（専門科目（物理学） ・ 5 枚中の1枚目）［専門科目（物理学）］（全２題）［問題 1］以下の文章を読み，問 A ～ F に答えよ．解答用紙には導出過程も記述すること．
光が偏光板を通過する実験を考える．図 1 に示すように，直交座標系において入射光は𝑥𝑥𝑥𝑥平面を𝑥𝑥軸から反時計回りに角度𝜃𝜃回転した方向に偏光しており,−𝑧𝑧方向に進む．ここで，𝑥𝑥軸および𝑦𝑦軸に平行に偏光した光を表す基底を，それぞれ|𝑥𝑥⟩および|𝑦𝑦⟩とし，これらは正規直交系をなす．図 1 に示した光の偏光状態|𝜓𝜓𝜃𝜃 ⟩はこれらの基底を用いて以下のように表せる．

(1)|𝜓𝜓𝜃𝜃 ⟩ = cos 𝜃𝜃 |𝑥𝑥⟩ + sin 𝜃𝜃 |𝑦𝑦⟩さらに，𝑥𝑥𝑥𝑥平面において𝑥𝑥軸から反時計回りに角度𝜙𝜙回転した方向に透過軸を有する偏光板を𝑧𝑧軸に垂直に配置する．ここで，𝜙𝜙 = 𝜋𝜋⁄2に透過軸を有する偏光板（𝜋𝜋⁄2偏光板）は演算子𝑃𝑃�𝜋𝜋⁄2 で以下のように記述できる．

(2)𝑃𝑃�𝜋𝜋⁄2 = |𝑦𝑦⟩⟨𝑦𝑦|

状態|𝜓𝜓𝜃𝜃 ⟩の入射光に対する，𝜋𝜋⁄2偏光板を通過した後の光の透過率𝑃𝑃を以下に定義する．

𝑃𝑃 = �⟨𝑦𝑦|𝑃𝑃�𝜋𝜋⁄2 |𝜓𝜓𝜃𝜃 ⟩�

式(1)および(2)を用いると，透過率は入射光の偏光状態
𝑦𝑦𝑧𝑧

𝜃𝜃

ア2(3)となる．

偏光板
𝑦𝑦

透過軸
𝜙𝜙𝑥𝑥𝑥𝑥

図 1 入射光の偏光状態と偏光板の配置．

（専門科目（物理学） ・ 5 枚中の2枚目）

問 A 空欄問 B

アに入る適切な数式を𝜃𝜃を用いて答えよ．

𝜙𝜙 = 𝜋𝜋⁄4に透過軸を有する偏光板（𝜋𝜋⁄4偏光板）の演算子𝑃𝑃�𝜋𝜋⁄4 を，|𝑥𝑥⟩および|𝑦𝑦⟩を基底として記述せよ．
問 C

光路上に𝜋𝜋⁄4偏光板および𝜋𝜋⁄2偏光板を配置する．𝑥𝑥軸方向に偏光した光を入射し，𝜋𝜋⁄4偏光板，𝜋𝜋⁄2偏光板の順に通過させる．最初の入射光に対する，2 番目の偏光板を通過した後の光の透過率を求めよ．
問D

𝑥𝑥軸方向に偏光した光を入射し，3 枚の偏光板を通過する場合を考える．

光が最初に通過する偏光板およびその次に通過する偏光板はそれぞれ
𝜙𝜙 = 𝜋𝜋⁄6および𝜙𝜙 = 𝛼𝛼（0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 𝜋𝜋⁄2）に透過軸を有する．最後に，𝜋𝜋⁄2偏光板を通過する．最初の入射光に対する，最後の偏光板を通過した後の光の透過率が最大および最小となる𝛼𝛼をそれぞれ求めよ．
問 E 図 2 に示すように，平行に並んだ𝑁𝑁個の偏光板に𝑥𝑥軸方向に偏光した光を入射する実験を行う．光が最初に入射する偏光板の透過軸の向きは𝜙𝜙 =𝛾𝛾⁄𝑁𝑁である．隣りあう偏光板の透過軸は𝛾𝛾⁄𝑁𝑁ずつ同一方向に回転しており，𝑁𝑁番目の偏光板の透過軸の向きは𝜙𝜙 = 𝛾𝛾である．最初の入射光に対する，𝑁𝑁番目の偏光板を通過した後の光の透過率を𝑁𝑁と𝛾𝛾を用いて表せ．
問 F

問 E の実験系において，最初の入射光に対する𝑁𝑁番目の偏光板を通過した後の光の透過率を，𝛾𝛾 = 𝜋𝜋⁄2 および𝑁𝑁 → ∞とした場合について数値で答えよ．

最初の入射光の1 番目の偏光板
偏光状態
𝑦𝑦𝑦𝑦𝑧𝑧𝑥𝑥

2 番目の偏光板

𝑁𝑁番目の偏光板

𝑦𝑦𝛾𝛾⁄𝑁𝑁𝑥𝑥

𝑦𝑦2𝛾𝛾⁄𝑁𝑁𝛾𝛾𝑥𝑥

図 2 平行に並んだ𝑁𝑁個の偏光板に光を入射する実験の配置．

𝑥𝑥

（専門科目（物理学） ・ 5 枚中の3枚目）［問題 2］以下の文章を読み，問 A ～ G に答えよ．解答用紙には導出過程も記述すること．必要ならば以下の積分公式を用いよ．

π∫ dx exp ( −α x ) =α∞2−∞(1)質量 m の粒子の一次元の古典的な系（運動量 p および位置 x ）を考察する．粒子は熱浴に接しカノニカル分布をしている．調和型ポテンシャルの系の分布関数を，変分パラメータ L を含む箱型ポテンシャルの系の分布関数で近似的に表す．
調和型ポテンシャル（振動数 ω ）の系のエネルギー E ( p, x) は以下のように表せる．

E ( p,=x)p2 1+ mω 2 x 22m 2(2)また，箱型ポテンシャルの系のエネルギー E0 ( p, x; L) は以下のように表せる．
p2+ V0 ( x, L)2m(− L ≤ x ≤ L)
0
V0 ( x, L) =  ∞ ( x < − L, x > L )E0 ( p, x; =L)(3)

ここで，変分パラメータ L で決まる箱の長さ 2 L > 0 を変化させ，調和型ポテンシ
ャルの系の分布関数を最も良く近似する箱型ポテンシャルの系の分布関数を，以下で説明する変分法を用いて決定する．
まず，パラメータ λ を用いて調和型ポテンシャルの系と箱型ポテンシャルの系をつなぐエネルギー Eλ ( p, x; L) を以下のように定義する．

Eλ (=p, x; L) E0 ( p, x; L) + λ∆E ( p, x; L)(4)∆E ( p, x; L) =E ( p, x) − E0 ( p, x; L)(5)

ここで，調和型ポテンシャルの系のエネルギーは E ( p, x) = Eλ =1 ( p, x; L) ，箱型ポテ
ンシャルの系のエネルギーは E0 ( p, x; L) = Eλ =0 ( p, x; L) である．また，Helmholtz エネルギー Fλ は，分配関数 Z λ を用いて，

（専門科目（物理学） ・ 5 枚中の4枚目）

Fλ ==Zλ(6)ア∞ Eλ ( p, x; L) 
1 ∞dpdxexp
−h ∫−∞ ∫−∞kBT(7)となる．ここで， h は Planck 定数， kB は Boltzmann 定数である．

Fλ を λ で一階微分すると，∞
 E ( p, x; L) 
1 ∞dp ∫ dx∆E ( p, x; L) exp  − λ∫−∞−∞kBTdFλ h
==dλZλとなる．ここでλ∆E ( p, x; L) λ(8)は分配関数 Z λ による熱平均を表す．また二階微分は，

d 2 Fλ=dλ 2≤0イ(9)であり， Fλ は λ の関数として λ のいたるところで上に凸である．従って， Fλ をλ = 0 での接線 F0 + λ ⋅dFλと比較すると λ のいたるところで，dλ λ =0FλウF0 + λ ⋅dFλdλ λ =0(10)ウF0 ( L) + ∆E ( x, p; L) 0(11)である．特に， λ = 1 のとき，F1となる．したがって，変分パラメータ L は，式 (11) の右辺がエになる

とき最も F1 に近づくため，最適な値となる．
箱型ポテンシャルの系の分配関数 Z 0 ( L) は，Z 0 ( L) =オ(12)であり，式 (11) の右辺第二項は，次式で表される．
∆E ( x, p; L) 0 =カ(13)

したがって，最適な箱の長さ 2L は，次式となる．
2 L =キ(14)（専門科目（物理学） ・ 5 枚中の5枚目）

問 A 空欄

アに入る適切な式を， kB ， T ， Z λ を用いて答えよ．

問 Bイに入る適切な式を， ∆E ( p, x; L) と空欄λを用いて答え，式(9) の不等式を証明せよ．
問 C

空欄

ウに入る適切な等号あるいは不等号を，以下の選択肢から答えよ．
≥，
問 D 空欄エ=，≤に入る適切な語句を，以下の選択肢から答えよ．
ゼロ， 最小， 最大

問 E 空欄オに入る適切な式を， m ， kB ， T ， h ， L を用いて答えよ．

問 F

空欄

カに入る適切な式を， m ， ω ， L を用いて答えよ．

問 G 空欄キに入る適切な式を， m ， kB ， T ， ω を用いて答えよ．