第６章 確率的利用者均衡モデル
6.1 確率的配分モデル
6.2 エントロピーモデルとロジットモデル
6.3 確率的利用者均衡配分とその定式化
6.4 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題
6.5 リンク間に相互干渉がある場合の確率的利用者均衡配分

福田研究室 修士1年 平林新

2

はじめに
5章：確定的利用者均衡(UE: User Equilibrium)
すべての利用者がネットワーク状況について完全な情報をもち、最短経路を選択
6章：確率的利用者均衡(SUE: Stochastic User Equilibrium)
利用者の経路選択行動のばらつき（認知誤差）&混雑状況を考慮O

𝑡1 = 10𝑡1 = 10 + 𝜀

𝑡2 = 8𝑡2 = 8 + 𝜀

𝑡3 = 12DO

D

𝑡3 = 12 + 𝜀

6.1：ランダム効用理論によって利用者の経路選択を表現（右図）
6.2：確率的配分モデル（6.1）を最適化問題として表現（利用者行動の不確定性を表現）

6.3：確率的配分と利用者均衡を統合した確率的利用者均衡配分（混雑現象を考慮）
6.4：確率的利用者均衡配分モデル（6.3）を最適化問題として表現
6.5：確率的利用者均衡配分モデル（リンク間相互作用あり）を変分不等式問題として表現

はじめに省略語の説明SUE:
Stochastic User Equilibrium （確率的利用者均衡）
UE:
User Equilibrium （利用者均衡）
FD:with Fixed Demand （需要固定）
モデル一覧
6.2
【SA-1】: エントロピーの最大化（総走行費用𝐸の制約条件を外生的に与える）【SA-2】: コストの最小化（エントロピー𝐻の制約条件を外生的に与える）（【SA-1】の目的関数と制約条件入れ替え）【SA-3】: エントロピー最大+コスト最小の混合（調和）6.4【SUE/FD-path】: 【SA-3】の応用系（コスト関数が積分に）【SUE/FD-path1】: 【SA-1】の応用系（コストの制約が積分に）【SUE/FD-path2】: 【SA-2】の応用系（コスト関数が積分に）【SUE/FD-Dual】: 【SUE/FD-path】の双対問題【UE/FD-Dual】: 【UE/FD-Primal】（5章Wardrop均衡）の双対問題【SUE/FD-Dual】の期待最小費用を最小費用に【SUE/FD-arc】: path形式でなくarc形式の【SUE/FD-path】の等価最適化問題

3

1. 確率的配分モデル
はじめに確率的利用者均衡配分を理解するための準備段階として、ランダ
ム効用理論に基づいた「確率的配分」から導入する。
確率的配分とは…
リンクコストがフローの量によって変化しない（混雑しない）という仮定のもとで、利用者の選択行動のばらつきを考慮した配分モデルのことである。

• 定式化• 期待最大効用• 期待最小費用

4

5

1. 確率的配分モデル
交通ネットワーク配分モデル
利用者の経路選択行動は離散的選択肢からの選択行動→ ランダム効用理論（第4章）によって記述可能

ODペア 𝑟, 𝑠 の𝑘番目経路の効用関数
𝑈𝑘𝑟𝑠 = −𝑐𝑘𝑟𝑠 + 𝜉𝑘𝑟𝑠

6.1

𝑐𝑘𝑟𝑠 は経路上のリンクコストの和なので、
𝑟𝑠𝑡𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑐𝑘𝑟𝑠 =

6.2

𝑖𝑗

𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝜉𝑘𝑟𝑠 ：利用者の認知誤差を表す確率変数

𝑡𝑖𝑗 ：リンク𝑖𝑗のコスト
𝑟𝑠
𝛿𝑖𝑗,𝑘：リンク𝑖𝑗が経路𝑘に含まれる → １
その他
→0

6

1. 確率的配分モデル
ODペア 𝑟, 𝑠 の𝑘番目経路選択確率𝑃𝑘𝑟𝑠

𝐸[𝑓1𝑟𝑠 ]𝑟𝑠
𝑃𝑘𝑟𝑠 = Pr. 𝑈𝑘𝑟𝑠 ≥ max
𝑢
𝑘′ 𝑡
′

= Pr.
= Pr.

𝑘 ≠𝑘
𝑟𝑠
𝑟𝑠
−𝑐𝑘𝑟𝑠 + 𝜉𝑘𝑟𝑠 ≥ max
−𝑐
+
𝜉
′
𝑘
𝑘′
𝑘 ′ ≠𝑘𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑐𝑘𝑟𝑠 − 𝜉𝑘𝑟𝑠 ≥ min
𝑐
−
𝜉
′
𝑘′ 𝑡
𝑘 ′ ≠𝑘 𝑘

この経路の交通量𝑓𝑘𝑟𝑠 の期待値は𝐸 𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 𝑃𝑘𝑟𝑠

6.4

𝑡

r

6.3

𝐸[𝑓2𝑟𝑠 ]6.5

s𝑞 𝑟𝑠 = 𝐸[𝑓1𝑟𝑠 ] + 𝐸[𝑓2𝑟𝑠 ]経路交通量とOD交通量の間のフロー保存則が満たされる

経路選択確率𝑃は以下を満たす
𝑃𝑘𝑟𝑠 = 1 ∀(𝑟, 𝑠)

𝑞 𝑟𝑠

𝐸 𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 ∀(𝑟, 𝑠)𝑘𝑘𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(ODペア 𝑟, 𝑠 )𝜉𝑘𝑟𝑠 ：利用者の認知誤差を表す確率変数
𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑡𝑖𝑗 ：リンク𝑖𝑗のコスト
𝑟𝑠
𝛿𝑖𝑗,𝑘：リンク𝑖𝑗が経路𝑘に含まれる → １
その他
→0

6.6

7

1. 確率的配分モデル
リンク交通量の期待値𝐸 𝑥𝑖𝑗 は、経路・リンク交通量の関係から
𝑟𝑠
𝐸 𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘𝐸 𝑥𝑖𝑗 =
𝑟𝑠

𝐸[𝑓114 ]𝑥12

1
𝐸[𝑓314 ]2

𝐸 𝑥12 = 𝐸[𝑓114 ] + 𝐸[𝑓214 ]𝐸 𝑥13 = 𝐸[𝑓314 ]𝐸 𝑥23 = 𝐸[𝑓214 ]𝐸 𝑥24 = 𝐸[𝑓114 ]𝐸 𝑥34 = 𝐸[𝑓214 ] + 𝐸[𝑓314 ]

𝑥24

𝑥23

4

𝑥13

3

𝑘

𝑥34

𝐸[𝑓214 ]𝑞14 = 𝐸[𝑓114 ] + 𝐸[𝑓214 ] + 𝐸[𝑓314 ]以降では、経路交通量とリンク交通量の期待値をそれぞれ
以下のように表す
𝑟𝑠
𝐸 𝑓𝑘 = 𝐟
𝐸 𝑥𝑖𝑗 = 𝐱

𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑥𝑖𝑗 ：リンク𝑖𝑗の交通量

𝑟𝑠
𝛿𝑖𝑗,𝑘
：リンク𝑖𝑗が経路𝑘に含まれる → １
その他
→0

8

1. 確率的配分モデル
確率的選択モデルをどのように決める？
a)誤差項の確率分布b)選択対象とする経路集合→ロジットorプロビット（４章）→9章で説明ロジットモデル：Weibul分布 W 0, 𝜃
ロジットモデルの場合経路交通量の期待値は、
exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠′

𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠 /𝑘 ′ ∈𝐾𝑟𝑠

プロビットモデル：正規分布 N 𝜇, 𝜎 2
 解析的に経路交通量の敷を与えることは出来ない
 経路が多い場合には計算も困難
𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用

6.9

1. 確率的配分モデル
選択対象とする経路集合1.

全ての *Simple path の集合2.

simple path の集合をさらに限定した経路の集合

3.

限定なしの全ての可能経路の集合⇒計算アルゴリズムとも関連が深いため9章で説明*simple path: 同一リンクを二度以上通過しない経路

99章

1. 確率的配分モデル
期待最大効用
最大効用は確率変数であり、確定的に評価できない→確率分布やその期待値は求められる
最大効用の期待値（集団の平均的満足度）は𝑆 ∗ = 𝐸 max 𝑈𝑚 = 𝑉𝑚 + 𝜖𝑚𝑚

これは便益指標として用いられる統合モデル(6.3節で紹介する)においてinclusive costと呼ばれ、モデル構造上重要な意味を持つ

次に、期待最大効用関数と、それを交通費用に置き換えて得られる期待最小費
用関数の性質を確認する

10

11

1. 確率的配分モデル
期待最大効用関数𝑆 ∗ 𝑉
期待最大効用は誤差項の分布を決めれば測定可能効用𝑉の関数となる
すべての誤差項が互いに独立で同一の分布W[𝜂, 𝜃]に従うロジットモデルでは

1
𝑆 𝑉 = 𝑙𝑛
𝜃

𝐾

∗

𝑘=1

𝛾
𝑒𝑥𝑝 𝜃𝑉𝑘 + 𝜂 +𝜃
誤差項の平均値

誤差項の平均値を0としても、選択確率（選択肢の効用の大小）は変化しないため
𝑆∗ 𝑉

1
= ln
𝜃

𝐾

exp 𝜃𝑉𝑘
𝑘=1

同様にすべての選択肢の効用に定数𝑎（観測可能）を加えると
𝑆∗ 𝑉′ = 𝑆∗ 𝑉 + 𝑎

𝑉𝑘′ ≡ 𝑉𝑘 + 𝑎

𝑓𝑜𝑟 𝑘 = 1,2, … , 𝐾

12

1. 確率的配分モデル
その他の代表的性質
1.

𝜕𝑆 ∗ 𝑉
Vに対する期待最大効用の変化率が選択確率となる：
𝜕𝑉𝑘= 𝑃𝑘 𝑉

2. Vに関して連続・微分可能な狭義凹関数である
3. 選択肢集合中のどの効用よりも大きい：𝑆 ∗ 𝑉 ≥ max 𝑉𝑘
4. 選択肢集合のサイズに関して単調増加関数である：𝑆 ∗ 𝑉1 , … , 𝑉𝑘 , 𝑉𝑘+1 ≥ 𝑆 ∗ 𝑉1 , … , 𝑉𝑘
更に確定項𝑉を𝑉𝑘 =5.
6.

∗𝑖 𝛽𝑖 𝑎𝑖,𝑘 と線形和で表すと、𝑆 (𝑉)は以下の性質を持つ

𝜕𝑆 ∗ (𝑉)= 𝑘 𝑃𝑘 𝑎𝑖,𝑘 = 𝐸𝑃 𝐚𝑖
𝜕𝛽𝑖
2𝜕2 𝑆 ∗ (𝑉)
2
=
𝑃
𝑎
−
𝑃
𝑎
= 𝑉𝑎𝑟𝑃 𝐚𝑖
𝑘 𝑘 𝑖,𝑘𝑘 𝑘 𝑖,𝑘𝜕𝛽𝑖2𝑎𝑖,𝑘 ：𝑘番目選択肢のi番目属性の値
𝛽𝑖 ：𝑖番目属性に対するパラメータ

1. 確率的配分モデル
例えば代表的性質1は以下のように示せる。
∗

𝜕𝑆 𝑉
𝜕 1
=
ln
𝜕𝑉𝑘
𝜕𝑉𝑘 𝜃

𝐾

exp 𝜃𝑉𝑘
𝑘=1
𝐾

1 𝜕
ln
exp 𝜃𝑉𝑘
𝜃 𝜕𝑉𝑘
𝑘=1
𝜕 𝐾
1 𝜕𝑉𝑘 𝑘=1 exp 𝜃𝑉𝑘=𝐾𝜃
𝑘=1 exp 𝜃𝑉𝑘
1 0 + 0 + ⋯ + 𝜃 exp 𝜃𝑉𝑘 + ⋯ + 0=𝐾𝜃
𝑘=1 exp 𝜃𝑉𝑘
1 𝜃 exp 𝜃𝑉𝑘=𝜃 𝐾
𝑘=1 exp 𝜃𝑉𝑘
exp 𝜃𝑉𝑘= 𝐾
𝑘=1 exp 𝜃𝑉𝑘= 𝑃𝑘 𝑉
=13

14

1. 確率的配分モデル
期待最小費用
確率的な認知費用を𝑐𝑘𝑟𝑠 ≡ −𝑈𝑘𝑟𝑠 = 𝑐𝑘𝑟𝑠 − 𝜉𝑘𝑟𝑠 とすると、ODペア 𝑟, 𝑠 の最小認知費用の期待値は𝑆𝑟𝑠 𝑐 𝑟𝑠 ≡ 𝐸 min 𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑘∈𝑅𝑟𝑠∗
= −𝑆𝑟𝑠(−𝑐 𝑟𝑠 )

6.10

6.11

期待最大効用の符号を逆にしたもの

期待最大効用と同様に、ロジット型の確率的配分モデルでは、
期待最小費用関数𝑆𝑟𝑠 𝑐 𝑟𝑠 は
𝑆𝑟𝑠

𝑐 𝑟𝑠

1
= − ln𝜃

𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝜉𝑘𝑟𝑠 ：利用者の認知誤差を表す確率変数

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑘∈𝑅𝑟𝑠

6.12

15

1. 確率的配分モデル
期待最小費用関数𝑆 𝒄
以下の簡易ネットワークにおいて，
最小費用min 𝑐1 , 𝑐2 と期待最小費用関数𝑆 𝑐1 , 𝑐2 を比較する（𝑐2 を固定）
𝐶1

O

min 𝑐1 , 𝑐2

𝐶2

𝑆 𝑐1 , 𝑐2

D
𝐶2

lim 𝑆 𝑐1 , 𝑐2

𝜃→+∞1
= lim − ln
𝜃→+∞ 𝜃
= min[𝑐1 , 𝑐2 ]exp −𝜃𝑐𝑘𝑂𝐷

𝐶1

𝑘∈𝑅𝑂𝐷

最小費用は期待最小費用のパラメータを+∞にした特殊な場合とみなせる
𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )1. 確率的配分モデル
期待最小費用関数𝑆 𝒄
代表的性質
1.

𝜕𝑆 ∗ 𝑉𝑐に対する期待最小効用の変化率が選択確率となる：
𝜕𝑐𝑘= 𝑃𝑘 𝑉

2. 𝒄に関して連続・微分可能な狭義凹関数である
3. 選択肢集合中のどの費用よりも小さい：𝑆 ∗ 𝑉 ≥ max 𝑉𝑘
4. 選択肢集合のサイズに関して単調減少関数である：𝑆 ∗ 𝑉1 , … , 𝑉𝑘 , 𝑉𝑘+1 ≥ 𝑆 ∗ 𝑉1 , … , 𝑉𝑘

これらの特性は，以降のモデル解析において利用される
次の2節では、本節で定式化したロジット型の確率的配分モデルを最適化問題として表現する
𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )2. エントロピーモデルとロジットモデル
はじめに
前節(6.1)で定式化されたロジット型の確率的配分を、最適化問題
として表現する。
ロジットモデルと等価な最適化問題について、統計力学や情報理論において用いられるエントロピーモデルの概念を用いた簡単な方法を示す。
エントロピー…
熱力学における方向性のある現象の度合いを数値化したもの。例
えば熱が温度の高い方から低い方に流れるが、その際移動できる
熱の量を指す。（http://macasakr.sakura.ne.jp/entropy.html）• エントロピーモデルの説明• エントロピーモデルとロジットモデルの等価性• 等価性を利用した他のモデル

17

18

2. エントロピーモデルとロジットモデル
経路交通量は個々の利用者の経路選択の結果を集計して得られる
全利用者の選択経路のパターン{… , 𝑛𝑖 , … }をシステムの”状態”と呼ぶ
OD交通量6（f1 =1, f2 =2, f3=3）の配分が決まっていた場合
1𝑎 , 2𝑏 , 2𝑐 , 3𝑑 , 3𝑒 , 3𝑓
1𝑎 , 2𝑏 , 3𝑐 , 2𝑑 , 3𝑒 , 3𝑓⋮
3𝑎 , 3𝑏 , 3𝑐 , 2𝑑 , 2𝑒 , 1𝑓

f1 =1

O

f2 =2

D

6𝐶1 ∗ 5𝐶2 ∗ 3𝐶3 = 60通りの状態が存在

f3=3あるOD交通量𝑞𝑟𝑠 が与えられた時に各々のOD交通量𝑞𝑟𝑠 を経路交通量に分割する
状態数Nは下式で与えられる
𝑁 𝐟 =
𝑟

𝑠

𝑞𝑟𝑠 !
𝑟𝑠
𝑓
𝑘 𝑘 !

6!
𝑁 𝐟 =
1! ∗ 2! ∗ 3!

6.13

各状態は同じ確率で生起すると仮定すると、対応する状態数が最大の経路交通量パターンが最も起こりやすい(ルート3)⇒N（f）の最大化によって、最も起こりやすい交通量パターンを求める
𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )19

2. エントロピーモデルとロジットモデル
N（f）の対数の最大化
max. ln𝑁 𝐟 =ln𝑓𝑘𝑟𝑠 !

ln𝑞𝑟𝑠 ! −
𝑟

𝑠

6.14

𝑘

Stirlingの公式(ln𝑥! ≈ 𝑥ln𝑥 − 𝑥)を用いて変形すると
max. ln𝑁 𝐟 =𝑓𝑘𝑟𝑠 ln 𝑓𝑘𝑟𝑠 − 𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 ln 𝑞𝑟𝑠 − 𝑞𝑟𝑠 −
𝑟

𝑠

=

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠 ln𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 ln 𝑞𝑟𝑠 −𝑟𝑠𝑘𝐸 𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 ∀(𝑟, 𝑠)

∵

6.15

𝑘

qは所与のため、fに関する項のみを考慮すればよい
𝑓𝑘𝑟𝑠 ln𝑓𝑘𝑟𝑠

max. 𝑍 𝐟 = −𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )

𝑘

6.16

20

2. エントロピーモデルとロジットモデル

ネットワーク全体の総走行費用がたかだか𝐸であることが分かっているとするとき、最も起こりやすい交通量パターンを求めるには以下の最適化問題を考える【SA-1】

𝑓𝑘𝑟𝑠 ln𝑓𝑘𝑟𝑠

6.16

𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑐𝑘𝑟𝑠 ≤ 𝐸

6.17

max. 𝑍 𝐟 = −𝑟𝑠sub. to
𝑟𝑠

𝑘

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞 𝑟𝑠 =𝑘𝑟𝑠
𝑓𝑘 ≥ 0∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.18∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.19

この問題の目的関数𝑍（𝒇）は経路交通量fを確率に置き換えればShnonnのエントロピーと呼ばれる関数となる
𝑃𝑘𝑟𝑠 ≡ 𝑓𝑘𝑟𝑠 /𝑞𝑟𝑠 とおくと、これは経路選択確率とみなせるので、あるODペアでの経路選択確率Pのエントロピーは以下のように定義される
𝑃𝑘𝑟𝑠 ln𝑃𝑘𝑟𝑠

𝐻𝑟𝑠 𝐏 ≡ −𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑘𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量)

6.20

21

2. エントロピーモデルとロジットモデル
エントロピー関数を用いて【SA-1】の目的関数を表すと𝑓𝑘𝑟𝑠 ln 𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑍 𝐟 =−
𝑟𝑠𝑘

𝑃𝑘𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 ln 𝑃𝑘𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠

=−
𝑟𝑠

=−

𝑘

𝑃𝑘𝑟𝑠 ln 𝑃𝑘𝑟𝑠 + ln 𝑞𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠

=−

𝑘

𝑃𝑘𝑟𝑠 ln 𝑃𝑘𝑟𝑠 −

𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠

=−

𝑘

𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 −𝐻𝑟𝑠 𝐏
𝑟𝑠=∴ 𝑍 𝐟 =

𝑃𝑘𝑟𝑠𝑘𝑞𝑟𝑠 ln 𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 𝐻 𝐏 −𝑟𝑠𝑘𝑞𝑟𝑠 ln 𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 𝐻 𝐏 −𝑟𝑠−

𝑃𝑘𝑟𝑠 ln 𝑞𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 ln 𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠

エントロピーが最大となるとき、𝑍(𝐟)も最大となる

6.21

2. エントロピーモデルとロジットモデル
エントロピー関数の最大・最小値に関する性質
1.

エントロピー関数は、すべての確率が等しい場合に最大値をとる
max 𝐻 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑘 = 𝐻 1/𝐾, 1/𝐾, … , 1/𝐾 = log 𝐾

2.

エントロピー関数は、どれかひとつの確率が1の場合に最小値をとる

max 𝐻 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑘 = 𝐻 1, 0, … , 0 = 𝐻 0, 1, … , 0 =, … , = 𝐻 0, 0, … , 1 = 0

エントロピー： 各経路へのフローのばらつき具合、
経路選択の不確定性

22

2. エントロピーモデルとロジットモデル【SA-1】がロジット型配分モデルと等価であることを示す
1.
2.

この問題の解が唯一であることを示す
この問題の最適条件からロジットモデルが導かれることを示す

1. エントロピーモデルの解の唯一性を示す
a.
b.
c.

最大化目的関数が狭義凹関数
許容領域が閉凸集合
許容領域が有界⇒5章1節(3)「解の一意性」と行っていることが同じなので省略

23

24

2. エントロピーモデルとロジットモデル
2. この問題の最適条件からロジットモデルが導かれることを示す【SA-1】のLagrangeanを定義する（手順…制約条件の差を取り線形和を作る）
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑐𝑘𝑟𝑠 +𝐿 𝒇, 𝜃, 𝜂 = 𝑍 𝐟 + 𝜃 𝐸 −
𝑟𝑠

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝜂𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 −
𝑟𝑠

6.22

𝑘

この最適条件は、【SA-1】が凸計画問題であることから、Kuhn-Tucker条件より
𝑓𝑘𝑟𝑠

𝜕𝐿
𝜕𝐿
= 0 𝑎𝑛𝑑
≤0
𝜕𝑓𝑘𝑟𝑠
𝜕𝑓𝑘𝑟𝑠

∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑐𝑘𝑟𝑠 ≤ 𝐸

𝜃 ≥ 0 𝑎𝑛𝑑
𝑟𝑠

6.23
6.17

𝑘

𝑞 𝑟𝑠 =𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑘𝑟𝑠
𝑓𝑘 ≥ 0𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.18∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.19

𝜃, 𝜂：Lagrange乗数

25

2. エントロピーモデルとロジットモデル
𝑓𝑘𝑟𝑠 > 0とすると、k-t1より𝑓𝑘𝑟𝑠 をフローの保存式に代入すると

𝜕𝐿
𝑟𝑠
𝑟𝑠
=
−
ln
𝑓
−
1
−
𝜃𝑐
𝑘
𝑘 − 𝜂𝑟𝑠 = 0
𝑟𝑠𝜕𝑓𝑘𝜂𝑟𝑠 = ln𝑓𝑘𝑟𝑠 = exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠 exp −𝜂𝑟𝑠 − 1

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠 − ln 𝑞𝑟𝑠 − 1
6.24𝑏

𝑘

6.24𝑎

経路交通量は、次のようなロジットモデル型の式で与えられる

𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑘 exp −𝜃𝑐𝑘

𝜃, 𝜂：Lagrange乗数

6.25

2. エントロピーモデルとロジットモデル
𝑓𝑘𝑟𝑠

𝜕𝐿
𝜕𝐿
= 0 𝑎𝑛𝑑
≤0
𝜕𝑓𝑘𝑟𝑠
𝜕𝑓𝑘𝑟𝑠

26

∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

𝜕𝐿
𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑟𝑠 = − ln 𝑓𝑘 − 1 − 𝜃𝑐𝑘 − 𝜂𝑟𝑠 = 0
𝜕𝑓𝑘
𝜕𝐿≤ 0に矛盾する。
𝜕𝑓𝑘𝑟𝑠

もし𝑓𝑘𝑟𝑠 = 0ならば、− ln 𝑓𝑘𝑟𝑠 → +∞であるので、従って𝑓𝑘𝑟𝑠 ≠ 0
𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑘 exp −𝜃𝑐𝑘

6.25

エントロピー最大化問題【SA-1】は、ロジット型配分モデルと等価である
𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝜃, 𝜂：Lagrange乗数

27

2. エントロピーモデルとロジットモデル
エントロピーモデルのその他の形式
1. コスト最小化モデル
エントロピーの値が𝐻であると観測された条件下で交通量パターンを予測する【SA-2】

𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑐𝑘𝑟𝑠

min. 𝑍2 𝑓 =𝑟𝑠sub. to𝑘𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞 𝑟𝑠 =𝑘𝑟𝑠
𝑓𝑘 ≥ 0∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.18∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊 6.19
𝑓𝑘𝑟𝑠 ln𝑓𝑘𝑟𝑠 ≥ 𝐻

−
𝑟𝑠

6.26

𝑘

SA-1の目的関数と制約条件を入れ替えたもの

これもロジットモデルに帰着する

6.27

2. エントロピーモデルとロジットモデル
𝐿2 𝒇, 𝜃, 𝜂 = 𝑍 𝐟 +1
𝐻−𝜃𝑓𝑘𝑟𝑠 ln𝑓𝑘𝑟𝑠 +𝑟𝑠𝑘⇒ 𝑓𝑘𝑟𝑠 = exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠 exp 𝜃𝜂𝑟𝑠 − 1

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝜂𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 −
𝑟𝑠

28

𝑘

∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.28𝑎∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.28𝑏

これをフローの保存則に代入すると、𝜂は1
𝜂𝑟𝑠 = − ln𝜃

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑘1
1+ ln 𝑞𝑟𝑠 +𝜃𝜃

𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑟𝑠
exp
−𝜃𝑐
𝑘
𝑘

6.25

エントロピー最大化問題【SA-1】は、ロジット型配分モデルと等価である
𝑞𝑟𝑠 ：フロー(OD交通量) (ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑓𝑘𝑟𝑠 ：経路の交通量(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝑐𝑘𝑟𝑠 ：経路費用(𝑘番目ODペア 𝑟, 𝑠 )𝜃, 𝜂：Lagrange乗数

29

2. エントロピーモデルとロジットモデル
エントロピーモデルのその他の形式
2. エントロピー・コスト調和モデル
二つのモデルを調和させた最適化問題【SA-3】

𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑐𝑘𝑟𝑠 +min. 𝑍3 𝑓 =𝑟𝑠sub. to𝑘𝑞 𝑟𝑠 =

1𝜃𝑟𝑠

𝑓𝑘𝑟𝑠 ln𝑓𝑘𝑟𝑠

6.29∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.18

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑘
𝑟𝑠
𝑓𝑘 ≥ 0∀𝑘 ∈ 𝑅𝑟𝑠 , ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊 6.19

このモデルもLagrangeanを構成すると【SA-2】の場合と同型になる
𝜃 → +∞：エントロピー項がゼロになる𝜃 → 0：エントロピー項が大きくなる→→

最短経路に全フロー
すべての経路に等確率𝜃：システムの秩序状態と無秩序状態のバランスを決めるパラメータ

2. エントロピーモデルとロジットモデル【SA-1】【SA-2】【 SA-3】ともにロジット型の経路選択率を与えるモデルとなった。
一方でパラメータの取得方法が異なる。
【SA-1】総走行費用𝐸を外生的に与え、パラメータ𝜃がLagrange乗数
として自動的に決定【SA-2】エントロピー𝐻を外生的に与え、パラメータ𝜃がLagrange乗数の逆数として自動的に決定【SA-3】経路選択のばらつきを表すパラメータ𝜃を外生的に与える【SA-1】と【SA-2】を比較すると、エントロピーを外生的に与えている【SA-2】のエントロピーの値が過小に推定される傾向にあり、従ってパラメータ推定に偏りが生じる。また、従来の研究から【SA-1】のほうが計算効率も良い。

30

2. エントロピーモデルとロジットモデル
はじめに
2節では確率的配分モデル（6.1）を最適化問題として表現し、利用
者行動の不確定性を表現した。
3節では混雑現象を考慮するため、モデルに均衡の概念を取り入れる。
• 確率的利用者均衡（SUE）状態• SUEモデルの定式化

31

3. 確率的利用者配分とその定式化

32• 交通コストは交通量の増加関数として表現されるとする• 利用者のコストの認識には確率的にばらつく誤差があるとする⇒利用者の行動は、ランダム効用理論に基づくモデルによって表現できる

簡単なネットワークの例
𝑓1

𝑓2

観測リンクコストはリンク交通量の単調増加関数
𝐶𝑖 = 𝐶𝑖 (𝑓𝑖 )6.30
認知リンクコストは観測リンクコストに認知誤差を加え
𝐶𝑖 + 𝜉𝑖33

3. 確率的利用者配分とその定式化
利用者の行動がランダム効用モデルによって表現できるとし、経路𝑖が選ばれる確率は
𝑃𝑖 = Prob 𝐶𝑖 + 𝜉𝑖 ≤ 𝐶𝑗 + 𝜉𝑗

𝑓1

6.31
𝑓2

その交通量の期待値は
𝑓𝑖 = 𝑞 ∗ 𝑃𝑖

6.32

利用者は毎日の交通によって、認知コストが最小になるように経路を選ぶ行動
を繰り返していく。
⇒どの利用者も自分が経路を変更することによって、自分の経路費用を減少させることが出来ないと信じている状態（確率的利用者均衡（Stochastic User
Equilibrium）状態）に落ち着く※Wardrop均衡の概念を一般的に拡張したもの

34

3. 確率的利用者配分とその定式化
𝑓1

交通サービスの供給条件を表すリンクコスト関数を以下の関数形と仮定（簡単のため）
𝐶𝑖 = 𝐴𝑖 × 𝑓𝑖 + 𝐵𝑖 𝑖 = 1, 2

6.33
𝑓2

フロー保存則から𝑓2 = 𝑞 − 𝑓1 となるから、リンクコストの差は𝑆𝑢𝑝𝑝𝑙𝑦: 𝐶2 − 𝐶1 = − 𝐴1 + 𝐴2 𝑓1 + (𝐵2 − 𝐵1 + 𝑞𝐴1 )6.34𝑎

SUEでの利用者の需要を表す関数にロジットモデルを仮定すると、リンク1の需要関数はexp −𝜃𝐶1
𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑: 𝑓1 = 𝑞 ×
exp −𝜃𝐶1 + exp −𝜃𝐶2𝑞=
1 + exp −𝜃 𝐶2 − 𝐶1

6.34𝑏

3. 確率的利用者配分とその定式化
前ページの需要供給曲線をプロットする
𝐶2 − 𝐶1 = − 𝐴1 + 𝐴2 𝑓1 + 𝐵2 − 𝐵1 + 𝑞𝐴1
𝑞
𝑓1 =1 + exp −𝜃 𝐶2 − 𝐶1
リンクコスト関数

𝑓1

最短経路配分（𝜃 = +∞ ）確率的配分（𝜃 = 0 ）確率的均衡配分
𝐶2 − 𝐶1

SUE交通量：需要を表す曲線と、供給を表す直線の交点

35

36

3. 確率的利用者配分とその定式化• 確率的配分と同じ点
SUE配分モデルでは、利用者の経路選択行動は確率的配分モ
デルと同様に定式化される点（＝最初に確認した𝑞𝑟𝑠 や𝑓𝑘𝑟𝑠 などの条件のこと）• 確率的配分と異なる点
リンクコストがリンク交通量の関数となっている点
𝑡𝑖𝑗 = 𝑡𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗

それらの式を同時に満たした状態として、確率的利用者近郊配分モデルが定式化される

6.35

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

37

はじめに

• 6.3節で出た確率的利用者均衡（SUE: Stochastic Use Equilibrium）配分は，
6.1節の確率的配分と，5章の利用者均衡配分を組み合わせたもの• これら2つの配分の等価最適化問題を組み合わせることで，SUE配分と等価な最適化問題を定式化できる（ここではロジット型のみを扱う）• 定式化にはいくつかのバリエーションがある① エントロピー・積分コスト調和モデル（【SA-3】の応用） 9章② エントロピー最大化モデル（【SA-1】の応用）③ 積分コスト最小化モデル（【SA-2】の応用）
𝐴： リンク集合
𝑥𝑖𝑗 ： リンク𝑖𝑗のリンク交通量
𝑡𝑖𝑗 (𝑥𝑖𝑗 )： リンク𝑖𝑗のリンクコスト関数
𝑊： ODペア集合
𝑓𝑘𝑟𝑠 ： ODペア𝑟𝑠間第𝑘経路の経路交通量 𝐾𝑟𝑠 ： ODペア𝑟𝑠間の経路集合
𝑞𝑟𝑠 ： ODペア𝑟𝑠間のOD交通量
1: ODペア𝑟𝑠間第𝑘経路がリンク𝑖𝑗を含む時
𝑟𝑠
𝜃： パラメータ
𝛿𝑖𝑗,𝑘=0: そうでない時

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

38① エントロピー・積分コスト調和モデル【SUE/FD-path】（【SA-3】由来）
目的関数2項の比𝜃を外生的に与える
𝑚𝑖𝑛.

𝑥𝑖𝑗

𝑍 𝐟 =

0

𝑖𝑗

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜1
𝑡𝑖𝑗 𝜔 𝑑𝜔 −𝜃𝑟𝑠

∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴

6.37∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.38∀𝑘 ∈ 𝐾𝑟𝑠 ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.39

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 =

6.36

𝑟𝑠

𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑥𝑖𝑗 =𝑞𝑟𝑠 𝐻𝑟𝑠 𝐟 𝑟𝑠

𝑘𝑓𝑘𝑟𝑠 ≥ 0

ただし，
𝑃𝑘𝑟𝑠 ln 𝑃𝑘𝑟𝑠 = −𝐻𝑟𝑠 𝐟 𝑟𝑠 ≡ −𝑘𝐻𝑟𝑠 : エントロピー関数（𝑟𝑠間の各経路へのフローのバラつきが大きいほど大きな値をとる）

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑓𝑘𝑟𝑠
ln
𝑞𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠

𝑓𝑘𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑃𝑘 : 経路選択確率 𝑞
𝑟𝑠

6.40

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

39② エントロピー最大化モデル【SUE/FD-path1】（【SA-1】由来）
総走行費用の値を外生的に与える
𝑚𝑎𝑥.

𝑞𝑟𝑠 𝐻𝑟𝑠 𝐟 𝑟𝑠

6.41

𝑡𝑖𝑗 𝜔 𝑑𝜔 ≤ 𝐸

6.42

𝑍 𝐟 =
𝑟𝑠
𝑥𝑖𝑗

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜

𝑖𝑗

0

𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘

𝑥𝑖𝑗 =
𝑟𝑠

6.37

∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.38∀𝑘 ∈ 𝐾𝑟𝑠 ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.39

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 =

∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴𝑘𝑓𝑘𝑟𝑠 ≥ 0

𝐸： 観測交通量より推定されるネットワーク総走行費用の値

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

40③ 積分コスト最小化モデル【SUE/FD-path2】（【SA-2】由来）
エントロピーの値を外生的に与える
𝑚𝑖𝑛.

𝑥𝑖𝑗

𝑍 𝐱 =
𝑖𝑗

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜

0

6.43

𝑡𝑖𝑗 𝜔 𝑑𝜔𝑞𝑟𝑠 𝐻𝑟𝑠 𝐟 𝑟𝑠 ≥ 𝐻

6.44

𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘

𝑥𝑖𝑗 =
𝑟𝑠

6.37

∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.38∀𝑘 ∈ 𝐾𝑟𝑠 ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.39

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 =

∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴𝑘𝑓𝑘𝑟𝑠 ≥ 0

𝐻： 観測交通量より推定される経路選択エントロピーの値

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

41• これらの等価最適化問題のKKT条件から，以下の式が得られる（証明はp.87）
𝑓𝑘𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 ×

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠 𝐱 𝐟
𝑟𝑠𝑙 exp −𝜃𝑐𝑙 𝐱 𝐟

6.48⇒ ロジット型SUE配分モデルの定義式になっている• Wardrop均衡配分と異なり，リンク交通量𝐱・経路交通量𝐟とも一意に定まるcf) Wardrop均衡配分ではリンク交通量は一意に定まるが，経路交通量は必ずしも唯一でない

𝑐𝑘𝑟𝑠 ： ODペア𝑟𝑠間第𝑘経路のコスト =𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗𝑟𝑠
𝑥𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗,𝑘4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

42• リンク交通量とリンクコストは1対1に対応している⇒ リンクコストを未知変数とした等価最適化問題も作れるはず• 等価最適化問題①の*双対問題を基に導く 9章• 等価最適化問題①のLagrangianを𝐿とすると，双対問題は以下のように定式化される𝑚𝑎𝑥𝜏,𝜂

𝑥𝑖𝑗

𝐿 𝐱, 𝐟, 𝜏, 𝜂 =𝑖𝑗+

𝑞𝑟𝑠 𝐻𝑟𝑠 𝐟 𝑟𝑠
𝑟𝑠

𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘+𝜏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 −𝑖𝑗𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜0

1
𝑡𝑖𝑗 𝜔 𝑑𝜔 −
𝜃

𝑟𝑠

𝑘

𝜕𝐿
1
ln 𝑓𝑘𝑟𝑠 + 1 − ln 𝑞𝑟𝑠 −
𝑟𝑠 =
𝜕𝑓𝑘
𝜃
𝜕𝐿
= 𝑡𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 = 0
𝜕𝑥𝑖𝑗

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝜂𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 −𝑟𝑠

6.49・50𝑘𝑟𝑠
𝜏𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗,𝑘− 𝜂𝑟𝑠 = 0𝑖𝑗∀𝑘 ∈ 𝐾𝑟𝑠 ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.51𝑎∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴

6.51𝑏*双対問題： ある最適化問題とセットで作ることのできる最適化問題で，一方が解を持てばもう一方も同じ解を持つ 導き方etc.は本文・Appendix B参照

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

43• この双対問題を解いて整理すると，𝑡のみを未知変数とした以下のような最適化問題が得られる
𝑚𝑖𝑛.

𝑡𝑖𝑗

𝑍𝐷 𝐭 = −𝑖𝑗

𝑡𝑖𝑗 0

𝑞𝑟𝑠 𝑆𝑟𝑠 𝐜 𝑟𝑠 𝐭

𝑥𝑖𝑗 𝑣 𝑑𝑣 +

6.57

𝑟𝑠

ただし，𝑆𝑟𝑠 𝐜 𝑟𝑠 𝐭 は期待最少費用関数（6.1節） （ロジット型の場合下式）
𝑆𝑟𝑠

𝐜 𝑟𝑠 𝐭≡𝐸

min 𝑐𝑘𝑟𝑠
𝑘∈𝑅
𝑟𝑠

1= − ln𝜃

exp −𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠𝑘• この最適化問題を解くことにより，リンクコストからSUE配分が求まる•

6.57 は， ロジットモデル以外のランダム効用理論にも適用可能である– それぞれの選択モデルに対応する𝑆𝑟𝑠 𝐜 𝑟𝑠 𝐭 を用いればよい

6.56𝑏

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題• ここまでに示した等価最適化問題は経路交通量𝐟を用いた表現• 一般的なネットワークでは経路の列挙は難しいため，リンク交通量を用いた表現（arc-node形式）に改める
𝑟• 起点別リンク交通量（𝑟を起点としリンク𝑖𝑗を通る交通量）を𝑥𝑖𝑗とすると，
フロー保存条件式(6.37)(6.38)は𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘

𝑥𝑖𝑗 =
𝑟𝑠

6.37

∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.38∀𝑘 ∈ 𝑁 ∀𝑟 ∈ 𝑅

6.70

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 =

∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴

𝑘
𝑟
𝑥𝑖𝑘
−
𝑖

𝑟
𝑥𝑘𝑗
+
𝑗

𝑞𝑟𝑠 𝛿𝑟𝑘 − 𝑞𝑟𝑠 𝛿𝑠𝑘 = 0𝑠と表すことができる
𝛿𝑎𝑏 =1: 𝑎 = 𝑏の時（クロネッカーのデルタ）
0: 𝑎 ≠ 𝑏の時

44

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題
𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘

𝑥𝑖𝑗 =
𝑟𝑠

6.37

∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.38∀𝑘 ∈ 𝑁 ∀𝑟 ∈ 𝑅

6.70

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 =

∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴

45

𝑘
𝑟
𝑥𝑖𝑘
−
𝑖

•
•
•

𝑟
𝑥𝑘𝑗
+
𝑗

(6.70)第1項：(6.70)第2項：(6.70)第3項：

𝑞𝑟𝑠 𝛿𝑟𝑘 − 𝑞𝑟𝑠 𝛿𝑠𝑘 = 0𝑠

ノード𝑘に入ってくるフローの量
ノード𝑘から出ていくフローの量（ノード𝑘が発生源となっていれば、その発生量）ー（ノード𝑘が収束点となっていれば、その収束量）

𝑥𝑖𝑗 ： リンク𝑖𝑗のリンク交通量𝑟𝑥𝑖𝑗：起点別リンク交通量（𝑟を起点としリンク𝑖𝑗を通る交通量）
𝑓𝑘𝑟𝑠 ： ODペア𝑟𝑠間第𝑘経路の経路交通量

𝑞𝑟𝑠 ： ODペア𝑟𝑠間のOD交通量
1: 𝑎 = 𝑏の時
𝛿𝑎𝑏 =（クロネッカーのデルタ）
0: 𝑎 ≠ 𝑏の時

4. 確率的利用者均衡配分と等価な最適化問題

46• スライドNo.3の等価最適化問題①をarc-node形式に書き換えると，
𝑚𝑖𝑛.

𝑥𝑖𝑗

𝑍 𝐟 =

0

𝑖𝑗

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜

𝑟
𝑥𝑖𝑘
−

1
𝑡𝑖𝑗 𝜔 𝑑𝜔 −
𝜃

𝑟
𝑥𝑘𝑗
+

𝑖

𝑗

𝑥𝑖𝑗 =

𝑟
𝑥𝑖𝑗

𝐻𝐿 𝐱 𝑟 − 𝐻𝑁 𝐱 𝑟

6.71

𝑟

(𝑞𝑟𝑠 𝛿𝑟𝑘 − 𝑞𝑟𝑠 𝛿𝑠𝑘 ) = 0 ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∀𝑟 ∈ 𝑅

6.70

𝑠

∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴

6.72∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.73

𝑟
𝑟
𝑥𝑖𝑗
≥0

ただし，
𝑟
𝑥𝑖𝑗
ln

𝐻𝑁 𝐱 𝑟 ≡ −
𝑗

𝑖
𝑟
𝑟
𝑥𝑖𝑗
ln 𝑥𝑖𝑗

𝐻𝐿 𝐱 𝑟 ≡ −
𝑖𝑗

𝑟
𝑥𝑖𝑗

6.74

𝑖

6.75

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分

47• リンクコスト関数が他のリンクの交通量の影響も受ける場合には，前頁までの等価最適化問題は構成できない• 他のリンクの影響を受け，かつその相互作用が*非対称な場合には，最適化問題ではなく変分不等式として表現する 9章∗

find 𝐟 , 𝐱

∗

∈ 𝑲2𝑃

1
such that𝐥𝐧 𝐟 ∗ ∙ 𝐟 − 𝐟 ∗ + 𝐭 𝐱 ∗ ∙ 𝐱 − 𝐱 ∗ ≤ 0
𝜃∀(𝐟, 𝐱) ∈ 𝑲2𝑃

6.81𝑎

ただし，
𝑲2𝑃 = { 𝐟, 𝐱 𝐪 = 𝐄𝐟, 𝐱 = ∆𝐟, 𝐟 ≥ 𝟎}

*任意のリンク𝑎, 𝑏について

𝜕𝑡𝑎 𝐱
𝜕𝑥𝑏

=

𝜕𝑡𝑏 𝐱
𝜕𝑥𝑎

6.81𝑏

が成立するとき対称，しないとき非対称であるという

𝐄： 経路・ODペア接続行列（経路𝑘がODペア𝑛間である時𝑛行𝑙列が1，そうでない時0である行列）∆： リンク・経路接続行列（経路𝑘にリンク𝑎が含まれる時𝑎行𝑙列が1，そうでない時0である行列）

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分

48• 相互作用はあるが対称である場合には，以下の最適化問題で表現できる

1

𝑚𝑖𝑛.

𝑍 𝐟 =
𝑖𝑗

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜1
𝑡𝑖𝑗 𝐱(𝑠) 𝑑𝑠 −
𝜃
0

𝑟𝑠

𝑟𝑠
𝑓𝑘𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴

6.37∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.38∀𝑘 ∈ 𝐾𝑟𝑠 ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑊

6.39

𝑥𝑖𝑗 =
𝑟𝑠

6.83

𝑘

𝑓𝑘𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠 =

𝑞𝑟𝑠 𝐻𝑟𝑠 𝐟 𝑟𝑠

𝑘𝑓𝑘𝑟𝑠 ≥ 0

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分

49• Jacobianが正定値※でない時には，均衡パターンは必ずしも一意に定まらず，複雑な現象が起こる場合がある※ Jacobian = 𝐽 =

𝜕𝑡1 𝐱
𝜕𝑥1

⋮

𝜕𝑡𝑛 𝐱
𝜕𝑥1

⋯

⋱
⋯

𝜕𝑡1 𝐱
𝜕𝑥𝑛

⋮

𝜕𝑡𝑛 𝐱
𝜕𝑥𝑛

が∀𝐳 ≠ 𝟎に対して𝐳 𝑇 𝐽𝐳 > 0であるとき正定値という

例題
 孤立したODペアのみを結ぶ1本の道路に，バス・自動車の2つのモードが流れている それぞれのコスト𝑡𝑏𝑢𝑠 ，𝑡𝑐𝑎𝑟 を以下の式で表す
𝑡𝑏𝑢𝑠 = 𝐴1 𝑥𝑏𝑢𝑠 + 𝐴3 𝑥𝑐𝑎𝑟 + 𝐴4
𝑡𝑐𝑎𝑟 = 𝐴2 𝑥𝑏𝑢𝑠 + 𝐴3 𝑥𝑐𝑎𝑟 + 𝐴5

6.85

 両者のコストの差を𝑐とすると
𝑐 ≡ 𝑡𝑐𝑎𝑟 − 𝑡𝑏𝑢𝑠 = 𝐴2 − 𝐴1 𝑥𝑏𝑢𝑠 + 𝐴5 − 𝐴4 = 𝑥𝑏𝑢𝑠 − 𝛽 /𝛼6.86（ただし 𝛼 = 1/(𝐴2 − 𝐴1 ) ， 𝛽 = 𝐴4 − 𝐴5 𝛼 ）すなわち𝑥𝑏𝑢𝑠 (𝑐) = 𝛼𝑐 + 𝛽

6.86 ′

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分
 OD交通量𝑞は一定で𝑥𝑏𝑢𝑠 + 𝑥𝑐𝑎𝑟 = 𝑞 = fixed

50

6.87

 利用者の選択行動はロジットモデルで決まる
exp −𝜃𝑡𝑏𝑢𝑠
𝑞
𝑥𝑏𝑢𝑠 = 𝑞 ×=
exp −𝜃𝑡𝑏𝑢𝑠 + exp −𝜃𝑡𝑐𝑎𝑟
1 + exp −𝜃𝑐6.88

 6.86 ′と 6.88 を𝑐 − 𝑥𝑏𝑢𝑠 平面上に描くと（図6.4），2曲線の交点が均衡解となる⇒ 𝛼，𝛽の値によっては，2つまたは3つの均衡解が出現する
 図6.5は，𝛼をある固定値（𝛼 > 0）とした場合の，均衡解𝑥𝑏𝑢𝑠 とパラメータ𝛽の関係を示す
𝑥𝑏𝑢𝑠

𝑥𝑏𝑢𝑠

①

②

② ①
6.88

6.86 ′

図6.4

図6.5

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分
注意)
パラメータの値は、基本的に図6.5の線の上（赤い部分を除く）を移動するようにしてしか変化しない。
𝑥𝑏𝑢𝑠 (𝑐) = 𝛼𝑐 + 𝛽

6.86 ′

バスの交通量が𝑥0 の状態（パラメータ𝛽が𝛽0 の状態）から始まるとすると、バスの交通量は自動車と比較して少なくなっている。そこで、自動車に渋滞料金を課し（バスのコストを下げる＝𝛽を小さくする）、
バスの交通量を増やす。
図6.5を見ると、バスの交通量が𝑥1 を超えるとき、渋滞課金を下げることによってバスの交通量をさらに増加させることができる。一方で、そのときの渋滞課金を保つことによって一気にバスの交通量を増やすことができるので、赤い部分を通ることはないのである。

𝑥𝑏𝑢𝑠

①

②

図6.5

51

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分• 𝛽の初期値が𝛽0 > 𝛽2 である時の均衡バス交通量は𝑥0 となる• 𝛽0 から𝛽2 ，𝛽1 と徐々に小さくしてゆくと，均衡解は𝑥2 ′，𝑥1 と大きくなってゆく• さらに𝛽が小さくなると，均衡バス交通量は𝑥1 から𝑥1 ′へジャンプし，急激に需要が増加する• 同様に𝛽を大きくしていった場合も，𝛽2 で𝑥2 から𝑥2 ′へとジャンプする• 𝛼や𝜃を固定せず変化させた場合も，𝑥の変化形態に影響を与える（図6.6・6.8）

図6.6 均衡交通量𝐱と 𝛼, 𝛽 の関係

52

5. リンク間に相互作用がある場合のSUE配分

図6.8 𝜃の変化と均衡解𝐱の関係

53

参考文献

54

• 土木学会 土木計画学研究委員会（1998）：「交通ネットワークの均衡分析ー最新の理論と解法ー」第6章，土木学会．

• 東京大学大学院工学系研究科 都市生活学・ネットワーク行動学研究グループ(2016)，確率的利用者均衡配分モデル(Stochastic User Equilibrium)，
http://bin.t.u-tokyo.ac.jp/startup16/file/6-2.pdf（最終閲覧2017年7月20日）