3 次元画像コンファレンス 2009 講演論文集, pp.109–112(2009.7)

全方向視差 CGH における Babinet の原理を用いた分割隠面消去法
Segmentalized Hidden-Surface Removal Based on Babinet’sPrinciple in Full-Parallax Computer-Generated Holograms
中村将樹，松島恭治
Masaki Nakamura and Kyoji Matsushima
関西大学システム理工学部電気電子情報工学科
Department of Electrical and Electronic Engineering, Faculty of Engineering Science, Kansai University
ABSTRACT
A novel technique for hidden surface removal is proposed for fast calculation of full-parallax CGHs. This technique is based onBabinet’s principle and the silhouette-masking that is the wave-optical method for light shielding in occluded scenes. The
technique of the silhouette-masking is proposed as a practical solution of hidden-surface removal in full-parallax CGHs. However,this is very inefficient algorithm, because numerical propagation of the whole wave field must be performed polygon by polygon
or object by object in the whole object space. The technique proposed in this report improves the silhouette-masking and makes it
possible to accelerate the process by performing numerical propagation of partial wave fields. In this technique wave fields given
in planes parallel to the hologram is divided into rectangular segments and only the segments of the wave field around polygons of
the object are numerically propagated. Experimental results and estimation of computational complexity as well as basic
formulation are presented.
Keywords: CGH，隠面消去，シルエット法，全方向視差，シフトフレネル伝搬計算法

1.

はじめに計算機合成ホログラム(以下 CGH)において高品位の再生像を得るためには隠面消去が不可欠である．
しかし CGH の数値合成によく用いられる点光源法には，全方向視差で隠面消去処理が難しいという問題点がある．一方，ポリゴン法[1]は波動光学的手法であり，シルエット法[2]や完全な隠面消去法[3]などの波動光学的隠面消去法とマッチングが良い．しかし，この様な波動光学的隠面消去法では分割処理が難しいという問題点がある．そこで本研究では，波動光学的隠面消去法を用いた場合も分割計算が可能な新しい隠面消去法を提案する．

(a)Silhouette mask(b)

Fig.1 The principle of the silhouette–masking method
for an object (a) and polygon (b).

2.

シルエット法による光波の遮蔽処理
Fig.1 に示すように，シルエット法は，物体モデルにより遮蔽される光波を物体モデルのシルエットを
中村将樹
nakamura@laser.ee.kansai-u.ac.jp
関西大学システム理工学部電気電子情報工学科〒565-8680 大阪府吹田市山手町 3-3-35
TEL /FAX 06-6368-0933

Silhouette mask
M(x,y)

RadiantD(x,y)

Fig.2 The theoretical model of the silhouette-masking
for a polygon.

3 次元画像コンファレンス 2009 講演論文集, pp.109–112(2009.7)
Vm

Vm

Vn

Vm+1

Vm+2

Vn-1VnTotal wave fieldUn(x,y)umn
Dm

Partial wave field
Sm(x,y)Partial wave fieldSn(x,y)smn

Fig.3 Two types of numerical propagation of wave
fields.

Fig.5 Light shielding in multiple masks by Babinet’s
principle.

dVm

Vm+1

Vm+2+−
Dm+4.

Am+1zmS n ( x, y ) = Pd {S m ( x, y )}(3)と表記する．本研究ではこの数値的伝搬計算に近年提案されたシフトフレネル回折計算法[4]を用いている．

zm+1

zm+2

Fig.4 Light shielding in a single mask by Babinet’sprinciple.
マスクとして遮蔽する手法である．ポリゴンに対するシルエット法の理論モデルを Fig. 2 に示す．この理論モデルではポリゴンと交差しホログラムと平行な仮想平面上に背面より入射する光を遮蔽するマス
ク，さらにポリゴン自体の光波を仮想平面上で表した発光部があるものと考えている．シルエットマス
ク関数を M(x, y)とし，発光部のポリゴン光波分布をD(x, y)とするとき，仮想平面上の光波分布 sout(x, y)
は，仮想平面に入射する光波分布 sin(x, y)を用いて以下のように表される．
s out ( x, y ) = sin ( x, y ) M ( x, y ) + D( x, y )(1)
ここで sout(x, y)は仮想平面上の光波全体ではなく，仮想平面上の小領域についての分布である．以下，この小領域をセグメントと呼ぶ．

3.

回折伝搬計算(1)式の光波を次のポリゴンの位置へ数値伝搬して再び遮蔽処理を行うが，この時，本研究では Fig. 3に示す 2 種の回折伝搬を用いている．仮想平面 Vm
上の部分光波分布 Sm(x,y)を Vm より距離 d 離れた Vn
上に伝搬計算するとき，全光波分布 Un(x,y)を求める伝搬計算を
U n ( x, y ) = Wd {S m ( x, y )}(2)と表記し，同様に Vn 上の部分光波分布 Sn(x,y)を求める伝搬計算を

Babinet の原理による単一マスクの遮蔽計算
Babinet の原理を用いて単一のマスクによる光波遮蔽を計算する方法を Fig 4 に示す．いま仮想平面
Vm, Vm+1, Vm+2 を考え，Vm にはポリゴン光波 Dm が，また Vm+1 にはマスクのみがあり，Dm が伝搬した光波がマスクで遮蔽されて Vm+2 に到達する場合を考え，セグメント単位で伝搬計算を行う．
マスクによる遮蔽を一切考えずに，Dm を数値的回
折 伝 搬 計 算 し た 場 合 の Vm+2 上 の 全 光 波 分 布 は
Wz m+2 − z m {Dm ( x, y )} と表すことができる．またマスクを含むセグメントに入射する部分光波分布をsm,m+1(x,y)とすると，ポリゴン光波 Dm が伝搬しマスクによって遮蔽された光波分布 um,m+2(x,y) は， Vm+2
上において Babinet の原理により以下のように表すことができる．
u m , m + 2 ( x, y ) = Wz m+2 − z m {Dm ( x, y )}− Wz m+2 − z m+1 { Am +1 ( x, y ) s m , m +1 ( x, y )}(4)

ここで， Am +1 ( x, y ) = 1 − M m +1 ( x, y ) はマスクを反転した開口関数である．
5.

Babinet の原理による複数マスクの遮蔽計算と漸化式
まず Fig. 5 のように仮想平面 Vm 上にのみポリゴンがあると考え，その光波 Dm が伝搬して仮想平面 Vm+1…Vn−1 にあるシルエットマスクで遮蔽され，Vn 上に到達したときの部分光波分布を sm,n(x,y)と表記し，全光波分布を um,n(x,y)と表記する．これらの光波は，単一マスクの場合と同様，Babinet の原理より，
sm ,n ( x, y ) = Pzn − zm {Dm ( x, y )}n − m −1(5)− ∑ Pzn − zn −i −1 { An−i −1 ( x, y ) sm ,n−i −1 ( x, y )}i =0

3 次元画像コンファレンス 2009 講演論文集, pp.109–112(2009.7)(i)

V2V1V0+れらに対応した開口関数を A1,2 とする．このとき，V3 に入射する全光波分布を計算する手順を Fig. 6 に示す．まず(12)式により S0,1,2 は以下のようになる．

V3D0

S 0 ( x, y ) = 0

Pz 2 − z 0 {D0}S1 ( x, y ) = Pz1 − z0 {D0 ( x, y )}z0(ii)V1

z1
V2+S1z2(iii)

V3(13)

S 2 ( x, y ) = Pz 2 − z0 {D0 ( x, y )}z3
V2++ Pz2 − z1 {D1 ( x, y ) − A1 ( x, y ) S1 ( x, y )}V3

一方，(11)式より U3 は S1,2 を用いて
U 3 ( x, y ) = Wz 3 − z 0 {D0 ( x, y )}D1S2z2z1(14)+ Wz 3 − z1 {D1 ( x, y ) − A1 ( x, y ) S1 ( x, y )}A1 S1A2 S 2 z2z3

D2z3

Fig.6 An example of the procedure for the proposedmethod.
u m ,n ( x, y ) = Wzn − zm {Dm ( x, y )}n − m −1− ∑ Wzn − zn−i −1 { An−i −1 ( x, y ) sm ,n−i −1 ( x, y )}(6)i =0と表せる．ただし m = n のとき sm ,n = 0 とする．ここでは，仮想平面 Vm+1…Vn−1 にはマスクのみがあり，ポリゴンはないものと考えている．
次に，V0 から Vn-1 に全てポリゴンがありそれらの光波が Vn に入射する場合を考えると，Vn 上の全光波分布 Un(x,y)は，遮蔽された各ポリゴン光波の総和
なので
n −1

U n ( x , y ) = ∑ u i , n ( x, y )(7)i =0と求められる．同様に Vn の一つのセグメントに入射する全ポリゴンからの部分光波分布 Sn(x,y)は
n −1

S n ( x , y ) = ∑ si , n ( x , y )(8)i =0となる．そこで(6)式を(7)式に代入することにより
n −1

ii =0

j =0

U n ( x, y ) = ∑ Wzn − zi {Di ( x, y ) − ∑ Ai ( x, y ) s j ,i ( x, y )} (9)+ Wz 3 − z 2 {D2 ( x, y ) − A2 ( x, y ) S 2 ( x, y )}となる．具体的な処理では，まず(i)に示すように D0に関する伝搬計算を行う．すなわち V1 に入射する部分 光 波 S1(x,y) と ， V2 に 入 射 す る 部 分 光 波
Pz 2 − z0 {D0 ( x, y )} ，さらに D0 が全く遮蔽されずに V3に伝搬したときの全光波 Wz3 − z 0 {D0 ( x, y )} を求める．
次に(ii)に示すように，D1 に関係する伝搬計算を行う．すなわち遮蔽光波 D1 ( x, y ) − A1 ( x, y ) S1 ( x, y ) の V2への部分光波伝搬から S2 を，また全光波伝搬から(14)式第 2 項を得る．
最後に D2 ( x, y ) − A2 ( x, y ) S 2 ( x, y ) の V3 への全光波伝搬を求めて(14)式第 3 項を得る．以上により全てのポリゴンから遮蔽を受けて V3 に入射する全光波分布 U3 を得ることができる．
7.

計算量の検討以下では N×N ピクセルに標本化された光波分布を高速フーリエ変換するために必要な計算量をFFT( N 2 ) = 4 N 2 log 2 N(15)と表す．この時，仮想平面が M×M セグメントに分割されている場合のシフトフレネル回折計算法による(3)式の部分光波伝搬計算の計算量を Cp とすると，

Cp (N24N 2) = 3FFT( 2 )2MM(16)n −1ii =0

j =0S n ( x, y ) = ∑ Pz n − zi {Di ( x, y ) − ∑ Ai ( x, y ) s j ,i ( x, y )} (10)を得る．これらに(8)式を用いると以下のような連立漸化式を得ることができる．
n −1

U n ( x, y ) = ∑ Wzn − zi {Di ( x, y ) − Ai ( x, y ) S i ( x, y )}

(11)

i =0

n −1

S n ( x, y ) = ∑ Pz n − zi {Di ( x, y ) − Ai ( x, y ) S i ( x, y )}

(12)

i =0

Computational complexity(10 12 )となる．同様に(5)式を(8)式に代入して
30
25Conventional
Silhouettemasking

20

10

隠面消去した光波を求める手順

いま，ホログラムに平行な仮想平面 V0,1,2 においてポリゴン光波 D0,1,2 が求まっているとする．また，そM=8M=4M=32

5006.

This work

151020304050

Number of polygons

Fig.7 Computational complexity of the proposed
method as functions of the number of polygons.

3 次元画像コンファレンス 2009 講演論文集, pp.109–112(2009.7)となる．また，(2)式の全光波伝搬計算に必要な計算量 Cw は，
4N 2N2) = (2 M 2 + 1)FFT( 2 )(17)2MMとなる．(11)，(12)式より，n 個のポリゴンが配置されているとき，部分光波の伝搬計算は n(n−1)/2 回，全光波の伝搬計算は n 回行われるので，本手法を用いた場合に必要な総計算量を Cb(n, N2/M2)と表記す
ると，以下のようになる．
Cw (N2n(n − 1)
N2N2(18)
CnC)=()+()pw
M2M2M22以上より求めた本手法の計算量とポリゴン数の関係を分割数 M = 4, 8, 32 の場合について Fig. 7 に示す．
この図には比較のために従来法として伝搬計算法に角スペクトル法を用いた場合の計算量も示している．
Fig. 7 より，本手法を用いた場合は従来法よりも少ない計算量で光波の伝搬計算を行えることがわかる．
また，本手法では分割数を増やすに従って計算量が減少することがわかる．

10. 参考文献[1] K. Matsushima: Appl. Opt., 44, 4607 (2005).
[2] 近藤, 松島: 信学論 D-II, J87-D-II,1487(2004).
[3] K. Matsushima: Practical Holography XIX andHolographic Materials XI, SPIE Proceedings #5742,25 (2005).
[4] R. P. Muffoletto, J. M. Tyler, and J. E. Tohline: Opt.
Express 15, 5631(2007).

Cb (n,8.

ホログラムの作製と光学再生本手法を検証するために，ホログラムの作製と光学再生を試みた．Fig. 8 に作製したホログラムの物体配置を示す．同じサイズの 3 個の正方形ポリゴンをホログラムと平行な面内の同じ位置に，奥行き位置の間隔を 10cm として配置した．また，ポリゴン同士の重なりを確認しやすくするために，P1, P2, P3 の順にポリゴンの明度を暗くしている．
この様なポリゴン配置に対してピクセル数 16384
×8192，ピクセルピッチ 1.5μm×3.0μm の CGH を，フリンジプリンタを用いて作製した．このホログラ
ムに 633nm の再生照明光で再生した結果を Fig. 9 に示す．(a)は正面から，(b)は左方向から，(c)は右方向から撮影した写真である．この結果より，本手法により正しく遮蔽処理が施されていることがわかる．

SquareP1

SquareP2

Square Hologram
P3yxz

100 mm
100 mm
100 mm

Fig.8 The object model for the experiment of opticalreconstruction of an occluded scene.

(a) center(b) left(c) right

9.

まとめ
本研究では，Babinet の原理とシフトフレネル回折計算法を用いることで，シルエット法において分割計算可能な新しい隠面消去法を提案した．また，実際にこの手法を用いて作製したホログラムを光学再生することで，正しく遮蔽処理を施すことができることを示した．さらに，本手法では伝搬計算の際の分割数を増やすことでその計算量を減少させることができることから，物体モデルを構成しているポリゴンがホログラムに比較して小さければ小さいほど有効な手法であることがわかった．
本研究は日本学術振興会の科研費(21500114)の助成を受けたものである．

Fig. 9 Photographs of the optical reconstruction of thefabricated CGH, taken from some angles.