoshi and Y. Hatsugai, cond-mat/9908254, Phys. Rev. B61, 4409-4412 (2000).
[22] M. Kohmoto, Phys. Rev. B 39, 11943 (1989).

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)92[23] J. Avron, R. Seiler, and B. Simon, Phys. Rev. Lett. 51, 51 (1983).
[24] J. K. Jain, Phys. Rev. Lett. 63, 199 (1989).
[25] N. Byers and C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 7, 46 (1961).
[26] M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, Springer-Verlag (1981) and references therein.
[27] D. Mumford, Tata Lectures on Theta I, II, Birkhäuser, Boston (1983).
[28] E. Date and S. Tanaka, Prog. Theor. Phys. 55, 457 (1976); Prog. Theor. Phys. Suppl.
59, 107 (1976).
[29] P. A. M. Dirac, Proc. R. Soc. A 133, 60 (1931).
[30] T. T. Wu and C. N. Yang, Phys. Rev. D 12, 3845 (1975).
[31] M. V. Berry, Proc. R. Soc. A 392, 45 (1984).
[32] Geometric Phases in Physics, ed. A. Shapere and F. Wilczek World Scientific (1989).
[33] F. Wilczek , Phys. Rev. Lett. 48, 1144, (1982).
[34] Y. S. Wu, Phys. Rev. Lett. 52, 2103, (1984).
[35] Fractional Statistics and Anyon Superconductivity, ed. F. Wilczek, World Scientific, (1990).
[36] Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
[37] B. I. Halperin, P.A. Lee, and N. Read, Phys. Rev. B 47, 7312 (1993).
[38] R. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 60, 2677, (1988).
[39] Y.-H. Chen, F. Wilczek, E. Witten, B.I. Halperin, Int. J. Mod Phys. B3 1001 (1989).
[40] F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 67, 937, (1991).
[41] Y. S. Wu, Phys. Rev. Lett. 73, 922, (1994).
[42] Y.S. Wu, Y. Yu, Y. Hatsugai and M. Kohmoto, Phys. Rev. B57, 9907-9919 (1998).
[43] P. B. Wiegmann and A. V. Zabrodin, Phys. Rev. Lett. 72 1890 (1994)[44] L. D. Fadeev and R. M. Kashaev, University of Helsinky Report No. HU-TFT-93-63.
[45] Y. Hatsugai, M. Kohmoto, and Y. S. Wu, Phys. Rev. Lett. 73 1134 (1994)[46] H. Hiramoto and M. Kohmoto, Int. Jour. Mod. Phys. B 6 281-320 (1992).
[47] Y. Hatsugai, M. Kohmoto, and Y.-S. Wu Phys. Rev. B 53, 9697 (1996).
[48] Q. Niu, D. J. Thouless, and Y. S. Wu, Phys. Rev. B 31,3372 (1985).
[49] M-. Chang and Q. Niu, Phys. Rev. B 53, 7010 (1996).
[50] B. Douçot and P. C. E. Stamp, Phys. Rev. Lett. 66, 2503 (1991).

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)93[51] M. Takahashi, Y. Hatsugai, and M. Kohmoto J. Phys. Soc. Jpn. 65, 529 (1996).
[52] R. Rammal, G. Thoulouse, M. T. Jaekel and B. I. Halperin, Phys. Rev. B27, 5142 (1983).
[53] A. H. MacDonald, Phys. Rev. B 29, 6563 (1984).
[54] A. H. MacDonald and P. Streda Phys. Rev. B 29, 1616 (1984).
[55] S. N. Sun and J. P. Ralston, Phys. Rev. B 44, 13603 (1991).
[56] X. G. Wen and A. Zee, Nucl. Phys. B 316, 641 (1989).
[57] Y. Hatsugai and M. Kohmoto Phys. Rev. B 42, 8282 (1990).
[58] Z. Tešanović, F. Axel, B. I. Halperin, Phys. Rev. B 39, 8525 (1989)[59] H. Kunz, Phys. Rev. Lett. 57, 1095 (1986);[60] D. J. Thouless, Phys. Rev. B 27, 6083 (1983);[61] A. H. MacDonald, Phys. Rev. B 28, 6713 (1983).
[62] A. Widom, Phys. Lett. 90A, 474 (1982)[63] P. Strěda, J. Phys. C 15, L717 (1982).
[64] X. G. Wen, F. Wilczek, and A. Zee, Phys. Rev. B 39, 11413 (1989).
[65] Y. Hatsugai, M. Kohmoto, and Y.-S. Wu Phys. Rev. B 54, 4896 (1996).
[66] G. S. Canright, S. M. Girvin, and A. Brass, Phys. Rev. Lett. 63, 2291 (1989).
[67] X. G. Wen, E. Dagotto, and E. Fradkin, Phys. Rev. B 42, 6110 (19890).
[68] Y. Hatsugai, M. Kohmoto, and Y.-S. Wu Phys. Rev. B 43, 2661 (1991).
[69] S. Girvin and A. H. MacDonald Phys. Rev. Lett. 58, 1252 (1987).
[70] D. Thouless, Phys. Rev. B 28, 4272 (1983).
[71] Masahito Takahashi, Yasuhiro Hatsugai, and Mahito Kohmoto, J. Phys. Soc. Jpn., 65 529537, (1996).
[72] Y. Hatsugai, M. Kohmoto, and Y. S. Wu, Phys. Rev. B53, 9697-9712 (1996).
[73] Y. Hatsugai and M. Kohmoto, Phys. Rev. B42, 8282 (1990).
[74] Y. Hatsugai, M. Kohmoto, and Y. S. Wu , Phys. Rev. B54, 4898-4906 (1996).
[75] 初貝安弘、物性理論とその数理、数理科学１月号

32-38 (1996).

[76] 180-183, in ”Quasicrystal”, ed. S. Takeuchi and T. Fujiwara, World Scientific, (1998).
[77] Y. Hatsugai K. Ishibashi, and Y. Morita, cond-mat/9903223, Phys. Rev. Lett. 83,22462249(1999).

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)94[78] Y. Morita, K. Ishibashi and Y. Hatsugai, cond-mat/9908002, Phys. Rev. B1,5952 (2000).
[79] Y. Hatsugai and Y. Morita, Physica B: Condensed Matter, Vol. 284, Part 2, July 2000,Pages 1724-1725 (2000)[80] Y. Morita and Y. Hatsugai, cond-mat/9907001, Phys. Rev. B2,9 (2000)[81] Y. Morita and Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett 86,51-1542001).