2024年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
機械科学II−1/4

機械科学II（問題1から問題3の全てに解答し，それぞれ別の解答用紙に記入せよ． 各問題に2枚以上の解答用紙を用いる場合には，「問題1（2枚目)」などのように記入せよ.）

問題1(1)次の微分方程式の一般解を求めよ．

③差=2"，(b)=‑'睾却=2x2(2)次の微分方程式について，以下の問に答えよ．

(exp(x)+J'2)dx+(2X)'+exp(y))dJ'=0(a)完全微分方程式であることを示せ．
(b)この微分方程式を解け．
(3)以下の問に答えよ．

(a) log誉のﾏｸﾛｰﾘﾝ展開は｡次の式で表される'ogH=α勇幾
このとき，定数α,βγを求めよ．ただし, ￨j<'とする．
(b)次の定積分の値を求めよ．

r両〃(4)関数(りのフーリエ変換を次のように定義する．

F(の)=IZ'(!)exp(‑"')d'
ここで,(=何)は虚数単位であるこのとき， 関数/(')=exp(‑"￨#l)をフーリエ変換し,実部と虚部をそれぞれ求めよ．ただし， αは実定数(α＞0)である．

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機械科学11‑2/4

問題2

図2‑1に示すような，中心軸を共通とする半径R1の内円筒と半径R2 (>RI)の外円筒の間の領域に，非圧縮性流体が満たされている系を考える．内円筒を静止させて,外円筒に対して軸方向単位長さあたりにトルクTを加えることで，周方向（β方向）に一様な定常流れを作る． このとき，外円筒は反時計回りに一定の角速度（≧O)で回転し，中心軸からの距離をrとして，流体は周方向に流速別(γ)で流動する.流体中のせん断応力のre成分をrの関数としてT(r)と表す．せん断速度はシ(r)=d"(r)/d『−脚(r)"と表される．それぞれの円筒上では滑り無し条件を仮定する．また， ノ･=R2におけるせん断応力の

図2‑1'．β成分T(R2)はT/(27tR22)となる．以下の問に答えよ．
(1)←r=RIにおける脚(r)を示せ．

(2) 図2−1中に示す，中心軸から距離rにある微小要素を考える． この微小要素は，図2−2に示すように，半径方向に微小な長さdJ･,周方向に微小な角度de,軸方向に単位長さを持つ． この微小要素に加わるせん断応
力による周方向の力は，外径側の面では(汁｡ﾉ･)･T(J･+dﾉ･)･de,内径側の面では‑7･･T('･)･de,周方向の両側面ではそれぞれT(")･d"･sin(d8/2)であると仮定する．微小要素における力の釣り合いを考え，各微小量の2次以γ）

T上の項は無視して, dr(r)/dﾉ．+2r(r)"=0が成り立つことを示せ．
(3)

T(ﾉ･)をrとTを用いて示せ．

流体が粘性係数似のニュートン流体である場合を考える．ニュートン流体ではT(r)とｼ(F･）の間にて('･)="(")の関係がある．以下の問に答えよ．
(4) "(r)="(7)んとおいて肌r)を先に求めることにより, "(r)をﾉ･, RI, T, "を用いて示せ．

(5)外円筒の角速度をRI, R2, T, 〆を用いて示せ．

図2−2

次に，流体が降伏応力Tyのビンガム流体である場合を考える． ビンガム流体ではシ(r)が， 了(")<ryの場合には'(r)=0, T②≧Tyの場合にはβを正の定数としてシ('･)=(T(7)一丁y)/Bで与えられる・ て(r)=ryとなるγを とする．以下では，そのような必がRI≦必<R2の範囲にある場合を考える． また, "(F･)は流体中で連続であるとする．以下の問に答えよ．

(6)姓をTとてyを用いて示せ.

(7) RI≦ﾉ･≦〃こおける〃(ﾉ･)をB,", r, RI, Tを用いて示せ．
(8) "<ﾉ･≦R2における〃(γ)をB,", J", RI, 7を用いて示せ。
(9)外円筒の角速度をB,", R', 7を用いて示せ．

(10)姓がRI≦姓<R2を満たす場合のTが取りうる値の範囲をRl.Rz, ryを用いて示せ． また，その範囲における外円筒の角速度の最小値を示し， さらに角速度が最小となる場合のTの値をRIとてyを用いて示せ．

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機械科学II‑3/4

問題3
図3‑1に示すような，質量腕，半径αの厚さを無視できる均質な円板が，一様な重力の下で，水平な床面上を滑らず転がる運動を考える． ここでは，空間に固定した直交座標系として，床面上にxy軸を，鉛直上向きにZ軸をとり，円板と床面との接点4の座標を似9,0)とする．また，円板の重心Gを通り円板面と床面に平行な軸をx軸,円板の重心を通り円板面に平行でx軸と直交する軸をy軸,円板の重心を通り工軸とy軸に直交する軸をz軸とする． さらに，円板の重心を通りz軸と平行な軸をz′軸，円板と床面との接点を通りx軸と平行な軸をX'軸，円板と床面との接点を通りx軸と平行な軸をX'軸とする． このとき円板の運動は,X'軸とX'軸のなす角',Z'軸とz軸のなす角8，円板のz軸まわりの回転角妙，及びこれらの時間高階微分の変数によって表現される．上記の軸や角の正方向は図3‑lの通りとする．鉛直下向きの重力加速度の大きさをgとして以下の問に答えよ．なお，記号（.）， （"）は時間jに関する1階及び2階微分を表すものとする．
Z'X

鍵Ｈ
賜
り
Ｘ

ｱ､の

X'

X'

図3−2

図3‑1

(1)円板の慣性主軸x,y, z軸まわりの慣性モーメント， ,4，しを'", αを用いてそれぞれ表せ．
(2)円板の重心Gまわりの角速度のx,y, z成分,の?,の?,のgは,式①,②,③のように表現できる.空"(a), (b)に入る数式を, a似晩8, ', 〃の中から必要なものを用いてそれぞれ示せ．重心Gまわりの角速度の各成分について，必要に応じて図3‑2を参考にせよ．の?=タ…①，のツー皿…②，(3)円板の重心Gの位置のXXZ成分,の?＝[一面 .+〃…③,P9,P2を,", 9, a'及びαの中から必要なものを用いてそれぞれ表せ．重心Gと接点4の幾何関係について，必要に応じて図3‑2を参考にせよ．

(4)円板の重心Gの速度のXXZ成分,",", "9を,p, 9, a"p, 9, ", '及びαの中から必要なものを用いてそれぞれ表せ．

(5)円板の運動エネルギーをK床面を基準とした円板の重力による位置エネルギーをαラグランジアンをL=K‑Uとするとき， ラグランジアンLが式④で与えられることを示せ．

ムー;〃兼ｳw寺〃c･s29+"@q("smesin'‑'cosecos"

一"(紬,｡｡s'+'c･s,sin"'#z(糾脚､塾6'+;"@,z("｡･雪92‑",9qsine …④（次ページに続く）

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機械科学II‑4/4

問題3の続き(6)円板と床面との接点は滑りを生じない.接点4の速度の私y成分,"(=p),"(=4)を,a似慨〃， ， リ'及びαの中から必要なものを用いてそれぞれ表せ．
以下,p, 9, a',vを一般化座標, RM(6)の関係を一般化座標と一般化速度に関する拘束条件として，円板の運動を考える．

(7) pに関するラグランジュの運動方程式は，式⑤のように表現できる． スpはラグランジュ乗数であり，力の単位を持つ．空欄(c)に入る数式を示せ．

；(論‑差‑;(面}‑"，…⑤(8) 9に関するラグランジュの運動方程式は，式⑥のように表現できる．為はラグランジュ乗数であり，力の単位を持つ．空欄(d)に入る数式を示せ．

淵‑篝‑;{口亟.}=lv･･･@(9)リに関するラグランジュの運動方程式は，式⑦のように表現できる･ lp,杓は式⑤,⑥のラグランジュ乗数である．空欄(e),(f),(g)に入る数式を示せ．

総)‑発一品{四ｺ)‑も皿墹血…⑦

同様にして導出されるp, 9,a仇〃に関する5つのラグランジュの運動方程式より上記の拘束条件を用いてp, ', Jp,為を消去して整理すると,円板の姿勢＆ 〃に関する以下の運動方程式（式⑧）を得る・￨噌耐糊撫"i川"i"￨￨;} I刈耐 辮 '…､￨廟'¥.｡'￨‑III｜…⑧ここでは，その1つの解
β＝80'=C'r+'0"=CV'r+"0について考える･C',Cv,, 80, '0, V'0はある定数であり, 0<80<7t/2とする．

一⑨一⑩
一⑪(10)円板と床面との接点』が描く軌跡をC',CV,, 'oと関連付けて図示せよ．接点4の初期位置を(p,9,0)=(0,0,0)とせよ．

(11)円板と床面との接点4に働く面内拘束力のXy成分,","を腕, q,C',Cv,, CO, 'o, V'0及びrの中から必要なものを用いて表せ．