提案されたクォーク閉じ込め証明およびその関連研究について•T. Kanazawa, PLB670(2009)421-427•T. Kanazawa, arXiv:0808.3442 [math-ph]

金澤拓也 （東京大学大学院 理学系研究科 D1）
於 九大若手研究会「量子色力学の相構造研究の現状と展望」
2008年12月25、26日

1Outline
1. Introduction
2. センターボルテックスについて

3. 提出された“証明”の基本構造について
4. 証明の問題点について
5. 関連研究について(taken from2
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2004/illpres/ )1. Introduction
クォーク閉じ込め
面積則が提唱されてから３０数年の間強結合展開を除けばごく限られたモデルでしか示されていない• ２次元の系（Schwinger model など）• ３次元pure U(N)ゲージ理論 (米谷 ’82 など)• ３次元Georgi-Glashowモデル (Polyakov ’77 など)• ４次元超対称QCD (Seiberg-Witten ’94 など)

QCDの他の非摂動的現象（χSB, mass gap, ……）との関係もまだ明瞭でない
異なるシナリオの間の相互関係もまだ明瞭でない（各種のトポロジカルな物体の凝縮、九後-小嶋の条件、……）クォークの閉じ込めとグルーオンの閉じ込めの関係もまだ明瞭でない

SU(N), d>2では十分高温で deconfinement が起きることは示されている
Tomboulis and Yaffe, CMP 100(1985)313
Borgs and Seiler, CMP 91(1983)329
32. センターボルテックスについて• Mack, Petkova, ’t Hooft, Ambjorn, Cornwall らが閉じ込めを担う自由度として70年代末に提唱、研究• 90年代後半に格子simulationから強力なサポートを得て再び研究が活発化(Del Debbio et al., Phys. Rev. D58, 094501(1998) など)• 基本表現のクォークが存在しなければ、本当のゲージ群はに対応するco-dim. 2 の

topological object が存在 (center vortex)
 Wilson loop に巻きつくと、値を W(C)  zW(C) のように変化させる“ center fluctuationが系をdisorder に導く”というpicture

Area law= Vortex

area law

perimeterlaw

percolation
4

2. センターボルテックスについて
QCD真空のCenter vortex描像の根拠：
1. Asymptotic string tensionのN-ality依存性を自然に説明できる
2. 格子上の有効作用のlocal minimumとしてvortex solutionが現れる

3. 格子上で測定されたvortex surface densityが連続極限を持つ
4. center projectionの後で得られるstring tensionがオリジナルのstring tensionにほぼ等しい（center dominance）
5. configurationからvortexを取り除くとカイラル凝縮が消え、topological chargeも消える
6. deconfinementと高温でのspatial string tensionを自然に説明できる(下図)高温と低温でのvortexのspace-slice Engelhardt et al.,
PRD61(2000)054504
52. センターボルテックスについて
格子上にcenter vortexを導入する方法
1+1次元, SU(2)の場合：にvortexを導入するには、赤いリンクすべてにcenterの元をかけていけばよい（＝ツイスト）

ほとんどのプラケットではツイストが相殺 に巻きついた任意のWilson loopは確かに W(C)  - W(C) と変化するだけをツイストしたのと等価

高次元でも全く同様: “Twistedpartition
function”
6

2. センターボルテックスについて

Fv の熱力学極限（Li∞）での振る舞いから、系がどの相にあるか分かる
1. 閉じ込め相
2. クーロン相

3. Higgs相(温度=0を仮定)• 1. の振る舞いは強結合展開のall order で成立し、ρ(β)は強結合展開のall order でstring tensionに等しい [Munster, PLB95(1980)59]• 弱結合では厳密な結果はないが数値計算では確認されている[Kovacs et al., PRL85(2000)704, de Forcrand et al., PRL86(2001)1438]

72. センターボルテックスについて
SU(2)のWilson loop（j-表現）との関係を与える格子上の厳密な不等式 ：[Tomboulis et al., CMP100(1985)313, Kovacs et al., PRD65(2002)074501]（j が半整数のとき成立）
もしが成り立てば面積則が従う:

 上のFvの振る舞いは、少なくとも閉じ込めの十分条件である
上の不等式はSU(N)の場合に拡張できる [T.Kanazawa, arXiv:0808.3442]
表現RのN-alityがノンゼロのとき成立でツイストされた分配関数
8<Outline of proof (1)>と定義する.

O: vortex creation operator
F: electric flux creation operator

ツイストされたプラケットの集合,Cがに巻きついている状況からスタートする.

リンク変数の再定義 U  zU (z∈Z(N)) を繰り返してをへ移動させると≡9

<Outline of proof (2)>Reflection Positivity : 正定値の転送行列およびHermiteなHamiltonianの存在条件“F, G をとの場のみに依存する物理量とするとき、鏡映変換に対してとが成り立つ.”

を用いることにより基本性質が示される.
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<Outline of proof (3)>Wilson loopに垂直な平面に関するReflection Positivityの使用を方向へ繰り返すとWilson loopは倍々に大きくなっていき、格子の周期性から最終的には消えてしまう.
<O>と<F>の基本性質と併せて、結局次を得る：



Q.E.D.
11

Outline
1. Introduction
2. センターボルテックスについて

3. 提出された“証明”の基本構造について
4. 証明の問題点について
5. 関連研究について(taken from12
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2004/illpres/ )3. 提出された“証明”の基本構造について

関連論文一覧
E. T. Tomboulis, arXiv:0707.2179[hep-th]
K. R. Ito and E. Seiler, arXiv:0711.4930[hep-th]
E. T. Tomboulis, arXiv:0712.2620[hep-th]
K. R. Ito and E. Seiler, arXiv:0803.3019[hep-th]
T. Kanazawa, PLB 670(2009)421-427

これが今回の発表
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3. 提出された“証明”の基本構造について
基本方針はを任意のβに対して証明すること。
難しいβ≫1（弱結合）を扱いやすいβ≪1（強結合）に結びつける方策；

 Migdal-Kadanoff (MK) 変換
・・・ 近似的な実空間くりこみ変換・・・ 系をより粗い格子の系に変換することで長距離の物理を引き出す例） 2d IsingでのMK変換• 半数のリンクの相互作用をゼロにして、残りの相互作用の強さを２倍にする• 残ったサイトは厳密に統計和をとる（②、④の操作）14

3. 提出された“証明”の基本構造について
格子ゲージ理論でのMK変換 (1)（3次元の図）大きなcubeの表面にactionを ”集めてくる”
 表面で convolution を厳密に実行して大きなプラケットにする (=decimation)
格子間隔Lで定義された分配関数(one-plaquette作用)の最も一般的な形
スケールL での一般化された“結合定数”• MK変換のもとで結合定数は変化していく:• One-plaquette作用の形を維持するので技術的に扱いやすい• 漸近的自由およびゲージ理論の臨界次元4を出せる  少なくとも定性的には正しい• Systematicな補正方法が知られておらず誤差の評価が難しい• 相転移の場所は正しく教えるが、次数は誤っている場合がある• 2 (=1+1) 次元では厳密な繰り込みになる

3. 提出された“証明”の基本構造について
格子ゲージ理論でのMK変換 (2)g(L) をスケールL でのeffective coupling constant とする.

【重要な定理】 時空の次元が4以下ならば、任意の連結コンパクトリー群 G および任意の初期作用に対し、G 上一様に.

この定理はなぜ重要か？
• MK変換が4d U(1)ゲージ理論の弱結合でのdeconfinement相を予言できないことを示しているから• ただし強結合極限への収束の速さには差がある： SU(N)に比べてU(1)ではflow が指数関数的に遅い• SU(N)の面積則の厳密な証明（もし可能なら）は、当然U(1)へ適用できてはいけない MK変換を使って証明するのは困難に思えるが、Tomboulisは新しいparameter0<r<1の導入により克服できたと主張している
1616

3. 提出された“証明”の基本構造について
・・・最初の格子
・・・n 回decimation を行った格子の各辺の長さ【定理】任意のn および十分大きいΛ に対して、次を満たすが存在する:【主張】n が十分大きければ展開を用いてととれる.

よって、右辺に強結合が示され、面積則が従う• 【定理】はMK変換とそれに関連した不等式の組み合わせで証明される• 新しいパラメータ r は【定理】を証明する過程で必要とされる
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Outline
1. Introduction
2. センターボルテックスについて

3. 提出された“証明”の基本構造について
4. 証明の問題点について
5. 関連研究について(taken from18
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2004/illpres/ )4. 証明の問題点について(1) 【主張】の証明が誤っている・・・ 微分方程式の解の存在を示すステップで、ある条件★の成立を示し、「★が解の存在の十分条件である」と主張しているが実は★は必要条件でも十分条件でもない・・・ まだ正しい証明は提出されていない（おそらく非常に難しい）(2) 「0<r<1 を導入してもMK変換の強結合への収束性が保たれる」と仮定しているが、証明がない
・・・ 詳しく調べるとflow図は２通りしかないと分かる  Tomboulisは暗に(B)を仮定

・・・ もし(A)が正しければ証明は破綻してしまうをいくら∵ 弱結合から出発すると、n大きくしてもの右辺が強結合にならないので、たとえを示しても面積則を出せない！

そのうえ★の証明も破綻する.

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4. 証明の問題点について(2)を認めれば、少なくとも【定理】は正しい  その【定理】はどの程度 non-trivial？
【定理】だけなら、Migdal-Kadanoff変換さえ使わずに導出可能.と（ほとんど）同値、U(1)でもSU(N)でも区別の必要なし.
[T.K., PLB 670 (2009) 421]

証明すべきはだが現状では未ださえ示せていない！

現状ではU(1)とSU(2)の区別ができていない； すべては微分方程式の解の存在を証明するステップに懸かっている 今はまだオリジナルのMK変換の頃と比較して本質的進展が見られない. (結論)20

Outline
1. Introduction
2. センターボルテックスについて

3. 提出された“証明”の基本構造について
4. 証明の問題点について
5. 関連研究について(taken from21
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2004/illpres/ )5. 関連研究について
Tomboulis-Yaffeの不等式は一般的なスピン系へも拡張できる：[T.K., arXiv : 0808.3442]•

方向に距離 n だけ離れた２点の相関関数

は• G は系のグローバルな対称性のなす群•は g∈G によってツイストされた分配関数• 右辺では、もZも方向の長さはとしている• String tension に対応するのは、スピン系では mass gap• Disordered phase では不等式の両辺とも n≫1 で指数関数的に落ちる :（左辺）～• 一定の条件下で、、 （右辺）～、を強結合展開の all order で示せる

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5. 関連研究について（応用例）
反強磁性３角イジング模型

相転移を持たないことが厳密に証明されている (Houtappel, ’50)

 任意の温度でdisorder 状態.
２点が同じ軸上にあるときの mass gap は厳密に求められている.
(Stephenson, ’70)
２点が上のように離れている場合の mass gap は知られていない.

の右辺をあらわに評価できれば mass gap の厳密な下限が出せる.

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5. 関連研究について

【結果1】

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5. 関連研究について【結果2】

今の場合は m=ρ を証明できないが、モンテカルロ計算と比較すると非常に精度のよいbound を与えている.

25Summary
1. Center vortex描像はQCD真空の非摂動的側面の統一的な理解を（今のところ）与えている

2. Vortex free energy は系の相構造に関する情報を含んでいる

3. この観点に立ったSU(2)の面積則の証明が提案されたが、まだ完成していない
4. スピン系に落とした不等式は質量Gapの有用な情報を与えてくれる終わり
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