4章

比例と反比例

単元関数
比例⑴

18

覚えよう！

1

へんすう

yざ ひょう軸といい，これらの交わる

かんすう

y軸

2PO

3

げんてん関数であるという。

点Oを原点という。

yがxの関数で，y=ax(aは定数)という式で表され点Pの位置を，(3，2)とひ れいていすう

るとき，yはxに比例するといい，aを比例定数という。

表す。これを点Pの座標と

へんいき

3

じく

じくれに対応するyの値がただ1つに決まるとき，yはxのひ れいじくy軸(縦軸)をあわせて座標わる2つの変数x，yがあって，xの値を決めると，そ2

P.126〜135

右の図で，x軸(横軸)と4いろいろな値をとる文字を変数という。ともなって変教科書

変数のとる値の範囲を，その変数の変域といい，不等いい，3を点Pのx座標，原点2を点Pのy座標という。

号(>，<，ö，ô)を使って表す。

x軸xチェック1 関数

時速 50km の速さで走る自動車がx時間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yはxの関数であるといえますか。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴時速 50km の速さでx時間走るときに進む道のりは，50×x=50x(km)となり，y=50x と表せる。

解⑵xの値を決めると，それにともなってyの値もただ1つに決まるから，yはxの関数であるといえる。
答

確認問題１⑴⑵いえる。

次の問いに答えなさい。

分速 150m で走る人がx分間走るとym 進むとして，次の問いに答えなさい。

① yをxの式で表しなさい。
〔⑵⑴ y=50x②

yはxの関数であるといえますか。

〕〔〕

1m の値段が 60円のリボンをxm 買ったときの代金をy円として，次の問いに答えなさい。

① yをxの式で表しなさい。
〔②yはxの関数であるといえますか。

〕〔〕

チェック2 比例を表す式

分速 80mで歩く人がx分間に進む道のりをym として，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yがxに比例するとき，その比例定数を答えなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

y=ax という式で表されるとき，yはxに比例し，aの値が比例定数である。 x⑴ 1分間に 80m 進むから，x分間に 80x m 進む。よって，y=80x⑵ y=ax の形になるから，yはxに比例し，比例定数は 80 である。
確認問題２y00

123 4 …
80 160 240 320 …

答⑴

y=80x⑵80

次のx，yの関係について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものはその比例定数を答え，比例しないものには×と答えなさい。
⑴ 1辺がxcm の正三角形の周の長さycm

式〔⑵〕〕 比例定数〔〕〕 比例定数〔〕

縦がxcm ，横が4cm の長方形の周の長さycm
式〔⑶〕 比例定数〔2

底辺が6cm ，高さがxcm の平行四辺形の面積ycm
式〔90090-091_KeyworkNITIBUN_GU.4Ef.indd 90

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4章

比例と反比例

チェック3 比例と変域
変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

例題

2より大きい

⑴

2以上7未満⑵••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••・≧，≦…以上，以下(その数をふくむ)⑴ x>2

解02をふくまない。 （確認問題３⑵ 2≦x<72

両側の不等号 （はその値をふくまないことを表す。）⑵

xは1以上6以下〕⑶〔

次の問いに答えなさい。

5① A(4，-3)③ C(0，1)② B(-2，5)④ D(-3，0)

R-5OQ-552≦x<7〕

y5P

次の①〜④の座標が表す点を，それ⑵〔

図2ぞれ答えなさい。
ぞれ図2にかき入れなさい。

⑴ x>2

xは0以上4未満

y

図1

図1の点P，Q，R，Sの座標をそれ⑵

7〕

チェック4 座標⑴2

答

次のことがらを不等号を使って表しなさい。

〔

例題

0はその値をふくむことを表す。）の向きは同じ。

xは5より大きい⑴・>，<…より大きい，より小さい，未満(その数をふくまない)x-55O

Sx-5••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴それぞれの点からx軸，y軸に垂直に線をひき，軸と交わったところのめもりを読む。

解P … x座標は2，y座標は3

R … x軸上の点だからy座標は0

Q … x座標は-5，y座標は-4y

図3S … y軸上の点だからx座標は0B5DO⑵① A(4，-3) … 原点Oから右に4，下に3の点。
② B(-2，5) … 原点Oから左に2，上に5の点。
③ C(0，1)-5… x座標が0だからy軸上で，原点Oから上に1の点。

④ D(-3，0) … y座標が0だからx軸上で，原点Oから左に3の点。
答⑴

PP(2，3)，Q(-5，-4)，R(4，0)，S(0，-3)

⑵

C

5xA

-5

右の図3

※点Pの座標が(2，3)であることを，P(2，3)のように表す。また，原点Oの座標は(0，0)である。
確認問題４⑴

次の問いに答えなさい。

y図1

5

図1の点P，Q，R，Sの座標をそれぞれ答えな

PQさい。
P〔〕 Q〔〕 -5

R〔〕 S〔〕⑵

図2

次の①〜④の座標が表す点を，それぞれ図2にRO-5S

5x-5y5O5x-5

かき入れなさい。
①A(3，-6)②B(-2，-3)③C(1，0)④D(0，-4)
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4章

比例と反比例

単元

教科書

比例⑵

19

P.136〜143

覚えよう！

12比例のグラフ

比例 y=ax のグラフは，原点と，点（1，a）
を通る直線である。

a＞0 のときは①①

右下がりの直線
yy増加

(1，a)
xO増加

yがxに比例するとき，xとyされる。

② a＜0 のときは右上がりの直線比例の式の求め方の関係は，比例定数をaとして，y=ax という式で表②1組のx，yの値がわかるときは，y=ax にx，yの値をそれぞれ代入して，aの値を求める。

グラフが与えられたときは，グラフが通る点のうち，1点の座標を読んで，そのx座標とy座標の値増加
減少

Oを y=ax にそれぞれ代入して，aの値を求める。

x(1，a)

チェック1 比例のグラフ

y=2x について，次の問いに答えなさい。

例題

⑴
⑵

x … -3 -2 -1 0

xの値に対応するyの値を求め，右の表の空欄をうめなさい。

1y …

y=2x のグラフをかきなさい。

2

3 …
…

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴ y=2x に，x=-3，-2，-1，……，3をそれぞれ代入して，yの値を求める。

解

5

順に，y=2*(-3)=-6，y=2*(-2)=-4，y=2*(-1)=-2，y=2*0=0，y=2*1=2，y=2*2=4，y=2*3=6⑵ 対応するx，yの値を座標とする点（-3，-6），（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4），（3，6）
をとり，それらを直線で結ぶ。

-5yOx5

比例のグラフは原点を通る直線だから，原点以外に通る1点を求め，その点と原点を通る直線をひいてもよい。
答

確認問題１⑴⑴

順に，-6，-4，-2，0，2，4，6⑵

-5

右の図

次の問いに答えなさい。

y

次の①，②の表の空欄をそれぞれうめて，比例のグラフをかきなさい。
①②

y=-xx…

y…

y=1x2xy⑵…

-4-6-1012-4-20246…

y=4xx=1 のとき y=② y=--2

3

4…
…

次の①，②の①-33x4x=4 のとき y=5-5…

(だから，グラフは原点と点 4，xyにあてはまる数を答え，比例のグラフをかきなさい。

(5-5…

だから，グラフは原点と点 1，O)を通る。
)を通る。

5-5O

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4章

比例と反比例

チェック2 比例の式の求め方⑴ 〜１組のx，yの値から求める〜
yはxに比例し，x=4 のとき y=12 である。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ x=5 のときのyの値を求めなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴ y=ax に x=4，y=12 を代入すると，12=a×4，a=3解⑵ y=3x に x=5 を代入すると，y=3×5=15確認問題２

よって，y=3x答⑴ y=3xy=15⑵

次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=18 である。
①yをxの式で表しなさい。

x=-6 のときのyの値を求めなさい。

②③ y=12 のときのxの値を求めなさい。
yはxに比例し，x=-4 のとき y=8 である。

⑵

①②〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

yをxの式で表しなさい。

x=3 のときのyの値を求めなさい。

③ y=10 のときのxの値を求めなさい。

チェック3 比例の式の求め方⑵ 〜グラフから求める〜
例題

〔

⑴ y

グラフが右の図の⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

5••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解

グラフ上の原点以外の点を1つ読み取り，その点のx座標，y座標の値を y=ax⑵に代入して，aの値を求める。

⑴グラフは点(1，-4)を通るから，y=ax に x=1，y=-4 を代入して，-4=a*1，a=-4 よって，y=-4x-5⑶⑵ グラフは点(3，1)を通るから，y=ax に x=3，y=1 を代入して，11
1=a*3，a=よって，y= x
3
3⑶ グラフは点(5，-2)を通るから，y=ax に x=5，y=-2 を代入して，22-2=a*5，a=よって，y=- x55答

確認問題３⑴y=-4x-5⑵1
y= x3

グラフが右の図の⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

⑶

5-5⑴
〔〕

⑵
〔〕

⑶〔x5O〕

y2x5⑴
⑵

O-5

y=-5x⑶93092-093_KeyworkNITIBUN_GU.4Ef.indd 93

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4章

比例と反比例

練
単元18
11 関数

習問

題

その1

次の①〜④のことがらについて，yがxの関数であるといえる場合は，yをxの式で表しなさい。

yがxの関数とはいえない場合は，×と答えなさい。

① 1kg あたり400円の米をxkg 買ったときの代金y円

単元183〕

〔〕

〔〕

〔〕

②

年齢がx歳の人の身長ycm③

水が 30L 入る空の水そうに，水を毎分xL ずつ入れるときの満水になるまでの時間y分
から家から800m 離れた駅に向かうとき，xm 歩いたときの残りの道のりym

④

単元182

〔

2 比例を表す式

次のx，yの関係について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものはその比例定数を答え，比例しないものには×と答えなさい。
⑴

分速 55m でx分間歩くとき，進む道のりym⑵⑶

1辺がxcm の正方形の面積ycm

式〔〔〕 比例定数〕

1m あたり120g の針金xm の重さyg

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

23 比例と変域⑴

次の問いに答えなさい。

次のことがらを，不等号を使って表しなさい。

① xは5より小さい③ xは-7 以上12未満

②〔〕
④〔⑵

xは-2 より大きい

xは-3 以上0以下〕〔〕〔〕

家から 900m 離れた学校まで分速 75m で歩く。x分間歩いたときに進む道のりをym とすると，xとyの関係はy= ① x という式で表される。学校へは ② 分で着くから，xの変域(xのとる値の範囲)は③ ≦x≦ ② である。また，yの変域は ④ ≦y≦ ⑤ となる。

①〔〕 ②〔〕 ③〔にあてはまる数を答えなさい。

〕 ④〔〕 ⑤〔〕

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4章

練
単元18
4

1 座標
⑴

問題

そのy次の問いに答えなさい。

右の図の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏの座標をそれぞれ答えなさい。

⑵

単元19
1習〕 Ｂ〔〕Ｃ〔〕 Ｏ〔〕B-5Ｄ(-6，5)②Ｅ(0，4)③Ｆ(4，0)④Ｇ(3，-1)

2 比例のグラフ⑴ y=3x⑶ y=--5Cy

次の比例のグラフを，右の図にかきなさい。
1⑵ y= x
3

1x4⑷

x5O

次の①〜④の座標が表す点を，それぞれ右の図にかき入れなさい。
①2A5Ａ〔比例と反比例

53y=- x2-5x5O-5

単元192

3 比例の式の求め方

次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=4 のとき y=-28 である。
①③yをxの式で表しなさい。

②〔〕

〔〕

y=35 のときのxの値を求めなさい。

〔⑵ yはxに比例し，x=-8 のとき y=-2 である。
①③

単元193yをxの式で表しなさい。

②〔〕

〔〕

y=1 のときのxの値を求めなさい。

4 比例の式の求め方

x=-6 のときのyの値を求めなさい。
〕

x=-12 のときのyの値を求めなさい。
〔⑷

グラフが右の図の⑴〜⑷である比例の式を，〕

y⑴5それぞれ求めなさい。
⑶-5⑴ 〔〕

⑵ 〔〕
⑵

⑶ 〔〕

⑷ 〔O

5x-5〕
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4章

比例と反比例Key プラス
単元181，2

1 次の①〜④のことがらについて，あとの問いに答えなさい。
① 1辺がxcm の正方形の周の長さycm②③④

縦がxcm，面積が 30cm2 の長方形の横の長さycm

時速 35km で走る自動車がx時間に進む道のりykm

縦がxcm，周の長さが 20cm の長方形の横の長さycm

その

x1

y4x1

y30x1

y35

x1

y923415…
…

2345…
…

2345…
…

2345…
…

⑴

①〜④のことがらについて，右上のx，yの対応表の空欄にあてはまる数を書き入れなさい。

⑵①と③のことがらについて，xの値がそれぞれm倍になると，yの値はそれぞれ何倍になるか答えなさい。
また，yの値はそれぞれいくつになっているか答えなさい。
xyの値…〔⑶〕倍になる。

yの値…①〔x〕 ③〔〕②と④のことがらでは，yはxに比例するとはいえない。その理由を，それぞれ説明しなさい。ただし，yをxの式で表し，それをもとにして答えること。
②について

④について

2 右の図の台形 ABCD で，点Pは辺 BC 上をBからCまで動く。BP の長さAD2をxcm，三角形 ABP の面積をycm として，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。

6 cmx cm

〔
⑵

次の①〕

B

P
9 cm

Cにあてはまる数を答えなさい。

xの変域は，ôxôである。

②yの変域は，ôyôである。

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4章

Key プラス

比例と反比例
その2

1 次の問いに答えなさい。

2
比例 y= x のグラフ上に，点A(6，a)，点B(b，-8)がある。a，bの値をそれぞれ求めなさい。
3⑴a〔〕 b〔〕

a〔〔〕 b〕

比例 y=ax のグラフが点A(-2，8)，点B(b，-20)を通る。a，bの値をそれぞれ求めなさい。

⑵

2 次の⑴，⑵の比例の式について，xの変域が()内であるときのグラフをかきなさい。また，そのときのyの変域を求めなさい。
⑴ y=2x(-2≦x≦3)

3y=- x2⑵(-4≦x≦2)yの変域〔y5-5〕5O

x-5yの変域〔〕

3 次の問いに答えなさい。(必要ならば，右下の方眼を利用しなさい。)⑴

点A(-3，4)を，次のように移動させた点B，Cの座標をそれぞれ求めなさい。

① x軸の正の方向に4，y軸の負の方向に6だけ移動させた点B
B〔〕

C〔〕

② x軸の負の方向に2，y軸の正の方向に2だけ移動させた点C⑵

点P(2，3)について，次のような位置にある点Q，Rの座標をそれぞれ5-5求めなさい。
①②O

5x-5

点Pをx軸について折り返した位置にある点Q
Q〔y〕

点Pをy軸について折り返した位置にある点R
R〔〕54 座標平面上に3点A(-3，1)，B(-4，-5)，C(3，-3)がある。

x座標，y座標がともに正であるような点Dをとって，四角形 ABCD がy平行四辺形になるようにしたい。
必要ならば，右の方眼を利用して，点Dの座標を求めなさい。

-5※座標軸を使って，点の位置を表すようにした平面を座標平面といいます。

D〔〕O

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