11２乗に比例する関数

4章

関数 y=ax2

復習問題
１関数の式（１・２年） 次の関数の式を求めなさい。

⑴

yはxに比例し，x=3 のとき y=12 である。

⑵

yはxに反比例し，x=-2 のとき y=6 である。

⑶

yはxの1次関数であり，変化の割合が3で，x=4 のとき y=7 である。

学習の基本1 2乗に比例する関数

yはxの関数で，y=ax2（aは定数，aŒ0）という式で表されるとき，

重要

yはxの2乗に比例するという。

関数 y=ax2 で，aを比例定数という。
底面が1辺xcm の正方形で，高さが5cm の正四角柱の体積をycm3

問題

x cmとする。

5cm

yをxの式で表しなさい。

⑴

yはxの2乗に比例するといえるか答えなさい。

⑵
考え方

x cm

⑴

(正四角柱の体積)=(底面積)*(高さ)⑵⑴より，y=ax2 の形で表される。
答

⑴

y=5x2

⑵

yはxの2乗に比例するといえる。

確認問題

1 次の場合について，yをxの式で表しなさい。また，yがxの2乗に比例する

1ものには○，そうでないものには×をつけなさい。
⑴⑵⑶

るもの ⇨ y=ax2 の式

1辺がxcm の 正方形の周の長さをycm とする。
1辺がxcm の 正方形の面積をycm2 とする。になるもの。

1辺がxcm の 立方体の表面積をycm2 とする。

2 関数 y=3x について，次の問いに答えなさい。
2⑴yがxの2乗に比例す

右の表の空らんにあてはまるyの値を求めなさい。

xy123452⑴y=3x2 にxの値をそれぞれ代入して，対応するyの値を求める。

⑵

xの値が2倍，3倍になると，対応するyの値はそれぞれ何倍になるか答えなさい。

100⑵1年で学習した比例とどのようにちがうのだろうか。

11

学習の基本2 関数 y=ax の式

2 乗に比例する関数2

yはxの2乗に比例し，x=4 のとき y=32 である。このとき，次の問いに答えなさい。

問題

yをxの式で表しなさい。

⑴⑵

y=8 となるxの値をすべて求めなさい。

⑶
考え方

⑴

解き方

⑴

x=-5 のときのyの値を求めなさい。

yはxの2乗に比例するから，比例定数をaとすると，y=ax2 と表される。
y=ax2 に x=4，y=32 を代入すると，32=a*42，a=2
y=2x2 に x=-5 を代入すると，y=2*(-5)2=50⑵

y=2x2 に y=8 を代入すると，8=2x2，x2=4，x=ł2⑶

答

よって，y=2x2

y=2x2⑴⑵y=50⑶ x=ł2確認問題

3 次の問いに答えなさい。

yはxの2乗に比例し，x=-3 のとき y=27 である。yをxの式で表しなさ⑴

32るとき，y=ax（aは定い。

数，aŒ0）と表される。
⑵ ③yの値に対応する

yはxの2乗に比例し，x=-5 のとき y=-50 である。

⑵

yがxの2乗に比例す①yをxの式で表しなさい。

②

x=4 のときのyの値を求めなさい。

③y=-18 となるxの値をすべて求めなさい。

xの値は2つあることに注意する。

学習の基本3 関数 y=ax2 のグラフ

関数 y=ax2 のグラフは放物線とよばれる曲線である。放物線の対重要a>0称の軸（対称軸）を放物線の軸といい，軸との交点を放物線の頂点と減少いう。

関数 y=ax2 のグラフの特徴

O・a>0 のときは上に開いた形，a<0 のときは下に開いた形になる。
増加・aの絶対値が大きいほど，グラフの開き方は小さい。
・aの絶対値が等しく，符号が異なる2つのグラフは，x軸について対称になっている。例：y=3x と y=-3x確認問題

4 次の関数のグラフを，右の方眼にかきなさい。
⑴

y=x22

yy=-x2⑶y=2x⑷y=-2x2a<0減
少できるだけ細かく点をとっていき，なめらかな曲線で結ぶ。

2-4 -2 O-2x

自分で表をつくって，842

増加46⑵軸頂点・原点を頂点とする放物線で，y軸について対称になっている。

2y24xグラフがかけたら，学習の基本のことがらを確認してみるとよい。

-4-6-8101

11

学12 乗に比例する関数

定 着 問 題

1 2乗に比例する関数⇨類 1次の場合について，yをxの式で表しなさい。また，yがxの2乗に比例するものには○を，そうでないものには×をつけなさい。
⑴

周の長さが 30cm の長方形で，縦がxcm，横がycm である。

⑵

等しい2辺がxcm の直角二等辺三角形で，面積がycm2 である。

⑶

直径がxcm の円の周の長さがycm である。（円周率は—）底面の円の半径がxcm で，高さが 12cm の円錐の体積がycm3 である。（円周率は—）⑷

学22 関数 y=ax の式①（式を求める）
2

⇨類 2

⑴

関数 y=ax2 で，x=2 のとき y=20 である。aの値を求めなさい。

⑵

yはxの2乗に比例し，x=4 のとき y=-8 である。yをxの式で表しなさい。

⑶

yはxの2乗に比例し，x=-6 のとき y=9 である。yをxの式で表しなさい。

⑷

yはxの2乗に比例し，x=3 のとき y=27 である。x=-2 のときのyの値を求めなさい。

⑸

yはxの2乗に比例し，x=1のとき y=-1 である。y=-16 となるxの値をすべて求めなさい。
23 関数 y=ax の式②（制動距離）2⇨類 3

走っている自動車にブレーキをかけるとき，ブレーキがきき始めてから停止するまでに進む距離，すなわ

ち制動距離は，速さの2乗に比例するという。時速 30km で走っているときの制動距離を 7.5ｍ として，次の問いに答えなさい。
⑴

時速xkm で走っているときの制動距離をyｍ として，yをxの式で表しなさい。

⑴ y=ax2 となり，問題文より，「x=30 のとき y=7.5」となることを利用する。

⑵

時速 36km で走っているときの制動距離は何ｍか求めなさい。

⑶

制動距離が 30ｍ になるのは，時速何 km で走ったときか求めなさい。

102114 関数 y=ax のグラフ①2 乗に比例する関数

211⑴ 図1の方眼に，関数 y= x2，y=- x2 のグラフをそれぞれかきなさい。
22⑵図2のグラフは，yがxの2乗に比例する

42それぞれ求めなさい。
-5図3は，関数 y=ax2 のグラフである。点Ａ⑶の座標が(-2，2)であるとき，次の問いに答O

5-5②84x-4-8⑵ それぞれのグラフで読Cみ取りやすい座標を1つ と り，y=ax2 に 代 入B-2して求める。

2A

点Ｂの座標を求めなさい。

2-6aの値を求めなさい。

②x-4 -2 O-2y図3えなさい。
①8①5関数のグラフである。①，②のグラフの式を

y図16y

図2

⇨類 4

O⑶ ①Ａの座標を利用する。
3x②求めた式に x=3 を代入する。

③求めた式に y=8 を代入する。求めるxの値③学3点Ｃの座標を求めなさい。ただし，x座標は正である。

は正の数である。

5 関数 y=ax のグラフ②（グラフの特徴）
2⑴

⇨類 5

下の表の①〜④にあてはまるものを答えなさい。
グラフの形
関数 y=ax2
関数 y=ax+bxの値が増加するときのyの値の増減

a>0 のとき

x<0 の範囲では減少①a<0 のとき

x<0 の範囲では ②

x>0 の範囲では増加

x>0 の範囲では ③つねに増加

つねに ④

直線⑵

次の関数の中から，下の①〜⑥にあてはまるものをすべて選び，記号で答えなさい。
1イ y=-3x2
ウ y=x2エ y= x2
オ y=-2x2ア y=2x22① グラフが上に開くもの。
②グラフが下に開くもの。

③グラフの開き方がもっとも大きいもの。

④グラフの開き方がもっとも小さいもの。

⑤グラフがたがいにx軸について対称であるもの。

⑥グラフが点(-2，2)を通るもの。

103

112 乗に比例する関数

類 題 演 習

1 2乗に比例する関数

次の場合について，yをxの式で表しなさい。また，yがxの2乗に比例するものには○を，そうでないものには×をつけなさい。
⑴

周の長さがxcm の正方形の1辺の長さがycm である。

⑵

直径がxcm の円の面積がycm2 である。（円周率は—）⑶

縦の長さがxcm で，横の長さが縦の長さの2倍である長方形の面積がycm2 である。

⑷

底面の円の半径がxcm で，高さがxcm の円錐の体積がycm3 である。（円周率は—）2 関数 y=ax の式①（式を求める）
2⑴

関数 y=ax2 で，x=2 のとき y=-16 である。aの値を求めなさい。

⑵

yはxの2乗に比例し，x=-3 のとき y=3 である。yをxの式で表しなさい。

⑶

yはxの2乗に比例し，x=-6 のとき y=-12 である。yをxの式で表しなさい。

⑷

yはxの2乗に比例し，x=3 のとき y=-18 である。x=-2 のときのyの値を求めなさい。

⑸

yはxの2乗に比例し，x=1のとき y=1 である。y=36 となるxの値をすべて求めなさい。
33 関数 y=ax の式②（落下）2

空中で物を自然に落とすとき，落としてからx秒間にyｍ 落ちるとすると，yはxの2乗に比例するという。落とし始めてから2秒間に 20ｍ 落ちるとして，次の問いに答えなさい。
⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵

落とし始めてから3秒間に何ｍ落ちるか求めなさい。

⑶

80ｍ の高さから物を自然に落とすとき，地上に到達するのに何秒かかるか求めなさい。

104114 関数 y=ax のグラフ①2 乗に比例する関数

211
図1の方眼に，関数 y= x2，y=- x2 のグラフをそれぞれかきなさい。
44⑴⑵

図2のグラフは，yがxの2乗に比例する5関数のグラフである。①，②のグラフの式をそれぞれ求めなさい。

5図3は，関数 y=ax2 のグラフである。点Ａの座標が(-2，3)であるとき，次の問いに答

x-4 -2 O-224x-4-8②y

図312Cえなさい。

2-6-5⑶4①O-586y図2y図1aの値を求めなさい。

①A②

点Ｂの座標を求めなさい。

③点Ｃの座標を求めなさい。ただし，x座標は負である。

B3-2 O3x5 関数 y=ax のグラフ②（グラフの特徴）
2⑴下の表の①〜④にあてはまるものを答えなさい。
グラフの形
関数 y=ax2
関数 y=ax+bxの値が増加するときのyの値の増減

a>0 のとき
x<0 の範囲では ②①

a<0 のとき

x<0 の範囲では増加

x>0 の範囲では ③x>0 の範囲では減少

つねに ④

つねに減少

直線

⑵

次の関数の中から，下の①〜⑥にあてはまるものをすべて選び，記号で答えなさい。
1イ y=-x2
ウ y= x2
エ y=-3x2
オ y=x2ア y=2x2
3① グラフが上に開くもの。
②グラフが下に開くもの。

③

グラフの開き方がもっとも大きいもの。

④グラフの開き方がもっとも小さいもの。

⑤グラフがたがいにx軸について対称であるもの。

⑥グラフが点(2，-12)を通るもの。

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