解析雑誌
Vol.9 2003.5【 Topics 】■ MIDAS/Gen バージョンアップ・プラン■ GIS を利用した広域の地震ハザード評価■ 株式会社ブリヂストン免震告示対応
構造計算システム【 Technical Reports 】■ 静的振り子問題における幾何学的非線形性に関する一考察■ 一本棒振動モデルにおける曲げとせん
断成分の分離について■ 動的複合非線形解析による長大アーチ
橋の地震時座屈照査に関する考察

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Preface【巻頭言】

上司と部下の会話
解析技術 1 部 環境評価室 保志克則
上司：｢これ明日までやっておいてくれない？｣
部下：｢無理、無理、無理｣
文法的には、無理を 3 度以上繰り返すらしい。彼、彼女らにとって｢絶対にできない｣を意味しているんだろう。最近、テレビや街中の会話でよく聞くフレーズである。
上司：｢これ明後日までやっておいてくれない？｣
部下：｢普通に無理｣
これはどう解釈するのだろう。今でも使われるが、以前から｢物理的に無理｣という回答がよく使われている。顧客との間でも使われる。｢計算時間が 3 日かかるのに 1 日でやってくれ｣という依頼に対して｢物理的に無理｣と答える。｢普通に無理｣とは｢常識的に無理｣ということか？誰の常識なんだろう？
上司：｢これ今週中にやっておいてくれない？｣
部下：｢微妙｣｢できるかどうかわからない｣と言っているようである。これにはどう対処すればいいのか微妙である。
その後、｢じゃあ、今週中にどこまでできるの｣といった追求になる。
上司：｢この計算結果どう思う？｣
部下 A：｢伝導に比べ、対流の影響が大きいように思います。入力データは、正しいと思うんですが｣
上司：｢あなたはどう思う？｣
部下 B：｢なぞですよね｣
まさになぞの会話である。
なお、これらの会話が、私どものグループで日常的に行われているものではありません。釈明しておきます。お客様方には、これらの症例を自覚していませんか？

2

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Contents

解析雑誌 Vol.9 2003.5 目次【巻頭言】

上司と部下の会話

02

保志克則

Topic 1

建設用構造解析システム MIDAS/Gen バージョンアップ・プラン

05

Topic 2

GIS を利用した広域の地震ハザード評価

06

Topic 3

株式会社ブリヂストン免震告示対応構造計算システム

09

Technical Report 1■静的振り子問題における幾何学的非線形性に関する一考察
矢部

15

明人

Technical Report 2■一本棒振動モデルにおける曲げとせん断成分の分離について

17

梁川幸盛・関口洋平・宇佐美祐人

Technical Report 3■動的複合非線形解析による長大アーチ橋の地震時座屈照査に関する考察

23

為廣尚起・大塚久哲

解析雑誌 読者アンケートのお願い30

お問い合わせはこちらへ

31
本誌内では弊社（株）構造計画研究所を KKE と呼称しています。

解析雑誌バックナンバーは KKE 解析ホームページでご紹介しています。
PDF 形式でダウンロードも可能ですので、是非下記アドレスにお立寄りください。

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5

建設用構造解析システム
Modeling, Integrated Design & Analysis Software

適用構造物： 一般建物、競技場、工場、格納庫、鉄塔、その他の特殊構造物

CAD ライクのモデリングにより卓越した操作性と生産性を実現
各国 4000 余りのプロジェクトに利用された信頼と実績
日本建築基準法に対応（地震・風荷重、断面算定等）
MS-Excel、AutoCAD DXF、STAN/3D、STAAD/Pro、NASTRAN 等との互換
便利な建築専用機能（建物モデル自動生成機能、鉄骨断面・鉄筋 DB 内蔵等）
多彩なモデル表現（レンダリング、透視図、ウォークスルー機能等）
Multi-frontal Solver による計算速度の高速化（Sky-line Solver に比べ 10〜20 倍）■

有限要素
トラス要素、引張/圧縮専用要素、ケーブル要素、梁要素、テーパー断面梁要素、壁要素、
平面応力要素、板要素、
平面ひずみ要素、ソリッド要素、
免震制振要素 他■解析機能
静的線形解析、線形座屈解析、固有値解析、時刻歴応答解析、
応答スペクトル解析、
水和熱解析、幾何学的非線形解析、
施工段階解析、静的非線形解析、
断面算定

他
MIDAS は MIDAS IT 社の商標です。

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Topic1【お知らせ】

建設用構造解析システム MIDAS/Gen
バージョンアップ・プラン
昨年の６月に MIDAS IT 社が著作権を保有する建設用構造解析システムである MIDAS/Gen（マイダス/ジェン）を日本国内においてリリースしてから約１年が経過いたしました。お陰様で顧客の皆様から大変好評をいただいており、本年早々に 100 ライセンスを超える販売実績をあげることができました。その後も順調に販売ライセンス数を伸ばしております。この場を借りて、ご購入いただいた顧客の皆様とご支援い
ただいている関係者の方々に厚く御礼申し上げます。この度、ユーザ様の非線形解析に関するご要望にお答えするために、MIDAS/Gen は大幅にバージョンアップいたします。

■静的非線形解析■動的非線形解析

MIDAS/Gen では、フレーム構造（梁・トラス・壁要素）

現バージョンの MIDAS/Gen では、動的解析時にフレーの非線形性を考慮した荷重増分法による静的非線形解析

ム構造（梁・トラス・壁要素）の材端のヒンジを考慮しが可能です。しかし、現バージョンでは、静的荷重増分た非線形解析ができませんが、次期バージョンでは軸力解析時に板（シェル）要素やソリッド要素を用いてモデ変動を考慮した曲げ耐力に基づく動的非線形解析が機能

ル化しても、それらの要素の非線形性を考慮することは追加されます。本機能追加により、レベル２地震動によできません。

る建築構造物の３次元動的非線形解析が解析可能になり次期バージョンでは、板（シェル）要素・平面応力要ます。

素・ソリッド要素等の非線形性を考慮することが可能に

動的非線形解析時の復元力特性は、躯体の断面から自なります。例えば、鉄骨接合部の局部的な降伏を考慮し動計算される耐力に基づく復元力特性だけでなく、マルた静的非線形解析が可能となります。

チ・リニア型や武田モデル型等の各種復元力特性を設定することが可能です。

下記のような非線形構成則が使用可能になります。
●Tresca●Von Mises●Mohr‑Coulomb●Drucker‑Prager
軸力変動無視軸力変動考慮

梁要素の復元力特性■バージョンアップ方針
MIDAS/Gen のバージョンアップ内容は、ユーザ様のご要望に基づき決定されます。日本の多様な設計業務に適合できるよう、今後もスピーディにバージョンアップを継続して行きます。更に、スピーディに革新的に進化する
MIDAS/Gen に是非ご期待ください！
板要素による鉄骨接合部の有限要素解析モデル※MIDAS/Gen は、MIDAS IT の商標です。

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
5

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Topic2【技術紹介】GIS を利用した広域の地震ハザード評価
前号でご紹介させていただきました地震ハザードデータベース k‑HAZARD（平成 15 年 3 月販売開始）に引き続き、地震ハザード評価関連の話題といたしまして、地理情報システム(GIS)を利用した広域の地震
ハザード評価についてご紹介させていただきます。

まず、
k‑HAZARD に関して再度簡単にご紹介し、その後、得られた地震ハザードカーブからは、指定した地点

広域の地震ハザード評価に関してご紹介させていただきの地震危険度（例えば、再現期間 475 年相当の期待値）

ます。

を読みとることが可能となりますが、指定した地点のみの地震危険度だけではなく、周辺地域も含めた広域の地
震危険度を目で見て理解しようとする場合には、地震ハ■地震ハザードデータベース k-HAZARD
地震ハザードデータベース k‑HAZARD は、確率論的手法により評価した日本全国の地震ハザードカーブを収録しザード評価により得られる情報を、GIS を利用して地図上に示すことが非常に効果的となります。

たデータベースです。データベースには、日本全国の平均せん断波速度600m/s の基盤での地震ハザードカーブと、■広域の地震ハザード評価
地震ハザード評価とは、ある地点において将来発生す地震活動のモデル化などの詳細につきましては、前号でる「地震動の強さ（例：最大加速度、最大速度、震度）」、ご紹介させていただいておりますので、ここでは割愛い「対象とする期間」、「対象とする確率」の 3 者の関係をたしますが、k‑HAZARD では、評価地点の緯度、経度を入評価するものです。図 1 に示す地震ハザードカーブは、

力することにより、確率論的手法により評価した地表最そのうちの「対象とする期間」を固定することにより、大速度に関するハザードカーブ（図 1）を取り出すことが「地震動の強さ」と「それを特定の期間に超える確率」

できます。

との関係を表したものと言えます。
広域の地震ハザード評価を行う際には、地震ハザード

10

1E‑01

表層地盤の速度増幅率が収録されています。計算方法や評価を地域内で面的に実施し、地震動強さ、期間、確率のうち 2 つを固定した場合の残る 1 つのパラメータの地

再現期間（年）

1,000

100

1E‑02
1E‑03

1年超過確率域分布を地図上に表示させて地震危険度を表します。
こうして得られる分布図を、政府の地震調査研究推進本部の地震動予測地図作成プロジェクトでは、『確率論
的地震動予測地図』と呼んでおり、現在、地震調査研究推進本部のウェブサイトでは、確率論的地震動予測地図の地域限定の試作版として、山梨県を中心とした地域、
北日本地域それぞれに関する評価結果が公開されていま
10,000

1E‑04

す。

1

10
最大速度(cm/s)

図 1 地震ハザードカーブ

6100

KKE は、地震ハザード評価に関して豊富な実績がありま
すが、地震防災情報システム Quiet や地震荷重設定システム SeleS など GIS を利用したシステムを開発、販売しており、GIS の利用についても得意としております。

「ある地域の地震危険度マップが必要だ」、「どの地震、

参考文献

断層が地震危険度に大きく影響を及ぼしているのかを知

地震調査研究推進本部ｳｪﾌﾞｻｲﾄ http://www.jishin.go.jp/

りたい」などのご要望に、GIS を利用して速やかにお応え

文部科学省、独立行政法人 防災科学技術研究所：地震動

しております。

予測地図ワークショップ予稿集、平成 15 年 3 月

例えば、図 2 は k‑HAZARD より得られる東京周辺地域の地震ハザードカーブから期間と確率を固定して、地表最藤原広行：地震動予測地図、地震ジャーナル 34、地震予知総合研究振興会、2002 年 12 月

大速度を地図上に約250m メッシュサイズで表示した確率論的予測地図です。
確率論的地震動予測だけでなく、国や地方公共団体の防災計画のための被害想定などで利用される、震源断層を特定した地震動予測についても、簡便な経験的手法から高度な半経験的手法や理論的手法に至るまで、幅広くコンサルタント業務として行っております。
広域の評価が必要な場合には、予測される地震動の強さを GIS を利用して『震源断層を特定した地震動予測地図（シナリオ地震地図）』としてご提供しております。
このような広域の地震危険度評価が必要となりました
際、また、評価に関するご質問などがございましたら、
是非弊社までご相談ください。

図 2 2000 年より 50 年間の超過確率が 5%以上となる地表最大速度（東京周辺）

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
7

設計用入力地震動作成システム
地震荷重設定システム ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．SeleS for Windows
模擬地震波作成プログラム ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ARTEQ for Windows
成層地盤地震応答解析プログラム ．．．．．．．．．．．．．k-SHAKE+ for Windows
波形処理プログラム ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．k-WAVE for Windows

設計用入力地震動作成システムは、
免震構造物の設計には欠かせない
模擬地震波や構造物の建設地域の地盤特性を考慮した入力地震動を手軽に作成できる Windows 対応の設計者のためのソフトウェアです。
ユ ー ザ は 、過 去 の 被 害 地 震 や 活 断 層から建設地点での地震動強さを評価し、表層地盤の増幅特性を考慮した、設計用入力地震動を簡易に作成することが可能です。
活断層による最大値一覧出力画面

地盤と構造物の動的相互作用解析プログラム

SuperFLUSH/2D for Windows
軟弱地盤に建設される橋梁や港湾構造物、既設埋設構造物との近接施工、異種地盤にまたがる長大橋等の耐震性照査に威力を発揮します。

有効応力解析手法による相互作用解析は．．．

NANSSI★ Super FLUSH/2DとNANSSIは（株）
地震工学研究所と弊社の共同開発商品です。

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Topic3【お知らせ】

株式会社ブリヂストン
免震告示対応構造計算システム
時刻歴解析不要の免震建築設計法（平成 12 年建設省告示第 2009 号）が告示され約 2 年半が経過しました。本設計法による実施物件も増えてきています。株式会社ブリヂストンと構造計画研究所は本告示に対応した免震構造計算システムを開発し、無償で利用できるサービスとしてインターネット上で公開いたしました。構造躯体の倒壊防止は当然のこと、非構造部材・家具・什器の転倒に対する人命保全、設備機器類の機能維持、さらには地震時や地震後の不安感・恐怖感の軽減までを可能とする免震建築を実現するために役立つツールです。

本プログラムは、株式会社ブリヂストンのホームページ内、■基本機能として告示第2009号第6に対応した免震建築物

免震・制振（震） トップ ページ から アク セス できま す。

の構造計算を行うのに十分な計算機能を備えています。
・

http://www.bridgestone-dp.jp/dp/kentiku/mensin/

力分担率、免震建築物の接線周期の計算を行います。

本プログラムの主な機能と特長を以下にご紹介いたします。
・Internet Explorer 5.01 以上がインストールされたパソコ

・

鉛直荷重を支持する免震材料の軸応力度を個々の装置について確認します。

ンとインターネットへの接続環境、e-mail アドレスがあれ

・

装置特性の経年変化、製造ばらつきを考慮した検討が可能です。

■利用方法は簡単です。
・

免震層の偏心率、応答変位、作用する地震力、せん断

ばすぐに利用可能です。

・

上部構造の地震層せん断力係数を算出します。

入力データ、計算結果データはサーバに保存できます

・

表層地盤の増幅率 Gs の計算は、地盤種別による略算、ので、ユーザ側に大容量のディスクは不要です。

N 値より精算、Vs より精算の 3 種類を用意しています。

ログイン画面
Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
9

階データ入力画面

スパン入力画面

軸力入力画面

地盤情報入力画面

免震部材選定画面

10

■ブリヂストン製の大臣認定済み支承材の特性をデータベースとして内蔵しています。
・

高減衰積層ゴムシリーズ（H-RB）、天然ゴム系積層ゴム■使いやすさとわかりやすさに配慮しています。
・

入力はすべて Web ブラウザ上で実行します。

・

装置情報をデータベースとして内蔵しているので、一覧から選択するだけで各種特性が設定できます。

シリーズ（N-RB）、鉛プラグ入り積層ゴムシリーズ（P-RB）、弾性すべり支承マルチスライダー（M-SB）の・ます。偏心位置、剛心位置は平面図に表示されます。

全製品の特性を組み込み済みです。
・・

大臣認定済みの鋼製ダンパ（ループ型、U 型）、鉛ダン
パの特性を組み込み済みです。

一つの上部構造に対し、複数の免震装置配置での比較検討が可能です。

■支承材と組み合わせて用いる各種減衰材（ダンパ）に対応しています。

装置配置後、応答計算前に偏心率、軸力の確認ができ

・利用マニュアルはオンラインで閲覧できます。

・

装置情報のダウンロード、印刷が可能です。また装置
情報は常に最新のものが入手できます。

■講習会テキスト「免震建築物の技術基準解説及び計算例とその解説」の計算例にならった計算書を出力します。
・

構造計算内容の計算書形式出力はもちろんのこと、地盤増幅率 Gs の収斂計算過程も出力することが可能です。

・

主要数値は画面上で確認表示ができます。

・

計算書は MS-Word ファイル形式でユーザ側のパソコンに保存できます。

・

計算書は申請に利用できます。

偏心率計算結果画面

加速度応答スペクトル図

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
11計算結果一覧画面

計算書（構造計算部）

12

計算書（地盤の増幅率収斂過程）

建築構造物の耐震解析プログラム

RESP

シリーズ

建築構造の高性能化を支援し続ける構造解析プログラム

RESP-Bird
建築構造計算、概算数量計算,３DCG作成、RESP-F3・F3D 前処理プログラム

NTT-BUILD

BURESP

建築一貫構造計算
プログラム

NTT-BUILD→RESP
データコンバータ

F3TOT
RESP-F３→RESP-T
データコンバータ

RESP-FRESP-F3D

RESP-F3２次元フレーム
弾塑性解析プログラム

３次元フレーム
動的弾塑性解析プログラム

３次元フレーム静的弾塑性解析
プログラム（限界耐力計算機能付）

ULT-DSRESP-T

RC造の靭性保証型
耐震設計検討プログラム

３次元汎用非線形解析
プログラム

RESP-QDM
復元力特性モデル化プログラム

RESP-M３

Resp M+

RESP-M/Ⅱ

建築構造物の疑似立体弾塑性
解析プログラム

特殊制震建物の弾塑性解析プログラム

建築構造物の
弾塑性解析プログラム

STAN／３D
剛性マトリクスRESP最新情報

３次元任意形状
構造解析プログラム

・RESP-F3D機能追加予定（各種免震装置対応：2003年７月）

RESP-SRESPシリーズ適用事例

地盤-杭-建物系の地震応答解析プログラム

・超高層建築の地震応答解析
・高層RC建築の地震応答解析
・免震構造解析・各種制震構造解析（曲げせん断分離型制振要素）
・不整形構造のねじれ応答解析
・非剛床構造の静的動的解析
・高層建築、免震建築の地盤-杭連成解析
・長大構造物の位相差入力解析
・大スパン構造物の上下動水平動同時入力解析
・高層建築の風応答解析
・建築構造物の機械振動、交通振動、歩行振動解析

低価格で大好評●短期レンタルもご利用ください●

・BUILDの開発元は㈱NTTデータです。

免震建築・高層建築等に実績豊富なRESPシリーズを、1ヶ月単位でレンタル利用いただけます。詳細はお問い合わせ下さい。

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5

有限要素法による解析コンサルティング
非線形有限要素法プログラム
ＡＤＩＮＡを用いた解析コンサルティ
ングがご好評をいただいております。
構造・地盤から熱流体まで、様々な問題を解決してきたノウハウにご期待ください。

★ADINAはADINA R＆D,Inc.（米国）の登録商標です。

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Technical Report 1

静的振り子問題における幾何学的非線形性に関する一考察
矢部

明人 1）

1) 構造計画研究所
１．はじめに2 次元の振り子のような不安定構造物にマトリック
ス法による構造解析を適用する場合、不安定要因を補
うための手段が必要となる。部材軸方向の剛性以外の剛性を補うため、振り子に作用する重力より発生する
部材軸力から幾何剛性を求め、部材直角方向への剛性を評価する方法が用いられる。しかしながら、そのようにして求まった釣合点を、収束計算等によって補正しなければならないケースも存在する。
また部材ローカル系の変位を更新する際に発生する全体系の剛性の変化についても同様であり、静的振り子問題における幾何学的非線形問題に関わるそれら不釣合力を出来るだけ適切に評価し、収束計算によって適切に解除する方法が必要である。幾何学的非線形性に関する正確な釣合点を求める方法としては、コンプリメンタルエネルギー最小問題に帰着した方法も提案されている 1)。また図-１に示すように、増分解析によってそれら不釣合力が無視できる程度に十分な刻みを確保し、計算する方法も有効な手段として存在する（以下単純増分法と呼ぶ）。
本研究では、それら幾何学的非線形によって生じる不釣合力を、ある仮定を基に予測し解除する方法を提案し、その手法による計算速度への影響に関して考察するものである。
真の釣合経路

ｖｖ 外力

不釣合力

増分外力

増分外力を小さくして土木構造室

しないものとした。まず幾何学的非線形性についてであるが、応力-歪関係のような明確な関数で定義する
ことはできない。よって変位もしくは応力から、ニュートンラプソン法を代表とする収束計算方法を用いて正確な釣合点を評価することは難しい。そこで、ある釣合状態において次の増分変位に到達するまでの応力−変位関係は、増分変位⊿δの 2 次関数で定義できると仮定する。以下仮定に基づいた不釣合力式①を以下に示す。
仮定：⊿F（⊿δ）＝a・⊿δ2 + b・⊿δ⊿δ：増分変位

・・・①⊿F：増分変位⊿δでの増分応力
a,b：係数

次に,Kn：ある瞬間の釣合点の剛性、
Kn+1’：⊿δ変位した時の剛性とおき、上記仮定に初期条件と 1 階の微係数の条件を代入すると式②を求めることができる。
⊿F（⊿δ）=⊿δ・（Kn＋Kn+1’）/2・・・②

図 2 に示すように、この仮定から、ある条件の下での増分応力は、StepN での釣合点の剛性で求めた初期
線形予測点 Kn・⊿δと、初期線形予測後の変位⊿δ時の剛性 Kn+1’ を用いた線形予測点の平均であることがわかる（以下 2 次予測と呼ぶ）。
StepN での剛性 Kn で解いた釣合

外力

不釣合力

増分外力

不釣合力をなくす
変位

StepN

StepN+1 での剛性 Kn+1 で解いた釣合

StepN+1

変位 増分外力から StepN+1 の剛性で

図‑1 幾何学的非線形による不釣合力
StepN
２．幾何学的非線形による不釣合い力予測の方法
今回は幾何学的非線形性に関する不釣合力にのみ着目し、応力度-歪レベルの非線形性については考慮

StepN+1

解いた釣合外力ベクトル分を差し引いた分の半分を不釣合
力とする

図‑2

2 次で予測した不釣合力

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
15

参考文献
1) 大久保 禎二・上野 浩司・釣 哲之・川下 誠
二：エネルギー原理に基づくトラス構造物の複合
非線形解析法に関する一考察,土木学会第 52 回年次講演会/I‑A18,p36‑37,1997,9

8000

8000

6000

6000

6000

4000

4000

4000

2000

2000

2000

0

0

0

5°

剛

性

1

軸

軸

軸

軸

図‑3

b.振れ角

15°

単純増分
２次予測

軸
剛
性
軸 1.0e
剛
5,重
性
量
1
軸
0.1
剛 .0e5性,重1
軸量
剛 .0e5
1
性
,重 .0
1.0
量
e5
1
軸
,重 0.0剛量性
10
軸 1.0e0
剛6,重 .0性量1
軸0.1
剛 .0e6
性
,重
1.0
軸
量
剛
e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e6
1
軸
,重 0.0剛量性
100
軸 1.0e剛6,重 .0性量1
軸0.1
剛 .0e6
性
,重
1.0
軸
量
剛
e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e
1
6重
軸
0.0
剛
量
性
1
軸 1.0e 00.0
剛
6,重
性
量
1.0
軸
0
剛
e6
.1
性
,重
1
軸
量
剛 .0e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e6
10
,重
.0
量
10
0.0

8000

.0e
剛
5,重
性
量
1
0.1
剛 .0e5
性
,重
1.0
量
軸
e
剛
5,重 1.0
性
1.0
量
10
e5
軸
.0
,重
剛
量
性
軸 1.0e 100
剛6,重 .0
性
量
1.0
軸
0
e
剛
6,重 .1性1量軸
1
剛 .0e6
性
,重 .0
1.0
量
e6
1
軸
,
重 0.0
剛
量
性
軸 1.0e 100
剛6,重 .0
性
量
1.0
軸
0.1
e6
剛
,重
性
1.0
量
軸
1
剛
e6
性
,重 .0
1.0
量
e6
10
軸
重
.0
剛
量
性
1.0 10軸
e6 0.0
剛
,重
性
量
1.0
軸
0.1
剛
e6
性
,重
1
軸
量
剛 .0e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e6
10
,重
.0
量
10
0.0

10000

性
軸 1.0e
剛
5,重
性
量
1
軸
0.1
剛 .0e5性,重1
軸量
剛 .0e5
1
性
,重 .0
1.0
量
e5
1
軸
,重 0.0剛量性
100
軸 1.0e剛6,重 .0性量1
軸0.1
剛 .0e6
性
,重
1.0
軸
量
剛
e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e
1
6,重 0.
軸0
剛量性10
軸 1.0e0
剛6,重 .0
性
量
1.0
軸
0.1
剛
e6
性
,重
1
軸
量
剛 .0e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e6
10
軸
重
.0
剛
量
性
1
軸 1.0e 00.0
剛
6,重
性
量
1
軸
0.1
剛 .0e6性,重1
軸量
剛 .0e6
1
性
,重 .0
1.0
量
e6
1
,重 0.0
量
10
0.0

10000

a.振れ角

16

４．考察とまとめ
以上の結果より、2 次予測法によって幾何学的非線形性による不釣合力を予測することで,計算速度の点で有利であることが分かった。また、ある程度の計算精度を確保するためには、なお刻みを十分に確保する必要があることも分かった。
今後は、不釣合力解除方法、高次予測法、動的問題、
応力度-歪レベルの非線形を同時に考慮した複合非線形問題への応用を考えている。

10000

剛

回数

３．単純増分法と 2 次予測による計算回数の比較
２次予測による不釣合力の予測による効果として、増分解析時の刻みをある程度軽減できることが予想される。実際の効果を計測するために軸剛性、重量（幾何剛性）、傾斜角（ローカル系更新の影響）を組み合
わせてそれらのバランスと実際の刻みに関する実験計算を行った。図 3-a〜c に軸剛性を 1.0e5〜1.0e8、重量を 0.1〜100.0、傾斜角を 5°,15°,30°と段階的に変化させた場合に変位の理論解に対して 1%の精度にいたるまでの計算回数について示した。今回の計算では、予測による不釣合力の補正が計算回数に与える影響を考察するため、計算スッテップ中の不釣合力解除を行っていない。
２次予測によって不釣合力を予測することにより、計算回数が約半分程度に軽減されていることがわかる。また、振れ角５°程度の場合でも軸剛性と幾何剛性のバランスによっては 10000 回を超える増分計算が必要なケースもあることが確認できた。

c.振れ角

軸剛性組と重量（幾何剛性）の組み合わせによる計算回数30°

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Technical Report 2

一本棒振動モデルにおける曲げとせん断成分の分離について
梁川 幸盛 1）

関口 洋平 1） 宇佐美 祐人 1）1) 構造計画研究所
１．はじめに超高層建築物など塔状比が大きな建物に対して、各種制振ダンパーを付加した場合に、ダンパーの減衰の効
果は、建物全体がしなるような曲げ変形では生じず、層の純せん断変形成分でしか生じないことが一般に知られている 1)。
KKE では、このような現象を検討するために Resp-M+（特殊制振建物の弾塑性解析プログラム）を開発し、一本棒振動モデルに対して図１に示す分離モデルを適用することにより、曲げ・せん断の変形成分を分離し、これらの制振の効果に及ぼす影響を調べてきた。
本稿では、近年多数見られる超高層ＲＣ住宅に各種（履歴・流体など）ダンパーを設置した制振建物を取り上げて、制振の効果に及ぼす曲げとせん断の比率の影響について紹介する。

建築構造室

２．解析モデル
解析対象建物の基準階プランを図２に示す。 20 階建て ・ 40 階 建 て の 超 高 層 Ｒ Ｃ 住 宅 で 、 階 高 は 2850 〜
2900mm とした。
20 階モデルは、建築基準法の必要保有水平耐力を満足する材料・断面（表１・図３）を与え、40 階モデルは、レベル２地震 2)に対して最大層間変形角が概ね 1/100 以下となる材料・断面（表１・図４）を与えた。どちらのモデルも曲げ破壊が先行することを確認した。
制振ダンパーの配置を図２に示す。履歴または流体ダンパーを、Ｘ・Ｙ方向別にそれぞれ８基づつ設定した。

建物
建物
ダンパー

図１ 曲げせん断分離モデル

図２ 基準階プラン（〇はダンパー位置を示す）

図３ ２０階モデル、柱・梁断面リスト
Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
17x103 (t)
6.00
ZS1

ZS2
ZS3
ZS4

SHEAR (TOTAL)

5.00

ZS5

ZS6
ZS7
ZS8
ZS9
ZS10
ZS11
ZS12
ZS13
ZS14

4.00

3.00

ZS15
ZS16
ZS17

2.00

ZS18
ZS19

1.00

ZS20

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00
x100 (cm)DISPLACEMENT (COMPONENT)

図５ ２０階モデル、層の復元力特性
x103 (t)
8.00
ZS1

ZS2

ZS4

ZS3

ZS5

ZS6

ZS7

ZS9
ZS10
ZS11
ZS12
ZS13
ZS14
ZS15
ZS16
ZS17
ZS18
ZS19
ZS20
ZS21
ZS22
ZS23
ZS24
ZS25
ZS26
ZS27
ZS28
ZS29
ZS30
ZS31
ZS32
ZS33
ZS34
ZS35
ZS36

6.00

SHEAR (TOTAL)

ZS8

4.00

2.00

ZS37
ZS38
ZS39
ZS40

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00
x100 (cm)DISPLACEMENT (COMPONENT)

図６ ４０階モデル、層の復元力特性
静的荷重増分解析時の曲げとせん断の比率を図７に示す。これによれば、初期剛性時にはせん断変形成分の比率は比較的小さいが、曲げひび割れ・曲げ降伏が生じるにつれて、せん断変形が増大していく様子がわかる。

表１20 階モデル階強度
Fc27
18〜20 階Fc30
15〜17 階Fc33
12〜14 階Fc36
9〜11 階
Fc39
5〜8 階
Fc42
1〜4 階
SD390
全階鉄筋

使用材料
40 階モデル階強度
Fc30
33〜40 階Fc33
25〜32 階Fc36
17〜24 階Fc39
9〜16 階
Fc42
1〜8 階
全階鉄筋

SD390

階

階

図４ ４０階モデル、柱・梁断面リスト

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

初期
設計用せ
ん断力時
保有水平
耐力時
0.2

0.4

0.6

0.8

せん 断変形成分比

1

40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

初期
設計用せ
ん 断力時
保有水平
耐力時
0.2

0.4

0.6

0.8

1

せん 断変形成分比

図７ 静的荷重増分解析時のせん断変形成分比

18

5

次数
１
２
３

基本モデル間の固有周期の比較
２０階モデル４０階モデル
ビーム
分離
ビーム
分離
モデル
モデル
モデル
モデル
0.914150.91407
1.97625
1.97615
0.33279
0.33276
0.658290.65825
0.19786
0.19784
0.378310.37828

制振ダンパーは、以下に示す２種類を扱った。どちらのダンパーも荷重増分解析には含めず、振動モデル
だけに直接付加した。
・ 履歴型
バイリニア標準型型でモデル化できる鋼製ダンパ
ーを計８基（合計：K1=5000[kN/cm]、Q1=4500[kN]）設置する。設計用せん断力時で塑性率が 1.7 程度になるように設定した。
・ 流体型
ダッシュポットでモデル化できる流体ダンパーを計８基（合計：C=700[kN/kine]）設置する。リリー
フ動作等の非線形性は考慮しない。
３．解析結果制振ダンパーを付加していないモデルの最大変
位・最大速度のせん断成分比率（せん断／層間）を図８(BCJ-L1)および図９(BCJ-L2)に示す。
変位比率は、荷重増分解析時の設計用せん断力時の比率（図７）にほぼ相当しているが、速度比率は、変位の比率の半分以下でかなり小さい。これは、変位と

階

階

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

最大変位
最大速度
0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

最大変位
最大速度
0.2

せん 断／層間比率

0.4

0.6

0.8

1.0

せん 断／層間比率

図８ 最大変位・速度のせん断変形成分比(BCJ-L1)

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

階

表２

速度の位相の違いのために、最大速度が発生する時刻には変形が小さいためであると考えられる。部分的に速度比が大きくなるのは高次モードの変形状態によると考えられる。

階振動モデルのスケルトンカーブは、立体モデルの静的荷重増分解析の結果（図５および図６）に基づき、トリリニアカーブ（第１折点は剛性が８０％に低下す
る点、第３勾配は層間変形角 1/100 の接線勾配とし、第２折点は面積が等価となる点 3））を作成した。
基本振動モデルは、通常のビーム（曲げせん断型）
モデル、および、Resp M+で対応する曲げせん断分離モデル（図１）の２種類とした。両モデルの変形性状に違いが無いことは、固有値・最大応答値を比較する
ことで確認した。表２によれば、両モデルは極めて近い変形性状であることがわかる。
復元力特性の非線形性は、曲げ成分を弾性とし、せん断成分を弾塑性とすることでモデル化した。せん断の履歴則には、武田・江戸（修正武田）モデル 4)を採用した。
減衰は、内部粘性減衰（初期剛性比例型）とし、１次に対して１％を設定した。
入力地震波形は、模擬地震波形である BCJ-L1・L22)
とした。

最大変位
最大速度
0.2

0.4

0.6

0.8

せん 断／層間比率

1.0

40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

最大変位
最大速度
0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

せん 断／層間比率

図９ 最大変位・速度のせん断変形成分比(BCJ-L2)

Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5
19制振ダンパー付きモデルのダンパーのエネルギー吸収量比（せん断成分に有効なダンパー／層間に有効なダンパー）を図１０(BCJ‑L1)および図１１(BCJ‑L2)に示す。
エネルギー比でも、最大変位・最大速度の比で見られた傾向（速度比は変位に比べてかなり小さい）が若干見られる。また、履歴ダンパーは、流体ダンパーに比べ、せん断変形成分の分離の影響を受けて性能が低下しやすい傾向がある。
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1.00 0.20
階

階

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0.20

履歴
流体
0.40

0.60

0.80

履歴
流体
0.40

0.60

0.80

1.00

せん 断／層間比率

せん 断／層間比率

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0.20

40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1.00 0.20
階階

図１０ エネルギーの成分比(BCJ-L1)

履歴
流体
0.40

0.60

0.80

せん 断／層間比率

履歴
流体
0.40

0.60

0.80

せん 断／層間比率

図１１ エネルギーの成分比(BCJ-L2)

20

1.00

４．まとめ
１） 塔状比の高い建物の全体変形に対するせん断変形の比率によって、制振ダンパーの性能が低下する問
題は、以前から予想されていたが、今回の試解析において、履歴・流体共にこの傾向が実際に確認された。
２） 既往の研究によれば、フォークトモデルで模擬できるダンパーに関しては、せん断変形成分比の二乗に比例して、吸収エネルギーが低下する 5)とされているが、今回の試解析においても概ね同様の結果が得られたが、バラツキは大きい。
３） 履歴ダンパーは、流体ダンパーに比べて、せん
断変形成分の分離時に、性能が低下しやすい傾向がある。
参考文献
1) 梁川・石原・宇佐美・高橋、「粘性ダンパーに関する複素固有値解析の適用性」、日本建築学会大会学術講演梗概集、2000 年 B-2 分冊 p.937、2001 年 B-2
分冊 p.249．
2) 「設計用入力地震作成手法技術指針(案)」、建設省
建築研究所・日本建築学会、平成４年３月．
3)「高層建築物の構造設計実務」、日本建築センター、
2002．
4) 「鉄筋コンクリート構造物の弾塑性地震応答解析（その２）」、江戸宏彰・武田寿一、大林組技術研究
所報 No.13,1976.
5) 石井ほか、「粘弾性型制振部材を適用した構造骨
組の地震応答評価に関する研究 その２．制振部材の実効変位に着目した解析モデルの検討」、日本建築学会大会学術講演梗概集、1999 年、第 21507 番．

街を流れる風を知りたいなら・・・

Wind-designfor Windows■地図情報(bmpファイル）の読み込み可能■2D or 3Dによる確認表示■自動メッシュ分割機能■GUI操作によるメッシュ範囲分割や追加・削除が可能■簡単な計算条件設定および出力指定■風環境評価機能による客観的評価が可能

室内の気流温熱環境を知りたいなら・・・

AC-designfor Windows■AutoCADをカスタマイズした容易な形状定義機能■自動メッシュ分割機能■高性能熱流体ソルバの搭載。流れと熱の連成計算や濃度拡散解析が可能■豊富な可視化機能。ベクトル・コンタ
等値面・マーカ粒子追跡・
ストリームライン表示・
アニメーション表示

水、空気、ガス拡散、地下浸透流・・・ 流体解析コンサルもお任せ下さい
Kozo Keikaku Engineering, Inc. 2003.5

骨組構造物の汎用非線形解析プログラム

for Windows

非線形問題、動的問題を高解析機能でカバー！
■３次元任意形状骨組モデル対応■静的／動的／固有値／座屈固有値 解析■弾塑性／幾何学的非線形■各種の免震制振機構にも対応

鉄道構造物等設計標準・同解説
耐震設計編に準拠！
■ Windows対応■ 静的非線形解析■ 所要降伏震度スペクトル■地盤応答変位解析■ 部材の損傷レベルによる耐震
性能チェック■テトラリニア対応

鉄道構造物等の耐震性能照査プログラム

Assessment Program for Seismic Capacity of Railway Structure
ASCARS は（財）鉄道総合技術研究所と（株）構造計画研究所の協同開発商品です。

桁橋の耐震設計ナビゲートシステム
桁橋の耐震設計ナビゲートシステム

design● 煩雑な繰り返し計算を自動化し、設計効率大幅ＵＰ● 積層ゴム支承や免震支承など、支承回りの設計機能を充実。支承形状の決定もしっかりとサポート● 解析結果図表、アニメーション機能、ワンタッチの報告書作成機能も装備

無料トライアル版をダウンロードして使いやすさを実感してください！

http://www4.kke.co.jp/packages/navi/
曲げモーメント‑200.00.0
200.0 400.0 600.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
22.0
24.0
26.0
28.0
30.0
32.0
34.0
36.0
38.0
40.0
42.0
44.0
46.0
48.0
50.0
52.0
54.0
56.0
58.0
60.0
最大値= 702.48 最小値=‑94.230(m)

杭の応答変位法プログラム

深度

k-PILE
k‑PILE は、建築、土木構造物の杭基礎設計において広く用いられる応答変位法のプログラムです。杭の断面力、基礎梁―杭の荷重―変形関係を算定します。
k-PILE では、地盤ばねの非線形特性の自動計算機能、
k-SHAKE の地盤応答変位の自動読み込み機能を有しており、構造設計者が手軽に用いることができます。
構造物の慣性力

杭の曲げモーメント図(tf)

地盤応答変位

100.0

80.0

水平 力

水平地盤ばね

60.0

40.0

20.0

k-PILE におけるモデル化概念図

0.0
0.0

1.0

2.0

3.0

4.0
5.0
変位

6.0

水平力―変位図

7.0

8.0

9.0
(cm)

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Questionnaire

解析雑誌 Vol.9 読者アンケートのお願い
今後の本誌が皆様にとって有益なものとなりますよう、

毎号写真を変えればいいだけのはずだった本誌の是非とも本ページ下のフォームにご意見・ご要望をご記

表紙。よもやその写真で苦労することになるとは。
これまでスタッフが旅行や出張に行ったときに撮った

入の上、下記番号まで FAX にてお送りください。e メー

ものや、市販の素材で間に合わせていましたが、今回ルにて同内容をお送りいただいても結構です。ご協力

はいい写真が見つからず、都内某所に表紙用の写真ををお願いします。
尚、本誌および弊社へのお問い合わせは右ページ

撮影しに行ってしまいました。お客様をお訪ねした際に見かけた風景ですが、お近くではありませんか？

に記載の TEL、FAX、E メールで承っております。

お名前
会社名
電話番号

FAX 番号

E メール

本誌の内容について全般的なご感想をお聞かせください□業務上参考になった□あまり面白くなかった□そのほか：□業務とは直結しないが興味深かった□主旨が理解できない

特に興味深かった記事・報文があればお書きください
今後の刊行についてご意見をお聞かせください

次号以降の内容に関してのご要
望があればお聞かせください□次号があるならまた読みたい □次号はもっと高度な内容を□次号はもっと入門的な内容を □次号以降には期待できない回程度）□定期刊行をのぞむ（年□そのほか：
分野：□建築
□港湾
テーマ：

□橋梁
□環境

□地盤 □地下構造 □上下水道□地震防災 □そのほか（

本誌と関連の深い□前から見ていた □本誌で知ってアクセスした
ＫＫ解析ホームページについて ホームページのご感想を一言：
お聞きしますそのほか本誌あるいは業務内容などに関して、ご意見・ご要望・
お問い合わせなどありましたら
お書きください

FAX ０３−５３４２−１２３６

30

□河川
）

□まだ見ていない

構造計画研究所「解析雑誌」編集担当行

お問い合わせはこちらへ
本誌あるいは弊社の解析サービス・解析ソフトに関してのお問い合わせは下記までお願いいたします。

（株）構造計画研究所〒164−0011

TEL

エンジニアリング営業部
中野区中央 4−5−3

03−5342−1136

FAX

03−5342−1236

E メール：kaiseki@kke.co.jp

また、本誌と連携して情報発信を行っております、構造計画研究所解析技術本部のホームページにも是非お立寄りください。

URL : http://www4.kke.co.jp/
尚、構造計画研究所全社の URL は http://www.kke.co.jp/ です。

各地の支社、営業所でもお問い合わせを承っております。

●福岡営業所

解析雑誌●大阪支社 06-6243-4500
092-482-8821 ●名古屋営業所

052-222-8461

Journal of Analytical Engineering Vol.9 2003.5（株）構造計画研究所

エンジニアリング営業部 編集・発行

本誌は非売品です。本誌掲載記事・広告の無断転載を禁じます。

Windows は米国マイクロソフト社の登録商標です。

31

Journal of Analytical Engineering, Vol.9, Technical Report 3

動的複合非線形解析による長大アーチ橋の地震時座屈照査に関する考察
為廣 尚起１）1) 構造計画研究所

大塚 久哲２）2) 九州大学大学院教授
固有値λd は、想定荷重による各部材の応力状態がプ

１．はじめにコンクリート製・鋼製に関わらず、長大アーチ橋はしロポーション不変のまま一律に線形に増加すると仮定しばしば座屈の可能性が懸念される。しかし最近実施された場合の、座屈（特異）点までの倍率を示す。実際の想た国内のコンクリート長大アーチ橋の設計・施工方法に

定荷重全作用状態を示す 1.0 より十分に大きい１次（最１）関する実態調査等からは、実橋設計時の座屈照査に小）固有値λd1 を得ることで余裕が確認される。手軽なついて概ね次のような現状が認識される。

手法であるが、解は基準の状態（λd=0.0）から線形に① 橋梁全体系を対象とした、常時・地震時の座屈に関推移する範囲でしか信憑性を持たないため適用範囲は狭する明確な検討が実施された事例２）は少ない。

い。常時荷重等による座屈について余裕を確認するには② 座屈の検討がなされているケースを見渡しても手法有効であるが、非線形領域に及ぶ荷重設定の場合は適用できない。

が統一されていない。
③ 既設構造物の座屈に対する性能に関して定量情報の構造の非線形性を考慮した座屈点探査には、静的増分解析が用いられる。筆者らが前報 3)で支間長 600 ｍライ

蓄積がないため、懸念自体が曖昧である。
筆者らは、こうした状況の原因は、設計時の座屈照査

ズ 100 ｍという超長大コンクリート上路アーチ橋の地震のための一般的に認知された手法と、構造物の座屈に対時座屈に着目した際は、複合非線形（弾塑性と幾何学的する性能（座屈しにくさ、あるいは座屈発生までの余裕

非線形を同時に考慮した）プッシュオーバー解析によるの大きさ）を定量的に示す指標が存在していない点にあ特異点探査を試みた。特異点は極大点または分岐点に分ると考え、既往手法の調査・整理から必要に応じて新手類される（図‑1）が、いずれもそれ以上の耐荷力は期待法を開発することまでを視野に入れて検討を開始し、初できない状態であり、かつ急激な変形が発生する恐れの３）ある状態であるから特異判定を以って座屈とみなした。

段階の成果を前報 に報告した。
本報ではさらに検討を進めた結果として、前報で懸案としていた地震時の動的な座屈照査手法を提案し、例題
解析によりその有効性に関して考察を行う。

極大点

分岐点

２．既往の座屈照査手法の問題点
座屈照査は固有値解析または静的増分解析による場合が多い。いずれも接線剛性マトリックス（材料剛性マトリックス K＋幾何剛性マトリックス Kg）の行列式の値が図-1 特異点（座屈点）の分類４）０、すなわち特異となる荷重状態を探査することが基本である。

同報では、この手法を架構全体一様震度の水平荷重分

線形座屈固有値解析による照査は、想定荷重作用状態に式(1)の固有方程式を適用するものである。

布でアーチ橋橋軸直角方向に用いた際に、極端に小さい
震度（0.114G）での座屈判定を得ている。
長大アーチ橋は地震時の挙動が複雑な構造に位置付け( [K] + λd[Kg] ) {u} = {0}(1)

られており５）、静的な荷重設定では合理的な地震時の検討は難しいとされ、動的解析による耐震設計が普及し[K ]:材料剛性マトリックス（初期断面）ている。地震時の座屈に着目している場合も同様に考え[Kg]:現応力状態で評価される幾何剛性マトリックス

る必要があるから、先の静的解析結果で直ちに地震時の{u}: 固有モードベクトル

座屈に対する性能を評価することには疑問がある。
この静的座屈解析結果の信憑性を検証するためにも、
Kozo Keikaku Engineering,Inc. 2003.5
23あるいはより一般的な地震時の座屈照査手法のオプショ決するには至っていない。

ンとしても、動的な複合非線形解析をベースにした座屈照査手法の必要性が認識された。

４．動的座屈照査方法の提案

３．動的座屈照査手法の現状

定」はもとより、前章の問題点②③に関連する「余裕の筆者らは姫野らのアプローチを踏襲しつつ、「座屈判長大アーチ橋の耐震設計に動的複合非線形解析による定量化」に着目して、式(2)ではなく下記の固有値方程照査が必要であるとの認識は一般化している。よく参照

式(3)を動的複合非線形解析の各増分ステップに適用す６）されている設計計算例

では常時の幾何剛性のみを考ることを考えた。

慮する簡易手法（線形化有限変位理論７））が採用されているし、より厳密に時々刻々と部材座標系と幾何剛性( [Kt] + λ[ΔKg] ) {u} = {0}（3）

マトリックスを更新していく修正ラグランジェ法４）を[Kt]: 前ステップの平衡状態における接線剛性マトリックス

用いた設計事例８）も近年報告されている。
長大アーチ橋は地震時の挙動が複雑である上、架構の[ΔKg]: 現ステップの増分応力（または断面力）による幾何剛性マトリックスの増分係数

変形や応力状態の変化が動的挙動に与える影響が大きい
ことが知られている９）から、これらの観点では動的複{u}: 固有モードベクトル

合非線形解析の適用は有効といえる。しかし、座屈に関する照査も動的複合非線形解析の実施によってカバーさ式(3)は、式(1)をより一般化したもので、通常は静的れているとの認識には、下記のような問題点が存在して複合非線形解析において増分 STEP の中間に存在する座いると考えられる。

屈点を検出する目的で用いるものである 11)（図２）。

① 動的複合非線形解析の実施のみでは、明確な数値
指標で座屈判定ができない。発散や急激な大変形

A の接線剛性で求まる等の現象から、定性的に判断する必要がある。

現 STEP の初期応力点② 動的複合非線形解析の最後まで座屈と思しき現象が認められない場合でも、最も危険に近づいた時

B

荷重

C

刻に、どの程度の余裕を持って座屈しなかったのかを確認すべきであるが、その為の情報が何も得られない。
③ したがって、ある橋とある地震波の組み合わせで、解析上は座屈が発生しなかったという判定は得ることができるが、別の同種構造計画時に参考となるようなデータを蓄積することは難しい。
上記の内①については、姫野ら

実際には発生しない座屈点 (λ1＞1)

座屈点(0≦λ1≦1)

現 STEP の平衡点

A
前 STEP の平衡点

変位

10)

が、動的解析中にKt が静的に特異となるポイントを探査することで近似的に動的挙動中の不安定評価が可能との前提に立ち、次(B≒C を前提に、AB 間に座屈点が存在しないか探査する)

図‑2 増分解析中の座屈判定の座屈固有方程式(2)を動的解析の各 STEP に適用して、固有値が負となる時刻に着目することで解決を試みていここで得られる固有値λは、非線形解析においても単一の増分ステップ区間内はほぼ線形に推移する（とみなる。

せる程度に細かい STEP 刻みが設定されている）という（ [K] + [Kg] ）{u} = λ{u}(2)

前提で、前ステップの平衡状態を基準にして、現ステップの各部材の増分応力が実際に発生したものの一律何倍[K] : 瞬間の材料剛性マトリックス

であれば Kt が特異となるかという増分荷重倍率を示す。

[Kg] : 瞬間の幾何剛性マトリックス

同時に座屈モードも得ることができる。式(1)と同様に、{u} : 固有モードベクトル

通常は 1 次（最小）固有値λ１がチェックの対象となる。
λ=1.0 は現ステップの初期応力状態（図‑2 の B）を、

この手法は、数値指標による動的解析途中の座屈判定

λ=0.0 は前ステップの平衡状態（同 A）をそれぞれ指しを可能にしたが、ここで得られる固有値の絶対値は座屈ているから、0.0≦λ1≦1.0 であれば前・現ステップ間点までの余裕の大小とは直接関連がないため、②③を解に座屈点が存在することになる。一方、λ1＞1.0 は現ス

24

表-１ プラットフォームソフトの基本仕様

テップで座屈が発生しないことを示し、さらにλ1 の値
が 1.0 から離れているほど座屈点までの余裕が大きいことを示している。
このような静的解析における固有値方程式(3)の適用
は座屈点の特定と座屈モードの取得が主目的であるから、Kt のデタミナント値の符号（＋／−）の変化により座屈点の存在が明らかになった時点でのみ行えばよい。
動的解析中に式(3)による座屈固有値解析を行う目的
は、判定のみならず上に述べたλ1 の性質を利用して座屈していない状態の余裕の大きさを計ることにある。したがって固有値解析は特定の時点のみではなく、一定時間間隔で繰り返し実施する必要がある（図‑３）。最後種弾塑

別 ３次元汎用骨組解析ソフト
性 はり部材の M-φ関係により規定

幾 何 剛 性 はり部材の軸力項のみを
幾 何 学 的 マ ト リ ッ ク ス 考慮して作成
非 線 形
修正ラグランジェ
定 式 化
定式化
直接積分法 ニューマークβ法
ニュートン・ラプソン法
動 的 解 析収 束 計 算 残留不平衡力は次ステッ
プへ持ち越し振動 サブスペース法
固 有値解 析座
屈 逆反復法まで座屈判定が出なかった場合には、それらのうち最小のλ1 が当該地震動入力時の対座屈性能を定量的に示す(2) 出力情報
本報で提案する動的照査手法は座屈判定が出るまで地指標となり得る。

震動を増幅させるのではなく、想定した地震動入力時の座屈までの余裕を定量的に示すことを目的としている。
したがって最後まで座屈判定が出ない場合でも、危険に
現STEPの変位・速度・加速度計算

近づいた時間帯の性状や最小のλ1 などの情報を得るた

座屈固有値解析

め、一定時間間隔で求めたλ1 を時刻歴で確認できるよ
うにしておきたい。しかし、動的複合非線形解析の全解
座屈した

イテレーション

材料・幾何剛性マトリックス更新
不平衡力ベクトル作成

析ステップに固有値解析を挿入することは実用性を著しく損なう恐れがある。このため、座屈固有値解析の挿入
時間帯と時間間隔を、動的解析の継続時間と積分時間間隔（Δt）とは別に指定できるようにした。これにより、未収束

一度やや粗い間隔で全時間帯のλ1 を得て危険時間帯を
収束

次ステップ
終了

図-3 増分解析中の座屈判定

おおむね絞り込み、その後危険時間帯のみ、より細かい
時間間隔でのλ1 を得るために再計算するといった運用が可能になる。
座屈モードは、最小λ1 発生時または座屈判定が出た時点のモードのみを出力することとした。

５．プログラムの開発と運用
動的解析中の最小λ1 を求める機能を有する解析コー(3) 結果の評価と比較時の留意点

ドは筆者らの周辺に存在していなかったので、この為の

λ1 は動的解析の各ステップの増分応力分布に対するプログラム開発を行った。この開発中あるいは試行運用倍率であるから、同一の解析モデルと地震動を用いた動中には、いくつかの検討項目が発生した。以下にそれら的解析であっても、Δt によって同時刻の値が変化する。

の項目と、筆者らが採った対応や運用上の留意事項を記したがって、解析モデルや入力地震動を変えて複数の動しておく。

的解析を行い、各々のケースのλ1 を比較する際は、前提としてΔt を揃えておく必要がある。

(1) プラットフォーム

尚、Δt と座屈固有値解析の挿入時間間隔が異なる場

筆者らがこの機能を載せるためのプラットフォームと合でも、式(3)が適用されるステップ区間はΔt によっしたのは、表‑1 に示したように既に動的複合非線形解て刻まれる区間であるから、座屈固有値解析の挿入時間

析までを可能にしていた骨組解析プログラムである（各間隔は瞬間のλ1 の値には影響しない。

手法の詳細は参考文献 4 参照）。これは筆者らが作業可能との理由で選択したプログラムであるが、手法のコン
セプトは表‑1 のような機能構成のプログラムに限らず広く適用可能である。

(4) 座屈判定基準と固有値の正負固有方程式(2)では負の固有値の出現が構造不安定の判定となる 10)が、本報で提案した固有方程式(3)を用いた場合の座屈判定は 0.0≦λ1≦1.0 であり、負の固有値
Kozo Keikaku Engineering,Inc. 2003.5
25

表-2 アーチ橋解析モデル

は異なる意味合いを持つ。
表‑1 に示したように、ここでは座屈固有方程式の解法に逆反復法を使用している。詳細は文献 4 等に譲るが、形式 ： コンクリート上路

モデル名 CU600

アーチ支間 ： 600m
アーチライズ： 100m

これは絶対値で最小の固有値から求めていく手法である。
λ1 は正負に関わらず座屈点までの荷重倍率であることに変わりないから、逆反復法の適用は、接近しつつあるか（λ1 が正）遠ざかりつつあるか（λ1 が負）に関わらず、その瞬間最も近傍にある座屈点を探査していることに相当する。
動的解析中は、構造物の応答の増加に伴ってあるモー

1 次固有周期 : 8.032 秒 （橋軸直角）

ドの座屈点に接近し、座屈に至らない場合は応答の減少

2 次固有周期 : 4.998 秒 (橋軸)に伴ってその座屈点から離れ始め、やがてまた別のモー

常時座屈固有値λd1 : 2.868

ドの座屈点に接近するという事象の繰り返しが起こる。
このため、正負の固有値が繰り返し出現することになる。

参考文献 1) 3)

形式 ： コンクリート中路

モデル名 CM100

アーチ支間 ： 100m
アーチライズ： 8〜10m

しかし負の場合は絶対値が小さくとも（座屈点が比較的近傍であっても）その座屈点から離れつつあるのだから危険視する必要はない。通常は正の固有値をチェックすればよい。
６．アーチ橋解析モデルと解析条件
以上のような手法を表‑2 に示す３つの長大アーチ橋
解析モデル（CU600 は前報の静的解析で使用したモデ
ル）に適用し、同一地震波入力時の対座屈性能（座屈までの余裕）の定量化と、これによる性能比較例作成を試みた。これらの解析モデルは過去個別の耐震検討に用い

1 次固有周期 : 1.077 （橋軸）
2 次固有周期 : 0.733 （橋軸直角）
常時座屈固有値λd1 : 22.440

参考文献 12)

形式 ： 鋼中路

モデル名 SM160

アーチ支間 ： 160m
アーチライズ： 23〜37m

られたものであるが（実際の橋梁データは各参考文献参照）、今回以下のように解析条件を揃えて再計算した。
① 式(3)による座屈固有値解析を含む、修正ラグラン
ジェ定式化による 3 次元動的複合非線形解析。
② 動的解析は直接積分法（ニューマークβ法,β=1/4）で、積分時間間隔Δt=0.001 秒③ 各部材の減衰定数はコンクリート 3％、鋼 2％に統一し、各次減衰定数を得てレーリー減衰を用いた。
減衰マトリックスは解析中更新しないものとした。
④ アーチリブ部材に M‑φ関係規定による部材非線形

1 次固有周期 : 1.957 秒 （橋軸）
2 次固有周期 : 1.471 秒 （橋軸直角）
常時座屈固有値λd1 : 4.182

平２方向は、道路橋設計で用いられているレベル２
地震動タイプⅡの標準波形Ⅱ‑1‑2 とⅡ‑1‑1 を用い、上下方向には JMA 神戸の上下動観測波を用いた。

加速度(cm/sec2)性を設定。履歴則は武田型。桁・鉛直部材は弾性。
⑤ 入力地震波は JMA 神戸波３方向同時入力とした。水

1000
750
500
250
0
-250
-500
-750
-1000

参考文献 13)

橋軸方向 MAX 765.9gal

0

10

20

30

1000
750
500
250
0
-250
-500
-750
-1000

上下方向 MAX 406.0gal

0

10

20
時刻（秒）

26

加速度(cm/sec2)

加速度(cm/sec2)

時刻（秒）

1000
750
500
250
0
-250
-500
-750
-1000

30

図-4 入力地震動

橋軸直角方向 MAX 812.0gal

0

10

20
時刻（秒）

30

７．動的解析結果と考察

３モデルとも最小λ１が 1.0 より大きい数値であるのまず前報で静的に検証した CU600 モデルのλ１の時刻

で、先の地震動入力時に座屈に至らないことは確認され歴を図‑5 に示す。固有値解析挿入間隔は 0.01 秒である。 たが、その一方で SM160、CU600 の順で相対的に余裕がこれにより、危険時間帯を５秒〜７秒と認識し、この時小さいという性能差が示されている。CU600 と CM100 は、間帯のみ再度 0.001 秒間隔でλ１を出力して、最小λ１

最小λ１にある程度の差があるものの、固有値の変化の=239.9（5.870 秒）を得た。1.0 より大きい最小λ１を得様子は似た傾向であるが、SM160 のλ１は終始他の２モることができたので、800gal クラスのレベル２地震波

デルを下回っている。

が入力されても、座屈発生まである程度の余裕を持ってSM160 が比較的低性能を示している主な原因は、図‑7いることが確認されたことになる。これは２章で述べたに示した座屈モードの違いにあると考えられる。CM100

前報の静的解析による評価（合理的評価でない可能性がの座屈モードは桁・アーチリブ全体に及ぶモードで、方あると思われた）とは整合しない結果である。

向的にも偏りがない。また CU600 は、３方向同時加震でありながらほぼ橋軸直角方向のみに倒れる座屈モードで、20000

方向別の脆弱性格差が大きい可能性が懸念されるものの、

17500

局部的なモードにはなっていない。これらに対し、

座屈固有値

15000

SM160 の座屈モードは桁下鉛直部材の局部モードが卓越

12500

する形となっている。一方、SM160 の全体的座屈モード

10000
7500

最小固有値

に限定したλは時刻 5.54 秒で最小値 552.6 が発生して239.9いる。これは問題位置の局部座屈の可能性を低くする補5000強が施されることにより、全体モードを１次とすること

2500ができれば、架構全体としてはさらに対座屈性能の向上

0
0

5

10

15
時刻（秒）

20

25

30

が見込めることを示している。

図‑5 CU600 座屈固有値時刻歴
既に述べたように動的解析時は構造物の応答に伴い座屈点への接近が繰り返されるため、図‑5 に見られるよCU600

うにλ１の時刻歴は複数のＶ字が並ぶような形状になる。
主に着目しているのは最小λ１であるから、複数解析ケースの性状を比較する際は、各Ｖ字の最下部を結んだ包絡線（図‑5 の破線）の方が見易い。３モデルのλ１時刻
歴包絡線を図‑6 に、最小λ１比較を表‑3 に示す。
20000
CU600

17500

CM100

CM100

15000
座屈固有値

SM160
12500
10000
7500
5000
2500

SM160

0
0

5

10

15
時刻（秒）

20

25

30

図‑6 座屈固有値時刻歴包絡線比較

表‑3 最小座屈固有値比較
CU600
239.9 (5.87 秒)
CM100
493.5 (8.29 秒)
SM160
75.6 (6.16 秒)（ ）内は最小値発生時刻

図-7 最小λ1 発生時座屈モード
Kozo Keikaku Engineering,Inc. 2003.5
27

８．今後の課題

橋を題材にした考察を行った。
本報は土木学会・構造工学委員会「コンクリート製(1) アーチ橋の座屈照査方法
以上の動的解析結果から、前報の 600 ｍコンクリート

長大アーチ橋の設計方法に関する研究小委員会」での活アーチ橋モデルに対しプッシュオーバー解析で得た座屈動を元に発展させたものである。委員長の田辺忠顕先生

震度 0.114 はやはり過小評価である可能性が高くなった。 （名古屋大学大学院教授）、解析 WG の中村光先生
ただし静的な座屈解析が荷重分布の設定により評価が変（名古屋大学大学院助教授）を始めとする委員会メンバるのと同様に、本報で紹介した動的手法も入力地震動にー各位には多くのご指導・ご協力をいただいた。ここにより異なる固有値を示すから、本報の結果のみから結論

厚く御礼申し上げる次第である。

付けることはできない。静的・動的双方の解析手法を得たので、合理的な座屈照査方法について、両者の外力の参考文献

設定方法に重点を置き、さらに検討を進める必要がある。 1)

コンクリート製長大アーチ橋の設計方法に関する研究小委員
会：コンクリート長大アーチ橋の設計・施工技術の現状と将来展(2) アーチ橋の対座屈性能
本報の例題解析のみでアーチ橋の対座屈性能の傾向に

望，（財）土木学会，2000.8
2)ついて言及することはできないが、地震時座屈固有値は橋耐荷性状確認実験,コンクリート工学年次論文報告集

常時の場合以上に様々な因子（構造条件、解析条件、外力条件）が影響し、相対的な優劣であっても単純には予幸左賢二・渡部尚夫,徳山清治：全体系模型による RC アーチ
Vol.17,No.2,pp423〜pp428,1995 等

3)

大塚久哲・夏 青・矢葺 亘・為廣尚起：長大 RC アーチ橋にお測し難い様子は垣間見られた。今後、鋼・コンクリート

ける複合非線形動的解析と座屈・分岐解析, 構造工学論文集

製別に傾向を整理し、それぞれ主要な影響因子を割り出

Vol.47A, pp873〜881, 2001.3

して、それらの座屈固有値への感度（各因子の変更によ4)

鷲津ほか：有限要素法ハンドブックⅡ応用編，培風館，1983って固有値が変化する際の大きさや方向）に関する知見

5)

道路橋示方書（Ⅴ耐震設計編）・同解説, （社）日本道路協会，を蓄積していくことも重要である。

2002.3.
6)(3) 対座屈性能指標の必要性

橋・PC 斜張橋・地中連続壁基礎・深礎基礎等の耐震設計計算

本報で示してきたように、常時および地震時の座屈に対する性能指標（λd1,λ1）を設定することにより評例―，（社）日本道路協会，1998
7)

価・比較が明瞭に定量化される。座屈が懸念される場合

尾下里治・大森邦雄：線形化有限変位理論によるアーチ橋の設計法の提案，土木学会 構造工学論文集 A，Vol.44, No.3,の照査手順が合理化されるばかりでなく、これらの定量情報が蓄積されることにより、冒頭に述べたような座屈道路橋の耐震設計に関する資料―PC ラーメン橋・RC アーチ

1998.
8)

猪熊康夫・台原 直・為廣尚起：鋼・コンクリート複合アーチ橋のに対する曖昧な懸念が解消され、明確なデータに基づい耐震設計−富士川橋の場合−，第１回地震時保有耐力法にて詳細検討が必要なケースを絞り込むことが可能になる。

基づく橋梁の耐震設計に関するシンポジウム講演論文集，ｐｐ

ただしそのためにはクライテリアの設定を含む指標の評価方法の確立が不可欠である。現段階では座屈固有値
によって示される余裕が十分といえるのかどうかを判断する基準が何もない。

241〜244, 1998.1. 等
9)

平成 9.10 年度耐震設計ソフトウェアに関する研究委員会報告書,（財）土木研究センター, ｐｐ 451〜458，1999.4. 等

10) 姫野正太郎・谷口勝彦・田辺忠顕：長大スパンＲＣアーチ橋の非線形挙動に関する解析的研究，プレストレストコンクリート技(4) 解析結果の正当性
本報内の解析結果には、同材料製の超長大と中規模橋のλ1 によって示される対座屈性能差や、各モデルの危
険時間帯と入力地震動の関係など、いくつかの相対的・術協会第 10 回シンポジウム論文集, （社）プレストレスコンクリ
ート技術協会, pp.651-656, 2000.10.
11) 日本機械学会編：固体力学におけるコンピュータアナリシス, 第４章, コロナ社, 1986.

定性的合理性は見られるが、現状では十分な説得力を持

12) 大塚久哲・矢葺亘・夏青：中路式ＲＣア−チ橋における２軸曲っているとはいえない。筆者らは現在、振動台実験とのげ評価と終局限界状態に関する考察研究，構造工学論文集，

照合により手法の有効性を確認する作業を進めており、

Vol.46A, pp.789-796, 2000.3.

これについては別の機会に報告する予定である。

13) 大江豊・大塚久哲・水田洋司・劉貴位・飯星智博：鋼アーチ橋
における主部材の断面特性と弾塑性動的解析,構造工学論文

９．終わりに
以上、動的な対座屈性能照査方法を提案し、アーチ

28

集，Vol.46A, pp.821-830, 2000.3.