空間経済学ゼミ@日光
11章 階層的都市システムの発展
12章 都市規模に関する実証分析
13章 港湾，輸送ハブおおよび都市の立地
2018年6月23日（土）平林新11章 階層的都市システムの発展
狙い：今まで考慮していなかった都市の種類の違いを表現する
流れ：アメリカを例にしたイントロダクション
モデル化
単一中心システムの崩壊と低階層の都市誕生
階層システムの長期的発展2

アメリカの階層的都市システム◆階層的都市システム「高次の都市」と「低次の都市」の混在した系◆高次の都市
農業，工業，サービス業など様々な財を生む都市◆低次の都市
農業しかない等生産物に多様性のない都市
1830～1870年の合衆国の都市システムの発展

3

4

モデル化
名前，変数
効用関数

式

𝑈=𝐴

𝐻

𝜇𝐴

𝜇ℎℎ
𝑀

ෑ

(11.1)ℎ=1

𝐴, 𝑀: 農, 工業品の消費, ℎ: 各産業 1,2, … 𝐻 , 𝜇 𝐴 , 𝜇ℎ : 消費に占める農業, 産業ℎのシェア.

𝐻

シェアの合計制約

𝜇𝐴 + ෍𝜇ℎ = 1(11.1)ℎ=1−1/(𝜎ℎ −1)

各産業の価格指数𝐺ℎ 𝑟=− 𝜎ℎ −1 − 𝜎ℎ −1 𝜏ℎ 𝑟−𝑟ℎℎ𝑘
෍ 𝐿𝑘 /𝜇 𝑤𝑘𝑒ℎℎ

𝑘: 都市 1,2, … , 𝐾 , 𝑟𝑘 : 都市𝑘の立地, 𝐿𝑘 : 都市𝑘における産業ℎの雇用, 𝑤𝑘 : 都市𝑘における名目賃金.
𝜎 ℎ : 産業ℎの生産する財の代替の弾力性, 𝜏 ℎ : 単位距離で産業ℎの生産する品が溶ける割合.

(4.01) 𝑈 = 𝑀𝜇 𝐴1−𝜇(4.34) 𝐺 =1/ 1−𝜎1 𝑅
𝑀 𝑀 1−𝜎σ𝑠=1 𝐿𝑀𝑤
𝑇𝑠𝑠 𝑠𝑟𝜇(11.2)

5

モデル化
名前，変数式農業地域の大きさ

𝑋𝐴

各都市における所得

𝑌𝑘 = ෍ 𝑤𝑘ℎ 𝐿ℎ𝑘ℎ

各産業の名目賃金𝑤 ℎ 𝑟 = ෍ 𝑌𝑘 𝑒− 𝜎 ℎ −1 𝜏ℎ 𝑟𝑘

農業の名目賃金(価格)
各産業の実質賃金𝑘 −𝑟

𝜎 ℎ −1ℎℎ𝐺𝑘ℎ+ න 𝑝 𝐴 𝑠 𝑒 − 𝜎 −1 𝜏 𝑠−𝑟
𝑋𝐴𝐺ℎ 𝑠𝜎 ℎ −11/𝜎 ℎ𝑑𝑠 (11.3)

𝑤 𝐴 𝑟 = 𝑝𝐴 𝑟
𝜔ℎ 𝑟 = 𝑤 ℎ 𝑟 𝑝 𝐴 𝑟−𝜇𝐴ෑ𝐺ℎ 𝑟−𝜇ℎ(11.4)ℎ

農業の実質賃金𝜔ℎ 𝑟 = 𝑤 ℎ 𝑟 𝑝 𝐴 𝑟−𝜇𝐴ෑℎ

各都市における各産業の実質賃金(4.35) 𝑤𝑟𝑀 =𝜔𝑘ℎ = 𝜔ℎ 𝑘

𝑀 1−𝜎 𝜎−1
σ𝑅𝑠=1 𝑌𝑠 𝑇𝑟𝑠
𝐺𝑠

1/𝜎𝐺ℎ 𝑟−𝜇ℎ(11.4)

6

モデル化(均衡の特徴づけ)◆労働市場の需給バランス෍ ෍ 𝐿ℎ𝑘 + 𝑐 𝐴 𝑋 𝐴 = 𝑁𝑘(11.5)ℎ◆実質賃金の平等性
𝐿ℎ𝑘 > 0となるすべてのℎ, 𝑘について 𝜔𝑘ℎ = 𝜔 𝐴 𝑟 = 𝜔 𝐴(11.6)◆均衡の持続可能性
立地𝑟産業ℎの市場ポテンシャル関数：Ωℎ 𝑟 ≡𝜎ℎℎ
𝜔 𝑟

𝜔各産業ℎ = 1,2, … 𝐻に対して，すべての𝑟においてΩℎ 𝑟 ≤ 1ℎ𝐴 𝜎(11.7)(11.8)

以上の条件が成立すれば均衡は持続し，あるℎと𝑟ǁ ℎ についてΩℎ 𝑟ǁ ℎ = 1となれば新都市が𝑟ǁ ℎ に生まれる．

7

単一中心システム◆単一中心構造の設定－都市の立地：𝑟 = 0(中心)－農業後背地の長さ：2𝑓－工業全体としての消費シェア：𝜇𝑀－工業品の交易費用：𝜏 ҧ 𝑀𝐻𝑀𝜇 ≡෍

𝜏ҧ 𝑀 ≡σℎ𝜇ℎ = 1 − 𝜇 𝐴ℎ=1𝜇ℎ 𝜏 ℎ(11.9)𝜇ℎ◆単一中心構造の注意点－すべての工業が中心都市に立地する－輸送費用が産業毎に異なれば，生計費指数も異なる

8

単一中心システム(Ωの導出)◆各産業の市場ポテンシャル関数
Ωℎ 𝑟=𝑒𝜎ℎ1−𝜇𝑀 𝜏𝐴 −𝜇𝑀 𝜏𝑀

1 + 𝜇𝑀 − 𝜎ℎ−1 𝜏ℎ𝑟𝑒+ Ψ ℎ 𝑟, 𝑓2𝑟

1 − 𝜇𝑀ℎℎ𝑒 𝜎 −1 𝜏 𝑟
2(11.10)ただし𝑟

Ψ ℎ 𝑟, 𝑓=1−𝐴ℎ‫׬‬0 𝑒 −𝜏 𝑠 1 − 𝑒 −2 𝜎 −1 𝜏ℎ 𝑟−𝑠𝑑𝑠(11.11)𝑓𝐴‫׬‬0 𝑒 −𝜏 𝑠 𝑑𝑠

－𝜇が𝜇𝑀 に，𝜎が𝜎 ℎ に，𝜏が𝜏 ℎ に置き換わっている－市場ポテンシャル関数の[]に左からかかる係数は，生計費指数を表す
𝑟(9.22) Ψ 𝑟, 𝑓 ≡ 1 −𝐴‫׬‬0 𝑒 −𝜏 𝑠 1−𝑒 −2 𝜎−1 𝜏𝑓𝐴‫׬‬0 𝑒 −𝜏 𝑠 𝑑𝑠

𝑀 𝑟−𝑠𝑑𝑠(9.24) Ωℎ 𝑟 =𝐴𝑀𝑒 𝜎 1−𝜇 𝜏 −𝜇𝜏 𝑟1+𝜇2𝑀𝑒 − 𝜎−1 𝜏 𝑟 + Ψ 𝑟, 𝑓1−𝜇2𝑀𝑒 𝜎−1 𝜏 𝑟

9単一中心システム(Ωの特性把握)◆市場ポテンシャル関数の都市均衡での勾配𝑑Ωℎ 0= 𝜎 ℎ 1 − 𝜇 𝑀 𝜏 𝐴 − 𝜇 𝑀 𝜏ҧ 𝑀 + 𝜌 ℎ 𝜏 ℎ𝑑𝑟
単一中心構造を持続可能とするための条件：
𝑑Ωℎ 0
H個のすべての産業について<0𝑑𝑟(11.12)

ഥℎ 𝑟◆極限ポテンシャル関数Ω
ഥ ℎ 𝑟 を用いる．
均衡が持続する条件をチェックするためにΩഥ ℎ 𝑟 = 𝐾 ℎ 𝑒 𝜎ℎ 𝜌ℎ 𝜏𝐴+𝜏𝑀 −𝜇𝑀 𝜏𝐴+ത𝜏𝑀 𝑟 + 1 − 𝐾 ℎ 𝑒 −𝜎ℎ 1−𝜇𝑀 𝜌ℎ𝜏ℎ−Ωℎ𝑟 0 /𝜎ℎ 𝑟Ω

(11.13)

ただし𝐾 ℎ は，1 − 𝜇𝑀 𝜌ℎ 𝜏 ℎ
𝐾 =1 − 𝜇 ℎ 𝜌ℎ 𝜏 ℎ + 𝜌ℎ 𝜏 𝐴 + 𝜏 ℎ − 𝜇𝑀 𝜏 𝐴 + 𝜏ҧ𝑀 − Ωℎ𝑟 0 /𝜎 ℎℎ𝐴

ഥ 𝑟 = K𝑒 𝜎 ρ−𝜇 𝜏 +𝜏(9.26) Ω𝑀 𝑟

𝑀+ (1 − 𝐾)𝑒 − 1−𝜇 𝜎−1 𝜏 −Ω𝑟 0 𝑟

1−𝜇 ρ𝜏𝑀(9.27) 𝐾 ≡ 1−𝜇 ρ𝜏𝑀 + ρ−𝜇 𝜏𝐴 +𝜏𝑀 −Ω (0)/𝜎𝑟(11.14)

単一中心システム(均衡の可能性)◆単一中心構造の崩壊条件の導出
ഥ ℎ 𝑟 の振る舞いは9章と同様．
Ω第1項の指数𝜎 ℎ 𝜌ℎ 𝜏 𝐴 + 𝜏 𝑀 − 𝜇𝑀 𝜏 𝐴 + 𝜏ҧ 𝑀 𝑟 < 0 →均衡持続(イ)→崩壊(ウ)第1項の指数が1つでも正(ア)

(イ)

(ウ)

𝑑Ωℎ (0)/𝑑𝑟が正の勾配
産業ℎが都市から離脱

集積力が非常に強い
所謂ブラックホール

ある人口規模Nで中央都市から離脱

10

単一中心システム(離脱モデル)

11◆人口増加を経ての離脱のモデル化
෩ ≤ 𝐻を満たす𝐻を用いて，産業を以下のように仮定
෩1≤𝐻
෩
産業1から産業𝐻まで：(ウ)෩
産業𝐻+1から産業𝐻まで：(イ)いずれの産業のポテンシャル曲線も，𝑁が増加すると𝑓が増加しポテンシャル曲線が徐々に上方にシフト↓
どの産業のポテンシャル曲線が最初に高さ1の水平線に接するか◎代替の弾力性が大きい◎輸送費用が大きい
複数のNに対するポテンシャル曲線

単一中心システム(最初の離脱)

12◆ポテンシャル曲線が1に接する早さの比較
𝜇 𝐴 𝜏 𝐴 ≤ 𝜇𝑀 𝜏 𝑀 と仮定
෩෩ℎ ≤ 𝐻かつ𝑔
≤ 𝐻である任意の2つの産業ℎおよび𝑔について
𝜌ℎ > 𝜌 𝑔 かつ𝜏 ℎ ≥ 𝜏 𝑔 または 𝜌ℎ ≥ 𝜌 𝑔 かつ𝜏 ℎ > 𝜏 𝑔ならば
෩ℎ < 𝑁෩ 𝑔 ，𝑟ǁ ℎ < 𝑟ǁ 𝑔 かつ 𝜃෨ ℎ > 𝜃෨ 𝑔 .
𝑁ただし，𝜃෨ ℎ ≡ 𝑑Ωℎ 0 /𝑑𝑟
産業ℎの方が先にポテンシャル曲線が1に到達する↓「産業𝑔は産業ℎより高次の階層にある」という3種類の産業のポテンシャル曲線(11.16)(11.17)

単一中心システム(代替の弾力性)

13◆代替の弾力性に着目した臨界ポテンシャルの比較－3つの産業があると仮定－代替の弾力性パラメータ𝜌1 = 0.90 > 𝜌2 = 0.75 > 𝜌3 = 0.20 (11.18)－𝜇 𝐴 = 0.5, 𝜇1 = 𝜇2 = 0.1, 𝜇3 = 0.3(11.19)𝐴123
𝐴－𝜏 = 0.8, 𝜏 = 𝜏 = 𝜏 = 1 , 𝑐 = 0.5－産業ℎが最も早く，最も近いところで高さ1の水平線に接する結果となっている

3種類の産業のポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化

14

ここまでは，まず階層化をモデル化するための布石を打ち，グラフを基にそれを表現（可視化）した．

グラフを通して，最初に生まれる新都市はどの産業から生まれるか，そしてそれは何を意味するかを考えた．

狙い：階層システムの長期的な発展過程を見るℎ /𝜌 ℎ ≥ 1 …一極集中+離脱 目的
条件：σ𝐻
𝜇
ℎ=1

𝜌1 > 𝜌 2 > 𝜌 3
𝜏1 = 𝜏 2 = 𝜏 3(11.21)…高次低次の順序付け 目的…順序付けの維持 目的

15

階層システムの自己組織化(不安定性)◆生まれた新都市の不安定性

෩ 1 を増加させる
1. 経済の人口規模𝑁 𝑡 < 𝑁
෩ 1 で産業1のポテンシャル曲線が最初
2. 人口𝑁 𝑡 = 𝑁に高さ1の水平線に到達
3. 1対の新都市が𝑟 = 𝑟෤1 , −෤𝑟1 に発生
4. このとき産業2も産業3もポテンシャル曲線は1より低いため，新都市は産業1に特化している状態5. 連関効果がなく，発展が見込みづらい

3種類の産業のポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化(長期的発展過程)

16◆階層構造が生まれていく過程を見る
𝑁 = 0.70

𝑁 = 0.88

𝑁 = 0.95

𝑁 = 1.23

階層的都市システムの発展過程

ポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化(長期的発展過程)

17◆階層構造が生まれていく過程を見る
𝑁 = 1.37

𝑁 = 1.37

𝑁 = 1.61

𝑁 = 1.61

階層的都市システムの発展過程

ポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化(長期的発展過程)

18◆階層構造が生まれていく過程を見る
𝑁 = 2.42

𝑁 = 2.87

𝑁 = 3.09

𝑁 = 3.09

階層的都市システムの発展過程

ポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化(長期的発展過程)

19◆階層構造が生まれていく過程を見る
𝑁 = 4.60

𝑁 = 4.70

𝑁 = 4.70

𝑁 = 5.19

階層的都市システムの発展過程

ポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化(長期的発展過程)

20◆階層構造が生まれていく過程を見る
極めて整った形で階層的都市システムが現れた

𝑁 = 7.30

𝑁 = 7.60

𝑁 = 7.90

𝑁 = 9.79

階層的都市システムの発展過程

ポテンシャル曲線

階層システムの自己組織化(財のシェア)◆高次の都市が低次の都市をサポート◇M1 財（低次の財）－都市2，都市6は自給自足できていない－隣接する都市から大部分のM1 財を供給されている◇M2 財（高次の財）

M1 財の市場シェア－中位の都市5，7は自らの市場では最大のシェアを有している－多くの隣接都市にM2 財を供給
交易に関しても豊かな空間構造
M 2 財の市場シェア

21

階層システムの自己組織化(厚生指標の変化)

22

◆収穫逓減
－均衡効用水準が人口規模の増大と共に上がっている－実質地代は比例以上の割合で上昇－経済は恒久的に収穫逓増の局面にある－これは(11.21)式が満たされるように人口増加に対する実質賃金パラメータを設定したため．経済が一極集中的な空間構造を維持し，大都市（特に最高次の都市）の人口増加がM財の多様性を通じて経済成長のエンジンを動かし続けることとなった．
人口増加に対する総実質地代

結論

23

－市場レベルでの過程から産業の階層を表現することができた－これにより，空間構造および産業構造に関して都市が自然と階層を形成するというアイデアを裏づけることができた

12章 都市規模に関する実証分析

24

狙い：都市規模を表現するモデルと現実（データ）が適合しないケースを考察する
流れ：都市規模の分布の不可解な安定性
都市理論によるモデル化
不規則成長によるモデル化
課題の総括と今後の展望

都市規模の分布の不可解な安定性(既往研究)

25◆都市規模は冪指数が1の指数法則に従う
𝑁(𝑆)を𝑆以上の人口を有する都市の数として次の関係が成り立つ
𝑁 𝑆 = 𝑘 × 𝑆 −𝑎 , 𝑎 ≅ 1[Dobkins and Ioannides, 1996]
1900年に遡り収集したデータを現代都市圏に合衆国の都市規模の対数値と順位の対数値の関係まとめ直し，国勢調査年ごとに𝑎の推定を行い，1900年での推定値は1.004[Rosen and Resnick, 1980]
凡そ1の冪指数を持つ指数法則が，大抵の国の都市圏規模の分布をうまく記述できることを示唆[George Zipf, 1949]
社会科学における多くの経験則を集めた書籍において「都市規模は冪指数が1の指数法則に従う」と記述＝ジップの法則（順位・規模法則）

都市理論によるモデル化

26◆11章で展開した都市階層モデル（中心地理論）の都市規模の分布への適用
パラメータを恣意的に決めても，実データとシミュレーションの間に大きな乖離が見られる．
※都市規模の分布においては，「綺麗な理論v.s.複雑なデータ」という関係ではなく，「不完全な理論v.s.綺麗なデータ」が成り立つ．

27

不規則成長によるモデル化◆サイモンのモデル（簡潔版）
都市理論 ：11章で定式化された中心地理論は規模の経済(𝜌)と距離のトレードオフの関係の筋書き
不規則成長：広範囲に渡る都市規模は，規模の影響を受けずに成長・存在すると見做す𝑆以上の人口を有する都市の数𝑁は，𝑁 = 𝑘𝑆 −𝑎 と書くことで，分布の右裾（都市規模の大規模な箇所）をうまく記述できる．
都市規模の密度𝑛は，𝑛 = 𝑎𝑘𝑆 −𝑎−1 と書ける．(？)
𝑑𝑛/𝑑𝑆
規模に関する密度の弾力性は= −𝑎 − 1𝑛/𝑆

(12.1)

28

不規則成長によるモデル化(状況設定)◆人口の増加する様子のモデリング－時間の経過により都市人口が離散的な増分（塊）ずつ増える
プロセスを想定－塊で測られた人口𝑃は
確率𝜋でこれまで人のいなかった場所へ生じる
確率1 − 𝜋で既存の都市へ，人口に比例した確率で生じる－都市規模には有利も不利もない
population
𝜋𝑃𝑃𝑃
1−𝜋time※人口に比例不規則成長によるモデル化(分析)29◆都市規模の分布の定常状態を仮定－規模𝑆の都市の数𝑛𝑠 の全人口𝑃に対する比率𝑛𝑠 /𝑃が収斂すると仮定◆𝑛𝑠 /𝑃が変動するパターンの列挙
1. 規模𝑆 − 1の都市（𝑛𝑠−1 個）が塊1つ分増大するとき
確率は 1 − 𝜋

𝑆−1 𝑛𝑠−1𝑃

2. 規模𝑆の都市（𝑛𝑠 個）が塊1つ分増大するとき𝑆𝑛
確率は 1 − 𝜋 𝑆𝑃

3. 全人口𝑃が増大するとき
確率は1

30

不規則成長によるモデル化(分析続き)◆𝑛𝑠 /𝑃の変化の期待値を見る
𝑑 𝑛𝑠1𝐸= 2 1−𝜋𝑑𝑃 𝑃
𝑃𝑆 − 1 𝑛𝑠−1 − 1 − 𝜋 𝑆𝑛𝑆 − 𝑛𝑆

定常状態では期待値が0である．(12.2)を整理すると
𝑛𝑆
1−𝜋 𝑆−1=𝑛𝑆−1
1−𝜋 𝑆+1
1−𝜋 𝑆+1−1− 1−𝜋=
1−𝜋 𝑆+1
1−𝜋 𝑆+1+𝜋−2=
1−𝜋 𝑆+1𝑛𝑆 − 𝑛𝑆−1𝜋−2=𝑛𝑆−1
1−𝜋 𝑆+1(12.2)(12.3)(12.4)

不規則成長によるモデル化(分析対象の限定)

31◆Sが大きな値となる分布の右裾に着目し分布を近似
𝑆が変化したときの𝑛の変化を見る上，𝑛𝑆 と𝑛𝑆−1 に大きな差がないことに着目する．(12.4)と合わせて𝑑𝑛/𝑑𝑆 𝑛𝑆 − 𝑛𝑆−1𝜋−2(12.5)≅=𝑛𝑛𝑆−11−𝜋 𝑆+1
これについて，両辺に𝑆を掛けることで，𝑛の𝑆に対する弾力性を表すことができる．
𝑑𝑛/𝑑𝑆
𝜋−2𝜋−2(12.6)=≅𝑛/𝑆
1 − 𝜋 + 1/S 1 − 𝜋
ここで，(12.1)で得ていた同様の弾力性の式を用いると
𝜋−2−𝑎 − 1 =都市規模分布の右裾が冪指数1 − 𝜋 𝑎 = 1/(1 − 𝜋)である指数法則
1により特徴づけられることを
𝑎=1 − 𝜋 意味している
𝑑𝑛/𝑑𝑆(12.1) 𝑛/𝑆 = −𝑎 − 1

32

不規則成長によるモデル化(シミュレーション)◆得られた関係を用いてシミュレーション実行－𝜋 = 0.2－初期の都市：10箇所（大きさはすべて塊１つ分）－人口が100倍になるまで続ける対数グラフを用いたシミュレーションの結果

不規則成長によるモデル化(進歩)33◆冪指数1の指数法則の持つ表面的な適合により得られた進歩が，経済理論より良いと言える理由
1. サイモンのモデルは，都市システムなどと比較して指数法則を予測できた
2. 劇的に変化した都市の通勤費用等と比較して，指数法則の冪指数は安定している
3. 新都市形成よりも，既存都市の人口が増加するケースでの方が冪指数1が得られる傾向がある

不規則成長によるモデル化(退化の問題)◆冪指数が1であることの問題と妥協案
問題：冪指数が1だとサイモンのモデルは指数法則を生み出さない
具体的には，大都市の人口のシェアが1となってしまい，現実世界と矛盾する
妥協案：世の中には整数しか存在しないので，𝑛𝑆 が1よりも小さい部分等は無視する

34

不規則成長によるモデル化(退化の問題)

35◆具体的な算出手順
人口𝑆以上の都市数𝑁，定数𝑘と𝑎，最小規模の人口𝑆𝑚𝑖𝑛 ，その都市数𝑁𝑚𝑖𝑛 とする
𝑁 = 𝑘𝑆 −𝑎−𝑎𝑁𝑚𝑖𝑛 = 𝑘𝑆𝑚𝑖𝑛
それぞれ両辺に𝑆, 𝑆𝑚𝑖𝑛 をかけて人口𝑆以上の都市に住む人口を算出する（後者は全人口と言える）
𝑁𝑆 = 𝑘𝑆 1−𝑎1−𝑎𝑁𝑚𝑖𝑛 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑘𝑆𝑚𝑖𝑛
したがって規模𝑆以上の都市に住む人のシェアは𝑁𝑆/𝑁𝑚𝑖𝑛 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑆/𝑆𝑚𝑖𝑛 1−𝑎
故に𝑎 = 1のときは大都市部(人口S以上としているので大都市と表現)の人口のシェアが1になり，モデルが不合理となる．

不規則成長によるモデル化(退化の問題)

36

しかし現実は，𝑆が最大になったとき（最大の都市の人口になったとき）𝑁は1となり，𝑆がそれを超えたとき𝑁は0となる．
一方で理論上は，𝑆が𝑚倍になったとき，𝑁は1/𝑚倍となり，人口𝑆人の都市の数が小数点個，となってしまう．これは現実から乖離しており不合理だと考えられる．故に，現実世界では冪指数が1または1に準じるものでも，滑らかな指数法則を導くことができる．

結論

37

－順位・規模法則を生み出す過程についてのもっともらしい筋書きは未明．
－不規則成長モデルの他，確率モデルなどもあるが，いずれも収穫不変を前提にしており，都市経済モデルはそうではなく，潜在性がある．

38

13章 港湾，輸送ハブおおよび都市の立地

狙い：分岐点で都市が形成される理由を明らかにする
流れ：分岐点の基本
単一中心経済での分岐点の分析
市場ポテンシャルに基づく～経済の可能な空間的発展パターンの考察39

分岐点の基本－河川、運河、良港－Yの字や＊（アスタリスク）を用いて一次元性を保ちつつ、ハブの概念を導入していく－第9・10章の展開を適用する

Obr－bから支線に進むと他の支線から遠くなってしまう－工業の市場ポテンシャル曲線は分岐点において， そこに都市がなくても尖点を持つ－分岐点は市場ポテンシャル曲線の極大点となる傾向がある

40

単一中心経済での分岐点の分析
k本O

br－耕作限界までの距離𝑓と分岐点までの距離𝑏について，𝛿を設ける

0, 𝑓 ≤ 𝑏
𝛿=ቊ
1, 𝑓 > 𝑏－農業地代は2𝑓 + 𝛿𝑘 𝑓 − 𝑏(13.1)

単一中心経済での分岐点の分析

41◆市場ポテンシャル関数の定義

𝜔𝑀 (𝑟) 𝜎𝑤 𝑀 (𝑟) 𝜎𝑀 𝑟Ω 𝑟 ≡ 𝐴==𝑤
𝜔 (𝑟) 𝜎𝑤 𝐴 (𝑟) 𝜎𝜎 𝑒 𝜎[ 1−𝜇 𝜏𝐴 −𝜇𝜏𝑀 ] 𝑟 (13.2)◆賃金方程式𝑤𝑀 𝑟 𝜎𝑀− 𝜎−1 𝜏𝑀 𝑟=𝐿 𝑤 0 𝑒
𝐺 0 𝜎−1𝑓+ න 𝑝 𝐴 𝑠 𝑒 − 𝜎−1 𝜏−𝑓𝑓

𝐴+ 𝛿𝑘 න 𝑝 𝑠 𝑒

𝑀 𝑟−𝑠

𝐺 𝑠 𝜎−1 𝑑𝑠− 𝜎−1 𝜏𝑀 𝑑 𝑟,𝑠𝐺 𝑠 𝜎−1 𝑑𝑠(13.3)

𝑏𝑠 − 𝑟,𝑟≤𝑏𝑑 𝑟, 𝑠 = ቊ𝑟−𝑏 + 𝑠−𝑏 , 𝑟 >𝑏(13.4)

単一中心経済での分岐点の分析◆ポテンシャル関数の場合分けrbO

Ω1Ω2

ポテンシャル関数の推移

43

単一中心経済での分岐点の分析◆ポテンシャル関数の場合分け直線構造

分岐点あり構造Ω′ 2 𝑏 − Ω′1 𝑏 = 𝜙 𝑓 × 𝑓𝑢𝑛𝑐. > 0bが尖点であることが確認された

44

単一中心経済での分岐点の分析

45◆微係数の差Ω′ 2 𝑏 − Ω′1 𝑏 からわかること
1. 分岐点𝑏において不連続
2. 関数𝜙 𝑓 は𝑓とともに増加するので農業地域が𝑏を超えて拡大するほど強くなる
3. 支線数𝑘が増加するほど𝜙 𝑟 が増加する＝支線が多いほど分岐点の魅力は大きくなる◆その他図から分かること
1. 人口増加につれてポテンシャル関数は上方にシフトする
2. 分岐点𝑏が尖点であり，新都市が生まれやすい場所である

経済の可能な空間的発展パターンの考察◆分岐点𝑏の位置を変えることで発展の様子を見る
分岐点bに新都市は生まれない．
分岐点bを超えたところに生まれる．

分岐点bに新都市が生まれる．
場合によって既存の都市が消滅する．

分岐点bに新都市は生まれない．
分岐点bの手前に生まれる．
また同じ状況に戻る．

46

経済の可能な空間的発展パターンの考察◆結論－分岐点は新都市の生まれる条件が幅広い

47