空間経済学
平成30年6月23日（土）福田研究室 修士１年生
室 祥太朗

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第4章 独占的競争のディクシット＝スティグリッツモデルとその空間経済への拡張2

34-1.消費者行動
効用関数の設定
仮定・農業部門：完全競争的，同一の種の財を生産
・工業部門：不完全競争，広範囲の差別化された財を生産消費者の効用関数を次のように定義する．
𝑈 = 𝑀𝜇 𝐴1−𝜇(4.1)

𝑀:工業品消費量， 𝐴:農業品消費量， 𝜇:工業品への支出割合
ここで，工業品は複数種あるため， 𝑀を以下の部分効用関数で表す．
𝑛𝑀 = න 𝑚(𝑖)𝜌 𝑑𝑖1
𝜌0≤𝜌≤10𝜌≡(4.2)

𝜎−1， 𝜎：代替の弾力性
𝜎𝑚 𝑖 ：工業製品𝑖の消費量，𝑛：多様性の程度 財の種類
𝜌：工業品の多様性選好の度合い 𝜌 → 0で強くなる

補足説明：完全競争市場
完全競争市場
個々の生産者や消費者が生産や消費を変えても，市場で成立している価格には影響がないような状況．
完全競争市場における企業の利潤
企業は市場に自由に参入・退出できる．このとき，企業の利潤は0となる性質がある．

4

補足説明：効用関数
コブ-ダグラス型効用関数
２つの財を消費することにより得られる効用についても考える．例としてコー
ヒーと紅茶による効用関数を次のように置く．
ある消費者が，（ⅰ）コーヒーを𝑥1 杯飲んで得られる効用を𝑢1 (𝑥1 )と置くと，𝑢1 (𝑥1 ) = 𝑥1 α1（α1 は，0 < α1 < 1を満たす定数）とあらわされる．また，（ⅱ）紅茶を𝑥2 杯飲んで得られる効用を𝑢2 (𝑥2 )と置くと，𝑢2 (𝑥2 ) = 𝛽2 𝑥2 𝛼2（α2 は，0 < α2 < 1を満たす定数）5補足説明：効用関数
コブ-ダグラス型効用関数
この消費者がコーヒーを𝑥1 杯消費し，紅茶を𝑥2 杯消費したときの効用を𝑢(𝑥1 , 𝑥2 )とおくと𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑢1 (𝑥1 )𝑢2 (𝑥2 )= 𝛽2 𝑥1 α1 𝑥2 𝛼2
２つの財を消費することにより，相乗的に効用が増加する．
𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 α1 𝑥2 𝛼2
CES型効用関数

代替の弾力性が一定の効用関数．
𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) =−1−𝜌−𝜌𝜌
𝛼1 𝑥1 +𝛼2 𝑥2

コブ-ダグラス型効用関数はCES型関数の特殊型とみることができ， 𝜌 = 0のとき，コブ-ダグラス型関数となる．

6

74-1.消費者行動
効用最大化問題
予算制約のもとでの効用最大化問題は以下のように書ける．
𝑛𝜇 1−𝜇𝑚𝑎𝑥. 𝑈 = 𝑀 𝐴

𝐴𝑠. 𝑡. 𝑝 𝐴 + න 𝑝 𝑖 𝑚 𝑖 𝑑𝑖 = 𝑌0𝑝 𝐴 ：農業品価格，𝑝 𝑖 ：各工業品価格， 𝑌：所得
この効用最大化問題は，次の２段階で解くことができる．
STEP1：𝑀を達成する費用を最小にするように各𝑚 𝑖 を選択する
STEP2：総予算を農業品と工業品全体に分け， 𝐴と𝑀を決定する．

84-1.消費者行動
効用最大化問題を解く

STEP1： 𝑚 𝑖 の決定

STEP1を定式化すると以下の費用最小化問題となる
𝑛𝑛𝑚𝑖𝑛. 𝑈 = න 𝑝 𝑖 𝑚 𝑖 𝑑𝑖 𝑠. 𝑡. න 𝑚(𝑖)𝜌 𝑑𝑖01𝜌=𝑀0(4.3)

𝑝 𝐴 ：農業品価格，𝑝 𝑖 ：各工業品価格， 𝑌：所得
1階の条件は限界代替率と価格比率が等しくなることなので
𝑚(𝑖)𝜌−1 𝑝(𝑖)=𝑚(𝑗)𝜌−1 𝑝(𝑗)(4.4)

(4.4)式を(4.3)式に代入すると，差別化𝑗の工業品に対する補償需要関数が得られる．
1𝑝(𝑗)𝜌−1𝑚 𝑗 =1𝑀(4.5)
𝜌𝜌𝑛‫׬‬0 𝑝(𝑖)𝜌−1 𝑑𝑖9

補足説明：限界代替率
無差別曲線
同じ，差別できない効用をもたらす点の集合𝑥1 𝑥2 の座標平面上に曲線として存在し，これを無差別曲線という．
限界代替率（𝑀𝑅𝑆）
限界代替率は無差別曲線の接線の傾きで表される．
𝑥2
無差別曲線
𝑀𝑅𝑆𝑥1

補足説明：支出最小化問題，効用最大化問題
支出最小化問題，効用最大化問題
𝑚𝑖𝑛. 𝑝𝑥𝑠. 𝑡. 𝑢 𝑥 = 𝑢

これを解くと，限界代替率と価格比が同じになる
𝑥2
無差別曲線 𝑢 𝑥 = 𝑢
𝑀𝑅𝑆

補償需要関数𝑥ҧ𝑝1
𝑝2

𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 = 𝑐𝑥1

支出最小化問題の解𝑥．
ҧ支出関数価格体系𝑝のもとで，効用𝑢を達成するための必要最低限な金額𝑝𝑥ҧ

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114-1.消費者行動
効用最大化問題を解く① 𝑚 𝑖 の決定

 差別化𝑗の工業品への支出は𝑝 𝑗 𝑚 𝑗 だから，式を𝑗に関して積分すると𝑛(4.5)𝑛න 𝑝 𝑖 𝑚 𝑖 𝑑𝑖 = න 𝑝 𝑗 𝑚 𝑗 𝑑𝑗00𝑛= න𝜌𝑝(𝑖)𝜌−1 𝑑𝑖𝜌−1𝜌

合成工業製品の数量(4.6)

𝑀0

価格指数

𝑀の係数の価格指数と定義．これを𝐺とすれば，𝑛𝐺= න𝜌
𝜌−1𝑝(𝑖) 𝑑𝑖𝜌−1𝜌𝑛= න 𝑝(𝑖)σ−1 𝑑𝑖01σ−11単位の合成工業品
Gを購入するための最小費用→支出関数

(4.7)

0

ただし，𝜌 ≡𝜎−1とする．
𝜎

よって，𝑚 𝑗 は以下のように書け， 𝑗 → 𝑖とすれば ①が終了

𝑚 𝑗 =𝑝(𝑗)𝐺1𝜌−1𝑝(𝑗)𝑀=𝐺−σ𝑀(4.8)

12

4-1.消費者行動
効用最大化問題を解く①②𝐴と𝑀の決定

②を定式化すると以下
𝑚𝑎𝑥. 𝑈 = 𝑀𝜇 𝐴1−𝜇 𝑠. 𝑡. 𝐺𝑀 +𝑝 𝐴 𝐴 = 𝑌(4.9)

これを解くと，𝐴と𝑀が決定できる
𝜇𝑌
𝑀=𝐺(1 − 𝜇)𝑌
𝐴=𝑝𝐴(4.10)

また， 𝑀を𝑚 𝑗 に代入すれば，
𝑝(𝑗)𝑚 𝑗 =𝐺−σ𝜇𝑌
𝑝(𝑗)−σ×= 𝜇𝑌 −(σ−1)
𝐺𝐺．

(4.11)

13

4-1.消費者行動
効用最大化問題の結果
以上①，②から，
𝑛𝑚𝑎𝑥. 𝑈 = 𝑀𝜇 𝐴1−𝜇 𝑠. 𝑡. 𝑝 𝐴 𝐴 + න 𝑝 𝑖 𝑚 𝑖 𝑑𝑖 = 𝑌0

を解き，農業品，各工業品についての需要関数を得た
𝜇𝑌
𝑀=𝐺(1 − 𝜇)𝑌
𝐴=𝑝𝐴(4.10)再𝑝(𝑗)−σ𝑚 𝑗 = 𝜇𝑌 −(σ−1)
𝐺(4.11)再これらを𝑈に代入すると間接効用関数が得られる
𝑈 = 𝑀𝜇 𝐴1−𝜇 = 𝜇 𝜇 (1 − 𝜇)1−𝜇 𝑌𝐺 −𝜇 ( 𝑝 𝐴 )−(1−𝜇)(4.12)

経済の生計費指数（家計の生活費に基づき算出される物価指数）

144-1.消費者行動
効用最大化問題の結果
この結果，提供される工業品の範囲が内生変数になった

全工業品が同一価格𝑝𝑀 で購入できると仮定．価格指数は
1𝐺=1𝑛𝜎−1𝜎−1
𝑀=𝑝 𝑛1−𝜎‫׬‬0 𝑝(𝑖) 𝑑𝑖(4.13)

これより，価格指数𝐺の財の種類𝑛への感応度は異なる種類間の代替弾力性𝜎に依存することがわかる．
また，(4.14)式と合わせると，以下がわかる．

𝑝(𝑗)−σ𝑚 𝑗 = 𝜇𝑌 −(σ−1)
𝐺(4.11再)𝑛の増加➡ Gの減少➡𝑚 𝑗 の減少
すなわち，財の種類を増加させると財市場の競争が激化し，既存財の需要曲線を下方にシフトさせる

154-2.複数の立地点と輸送費用輸送費の導入仮定・どの財も1地点のみで生産され，全ての種類の財は同一の生産技術と同一の価格を持つというように対称性を有する
・氷塊輸送の概念を導入
解ける（消滅する）

𝑀
𝑇𝑟𝑠−1

地域s

地域r1𝑀
𝑇𝑟𝑠

1単位の財が来るためには，
𝑀𝑇𝑟𝑠(≥1)単位の財を発送する必要

立地点は離散的でR個あるとする．

地域𝑟は域内で生産された工業品が価格𝑝𝑟𝑀 で販売される．
𝑀 は次のようになる．
地域𝑠における送達価格𝑝𝑟𝑠
𝑀 = 𝑝𝑀 𝑇 𝑀
𝑝𝑟𝑠
𝑟 𝑟𝑠

(4.14)

16

4-2.複数の立地点と輸送費用輸送費の導入
立地点𝑠での工業品の価格指数𝐺𝑠 は， (4.13)式と(4.14)式より
1σ−1

𝑅
𝑀 1−σ
𝐺𝑠 = ෍ 𝑛𝑟 (𝑝𝑟𝑀 𝑇𝑟𝑠)𝑠 = 1, … , 𝑅(4.15)

𝑟=1

𝑟で生産された財に対する立地点𝑠での消費需要は(4.11)式より
𝑀 )−σ 𝐺 (1−σ)
𝜇𝑌𝑠 (𝑝𝑟𝑀 𝑇𝑟𝑠𝑠

(4.16)

𝑀 倍の量が発送されなければならないこ
ここで，氷塊輸送より， 𝑟ではこの𝑇𝑟𝑠とを考慮し，工業品の総販売量𝑞𝑟𝑀 は𝑅𝑀 )−σ 𝐺 (1−σ) 𝑇 𝑀
𝑞𝑟𝑀 = 𝜇 ෍ 𝑌𝑠 (𝑝𝑟𝑀 𝑇𝑟𝑠𝑠
𝑟𝑠𝑠=1(4.17)

17

4-3.生産者行動
効用関数の設定
仮定

・農業部門：完全競争的，収穫不変の技術
・工業部門：規模の経済が各種類の財レベルにおいて発生，労働力が唯一のインプット，生産技術はすべての財の種類，全ての立地点で同じとする

労働投入量は𝑙 𝑀 は
𝑙𝑀 = 𝐹 + 𝑐 𝑀 𝑞𝑀

(4.18)

𝐹:固定的インプット，𝑐 𝑀 :限界的インプット， 𝑞 𝑀 :生産量𝑙𝑀
𝑙𝑀 = 𝐹 + 𝑐 𝑀 𝑞𝑀
𝐹𝑞𝑀

18

4-3.生産者行動
利潤最大化問題
立地点𝑟における１企業の利潤最大化問題を定式化する
𝑚𝑎𝑥. 𝜋𝑟 = 𝑝𝑟𝑀 𝑞𝑟𝑀 − 𝑤𝑟𝑀 (𝐹 + 𝑐 𝑀 𝑞 𝑀 )(4.19)

𝑤𝑟𝑀 :賃金率，𝑝𝑟𝑀 :工場渡し価格， 𝑞𝑟𝑀 :総販売額量
ここで，企業が需要の価格弾力性が𝜎であると考えるという仮定をすると，
𝑀 𝑀
1𝑐𝑤𝑟𝑀 𝑀𝑀𝑝𝑟 =𝑐 𝑤𝑟 =1𝜌ൗ
1− 𝜎(4.20)

よって，利潤は以下の関数となる．
𝑀𝑐𝑀𝑞𝑟
𝜋𝑟 = 𝑤𝑟𝑀−𝐹𝜎−1(4.21)

19

4-3.生産者行動
利潤最大化問題
ここで，独占市場において参入・退出規則がないと仮定すると，企業の利潤はゼロとなることから，𝜋𝑟 = 0として，
𝑞𝑟𝑀 =𝐹(𝜎−1)≡𝑞∗𝑐𝑀←立地点𝑟 によらない均衡値

𝑙 ∗= 𝐹 + 𝑐 𝑀 𝑞 ∗= 𝐹𝜎(4.22)(4.23)

立地点𝑟における工業企業数（＝財の種類数）𝑛𝑟 は𝐿𝑀𝐿𝑀𝑟𝑟
𝑛𝑟 ==𝑙 ∗ 𝐹𝜎
𝐿𝑀𝑟 ：立地点𝑟での工業労働者数(4.24)

4-3.生産者行動
利潤最大化問題の結果
 市場規模は，限界費用を上回るマークアップ（原価に加算される利潤）にも，個々の財が生産される生産される生産規模にも影響しない
市場規模の効果は生産される財の種類の変化を通じて働くのみ

一般的にはより大きな市場はより激しい競争を発生させ，市場拡大のメリットを享受する方法の一つは大規模生産による
これは，モデルの次の（やや現実とは離れた）仮定に由来する

・価格弾力性が一定の需要関数
・企業が利潤最大化行動の際に価格指数𝐺𝑠 を一定とみなすという非戦略的行動

20

21

4-3.生産者行動
工業賃金方程式
 (4.22)で導いた𝑞 ∗を需要関数(4.17)に代入すると，
𝑅𝑀 )1−𝜎 𝐺𝑞 ∗= 𝜇 ෍ 𝑌𝑠 (𝑝𝑟𝑀 )−𝜎 (𝑇𝑟𝑠𝑠1−𝜎(4.25)

𝑠=1

𝑅𝜇𝑀𝜎𝑀 )1−𝜎 𝐺 1−𝜎(𝑝𝑟 ) =෍ 𝑌𝑠 (𝑇𝑟𝑠𝑠𝑞∗(4.26)

𝑠=1

これに， (4.20)を代入すると，各立地点の所得・価格指数・輸送費が所与の場合に，立地点𝑟の企業が収支均等する賃金が示される．

𝜎−1𝑤𝑟𝑀 =𝜎𝑐 𝑀

𝑅𝜇𝑀 )1−𝜎 𝐺 𝜎−1
෍ 𝑌𝑠 (𝑇𝑟𝑠𝑠𝑞∗
𝑠=1

1𝜎(4.27)

22

4-3.生産者行動
実質賃金
 賃金方程式により，名目賃金を導出できた(4.22)で導いた𝑞 ∗を需要関数(4.17)に代入すると，
𝜇1−𝜇

一方，各立地点での実質所得は生計費指数𝐺𝑟 (𝑝𝑟𝐴 )た名目所得に比例するによりデフレートされよって立地点𝑟における工業労働者の実質賃金𝜔𝑟𝑀 は−(1−𝜇)𝜔𝑟𝑀 = 𝑤𝑟𝑀 𝐺𝑟 −𝜇 (𝑝𝑟𝐴 )となる．

(4.28)

実質賃金，名目賃金
実質賃金
物価等を考慮した賃金実質賃金とは，生産物単位ではかった労賃のこと．例えば，マクドナルドでのアルバイトを考える．産出物（ハンバーガー）の価格が𝑝 = 100で，アルバイト𝑤代が時給𝑤 = 800円なら，実質賃金は 𝑝 = 8
名目賃金
私たちが手にする賃金のナマの金額を表した数値

23

24

4-4.いくつかの規準化
測定単位の選択による単純化
 適切な単位を選択し，無次元量𝜎, 𝜌, 𝜇を使って式を簡単にする①限界労働量について
𝜎−1=𝜌𝜎となるようにすれば，次の式が出る
𝑐𝑀 =𝑝𝑟𝑀 = 𝑤𝑟𝑀

(4.30)(4.29)𝑙 ∗= 𝑞 ∗②生産の固定的インプットについて
𝜇𝐹=𝜎となるようにすれば，次の式が出る．
𝐿𝑀𝑟𝑛𝑟 =𝜇となる．

(4.32)(4.31)𝑙 ∗= 𝑞 ∗= 𝜇(4.33)

25

4-4.いくつかの規準化
測定単位の選択による単純化
 以上の規準化を踏まえ，価格指数と賃金方程式を書くと1σ−1𝑅𝑀 1−σ
𝐺𝑟 = ෍ 𝑛𝑠 (𝑝𝑠𝑀 𝑇𝑟𝑠)

𝑟=11σ−1𝑅(4.34)

𝑀 𝑀 1−σ= ෍ 𝐿𝑀𝑠 (𝑝𝑠 𝑇𝑟𝑠 )𝑟=1𝜎−1
𝑤𝑟𝑀 =𝜎𝑐 𝑀𝑅𝜇𝑀 )1−𝜎 𝐺 𝜎−1
෍ 𝑌𝑠 (𝑇𝑟𝑠𝑠𝑞∗
𝑠=11𝜎𝑅𝑀 1−𝜎= ෍ 𝑌𝑠 (𝑇𝑟𝑠) 𝐺𝑠
𝑠=11
𝜎𝜎−1(4.35)

4-5.価格指数効果と域内市場効果

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立地点が２つの場合を考える 価格指数と賃金方程式は𝑟 = 1,2として，以下の式となる
11−σ𝐺1 = 𝐿1 𝑤1σ−1 + 𝐿2 (𝑤2 𝑇)1−σ𝜇𝐺21−σ =

1𝐿2 (𝑤2 𝑇)1−σ + 𝐿2 𝑤21−σ𝜇(4.36-1)(4.36-2)𝑤1σ = 𝑌1 𝐺1σ−1 + 𝑌2 𝐺2σ−1 𝑇 1−σ(4.37-1)

𝑤2σ = 𝑌1 𝐺1σ−1 𝑇 1−σ + 𝑌2 𝐺2σ−1(4.37-2)

工業のみ着目により添え字𝑀省略，𝑇12 = 𝑇21 = 𝑇 とした．
また，域内輸送費はゼロと仮定(𝑇12 = 𝑇21 = 0).

274-5.価格指数効果と域内市場効果
立地点が２つの場合を考える
 ここで，これらの式はs = 1,2の変数に関して対象であり，𝐿1 = 𝐿2 かつ𝑌1 =𝑌2 なら𝐺1 = 𝐺2 及び𝑤1 = 𝑤2 の解を有する．
対称な均衡値をそれぞれ𝐿, 𝑌, 𝐺, 𝑤として，４つの式に代入・整理
𝜇 𝐺
1 + 𝑇 1−σ =𝐿 𝑤1−σ𝑤 𝐺=𝑌 𝑤1−σ(4.38)

この均衡値付近のふるまいを調べるため，価格指数および賃金方程式を微分．対称性から𝑑𝑋 = 𝑑𝑋1 = −𝑑𝑋2 (X = 𝐿, 𝑌, 𝐺, 𝑤)とする．

𝑑𝐺 𝐿 𝐺（1 − σ)=𝐺𝜇 𝑤
𝑑𝑤 𝑌 𝐺σ=𝑤𝑤 𝑤

σ−1𝑑𝐿𝑑𝑤+ （1 − σ)𝐿𝑤

σ−1(1 − 𝑇 1−σ )𝑑𝑌
𝑑𝐺+ （σ − 1)
𝑌𝐺(4.39)(4.40)

28

4-5.価格指数効果と域内市場効果
価格指数効果 (4.39)式において工業への労働供給が完全に弾力的であり， 𝑑𝑤 = 0と仮定
する．

𝑑𝐺
1 𝐿 𝐺=
𝐺1−𝜎𝜇 𝑤σ−1

(1 − 𝑇 1−σ )

𝑑𝐿
𝐿𝑑𝐿
𝐿

(4.39’)𝑑𝐺
𝐺

よって，工業部門の労働力変化は 価格指数に負の効果を 与える．
→価格指数効果29

4-5.価格指数効果と域内市場効果
域内市場効果 交易費用の指数𝑍を以下のように定義する．(0 ≤ 𝑍 ≤ 1)1 − 𝑇 1−𝜎𝑍=
1 + 𝑇 1−𝜎(4.41)

この𝑍と(4.39)式， (4.40)式を用いて𝐺の項を消去すると𝑍𝑑𝑤
𝑑𝐿 𝑑𝑌+ 𝑍(1 − 𝜎)+𝑍=𝜎𝑤
𝐿𝑌(4.42)先と同様に𝑑𝑤 = 0と仮定すると

𝑑𝐿 1 𝑑𝑌(4.43)=𝐿
𝑍 𝑌𝑑𝑌
工業品の域内需要が増加( → 大)すると，工業労働者数（→工業生産高）
𝑌
1𝑍

𝑑𝐿→ 大)する
𝐿は比例以上( > 1)に増加(→域内市場効果

4-5.価格指数効果と域内市場効果
域内市場効果 工業品に対する高い需要を持つ立地点では，ほかの条件が同じであるとして，工業労働者により高い実質賃金が提供される傾向にある．
また，工場労働者が増えると，自身が消費者ともなり，地域全体として工業品に対する大きな需要が存在するようになる．
→工業集積が起きる過程の概要を示すことができた

30

314-6.ブラックホールの非存在条件
 工業品消費が域内需要のみで完結する場合 𝑍 = 1 を考える．農業品の価格が一定だと仮定して，これを全微分すれば，
𝑑𝜔 𝑑𝑤
𝑑𝐺
=−𝜇𝜔𝑤
𝐺(4.43)(4.39)式， (4.40)式を用いて𝑍 = 1を用いて変形すると𝑑𝜔𝑑𝑌
𝜇 − 𝜌 𝑑𝐿
= 1−𝜇+𝜔𝑌𝜌
𝐿(4.44)

工業品支出を一定𝑑𝑌 = 0𝑑𝜔
𝜇 − 𝜌 𝑑𝐿=𝜔𝜌
𝐿(4.44’)𝑑𝐿𝑑𝜔

工業労働者数（→工業生産高）が増加( 𝐿 → 大)の場合に，実質賃金( 𝜔 →大)を防ぐために， 𝜇 − 𝜌 > 0→ブラックホールの非存在条件

第5章 核と周辺地域

32

33

5-1.仮定核と周辺区域
 仮定
投入資源

農業

工業

農業
労働者

工業労働者

𝐿𝐴𝐿𝑀

労働者数
[経済全体]
労働者
移動なし

労働者数
[地域𝑟]∅𝑟 𝐿𝐴あり

𝑀
𝑇𝑟𝑠−1地域s

地域r
1𝑀
𝑇𝑟𝑠賃金[農]：𝑤𝑟𝐴 = 1賃金[工]：𝑤𝑟𝑀 , 𝜔𝑟𝑀λ𝑟 𝐿𝑀※𝐿𝑀 = 𝜇，𝐿𝐴 = 1 − 𝜇となるように単位を選択する

輸送費
氷塊
ゼロ
輸送
・工場労働者は実質賃金が平均以下の地域から平均以上の地域へ移動．

輸送・動学仮定は，平均実質賃金𝜔 = σ 𝜆𝑟 𝜔𝑟 (5.1)を用いて以下で書ける．
(5.2)
𝜆 ሶ = 𝛾(𝜔 − 𝜔)𝜆𝑟𝑟𝑟

34

5-2.即時均衡
即時均衡解（以下の４R本の連立方程式の解）②価格指数 (4.34)に𝐿𝑀𝑠 = 𝜇𝜆𝑠 を代入して①所得 地域𝑟の所得は𝑅

𝑌𝑟 = 𝜇𝜆𝑟 𝑤𝑟 + (1 − 𝜇)∅𝑟(5.3)

𝑀 )1−σ𝐺𝑟 = ෍ 𝜆𝑠 (𝑤𝑠 𝑇𝑠𝑟

1σ−1(5.4)

𝑟=1③名目賃金 (4.35)式より
1𝜎𝑅𝑀 )1−𝜎 𝐺
𝑤𝑟 = ෍ 𝑌𝑠 (𝑇𝑟𝑠𝑠𝑠=1④実質賃金 (4.28)式より

𝜎−1(5.5)

𝜔𝑟𝑀 = 𝑤𝑟 𝐺𝑟 −𝜇(5.6)

35

5-3.核-周辺モデル：構成と数値例
地域が２つの場合・工業が２地域に均等配分される・一方の地域に集中する→経済が工業からなる核地域と農業からなる周辺地域に分かれる
1𝑇12 = 𝑇21 = 𝑇 ，𝜆1 = 𝜆，𝜆2 = 1 − 𝜆，∅1 = ∅2 = 2とすれば，先の式は
𝑌1 = 𝜇𝜆𝑟 𝑤1 + (1 − 𝜇)/2(5.7)

𝑌2 = 𝜇(1 − 𝜇) 𝑤2 + (1 − 𝜇)/2(5.8)

𝐺1 =𝐺2 =𝑤1 =𝑤2 =1σ−11−σ 1−σ𝜆𝑤1 + (1 − 𝜆)(𝑤2 𝑇)
11−σ1−σ1−σ𝜆(𝑤1 𝑇)+ (1 − 𝜆) 𝑤2 +1
σ−1
σ−1 1−σ σ𝑌1 𝐺1 + 𝑌2 𝐺2 𝑇
1σ−1 1−σσ−1 σ𝑌1 𝐺1 𝑇+ 𝑌2 𝐺2

𝜔1 = 𝑤1 𝐺1 −𝜇𝜔2 = 𝑤2 𝐺2 −𝜇(5.9)(5.10)(5.11)(5.12)(5.13)(5.14)

5-3.核-周辺モデル：構成と数値例

36

地域が２つの場合
𝑇を固定として方程式を解き，𝜔1 − 𝜔2 と𝜆（地域1の工業シェア）

高い輸送費用一方の地域が過半数の工業労働力を有すれば，当該地域は労働者にとっては，他方の地域よりも魅力がなくなる

低い輸送費用

中間の輸送費用

いずれかの地域における工業のシェアが2/1を超えて大きくなるほど，該当地域は一層魅力的になる

𝜆が十分に大きい，また十分に低い初期値から出発すると，全ての工業が一方の地域にのみ集積した，核-周辺パターンになる5-3.核-周辺モデル：構成と数値例

37

地域が２つの場合
均衡のタイプが輸送費用によりどのように変化するか
安定均衡
不安定均衡

ブレークポイント
安定均衡

輸送費用が十分に高いとき（𝑇(𝑐) より大），工業が地域間に配分される安定均衡がただ一つ存在

輸送費用が臨界値𝑇 𝑐 を下がる
（𝑇 𝑐 と𝑇 𝐵 の間），全工業が１地域に集中する新たサステインポイント な均衡解が出現

輸送費用が十分に小さいとき（𝑇 𝐵 より小），対称均衡は不安定になる
核-周辺パターンが可能となる条件（＝サステインポイントの条件）は？

5-4.核-周辺パターンの持続可能性
核-周辺パターンが成立している地域を考える
今，工業が地域１に集中している場合(𝜆 = 1)に，それが安定均衡であるかどうかを考える
そのために，次を考える
地域１から地域２に移動する労働者のグループが，地域１に残る労働者よりも高い実質賃金を受け取ることができるのか？もしそうなら，核-周辺パターンは安定均衡ではない
地域２輸送費用𝑇

地域１<𝜔2

𝜔1
𝜆 = 1 のとき，𝜔1 ≥ 𝜔2 なら，核-周辺パターンは持続可能

38

39

5-4.核-周辺パターンの持続可能性
核-周辺パターンが成立している地域を考える
安定均衡かどうかを判断するには・・・・・・𝜔1 ≥ 𝜔2 かを確かめればよい

𝜆 = 1とし，𝑤1 = 1と仮定すると，各式は以下のようになる
𝑌1 = (1 + 𝜇)/2(5.7’)

𝑌2 = (1 − 𝜇)/2(5.8’)

𝐺1 = 1𝐺2 = 𝑇(5.9’)

𝑤1 = 11
1 + 𝜇 1−σ 1 − 𝜇 σ−1 σ
𝑤2 =𝑇+𝑇22(5.11’)(5.10’)

𝜔1 = 1
𝜔2= 𝑇 −𝜇

1 + 𝜇 1−σ 1 − 𝜇 σ−1𝑇+𝑇22(5.12’)1σ(5.13’)(5.14’)

40

5-4.核-周辺パターンの持続可能性
核-周辺パターンが成立している地域を考える
𝜔2 に着目すると
𝜔2 = 𝑇−𝜇1 + 𝜇 1−σ 1 − 𝜇 σ−1𝑇+𝑇
22401σ(5.16)

続いて，（5.16）を変形し，
1 + 𝜇 1−σ−𝜇σ 1 − 𝜇 σ−1−𝜇σ𝑇+𝑇22
𝑇 = 1のとき𝜔2 = 1 = 𝜔1 であり，立地点は無関係

𝜔2σ =輸送費用が少し増加したとして，（5.17）式を全微分し， 𝑇 = 1，𝜔2 = 1で評価すると，
𝑑𝜔2𝜇(1 − 2𝜎)=<0𝑑𝑇𝜎(5.18)

よって輸送費用𝑇が低い水準では，
𝜔2 ≤ 1 = 𝜔1 より安定均衡

集積持続可能(5.17)

41

5-4.核-周辺パターンの持続可能性
核-周辺パターンが成立している地域を考える
一方， 𝑇が非常に大きい場合は
1 + 𝜇 1−σ−𝜇σ 1 − 𝜇 σ−1−𝜇σ𝜔2σ =𝑇+𝑇22(5.17)

第1項は，非常に小さい．
σ − 1 − 𝜇σ ≤ 0ならば，第２項も非常に小さくなる．
𝜔2 は０に近くなるから，𝜔1 ≥ 𝜔2
ここで，第４章のブラックホールの非存在条件(σ − 1)/σ > 𝜇 ↔ σ − 1 −𝜇σ > 0であったから，σ − 1 − 𝜇σ < 0では集積力が強力で，核-周辺パターンは安定均衡

425-4.核-周辺パターンの持続可能性
核-周辺パターンが成立している地域を考える
一方， 𝑇が非常に大きい場合は
1 + 𝜇 1−σ−𝜇σ 1 − 𝜇 σ−1−𝜇σ(5.17)
𝑇+𝑇22
逆に，σ − 1 − 𝜇σ > 0つまりブラックホールの非存在条件が成立する場合は，第２項は非常に大きくなる．𝜔2 も大きくなる．

𝜔2σ =𝜎(, 𝜌) →小右図の曲線が右に伸びて，核-周辺パターンが持続可能となる𝑇の値の範囲が広がる𝜎(, 𝜌) →大𝑇の値が１に接近し，工業は地域の需要を満たすために両方の地域に立地して生産を行う

核-周辺パターン
持続可能

核-周辺パターン
持続不可能

43

44

5-5.対称均衡はいつ崩壊するのか
𝑇(𝐵)ブレークポイントの導出
対称均衡時の式を微分する．まず内生変数は以下となる．
𝜆 = 1/2
𝑌1 = 𝑌2 = 1/2
𝐺11−σ = 𝐺21−σ = (1 + 𝑇 1−σ )/2𝐺11−σ = 𝐺21−σ = (1 + 𝑇 1−σ )/2𝑤1 = 𝑤2 = 1(5.7), (5.8)の全微分と対称性ゆえの𝑑𝑋 = 𝑑𝑋1 = −𝑑𝑋2 (𝑋 = 𝑌, 𝐺, 𝑤)を用いて，𝜇𝑑𝑌 = 𝜇𝑑𝜆 + 𝑑𝑤
2

同様に(5.9), (5.9)の全微分から
𝑑𝐺
1 − 𝜎 𝑑𝑤𝜎−11−𝜎（1 − 𝜎)=𝐺(1 − 𝑇) 𝑑𝜆 +𝐺2(5.21)(5.22)

45

5-5.対称均衡はいつ崩壊するのか
𝑇(𝐵)ブレークポイントの導出
ここで，以下の𝑍を用いて，(5.22)を書くと1 − 𝑇 1−𝜎𝑍=
1 + 𝑇 1−𝜎𝑑𝐺
2𝑍=𝑑𝜆 + 𝑍𝑑𝑤
𝐺1−𝜎
同様に(5.11)-(5.14)の全微分から
𝑑𝐺
𝑑𝐺𝜎𝑑𝑤= 2𝑍𝑑𝑌 + 𝜎 − 1 𝑍
𝐺𝐺𝑑𝐺
𝐺𝜇 𝑑𝜔 = 𝑑𝑤 − 𝜇𝐺
(5.21), (5.24),(5.25),(5.26)を用いて以下の式を導ける．
𝑑𝜔
1 − 𝜌 𝜇 1 + 𝜌 − 𝑍(𝜇2 + 𝜌)
−𝜇= 2𝑍𝐺 ()𝑑𝜆𝜌
1 − 𝜇𝑍 1 − 𝜌 − 𝜌𝑍 2(5.23)(5.24)(5.25)(5.26)(5.27)

5-5.対称均衡はいつ崩壊するのか

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𝑇(𝐵)ブレークポイントの導出
ここで，(5.27)式の符号は[ ]内の分子の符号に依存する．
𝑑𝜔> 0となり均衡は不安定
𝑑𝜆𝑍 → 0 （輸送費小）だと，（分子） > 0で
𝑑𝜔𝑍 → 0 （輸送費超大）だと， 𝜌 < 𝜇で 𝑑𝜆 > 0となり均衡は不安定
𝑑𝜔< 0となり均衡は安定𝑑𝜆

𝜌 > 𝜇で

核-周辺パターン
持続可能

核-周辺パターン
持続不可能

参考文献
藤田昌久，ポール・クルーグマン，アンソニー・J・べナブルズ：空間経済学ー都市・地域・国際貿易の新しい分析ー，東洋経済新報社

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