2024年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
機械科学1‑1/4

機械科学I（問題1から問題3の全てに解答し，それぞれ別の解答用紙に記入せよ．各問題に2枚以上の解答用紙を用いる場合には， 「問題1 （2枚目)」などのように記入せよ.）問題1(1)以下の問に答えよ．

(a)次の行列Mの階数を求めよ．

M=I";l(b)3次元空間内の3つのベクトルa=(1 ̲2 3)T, b=(2 1 ‑2)T, c=(3 ‑2 1)'に対して, a, b, cを3辺とする平行六面体の体積を求めよ． ここで，ベクトルqに対する転置ベクトルをqTと表記する．
(c)次の行列Aの固有値と固有ベクトルを求めて，行列Aを対角化せよ．

｜

A=

さらに，次の式で定義される行列Aの指数関数を計算し， 3行3列のすべての成分を示せ．ただし, Iは3行3列の単位行列である．

exp(A)=I÷A十坐塁手…=I+量型a"!
213！

(2)以下の問に答えよなお,虚数単位を' (=､/=T)と表記する(a)次の複素関数（z)が正則であることから，実定数α, 6, c,αの間に成り立つ条件を求めよ．ただし，
Z=X+〃である． ここで, x,yは実数である．

'(z)=("+b)')+j(cx+cj')(b)閉経路Cに沿った次の複素関数の積分の値を求めよ．なお，閉経路Cは円￨zl=3で，向きは反時計回りとする．
(I)

f烏(Ⅱ）

f (z‑,i(:f2)""
oxp(z)

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機械科学I‑2/4

問題2

図2‑1(a)に示すように,A点が固定支持された長さLの片持ちはりABに対して,A点からs(0<s<L)だ
け離れたC点に集中荷重Pを負荷する． このはりの断面図形として，図2‑1(b)から(d)に示す一辺の長さが〃の3種類の正方形を考える．ただし，断面図形における材料1および材料2のヤング率は，それぞれEおよび2Eとし，図2‑1(d)は材料1と材料2からなる組み合わせはりの断面である．また, X軸の原点はA点とし, Z軸は各断面図形の図心Gを通るものとする．以下の問に答えよ．ただし，はりABの自重は無視できるものとする．

(1)

はりABのせん断力線図と曲げモーメント線図を描け．

(2)

はりABの断面図形(b)と(c)に対して, Z軸に関する断面二次モーメントをそれぞれ求めよ．

(3)

はりABの断面図形を(b)とし, C点の位置をs=2L/3とする． このとき， はりのたわみ曲線と曲げ応力の最大値を求めよ．

(4)

はりABの断面図形を(c)とする． このはりの曲げ応力の最大値が, RM(3)で求めた曲げ応力の最大値と一致するとき, C点の位置sを求めよ．

はりABの断面図形が(d)のとき，中立軸は図心Gからy軸正方向へ移動する．
(5)はりABの断凹図形が(d)のとき，中立軸は凶心Gからy軸止万回へ杉勤すゐ．に基づきこのとき，断面における力の釣り合い式を導くとともに，中立軸の移動量を求めよ．

(6)断面図形(b)に対する曲げ剛性と，断面図形(d)に対する曲げ剛性の比を求めよ．
(a)

P

「yル

￨‐
〜ル
一一一｜﹄

」

４ 、材ル ﾄ1
〃(d)

(c)
̲l

Io−o−・

1■■･･･一一ｚ
一z−←

q■■

ノ1

〃/4 一

１ 「一」

材1 ﾄ1

3h/4一ＪG＄1G

蕊鍵議議議蕊蕊

O

0けvy
図2‑1ｚ
↑

一一 材料2

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機械科学I‑3/4問題3(1) ポリトロープ変化は理想気体の可逆変化である．ポリトロープ変化では 理想気体の体積のα乗と圧力との積が一定に保たれる．以下では，気体定数R,定積比熱CV'質量mの理想気体のポリトロープ変化を考える．定積比熱Cvは一定である．

(a)指数αでポリトロープ変化するこの理想気体の比熱を求めよ．
次に，ポリトロープ変化の具体例として，図3‑1に示すような，密閉され周囲から断熱されたシリンダ内における上記の理想気体の状態変化を考える．シリンダ内には断面積Aのピストンによりこの気体が封入されており，ピストンはばね定数kの線形ばねでシリンダ上部に取り付けられている．シリンダとピストン上面に囲まれた空間は真空と見なしてよい． ピストンは，その質量を無視でき，シリンダに沿って気密性を保ちながら滑らかに上下できる．シリンダとピストン下面に囲まれた空間の容積をVとし,V=0となる位置にピストンが下がった状態では， ピストンはばねから力を受けないものとする．気体とシリンダとの間，および気体とピストンとの間での熱の授受は無視できるものとする．気体の体積がV=昭となる位置でピストンが静止した状態から，大きさの無視できるヒータにより気体をゆっくりと加熱すると，気体は膨張してピストンを押し上げ，加熱を止めると，気体の体積がV=IG(>I/i)となる位置でピストンは再び静止した．以下の問に答えよ．

(b) この膨張過程に対するαの値を求めよ．
(c) 体積V(Vi<V<IG)の気体の絶対温度を求めよ．

(d) この膨張過程において気体がした仕事を求めよ．
(e) この膨張過程において気体に与えられた熱量を求めよ．
シリンダ

真空室ばね
ピストン

:海4理想気体私糀＃職烏ﾐ :Wヒータ主… : 1 ｨ : ：皇剛柳州〃# 1%
図3‑1(2)図3‑2に示すように，問(1)と同一のシリンダ内に同一のピストンにより封入された，問(1)と同一の理想気体を考える．ただし， この場合にはピストンは留め具でシリンダに固定されている．シリンダの全容積からピストンの体積を除いた（一定）容積をⅥとする．図のピストンが固定された状態の気体の体積をVi,圧力をplとする． このとき，シリンダとピストン上面に囲まれた空間は真空と見なし，その容積は閲一Viである． まず，問(')と同様に，ピストンの質量を無視できる場合を考える．気体に仕事をしないようにピストンの留め具を取り除くと，気体は膨張し，十分時間が経過した後，気体の変化が止まった状態に落ち着いた．以下の問に答えよ．

(次ページに続く）

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機械科学I‑4/4

問題3の続き(f)膨張後の気体の絶対温度を求めよ．

(9)膨張前と膨張後の気体のエントロピーの差を求め， この状態変化は可逆か不可逆かを判定せよ．

シリンダ

真空聴一Vi
留め具

ピストン

理想気体昭

図3‑2

次に，図3‑3(イ)に示すように，重力加速度の大きさ9の重力作用下でピストンの質量Mが無視できない場合を考える．気体に仕事をしないようにピストンの留め具を取り除くと，十分時間が経過した後，ピストンの質量に応じて，図3‑3(ロ)あるいは図3‑3(ハ)に示すような気体の変化が止まった状態に落ち着いた． （ロ）の状態ではピストンはシリンダ上端に達しておらず，その状態に至る過程でピストンはシリンダに衝突しないものとする．一方， （ハ)の状態ではピストンはシリンダ上端に達しているものとする．ただし，ピストンは常に水平に保たれる． また，気体に作用する重力は無視できる．以下の問に答えよ．

(h)図3‑3(ロ）と図3‑3(ハ)の各状態について，気体の圧力が満足すべき条件を， ピストンの質量M,ピストンの断面積A,重力加速度の大きさ9を用いてそれぞれ示せ．

(i)図3‑3(ロ)の状態の気体の絶対温度を求めよ．

0）図3‑3の(イ）の状態と（ロ)の状態との間の気体のエントロピーの差を求め， この状態変化は可逆か不可逆かを判定せよ．

シリンダ
真空

真空X一閃
留め具 l6

りピストン』

鼬I理想気体昭{ ：(イ）

重力I￨，
（ロ）
図3‑3□
(ハ）