1章式の展開と因数分解

単元

因数分解

3覚えよう！

1

1つの式が単項式や多項式の積の形に表されるとき，いんすう

積をつくっている各式を，もとの式の因数という。

23

因数分解の公式⑵

x2+2ax+a2=(x+a)2⑴多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとの式を因数分解するという。

⑶

x2+4x+3=(x+1)(x+3)
因数 因数

⑷

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2-2ax+a2=(x-a)2

x2-a2=(x+a)(x-a)※⑵〜⑷は，次のように表す教科書もあります。
⑵ a2+2ab+b2=(a+b)2⑶ a2-2ab+b2=(a-b)2⑷ a2-b2=(a+b)(a-b)

チェック1 共通な因数
次の式を因数分解しなさい。

例題

2x2+4x⑴=2x*x+2x*2=2x(x+2)⑵ ay-4by+3cy=y*a+y*(-4b)+y*3c

共通因数は 2x=y(a-4b+3c)
yをくくり出す

2x をくくり出す
確認問題１⑴ ab+ac

次の式を因数分解しなさい。
⑵〔〕⑷ 6ab-3a⑺3xy+5xz-2x〔am+bm〔〕〔

2ax+4bx-6x⑻〕〔チェック2 x2+(a+b)x+ab の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+9x+20⑴

和が +9

和が -5⑶〔⑷ x -7x+6〕〔x2+4x-45〔〔⑸ x -10x+16〕〔⑻ x2-5x-14〔〕〔〕

積が -35-5 と +7x2+2x-35=(x-5)(x+7)⑶

x2+6x+8⑹x +2x-15〕2〕〔x2+2x-35

和が +2⑵ x2+7x+102〕

5x2y-8xy2+3xy〕

積が +6〔2⑼次の式を因数分解しなさい。

⑴ x +3x+2

22

a b-abcx2-5x+6=(x-2)(x-3)

2⑺⑹-2 と -3+4 と +5x2+9x+20=(x+4)(x+5)
確認問題２x2+2xy〕⑵ x2-5x+6

積が +20⑶〕2ac+6bc⑸〔共通因数はy〕
⑼〕

〔〕

〔〕

〔〕

2x2-8x-9

1章

チェック3 x2+2ax+a2，x2-2ax+a2 の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題x2+6x+9⑴=x +2*3*x+32=a -2*4*a+42=(x+3)2a2-8a+16⑵2=(a-4)2(●+▲)2 の形にする⑶ 25x2-10x+1=(5x) -2*1*5x+12

2=(5x-1)2

次の式を因数分解しなさい。

確認問題３⑴ x +2x+1⑵ x2+14x+49

2〔2⑸

〔〕

4x -20x+252

5x を1つの文字とみる〔〕〔〕⑹ 9a +6a+12〔〕

2⑶ x2-12x+36〔〕⑷ x +8xy+16y2式の展開と因数分解〕

チェック4 x2-a2 の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題x2-9⑴⑵ 4x2-25y2=x2-32=(2x)2-(5y)2=(x+3)(x-3)

2x=●，5y=▲と考える=(2x+5y)(2x-5y)(●+▲)(●-▲)の形にする
確認問題４⑴ x -16

次の式を因数分解しなさい。

⑵ a2-492⑷ 1-y〔〕2⑶ x2-25〔〔〕⑺ 25x2-36y22

⑹

〔⑻

〔〕

⑸ 100x -y2〕

16a2-49b2〕⑼〔〔

4a -9b2〔〕〔〕

9x2-64y2〕〕2

チェック5 いろいろな式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題⑴

ax2+3ax-10a=a(x2+3x-10)=a(x-2)(x+5)

共通因数aをくくり出す(⑵ (x+2)y+(x+2))内を因数分解する

x+2=M とすると，(x+2)y+(x+2)=My+M=M(y+1)=(x+2)(y+1)
確認問題５

次の式を因数分解しなさい。

⑴ 2x2+14x+24〔Mをもとにもどす⑵ 4ax2-24ax+36a〕〔⑶〕(a-b)x-(a-b)y〔〕231章

式の展開と因数分解単元式の計算の利用

4

覚えよう！

13

計算のくふう 式の展開や因数分解の公式を利用
すると，計算が簡単になる場合がある。

2

あたい

式の値

式による証明の基本⑴

式による証明では，条件を式に表し，それを結論にあった形に変形する。

そのまま数を代入しても求めることはで⑵

きるが，式を簡単にしたり，因数分解したりするな

偶数は 2n，奇数は 2n+1 または 2n-1(nは整数)

ぐうすう

き すう

⑶ aの倍数であることの証明は，式が「a*(整数)」のど，くふうしてから代入することが大切。

形で表せることを示せばよい。

チェック1 計算のくふう
次の式を，くふうして計算しなさい。

例題⑵ 10121052-952⑴=(105+95)*(105-95)

確認問題１=502-22=1002+2*1*100+12=10000+200+1=10201=2500-4=2496

次の式を，くふうして計算しなさい。

⑴ 65 -352
2⑷ 95=(50+2)*(50-2)=(100+1)=200*10=2000

⑵

〔〕

〔〕

2

52*48

⑶

2

1272-1232

⑶

〔〕

〔〕

⑸ 78*82

1042

〔〕

〔〕

⑹ 103*97

チェック2 式の値
次の式の値を求めなさい。

例題

⑴
⑵

x=6，y=5 のとき，x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)x=12，y=28 のとき，x2+2xy+y2••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑵x2+2xy+y2=(x+y)2 と因数分解し，⑴式を簡単にすると，

x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)=x2+2xy-(x2+3xy-10y2)=-xy+10y2
求める値は，-6*5+10*52=220

x=12，y=28 を代入すると，(12+28)2=402

=1600
答

確認問題２⑴

220

⑵

1600

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=16，y=-3 のとき，(x+3y)(x+4y)-(x-y)(x-2y)⑵ x=43 のとき，x -6x+9〔〕

〔〕

〔〕

2

⑶ x=4.75，y=1.25 のとき，x -y2242

1章式の展開と因数分解

チェック3 数の性質
例題

連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。このことを証明しなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••整数nを使って連続する2つの奇数を 2n-1，2n+1 と表し，問題に沿って計算する。

解

(証明)

連続する2つの奇数は，整数nを使って，2n-1，2n+1と表される。
このとき，これらの積に1を加えたものは(2n-1)(2n+1)+1=4n2=(2n)2nは整数であるから，2n は偶数である。
したがって，連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。
確認問題３「連続する2つの奇数では，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は，8の倍数になる」ことを，次のように証明した。〔〕にあてはまる式を書きなさい。

（証明） 連続する2つの奇数は，整数nを使って，小さい順に〔ア〕，2n+1 と表される。

このとき，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は(2n+1)2〔イ〕=4n2+4n+1-(〔ウ=4n +4n+1-4n +〔エ22=〔オ〕)〕〕

nは整数であるから，8n は8の倍数である。

したがって，連続する2つの奇数では，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は，8の倍数になる。

チェック4 図形の性質
例題

1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。

この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

小さい正方形の面積，大きい正方形の面積，図の点線で囲まれた正方形の1辺の長さ¾を，それぞれpやaを使って表す。
(証明)

ap

小さい正方形の面積は p2，大きい正方形の面積は (p+2a)2，点線で囲まれた正方形の1辺の長さは p+a と表される。

道の面積は，大きい正方形の面積から小さい正方形の面積をひいたものである。
よって

S=(p+2a)2-p2=p2+4ap+4a2-p2=4ap+4a2……①また，¾=4(p+a) であるから a¾=a*4(p+a)=4ap+4a2……②①，②から確認問題４

S=a¾

縦の長さがp，横の長さがqの長方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表されることを次のように証明した。〔(証明) 道の面積は，〔ア〕から，小さい長方形の面積をひいたものである。
よって

S=(p+2a)(q+2a)-〔イまた，¾=2(〔ウa¾=a(〔エ①，②から〕にあてはまるものを答えなさい。

pqa¾〕=2ap+2aq+4a2……①〕)+2(q+a)=2p+2q+4a であるから〕)=2ap+2aq+4a2……②S=a¾
25

1章式の展開と因数分解

練
単元３1

1 共通な因数⑴ x -xy〕⑷ 3ax-9bx+15cx〔⑴ x +6x+5

単元３3〕

x2+2x-48

22〔⑻ a2-6ab-16b2〕⑴ x2+4x+4〕⑷ x -10x+25〔〕⑺ x +22x+121

2⑴ x -36〔⑷ 49x -4〔

5 いろいろな式の因数分解⑷ 2ax2-2ax-84a〔
26〔⑸ a -14a+49〔⑻ 16x +8x+1〕〔〕〔⑸ 4x -9y2〕〕⑸ 4x2-16y2〔〔〕〔〕

t2+18t+81⑹x -12xy+36y〔2〕

2〔〕

〔〕

〔〕

⑼ 9x -30x+25⑶9x2-16⑹64x -25y〕〕⑵ 4x2+20x+24〔〕

x2-15xy+54y2〕

次の式を因数分解しなさい。

〕

〔

22〔〕

⑶〕

〕

2〕

⑵ x2-1212〔x -3x-70

次の式を因数分解しなさい。

2

3x -9x-12⑹次の式を因数分解しなさい。

〕

2⑴a2-8a+7⑼2〔

4 x -a の因数分解
2〔⑶〕

22

12〔〕

⑵ x2+8x+16〔単元３5⑸ a -a-20

3 x +2ax+a ，x -2ax+a の因数分解
22

単元３
4〔

12x y-xyz-4xy2〕

2〔2⑹⑵ x2+9x+82〔〔〔

次の式を因数分解しなさい。

〕⑷ x -10x+24〕

2〕

2〔

4a b-16ab +12ab2

その⑶ 2xyz-8yz2〔⑸

2 x +(a+b)x+ab の因数分解⑺

題⑵ ax+3ay〔

単元３2問

次の式を因数分解しなさい。

22

習

22〔〕

⑶ 3x2-24x+48〕
⑹〕

〔〕

〔〕

9a2b-4bc2

1章

練
単元４1

1 計算のくふう⑴ 85 -152⑷ 97⑵〔〕

22 式の値問

題

そのくふうして，次の計算をしなさい。

2〔
単元４2習

372-272⑶〔〕⑸ 57*63〕⑹〔式の展開と因数分解

21032

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕〔〕

104*96〕

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=-12，y=3 のとき，x(x+6y)+(x-2y)(x-4y)⑵ x=84 のとき，x +12x+36
2⑶ x=6.5，y=4 のとき，4x -9y2

単元４32

3 数の性質 「連続する2つの整数で，大きい方の数の2乗から2つの数の和をひいた差は，小さい方の数の2乗になる」ことを，次のように証明した。にあてはまる式を書きなさい。

（証明） 大きい方の整数は，小さい方の整数nを使って，アと表される。

このとき，大きい方の数の2乗から2つの数の和をひいた差は単元４4｛n+()｝=-(2n+1)

ア〔〕nは小さい方の数であるから，連続する2つの整数で，大きい方

イ〔〕ウ〔〕の数の2乗から2つの数の和をひいた差は，小さい方の数の2乗エ〔〕になる。

オ〔〕

イ4 図形の性質

ウ=エオ¾

右の図のように，線分 AB の中点をＯとし，半径 OA の円をかく。

さらに，AC=a となる点Ｃを OA 上にとり，半径 OC の円をかく。

OC の長さをr，点Ｏを中心として，AC の中点を通る円の周の長さを ¾ ，影の部分の面積を S とするとき， S =a¾ となることを証明しなさい。

ACar O

B27

1章

式の展開と因数分解

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 18x2-27xy+9x〔〔2(x+y) -12(x+y)+32〕〔⑴ 5.9*357+5.9*643〔〔単元４2112-122+132⑷

93 +2*93*7+7〕

2〔〕

〔〕

⑼ z (x+y)-9(x+y)

⑵〕

〕

2〕

2 くふうして，次の計算をしなさい。

⑶ 1004*996〕

2〔

3x2y+33xy+72y⑹

〔

⑻

〔〕

2
1
⑸ x2+ x+3
91

5x2+10x-120⑶〔〕⑺ (2x-1) -(x+6)
2

単元４
1⑵ x2+7x+12〕⑷ a2b-4b

その

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

23 次の式の値を求めなさい。

⑴ x=32 のとき，(6-x)(6+x)+(x-4)(x+3)⑵

x=5，y=10 のとき，16x +24xy+9y2

2⑶ x=17，y=12 のとき，x y-5xy-14y2

単元４3

4 連続する2つの偶数で，大きい方の偶数の2乗から小さい方の偶数の2乗をひいた差は，4の倍数になる。
このことを証明しなさい。

28

1章

式の展開と因数分解

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 24x2+16xy〔⑵ 5x2+10x-120〕⑷ a b-4b2〕⑺ (x-y) -20(x-y)+100
2〔〔〔⑹ (x+y) -36〕

⑻ (a-b)c-(b-a)

⑼

〔⑵

〔〕
⑷

〔〔〕

〔〕

x +xy-yz-zx2〕⑴ 1.052〕

2〔

2 くふうして，次の計算をしなさい。

⑶ 9132-26*913+132〕⑸ 3x y+33xy+72y〕

2⑶ 8x2-722

〔

単元４1

その552*3.14-452*3.14

252-242+232-212〕〔〕〔〕

3 次の問いに答えなさい。

⑴ x2+y2=(x+y)2-2xy となることを用いて，x+y=4，xy=-2 のときの，x2+y2 の値を求めなさい。

⑵

x+y=-1，xy=-6 のとき，次の式の値を求めなさい。
①x2+y2〔

単元４4②〕

x2+xy+y2

〔

③〔〕

〔〕

(x-y)2〕4 1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついてい¾る。この道の面積を S ，道の中央を通る線の長さを¾とするとき，S=a¾ となることを証明しなさい。

pa291章式の展開と因数分解

重要用語と公式の穴埋め問題

必須！

次の空欄をうめなさい。

1式の展開⑴

単元１

単項式と多項式の乗法では，次の ア法

単元４

計算のくふう式の展開や因数分解を利用すると，数の計算が簡単に則を使って，かっこをはずす。
c(a+b)=ca+cbなる場合がある。

(例1)732-272=(73+27)(73-27)多項式を単項式でわる除法では，わる式のイ4 式の計算の利用

=100*46を利用して除法を乗法になおして計算する。

=ア(例2)102 =(100+2)2=1002+2*2*100+222(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd のように，単項式や多=イ項式の積を計算して，単項式の和の形に表すことを，もとの式を ウするという。

文字を使って数を表し，乗法の公式や因数分解の公式を用いて，いろいろな数や図形の性質が証明できる。

2 式の展開⑵

単元２

展開の公式

(x+a)(x+b)=x +( ア(x+a)2= ウ

偶数… ウ
奇数… エ3の倍数… オ)x+ イ2nを整数とすると，連続する2つの偶数…2n， カ(x-a) = エ
2

連続する2つの奇数…2n+1， キ(x+a)(x-a)= オ

十の位の数をa，一の位の数をbとする2けたの整数…ク3 因数分解

単元３(x+2)(x-2) は展開すると，x2-4 になる。これを逆にみると，x2-4=(x+2)(x-2) のように積の形で表される。このとき，積をつくっている各式を，もとの式の アという。

多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとの式を イ(x+2)(x-2)
〈因数分解の公式〉するという。
展開
因数分解

x2+(a+b)x+ab= ウx2+2ax+a2= エx2-2ax+a2= オ
x2-a2= カ30（または，2n-1）

x2-4

1章

1 式の展開次の式を展開しなさい。

⑴ (x+4)(x-5)(x-3)(x-10)⑵〔〕⑷ (x-2a)2〕⒀ (x+2y)(2x-y+4)

⒁

〔〕

〔〕

(2x+3y)2⑴ (x-5)(x+5)+(x-6)2〔〕⑶ (x+2) -(x+3)(x+7)⑷

〔〕
2⑺ (3x+2y)(3x-2y)-5(x+3y)(x-2y)(4a+b)(4a-b)

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

(x-7y)(x+4y)(2x-5)2(3a-4)(3a+1)⒂ (2x-7y)(2x-y)⑵ (x-3)(x+6)-(x-4)(x-1)

2

〔

⑿

〔

次の計算をしなさい。

〔〕(x+10)(x-5)

〕⑸ (x-8y)(x+2y)-(x-4y)

⑼

〔⑾

〔〕

(x-11)(x+11)〕⑽ (8x-3)(8x+3)

⑹

〔
⑻

〔〕

(x+4)(x+2)

〕⑺ (2a-b)(3a+2b)

⑶

〔
⑸

〔

2 式の展開● 式の展開重要パターン問題 ①

必須！

式の展開と因数分解〕

〔〕

〔〕

〔〕

(2x-3)(2x+3)+(x-2)(x-4)⑹ 2(x-2)(x+1)+3(x+1)(x-1)

〕
⑻

〕

〔

(3x-2) -(2x-1)(2x+3)
231

1章

式の展開と因数分解重要パターン問題 ②必須！

1 因数分解

次の式を因数分解しなさい。

⑴ x2+14x+45〔⑷m2-24m+144〔⑺ x2+10xy+25y2〔⑽ x2+7x-60〔⒀ 36x2-25y2〔⒃ 2ax-10bx-4x〔⑵ acx2-3abx〕〔⑻〕⑾ m2+12mn+36n2〔⒁〕64-n2〔〕y2-y-72〔⒄ x2-10xy+24y2〔⑶ 4x2-49a2〕
⑹〕
⑼〕
⑿〕
⒂〕
⒅〕

次の式を因数分解しなさい。

⑴ 4x -12x-16⑵ x3-4p2x〔〕〔〕⑷ ax2+13ax+36a⑺ 2x3+4x2-96x32⑸ x2-3xy-10y2〕2〔〔〕

2 因数分解● 因数分解〕〔〕〔〕⑸ 6a2b-30ab+36b⑻⑶5x2-180y2

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

a2-10a+16

81x2-36x+4

a2+20ab+75b2

x2+4xy-5y2

49a2+14ab+b2

2x2y-4xy-16y

〔〕

〔〕

〔〕

⑹ 3a2+18ab+27b2⑼〕〔4a2x-4ax+x1章

1 おきかえの展開⑴ (a-b+3)2⑶(1x+y2)

2

次の式を展開しなさい。

〔⑵ (x+y-1)(x+y-8)

〕
⑷

〔

⑸

(x+2y-2)(x+2y+2)⑺(x-y-2z)

〔〕⑹〕

2⑻

〔〕

2 おきかえの因数分解

次の式を因数分解しなさい。

⑴ (x-y) -4(x-y)-212〔⑶ (a+2b) -7(a+2b)+12〔⑸ (x-5) +12(x-5)+36〔⑺ (3x-1) -(2x-5)
2〔⑼ ax -ay -bx-by

〔〕〕

〔〕

〔〕

〔〕

(a-4b+3)(a-4b-1)(a-3b+c)(a+3b-c)(2x+y) +2(2x+y)-35⑹(a+3) -5(a+3)-24

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

22⑻

a(x-2y)-x+2y⑽x -4xy+4y -3x+6y〕

2)

⑷〕

21
(a-b+4) a-b4(a-3b)2+9(a-3b)+8〕

2(〔⑵〕

22

● おきかえの展開と因数分解

重要パターン問題 ③必須！

式の展開と因数分解

2233

1章

式の展開と因数分解差がつく！

1● 図形の性質

高得点をめざす問題

図形の性質
右の①，②の図で，影をつけた部分の面積を S ，幅をa，影をつけた部分の中央を通る線の長さを¾とすると①②p

き，S=a¾ が成り立ちます。

paqp

このことは，ほかの図形でも成り立つか考えます。

a¾¾

1 右の図1で，影をつけた部分の面積を S ，幅をa，影をつけた部分の中央を通る線の

図1q長さを¾とするとき，S=a¾ となる。このことを図2のように，3つの長方形に分けてp考えることにより証明しなさい。

¾a図2prq¾q-aarraa2 中心角 120ß，半径rのおうぎ形の外側に，右の図のように一定の幅aの白い¾部分がある。白い部分の面積を S ，白い部分の真ん中を通る線の長さを¾とするとき，S=a¾ となることを証明しなさい。
120ßar3 右の図は，AB，AC，BC をそれぞれ直径として半円をかいたものである。AB=a，BC=b とするとき，影をつけた部分の面積と周の長さを求めなさい。

34

面積〔〕

周の長さ〔〕

AaBbC

1章

1

● 計算のくふう

思考と活用問題差がつく！

● 九九の利用

計算のくふう

36「十の位の数が同じで，一の位の数の和が10である2けた

3*(3+1)

なぜ，このように計算できるか考えます。

42*34の自然数の積」は，右のようにくふうして計算することができます。

式の展開と因数分解

1224

*48

6*4

1 上のようにくふうして計算してもよいことを，次のように証明しました。

4*(4+1)2016

2*8をうめなさい。

（証明） 2つの自然数は，十の位の数をa，一の位の数を b+c=10 となるb，cを使って，10a+b，と表される。このとき，これらの積は

ア(10a+b)(

イ)=100a +10ac+10ab+bc
2=100a2+10a(b+c)+bc=100a2+=100a(ウエ+bc)+bc

よって，積 a(a+1) の100倍と積 bc の和になるから，上のようにくふうして計算してもよい。
ア〔2〕

イ〔〕

ウ〔エ〔〕〕

九九の利用
右の表は，「かけ算九九の表」の一部です。この表の中のかけられる数をm，かける数をnとし，a=mn とおくと，b，c，dもm，nを用いて表すことができます。

下の問題では，a，b，c，dの数の規則性について，考えます。

かけられる数6 8a bのような，4つの整数の組をとします。
9 12c d123456かける数

12345624681012812 1620241218 24

1345626103941215 2051525306183036

2 上のa，b，c，dの数の規則性について，次の問いに答えなさい。

⑴ a=mn として，(a+d)-(b+c) の値がつねに1になることを証明しなさい。

⑵ a=mn として，ad-bc の値がつねに0になることを証明しなさい。

35

1章

式の展開と因数分解

定期テスト対策 ||| 標準編 |||１章 式の展開と因数分解
実施時間のめやす⇨ 15分

1 次の式を展開しなさい。
⑴ (x+7)(x+8)⑵
〔⑴ (3a+4)(3a-4)-2(a-2)(a+5)
〔⑴ 6xy-9x⑵⑷ x2-x+〕14〔⑺8-9x+x〕
215a2b+25ab2-10abc⑶〕

x2-18xy+81y2⑹〔〕⑻ 3x -24x+452〔〕（各 7 点）〔〔⑸〕

4(x-3)2-3(x+2)(x+6)

〕3 次の式を因数分解しなさい。
〔(m+5)2〔⑵／100点（各 6 点）〕

2 次の計算をしなさい。

得点x2-〕（各 4 点）

1 2y64〔〕〔〕〔〕x2+5x-24⑼ 4x -48-16x2〔〕（各 7 点）4 次の式の値を求めなさい。

⑴ x=-25 のとき，(x-8) -(x-2)(x+6)
2⑵x=-2，y=9 のとき，(x+9y)(x+y)+(x+3y)(x-3y)

を S ，走るところの中央を通る線の長さを¾とするとき，S=a¾ と
⑴

小さい方の

⑵

36rの面積をb，rを使って表しなさい。

〔〕

bar〕

トラック全体の面積をa，b，rを使って表しなさい。

⑶ ¾の長さをa，b，rを使って表しなさい。
⑷

a（各 6 点）〔〕¾5 右の図のような競技場のトラックがある。影をつけた部分の面積なることを，次の手順にしたがって証明しなさい。

〔⑴〜⑶のことを使って，S=a¾ となることを証明しなさい。

〔〕

〔〕

1章

定期テスト対策 ||| 応用編 |||１章 式の展開と因数分解⑵ x2+y2〔〕〔〕⑴ 10 -12 +14222〔

3 次の問いに答えなさい。

／100点（各 8 点）(x-y)2⑶2 展開や因数分解を利用して，次の計算をしなさい。

得点

実施時間のめやす⇨ 18分

1 x+y=6，xy=8 のとき，次の式の値を求めなさい。
⑴ (x+y)2式の展開と因数分解〔〕（各 8 点）⑵ 18 -17 +16 -15 +14 -13222222〕

〔〕
（各10点

⑴ a=25，b=3 のとき，(a-b) -4(a-b)+4 の値を求めなさい。

⑵完答）

2〔
⑵
①

次の①と②では，②の方が大きくなることを下のように証明した。〔283*289②（証明）〔ア284*288〕〕をうめなさい。

〕
をxとおくと，283*289 は，(x-3)(x+3)=〔イ284*288 は，(x-2)(x+2)=〔ウ〕〕

よって，②の方が大きい。

4 連続する3つの3の倍数について，もっとも大きい3の倍数の2乗からもっとも小さい3の倍数の2乗をひくと，中央の3の倍数の12倍になる。このことを証明しなさい。

（20点）

5 1辺の長さがpの正三角形の土地の周りに，右の図のように幅aの道がある。
この道の面積を S ，道の中央を通る線の長さを¾とするとき，S=a¾ となる。
このことを証明しなさい。

（20点）¾pa37