TechnicalReport

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ナノスケール領域における熱伝導シミュレーション技術

ナノスケール領域における熱伝導シミュレーション技術として計算される。
ここでは適切な緩和時間設定が重要となるが、第1表Technical Report

F

ナノスケールにおける解析手法の例

マクロモデルとの接続が容易であることから、有限要素法によるシミュレーションの普及にともって近年適用範囲が広がっている。
こ
れらのアプローチについて、対象スケール、入力パラメータ例などを第１表にまとめた。

近年、ナノテクノロジーの発展にともない、微細な構造や組成制御による材料の機能発現や高機能化、小型化が検討されている。特に、ナノスケー
ルの空隙を有するナノ多孔質材料は、バルク材料に比べて著しく熱伝導性が低いことから、断熱材

F-2 MD 法によるナノ多孔質材料の熱伝導評価事例

や熱電変換材料への応用が期待されている 1）。
ナノスケールにおける熱や電気輸送特性は、原子レベルの凹凸や孔などの構造が大きく影響する

技術本部
計算科学センター

ことから、デバイス設計においてその輸送メカニズムの理解が重要となる。通常、マクロスケールではおおかわ

技術本部
計算科学センター
てつ やこ大川 哲也

が古賀

技術本部
計算科学センターけんじ

健治

前述の通り、ナノ材料に対する熱輸送特性評価やメカニズム探

たかぎし

ようい ち

高岸洋一

熱 流 束 が 温 度 勾 配 に比 例すると仮 定して良く（フーリエの法則）、熱は拡散輸送として表すことができる。
これは、熱伝導のキャリアであるフォノン（格子振動）の平均自由行程に比べて対象スケールが十分大きいため、粒界や欠陥、空孔などによる散乱効果が均質化されるためである。一方、フォノンの平均自由行程と原子レベルでの構造の大きさが近いナノスケールでは、熱の輸送が微細構造により大きく影響される。
これら伝熱挙動は微細かつ短時間であるため、さまざまな実験的手法 2-3）に加えて、数値シミュレーションによる検討 4-9）が幅広く行われている。本稿では、代表的なシミュレーション手法の概要を紹介した上で、分子動力学法（Molecular Dynamics:MD）による解析事例を紹介する。

なかでも、索には、MD 法が有力な手段としてもちいられてきた 6-9）。
3 次元の構造を有するナノ多孔質 Siや PbTe 、固体 Ar は、

6,7）

8）

9）

実測との比較やメカニズムについて、詳細な議論がなされている。

ここに、λ：熱伝導率 [W/(m*K)]

そこでは、伝熱方向の厚みや系の温度に加え、空孔のサイズ、形

q：熱流束 [W/m2]状、配置、表面積比などが熱輸送特性を決定する重要なパラメー

T：温度 [K]タであることが指摘された。
しかしながら、複数の空孔が配置されEout：高温部と低温部のエネルギー差 [J]た系において、それぞれの因子がどのような影響を及ぼすかは不A：断面積 [m2]

明な点も多い。

t ：時間 [s]ここでは、さまざまな空孔率、空孔サイズ、配置を持つナノ多孔質薄膜の非平衡分子動力学計算を実施し、それぞれが熱輸送特

第 1 図（a）（c）に一例として示すように、空孔のサイズ、数密度性（熱伝導率）に与える影響を系統的に調べた事例を紹介する。

および配置が異なる構造を採用し、これらの違いが熱伝導率に与本計算では複数の空孔を2 次元的に配置したメッシュとすることえる影響を調べた。
なお、空孔率に関わらず、格子定数は全て等しで、これらの効果を明確化した。
なお、比較のためにフーリエ則にいとした。

検討した。

第2表

2.1

計算方法

ナノスケールの熱伝導シミュレーションの中で、代表的な手法とここに、fω：フォノンの分布関数して挙げられるのが MD 法であろう。
これは、原子同士の相互作用

v：フォノン群速度をポテンシャル関数で表現し、ニュートンの運動方程式を逐次積

f 0ω：平衡状態の分布採用した。即ち、シミュレーションセルの両端にそれぞれ高温と低分することで格子振動の伝搬挙動を評価するものである。

τ：緩和時間

温の熱浴を設置し、定常状態に達するまで（線形の温度勾配が形v i(t)=ẋ i(t)………（１）

U：位置 xに依存するポテンシャル関数
ν̇ ：原子速度成されるまで）計算を続けた。
その後、セル両端の投入または吸収法に比べて計算負荷が小さいため、幅広く適用されている。

エネルギーの時間微分から熱フラックスを求め、熱伝導率を算出

MD 法は各原子の動きを模擬するため、最も基礎的なアプローチであり、得られる情報量も多い。
一方、フォノンを“粒子”としてモデル化し、輸送方程式によって（ボルツマン輸送方程式）。
こ挙動を計算する手法 4）も有力であるの手法では、群速度や緩和時間を仮定した上で、フォノンの輸送・衝突・緩和を時々刻々計算する。支配方程式は、∂f ω∂f ωf – fω
τq—+v—=—
τ∂t∂x0
ω………（２）した。

フーリエ則に緩和時間を追加した“修正フーリエモデル”なども提MD 法における計算条件

基準セルサイズ [nm］

11 6.5 2.7モデル形状

図 1（a）〜図 1（c）

初期原子配置

面心立方格子構造

温度制御方法

Velocity scaling 法

時間ステップΔt［fs］

1.0

高温部温度 [K]30

低温部温度 [K]10原子間相互作用Lennard-Jones ポテンシャル（Ar）

案されている。代表的なtwo-lags model5）では、熱フラックスを第1図∂Tq = – k—∂x

添え字 i：原子の通し番号

No.53が使用される場合が多い。f 0ωやτは入力パラメータとなるが、MD

フーリエ則 :t ：時間

21 こべるにくす OCT. 2021

計算条件の概要を第 2 表に示す。熱伝導率計算には直接法を全く別のアプローチとして、本来マクロスケールで使用される

ここに、m：原子質量…………（５）基づく有限要素法（Finite Element Method）解析を合わせてF-1 さまざまなナノスケールの熱伝導シミュレーションmν̇i = –∇U(x i),

q1 dEout
λ = –—, q =——Adt∇T

シミュレーションセルの外観の例……………………………（３）

ここに、k：熱拡散率
T：温度の代わりに、[( )]∂q∂T∂ ∂Tq+τ q—= – k —+τ T——
∂t
∂t ∂x
∂x
ここに、τq：フラックスの緩和時間
τT：熱収支の緩和時間（４）（a）空孔数密度違い（b）空孔サイズ違い（c）空孔配置違い

こべるにくす OCT. 2021

No.5322

Technical Report

F ナノスケール領域における熱伝導シミュレーション技術
2.2

計算結果

正方格子状に空孔を配置した場合の熱伝導率（バルクの値で規格化）と空孔率の関係を第 2 図（a）に示す。
なお空孔サイズは直径 2.2[nm]で一定とした。
フーリエ則に基づくFEMでは、空孔率の増加にともって熱伝導率が単調に低下しており、その減少幅はナノスケール領域における熱伝導シミュレーション技術

果 7）や、空孔表面によるフォノン散乱効果 6）などが議論されてきた。
そこで上記の熱伝導率計算結果とこれらの因子の相関を見る

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第 4 図 （a）フォノン熱抵抗とdneck の逆数の関係 （b）熱伝導率と空孔表面積の逆数の関係ことで、どちらが本質的に影響を与えるか評価する。
フォノン熱抵抗（熱伝導率の逆数）
は、フォノン群速度および平均自由行程を用いて式（６）のように表される 3）。

MDでは空孔率が 14％を超える辺りから急激に熱伝導が低下す

13 1—=——λ Cvvg lpる様子が見られるなど、非線形な挙動を示した。
また、空孔率をここに、Cv：比熱概ね空孔率に比例する「線形則」に沿った結果となった。一方、Technical Report…………………………（６）25％に固定して空孔サイズを変化させた場合では（第 2 図（b）参vg：フォノン群速度照）、FEMでは空孔サイズによらず熱伝導率はほぼ一定となり、線lp：フォノンの平均自由行程形則と矛盾しない結果となる。一方、MDではFEMよりも熱伝導率が著しく低く、空孔サイズが小さくなるほど低下する傾向が見らしたがって、dneck がフォノンの平均自由行程 lp を制限するのであれた。
このように、ナノスケールにおける熱伝導は、空孔率だけではれば、フォノン熱抵抗とdneck の逆数は比例関係になると予想されなく空孔サイズも大きく影響されることが示唆された。

る。第 4 図（a）にこれらの関係を示す。dneck が比較的大きい場合は第 3 図に空孔配置が異なる場合の熱伝導率の比較を示した

概ねフォノン熱抵抗と比例関係にあるが、小さい場合（即ち空孔率（空孔サイズ・空孔率一定）。本計算（MD）
では正方格子状、千が高い）にはずれが生じていることが分かる。
これは、空孔率が高鳥格子状、およびランダムのいずれも概ね等しい熱伝導率が得らい場合においては、必ずしもフォノンの平均自由行程が熱伝導をれ、線形則と同じ挙動を示す結果となった。従って、空孔の配置は律速する訳ではないことを示している。

必ずしも熱伝導率に影響を及ぼさないと考えられた。
既報では、ナノ多孔質材料の熱伝導率に影響を与える因子としによるフォノン平均自由行程の制限効て、空孔間ネック幅（dneck）

第 2 図 （a）空孔率とバルクの値で規格化された熱伝導率λの関係（空孔サイズ 2.2[nm] 一定）（b）空孔サイズとバルクの値で規格化された熱伝導率λの関係（空孔率 25[%] 一定）

（a）

（ｂ）

フォ
既報 10）によれば、表面散乱効果が熱伝導を律速する場合、第 4 図（b）にこれらの関係をプロットした。
いずれの表面積値におノン―空孔散乱の緩和時間から、熱伝導率は空孔表面積の逆数いても両者は比例関係が見られており、本計算においては空孔表に比例することが示されている。即ち、面積が熱伝導率を決定する重要な因子であることが示唆された。

Ψ(φ)λ = β—
A/4

以上のように、さまざまなパラメータを変えたMD 計算を系統的………………………（7）に実施することで、ナノスケール熱伝導における影響因子の評価が可能となる。本解析はあくまでモデル材料における基礎検討でここに、λ：熱伝導率あるが、このようなMD 法の結果をベースに、ナノ多孔質材料の設

β：定数計最適化への応用や、見積もられた緩和時間をもちいてボルツマ

Ψ：空孔率φに依存する関数

ン輸送方程式や修正フーリエ則による有限要素法解析への展開

A：表面積等も期待される。

本稿では、ナノスケールにおける熱伝導シミュレーション手法について概説し、それぞれの特徴を簡単にまとめた。
また、ナノ多孔質材料を対象とした MD による評価事例を紹介した。特に、さまざまな空孔率、空孔サイズ、配置を持つナノ多孔質薄膜、空孔のサイズ第3図

熱伝導率の空孔配置依存性と配置が熱的特性に及ぼす影響について述べ、空孔表面積や空孔間との相関について論じた。
このように、フォノンの平均自由行程と原子レベルでの構造の大きさが近いナノスケールでは、熱の輸送を理解する上で MD をはじめとするシミュレーションが有効な手法となり得る。

参考文献

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