2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験 生体システム工学 II − 1/6

生体システム工学 II
次の [ II ‐ 1 ]〜[ II ‐ 3 ] の３題を，それぞれ別の解答用紙に答えよ．

[ II ‐ 1 ]以下の問いに答えよ．
（問 1）電荷も電流もない真空の xyz 空間において，時間 t とともに変化する電場を E，磁場を H とする．このとき，マクスウェルの方程式は以下で記述される．

∇·E=0(1)∇·H=0∇ × E = −µ0(2)

∂H
∂t(3)

∇ × H = ϵ0

∂E
∂t(4)

ここで，ϵ0 は真空の誘電率であり，µ0 は真空の透磁率である．∇ は以下に示すナブラ演算子である．
∂ ∂x  ∂ ∇= ∂y  ∂ ∂z(ア) 式 (1)-(4) の物理的意味を，それぞれ述べよ．
(イ) 三次元列ベクトル r = (rx , ry , rz )T（ここで T はベクトルの転置を表す）およびスカラ量 ϕ を考える．ここで，r および ϕ は x，y ，および z の関数であり，二階の偏導関数が存在して連続であるとする．以下の (a)-(c) の等式が成立することを示せ．
(a) ∇ · (∇ × r) = 0(b) ∇ × (∇ϕ) = 0(c) ∇ × (∇ × r) = ∇ (∇ · r) − (∇ · ∇) r(ウ) 以下に示す，電荷も電流もない真空中における電場の波動方程式を導出せよ．
ϵ 0 µ0∂2E= (∇ · ∇) E
∂t2

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2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験 生体システム工学 II − 2/6（問 2）以下では，電荷も電流もない真空の xyz 空間の x 軸上を進む電磁波があり，電磁波の電場 E は y軸方向に振動しているとする．この場合，E は空間的に x だけの関数になり，E の y 成分 Ey (x, t)
に関する波動方程式は以下で記述される．

ϵ 0 µ0∂2∂2E(x,t)=
Ey (x, t)y∂t2∂x2(ア) 式 (5) の一般解は，2 つの任意関数 f と g を用いて以下のように書くことができる．
()()
11
Ey (x, t) = f x − √t +g x+ √t
ϵ 0 µ0ϵ 0 µ0(5)(6)

以下に示す 2 つの変数 u(x, t) と v(x, t) を導入し，式 (6) の Ey (x, t) が式 (5) の解であることを示せ．
11t, v(x, t) = x + √tu(x, t) = x − √ϵ 0 µ0
ϵ 0 µ0(イ) x 軸の正の向きに進行する電磁波を進行波と呼ぶことにする．式 (6) 右辺の第一項は進行波を表し，第二項は後退波を表す．なぜ，第一項が進行波を表すのかを説明せよ．
(ウ) この電磁波の電場の y 成分 Ey (x, t) が以下に示す単純な余弦波であるとする．
{ ()}1Ey (x, t) = E0 cos k x − √t +θϵ 0 µ0
ここで，E0 ，k ，および θ は正の定数である．この電磁波の磁場 H の x 成分 Hx ，y 成分 Hy ，および z 成分 Hz を求めよ．ただし，磁場の各成分を振動の 1 周期にわたって平均した値は 0 であるとする．

(エ) xyz 空間に (問 2)(ウ) で考えた電磁波の電場および磁場の概形を描き，電磁波の進行する様子を図示せよ．2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験 生体システム工学 II − 3/6[ II ‐ 2 ]
図 1(a) のように，長さ ℓ の重さを無視できる，たわみの無い糸の先 (点 A) に，半径 r，質量 m の円環をつける．円環は円周部分にのみ一様に質量が分布しており，半径方向の厚みは無視できるとする．糸が y 軸となす角を θ，円環の重心位置を G(xG , yG )，線分 AG が y 軸となす角を ϕ とする．角度は反時計回りの方向を正にとる．糸の張力を T とする．重力加速度の大きさを g とする．この系が，x 軸を水平方向，y 軸を鉛直下向きにとった鉛直面内で，わずかに振動する運動について考える．以下では，|θ|および |ϕ| は十分小さく，sin θ = θ，cos θ = 1，sin ϕ = ϕ，cos ϕ = 1 と近似できるとする．以下の問いに答えよ．

(a)(b)(c)OOO++TAGG

図 1: (a) 糸の先に円環が取り付けられた振子．(b) 単振子．(c) 剛体振子．

（問 1）r が ℓ に対して十分小さく，円環部分を質点として近似できるとする (図 1(b))．すなわち，長さ ℓ + r の糸の先に質量 m の質点がついた単振子を考える．このとき，振動周期 τ1 を求めよ．
（問 2）ここでは，図 1(c) のように，糸の部分と円環全体を単一の剛体振子として近似する．すなわち，

θ = ϕ と近似する．

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2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験 生体システム工学 II − 4/6(ア) 点 O まわりの剛体振子の慣性モーメントを求めよ．
(イ) 剛体振子の振動周期 τ2 を求めよ．
(ウ) r が ℓ に対して小さいとして，τ2 を r/ℓ について展開する．以下の あ ， い に入る値を求めよ．
(τ2 = τ1 1 + あ( r )2ℓ+い( r )3ℓ)+ ···（問 3）ここからは，点 O を回転軸とする振動に加えて，点 A を回転軸として円環も振動する場合を考dθ dϕ d2 θ d2 ϕ
える．θ，ϕ が十分小さいので， ， , 2 ， 2 についても 1 次の項だけで近似できるとする．
dt dt dt
dt
さらに，θ および ϕ の解として，それぞれ，

θ = α cos(ωt + q)
ϕ = β cos(ωt + q)を仮定する．ここで，α，β ，ω ，q は定数である．

(ア) 円環の重心位置 G(xG , yG ) が従う運動方程式を，m，g ，θ，T ，および，t を用いて表せ．
(イ) 円環の重心 G まわりの回転について ϕ が従う運動方程式を，m，r，θ，ϕ，T ，および，t を用いて表せ．

(ウ) ω が満たす条件式を，ω ，ℓ，r，および，g を用いて表せ．
(エ) この系の基準振動の周期を τ とする．τ =2πであることに注意して，τ を求めよ．
ω(オ) この系の基準振動の周期の中で最も長い周期を τ3 とする．r が ℓ に対して小さいとして，τ3 をr/ℓ について展開する．このとき，以下の う ， え に入る値を求めよ．
(τ3 = τ1 1 + う( r )2ℓ+え( r )3(カ) τ1 ，τ2 ，および，τ3 の関係から分かることを説明せよ．

ℓ)+ ···

2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験 生体システム工学 II − 5/6[ II ‐ 3 ]A と B の 2 つのモードからなるハイブリッドシステムを考える．このシステムの時刻 t における状態は，x-y 平面上の点 (x(t), y(t)) で表されるとする．システムのモードは，時刻あるいは x-y 平面上における状態点の位置に依存して切り替わる．システムがモード A である場合のダイナミクスと，システムがモード B である場合のダイナミクスは，それぞれ式 (1) および式 (2) で記述される．
() ()()
()
dx(t)
α −ω
x(t)
x(t)
モード A
=
≡ MA
(1)
dt
y(t)
ω
αy(t)
y(t)
ddt

モード B

(x(t)y(t))(=γ00 −γ)(x(t)y(t))(≡ MBx(t)
y(t))
(2)

ただし，α，ω ，および γ は正の定数であるとする．以下の問いに答えよ．
（問 1）システムのモードが時刻に依存して切り替わる場合を考える．

(ア) 式 (1) の行列 MA の固有値，および式 (2) の行列 MB の固有値をそれぞれ求めよ．
(イ) 式 (1) で記述されるモード A のベクトル場を可視化した様子として最も適切なものを，以下の(a)-(e) から選べ．また，式 (2) で記述されるモード B のベクトル場を可視化した様子として最も適切なものを，以下の (a)-(e) から選べ．ただし，各図中の O は原点を表す．
(a)(b)yOx(c)yOx(d)yOx(e)yOxyOx(ウ) t = 0 において，(x(0), y(0)) = (1, 0) とする．t = 0 から t = t̃（t̃ > 0）までの間，システムはモード A であるとする．t = t̃ における状態点の位置 (x(t̃), y(t̃)) を (x̃, ỹ) と書くことにする．x̃
および ỹ を α，ω ，および t̃ を用いて表せ．
(エ) t = t̃ となった瞬間に，システムはモード A からモード B へ切り替わり，t = t̃ 以降，システムはモード B であるとする．t = T （T > t̃ ）における状態点の位置 (x(T ), y(T )) を，x̃，ỹ ，γ ，t̃，および T のうち必要なものを用いて表せ．
(オ) (問 1)(ウ) および (エ) で考えた状態点の移動に関して，t = t̃ 以降に状態点が原点へ漸近するために t̃ が満たすべき条件を述べよ．必要ならば，非負の整数 n（n = 0, 1, 2, ...）を用いよ．

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2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験 生体システム工学 II − 6/6（問 2）(問 1) ではシステムのモードが時刻に依存して切yり替わる場合を考えたが，以下ではシステムのモー直線 l1
ドが x-y 平面上における状態点の位置に依存して切モード A
モード Bり替わる場合を考える．図 1 のように，x-y 平面が原点 O を通る 2 本の直線 l1 と l2 で 4 つの領域に分直線 l2
θ1
θ2割されているとする．直線 l1 は x 軸から θ1 傾いたx直線であり，直線 l2 は x 軸から θ2 傾いた直線であOる．ただし，π/2 < θ1 < θ2 < π とする．直線 l1 とモード B
l2 で分割された 4 つの領域のうち図 1 で灰色で示さ
モード Aれた 2 つの領域はモード A に割り当てられ，状態点がこれらの領域に位置するときシステムはモード A
図 1: システムの状態点の x-y 平面上にであるとする．残りの 2 つの領域はモード B に割りおける位置とモードの関係．
当てられ，状態点がこれらの領域に位置するときシステムはモード B であるとする．状態点がモード A の領域を移動してどちらかの直線へ到達した際には，システムはモード A からモード B へ切り替わる．同様に，状態点がモード B の領域を移動してどちらかの直線へ到達した際には，システムはモード B からモード A へ切り替わる．

(ア) t = 0 において，(x(0), y(0)) = (1, 0) とする．この点はモード A に割り当てられた領域にあるので，状態点は式 (1) に従って移動する．t > 0 において，状態点が直線 l1 あるいは直線 l2 へ初めて到達する時刻を t1 とする．t1 を求めよ．また，t = t1 における状態点の位置(x(t1 ), y(t1 )) を求めよ．
(イ) (問 2)(ア) で求めた t1 における状態点の位置を (x1 , y1 ) と書くことにする．状態点が直線 l1 あ
るいは l2 に到達したため，システムはモード A からモード B に切り替わり，状態点は式 (2)に従ってモード B に割り当てられた領域を移動する．状態点が次に直線 l1 あるいは直線 l2 へ到達する時刻を t2 とする．t2 を求めよ．また，t = t2 における状態点の位置 (x(t2 ), y(t2 )) を求めよ．
(ウ) (問 2)(イ) で求めた t2 における状態点の位置を (x2 , y2 ) と書くことにする．状態点が直線 l1 あるいは l2 に到達したため，システムはモード B からモード A に切り替わり，状態点は式 (1)に従ってモード A に割り当てられた領域を移動する．状態点が次に直線 l1 あるいは直線 l2 へ到達する時刻を t3 とする．t3 を求めよ．また，t = t3 における状態点の位置 (x(t3 ), y(t3 )) を求めよ．
(エ) このハイブリッドシステムにおいて，x-y 平面上の原点 O が安定な平衡点であるために θ1 とθ2 の間で満たされるべき条件を求めよ．