
【原著】

大学入試研究ジャーナル第 34 号，98-103，2024

完全情報最尤法を用いた令和 5 年度理科②の周辺平均
荘島 宏二郎，橋本 貴充，宮澤 芳光，石岡 恒憲，大津 起夫，前川 眞一（大学入試センター）
令和 5（2023）年 1 月に実施された第 3 回大学入学共通テストの理科②において得点調整が実施された。
本研究では，20 点差以上ついた物理・生物の平均点差のうち，選択科目における受験者集団の学力差によって，どれくらいの割合が説明できるのかを統計分析によって検討した。具体的には，モデルとして多変量正規分布を，欠測メカニズムとしてランダム欠測を仮定し，完全情報最尤法によってモデルの母数（多変量正規分布の平均ベクトルと共分散行列）を推定した。用いたデータは，中間集計データ（22 万人，全体の約45%）であった。その結果，平均点差は，13.73 点（57.4%）に縮小した。
キーワード：共通テスト，理科②，得点調整，完全情報最尤法，ランダム欠測
1 はじめにら外れ，物理・化学・生物（物化生）の 3 科目のみで

令和 5（2023）年 1 月に実施された第 3 回大学入学調整が行われた。

共通テスト（以下，共通テスト）では，理科②においところで，平均点差には，科目間の難易差のほかにて 得 点 調 整 が 実 施 さ れ た（ 大 学 入 試 セ ン タ ー ,受験者の学力差も混入している。一般的に，物理選択

2023a）。得点調整は，原則として，得点調整対象科目

者の学力は高いので，物理（および化学）の平均点が間に 20 点以上の平均点差が生じ，これが試験問題の高かったのは，物理選択者の学力が高いことも一因で難易差に基づくものと認められる場合には，得点調整ある。図 1 は，物化生選択者別の国語・数学・英語（国を行う（大学入試センター , 2022, pp.52–53）とされ数英）の平均点を示している。物理選択者（と化学選ている。ただし，受験者数が 1 万人に満たない科目に択者）の国数英の平均点は生物選択者のそれらよりもついては，得点調整対象科目から外れるという付則が高いことが分かる。

ある。
表 1 は，2023 年 1 月 18 日（水曜日）付で（大学入試センター ,（2023b）が公表した各科目テストの基本
統計量のうち，理科②の 4 科目について抜粋したものである。水曜日時点で公表される統計資料は，中間発表と呼ばれ，全体の半分弱である約 22 万人の集計結果となっている。このうちの 56,212 人が物理を受験し，彼らの平均点が 64.46 点であった，ということである。
その他の科目も同様である。
表 1 理科②の基本統計量（中間発表 221,659 人）
科目
物理
化学
生物
地学

n
56,212
67,66521,500
656

平均
64.46
49.95
40.55
49.12

Max
100
100
96
100

Min
0
0
0
0

図 1 物化生選択者別の国数英の平均値（ただし 200 点満点の国語は 0.5 を掛けて表示）

SD
22.80
20.14
15.14
21.50

規則で「平均点差 20 点以上」が得点調整実施の前提条件となっているのは，平均点差が素朴な意味で科目間の難易差を代弁しているからである。しかし，実表 1 より，物理と生物の平均点差が約 24 点である

際には，科目間の平均点差には，科目間難易差と選択ことが分かる。20 点以上の差は，最終結果まで維持

受験者間学力差が混交しているため 1），平均点差からされ，この差が科目の難易差に基づくと判断されたこ

科目間難易差を見積もることは難しい。本研究では，とにより得点調整が実施された。なお，地学は，受験

完全情報最尤法（full-information maximum likelihood,

者数が 1 万人に満たなかったため，得点調整の対象か

FIML; Arbuckle, 1996）を用いて，「仮に全員が物化- 98 -

完全情報最尤法を用いた令和 5 年度理科②の周辺平均生を受けたら平均点がそれぞれ何点になるのか」といたない 12 の少人数科目は除いた。

うことを推測することで，平均点差に含まれる選択受

表 2 分析に用いる 19 科目

験者間学力差の除去を試みる 2）。

教科
国語
地歴
公民
数学
理科①
理科②
外国語

共通テストは，全体で 10 の時間区分（コマ）に分けられて各教科科目が実施されている。受験者は，各自必要な科目を選択して受験するため，受験しなかった科目の得点は欠測データとなる。平均点は、選択した（観測された）受験者の得点から算出するため，選択受験者の学力が高い（低い）と平均点が高く（低く）なるという性質がある。

科目
国語
世界史 B，日本史 B，地理 B
現代社会，倫理，政治経済，倫理政治経済
数学 1A，数学 2B
物理基礎，化学基礎，生物基礎，地学基礎
物理，化学，生物
英語 R，英語 L

この性質を修正する１つのやり方として，欠測となっている受験者の分も含めて平均点を推測することしたがって，
分析対象は，
中間集計 221,659 人のうち，がある。例えば，物理を選択しなかった受験者を含め19 科目のどれか 1 科目以上を受験した者で 221,497 人

た全受験者の物理の得点の平均値を推測することがあであった。つまり，データのサイズは，221,497（人）る。仮に全員が物化生を受けたときのそれら 3 科目の× 19（科目）である。ただし，1 人当たりの平均受験

平均値を知ることができれば，そこで得られた平均点

科目数は 5.65 科目（SD は 2.32）であり，68.9% のデー

差は，学力差が除去されて残った科目間の難易差と思タは欠測している。

うことができる。
欠測を考慮した分析という意味で，同様な試みを

2.2 モデル

行った先行研究として，ランダムフォレストを用いた

FIML を適用するにあたり，2 つの仮定を必要とす

方法（石岡, 2011），非線形因子分析を用いた方法（大る。1 つはモデル，もう 1 つは欠測メカニズムである。

津, 2011），加算モデルを用いた方法（前川, 2020），傾

本節ではモデルについて説明する。本研究では，多変向スコアを用いた方法（吉村・荘島, 2004; 荘島・橋本・量（19 変量）正規分布を仮定する。したがって，多宮澤・石岡・前川, 2022）などがある。なお，共通テ

変量正規分布における平均ベクトルと共分散行列（SDストの前身である大学入試センター試験に対して，と相関行列）が母数である。多変量正規分布の妥当性

FIML を適用した例は，荘島・大津・田栗（2006）やについては，第 4.1 節で議論する。

Shojima, Otsu, Mayekawa, Taguri, & Yanai（2007）にあるが，得点調整における平均点差に着目した分析

2.3 欠測メカニズム

ではなく，科目間の相関構造や因子構造に着目した分

FIML を適用する上で必要な 2 つ目の仮定である欠析であった。また，荘島・石塚・橋本（2007）では，

測メカニズム（星野 , 2009; 高井・星野・野間 , 2016）

FIML を用いた科目の平均点にも触れられているが，について本節で説明する。欠測メカニズムとは，欠測全体として得点調整の枠組みを論じており，FIML は

データの起こり方について分類したものであり，それそのうちの手法の 1 つとして取り上げられているのみ

ら は 完 全 ラ ン ダ ム 欠 測（missing completely atで詳述されていない。本研究では，FIML を用いた科

random, MCAR）， ラ ン ダ ム 欠 測（missing at

目間平均点差に焦点化して論じることを目的とする。

random, MAR）
， 非 ラ ン ダ ム 欠 測（missing not at
random, MNAR）の 3 タイプである。

2 方法

MCAR は，欠測がどこで起こるのか，あたかもサ

2.1 データ

イコロで決めたかのように（得点とは無関係に），完

1 月 18 日（水曜日）付けで公表された 221,659 人の全にランダムに起こる状況である。病気や忌引き，災中間集計データを用いる。これは，最終集計の約 45%

害を理由に，ある科目の受験を取りやめたならば欠測3）の受験者に関するデータである 。

となり，MCAR に該当するであろう。

また，分析に用いる科目は，表 2 に挙げた 19 科目

MAR は，ある科目の得点が観測か欠測かに関するとした。共通テストは全部で 31 科目あるのに，なぜ確率が，観測されている得点に依存している場合であ

これら 19 科目を選択したのかについては，これらはる。一般に，共通テストは学力が高いほど多科目受験

受験者数の多い主要科目だからである。英語以外の外型になる傾向がある。学力が低いほど少数科目受験型

国語など，中間発表の時点で受験者数が 2,000 人に満となる傾向がある。共通テストの一因子性は高く，実- 99 -

大学入試研究ジャーナル第 34 号

際に本データを固有値分解したときの第 1 固有値の寄すると，受験者 i の得点ベクトルは，

4）

与率は 64.2% である 。したがって，ある科目が欠測するかどうかは，他の科目（特に，英数国などの主要科目）の得点からある程度推測できる。すなわち，観測された得点が低いほど，全体的に少数科目型となって欠測しやすくなる。完全に MAR が成立するとは考となる。下付き添え字の 1 ～ 19 は，表 2 の国語～英

えにくいが，部分的に成立すると考え，本研究では，

語 L までの最初行左から最終行右までの科目順に対欠 測 メ カ ニ ズ ム に MAR を 仮 定 す る。FIML は，応している。また，上付き添え字の（0）は当該の科

MAR のときに母数を偏りなく推定する方法である。

目が欠測していることを表している。このとき，このMNAR は，欠測されている得点自体が原因で，欠欠測パタンに対応する選択行列は，測が生じた場合である。例えば，状況としては少し考10000000000000000000
00100000000000000000
00000000000000000010
00000000000000000001

えにくいが，学力が高い受験生がいてマークシートを
桁ずれ解答していたとする。受験終了間際に桁ずれに気づき，みじめな結果を残すくらいならば，と解答用
紙 を 持 っ て 受 験 会 場 か ら 去 っ た な ら ば 5）， こ れ は
MNAR であろう（MAR ではないだろう）。解答用紙となる。この Sg を用いると，が残っていないので欠測であるし，学力が高いのに欠測しているので観測データから当該科目の得点（の低となり，観測得点のみを取り出すことができる。同様さ）を推測できないからである。
本 研 究 で は， ひ と ま ず MAR を 仮 定 す る。 ま た，
MAR を仮定することの妥当性については，第 4.2 節に，平均ベクトルと共分散行列に対してもこの選択行列を適用することで，で議論する。
2.4 FIML

⎡
⎢
⎢
⎢
⎣

FIML は，欠測パタンごとに尤度を構築し，尤度を最大化する母数を得る手法である。まず，多変量正規
p x│μ, Σ）とする。ここで，x は，分布の密度関数を （

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

確率変数ベクトル，μ と Σ は，多変量正規分布の母数のように，観測得点に対応する平均と共分散のみを取である平均ベクトルと共分散行列である。
い ま， 欠 測 パ タ ン 数 を G と し（ 本 デ ー タ で はり出すことができる。

G=1842），受験者 i の欠測パタンが g 番目であれば 1，

そうでなければ 0 となる欠測パタン指示子

｛

mig=

1
0

このように構成されている（1）式の尤度は，欠測
パタン数だけグループを用意して，全ての母数にグループ間等値の制約を入れた多母集団分析と考えるこ

受験者 i の欠測パタンが g 番目
それ以外とが可能である。そして，（1）式の尤度を最大化して母数を推定する方法が FIML である。最大化の方法は，を考える。そして，データ全体の尤度をNewton-Raphson 法や，Fisher のスコアリング法など，古典的な方法でよい。本研究では後者を用いた。

|

FIML は MAR のもとで不偏な推定量であるため，

1

仮に欠測があっても母集団の母数（ここでは，平均と共分散行列）を推定することができる。したがって，と構成する。ここで，N（=221,497）は受験者数，xi は語弊を恐れずに言えば，「仮に全員が 19 科目を選択受｛xi｝（N × 19）はデータ
受験者 i の得点ベクトル，X=験したら，そのときの平均ベクトルと共分散行列がど行列である。

うなるか」ということを 2 つの仮定の下で推測したもまた，Sg は，欠測パタン g に対応した得点や母数をのと言える。

取り出す選択行列である。例えば，受験者 i が国語・日本史 B・英語 R・英語 L の 4 科目のみを受験したと- 100 -

完全情報最尤法を用いた令和 5 年度理科②の周辺平均

3 結果

について有意になった。すなわち，正規分布から逸脱

多変量正規性と MAR のもとで，FIML を用いてしていると判断された。とはいえ，KS 検定は，標本19 変量正規分布の平均ベクトルと共分散行列を推定

サイズ（受験者数）が大きいとき，どんなに正規分布した。このうち，理科②の得点調整に関わる物化生のに近似していても有意になってしまう。そこで，正規平均のみを表 2 に示す。

性の視覚的な確認のため，図 2 に物化生の 3 科目のみの P-P プロットを示した。

表 2 FIML による理科②物化生の平均・SD
科目
物理
化学
生物

平均
55.18
42.76
41.45

SE（平均）
0.070
0.061
0.076

SD
23.60
20.95
15.77

1.0

0.8

多変量正規性と MAR の 2 つの仮定の下で，「仮に全員が受けたら」物化生間の最大平均点差は 13.73 点あり，残る 13.73 点が科目間難易差であると示唆され

0.6

0.4

る。
得点調整の真意は，科目間難易差について調整するものであろう。そして，実受験者に対する得点調整の0.2

処置として，物化生の最大平均点差の約 24 点は，化学と生物選択者に対して加点することで約 15 点まで縮小した 6）。すなわち約 9 点を詰めたことになる。科

P 䉐䏭

C ⋽⭍
B 䔆䉐

になると分かった。つまり，見かけの平均点差 23.92
点（表 1）のうち，10.19 点は選択者集団の学力差で

P C
C
B
C
B
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
PP C
C
CB
BBB
C
PP C
B
BB
CC
CB
PBC
B
PPB
C
CC
PCB
B
BPC
BP
C
BP
CC
BP
B C
B CC
PP
B
B CCPP
B CP
B CC P
B C P
B C PP
B CC PB C PP
B CC PPB C
B C C PP
P
B C
P
P
B CC
P
B C
P
C
P
BC
P
P
C
B
P
C
P
BC
P
C
P
B
C PP
C
CB PP
CB PP
C
P
C BP
C PP
C PB
B
CPP
P
C
B
PP
PC
B
PC
PC
B
PPCB
P
C
PPC B
PPCB
PP CB
PPCCB
P
PP CC
BB
P
P
CB
P
C
P
B
P
B
C
BC
PPB
C
B
P
C
B
C
B
C
P
C
B
C
B
P
C
B
C
P
B
C
C
B
B
C
P

0.0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

図 2 物化生の P-P プロット

目間難易差は 14 点くらいであると見積もられている
ので，64%（9/14）くらいは調整によって難易差が軽減されたと思うことができよう。しかし，これはあく

P-P プロットは，プロットが対角線に沿って配置さまでもモデルに基づく試算の 1 つにすぎないので，本れていれば，分布が正規分布に近いことを意味してい分析結果によって，現実の得点調整を「点差の縮小幅る。図より，特に，物理は正規分布から大きく逸脱しが小さすぎる／大きすぎる」などと単純に評価するこていることが分かる。1 科目でも 1 変量正規分布に従とはできない。

わない科目が存在することは，全体として 19 科目の得点分布が多変量正規分布に従っていないことを示す

4 結論

証左である。しかし，統計分布を仮定するとき，多変結果において，見かけの平均点差 23.92 点のうち，学力差で説明できる部分は 10.19 点であると述べた。

量正規分布以外に扱いやすい多変量分布がないのも事実であり，今後の検討が必要である。

しかし，結果の解釈には，注意が必要である。これは，①モデルが多変量正規分布であること，②欠測メカニ

4.2 MAR の検討

ズムが MAR であること，という 2 つの仮定に依拠し実際は，中間発表データの約 22 万人の受験者が，た結果ということである。そこで，これら 2 つの仮定

さまざまな理由で欠測を起こすと考えられる。約 421

が，どれくらい妥当であるかについて議論しておく必万（22 万人× 19 変量）のデータのうち，
約 296 万（約要がある。

7 割）のデータは欠測している。その中には，MCARに よ っ て 起 こ っ た 欠 測 も あ る だ ろ う し，MAR や

4.1 多変量正規性の検討

MNAR で起こった欠測もそれぞれあるのが事実であ

まず，①多変量正規性の仮定である。多変量（19ろうが，多くは単純に（A）出願に必要ないから，（B）変量）正規分布は，個々の周辺分布も 1 変量正規分布

選択できないから，ということによる欠測であろう。

に従うので，各科目の得点分布について Kolmogorov-（A）については，例えば，理系学部に出願する予

Smirnov（KS）検定を行ったところ，19 科目の全て

定の受験者が理科①を欠測するのは，理系学部の出願- 101 -

大学入試研究ジャーナル第 34 号に不要だからである。その代わり，理科②科目が観測る（高井・星野・野間 , 2016）ため，MNAR に関しされているので，理科①科目の欠測は，理科②科目のて未調査の現段階では実行不可能である。今後の課題

得点が観測されていることによって分かる。

としたい。
しかし，
仮にできたとしても観測されなかっ

また，（B）については，例えば，世界史 B と地理
B の受験者が日本史 B を欠測しているのは，地歴公

た 欠 測 デ ー タ が な け れ ば 厳 密 な 意 味 で MAR か
MNAR の判別はできない（松山 , 2004）。

民教科は 2 科目までしか受験できないからである。こ少なくとも，観測されたデータから平均・SD・相のとき，日本史 B の欠測は，世界史 B と地理 B が観関を求めるという従来の統計資料は，欠測メカニズム

測されたことによって分かる。また，日本史 A と日が MCAR であるという厳しい条件を暗に仮定されて本史 B のように，同一名称を含む 2 つの科目を同時いることについて，自覚的であるべきである。本研究に選択できないため，例えば，日本史 B を選択したに よ っ て， 従 来， 暗 に 仮 定 さ れ て い た MCAR を

受験者の日本史 A の得点は欠測となる。したがって，

MAR に緩和し，従来よりも真の母数に接近した結果

日本史 B の観測によって日本史 A の欠測が分かる。

を示すことができた。

つまり，（A）と（B）は，構造的に表れる欠測パタンであるが，いずれも欠測するか否かの情報を観測さ注れた科目群が保持しているので，これら欠測パタンの

1）その他，原因の特定できない様々な細かい要因も混入し欠測メカニズムとしては MAR と見なすことができる。むろん，このような欠測の全てを観測された科目ていると思われるが，本論文では扱わない。
2）本論文の見解は，著者らの個人的見解であり，所属組織

群によって説明できるわけではないが，「部分的にMAR が成立する」「MAR を仮定しても全く的外れでの公式見解ではない。
3）分析に投入する受験者数が一定数いる科目は，中間集計はない」とは言ってよいだろう。

データの平均点は，最終集計データの平均点と大きくてもこのように，欠測の全てではないが，大部分は，大1 点ほどしか違わない。したがって，中間集計データが十学入試センターの受験案内が定めるところの科目選択

分に最終集計データを代表していると見なして分析する。

に関する規則（大学入試センター , 2022, pp.3–4）が4）ただし，倫理政治経済を除いた 18 科目の共分散行列を固素直に適用されたことによる結果であるから，欠測の有値分解したときの結果である。倫理政治経済は，倫理お相当部分は MAR と見なすことができるだろう。また，

よび政治経済と同時受験ができないため，この 2 科目との仮に病気や災害などによる欠測（MCAR）が起きた

共分散は計算できないためである。

としても，FIML は，MCAR のもとでも正しく母数5）マークシート（解答用紙）の持ち帰りは違反行為である。

を推定することができる。

6）得点が離散値であり，かつ，同一の得点をとる受験者がいるため，正確に 15 点差にならない。

4.3 今後の課題と終わりに全体の欠測のうち，いったい MNAR の割合がどれ謝辞くらいなのか，ということが問題として残っている。

本研究は，
大学入試センター理事長裁量経費研究「共

定義上，1 つでも MNAR によって起こった欠測があ通テストに対応した得点調整方法と成績提供法の検るならば，データ全体の欠測メカニズムは MNAR と討」の助成を受けたものである。

な る。 そ し て， 約 275 万 の 欠 測 デ ー タ の う ち，
MNAR による欠測が 1 つもないという可能性はない

参考文献の で，共通テス ト デ ー タ 全 体 の 欠 測 メ カ ニ ズ ム はArbuckle, J. L.（1996）Full information estimation in the

MNAR ということになる。この点，どのように欠測

presence of incomplete data. In G. A. Marcoulides & R. E.

が起きたかについて，受験生に面接をするなどしてSchumacker （Eds.）, Advanced Structural Equation

MNAR の種類や割合などを調査し，欠測メカニズム

Modeling. Lawrence Erlbaum Associates, Inc.（pp. 243–

として組み込むことで，さらに精緻な分析を行うこと

277）.

ができる可能性があるので今後の課題としたい。

大学入試センター（2022）．
「令和５年度大学入学共通テスト

な お，MAR か MNAR か の 検 定 と し て Hausman（本試験）の得点調整について」大学入試センター

検定（Hausman, 1978）がある。しかし，この検定を（https://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?d=34&f=

実行するためには，まず，欠測データメカニズムをモ

abm00000322.pdf&n= 令和５年度「受験案内」（一括ダウ

デリングして一致性を持つ推定量を構築する必要があ

ンロード）
.pdf）
（2023 年 1 月 23 日）．

- 102 -

完全情報最尤法を用いた令和 5 年度理科②の周辺平均

科学』岩波書店．

大学入試センター（2023a）．「令和５年度大学入学共通テス

吉村宰・荘島宏二郎（2004）．「本追モニター調査の結果を利ト（本試験）の得点調整について」大学入試センター（https://www.dnc.ac.jp/news/albums/abm.php?d=230&

用した傾向スコア加重法による本追試験間の難易度比較」

f=abm00003367.pdf&n=【プレス発表】令和５年度大学入『大学入試センター研究紀要』33，19–28.

学共通テスト（本試験）の得点調整について.pdf）（2023
年 1 月 23 日）．
大学入試センター（2023b）．「令和５年度大学入学共通テス
ト（本試験）平均点等一覧（中間集計）」大学入試センター（https://www.dnc.ac.jp/news/albums/abm.php?d=225&
f=abm00003349.pdf&n=（プレス発表）令和５年度大学入学共通テスト（本試験）平均点等一覧（中間集計）_.pdf）（2023 年 1 月 23 日）．
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