福田研・朝倉研合同ゼミ 交通行動分析ゼミ 第2回②2016/05/18

第３部 モデリング・動的モデル
・生存時間モデル
朝倉研B4 山下優希

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交通行動分析ゼミ

目次• 動的モデル
交通行動の動的特性
確率過程としての交通行動
離散時間パネルデータの解析①②
パネルデータの有効性• 生存時間モデル
基礎概念
生存時間の解析方法
基本モデルの拡張
適用事例

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

交通行動の動的特性• 行動は均衡状態→静的な分析• 非対称性• ヒステリシス• 時間ずれ• 認知的能力の限界• 不完全情報• 行動適応に伴う時間ずれ→行動変化の過程に着目

lead
行動の変化

lag
行動の変化

行動の変化

時間
影響要因の変化3

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

確率過程としての交通行動
時間とともに変化する確率変数• 再生過程• マルコフ再生過程• マルコフ過程• マルコフ連鎖
状態空間 E 非負の整数の集合 N+
R + ＝［0,+∞］n番目の遷移後の状態 X𝑛 , 𝑛 ∈ N+交通行動が確率過程として記述されるとし、数学的な定式化をし、頻繁に用いられる確率過程モデルについて述べる

確率過程を T = 𝑇𝑛 ; 𝑛 ∈ N+
滞在時間が同一の分布を持ちかつ互いに独立滞在時間の累積分布 FT 𝑡

𝑃𝑟 𝑇𝑛+1 − 𝑇𝑛 ≤ 𝑡|𝑇0 , … , 𝑇𝑛
= 𝑃𝑟 𝑇𝑛+1 − 𝑇𝑛 ≤ 𝑡 = FT 𝑡
𝑡 > 0, ∀𝑛 ∈ N+例）交通事故の発生、電話回線での通話の開始

n番目の遷移が生じる時刻 𝑇𝑛
X𝑛 ∈ 𝐸, 𝑇𝑛 ∈ R +,0=𝑇0 ≤ 𝑇1 ≤ 𝑇2 ⋯この確率過程を X, T = X𝑛 , 𝑇𝑛 ; 𝑛 ∈ N+4

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

確率過程としての交通行動交通行動が確率過程として記述されるとし、数学的な定式化をし、頻繁に用いられる確率過程モデルについて述べる• 再生過程• マルコフ再生過程• マルコフ過程• マルコフ連鎖

複数状態

状態空間 E 非負の整数の集合 N+R + ＝［0,+∞］n番目の遷移後の状態 X𝑛 , 𝑛 ∈ N+n番目の遷移が生じる時刻 𝑇𝑛
X𝑛 ∈ 𝐸, 𝑇𝑛 ∈ R +,0=𝑇0 ≤ 𝑇1 ≤ 𝑇2 ⋯この確率過程を X, T = X𝑛 , 𝑇𝑛 ; 𝑛 ∈ N+

確率過程を Z, T∀𝑛 ∈ N+ , j ∈ 𝐸, t ∈ 𝑅について
𝑃𝑟 X𝑛+1 = 𝑗, 𝑇𝑛+1 − 𝑇𝑛 ≤ 𝑡|𝑋0 , … , 𝑋𝑛 ; 𝑇0 , … , 𝑇𝑛
= 𝑃𝑟 X𝑛+1 = 𝑗, 𝑇𝑛+1 − 𝑇𝑛 ≤ 𝑡|𝑋𝑛
さらにi, j ∈ 𝐸, t ∈ 𝑅について
𝑃𝑟 X𝑛+1 = 𝑗, 𝑇𝑛+1 − 𝑇𝑛 ≤ 𝑡|𝑋𝑛 = 𝑖 = 𝑄(𝑖, 𝑗, 𝑡)が成立すると仮定する（時間的一様性）
状態空間Eのセミ・マルコフ核
確率群Q = 𝑄 𝑖, 𝑗, 𝑡 ∶ i, j ∈ 𝐸, t ∈ 𝑅

状態iから状態jへの遷移確率
𝑃 𝑖, 𝑗 = lim 𝑄(𝑖, 𝑗, 𝑡)𝑡→∞5福田研・朝倉研合同ゼミ

交通行動分析ゼミ 動的モデル

確率過程としての交通行動
交通行動が確率過程として記述されるとし、数学的な定式化をし、頻繁に用いられる確率過程モデルについて述べる• 再生過程• マルコフ再生過程
条件付き• マルコフ過程 過去独立
• マルコフ連鎖

時間的一様なマルコフ過程のQは𝑄(𝑖, 𝑗, 𝑡) = 𝑃 𝑖, 𝑗 1 − 𝑒 −λ𝑖𝑡 , 𝑡 ≥ 0, ∀i, j ∈ 𝐸
状態i, (∀i ∈ 𝐸)での滞在時間はパラメーターλi の負の指数分布を持ち、状態間の遷移確率𝑃 𝑖, 𝑗 は状態iでの滞在時間から独立
状態空間 E 非負の整数の集合 N+
R + ＝［0,+∞］

ここでは𝑃 𝑖, 𝑗 = 0, ∀i ∈ 𝐸

n番目の遷移後の状態 X𝑛 , 𝑛 ∈ N+を仮定する

n番目の遷移が生じる時刻 𝑇𝑛
X𝑛 ∈ 𝐸, 𝑇𝑛 ∈ R +,0=𝑇0 ≤ 𝑇1 ≤ 𝑇2 ⋯この確率過程を X, T = X𝑛 , 𝑇𝑛 ; 𝑛 ∈ N+6

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

確率過程としての交通行動交通行動が確率過程として記述されるとし、数学的な定式化をし、頻繁に用いられる確率過程モデルについて述べる• 再生過程• マルコフ再生過程• マルコフ過程• マルコフ連鎖
状態空間 E 非負の整数の集合 N+
R + ＝［0,+∞］n番目の遷移後の状態 X𝑛 , 𝑛 ∈ N+n番目の遷移が生じる時刻 𝑇𝑛

確率過程を X, T

離散時点、𝑆1 , 𝑆2 ,…, 𝑆𝐾 0 ≤ 𝑆1 < 𝑆2 <…<𝑆𝐾 で観測されたとし、𝑆𝑡 で観測された行動を𝑌𝑡
𝑌 = 𝑌𝑡 ; 𝑡 = 1,2, … , 𝐾
ある整数k(>0)について
𝑃𝑟 𝑌𝑛+1 = 𝑗|𝑌𝑛 , 𝑌𝑛−1 … , 𝑌0= 𝑃𝑟 𝑌𝑛+1 = 𝑗|𝑌𝑛 , 𝑌𝑛−1 … , 𝑌𝑛−𝑘+1 ∀j ∈ 𝐸 , 𝑛∈ N+が成立するとき、確率過程Yはk次のマルコフ連鎖と呼ばれる。
通常はk=1で、
𝑃𝑟 𝑌𝑛+1 = 𝑗|𝑌𝑛 = 𝑖, 𝑌𝑛−1 = 𝑖′ … , 𝑌0 = 𝑖 0 =𝑃𝑟 𝑌𝑛+1 = 𝑗|𝑌𝑛 = 𝑖 =𝑝𝑖𝑗

X𝑛 ∈ 𝐸, 𝑇𝑛 ∈ R +,0=𝑇0 ≤ 𝑇1 ≤ 𝑇2 ⋯この確率過程を X, T = X𝑛 , 𝑇𝑛 ; 𝑛 ∈ N+7

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

離散時間パネルデータの解析①
行動主体をnとし、パネル調査から交通行動の離散
時点での観測地が𝑌 = 𝑌𝑛𝑡 ; 𝑡 = 1,2, … , κ , 𝑛 = 1, … , 𝑁• 誤差要因モデル• 分布ラグモデル と与えられている。
• ラグ付き内生変数 （交通行動は打ち切りなしの実数値）

𝑌𝑛𝑡 = 𝜇 + 𝛽 ′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝜀𝑛𝑡 = 𝜇 + 𝛽 ′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝛼𝑛 + 𝜏𝑡 + 𝑢𝑛𝑡 𝑡 = 1,2, … , κ, 𝑛 = 1, …,N𝑥𝑛𝑡 :時点S𝑡 でｎについて観測された外生変数のベクトル K × 1 ,𝛽:(K × 1)の係数ベクトル 𝜇：切片

𝛼𝑛 －行動主体間で異なった値、各主体については時点間で変化しない
𝜏𝑡 －時点間で変化する、各時点において主体間で一定
𝑢𝑛𝑡 －純粋な誤差項。主体間、時点間でi.i.d.
𝛼𝑛Fixed-effects model(母数モデル)
𝜏𝑡
ダミー変数(定数項)

Random-effects model(変量モデル)
確率変数

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

離散時間パネルデータの解析①• 誤差要因モデル• 分布ラグモデル• ラグ付き内生変数

時点𝑆𝑡 での行動が時点𝑆𝑡−𝑅 から𝑆𝑡 に至る間の説明変数の関数
𝑅𝑌𝑛𝑡 = η + 𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝜃𝑌𝑛,𝑡−1 + 𝑤𝑛𝑡

𝑌𝑛𝑡 = 𝜇 + ෍ 𝛽𝑥′ 𝑛,𝑡−𝑟 + 𝑢𝑛𝑡
𝑟=0←前観測時点で行動の測定値を説明変数

𝜃:スカラー 𝑤𝑛𝑡 ：誤差項 𝑌𝑛,𝑡−1 ：ラグ付き内生変数

行動過程が開始してR(∈ N+ )時点経過したとき、𝑅𝑅
1 − 𝜃 R+1𝑌𝑛𝑡 =η + ෍ 𝜃 𝑟 𝛽𝑥′ 𝑛,𝑡−𝑟 + ෍ 𝜃 𝑟 𝑤𝑛,𝑡−𝑟1−𝜃𝑟=0𝑟=09

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交通行動分析ゼミ 動的モデル

離散時間パネルデータの解析②• Heckmanの動的モデル
𝑡−1𝑡−1 𝑠∗𝑌𝑛𝑡= 𝛽 ′ 𝑥𝑛𝑡 + ෍ 𝛾𝑙 𝑌𝑛,𝑡−𝑙 + 𝜑 ෍ ෑ 𝑌𝑛,𝑡−𝑙 + 𝛼𝑛 + 𝑢𝑛𝑡• 初期条件𝑙=1
𝑠=1 𝑙=1∗1,𝑖𝑓 𝑌𝑛𝑡
≥0
• 状態依存と異質性 𝑌𝑛𝑡 ＝ ቊ0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 𝑛 = 1, … ,N 𝑡 = 1,2, … , κ
状態空間E＝ 0,1∗𝑌𝑛𝑡= 𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝛼𝑛 + 𝑢𝑛𝑡

1,𝑌𝑛𝑡 ቊ0,

∗𝑖𝑓 𝑌𝑛𝑡≥0∗
𝑛 = 1, … ,N 𝑡 = 1,2, … , κ （𝑌𝑛𝑡は潜在変数）
𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

誤差要因𝛼𝑛 は𝑥𝑛𝑡 から独立で分布G𝑎 を持つ、𝑢𝑛𝑡 －主体間、時点間でi.i.d.累積分布関数𝐹𝑢∗
𝑃𝑟 𝑌𝑛𝑡 = 1 = 𝑃𝑟 𝑌𝑛𝑡≥ 0 =1-𝐹𝑢 (−(𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝛼𝑛 ))𝑃𝑟 𝑌𝑛𝑡 = 0 = 𝐹𝑢 (−(𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝛼𝑛 ))𝑁κ尤度関数 ln L＝ ෍ ln න ෑ 1−𝐹𝑢 (−(𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + s)) 𝑌𝑛𝑡 𝐹𝑢 (−(𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + s)) 1−𝑌𝑛𝑡 𝑑G𝑎 (s|δ)
𝑛=1

𝑡=1を最大化することで、𝛽, 𝛿が推定される。
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交通行動分析ゼミ 動的モデル

離散時間パネルデータの解析②• Heckmanの動的モデル
l=1,…,h(≦ κ-1)について𝛾𝑙 ≠ 0の場合（𝑌𝑛,𝑡−1,…, 𝑌𝑛,𝑡−ℎ ）• 初期条件の一部が𝑡 = 1,2, … ,hについて観測されないことになる。
• 状態依存と異質性 ①初期条件や観測以前の履歴は外生的である。
②行動過程が均衡状態にある。と仮定する。
∗𝑌𝑛𝑡= 𝛽′ 𝑥𝑛𝑡 + 𝛾𝑙 𝑌𝑛,𝑡−𝑙 + 𝛼𝑛 + 𝑢𝑛𝑡

真の状態依存ある状態にいたという経験によって知覚、選好、制約条件等の個人の意思決定に影響する要因が変化し、結果として将来の行動が変化
𝛾𝑙 ≠ 0で𝛼𝑛 ≡ 0
虚偽の状態依存個人がある状態を経験する確率には観測された要因では説明できない差異が個人間であるものの、この確率そのものはその状態を経験するか否かに影響されない
𝛾𝑙 = 0で0 < 𝜎𝛼2 < ∞11福田研・朝倉研合同ゼミ

交通行動分析ゼミ 動的モデル

パネルデータの有効性
パネルデータが行動過程を正確に反映したもの

離散時点での観測値からなるパネルデータ難しい！

連続時間軸上の行動過程を規定する諸パラメーターの推定

回顧データを信頼できる形で収集

パネル調査から連続データを構築
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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

基礎概念
ある基準の時刻からある事象が生起、• 生存時間モデルとは あるいは終了するまでの時間の解析を対象とするモデル［期間モデル］• 打ち切り• 生存関数とハザード関数
特徴

解析対象となる事象が生起するまでの時間は必ず正の値
時間の分布の裾が右に長くなることが多い
分布の正規性を仮定することが適切でない場合が多い
来訪者
CABD

観測者休憩13

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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

基礎概念• 生存時間モデルとは• 打ち切り• 生存関数とハザード関数
対象とする事象の生起するまでの時間 生存関数S（t）
Tの分布を以下のように表すことが多い S t = 𝑃𝑟 𝑇 ≥ 𝑡 = 1 − 𝑃𝑟 𝑇 ≤ 𝑡 = 1 − 𝐹 t
ハザード関数ｈ（t）
生存関数S（t）－対象とする事象がある時点ｔにおいてまだ生起していない確率
ハザード関数ｈ（t）－対象とする事象がある時点ｔにおいてまだ生起していないという条件の下で、次の瞬間に事象が生起するという条件付き確率密度

𝑃𝑟 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡|𝑇 ≥ 𝑡∆𝑡→0∆𝑡ℎ 𝑡 = lim

𝑆 𝑡 −𝑆(𝑡+∆𝑡)𝑑 log S t=−∆𝑡∗𝑆 𝑡𝑑𝑡∆𝑡→0= lim𝑓 𝑡=𝑆𝑡𝑓 𝑡 はTの確率密度関数
生存関数S（t）とハザード関数ｈ（t）の関係
𝑡S 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 − න ℎ 𝑢 𝑑𝑢014

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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

生存時間の解析方法• 生存時間のモデル化

共変量がパラメー 生存時間の分布にターとしてモデルに 特定の確率分布が導入されている
仮定されている• Non-parametric model• Semi-parametric model• Parametric model

交通行動分
析の分野での使用

××△〇×〇〇〇〇

Kaplan-Meier法
𝑑𝑖 ＝時点𝑡𝑖 で事象が生起したケース数、事象が生起した時点を𝑡1 , 𝑡2 ,…
𝑛1 ＝時点𝑡𝑖 の直前のリスク集合の大きさ(＝その直前に観測されていたケース数)
生存時間が𝑡𝑖−1より長いという条件の下で生存時間が𝑡𝑖 以上である条件付き確率の推定量
𝑆መ 𝑡𝑛𝑖 − 𝑑𝑖=𝑛𝑖
𝑆መ 𝑡𝑖−1𝑛 −𝑑生存関数S（ｔ）のKaplan-Meier推定量 𝑆መ 𝑡 = ς𝑡 <𝑡 𝑖 𝑖𝑖𝑛𝑖15

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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

生存時間の解析方法• 生存時間のモデル化• Non-parametric model• Semi-parametric model• Parametric model

共変量がパラメー 生存時間の分布にターとしてモデルに 特定の確率分布が導入されている
仮定されている

交通行動分
析の分野での使用

××△〇×〇〇〇〇

比例ハザードモデルでのハザード関数ℎ 𝑡|𝑥𝑖 = ℎ0 𝑡 exp −𝛽𝑥𝑖
ℎ 𝑡|𝑥𝑖 :共変量ベクトル𝑥𝑖 を持つケースiのハザード関数、ℎ0 𝑡 ：基準ハザード、
𝛽：未知パラメーターベクトル、𝑥𝑖 ：ケースiの共変量ベクトル(ケース間でのハザード関数の比は時点によらず一定と仮定)パラメーターの推定：部分尤度法、Han and Hausman法16福田研・朝倉研合同ゼミ

交通行動分析ゼミ 生存時間モデル
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生存時間の解析方法• 生存時間のモデル化• Non-parametric model• Semi-parametric model• Parametric model①比例ハザードモデル②加速故障モデルℎ 𝑡|𝑥𝑖 = ℎ0 𝑡 exp −𝛽𝑥𝑖

exp −𝛽𝑥𝑖

生存時間への共変量の影響の仕方が異なる→２つのモデルのうち対象とする共変量がパラメー 生存時間の分布にターとしてモデルに 特定の確率分布が導入されている仮定されている

交通行動分
析の分野での使用

××△〇×〇〇〇〇

確率分布

ハザード関数ℎ0 𝑡

生存関数𝑆0 𝑡

指数分布λexp(−λt)ワイブル分布

𝛾λ 𝑡𝛾−1exp(−λ 𝑡 )対数ロジスティック分布

𝛾λ 𝑡

𝛾−11

対数正規分布問題に適したモデルを選択する
ゴンベルツ分布𝛾𝛾𝛾
1+λ𝑡log 𝑡 − 𝜇1𝑡𝜑𝜎൙log 𝑡 − 𝜇1−𝜑𝜎𝛾exp(−λt)1+λ𝑡1−𝜑log 𝑡 − 𝜇𝜎exp((γ/λ)(exp(−λt)−1)

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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

基本モデルの拡張• 非観測異質性
Parametric model：• 時間依存性共変量 モデルの共変量以外の異質性は存在しない• 競合危険確率分布の未知パラメーターの推定値、共変量の係数ベクトルの推定値がバイアスを受ける

例：ワイブル分布
非観測異質性を考慮したモデルの推定法

𝑆 𝑡 =𝛾 −1/𝜃
1 + 𝜃λ 𝑡γ

通常：𝑆 𝑡 = exp(−λ t )18

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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

基本モデルの拡張• 非観測異質性• 時間依存性共変量• 競合危険比例ハザードモデル：
時間が経過しても共変量が変化しない対象とする事象が生起する原因が複数考えられる場合、観測によっていずれの原因によって個々の事象が生起したかを特定することが可能であれば、それらを区別して分析を行うことが可能

各原因が非独立

各原因が独立𝑀𝑀ℎ 𝑡 = ෍ ℎ𝑚 (𝑡) 𝑆 𝑡 = ෑ 𝑆𝑚 (𝑡)
𝑚=1

𝑚=1

誤差項の相関をモデルに導入した上で全ての原因のパラメーターを同時に推定
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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

適用事例• 活動時間、滞在時間の分析• 自動車保有行動の分析
交通需要の時間的な変動←重要個々人の日常的な自由活動の活動時間

観光地における滞在時間例）藤井ら、1997
個人の1日の活動を再現するためのシミュレーターの1要素として活動時間を再現する生存時間モデルが適用
活動開始時間を基準として活動終了時刻までの時間(活動時間)を、ワイブル分布を仮定したParametric modelが適用
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交通行動分析ゼミ 生存時間モデル

適用事例• 活動時間、滞在時間の分析• 自動車保有行動の分析
時間軸上における世帯の自動車取り替え更新行動の分析←世帯の自動車保有率や自動車保有台数に関する研究(モビリティを説明する要因)
自動車保有期間・自動車取り替え行動の分析例）山本俊行、木村誠司、北村隆一：取替更新行動間の相互影響を考慮した世帯の自動車取替更新行動モデルの構築、土木計画学研究・論文集、No15、pp593-599、1997

取替更新行動に、買い替え・追加購入・破棄の3種類が存在するとし、競合危険モデルを構築し、ｎ台保有世帯の場合2ｎ+1の原因によって更新行動が生起するとし、モデル化している。
Parametricな比例ハザードモデルにワイブル分布を適用した定式化を行っている。
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まとめ• 動的モデル
交通行動の動的特性
確率過程としての交通行動
離散時間パネルデータの解析①②
パネルデータの有効性• 生存時間モデル
基礎概念
生存時間の解析方法
基本モデルの拡張適用事例
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