2021 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 1/ 6

生体システム工学 I
次の [I - 1]〜[I - 3] の 3 題を，それぞれ別の解答用紙に答えよ．

[I - 1]x-y 平面を水平面とする．x-y 平面を動く 2 自由度マニピュレータを考える (図 1)．マニピュレータは 2 つの棒状剛体リンク (リンク 1 とリンク 2) から構成され，リンク 1 の一端は原点 O に固定された 1 軸ジョイント (関節 1 と呼ぶ) と連結されている．また，リンク 1 のもう一方の端点はリンク 2 の端点と 1 軸ジョイント (関節 2と呼ぶ) で連結されている．マニピュレータの姿勢は，図 1 に示した関節角()θ1θ=θ2によって決まる．x-y 座標系におけるアーム先端の位置を()
xq=y(1)(2)とする．リンク 1 の長さ (関節 1 と関節 2 の距離) を l1 ，リンク 2 の長さ (関節 2 とアーム先端の距離) を l2 とする．

(問 1)

アーム先端の位置 (x, y) を (θ1 , θ2 ) を用いて表せ．

(問 2)

関節角が(θ̄ =であるような姿勢から，微小角)
(3)

θ̄2(

∆θ =

θ̄1∆θ1)∆θ2だけ変位させたとする．このときのアーム先端の微小変位を()
∆x
∆q =
∆y(4)

(5)

図 1: 2 自由度マニピュレータ(次のページに続く)

2021 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 2/6と表す．

∆θ の 2 次以上の微小量を無視すると，( )∆q = J θ̄ ∆θ

(6)( )と表せる．行列 J θ̄ を求めよ．

さて，以下では，θ = θ̄ の姿勢に静止しているアームの先端に，並進外力()
Fx
F =Fy(7)を加えたときのマニピュレータの力学を考える．関節 1 および関節 2 には，それぞれ，バネ定数 (剛性) k1 および k2 の線形回転バネが取り付けられており，関節角の変位に比例した回転軸まわりの復元トルクが生成されるものとする．すなわち，関節角の微小変位 ∆θ に対して，(k1T = −0≡0k2)∆θ−K∆θ

(8)で表される復元トルクが生成される．K は関節剛性行列と呼ばれる．

(問 3)

並進外力 F によるアーム先端の微小変位を ∆q とする．外力がマニピュレータにした仕事 ∆WF を求めよ．また，アーム先端の微小変位 ∆q によって生じる関節角の微小変位を ∆θ とし，この微小変位が関節 1 および関節 2 に生成する関節トルクを，それぞれ，T1 および T2 とし，()
T1T =T2(9)とする．T が微小変位 ∆θ と共に外部にした仕事 ∆WT を T を用いて表せ．さらに，∆WT = ∆WF であること，および式 (6) を用いることで，T を F を用いて表せ．

(問 4)

関節が剛性を持つとき，アーム先端の位置が ∆q 変位すると，それに比例した復元力が生成される．この復元力は外力 F と釣り合うので，

F = −R∆q(10)と表せる．行列 R はアーム先端の剛性行列と呼ばれる．(問 3) で求めた T と F の関係式，式 (8) および式 (6)を参考にして，アーム先端の剛性行列 R を関節剛性行列 K を用いて表せ．

(問 5)

l1 = l2 = 1 および k1 = k2 = 1 とする．また，θ̄1 = π/6，θ̄2 = π/6 とする．J(θ̄) を求めよ．次に，Kが単位行列であること，および (問 4) の結果を利用して R−1 を求め，さらに R を求めよ．

2021 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 3/6[I - 2]
図 1 のように，オペアンプ A，インピーダンス素子 Zi ，Zf から構成される回路を考える．t は時間であり，ii (t)，if (t) は電流を表す．なお，オペアンプの入力インピーダンスは無限大，出力インピーダンスは 0，オープンループゲインは無限大であり，全て，角周波数 ω に依存しないとする．以下の問いに答えよ．

ZfZi

ii (t)

if (t)−A+vi (t)vo (t)

図 1: 回路(問 1)

入力電圧 vi (t) と Zi を流れる ii (t) の関係を求めよ．

(問 2)ii (t) と Zf を流れる if (t) の関係を求めよ．

(問 3)

出力電圧 vo (t) を vi (t)，Zi ，Zf 等を用いて表せ．

以下では，t < 0 において vi (t) = vo (t) = 0 とする．また，Zi が抵抗 Ri のみで構成され，Zf は抵抗 Rf と容量Cf の並列接続とする．
(問 4)
(問 5)

t ≧ 0 における vi (t) と vo (t) の関係を表す微分方程式を，Ri ，Rf ，Cf 等を用いて記せ．
∫ ∞∫ ∞vi (t) と vo (t) のラプラス変換を，各々，Vi (s) =vi (t) exp(−st)dt，Vo (s) =vo (t) exp(−st)dt と00する．s は複素数である．この時，Vo (s)/Vi (s) を，Ri ，Rf ，Cf 等を用いて表せ．

(問 6)

t ≧ 0 において，vi (t) = VA exp(jωt) とする．t が十分大きく定常状態に達した時，vo (t) = VB exp(jωt)となる．|VB /VA | の周波数特性を図示せよ．なお，j 2 = −1 である．

(問 7)



 1，(nT()vi (t) =1T
 0， n +2≦t <≦ t<n+12)
T(n + 1)Tとする．n は非負の整数である．n が十分大きく定常状態に達した時，下記二条件で nT ≦ t < (n + 1)T における vo (t) の波形の概観を描け．

(a) T = 100Cf Rf ，Rf=1
Ri(b) T =

Cf Rf Rf，= 100100Ri

2021 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 4/6[I - 3]2 次元平面内に置かれたマーカの位置を計測するシステムを考える．

(a)

マーカの位置に関する情報は図 1 (a) に示すようなカメラを用いて取マーカv

得する．簡単のため，カメラは光軸方向前方に置かれたマーカの方角θuθ のみを計測できるものとする．θ はカメラに固定された u-v 座標系の u 軸方向を 0，v 軸方向を π/2 として計測される．ただし，ここで光軸カメラは −π/2 < θ < π/2 に限られるとする．また，図 1 (b) のように，平面内に複数のマーカ (例えばマーカ 1 およびマーカ 2) が置かれている(b) マーカ 1v
マーカ 2
θ1θ2u

場合，カメラはそれぞれの方角 (θ1 および θ2 ) を個別に計測できるものとする．カメラが計測できるのはマーカの方角のみであり，カメラとマーカの距離は直接的には計測できない．このため，平面内に設置(固定) されたカメラの位置および向きが明らかであったとしても，平

カメラ面に固定された 1 個のマーカを 1 台のカメラで計測するだけでは，平面内におけるマーカの位置を知ることはできない．しかし，複数台のカメラで対象のマーカを同時に計測すれば，適切な計算を行うことに 図 1: マーカの方角を計測するカメラ．
より，平面内におけるマーカの位置を決定できる．
図 2 のように，X-Y 平面にカメラを設置し，この平面内に置かれたマーカの位置を計測する場合，u-v 座標系の原点の位置がカメラの位置 (xo , yo ) である．また，カメラの向きは X-Y 座標系に対する u-v 座標系の角度 ϕ で表される．以下の問いに答えよ．

Yym

Yyn

マーカ

マーカvAvyAyB

θ u
φyoxoxmX

図 2: 1 台のカメラでマーカを計測している様子．

(問 1)

O

θB

φBv

カメラ A

カメラOuB

θA uA
φA BxA

カメラ BxnxBX

図 3: 2 台のカメラでマーカを計測している様子．

図 2 の状況を考える．この場合，マーカは点 (xm , ym ) に置かれており，xm > xo ，ym > yo である．このカメラで計測されるマーカの方角 θ を，xm ，ym ，xo ，yo および ϕ のうち必要なものを用いて表せ．

(問 2) 図 3 の状況を考え，2 台のカメラ (カメラ A，カメラ B) で点 (xn , yn ) に置かれたマーカを計測する．カメラ A は点 (xA , y A ) に角度 ϕA で設置されており，カメラ B は点 (xB , y B ) に角度 ϕB で設置されている．ただし，2 台のカメラとマーカは同一直線上に並んでいない．それぞれのカメラで計測されるマーカの方角は θA および θB である．

(ア) カメラ A とマーカの距離が dA であったとする．xn および yn を，xA ，y A ，ϕA ，θA および dA のうち必要なものを用いて表せ．

(イ) (ア) の状況に加えて，カメラ B とマーカの距離が dB であったとする．(ア) の結果も利用して，未知数 dAおよび dB が満たすべき連立方程式を導け．
(ウ) dA および dB を求め，さらに xn および yn を求めよ．これらの値は，xA ，y A ，xB ，y B ，ϕA ，ϕB ，θA お
よび θB のうち必要なものを用いて表せ．

(次のページに続く)

2021 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 5/6

ここまでは，便宜上，2 次元平面に X-Y 座標系を設定し，そこにおけるカメラの位置および角度，およびカメラで計測されるマーカの方角からマーカの位置を計算した．実際の計測では X-Y 座標系のような既知の座標系は存在せず，形状や大きさが既知である標準器を用いてカメラで計測される空間を較正し，その較正に基づいて，カメラで計測されたマーカの方角からマーカの位置を決定する．ある空間の較正とは，その空間に座標系を設定することであり，本問の場合では，カメラで計測されるマーカの方角からマーカの座標値 (較正によって設定した座標系におけるマーカの位置) を与える変換式を求めることである．

vB

カメラ B

θB
3
θ1B

マーカ 3uB

θ2BvA
A
θA
3 u A
θ1

カメラ A

マーカ 1

マーカ 2

θA2

図 4: 2 台のカメラからなる計測システムを，較正している様子．

(問 3)

図 4 に示す状況を考える．2 次元平面内に置かれたマーカの位置を，同一平面内に置かれた 2 台のカメラ(カメラ A，カメラ B) で計測するシステムがあり，この平面を，等辺の長さが 1 である直角二等辺三角形の各頂点にマーカが取り付けられた標準器を用いて較正することを考える．直角二等辺三角形の各頂点のマーカを，それぞれマーカ 1，マーカ 2 およびマーカ 3 と呼ぶ．カメラ A で計測された各マーカの方角が θ1A ，θ2A および θ3A であり，カメラ B で計測された各マーカの方角が θ1B ，θ2B および θ3B であったとする．このとき，マーカ 1，マーカ 2 およびマーカ 3 の位置 (座標) が，それぞれ (0, 0)，(1, 0) および (0, 1) となるように，この平面を較正する．

(ア) 設定される座標系において，カメラ A の位置および角度が (xA , y A ) および ϕA であるとする．図 4 の状況
では，−π/2 < ϕA < π/2 を満たす．(問 2) と同様に，カメラ A と標準器に取り付けられた各マーカの距離を仮定して連立方程式を導出し，その連立方程式を整理することで，xA ，y A および ϕA が満たすべき連立方程式が得られる．その連立方程式は，以下のように表現できる．
 

0tan ϕA
p11 p12 p13
 
 AA
AA
 p21 p22 p23  y − x tan ϕ  = − sin θ2 p31 p32 p33
cos θAxA + y A tan ϕA(1)

3

行列の各要素 pij (i ∈ {1, 2, 3}，j ∈ {1, 2, 3}) を θ1A ，θ2A および θ3A のうち必要なものを用いて表せ．

(次のページに続く)

2021 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 6/6(イ) 式 (1) より，行列が逆行列を持たないような特殊な場合を除いて，カメラ A による計測値が θ1A ，θ2A およびθ3A であるマーカ 1，マーカ 2 およびマーカ 3 の位置 (座標) が，設定される座標系において (0, 0)，(1, 0) および (0, 1) となるように，tan ϕA ，y A − xA tan ϕA および xA + y A tan ϕA の値が決定される．これら 3 つの値をこの順に a，b および c とする．同様に，カメラ B の位置および角度が (xB , y B ) および ϕB である (カメラ A の場合と同様に，カメラ B に対しても −π/2 < ϕB < π/2 である) とすると，tan ϕB ，y B − xB tan ϕBおよび xB + y B tan ϕB の値が決定される．これら 3 つの値をこの順に e，f および g とする．さて，設定される座標系のある点 (x, y) と，その点に置かれたマーカをカメラ A およびカメラ B で計測した値 (θA および θB とする) の関係を考える．x および y と，θA および θB の関係は，a，b，c，e，f および g を含む連立方程式で記述できる．その連立方程式を以下のように表現する．
) ())((r1xq11 q12=r2
q21 q22y(2)行列の各要素 q11 ，q12 ，q21 ，q22 およびベクトルの各要素 r1 ，r2 を，a，b，c，e，f ，g ，θA および θB のうち必要なものを用いて表せ．

(ウ) 式 (2) より x と y が決定できるために，カメラ 2 台とマーカの位置関係が満たすべき必要条件を述べよ．ただし，カメラの大きさは無視できるとし，一方のカメラとマーカの間に他方のカメラが位置することによってマーカが見えなくなること (オクルージョン) は考えないものとする．

(エ) カメラ 2 台とマーカの位置関係が，(ウ) の条件を満たしているとする．x および y を，a，b，c，e，f ，g ，
θA および θB のうち必要なものを用いて表し，カメラで計測されるマーカの方角からマーカの座標値を与える変換式を求めよ．