基礎ゼミ 第6回目
交通行動と分析のモデリング第3部 モデリング
第７章 離散・連続選択モデルと連立方程式系

2017年5月18日（木）福田研究室 学部４年
城間 洋也

はじめに
• 連立方程式モデル系の推定における問題点• 非線形モデル系の推定法（選択性修正法とその限界など）

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Outline• 7.1 離散選択モデルと線形回帰モデルの結合
7.1.1 内生変数が説明変数となった場合のモデル推定
7.1.2 モデル系のFTML推定
7.1.3 自己選択性バイアス修正項を用いたモデル推定
7.1.4 多項離散選択モデルを含むモデル系への拡張• 7.2 限定従属変数を含む連立方程式モデル系
7.2.1 二変量二項選択モデル
7.2.2 線形ー二項離散選択ー線形モデル
7.2.3 自己選択性バイアス修正項適用にあたっての問題点• まとめ3

7.1 離散選択モデルと線形回帰モデルの結合• 線形回帰モデル（連続選択モデル）
𝑦𝑛 = 𝜶𝒙𝒏 + 𝜀𝑛（𝑦𝑛 :個人nの被説明変数 𝜶:係数ベクトル 𝒙𝒏 :個人nの説明変数ベクトル 𝜀𝑛 :誤差項）

最小二乗法（OLS）により𝜶を推定• 離散選択モデル
𝑈𝑖,𝑛 = 𝜷𝒊,𝒏 𝑿𝒏 + 𝜉𝑖,𝑛
（𝑈𝑖,𝑛 :個人nの選択肢𝑖による効用 𝜷𝒊,𝒏 :係数ベクトル 𝑿𝒏 :個人nの説明変数ベクトル 𝜉𝑖,𝑛 :誤差項）

最尤推定法により𝜷𝒊,𝒏 を推定→これらの選択行動が相互に密接に関係していることを考慮し、各モデルを組み合わせた統合的なモデル系を推定することでより広範かつ的確な行動分析が可能となることがある（ex）自動車利用度と車種選択
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7.1 離散選択モデルと線形回帰モデルの結合• 前回までの選択モデルでは…
説明変数はモデルの外で定まっている（外生変数）• 連立方程式モデル系では…

説明変数にモデル系内で定められる確率的な変数が含まれる（内生変数）
𝑋 = 𝛽0 + 𝛽𝑌 𝑌 + 𝛽𝑍 𝑍 +𝜀𝑋
𝑌=𝛽𝑋 𝑋 + 𝛽𝑊 𝑊 + 𝜀𝑌
→連立方程式モデル系では推定値にバイアスが生じる
57.1.1 内生変数が説明変数となった場合のモデル推定

𝑌𝑛 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑛 + 𝑢𝑛(𝑢𝑛 , 𝑣𝑛 )~MVN(0,Σ)
𝑍𝑛 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑛 + 𝑣𝑛
上の簡単なモデルの未知係数をOLS推定すると、、
Σ(𝑋𝑛 − 𝑋)(𝑌𝑛 − 𝑌)

Σ𝑥𝑛 𝑦𝑛𝑏==Σ𝑥𝑛2
Σ(𝑋𝑛 − 𝑋)2
Σ(𝑌𝑛 − 𝑌)(𝑍𝑛 − 𝑍) Σ𝑦𝑛 𝑧𝑛
𝛽==2
Σ𝑦𝑛2
Σ(𝑌𝑛 − 𝑌)6

7.1.1 内生変数が説明変数となった場合のモデル推定
𝑦𝑛 = 𝑏𝑥𝑛 + 𝑢𝑛 (𝑢 = 0を仮定)であることを考えると𝑏の期待値は
Σ𝑥𝑛 𝑦𝑛Σ𝑥𝑛 (𝑏𝑥𝑛 + 𝑢𝑛 )𝐸 𝑏 =𝐸=𝐸=𝑏22
Σ𝑥𝑛
Σ𝑥𝑛

同様にすると𝛽の期待値は
Σ𝑦𝑛 𝑧𝑛Σ𝑦𝑛 (𝛽𝑦𝑛 + 𝑣𝑛 )Σ𝑦𝑛 𝑣𝑛
𝐸 𝛽 =𝐸=𝐸=𝛽+𝐸22
Σ𝑦𝑛
Σ𝑦𝑛
Σ𝑦𝑛2
Σ𝑥𝑛 𝑣𝑛Σ𝑢𝑛 𝑣𝑛= 𝛽 + 𝑏𝐸+𝐸2
Σ(𝑏𝑥𝑛 + 𝑢𝑛 )Σ(𝑏𝑥𝑛 + 𝑢𝑛 )2Σ𝑢𝑛 𝑣𝑛=𝛽+𝐸≠𝛽2
Σ(𝑏𝑥𝑛 + 𝑢𝑛 )→OLS推定量𝛽は𝑢𝑛 , 𝑣𝑛 が独立でない限り不偏推定量とならない
二段階最小自乗推定法、選択性修正法などの手法を用いる
7

7.1.2 モデル系のFTML推定
FTML推定→基本的には最尤推定法と同じデータに欠損があっても良い誤差項の確率密度関数（多変量正規分布）
11𝑓 𝒙 =
exp − 𝒙 − 𝝁 𝑇 Σ −1 (𝒙 − 𝝁)2( 2𝜋)𝑚 Σ（𝒙: 確率変数ベクトル 𝝁:平均値のベクトル Σ:分散共分散行列）→データのサイズが異なっていても同じように個人ごとの尤度を求められる

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7.1.2 モデル系のFIML推定(ex)モデル系1
𝑌𝑛 = 𝑎 + 𝛽𝐷𝑛 + 𝜀𝑛1 𝑖𝑓 𝑍𝑛 > 0𝐷𝑛 =𝑍𝑛 = 𝜸𝑿𝒏 + 𝜉𝑛0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
𝜎𝜀2 𝜎𝜀𝜉(𝜀𝑛 ,𝜉𝑛 )~MVN(0,Σ), Σ=
1
誤差項の確率密度関数(𝜌:𝜀𝑛 と𝜉𝑛 の相関係数)
11𝑓𝜀𝜉 𝑠, 𝑡 =exp −2 1 − 𝜌22𝜋𝜎𝜀 1 − 𝜌2

対数尤度関数1∞𝑠
𝜎𝜀2− 2𝜌𝑠𝑡 + 𝑡2𝜎𝜀21
𝑌𝑛 − (𝛼 + 𝛽𝐷𝑛 )𝑌𝑛 − (𝛼 + 𝛽𝐷𝑛 )𝐿𝐿 = 𝑁𝑙𝑛+𝐷𝑛 𝑙𝑛
𝑒𝑥𝑝 −−2𝜌
𝑡 + 𝑡 2 𝑑𝑡
22 1−𝜌
𝜎𝜀𝜎𝜀2𝜋𝜎𝜀 1 − 𝜌2−𝜸𝑿𝒏𝑛2−𝜸𝑿𝒏1𝑌𝑛 − (𝛼 + 𝛽𝐷𝑛 )𝑌𝑛 − (𝛼 + 𝛽𝐷𝑛 )+ (1 − 𝐷𝑛 ) 𝑙𝑛
𝑒𝑥𝑝 −−2𝜌
𝑡 + 𝑡 2 𝑑𝑡
22 1−𝜌
𝜎𝜀𝜎𝜀−∞𝑖→最適化
97.1.3 自己選択性バイアス修正項を用いたモデル推定• 選択性修正法
連続選択モデルの方の誤差項を誤差の条件付き期待値とその期待値からの偏差に分けて考える𝜂 = 𝐸[𝜂|𝑖] + 𝜈𝐸[𝜂|𝑖]は被説明変数に影響を与える観測されない要因と考える
𝐸[𝜂|𝑖]は選択確率P 𝑖 とそれに影響を与える変数と相関がある→ 選択性修正項として𝐸[𝜂|𝑖]を導入することで𝜈が正規分布とみなすことができればOLSで推定可能10

7.1.3 自己選択性バイアス修正項を用いたモデル推定• 自己選択性バイアス修正項の導出(ex)
モデル系1𝑌𝑛 = 𝑎 + 𝛽𝐷𝑛 + 𝜀𝑛1 𝑖𝑓 𝑍𝑛 > 0𝐷𝑛 =𝑍𝑛 = 𝜸𝑿𝒏 + 𝜉𝑛0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒(𝜀𝑛 ,𝜉𝑛 )~MVN(0,Σ), Σ=𝜎𝜀2𝜎𝜀𝜉1p6と同様に𝑑𝑛 = 𝐷𝑛 − 𝐷などを定義すると𝛽のOLS推定量とその期待値は
Σ𝑦𝑛 𝑑𝑛Σ𝜀𝑛 𝑑𝑛
𝛽==𝛽+
Σ𝑑𝑛2
Σ𝑑𝑛2
Σ𝜀𝑛 𝑑𝑛𝐸 𝛽 =𝛽+𝐸Σ𝑑𝑛2
117.1.3 自己選択性バイアス修正項を用いたモデル推定
𝐸 𝜀𝑛 𝑑𝑛 =Pr 𝑍𝑛 > 0 𝐸 1 − 𝐷 𝜀𝑛 𝑍𝑛 > 0 + Pr [𝑍𝑛 ≤ 0] 𝐸[(−𝐷)𝜀𝑛 | 𝑍𝑛 ≤ 0]
サンプル数N→∞の場合を考える
𝐷を定数として扱い、標準累積正規分布関数Φを用いると、

𝐸 Σ𝜀𝑛 𝑑𝑛 =Φ(𝜸𝑿𝒏 ) 1 − 𝐷 𝐸 𝜀𝑛 𝜉𝑛 > −𝜸𝑿𝒏 + Φ(−𝜸𝑿𝒏 )(−𝐷)𝐸[𝜀𝑛 |𝜉𝑛 ≤ −𝜸𝑿𝒏 ]12

7.1.3 自己選択性バイアス修正項を用いたモデル推定（2変量正規分布の特性）
1 𝜎12(𝑢1 ,𝑢2 )~MVN(0,Σ), Σ=のとき
1𝐸 𝑢1 𝑢2 > 𝑐 = 𝜎12 𝐸 𝑢2 𝑢2 > 𝑐 = 𝜎12𝜙(𝑐)1 − Φ(𝑐)𝜙(𝑐)𝐸 𝑢1 𝑢2 ≤ 𝑐 = 𝜎12 𝐸 𝑢2 𝑢2 ≤ 𝑐 = −𝜎12Φ(𝑐)𝐸 𝜀𝑛 𝑑𝑛 =Φ 𝜸𝑿𝒏

𝜙 −𝜸𝑿𝒏𝜙 −𝜸𝑿𝒏1 − 𝐷 𝜎𝜀 𝜎𝜀𝜉+ Φ −𝜸𝑿𝒏 −𝐷 𝜎𝜀 𝜎𝜀𝜉 −Φ 𝜸𝑿𝒏
Φ −𝜸𝑿𝒏= 𝜎𝜀 𝜎𝜀𝜉 𝜙 −𝜸𝑿𝒏

P10の式（𝐸 𝛽 = 𝛽 + 𝐸

Σ𝜀𝑛 𝑑𝑛2Σ𝑑𝑛）と比べると、𝜎𝜀𝜉 ≠ 0のとき（𝜀, 𝜉に相関があるとき）OLS推定量𝛽は不偏推定量でないことがわかる
13

7.1.3 自己選択性バイアス修正項を用いたモデル推定
Heckman(1979)は以下のような修正項を用いた推定法を提案した
𝑍𝑛 = 𝜸𝑿𝒏 + 𝜉𝑛
1 𝑖𝑓 𝑍𝑛 > 0𝐷𝑛 =0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
𝜙 − 𝜆𝑛𝜆𝑛 = 𝜸𝑿𝒏 , 𝑊𝑛 =Φ 𝜆𝑛−𝜙 − 𝜆𝑛Φ −𝜆 𝑛←𝑍𝑛 の式が説明変数として内生変数を含まないため通常の最尤推定法により𝜸
推定可𝒊𝒇 𝐷𝑛 = 1を定義
𝒊𝒇 𝐷𝑛 = 0

𝑌𝑛 = 𝑎 + 𝛽𝐷𝑛 + 𝜃 𝑊𝑛 + 𝑤𝑛 にOLSを適用←𝑌𝑛 の誤差項を𝜀𝑛 =𝜎𝜀 𝜎𝜀𝜉 𝑊𝑛 + 𝑤𝑛と表すと𝑤𝑛 は漸近的に期待値０の独立な確率変数とみなせる
14

7.1.4 多項離散選択モデルを含むモデル系への拡張• 前述と同様にして多項離散選択モデルを含む場合でも選択性修正項を導入できる𝐸𝜂𝑗 =6𝜎 2𝜋𝑛[𝑖=1𝑖≠𝑗𝑃𝑖
𝜌𝑖 : 𝑒𝑖 と𝜂の相関係数
𝜌𝑖𝑙𝑛𝑃𝑖 − 𝜌𝑗 𝑙𝑛𝑃𝑗 ]1 − 𝑃𝑖𝜎 2 : 𝜂の分散
[Dubin, McFadden(1984)]→ 𝑌𝑛 = 𝛼 + 𝜷𝑿𝒏 + 𝛾

𝑃𝑖𝑁[𝜌
𝑖=1 𝑖 1−𝑃 𝑙𝑛𝑃𝑖 − 𝜌𝑗 𝑙𝑛𝑃𝑗 ] + 𝜈𝑖𝑖≠𝑗15

7.2 限定従属変数を含む連立方程式モデル系• 限定従属変数→ある限られた範囲の値しかとらない、あるいは何らかの条件に当てはまったときにはデータが観測できないような変数(ex) パネル調査による観測データとパネル離脱行動
パネル調査1

パネル調査2

Aさん

〇→〇

Bさん

〇

（離脱）

×16

7.2.1 二変量二項選択モデル
モデル系21 𝑖𝑓 𝐶𝑛∗ > 00 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
1 𝑖𝑓 𝐴∗𝑛 > 0∗𝐴𝑛 = 𝛽𝑿𝑛 + 𝛾𝑚𝑛 + 𝜀𝑛 , 𝑤𝑛 =0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒∗𝐶𝑛 : 初回調査での個人𝑛の交通手段選択に対応する潜在意識
𝑚𝑛 : 観測された手段選択の指標（単独で運転１それ以外０）𝐴∗𝑛 : パネル離脱行動に対応する潜在変数
𝑤𝑛 : パネル離脱行動の指標（参加1, 離脱0）
𝐶𝑛∗ = 𝜃𝒁𝑛 + Ψ𝑛 , 𝑚𝑛 =→離散選択の結果を内生変数として含むモデルはOLS推定できない
2変量プロビットモデルを適用

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7.2.1 二変量二項選択モデル
対数尤度関数LL =
∞

∞

∞

𝑙𝑛𝑛
𝑚𝑛 =1
𝑤𝑛 =1+𝑓Ψ𝜀 𝑠, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠 +−𝜃𝒁𝑛 −(𝛽𝑿𝑛 +𝛾)𝑙𝑛𝑛
𝑚𝑛 =1𝑤𝑛 =1−𝜃𝒁𝑛∞−∞−𝛽𝑿𝑛𝑙𝑛𝑛𝑚𝑛 =1𝑤𝑛 =1𝑓Ψ𝜀 𝑠, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠 +𝑙𝑛𝑛𝑚𝑛 =1𝑤𝑛 =1−(𝛽𝑿𝑛 +𝛾)−𝜃𝒁𝑛 −∞−𝜃𝒁𝑛−𝛽𝑿𝑛−∞−∞

𝑓Ψ𝜀 𝑠, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠

𝑓Ψ𝜀 𝑠, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠

→ 最適化

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7.2.2 線形ー二項離散選択ー線形モデル
モデル系3𝑦1𝑛 = 𝛼1 𝑽1𝑛 + 𝜉1𝑛1 𝑖𝑓 𝐴∗𝑛 > 0∗
𝐴𝑛 = 𝛽𝑿𝑛 + 𝜀𝑛 , 𝑎𝑛 =0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
𝑦2𝑛 = 𝛼2 𝑽2𝑛 + 𝜉2𝑛 𝑖𝑓𝑓 𝑎𝑛 = 1𝑦1𝑛 : 世帯nの初回調査での１時間当たり総トリップ数
𝑎𝑛 : パネル離脱行動の指標（参加1, 離脱0）𝐴∗𝑛 : パネル離脱行動に対応する潜在変数
𝑦2𝑛 : 世帯nの第２回調査での１時間当たり総トリップ数

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7.2.2 線形ー二項離散選択ー線形モデル
誤差項間に経時的従属性を仮定

𝜌1𝜀𝐸 𝜀𝑛 𝜉1𝑛 =𝜉𝜎1 1𝑛𝜌1𝜀𝜀𝑛 =𝜉1𝑛 + 𝑢𝑛 , 𝑢𝑛 ~𝑁(0,1 − 𝜌1𝜀 2 )𝜎1

初回調査の誤差項𝜉1𝑛 と第二回調査に参加するという条件が与えられたとき、𝜉2𝑛 の期待値は下のようにあらわせる𝜌12 𝜎2𝜙(𝑊𝑛 )2𝐸 𝜉2𝑛 𝜉1𝑛 , 𝜀𝑛 > −𝛽𝑿𝑛 =𝜉1𝑛 + 1 − 𝜌12 𝜎2 𝜌2𝜀|1𝜎1
Φ(−𝑊𝑛 )
𝜌𝑊𝑖 =−𝛽𝑿𝑛 −𝑦1𝑛 = 𝛼1 𝑽1𝑛 + 𝜉1𝑛1𝜀𝜎121 − 𝜌12→

𝜉1𝑛, 𝜌2𝜀|1 =𝜌2𝜀 − 𝜌12 𝜌1𝜀

221 − 𝜌121 − 𝜌1𝜀𝐴∗𝑛 = 𝛽𝑿𝑛 + 𝛾1 𝜉1𝑛 + 𝑢𝑛 →, 𝜆𝑛 =𝜙(𝑊𝑛 )Φ(−𝑊𝑛 )

𝑦2𝑛 = 𝛼2 𝑽2𝑛 + 𝛾2 𝜉1𝑛 + 𝛾3 𝜆𝑛 + 𝑢2𝑛

𝛼1 → 𝛽, 𝛾1 → 𝛼2 , 𝛾2 , 𝛾3 を順に推定

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7.2.3 自己選択性バイアス修正項適用にあたっての問題点

OLS推定では誤差項が独立な正規分布である必要がある
𝑌𝑛 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑛 + 𝑢𝑛 𝑢𝑛 ~𝑁(0,1)(問題点)・離散選択の結果を説明変数に含むときなど、正規確率変数が打ち切られている場合、それと相関を持つ正規確率変数の条件付き分布は正規分布とはならない
・修正項の導入によって得られる誤差項は異質性をもつ（個人によって誤差項の分散が異なる）→このような限界を考慮した上で修正項が適用可能な場面を判別する必要がある

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まとめ
• 内生変数が説明変数となっている場合、誤差項間の相関を考慮してOLS推定する必要がある• 上の問題を解決するために誤差の期待値を用いた修正項を導入する
方法がある• 離散選択の結果が説明変数に含まれる場合は誤差項の非正規性・異質性の観点から選択性修正法を適用すべきでない• 適用できない場合は多変量プロビットモデルを適用

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