2024年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
電子光科学1-1/6

電子光科学 I
次のII-11からII-61の6問について，それぞれ別の解答用紙に答えよ．なお，各問題に2枚以上の解答用紙を用いる場合は，「｢1-11 ( 2枚目)」などのように明記せよ．

[1-1]

f(x) = tanh-'x + tan-'x (-1 < x < 1)について，以下の問に答えよ．ただし,[は虚数単位である．

（配点15点）1+ixとなることを導出せよ(1) f(x) = ;{'og(g) -i'og （）｝1 - i x(2) log(1 + z) (|Zl < 1)のマゴ
1)のマクローリン展開を使って， f (x)をマクロ 一 リ ン 展 開 せ よ20 24年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
電子光科学1-2/6[1-2]

jf",*'とする以下の間に答えよただし,iは虚数単位とする
6は実数,（配点20点）(1)

z = eieとおいてノをzに関する積分で表せ．

(2)問(1)で求めた被積分関数の極をすべて求めよ．
(3) I を求めよ．

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電子光科学 1-3/6[1-3](配点20点）通信路と線形符号について，以下の問に答えよ(1)通信路行列が次式で表される通信路を用いて，長されの符号語を送信したとき，受信語に左個の誤りが生じる確率と受信語に生じる誤りの個数の平均を求めよ．ただし，左＝0,1,2,…,れとする．

w=['g｡ ,Eg}, (0<g<<;)(2)パリティ検査行列が次式で表される線形符 号で' " = (171' "2' "3' 1Z4' "5' "6' 117' "8)が符号語であれば'万＝(万1'万2'万3'画'万5'万6'万7'ヴ8）も符号語となることを示せ・ただし, "i=1­〃i, "iE{0, 1} (j = 1, 2, 3,…,8)とする．
11011000

脚=冊冊:;Y:,11111111=，

以下の問では，問(1)の通信路で問(2)の線形符号を用いて通信を行った場合を考える(3)受信語が（1,1,1,1,0,1,0,1）のとき，送信された符号語を推定せよ．符号語が推定できない場
合は，その理由を簡潔に述べ，受信語に含まれる可能性のある誤りの個数を全て挙げよ．

(4)受信語が（1,0,1,1,1,1,0,0）のとき，送信された符号語を推定せよ．符号語が推定できない場
合は，その理由を簡潔に述べ，受信語に含まれる可能性のある誤りの個数を全て挙げよ．

(5)一般の受信語について，復号結果に含まれる誤りの個数の平均を，どの次数が低い方から2‾項まで求めよ．ただし，符号語が推定できない場合は，受信語をそのまま復号結果とせよ．

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電子光科学1-4/6[1-4]

電子スピンの量子力学的運動を考える．電子のスピン自由度のみを考え,Z軸方向に磁場をかけたときの固有状態を基底として，規格化された2次元の複素ベクトル|">=(場),|u,|2 + |ZI212 = 1を用いて電子スピン状態を表す．この電子スピンに磁場B = (Bx,By,Bz)をかけたときのハミル
トニアンを，〃をボーア磁子として，

H="B･ぴ="(BxqE + ByOj, +BzOZ)とする．ただし, "=(o)',oj,,oZ)とし，パウリ演算子OtM(Qf=x,y,z)は，虚数単位をiとして，

鰯=(冊)↓吟=(? 5i), "=(; 2,)とした．また，時刻tの電子スピン状態lu(t)>が従うシュレーディンガー方程式は，換算ブラン ク 定 数 h を 用 いて ，ʻ胸釜lu(t)>Hlu(t)>=で与えられる．以下の問に答えよ．
（配点20点）:）( に対して，パウリ演算子の期待値“>,<必ﾉ>,<oz>を計算せよ．

(1)電子スピン状態lu> =1(2)初期状態|況(0)>＝㈲万1に対して，磁場B = (0, 0,Bo) (Bo > 0)のもとで時間発展させたとV2

きの時刻t>0における電子スピン状態lu(t)>を求めよ．また､ozr>, <oy>を求め，その軌跡を2次元平面に図示せよ．

(3)磁場B = (B0, 0, Bo)をかけたときの固有エネルギーと規格化された固有状態を求めよ．

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電子光科学1-5/6[15]図のように,Z軸を中心とする半径αと6 (a<6)の2重円筒導体が真空中におかれている．円筒はz方向に無限に長く，円筒の厚みは無視できるものとする．円柱座標(γ, ｡, z)を用いて，以下の問に答えよ．ただし，真空の誘電率と透磁率をそれぞれEOとルル0とする．また，虚数単位をjとする．
（配点45点）(1)内部円筒と外部円筒にz方向の単位長あたりそれぞれQと­Qの電荷が一様に分布しているとする．

a)電場(E", E., Ez)を0<7"<(z, q<7､<6, 6<γの各領域においてそれぞれ求めよ．
b)内部円筒と外部円筒の電位差Vを求めよ．
c)z方向の単位長あたりの電気容量をEO, a, 6を用いて記せ．
d)z方向の単位長あたりの電気エネルギーを求めよ．

(2)内部円筒と外部円筒にそれぞれ1Zと­12の電流が一様に流れているとする．Zはz方向の単位ベクトルである．

a)磁束密度(Br) Bo, Bz)を0<r<Q, q<r<6, 6<γの各領域においてそれぞれ求めよ．
b)z方向の単位長あたりの磁束①を求めよ．
c)z方向の単位長あたりのインダクタンスを〃0,(z)6を用いて記せ．

d)z方向の単位長あたりの磁気エネルギーを求めよ．
(3)電位差Vと電流Iが位置zと時間tに依存するとき，ファラデーの法則と電荷の保存則にしたがい芸 筈=0ʻ筌腎=0が成り立つ．複素数表示の進行波解V(z, t) = I/6 exp[i(hz - "t)1とI(z, t) = Ib exp['(kz ̲ "t)1を仮定して，次の間に答えよ．ただし, ",k>0とする．

a)位相速度U=uJ/肉と特性インピーダンスzO=I/b/lbを求めよ．

b)進行波解に対応する電磁波の波動インピーダンスと複素ポインティングベクトルを求めよ．
ノZ

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電子光科学1-6/6(1-61
図 の よ う に ， 帯 電 して い な い 無 限 に 長 い 導 体 円 筒 を ， 一 様 な 磁 場 中 で z 軸 を 中 心 に 角 速 度 “ で 回 転 させたところ，円筒内で電荷分布が生じた．磁場はz軸に平行であり，磁束密度の大きさはBである．
また，円筒の内径はα，外径は6である．次の問に答えよ．ただし，真空の誘電率をEOとする．また，回転する電荷がつくる磁場は無視してよい．必要であれば以下の円柱座標系(γ,｡,z)における発散の公式を用いよ．

▽A=型州半器鮒呈Az
r3T(配点30点）ｊ
z軸から距離γ(α＜γ＜6)の位置における電場(ET, Eo, Ez)を求めよｌ
ｊ円筒の内側の面に対する外側の面の電位を求めよ．
１２ｊ z軸から距離γ(α＜γ＜6)の位置における電荷密度を求めよ．
３
１４ｊ z方向の単位長あたりの円筒の内側の面の表面電荷密度を求めよ．
５ｊ z方向の単位長あたりの円筒の外側の面の表面電荷密度を求めよ．
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