福嶋先生の雪崩運動モデルの特徴とその課題
大澤 範一(株式会社 東京建設コンサルタント,長岡技術科学大学大学院)
１．はじめに福嶋先生(以下福嶋,敬称略)の提案されたサーマ

ρaル理論を基礎とする雪崩の運動モデルは,雪崩内に浮遊している雪粒子の総量が底面からの巻き上げやρ沈降によって流下に伴い変化する点や,乱流構造に雪崩本体

Pihh

よる運動形態への影響を考慮している点など雪崩の運動を緻密に表現したものである.また,雪崩本体のPb形状を半楕円体で仮定し,単純な常微分方程式の解として速度や体積などの近似解が得られるラグラン

図:煙型雪崩流動模式図
図-1 雪崩流動模式図

ジェ的なモデルであるため,演算時間などの面でもθ優れている.しかし,このモデルを用いて実際に数値解析を実施するためには,基礎方程式中に含まれる初期条件の設定
初期条件の設定(雪崩の初期形状、発生点など)(雪崩の初期形状、発生点など)

多くの未知数や無次元係数を構成関係式などによって仮定する必要がある.これら仮定条件の中には,雪崩の形状や速度などの数値シミュレーション結果に斜面形状のモデル化斜面形状のモデル化強い影響を及ぼすものも少なからず存在する.今回は,福嶋の提案した雪崩運動モデルについて概略を説明し,モデル中に含まれる,この「仮定条件」について考察していく.

Time Step

ルンゲクッタ法などによる基礎方程式の近似解の導出
ルンゲクッタ法などによる基礎方程式の近似解の導出(体積、運動エネルギー、乱れの運動エネルギー、温度、(体積、運動エネルギー、乱れの運動エネルギー、温度、雪の総量、最大広がり幅の近似解)
雪の総量、最大広がり幅の近似解)

２．モデルの概要

構成関係式による未知数の補完構成関係式による未知数の補完（無次元係数、本体形状、密度など）（無次元係数、本体形状、密度など）

福嶋は 1986 年に煙型雪崩を対象とした一次元解
析モデルを提案した.このモデルはその後,数値地図(地形メッシュデータ)を用い雪崩本体の質量中心の解析の完了
解析の完了

流下経路を推定する準二次元的な解析モデル(福嶋・早川,1992),流動幅の影響を考慮し,解析領域を雪崩全領域とした二次元解析モデルへとそれぞれ拡図-2 計算フロー

張されている(大澤・福嶋,2004).
また,雪崩の進行方向上の積雪層からの雪塊の取数値解析の流れを図-2 に示す.前述した何れのモり込みや後方への離脱を質量保存式において考慮す

デルも常微分方程式からなる基礎方程式をルンゲクる流れ型雪崩を対象とした一次元解析モデルも提案

ッタ法などにより解くことで雪崩の体積や速度などされている(福嶋・大澤,2007).の近似解が導出される.斜面形状のモデル化につい何れのモデルも雪崩本体の形状は図-1 に示すようては,一次元解析モデルの場合,流下経路の地形縦断な半楕円体で仮定される.図中の Pi は雪崩上部界面形状を入力データとして与える必要があり,流下経の周長,Pb は雪崩底面と地面との接地長,h は雪崩の路を未知数として取り扱う二次元解析モデルの場合

最大高さ,θは斜面傾斜角,ρは雪崩の密度,ρa は周

は,数値地図から雪崩が影響を受ける斜面特性を時

囲空気の密度である.

間変化ごとに導出する必要がある.

-1-

表-1 煙型雪崩二次元解析モデル係数一覧表

VoSi
Sb
U abs
Ux
UyDs

x 方向速度ベクトル
y 方向速度ベクトル

bmaxvs
Es
Ea
K
CD

雪粒子の粒径ρs

雪崩の体積
空気との接地面積
地面との接地面積
雪崩進行方向の絶対速度

雪崩の最大広がり幅
雪粒子の沈降速度
雪粒子の連行係数
空気の連行係数
乱れの運動エネルギー

τi
τb
αB

周囲空気との界面のせん断応力

CCb

雪の平均濃度

地面とのせん断応力
最大広がり幅に関する無次元係数
雪の底面濃度

抗力係数

β

分子粘性逸散率の無次元係数

雪粒子の密度kv

付加重力係数一例として煙型雪崩二次元解析モデルの基礎方程式を以下に示す.(表-1 に主な係数を整理する.)
計算開始地点空気の連続式d
ρ 0 V o = ρ a E a U abs S idt(1)

雪の質量保存式

dCV o = v s (E s − C b cos θ )S bdt(2)

乱れの運動エネルギーの保存式

d1(ρ + kv ρa )KVo = (τi Si +τbSb )Uabs + ρa{(1+ kv )EaUabsSi
dt
22+ Rv s ( E s − C b cos θ ) S b }U abs − ρ a Rgv sV o

底面形状
最急勾配線− βρ K 3 2V o / h − ξ p ρ a Rg cos θ h

流動幅⎫⎧1× ⎨ CE aU abs S i + v s ( E s − C b cos θ ) S b ⎬ (3)2⎭⎩x 方向運動量方程式(y 方向も同様に与える)d(ρ + k v ρ a )U xV o = (ρ − ρ a )gV o sin θ x
dtUx− (τ i S i + τ b S b )
(4)
U abs

雪崩中心部の流下経路

最大広がり幅に関する式

dbmax− 0.264= α B (tan θ )
U abs
dt

図-3 煙型雪崩二次元解析結果変化を推定する.式(5)は,最大広がり幅に関する式で(5)あり,雪崩の流動幅の時間変化を推定する.

式(1)が空気の連続式であり雪崩の体積の時間変化解析例として,図-3 に煙型雪崩二次元解析モデルを推定する.式(2)は雪の質量保存式であり,雪崩内のを岐阜県左俣谷の地形メッシュデータに適用し数値雪総量の時間変化を推定する.式(3)が乱れの運動エ解析を行った場合の,雪崩中心部の流下経路及び流ネルギーの収支式であり,これにより乱流構造が抵動幅を示す.この解析結果では,雪崩が 2000 年に発抗に及ぼす影響などが別途構成関係式により評価さ生した大規模な表層雪崩と同様の位置で停止に至っれる.式(4)は運動量方程式で,運動エネルギーの時間ている.

-2-

雪崩の場合は,周囲空気の連行が顕著であり,これに３．モデルの課題
前述したように,福嶋の雪崩の運動モデルは,解析より斜面方向に対して爆発的に体積を増加させる.

を実施するために多くの条件を仮定する必要がある.

式(6)〜(10)より,雪崩の体積は直接的にその形状に以下に運動形態に及ぼす影響が大きなものについて影響するため,運動エネルギーに対する影響も想定そのいくつかを考察する.

される.この周囲空気の連行については,式(1)の空気の連続式において評価される.再び書き表すと,(1) 雪崩本体の形状dρ 0 V o = ρ a E a U abs S idt

雪崩本体の形状については半楕円体で仮定され,Beghin et al.(1981)のサーマルに対する実験結果を参(1)

左辺が雪崩体積の時間変化を表し,右辺が周囲空気考に以下の構成関係式より定義される.の連行を表す.ここで,空気の連行係数Ea が必要にな⎛π ⎞Vo = ⎜ ⎟ Pbbmax h⎝6⎠(6)Pi = ξ i h(7)Pb = ξ b h(8)る.連行係数 Ea は以下の式で表される.

E a = α (θ 90°)(11)

式(11)は大規模鉛直サーマルの実験式(Escudier etal,1973)であり,煙型雪崩のモデルでは,福嶋はα=0.1

ξ b = 8.47θ
ξi =−1 / 3(4ξ + 1)ξ
2 2π

サーマルが流下する間の適正値であり,流下経路の2bが適切であるとした.しかし,α=0.1 は急勾配斜面を(9)b地形形状によっては,精査が必要である.また流れ型(10)

雪崩を想定したモデルでは,煙型雪崩のように大雪

ここで ξ は形状係数である.式(6)〜(10)の関係より,煙を巻上げることは無く,サーマルとは周囲空気の初期条件として雪崩の高さ及び横方向の幅を設定し連行に関するメカニズムも異なるため,現実的な解た時点で,雪崩の縦断方向の長さ Pb 及び体積 Vo が一析をするためにはαを比較的小さく設定する必要が義的に設定される.したがって式(6)〜(10)の関係を生じる.

固定した場合,発生点からリリースされる雪崩本体の体積(質量)をコントロールすることは困難である.

(3) 雪の連行と離脱について

特に式(9)によって表される形状係数 ξb は雪崩形状の細粒子分の雪の雪崩底面からの巻き上げや沈降に解析結果に対する影響が強く,これより雪崩の縦断ついては,式(2)の雪の質量保存式において評価され方向の長さ Pb 及び高さ h は,斜面傾斜角θに依存しる.再び書き表すと,ていることがわかる.雪崩形状の変化に伴って,せんdCV o = v s (E s − C b cos θ )S bdt

断抵抗などが変化するため,運動形態に対してもこれら形状に関する仮定は影響する.サーマルと雪崩(2)（特に流れ型雪崩の場合）にはその運動形態におい左辺が雪量の時間変化を表し,右辺の vsEsSb が雪粒子て異なる点があるため,これらの形状係数について,の底面からの巻上げを,vsCbcosθSb が底面への沈降検証することができればモデルの精度を向上させるを表す.式中の雪粒子の連行係数 Es については,開水ことが期待できる.

路の浮遊砂流に対して得られた Garcia の式を用い以下のように与える.

(2) 周囲空気の連行についてEs =高速な雪崩は雪煙を巻き上げ,周囲の空気を内部に連行する.大雪煙を巻上げることで知られる煙型-3-

A1 Z 5
A1 5 ⎞⎛
Z ⎟⎜1 +0 .3⎠⎝(12)

ここで,無次元係数 Z は次のように与えられる.

Z = R P0 .6 u * v s

４．結言
福嶋先生の提案されたモデルの概略を説明し,モ(13)デル中に含まれる多くの仮定条件のうち,シミュレーション結果に及ぼす影響の大きなものをいくつか

Rp は粒径を用いた粒子レイノルズ数,u*は摩擦速度でそれぞれ次のように与えられる.

Rp =RgD s D s υ(14)u* =(τ b ρ b )(15)

整理した.これら仮定条件は何れも『雪崩の発生から停止に至るまでの挙動には不明な点が多いため,ここでは○○○の実験式により近似できるものと仮定する』と説明がなされるという共通点を有する.これ
は,雪崩の現地観測データがそれほど充実しておら式(12)〜(15)の関係は, 吹雪流などの雪粒子の連行係数ず,特に発達過程の雪崩の挙動に関するデータが無に対しても適切であることを示されている(福嶋ら,2002).

いことに起因する.現地観測や実験などにより雪崩式(14)より,雪粒子の粒径 Ds によって,連行係数 Es が変化すの挙動が明確になり,モデル中に含まれる仮定条件ることがわかる.雪粒子の粒径が変化するとその沈降速度について実現象に即した形で精査することができれvs も変化するため,雪崩内部の雪量が変化し相対的に運動ば,モデルの再現性及び汎用性を向上させることがエネルギーも増減する.したがって解析を行う上で雪粒子期待できる.の粒径の適切な設定が重要となる.
また,流れ型雪崩のモデルでは,雪の質量保存式は参考文献

以下のように表される.

1)福嶋祐介(1986): 粉雪雪崩の流動機構の解析,雪氷,48-4,pp.189-194dCA = λ f C f Vf d f − λeCeVede + vs (Es − cb cosθ )Pbdt

2)福嶋祐介,早川典生(1992):三次元地形を考慮した粉(16)

雪雪崩の数値解析,雪氷,54-1,pp.11-18.
3)大澤範一,福嶋祐介(2004):三次元地形上の二次元煙

右辺第一項が前方積雪層からの雪塊の取り込みを表型雪崩の流動モデル,雪氷,66-4, pp.473-483.

し,第二項が後方への離脱を表す.これらは無次元係

4)福嶋祐介,大澤範一(2007):一次元全層雪崩のシミュ

数λf ,λe によって制御されるため,流れ型雪崩のモレーション手法に関する研究,雪氷,69-3,pp.357

デルではλf ,λe の取り扱いも重要となる.

-368.
5)Beghin, P., Hopfinger, E.J. and Britter, R. E.

(4) 雪崩の流動幅について(1981):Gravitational convection from instant- aneous

雪崩の流動幅は式(5)によって解析される.式(5)はsources on inclined boundaries, J. Fluid Mech., 107,

三次元傾斜サーマルの実験によって得られた式であpp.407-422.

り,単調に流動幅が増加していく様子しか再現でき

6)Escudier, M. P., Maxworthy, T.(1973):On the motion ofない.したがって,幾何学的形状が極端に複雑な斜面

turbulent thermals, J. Fluid Mech., 61, pp.541-552.

を雪崩が流下する際には流動幅を精度よく再現する

7)Garcia, M. (1990): Depositing and eroding sediment

ことが困難になる.

driven flows: turbidity currents, St. Anthony Falls

また,式中の無次元係数 αB の設定によって流動幅Hydraulic Lab., Univ. of Minnesota, Project Report,

bmax の数値解析結果が大きく変化するため,相対的に306, pp.179.
8)福嶋祐介,菊地卓郎,西村浩一(2002):地吹雪におけ式(6)より雪崩の高さなども変化する.したがって流下経路の地形形状や雪崩の運動形態に適したαB の設る 雪 の 連 行 係 数 に 関 す る 考 察 , 雪 氷 ,64-5,

定が必要となる.

pp.533-540.

-4-