QCDへのAdS/CFT 対応 と その応用
Gauge/String duality[ 基礎的事柄の入門的レビュー ]杉本 茂樹 （IPMU）

九大若手研究会「量子色力学の相構造研究の現状と展望」 @ 九大 Dec..25-26, 2008

0Introduction“ Gauge/String duality ”
等価！
ゲージ理論

曲がった時空における弦理論(4 dim など)(10 dim)

見かけ上、全く違う理論である。
時空の次元も違う。
それなのに “等価” であると主張する。
なぜ、そのようなことがあり得るのか？
本当なのか？
どのように対応しているのか？
どのような応用があるのか？

Plan
1

超弦理論とは？

2

D-brane と gauge theory3

超重力理論における D-brane

4

Gauge/String duality

5

Application to QCD

6Outlook

1

超弦理論とは？

 弦理論
素粒子

ひも同じひもでも、振動の仕方が違うと性質が異なってくる。
種類の異なる素粒子に見える。
クォーク、レプトン、光子、重力子などあらゆる素粒子をたった一つのひもで記述できる可能性がある！
実際やってみると、重力子を含むことがすぐに示せる。
量子重力を含む究極の統一理論の候補と期待されている。

 超弦理論
Flat で安定な時空を実現する弦理論は ５つ 知られている。
Type I

Type IIA

Type IIBHET SO(32)HET E8xE8

今日の話はこれらに限定
どれも時空の次元は１０次元 で、超対称性がある(fermion と boson を入れかえる対称性)

低エネルギー有効理論は、１０次元の超重力理論 (Supergravity)
低エネルギーclosed string

massless 場 (boson)
graviton dilaton 2-form n-form (RR場)2

D-brane and gauge theory★ D-brane とは ?
１０次元時空に埋め込まれた （p+1） 次元の壁を考える。
開いたひも

Dp-brane
弦が端を持てる(p+1)次元の壁

スピン１ で質量 0 の粒子（ ゲージ場 ）がでる。

：(p+1)次元

ゲージ理論が brane の上に実現される！

ゲージ場

Brane の配置を工夫すると、いろいろなゲージ理論を実現できる★ examples
D3-braneD3-braneadjoint of

N=4 Super Yang-Mills

D3-brane+ D7-brane
D3-braneadjoint of
bi-fundamental of

D7-brane

D3

D7

N=2 Super QCD with adj. + fund. matters

★ more realistic examples
D4-brane

onwith[Witten 1998]

SUSY
D4acquire mass
4 dim pure Yang-Mills (at low energy)

The above D4 system + D8-D8 pair

[Sakai-S.S. 2004]

D8D8QCD withmassless quarks(at low energy)

3

超重力理論における D-brane

一般相対論の教え： 重い粒子は時空を曲げる。
Einstein 方程式の解
Schwarzschild 解：

同様に、D-brane があると時空が曲がる。
超重力理論の運動方程式の解

★ Dp-brane 解(black Dp-brane 解)Dp-brane

number of Dp-branes

horizon atHawking 温度

4Gauge/String duality
D-brane がある系を記述する２つの見方

Massive mode や閉弦との couplingが切れる limit をとる

対応

gauge theory
等価！

さっきの D-brane 解で、Brane の近傍を取り出す
limit をとる

曲がった時空における(closed) string theory

どちらも同じ系を記述しているので、二つの見方は等価であると予想される

★ example[Maldacena 1997]

AdS/CFT 対応 （の典型例）
Anti de Sitter 空間

Conformal Field Theory

D3-brane

String theory in

N=4 Super Yang-Mills
dual !
これは CFT であることが知られている。

★ パラメータの対応
N=4 Super Yang-Mills

String theory in AdS5 x S5’t Hooft coupling

string length
string coupling

特に、String 側はstringの時、古典的な超重力理論による近似が良くなる。
これはゲージ理論側では、large N
で（展開の意味で） 強結合

Size of AdS5 x S5強結合のゲージ理論が、古典的な重力理論で解析できる！
逆に、このため、直接両者の計算結果を比較するのは難しい。

★ Consistency check
N=4 Super Yang-Mills
4dim U(Nc) gauge theory

String theory in AdS5 x S5
AdS5 :

対称性の対応：Conformal sym
R-対称性

Isometry対応

AdS5S5相関関数の対応： [Gubser-Klebanov-Polyakov, Witten 1998] String partition function
withなどなど、ここでは語りきれない様々な議論がある。

5Application to QCD★ pure Yang-Mills の超重力理論による記述
D4-brane on( with)[Witten 1998]

String theory inthe corresponding D4 background(explicitly known)

D4（の動径方向）

pure Yang-Mills(at low energy)r に下限が生じる

dual

★ Wilson (Polyakov) loop

[Rey-Yee, Maldacena 1998]

D4 対応する曲がった時空

D4loop C
カラー荷を持つ粒子として振舞う

Stringloop C が大きい時
D4AreaFinite temperaturer に下限がある

Area

confinement
conf./deconf. transition [Witten 1998]

★ Adding quarks[Sakai-S.S. 2004]

を仮定し、 “probe 近似” を用いる。

ここで[Karch-Katz 2002]

D4-brane をさっき用いた解に置き換える

Quark を加えるために導入した D8-brane は brane のまま

D4-brane on+

D8-D8 pairs

String theory in
the D4 background+D8-branes

D8D8D8D4dualQCD withmassless quarks(at low energy)

★ Chiral symmetry breaking[Sakai-S.S. 2004]

D4-brane を対応する超重力理論の解に置き換えると
D8D8D8D4とは、つながって一つになる。

これは chiral symmetry breaking と解釈される！

connected
温度を上げていくと、Yang-Mills の conf./deconf. の転移点で chiral symmetry が回復することも示せる。

★ Hadrons in the model
今の background はD8-brane
D8-branes はの方向にひろがっている

この系に含まれる粒子はClosed strings
Open strings on D8
D4 wrapped onglueballs
mesonsbaryons

これを用いて、ハドロンに関するさまざまな計算ができる。

★ Quantitative tests for QCD(Our model vs Experiment)[Sakai-S.S. 2004, 2005][Hashimoto-Sakai-S.S. 2008]

Meson mass
couplings
Properties of nucleons

Input parameter は２つだけ
Gauge/String duality の実験的検証とも言える。
ハドロン物理の新しい解析法とも言える。

5

Summary and Outlook

Gauge/String duality は伝統的な場の理論の常識では考えられない新しいタイプの双対性である。
直接的な証明は、まだ与えられていないが、さまざまな状況証拠があり、これが偶然ということは、もはや考えられない。
この双対性をより深く理解することは、ゲージ理論や弦理論の正体を暴く上で鍵となりうる。
QCD への応用も、驚くほどうまくいっている。さまざまな現象が幾何学的に理解できるようになり、定量的にも期待以上に実験と良く合う。
より精密な議論をするには、曲がった時空における弦理論の取り扱いを開発する必要がある。
Quark を用いない、弦理論によるハドロンの記述が可能であると言っている。
１０次元の理論で４次元の物理を記述できると言っている。
究極の物質像を探る上でも、常識を覆す新たな可能性を示唆している。