物性若手夏の学校 2001 年夏

初貝 v1.05

1– 量子ホール効果 –その意義と幾何学的および代数的構造
東京大学大学院工学系研究科

物理工学

初貝 安弘1

目次
1

講義の概要 (予定)32

量子ホール効果と磁場中の電子系

3

2.1
2.2

量子ホール効果とは

磁場中の電子系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5

2.3

格子上磁場下の電子系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9ホール伝導度とそのトポロジカルな意義

3.1

3.2
3.3

3.4

断熱近似による TKNN 公式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.1.2 チャーン数と渦度、ディラックモノポールとのアナロジー . . . . . . . . .
境界のある系でのゲージ不変性による Laughlin の議論 . . . . . . . . . . . . . . .
境界を持つ系におけるホール伝導度のトポロジカルな意味— リーマン面上でのエッ

2330

ジ状態の回転数と交点数 —[18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
33

3.3.1

転送行列とエッジ状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2
3.3.3
3.3.4

転送行列とバルク状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

35
39
40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Berry Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
51
53

リーマン面上のエッジ状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
リーマン面上の回転数、交点数と Laughlin の議論

２つの位相不変量: — バルクかエッジか —

分数と整数

4.1
4.2

5

17

無限系 (バルク) におけるホール伝導度のトポロジカルな意味— 渦度、チャーン数 — 17

3.1.1

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

分数統計粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3
4.4

磁束の切り張り (Composite Fermion, 1/2 Fermi Liquid 状態, Anyon 超伝導...) . .
もう一つの分数統計, 排他的分数統計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
57

4.5

排他的分数統計と量子ホール効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

量子相転移と Dirac Fermion

5.1
5.2
5.3

62

量子相転移と (隠れた) ディラックフェルミオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

ランダム系における位相不変量の意義、、ゼロモード、非局在状態のフローティン
グ等、最近の話題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

時間反転対称性を破る超伝導とスピンホール伝導度の量子化、束縛状態、双対性 .

73

1 hatsugai@pothos.t.u-tokyo.ac.jp,

http://pothos.t.u-tokyo.ac.jp/summer school/v1.05 最終変更 2001. 8.01

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)267

磁場中の電子系における幾何学的位相と量子群

76
76

6.1

イントロダクション

6.2
6.3

量子群といくつかの表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ブロッホ電子に対するベーテ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78
81

6.4

ベーテ方程式のあらわな解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

終わりに

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

量子ホール効果に関してはその現象の発見に対して Klitzing(1982 年) にノーベル賞が与えられ[1]、この現象において存在すると考えられている分数電荷の発見に対して Tsui, Störmer, Laughlin(1998 年) に再びノーベル賞が与えられています。賞による評価がすべてというわけでは当然ありませんが、この現象の現在の物性物理における意義の大きさをある程度、象徴しているといえるでしょう。量子ホール効果は磁場中の２次元電子系でおきる現象です。この系においては後で述べま
す幾何学的位相とよばれる量子力学的な位相が本質的な役割を果たします。また、分数量子ホール
効果は運動エネルギーに比べて電子間の相互作用エネルギーが極めて大きいいわゆる強相関の問題の典型例です。振り返ると量子ホール効果は現在の物性物理の重要な問題である「幾何学的位相」と「強相関効果」の主な舞台であり、事実ここで得られた手法は他の問題へ適用され新しい知見を産みつつあるわけです。
この現象を中心としてその固体物理における重要性が理解できるような講義をしたいと思います。また量子ホール効果の舞台となる磁場中の２次元電子系は講義で議論するように現代的な幾何
学的、数学的構造、代数的構造を含んでおりその面からも極めて興味深い対象となっています。この数学的な構造についても理解して頂ける講義としたいと思います。電子系の基本的かつ 普遍的現象としての 量子ホール効果に関連して、しっかりわかってきたこと 及びその研究の過程で生まれてきたアイデア をできるだけ自己完結する見方でお話したいとおもいます。特に量子ホール効
果については「通常の固体物理的側面」からの解説はすでに多く存在するのできるだけ特徴あるものとなればと考えています。
なお本文中脚注番号がついている部分については導出その他の部分で講義では説明する予定です。自分で埋めてみてください。また参考文献は最低限のものを多少の参考となることを期待してのせています。原論文で引用しているようにここでの議論は多くの人々の結果によるところが多大であることはいうまでもありません。ここで関係の方々に感謝したいとおもいます。ただし時間の関係で参考文献リストは最小限かつランダムなものとなっていることを了解していただきたいとおもいます。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)3

1

講義の概要 (予定)1. 整数量子ホール効果とは• 磁場中の電子系についての基礎的な事柄• 幾何学的位相としての Berry Phase• Laughlin のゲージ不変性の議論
量子ホール効果についての極めて明解かつ本質的な議論を紹介します。
物理現象においては境界は副次的な重要性しか持たないと思いがちですが近年の物理においてはそこに本質的重要性がある場合が多々あります。量子ホール効果においては境界 (エッジ) の存在が重要です。

• 境界を持たない系におけるホール伝導度のトポロジカルな意味 (TKNN)
無限大の系、もしくは周期的境界条件を課した系におけるホール伝導度は Chern 数と呼ばれる符号つきの整数で表せる渦度の総和として記述できることを示します。

• 境界のある系におけるホール伝導度のトポロジカルな意味
一方向に境界を持つ系 (シリンダー) 状の系におけるホール伝導度は複素エネルギー面としてのリーマン面上でのある種の回転数もしくは閉曲線の交点数として記述できることを示します。

• ２つの幾何学的量の間の関係、バルクかエッジか
上記の２つの幾何学的な整数の間の関係を議論します。その結果２つの記述が同値であることを示します。

2. 分数量子ホール効果とその周辺• ホール伝導度の分数量子化と分数電荷、分数統計 (Anyon)、排他的分数統計
ホール伝導度の分数量子化は分数電荷の存在と基底状態の縮退を意味します。さらにこの系で議論される２種類の分数統計である Anyon と排他的分数統計についても議論したいと思います。

• Composite Fermion (Jain) と 磁束の切り貼り、Adiabatic Heuristic Argument (Wilczek)
分数量子ホール効果においては Jain が最初に提案した電子と磁束の複合粒子 (Composite

Fermion) が基本粒子と考られます。これを概念的に断熱的接続の考え方に基づいて拡張したものが Wilczek 等が提案した Adiabatic Heuristic です。これらについて フェル
ミ液体と考えられる 1/偶数 状態等をふくめて議論します。

3. 量子相転移との関連• 量子相転移としての量子ホール状態間の転移と選択則、Dirac Fermion
ホール伝導度が変化する転移は、基底状態の相転移である量子相転移の典型例と考えられます。これに関してその選択則、ならびに転移を支配する質量を持つ Dirac Fermionの関連を議論します。

• 時間反転対称性をやぶる超伝導体への応用と量子相転移、Duality
量子ホール効果において初めて議論された上記のトポロジカルな性質は実は他の物理現象においてもほぼ並行に議論できるものがいくつもあることが最近分かってきました。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)4
その最も初期かつ重要な例として時間反転対称性を破る超伝導体における応用について議論します。

• ランダム系との関連、ホール絶縁体
時間があればトポロジカルな議論がランダム系における諸問題をいかに拘束し、また有用な情報を与えるかを議論します。

4. 磁場下の粒子の量子力学と代数的構造• 磁場下での並進操作の非可換性と量子群
量子力学においては波動関数の位相の重要性が、Berry により幾何学的位相として指摘され、その後の種々の問題においてその概念の有効性が示されてきています。特に、磁場の存在下では荷電粒子を量子力学的に移動させる際に得る幾何学的位相は、アハロノ
フ・ボーム効果として知られ、移動の始点と終点だけでなくその履歴に依存することになり、その直接の帰結として並進操作に非可換性をもたらします。Wiegmann-Zabrodinはこの非可換性と数学的にも新しい非可換性を持つ概念である量子群とのあいだに具体的な関連があることを発見しそこに可解模型と同様の構造の存在することを指摘しました。この関連を説明し、その後のいくつかの展開を紹介したいと思います。

• (マルチ) フラクタル、自己相似性に関する解析的な議論
磁場中の問題とフラクタル構造の関係としては有名な Hofstadter のバタフライの図等がありますが、上記の議論の面白い直接の帰結として例えば複素平面上でその根がマル
チフラクタルに分布する方程式、等が得られます。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)52

量子ホール効果と磁場中の電子系

2.1

量子ホール効果とは量子ホール効果 [1, 2, 3, ?, 4, 5] とは文字どおりホール伝導度が量子化される現象でその実験的発見に対して K.V.Klitzing にノーベル賞があたえられています。驚くべきはその精度でそれが６桁以上の精度を持つというのです。伝導度ですから電流/電圧なわけで電流と電圧をはかって例えば 34.51231 / 17.25616=1.999999...、67.88631 / 22.62876=3.000001 となったら 「これは普通でないなんかがある」、というわけです。こんなぐあいに整数の値にホール伝導度が極めて近くなる現象を 整数量子ホール効果といい、ある場合には、この値が 14.512 / 43.535 = 0.3333 . 等と整数/ 奇数 に極めて近くなるときを分数量子ホール効果といいます。この現象の特異なところは、結果がとてもきれいな数に なるので一見して何かの物理量を摂動論とか○×近似で計算するという定量的な議論では 不十分だと感じるわけです。 つまりこの現象は、何らかの形で整数がらみの理論がその裏にあることを 示唆していると思いませんか。そして実際、量子ホール効果とは 系の細部に依存しない 境界が何個あるか、どんなぐあいにつながってるかといった物理系の位相的性質にのみ依存した形で 理論としてきれいにまとまり、それが ある意味で現実にも実験として観測にかかっている（と信じられている）非常にまれな現象なのです。

2.2

磁場中の電子系~ 中の粒子の量子力学について復習しよう [9]。
最初に一様磁場 B
まず、古典的なローレンツ力に従う電子（電荷 −e）のニュートン方程式を導くハミルトニアン
が次のものであることに注意して

1
e~ 2
(~
p + A)
2mc（量子力学における）ハミルトニアンとしてつぎのものをとろう。
H=

H
~
Π
~
B

1 ~2
Π
2m
~ + eA~= −ih̄∇c~= rot A=

ここで磁場を z 方向にとってH=

1~ 2 = 1 (Π2x + Π2y )(ẑ × Π)2m
2m

~ の成分間の交換子を計算すると3とする。2 ここで Π
[

`B
`B
Πx ,
Πy ] = −ih̄h̄2ijk ∂j Ak = (ẑ)i B
3[ Πi , Πj ]

„
«
e
eh̄
e
[ −ih̄∂i + Ai , −ih̄∂j + Aj ] = −i
[ ∂i , Aj ] + [ Ai , ∂j ]
c
c
c
„
«
eh̄
= −i
∂i Aj − ∂j Ai
c
r
„
«
h 2
h̄c
eh̄
, `B =[ Πx , Πy ] = −i B = −i
c
`B
eB

=

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)6
ここで

√
`B =

h̄c
eB

は長さの次元を持つ量で磁気長と呼ばれる。この交換関係より

1 `B
a= √
(Πy + iΠx )2 h̄として演算子 a を定義すれば [ a, a† ] = 1 であり、4 ハミルトニアンは5Hωc1= h̄ωc (na + ), na = a† a2eB=
: サイクロトロン周波数mcと書ける。これは１つの調和振動子のハミルトニアンである。
一方

`2
Πy
h̄
`2
= y + Πx
h̄
= x−

Rx
Ry

を定義するとこれらはハミルトニアンと可換であり6[ H, Rx ] = [ H, Ry ] = 0
4[ a, a† ]

„
«
[
Π
,
−iΠ
]
+
[
iΠ
,
Π
]
=1
y
x
x
y
2

`2B

=

2h̄

5

Πx

=

Πy

=

h̄ 1
√ (a − a† )`B i 2h̄ 1√ (a + a† )
`B 2

より

H

=
=

ωc
6 まず [ x, Π=´
1 h̄2 `1 h̄2
− (a − a† )2 + (a + a† )2 =(aa† + a† a)2
2m 2`B2m `2B1h̄ωc (a† a + )
2
h̄
eB
=
m`2B
mc

x ] = [ y, Πy ] = ih̄, [ x, Πy ] = [ y, Πx ] = 0 よって[ Πx , Rx ]=[ Πx , R y ]=[ Π y , Rx ]=[ Πy , R y ]=`2Πy ] = −ih̄ − h̄(−i) = 0h̄`2[ Π x , y + Πx ] = 0h̄`2[ Πy , x − Πy ] = 0h̄`2[ Πy , y + Πx ] = −ih̄ + h̄(i) = 0h̄[ Πx , x −量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)7
運動の定数となる。7
よって観測量となるエルミート演算子 Rx または Ry がハミルトニアンと可換となり、一つのエ
ネルギー状態は異なる量子数を持つことを意味する。すなわち各エネルギーは縮退していることとなる。この縮退をランダウ縮退という。(特に系の大きさが `B を単位にマクロな系ではこの縮退
度はマクロなものとなる。)
さらに磁気並進演算子 T (~λ) を

i~ ~
λ·Π
~
Tx (λ) = e h̄
とすれば8
−1

T (ax̂)−1

T (bŷ)2π
T (ax̂)T (bŷ) = e

囲む面積 × B
Φ0すなわち並進操作により閉じた曲線を動くときに得る位相は囲む面積あたりの磁束を磁束単位で計ったもの (×2π) となることに注意しておこう [10]。
以下有名な２つのゲージについて少し議論しよう。

• ランダウゲージ~ = B(0, x, 0)
A7[ R x , Ry ]`2`2Πy , y + Πx ]
h̄
h̄

=

[x −

=

`2
([ x, Πx ] − [ Πy , y ]) −
h̄

=

i`2B
[

„ 2 «2``2`4 h̄2[ Πy , Πx ] =2ih̄ − 2 i 2
h̄
h̄
h̄ `B

Rx Ry
,
]=i
`B `B

よって

b=

1 1
√ (Rx + iRy )
`B 2

とすると

[ b, b† ] =1([ Rx , −iRy ] − [ iRy , Rx ]) = 1
2`2B

さらに

nb

=
=

1
1
(Rx − iRy )(Rx + iRy ) =2`B2`B
2 + R2
Rx
y

2`B

„

2
Rx
+ Ry2 + i[ Rx , Ry ] − i[ Ry , Rx ]

−1
R2

≡

2
Rx
+ Ry2 = 2`2b (nb + 1)

nb

=

b† b

8 [ A, B ] = 定数のとき eA eB = e[ A,B ] eB eA を使って

−ab1
[ Πx , Πy ]h̄2
T (bŷ)T (ax̂)

T (ax̂)T (bŷ)=

e−abh̄2 [Πx , Πy ]

=

1
iab 2
`B

=

2πi

abB
Φ0

«

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)8としよう。このとき最低エネルギー状態状態（最低ランダウ準位）は a|ψi = 0 を満たすか
ら9−iky y −eψ(x, y) =Ry ψ(x − `2B ky )22`2B= `2B ky ψとなり、異なるRy b = `2B kyの状態が縮退した状態を与えることとなる。これらは x 方向には `2B ky に局在した波動関数となる。ここで全系が Lx ×Ly の有限系とし、y 方向には周期的であり、x 方向には 0 < Ry < Lxのもののみ許されるとすればその縮退度 Nφ は

Nφ

kymax
Lx /`2B
=
∆ky
2π/Ly
Lx Ly
Lx Ly
=
h̄c
2π`2B
2π eB
BS
Φ0

=
=
=

となる。ここで S = Lx Ly は全面積hceは磁束単位とよばれる。すなわちランダウ準位の縮退度は系を貫く全磁束を磁束単位で計ったものとなる。
Φ0 =• 対称ゲージ~ = 1 B(−y, x, 0)
A
2

9

Πx

=

−ih̄∂x , Πy = −ih̄∂y +

Rx

=

x−

(−i∂y +eBxx = h̄(−i∂x + 2 )
c
`B

`2B
x
Πy = x − `2B (−i∂y + 2 ) = i`2B ∂y
h̄
`B

a

=

x
`B
√ (Πy + iΠx ) = `B (−i∂y + 2 + ∂x )
`B
2h̄

x
+ ∂x )ψ
`2B=

0より ψ(x, y) = e−iky y f (x) として

f 0 − (ky −

x
)f
`2B

=

0

f (x)

=

e

ψ(x, y)

=

e

2
−1
( x
2 −ky )
2`
B

−iky y

e

−

2
(x−`2
B ky )
2`2B

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)9とすると10 a|ψi = (Πy + iΠx )|ψi = 0 より (∂z̄ + 4e`z 2 )ψ = 0 から
B

|z|2
− 2
ψ(z, z̄) = P (z) e 4`Bとなり P (z) の選び方でランダウ縮退が生じる。112.3

格子上磁場下の電子系

次に格子間隔を a とした格子上で磁場中の電子系を議論したい。[11, 12, 13, 14, 15, 18] 以下わかるようにこのように格子上で議論を行うことにより境界条件、状態の数え上げ等が簡単になる。
また通常の連続空間での議論も適当なスケーリング極限 (a → 0) の下で再現する [21]。
10

Πx

=

Πy

=

Πy + iΠx

=
=

1 y
1
y
= h̄(−i∂x −)2 `2B
2 ` + B21x
1 x
= h̄(−i∂y +)−ih̄∂x +2 `2B
2 ` + B2−ih̄∂x −

«
„
1
x
1
y
1
(x
−
iy)
+
∂
−
i
)
=
h̄
(∂
−
i∂
)
+
x
x
y
2
2 ` + B2
2 ` + B22`Bzh̄(2∂z̄ +)2e`2Bh̄(−i∂y +

ここで

z

=

x

=

∂z̄

=

∂z

=

x − iy, z̄ = x + iy
11(z + z̄), y =(z − z̄)
2
−2i
∂y
1
∂x
∂x +
∂y = (∂x − i∂y )
∂ z̄
∂ z̄
2
∂x
∂y
1
∂x +
∂y = (∂x + i∂y )
∂z
∂z
2

11

b

=
=
=

„
«
`2
`2
x − B Πy + i(y + B Πx )
h̄
h̄
2`B
2`B
«
«
„
„
1
(x + iy)`B1(x + iy)
`B
1 h̄
1 h̄
√
−
(Πy − iΠx ) = √−(i∂y +
x
+
∂
+
i
y)
x
`B
h̄
`B
h̄
2 `2B
2 `2B
2
2
z̄
2`B ( 2 − ∂z )
4`B
√

1

(Rx + iRy ) = √1

より b|ψi = 0 とすると

ψ = 定数 × e

−

|z|2
4`2
B

この状態に対して

b†

=
=
=

の作用は
となる。

«
`2
`2B
Πy − i(y + B Πx )
h̄
h̄
2`B
2`B
«
«
„
„
1
(x − iy)1(x − iy)
1 h̄
1 h̄
`B
`B
√
(Πy + iΠx ) = √(i∂y +
x
−
∂
−
i
y)
−
−
x
`B
h̄
`B
h̄
2 `2B
2 `2B
2
2
z
2`B ( 2 − ∂z̄ )
4`B
√

1

(Rx − iRy ) = √

1

„

x−

b† |ψi = z|ψi

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)10

θ xm,n+1 (m+1,n+1)(m,n+1)

θ ym,naθ ym+1,n
θ xm,n(m,n)(m+1,n)a

図 1: リンクに割り当てる位相とプラケットあたりの磁束
まず、第二量子化した表示で次のハミルトニアンを考える。
∑( †)H = −tci eiθij cj + h.c. + V ({nk })hiji

ここで ci は２次元格子上 i サイトの電子の消滅演算子で ({ci , c†j } = δij )、V は電子の粒子数 (演算子) nk = c†k ck により書ける項で乱れのポテンシャル及び、電子間相互作用はこの項に含まれるが、以下当面のところ相互作用も乱れもない V = 0 の場合を考えよう。θij は j サイトから i サ~ r) と次のように関係する
イトに電子が飛び移るとき受ける位相の変化でベクトルポテンシャル A(~ものとする。

eθij = −
ch̄

∫ ~rj
~
ri

~ r) = −2π 1
d ~rA(~
Φ0

∫ ~rj

~ r),
d ~rA(~

~
ri

Φ0 =

hc
e

なお Φ0 は磁束単位と呼ばれる。これが磁気並進演算子 Tx , Ty を使って以下のように書けることにまず注意しよう。

H= H0 + V

H0Tx= −t(Tx + Tx† + Tx + Ty + Ty† )∑ †x=
cm+1,n eiθm,n cm,n

Ty

∑ †
y
=
cm,n+1 eiθm,n cm,n

m,n

m,n

特に位相を図 1 のようにとった場合

x
θm,n

=

y
θm,n

=

e
1
aAx (m + , n) + o(a)
ch̄
2
e
1
aAy (m, n + ) + o(a)
ch̄
2

となり

∑

y
x
x
y
θ = θm,n+ θm+1,n− θm,n+1− θm,n= 2πφP =(m+ 12 ,n+ 12 )Plaquette P=(m+ 21 ,n+ 21 )と定めると a について展開して a について最低次でφP = −Ba2e 2a (∂x Ay − ∂y Ax ) = −
2πch̄
Φ0

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)11となる。これから物理量 φP はプラケット P での xy 2 次元平面に垂直な磁束を磁束量子 Φ0 を単~ = rot A)~ 。
位として計ったものと考えよう (B
この格子上の系は {ϕi } を任意として次のようなユニタリ変換 ( 局所ゲージ変換) で不変である
ことに注意しよう。

ci→

ci 0 = ci eiϕi ,

θij

→

0
θij
= θij + ϕi − ϕjH({ci , θij })=0
H({c0i , θij})†{ci 0 , cj 0 } = δij

ただし各位相 θij そのものには不定性があるが、φP は確定する。またこれがユニタリ変換である
ことから観測量はすべて不変である。

|Ei =次にこの格子系の一粒子のシュレディンガー方程式 H|Ei = E|Ei,∑†
m,n ψm,n cm,n |0iを考えると (V = 0 の時)
y−t(eiθm−1,n ψm−1,n + e−iθm,n ψm+1,n + eiθm,n−1 ψm,n−1 + e−iθm,n ψm,n+1 ) = Eψm,nxxyとなりこの波動関数についても

ψm,n = ψ(~r) = ψ(ma, na)
として a について ２次まで展開すると−

1 h̄ ~
e~ 2
ψ(~r) = ψ(~r)( ∇ + A)
2m i
c
2

h̄
と連続空間における 磁場中のシュレディンガー方程式が得られる。ただしここで  = 2mta
2 (E −4t)である (確認せよ) 。
ここでこの系の一粒子エネルギーを計算してみよう。まず、位相の選び方つまり、ゲージとしてランダウゲージyx= 2πφm= 0, θm,nθm,nをとり、φ として φ = pq , p, qは互いに素な整数としよう。さらに境界条件としては Lx × Ly の系で周期的境界条件をとる。
ここでこのゲージでは x 方向に周期は q であることから運動量空間の演算子 c̄1 (Kx , ky ), · · · , c̄q (Kx , ky )を次のように導入する。(Lx は q で割り切れるとしよう。)

cm,n

∑
0
1
1
√
= cqm0 +m00 ,n = √eiKx m +iky n c̄m00 (Kx , ky )Lx /q Ly Kx ,kym = qm0 + m00 , m0 = 1, · · · , Lx /q,nx
Kx = 2π, nx = 1, · · · , Lx /q
Lx /qny
ky = 2π , ny = 1, · · · , Ly
Ly

m00 = 1, · · · , q

ここで c̄i (Kx , ky ) は {c̄i (Kx , ky ), c̄†j (Kx0 , ky0 )} = δnx ,n0x δny ,n0y 等を満たすフェルミ演算子であり、2π2π
Kx ∈ [0, 2π], ky ∈ [0, 2π], ∆Kx = L2π, ∆ky = Lである。ここで Kx = qkx とし (∆kx = L
)、
x /q
y
x

cj (kx , ky ) = c̄j (qkx , ky ) とすると x 方向のとりうる波数はkx ∈ [ 0,2π],qky ∈ [ 0, 2π ]

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)12であり、ブリルアンゾーンが 1/q になっている。これはゲージを固定する際に実空間の周期が q倍になったことを反映しており、磁気的ブリルアンゾーンと呼ばれる。なおフェルミ演算子の周期
は N, M を任意の整数として

cj (kx + N

2π, ky + M 2π) = cj (kx , ky )qであり、磁気的ブリルアンゾーン上 x, y 各方向に 0 と 2π/q 、0 と 2π を同一視するわけで磁気的ブリルアンゾーンはトーラス TM BZ と見なせることに注意しよう。
このとき並進演算子は


c1 (~k) . . c(~k) =  . cq (~k)


をもちいて


Tx


 1
c (k) =
kx ,ky∑e−iqkx

0

† ~

0
..

.

..

.

1

Ty

=

∑



 c(~k)0e−iqkx0
1
d2 k † ~ 

c
(
k)

2
TM BZ (2π)
∫
= Lx Ly





0
..
.

..

.

1




 c(~k)0c† (~k)e−iky diag (ei2πφ , · · · , ei2qπφ )c(~k)

kx ,ky∫= Lx Lyd2 k † ~ −ikyc (k)ediag (ei2πφ , · · · , ei2qπφ )c(~k)
2
TM BZ (2π)

12となる。よってハミルトニアンは∫
d2 k † ~H = (−t)Lx Ly
c (k) H 0 (~k)c(~k)
2
TM BZ (2π)

2 cos(ky − 2πφ)
1
0


1
2 cos(ky − 4πφ)1
H 0 (~k) = 0
1
2 cos(ky − 6πφ)


.

..
0
...

iqkx
e
0
···

···

e−iqkx

0
1

0
..
.

1

2 cos(ky − 2πqφ)












となる。
以下詳しく議論する前に基本的な事実を確認しておこう。まず、ハミルトニアンがフェルミ演算子について２次形式であることから、１粒子固有状態はバンドインデックス ` = 1, · · · , q を持つブ
12

X
Kx ,ky=Xkx ,ky=1∆kx ∆kyZ 2π/q
0

dkx

Z 2π
0

dky = Lx Ly

Z 2π/q
0

dkx
2π

Z 2π
0

dky
= Lx Ly
2π

Z

d2 k
2
(2π)
TM BZ

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)13
ロッホ関数 |ψ ` (~k)i で与えられる。

H|ψ ` (~k)i =E ` (~k)|ψ ` (~k)i∑ †|ψ ` (~k)i = =cj ψj` |0ij† ~ψ (k)H 0 (~k)ψ(~k) =diag (E 1 (~k), · · · , E q (~k))

ここで各バンドごとの規格化されたブロッホ関数を列ベクトルとしてならべた係数行列 ψ =(ψ 1 , · · · , ψ q ) はユニタリである。
まず特定のフラックスに対してエネルギーバンドを書いてみよう。図参照。

Energy20-2(2π/3,2π)

(0,0)
kx

(2π/3,0)ky

図 2: φ = 13 の時のエネルギー分散

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)14

Energy20-2(2π/5.2π)
(0,0)
kx

ky
(2π/5,0)

図 3: φ = 25 の時のエネルギー分散
さらにこの系のスペクトル E b (~k) を φ を変えながら図示したものがフラクタル構造として有名
な Hofstadter のバタフライである。(図 4) [11, 12, 13, 14]

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)15

p,q< 51

3.0
2

-2

2.0
1

-1

Energy

1.0

-2
-3

2
3
2

-2

-2

2

0.0
3

-1.0

-3
2

-2
1

-1

-2.0
-2

2

-3.0

0.0

φ

1.0

図 4: 格子上磁場中のフェルミ粒子系の一粒子エネルギー: Hofstadter のバタフライ。図中の整数はフェルミエネルギーがそのエネルギーギャップにある時のホール伝導度 ( e2 /h を単位として) である。[16]
このスペクトルの特徴はハミルトニアンの構造からわかるように φ = pq (p, q 整数) のときエネ
ルギーバンドが q 個に分かれていることにあり、見ての通り至る所に入れ子構造がありフラクタ
ルとなっている。[12] 13
さらに弱磁場の極限を考えると (この弱磁場の極限では磁束当たりのプラケット数が非常に多く格子の効果が見えなくなり連続体が再現される。) φ = 1q ( q → ∞, φ → 0 ) のとき非常にバン
13 この構造がなぜ生じるかはあとで議論するとしてここではそれをまず認めてさきに進もう。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)16
ド幅が狭い (以下のスケーリング極限でもそのバンド幅は 0 のままでそれがランダウ縮退に対応する。) バンドが φ を変えたとき数本の直線として図に現れているのがわかる。その直線は n を自然数として En = const. + ∆nφ と書け定数をのぞいて Eφn ∼ ∆n となる。これは、バンド幅が非
常に狭いこととあわせて、弱磁場の極限での等間隔のエネルギーギャップをもつランダウ準位の形
成を示している。ここで更に有限系での状態数を数えてみよう。１辺 L の有限な２次元系を考えるとサイト数は L2 あり全一粒子状態も当然 L2 個ある。よって q 個のエネルギーバンドの領域は

L2 /q 個ずつの状態を含む。つまり弱磁場の極限でランダウ準位の縮退度は L2 /q となる。一方プ
ラケット当たりの磁束が 1/q だから系全体を貫く全磁束は Nφ = L2 /q となり、ランダウ準位の縮退度は系を貫く全磁束として与えられることとなる。このランダウ準位当たり (全磁束当たり) のNee
電子数 Ne 、ν = N= LN2 /qをランダウ準位の占有率と呼び、量子ホール効果で重要な量である。
φ

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)17

ホール伝導度とそのトポロジカルな意義

32

量子ホール効果は占有率 ν が特定の有理数 ν = p/q (q 奇数 ) のときのホール伝導度が σxy = ν ehとなり、ν を変えて実験したとき小さい q のところに平らな部分 (プラトー) が現れるというもの
2であり、σxy = ν eh という表式自体は乱れのない連続系の場合容易にしめせるものでそれほどおどろくべきものではない。驚くべきは ν を上記のマジックナンバーの近傍で変化させても σxy は変化せずプラトーをつくるという点にあり、乱れの効果の議論も本質的に重要である。ただここでは2

それには触れず、σxy = ν eh が ν = 整数の場合、ある種の位相幾何学的量として書き直せることを紹介したい。
なぜ物理量を不変量で書こうとするのか、その気持ちだけをここで述べよう。ある物理量が本質的に離散的な量 (たとえば何かの個数) で書けたとするとすると乱れの強さ、相互作用等を連続に変化させても離散量の方は連続に変化することはできない。唯一許される連続変化は変化しないこと、というわけである。14
なおここでは ν が整数の場合に限って議論し ν が分数の場合は後でこの場合に帰着させることを試みる [24]。

3.1

無限系 (バルク) におけるホール伝導度のトポロジカルな意味— 渦度、チャーン数 —無限系の場合にホール伝導度を久保公式から書き直すことは有名な TKNN の論文でおこなわれた。[16] 15 その結果をまず述べよう。
bulk
はフェル
フェルミエネルギーが下から j 番目のエネルギギャップにある時のホール伝導度 σxy`
ミエネルギー以下のエネルギーバンドのホール伝導度 σxyの和として次のようになる。

TKNN formula

bulk
σxy

=

j
∑

`
σxy

`=1
2

−

e 1
h 2πi

∫ ∫

`
σxy

=

~`
B

=

~`
rot A

~`
A

=

~ k ψ` ihψ ` |∇∑~ ` (~k)ψ ` (~k)∇ψ

=



j

2
TM
BZ

~`
dkx dky ẑ · Bjj

ここで ψ ` (~k)i は下から ` 番目のバンドの規格化されたブロッホ関数である。

この表式の意味は次節以降で説明するが、チャーン数と呼ばれる位相幾何学的な意味を持つ特徴的な整数であることを注意しておく。[16, 17, ?, 23, 18, 19]

14 当然どのくらい変化させても変化しないかという見積もりが重要であり、そこの見積もりをきちんとするのがむずかしい。これを定量的にしようとすれば、例えばエネルギーギャップのある場合に断熱近似を用いることが考えられる。
15 D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett 49 405 (1982).

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)183.1.1

断熱近似による TKNN 公式の導出

ホール伝導度を議論するために磁場に加えてさらに x 方向に電場 Ex をかけ y 方向の電流を計
1 ∂Ax
算してみよう。まず Maxwell の方程式よりスカラーポテンシャルがない場合 Ex = −でc ∂t
あることより、電場の効果を時間に依存するハミルトニアンとして取り込むことを考える。さらに(便宜上) パラメーター Φ を含む形にハミルトニアンを拡張しておく。これはいわゆるアハロノフ・
ボーム磁束に対応する。このときのハミルトニアンは次の形をとる。(波数の和は磁気ブリルアン∫d2 k
ゾーン 0 ≤ kx ≤ 2π/q, 0 ≤ ky ≤ 2π の上でとる。以下これを常に仮定する。 TM BZ (2π)
2 )
Φ 1
acEx
i2π
−i2π
t
Φ0 Ly + h.c.
Φ0H(t, Φ) = Tx e
+ Ty e∫d2 k=H̃(t, Φ, ~k)2
TM BZ (2π)∫
d2 k † ~c (k) H(t, Φ, ~k)c(~k)=
2
TM BZ (2π)
acEx
Φ 1H(t, Φ, ~k) = H 0 (kx + 2πt, ky − 2π
)
Φ0
Φ0 Ly
ここで y 方向の全電流演算子 Iy を次のように書こう。(Byers-Yang の公式とよばれる。)

Iy

=

e
∂H
i(Ty − Ty† ) = c= c∂Φ H(t, Φ)h̄∂Φ Φ=0Φ=0以下断熱近似の範囲で時間に依存する摂動論により y 方向の電流（電流演算子の期待値）を電場の効果を最低次まで計算する。
まず次の事実から確認しよう。一般に時間に依存するハミルトニアン H(t) の基底状態 |G(t)i はスナップショットハミルトニアンの規格直交化された固有状態 |α(t)i

H(t)|α(t)i = Eα |α(t)i, Eg ≤ Eα
を用いて

|haα |ġi| << |Eg − Eα |, α 6= gの範囲で|G(t)i1= eiγ e ih̄
∫ t

iγ

= −

∫ t

dt0 Eg (0|gi + ih̄∑α6=ghα|∂t gi|αi
Eα − Eg

dt0 hg|ġi0となる。1616 まず|G(t)iaα (0)

=
=

e

−i



1
h̄

Z t
0

dt0 Eg (t0 ) X
α

1
0

α=g
α 6= gaα (t)|α(t)i)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)19
まず１粒子ハミルトニアンを対角化するユニタリ行列 ψ を求めておく。

ψ † (~k)H(~k)ψ(~k) =H(~k)ψ ` (~k) =diag (E 1 (~k), · · · , E 1 (~k))
E ` (~k)ψ ` (~k)

ψ(~k) = (ψ 1 (~k), · · · , ψ q (~k))
これよりスナップショットの固有状態は一体の状態として（シングルスレーター行列式）次のよ
うにとれる。17と展開する。よって

|Ġi

=

1
−i
Eg
h̄
|Gi + eih̄hg| との内積をとって

Z t

1
dt0 Eg (t0 ) X `
−i
´
1
h̄
0
ȧα |αi + aα |α̇i =H|Gi = e
ih̄
α

Z t
0

dt0 Eg (t0 ) X Eααih̄aα |αiX
Eg
Eg
ag + ȧg +aα hg|α̇i =
|gi
ih̄
ih̄
α

|aα | << |ag |, α 6= g の成立する時間を考えると ȧg + ag hg|ġi ≈ 0 よって
Z t−
dt0 hg|ġi0ag = e= eiγhα|, α 6= g との内積をとると

X
EαEg
aα + ȧα +aα0 hα|α̇0 i =
aα
ih̄
ih̄
0
α

よって上と同じ時間においてはaα ≈ ih̄

ag hα|ġihα|ġi= ih̄eiγ
Eg − EαEg − Eα

これより求める表式が得られる。またこの近似の成立条件はこれより、|hα|ġi| << |Eg − Eα |となる。
17c̃† = c† ψ = c† (ψ 1 , · · · , ψ q )としてc† Hc =XE ` c̃`† c̃``

これら ψ 1 , · · · , ψ q から粒子数分だけ状態をピックアップしたものが固有状態となる。なお波数を固定した場合の一粒子
状態は
Y X †
(
cj α`j (~k))|0i
|αi =
`

j

と書け、この状態に列数がこの波数での占有数 M 、行数が q である行列 α を

α = (α1 , · · · , αM )と対応させると (α` は q 次のベクトル)、状態空間としての内積は M × M 次の行列式で与えられることに注意しよう。

hβ|αi = detM β † α量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)20

H(t, Φ)|α(t, Φ)i= Eα (t, Φ)|α(t, Φ)i∏∑ †=cj ψj` (~k, t, Φ)|0i|α(t, Φ)i

~
k,`

c†j

j

= c†j (kx , ky )acEx
Φ 1t, ky − 2π)ψ ` (t, Φ, ~k)Φ0Φ0 Ly= E0` (t, Φ, ~k)ψ ` (t, Φ, ~k)H(t, Φ, ~k)ψ ` (t, Φ, ~k)= H 0 (kx + 2πを満たすことに注意する。例えば基底状態は波数 ~k 及びバンドインデックス ` を E ` (~k) ≤ EF を満たすように選ぶ。また特に最後の式より

acEx
Φ 1
t, ky − 2π
)
Φ0
Φ0 Ly
Φ 1
acEx
t, ky − 2π)
E0` (kx + 2π
Φ0
Φ0 Ly

ψ ` (t, Φ, ~k) =ψ `0 (kx + 2π

E ` (t, Φ, ~k) =と書ける。ここでH 0 (~k)ψ `0 (~k)

= E0` (~k)ψ `0 (~k)

は外場の無い場合のブロッホ関数が満たす式である。
よって|∂t αi

=

)
(∑
)
0 (∑
∑∏
c†j ψj1 (~k, t, Φ) · · ·c†j ∂t ψj`d (~kd , t, Φ) · · · |0i~
kd ,`d ~
k,`

acEx
= 2π
Φ0
≡ 2π

j

j

0 (∑
∑∏

c†j ψj1 (~k, t, Φ)

)
···

(∑

j

~
kd `d ~k,`c†j ∂kx ψj`d (~kd , t, Φ))· · · |0ij

acEx|∂kx αiΦ0ここで積の 0 は ~kd , `d にだけ微分がかかりその他は |αi と同じものが現れることを意味する。最後の式は前式の略記である。( 微分は係数にのみ作用すると思える) これと全く平行に|∂Φ αi

=

)
(∑
)
0 (∑
∑∏
c†j ψj1 (~k, t, Φ) · · ·c†j ∂Φ ψj`d (~kd , t, Φ) · · · |0i~
kd ,`d ~
k,`

1 1
= −2π
Φ0 Ly
≡

−2π

j

j

0 (∑
∑∏
~
kd ,`d ~k,`c†j ψj1 (~k, t, Φ)

)
···

(∑

j

c†j ∂ky ψj`d (~kd , t, Φ))· · · |0ij

1 1|∂k αi
Φ0 Ly yここでも最後の式はその前の式の略記である。
次に以下の事実を確認しよう18hβ|∂Φ H|αi = (Eα − Eβ )hβ|∂Φ αi = (Eβ − Eα )h∂Φ β|αi, (β 6= α)
18 H(t, Φ)|α(t, Φ)i = E

α (t, Φ)|α(t, Φ)i より (∂Φ H)|αi + H|∂Φ αi = (∂Φ Eα )|αi + Eα |∂Φ αi よって β 6= α として

hβ|∂Φ H|αi = (Eα − Eβ )hβ|∂Φ αi

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)21
これより19 20

hIy i = hG|Iy |Gi∑ hg|∂Φ H|αihα|∂t gi − h∂t g|αihα|∂Φ H|gi
= cih̄
Eα − Eg
α6=g∑= cih̄
(−h∂Φ g|αihα|∂t gi + h∂t g|αihα|∂Φ gi)
α6=g

(
)
acEx
1 1 ∑
= (cih̄)(2πh∂kx g|αihα|∂ky gi − h∂ky g|αihα|∂kx gi
)(−2π
)
Φ0
Φ0 Ly
α6=g
(
)
e2 aEx ∑= −i2πh∂kx g|αihα|∂ky gi − h∂ky g|αihα|∂kx gi
h Ly
α6=g
(
)
2
e aEx
h∂kx g|∂ky gi − h∂ky g|∂kx gi= −i2πh Ly

また hβ(t, Φ)|H(t, Φ) = hβ(t, Φ)|Eβ (t, Φ) よりh∂Φ β|H + hβ|∂Φ H = h∂Φ β|Eβ + hβ|∂Φ Eβ
よって α 6= β としてh∂Φ β|H|αi = (Eβ − Eα )h∂Φ β|αi

またhα|∂Φ H|αi = ∂Φ EΦ (Feynmann)
19 hg|I |gi = 0y20 h∂ g|gi + hg|∂ gi = 0 を示せ。
kk

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)22
以下これを変形して2121 まず、
0 X
X † b
X Y
cj ψj d (kd )) · · · |0i(c†j ψj1 (k)) · · · (|∂kx gi =h∂kx g|∂ky gi =jj

kd ,bd k,b

XXX
m m0

k

X
X
X †
X †
0
h0|(
cj ψj∗1 ) · · · (cj ψj∗m ) · · · · (cj ψj1 ) · · · (cj ψjm ) · · · |0i
j

0

1
B
B
B
B
B
m B
B∗
B
X X
B
det
B
B
k m6=m0
B
B
B
m0 B
B∗
B
@

+

k

=

det diag

X Xk

第一項は m, kx

C
C
C
C “
C
C ψ1
C
C
C
A

det

m6=m0

↔ m0 , k

det

m0 ↓

0

ψ m −1···∂ky ψ m

1

..

0

0

ψ m +1

···

m0

1

.

···

1
∗

∂kx ψ m† ψ m

∗
1

···
..

···

∗

0

ψm † ψm∗∗∂kx ψ m† ∂ky ψ m1∗

ψ m † ∂ky ψ m

0

∗

···

∗
1

···

.

···

0

0

..

···

1

m
∂kx ψ m† ∂ky ψ mm

X X
k m6=m0

=

“

j

m

0

XX

j

1

ψ 1†
.
..
m−1†
ψ
∂kx ψ m†ψ m+1†
.
..

B
B
B
B
XXX
B
=
det
m→ B
B
0
k m m
B
B
@

=

j

∂kx ψ m† ψ m
0ψm † ψm−ψ m† ∂kx ψ m0ψm † ψm∂kx ψ m† ∂ky ψ m
00
ψ m † ∂ky ψ m

0∂kx ψ m† ∂ky ψ m
00
ψ m † ∂ky ψ m

1
!
0

+

!

···

”

XX

∂kx ψ m† ∂ky ψ m

m

k

+

.

XX
k

∂kx ψ m† ∂ky ψ mm

y の入れ換えで不変だから (ϕm† ψ m = hϕm |ψ m iの記法を用いる。)

h∂kx g|∂ky gi − h∂ky g|∂kx gi

=

XX
k

(∂kx ψ m† ∂ky ψ m − ∂ky ψ m† ∂kx ψ m )

m

Lx Ly

XZ

Lx Ly

XZ

Lx Ly

XZ

=

Lx Ly

XZ

=

hψ |∇k ψ b i

=

b

=

b

=

b

b

~`
A

` ~

d2 k
(h∂kx ψ ` |∂ky ψ ` i − h∂ky ψ ` |∂kx ψ ` i)
(2π)2
d2 k
(∂kx hψ ` |∂ky ψ ` i − ∂ky hψ ` |∂kx ψ ` i)
(2π)2
d2 k
(∂kx A`y − ∂ky A`x )
(2π)2
d2 k
~` )z
(rotk A
(2π)2

C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A

”

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)23

hIy i

∑ 1
e2
aEx Lxh2πi=∫~ ` )zd2 k (rotk A
TM BZ

`

= σyx Vx , (Vx = Ex aLx )∫e2 ∑ 1~ ` )z = −σxy=d2 k (rotk Ah
2πi TM BZ

σyx

`

~`
A

~ k ψ` i= hψ ` |∇これが求める式であった。

3.1.2

チャーン数と渦度、ディラックモノポールとのアナロジー

前節で与えられたホール伝導度の表式のトポロジカルな意味をここで詳しく議論しよう [16, 17,?, 23, 19]。前節の結果を次の様に書こう。
j, bulk
σxy

c`
~`
B
~`
A
|Ψi

j
∑
e2
= − C, C =
c`
h
`=0
∫
1
~k · B~`=dS
2πi TM BZ~`= rotk A~ k ψ` i= hψ ` |∇Ψ1q .  ∑..  ,= |Ψk |2 = 1


k=1
Ψq

この c` を ` 番目のバンドのチャーン数と呼ぶ。
最初に積分領域である磁気的ブリルアンゾーンは x 方向に周期 2π, y 方向に周期 2π/q と周期的でありトーラス T 2 と見なせることに注意しよう。 よって単純にストークスの定理を適用すると境界がないことより

cj = 0~ は定義されとなる これは正しくない。ブリルアンゾーン上で被積分関数に特異性があり全域で A
ないのである。
この特異性をていねいに議論しよう。[17, 19] 22
最初にブロッホ関数 |Ψ(~k)i は位相の自由度を持つことに注意する。つまり任意の関数 ξBA (~k)
に対して~|ΨB i = eiξBA (k) |ΨA i
これより

hIy i

=
=

σyx

=

X 1
e2
aEx Lxh2πibZ~ b )zd2 k (rotk A

TM BZ

σyx Vx , (Vx = Ex aLx )Z
e2 X 1~b )z = −σxyd2 k (rotk A
h b 2πi TM BZ

22 M. Kohmoto, Ann. Phys. (NY) 160,355 (1985). Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett. 71, 3697 (1993)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)24と２つのブロッホ関数 |ΨA,B i をの間の関係を定めれば~ k ΨB i = A~A + ∇~ k ξBA (~k)
A~B = hΨB |∇よって~ B = rot A~A
rot Aとチャーン数は不変である。これは磁気的ブリルアンゾーン上でのゲージ変換と対応する場の量の不変性と解釈できる。このゲージ変換の自由度 ( 結局、これはよく知られた線形方程式の固有ベク
トルの位相は確定しないことにこの自由度は起因する。) を用いて特異性なくチャーン数を計算することを考えよう。具体的に計算を実行するには何らかのゲージ（位相）を固定することが必要である。ここでは第一のゲージとしてある方法で得られた規格化されたブロッホ関数 |Ψ̄iに適当な位相因子をかけ、ブロッホ関数の第 q 成分が正の実数となるようにしよう。

|ΨA i= e−iArg Ψ̄q |Ψ̄i

ΨA
q

> 0

これは Ψ̄q のゼロ点以外であれば常に可能である。逆にいうと Ψ̄q のゼロ点Ψ̄q = 0ではこのゲージ A（ルール）ではブロッホ関数が一意に決まらない。そこでこのような点~k = ~ks , s = 1, · · · ,Ψ̄q (~ks ) = 0の近傍 Rs では別なゲージとして|ΨB i= e−iArg Ψ̄1 |Ψ̄i

ΨB
1

> 0

なるものをとることとしよう。(これらの近傍は Ψ̄q のゼロ点を１個だけ含むみ、Ψ̄1 のゼロ点は含まないように十分小さくとる。) この２つのゲージをつなぐゲージ変換は

ξBA = Im log

Ψ̄q
Ψ̄1

であり（Ψ̄1 , Ψ̄q のゼロ点以外で）定義されることとなる。これらの２つのゲージを使い磁気的ブリルアンゾーン TM BZ を次のように分割する。

R=

∪
i=1

Rs ,

TM BZ \R

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)25

0.8

0.8

0.6

0.6

»vq»0.4»v1»0.4

0.2

0.2

0

0
kx

ky

kx

ky

図 5: φ = 13 の場合の下から２番目のエネルギーバンドのブロッホ関数の振幅

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)26

|ψq |

|ψ1 |

kx

(0,2π)

kx

(0,0)

kx

図 6: φ = 13 の場合の下から２番目のエネルギーバンドのブロッホ関数の振幅と相対位相から定まる渦度(2π/3,2π)

ky

ky

ky

ψq
ξ = Arg ψ
1(2π/3,0)量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)27

0.8

0.8

0.6
»vq»0.4

0.6»v1»0.4

0.2

0.2

0

0
ky
kx

ky
kx

図 7: φ = 25 の場合の下から 1 番目のエネルギーバンドのブロッホ関数の振幅

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)28

|ψ1 |

|ψq |

ψq
ξ = Arg ψ
1(0,2π)kykykx(2π/5,2π)

ky

kx

(0,0)

kx

図 8: φ = 25 の場合の下から 1 番目のエネルギーバンドのブロッホ関数の振幅と相対位相から定まる渦度(2π/5,0)量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)29
その後、それぞれの領域でストークスの定理を使うこととするよって
∫
∫
1
cj =
d2 k (rot AB )z +d2 k (rot AA )z
2πi R
TM BZ \RI
I
1~A=d~k · A~B +d~k · A2πi ∂R∂(T \R)
(
)
I
1 ∑
~
~
B
A
~
=
dk · A − A
2πi s ∂Rs
∑ 1 I=
d~k · ξ~BA
2π
∂R
s
s
∑ 1 I
=
d~k · Im log Ψq (~k)
2π ∂Rs
s
∑
Ns
=
s

Ns

=

1
2π

I
d~k · Im log Ψq (~k)
∂Rs

となる。
つまりチャーン数はブロッホ関数 (の任意) のある成分のゼロ点が定義するゼロ点 (s) まわりの整数である渦度 Ns の和として与えられることがわかった。
これは数学的にはこの状況はファイバーバンドルとして記述されることを意味する。よく知られた類似の例としは Dirac の単磁極の例がある [29, 30]。このアナロジーによれば、ホール伝導度の量子化は単磁極の量子化のアナログとも考えられる。
これを復習してみよう。極座標表示された次の２つの異なるベクトルポテンシャルを考える。

~A
A
~B
A

1 − cos θ
1~eφ = g(−y, x), ~eφ = (− sin φ, cos φ)r sin θr(r + z)1 − cos θ1= −g~eφ = −g(−y, x)r sin θr(r − z)

= g

これらは

~A − A~B
A= g

2
1 ∂ξBA~eφ , =~eφ ,r sin θr sin θ ∂φ

~ BA
= ∇ξ
ξBA

= 2gφ

と書ける。これらは ξBA によるゲージ変換で結ばれているためその磁場は等しく

~
B

=
=

~ A = rot A
~B
rot A
~r
r3

となり原点に磁場の湧き出しがあることとなる (磁気単極子)。ただし AA , AB の定義域について考えてみると分母がゼロとなるところでは定義されていないことから{~ A : z 軸負方向をのぞく, (cos θ 6= −1)
A~ B : z 軸正方向をのぞく, (cos θ 6= +1)
A量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)30となっていることに注意しよう。
（これらの特異点はストリングと呼ばれることがある。）次に原点を含む閉曲面上（例えば単位球面上）で全磁束を計算することを考えると∫~ ·B~ = 4πgΦtotal =dSS~ の表式よりすぐにわかる。一方これをストークスの定理を用いてベクトルポテンシャとなるのは B
ルから計算してみよう。その際、上記のベクトルポテンシャルの特異性に注意すると球面 A を北半球 SA 、 南半球 SB 、に分けそれぞれで異なるゲージを用いて計算することが必要となる。
∫
∫
∫
~ ·B
~ =
~ ·B
~+
~ ·B
~
Φtotal =
dS
dS
dS

∫S

A
B
∫
A
~
~
~
~B
=
dS · rot A +dS · rot A
A
B
∫
∫
A
~
~B
=
d~r · A +d~r · A∂SA∂SB∫
~A − A~ B ), (Ceq = ∂CA : 赤道, θ = 0)=
d~r · (A

∫

Ceq

∫ 2π
~ BA =
d~r · ∇ξ=Ceq

dφ 2g = 4πg0つまり、ベクトルポテンシャルに特異性が（必然的に）ある場合、全系で一度に積分定理を使うのではなく適宜領域をパッチにわけそれぞれの領域ごとに適用すればよいことのである。

3.2

境界のある系でのゲージ不変性による Laughlin の議論

ここでは Lauglin によるホール伝導度の量子化に関するゲージ不変性の議論を紹介したい [7, 8]。
現実のサンプルには必ず境界があることを考え図のようなシリンダー状のいわゆる Laughlin の配置を考えよう。ここで Φ はシリンダーを貫くアハロノフ・ボーム磁束である。

B

Φ

Iy

Vx

図 9: Laughlin の配置。シリンダー状の系に幅をよぎる方向に電圧をかけ、輪の方向の電流を測定する

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)31
この配置で Laughlin は次のような議論を行った。Φ を断熱的に ∆Φ だけ変化させる。その過程で系にした仕事量 ∆E を計算しよう。そのときシリンダーの輪方向の電流 Iy はいわゆる Byers-Yangの公式 [25] により、

Iy = c∆E∆Φとなる。23
このとき ∆Φ = Φ0 Φ0 = hce は磁束量子である場合を考える。(系が十分大きいとき磁束単位の変化は境界条件の変化とみなせるので微小変化と考えられ微分に置き換えられる) アハロノフ・
ボーム磁束を磁束量子変化させた場合、物理系は（大きな）ゲージ変換によりもとの状態に戻る。
よってこのあいだになされた仕事量は、シリンダーの一方の端から他端へ 何個か (整数 n 個) 電子が移動されたことによると考えられる。そこでこの両端の間の電位差を Vx とすると ∆E = neVxとなる。これらを代入すれば

e2
Vxh
これが Laughlin による整数量子ホール効果の量子化に関する説明である。[7] これは非常に強力な議論で乱れのある場合等、種々の状況に拡張可能である汎用の考察である。ただし「ここでの n
Iy = nは整数ではあるがいくつであるかはこの議論からは定められない」点にその最大の弱点がある。
さらにこの議論は分数量子ホール効果の場合にも拡張されそこでの有効的な分数電荷の存在と基底状態の多重性を意味することとなる。(講義では時間があれば議論する予定)
実はこの Laughlin の議論では不定であった整数 n にはバルク（無限系）の場合とは全く異なる
位相幾何学的意味があるのである。それについて次に紹介したい [18]。

3.3境界を持つ系におけるホール伝導度のトポロジカルな意味— リーマン面上でのエッジ状態の回転数と交点数 —[18]配置としては Laughlin のものと同じシリンダー状の系を考える。具体的には図のような系を考え y 方向へは周期的境界条件をとる。ゲージとしては、シリンダーの両端をつなぐ方向へ増加す
るランダウゲージで考える。

23 当面のところこれをまず認めよう。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)32

Φ

Iy

Vx

(1,Ly )

(1,1)

(Lx-1,L y )(Lx -1,1)

図 10: 格子上での境界のある系、Laughlin の配置。y 方向に Ly サイト、x 方向に Lx − 1 サイトとし、y 方向には周期的境界条件をおく。
次の数節は少し話が細かく、長くなる。そこで以下具体的に議論するまえに議論の大筋を説明しておこう。
このゲージのもとで系はシリンダーの輪の方向には最小の並進で不変であることに注意しよう。
これより２次元の問題は、シリンダーの輪の方向の波数 ky ごとの１次元系に帰着することに注意する。さらにこの１次元系は両端をもつのでその両端に局在した束縛状態をもつ場合がある。この束縛状態が２次元系の言葉では量子ホール効果においてエッジ状態と呼 ばれるものである。その束縛状態の振る舞いがホール伝導度、つまり Laughlin の議論の未定の整数 n を定めるわけだが、その振る舞いはこの１次元系の複素エネルギー面を考えるとわかりやすい。(量子力学で習う

Levinson の定理を思い出してもらうといいかもしれない。束縛状態（エッジ状態）と散乱状態（バルク状態）はお互いに関連しており、他の有名な応用としては Friedel の総和則があるのはよく知られている。) この複素エネルギー面はやや複雑でエネルギーバンドが q 個 (φ = p/q の時を考えて。) あることに対応して g = q − 1 個の穴をもつ浮輪となる。(図 11) これはリーマン面と呼ばれる。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)33

R

+

Ι1

Ιg

α1

αg
R

-

図 11: 磁場中の電子系の複素エネルギー面としてのリーマン面 Σg 。穴の数 g = q − 1 はエネル
ギーギャップの個数に等しく、単位格子あたりの磁束は φΨ0 = pq Ψ0 である。
この g 個の穴が q − 1 個のエネルギーギャップに対応する。この複素エネルギー面上で束縛状態(エッジ状態) のエネルギーは g 個存在することとなる。以上はシリンダーの輪方向の波数 ky を固定した１次元系の議論である。次に、波数 ky を 0 から 2π まで変化させることを考え２次元の問題を議論しよう。すると 0 と 2π は同一視すべきであることを考えると g 個のエッジ状態のエネ
ルギーはこの浮輪上で閉曲線をつくることになる。復習すると浮輪の穴はエネルギーギャップ (下から j 番目のエネルギーギャップとしよう) に対応していたわけだがその穴のまわりをエッジ状態のエネルギーが何回か (Ij 回) まわるわけである。実はここで与えた回転数 Ij がフェルミエネル
ギーがそのエネルギーギャップにある状況における Laughlin の未定整数 n を与えることとなるのである。[18, 19] 24


境界を持つ系でのホール伝導度のトポロジカルな表式

σxyedge = −Ij

3.3.1

e2
h



転送行列とエッジ状態

ハミルトニアンはバルクの場合と同じ次のものをとる。境界条件は y 方向には aLy の長さで周期的 x 方向には a(Lx − 2) の長さで固定端の境界条件をおく (サイト数としては Lx − 1 個。)
配置としては Laughlin のものと同じシリンダー状の系を考える。具体的には図のような系を考え y 方向へは周期的境界条件をとる。ゲージとしては、シリンダーの両端をつなぐ方向へ増加す
るランダウゲージで考える。

Φ 1
i2π
∑ †
∑ †
Φ
0 Ly
cm+1,n cm,n + e
cm,n+1 ei2πφm cm,nH(Φ) =m,nm,n現在の系は y 方向にだけ周期的であることに注意して y 方向には運動量表示とした演算子 cm (~k)
を導入しよう。

∑
1eiky n cm (ky ), (ny = 1, · · · , Ly )cm,n= √
Ly ~ny
ky =2π Ly

24 Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett. 71 3697 (1993) ,Phys. Rev. B48 11851 (1993)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)34
すると

H

=

∑

H(ky , Φ)ky

H(ky , Φ)

=

−t

L∑
x −2

[c†m+1 (ky )cm (ky ) + c†m (ky )cm+1 (ky )]

m=1

−2t

L∑
x −1

cos(ky − 2πm=1Φ
− 2πφm)c†m (ky )cm (ky ).
Φ0 Ly

この系はをパラメターとする１次元系のハミルトニアンの和であるから、１次元系の一粒子シュ
レディンガー方程式

H(ky , Φ)|Ψ(ky , Φ)i|Ψ(ky , Φ)i= E(ky , Φ)|Ψ(ky , Φ)i∑=Ψm (ky , Φ)c†m (ky )|0imをまず考えよう。ここでΨm (ky , Φ) = Ψ0m (ky − 2πΦ)Φ0と Φ 依存性は ky 依存性に吸収できることに注意しよう。まずこの波動関数 Ψ0m は次の関係式を満たすことに注意しよう。

−t(Ψ0m+1 (ky ) + Ψ0m−1 (ky )) − 2t cos(ky − 2πφm)Ψ0m (ky ) = EΨ0m (ky )これを  = Et として、いわゆる転送行列の形で次のように書こう。
))((
Ψ0m+1 (, ky )
Ψ0m (, ky )= M̃m (, ky )
Ψ0m (, ky )
Ψ0m−1 (, ky )(M̃m (, ky ) =− − 2 cos(ky − 2πφm)
1

−1
0

)

これを繰り返しつかうことで (添え字の 0 を省略する)
(
)
(
)
(
)l
ΨLx +1 ()Ψ1= M (),ΨLx ()Ψ0(
M () = M̃q ()M̃q−1 () · · · M̃2 ()M̃1 () =M11 () M12 ()M21 () M22 ()),を得る。ここで M11 (), M12 (), M21 (), M22 () は  のそれぞれ q, q − 1,q − 1 q − 2 次の多項式である。
この転送行列及び境界条件から系の波動関数、スペクトルが求まることとなる。( この１次元系は格子上の Hill 方程式と呼ばれ Strum-Liouville 型の微分方程式の一般論の格子アナログが古くからある（例えば戸田盛和著「非線形格子」等) ここでの１次元系での議論はその結果を使うこととなる。ここで我々の問題とする点はそれらがどのように２次元の物理と関連するかにある。

[26, 27, 28] )付加的な条件として、ここで系の大きさに対して整合性のLx − 1 = q`, `|(Lx − 1)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)35を要求しよう。
このとき、系のスペクトルは境界条件

Ψ0 = ΨLx = 0から定まることとなる。規格化の条件として

Ψ1 = 1をとれば

ΨLx = M21 () = 0
は Lx − 1 次の方程式の解であり Lx − 1 個の実根を持つ。これがこの１次元系のスペクトルを与えることとなる。(実根であることはそれらがエルミート行列の固有値であることから保証される。)
まず

M12 () = 0の解 µj , j = 1, · · · , q − 1 = g が ΨLx = M21 () = 0 を満たすことは三角行列の冪乗は三角行列であることからわかる。これらがすべて実であることは g = q − 1 サイトの系の固有値であることが保証する。実はこの g = q − 1 個がエッジ状態のエネルギーである。
転送行列より k を一般の整数として

Ψqk+1 (µj ) = [M11 (µj )]kとなる。これより一般には |M11 (µj )| 6= 1 であるから|M11 (µj )| < 1 :x ≈ 1 に局在したエッジ状態|M11 (µj )| > 1 :x ≈ Lx − 1: (左の境界)に局在したエッジ状態: (右の境界).

であることがわかる。(|M11 (µj )| 6= 1 を満たす状態は後で判るようにバルク状態と縮退した状態
であり、トポロジカルな議論においてもバルクとエッジの議論をつなぐ重要な役割を持つ。)

3.3.2

転送行列とバルク状態

転送行列を使って境界が無い場合つまりバルクの系について議論しよう。
境界の無い場合この１次元系は周期 q を持つ周期系であるからブロッホの定理により

Ψm+q () = ρ()Ψm (), |ρ()| = 1.と書ける。これは

(

Ψq+1
Ψq

)

(
=M

Ψq+1
Ψq

)

(
=ρ

Ψ1
Ψ0

)

つまり ρ は転送行列 M の固有値であることを意味する。これから (det M̃m () = 1 がすべての mで成立するのでdet M () = M11 ()M22 () − M12 ()M21 () = 1,)
ρ2 − ∆ρ + 1 = 0, ∆ = TrM = M11 + M22

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)36を満たす。二次方程式の議論から |ρ| = 1 はエネルギー  を実として

(

∆()

)2

≤4

と同値で、これがエネルギーバンドのエネルギーを与える式となることを注意しよう。一般にエネ
ルギーバンドは q 個あるから∆()2 − 4 = ( − λ1 )( − λ2 ) · · · ( − λ2q−1 )( − λ2q )とバンド端のエネルギー λj , (λi < λj , i < j) を用いて因数分解できることに注意しよう。よって

ρ(z) =√
1(∆(z) − ∆(z)2 − 4)2

ここで分枝を定めるためにエネルギー  を解析接続して複素エネルギー z を導入した。
次にバルクの系に対しても波動関数は境界を持つ場合と同様の規格化条件

Ψ1 = 1を要求すると転送行列の固有ベクトルから次のように Ψq は定まる。25

Ψq (z)ρ(z)M21 (z)ρ(z) − M22 (z)√M11 + M22 − ∆2 − 4√
M21
M11 − M22 − ∆2 − 4==

ここで波動関数は複素エネルギー面上で定義されていることに注意しよう。
この複素エネルギー面（リーマン面）についてここでしばらく議論しよう。
次の複素関数のリーマン面について考えよう。
√√
f (z) = ∆(z)2 − 4 =(z − λ1 )(z − λ2 ) · · · (z − λ2q−1 )(z − λ2q )まず、図の様に g = q − 1 個のブランチカットを[λ1 , λ2 ], · · · , [λ2q−1 , λ2q ]を入れた R+ , R− ２枚のシート（リーマン球：無限遠点を同一視した複素平面）を用意する。
次にそれらをはりあわせてリーマン面を構成する。その際ブランチカットにおける√z∞ のとき ∆2 − 4 > 0 と向きに注意する。（図を参照） ただし分枝は R+ 上でとろう。すると下から j 番目のエネルギーギャップのエネルギー内のエネルギー  に関してはα(−1)j√∆2 − 4 > 0, z ∈ Rα , (α = ±)

となる。
25

„

M11 − ρM21より

Ψ0 (z) =M12
M22 − ρ

«„

Ψ1
Ψ0

«

= ~0

M21 (z)M11 (z) − ρ(z)=
ρ(z) − M22 (z)M12 (z)量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)37

∞

+
R

R

λ3

λ2

λ4

λ5

λ1

λ3

λ2

λ6

∞

-

λ4

λ5

λ1

λ6

図 12: ステップ 1：実軸にブランチカットをいれる

∞

+
R

λ2

λ4

λ3

λ1

∞

R

λ5

λ2
λ6

λ4

λ3

λ5

λ1

図 13: ステップ 2：実軸にブランチカットをを切り開く

R-

R

R+
R

+

図 14: ステップ 3：少し変形する

λ6

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)38

R

+

R-

図 15: ステップ 4：相対的な配置をかえ、張り合わせよう。

labelfig:step4+
RR
図 16: ステップ 5：出来上がり：ギャップが２個あるとき穴が２個できた

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)39
この数学的事実を現在の物理的状況の下でまとめると

1 次元系のリーマン面

複素エネルギー面↔

種数（穴の数）g のリーマン面Σg

q 個のエネルギーバンド ↔

q 個のブランチカット(q 個)(: リーマン面上くびれの部分)

g = q − 1 個のエネルギーギャップ ↔

g = q − 1 個のリーマン面上の穴と対応することになる。

3.3.3

リーマン面上のエッジ状態

前節での議論より、波動関数はそのエネルギーに関してリーマン面 Σq 上で定義されていると考えられることがわかった。
ここでエッジ状態のエネルギー µj に関しては

M21 (µj ) = 0
であるから、det M = 1 より

M11 M22 = 1, ∆2 − 4 = (M11 − M22 )2
さらに ∆() の最高次の係数を考えて∆ = M11 + M22{≥ +2 j：偶数≤ −2 j：奇数

よってこれからリーマン面上のブロッホ関数のエッジ状態のエネルギー近傍の振る舞いは26

Ψq (µj + δ) ≈M11 + M22 − α(−1)j |M11 − M22 |M21 , (µj ∈ Rα ),M11 − M22 − α(−1)j |M11 − M22 |この分母をエッジ状態のエネルギー近傍で考えよう。まず j が偶数の場合 M11 + M22 ≥ 0 であるから M11 M22 = 1 より

M11 − M22 − α|M11 − M22 |{M11 − M22 − α(M22 − M11 ) 左の境界に局在 |M11 | ≤ 1 : (M22 ≥ M11 )=M11 − M22 − α(M11 − M22 ) 右の境界に局在 |M11 | ≥ 1 : (M11 ≥ M22 )より

M11 − M22

− α|M11 − M22 |≈ 0 (リニアにゼロとなる),

26



{

左の境界に局在 : α = − の時
右の境界に局在 : α = + の時

q∆(µj )2 − 4 = α(−1)j |M11 − M22 |量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)40
つぎに j が奇数の場合 M11 + M22 ≤ 0 であるから M11 M22 = 1 より

M11 − M22 + α|M11 − M22 |{M11 − M22 + α(M11 − M22 ) 左の境界に局在 |M11 | ≤ 1 : (M11 ≥ M22 )=M11 − M22 + α(M22 − M11 ) 右の境界に局在 |M11 | ≥ 1 : (M22 ≥ M11 )より

M11 − M22

+ α|M11 − M22 |{≈ 0 (リニアにゼロとなる),

左の境界に局在 : α = − の時
右の境界に局在 : α = + の時

つまり j の偶奇によらず、Ψq (µj ) の上記の表式の分母はエッジ状態が左の境界に局在している時は α = − の時にまたは右の境界に局在しているときは α = + の時にリニアにゼロとなることがわかる。ここで M21 () は µj でリニアにゼロとなるから Ψq はリーマン面上片方のシート上のエッ
ジ状態のエネルギーでのみゼロとなり、つまりエッジ状態の境界条件をみたし (Ψq = ρΨ0 ) そのときのエッジ状態のエネルギーのシートとエッジ状態の局在している空間的位置が対応することがわかる。
これらの対応をまとめると

ブロッホ状態のリーマン面とエッジ状態

エッジ状態は左の境界に局在する↔

Ψq (z) は R+ 上 (z = µj ) で零点を持つエッジ状態は右の境界に局在する↔

Ψq (z) は R− 上 (z = µj ) で零点を持つエネルギーバンド↔

ブランチカット(q 個)エネルギーギャップ(: リーマン面上のくびれ)↔

リーマン面上の穴(g = q − 1 個)
つまり複素エネルギー面としてのリーマン面上のブロッホ関数のゼロ点をみればエッジ状態の空間的な情報がえられることとがわかった [18]。

3.3.4

リーマン面上の回転数、交点数と Laughlin の議論

前節の議論はすべて y 方向の波数 ky を固定した１次元系のものであったがここでそれを２次元の問題へ適用しよう。まず、ky を変化させても１次元系のエネルギーギャップは閉じないものとしよう。つまり２次元の問題として安定なエネルギーギャップの存在を仮定しよう。( これが閉じる
場合リーマン面にトポロジカルチェンジがおきるわけで、そこでは量子相転移が起こり、後述する

Dirac Fermion に有効的に現れることとなる。) この仮定のもとでは各波数でのリーマン面のトポ
ロジカルな構造は不変であることに注意し、それらを同一視しよう。さらに波数 ky = 0 と 2π は同一視されるから（ブリルアンゾーン）束縛状態 (エッジ状態) の個数だけあるエッジ状態のエネ
ルギーを与えるゼロ点 µj はリーマン面上で向きのついた閉ループ

Cj : {z = µj (ky )|ky ∈ [0, 2π]}

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)41を作ることとなる。一般には、これらの閉ループはリーマン面上の穴の周りを数回回転し、その符号をつけた回転数 Ij が定義されることとなる。
ここでいくつか具体的な計算例をしめそう。（図参照）(a):p= 2,q= 7 ; r=1.0

3.0

2.0

Energy

1.0

0.0

-1.0

-2.0

-3.0

0.0

ky

2π

図 17: φ = 27 の場合のエネルギーバンド (斜線の領域) とエッジ状態のエネルギー ( 実線：右端に局在したエッジ状態、破線：左端に局在したエッジ状態)。エッジ状態が作る閉曲線のリーマン面
上での交点数は下のエネルギーギャップから順に 1 である。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)42(b):

p= 3,q= 7 ; r=1.0

3.0

2.0

Energy

1.0

0.0

-1.0

-2.0

-3.0

0.0

ky

2π

図 18: φ = 37 の場合のエネルギーバンド (斜線の領域) とエッジ状態のエネルギー ( 実線：右端に局在したエッジ状態、破線：左端に局在したエッジ状態)。エッジ状態が作る閉曲線のリーマン面
上での交点数は下のエネルギーギャップから順に −3, 1, −2, 2, −1, 3 である。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)43(c):

p= 2,q= 5 ; r=1.0

3.0

2.0

Energy

1.0

0.0

-1.0

-2.0

-3.0

0.0

ky

2π

図 19: φ = 25 の場合のエネルギーバンド (斜線の領域) とエッジ状態のエネルギー ( 実線：右端に局在したエッジ状態、破線：左端に局在したエッジ状態)。エッジ状態が作る閉曲線のリーマン面
上での交点数は下のエネルギーギャップから順に −2, 3, 1, −1, −3, 2 である。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)44(d):

p= 1,q= 6 ; r=1.0

3.0

2.0

Energy

1.0

0.0

-1.0

-2.0

-3.0

0.0

ky

2π

図 20: φ = 16 の場合のエネルギーバンド (斜線の領域) とエッジ状態のエネルギー ( 実線：右端に局在したエッジ状態、破線：左端に局在したエッジ状態)。エッジ状態が作る閉曲線のリーマン面
上での交点数は下のエネルギーギャップから順に 1, 2, 不定, −2, −1 である。この場合、ギャップが途中で閉じるトポロジカルチェンジが起きる例である。
図中では各波数 ky ごとに複素エネルギー面としてのリーマン面 Σg (ky ) を考える。
そのときの安定なギャップの数が g = q − 1 で、図で斜線で示した q 個の領域がエネ
ルギーバンド、その間の領域がエネルギーギャップである。そのエネルギーギャップの中の実線、及び点線がエッジ状態のエネルギー µj 、すなわちブロッホ関数 Ψq のゼロ点で実線、点線はそのゼロ点がリーマン面 Σg 上 R+ , R− にあること、つまりエッジ

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)45
状態が左端、または右端に局在していることを意味する。
一般的な状況にかえって、リーマン面上の基本的な閉ループ

αj , j = 1, · · · , q

R

+

Ι1
α1

Ιg
αg

R

-

図 21: リーマン面上の閉曲線を用いてブッロホ関数のゼロ点（エッジ状態のエネルギー）の回転数はエネルギーギャップごとに定義されるこの曲線 Cj と標準的な曲線 αj との交点数となることも見て取れるであろう [27]。

Ij = I(αj , Cj )なお交点数については曲線間の交点ごとに図 22 のように向きにより符号をつけた交点数を定義
し、曲線 A, B 間の交点数 I(A, B) はその和と定義される。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)46

B

B

A

A

I(A,B) = -1

I(A,B) = +1

A
B
-1

-1
+1

I(A,B) = -1+1-1=-1
図 22: 曲線間の符号付き交点数
ここまでは数学の話だが、実は Laughlin の議論を用いるとこれが量子化されたホール伝導度となることがわかる。
これを次に説明しよう。
図の様にフェルミエネルギーがバルクのエネルギーギャップの中にある場合を考えよう。また y方向の系の大きさ Ly も有限であることを思い出しすと波数 ky が離散的となる。さらに波数とAharonov-Bohm 磁束 Φ は
ky + 2πΦΦ0と結合し離散化された波数は

ky = 2π

整数
Ly量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)47

Φ=0

Φ = Φ0EFEF

図 23: Laughlin の議論とエッジ状態、リーマン面上のゼロ点の移動の関係
であることに注意すれば、 Aharonov-Bohm 磁束 Φ を Φ0 だけ変化させたとき一粒子状態全体は不変であることはすぐわかる。
特に図のようにフェルミエネルギーがギャップ内にある場合、図で黒丸で示したエッジ状態が占有されていることとなる。そこで Aharonov-Bohm 磁束 Φ を Φ0 だけ断熱的に増加させると、マクロな系では左右のエッジ状態間の行列要素は系の大きさに関して指数関数的に小さいのでその間での遷移は起こらないと考えてよい。よってこの過程の終状態としては下図の様な占有状態となる。ここでこの過程の前後、つまり図の左右を比べると、エネルギーバンド内の状態（バルク状態）はすべて元の状態に戻ったがエッジ状態は一つだけ玉突き式にずれた状態となっているのがわかるだろう。ここで与えられる状態の変化の個数がこの過程により両境界間を左から右へ移動した電子の数であり、Laughlin の議論で不定であった整数である。またリーマン面上のブロッホ関数のゼロ点とエッジ状態の対応からこの整数はエッジ状態の作る閉曲線の回転数となる！
つまり

ホール伝導度のエッジ状態によるトポロジカルな表式

フェルミエネルギーが下から j 番目のエネルギーギャップにあるとき複素エネルギー面としてのしてのしてのブロッホ関数のゼロ点の作る閉曲線のリーマン面上の回転数（もしくは符号付き交点数）をもちいて、ホール伝導度は次のように与えられる [18]。
j, edge
σxy
=−



e2
I(Cj )h量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)48

3.4

２つの位相不変量: — バルクかエッジか —ここまでの議論でフェルミエネルギーが下から j 番目のエネルギーギャップの中にある場合系のホール伝導度に対して２つのトポロジカルな表式が与えられたこととなる。
j, bulkσxyj, edge
σxy

= −
= −

e2
C,
h

C=

j
∑

c`

`=0

e2
I(Cj )h

この節ではこの２つの表式の間の関係を考えよう。チャーン数の位相幾何学的意味を議論した際用いたゲージによると Ψq のゼロ点周りの渦度の和としてチャーン数が与えられたことを思い出そう。転送行列の議論では規格化しない波動関数を常に扱っていたことに注意し、

Ψq = 0はエッジ状態を定義したことを思い出そう。また x 方向の波数 kx はブロッホの定理から

ρ = eiqkxと対応し、バンド端の条件∆ = ±2

q=3

q=3

M [
G

kx

E

G

G

l

l

l

M o[

M [

h

kx

kx

0

ky

2π

0

ky

2π

図 24: エッジ状態とバルクの関係。ブランチカットの領域は x 方向の波数 kx でパラメトライズ
すると円となる ( kx の周期性 )。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)49

Q

M

b v

G b W

P

M

b v

G b W

図 25: 図 24 のチューブの領域は ky = 0, 2π を同一視する事でトーラスとなる（磁気的ブリルア
ンゾーン)。さらにエッジ状態は概念的にはエネルギーバンドからなるトーラスをつなぐ閉曲線となる。
は ρ = 12 (∆ −√∆2 − 4) より
kx = 0, 2π/qと対応する。つまり概念的には前節で示したエネルギーバンドの領域はブリルアンゾーンがトーラスであることに対応して図のような筒状の領域と考えられ ky = 0, 2π を同一視することでトーラスとなる。これより、チャーン数に寄与するブロッホ関数のゼロ点はバンド端のみに存在し、具体的にはエッジ状態がエネルギーバンドに縮退する点であたえられることとなる。エネルギーバンドの上端と下端からの寄与を少していねいに調べると下から j 番目のエネルギーバンドのチャーン
数 cj と j 番目と j − 1 番目のエッジ状態を与えるブロッホ関数のゼロ点の回転数の間に

cj = I(Cj ) − I(Cj−1 )という関係式が成り立つことがわかる。
（微積分の基本定理
よって (I(C0 ) = 0 に注意して)∫badx f 0 (x) = f (b) − f (a) のアナログ)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)50
μ ( k)y
j

@¶
E

Gb W

Gb W

j

+1

j

G

M b v

l

M

[ o

-1

E
@¶

Gb W

Gb W
j-1

μ ( k)y

M b v

j-1

ky

図 26: エッジ状態がエネルギーバンドに接するところでチャーン数を与える渦を与える。エネル
ギーバンドの上端、下端での接点で波動関数を展開すれば前節で説明したワインディング数 (交点数) とチャーン数の関係が与えられる。



エッジとバルクj,bulk
σxy

= −

)
j
j (
e2 ∑
e2 ∑
c` = −
I(Cj ) − I(Cj−1 )
h
h
`=1

= −



`=1

2

e
I(C` )
hj,edge= σxy

すなわち二つのトポロジカルな整数は等しい。つまりホール伝導度はバルクで考えてもエッジで考えても等しいこととなる [19]。
量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)51

分数と整数

4

以上整数量子ホール効果に関する位相幾何学的記述について説明したきたが、この節で分数量子ホール効果との関連を説明したい。本質的には分数量子ホール効果を整数量子ホール効果に帰着させることを試みる。その過程でいくつかの重要な概念を学ぶこととなる。

4.1

Berry Phase

磁場中の運動に典型的に現れる波動関数の位相の重要性は Berry の断熱過程における波動関数の位相の解析をきっかけとして「幾何学的位相」として重要な概念となった。[31, 32, 35, 36] この
幾何学的位相についてここで簡単にまとめておきたい。
~ に依存するとしよう。
まず、ハミルトニアンがあるパラメター R~
H = H(R)~ も時間依存性を持ち得るとして各時間ごとの（スナップショット）ハミルト
一方各パラメター R
ニアンの固有値問題を~~ = En (R)|n(~~
H(R)|n(R)iR)iとする。このとき初期条件~ = 0))i|Ψ(t = 0)i = |n(R(tを満たすシュレディンガー方程式の解 |ψi はすべての時間で En が離散スペクトルに属しており、
ハミルトニアンの時間依存性が十分ゆっくりしている場合には断熱定理により、~~
H(R)|Ψi= En (R)|Ψiをみたす。よって縮退のない場合~|Ψi = eiθ |n(R)iと位相のみ変化しうることとなる。この位相に重要な物理的意味の存在することを Berry は指摘
˙ = H|Ψi に代入すれば27したのである。この表式をシュレディンガー方程式 ih̄|Ψi

∫
i
dt En
−
~
= e h̄
eiγ |n(R)∫~ · hn|∇ni~= i dR|Ψiγ

この γ を Berry Phase といい、幾何学的位相の典型例である。28
27

θ

„
«
ih̄ iθ̇|ni + |ṅi=−ih̄θ̇ + ih̄h|ṅi

=

=
=

i

Z

i

Z

dt hn|ṅi −1h̄

En |ni
En
Z

dt En
Z
1
~ · hn|∇ni
~
dR
−
dt En
h̄

28 M.V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)52~ における電子系をベクトルポテンシャル
これを磁場中の電子の運動に適用してみよう。空間 R~
中で断熱的に移動させることを考えよう。まず R 周りの物理系のハミルトニアンとしてe~~H(~
p + A,~r − R(t))
cを考える。そこでまずベクトルポテンシャルのない場合の固有値問題が解けているとして~ 0 (R)i~ = En |n0 (R)i~H(~p, ~r − R)|n
~ に対するスナップショッとするとベクトルポテンシャルのある場合のハミルトニアン H(p + ec A)
トの固有値問題e~~ = En |n(R)i~
H(p + A)|n(
R)i
c
の解は

e
−i
~ = e h̄c|n(R)iとなる。29 よって30

∫ ~r
~
R

~ r)
d~r · A(~~|n0 (R)i∫= −~ · hn|∇
~ Ri
dR
∫
e
~ · A(~ R)~ + hn0 |∇~ R n0 i
= −i
dR
h̄c

iγ

ベクトルポテンシャルの存在により

e

−i

2π
Φ0

∫
~ · A(~ R)~
dR~ が閉曲線 ∂S を作る場合その位相変化はだけ余分な位相変化を受けることとなる。特に R
Φ
= −2π
Φ0
∫
~ · B,~
Φ =dSγ~ = rot A
~
B

S

となる。
29

(~
p+

e~
~
A)|n(R)i
c

=

(h̄

~
∇
e~
~
+ A)|n(
R)i
i
c
−i

e
h̄c

Z ~r

~ r)
d~
r · A(~
e~
~
~ +e
~ R)i
~
~ + e A|n(R
− A(~r )|n(R)ip~|n0 (R)i
c
c
Z ~r
e
~ r)
−i
d~
r · A(~
~
h̄c
~
R
= e
p
~|n0 (R)i
Z ~r
e
~ r)
−i
d~
r · A(~
e~
~
h̄c
~
~
R
H(~
p + A)|n(R)i = e|n0 (R)i
c
=

30

iγ

=
=
=

−

Z

~ · hn|∇
~ Ri
dR
Z
e
~ · A(~ R)~ + hn0 |∇~ R n0 i
dR
−i
h̄c
Z
2π
~ · A(~ R)~ + iγ0−idR
Φ0量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)53

4.2

分数統計粒子

分数量子ホール効果の議論並びに今後の議論でにおいて重要な分数統計粒子についてここで議論したい。これは幾何学的位相のもっとも初期の重要な例であり、統計変換等の関連で多体問題においてもいくつかのおもしろい応用がある [33, 34, 35]。
量子力学においては同種粒子多体系を考えよう。この系のハミルトニアン H({~rj }) は粒子の座
標を ~r1 , · · · , ~rN としたとき粒子 i, j を入れ替える演算子 Pij として入れ換えに対して不変であるから[H, Pij ] = 0を満たす。これより N 粒子系の多粒子系の波動関数 Ψ({~rj }) として H と Pij の同時固有状態がとれる。さらに粒子分布密度 |Ψ|2 は入れ換えで不変であるから Pij の固有値は絶対値が 1 となる。

Ψ(· · · , ~ri , · · · , ~rj , · · · ) = eiθ Ψ(· · · , ~ri , · · · , ~rj , · · · )ここで一般の次元においては粒子を２度入れ替える操作はなにもしないことと同じ（連続に変形できる）ので波動関数それ自身に対しても不変であることを要求する。(よりていねいな議論は経路積分による。時間があれば講義では説明したい) よって Pij2 = 1eiθ = ±1
この２つがボーズ統計、フェルミ統計に対応する。つまり一般の次元ではこれらの２つの統計しか許されない。
一方空間２次元においては、右回りに粒子を入れ替える操作と左回りに入れ替える操作は (２次元平面内では）連続に変形できず、異なるものと考えられ Pij2 6= 1 としてもよい。これに対応して
統計角 θ = 任意となる。これらの統計に従う粒子系を分数統計粒子系、Anyon と呼ぶ。
{
0, ±2, ±4, · · · ボーズ粒子系
θ=π±1, ±3, · · · フェルミ粒子系となる。
この分数統計にしたがうある粒子が他の粒子のまわりを一周する過程を考えるとこの過程が粒子の入れ替え２回と等価であることに注意すると、一周する過程での位相変化は ei2θ であることを注意しておく。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)54

e

iθ

e

i2θ

=

+

図 27: 分数統計 (Anyon) と分数統計粒子がお互いを囲んで運動したときの位相変化
この粒子の統計に起因する位相を Aharonov-Bohm 効果による (Berry Phase) ものと考えると、分数統計粒子 (Anyon ) は粒子と磁束の管の複合粒子と考えることができる。さらにこれらの分数
統計粒子系を経路積分により記述するとこの磁束の管からの AB 効果は古典的運動方程式には影響を与えない、時間の全微分、いわゆるトポロジカル項を Lagangian に付加することにより記述されることがわかる。（時間があれば Web でアップします。)

磁束の切り張り (Composite Fermion, 1/2 Fermi Liquid 状態, Anyon
超伝導...)

4.3

Ne 個粒子密度 ρ の θ 分数統計粒子がプラケット当たり φ の磁場の下にある状況を考えよう。このときある粒子が面積 S の閉曲線を囲む運動をする過程を考える。この過程において分数統計の効果で波動関数の位相が変化する効果を取り込むことを考える。正確には粒子をいくつ囲んだかに依存するわけだが、まず、ここでは平均としての位相の効果を議論しよう [35]。
粒子の囲む面積が S であった場合、平均的にはこの面積中に粒子は Ne = ρS 個あり、一つの粒子当たり移動した粒子とのペアあたり、2θ の位相変化を受けるので全体としては統計性からの寄与として 2θNe の位相変化を受けることとなる。
更に一様磁場からの位相への寄与は 2πφS = 2πNφ の位相変化をうけるので総計この過程において(2θNe + 2πNφ = 2πNeの位相変化を受けることとなる。

)
1
Ne
θ
+
, (ν =)π νNφ量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)55

˚ ˇS
w :=ρS=ei2θ ρS

図 28: 磁場中の分数統計粒子系の平均場近似
ここで次の仮定を置こう。

Adiabatic Heuristic Argument: (Jain, Wilczek ) [24, 35] 31
全磁束が変化しない過程においては少なくとも長距離の物理は変化しない。
これを信じれば次の微分方程式の解として得られる系は断熱的につながっていることとなり長距離の物理に関しては同等となる。つまり分数統計を与える仮想的な磁束と実際の磁束とをその総和を一定としてやりとり（切り張り）しても物理の本質は変わらないと主張するのである。(どのような状況でこの仮定が本当に正当化できるのか、エネルギーギャップの存在、相互作用、特異点の保存、その他この点の議論が本質的に重要である。)
Adiabatic heuristic: 磁束のやりとり

d(



θ
1
+ )=0
π ν

の系は断熱的に連続である。
(これは非常に強い仮定であり、必ずしも成立するわけではないが、種々の場合にこの概念で議論できる物理系も多いのである。)
ここで ν は系が量子ホール効果を示す場合には通常のランダウ準位の占有率となる。
この主張に従い、θ = −π (通常のフェルミ統計に従う電子) ν = n:整数 すなわち普通の整数量2

子ホール状態 σxy = n eh を含む系列を考えよう。具体的には上記微分方程式の θ = −π, ν = n を通る解曲線を求めてみる。この解曲線は容易にわかるとおり πθ + ν1 = −1 + n1 と −1/ν-θ 図上で直線であらわされる。この直線上に重要な系が含まれているのである。

31 Jain, Phys. Rev. Lett. 63, 199, (1989)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)56

FQHE 2/5 states

3π

FQHE 3/7 states

θ/π+1/ν=−π/π+1/3=−2/3
θ/π+1/ν=−π/π+1/2=−1/22π−θFQHE 1/3 states

IQHE 2nd LLL Fermion
IQHE 3rd LL Fermionπθ/π+1/ν=−π/π+1/1=0¥ Œ ¨

Semion

¥ Œ ¨

Boson

¥ Œ ¨

Fermion

IQHE LLL Fermion“ Œ

1/2 state−π0θ/π+1/ν=π/π+1/•=10

LLL Boson

1

1/ν

2

3

図 29: 断熱原理による種々の物理系の整理
ここで θ = −mπ :m は奇数の場合を考える。つまり２粒子を入れ替えたときの位相が e−imπ = −1
であるから粒子系はやはりふつうのフェルミ統計に従う電子系に断熱的につながる系をを考えるのである。このときのランダウ準位の占有率は

ν=n(m − 1)n + 1となるが、分母の (m − 1)n + 1 は奇数であり、これが分数量子ホール効果をおこす状態であると考えるのである。(Jain の構成法)。すなわち分数量子ホール効果をおこす系は整数量子ホール効
果の系と長距離の物理に関しては同等であると主張する。
もう一つのコメントとして n = 1 の場合、この直線は原点を通るすなわち、θ = 0, ν1 = 0 (Nφ = 0 ): 磁場のない (ハードコア) ボゾン系をもその系列に含む。よって ν = 1/m 状態は磁場のない (ハードコア) ボゾン系に帰着することをも主張する。(２次元ハードコアボゾン系での Quasi
Long Range Order をここでの議論から量子ホール効果におけるものへ読み直すことができる。ただそこにでてくる相関関数は近距離の演算子の２体相関という形ではなく切り張りした磁束の効
果をとりこむために ストリング 型の長距離なものとなる。量子ホール効果においては系にエネ
ルギーギャップがあるため通常の（準）長距離秩序の形成は起こらないが、ストリング型の秩序変数は基底状態の波動関数の位相の構造をうまく拾い出していると考えることができよう。この点で次元さえ異なるが１次元整数スピン系（Haldane 系) でのストリング秩序との類似に注意しておきたい。)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)57
さらに磁場のない系は、ν = ∞ と考えられるのでこの系を含む系列を考えるとこの系は

ν=

1
2

状態を含むと考えられ、これがフェルミ液体的状態であることを支持する。
以上 Adiabatic Heuristic の議論に従い断熱的につながると考えられるいくつかの系列をまとめてみよう。

1. θ = −π, ν = 1 を含む系列。
• 磁場のない系のボーズ粒子• 最低ランダウ準位を完全に埋めた整数量子ホール状態 ν = 1• 分数数量子ホール状態 ν = 1/3, 1/5, 1/7 · · · [24]2. θ = −π, ν = 2 を含む系列。
• 磁場のない θ = π/2 分数統計粒子系（セミオン）(RPA 計算等によりで超伝導状態であるとされている [?, 39]。)• ランダウ準位を２つ完全に埋めた整数量子ホール状態 ν = 2• 分数数量子ホール状態 ν = 2/5
3. θ = −π, ν = 3 を含む系列。
• ランダウ準位を 3 つ完全に埋めた整数量子ホール状態 ν = 3• 分数数量子ホール状態 ν = 3/7 [24]4. θ = −π, ν = 5 を含む系列。
···
5. θ = −π, ν = ∞ を含む系列。
• 偶数分母状態 ν = 1/2 [37]• ランダウ準位を 1 つ完全に埋めたボーズ粒子系• 磁場なしフェルミオン系（自由フェルミ粒子系）

4.4

もう一つの分数統計, 排他的分数統計

量子ホール効果においては先ほどでてきた Anyon としての分数統計の他にパウリの排他律を拡張した排他的分数統計があらわれ、これも面白い [40, 41]。
これについて少し議論してみよう。
まず、フェルミ粒子とボーズ粒子の異なるところを振り返ってみれば、多粒子系の波動関数が粒子の入れ換えについてどのように振る舞うかがあり、これに関しては、よく知られており、その拡張が、いわゆる Anyon であったわけである。
特にフェルミ粒子系に対しては、この入れ換えの位相の効果は「フェルミ粒子は同一の状態には１つの粒子しか存在できない」というパウリの原理として知られる厳しい条件を要求することもよ量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)58
く知られているであろう。具体的にはたとえば、10 サイトの系において 4 個のフェルミ粒子が存在するときの状態数（縮退度）は

(
WF =

10
4

)
=

10 · 9 · 8 · 7
= 210
4!

であるが、ボーズ粒子系の場合は同一の状態にいくつでもはいれるから、いわゆる重複組み合わせ
として 10+4-1 個のものを並べたものから 3 個の粒子の位置を選んで左から状態に対応させれば(|||| :5 サイトに3 個の例)()
10 + 4 − 1
13 · 12 · 11
WB =
=
= 715
3!
3

となり、フェルミ粒子とボーズ粒子を明らかに区別する。これを一般化しよう。まず、最初に D0
個のサイトがあって今すでに N 個粒子があるとし、さらに次に導入しようとする粒子が占めうる
可能な場合の数を D(N ) とする。するとフェルミ粒子の場合はすでに占められているところには
パウリの原理で入ることができないので DF (N ) = D0 − N , ボーズ粒子系の場合は他の粒子の存在に全く関係せず、DB (N ) = D0 となる。まとめて

F ermion : DF = D0 − N = D0 − 1 · N= D0 − 0 · N

Boson : DB = D0となる。これを拡張して α （排他的）統計粒子系においてはα − 統計粒子系 : Dα
∆D

= D0 − α · N= −α∆Nとすることで 統計 を拡張することを試みがありいくつかの興味深い系においてうまく記述でき
ることがわかっている [40, 41]。
ここで少しこの議論を進めておこう。以下この拡張された α 統計粒子系からなるグランドカノ
ニカル集団を考えよう。ただし粒子系が自由粒子であるとしその一粒子エネルギーを  として全エ
ネルギーはE = N
となることを仮定しよう。まず、この系の縮退度は()
Dα (N ) + N − 1
W =N量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)59であるからエントロピー S は32

S[]= D0 n (1 + w)ln (1 + w) − wln w
w = n−1 − α

よって自由エネルギーはF= E − T S − µN
= D0 T n(β( − µ) − (1 + w)ln (1 + w) + wln w)

33
これを使って ∂Fw(ζ) を∂n = 0 より

w(ζ)α (1 + w(ζ))1−α = ζw(ζ) =ζ − 1, (α = 0)w(ζ) =ζ, (α = 1)を満たす関数としてn=1
w(eβ(−µ) ) + αとなる。これはフェルミ分布とボーズ分布をつなぐ分布関数を与えることとなる。
より一般に種類の異なる粒子系が混在している場合に上記の議論を拡張し i− 種粒子が Ni , i =1, 2, · · · 存在する場合に i− 種粒子が次に占有可能な状態数を Di としたとき、
Di = D0 − αij · Njと書き、” 統計” を行列 α に拡張することも可能であり、次に示すように、量子ホール効果における複合粒子系はこの拡張された統計に従うと考えられる。これを次に紹介しよう。
32

S

=
=

s

=
=

ln W
(D0 + (1 − α)N )!
ln= (D0 + (1 − α)N )ln (D0 + (1 − α)N ) − N ln N − (D0 − αN )ln (D0 − αN )N !(D0 − αN )!
SN= (1 + (1 − α)n)ln (n−1 + (1 − α)) − nln 1 − (1 − αn)ln (n−1 − α), n =
D0
D0
„
«
n (1 + w)ln (1 + w) − wln w
w = n−1 − α

33

∂w
∂n
1 ∂F
T D0 ∂nn=e1= −(w + α)n=∂w 1 + w
ln
∂n
w
1+w
β( − µ) − (1 + w)ln (1 + w) + wln w + (w + α)lnw
β( − µ) + (α − 1)ln (1 + w) − αln w=

β( − µ) − ln (1 + w)(1−α) wα = 0=(1 + w)(1−α) wα==β(−µ)−β( − µ) − (1 + w)ln (1 + w) + wln w − n量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)60

4.5

排他的分数統計と量子ホール効果

まず整数量子ホール効果を考え、ランダウ準位をしたから２個考えよう。

NφD+ : # of

N+: # ofD- : # of

N-: # of

図 30: 量子ホール効果における準粒子、準正孔の排他的分数統計
この図のようにランダウ準位の縮退度が Nφ であるとき、電子が Ne 個あり図のような占有状況
下を粒子 N+ 個、正孔 N− 個と記述する。この状況下でつぎに粒子を作るときその縮退度 D+ 及
び正孔を作るときその縮退度 D− は

D+ (N+ , N− ) = Nφ − N+
D− (N+ , N− ) = Nφ − N−
Nφ

= Ne + N− − N+となる。これより拡張された（排他的）統計行列はα++= α−− = 1α+−

= α+− = 0となり、粒子、正孔はフェルミ統計に従うこととなる。
この議論を Jain の Composite フェルミオン描像に適用することを考えよう。まず、ν = 1/m,

m : odd 状態においては系の磁束を粒子にすべて張り付けるとボーズ的になり、粒子あたり、m − 1
本ずつ張り付けると残りの磁束と粒子の数が等しく、整数量子ホール効果として理解できたことを振り返ろう。よって電子数が少しだけ上記のマジック数からずれた状況においては
Nφ = (m − 1)Ne + Nφef f(∗)

として与えられる Nφef f が実効的な系の磁束と考えられよう。ここで前述の整数量子ホール効果での議論をそのまま使って Nf = Ne を Composite フェルミオンの数とすれば

Nφef f= Nf + N− − N+ef fD+
(N+ , N− ) =Nφef f − N+ef fD−
(N+ , N− ) =Nφef f − N−Nφef f= Nf + N− − N+

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)61となる。ここでの最後の式と (*) から表面にでない電子の数を消去すれば

Nφef f =1
1
1
Nφ − (1 − )N+ − ( − 1)N−
m
m
m

よって
ef f
D+
(N+ , N− )

=

ef f
D−
(N+ , N− )

=

1
1
1
Nφ − (2 − )N+ − ( − 1)N−
m
m
m
1
1
1
Nφ − (1 − )N+ − N−
m
m
m

つまり、
ef f
∆D+
(N+ , N− )ef f∆D−
(N+ , N− )1
1)∆N+ − ( − 1)∆N−mm
1
1= −(1 − )∆N+ − ∆N−mm= −(2 −

これは分数量子ホール効果における準粒子、準正孔は拡張された分数統計
) (
)
(
1
1
α++ α+−
2− m
m −1
=
1
1
α−+ α−−1− mmに従うことを意味する。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)625量子相転移と Dirac Fermion

5.1

量子相転移と (隠れた) ディラックフェルミオン

ホール伝導度が不連続に変化するホールプラトー転移は量子相転移の典型的な例であり種々の研究が行われている。ここではこの転移においてはある種 Hidden な Dirac Fermion が重要な役割を果たすことを説明したい。

(時間の都合上現在ノートはできてません。講義で説明したいと思いますが、場合によってはノートをホームページにアップするかもしれません。)
ここでは図だけ説明なしにいくつか示しますので想像してみてください。[73, 74]

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)6820(π,2π)

-2

ky

(0,0)

kx

(π,0)

図 31: φ = 12 の場合のエネルギー分散。ディラックフェルミ粒子型の分散が２カ所見える。

20(π/2,2π)
-2

ky
(0,0)

kx

(π/2,0)

図 32: φ = 14 の場合のエネルギー分散。ディラックフェルミ粒子型の分散が 4 カ所見える。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)69

2

0

-2
(2π/6,2π)

ky

-4
(0,0)

kx (2π/6,0)

図 33: φ = 16 の場合のエネルギー分散。ディラックフェルミ粒子型の分散が 4 カ所見える。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)7020(2π/5,2π)
-2

ky
(0,0)

kx

(2π/5,0)

図 34: φ = 15 の場合のエネルギー分散。ディラックフェルミ粒子型の分散が 5 カ所見える。奇数個のディラック粒子？

0-2(2π/3,2π)
-4
(0,0)

ky
kx

(2π/3,2π)

図 35: φ = 13 の場合のエネルギー分散。ディラックフェルミ粒子型の分散が 5 カ所見える。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)71

3.0

2.0

Energy

1.0

0.0

-1.0

-2.0

-3.0

0.0

ky

図 36: φ = 13 の場合のエッジ状態とチャーン数に寄与する vortex

2π量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)72

Energy

2.0

1.0

0.0

0.0

ky

図 37: φ = 13 の場合のエッジ状態とチャーン数に寄与する vortex

2π(NNN 模型)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)73

1.46440

Energy1.46425

1.464101.46395

1.46380

0.66660πky

図 38: 量子臨界点近傍でののエッジ状態とチャーン数に寄与する vortex

0.66674π(NNN 模型)。φ = 13

の場合

5.2

ランダム系における位相不変量の意義、、ゼロモード、非局在状態のフロー
ティング等、最近の話題(時間の都合上現在ノートはできてません。講義で説明したいと思いますが、場合によってはノートをホームページにアップするかもしれません。) [77, 78, 79]

5.3

時間反転対称性を破る超伝導とスピンホール伝導度の量子化、束縛状態、双対性(時間の都合上現在ノートはできてません。講義で説明したいと思いますが、場合によってはノートをホームページにアップするかもしれません。)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)74
ここでは図だけ説明なしにいくつか示しますので想像してみてください。[80, 81]

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)766

磁場中の電子系における幾何学的位相と量子群

6.1

イントロダクション

最初に触れたように磁場があると電子が運動する際に受ける位相変化がその履歴に依存する。例
えば A によってから B にいくのと B によってから A にいくのとで位相が異なることとなる。一方量子群という新しい代数構造が数学、物理で最近話題となっているがそこでの一つの関係式は例
えば

AB = qBA
等とかかれるがこの非可換性は q = eiφ とすれば今議論してきた磁場中の電子系のものににている（と思いませんか）。この議論はただ似ているというだけでなく、実際使える段階まで現実的なものとしていろいろな研究があるわけです。
以下、時間の関係で以前数理科学に書いたものをかなりの部分再録しています [75]。

アハロノフ-ボーム効果やモノポールの量子化の議論等でわかるように、磁場の効果を量子力学に基づいて考える際、本質的なものは観測量 (オブザーバブル）である磁場 B ではなく、ベクトル
ポテンシャル A, B = rotA である。たとえ磁場が局所的であってもベクトルポテンシャル A は、非局所的であり磁場中を電子が運動するとき、電子の波動関数は、その移動経路に依存する位相を受けることとなる。波動関数の位相は、A 自身は観測量でないことに起因するゲージ変換による不定性を持つ。この位相により、アハロノフ-ボーム効果に代表されるようなゲージ変換によっても消去できない物理的効果がもたらされることがある。これが、いわゆる幾何学的位相の典型的な例である。 また、より基本的には、二次元電子は一様磁場中においては自由電子の分散関係とは全く異なる、ランダウレベルと言われる特異的な分散関係を形成することはよく知られているが、振り返って考えてみるとこれ自身大変不思議な事実である。さらに、固体中の電子系を考えるとき、固体中では、結晶からの周期的ポテンシャルの効果もあいまってよりいっそう多様な興味深い現象が生ずる。このような周期的ポテンシャル中にある二次元磁場中のの電子系をモデル化して格子上の以下のような、タイトバインディングハミルトニアンを考えよう。

H = Tx + Ty + Tx† + Ty†(1)

ここで、x, y 方向への格子間隔あたりの並進演算子 Tx , Ty は、cm,n を (m, n) サイトの電子の消滅演算子として

Tx

=

∑ †
x
cm+1,n cm,n eiθm,n ,

(2)

m,n

Ty

=

∑ †
y
cm,n+1 cm,n eiθm,n ,

(3)

m,n
x,y

のように定義される。ここで位相因子 eiθm,n は、ベクトルポテンシャル A に起因し、格子あたりの磁束 φ とrot(m,n) θyx= ∆x θm,n− ∆y θm,n,yyxx= (θm+1,n− θm,n) − (θm,n+1− θm,n) = 2πφ(4)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)77のように結びついている。ここで上述の経路に依存する位相因子に関する議論は、

Ty† Tx† Ty Tx |Ψm,n i = ei2πφ |Ψm,n i,(5)(|Ψm,n i = c†m,n |0i) と表現できる。ここで Ty† Tx† Ty Tx の演算は、最小の格子のリンクをひとまわりすることに対応する。
この格子上の２次元電子系のエネルギースペクトルは、格子あたりの磁束が φ = P/Q と有理数の時、Q 個のエネルギーバンドからなることが知られている。すなわち、φ を連続的に変化させた
とき、エネルギースペクトルは、複雑な構造を示すことが期待される。これが、図１に示すような、Hofstadter のバタフライと呼ばれるものである。このスペクトルは図から予想されるように、フラクタル構造を持つことが知られている。更に、この系の電気伝導を考えたとき系のホール伝導度について、(１） ホール伝導度がある種の位相不変量でかけること、(２）系の複素エネルギー面を考えると、それは Q 個のエネルギーバンドをブランチカットとする種数 g = Q − 1 のリーマン面であり、その上でのある種の回転数という位相幾何学的量が、ホール伝導度という具体的な、物理量をあたえていること、を指摘しておきたい。このように、上述の系は、フラクタル、位相幾
何学といった数理と関連していることが知られていたが、更に量子群という代数的構造とも非常に強い関連があることが、近年の研究で明らかとなった。[43, 44, 45]yxx,y= −πφ · (m + n + 1) とる。(これらは、= πφ · (m + n), θmn,nを θmn,nまず、磁束を表す θm,n

関係式 (4) を満たす限り自由に選ぶ自由度があるが、これがゲージ対称性に対応する。) そこで、∑一粒子シュレディンガー方程式 (１５ページ参照) H|ψ̄i = E|ψ̄i, |ψ̄i = mn,n ψ̄m,n c†m,n |0i を考えると、これは、以下のように書ける。

eiπφ(m+n−1) ψ̄m−1,n + e−iπφ(m+n) ψ̄m+1,n+e−iπφ(m+n) ψ̄m,n−1 + eiπφ(m+n+1) ψ̄m,n+1 = E ψ̄m,n(6)

ここで、この方程式が、(１）(m, n) → (m+Q, n+Q), (2）(m, n) → (m+1, n−1) の変換 (並進）について不変であることからいわゆるブロッホの定理によって ψ̄m,n = eip− (m−n) eip+ (m+n) ψm+n (p, p− ),ψm+n (p, p− ) = ψm+n+2Q (p, p− ) と書けることがわかる。ここで p+ , p− は、磁気運動量と呼ばれる。以下、考察を mid band 条件と呼ばれる特殊な運動量 (p+ , p− ) = ( π2 , 0) に限ろう。このとき、P一粒子シュレディンガー方程式 は、q-パラメターを q = eiπφ = eiπ Q として、

i(q −j + q j+1 )ψj+1 − i(q j−1 + q −j )ψj−1 = Eψj ,(7)(ψj+2Q = ψj ) となる。なおここでいわゆる q-パラメターが導入され、これを通じて我々の問題と、量子群 (quantum group) が関連することになる。なお、我々は技術的理由で P と Q とは、互いに素な奇数であると仮定するので q Q = eiπP = −1, q 2Q = 1 なる関係があることを注意しておく。前
述の Hofstadter のバタフライは、固有値方程式 (7) の固有値を Q = 401, P = 1, 3, · · · , Q − 2 に対してプロットしたものである。ここで、基底の周期性に注意するとこの固有値方程式は、次の 2Q次元の行列 Hmid band の固有値問題と読み直せる。

Hmid bandBCCC= i(q − q −1 )−1 (BC + CC )(8)

= −(q − q −1 )−1 (X − X −1 )Y,= −(q − q

−1 −1

)

Y

−1

(X − X

−1

(9)
)

(10)

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)78
ここで X, Y は、



X

0

 1


=  0




1
0
1

0
..
.

..

.

1
= diag(q , q , · · · , q
1

Y

2

2Q






,




(11)

0

)

(12)

であり、以下の関係式を満たす。

X 2Q= Y 2Q = I2Q ,

(13)

qXY

= Y X, X T = X −1 , Y T = Y(14)

Wiegmann 等の重要な発見は、BC , CC の他に次の２つの行列ACDC= q −(Q−1)/2 X −1 ,(15)(Q−1)/2

(16)

= q

X,

を補うことにより構成される、{AC , BC , CC , DC } が量子群 Uq (sl2 ) の 2Q 次元のサイクリック表
現となっており、それを用いて物理的なハミルトニアン Hmid band が書き下し得ることに気がついた点にある。この意外な関連により以下述べるような物性物理の系と数理的構造との興味深い関連が認識されるに至ったのである。 次の節では、我々に関連する範囲で、量子群 Uq (sl2 ) とそのい
くつかの表現について具体的にまとめてみる。

6.2

量子群といくつかの表現

量子群は歴史的には可解模型、Yang-Baxter 方程式等との関連でその代数構造の研究により発見されてきたのであるが、ここでは古典的かつ最も基本的ななリー環 sl2 の q-変形として量子群

Uq (sl2 ) を考える。(予備知識はここでの議論に関する限り全くいりません。書いてあることは直接の計算ですぐ確認できます。) まずリー環 sl2 はよく知られているように、{S z , S + , S − } の３つの生成子で生成され、これらは、[S + , S − ] = 2S z , [S z , S ± ] = ±S ±(17)の関係式を満たす。対応して、その q-変形 Uq (sl2 ) は、{A, B, C, D} と４つの生成子で生成され、
それらは、

AD

= DA = 1,

(18)

AB

= qBA, BD = qDB,

(19)

= qCD, CA = qAC,
A2 − D 2[B, C] =,q − q −1

(20)

DC

(21)

の関係を満たす。(我々の問題は２次元磁場中の電子系の問題であり前節で述べたように、経路に依存する位相が重要であり、それは、q = eiπφ として Ty Tx |Ψm,n i = q 2 Tx

Ty |Ψm,n i と磁気並進操

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)79
作が非可換であることに典型的に現れている。この非可換性と上記の量子群の定義とのある種の類似を感じとれると思うが、実際その具体的な関連が以下に示すように明らかになったことになる。）
いわゆる古典極限 q → 1 で、Uq (sl2 ) は sl2 へ退化するが、(この古典極限は、我々の問題では

φ → 0、すなわち弱磁場の極限に対応する。）その対応は、
A, D
A−D
q − q −1
B

⇐⇒ 1,

(22)

⇐⇒ S z ,(23)⇐⇒ S + ,(24)−⇐⇒ S ,

C(25)となる。例えば、[B, C] = (A + D) · (A − D)/(q − q −1 ) → 2S z である。このように、古典極限をとることは、簡単だが、逆に、意味のある q-変形を見つけるのには、長い歴史が必要であった訳である。(量子群としての数学的構造としては、ホップ代数としての構造が重要な訳だが、我々の議論には、今のところその有用性が使われていないのでその点は、ここでは議論しない。）
次にこれらのある表現について議論しよう。まずリー環 sl2 については、j を半奇整数 (j =0, 1/2, 1, 3/2, 2, · · · ) として、2j + 1 次元の表現 Shz |mi = m|mi, Sh± |mi = (j ∓ m)|m ± 1i ∝ |m ± 1iがある。ここで m は Sh+ |ji = Sh− | − ji = 0 より、m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j となり、この性質により highest weight 表現といわれる。またこの表現は次のような、微分演算子によりあらわに実現されることが容易に確認できる。

Shz= z∂z − j, Sh+ = z(2j − z∂z ), Sh− = ∂z ,|mi = z m+j

(26)
(27)

さらに表現が highest weight 表現であることより有限の基底がとれて、これらの微分演算子は、

Ψ(z) = z 2j + a2j−1 z 2j−1 + · · · + a1 z + a0 という 2j 次の多項式に作用するとみなせることに注目しておこう。
さて、対応する q-変形した量子群の方にも対応する表現が知られている。それは、いわゆる q差分演算子により関数 Ψ(z) に作用する演算子として、次のように与えられる。

Ah Ψ(z) = q −j Ψ(qz),Bh Ψ(z) =(28)(q − q −1 )−1 z[q 2j Ψ(q −1 z) − q −2j Ψ(qz)],

Ch Ψ(z) = −(q − q−1 −1 −1

)

z

[Ψ(q

Dh Ψ(z) = q j Ψ(q −1 z).
これらの q-差分演算子はまた ρh (B)z 2j = ρh (C)z 0 = 0−1z) − Ψ(qz)],

(29)
(30)
(31)

を満たしこの表現はまた highest weight

表現といわれる。つまり、Ψ(z) としては 2j 次の多項式を考えればよいことになる。ちなみに

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)80

z k , k = 0, 1, · · · , 2j を基底とすると表現行列は次のようにあらわせる。
Ah:diag(q −j , q 1−j , · · · , q j−1 , q j )

(32)

Dh

:

(33)

Bh

:

Ch

:

diag(q j , q −1+j , · · · , q −j+1 , q −j )


0
0


 [2j]q

0




0
[2j
−
1]
0
q




..
..


.
.


0
[1]q 0


0
[1]q
0




0 [2]q




..
..


.
.




0
[2j]q 

0
0

(34)

(35)

ここで、 [n]q は、いわゆる q-整数で次のように定義される。

[n]q =

q n − q −n,
q − q −1(36)

なお、これら q-整数は、古典極限 q → 1 で通常の整数 [n]q → n となる。
ここまでは、sl2 と Uq (sl2 ) とは、きわめてパラレルに議論でき、表現のレベルでも、q-変形、古典極限により両者は対応がついていた。ここまでは、一般の q について議論できたわけであるが、q が１のべき根の時には、対応する古典極限での対応物のない全く新しい状況が生じることが知られている。我々の２次元磁場中の電子系の場合は、q 2Q = 1 であり、まさに、この１のべき根の場合に対応する。
いま Q = 2j + 1 として、2j + 1 次元の highest weight 表現を考える。このとき

ψk = Ψ(q k )(37)

により、新しい基底 {ψn |n = 1, 2, · · · , 2Q} を定義する。この基底は、q が、１のべき根であることより、周期的 (cyclic) ψk+2Q = ψk である。この基底に関して、具体的に上記の highest weight
表現の作用から導かれる関係式を書き下してみると、q 2Q = 1 を用いて

AC ψn= q −(Q−1)/2 ψn+1 ,BC ψn= (q − q −1 )−1 (q n+1 ψn+1 − q n−1 ψn−1 ),
−1 −1

−n

CC ψn

= (q − qDC ψ n= q (Q−1)/2 ψn−1 .

)

(q

(38)
ψn+1 − q−nψn−1 ),

(39)
(40)
(41)

となる。この表現行列が、前節の終わりに示した、{AC , BB , CC , DC } となるわけである。この表
現は、一般のサイクリック表現と呼ばれるもののある特殊な場合に対応する。この表現は、対応する古典極限がないものであり、量子群固有のものである。それが我々の物理系の問題と関連するわけである。このような、数学的な抽象的理論が、我々の物性理論における現実の物理と関連していたことは、ある種の驚きである。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)81

6.3

ブロッホ電子に対するベーテ方程式

前節の議論を振り返ってみると量子群 Uq (sl2 ) の highest weight 表現から導かれたサイクリック
表現の表現行列を用いて、我々の２次元ブロッホ電子系の特定の運動量の点でのハミルトニアン
が Hmid band = i(q − q −1 )−1 (BC + CC ) と fitting されたとみなすことができる。そこで highest

weight 表現は、多項式に作用する演算子であったことを思い出すと、この fitting の対応を逆に使って、我々のシュレディンガー方程式 (7) を関数方程式にまで以下の形に引き戻すことができよう。
i(q − q −1 )(Bh + Ch )Ψ(z)i(qz + z −1 )Ψ(qz) − i(q −1 z + z −1 )Ψ(q −1 z)== EΨ(z)(42)

これは、離散的な点のみで定義されていた、ブロッホ電子のシュレディンガー方程式を一般の複素変数 z に関する関数方程式にまで拡張できたことに対応する。関数方程式の解が求まれば、ψn = Ψ(q n )として我々の問題の解も求まるわけである。ここで重要なことは、前節の議論から明らかなように

Ψ(z) は表現が highest weight 表現であったことに対応して、次数 2j = Q − 1 の多項式に限られることである。よって Q − 1 個のゼロ点を zm , m = 1, 2, · · · , Q − 1 とすればΨ(z) =

Q−1∏(z − zm )

(43)

m=1

と因数分解できる。そこで (42) の両辺を Ψ(z) で割るとi(qz + z

−1

∏Q−1

)

m=1 (qz − zm )∏Q−1
m=1 (z − zm )∏Q−1 −1z − zm )−1−1
m=1 (q=E− i(q z + z ) ∏Q−1
m=1 (z − zm )(44)という式が得られるが、ここで右辺が z に依存しない定数であることに注意すると、一見左辺にある z = zm における Q − 1 個の極の留数は、それぞれゼロでなければならない。この pole free の条件から方程式系
Q−1∏ qzn − zm
zn2 + q=−, n = 1, · · · , Q − 12
qzn + 1z − qzm
m=1 n

(45)

が得られる。この高次連立方程式は、ベーテ方程式といわれる。この方程式の根を求めれば、我々の問題も解けることになるわけである。また定数項を比較することによりエネルギー E がベーテ方程式の根 {zm } から

E = −i(q − q −1 )

Q−1
∑

zm .

(46)

m=1

と得られることもわかる。

6.4

ベーテ方程式のあらわな解

前節で説明したベーテ方程式は、高次連立方程式系であり、通常、具体的な解を得ることは、困難である。ところが、エネルギー E = 0 の場合特殊な理由により、そのあらわな解が得られた。この節では、このあらわな解について議論し、その物理的帰結についても考察したい。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)82
まず、関数方程式 (42）から出発する。このとき、E = 0 とすると、( E = 0 が解の一つとなっていることは、まったく別の理由から知られている。）少し書き直して

q(z 2 + q −1 )Ψ(qz) = q −1 (z 2 + q)Ψ(q −1 z).

(47)となる。ここで z = iq +1/2 を代入してみよう。すると (z 2 +q) = 0 となるから、q(−q+q −1 )Ψ(iq 3/2 ) =0 つまり Ψ(iq 3/2 ) = 0 となる。すなわち iq 3/2 が {zm } の一つであることがわかった。そこで更に
z = iq +5/2 としてみよう。すると Ψ(q −1 z) = Ψ(iq 3/2 ) = 0 となるので、q(−q 5 + q −1 )Ψ(iq 7/2 ) = 0となり、q(−q 5 + q −1 ) 6= 0 なら Ψ(iq 7/2 ) = 0, すなわち iq 7/2 もまた {zm } の一つであることがわかる。この操作を繰り返すことにより、iq 2m−1/2 、 m = 1, · · · , (Q − 1)/2 がすべて {zm } に含まれることがわかる。ここで m に関する制限は Ψ(z) の前の数因子が消えないとの条件により生ずる。
同様の過程は、まず最初に z = iq −1/2 として、左辺 = 0 とすることからも初められ、iq −2m+1/2 、

m = 1, · · · , (Q − 1)/2

も解の一部であることがわかる。最後に、これら２つの系統の解を比べると全て異なり、併せて方程式の次数と同じだけあることもわかるため、これで {zm } すべてがあら
わな形で

{
zm =

P

iq 2m−1/2 = iei2π Q (m−1/4)
P

iq −2m+1/2 = iei2π Q (m−1/4)

m = 1, · · · , (Q − 1)/2.

(48)と得られたことになる。面白いことに、これらは全て複素平面上で単位円上にある。そこで zm = eiθmとすれば θm はある種の運動量に対応し、Q は、ある種の系の大きさに対応するとみなせる。そこで更に ∆θ を隣接する θm の差と定義すると、ベーテ方程式の根の分布関数 ρ(θ) = limQ→∞ Q∆θが興味ある物理量となる。
以下次のような Q → ∞ の２つの場合を考えてみる。(これは、ある種の熱力学極限と考えられるだろう。) (1) 古典極限, q → 1 。ただし、P = 1, Q → ∞。(2) Incommensurate 極限。 単位格√
子あたりの磁束が無理数の場合。具体的には、φ → 1/τ = ( 5 − 1)/2 (τ は黄金比）。この極限をとるために、フィボナッチ数 Fk , (Fk+1 = Fk + Fk−1 , F1 = 1, F0 = 1) からなる次のような磁束の系列を考える。φk = Pk /Qk , Qk = F3k+1 , Pk = F3k 。
まず、(1) の場合、この場合容易にわかるように、ベーテ方程式の解は、単位円の上で ±i をのぞいて一様に分布する。よって分布関数 ρ(θ) = 定数、となる。一方 (2) の Incommensurate 極限の場合、その分布は単純でないことはすぐわかるが、それ以上の知見を得るには次のように考えるのがよい。ベーテ方程式の根 (48) においては、m に m = 1, · · · , (Q − 1)/2 との制限があった。そこでこの制限を満たさないものを補助根と呼ぶことにし、制限を満たす、真の根とともに、プロットしたものを図に示す。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)83{nq=, 377, np=, 233}
1

0.5

0

-0.5

-1
-1

-0.5

0

0.5

1

図 39: 解析的に得られたベーテ方程式の複素平面上での根。φ = 1/tau の近似有理分数として、

3/5, 13/21, 55/89, 233/377, · · · に対して具体的に示した。(半径は、近似の粗いものほど小さくスケールした。)

0.88

0.875

0.87

0.865

0.86

0.5

0.505

0.51

0.515

図 40: その拡大図
全ての近似系列 φk = Pk /Qk について真の根、補助根ともに単位円上にあるが、わかりやすくするため、図では、近似の粗いものほど半径を小さくしてある。この図より見て取れるように、真量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)84の根を A、補助根を B として、近似をあげるごとに、次のような分岐則があることがわかる。

A3→ A3 B 2 A3 B 2 A3

A2

→ A3 B 2 A3

B3

→ B 3 A2 B 3 A2 B 3

B2→ B 3 A2 B 3 .

(49)

なお、初期条件としては B 3 A2 B 3 A2 (単位円上で周期的) をとる。この分岐則から Incommensurate
極限の場合の分布関数は至る所、微分不可能な特異的な関数であることがわかる。この性質は、他の Incommensurate 極限の場合も同様であり、Incommensurate 極限に特有であると考えられる。
一方準古典極限 φ = 1/整数 の系列では根の分布も図の様にきわめて単純であることがわかる。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)85

(a)

(b)

1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1
-1

-0.5

0

0.5

1

-1

(c)

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

1

(d)

1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1
-1

-0.5

-0.5

0

0.5

1

-1

図 41: 古典極限 φ = 1/整数 におけるベーテ仮説方程式の根の分布。ゼロモード以外の根の分布も示す。
このように準古典極限における根は常に単位円上にあるがそれ以外の系列たとえばフィボナッチ
数から作る系列では下図の様に分布が必ずしも単位円上に限られない。（ストリング型）

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)86

1

0.5

0

-0.5

-1
-1

-0.5

0

0.5

0

0.5

1

1

0.5

0

-0.5

-1

-1

-0.5

1

図 42: Incommensurate 極限へ近づく系列でのベーテ方程式の根の分布、上：ゼロモード、下：一般のエネルギー [76]

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)87
次に、物理量である、波動関数の振幅を考えてみよう。ここで、結果を見やすくするのに、離散点 j の名前づけを j = j̄ + J1 と J1だけずらす。ここで J1 は、P J1 = (Q − P )/2 (mod 2Q ) により定まる整数である。このとき j̄ = 1, 3, · · · , Q に対して、|Ψ1̄ |2|Ψj̄ |2= Q,[j̄ − 2]q !!
= Q, j̄ = 3, 5, · · · , Q[j̄ − 1]q !!

(50)
(51)

と具体的に、波動関数の振幅が書き下せる。なおここで [j]q !! = [j]q [j − 2]q · · · [2]q , or[1]q の記号を用いている。更に面白いことに、古典極限 P = 1、Q → ∞ の場合、ψ(x) = Ψj̄ , x = (2j̄ − 1)/2Qとスケールされた連続変数 x, (0 < x < 1) により|ψ(x)|2 =2,sin(πx)(0 < x < 1),(52)のようにコンパクトな形にまとめることもできる。

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

図 43: 準古典極限 φ = 1/整数 の系列での波動関数
一方 Incommensurate 極限に近づく系列においては波動関数に関してもきれいな分岐則が見て取れる。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)88

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

図 44: フィボナッチ数から作った Incommensurate 極限に収束する系列での波動関数の振幅

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)89

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

図 45: 図 44 の拡大図
なおこの波動関数に対応して関数方程式型のシュレディンガー方程式の解を作る多項式はその係数がマルチフラクタルとなるものが現れることを最後に注意しておく。
このあといくつかの重要な進展があるがそれについては講義でふれたい。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)90

7

終わりに
以上時間の関係上省略した話題も多いが、磁場中の電子系の問題は、物性物理と数理的構造とのいくつもの意外な関係をみせてくれたことは伝えられたものと期待したい。歴史的にはこの問題に関して、もう調べ尽くされたと思えた時期も何度かあったがそのたびに新しい発見があり、驚きをともなう興味深いブレークスルーが何度もくりかえされてきたのである。私には、未だ明らかになっていない興味深い構造がまだそこにあるかのように思えるが、みなさんにとっては如何であろうか。

量子ホール効果–その意義と幾何学的および代数的構造 (物性若手夏の学校 2001 年夏 初貝 v1.05)91

cord

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