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第4章

ポテンシャルダイヤグラム
東京大学
関西大学

4.1

岡部 徹
大石 敏雄

はじめに

金属の製錬をはじめとして、材料の溶解、乾式精製、熱間加工といった高温工程では材料は必ず空気、SO2、H2O、CO などのガスと接触している。真空といえども我々が現場で作り出せる程度の真空度では濃度に違いはあってもこのことに変わりはない。これらの雰囲気ガスは我々が必要に応じて導入するものと、材料自体が発生する
ものとがあるが、特に前者の雰囲気ガスは材料と反応してその中に溶け込み、あるいは酸化物、炭化物等の化合物を生成し最終製品としての材料の性能に大きく影響を与えることは論を待たない。
素材の製造工程においてガスは“切っても切れぬ仲”であるなら、ガスを邪魔なものと見るより自由に制御し、利用するのが現場をあずかる技術者の重要な仕事であろう。そのためには材料とガス成分との高温化学反応に関する基礎的な知識の習得とそれを的確に応用できる力を身につけることが必要である。
本章では、以上のような観点からポテンシャルダイヤグラム（ポテンシャル図）の読み方、描き方に焦点を絞り適宜例をあげて解説する。ポテンシャル図を理解する上で相律（自由度）および化学ポテンシャル（本章では酸素分圧 pO2, SO2 分圧 pSO2 など、各ガス種の分圧として取り扱う）に関する知識が必要であるので、これらについてまず解説し、続いて様々な種類のポテンシャル図について述べる。
4.2

Gibbs の相律

相律は系全体の定性的な関係を知るための有力な手段である。複雑な不均一系反応を取り扱う場合にはまず相律により自由度（F）を求め、我々が考えている条件で系の平衡状態が決定され得るものかどうかを調べてみる必要がある。ここでは Prigogineと Defay(1)の説明に従って Gibbs の相律について説明する。
系が温度 T、圧力 P で c 個の成分、φ 個の相より成り、相間の成分の移動反応を除き、r 個の独立した化学反応＊が関与している場合、どれだけの示強変数＊＊を固定す
れば系の状態（示強量）を完全に決定できるかを考えてみる。相律では各相に存在する各成分の量は問題とせず、ただ示強変数のみを問題にするから、変数の総和は温度と圧力、そして各相中の各成分の和となる。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣* 成分の間にいくつかの化学反応が考えられるとき、独立な反応とは他の 2 つ以上の反応の加減によって決して求められない反応をいう。例えば、C, CO, CO2, O2 の間には C + O2 = CO2, C + 1/2 O2

1/1

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040127_Chap_4_Text_1.DOC= CO, CO + 1/2 O2 = CO2, C + CO2 = 2 CO の 4 つの反応が考えられるが、このうちの 2 つは他の反応式から導出できるため上記 4 成分間の独立な化学反応の数は r = 2 となる。
** 温度、圧力、成分 i のモル分率 xi、化学ポテンシャル µi のような変数を示強変数（intensive
variable）とよぶ。これはその大きさが系内の物質の量に依存しないからである。これに対して質量、モル数、体積、エンタルピー、自由エネルギーのような系内の物質の量に依存する変数を示
量変数 (extensive variable)とよぶ。

￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣P, T, x11 · · · xc1 · · · x1φ· · · xcφ(4.1)
但し x1φ は相 φ 中における成分 1 のモル分率を表す。式 (4.1)で示される示強変数の合計 (2+cφ) 個の値すべてを知れば系の状態は完全に決定されるが、すべては独立ではなく、以下に示す関係により互いに制約をうけるため、もっと少ない示強変数を決めるだけで系の状態は完全に決定できるはずである。これからそれらの関係式を順次示し、最後に（2+cφ）から差し引くことにする。
まず各相中のモル分率の和は常に 1 であることから、
Σxiα = 1（α = 1, · · ·, φ）(4.2)

この関係は全部で φ 個ある。
つぎに µiα を α 相中の成分 i の化学ポテンシャルとすれば、系が平衡しているとき各相中の成分 i の化学ポテンシャルは等しいから、µi1 = µi2 = · · ·= µiφ(4.3)

これは i 成分に対して（φ–1）個の等式を与える。成分は全部で c 個あるので c(φ–1) 個の制約条件となる。
さらに、系内でおこる r 個の化学反応に対する平衡の条件を考える。すなわち r 個の化学反応のギブスエネルギー変化を ∆G1, · · ·, ∆Gr とすれば平衡の条件∆G1 = 0, ∆G2 = 0, · · ·, ∆Gr = 0(4.4)

が r 個加わる。
したがって (2 + cφ) 個の示強変数の間の関係式は、式(4.2) から φ 個、式(4.3)から
c (φ–1) 個、式(4.4)から r 個となり、合わせて φ + c(φ–1) + r である。したがって独立な示強変数の数は、
2 + cφ – { φ + c(φ–1) + r }

2/2

(4.5)

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040127_Chap_4_Text_1.DOCとなり、この数だけ示強変数が決まれば系の状態（示強量）は完全に決定される。言い換えればこの数は我々が自由に変えられる示強変数の数であり、自由度 (F: numberof degree of freedom) とよばれる。
F = 2 + (c – r) – φ(4.6)

これが Gibbs の相律である。成分の数よりそれらの間に成り立つ反応式の数を引いたもの (c – r) を特に独立成分とよび、これを c’ で表すと、
F = 2 + c’ – φ

(4.7)

となる。
このように Gibbs の相律そのものは極めて明快であるが実際の系に適用するとき種々の問題が生じることが多々ある。
以下、実例に沿って解説していく。
例 1. Cu (l)中への酸素ガスの溶解
この場合、成分 c は Cu (l)と O (in Cu (l))と O2 (g)の 3 つである。独立した化学反応の数 r = 1 {1/2 O2 (g) = O (in Cu (l))}であるから独立成分は 2 となる。相の数 φ は Cu(l) 相とガス相の 2、ゆえに F = 2 + 2 – 2 = 2 となる。したがって系の状態を決定するには、例えば温度と酸素分圧、あるいは温度と Cu 中の酸素濃度が決まれば良い。言い換えれば、温度を一定にしても我々はまだ酸素分圧あるいは酸素濃度を自由に変え得るということである。
例 2. Cu (l)と Cu2O (s or l)が共存している場合
c = 3 {Cu, Cu2O, O2}、r = 1 {2 Cu (l) + 1/2 O2 (g) = Cu2O (s or l)}、φ = 3 {Cu (l), Cu2O
(s or l), gas}となり、F = (3 – 1) + 2 – 3 = 1 。この場合温度を決めれば系の状態は決まる。つまり温度を一定にすれば Cu (l)中の酸素濃度、平衡酸素分圧は決まってしまい、
自由に変えることができない。
我々は通常、実験を行う場合に不活性ガスであるアルゴン(Ar)を系内に導入することが多い。この場合自由度はどうなるであろうか。これには 2 つの考え方がある。一つは Ar は平衡反応に関与しないので無視する。この場合、上と同様 F = 1 となる。他の 1 つは Ar を成分の一つに加える。このように考えると F = 2 となり Ar を考えなかった場合に比べ自由度は一つ増加する。つまり Ar の分圧を決めないことには全圧も決まらない。したがって自由度が 1 と考えても 2 と考えても良いわけで、その違いは
Ar を成分に加えるかどうかによる。つまり大切なことは自由度の値そのものなのではなく、我々が実験を行う場合に設定する条件が知りたいデータを得るのに正しい条

3/3

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件であるかどうかということなのである。
例 3.

水蒸気の解離 H2O (g) = H2 (g) + 1/2 O2 (g)c = 3 {H2O, H2, O2}、r = 1 {H2O (g) = H2 (g) + 1/2 O2 (g)}、φ = 1{gas}であるが、この場合はさらにもう 1 つの制約条件が加わる。上記反応式は H2O (g) の解離反応であるから、系内に H2O のみを入れて昇温する場合にあたる。つまり、最初は H2 も O2も全くなく、昇温後に H2O の解離により生じる。したがって、H2 と O2 のモル比は常に 2:1 となり、これが制約条件となる。したがって F = (3 – 1) + 2 – 1 – 1 = 2 となり、温度と全圧、温度と水蒸気分圧(pH2O)、温度と水素分圧(pH2)等の 2 つの示強変数を固定すれば系の平衡状態が完全に決定されることが容易に理解できよう。CO2 の解離反応も同じ考え方でやはり自由度は 2 である。
今は解離と断ったが、そのような条件はなく、ただ、系内に H2O, H2, O2 の 3 種のガスが存在するときの自由度を求めよという問題に対しては H2 / O2 = 2 / 1 という制
約条件はつかないため F = 3 となる。我々は、実験で一定の酸素分圧(pO2) を得るために CO/CO2, H2/H2O などの混合ガスを用いるが、この場合、温度とガス比を決めるだ
けで決まるが全圧までは決定されないのでやはり F = 3 である。
例 4.

Pb–Cu (l)と PbO–Cu2O–SiO2 (l)が平衡しているとき
c = 6 {Pb, Cu, PbO, Cu2O, SiO2, O2}、r = 2 {Pb + 1/2 O2 = PbO, 2 Cu + 1/2 O2 = Cu2O},
φ = 3 {Pb–Cu (l), PbO–Cu2O–SiO2 (l), gas}、したがって F = 3。この場合、一定温度で溶
融珪酸塩中の例えば xPbO と xCu2O を決めるか（酸化物中のモル分率の和は 1 であるから xSiO2 も決まり、結局、溶融珪酸塩の組成を固定していることになる）、または金属
相中の xPb または xCu（合金の組成を固定していることになる）と珪酸塩中の xPbO, xCu2O,
xSiO2 の中のどれか一つ、または xPbO / xSiO2 あるは xCu2O / xSiO2 などの組成比を決めれば平衡状態が決定され、一定の酸素分圧を与えることを示す。また、Cu–Pb 合金が 2 液相に分離する場合は相の数が 1 つ増えるから F = 2 となる。
ところで Cu–Pb 合金中に Si が少し溶け込んでいると考え、c = 7 とした場合、自由度はどうなるであろうか。この場合は Si, O2, SiO2 の間に Si + O2 = SiO2 の平衡反応が 1つ加わり r = 3 となるため、やはり F = 3 である。合金中に溶解した酸素(O)を考える
場合にはどうなるか各自考えていただきたい。
以上ここでは紙面の都合上例題を多く取り上げなかったが、Gibbs の相律の理解を深めるためには種々の実例に適用して学習することが大切である。1981 年 3 月の本講
習会のテキストで幸塚(2)が適切な多くの実例を挙げて解説しているのでぜひ参照され
たい。

4/4

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4.3

化学ポテンシャル

力学的エネルギーでは重力場の位置エネルギーがポテンシャルエネルギーであり、電気的エネルギーでは電位がポテンシャルエネルギーであるように、種々の形態のエネルギーにポテンシャルエネルギーが存在する。ポテンシャルには“潜在的な能力”の概念があり示強因子である。化学的エネルギーにも化学ポテンシャルがあり、それはつぎのように定義される。
µi = (∂G / ∂ni)T, p, nj(4.8)

ここで、µi は成分 i の化学ポテンシャル、G はギブスエネルギー(定圧自由エネルギー，
Gibbs 自由エネルギー)、n は成分 i のモル数を表す。式(4.8)より µi はギブスエネルギ
ーに対する部分モル量であることがわかる。
成分 i の活量を ai とすると、µi = µ°i + RT ln ai(4.9)となる。ここで µ°i は一定温度、圧力の下で ai = 1 のときの状態、すなわち標準状態における化学ポテンシャル（標準化学ポテンシャル）である。標準状態には任意の状態を選ぶことができる。つまり純粋な i を ai = 1 としても、ある溶媒に例えば 10 % 溶
け込んだ状態を ai = 1 としてもかまわない（標準状態の選び方により活量 ai は変わる
が、µi は変化しない）。要するに、便利な標準状態のとり方をすれば良いのであるが、ある程度の統一的な規約が望ましい。そのため固体と液体では 1 気圧下における純物
質を、気体の場合には 1 気圧(1 atm = 10235 Pa) の純粋ガスを標準状態にとるのが慣例であったが、最近は気体の標準状態を 1 bar = 105 Pa = 0.9869 atm に取る場合も多い。
一方、鉄鋼製錬ではしばしば鉄中の i 成分の仮想的 1 wt% (mass%)を標準状態にとっている。これはヘンリーの 1 mass%基準と一般によばれ、スラグ－メタル間の不純物の分配平衡を考察する場合、実用上便利である。純物質を標準状態にとるラウール基
準とヘンリーの 1 mass%基準の変換方法については第 2 章で詳細に解説されている。
また、参考書も参照にされたい(3)(4)。
考えている成分 i がガスの場合は、式(4.9)の ai の代わりに分圧 pi を用いる。例えば酸素の場合にはµO2 = µ° O2 + RT ln pO2(4.10)となる。ここで、O2 ガスの標準状態を 1 気圧の純粋酸素ガスにとると pO2 には atm で表した値を用いることになる。
いま次のような反応式を考えてみる。

5/5

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M (s or l) + 1/2 O2 (g) = MO (s or l)(4.11)µM = µ°M + RT ln aMµO2 =µ°O2 + RT ln pO2µMO =µ°MO + RT ln aMO(4.12)(4.13)(4.14)

ここでおよびµMO – ( µM + 1/2µO2) =µ°MO – ( µ°M +1/2 µ°O2) + RT ln{ aMO /( aM · pO21/2) }(4.15)∆G = ∆µ = µMO – ( µM + 1/2 µO2)
(4.16)°°°°°∆G = ∆µ = µ MO – ( µ M + 1/2 µ O2)(4.17)
より∆G = ∆G° + RT ln {aMO /( aM · pO21/2)}(4.18)と書き表される。ここで ∆G を反応のギブスエネルギー変化、∆G°を標準反応ギブス
エネルギーという。式(4.18)の活量の項を反応商 Q で置き換えると、∆G は以下の式で表現でき、化学平衡が成立しているときは ∆G = 0 となり、Q は平衡定数 K となる。
∆G = ∆G° + RT ln Q
4.4

(4.19)

ポテンシャル図4.4.1 エリンガム図Ellingham は種々の金属の酸化、硫化反応の ∆G°–T 図を作成した(5)。ここでは酸化物のエリンガム図を例にとり解説する。酸化物のエリンガム図は種々の酸化物の安定性をその平衡酸素分圧, pO2,と関連させて表すものであるから、反応式は次のように酸素ガス 1 モル当たりで統一するなど、軸とするパラメータを統一しなければならない。
2 M + O2 = 2 MO
4/3 M + O2 = 2/3 M2O3

(4.20)(4.21)

金属と酸化物が標準状態にあるとすると、
K = 1 / pO2となり、平衡状態(∆G = 0, ∆G° = –RT ln K)では式(4.19)より

6/6(4.22)

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040127_Chap_4_Text_1.DOC∆G° = RT ln pO2(4.23)と表せる。式(4.23)は、仮に M を平衡 pO2 より低い酸素分圧下におくと M は酸化されず、高い酸素分圧下ではすべて酸化物になることを意味する。
図 4.1 に酸化物のエリンガム図を示す(5) (6)。ここで各々の線の勾配は –∆S° を示す。
( d∆G° / dT = –∆S° ) これらの線は実際にはほとんど直線とみなせる。つまり、反応物（反応式の左辺）と生成物（反応式の右辺）の熱容量の差 ∆Cp を 0 と見なしているためである。また直線の折点は金属やその酸化物の相変態（融点、沸点など）を表し
ている。

図 4.1
7/7

酸化物のエリンガム図.

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C + O2 = CO2 の線は、ほとんど水平線になっているが、これは 1 モルの CO2 のエントロピーが 1 モルの C と 1 モルの O2 のエントロピーの和とほとんど等しいためである。2 C + O2 = 2 CO の線はこれに対して大きな負の勾配をもつ。ここで注意しなければならないことは、式(4.23)の導出過程からもわかるように、これら両反応とも CO
および CO2 は 1 気圧（標準状態）として計算されていることである。
今、このエリンガム図よりおおよその酸素分圧を知りたい場合には次のような操作を行う。例えば Ni–NiO 平衡の 1200 ˚C (1473 K)における酸素分圧を知りたい場合には左上隅の O（原点）と 2 Ni + O2 = 2 NiO の線の 1200 ˚C との交点を結び、その延長線が図の右枠の pO2 の線と交わった点(pO2≒10–8 atm)を読みとれば良い。その理由は、原
点 O は 0 K の点であるので RT ln pO2 は常に 0 であり、pO2 が一定の直線は原点 O より
R ln pO2 の勾配をもち放射線状に広がるためである。右枠の pO2 の目盛りはこの放射線状に出た pO2 が一定の直線との交点によって目盛ったものである。同様に金属とその酸化物が平衡しているときの pH2 / pH2O, pCO / pCO2 比を直接知りたい場合には 0 K の縦軸上の 2 点 H と C を利用することができる。これらの点の位置がどのようにして決定されたのかについても各自考えていただきたい。
図 4.1 のエリンガム図にはこれまでに知られているすべての元素のデータを挙げていないが、この図からは酸化物が最も安定な金属はカルシウムであることが容易に読み取れる。
これまでに述べてきたものは、M および MO がすべて標準状態、つまり活量が 1として取り扱ってきた。では活量が 1 として取り扱えない場合はどうなるであろうか。
いま 1100˚C (1373 K) において液体 Cu 中に少量の Ni が溶け込んでいる場合にどちらが酸化されやすいかを考えてみる。両金属がどちらも純粋な場合には図 4.1 より Niの方が低い酸素分圧で酸化されることは明らかであるが（この場合熱力学的に酸化され易いという）、合金の場合には様子が違ってくる。但し両金属の酸化物 NiO, Cu2O
は互いに溶け合わない、つまり aNiO および aCu2O は常に 1 であると仮定し、ここでは MKS 単位系ではない古いエネルギー単位 cal (1 cal = 4.184 J)を用いて話を進める。
2 Ni (s) + O2 = 2 NiO (s)(4.24)
2
2°
2 ∆G NiO = – RT ln {aNiO / (aNi · pO2)} = – 112280 + 40.84 T [cal]4 Cu (l) + O2 = 2 Cu2O (s)(4.25)
2
4°
2 ∆G Cu2O = – RT ln {aCu2O / (aCu · pO2)} = – 77580 + 32.89 T [cal]したがって、
2 Cu (l) + NiO (s) = Ni (s) + Cu2O (s)∆G° = 17350 – 3. 975T [cal](4.26)
より 1373 K において
aNi / aCu2 = 1.279 x 10–2
8/8

(4.27)

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つまり、pO2 が一定で、aNiO = 1, aCu2O = 1 のとき、平衡論的には式 (4.27) の活量差が生じる。言い変えれば、Ni と Cu の活量に式 (4.27) で示す違いがあるとき、Cu と Ni
は同時に酸化されることが熱力学的に予測できる。図 4.2 にこの関係を示した。

図 4.2

Cu と Ni がそれぞれの酸化物と平衡するときの酸素分圧の比較.

ただし図 4.2 の縦軸は ∆G°ではなく、RT ln pO2 で表されていることに注意してほしい。
1373 K において Cu (l)中の Ni の固体標準の活量係数を 4 とおくと xNi = 0.0029 となる。
つまり溶銅中の Ni が 0.29 mol% (at%)以上では Ni が優先的に酸化され、0.29 mol%以
下では Cu が優先的に酸化されることになる。酸化物が溶体（互いに溶け合う）をつくる場合には NiO, Cu2O とも合金の場合と同様、もはや標準状態（活量が 1）にはな
く、それぞれの酸化物の活量も考慮しなければならなくなる。
4. 4. 2 C–O 系
C–O 二成分系では C (s), O2 (g), CO (g), CO2 (g)の間の反応を考える。
2 CO (g) = C (s) + CO2 (g)
平衡定数はK1 = pCO2 · aC / pCO2
また2 CO2 (g) = 2 CO (g) + O2 (g)より
K2 = pCO2 · pO2 / pCO22
9/9(4.28)(4.29)(4.30)(4.31)

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式 (4.28), (4.30) の 2 つの化学反応が独立な反応の数 r である。
（4.2 節の“独立した化学反応”を参照せよ）
自由度は C (s)が存在しているときはF = (4 – 2) + 2 – 2 = 2(4.32)となり、例えば温度と全圧を決めれば系のすべての示強変数は決まる。
（図 4.3 の＋印の曲線がこれを表す。この曲線をブードアー (Boudouard) 曲線とよぶ。）また C (s)が存在していないときは相の数はガス相のみの 1 であるから
F = (4 – 2) + 2 – 1 = 3(4.33)となり、この場合には温度と全圧の他にもう一つ、例えば、pCO、pCO2 あるいは pO2のうちの一つ、またはこれら二つの間の比を選択するならば自由度は 0 となり分圧はすべて決まる。図 4.3 のブードアー曲線の上部の斜線を引いていない部分がそれである。斜線部は C (s)が析出するため平衡論的には実現が不可能な領域を示す。
これを RT ln pO2–T 図で表せば図 4.4 のようになる。
ブードアー曲線(C + CO2 = 2 CO)は全圧により変化する。すなわち全圧が低くなると C 析出が起こり難くなる。

Boudouardcurve

図 4.3 C–O 系の CO2 / CO 混合比と酸素分圧 pO2 の関係.

10/10

図 4.4 C–O 系の酸素ポテンシャ
ル–温度図（RT ln pO2–T 図）.

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4. 4. 3 H–O 系
H–O 系に存在する平衡関係は高温では凝縮相が存在しないので C–O 系の場合より単純である。
2 H2O (g) = 2 H2 (g) + O2 (g)(4.34)

平衡定数 K は
K = pH22 · pO2 / pH2O2(4.35)

で表される。全圧 1 atm の関係を図 4.5 に示す(7)。H2O / H2 の混合比に対して得られる
pO2 の値はかなり小さいので図の右上端を除いて H2O / H2 比は実質的に室温時の混合比と同一であると考えてよい。図 4.6 に Cu, Cr および Ti の酸化物のエリンガム図を示した。同図には種々の H2O / H2 混合ガスが示す酸素ポテンシャルも示している。
この図から Cu2O は水素により容易に還元されるが、TiO の水素ガスによる還元は事実上不可能であることがわかる。また、Cr2O3 は、高純度水素ガスにより高温でのみ還元が可能であろう。
では Cr または Ti が溶銅中に溶け込んでいる場合はどうであろうか。
4.4.1 節の Cu–Ni
系ですでに述べたように、この関係を図示するためには

図 4.5
11/11

H–O 系の H2O / H2 混合比と酸素分圧 pO2 の関係.

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図 4.6

Cu–O, Cr–O, Ti–O 系の酸素ポテンシャル–温度図（RT ln pO2–T 図）.

4/3 Cr + O2 = 2/3 Cr2O3
Ti + O2 = 2 TiO(4.36)(4.37)の反応において Cr および Ti の溶銅における活量が必要になる。
Cr を例にとって考えてみると
4/3 Cr + O2 = 2/3 Cr2O3
2/3 ∆G°Cr2O3 = – RT ln {aCr2O32/3 / (aCr4/3 · pO2)}(4.38)

ここで aCr2O3 = 1 とおくと、RT ln pO2 = 2/3 ∆G°Cr2O3 – 4/3 RT ln aCr(4.39)となる。図中の 1473 K における○印は溶銅中の Cr および Ti の活量係数をそれぞれ
39 および 0.2 として描いたものである。この図より Cr, Ti ともに活量が低くなること
により還元され易くなることがわかる。例えば溶銅中に 1 mass% 溶け込んでいる Cr
は H2 / H2O＞100 の混合ガスを用いれば 1473 K では酸化されない。一方、Ti の場合は、
Ti の活量 aTi が下がり還元され易くなったとはいえ、0.1 mass%Ti の合金でも Ti の酸化を防ぐためには H2 / H2O＞105 のガスが必要である。
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4. 4. 4 Fe–O 系
Fe–O 系の場合の自由度は独立成分が 2 であるから F = 4 – φ となる。したがって 1
凝縮相の場合は F = 2、2 凝縮相の場合は F = 1、3 凝縮相の場合は F = 0 である。
図 4.7 に Fe–O 系の相図を示した(7)。同図には pO2 (atm)の値が書き込まれているが、Fe– “FeO”, “FeO”–Fe3O4, Fe3O4–Fe2O3 等のように 2 凝縮相平衡の場合は、自由度が１であるので温度を決めれば酸素分圧も決まり、等酸素分圧線は横軸に平行な直線で表
される。

図 4.7

Fe–O 系状態図.

また、“FeO”, Fe2O3 あるいは Fe–O 融体のように凝縮相 1 相の場合は F = 2 であるから温度を決めただけでは pO2 や相内の組成は定まらない。この場合、温度の他に pO2を決めると相内の組成が完全に固定される。あるいは温度の他に組成を決めると pO2
が決まる。

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この図を温度–log pO2 の関係に書き直してみると図 4.8 のようになる(7)。この図では
F = 2 の領域は面で、F = 1 の領域は線で、F = 0 は点で表されている。図 4.7 および 4.8から、1273 K で“FeO”–Fe3O4 の平衡酸素分圧 pO2 は 10–13 atm, Fe3O4–Fe2O3 平衡の pO2
は 10–5 atm 近傍にあることがわかる。つまり、1273 K では 10–13 < pO2 < 10–5 atm の領域
で Fe3O4 1 相が安定ということになる。
図 4.7 からわかるように、この組成領域は非常に狭いため 1273 K で Fe3O4 を製造しようとする場合、Fe と Fe2O3 を混合して作るよりもポテンシャル制御により製造する方が容易であることがわかる。例えば、H2O / H2 混合ガスにより pO2 を制御する場合、
図 4.5 からおよそ 1.0 < log ( pH2O / pH2 ) < 5.0 の範囲にあれば Fe3O4 単相が製造できることがわかる。

図 4.8
Fe–O 系の各相の安定領域と温度の関係（T–log pO2 図）.

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4. 4. 5 Be–C–O 系
3 成分系のポテンシャル図の描き方を Be–C–O 系を例にとって解説する。
3 成分系の場合には自由度は F = 5 – (相の数)で表されるから、F = 3 (1 凝縮相)、2 (2凝縮相), 1 (3 凝縮相)となる。
ポテンシャル図を描く場合は縦軸、横軸の取り方としていくつか考えられるが、ここでは縦軸に RT ln pO2、横軸に T をとって考えてみる。このように相関係を平面で表す場合には F = 1 が線で、F = 2 が面で表されるから F = 3 は表示できない。そこで一つ制約条件を付けると、F = 1（3 凝縮相）が点で、F = 2（2 凝縮相）が線で、F = 3（1凝縮相）が面で表されることになる。ここでは pCO + pCO2 が一定（今、考えようとしている領域では pO2 が非常に低いためこの条件は全圧が一定という条件と同じと考えてよい）という制約条件を付けて自由度を一つ減らすことにする。
つぎにポテンシャル図を描くためのデータを示す(8, 9)。
Be :m.p. 1556 K , b.p. 2744 K
BeO : m.p. 2820 K
Be2C : m.p. 2400 K
したがって凝縮相としては Be (s, l), BeO (s, l), Be2C (s, l) および C (s)を、ガス相としては Be (g), CO, CO2, O2 を考える。
BeO および Be2C の標準生成ギブスエネルギーは~1556 K Be (s) + 1/2 O2 = BeO (s) ∆G° = – 142470 + 22.85 T [cal]1556~2325 K Be (l) + 1/2 O2 = BeO (s) ∆G° = – 145100 + 24.55 T [cal](2325 K は BeO の変態点)2325~2744 K Be (l) + 1/2 O2 = BeO (s) ∆G° = – 143750 + 23.96 T [cal]2744~2820 K Be (g) + 1/2 O2 = BeO (s) ∆G° = – 214440 + 49.72 T [cal]2820 K~
Be (g) + 1/2 O2 = BeO (l) ∆G° = – 198220 + 43.97 T [cal](4.40)(4.41)∆G° = – 31135 + 6.25 T [cal]∆G° = – 40280 + 12.17 T [cal]∆G° = – 22310 + 4.69 T [cal]∆G° = – 163480 + 56.14 T [cal](4.45)(4.46)(4.47)(4.48)∆G° = – 26700 – 20.95 T [cal]∆G° = – 94200 – 0.2 T [cal](4.49)(4.50)~1556 K

2 Be (s) + C = Be2C (s)1556~2400 K
2400~2744 K
2744 K~

2 Be (l) + C = Be2C (s)2 Be (l) + C = Be2C (l)2 Be (g) + C = Be2C (l)さらに(10)C + 1/2 O2 = CO
C + O2 = CO2
また、純粋 Be の蒸気圧は15/15(4.42)(4.43)(4.44)

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log pBe = –17000 / T –0.775 log T + 11.9 (mmHg, 1557~2670 K)(4.51)

実際にこれらのデ–タを組み合わせて 1 atm のポテンシャル図を次の手順により描いてみる。
1) C, O が関与する反応の場合、まずブードアー反応を考えなければならない。
式 (4.49)より
RT ln pO2= 2 RT ln pCO – 53400 – 41.90 T [cal]式 (4.50)より
RT ln pO2 = RT ln pCO2 – 94200 – 0.2 T [cal]図 4.9 Be–C–O 系の BeO (s) の安定領域の作成例.

16/16(4.52)(4.53)

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まず pCO = 1 または pCO2 = 1 として 2 つの直線を描くと図 4.9 のように交点 978 K の
2 本の直線が得られる。 pCO = 1, pCO2 = 1 としたのは C 存在下では低温ではほとんど
100 % CO2 ガスであるため CO ガスが無視でき、高温では逆に CO2 ガスが無視できるからである。ところが 978 K 近傍の温度では CO, CO2 ガスは互いに無視できなくなる。
したがって式 (4.52), (4.53) と pCO + pCO2 = 1 の関係式より計算し、曲線を求めなければならない。結果は 978 K 近傍で図に示したような形の曲線となる。これが 1 atm の条件下におけるブードアー曲線である。この曲線上は常に pCO + pCO2 = 1 である。この曲線より下の部分は事実上平衡状態では存在しない領域である。（斜線で示している）
2) 次に BeO (s)の安定領域を捜してみる。1 凝縮相は面で表されるから、2 凝縮相平衡の線で囲まれる領域を見つけ出せばよい。
まず BeO–Be2C 平衡について~2400 K

BeO (s)–Be2C (s)2400~2820 K
2820K~BeO (s)–Be2C (l)BeO (l)–Be2C (l)の 3 つの温度領域で2/3 Be2C + O2 = 4/3 BeO + 2/3 CO(4.54)の平衡反応を考える（CO2 ガスが無視できる領域である）。ここで、pCO = 1 また BeOと Be2C は互いに溶け合わないと仮定すると、aBeO = 1, aBe2O = 1。したがって、
RT ln pO2 = – 184400 + 10.65 T (~2400 K)
RT ln pO2 = – 194600 + 14.85 T (2400~2820 K)
RT ln pO2 = – 173100 + 7.233 T (2820 K~)(4.55)(4.56)(4.57)となり図 4.9 中の Be2C–BeO 平衡に対する折れ線となり BeO の安定領域はこの線の上側となる。（下側の不安定領域に斜線を入れた）
つぎに Be–BeO 平衡について~1556 K1556~2744 K
2744~2820 K
2820~

17/17

Be (s)–BeO (s)Be (l)–BeO (s) （2325 K に BeC(s)の変態点あり）
Be (g)–BeO (s)Be (g)–BeO (l)2004/03/03
040127_Chap_4_Text_1.DOCのそれぞれの平衡に対して 2 Be + O2 = 2 BeO の平衡反応を考え、BeO–Be2C 平衡の場
合と同様の手法で RT ln pO2 を温度の関数で表し図示すると、図 4.9 中の Be–BeO 平衡に対する折れ線が求まる。Be–BeO 平衡の場合は CO 分圧が関与してこないため全圧に関係せず同じ値が得られる。BeO の安定領域はこの線の上側にある。（下側の不安定領域に斜線を入れた）
つぎに BeO の融点は 2820 K であるが、これは pO2 に影響を受けないと考えてよい
ので縦軸に平行な直線で近似できる。BeO (s)の安定領域はこの直線の左側にある。
（直線の右側(BeO (l)が安定)の不安定領域に斜線を入れた）以上の操作により得られた空白部分が BeO (s)の安定領域である。また、Be (s), Be2C(s) の安定領域はブードアー曲線の下側に位置するため pCO + pCO2 = 1 atm の条件では安定に存在し得ないこともこれまでの結果からわかる。
このような操作を BeO (l), Be2C (l), Be (l), Be (g)について行っていくと図 4.10 を得る。
図には Be (g)の安定領域が示されているが、これは pBe = 1 atm の条件で得たものであるため全圧は 2 気圧を少し越えていることになる。また、Be (l) の安定領域が図には現れていないが、Be (l) に対して上述の操作を行ったところ空白部分が存在しなかったことによる。
図 4.11 は pCO + pCO2 = 10-5 atm におけるポテンシャル図である。図 4.10 に比べるとブードアー曲線は下方に移動し Be (l)の安定領域が現れてくることが特徴的である。

図 4.1018/18

Be–C–O 系の相の安定領域.
（pCO + pCO2 = 1 atm）

図 4.11

Be–C–O 系の相の安定領域.
（pCO + pCO2 = 10-5 atm）

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4. 4. 6 Cr–C–O 系
Cr2O3 の水素還元の可能性については 4.4.3 節ですでに述べたが、高温でさらに還元力の強い炭素を用いた場合の安定性についてポテンシャル図より検討してみよう。図4.12 に PTotal = 9.87 x 10-6 atm (1 Pa)におけるポテンシャル図を示した。
この図は各元素、各化合物間に相互溶解度がないものとして標準ギブスエネルギー変化より求めたものである。また、Cr をはじめとするすべての凝縮相の蒸気圧を無視している。したがって、PTotal = pCO + pCO2 と考えることができる。図には、細線で Cr の等活量線を描いたが、aCr が小さくなってくると金属相安定領域が増大している。いまグラファイト
るつぼを用いた場合を考えると酸素分圧が十分に低いため、Cr2O3 の生成は問題にしなくてよいが、aC =1 であるため炭化物の生成が問題となってくる。図より純粋 Cr はグラファイトと反応して Cr3C2 を生成することが明らかである。ところが aCr = 0.05の合金を考えると図 4.13 に示したように Cr4C, Cr7C3 等の炭化物の安定領域はなくなり極めて簡単な相図となる。つまり、aC = 1 の条件で 1573 K において Cr3C2 は消失しており aCr = 0.05 の Cr 合金をグラファイトるつぼで溶解する場合、1573 K 以上に保持しておけば Cr の炭化物の析出は生じないことが読み取れる。

図 4.12 Cr–C–O 系の酸素ポテンシャ
ル–温度図における各相の安定領域.
(PTotal = 9.87 x 10-6 atm)

19/19

図 4.13 Cr–C–O 系の酸素ポテンシャ
ル–温度図における各相の安定領域.
(aCr = 0.05)

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4. 4. 7 Cu–S–O 系
これまでポテンシャル図として RT ln pO2–T 図を描いたが log pO2– 1 / T 図も文献等で比較的よく見かける。ここでは Cu–S–O 系を例にとり log pO2– 1 / T のポテンシャル
図を紹介する。図 4.14 は pSO2 = 1 atm、図 4.15 は pSO2 = 0.01 atm における Cu–S–O 系のポテンシャル図を表している。この図で便利なことは等酸素分圧線が横軸に平行な直線として表現されることである。両図を比較すると pSO2 が下がると CuO, Cu の安定領域が低温の方に大きく張り出してきていることがわかる。図 4.16 に示したように一
定温度における log pO2 – log pS2 の関係を描き、図 4.14, 4.15 と対応させてながめると安定相領域の関係がより明瞭に理解できる。
図 4.17 は、1473 K における Cu–S–O 系のポテンシャル図である。この図では溶銅領域内に酸素及びイオウの等濃度線を入れたが、この図を描くためにはこれまで用いてきた化合物の標準生成ギブスエネルギーのデータ以外に酸素及びイオウの活量係数、酸素とイオウの相互作用係数の値が必要であるが計算の詳細は省略する。この図を参考にして大石らは溶銅からの脱硫について研究を行った(11)。

図 4.14

20/20

Cu–S–O 系の log pO2– 1 / T 図.
（pSO2 = 1 atm）

図 4.15

Cu–S–O 系の log pO2– 1 / T 図.
（pSO2 = 0.01 atm）

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図 4.161000 K における Cu–S–O 系の log pO2– log pS2 図.

図 4.171473 K における Cu–S–O 系の log pO2– log pS2 図.

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4. 4. 8 Cu–Rh–O 系
ポテンシャル図として RT ln pO2–T 図、log pO2– 1 / T 図、log pO2– log pS2 図など、任意の示強変数を 2 つ選んで、2 次元平面に描写するポテンシャル図について説明してきたが、本節ではより拡張性のあるポテンシャル図の描き方を簡単に解説する。最近
は、表計算ソフトなどを使って逆行列を求める計算などが簡単に行えるようになったため、ここでは手計算ではなくパソコンを使って化学ポテンシャルの計算を行ういく
つかの手法を紹介する。
一般に、A–B 2 元系において、AB (s)、AB2 (s)、AB3 (s)の 3 つの金属間化合物の存在を仮定するとき、以下の 3 つの化学平衡を考慮する必要がある。
A (s) +

B (s) = AB (s)∆G°AB = – RT ln {aAB / (aA · aB)}
A (s) + 2 B (s) = AB2 (s)∆G°AB2 = – RT ln {aAB2 / (aA · aB2)}
A (s) + 3 B (s) = AB3 (s)∆G°AB3 = – RT ln {aAB3 / (aA · aB3)}(4.58)(4.59)(4.60)

ここで、ある一定温度 T において AB (s) / AB2 (s) 2 相平衡（aAB = 1, aAB2 = 1）が成り立つと仮定し（自由度０）、aA、aB、aAB3 を算出する場合、以下の行列式を解けばよい。

(4.61)

上記行列式は、式 (4.58)～(4.60) の 3 式に加え、AB (s) / AB2 (s) 2 相平衡（aAB = 1, aAB2
= 1）の条件を数式として与えるため、log aAB = 0, log aAB2 = 0 の 2 つの式を行列に加えたものである。この場合、温度が一定ならば系の自由度は 0 となり、左辺第 1 項正方行列を A、第 2 項を X、右辺を B とすると、求める aA、aB、aAB3 は以下の式で表せる。
X = A-1 · B(4.62)

A の逆行列 A-1、B の値とそれらの積は、表計算ソフト等を用いれば容易に計算できるので、温度 T における AB (s) / AB2 (s) 2 相平衡の化学ポテンシャル計算は式 (4.62)
により簡単に行うことができる。本計算にあたり注意すべき点は、行列 A の最後の 2
行は、それぞれ log aAB = 0, log aAB2 = 0 の条件を設定している「条件式」であり、この条件式は相平衡条件などによって任意に設定できる。

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上記の A–B 2 元系の計算では、以下の図 4.18 における点②の化学ポテンシャルを計算したことになり、この場合は手計算でもすぐに解が求められるが、行列式を使って
化学ポテンシャルの計算をする場合の利点は、拡張性が高いことである。例えば、行列 A の最後の 2 行を修正して、log aAB = 0, log aAB3 = 0 の条件を入力すれば、仮想的なAB (s) / AB3 (s) 2 相平衡の化学ポテンシャルの計算結果が出力される。この計算結果
は、図 4.18 における点⑤の化学ポテンシャルに対応する。行列式を使った n 元系のポテンシャル計算は、n 元空間内における束縛条件での交点を求めていることになる。
計算結果の中で、仮に log aAB2 が正の値を示せば、aAB2 が 1 を超えていることになり、このことは、熱力学的には AB (s) / AB3 (s) 2 相平衡は成立せず、AB (s) + AB3 (s) → 2
AB2 (s) の反応が進行し AB2 (s)が生成することを意味する。このように、行列式を用いてすべての示強変数を等価に扱って化学ポテンシャルの計算を行う場合、活量の値から化学平衡が成立しているかの判定も同時に行えるという利点もある。
B

0
1 AB

Temperature, T

AB2

A

1

2

3

AB AB2 AB3

図 4.18

Activity of3
A-B binary system
at constant temperature AB344② AB / AB2 equilibrium

5

2

T1

① A / AB equilibrium

A

T = T1aaPhase diagramof A-B binary system

log

log

Pure A③ AB2 / AB３ equilibrium④ AB３ / B equilibrium(⑤ AB / AB3 quasi-quilibrium)

Pure BB

A–B 2 元系の状態図と一定温度におけるポテンシャル図.

さて、1273 K における Cu–Rh–O のポテンシャル計算を行う場合、この温度では
Rh2O3 (s)、CuO (s)、Cu2O (s)、CuRhO2 (s)、CuRh2O4 (s)の存在とこれらの化合物の熱力学的なデータが報告されているので、以下の 5 個の式を考慮する必要がある。
2 Rh (s) + 3/2 O2 (g)= Rh2O3 (s)°∆G Rh2O3 = – RT ln {aRh2O3 / (aRh2 · pO23/2)}

Cu (s) + 1/2 O2 (g) = CuO (s)∆G°CuO = – RT ln {aCuO / (aCu · pO21/2)}
2 Cu (s) + 1/2 O2 (g) = Cu2O (s)∆G°Cu2O = – RT ln {aCu2O / (aCu2 · pO21/2)}
Cu (s) + Rh (s) + O2 (g) = CuRhO2 (s)∆G°CuRhO2 = – RT ln {aCuRhO2 / (aCu · aRh · pO2)}
Cu (s) + 2 Rh (s) + 2 O2 (g) = CuRh2O4 (s)∆G°CuRh2O4 = – RT ln {aCuRh2O4 / (aCu · aRh2 · pO22)}
23/23(4.63)(4.64)(4.65)(4.66)(4.67)

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温度が一定の条件下では、これらの 5 個の式の中で、変数の数は 8 個（aCu, aRh, pO2,
aRh2O3, aCuO, aCu2O, aCuRhO2, aCuRh2O4）あるので、3 つの束縛条件を与えれば解がある正方行列（8 元連立方程式）を組むことができる。
図 4.19 は 1273 K における Cu–Rh–O 系の平衡状態図であるが、一例として、CuO (s)/ Cu2O (s) / CuRhO2 (s) 3 相平衡の化学ポテンシャル計算をしてみよう。この 3 相平衡が成立している場合、aCuO = 1, aCu2O = 1, aCuRhO2 = 1 の 3 つの条件が新たに加わるので、以下の行列式を解けばよいことがわかる。

(4.68)
上記行列式の左辺第 1 項の最後の 3 行は log aCuO = 0, log aCu2O = 0, log aCuRhO2 = 0 という条件を設定しているが、これは 3 元系における 3 相平衡（自由度 1）という条件で計算を行うことを意味し、温度を固定すれば自由度は 0 となる。この最後の 3 行は必ずしも活量が 1 の状態（安定相の存在）を指定する必要はなく、例えば log pO2 = –4なる条件とさらに 2 相の存在（たとえば、log aRh = 0，log aCu2O = 0）を指定してもよい。この場合、酸素分圧が 10-4 atm の条件下で Rh (s) および Cu2O (s)の 2 相が共存する条件における化学ポテンシャルが計算でき、他の変数（log ai）の符号判定により、これらの相が安定相として存在し得るかの判定も同時にできる。
図 4.20 は、1273 K における Cu–Rh–O 系の 3 次元化学ポテンシャル図である。温度が固定されている条件では、log aCu、log aRh、log pO2 の 3 つの示強変数を独立軸にとった 3 元系の等温化学ポテンシャル空間においては、すべての化合物の安定領域は 3次元空間内の「面」（自由度 2）として記述される。すなわち、このポテンシャル空間
では 2 相平衡は「面」と「面」が交わる「線」（自由度 1）として、また、3 相平衡は3 つの「面」が交わる「点」（自由度 0）として表現される。ここで興味深い点は、図4.19 に示すような組成軸で表される 3 元系の等温状態図では、逆に 3 相平衡が「面」として、2 相平衡が「線」として、化合物が「点」として表現されることである。図4.19 は、図 4.20 で示されるポテンシャル空間における相平衡を組成空間に投影したものと考えることもできるが、当然ながらこれらを見比べてわかるように軸の取り方は全く異なっていても相平衡関係は完全に一致している。図 4.21 は、縦軸に化学ポテン
シャル（log pO2）、横軸に組成（ここでは金属成分のモル分率）をとったポテンシャ
ル図（p–X 図）である。この p–X 図は、図 4.20 における log pO2 軸との任意の垂直断24/24

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面における相平衡関係を考え、図 4.19 の組成（および溶解度）を考慮しながらプロットすると得られる。図 4.20 の 3 次元ポテンシャル図 (3D–p 図) を 1 つの軸方向から 2次元平面に投影すれば図 4.16 のような 2 次元の p–p ポテンシャル図が容易に作成できるが、これについては各自考えていただきたい。

図 4.191273 K における Cu–Rh–O 系の平衡状態図.

図 4.20 1273 K における Cu–Rh–O
系の化学ポテンシャル図(3D–p 図).

25/25

図 4.21
1273 K に お け る
Cu–Rh–O 系の p–X ポテンシャル図.

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4. 4. 9 多元系ポテンシャル図
これまでに 3 元系の p–T 図、p–p 図、p–X 図などについて学び、これらの 2 次元ポ
テンシャル図と 3 次元の p–p–p 図(3D–p 図)との関係について説明した。図 4.22、4.23、4.24 は Nd–Ir–O 系の状態図とそれに対応する各種ポテンシャル図の一例であるが、これらの図も一見複雑ではあるものの、パソコン上で行列式の操作ができれば、前節で述べた手法を拡張するだけで容易に作成できる。図 4.21 の p–X 図と図 4.24 の p–T–X
図の相関についても各自考察されたい。

図 4.221200 K における Nd–Ir–O 系の平衡状態図.

図 4.23 1200 K における Nd–Ir–O 系の
化学ポテンシャル図(3D–p 図).
26/26

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図 4.24

Nd–Ir–O 系の p–T–X 図.

4 元系以上の多元系のポテンシャル図を考える場合でも、前節で紹介した行列式を用いて化学平衡を記述し、同時に自由度を 0 にする数の拘束条件も式に組み込むことにより化学ポテンシャルの計算が可能となる。ただし、4 元系以上の場合は、2 次元
平面にポテンシャル図を投影する際、2 個以上の変数を省略しなくてはならないため
その表現方法には工夫が必要である。

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4. 4. 10 電位–pH 図
多元系のポテンシャル図として特に有用なものとして、電位–pH 図（E–pH 図）があげられる。この E–pH 図は、水溶液中の化学反応について考察する際に不可欠であり、Pourbaix らにより系統的に作成されたものがすぐに利用できる(12)。また、E–pH
図の作成方法については、いくつかの優れた解説が存在する(13) (14)。最近は、元素や条件をパソコンに入力するだけで、目的の E–pH 図が得られるようになったが、ここではこれらの化学ポテンシャル計算がどのように解かれているのかについて理解することを目的として、以下に E–pH 図の作成方法を簡潔に述べる。
水溶液中のイオンを含む化学反応を考える場合、これまでのポテンシャル計算とは異なり、水中の化学種がイオンとして水溶液中に溶解するときのギブスエネルギー変化やこれらのイオンの酸化還元電位を考慮しなくてはならない。ここでは、水溶液中のイオンの活量の定義などの詳細については省略するが、仮想的な元素 A が水溶液中に 2 価のイオンとして溶解する反応を考えると、以下の反応式が与えられる。
A (s) = A2+ (aq.) + 2 e-

2∆G°aA2+(aq.) = – RT ln { aA2+(aq.) · ae- / aA(s) }(4.69)

ここで、ae- は電子の仮想的な活量であるが、RT ln ae- を電子のポテンシャルと考え、ファラデー定数、F (=96485 C)を用いて以下の式を定義することにより、電位 E として定量的に取り扱うことができる。
E · F = – RT ln ae-(4.70)

また、水素イオンの活量が 1 でかつ水素ガスの分圧が 1 atm のときの系内の平衡電位
EH+/H2 は定義上 0 であるため、以下の式が与えられる。
1/2 H2 (g) = H+ (aq.) + e1/2
∆G°aH+(aq.) = – RT ln { aH+(aq.) · ae- / pH2(g) } = 0(4.71)

さて、一例として E–pH 図における A (s) / A2+(aq.) / AO (s) の 3 相平衡における E お
よび pH を求める場合は、以下の式 (4.72)を解けばよい。ここで、変数が 10 個であるのに対し、化学反応式が 6 個であるため、log aA(s) = 1, log aA2+(aq.) = 1, log aAO (s) = 1 の 3個の条件式を加え、温度を固定した条件下でも自由度が 1 となる。このため、A–H2O
系の E–pH 図では、A (s) / A2+(aq.) / AO (s)の三相平衡の条件では、例えば水の活量,aH2O(l),を固定するなど、もう一つの条件を加えないとポテンシャル計算はできない。
そこで、以下の式では、aH2O(l) = 1 として計算している。

28/28

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040127_Chap_4_Text_1.DOC(4.72)
式 (4.72)の計算では、変数として水蒸気分圧 pH2O(g)も変数として加え計算しているが、∆G°H2O(g)を含む式を無視して変数 pH2O(g)を削除しても同一の結果が得られる。また、上記ポテンシャル計算において新たに水酸化物 A(OH)2 の存在を考慮する場合は、その活量 aA(OH)2(s)を考慮しなければならないため変数が一つ増えるが、同時にこの化合物の標準生成ギブスエネルギー, ∆G°aA(OH)2(s), を含む式も一つ増えるので、上記行列式に一行一列加えて同様の方法で解くことができる。
図 4.25 には仮想的な元素 A の E–pH 図の模式図を示す。図には安定相の境界における化学反応もあわせて示したが、図中の A (s) / A2+(aq.) / AO (s)の三相平衡点（点 X）
は式 (4.72)の解に対応することが理解できよう。一般に、E–pH 図を描く場合は、酸化還元反応や酸塩基反応を分けて解く場合が多いが、ここでは、電位や pH も反応化
学種の活量と同じ示強変数として扱うことができる点を強調したい。
前節でも述べたように、式 (4.72) の最後の 3 行についても必ずしも活量が 1 の状態（安定相の存在）を指定する必要はなく、例えば電位が一定（log ae- = –E · F / 2.303
RT）の条件と、さらに 2 相の存在（たとえば、log aA(s) = 0，log aAO (s) = 0）を指定してもよい。この場合、一定電位 E の条件下で A (s) および AO (s) の 2 相が共存する水溶液の化学ポテンシャルが算出され、他の反応化学種の活量変数（log ai）の符号判定
により、これらの相が安定相として存在し得るかの判定ができる。同様に、pH が一定（pH = – log aH+(aq.)）の条件で A (s) および AO (s) の 2 相が共存する水溶液のポテ
ンシャル計算もできるが、これについては各自考えていただきたい。

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1.5

O２
1.0

b

E/V

イオンA2+の
安定領域

A2+

0.5
1

2

AO (s)

A2+ + 2 e- = A (s)2

A2+ + H2O = AO (s) + 2 H+

3

AO (s) + 2 H+ + 2 e- = A (s) + H2Oa

2 H+ + 2 e- = H2b

O2 + 4 H+ + 4 e- = 2H2O

３相平衡点X
酸化物
AO(s) の
安定領域

3
0

A (s)
H２

-0.5

1

0

2

金属Aの
安定領域

a

4

6

8

pH

図 4.25

仮想的な元素 A–H2O 系の E–pH 図 (模式図).

なお、本稿で扱った E–pH 図の計算手法は、計算機の使用を前提としているが、特定の示強変数を抽出して E–pH 図を作成する手法については増子ら(13)や粟倉ら(14)の解説を参考にされたい。また、一連の行列計算を行う表計算のサンプルファイルについては、著者らのホームページ(15)からダウンロードできるので興味がある方は利用されたい。
さらに詳しく材料熱力学やポテンシャル図について勉強する場合は、香山(3)や山口ら(16)による参考書や横川による解説(17)-(19)も有用であるのでぜひ参照されたい。

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演習問題
問題 1. SiO2 るつぼ中で Cu (l)と液体 Cu2O–SiO2 との 2 相が平衡している。相律を適用して自由度を求め、さらに次の文章の中から正しいものを選べ。
(a)この平衡はただ一つの温度でしか存在しない。
(b)温度を決めれば Cu2O–SiO2 の組成、pO2 などすべての示強変数が決まる。
(c)温度と Cu2O–SiO2 の組成を決めれば、すべての示強変数が決まる。
(d)温度、Cu2O–SiO2 の組成および pO2 を決めれば、系のすべての示強変数が決まる。
(e)温度と Cu (l)中の酸素濃度を決めれば Cu2O–SiO2 の組成、pO2 などすべての示強変数が決まる。
問題 2. MnO を炭素により Mn に還元する。MnO, Mn および C が共存しているときの自由度を求めよ。この還元反応を 1273 K で行わせた場合、平衡する CO, CO2, O2 の分圧を求めよ。さらに pCO / pCO2 求め、図 4.1 から読みとった pCO / pCO2 と比較せよ。
データ ：
MnO (s) = Mn (s) + 1/2 O2∆G° =91950 – 17.4 T [cal]C (s) + O2 (g) = CO (g)
2 C (s) + O2 (g) = 2 CO (g)

∆G° =
∆G° =

–94200 – 0.20 T [cal]–53400 – 41.9 T [cal]問題 3. Ni–S–O 系の log pSO2–log pO2 図を 1150 K において描きたい。この温度で考えられる凝縮相は Ni, NiO, NiS, Ni3S2, NiSO4 である。下記のデータを用いて縦軸に log
pSO2 (–10~+8)、横軸に log pO2 (–20~0)をとり相図を完成させよ。但し、それぞれの凝縮
相平衡点の pSO2, pO2 をそれぞれ求めよ。pS2 = 1, 10-5, 10-10, 10-15, 10-20 atm の線を図上に点線で書き込め。
データ ：log K (1150 K)
6.045
Ni + 1/2 O2 = NiO
2 Ni + S2 = 2 NiS
5.775
3Ni + S2 = Ni3S2
6.533
NiO + SO2 + 1/2 O2 = NiSO4
1/2 S2 + O2 = SO2

0.519
12.630

ヒント：上記の 5 つの凝縮相(Ni, NiO, NiS, Ni3S2, NiSO4)の間につぎの 7 つの 2 凝縮相平衡が存在する。
Ni + 1/2 O2 = NiO
Ni3S2 + 2 O2 = 3 Ni + 2SO2
3 NiS + O2 = Ni3S2 + SO2
NiS + 3/2 O2 = NiO + SO2
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NiS + 2 O2 = NiSO4
NiO + SO2 + 1/2O2 = NiSO4
Ni3S2 + 7/2 O2 = 3NiO + 2SO2
これらの平衡反応の log K を求め、各凝縮相に対して安定領域を求め、図示すれば 3相平衡点も得られる。
問題 4. 式 (4.68)の例にならい、図 4.22 の Nd–Ir–O 系 3 元等温状態図における Nd2O3(s) / Nd6 Ir2O7 (s) / Ir (s) 3 相平衡の化学ポテンシャル計算を行う行列式を作れ。さらに、
この 3 相平衡が図 4.23 の Nd–Ir–O 系 3 次元化学ポテンシャル図や図 4.24 の Nd–Ir–O
系 p–T–X 図のどの点に対応するか示せ。
問題 5. 以下の Li–Mg–N 3 元系状態図および 3 次元ポテンシャル図（3D–p 図）が正しいと仮定し、次頁の p–X 図を完成させよ。さらに、次頁の 3 つの p–p 図を完成させ
LiMgN の安定領域をハッチング（斜線引き）で示せ。
Li–Mg–N 系の 3 次元化学ポテンシャル図は、以下のデータを用いて作成した。
∆G°LiMgN(S) = – RT ln {a LiMgN(S) / (aLi(l) · aMg(s) · pN21/2)}∆G°Li3N(S) = – RT ln {a Li3N(S) / (aLi(l)3 · pN21/2)}∆G°Mg3N2(S) = – RT ln {a Mg3N2(S) / (aMg(s)3 · pN2)}= –121 kJ=–44.9 kJ
= –279.1 kJ

上記の変数および数値を用いて、Mg3N2 (s) / LiMgN (s) / N2 (g) 3 相平衡（図中②）の
化学ポテンシャルを計算する行列式を作成せよ。また、900 K において LiMgN が存在する場合の、窒素、リチウム、マグネシウムの活量の範囲をそれぞれ示し (e.g. ? <pN2
< ?, ? <aLi < ?, ? <aMg < ?,)、LiMgN の合成方法を考察せよ。

図 4.2632/32

Li–Mg–N 系 3 元状態図.

図 4.27 Li–Mg–N 系 3 次元化学ポテ
ンシャル図(3D-p 図).

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図 4.2833/33

答案用の Li–Mg–N 系 p–X 図.

図 4.29答案用の Li–Mg–N 系 p–p 図.

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問題 6. Cu–H2O 系の E–pH 図における Cu (s) / Cu2+(aq.) / Cu2O (s) 三相平衡を計算す
る行列式を作成せよ。ただし変数として、以下の 11 個の変数を考慮せよ。
pH2(g), pO2(g), aH2O(l), aOH-(aq.),aCu(s), aCu2O (s), aCuO (s),aCu2+(aq.), aCuO22-(aq.)

aH+(aq.),ae-,

また、Cu–H2O 系の E–pH 図において、電位と pH を固定した条件下で、どの反応化学種が系内で安定であるかを判定する方法について考察せよ。
E-pH 図作成用のデータ表 (13) .

表 4.1
Species

34/34-ΔG f,i/ kcal

-ΔG f ,i/ kJ-∆G f ,i /2.303RT(T = 298 K)

H2Ol-56.69-237.19

41.57

H2
O2
H2O

g
g
g

0.00
0.00
-54.630.00
0.00-228.57

0.00
0.00
40.06

OH+
H

aq.
aq.

-37.590.00-157.28
0.00

27.56
0.00

Cu

s
s
s
aq.
aq.

0.00
-30.40-34.9815.53-43.500.00-127.19-146.3664.98-182.00

0.00
22.29
25.65
-11.39
31.90

CuO
Cu2O
Cu2+
2CuO2

図 4.30State

Cu–H2O 系の E–pH 図 (参考:Cu(OH)2 は考慮していない。)(13).

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参考文献
(1)
(2)

I. Prigogine and R. Defay: “化学熱力学”, 妹尾学訳, みすず書房 (1966).
“非鉄金属の乾式製錬における熱力学と反応速度論”,日本鉱業会関西支部,(1981).
(3) 香山滉一郎: “材料系学生の化学熱力学”, アグネ技術センター, 東京, (1998).
(4) D. R. Gaskell: “Introduction to Metallurgical Thermodynamics”, McGraw-Hill, New
York, (1973, 1981).
(5) H. T. T. Ellingham: J. Soc. Chem. Ind. [London] 63 (1944), p.125.
(6) “金属物理化学”, (社)日本金属学会編, 平成 4 年, p.73.
(7) A. Muan and E. F. Osborn: “製銑製鋼における酸化物の相平衡”, 宗宮重行訳,
技報堂 (1965).
(8) I. Barin and O. Knacke: “Thermochemical properties of inorganic substances”,
Springer–Verlag, (1973).
(9) I. Barin, O. Knache and O. Kubaschewski: “Thermochemical properties of inorganic
substances, Supplement”, Springer–Verlag, (1977).
(10) O. Kubaschewski and C. B. Alcock: “Metallurgical Thermochemistry”, 5th ed.,Pergamon Press, (1979).
(11) 大石敏雄, 西隆之, 近藤康裕, 小野勝敏: 日本金属学会誌, 53(1989), p.593.
(12) M. Pourbaix, Atlas of Electrochemical Equilibria (1966) Pergamon press.
(13) 久松敬弘、増子昇：電位－pH 図の応用(I)(II)(III)、金属, 29 (1959) pp. 213-216, pp.
283-288, pp. 385-390.
(14) 芝田隼次、粟倉泰弘、福島久哲：”非鉄金属の湿式製錬における物理化学の基礎”, 資源素材学会関西支部 (1994).
(15) http://okabe.iis.u-tokyo.ac.jp（岡部研ホームページの「講義・演習」→「熱力学と反応速度論の基礎と応用：2004 年 3 月」のサイトから講義で用いた OHP
資料、関連情報、行列計算のための作業ファイルなどがダウンロードできる。）.
(16) “固体電気化学―実験法入門―”, 水田進, 脇原將孝編, 講談社 (2001).
(17) 横川晴美: “一般化された化学ポテンシャル図の基礎から応用まで”, まてりあ,
35 (1996), p. 1025, p. 1133, p.1250, p.1345.
(18) 横川晴美: Denki Kagaku, 58 (1990), pp. 341-348.
(19) 横川晴美: Denki Kagaku, 56 (1988), pp. 751-756.

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