第22回関西大学先端科学技術シンポジウム講演集, 230-233 (2018.1.19, 関西大学)

デジタル光波データのデータサイズ削減手法
増地 将哉，松島恭治，棟安実治
関西大学 システム理工学部 電気電子情報工学科

概要： 計算機合成ホログラムの技術発展により，数 100 億ピクセル規模の高解像度 CGHが作成されるようになった．コンピュータホログラフィでは光波はデジタルデータとして扱われるが，そのデータサイズが莫大であるため，保存やネットワークでの伝送が困難である．また，光波データの保存・伝送を行う場合，光波分布と干渉縞のどちらを扱うかという問題があるが，汎用性の点で光波分布を扱う方が良い．そこで，本研究では，光波分布を振幅分布と位相分布に分け，線形量子化または非線形量子化を行った時の再生像の影響を評価し，デジタル光波データのデータサイズ削減を試みた．

1．はじめに人が像を見るときの結像再生像ではない．

コンピュータホログラフィでは，コンピュータ上で光波を数値合成し，干渉縞パターンを求めること

そこで，本研究では光波分布の振幅ヒストグラムが光波の種類やサイズに依存しないことに注目し，で高解像度計算機ホログラム(以下，CGH)を作成する．近年では，実物体の光波をイメージセンサによって電子的に記録するデジタルホログラフィ(以下，DH)によって 3 波長光波をコンピュータ上に取り込み，フルカラー高解像度 CGH によって再生することもできるようになっている 1)．
コンピュータホログラフィでは，光波はデジタル

k-means アルゴリズムを用いて小さな光波データの非線形量子化を行い，得られた量子化パラメータを用いて大きな光波データを量子化した時に再生像が受ける影響を調べた．またその結果から，光波分布を 1 サンプル点あたり 4～16 ビットで量子化した場合に最適な振幅・位相量子化ビット数の組み合わせを調べ，実際に高解像度 CGH を作製し確認をデータとして扱われるが，そのデータサイズは莫大であるため，保存やネットワークでの伝送が困難である．また，光波データの保存・伝送を行う場合，光波複素振幅分布(以下，光波分布)と干渉縞のどちらを扱うかが問題である．干渉縞データは単なる 2次元画像であるためデータサイズが小さいが，再生システムを限定してしまうため，汎用性の点で光波分布の方が利点が大きい．

行った．
2. 量子化の手法
2.1 振幅分布のヒストグラムと正規化

そのため，光波分布の振幅分布に特異値分解を適用した圧縮手法が提案されているが 2)，特異値分解の処理時間が長く本格的な高解像度 CGH に適用する こ とは 困 難 と 考 えら れ る ． ま た， 2K サ イズ
(1K=1024)の光波分布を k-means アルゴリズムを用いて非線形量子化しデータ量を削減した場合に再生像が受ける影響も検討されているが 3)，光波が高解像度 CGH としては小さすぎ，また評価対象の再生像も単純な逆回折で得られたものであり，実際に本研究では，1 サンプル点が実部・虚部二つの単精度浮動小数点数で表される複素振幅を振幅・位相形式に変換し，線形または非線形量子化を行った．
振幅分布 a ( m, n) の最大値 amax を用いて，
a(m, n)(1)a(m, n) amaxとして正規化を行い，正規化後の振幅分布 a(m, n) で求めたヒストグラムの一例を図 1 に示す．このヒストグラムから分かるように，一般に光波分布の振幅分布には偏りがあり，このまま線形量子化を行うと量子化誤差が大きくなってしまう．そこで，サンプル点の上位  [%] を無視して出現確率の高い範囲を[0,1] の範囲に正規化するため，

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N total  (1 
100i)

R(2)ii 0

プル値の総数であり， yi, j (i  1, , K , j  1, , si ) は，クラスタ S i に含まれる j 番目のサンプル値である．の条件を満たす最小の階級 i を求める．ここで，Ntotal は サ ン プ ル 点 の 総 数 で あ り ， Ri は
[i / 100, (i  1) / 100 ] の階級に含まれるサンプル点のこの更新を反復し，一定の値に収束したところで量子化パラメータの最適化を終了する．
3. 量子化した光波の評価数を表している．この i  の値を用いて，
a(m, n)aˆ (m, n) i / 100

3.1 用いた物体モデルと評価方法として再び正規化を行なった．ここで，本研究では
  0.1 [%] としている．
2.2 線形量子化の手法
振幅分布の線形量子化には次式を用いた．
aq (m, n)1 aˆ (m, n)  1
round(aˆ (m, n)  Qa ) 
Qa  1 aˆ (m, n)  1
1(4)

ここで，round( ) はその値を最も近い整数値に丸める関数，Qa は振幅値の量子化レベル数である．同様に，位相分布の線形量子化には次式を用いた．
 [ (m, n)   ]  Q p  2
 q (m, n)  round Q   (5)2p
ここで， Q p は位相値の量子化レベル数である．
2.3 非線形量子化の手法
図 1 に示すように，光波分布の振幅分布には偏りがある．そこで，k-means アルゴリズムにより 4)，量子化パラメータ(量子化閾値と量子化代表値)の最適化を行った．
k-means アルゴリズムでは，まずサンプル値yn (n  1, , N ) を初期のクラスタ Si (i  1, , K ) に割り振る．ここで， N はサンプリング数であり， Kはクラスタの数である．その後，クラスタ Si の代表値 qi (i  1, , K ) と，閾値 xi (i  1, , K ) を決定する．次に，クラスタの閾値 xi と代表値 qi を以下の式を用いて更新する．
sqi 

1 iyi , j
s i j 1(6)(7)
xi  (qi 1  qi ) 2
ここで， si (i  1, , K ) はクラスタ S i に含まれるサン

本研究で用いた物体モデルと座標系を図 2 に示す．また，求めた光波のパラメータを表 1 に示す．
ここで，図 2(a)と(b)はポリゴンモデルでありその光波分布はポリゴン法によって数値合成したものである 5)．一方(c)では，3D プリンタにより作製した実物体の光波を合成開口 DH によって記録し，それを 100 mm 伝搬したものである．これらの光波分布は，量子化によってデータサイズ削減した後に結像再生シミュレーションで像を再生し 6)，同じ方法で再生した原光波の再生像との類似性を PSNR により評価した．
3.2 量子化した光波の再生像の評価
Bunny の光波分布の振幅分布のみを量子化したときの数値再生像の PSNR を図 3 に示す．振幅量
子化ビット数が 5 付近のときを除いて，k-means アルゴリズムによる非線形量子化の方が線形量子化よりも PSNR が高いことがわかる．
また，同様に Bunny の位相分布のみを量子化したときの数値再生像の PSNR を図 4 に示す．位相分布には偏りがほぼないため線形量子化のみを行った．PSNR は位相量子化ビット数に対して単調に増加することがわかる．

Number of samples [107](3)2018161412108642000.5

1Normalized amplitude
図 1 振幅分布のヒストグラム

表 1 光波のパラメータ

Number of samples
Sampling intervalWavelength

Bunny65,536 × 65,5360.8 μm × 0.8 μm632.8 nmFiveRing
65,536 × 65,5360.8 μm × 0.8 μm630 nm

Vase32,768 × 32,7681.0 μm × 1.0 μm632.8 nm第22回関西大学先端科学技術シンポジウム講演集, 230-233 (2018.1.19, 関西大学)

4 非線形量子化パラメータの汎用性
様々なタイプの光波分布の振幅分布で 2.1 節に示した正規化を行い，階級数 100 としてヒストグ
ラムを求めた結果を図 5 に示す．ここで，(A)と(B)はそれぞれ Bunny と FiveRing の光波分布(モノクロ，サンプル点数 64K×64K)，(C)がカラーCGH

4K×4K サイズの Bunny で求めたものである．これらの図では，横軸は振幅量子化ビット数𝑁𝑎 であり，位相量子化ビット数は𝑁𝑝 = 𝑁𝑡 − 𝑁𝑎 である．
7050

PSNR[dB]用の 3 波長の光波分布(64K×64K) 7)， (D)が点光源で計算したワイヤーフレームモデルの光波分布(64K×64K)，(E)が DH で記録した実物体の光波分布(32K×32K)である．いずれの光波分布でも振幅分布のヒストグラムはほぼ同じであるため，どの場合も量子化パラメータはほぼ同じ値に収束すると予想される．一方，大規模な光波で k-means アルゴリズムを用いて量子化パラメータを完全に収束

40Linear quantization

3020100024687060PSNR[dB]5040302010

いて Vase の 32K×32K サイズ光波の振幅分布を量子化した場合の PSNR を図 6 に示す．この図には元の 32K×32K サイズ光波自体で量子化パラメータを最適化した場合の PSNR も示してある．PSNRの値がほぼ変わらないことから，量子化パラメータには高い汎用性があることがわかる．
5 光波分布サンプル値のコード化
図 7 に示すように光波分布の 1 サンプル点を𝑁𝑡002468Relative frequency[a.u.]

5位相値を表すことにする．64K×64K サイズのBunny と 32K×32K サイズの Vase の光波分布を
𝑁𝑡 =4，6，8，16 ビットでコード化した時の PSNR をそれ
ぞれ図 8 と図 9 に示す．ここで，振幅分布の非線形量子化に用いた量子化パラメータは，先ほどと同様に，

43(B)

(A)

21(D)

0(E)

0.5

11.5

22.5

Normalized amplitude ( , )図 5 様々な光波の振幅ヒストグラム

Vase model

Hologramy29

FiveRing modelx48(C)

0HologramyO

10

Number of phase quantization bits
図 4 位相量子化ビット数に対する PSNRビットでコード化することを考えた．𝑁𝑡 ビットのうち𝑁𝑎 ビットで振幅値を表し，残りの 𝑁𝑝ビットで4810

Number of amplitude quantization bits
図 3 振幅量子化ビット数に対する PSNRさせるには長い計算時間が必要である．そこで本研究では，小規模な光波で最適化した量子化パラメータを大きさや種類の異なるすべての光波に適用することを試みた．
Bunny の 4K×4K サイズ光波分布の振幅分布に対して，k-means アルゴリズムを用いて最適化した量子化パラメータ(量子化閾値と量子化代表値)を用

Bunny model

Nonlinear quantization

60xz 40

O

12090(a) Bunny(b) FiveRing
図 2 用いた物体モデルと座標系 (単位:mm)x14z

OCapturedfield

40

Hologramy100(c) Vasez第22回関西大学先端科学技術シンポジウム講演集, 230-233 (2018.1.19, 関西大学)

また，実線は振幅を非線形量子化した場合，破線は線形量子化した場合であり，位相は常に線形量子化している．いずれの場合も，1 サンプル点を 1バイトでコード化(𝑁𝑡 = 8)しても，振幅を 3 ビットで非線形量子化し，位相を 5 ビットで線形量子化すれば，40dB 以上の高い PSNR が得られることが光波分布の振幅分布を線形・非線形量子化，位相を線形量子化し，デジタル光波データのデータサイズ削減を行い，再生像が受ける影響を評価した．また実際に CGH を作製し確認を行った．
謝辞
本研究は，JSPS 科研費 15K00512，および文部科学省私立大学戦略基盤研究形成支援事業(平成 25年～平成 29 年)の助成を受けたものである．
参考文献(1) K. Matsushima, N. Sonobe, Appl. Opt. in press.
(2) M. Liji, M. Muneyasu, K. Matsushima, S. Yoshida,
and A. Taguchi, SISA 2017, RS2-7(2017).
(3) A. Arrifano, M. Antonini, and M. Pereira, Proc.
European Workshop on Visual Information
Processing, 232-237 (2013).
(4) S. P. Lloyd, IEEE Transactions on Information
Theory, IT-28, 129-137 (1982)(5) K. Matsushima, Appl. Opt. 44, 4607-4614(2005).

Number of pixels
Pixel pitches
Size of a CGH
Wavelength

65,536 × 65,536
0.8 μm × 0.8 μm
52.4 mm × 52.4 mm
630 nm70

Non-optimized nonlinear
quantization

60

PSNR[dB]

5040

Optimized nonlinear
quantization

30
201000246810

Number of amplitude quantization bits

図 6 最適化した場合と最適化せずパラメータを流用した場合の非線形量子化の比較𝑁𝑎𝑁𝑝𝑁𝑡
図 7 複素振幅値のコーディング方法
6016bit/sample
𝑁𝑡 =50PSNR[dB]

わかる．
そこで，これらのビット数でコード化した光波および原光波分布を用いて実際に CGH を作製した．作製した CGH のパラメータを表 2 に，その光学再生像を図 10 に示す．8 ビット/サンプル点でコード化した場合の再生像(B)は原光波の再生像(A)に比べて遜色ない結果となった．
6 まとめ

表 2 作製した CGH のパラメータ4020
10(6) 村上和也，松島恭冶, 映情学誌 65, 1793-1800(2011)．
(7) Y. Tsuchiyama, K. Matsushima, Opt. Express 25,
2016-2030 (2017).

8bit/sample
𝑁𝑡 = 83004bit/sample 6bit/sample
nonlinear quantization
𝑁𝑡 =𝑁𝑡 =linear quantization
123456789 10 11 12 13 14 15

Number of amplitude quantization bits 𝑁𝑎
図 8 コ―ディングビット数に対する
PSNR(FiveRing)60

16bit/sample
𝑁𝑡 =PSNR[dB]

5040

20100(A) 原光波(B)コーディングした光波(𝑁𝑎 = 3, 𝑁p= 5)

図 10 作製した CGH の光学再生像

8bit/sample
𝑁𝑡 = 830

4bit/sample 6bit/sample
nonlinear quantization
𝑁𝑡 =
𝑁𝑡 =
linear quantization
123

45

678

9 10 11 12 13 14 15

Number of amplitude quantization bits 𝑁𝑎
図 9 コーディングビット数に対する
PSNR(Vase)