３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集，pp.213–216，東京 (2002.7.4)(3D Image Conference 2002)

波面展開法を用いた表面モデル CGH の高速計算法 II—2 軸回転した平面で構成した物体のホログラム—

Fast Creation Algorithm of CGHs for Surface-Model Objects
by use of Angular Spectrum of Plane Wave II—Holograms Synthesized by two-axes rotation of a plane—
松島恭治 †

近藤暁靖 †Kyoji Matsushima† and Akinobu Kondoh†
関西大学工学部電気工学科

Department of Electrical Engineering, Kansai UniversityABSTRACT
Computer-generated holograms (CGH) of a planar object rotated on two axes are presented to demonstrate anew method for fast creation of CGHs in surface-model. Two types of rotation are discussed for eﬀective andprecise calculation of object waves, based on diﬀraction by tilted surface. One of them is used to synthesize
object waves in this report, and its hologram is fabricated and optically reconstructed.
Keywords: CGH, Digital hologram, Angular Spectrum of Plane Wave, Surface Model1

はじめにS u rfa c e -p ro p e rty
fu n c tio n

コンピュータ合成ホログラム (以下 CGH) は，まYH o lo g ra m

S q(x q, y q)

ず物体からの光波を求め，作成方法に適した手法でy q

その光波をコーディングすることにより，作成・再zq

h q ( x q , y q )y q

生される．物体光波を求めるためには，物体モデルx qを層状に切断し，各平面からの回折光波を求める断x q

層ホログラムなどの手法があるが，現在主流となっXz qているのは，点光源モデルの光線追跡法 [1] である．
この方法では，仮想物体上に密に配置した点光源かZらの球面波をホログラム平面上で重畳することによFig. 1 An object model and coordinate system

り，物体からの光波を合成する．この方法は単純でused for synthesizing object waves.

はあるが，断層ホログラム等と比較すると，潜在的に 3 次元物体のレンダリング等の表現力に優れてい式を用いた計算法 [5]，あるいは演算処理のハードると期待されている [2]．反面，点光源モデル光線ウェア化 [6] などが知られているが，表面モデルの追跡法で全方向視差ホログラムの物体光波を合成し物体を合成した場合，数平方センチ程度のホログラた場合，ホログラムの画素数 M と物体を構成するムでも依然として長大な演算時間が必要である．

点光源数 N に対して，演算時間は T = τ M N となる．ここで，τ はアルゴリズムや CPU の性能に依

著者らは，このような点光源モデル光線追跡法と存する係数である．τ を減少する方法としてテーブは異なり，物体を CG と同様に多数の平面で構成

ル参照法 [3] や差分法 [4]，著者らが提案した漸化し，それらの平面からの回折光波を波動光学的に計算することにより物体光波を数値合成する表面モデ
ル光波回折法を提案している [7, 8, 9]．すでに，1

松島恭治
matsu@kansai-u.ac.jp
関西大学工学部電気工学科〒 564-8680 大阪府吹田市山手町 3-3-35
TEL/FAX 06-6368-0933

軸回転した平面からの光波合成を報告しているが，本稿ではこれを拡張し，2 軸回転した平面からの光波合成とそれによるホログラムについて報告する．

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３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集，pp.213–216，東京 (2002.7.4)(3D Image Conference 2002)

y(a )一方，表面特性関数は，sq (xq , yq ) = aq (xq , yq )pq (xq , yq )Ψ(xq , yq )x
1 6 .4 ´ 8 .2 m m分布を表す実関数で主に平面形状の情報を含んでい
2

る．一方，

q y= 8 0 °P la n a r o b je c t

1 0 c mで与えている．ここで，aq (xq , yq ) は平面 q の振幅x(b )1 0 c mH o lo g ra mz

-z+ C a m e ra+ d x(3)pq (xq , yq ) =exp[ik(cos αq xq + sin βq yq )], (4)Ψ(xq , yq ) =exp[ikφd (xq , yq )](5)は，それぞれ，ホログラムに垂直に進行する平面波と拡散性光波の複素振幅である．ここで，cos αq とx

cos βq はホログラムに垂直な単位ベクトルの xq ，yq方向に対する方向余弦，また φd (xq , yq ) は Bräuer- d zの拡散性位相 [10] である．

Fig. 2 Setup for synthesizing object waves from arotated plane and observing its reconstruction.

3216384×4096 サンプルの表面特性関数を与え，y 軸の周りで θy = 80◦ 回転してホログラムの背面 10cm にFig. 2(a) に 示 し た 振 幅 分 布 a(x, y) を 持 つ物体モデルと原理

Fig. 1 は本稿で用いる座標系と物体のモデルを示している．物体は平面により構成されているとし，q 番目の平面を，(xq , yq , 0) 平面内に含む傾いたローカル座標系 (xq , yq , zq ) を定義し，この平面内で表

表面特性関数とホログラムのサンプリング間隔は共に x 方向が 2µm で，y 方向が 4µm である．また，振である．Fig. 2(a) に示すように，カメラの位置を

x̂ 方向および ẑ 方向に変え，光学再生像を撮影した面の形状，明るさ，散乱性，質感，テクスチャなど

結果を Fig. 3 に示す．(a) から (c) は x̂ 軸と平行にの情報を含む複素関数である．この表面特性関数かカメラを 2cm 移動し，また，(d) から (f) は，ẑ 軸らの回折光波をホログラムと平行なローカル座標系に沿ってカメラを合計 16mm 移動して撮影してい(x̂q , ŷq , ẑq ) 上で求め，物体を構成するすべての平面る．これらの結果から，観察する角度によって再生について総和，置き，光波合成を行いホログラムを作製した．なお，

幅分布中の市松模様全体の実サイズは 16.4×8.2mm2

面特性関数 sq (xq , yq ) を定義する．この関数は，平H(X, Y ) =y 軸の周りに回転した平面のホログラム像の見かけの形状が変化し，またカメラの焦点位置

hq (x̂q , ŷq )(1)の変化によって市松模様のボケの位置が変化していqることがわかる．

を求めることにより，物体光波を合成する．

4

この時，傾いた平面からの回折光波を計算するた

表面特性関数の 2 軸回転めに，表面特性関数を波面展開し，フーリエ領域でFig. 1 に示すように，任意の物体表面からの回折座標回転する方法を用いている [7, 9]．すなわち，光波を計算して物体光波を数値合成するためには，(i) スペクトル T (uq , vq ) = F {sq (xq , yq )} を求め，最低で 2 軸での回転が必要である．Fig. 4 は，傾い(ii) 座標回転及び補間を行ってホログラムと平行な座標系上でのスペクトル T̂q (ûq , v̂q ) を求める．(iii)

た座標系 (x, y, z) を定義するための回転の組み合わ回転したスペクトルを逆フーリエ変換して複素振幅の周りに θy 回転し，回転後の x 軸の周りに θx 回

hq (x̂q , ŷq ) を求める．θx ，θy ，θz をそれぞれ各軸の転してできる座標系がホログラムと平行な (x̂, ŷ, ẑ)せを示す．(a) は，ローカル座標系 (x, y, z) を y 軸周りの回転角として，この回転変換を Rθx θy θz と表座標系となる場合である．また，Fig. 4(b) は標準すと，的な球座標系の定義と同様に，z 軸の周りに角度 θzhq (x̂q , ŷq ) = Rθx θy θz {sq (xq , yq )}回転し，回転した y 軸の周りに θy 回転してホログ(2)ラムと平行になる場合である．どちらの回転方法でも，任意の物体表面を (x, y, 0) 平面内に含むローカとなる．

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３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集，pp.213–216，東京 (2002.7.4)(3D Image Conference 2002)

= d x => d z =A 

@ d x =

? 

d z =

B

d x =0 m m- 1 0 m m

- 1 0 m md z =0 m m- 8 m m

+ 8 m mFig. 3 Optical reconstructions of holograms of a rotated planar object. The camera position shifts alongx̂ axis (a)–(c) and ẑ axis (d)–(f).
ル座標系を定義し，回転変換により (x̂, ŷ, 0) 面におグする領域の位置はシフトすることができるが，そける回折光波の複素振幅を求めることができる．しの形は変えられないため，z-y 回転の方が補間によかしながら，この 2 種類の回転では，回転変換に必る再サンプリングの精度が多少良くなることが期待要なスペクトルの補間に違いが生じる．

できる．そこで，本研究では後者の z-y 回転を用いている．

Fig. 5 は，FFT により計算したサンプリング間隔2µm の表面特性関数のスペクトルを回転したとき

Fig. 6 を表面特性関数の振幅 a(x, y) とし，z-yの，フーリエ空間 (û, v̂) 上でのサンプリングの分布回転して光波を数値合成し，作製したホログラムの光学再生像を Fig. 7 に示す．表面特性関数のサを示しており，Fig. 5(a) と (b) はそれぞれ Fig. 4(a)ンプリング数は 8192×4096 でサンプリング間隔はと (b) の回転方法に対応している．また，図中の正2µm×4µm である．(a) は回転しない場合であり，方形は，逆フーリエ変換時に再サンプリングする領域の例を表している．この結果から，y-x 回転では，サンプリング分布が û と v̂ の両方の方向にシフト(b) は θy = 60◦ だけ回転した場合，(c) と (d) は，(b) を更にそれぞれ θz = 30◦ ，60◦ 回転した場合である．この結果から 2 軸の回転でも再生像が得られするのに対して，z-y 回転では û 軸上でしかシフトることが確認できた．

しないことがわかる．また，後者の方がサンプリン
グ分布の歪みも多少軽減されている．再サンプリン5(a )ys ( x , y )(b )q x yxq yxy

回転した平面の輝度

q z yxq yq zs(x , y )2 軸回転を用いることにより平面で構成した物体からの光波を合成することができる．しかし，傾いxた平面からの光波を合成したとき，その平面がどのような輝度特性を有するかがわからなければ，影付z

けができない．そこで，点光源で形成した平面の測z

光学的な解析 [2] と同様の理論モデルを用い，表面特性関数 (3) で表現した傾いた平面の輝度を解析した．その結果，物体表面に対応する位置での表面特h ( x , y )h ( x , y )性関数の振幅が a0 で一定の場合，平面の法線と θnの角度をなす方向で観測される輝度は，Fig. 4 Deﬁnition of two types of two-axes rotation:
y-x rotation (a) and z-y rotation (b).

L
215

σa20
π tan ϕd cos θn(6)３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集，pp.213–216，東京 (2002.7.4)(3D Image Conference 2002)(60 °,30 °,0 )(60 °,60 °, 0 )λ −1v̂

λ −1(θ x ,θ y ,θ z )(30 °, 0 ,30 ° )(30 °, 30 °, 0 )û λ−λ −1(30 °, 60 °,0 )v̂

(θ x ,θ y ,θ z )(30 °, 0 , 60 ° )−1û λ−λ −1

Resamplingarea(60 °,0 , 30 ° )(60 °,0 , 60 ° )

(a)

−1

Resampling
area

(b)

−λ −1

−λ −1Fig. 5 Distributions of sampling points after rotation on y and x axes (a), and z and y axes (b).
y= (0 ° , 0 ° , 0 ° )> (0 ° , 6 0 ° , 0 ° )? 

(0 ° , 6 0 ° , 3 0 ° )@ (0 ° , 6 0 ° , 6 0 ° )xFig. 6 An object used for two-axes rotation.となることがわかった．ここで，σ はサンプリング密度，ϕd は拡散位相による回折角である．

6まとめ

Fig. 7 Optical reconstructions of holograms synthesized for a planar object rotated on two-axes

表面特性関数の 2 軸回転によって作成したホログ
ラムが光学再生できることがわかった．この方法により，物体を構成している平面からの回折光波を求

55 (2000).
[5] K. Matsushima and M. Takai: “Recurrence
formulas for fast creation of synthetic threedimensional holograms”, Appl. Opt., 39, pp.
6587–6594 (2000).
[6] 下馬場, 伊藤：“ホログラフィ専用計算機 HORN-4”,
3 次元画像コンファレンス’2001, pp. 9–12 (2001).
[7] 松島, H. Schimmel, F. Wyrowski：“波面展開法を用いた表面モデル CGH の高速計算法”, 3 次元画像
コンファレンス 2001, pp. 13–16 (2001).
[8] 松島, H. Schimmel, F. Wyrowski：“波面展開法による物体光波の合成”, Optics Japan 2001, pp. 379–380 (2001).
[9] K. Matsushima, H. Schimmel and F. Wyrowski:“New creation algorithm for digitally synthesized
holograms in surface model by diﬀraction fromtilted planes”, SPIE Proc. Practical Holography
XVI and Holographic Materials VIII (in press),#4659, (2002).
[10] R. Bräuer, F. Wyrowski and O. Bryngdahl: “Diffusers in digital holography”, J. Opt. Soc. Am.,
p. 572 (1991).

めることができる．また式 (6) を用いて陰影付けすることにより，提案している表面モデル光波回折法により，3 次元物体をレンダリングし，CGH を作成できると考えている．
参考文献[1] A. D. Stein, Z. Wang and J. J. S. Leigh:“Computer-generated holograms: A simpliﬁed
ray-tracing approach”, Computers in Physics, 6,pp. 389–392 (1992).
[2] 松島, 本荘：“陰影付けした表面モデル 3 次元物体の全方向視差計算機合成ホログラム”, 映像情報メディア学会誌, pp. 986–992 (2002).
[3] M. Lucente: “Interactive computation of holograms using a look-up table”, J. Electronic Imaging, 2, pp. 28–34 (1993).
[4] H. Yoshikawa, S. Iwase and T. Oneda: “Fastcomputation of Fresnel holograms employing difference”, SPIE Proc. Practical Holography XIV
and Holographic Materials VI, #3956, pp. 48–216