平成３１年度
東京大学大学院工学系研究科建築学専攻

大学院

専門課題 II 試験問題

第４群（構造・材料）
平成 30 年 8 月 29 日(水)3 時間(9:00〜12:00)
THE UNIVERSITY OF TOKYO
Graduate School of Engineering
Department of Architecture
QUESTION BOOKLETon
The 2019 Master/Doctor Course ExaminationofSpecial Subject II, Group No.4 Structures & Materials

The Date and Time of the Examination
From 9:00 to 12:00
On Wednesday, August 29, 20181

(このページは空⽩ページです。)(This page is intentionally blank.)2(このページは空⽩ページです。)(This page is intentionally blank.)3

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【問１】
図 1 に⽰す擁壁構造体の地震時における安定性を検討する。ただし、擁壁構造体は紙⾯に直交する⽅向に無限に続くものとし、単位奥⾏幅で安定性の検討をするものとする。
構造体は重量 W で、構造体背⾯の地盤からの主働⼟圧 pA、構造体に作⽤する地震による⽔平慣性⼒ Q が作⽤する。構造体背⾯の地盤からの主働⼟圧 pA は次式で与えられるものとし、地震時においても変化しないものとする。図中の z は地表⾯から鉛直下⽅を正とする座標である。また、地盤は均質⼀様とする。

p A = K Ag z 、 K A =cos 2 f

(1 + sin f )2b

KA:主働⼟圧係数、 f :地盤の内部摩擦⾓、
g : 地盤の単位体積重量
構造体の安定性の検討は以下の３つの項⽬について実施する。
a. 構造体全体の転倒安定性
b. 構造体底部と⽀持地盤との接触⾯における滑動安定性
c. 構造体底部直下の地盤の鉛直⽀持能⼒

h
2

W

単位奥⾏幅
単位奥行巾

C

h

Q

h
2

pA

B

A

b
2

b
2

z

he

c, f, gh > he

図１ 擁壁構造体

以下の問いに答えよ。
1) a.について、構造体全体に作⽤する主働⼟圧 pA の合⼒ P の⼤きさと作⽤位置を⽰し、構造体全体の転倒に関する安定性が確保される条件を⽰せ。
2) b.について、構造体の底⾯において滑動しない条件を⽰せ。ただし、地盤のせん断抵
抗はクーロン摩擦による抵抗とし、底⾯直下の地盤の内部摩擦⾓をf、粘着⼒を c とする。
3) c.において、構造体に作⽤する⼒ W、Q、P を⽤いて、構造体底⾯直下の地盤に作⽤する最⼩鉛直応⼒度が 0 となる条件を⽰せ。ただし、構造体底⾯では全⾯圧縮状態とする。
4) c.において、構造体に作⽤する⼒ W、Q、P を⽤いて、構造体底⾯直下の地盤の鉛直応⼒度が地盤の鉛直⽀持応⼒度smax 以下となる条件を⽰せ。ただし、構造体底⾯では全⾯圧縮状態とする。
5) 1)において、転倒に対する余裕を表す量（「転倒に対する抵抗⼒」―「転倒作⽤⼒」）
5

を G とし、Q、P のみがバラツキを有し、その平均値と標準偏差が以下のように与えられている時、G の平均値µG と標準偏差sG を求めよ。ただし、Q と P は統計的に独⽴とする。
Q の平均値＝µQ、 Q の標準偏差＝sQ
P の平均値＝µP、 P の標準偏差＝sP6) 5)において、G の平均値µG と標準偏差sG を⽤いて、転倒に関する⼆次モーメント信頼性指標bを⽰せ。

6

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【問２】
スポーツイベント等に⽤いられるスタジアム建築の屋根構造は、観客の視線を妨げないためにフィールド側に柱を設けない⼤屋根構造となる。そのため様々な構造的な⼯夫がなされている。
図１，２に⽰す I, II ⼆つのスタジアム建築の屋根構造について各々平⾯図と断⾯図からその構造の特徴を読み取り、⽤語リストから最も適当な⾔葉を選び、以下の⽂章の①〜⑳を埋めて⽂章を完成させよ。但し、同じ⽤語は 2 回選ぶことはできない。
I の屋根の主構造は、等間隔に配置された ① ⽅向の ② であり、78 基のうち 40
基が ③ により 2 基ずつ直接⽀持されている。 ②の全⻑は 68m で、フィールド側は芝⽣の育成を考えて ④ 屋根になっている。②の最外周の三⾓形を形成する部分
は ⑤ の外周リングとなっており、⽚持ち梁の ⑥ の役割を果たしている。これにより③にかかる常時の曲げモーメントを減らしている。 ③は計 20 基あり、観戦の邪魔にならないように細くするために ⑦ を採⽤している。屋根⾯は II と同様に透光性のある ⑧ であり、 ⑨ で突き上げ連続した ⑩ の張⼒⾯が形成されている。
II の屋根構造は ⑪ が導⼊された ⑫ 型 ⑬ であり、最内周の楕円状の１段のリ
ングは ⑭ であり、最外周の 2 段の楕円状リングは ⑮ である。この⼆種類のリングの間に放射⽅向に上下弦材をもつ 40 組の ⑯ が張り渡されている。⑯の張り出し
⻑さは 58m である。⑯の下弦材の上に 7 つの⑨が取り付けられ、⑧の⾯を連続した⑩に保つことで張⼒⾯が保たれている。
I の構造は、⽚持ち梁で ⑰ の構造として設計されており、屋根部分の重量は⼤きくなるが屋根の⾼さや屋根構造の全体的厚みは⽐較的低く抑えることが可能である。
II の屋根構造は ⑱ の構造として設計されており、⾮常に軽量である反⾯、⑫の状態を保つために内周と外周のリングが ⑲ 必要があり、また、２つのリングを⽀え、構造全体の鉛直⽅向の安定性を確保するために建物の外側に背の⾼い ⑳ が必要とな
っている。

用語リスト
鉛直, 放射, 単純梁, 壁式構造, 杭基礎, トラス梁, スタジアム, 樹状⽀柱,
⽊製, ガラス, RC 製, 耐⽕被覆, カウンターウェイト, ⾓型鋼管, 中実断⾯,耐⾵梁, ハイブリッド, 膜屋根, サブアーチ, シェル構造, 球形, 鞍形,
シリンダー, 耐震性, プレストレス, 座屈, ⾃⼰つり合い, 吊り橋, 斜張橋,
ケーブル構造, 折版, スタンド, 圧縮リング, 斜材, 張⼒系, せん断系, 曲げ系,
閉じている, 開いている, 開⼝部, 張⼒リング, 免震, ⽀柱, ケーブルガーダー,
仮想仕事の原理, 降伏応⼒

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解答例：

①

シリンダー

② 吊り橋
③ 曲げ系
④ 吊り橋
…

×

同じ⽤語は繰り返し選べない。

a. 放射⽅向トラス梁
b. 周⽅向トラス梁
c. 三⾓形ラチス材
d. RC 外周リング
e. 樹状⽀柱
f. 補剛⽤トラス(⽀柱無し)
g. 外柱
h. ガラス屋根(a)平⾯図
図１：スタジアム建築 I(b) A-A 断⾯図(出典：鉄鋼技術 2006 年 5 月号)

a. 上段圧縮リング
b. ⽀柱
c. 下段圧縮リング
d. ケーブルガーダー
e. 膜屋根f. サブアーチg. 張⼒リング(a)平⾯図
図２：スタジアム建築 II(b) B-B 断⾯図(出典：鉄鋼技術 2006 年 5 月号)

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【問３】
図に示すような一片の長さが a の正方形断面を有する棒材 10 本を同一方向に揃え，十分に堅固に接着して合成断面とする。曲げを受ける合成断面は，平面保持の仮定が成立するものとする。以下の問いに答えなさい。
I「平面保持の仮定」とは何か，「中立軸」という語を必ず入れて解説しなさい。

II

合成断面には，軸力 N もせん断力 V も働かず，図の x 軸周りの曲げモーメント M
のみが働く時， (1) と (2) の問いに答えなさい。材料特性は等方一様線形弾性とする。
(1) 棒材の材料がすべて同一の場合（Case 1）に，断面下端から中立軸までの距離
yn を a で表しなさい。
(2) 記号 J の棒材を，ヤング率が残りの棒材よりおよそ 5 倍大きなものに置換した場合（Case 2），断面下端から中立軸までの距離 yn' は，Case 1 の yn と比べて大きいか小さいか。また，そのように考える理由を述べよ。

III

一様はり断面を有するスパン L の単純支持ばりに，下向きに一様分布荷重 w（wは定数）が働くものとして (3) と (4) の問いに答えなさい。材料特性は等方一様線形弾性とする。
(3) 断面が Case 1 の場合と Case 2 の場合の中央点の下向きたわみ値の大きさはどちらが何倍ほど大きいか。
(4) 断面が Case 2 の場合について，接着面のせん断応力は，スパンのどの部分のどの接着面で最も大きいか，また，そのように考える理由を述べよ。

IV 棒材の材料の力学特性が，引張り側・圧縮側とも完全弾塑性材料で，単位面積当たりの強度は，圧縮側・引張り側どちらも σ y とする。断面応力が，軸力 N = 0，せん断力 V = 0 として，(5)の問いに答えなさい。
(5) 断面が Case 1 の場合の全塑性モーメント Mu を a と σ y で表しなさい。

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図 合成断面11【問４】⽔平な梁 AE、鉛直な束 BF, CG, DH、ケーブル AF, FG, GH, HE からなる図 1 の張弦梁について下記の問いに答えよ。図上の束 BF と DH の⻑さは設計変数であり、それぞれℎ" , ℎ# とする。なお、形状と⼨法はつり合い状態におけるものである。
（１）この構造は静定構造か不静定構造か答え、不静定構造の場合はその不静定次数を答えよ。根拠も述べること。
（２）梁 AE に単位⻑さあたり𝑤の均等鉛直荷重がかかり、束 BF, CG, DH の圧縮⼒が"いずれも% 𝑤ℓとなったとする。

(a) 梁 AE の曲げモーメント図を描け。
(b) 梁 AE の最⼤曲げモーメントは、束とケーブルを省いた梁単体の構造において等しい荷重を受けたときの最⼤曲げモーメントに対して何倍であるか。
(c) ℎ" を求めよ。ただし上記で仮定した内⼒の条件においては対称性からℎ" = ℎ# となることを⽤いてよい。
(d) 図 2 のように A と E でのケーブル材と梁の取り付け位置を図⼼から鉛直下側に𝑒だけ偏⼼させ（それぞれ A´および E´ へ移動し）、それに応じて F, G, H も𝑒だけ下⽅に移動した（それぞれ F´, G´, H´ へ移動した）。最⼤曲げモーメン
トが最⼩となる𝑒を求めよ。ただしこの場合においても束の圧縮⼒はいずれも"%𝑤ℓを保持するものとする。

（３）図 1 の張弦梁において、束 BF, CG, DH のすべてに圧縮⼒がかかり、ケーブル AF,
FG, GH, HE のすべてに張⼒がかかるときの、ℎ" およびℎ# の取りうる範囲を、ℎ"とℎ# を軸にとったℎ" -ℎ# 平⾯上に図⽰せよ。

図1

図2
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【問５】
⽊材の⼒学的性質に関する以下の問いに答えよ。
(1) 表１は、ある広葉樹材の⼒学的性質を⽰したものである。
(a) 表１の x ⽅向、y ⽅向および z ⽅向は、それぞれ図１に⽰す L ⽅向、R ⽅向および
T ⽅向のどれに該当するか。
(b) この広葉樹を圧縮する場合、⾒かけ上体積が増加するのは、x、y、z のいずれの⽅向に圧縮する場合か。

T
表１

R

静弾性係数
（ヤング係数）（kN/mm2）

L

ポアソン⽐

x ⽅向

y ⽅向

z ⽅向

νxy

νyz

νzx

12.5

1.35

0.60

0.40

0.65

0.50

νij：i ⽅向に圧縮⼒を加えた場合の i ⽅向の圧縮ひずみに対する j ⽅向の引張ひずみの⽐

図１(2) 伐採したばかりの⽊材は多量の⽔分を含んでいるが、その⽊材を乾燥させていくと強度はどのように変化するか、横軸に含⽔率をとり縦軸に強度をとって、その概略を図⽰するとともに、変化の特徴および変化する理由を説明せよ。
(3) ⽊材のクリープ変形は、図２に⽰すようなフック固体とニュートン流体が並列に接続したフォークトモデルによって表現することができる。ただし、フック固体の静弾性係数を E、ニュートン流体の粘度を η とする。いま、時刻 t=0 においてこのモデ
ルに応⼒ σo を作⽤させた後、その応⼒を維持し続けたとき、次の問いに答えよ。
(a) フォークトモデル全体に⽣じるひずみを ε、時間を t としたとき、応⼒ σo とひず
み ε との関係を与える微分⽅程式を導け。
(b) この微分⽅程式を解き、ひずみ ε を時間 t の関数として表せ。
フック固体

ニュートン流体

図２

13

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【Problem 1】
You examine the stability of the retaining
wall during earthquakes as depicted inFig. 1. Assume that the wall is infinite
to the direction perpendicular to the paper
plane, and therefore its stability will be
discussed per unit length of the wall. It
is subjected to the self-weight W, theactive earth pressure applied to the backsurface of the wall pA and the horizontal
seismic inertial force Q, where z is avertical coordinate from the groundsurface in the figure. The soil ground ishomogeneous. Assume that pA does notchange during earthquakes and is given in

b

h
2

W

per unit depth
per unit length

C

h

Q

h
2

pA

B

A

b
2

z

he

c, f, gb
2h > heFig. 1 Retaining wall

the following equation.

p A = K Ag z , K A =cos 2 f

(1 + sin f )2

where, KA is the active earth pressure coefficient with an internal friction angle of the ground f
and g is the density of the ground.
Now, the stability of the wall is examined in terms of the following items;a. Overturning stability of the rigid body of the retaining wall,b. Sliding stability related to the friction between the bottom surface of the wall and the ground,andc. Vertical load bearing capacity of the ground just underneath the wall.
Answer the following questions.
1) Regarding item a, show both the resultant force due to the active earth pressure pA and theapplied location of the force. Then, denoting the resultant force by P, show the condition thatthe overturning stability can be kept.
2) Regarding item b, show the condition that the sliding does not occur according to the
Coulomb’s friction law based on internal friction angle f and cohesion force c.
3) Regarding item c, show the condition that the minimum vertical stress becomes zero using W,
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Q and P, where it is assumed that all vertical stresses acting underneath the wall are in thecompressive state.
4) Regarding item c, show the condition that the maximum vertical stress acting underneath thewall is less than the vertical bearing capacity of ground smax, where it is assumed that all
vertical stresses acting underneath the wall are in a compressive state.
5) Let G be a safety margin with respect to the overturning stability, which represents the margin(“the resisting force” minus “the applying force”). Assume that only Q and P exhibit
variability whose mean and standard deviation are respectively given as µQ, µP and sQ, sP, andthere is no statistical dependence between Q and P. Compute the mean µG and the standard
deviation sG of the safety margin G.
6) Using the results for µG and sG from 5), show the second-moment reliability index b for theoverturning stability of the wall.

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【Problem 2】
Large roof structures covering stands (spectators’ seating) of stadia for sports events should have,preferably, no columns on the field side in order to provide clear view to the spectators.
Consequently large roofs for stadia require special structural design.
See the plan and section drawings of two stadium roofs, I and II, respectively indicated in Figs.1
and 2, and understand the structural system of each roof. Then complete the short sentences below
by choosing the most appropriate term from the “Word List” for each blank space numbered ①
to ⑳. Each term in the list can be selected only once.
The main structural element of the roof of I is the ① arranged ② , and twenty pairs ofseventy eight ②s are directly supported by ③ s. The ② is 68m in length, from outside to
the inside of the stadium, having ④ roof at inner part considering the nurture of natural turf.
The two triangular segments at outermost part of ②, which are continuous in peripheral
direction consisting the outer ring, are made of ⑤ and functions as the ⑥ of thecantilever. This reduces the permanent bending moment induced to the ③. There are twenty③s and the profile of them are ⑦ so that their overall thickness becomes thinner to reduce
visual interruption for spectators. Roof cladding is translucent ⑧ , as same as II, pushed up
by ⑨ s making continuous ⑩ configuration for tensioned surface.
The main structure of the roof of II is the ⑪ ⑫ structure. The structure can be ⑪
because of the existence of ⑬ in the structural system. The innermost elliptical single layerring is the ⑭ and the two layers of outermost elliptical rings are ⑮ s. Between these two
sets of rings, forty sets of ⑯ , having upper and lower layers, span the 58m wide roof structure.
On the lower layer of ⑯, seven ⑨s are set to push up the ⑧ roof to perform the continuous⑩ configuration for tensioned surface.
Main structure of I is designed as a cantilever by ⑰ approach. The structural weight
becomes comparatively heavy but the height and overall thickness of the roof structure can be
reduced. Main structure of II is designed by ⑱ approach. The roof structure can be very
light. However the inner ring and outer rings must be ⑲ in order to keep the ⑬. It also
requires high ⑳ s just outside of the roof to support the two compression rings and to keep
the vertical stability of the roof.
Word List
vertically, radially, simple beam, bearing wall, truss girder, tree-like column, pilefoundation, stadium, timber, glass, reinforced concrete, fire proof, counter weight,
square tube, solid, wind resisting beam, membrane, hybrid, sub-arch, shell structure,
sphere, cylinder, saddle, pre-stressed, earthquake-resistant, buckling, cable,suspension bridge, cable-stayed bridge, self-equilibrium stress state, stand, yielding stress,
compression ring, brace, base-isolation, tension-system, bending-system, shear system,
tension ring, closed, open, openings, cable girder, folded plate, pylon, virtual work
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Example of answer： ① cylinder② pylon③ fire proof④ pylon…

Same term cannot be used repetitively.

a. radial truss girderb. peripheral trussc. triangular latticed. outer reinforced concrete ringe. tree-like column
f. sub-truss (without column)
g. outer column
h. glass roof(a) plan(b) A-A section
Fig. 1: Stadium I(from STRUTEC May, 2006)

a. upper compression ringb. pylonc. lower compression ringd. cable girder
e. membrane roofh. sub-archg. tension ring(a) plan(b) B-B section
Fig. 2：Stadium II

19(from STRUTEC May, 2006)

【Problem 3】
There are composite sections made of 10 square-section bars with a dimension of (a times a) as
shown in Figure. They are jointed stiff and strong sufficiently with an adhesive. You may assume"plane sections remain plane" on the composite sections subjected to flexure.
I.

Explain the assumption of "plane sections remain plane" with words including "neutral
axis."

II. The composite sections are subjected to bending moment M around the x-axis. No axial
force nor shear acts on the sections. Assume the material property is isotropic and remains
linearly elastic and answer the questions (1) and (2).
(1) Find the expression of yn, the distance of neutral axis from the bottom of the composite
section made of a material (Case 1) using the notation a.
(2) Find and explain which is larger yn or yn' and how the findings are justified, where yn' is
the distance of neutral axis from the bottom of the composite section and the section J is
replaced with one with elastic modulus of about five times larger than the others (Case2).
III. Simply supported composite beams are subjected to uniformly distributed vertical load withan intensity of w (w is constant) and the section is subjected to the bending moment aroundthe x-axis. Assume the material property is isotropic and remains linearly elastic and answer
the questions (3) and (4).
(3) Find and determine which beam with composite section (Case 1) or (Case 2) yields
larger vertical deflection at the center of the span of the beam than the other and how
many times larger than that of the other.
(4) Determine and explain where maximum shear stress occurs along the joint in acomposite section (Case 2), i.e. which joint and where along the span the joint bears the
maximum shear stress and how the findings are justified.
IV. Hereafter, mechanical property of a composite section is assumed perfectly elasto-plastic
and strength per unit area is σ y for the both of compression and tension. The composite
section is subjected to bending moment M around x-axis. No axial force nor shear acts on
the section. Answer the question (5).
(5) Find the expression of full plastic moment Mu of the composite section (Case 1) with
the notations of a and σ y .
20Figure: Composite sections

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【Problem 4】
A beam string structure consists of a horizontal beam AE, vertical struts BF, CG, and DH, andcables AF, FG, GH, and HE, as shown in Fig. 1. The lengths of struts BF and DH are design
parameters denoted by ℎ" and ℎ# , respectively. Consider the shape and dimension underequilibrium.
（１）Answer if this structure is statically determinate or indeterminate and answer the degree ofindeterminacy if it is statically indeterminate. Also, describe the reason.
（２）Answer the following questions when a uniformly distributed vertical load of 𝑤 per unit
length is applied to beam AE, and the compression forces of struts BF, CG, and DH are"

all % 𝑤ℓ.

(a) Construct the bending moment diagram of beam AE.
(b) How many times is the maximum bending moment of beam AE as that of the beam
without struts and cables, under the same loading condition?
(c) Find ℎ" . Here, you may use that ℎ" = ℎ# holds under the abovementioned assumptionof internal forces by symmetry.
(d) Refer to Fig. 2. Consider repositioning the joints between the cables and the beam at A
and E below the centroid of the beam section by 𝑒 (to A´ and E´ respectively), andaccordingly repositioning points F, G, and H downward by 𝑒 (to F´, G´, and H´,respectively). Find 𝑒 that minimizes the maximum bending moment. Assume the"compression forces of struts are all kept % 𝑤ℓ.

（３）Consider the beam string structure in Fig. 1. Plot the possible range of ℎ" and ℎ# , in theℎ" -ℎ# plane taking ℎ" and ℎ# as axes, such that struts BF, CG, and DH are all undercompression and cables AF, FG, GH, and HE are all under tension.

Fig. 1

Fig. 222

【Problem 5】
Answer the following questions on mechanical properties of timber.
(1) Table 1 shows mechanical properties of a certain hardwood timber.
(a) Equate x, y and z in Table 1 with correspondent directions of L, R and T in Figure 1,
respectively.
(b) Find the axis among x, y and z in which direction a compressive force generates an apparent
volume increase of the timber.

T

Table 1Modulus of elasticity(Young’s modulus)(kN/mm2)

R

Poisson’s ratioLxdirection

ydirection

zdirection

νxy

νyz

νzx

12.5

1.35

0.60

0.40

0.65

0.50

νij：ratio of j-directional tensile strain to i-directional compressive
strain generated by i-directional compressive stress

Figure 1(2) Timber contains a large amount of moisture soon after being logged. How does its strengthchange when it is seasoned? Draw its change schematically in a graph with its moisture content
on the horizontal axis and its strength on the vertical axis. And explain the features and thereason of its change.
(3) Creep deformation of timber is expressed by Voigt model as shown in Figure 2, in which
Hookean body and Newtonian fluid are connected in parallel. The modulus of elasticity of the
Hookean body and the shear coefficient of viscosity of the Newtonian fluid are E and η,
respectively. Answer the following questions when the stress σo is applied to the model at thetime t=0 and is kept constant.
(a) Introducing ε for the strain caused in the Voigt model and t for the elapsed time, derive thedifferential equation which governs the relationship between the stress σo and the strain ε.
(b) Solve the above differential equation and express the strain ε as a function of time t.
Hookean body

Newtonian fluid

Figure 223(このページは空⽩ページです。)(This page is intentionally blank.)24

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注意事項
試験開始の合図があるまでは，問題を開いて見てはいけません。

1. 答案用紙を 4 枚，草稿用紙を 4 枚配ります。
2. 問題は全部で 5 問あります。その内の 4 問を選択し解答しなさい。
3.

解答は答案用紙１枚に一問ずつ記述しなさい。表面で足りないときは裏面を使ってよいが，そのときは表面の右下のチェック欄をマークすること。一枚の答案用紙に二問以上を解答すると無効になります。

4. 選択した問題番号を答案用紙の所定欄に記入しなさい。
5. 受験番号を答案用紙の所定欄に記入しなさい。これ以外に氏名，記号などを記入した場合は，答案全体が無効となります。
6. 答案を 5 枚以上出した場合，あるいは 3 枚以下しか提出しない場合は，答案全体が無効となります。もし解答できない場合でも，問題番号，受験番号を所定の欄に記入し，白紙で提出しなさい。
7. 問題冊子および草稿用紙は試験終了後，回収します。ただし，これは採点の対象とはしません。

ATTENTIONSDo NOT proceed to the following pages until you are told to start the examination.

1.

Four answer sheets and four draft answer sheets will be distributed.

2.

There are five exam problems in total. Choose and answer four out of five problems.

3.

The answers to each exam problem should be written on one answer sheet. You may use
both sides of the sheet if necessary, with checking a mark at the right bottom corner of thefront side. If more than two exam problems are answered on one sheet, they will not be
scored.

4.

Write the number of problem which you answer in a designated box on all answer sheets.

5.

Write your examinee's number in a designated box on all answer sheets. Never write down
your name or any indication which suggests your identity anywhere on your answer sheet.
In the case of violating this instruction, none of your answers will be scored.

6.

Submit four answer sheets at the end of this examination. Even if you do not answer, write
the problem number and your examinee's number on the sheet, and submit it with blankanswer. None of your answers will be scored if you do not submit all the four answer sheets.

7.

The question booklet and draft sheets will be collected at the end of this examination. They
are not counted in scoring your answers.

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