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Rechnen mit Sage

Calcul mathématique avec

SAGE

Dieses Werk wird unter der Lizenz Creative Commons(https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/) verteilt.
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Die Autoren des Originals:
Alexandre Casamayou Nathan Cohen
Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse
François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba
Clément Pernet Nicolas M. Thiéry Paul Zimmermann

Aus dem Französischen übertragen,an Sages aktuelle Version 7 angepasst, soweit möglich,sonst mit einem Hinweis versehen
und in LATEX gesetzt von Helmut Büch, GifhorniInhaltsverzeichnis
I. Die Handhabung von Sage

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1. Erste Schritte

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1.1. Das Programm Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Ein Werkzeug für Mathematiker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Zugang zu Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Sage als Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Erste Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Elementare Funktionen und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Online-Hilfe und automatische Vervollständigung . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Python-Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Symbolische Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Erste Graken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Analysis und Algebra

2.1. Symbolische Ausdrücke und Vereinfachungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Symbolische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Umformung von Ausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Gebräuchliche mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Vorgaben für eine symbolische Variable . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Mögliche Gefahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Explizite Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Gleichungen ohne explizite Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Taylor-Reihenentwicklung (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Reihen (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6. Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7. Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Elementare lineare Algebra (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Reduktion einer quadratischen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Programmierung und Datenstrukturen

3.1. Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Allgemeine Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Aufruf von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis
3.1.3. Ergänzungen zu Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Algorithmik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Prozeduren und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Beispiel: schnelles Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. Datenein- und -ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Denition von Listen und Zugri auf die Elemente . . . . . . . . . . .
3.3.2. Globale Operationen auf Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Wichtige Methoden auf Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Beispiele für Listenbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5. Zeichenketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6. Teilen und Verdoppeln einer Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7. Veränderbare und nicht veränderbare Daten . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8. Endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.9. Diktionäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Graphiken

4.1. Kurven in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Kurven in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4. Durch implizite Gleichungen denierte Kurven . . . . . . . . . . . . .
4.1.5. Die Darstellung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6. Zeichnen der Lösung einer Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . .
4.1.7. Evolute einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Graphik in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Denitionsmengen für das Rechnen

5.1. Sage ist objektorientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Objekte, Klassen und Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Objekte und Polymorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Introspektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Elemente, Vorfahren, Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Elemente und Vorfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Ergänzung: Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Denitionsmengen für das Rechnen und die Darstellung in Normalform . . . .
5.3.1. Elementare Zahlenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Zusammengesetzte Objektklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Ausdrücke versus Zahlenarten für das Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Ausdrücke als Denitionsmenge für das Rechnen . . . . . . . . . . . .
5.4.2. Beispiele: Polynome und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Beispiel: Faktorisierung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

II. Algebra und symbolisches Rechnen

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6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie

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6.1. Ringe und endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Ring der ganzen Zahlen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3. Rationale Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4. Chinesische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Faktorisierung und diskreter Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Die Konstante δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2. Berechnung mehrfacher Integrale durch rationale Rekonstruktion . . .
7. Polynome

7.1. Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Erzeugung von Polynomringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3. Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Euklidsche Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Ideale und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Faktorisierung und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Wurzelsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4. Galoisgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Gebrochen rationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Erzeugung und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Zerlegung in einfache Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3. Rationale Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Formale Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1. Operationen auf abbrechenden Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2. Reihenentwicklung von Gleichungslösungen . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3. Faule Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Rechnerinterne Darstellung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Lineare Algebra

8.1. Erstellung und elementare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Vektorräume, Matrix-Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Erzeugung von Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3. Grundlegende Operationen und Matrizen-Arithmetik . . . . . . . . . .
8.1.4. Grundlegende Operationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Rechnungen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Gauÿ-Algorithmus und Treppennormalform . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2. Lösung von Gleichungssystemen; Bild und Basis des Kerns . . . . . . .
8.2.3. Eigenwerte, Jordanform und Ähnlichkeitstransformationen . . . . . . .
9. Polynomiale Systeme

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9.1. Polynome in mehreren Unbestimmten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.1.1. Die Ringe A[x1 , . . . , , xn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179v

Inhaltsverzeichnis
9.1.2. Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3. Grundlegende Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4. Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Polynomiale und ideale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Ein erstes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2. Was heiÿt Lösen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3. Ideale und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4. Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.5. Systeme der Dimension null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Gröbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1. Monomiale Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2. Division durch eine Familie von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3. Gröbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.4. Eigenschaften der Gröbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.5. Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen

10.1. Dierentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2. Gewöhnliche Dierentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . .
10.1.3. Gleichungen 2. Odnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.4. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.5. Lineare Dierentialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Rekursiv denierte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Durch un+1 = f (un ) denierte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2. Lineare rekursiv denierte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3. Rekursiv denierte Folgen mit zweitem Glied . . . . . . . . . . . . .

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232

III. Numerisches Rechnen

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11. Gleitpunktzahlen

237

11.1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1. Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2. Eigenschaften, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.3. Normalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Die Gleitpunktzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1. Welchen Zahlentyp wählen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Einige Eigenschaften der Gleitpunktzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1. Mengen voller Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2. Das Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3. Einige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.4. Komplexe Gleitpunktzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5. Die Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4. Schlussbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Nichtlineare Gleichungen12.1. Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1. Die Methode Polynomial.roots() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2. Zahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.3. Der Gauÿ-d'Alembertsche Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis
12.1.4. Verteilung der Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5. Lösung durch Wurzelausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.6. Die Methode Expression.roots() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Numerische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1. Lokalisierung der Lösungen algebraischer Gleichungen . . . . . . . . .
12.2.2. Verfahren der sukzessiven Approximation . . . . . . . . . . . . . . . .
13. Numerische lineare Algebra

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257
257
259
273

13.1. Ungenaues Rechnen in der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.1.1. Normen von Matrizen und Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
13.2. Voll besetzte Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.2.1. Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.2.2. Direkte Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.2.3. Die LU -Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.2.4. Die Cholesky-Zerlegung reeller positiv deniter symmetrischer Matrizen 278
13.2.5. Die QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.2.6. Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.2.7. Anwendung auf kleinste Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
13.2.8. Eigenwerte, Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.2.9. Polynomiale Angleichung: die Rückkehr des Teufels . . . . . . . . . . . 288
13.2.10.Implementierung und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.3. Dünn besetzte Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.3.1. Vorkommen dünn besetzter Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.3.2. Sage und dünn besetzte Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.3.3. Lösung linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.3.4. Eigenwerte, Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.3.5. Gegenstand des Nachdenkens: Lösung von sehr groÿen nicht-linearen
Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14. Numerische Integration und Dierentialgleichungen14.1. Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1. Funktionen für die Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2. Numerische Lösung gewöhnlicher Dierentialgleichungen . . . . . . . . . . . .
14.2.1. Beispiellösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2. Verfügbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297

297
303
309
310
312

IV. Kombinatorik

315

15. Abzählende Kombinatorik

317

15.1. Erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1. Poker und Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2. Abzählen von Bäumen durch erzeugende Reihen . . . . . . . . . . . .
15.2. Die üblichen abzählbaren Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1. Beispiel: Teilmengen einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2. Partitionen natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3. Einige andere abzählbare endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4. Generische Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1. Lexikographische Erzeugung ganzzahliger Listen . . . . . . . . . . . .
15.4.2. Ganzzahlige Punkte in Polytopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317
317
320
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326
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341
343

vii

Inhaltsverzeichnis
15.4.3. Arten, zerlegbare kombinatorischer Klassen . . . . . . . . . . . . . . . 344
15.4.4. Graphen bis auf Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
16. Graphentheorie

16.1. Erzeugen eines Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1. Beginn bei Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2. Verfügbare Konstruktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.3. Disjunkte Vereinigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.4. Ausgabe von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2. Methoden der Klasse Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1. Modikation der Struktur von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2. Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3. Traversierung von Graphen und Abstände . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4. Fluss, Konnektivität, Paarung (Matching) . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.5. NP-vollständige Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6. Erkennen und Prüfen von Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3. Graphen in Aktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1. Gierige Färbung der Knoten eines Graphen . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2. Erzeugung von Graphen unter Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3. Anwendung eines probabilistischen Algorithmus bei der Suche nach einer groÿen unabhängigen Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4. Suchen eines induzierten Subgraphen in einem Zufallsgraphen . . . . .
16.4. Einige mit Graphen modellierte Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1. Ein Rätsel aus der Zeitschrift Le Monde 2 . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.2. Die Zuordnung von Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.3. Planung eines Turniers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17. Lineare Programmierung

17.1. Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2. Ganzzahlige Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3. In der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1. Die Klasse MixedIntegerLinearProgram . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2. Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.3. Nicht lösbare oder nicht endende Probleme . . . . . . . . . . . . . . .
17.4. Erste Anwendungen auf die Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.1. Das Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.2. Paarung (Matching) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.3. Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5. Erzeugung von Bedingungen und Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Lösungen der ÜbungenA.1. Erste Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Analysis und Algebra mit Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Programmierung und Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Graphik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5. Denitionsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7. Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8. Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9. Polynomiale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen . . . . . . . . . . . . . .

viii

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411
414

Inhaltsverzeichnis
A.11.Flieÿpunktzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.12.Nichtlineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.13.Numerische lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.14.Numerische Integration und Dierentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
A.15.Aufzählende Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.16.Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.17.Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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419
421
422
424
429
430

B. Bibliographie

433

C. Register

437

ix

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur französischen Ausgabe
Dieses Buch ist für alle diejenigen gedacht, die ein System für mathematische Berechnungen,insbesondere das Programm Sage, ezient nutzen möchten. Diese Systeme bieten eine Fülle
von Funktionen und herauszunden, wie ein gegebenes Problem gelöst werden kann, ist nicht
immer einfach. Ein Referenzhandbuch liefert zu jeder Funktion des Systems eine analytische
und detaillierte Beschreibung, doch muss man den Namen der Funktion wissen, die man sucht!
Der hier eingenommene Standpunkt ist ergänzend, wir geben mit Betonung der zugrundeliegenden Mathematik eine nach Themen geordnete Übersicht über die Klassen der zu lösenden
Probleme und die entsprechenden Algorithmen.
Der erste Teil, der mehr an Sage ausgerichtet ist, zeigt die Handhabung des Systems. Dieser
Teil sollte allen Studenten wissenschatlich-technischer Fächer (BTS, IUT, Vorbereitungskurse,
Bachelor)1 zugänglich sein und in gewissem Umfang auch Schülern der gymnasialen Oberstufe.
Die anderen Teile wenden sich an Studenten in höheren Semestern2 . Anders als in einem
Referenzhandbuch werden die mathematischen Begrie klar formuliert, bevor sie mit Sageumgesetzt werden. Damit ist dieses Buch auch ein Buch über Mathematik.
Zur Illustration dieser Vorgehensweise fällt die Wahl natürlich auf Sage, denn das ist freie
Software, die jedermann nach Belieben benutzen, verändern und verteilen darf. So wird ein
Schüler, der auf dem Gymnasium Sage kennen gelernt hat, es auch auf seinem beruichen
Wege anwenden, als Bachelor, Master oder Doktorand, auf der Ingenieurschule, im Unternehmen usw. Sage ist im Vergleich zu konkurrierender Software ein noch junges Programmund trotz seiner vielseitigen Fähigkeiten enthält es noch zahlreiche Fehler. Doch dank seiner
sehr aktiven Commumity entwickelt sich Sage sehr rasch. Jeder Anwender von Sage kann auf
trac.sagemath.org oder über die Liste sage-support einen Fehler melden - und vielleicht
sogar dessen Behebung.
Bei der Erstellung dieses Buches hat uns die Version 5.9 vorgelegen. Trotzdem sollten die
Beispiele mit jeder weiteren Version funktionieren, hingegen könnten bestimmte Aussagen
nicht mehr stimmen, beispielsweise weil Sage zur Auswertung numerischer Integrale Maxima
verwendet.
Als ich im Dezember 2009 Alexandre Casamayou, Guillaume Connan, Thierry Dumont, Laurent Fousse, François Maltey, Matthias Meulien, Marc Mezzarobba, Clément Pernet und Nicolas M. Thiéry vorgeschlagen habe, über Sage ein Buch zu schreiben, haben alle trotz erheblicher Arbeitsbelastung prompt geantwortet, wie auch Nathan Cohen, der sich uns bei
diesem Abenteur angeschlossen hat. Ich lege Wert darauf, Ihnen allen zu danken, besonders
dafür, dass sie den engen Zeitplan eingehalten haben, den ich vorgegeben hatte, und ganz
besonders Nathan Cohen, Marc Mezzarobba und Nicolas Thiéry für ihr groÿes Engagemant
auf der Zielgeraden.
Alle Autoren danken folgenden Personen, die die Vorabversionen dieses Buches gelesen haben:Gaëtan Bisson, Françoise Jung, Hugh Thomas, Anne Vaugon, Sébastien Desreux, Pierrick
Gaudry. Maxime Huet, Jean Thiéry, Muriel Shan Sei Fan, Timothy Walsh, Daniel Duparc,
Kévin Rowanet und Kamel Naroun (eine besondere Erwähnung dieser beiden, die Druckfehler
gefunden haben, die 17 Korrekturlesungen wiederstanden haben); wie auch Emmanuel Thomé1
2x

Brevet de Technicien Supérieur, Institute Universitaire des Technologieétudiants au niveau agrégation

Inhaltsverzeichnis
für deine wertvolle Hilfe bei der Realisierung dieses Buches, Sylvain Chevillard, Gaëtan Bisson
und Jérémie Detrey für ihre besonnenen typographischen Ratschläge und für die Fehler, diesie gefunden haben. Der Entwurf des Umschags wurde nach einer originellen Idee von Albane
Saintenoy von Corinne Thiéry realisiert.
Beim Schreiben dieses Buches haben wir viel über Sage gelernt. Wir haben dabei natürlichauch Fehler gefunden, von denen einige schon korrigiert worden sind. Wir hoen, dass dieses
Buch auch anderen von Nutzen sein wird, Schülern, Studenten, Lehrern, Ingenieuren, Forschern oder Amateuren! Die Arbeit enthält sicherlich noch zahlreiche Unvollkommenheiten,
umgekehrt erwarten wir deshalb vom Leser, dass er uns alle Fehler anzeigt und uns auchKritik und Anregungungen für eine spätere Auage zukommen lässt: danke, dass Sie dafür
die Seite sagebook.gforge.inria.fr benutzen.
Nancy, Frankreich
Mai 2013

Paul ZimmermannxiTeil I.
Die Handhabung von Sage11. Erste Schritte
Dieses einführende Kapitel präsentiert die Denkungsart des Mathematikprogramms Sage. Die
anderen Kapitel dieses ersten Teils entwickeln die Grundbegrie von Sage: Ausführung numerischer oder symbolischer Rechnungen in der Analysis, Operationen auf Vektoren und Matrizen, Schreiben von Programmen, Verarbeitung von Datenlisten, Entwerfen von Graken
usw. Die folgenden Teile dieses Buches vertiefen einige Zweige der Mathematik, bei denen die
Informatik eine hohe Leistungsfähigkeit unter Beweis stellt.

1.1. Das Programm Sage
1.1.1. Ein Werkzeug für Mathematiker

Sage ist eine Software, die mathematische Algorithmen aus vielen Gebieten implementiert.
In erster Linie operiert das System auf verschidenen Zahlenarten: den ganzen Zahlen oderden rationalen, mit variabler Präzision auf den numerischen Näherungen der reellen und derkomplexen Zahlen oder auch auf den Elementen der endlichen Körper. Sehr schnell kann sichder Anwender Sages als wissenschatlichem und evtl. graschem Taschenrechner bedienen.
Doch das Rechnen beschränkt sich nicht auf Zahlen. Die Studenten lernen beispielsweise,
Systeme inhomogener linearer Gleichungen zu lösen, Ausdrücke, die manchmal Variable enthalten, auszumultiplizieren, zu vereinfachen und in Faktoren zu zerlegen. Sage ist auch undnicht zuletzt ein System zum symbolischen Rechnen, in der Lage, algebraische Rechnungenauszuführen (Rechnen mit Buchstaben) - und für anspruchsvollere Aufgaben auch auf Polynomringen oder Körpern von Quotienten von Polynomen.
In der Analysis1 kennt Sage die gebräuchlichen Funktionen wie Quadratwurzel, Potenz, Logarithmus und trigonometrische Funktionen und die damit gebildeten Ausdrücke. Sage leitet
ab, integriert und berechnet Grenzwerte, vereinfacht Summen, entwickelt Reihen, löst verschiedene Typen von Dierentialgleichungen.
Sage führt die in der linearen Algebra auf Vektoren, Matrizen und Vektorräumen üblichen
Operationen aus, Sage ermöglicht auch den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten, mit Statistik
und mit Fragen der Kombinatorik.
So sind die von Sage behandelten Gebiete der Mathematik recht vielfältig, von der Gruppentheorie bis zur numerischen Analysis. Sage kann die erhaltenen Ergebnisse auch als ebeneoder räumlichelder und als Animationen darstellen.

1

In Frankreich ist der Begri Analysis etwas weiter gefasst als in Deutschland, wo nur Dierntial- undIntegralrechnung dazu zählen. In Frankreich gehören auch alle Themen dazu, die Leonhard Euler im ersten
Band seiner Introductio in analysin innitorum behandelt hat.

3

1. Erste Schritte

Ziele und Entwicklung von Sage
William Stein, ein Mathematiker aus den USA, Forscher und Hochschullehrer, beginnt 2005 mit der Entwicklung von Sage mit dem Ziel, eine Mathematik-Software
zu schreiben, deren ganzer Code zugänglich und lesbar sein sollte. Das Programm
ist zunächst auf das Arbeitsgebiet seines Autors zugeschnitten, die Zahlentheorie.
Nach und nach formiert sich eine internationale Community von mehreren hundert
Entwicklern, die meisten Forscher oder Lehrende. Mit der Zeit erweitert sich die
Funktionalität der Beiträge, um auch andere Gebiete der Mathematik abzudecken,
was aus Sage den Software-Generalisten gemacht hat, der es heute ist.
Nicht nur, dass Sage kostenlos herunter geladen und verwendet werden kann, Sage
ist auch frei. Seine Autoren verzichten auf jede Beschränkung bei der Verteilung,
der Installation, ja selbst der Modikation, vorausgestzt, dass die modizierten Versionen ebenfalls frei sind. Wäre Sage ein Buch, könnte das in allen Bibliotheken
ohne weiteres verliehen oder fotokopiert werden. Diese Erlaubnis harmoniert mit
der Verbreitung von Wissen, wie sie durch Forschung und Lehre angestrebt wird.
Die Entwicklung von Sage geht relativ schnell vor sich, denn es bevorzugt die Einbindung bereits existierender freier Software. Sage selbst ist in Python geschrieben,
einer weithin verwendeten und leicht zu erlernenden Programmiersprache. Dieser Code ruft andere bereits existierende Mathematikprogramme auf, die mit Sage geliefert
werden.
Wie fast alle Mathematikprogramme arbeitet auch Sage mit Befehlen, die in einer
Programmiersprache geschrieben sind. Man kann dennoch nicht von einer eigenen
Sprache Sage reden: es ist Python, das diese Rolle übernimmt, und zwar mit etlichen syntaktischen Abkürzungen zur Erleichterung der mathematischen Notation.
Die vom Anwender eingegebenen Befehle werden durch den Interpreter Python ausgewertet. Für komplexe oder auch nur sich wiederholende Rechnungen ist es möglich,veritable Programme zu schreiben statt der zeilenweisen Eingabe von Befehlen, undsie sogar, warum nicht, zur Einbindung in Sage vorschlagen.

Abb. 1.1 - Das erste Auftreten des Namens Sage in einem Heft von W. Stein. Ursprünglich war Sage auchein Akronym, sobald sich das System aber auf die Gesamtheit der Mathematik erweitert hat, ist allein derName Sage geblieben, der im Englischen Salbei

a bedeutet.

a Ein stilisiertes Bild dieser Heilpanze ziert denn auch den Buchdeckel des französischen Originals.
Natürlich kann man

4sage auch mit weise übersetzen.

1.1. Das Programm Sage

Abb. 1.2 - Ein Arbeitsblatt im Sage-Notebook

Die Verwendung einer und derselben Software zur Behandlung unterschiedlicher Aspekte derMathematik befreit den Mathematiker, welchen Niveaus auch immer, von der Notwendigkeit,
Daten zwischen verschiedenen Werkzeugen hin und her zu schieben und vom Erlernen der Syntax verschiedener Programmiersprachen. Sage will auf seinen verschiedenen Einsatzgebieten
homogen sein.
1.1.2. Zugang zu Sage

Die im Buch beschriebene Möglichkeit, ein Sage-Notebook auf einem öentlichen Server im
Internet einfach durch Aufruf der Seite http.//sagenb.org zu nutzen, existiert seit dem
17. April 2015 nicht mehr. Stattdessen wird auf der Seite https://cloud.sagemath.com/
ebenfalls kostenlos die viel umfangreichere Sage Cloud angeboten. Deren Benutzung wird hiernicht beschrieben, wir empfehlen stattdessen die Installation von Sage auf Ihrem Rechner, dieim folgenden für Linux-Rechner beschrieben ist. Für andere Betriebssysteme ist das Verfahrenähnlich2 , Anleitungen ndet man auf der Sage-Seite.

2

Sage ist für die meisten Betriebssysem verfügbar, Linux, Windows, Mac OS X und Solaris.

51. Erste Schritte

Abb. 1.3 - Sage von der Konsole

1. Rufen Sie die Seite https://sagemath.org auf und klicken Sie den Download-Buttonan.
2. Wählen Sie einen Lieferanten aus, z.B. die Freie Universität Berlin.
3. Entscheiden Sie sich für eine Rechnerarchitektur, z.B. 64 bit.
4. Laden Sie die für Ihr Betriebssystem passende Sage-Version herunter.
5. Entpacken Sie die heruntergeladene Datei in ein Verzeichnis, z.B. nach ~/bin.
6. Richten Sie für die Dateien, die Sie im weiteren Verlauf erstellen werden, ein Arbeitsverzeichnis ein, z.B. mit mkdir ~/SageWorkSpace.
7. Erstellen Sie in Ihrem persönlichen Verzeichnis eine Textdatei, z.B. mit dem Namensage, die zwei Zeilen enthält:

cd ~/SageWorkSpace~/bin/SageMath/sage
Diese Zeile bewirken erstens den Wechsel in Ihr Arbeitsverzeichnis und zweitens vondort aus den Start von Sage.

6

1.1. Das Programm Sage
8. Starten Sie nun Sage mit dem Befehl . sage, wobei Sie bitte auf den Punkt und das
folgende Leerzeichen achten. Sage wird sich nun einrichten und durch den Prompt

sage:
auf der Sage-Konsole seine Bereitschaft anzeigen, Ihre Anweisungen entgegenzunehmen.

Abb. 1.4 - Die Hilfe zu den Notebooks

1.1.3. Quellen

Probieren Sie die Hinweise auf help() und notebook() bitte in aller Ruhe aus. Möglicherweise gefällt Ihnen die Arbeit mit Sage-Arbeitsblättern (worksheets) besser als mit der SageKonsole, doch werden wir im Buch die Notation für die Sage-Konsole verwenden. Eine Einweisung in den Umgang mit Sage-Arbeitblättern nden Sie, wenn Sie notebook() aufgerufen
haben und dann den Menupunkt Help anklicken. .

7

1. Erste Schritte
Ob Sie die Sage-Konsole lieber mit weiÿer Schrift auf schwarzem Grund oder mit schwarzer
Schrift auf hellem Grund vor sich sehen, ist Geschmackssache3 und einstellbar.
Auf der Seite sagemath.org nden unter dem Button Help/Documentation etliche Links, wo
Sie Informationen zu Sage in verschieden Sprachen - darunter auch in der deutschen - und inverschiedenen Formaten nden können.

1.2. Sage als Taschenrechner
1.2.1. Erste Rechnungen

In diesem Buch stellen wir die Rechnungen mit Sage dar in der Formsage: 1+1
2
Die Zeichenkette sage: am Beginn der ersten Zeile ist die Eingabemarke oder der Prompt
des Systems. Der Prompt (der in den Arbeitsblättern nicht erscheint), zeigt an, dass Sageeinen Befehl des Anwenders erwartet. Dahinter ist ein Befehl einzugeben, der nach Drücken
der Taste <Enter> ausgewertet wird. Die folgenden Zeilen enthalten die Antwort des Systems,
das ist im allgemeinen das Ergebnis einer Rechnung. Manche Instruktionen erstrecken sichüber mehrere Zeilen (siehe Kapitel 3). Die zusätzlichen Befehlszeilen werden dann durch
den Zwischenprompt ....: eingeleitet. Bei der Eingabe eines mehrzeiligen Befehls wird
jede Zeile mit <Enter> abgeschlossen. Auÿerdem muss auf die richtige Einrückung geachtet
werden (Verschiebung der Zeile mit Leerzeichen in Bezug auf die Zeile darüber). Dabei mussder Zwischenprompt am Zeilenanfang stehen bleiben.
In den Arbeitsblättern wird der Befehl direkt in die markierte Rechenzelle eingegeben. Die
Eingabe wird nach Anklicken von Evaluate unter der Zelle oder nach Eingabe der Tastenkombination <Shift><Enter> ausgewertet. Die Tastenkombination <Alt><Enter> erzeugt eine neue Zelle unter der aktuellen und bewirkt auÿerdem deren Auswertung Durch Anklicken
des Symbols + oberhalb oder unterhalb der aktuellen Zelle kann ebenfalls eine neue Zelle
geönet werden.
Sage interpretiert einfache Formeln wie ein wissenschaftlicher Taschenrechner. Die Operaionen+, ∗ usw. haben die übliche Priorität und Klammern die gewohnte Funktion.

3Über Geschmack lässt sich bekanntlich nicht streiten - schon deshalb nicht, weil es nur einen einzigen
richtigen gibt, nämlich meinen.

8

1.2. Sage als Taschenrechner
Arithmetische Operationen
die vier Grundrechenarten a+b, a-b, a*b, a/b
Potenz a^b oder a**b
Quadratwurzel sqrt(a)n-te Wurzel a^(1/n)
Operationen auf ganzen Zahlen
Ganzzahldivision a // bRest, modulo a % b
Fakultät n! factorial(n)Binomialkoezient nk
binomial(n,k)
Gebrauchliche Funktionen auf R und C
ganzzahliger Anteil floor(a)Absolutwert, Modul abs(a)elementare Funktionen sin, cos, ... (siehe Tabelle 2.2)
Tab. 1.1 - Einige gebräuchliche Funktionen

sage: (1 + 2*(3 + 5))*2
34
Hier steht das Zeichen ∗ für die Multiplikation und darf nicht weggelassen werden, auch nicht
in Ausdrücken wie 2x. Die Potenz wird mit ^ oder mit ∗∗ notiert:

sage: 2^38sage: 2**3
8
und die Division mit /sage: 20/6
10/3
Wir sehen, dass eine exakte Rechnung erfolgt. Das Resultat der Division ist nach der Vereinfachung die rationale Zahl 10/3 und nicht ein Näherungswert wie z.B. 3.33333. Für die Gröÿe
einer ganzen oder einer rationalen Zahl gibt es keine Grenze4 :sage: 2^101024
sage: 2^100
1267650600228229401496703205376
sage: 2^1000
1071508607186267320948425049060001810561404811705533607443750\
3883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251\
8714528569231404359845775746985748039345677748242309854210746\
0506237114187795418215304647498358194126739876755916554394607\
7062914571196477686542167660429831652624386837205668069376

4Auÿer der, die mit dem Speicher des Rechners gesetzt ist.

9

1. Erste Schritte
Um eine numerische Näherung zu erhalten, genügt es, eine der Zahlen mit Dezimalpunkt zu
schreiben (man kann statt 20.0 auch 20. oder 20.000 sagen).

sage: 20.0/14
1.42857142857143
Auÿerdem verarbeitet die Funktion numerical_approx das Ergebenis einer exakten Rechnung
und macht daraus eine numerische Näherung.

sage: numerical_approx(20/14)
1.42857142857143
Es ist möglich, Näherungen mit beliebig groÿer Genauigkeit zu berechnen Vergröÿern wir sie
beispielsweise auf 60 Ziern, um die Periode der Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl zu
erkennen:sage: numerical_approx(20/14, digits=60)
1.42857142857142857142857142857142857142857142857142857142857
Wir kehren zu den Unterschieden zwischen exakter und numerischer Rechnung im Kasten auf
Seite 12 zurück.
Die Operatoren // und % ergeben den Quotienten und den Rest der Division zweier ganzer
Zahlen.

sage: 20 // 6
3
sage: 20 % 62
Es gibt noch viele andere Funktionen auf ganzen Zahlen, von denen wir hier nur die Fakultät
oder den Binomialkoezienten erwähnen wollen (siehe Tabelle 1.1).

sage: factorial(100)93326215443944152681699238856266700490715968264381621\
46859296389521759999322991560894146397615651828625369\
7920827223758251185210916864000000000000000000000000
Hier nun noch eine Möglichkeit der Zerlegung einer ganzen Zahl in Primfaktoren. In Kapitel
5 greifen wir dieses Problem wieder auf und dann noch einmal in Kapitel 6.

sage: factor(2^(2^5)+1)
641 * 6700417
nFermat hatte vermutet, dass alle Zahlen der Form 22 +1 Primzahlen wären. Das obige Beispiel
ist das kleinste, das Fermats Vermutung widerlegt.

101.2. Sage als Taschenrechner
1.2.2. Elementare Funktionen und Konstanten

Man ndet die gebräuchlichen Funktionen und Konstanten, die auch mit komplexen Zahlen
verwendet werden können, in den Tabellen 1.1 und 1.2. Auch da sind die Rechnungen exakt:
Wichtige Werte
Wahrheitswerte wahr und falsch
imaginäre Einheit
unendlich ∞True, False
I oder i
infinity oder oo

Gebräuchliche Konstanten
Kreiszahl π pi
Eulersche Zahl e = exp(1) e
Euler-Mascheroni-Konstante√ γ euler_gamma
Goldener Schnitt ϕ = (1 + 5)/2 golden_ratio
Catalansche Konstante catalan
Tabelle 1.2 - Vordenierte Konstanten

sage: sin(pi)0sage: tan(pi/3)
sqrt(3)sage: arctan(1)1/4*piA sage: exp(2*I*pi)
1bzw. endet mit Rückgabe einer Formel statt eines Zahlenwertes:

sage: arccos(sin(pi/3))
arccos(1/2*sqrt(3))
sage: sqrt(2)sqrt(2)|sage: exp(I*pi/6)e^(1/6*I*pi)
Die Formeln, die man so erhält, sind nicht immer das, was man erwartet hat. Tatsächlicherfolgen nur wenige Vereinfachungen automatisch. Erscheint ein Resultat zu komplex, kannman versuchen, zur Vereinfachung explizit eine Funktion aufzurufen:

sage: simplify(arccos(sin(pi/e)))
1/6*pisage: simplify(exp(i*pi/6))
1/2*sqrt(3) +,1/2*I
In Abschnitt 2.1 werden wir sehen, wie man die Vereinfachung von Ausdrücken noch besser
steuern kann. Natürlich kann man auch numerische Näherungen der Ergebnisse berechnen(am häugsten mit einer Genauigkeit, die man vorschreibt):

sage: numerical_approx(6*arccos(sin(pi/3)), digits=60)
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

11

1. Erste Schritte
sage: numerical_approx(sqrt(2), digits=60)
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317668

Symbolisches Rechnen und numerische Methoden
Ein Computer-Algebra-System (CAS) zum symbolischen Rechnen ist eine Software,deren Zweck die Bearbeitung, die Vereinfachung und die Berechnung mathematischer Formeln einzig durch exakte Umformungen ist. Der Terminus symbolisch steht
hier als Gegensatz zu numerisch. Er besagt, dass die Rechnungen auf symbolischen
Ausdrücken stattnden und zwar algebraisch. Im Englischen sagt man computer
algebra oder symbolic computation.
Die Taschenrechner verarbeiten ganze Zahlen mit weniger als einem Dutzend Stellen
exakt, gröÿere Zahlen werden gerundet, was zu Fehlern führt. So wertet ein Taschenrechner den folgenden Ausdruck falsch aus und liefert 0 anstatt 1:(1 + 1050 )1050
Solche Fehler sind schwer zu nden, wenn sie durch keine theoretische Untersuchungvorhergesehen - und auch nicht leicht vorhersehbar - bei einer Zwischenrechnung auftreten. Die Systeme zum symbolischen Rechnen hingegen verschieben diese Grenzen
und führen bei den ganzen Zahlen keine Rundungen durch, damit die Rechnungenin ihrem ganzen Verlauf exakt bleiben: sie beantworten die obige Rechnung mit 1.
Rπ
Die Verfahren zur numerischen Analysis nähern das Integral cos tdt mit einer vor0

gegebenen Genauigkeit an (Trapezregel, Simpson, Gauÿ) um zum Beispiel ein numerisches Ergebnis zu erhalten, das mehr oder weniger dicht an 0 liegt (beispielsweise
10−10 ), ohne sagen zu können, dass das Resultat exakt die ganze Zahl 0 ist - oderauch, dass es fast 0 ist aber nicht genau 0.
Rπ
Ein CAS formt das Integral cos tdt durch eine Manipulation der mathematischen
0Symbole in die Formel sin π − sin 0 um, die dann exakt zu 0 − 0 ausgewertet wird.
Rπ
Diese Methode beweist deshalb cos tdt = 0.
0

Dennoch haben auch die nur algebraischen Umformumgen ihre Grenzen. Die meisten
der von einem CAS verarbeiteten Ausdrücke sind Quotienten von Polynomen und
ein Ausdruck a/a wird automatisch zu 1 vereinfacht. Solche algebraische Rechnung
eignet sich nicht zum Lösen von Gleichungen; in diesem Rahmen hat die Gleichungax = a die Lösung x = a/a, was zu x = 1 vereinfacht wird ohne zu bemerken, dassfür a = 0 jede Zahl x Lösung der Gleichung ist.

1.2.3. Online-Hilfe und automatische Vervollständigung

Interaktiv kann man auf das Referenz-Handbuch zugreifen und jede Funktion, jede Konstanteoder jeden Befehl nachschlagen, indem man dahinter ein Fragezeichen schreibt

sage: sin?
Die Seite der Dokumentation (auf englisch) enthält die Beschreibung der Funktion und Anwendungsbeispiele.

121.2. Sage als Taschenrechner
Die Tabulator-Taste <TAB> nach einem Wortanfang zeigt alle Befehle, die so anfangen: arc
gefolgt von <TAB> zeigt die Namen sämtlicher Arkus- und Areafunktionen:sage: arcarc
arccosharccos arccot

arccotharccscarccsch arcsech arcsinh arctan2
arcsec arcsin arctan arctanh

1.2.4. Python-Variablen

Sobald man das Resultat einer Rechnung speichern möchte, kann man es einer Variablen
zuweisen:sage: y = 1 + 2
um es später weiterzuverwenden:

sage: y3
sage: (2 + y) * y
15
Zu beachten ist, dass das Resultat nach einer Zuweisung nicht automatisch ausgegeben wird.
Oft werden wir auch die folgende Akürzung verwenden:

sage: y = 1 + 2; y
3
Das Semikolon ; trennt mehrere Anweisungen auf einer einzigen Zeile. Die Berechnung desErgebnisses erfolgt vor der Zuweisung. Daher kann man dieselbe Variable weiterverwenden:

sage: y = 3 * y + 1; y10sage: y = 3 * y + 1; y31
sage: y = 3 * y + 1; y94
Schlieÿlich speichert Sage die Ergebnisse der letzten drei Rechnungen in den Sondervariablen_, __ und ___:

sage: 1 + 1
2
sage: _ + 1
3
sage: __
2
Die Variablen, die wir gerade bearbeitet haben, sind Variablen aus der Programmierung in
Python, und wir werden das im Unterabschnitt 3.1.3 noch einmal genauer behandeln. Hierwollen wir nur vermerken, dass es empehlenswert ist, weder Funktionen noch in Sage vordenierte Konstanten zu überschreiben. Das würde den internen Ablauf von Sage zwar nicht
beeinträchtigen, doch die nachfolgenden Ergebnisse Ihrer Rechnungen oder Iher Programme
könnten unsicher werden.:131. Erste Schritte
sage: pi = -I/2
sage: exp(2*i*pi)e
Zur Wiederherstellung des Ausgangswertes kann ein Befehl verwendet werden wie: So sind die
von Sage behandelten Gebiete der Mathematik recht vielfältig, von der Gruppentheorie bis zur
numerischen Analysis. Sage kann die erhaltenen Ergebnisse auch als ebene oder räumlichelder
und als Animationen darstellen.

sage: from sage.all import pi
1.2.5. Symbolische Variablen√
Bis jetzt haben wir nur konstante Ausdrücke wie sin( 2) verarbeitet. Sage ermöglicht auch
und vor allem mit Ausdrücken zu rechnen, die Variablen enthalten wie x + y = z oder auchsin(x) + cos(x). Die symbolischen Variablen des Mathematikers, x, y, z , erscheinen in Sagein verschiedenen Ausdrücken, Variablen des Programmierers, denen wir schon im vorigen
Abschnitt begegnet sind. Sage unterscheidet sich insbesondere in diesem Punkt von anderen
CAS wie Maple oder Maxima.
Die symbolischen Variablen müssen vor ihrer Verwendung explizit deklariert werden5 :sage: z = SR.var('z')
sage: 2*z + 3
2*z + 36
In diesem Beispiel konstruiert der Befehl var('z') eine symbolische Variable mit dem Namen z . Diese symbolische Variable ist ein Sage-Objekt wie andere auch: sie wird nicht anders
behandelt als komplexere Ausdrücke wie sin(x) + 1. Dann wird diese symbolische Variable der
Variablen z des Programmiers zugeordnet, was ermöglicht, sich ihrer zur Bildung beliebig
komplexer Ausdrücke zu bedienen.
Wir hätten z auch einer anderen Variablen als z zuordnen können:

sage: y = SR.var('z')
sage: 2*y + 3
2*z + 3Die systematische Bindung der symbolischen Variablen z an die Variable z ist daher keinebloÿe Konvention, sondern sie wird zur Vermeidung von Verwirrung empfohlen.
Andererseits hat die Variable z mit der symbolischen Variablen z nichts zu tun:sage: c = 2*y + 3
sage: z = 1
sage: 2*y + 3
2*z + 3sage: c2*z + 3

5
6

Tatsächlich ist die symbolische Variable x in Sage vordeniert - das ist aber auch die einzige.

SR steht für Symbolic Ring, siehe dazu auch Kapitel 5.

14

1.2. Sage als Taschenrechner
Wie weist man einer symbolischen Variablen nun aber einen Wert zu, der in einem Ausdruckerscheint? Man substituiert, wie in

sage: x = SR.var('x')
sage: expr = sin(x); expr
sin(x)
sage: expr(x=1)
sin(1)
Ausführlich wird die Substitution in symbolischen Ausdrücken in Kapitel 2 behandelt.

Übung 1. Erläutern Sie Schritt für Schritt, was bei dieser Anweisungsfolge vor sich geht:
u = SR.var('u')
u = u+1
u = u+1u
Da es ein wenig arbeitsaufwendig ist, auf diese Weise eine groÿe Zahl von symbolischen Variablen zu generieren, gibt es eine Kurzform var('x'), die zu x = SR.var('x') äquivalentist. Beispielsweise kann man schreiben

sage: var('a, b, c, x, y')(a, b, c, x, y)
sage: a*x + b*y + c
a*x + b*y + c
Wird die explizite Variablendeklaration als zu schwerfällig eingeschätzt, kann das Verhalten
von Maxima oder Maple emuliert werden. Im Moment (Sage 7.6) steht diese Funktionalität
nur im Notebook zur Verfügung. Dort führt nach dem Aufruf vonsage: automatic_names(True)jeder Gebrauch einer neuen Variablen implizit zur Erzeugung einer symbolischen Variablen
gleichen Namens und ihre Zuweisung.

sage: 2*bla + 3
2*bla + 3
sage: bla
bla
1.2.6. Erste Graken

Der Befehl plot ermöglicht auf ganz einfache Weise das Zeichnen des Graphen einer reellen
Funktion in einem gegebenen Intervall. Der Befehl plot3d dient zum Zeichnen in drei Dimensionen, wie den Graphen einer reellen Funktion von zwei Veränderlichen. Hier die Befehle, mit
denen die Graken in Abb. 1.3 (S. 6) erzeugt wurden:

sage: plot(sin(2*x), x, -pi, pi)
sage: plot3d(sin(pi*sqrt(x^2+y^2))/sqrt(x^v2+y^2), (x,-5,5), (y,-5,5))
Die graschen Möglichkeiten von Sage zeigen sich auch an anderen Beispielen. Ausführliche
Erklärungen folgen im 4. Kapitel.

15

2. Analysis und Algebra
Dieses Kapitel stellt anhand einfacher Beispiele die Grundfunktionen vor, die in Analysis und
Algebra von Nutzen sind. Schüler und Studenten werden hier Material nden, um Bleistift
und Papier durch Tastatur und Bildschirm zu ersetzen, und damit für das Verstehen vonMathematik vor der gleichen intellektuellen Herausforderung stehen.
Diese Auistung der gebräuchlichsten Befehle für das Rechnen mit Sage will auch für Oberstufenschüler zugänglich erscheinen. Mit einem Stern (∗) gekennzeichnet, bilden sie Ergänzungen
für Studenten im ersten Studienjahr. Wegen weiterer Einzelheiten verweisen wir auf die anderen Kapitel.

2.1. Symbolische Ausdrücke und Vereinfachungen2.1.1. Symbolische Ausdrücke

Sage ermöglicht alle Arten von Rechnungen zur Analysis mit symbolischen Ausdrücken undZahlen auszuführen, mit symbolischen Variablen, den vier Grundrechenarten und den üblichen
Funktionen wie sqrt, exp, log, sin, cos etc. Ein symbolischer Ausdruck kann durch einen
Baum dargestellt werden, wie in Abb. 2.1. Es ist wichtig zu verstehen, dass ein symbolischer
Ausdruck eine Formel ist und kein Wert oder eine mathematische Funktion. So erkennt Sage
nicht, dass die folgenden Ausdrücke gleich sind1 :sage: bool(arctan(1+abs(x)) == pi/2 - arctan(1/(1+abs(x))))
False
∗

+

^
x

2

∗
2

3

x

x^2 + 3*x + 2

+
x

+
1

x

2

(x + 1)*(x + 2)

Abb. 2.1 - Zwei symbolische Ausdrücke, die dasselbe mathematische Objekt darstellen.

1

Der Test auf Gleichheit == ist insofern kein einfacher syntaktischer Vergleich von Formeln: beispielsweise

werden in Sage 7.6 die Ausdrücke arctan(sqrt(2)) und pi/2 - arctan(1/sqrt(2) als gleich betrachtet.
Wenn man zwei Ausdrücke mit bool(x==y) vergleicht, versucht Sage zu beweisen, dass ihre Dierenz null
ist und gibt True zurück, wenn das gelingt.

17

2. Analysis und Algebra
Dank der in diesem Kapitel vorgestellten Befehle kann der Anwender Ausdrücke umformen
und sie in die gewünschte Form bringen.
Die wohl häugste Operation ist das Auswerten eines Ausdrucks, indem einem oder mehrerender darin vorkommenden Parameter ein Wert zugewiesen wird. Das bewirkt die - vielleicht
nicht immer ausdrücklich angegebene - Methode subs.

sage: a, x = var('a, x'); y = cos(x+a) * (x+1); y(x + 1)*cos(a + x)
sage: y.subs(a=-x); y.subs(x=pi/2, a=pi/3); y.subs(x=0.5, a=2.3)
x + 1-1/4*sqrt(3)*(pi + 2)
-1.41333351100299
sage: y(a=-x); y(x=pi/2, a=pi/3); y(x=0.5, a=2.3)
x + 1-1/4*sqrt(3)*(pi + 2)
-1.41333351100299
Wie auch in der üblichen Schreibweise x 7→ f (x) muss der Name der ersetzten Variablen angegeben werden. Die Substitution mehrerer Variablen geschieht auf analoge Weise, indem alle
Ersetzungen nacheinander hingeschrieben werden, wie die beiden nächsten Beispiele zeigen:sage: x, y, z = var('x, y, z') ; q = x*y + y*z + z*x
sage: bool(q(x=y, y=z, z=x) == q), bool(q(z=y)(y=x) == 3*x^2)(True, True)
Um einen Unterausdruck zu ersetzen, der komplizierter ist als eine Variable, greift man zur
Funktion substitute.

sage: y, z = var('y, z'); f = x^3 + y^2 + z
sage: f.substitute(x^3 == y^2, z==1)2*y^2 + 1
2.1.2. Umformung von Ausdrücken

Die einfachsten Ausdrücke mit Variablen sind die Polynome und Quotienten aus zwei Polynomen mit einer oder mehreren Variablen. Die Funktionen, die erlauben, sie auf verschiedene
Weise umzuschreiben oder in eine Normalform zu bringen, sind in Tabelle 2.1 aufgeführt. Zum
Beispiel dient die Funktion expand dazu, Polynome auszumultiplizieren.

sage: x, y = SR.var('x,y')
sage: p = (x+y)*(x+1)^2
sage: p2 = p.expand(); p2x^3 + x^2*y + 2*x^2 + 2*x*y + x + ywährend die Methode collect die folgenden Terme nach fallenden Potenzen einer gegebenen
Variablen umordnet:

sage: p2.collect(x)x^3 + x^2*(y + 2) + x*(2*y + 1) + y
Diese Funktionen werden auch auf Ausdrücke angewendet, die Polynome sind, aber keine mit
symbolischen Variablen sondern mit Unterausdrücken, die komplizierter sind als sin(x):182.1. Symbolische Ausdrücke und Vereinfachungensage: ((x+y+sin(x))^2.expand().collect(sin(x))
2*(x + y)*sin(x) + x^2 + 2*x*y + y^2 + sin(x)^2

Symbolische Funktionen
Sage erlaubt auch die Denition von symbolischen Funktionen zur Verarbeitung eines
Ausdrucks.
sage: f(x) = (2*x + 1)^3; f(-3)-125
sage: f.expand()x |--> 8*x^3 + 12*x^2 + 6*x + 1
Eine symbolische Funktion ist nichts anderes als ein Ausdruck, den man wie einen
Befehl aufrufen kann und bei dem die Reihenfolge der Variablen festgelegt ist. Um
einen symbolischen Ausdruck in eine symbolische Funktion zu verwandeln, benutzt
man entweder die schon erwähnte Syntax oder die Methode function:
sage: y = var('y'); u = sin(x) + x*cos(y)sage: v = u.function(x, y); v(x, y) |--> x*cos(y) + sin(x)sage: w(x, y) = u; w
(x, y) |--> x*cos(y) + sin(x)Die symbolischen Funktionen dienen zur Modellierung mathematischer Funktionen.
Sie spielen nicht die gleiche Rolle wie die Funktionen (oder Prozeduren ) in Python.
Das sind Konstruktionen der Programmierung, die wir im 3. Kapitel beschreiben.
Der Unterschied zwischen beiden entspricht dem Unterschied zwischen symbolischen
Variablen und den in Unterabschnitt 1.2.4 vorgestellten Python-Variablen.
Praktisch verwendet man eine symbolische Funktion genauso wie einen Ausdruck,
was bei Python-Funktionen nicht der Fall ist, beispielsweise verfügen letztere nichtüber die Methode expand.

Polynom p = zx

p.expand().collect(x)p.collect(x).collect(y)p.expand()p.factor()p.factor_list2+ x2 − (x2 + y 2 )(ax − 2by) + zy 2 + y 2−ax3 − axy 2 + 2byy 3 + (2by + z + 1)x2 + y 2 z + y 2
2bx2 y + 2by 3 − (ax − z − 1)x2 − (ax − z − 1)y 2−ax3 − axy 2 + 2bx2 y + 2by 3 + x2 z + y 2 z + x2 + y 2−(x2 + y 2 )(ax − 2by − 7 − 1)[(x2 + y 2 , 1), (ax − 2by − z − 1, 1), (−1, 1)]x3 + x2 y + 3x2 + 3xy + 2x + 2yx3 + 2x2 + xy + 2y(x + 1)y + x2 + x
x2 + y(x + 1)(x + y)x2 + y
x2
xy
x
y
+ 2
+ 2
+ 2
x2 + y
x +y
x +y
x +y

Quotient von Polynomen r =r.simplify_rational()r.factor()r.factor().expand()(x − 1)x
y2
b
c
1
+ 2
+ + +
2
x −7
x −7
a
a
x+1
(x − 1)x + y 2
b+c
1
+
+
x2 − 7ax+1

Quotient von Polynomen r =r.combine()1(x3 + 1)y 2(x − 2)
1−+
3(x2 − x + 1)y 2
3(x + 1)y 3

Quotient von Polynomen r =r.partial_fraction(x)19

2. Analysis und Algebra
Tab. 2.1 - Polynome und Quotienten von Polynomen

2

Was Quotienten von Polynomen angeht, d.h. gebrochen rationale Ausdrücke, so erlaubt die
Funktion combine die Umgruppierung von Termen mit gleichem Nenner, während die Funktion partial_fraction die Zerlegung in einfache Elemente in Q bewirkt (Eine genauere
Beschreibung dieses Körpers, in dem die Zerlegung in einfache Elemente zu erfolgen hat, wird
man in Abschnitt 7.4 nden.)
Die gebräuchlichsten Darstellungen sind für das Polynom die ausmultiplizierte Form und für
den Quotienten zweier Polynome die gekürzte Form P/Q mit ausmultiplizierten P und Q.
Sobald zwei Polynome oder zwei Quotienten von Polynomen in diesen Formen geschrieben
sind, genügt für die Entscheidung, ob sie gleich sind, der Vergleich ihrer Koezienten: man
nennt diese Formen die Normalformen.
2.1.3. Gebräuchliche mathematische Funktionen

In Sage liegen schon die meisten mathematischen Funktionen vor. insbesondere die trigonometrischen Funktionen, die Logarithmus- und die Exponentialfunktion: In Tab. 2.2 sind sie
zusammengestellt. Die Vereinfachung dieser Funktionen ist wesentlich. Um einen Aussdruckoder eine symbolische Funktion zu vereinfachen, verfügen wir über die Funktion simplify:
Gebräuchliche mathematische Funktionen
Exponentialfunktion und Logarithmus
Logarithmus zur Basis atrigonometrische Funktionen
Arcusfunktionen
hyperbolische Funktionen
Areafunktionen
ganzzahliger Anteil usw.
Quadratwurzel und n−te Wurzel

exp, log
log(x,a)sin, cos, tan, cot, sec, csc
arcsin, arccos, arctan, arccot
sinh, cosh, tanh, cotharcsinh, arccosh, arctanh, arccoth
floor, ceil, trunc, roundsqrt, nth_root

Umformung trigonometricher Ausdrücke
VereinfachungLinearisierung
Anti_Linearisierungsimplify_trig
reduce_trig
expand_trig

Tab. 2.2 - Gebräuchliche Funktionen und Vereinfachungensage: (x^x/x).simplify()x^(x-1)
Jedoch muss man für feinere Vereinfachungen den Typ der erwarteten Vereinfachung angeben:

sage: f = (e^x-1) / (1+e^(x/2)); f.simplify_exp()e^(1/2*x) - 1
Entsprechend nimmt man den Befehl simplify_trig zur Vereinfachung trigonometrischer
Ausdrücke.

2

Die Darstellung der Ausdrücke auf der rechten Seite erhält man in einem Sage-Arbeitsblatt nach Aktivierung
von Typeset.

202.1. Symbolische Ausdrücke und Vereinfachungensage: f = cos(x)^6 + sin(x)^6 + 3*sin(x)^2*cos(x)^2
sage: f.simplify_trig()
1
Zur Linearisierung (bzw. Anti-Linearisierung) eines trigonometrischen Ausdrucks verwendet
man reduce_trig (bzw. expand_trig):

sage: f = cos(x)^6; f.reduce_trig()
1/32*cos(6*x) + 3/16*cos(4*x) + 15/32*cos(2*x) + 5/16
sage: f = sin(6*x): f.expand_trig()
6*cos(x)^5*sin(x) - 20*cos(x)^3*sin(x)^3 + 6*cos(x)*sin(x)^5
Man kann Ausdrücke mit Fakultäten ebenfalls vereinfachen:

sage: n = var('n'); f = factorial(n+1)/factoral(n)n+1
Was die Funktion simplify_rational angeht, so versucht sie, einen Quotienten von Polynomen dadurch zu vereinfachen, dass sie seine Glieder ausmultipliziert. Für die Vereinfachung von Quadratwurzeln, logarithmischen oder exponentiellen Ausdrücken steht die Funktion canonicalize_radical zur Verfügung.

sage: f = sqrt(abs(x)^2); f.canonicalize_radical()x
sage: y = var('y')
sage: f = log(x*y); f.canonicalize_radical()log(x) + log(y)Der Befehl simplify_full wendet die Funktionen simplify_factorial, simplify_ trig
und simplify_rational an (in dieser Reihenfolge).
Alles, was zur klassischen Palette einer Kurvendiskussion gehört (Berechnung von Ableitungen, Asymptoten, Extrema, Nullstellen und Skizze des Graphen), kann mit einem CAS leicht
realisiert werden. Sages wichtigste Operationen die man auf Funktionen anwenden kann, werden in Abschnitt 2.3 vorgestellt.
2.1.4. Vorgaben für eine symbolische Variable

Bei der Rechnung mit symbolischen Variablen wird im allgemeinen angenommen, dass sie
jeden Wert einer reellen oder komplexen Zahl annehmen können. Das führt zu Problemen,wenn ein Parameter eine auf ihren Denitionsbereich beschränkte Gröÿe darstellt (beispielsweise positiv reell).
√
Ein typischer Fall ist der Ausdruck x2 . Zur Vereinfachung solcher Ausdrücke bietet die
Funktion assume, mit der die Eigenschaften einer Variablen päzisiert werden können, eine
gute Lösung. Möchte man diese Vorgabe wieder aufheben, kommt der Befehl forget zum
Einsatz:

sage: assume(x>0); bool(sqrt(x^2) == x)
True
sage: forget(x>0); bool(sqrt(x^2) == x)
False

21

2. Analysis und Algebra
sage: n = var('n'); assume(n, 'integer'); sage: sin(n*p).simplify()0
2.1.5. Mögliche Gefahren

Sei c ein ganz klein wenig komplizierter Ausdruck:

sage: a = var('a')
sage: c = (1+a)^2 - (a^2+2*ab+1)
und versuchen wir, die in x gegebene Gleichung cx = 0 nach x aufzulösen:Das Problem der Vereinfachung
Die Beispiele in Unterabschnitt 2.5.1 illustrieren die Wichtigkeit der Normalformen
und spziell des Tests auf 0, ohne den jede Rechnung, die eine Division enthält, zum
Glücksspiel wird.
Bestimmte Familien von Ausdrücken, die aussehen wie Polynome, lassen eine Prozedur zu, die entscheidet, ob der Nenner 0 ist. Das heiÿt, dass für diese Klassen
von Ausdrücken ein Programm entscheiden kann, ob ein gegebener Ausdruck null
ist oder nicht. In vielen Fällen wird diese Entscheidung durch Reduktion auf die
Normalform getroen: der Ausdruck ist null dann und nur dann, wenn wenn seine
Normalform 0 ist.
Unglücklicherweise können nicht alle Klassen von Ausdrücken eine Normalform bilden, und für einige Klassen kann man zeigen, dass es keine allgemeine Methode gibt,
die in endlicher Zeit feststellt, ob ein Ausdruck null ist. Ein Beispiel einer solchen
Klasse ist ein Ausdruck, der aus rationalen Zahlen, π , ln 2 und einer Variablen zusammengesetzt ist mit wiederholter Addition, Subraktion, Multiplikation, Exponentiation und der Sinusfunktion. Eine wiederholte Anwendung von numerical_approx
mit erhöhter Genauigkeit erlaubt häug eine Vermutung, ob ein spezieller Ausdrucknull ist oder nicht; doch es ist bewiesen, dass es nicht möglich ist, ein Programmzu schreiben, das als Argument einen Ausdruck dieser Klasse erhält und das wahre
Ergebnis zurückgibt, wenn das Argment null ist und andernfalls ein falsches.
Bei diesen Klassen stellt sich also das Problem der Vereinfachung mit gröÿter Schärfe. Ohne Normalform können die Systeme nur eine bestimmte Zahl von Umformungen angeben, mit denen der Anwender jonglieren muss, um zu einem Ergebnis zu
kommen. Um hier klarer zu sehen, muss man die Unterklassen der Ausdrücke identizieren, die Normalformen haben und wissen, welche Funktionen aufzurufen sind,um letztere zu berechnen. Sages Verhalten gegenüber diesen Schwierigkeiten wird in
Kapitel 5 ausführlicher behandelt.

sage: eq = c*x == 0x == 0
Ein unvorsichtiger Anwender wird versucht sein, diese Gleichung zu vereinfachen, bevor er sie
löst:

sage: eq2 = eq/c; eq2
x == 022

2.2. Gleichungensage: solve(eq2, x)[x == 0]Glücklicherweise macht Sage diesen Fehler nicht:

sage: solve(eq, x)[x == x]Hier konnte Sage die Aufgabe korrekt lösen, denn der Koezient c ist ein polynomialer Ausdruck. Daher kann c leicht auf 0 getestet werden. Es reicht hin, c auszumultiplizieren:

sage: expand(c)0
und davon Gebrauch zu machen, dass zwei Polynome mit gleicher ausmultiplizierter Formgleich sind, anders gesagt, dass die ausmultiplierte Form eine Normalform ist.
Im Gegenzug begeht Sage bei einem kaum komplizierteren Ausdruck einen Fehler:

sage: c = cos(a)^2 + sin(a)^2 - 1
sage: eq = c*x == 0
sage: solve(eq, x)[x == 0]und das, obwohl die Vereinfachung und der Test auf 0 korrekt sind:

sage: c.simplify_trig()0
sage: c.is_zero
True

2.2. Gleichungen
Wir wenden uns jetzt den Gleichungen zu und ihrer Lösung; die wichtigsten Funktionen dazu
sind in Tab. 2.3 zusammengestellt.
Numerische Gleichungensymbolische Lösung
Lösunmg (mit Mehrfachwurzeln)
numerische Lösung

solve
roots
find_root

Vektorgleichungen und Funktionsgleichungen
Lösung linearer Gleichungen
Lösung von Dierentialgleichungen
Lösung von Rekursionen

right_solve, left_solve
desolversolveTab. 2.3 - Lösung von Gleichungen23

2. Analysis und Algebra
2.2.1. Explizite Lösung

Wie betrachten folgende Gleichung mit der Unbekannten z und dem Parameter ϕ:

z2 −

2
5
z+
− 4 = 0,cos ϕcos2 ϕi π πhmit ϕ ∈ − ,.
2 2

Wir schreiben

sage: z, phi = var('z, phi')sage: eq = z**2 - 2/cos(phi)*z + 5/cos(phi)**2 - 4 == 0; eqz^2 - 2*z/cos(phi) + 5/cos(phi)^2 - 4 == 0
Mit der Methode lhs (bzw. mit der Methode rhs) kann man die linke Seite der Gleichung(bzw. die rechte) isolieren:

sage: eq.lhs()
z**2 - 2/cos(phi)*z + 5/cos(phi)**2 - 4
sage: eq.rhs()0
was jedoch nicht erforderlich ist, um sie mit solve zu lösen. In einem Sage-Arbeitsblatt sieht
das so aus:solve(eq,z)z = −q
2 cos (ϕ)2 − 1 − 1cos (ϕ)q
2 cos (ϕ)2 − 1 + 1,z =cos (ϕ)Sei nun die Gleichung y 7 = y zu lösen.

sage: y = var('y'); solve(y^7==y, y)[y == 1/2*I*sqrt(3) + 1/2, y == 1/2*I*sqrt(3) - 1/2, y == -1, y ==-1/2*I*sqrt(3) - 1/2, y == -1/2*I*sqrt(3) + 1/2, y == 1, y == 0]
Die Lösungen können auch in Gestalt eines Objekts vom Typ Diktionär3 zurückgegeben werden (siehe Unterabschnitt 3.3.9).

sage: solve(x^2-1, x, solution_dict=True)[{x: -1}, {x: 1}]
Der Befehl solve erlaubt ebenfalls das Lösen von Gleichungssystemen:

sage: solve({x+y == 3, 2*x+2*y == 6], x, y)[[x == -r1 + 3, y == r1]]
Bei unbestimmten Systemen wie diesem übernehmen Hilfsvariablen, die mit r1, r2 usw.
bezeichnet werden, die Parametrisierung der Lösungsmenge. Kommen als Parameter nur ganze
Zahlen in Betracht, werden sie mit z1, z2 usw. angegeben ((hierunter ist es z38, was je nach
Sage-Version auch anders sein kann).

sage: solve([cos(x)*sin(x) == 1/2, x+y == 0], x, y)[[x == 1/4*pi + pi*z38, y == -1/4*pi - pi*z38]]
3

engl.

24

dictionary2.2. Gleichungen
Schlieÿlich kann man mit der Funktion solve sogar Ungleichungen lösen:sage: solve(x^2+x-1 > 0, x)[[x < -1/2*sqrt(5) - 1/2], [x > 1/2*sqrt(5) - 1/2]]
Es kommt vor, dass von solve die Lösungen eines Gleichungssystems als Flieÿkommazahlen
zurückgegeben werden. Sei beispielsweise das folgende Gleichungssystem im C2 zu lösen: 2
 x yz = 18,
xy 3 z = 24,xyz 3 = 3.

sage: x, y, z = var('x, y, z')sage: solve([x^2*y*z == 18, x*y^3*z == 24,\....: x*y*z^4 == 3], x, y, z)[[x = (-2.76736473308 - 1.71347969911*I), y = (-0.570103503963 +2.00370597877*I), z = (-0.801684337646 - 0.14986077496*I)],...]
Sage gibt hier 17 angenäherte komplexe Lösungstripel zurück. Wegen symbolischer Lösungenbefrage man das 9. Kapitel.
Um die numerische Lösung einer Gleichung zu erhalten, verwendet man die Funktion find_root,
die als Argument eine Funktion einer Veränderlichen oder eine symbolische Gleichung sowie
die Grenzen des Intervalls aufnimmt, in welchem die Lösung gesucht werden soll.

sage: expr = sin(x) + sin(2*x) + sin(3*x)
sage: solve(expr, x)[sin(3*x) == -sin(2*x) - sin(x)]Zu dieser Gleichung ndet Sage keine symbolische Lösung. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
entweder greift man zu einer numerischen Lösung

sage: find_root(expr,0.1,pi)
2.0943951023931957
oder man formt den Ausdruck vorher um:

sage: f = f = expr.simplify_trig(); f2*(cos(x)^2 + cos(x))*sin(x)sage: solve(f, x)[x == 0, x == 2/3*pi, x == 1/2*pi]
Schlieÿlich kann man mit der Funktion roots die exakten Lösungen samt deren Vielfachheit
bekommen. Man kann überdies den Ring angeben, in welchem man die Lösung zu erhalten
wünscht; wählt man RR für R oder CC für C, erhält man die Ergebnisse als Flieÿkommazahlen. Das untenstehende Lösungsverfahren ist für die betrachtete Gleichung spezisch, imGegensatz zu find_root, das eine generische Methode verwendet.
Betrachten wir die Gleichung dritten Grades x3 + 2x + 1 = 0. Diese Gleichung hat eine
negative Diskriminante und besitzt somit eine reelle Wurzel und zwei komplexe, die man mit
der Funktion roots erhalten kann (dargestellt im Sage-Arbeitsblatt):

25

2. Analysis und Algebra(x^3+2*x+1).roots(x)

"
√

1 

√ √
√
3
1
1
i
3
−
1
1
−

59 3 −
i 3+1 −√ √
1 , 1 ,
2 18
2
1
3 18
59 3 − 21 3


√

1 

√
√ √
3
1
1
−i
3
−
1
1

−
−i 3 + 1 −59 3 −√ √1 , 1 ,
2 18
2
1
3 18
59 3 − 12 3
#

1

√ √
3
2

 1 59 3 − 1−√√
1 , 1182
1 3
13
59 3 −
18

2sage: (x^3+2*x+1).roots(x, ring=RR)[(-0.453397651516404, 1)]
sage: (x^3+2*x+1).roots(x, ring=CC)[(-0.453397651516404, 1),(0.226698825758202 - 1.46771150871022*I, 1),(0.226698825758202 + 1.46771150871022*I, 1)]
2.2.2. Gleichungen ohne explizite Lösung

Sobald das Gleichungssystem zu kompliziert wird, ist es in den wenigsten Fällen möglich, eine
exakte Lösung zu berechnen.

sage: solve(x^(1/x)==(1/x)^x, x)[(1/x)^x == x^(1/x)]
Andererseits ist das nicht zwangsläug eine Beschränkung, wie man meinen könnte. Tatsächlich ist ein Leitmotiv des symbolischen Rechnens, dass man durch Gleichungen denierte
Objekte sehr wohl umformen und insbesonerere ihre Eigenschaften berechnen kann, ohne ihre
explizite Lösung zu kennen. Noch besser, die Gleichung, die ein Objekt deniert, ist oft die
beste Beschreibung dieses Objekts. So ist eine Funktion, die durch eine lineare Dierentialgleichung und Anfangsbedingungen deniert ist, vollkommen bestimmt. Die Lösungsmenge
von linearen Dierentialgleichungen ist (unter anderem) hinsichtlich Summe und Produkt abgeschlossen und bildet so eine wichtige Klasse, wo man den Test auf 0 einfach vornehmen
kann. Dafür fällt die Lösung, ist sie ihrer Denitionsgleichung beraubt, in eine gröÿere Klasse,
wo nur wenig entschieden werden kann:sage: y = function('y', x)
sage: desolve(diff(y,x,x) + x*diff(y,x) + y == 0, y, [0,0,1])-1/2*I*sqrt(2)*sqrt(pi)*erf(1/2*I*sqrt(2)*x)*e^(-1/2*x^2)
Im 14. Kapitel und im Unterabschnitt 15.1.2 greifen wir diese Überlegungen wieder auf.

2.3. Analysis
In diesem Abschnitt stellen wir die in der reellen Analysis laufend gebrauchten Funktionen
kurz vor. Wegen weiter fortgeschrittener Anwendungen oder Ergänzungen verweisen wir auf
spätere Kapitel, namentlich jene, die die numerische Integration (Kapitel 14), die Lösung
nichtlinearer Gleichungen (Kapitel 12) und Dierentialgleichungen (Kapitel 10) behandeln.

26

2.3. Analysis
2.3.1. Summen

Zur Berechnung symbolischer Summen verwendet man die Funktion sum. Berechnen wir beispielsweise die Summe der ersten n natürlichen Zahlen:

sage: k, n = var('k, n')sage: sum(k,k,1,n).factor()
1/2*(n + 1)*n
Die Funktion sum erlaubt die Vereinfachung des binomischen Lehrsatzes:

sage: n, k, y = var('n, k, y') # das symbolische x ist voreingestellt
sage: sum(binomial(n,k) * x^k * y^(n-k), k, 0, n)(x + y)^n
Hier nun weitere Beispiele, darunter die Summe der Zahl der Elemente einer Teilmenge mitn Elementen:

sage: k, n = var('k, n')sage: sum(binomial(n,k), k, 0, n),\....: sum(k * binomial(n, k), k, 0, n),\....: sum((-1)\^k*binomial(n,k), k, 0, n)(2^n, 2^(n - 1)*n, 0)
Schlieÿlich noch Beispiele für geometrische Summen:

sage: a, q, k, n = var('a, q, k, n')sage: sum(a*q^k, k, 0, n)(a*q^(n + 1) - a)/(q - 1)
Um die entsprechende Reihe zu berechnen, muss präzisiert werden, dass der Quotient q absolut
kleiner als 1 ist:

sage: assume(abs(q) < 1)sage: sum(a*q^k, k, 0, infinity)-a/(q - 1)sage: forget(); assume(q > 1); sum(a*q^k, k, 0, infinity)
Traceback (most recent call last):...
ValueError: Sum is divergent.

Übung 2

(Rekursive Berechnung der Summe). Zu berechnen ist die Summe der p-ten Potenzen der ganzen Zahlen von 0 bis n für p = 1, . . . , 4, ohne den Sage-Algorithmus zu verwenden:nX
Sn (p) =kp .

k=0

Zur Berechnung diese Summe kann man folgende Rekursionsgleichung verwenden:



p−1 
X
1 
p
−
1
Sn (p) =(n + 1)p+1 −Sn (j) .
p+1
j
j=0

27

2. Analysis und Algebra
Diese Rekursionsformel erweist sich bei der Berechnung der TeleskopsummeX(k + 1)p+1 − k p+1 ,0≤k≤n

als hilfreich, die auf zweierlei Art erfolgen kann.
2.3.2. Grenzwerte

Zur Berechnung eines Grenzwertes verwendet man den Befehl limit oder seinen Alias lim.
Zu berechen sind die folgenden Grenzwerte:√
3x−2(a) lim √;3x→8x + 19 − 3cos( π4 − x) − tan x.
1 − sin( π4 + x)x→ 4(b) limπsage: limit((x**(1/3) - 2)/((x+19)**(1/3) - 3), x = 8)
9/4
sage: f(x) = (cos(pi/4-x)-tan(x))/(1-sin(pi/4+x))
sage: limit(f(x), x = pi/4)
Infinity
Die letzte Antwort zeigt an, dass einer der Grenzwerte, der rechte oder der linke, unendlich4
ist. Um das Resultat zu präzisieren, untersucht man mit Hilfe der Option dir die Grenzwertevon links (minus) und von rechts (plus):

sage: limit(f(x), x = pi/4, dir='minus')+Infinity
sage: limit(f(x), x = pi/4, dir='plus')-Infinity
2.3.3. Folgen

Die bis jetzt behandelten Funktionen erlauben die Untersuchung von Folgen. Als Beispiel
vergleichen wir das Wachstum einer exponentiellen Folge und einer geometrischen.

n100. Zu berechnen sind100n
die ersten zehn Terme der Folge. Welche Monotonie weist die Folge auf? Welches ist derGrenzwert der Folge. Für welche n ist un ∈]0, 10−8 [?
Beispiel. Untersuchung einer Folge Wir betrachten die Folge un =1. Um den Term der Folge un zu denieren, verwenden wir eine symbolische Funktion. Wir
führen die Berchnung der ersten 10 Terme von Hand aus (und warten mit den Schleifen
bis zum 3. Kapitel):sage: u(n) = n^100/100^nsage: u(2.); u(3.); u(4.); u(4.); u(6.); u(7.); u(8.); u(9.); u(10.)
4Statt von einem

unendlichen Grenzwert zu sprechen (oft wird auch uneigentlicher Grenzwert gesagt), ist es

auch möglich zu sagen, dass ein Grenzwert nicht existiert oder dass ein Wert über alle Grenzen wächst.
Schlieÿlich ist ∞ weder Zahl noch Wert, sondern bezeichnet eine Eigenschaft.

28

2.3. Analysis
1.26765060022823e26
5.15377520732011e41
1.60693804425899e52
1.60693804425899e52
6.53318623500071e65
3.23447650962476e70
2.03703597633449e74
2.65613988875875e77
1.00000000000000e80
Daraus könnte man übereilt folgern, dass un gegen unendlich strebt.

100
Abb. 2.2 - Graph von x 7→ x
/100x

2. Um eine Vorstellung von der Monotonie zu haben, kann man die Funktion zeichnen, mit
der wir die Folge un deniert haben (siehe Abb. 2.2).

plot(u(x), x, 1, 40)
Wir vermuten, dass die Folge ab n = 22 abnehmen wird.

sage: v(x) = diff(u(x), x); sol = solve(v(x) == 0, x); sol[x = 100/log(100), x = 0]
sage: floor(sol[0].rhs()))
21
Die Folge wächst also bis n = 21, um ab n = 22 wieder abzunehmen.
3. Wir berechnen nun den Grenzwert.

sage: limit(u(n), n=infinity)0
sage: n0 = find_root(u(n) - 1e-8 == 0, 22, 1000); n0
105.07496210187252

29

2. Analysis und Algebra
Die ab n = 22 abnehmende Folge verläuft ab n = 106 im Intervall ]0, 10−8 [.
2.3.4. Taylor-Reihenentwicklung (*)

Zur Berechnung einer Taylor-Reihe der Ordnung n an der Stelle x0 verfügt man über die
Methode f(x).series(x==x0, n). Interessiert man sich nur für den regulären Teil der Reihenentwicklung der Ordnung n, kann man die Funktion taylor(f(x), x, x0, n) verwenden.
Bestimmen wir die Reihenentwicklungen folgender Funktionen im Sage-Arbeitsblatt:1a)(1 + arctan x) xb)ln(2 sin x)

der Ordnung 3 um x0 = 0,π
der Ordnung 3 um x0 = .
6taylor((arctan(x))**(1/x), x, 0, 3)
 log(x)1
112 x3 + 45 x2 − 270 x + 810 e x810(ln(2*sin(x)).series(x==pi/6, 3))
√



2
1
1
1
3
( 3)(− π + x) + (−2)(− π + x) + O −(π − 6 x)
66
216
Hat man die Taylor-Reihe mittels series erhalten und möchte den regulären Teil allein haben,verwendet man die Methode truncate:(ln(2*sin(x)).series(x==pi/6, 3)).truncate()−11√(π − 6 x)2 −3(π − 6 x)
18
6

Mit dem Befehl taylor ist es auch möglich, asymptotische Entwicklungen zu erhalten. Um
11
bespielsweise den Wert der Funktion (x3 + x) 3 − (x3 − x) 3 für x → ∞ zu berechnen, schreibt
man:sage: taylor((x^3+x)^(1/3)-(x^3-x)^(1/3), x, infinity, 2)
2/3/xÜbung 3(Eine symbolische Grenzwertberechnung). Sei f aus der Klasse C

von a ∈ R gegeben. Zu berechnen ist

2 in der Umgebung1(f (a + 3h) − 3f (a + 2h) + 3(a + h) − f (a).
h→0 h3lim

Verallgemeinerung?
Beispiel (*) (Die Formel von Machin). Zu beweisen ist folgende Gleichung:π
11= 4 arctan − arctan
.
4
5
239
Mit Hilfe dieser Formel und der arctan-Entwicklung als Potenzreihe hat der Astronom John
Machin (1680-1752) im Jahre 1706 π auf 100 Dezimalstellen berechnet. Mit seinem Verfahren
ist ein Näherungswert für π herzuleiten.

30

2.3. Analysis
Funktionen und Operatoren
Ableitungn-te Ableitung
Integration
numerische Integration
symbolische Summe
Grenzwert
Taylorpolynom
Taylor-Reihenentwicklung
Graph einer Funktion

diff(f(x), x)diff(f(x), x, n)
integrate(f(x), x)
integral_numerical((f(x), a, b)
sum(f(i), i, imin, imax)
limit(f(x), x==a)taylor(f(x), x, a, n)f.series(x==a, n)plot(f(x), x, a, b)

Tab. 2.4 - Zusammenstellung von in der Analysis hilfreichen Funktionen

1
Zunächst überzeugt man sich, dass 4 arctan 51 und π4 + arctan 239
den gleichen Tangenswert
haben.

sage: tan(4*arctan(1/5)).simplify_trig()
120/119sage: tan(pi/4+arctan(1/239)).simplify_trig()
120/119
1
Nun liegen die reellen Zahlen 4 arctan 51 und π4 +arctan 239
beide im oenen Intervall ]0, π[, siesind also gleich. Um einen Näherungswert für π zu erhalten, kann man wie folgt verfahren:

sage: f = arctan(x).series(x, 10); f
1*x + (-1/3)*x^3 + 1/5*x^5 + (-1/7)*x^7 + 1/9*x^9 + Order(x^10)
sage: (16*f.substitute(x==1/5) - 4*f.substitute(x==1/239)).n(); pi.n()
3.14159268240440
3.14159265358979

Übung 4(Eine Formel von Gauÿ). Die folgende Formel erfordert in der Ausgabe von Gauÿ'Werken (Werke, ed. Königl. Ges. d. Wiss. Göttingen, vol 2, p. 477-502) immerhin 20 Seiten
Tabellenrechnung:

π
1
1
1
1
= 12 arctan+ 20 arctan+ 7 arctan+ 24 arctan
.
4
38
57
239
268
1
1
1
1
1. Man setze θ = 12 arctan 38+ 20 arctan 57+ 7 arctan 239+ 24 arctan 268.
Bestätigung mit Sage, dass tan θ = 1.

2. Zu beweisen ist die Ungleichung ∀x ∈ 0, π4 , tan x ≤ π4 x durch Herleitung der Formel
von Gauÿ.

3. Durch Approximation der arctan-Funktion vermittels des Taylor-Polynoms der Ordnung 21 an der Stelle 0 ist eine neuer Näherungswert für π anzugeben.
2.3.5. Reihen (*)

Die vorstehenden Befehle können auch auf Reihen angewendet werden. Wir geben einige
Beispiele:
Beispiel (Berechnung der Summe der Riemann-Reihe).

k = var('k')
sum(1/k^2, k, 1, infty),\31

2. Analysis und Algebrasum(1/k^4, k, 1, infty),\sum(1/k^5, k, 1, infty)
1 4( 61 π 2 , 90
π , ζ(5))
Beispiel (Eine Formel von Ramanujan). Mit der Partialsumme der ersten 12 Terme derfolgenden Summe geben wir eine Näherung für π und vergleichen sie mit dem von Sage für πgefundenen Wert.
√ +∞1
2 2 X (4k)! · (1103 + 26390k)
=
.
π
9801
(k!)4 · 3964k
k=0

sage: s = 2*sqrt(2)/9801*(sum((factorial(4*k))*(1103+26390*k)/..... factorial(k))^4*396^(4*k)) for k in (0..11)))sage: (1/s).n(digits=100)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974...
sage: (pi-1/s).n(digits=100).n()-4.36415445739398e-96
Man sieht, dass die Patialsumme der ersten 12 Terme schon 95 signikante Stellen von πliefert!
Beispiel (Konvergenz einer Reihe). Es ist die Natur folgender Reihe zu untersuchen:

X

 p

sin π 4n2 + 1 .

n≥0

Um eine asymptotische Entwicklung des allgemeinen Gliedes zu erhalten, benutzt man einemit 2π periodische Sinusfunktion, die gegen 0 strebt:
 p

h p
i
un = sin π 4n2 + 1 ⇒ sin π
4n2 + 1 − 2n .
Nun kann man die Funktion taylor auf die neue Gestalt des allgemeinen Terms anwendenn = var('n'); u = sin(pi*(sqrt(4*n^2+1)-2*n))taylor(u, n, infinity, 3)π
6π + π 2
−
4n
384n3
π
Daraus bekommt
P man un ∼ 4n , was nach den Vergleichs-Regeln für Riemann-Reihen zeigt,
un divergiert.
dass die Reihen≥0Übung 5(Asymptotische Entwicklung einer Folge). Es ist unschwer zu zeigen (beispielsweise

mit dem Satz über monotone Bijektionen), dass die Gleichung tan x = x für jedes n ∈ N
im Intervall [nπ, nπ + π2 ] genau eine Lösung xn besitzt. Anzugeben ist eine asymptotische
Entwicklung von xn für +∞ mit der Ordnung 6.

32

2.3. Analysis
2.3.6. Ableitung

Die Funktion derivative (mit dem Alias diff) ermöglicht die Ableitung eines symbolischen
Ausdrucks oder einer symbolischen Funktion.

sage: diff(sin(x^2), x)
2*x*cos(x^2)
sage: function('f', x); function('g', x); diff(f(g(x)), x)
f(x)
g(x)
D[0](f)(g(x))*diff(g(x), x)
sage: diff(ln(f(x)), x)diff(f(x), x)/f(x)2.3.7. Partielle Ableitungen

Der Befehl diff erlaubt auch die Berechnung der n-ten Ableitung oder von partiellen Ableitungen.

sage: f(x,y) = x*y + sin(x^2) +e^(-x); derivative(f, x)(x, y) |--> 2*x*cos(x^2) + y - e^(-x)
sage: derivative(f, y)(x, y) |--> x
Beispiel. Zu verizieren ist, dass die folgende Funktion harmonisch5 ist:

f (x, y) =1ln(x2 + y 2 ) für alle (x, y) 6= (0, 0).
2

sage: x, y = var('x, y'); f = ln(x^2 + y^2)/2
sage: delta = diff(f,x,2) + diff(f,y,2)
sage: delta.simplify_full()0Übung 6(Ein Gegenbeispiel von Peano zum Satz von Schwarz). Sei f eine Abbildung von

R2 nach R, die deniert ist durch(f (x, y) =

2

2

−y
xy xx2 +y2,0,

falls (x, y) 6= (0, 0)
falls (x, y) = (0, 0)

Gilt ∂1 ∂2 f (0, 0) = ∂2 ∂1 f (0, 0)?

522Eine Funktion heiÿt harmonisch, wenn gilt ∆f = ∂1 f + ∂2 = 0 mit dem Laplace-Operator ∆.

33

2. Analysis und Algebra
2.3.8. Integration

Für die Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrale verwenden wir die Funktion bzw
die Methode integrate oder deren Alias integral.

sage: sin(x).integral((x, 0, pi/2))
1
sage: integrate(1/(1+x^2), x)
arctan(x)sage: integrate(1/(1+x^2), x, -infinity, infinity)pi
sage: integrate(exp(-x**2), x, 0, infinity)
1/2*sqrt(pi)sage: integrate(exp(-x), -infinity, infinity)
Traceback (most recent call last):...
ValueError: Integral is divergent.
Beispiel. Für x ∈ R ist das Integral ϕ(x) =+∞R x cos u0u2 + x2

du zu berechnen.

sage: u = var('u'); f = x*cos(u)/(u^2+x^2)
sage: assume(x>0); f.integrate(u, 0, inifinity)
1/2*pi*e^(-x)
sage: forget(); assume(x<0); f.integrate(u, 0, infinity)-1/2*pi*e^x
Somit haben wir:

∀x ∈ R∗ , ϕ(x) = π2 · sgn(x) · e−|x| .

Um eine numerische Integration auf einem Intervall zu bewirken, verfügen wir über die Funktion integral_numerical, die ein Tupel mit zwei Elementen zurückgibt, dessen erste Komponente ein Näherungswert des Integrals ist und dessen zweite Komponte den Fehler abschätzt.

sage: integral_numerical(sin(x)/x, 0, 1)(0.946083070367183, 1.0503632079297087e-14)
sage: g = integrate(exp(-x^2), x, 0, infinity)
sage: g, g.n()(1/2*sqrt(pi), 0.886226925452758)
sage: approx = integral_numerical(exp(-x^2), 0, infinity)
sage: approx(0.8862269254527568, 1.714774436012769e-08)
sage: approx[0] - g.n()-1.11022302462516e-15

Übung 7

(BBP-Formel). Wir versuchen, die BBP-Formel (Bailey-Borwein-Ploue-Formel)
durch eine symbolische Rechnung aufzustellen: diese Formel ermöglicht die Berechnung der nten Nachkommastelle von π zur Basis 2 (oder 16), ohne die vorangehenden Ziern zu kennen,
und das mit geringem Aufwand an Speicherplatz und Zeit. Für N ∈ N setzen wir

SN =

N 
X
n=0

34

4
2
1
1
−
−
−
8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6



1
16

n
.

2.4. Elementare lineare Algebra (*)√√
1. Sei die Funktion f : t 7→ 4 2 − 8t3 − 4 2t4 − 8t5 . Für N ∈ N ist das folgende Integral
als Funktion von SN auszudrücken:
√
1/
Z 2

IN =

f (t)
0

2. Für N ∈ N setze man J =

√
1/R 2
0

N
X

!
t8n

dt.

n=0

f (t)
dt. Zu zeigen ist lim SN = J .
N →+∞1 − t8

3. Beweisen Sie die BBP-Formel:  n
+∞ 
X
1
4
2
1
1
−
−
−
= π.
8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6
16
n=0Diese bemerkenswerte Formel wurde am 19. September 1995 von Simon Ploue in Zusammenarbeit mit David Bailey und Peter Blorwein erhalten. Dank einer aus der BBPFormel abgeleiteten Gleichung wurde im Jahre 2001 die
4.000.000.000.000.000. Stelle von π zur Basis 2 bestimmt.

2.4. Elementare lineare Algebra (*)
In diesem Abschnitt beschreiben wir die grundlegenden Funktionen der lineare Algebra: Operationen auf Vektoren und dann auf Matrizen. Wegen weiterer Details siehe Kapitel 8 übersymbolische Matrizenrechnung und Kapitel 13 über numerische Matrizenrechnung.
2.4.1. Lösung linearer Gleichungssysteme

Zur Lösung eines linearen Systems können wir die Funktion solve nehmen, die uns schon
begegnet ist.

Übung 8(Polynomiale Näherung für den Sinus). Es ist das Polynom höchstens 5. Grades zu
bestimmen, das die beste Näherung im Sinne der kleinsten Quadrate im Intervall [−π, π] fürdie Sinusfunktion realisiert:
 π

Z

α5 = min| sin x − P (x)|2 dx|P ∈ R5 [x] .
−π

2.4.2. Vektorrechnung

Die grundlegenden Funktionen für das Rechnen mit Vektoren sind in Tab. 2.5 zusammengestellt.

35

2. Analysis und Algebra
Auf Vektoren gebräuchliche Funktionen
Deklaration eines Vektors
Vektorprodukt
Skalarprodukt
Norm eines Vektors

vectorcross_productdot_productnormTabelle 2.5 - Vektorrechnung

Wir können uns dieser Funktionen bei der Behandlung der folgenden Übung bedienen.

Übung 9(Das Problem von Gauÿ). Wir betrachten einen Satelliten in seiner Umlaufbahn

um die Erde, von der wir drei Punkte kennen: A1 , A2 und A3 . Ausgehend von diesen drei
Punkten möchten wir die Parameter des Orbits dieses Satelliten bestimmen.

Wir bezeichnen mit O den Erdmittelpunkt. Die Punkte O, A1 , A2 und A3 liegen oenbar inderselben Ebene, nämlich der Bahnebene des Satelliten. Die Bahn des Satelliten ist eine Ellipse
und O einer ihrer Brennpunkte. Wir können ein Koordinatensystem (O,~i, ~j), derart wählen,pdass die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten in diesem Koordinatensystem r =1 − e cos θist, wobei e die Exzentrizität der Ellipse bezeichnet und p ihren Parameter. Wir werden~ i und ri = |~schreiben r~i = OA
ri | für i ∈ {1, 2, 3}. Wir betrachten dann die folgenden drei
Vektoren, die sich aus der Kenntnis von A1 , A2 und A3 ergeben:~ = r~1 ∧ r~2 + r~2 ∧ r~3 + r~3 ∧ r~1
D~ = (r1 − r3 ) · r~2 + (r3 − r3 ) · r~1 + (r2 − r1 ) · ~r3
S~ = r3 · (r~1 ∧ r~2 ) + r1 · (r~2 ∧ r~3 ) + r2 · (r~3 ∧ r~1 )N~ und leiten Sie daraus die Exzentrizität der Ellipse her.
~ = −1S
1. Zeigen Sie ~i ∧ D
e
~ ∧D
~.
2. Zeigen Sie: ~i ist kollinear zum Vektor S~ = −pS~ und leiten Sie daraus den Parameter p der Ellipse her.
3. Zeigen Sie ~i ∧ N
e
4. Drücken Sie die groÿe Halbachse a der Ellipse als Funktion des Parameters p und derExzentrizität e aus.
5. Anwendung mit Zahlen: In der erwähnten Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem betrachten wir die Punkte
 
 
 

2
3
0
, O 0 .
, A3
A1
, A2
2
5
1
Zu bestimmen sind die Zahlenwerte der charakteristischen Gröÿen der Ellipse mit dem
Brennpunkt O durch die Punkte A1 , A2 und A3 .
2.4.3. Matrizenrechnung

Zur Denition einer Matrix verwenden wir den Befehl matrix und legen dabei eventuell auchden Ring (oder den Körper) fest, aus dem die Einträge genommen werden.

sage: A = matrix(QQ, [[1,2],[3,4]]); A
[1 2]
[3 4]

36

2.4. Elementare lineare Algebra (*)
Um für die Matrixgleichung Ax = b (bzw. xA = b) eine Lösung zu nden, benutzen wir
die Funktion solve_right bzw. solve_left. Um alle Lösungen einer Matrixgleichung zu
nden, muss man einer partikulären Lösung die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen
Gleichung hinzufügen. Für die Lösung einer homogenen Gleichung der Form Ax = 0 (bzw.
xA = 0) steht die Funktion right_kernel bzw. left_kernel zur Verfügung, wie das folgende
Beispiel zeigt.

Übung 10(Basen von Untervektorräumen).

1. Zu bestimmen ist eine Basis des Lösungsraumes des homogenen linearen Gleichungssystems mit der Matrix


2 −3
2
−12 33
6
1
26 −16 69
A=10 −29 −18 −53 32
208−18 84
2. Zu bestimmen ist eine Basis des von den Spalten von A aufgespannten Vektorraums F .
3. F ist durch eine oder mehrere Gleichungen zu charakterisieren.

Übung 11

(Eine Matrixgleichung).

Wir erinnern uns an das Lemma zur Faktorisierung linearer Anwendungen. Seien E, F, G KVektorräume endlicher Dimension. Seien weiter u ∈ L(E, F ) und v ∈ L(E, G). Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent:(i) es existiert w ∈ L(F, G), sodass v = w ◦ u ist,(ii) ker u ⊂ ker v .
Wir suchen alle Lösungen für dieses Problem in einem konkreten Fall. Es seien




1
2 −1
−2 1 1A =  8 1 −5 und C =  2 −1 −1 .
−5 0
3
4 3 −3
Zu bestimmen sind alle Lösungen B ∈ M3 (R) der Gleichung A = BC .
Auf Matrizen gebräuchliche Funktionen
Deklaration einer Matrix
Lösung einer Matrixgleichung
Kern von rechtss, Kern von links
Reduktion auf Treppennormalform
Spaltenvektorraum
Verkettung von Matrizen

matrixsolve_right, solve_left
right_kernel, left_kernel
echelon_form
column_space
matrix_block

Reduktion von Matrizen
Eigenwerte einer Matrix
Eigenvektoren einer Matrix
Reduktion auf Jordan-Normalform
Minimalpolynom einer Matrix
charakteristisches Polynom einer Matrix

eigenvalues
eigenvectors_rightjordan_form
minimal_polynomial
chrakteristic_polynomial

Tabelle 2.6 - Matrizenrechnung37

2. Analysis und Algebra
2.4.4. Reduktion einer quadratischen Matrix

Für die Untersuchung der Eigenschaften einer Matrix stehen uns die in Tab. 2.6 aufgelisteten
Methoden zur Verfügung.
Genauer werden diese Methoden in Kapitel 8 behandelt. Hier geben wir uns mit einigen
Beispielen für ihre Anwendung zufrieden.


2
4
3
Beispiel. Is die Matrix −4 −6 −3 diagonalisierbar? Triagonalisierbar?
3
3
1
Wir beginnen mit der Denition der Matrix A auf dem Körper der rationalen Zahlen (QQ =Q). Danach bestimmen wir ihre Eigenschaften.

sage: A = matrix(QQ, [[2,4,3],[-4,-6,-3],[3,3,1]])
sage: A.characteristic_polynomial()x^3 + 3*x^2 - 4
sage: A.eigenvalues()[1, -2, -2]
sage: A.minimal_polynomial().factor()(x - 1) * (x + 2)^2
Das minimale Polynom von A besitzt eine einfache und eine doppelte Wurzel. Daher ist A
nicht diagonalisierbar. Hingegen ist das minimale Polynom von A zusammengesetzt. Daher
ist A triagonalisierbar.

sage: A.eigenvectors_right()[(1, [(1, −1, 1)] , 1) , (−2, [(1, −1, 0)] , 2)]sage: A.jordan_form(transformation=True)
 

1
0
0
1
1
1
 0 −20 
1  ,  −1 −1
1
0 −1
0
0 −2


1
−1/2
Beispiel. Die Matrix A =ist zu diagonalisieren. Man kann es mit der−1/2 −1
Methode jordan_form versuchen:
sage: A = matrix(QQ, [[1,-1/2],[-1/2,-1]])
sage: A.jordan_form()
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
RuntimeError: Some eigenvalue does not exist in Rational Field.
Hier ist eine kleine Schwierigkeit aufgetreten: die Eigenwerte sind nicht rational.

sage: A.minimal_polynomial()
5x2 −4
Wir müssen also den Basiskörper wechseln.

sage: R = QQ[sqrt(5)]sage: A = A.change_ring(R)38

2.4. Elementare lineare Algebra (*)
sage:
subdivide=False) 1 A.jordan_form(transformation=True,
 

sqrt
0
1
1
5
2
,
0 − 21 sqrt 5−sqrt 5 + 2 sqrt 5 + 2
Das interpretieren wir als 1 √
2

0

5

0√
1

−2

 

1
1
√
√
,
− 5+2
5+2
5

√ √ 
2
6 √2
√
Beispiel. Die Matrix A =  63
3 ist zu diagonalisieren.
√ √
2
3 1


Dieses Mal müssen wir mit einer Erweiterung 4. Grades des Körpers Q arbeiten. Man geht
nun vor wie folgt:

sage: K.<sqrt2> = NumberField(x^2 - 2)sage: L.<sqrt3> = K.extension(x^2 - 3)sage: A = matrix(L, [[2, sqrt2*sqrt3, sqrt2], \[sqrt2*sqrt3, 3, sqrt3], \[sqrt2, sqrt3, 1]])sage:
A.jordan_form(transformation=True)

 

6 0 0
1
1
0
 0 0 0  ,  1 sqrt 2 sqrt 3
0
1 
2
1
0 0 0
2 sqrt 2 −sqrt 2 −sqrt 3
oder





1
1
0
6
0
0


1√ √
2 3
0
1 .
0 0 0 , 

2 √
√
√ 
1
0 0 0
2
− 2 − 32

39

3. Programmierung und Datenstrukturen
Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln gesehen, wie mathematische Rechnungen mit
isolierten Sage-Befehlen zu bewerkstelligen sind, doch das Systen ermächtigt auch zur Programmierung einer Folge von Anweisungen.
Das System Sage zum symbolischen Rechnen ist in der Tat eine Erweiterung der Programmiersprache Python1 und erlaubt, wenn auch mit etlichen Veränderungen der Syntax, die
Programmiermethoden dieser Sprache auszunutzen.
Die in den vorangegangenen Kapiteln beschriebenen Befehle beweisen, dass es nicht nötig
ist, die Sprache Python zu kennen, um Sage zu verwenden; dagegen zeigt dieses Kapitel,wie in Sage die elementaren Programmier-Strukturen von Python angewendet werden. Dasbeschränkt sich auf die Grundlagen der Programmierung und kann von Menschen, die Python
kennen, vielleicht nur überogen werden: die Beispiele sind aus den klassischen Bereichen derMathematik ausgewählt, um dem Leser durch Analogie mit der Programmiersprache, die er
kennt, eine rasche Anpassung an Python zu ermöglichen.
Dieses Kapitel stellt die algorithmische Methode der strukturierten Programmierung vor mit
Schleifen und Abfragen und stellt im folgenden die Funktionen vor, die auf Listen und anderenzusammengesetzten Datenstrukturen operieren. Das Buch Apprendre à programmer avec Python von G. Swinnen [Swi09, Swi12] (frei verfügbar) und der Syllabus online von T. Massart[Mas13] bieten eine vertiefte Darstellung der Sprache Python.
Schlüsselwörter der Programmierspache Python

while, for...in, if...elif...else
continue, breaktry...except...finallyassertpassdef, lambda
return, yield
global, deland, not, or
print
class, withfrom...import...asexec...in

Schleifen und Bedingungenvorzeitige Beendigung eines Codeblocks
Behandlung und Auslösung von Fehlern
einzuhaltende Bedingung
Befehl ohne WirkungDenition einer Funktion
Rückgabe eines Wertes
Sichtbarkeit und Löschen einer Variablen
logische Operatoren
Textausgabe
objektorientierte Programmierung, Anwendung von Kontext
Zugri auf eine Bibliothek
dynamische Auswertung von CodeTabelle 3.1 - Allgemeine Syntax des Sage-Codes

1

Sage verwendet Python 2.7, eine Änderung ist vorerst nicht zu erwarten.

41

3. Programmierung und Datenstrukturen

3.1. Syntax
3.1.1. Allgemeine Syntax

Die elementaren Anweisungen werden generell Zeile für Zeile ausgeführt. Python betrachtet
das Zeichen  # als Anfang eines Kommentars und ignoriert den Text von hier an bis zum
Ende der Zeile. Das Semikolon  ;  trennt Anweisungen auf derselben Zeile:

sage: 2*3; 3*4; 4*5
6
1220# ein Kommentar, 3 Ergebnisse

Bei der Eingabe kann sich eine Anweisung über mehrere Zeilen erstrecken. Dann wird diealte Zeile mit einem umgekehrter Schrägstrich \ (backslash) abgeschlossen, bevor die neue
Zeile erönet wird. Der Wagenrücklauf (carriage return) wird als Leerzeichen betrachtet.

sage: 123 + \....: 345
468
Ein Bezeichner - also der Name einer Variablen, einer Funktion usw. - besteht nur aus Buchstaben, Ziern oder dem Unterstrich _, und darf nicht mit einer Zier beginnen (der Nameeiner Datei aber schon). Die Bezeichner sollen sich von Schlüsselwörtern der Programmiersprache unterscheiden. Die Schlüsselwörter in Tab. 3.1 bilden den Kern von Python 2.7. Eine
einfache Liste der Schlüsselwörter erhält man mit

sage: import keyword; keyword.kwlist['and', 'as', 'assert', 'break', 'class', 'continue', 'def', 'del','elif', 'else', 'except', 'exec', 'finally', 'for', 'from','global', 'if', 'import', 'in', 'is', 'lambda', 'not', 'or', 'pass','print', 'raise', 'return', 'try', 'while', 'with', 'yield']
Zeichen in Sage mit besonderer Bedeutung und ihre Verwendung

,

;
:
.
=
+
- *
/
^
**
// %
+=
-= *=
/= **=
==
!= <>
is
<
<= >
>=
&
| ^^
<< >>
#
[...]
(...)
{...:...}\?
_ __ ___

Trenner von Argumenten und Anweisungen
Erönung eines Anweisungsblocks, Raung
Dezimalpunkt, Zugri auf Felder von Objekten
Zuweisung eines Wertes an eine Variable
elementare arithmetische Operatoren
PotenzQuotient und Rest einer Ganzzahl-Division
arithmetische Operatoren mit Veränderung einer Variablen
Tests auf Gleichheit
Vergleichsoperatoren
Mengenoperatoren und logische Bit-Operatoren
Kommentar (bis Zeilenende)
Konstruktion einer Liste, Zugri auf ein indiziertes Element
Aufruf einer Funktion oder Methode, unveränderliches Tupel
Konstruktion von Diktionären
Maskierung von Sonderzeichen, lineare Algebra
Zugri auf die Hilfe
Wiederholung der letzten drei ErgebnisseTabelle 3.2 - Allgemeine Syntax des Sage-Codes (Fortsetzung)423.1. Syntax
Diesen Schlüsselwörtern sind noch die Konstanten None (Wert leer), etwa äquivalent zu
NULL in anderen Programmiersprachen, True und False, sowie zahlreiche, in Python undSage vordenierte Funktionen wie len, cos und integrate hinzuzufügen. Es ist sehr zu
empfehlen, diese Bezeichner nicht als Namen für Variablen zu verwenden, weil dann der Zugang zu Funktionalitäten des Systems schwierig werden könnte. Der Interpreter akzeptiertnoch mehr Befehle wie quit zum Verlassen der laufenden Sage-Sitzung. Wir werden davon
nach und nach weitere kennenlernen.
Bestimmte Zeichen spielen in Sage eine besondere Rolle. Sie sind in Tab. 3.2 aufgelistet.
3.1.2. Aufruf von Funktionen

Die Auswertung einer Funktion verlangt, dass ihr eventuelle Argumente in Klammern übergeben werden, wie in cos(pi) oder in der Funktion ohne Argument reset(). Hingegen sind die
Klammern für Argumente bei Befehlen überüssig: print(6*7) und print 6*7 leisten das
gleiche2 . Der Name einer Funktion ohne Argument oder Klammer stellt die Funktion selbst
dar und bewirkt keinerlei Rechnung.
3.1.3. Ergänzungen zu Variablen

Wie wir gesehen haben, erkennt Sage im Gleichheitseichen = die Anweisung, einer Variablen
einen Wert zuzuweisen. Zuerst wird die Seite rechts von = ausgewertet, dann wird ihr Wert
der Variablen zugewiesen, deren Name links steht. So haben wir

sage: y = 3; y = 3*y + 1; y = 3*y + 1; y
31
Die obigen Zuweisungen verändern den Wert der Variablen y ohne einen Zwischenwert auszugeben. Der letzte dieser vier Befehle gibt den Wert der Variablen y aus, nachdem alle
Rechnungen beendet sind.
Der Befehl del x unterbindet Zuweisungen an die Variable x und durch die Funktion ohne Argument reset() werden die Variablen wieder initialiert. Die gleichzeitige, parallele Zuweisung
von Werten an mehrere Variablen ist auch möglich.

sage: a, b = 10, 20
sage: a, b = b, a
sage: a, b
(20, 10)# auch möglich: (a, b) = (10, 20) oder [10, 20]

Die Zuweisung a, b = b, a vertauscht die Werte von a und b und ist äquivalent zum sonstüblichen Vorgehen mit einer Zwischenvariablen:sage: temp = a: a = b; b = temp
Ein weiteres Beispiel für den Tausch der Werte zweier Variablen ohne Zwischenvariable oderparalle Zweisung, aber mit Summe und Dierenz ist das folgende:

sage: x, y = var('x, y'); a = x; b = ysage: a, b
2

In Python 3.x ist print eine Funktion und erwartet seine Argumente in Klammern.

43

3. Programmierung und Datenstrukturen(x, y)
sage: a = a + b; b = a - b; a = a - bsage: a, b
(y, x)
Die gleichzeitige Zuweisung desselben Wertes an mehrere Variable gelingt mit einer Syntax
der Form a = b = c = 0; die Befehle x += 5 und n += 2 sind äquivalent zu x = x + 5 bzw.
zu n = n + 2.
Der Test auf Gleichheit zweier Objekte erfolgt mit dem aus zwei Gleichheitszeichen bestehenden Operator ==.

sage: 2 + 2 == 2^2, 3*3 == 3^3(True, False)

3.2. Algorithmik
Die strukturierte Programmierung besteht in der Beschreibung eines Programm-Ablaufs als
eine endliche Folge von Anweisungen, die eine nach der anderen abgearbeitet werden. Diese
Anweisungen können elementar oder zusammengesetzt sein.
- eine elementare Anweisung besteht beispielsweise aus der Zuweisung eines Wertes zu einer
Variablen (siehe Unterabschnitt 1.2.4) oder der Ausgabe eines Ergebnisses;- eine zusammengesetzte Anweisung wie eine Schleife oder eine Bedingung wird aus mehreren
Anweisungen gebildet, die ihrerseits wieder elementar oder zusammengesetzt sein können.
3.2.1. Schleifen

Aufzählungsschleifen. Eine Aufzählungsschleife führt die gleiche Rechnung für alle ganz-zahligen Werte einer Indexfolge k ∈ [a, . . . , b] aus. Das folgende Beispiel3 gibt den Anfang derMultiplikationstabelle mit 7 aus:sage: for k in [1..5]:....:
print 7*k
# Block mit einer einzigen Annweisung
7
14
21
28
35
Der Doppelpunkt : am Ende der ersten Zeile erönet den Anweisungsblock, welcher der
Reihe nach mit k = 1, 2, 3, 4, 5 ausgewertet wird. Bei jeder Iteration gibt Sage das Produkt
7 × k als momentanen Wert des Befehls print aus.
In diesem Beispiel besteht der Block der zu wiederholenden Anweisungen nur aus dem Befehl
print, der gegen das Schlüsselwort for eingerückt ist. Ein Block aus mehreren Anweisungen3

Wird Sage auf einem Terminal ausgeführt, wird ein Block durch Eingabe einer Leerzeile beendet. Das ist
bei der Arbeit mit Sage in einem Skript oder in einem Notebook nicht erforderlich und wird im folgenden
stillschweigend so gehandhabt.

44

3.2. Algorithmik
ist daran erkennbar, dass die eingegebenen Anweisungen alle mit der gleichen Einrückung
untereinander stehen.
Die Kennzeichnung des Blocks ist wichtig: die beiden folgenden Programme unterscheiden
sich nur bei der Einrückung einer Zeile und zeitigen unterschiedliche Ergebnisse:

sage: S = 0
sage: for k in [1..3]:....:
S += ksage: S *= 2
sage: S

sage: S = 0
sage: for k in [1..3]:....:
S += k....:S *= 2sage: S

Links wird die Anweisung S *= 2 nach der Schleife einmal ausgeführt, während das rechts
bei jeder Iteration geschieht, weswegen die Ergebnisse verschieden sind:

S = (0 + 1 + 2 + 3) · 2 = 12

S = ((((0 + 1) · 2) + 2) · 2 + 3) · 2 = 22

Diese Schleife dient unter anderem zur Berechnung eines Terms einer rekursiven Folge wie am
Ende dieses Unterabschnitts gezeigt.
Funktionen für die Iteration der Form ..range für ganze Zahlen a, b, c

for k in [a..b]: ...
for k in srange(a, b): ...
for k in range(a, b): ...
for k in xrange(a, b): ...

for k in sxrange(a, b): ...
[a,a+c..b], [a, b, step=c]..range(b)..range(a, b, c)erzeugt eine Liste von ganzen Sage-Zahlen a ≤ k ≤ berzeugt eine Liste von ganzen Sage-Zahlen a ≤ k < berzeugt eine Liste von ganzen Python-Zahlen (int) a ≤ k < bzählt die ganzen Python-Zahlen (int) auf, ohne
die entsprechende Liste explizit zu erzeugen
zählt die Sage-Zahlen auf ohne die Liste zu erzeugen
die Sage-Zahlen a, a + c, a + 2c, . . . , a + kc ≤ bäquivalent zu ..range(0,b)

mit Schrittweite c statt 1

Tabelle 3.3 - Die verschiedenen Aufzählungsschleifen

Die Syntax einer Aufzählungsschleife ist sehr direkt und kann ohne weiteres für 104 oder 105
Iterationen verwendet werden. Sie eignet sich hingegen nicht für den Aufbau einer Liste aller
Werte der Schleifenvariable, bevor die zu iterierenden Anweisungen wiederholt werden, sie
hat vielmehr den Vorteil, die ganze Zahl des Sage-Typs Integer (siehe Unterabschnitt 5.3.1)
zu manipulieren. Mehrere Funktionen ...range erlauben für diese Iterationen die Auswahl
aus zwei möglichen Alternativen. Die erste besteht entweder im Anlegen einer Werteliste im
Speicher, bevor die Schleife ausgeführt wird oder in der Bestimmung dieser Werte im Laufe
der Zeit. Die andere Alternative arbeitet mit ganzen Sage-Zahlen4 des Typs Integer oder mit
ganzen Python-Zahlen des Typs int; die beiden Ganzzahl-Typen haben nicht genau dieselben
Eigenschaften. Im Zweifel bewahrt die Form [a..b] am sichersten vor Überraschungen.

-Schleifen.

while
Die andere Familie der Schleifen wird von den while-Schleifen gebildet.
Wie auch die Aufzählungsschleife for wertet sie einen Anweisungsblock mehrmals aus. Indes
ist die Anzahl der Wiederholungen nicht von vornherein festgelegt, sondern hängt von derErfüllung einer Bedingung ab.

4

Die Befehle srange,[pi,pi+4..20]?

sxrange und [...] operieren auch auf rationalen und Flieÿpunkt-Zahlen: was gibt45

3. Programmierung und Datenstrukturen
Wie der Name sagt, wiederholt die Schleife die Anweisungen solange, wie eine Bedingung
erfüllt ist. Das folgende Beispiel5 berechnet die Summe der Quadrate der natürlichen Zahlen,
solange die Potenz der natürlichen Zahl den Wert 106 nicht überschreitet, also 12 + 22 + . . . +132 .

sage: S = 0; k = 0
sage: while e^k <= 10^6:....:
S = S + k^2....:
k = k + 1

# Die Summme beginnt mit 0#e^13 <= 10^5 < e^14
# addiert die Quadrate k^2

sage: S
819
Die letzte Anweisung gibt den Wert der Variablen S aus. Es gilt:

S=

X
k∈N

k2 =

13
X

k 2 = 819,e13 ≈ 442413 ≤ 106 < e14 ≈ 1202604.

k=0

ek ≤ 106
Der obige Anweisungsblock umfasst zwei Zuweisungen, die erste addiert den neuen Term, diezweite geht zum nächsten Index über. Beide Anweisungen sind untereinander angeordnet undinnerhalb der while-Struktur auf die gleiche Weise eingerückt.
Das nächste ist wieder ein typisches Beispiel einer while-Schleife. Die sucht für eine Zahlx ≥ 1 nach dem einzigen Wert n ∈ N sodass gilt 2n−1 ≤ x ≤ 2n , das heiÿt die kleinste
ganze Zahl, sodass x < 2n ist. Das untenstehende Programm vergleicht x mit 2n , dessen Wert
1, 2, 4, 9 usw. ist. Sie führt diese Rechnung für x = 104 aus:sage: x = 10^4; u = 1; n= 0
# invariant: u = 2^nsage: while u <= x: n = n + 1; u = 2*u # wobei n += 1; u *= 2
sage: n14
Solange, wie die Bedingung 2n ≤ x erfüllt ist, berechnet das Programm die neuen Werte n + 1
und 2n+1 = 2 · 2n der beiden Variablen n und u und speichert sie anstelle von n und 2n . Diese
Schleife endet, sobald die Bedingung nicht mehr erfüllt ist, also bei x > 2n :x = 104 ,min {n ∈ N|x < 2n } = 14,

213 = 8192,

1014 = 16384.

Der Rumpf einer Schleife wird nie ausgeführt, wenn die Bedingung von Anfang an nicht erfüllt
ist.
Einfache Anweisungsblöcke können nach dem Doppelpunkt : auf derselben Zeile eingegeben
werden, ohne einen neuen eingerückten Block zu denieren, der mit der neuen Zeile beginnen
würde.

Beispiele für die Anwendung bei Folgen und Reihen. Die for-Schleife ermöglicht die

einfache Berechnung eines Terms einer rekursiv denierten Folge. Es sei beispielsweise (un )die durch1
u0 = 1, ∀n ∈ N : un+1 =1 + u2n5

Die Eingabe einer Leerzeile ist erforderlich, um den Anweisungsblock zu beenden, bevor der Wert von Sabgefragt werden kann.

46

3.2. Algorithmikdenierte Folge. Das untenstehende Programm bestimmt eine numerische Näherung von un
für n = 20; die Variable U wird bei jeder Schleifeniteration modiziert, um mit der Rekursionsgleichung vom Wert un−1 auf un zu kommen. Die erste Iteration berechnet u1 aus u0 für
n = 1, die zweite macht dasselbe von u1 nach u2 mit n = 2, und die letzte der n Iterationen
modiziert die Variable U , um von un−1 zu un zu gelangen:sage: U = 1.0# oder U = 1. oder U = 1.000
sage: for n in [1..20]:....:
U = 1/(1 + U^2)sage: U
0.68236043761105
Dasselbe Programm mit der Ganzzahl U = 1 anstelle der numerischen Approximation U = 1.0
in der ersten Zeile führt eine exakte Rechnung auf den rationalen Zahlen aus; das exakte Ergebnis für u10 ist ein Bruch mit mehr als hundert Ziern, und u20 enthält davon mehrere
Hunderttausend. Exakte Rechnungen sind interessant, wenn sich Rundungsfehler in den numerischen Approximationen anhäufen. Die Rechnung mit Näherungswerten, von Hand odermit dem Rechner, mit Hunderten von Dezimalstellen sind schneller als die mit 500, 1000 odernoch mehr ganzen oder rationalen Zahlen.

Unterbrechung der Ausführung einer Schleife
Die for- und die while-Schleifen wiederholen dieselben Anweisungen mehrmals. Der
Befehl break im Inneren einer Schleife beendet diese Schleife vorzeitig, und derBefehl continue springt sofort zur nächsten Iteration. So bewirken diese Befehle die
Auswertung der Bedingung an beliebiger Stelle des Schleifenkörpers.
Die vier Beispiele hierunter bestimmen die kleinste natürliche Zahl x, die die Bedingung ln(x + 1) ≤ x/10 erfüllt. Das erste bringt eine for-Schleife mit maximal 100
Versuchen, die nach der ersten Lösung vorzeitig beendet wird; das zweite stellt die
Suche nach der kleinsten Zahl dar, welche die Bedingung erfüllt und riskiert dabei,
nicht zu enden, falls die Bedingung niemals erfüllt wird; das dritte entspricht dem
ersten mit einer komplizierteren Schleifenbedingung, und schlieÿlich besitzt das vierte Beispiel eine unnötig komplizierte Struktur, die nur den Zweck hat, den Befehl
continue zu verwenden. In jedem dieser Fälle hat x den Endwert 37.0.

for x in [1.0..100.0]:
if log(x+1) <= x/10: breakx = 1.0
while log(x+1) > x/10:
x = x + 1

x = 1.0
while log(x+1) > x/10 and x < 100:x = x + 1

x = 1.0
while True:log(x+1) > x/10:
x = x + 1
continuebreak

Der Befehl return (der die Ausführung einer Funktion beendet und ihren Wert zurückgibt, siehe Unterabschnitt 3.2.3), stellt eine weitere Art des vorzeitigen Abbruchs
eines Anweisungsblocks dar.

47

3. Programmierung und Datenstrukturen
Summen und Produkte können in die Form von rekursiv denierten Folgen gebracht werden
und werden auf die gleiche Weise berechnet:nX
Sn =(2k)(2k + 1) = 2 · 3 + 4 · 5 + . . . + (2n)(2n + 1),
k=1

S0 = 0,Sn = Sn−1

Diese Reihe wird auf dieselbe Weise programmiert wie die rekursiv denierten Folgen: das
Programm bildet die Summen mit 0 beginnend eine nach der anderen, indem es die Terme
für k = 1, k = 2 bis k = n addiert:

sage: S = 0; n = 10
sage: for k in [1..n]:...:S = S + (2*k)*(2*k+1)
sage: S
1650
Dieses Beispiel veranschaulicht ein allgemeines Programmierverfahren für eine Summe, dochin diesem einfachen Fall zeitigt die formale Rechnung ein Ergebnis in voller Allgemeinheit:

sage: n, k = var('n k'); res = sum(2*k*(2*k+1), k, 1, n)
sage: res, factor(res)# das Resultat wird anschlieÿend faktorisiert(4/3*n^3 + 3*n^2 + 5/3*n, 1/3*(4*n + 5)*(n + 1)*n)Diese Resultate können auch mit Papier und Bleistift als wohlbekannte Summen erhalten
werden:
n
X

k=

k=1
n
X

2k(2k + 1) = 4

k=1

X
k=1

=

n
X

n(n + 1),2
nk 2 + 2

k2 =

k=1
n
X
k=1

k=

n(n + 1)(2n + 1),
62n(n + 1)(2n + 1)
+ n(n + 1)
3n(n + 1)((4n + 2) + 3)
n(n + 1)(4n + 5)=3
3

Beispiele für die Annäherung an Grenzwerte von Folgen. Die for-Schleife ermöglicht
die Berechnung eines gegebenen Terms einer Folge oder einer Reihe, die while-Schleife ist
dagegen gut geeignet, den Grenzwert einer Folge numerisch anzunähern.

Konvergiert eine Folge (an )n∈N gegen l ∈ R, sind die Terme an für hinreichend groÿes n
Nachbarn von l. Daher ist es möglich, l durch einen bestimmten Term an anzunähern unddas mathematische Problem besteht darin, den Fehler |l − an | mehr oder weniger leicht zu
erhöhen. Diese Erhöhung ist für die benachbarten Folgen (un )n∈N und (vn )n∈N unmittelbar,
das heiÿt solche, für die gilt (un )n∈N nimmt zu,(vn )n∈N nimmt ab, lim vn − un = 0.
n→+∞

In diesem Fall giltbeide Folgen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert l,∀p ∈ N : up ≤ lim un = l = lim vn ≤ vp ,
n→+∞
n→+∞


 l − up +vp ≤ up −vp .
2248

3.2. Algorithmik
Eine mathematische√ Fingerübung beweist, dass die beiden untenstehenden Folgen benachbart
sind und gegen ab konvergieren, wenn 0 < a < b ist:u0 = a,v0 = b > a,un+1 =

2un vn,un + vn

vn+1 =

un + vn.
2

Der gemeinsame Grenzwert dieser beiden Folgen trägt den Namen arithmetisch-harmonisches
Mittel, denn das arithmetische Mittel zweier Zahlen a und b ist Mittelwert im üblichen Sinne(a + b)/2 und das harmonische Mittel h ist das Inverse des Mittels der inversen: 1/h =(1/a + 1/b)/2 = (a + b)/(2ab). Das folgende Programm bestätigt, dass der Grenzwert für die
Zahlenwerte derselbe ist:

sage: U = 2.0; V = 50.0
sage: while V-U >= 1.0e-6:# 1-0e-6 bedeutet 1.0*10^-6....:
temp = U....:
U = 2*U*V/(U + V)....:
V = (temp + V)/2
sage: U, V
(9.99999999989256, 10.0000000001074)
Die Werte von un+1 und vn+1 hängen von un und vn ab: aus diesem Grund lässt die Hauptschleife dieses Programms eine Zwischenvariable, die hier temp heiÿt, aufrufen, weil die neuen
Werte vun+1 und vn+1 von U und V von den zwei vorhergehenden Werten un und vn abhängen. Die beiden Blöcke hierunter links denieren dieselben Folgen, während die unten
rechts zwei andere Folgen, (u0n )n und (vn0 )n , bildet; die parallele Zuweisung vermeidet die
Verwendung einer Zwischenvariablen:

temp = 2*U*V/(U+V)
V = (U + V)/2
U = temp

U,V = 2*U*V/(U+V), (U+V)/2(parallele Zuweisung)U = 2*U*V/(U+V)
V = (U+V)/2
0 v0n n
u0n+1 = u2u0 +v
0
n

0
vn+1
=

Die Reihe Sn =

n
P

n

0
u0n+1 +vn
2(−1)k ak ist alternierend, da die Reihe (an )n∈N abnimmt und den Grenzwert

k=0

0 hat. Zu sagen, dass S alternierend ist, bedeutet, dass die beiden Teilfolgen (S2n )n∈N und(S2n+1 )n∈N benachbart sind und denselben Grenzwert l haben. Die Folge (an )n∈N konvergiert
daher auch gegen diesen Grenzwert und hat ihn bei S2p+1 ≤ l = lim Sn ≤ S2p .
n→+∞

Das folgende Programm illustriert dieses Ergebnis für die Folge ak = 1/k 3 , beginnend mit
k = 1 und speichert dazu die aufeinander folgenden Patialsummen S2n und S2n+1 der Reihe,
die den Grenzwert einschachteln, in den beiden Variablen U und V :sage: U = 0.0 # die Summe S0 ist leer, der Wert 0
sage: V = -1.0 # S1 = -1/1^3
sage: n = 0# U und V enthalten S(2n) und S(2n+1)
sage: while U-V >= 1.0e-6:....:n = n+1# n += 1 ist äquivalent....:
U = V + 1/(2*n)^3# Übergang von S(2n+1) zu S(2n)....:V = U + 1/(2*n+1)^3 # Übergang von S(2n) zu S(2n+1)
sage: V, U(-0.901543155458595, -0.901542184868447)

49

3. Programmierung und Datenstrukturen
Die Hauptschleife modiziert den Wert von n, um zum nächsten Index überzugehen, solange
die beiden Werte S2n und S2n+1 nicht genügend nahe beieinander liegen. Die beidenn Variablen U und V speichern die aufeinander folgenden Terme; der Schleifenrumpf bestimmt
beginnend mit S2n−1 nacheinander S2n und S2n+1 , dann wechseln die Zuweisungen zu U undzu V .
Das Programm endet, sobald zwei aufeinander folgenden Terme S2n+1 und S2n , die den Grenzwert einschachteln, einander nahe genug gekommen sind, der Näherungsfehler (ohne Beachtung des Rundungsfehlers) beträgt dann 0 ≤ a2n+1 = S2n − S2n+1 ≤ 10−6 .
Die Programmierung dieser fünf alternierenden Reihen geht ähnlich:

X (−1)nn≥2

X (−1)n
n≥1

n4

ln n
,

,

X

X (−1)nn≥1n,(−1)n e−n ln n =n≥1

X (−1)nn≥1n2

X (−1)n
n≥1

nn

,
.

Die allgemeinen Terme dieser Reihen tendieren mehr oder weniger schnell gegen 0, und die
Annäherungen an die Grenzwerte erforden je nach Fall mehr oder weniger Rechnungen.
Die Suche nach den Grenzwerten dieser Reihen mit einer Genauigkeit von 3, 10, 20 oder 100
Dezimalstellen besteht in der Lösung folgender Ungleichungen:

1/ ln n
1/n
1/n2
1/n4
−n
e ln n3≤ 10−3 ⇐⇒ n ≥ e(10 ) ≈ 1.97 · 10434≤ 10−3 ⇐⇒ n ≥ √103≤ 10−3 ⇐⇒ n ≥ 103 ≈ 32
≤ 10−3 ⇐⇒ n ≥ (103 )1/4 ≈ 6≤ 10−3 ⇐⇒ n ≥ 5

1/n2 ≤ 10−20 ⇐⇒ n ≥ 1010
1/n4 ≤ 10−20 ⇐⇒ n ≥ 105
e−n ln n ≤ 10−20 ⇐⇒ n ≥ 17

1/n ≤ 10−10
1/n2 ≤ 10−10
1/n4 ≤ 10−10−ne ln n ≤ 10−10⇐⇒ n ≥ 1010⇐⇒ n ≥ 105⇐⇒ n ≥ 317⇐⇒ n ≥ 30

1/n2 ≤ 10−100 ⇐⇒ n ≥ 1050
1/n4 ≤ 10−100 ⇐⇒ n ≥ 1025
e−n ln n ≤ 10−100 ⇐⇒ n ≥ 57

In den einfachsten Fällen bestimmt die Lösung dieser Ungleichungen einen Index n, ab dem
sich der Wert Sn dem Grenzwert l der Reihe annähern darf, ebenso ist eine for-Schleife
möglich. Im Gegensatz dazu ist eine while-Schleife nötig, sobald sich die algebraische Lösung
der Ungleichung in n an ≤ 10−p als unmöglich erweist.
Bestimmte Näherungslösungen für die vorstehenden Grenzwerte erforden zu viele Rechnungen, um direkt erhalten zu werden, insbesondere sobald der Index n eine Gröÿenordnung von1010 oder 1012 überschreitet. Ein vertieftes Studium der Mathematik kann zuweilen die Bestimmung des Grenzwertes oder eine Näherung mit anderen Verfahren ermöglichen, darunter
Riemann-Reihen:n (−1)k
n 1
P
P
3
=
−
ζ(3),
mit
ζ(p)
=
lim
,
n→+∞ k=1 k 3
n→+∞ k=1 k p
4n (−1)kn (−1)kPPπ2lim= − ln 2,
lim=−,
n→+∞ k=1n→+∞ k=1 k 2
k12
n (−1)k
P
7π 4
lim
=
−
.
n→+∞ k=1 k 4
6!

lim

50

3.2. AlgorithmikAuÿerdem kann Sage einige solcher Gleichungen und einen Näherungswert von ζ(3) nit 1200
Dezimalstellen in wenigen Sekunden mit viel weniger als 10400 Operationen berechnen als bei
direkter Anwendung der Denition nötig wären:sage: k = var('k'); sum((-1)^k/k, k, 1, +oo)-log(2)sage: sum((-1)^k/k^2, k, 1, +oo), sum((-1)^k/k^3, k, 1, +oo)(-1/12*pi^2, -3/4*zeta(3))
sage: -3/4*zeta(N(3, digits=1200))-0.901542677369695714049803621133587493073739719255374161344\
203666506378654339734817639841905207001443609649368346445539\
563868996999004962410332297627905925121090456337212020050039\...
019995492652889297069804080151808335908153437310705359919271\
798970151406163560328524502424605060519774421390289145054538\
901961216359146837813916598064286672255343817703539760170306262
3.2.2. BedingungenWeitere wichtige zusammengesetze Anweisungen stellen die Bedingungen dar: welche Anweisung ausgeführt wird, hängt vom Wahrheitswert einer Bedingung ab. Die Struktur und zwei
mögliche Formen dieser Anweisung sind die folgenden:

if <Bedingung>:
ein Anweisungsblock

if <Bedingung>:
ein Anweisungsblock
else: sonst ein anderer Anweisungsblock

Die Syrakuse-Folge (Collatz-Problem) ist mit einer Prüfung auf Parität deniert:
un /2
falls un gerade ist,∗u0 ∈ N
un+1 =
3un + 1 falls un ungerade ist.
Die tschechische Vermutung besagt - seit 2012 bekannt und unbewiesen - dass für jeden
Anfangswert u0 ∈ N∗ eine Ordnungszahl n existiert, für die un = 1 wird. Die folgenden Termesind dann 4, 2, 1, 4, 2 usw. Die Berechnung jedes Terms der Folge erfolgt vermittels derPrüfung einer Bedingung. Diese Prüfung wird im Inneren einer while-Schleife angeordnet,die den kleinsten Wert von n ∈ N bestimmt, für den un = 1 wird:

sage: u = 6; n = 0
sage: while u != 1:# eine Prüfung mit <> ("ungleich") ist auch möglich....:
if u % 2 == 0: # der Operator % ergibt den Rest der Ganzzahldivision....:u = u//2 # //: Quotient der Ganzzahldivision
....:
else:
....:
u = 3*u+1....:
n = n + 1
sage: n8
Die Prüfung, ob un gerade ist, erfolgt durch Vergleich des Restes der Division von un durch
2 mit 0. Die Anzahl der ausgeführten Iterationen ist der Wert der Variablen n am Ende des51

3. Programmierung und Datenstrukturen
Blocks. Diese Schleife endet, sobald der berechnete Wert von un = 1 ist. Wenn u0 beispielsweise 6 ist, wird u8 = 1 und 8 = min {p ∈ N∗ | up = 1}:

p
up

= 0
= 6

1
3

2
10

3
5

4
16

5
8

6
4

7
2

8
1

9
4

10 . . .
2 ...

Die schrittweise Verikation der korrekten Arbeitsweise dieser Zeilen kann durch einen printSpion der Form print(u, n) im Schleifenrumpf geleistet werden,
Der Befehl if erlaubt auÿerdem, Prüfungen mit Hilfe des Wortes elif in den else-Zweig zu
legen. Diese beiden Strukturen sind gleichwertig:

if eine Bedingung bed1:
eine Anweisungsfolge anw1
else:
if eine Bedinging bed2:
eine Anweisungsfolge anw2
else:
if eine Bedingung cond3:
eine Anweisungsfolge anw3
else:
sonst anwn

if bed1:
anw1
elif bed2:
anw2
elif cond3:
anw3
else:
anwn

Wie bei Schleifen kann eine einfache Anweisung neben dem Doppelpunkt angeordnet werden
und nicht als Block darunter.
3.2.3. Prozeduren und Funktionen

Allgemeine Syntax. Wie andere Programmiersprachen auch erlaubt Sage dem Anwender,

Funktionen oder Prozeduren nach Maÿ zu denieren. Der Befehl def, dessen Syntax hierunterzu erkennen ist, erönet die Denition von Prozeduren und Funktionen , d.h. von Unterprogrammen (die kein Ergebnis zurückgeben bzw. genau dies tun), ohne Argument oder mit einemoder mehreren Argumenten. Das erste Beispiel deklariert die Funktion (x, y) 7→ x2 + y 2 :sage: def fct2 (x, y):....:return x^2 + y^2
sage: a = var('a')
sage: fct2 (a, 2*a)5*a^2
Die Auswertung der Funktion wird durch den Befehl return beendet. Ihr Ergebnis ist hierx2 + y 2 .
Auf dieselbe Weise wird eine Funktion deniert, die nicht explizit ein Resultat zurückgibt, undbei Abwesenheit der Anweisung return wird der Funktionsrumpf bis zum Ende abgearbeitet.
Dann wird der Wert None zurückgegeben.
In der Voreinstellung betrachtet Sage alle Variablen, die in der Funktion auftreten, als lokale Variablen. Diese Variablen werden bei jedem Aufruf der Funktion neu erzeugt und am

52

3.2. AlgorithmikEnde wieder zerstört. Sie sind unabhängig von anderen Variablen gleichen Namens, die auÿerhalb der Funktion existieren mögen. Globale Variablen werden durch Zuweisungen an lokale
Variablen innerhalb der Funktion nicht verändert:

sage: def versuch(u)....:t = u^2....:
return t*(t+1)
sage: t = 1; u = 2
sage: versuch(3), t, u(90, 1, 2)
Um in einer Funktion eine globale Variable zu verändern, muss man sie mit dem Schlüsselwort
global explizit deklarieren:

sage: a = b = 1
sage: def f(): global a; a = b = 2
sage: f(); a, b
(2,1)
Das folgende Beispiel wiederholt die Berechnung des arithmetisch-harmonischen Mittels zweier
positiver Zahlen:

sage: def MittAH(u, v):....:u, v = min(u, v), max(u, v)....:
while v-u > 2.0e-8:....:
u, v = 2*u*v/(u+v), (u+v)/2....:
return (u+v)/2
sage: MittAH(1., 2.)
1.41421...
sage: MittAH# entspricht einer Funktion<function MittAH at ...>Die Funktion MittAH erhält die beiden Parameter u und v, die lokal sind und deren Anfangswerte mit dem Aufruf der Funktion bestimmt sind; beispielsweise beginnt MittAH die
Ausführung dieser Funktion mit den Werten 1. und 2. der Variablen u und v.
Bei strukturierter Programmierung soll eine Funktion so geschrieben werden, dass der Befehl
return die letzte Anweisung des Funktionsrumpfes ist. In seinem Inneren plaziert beendet der
Befehl return die Ausführung der Funktion und verhindert so die vollständige Ausführung
dieses Blocks. Auÿerdem können verschiedene Zweige von if - elif - else - Konstruktionen jeweils mit return enden. Die Übertragung des Geistes der Mathematik auf die Informatik
legt nahe, Funktionen zu programmieren, die zu ihren Argumenten jeweils ein Resultat zurückgeben und dies nicht etwa durch einen print-Befehl bewerkstelligen. Das Programmpaket
Sage verfügt zudem über eine Vielzahl von Funktionen, beispielsweise exp oder solve, die alleein Ergebnis zurückgeben, eine Zahl zum Beispiel, einen Ausdruck, eine Liste von Lösungenusw.

Iterative und rekursive Verfahren. Eine vom Anwender denierte Funktion ist wie eine
Folge von Anweisungen aufgebaut. Eine Funktion heiÿt rekursiv, wenn zu ihrer Auswertungin bestimmten Fällen erforderlich ist, diese Funktion mit verschiedenen Parametern mehrmals
auszuführen. Die Fakultät (n!)n∈N ist ein einfaches Beispiel:

0! = 1,(n + 1)! = (n + 1)n!

für alle n ∈ N.

53

3. Programmierung und Datenstrukturen
Die beiden folgenden Funktionen einer natürlichen Zahl liefern dasselbe Ergebnis, aber die
erste arbeitet iterativ und verwendet eine for-Schleife, während die andere die vorstehende
rekursive Denition wortwörtlich umsetzt:

sage: def fact1(n):....:res = 1....:for k in [1..n]: res = res*k....:return reset
sage: def fact2(n):....:if n == 0: return 1....:
else: return n*fact2(n-1)
Die Fibonacci-Folge ist eine rekursive Folge 2. Ordnung, denn der Wert un+2 hängt eindeutig
von den Werten u und un+1 ab:

u0 = 0,u1 = 1,

un+2 = un+1 + un für alle n ∈ N.

Die Funktion fib1 hierunter verwendet bei der Berechnung der Glieder der Fibonaccifolge einiteratives Verfahren und arbeitet mit zwei Variablen U und V, um die beiden vorhergehenden
Werte der Folge zwischenzuspeichern, bevor zum nächsten gegangen wird:

sage: def fib1(n):....:if n == 0 or n == 1: return n
....:
else:
....:
U = 0
....:
V = 1 # die Startwerte u0 und u1....:
for k in [2..n]:....:
W = U + V
....:
U = V
....:
V = W
....:
return V
sage: fib1(8)21Ab n = 2 verarbeitet die Schleife die Beziehung un = un−1 + un−2 . Des weiteren vermeidet
die parallele Zuweisung von U,V = V,U+V statt w = U+V; U = V; V = W die Einführung einer
Variablen W und übersetzt die Iteration der rekursiven vektoriellen Folge Xn = (un , un+1 ) 1.
Ordnung, die durch Xn+1 = f (Xn ) deniert ist, wenn f (a, b) = (b, a + b) ist. Die iterativen
Verfahren sind ezient, doch muss bei ihrer Programmierung die Denition der Folge an die
Manipulation der Variablen angepasst werden
Im Gegensatz dazu folgt die rekursive Funktion fib2 der mathematischen Denition dieser
Folge viel besser, was ihre Programmierung vereinfacht und das Verständnis verbessert:

sage: def fib2(n):....:if 0 <= n <= 1: return n# für n = 0 oder n = 1....:
else: return fib2(n-1) + fib2(n-2)
Das Ergebnis dieser Funktion ist der von der bedingten Anweisung zurückgegebene Wert: 0
und 1 für n = 0 bzw. n = 1 und sonst die Summe fib2(n-1)+fib2(n-2). Jeder Zweig desTests endet mit dem Befehl return.

54

3.2. Algorithmik
Dieses Verfahren ist zwar weniger ezient, denn viele Rechnungen werden unnötigerweise
wiederholt. Zum Beispiel werden für fib2(5) auch fib2(3) und fib2(4) ausgewertet, dieebenso berechnet worden sind. Somit wertet Sage fib2(3) zweimal aus und fib2(2) dreimal.
Dieser Prozess endet mit der Auswertung von fib2(1) oder fib2(0) und die Auswertung vonfib2(n) besteht schlieÿlich aus der Addition von un Einsen und un−1 Nullen. Die Gesamtzahl
der Additionen ist daher gleich un+1 − 1. Diese Zahl ist von beträchtlicher Gröÿe und wächst
sehr schnell. Kein Rechner, und sei er noch so schnell, kann auf diese Weise u100 berechnen.
Auch andere Verfahren sind möglich, beispielsweise mit Zwischenspeicherung dank dem Dekorator @cached_function oder durch Ausnutzung einer Eigenschaft von Matrixpotenzen: derfolgende Abschnitt zum schnellen Potenzieren zeigt, wie der millionste Term dieser Folge zu
berechnen ist.
3.2.4. Beispiel: schnelles Potenzieren

Eine naive Methode zur Berechnung von an besteht darin, in einer for-Schleife n ∈ N Multiplikationen mit a auszuführen.

sage: a = 2; n = 6; res = 1# 1 ist das neutrale Element
sage: for k in [1..n]: res = res*asage: res# Der Wert von res ist 2^6
64
Ganzzahlige Potenzen gibt es in der Mathematik in drei Zusammenhängen: dieser Abschnitt
untersucht eine allgemeine Methode der Berechnung einer ganzzahligen Potenz an , die schneller ist als die vorstehende. Die hiernach denierte Folge (un )n∈N veriziert un = an ; man
beweist dieses Resultat durch Rekursion mittels dieser Gleichungen a2k = (ak )2 und ak+1 =aak :
für n = 0, 12ufür gerades n > 0,
(3.1)
un =
 n/2
aun−1 für ungerades n.
Beispielsweise ist für u11 :

u11 = au10 ,
u2 = u21 ,

u10 = u25 ,

u5 = au4 ,

u4 = u22 ,

u1 = au0 = a;und somit:

u2 = a2 ,u4 = u22 = a4 ,u10 = u25 = a10 ,u5 = aa4 = a5 ,u11 = aa10 = a11 .

Die Berechnung von un lässt nur Terme uk mit k ∈ {0, . . . , n − 1} auftreten und ist deshalb
mit einer endlichen Anzahl von Operationen gut beschrieben.
Dieses Beispiel zeigt auÿerdem, dass man den Wert von u11 durch Auswertung der 6 Terme
u10 , u5 , u4 , u2 , u1 und u0 erhält, was einzig mit 6 Multiplikationen erfolgt. Die Berechnung
von un erfordert zwischen log n/ log 2 und 2 log n/ log 2 Multiplikationen, denn nach einemoder zwei Schritten - jenachdem ob n gerade ist oder ungerade - wird un als Funktion von uk
ausgedrückt mit k ≤ n/2. Dieses Verfahren ist daher unvergleichlich schneller als die naive
Methode, sobald n groÿ ist; etwa 20 Terme für 104 und keine 104 Produkte:55

3. Programmierung und Datenstrukturen
verarbeitete Indizes:

10000
39

5000
38

2500
19

1250
18

625
9

624
8

312
4

156
2

78
1

Allerdings ist dieses Verfahren nicht immer das schnellste; die folgende Rechnung mit b, c, d
und f braucht 5 Produkte, um a15 zu berechnen, obwohl das Verfahren mit u, v, w, x und y
6 Multiplikationen erfordert ohne die Multiplikation mit 1:b = a2
u = a2v = au = a3

c = ab = a3

w = v 2 = a6

d = c2 = a6

x = aw = a7

f = cd = a9

df = a15 : 5 Produkte;y = x2 = a1 4 ay = a15 : 6 Produkte.

Die rekursive Funktion pot1 berechnet die rekursive Folge (3.1) nur mit den Multiplikationen
zur Programmierung des Operators für die Erhebung zur Potenz:

sage: def pot1(a, n):....:
if n == 0: return 1....:
elif n % 2 == 0: b = pot1(a, n//2); return b*b....:else: return a*pot1(a, n-1)
sage: pot1(2,11)2048# a für das Resultat 2^11

Die Anzahl der von dieser Funktion ausgeführten Operationen ist die gleiche wie die von Hand
berechnete, wenn die schon berechneten Resultate weiterverwendet werden. Wenn andererseits die Anweisungen b = pot1(a, n//2); return b*b, die nach der Prüfung von n auf
Geradheit ausgeführt werden, durch pot1(a, n//2)*pot1(a, n//2) ersetzt würden, müsste
Sage weit mehr Rechnungen ausführen, weil wie bei der rekursiven Funktion fib2, welche die
Fibonacci-Folge berechnet, etliche Berechnungen unnötigerweise wiederholt werden würden.
Es gäbe letzten Endes n Multiplikationen, soviele wie mit dem naiven Verfahren.
Auÿerdem kann der Befehl return pot1(a*a, n//2) auf äquivalente Weise diese beiden Anweisungen ersetzen.
Das folgende Programm führt die gleiche Rechnung iterativ aus:sage: def pot2(u, k):
....:
v = 1
....:
while k != 0:....:
if k % 2 == 0: u = u*u; k = k//2....:
else: v = v*u; k -= 1....:
return v
sage: pot2(2, 10)1024# a für das Resultat 2^10

Dass der Wert von pot2(a, n) tatsächlich an ist, wird dadurch bewiesen, dass die Variablenu, v und k bei jedem Schritt durch die Gleichung vuk = an verbunden sind, egal, ob k geradeoder ungerade ist. Im ersten Schritt ist v = 1, u = a und k = n; nach dem letzten Schritt ist
k = 0, also v = an .
Die aufeinander folgenden Werte von k sind sämtlich ganz und ≥ 0, und sie bilden eine strengfallende Folge. Diese Variable kann nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen, bevor sie
0 wird und die Schleife endet.

56

3.2. Algorithmik
Entgegen dem Augenschein - die Funktion pot1 ist rekursiv, die Funktion pot iterativ programmiert - geben beide Funktionen nahezu den gleichen Algorithmus wieder: der einzige
Unterschied ist, dass die erste a2k durch (ak )2 auswertet, die zweite jedoch a2k durch (ak )2 ,wie die Modikation der Variablen u zeigt.
Dieses Verfahren ist nicht auf ganzzahlige Potenzen von Zahlen durch Multiplikation beschränkt, sondern wird auf jedes Gesetzt der internen assoziativen Komposition angewendet.
Dieses Gesetz muss assoziativ sein, um die üblichen Eigenschaften bei mehrmaliger Multiplikation zu besitzen. Ersetzte man also die Zahl 1 durch die Einheitsmatrix In , würden beide
Funktionen die positiven Potenzen quadratischer Matrizen auswerten. Diese Funktionen verdeutlichen, wie der Potenz-Operator  ^  mittels Multiplikationen ezient zu programmieren
ist, und sie ähneln dem in Sage implementierten Verfahren.
Beispielsweise ermöglicht eine Matrizenpotenz Terme der Fibonacci-Folge mit Indizes zu erhalten, die noch gröÿer sind als vorhin:




0 1
un
A=
,
Xn =
,
AXn = Xn+1 ,An X0 = Xn .
un+1
1 1
Das entsprechende Sage-Programm gibt sich mit zwei Zeilen zufrieden und das gesuchte Resultat ist der erste Eintrag des Matrizenproduktes An X0 , was selbst für n = 107 funktioniert;
diese beiden Programme sind äquivalent und ihre Ezienz kommt daher, dass Sage eine Methode der schnellen Potenzierung verwendet:sage: def fib3(n):....:A = matrix([[0,1],[1,1]]); X0 = vector([0,1])....:
return (A^n*X0)[0]sage: def fib4(n):....:return (matrix([[0,1],[1,1]])^n*vector([0,1]))[0]3.2.5. Datenein- und -ausgabe

Die Anweisung print ist der Befehl zur Datenausgabe. Voreingestellt ist die Ausgabe derArgumente eines nach dem anderen und getrennt durch ein Leerzeichen; am Ende des Befehls
macht Sage automatisch einen Zeilenvorschub:sage: print 2^2, 3^3, 4^4; print 5^5, 6^6
4 27 2563125 46656
Ein Komma am Ende des Befehls print unterdrückt den Zeilenvorschub, und die nächste
print-Anweisung wird auf der selben Zeile fortgesetzt:

sage: for k in [1..10]: print '+', k,+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Es ist möglich, die Resultate ohne Zwischenraum auszugeben, indem sie mit der Funktion
str() in eine Zeichenkette umgewandelt und durch den Verkettungsoperator  +  verbunden
werden.

sage: print 10, 0.5; print 10+0.5; print 10.0, 5
10 0.500000000000000

57

3. Programmierung und Datenstrukturen
10.5000000000000
10.0000000000000 5
sage: print 10+0, 5; print str(10)+str(0.5)
10 5
100.500000000000000
Der letzte Abschnitt dieses Kapitels über Listen und andere Datenstrukturen stellt Zeichenketten dann ausführlicher vor.
Der Befehl print ermöglicht auch Zahlen zu formatieren, um sie in eine Tabelle zu schreiben.
Das folgende Beispiel mit dem Platzhalter %.d und dem Operator % gibt die Tabelle der 4. Potenzen eine untereinander aus: sage: for k in [1..6]: print '%2d^4 = %4d' % (k, k^4)1^4 =1
2^4 = 163^4 = 814^4 = 2565^4 = 625
6^4 = 1296
Der Operator % setzt die Zahlen zu seiner Rechten in die Zeichenkette zu seiner Linken an
der durch %2d und %4d markierten Stelle ein. Dabei sorgt zum Beispiel %4d dafür, dass für die
Zahl mindestens 4 Stellen reserviert werden, um noch für 6^4 Platz zu haben. Genauso gibt
der Platzhalter %.4f in 'pi = %.4f' % n(pi) die Zeichenkette pi = 3.1416 mit vier Stellen
nach dem Dezimaltrenner aus.
Auf einem Terminal gibt die Funktion raw_input('message') den Text message aus, erwartet
eine gültige Eingabe von der Tastatur, die mit einem Zeilenvorschub abgeschlossen wird undgibt die entsprechende Zeichenkette zurück.

3.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
Dieser Abschnitt behandelt die zusammengesetzten Datenstrukturen in Sage: Zeichenketten,
Listen - veränderlichen oder unveränderlichen Typs -, Mengen und Diktionäre.
3.3.1. Denition von Listen und Zugri auf die Elemente

Der Begri der Liste ist in der Informatik das n-Tupel der Mathematik und ermöglicht die
Aufzählung mathematischer Objekte. Der Begri des Paares - mit (a, b) 6= (ba) - und desn-Tupels präzisiert im Gegensatz zum Begri der Menge die Position jedes Elementes.
Wir denieren eine Liste, indem wir ihre Elemente getrennt durch Kommata in eckige Klammern setzen [. . .]. Die Zuweisung des Tripels (10, 20, 30) zur Variablen L wird auf folgende
Weise vorgenommen:

sage: L = [10, 20, 30]
sage: L
[10, 20, 30]
und die leere Liste, ohne Elemente, wird einfach so deniert:58

3.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
sage: [][]# das ist die leere Liste

Die Listenelemente werden durch ganze Zahlen indiziert. Das erste Element hat den Index
0, das zweite den Index 1 usw. Der Zugri auf das Element mit dem Index k einer Liste L
erfolgt durch L[k], mathematisch entspricht das der kanonischen Projektion der betrachteten
Liste als Element eines kartesischen Produkts auf das Element der Ordnung k . Die Funktion
len gibt die Anzahl der Elemente einer Liste zurück6 :sage: L[1], len(L), len([])(20, 3, 0)
Die Modikation eines Eintrags gelingt auf die gleiche Weise, nämlich durch Zuweisung desentsprechen Eintrags. So verändert der folgende Befehl den mit 2 indizierten dritten Term derListe:

sage: L[2] = 33
sage: L
[20, 3, 33]
Mit negativen Indizes wird von hinten auf Listenelemente zugegrien, wobei das letzte Element
den Index -1 hat, das vorletzte den Index -2 usw.

sage: L = [11, 22, 33]
sage: L[-1], L[-2], L[-3](33,22,11)
Der Befehl L[p:q] extrahiert die Teilliste [L[p], L[p+1], ..., L[q-1]], welche für q ≤ pleer ist. Negative Indizes ermöglichen das Herausziehen der hinteren Listenelemente; schlieÿlich
bildet die Angabe L[p:] die Teilliste L[l:len(L)], beginnend beim Index p bis zum Ende,und L[:p]=L[0:p] zählt die Elemente der Liste vom Anfang bis vor das Element mit dem
Index q auf:

sage: L = [0, 11, 22, 33, 44, 55]
sage: L[2:4]
22, 33sage: L[-4:4][22, 33]
sage: L[2,-2]
22,33 sage: L[:4][0, 11, 22, 33] sage: L[4:][44,55]
Genauso wie der Befehl L[n] = ... ein Element der Liste verändert, ersetzt die ZuweisungL[p:q] 0 ... die Teilliste zwischen den Elementen p (einschlieÿlich) und q (ausschlieÿlich):sage: L = [0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77]
sage: L[2:6] = [12, 13, 14]# ersetzt [22, 33, 44, 55]

6

Der Wert der Funktion len hat den Typ int von Python, der Ausdruck Integer(len(...)) gibt eine ganze
Zahl des Typs Integer von Sage zurück.

59

3. Programmierung und Datenstrukturen
So unterdrücken L[:1] = [] und L[-1:] jeweils das erste bzw. das letzte Element einer Listeund umgekehrt setzen L[:0] = [a] und L[len(L):] = [a] jeweils ein Element a am Anfangbzw. am Ende der Liste ein. Generell erfüllen die Einträge einer Liste diese Gleichungen:Llk= [l0 , l1 , l2 , · · · , ln−1 ] = [l−n , l1−n , . . . , l−2 , l−1 ] mit n = len(L),= lk−n für 0 ≤ k < n, lj = ln+j für −n ≤ j < 0.

Der Operator in testet, ob ein Element in einer Liste vorhanden ist. Sage prüft zwei Listen
auf Gleichheit mit  ==  und vergleicht die Elemente eins nach dem anderen. Die beiden
Teillisten mit positiven bzw. negativen indizes sind gleich:sage: L = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]
sage: L[3:len(L)-5] == L[3-len(L):-5]
True
sage: [5 in L, 6 in L][True, False]
Die obigen Beispiele betreen Listen mit ganzen Zahlen, doch können beliebige Sage-Objekte
Elemente von Listen sein, Zahlen, Ausdrücke, andere Listen usw.
3.3.2. Globale Operationen auf Listen

Der Additionsoperator  +  bewirkt die Verkettung zweier Listen, und der Multiplikationsoperator  *  bewirkt ein ganzzahliges Vielfaches dieser Verkettung:sage: L = [1, 2, 3]; L + [10, 20, 30][1, 2, 3, 10, 20, 30]
sage: 4*[1, 2, 3][1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
Die Verkettung der beiden Teillisten L[:k] und L[k:] bringt die ursprüngliche Liste zurück.
Das erklärt, eshalb die linke Grenze mit dem Index p einer Teilliste L[p:q] eingeschlossen ist,
die rechte Grenze q aber nicht:

L = L[:k] + L[k:] = [l0 .l1 , . . . , ln−1 ]= [l0 , l1 , l2 , . . . , lk−1 ] + [lk , lk+1 , lk+2 , . . . , ln−1 ].
Das folgende Beispiel verdeutlicht diese Eigenschaft:

sage: L = 5*[10, 20, 30]; L[:3] + L[3:] == L
True
Der aus zwei Punkten zusammengesetzte Operator  ..  automatisiert die Erstellung ganzzahliger Listen, ohne ihre Elemente alle einzeln aufzuzählen. Das folgende Beispiel bildet eine
Liste, die aus Aufzählungen und aus isolierten Elementen besteht:

sage: 1..3, 7, 10..13[1, 2, 3, 7, 10, 11, 12, 13]
Nun wird beschrieben, wie das Bild einer Liste unter einer Funktion erzeugt wird und eine
Teilliste einer Liste. Die zugehörigen Funktionen sind map und filter sowie die Konstruktion

60

3.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen[.. for .. x .. in .. ]. In der Mathematik treten oft Listen auf, die aus Bildern unter
der Funktion f ihrer Elemente bestehen:(a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 ) 7→ (f (a0 ), f (a1 ), . . . , f (an−1 )).
Der Befehl map erzeugt dieses Bild; das folgende Beispiel wendet die trigonometrische Funktion
cos auf eine Liste häug gebrauchter Winkel an:sage: map(cos, [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2])[1, 1/2*sqrt(3), 1/2*sqrt(2), 1/2, 0]
Es ist auch möglich, eine vom Anwender mit def denierte Funktion zu verwenden oder mit
lambda eine Funktion direkt zu deklarieren; der Befehl hierunter ist zum vorhergehendenäquivalent und benutzt die mit t 7→ cos t denierte Funktion:

sage: map(lambda t: cos(t), [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2])[1, 1/2*sqrt(3), 1/2*sqrt(2), 1/2, 0]
Der Befehl lambda wird gefolgt von einem oder mehreren durch Kommata getrennten Parametern und kann nach dem Doppelpunkt nur genau einen Ausdruck verarbeiten, der ohne
return das Ergebnis liefert.
Diese lambda-Funktion kann zudem einen Test ausführen; die folgenden Funktionen sind äquivalent:

fktTest1 = lambda x: res1 if cond else res2
def fktTest2(x):if cond; return res1
else: return res2
Die folgenden drei map-Befehle sind äquivalent, die Hintereinanderausführung der Funktionen
M ◦ cos geschieht auf mehrere Arten:

sage: map(lambda t: N(cos(t)), [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2])[1.00000000000000, 0.866025403784439, 0.707106781186548,
0.500000000000000, 0.000000000000000]
sage: map(N, map(cos, [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2]))[1.00000000000000, 0.866025403784439, 0.707106781186548,
0.500000000000000, 0.000000000000000]
sage: map(compose(N, cos), [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2])[1.00000000000000, 0.866025403784439, 0.707106781186548,
0.500000000000000, 0.000000000000000]
Der Befehl filter erzeugt eine Teilliste der Elemente, die eine Bedingung erfüllen. Dieses
Beispiel wendet den Primzahltest is_prime auf die Zahlen 1, . . . , 55 an:sage: filter(is_prime, [1..55])[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53]
Die Test-Funktion kann auch im Inneren des Befehls filter deniert werden. Das Beispiel
hierunter bestimmt in erschöpfenden Tests alle vierten Wurzeln von 7 modulo der Primzahl
37; diese Gleichung hat die vier Lösungen 3, 18, 19 und 34:

61

3. Programmierung und Datenstrukturen
sage: p = 37; filter(lambda n: n^4 % p == 7, [0..p-1])[3, 18, 19, 34]Auÿerdem bildet der Befehl [.. for ,, x .. in ..] eine Listenraung (Listencomprehension); diese beiden Befehle zählen auf äquivalente Weise die ungeraden Zahlen von 1 bis 31
auf:

sage: map(lambda n: 2*n+1, [0..15])[1, 3, 5, 7, 9. 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31]
sage: [2*n+1 for n in [0..15]][1, 3, 5, 7, 9. 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31]
Dieser Befehl ist vom Schleifenbefehl for unabhängig. Die mit for verbundene Bedingung if
führt zu einer Konstruktion, die zur Funktion filter äquivalent ist:

sage: filter(is_prime, [1..55])[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53]
sage: p for p in [1..55] if is_prime(p)[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53]
Die beiden folgenden Beispiele kombinieren die Tests filter und for, um eine Liste vonPrimzahlen zu bestimmen, die zu 1 modulo 4 kongruent sind, dann eine Liste der Quadrate
von Primzahlen:

sage: filter(is_prime, [4*n+1 for n in [0..20]])[5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73]
sage: [n^2 for n in [1..20] if is_prime(n)][4, 9, 25, 49, 121, 169, 361]
Im ersten Fall wird der Test is_prime nach der Berechnung von 4n + 1 ausgeführt, während
im zweiten Fall der Test vor der Berechnung des Quadrats n2 ausgeführt wird.
Die Funktion reduce bearbeitet die Elemente einer Liste assoziativ von links nach rechts.
Denieren wir das Gesetz der internen Komposition mit ◦ :x ◦ y = 10x + y, wird ((1 ◦ 2) ◦ 3) ◦ 4 = (12 ◦ 3) ◦ 4 = 10 ∗ (10 ∗ (10 ∗ 1 + 2) + 3) + 4 = 1234.
Das erste Argument von reduce ist eine Funktion mit zwei Parametern und das zweite ist die
Liste der Argumente:sage: reduce(lambda x, y: 10*x+y, [1, 2, 3, 4])1234
Ein optionales drittes Argument wird vor das Ergebnis gestellt und dient bei einer leeren Liste
als Ergebnis:

sage: reduce(lambda x, y: 10*x+y, [9, 8, 7, 6], 1)[19876]
Es entspricht allgemein dem neutralen Element der jeweiligen Operation. So berechnet dasnächste Beispiel ein Produkt von ungeraden Zahlen:

623.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
sage: L = [2*n+1 for n in [0..9]]sage: reduce(lambda x, y: x*y, L, 1)
654729075
Sages Funktionen add7 und prod verwenden den Operator reduce direkt zur Berechnung vonSummen und Produkten; das Produkt ist in den drei Beispielen hierunter jeweils das gleiche,
und der Befehl mit einer Liste ermöglicht zudem, einen zweiten, optionalen Term als neutrales
Element hinzuzufügen, 1 für das Produkt und 0 für die Summe oder eine Einheitsmatrix für
ein Matrizenprodukt:

sage: prod([2*n+1 for n in [0..9]], 1) # eine Liste mit for
654729075
sage: prod(2*n+1 for n in [0..9])654729075
sage: prod(n for n in [0..19] if n%2 == 1)
654729075
Die Funktion any mit dem Operator or und die Funktion all mit dem Operator and sindgrundsätzlich äquivalent. Allerdings endet die Auswertung, sobald das Resultat True oder
False eines der Terme dieses Resultat erheischt, ohne die Auswertung der folgenden Terme
zu beeinussen.

sage: def fkt(x): return 4/x == 2
sage: all(fkt(x) for x in [2, 1, 0])
False sage: any(fkt(x) for x in [2, 1, 0])
True
Hingegen führen die Bildung der Liste [fkt(x) for x in [2, 1, 0]] und der Befehl
all([fkt(x) for x in [2, 1, 0]]) zu Fehlern (rational division by zero), denn es
werden alle Terme ausgewertet, auch der letzte mit x = 0.
Das Verschachteln mehrerer for-Befehle ermöglicht die Bildung des kartesischen Produkteszweier Listen oder die Denition einer Liste von Listen. Das folgende Beispiel zeigt, dasswenn wir mehrere Operatoren for in derselben Denition in einer Raung kombinieren, deram weitesten links stehende der äuÿersten Schleife entspricht:

sage: [[x, y] for x in [1..2] for y in [6..8]][[1, 6], [1, 7], [1, 8], [2, 6], [2, 7], [2, 8]]
Die Reihenfolge der Schritte ist daher von derjenigen verschieden, die man durch Verschachteln
mehrerer Denitionen in einer Raung erhält.

sage: [[[x, y] for x in [1..2]] for y in [6..8]][[[1, 6], [2, 6]], [[1, 7], [2, 7]], [[1, 8], [2, 8]]]Der Befehl map mit mehreren gleichlangen Listen als Argumenten geht in diesen Listen synchronisiert vor.

sage: map(lambda x, y: [x, y], [1..3], [6..8])[[1, 6], [2, 7], [3, 8]]
Schlieÿlich erlaubt der Befehl flatten Listen auf einer oder mehreren Ebenenen zu verketten:
7

Nicht zu verwechseln mit sum, das für eine Summe einen symbolischen Ausdruck sucht.

63

3. Programmierung und Datenstrukturen
sage: L = [[1, 2, [3]], [4, [5, 6]], [7, [8, [9]]]]sage: flatten(L, max_level = 1)
[1, 2, [3], 4, [5, 6], 7, [8, [9]]]sage: flatten(L, max_level = 2)
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, [9]]sage: flatten(L)# äquivalent zu flatten(L, max_level = 3)
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Solche elementaren Manipulationen von Listen erweisen sich in anderen Zweigen von Sage als
nützlich; das folgende Beispiel berechnet Ableitungen von xex ; das erste Argument von diffist der abzuleitende Ausdruck, der oder die folgenden entsprechen der Variablen, nach derabgeleitet werden soll, diese Parameter können auch die Liste der Variablen sein, nach denen
abgeleitet werden soll:sage: x = var('x')
sage: factor(diff(x*exp(x), [x, x]))(x + 2)*e^x
sage: map(lambda n: factor(diff(x*exp(x), n*[x])), [0..6])[x*e^x, (x + 1)*e^x, (x + 2)*e^x, (x + 3)*e^x, (x + 4)*e^x,(x + 5)*e^x, (x + 6)*e^x]sage: [factor(diff(x*exp(x), n*[x])) for n in [0..6]][x*e^x, (x + 1)*e^x, (x + 2)*e^x, (x + 3)*e^x, (x + 4)*e^x,(x + 5)*e^x, (x + 6)*e^x]
Der Befehl diff besitzt mehrere Syntaxen. Die Parameter, die der Funktion f folgen, können
sowohl die Liste der Ableitungsvariablen sein wie auch die Aufzählung dieser Variablen oderder Grad der Ableitung:sage: diff(f(x), x, x, x),diff(f(x), [x, x, x]),diff(f(x), x, 3)

Wir können auch diff(f(x), 3) für Funktionen nur einer Variablen verwenden. Diese Resultate werden durch die Leibnizformel für mehrfache Ableitungen eines Produktes aus zwei
Termen unmittelbar bestätigt, wobei die zweiten und höheren Ableitungen nach x null sind:(xex )(n) =

n  
X
n
k=0

k

x(k) (ex )(n−k) = (x + n)ex .

3.3.3. Wichtige Methoden auf Listen

Die Methode reverse kehrt die Reihenfolge der Elemente einer Liste um, und die Methodesort ordnet die Elemente aufsteigend der Gröÿe nach:sage: L = [1. 8, 5, 2, 9]: L.reverse(); L[9, 2, 5, 8, 1]
sage: L.sort(); L
1, 2, 5, 8, 9
sage: L.sort(reverse = True); L[9, 8, 5, 2, 1]
Diese beiden Methoden verändern die Liste L, und der alte Wert ist verloren.

643.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
Ein erstes optionales Argument bei sort ermöglicht die Auswahl der Ordnungsrelation in derForm einer Funktion Ordre(x, y) mit zwei Parametern. Das Resultat muss vom Typ int
von Python sein; es ist zum Beispiel -1, 0 oder 1, je nachdem ob x ≺ y , x = y oder x  y .
Die transformierte Liste (x0 , x1 , . . . , xn−1 ) erfüllt x0  x1  . . .  xn−1 .
Die lexikographische Ordnung der beiden Zahlenlisten gleicher Länge ist ähnlich der alphabetischen Ordnung und wird durch diese Äquivalenz deniert, wobei ersten Terme vernachlässigt
werden, sobald sie paarweise gleich sind:P = (p0 , p1 , . . . , pn−1 ) ≺textlex Q = (Q0 , Q1 , . . . , qn−1 )⇐⇒ ∃r ∈ {0, . . . , n − 1} (p0 , p1 , . . . , pr−1 ) = (q0 , q1 , . . . , qr−1 ) und pr < qr .
Die folgende Funktion vergleicht zwei Listen, die gleich lang sein müssen. Trotz der Endlosschleife while True verlassen die Befehle return diese Schleife direkt und beenden die
Funktion. Das Ergebnis ist -1, 0 oder 1 je nachdem, ob P ≺lex Q, P = Q oder P lex Q:

sage: def alpha(P, Q):# len(P) = len(Q) vorausgesetzt
....:
i = 0
....:
while True:....:
if i == len(P): return int(0)....:elif P[i] < Q[i]: return int(-1)....:
elif P[i] > Q[i]: return int(1)....:else: i = i+1
sage: alpha([2, 3, 4, 6, 5], [2, 3, 4, 5, 6])1
Der folgende Befehl ordnet eine Liste von gleich langen Listen in lexikographischer Reihenfolge.
Diese Funktion entspricht auÿerdem der in Sage für den Vergleich zweier Listen implementierten Ordnung; der Befehl L.sort() ohne optionalen Parameter ist äquivalent:

sage: L = [[2, 2, 5], [2, 3, 4], [3, 2, 4], [3, 3, 3], [1, 1, 2], [1, 2, 7]]
sage: L.sort(cmp=alpha); L[[1, 1, 2], [1, 2, 7], [2, 2, 5], [2, 3, 4], [3, 2, 4], [3, 3, 3]]
Die Denition der homogenen lexikographischen Ordnung besteht zunächst im Vergleich derTerme nach ihrem Gewicht vor Anwendung der lexikographischen Ordnung, wobei das Gewicht die Summe der Koezienten ist:

P = (p0 , p1 , . . . , pn−1 ) ≺lexH Q = (q0 , q1 , . . . , qn−1 )
⇐⇒

n−1
X
k=0

pk <

n−1
X

qk oder

k=0

n−1
X
k=0

pk =

n−1
X

!
qk und P ≺lex Q .

k=0

Der Code hierunter implementiert diese homogene Ordnung:sage: def homogLex(P. Q):....: sp = sum(P); sq = sum(Q)....: if sp < sq: return int(-1)....: elif sp > sq: return int(1)....: elde: return alpha(P, Q)
sage: homogLex([2, 3, 4, 6, 4], [2, 3, 4, 5, 6])-1

65

3. Programmierung und Datenstrukturen
Sages Funktion sorted ist eine Funktion im mathematischen Sinnes des Wortes; sie erhält als
erstes Argument eine Liste und gibt, ohne sie zu verändern, als Resultat eine neue, geordnete
Liste zurück. Im Unterschied dazu ordnet die Methode sort die Liste in place.
Sage bietet noch andere Methoden für Listen, Einfügen eines Elements am Ende der Liste
und Abzählen der Anzahl der Wiederholungen eines Elements:

L.append(x)ist äquivalent zu L[len(L):] = [x]L.extend(L1) ist äquivalent zu L[len(L):] = L1
L.insert(i, x) ist äquivalent zu L[i:i] = [x]L.cont(x)ist äquivalent zu len(select(lambda t: t == x, L))
Die Befehle L.pop(i) und L.pop() löschen das mit i indizierte Objekt oder das letzte Element
einer Liste und geben dieses Element zurück; die beiden Funktionen hierunter beschreiben
jeweils ihre Wirkungsweise:def pop1(L, i):a = L[i]L[i:i+1] = []return adef pop2(L):return pop1(L, len(L)-1)Auÿerdem gibt L.index(x) den Index des ersten Terms zurück, der x gleicht, und L.remove(x)entfernt das erste Element mit dem Wert x aus der Liste. Diese Befehle führen zu einem Fehler, wenn x nicht in der Liste vorhanden ist. Schlieÿlich ist der Befehl del L[p:q] äquivalentzu L[p:q] = [], und del L[i] löscht das Element mit dem Index i.
Anders als in zahlreichen anderen Programmiersprachen modizieren diese Funktionen die
Liste L, ohne eine neue Liste zu erzeugen.
3.3.4. Beispiele für Listenbearbeitung

Das folgende Beispiel erzeugt die Liste der geraden und die Liste der ungeraden Elemente
einer gegebenen Liste. Diese erste Lösung durchläuft die gegebene Liste zweimal und führt
diese Tests zweimal aus: sage: def fkt1(L):....: return [filter(lambda n: n % 2 == 0, L), filter(lambda n: n % 2 == 1, L)]sage: fkt1([1..10])[[2, 4, 6, 8, 10], [1. 3, 5, 7, 9]]Diese zweite Lösung durchläuft die Liste nur einmal und bildet die beiden Ergebnislisten nachund nach:sage: def fkt2(L):....:res0 = []; res1 = []....:for k in L:....:
if k%2 == 0: res0.append(k) # oder res0[len(res0):] = [k]....:else: res1.append(k)# oder res1[len(res1):] = [k]....:return [res0, res1]
Dieses Programm ersetzt die for-Schleife und die Hilfsvariablen durch einen rekursiven Aufruf
und einen zusätzlichen Parameter:663.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
sage: def fkt3a(L, res0, res1):....:
if L == []: return [res0, res1]....:
elif L[0]%2 == 0: return fkt3a(L[1:], res0+[L[0]], res1)....:
else: return fkt3a(L[1:], res0, res1+[L[0]])sage: def fkt3(L): return fkt3a(L, [], [])Die Parameter res0 und res1 enthalten die ersten schon gefundenen Elemente, und die Parameterliste L verliert ein Element bei jedem rekursiven Aufruf.
Das zweite Beispiel hierunter extrahiert alle wachsenden Folgen einer Zahlenliste. Drei Variable werden verwendet. Die erste, res, speichert die bereits erhaltenen wachsenden Folgen, die
Variable anfang bezeichnet die Position, wo die aktuelle wachsende Folge beginnt, und die
Variable k ist der Schleifenindex:

sage: def teilFolgen(L):....:if L == []: return []....:res = []; anfang = 0; k = 1....:
while k < len(L):# 2 aufeinander folgende Elemente definiert....:
if L[k-1] > L[k]:....:res.append(L[anfang:k]); anfang = k....:
k = k+1....:
res.append(L[anfang:k])....:return res
sage: teilFolgen([1, 4, 1, 5])[[1, 4], [1, 5]]
sage: teilFolgen([4, 1, 5, 1])[[4], [1,5], [1]]Der Schleifenrumpf erlaubt den Übergang zum nächten Element der Liste. Ist der Test positiv,
dann endet die aktuelle wachsende Teilfolge und es muss zu einer neuen Teilfolge übergegangenwerden, sofern sie nicht durch das folgende Element verlängert wird.
Die Anweisung nach der Schleife fügt dem Endresultat die aktuelle wachsende Teilfolge hinzu,
die mindestens ein Element besitzt.
3.3.5. Zeichenketten

Zeichenketten werden in einfache '...' oder doppelte "..." Anführungszeichen eingeschlossen. Zeichenketten in einfachen Anführungszeichen können doppelte Anführungszeichen enthalten und umgekehrt. Zeichenketten können auch von dreifachen Hochkommata '''...'''
begrenzt werden, können dann auch mehrere Zeilen umfassen und einfache oder doppelte
Anführungszeichen enthalten.

sage: S = 'Dies ist eine Zeichenkette.'
Das Zeichen \ ermöglicht einen Zeilenvorschub mit \n, Anführungszeichen mit \" oder mit\', das TAB-Zeichen ist \t und das ESC-Zeichen ist \\. Die Zeichenketten können auch
Buchstaben mit Akzenten enthalten und ganz generell beliebige Unicode-Zeichen.

sage: S = 'Ceci est une chaîne de charactères.'; S'Ceci est une cha\xc3\xaene de charact\xc3\xa8res.'67

3. Programmierung und Datenstrukturen
sage: print S
Ceci est une chaîne de charactères.
Der Vergleich von Zeichenketten erfolgt zeichenweise anhand des Codes der Zeichen. Die Länge
einer Kette erhält man mit der Funktion len, und die Verkettung wird durch die Operatoren
der Addition  +  und der Multiplikation  *  bewirkt.
Der Zugri auf eine Teilkette von S funktioniert wie bei Listen mit eckigen Klammern S[n],S[p:q], S[p:], S[:q], und das Ergebnis ist eine Zeichenkette. Die Sprache erlaubt aberkeine Veränderung der ursprünglichen Zeichenkette durch eine Zuweisung dieser Form, ausdiesem Grund wird der Typ der Zeichenketten als immutabel bezeichnet.
Die Funktion str wandelt ihr Argument in eine Zeichenkette um. Die Methode split zerlegt
eine Zeichenkette an den Leerzeichen in eine Liste von Teilketten.

sage: S = 'eins zwei drei vier fünf sechs sieben'; L = S.split(); L['eins', 'zwei', 'drei', 'vier', 'f\xc3\xbcnf', 'sechs', 'sieben']Die recht vollständige Python-Bibliothek re unterstützt reguläre Ausdrückereguläre Ausdrücke und kann für die Suche nach Teilketten und für die Mustererkennung ebenfalls verwendet werden.
3.3.6. Teilen und Verdoppeln einer Struktur

Eine Liste in eckigen Klammer [...] kann durch Zuweisungen zu ihren Elemente, durch dieÄnderung der Anzahl ihrer Elemente oder mit Methoden wie sort oder reverse modiziert
werden.
Die Zuweisung einer vorhandenen Liste zu einer weiteren Variablen verändert die Struktur
nicht, beide Listen haben Teil an denselben Daten. Im folgenden Beispiel bleiben die Listen L1
und L2 identisch; sie entsprechen zwei Alias -Namen desselben Objektes, und eine Veränderung
der einen zeigt sich auch bei der anderen:

sage: L1 = [11, 22, 33]; L2 = L1
sage: L1[1] = 222; L2.sort(); L1, L2[11, 33, 222], [11, 33, 222]
sage: L1[2:3] = []; L2[0:0] = [6, 7, 8]
sage: L1, L2([6, 7, 8, 11, 33], [6, 7, 8, 11, 33])
Im Gegensatz dazu sind die Werte von map, mit L[p:q], filter oder .. for ... if .. erzeugte Teillisten, Verkettungen mit + und * und Abachungen mit flatten neue Strukturen,
sodass von einer Verdoppelung der Daten gesprochen werden kann.
Im vorstehenden Beispiel verändert die Ersetzung von L2 = L1 in der ersten Zeile durcheinen der sechs Befehle hierunter die Ergebnisse komplett, denn die Modikationen einer
Liste wirken sich auf die andere nicht aus. Beide Strukturen bleiben unabhängig, beide Listensind verschieden, selbst wenn ihre Werte gleich sind. So kopiert die Zuweisung L2 = L1[:]
die Liste L1 vom ersten bis zum letzten Eintrag und verdoppelt daher die Struktur von L1:

L1 = [11, 22, 33] L2 = copy(L1)L2 = [] + L1
L2 = L1 + []68

L2 = L1[:]
L2 = 1*L1

3.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
Der Test auf geteilte Strukturen von Sage wird durch den binären Operator is bewirkt; ist das
Ergebnis des Tests wahr, dann wirken alle Modikationen auf beide Variablen auf einmal:

sage: L1 = [11, 22, 33]; L2 = L1; L3 = L1[:]
sage: L1 is L2, L2 is L1, L1 is L3, L1 == L3[True, True, False, True]
Die Kopieroperationen arbeiten nur auf einer Listenebene. So panzt sich die Änderung im
Innern einer Liste von Listen fort trotz der Kopie der ersten Ebene der Struktur:

sage: La = [1, 2, 3]; L1 = [1, La]; L2 = copy(L1)sage: L1[1][0] = 5# [1, [5, 2, 3]] für L1 und L2
sage: [L1 == L2, L1 is L2, L1[1] is L2[1]][True, False, True]
Die folgende Anweisung kopiert die Struktur mit beiden Ebenen:

sage: map(copy, L)während die Funktion copyRec die Liste mit allen Ebenen rekursiv kopiert:

sage: def copyRec(L):....:if type(L) == list: return map(copyRec, L)....:
else: return L
Die inverse lexikographische Ordnung ist als lexikographische Ordnung auf umgekehrt aufgezählten n-Tupeln dadurch deniert, dass die Reihenfolge für jedes Element umgekehrt wird:

P = (p0 , p1 , . . . , pn−1 ) ≺lexInv Q = (q0 , q1 , . . . , qn−1 )⇐⇒∃r ∈ {0, . . . , n − 1} ,(pr+1 , . . . , pn−1 ) = (qr+1 , . . . , qn−1 ) und pr > qr .

Die Programmierung der inversen lexikographischen Ordnung kann mittels der in Unterabschnitt 3.3.3 denierten Funktion alpha erfolgen, welche die lexikographische Ordnung implementiert. Das Kopieren der Listen P und Q ist erforderlich, um die Inversion durchzuführen,ohne die Daten zu verändern. Genauer gesagt kehrt die Funktion lexInverse die Reihenfolge der n − T upel mit reverse um und gibt die endgültige Reihenfolge mit dem Ergebnis−(P1 ≺lex Q1 ) zurück:

sage: def lexInverse(P, Q):....:
P1 = copy(P); P1.reverse()....:
Q1 = copy(Q); Q1.reverse()....:
return -alpha(P1, Q1)
Die Modikationen einer als Argument einer Funktion übergebenen Liste wirken sich global
auf die Liste aus, denn die Funktionen kopieren nicht die Struktur der als Argument übergebenen Listen. So modiziert eine Funktion, die einzig P.reverse() statt P1 = copy(P) und
P1.reverse() ausführt, die Liste P ; dieser Eekt, der Nebenwirkung 8 genannt wird, ist im
allgemeinen unerwünscht.
Die Variable P ist eine lokale Variable der Funktion und unabhängig von anderen globalen
Variablen gleichen Namens, doch das hat mit den Modikationen nichts zu tun, die im Inneren
einer als Argument übergebenen Liste vorgenommen werden.
8

engl. side eect, wird ebenso häug wie falsch mit Seiteneekt übersetzt

69

3. Programmierung und Datenstrukturen
Listen - ein Begri, den Python und Sage verwenden - sind in diesen Systemen tatsächlichin der Form dynamischer Tabellen implementiert und haben eine andere Struktur als in Lispoder in OCaml, wo sie durch ein Kopfelement t und eine Schwanzliste Q deniert sind. Derelementare Lispbefehl cons(t,Q) gibt eine Liste mit dem Term t als Kopf zurück, ohne die
Liste Q zu verändern; in Python dagegen verändert das Hinzufügen eines Elementes e zu
einer Tabelle T durch T.append(e) die Tabelle T . Beide Repräsentationen der Daten haben
ihre Vorteile, und der Übergang von einer Darstellung zur anderen ist möglich, doch ist die
Ezienz der Algorithmen in den beiden Fällen nicht dieselbe.
3.3.7. Veränderbare und nicht veränderbare Daten

Listen erlauben Daten zu strukturieren und zu manipulieren, weil sie veränderbarbar sind.
Aus diesem Grund werden diese Strukturen als modizierbar oder mutabel eingestuft.
Python ermöglicht auch die Denition von festen oder immutablen Daten. Die immutable
Struktur, die Listen entspricht, sind Tupel, die in runden Klammern (...) geschrieben werden
anstatt in eckigen [...]. Ein Tupel mir einem einzigen Element wird mit einem Komma hinterdiesem Eintrag geschrieben.

sage: S0 = (); S1 = (1, ); S2 = (1, 2)
sage: [1 in S1, 1 == (1)][True, True]
Die Operationen des Zugris auf Tupel sind die gleichen wie die für Listen, beispielsweise die
Erzegung des Abbildes eines Tupels durch map oder eines Teiltupels durch filter. In allen
diesen Fällen ist das Ergebnis eine Liste, und mit for transformieren wir ein Tupel in eine
Liste.

sage: S1 = (1, 4, 9, 16, 25); [k for k in S1][1, 4, 9, 16, 25]
Der Befehl zip gruppiert mehrere Listen oder Tupel um, genau wie der Befehl map:

sage: L1 = [0..4]; L2 = [5..9]
sage: zip(L1, L2)[(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9)]
sage: map(lambda x, y: (x, y), L1, L2)[(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9)]
3.3.8. Endliche Mengen

Anders als bei Listen kommt es bei Mengen nur darauf an, ob ein Element vorhanden ist odernicht. Weder ist seine Position deniert noch wie oft es vorkommt. Sage kann endliche Mengenmittels der Funktion Set aus Listen erzeugen. Das Ergebnis wird in geschweifte Klammern
eingeschlossen:

sage: E = Set([1, 2, 4, 8, 2, 2, 2]); F = Set([7, 5, 3, 1]); E, F({8, 1, 2, 4}, {1, 3, 5, 7})70

3.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
Der Operator des Enthaltensein in testet, ob ein Objekt Element der Menge ist, und Sageerlaubt die Vereinigung zweier Mengen mit + oder |, ermittelt ihre Schnittmenge mit &, ihreDierenz mit − und ihre symmetrische Dierenz mit ^^:sage: 5 in E, 5 in F, E + F == E F|
(False, True, True)
sage: E & F, E - F, E ^^ F({1}, {8, 2, 4}, {2, 3, 4, 5, 7, 8})
Die Funktion len(E) gibt die Kardinalität einer endlichen Menge zurück. Die Operationen
map, filter und for .. if .. nden auf Mengen genauso Anwendung wie für Tupel. Die
Ergebnisse sind Listen. Der Zugri auf ein Element erfolgt mit E[k]. Die beiden Befehle
hierunter bilden jeweils die gleiche Liste von Elementen einer Menge:

sage: [E[k] for k in [0..len(E)-1]], [t for t in E][8, 1, 2, 4], [8, 1, 2, 4]
Die folgende Funktion testet die Inklusion, das Enthaltensein einer Menge E in einer anderen
Menge F mittels der Vereinigung:sage: def inklus(E, F): return E+F == FAnders als Listen sind Mengen von immutablem Typ und somit nicht modizierbar; auch ihre
Elemente müssen immutabel sein. Es sind also Mengen von Tupeln und Mengen von Mengenmöglich, wir können aber keine Mengen von Listen bilden:

sage: Set([Set([]), Set([1]), Set([2]), Set([1, 2])]){{1, 2}, {}, {2}, {1}}sage: Set([(), (1,), (2,), (1, 2)]){(1, 2), (2,), (), (1,)}
Diese Funktion zählt mit einem rekursiven Verfahren alle Teilmengen einer Menge auf:

sage: def TeilM(EE):....:
if EE == Set([]): return Set([EE])....:
else: return mitOderOhneElt(EE[0], TeilM(Set(EE[1:])))
sage: def mitOderOhneElt(a, E):....:
return Set(map(lambda F: Set([a])+F, E)) + E
sage: TeilM(Set(1, 2, 3)){{3}, {1, 2}, {}, {2, 3}, {1}, {1, 3}, {1, 2, 3}, {2}}Die Funktion mitOderOhneElt(a, E) nimmt eine Menge E von Teilmengen und bildet eine
Menge, die zweimal mehr Elemente hat, die ihrerseits Teilmengen sind und denen das Elementa hinzugefügt ist. Die rekursive Erzeugung beginnt mit der einelementigen Menge E = {0}.

71

3. Programmierung und Datenstrukturen
3.3.9. Diktionäre

Schlieÿlich integriert Python, und damit Sage, den Begri des Diktionärs (Dictionary). Wie
ein Telefonbuch ordnet ein Diktionär jedem Eintrag einen Wert zu.
Die Einträge eines Diktionärs sind Unveränderliche beliebigen Typs, Zahlen, Zeichenketten,
Folgen usw. Die Syntax ist der von Listen vergleichbar, auÿer dass das leere Diktionär dict()als {} abgekürzt werden kann.

sage: D = {}; D['eins'] = 1, D['zwei'] = 2, D['drei'] = 3; D['zehn'] = 10
sage: D['zwei'] + D['drei']5
Das vorstehende Beispiel sagt also, wie ein neuer Eintrag in ein Diktionär eingefügt wird, undwie auf ein Feld mit D[...] zugegrien wird.
Der Operator in prüft, ob ein Eintrag in einem Diktionär enthalten ist und die Befehledel D[x] oder D.pop(x) liefern den Eintrag x dieses Diktionärs.
Das folgende Beispiel zeigt, wie ein Diktionär eine Anwendung auf einer endlichen Menge
darstellen kann:

E = {a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } , f (a0 ) = b0 , f (a1 ) = b1 , f (a2 ) = b2
f (a3 ) = b0 , f (a4 ) = b3 , f (a5 ) = b3 .
Die Methoden der Diktionäre sind mit denen der anderen aufzählenden Strukturen vergleichbar. Der untenstehende Code implementiert die vorstehende Funktion und erzeugt die Denitionsmenge E und die Bildmenge Im f = f (E) mittels der Methoden keys() und values():sage: D = {'a0':'b0', 'a1':'b1', 'a2':'b2', 'a3':'b0', 'a4':'b3', 'a5':'b3'}
sage: E = Set(D.keys()); Imf = Set(D.values())
sage: Imf == Set(map(lambda t:D[t], E))# ist äquivalent True
Der letzte Befehl überträgt die mathematische Denition Im f = {f (x)|x ∈ E}. Diktionäre
können auch aus Listen oder Paaren [Schluessel, W ert] durch den folgenden Befehl erzeugt
werden:dict(['a0','b0'], ['a1','b1'], ...).
Die beiden folgenden Befehle, die auf die Einträge des Diktionärs oder auf das Diktionär selbst
angewendet werden, sind mit der Methode D.values() äquivalent:map(lambda t:D[t], D)map(lambda t:D[t], D.keys())

Der folgende Test auf die Anzahl der Elemente bestimmt mit len(D) die Anzahl der Einträge
im Diktionär, falls die durch D dargestellte Funktion injektiv ist,

sage: def injektiv(D):....:return len(D) == len(Set(D.values()))
Die ersten beiden Befehle hierunter erzeugen das Bild f (F ) und das Urbild f −1 (G) der Teilmengen F und G einer durch das Diktionär D denierten Funktion; die letztere deniert

723.3. Listen und zusammengesetzte Strukturen
ein Diktionär DR, das der Urbildfunktion f −1 einer als bijektiv vorausgesetzten Funktion f
entspricht:

sage: Set([D[t] for t in F])
sage: Set([t for t in D if D[t] in G])
sage: DR = dict((D[t], t) for t in D)73

4. Graphiken
Die Veranschaulichung von Funktionen zweier oder dreier Veränderlicher oder einer Datenreihe
erleichtert das Verständnis mathematischer oder physikalischer Phänomene und ermöglicht,
Resultate eektiv zu mutmaÿen. In diesem Kapitel illustrieren wir anhand von Beispielen die
graphischen Fähigkeiten von Sage.

4.1. Kurven in 2D
Eine ebene Kurve kann auf mehrere Arten deniert werden: als Graph einer Funktion einer
Veränderlichen, durch ein System parametrisierter Gleichungen, durch eine Gleichung in Polarkoordinaten oder durch eine implizite Gleichung. Diese vier Fälle stellen wir vor, danachgeben wir einige Beispiele für die Veranschaulichung von Daten.
4.1.1. Graphische Darstellung von Funktionen

Um den Graphen einer symbolischen Funktion oder einer Python-Funktion auf einem Intervall[a, b] zu zeichnen, verfügen wir über zwei Möglichkeiten: plot(f(x),a,b) oderplot(f(x),x,a,b).

sage: plot(x*sin(1/x), x, -2, 2, plot_points=500)
Von den zahlreichen Optionen der Funktion plot nennen wir• plot_points (voreingestellt 200): Mindestzahl der berechneten Punkte;• min und max: Grenzen des Intervalls, auf dem die Funktion gezeichnet wird;• color: Farbe der Zeichnung, ein RGB-Tripel, eine Zeichenkette, z.B. 'blue' oder eine
HTML-Farbe (z.B. '#aaff0b';• detect_poles (voreingestellt False): erlaubt oder verbietet das Einzeichnen einer vertikalen Asymptote an den Polstellen einer Funktion;• alpha: Transparenz des Striches;• thickness: Strichstärke;• linestyle: Linienart, punktiert: (':'), strichpunktiert: ('-.') oder durchgezogen('-'), der voreingestellte Wert.

75

4. Graphiken

Abb. 4.1 - Graph von x 7→ x sin

1x

Um die Zeichnung sichtbar zu machen, können wir das graphische Objekt einer Variablen
zuweisen, sagen wir g, und dann die Methode show benutzen, der beispielsweise die minimalen
und maximalen Werte der Ordinate übergeben werden können (g.show(ymin=-1,ymax=3))
oder auch eine bestimmte Streckung wie (g.show(aspect_ratio=1)) für ein orthonormiertes
Koordinatensystem.
Die fertige Zeichnung kann mit dem Befehl save in unterschiedlichen Formaten exportiert werden, die durch die Erweiterungen .pdf, .png, .ps, .eps, .svg und .sobj gekennzeichnet
sind:g.save(name.png, aspect_ratio=1, xmin=-1,ymin=3, ymin=-1, ymax=3)
Um eine Graphik mit dem Befehl \includegraphics in ein LATEX-Dokument einzufügen,wird die Erweiterung .eps gewählt (encapsulated PostScript), wenn das Dokument mit latex
kompiliert wird, oder die Erweiterung .pdf (die wegen der besseren Auösung der Erweiterung.png vorzuziehen ist), wenn das Dokument mit pdflatex kompiliert wird.
Zeichnen wir nun in dieselbe Graphik die Sinusfunktion und die ersten Polynome der Taylorentwicklung um den Ursprung:sage: def p(x, n):....:return (taylor(sin(x), x, 0, n))sage: xmax=15; n=15
sage: g=plot(sin(x), x, -xmax, xmax)
sage: for d in range(n):....:g += plot(p(x, 2*d + 1), x, -xmax, xmax, \....:color=(1.7*d/(2*n), 1.5*d/(2*n), 1.3*d/(2*n)))sage: g.show(ymin=-2, ymax=2)
Man hätte auch eine Animation erzeugen können, um zu sehen, wie das Taylor-Polynom sichmit der Erhöhung des Grades der Sinuskurve mehr und mehr annähert. Möchte man eine
Animation sehen, genügt dafür die Speicherung als gif-Datei.

764.1. Kurven in 2D

Abb. 4.2 - Einige Taylor-Polynome der Sinusfunktion um den Ursprung

sage: a = animate([sin(x), taylor(sin(x), x, 0, 2*k+1)]\....:
for k in range(0, 14)], xmin=-14, xmax=14),\| ....:
ymin=-3, ymax=3, figsize=[8, 4])
sage: a.show(); a.save('~/bin/animation.gif')
Kehren wir zur Funktion plot zurück, um beispielsweise das Phänomen von Gibbs zu beobachten. Wir zeichnen die Partialsumme der Ordnung 20 der Fourierreihe für die Rechteckkurve.

sage: f2(x) = 1; f1(x) = -1
sage: f = piecewise([[(-pi,0),f1], [(0,pi),f2]])
sage: S = f.fourier_series_partial_sum(20,pi)
sage: g = plot(S, x, -8, 8, color='blue')sage: scie(x) = x - 2*pi*floor((x + pi)/(2*pi))
sage: g += plot(scie(x)/abs(scie(x)), x, -8, 8, color='red')sage: gAbb. 4.3 - Zerlegung einer Rechteckfunktion in eine Fourierreihe

Mit obigem Code ist f eine mit Hilfe des Befehls piecewise stückweise denierte Funktion auf[−π; π]. Um die Verlängerung von f auf die mit 2π periodische Funktion zu bewirken, ist es am

77

4. Graphiken
einfachsten, dafür einen Ausdruck zu suchen, der für alle reellen Zahlen (im Denitionsbereich
von scie/abs(scie)) deniert ist. Die ersten 20 Terme der Fourierreihe sindsin(3x) sin(5x)1
sin(19x)sin(x) +.
S=++ ... +π3594.1.2. Kurven in Parameterdarstellung

Kurven in Parameterdarstellung (x = f (t), y = g(t)) werden mit dem Befehl
parametric_plot((f(t), g(t)), (t, a, b)) gezeichnet, wobei [a, b] das Intervall ist, dasder Parameter durchläuft. Stellen wir beispielsweise diese Kurve dar:x(t) = cos(t) + 21 cos(7t) + 13 sin(17t)y(t) = sin(t) + 21 sin(7t) + 13 cos(17t)sage: t = var('t')
sage: x = cos(t) + cos(7*t)/2 + sin(17*t)/3
sage: y = sin(t) + sin(7*t)/2 + cos(17*t)/3
sage: g = parametric_plot((x, y), (t, 0, 2*pi))
sage: g.show(aspect_ratio=1)

1
1Abb. 4.4 - Kurve in Parameterdarstellung für x = cos(t) + 2 cos(7t) + 3 sin(17t) und

y = sin(t) + 12 sin(7t) + 13 cos(17t)78

4.1. Kurven in 2D
4.1.3. Kurven in Polarkoordinaten

Kurven in Polarkoordinaten ρ(θ) werden mit dem Befehl polar_plot(rho(theta),(theta, a, b)) gezeichnet, wobei [a, b] das Intervall ist, das vom Parameter durchlaufen
wird.
Stellen wir beispielsweise zwei Rosetten mit der Polargleichung ρ(θ) = 1 + e cos nθ dar mit
n = 20/19 und e ∈ {2, 1/3}.

sage: t = var('t'); n = 20/19
sage: g1 = polar_plot(1+2*cos(n*t),(t,0,n*36*pi),plotpoints=5000)
sage: g2 = polar_plot(1+1/3*cos(n*t),(t,0,n*36*pi),plot_points=5000)
sage: g1.show(aspect_ratio=1); g2.show(aspect_ratio=1)

Abb. 4.5 - Rosetten der Gleichung ρ(θ) = 1 + e cos nθÜbung 12.

Darzustellen ist eine Familie von Pascalschen Schnecken mit der Polargleichungρ(θ) = a + cos θ, wobei der Parameter a zwischen 0 und 2 mit einer Schrittweite von 0.1 zuvariieren ist.
4.1.4. Durch implizite Gleichungen denierte Kurven

Zur Darstellung einer Kurve, die durch eine implizite Gleichung gegeben ist, verwenden wir
die Funktion implicit_plot(f(x, y), (x, a, b), (y, c, d)); allerdings können wir auchden Befehl complex_plot verwenden, der die Veranschaulichung einer Funktion von zwei Veränderlichen
mit farbigen Niveaulinien ermöglicht. Wir wollen die durch die implizite GleichungC = z ∈ C : |cos(z 4 )| = 1 gegebene Funktion darstellen.

sage: z = var('z')
sage: g1 = complex_plot(abs(cos(z^4))-1,....:(-3,3), (-3,3), plot_points=400)
sage: f = lambda x, y: (abs((cos(x +I*y)^4)) - 1)sage: g2 = implicit_plot(f, (-3,3), (-3,3), plot_points=400)
sage: g1.show(aspect_ratio=1); g2.show(aspect_ratio=1)79

4. Graphiken
4.1.5. Die Darstellung von Daten

Zum Zeichnen eines Säulendiagramms verfügen wir über zwei ganz unterschiedliche Funktionen. Zuerst der Befehl bar_chart, der als Argument eine Liste ganzer Zahlen aufnimmt und
einfach senkrechte Säulen zeichnet, deren Höhe durch die Elemente der Liste gegeben ist (inderselben Reihenfolge wie in der Liste). Halten wir fest, dass die Option width gestattet, dieBreite der Säulen festzulegen.

Abb. 4.6 - Durch die Gleichung |cos(z4)| = 1 denierte Funktion

sage: bar_chart([randrange(15) for i in range(20)])
sage: bar:chart([x^2 for x in range(1,20)], width=0.2)

Abb. 4.7 - Säulendiagramme

Wenn hingegen für eine Liste von Flieÿkommazahlen das Histogram einer Häugkeitsverteilung zu zeichnen ist, verwenden wir die Funktion plot_histogram: die Werte der Liste werdensortiert und in Intervalle eingeteilt (die Anzahl der Intervalle wird durch die Variable bins
festgelegt, deren Gröÿe mit 50 voreingestellt ist). Die Höhe der Säule jedes Intervalls gleichtder entsprechenden Häugkeit.

804.1. Kurven in 2D
sage: liste = [10 + floor(10*sin(i)) for i in range(100)]
sage: bar_chart(liste)sage: finance.TimeSeries(liste).plot_histogram(bins=20)(a) gezeichnet mit bar_chart(b) gezeichnet mit plot_histogram

Oft sind die zu untersuchenden statistischen Daten in einem Arbeitsblatt einer Tabellenkalkulation gespeichert. Das Python-Modul csv ermöglicht dann den Import der Daten aus einer
csv-Datei. Nehmen wir beispielsweise an, wir wollen ein Histogramm für die Zensuren von 40
Schülern berechnen. Die Punkte (französisches Benotungsystem) verteilen sich folgendermaÿen (obere Zeile: erreichte Punkte, untere Zeile: Anzahl der Schüler mit dieser Punktzahl):
0
0

1
1

2
0

3
0

4
4

5
0

6
1

7
0

8
8

9
4

10
7

11
5

12
3

13
3

14
0

15
1

16
1

17
1

18
0

19
0

20
1

Die Punkte jedes Schülers werden in die dritte Spalte der Tabellenkalkulation eingetragen.
Das Arbeitsblatt wird in der Datei ds01.csv gespeichert, wobei darauf zu achten ist, dassbeim Speichern als csv-Dokument als Trennelemente Kommas ausgewählt werden.
Um die Punkte in dieser Spalte auszulesen, arbeiten wir mit folgenden Anweisungen (dieoberste Zeile enthält normalerweise Text, sodass eventuelle Fehler bei der Umwandlung inZahlen mit der Anweisung try aufgefangen werden müssen):sage: import csv
sage: reader = csv.reader(open("ds01.csv"))
sage: noten = []; liste = []sage: for zeile in reader:.....:
noten.append(zeile[2]) # die dritte Spalte hat den Index 2....: for i in noten:
....:
try:
....:
f = float(i)....:except ValueError:
....:
pass
....:
else:
....:
liste.append(f)sage: finance.TimeSeries(liste).plot_histogram(bins=20)81

4. Graphiken

Um eine Liste verbundener Punkte (bzw. eine Punktwolke) zu zeichnen, verwenden wir den
Befehl line(p) (bzw. point(p)), wobei p eine Liste von zweielementigen Listen ist, die Abszisse und Ordinate der zu zeichnenden Punkte enthalten.
Beispiel (Zufallsbewegung). Ausgehend von einem Startpunkt O verschiebt sich ein Teilchenum den Betrag l in gleichbleibenden Zeitspannen t jedes Mal in eine beliebige Richtung,die von den vorigen Richtungen unabhängig ist. Wir wollen die Spur eines solchen Teilchens
beispielhaft aufzeichnen. Die rote Gerade verbindet Start- und Endpunkt.

sage: from random import *sage: n, l, x, y = 1000, 1, 0, 0; p = [[0,0]]
sage: for k in range(n):....:theta = (2*pi*random()).n(digits=5)....:x, y = x + l*cos(theta), y + l*sin(theta)....:
p.append([x,y])
sage: g1 = line([p[n], [0,0]], color='red', thickness=2)
sage: g1 += line(p, thickness=.4); g1.show(aspect_ratio=1)

Abb. 4.8 - Zufallsweg

Beispiel (Gleichverteilte Folgen). Für eine gegebene reelle Folge (un )n∈N∗ konstruieren wir

den Polygonzug, dessen aufeinander folgende Ecken die Punkte des AusdrucksXzN =e2iπun .
n≤Nsind. Ist die Folge gleichverteilt modulo 1, entfernt sich die gebrochene Linie nicht zu schnell
vom Startpunkt. Wir können dann aus der Spur der gebrochenen Linie die Regelmäÿigkeit
der Verteilung der Folge vermuten. Wir wollen den Polygonzug für folgende Fälle zeichnen:

824.1. Kurven in 2D√- un = n 2 und N = 200,
- un = n ln(n) und N = 10000,√- un = E(n ln(n)) 2 und N = 10000 (wobei E den ganzzahligen Anzeil bezeichnet),√- un = pn 2 und N = 10000 (hier ist pn die n-te Primzahl).
√
Die Abb. 4.9 erhält man auf folgende Weise (hier für un = n 2):

sage: length = 200; n = var('n')
sage: u = lambda n: n*sqrt(2)sage: z = lambda n: exp(2*I*pi*u(n)).n()sage: vertices = [CC(0, 0)]
sage: for n in range(1, length):....:vertices.append(vertices[n-1] + CC(z(n)))
sage: line(vertices).show(aspect_ratio=1)
Man bememerkt, dass die Zeichnung Abb. 4.9 (a) besonders
regelmäÿig ist. Das ermöglicht√
uns voherzusehen, dass√die Gleichverteilung von n 2 von deterministischer Natur ist. Bei
der Folge un = n ln(n) 2 erzeugt die Prüfung der eingegebenen Werte den Eindruck einer
wohl eher zufälligen Bildung. Indessen ist die Zeichnung in Abb. 4.9 (b) bemerkenswert gut
strukturiert. Die Zeichnung Abb. 4.9 (c) zeigt die gleiche Struktur wie die zweite. Und endlichlässt√ die Zeichnung in Abb. 4.9 (d) eine vollkommen andere Struktur der Verteilung modulo
1/ 2 der Folge der Primzahlen entstehen: die Spiralen sind verschwunden und das Verhalten
erinnert an die Zeichnung in Abb. 4.8, die wir im Falle einer Folge von Zufallszahlen un
bekommen. Es scheint daher, dass die Primzahlen den gesamten Zufall in Beschlag nehmen,
mit dem sie ausgestattet sind...
Wegen einer eingehenderen Interpretation der erhaltenen Zeichnungen sei auf das Buch Les
Nombres Premiers (Que Sais-je) von Gérard Tenenbaum und Michel Mendès-France verwiesen [TMF00].

Übung 13

(Zeichnung von Gliedern einer rekursiv denierten Folge). Man betrachte die

Folge (un )n∈N mit

u0 = a.
∀n ∈ N, un+1 = |u2n − 14 |Stellen Sie das Verhalten der Folge graphisch dar, indem Sie eine Liste mit den Punkten[[u0 , 0], [u0 , u1 ], [u1 , u1 ], [u1 , u2 ], [u2 , u2 ], . . .] und a ∈ {−0.4, 1.1, 1.3} aufstellen.

83

4. Graphiken√(a) Der Fall un = n(c) Der Fall E(n ln(n))

2.

√
2

(b) Der Fall n ln(n)(d) Der Fall un = pn

√
2

√

2

Abb. 4.9 - Gleichverteilte Folgen

4.1.6. Zeichnen der Lösung einer DierentialgleichungWir können die vorstehenden Befehle zur Darstellung der Lösung einer Dierentialgleichungoder auch eines System von Dierentialgleichungen kombinieren. Um eine gewöhnliche Dierentialgleichung symbolisch zu lösen, verwenden wir die Funktion desolve, deren Studium Gegenstand von Kapitel 10 ist. Um eine Dierentialgleichung symbolisch zu lösen, bietet uns Sage
mehrere Werkzeuge an: desolve_rk4 (mit einer Syntax ähnlich wie die Funktion desolve),odeint, (das SciPy verwendet), und schlieÿlich ode_solver, (das die Bibliothek GSL aufruft, deren Verwendung in Abschnitt 14.2 behandelt wird). Die Funktionen desolve_rk4 undodeint geben eine Liste von Punkten zurück, die mit dem Befehl line unschwer gezeichnet werden können. Auch wir werden mit ihnen in diesem Abschnitt numerische Lösungenzeichnen.
Beispiel (Ungelöste lineare Dierentialgleichung erster Ordnung). Wir möchten die Integral-kurven der Dierentialgleichung xy 0 − 2y = x3 zeichnen.

sage: x = var('x'); y = function('y')
sage: DE = x*diff(y(x), x) == 2*y(x) + x^3
sage: desolve(DE, [y(x),x])(_C + x)*x^2
sage: sol = []sage: for i in srange(-2, 2, 0.2)....:
sol.append(desolve(DE, [y, x], ics=[1, i]))....:sol.append(desolve(DE, [y, x], ics=[-1, i]))sage: g = plot(sol, x, -2, 2)
sage: y = var('y')
sage: g += plot_vector_field((x, 2*y+x^3), (x,-2,2), (y,-1,1))
sage: g.show(ymin=-1, ymax=1)84

4.1. Kurven in 2D(a) Symbolische Lösung

(b) Numerische Lösung

Abb. 4.10 - Zeichnung der Integralkurven von xy

0− 2y = x3 .

Zur Verringerung der Rechenzeit ist hier zu empfehlen, die allgemeine Lösung der Gleichungvon Hand zu beschaen und eine Liste partikulärer Lösungen zu erzeugen (wie das in derAuösung von Übung 14 gemacht wird) und nicht mehrmals hintereinander die Dierentialgleichung mit verschiedenen Anfangswerten zu lösen. Ebenso hätten wir eine numerische
Lösung dieser Gleichung berechnen lassen können (mittels der Funktion desolve_rk4), um
daraus die Integralkurven zu zeichnen:

sage: x, y = var('x y'); y = function('y')
sage: DE = x*diff(y(x), x) == 2*y(x) + x^3
sage: g = Graphics() # Erzeugung einer leeren Graphik
sage: for i in srange(-2, 2, 0.2):....:
g += line(desolve_rk4(2*y/x + x^2, dvar=y, ivar=x, ics=[1, i],\step=0.05, end_points=[0,2]))....:g += line(desolve_rk4(2*y/x + x^2, dvar=y, ivar=x, ics=[-1,i],\step=0.05, end_points=[-2,0]))
sage: y = var('y')
sage: g += plot_vector_field((x, 2*y+x^3), (x,-2,2), (y,-1,1))
sage: g.show(ymin=-1, ymax=1)
Wie man an vorstehendem Beispiel sieht, übernimmt die Funktion desolve_rk4 als Argument eine Dierentialgleichung (oder die rechte Seite der Gleichung in der Form y 0 = f (x, y)),den Namen der unbekannten Funktion, die abhängige Variable, die Anfangsbedingung, die
Schrittweite und das Intervall der Lösung. Das optionale Argument output ermöglicht die
Präzisierung der Ausgabe: der voreingestellte Wert 'list' gibt eine Liste zurück (was zweckmäÿig ist, wenn man die Graphiken wie hier überlagern will), 'plot' zeichnet das Bild der
Lösung und 'slope_field' fügt die Steigungen der Integralkurve hinzu.

Übung 14. Zeichnen Sie die Integralkurven der Gleichung x y − y = 0 für −3 ≤ x ≤ 3 und
2 0−5 ≤ y ≤ 5.

Wir geben jetzt ein Beispiel für die Verwendung der Funktion odeint aus dem Modul SciPy.
Beispiel (Nichtlineare Dierentialgleichung erster Ordnung.) Zeichnen Sie die Integralkurven

der Gleichung y 0 (t) + cos(y(t) · t) = 0.

sage: import scipy; from scipy import integrate
sage: f = lambda y, t: -cos(y*t)

85

4. Graphiken
sage: t = srange(0, 5, 0.1); p = Graphics()
sage: for k in srange(0, 10,0.15):....:
y = integrate.odeint(f, k, t)....:
p += line(zip(t, flatten(y)))
sage: t = srange(0, -5, -0.1); q = Graphics()
sage: for k in srange(0, 10, 0.15):....:
y = integrate.odeint(f, k, t)....:
q += line(zip(t, flatten(y)))
sage: y = var('y')
sage: v = plot_vector_field((1, -cos(x*y)), (x,-5,5), (y,-2,11))
sage: g = p + q + v; g.show()0Abb. 4.11 - Zeichnung der Integralkurven von y (t) + cos(y(t) · t) = 0.

Die Funktion odeint übernimmt als Argument das zweite Glied der Dierentialgleichung (aufgelöst geschrieben), eine oder mehrere Anfangsbedingungen und auch das Lösungsintervall;sie gibt eine Tabelle des Typs numpy.ndarray zurück, die wir mit dem Befehl flatten1 vereinfachen, wie das in Unterabschnitt 3.3.2 zu sehen war, und die wir mit dem Befehl zip mit derTabelle t zuaammenführen, bevor wir die Näherungslösung zeichnen. Um das Feld der Tangenten an die Integralkurven hinzuzufügen, verwenden wir den Befehl plot_vector_field.
Beispiel (Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra.) Wir möchten die graphische Lösung ei-

ner Population von Beute und Räubern darstellen, die einem Gleichungssystem von LotkaVolterra folgt: du = au − buv
dt
dv


= −cv + dbuv
dt1

Wir könnten hier auch die Funktion ravel von NumPy nehmen, welche die Erzeugung eines neuen Objektsvermeidet und daher den Speicherbedarf optimiert.

864.1. Kurven in 2D
wobei u die Anzahl der Beutetiere (z.B. Hasen) bezeichnet, v die Anzahl der Räuber (z.B.
Füchse). Auÿerdem sind a, b, c, d Parameter, die die Entwicklung der Populationen beschreiben: a charakterisiert das natürliche Wachstum der Anzahl der Hasen bei Abwesenheit vonFüchsen, b die Abnahme der Anzahl der Hasen bei Anwesenheit der Räuber, c die Abnahme
der Anzahl der Füchse bei Fehlen der Beutetiere, und d zeigt schlieÿlich an, wieviel Hasen
erforderlich sind, damit ein neuer Fuchs erscheint.

sage: import scipy; from scipy import integrate
sage: a, b, c, d = 1., 0.1, 1.5, 0.75
sage: def dX_dt(X, t=0):# meldet das Anwachsen der Populationen....:
return [a*X[0] - b*X[0]*X[1], -c*X[1] + d*b*X[0]*X[1]]sage: t = srange(0, 15, 0.01)# Zeitskala
sage: X[0] = [10, 5]# Anfangsbedingungen: 10 Hasen und 5 Füchse
sage: X = integrate.odeint(dX_dt, X0, t)# numerische Lösung
sage: hasen, fuechse = X.T# Abkürzung von X.transpose()sage: p = line(zip(t, hasen), color='red') # Verlauf der Anzahl der Hasen
sage: p += text("Hasen",(12,37), fontsize=10, color='red')sage: p += line(zip(t, fuechse), color='blue')# dito für die Füchse
sage: p += text("Füchse",(12,7), fontsize=10, color='blue')sage: p.axes_labels(["Zeit", "Population"]); p.show(gridlines=True)
Die obigen Anweisungen zeigen die Entwicklung der Anzahl der Hasen und Füchse als Funktion der Zeit (Abb. 4.12 links) und die hierunter zeigen das Vektorfeld (Abb. 4.12 rechts):

sage: n = 11; L = srange(6, 18, 12/n); R = srange(3, 9, 6/n)
sage: CI = zip(L, R)# Liste der Anfangsbedingungensage: def g(x,y):....:v = vector(dX_dt([x, y]))# zwecks besserer Lesbarkeit.....
return v/v.norm()# normieren wir das Vektorfeld
sage: x, y = var('x y')
sage: q = plot_vector_field(g(x, y), (x, 0, 60), (y, 0, 36))
sage: for j in range(n):....:X = integrate.odeint(dX_dt, CI[j], t)# graphische....:q += line(X, color=hue(.8-float(j)/(1.8*n))) #Lösungsage: q.axes_labels(["Hasen","Fuechse"]); q.show()Abb. 4.12 - Untersuchung Räuber-Beute-eines Systems

87

4. GraphikenÜbung 15

(Modell Räuber-Beute). Reproduzieren Sie die Graphik links in Abb. 4.12 mitÜbung 16

(Ein autonomes Dierentialsystem). Zeichnen Sie die Integralkurven des folgenden

desolve_system_rk4 anstelle von odeint.
Dierentialsystems:Übung 17ẋ = yẏ = 0.5y − x − y 3(Strömung um einen Zylinder mit Magnus-Eekt). Wir überlagern einer einfachen

Strömung um einen Zylinder mit dem Radius a einen Wirbel mit dem Parameter α, der die
zirkulare Geschwindigkeitskomponente verändert. Wir stellen uns in ein Koordinatensystem
mit dem Ursprung im Zylinder, und wir arbeiten mit Zylinderkoordinaten in der Ebene z = 0,
anders gesagt mit Polarkoordinaten. Die Geschwindigkeitskomponenten sind dann:




a2
a2
αav0
vr = v0 cos(θ) 1 − 2und vθ = v0 sin(θ) 1 + 2 + 2.
rrr
Die Stromlinien (verschmolzen mit den Trajektorien, denn die Strömung ist stationär) sindparallel zur Geschwindigkeit. Wir suchen einen parametrisierten Ausdruck für die Stromlinien;
man muss dazu das Dierentialsystem lösen:

dr
= vr
dt

dθ
v0
= .
dt
r

und

Wir benutzen dimensionslose Koordinaten, d.h. bezogen auf a, den Zylinderradius, den wir
zu a = 1 setzen. Zu zeichen sind die Stromlinien dieser Strömung für α ∈ {0.1, 0.5, 1, 1.25}.
Die Nutzung des Magnus-Eekts ist für die Entwicklung von Antriebssystemen vorgeschlagen
worden, die aus groÿen senkrecht stehenden rotierenden Zylindern bestehen, die eine Querkraft
erzeugen können, wenn der Wind seitlich auf das Schi trit (das war bei dem von Anton
Flettner entwickelten Schi Baden-Baden der Fall, die 1926 den Atlantik überquerte).
4.1.7. Evolute einer Kurve

Wir geben nun ein Beispiel für das Zeichnen einer Evolute eines parametrisierten Bogens (wirerinnern uns, dass die Evolute die Hüllkurve der Normalen ist oder, äquivalent dazu, dergeometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte der Kurve).
Beispiel (Evolute der Parabel). Wir suchen die Gleichung der Evolute der Parabel P mit der

Gleichung y = x2 /4 und zeichnen in dieselbe Graphik die Parabel P , einige Normalen an P
und ihre Evolute.

Zur Bestimmung eines Systems von parametrischen Gleichungen (x(t), y(t)) der Evolute einer
Familie von Geraden ∆t , die durch kartesische Gleichungen der Form α(t)X + β(t)y = γ(t)deniert sind, drücken wir den Sachverhalt, dass die Gerade ∆t Tangente an die Evolute im
Punkt (x(t), y(t)) ist, so aus:

α(t)x(t) + β(t)y(t) = γ(t)00α(t)x (t) + β(t)y (t) = 0

(4.1)
(4.2)

Wir leiten Gl. (4.1) ab und durch Kombination mit Gl. (4.2) bekommen wir das System:

α(t)x(t) + β(t)y(t) = γ(t)α(t)x0 (t) + β(t)y 0 (t) = γ 0 (t)

88

(4.3)

4.1. Kurven in 2D
In unserem Fall hat die Normale N (t) an die Parabel P in M (t, t2 /4) als Normalenvektor~v = (1, t/2) (der Tangentenvektor an die Parabel); ihre Gleichung ist daher:

  
t
t3
x−t
1
·
=⇔ x + y = t + ,2
y − t /4
t/2
2
8
anders gesagt, (α(t), β(t), γ(t)) = (1, t/2, t3 /8). Wir können das obige System nun mit der
Funktion solve lösen:sage: x, y, t = var('x y t')
sage: alpha(t) = 1; beta(t) = t/2; gamma(t) = t + t^3/8
sage: env = solve([alpha(t)*x + beta(t)*y == gamma(t),\....:diff(alpha(t), t)*x + diff(beta(t), t)*y == \....:diff(gamma(t), t)], [x,y])


1 3
3 2
x = − t ,y = t + 2
4
4
Daraus ergibt such eine parametrische Darstellung der Hüllkurve der Normalen:x(t) = − 14 t3
y(t) = 2 + 43 t2
Nun können wir die geforderte Darstellung ausführen und zeichnen dazu einige Normalen an
die Parabel (genauer: wir zeichnen Strecken [M, M + 18~n], worin M (u, u2 /4) ein Punkt von
P ist und ~n = (−u/2, 1) ein Normalenvektor an P ):sage: f(x) = x^2/4
sage: p = plot(f, -8, 8, rgbcolor=(0.2,0.2,0.4)) # die Parabel
sage: for u in srange(0, 8, 0.1): # Normalen an die Parabel....:
p += line([[u, f(u)], [-8*u, f(u) + 18]], thickness=.3)....:
p += line([[-u, f(u)], [8*u, f(u) + 18]], thickness=.3)
sage: p += parametric_plot((env[0][0].rhs(),env[0][1].rhs()),\....:(t, -8, 8), color='red')# Zeichnen der Evolute
sage: p.show(xmin=-8, xmax=8, ymin=-1, ymax=12, aspect_ratio=1)
Wie weiter oben erwähnt, ist die Evolute einer Kurve auch der Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte. Mit Hilfe der Funktion circle zeichnen wir einige Schmiegkreise an die Parabel.
Wir wissen, der Krümmungsmittelpunkt Ω in einem Kurvenpunkt Mt = (x(t), y(t)) hat die
Koordinaten:
02
02
x02 + y 02
0 x +yxΩ = x − y 0 0 00
und
y
=
y
+
x
Ω
x y − x00 y 0
x0 y 00 − x00 y 0
und der Krümmungsradius in Mt ist:
3(x02 + y 02 ) 2
R = 0 00.
x y − x00 y 089

4. Graphiken

Abb. 4.13 - Die Evolute einer Parabel
Art der Zeichnung
Graph einer Funktion
parametrisierte Kurve
durch eine Polargleichung denierte Kurve
durch eine implizite Gleichung denierte Kurve
Höhenlinien einer komplexen Funktion
leeres graphisches Objekt
Integralkurven einer Dierentialgleichung
Stabdiagramm
Häugkeitsverteilung einer statistischen Reihe
Zeichnen eines Kurvenstücks
Zeichnen einer Punktwolke
Kreis
PolygonText

plot
parametric_plot
polar_plot
implicit_plot
complex_plot
Graphics()
odeint, desolve_rk4
bar_chart
plot_histogramm
line
pointscirclepolygontext

Tab. 4.1 - Zusammenfassung der graphischen Funktionen in 2D

sage: t = var('t'); p = 2
sage: x(t) = t; y(t) = t^2/(2*p); f(t) = [x(t), y(t)]sage: df(t) = [x(t).diff(t), y(t).diff(t)]sage: d2f(t) = [x(t).diff(t, 2), y(t).diff(t, 2)]
sage: T(t) = [df(t)[0]/df(t).norm(), df[1](t)/df(t).norm()]
sage: R(t) = (df(t).norm())^3/(df(t)[0]*d2f(t)[1]-df(t)[1]*d2f(t)[0])sage: Omega(t) = [f(t)[0] + R(t)*N(t)[0], f(t)[1] + R(t)*N(t)[1]]sage: g = parametric_plot(f(t), (t, -8, 8), color='green', thickness=2)
sage: for u in srange(.4, 4, .2):....:
g += line([f(t=u), Omega(t=u)], color='red', alpha=.5)....:
g += circle(Omega(t=u), R(t=u), color='blue')sage: g.show(aspect_ratio=1, xmin=-12, xmax=7, ymin=-3, ymax=12)90

4.2. Graphik in 3D

Abb. 4.14 - Schmiegkreise an die Parabel

Die Tabelle 4.1 stellt die in diesem Abschnitt verwendeten Funktionen zusammen. Wir führen
dort auch den Befehl text auf, mit dem wir eine Zeichenkette in eine Graphik einfügen können,
wie auch den Befehl polygon, mit dem wir Vielecke zeichnen können.

4.2. Graphik in 3D
Zum Zeichnen von Flächen in drei Dimensionen verfügen wir über den Befehl plot3d(f(x,y),(x,a,b), (y,c,d)). Die erhaltene Fläche wird mit der Voreinstellung dank der Anwendung
Jmol visualisiert; wir können aber auch den Tachyon 3D Ray Tracer mit Hilfe des optionalen
Arguments viewer='tachyon' des Befehls show verwenden. Es folgt ein erstes Beispiel fürdie Zeichnung einer parametrisierten Fläche (Abb. 4.15).

sage: u, v = var('u v')
sage: h = lambda u,v: u^2 + 2*v^2sage: f = plot3d(h, (u,-1,1), (v,-1,1), aspect_ratio=[1,1,1])
sage: f.show(viewer='tachyon')

Abb. 4.15 - Die mit (u, v) 7→ u2

+ 2v 2 parametrisierte Fläche

91

4. Graphiken
Die Visualisierung der Fläche einer Funktion zweier Variablen ermöglicht die Diskussion einersolchen Funktion, wie wir das im nächsten Beispiel sehen werden.
Beispiel (Eine diskontinuierliche Funktion, deren Richtungsableitungen überall existieren).

Zu untersuchen ist die Existenz der Richtungsableitungen in (0, 0) und die Stetigkeit der
Funktion f von R2 nach R, die deniert ist durch:( 2x yfür (x, y) 6= (0, 0)
x4 +y 2f (x, y) =0für (x, y) = (0, 0)



cos θ
Für H =
ist die Funktion ϕ(t) = f (tH) = f (t cos θ.t sin θ) in t = 0 für jeden Wertsin θvon θ dierenzierbar:

sage: f(x, y) = x^2*y/(x^5 + y^2)
sage: t, theta = var('t theta')
sage: limit(f(t*cos(theta), t*sin(theta))/t, t=0)cos(theta)^2/sin(theta)
Daher lässt f an der Stelle (0, 0) Richtungsableitungen nach beliebigen Vektoren zu. Für einebessere Darstellung der Fläche von f kann man damit beginnen, einige Höhenlinien zu suchen;
beispielsweise die zum Wert 12 gehörende Höhenlinie:

sage: solve(f(x,y)==1/2,y)[y == x^2]
sage: a = var('a'); h = f(x, a*x^2).simplify_rational(); ha/(a^2 + 1)
Entlang der Parabel mit der Gleichung y = ax2 , ausgenommen der Ursprung, hat f denaa
konstanten Wert f (x, ax2 ) = 1+a
2 . Wir zeichnen daraufhin die Funktion h : a 7→ 1+a2 :sage: plot(h, a, -4, 4)

Abb. 4.16 - Ein vertikaler Schnitt durch die untersuchte Fläche

Die Funktion h erreicht ihr Maximum bei a = 1 und ihr Minimum bei a = −1. Die Beschränkung von f auf die Parabel mit der Gleichung y = x2 entspricht dem Kammweg, der sich inder Höhe 21 bendet; was die Restriktion von f auf die Parabel mit der Gleichung y = −x2
angeht, so entspricht sie dem Talweg, der sich in der Höhe − 21 bendet. Abschlieÿend können

92

4.2. Graphik in 3D
wir, so dicht wir an (0, 0) auch sein mögen, Punkte nden, an denen f die Werte 21 bzw. − 12annimmt. Infolgedessen ist die Funktion im Ursprung nicht stetig.

sage: p = plot3d(f(x,y), (x,-2,2), (y,-2,2), plot_points=[150,150])
sage: p.show(viewer='tachyon')

Abb. 4.17 - Die Fläche von f : (x, y) 7→x2 y.
x4 +x2

Wir hätten ebensogut horizontale Ebenen zeichnen können, um die Höhenlinien dieser Funktion sichtbar zu machen, indem wir diesen Code ausführen:

sage: for i in range(1,4):....:
p += plot3d(-0.5 + i/4, (x, -2, 2), (y, -2,2),\....:color=hue(i/10), opacity=.1)
sage: p.show(viewer='tachyon')Von den übrigen Befehlen für 3D-Graphik erwähnen wir implicit_plot3d, der uns erlaubt
Flächen zu zeichnen, die durch eine implizite Gleichung der Form f (x, y, z) = 0 deniert sind.
Als Beispiel wollen wir die cassinische Fläche zeichnen (Abb. 4.18a), die durch die implizite
Gleichung (a2 + x2 + y 2 )2 = 4a2 x2 + z 4 deniert ist:

sage: x, y, z = var('x y z'); a = 1
sage: h = lambda x, y, z: (a^2+x^2+y^2)^2-4*a^2*x^2-z^4
sage: f = implicit_plot3d(h, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -2, 2),\....:
plot_points=100, adaptative=True)
sage: f.show(viewer='tachyon')
Schlieÿlich geben wir noch das Beispiel einer Raumkurve (Abb. 4.18b) mittels des Befehls
line3d:sage: g1 = line3d([(-10*cos(t)-2*cos(5*t)+15*sin(2*t),\....:-15*cos(2*t)+10*sin(t)-2*sin(5*t),\....:
10*cos(3*t)) for t in srange(0,6.4,.1)], radius=0.5)
sage: g1.show(viewer='tachyon')93

4. Graphiken(a) Die cassinische Fläche

94(b) Ein Knoten im Raum

5. Denitionsmengen für das Rechnen
Das Schreiben mathematischer Texte auf Papier oder Tafel erfordert vor allem die Suche nacheinem guten Kompromiss zwischen Flexibilität, Leichtigkeit der Schreibweise und Strenge.
Das ist für den tagtäglichen Gebrauch eines Berechnungssystems nicht anders. Sage versucht
die Wahl des Kompromisses dem Anwender zu überlassen insbesondere dadurch, dass es ihm
mehr oder weniger streng erlaubt, den Denitionbereich der Rechnung festzulegen: welches ist
die Natur der betrachteten Objekte, zu welcher Menge gehören sie, welche Operationen sind
mit ihnen ausführbar?

5.1. Sage ist objektorientiert
Python und Sage machen von der objektorientierten Programmierung intensiven Gebrauch.
Auch wenn das für den normalen Gebrauch relativ transparent bleibt, ist es sinnvoll, darüber
ein Minimum an Wissen zu haben, zumal dies in mathematischen Zusammenhängen ganz
natürlich ist.
5.1.1. Objekte, Klassen und Methoden

Die objektorientierte Programmierung beruht auf der Idee, jede physikalische oder abstrakte
Entität zu modellieren, die wir in einem Programm durch ein Objekt genanntes Sprachkonstrukt manipulieren möchten. Meistens, und in Python ist das der Fall, ist jedes Objekt
Instanz einer Klasse . So ist die rationale Zahl 12/35 modelliert durch ein Objekt, welches eine
Instanz der Klasse Rational ist.

sage: o = 12/35
sage: print type(o)<type 'sage.rings.rational.Rational'>
Merken wir uns, dass diese Klasse dem Objekt 12/35 zugeordnet ist und nicht der Variableno, die es enthält:

sage: print type(12/35)<type 'sage.rings.rational.Rational'>
Präzisieren wir die Denitionen. Ein Objekt ist ein Teil des Speichers des Rechners, das die
erforderliche Information für die Darstellung der Entität enthält, die vom Objekt modelliert
wird. Was die Klasse betrit, so deniert sie zwei Dinge:
1. die Datenstruktur eines Objektes, d.h. wie die Information im Speicherblock organisiert
ist. Beispielsweise speziziert die Klasse Rational, dass eine rationale Zahl wie 12/35
durch zwei ganze Zahlen dargestellt wird: ihren Zähler und ihren Nenner;95

5. Denitionsmengen für das Rechnen
2. ihr Verhalten , insbesondere die Operationen auf diesem Objekt: beispielsweise wie manden Zähler einer rationalen Zahl bekommt, wie ihr Absolutwert berechnet wird, wie man
zwei rationale Zahlen addiert oder multipliziert. Jede dieser Operationen wird durch eine
Methode implementiert (hier durch numer und numerator, abs, __mult__, __add__).
Um eine ganze Zahl zu faktorisieren wird man daher die Methode factor mit folgender Syntax
aufrufen1 :sage: o = 720
sage: o.factor()
2^4 * 3^2 * 5
was man lesen kann als: nimm den Wert von o und wende die Methode factor ohne ein
weiteres Argument darauf an. Unter der Haube führt Python folgende Rechnung aus:sage: type(o).factor(o)2^4 * 3^2 * 5
Von links nach rechts: fordere von der Klasse von o (type(o)) die Methode factor die fürdie Faktorisierung geeignete Methode an (type(o).factor) und wende sie auf o an.
Wir bemerken bei dieser Gelegenheit, dass wir eine Methode auf einen Wert anwenden können,
ohne ihn an eine Variable zu übergeben:

sage: 720.factor()
2^4 * 3^2 * 5
und daher auch Operationen von links nach rechts hintereinander ausführen können:

sage: o = 720/133
sage: o.numerator().factor()
2^4 * 3^2 * 5
5.1.2. Objekte und Polymorphie

Was geht uns das an? Zunächst sind in Sage alle Operationen polymorph , d.h. sie können
auf verschiedene Typen angewendet werden. So wenden wir auf welches Objekt auch immer,das wir faktorisieren wollen, dieselbe Schreibweise o.factor() an (oder seine Abkürzungfactor(o)). Die auszuführenden Operationen sind dennoch im Fall einer ganzen Zahl undeines Polynoms nicht die gleichen! Sie unterscheiden sich auÿerdem auch darin, ob das Polynom
rationale Koezienten hat oder Koezienten aus einem endlichen Körper. Es ist die Klassedes Objektes, die entscheidet, welche Version von factor letztendlich ausgeführt wird.

1

Für die Bequemlichkeit des Anwenders bietet Sage auch eine Funktion factor derart, dass factor(o) eine

Abkürzung von o.factor() ist. Das gilt auch für eine groÿe Anzahl häug gebrauchter Funktionen, es ist
durchweg möglich, ihre Abkürzungen zu nehmen.

965.1. Sage ist objektorientiert
Ebenso, und wir übernehmen die normale mathematische Schreibweise, kann das Produkt
zweier Objekte a und b immer a*b geschrieben werden, auch wenn die in jedem der Fälle
verwendeten Algorithmen verschieden2 sind. Hier ein Produkt zweier ganzer Zahlen:

sage: 3*721hier ein Produkt zweier rationaler Zahlen, das durch Multiplikation der Zähler und der Nenner
und anschlieÿendes Kürzen erhalten wird:

sage: (2/3)*(6/5)
4/5
und hier ein Produkt zweier komplexer Zahlen, wobei die Beziehung i2 = −1 benutzt wird:

sage: (1 + I)*(1 - I)
2sowie kommutative Produkte zweier symbolischer Ausdrücke:sage: (x + 1)*(x + 2)
(x + 2)*(x + 1)
sage: (x + 2)*(x + 1)
(x + 2)*(x + 1)Auÿer der einfachen Schreibweise ermöglicht diese Form der Polymorphie das Schreiben generischer , d.h. allgemeingültiger Programme, die auf jedes Objekt anwendbar sind, das dieseOperation zulässt (hier die Multiplikation):sage: def vierte_potenz(a)....:a = a*a....:a = a*a....:return asage: vierte_pozenz(2)16sage: vierte_potent(3/2)
81/16
sage: vierte_potenz(I)1sage: vierte_potenz(x+1)(x + 1)^4
sage: M = matrix([[0, -1], [1, 0]]); M[ 0 -1][ 1 0]
sage: vierte_potenz(M)
[1 0]
[0 1]
2

Für eine binäre arithmetische Operation wie das Produkt ist das Verfahren zur Auswahl der passenden
Methode ein wenig komplizierter als das oben beschriebene. Sie muss nämlich gemischte Operationen wie
die Summe 2 + 3/4 einer ganzen und einer rationalen Zahl managen. Hier wird die 2 vor der Addition ineine rationale Zahl 2/1 konvertiert. Die Regeln für die Entscheidung, welche Operanden umzuwandeln sind
und wie, heiÿen

Zwangsmodell .

97

5. Denitionsmengen für das Rechnen
5.1.3. Introspektion

Die Objekte von Python, und damit auch von Sage, haben die Funktionalitäten der Introspektion . Das bedeuten, dass wir ein Objekt bei der Ausführung nach seiner Klasse und seinen
Methoden befragen können und auch die erhaltenen Informationen mit den üblichen Konstruktionen der Programmierung manipulieren. So ist die Klasse eines Objektes ihrerseits ein
Python-Objekt wie (fast) alle anderen, die wir mit type(o) gewinnen können:

sage: t = type(5/1); print t<type 'sage.rings,rational.Rational'>
sage: t == type(5)False
Wir sehen hier, dass der Ausdruck 5/1 die rationale Zahl 5 bildet, die ein anderes Objekt ist
als die ganze Zahl 5.
Es gibt auch Werkzeuge der Introspektion, auf die online zugegrien werden kann, wie hieram Beispiel der Faktorisierung einer ganzen Zahl gezeigt wird:

sage: o = 720
sage: o.factor?
...
Definition: o.factor(algorithm='pari', proof=None, ... )Docstring:...

Return the prime factorization of this integer as a formal
Factorization object.

Den Code dieser Funktion zeigt

sage: o.factor??
...
def factor(self, algorithm='pari', proof=None, ...):...
if algorithm not in ['pari', 'kash', 'magma', 'qsieve', 'ecm']:....
Wenn wir dazu die technischen Details durchgehen, erkennen wir, dass Sage einen Groÿteil
der Rechnungen an andere Programme delegiert (PARI, kash, Magna).
Ebenso können wir die automatische Vervollständigung nutzen, um zu einem Objekt die
Operationen zu erfragen, die wir mit ihm verwenden können. Hier gibt es viele davon; wir
zeigen die, welche mit n beginnen:

sage: o.n<tab>o.no.nbitso.ndigitso.next_primeo.next_prime_powero.next_probable_primeo.nth_root
o.numeratoro.numerical_approx

Auch hier handelt es sich um eine Form der Introspektion.

985.2. Elemente, Vorfahren, Kategorien

5.2. Elemente, Vorfahren, Kategorien
5.2.1. Elemente und Vorfahren

Im vorigen Abschnitt sind wir dem Begri der Klasse einnes Objektes begegnet. In der Praxis
genügt es zu wissen, dass dieser Begri existiert; selten muss man den Typ eines Objektes
explizit betrachten. Andererseits führt Sage ein Gegenstück zu diesem Begri ein, dem wir
und nun widmen werden, dem des Vorfahren eines Objektes.
Zum Beispiel nehmen wir an, wir wollten entscheiden, ob ein Element a invertierbar ist. Die
Antwort wird nicht nur vom Element selbst abhängen, sondern auch von der Menge A, deres angehört (wie auch sein potentielles Inverses). Die Zahl 5 ist beispielsweise in der Menge
Z der ganzen Zahlen nicht invertierbar, weil ihr Inverses 1/5 keine ganze Zahl ist:

sage: a = 5; a5sage: a.is_unit()
False
Vielmehr ist 5 in der Menge der rationalen Zahlen invertierbar:

sage: a = 5/1; a5sage: a.is_unit()
True
Sage antwortet auf diese beiden Fragen unterschiedlich, denn wir haben im vorigen Abschnitt
gesehen, dass die Elemente 5 und 5/1 Instanzen verschiedener Klassen sind.
In einigen CAS wie MuPAD oder Axiom wird die Menge X , zu der x gehört (hier Z oder Q),
einfach durch die Klasse von x modelliert. Sage folgt dem Ansatz von Magma und modelliert
X durch ein ergänzendes, mit x verbundenes Objekt, seinem Vorfahren :sage: parent(5)Integer Ringsage: parant(5/1)
Rational Field
Wir können diese beiden Mengen auch mit ihren Abkürzungen nden:

sage: ZZ
Integer Ringsage: QQ
Rational Field
und sie für die einfache Konvertierung eines Elementes von der einen in die andere benutzen,
sofern das sinnvoll ist:

sage: QQ(5).parent()
Rational Field
sage: ZZ(5/1).parent()
Integer Ringsage: ZZ(1/5)

995. Denitionsmengen für das Rechnen
Traceback (most recent call last)...
TypeError: no conversion of this rational to integer
Allgemein versucht die Syntax P(x), wobei P ein Vorfahr ist, das Objekt x in ein Element von P
zu konvertieren. Für die ganze Zahl 1 ∈ Z, die rationale Zahl 1 ∈ Q, die Gleitpunkt-Näherung
der reellen Zahl 1, 0 ∈ R oder die komplexe Zahl 1, 0 + 0, 0i ∈ C gilt:

sage: ZZ(1), QQ(1), RR(1), CC(1)(1, 1, 1.00000000000000, 1.00000000000000)

Übung 18. Welches ist die Klasse des Ringes der ganzen Zahlen Z?
5.2.2. Konstruktionen

Die Vorfahren sind ihrerseits Objekte, mit denen wir Operationen ausführen können. So können wir das kartesische Produkt Q2 bilden:

sage: cartesian_product([QQ, QQ])
The Cartesian product of (Rational Field, Rational Field)
Q zurückgewinnen als Körper der Brüche von Z:

sage: ZZ.fraction_field()
Rational Field
den Polynomring in x mit Koezienten aus Z:

sage: ZZ['x']Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
Durch schrittweises Vorgehen können wir komplexe algebraische Strukturen bilden wie den
Vektorraum der 3×3-Matrizen mit polynomialen Koezienten aus einem endlichen Körper:

sage: Z5 = GF(5); Z5
Finite Field of size 5
sage: P = Z5['x']; P
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 5
sage: M = MatrixSpace(P, 3, 3); M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Univariate Polynomial
Ring in x over Finite Field of size 5Hier ein Element:

sage: M.random_element()[x + 4
2*x + 1 3*x^2 + x + 2]
[3*x^2 + 4*x + 1
x + 2 4*x^2 + 3*x + 2]
[4*x^2 + 2*x + 2 x^2 + 2*x + 3 3*x^2 + 4*x + 4]100

5.2. Elemente, Vorfahren, Kategorien
5.2.3. Ergänzung: Kategorien

Ein Vorfahr hat im allgemeinen selbst keinen Vorfahren, sondern eine Kategorie , die seine
Eigenschaften angibt:

sage: QQ.category()
Category of quotient fields
In der Tat weiÿ Sage, dass Q ein Körper ist:

sage: QQ in Fields
Trueund somit beispielsweise auch eine additive kommutative Gruppe ist:

sage: QQ in CommutativeAdditiveGroups()
True
Daraus folgt, dass Q[x] ein euklidischer Ring ist:

sage: QQ['x'] in EuclideanDomains()
True
Alle diese Eigenschaften werden bei strengen und ezienten Rechnungen mit Elementen dieser
Systeme verwendet.

101

5. Denitionsmengen für das Rechnen

Abb. 5.1 - Ein kleiner Ausschnitt aus der Darstellung der Kategorien in Sage

5.3. Denitionsmengen für das Rechnen und die Darstellung in Normalform
Wir gehen nun über zur Betrachtung einiger Vorfahren, die in Sage zu nden sind.
In Abschnitt 2.1 haben wir die Bedeutung der Normalformen für das symbolische Rechnen
erkannt, die uns die Entscheidung ermöglichen, ob zwei Objekte bei Vergleich ihrer Darstellungen mathematisch gleich sind. Jeder der hiernach aufgeführten grundlegenden Vorfahren
entspricht einer Menge von Zahlen für die Rechnung mit Normalformen , d.h. einer Menge

102

5.3. Denitionsmengen für das Rechnen und die Darstellung in Normalform
solcher mathematischer Objekte, die eine Normalform erlauben. Das ermöglicht Sage, die
Elemente jedes dieser Vorfahren unzweideutig darzustellen3 .
Einige Basistypen von Python
ganze Zahlen in Python
Gleitpunktzahlen in Python

Wahrheitswerte (True,

False)

Zeichenketten

int
float
bool
str

Denitionsmengen von Zahlen
ganze Zahlen Z
rationale Zahlen Q
Gleitpunktzahlen mit der Genauigkeit p
komplexe Gleitpunktzahlen mit Genauigkeit p

ZZ oder IntegerRing()
QQ oder RationalField()
Reals(p) oder RealField(p)Complexes(p) oder ComplexField(p)Ringe und endliche Körper
Rest modulo n Z/nZ
endlicher Körper Fq

Integers(n) oder IntegerModRing(n)GF(q) oder FiniteField(q)algebraische Zahlen
algebraische Zahlen Q̄
reelle algebraische Zahlen
Körper der Zahlen Q[x]/(p)QQbar oder AlgebraicField()
AA oder AlgebraicRealField()NumberField(p)Symbolisches Rechnen

m × n-Matrizen mit Einträgen aus A
Polynome A[x, y]Reihen A[[x]]symbolische Ausdrücke

MatrixSpace(A, m, n)A['x,y'] oder PolynomialRing(A, 'x,y')A[['x']] oder PowerSeriesRing(A, 'x')SR

Tab. 5.1 - Die wichtigsten Zahlenarten für Berechnungen und die Vorfahren

5.3.1. Elementare Zahlenarten
Elementare Zahlenarten nennen wir die klassischen Mengen von Konstanten: ganze Zahlen,rationale Zahlen, Gleitpunktzahlen, boolesche Werte, Reste modulo n . . .

Ganze Zahlen. Die ganzen Zahlen werden rechnerintern zur Basis zwei dargestellt und auf

dem Bildschirm zur Basis zehn. Wie wir gesehen haben, sind die ganzen Zahlen in Sage vom
Typ Integer. Ihr Vorfahr ist der Ring Z:

sage: 5.parent()
Integer Ring
Die ganzen Zahlen werden in Normalform dargestellt; die Gleichheit ist daher einfach zu
prüfen. Um ganze Zahlen in faktorisierter Form darstellen zu können, verwendet der Befehl
factor eine besondere Klasse:

sage: print type(factor(4))<class'sage.structure.factorization_integer.IntegerFactorization'>3

Die meisten anderen der in Sage verfügbaren Vorfahren entsprechen Denitionsmengen für die Rechnung
mit Normalformen, doch ist dies nicht bei allen der Fall. Es kommt auch vor, dass Sage aus Gründen derEzienz die Elemente als Normalformen nur auf besondere Anforderung darstellt.

103

5. Denitionsmengen für das Rechnen
Die Klasse Integer ist Sage-eigen: in der Voreinstellung verwendet Python ganze Zahlen desTyps int. Generell erfolgt die Konversion des einen in den anderen automatisch, doch kannes notwendig werden, die Konversion explizit vorzuschreiben mit

sage: int(5)5sage: print type(int(5)) <type 'int'>
oder umgekehrt

sage: Integer(5)5sage: print type(Integer(5))<type 'sage.rings.integer.Integer'>

Rationale Zahlen. Die Eigenschaft der Normalform haben auch die rationalen Zahlen, die

Elemente von QQ, die immer in Normalform dargetellt werden. So werden durch die Anweisung

sage: factorial(99)/factorial(100) -1/50-1/100
Zuerst werden die Fakultäten ausgewertet, dann wird von dem erhaltenen Bruch 1/100 die
rationale Zahl 1/50 abgezogen und gekürzt (was hier nicht nötig ist).

Gleitpunktzahlen.

Reelle Zahlen können nicht exakt dargestellt werden. Ihre genäherten
Zahlenwerte werden als Gleitpunktzahlen dargestellt. Sie werden in Kapitel 11 eingehendbehandelt.
In Sage werden Gleitpunktzahlen zur Basis zwei dargestellt. Als eine Folge wird die als 0.1
dargestellte Gleitpunktzahl nicht genau gleich 1/10 sein, denn 1/10 kann zur Basis 2 nicht
exakt dargestell werden. Jede Gleitpunktzahl hat ihre eigene Genauigkeit. Der Vorfahr der
Gleitpunktzahlen mit p signikanten Bits wird als Reals(p) geschrieben. Die Gleitpunktzahl
mit der voreingestellten Präzision (p = 53) heiÿt auch RR. Wie im Fall der ganzen Zahlen
unterscheiden sich die Gleitpunktzahlen in Sage von denen in Python.
Wenn sie in einer Summe oder einem Produkt zusammen mit ganzen oder rationalen Zahlen
auftreten, sind Gleitpunktzahlen ansteckend: der gesamte Ausdruck wird dann als Gleitpunktzahl berechnet:

sage: 72/53 - 5/3*2.7-3.14150943396227
Ebenso, wenn das Argument einer Funktion eine Gleitpunktzahl ist, erscheint auch das Ergebnis als Gleitpunktzahl:

sage: cos(1), cos(1.)(cos(1), 0.540302305868140)
Die Methode numerical_approx (oder ihre Alias n und N) dient zur numerischen Auswertungweiterer Ausdrücke. Ein optionales Argument erlaubt die Präzisierung der bei der Rechnung
gebrauchten signikanten Stellen. Als Beispiel π mit 50 signikanten Ziern:

sage: pi.n(digits=50)# Variante: n(pi,digits=50)
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

1045.3. Denitionsmengen für das Rechnen und die Darstellung in Normalform

Komplexe Zahlen. Genauso sind die Näherungen von komplexen Zahlen mittels Gleitpunkt-zahlen mit der Genauigkeit p Elemente von Complexes(p), wobei CC die voreingestellte Genauigkeit besitzt. Wir können eine komplexe Zahl bilden und ihr Argument berechnen:

sage: z = CC(1,2); z.arg()
1.10714871779409

Komplexe symbolische Ausdrücke
Die imaginäre Einheit i (geschrieben I oder i), die uns in den vorigen Kapitelnschon begegnet ist, ist kein Element von CC, sondern ein symbolischer Ausdruck(siehe Unterabschnitt 5.4.1):
sage: I.parent()
Symbolic Ring
Wir können damit eine komplexe Gleitpunktzahl schreiben, wenn wir eine explizite
Konversion vorschreiben:
sage: I.parent()
Symbolic Ringsage: CC(1.+2.*I).parent()
Complex Field with 53 bits precision
In der Welt der symbolischen Ausdrücke ergeben die Methoden real, imag und abs
den Realteil, den Imaginärteil bzw. die Norm oder auch den Modul einer komplexen
Zahl:
sage: z = 3*exp(I*pi/4)
sage: z.real(), z.imag(), z.abs().simplify()(3/2*sqrt(2), 3/2*sqrt(2), 3)

Boolesche Werte.

Logische Ausdrücke bilden auch eine Zahlenart in Normalform, doch ist
die Klasse der Wahrheitswerte oder booleschen Werte ein Basistyp von Python ohne Vorfahren
in Sage. Die beiden Normalformen sind True und False:

sage: a, b, c = 0, 2, 3
True
In Tests und Schleifen werden die zusammengesetzten Bedingungen mit den Operatoren or
und and einfach von links nach rechts ausgewertet. Das bedeutet, dass die Auswertung einer
zusammengesetzten Bedingung mit or nach dem ersten Teilergebnis True beendet wird, ohne
die rechts noch folgenden Terme zu berücksichtigen; genauso bei and und False. So beschreibt
der nächste Test die Teilbarkeit a|b von ganzen Zahlen und führt auch bei a = 0 nicht zu einem
Fehler:sage: a = 0; b = 12; (a == 0) and (b == 0) or (a != 0) and (b%a == 0)
Der Operator not hat Vorrang vor and, das wiederum Vorrang vor or hat, und die Tests auf
Gleichheit haben Vorrang vor allen booleschen Operatoren. Die beiden folgenden Tests sinddeshalb zum vorigen äquivalent:

sage: ((a == 0) and (b == 0)) or ((a != 0) and (b%a == 0))
sage: a == 0 and b == 0 or not a == 0 and b%a == 0
Des weiteren gestattet Sage Tests auf Enthaltensein in mehrfachen Intervallen genauso, wie
das in der Mathematik geschieht:

105

5. Denitionsmengen für das Rechnenx≤y≤zx = y = z 6= t

wird codiert als

x <= y <= zx == y == z != tIn einfachen Fällen werden diese Test unmittelbar ausgeführt; wenn nicht, muss mit dem
Befehl bool die Auswertung erzwungen werden:

sage: x, y = var('x, y')sage: bool((x-y)*(x+y) == x^2 - y^2)
True

Reste modulo n. Bei der Denition einer Kongruenz beginnen wir mit der Bildung ihres
Vorfahren, des Ringes Z/nZ:

sage: Z4 = IntegerModRing(4); Z4
Ring of integers modulo 4
sage: m = Z4(7); m
3
Wie bei Gleitpunktzahlen wird in Rechnungen mit m automatisch in Zahlen modulo 4 umgewandelt. So werden im folgenden Beispiel 3 und 1 automatisch in Elemente von Z/nZ
konvertiert:

sage: 3*m + 1
2
Ist p eine Primzahl, können wir Z/pZ als Körper bilden:

sage: Z3 = GF(3); Z3
Finite Field of size 3
In beiden Fällen handelt es sich um Zahlenarten in Normalform: die Reduktionen modulo noder p werden bei jeder Erzeugung eines Elementes automatisch ausgeführt. Rechnungen auf
endlichen Ringen und Körpern werden in Kapitel 6 ausführlich behandelt.
5.3.2. Zusammengesetzte Objektklassen

Mit wohldenierten Konstanten können Klassen symbolischer Objekte gebildet werden, die
als Variable vorkommen und eine Normalform kennen. Die wichtigsten sind die Matrizen, die
Polynome, die gebrochen rationalen Ausdrücke und die abbrechenden Reihen.
Die entsprechenden Vorfahren sind durch die Zahlenart der Koezienten parametrisiert. So
unterscheiden sich beispielsweise Matrizen mit ganzzahligen Einträgen von solchen mit Einträgen aus Z/nZ und die zugehörigen Rechenregeln werden automatisch angewendet, ohne
dass eine Funktion für die Reduktion modulo n explizit aufgerufen werden müsste.
Teil II dieses Buches ist vor allem diesen Objekten gewidmet.

Matrizen. Die Normalform einer Matrix liegt vor, wenn ihre Einträge ihrerseits in Normalform sind. Auch wird jede Matrix auf einem Körper oder einem Ring in normaler Darstellung
automatisch in Normalform ausgegeben:

sage: a = matrix(QQ, [[1, 2, 3], [2, 4, 8], [3, 9, 27]])
sage: (a^2 + 1)*a^(-1)

106

5.3. Denitionsmengen für das Rechnen und die Darstellung in Normalform[ -5 13/2 7/3]
[ 7
1 25/3][ 2 19/2 27]
Der Aufruf der Funktion matrix ist eine Abkürzung. Intern bildet Sage den entsprechenden
Vorfahren, nämlich den Vektorraum der 3 × 3-Matrizen mit Einträgen aus Q (in normaler
Darstellung), dann wird der Vorfahr zur Erzeugung der Matrix verwendet:sage: M = MatrixSpace(QQ,3,3); M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field
sage: a = M[[1, 2, 3], [2, 4, 8], [3, 9, 27]])
sage: (a^2 + 1)*a^(-1)[ -5 13/2 7/3]
[ 7
1 25/3][ 2 19/2 27]
Die Operationen mit symbolischen Matrizen werden in Kapitel 8 beschrieben, die numerischelineare Algebra in Kapitel 13.

Polynome und gebrochen rationale Ausdrücke. Genau wie Matrizen den Typ ihrer

Einträge kennen Polynome in Sage den Typ ihrer Koezienten. Ihre Vorfahren sind Polynomringe wie Z[x] oder C[x, y, z], die in den Kapiteln 7 und 9 eingehend vorgestellt werden,
und die wir erzeugen können mit

sage: P = ZZ['x']; P
Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ringsage: F = P.fraction_field(); F
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ringsage: p = P(x+1)*P(x); Px^2 + xsage: p + 1/p(x^4 + 2*x^3 + x^2 + 1)/(x^2 + x)
sage: parent(p + 1/p)
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
Wie wir in Unterabschnitt 5.4.2 sehen werden, gibt es keine ideale Darstellung für Polynome
und gebrochen rationale Ausdrücke. Die Elemente der Polynomringe werden in entwickelter
Form dargestellt. Diese Ringe sind daher normal dargestellt, sobald die Koezienten in einer
Zahlenart ihreseits in Normalform vorliegen.
Diese Polynome unterscheiden sich von polynomialen Ausdrücken, denen wir in Kapitel 2
begegnet sind, und deren Koeezienten weder einen wohldenierten Typ haben noch einen
Vorfahren, der den Typ widerspiegelt. Sie repräsentieren eine Alternative zu den echtenPolynomen, die nützlich sein kann, um Polynome und andere mathematische Ausdrücke zu
mischen. Wir betonen, dass wenn wir mit diesen Ausdrücken arbeiten, dann anders als bei
Elementen von Polynomringen, explizit ein Befehl zur Reduktion wie expand erfolgen muss,um sie in Normalform zu bringen.

Reihen. Abbrechende Potenzreihen sind Objekte der Forma0 + a1 x + a2 a2 + · · · + an xn + O(xn+1 )107

5. Denitionsmengen für das Rechnen
Sie werden beispielsweise für die Darstellung abbrechender Reihenentwicklungen verwendet
und ihre Manipulation in Sage wird in Abschnitt 7.5 beschrieben. Der Vorfahr der abbrechenden Reihen in x mit der Genauigkeit n und Koezienten aus A ist der Ring A[[x]], der mit
PowerSeriesRing(A, 'x', n) erzeugt wird. Wie die Polynome haben auch die abbrechenden
Reihen eine Entsprechung in der Welt der symbolischen Ausdrücke. Der zugehörige Befehl zur
Reduktion auf die Normalform ist series.

sage: f = cos(x).series(x == 0, 6); 1/f
1
1 4
x + O (x6 )1 + (− 12 )x2 + 24

sage: (1/f).series(x == 0, 6)
1
5
1 + x2 + x4 + O x6
224

Algebraische Zahlen. Eine algebraische Zahl ist als Wurzel eines Polynoms deniert. So-bald der Grad eines Polynoms 5 oder gröÿer ist, ist es im allgemeinen nicht möglich, die√
Wurzeln mit Hilfe der Operatoren +, −, ∗, /, explizit hinzuschreiben. Jedoch können zahlreiche Rechnungen mit Wurzeln mit keinen anderen Informationen als dem Polynom selbst
sehr wohl ausgeführt werden.

sage: k.<a> = NumberField(x^3 + x + 1); a^3; a^4 + 3*a-a - 1-a^2 + 2*a
Die Manipulation algebraischer Zahlen in Sage wird in diesem Buch nicht detailliert behandelt,einige Beispiele sind jedoch in den Kapiteln 7 und 9 zu nden.

5.4. Ausdrücke versus Zahlenarten für das Rechnen
Es sind also in Sage mehrere Ansätze für die Manipulation von Objekten wie Polynomemöglich. Man kann sie als besondere formale Ausdrücke ansehen, wie wir das in den ersten
Kapiteln dieses Buches getan haben, man kann aber auch einen speziellen Polynomring einführen und mit dessen Elementen rechnen. Zum Abschluss dieses Kapitels beschreiben wir
kurz den Vorfahr der symbolischen Ausdrücke, den Bereich SR, sodann erläutern wir anhandeiniger Beispiele wie wichtig es ist, die Denitionsmengen für die Rechnung zu kontrollieren
und die Unterschiede zwischen diesen Ansätzen zu beachten.
5.4.1. Ausdrücke als Denitionsmenge für das Rechnen

Die symbolischen Ausdrücke bilden selber eine Denitionsmenge für Rechnungen! In Sage ist
ihr Vorfahr der symbolische Ring :sage: parent(sin(x))
Symbolic Ringwas wir auch erhalten könnten mit

sage: SR
Symbolic Ring108

5.4. Ausdrücke versus Zahlenarten für das Rechnen
Die Eigenschaften dieses Ringes sind recht verschwommen; er ist kommutativ:

sage: SR.category()
Category of commutative rings
und die Rechenregeln machen im groÿen Ganzen die Annahme, dass die Werte aller symbolischen Variablen in C liegen.
Die Form der Ausdrücke, die wir in SR manipulieren (polynomiale, rationale und trigonometrische Ausdrücke), die nicht oensichtlich zu ihrer Klasse oder ihrem Vorfahr gehören,bedarf als Resultat einer Rechnung sehr oft einer manuellen Umformung, zum Beispiel mit
expand, combine, collect und simplify, um in die gewünschte Form gebracht zu werden(siehe Abschnitt 2.1). Für den angemessenen Gebrauch dieser Funktionen müssen wir wissen,welchen Typ der Umformung sie ausführen, auf welche Unterklassen 4 von Ausdrücken sie
angewendet werden, und welche dieser Unterklassen Denitionsbereiche der Normalform bilden. Somit kann der blinde Gebrauch der Funktion simplify zu falschen Ergebnissen führen.
Varianten von simplify ermöglichen eine zielsichere Vereinfachung.
5.4.2. Beispiele: Polynome und Normalformen

Wir konstruieren den Polynomring Q[x1 , x2 , x3 , x4 ] in vier Variablen:sage: R = QQ['x1,x2,x3,x4']; R
Multivariate Polynomial Ring in x1, x2, x3, x4 over Rational Field
sage: x1, x2, x3, x4 = R.gens()
Die Elemente von R werden automatisch in entwickelter Form dargestellt:

sage: x1*(x2 - x3)
x1*x2 - x1*x3
was eine Normalform ist, wie wir wissen. Insbesondere ist der Test auf 0 in R unmittelbar:

sage: (x1 + x2)*(x1 - x2) - (x1^2 - x2^2)0
Das
Q ist nicht immer ein Vorteil. Wenn wir beispielsweise die vandermondesche Determinante1≤i<j≤n (xi − xj ) bilden:

sage: prod((a - b) for (a,b) in Subsets([x1,x2,x3,x4],2))x1^3*x2^2*x3 - x1^2*x2^3*x3 - x1^3*x2*x3^2 + x1*x2^3*x3^2+ x1^2*x2*x3^3 - x1*x2^2*x3^3 - x1^3*x2^2*x4 + x1^2*x2^3*x4+ x1^3*x3^2*x4 - x2^3*x3^2*x4 - x1^2*x3^3*x4 + x2^2*x3^3*x4+ x1^3*x2*x4^2 - x1*x2^3*x4^2 - x1^3*x3*x4^2 + x2^3*x3*x4^2+ x1*x3^3*x4^2 - x2*x3^3*x4^2 - x1^2*x2*x4^3 + x1*x2^2*x4^3+ x1^2*x3*x4^3 - x2^2*x3*x4^3 - x1*x3^2*x4^3 + x2*x3^2*x4^3
bekommen wir 4! = 24 Terme. Dieselbe Konstruktion mit einem Ausdruck verbleibt in der
faktorisierten Form und ist viel kompakter und besser lesbar:

4

im Sinne von Familien, nicht von Pythons Objektklassen

109

5. Denitionsmengen für das Rechnen
sage: x1, x2, x3, x4 = SR.var('x1, x2, x3, x4')
sage: prod((a - b) for (a,b) in Subsets([x1,x2,x3,x4],2))(x1 - x2)*(x1 - x3)*(x1 - x4)*(x2 - x3)*(x2 - x4)*(x3 - x4)
Ebenso ermöglicht eine faktorisierte oder teilfaktorisierte Darstellung eine schnellere Berechnung des ggT. Es wäre jedoch nicht sinnvoll, jedes Polynom automatisch in faktorisierte Formzu bringen, selbst wenn es sich dabei um eine Normalform handelte, denn die Faktorisierung
kostet Rechenzeit und macht Additionen kompliziert.
Je nach der gewünschten Rechenart ist die ideale Darstellung eines Elementes nicht immer
seine Normalform. Das führt die symbolischen Rechensysteme zu einem Kompromiss mit
den Ausdrücken. Etliche grundlegende Vereinfachungen wie das Kürzen von Brüchen oderdie Multiplikation mit null werden hier automatisch ausgeführt; die übrigen Transformationen werden der Entscheidung des Anwenders überlassen, dem dafür spezische Befehle zur
Verfügung stehen.
5.4.3. Beispiel: Faktorisierung von Polynomen

Betrachten wir die Faktorisierung des folgenden polynomialen Ausdrucks:

sage: x = var('x')
sage: p = 54*x^4 + 36*x^3 - 102*x^2 - 72*x -12
sage: factor(p)6*(x^2 - 2)*(3*x + 1)^2
Ist diese Antwort zufriedenstellend? Zwar handelt es sich um eine Faktorisierung von p, doch
hängt ihre Optimalität stark vom Kontext ab! Für den Moment betrachtet Sage p als symbolischen Ausdruck, der sich als polynomial erweist. Er kann beispielsweise nicht wissen, ob wir
p als Produkt von Polynomen mit ganzzahligen Koezienten faktorisieren möchten oder mit
rationalen Koezienten.
Um hier die Kontrolle zu übernehmen, werden wir präzisieren, in welcher Menge wir p sehen
wollen. Zunächst soll p ein Polynom mit ganzzahligen Koezienten sein. Wir denieren daher
den Ring R = Z[x] solcher Polynome:

sage: R = ZZ['x']; R
Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
Dann konvertieren wir p in diesen Ring:sage: q = R(p); q54*x^4 + 36*x^3 - 102*x^2 - 72*x - 12
An der Ausgabe sehen wir keinen Unterschied, doch q weiÿ, dass es ein Element von R ist:

sage: parent(q)Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
Damit ist die Faktorisierung eindeutig:

sage: factor(q)2 * 3 * (3*x + 1)^2 * (x^2 - 2)
Wir verfahren genauso auf dem Körper der rationalen Zahlen:

1105.4. Ausdrücke versus Zahlenarten für das Rechnen
sage: R = QQ['x'], R
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: q = R(p); q54*x^4 + 36*x^3 - 102*x^2 - 72*x - 12sage: factor(q)(54) * (x + 1/3)^2 * (x^2 - 2)
In diesem neuen Kontext ist die Faktorisierung wieder eindeutig, doch verschieden von dervorigen.
Suchen wir jetzt eine vollständige Zerlegung auf den komplexen Zahlen mit 16 Bits Genauigkeit:

sage: R = ComplexField(16)['x']; R
Univariate Polynomial Ring in x over Complex Field with 16 bits ofprecision
sage: q = R(p); q
54.00*x^4 + 36.00*x^3 - 102.0*x^2 - 72.00*x - 12.00
sage: factor(q)(54.00) * (x - 1.414) * (x + 0.3333)^2 * (x + 1.414)
Andersist es, wenn wir den Körper der rationalen Zahlen ein wenig erweitern; hier fügen wir√
2 hinzu.

sage: R = QQ[sqrt(2)]['x']; R
Univariate Polynomial Ring in x over Number Field in sqrt2 with defining
polynomial x^2 - 2
sage: q = R(p); q54*x^4 + 36*x^3 - 102*x^2 - 72*x - 12sage: factor(q)(54) * (x - sqrt2) * (x + sqrt2) * (x + 1/3)^2
Wollen wir schlieÿlich sogar, dass die Koezienten modulo 5 sind?

sage: R = GF(5)['x']; R
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 5
sage: q = R(p); q4*x^4 + x^3 + 3*x^2 + 3*x + 3
sage: factor(q)(4) * (x + 2)^2 * (x^2 + 3)
5.4.4. Zusammenfassung

In den vorstehenden Beispielen haben wir illustriert, wie der Anwender das Niveau der Strenge
in seinen Rechnungen steuern kann.
Einerseits kann er symbolische Ausdrücke verwenden. Diese Ausdrücke sind Elemente desRinges SR. Sie bieten zahlreiche Methoden (vorgestellt in Kapitel 2), die auf bestimmte Unterklassen von Ausdrücken wie die polynomialen Ausdrücke angewendet werden. Die Erkenntnis,
dass ein Ausdruck zu dieser oder jener Klasse gehört, erlaubt zu wissen, welche Funktionen fürdie Anwendung darauf infrage kommen. Ein Problem, bei dem dieses Wissen wichtig ist, ist
die Vereinfachung von Ausdrücken. Wegen dieser Aufgaben wurden die wichtigsten Klassen

111

5. Denitionsmengen für das Rechnen
der Ausdrücke im CAS deniert, und dieser Ansatz ist es, dem wir im Verlauf dieses Buchessehr oft den Vorzug geben.
Andererseits kann der Anwender einen Vorfahren konstruieren , der die Denitionsbereichefür die Rechnung festlegt. Das ist besonders interessant, wenn dieser Vorfahr in Normalform
ist: das heiÿt, dass zwei Objektelemente genau dann mathematisch gleich sind, wenn sie die
gleiche Darstellung haben.
Um es kurz zu sagen, die Flexibilität ist der Hauptvorteil der Ausdrücke: keine explizite Deklaration einer Denitionsmenge, die Einführung neuer Variablen und symbolischer Funktionenoder der Wechsel der Denitionsmenge während des Programmablaufs (wenn wir beispielsweise den Sinus eines polynomialen Ausdrucks nehmen), die Verwendung der gesamten Palettevon Werkzeugen der Analysis (Integration usw.). Die Vorteile der expliziten Deklaration derDenitionsmenge bestehen in den didaktischen Möglichkeiten, einer oftmals gröÿeren Strenge5 , die automatische Umwandlung in die Normalform (die auch ein Nachteil sein kann!), wieauch die Möglichkeit komplizierterer Konstruktionen, die mit Ausdrücken schwierig wären(Rechnungen auf einem endlichen Körper oder algebraische Erweiterungen von Q in einem
nichtkommutativen Ring usw.).

5

Sage ist kein112

zertiziertes CAS

Teil II.
Algebra und symbolisches Rechnen

1136. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie
Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht.
Alles andere ist Menschenwerk.
Leopold Kronecker (1823 - 1891)

Dieses Kapitel beschreibt die Verwendung von Sage in der elementaren Zahlentheorie zur
Bearbeitung von Objekten auf Ringen oder endlichen Körpern (Abschnitt 6.1), zu Primaltests (Abschnitt 6.2) oder zur Faktorisierung einer ganzen Zahl (Abschnitt 6.3); schlieÿlich
diskutieren wir einige Anwendungen (Abschnitt 6.4).

6.1. Ringe und endliche Körper
Ringe und endliche Körper sind ein grundlegendes Objekt in der Zahlentheorie und ganz allgemein beim symbolischen Rechnen. Tatsächlich stammen zahlreiche Algorithmen des symbolischen Rechnens vom Rechnen auf endlichen Körpern, dann nutzt man die mit Techniken
wie dem Aufstieg von Hensel oder der Rekonstruktion mit chinesischen Resten erhaltene
Information. Erwähnen wir beispielsweise den Algorithmus von Cantor-Zassenhaus zur Faktorisierung univariater Polynome mit ganzzahligen Koezienten, der mit der Faktorisierungdes gegebenen Polynoms auf einem endlichen Körper beginnt.
6.1.1. Ring der ganzen Zahlen modulo n

In Sage wird der Restklassenring Z/nZ der ganzen Zahlen modulo n mi Hilfe des Konstruktors
IntegerModRing (oder einfacher Integers) deniert. Alle mit diesem Konstruktor erzeugten
Objekte und ihre Ableitungen werden systematisch modulo n reduziert und haben somit einekanonische Form, das heiÿt, dass zwei Variable, die den gleichen Wert modulo n darstellen,auch die gleiche interne Darstellung besitzen. In bestimmten, sehr seltenen Fällen ist es ezient, die Reduktionen modulo n zu verzögern, beispielsweise wenn wir Matrizen mit solchen
Koezienten multiplizieren; man wird dann vorziehen, mit ganzen Zahlen zu arbeiten und die
Reduktion modulo n von Hand via a%n vornehmen. Aber Achtung, der Modul n erscheint
nicht explizit im ausgegebenen Wert:

sage: a = IntegerModRing(15)(3); b = IntegerModRing(17)(3); a, b
(3, 3)
sage: a == b
False
Eine Konsequenz ist, dass wenn wir ganze Zahlen modulo n kopieren, wir die Informationüber n verlieren. Ist eine Variable gegeben, die eine Zahl modulo n enthält, gewinnen wir die
Information über n mittels der Methoden base_ring oder parent zurück und erhalten den
Wert von n mit der Methode characteristic.

115

6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie
sage: R = a.base_ring(); R
Ring of integers modulo 15
sage: R.characteristic()
15
Die Grundrechenarten Addition, Subraktion, Multiplikation und Division sind für ganze Zahlen modulo n überladen und rufen die entsprechenden Funktionen auf, ebenso werden dieganzen Zahlen automatisch konvertiert, sobald einer der Operanden eine ganze Zahl modulo
n ist:

sage: a + a, a - 17, a*a + 1, a^3(6, 1, 10, 12)
Was die Inversion 1/a mod n oder die Division b/a mod n betrit, so führt Sage sie aus,
wenn das möglich ist, sonst wird ein ZeroDivisionError gemeldet, d.h. wenn a und b einennichttrivialen ggT haben.

sage: 1/(a + 1)
4
sage: 1/a
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
ZeroDivisionError: Inverse does not exist.
Um den Wert von a zu erhalten - sofern er ganzzahlig ist - ausgehend vom Rest a mod n,können wir die Methode lift nutzen oder auch ZZ:

sage: z = lift(a); y = ZZ(a); print y, type(y), y == z
3 <type 'sage.rings.integer.Integer'> True
Die additive Ordnung von a modulo n ist die kleinste ganze Zahl k > 0, sodass ka = 0
mod n ist. Es gilt k = n/g mit g = ggT(a, n) und wird durch die Methode additive_orderangegeben (man sieht nebenbei, dass man auch mit Mod oder mod arbeiten kann, um die ganzen
Zahlen modulo n zu bekommen):sage: [Mod(x,15).additive_order() for x in range(15)][1, 15, 15, 5, 15, 3, 5, 15, 15, 5, 3, 15, 5, 15, 15]
Die multiplikative Ordnung von a modulo n für a teilerfremd zu n ist die kleinste ganze Zahl
k > 0, für die ak = 1 ist. (Wenn a mit n einen gemeinsamen Teiler p hat, dann ist ak mod nein Vielfaches von p für jedes k .) Wenn diese multiplikative Ordnung gleich ϕ(n) ist, nämlich
die multiplikative Gruppe modulo n, sagen wir, dass a ein Generator dieser Gruppe ist. So
gibt es für n = 15 keinen Generator, und die maximale Ordnung ist 4 < 8 = ϕ(15).

sage: [[x, Mod(x,15).multiplicative_order()]....:for x in range(1,15) if gcd(x,15) == 1][[1, 1], [2, 4], [4, 2], [7, 4], [8, 4], [11, 2], [13, 4], [14, 2]]
Hier ein Beispiel mit n = p prim mit dem Generator 3:

sage: p = 10^20+ 39; mod(2,p).multiplicative_order()50000000000000000019
sage: mod(3,p).multiplicative_order()100000000000000000038

1166.1. Ringe und endliche Körper
Eine wichtige Operation auf Z/nZ ist die modulare Potenz , die darin besteht, ae mod n zu
berechnen. Das Kryptosystem RSA beruht auf dieser Operation. Zur ezienten Berechnung
von ae mod n benötigen die ezientesten Algorithmen Multiplikationen der Ordnung log eoder Quadrate modulo n. Es kommt darauf an, alle Rechnungen systematisch modulo n zu
reduzieren, anstatt erst ae als ganze Zahl zu berechnen, wie dies das folgende Beispiel zeigt:

sage: n = 3^100000; a = n-1; e = 100
sage: timeit('(a^e) % n')
5 loops, best of 3: 373 ms per loop
sage: timeit('power_mod(a,e,n)')25 loops, best of 3: 6.56 ms per loop
6.1.2. Endliche Körper

Die endlichen Körper1 werden mit dem Konstruktor FiniteField deniert (oder einfacher
mit GF). Wir können auch den Primzahlkörper GF(p) mit der Primzahl p wie die zusammengesetzten Körper mit GF(q) erzeugen. Dabei ist q = pk , p prim und k > 1 ganz. Wie bei
den Ringen haben die auf einem solchen Körper generierten Objekte eine kanonische Form,daher erfolgt eine Reduktion bei jeder Operation. Die endlichen Körper haben die gleichen
Eigenschaften wie die Ringe (Unterabschnitt 6.1.1) und bieten zusätzlich die Möglichkeit, ein
von null verschiedenes Element zu invertieren:

sage: R = GF(17); [1/R(x) for x in range(1,17)][1, 9, 6, 13, 7, 3, 5, 15, 2, 12, 14, 10, 4, 11, 8, 16]
Ein Körper Fpk , der kein Primzahlkörper ist, mit p prim und k > 1 ist zum Quotientenring
der Polynome von Fp [x] modulo eines unitären und irreduziblen Polynoms f vom Grad k
isomorph. In diesem Fall verlangt Sage einen Namen für den Generator des Körpers, also die
Variable x:

sage: R = GF(9,name='x'); R
Finite Field in x of size 3^2
Hier wählt Sage das Polynom f automatisch:sage: R.polynomial()x^2 + 2*x + 2
Die Elemente des Körpers werden nun durch die Polynome ak−1 xk−1 +. . .+a1 x+a0 dargestellt,
wobei die ai Elemente von Fp sind:

sage: Set([r for r in R]){0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2*x, 2*x + 1, 2*x + 2}
Wir können Sage auch das irreduzible Polynom f vorschreiben:

sage: Q.<x> = PolynomialRing(GF(3))
sage: R2 = GF(9, name='x', modulus=x^2+1); R2
Finite Field in x of size 3^21

In der französischen (und in der deutschen) Literatur werden endliche Körper mit q Elementen üblicherweise
mit Fq bezeichnet, während man in der englischsprachigen meistens GF(q ) ndet. Wir verwenden hier die
französische (und deutsche) Schreibweise für die mathematischen Begrie und die englische im Sage-Code.

117

6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie
Trotzdem ist Vorsicht geboten, denn wenn die beiden oben erzeugten Instanzen R und R2 auchzu F9 isomorph sind, ist der Isomorphismus dennoch nicht nutzbar:

sage: p = R(x+1); R2(p)Traceback (click to the left of this block for traceback)...
TypeError: unable to coerce <class 'sage.interfaces.r.R'>
6.1.3. Rationale Rekonstruktion

Das Problem der rationalen Rekonstruktion ist eine hübsche Anwendung des Rechnens mit
Resten. Ist ein Rest modulo m gegeben, geht es darum, eine kleine rationale Zahl x/y zunden, sodass x/y ≡ a mod m. Wenn wir wissen, dass eine solche kleine rationale Zahl
existiert, dann, anstatt x/y direkt zu berechnen, insofern es rational ist, berechnen wir x/y
modulo m, was den Rest a ergibt, dann nden wir x/y wieder durch rationale Rekonstruktion.
Dieser zweite Weg ist oft eektiver, denn wir ersetzen rationale Berechnungen - bei denen
aufwendige ggT auftreten - durch modulare Berechnungen.
Lemma. Seien a, m ∈ N, mit 0 < a < m. Es existiert höchstensp ein Paar teilerfremder ganzer

Zahlen x, y ∈ Z, sodass x/y ≡ a mod m mit 0 < |x|, y ≤m/2.

Ein solches Paar x, y existiert nicht immer, beispielsweise für a = 2 und m = 5. Der Algorithmus der rationalen Rekonstruktion basiert auf dem Algorithmus des erweiterten ggT. Der
erweiterte ggT von m und a berechnet eine Folge ganzer Zahlen, ai = αi m + βi a, wobei dieganzen Zahlen ai abnehmen, und die Absolutwerte
der Koezienten αi, βi anwachsen. Daherpgenügt es aufzuhören, sobald |αi|, |βi| ≤ m/2 ist, und die Lösung ist dann x/y = αi /βi .
Dieser Algorithmus steht in Sage in Gestalt der Funktion rational_reconstruction zu Verfügung. Sie gibt x/y zurück, falls eine solche Lösung existiert und einen Fehler, falls nicht:

sage: rational_reconstruction(411,1000)-13/17sage: rational_reconstruction(409,1000)
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
ArithmeticError: rational reconstruction of 409 (mod 1000) does not exist
Um die rationale Rekonstruktion zu veranschaulichen, betrachten wir die Berechnung der
harmonischen Zahl Hn = 1 + 1/2 + . . . + 1/n. Die naive Rechnung mit den rationalen Zahlen
geht so:sage: def harmonic(n):....:return add([1/x for x in range(1,n+1)])
Nun wissen wir, dass Hn in der Form pn /qn mit pn , qn ganz geschrieben werden kann, wobei
qn das kgV von 1, 2, . . . , n ist. Weiter wissen wir, dass Hn ≤ log n + 1 ist, was pn einzugrenzen erlaubt. Daraus leiten wir folgende Funktion ab, die Hn durch modulare Rechnung undrationale Rekonstruktion bestimmt:

sage: def harmonic_mod(n,m):....:
return add([1/x % m for x in range(1,n+1)])
sage: def harmonic2(n):....:q = lcm(range(1,n+1))118

6.1. Ringe und endliche Körper
....:
....:
....:
....:
....:

pmax = RR(q*(log(n)+1))m = ZZ(2*pmax^2)
m = ceil(m/q)*q + 1
a = harmonic_mod(n,m)
return rational_reconstruction(a,m)

Die
p Zeile m = ZZ(2*pmax^2) garantiert, dass die rationale Rekonstruktion den Wert p ≤m/2 ndet, während die folgende Zeile sicherstellt, dass m prim ist mit x = 1, 2, . . . , n,wenn 1/x mod n keinen Fehler auslöst.

sage: harmonic(100) == harmonic2(100)True
In diesem Beispiel ist die Funktion harmonic2 nicht ezienter als die Funktion harmonic, esverdeutlicht aber unsere Absicht. Es ist nicht immer erforderlich, eine strenge Grenze für x und
y zu kennen, eine Schätzung  π mal Daumen reicht hin, wenn man u.a. einfach verizieren
will, dass x/y die gesuchte Lösung ist.
Wir können die rationale Rekonsruktion mit einem Zähler x und einem Nenner y unterschiedlicher Gröÿe verallgemeinern (siehe Abschnitt 5.10 in [vzGG03]).
6.1.4. Chinesische Reste

Eine weitere nützliche Anwendung der modularen Rechnung ist diejenige, die gemeinhin chinesische Reste heiÿt. Seien zwei teilerfremde Moduln m und n gegeben, eine ganzzahlige
Unbekannte x, sodass x ≡ m mod m und x ≡ b mod n. Dann erlaubt der Chinesische Restsatz die eindeutige Rekonstruktion des Wertes von x modulo dem Produkt mn. In der Tat
leitet man aus x ≡ a mod n her, dass x in der Form x = a + λm geschrieben wird mit λ ∈ Z.
Setzen wir diesen Wert in x ≡ b mod n ein, bekommen wir λ ≡ λ0 mod n mit λ0 = (b − a)/m
mod n. Daraus resultiert x = x0 + µmn, wobei x0 = a + λ0 m ist und µ eine beliebige ganze
Zahl.
Wir beschreiben hier die einfachste Variante der chinesischen Reste. Ebenso können wir
den Fall mehrerer Moduln m1 , m2 , . . . , mk betrachten. Der Befehl zum Aunden von x0 aus
a, b, m, n ist in Sage crt(a,b,m,n).

sage: a = 2; b = 3; m = 5; n= 7; lambda0 = (b-a)/m % n; a + \lambda0*m17
sage: crt(a,b,m,n)
17
Kommen wir auf die Berechnung von Hn zurück. Zunächst berechnen wir Hn mod m füri = 1, 2, . . . , k . Dann leiten wir Hn mod (m1 · · · mk ) mit den chinesischen Resten her undnden Hn schlieÿlich durch rationale Rekonstruktion:

sage: def harmonic3(n):....:q = lcm(range(1,n+1))....:
pmax = RR(q*(log(n)+1))....:
B = ZZ(2*pmax^2)....:
a = 0; m = 1; p = 2^63....:
while m < B:....:
p = next_prime(p)119

6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie....:b = harmonic_mod(n,p)....:
a = crt(a,b,m,p)....:
m = m*p....:return rational_reconstruction(a,m)
sage: harmonic(100) == harmonic3(100)True
Sages Funktion crt funktioniert auch dann, wenn die Moduln m und n nicht teilerfremd sind.
Es sei g = gcd(m, n). Dann gibt es eine Lösung genau dann, wenn a mod g ≡ b mod g gilt:

sage: crt(15,1,30,4)45
sage: crt(15,2,30,4)
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
ValueError: No solution to crt problem since gcd(30,4) does not divide 15-2
In Übung 22 stellen wir eine komplexere Anwendung der chinesischen Reste vor.

6.2. Primzahltests
Die Prüfung, ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist, stellt eine fundamentale Operation eines
Programms für symbolische Rechnungen dar. Selbst wenn der Anwender nicht darauf achtet,
werden solche Prüfungen vom Programm tausende Male pro Sekunde ausgeführt. Um beispielsweise ein Polynom aus Z[x] zu faktorisieren, beginnen wir damit, es in Fp [x] nach einer
Primzahl p zu zerlegen und müssen daher eine solche Zahl p nden.
Die wichtigsten Befehle
Ring der ganzen Zahlen modulo n
endlicher Körper mit q Elementen
Test auf Pseudoprimalität
Test auf Primalität

IntegerModRing(n)GF(q)
is_pseudoprime(n)is_prime(n)Tab. 6.1 - Wiederholung.

Es existieren zwei Klassen von Primzahltests. Am ezientesten sind die Pseudoprimzahltests ,die im allgemeinen auf dem kleinen Satz von Fermat basieren, welcher besagt, dass, wenn p
prim ist, dann jede ganze Zahl 0 < a < p von der Ordnung ist, die p − 1 in der multiplikativen
Gruppe (Z/pZ)∗ teilt, und ap−1 ≡ 1 mod p gilt. Generell verwenden wir einen kleinen Wert
von a (2, 3, . . .), um die Berechnung von ap−1 mod p zu beschleunigen. Ist ap−1 6≡ 1 mod p, ist
p sicher keine Primzahl. Falls ap−1 ≡ 1 mod p ist, können wir nichts folgern: wir sagen dann,p ist pseudoprim zur Basis a. Die Annahme ist, dass wenn eine ganze Zahl p pseudoprim ist
zu mehreren Basen, sie dann groÿe Chancen hat prim zu sein (siehe jedoch später). Allen
Pseudoprimzahltest ist gemeinsam, dass wenn sie False ergeben, die Zahl mit Sicherheit
zusammenngesetzt ist, und bei True nichts gefolgert werden kann.
Die zweite Klasse wird von den echten Primzahltests gebildet. Diese Test geben immer eine korrekte Antwort, können aber bei Zahlen, die zu vielen Basen pseudoprim sind, wenigerezient sein als die Pseudoprimzahltests, besonders aber dann, wenn sie echte Primzahlensind. Etliche Programme führen nur Pseudoprimzahltests aus. So lässt der Name der entsprechenden Funktion (zum Beispiel isprime) den Anwender glauben, es handele sich um

120

6.2. Primzahltests
einen (echten) Primzahltest. Sage bietet zwei verschiedene Funktionen, den Pseudoprimzahltest is_pseudoprime und den Primzahltest i_prime.

sage: p = previous_prime(2^400)
sage: timeit('is_pseudoprime(p)')
625 loops, best of 3: 603 µs per loop
sage: timeit('is_prime(p)')
5 loops, best of 3: 318 ms per loop
Wir sehen an diesem Beispiel, dass der Primzahltest sehr viel aufwendiger ist; wenn möglich,werden wir is_pseudoprime vorziehen.
Bestimmte Test-Algorithmen liefern ein Zertikat , das unabhängig veriziert werden kann,was oft ezienter ist als der Test selbst. Sage liefert in der aktuellen Version ein solches
Zertikat noch nicht, doch mit dem Satz von Pocklington können wir eines erzeugen:√Satz. Sei n > 1 eine ganze Zahl, sodass n − 1 = F R mit F ≥ n. Wenn für jeden Primfaktorn−1

von F ein a existiert, sodass ap−1 ≡ 1 mod n gilt, und a p − 1 teilerfremd zu n ist, dann ist
n eine Primzahl.
Sei beispielsweise n = 231 − 1. Die Zerlegung von n − 1 ist 2 · 32 · 7 · 11 · 31 · 151 · 331. Wir
können F = 151 · 331 nehmen. a = 3 passt zu den beiden Faktoren p = 151 und p = 331. Nunreicht der Nachweis hin, dass 151 und 331 prim sind. Dieser Test macht intensiven Gebrauch
von der modularen Potenzierung.

Carmichael-Zahlen
Die Carmichael-Zahlen sind zusammengesetzte ganze Zahlen, die zu allen Basen
pseudoprim sind. Der kleine fermatsche Satz erlaubt nicht, sie von Primzahlen zu
unterscheiden, wieviele Basen auch probiert werden. Die kleinste Carmichael-Zahl ist
561 = 3 · 11 · 17. Eine Carmichael-Zahl hat mindestens drei Primfaktoren. In der Tat,
wenn wir annehmen, n = pq sei eine Carmichael-Zahl mit p, q prim und p < q , dannhaben wir nach Denition der Carmichael-Zahlen für jedes a, das (Z/pZ) erzeugt,
die Gleichung an−1 ≡ 1 modulo n und dann auch modulo q , was impliziert, dassn − 1 ein Vielfaches von q − 1 ist, was mit n = pq wegen p < q aber nicht vereinbar
ist. Haben wir jedoch n = pqr, dann genügt an−1 ≡ 1 mod p - ebenso mit q und r und wir erhalten mit dem chinesischen Restsatz an−1 ≡ 1 mod n. Eine hinreichende
Bedingung ist, dass n − 1 ein Vielfaches von p − 1, q − 1 und r − 1 ist.

sage: [560 % (x-1) for x in [3, 11, 17]][0, 0, 0]Übung 19. Schreiben Sie in Sage eine Funktion, die die Carmichael-Zahlen n = pqr ≤ N
zählt mit verschiedenen Primzahlen p, q, r. Wieviele nden Sie für N = 104 , 105 , 106 , 107 ?
(Richard Pinch hat 20138200 Carmichael-Zahlen unterhalb 1021 gezählt.)

Um eine Operation auf einem Intervall von Primzahlen auszuführen, ist es besser, mit derKonstruktion prime_range zu arbeiten, die mit einem Sieb eine Primzahlliste liefert, statteine Schleife mit next_probable_prime oder next_prime zu verwenden.

121

6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie
sage: def count_primes1(n):....:return add([1 for p in range(n+1) if is_prime(p)])
sage: timeit('count_primes(10^5)')
5 loops, best of 3: 556 ms per loop
Die Funktion ist mit is_pseudoprime schneller als mit is_prime:

sage: def count_primes2(n):....:return add([1 for p in range(n+1) if is_pseudoprime(p)])
sage: timeit('count_primes2(10^5)')
5 loops, best of 3: 204 ms per loop
In nächsten Beispiel erweist es sich als besser, eine Schleife zu verwenden, die es vermeidet,
eine Liste mit 105 Elementen zu erzeugen, und auch hier ist is_pseudoprime schneller als
is_prime:

sage: def count_prime3(n):....:s = 0; p = 2....:
while p <= n: s += 1; p = next_prime(p)....:return s
sage: timeit('count_prime3(10^5)')
5 loops, best of 3: 67.4 ms per loop
sage: def count_prime4(n):....:s = 0; p = 2....:
while p <= n: s += 1; p = next_probable_prime(p)....:return s
sage: timeit('count_prime4(10^5)')
5 loops, best of 3: 53.2 ms per loop
Noch schneller geht es mit prime_range:

sage: def count_prime5(n):
....:
s = 0
....:
for p in prime_range(n): s += 1....:
return s
sage: timeit('count_prime5(10^5)')25 loops, best of 3: 4.7 ms per loop

6.3. Faktorisierung und diskreter Logarithmus
Wir sagen, eine ganze Zahl a ist ein Quadrat - oder ein quadratischer Rest - modulo n, wenn
ein x existiert mit 0 ≤ x < n, sodass a ≡ x2 mod n ist. Andernfalls sagen wir, a ist keinquadratischer Rest modulo n. Ist n = p eine Primzahl, kann dieser Test dank der Berechnung
des Jacobi-Symbols von a und p, geschrieben (a|p), das die Werte {-1,0,1} annehmen kann,ezient entschieden werden, Dabei bedeutet (a|p) = 0, dass a ein Vielfaches von p ist, und(a|p) = 1 (bzw. (a|p) = −1), dass a ein quadratischer Rest modulo p ist (bzw. nicht ist).
Die Komplexität der Berechnung des Jacobi-Symbols (a|n) ist im wesentlichen die gleichewie die der Berechnung des ggT von a und n, nämlich O(M (l) log l), wobei l die Gröÿe
von n ist und M (l) der Aufwand für das Produkt der beiden ganzen Zahlen der Gröÿe l. Alle
Implementierungen des Jacobi-Symbols - wie auch des ggT - haben etwa dieselbe Komplexität(a.jacobi(n) berechnet (a|n)):122

6.3. Faktorisierung und diskreter Logarithmus
sage: p = (2^42737+1)//3; a = 3^42737
sage: timeit('a.gcd(p)')
125 loops, best of 3: 3.6 ms per loop
sage: timeit('a.jacobi(p)')
125 loops, best of 3: 3.59 ms per loop
Wenn n zusammengesetzt ist, ist die Suche nach den Lösungen von x2 ≡ a mod n genauso
schwierig wie die Zerlegung von n. In jedem Fall gibt das Jacobi-Symbol, das relativ leicht zu
berechnen ist, eine Teil-Information. Ist nämlich (a|n) = −1, gibt es keine Lösung, denn füreine Lösung muss (a|p) = 1 für alle Primfaktoren p von n gelten.

Der diskrete Logarithmus. Seien n eine natürliche Zahl, g ein

Generator der multiplika-

tiven Gruppe modulo n und a teilerfremd zu n mit 0 < a < n. Da g nach Voraussetzung ein
Generator ist, gibt es eine ganze Zahl x, sodass g x = a mod n. Das Problem des diskreten
Logarithmus besteht darin, eine solche ganze Zahl x zu nden. Die Methode log erlaubt das
Problem zu lösen:sage: p = 10^10+19; a = mod(17,p); a.log(2)6954104378
sage: mod(2,p)^6954104378;
17
Die besten bekannten Algorithmen zur Berechnung eines diskreten Logarithmus sind vongleicher Komplexitätsordnung - als Funktion der Gröÿe von n - wie diejenigen zur Zerlegung
von n. Die aktuelle Implementierung in Sage ist durchaus annehmbar:

sage: p = 10^20+39; a = mod(17,9)
sage: time r = a.log(3)Time: CPU 0.54 s, Wall: 1.00 s

Aliquot-Folgen (Inhaltsketten)
Die einer natürlichen Zahl n zugeordnete Aliquot-Folge ist die rekursiv denierte
Folge (sk ) mit s0 = n und sk+1 = σ(sk ) − sk , wobei σ(k) die Summe der Teiler vonsk ist, d.h. sk+1 ist die Summe der echten Teiler von sk , also ohne sk selbst. Wir
halten die Iteration an, sobald sk = 1 ist - dann ist sk−1 prim - oder wenn die Folge(sk ) einen Zyklus beschreibt. Ausgehend von n = 30 erhalten wir beispielsweise:30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1.
Hat der Zyklus die Länge eins, nennen wir die entsprechende Zahl vollkommen , sosind zum Beispiel 6 = 1+2+3 und 28 = 1+2+4+7+14 vollkommene Zahlen. Wenn
der Zyklus die Länge zwei hat, nennen wir die beiden Zahlen befreundet , wie 220
und 284. Hat der Zyklus die Länge drei oder mehr, heiÿen die den Zyklus bildenden
Zahlen gesellig .

Übung 20. Berechnen Sie die mit 840 beginnende Inhaltskette, geben Sie die 5 Primzahlen

und die letzten 5 Elemente aus, und zeichnen Sie den Graphen von log10 sk als Funktion vonk (Sie können mit der Funktion sigma arbeiten).

1236. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie

6.4. Anwendungen6.4.1. Die Konstante δ

Die Konstante δ ist eine zweidimensionale Verallgemeinerung der Konstanten γ von Euler. Sie
ist deniert wie folgt:!
nX1
δ = lim− log n ,
(6.1)
n→∞
πrk2
k=2

wobei rk der Radius der kleinsten Scheibe der anen √Ebene R2 ist, die mindestens
k Punkte
√
2
2/2
,
r
=
1
,
r
=
5/2
,
r
aus Z enthält,
zum
Beispiel
r
=
1/2
,
r
=
r
=
5
6
7 = 5/4,2
3
4√
r8 = r9 = 2:Übung 21(Konstante von Masser-Gramain)

1. Schreiben Sie eine Funktion, die als Eingabe eine natürliche Zahl k erhält und den Radius
rk und den Mittelpunkt (xk , yk ) einer kleinsten
Scheibe zurückgibt, die mindestens kp
2
Punkte aus Z enthält. Wir nehmen rk < k/π an.
2. Schreiben Sie eine Funktion, die den Kreis mit dem Zentrum (xk , yk ) und dem Radius
rk mit m ≥ k Punkten in Z2 zeichnet - wie oben zu sehen.
3. Berechnen Sie im Rahmen vonrp√π(k − 6) + 2 − 2
k−1< rk <ππeine Näherung von δ mit einer Fehlerschranke von 0.3.

124

(6.2)

6.4. Anwendungen6.4.2. Berechnung mehrfacher Integrale durch rationale Rekonstruktion

Diese Anwendung ist durch den Artikel [Bea09] inspiriert. Seien k und n1 , n2 , . . . , nk natürliche
Zahlen oder null. Wir wollen das IntegralZ
xn1 1 xn2 2 · · · xnk k dx1 dx2 · · · dxk
Vberechnen, wobei der Integrationsbereich durch V = {x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xk ≥ 0, x1 + . . . + xx ≤ 1}deniert ist. Wir erhalten beispielsweise für k = 2, n1 = 3, n2 = 5 den Wert

Z 1/2 Z 1−x2
I=
x2 =0

x1 =x2x31 x52 dx1 dx2 =13.
258048Übung 22. Unter der Annahme, dass I rational ist, soll ein Algorithmus erstellt werden,

der mit rationaler Rekonstruktion und/oder dem chinesischen Restsatz arbeitet, um I zu
berechnen. Man implementiere diesen Algorithmus in Sage und wende ihn an auf den Fall

[n1 , . . . , n31 ] = [9, 7, 8, 11, 6, 3, 7, 6, 6, 4, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0].

1257. Polynome
Dieses Kapitel ist den Polynomen mit einer Unbestimmten und verwandten Objekten gewidmet, im wesentlichen den gebrochen rationalen Ausdrücken und den formalen Potenzreihen.
Zu Anfang werden wir sehen, wie mit Sage zum Beispiel die euklidsche Polynomdivision ausgeführt wird, die Zerlegung in irreduzible Polynome, das Ziehen von Wurzeln oder die Zerlegung
von gebrochen rationalen Ausdrücken in einfache Elemente. Dies erfolgt unter Beachtung desRinges oder des Körpers, zu dem die Koezienten der betrachteten Polynome gehören: Sageerlaubt uns das Rechnen auf den Polynomringen A[x], deren Quotienten A[x]/ < (P (x) >,den Körpern der gebrochen rationalen Terme K(x) oder auch den Ringen der formalen Potenzreihen A[[x]] für eine ganze Palette von Basisringen.
Die Operationen auf den Polynomen haben aber auch überraschende Anwendungen. Wie errät
man automatisch den nächsten Term der Folge

1, 1, 2, 3, 8, 11, 39, . . . ?
Beispielsweise mit der Padé-Approximation von gebrochen rationalen Funktionen, was in Unterabschnitt 7.4.3 gezeigt wird! Wie werden die Lösungen der Gleichung exf (x) = f (x) mühelos
in eine Reihe entwickelt? Die Antwort ndet man im Unterabschnitt 7.5.3.
Generell stellen wir uns vor, dass der Leser mit rationalen und gebrochen rationalen Ausdrücke
auf dem Niveau einer universitären Veranstaltung für das erste Studienjahr umgehen kann.
Darüber hinaus bringen wir auch einige anspruchsvollere Themen zur Sprache. (Wie beweist
man, dass die Lösungen der Gleichung x5 − x − 1 = 0 sich nicht mit Wurzeln ausdrücken
lassen? Es reicht hin, seine Galois-Gruppe zu berechnen wie in Unterabschnitt 7.3.4 erklärt.)Die entsprechenden Passagen werden später im Buch nicht gebraucht, und der Leser mag sie
schadlos überspringen. Schlieÿlich enthält das Kapitel etliche Beispiele für die Manipulation
algebraischer und p-adischer Zahlen.
Die Polynome mit mehreren Unbestimmten sind ihrerseits Gegenstand des 9. Kapitels.

7.1. Polynomringe
7.1.1. Einführung

In Kapitel 2 haben wir gesehen. wie Rechnungen mit symbolischen Ausdrücken , den Elementen
des symbolischen Ringes SR ausgeführt werden. Einige der auf diese Ausdrücke anwendbaren
Methoden, zum Beispiel degree gelten für Polynome:

sage: x=var('x'); p = (2*x+1)*(x+2)*(x^4-1)
sage: print(p, 'ist vom Grad', p.degree(x))(x+2)*(2*x+1)*(x^4-1) ist vom Grad 6
In manchen CAS wie Maple oder Maxima ist die Darstellung der Polynome als symbolische
Ausdrücke die normale Art für ihre Bearbeitung. Nach dem Vorbild von Axiom, Magma oder127

7. Polynome
MuPAD1 erlaubt Sage auch, Polynome mehr algebraisch zu behandeln und kann auf Ringen
wie Q[x] oder Z/4Z[x, y, z] rechnen.
So weisen wir der Python-Variablen x die Unbestimmte des Polynomringes in x mit rationalen Koezienten zu, die durch polygen(QQ, 'x') statt der durch var('x') zurückgegebenen2 symbolischen Variablen x zu, um das vorstehende Beispiel dadurch zu reproduzieren,dass wir auf einem wohldenierten Polynomring arbeiten.

sage: x = polygen(QQ, 'x'); p = (2*x+1)*(x+2)*(x^4-1)
sage: print p, 'ist vom Grad', p.degree()
2*x^6 + 5*x^5 + 2*x^4 - 2*x^2 - 5*x - 2 ist vom Grad 6
Zu beachten ist, dass das Polynom automatisch entwickelt wird. Die algebraischen Polynome
werden immer in Normalform dargestellt. Das ist ein wesentlicher Unterschied im Vergleich zu
Polynomem aus SR. Insbesondere ist die Darstellung zweier mathematisch gleicher Polynome
im Rechner die gleiche, und ein Koezientenvergleich genügt für die Prüfung auf Gleichheit.
Die Möglichkeiten des Rechnens mit algebraischen Polynomen sind vielfältiger als die mit
polynomialen Ausdrücken.
7.1.2. Erzeugung von Polynomringen

In Sage haben Polynome wie viele andere algebraische Objekte im allgemeinen Koezienten
aus einem kommutativen Ring. Diesen Standpunkt nehmen wir ein, doch die meisten unserer
Beispiele betreen Polynome auf Körpern. Im ganzen Kapitel bezeichnen die Buchstaben A
und K einen kommutativen Ring bzw. einen beliebigen Körper.
Die erste Etappe zur Durchführung einer Rechnung in einer algebraischen Struktur R ist oft
die Erzeugung von R selbst. Wir erzeugen Q[x] mit

sage: R = PolynomialRing(QQ, 'x')
sage: x = R.gen()
Manipulation von Polynomringen R = A[x]Erzeugung (voll besetzt)

Z[x], Q[x], R[x], Z/nZ[x]Erzeugung (dünn besetzt)
Zugri auf den Basisring A
Zugri auf die Variable x
Prüfungen(ganzzahlig, noethersch, ...)

R.<x> = A[] oder R.<x> = PolynomialRing(A, 'x')
ZZ['x'], QQ['x'], RR['x'], Integers(n)['x']R.<x> = PolynomialRing(A, 'x', sparse=True)
R.base_ring()
R.gen() oder R.0
R.is_integral_domain(), R.is_noetherian(), ...
Tab. 7.1 - Polynomringe

Das 'x' in der ersten Zeile ist eine Zeichenkette, der Name der Unbestimmten oder der Generator des Ringes. Das x der zweiten Zeile ist eine Python-Variable, in der wir den Generator
wiedernden; die Verwendung des gleichen Namens verbessert die Lesbarkeit des Codes. Das
so in der Variablen x gespeicherte Objekt repräsentiert das Polynom x ∈ Q[x]. Als Vorfahr(in Sage ist der Vorfahr eines Objektes die algebraische Struktur aus der es stammt, siehe
Abschnitt 5.1) hat es den Ring QQ['x']:
1
2

MuPAD ist inzwischen an Mathworks Inc. (MATLAB) verkauft worden.
Ein kleiner Unterschied: wenn var('x') die gleiche Wirkung hat wie x
Verwendung, dann ändert polygen(QQ,

128= var('x') bei der interaktiven'x') ohne Zuweisung den Wert der Python-Variablen x nicht.

7.1. Polynomringe
sage: x.parent()
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Polynome mit polynomialen Koezienten
In Sage können wir Ringe von Polynomen denieren, deren Koezienten wiederum Polynome aus einem beliebigen kommutativen Ring sind - einschlieÿlich einem
anderen Polynomring. Doch Vorsicht, Ringe des nach diesem Verfahren gebildeten
Typs A[x][y] sind von den echten Polynomringen mit mehreren Variablen wie A[x, y]verschieden. Die letzteren, die in Kapitel 9 vorgestellt werden, sind für die gängigen
Rechnungen besser geeignet. Tatsächlich gleicht die Arbeit mit A[x][y] . . . oft einem
Spiel mit Unbestimmten sehr unsymmetrischen Verhaltens.
Dennoch möchten wir gelegentlich eine Variable bevorzugen und die anderen als
Parameter behandeln. Die Methode polynomial der multivariaten Polynome erlaubt
die Isolation einer Variablen, etwa wie die Methode collect der Ausdrücke. Hier
als Beispiel die Berechnung des reziproken Polynoms eines hinsichtlich einer seiner
Unbestimmten gegebenen Polynoms:
sage: R.<x,y,z,t> = QQ[]; p = (x+y+z*t)^2
sage: p.polynomial(t).reverse()(x^2 + 2*x*y + y^2)*t^2 + (2*x*z + 2*y*z)*t + z^2
Hier erzeugt p.polynomial(t) ein Polynom mit der einzigen Unbestimmten t undKoezienten aus QQ[x,y,z], auf welches wir dann die Methode reverse anwenden.
Die übrigen Konversionen zwischen A[x, y, . . .] und A[x][y] . . . funktionieren wie erwartet:
sage: x = polygen(QQ); y = polygen(QQ[x], 'y')sage: p = x^3 + x*y + y + y^2; py^2 + (x + 1)*y + x^3
sage: q = QQ['x,y'](p); qx^3 + x*y + y^2 + ysage: QQ['x']['y'](q)y^2 + (x + 1)*y + x^3
Das Polynom x ∈ Q[x] wird zugleich als verschieden angesehen von den Polynomen derIdentität x ∈ A[x], vom Basisring A 6= Q und von denen, deren Unbestimmte einen anderen
Namen hat wie t ∈ Q[t].

sage: x = PolynomialRing(QQ, 'x').gen()Bei dieser Gelegenheit sei darauf hingewiesen, dass wir aus mehreren Darstellungsweisen im
Speicher wählen können, wenn wir einen Polynomring erzeugen. Die Unterschiede zwischen
den Darstellungsweisen werden in Abschnitt 7.6 diskutiert werden.
Übung 23 (Variable und Unbestimmte).

1. Wie sind x und y zu denieren, um folgende Ergebnisse zu beobachten?

sage: x^2 + 1y^2 + 1
sage: (y^2 + 1).parent()
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

129

7. Polynome
2. Welchen Wert besitzt p nach den Anweisungensage: Q.<x> = QQ[]; p = x + 1; x = 2; p = p + x
7.1.3. Polynome

Nach der Anweisung R.<x> = QQ[] sind die mit x undrationalen Konstanten und mit + und ∗ gebildeten Ausdrücke Elemente von Q[x]. Beispielsweise legt Sage bei p = x + 2 automatisch fest, dass der Wert der Variablen x und die Zahl
2 beide als Elemente von Q[x] interpretiert werden können. Daher wird die Additionsroutine
von Q[x] aufgerufen; sie liefert das Polynom x + 2 ∈ Q[x].
Erzeugung und einfache Arithmetik.

Eine andere Möglichkeit der Erzeugung eines Polynoms besteht aus der Auistung seiner
Koezienten:

sage: def turm_polynomial(n, var='x'):....:
return ZZ[var]([binomial(n, k)^2*factorial(k) for k in (0..n)])
Diese Funktion erzeugt Polynome, bei denen der Koezient von xk als Anzahl der Möglichkeiten interpretiert wird, k Türme auf einem Schachbrett so aufzustellen, dass sie sich nicht
bedrohen - daher der Name. Die Klammern nach ZZ[var] dienen der Umwandlung eines gegebenen Objektes in ein Element dieses Ringes. Die Konversion einer Liste [a0 , a1 , . . .] in ein
Element von ZZ['x'] gibt das Polynom a0 + a1 x + . . . ∈ Z[x] zurück.
Zugri auf Daten, syntaktische Operationen
Unbestimmte xk
Koezient von xführender Koezient
Grad
Liste der Koezienten
Liste der von null verschiedenen Koezienten
Diktionär Grad 7→ Koezient
Prüfungen (unitär, konstant, . . . )p.variables(), p.variable_name()p[k]p.leading_coefficient()
p.degree()p.coeffs()
p.coefficients()
p.dict()p.is_monic(), p,is_constant, ...

einfache ArithmetikkOperationen p + q , p − q , p × q , p

Substitution x := aAbleitungp + q, p - q, p*q, p^kp(a) oder p.subs(a)p.derivative() oder diff(p)Transformationen
Transformation der Koezienten
Wechsel des Basisrings A[x] 7→ B[x]reziprokes Polynom

p.map_coefficients(f)p.change_ring(B) oder B['x'](p)p.reverse()

Tab. 7.2 - einfache Operationen mit den Polynomen p, q ∈ A[x].

Übersicht über die Menge der Operationen auf Polynomen. Die Elemente eines Poly-

nomringes werden als Python-Objekte der Klasse Polynomial oder abgeleiteter Klassen dargestellt. Die wichtigsten verfügbaren Operationen3 auf diesen Objekten sind in den Tabellen
3

Davon gibt es noch viel mehr. Die Tabellen führen keine zu sehr zugespitzte Funktionalitäten auf, keine
stärker spezialisierten Varianten der erwähnten Methoden und auch nicht viele der Methoden, die allen
Elementen von Ringen gemeinsam sind, auch keine Sage-Objekte, die für Polynome nicht von besonderem
Interesse sind. Wir weisen jedoch darauf hin, dass die speziellen Methoden (zum Beispiel p.rescale(a),das zu p(a*x) äquivalent ist), oftmals ezienter sind als die mehr generellen Methoden, die sie ersetzen
können.

130

7.1. Polynomringe
7.2 bis 7.5 zusammengestellt. So ndet man den Grad eines Polynoms durch Aufruf seiner Methode degree. Ebenso ergibt p.subs(a) oder einfach p(a) den Wert von p im Punkt a, dientaber auch zur Berechnung der Komposition p ◦ a, wenn a selbst ein Polynom ist, und, nochallgemeiner, der Auswertung eines Polynoms aus A[x] in einem Element einer A-Algebra:

sage: R.<x> = QQ[]
sage: p = R.random_element(degree=4) # ein zufälliges Polynom
sage: p1/2*x^4 - x^3 + 1/4*x^2 - 5/4*x - 1/2
sage: p.subs(x^2)
1/2*x^8 - x^6 + 1/4*x^4 - 5/4*x^2 - 1/2 sage: p.subs(matrix([[1,2],[3,4]]))[125/291][273/2 199]
Auf den Inhalt der beiden letzten Tabellen kommen wir in Unterabschnitt 7.2.1 und Abschnitt
7.3 zurück.
Die exakte Liste der verfügbaren Operationen, ihr Eekt und ihreEzienz hängen stark vom Basisring ab. Beispielsweise besitzen die Polynome aus ZZ['x']eine Methode content, die ihren Inhalt zurückgibt, d.h. den ggT ihrer Koezienten; die von
QQ['x'] aber nicht, weil die Operation trivial ist. Die Methode factor existiert für alle Polynome, wirft aber eine Exzeption NotImplementedError bei einem Polynom mit Koezienten
aus SR oder aus Z/4Z. Diese Exzeption bedeutet, dass diese Operation für diesen Objekttypin Sage nicht zur Verfügung steht, obwohl sie einen mathematischen Sinn hat.
Wechsel des Ringes.

Daher ist es sehr angenehm, mit den verschiedenen Ringen von Koezienten jonglieren zu
können, auf denen wir dasselbe Polynom betrachten können. Angewendet auf ein Polynom
aus A[x] gibt die Methode change_ring sein Bild in B[x] zurück, wenn eine Methode zur
Konversion der Koezienten existiert. Oft geschieht die Konversion durch einen kanonischen
Morphismus von A nach B : insbesondere dient change_ring zur Erweiterung des Basisrings,
um zusätzliche algebraische Eigenschaften anzubringen. In diesem Beispiel ist das Polynom
irreduzibel auf den ganzen Zahlen, wird aber auf R faktorisiert:

sage: x = polygen(QQ)
sage: p = x^2 - 16*x + 3
sage: p.factor()x^2 - 16*x + 3
sage: p.change_ring(RDF).factor()(x - 15.810249675906654) * (x - 0.18975032409334563)
RDF ist die Menge der Maschinenzahlen, die in Kapitel 11 vorgestellt werden. Die erhaltene
Zerlegung ist nur eine Näherung, mit ihr kann das Ausgangspolynom nicht exakt rekonstruiert
werden. Zu einer solchen Darstellung der reellen Wurzeln von Polynomen mit ganzzahligen
Koezienten, die exakte Rechnungen erlaubt, verwenden wir die Menge AA der algebraischenreellen Zahlen. In den folgenden Abschnitten werden wir einige Beispiel sehen.
Die Methode change_ring ermöglicht auch die Reduktion eines Polynoms aus Z[x] modulo
einer Primzahl:

sage: p.change_ring(GF(3))
x^2 + 2*x131

7. Polynome
Wenn umgekehrt B ⊂ A ist und die Koezienten von p in B liegen, dann ist es wieder
change_ring, womit wir p nach B[x] zurückholen.
Zuweilen müssen wir eine Transformation auf alle Koezienten eines Polynoms
anwenden. Dazu ist die Methode map_coefficients da. Wird sie auf ein Polynom A[x] mit
einer Funktion f als Parameter angewendet, gibt sie das eingegebene Polynom zurück, nachdem die Funktion f auf jeden von null verschiedenen Koezienten von p angewendet worden
ist. Meistens ist f eine mit der Konstrultion lambda eingeführte anonyme Funktion (siehe
Unterabschnitt 3.3.2). Hier ein Beispiel, wie die Konjugierte eines Polynoms mit komplexen
Koezienten zu berechnen ist:
Iteration.

sage: QQi.<myI> = QQ[I] # myI ist das i von QQi, I dasjenige von SR
sage: R.<x> = QQi[]; p = (x + 2*myI)^3; px^3 + 6*I*x^2 - 12*x - 8*I
sage: p.map_coefficients(lambda z: z.conjugate())
x^3 - 6*I*x^2 - 12*x + 8*I
Im vorliegenden Fall können wir auch schreiben p.map_coefficients(conjugate), denn fürz ∈ Q hat conjugate(z) die gleiche Wirkung wie z.conjugate. Der explizite Aufruf einer Methodes des Objektes z ist sicherer: der Code funktioniert so mit allen einer Methodeconjugate() übergebenen Objekten und nur dort.
Teilbarkeit und euklidsche Division
Prüfung auf Teilbarkeit p | qkMultiplizität eines Teilers q | peuklidsche Division p = qd + rkPseudodivision a p = qd + rgröÿter gemeinsamer Teiler
kleinstes gemeinsames Vielfaches
erweiterter ggT g = up + vq
chinesische Reste c ≡ a mod p

p.divides(q)k = p.valuation(q)q, r = p.quo_rem(d) oder q = p//d, r = p%dq, r, k = p.pseudo_divrem(d)p.gcd(q) oder gcd([p1, p2, p3])
p.lcm(q) oder lcm([p1, p2, p3])
g, u, v = p.xgcd(q) oder xgcd(p,q)
c = crt(a, b, p, q)c ≡ p mod q
Verschiedenes
Interpolation p(xi ) = yiInhalt von p ∈ Z[x]p = R.lagrange_polynomial([(x1,y1), ...])
p.content()

Tab. 7.3 - Arithmetik der Polynome

7.2. Euklidsche Arithmetik
Nach Summe und Produkt sind hier die elementarsten Operationen die euklidsche Division
und die Berechnung des gröÿten gemeinsamen Teilers (ggT). Die entsprechenden Operatoren
und Methoden (Tab. 7.3) ähneln denjenigen der ganzen Zahlen. Doch oft sind diese Operationen unter einer Decke zusätzlicher mathematischer Abstraktion verborgen: Quotienten vonRingen (Unterabschnitt 7.2.2), wo jede arithmetische Operation eine implizite euklidsche Division enthält, oder gebrochen rationale Ausdrücke, zu deren Normierung der ggT berechnet
wird usw.

132

7.2. Euklidsche Arithmetik
7.2.1. Teilbarkeit

Die euklidsche Division funktioniert auf einem Körper, und allgemeiner auf einem kommutativen Ring. Wenn der führende Koezient des Divisors invertierbar ist, dann ist dieser
Koezient das einzige Element des Basisringes, durch den bei der Berechnung zu dividieren
ist:Operationen auf Polynomringen
Die Vorfahren polynomialer Objekte, die Ringe A[x], sind ihrerseits vollwertige SageObjekte. Schauen wir kurz, wozu sie dienen können.
Eine erste Familie von Methoden erlaubt die Bildung von interessanten Polynomen,
ihre zufällige Auswahl oder die Auistung ganzer Familien von Polynomen; dies hiersind alle Polynome zweiten Grades auf F2 :sage: list(GF(2)['x'].polynomials(of_degree=2))[x^2, x^2 + 1, x^2 + x, x^2 + x + 1]
Einige dieser Methoden werden wir in den folgenden Beispielen aufrufen, um Objektezu erzeugen, mit denen wir arbeiten. Das 15. Kapitel erklärt in gröÿerer Allgemeinheit, wie Elemente endlicher Mengen in Sage aufgezählt werden.
Zweitens kennt das System einige Fakten zu jedem Polynomring. Wir können testen, ob ein gegebenes Objekt ein Ring ist, ob es noethersch ist:
sage: A = QQ['x']sage: A.is_ring() and A.is_noetherian()Trueoder auch, ob Z ein Unterring von Q[x] ist, und für welche Werte von n der Ring
Z/nZ integral ist.
sage: ZZ.is_subring(A)Truesage: [n for n in range(20)....:if Integers(n)['x'].is_integral_domain()][0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]Diese Möglichkeiten beruhen weitgehend auf dem System von Kategorien von Sage(siehe auch Unterabschnitt 5.2.3). Die Polynomringe sind Glieder einer bestimmten
Zahl von Kategorien, wie der Kategorie der Mengen, der Kategorie der euklidschen
Ringe und einiger anderer:
sage: A.categories()[Join of Category of euclidean domains and Category of commutative...
Category of sets with partial maps, Category of objects]
Das spiegelt wider, dass jeder Polynomring auch eine Menge ist, ein euklidscher
Ring und so fort. Das System kann die allgemeinen Eigenschaften der Objekte dieser
verschiedenen Kategorien auf die Polynomringe automatisch übertragen.

sage: R.<t> = Integers(42)[]; (t^20-1) % (t^5+8*t+7)
22*t^4 + 14*t^3 + 14*t + 6
Da der führende Koezient nicht invertierbar ist, können wir eine euklidsche Pseudodivisiondenieren: seien A ein kommutativer Ring, p, d ∈ A[x] und a der führende Koezient von133

7. Polynomed. Dann existieren zwei Polynome q, r ∈ A[x] mit deg(r) < deg(d) und eine ganze Zahlk ≤ deg(p) − deg(d) + 1, sodass gilt
ak p = qd + r.
Die euklidsche Pseudodivision ist gegeben durch pseudo_divrem.
Um eine exakte Division auszuführen, verwendet man ebenfalls den euklidschen Divisionsoperator //. Tatsächlich gibt die Division durch ein nicht konstantes Polynom mit / ein Resultat
gebrochen-rationalen Typs zurück, was scheitert, weil es keinen Sinn ergibt:

sage: ((t^2+t)//t).parent()
Univariate Polynomial Ring in t over Ring of integers modulo 42
sage: (t^2+t)/t
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
TypeError: self must be an integral domain.

Übung 24. Normalerweise werden Polynome aus Q[x] in Sage mit der monomialen Basis(xn )n∈N dargestellt. Die durch Tn (cos θ) = cos(nθ) denierten Tschebyschow-Polynome bilden eine Familie von orthogonalen Polynomen und somit eine Basis von Q[x]. Die ersten
Tschebyschow-Polynome sind

sage: x = polygen(QQ); [chebyshev_T(n, x) for n in (0..4)][1, x, 2*x^2 - 1, 4*x^3 - 3*x, 8*x^4 - 8*x^2 + 1]
Schreiben Sie eine Funktion, der als Argument ein Element aus Q[x] übergeben wird undwelche die Koezienten der Zerlegung zur Basis (Tn )n∈N zurückgibt.

Übung 25. (Division nach wachsenden Potenzen). Seien n ∈ N und u, v ∈ A[x] mit invertier-barem v[0]. Dann existiert eindeutig ein Paar (q, r) von Polynomen aus A[x] mit deg(q) ≤ n,sodass gilt u = qv + xn+1 r. Schreiben Sie eine Funktion, die q und r mit einem Analogon zum
Algorithmus der euklidschen Division berechnet. Wie ist diese Rechnung mit existierenden
Funktionen am einfachsten zu machen?
Sage kann den ggT von Polynomen auf einem Körper dank der euklidschen Struktur
von K[x] berechnen, aber auch auf bestimmten anderen Ringen wie den ganzen Zahlen:
ggT.

sage: S.<x> = ZZ[]; p = 2*(x^10-1)*(x^8-1)
sage: p.gcd(p.derivative())
2*x^2 - 2
Wir können den mehr symmetrischen Ausdruck gcd(p,q) vorziehen, der das gleiche Resultat
liefert wie p.gcd(q). Er ist in Sage allerdings nicht ganz so natürlich, denn das ist keinallgemeiner Mechanismus: die von gcd(p,q) aufgerufene Routine ist eine Funktion mit zwei
Argumenten, die im Quellcode von Sage manuell deniert ist und ihrerseits p.gcd aufruft.
Nur ein paar der üblichen Methoden besitzen eine solche zugeordnete Funktion. Der erweiterteggT (engl. extended greatest common divisor ), d.h. die Berechnung einer Bézout-Identität

g = ggT(p, q) = ap + bq,
wird durch p.xgcd(q) geliefert:

134

g, p, q, a, b ∈ K[x]7.2. Euklidsche Arithmetik
sage: R.<x> = QQ[]; p = x^5-1; q = x^3-1
sage: print 'Der ggT ist %s = (%s)*p + (%s)*q.' % p.xgcd(q)Der ggT ist x - 1 = (-x)*p + (x^3 + 1)*q.
Die Methode xgcd existiert auch für Polynome aus ZZ['x'], aber Vorsicht: da der Ring Z[x]kein Hauptidealring ist, ist das Ergebnis im allgemeinen keine Bézout-Identität!
7.2.2. Ideale und Quotientenringe

Die Ideale der Polynomringe und die Quotientenringe dieser Ideale werden
durch Sage-Objekte dargestellt, die mit ideal und quo aus Polynomringen gebildet werden.
Das Produkt eines Tupels von Polynomen mit einem Polynomring wird als Ideal interpretiert:

Ideale aus A[x].

sage: R.<x> = QQ[]
sage: J1 = (x^2 - 2*x + 1, 2*x^2 + x - 3)*R; J1
Principal ideal (x - 1) of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
Wir können die Ideale multiplizieren und ein Polynom modulo eines Ideals reduzieren:

sage: J2 = R.ideal(x^5 + 2)
sage: ((3*x+5)*J1*J2).reduce(x^10)421/81*x^6 - 502/81*x^5 + 842/81*x - 680/81
In diesem Fall bleibt das reduzierte Polynom ein Element von QQ['x']. Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Quotientenring duch ein Ideal zu bilden und die Elemente darauf zu
projizieren. Dessen Vorfahr ist dann der Quotientenring. Die Methode lift der Elemente desQuotientenrings dient dann dazu, sie wieder in den Ausgangsring zurückzuführen.

sage: B = R.quo((3*x+5)*J1*J2) # quo heiÿt automatisch 'xbar'
sage: B(x^10)# der Generator des Bildes B von x421/81*xbar^6 - 502/81*xbar^5 + 842/81*xbar - 680/81
sage: B(x^10).lift()
421/81*x^6 - 502/81*x^5 + 842/81*x - 680/81
Ist K ein Körper, ist K[x] ein Hauptidealring: Ideale werden bei den Rechnungen durch einen
Generator dargestellt, und all das ist wohl kaum eine besonders algebraische Sprache für die in
Unterabschnitt 7.2.1 gezeigten Operationen. Ihr Hauptverdienst ist, dass die Quotientenringein neuen Konstrktionen mühelos verwendet werden können, hier die von F5 [t]/(t2 + 3) [x]:sage: R.<t> = GF(5)[]; R.quo(t^2+3)['x'].random_element()(2*tbar + 1)*x^2 + (2*tbar + 1)*x + 2*tbar
Sage erlaubt auch die Bildung von Idealen, die keine Hauptidealringe sind wie Z[x], doch sinddie verfügbaren Funktionen begrenzt - auÿer im Fall von Polynomen mit mehreren Unbestimmten auf einem Körper. Das ist Gegenstand von Kapitel 9.

Übung 26. Wir denieren die Folge (u )n n∈N durch die Anfangsbedingungen un = n + 7 für

0 ≤ n < 1000 und die Relation der linearen Rekursion

un+100 = 23un+729 − 5un+2 + 12un+1 + 7un(n ≥ 0).

135

7. Polynome
Berechnen Sie die letzten fünf Ziern von u1010000 . Hinweis: wir können uns durch den Algorithmus in Unterabschnitt 3.2.4 inspirieren lassen. Der braucht aber zu lange, wenn die
Ordnung der Rekursion hoch ist. Führen Sie einen sinnvollen Quotientenring ein, um dieses
Problem zu vermeiden.
Bildung von Idealen und Quotientenringen Q = R/J
Ideal < u, v, w >Reduktion von p modulo J
Quotientenring R/J, R/(p)Q zu einem Quotientenring gemacht
Körper der isomorphen Zahlen

R.ideal(u, v, w) oder (u, v, w)*R
J.reduce(p) oder p.mod(J)R.quo(J), R.quo(p)Q.cover_ring()
Q.number_field()

Elemente von K[x]/perhoben (Schnitt von R → R/J )minimales Polynom
charakteristisches Polynom
MatrixSpuru.lift()u.minpoly()u.charpoly()u.matrix()u.trace()Tab. 7.4 - Ideale und Quotientenringe

Ein wichtiger Sonderfall ist der Quotient von K[x] durch ein
irreduzibles Polynom, um eine algebraische Erweiterung von K zu realisieren. Die Körper
der Zahlen, endliche Erweiterungen von Q, werden durch NumberField-Objekte dargestellt
und sind von Quotienten von QQ['x'] verschieden. Wenn das Sinn macht, gibt die Methodenumber_field eines Quotientenringes von Polynomen den Körper der entsprechenden Zahlen
zurück. Die Schnittstelle des Körpers der Zahlen, der umfangreicher ist als der der Quotientenringe, sprengt den Rahmen dieses Buches. Die als algebraische Erweiterungen der primen
endlichen Körper Fp realisierten zusammengesetzten endlichen Körper Fpk sind im Abschnitt
6.1 beschrieben.
Algebraische Erweiterungen.

7.3. Faktorisierung und Wurzeln
Eine dritte Ebene nach den elementaren Operationen und der euklidschen Arithmetik betrit
die Zerlegung von Polynomen in Produkte irreduzibler Faktoren oder die Faktorisierung. Das
ist vielleicht das Gebiet, wo sich das symbolische Rechnen am nützlichsten erweist.
7.3.1. Faktorisierung

Auf der algebraischen Ebene ist die einfachste Frage, diedie Faktorisierung eines Polynoms betrit, ob es als Produkt zweier nichttrivialer Faktoren
geschrieben werden kann, oder, im Gegenteil, irreduzibel ist. Natürlich hängt die Antwort vom
Basisring ab. Die Methode is_irreducible zeigt, ob ein Polynom auf seinem Vorfahrring
irreduzibel ist. Beispielsweise ist das Polynom 3x2 − 6 auf Q reduzibel, auf Z aber nicht(warum?).
Prüfung auf Irreduzierbarkeit.

sage: R.<x> = QQ[]; p = 3*x^2 - 6
sage: p.is_irreducible(), p.change_ring(ZZ).is_irreducible()(True, False)

1367.3. Faktorisierung und Wurzeln
Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl mit hunderten oder tausenden
von Stellen ist eine sehr schwierige Aufgabe. Dagegen braucht die Faktorisierung eines Polynoms 1000. Grades auf Q oder Fp nur ein paar Sekunden Prozessorzeit4 :Faktorisierung.

sage: p = QQ['x'].random_element(degree=1000)
sage: timeit('p.factor()')
5 loops, best of 3: 5.23 s per loop
Daher endet hier die algorithmische Ähnlichkeit von Polynomen und ganzen Zahlen, die wir inden vorhergehenden Abschnitten beobachten konnten. Genau wie der Test auf Irreduzibilität
ndet die Faktorisierung auf dem Basisring des Polynoms statt. Beispielsweise setzt sich die
Faktorisierung eines Polynoms auf Z aus einem konstanten Teil, der in Primzahlen zerlegt ist,
und einem Produkt von primitiven Polynomen zusammen, die untereinander teilerfremd sind:

sage: x = polygen(ZZ); p = 54*x^4 + 36*x^3 - 102*x^2 - 72*x - 12sage: p.factor()
2 * 3 * (3*x + 1)^2 * (x^2 - 2)
Sage erlaubt die Zerlegung auf verschiedenen Ringen - rationalen, komplexen (näherungsweise), endlichen Körpern und besonders Zahlenkörpern:

sage: for A in [QQ, ComplexField(16), GF(5), QQ[sqrt(2)]]:....:
print A, ':'; print A['x'](p).factor()
Rational Field :(54) * (x + 1/3)^2 * (x^2 - 2)Complex Field with 16 bits of precision :(54.00) * (x - 1.414) * (x + 0.3333)^2 * (x + 1.414)
Finite Field of size 5 :(4) * (x + 2)^2 * (x^2 + 3)
Number Field in sqrt2 with defining polynomial x^2 - 2 :(54) * (x - sqrt2) * (x + sqrt2) * (x + 1/3)^2
Faktorisierung
Test auf Irreduzibilität
Faktorisierungt
quadratfreie Faktorisierungt
0
quadratfreiet Teil p/ggT (p, p )t

p.is_irreducible
p.factor()p.squarefree_decomposition()p.radical()

Wurzeln
Wurzeln in A, in D
reelle Wurzeln
komplexe Wurzeln
Isolation der reellen Wurzeln
Isolation der komplexen Wurzeln
Resultante
DiskriminanteGalois-Gruppe (p irreduzibel)

p.roots(), p.roots(D)p.roots(RR), p.real_roots()
p.roots(CC), p.complex_roots()
p.roots(RIF)
p.roots(CIF)
p.resultant(q)p.discriminant()p.galois_group()

Tab. 7.5 - Faktorisierung und Wurzeln

4Von einem theoretischen Standpunkt können wir in Q[x] in polynomialer Zeit faktorisieren und in Fp [x] inprobabilistisch polynomialer Zeit, währen wir nicht wissen, ob es möglich ist, ganze Zahlen in polynomialer
Zeit zu faktorisieren.

137

7. Polynome
Das Ergebnis einer Zerlegung in irreduzible Faktoren ist kein Polynom (weil Polynome immer
in Normalform sind, d.h. ausmultipliziert!), sondern ein Objekt f des Typs Factorization.
Wir können den i-ten Faktor mit f[i] nden, und wir gewinnen das Polynom mit f.expand()zurück. Die Objekte von Factorization verfügen auch über Methoden wie gcd oder lcm, welche die gleiche Bedeutung haben wie für Polynome, aber auf faktorisierten Formen arbeiten.
Trotz seiner guten theoretischen und praktischen Komplexität ist
die vollständige Faktorisierung eines Polynoms eine komplexe Operation. Die quadratfreie
Zerlegung bildet eine schwächere Form der Zerlegung, viel leichter zu erhalten - einige Berechnungen von ggT genügen - und die schon viel an Information bringt.
Quadratfreie Zerlegung.

Sei p =

r
Q
i=1

i
pm
i ∈ K[x] ein Polynom, das in irreduzible Faktoren auf einem Körper K zerlegt

ist. Wir sagen, p ist quadratfrei (squarefree auf englisch), wenn alle Faktoren pi die Multiplizität mi = 1 haben, d.h. wenn die Wurzeln von p in einem abgeschlossenen Gebiet von K
einfach sind. Eine quadratfreie Zerlegung ist eine Faktorisierung in ein Produkt von quadratfreien Faktoren, die wechseitig teilerfremd sind:Ypi .
p = f1 f22 · · · fss
wobei fm =mi =m

Die quadratfreie Zerlegung ordnet daher die irreduziblen Faktoren von p nach Multiplizitäten.
Der quadratfreie Teil f1 · · · fs = p1 · · · pr von p ist das Polynom aus den einfachen Wurzeln,
das abgesehen von den Multiplizitäten dieselben Wurzeln hat wie p.
7.3.2. Wurzelsuche

Die Berechnung der Wurzeln eines Polynoms lässt viele Varianten zu, je nachdem, ob wir
reelle Wurzeln suchen, komplexe oder andere Wurzeln, exakte oder genäherte, mit oder ohne Multiplizitäten, auf garantierte oder auf heuristische Weise. . . Die Methode roots eines
Polynoms gibt in der Voreinstellung die Wurzeln in seinem Basisring in Form einer Liste vonPaaren (Wurzel, Multiplizität) zurück:

sage: R.<x> = ZZ[]; p = (2*x^2 - 5*x + 2)*(x^4 - 7); p.roots()[(2, 2)]
Mit Argument gibt roots(D) die Wurzeln im Denitionsbereich D zurück, hier erst die rationalen Wurzeln, dann Näherungen der l-adischen Wurzeln für l = 19:

sage: p.roots(QQ)[(2, 2), (1/2, 2)]
sage: p.roots(Zp(19, print_max_terms=3))[(7 + 16*19 + 17*19^2 + ... + O(19^20), 1),(12 + 2*19 + 19^2 + ... + O(19^20), 1),(10 + 9*19 + 9*19^2 + ... + O(19^20), 2),(2 + O(19^20), 2)]
Das funktioniert mit einem breiten Spektrum von Denitionsbereichen und mit unterschiedlicher Ezienz.

138

7.3. Faktorisierung und Wurzeln
Insbesondere erlaubt die Wahl des Körpers der algebraischen Zahlen QQbar für D oder deralgeraischen reellen AA die exakte Berechnung der komplexen oder reelen Wurzeln eines Polynoms mit rationalen Koezienten:

sage: wurzeln = p.roots(AA); wurzeln[(-1.626576561697786?, 1),(0.500000000000000?, 2),(1.626576561697786?, 1),(2.000000000000000?, 2)]Sage jongliert auf für den Anwender transparente Weise mit verschiedenen Darstellungsweisen
der algebraischen Zahlen. Eine besteht beispielsweise darin, jedes α ∈ Q̄ über sein an eine
hinreichend genaue Einschachtelung gekoppeltes minimales Polynom zu kodieren, um α vonanderen Wurzeln zu unterscheiden. So sind die zurückgegebenen Wurzeln dem Augenschein
zum Trotz nicht bloÿe Näherungswerte. Sie können in exakten Rechnungen weiterverwendet
werden:sage: a = wurzeln[0][0]^4; a.simplify(); a7Hier haben wir die erste gefundene Wurzel zur vierten Potenz erhoben und Sage dann gezwungen, das Resultat ausreichend zu vereinfachen, um zu verdeutlichen, dass es sich um dieganze Zahl 7 handelt.
Eine Variante der exakten Lösung besteht darin, die Wurzeln einfach zu isolieren , d.h. Intervalle zu berechnen, die jeweils genau eine Wurzel enthalten, wozu als Denitionsbereich
D derjenige der reellen Intervalle RIF oder der komplexen CIF übergeben wird. Von den anderen Denitionsmengen im Fall eines Polynoms mit rationalen Koezienten erwähnen wir
RR, CC, RDF und CDF, die alle zahlenmäÿig genäherten Wurzeln entsprechen wie der Körper der Zahlen QQ[alpha]. Die spezischen Methoden real_roots, complex_roots und (fürbestimmte Basisringe) real_root_intervals bieten zusätzliche Optionen oder liefern vom
Aufruf von roots leicht abweichende Ergebnisse. Die Suche nach und die Isolation von numerischen Wurzeln wird genauer in Abschnitt 12.2 behandelt
7.3.3. Resultante

Auf jedem Faktorring wird die Existenz eines nicht konstanten, zwei Polynomen gemeinamen
Faktors durch die Annullierung ihrer Resultanten Res(p, q) charakterisiert, welche ein Polynom
in deren Koezienten ist. Ein gröÿeres Interess an der Resultante bezüglich des ggT beruht
darauf, dass sie sich auf Morphismen von Ringen spezialiert . Zum Beispiel sind die Polynomex−12 und x−20 in Z[x] teilerfremd, doch zeigt die Annulation modulo n ihrer Resultanten

sage: x = polygen(ZZ); (x-12).resultant(x-20)-8dass sie in Z/nZ genau dann eine gemeinsame Wurzel haben, wenn 8 von n geteilt wird.

139

7. PolynomePPnii
Seien p = m
i=0 qi x zwei nicht konstante Polynome aus A[x] mit pm , qn 6=
i=0 pi x und q =0. Die Resultante von p und q ist deniert durch
pm · · · · · · p0..
.
pm · · ·q···q0
Res(p, q) = n
..
..
.
.
..
.
qn

..

.
· · · p0

.

(7.1)

..

.
· · · q0

Das ist die Determinante in passenden Basen der linearen Abbildung

An−1 [x] × Am−1 [x] → Am+n−1 [x]u, v 7→ up + vq
wobei Ak [x] ⊂ A[x] den Untermodul des Polynoms höchstens vom Grad k bezeichnet. Sind
p und q zerlegt, dann wird ihre Resultante auch als Funktion der Dierenzen ihrer Wurzeln
geschrieben:Y
p = pm (x − α1 ) · · · (x − αm )n mRes(p, q) = pm qn(αi − βj ),q = qn (x − β1 ) · · · (x − βn ).
i,j

Die Eigenschaft der weiter oben erwähnten Spezialisierung leitet sich aus der Denition (7.1)
her: wenn ϕ : A → A0 ein Ringmorphismus ist, dessen Anwendung auf p und q deren Gradenicht sinken lässt, oder anders gesagt, sodass ϕ(pm ) 6= 0 und ϕ(qn ) 6= 0 ist, dann haben wir
Res(ϕ(p), ϕ(q)) = ϕ(Res(p, q)).
Somit verschwindet ϕ(Res(p, q)), wenn ϕ(p) und ϕ(q) einen gemeinsamen Faktor haben. Wir
haben ein wenig weiter oben ein Beispiel dieser Erscheinung mit der kanonischen Projektion
von Z nach Z/nZ für ϕ gesehen.
Doch die häugste Anwendung einer Resultante betrit den Fall, wo der Basisring selbst ein
Polynomring ist: p, q, ∈ A[x] mit A = K[a1 , . . . , ak ]. Seien insbesondere α1 , . . . , αk ∈ K undbetrachten wir die Spezialisierung

ϕ : B[a1 , . . . , ak ] → K
q(a1 , . . . , ak ) 7→ q(α1 , . . . , αk )Man sieht dann, dass sich die Resultante genau dann in q(α1 , . . . , αk ) aufhebt, wenn die
Spezialisierungen ϕ(p), ϕ(q) ∈ K[x] einen Faktor gemeinsam haben unter dem Vorbehalt,
dass einer der führenden Terme von p oder q in (α1 , . . . , αk ) von null verschieden ist.
Beispielsweise ist die Diskriminante von p deniert durchdisk(p) = (−1)m(m−1)/2 Res(p, p0 )/pm .
Diese Denition verallgemeinert die klassischen Diskriminanten der Polynome 2. und 3. Grades:

sage: R.<a,b,c,d> = QQ[]; x = polygen(R); p = a*x^2 + b*x + c
sage: p.resultant(p.derivative())

140

7.3. Faktorisierung und Wurzeln-a*b^2 + 4*a^2*c
sage: p.discriminant()b^2 - 4*a*c
sage: (a*x^3 + b*x^2 + c*x + d).discriminant()b^2*c^2 - 4*a*c^3 - 4*b^3*d + 18*a*b*c*d - 27*a^2*d^2
Wie die Diskriminante von p verschwindet die Resultante von p und seiner Ableitung genau
dann, wenn p eine mehrfache Wurzel hat.
7.3.4. Galoisgruppen

Die Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms p ∈ Q[x] ist ein algebraisches Objekt, das bestimmte Symmetrien der Wurzeln von p beschreibt. Es handelt sich um ein zentrales Objekt
der Theorie der algebraischen Gleichungen. Insbesondere ist die Gleichung p(x) = 0 durch
Radikale lösbar, d.h. die Lösungen werden ausgehend von den Koezienten des Polynoms
genau dann mit vier Operationen und dem Ziehen der n-ten Wurzel ausgedrückt, wenn die
Galoisgruppe von p lösbar ist.
Sage gestattet die Berechnung der Galoisgruppen von Polynomen nicht zu hohen Grades mit
rationalen Koezienten und alle Arten von Operationen auf den erhaltenen Gruppen auszuführen. Sowohl die Galoistheorie als auch Sages Funktionalitäten für Gruppen überschreiten
den Rahmen dieses Buches. Beschränken wir uns darauf, den Satz von Galois ohne weitere
Erläuterungen auf die Lösbarkeit mit Radikalen anzuwenden. Die folgende Rechnung erfordert eine Liste endlicher Gruppen, die in der Basisinstallation von Sage nicht enthalten ist,
die man aber mit dem Befehl ./sage -i database_gap aus dem Netz herunterladen undautomatisch installieren kann. 5 Sie zeigt, dass sich die Wurzeln von x5 − x − 1 nicht durch
Radikale ausdrücken lassen.

sage: x = polygen(QQ); G = (x^5 - x - 1).galois_group(); G
Transitive group number 5 of degree 5
sage: G.is_solvable()
False
Es handelt sich um eines der einfachsten Beispiele für diesen Fall, da die Polynome 4. oderkleineren Grades immer mit Radikalen lösbar sind, genau so oensichtlich wie x5 − a. Bei der
Prüfung der Generatoren von G als Gruppe von Permutationen erkennen wir, dass G ' S5
gilt, was wir leicht verzieren:

sage: G.gens()[(1,2,3,4,5), (1,2)]
sage: G.is_isomorphic(SymmetricGroup(5))
True

5Vorsicht: erstens dauert die Installation recht lange (eine Stunde oder mehr) und es kann passieren, dassdanach in Sage nicht mehr alle bisherigen Funktionalitäten verfügbar sind.

141

7. Polynome

7.4. Gebrochen rationale Ausdrücke
7.4.1. Erzeugung und elementare Eigenschaften

Die Division zweier Polynome (auf einem Integritätsring) ergibt einen gebrochen rationalen
Ausdruck. Dessen Vorfahr ist der Körper der Brüche des Polynomrings, der mit Frac(R)erhalten wird:

sage: x = polygen(RR); r = (1 + x)/(1-x^2); r.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Real
Field with 53 bits of precision
sage: r(x + 1.00000000000000)/(-x^2 + 1.00000000000000)
Wir beobachten, dass die Vereinfachung nicht automatisch erfolgt. Dies, weil RR kein exakter
Ring ist, d.h. seine Elemente werden als Näherungen mathematischer Objekte interpretiert.
Die Methode reduce setzt den Bruch in die gekürzte Form. Sie gibt kein neues Objekt zurück,sondern modiziert den vorhandenen gebrochen rationalen Ausdruck:

sage: r.reduce(); r1.00000000000000/(-x + 1.00000000000000)
Umgekehrt werden die gebrochen rationalen Ausdrücke auf einem exakten Ring automatischgekürzt.
Die Operationen auf gebrochen rationalen Ausdrücken sind analog zu denen auf Polynomen.
Diejenigen, die in beiden Fällen sinnvoll sind (Substitution, Ableitung, Faktorisierung. . . )werden auf gleiche Weise verwendet. Die Tabelle 7.6 listet weitere nützliche Methoden auf.
Die Zerlegung in einfache Elemente und vor allem die rationale Rekonstruktion verdienen
einige Erläuterungen.
Gebrochen-rationale Ausdrücke
Körper der Brüche K(x)ZählerNennerVereinfachung (modiziert r)

Zerlegung in einfache Elemente
rationale Rekonstruktion von s mod m

Frac(K['x'])r.numerator()r.denominator()r.reduce()r.partial_fraction_decomposition()s.rational_reconstruct(m)Abgeschnittene Reihen
Ring A[[t]]Ring A((t))
kKoezient [x ]f (x)Abschätzung des Wertes
Genauigkeit
Ableitung, Integral
häuge Operationen√

f , exp, . . .

Reziprok-Wert (f ◦ g = g ◦ f = x)0
Lösung von y = ay + b

PowerSeriesRing(A, 'x', default_prec=n)LaurentSeriesRing(A, 'x', default_prec=n)f[k]x + O(x^n)
f.prec()f.derivative(), f.integral()f.sqrt(), f.exp(), ...
g = f.reversion()a.solve_linear_de(precision, b)

Tab. 7.6  Mit Polynomen gebildete Objekte.

142

7.4. Gebrochen rationale Ausdrücke
7.4.2. Zerlegung in einfache Elemente

Sage berechnet die Zerlegung eines gebrochen rationalen Ausdrucks a/b aus Frac(K['x']) in
einfache Elemente, indem es mit b aus K['x'] beginnt. Daher handelt es sich um die Zerlegung
in einfache Elemente auf K . Das Ergebnis besteht aus einem Polynom und einer Liste vongebrochen rationalen Ausdrücken, deren Nenner Potenzen der irreduziblen Faktoren von bsind:sage: R.<x> = QQ[]; r = x^10 / ((x^2-1)^2 * (x^2+3))
sage: poly, parts = r.partial_fraction_decomposition()sage: polyx^4 - x^2 + 6
sage: for part in parts: part.factor()(17/32) * (x - 1)^-1(1/16) * (x - 1)^-2(-17/32) * (x + 1)^-1(1/16) * (x + 1)^-2(-243/16) * (x^2 + 3)^-1
Somit haben wir die Zerlegung in einfache Elemente auf rationalen Zahlen erhalten

r=

17
15
15
− 17
− 243
x10
4
2
32 x − 32
32 x − 32
16
=
x
−
x
+
6
+
+
+
.
(x2 − 1)2 (x3 + 3)
(x − 1)2(x + 1)2x2 + 3

Es is unschwer zu sehen, dass dies auch die Zerlegung von r auf den reellen Zahlen ist.
Auf den komplexen Zahlen hingegen ist der Nenner des letzten Terms nicht irreduzibel, unddeshalb kann der gebrochen rationale Ausdruck weiter zerlegt werden. Wir können die Zerlegung in einfache Elemente auf den reellen oder komplexen Zahlen numerisch berechnen:

sage: C = ComplexField(15)sage: Frac(C['x'])(r).partial_fraction_decomposition()(x^4 - x^2 + 6.000,(x^4 - x^2 + 6.000,[0.5312/(x - 1.000),
0.06250/(x^2 - 2.000*x + 1.000),
4.385*I/(x - 1.732*I),(-4.385*I)/(x + 1.732*I),(-0.5312)/(x + 1.000),
0.06250/(x^2 + 2.000*x + 1.000)])
Die exakte Zerlegung auf C erhalten wir auf die gleiche Weise, indem wir nämlich C durch
QQbar ersetzen. Bei der Berechnung auf AA hätten wir die Zerlegung auf den reellen Zahlen,selbst wenn nicht alle reellen Wurzeln des Nenners rational sind.
7.4.3. Rationale Rekonstruktion

Ein Analogon zu der in Unterabschnitt 6.1.3 vorgestellten rationalen Rekonstruktion existiertauch für Polynome in A = Z/nZ. Sind m, s ∈ A[x] gegeben, berechnet der Befehl

sage: s.rational_reconstruct(m, dp, dq)

143

7. Polynome
falls möglich die Polynone p, q ∈ A[x], sodass

qs ≡ p mod m,

deg p ≤ dp ,deg q ≤ dq .

Beschränken wir uns auf die Vereinfachung für den Fall, dass n eine Primzahl ist. Eine solche
Beziehung zwischen den teilerfremden q und m zieht p/q = s in A[x]/ < m > nach sich, daher
die Bezeichnung rationale Rekonstruktion .
Das Problem der rationale Rekonstruktion wird in ein lineares Gleichungssystem mit Koezienten von p und q übersetzt, und ein einfaches Dimensionsargument zeigt, dass es einenicht-triviale Lösung gibt, sobald dp + dq ≥ deg m − 1 ist. Nicht immer gibt es eine Lösung mit
teilerfremden p und m (z.B. sind die Lösungen von p ≡ qx mod x2 mit deg p ≤ 0, deg q ≤ 1
die multiplen Konstanten von (p, q) = (0, x)), doch rational_reconstruct sucht bevorzugt
Lösungen für teilerfremde q und m.
Der Fall m = xn heiÿt Padé-Approximation. Eine Padé-Näherung
des Typs (k, n − k) einer symbolischen Reihe f ∈ K[[x]] ist ein gebrochen rationaler Ausdruckp/q ∈ K(x), sodass deg p ≤ k − 1, deg q ≤ n − k , q(0) = 1 und p/q = f + O(xn ) ist. Wir
haben dann p/q ≡ f mod xn .

Padé-Approximation.

Beginnen wir mit einem rein symbolischen
Beispiel. Die folgenden Befehle berechnen eineP∞
2Padé-Näherung der Reihe f = i=0 (i + 1) xi mit Koezienten in Z/10Z:

sage: A = Integers(101); R.<x> = A[]
sage: f6 = sum( (i+1)^2 * x^i for i in (0..5) ); f6
36*x^5 + 25*x^4 + 16*x^3 + 9*x^2 + 4*x + 1
sage: num, den = f6.rational_reconstruct(x^6, 1, 3); num/den(100*x + 100)/(x^3 + 98*x^2 + 3*x + 100)Bei erneuter Reihenentwicklung des gefundenen gebrochen rationalen Ausdrucks beobachten
wir, das die Entwicklungen nicht nur bis zur Ordnung 6 zusammenfallen, sondern der folgende
Term sogar richtig ist.

sage: S = PowerSeriesRing(A, 'x', 7); S(num)/S(den)
1 + 4*x + 9*x^2 + 16*x^3 + 25*x^4 + 36*x^5 + 49*x^6 + O(x^7)
In der Tat ist f selbst gebrochen rational: wir haben f = (1 + x/(1 − x)3 ). Die abbrechende Entwicklung f6 mit begrenzten Graden von Zähler und Nenner genügt für die eindeutige
Darstellung. So gesehen, ist die Berechnung von Padé-Näherungen die Umkehrung der Reihenentwicklung von gebrochen rationalen Ausdrücken: sie erlaubt, von dieser alternativen
Darstellung zur üblichen Darstellung als Quotient zweier Polynome zurückzukehren.
Historisch sind die Padé-Approximationen nicht bei dieser Art
von symbolischen Betrachtungen entstanden, sondern im Zusammenhang mit der Theorie derApproximation analytischer Funktionen. Tatsächlich nähern die Padé-Approximationen einer
Reihenentwicklung die Funktion oft besser an als abbrechende Reihen. Wenn der Grad desNenners groÿ genug ist, können sie sogar auÿerhalb des Konvergenzradius der Reihe gute
Näherungen liefern. Wir sagen manchmal, dass sie die Pole verschlucken. Die Abbildung
7.1, welche die Konvergenz der Näherungen der Tangensfunktion des Typs (2k, k) in der
Umgebung von 0 zeigt, illustriert dieses Phänomen.
Ein analytisches Beispiel.

144

7.4. Gebrochen rationale Ausdrücke

Typ (4,2)...........

Typ (8,4).-.-.-Typ (12,6)- - - - -Abb. 7.1 - Die Tangensfunktion und einige Padé-Approximationen auf [−2π, 2π].

Obwohl rational_reconstruct auf Polynome in Z/nZ beschränkt ist, ist es damit möglich,
Padé-Approximationen mit rationalen Koezienten zu berechnen und diese Abbildung zu
erzielen. Am einfachsten beginnt man damit, die rationale Rekonstruktion modulo einer recht
groÿen Primzahl auszuführen:

sage: x = var('x'); s = tan(x).taylor(x, 0, 20)
sage: p = previous_prime(2^30); ZpZx = Integers(p)['x']sage: Qx = QQ['x']sage: num, den = ZpZx(s).rational_reconstruct(ZpZx(x)^10,4,5)
sage: num/den(1073741779*x^3 + 105*x)/(x^4 + 1073741744*x^2 + 105)um dann die gefundene Lösung anzuheben. Die folgende Funktion hebt ein Element a aus
Z/pZ zu einer ganzen Zahl mit dem Absolutwert von höchstens p/2.

sage: def lift_sym(a):....:m = a.parent().defining_ideal().gen()....:n = a.lift()....:
if n <= m // 2: return n....:else: return n - m
Wir erhalten:

sage: Qx(map(lift_sym, num))/Qx(map(lift_sym, den))(-10*x^3 + 105*x)/(x^4 - 45*x^2 + 105)
Wenn die gesuchten Koezienten für dieses Verfahren zu groÿ sind, können wir die Rechnung modulo mehrerer Primzahlen ausführen und den chinesischen Restsatz anwenden,um
eine Lösung mit ganzzahligen Koezienten zu nden wie in Unterabschnitt 6.1.4 erklärt.

145

7. Polynome
Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung einer Rekursionsbeziehung mit konstanen Koezienten, die den Koezienten der Reihe genügt. Diese Rechnung ist zur Berechnung einer Padé-Approximation nahezu äquivalent (siehe Übung 27), doch erlaubt Sages Funktion
berlekamp_massey die Ausführung auf beliebigen Körpern.
Systematisieren wir die vorstehende Rechnung, indem wir eine Funktion schreiben, welche
die Näherung mit rationalen Koezienten unter hinreichend förderlichen Annahmen direkt
berechnet:

sage: def mypade(pol, n, k):....:x = ZpZx.gen();....:n,d = ZpZx(pol).rational_reconstruct(x^n, k-1, n-k)....:
return Qx(map(lift_sym, n))/Qx(map(lift_sym, d))
Wir müssen auf die Ausgaben dieser Funktion nur noch plot anwenden, um die Grak in
Abbildung 7.1 zu erhalten (Die Ausgaben werden in Elemente von SR umgewandelt, denn plotkann den Graphen einer algebraischen rationalen Funktion nicht unmittelbar zeichnen.)sage: add(....:plot(expr, -2*pi, 2*pi, ymin=-3, ymax=3,....:
linestyle=sty, detect_poles=True, aspect_ratio=1)....:
for (expr, sty) in [....:(tan(x), '-'),....:(SR(mypade(s, 4, 2)), ':' ),....:(SR(mypade(s, 8, 4)), '-.'),....:(SR(mypade(s, 12, 6)), '--') ])Die folgenden Übungen stellen weitere klassische Anwendungen der rationalen Rekonstruktion
dar.

Übung 27.

1. Zeigen Sie: wenn (un )n∈N einer linearen
Rekursion mit konstanten Koezienten genügt,Pndann ist die symbolische Reihen∈N un z ein gebrochen rationaler Ausdruck. Wiewerden Zähler und Nenner repräsentiert?
2. Erraten Sie die nächsten Terme der Folge

1, 1, 2, 3, 8, 11, 34, 39, 148, 127, 662, 339, 3056, 371, 14602, −4257, . . . ,indem Sie rational_reconstruct verwenden. Finden Sie das Ergebnis auch mit der
Funktion berlekamp_massey.

Übung 28

(Interpolation von Cauchy) . Finden Sie einen gebrochen rationalen Ausdruckr = p/q ∈ F17 (x), sodass r(0) = −1, r(1) = 0, r(2) = 7 und r(3) = 5 wird, wobei p vonmöglichst kleinem Grad ist.

146

7.5. Formale Potenzreihen

7.5. Formale Potenzreihen
Eine formale Potenzreihe ist eine Potentreihe, die als eine einfache Folge von Koezienten erscheint, ohne dass ihre Konvergenz untersucht wird. Genauer, wenn A ein kommutativer Ring
ist, sind formale Potenzreihen (engl. formal
P powernseries ) einer Unbestimmten x mit Koezienten aus A die symbolischen Summen ∞n=0 an x , wobei (an ) eine Folge beliebiger Elemente
aus A ist. Ausgestattet mit den Operationen der üblichen Addition und Multiplikation∞X

an xn +

n=0
∞
X
n=0

bn xn =

n=0

!
an xn

∞
X

∞
X

∞
X

(an + bn )xn ,

n=0

!
bn xn

n=0

=

∞
X




X


n=0

ai bj  xn

i+j=n

bilden die formalen Potenzreihen einen mit A[[x]] bezeichneten Ring.
In einem System zum symbolischen Rechnen werden mit solchen Reihen analytische Funktionen dargestellt, die nicht in exakter Schreibweise vorliegen. Wie immer führt der Computer
Rechnungen aus, es ist aber Sache des Anwenders, ihnen einen mathematischen Sinn zu geben.
Er muss sicherstellen, dass die Reihen, mit denen er arbeitet, konvergent sind.
Formale Potenzreihen begegnen auch ausgiebig in der Kombinatorik, insofern es erzeugende
Reihen sind. In Unterabschnitt 15.1.2 werden wir ein Beispiel dafür sehen.
7.5.1. Operationen auf abbrechenden Reihen

Den Ring der formalen Potenzreihen Q[[x]]erhalten wir mit

sage: R.<x> = PowerSeriesRing(QQ)oder dessen Abkürzung R.<x> = QQ[[]]6 mit QQ['x'].completion('x'). Die Elemente vonA[['x']] sind die abbrechenden Reihen, d.h. Objekte der Formf = f0 + f1 x + . . . + fn−1 xn−1 + O(xn ).
Sie spielen die Rolle von Approximationen der mathematischen unendlichen Reihen, genau
wie die Elemente von RR die Näherungen der reellen Zahlen darstellen. Der Ring A[[x]] istdaher kein exakter Ring.
Jede Reihe besitzt ihre eigene Abbruchordnung7 und die Genauigkeit ergibt sich im Verlauf
der Rechnungen automatisch:sage: R.<x> = QQ[[]]
sage: f = 1 + x + O(x^2); g = x + 2*x^2 + O(x^4)
sage: f + g
1 + 2*x + O(x^2)
sage: f * g
x + 3*x^2 + O(x^3)
67Oder aus Q[x].
In bestimmter Hinsicht ist der Hauptunterschied zwischen einem Polynom modulo xnund einer abbrechen-

den Reihe der Ordnung n: die Operationen auf beiden Arten von Objekten sind analog, aber die Elementenvon A[[x]]/hx i haben alle dieselbe Genauigkeit.

147

7. Polynome
Es gibt Reihen unendlicher Genauigkeit, die den Polynomen genau entsprechen:

sage: (1 + x^3).prec()+Infinity
Eine voreingestellte Genauigkeit kommt zur Anwendung, wenn es erforderlich ist, ein exaktes
Resultat abzuschneiden. Sie wird mit der Erzeugung des Ringes festgelegt oder danach mit
der Methode set_default_prec:

sage: R.<x> = PowerSeriesRing(Reals(24), default_prec=4)
sage: 1/(1 + RR.pi() * x)^2
1.00000 - 6.28319*x + 29.6088*x^2 - 124.025*x^3 + O(x^4)
Das hat zur Folge, dass ein Test auf mathematische Gleichheit zweier Reihen nicht möglichist. Dies ist ein wichtiger begriicher Unterschied zwischen dieser und anderen Klassen vonObjekten, die in diesem Kapitel vorkommen. Sage sieht deshalb zwei Elemente aus A[['x']]
als gleich an, sobald sie bis auf die schwächste ihrer Genauigkeiten übereinstimmen:

sage: R.<x> = QQ[[]]
sage: 1 + x + O(x^2) == 1 + x + x^2 + O(x^3)
True
Achtung: das impliziert beispielsweise, dass der Test O(x^2) == 0 wahr zurückgibt, weil die
Nullserie eine unendliche Genauigkeit hat.
Die arithmischen Basisoperationen funktionieren wie bei Polynomen. Wir verfügen auch übereinige der üblichen Funktionen, beispielsweise f.exp() mit f (0) = 0, sowie über Ableitung
und Integration. So ist eine asymptotische Entwicklung für x → 0 von
 xr

Z
1
1
exp 
dt
2
x
1+t
0

gegeben durch

sage: (1/(1+x)).sqrt().integral().exp() / x^2 + O(x^4)
x^-2 + x^-1 + 1/4 + 1/24*x - 1/192*x^2 + 11/1920*x^3 + O(x^4)
Hier wird jede Operation, selbst dann, wenn nur vier Terme im Resultat erscheinen, mit dervoreingestellten Genauigkeit von 20 ausgeführt, was weithin ausreicht für ein Endergebnis inO(x4 ). Um mehr als zwanzig Terme zu erhalten, müsste die Genauigkeit der Zwischenrechnungen erhöht werden.
Dieses Beispiel zeigt auch, dass wenn f, g ∈ K[[x]] ist und g(0) = 0, der Quotient f /g ein Objekt formale
zurückgibt. Anders als bei Laurent-Reihen der komplexen
PLaurent-Reihe
P∞ Analysis
n sind die formalen Laurent-Reihen Summen des Typsnder Form ∞axn=−∞ nn=−N an x
mit einer endlichen Anzahl von Termen mit negativen Exponenten. Diese Beschränkung istnötig, damit das Produkt zweier formaler Potenzreihen sinnvoll gebildet wird: ohne sie würde
jeder Koezient des Produktes als Summe einer unendlichen Reihe ausgedrückt werden.

148

7.5. Formale Potenzreihen
7.5.2. Reihenentwicklung von GleichungslösungenAngesichts einer Dierentialgleichung, deren exakte Lösungen zu kompliziert sind, um sie zu
berechnen oder, wenn berechnet, zu kompliziert sind für die Auswertung, besteht ein häuger
Ausweg darin, eine Lösung in Form einer Potenzreihe zu suchen. Üblicherweise beginnen wir
mit der Bestimmung der Lösungen der Gleichung im Raum der formalen Potenzreihen, undwenn nötig schlieÿen wir dann mit einem Konvergenznachweis, dass die gebildeten formalen
Lösungen einen analytischhen Sinn haben. Für die erste Etappe kann Sage eine wertvolle Hilfe
sein.
Betrachten wir beispielsweise die Dierentialgleichungpy 0 (x) = 1 + x2 y(x) + exp(x),y(0) = 1.

Diese Gleichung lässt als eindeutige Lösung eine formale Potenzreihe zu, deren erste Terme
berechnet werden können mit

sage: R.<x> = PowerSeriesRing(QQ, default_prec=10)
sage: (1+x^2).sqrt().solve_linear_de(prec=6, b=x.exp())
1 + 2*x + 3/2*x^2 + 5/6*x^3 + 1/2*x^4 + 7/30*x^5 + O(x^6)
Des weiteren sichert der Satz von Cauchy zur Existenz von Lösungen linearer Dierentialgleichungen mit analytischen Koezienten, dass diese Potenzreihe für |x| < 1 konvergiert: die
Summe bildet daher eine analytische Lösung auf dem komplexen Enheitskreis.
Dieser Ansatz ist nicht auf Dierentialgleichungen beschränkt. Die Funktionsgleichung exf (x) =f (x) ist komplexer und das nur, weil sie nicht linear ist. Es ist aber eine Fixpunktgleichung,wir können versuchen, eine (symbolische) Lösung iterativ zu verfeinern:

sage: S.<x> = PowerSeriesRing(QQ, default_prec=5)
sage: f = S(1)sage: for i in range(5):....:f = (x*f).exp()....:
print f
1 + x + 1/2*x^2 + 1/6*x^3 + 1/24*x^4 + O(x^5)
1 + x + 3/2*x^2 + 5/3*x^3 + 41/24*x^4 + O(x^5)
1 + x + 3/2*x^2 + 8/3*x^3 + 101/24*x^4 + O(x^5)
1 + x + 3/2*x^2 + 8/3*x^3 + 125/24*x^4 + O(x^5)
1 + x + 3/2*x^2 + 8/3*x^3 + 125/24*x^4 + O(x^5)
Was geht hier vor? Die Lösungen von exf (x) = f (x) in Q[[x]] sind Fixpunkte der Transformation Φ : f 7→ exf . Wenn eine Folge von Iterierten der Form Φn (a) konvergiert,
P ist ihrnGrenzwert notwendigerweise Lösung der Gleichung. Setzen wir umgekehrt f (x) = ∞n=0 fn x
und entwickeln wir eine Reihe mit zwei Gliedern: es kommt

k
∞
∞
∞
X
X
X
1
x
fn xn =
fj xj 
k!
n=0
j=0
k=0



=

∞
∞
X
X
1


k!

n=0

k=0

X
j1 ,...jk ∈N
j1 +...+jk =n−k n
fj1 fj2 . . . fjk 
x .

(7.2)

149

7. Polynome
Weniger wichtig sind die Details der Formel; wesentlich ist, dass fn als Funktion der vorangehenden Koezienten f0 , . . . , fn−1 berechnet wird, wie man bei der Identizierung derKoezienten der beiden Glieder sieht. Jede Iteration von Φ liefert somit einen neuen korrekten Term.

Übung 29. Berechnen Sie die auf die Ordnung 15 beschränkte Entwicklung von tan x in der
Umgebung von null aus der Dierentialgleichung tan0 = 1 + tan2 .
7.5.3. Faule Reihen

Das Phänomen des Fixpunktes motiviert die Einführung einer weiteren Art formaler Potenzreihen, die faulen Reihen (engl. lazy ). Das sind keine abbrechenden Reihen sondern unendliche
Reihen; das Adjektiv faul besagt, dass die Koezienten nur dann berechnet werden, wenn es
ausdrücklich verlangt wird. Andererseits können wir nur Reihen darstellen, deren Koezienten wir berechnen können: im wesentlichen die Kombinationen von einfachen Reihen mit
bestimmten Gleichungslösungen, für die Beziehungen wie (7.2) existieren. Beispielsweise ist
die faule Reihe lazy_exp, die durch

sage: L.<x> = LazyPowerSeriesRing(QQ)
sage: lazy_exp = x.exponential(); lazy_exp
L.<x> = LazyPowerSeriesRing(QQ)O(1)
deniert ist, ein Objekt, das in seiner internen Darstellung alle notwendigen Informationen
enthält, um die Reihenentwicklung von exp x beliebiger Ordnung zu berechnen. Zu Beginn
wird sie nur als O(1) angezeigt, denn noch ist kein Koezient berechnet. Der Versuch, auf den
Koezienten von x5 zuzugreifen, löst die Berechnung aus und die berechneten Koezienten
werden dann gespeichert:

sage: lazy_exp[5]1/120 sage: lazy_exp
1 + x + 1/2*x^2 + 1/6*x^3 + 1/24*x^4 + 1/120*x^5 + O(x^6)
Greifen wir das Beispiel von exf (x) = f (x) wieder auf, um zu sehen, wie es mit faulen Reihen behandelt wird. Wir können zunächst versuchen, die weiter oben im Ring QQ[['x']]
ausgeführte Rechnung zu reproduzieren:

sage: f = L(1) # die konstante faule Reihe 1
sage: for i in range(5):....:f = (x*f).exponential()....:f.compute_coefficients(5) # erzwingt die Berechnung....:
print f# der ersten Koeffizienten
1 + x + 1/2*x^2 + 1/6*x^3 + 1/24*x^4 + 1/120*x^5 + O(x^6)
1 + x + 3/2*x^2 + 5/3*x^3 + 41/24*x^4 + 49/30*x^5 + O(x^6)
1 + x + 3/2*x^2 + 8/3*x^3 + 101/24*x^4 + 63/10*x^5 + O(x^6)
1 + x + 3/2*x^2 + 8/3*x^3 + 125/24*x^4 + 49/5*x^5 + O(x^6)
1 + x + 3/2*x^2 + 8/3*x^3 + 125/24*x^4 + 54/5*x^5 + O(x^6)

150

7.6. Rechnerinterne Darstellung von Polynomen
Die erhaltenen Entwicklungen sind selbstverständlich dieselben wie vorher8 . Doch ist nun der
Wert von f bei jeder Iteration eine unendliche Reihe, deren Koezienten wir auf Anforderung
berechnen können. Alle diese Reihen werden als Zwischenergebnisse gespeichert. Die Berechnung einer jeden von ihnen mit der gewünschten Genauigkeit wird in der Weise automatischangestoÿen, dass zum Beispiel der Koezient von x7 in der letzten Iteration berechnet wird,
sobald wir versuchen, darauf zuzugreifen:

sage: f[7]28673/630
Mit dem Code aus Unterabschnitt 7.5.2 hätte der Zugri auf f[7] zu einem Fehler geführt,weil der Index 7 auÿerhalb der Abbruchordnung der Reihe f liegt.
Allerdings ist der von f[7] zurückgegebene Wert der Koezient von x7 nur in der IteriertenΦ5 (1), nicht aber in der Lösung. Die Kraft der faulen Reihen liegt in der Möglichkeit, direkt
zur Grenze zu gehen, indem sie selbst als faule Reihe kodiert wird:

sage: from sage.combinat.species.series import LazyPowerSeries
sage: f = LazyPowerSeries(L, name='f')
sage: f.define((x*f).exponential())
sage: f.coefficients(8)[1, 1, 3/2, 8/3, 125/24, 54/5, 16807/720, 16384/315]
Was die iterative Berechnung funktionieren lässt, ist die Gleichung (7.2). Hinter den Kulissen leitet Sage aus der rekursiven Denition f.define((x*f).exponential()) eine Formel
derselben Art her, die eine rekursive Berechnung der Koezienten erlaubt.

7.6. Rechnerinterne Darstellung von Polynomen
Ein und dasselbe mathematische Objekt - das Polynom p mit Koezienten aus A - kann im
Rechner auf drei verschiedene Arten codiert werden. Auch wenn das mathematische Ergebnis einer Operation auf p selbstverständlich unabhängig von der Darstellung ist, hängt das
Verhalten der entsprechenden Sage-Objekte doch damit zusamen. Die Wahl der Darstellung
beeinusst die möglichen Operationen, die exakte Form ihrer Ergebnisse und besonders dieEzienz der Berechnungen.
Voll und dünn besetzte Darstellung. Für die Darstellung von Polynomen gibt es vor
allemPzwei Möglichkeiten. Bei der voll besetzten Darstellung werden die Koezienten vonp = ni=0 pi xi in einer Liste [p0 , . . . , pn ] mit den Exponenten als Indizes gespeichert. Bei derdünn besetzten Speicherung werden nur die von null verschiedenen Koezienten gespeichert:
das Polynom wird durch eine Menge von Exponent-Koezient-Paaren (i, pi ) kodiert, in einer
Liste zusammengefasst oder besser in einer von den Exponenten indizierten Raung (siehe
Unterabschnitt 3.3.9).

Für Polynome, die praktisch voll besetzt sind, d.h. deren Koezienten meistens von nullverschieden sind, verbraucht die volle Darstellung weniger Speicher und erlaubt schnellere
8

Wir stellen allerdings fest, dass Sage gelegentlich inkohärente Konventionen verwendet: die Methode exp
für die abbrechenden Reihen heiÿt hier exponential, und compute_coefficients(5) berechnet die Koezienten bis zur Ordnung 5 einschlieÿlich, wohingegen4
Koezienten von x abbrechen.

default_prec=5 Reihen ergibt, die nach dem

151

7. Polynome
Rechnungen. Sie erspart die Speicherung der Exponenten und der internen Datenstrukturen
der Diktionäre: es bleibt nur das absolut Notwendige, die Koezienten. Mehr noch, der Zugri
auf ein Element oder die Iteration über die Elemente sind bei einer Liste schneller als bei
einem Diktionär. Umgekehrt erlaubt die dünn besetzte Darstellung eziente Rechnungen auf
Polynomen, die bei voll besetzter Darstellung gar nicht in den Speicher passen würden:

sage: R = PolynomialRing(ZZ, 'x', sparse=True)
sage: p = R.cyclotomic_polynomial(2^50); p, p.derivative()(x^562949953421312 + 1, 562949953421312*x^562949953421311)
Wie dieses Beispiel illustriert, ist die Darstellung eine Charakteristik des Polynomrings, diewir bei seiner Bildung festlegen. Das voll besetzte Polynom p ∈ Q[x] und das dünn besetzte Polynom p ∈ Q[] haben deshalb nicht denselben9 Vorfahren. Die voreingestellte Darstellung von Polynomen mit einer Unbestimmten ist voll besetzt. Die Option sparse=True vonPolynomialRing dient zu Bildung eines dünn besetzten Polynomrings.

Ein wenig Theorie
Um die beste Lösung für schnelle Operation auf Polynomen zu nden, ist es gut, eine
Vorstellung von ihrer algorithmischen Komplexität zu haben. Hier nun eine kurzeÜbersicht für den in der Algorithmik etwas erfahrenen Leser. Wir beschränken uns
auf den Fall voll besetzter Polynome.
Additionen, Subtraktionen und andere direkte Manipulationen der Koezienten werden in Abhängigkeit vom Grad der betreenden Polynome einfach in linearer Zeit
bewältigt. Ihre Geschwindigkeit hängt daher in der Praxis wesentlich von der Möglichkeit des schnellen Zugris auf die Koezienten ab und damit von der Datenstruktur.
Die kritische Operation ist die Multiplikation. Die ist tatsächlich nicht nur einearithmetische Grundoperation, sondern auch andere Operationen arbeiten mit Algorithmen, deren Komplexität entscheidend von der Komplexität der Multiplikation
abhängt. Wir können zum Beispiel die euklidsche Division zweier Polynome höchstens n-ten Grades mit Kosten von O(1) Multiplikationen berechnen, oder auch ihren
ggT mit O(log n) Multiplikationen.
Die gute Nachricht: wir können Polynome in beinahe linearer Zeit multiplizieren. Genauer gesagt ist die beste bekannte Komplexität auf einem beliebigen RingO(n log n log log n) Operationen auf dem Basisring. Sie beruht auf Verallgemeinerungen des berühmten Algorithmus von Schönhage-Strassen, welcher die gleiche Komplexität bei der Multiplikation ganzer Zahlen erreicht. Zum Vergleich, das Verfahren,
das wir für die Multiplikation von Polynomen von Hand verwenden, erfordert eine
Anzahl von Operationen in der Gröÿenordnung n2 .
Die Algorithmen für schnelle Multiplikation sind in der Praxis bei Polynomen hinreichend hohen Grades konkurrenzfähig genauso wie die daraus abgeleiteten Divisionsverfahren. Die Bibliothen, auf die sich Sage bei bestimmten Typen von Koezienten
stützt, arbeiten mit dieser Art von ausgefeilten Algorithmen. Das ist der Grund,weshalb Sage mit Polynomen astronomischen Grades auf bestimmten Koezientenringen so ezient arbeiten kann.

9

Trotzdem gibt QQ['x']sind

mit is falsch zurück.

152== PolynomialRing(QQ, 'x', sparse=True) wahr zurück: die beiden Vorfahren

gleich , denn sie repräsentieren dasselbe mathematische Objekt. Natürlich gibt der entsprechende Test

7.6. Rechnerinterne Darstellung von Polynomen
Bestimmte Details der Darstellung variieren überdies je nach der Natur der Koezienten
des Polynoms. Es kommt bei der Ausführung der grundlegenden Operationen auch auf den
verwendeten Code an. Tatsächlich bietet Sage auÿer einer generischen Implementierung der
Polynome, die auf jedem kommutativen Ring funktioniert, mehrere optimierte Varianten füreinen speziellen Typ von Koezienten. Diese verfügen über zusätzliche Funktionalitäten undsind vor allem beträchtlich ezienter als die generische Version. Sie greifen dafür auf spezialisierte externe Bibliotheken zurück, im Fall von Z[x] beispielsweise auf FLINT oder NTL.
Bei der Ausführung vieler umfangreicher Rechnungen kommt es entscheidend darauf an, soweit
wie irgend möglich auf solchen Polynomringen zu arbeiten, die eziente Implementierungenbieten. Die für ein Polynom p mit p? angezeigte Hilfeseite zeigt, welche Implementierungvorliegt. Die Wahl der Implementierung ergibt sich meistens aus den Implementierungen vonBasisring und Darstellung. Die Option implementation von PolynomialRing erlaubt die
Präzisierung einer Implementierung, wenn mehrere Möglichkeiten zur Auswahl stehen.
Die in den Kapiteln 1 und 2 beschriebenen symbolischen Ausdrücke (d.h. die Elemente von SR) liefern eine dritte Darstellung von Polynomen. Sie stelleneine natürliche Wahl dar, wenn eine Rechnung Polynome und komplexere Ausdrücke mischt,
wie das in der Analysis häug der Fall ist. Die Flexibilität der Darstellung aber, die sie bieten,
10
ist zuweilen sogar in einem eher algebraischen Kontext von Nutzen. Das Polynom (x + 1)10
beispielsweise ist entwickelt voll besetzt, es ist aber nicht nötig (auch nicht wünschbar), es
auszumultiplizieren, um es abzuleiten oder numerisch auszuwerten.
Symbolische Ausdrücke.

Doch Vorsicht: anders als algebraische Polynome sind symbolische Polynome (aus SR) nicht
an einen bestimmten Koezientenring gebunden und werden nicht in kanonischer Form behandelt. Dasselbe Polynom hat eine Vielzahl verschiedener Schreibweisen, wobei es Sache
des Anwenders ist, die nötigen Umwandlungen zischen ihnen anzugeben. Es entspricht dieser
Denkweise, dass in der Denitionsmenge SR alle symbolischen Ausdrücke zusammengefasst
werden, ohne einen Unterschied zwischen den Polynomen und den anderen zu machen, wir
können aber mit f.is_polynomial(x) explizit testen, ob ein symbolischer Ausdruck f ein
Polynom in der Variablen x ist.

1538. Lineare Algebra
Mathematik ist die Kunst, jedes Problem auf lineare Algebra zu reduzieren.
William Stein
Dieses Kapitel behandelt die exakte und symbolische lineare Algebra, d.h. das symbolische
Rechnen auf solchen Ringen wie Z, endlichen Körpern, Polynomringen. . . Was die numerischelineare Algebra betrit, so wird sie in Kapitel 13 behandelt. Die Konstruktionen auf Matrizen und ihren Räumen stellen wir so dar, dass die Basisoperationen (Abschnitt 8.1), danndie verschiedenen, auf Matrizen möglichen, Rechnungen, in zwei Gruppen zusammengefasst
werden: die eine, die mit der Gauÿ-Methode und mit Äquivalenz-Umformungen von links zu
tun hat, die andere, die mit Ähnlichkeits-Transformationen (Unterabschnitt 8.2.3) verbundenist. In den Büchern von Gantmacher [Gan90], von zur Gathen und Gerhard [vzGG03] sowie
von Abdeljaoued und Lombardi [AL03] kann man eine gründliche Behandlung der in diesem
Kapitel angerissenen Themen nden.

8.1. Erstellung und elementare Operationen
8.1.1. Vektorräume, Matrix-Vektorräume

Ebenso wie Polynome werden Vektoren und Matrizen als algebraische Objekte behandelt, diezu einem Vektorraum gehören. Wenn die Koezienten Elemente eines Körpers K sind, ist das
ein Vektorraum auf K; gehören sie zu einem Ring, ist es ein freies K-Modul.
So konstruiert man den Vektorraum M2,3 und den Vektorrarum (F23 )3 durch

sage: MS = MatrixSpace(ZZ,3,3); MS
Full MatrixSpace of 2 by 3 dense matrices over Integer Ringsage: VS = VectorSpace(GF(3^2,'x'),3); VS
Vector Space of dimension 3 over Finite Field in x of size 3^2
Ein System von Erzeugenden für diese Vektorräume ist durch die kanonische Basis gegeben;
man kann sie mit MS.gens() als Tupel oder mit MS.basis() als Liste bekommen.

sage: MatrixSpace(ZZ,2,3).basis()

 
 
 
 
 

1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
,
,
,
,
,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

155

8. Lineare Algebra
Wir können auÿerdem Untergruppen des gesamten Matrix-Vektorraums
denieren. So gibt der Konstruktor MatrixGroup([A,B,...]) die Gruppe zurück, die vonden als Argument übergebenen Matrizen erzeugt wird. Sie müssen invertierbar sein.
Matrixgruppen.

sage: A = matrix(GF(11), 2, 2, [1,0,0,2])
sage: B = matrix(GF(11), 2, 2, [0,1,1,0])
sage: MG = MatrixGroup([A,B])
Matrix-Vektorräume
Konstruktion
von dünn besetzten M.
Ring mit Basis K
Ringerweiterung
Ringänderung
aufgespannte Gruppe
Basis des Vektorraums

MS = MatrixSpace(K, nrows, ncols)
MS = MatrixSpace(K, nrows, ncols), sparse=True
MS.base_ring()
MS.base_extend(B)MS.change_ring(B)MatrixGroup([A,B])
MS.basis() oder MS.gens()
Erzeugung von Matrizen

Nullmatrix
Matrix mit Elementen
Identitätsmatrix
Zufallsmatrix
Jordan-Block
Matrix durch Blöcke

MS() oder MS.zero() oder matrix(K,nrows,ncols)MS([1,2,3,4] oder matrix(K,2,2,[1,2,3,4]) odermatrix(K,[[l,2] , [3,4]])MS.one() oder MS.identity_matrix() oderidentity_matrix(K,n)
MS.random_element() oderrandom_matrix(K,nrows,ncols)jordan_block(x,n)
block_matrix([A,l,B,0]) oder block_diagonal_matrix
Manipulations de base

Zugri auf ein Element
Zugri auf Zeile oder Spalte
Zugri auf Spaltenpaare
Untermatrizen

Verkettung durch ZeilenVerkettung durch Spalten

A[2,3]
A[-l,:], A[:,2]A[:,0:8:2]
A[3:4,2:5], A[:,2:5], A[:4,2:5]
A.matrix_from_rows( [1,3]),A.matrix_from_columns([2,5]),A.matrix_from_rows_and_columns([1,3], [2,5])
A.submatrix(i,j,nrows,ncols)A.stack(B)A.augment(B)Tabelle 8.1 - Konstruktoren von Matrizen und ihren Vektorräumen.

sage: MG.cardinality()200
sage: identity_matrix(GF(11),2) in MG
True
Die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n auf einem Körper K, geschrieben GLn (K), ist
die von den invertierbaren n × n-Matrizen gebildete Gruppe. In Sage konstruiert man sie
natürlicherweise mit dem Befehl GL(n,K). Die spezielle lineare Gruppe SLn (K) mit Elementen
aus GLn (K) mit der Determinante 1 konstruiert man mit dem Befehl SL(n,K).

156

8.1. Erstellung und elementare Operationen
8.1.2. Erzeugung von Matrizen und Vektoren

Matrizen und Vektoren können selbstverständlich als Elemente eines Vektorraums durch Übergabe der Liste ihrer Einträge als Argument erzeugt werden. Bei Matrizen werden sie als Zeile
eingelesen:

MS = MatrixSpace(ZZ,2,3); A = MS([1,2,3,4,5,6]); A


1 2 3
4 5 6
Der leere Konstruktor MS() gibt eine Nullmatrix zurück, genau wie die Methode MS.zero().
Mehrere spezielle Konstruktoren ermöglichen die Erzeugung gebräuchlicher Matrizen wie
random_matrix, identity_matrix, jordan_bloc (siehe Tabelle 8.1). Insbesondere können
wir Matrizen und Vektoren mit den Konstruktoren matrix und vector erzeugen, ohne zuvor
den zugehörigen Vektorraum bilden zu müssen. In der Voreinstellung wird eine Matrix auf
dem Ring der ganzen Zahlen Z konstruiert und hat als Dimensionen 0 × 0.

sage: a = matrix(); a.parent()
Full MatrixSpace of 0 by 0 dense matrices over Integer Ring
Natürlich kann man für die Einträge eine Denitionsmenge wie auch die Dimensionen angeben,
wenn eine Nullmatrix erzeugt wird oder sonst auch eine Liste aller Einträge als Argument.

sage: a = matrix(GF(8,'x'),3,4); a.parent()
Full MatrixSpace of 3 by 4 dense matrices over Finite Field in x of size 2^3
Der Konstruktor matrix akzeptiert auch Objekte als Argument, die eine natürliche Transformation in eine Matrix zulassen. Er kann so verwendet werden, um die Adjazenzmatrix eines
Graphen in Gestalt einer Koezientenmatrix in Z zu bekommen.

sage: g = graphs.PetersenGraph()
sage: m = matrix(g); m; m.parent()[0 1 0 0 1 1 0 0 0 0]
[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 1 0 1 0 0 0 1 0 0]
[0 0 1 0 1 0 0 0 1 0]
[1 0 0 1 0 0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0 0 0 1 1 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0 1 1]
[0 0 1 0 0 1 0 0 0 1]
[0 0 0 1 0 1 1 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 1 1 0 0]
Full MatrixSpace of 10 by 10 dense matrices over Integer Ring

157

8. Lineare Algebra
Zur Konstruktion einer Blockmatrix aus Untermatrizen können wir die
Funktion block_matrix nutzen.

Blockmatrizen.

sage: A = matrix([[1,2],[3,4]])
sage: block_matrix([[A,-A],[2*A,A^2]])
1 2 −1 −2
 3 4 −3 −4 


 2 4
7 10 
6 8 15 22
Voreingestellt ist eine quadratische Struktur, doch kann die Anzahl der Zeilenblöcke oder der
Spaltenblöcke durch die optionalen Argumente ncols und nrows festgelegt werden. Nachdem
das möglich ist, kann ein Eintrag wie 0 oder 1 als Diagonalblock mit passenden Dimensionen
interpretiert werden (hier als Nullmatrix und Identitätsmatrix)

sage: A = matrix([[1,2],[3,4]])
sage: block_matrix([1,A,0,0,-A,2], ncols=3)

1 0
1
2
3
 0 1
4
5
6

 0 0 −1 −2 −3
0 0 −4 −5 −6

0
0
2
0


0
0 

0 
2

Im Spezialfall diagonaler Blockmatrizen übergeben wir dem Konstruktor block_diagonal_
matrix einfach die Liste der diagonalen Blöcke.

sage: A = matrix([[1,2,3],[0,1,0]])
sage: block_diagonal_matrix(A, A.transpose())

1 2 3 0 0
 0 1 0 0 0 
 0 0 0 1 0  0 0 0 2 1 
0 0 0 3 0
Die Blockstruktur ist nur eine Abart der Eingabe, und Sage behandelt die Matrix wie jedeandere auch. Wir können diese Eingabe auch deaktivieren, indem wir dem Konstruktor das
Argument subdivide=False hinzufügen.
8.1.3. Grundlegende Operationen und Matrizen-Arithmetik

Der Zugri auf Einträge sowie auf Untermatrizen
geschieht mit eckigen Klammern A[i,j], wobei die Regeln von Python gelten. Die Zeilenindizes i und die Spaltenindizes j müssen für den Zugri auf Einträge ganze Zahlen sein (wirerinnern uns, dass die Indizierung in Python mit 0 beginnt und die Intervalle schlieÿen die
untere Grenze ein, die obere aber aus). Das Intervall " : " ohne Grenzen entspricht derGesamtheit der möglichen Indizes in der betrachteten Dimension. Die Schreibweise a:b:k ermöglicht den Zugri auf Indizes zwischen a und b − 1 mit der Schrittweite k . Negative Indizessind ebenfalls gültig und ermöglichen, die Indizes vom Ende her zu durchlaufen. So entsprichtA[-2,:] der vorletzten Zeile. Der Zugri auf Untermatrizen ist sowohl lesend wie schreibend
möglich. Eine gegebene Spalte können wir beispielsweise auf folgende Weise verändern:
Indizes und der Zugri auf Einträge.

158

8.1. Erstellung und elementare Operationen
sage: A = matrix(3,3,range(9))
sage: A[:,1] = vector([1,1,1]); A


0 1 2
3 1 5
6 1 8
Der Schrittparameter k kann auch negativ sein und bezeichnet dann einen Durchlauf in absteigender Richtung.

sage: A[::-1], A[:,::-1], A[::2,-1]


6 1 8
3 1 5 ,
0 1 2




2 1 0
5 1 3  ,
8 1 6


 
2 
8

Um eine Matrix unter Angabe einer Liste von Zeilen- oder
Spaltenindizes zu isolieren, die nicht unbedingt benachbart sein müssen, benutzten wir die
Methode A.matrix_from_rows_and_columns.
Isolation von Untermatrizen.

sage: A = matrix(ZZ,4,4,range(16)); A
0 1 2 3
4 5 6 7
 8 9 10 11
12 13 14 15
sage: A.matrix_from_rows_and_columns([0,2,3],[1,2])

1 2
 9 10
13 14
Um eine Untermatrix mit benachbarten Zeilen und Spalten zu extrahieren, können wir uns
auch der Methode submatrix(i,j,m,n) bedienen, die eine m × n-Matrix bildet, deren oberer
linker Eintrag sich an Position (i, j) bendet.
Möchte man einen Matrix-Vektorraum in einen solchen gleicher
Dimension, aber mit Einträgen aus einer Erweiterung des Basisringes einfügen, kann man mit
der Methode base_extend des Matrix-Vektorraumes arbeiten. Diese Operation ist jedoch nur
gültig für die Erweiterung eines Körpers oder eines Ringes. Um die Änderung eines Basisringes
zu bewirken, die einem Morphismus folgt (sofern der existiert), verwendet man besser die
Methode change_ring.
Einfügen und Erweitern.

sage: MS = MatrixSpace(GF(3),2,3)
sage: MS.base_extend(GF(9,'x'))
Full MatrixSpace of 2 by 3 dense matrices over Finite Field in x of size 3^2
sage: MS = MatrixSpace(ZZ,2,3)
sage: MS.change_ring(GF(3))
Full MatrixSpace of 2 by 3 dense matrices over Finite Field of size 3

159

8. Lineare Algebra
Die Objekte, die Matrizen repräsentieren, sind nach
Voreinstellung mutabel, was heiÿt, dass ihre Einträge nach ihrer Erzeugung noch beliebig
modiziert werden können. Will man eine Matzrix vor Veränderung schützen, benutzt man
die Funktion A.set_immutable(). Es ist dann weiterhin möglich, mit der Funktion copy(A)mutable Kopien herzustellen. Anzumerken ist, dass der Mechanismus der Zwischenspeicherung
der Ergebnisse von Berechnungen (wie Rang, Determinante usw.) funktionsfähig bleibt, ob
nun mutabel oder nicht.
Mutabilität und Zwischenspeicherung.

8.1.4. Grundlegende Operationen mit Matrizen

Die arithmetischen Operationen mit Matrizen geschehen mit den üblichen Operatoren +,−,∗und ^. Die Inverse einer Matrix kann sowohl A^-1 als auch ~A geschrieben werden. Wenn aein Skalar ist und A eine Matrix, entspricht die Operation a*A der äuÿeren Multiplikation
des Matrix-Vektorraumes. Bei den anderen Operationen, bei denen ein Skalar a anstelle einer
Matrix eingegeben wird (zum Beispiel die Operation a+A), wird a als skalare Matrix angesehen,
die aIn entspricht, wenn a 6= 0 ist und die Dimensionen das erlauben. Die elementweise
Multiplikation zweier Matrizen wird mit der Operation elementwise_product angestoÿen.

8.2. Rechnungen mit Matrizen
In der linearen Algebra können Matrizen zur Darstellung von Vektorfamilien verwendet werden, von linearen Gleichungssystemen, von linearen Anwendungen und von Untervektorräumen. So wird die Berechnung einer Eigenschaft wie der Rang einer Familie, der Lösung eines
Gleichungssystems, von Eigenräumen einer linearen Anwendung oder der Dimension eines
Untervektorraumes zurückgeführt auf Transformationen von Matrizen, die diese Eigenschaft
aufweisen.
Grundlegende Operationen
Transponierte, Konjugierteäuÿeres Produkt
Summe, Produkt, k -te Potenz, Inverse

A.transpose(), A.conjugate()
a*A
A + B, A*B, A^k, A^-1 oder -A

Tab. 8.2 - Grundlegende Operationen und Arithmetik mit Matrizen

Diese Transformationen entsprechen Basiswechseln, die auf der Ebene der Matrizen als Äquivalenzumformungen erscheinen: B = P AQ−1 , wobei P und Q invertierbare Matrizen sind.
Zwei Matrizen heiÿen äquivalent, wenn eine solche Umformung existiert, die eine in die andere
umwandelt. Für diese Relation können wir auch Äquivalenzklassen bilden, und wir denieren
Normalformen, um jede Äquivalenzklasse auf eindeutige Weise zu charakterisieren. Im Folgenden stellen wir die wichtigsten Rechnungen mit Matrizen vor, die in Sage verfügbar sind.
Dabei betrachten wir besonders zwei Fälle dieser Transformationen:- Die Äquivalenzumformungen von links der Form V = U A, die solche charakteritischen Eigenschaften für die Vektorfamilien zeigen, wie den Rang (Anzahl der linear unabhängigen
Vektoren), die Determinante(Volumen des Parallelepipeds, das durch die Vektorfamilie beschrieben wird), das Rangprol (erste Teilmenge von Vektoren, die eine Basis bilden),. . .
Der Gauÿ-Algorithmus ist das zentrale Werkzeug für diese Umformungen und die reduzierte
Treppennormalform (die Gauÿ-Jordan-Form in einem Körper oder die Hermite-Form in Z)
ist die normale Form. Darüberhinaus dienen diese Transformationen zur Lösung linearer
Gleichungssysteme.

160

8.2. Rechnungen mit Matrizen- Die Ähnlichkeitstransformationen der Form B = U AU −1 , welche die charakteritischen Eigenschaften von Matrizen zeigen, die Endomorphismen darstellen, wie Eigenwerte, Eigenräume, minimale und charakteristische Polynome,. . . Die Jordan-Form oder die Frobenius-Form
werden je nach Denitionsmenge der Rechnung die Normalformen für diese Transformationen sein.
Die Form von Gram-Schmidt ist eine weitere Zerlegung, die auf Äquivalenzumformungen vonlinks basiert und die eine Matrix in eine Menge von orthogonalen Vektoren umwandelt.
8.2.1. Gauÿ-Algorithmus und Treppennormalform

Der Gauÿ-Algorithmus ist eines der grundlegenden Verfahren in der linearen Algebra; denn er erlaubt den Zugri auf eine Matrixdarstellung, die an das Rechnen angepasst ist wie die Lösung von Gleichungssystemen und gleichzeitig einige ihrer fundamentalen Eigenschaften zeigt wie den Rang, die Determinante, das
Rangprol usw. Die wesentlichen Operationen des Verfahrens sind die elementaren Zeilenoperationen:

Gauÿ-Algorithmus und Äquivalenz von links.

- Vertauschen zweier Zeilen: Li ↔ Lj ,- Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen: Li ← Li + sLj .
Auf der Matrixebene entsprechen diese Transformationen der Multiplikation von links mit derTranspositionsmatrix Ti,j bzw. mit der Transvektionsmatrix Ci,j,s , die gegeben sind durch

i
j

1
 ..

.


0
1


.
..
Ti,j = 


1
0


..

.



1



1



 ..



.




 i

1
s



.
, Ci,j,s = 

..



.

 j




1




..
.

Diese Matrizen haben alle eine Determinante 1 oder −1. Somit kann jede Multiplikation vonlinks mit einem Produkt dieser Matrizen als Basiswechsel gesehen werden, der das Volumen
konstant lässt und daher insbesondere die Determinante (bis auf das Vorzeichen). In Sage erfolgt die Transvektion mit der Methode add_multiple_of_row(i,j,s) und die Transposition
mit der Methode swap_rows(i,j).

161

8. Lineare AlgebraGauÿ-Algorithmus und Anwendungen
Zeilen-Transvektion
Spalten-Transvektion
Zeilen-, Spalten-Transposition
Gauÿ-Jordan-Form, unveränderlichGauÿ-Jordan-Form, in place
invariante Faktoren
Normalform von Smith
Determinante, Rang
Minoren der Ordnung kRangprol der Spalte, der Zeilet
Lösung des Systems von links ( xA = b)
Lösung des Systems von rechts (Ax = b)
Bild des Vektorraumes
Kern von links
Kern von rechts
Kern im Basis-Ring

add_multiple_of_row(i,j,s)
add_multiple_of_column(i,j,s)
swap_rows(i1,i2), swap_columns(j1,j2)
echelon_form
echelonize
elementay_divisorssmith_form
det, rankminors(k)pivots, pivot_rows
b/A oder A.solve_left(b)A\b oder A.solve_right(b)imagekernel oder left_kernelright_kernel
integer_kernel

Spektralzerlegung
minimales Polynom
charakteristisches Polynom
Krylow-Iteration von links
Eigenwerte
Eigenvektoren von links, von rechts
Eigenräume von links, von rechts
Diagonalisierung
Jordanblock Ja,kminimal_polynomial oder minpoly
charakteristic_polynomial oder charpoly
maxspin(v)eigenvalues
eigenvectors_left, eigenvectors_righteigenspaces_left, eigenspaces_righteigenmatrix_left, eigenmatrix_rightjordan_block(a,k)

Tab. 8.3 - Rechnungen mit Matrizen




x1
 
Zu einem gegebenen Spaltenvektor x =  ... , dessen k -ter Eintrag xk invertierbar ist, deniexm
ren wir die Gauÿ-Transformation als Komposition der Transvektion Ci,k,li für i = k + 1, . . . m
mit li = − xxki (ungeachtet der Reihenfolge, in der sie wechseln). Die entsprechende Matrix ist
die folgende:

1
 ..

.


1


lk+1
Gz,k = Ck+1,k,lk+1 × . . . × Cm,k,lm 



lk+2


..

.
lm

k

..

.

..

.

..







 .







.

1

Eine Gauÿ-Transformation Gx,k bewirkt, dass die Einträge unterhalb des Pivotelements xk
verschwinden:
  

x1
x1
 ..   .. 
 .  .   xk  xk  =  .
Gx,k = 
 0
x
k+1

  
 ..   .. 
 .  .

xm

162

0

8.2. Rechnungen mit Matrizen
Für eine Matrix A = [ai,j ] der Dimension m × n schreitet der Pivot-Algorithmus von Gauÿiterativ voran, von der linken zur rechten Spalte. Unter der Voraussetzung, dass die ersten
k − 1 Spalten bereits bearbeitet sind, was p ≤ k − 1 Pivots geliefert hat, wird die k -te Spalte
wie folgt behandelt:- Finde den ersten invertierbaren Eintrag ai,k der Spalte Ck auf einer Zeile i > p. Wir nennen
ihn die Pivotstelle.
- Wird keine Pivotstelle gefunden, gehe weiter zur nächsten Spalte.
- Wende die Transposition Ti,p+1 auf die Zeilen an, um die Pivotstelle auf die Position (p+1, k)zu setzen.
- Wende die Gauÿ-Transformation Gx,p+1 an mit x als der neuen Spalte Ck .
Dieser Algorithmus transformiert die Matrix A in eine obere Dreiecksmatrix. Genauer gesagt,
wird sie in Treppennormalform sein, d.h. dass der erste von 0 verschiedene Eintrag jeder Zeilesich rechts vom ersten solchen Eintrag der Zeile darüber bendet; auÿerdem nden sich alle
Nullzeilen unten in der Matrix. Hier ein Beispiel für den Ablauf dieses Algorithmus:

sage: a = matrix(GF(7),4,3,[6,2,2,5,4,4,6,4,5,5,1,3]); a


6 2 2
5 4 4
5 1 3
sage: u = copy(identity_matrix(GF(7),4)); u[1:,0] = -a[1:,0]/a[0,0]sage: u, u*a

 

1 0 0 0
6 2 2
5 1 0 0 0 0 0

 

6 0 1 0 , 0 2 3
5 0 0 10 4 6
sage: v = copy(identity_matrix(GF(7),4)); v.swap_rows(1,2)
sage: b = v*u*a; v, b|

 

1 0 0 0
6 2 2
0 0 1 0 0 2 3


 
0 1 0 0 , 0 0 0
0 0 0 10 4 6
sage: w = copy(identity_matrix(GF(7),4))
sage: w[2:,1] = -b[2:,1]/b[1,1]; w, w*b
 


1 0 0 06 2 2
0 1 0 0 0 2 3

 

0 0 1 0 , 0 0 0
0 5 0 10 0 0

163

8. Lineare Algebra
Die Transformation von Gauÿ-Jordan ähnelt dem GauÿAlgorithmus, es wird Gx,k die Transvektion hinzugefügt, die der Zeile mit dem Index i < kentspricht. Das läuft darauf hinaus, dass die Einträge einer Spalte unterhalb und oberhalb
des Pivots eliminiert werden. Teilt man auÿerdem jede Zeile durch ihren Pivot, erhält maneine Treppennormalform, die reduziert oder Gauÿ-Jordan-Form genannt wird. Für jede Äquivalenzklasse von Matrizen existiert eine eindeutige Matrix in dieser Gestalt; es handelt sichdabei also um eine Normalform.
Der Gauÿ-Jordan-Algorithmus.

Definition. Eine Matrix bendet sich in reduzierter Treppennormalform, wenn:- sich alle Nullzeilen unten in der Matrix benden,- der am weitesten links bendliche von 0 verschiedene Eintrag, der Pivot, eine 1 ist undrechts des Pivots der Zeile darüber liegt,- die Pivots die einzigen von 0 verschiedenen Einträge innerhalb ihrer Spalte sind.
Satz. Für jede Matrix A der Dimension m × n mit Einträgen aus einem Körper existierteine eindeutige Matrix R der Dimension m × n in reduzierter Treppennormalform und eine
invertierbare Matrix U der Dimension m × n, sodass U A = R gilt. Es handelt sich hierbei um
die Gauÿ-Jordan-Zerlegung.
In Sage erhält man die reduzierte Treppennormalform mit den Methoden echelonize undechelon_form. Die erstere ersetzt die ursprüngliche Matrix durch ihre reduzierte Treppennormalform, währen die zweite eine unveränderliche Matrix zurückgibt ohne die ursprüngliche zu
verändern.

sage: A = matrix(GF(7),4,5,[4,4,0,2,4,5,1,6,5,4,1,1,0,1,0,5,1,6,6,2])
sage: A, A.echelon_form()

 

4 4 0 2 4
1 0 5 0 3
5 1 6 5 4 0 1 2 0 6

 

1 1 0 1 0 , 0 0 0 1 5
5 1 6 6 2
0 0 0 0 0
Mehrere Varianten des Gauÿ-Algorithmus erscheinen als verschiedene Formen der Matrizenzerlegung, die bei Rechnungen zuweilen nützlich sind: Die Zerlegung A = LU für generische
Matrizen, A = LU P für reguläre Matrizen, A = LQU P oder A = P LU Q für Matrizen
beliebigen Ranges. Die Matrizen L sind untere Dreiecksmatrizen (mit Nullen oberhalb der
Hauptdiagonalen, auf englisch Lower triangular ), U obere Dreiecksmatrix (Upper triangular ),und die Matrizen P, Q sind Permutationen. Wenn diese Varianten algorithmisch auch weniger
aufwendig sind als die reduzierte Treppennormalform, bieten sie doch nicht den Vorteil, eine
Normalform zu liefern.
Auf einem euklidschen Ring sind die von 0verschiedenen Einträge nicht unbedint invertierbar, und der Gauÿ-Algorithmus beruht daher
auf der Auswahl des ersten invertierbaren Eintrags in der aktuellen Spalte als Pivot. So
können bestimmte Spalten, obwohl ein von 0 verschiedener Eintrag vorhanden ist, keinen
Pivot enthalten, und das Verfahren ist nicht durchführbar.

Treppennormalform auf euklidschen Ringen.

Es ist demgegenüber immer möglich, eine unimodulare Transformation zu denieren, die mit
Hilfe des erweiterten euklischen Algorithmus den Eintrag am Anfang einer Zeile mit demjenigen einer anderen eliminiert.

1648.2. Rechnungen mit Matrizena ∗Sei A =
und sei g = pgcd(a, b). Seien u und v die vom erweiterten, auf a und bb ∗angewandten euklidschen Algorithmus ermittelten Bézout-Koezienten (sodass g = ua + vb
ist), und s = −b/g , t = a/g sodass


 

u v a ∗g ∗=.
s t b ∗
0 ∗


v v
Diese Transformation ist unimodular, denn es gilt det= 1.
s tAuÿerdem kann man wie bei Gauÿ-Jordan den Zeilen darüber immer Vielfache der Pivotzeile
hinzufügen, um ihre Einträge in derselben Spalte modulo des Pivotelements g zu reduzieren.
Wird diese Operation nach und nach auf alle Spalten der Matrix angewendet, ergibt das die
hermitesche Normalform.
Definition. Eine Matrix heiÿt hermitesch, wenn

- sich die Nullzeilen unten benden,- die am weitesten links stehenden und von 0 verschiedenen Einträge jeder Zeile, die Pivotelemente heiÿen, sich rechts vom Pivotelement in der Zeile darüber benden,- alle Einträge oberhalb des Pivots reduziert sind modulo des Pivots.
Satz. Zu jeder Matrix A der Dimension m × n mit Koezienten aus einem euklidschen Ring

existieren eine eindeutige hermitesche Matrix H der Dimension m × n und eine unimodulare
Matrix U der Dimension m × m sodass U A = H gilt.

Bei einem Körpers entspricht die hermitesche Form der Zeilentreppenform oder der Form vonGauÿ-Jordan. In diesem Fall sind alle Pivotelemente tatsächlich invertierbar, jede Zeile kanndurch ihr Pivotelement dividiert werden, und die Einträge darüber können wieder durch eineGauÿ-Transformation eliminiert werden, wodurch eine reduzierte Treppennormalforn entsteht.
In Sage gibt es dafür eine einzige Methode: echelon_form, die entweder die hermitesche Formoder die reduzierte Treppennormalform zurückgibt, je nachdem, ob die Einträge der Matrix
aus einem Ring oder einem Körper kommen.
Für eine Matrix mit Koezienten aus Z beispielsweise erhalten wir zwei verschiedene Treppennormalformen, je nachdem ob die Basismenge Z oder Q ist:

sage: a = matrix(ZZ, 4, 6, [2,1,2,2,2,-1,1,2,-1,2,1,-1,2,1,-1,\-1,2,2,2,1,1,-1,-1,-1]);
 a.echelon_form()
1 2 0 54 −1
 0 3 0 2 −6 −7 
 0 0 1 3
30 
0 0 0 693
sage:
a.base_extend(QQ).echelon_form()
511 
1 0 0 02
6
 0 1 0 0 −3 − 8 
3  0 0 1 0 −3 −3 22
1
3
0 0 0 12
2

165

8. Lineare Algebra
Für Matrizen auf Z kann die hermitesche Normalform auch mit hermite_form berechnet
werden. Um die Übergangsmatrix U zu erhalten, sodass U A = H wird, können wir die Option
transformation=True wählen.

sage: A = matrix(ZZ,4,5,[4,4,0,2,4,5,1,6,5,4,1,1,0,1,0,5,1,6,6,2])
sage:
H, U

 
 H, U = A.echelon_form(transformation=True);
0
1
1 −1
1 1
0 0
2

 0 4 −6 0 −4   0 −1
5
0 

,

 0 001 
0 1 −2   0 −1
1 −2 −42
0 0
0 0
0Wenn wir die hermitesche Formmit weiteren unimodularen Transformationen von rechts (d.h. mit den Spalten) umformen,
erhalten wir eine kanonische Diagonalmatrix, die Normalform von Smith. Ihre Einträge auf
der Diagonalen sind die invarianten Faktoren (engl. elementary divisors ) der Matrix. Sie sindnach Teilbarkeit total geordnet (d.h. si | si+1 ).
Invariante Faktoren und die Normalform von Smith.

Satz. Zu jeder Matrix A der Dimension m × n mit Einträgen aus einem Hauptidealring

existieren unimodulare Matrizen U und V der Dimension m × m bzw. n × n und einem × n-Diagonalmatrix S , sodass S = U AV ist. Die Einträge si = Si,i erfüllen für i ∈{1, . . . , min(m, n)} die Beziehung si | si+1 und heiÿen invariante Faktoren von A.

In Sage gibt die Methode elementary_divisors die Liste der invarianten Faktoren zurück.Wir
können auÿerdem die Normaform von Smith berechnen sowie mit dem Befehl smith_form dieÜbergangsmatrizen U und V .

sage: A = matrix(ZZ, 4, 5, [-1,-1,-1,-2,-2,-2,1,1,-1,2,2,2,2,2,-1,2,2,2,2,2])
sage:
S,U,V = A.smith_form(); S,U,V




 

0 −2 −1 −5
0
1 0
0
0
 1
 1 0 0 0 001 −1 −1  0 1 0 0 0   0 0
1
0 
, 0
,


0
0
0
1 
 0 0 3 0 0   −2 1

0
0  
 −1

2
0
5
0 
0 0 −2 −1
0 0 0 6 0
0 −1
0 −2
0
sage: A.elementary_divisors()[1, 1, 3, 6]
sage: S == U*A*V
True
Der Gauÿ-Algorithmus oenbart zahlreiche Invarianten der Matrix wie ihren Rang und ihre Determinante (die als Produkt der Pivotstellengelesen werden kann). Sie sind mit den Funktionen det und rank zugänglich. Diese Werte werden intern gespeichert und werden deshalb bei einem erneuten Aufruf nicht nochmals
berechnet.
Rang, Rangprol und Pivotelemente.

Allgemeiner ist der Begri des Rangprols sehr nützlich, wenn die Matrix als Folge von Vektoren betrachtet wird.
Definition. Das Rangprol nach Spalten einer m × n-Matrix mit dem Rang r ist die Folge

der r lexikographisch minimalen Indizes, sodass die entsprechenden Spalten von A linear
unabhängig sind.

1668.2. Rechnungen mit Matrizen
Das Rangprol wird an der reduzierten Treppennormalform als Folge der Indizes der Pivotstellen direkt abgelesen. Es wird von der Funktion pivots berechnet. Wenn die reduzierte
Treppennormalform bereits berechnet ist, ist auch das Rangprol schon gespeichert und kannohne zusätzliche Rechnung erhalten werden.
Das Rangprol nach Zeilen ist auf ähnliche Weise deniert, indem die Matrix als Folge vonm Zeilenvektoren angesehen wird. Wir bekommen es mit dem Befehl pivot_rows oder als
Unterprodukt der reduzierten Treppennormalform der Transponierten Matrix.

sage: B = matrix(GF(7),5,4,[4,5,1,5,4,1,1,1,0,6,0,6,2,5,1,6,4,4,0,2])
sage:
B.transpose().echelon_form()
1 0 5 0 3
 0 1 2 0 6  0 0 0 1 5 
0 0 0 0 0
sage: B.pivot_rows()(0, 1, 3)
sage: B.transpose().pivots() == B.pivot_rows()
True
8.2.2. Lösung von Gleichungssystemen; Bild und Basis des Kerns

Ein lineares Gleichungssystem kann durch eine Matrix A
dargestellt werden und einen Vektor b, sei es von rechts: Ax = b, sei es von links: t xA = b. Die
Funktionen solve_right und solve_left bewirken die Lösung. Auch kann man, gleichwertig
dazu, die Operatoren A\b und b/A benutzen. Sobald das System durch eine Koezientenmatrix auf einem Ring gegeben ist, wird die Lösung systematisch auf dem Körper der Brüche
dieses Ringes berechnet (z.B. Q für Z oder K(X)) für K[X]). im weiteren wird man sehen,wie die Lösung im Ring selbst berechnet wird. Das rechte Glied in der Gleichung des Systems
kann sowohl ein Vektor sein als auch eine Matrix (was der gleichzeitigen Lösung mehrerer
linearer Systeme mit gleicher Matrix entspricht).
Lösung von Gleichungssystemen.

Die Matrizen der Systeme können rechteckig sein, und die System können keine, genau eineoder unendlich viele Lösungen besitzen. In diesem letzteren Fall gibt die Funktion solve einedieser Lösungen zurück, indem sie die Bestandteile, die linear abhängigen Spalten des Systems
entsprechen, zu null setzt.

sage: R.<x> = PolynomialRing(GF(5),'x')
sage: A = random_matrix(2,3); A
4x2 + 1 2x2 + 4x + 1
4x2 + 33x2 + 3x
3x + 4 2x2 + x + 1
sage: b = random_matrix(R,2,1); b


2x + 1
2x2 + x

167

8. Lineare Algebra
sage: A.solve_right(b)
4x2 + 3x + 3
 x2 + 3x + 3 
2x2 + x 

x2 + 3x + 30

sage: A.solve_right(b) == A\b
True
Als lineare Abbildung Φ interpretiert, deniert eine m × n-Matrix A zwei
Untervektorräume K m und K n bzw. Bild und Kern von Φ.
Bild und Kern.

Das Bild ist die Menge der Vektoren von K m , die durch Linearkombination der Spalten vonA erhalten wird, Man bekommt es mit der Funktion image, die einen Vektorraum mit derBasis in Treppennormalform zurückgibt.
Der Kern ist der Untervektorraum K n von Vektoren x, sodass Ax = 0 ist. Die Berechnung
einer Basis dieses Untervektorraums dient insbesondere zur Beschreibung der Lösungsmengeeines linearen Systems, wenn es unendlich viele Lösungen besitzt: wenn x̄ eine Lösung von
Ax = b ist und V der Kern von A, dann wird die Lösungsmenge einfach x̄ + V geschrieben.
Wir erhalten ihn mit der Funktion right_kernel, die eine Beschreibung des Vektorraums zusammen mit einer Basis in Gestalt der reduzierten Treppennormalform zurückgibt. Natürlichkönnen wir auch den Kern von links denieren (die Menge der x in K m mit t xA = 0), welcher
dem Kern von rechts der Transponierten von A entpricht (d.h. der Adjungierten von Φ). Denerhalten wir mit der Funktion left_kernel. Es ist festgelegt, dass die Funktion kernel den
Kern von links zurückgibt. Auÿerdem werden die Basen in beiden Fällen als Matrizen vonZeilenvektoren zurückgegeben.

sage: a = matrix(QQ,3,5,[2,2,-1,-2,-1,2,-1,1,2,-1/2,2,-2,-1,2,-1/2])
sage: a.image()
Vector space of degree 5 and dimension 3 over Rational Field
Basis matrix:[
10
0
1/4 -11/32][
0
1
0-1 -1/8]
[
0
0
1
1/2
1/16]
sage: a.right_kernel()
Vector space of degree 5 and dimension 2 over Rational Field
Basis matrix:[
100 -1/3 8/3][
0
1 -1/2 11/12 2/3]
Der Begri des Kerns wird für den Fall verallgemeinert, dass die Koezienten keine Körperelemente mehr sind; dann handelt es sich um ein freies Modul. Ist eine Matrix insbesondere übereinem Körper von Brüchen deniert, werden wir den Kern mit dem Befehl integer_kernel
in einem Basisring erhalten. Zu einer Matrix mit Koezienten aus Z beispielsweise, die in den
Vektorraum der Matrizen mit Koezienten aus Q eingebettet ist, können wir den Kern sehrwohl auch als Untervektorraum von Qm oder als freien Modul von Zm berechnen.

sage: a = matrix(ZZ,5,3,[1,1,122,-1,-2,1,-188,2,1,1,-10,1,-1,-1,-1])
sage: a.kernel()
Free module of degree 5 and rank 2 over Integer Ring168

8.2. Rechnungen mit Matrizen
Echelon basis matrix:[ 1 979 -11 -279 811]
[ 0 2079 -22 -569 1488]
sage: b = a.base_extend(QQ)
sage: b.kernel()
Vector space of degree 5 and dimension 2 over Rational Field
Basis matrix:[
1
0 -121/189 -2090/189 6949/63][
0
1-2/189 -569/2079 496/693]
sage: b.integer_kernel()
Free module of degree 5 and rank 2 over Integer Ring
Echelon basis matrix:[ 1 979 -11 -279 811]
[ 0 2079 -22 -569 1488]
8.2.3. Eigenwerte, Jordanform und Ähnlichkeitstransformationen

Wenn wir eine quadratische Matrix als linearen Operator interpretieren (ein Endomorphismus), ist sie nur die Darstellung zu einer gegebenen Basis. Jeder Basiswechsel entspricht einerÄhnlichkeitstransformation B = U −1 AU der Matrix. Die beiden Matrizen A und B heiÿen
deshalb ähnlich . So werden die Eigenschaften des linearen Operators, die von der Basis unabhängig sind, durch die Untersuchung der Ähnlichkeitsinvarianten der Matrix gefunden.
Unter diesen Invarianten sind die einfachsten der Rang und die Determinante. Tatsächlich ist
der Rang von U −1 AU , wobei U −1 und U invertierbare Matrizen sind, gleich dem Rang von A.
Auÿerdem ist det(U −1 AU ) = det(U −1 ) det(A) det(U ) = det(U −1 U ) det(A) = det(A). Ebenso
ist das charakteristische Polynom der Matrix A, das durch χA (x) = det(xId − A) deniert
ist, bei Ähnlichkeitstransformation invariant:det(xId − U −1 AU ) = det(U −1 (xId − A)U ) = det(xId − A).
Als Konsequenz sind die charakteristischen Werte einer Matrix, die als Wurzeln des charakteristischen Polynoms in ihrem Zerlegungskörper deniert sind, ebenfalls Ähnlichkeitsinvarianten. Denitionsgemäÿ ist ein Skalar λ ein Eigenwert einer Matrix A, wenn ein Vektor u, derkein Nullvektor ist, existiert, sodass Au = λu ist. Der einem Eigenwert λ zugeordnete Eigenraum ist die Menge der Vektoren u, sodass Au = λu ist. Das ist ein durch Eλ = Ker(λId − A)denierter Untervektorraum.
Die Eigenwerte fallen mit den charakteristischen Werten zusammen:det(λId − A) = 0 ⇔ dim(Ker(λId − A)) ≥ 1 ⇔ ∃u 6= 0, λu − Au = 0.
Diese beiden Sichtweisen entsprechen jeweils dem algebraischen bzw. dem geometrischen Ansatz der Eigenwerte. Bei der geometrischen Sichtweise interessieren wir uns für die Wirkung
des linearen Operators A auf die Vektoren des Vektorraums mit gröÿerer Genauigkeit als bei
der algebraischen Sichtweise. Insbesondere unterscheiden wir die Begrie der algebraischen
Vielfachheit, die der Ordnung der Wurzeln des charakteristischen Polynoms entspricht, vonder geometrischen Vielfachheit, die der Dimension des dem Eigenwert zugeordneten Eigenuntervektorraums entspricht. Bei diagonalisierbaren Matrizen sind beide Begrie äquivalent.
Andernfalls ist die geometrische Vielfachheit immer kleiner als die algebraische.

169

8. Lineare Algebra
Die geometrische Sichtweise erlaubt eine weitergehende Beschreibung der Struktur der Matrix.
Auÿerdem gibt es viel schnellere Algorithmen für die Berechnung der Eigenwerte und -räume
sowie der charakteristischen und minimalen Polynome.
Zyklische invariante Vektorräume und Frobenius-Normalform. Sei A eine n × n-Matrix
auf einem Körper K und u ein Vektor aus Kn . Die Familie der Vektoren u, Au, A2 u, . . ., An uheiÿt Krylow-Folge und ist damit verbunden (als Familie von n+1 Vektoren der Dimension n).
Sei d eine Zahl, sodass Ad u der erste Vektor der linear abhängigen Folge mit den Vorgängernu, Au, . . . , Ad−1 u ist. Wir schreiben diese Relation der linearen Abhängigkeit dann
d

A u=

d−1
X

αi Ai u.

i=0P
i
Das Polynom ϕA,u (x) = xd − d−1i=0 αi x , das die Gleichung ϕA,u (A)u = 0 erfüllt, ist somit
ein unitäres Annihilator-Polynom der Krylow-Folge und von minimalem Grad. Wir nennen
es das Minimalpolynom des Vektors u (bezüglich der Matrix A). Die Menge der AnnihilatorPolynome von u bildet ein von ϕA,u erzeugtes Ideal von K[X]
Das Minimalpolynom der Matrix A ist als unitäres Polynom ϕA (x) kleinsten Grades deniert, das die Matrix A annulliert: ϕA (A) = 0. Wenn insbesondere ϕA (A) auf den Vektor u
angewendet wird, stellen wir fest, dass ϕA ein Annihilator der Krylow-Folge ist. Es ist daher notwendigerweise ein Vielfaches des Minimalpolynoms von u. Überdie können wir zeigen(siehe Übung 30), dass ein Vektor ū existiert, sodass

ϕA,ū = ϕA .

(8.1)

Wird der Vektor u zufällig ausgewählt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Gl. (8.1) genügt,
numso gröÿer, je gröÿer der Körper ist (man kann zeigen, dass sie mindesten 1− |K|
beträgt).

Übung 30. Wir möchten zeigen, dass immer ein Vektor ū existiert, dessen Minimalpolynom
mit dem Minimalpolynom der Matrix zusammenfällt.

1. Sei (e1 , . . . , en ) eine Basis des Vektorraums. Zeigen Sie, dass ϕA mit dem kgV der ϕA,ei
zusammenfällt.
2. Zeigen Sie für den Fall, dass ϕA eine Potenz eines irreduziblen Polynoms ist, dass ein
Index i0 existiert, sodass ϕA = ϕA,ei0 wird.
3. Zeigen Sie, dass wenn die Minimalpolynome ϕi = ϕA,ei und ϕA,ej teilerfremd sind, dannϕA,ei +ej = ϕi ϕj gilt.
4. Zeigen Sie, dass wenn ϕA = P1 P2 mit teilerfremden P1 und P2 gilt, dann Vektoren
x1 6= 0 und x2 6= 0 existieren, sodass Pi das Minimalpolynom von xi ist.
mk1
5. Folgern Sie mit Faktorisierung in irreduzible Polynome, dass ϕA = ϕm
1 · . . . · ϕk gilt.

0 0 3 0 0
1 0 6 0 0
6. Veranschaulichung: sei A = 
0 1 5 0 0 eine Matrix aus GF(7). Berechnen Sie die
0 0 0 0 5

0 0 0 1 5
Grade der Minimalpolynome der Vektoren der kanonischen Basis u = e1 und v = e4

170

8.2. Rechnungen mit Matrizen
sowie von u+v . Wir können uns der Funktion maxspin(u) bedienen, die bei Anwendung
auf die Transponierte von A die maximale Folge der Iterierten von Krylow eines Vektors
u zurückgibt.
P
Sei P = xk + k−1
i=0 ein unitäres Polynom k -ten Grades. Die dem Polynom P zugeordnete
Begleitmatrix ist die k × k -Matrix, die deniert ist durch


0
−α0
1
−α1 


Cp =  .
..  .
.
.
. 
1 −αk−1
Diese Matrix hat die Eigenschaft, P als minimales und charakteristisches Polynom zu haben.
Sie spielt somit eine groÿe Rolle bei der Berechnung von minimalen und charakteristischen
Polynomen.
Proposition. Sei Ku die von den ersten d Krylow-Iterierten eines Vektors u gebildete Matrix.

Dann gilt

AKu = Ku CϕA,u
Wenn d = n ist, ist die Matrix Ku somit quadratisch der Ordnung n und invertierbar. Siedeniert eine Ähnlichkeitstransformation Ku−1 AKu = Ku CϕA,u , welche die Matrix A zu einer Begleitmatrix reduziert. Nun bewahrt diese Transformation die Determinante und somit
auch das charakteristische Polynom; wir können deshalb die Koezienten des minimalen undcharakteristischen Polynoms (die hier identisch sind) an der Begleitmatrix direkt ablesen.

sage: A = matrix(GF(97), 4, 4, [86,1,6,68,34,24,8,35,15,36,68,42,27,1,78,26])
sage: e1 = identity_matrix(GF(97),4)[0]sage: U = matrix(A.transpose().maxspin(e1)).transpose()sage:
F = U^-1*A*U;F
0 0 0 83
 1 0 0 77 
 0 1 0 20 
0 0 1 10sage: K.<x> = GF(97)[]
sage: P = x^4-sum(F[i,3]*x^i for i in range(4)); P
x4 + 87x3 + 77x2 + 20x + 14
sage: P == A.charpoly()
True
Im allgemeinen Fall (d ≤ n) bilden die iterierten Vektoren u, . . . , Ad−1 u eine Basis eines Untervektorraums I , der gegen Einwirkung der Matrix A invariant ist (d.h. AI ⊆ I ). Da wir
jeden dieser Vektoren zyklisch durch Anwendung der Matrix A auf den vorherigen Vektor
erhalten, nennen wir ihn auch zyklischen Untervektorraum. Die maximale Dimension einessolchen Untervektorraums ist der Grad des Minimalpolynoms der Matrix. Es wird von den
Krylow-Iterierten des in Übung 30 gebildeten Vektors erzeugt, den wir mit u∗1 bezeichnen.
Wir nennen ihn den ersten invarianten Untervektorraum. Dieser erste Vektorraum lässt einenkomplementären Vektorraum V zu. Bei Berechnung modulo des ersten invarianten Vektorraums, d.h. wenn zwei Vektoren als gleich gelten, wenn ihre Dierenz zum ersten invarianten
Untervektorraum gehört, können wir zu den Vektoren in diesem komplementären Vektorraum

1718. Lineare Algebra
einen zweiten invarianten Untervektorraum denieren wie auch ein Minimalpolynom, das die
zweite Ähnlichkeitsinvariante genannt wird. Wir erhalten dann eine Beziehung der Form:C,
A[Ku∗1 Ku∗2 ] = [Ku∗1 Ku∗2 ] ϕ1
Cϕ 2
worin ϕ1 , ϕ2 die beiden ersten Ähnlichkeitsinvarianten sind und Ku∗1 , Ku∗2 die Krylow-Matrizen,
die den beiden von den Vektoren u∗1 und u∗2 aufgespannten zyklischen Vektorräumen entsprechen.
Wir bilden iterativ eine quadratische, invertierbare Matrix K = [Ku∗1 . . . Ku∗k ], so dass


Cϕ1

−1
K AK = 


..

.


.

(8.2)

Cϕk
Da jedes u∗i durch die ϕj mit j ≤ i annulliert wird, ersehen wir daraus, dass ϕi | ϕi−1 für alle2 ≤ i ≤ k , anders gesagt, die Folge der ϕi ist bezüglich der Division total geordnet. Wir können
beweisen, dass zu jeder Matrix eine eindeutige Folge von invarianten Polynomen ϕ1 , . . . , ϕkexistiert. So ist die diagonale Blockmatrix Diag(Cϕ1 , . . . , Cϕk ), zur Matrix A ähnlich, und diese
Polynome zeigt eine Normalform, die rational kanonische Form genannt wird oder FrobeniusNormalform.
Satz (Frobenius-Normalform).
Jede quadratische
Matrix A auf einem Körper ist zu einer



Cϕ1

eindeutigen Matrix F = ..

 mit ϕi+1 | ϕi für jedes i < k ähnlich.

.

CϕkGemäÿ Gl. (8.2) können wir anscheinend die Basen der invarianten Untervektorräume an derÜbergangsmatrix K ablesen.
Bemerkung. Der Satz von Caley-Hamilton besagt, dass das charakteristische Polynom seine

Matrix annulliert: χA (A) = 0. Das zu beweisen ist nach Einführung der Frobenius-Normalform
einfach. Es giltχA (x) = det(xId − A) = det(K) det(xId − F ) det(K −1 )
=

k
Y
i=1

det(xId − Cϕi ) =kY

ϕi (x).

i=1

Somit ist das Minimalpolynom ϕ1 ein Teiler des charakteristischen Polynoms, das deshalb
Annihilator der Matrix A ist.
In Sage können wir die Frobenius-Normalform in Q mit Koezienten aus Z mit der Methodefrobenius berechnen1 :sage: A = matrix(ZZ,8,[[6,0,-2,4,0,0,0,-2],[14,-1,0,6,0,-1,-1,1],\....:[2,2,0,1,0,0,1,0],[-12,0,5,-8,0,0,0,4],\....:[0,4,0,0,0,0,4,0],[0,0,0,0,1,0,0,0],\....:[-14,2,0,-6,0,2,2,-1],[-4,0,2,-4,0,0,0,4]])
1

Das ist eine leichte Abweichung der aktuellen Schnittstelle des Programms: obwohl die Frobenius-Form fürjede Matrix auf einem Körper deniert ist, erlaubt Sage die Berechnung nur für Matrizen auf Z und bewirkt
implizit die Einbettung in Q.

172

8.2. Rechnungen mit Matrizen
sage: A.frobenius()
0 0 0 4 0 0 0
 1 0 0 4 0 0 0
 0 1 0 1 0 0 0

 0 0 1 0 0 0 0

 0 0 0 0 0 0 4
 0 0 0 0 1 0 0
 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0


0
0 

0 

0 

0 

0 

0 
2

Auÿerdem können wir die Liste der invarianten Polynome erhalten, indem wir als Argument
1 übergeben. Um Informationen zu den zugeordneten invarianten Vektorräumen zu erhalten,übergeben wir das Argument 2, was die Übergangsmatrix K erzeugt. Sie liefert eine Basisdes gesamten Vektorraums, der in die direkte Summe der invarianten Vektorräume zerlegt
wird:

sage:
A.frobenius(1) 4x − x2 − 4x − 4, x3 − x2 − 4, x − 2sage: F,K = A.frobenius(2)sage: K

15
17
15
17
15
1 − 560 − 112224
56 − 896
29
13
23
17
17
29
 0
224 − 224 − 448 − 896 − 896
448

75
75
47
17
23
 0 −
0 − 896 − 448
896
896 − 896

29
15
17
 0
0
0
0
896 − 896
896

 0
0
0
0
1
0
0

 0
0
0
0
0
1
0

 0
1
0
0
0
0
1
4
4
2
0 − 21
− 21
− 10
0
0
−
21
21

17
64
13
128
11
128







0 

0 

0 

0 
1

sage: K^-1*F*K == A
True
Diese Resultate geben zu verstehen, dass die Matrix A mit Koezienten aus Z in den Körper
Q eingebettet wurde. Um das Verhalten der Matrix A auf dem freien Modul Zn und die Zerlegung des Moduls, das sie erzeugt, zu studieren, benutzen wir die Funktion decomposition;
allerdings sprengt deren Studium den Rahmen dieses Buches.
Invariante Faktoren und Ähnlichkeitsinvarianten. Eine wichtige Eigenschaft verbindet dieÄhnlichkeitsinvarianten mit den invarianten Faktoren, die wir in Unterabschnit 8.2.1 gesehen
haben.

Satz. Die Ähnlichkeitsinvarianten einer Matrix A mit Koezienten aus einem Körper ent-

sprechen den invarianten Faktoren ihrer charakteristischen Matrix xId − A.

Der Beweis dieses Resultats sprengt den Rahmen dieses Buches, sodass wir uns mit der Veranschaulichung des vorigen Beispiels zufrieden geben.

sage: S.<x> = QQ[]
sage: B = x*identity_matrix(8) - A
sage:
B.elementary_divisors()
1, 1, 1, 1, 1, x − 2, x3 − x2 − 4, x4 − x2 − 4x − 4

173

8. Lineare Algebra
sage:
A.frobenius(1) 4x − x2 − 4x − 4, x3 − x2 − 4, x − 2
Eigenwerte, Eigenvektoren Wenn wir das Minimalpolynom in irreduzible Faktoren zerlegen,mm
ϕ1 = ψ1m1 · . . . · ψsms , dann werden alle invarianten Faktoren in der Form ϕi = ψ1 i,1 · . . . · ψs i,smit den Multiplizitäten mi,j ≤ mk geschrieben. Wir zeigen, dass dann eine Ähnlichkeitstransformation gefunden werden kann, die jeden Begleitblock Cϕ der Frobenius-Form in einen
Diagonalblock Diag(Cψmi,1 ) , . . . , Cψmi,s ) ) verwandelt. Diese Variante der Frobenius-Form, dies1
wir Zwischenform nennen, wird immer von Begleitblocks gebildet, doch diesmal entsprichtjeder einer Potenz eines irreduziblen Polynoms.
Cψm1,1
1


..


.




Cψm1,s


s




Cψm2,1


1

F =
(8.3)
..


.




..


.




Cψmk,1


1


..
.

Sobald ein irreduzibler Faktor ψi den Grad 1 und die Multiplizität 1 hat, ist sein Begleitblock eine 1 × 1-Matrix auf der Diagonalen und entspricht somit einem Eigenwert. Wenn das
Minimalpolynom reduzibel und quadratfrei ist, ist die Matrix deshalb diagonalisierbar.
Die Eigenwerte erhalten wir mit der Methode eigenvalues. Die ihrem Eigenwert und dessen
Vielfachheit zugeordnete Liste der Eigenvektoren von rechts (bzw. von links) wird durch die
Methode eigenvectors_right (bzw. eigenvectors_left) angegeben. Schlieÿlich werden die
Eigenräume wie auch deren Basis von Eigenvektoren von den Methoden eigenspaces_rightund eigenspaces_left geliefert.

sage: A = matrix(GF(7),4,[5,5,4,3,0,3,3,4,0,1,5,4,6,0,6,3])
sage: A.eigenvalues()[4, 1, 2, 2]
sage: A.eigenvectors_right()[(4, [(1, 5, 5, 1)], 1), (1, [(0, 1, 1, 4)], 1), (2, [(1, 3, 0, 1),(0, 0, 1, 1)], 2)]
sage: A.eigenspaces_right()[(4, Vector space of degree 4 and dimension 1 over Finite Field of size 7User basis matrix:[1 5 5 1]),
(1, Vector space of degree 4 and dimension 1 over Finite Field of size 7174

8.2. Rechnungen mit Matrizen
User basis matrix:[0 1 1 4]),(2, Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 7User basis matrix:[1 3 0 1][0 0 1 1])]
Kürzer gibt die Methode eigenmatrix_right das aus der diagonalisierten Matrix und der Matrix ihrer Eigenvektoren von rechts gebildete Paar zurück. (Die Methode eigenmatrix_left
tut dasselbe mit den Eigenvektoren von links).

sage:
 A.eigenmatrix_right()
 

4 0 0 01 0 1 0 0 1 0 0   5 1 3 0 

 

 0 0 2 0  ,  5 1 0 1 
0 0 0 2
1 4 1 1
Wenn das Minimalpolynom reduzibel ist, aber Faktoren hat, deren Vielfachheitgröÿer ist als 1, ist die Zwischenform (8.3) nicht diagonal. Wir beweisen jetzt, dass es keineÄhnlichkeitstransformation gibt, die sie diagonal macht, die anfängliche Matrix ist also nicht
diagonalisierbar. Wir können sie jedoch trigonalisieren, d.h. sie zu einer oberen Dreiecksmatrix machen, sodass ihre Eigenwerte auf der Diagonalen erscheinen. Unter den verschiedenen
möglichen Dreiecksmatrizen ist die am weitesten vereinfachte die Jordan-Normalform.
Jordanform.

Ein Jordanblock Jλ,k , der dem Eigenwert λ und der Ordnung k zugeordnet ist, ist die k × k Matrix Jλ,k , die gegeben ist durch


λ 1


.. ..


.
.
Jλ,k = 
.

λ 1
λ
Diese Matrix spielt eine ähnliche Rolle wie die Begleitblöcke, indem sie die Multiplizität eines
Eigenwertes genauer aufzeigt. Tatsächlich ist ihr charakteristisches Polynom χJλ,k = (X −λ)k .
Des weiteren ist auch ihr Minimalpolynom ϕJλ,k = (X − λ)k und ist notwendigerweise ein
Vielfaches von P = X − λ. Nun ist die Matrix
0 1
 .. ..
.
. P (Jλ,k ) = 


0 1
0
nilpotent der Ordnung k , woraus ϕJλ,k = χJλ,k = (X − λ)k folgt. Die Jordan-Normalformmentspricht der Zwischenform (8.3), wobei die Begleitblöcke ψj i,j durch Jordanblöcke Jλj ,mi,jersetzt sind (wir erinnern uns, dass wenn das Minimalpolynom reduzibel ist, die ψj in derForm X − λj geschrieben werden).

175

8. Lineare Algebra
Bei reduziblem Minimalpolynom ist somit jede Matrix ähnlich einer Jordanmatrix der Form
Jλ1 ,m1,1


..


.




J
λ
,m
s
1,s




Jλ1 ,m2,1



..
J =
(8.4)


.




..


.




Jλ1 ,mk,1..
.
Insbesondere ist die Jordanform auf jedem algebraisch abgeschlossenen Körper wie C stetsdeniert.
In Sage produziert der Konstruktor jordan_block(a,k) den Jordanblock Ja,k . Die JordanNormalform erhalten wir mit jordan_form. Die Option transformation=True erlaubt, die
Transformationsmatrix U zu erhalten, sodass U −1 AU in Jordanform ist.

sage: A = matrix(ZZ,4,[3,-1,0,-1,0,2,0,-1,1,-1,2,0,1,-1,-1,3])
sage:
A.jordan_form()
3 0 0 0
 0 3 0 0 
 0 0 2 1 
0 0 0 2sage: J,U = A.jordan_form(transformation=True)
sage: U^-1*A*U == J
True
Die Jordanform ist bis auf eine Permutation der Jordanblöcke eindeutig. Gemäÿ der Literatur kann man vorschreiben oder auch nicht, dass die Reihenfolge ihres Auftreten auf der
Diagonalen wie in Gleichung (8.4) der Reihenfolge der invarianten Polynome entspricht. Wir
bemerken in obigem Beispiel, dass Sage diese Ordnung nicht respektiert, weil das erste invariante Polynom (das Minimalpolynom) das Polynom (X − 3)(X − 2)2 ist.
Der Vollständigkeit halber müssen wir eine letzte Normalform erwähnen, welche die Jordanform für den beliebigen Fall verallgemeinert, wo das Minimalpolynom
nicht reduzibel ist. Für ein irreduzibles Polynom P k -ten Grades denieren wir den Jordanblock der Multiplizität m als die Matrix JP,m der Dimension km × km


CP B


..
..


.
.
JP,m = .

CP N 
CP
Primäre Normalform.

wobei B die k × k -Matrix ist, deren einziger von null verschiedener Eintrag Bk,1 = 1 ist, und
CP ist die dem Polynom P zugeordnete Begleitmatrix (Unterabschnitt 8.2.3). Wir sehen, wie
wir für P = X −λ den dem Eigenwert λ zugeordneten Jordanblock wiedernden. Auf ähnliche176

8.2. Rechnungen mit Matrizen
Weise zeigen wir, dass für die minimalen und die charakteristischen Polynome dieser Matrix
gilt:χJP,m = ϕJP,m = P m .
Somit zeigen wir, dass eine Ähnlichkeitstransformation existiert, die jeden Begleitblock Cψj mi,jder Zwischenform (8.3) durch einen Jordanblock Jψj,mi,j ersetzt. Die so gebildete Form wird
beschränkte Form oder auch zweite Frobeniusform genannt. Es handelt sich hierbei wieder um
eine Normalform, d.h. sie ist eindeutig bis auf eine Permutation der Blöcke auf der Diagonalen.
Die Einzigartigkeit dieser Normalformen ermöglicht insbesondere zu testen, ob zwei Matrizenähnlich sind und bei dieser Gelegenheit eine Matrix für den Übergang der einen in die andere
zu erzeugen.

Übung 31. Schreiben Sie ein Programm, das bestimmt, ob zwei Matrizen A und B ähnlich

sind und das die Übergangsmatrix U zurückgibt, sodass A = U −1 BU ist (es wird Nonezurückgegeben, wenn die Matrizen nicht ähnlich sind).

177

9. Polynomiale Systeme
Dieses Kapitel führt die beiden vorigen weiter. Sein Gegenstand sind Gleichungssysteme mit
mehreren Variablen wie in Kapitel 8. Diese Gleichungen sind nun Polynome wie in Kapitel 7.
Im Vergleich zu Polynomen in einer einzigen Unbestimmten präsentieren diese in mehreren
Unbestimmten einen groÿen mathematischen Reichtum, aber auch neue Schwierigkeiten, diebesonders damit zusammenhängen, dass der Ring K[x1 , . . . , xn ] kein Hauptidealring ist. Die
Theorie der Gröbnerbasen liefert Werkzeuge, diese Begrenzung zu umgehen. Im Endeekt verfügen wir über machtvolle Methoden zur Untersuchung polynomialer Systeme mit unzähligen
Anwendungen auf den verschiedensten Gebieten.
Ein guter Teil des Kapitels setzt nur Grundkenntnisse über Polynome in mehreren Unbestimmten voraus. Manche Passagen sind jedoch auf dem Niveau einer Vorlesung über kommutative
Algebra im fortgeschrittenen Bachelor- oder im Masterstudium. Sucht der Leser eine leichter zugängliche Einführung in die mathematische Theorie der polynomialen Systeme, kommt(in französischer Sprache) der Beitrag von Faugère und Safey El Din in [FSE09] in Frage.
Eine eher fortgeschrittene Behandlung ndet man in dem Buch von Elkadi und Mourrain[EM07]. Schlieÿlich, und diesmal in englischer Sprache, ist das Buch von Cox, Little und
O'Shea [CLO07] sowohl leicht zugänglich als auch umfassend.

9.1. Polynome in mehreren Unbestimmten
9.1.1. Die Ringe A[x1 , . . . , , xn ]Wir interessieren uns hier für Polynome in mehreren Unbestimmten, die auch - mit dem inder symbolischen Mathematik verbreiteten Anglizismus - multivariat genannt werden.
Wie bei anderen algebraischen Strukturen, die es in Sage gibt, müssen wir vor der Bildung
von Polynomen eine Familie von Unbestimmten denieren, die alle zum selben Ring gehören.
Die Synntax ist praktisch die gleiche wir für eine Variable (siehe Unterabschnitt 7.1.1):

sage: R = PolynomialRing(QQ, 'x,y,z')
sage: x,y,z = R.gens() # ergibt das n-Tupel der Unbestimmten
oder kürzer:

sage: R.<x,y,z> = QQ[]
(oder auch R = QQ['x,y,z']). Der Konstruktor PolynomialRing erlaubt auch die Erzeugung
einer Familie von Unbestimmten gleichen Namens mit ganzzahligen Indizes:

sage: R = PolynomialRing(QQ, 'x', 10)
Die Unterbringung des n-Tupels, das von gens zurückgegeben wird, in der Variablen x erlaubt
nun natürlich mit x[i] den Zugri auf die Unbestimmte xi :179

9. Polynomiale Systeme
sage: x = R.gens()
sage: sum(x[i] for i in xrange(5))
x0 + x1 + x2 + x3 + x4
Die Reihenfolge der Variablen ist wichtig. Der Vergleich von QQ['x,y'] und QQ['y,x'] mit== gibt falsch zurück und dasselbe Polynom, das als Element des einen oder des anderen
gesehen wird, wird unterschiedlich ausgegeben:

sage: def test_poly(ring, deg=3):....:
monomials = Subsets(....:flatten([(x,)*deg for x in (1,) + ring.gens()]),....:
deg, submultiset=True)....:
return add(mul(m) for m in monomials)
sage: test_poly(QQ['x,y'])x^3 + x^2*y + x*y^2 + y^3 + x^2 + x*y + y^2 + x + y + 1
sage: test_poly(QQ['y,x'])y^3 + y^2*x + y*x^2 + x^3 + y^2 + y*x + x^2 + y + x + 1
sage: test_poly(QQ['x,y']) == test_poly(QQ['y,x'])TrueÜbung 32. Erläutern Sie die Arbeitsweise der soeben denierten Funktion test_poly.
Des weiteren erfordert das Schreiben des Polynoms in kanonischer Form die Festlegung einer Reihenfolge der Summanden. Das Ordnen nach der Gröÿe der Exponenten drängt sichauf, wenn es nur eine Unbestimmte gibt, doch bei multivariaten Polynomen erfüllt keine
Reihenfolge der Monome alle Wünsche. Sage ermöglicht deshalb mit der Option order von
PolynomialRing die Wahl zwischen verschiedenen Möglichkeiten. Die Reihenfolge deglex
zum Beispiel ordnet die Monome nach dem Totalgrad, der Summe der Exponenten und bei
Gleichheit dann nach der lexikographischen Reihenfolge der Unbestimmten:

sage: test_poly(PolynomialRing(QQ, 'x,y', order='deglex'))x^3 + x^2*y + x*y^2 + y^3 + x^2 + x*y + y^2 + x + y + 1
Konstruktion von Polynomringen
Ring A[x, y]Ring A[x0 , . . . , xn−1 ]Ring A[x0 , x1 , . . . , y0 , y1 , . . .]n-Tupel von Generatoren
1., 2.,. . . Generator
Unbestimmte von R = A[x, y][z] . . .
Umwandlung A[x1 , x2 , y] → A[x1 , x2 ][y]PolynomialRing(A, 'x,y') oder A['x,y']
PolynomialRing(A, 'x', n)InfinitePolynomialRing(A, ['x','y'])R.gens()R.0, R.1,. . .
R.variable_names_recursive()p.polynomial(y)Zugri auf Koezienten
Exponenten, Koezienten
Koezient eines Monoms
Grad(e) gesamt, in x, partiell
Leitmonom/Leitkoezient/Leitterm

p.exponents(), p.coefficients()p[x^2*y] oder p[2,1]p.degree(), p.degree(x), p.degrees()p.lm(), p.lc(), p.lt()

Grundlegende Operationen
Transformation der Koezienten
partielle Ableitung ∂/∂x
Auswertung p(x, y)x=a,y=b
Homogenisierung
Hauptnenner (p ∈ Q[x, y, . . .])p.map_coefficients(f)p.dervative(x)p.subs(x=a, y=b) oder p(x=a, y=b)p.homogenize()p.denominator

Tab. 9.1 - Polynome in mehreren Unbestimmten

1809.1. Polynome in mehreren Unbestimmten
Die wichtigsten verfügbaren Ordnungen werden in Unterabschnitt 9.3.1 genau beschrieben.
Wir werden sehen, dass die Wahl der Ordnung nicht nur eine Frage der Ausgabe ist, sondern
auch bestimmte Rechnungen beeinusst.

Übung 33.

Denieren Sie den Ring Q[x2 , x3 , . . . , x37 ], dessen Unbestimmte durch die Primzahlen unterhalb 40 indiziert sind und mit x2, x3,...,x37 auf die Unbestimmten zugegrienwerden kann.
Es kann sich in einigen Fällen als nützlich erweisen, Polynome in mehreren Unbestimmten inrekursiver Darstellung zu bearbeiten, d.h. als Elemente eines Polynomrings mit Koezienten,
die selber Polynome sind (siehe den Rahmen auf Seite 129)9.1.2. Polynome

Genau wie Polynome in einer Variablen Instanzen der Klasse Polynomial sind, sind Polynome
in mehreren Variablen (in Ringen mit einer endlichen Anzahl von Unbestimmten) Instanzen
der Klasse MPolynomial1 . Bei normalen Basisringen (wie Z, Q oder Fq ) stützen sie sich auf
das Programm Singular, ein CAS, das auf schnelle Rechnungen mit Polynomen spezialisiert
ist. In den übrigen Fällen weicht Sage auf eine viel langsamere generische Implementierungaus.

1Anders

als

man

muss

Polynomial
den

ist

vollständigen

diese

Klasse

Namen

nicht

verwenden.

direktWirnachkönnender

Kommandozeile

beispielsweisemitzugänglich:

isinstance(p,sage.rings.polynomial.multi_polynomial.MPolynomial) testen, ob ein Objekt ein multivariates Polynom ist

181

9. Polynomiale Systeme

Die Ringe A[(x , y . . . .)
n

n

n∈N ]

Es kommt vor, dass man bei Beginn einer Rechnung nicht weiÿ, wieviele Variablen
gebraucht werden. Das nimmt PolynomialRing jedoch ziemlich genau: man muss mit
einer ersten Denitionsmenge beginnen und dann jedesmal, wenn eine neue Variablehinzukommen soll, erweitern und alle Elemente konvertieren.
Polynomringe in unendlich vielen Unbestimmten bieten eine viel exiblere Datenstruktur. Ihre Elemente können Variable enthalten, die aus einer oder mehreren unenlichen Familien von Unbestimmten genommen werden. Jeder Generator des Ringes
entpricht nicht einer einzigen Variablen, sondern einer Familie von Variablen, diedurch natürliche Zahlen indiziert werden:
sage: R.<x,y> = InfinitePolynomialRing(ZZ, order='lex')
sage: p = mul(x[k] - y[k] for k in range(2)); px_1*x_0 - x_1*y_0 - x_0*y_1 + y_1*y_0
sage: p + x[100]x_100 + x_1*x_0 - x_1*y_0 - x_0*y_1 + y_1*y_0
Wir gelangen mit der Methode polynomial zu einem normalen Polynomring PolynomialRing zurück, der das Bild eines Elementes eines
InfinitePolynomialRing aus einem Ring zurückgibt, der groÿ genug ist, um
alle Elemente des Ringes in unendlich vielen Variablen zu enthalten, die bis dahin
bearbeitet sind. Der erhaltene Ring ist im allgemeinen nicht der kleinste mit dieser
Eigenschaft.
Im Gegensatz zu dieser Flexibilität sind diese Ringe weniger ezient als Ringe aus
PolynomialRing. Auÿerdem werden ihre Haupideale bei Rechnungen mit polynomialen Systemen, dem zentralen Gegenstand dieses Kapitels, nicht durch solche dernormalen Polynomringe ersetzt
Polynome in mehreren Unbestimmten werden immer in dünn besetzter Darstellung kodiert2 .
Wozu die Festlegung? Ein voll besetztes Polynom in n Variablen des gesamten Grades d
Monome: für n = d = 10 macht das 184756 zu speichernde Koezienten! Es
zählt n+d
n
ist deshalb sehr schwierig, grosse voll besetzte Polynome so zu behandeln, wie man das bei
einer Variablen tut. Auÿerdem haben die Stützstellen (die Positionen der von 0 verschiedenen
Monome), denen man in der Praxis begegnet, verschiedene Formen. Wenn nun beispielsweise
ein bis zum gesamten Grad d − 1 voll besetztes Polynom in n Variablen mit groÿem d durch
ein rechteckiges Schema d × . . . × d dargestellt wird, ist nur etwa ein Koezient von n! vonnull verschieden. Umgekehrt wird die dünn besetzte Darstellung durch ein Diktionär an die
Form der Stützstellen sowie an die auf den Monomen geltende Ordnung angepasst.
9.1.3. Grundlegende Operationen

Legen wir etwas Terminologie fest. Sei R = A[x1 , . . . , xn ] ein Polynomring. Wir nennen Moα ααnom einen Ausdruck der Form x1 1 x2 2 . . . xn n , d.h. ein Produkt von Unbestimmten, das wirαabkürzend x nennen. Das n-Tupel ganzer Zahlen α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ist der Exponent
des Monoms xα . Ein Term ist ein Monom multipliziert mit einem Element aus A, seinem
Koezienten.
2

Die rekursive Darstellung (siehe Kasten Seite 129) liefert indessen eine teilweise voll besetzte Form multivariater Polynome. Bei der Darstellung eines Polynoms aus A[x][y] im Speicher belegt jeder Koezient vony k (im allgemeinen) Platz, der zu seinem Grad in x proportional ist und dem Platz proportional zum Gradvon y für das Polynom selbst hinzugefügt werden muss.

182

9.1. Polynome in mehreren Unbestimmten
Da die Anordnung der Terme nicht eindeutig ist, haben die Elemente von R als mathematische Objekte keinen Leitkoezienten. Ist bei der Erzeugung des Ringes aber eine Ordnung
festgelegt worden, ist es möglich und nützlich, das in der Ausgabe am weitesten links stehende
Monom als Leitmonom festzulegen. Die Methoden lm (für leading monomial ), lc (leading coecient ) und lt (leading term ) eines Polynoms in mehreren Varianten geben das Leitmonom,
dessen Koezienten bzw. den Term, den sie zusammen bilden, zurück:

sage: R.<x,y,z> = QQ[]
sage: p = 7*y^2*x^2 + 3*y*x^2 + 2*y*z + x^3 + 6
sage: p.lt()
7*x^2*y^2
Die arithmetischen Operationen +, - und * ebenso wir die Methoden dict, coefficients
und viele andere werden wie ihre Analoga in nur einer Variablen verwendet. Zu den kleinen
Unterschieden gehört, dass der Operator [] für die Extraktion eines Koezienten als Parameter
sowohl dessen Monom als auch dessen Exponenten akzeptiert:

sage: p[x^2*y] == p[(2,1,0)] == p[2,1,0] == 3
True
Ebenso müssen bei der Auswertung Daten für alle Variablen eingegeben oder die zu substituierenden präzisiert werden:

sage: p(0, 3, -1)
0
sage: p.subs(x = 1, z = x^2+1)
2*x^2*y + 7*y^2 + 5*y + 7
Die Methode subs kann auch gleichzeitig eine beliebige Anzahl von Variablen ersetzen, siehe die Dokumentation hinsichtlich anspruchsvollerer Beispiele. Der Grad kann als gesamte
Summe der Exponenten (total) und für einzelne Variablen (partiell) ausgegeben werden:

sage: print "total={d} (nur x)={dx} partiell={ds}"\....: .format(d=p.degree(), dx=p.degree(x), ds=p.degrees())
total=4(nur x)=3
partiell=(3, 2, 1)Andere Konstruktionen erfahren evidente Anpassungen, beispielsweise erhält die Methodederivative diejenige Variable als Parameter, nach der abgeleitet werden soll.
9.1.4. ArithmetikAuÿer den elementaren syntaktischen und arithmetischen Operationen sind die in Sage verfügbaren Funktionen generell auf Polynome auf einem Körper und zuweilen auf Z oder Z/nZ
beschränkt. In diesem Kapitel bewegen wir uns auf einem Körper, wenn anders nicht explizit
erwähnt.
Die euklidsche Polynomdivision hat nur in einer Variablen Sinn. In Sage bleiben die Methode quo_rem und die zugehörigen Operatoren // und % für multivariate Polynome dennochdeniert. Die Division mit Rest, die damit berechnet wird, genügt der Beziehung(p//q)*q + (p%q) == p

183

9. Polynomiale Systeme
und stimmt mit der euklidschen Division überein, wenn p und q nur von einer Variablen
abhängen. Das ist dann aber selbst keine euklidsche Division und sie ist nicht kanonisch. Sie
erweist sich dennoch als nützlich, wenn die Division exakt ist oder wenn der Divisor ein Monomist. In den übrigen Fällen ziehen wir die in Unterabschnitt 9.2.3 beschriebene Funktion mod
der Funktion quo_rem und ihren Varianten vor, weil sie ein Polynom modulo eines Haupideals
reduziert und die Festlegung der Ordnung der Monome berücksichtigt:

sage: R.<x,y> = QQ[]; p = x^2 + y^2; q = x + y
sage: print("({quo})*({q}) + ({rem}) == {p}".format( \....:quo=p//q, q=q, rem=p%q, p=p//q*q+p%q))(-x + y)*(x + y) + (2*x^2) == x^2 + y^2
sage: p.mod(q) # ist NICHT äquivalent zu p%q
Die Methoden divides, gcd, lcm oder auch factor haben die gleiche Bedeutung wie bei
nur einer Variablen. Wegen fehlerhafter euklidscher Division sind die ersteren bei Koezienten beliebigen Typs nicht einsetzbar, sie funktionieren jedoch auf diversen gebräuchlichen
Körpern, beispielsweise dem Körper der Zahlen:

sage: R.<x,y> = QQ[exp(2*I*pi/5)][]sage: (x^10 + y^5).gcd(x^4 - y^2)x^2 + ysage: (x^10 + y^5).factor()(x^2 + y) * (x^2 + (a^3)*y) * (x^2 + (a^2)*y) * (x^2 + (a)*y) * (x^2 +(-a^3 - a^2 - a - 1)*y)9.2. Polynomiale und ideale Systeme
Nun wenden wir uns dem zentralen Gegenstand dieses Kapitels zu. Die Unterabschnitte 9.2.1
und 9.2.2 bieten ein Panorama der verschiedenen Möglichkeiten, mit Hilfe von Sage Lösungeneines Systems von polynomialen Gleichungen zu nden und zu verstehen. Der Unterabschnitt
9.2.3 ist den diesen Systemen zugeordneten Haupidealen gewidmet. Die danach folgenden
Abschnitte kommen auf die Werkzeuge zur algebraischen Elimination und zur Lösung dieser
Systeme vertiefend zurück.
9.2.1. Ein erstes Beispiel

Wir betrachten eine Variante des polynomialen Systems aus Abschnitt 2.2:
 2
 x yz = 18
xy 3 z = 24xyz 4 = 6.
Operationen auf Polynomen mit mehreren Unbestimmten
Teilbarkeit p | q
Faktorisierung
ggT, kgV
Test ob quadratfrei
Resultante Resx (p, q)

p.divides(q)p.factor()p.gcd(q), p.lcm(q)p.is_squarefreep.resultant(q, x)

Tab. 9.2 - Arithmetik

184

(9.1)

9.2. Polynomiale und ideale Systeme
Sages Funktion solve hatte uns nur erlaubt, eine numerische Lösung zu nden. Wir sehen
jetzt, wie es Sage gelingt, das System exakt zu lösen, und mit etwas Unterstützung durch den
Anwender einfache geschlossene Formen für alle Lösungen zu nden3 .
Wir beginnen damit, das Problem in mehr algebraische Form zu
bringen, indem wir das Ideal von Q[x, y, z] mit diesen Gleichungen bilden:
Auisten der Lösungensage: R.<x,y,z> = QQ[]
sage: J = R.ideal(x^2 * y * z - 18,....:x * y^3 * z - 24,....:x * y * z^4 - 6)
Wie wir in Unterabschnitt 9.2.3 sehen werden, erlaubt uns der folgende Befehl zu verizieren,dass das Ideal J die Dimension null hat, d.h. dass das System (9.1) auf C3 eine endliche Zahl
von Lösungen besitzt.

sage: J.dimension()0
Der erste Reex ist nun, mit der Methode variety alle Lösungen des System zu berechnen.
Ohne Parameter liefert sie alle Lösungen auf dem Basiskörper des Polynomrings:

sage: J.variety()[{y: 2, z: 1, x: 3}]
Die bereits gefundene Lösung (3, 2, 1) ist demnach die einzige Lösung des Systems.
Der folgende Schritt besteht in der Auistung der komplexen Lösungen. Um das exakt zu tun,arbeiten wir auf dem Körper der algebraischen Zahlen. Wir bekommen 17 Lösungen:sage: V = J.variety(QQbar)
sage: len(V)17
Die letzten drei Lösungen haben folgendes Aussehen:sage: V[-3:][{z: 0.9324722294043558? - 0.3612416661871530?*I, y: -1.700434271459229?
+ 1.052864325754712?*I, x: 1.337215067329615? - 2.685489874065187?*I},{z: 0.9324722294043558? + 0.3612416661871530?*I, y: -1.700434271459229?
- 1.052864325754712?*I, x: 1.337215067329615? + 2.685489874065187?*I},{z: 1, y: 2, x: 3}]
Die Lösungspunkte werden als Diktionär ausgegeben, dessen Schlüssel die Generatoren von
QQbar['x,y,z'] sind (und nicht von QQ['x,y,z'], von wo mit einem kleinen Umweg darauf
zugegrien werden kann), und die Koordinaten des Punktes die zugehörigen Werte. Auÿer
dem vorhin identizierten Wert der rationalen Lösung sind die ersten Koordinaten sämtlich
algebraische Zahlem 16. Grades:

3

Weil der Zweck der Übung ist, die Werkzeuge zur Lösung von polynomialen Systemen zu erläutern, lassen
wir die Möglichkeit auÿer acht, (9.1) durch Logarithmieren in lineare Gleichungen zu überführen!

185

9. Polynomiale Systeme
sage: (xx, yy, zz) = QQbar['x,y,z'].gens()
sage: [ pt[xx].degree() for pt in V ][16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 1]
Wir haben eine exakte Darstellung der komplexen Lösungen des Systems (9.1) bekommen, doch ist diese Darstellung nichtoen explizit. Das ist nicht schlimm: mit den Koordinaten als Elementen von QQbar können
hier die exakten Rechnungen ausgeführt weren.

Rechnen mit den Lösungen und Ermitteln ihrer Struktur.

Beispielsweise ist es nicht schwierig zu sehen, dass wenn (x, y, z) eine Lösung des Systems(9.1) ist, dann auch (|x|, |y|, |z|). Konstruieren wir die Menge der (|x|, |y|, |z|) für die Lösung
(x, y, z):sage: Set(tuple(abs(pt[i]) for i in (xx,yy,zz)) for pt in V){(3, 2, 1)}Alle Werte von x (bzw. von y ) sind daher vom selben Modul. Besser noch, wir können verizieren, dass die Substitution(x, y, z) 7→ (ωx, ω 9 y, ω 6 z)

mit ω = e2πi/17(9.2)

dass System unverändert lässt. Insbesondere sind die letzten Koordinaten der Lösungen genau
die 17. Einheitswurzeln, was uns deshalb dank der Möglichkeit, auf den algebraischen Zahlen
genau zu rechnen, sicher sein lässt:sage: w = QQbar.zeta(17); w # Primitivwurzel von 1
0.9324722294043558? + 0.3612416661871530?*I
sage: Set(pt[zz] for pt in V) == Set(w^i for i in range(17))
True
Lösungen des Systems sind daher die Tripel (3ω, 2ω 9 , ω 6 ) für ω 17 = 1. Und das sagt dochalles.

Übung 34.

Zu suchen sind die reellen Lösungen (nicht bloÿ die rationalen), um unmittelbar
zu verizieren, dass es nur (3, 2, 1) gibt. Finden Sie durch Berechnung mit Sage auch die
Substitution (9.2), darin auch den Wert 17 für die Ordnung von ω als Wurzel der Einheit.
Zum gleichen Ergebnis hätten wir auch durch einen Blick auf die Minimalpolynome der Koordinaten der Punkte in V kommen können. Wir erkennen, dass die gleiche Koordinate füralle anderen Lösungspunkte als (3, 2, 1) dasselbe Minimalpolynom hat. Das gemeinsame Minimalpolynom ihrer dritten Koordinate ist nichts anderes als das zyklotome Polynom Φ17 .

sage: set(pt[zz].minpoly() for pt in V[:-1]){x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 +x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}
Die gemeinsamen Minimalpolynome der ersten und der zweiten Koordinate sind 316 ·Φ17 (x/3)
bzw. 216 · Φ17 (x/2).

186

9.2. Polynomiale und ideale Systeme
Ein expliziter Ausdruck für die Lösungen ist deshalb durch Rückgri
auf die Exponentialschreibweise der komplexen Zahlen möglich:
Geschlossene Formeln.

sage: def polar_form(z):....:rho = z.abs(); rho.simplify()....:
theta = 2 * pi * z.rational_argument()....:
return (SR(rho) * exp(I*theta))
sage: [tuple(polar_form(pt[i]) for i in [xx,yy,zz]) for pt in V[-3:]][(3*e^(-6/17*I*pi), 2*e^(14/17*I*pi), e^(-2/17*I*pi)),(3*e^(6/17*I*pi), 2*e^(-14/17*I*pi), e^(2/17*I*pi)), (3, 2, 1)]
Wären wir nicht auf die Idee gekommen, die Elemente von V als Potenzen zu schreiben, hätte
das am Ende genügt.
Es ist auch ein anderer Ansatz möglich. Statt nach Lösungenzu suchen, versuchen wir, eine einfachere Form des Systems zu berechnen. Die grundlegenden
Werkzeuge, die Sage dafür anbietet, sind die Dreieckszerlegung und die Gröbnerbasen. Wir
werden im weiteren sehen, was sie exakt berechnen; versuchen wir schon einmal, sie mit diesem
Beispiel zu verwenden:
Vereinfachung des Systems.

sage: J.triangular_decomposition()[Ideal (z^17 - 1, y - 2*z^10, x - 3*z^3) of Multivariate
Polynomial Ring in x, y, z over Rational Field]
sage: J.transformed_basis()[z^17 - 1, -2*z^10 + y, -3/4*y^2 + x]
Auf die eine Weise wie auf die andere erhalten wir das äquivalente Systemz 17 = 1 y = 2z 10

x = 3z 3 ,dasselbe wie V = (3ω 3 , 2ω 10 , ω) | ω 17 = 1 . Das ist wieder eine unmittelbare Parameterdarstellung der kompakten Schreibweise der oben bereits von Hand gefundenen Lösungen.
9.2.2. Was heiÿt Lösen?

Ein polynomiales System, das Löungen besitzt, hat davon oft unendlich viele. Die sehr einfache
Gleichung x2 −y = 0 lässt auf Q2 unendlich viele Lösungen zu, ganz zu schweigen von R2 oderC2 . Es ist dann nicht möglich sie aufzulisten. Das beste, was man tun kann, ist die Menge der
Lösungen so explizit wie möglich zu beschreiben, d.h. eine Darstellung zu berechnen, aus derdie interessierenden Informationen leicht extrahiert werden können. Die Situation ist ähnlich
wie bei linearen Systemen, für die (im homogenen Fall) eine Basis des Kerns des Systems eine
gute Beschreibung des Lösungsraumes ist.
In dem Spezialfall, wo die Anzahl der Lösungen endlich ist, wird es möglich, sie zu berechnen. Doch versucht man auch in diesem Fall, die Lösungen in Q oder einem endlichen Körper
Fq aufzulisten? Um numerische Näherungen der reellen oder komplexen Lösungen zu nden?
Oder auch, wie im Beispiel aus dem vorigen Abschnitt, die letzteren mit Hilfe algebraischer
Zahlen darzustellen, d.h. beispielsweise die Minimalpolynome ihrer Koordinaten zu berechnen?

187

9. Polynomiale Systeme
Dasselbe Beispiel illustriert, dass andere Darstellungen der Lösungsmenge als eine einfache
Liste vor allem dann aussagekräftiger sein könnenn, wenn die Lösungen zahlreich sind. Somit
ist eine Aufzählung nicht zwangsläug die beste Art des Vorgehens, selbst wenn das möglichist. Kurzum, wir versuchen nicht so sehr, Lösungen zu nden, sondern mit ihnen zu rechnen,
um daraus dann gemäÿ der Aufgabenstellung die Informationen zu gewinnen, für die wir uns
eigentlich interessieren. Dieses Kapitel erkundet verschiedene Werkzeuge, dies zu erreichen.
9.2.3. Ideale und Systeme

Wenn s Polynome p1 , . . . , ps ∈ K[x] in einem Punkt x mit Koordinaten aus K oder einer
Erweiterung von K null werden, dann verschwindet auch jedes Element des Ideals, das sieerzeugen, im Punkt x. Es ist deshalb nur natürlich, dem polynomialen System

p1 (x) = p2 (x) = . . . = ps (x) = 0
das Ideal J = hp1 , . . . , pa i ⊂ K[x] zuzuordnen. Zwei polynomiale Systeme, die dasselbe Ideal
erzeugen, sind in dem Sinne äquivalent, dass sie die gleichen Lösungen haben. Ist L ein K
enthaltender Körper, dann nennen wir die Menge

VL (J) = {x ∈ Ln | ∀p ∈ J, p(x) = 0} = {x ∈ Ln | p1 (x) = . . . = ps (x) = 0}
der Lösungen des Systems mit Koordinaten aus L eine algebraische Subvarietät . Verschiedene
Ideale können dieselbe Varietät zugeordnet haben. Beispielsweise haben die Gleichungen x = 0
und x2 = 0 in C dieselbe eindeutige Lösung, obwohl wir hx2 i ( hxi haben. Was ein voneinem polynomialen System erzeugtes Ideal vor allem bringt, ist die intuitive Schreibweise derLösung mit Multiplizitäten.
So drücken die beiden folgenden Systeme jedes den Schnitt des Einheitskreises mit dem Graphen der Gleichung αx2 y 2 = 1 aus, wobei jeweils zwei gleichseitige Hyperbeln auftreten (siehe
Abb. 9.1):( 2( 2
x + y2 = 1
x + y2 = 1
(S1 )
(S
)
(9.3)
2
16x2 y 2 = 1
4x2 y 2 = 1
Das System (S1 ) besitzt auf C acht Lösungen, alle mit reellen Koordinaten. Verzerrt man(S2 ) durch Veränderung des Parameters α, haben sich die beiden Lösungen auf jedem Ast derHyperbel soweit angenähert, dass sie verschmelzen. Das System S2 hat nur vier Lösungen,jede in gewissem Sinne zweifach. Würde α noch weiter verringert, gäbe es keine reelle Lösung
mehr, dafür aber acht komplexe.

188

9.2. Polynomiale und ideale Systeme(a) (S1 )(b) (S2 )sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: J = R.ideal(x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1)sage: opts = {'axes':True, 'gridlines':True, 'frame':False,....:'aspect_ratio':1, 'axes_pad':0, 'fontsize':12,....:'xmin':-1.3, 'xmax':1.3, 'ymin':-1.3, 'ymax':1.3}
sage: (ideal(J.0).plot() + ideal(J.1).plot()).show(**opts)4
Abb. 9.1 - Schnitt zweier ebener Kurven, siehe die Systeme (9.3)

Wie im Fall der Polynome mit nur einer Unbestimmten
erlaubt Sage die Denition von Idealen5 J ⊂ K[x], von Quotientenringen K[x]/J und natürlichdas Rechnen mit den Elementen dieser Quotientenringe. Das (S1 ) zugeordnete Ideal J1 wird
gebildet mit
Rechnung modulo eines Ideals.

sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: J = R.ideal(x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1)
Dann können wir den Quotienten von K[x] durch J1 ausführen, dabei Polynome auswerfen,
mit Äquivalenzklassen modulo J1 rechnen und sie als Repräsentanten aueben lassen:

sage: ybar2 = R.quo(J)(y^2)
sage: [ybar2^i for i in range(3)][1, ybar^2, ybar^2 - 1/16]
sage: ((ybar2 + 1)^2).lift()3*y^2 + 15/16
Hier gibt es eine theoretische Schwierigkeit. Die Elemente von K[x]/J werden in Normalform dargestellt, was erforderlich ist, um zwei Elemente auf Gleichheit testen zu können. Nun
ist diese Normalform aus dem in Unterabschnitt 9.1.4 schön erwähnten Grund nicht eindeutig zu denieren: die Division des Repräsentanten einer Äquivalenzklasse p + J durch einen
Hauptgenerator von J , die zum Rechnen auf K[x]/J gebraucht wird, hat bei mehreren Variablen keine Entsprechung. Begnügen wir uns für den Moment damit, dass nichtsdestotrotz
eine Normalform existiert, die von der bei der Erzeugung des Ringes festgelegten Ordnung
auf den Elementen abhängt und die auf einem besonderen System von Erzeugenden beruht,
die Gröbnerbasen heiÿen. Der Abschnitt 9.3 am Ende dieses Kapitels ist der Denition derGröbnerbasen gewidmet und soll zeigen, wie wir sie bei den Rechnungen verwenden können.
Sobald erforderlich, berechnet Sage Gröbnerbasen automatisch; diese Rechnungen sind gelegentlich jedoch sehr aufwendig, besonders wenn die Anzahl der Variablen sehr groÿ ist, sodass
die Rechnung auf einem Quotientenring schwierig sein kann.
Kehren wir zu Sage zurück. Wenn p ∈ J ist, schreibt der Befehl p.lift(J) p als lineare
Kombination mit Polynomen des Generators von J als Koezienten:

sage: u = (16*y^4 - 16*y^2 + 1).lift(J); u[16*y^2, -1]
45Dieser Code erzeugt nur Teil (a); um Teil (b) zu erhaltem muss die Denition von J geändert werden.

Vorsicht: die Objekte InfinitePolynomialRing haben ebenfalls eine Methode ideal, die aber nicht dasselbe
Verhalten zeigt wie bei den normalen Polynomringen. (Ein beliebiges Ideal vonk[(xn )n∈N ] hat keinen

Grund, endlich erzeugt zu sein!) Diese Objekte werden im weiteren Verlauf des Kapitels nicht verwendet.

189

9. Polynomiale Systeme
sage: u[0]*J.0 + u[1]*J.1
16*y^4 - 16*y^2 + 1
Zu einem beliebigen Polynom ergibt der Ausdruck p.mod(J) die Normalform von p modulo
J , die als Element von K[x] gesehen wird:

sage: (y^4).mod(J)y^2 - 1/16
Achtung: wenn J.reduce(p) auch zu p.mod(J) äquivalent ist, so gibt andererseits die Variante
p.reduce([p1, p2, ...]) einen Repräsentanten von p + J zurück, der nicht unbedingt in
Normalform ist (siehe Unterabschnitt 9.3.2).

sage: (y^4).reduce([x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1])y^4Durch Kombination von p.mod(J) und p.lift(J) können wir ein Polynom p in eine Linearkombination mit polynomialen Koezienten des Generators von J plus einem Rest zerlegen,der genau dann verschwindet, wenn p ∈ J ist.
Der wesentliche Punkt bei der Entsprechung von Idealen und Varietäten ist der Hilbertsche Nullstellensatz . Sei K̄ ein algebraischer Abschluss vonK.
Radikal eines Ideals und Lösungen.

Satz (Nullstellensatz). Seien p1 , . . . , ps ∈ K[x] und Z̄ ⊂ K̄ n die Menge der gemeinsamen

Nullstellen von pi . Ein Polynom p ∈ K[x] verschwindet auf Z identisch, genau dann, wenneine ganze Zahl k existiert, sodass pk ∈ hp1 , . . . , p2 i ist.
IdealeIdeal hp1 , p2 i ⊂ R
Summe, Produkt, Potenz
Schnittmenge I ∩ J
Quotient I : J = {p | pJ ∈ I}√

RadikalJ

Reduktion modulo J
Sektion von R  R/J
Quotientenring R/J
homogenisiertes Ideal

R.ideal(p1, p2) oder (p1, p2)*R
I + J, I*J, I^kI.intersection(J)I.quotient(J)J.radical()
J.reduce(p) oder p.mod(J)p.lift(J)R.quo(J)J.homogenize()

Einige vordenierte Idealeirrelevantes Ideal hx1 , . . . , xn i
Jacobi-Ideal h∂p/∂xi ii
zyklische Wurzeln (9.11)
q
Körpergleichungen xi = xi

R.irrelevant_ideal()p.jacobian_ideal()
sage.rings.ideal.Cyclic(R)sage.rings.ideal.FieldIdeal(GF(q)['x1,x2'])
Tab. 9.3 - Ideale

Dieses Result liefert ein algebraisches Kriterium für den Test, ob ein polynomiales System
Lösungen besitzt. Das konstante Polynom 1 wird auf Z genau dann identisch 0, wenn Z leerist. Deshalb hat das System p1 (x) = . . . = ps (x) genau dann Lösungen in K̄ , wenn 1 im Ideal
hp1 , . . . , ps i nicht enthalten ist. Beispielsweise schneiden sich die Kreise mit dem Radius 1 undden Zentren in (0, 0) und 4, 0 im Komplexen:

sage: 1 in ideal(x^2+y^2-1, (x-4)^2+y^2-1)
False

190

9.2. Polynomiale und ideale Systeme
Andererseits hat das System keine Lösung mehr, wenn x = y hinzugefügt wird. Wir können
einen trivialen Beweis angeben, um zu verizieren, dass es schon ein Widerspruch ist, wenn
wir eine Kombination von untereinander widerspruchsfreien Gleichungen zeigen, die sich auf
1 = 0 reduzieren lässt. Die Rechnung

sage: R(1).lift(ideal(x^2+y^2-1, (x-4)^2+y^2-1, x-y))[-1/28*y + 1/14, 1/28*y + 1/14, -1/7*x + 1/7*y + 4/7]
liefert in unserem Fall die Beziehung1(−y + 2)(x2 + y 2 + 1) + (y + 2) (x − 4)2 + y 2 − 1 + (−4x + 4y + 16)(x − y) = 1.
28
In Begrien der Ideale bestätigt der Nullstellensatz , dass die Menge der Polynome, die auf
der einem Ideal J zugeordneten Varietät VK̄ (J) identisch null sind, das Radikal dieses Ideals
ist, das deniert ist durchno√J = p ∈ K[x] | ∃k ∈ N.pk ∈ J .
Wir habenV(√ 
J = V (J),doch intuitiv werden beim Übergang zum Radikal die Multiplizitäten vergessen. Somit ist
das Ideal J1 sein eigenes Radical(man sagt, es sei radikal), wohingegen das (S2 ) zugeordnete√
Ideal J2 der Beziehung J( J2 genügt:

sage: J1 = (x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1)*R
sage: J2 = (x^2 + y^2 - 1, 4*x^2*y^2 - 1)*R
sage: J1.radical() == J1
True
sage: J2.radical()
Ideal (2*y^2 - 1, 2*x^2 - 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, yover Rational Field
sage: 2*y^2 - 1 in J2
False

Systeme, Ideale und die Kryptographie
Die spezischen Module sage.rings.polynomial.multi_polynomial_sequence
und sage.crypto.mq bieten Werkzeuge für den Umgang mit polynomialen Systemen, indem sie der besondere Gestalt der Gleichungen Rechnung tragen und nicht
nur dem Ideal, das sie erzeugen. Das ist nützlich für die Arbeit mit groÿen strukturierten Systemen, wie solchen, die bei der Kryptographie vorkommen. Das Modul
sage.crypto deniert auch mehrere polynomiale Systeme, die den klassischen kryptographischen Konstruktionen zugeordnet sind.

191

9. Polynomiale Systeme
Es ist auch möglich, mit den Idealen selbst zu rechnen. Erinnern
wir uns, dass die Summe zweier Ideale deniert ist durch
Operationen auf Idealen.

I + J = {p + q | p ∈ I und q ∈ J} = hI ∪ Ji.
Sie entspricht geometrisch der Schnittmenge der Varietäten:V (I + J) = V (I) ∩ V (J).
Somit wird das (S1 ) zugeordnete Ideal J1 als Summe von C = hx2 + y 2 − 1i und H =h16x2 y 2 − 1i geschrieben, welche den Kreis bzw. die doppelte Hyperbel denieren. In Sage:sage: C = ideal(x^2 + y^2 - 1); H = ideal(16*x^2*y^2 - 1)sage: C + H == J1
True
Der Test auf Gleichheit stützt sich auch auf eine Berechnung der Gröbnerbasis.
Die Schnittmenge, das Produkt und der Quotient genügen ebenfalls den Gleichungen

I ∩J
I ·J
I:J

= {p | p ∈ I und q ∈ J}
= {p | p ∈ I und q ∈ J}
= {p | pJ ⊂ I}

V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J)V (I · J) = V (I) ∪ V (J)V (I : J) = V (I)\V (J)und werden berechnet, wie in Tabelle 9.3 gezeigt. Die überstrichene Schreibweise X̄ bezeichnet
hier den Abschluss von Zariski von X , d.h. die kleinste algebraische Subvarietät, die X enthält.
Beispielsweise ist die Kurve in Abb. 9.1 (a) die Menge der Nullstellen der Polynome von C ∩H
und der Quotient (C ∩ H) : h4xy − 1i entspricht der Vereinigungsmenge des Kreises und einer
der beiden Hyperbeln.

sage: CH = C.intersection(H).quotient(ideal(4*x*y-1)); CH
Ideal (4*x^3*y + 4*x*y^3 + x^2 - 4*x*y + y^2 - 1) of
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage: CH.gen(0).factor()(4*x*y + 1) * (x^2 + y^2 - 1)
Dagegen ist die erhaltene Kurve keine algebraische Subvarietät, wenn eine endliche Anzahl
von Punkten aus V (H) entfernt wird, wie etwa:

sage: H.quotient(C) == H
True
Jedem Ideal J ⊂ K[x] ist zudem eine Dimension zugeordnet, die intuitiv dermaximalen Dimension der Komponenten der Varietät V (J) auf einem abgeschlossenen
algebraischen Körper entspricht6 . Zum Beispiel haben wir:
Dimension.

sage: [J.dimension() for J in [J1, J2, C, H, H*J2, J1+J2]][0, 0, 1, 1, 1, -1]
In der Tat werden V (J1 ) und V (J2 ) von einer endlichen Anzahl von Punkten gebildet, V (C)und V (H) sind Kurven, V (H · J2 ) ist eine Vereinigung von Kurven und isolierten Punkten,
6

Im Unterabschnitt 9.3.3 geben wir eine strengere, wenn auch weniger erhellende Denition. Wegen einer
ausführlicheren Behandlung siehe die am Anfang des Kapitels erwähnten Literaturhinweise.

192

9.2. Polynomiale und ideale Systeme
und V (J1 + J2 ) ist leer. Systeme mit der Dimension null, das sind solche, die ein Ideal derDimension null erzeugen, oder auch (bei Systemen mit gebrochenen Koezienten), die nur
eine endliche Anzahl von Lösungen besitzen, haben im weiteren Verlauf des Kapitels einebesondere Bedeutung, weil sie meistens diejenigen sind, die wir explizit lösen können.
9.2.4. Elimination

Eine Variable in einem Gleichungssystem zu eliminieren heiÿt Folgen zu nden oder besser
alle Folgen des Systems, die von dieser Variablen unabhängig sind. Anders gesagt handelt
es sich darum, Gleichungen zu nden, die jeder Lösung genügen, in denen die eliminierte
Variable aber nicht vorkommt, was sie oft leichter analysierbar macht.
Beispielsweise können wir aus dem folgenden Gleichungssystem(
2x + y − 2z = 0

2x + 2y + z = 1(9.4)

x eliminieren, indem wir die erste Gleichung von der zweiten abziehen. Es kommt y + 3z = 1,
was zeigt, dass jedes Lösungstripel (x, y, z) von (9.4) die Form (x, 1 − 3z, z) hat.
Allgemeine polynomiale Systeme: Elimination, Geometrie
Eliminationsideal J ∩ A[z, t] ⊂ K[x, y, z, t]
Resultante Resx (p, q)
Dimension
Art

J.elimination_ideal(x, y)p.resultant(q, x)
J.dimension()
J.genus()

Dimension null (endliche Lösungsmenge)
Lösungen in L ⊇ K
Dimension des Quotienten auf K
Basis des Quotienten
Dreieckszerlegung

J.variety(L)J.vector_space_dimension()
J.normal_basis()
J.triangular_decomposition()

Tab. 9.4  Lösung polynomialer Gleichungssysteme.

Dann können wir verizieren, dass jede partielle Lösung (1 − 3z, z) zu einer (eindeutigen)
Lösung von (9.4) 5z−1
,
1
−
3z,
z
erweitert wird. Das illustriert, dass der Gauÿ-Algorithmus
2lineare Systeme durch Elimination löst, im Gegensatz beispielsweise zu den Formeln vonCramer.
Im Kontext der polynomialen Systeme sind die Folgen der Gleichungen p1 (x) = . . . = ps (x) = 0 die Elemente des Ideals hp1 , . . . , ps i. Wenn J ein Ideal vonK[x1 , . . . , xn ] ist, dann nennen wir die Menge

Eliminationsideale.

Jk = J ∩ K[xk+1 , . . . , xn ](9.5)

der Elemente von J , wobei nur die letzten n−k Variablen auftreten, das k -te Eliminationsideal
von J .
In Sage wird der Methode elimination_ideal die Liste der zu eliminierenden Variablenübergeben. Achtung: sie gibt nicht Jk ⊂ K[xk+1 , . . . , xv ] zurück, sondern das Ideal hJk i vonK[xk+1 , . . . , xv ], das von diesem erzeugt wird. Für das lineare System (9.4) ndet man

193

9. Polynomiale Systeme
sage: R.<x,y,z> = QQ[]
sage: J = ideal(2*x+y-2*z, 2*x+2*y+z-1)
sage: J.elimination_ideal(x)Ideal (y + 3*z - 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z
over Rational Field
sage: J.elimination_ideal([x,y])
Ideal (0) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Rational Field
Mathematisch interpretieren wir diese Resultate so: wir haben J ∩ Q[y, z] = hy + 3z − 1i ⊂Q[y, z] und L ∩ Q[z] = Q[z], d.h. Q[z] ⊂ J . (Tatsächlich entspricht das Ideal von h0i dem
reduzierten System mit der einzigen trivialen Gleichung 0 = 0, von der jedes Polynom eine
Lösung ist.) Freilich ist das keine empfehlenwerte Vorgehensweise zur Lösung eines linearen
Systems: die in Kapitel 8 diskutierten spezischen Werkzeuge sind viel ezienter!
Als weniger triviales Beispiel greifen wir das System (S1 ) aus Unterabschnitt 9.2.3 wieder auf(siehe Abb. 9.1 (a)):

sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: J1 = ideal(x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1)
Die Eliminierung von y liefert ein Ideal von Q[x] - daher Haupideal -, das von einem Polynom
g erzeugt wird. Dessen Wurzeln sind die Abszissenp√± 2± 32
der acht Lösungen von (S1 ):sage: g = J1.elimination_ideal(y).gens(); g[16*x^4 - 16*x^2 + 1]
sage: SR(g[0]).solve(SR(x)) # gelöst durch Radikale[x == -1/2*sqrt(sqrt(3) + 2), x == 1/2*sqrt(sqrt(3) + 2),
x == -1/2*sqrt(-sqrt(3) + 2), x == 1/2*sqrt(-sqrt(3) + 2)]
Durch Wiedereinsetzten jedes der zu (S1 ) gefundenen x-Werte erhalten wir ein (redundantes)
Gleichungssystem nur in y , welches die entsprechenden beiden Werte von y zu berechnen
erlaubt.
Das vorstehende Ergebnis illustriert, dass die Elimination von yaus einem Gleichungssystem geometrisch der Projektion π der Lösung der Varietät auf einer
Hyperebene der Gleichung y =const. entspricht. Aber betrachten wir getrennt davon die ideale
C = hx2 + y 2 − 1i und H = h16x2 y 2 − 1i, deren J1 die Summe ist, und eliminieren wir yerneut:Eliminieren = Projizieren.

sage: C.elimination_ideal(y).gens()[0]sage: H.elimination_ideal(y).gens()[0]
Was C betrit, ist das keine Überraschung. Der Kreis (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 wird zwar
auf [−1, 1] projiziert, doch es ist klar, dass es nicht darauf ankommt, welcher x-Wert in dieeindeutige Gleichung x2 + y 2 − 1 = 0 wieder eingesetzt wird und dass die erhaltene Gleichungin y komplexe Lösungen hat. Was die Eliminierung von y in C überträgt, ist die Projektion

1949.2. Polynomiale und ideale Systeme
auf die erste Koordinate des komplexen Kreises (x, y) ∈ C2 | x2 + y 2 = 1 , und das ist dasganze C.
Die Situation bei H ist ein klein wenig komplizierter. Die Gleichung 16x2 y 2 = 1 hat keine,auch keine komplexe Lösung. Diesmal haben wir

VC (H ∩ Q[x]) = C ( π(VC (H)) = C\ {0} .
Tatsächlich ist die Projektion der Hyperbel C\ {0} keine algebraische Subvarietät. Die Moral
von der Geschicht': die Elimination entspricht wohl der Projektion (auf einen algebraischabgeschlossenen Körper), doch berechnet sie nicht die exakte Projektion einer anen Varietät,sondern nur deren Zariski-Abschluss.

Abb. 9.2 - Ein Teil der durch (9.6) denierten Kurve in (x, y, t) und ihre Projektion auf die Ebene t = 0.

Wenn X ⊂ Ck durch eine rationale Pa-

Anwendungen: ein wenig Geometrie der Ebene.

rametrisierung gegeben ist:

X = {(f1 (t), f2 (t), . . . , fk (t))} ,f1 , . . . , fk ∈ Q(t1 , . . . , tn ),soll eine implizite Gleichung für X gefunden werden, die den Teil von Ck+n auf den Unterraumvon (x1 , . . . , xk ) ' Ck projiziert, der durch die Gleichungen xi = fi (t) deniert ist. Das ist eine
Aufgabe für die Elimination. Betrachten wir die klassische Parametrisierung des Kreisesx=

1 − t2
1 + t2y=

2t
1 + t2(9.6)

der dem Ausdruck von (sin θ, cos θ) als Funktion von tan(θ/2) zugeordnet ist. Sie wird durch
polynomiale Beziehungen übertragen, die ein Ideal von Q[x, y, t] denieren:1959. Polynomiale Systeme
sage: R.<x,y,t> = QQ[]
sage: Param = R.ideal((1-t^2)-(1+t^2)*x, 2*t-(1+t^2)*y)Eliminieren wir t:

sage: Param.elimination_ideal(t).gens()
Wir erhalten eine Kreisgleichung. Wir können bemerken, dass diese Gleichung in (x, y) =(−1, 0) null wird, obwohl die Parametrisierung (9.6) diesen Punkt nicht enthält, denn derKreis, der einen Punkt nicht enthält, ist keine algebraische Subvarietät.
Ein anderes Beispiel: Zeichnen wir mit Sage (siehe Abb. 9.3) einige Kreise (Ct ) der GleichungCt :x2 + (y − t)2 =t2 + 12(9.7)

sage: R.<x,y,t> = QQ[]
sage: eq = x^2 + (y-t)^2 - 1/2*(t^2+1)
sage: fig = add((eq(t=k/5)*QQ[x,y]).plot() for k in (-15..15))
sage: fig.show(aspect_ratio=1, xmin=-2, xmax=2, ymin=-3, ymax=3)

Abb. 9.3 - Eine Familie von Kreisen und ihre Evolvente

Wir sehen die Evolvente der Familie der Kreise zum Vorschein kommen, eine Grenzkurve,
die alle Ct berührt, die man informell als Menge der Schnittpunkte der unendlich nahe angenäherten Kreise der Familie beschreiben kann.
Genauer, wenn f eine dierenzierbare Funktion ist und die Kurve Ct hat für alle t die Gleichungf (x, y, t) = 0, dann ist die Evolvente von (Ct ) die Menge der (x, y), für die gilt∃t,f (x, y, t) = 0

und∂f(x, y, z) = 0.
∂t

(9.8)

Bei den Kreisen (9.7) ist die Funktion f (x, y, z) ein Polynom. Ihre Evolvente ist die Projektion
auf die x, y -Ebene der Lösungen von (9.8), weshalb wir durch Berechnung des Eliminationsideals folgende Gleichung bestimmen können:

1969.2. Polynomiale und ideale Systeme
sage: env = ideal(eq, eq.derivative(t)).elimination_ideal(t)sage: env.gens()[2*x^2 - 2*y^2 - 1]
Die gefundene Kurve ist nur noch zu zeichnen:

sage: env.change_ring(QQ[x,y]).plot((x,-2,2), (y,-3,3))
Die Operationen der Elimination in den vorstehenden Beispielen stützen sich implizit auf Gröbnerbasen, die von Sage automatisch berechnet werden.
Wir sind in diesem Buch jedoch zuvor schon einem anderen Werkzeug für die Elimination
begegnet: der Resultanten.
Resultante und Elimination.

UngleichungenBetrachten wir ein Dreieck mit den Ecken A = (0, 0), B = (1, 0) und C = (x, y).
Setzen wir die Winkel ∠BAC = Â und ∠CBA = B̂ als gleich voraus und versuchen
wir durch Rechnung zu beweisen, dass das Dreieck dann gleichschenklig ist. Nach
Einführung des Parameters t = tan Â = tan B̂ wird die Situation durch die Gleichungen y = tx = t(1 − x) kodiert und dann muss gezeigt werden, dass aus ihnen
folgt
x2 + y 2 = (1 − x)2 + y 2 .
Mit Sage bekommen wir
sage: R.<x,y,t> = QQ[]
sage: J = (y-t*x, y-t*(1-x))*R
sage: (x^2+y^2) - ((1-x)^2+y^2) in J
False
Und das aus gutem Grund: für x = y = t = sind zwar die Voraussetzungen erfüllt,aber die Konklusion ist falsch! Geometrisch gesehen müssen wir den Fall ebener
Dreiecke ausschlieÿen, die zwei gleiche Winkel haben können, ohne gleichschenklig
zu sein.
Wie ist beispielsweise die Bedingung t 6= 0 zu kodieren? Der Trick besteht darin, eine
Hilfsvariable u einzuführen und tu = 1 vorzuschreiben. Die Rechnung wird dann:
sage: R.<x,y,t,u> = QQ[]
sage: J = (y-t*x, y-t*(1-x), t*u-1)*R
sage: (x^2+y^2) - ((1-x)^2+y^2) in J
True
und diesmal erhalten wir das erwartete Ergebnis. Nebenbei bemerken wir, dass wir
durch eine Gleichung des Typs t1 t2 · · · tn u = 1 mehrere Ausdrücke gleichzeitig verarbeiten können, damit keine einzige Hilfsvariable null wird.
Betrachten wir zwei nicht konstante Polynome p, q ∈ K[x1 , . . . , xn , y]. Wir bezeichnen mit
Resy (p, q) die Resultante von p und q , die als Polynome in einer Unbestimmten y angesehen
werden. In Unterabschnitt 7.3.3 haben wir gesehen, dass es ein Polynom von K[x1 , . . . , xn ]gibt, das in u ∈ Kn genau dann zu null wird, wenn p(u1 , . . . , un , y) und q(u1 , . . . , un ) (zwei197

9. Polynomiale Systeme
Polynome aus K[y]) eine Nullstelle gemeinsam haben, auÿer vielleicht wenn die Leitkoezienten (in y ) von p in u selbst null sind. Wir können noch mehr sagen: in der Tat erzeugt
Resy (p, q) das Eliminationsideal7 hp, qi ∩ K[x1 . . . , xn ].
Somit können alle Berechnungen zur Elimination, die wir zu zwei Polynomen angestellt haben,
durch die Resultanten ersetzt werden. Beispielsweise ist die Gleichung der Evolvente der Kreise(9.7)

sage: eq.derivative(t).resultant(eq, t)x^2 - y^2 - 1/2
Wir werden hier bei zwei Polynomen bleiben. Es ist möglich, das Ergebnis oder seine Verallgemeinerungen für allgemeinere Aufgaben der Eliminierung zu verwenden, jedoch ist die Theorie
komplizierter und die entsprechenden Werkzeuge stehen in Sage noch nicht zur Verfügung.
9.2.5. Systeme der Dimension null

Wir können die Probleme mit der alleinigen Berechnung der Eliminationsideale lösen, und Sagebietet kaum anderes black box - Werkzeug zur Lösung allgemeiner polynomialer Systeme.
Die Situation ist anders, wenn es um Systeme mit Dimension null geht.
Wir sagen, ein Ideal J ⊂ K[x] hat die Dimension null, wenn der Quotientenring K[x]/J ein
endlichdimensionaler Vektorraum ist. Auf einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist dasäquivalent zu der Aussage, dass die Varietät V (J) von einer endlichen Anzahl von Punkten
gebildet wird. Somit erzeugen die Systeme (9.1) und (9.3) Ideale der Dimension null - wirsagen auch, dass sie ihrerseits die Dimension null haben. Andererseits hat das Ideal h(x2 +y 2 )(x2 + y 2 + 1)i von Q[x, y] die Dimension 1, obwohl die einzige reelle Lösung (0, 0) ist:

sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: ((x^2 + y^2)*(x^2 + y^2 + 1)*R).dimension()
1
Systeme der Dimension null werden klarer gelöst als diejenigen, welche die allgemeinen Werkzeuge des vorigen Abschnitts zulassen. Wir haben bei der Arbeit mit dem Beispiel in Unterabschnitt 9.2.1 bereits mehrere dieser Möglichkeiten gesehen.
Zunächst ermöglicht die Tatsache, nur eine endliche Anzahl von
Lösungen zu haben, ihre Auistung entweder exakt oder näherungsweise.
Auisten der Lösungen.

Der Sage-Ausdruck J.variety(L) dient zur Berechnung der Varietät VL (J). Er zeitigt einenFehler, wenn J nicht die Dimension null hat. In der Voreinstellung sucht er die Lösungen desSystems mit Koordinaten im allgemeinen Basiskörper des Polynomrings. Beispielsweise ist die
durch J1 denierte Subvarietät von Qn leer.

sage: J1 = (x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1)*R
sage: J1.variety()|[]7

Die Punkte, an denen die Leitkoezienten verschwinden und die Eigenschaft der Spezialisierung der Resultanten nicht gilt, sind diejenigen, die bei der Projektion durch den Übergang zum Zariski-Abschluss
hinzugefügt worden sind.

198

9.2. Polynomiale und ideale Systeme
Doch ebenso wie die Methode roots der Polynome mit einer Unbestimmten funktioniert
variety bei allen Arten von Denitionsmengen L. Für uns ist der wichtigste der Körper deralgebraischen Zahlen. Man kann tatsächlich beweisen, dass die Lösungen eines Systems derDimension null mit Koezienten in K ihrerseits Koordinaten im algebraischen Abschluss von
K besitzen. Somit ist es möglich, die einem Ideal J ⊂ Q[x] zugeordnete komplexe Varietät
VC (J) = VQ̄ (J) direkt zu berechnen;

sage: J1.variety(QQbar)[0:2][{y: -0.9659258262890683?, x: -0.2588190451025208?},{y: -0.9659258262890683?, x: 0.2588190451025208?}]Übung 35. Es ist zu beweisen, dass die Lösungen von (S ) Koordinaten in Q[ 2 − √3]p1

haben. Sie sind mit Radikalen anzugeben.

Intern geht J.variety(L) über die Berechnung einer Dreieckszerlegung
des Ideals J . Diese Zerlegung ist selbst schon interessant, denn sie ergibt für den Fortgang
der Rechnung oft eine bequemere Beschreibung der Varietät V (J), die nämlich einfacher zu
interpretieren ist als die Ausgabe von variety (siehe Unterabschnitt 9.2.1), besonders dann,wenn die Lösungen zahlreich sind.
Dreieckszerlegung.

Ein polynomiales System heiÿt dreieckig, wenn es die Formp1 (x: 1) := xd11 + a1,d1 xd11 −1 + . . . + a1,0
=0



d2
d2 −1

+ . . . + a2,0 (x1 ) = 0p( x1 , x2 ) := x2 + a2,d2 −1 (x1 )x2
.
..




pn (x1 , . . . , xn ) := xdnn + an,dn −1 (x1 , . . . , xn−1 )xdnn −1 + . . . = 0
hat, anders gesagt, wenn in jedem Polynom pi nur Variablen x1 , . . . , xi vorkommen. und wenn
es in der Variablen xi unitär ist. Liegt ein System der Dimension null in dieser Gestalt vor,
wird seine Lösung auf eine endliche Anzahl polynomialer Gleichungen mit einer Variablen
zurückgeführt: es genügt, die Wurzeln x1 von p1 zu nden, sie in p2 einzusetzen, dann die
Wurzeln x2 von p2 zu suchen und so weiter. Diese Strategie funktioniert bei der Suche sowohl
nach exakten wie auch genäherten Lösungen.
Nicht jedes System ist zu einem Dreieckssystem äquivalent. Es sei zum Beispiel das Ideal J
deniert durch:

sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
sage: C = ideal(x^2+y^2-1)
sage: D = ideal((x+y-1)*(x+y+1))
sage: J = C + D
Als Bild (siehe Abb. 9.4):

sage: opts = {'axes':True, 'gridlines':True, 'frame':False,'aspect_ratio':1, 'axes_pad':0, 'xmin':-1.3, 'xmax':1.3,'ymin':-1.3, 'ymax':1.3, 'fontsize': 8}show(C.plot() + D.plot(), figsize=[2,2], **opts)
Die Varietät V (J) enthält zwei Punkte mit der Abszisse 0, doch nur einen mit der Abszisse−1, und ebenso einen Punkt mit der Ordinate −1, gegenüber zwei Punkten mit der Ordinate
null. Das Ideal J kann deshalb nicht durch ein System in Dreiecksform beschrieben werden.

199

9. Polynomiale Systeme

Abb. 9.4 - In beiden Fällen ist die dem Ideal J zugeordnete Varietät der Schnitt eines Kreises mit der
Vereinigung zweier Geraden.

Man kann auf der anderen Seite zeigen, dass jedes Ideal der Dimension null als endliche
Schnittmenge von den Dreieckssystemen erzeugten Ideale geschrieben wird. Die Methodetriangular_decomposition berechnet eine solche Zerlegung:sage: J.triangular_decomposition()[Ideal (y, x^2 - 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, yover Rational Field,
Ideal (25*y^2 - 16, 4*x + 3*y) of Multivariate Polynomial Ring in x, yover Rational Field]
Geometrisch erhalten wir eine Darstellung der Varietät als Vereinigung der den einfacheren
Systemen zugeordneten Varietäten, die oft einfach genug sind, um eine gute Beschreibung der
Lösungen zu formulieren.
Zu Recht können wir uns fragen, welche Bedeutung die Dreieckszerlegung für die Auistung der Lösungen hat. Nach all dem ist es bei einem System derDimension null immer möglich, durch eine Berechnung des Eliminationsideals ein Polynom
mit einer einzigen Variablen zu nden, dessen Wurzeln exakt die ersten Koordinaten der Lösungen sind. Durch Rückwärts-Einsetzen dieser Wurzeln in das Gleichungssystem vermindern
wir die Anzahl der Variablen, was erlaubt, den Vorgang zu wiederholen, bis wir das Systemvollständig gelöst haben.

Etliche Schwierigkeiten

Doch der Aufstieg im System durch Verbreitung der Teilergebnisse kann heikel sein. Modizieren wir das obige System ein wenig:

sage: D = ideal((x+2*y-1)*(x+2*y+1)); J = C + D
sage: J.variety()[{y: -4/5, x: 3/5}, {y: 0, x: -1}, {y: 0, x: 1}, {y: 4/5, x: -3/5}]
sage: [T.gens() for T in J.triangular_decomposition()][[y, x^2 - 1], [25*y^2 - 16, 4*x + 3*y]]
Die Form der Dreieckszerlegung verändert sich nicht: für jede Komnponente verfügen wirüber eine Gleichung nur in y und eine andere Gleichung, die erlaubt, x als Funktion von yauszudrücken.
Eliminieren wir deshalb x, um eine Gleichung in y allein zu erhalten, wobei das Produkt der
beiden vorhergehenden auftritt:

200

9.2. Polynomiale und ideale Systeme
sage: Jy = J.elimination_ideal(x); Jy.gens()[25*y^3 - 16*y]
Um x zu nden, gibt es nun nichts weiter einzusetzen als die Wurzeln dieser Gleichung in die
Gleichungen, die das Ideal J denieren. Mit der ersten Gleichung x2 + y 2 − 1 = 0 kommt

sage: ys = QQ['y'](Jy.0).roots(); ys[(4/5, 1), (0, 1), (-4/5, 1)]
sage: QQ['x'](J.1(y=ys[0][0])).roots()[(-3/5, 1), (-13/5, 1)]
Einer der beiden erhaltenen Werte ist korrekt - wir haben (−3/5, 4/5) ∈ V (J) - doch derandere entspricht keiner Lösung: wir müssen die gefundenen Werte mittels der zweiten Ausgangsgleichung (x + 2y − 1)(x + 2y + 1) überprüfen, um ihn auszuschlieÿen.
Das Problem kompliziert sich, wenn wir die univariaten Gleichungen numerisch lösen, waswegen des Aufwands bei algebraischen Zahlen zuweilen erforderlich ist:

sage: ys = CDF['y'](Jy.0).roots(); ys[(-0.8000000000000002, 1), (0.0, 1), (0.8, 1)]
sage: [CDF['x'](p(y=ys[0][0])).roots() for p in J.gens()][[(-0.5999999999999999 - 1.306289919090511e-16*I, 1),(0.6000000000000001 + 1.3062899190905113e-16*I, 1)],[(0.6000000000000001 - 3.1350958058172247e-16*I, 1),(2.600000000000001 + 3.135095805817224e-16*I, 1)]]
Durch Einsetzen von y ' −0.8 in die beiden Erzeugenden von J nden wir hier zwei Werte
von x nahe 0.6. Wie können wir sicher sein, dass dies Näherungen der Koordinate x einer
exakten Lösung (x, y) = (0.6, −0.8) sind und keine Gespenster wie im vorigen Beispiel? Diese
Erscheinungen verstärken sich, wenn die Anzahl der Variablen und der Gleichungen zunimmt.
Wenn das System andererseits dreieckig ist, gibt es bei jedem Schritt des Aufstiegs nur eine
Gleichung zu betrachten, und da diese immer unitär ist, beeinussen die numerischen Näherungen die Anzahl der Lösungen nicht.
Fahren wir in dieser Richtung fort. Für das folgende System berechnet J.variety() (exakt)
eine Dreieckszerlegung von J und sucht dann numerisch die reellen Lösungen des oder dererhaltenen Systeme. Das ergibt eine eindeutige reelle Lösung:sage: R.<x,y> = QQ[]; J = ideal([ x^7-(100*x-1)^2, y-x^7+1 ])sage: J.variety(RealField(51))[{y: 396340.890166545, x: -14.1660266425312}]
Führt man jedoch die Rechnung konsequent exakt aus, sieht man, dass nicht nur Lösungenfehlen, sondern die numerisch gefundene Lösung auch fehlerhaft ist:

sage: J.variety(AA)[{x: 0.00999999900000035?, y: -0.999999999999990?},{x: 0.01000000100000035?, y: -0.999999999999990?},{x: 6.305568998641385?, y: 396340.8901665450?}]Moral: die Dreieckszerlegung ist kein Allheilmittel und entbindet den Anwender nicht davon,
die Ergebnisse von Näherungsrechnungen mit Sorgfalt zu interpretieren.

201

9. Polynomiale Systeme
Es existiert eine groÿe Anzahl weiterer Verfahren, um Lösungen von Systemen der Dimension
null zu parametrieren und anzunähern, die den Problemen mehr oder weniger gut angepasst
sind, die in Sage aber nicht implementiert sind. Übung 36 gibt einen Einblick in bestimmte
dabei verwendete Ideen.
Quotientenalgebra. Quotienten durch Ideale der Dimension null sind im Allgemeinen viel
besser handhabbar als die Quotienten von Polynomringen, denn Rechnungen in der Quotientenalgebra werden auf endlichdimensionale lineare Algebra zurückgeführt.

Anspruchsvollere Mathematik
Sage verfügt auch über eine groÿe Zahl von Funktionen der kommutativen Algebra
und der algebraischen Geometrie, die das Niveau dieses Buches jedoch weit übersteigen. Der interessierte Leser ist eingeladen, die Dokumentation der Ideale vonPolynomen zu erkunden wie auch diejenige des Moduls sage.schemes. Über das
Interface zu den spezialisierten Programmen Singular, CoCoA und Macauley2 sindnoch weitere Funktionalitäten zugänglich.
Wenn J ⊂ K[x] ein Ideal der Dimension null ist, dann ist die Dimension dim K[x]/J des Quotientenrings als K-Vektorraum eine Schranke für die Anzahl der Punkte von V (J). (Tatsächlich
existiert zu jedem u ∈ V (J) ein Polynom mit Koezienten aus K, das in jedem anderen
Punkt von V den Wert 0 oder 1 annimmt. Zwei dieser Polynome können nicht äquivalentsein modulo J .) Man kann sich diese Dimemsion als Anzahl der Lösungen des Systems mit
Multiplizitäten im algebraischen Abschluss von K vorstellen. Beispielsweise hatten wir festgestellt, dass die vier Lösungen des in Unterabschnitt 9.2.3 eingeführten Systems (S2 ) jeweils
die doppelte Schnittmenge der beiden Kurven sind. Das erklärt, weshalb gilt:

sage: len(J2.variety(QQbar)), J2.vector_space_dimension()(4, 8)Die Methode normal_basis berechnet eine Liste von Monomen, deren Projektionen in K[x]/J
eine Basis bilden:

sage: J2.normal_basis()[x*y^3, y^3, x*y^2, y^2, x*y, y, x, 1]
Die zurückgegebene Basis hängt von der Ordnung ab, die bei der Bildung des Polynomrings
gewählt worden ist; genauer beschreiben wir sie in Unterabschnitt 9.3.3.

Übung 36.

Sei J ein Ideal der Dimension null aus Q[x, y] und χx das charakteristische
Polynom der linearen Abbildungmx : Q[x, y]/J → Q[x, y]/J
7→ xp + J.
Berechnen Sie χx für den Fall J = J2 = hx2 + y 2 − 1, 4x2 y 2 − 1i. Zeigen Sie, dass jede Wurzel
die Abszisse eines Punktes der Varietät VC (J) ist.

202

9.3. Gröbnerbasen

9.3. Gröbnerbasen
Bis jetzt haben wir die Funktionalitäten der algebraischen Elimination und der Lösung polynomialer Systeme benutzt, die Sage als black box anbietet. Dieser Abschnitt führt nun einige
mathematische Werkzeuge und ihnen zugrunde liegende Algorithmen ein. Das Ziel ist, vonihnen Gebrauch zu machen und gleichzeitig Funktionen, die zuvor vorgesteltt worden sind,
auf höherem Niveau klug anzuwenden.
Wichtige monomiale Ordnungen für das Beispiel Q[x, y, z]xα < xβ ⇐⇒ α1 < β1 oder (α1 = β1 und α2 < β2 ) oder . . .

lex

invlexdeglexdegrevlexoder (α1 = β1 , . . . , αn−1 = βn−1 und αn < βn )x3 > x2 y > x2 z > x2 > xy 2 > xyz > xy > xz 2 > xz > x > y 3> y 2 z > y 2 > yz 2 > yz > y > z 3 > z 2 > z > 1
xα < xβ ⇐⇒ αn < βn oder (αn = betan und αn−1 < βn−1 ) oder . . .
oder (αn = βn , . . . , α2 = β2 und α1 < β1 )z 3 > yz 2 > xz 2 > z 2 > y 2 z > xyz > yz > x2 z > xz > z > y 3> xy 2 > y 2 > x2 y > xy > y > x3 > x2 > x > 1
xα < xβ ⇐⇒ |α| < |β| oder (|α| = |β| und xα <lex xβ )x3 > x2 y > xy 2 > xyz > xz 2 > y 3 > y 2 z > yz 2 > z 3 > x2
> xy > xz > y 2 > yz > z 2 > x > y > z > 1
xα < xβ ⇐⇒ |α| < |β| oder (|α| = |β| und xα >invlex xβ )x3 > x2 y > xy 2 > y 3 > x2 z > xyz > y 2 z > xz 2 > yz 2 > z 3 > x2
> xy > y 2 > xz > yz > z 2 > x > y > z > 1

Bildung der monomialen OrdnungenObjekt, das eine vordenierte Ordnung auf n Elementen darstellt
αβMatrizenordnung: x <M x⇐⇒ M α <textlex M βα βγ δBlöcke: x y < x y⇐⇒ α <1 γ oder (α = γ und β <2 δ)

TermOrder('nom', n)
TermOrder(M)T1 + T2

Tab. 9.5 - Monomiale Ordnungen

Die von Sage für Rechnungen auf Eliminationsidealen angewandten Techniken beruhen auf
dem Begri der Gröbnerbasis. Wir können sie uns als Erweiterung der Darstellung durch
den Hauptgenerator der Ideale von K[x] auf mehrere Unbestimmte vorstellen. Das zentrale
Problem dieses Abschnitts sind die Denition und die Berechnung einer Normalform der Elemente der Quotientenringe K[x]. Unser Standpunkt bleibt der des Anwenders.: wir deneren
die Gröbnerbasen, zeigen, wie wir sie in Sage bekommen und wozu sie dienen können, wir
gehen aber nicht auf die zur Berechnung verwendeten Algorithmen ein.
9.3.1. Monomiale OrdnungenEine monomiale Ordnung oder (globale) zulässige Ordnung ist eine totale Ordnung auf den
Monomen xα eines Polynomrings K[x], die folgenden Bedingungen genügt:xα< xβ =⇒ xα+γ < xβ+γund

γ 6= 0 =⇒ 1 < xγ

(9.9)

für alle Exponenten α, β, γ . Auf die gleiche Weise können wir < als eine Ordnung auf den
Exponenten α ∈ Nn betrachten oder auch auf den Termen cxα . Die Leitmonome, Leitkoezienten und Leitterme eines Polynoms p (siehe Unterabschnitt 9.1.3) für die vorliegende
Ordnung sind die mit den gröÿten Exponenten; wir bezeichnen sie mit lm p, lc p und lt p.
Die erste der Aussagen (9.9) drückt eine Bedingung der Kompatibilität mit der Multiplikation
aus: das Produkt mit einem festen Monom verändert die Ordnung nicht. Die zweite Aussage203

9. Polynomiale Systeme
bestimmt, dass < eine Wohlordnung ist, d.h. dass keine streng abnehmende endliche Folge
von Monomen existiert. Wir stellen fest, das die allein zulässige Ordnung auf K[x] die übliche
ist mit xn > xn−1 > . . . > 1.
In Unterabschnitt 9.1.1 haben wir gesehen, dass Sage bei der Denition eines Ringes die
Festlegung einer Ordnung erlaubt, und zwar mit einer Konstruktion wie

sage: R.<x,y,z,t> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
Tabelle 9.5 verzeichnet die wichtigsten vordenierten Ordnungen8 : lex ist die lexikographische
Ordnung der Exponenten, invlex die von rechts nach links gelesene lexikographische Ordnung
der Exponenten. Die Denition von degrevlex ist etwas komplizierter: die Monome sind nachder Summe der Exponenten geordnet und dann in absteigender lexikographischer Ordnung
der von rechts gelesenen Exponenten. Diese merkwürdige Ordnung ist dennoch die, welche
angewendet wird, wenn die Option order weggelassen wird, denn für bestimmte Rechnungenist sie ezienter als die anderen.
Gemeinhin (aber nicht immer!) legen wir die Reihenfolge der Variablen und der Monome
x1 > x2 > . . . > xn zusammen fest, und wir sprechen beispielsweise oft von der Ordnunglex, sodass x > y > z  ist statt von der Ordnung lex auf K[x, y, z]. Die vordenierten Ordnungen lex, deglex und degrevlex gehorchen dieser Konvention; was die Ordnung invlex
auf K[x, y, z] betrit, ist das auch die Ordnung lex, sodass z > y > x, d.h. die Ordnung auf
K[z, y, x].
9.3.2. Division durch eine Familie von Polynomen

Sei G = {g1 , g2 , . . . , gs } eine endliche Menge von Polynomen von K[x] mit festgelegter monomialer Ordnung <. Mit hGi bezeichnen wir das durch G erzeugte Ideal von K[x].
Die Division eine Polynoms p ∈ K[x] durch G ist ein multivariates Analogon zur euklidschen
Division in K[x]. Wie letztere ordnet sie p einen Rest zu, der in Sage durch den Ausdruck
p.reduce(G) gegeben wird. Das ist ein kleineres Polynom, welches zur selben Äquivalenzklasse modulo hGi gehört:

sage: ((x+y+z)^2).reduce([x-t, y-t^2, z^2-t])
2*z*t^2 + 2*z*t + t^4 + 2*t^3 + t^2 + t
Der Rest wird erhalten, indem von p soviele Vielfache der Elemente von G abgezogen werden
wie möglich. Bei der Subtraktion heben sich der Leitterm von G und ein Term von p auf. Im
Unterschied zum univariaten Fall kann es vorkommen, dass sich ein Term von p heraushebt,
der kein Leitterm ist. Wir fordern daher nur, dass ein im Sinne der monomialem Ordnunggröÿter Term zu null wird.

8

Sage kennt noch weitere Ordnungen (sog. lokale Ordnungen), bei denen 1 das gröÿte Monom ist statt das
23
kleinste zu sein. Beispielsweise haben wir bei der Ordnung neglex auf Q[x, y, z] 1 > z > z > zu > y >yz > yz 2 > y 2 > y 2 z > y 3 > x > xz > xz 2 > xy > xyz > xy 2 > x2 > x2 z > x2 y > x3 . Die lokalen
Ordnungen sind im Sinne der Denition (9.9) nicht zulässig, und wir verwenden sie auch nicht in diesem
Buch, doch kann der interessierte Leser die Tabelle 9.5 mit der in Unterabschnitt 9.1.1 denierten Funktion

test_poly vervollständigen.

2049.3. Gröbnerbasen
Formell bezeichnen wir für p ∈ K[x] mit ltG p den Term von p mit dem gröÿten Exponenten,
der durch einen Leitterm eines Elementes von G teilbar ist. Wir nennen elementare Reduktion
jede Transformation der Form

p 7→ p̃ = p − cxα g,

worin g ∈ G und ltG p = cxα ltg.

(9.10)

Eine elementare Reduktion erhält die Äquivalenzklasse von p modulo hGi und lässt das gröÿte
Monom von p, das sie zuordnet, verschwinden: wir habenp̃ − p ∈ hGi

undltG p̃ < ltG p.

Da < eine Wohlordnung ist, ist es nicht möglich, unendlich viele elementare Reduktionen
nacheinander auf p anzuwenden. Jede Folge elementarer Reduktionen endet deshalb bei einem
Polynom, das nicht reduziert werden kann, und das ist der Rest der Division.
Halten wir fest, dass dieses Verfahren die bekannten Eliminationsmethoden sowohl für Polynome mit einer Unbestimmten wir für lineare Systeme verallgemeinert. Gibt es nur eine Variable,
reduziert sich die Division durch eine Einsermenge G = {g} genau auf die euklidsche Division
von p durch g . Im anderen Extremfall eines Polynoms mit mehreren Unbestimmten, wobei
jedoch alle Monome vom 1. Grade sind, stimmt sie mit der elementaren Reduktionsoperation
des Gauÿ-Jordan-Verfahrens überein.
Doch anders als das, was in diesen Spezialfällen geschieht, hängt der Rest generell von derWahl der elementaren Reduktionen ab. (Man sagt, das Regelsystem der Transformation (9.10)
ist nicht konuent.) Somit führt die Änderung der Reihenfolge, in der die Elemente von G
gegeben sind, im folgenden Beispiel zur Wahl verschiedener Reduktionen:sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
sage: (g, h) = (x-y, x-y^2); p = x*y - x
sage: p.reduce([g, h]) # zwei Reduktionen durch hy^3 - y^2
sage: p.reduce([h, g]) # zwei Reduktionen durch gy^2 - ySelbst wenn die Ordnung der Elemente von G als determiniert angesehen wird (sodass fürgegebene p und G ein eindeutiges Ergebnis erhalten wird), wie stellt man beispielsweise sicher,dass die Folge der gewählten elementaren Reduktionen von p durch {g, h} die folgende Relation
zeitigen wird, die beweist, dass p ∈ hg, hi ist?

sage: p - y*g + h
09.3.3. Gröbnerbasen

Die Einschränkungen bei der multivariaten Division erklären die im Unterabschnitt 9.2.3
erwähnten Schwierigkeiten, für die Elemente der Algebren K[x]/J eine Normalform zu bekommen: die Division durch die Erzeugenden des Ideals reicht nicht aus. . . zumindest nicht
generell! Es existieren nämlich spezielle Generatoren, für welche die Division konuent ist undeine Normalform berechnet. Diese Systeme heiÿen Gröbnerbasen oder Standardbasen .

205

9. Polynomiale Systeme
Eine schöne Möglichkeit Gröbner-Bassen kennen zu lernen, ergibt sich durch den
Begri der Treppe eines Ideals. Wir möchten jedes von null verschiedene Polynom aus
K[x1 , . . . , xn ] auf einen Punkt Nn abbilden, der durch seinen Leitexponenten gegeben ist, und
die Teilmenge E ⊂ Nn markieren, die durch ein Ideal J belegt ist (siehe Abb. 9.5 bis 9.7).
Die erhaltene Darstellung (die von der monomialen Ordnung abhängt), hat Treppenform:tatsächlich haben wir α + Nn ⊂ E für jedes α ∈ E . Die Elemente von J\ {0} benden sichim grau unterlegten Bereich oberhalb oder an der Treppenline. Die Punkte streng unterhalb
der Treppenlinie entsprechen ausschlieÿlich den Polynomen aus K[x]\J , es liegen jedoch nichalle Polynome aus K[x]\J unter der Treppenlinie.
Treppen.

Beispielsweise ist jedes Monom in einem Polynom aus hx3 , xy 2 z, xz 2 i, Leitmonom oder nicht,
ein Vielfaches eines der Polynome x3 , xy 2 z und xz 2 . Die Leitmonome sind deshalb genau die
xα y β z γ , die Exponent für Exponent einer der Ungleichungen (α, β, γ) ≥ (3, 0, 0), (α, β, γ) ≥(1, 2, 1) oder (α, β, γ) ≥ (1, 0, 2) genügen (Abb. 9.5). Ein Polynom, dessen Leitexponenten
diese Bedingungen nicht erfüllen, zum Beispiel x2 + xz 2 bei lexikographischer Ordnung mit
x > y > z , kann dem Ideal nicht angehören. Bestimmte Polynome wie x3 + x sind nicht mehr
im Ideal, obwohl ein Monom unterhalb der Treppenlinie liegt. Die Situation ist für jedes vonMonomen erzeugte Ideal entsprechend.
Für ein beliebiges Ideal wird die Gestalt der Treppe nicht einfach aus den Erzeugenden abgelesen. Wenn wir also mit δ 1 . . . , δ s die Leitexponenten
der Erzeugenden bezeichnen, habenS
wir in allen Beispielen der Abb. 9.6 und 9.7 si=1 (δ + Nn ) ( E , auÿer in der zweiten. Wir
können indessen zeigen, dass E immer als Vereinigung einer endlichen Anzahl von Mengen
der Form α + Nn geschrieben wird. Intuitiv heiÿt das, die Treppenlinie hat nur endlich viele
Ecken. Dieses Ergebnis heiÿt manchmal Lemma von Dickson.
Eine Gröbnerbasis ist schlicht eine Familie von Erzeugenden, die die Form
der Treppenlinie ausmachen, genauer, die an jeder ihrer Ecken ein Polynom zählt.
Gröbnerbasen

Definition. Eine Gröbnerbasis eines Ideals J ⊂ K[x] bezogen auf eine monomiale Ordnung< ist eine endliche Teilmenge G von J , sodass für jedes von null verschiedene p ∈ J ein g ∈ Gexistiert, für dessen Leitmonom (zur Ordnung <) gilt: lm g teilt lm p.

Die Prüfung, ob die Erzeugenden, die ein Ideal denieren, eine Gröbnerbasis bilden, wird in
Sage mit der Methode basis_is_groebner durchgeführt. Wir haben schon bemerkt, dass jede
Menge von Monomen eine Gröbnerbasis ist:

sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
sage: R.ideal(x*y^4, x^2*y^3, x^4*y, x^5).basis_is_groebner()
True
Andererseits ist das System x2 + y 2 − 1, 16x2 y 2 − 1 , das den Schnitt von Kreis und Hyperbeln kodiert, keine Gröbnerbasis:sage: R.ideal(x^2+y^2-1, 16*x^2*y^2-1).basis_is_groebner()
False

206

9.3. Gröbnerbasen
y

y

x
x

z

hxy 4 , x3 y 3 , x4 y, x5 i

hx3 , xy 2 z, xz 2 iAbb. 9.5 - Treppen der von Monomen erzeugten Ideale.

y

y

y

x

x

hx2 + y 2 − 1, 16 x2 y 2 − 1ixh16 x2 y 2 − 1ihx2 + y 2 − 1, (x + y)2 − 1i

Abb. 9.6 - Treppen der in diesem Kapitel angeführten Ideale von Q[x, y]. In diesen drei Fällen sind die Treppen
und die Positionen der Generatoren für die Ordnungen lex, deglex und degrevlex dieselben.

yyxlex(x, y)yxx

invlex(x, y) = lex(y, x)

Abb. 9.7 - Treppe des Ideals hxy + x + y2

degrevlex(x, y)+ 1, x2 y + xy 2 + 1i ⊂ QQ[x, y] bezogen auf verschiedene monomiale

Ordnungen.

Elemente des Ideals. Die schwarzen
Generatoren an.

In jedem Schema entspricht das grau unterlegte Gebiet den Leittermen der
Quadrate geben die Positionen der für seine Beschreibung verwendetenGemäÿ der Gestalt der Treppenlinie (Abb. 9.6) fehlt dafür ein Polynom von J1 des Leitmonomsy4.
Das oben angedeutete und auf dem Dickson-Lemma gründende Argument zeigt, dass jedes
Ideal Gröbnerbasen zulässt9 . Berechnen wir Gröbnerbasen von J1 und weiteren Idealen, deren
9

Dieses Ergebnis kann man auch als eine eektive Version des Hilbertschen Basissatzes sehen, der besagt,
dass die Ideale von K[x] durch eine endliche Anzahl von Elementen erzeugt werden. Ein klassischer Beweis
dieses Satzes erinnert stark an die Bildung einer Gröbnerbasis für die lexikographische Ordnung.

207

9. Polynomiale Systeme
Treppenlinien in Abb, 9.6 dargestellt sind. Für J1 kommt

sage: R.ideal(x^2+y^2-1, 16*x^2*y^2-1).groebner_basis()[x^2 + y^2 - 1, y^4 - y^2 + 1/16]
Wie erwartet erscheinen hier die Leitmonome x2 und y 4 . Ihr Auftreten erklärt, wie sich die
Treppenlinie auf die Achsen zurückzieht, woraus wir erkennen, dass das für Systeme derDimension null charakteristisch ist. Bezogen allein auf die Doppelhyperbel nden wir

sage: R.ideal(16*x^2*y^2-1).groebner_basis()[x^2*y^2 - 1/16]
d. h. ein Vielfaches des erzeugenden Polynoms. Ganz generell ist jedes einzelne Polynom eine
Gröbnerbasis. Das dritte Beispiel zeigt, dass eine Gröbnerbasis mehrere Polynome benötigen
kann als ein beliebiges System von Erzeugenden:

sage: R.ideal(x^2+y^2-1, (x+y)^2-1).groebner_basis()[x^2 + y^2 - 1, x*y, y^3 - y]Aufgrund der Einfachheit der vorstehenden Beispiele hängen diese drei Gröbnerbasen nichtoder nur wenig von der monomialen Ordnung ab. Das ist im allgeneinen nicht so. Die Abb.
9.7 stellt Treppenlinien für drei klassische monomiale Ordnungen dar, die demselben Ideal
von Q[vx] zugeordnet sind. Die entsprechenden Gröbnerbasen sind:

sage: R_lex.<x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
sage: J_lex = (x*y+x+y^2+1, x^2*y+x*y^2+1)*R_lex; J_lex.gens()[x*y + x + y^2 + 1, x^2*y + x*y^2 + 1]
sage: J_lex.groebner_basis()[x - 1/2*y^3 + y^2 + 3/2, y^4 - y^3 - 3*y - 1]sage: R_invlex = PolynomialRing(QQ, 'x,y', order='invlex')
sage: J_invlex = J_lex.change_ring(R_invlex); J_invlex.gens()[y^2 + x*y + x + 1, x*y^2 + x^2*y + 1]
sage: J_invlex.groebner_basis()[y^2 + x*y + x + 1, x^2 + x - 1]sage: R_drl = PolynomialRing(QQ, 'x,y', order='degrevlex')
sage: J_drl = J_lex.change_ring(R_drl); J_drl.gens()[x*y + y^2 + x + 1, x^2*y + x*y^2 + 1]
sage: J_drl.groebner_basis()[y^3 - 2*y^2 - 2*x - 3, x^2 + x - 1, x*y + y^2 + x + 1]
Reduktion
multivariate Divison von p durch G
zwischenreduzierte Erzeugende

p.reduce(G)J.interreduced_basis()
Gröbnerbasen

Test, ob Gröbnerbasis
Gröbnerbasis (reduziert)

Wechsel der Ordnung für lex
Wechsel der Ordnung R1 7→ R2

J.basis_is_groebner()
J.groebner_basis()
J.transformed_basis()
J.transformed_basis('fglm', other_ring=R2)

Tab. 9.6 - Gröbnerbasen

2089.3. Gröbnerbasen
Die Gröbnerbasis zur Ordnung lex hebt die Regel für die neue Schreibweise x = 12 y 3 −y 2 − 23 deutlich hervor, dank der wir die Elemente des Quotientenrings als Funktion nur
einer Variablen y ausdrücken können. Die verlängerte Form der entsprechenden Treppenlinie
spiegelt diese Möglichkeit wieder. Ebenso zeigt die Gröbnerbasis zur Ordnung invlex an, dasswir die Potenzen von y durch die Gleichung y 2 = −xy − x − 1 eliminieren können. Darauf
kommen wir am Ende des Kapitels noch einmal zurück.
9.3.4. Eigenschaften der Gröbnerbasen

Die Gröbnerbasen dienen zur Implementierung der in Abschnitt 9.2 untersuchten Operationen.
Wir benutzen sie nämlich zu Berechnung der Normalformen von Idealen von Polynomringen,und der Elemente der Quotienten durch diese Ideale, zur Eliminierung von Variablen in polynomialen Systemen oder auch zur Bestimmung der Charakteristik der Lösungen wie ihrer
Dimension.
Die Division durch eine Gröbnerbasis G eines Polynoms
aus hGi kann bei einem von null verschiedenen Element aus hGi nicht terminieren. Das ist
eine unmittelbare Konsequenz der Denition: ein solches Element befände sich oberhalb derzu hGi gehörenden Treppenlinie und wäre daher auch durch G teilbar. Jedes Element in hGi
reduziert sich somit bei der Division durch G auf null. Insbesondere erzeugt eine Gröbnerbasis
eines Ideals J wiederum J .
Division durch eine Gröbnerbasis.

Ebenso kann die Division eines Polynoms p ∈/ J durch eine Gröbnerbasis von J nur bei einem
Polynom unter der Treppe terminieren, nun gehören aber zwei verschiedene Polynome unter der Treppe zu verschiedenen Äquivalenzklassen modulo J (weil ihre Dierenz auch unter
der Treppe ist). Die Division durch eine Gröbnerbasis liefert daher eine Normalform für die
Elemente des Quotientenrings K[x]/J , und das unabhängig von der Reihenfolge, in der dieelementaren Reduktionen vorgenommen werden. Die Normalform einer Äquivalenzklasse p+J
ist ihr einziger Repräsentant, der unter der Treppenlinie liegt oder null ist. Es ist diese Normalform, welche die in Unterabschnitt 9.2.3 vorgestellten Operationen der Quotientenalgebra
berechnen. Um das Beispiel der Abb. 9.7 fortzusetzen, wird die Reduktion

sage: p = (x + y)^5
sage: J_lex.reduce(p)17/2*y^3 - 12*y^2 + 4*y - 49/2
zerlegt in eine Berechnung der Gröbnerbasis und eine anschlieÿende Division

sage: p.reduce(J_lex.groebner_basis())
17/2*y^3 - 12*y^2 + 4*y - 49/2
Das Ergebnis einer Projektion in den Quotienten ist im Wesentlichen dasselbe:

sage: R_lex.quo(J_lex)(p)17/2*ybar^3 - 12*ybar^2 + 4*ybar - 49/2
Natürlich verursacht ein Wechsel der monomialen Ordnung eine andere Bestimmung der Normalform:

sage: R_drl.quo(J_drl)(p)5*ybar^2 + 17*xbar + 4*ybar + 1

209

9. Polynomiale Systeme
Die Monome, die in der Normalform auftreten, entsprechen Punkten unter der Treppenlinie.
Somit hat das Ideal J die Dimension null genau dann, wenn die Anzahl der Punkte unter
seiner Treppe endlich ist, und diese Anzahl der Punkte ist die Dimension des Quotientenrings
K[x]/J . In diesem Fall ist die in Unterabschnitt 9.2.5 beschriebene Basis, die von der Methodenormal_basis zurückgegeben wird, einfach die Menge der Monome unter der Treppenlinie für
die vorliegende monomiale Ordnung.:sage: J_lex.normal_basis()[y^3, y^2, y, 1]
sage: J_invlex.normal_basis()[x*y, y, x, 1]
sage: J_drl.normal_basis()[y^2, y, x, 1]
Nebenbei bemerken wir, dass die Anzahl der Monome unter der Treppenlinie unabhängig vonder monomialen Ordnung ist.
Dimension. Wir sind nun gerüstet, eine Denition der Dimemsion eines Ideals für den allgemeinen Fall zu geben: J hat die Dimemsion d, wenn die Anzahl der Punkte unter derTreppenlinie, die den Monomen des Totalgrades höchstens t entspricht, von der Ordnung td
ist, wenn t → ∞ geht. Zum Beispiel hat das Ideal h16x2 x2 − 1i (Abb. 9.6) die Dimension 1:

sage: ideal(16*x^2*y^2-1).dimension()1
In der Tat ist die Anzahl der Monome m unter der Treppenlinie so, dass degx m + degy m ≤ t
für t ≥ 3 gleich 4t − 2 ist. Genauso haben die beiden Ideale in Abb. 9.5 die Dimensionen
1 bzw. 2. Man kann zeigen, dass der Wert der Dimension von der monomialen Ordnung
nicht abhängt, sondern bis auf entartete Fälle der geometrischen Dimension der dem Ideal
zugehörigen Varietät entspricht.
Eine endliche Menge von Polynomen, die eine Gröbnerbasis enthält, istselber eine Gröbnerbasis, weshalb ein von null verschiedenes Ideal unendlich viele Gröbnerbasen hat. Eine Gröbnerbasis G = {g1 , . . . , gs } heiÿt reduziert, wenn

Reduzierte Basen.

• die Leitkoezienten der gi sind sämtlich 1 (und 0 ∈/ G);• kein gi ist im Sinne der Regeln (9.10) durch den Rest der Basis G\ {gi } reduzierbar.
Bei festgelegter monomialer Ordnung lässt jedes Ideal eine eindeutige reduzierte Gröbnerbasis
zu. Beispielsweise ist die reduzierte Gröbnerbasis des Ideals h1i die einelementige Menge {1}für welche Ordnung auch immer. Die reduzierten Gröbnerbasen liefern daher für die Ideale
von K[x] eine Normalform.
Eine reduzierte Gröbnerbasis ist in dem Sinne minimal, dass das, was nach Wegnahme eines
beliebigen Elements übrig bleibt, kein Erzeugendensystem des Ideals mehr ist. Konkret umfasst sie genau ein Polynom pro Ecke der Treppenlinie. Sie kann aus einer beliebigen Gröbnerbasis G berechnet werden, indem jedes Element g ∈ G durch seinen Rest der Division durch
G\ {g}, soweit das möglich ist, ersetzt wird. Das ist es, was die Methode interreduced_basis
macht. Die zu null reduzierten Polynome werden gelöscht.

210

9.3. Gröbnerbasen
Die lexikographischen Ordnungen erfreuen sich folgender grundlegender Eigenschaft: wenn G eine Gröbnerbasis für die lexikographische Ordnung von J ⊂ K[x1 , . . . , xn ] ist,
10 J ∩ K[xdann sind die G ∩ K[xk+1,...,xn ] Gröbnerbasen der Eliminationsideale
k+1,...,xn ]. Eine
lexikographische Gröbnerbasis wird in Blöcke zerlegt, deren letzter nur von xn abhängt, dervorletzte von xn und xn−1 usw.11 :Elimination.

sage: R.<t,x,y,z> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
sage: J = R.ideal(t+x+y+z-1, t^2-x^2-y^2-z^2-1, t-x*y)
sage: [u.polynomial(u.variable(0)) for u in J.groebner_basis()][t + x + y + z - 1,
(y + 1)*x + y + z - 1,
(z - 2)*x + y*z - 2*y - 2*z + 1,
(z - 2)*y^2 + (-2*z + 1)*y - z^2 + z - 1]
In diesem Beispiel hängt das letzte Basispolynom nur von y und z ab. Zunächst kommt ein
Block von zwei Polynomen in x, y und z und als erstes ein Polynom, in dem sämtliche Variablen
vorkommen. Die aufeinander folgenden Eliminationsideale werden unmittelbar abgelesen.
Wir haben indessen gesehen (Unterabschnitt 9.2.5), dass die letzteren keine vollständige Beschreibung des Ideals liefern. Hier ist der Block mit z allein leer, daher erscheint jeder Wert
von z , vielleicht bis auf endlich viele Ausnahmen, als letzte Koordinate einer Lösung. Wirsind versucht, die möglichen y -Werte für jedes z mittels der letzten Gleichung auszudrücken.
Es sind zwei an der Zahl, auÿer für z = 2, wozu nur y = −1 passt. Nur beim Übergang zur
vorstehenden Gleichung sehen wir, dass die Festlegung z = 2 widersprüchlich ist. Umgekehrt
folgt gemäÿ der letzten Gleichung wiederum z = 2 aus y = −1 und ist daher ausgeschlossen.
Es erweist sich daher, dass jeder Leitkoezient der Polynome (geschrieben in ihrer jeweiligen
Haupvariablen, wie im Auszug weiter oben) für z 6= 2 zu null wird.

Übung 37

6
(Trigonometrische Beziehungen). Es soll (sin θ) als Polynom in u(θ) = sin θ+cos θ

und v(θ) = sin(2θ) + cos(2θ) geschrieben werden.

9.3.5. Berechnung

Wir verweisen den an Algorithmen zur Berechnung von Gröbnerbasen interessierten Lesernochmals auf die in der Einleitung erwähnte Literatur [CLO07, FSED09, EM07]. Als Ergänzung bieter der Modul sage.rings.polynomial.toy_buchberger eine pädagogische Implementierung des Buchberger-Algorithmus und weiterer damit verbundener Algorithmen, dieseiner theoretischen Beschreibung eng folgt.

1011

Für gegebenes k stimmt dies noch allgemeiner bei jeder Ordnung mit i ≤ k < j ⇒ xi > xj . Eine Ordnung
mit dieser Eigenschaft heiÿt blockweise (siehe auch Tab. 9.5).
Das ist deshalb eine Dreiecksform des Systems, die von den Erzeugenden des Ideals gebildet wird, wennauch in schwächerem Sinne als die in Unterabschnitt 9.2.5 denierte:a priori können wir über die Anzahl

der Polynome jedes Blocks oder ihre Leitterme nichts aussagen.

211

9. Polynomiale Systeme

Wechsel der Ordnung
Die interessantesten Gröbnerbasen sind nicht die, die am einfachsten zu berechnen
sind: oft ist die Ordnung degrevlex am wenigsten aufwendig, doch mehr Informationen entnimmt man einer lexikographischen Gröbnerbasis. Auÿerdem braucht man
manchmal Gröbnerbasen eines Ideals zu verschiedenen Ordnungen.
Das motiviert zur Einführung weiterer allgemeiner Algorithmen zur Berechnung vonGröbnerbasen, sogenannten Algorithmen für den Ordnungswechsel. Sie berechnen
aus einer Gröbnerbasis zu einer monomialen Ordnung zum selben Ideal eine Gröbnerbasis zu einer anderen monomialen Ordnung. Oft sind sie ezienter als diejenigen, die von einem beliebigen Erzeugendensystem ausgehen. So besteht eine oftmals fruchtbare Strategie, eine lexikographische Gröbnerbasis zu erhalten, darin, eine
Gröbnerbasis zur Ordnung degrevlex zu berechnen und dann ein Verfahren für den
Ordnungswechsel anzuwenden.
Die Methode transformed_basis ermöglicht die Berechnung von Gröbnerbasen
durch Ordnungswechsel von Hand, wenn das Ideal die Ordnung null hat oder die
Zielordnung lex ist. Notfalls beginnt die Methode mit der Berechnung einer Gröbnerbasis zu der Ordnung, die zum Polynomring gehört.
Merken wir uns jedenfalls, dass die Berechnung einer Gröbnerbasis eine aufwendige Operationist, aufwendig hinsichtlich Rechenzeit und Speicherbedarf, in ungünstigen Fällen sogar sehr
aufwendig. Die Methode groebner_basis lässt auÿerdem zahlreiche Optionen12 zu, die dem
erfahrenen Anwender erlauben, einen Algorithmus zur Berechnung einer Gröbnerbasis je nach
Eigenart des Problems von Hand festzulegen.
Betrachten wir die Ideale Cn (K) ⊂ K[x1 , . . . , xn−1 ], die deniert sind durch

C2 (K) = hx0 + x1 , x0 x1 − 1i
C3 (K) = hx0 + x1 + x2 , x0 x1 + x0 x2 + x1 x1 , x0 x1 x2 − 1i
..
.
k
D X Y
En−2
Cn (K) =xi+j+ hx0 . . . xn−1 − 1i,i∈Z/nZ j=0(9.11)

k=0

und in Sage zu bilden durch Befehle wie

sage: from sage.rings.ideal import Cyclic
sage: Cyclic(QQ['x,y,z'])Ideal (x + y + z, x*y + x*z + y*z, x*y*z - 1) of
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Rational Field
Dies sind klassische Testaufgaben zur Leistungsbewertung von Werkzeugen zur Lösung polynomialer Systeme. Auf einer Maschine, wo Sage für die Berechnung der reduzierten Gröbnerbasis von C6 (Q) weniger als eine Sekunde benötigt:

sage: def C(R, n): return Cyclic(PolynomialRing(R, 'x', n))sage: %time len(C(QQ, 6).groebner_basis())
CPU times: user 0.25 s, sys: 0.01 s, total: 0.26 s
12Wegen Details siehe ihre Hilfeseite sowie diejenigen der internen Methoden des betreenden Ideals, deren
Namen mit _groebner_basis beginnt.

212

9.3. Gröbnerbasen
Wall time: 0.97 s
45
endet die Berechnung der Gröbnerbasis von C7 (Q) nicht in einem Dutzend Stunden undbenötigt 3 Go Speicher.
Statt die Gröbnerbasis auf den rationalen Zahlen berechnen zu lassen, versuchen wir, Q durcheinen endlichen Körper Fp zu ersetzen. Die Idee, normal bei symbolischer Rechnung, ist die
Eingrenzung des Aufwands der Operationen mit den Koezienten: Operationen mit den Elementen von Fp benötigen eine konstante Zeit, während die Anzahl der Ziern der rationalen
Zahlen die Tendenz hat, im Verlauf der Rechnung gewaltig anzuwachsen. Wir wählen p hinreichend klein, damit die Rechnungen auf Fp direkt auf den ganzen Zahlen der Maschineausgeführt werden können. Doch p darf auch nicht zu klein gewählt werden, damit die Gröbnerbasis auf Fp die Chance hat, an einem guten Teil der Struktur von Q teilzuhaben.
Mit einem vertretbaren p hat beispielsweise die Gröbnerbasis von C6 (Fp ) die gleiche Anzahl
von Elementen wie diejenige von C6 (Q):sage: p = previous_prime(2^30)
sage: len(C(GF(p), 6).groebner_basis())
45
Bei Vergröÿerung des zu behandelnden Systems sehen wir den Einuss des Koezientenkörpers auf die Rechenzeit und der ist weit davon entfernt, vernachlässigbar zu sein: die Fälle
n = 7 und n = 8 werden problemlos machbar.

sage: %time len(C(GF(p), 7).groebner_basis())
CPU times: user 3.71 s, sys: 0.00 s, total: 3.71 s
Wall time: 3.74 s
209
sage: %time len(C(GF(p), 8).groebner_basis())
CPU times: user 104.30 s, sys: 0.07 s, total: 104.37 s
Wall time: 104.49 s
372Diese Beispiele illustrieren noch ein weiteres wichtiges Phänomen: die Ausgabe einer Berechnung der Gröbnerbasis kann viel gröÿer werden als die Eingabe. Somit zeigt die letze Rechnung
oben, dass jede Gröbnerbasis, reduziert oder nicht, von C8 (Fp ) (mit diesem Wert für p) zur
Ordnung degrevlex mindestens 372 Elemente zählt, wenn C8 von nur 8 Polynomen erzeugt
wird.

213

10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
Betrachten Sie diese Dierentialgleichung solange,
bis sich die Lösung von selbst einstellt.
George Pólya

10.1. Dierentialgleichungen10.1.1. Einführung

Wenn die Methode von George Pólya nicht verfangen will, ziehen Sie Sage hinzu, auch wenndas Gebiet der symbolischen Lösung von Dierentialgleichungen eine Schwäche vieler Rechenprogramme bleibt. Sage ist jedoch in voller Entwicklung und vergröÿert sein Leistungsspektrum mit jeder neuen Version.
Wenn man möchte, kann man Sage aufrufen, um eine qualitative Untersuchung zu erhalten,
und in der Tat leiten dann Sages numerische und grasche Werkzeuge die Intuition. Das ist
Gegenstand von Abschnitt 14.2 des Kapitels, das der numerischen Integration gewidmet ist.
Werkzeuge zur graschen Untersuchung werden in Unterabschnitt 4.1.6 angegeben. Lösungsverfahren mit Hilfe von Reihen nden sich in Unterabschnitt 7.5.2.
Man kann die exakte Lösung von Dierentialgleichungen vorziehen. Sage kann hier zuweilen helfen, indem es direkt eine symbolische Antwort gibt, wie wir in diesem Kapitel sehen
werden.
In den meisten Fällen muss Sage mit einer geschickten Umstellung dieser Gleichungen geholfen
werden. Vor allen Dingen muss man beachten, dass die erwartete Lösung einer Dierentialgleichung eine in einem bestimmten Intervall dierenzierbare Funktion ist, dass Sage aber
Ausdrücke ohne Denitionsbereich manipuliert. Die Maschine benötigt daher einen menschliche Eingri, um zu einer hinreichend genauen Lösung zu gelangen.
Wir werden zunächst gewöhnliche Dierentialgleichungen 1. Ordnung allgemein studieren undeinige besondere Fälle wie die linearen Gleichungen, die Gleichungen mit trennbaren Variablen, die homogenen Gleichungen, eine Gleichung, die von einem Parameter abhängt Unterabschnitt 10.1.2), dann eher summarisch die Gleichungen 2. Ordnung, sowie ein Beispiel
einer partiellen Dierentialgleichung (Unterabschnitt 10.1.3). Wir werden mit dem Gebrauch
der Laplace-Transformation (Unterabschnitt 10.1.4) und der Lösung bestimmter Systeme vonDierentialgleichungen schlieÿen.
Wir erinnern uns, dass eine gewöhnliche Dierentialgleichung (mannchmal mit GDG abgekürzt oder ODE auf englisch) eine Gleichung ist, in der eine (unbekannte) Funktion einer
Veränderlichen auftritt sowie eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion.
In der Gleichung y 0 (x) + x · y(x) = sin(x) wird die unbekannte Funktion y die abhängige
Variable genannt und x die unabhängige Variable , mit deren Gröÿe sich y ändert.

21510. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
Eine partiellen Dierentialgleichung (manchmal mit PDG abgekürzt oder PDE auf englisch)
ist eine Funktion, in der mehrere unabhängige Variablen auftreten und somit auch partielle
Ableitungen der abhängigen Variablen nach diesen unabhängigen Variablen.
Wenn nicht anders erwähnt, betrachten wir in diesem Kapitel Funktionen einer reellen Variablen.

10.1.2. Gewöhnliche Dierentialgleichungen 1. Ordnung
Grundlegende Befehle.

Wir wollen eine GDG 1. Ordnung lösen

F (x, y(x), y 0 (x)) = 0
Wir beginnen mit der Denition einer Variablen x und einer von ihr abhängigen Variableny:sage: x = var('x')
sage: y = function('y')(x)Dann schreibt man

sage: desolve(gleichung, variable, ics = ..., ivar = ...,....:
show_method = ..., contrib_ode = ...)
worin
- gleichung die Dierentialgleichung ist. Gleichheit wird durch == symbolisiert. Beispielsweise wird die Gleichung y 0 = 2y + x so geschrieben: diff(y,x) == 2*y + x;
- variable ist der Name der abhängigen Variablen, d.h. in y 0 = 2y + x ist das die Funktiony;- ics ist ein optionales Argument, mit dem die Anfangsbedingungen angegeben werden können. Für eine Gleichung 1. Ordnung ist das eine Liste [x0 , y0 ], für eine Gleichung 2. Ordnung
ist das [x0 , y0 , x1 , y1 ] oder [x0 , y0 , y00 ];- ivar ist ein optionales Argument, mit dem die unabhängige Variable präzisiert werden kann,d.h. in y 0 = 2y + x ist das x. Dieses Argument muss unbedingt dann angegeben werden,
falls Gleichungen von Parametern abhängen wie zum Beispiel y 0 = ay + bx + c;
- show_method ist ein optionales Argument, das mit False voreingestellt ist. Andernfalls verlangt es von Sage, das Lösungsverfahren anzugeben. Das können sein linear, separabel,exact, homogeneous, bernoulli, generalzed homogeneous. Sage gibt dann eine Liste zurück,deren erstes Argument die Lösung ist und deren zweites das verwendete Lösungsverfahren;- contrib_ode ist ein optionales Argument, das mit False voreingestellt ist. Bei True kannSage mit Gleichungen von Riccati, Lagrange, Clairaut und mit anderen pathologischen
Fällen umgehen.

21610.1. Dierentialgleichungen

Gleichungen 1. Ordnung können mit Sage direkt gelöst werden. Wir werden indiesem Abschnitt studieren, wie mit Sage die linearen Gleichungen mit trennbaren Variablen,
die Gleichungen von Bernoulli, die homogenen Gleichungen, die exakten Gleichungen, sowie
die Gleichungen von Riccati, Lagrange und Clairaut zu lösen sind.
Lineare Gleichungen. Dabei handelt es sich um Gleichungen des Typs

y 0 = P (x)y = Q(x),wobei es sich bei P und Q um Funktionen handelt, die auf den gegebenen Intervallen stetig
sind.
Beispiel: y 0 + 3y = ex .

sage: x=var('x'); y = function('y')(x)sage: desolve(diff(y,x)+3*y==exp(x), y, show_method=True)[1/4*(4*_C + e^(4*x))*e^(-3*x), 'linear']
Gleichungen mit trennbaren Variablen. Hierbei handelt es sich um Gleichungen desTyps

P (x) = y 0 Q(y),wobei es sich bei P und Q um Funktionen handelt, die auf den gegebenen Intervallen stetig
sind.
Beispiel: yy 0 = x.

sage: desolve(y*diff(y,x) == x, y, show_method=True)[1/2*y(x)^2 == 1/2*x^2 + _C, 'separable']
Achtung! Manchmal erkennt Sage nicht, dass es sich um eine Gleichung mit trennbaren Variablen handelt und behandlet sie als exakte Gleichungen. Beispiel: y 0 = ex+y .

sage: desolve(diff(y,x) == exp(x+y), y, show_method=True)[-(e^(x + y(x)) + 1)*e^(-y(x)) == _C, 'exact']
Gleichungen von Bernoulli. Das sind Gleichungen des Typs

y 0 = P (x)y = Q(x)y α ,wobei es sich bei P und Q um Funktionen handelt, die auf den gegebenen Intervallen stetig
sind.
Beispiel: y 0 − y = xy 4 .

sage: desolve(diff(y,x)-y == x*y^4, y, show_method=True)[e^x/(-1/3*(3*x - 1)*e^(3*x) + _C)^(1/3), 'bernoulli']
Homogene Gleichungen. Es handelt sich um Gleichungen des Typsy0 =P (x, y),Q(x, y)wobei es sich bei P und Q um Funktionen handelt, die auf den gegebenen Intervallen stetig
sind.
Beispiel: x2 y 0 = y 2 + xy + x2 .

sage: desolve(x^2*diff(y,x) == y^2 + x*y + x^2, y, show_method=True)[_C*x == e^(arctan(y(x)/x)), 'homogeneous']21710. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
Die Lösungen werden nicht in expliziter Form ausgegeben. Später werden wir sehen, wie wir
uns in bestimmten Fällen helfen können.
Exakte Gleichungen. Es handelt sich um Gleichungen des Typs

f0 =

∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y

mit einer dierenzierbaren Funktion f zweier Variablen.
cos(y) − 2x
Beispiel: y 0 =mit f = x2 − x cos y + y 2 /2.
y + x sin(y)sage: desolve(diff(y,x) == (cos(y)-2*x)/(y+x*sin(y)), y,....:
show_method=True)[x^2 - x*cos(y(x)) + 1/2*y(x)^2 == _C, 'exact']
Auch hier werden die Lösungen nicht explizit ausgegeben.
Gleichungen von Riccati. Es handelt sich um Gleichungen des Typs

y 0 = P (x)y 2 + Q(x)y + R(x),wobei es sich bei P, Q und R um Funktionen handelt, die auf den gegebenen Intervallen stetig
sind.
1
1
Beispiel: y 0 = xy 2 + y − 2 .
xx
In diesem Fall muss die Option contrib_ode auf True gesetzt werden, damit Sage mit komplexeren Verfahren nach einer Lösung sucht.

sage: desolve(diff(y,x) == x*y^2 + y/x - 1/x^2, y,....:contrib_ode=True, show_method=True)[1]'riccati'
Gleichungen von Lagrange und von Clairaut. Wenn die Gleichung die Form y =xP (y 0 ) + Q(y 0 ) hat mit auf einem bestimmten Intervall stetigen Funktionen P und Q, spricht
man von einer Lagrange-Gleichung. Ist P = 1, spricht man von einer Clairaut-Gleichung.
Beispiel: y = xy 0 − y 02 .

sage: desolve(y == x*diff(y,x) - diff(y,x)^2, y,....:contrib_ode=True, show_method=True)[[y(x) == -_C^2 + _C*x, y(x) == 1/4*x^2], 'clairault']
Lineare Gleichung.

sage: x =Lösen wir beispielsweise y 0 + 2y = x2 − 2x + 3;

var('x'); y = function('y')(x)sage: DE = diff(y,x) + 2*y == x**2 - 2*x + 3
sage: desolve(DE, y)
1/4*((2*x^2 - 2*x + 1)*e^(2*x) - 2*(2*x - 1)*e^(2*x) + 4*_C
+ 6*e^(2*x))*e^(-2*x)
Wir ordnen das ein wenig mit der Methode expand:sage: desolve(DE, y).expand()
1/2*x^2 + _C*e^(-2*x) - 3/2*x + 9/4

21810.1. Dierentialgleichungen
Wir gewöhnen uns daher an, desolve(...).expand() zu schreiben. Welches Verfahren ist
zur Anwendung gekommen?

sage: desolve(DE, y, show_method=True)[1]'linear'Nun wollen wir Anfangsbedingungen hinzufügen, zum Beispiel x(0) = 1:

sage: desolve(DE, y, ics=[0,1]).expand()
1/2*x^2 - 3/2*x - 5/4*e^(-2*x) + 9/4
Gleichungen mit separierbaren Variablen.
y 0 ln(y) = y sin(x):Untersuchen wir die Gleichungsage: x = var('x'); y = function('y')(x)sage: desolve(diff(y,x)*log(y) == y*sin(x), y, show_method=True)[1/2*log(y(x))^2 == _C - cos(x), 'separable']
Sage ist mit uns einer Meinung: das ist tatsächlich eine Gleichung mit trennbaren Variablen.
Gewöhnen wir uns an, unsere Lösungen zu benennen, damit wir sie später wiederverwenden
können:sage: ed = desolve(diff(y,x)*log(y) == y*sin(x), y); ed
1/2*log(y(x))^2 == _C - cos(x)Hier ist y(x) nicht in expliziter Form gegeben:

1∗ log(y(x))2 == _C − cos(x).
2

Man kann mit solve einen Ausdruck für y(x) verlangen. Wir schauen uns nun ed und ygenauer an:sage: solve(ed, y)[y(x) == e^(-sqrt(2*_C - 2*cos(x))), y(x) == e^(sqrt(2*_C - 2*cos(x)))]Wir müssen dabei besonders auf den Term sqrt(2*_C - 2*cos(x)) achten, auch wenn Sage
uns nicht gleich warnt, müssen wir deshalb dafür sorgen, dass _C ≥ 1 bleibt.
Um das Verhalten der Kurven der Lösungen zu erhalten, müssen wir die rechte Seite der Gleichung mit der Methode rhs() weiterverwenden. Statt beispielsweise die rechte Seite der ersten
Lösung nach Einsetzen von 5 für _C zu bekommen, sehen wir zunächst eine Fehlermeldung:

sage: solve(ed, y)[0].subs_expr(_C==5).rhs()----------------------------------------------------------------------NameError
Traceback (most recent call last)<ipython-input-5-77ebca8faf1a> in <module>()----> 1 solve(ed, y)[Integer(0)].subs_expr(_C==Integer(5)).rhs()
NameError: name '_C' is not defined
In der Tat haben wir _C nicht deniert. Sage hat es gemerkt. Um auf _C zugreifen zu können,
müssen wir die Methode variables() verwenden, welche die Liste der in einem Ausdruck
vorkommenden Variablen ausgibt.

219

10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
sage: ed.variables()(_C, x)
Nur _C und x werden also als Variablen angesehen, denn y ist als Funktion der Variablen xdeniert worden. Wir bekommen _C daher mit ed.variables()[0]:sage: _C = ed.variables()[0]sage: solve(ed, y)[0].subs(_C == 5).rhs()
e^(-sqrt(-2*cos(x) + 10))
Ein anderes Beispiel: Um den Graphen der ersten Lösung mit _C=2 zu erhalten, schreiben wir
sage: plot(solve(ed, y)[0].subs(_C == 2).rhs(), x, -3. 3)
und wir erhalten

Um mehrere Kurven zu bekommen (siehe Abb. 10.1) arbeiten wir mit einer Schleife:sage: P = Graphics()
sage: for k in range(1,20,2):....:
P += plot(solve(ed, y)[0].subs(_C == 1 + k/4).rhs(), x, -3, 3)
sage: P220

10.1. DierentialgleichungenAbb. 10.1 - Mehrere Lösungen von y 0 ln y = y sin(x).
Mit zwei Schleifen könnten wir versuchen, die Bilder zweier Lösungen einzufangen,sage: P = Graphics()
sage: for j in [0, 1]:....:
for k in range(1,10,2):....:
f = solve(ed, y)[0].subs(_C == 2 + k/4).rhs()....:
P += plot(f, x, -3, 3) sage: P
doch die Dierenz der Maÿstäbe beider Lösungen verhindert, dass man die Kurven der ersten
Lösung unterscheiden kann:221

10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte FolgenÜbung 38.

(Dierentialgleichungen mit trennbaren Variablen). Lösen Sie folgende Dieren-

tialgleichungen mit trennbaren Variablen auf R:

yy 0
1. (E1 ) : p= sin(x);1 + y22. (E2 ) : y 0 =sin(x).
cos(x)

p
Wir wollen die homogene Gleichung xy 0 = y + y 2 + x2 lösen. In
der Tat ist dies eine homogene Gleichung, denn man kann sie auch so schreiben:pdy
y + y 2 + x2
N (y, x)==dxx
M (y, x)
Homogene Gleichungen.

oder N (ky, kx) = kN (y, x) und M (ky, kx) = kM (y, x).
Daher genügt es, diese Gleichung durch die Substitution y(x) = x · u(x) in eine Gleichung mit
trennbaren Variablen zu überführen:

sage: u = function('u')(x)sage: y = x*u
sage: DE = x*diff(y,x) == y + sqrt(x**2 + y**2)
Wir wenden die Substitution auf die Ausgangsgleichung an.
Da die Gleichung für x = 0 nicht deniert ist, werden wir sie auf den Intervallen ] − ∞, 0[ und]0, ∞[ lösen. Arbeiten wir zunächst auf ]0, ∞[.

sage: assume x > 0
sage: desolve(DE, u)
x == _C*e^arcsinh(u(x))
Wir erhalten u nicht in expliziter Form. Um dem zu begegnen, werden wir mit dem MaximaBefehl ev (wie evaluieren) und der Option logarc=True, die angibt, dass die Areafunktionen
mit Hilfe von Logarithmen umgewandelt werden. Danach können wir u durch den Befehl
solve erhalten:

sage: S = desolve(DE, u)._maxima_().ev(logarc=True).sage().solve(u); S[u(x) == -(sqrt(u(x)^2 + 1)*_C - x)/_C]
Hier ist S eine Liste, die nur aus einer Gleichung besteht; S[0] ist daher die Gleichung selbst.
Trotzdem wird die Gleichung nicht immer explizit gelöst. Wir werden Sage ein wenig zur Hand
gehen, indem wir es zur Lösung der äquivalenten Gleichung_C 2 (u2 + 1) = (x − u · _C)2
mit folgenden Befehlen auordern:sage: _C = S[0].variables()[0]sage: solu = (x-S[0]*_C)^2; solu(_C*u(x) - x)^2 == (u(x)^2 + 1)*_C^2
sage: sol = solu.solve(u); sol[u(x) == -1/2*(_C^2 - x^2)/(_C*x)]
Wir müssen jetzt nur noch zurück zu y gelangen:222

10.1. Dierentialgleichungensage: y(x) = x*sol[0].rhs(); y(x)-1/2*(_C^2 - x^2)/_C
Nunmehr erhalten wir die Lösungen in expliziter Form:y(x) =

x 2 − _C 2.
2 · _C

Jetzt müssen die Lösungen auf ]0, ∞[ noch gezeichnet werden, wobei darauf zu achten ist,
dass _C nicht null wird.

sage: P = Graphics()
sage: for k in range(-19,19,2):....:
P += plot(y(x).subs(_C == 1/k), x, 0, 3)
sage: PÜbung 39.

(Homogene Dierentialgleichungen). Lösen Sie auf R folgende Dierentialglei-chung: (E3 ) : xyy 0 = x2 + y 2 .

Eine Parametergleichung: das Modell von Verhulst. Die relative Rate des Wachstums
einer Bevölkerung ist eine mit der Gröÿe der Bevölkerung linear abnehmende Funktion. Bei
ihrer Untersuchung kann eine Gleichung der Formy 0 = ay − y 2zu lösen sein mit den positiv reellen Parametrern a und b.

sage: x = var('x'); y = function('y')(x); a, b = var('a, b')
sage: DE = diff(y,x) - a*y == -b*y^ 2sage: sol = desolve(DE, [y,x]); sol-(log(b*y(x) - a) - log(y(x)))/a == _C + x

223

10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
Wir erhalten damit y nicht explizit. Versuchen wir, es mit solve zu isolieren.

sage: Sol = solve(sol, y)[0]; Sollog(y(x)) == (_C + x)*a + log(b*y(x) - a)
Die explizite Lösung haben wir immer noch nicht. Wir werden die Terme auf die linke Seite
umgruppieren und diesen Ausdruck mit Hilfe von simplify_log() vereinfachen:

sage: Sol(x) = S.lhs() - Sol.rhs(); Sol(x)-(_C + x)*a - log(b*y(x) - a) + log(y(x))
sage: Sol.simplify_log(); Sol(x)-(_C + x)*a + log(y(x)/(b*y(x) - a))sage: solve(Sol, y)[0].simplify()y(x) == a*e^(_C*a + a*x)/(b*e^(_C*a + a*x) - 1)
10.1.3. Gleichungen 2. Odnung
Lineare Gleichungen mit konstanten Koezienten.

2. Ordnung mit konstanten Koezienten, zum Beispiel

Lösen wir jetzt eine lineare Gleichungy 00 + 3y = x2 − 7x + 31.
Wir verwenden die gleiche Syntax wie für Gleichungen 1. Grades. Die 2. Ableitung von y nachx bekommt man mit diff(y,x,2).

sage: x = var('x'); y = function('y')(x)sage: DE = diff(y,x,2) + 3*y == x^2 - 7*x + 31
sage: desolve(DE, y).expand()
1/3*x^2 + _K2*cos(sqrt(3)*x) + _K1*sin(sqrt(3)*x) - 7/3*x + 91/9
Fügen wir noch Anfangsbedingungen hinzu, beispielsweise y(0) = 1 und y 0 (0) = 2:

sage: desolve(DE, y, ics=[0,1,2]).expand()
1/3*x^2 + 13/9*sqrt(3)*sin(sqrt(3)*x) - 7/3*x - 82/9*cos(sqrt(3)*x) + 91/9
oder auch y(0) = 1 und y(−1) = 0:

sage: desolve(DE, y, ics=[0,1,-1,0]).expand()
1/3*x^2 - 7/3*x - 82/9*cos(sqrt(3))*sin(sqrt(3)*x)/sin(sqrt(3)) +115/9*sin(sqrt(3)*x)/sin(sqrt(3)) - 82/9*cos(sqrt(3)*x) + 91/9
das heiÿt

√
√
√
√
1 2 7
82 sin( 3x) cos( 3) 115 sin( 3x) 82
91√√
x − x−+−
cos( 3x) + .
33
999 sin( 3)9 sin( 3)22410.1. DierentialgleichungenWir untersuchen die berühmte Wärmeleitungsgleichung. Die Temperatur z verteilt sich in einem geraden homogenen Stab der Länge
l gemäÿ der Gleichung (in der x die Abszisse längs des Stabes und t die Zeit ist):
Lösung einer PDG: die Wärmeleitungsgleichung.

∂z∂2z(x, t) = C (x, t).
2∂x∂t
Wir geben folgende Anfangs- und Randbedingungen vor:∀t ∈ R+ :z(0, t) = 0 z(l, t) = 0 ∀x ∈]0, l[:z(x, 0 = 1).

Wir suchen die nicht verschwindenden Lösungen der Formz(x, t) = f (x)g(t).
Dies ist das Verfahren der Trennung der Variablen:sage: x, t = var('x, t'); f = function('f')(x); g = function('g')(x)sage: z = f*g
sage: eq(x,t) = diff(z,x,2) == diff(z,t); eq(z,t)g(t)*diff(f(x), x, x) == f(x)*diff(g(t), t)
Das ist Gleichungd2 f (x)d gt= f (x).
2dx
dt
Wir dividieren durch f (x)g(t), das wir ungleich null voraussetzen:g(t)sage: eqn = eq/z; eqn(x,t)
diff(f(x), x, x)/f(x) == diff(g(t), t)/g(t)Wir bekommen dann eine Gleichung, bei der jede Seite nur von einer Variablen abhängt:1 d 2f (x)1 d g(t)=.
f (x) d x2
g(t) d t
Beide Seiten müssen konstant sein, und wir führen eine Konstante k ein:sage: k = var('k')
sage: eq1(x,t) = eqn(x,t).lhs() == k; eq2(x,t) = eqn(x,t).rhs() == kLösen wir jede der Gleichungen für sich und beginnen mit der zweiten;

sage: g(t) = desolve(eq2(x,t),[g,t]); g(t)_C*e^(k*t)
also ist g(t) = cekt mit einer Konstanten c.
Bei der ersten kommen wir nicht gleich weiter:

sage: desolve(eq1,[f,x])
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
Is k positive, negative or zero?
Verwenden wir assume:22510. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
sage: assume(k>0); desolve(eq1,[f,x])_K1*e^(sqrt(k)*x) + _K2*e^(-sqrt(k)*x)
Das bedeutet√√

f (x) = k1 ex k + k2 e−x k .

10.1.4. Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation erlaubt die Umwandlung einer Dierentialgleichung mit Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung, und die Rücktransformation ermöglich dann die
Rückkehr zu einer eventuell existierenden Lösung der Dierentialgleichung. Zur Erinnerung:wenn f eine auf R denierte Funktion ist, die im Intervall ]−∞, 0[ verrschwindet, dann nennen
wir die unter bestimmten Bedingungen durch+∞Z
L(f (x)) = F (s) =e−sx f (x) d x0denierte Funktion F die Laplace-Transformierte von f .
Leicht erhalten wir die Laplace-Transformierten von polynomialen Funktionen, von trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktionen usw. Diese Transformierten haben höchst interessante Eigenschaften, insbesondere was die Transformierten einer Ableitung betrit: wenn
f 0 auf R+ stückweise stetig ist, dann ist

L(f 0 (x)) = sL(f (x)) − f (0),und wenn f 0 den für f geltenden Bedingungen genügt, dann ist

L(f 00 (x)) = s2 L(f (x)) − sf (0) − f 0 (0).
Wir wollen die Dierentialgleichung y 00 − 3y 0 − 4y = sin(x) mit den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y 0 (0) = −1 mit Hilfe der Laplace-Transformierten lösen. Dann ist:
Beispiel.

L(y 00 − 3y 0 − 4y) = L(sin(x)),
das heiÿt:(s2 − 3s − 4)L(y) − sy(0) − y 0 (0) + ey(0) = L(sin(x)).

Sollten wir die Listen der Laplace-Transformierten der gängigen Funktionen vergessen haben,können wir die Transformierte des Sinus auch mit Sage nden:

sage: x, s = var('x, s'); f = function('f',x)
sage: f(x) = sin(x); f.laplace(x,s)
x |--> 1/(s^2 + 1)
Somit erhalten wir einen Ausdruck für die Laplace-Transformierte von y :L(y) =

1(s2 − 3s − 4)(s2 + 1)

Mit Sage erhalten wir nun die Rücktransformierte:

226

+

s−4
s2 − 3s − 4.

10.1. Dierentialgleichungensage: X(s) = 1/(s^2-3*s-4)/(s^2+1) + (s-4)/(s^2-3*s-4)
sage: X(s).inverse_laplace(s, x)
3/34*cos(x) + 1/85*e^(4*x) + 9/10*e^(-x) - 5/34*sin(x)Mit etwas Schummelei können wir X(s) zunächst in einfachere Elemente zerlegen:sage: X(s).partial_fraction()
1/34*(3*s - 5)/(s^2 + 1) + 9/10/(s + 1) + 1/85/(s - 4)
Wir müssen nur noch eine Liste der Rücktransformationen zur Hand nehmen. Indessen könnten wir auch direkt die Blackbox desolve_laplace benutzen, die uns die Lösung sofort liefert:

sage: x = var('x'); y = function('y',x)
sage: eq = diff(y,x,x) - 3*diff(y,x) - 4*y - sin(x) == 0
sage: desolve_laplace(eq, y)
1/85*(17*y(0) + 17*D[0](y)(0) + 1)*e^(4*x) + 1/10*(8*y(0) - 2*D[0](y)(0)- 1)*e^(-x) + 3/34*cos(x) - 5/34*sin(x)sage: desolve_laplace(eq, y, ics=[0,1,-1])
3/34*cos(x) + 1/85*e^(4*x) + 9/10*e^(-x) - 5/34*sin(x)10.1.5. Lineare Dierentialsysteme
Ein Beispiel eines einfachen linearen Dierentialsystems 1. Ordnung.

folgende Dierentialsystem lösen:



mit




2 −2 0A = −2 0 2 ,0
2 2

Wir wollen das

y 0 (x) = A · y(x)y(0) = c
y1 (x)
y(x) = y2 (x) ,y3 (x)2c =  1 .
−2

Wir schreiben:

sage: x = var('x'); y1 = function('y1', x)
sage: y2 = function('y2', x); y3 = function('y3', x)
sage: y = vector([y1, y2, y3])sage: A = matrix([[2,-2,0],[-2,0,2],[0,2,2]])
sage: system = [diff(y[i], x) - (A * y)[i] for i in range(3)]sage: desolve_system(system, [y1, y2, y3], ics=[0,2,1,-2])[y1(x) == e^(4*x) + e^(-2*x),y2(x) == -e^(4*x) + 2*e^(-2*x),y3(x) == -e^(4*x) - e^(-2*x)]
Für die Anfangsbedingungen gilt diese Syntax: ics = [x0,y1(x0),y2(x0),y3(x0)].

227

10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
Diesmal nehmen wir


 
3 −4
2
A=
,
c=
.
1 3
0

Mit einer Matrix komplexer Eigenwerte.

Mit Sage:sage: x = var('x'); y1 = function('y1', x); y2 = function('y2', x)
sage: y = vector([y1,y2])
sage: A = matrix([[3,-4],[1,3]])
sage: system = [diff(y[i], x) - (A * y)[i] for i in range(2)]sage: desolve_system(system, [y1, y2], ics=[0,2,0])[y1(x) == 2*cos(2*x)*e^(3*x), y2(x) == e^(3*x)*sin(2*x)]
kommt



Ein System 2. Ordnung.

y1 (x) = 2 cos(2x)e3x
y2 (x) = sin(2x)e3x .

Wir wollen dieses System lösen:y100 (x) − 2y1 (x) + 6y2 (x) − y10 (x) − 3y20 (x) = 0
y200 (x) − 2y1 (x) − 6y2 (x) − y10 (x) − y20 (x) = 0

Wir führen es auf ein System 1. Ordnung zurück und setzen dazuu = (u1 , u2 , u3 , u4 ) = (y1 , y2 , y10 , y20 ).
Dann haben wir

 0
u = u3 10
u2 = u4
u0 = 2u1 − 6u2 + u3 + 3u4 03
u4 = −2u1 + 6u2 + u3 − u4 ,das heiÿt u0 = A · u(x) mit




0
0 1 0
0
0 0 1
A=
 2 −6 1 3  .
−2 6 1 −1
Mit Sage:sage: x = var('x'); u1 = function('u1', x); u2 = function('u2', x)
sage: u3 = function('u3', x); u4 = function('u4', x)
sage: u = vector([u1,u2,u3,u4])
sage: A = matrix([[0,0,1,0],[0,0,0,1],[2,-6,1,3],[-2,6,1,-1]])
sage: system = [diff(u[i], x) - (A*u)[i] for i in range(4)]sage: sol = desolve_system(system, [u1, u2, u3, u4])
Wir berücksichtigen nur die beiden ersten Komponenten, denn es sind y1 und y2 , die uns
interessieren, d.h. u1 und u2 :sage: sol[0]u1(x) == 1/12*(2*u1(0) - 6*u2(0) + 5*u3(0) + 3*u4(0))*e^(2*x) +1/24*(2*u1(0) - 6*u2(0) - u3(0) + 3*u4(0))*e^(-4*x) + 3/4*u1(0) +3/4*u2(0) - 3/8*u3(0) - 3/8*u4(0)228

10.2. Rekursiv denierte Folgen
sage: sol[1]u2(x) == -1/12*(2*u1(0) - 6*u2(0) - u3(0) - 3*u4(0))*e^(2*x) 1/24*(2*u1(0) - 6*u2(0) - u3(0) + 3*u4(0))*e^(-4*x) + 1/4*u1(0) +1/4*u2(0) - 1/8*u3(0) - 1/8*u4(0)Das kann bei guter Beobachtungsgabe zusammengefasst werden zu
y1 (x) = k1 e2x + k2 e−4x + 3k3
y2 (x) = k4 e2x − k2 e−4x + k3
mit k1 , k2 , k3 und k4 als Parametern, die von den Anfangsbedingungen abhängen.

10.2. Rekursiv denierte Folgen
10.2.1. Durch un+1 = f (un ) denierte Folgen

Wir betrachten eine durch die Beziehung un+1 = f (un ) mit u0 = a
rekursiv denierte Folge. Natürlich können wir die Folge mit einem rekursiven Algorithmus
denieren. Nehmen wir als Beispiel eine logistische Folge (eine durch eine Beziehung der Formxn+1 = rxn (1 − xn ) denierte Folge):x 
und u0 = 20000.
f : x 7→ 3.83 · 1 −100000Denition einer Folge.

Diese Folge können wir in Sage denieren durchDierentialgleichungen
Variablendeklaration
Funktionsdeklaration
Lösung einer Gleichung
Lösung eines Systems
Anfangsbedingungen 1. Ordnung
Anfangsbedingungen 2. Ordnung
Anfangsbedingungen für Systeme
unabhängige Variable
Lösungsverfahren
Aufruf sdpezieller Verfahren

x=var('x')
y=function('y')(x)desolve(gleichung, y, <optionen>)desolve_system([gl1, ...]], [y1, ...]], <optionen>)[x0 , y(x0 )][x0 , y(x0 ), x1 , y(x1 )][x0 , y(x0 ), y 0 (x0 )][x0 , y1 (x0 ), y2 (x0 ), . . .]ivar=xshow_method=Truecontrib_ode=True

Laplace-Transformierte
Transformation einer Funktion f : x 7→ f (x)Rücktransformation von X(s)Lösung durch Laplace-Transformation

f.laplace(x,s)X(s).inverse_laplace(s,x)
desolve_laplace(gleichung,funktion)

Verschiedene Befehle
Ausdruck der 1. Ableitung
ausmultiplizierte Form eines Ausdrucks
In einem Ausdruck vorkommende Variablen
Substitution einer Variablen
rechte Seite eine Gleichunglinke Seite einer Gleichungdiff(y,x)
expr.expand()expr.variables()expr.subs(var==val)
gleichung.rhs()
gleichung.lhs

Tab. 10.1 - Befehle für die Lösung von Dierentialgleichungen229

10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
sage: x = var('x'); f = function('f',x)
sage: f(x) = 3.83*x*(1 - x/100000)
sage: def u(n):....:if n==0: return(20000)....:
else: return f(u(n-1))
Wir können eine iterative Denition vorziehen:sage: def v(n):....:V = 20000;....:
for k in [1..n]:....:V = f(V)....:
return V
Graphische Darstellung.

sen:

Wir können die Punkte mit den Koordinaten (k, uk ) zeichnen las-sage: def wolke(u,n):....:
L = [[0,u(0)]];....:for k in [1..n]:....:L += [[k,u(k)]]....:points(L).show()
Ausgehend von der folgenden Abbildung vermuten wir die Existenz von drei Häufungspunkten:

sage: wolke(u,50)

230

10.2. Rekursiv denierte Folgen
Wir hätten stattdessen auch eine Darstellung wählen können, wo der Graph von f auf die
Winkelhalbierende trit. Da diese nicht von sich aus in Sage vorhanden ist, werden wir einekleine Prozedur schreiben, welche die Arbeit erledigt:

sage: def schnecke(f,x,u0,n,xmin,xmax):....:u = u0....:P = plot(x, x, xmin, xmax, color='gray')....:for i in range(n):....:P += line([[u,u],[u,f(u)],[f(u),f(u)]], color = 'red')....:u = f(u)....:P += f.plot(x, xmin, xmax, color='blue') # Courbe de f....:
P.show()
Beispielsweise beobachten wir für die gleiche Folge:

sage: f(x) = 3.83*x*(1 - x/100000)
sage: schnecke(f,x,20000,100,0,100000)
ebenfalls drei Häufungspunkte:

10.2.2. Lineare rekursiv denierte Folgen

Sage kann auch mit Folgen des Typs

ak un+k + ak−1 un+k−1 + · · · + a1 un+1 + a0 un = 0
umgehen, wobei (ai )0≤i≤k eine Familie von Skalaren ist.

23110. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen
Wir betrachen als Beispiel die Folge

31
u0 = −1, u1 = 1, un+2 = un+1 − un .
2
2
In Sage 7 ist die bekannte Funktion rsolve nicht direkt nutzbar. Man ndet sie in Sympy,
was gewisse Unanehmlichketen zur Folge hat, wie die Syntaxänderung bei der Deklaration
der Variablen. Hier der nötige Vorspann für die Denition der Folge:

sage: from sympy import Function, Symbol
sage: u = Function('u'); n = Symbol('n', integer=True)
Anschlieÿend muss die lineare Relation in der Form ak un+k +. . .+a0 un = 0 deniert werden:

sage: f = u(n+2)-(3/2)*u(n+1)+(1/2)*u(n)Schlieÿlich rufen wir rsolve auf und achten dabei genau darauf, wie die Anfangsbedingungendeklariert werden:

sage: from sympy import rsolve
sage: rsolve(f, u(n), {u(0):-1,u(1):1})
3 - 4*2**(-n)
1das heiÿt un = 3 − 2n−2.

Bemerkung. Zu beachten sind gewisse Einschränkungen bei rsolve. Zum Beispiel wird bei

rekursiv denierten Folgen 2. Ordnung ein korrektes Resultat nur erhalten, wenn die charakteristische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln hat wie im vorstehendem Beispiel. Sonst
drückt Sage die Lösung mit Hilfe des Pochhammer-Symbols aus (RisingFactorial(x,n)),und das ist wenig ergiebig.
10.2.3. Rekursiv denierte Folgen mit zweitem Glied

Sage kann auch mit Folgen dieses Typs umgehen:ak (n)un+k + ak−1 (n)un+k−1 + . . . + a1 (n)un+1 + a − 0(n)un = f (n)mit einer Familie von Polynomen (ai )0≤i≤k in n und einer polynomialen, einer gebrochen
rationalen oder einer hypergeometrischen Funktion f vonh n.
Entsprechend der Natur von f (n) sind die Befehle verschieden:• rsolve_poly wenn f eine Polynomfunktion ist,
• rsolve_ratio, wenn f eine gebrochen rationale Funktion ist,
• rsolve_hyper, wenn f eine hypergeometrische Funktion ist.

232

10.2. Rekursiv denierte Folgen
Wir denieren die ai (n) als Liste [a0 (n), . . . , ak−1 (n), ak (n)]. Um beispielsweise die Komplexität von Mergesort zu untersuchen, sind wir gehalten, die Folge

un+1 = 2un + 2n+2 , u0 = 0
zu studieren. Die Rechnung ergibt

sage: from sympy import rsolve_hyper
sage: n = Symbol('n', integer=True)
sage: rsolve_hyper([-2,1],2**(n+2),n)2**n*C0 + 2**(n + 2)*(C0 + n/2)
und wegen u0 = 0 ist C0=0, daher ist un = n · 2n+1 .

233

Teil III.
Numerisches Rechnen

23511. Gleitpunktzahlen
In den folgenden Kapiteln stehen die Gleitpunktzahlen im Zentrum der Aufmerksamkeit. Es
ist sinnvoll, sie zu studieren, denn ihr Verhalten folgt genauen Regeln.
Wie sollen reelle Zahlen maschinell dargestellt werden? Da diese Zahlen im allgemeinen nicht
mit einer endlichen Menge an Information kodiert werden können, sind sie auf einem Rechner
nicht immer darstellbar: man muss sie also durch eine Gröÿe mit endlichem Speicherbedarf
annähern.
Es hat sich zur näherungsweisen Darstellung reeller Zahlen mit einer festen Menge von Information ein Standard herausgebildet: die Gleitpunkt-Darstellung.1
In diesem Kapitel ndet man: eine summarische Beschreibung der Gleitpunktzahlen und verschiedener in Sage verfügbarer Typen dieser Zahlen sowie die Demonstration einiger ihrer
Eigenschaften. Etliche Beispiele zeigen bestimmte Schwierigkeiten, denen man beim Rechnen
mit Gleitpunktzahlen begegnet, einige Knie, mit denes es gelegentlich gelingt, sie zu umschiffen, wobei wir erwarten, dass der Leser die nötige Bedachtsamkeit entwickelt. Als Konsequenz
versuchen wir einige Eigenschaften zu benennen, welche die numerischen Methoden haben
müssen, um mit diesen Zahlen verwendet werden zu können.
Für weitere Informationen kann der Leser die im Netz verfügbaren Dokumente [BZ10] und[Go191] konsultieren oder das Buch [MBdD+10].

11.1. Einführung
11.1.1. Denition

Eine Menge F (β, r, m, M ) von Gleitpunktzahlen ist durch vier Parameter deniert: eine Basisβ ≥ 2, eine Anzahl von Ziern r und zwei ganze Zahlen m bzw. M . Die Elemente vonF (β, r, m, M ) sind Zahlen der Formx = (−1)s 0.d1 d2 . . . dr · β j ,worin die Ziern di ganze Zahlen sind, die 0 ≤ di < β für i ≥ 1 und 0 < d1 < β erfüllen. Die
Anzahl r der Ziern ist die Genauigkeit , das Vorzeichenbit s kann 0 oder 1 sein, der Exponent
j liegt zwischen den beiden ganzen Zahlen m und M und 0.d1 d2 . . . dr ist die Mantisse .

1

In der deutschsprachigen Literatur hält sich noch der Begri Gleitkomma, auch wenn in der Informatik
grundsätzlich der Punkt als Dezimaltrennzeichen dient und das Komma als Trennzeichen in Listen unddergleichen fungiert.

237

11. Gleitpunktzahlen
11.1.2. Eigenschaften, Beispiele

Die Normalisierung 0 < d1 < β garantiert, dass alle Zahlen dieselbe Anzahl von signikantenZiern haben. Man bemerkt, dass die Zahl null mit der Konvention d1 > 0 nicht darstellbar
ist: null braucht eine spezielle Darstellung.
Als Beispiel: die −0.028 gschriebene Zahl zur Basis 10 (Festpunkt-Darstellung) wird als−0.28 · 10−1 dargestellt (vorbehaltlich natürlich, dass r ≥ 2 und m ≤ −1 ≤ M ). Da zur
rechnerinternen Binärdarstellung die Basis 2 dient, ist β gleich 2 in den verschiedenen vonSage angebotenen Mengen von Gleitpunktzahlen und wir werden uns daher im Verlaufe dieses
Kapitels immer in diesem Rahmen bewegen. Um ein Beispiel zu geben, 0.101 · 21 stellt mit
den Werten aus der Menge F (2, 3, −1, 2) die Zahl 5/4 dar..
Da für β = 2 der einzige mögliche Wert von d1 gleich d1 = 1 ist, kann er in einer Maschinenimplementierung weggelassen werden und, immer mit den Werten aus der Menge F (2, 3, −1, 2),
kann beispielsweise 5/4 mit 5 bits, nämlich als 00110 maschinencodiert werden, worin die
erste Zier von links das Vorzeichen + darstellt, die beiden folgenden Ziern, nämlich 01 die
Mantisse (101) und die letzten beiden Ziern den Exponenten (00 codiert den Wert −1 desExponenten, 01 den Wert 0 usw.).
Dem Leser muss völlig klar sein, dass die Mengen F (β, r, m, M ) nur eine endliche Untermenge
der reellen Zahlen beschreiben. Zur Darstellung einer reellen Zahl x, die zwischen zwei aufeinander folgenden Zahlen aus F (β, r, m, M ) liegt, wird eine Rundung genannte Anwendung
benötigt, die festlegt, welche Zahl eine Näherung von x ist: man kann die Zahl nehmen, die
x am nächsten liegt, doch sind auch andere Entscheidungen möglich; die Norm bestimmt,
dass die Rundung F (β, r, m, M ) unverändert lässt. Die Menge der darstellbaren Zahlen ist
beschränkt, und die Mengen der Gleitpunktzahlen enthalten auch die Sonderwerte +∞ und−∞, die nicht nur unendliche Werte (wie 1/0) darstellen2 , sondern auch alle Werte oberhalb
der gröÿten darstellbaren positiven Zahl (oder unterhalb der kleinsten darstellbaren negativen
Zahl). Es gibt auch ein Zeichen zur Darstellung undenierter Operationen wie 0/0.
11.1.3. Normalisierung

Nach einigen tastenden Versuchen wird die Notwendigkeit einer Norm spürbar, damit identische Programme auf vschiedenen Rechnern gleiche Resiultate liefern. Seit 1985 deniert die
Norm IEEE-7543 mehrere Zahlenmengen, darunter die in 64 Bits gespeicherten Zahlen doppelter Genauigkeit): Das Vorzeichen s ist mit 1 Bit codiert, die Mantisse bekommt 53 Bits
(wovon nur 52 gespeichert werden), der Exponent 11 Bits. Die Zahlen haben die Gestalt(−1)s 0.d1 d2 . . . d53 · 2j−1023 .
Sie entsprechen dem Typ double in C.

2
3

Diese Festlegungen entsprechen der Norm IEEE-754.
siehe https://de.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

23811.2. Die Gleitpunktzahlen

11.2. Die Gleitpunktzahlen
Sage stellt zwei Arten von Gleitpunktzahlen bereit:
1. Gleitpunktzahlen doppelter Genauigkeit, wie in 11.1.3 beschrieben: das sind die vom
Prozessor des Rechners gelieferten Zahlen. In Sage gehören diese Zahlen zur Klasse RDF:

sage: xrdf = RDF(3.0)
2. Gleitpunktzahlen beliebiger Genauigkeit: jede Instanz der Klasse RealField denierteine Menge von Gleitpunktzahlen gegebener Genauigkeit (und eventuell mit einem gegebenen Rundungsmodus: siehe 11.3.2). Um eine Zahl x100 mit 100 Bits Genauigkeit
zu deklarieren, wird man beispielsweise schreiben:

sage: R100 = RealField(100) # Genauigkeit: 100 bit
sage: x100 = R100(3/8); x100
0.37500000000000000000000000000
Die Zahlen der Menge RealField(p) haben die Form(−1s ) 0.d1 d2 . . . dp · 2e
mit s ∈ {0, 1}: die Mantisse ist p Binärziern breit, und e kann 30 Bits haben (auf manchen
Maschinen auch mehr). Man kann die Genauigkeit auch oen lassen:

sage: Rdefaut = RealField() # voreingestellte Genauigkeit 53 Bits
sage: xdefault = Rdefault(2/3)
und man kann die Genauigkeit aller Gleitpunktzahlen mit der Methode prec()testen:sage: xrdf.prec()53
sage: x100.prec()100
sage: xdefault.prec()53
Also haben die Zahlen der Menge RealField() und die der Menge RDF dieselbe Genauigkeit,
doch akzeptiert RealField() auch gröÿere Exponenten. Die Menge RealField() mit derGenauigkeit 53 Bits ist in Sage der voreingestellte Typ für reelle Zahlen.

sage: x = 1.0; print type(x)<type 'sage_rings.real_mpfr.RealLiteral'>sage: x.prec()53
Hier zeigt real_mpfr.RealLiteral an, dass die Menge der Zahlen, zu der x gehört, mit der
Bibliothek GNU MPFR implementiert ist.
Erinnern wir uns, dass der Typ einer Zahl durch die rechte Seite einer Zuweisung automatischdeniert ist:

sage: x = 1.0
sage: x = 0.1e+1# x gehört zum RealField()# idem: x gehört zum RealField()239

11. Gleitpunktzahlen
sage: x = 1# x ist eine ganze Zahl
sage: x = RDF(1)# x ist Gleitpunktzahl doppelter Maschinengenauigkeit
sage: x = RDF(1.)# idem: x ist Gleitpunktzahl doppelter Genauigkeit
sage: x = RDF(0.1e+1) # idem
sage: x = 4/3# x ist eine rationale Zahl
sage: R = RealField(20)sage: x = R(1)# x ist Gleitpunktzahl mit 20 Bits Genauigkeit
und es werden normale Konversionen rationaler Zahlen bewerkstelligt:

sage: RDF(8/3)
2.66666666667
sage: R100 = RealField(100); R100(8/3)
2.6666666666666666666666666667
sowie auch die Konversion zwischen Zahlen, die zu verschiedenen Mengen von Gleitpunktzahlen gehören:sage: x = R100(8/3)
sage: R = RealField(); R(x)2.66666666666667
sage: RDF(x)2.66666666667
Die verschiedenen Mengen von Gleitpunktzahlen enthalten auch die speziellen Werte +0, -0,+infinity, -infinity und NaN:

sage: 1.0/0.0+infinity
sage: RDF(1)/RDF(0)+infinity
sage: |RDF(-1.0)/RDF(0.)|-infiniy
Der Wert NaN ist nicht denierten Ergebnissen zugeordnet.

sage: 0.0/0.0
NaN
sage: RDF(1)/RDF(0)
NaN
x
10−30
10−10
10−3
1
103
1010
1030

R2

RDF(x).ulp()

R100(x).ulp()

3.9e-31

1.751623080406e-46

1.2446030555722283414288128108e-60

2.9e-111.292469707114e-26

9.1835496157991211560057541970e-41

0.00049

2.168404344980e-19

1.5407439555097886824447823541e-33

0.50

2.220446049260e-16

1.5777218104420236108234571306e-30

510.

1.136868377216e-13

8.0779356694631608874161005085e-28

4.3e9

1.907348632812e-6

1.3552527156068805425093160011e-20

3.2e291.407374883554e14

1.0000000000000000000000000000

Tabelle 11.1 - Abstände zwischen Gleitpunktzahlen.

24011.3. Einige Eigenschaften der Gleitpunktzahlen
11.2.1. Welchen Zahlentyp wählen?

Die Gleitpunktzahlen beliebiger Genauigkeit ermöglichen Rechnungen sehr hoher Genauigkeit, während die Genauigkeit für die Zahlen RDF konstant ist. Im Gegensatz dazu rufen
Rechnungen mit Zahlen aus RealField die Softwarebibliothek GNU MPFR auf, sodass bei
den Zahlen RDF die Rechnungen durch die Gleitpunkt-Arithmetik des Prozessors ausgeführt
werden, was erheblich schneller ist. Wir geben in 13.2.10 einen Vergleich, wo sich die Ezienz der Maschinenzahlen mit dem Gebrauch der für diese Zahlen optimierten Bibliotheken
verbindet. Halten wir fest, dass unter den numerischen Berechnungsverfahren, denen man inden folgenden Kapiteln begegnet, viele sind, die allein die Gleitpunktzahlen RDF verwenden,
und, was immer man auch tut, Gleitpunktzahlen jeweils in dieses Format konvertieren.

R2, eine Zahlenmenge zum Spielen.

Die Gleitpunktzahlen beliebiger Genauigkeit, die
für Rechnungen, die hohe Genauigkeit verlangen, unersetzlich sind, erlauben daneben auchdie Denition einer Klasse von Gleitpunktzahlen, die sehr ungenau sind und deshalb quasi alsderen Karikatur Eigenschaften der Gleitpunktzahlen verdeutlichen: die Menge R2 der Zahlen
mit 2 Bits Genauigkeit.

sage: R2 = RealField(2)11.3. Einige Eigenschaften der Gleitpunktzahlen
11.3.1. Mengen voller Löcher

In jeder Menge von Gleitpunktzahlen gibt die Methode ulp() (unit in the last place) dieGröÿe des Intervalls an, das eine Zahl von der nächstgelegenen darstellbaren Zahl (in derRichtung von null weg) trennt.

sage: x2 = R2(1.); x2.ulp()
0.50
sage: xr = 1.; xr.ulp()
2.22044604925031e-16
Der Leser wird den für x2.ulp() angegebenen Wert leicht verizieren können.
Die Tabelle 11.1 gibt die Gröÿe des Intervalls an, das eine Zahl x - oder genauer R(x), wobei
R die betrachtete Menge ist - von ihrem nächsten Nachbarn trennt (in der Richtung von nullweg) für verschiedene Zahlenmengen (R100 ist die Menge RealField(100)) und verschiedene
Werte von x.
Wie leicht zu sehen ist, wächst die Ausdehnung der Löcher , die zwei aufeinander folgende
Zahlen trennen, mit der Gröÿe der Zahlen.

Übung 40(ein etwas überraschender Wert).

1.0000000000000000000000000000 ist.

Zu zeigen ist, dass R100(1030 ).ulp() genau

24111. Gleitpunktzahlen
11.3.2. Das Runden

Wie ist eine Zahl anzunähern, die in einer Menge von Gleitpunktzahlen nicht enthalten ist?
Man kann das Runden auf verschiedene Weisen denieren:- zur nächstgelegenen darstellbaren Zahl hin - so wird in der Menge RDF vorgegangen unddas ist auch das voreingestellte Verhalten der mit RealField erzeugten Zahlen. Für eine
Zahl genau zwischen zwei darstellbaren Zahlen wird zur geraden Mantisse hin gerundet;- in Richtung −∞; RealField(p,rnd='RNDD') ergibt dieses Verhalten mit einer Genauigkeit
von p Bits;- in Richtung null; Beispiel: RealField(p,rnd='RNDZ');- in Richtung +∞; Beispiel: RealField(p,rnd='RNDU'.
11.3.3. Einige Eigenschaften

Das notwendige Runden in Mengen von Gleitpunktzahlen ruft etliche gefährliche Eekte hervor. Sehen wir uns einige davon genauer an.

Eine gefährliche Erscheinung. Hierbei handelt es sich um die als

Auslöschung (engl. ca-

tastrophic cancellation ) bekannte Einbuÿe an Genauigkeit, die aus der Subtraktion zweier

benachbarter Zahlen folgt: genauer handelt es sich um eine Vergröÿerung der Fehler:

sage: a = 10000.0; b = 9999.5; c = 0.1; c
0.100000000000000
sage: a1 = a+c # a wird beeinträchtigt
sage: a1-b0.600000000000364
Hier bewirkt der an a angebrachte Fehler c die ungenaue Berechnung der Dierenz (die letzten
drei Stellen sind falsch).

Anwendung: Berechnung der Wurzeln eines Trinoms zweiten Grades. Sogar die

Lösung einer Gleichung zweiten Grades ax2 + bx + c = 0 kann Probleme bereiten. Betrachten
wir den Fall a = 1.0, b = 10.04 , c = 1:

sage: a = 1.0; b = 10.0^4; c = 1
sage: delta =b^2-4*a*c
sage: x = (-b-sqrt(delta)))/(2*a); y = (-b+sqrt(delta)))/(2*a)
sage: x, y(-9999.99990000000, -0.000100000001111766)
Die Summe der Wurzeln ist korrekt, das Produkt aber nicht:

sage: x+x+b/a
0.000000000000000
sage: x*y-c/a
1.11766307320238e-9
Der Fehler resultiert aus der Auslöschung, die eintritt, wenn man -b und sqrt(delta) addiert,
nachdem y berechnet ist. Hier kann man eine bessere Näherung von y erzielen:242

11.3. Einige Eigenschaften der Gleitpunktzahlen
sage: y = (c/a)/x; y-0.000100000001000000
sage: x+y+b/a
0.000000000000000
Wir stellen fest, dass bei der Rundung die Summe der Wurzeln korrekt bleibt. Der Leser mag
alle für die Wahl von a, b und c möglichen Fälle ins Auge fassen, um sich zu überzeugen,dass das Schreiben eines robusten numerischen Programms zur Berechnung der Wurzeln eines
Trinoms 2. Grades keine simple Angelegenheit ist.
Tatsächlich ist die Addition nicht assoziativ. Nehmen wir die Menge R2 (mit 2 Bits Genauigkeit):
Die Mengen der Gleitpunktzahlen sind bezüglich der Addition keine Gruppen.

sage: x1 = R2(1/2); x2 = R2(4); x3 = R2(-4)
sage: x1, x2, x3(0.50, 4.0, -4.0)
sage: : x1+(x2+x3)|
0.50\sage: (x1+x2)+x3
0.00
Daraus können wir folgern, dass die verschiedenen möglichen Reihenfolgen der Rechnungenin einem Programm nicht ohne Einuss auf das Ergebnis sind!
Betrachten wir4 die rekursiv denierte
Folge un+1 = 4un − 1. Für u0 = 1/3 ist die Folge stationär: ui = 1/3 für alle i.

Rekursiv denierte Folgen mit Gleitpunktzahlen.

sage: x = RDF(1/3)
sage: for i in range(1,100): x = 4*x-1; print x
0.333333333333
0.333333333333
0.333333333333
...
-1.0
-5.0
-21.0
-85.0
-341.0-1365.0-5461.0-21845.0...
Die berechnete Folge divergiert! Wir können erkennen, dass dieses Verhalten ziemlich selbstverständlich ist, denn es handelt sich um eine klassische Erscheinung von Instabilität. Ein
Fehler von u0 wird bei jeder Iteration mit 4 multipliziert, und wir wissen, dass die Gleitpunktarithmetik Fehler mit sich bringt, die dann bei jeder Iteration vergröÿert werden.

4

Dank an Marc Deléglise (Institut Camille Jordan, Lyon) für dieses Beispiel.

243

11. Gleitpunktzahlen
Berechnen wir nun die rekursiv denierte Folge un+1 = 3un − 1 mit u0 = 1/2. Wir erwarten
ein ähnliches Ergebnis: die exakt berechnete Folge ist konstant, doch ein Fehler wird bei jedem
Schritt verdreifacht.

sage: x = RDF(1/2)
sage: for i in range(1,100): x = 3*x-1; print x
0.5
0.5
0.5
...
0.5
Diesmal bleibt die Folge konstant. Wie sind die unterschiedlichen Verhaltensweisen zu erklären? Betrachten wir jeweils die binäre Darstellung von u0 .
Im ersten Beispiel (un+1 = 4uu − 1) haben wir
∞

∞

i=0

i=0

1
1X 1
1X 1
=
=
,
3
4
4i
4
22i
also ist 1/3 in den Mengen der Gleitpunktzahlen, über die wir verfügen (mit β = 2), nicht exakt
darstellbar, mit welcher Genauigkeit auch immer. Der Leser ist eingeladen, die vorstehende
Rechnung mit Zahlen groÿer Genauigkeit, zum Beispiel aus RealField(1000) zu wiederholen,um zu verizieren, dass die berechnete Folge immer divergiert. Wir wollen erwähnen, dasswenn man im ersten Programm die Zeilesage: x = RDF(1/3)
ersetzt durch

sage: x = 1/3,
dass dann die Rechnungen in der Menge der rationalen Zahlen ausgeführt werden und die
iterierten Werte immer 1/3 ergeben.
Im zweiten Beispiel (un+1 = 3un − 1) werden u0 und 3/2 mit der Basis 2 als 0.1 bzw.
1.1 geschrieben; sie sind daher mit den verschiedenen Mengen von Gleitpunktzahlen ohne
Rundung exakt darstellbar. Die Rechnung ist somit genau und die Folge bleibt konstant.
Die folgende Übung zeigt, dass eine Folge, die mit einer Menge von Gleitpunktzahlen programmiert ist, gegen einen falschen Grenzwert konvergieren kann.

Übung 41

(Beispiel von Jean-Michel Muller). Man betrachte die rekursiv denierte Folge(siehe [MBsD+10, S. 9]):un = 111 −

3000
1130
+
.
un−1 un−1 un−2

Es kann gezeigt werden, dass die allgemeine Lösung diese Form hat:

un =α100n+1 + β6n+1 + γ5n+1.
α100n + β6n + γ5n

1. Man wähle u0 = 2 und u1 = −4: welches sind die Werte von α, β und γ ? Gegen welchen
Grenzwert konvergiert die Folge?

24411.3. Einige Eigenschaften der Gleitpunktzahlen
2. Die rekursiv denierte Folge ist zu programmieren (immer mit u0 = 2 und u1 = −4)
mit der Menge RealField() (oder mit RDF). Was kann festgestellt werden?
3. Erläutern Sie dieses Verhalten.
4. Führen Sie die gleiche Rechnung mit einer Menge groÿer Genauigkeit aus, beispielsweise
mit RealField(5000). Kommentieren Sie das Ergebnis.
5. Die Folge ist auf Q deniert. Programmieren Sie sie mit rationalen Zahlen und kommentieren Sie das Ergebnis.
Gleitpunktzahlen und die Summenbildung bei numerischen Reihen. Wir betrachten einereelle numerische
Reihe mit dem positiven allgemeinen Term un . Die Berechnung der PartialPm
summen i=0 ui mit einer Menge von Gleitpunktzahlen wird durch Rundungsfehler gestört
werden. Der Leser kann sich damit vergnügen zu zeigen, dass un gegen 0 strebt, wenn n überalle Grenzen wächst, und wenn die Partialsummen im Bereich der darstellbaren
Pm Zahlen bleiben, dann ist ab einem bestimmten m die mit Rundung berechnete Folge i=0 ui stationär(siehe [Sch91]). Kurzum, in der Welt der Gleitpunktzahlen ist das Leben einfach: Reihen deren positiver allgemeiner Term gegen 0 tendiert, konvergieren unter der Bedingung, dass die
Partialsummen nicht zu sehr anwachsen!

Schauen wir uns das bei der (divergenten) harmonischen Reihe mit dem Term un = 1/n an:sage: def sumharmo(p):....:RFP = RealField(p)....:y = RFP(1.); x = RFP(0.); n = 1....:
while x <> y:....:y = x; x += 1/n; n += 1....:
return p, n, x
Testen wir diese Funktion mit verschiedenen Genauigkeiten p:

sage: sumharmo(2)(2, 5, 2.0)
sage: sumharmo(20)(20, 131073, 12.631)
Der Leser kann mit Papier und Stift nachvollziehen, dass mit unserer Spielmenge von Gleitpunktzahlen R2 die Funktion nach 5 Iterationen gegen den Wert 2.0 konvergiert. Oenbar
hängt das Ergebnis von der Genauigkeit p ab; und ebenso kann der Leser (immer mit Papierund Stift) verizieren, dass für n > β p die berechnete Summe stationär ist. Trotzdem Vorsicht: mit der voreingestellten Genauigkeit von 53 Bits und bei 109 Operationen pro Sekunde
braucht es 253 /109 /3600 Stunden, das sind etwa 104 Tage, bis man einen stationären Wert
erhält!

245

11. Gleitpunktzahlen
Verbesserte Berechnung bestimmer rekursiv denierter Folgen.

es möglich, manche Resultate zu verbessern: hier ein Beispiel.

Mit einiger Vorsicht ist

Häug tritt eine rekursiv denierte Folge dieser Form auf:

yn+1 = y + δn ,wobei die Zahlen δn dem absoluten Wert nach klein sind gegenüber yn : zu denken ist beispielsweise an die Integration von Dierentialgleichungen in der Himmelsmechanik zur Simulation
des Sonnensystems, wo groÿe Werte (von Entfernungen oder Geschwindigkeiten) über lange
Zeiträume kleine Störungen erleiden [HLW02]. Auch wenn wir die Terme δn genau berechnen können, führen die Rundundungsfehler bei der Addition yn+1 = y + δn zu beträchtlichen
Abweichungen. Nehmen wir als Beispiel die durch y0 = 1013 , δ0 = 1 und δn+1 = aδn mit
a = 1 − 10−8 denierte Folge. Hier das naive Programm zur Berechnung von yn :sage: def iter(y,delta,a,n):....:
for i in range(0,n):....:y += delta....:delta *= a....:return y
Mit den rationalen Werten, die wir für y0 , δ0 und a gewählt haben, können wir mit Sage den
exakten Wert der Iterierten exakt berechnen:

sage: def exakt(y,delta,a,n):....:
return y+delta*(1-a^n)/(1-a)
Berechnen wir jetzt 100000 Iterierte (zum Beispiel) mit Gleitpunktzahlen RDF und vergleichen
das Ergebnis mit dem genauen Wert:

sage: y0 = RDF(10^13); delta0 = RDF(1); a = RDF(1-10^(-8)); n = 100000
sage: ii = iter(y0,delta0,a,n)
sage: s = exact(10^13,1,1-10^(-8),n)sage: print "exakt - klassische Summierung:", s-ii
exakt - klassische Summierung: -45.498046875
Jetzt der Algorithmus für die kompensierte Summierung :sage: def sumcomp(y,delta,e,n,a):....:for i in range(0,n):
....:
b = y
....:
e += delta....:
y = b+e....:e += (b-y)....:
delta = a*delta # nouvelle valeur de delta....:
return y
Um dessen Verhalten zu verstehen, betrachten wir das untenstehende Schema (wir folgen
hier den Darstellungen in [Hig93] und [HLW02]), worin die Kästen die Mantissen der Zahlen
darstellen. Die Position der Kästen entspricht dem Exponenten (je weiter links der Kasten
steht, desto gröÿer ist der Exponent):246

11.3. Einige Eigenschaften der Gleitpunktzahlenb = yn

b1

b2

e

e1

δn

δ1

δ2

e = e + δn

δ1e1 + δ2

yn+1 = b + e

b10

b2 + δ1e = e + (b − yn+1 )e1 + δ20

Der Rundungsfehler wird in e angesammelt, und wir stellen fest, dass keine Zier von δn verloren geht, während mit dem naiven Verfahren die Bits δ2 aus der Rechnung verschwinden.
Führen wir die Berechnung der 100000 Iterierten mit dem Verfahren der kompensierten Summierung nochmals aus:sage: c = sumcomp(y0,delta0,RDF(0.0),n,a)
sage: print "exakt - kompensierte Summierung: %.5f" %\....:RDF(s-RR(c).exact_rational())
exakt - kompensierte Summierung: -0.00042
Der absolute Fehler beträgt mit dem naiven Algorithmus −45.5, und −0.00042 mit der kompensierten Summierung! Nebenbei sehen wir auch, dass wir für die relativen Fehler bei naiver
Summierung 4.55 · 10−12 bekommen und 4.16 · 10−17 bei kompensierter Summierung.
11.3.4. Komplexe Gleitpunktzahlen

Sage schlägt zwei Familien von komplexen Zahlen vor, die rechnerintern als Paare von Gleitpunktzahlen dargestellt werden, wie sie in den vorstehehenden Beispielen schon aufgetretensind:
1. Komplexe Zahlen doppelter Genauigkeit ComplexDoubleField (oder abgekürzt CDF). Es
sind Zahlen der Form x + i · y , wobei x und y Gleitpunktzahlen doppelter Genauigkeit
sind. Die Zahlen werden wie folgt erzeugt:

sage: x = CDF(2,1.); x
2.0 + 1.0*I
sage: y = CDF(20,0); y
20.0
oder auch so:sage: z = ComplexDoubleElement(2.,1.); z
2.0 + 1.0*I
2. Komplexe Zahlen beliebiger Genauigkeit ComplexField. Das sind Zahlen der Form x +i · y , wobei x und y dieselbe Genauigkeit von p Bits besitzen. Eine Instanz der Klasse
ComplexField erzeugt ein Zahlenpaar gegebener Genauigkeit (voreingestellt ist 53):

sage: C = ComplexField(); C(2,3)
2.00000000000000 + 3.00000000000000*I
sage: C100 = ComplexField(100); C100(2,3)
2.0000000000000000000000000000 + 3.0000000000000000000000000000*I

247

11. Gleitpunktzahlen
Wohlgemerkt, Rechnungen mit diesen Zahlen werfen die gleichen Rundungsprobleme auf wie
die mit reellen Gleitpunktzahlen.
11.3.5. Die Methoden

Wir haben bereits die Methoden prec und ulp kennengelernt. Die verschiedenenen Zahlenmengen, denen wir hier begegnen, stellen eine groÿe Anzahl weiterer Methoden bereit. Geben
wir einige Beispiele:- Methoden, die Konstanten zurückgeben. Beispiele:

sage: R200 = RealField(200); R200.pi()
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
sage: R200.euler_constant()
0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880577- trigonometrische Funktionen sin, cos, arcsin, arccos usw. Beispiele:

sage: x = RDF.pi()/2; x.cos() # Gleitpunkt-Näherungswert für null!
6.123233995736757e-17
sage: x.cos().arccos() - x
0.0- Logarithmen (log, log10, log2 usw.), hyperbolische Winkelfunktionen und deren Inverse(sinh, arcsinh, cosh, arccosh usw.),- spezielle Funktionen (gamma, j0, j1, jn(k) usw.)
Der Leser möge die Dokumentation von Sage konsultieren, um eine vollständige Liste der sehrzahlreichen Methoden zu bekommen, die verfügbar sind. Wir erinnern uns, dass diese Liste
online erhalten werden kann durch Eingabe vonsage: x = 1.0; x.
und ansschlieÿendes Drücken der Tabulator-Taste. Zu jeder Methode erhalten wir ihre Denition, ihre eventuellen Parameter und ein Beispiel für die Anwendung, wenn wir eingeben(hier für die Gamma-Funktion von Euler Γ(x)):

sage: x.gamma?
Mengen der Gleitpunktzahlenreelle Zahlen mit Genauigkeit p Bits
Maschinen-Gleitpunktzahlen
komplexe Zahlen mit Genauigkeit p Bits
komplexe Maschinenzahlen

RealField(p)RDF
ComplexField(p)CDF

Tab. 11.2 - Zusammenfassung: Gleitpunktzahlen

24811.4. Schlussbemerkungen11.4. Schlussbemerkungen
Die in Sage implantierten numerischen Verfahren, die in den folgenden Kapiteln beschrieben werden, sind alle theoretisch untersucht worden; ihre theoretische Analyse besteht unter
anderem in der Untersuchung des Konvergenzverhaltens der iterativen Methoden, des durch
Vereinfachung eines Problems verursachten Fehlers, um es überhaupt berechenbar zu machen,aber auch des Verhaltens der Rrechnungen bei Auftreten von Störungen, zum Beispiel solchen
die durch die ungenaue Gleitpunktarithmetik entstehen.
Betrachten wir einen Algorithmus F , der aus den Daten d das Ergebnis x = F(d) berechnet.
Dieser Algorithmus wird nur brauchbar sein, wenn er die Fehler von d nicht übermäÿig vergröÿert; einer Störung ε von d entspricht eine gestörte Lösung xε = F(d + ε). Der entstehende
Fehler xε − x muss in vernünftiger Weise von ε abhängen (er muss stetig sein, nicht zu schnell
wachsen,. . . ): die Algorithmen müssen Stabilität besitzen, um brauchbar zu sein. In Kapitel
13 erörtern wir die Stabilitätsprobleme der in der linearen Algebra benutzten Algorithmen.
Wir müssen auch sagen, dass bestimmte Probleme mit endlicher Genauigkeit denitiv nicht
realisierbar sind wie beispielsweise die Berechnung der in Übung 41 gegebenen Folge: jede
Störung, so klein sie auch sein mag, bewirkt die Konvergenz der Folge gegen einen falschen
Grenzwert. Dies ist eine typische Erscheinung der Instabilität bei dem Problem, das wir zu
lösen versuchen: die experimentelle Untersuchung einer Folge mittels Gleitpunktzahlen muss
mit groÿer Vorsicht erfolgen.
Der Leser kann die Praxis des Rechnens mit Gleitpunktzahlen vielleicht für honungslos halten, doch dieses Urteil muss abgemildert werden: die groÿe Mehrheit der für das Rechnen
verfügbaren Ressourcen wird für Operationen auf diesen Zahlenmengen benutzt: Näherungslösungen von partiellen Dierentialgleichungen, Optimierungen der Signalverarbeitung usw.
Die Gleitpunktzahlen müssen mit Misstrauen betrachtet werden, sie haben die Entwicklung
der Rechnung und deren Anwendung aber nicht verhindert: es sind nicht die Rundungsfehler,die die Zuverlässigkeit der Wettervorhersage begrenzen, um nur dieses Beispiel zu erwähnen.

249

12. Nichtlineare GleichungenDieses Kapitel erklärt, wie mit Sage eine nichtlineare Gleichung zu lösen ist. In einem ersten
Abschnitt untersuchen wir polynomiale Gleichungen und zeigen die Grenzen bei der Suchenach exakten Lösungen. Danach beschreiben wir die Wirkungsweise einiger klassischer Methoden für eine numerischen Lösung. Dabei weisen wir darauf hin, welche Algorithmen fürdie Lösung in Sage implementiert sind.

12.1. Algebraische Gleichungen
Unter einer algebraischen Gleichung verstehen wir eine Gleichung der Form p(x) = 0, wobei p
ein Polynom einer Unbestimmten bezeichnet, dessen Koezienten zu einem Integritätsring A
gehören. Wir sagen, dass ein Element α ∈ A eine Wurzel des Polynoms p ist, wenn p(α) = 0
gilt.
Sei α ein Element von A. Die euklidsche Division von p durch p − α sichert die Existenz eines
konstanten Polynoms r, sodass gilt:p = (x − α)q + r.
Wenn wir diese Gleichung in α auswerten, bekommen wir r = p(α). Daher wird p von dem
Polynom x − α genau dann geteilt, wenn α eine Wurzel von p ist. Diese Bemerkung erlaubt
die Einführung des Begris der Vielfachheit einer Wurzel α eines Polynoms: es handelt sichum die gröÿte ganze Zahl m, sodass (x − α)m p teilt. Wir stellen fest, dass die Summe derVielfachheiten aller Wurzeln von p kleiner oder gleich dem Grad von p ist.
12.1.1. Die Methode Polynomial.roots()

Die Lösung der algebraischen Gleichung p(x) = 0 besteht in der Identizierung der Wurzeln
des Polynoms p mitsamt ihrer Vielfachheiten. Die Methode Polynomial.roots() liefert die
Wurzeln eines Polynoms. Sie erhält bis zu drei Parameter, die alle optional sind. Der Parameter ring ermöglicht die Präzisierung, in welchem Ring die Wurzeln zu suchen sind. Wird fürdiesen Parameter kein Wert festgelegt, wird der Ring der Koezienten des Polynoms angenommen. Der boolesche Wert multiplicities bezeichnet die Art der von Polynomial.roots()zurückgegebenen Informationen: jede Wurzel kann von ihrer Vielfacheit begleitet werden. Der
Parameter algorithm dient zur Festlegung des zu verwendenden Algorithmus; die möglichen
Werte werden im weiteren Verlauf erklärt (siehe Unterabschnitt 12.2.2).

sage: R.<x> = PolynomialRing(RealField(prec=10))
sage: p = 2*x^7 - 21*x^6 + 64*x^5 - 67*x^4 + 90*x^3 + 265*x^2 - 900*x + 375
sage: p.roots()[(-1.7, 1), (0.50, 1), (1.7, 1), (5.0, 2)]
sage: p.roots(ring=ComplexField(10), multiplicities=False)[-1.7, 0.50, 1.7, 5.0, -2.2*I, 2.2*I]

251

12. Nichtlineare Gleichungensage: p.roots(ring=RationalField())[(1/2, 1), (5, 2)]
12.1.2. Zahlendarstellung

Erinnern wir uns, wie in Sage die gängigen Ringe bezeichnet werden (siehe Abschnitt 5.2). Die
ganzen Zahlen werden durch Objekte der Klasse Integer dargestellt, und für Umwandlungenwird der Vorfahr ZZ benutzt oder die Funktion IntegerRing, der das Objekt ZZ zurückgibt.
Genauso werden die rationalen Zahlen durch Objekte der Klasse Rational dargestellt; dergemeinsame Vorfahr dieser Objekte ist das Objekt QQ, das die Funktion RationalField zurückgibt. In beiden Fällen verwendet Sage für Rechnungen mit beliebiger Genauigkeit die
Bibliothek GMP. Ohne auf Einzelheiten der Realisierung dieser Bibliothek einzugehen, sinddie mit Sage manipulierten ganzen Zahlen von beliebiger Gröÿe, die einzige Beschränkung
ergibt sich aus der verfügbaren Speichergröÿe der Maschine, auf der das Programm läuft.
Es stehen mehrere genäherte Darstellungen reeller Zahlen zur Verfügung (siehe Kapitel 11).
Es gibt ein RealField() für Darstellungen mit Gleitpunktzahlen einer gegebener Genauigkeit,
insbesondere RR mit einer Genauigkeit von 53 Bits. Es gibt aber auch RDF und die Funktion
RealDoubleField() für Maschinenzahlen doppelter Genauigkeit; und dann noch die Klassen
RIF und RealIntervalField, bei denen eine reelle Zahl durch ein Intervall dargestellt wird,
in dem sie liegt. Die Grenzen dieses Intervalls sind Gleitpunktzahlen.
Die analogen Darstellungen von komplexen Zahlen heiÿen: CC, CDF und CIF. Auch hier ist
jedem Objekt eine Funktion zugeordnet; es sind ComplexField(), ComplexDoubleField, undComplexIntervalField().
Die von Polynomial.roots() ausgeführten Rechnungen sind exakt oder je nach Art derDarstellung der Koezienten des Polynoms bzw. einem eventuellen Wert des Parameters
ring genähert: beispielsweise sind die Rechnungen mit ZZ oder QQ exakt, mit RR genähert. Im
zweiten Teil dieses Kapitels präzisieren wir den Algorithmus für die Berechnung der Wurzeln
und die Rolle der Parameter ring und algorithm (siehe Abschnitt 12.2).
Die Lösung algebraischer Gleichungen ist mit dem Zahlbegri eng verbunden. Der Zerlegungskörper des Polynoms p (als nicht konstant vorausgesetzt) ist die kleinste Erweiterung
des Körpers der Koezienten von p, worin p ein Produkt der Polynome 1. Grades ist; wir
zeigen, dass eine solche Erweiterung immer existiert. Mit Sage können wir den Zerlegungskörper eines irreduziblen Polynoms mit der Methode Polynomial.root_field() bilden. Danachkönnen wir mit den im Zerlegungskörper implizit enthaltenen Wurzeln rechnen.

sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ, 'x')
sage: p = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
sage: K.<alpha> = p.root_field()sage: p.roots(ring=K, multiplicities=None)[alpha, alpha^2, alpha^3, -alpha^3 - alpha^2 - alpha - 1]sage: alpha^51

252

12.1. Algebraische Gleichungen12.1.3. Der Gauÿ-d'Alembertsche Fundamentalsatz der Algebra

Der Zerlegungskörper des Polynoms mit reellen Koezienten x2 + 1 ist nichts anderes als
der Körper der komplexen Zahlen. Es ist bemerkenswert, dass jedes nicht konstante Polynom
mit komplexen Koezienten mindestens eine komplexe Wurzel besitzt: das besagt der Fundamentalsatz der Algebra . In der Konsequenz ist jedes komplexe, nicht konstante Polynom ein
Produkt von Polynomen 1. Grades. Etwas weiter oben haben wir bemerkt, dass die Summe
der Vielfachheiten der Wurzeln eines Polynoms p kleiner oder gleich dem Grad von p ist. Wir
wissen jetzt, dass im Körper der komplexen Zahlen diese Summe genau gleich dem Grad vonp ist. Anders gesagt besitzt jede polynomiale Gleichung n-ten Grades n komplexe Wurzeln,
die samt ihrem Vielfachheiten gezählt werden.
Schauen wir einmal, wie die Methode Polynomial.roots() dieses Resultat zu illustrieren vermag. Im folgenden Beispiel bilden wir den Ring der Polynome mit reellen Koezienten (wirbegnügen uns mit einer Darstellung, die mit Gleitpunktzahlen der Genauigkeit 53 Bit arbeitet). Dann wird aus diesem Ring ein Polynom mit einem Grad unter 15 zufällig ausgewählt.
Schlieÿlich summieren wir Vielfachheiten der mit der Methode Polynomial.roots() berechneten komplexen Wurzeln auf und vergleichen diese Summe mit dem Grad des Polynoms.

sage: R.<x> = PolynomialRing(RR, 'x')
sage: d = ZZ.random_element(1, 15)
sage: p = R.random_element(d)sage: p.degree() == sum(r[1] for r in p.roots(CC))
True
12.1.4. Verteilung der Wurzeln

Wir fahren fort mit einer überraschenden Demonstration der Leistungsfähigkeit der Methode
Polynomial.roots: wir zeichnen alle Punkte der komplexen Ebene, deren Zahlenwert Wurzel
eines Polynoms 12. Grades mit den Koezienten 1 oder −1 ist. Die Wahl des Grades ist
ein mehr oder weniger willkürlicher Kompromiss; wir erhalten damit eine genaue Zeichnung
in annehmbarer Zeit. Der Gebrauch von Näherungswerten für die komplexen Zahlen erfolgt
ebenfalls aus Leistungsgründen (siehe Kapitel 13).

Abb. 12.1 - Verteilung der Wurzeln aller Polynome 12. Grades mit Koezienten 1 oder −1.

25312. Nichtlineare Gleichungensage: def build_complex_roots(degree):....:R.<x> = PolynomialRing(CDF, 'x')....:v = []....:
for c in cartesian_product([[-1, 1]] * (degree + 1)):....:v.extend(R(list(c)).roots(multiplicities=False))....:
return v
sage: data = build_complex_roots(12)sage: points(data, pointsize=1, aspect_ratio=1)
12.1.5. Lösung durch Wurzelausdrücke

In bestimmten Fällen ist es möglich, die exakten Werte der Wurzeln eines Polynoms zu berechnen. Das ist beispielsweise der Fall, sobald man die Wurzeln als Funktion der Koezienten
oder durch Wurzelausdrücke (Quadratwurzeln, Kubikwurzeln usw.) ausdrücken kann. In solchen Fällen sprechen von Lösung durch Wurzelausdrücke .
Um diesen Lösungstyp mit Sage auszuführen, müssen wir mit Objekten der Klasse Expression
arbeiten, die symbolische Ausdrücke darstellen. Wir haben gesehen, dass die durch Objekte der
Klasse Integer dargestellten ganzen Zahlen denselben Vorfahr haben, nämlich das Objekt ZZ.
Ebenso haben die Objekte der Klasse Expression einen gleichen Vorfahr: es handelt sich um
das Objekt SR (kurz für Symbolic Ring ); er bietet nicht zuletzt Möglichkeiten der Konversion
zur Klasse Expression.
Quadratische Gleichungen.

sage: a, b, c, x = var('a, b, c, x')sage: p = a * x^2 + b * x + c
sage: type(p)<type 'sage.symbolic.expression.Expression'>sage: p.parent()
sage: Symbolic Ringsage: p.roots(x)[(-1/2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/a, 1),(-1/2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/a, 1)]
Es ist auch möglich, komplexe algebraische Gleichungen 3. und
4. Grades mit Wurzelausdrücken zu lösen. Umgekehrt ist es unmöglich, polynomiale Gleichungen höheren als 4. Grades mit Wurzelausdrücken zu lösen (siehe Unterabschnitt 7.3.4).
Diese Unmöglichkeit lässt uns numerische Lösungsverfahren ins Auge fassen (siehe Abschnitt
12.2).
Ein Grad gröÿer als 2.

sage: a, b, c, d, e, f, x = var('a, b, c, d, e, f, x')sage: p = a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f
sage: p.roots(x)Traceback (most recent call last):...
RuntimeError: no explicit roots found254

12.1. Algebraische Gleichungen
Wir wollen mit Sage ein Lösungsverfahren für Gleichungen 3. Grades auf dem Körper derkomplexen Zahlen vorführen. Zuerst zeigen wir, dass sich die allgemeine Gleichung 3. Grades
auf die Form x3 + px + q = 0 zurückführen lässt.

sage: x, a, b, c, d = var('x, a, b, c, d')sage: P = a * x^3 + b * x^2 + c * x + dsage: alpha = var('alpha')
sage: P.subs(x = x + alpha).expand().coefficient(x, 2)
3*a*alpha + b
sage: P.subs(x = x - b / (3 * a)).expand().collect(x)a*x^3 - 1/3*(b^2/a - 3*c)*x + 2/27*b^3/a^2 - 1/3*b*c/a + d
Um die Wurzeln einer Gleichung der Form x3 +px+q = 0 zu erhalten, setzen wir x = u+v .

sage: p, q, u, v = var('p, q, u, v')
sage: P = x^3 + p * x + q
sage: P.subs(x = u + v).expand()u^3 + 3*u^2*v + 3*u*v^2 + v^3 + p*u + p*v + q
Wir nehmen den letzten Ausdruck gleich null an. Wir sehen dann, dass u3 + v 3 + q = 0 gleich
3uv + p = 0 ist; und weiter, wenn die Gleichheit veriziert ist, sind u3 und v 3 Wurzeln einer
Gleichung 2. Grades: (X − u3 )(X − v 3 ) = X 2 − (u3 + v 3 )X + (uv)3 = X 2 + qX − p3 /27.

sage: P.subs({x: u + v, q: -u^3 - v^3}).factor()sage: (3*u*v + p)*(u + v)
sage: P.subs({x: u+v, q: -u^3 - v^3, p: -3 * u * v}).expand()0sage: X = var('X')
sage: solve([X^2 + q*X - p^3 / 27 == 0], X, solution_dict=True)[{X: -1/2*q - 1/18*sqrt(12*p^3 + 81*q^2)},{X: -1/2*q + 1/18*sqrt(12*p^3 + 81*q^2)}]
Die Lösungen der Gleichung x3 + px + q = 0 sind daher die Summen u + v , wobei u und v
die Kubikwurzeln sind vonpp√√
4p3 + 27q 2 3 q
4p3 + 27q 2 3 q
−
−
und
−
18
2
18
2
was 3uv + p = 0 veriziert.
12.1.6. Die Methode Expression.roots()

Die vorstehenden Beispiele verwenden die Methode Expression.roots(). Diese Methodegibt eine Liste mit exakten Wurzeln zurück, doch ohne die Garantie, tatsächlich alle zu nden. Unter den optionalen Parametern dieser Methode ndet man die Parameter ring und
multiplicities, die uns schon bei der Methode Polynomial.roots() begegnet sind. Es ist
wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Methode Expression.roots() nicht allein auf polynomiale Ausdrücke angewendet wird.

sage: e = sin(x) * (x^3 + 1) * (x^5 + x^4 + 1)
sage: roots = e.roots(); len(roots)
9sage: roots25512. Nichtlineare Gleichungen[(0, 1),(-1/2*(1/18*sqrt(23)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)
- 1/6*(-I*sqrt(3) + 1)/(1/18*sqrt(23)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3), 1),(-1/2*(1/18*sqrt(23)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1)
- 1/6*(I*sqrt(3) + 1)/(1/18*sqrt(23)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3), 1),((1/18*sqrt(23)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 1/3/(1/18*sqrt(23)*sqrt(3)- 1/2)^(1/3), 1),(-1/2*I*sqrt(3) - 1/2, 1), (1/2*I*sqrt(3) - 1/2, 1),(1/2*I*sqrt(3)*(-1)^(1/3) - 1/2*(-1)^(1/3), 1),(-1/2*I*sqrt(3)*(-1)^(1/3) - 1/2*(-1)^(1/3), 1), ((-1)^(1/3), 1)]
Da in Sage der Parameter ring nicht deniert ist, delegiert die Methode roots() der Klasse Expression die Berechnung der Wurzeln an das Programm Maxima, das den Ausdruckzu faktorisieren sucht, um dann eine Lösung mit Wurzelausdrücken für jeden Faktor auszugeben, dessen Grad kleiner ist als 5. Wenn der Parameter ring deniert ist, wird der Ausdruck in ein Objekt der Klasse Polynomial konvertiert, dessen Koezienten als Vorfahr das
durch den Parameter ring festgelegte Objekt haben; danach wird das Resultat der Methode
Polynomial.roots() zurückgegeben. Im weiteren Verlauf werden wir den hier verwendeten
Algorithmus beschreiben (siehe Unterabschnitt 12.2.2).
Wir stellen ebenfalls Rechenbeispiele mit impliziten Wurzeln vor, zu denen wir über die Objekte QQbar und AA gelangen, welche den Körper der algebraischen Zahlen darstellen (siehe
Unterabschnitt 7.3.2).
Elimination von Mehrfachwurzeln. Ist ein Polynom p mit Mehrfachwurzeln gegeben, dannkann ein Polynom mir Einfachwurzeln (d.h. mit der Vielfachheit 1) gebildet werden, das mit pidentisch ist. Wenn wir also die Wurzeln eines Polynoms berechnen, können wir immer davon
ausgehen, dass die Wurzeln einfach sind. Weisen wir nun die Existenz eines Polynoms mit
Einfachwurzeln nach und sehen wir zu, wie es gebildet wird. Das gestattet uns, eine neue
Veranschaulichung der Methode Expression.roots() zu geben.

Sei α eine Wurzel des Polynoms p, deren Vielfachheit m eine Zahl gröÿer als 1 ist. Das ist eine
Wurzel des abgeleiteten Polynoms p0 mit der Vielfachheit m−1. In der Tat, wenn p = (x−α)m qist, dann haben wir p0 = (x − α)m−1 (mq + (x − α)q 0 ).

sage: alpha, m, x = var('alpha, m, x'); q = function('q')(x)sage: p = (x - alpha)^m * q
sage: p.derivative(x)(-alpha + x)^(m - 1)*m*q(x) + (-alpha + x)^m*diff(q(x), x)
sage: simplify(p.derivative(x)(x=alpha))0Q
In der Konsequenz ist der ggT von p und p0 das Produkt α∈Γ (x − α)mα −1 mit Γ als derMenge der Wurzeln von p mit einer Vielfachheit gröÿer als 1, und mα ist die Vielfachheit derWurzel α. Wenn d diesen ggT bezeichnet, dann hat der Quotient p durch d die erwarteten
Eigenschaften.
Wir bemerken, dass der Grad des Quotienten von p durch d kleiner als der Grad von p ist.
Wenn insbesondere der Grad kleiner ist als 5, dann ist es möglich, die Wurzeln des Polynoms
mit Wurzelausdrücken anzugeben. Das folgende Beispiel veranschaulicht dies für ein Polynom
13. Grades mit rationalen Koezienten.

25612.2. Numerische Lösung
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ, 'x')
p = 128 * x^13 - 1344 * x^12 + 6048 * x^11 - 15632 * x^10 \....: + 28056 * x^9 - 44604 * x^8 + 71198 * x^7 - 98283 * x^6 \....: + 105840 * x^5 - 101304 * x^4 + 99468 * x^3 - 81648 * x^2 \....: + 40824 * x - 8748
sage: d = gcd(p, p.derivative())
sage: (p // d).degree()4
sage: roots = SR(p // d).roots(multiplicities=False)
sage: roots[1/2*I*sqrt(3)*2^(1/3) - 1/2*2^(1/3),-1/2*I*sqrt(3)*2^(1/3) - 1/2*2^(1/3), 2^(1/3), 3/2]
sage: [QQbar(p(alpha)).is_zero() for alpha in roots][True, True, True, True]

12.2. Numerische Lösung
In der Mathematik ist es Tradition, diskret und kontinuiertlich gegenüberzustellen. Die numerische Analyse relativiert diesen Gegensatz auf gewisse Art: ein wichtiger Aspekt der numerischen Analyse besteht tatsächlich darin, sich Fragen bezüglich der reellen Zahlen zuzuwenden,
im Kern also dem Kontinuum, indem wir einen experimemtellen Standpunkt einnehmen, dersich auf den Rechner stützt, der seinerseits vom Diskreten abhängt.
Wenn es um das Lösen von nichtlinearen Gleichungen geht, stellt sich natürlich auÿer der
Berechnung von Näherungswerten der Lösung eine Reihe von Fragen: wieviele reelle Wurzeln
besitzt eine gegebene Gleichung? Wieviele imaginäre, positive oder negative?
Im Folgenden beginnen wir damit, Teilantworten zu Sonderfällen algebraischer Gleichungen zu
geben. Danach beschreiben wir einige Approximationsverfahren, mit denen Näherungswertevon Lösungen einer nichtlinearen Gleichung berechnet werden können.
12.2.1. Lokalisierung der Lösungen algebraischer Gleichungen

Die Regel von Descartes besagt, dass die Anzahl der positiven Wurzeln eines Polynoms mit reellen Koezienten kleiner ist oder gleich der Anzahl derVorzeichenwechsel in der Folge der Koezienten des Polynoms.
Vorzeichenregel von Descartes.

sage: R.<x> = PolynomialRing(RR, 'x')
sage: p = x^7 - 131/3*x^6 + 1070/3*x^5 - 2927/3*x^4 \....: + 2435/3*x^3 - 806/3*x^2 + 3188/3*x - 680
sage: sign_changes = \....: [p[i] * p[i + 1] < 0 for i in range(p.degree())].count(True)
sage: real_positive_roots = \....: sum([alpha[1] if alpha[0] > 0 else 0 for alpha in p.roots()])
sage: sign_changes, real_positive_roots(7, 5)
Seien nun p ein Polynom mit reellen Koezienten vom Grad d und p0 das abgeleitete Polynom.
Wir bezeichnen mit u und u0 die Folgen der Vorzeichen der Koezienten der Polynome p und257

12. Nichtlineare Gleichungenp0 : wir haben ui = ±1, je nachdem, ob der Koezient des Grades i positiv oder negativ ist.
Die Folge u0 ergibt sich aus u durch einfaches Abschneiden: wir bekommen u0i = ui+1 für
0 ≤ i < d. Daraus folgt, dass die Anzahl der Vorzeichenwechsel der Folge u höchsten gleich
der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Folge 0 plus 1 ist.
Auÿerdem ist die Anzahl der positiven Wurzeln von p höchstens gleich der Anzahl positiver
Wurzeln von p0 plus 1: ein Intervall, dessen Grenzen Wurzeln von p sind, enthält immer eine
Wurzel von p0 .
Da die Regel von Descartes auch für ein Polynom 1. Grades richtig ist, zeigen die beiden
vorstehenden Beobachtungen, dass sie auch für ein Polynom 2. Grades stimmt usw.
Es ist möglich, die Beziehung zwischen den Anzahlen positiver Wurzeln und der Anzahl derVorzeichenwechsel der Folge der Koezienten zu präzisieren: die Dierenz dieser beiden Zahlen
ist immer gerade.
Wir haben gesehen, dass man bei Polynomen
mit reellen Koezienten eine Obergrenze der im Intervall [0, ∞[ enthaltenen Wurzeln bestimmen kann. Noch allgemeiner, es gibt Mittel, die Anzahl der Wurzeln in einem gegebenen
Intervall zu präzisieren.

Isolation der reellen Wurzeln der Polynome.

Nehmen wir beispielsweise den Satz von Sturm. Seien p ein Polynom mit reellen Koezienten,
d dessen Grad und [a, b] ein Intervall. Rekursiv bilden wir eine Folge von Polynomen. Am
Anfang seien p0 = p und p1 = p0 . Dann ist pi+2 das Negative des Restes der euklidschen
Division von pi durch pi+1 . Wenn wir diese Folge von Polynomen an den Stellen a und b
auswerten, erhalten wir zwei endliche reelle Folgen (p0 (a), . . . , pd (a)) und (p0 (b), . . . , pd (b)).
Der Satz von Sturm besagt: die Anzahl der Wurzeln von p im Intervall [a, b] ist gleich derAnzahl der Vorzeichenwechsel der Folge (p0 (a), . . . , pd (a)) vermindert um die Anzahl derVorzeichenwechsel der Folge (p0 (b), . . . , pd (b)) unter der Annahme, dass die Wurzeln von peinfach sind sowie p(y) 6= 0 und p(b) 6= 0.
Wir zeigen, wie dieser Satz mit Sage implementiert wird.

sage: def count_sign_changes(p):....:l = [c for c in p if not c.is_zero()]....:changes = [l[i]*l[i + 1] < 0 for i in range(len(l) - 1)]....:
return changes.count(True)
sage: def sturm(p, a, b):....:assert p.degree() > 2....:
assert not (p(a) == 0)....:
assert not (p(b) == 0)....:
assert a <= b....:remains = [p, p.derivative()]....:for i in range(p.degree() - 1):....:
remains.append(-(remains[i] % remains[i + 1]))....:evals = [[], []]....:for q in remains:....:evals[0].append(q(a))....:
evals[1].append(q(b))....:
return count_sign_changes(evals[0]) - count_sign_changes(evals[1])25812.2. Numerische Lösung
Hier nun eine Illustration dieser Funktion sturm().

sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ, 'x')
sage: p = (x - 34) * (x - 5) * (x - 3) * (x - 2) * (x - 2/3)
sage: sturm(p, 1, 4)
2
sage: sturm(p, 1, 10)3sage: sturm(p, 1, 200)
4
sage: p.roots(multiplicities=False)[34, 5, 3, 2, 2/3]
sage: sturm(p, 1/2, 35)512.2.2. Verfahren der sukzessiven Approximation
Der Begri der Approximation ist von fundamentaler Bedeutung für das Verständnis der Beziehung zwischen Realität und wissenschaftlicher Modellbildung. Schon
der Versuch, Aspekte der Wirklichkeit in einer Theorie zu erklären, bedeutet die
Vernachlässigung gewisser für die spezielle Fragestellung nicht so wesentlicher Einzelheiten. Nur die Wirklichkeit selbst beschreibt die Wirklichkeit vollständig, jedes
Modell leistet dies nur approximativ.

Walter Trockel, Ein mathematischer Countdown zur Wirtschaftswissenschaft1
In diesem Unterabschnitt veranschaulichen wir verschiedene Verfahren der Approximation an
die Lösungen einer nichtlinearen Gleichung f (x) = 0. Es gibt im wesentlichen zwei Vorgehensweisen zur Berechnung solcher Näherungen. Der leistungsfähigste Algorithmus kombiniert sie
beide.
Bei der ersten Vorgehensweise bilden wir eine Folge von geschachtelten Intervallen, die eine
Lösung der Gleichung enthalten. Wir steuern die Genauigkeit, die Kovergenz ist gesichert,
doch ist die Konvergenzgeschwindigkeit nicht immer gut.
Die zweite Vorgehensweise nimmt einen Näherungswert einer Lösung als bekannt an. Wenn das
lokale Verhalten der Funktion f hinreichend gleichförmig ist, können wir einen neuen Näherungswert berechnen, der näher an der Lösung liegt. Durch Rekursion bekommen wir deshalb
eine Folge von Näherungswerten. Diese Vorhensweise setzt also eine erste Approximation an
die gesuchte Zahl als bekannt voraus. Auÿerdem hängt ihre Ezienz vom lokalen Verhalten
der Funktion f ab. Von vornherein beherrschen wir die Genauigkeit der Näherungswerte nicht;
aber schlimmer noch, die Konvergenz der Folge der Näherungswerte ist nicht garantiert.
Im Folgenden betrachten wir eine nichtlineare Gleichung f (x) = 0, wobei f eine numerische
Funktion bezeichnet, die auf einem Interval [a, b] deniert und stetig ist. Wir setzen voraus,
dass die Funktion an den Grenzen des Intervalls nicht verschwindet, sondern verschiedene

1

Im Original heiÿt es:

Approximation: Gén. au sing. Opération par laquelle on tend à se rapprocher de plus en plus de la valeurréelle d'une quantité ou d'une grandeur sans y parvenir rigoureusement.
Trésor de la Langue Française

259

12. Nichtlineare Gleichungen
Vorzeichen hat: anders gesagt, das Produkt f (a)f (b) ist negativ. Die Stetigkeit von f sichert
dann die Existenz von mindestens einer Lösung der Gleichung f (x) = 0.
Bei jedem Verfahren experimentieren wir mit folgender Funktion:

sage: f(x) = 4 * sin(x) - exp(x) / 2 + 1
sage: a, b = RR(-pi), RR(pi)sage: bool(f(a) * f(b) < 0)True
Der Hinweis ist angebracht, dass bei diesem Beispiel der Befehl solve nicht von Nutzen ist.

sage: solve(f(x) == 0, x)[sin(x) == 1/8*e^x - 1/4]
sage: f.roots()
Traceback (most recent call last):...
RuntimeError: no explicit roots found
Die Algorithmen zur Suche von Lösungen nichtlinearer Gleichungen können aufwendig sein:
zweckmäÿigerweise trit man vor der Programmausführung einige Vorsichtsmaÿnahmen. Wirversichern uns der Existenz von Lösungen, indem wir Stetigkeit und Dierenzierbarkeit der
Funktion prüfen, die gleich null gesetzt werden soll, sowie auch eventueller Vorzeichenwechsel.
Dafür kann die Zeichnung des Graphen eine Hilfe sein (siehe Kapitel 4).

Abb. 12.2 - Graph der Funktion f .

260

12.2. Numerische Lösung
Dieses Verfahren beruht auf der ersten Vorgehensweise: dabei ist eine Folge
von geschachtelten Intervallen zu bilden, von denen jedes eine Lösung der Gleichung f (x) = 0
enthält.
Die Bisektion.

Wir teilen das Intervall [a, b] an seiner Mitte, die wir c nennen. Wir nehmen f (c) 6= 0 an(andernfalls haben wir schon eine Lösung gefunden). Ist f (a)f (c) kleiner als null, enthält das
Intervall [a, c] notwendigerweise eine Lösung der Gleichung; ist f (c)f (b) kleiner als null, dannenthält das Intervall [b, c] eine Lösung der Gleichung. So können wir ein Intervall nden, daseine Lösung enthält und dessen Länge nur halb so groÿ ist wie das Intervall [a, b]. Durch
Wiederholung dieses Schrittes erhalten wir eine Folge von Intervallen mit den erwarteten
Eigenschaften. Um dieses Vorgehensweise ins Werk zu setzen, denieren wir die PythonFunktion intervalgen:sage: def phi(s, t): return (s + t) / 2
sage: def intervalgen(f, phi, s, t):....:
msg = 'Wrong arguments: f({0})*f({1})>=0)'.format(s, t)....:assert (f(s) * f(t) < 0), msg....:
yield s....:yield t....:while True:....:u = phi(s, t)....:yield u....:if f(u) * f(s) < 0:
....:
t = u
....:
else:
....:
s = u
Die Denition dieser Funktion verdient einige Erläuterungen. Die Anwesenheit des Schlüsselwortes yield in der Denition von intervalgen macht daraus einen Generator (siehe Unterabschnitt 15.2.4). Bei einem Aufruf der Methode next eines Generators werden alle lokalen
Daten gesichert, wenn der Interpreter auf das Schlüsselwort yield trit, die Ausführung wird
unterbrochen, und der unmittelbar rechts vom Schlüsselwort stehende Ausdruck wird zurüchgegeben. Der auf die Methode next folgende Aufruf fährt mit der Anweisung fort, die dem
Schlüsselwort yield folgt und den lokalen Daten, die vor der Unterbrechung gesichert worden sind. In einer Endlosschleife (while True:) erlaubt das Schlüsselwort yield daher die
Prgrammierung einer rekursiv denierten Folge mit eine Syntax, die ihrer mathematischen
Beschreibung nahe ist. Die Ausführung kann mit dem üblichen Schlüsselwort return beendet
werden.
Der Parameter phi stellt eine Funktion dar. Für das Verfahren der Bisektion berechnet dieseFunktion die Mitte eines Intervalls. Um ein anderes Verfahren der sukzessiven Approximation zu testen, das ebenfalls auf der Bildung geschachtelter Intervalle basiert, geben wir eineneue Denition der Funktion phi an und bilden mit der Funktion intervalgen wieder den
entsprechenden Generator.
Die Parameter s und t der Funktion stehen für die Grenzen des ersten Intervalls. Ein Aufruf
von assert prüft, ob die Funktion f zwischen den Grenzen des Intervalls das Vorzeichen
wechselt; wir wissen, dass gegebenenfalls eine Lösung existiert.
Die beiden ersten Werte des Generators entsprechen den Parametern s und t. Der dritte
Wert ist die Mitte des jeweiligen Intervalls. Danach repräsentieren die Parameter s und t
die Grenzen des zuletzt berechneten Intervalls. Nach Auswertung von f in der Mitte dieses

261

12. Nichtlineare Gleichungen
Intervalls ändern wir eine Grenze des Intervalls so ab, dass das neue Intervall wieder eine
Lösung enthält. Als Näherungswert der gesuchten Lösung bietet sich die Mitte des zuletzt
berechneten Intervalls an.
Experimentieren wir mit unserem Beispiel: es folgen drei Approximationen mit dem Verfahren
der Bisektion, das auf das Intervall [−π, π] angewendet wird.

sage: a, b(-3.14159265358979, 3.14159265358979)
sage: bisection = intervalgen(f, phi, a, b)
sage: bisection.next()-3.14159265358979
sage: bisection.next()
3.14159265358979
sage: bisection.next()
0.000000000000000
Um die verschiedenen Näherungsverfahren zu vergleichen, ist es sinnvoll, über einen Mechanismus zu verfügen, der die Berechnung des Näherungswertes einer Lösung der Gleichungf (x) = 0 mit Hilfe von mit Sage für jedes dieser Verfahren denierten Generatoren automatisiert. Dieser Mechanismus muss die Steuerung der Rechengenauigkeit und der Maximalzahl
der Iterationen ermöglichen. Das ist die Aufgabe der Funktion iterate, deren Denition hierfolgt.

sage: from types import GeneratorType, FunctionTypesage: def checklength(u, v, w, prec):....:return abs(v - u) < 2 * prec
sage: def iterate(series, check=checklength, prec=10^-5, maxit=100):....:
assert isinstance(series, GeneratorType)....:assert isinstance(check, FunctionType)....:niter = 2....:v, w = series.next(), series.next()....:
while niter <= maxit:....:
niter += 1....:
u, v, w = v, w, series.next()....:
if check(u, v, w, prec):....:print 'After {0} iterations: {1}'.format(niter, w)....:
return....:print 'Failed after {0} iterations'.format(maxit)
Der Parameter series muss ein Generator sein. Wir speichern die letzten drei Werte dieses
Generators, damit wir einen Konvergenztest machen können. Das ist die Aufgabe des Parameters check: eine Funktion, die die Iterationen notfalls beendet. In der Voreinstellung benutzt
die Funktion iterate die Funktion checklength, die die Iterationen abbricht, wenn das letzte
berechnete Intervall kleiner ist als das Doppelte des Parameters prec; das garantiert, dass der
mit dem Verfahren der Bisektion berechnete Wert ein Näherungswert ist mit einem Fehler,
der kleiner ist als prec.
Sobald die Anzahl der Iterationen den Parameter maxit übersteigt, wird eine Exzeption ausgelöst.

262

12.2. Numerische Lösung
sage: bisection = intervalgen(f, phi, a, b)
sage: iterate(bisection)
After 22 iterations: 2.15847275559132

Übung 42. Die Funktion intervalgen ist so zu modizieren, dass der Generator anhält,
wenn eine der Intervallgrenzen verschwindet.

Übung 43. Programmieren Sie mit den Funktionen intervalgen und iterate die Berechnung eines Näherungswertes einer Lösung der Gleichung f (x) = 0 mit verschachtelten Intervallen, wobei jedes Intervall durch eine zufällige Teilung des vorhergehenden Intervalls erhalten
wird.

Auch dieses Verfahren basiert auf der ersten Vorgehensweise: zu bilden ist eine Folge von verschachtelten Intervallen, von denen jedes eine Lösung
der Gleichung f (x) = 0 enthält. Um die Intervalle zu teilen, verwenden wir diesmal jedocheine lineare Interpolation der Funktion f .
Verfahren der falschen Position.

Genauer gesagt betrachten wir den Abschnitt des Graphen von f , der von den beiden Punkten
von f mit den Abszissen a und b begrenzt wird. Da f (a) und f (b) entgegengesetzte Vorzeichen
haben, schneidet dieser Abschnitt die Abszissenachse. Er teilt daher das Intervall [a, b] in zwei
Intervallle. Wie beim Verfahren der Bisektion identizieren wir das eine Lösung enthaltendeIntervall, indem wir den Wert berechnen, den f an der Stelle annimmt, die beide Intervalle
gemeinsam haben.

Abb. 12.3 - Verfahren der falschen Position auf [−π, π].

263

12. Nichtlineare Gleichungen
Die Gerade durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) hat die Gleichung:y=f (b) − f (a)(x − a) + f (a).
b−a(12.1)

Wegen f (b) 6= f (a) schneidet diese Gerade die Abszisse an der Stellea − f (a)b−a.
f (b) − f (a)Wir können dieses Verfahren nunmehr folgendermaÿen testen:sage: phi(s, t) = s - f(s) * (t - s) / (f(t) - f(s))
sage: falsepos = intervalgen(f, phi, a, b)
sage: iterate(falsepos)
After 8 iterations: -2.89603757331027
Wichtig ist, dass die mit den Verfaren der Bisektion wie auch der falschen Position gebildeten
Folgen nicht notwendig gegen die gleiche Lösung konvergieren. Durch Verkleinerung des untersuchten Intervalls ndet man auch die positive Lösung, die mit dem Verfahren der Bisektion
erhalten wurde.

Abb. 12.4 - Verfahren der falschen Position auf [−π/2, π].

sage: a, b = RR(pi/2), RR(pi)sage: phi(s, t) = t - f(t) * (s - t) / (f(s) - f(t))
sage: falsepos = intervalgen(f, phi, a, b)
sage: phi(s, t) = (s + t) / 2
sage: bisection = intervalgen(f, phi, a, b)

264

12.2. Numerische Lösung
sage: iterate(falsepos)
After 15 iterations: 2.15846441170219
sage: iterate(bisection)
After 20 iterations: 2.15847275559132
Wie das Verfahren der falschen Position verwendet auch das Newton-Verfahren eine lineare Approximation der Funktion f . Graphisch gesehen handelt es sichdarum, eine Tangente an den Graphen von f als Näherung dieser Kurve zu betrachten.
Das Newton-Verfahren.

Wir setzen jetzt voraus, dass f dierenzierbar ist und dass die Ableitung f 0 im Intervall[a, b] dasselbe Vorzeichen hat. Somit ist f hier monoton. Wir setzen auch voraus, dass f das
Vorzeichen im Intervall [a, b] wechselt. Die Gleichung f (x) = 0 hat somit in diesem Intervalleine eindeutige Lösung; diese Zahl bezeichnen wir mit α.
Sei u0 ∈ [a, b]. Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle u0 hat die Gleichungy = f 0 (u0 )(x − u0 ) + f (u0 ).

(12.2)Die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Gerade mit der Abszisse sind(u0 − f (u0 )/f 0 (u0 ), 0).
Mit ϕ bezeichnen wir die Funktion x 7→ x − f (x)/f 0 (x). Sie ist unter der Bedingung deniert,
dass f 0 im Intervall [a, b] nicht verschwindet. Wir interessieren uns für die rekursiv durch
un+1 = ϕ(un ) denierte Folge u. Wenn die Folge u konvergiert,2 dann erfüllt ihr Grenzwert l
die Bezehung l = l − f (l)/f 0 (l), woraus sich f (l) = 0 ergibt; der Grenzwert ist gleich α, unddas ist die Lösung der Gleichung f (x) = 0. Damit das Beispiel die Bedingung der Monotonie
erfüllt, reduzieren wir das untersuchte Intervall.

Abb. 12.5 - Newton-Verfahren.

2

Ein Satz von Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch liefert eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz
des Newton-Verfahrens.

26512. Nichtlineare Gleichungensage: f.derivative()x |--> 4*cos(x) - 1/2*e^xsage: a, b = RR(pi/2), RR(pi)Wir denieren einen Python-Generator newtongen, der eine rekursiv zu denierende Folge
darstellt. Dann formulieren wir einen neuen Konvergenztest checkconv, der terminiert, wenn
die beiden zuletzt berechneten Wert nahe genug beieinander liegen, doch ist zu beachten, dassdieser Test die Konvergenz keineswegs garantiert.

sage: def newtongen(f, u):....:while True:....:
yield u....:u -= f(u) / f.derivative()(u)
sage: def checkconv(u, v, w, prec):....:return abs(w - v) / abs(w) <= prec
Wir können nun das Newton-Verfahren mit unserem Beispiel testen.

sage: iterate(newtongen(f, a), check=checkconv)
After 6 iterations: 2.15846852566756
Beim Newton-Verfahren kann die Berechnung der Ableitung sehr aufwendig sein. Es ist bei dieser Rechnung möglich, die Ableitung durch eine lineare Interpolationzu ersetzen: wenn wir über zwei Näherungswerte für die Lösung, und damit über zwei Punkte
des Graphen von f verfügen, und wenn die Gerade durch diese beiden Punkte die Abszissenachse trit, dann betrachten wir die Abszisse des Schnittpunktes als neue Näherung. Zu
Beginn und wenn beide Geraden parallel sind, berechnen wir die nächste Approximation mit
dem Newton-Verfahren.
Sekantenverfahren

Abb. 12.6 - Sekantenverfahren.

266

12.2. Numerische Lösung
Das führt auf dieselbe Iterationsmethode wie das Verfahren der falschen Position, aber mit
anderen Punkten. Anders als das Verfahren der falschen Position bestimmt das Sekantenverfahren kein Intervall mit einer Wurzel.
Wir denieren einen Python-Generator, der das Verfahren in Gang setzt:

sage: def secantgen(f, a):....:yield a....:estimate = f.derivative()(a)....:
b = a - f(a) / estimate....:
yield b....:while True:....:fa, fb = f(a), f(b)....:if fa == fb:....:
estimate = f.derivative()(a)
....:
else:
....:
estimate = (fb - fa) / (b - a)
....:
a = b
....:
b -= fb / estimate....:
yield b
Nun können wir das Sekantenverfahren an unserem Beispiel ausprobieren.

sage: iterate(secantgen(f, a), check=checkconv)
After 8 iterations: 2.15846852557553
Wir können das Sekantenverfahren erweitern, indem wir f durch
ein Polynom beliebigen Grades ersetzen. Beispielsweise arbeitet das Muller-Verfahren3 mit
quadratischen Approximationen.
Das Muller-Verfahren.

Angenommen, wir haben schon drei Näherungslösungen r, s und t der Gleichung f (x) =0 berechnet. Wir betrachten das Interpolationspolynom von Lagrange, das durch die drei
Kurvenpunkte mit den Abszissen r, s und t bestimmt ist. Das ist ein Polynom zweiten Grades.
Sinnvollerweise nehmen wir als neue Näherung die Wurzel des Polynoms, die am nächsten bei
t liegt. Vorher werden die drei Anfangsterme der Folge auf beliebige Weise xiert, a, b unddann (a + b)/2. Es muss gesagt werden, dass die Wurzeln des Polynoms - und damit die
berechneten Näherungswerte - komplexe Zahlen sein können.
Die Programmierung dieses Verfahrens in Sage ist nicht schwierig; sie erfolgt nach dem gleichen Muster wie das Sekantenverfahren. Unsere Realisierung verwendet allerdings eine Datenstruktur, die an die Auistung der Terme einer rekursiv denierten Folge besser angepasst
ist.

sage: from collections import dequesage: basering = PolynomialRing(CC, 'x')
sage: def quadraticgen(f, r, s):....:t = (r + s) / 2....:
yield t....:points = deque([(r,f(r)), (s,f(s)), (t,f(t))], maxlen=3)
3

Es handelt sich um David E. Muller, bekannt auch als Ernder des Reed-Muller-Codes, nicht um den in
Kapitel 11 erwähnten Jean-Michel Muller26712. Nichtlineare Gleichungen
....:
....:
....:
....:
....:
....:

while True:
pol = basering.lagrange_polynomial(points)roots = pol.roots(ring=CC, multiplicities=False)u = min(roots, key=lambda x: abs(x - points[2][0]))points.append((u, f(u)))
yield points[2][0]Das Modul collections aus Pythons Referenzbibliothek implementiert mehrere Datenstrukturen. In quadraticgen wird die Klasse deque benutzt, um die zuletzt berechneten Approximationen zu speichern. Ein Objekt deque speichert Daten bis zur Grenze maxlen, die bei
seiner Erzeugung festgelegt wurde; hier ist die maximale Datenanzahl gleich der Rekursionstiefe der Näherungen. Wenn ein Objekt deque seine maximale Speicherkapazität erreicht hat,
fügt die Methode deque.append() die neuen Daten nach dem Prinzip FIFO (rst in, rstout) hinzu.
Zu erwähnen ist, dass die Iterationen dieses Verfahrens keine Berechnung der Ableitungswerte
erfordern. Jede Iteration verlangt nur eine Auswertung der Funktion f .

sage: generator = quadraticgen(f, a, b)
sage: iterate(generator, check=checkconv)
After 5 iterations: 2.15846852554764
Kehren wir zu der Situation zurück, die wir zu Beginn dieses
Kapitels untersucht haben. Es geht um die Berechnung der Wurzeln eines Polynoms mit
reellen Koezienten; wir nennen diese Polynom P . Wir wollen P als unitär voraussetzen:
Zurück zu den Polynomen.

P = a0 + a1 x + . . . + ad−1 xd−1 + xd .
Es ist einfach zu verizieren, dass P das charakteristische Polynom der Begleitmatrix ist (siehe
Unterabschnitt 8.2.3):



0
0
0
1
0
0

0
1
0
A=

. . . . . . . . .
0
0
0


... 0
−a0
... 0
−a1 

... 0
−a2 
.
... ...
... . . . 1 −ad−1

Folglich sind die Wurzeln des Polynoms P die Eigenwerte der Matrix A. Deshalb werden hierdie Verfahren aus Kapitel 13 angewendet.
Wir haben gesehen, dass die Methode Polynomial.roots() bis zu drei Parameter aufnimmt,
die alle optional sind: ring, multiplicities und algorithm. Wir wollen annehmen, dass ein
Sage-Objekt der Klasse Polynomial dem Namen p zugeordnet ist (deshalb gibt isinstance(p,'Polynomial') den Wert True zurück). Welchen Algorithmus der Befehl p.roots() benutzt,
hängt dann von den Parametern ring und algorithm sowie vom Koezientenring des Polynoms ab, d.h. von p.base_ring().
Der Algorithmus prüft, ob die in ring und p.base_ring() ausgeführten arithmetischen Operationen exakt sind. Sollte dies nicht der Fall sein, werden die Näherungswerte der Wurzeln mit
der Bibliothek NumPy berechnet, falls RDF der p.base_ring() ist, und wenn CDF, dann mit
der Bibliothek PARI (der Parameter algorithm ermöglicht dem Anwender eine abweichende
Wahl der Bibliothek für die Berechnung). Im Quellcode von NumPy sieht man, dass das von268

12.2. Numerische Lösung
dieser Bibliothek für die Wurzeln benutzte Approximationsverfahren aus der Berechnung derEigenwerte der Begleitmatrix besteht.
Der folgende Befehl gestattet die Identikation derjenigen Objekte, bei denen die arithmetischen Operationen exakt sind (der von der Methode Ring.is_exact() zurückgegebene Wert
ist in diesem Fall True).

sage: for ring in [ZZ, QQ, QQbar, RDF, RIF, RR, AA, CDF, CIF, CC]:
sage: print("{0:50} {1}".format(ring, ring.is_exact()))
Integer Ring
True
Rational Field
True
Algebraic Field
True
Real Double Field
False
Real Interval Field with 53 bits of precision
False
Real Field with 53 bits of precision
False
Algebraic Real Field
True
Complex Double Field
False
Complex Interval Field with 53 bits of precision False
Complex Field with 53 bits of precision
False
Wenn der Parameter ring gleich AA oder RIF ist, während p.base_ring() gleich ZZ,
QQ oder AA ist, ruft der Algorithmus die Funktion real_roots() aus dem Modul sage.rings.
polynomial.real_roots auf. Diese Funktion konvertiert das Polynom zur Bernstein-Basis,
wendet dann den Algorithmus von Casteljau an (um das in Bernstein-Basis ausgedrückte
Polynom auszuwerten) und die Regel von Descartes (siehe Unterabschnitt 12.2.1), um die
Wurzeln zu lokalisieren.
Ist der Parameter ring gleich QQbar oder CIF und p.base_ring() gleich ZZ, QQ, AA oderstellt er Gauÿsche rationale Zahlen dar, delegiert der Algorithmus die Berechnungen an NumPy und PARI, deren Ergebnisse in die erwarteten Ringe konvertiert werden. In der Dokumentation zur Methode Polynomial.roots() kann man alle Situationen kennen lernen, die vondieser Methode abgedeckt werden.
Betrachten wir eine konvergente numerische Folge u und bezeichnen wir mit l ihren Grenzwert. Wir sagen, dass die Konvergenzgeschwindigkeit linear ist,
wenn ein K existiert, sodass|un+1 − l|lim
= K.
n→∞ |un − l|Konvergenzgeschwindigkeit.

Die Konvergenzgeschwindigkeit der Folge u wird quadratisch genannt, wenn ein K > 0 existiert, sodass|un+1 − l|lim
= K.
n→∞ |un − l|2
Wenden wir uns wieder dem Newton-Verfahren zu. Wir haben eine Folge u durch un+1 = ϕ(u)rekursiv deniert mit ϕ als der Funktion x 7→ x − f (x)/f 0 (x). Unter der Annahme, dass f
zweimal dierenzierbar ist, kann die Taylorgleichung für die Funktion ϕ und mit x in derNähe der Wurzel α so geschrieben werden:

ϕ(x) = ϕ(α) + (x − α)ϕ0 (α) +(x − α)2 00
ϕ (α) + Oα ((x − α)3 ).
2

269

12. Nichtlineare GleichungenNunmehr ist ϕ(α) = α, ϕ0 (α) = 0 und ϕ00 (α) = f 00 (α)/f 0 (α). Durch Einsetzen in die vorstehende Gleichung und Rückkehr zur Denition der Folge u erhalten wir:

un+1 − α =(un − α)2 f 00 (α)+ O∞ ((un − α)3 ).
2
f 0 (α)Da das Newton-Verfahren konvergiert, ist die Geschwindigkeit der gebildeten Folge quadratisch.
Aus einer konvergenten Folge, deren Geschwindigkeit linear
ist, können wir eine Folge bilden, deren Konvergenzgeschwindigkeit quadratisch ist. Diese
Technik ist bei Anwendung auf das Newton-Verfahren unter der Bezeichnung SteensenVerfahren bekannt.
Konvergenzbeschleunigung.

sage: def steffensen(sequence):....:
assert isinstance(sequence, GeneratorType)....:values = deque(maxlen=3)....:
for i in range(3):....:values.append(sequence.next())....:
yield values[i]....:while True:....:
values.append(sequence.next())....:
u, v, w = values....:
yield u - (v - u)^2 / (w - 2 * v + u)
sage: g(x) = sin(x^2 - 2) * (x^2 - 2)sage: sequence = newtongen(g, RR(0.7))
sage: accelseq = steffensen(newtongen(g, RR(0.7)))
sage: iterate(sequence, check=checkconv)
After 17 iterations: 1.41422192763287
sage: iterate(accelseq, check=checkconv)
After 10 iterations: 1.41421041980166
Man sieht, dass die Konvergenzgeschwindigkeit asymptotisch verläuft: sie sagt über den Fehler|un − l| für gegebenes n nichts aus.

sage: sequence = newtongen(f, RR(a))
sage: accelseq = steffensen(newtongen(f, RR(a)))
sage: iterate(sequence, check=checkconv)
After 6 iterations: 2.15846852566756
sage: iterate(accelseq, check=checkconv)
After 7 iterations: 2.15846852554764
Lösung von nichtlinearen Gleichungen
angenäherte Wurzeln eines Polynoms
exakte Wurzeln ohne Garantie alle zu nden
angenäherte Wurzeln auf den reellen Zahlen
angenäherte Wurzeln mit dem Brent-Verfahren

Polynomial.roots()
Expression.roots()
real_roots
Expression.find_root()

Tab. 12.1 - In diesem Kapitel beschriebene Befehle

27012.2. Numerische Lösung
Die Methode Expression.find_root().

Wir interessieren uns jetzt für die allgemeinste
Situation: die Berechnung eines Näherungswertes der Lösung einer Gleichung f (x) = 0. In
Sage erfolgt diese Berechnung mit der Methode Expression.find_root().
Die Parameter der Methode Expression.find_root() gestatten die Angabe eines Intervall,
wo eine Wurzel zu suchen ist, der Rechengenauigkeit oder der Anzahl der Iterationen. Der
Parameter full_output gibt Informationen zur Berechnung, insbesondere zur Anzahl der
Iterationen und zur Anzahl der Auswertungen der Funktion.

sage: result = (f == 0).find_root(a, b, full_output=True)
sage: result[0], result[1].iterations(2.1584685255476415, 9)
In Wirklichkeit implementiert die Methode Expression.find_root() keinen Suchalgorithmus für das Lösen von Gleichungen: die Rechnung wird an das Modul SciPy delegiert. Die
von Sage für die Lösung eine Gleichung benutzte Funktionalität von SciPy implementiert das
Brent-Verfahren, das drei uns schon bekannte Verfahren kombiniert: die Bisektion, das Sekantenverfahren und die quadratische Interpolation. Die ersten beiden Näherungswerte sinddie Grenzen des Suchintervalls für die Lösung der Gleichung. Den folgenden Näherungswert
erhält man durch lineare Interpolation, wie das beim Sekantenverfahren gemacht wird. Bei
den dann folgenden Iterationen wird die Funktion durch quadratische Interpolation angenähert, und die Abszisse des Schnittpunktes der Interpolationskurve mit der Achse ist der neue
Näherungswert, es sei denn, dieser Wert liegt nicht zwischen den beiden vorhergehenden; indiesem Fall würde mit Bisektion fortgefahren.
Die Bibliothek SciPy ermöglicht keine Rechnung mit beliebiger Genauigkeit (auÿer bei Rechnung mit ganzen Zahlen); auÿerdem beginnt die Methode Expression.find_root, die Grenzen in Maschinenzahlen doppelter Genauigkeit zu konvertieren. Demgegenüber funktionieren
alle anderen in diesem Kapitel erläuterten Lösungsverfahren mit beliebiger Genauigkeit odersogar symbolisch.

sage: a, b = pi/2, pi
sage: generator = newtongen(f, a)
sage: generator.next(); generator.next()
1/2*pi1/2*pi - (e^(1/2*pi) - 10)*e^(-1/2*pi)Übung 44.

Für das Brent-Verfahren ist ein Generator zu schreiben, der mit beliebiger Genauigkeit funktioniert.

271

13. Numerische lineare Algebra
Hier behandeln wir die numerischen Aspekte der linearen Algebra, nachdem die symbolischelineare Algebra in Kapitel 8 präsentiert worden ist. An französischen Lehrbüchern zur numerischen Analyse der linearen Algebra kann man die Bücher von M. Schatzman [Sch91], P.
Ciarlet [Cia82] oder die mehr spezialisierten von Lascaux-Théodor [LT93, LT94] heranziehen.
Das auf englisch geschriebene Buch von Golub und Van Loan [GVL96] ist als Referenz ein
absolutes Muss.
Numerische lineare Algebra spielt beim sogenannten wissenschaftlichen Rechnen eine Rolle.
Diese Bezeichnung ist nicht ganz passend, um die Probleme zu beschreiben, die bei der mathematischen Untersuchung der numerischen Analyse begegnen: bei der näherungsweisen Lösung
von Systemen gewöhnlicher und partieller Dierentialgleichungen, bei Optimierungsaufgaben,
bei der Signalverarbeitung usw.
Die numerische Lösung der Mehrzahl dieser Aufgaben, auch linearer Probleme, basiert auf
Algorithmen, die mit Endlosschleifen arbeiten. Im tiefsten Grunde solcher Schleifen ist sehroft ein lineares System zu lösen. Häug ndet das Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer
algebraischer Systeme Anwendung: auch dabei sind lineare Systeme zu lösen. Leistungsfähigkeit und Robustheit der Verfahren der numerischen linearen Algebra sind daher ausschlaggebend.
Dieses Kapitel umfasst drei Abschnitte: im ersten bemühen wir uns den Leser für den Einuss der Ungenauigkeiten von Rechnungen in der linearen Algebra zu sensibilisieren; derzweite Abschnitt (13.2) behandelt, ohne erschöpfend zu sein, klassische Probleme (Lösung
von Gleichungssystemen. Berechnung von Eigenwerten, kleinste Quadrate); im dritten Abschnitt (13.3) zeigen wir, wie bestimmte Probleme zu lösen sind, wenn Matrizen als dünn
besetzt angesehen werden können. Dieser letzte Teil will ebenso eine Einführung in Methoden
geben, die in einem aktiven Forschungsgebiet benutzt werden, wie auch eine Anleitung zu
ihrer Anwendung.

13.1. Ungenaues Rechnen in der linearen Algebra
Wir interessieren uns für klassische Aufgaben der linearen Algebra (Lösung von Gleichungssystemen, Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren usw.), die mit ungenauer Rechnung
gelöst werden. Die erste Quelle von Ungenauigkeiten entspringt aus der Benutzung von (reellen oder komplexen) Flieÿpunktzahlen, also nicht nur aus der Arbeit mit Objekten, vondenen man weiÿ, das sie nicht exakt sind, sondern auch daraus, dass sämtliche Rechnungenfehlerbehaftet sind. Die verschiedenen in Sage angebotenen Typen von Flieÿpunktzahlen sindin Kapitel 12 beschrieben.
Es ist beispielsweise das Gleichungssystem Ax = b zu lösen, wobei A eine Matrix mit reellen
Koezienten ist. Welchen Fehler δx macht man, wenn A mit δA und b mit δb gestört ist? Indiesem Kapitel tragen wir dazu Teilantworten zusammen.

273

13. Numerische lineare Algebra
13.1.1. Normen von Matrizen und Kondition

Sei A ∈ Rn×n (oder Cn×n ). Wir statten Rn (oder Cn ) mit einer Norm aus: ||x||∞ = max |xi |PnPn
2 1/2 ; dannoder ||x||1 =i=1 |xi u| oder auch mit der euklidschen Norm ||x||2 =i=1 xideniert die Gröÿe
||A|| = max ||Ax||||x||=1

eine Norm auf der Menge der n × n-Matrizen. Man sagt, dass es sich um eine der auf Rn(oder Cn ) denierten Norm untergeordnete Norm handelt. Die Kondition von A ist durch
κ(A) = kA−1 k · kAk deniert. Das wichtigste Ergebnis besteht darin, dass die Lösung x deslinearen Gleichungssystems Ax = b mit δx gestört ist, wenn man A eine (kleine) Störung δA
aufprägt und b eine Störung δb:kδxk
kδAk kδbk
κ(A)
.
≤
+
kxk
1 − κ(A)kδAk/kAk kAk
kbkP
Die Normen k · k∞P
und k · k1 sind leicht zu berechnen: kAk∞ = max1≤i≤n ( nj=1 |Aij |) undn
kAk1 = max1≤j≤np ( i=1 )|Aij |. Im Gegensatz dazu erhalten wir die Norm k·k2 nicht so einfach,tdenn kAk2 = ρ( AA), der Spektralradius ρ einer Matrix A ist der Absolutwert des absolutgröÿten seiner Eigenwerte.
Die Frobeniusnorm ist deniert durch

kAkF = 

n X
n
X

1/2
|aij |2 .

i=1 j=1

Anders als die übrigen Normen ist sie nicht untergeordnet. Man veriziert leicht, dass kAk2F =Spur(t AA) ist.
Die Berechnung der Normen einer Matrix in Sage.

norm(p). Je nach Wert des Argumentes p bekommen wir:
p=1:
kAk1 ,
p = Infinity : kAk∞ ,Matrizen besitzen eine Methodep=2:
kAk2 ,
p = 'frob' : kAkF

Diese Methode ist nur anwendbar, wenn die Koezienten der Matrix in komplexe Zahlen
CDF konvertiert werden können. Anzumerken ist, dass man zwar A.norm(Infinity) schreibt,
doch A.norm('frob'). Mit A.norm() bekommen wir die Norm kAk2 (Voreinstellung).
Fehler und Kondition - eine Illustration: zuerst mit exakter Rechnung, dann genähert.

Wir wollen in Sage die Möglichkeit nutzen, exakte Rechnungen auszuführen, wenn die Koefzienten rational sind. Wir betrachten die Hilbertmatrix

Aij = 1/(i + j − 1), i, j = 1, . . . , n.
Das folgende Programm berechnet die Kondition von Hilbertmatrizen in der Norm k · k∞ :sage: def cond_hilbert(n):....:A = matrix(QQ, [[1/(i+j-1) for j in [1..n]] for i in [1..n]])....:return A.norm(Infinity) * (A^-1).norm(Infinity)
Hier nun die Ergebnisse als Funktion von n:274

13.1. Ungenaues Rechnen in der linearen Algebra
n
2
4
8
16
32

Kondition
27.0
28375.033872791095.0
5.06277478751e+22
1.35710782493e+47

Wir beobachten ein äuÿerst rasantes Wachstum der Kondition in Abhängigkeit von n. Man
kann zeigen, dass κ(A) ≈ e7n/2 , was oensichtlich eine Gröÿe ist, die die sehr schnell wächst.
Immer mit exakter Rechnung mit rationalen Zahlen können wir die Matrix A stören und
die Lösung des originalen linearen Gleichungssystems mit der des gestörten Systems vergleichen:

sage: def diff_hilbert(n):....:x = vector(QQ,[1 for i in range(0,n)])....:A = matrix(QQ, [[1/(i+j-1) for j in [1..n]] for i in [1..n]])....:y = A*x....:A[n-1,n-1] = (1/(2*n-1))*(1+1/(10^5)) # verändert die Matrix....:
sol = A\y....:return max(abs(float(sol[i]-x[i])) for i in range(0,n))
Wir erhalten

n
2
4
8
16
32

Fehler (diff_hilbert)
3.9998400064e-05
0.00597609561753
4.80535658002
67.9885057468
20034.3477421

sodass die Rechnungen sehr bald mit einem nicht mehr tolerierbaren Fehler erfolgen.
Rechnen wir nun mit Matrizen und Vektoren mit Flieÿpunktkoezienten. Diesmal stören wir
die Matrix A nicht explizit, doch bringt die Flieÿpunktarithmetik kleine Störungen mit sich.
Wir wiederholen obige Rechnung: das zweite mit y = Ax berechnete Glied versuchen wir auchdurch Lösung des linearen Gleichungssystems As = y zu nden:

sage: def hilbert_diff(n):....:A = matrix(RR, [[1/(i+j-1) for j in [1..n]] for i in [1..n]])....:x = vector(RR, [1 for i in range(0,n)])....:y = A*x....:s = A.solve_right(y)....:return max(abs(float(s[i]-x[i])) for i in range(0,n))Abhängig von n erhalten wir:275

13. Numerische lineare Algebra
n
2
4
8
16
32

Fehler (diff_hilbert)
5.55111512313e-16
4.7384318691e-13
6.82028985288e-07
8.68515288279
378.704279105

Wir sehen, dass zum Beispiel für n = 16 der Fehler (mit Unendlich-Norm) so groÿ ist, dassalle Ziern des Ergebnisses falsch sind (bei unserer Wahl von x mit xi = 1 fallen absoluter
und relativer Fehler zusammen).
Warum also mit Flieÿpunktzahlen rechnen? Die Frage der Leistungsfähigkeit
ist nicht so vordringlich, da Bibliotheken existieren, welche die Algorithmen der linearen Algebra in rationaler Arithmetik ezient implementieren (Sage verwendet Linbox), Algorithmen,
die ohne so leistungfsfähig zu sein wie wie ihre Flieÿpunkt-Entsprechungen, für bestimmte
Aufgaben wie die Lösung von linearen Gleichungssystem moderater Gröÿe vorteilhaft verwendet werden können. Doch hier kommt ein zweiter Unsicherheitsfaktor ins Spiel: bei reellen
Anwendungen können die Koezienten nur näherungsweise bekannt sein. Beispielsweise lässt
die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mit dem Newton-Verfahren Terme auftreten, die unexakt berechnet worden sind.
Bemerkungen.

Schlecht konditionierte lineare Gleichungssysteme (auch ohne so extreme Fälle wie die HilbertMatrix) sind eher die Regel als die Ausnahme: häug treen wir (in Pysik, Chemie, Biologie usw.) auf Systeme gewöhnlicher Dierentialgleichungen der Form du/dt = F (u), wo die
Jacobi-Matrix DF (u), also die Matrix der partiellen Ableitungen ∂Fi /∂uj ein schlecht konditioniertes lineares System deniert: die Eigenwerte sind in einer sehr ausgedehnten Menge
verteilt, was die schlechte Kondition von DF (u) nach sich zieht; diese Eigenschaft rührt daher, dass das System aus mehreren Zeitskalen zusammengesetzte Erscheinungen modelliert.
Leider müssen in der Praxis lineare Systeme mit der Matrix DF (u) gelöst werden.
Alle Rechnungen (Zerlegung von Matrizen, Berechnung von Eigenwerten und -vektoren, Konvergenz von iterativen Verfahren) werden durch die Kondition beeinusst. Deshalb sollten
wir diesen Begri immer im Hinterkopf haben, wenn wir mit Flieÿpunkt-Darstellungen reeller
Zahlen arbeiten.

13.2. Voll besetzte Matrizen
13.2.1. Lösung linearer Gleichungssysteme

Was man (fast) nie verwenden sollte, ist die Cramersche Regel.
Überlegungen zur Rekursion zeigen. dass der Aufwand für die Berechnung der Determinanteeiner n × m-Matrix mit der Cramerschen Regel von der Ordnung n! Multiplikationen ist (undebenso vielen Additionen). Für die Lösung eines System der Gröÿe n sind n+1 Determinanten
zu berechnen. Nehmen wir n = 20:
Zu vermeidende Verfahren.

sage: n = 20; aufwand = (n+1)*factorial(n); aufwand
51090942171709440000

276

13.2. Voll besetzte Matrizen
Wir bekommen den respektablen Wert von 51090942171709440000 Multiplikationen. Wenn
wir annehmen, dass unser Compoter pro Sekunde 3 · 109 Multiplikationen ausführt (was realistisch ist), kommt die folgende Rechenzeit zustande:

sage: v = 3*10^9sage: print "%3.3f"%float(aufwand/v/3600/24/365)
540.028
Die Berechnung braucht also etwa 540 Jahre! Selbstverständlich können Sie eine 2 × 2-System
mit der Cramerschen Regel lösen, darüber aber nicht! Allen in der Praxis benutzten Verfahren
ist polynomialer Aufwand gemein, d.h. die Ordnung np mit kleinem p (üblicherweise p = 3).
Die Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b basiert meistens auf
einer Faktorisierung der Matrix A in ein Produkt von zwei Matrizen A = M1 M2 , wobei M1
und M2 lineare Systeme denieren, die leicht lösbar sind. Zur Lösung von Ax = b löst man
nacheinander erst M1 y = b und dann M2 x = b.
Praktikable Verfahren.

Beispielsweise können M1 und M2 Dreiecksmatrizen sein; in diesem Fall sind zwei Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt zu lösen, nachdem die Faktorisierung bewerkstelligt ist. Der Aufwand für die Faktorisierung ist deutlich höher als der für die Lösung der beiden Gleichungssysteme (z.B. O(n3 ) für die LU -Zerlegung gegenüber O(n2 ) für die Lösung der Systeme in Dreiecksgestalt). Daher ist es bei der Lösung von mehreren Gleichungssystemen mit der gleichen
Matrix zweckmäÿig, die Zerlegung nur einmal vorzunehmen. Wichtig ist, dass eine Matrix zur
Lösung eines Gleichungssystems niemals invertiert wird. Die Inversion erfordert die Zerlegung
der Matrix und dann die Lösung von n Gleichungssystemen, statt eines einzigen.
13.2.2. Direkte Lösung

Dies ist die einfachste Vorgehensweise:

sage: A = matrix(RDF, [[-1,2],[3,4]])
sage: b = vector(RDF, [2,3])
sage: x = A\b; x(-0.20000000000000018, 0.9000000000000001)
In Sage besitzen Matrizen zur Lösung linearer Gleichungssysteme eine Methode solve_right(die auf der QR-Zerlegung basiert); diesen Befehl rufen wir jetzt auf:

sage: x = A.solve_right(b)Die Syntax ist praktisch die gleiche wie in Matlab, Octave oder Scilab.

277

13. Numerische lineare Algebra
13.2.3. Die LU -Zerlegung

sage: A = matrix(RDF, [[-1,2],[3,4]])
sage: P, L, U = A.LU()
Diese Methode liefert die Faktoren L und U sowie die Permutationsmatrix P , sodass A = P LU
ist (oder damit gleichwertig: P A = LU , wie der aufmerksame Leser bemerkt haben wird).
Es ist die Wahl der Pivotstellen, wodurch die Bildung von P bestimmt wird. L ist eine untere Dreiecksmatrix mit einer Einser-Diagonalen und U ist eine obere Dreiecksmatrix. Dieses
Verfahren ist direkt aus dem in Unterabschnitt 8.2.1 beschriebenen Gauÿ-Algorithmus abgeleitet. Der Übersichtlichkeit halber übergehen wir die Wahl der Pivotstellen. Dann bewirkt
der Gauÿ-Algorithmus, dass Nullen in der ersten Spalte unter der Diagonale erscheinen, dannin der zweiten Spalte unter der Diagonalen usw. Diese Eliminierung kann man so schreiben:

Ln−1 · · · L2 L1 A = U.
Setzen wir L = (Ln−1 · · · L2 L1 )−1 , erhalten wir A = LU und wir verizieren ohne Schwierigkeit, dass L in unterer Dreiecksgestalt ist mit einer Einser-Diagonalen.
Wir machen darauf aufmerksam, dass Sage die Faktorisierung von A speichert: der Befehl
A-LU_valid gibt True genau dann zurück, wenn die LU -Zerlegung bereits berechnet worden
ist. Besser noch, der Befehl A.solve_right(b) berechnet die Faktorisierung nur, wenn das
notwendig ist, also wenn sie zuvor noch nicht berechnet worden ist oder wenn die Matrix A
verändert wurde.
Beispiel. Wir erzeugen eine Zufallsmatrix der Gröÿe 1000 und einen Vektor dieser Gröÿe,sage: A = random_matrix(RDF, 1000)
sage: b = vector(RDF, range(1000))
faktorisieren A

sage: %time A.LU()
CPU times: user 204 ms, sys: 16 ms, total: 220 ms
Wall time: 252 ms
und lösen jetzt das System Ax = b:

sage: %time x = A.solve_right(b)CPU times: user 116 ms, sys: 8 ms, total: 124 ms
Wall time: 122 ms
Die Lösung geht schneller, weil sie die schon berechnete LU -Zerlegung verwendet.
13.2.4. Die Cholesky-Zerlegung reeller positiv deniter symmetrischer Matrizen

Eine symmetrische Matrix A heiÿt positiv denit, wenn für jeden Vektor x, der nicht der
Nullvektor ist, t xAx > 0 gilt. Zu jeder symmetrischen positiv deniten Matrix existiert eineuntere Dreiecksmatrix C , sodass A = C t C . Diese Faktorisierung ist die Cholesky-Zerlegung. In
Sage wird sie durch Aufruf der Methode cholesky berechnet. Im folgenden Beispiel erzeugen
wir eine Matrix A, die fast sicher positiv denit ist:278

13.2. Voll besetzte Matrizen
sage: m = random_matrix(RDF, 10)
sage: A = transpose(m)*m
sage: C = A.cholesky()
Wir haben anzumerken, dass es mit vertretbarem Aufwand nicht möglich ist zu testen, ob
eine symmetrische Matrix positiv denit ist. Wenn wir die Methode von Cholesky auf eine
Matrix anwenden, die es nicht ist, kann die Zerlegung nicht berechnet werden und es wird im
Verlauf der Rechnung von cholesky() ein ValueError ausgegeben.
Um ein Gleichungssystem Ax = b mit der Cholesky-Zerlegung zu lösen, gehen wir vor wie
bei der LU -Zerlegung. Ist die Zerlegung einmal berechnet, führen wir A.solve_right(b) aus.
Auch hier wird die Zerlegung nicht wiederholt.
Warum verwendet man die Cholesky-Zerlegung und nicht die LU -Zerlegung zur Lösung vonSystemen mit symmetrischen positiv deniten Matrizen? Natürlich benötigen die Faktoren
nur halb soviel Speicherplatz, doch es geht vor allem um die Anzahl der Operationen, wo sich
die Cholesky-Zerlegung als vorteilhaft erweist. Für eine Matrix der Gröÿe n müssen bei der
Cholesky-Zerlegung n Quadratwurzeln berechnet werden, n(n − 1)/2 Divisionen, (n3 − n)/6
Additionen und ebenso viele Multiplikationen. Zum Vergleich: die LU -Zerlegung benötigt
auch n(n − 1)/2 Divisionen, aber (n3 − n)/3 Additionen und Multiplikationen.
13.2.5. Die QR-Zerlegung

Sei A ∈ Rn×m mit n ≥ m. Hier sind zwei Matrizen Q und R zu nden, sodass A = QR ist,
wobei Q ∈ Rn×n orthogonal ist (t QQ = I ) und R ∈ Rn×m in oberer Dreiecksgestalt ist. Ist
die Zerlegung einmal berechnet, kann man sie natürlich zur Lösung von linearen Gleichungssystemen benutzen, wenn die Matrix A quadratisch und invertierbar ist. Wie wir aber sehen
werden, ist sie vor allem eine interessante Zerlegung für die Lösung von Systemen kleinster
Quadrate und für die Berechnung von Eigenwerten. Zu beachten ist, dass A nicht quadratischsein muss. Die Zerlegung existiert, wenn der Rang maximal ist, also gleich m. Beispiel:sage: A = random_matrix(RDF,6,5)
sage: Q, R = A.QR()

Übung 45

(Störung eines linearen Systems). Sei A eine invertierbare quadratische Matrix,

zu der eine Zerlegung berechnet worden ist (LU , QR, Cholesky usw.). Seien u und v zwei
Vektoren. Wir betrachten die Matrix B = A + ut v und setzen 1 + t vA−1 u 6= 0 voraus. Wie
ist das System Bx = f mit geringstem Aufwand (d.h. ohne B zu faktorisieren) zu lösen?

Zu verwenden ist die Gleichung von Sherman und Morrison (die man beweisen oder einfachübernehmen kann):
A−1 u t vA−1
(A + u t v)−1 = A−1 −.
1 + t vA−1 u
13.2.6. Die Singulärwertzerlegung

Diese Zerlegung wird zwar selten unterrichtet, ist aber dennoch reich an Anwendungen! Sei
A eine n × m-Matrix mit reellen Koezienten. Dann existieren zwei orthogonale Matrizen
U ∈ Rn×n und V ∈ Rm×m , so dasst

U · A · V = Σ = diag(σ1 , σ2 , . . . , σp ),279

13. Numerische lineare Algebra
wobei σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σp ≥ 0 (mit p = min(m, n)). Die Zahlen σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σp sind dieSingulärwerte von A.
Die Matrizen U und V sind orthogonal (U · t U = I) und V · t V = I ), woraus folgt:

A = U Σ t V.
Beispiel (die Rechnungen sind oensichtlich niemals exakt):sage: A = matrix(RDF, [[1,3,2],[1,2,3],[0,5,2],[1,1,1]])
sage: U, Sig, V = A.SVD()
sage: A1 = A - U*Sig*transpose(V); A1[ 2.220446049250313e-16
0.0
0.0][3.3306690738754696e-16 -4.440892098500626e-16 -4.440892098500626e-16][-9.298117831235686e-16 1.7763568394002505e-15 -4.440892098500626e-16][ 4.440892098500626e-16 -8.881784197001252e-16 -4.440892098500626e-16]
Es kann gezeigt werden, dass die Singulärwerte einer Matrix A die Quadratwurzeln der Eigenwerte von t AA sind. Es ist leicht zu verizieren, dass bei einer quadratischen Marix derGröÿe n die euklidsche Norm kAk2 gleich σ1 ist und dass, wenn die Matrix auÿerdem nicht
singulär ist, die Kondition von A mit der euklidschen Norm gleich σ1 /σn ist. Der Rang von
A ist die natürliche Zahl r, die deniert ist durch

σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr ≥ σr+1 = . . . = σp = 0.
13.2.7. Anwendung auf kleinste Quadrate

Wir möchten das überbestimmte Gleichungssystem Ax = b lösen, wobei A eine Matrix mit
reellen Koezienten ist, rechtwinklig mit n Zeilen und m Spalten und n > m. Selbstverständlich hat dieses System nicht immer eine Lösung. Wir wenden uns nun der Aufgabe zu, das
Quadrat der euklidschen Norm k · k2 des Restes zu minimieren:

min kAx − bk22 .
x

Die Matrix A kann einen Rang kleiner als m haben.
Wenn wir bei der Minimierungsaufgabe die Ableitungnach x gleich null setzen, stellen wir ohne groÿe Mühe fest, dass die Lösung dieser Bedingung
genügt:t
AAx = t Ab.
Das Lösen normaler Gleichungen.

Wenn wir voraussetzen, dass A den maximalen Rang m hat, können wir die Matrix t AA bilden
und das System t AAx =t Ab lösen, beispielsweise durch Berechnung der Cholesky-Zerlegungvon t AA. Das ist auch der Ursprung des Verfahrens des Kommandeurs Cholesky 1 Welches ist
die Kondition von t AA? Die wird die Genauigkeit der Rechnung konditionieren. Die Singulärwerte von t AA (Dimension m × m) sind die Quadrate der Singulärwerte von A; Kondition
2 , also recht groÿ. Wir ziehen daher Verfahrewn vor, die
mit euklidscher Norm ist daher σ12 /σm
entweder auf der QR-Zerlegung von A basieren oder auf der Singulärwertzerlegung2 .
1
2Ingenieur und Ozier der Artillerie (1875-1918); das Verfahren ist zur Lösung geodätischer Aufgaben erfunden worden.
Der Kommandeur Cholesky hatte noch keinen Computer und sah sich wahrscheinlich nur der Lösung kleiner
Systeme gegenüber, bei denen schlechte Kondition nicht wirklich problematisch ist.

280

13.2. Voll besetzte Matrizen
Trotz allem ist das Verfahren für kleine Systeme, die nicht zu schlecht konditioniert sind,brauchbar. Hier der entsprechende Code:sage: A = matrix(RDF, [[1,3,2],[1,4,2],[0,5,2],[1,3,2]])
sage: b = vector(RDF, [1,2,3,4])
sage: Z = transpose(A)*A
sage: C = Z.cholesky()
sage: R = transpose(A)*b
sage: Z.solve_right(R)(-1.5, -0.5, 2.75)
Wohlgemerkt, die Cholesky-Zerlegung ist hier verborgen, und Z.solve_right(R) verwendet
sie ohne erneute Berechnung.
Mit QR-Zerlegung.

gilt

Wir setzen A mit maximalem Rang3 voraus. Es sei A = QR. DannkAx − bk22 = kQRx − bk22 = kRx − t Qbk22 .
R1
Wir haben R =, wobei R1 ein Block der Gröÿe m in oberer Dreiecksgestalt ist und0 
t Qb = c mit c der Gröÿe m. Daher ist kAx − bk2 = kR x − ck2 + kdk2 , und wir bekommen
1
2
2
2
d
das minimale x als Lösung des dreieckigen Systems R1 x = c:sage: A = matrix(RDF, [[1,3,2],[1,4,2],[0,5,2],[1,3,2]])
sage: b = vector(RDF, [1,2,3,4])
sage: Q, R = A.QR()
sage: R1 = R[0:3,0:3]
sage: b1 = transpose(Q)*b
sage: c = b1[0:3]sage: R1.solve_right(c)(-1.499999999999999, -0.49999999999999867, 2.749999999999997)
Wir berechnen die Konditionszahl von t AA mit der Unendlich-Norm:sage: Z = A.transpose()*A
sage: Z.norm(Infinity)*(Z^-1).norm(Infinity)
1992.3750000000168
Da das System nur klein ist, ist es nicht zu schlecht konditioniert. Die QR-Zerlegung und das
Verfahren für normale Gleichungen (Seite 280) ergeben deshalb das gleiche Resultat.
Auch die Singulärwertzerlegung A = U Σ t V ermöglicht die
Berechnung einer Lösung; mehr noch, sie ist sogar dann anwendbar, wenn A nicht den maximalen Rang hat. Wenn A nicht identisch null ist, besitzt Σ r ≤ m positive Koezienten σi(in fallender Ordnung). Mit ui bezeichnen wir die Spalten von U . Dann haben wir:
Mit Singulärwertzerlegung.

kAx − bk22 = k t U AV t V x −t U bk22 .

3Diese Einschränkung kann entfallen, wenn wir QR-Zerlegung mit Pivotstellen verwenden.

281

13. Numerische lineare Algebra
Mit der Abkürzung λ =t V x erhalten wir

kAx − bk22 =

p
X

t

2

(σi λi − ui b) +

i=1

m
X

(t ui b)2 .

i=p+1

Das Minimum ist daher zu erwarten, wenn wir λi = (t ui b)/σi setzen mit 1 ≤ i ≤ p. Wir
wählen dann λi = 0 mit i > p und erhalten schlieÿlich die Lösung x = V λ.
Hier das Sage-Programm (wir müssen U.column(i) nicht transponieren):sage: A = matrix(RDF, [[1,3,2],[1,3,2],[0,5,2],[1,3,2]])
sage: b = vector(RDF, [1,2,3,4])
sage: U, Sig, V = A.SVD()
sage: m = A.ncols()
sage: x = vector(RDF, [0]*m)
sage: lamb = vector(RDF, [0]*m)
sage: for i in range(0,m):....:s = Sig[i,i]....:if s < 1e-12:
....:
break
....:
lamb[i] = U.column(i)*b / s
sage: x = V*lamb; x(0.2370370370370367, 0.4518518518518521, 0.3703703703703702)
Man sieht, dass die obige Matrix den Rang 2 hat (was wir mit dem Befehl A.rank() verizieren können), also nicht den maximalen Rang, der 3 betragen würde. Es gibt somit mehrere
Lösungen für das Problem der kleinsten Quadrate, und der oben angegebene Beweis zeigt,
das x die Lösung der minimalen euklidschen Norm ist.
Betrachten wir die Singulärwerte:

sage: m = 3
sage: [ Sig[i,i] for i in range(0,m) ][8.309316833256451, 1.3983038884881154, 0.0]
Da die Matrix A den Rang 2 hat, ist der dritte Singulärwert zwangsläug 0. Um eine Division
durch 0 zu vermeiden, ignorieren wir Singulärwerte, die sich von 0 zu wenig unterscheiden(das ist der Grund für den Test if s < 1e-12 im Programm).
Beispiel. Unter den schönsten Anwendungen der Singulärwertzerlegung (SVD engl. für Sin-gular Value Decomposition, SWZ auf deutsch), die mit einem anderen Verfahren wohl kaum
lösbar wäre: es seien A und B ∈ Rn×m die Ergebnisse eines zweimal wiederholten Experiments.
Wir fragen uns, ob B auf A gedreht werden kann, d.h. existiert eine orthogonale Matrix Q,
sodass A = BQ ist. Wird den Messungen ein Rauschen hinzugefügt, hat die Aufgabe generell oensichtlich keine Lösung. Zweckmäÿigerweise wird sie dann in kleinsten Quadraten
gestellt; dafür muss deshalb die orthogonale Matrix Q berechnet werden, die das Quadrat der
Frobenius-Norm minimiert:
kA − BQk2F ,Wir erinnern uns an kAk2F = Spur(t AA). Dann ist

kA − BQk2F = Spur(t AA) + Spur(t BB) − 2Spur(t Q t BA) ≥ 0,282

13.2. Voll besetzte Matrizen
und daher ist Spur(t Q t BA) zu maximieren. Wir berechnen nun die SWZ von t BA: wir habent U (t BA)V = Σ. Seien die σ die Singulärwerte und O =t V t QU . Diese Matrix ist orthogonali
und deshalb sind alle Koezienten absolut kleiner oder gleich 1. Dann gilt:
Spur(t Q t BA) = Spur(t QU Σ t V ) = Spur(OΣ) =m
X

Oii σi ≤

i=1

m
X

σi

i=1

und das Maximum wird für Q = U t V erwartet.

sage: A = matrix(RDF, [[1,2],[3,4],[5,6],[7,8]])Man erhält B durch Hinzufügen eines zufälligen Rauschens zu A und durch eine Rotation um
den Winkel ϑ (Rotationsmatrix R):

sage: th = 0.7
sage: R = matrix(RDF, [[cos(th),sin(th)],[-sin(th),cos(th)]])sage: B = (A + 0.1*random_matrix(RDF,4,2)) * transpose(R)sage: C = transpose(B)*A
sage: U, Sigma, V = C.SVD()
sage: Q = U*transpose(V)Die zufällige Störung ist schwach, und wie erwartet ist Q nahe bei R:

sage: Q
[ 0.7628142512578093 0.6466176753522814][-0.6466176753522812 0.7628142512578091]
sage: R
[0.7648421872844885 0.644217687237691][-0.644217687237691 0.7648421872844885]

Übung 46

(Quadratwurzel einer symmetrischen positiv semideniten Matrix.) Sei A eine
symmetrische positiv semidenite Matrix (d.h. sie erfüllt t xAx ≥ 0 für jeden Vektor x). Zu
beweisen ist, dass man eine Matrix X berechnen kann, die ebenfalls symmetrisch und positiv
semidenit ist und zwar so, dass X 2 = A ist.

13.2.8. Eigenwerte, Eigenvektoren

Bis jetzt haben wir nur direkte Verfahren verwendet (LU -, QR- und Cholesky-Zerlegung), dienach einer endlichen Anzahl von Operationen (den vier Grundrechenarten und dem Ziehen der
Quadratwurzel bei der Cholesky-Zerlegung) eine Lösung liefern. Das kann bei der Berechnung
der Eigenwerte nicht der Fall sein: Tatsächlich kann man (siehe Seite 287) jedem Polynom
eine Matrix zuordnen, deren Eigenwerte die Wurzeln des Polynoms sind; wir wissen aber, dasskeine explizite Formel für die Berechng der Wurzeln eines Polynoms höheren als 4. Grades
existiert, eine Formel also, die ein direktes Verfahren ergäbe. Andererseits wäre die Bildung
des charakteristischen Polynoms, um daraus die Wurzeln zu berechnen, extrem aufwendig(siehe Seite 277): jedenfalls stellen wir fest, dass der Algorithmus von Faddeev-Le Verrier die
Berechnung des charakterischen Polynoms einer Matrix der Gröÿe n mit O(n4 ) Operationen
ermöglicht, was trotzdem als recht aufwendig betrachtet wird. Die numerischen Verfahren fürdie Berechnung von Eigenwerten und -vektoren sind sämtlich iterativ.

283

13. Numerische lineare Algebra
Wir werden deshalb Folgen bilden, die gegen die Eigenwerte (und die Eigenvektoren) konvergieren und die Iterationen beenden, sobald wir der Lösung nahe genug sind4 .
Das Verfahren der iterierten Potenz. Sei A eine Matrix Cn×n . Wir legen eine beliebige
Norm k · k auf Cn fest. Beginnend mit x0 betrachten wir die Folge der xk , die deniert ist

durch

xk+1 =Axk.
kAxk kWenn für die Eigenwerte |λ1 | > |λ2 | > · · · > |λn | gilt, dann konvergiert die Folge gegen einen
Eigenvektor, der dem betragsgröÿten (dominanten) Eigenwert |λ1 | zugeordnet ist. Zudem
konvergiert die Folge vk =t xk+1 xk gegen |λ1 |. Die Voraussetzung der Trennung der Eigenwerte
kann entfallen.

sage: n = 10
sage: A = random_matrix(RDF, n); A = A*transpose(A)sage: # A vérifie (presque sûrement) les hypothèses
sage: x = vector(RDF, [1 for i in range(0,n)])sage: for i in range(0,1000):....:
y = A*x....:z = y/y.norm()....:lam = z*y....:s = (x-z).norm()....:
print i, "\ts=", s, "\tlambda=", lam....:
if s < 1e-10: break
....:
x = z
0 s= 2.56148717112 lambda= 5.91815343752
1 s= 0.444153427849 lambda= 4.73636969543
2 s= 0.213992596115 lambda= 5.81702900649
3 s= 0.203955698809 lambda= 6.33996055612
4 s= 0.191707607395 lambda= 6.8703557299
5 s= 0.158957852503 lambda= 7.31614890304
6 s= 0.120059107245 lambda= 7.61071410257
7 s= 0.0859426802981 lambda= 7.77514327789
8 s= 0.0599388946502 lambda= 7.85860456973
9 s= 0.0413557016799 lambda= 7.89908221139
10 s= 0.028440512895 lambda= 7.91835470562...
Jetzt verwenden wir

sage: A.eigenvalues()[7.9357467710246175,
0.039892714739813435,
0.34784684826304274,
1.2880284207988963,
1.0559522706787432,
2.58212362822616,
3.416559364279167,
4

In den nachstehenden Beispielen wird die Wahl des Kriteriums für den Abbruch der Iteration aus Gründen
der Einfachheit ausgespart.

284

13.2. Voll besetzte Matrizen
5.537503736446404,
4.365136545605719,
4.954088504781742]
Wir haben den dominanten Eigenwert berechnet.
Das Interesse an diesem Verfahren mag begrenzt scheinen, es wächst aber an, sobald dünn
besetzte Matrizen zu untersuchen sind. Es motiviert auch das, was nun folgt, und das ist vongroÿem Nutzen.
Das Verfahren der inversen Potenz mit Translation. Wir setzen eine Approximation µeines Eigenwertes λj mit λj (µ und λj ∈ C) als bekannt voraus. Wie berechnet man einen λj
zugordneten Eigenvektor?

Wir treen die Annahme, dass ∀k ∈/ j, 0 < |µ−λj | < |µ−λk | gilt, und somit ist λj ein einfacher
Eigenwert. Wir betrachten dann den Ausdruck (A−µI)−1 , dessen gröÿter Eigenwert (λj −µ)−1
ist, und wenden das Verfahren der iterierten Potenz auf diese Matrix an.
Nehmen wir als Beispiel:sage: A = matrix(RDF, [[1,3,2],[1,2,3],[0,5,2]])
Mit Aufruf der Methode A.eigenvalues() nden wir die Eigenwerte 6.392947916489187,
0.5605194761119395, -1.9534673926011217. Wir werden den zum zweiten Eigenwert gehörigen Eigenvektor suchen und dazu von einem Näherungswert ausgehen:sage: mu = 0.50519
sage: AT = A - mu*identity_matrix(RDF, 3)
sage: x = vector(RDF, [1 for i in range(0,A.nrows())])
sage: P, L, U = AT.LU()
sage: for i in range(1,10):....:
y = AT.solve_right(x)....:x = y/y.norm()....:lamb = x*A*x....:
print x, lamb
(0.9607985552565431, 0.18570664546988727, -0.2058620364352333)
1.08914936279(0.927972943625375, 0.1044861051800865, -0.3576994125289455)
0.563839629189(0.9276916133832703, 0.10329827357690813, -0.35877254233619243)
0.560558807639(0.9276845318283404, 0.10329496332009931, -0.35879180586954856)
0.560519659839(0.9276845648427788, 0.1032947552966817, -0.3587917803972978)
0.560519482021(0.9276845629124328, 0.10329475732310033, -0.3587917848049623)
0.560519476073(0.9276845629447148, 0.10329475725254855, -0.3587917847418061)
0.560519476114(0.9276845629438836, 0.1032947572539018, -0.3587917847435661)
0.560519476112

285

13. Numerische lineare Algebra(0.9276845629439012, 0.10329475725386913, -0.35879178474352963)
0.560519476112
Wir fügen einige Bemerkungen an:- wir berechnen das Inverse der Matrix A − µI nicht, sondern verwenden ihre LU -Zerlegung,die (mit solve_right) ein für alle Mal berechnet wird;- wir protieren für die verbesserte Schätzung des Eigenwertes von den Iterationen;- die Konvergenz erfolgt sehr schnell; man kann gut zeigen (mit der obigen Annahme sowie derWahl eines Anfangsvektors, der zu dem Eigenvektors qj , der zu λj gehört, nicht orthogonalist), dass wir als Iterierte x(i) und λ(i)µ − λj i(i)kx − qj k = Oµ − λK
und

kλ

(i)


− λj k = Oµ − λj 2iµ − λK

bekommen, wobei λK der zu µ zweitnächste Eigenwert ist;
- die Konditionszahl von (A − µI) (gebunden an das Verhältnis von gröÿtem unf kleinstem
Eigenwert von (A − µI)) ist schlecht; man kann jedoch zeigen (siehe [Sch91], wo Parlett
zitiert wird), dass die Fehler trotz allem unbedeutend sind!
Sei A eine quadratische nichtsinguläre Matrix. Wir betrachten die Folge
A0 , A1 , A2 , . . . , Ak , Ak+1 , . . .. In der Rohform des QR-Verfahrens wird der Übergang von Ak
nach Ak+1 so bewerkstelligt:

Das QR-Verfahren.

1. wir berechnen die QR-Zerlegung von Ak : Ak = Qk Rk ,2. wir berechnen Ak+1 = Rk Qk
Programmieren wir dieses Verfahren mit einer reellen symmetrischen Matrix für A:

sage: m = matrix(RDF, [[1,2,3,4],[1,0,2,6],[1,8,4,-2],[1,5,-10,-20]])
sage: Aref = transpose(m)*m
sage: A = copy(Aref)sage: for i in range(0,20):....:
Q, R = A.QR()....:
A = R*Q....:
print A.str(lambda x: RealField(30)(x).str())[
347.58031-222.89331-108.24117 -0.067928252][ -222.89331
243.51949
140.96827 0.081743964][ -108.24117
140.96827
90.867499 -0.0017822044][ -0.067928252
0.081743964 -0.0017822044
0.032699348]...
[
585.03056 -3.2281469e-13 -6.8752767e-14 -9.9357605e-14][-3.0404094e-13
92.914265 -2.5444701e-14 -3.3835458e-15][-1.5340786e-39 7.0477800e-25
4.0229095 2.7461301e-14][ 1.1581440e-82 -4.1761905e-68 6.1677425e-42
0.032266909]

286

13.2. Voll besetzte Matrizen
Wir beobachten eine schnelle Konvergenz gegen eine quasi-diagonale Matrix. Die Koezienten
auf der Diagonalen sind die Eigenwerte von A. Wir verizieren

sage: Aref.eigenvalues()[585.0305586200212, 92.91426499150643, 0.03226690899408103, 4.022909479477674]
Man kann die Konvergenz beweisen, wenn die hermitesche Matrix positiv denit ist. Rechnet
man mit einer nichtsymmetrischen Matrix, ist es sinnvoll, auf C zu arbeiten, wo die Eigenwertea priori komplex sind, und wenn das Verfahren konvergiert, tendieren die dreieckigen Teile
unterhalb von Ak gegen null, während die Diagonale zu den Eigenwerte tendiert.
Das QR-Verfahren benötigt etliche Verbesserungen, um ezient zu sein, insbesondere weil
die sukzessiven QR-Zerlegungen aufwendig sind; bei den gebräuchlichen Verfeinerungen wird
im allgemeinen mit der Reduktion der Matrix in eine einfachere Form begonnen (HessenbergForm: obere Dreiecksgestalt mit einer Subdiagonalen), was die QR-Zerlegung deutlich weniger
aufwendig macht; dann müssen zur Beschleunigung der Konvergenz die geschickt gewählten
Translationen A := A + σI ausgeführt werden (siehe z.B [GVL96]). Wir verraten noch, dassdieses Verfahren von Sage angewendet wird, wenn man mit voll besetzten Matrizen (CDF oderRDF) zu tun hat.
Die obigen Programme sind hier als pädagogische Beispiele angeführt. Man
wird daher im Rahmen des Möglichen die von Sage bereitgestellten Methoden verwenden
und die optimierten Routinen der Bibliothek Lapack benutzen. Die Schnittstellen erlauben
entweder die Berechnung nur der Eigenwerte oder der Eigenwerte und Eigenvektoren:

In der Praxis.

sage: A = matrix(RDF, [[1,3,2],[1,2,3],[0,5,2]])
sage: A.eigenmatrix_right()([ 6.39294791648918
0.0
0.0]
[
0.0 0.560519476111939
0.0]
[
0.0
0.0 -1.9534673926011215],[ 0.5424840601106511 0.9276845629439008 0.09834254667424457][ 0.5544692861094349 0.10329475725386986 -0.617227053099068][ 0.6310902116870117 -0.3587917847435306 0.780614827194734])
Dieses Beispiel berechnet die Diagonalmatrix der Eigenwerte und die Matrix der Eigenvektoren der Eigenwerte (Eigenvektoren sind die Spalten).
Beispiel (Berechnung der Wurzeln eines Polynoms). Ist ein Polynom (mit reellen oder komplexen Koezienten) p(x) = xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 gegeben, dann kann leicht veriziert
werden, dass die Eigenwerte der Begleitmatrix M , die durch Mi+1,i = 1 und Mi,n−1 = −aideniert ist, die Wurzeln von p sind (siehe Unterabschnitt 8.2.3), was somit ein Verfahren zur
Ermittlung der Wurzeln von p liefert:

sage: def pol2companion(p):....:n = len(p)....:m = matrix(RDF,n)....:for i in range(1,n):....:m[i,i-1]=1....:
for i in range(0,n):287

13. Numerische lineare Algebra
....:
....:

m[i,n-1]=-p[i]return m

sage: q = [1,-1,2,3,5,-1,10,11]
sage: comp = pol2companion(q); comp
[ 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0][ 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0]
[ 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.0][ 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.0][ 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 -5.0][ 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 1.0]
[ 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 -10.0][ 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 -11.0]
sage: racines = comp.eigenvalues(); racines[0.3475215101190289 + 0.5665505533984981*I,
0.3475215101190289 - 0.5665505533984981*I,
0.34502377696179265 + 0.43990870238588275*I,
0.34502377696179265 - 0.43990870238588275*I,-0.5172576143252197 + 0.5129582067889322*I,-0.5172576143252197 - 0.5129582067889322*I,-1.3669971645459291, -9.983578180965276]
In diesem Beispiel wird das Polynom durch die Liste q seiner Koezienten von 0 bis n − 1
dargestellt. Das Polynom x2 − 3x + 2 wird so durch die Liste q = [2, −3] abgebildet.
13.2.9. Polynomiale Angleichung: die Rückkehr des Teufels

Wir möchten die Funktion f (x) auf dem Intervall [α, β] durch ein Polynom
P (x) höchstens n-ten Grades annähern. Wir formulieren das Problem in kleinsten Quadraten.
ZβnX
min J(a0 , . . . , an ) = (f (x) −ai xi )2 dx.
Stetige Version.

a0 ,...,an ∈R

i=0αDurch Ableitung von J(a0 , . . . , an ) nach den Koezienten ai nden wir, dass die a0 , . . . , anRβLösungen eines linearen Gleichungssystems M a = F sind mit Mi,j = α xi xj dx und Fj =Rβ j
α x f (x)dx. Wenn wir den Fall α = 0 und β = 1 betrachten, sehen wir sofort, dass Mi,j die
Hilbert-Matrix ist! Es gibt aber ein Mittel: es reicht hin, eine Basis der orthogonalen Polynome
zu verwenden (beispielsweise die Basis der Legendre-Polynome, wenn α = −1 ist und β = 1):
dann wird die Matrix M zur Einheitsmatrix.
Wir betrachten m Beobachtungen y1 , . . . , yPm eines Phänomens an den
niPunkten x1 , . . . , xm . Wir möchten ein Polynom n-ten Grades
i=0 ai x anpassen, das anhöchstens m − 1 dieser Punkte übereinstimmt. Wir minimieren also das Funktional:
!2
m
n
X
X
i
J(a0 , . . . , an ) =ai xj − yj .

Diskrete Version.

j=1

i=0

So geschrieben wird die Aufgabe eine Matrix ergeben, die einer Hilbert-Matrix sehr nahekommt, und das System wird schwer lösbar sein. Wir bemerken jetzt aber, dass hP, Qi =288

13.2. Voll besetzte MatrizenPm

j=1 P (xj ) · Q(xj ) ein Skalarprodukt von Polynomen des Grades n ≤ m − 1 deniert. Wir

können deshalb zunächst n Polynome mit abgestuften Graden bilden, die für das Skalarprodukt orthonormiert sind, und dann das lineare System diagonalisieren. Wenn wir uns daranerinnern,5 dass das Verfahren von Gram-Schmidt sich für die Berechnung der orthogonalen
Polynome zu einer Rekursion mit drei Termen vereinfacht, suchen wir das Polynom Pn+1 (x)in der Form Pn+1 (x) = xPn (x) − αn Pn−1 (x) − βn Pn−2 (x): genau das macht die Funktion
orthopoly hierunter (wir stellen hier die Polynome durch die Liste ihrer Koezienten dar:zum Beispiel repräsentiert [1, −2, 3] das Polynom 1 − 2x + 3x2 ).
Die Auswertung eines Polynoms mit dem Horner-Schema wird nun so programmiert:

sage: def eval(P,x):....:
if len(P) == 0:....:
return 0
....:
else:
....:
return P[0]+x*eval(P[1:],x)
Nun können wir das Skalarprodukt der beiden Polynome programmieren:

sage: def pscal(P,Q,lx):....:
return float(sum(eval(P,s)*eval(Q,s) for s in lx))
und die Operation P ← P + aQ für die Polynome P und Q:

sage: def padd(P,a,Q):....:
for i in range(0,len(Q)):....:
P[i] += a*Q[i]Ein etwas ernsthafteres Programm muss eine Exzeption auswerfen, sobald es unpassend verwendet wird; in unserem Fall veranlassen wir die Exzeption wenn n ≥ m ist:

sage: class BadParamsforOrthop(Exception):....:def __init__(self, degreplusun, npoints):....:
self.deg = degreplusun....:
self.np = npoints....:
def __str__(self):....:
return "degre: " + str(self.deg) + \....:" nb. points: " + repr(self.np)
Die folgende Funktion berechnet die n orthogonalen Polynome:

sage: def orthopoly(n,x):....:
if n > len(x):....:raise BadParamsforOrthop(n-1, len(x))....:
orth = [[1./sqrt(float(len(x)))]]....:
for p in range(1,n):....:nextp = copy(orth[p-1])....:
nextp.insert(0,0)....:
s = []....:
for i in range(p-1,max(p-3,-1),-1):....:
s.append(pscal(nextp, orth[i], x))5

Der Beweis ist nicht schwierig!

289

13. Numerische lineare Algebra
....:
....:
....:
....:
....:
....:
....:
....:

j = 0
for i in range(p-1,max(p-3,-1),-1):
padd(nextp, -s[j], orth[i])j += 1
norm = sqrt(pscal(nextp, nextp, x))
nextpn = [nextp[i]/norm for i in range(len(nextp))]orth.append(nextpn)
return orthWenn die orthogonalen
Polynome P0 (x), . . . , Pn (x) berechnet sind, ist die Lösung gegebenPdurch P (x) = ni=1 γi Pi (x) mitmXγi =Pi (xj )yj ,j=1

was wir oensichtlich auf die Basis der Monome 1, x, . . . , xn zurückführen können.

Abb. 13.1 - Polynomiale Anpassung

Beispiel (n = 15):

sage: L = 40
sage: X = [100*float(i)/L for i in range(40)]sage: Y = [float(1/(1+25*X[i]^2)+0.25*random()) for i in range(40)]sage: n 15; orth = orthopoly(n, X)
Berechnen wir nun die Lösung mit der Basis der orthogonalen Polynome:

sage: coeff = [sum(Y[j]*eval(orth[i],X[j]) for j in....:range(0,len(X))) for i in range(0,n)]Jetzt können wir dieses Resultat in die Basis der Monome 1, x, . . . , xn transformieren, um
beispielsweise den Graphen zeichnen zu können:

sage: polmin = [0 for i in range(0,n)]sage: for i in range(0,n):290

13.2. Voll besetzte Matrizen....:
padd(polmin, coeff[i], orth[i])sage: p = lambda x: eval(polmin, x)
sage: plot(p(x), x, 0, X[len(X)-1])
Wir setzen hier weder die Berechnung der naiven Anpassung mit den Monomen xi als Basisauseinander, noch ihre graphische Darstellung. Wir erhalten die Abbildung 13.1. Beide Kurven, die eine entspricht der Anpassung mit orthogonalen Polynomen als Basis, die andere dem
naiven Verfahren, liegen dicht beieinander, doch wenn wir ihren Rest berechnen (der Wert
des Funktionals J ), nden wir 0.1202 für die Anpassung mit orthogonalen Polynomen und
0.1363 für die naive Anpassung.
13.2.10. Implementierung und Leistung

Rechnungen mit Maztrizen mit Koezienten aus RDF werden mit der Flieÿpunkt-Arithmetik
des Prozessors ausgeführt, diejenigen mit Matzrizen über RR mit Hilfe der Bibliothek GNU
MPFR. Auÿerdem bedient sich Sage im ersten Fall der Python-Module NumPy/SciPy, die auf
die Bibliothek Lapack zugreifen (die in Fortran codiert ist) und diese Bibliothek verwendet
wiederum BLAS6 und ATLAS, die für jede Maschine optimiert sind. So bekommen wir bei
der Berechnung der Produkte zweier Matrizen der Gröÿe 1000 die Angaben

sage: a = random_matrix(RR, 1000)
sage: b = random_matrix(RR, 1000)
sage: %time a*b
CPU times: user 421.44 s, sys: 0.34 s, total: 421.78 s
Wall time: 421.79 s
sage: c = random_matrix(RDF, 1000)
sage: d = random_matrix(RDF, 1000)
sage: %time c*d
CPU times: user 0.18 s, sys: 0.01 s, total: 0.19 s
Wall time: 0.19 s
und die Rechenzeiten unterscheiden sich um den Faktor 2000!
Wir bemerken auch die Geschwindigkeit der Rechnungen mit Matrizen mit Koezienten aus
RDF: wir sehen sofort, dass das Produkt zweier quadratischer Matrizen der Gröÿe n3 Multiplikationen erfordert (und ebenso viele Additionen); hier werden also 109 Additionen und
Multiplikationen in 0.18 Sekunden ausgeführt. Das sind ungefähr 1010 Operationen, die pro
Sekunde ausgeführt werden oder auch 10 Gigaops7 . Die Zentraleinheit der Testmaschine ist
mit 3.1 GHz getaktet, es wird also mehr als eine Operation je Takt ausgeführt, was nur möglich wird durch quasi direkten Aufruf der entsprechenden Routine der Bibliothek ATLAS8 .
Wir weisen darauf hin, dass auch ein Algorithmus existiert, der den Aufwand bei der Multiplikation zweier Matrizen kleiner macht als n3 : das Verfahren von Strasser. Es ist in derPraxis (für Gleitpunktrechnungen) aus Gründen der numerischen Stabilität nicht implementiert. Der Leser kann sich anhand der obigen Programme überzeugen, dass die Rechnung in
Sage proportional zu n3 ist.
6
7
8

Basic Linear Algebra Subroutines
op für oating point operation
Diese Bibliothek arbeitet blockweise, wobei die Gröÿe der Blöcke während der Compilierung automatischangepasst wird. Sie ist teilweise für die beträchtliche Dauer der Erstellung von Sage aus den Quellen
verantwortlich.

291

13. Numerische lineare Algebra

13.3. Dünn besetzte Matrizen
Dünn besetzte Matrizen treten in wissenschaftlichen Rechnungen häug auf: dünne Besetzung(sparsity auf englisch) ist eine gut erforschte Eigenschaft, die das Lösen von umfangreichen
Problemen ermöglicht, die mit voll besetzten Matrizen nicht angegangen werden könnten.
Eine vorläuge Denition: wir sagen, dass eine Menge von Matrizen {Mn }n (der Gröÿe n) eine

Familie dünn besetzter Matrizen ist, wenn die Anzahl der von null verschiedenen Koezienten
von der Ordnung O(n) ist.
Selbstverständlich werden solche Matrizen rechnerintern mit Datenstrukturen dargestellt, bei
denen nur die von null verschiedenen Elemente gespeichert werden. Durch Berücksichtigung
der dünnen Besetzung von Matrizen will man natürlich Speicherplatz sparen und daraufhin
sehr groÿe Matrizen handhaben können, aber auch die Rechenzeiten deutlich senken.
13.3.1. Vorkommen dünn besetzter Matrizen

Das häugste Vorkommen ist die Diskretisierung partieller Dierentialgleichungen. Betrachten wir beispielsweise die Poisson-Gleichung (stationäre Wärmeleitung):−∆u = fRandwertaufgaben.

mit u = u(x, y), f = f (x, y),∆u :=∂2u ∂2u
+ 2.
∂x2
∂y

Die Gleichung ist im Quadrat [0, 1]2 mit der Bedingung u = 0 an den Rändern des Quadrats
aufgestellt. Das eindimensionale Analogon ist das Problem

−

∂2u
=f
∂x2

(13.1)

mit u(0) = u(1) = 0.
Eins der einfachsten Verfahren für eine Näherungslösung dieser Gleichung ist das FiniteDierenzen-Verfahren. Wir zerschneiden das Intervall [0, 1] in eine endliche Anzahl N vonIntervallen konstanter Schrittweite h. Mit ui bezeichnen wir den Näherungswert von u im
Punkt xi h. Wir nähern die Ableitung von u durch (ui+1 − ui )/h an und die zweite Ableitungmit(ui+1 − ui )/h − (ui − ui−1 )/hui+1 − 2ui + ui−1=.
hh2
Man sieht sofort, dass die u0 , . . . , uN , die u in den Punkten ih annähern, ein lineares Gleichungssystem bilden, das nur drei von null verschiedene Terme je Zeile aufweist (und deshalb
können wir sagen, dass die Matrix symmetrisch positiv denit ist.)
Bei zwei Dimensionen können wir ein Netz mit der Maschenweite h über das Einheitsquadrat
legen und wir bekommen ein System mit fünf Diagonalen (4/h2 auf der Hauptdiagonalen, zwei
Diagonalen darüber und zwei darunter mit den Koezienten −1/h2 ). Bei drei Dimensionen
gehen wir in einem Würfel entsprechen vor und bekommen ein System, wo jede Zeile sieben
von null verschiedene Koezienten hat. Somit haben wir jeweils dünn besetzte Matrizen.

292

13.3. Dünn besetzte Matrizen
Wir betrachten einen Graphen,in dem jeder Knoten mit einer kleinen Anzahl von Knoten (klein in Bezug auf die Gesamtzahl
der Knoten) verbunden ist. Wir können uns beispielsweise einen Graphen vorstellen, dessen
Knoten Internetseiten sind: jede Seite ist nur mit einer kleinen Anzahl von Seiten verlinkt(was die Kanten des Graphen ausmacht), doch handelt es sich mit Sicherheit um einen groÿen
Graphen. Ein Zufallsweg durch diesen Graphen wird durch eine stochastische Matrix beschrieben, also eine Matrix mit reellwertigen Koezienten, die alle zwischen 0 und 1 (einschlieÿlich)liegen und deren Summe in jeder Zeile gleich eins ist. Wir zeigen, dass eine solche Matrix einen
dominanten Eigenwert von eins hat. Die stationäre Verteilung des Zufallsweges ist der Eigenvektor von links, der dem dominanten Eigenwert zugeordnet ist, d.h. der Vektor, der Ax = xveriziert. Eine der spektakulärsten Anwendungen ist der Pagerank -Algorithmus von Google,
wo der Vektor x dazu dient, die Suchergebnisse zu gewichten.
Zufallsweg durch einen groÿen dünn besetzten Graphen.

13.3.2. Sage und dünn besetzte Matrizen

Sage gestattet mit dünn besetzten Matrizen zu arbeiten, indem bei der Erzeugung der Matrix sparse = True angegeben wird. Es handel sich um eine interne Speicherung als Diktionär. Andererseits werden Berechnungen bei groÿen dünn besetzten Matrizen mit FlieÿpunktKoezienten (RDF oder CDF) von Sage mit der Bibliothek SciPy ausgeführt, die für dünn
besetzte Matrizen eigene Klassen bereitstellt. Beim gegenwärtigen Stand der Dinge gibt eskein Interface zwischen Sages sparse-Matrizen und den dünn besetzten Matrizen von SciPy.
Zweckmäÿigerweise verwendet man direkt die SciPy-Objekte.
Die von SciPy für die Darstellung dünn besetzter Matrizen angebotenen Klassen sind:- eine Struktur in Gestalt einer Liste von Listen (die aber mit der von Sage verwendeten nicht
identisch ist) geeignet für die Erzeugung und Modizierung von Matrizen, die lil_matrix;- immutable Strukturen, die nur die von null verschiedenen Koezienten speichern und praktisch Standard für die dünn besetzte lineare Algebra sind (Formate csr undcsv).
13.3.3. Lösung linearer Systeme

Für ein- und zweidimensionale Systeme mittlerer Gröÿe, wie wir sie oben besprochen haben,können wir ein direktes Verfahren benutzen, das auf der LU -Zerlegung basiert. Ohne groÿe
Probleme kann man sich davon überzeugen, dass bei der LU -Zerlegung einer dünn besetzten
Matrix A die Faktoren L und U im allgemeinen zusammen mehr von null verschiedene Terme
enthalten als A. Wir müssen Algorithmen der Umnummerierung von Unbekannten verwenden,
um die Gröÿe des erforderlichen Speichers zu begrenzen, wie in der von Sage auf transparente
Weise benutzten Bibliothek SuperLU:

sage: from scipy.sparse.linalg.dsolve import *sage: from scipy.sparse import lil_matrix
sage: from numpy import arraysage: n = 200
sage: n2 = n*n
sage: A = lil_matrix((n2, n2))sage: h2 = 1./float((n+1)^2)
sage: for i in range(0,n2):....:A[i,i]=4*h2+1.

293

13. Numerische lineare Algebra....:
if i+1<n2: A[i,int(i+1)]=-h2....:
if i>0:A[i,int(i-1)]=-h2....:
if i+n<n2: A[i,int(i+n)]=-h2....:
if i-n>=0: A[i,int(i-n)]=-h2
sage: Acsc = A.tocsc()sage: b = array([1 for i in range(0,n2)])sage: solve = factorized(Acsc) # LU-Zerlegung
sage: S = solve(b)# Lösung
Nach Erzeugung der Matrix als lil_matrix (Achtung: dieses Format verlangt Indizes vom
Python-Typ int) muss sie in das Format csc konvertiert werden. Dieses Programm ist
nicht besonders leistungsfähig: die Bildung der lil_matrix geht langsam und die Strukturen
lil_matrix sind nicht besonders ezient. Dafür sind die Konversion in eine csc-Matrix unddie Zerlegung schnell, und die sich ergebende Lösung ist es noch mehr.
Die wichtigsten Befehle
Lösung eines linearen Gleichungssystems

LU -Zerlegung
Cholesky-Zerlegung

QR-Zerlegung
Singulärwertzerlegung
Eigenwerte und -vektoren

x = A\bP, L, U = A.LU()
C = A.cholesky()
Q, R = A.QR()
U, Sig, V = A.SVD()
Val, Vect = A.eigenmatrix_right()

Tab. 13.1 - Zusammenfassung

Das Prinzip dieser Verfahren ist die Bildung einer Folge, die gegen die
Lösung des Systems Ax = b konvergiert. Moderne iterative Verfahren verwenden den KrylowVektorraum Kn , der durch b, Ab, . . . , An b aufgespannt wird. Von den bekanntesten Verfahren
nenn wir:
Iterative Verfahren.

- das Verfahren des konjugierten Gradienten: es kann nur mit Systemen verwendet√ werden,deren Matrix A symmetrisch und positiv denit ist. In diesem Fall ist kxkA = t xAx eine
Norm und die Iterierte xn wird durch Minimierung der Abweichung kx − xn kA zwischen
der Lösung x und xn berechnet mit xn ∈ Kn (es gibt explizite, leicht zu programmierende
Formeln, siehe z.B. [LT94], [GVL96]);- das GMRES-Verfahren (Akronym für Generalized Minimal RESidual): es hat den Vorteil,
bei nichtsymmetrischen linearen Systemen eingesetzt werden zu können. Bei der n-ten Iteration ist es die euklidsche Norm kAxn − bk2 , die für xn ∈ Kn minimiert wird. Man sieht,
es handelt sich um eine Aufgabe der kleinsten Quadrate.
In der Praxis sind diese Verfahren nur vorkonditioniert ezient: statt Ax = b zu lösen,löst man M Ax = M b, wobei M eine Matrix ist, sodass M A besser konditioniert ist als
A. Die Untersuchung und das Aunden von ezienten Vorkonditionierern ist ein aktuelles
Gebiet und reich an Entwicklungen der numerischen Analyse. Als Beispiel hier die Lösung
des oben mit dem Verfahren des konjugierten Gradienten untersuchten Systems, wobei der
Vorkonditionierer M diagonal ist und die Inverse der Diagonalen von A. Das ist ein einfacher,aber wenig ezienter Vorkonditionierer:

sage: b = array([1 for i in range(0,n2)])sage: m = lil_matrix((n2, n2))sage: for i in range(0,n2):....:m[i,i] = 1./A[i,i]29413.3. Dünn besetzte Matrizen
sage: msc = m.tocsc()sage: from scipy.sparse.linalg import cg
sage: x = cg(A, b, M = msc, tol=1.e-8)
13.3.4. Eigenwerte, Eigenvektoren

Das Verfahren der iterierten Potenz ist besonders an
den Fall sehr groÿer dünn besetzter Matrizen angepasst; tatasächlich reicht es aus zu wissen,
wie Matrix-Vektor-Produkte (und Skalarprodukte) gebildet werden, um diesen Algorithmus
implementieren zu können. Als Beispiel greifen wir den Zufallsweg durch einen dünn besetzten
Graphen wieder auf und berechnen mit dem Verfahren der iterierten Potenz die stationäre
Verteilung:
Das Verfahren der iterierten Potenz.

sage: from scipy import sparsesage: from numpy.linalg import *sage: from numpy import arraysage: from numpy.random import rand
sage: def power(A,x):# iterierte Potenz....:
for i in range(0,1000):....:
y = A*x....:z = y/norm(y)....:lam = sum(x*y)....:
s = norm(x-z)....:
print i,"s= "+str(s)+" lambda= "+str(lam)....:if s < 1e-3:
....:
break
....:
x = z
....:
return x
sage: n = 1000
sage: m = 5
sage: # Bilden eine stochstischen Matrix der Gröÿe nsage: # mit m von null verschiedenen Koeffizienten je Zeilesage: A1 = sparse.lil_matrix((n, n))sage: for i in range(0,n):....:
for j in range(0,m):....:l = int(n*rand())....:
A1[l,i] = rand()sage: for i in range(0,n):....:s = sum(A1[i,0:n])....:A1[i,0:n] /= ssage: At = A1.transpose().tocsc()sage: x = array([rand() for i in range(0,n)])sage: # Berechnen des dominanten Eigenwertes und
sage: # des zugehörigen Eigenvektors
sage: y = power(At, x)0 s= 17.637122289 lambda= 255.537958336
1 s= 0.374734872232 lambda= 0.91243996321
2 s= 0.215216267956 lambda= 0.968970901784
3 s= 0.120794893336 lambda= 0.98672095617

295

13. Numerische lineare Algebra
4 s= 0.071729229056 lambda= 0.990593746559...
Führen wir dieses Beispiel aus, können wir uns damit amüsieren, die Rechenzeiten für dieverschiedenen Teile zu messen. Wir werden dann feststellen, dass fast die gesamte Rechenzeit
für die Erstellung der Matrix verbraucht wird; die Berechnung der Transponierten ist nicht
sehr zeitaufwendig; die Iterationen beanspruchen eigentlich nur eine vernachlässigbar kleine
Zeit (etwa 2% der gesamten Rechenzeit auf dem Testrechner). Das Speichern groÿer Matrizen
als Listen ist nicht sehr ezient, und solche Probleme sollten besser mit kompilierten Sprachen
und angepassten Datenstrukturen behandelt werden.
13.3.5. Gegenstand des Nachdenkens: Lösung von sehr groÿen nicht-linearen Systemen

Das Verfahren der iterierten Potenz und die auf dem Krylow-Vektorraum basierenden Verfahren teilen eine wertvolle Eigenschaft: es genügt zu wissen, wie Matrix-Vektor-Produkte
berechnet werden, um sie implementieren zu können. Wir müssen noch nicht einmal die Matrix kennen, es reicht aus zu wissen, was die Matrix mit einem Vektor macht. Wir können
daher auch dann Rechnungen ausführen, wenn wir die Matrix nicht genau kennen oder sie
nicht berechnen können. Die Methoden von SciPy akzeptieren tatsächlich lineare Operatoren
als Argumente. Hier nun eine Anwendung, über die man nachdenken (und die man implementieren) kann.
Sei F : Rn → Rn . Wir wollen F (x) = 0 lösen. Das Verfahren der Wahl ist das NewtonVerfahren, bei dem wir ausgehend von x0 die Iterierten xn+1 = xn −J(xn )−1 ·F (xn ) berechnen.
Die Matrix J(xn ) ist die Jacobi-Matrix von F nach xn , die Matrix der partiellen Ableitungenvon F nach xn . In der Praxis wird man nacheinander J(xn )y= F (x) und dann xn+1 = xn −yn lösen. Wir müssen also ein lineares Gleichungssystem lösen. Ist F ein etwas kompliziert
zu berechnendes Objekt, dann sind seine Ableitungen im allgemeinen noch viel schwieriger
zu berechnen und zu kodieren, und die Rechnung kann sich als praktisch undurchführbar
erweisen. Dann nimmt man seine Zuucht zur numerischen Ableitung: ist ej der Vektor auf
Rn , der überall 0 ist auÿer der j -ten Komponente, die gleich 1 ist, dann liefert (F (x + hej ) −F (x))/h eine (gute) Näherung der j -ten Spalte der Jacobi-Matrix. Wir müssen also n +1 Auswertungen von F vornehmen, um J näherungsweise zu erhalten, was sehr aufwendig
ist, wenn n groÿ ist. Und wenn wir ein iteratives Verfahren vom Krylow-Typ zur Lösung
des Systems J(xn )yn einsetzen? Wir sehen dann, dass J(xn )V ≈ (F (xn + hV ) − F (xn ))/h
für hinreichend kleines h wird, und das vermeidet die Berechnung der gesamten Matrix.
In SciPy muss also nur ein linearer Operator deniert werden wie es die Funktion V →(F (xn + hV ) − F (xn ))/h ist. Solche Verfahren werden aktuell zur Lösung groÿer, nichtlinearer
Gleichungssysteme eingesetzt. Ist die Matrix nicht symmetrisch, wird man beispielsweise
GMRES benutzen.

296

14. Numerische Integration und DierentialgleichungenDieses Kapitel behandelt die numerische Berechnung von Integralen (Abschnitt 14.1) sowie
die numerische Lösung von gewöhnlichen Dierentialgleichungen (Abschnitt 14.2) mit Sage.
Wir wiederholen die theoretischen Grundlagen der Integrationsverfahren, danach besprechen
wir die verfügbaren Funktionen und ihren Gebrauch im einzelnen (Unterabschnitt 14.1.1).
Die symbolische Integration mit Sage ist bereits behandelt worden (Unterabschnitt 2.3.8),
und wird hier nur kursorisch erwähnt als eine Möglichkeit für die Berechnung des numerischen Wertes eines Integrals. Dieses Vorgehen (erst symbolisch, dann rechnerisch) bildet,
sofern es möglich ist, eine der Stärken von Sage und ist vorzuziehen, denn die Anzahl der auszuführenden Rechenschritte und damit die Gröÿe der Rundungsfehler ist gemeinhin kleiner
als bei der numerischen Integration.
Wir geben eine knappe Einführung in die klassischen Verfahren für die Lösung von Dierentialgleichungen, sodann wird die Behandlung eines Beispiels (Unterabschnitt 14.2.1) das
Inventar der verfügbaren Funktionen anführen.

14.1. Numerische Integration
Wir interessieren uns für die numerische Berechnung von Integralen reeller Funktionen; füreine Funktion f : I → R, worin I ein Intervall von R ist, wollen wir
Zf (x)dxI

berechnen. Wir berechen beispielsweiseZ3

exp(−x2 ) ln(x)dx.

1

sin(x2 )2
Abb. 14.1 - Die Funktionen x 7→ exp(−x ) ln(x) und x 7→
.
x2

297

14. Numerische Integration und Dierentialgleichungensage: x = var('x'); f(x) = exp(-x^2)*log(x)sage: N(integrate(f, x, 1, 3))0.035860294991267694
sage: plot(f, 1, 3, fill='axis')
Die Funktion integrate berechnet das symbolische Integral des Ausdrucks; um einen Zahlenwert zu erhalten, muss das explizit verlangt werden.
Es ist im Prinzip auch möglich, Integrale auf einem Intervall zu berechnen, das nicht begrenzt
ist:

N(integrate(sin(x^2)/(x^2), x, 1, infinity))
0.285736646322853 + 6.93889390390723e-18*I
plot(sin(x^2)/(x^2), x, 1, 10, fill='axis')Es existieren in Sage mehrere Verfahren zur numerischen Berechnung eines Integrals, undwenn sich ihre Implementierungen auch technisch unterscheiden, beruhen sie alle auf einem
der beiden folgenden Prinzipien:- polynomiale Interpolation (insbesondere das Verfahren von Gauÿ-Kronrod);- Transformation der Funktion (doppelt exponentielles Verfahren).
Interpolierende Verfahren. Bei diesen Verfahren wertet man die zu integrierende Funktion
f an einer bestimmten Zahl n von zweckmäÿig gewählten Punkten x1 , x2 , . . . , xn aus undberechnet einen Näherungswert des Integrals von f auf [a, b] mitZbf (x)dt ≈anXwi f (xi ).

i=1

Die Koezienten wi werden die Gewichte des Verfahrens genannt. Sie werden durch die Bedingung bestimmt, dass das Verfahren für jedes Polynom f vom Grade n−1 genau sein muss. Fürdie festen Punkte (xi ) sind die Gewichte (wi ) durch diese Bedingung eindeutig bestimmt. Die
Ordnung des Verfahrens wird als der höchste Grad der exakt integrierten Polynome bestimmt;
diese Ordnung ist daher mindestens n − 1, kann aber auch gröÿer sein.
So wählt auch die Familie der Integrationsverfahren von Newton-Cotes (zu denen auch die
Rechteck- die Trapez- und die Regel von Simpson gehören) äquidistante Integrationspunkte
auf dem Intervall [a, b]:

sage: fp = plot(f, 1, 3, color='red')sage: n = 4
sage: interp_points = [(1+2*u/(n-1), N(f(1+2*u/(n-1)))) for u in xrange(n)]sage: A = PolynomialRing(RR, 'x')
sage: pp = plot(A.lagrange_polynomial(interp_points), 1, 3, fill='axis')
sage: show(fp+pp)298

14.1. Numerische Integration

Bei den interpolierenden Verfahren kann man deshalb davon ausgehen, dass wir das LagrangeInterpolationspolynom der gegebenen Funktion berechnen und dass der Wert dieses Integrals
als Näherungswert des gesuchten Integrals ausgegeben wird. Diese beiden Etappen werden in
Wirklichkeit in einer Formel zusammengefasst, welche die Regel der Quadratur genannt wird.
Das Interpolationspolynom von Lagrange wird aber nicht explizit berechnet, doch beeinusst
die Wahl der Stützstellen die Güte der Näherung erheblich, und die Wahl gleichverteilter
Stützstellen stellt die Konvergenz nicht sicher, wenn deren Anzahl steigt (Phänomen vonRunge). Dieses Integrationsverfahren kann daher zu Erscheinungen führen, wie sie in Abb.
14.2 zu sehen sind.

2Abb. 14.2 - Interpolation durch ein Polynom 10. Grades (blau) der Funktion x 7→ 1/(1 + x ) (rot) mit 11äquidistanten Stützstellen im Intervall [−10, 10]. Das Phänomen von Runge zeigt sich an den Rändern.

299

14. Numerische Integration und DierentialgleichungenWenn wir von Sage verlangen, ein Integral auf einem beliebigen Intervall numerisch zu berechnen, wird das Integrationsverfahren nicht direkt auf das gesamte Intervall angewendet; wir
unterteilen den Integrationsbereich in hinreichend kleine Intervalle, damit das elementare Verfahren ein hinreichend genaues Resultat liefert (wir sprechen von Komposition der Verfahren).
Als Strategie für die Unterteilung kann man sich beispielsweise dem Verlauf der zu integrierenden Funktion dynamisch anpassen: wenn wir Iab (f ) den Wert des vom IntegrationsverfahrenRbberechneten Wertes von a f (x)dx nennen, vergleichen wir

I0 = Iab (f )mitb
I1 = Ia(a+b)/2 (f ) + I(a+b)/2(f )und wir beenden die Unterteilung, sobald |I0 − I1 | klein ist gegenüber der bei der Rechnung
verwendeten Genauigkeit. Hier ist der Begri der Ordnung eines Verfahrens wichtig: bei einem
Verfahren n-ter Ordnung teilt die Zweiteilung des Integrationsbereiches den theoretischen
Fehler ohne Berücksichtigung des Rundungsfehlers durch 2n .
Ein in Sage zur Verfügung stehendes besonderes Interpolationsverfahren ist das Verfahrenvon Gauÿ-Legendre. Bei diesem Verfahren werden die n Integrationspunkte als Wurzeln desLegendre-Polynoms n-ten Grades bestimmt (mit einem Denitionsbereich, der in das Intervall der vorliegenden Integration, [a, b], korrekt übersetzt ist). Die Eigenschaften der für das
Skalarprodukt orthogonalen Legendre-Polynome

Zbhf, gi =f (x)g(x)dxabewirken, dass das Integrationsverfahren die Integrale bis 2n − 1-ten Grades genau berechnet
und nicht nur bis zum n − 1-ten Grad, wie man erwarten könnte. Zudem sind die entsprechenden Gewichte der Integration stets positiv, was das Verfahren gegenüber den numerischen
Problemen des Typs Auslöschung 1 weniger verwundbar macht.
Um mit den Interpolationsverfahren zum Ende zu kommen ist das Verfahren von GauÿKronrod an 2n + 1 Punkten eine Verbesserung des Verfahrens von Gauÿ-Legendre an n
Punkten:- unter den n + 1 Punkten benden sich die n Punkte des Verfahrens von Gauÿ-Legendre,- das Verfahren ist exakt für jedes Polynom höchstens 3n + 1-ten Grades.
Ganz unvoreingenommen können wir sehen, dass die 3n + 2 Unbekannten (2n + 1 Gewichte
und n + 1 hinzugenommene Punkte) a priori dadurch bestimmt sind, das verlangt wird,
dass das Verfahren mindesten 3n + 1-ter Ordnung sein soll (was 3n + 2 Bedingungen ergibt).
Aber Vorsicht: die mit dem Verfahren von Gauÿ-Kronrod verbundenen Gewichte an den n
Punkten von Gauÿ-Legendre müssen nicht diejenigen sein, die ihnen bei dem Verfahren vonGauÿ-Legendre zugeordnet werden.
Das Interesse an einem solchen verbesserten Verfahren erwächst, sobald wir überlegen, dassder Hauptaufwand bei einem Integrationsalgorithmus die Anzahl der Auswertungen der zu
integrierenden Funktion f ist (besonders dann, wenn die Punkte und Gewichte tabelliert
1

Diese Erscheinung zeigt sich, wenn eine Summe absolut signikant kleiner ist als die Summanden: jeder
Rundungsfehler kann dann gröÿer werden als das Endergebnis, wobei die Genauigkeit völlig verloren geht;
siehe auch Unterabschnitt 11.3.3.

300

14.1. Numerische Integrationsind). Da das Verfahren von Gauÿ-Kronrod im Prinzip genauer ist als das Verfahren vonGauÿ-Legendre, können wir sein Ergebnis I1 verwenden, um das Ergebnis I0 des letzteren zu
bestätigen und eine Abschätzung des Fehlers von |I1 − I0 | zu bekommen, was die Anzahl der
Aufrufe von f verringert. Diese für das Verfahren von Gauÿ-Legendre eigentümliche Strategiekönnen wir mit der allgemeineren Strategie der Unterteilung vergleichen, die wir auf Seite 300
gesehen haben.
Doppelt exponentielle Verfahren. Die doppelt exponentiellen Verfahren (DE) beruhen einerseits auf einem Wechsel der Variablen, der auf R einen beschränkten Integrationsbereichtransformiert und andererseits auf der mit dem Trapezverfahren auf R erhaltenen sehr guten
Genauigkeit für analytische Funktionen.

Für eine auf R integrierbare Funktion f und eine Schrittweite h besteht das Trapezverfahren
aus der Berechnung von+∞X
Ih = hf (hi)i=−∞R +∞als Näherungswert von −∞ f (x)dx. Die doppelt exponentielle Transformation ist 1973 vonTakahasi und Mori entwickelt worden und wird aktuell von Programmen für die numerische
Integration verwendet. Eine Einführung in die Transformation und ihre Entdeckung wird in[Mor05] mitgeteilt; hier soll das Wesentliche wiedergegeben werden. Man ndet darin insbesondere eine Erklärung für die frappierende Genauigkeit, die mit dem Trapezverfahren (dasin gewissem Sinne optimal ist) bei analytischen Funktionen erreicht wird.
Zur Berechnung von

Z1
I=f (x)dx−1

kann eine Transformation x = ϕ(t) benutzt werden, wobei ϕ auf R analytisch ist und die
Bedingungenlim ϕ(t) = −1 und lim ϕ(t) = 1
t→−∞

t→∞

erfüllt. Dann istZ∞I=

f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.

−∞

1.6

1

1.4
1.2

0.5
-3

-2

-1

1
1

2

0.8

3

0.6
0.4

-0.5
-1

0.2
-3

-2

-1

1

2

3

π
Abb. 14.3 - Die im doppelt exponentiellen Verfahren verwendete Transformation ϕ(t) = tanh( 2 sinh t) (links)
0und die Abnahme von ϕ (t) (rechts).

30114. Numerische Integration und Dierentialgleichungen
Wir wenden die Trapezformel auf den letzten Ausdruck an und berechnen
N
X

IhN = hf (ϕ(kh))ϕ0 (kh)k=−N

mit einer bestimmten Schrittweite h, wobei wir die Summe auf die Terme von −N bis N
beschränken. Die vorgeschlagene Transformation istπsinh t .
ϕ(t) = tanh2
Das ergibt die Formel

IhN = h

N
X
k=−N

π


π
2 cosh kh
sinh khf tanh.
2
cosh2 ( π2 sin kh)

Die Formel verdankt ihren Namen der doppelt exponentiellen Abnahme von

ϕ0 (t) =π
2 cosh t,
cosh2 ( π2 sinh t)

wenn |t| → ∞ geht (siehe Abb. 14.3). Das Prinzip der Transformation besteht darin, dasWesentliche des Beitrags der zu integrierenden Funktion um 0 herum zu konzentrieren, von wo
die starke Abnahme rührt, wenn |t| wächst. Es gilt einen Kompromiss zu nden zwischen derFestlegung der Parameter und der verwendeten Transformation ϕ: eine schnellere Abnahme als
die doppelt exponentielle vermindert den durch den Abbruch entstehenden Fehler, vergröÿert
jedoch den Fehler durch die Diskretisierung.
Nach der Entwicklung der DE-Transformation wird dieses Verfahren allein oder zusammen mit
anderen Transformationen angewendet, je nach der Art des Integranden, seiner Singularitäten
und des Integrationsbereiches. Ein solches Beispiel ist die Kardinalsinus-Zerlegung sinc:f (x) ≈NX

f (kh)Sk,h (h)

k=−N

1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4

-3

-2

-1

1

2

-0.2
Abb. 14.4 - Die Kardinalsinus-Funktion

302

3

4

14.1. Numerische Integration
mitSk,h (x) =sin(π(x − kh)/h),π(x − kh)/hwas zusammen mit dem doppelt exponentiellen Verfahren in [TSM05] zur Verbesserung dervorstehenden Formeln verwendet wird, die nur eine einfach exponentielle Transformation
ϕ(t) = tanh(t/2) benutzen. Die Funktion sinc ist deniert durch 1
für x = 0,
sinc =sin(πx)
sonst.
πx
Ihren Graphen zeigt die Abbildung 14.4.
Die Auswahl der zu benutzenden Transformation bestimmt zu groÿen Teilen die Qualität
des Ergebnisses bei Vorhandensein von Singularitäten an den Grenzen (bei Singularitäten
im Inneren des Intervalls gibt es hingegen keine gute Lösung). Später werden wir sehen,dass in der betrachteten Version von Sage nur die Integrationsfunktionen von PARI doppelt
exponentielle Transformationen benutzen mit der Möglichkeit, das Verhalten an den Grenzen
zu präzisieren.
14.1.1. Funktionen für die Integration

Wir werden uns nun die verschiedenen Arten der Berechnung eines numerischen Integralsanhand einiger Beispiele der Berechnung von Integralen genauer ansehen:

Z42
I1 =
17
Z1

I3 =

exp(−x ) log(x)dx,
2

Z1
I2 =

1
x log(1 + x)dx = ,
4

0

p
π
1 − x2 d x = ,
4

0

Z1
I4 =

π

max(sin(x), cos(x))dx =Z4cos(x)dx +

0

0

Z1

sin(x)dx

π
4

√
π
π
= sin + cos − cos 1 = 2 − cos 1,
4
4
Z1
Zx
1
I5 = sin(sin(x))dx, I6 = sin(x) exp(cos(x))dx = e − ,
e
0

Z1
I7 =

0

1
dx = 10−5 arctan(105 ),1 + 1010 x2

Z1.1
I8 = exp(−x100 )dx,

0

0

Z10

Z1

I9 =
0

1
x2 sin(x3 )dx = (1 − cos(1000)),
3

I10 =

√

1
xd x = .
30

Wir behandeln die Funktionen zur Integration hier nicht erschöpfend - das ndet man in derOnline-Hilfe - vielmehr nur deren eher normale Verwendung.

303

14. Numerische Integration und DierentialgleichungenN(integrate(...)). Das erste Verfahren, das wir mit Sage zur numerischen Berechnung
verwenden können, ist N(integrate(...)):
sage: N(integrate(exp(-x^2)*log(x), x, 17, 42))2.5657285006962035e-127
Es ist nicht garantiert, dass die Integrale auf diese Weise wirklich numerisch berechnet werden,
in der Tat verlangt die Funktion integrate eine symbolische Integration. Wenn diese möglichist, wird Sage den erhaltenen symbolischen Ausdruck nur auswerten:

sage: integrate(log(1+x)*x, x, 0, 1)
1/4
sage: N(integrate(log(1+x)*x, x, 0, 1))0.250000000000000

Die Funktion numerical_integral verlangt im Gegenteil explizit eine numerische Integration
der als Parameter gegebenen Funktion. Dafür benutzt sie die numerische Bibliothek GSL(GNU Scientic Library), welche das Verfahren von Gauÿ-Kronrod für eine feste Zahl n vonIntegrationspunkten implementiert. Die Punkte und Gewichte sind vorberechnet, und die
Genauigkeit ist auf die Genauigkeit der Flieÿpunktzahlen der Maschine begrenzt (53 Bits
der Mantisse). Das Resultat ist ein Paar, das sich aus dem berechneten Ergebnis und einer
Abschätzung des Fehlers zusammensetzt:

sage: numerical_integral(exp(-x^2)*log(x), 17, 42)(2.5657285006962035e-127, 3.3540254049238093e-128)
Die Abschätzung des Fehlers ist keine garantierte Schranke für den eingetretenen Fehler,sondern ein Wert, der einfach auf die Schwierigkeit der Berechnung des gegebenen Integralsverweist. Bei obigem Beispiel stellen wir fest, dass aufgrund der gegebenen Fehlerabschätzng
alle Ziern des Ergebnisses (auÿer der ersten) zweifelhaft sind.
Die Argumente von numerical_integral erlauben vor allem- die Anzahl der verwendeten Punkte festzulegen (sechs Einstellungen von rule=1 für 15
Punkte bis rule=6 für 61 Punkte, den voreingestellten Wert);- eine adaptive Unterteilung zu verlangen (Festlegung voreingestellt) oder eine direkte Anwendung des Verfahrens ohne Zusätze auf dem Integrationsbereich (durch Hinzufügung vonalgorithm='qng');- die Anzahl der Aufrufe des Integranden zu begrenzen.
Wird GSL an einer adaptiven Integration gehindert, kann das zu einem Verlust an Genauigkeit
führen:sage: numerical_integral(exp(-x^100), 0, 1.1)
(0.994325851191501, 4.077573041369464e-09)
sage: numerical_integral(exp(-x^100), 0, 1.1, algorithm='qng')(0.9943275385765318, 0.016840666914688864)
Findet die Funktion integrate den analytischen Ausdruck nicht, der dem geforderten Integral
entspricht, gibt sie den symbolischen Ausdruck unverändert zurück:304

14.1. Numerische Integration
sage: integrate(exp(-x^2)*log(x), x, 17, 42)integrate(e^(-x^2)*log(x), x, 17, 42)
und die numerische Rechnung, die mit N angestoÿen wird, verwendet numerical_integral.
Dies erklärt insbesondere, weshalb der Genauigkeitsparameter in diesem Fall ignoriert wird:

sage: N(integrate(exp(-x^2)*log(x), x, 17, 42), 200)
2.5657285006962035e-127
doch wir bekommen

sage: N(integrate(sin(x)*exp(cos(x)), x, 0, pi), 200)
2.3504023872876029137647637011912016303114359626681917404591
denn hier ist die symbolische Integration möglich.

sage.calculus.calculus.nintegral. Bei den symbolisch denierten Funktionen ist es möglich, von Maxima zu verlangen, ein Integral numerisch zu berechnen:
sage: sage.calculus.calculus.nintegral(sin(sin(x)), x, 0, 1)(0.4306061031206906, 4.78068810228705e-15, 21, 0)
doch ist es ebenso möglich, die Methode integral bei einem Objekt des Typs Expression
direkt aufzurufen:

sage: g(x) = sin(sin(x))
sage: g.nintegral(x, 0, 1)(0.4306061031206906, 4.78068810228705e-15, 21, 0)
Maxima setzt die numerische Integrationsbibliothek QUADPACK ein, die wie GSL auf dieFlieÿpunktzahlen der Maschine beschränkt ist. Die Funktion nintegral verwendet eine Strategie der adaptiven Unterteilung des Integrationsbereiches und wir können präzisieren:- die für die Ausgabe gewünschte Genauigkeit;- die maximale Anzahl der Teilintervalle, die bei der Rechnung betrachtet werden.
Die Ausgabe ist ein Tupel:
1. der Näherungswert des Integrals,
2. eine Abschätzung des absoluten Fehlers,
3. die Anzahl der Aufrufe des Integranden,
4. ein Fehlercode (0, wenn kein Problem aufgetreten ist; wegen der anderen Werte können
Sie mit sage.calculus.calculus.nintegralk? die Dokumentation befragen).

gp('intnum(...)'). In Sage steht das Programm PARI zur Verfügung und enthält auch den
Befehl intnum zur numerischen Integration von Funktionen:sage: gp('intnum(x=17, 42, exp(-x^2)*log(x))')2.5657285005610514829176211363206621657 E-127
Die Funktion intnum arbeitet nach dem doppelt exponentiellen Verfahren.

305

14. Numerische Integration und Dierentialgleichungen
Es ist möglich, die globale Genauigkeit des Interpreters PARI und damit die Genauigkeit desErgebnisses festzulegen:sage: gp('intnum(x=0, 1, sin(sin(x)))')
0.43060610312069060491237735524846578643
sage: old_prec = gp.set_precision(50)sage: gp('intnum(x=0, 1, sin(sin(x)))')
0.43060610312069060491237735524846578643360804182200
Ein gröÿerer Nachteil dieser Methode ist, dass die zu integrierende Funktion wegen der Syntax von PARI als Zeichenkette angegeben werden muss. Deshalb kann nicht jede beliebige
Funktion integriert werden.
Die Funktion intnum gestattet die Angabe des Verhaltens des Integranden an den Grenzen desIntegrationsbereiches. Das folgende Beispiel illustriert den Einuss, den das auf die Genauigkeit des Ergebnisses haben kann. Integrieren wir x 7→ x−1/2 zunächst ohne diese Angabe:

sage: p = gp.set_precision(old_prec) # die voreingestellte Genauigkeit
sage: gp('intnum(x=0, 1, x^(-99/100))')73.62914262423378369
Mit Angabe der Art der Singularität, dass sich nämlich die Funktion bei x = 0 wie x 7→
x−99/100 verhält, kommt richtig

sage: gp('intnum(x=[0, -99/100], 1, x^(-99/100))')100.00000000000000000000000000000000000
Der Anwender ist für die Richtigkeit der Angabe des Verhaltens verantwortlich; wird irrtümlich
beispielsweise gesagt, dass sich die Funktion bei x = 0 wie x 7→ x−1/42 verhält, wird der Fehler
erheblich bleiben:

sage: gp('intnum(x=[0, -1/42], 1, x^(-99/100))')74.47274932028288503

Die Bibliothek mpmath ist eine in Python geschriebene Bibliothek für beliebig genaues numerisches Rechnen. Sie kann mit reellen und komplexen Flieÿpunktzahlen
rechnen, mit Matrizen und Intervallen von reellen Flieÿpunktzahlen.
mpmath.quad*.

Sie verfügt über Funktionen zur numerischen Integration (die wichtigste ist quad) und kannin Sage importiert werden:

sage: import mpmath
sage: mpmath.mp.prec = 53
sage: mpmath.quad(lambda x: mpmath.sin(mpmath.sin(x)), [0, 1])
mpf('0.43060610312069059')
Es gibt keine Garantie, dass der Ausgabewert die geforderte Genauigkeit aufweist, wie wiranhand des folgenden Beispiels sehen können:

sage: mpmath.mp.prec = 113
sage: mpmath.quad(lambda x: mpmath.sin(mpmath.sin(x)), [0, 1])
mpf('0.430606103120690604912377355248465809')306

14.1. Numerische Integration
sage: mpmath.mp.prec = 114
sage: mpmath.quad(lambda x: mpmath.sin(mpmath.sin(x)), [0, 1])
mpf('0.430606103120690604912377355248465785')
Es ist möglich, die geforderte Genauigkeit als Anzahl der Dezimalstellen anzugeben (mpmath.mp.dps)
oder als Anzahl der Bits (mpmath.mp.prec). Zwecks Übereinstimmung mit der Funktion N vonSage verwenden wir nur die Genauigkeit in Bits.
Die Funktion mpmath.quad kann entweder das Verfahren von Gauÿ-Legendre aufrufen oderdie doppelt exponentielle Transformation (letztere ist voreingestellt). Mit den Funktionen
mpmath.quadg1 und mpmath.wuadts2 kann die zu verwendende Methode direkt angegeben
werden.
Eine wichtige Einschränkung bei der Benutzung der Funktionen von mpmath zur Integrationist, dass sie nicht mit beliebigen in Sage denerten Funktionen zurechtkommen:

sage: mpmath.quad(sin(sin(x)), [0, 1])
Traceback (most recent call last):...
TypeError: no canonical coercion from<type 'sage.libs.mpmath.ext_main.mpf'> to Symbolic Ring
Die Situation ist jedoch nicht so problematisch wie bei PARI, welches auf eine Interaktion in
Textform angewiesen ist. Tatsächlich können nämlich für Auswertung und Konversion nötige
Funktionen hinzugefügt werden, um beliebige Funktionen mit mpmath.quad integrieren zu
können3 :sage: g(x) = max_symbolic(sin(x), cos(x))
sage: mpmath.mp.prec = 100

1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abb. 14.5 - Die Funktion x 7→ max(sin(x), cos(x)). Die Irregularität bei π/4 führt zu einer sehr
problematischen Integration

2
3

Die verwendete Transformation ϕ : t 7→ tanhπsinh(t)2

wurde schon vorgestellt.

Der Leser, der wissen möchte, weshalb wir max_symbolic verwendet haben, wird es mit max probieren unddann die Dokumentation von max_symbolic konsultieren.

30714. Numerische Integration und Dierentialgleichungensage: mpmath.quadts(lambda x: g(N(x, 100)), [0, 1])
mpf('0.873912416263035435957979086252')
Wir stellen fest, dass die Integration von nichtregulären Funktionen (wie das Beispiel I4 weiteroben) einen Genauigkeitsverlust zur Folge haben kann, selbst dann, wenn wir ein Ergebnis
mit hoher Genauigkeit forden:

sage: mpmath.mp.prec = 170
sage: mpmath.quadts(lambda x: g(N(x, 190)), [0, 1])
mpf('0.87391090757400975205393005981962476344054148354188794')
sage: N(sqrt(2) - cos(1), 100)
0.87391125650495533140075211677
Nur fünf Stellen sind hier korrekt. Man kann mpmath dennoch helfen, indem eine Unterteilung
des Integrationsbereiches vorgenommen wird (hier im irregulären Punkt, siehe Abb. 14.5):

sage: mpmath.quadts(lambda x: g(N(x, 170)), [0, mpmath.pi / 4, 1])
mpf('0.87391125650495533140075211676672147483736145475902551')
Nichtstetige Funktionen stellen für die Integrationsverfahren eine klassische Falle dar. Trotzdem kann eine Strategie der automatischen Anpassung durch Unterteilung den Schaden begrenzen.

Übung 47

(Berechnung der Koezienten von Newton-Cotes). Wir versuchen, die Koezien-ten des Verfahrens von Newton-Cotes in n Punkten zu berechnen, das in Sage nicht verfügbar
ist. Zur Vereinfachung überlegen wir, dass der Integrationsbereich I = [0, n − 1] ist, demnachdie Integrationspunkte x1 = 0, x2 = 1, . . ., xn = n − 1. Die Koezienten (wi ) des Verfahrens
sind derart, dass die Gleichungn−1
Zf (x)dx =

0

n−1
X

(14.1)

wi f (i)i=0

für jedes Polynom f höchstens n − 1-ten Grades exakt ist.
1. Wir betrachten für i ∈ {0, . . . , n − 1} das Polynom Pi (X) =n−1
Q(X − xj ). Die Glei-

j=0,j6=ichung (14.1) ist auf Pi anzuwenden, um wi als Funktion von Pi zu erhalten.
2. Daraus ist eine Funktion NCRule herzuleiten, welche den n Punkten auf dem Intervall[0, n − 1] die Koezienten des Verfahrens von Newton-Cotes zuordnet.
3. Zeigen Sie, wie diese Gewichte auf einen beliebigen Integrationsbereich [a, b] anzuwenden
sind.
4. Schreiben Sie eine Funktion QuadNC, die das Integral einer Funktion auf einer Teilmenge
von R berechnet, die durch einen Parameter gegeben ist. Vergleichen Sie das Resultat
mit den Ergebnissen der in Sage zur Verfügung stehenden Funktionen für die Integrale
I1 bis I10 .

308

14.2. Numerische Lösung gewöhnlicher Dierentialgleichungen14.2. Numerische Lösung gewöhnlicher Dierentialgleichungen
Wir interessieren uns in diesem Abschnitt für die numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die in Sage für die Lösung verfügbaren Funktionen sind in der Lage,
Gleichungssysteme der Form

dy1


(t) = f1 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t))


dt


 dy2

(t) = f2 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t))
dt
..



.



dy

n

(t) = fn (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t))
dt
mit den Anfangsbedingungen y1 (0), y2 (0), . . . , yn (0) zu behandeln.
Diese Formeln machen es möglich, dass wir uns auch für Probleme mit Ordnungen über1 interessieren, indem wir zusätzliche Variablen einführen (siehe das in 14.2.1 entwickelte
Beispiel). Sie gestatten jedoch nicht, das durch die ρ-Funktion von Dickmanuρ0 (u) + ρ(u − 1) = 0 für u ≥ 1,
ρ(u)= 1 für 0 ≤ u ≤ 1beschriebene Gleichungssystem auszudrücken. Die Werkzeuge zur Lösung von gewöhnlichenDierentialgleichungen sind an eine solche Gleichung nämlich nicht angepasst (sog. retardierteDierentialgleichung).
Die sog. Einschritt-Verfahren zur numerischen Lösung machen alle von demselben allgemeinen Prinzip Gebrauch: für einen Schritt h und bekannte Werte von y(t0 ) und y 0 (t0 ) berechnet
man einen Näherungswert von y(t0 +h) und geht dabei von einem Schätzwert für y 0 (t) aus, derauf dem Intervall [t0 , t0 + h] genommen wird. Beispielsweise besteht das einfachste Verfahren
in der Näherungy 0 (t) ≈ y 0 (t0),∀t ∈ [t0 , t0 + h],tZ0 +hy 0 (t)dt ≈ hy 0 (t0 ),t0

y(t0 + h) ≈ y(t0 ) + hy 0 (t0 ).
Wenn hier y 0 durch eine konstante Funktion angenähert wird, erinnert das an das numerische
Integrationsverfahren mit Rechtecken. Das vorliegende Verfahren ist von 1. Ordnung, d.h.
dass der nach einem Rechenschritt erhaltene Fehler unter der Annahme, dass f hinnreichend
gleichmäÿig verläuft, im Bereich O(h2 ) liegt. Allgemein ist ein Verfahren von der Ordnung p,
wenn der bei einem Schritt erhaltene Fehler im Bereich O(hp+1 ) bleibt. Der für t1 = t0 + herhaltene Wert dient dann als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt und so lange weiter
wie gewünscht.
Dieses nach Euler benannte Verfahren 1. Ordnung ist nicht wegen seiner Genauigkeit berühmt (genauso wie die Integration mit Rechtecken), und es gibt Verfahren höherer Ordnung, beispielsweise das Verfahren von Runge-Kutta 2. Ordnung zur Lösung der Gleichung309

14. Numerische Integration und Dierentialgleichungeny 0 = f (t, y):k1 = hf (tn , y(tn ))11
k2 = hf (tn + h, y(tn ) + k1 )2
2y(tn+1 ) ≈ y(tn ) + k2 + O(h3 )Bei diesem Verfahren wird versucht, y 0 (tn + h/2) auszuwerten, um einen besseren Schätzwert
für y(tn + h) zu erhalten.
Man ndet auch Mehrschritt-Verfahren (zum Beispiel die Verfahren von Gear), die darin bestehen, y(tn ) ausgehend von schon für l Schritte erhaltenen Werten (y(tn−1 ), y(tn−2 ), . . . , y(tn−L ))zu berechnen. Diese Verfahren starten notwendigerweise mit einer Initialierungsphase bis eine
ausreichende Zahl von Schritten ausgeführt ist.
Genau wie das Verfahren zur numerischen Integration von Gauÿ-Kronrod existieren hybride
Verfahren zur Lösung von Dierentialgleichungen. So berechnet das Verfahren von Dormand
und Prince mit den gleichen Stützstellen einen Wert 4. und 5. Ordnung, wobei letztere zur
Abschätzung des Fehlers der ersteren dient. Wir sprechen hier von einem adaptiven Verfahren.
Wir unterscheiden noch die sogenannten expliziten Verfahren von den impliziten: bei einem
expliziten Verfahren ist der Wert y(tn+1 ) durch eine Formel gegegeben, die nur bekannte
Werte benutzt; bei einem impliziten Verfahren muss eine Gleichung gelöst werden. Nehmen
wir als Beispiel das implizite Euler-Verfahren:y(tn−1 ) = y(tn ) + hf (tn+1 , y(tn+1 )).
Wir stellen fest, dass der gesuchte Wert y(tn+1 ) auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt;
ist die Funktion f hinreichend komplex, muss ein nichtlineares algebraisches Systen gelöst
werden, typischerweise mit dem Newton-Verfahren (siehe Unterabschnitt 12.2.2).
A priori erwarten wir umso genauere Ergebnisse zu bekommen, je kleiner wir den Integrati-

onsschritt h machen; auÿer dem Aufwand für zusätzliche Rechnungen, den das kostet, wird
der erhote Gewinn an Genauigkeit teilweise wieder aufgezehrt durch eine gröÿere Anzahl
von Rundungsfehlern, die das Ergebnis auf lange Sicht belasten.
14.2.1. Beispiellösung

Betrachten wir den van-der-Pol-Oszillator mit dem Parameter µ, der der folgenden Dierentialgleichung genügt:
d2 xdx(t) − µ(1 − x2 ) (t) + x(t) = 0.
2dt
dt
Setzen wir y0 (t) = x(t) und y1 (t) = ddxt , erhalten wir dieses System 1. Ordnung:dy 0 = y1dtd y1 = µ(1 − y 2 )y1 − y00dt
Um es zu lösen, werden wir ein Löser-Objekt verwenden, das wir mit dem Befehl ode_solver
bekommen:310

14.2. Numerische Lösung gewöhnlicher Dierentialgleichungensage: T = ode_solver()Ein Löser-Objekt dient zur Aufnahme der Parameter und zur Denition des zu lösenden Systems; es verschat Zugri auf die in der Bibliothek GSL vorhandenen und im Zusammenhang
mit der numerischen Integration bereits erwähnten Funktionen zur numerischen Lösung vonDierentialgleichungen.
Die Gleichungen des Systems werden als Funktion angegeben:

sage: def f_1(t, y, params): return [y[1],params[0]*(1-y[0]^2)*y[1]-y[0]]sage: T.function = f_1
Der Parameter y steht für den Vektor der unbekannten Funktionen und wir sollten den Vektor der rechten Seite des System als Funktion von t und eines optionalen Parameters (hierparams[0], der für µ steht) zurückgeben.
Bestimmte Algorithmen von GSL benötigen zusätzlich die Jacobi-Matrix des Systems (die∂f∂fiMatrix mit den Einträgen ∂yan der Stelle (i, j) und deren letzte Zeile ∂tj enthält):jsage: def j_1(t, y, params):....:
return [[0,1],....:[-2*params[0]*y[0]*y[1]-1, params[0]*(1-y[0]^2)],....:[0,0]]
sage: T.jacobian = j_1
Nun kann eine numerische Lösung verlangt werden. Wir legen den Algorithmus und dasIntervall fest, auf dem die Lösung zu berechnen ist und die Anzahl der gewünschten Schritte(wodurch h bestimmt wird):

sage: T.algorithm = "rk8pd"
sage: T.ode_solve(y_0=[1,0], t_span=[0,100], params=[10],....:num_points=1000)
sage: f = T.interpolate_solution()
Hier haben wir für die Lösung auf [0, 100] den Algorithmus von Runge-Kutta DormandPrince genommen; die Anfangsbedingungen und die Werte der Parameter (hier nur einer) sind
ebenfalls gegeben: hier steht y_0=[1,0] für y0 (0) = 1, y1 (0) = 0, d.h. x(0) = 1, x0 (0) = 0.
Der Graph der Lösung zeigt (mit plot(f, 0, 2)), dass die Ableitung bei t = 0 gleich nullist),

sage: plot(f, 0, 100)311

14. Numerische Integration und Dierentialgleichungen14.2.2. Verfügbare Funktionen

Unter den Löser-Objekten von GSL haben wir das Verfahren rk8pd bereits erwähnt. Weitere
Verfahrenen sind:rkf45: Runge-Kutta-Fehlberg, ein adaptives Verfahren 5. und 4. Ordnung,rk2: adaptives Runge-Kutta 3. und 2. Ordnung,rk4: das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung,rk2imp: ein implizites Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung mit Auswertung in Intervallmitte,
rk4imp: eim implizites Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit Auswertung an den GauÿPunkten,4bsimp: das implizite Verfahren von Burlisch-Stoer,gear1: das implizite Einschritt-Verfahren von Gear,gear2: das implizite Zweischritt-Verfahren von Gear.
Den an Einzelheiten zu diesen Verfahren interessierten Leser verweisen wir auf [AP98] oder
[CM84].
Es ist anzumerken, dass die Beschränkung von GSL auf Maschinenzahlen - und damit auf
eine feste Genauigkeit -, die bei der numerischen Integration schon angesprochen worden ist,auch für die Lösungsverfahren von Dierentialgleichungen gültig bleibt.
4

Es handelt sich um die Wurzeln des Legendre-Polynoms 2. Grades auf dem Intervall [t, t + h]. Sie sind nachdem Integrationsverfahren von Gauÿ-Legendre benannt.

312

14.2. Numerische Lösung gewöhnlicher DierentialgleichungenMaxima stellt mit seiner eigenen Syntax ebenfalls numerische Routinen für die Lösung bereit:

sage: t, y = var('t, y')sage: desolve_rk4(t*y*(2-y), y, ics=[0,1], end_points=[0, 1], step=0.5)[[0, 1], [0.5, 1.12419127424558], [1.0, 1.461590162288825]]
Die Funktion desolve_rk4 benutzt das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (genau wie rk4
in GSL) und erhält als Parameter- die rechte Seite der Gleichung y 0 (t) = f (t, y(t)), hier y 0 = ty(2 − y);- den Namen der unbekannten Funktionsvariablen, hier y ;- die Anfangsbedingungen ics, hier t = 0 und y = 1;
- das Intervall für die Lösung end_points, hier [0, 1];- die Schrittweite step, hier 0.5.
Wir besprechen hier nicht den ähnlichen Befehl desolve_system_rk4, der schon im 4. Kapitel
erwähnt wurde und der auf ein System von Dierentialgleichungen angewendet wird. Auch
Maxima wird durch die Maschinengenauigkeit begrenzt.
Sucht man Lösungen, die mit beliebig groÿer Genauigkeit berechnet werden, kann man sichodefun aus dem Modul mpmath zuwenden.

sage: import mpmath
sage: mpmath.mp.prec = 53
sage: sol = mpmath.odefun(lambda t, y: y, 0, 1)
sage: sol(1)mpf('2.7182818284590451')
sage: mpmath.mp.prec = 100
sage: sol(1)mpf('2.7182818284590452353602874802307')
sage: N(exp(1), 100)
2.7182818284590452353602874714
Die Argumente der Funktion mpmath.odefun sind:- die rechte Seite des Gleichungssystems als Funktion (t, y) 7→ f (t, y(t)), hier y 0 = y wie bei
der Funktion ode_solver. Die Dimension des Systems wird automatisch aus der Dimension
des Rückgabewertes der Funktion hergeleitet;- die Anfangsbedingungen t0 und y(t0 ), hier y(0) = 1.
Beispielsweise ist für das System der Dimension 2
 0
y1 = −y2y20 = y1
mit den Lösungen (cos(t), sin(t)) und den Anfangsbedingungen y1 (0) = 1 und y2 (0) = 0:

sage: mpmath.mp.prec = 53
sage: f = mpmath.odefun(lambda t, y: [-y[1], y[0]], 0, [1, 0])
sage: f(3)313

14. Numerische Integration und Dierentialgleichungen[mpf('-0.98999249660044542'), mpf('0.14112000805986721')]sage: (cos(3.), sin(3.))(-0.989992496600445, 0.141120008059867)
Die Funktion mpmath.odefun wendet das Taylorverfahren an. Für einen Grad vom p nimmtmandyh2 d2 yhp dp yy(tn+1 ) = y(tn ) + h (tn ) +
(t
)
+
.
.
.
+
(tn ) + O(hp+1 ).
ndt
2! dt2p! dtp
Die Frage nach den Ableitungen ist die wichtigste. Dafür berechnet odefun die Näherungswerte[ey (tn + h), . . . , ye(tn + ph)] ≈ [y(tn + h), . . . , y(tn + ph)]mit p Schritten des weniger genauen Euler-Verfahrens. Daraufhin berechnen wird^yye(tn + h) − ye(tn )(tn ) ≈
,
dt
h

dy ^
ye(tn + 2h) − ye(tn + h)(tn + h) ≈dt
hund danndy ^y2(tn + h) − dd^d^ydtt (tn )
(t
)
≈
,
n
2
dt
h
und so fort bis man die Schätzwerte der Ableitungen von y(tn ) bis zur Ordnung p erhält.

Wir müssen aufpassen, sobald die Flieÿpunkt-Genauigkeit von mpmath verändert wird. Um
dieses Problem zu illustrieren, greifen wir die Lösung der Dierentialgleichung y 0 = y wieder
auf, die mit der weiter oben gegebenen Funktion exp veriziert wird:

sage: mpmath.mp.prec = 10
sage: sol = mpmath.odefun(lambda t, y: y, 0, 1)
sage: sol(1)mpf('2.7148')
sage: mpmath.mp.prec = 100
sage: :sol(1)mpf('2.7135204235459511323824699502438')
Die Näherung von exp(1) ist sehr schlecht, und das, obwohl mit einer Genauigkeit von 100
Bits gerechnet wurde! Die Lösung sol (ein Interpolant im Jargon von mpmath) ist mit nur
10 Bits Genauigkeit berechnet worden und ihre Koezienten sind nach der Änderung derGenauigkeit nicht neu berechnet worden, was das Ergebnis erlärt.

314

Teil IV.
Kombinatorik

31515. Abzählende Kombinatorik
Dieses Kapitel spricht haupsächlich die Behandlung der folgenden kombinatorischen Probleme
mit Sage an: das Abzählen (wieviele Elemente gibt es in einer Menge S?), die Angabe (Berechnen aller Elemente von S oder die Iteration über sie), das zufäliige Ziehen (Zufallswahleines Elements aus S gemäÿ einer Vorschrift, z.B. Gleichverteilung) . Diese Fragen stellen sichnatürlich bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten (wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit
beim Poker einen Straight Flush oder vier Asse zu erhalten?), in der statistischen Physik,aber auch beim symbolischen Rechnen (Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers) oder
bei der algorithmischen Analysis. Die Kombinatorik deckt ein viel weiteres Gebiet ab (partielle Ordnungen, Theorie der Abbildungen usw.). Wir begnügen uns mit Hinweisen auf vonSage angebotenen Möglichkeiten. Graphen werden in Kapiel 16 behandelt.
Ein Charakteristikum rechnender Kombinatorik ist die Fülle an Typen von Objekten undMengen, die man bearbeiten möchte. Es wäre nicht möglich, sie alle zu beschreiben oder gar
zu implementieren. Nach einigen Beispielen (Abschnitt 15.1) veranschaulicht dieses Kapitel
die zugrunde liegende Methodik: Bausteine zum Fundament zu liefern, um die üblichen kombinatorischen Mengen zu beschreiben (in Abschnitt 15.2), um Werkzeuge zu ihrer Kombination
zwecks Bildung neuer Mengen zu liefern (in Abschnitt 15.3) und auch generische Algorithmen,
mit denen eine groÿe Klasse von Aufgaben behandelt werden kann (in Abschnitt 15.4). Zunächst kann dieses Kapitel quer gelesen werden, die Zusammenfassungen von Unterabschnitt
15.1.2 und Abschnitt 15.3 aber schon genauer.
Das ist ein Gebiet, wo Sage mehr Funktionalitäten hat als die meisten anderen Systeme zum
symbolischen Rechnen und in voller Entwicklung begrien ist; gleichzeitig ist es immer nochsehr jung mit vielen unnötigen Brüchen und Einschränkungen.

15.1. Erste Beispiele
15.1.1. Poker und Wahrscheinlichkeiten

Wir beginnen mit der Lösung eines klassischen Problems: des Abzählens bestimmter Kombinationen von Karten beim Poker, um deren Wahrscheinlichkeit abzuleiten.
Beim Poker ist eine Karte durch eine Farbe (Herz, Karo, Pik, Kreuz) und einen Wert (2,3, ..., 10, Bube, Dame, König, As) charakterisiert. Das Spiel wird mit allen Karten gespielt,
die möglich sind; es handelt sich um das cartesische Produkt der Menge der Farben und derMenge der Werte:
Karten = Farben × Werte = {(f, w) | f ∈ Farben und w ∈ Werte}
Diese Mengen bilden wir in Sage:317

15. Abzählende Kombinatorik
sage: Farben = Set(['Karo','Herz','Pik','Kreuz'])
sage: Werte = Set([2..10] + ['Bube', 'Dame', 'Koenig', 'As'])
sage: Karten = cartesian_product([Farben, Werte])
Beim Poker gibt es 4 Farben und 13 mögliche Werte, also 4×13 = 52 Karten.

sage: Farben.cardinality()4
sage: Werte.cardinality()
verb|13|sage: Karten.cardinality()52
Wir ziehen eine Karte:sage: Karten.random_element()['Kreuz', 6]
Nun ziehen wir zwei Karten:

sage: Set([Karten.random_element(), Karten.random_element()]){('Herz', 2), ('Pik', 4)}
Zurück zu unserem Vorhaben. Wir betrachten hier eine vereinfachte Form von Poker, wo jeder
Spieler unmittelbar fünf Karten zieht, die sein Blatt oder seine Hand bilden. Alle Karten sindverschieden und die Reihenfolge, in der sie gezogen werden, spielt keine Rolle; eine Hand ist
also eine Untermenge der Gröÿe 5 der Menge aller Karten. Um eine Hand zu ziehen, beginnen
wir mit der Bildung der Menge aller möglichen Hände, dann entnehmen wir daraus zufällig
eine Hand.

sage: Haende = Subsets(Karten, 5)
sage: Haende.random_element(){('Herz', 4), ('Karo', 9), ('Pik', 8), ('Kreuz', 9), ('Herz', 7)}
Die Gesamtzahl der Hände ist durch die Anzahl der Teilmengen der Gröÿe 5 einer Menge derGröÿe 52, d.h. durch den Binomialkoezienten 52
5 gegeben:

sage: binomial(52,5)2598960
Man kann sich um das Berechnungsverfahren auch keine Sorgen machen und einfach nach derGröÿe der Menge der Hände fragen:sage: haende.cardinality()
2598960
Der Rang oder die Wertigkeit einer Hand beim Poker hängt von der Art der Kombination
dieser Karten ab. Eine dieser Kombinationen ist der Flush ; das ist eine Hand mit lauter Kartenderselben Farbe (grundsätzlich sind hier Straight Flush und Royal Flush auszuschlieÿen; diesesind Gegenstand einer Übung weiter unten). Eine solche Hand ist also charakterisiert durcheine bestimmte Farbe von vier möglichen und durch fünf Werte von 13 möglichen. Wir bilden
die Menge aller Flushes, um deren Anzahl zu berechnen:318

15.1. Erste Beispiele
sage: Flushes = cartesian_product([Subsets(Werte, 5), farben])sage: Flushes.cardinality()
5148
Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen einer Hand zufällig einen Flush zu bekommen, ist daher:

sage: Flushes.cardinality()/Haende.cardinality()
33/16660
oder ungefähr zwei Promille:

sage: 1000.0*Flushes.cardinality()/Haende.cardinality()
1.98079231692677
Machen wir eine kleine numerische Simulation. Die folgende Funktion prüft, ob eine gegebene
Hand ein Flush ist:

sage: def is_Flush(Hand):....:return len(set(Farbe for (Farbe, Wert) in Hand)) == 1
Wir ziehen jetzt zufällig 10000 Hände und berechnen die Anzahl der erhaltenen Flushes (dasdauert etwa 10 Sekunden):

sage: n = 10000; nFlushes = 0
sage: for i in range(n):....:Hand = Haende.random_element()....:
if is_Flush(hand):....:nFlushes += 1....:
print n, nFlushes
10000 18

Übung 48. Eine Hand mit vier Karten gleichen Wertes heiÿt Vierling. Bilden Sie eine Menge

solcher Vierlinge. (Hinweis: verwenden Sie Arrangements zum zufälligen Ziehen eines Paares
mit verschiedenen Werten, und wählen Sie dann eine Farbe für den ersten Wert). Berechnen
Sie die Anzahl möglicher Vierlinge, listen Sie sie auf und bestimmen Sie anschlieÿend die
Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Hand mit einem Vierling.

Übung 49. Eine Hand mit lauter Karten gleicher Farbe und aufeinander folgenden Werten ist
ein Straight Flush oder ein Royal Flush, aber kein Flush. Berechnen Sie die Anzahl möglicher
Straight Flushes und Royal Flushes und leiten Sie dann die korrekte Wahrscheinlichkeit dafürher, einen Flush zu erhalten, wenn eine Hand zufällig gezogen wird.

Übung 50. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jeder Kartenkombination beim Poker (siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Hand_(Poker)) und vergleichen Sie sie mit den Ergebnissen von Simulationen.

319

15. Abzählende Kombinatorik
15.1.2. Abzählen von Bäumen durch erzeugende Reihen

In diesem Unterabschnitt diskutieren wir das Beispiel vollständiger Binärbäume und veranschaulichen in diesem Zusammenhang viele Abzähltechniken, unter denen die formalen Potenzreihen eine natürliche Rolle spielen. Diese Techniken sind ziemlich allgemein und können
immer dann angewendet werden, wenn das in Rede stehende kombinatorische Objekt einerekursive Denition (rekursive Grammatik) zulässt (siehe Unterabschnitt 15.4.4 wegen einer
automatisierten Behandlung). Das Ziel ist keine formale Darstellung dieser Verfahren; die
Rechnungen sind streng, die Begründungen werden aber meistens weggelassen.
Ein vollständiger Binärbaum ist entweder ein Blatt F oder ein Knoten mit zwei Binärbäumen
(siehe Abb. 15.1).

Übung 51.

Suchen Sie ohne Rechnerhilfe alle vollständigen Binärbäume mit n = 1, 2, 3, 4, 5
Blättern (siehe auch Übung 59, um sie mit Sage zu nden.)

F
F
F

F

F

F

F

F

F
F

F

F

F

F

F

F

F

F
F

F

Abb.15.1 - Die fünf vollständigen Binärbäume mit vier Blättern.

Unser Ziel ist, die Anzahl cn der vollständigen Binärbäume mit n Blättern zu suchen (in diesem
Abschnitt steht Bäume immer für vollständige Binärbäume, wenn nicht ausdrücklich etwas
anderes gesagt ist). Das ist eine typische Situation, in der wir nicht nur an einer einzelnen
Menge interessiert sind, sondern an einer Familie von Mengen, die typischerweise mit n ∈ Nparametrisiert werden.
Entsprechend der Lösung von Übung 51 sind die ersten Terme durch c1 , . . . , c5 = 1, 1, 2, 5, 14
gegeben. Die einfache Tatsache diese Zahlen zu kennen, ist bereits sehr wertvoll. Sie erlaubt
nämlich die Suche in einer Goldmine von Informationen: auf der Seite Online Encyclopedia ofInteger Sequences http://oeis.org/, die nach ihrem wichtigsten Autor gemeinhin Sloane
genannt wird. Sie enthält mehr als 282892 ganzzahlige Folgen:sage: oeis([1,1,2,5,14])0: A000108: Catalan numbers: C(n) = binomial(2n,n)/(n+1) =(2n)!/(n!(n+1)!). Also called Segner numbers.
1: A120588: G.f. satisfies: 3*A(x) = 2 + x + A(x)^2, with a(0) = 1.
2: A080937: Number of Catalan paths (nonnegative, starting and ending at
0, step +/-1) of 2*n steps with all values <= 5.
Das Ergebnis lässt erkennen, dass die Bäume mit einer der berühmtesten Folgen abgezählt
werden, den Catalan-Zahlen. Bei Durchsicht der Ausgabe der Enzyklopädie sehen wir, dasdies tatsächlich so ist: die wenigen eingebenen Zahlen bilden einen Fingerabdruck unserer
Objekte, der uns in einer umfangreichen Literatur in wenigen Sekunden ein genaues Ergebnis
nden lässt.

320

15.1. Erste BeispieleUnser Aufgabe ist es, dieses Resultat nun auch mit
Sage zu nden. Sei Cn die Menge der Bäume mit n Blättern, also cn = |Cn |. Wie üblichdenieren wir C0 = ∅ und c0 = 0. Die Menge aller Bäume ist dann die disjunkte Vereinigung
der Mengen Cn :
]
C=
Cn .
Abzählen mit erzeugenden Reihen.

n∈N

Nachdem wir die Menge C aller Bäume benannt haben, können wir die rekursive Denitionin eine mengentheoretische Gleichung übersetzen:

C ≈ {L}]C × C.

In Worten: ein Baum t (der denitionsgemäÿ in C liegt) ist entweder ein Blatt (also in {L})oder ein Knoten mit den beiden Bäumen t1 und t2 , die wir deshalb mit dem Paar (t1 , t2 ) (imcartesischen Produkt C × C ) identizieren können.
Die Gründungsidee der algebraischen Kombinatorik, die von Euler in einem Brief an Goldbach von 1751 zur Behandlung eines ähnlichen Problems eingeführt worden ist [Vie07], besteht
darin, alle Zahlen cn simultan zu behandeln, indem sie als Koezienten einer formalen Potenzreihe kodiert werden, welche die erzeugende Funktion der cn genannt wird:X
C(z) =
cn z n ,n∈Nwobei z eine symbolische Unbestimmte ist (weshalb wir uns um die Frage der Konvergenz nicht
sorgen müssen). Die Schönheit dieser Idee besteht darin, dass die Mengenoperationen (A ] B ,A × B ) ganz natürlich in algebraische Operationen mit den Reihen (A(z) + B(z), A(z) · B(z))übersetzt werden, und zwar so, dass die Mengengleichung, die von C erfüllt wird, in eine
algebraische Gleichung mit C(z) überführt wird:

C(z) = z + C(z) · C(z).
Nun können wir diese Gleichung mit Sage lösen. Dazu führen wir die beiden Variablen C undz ein und denieren die Gleichungsage: C, z = var('C, z'); sys = [C = z + C*C]|
Es gibt zwei Lösungen, die zufällig geschlossene Formen haben:

sage: sol = solve(sys, C, solution_dict=True); sol[{C: -1/2*sqrt(-4*z + 1) + 1/2}, {C: 1/2*sqrt(-4*z + 1) + 1/2}]
sage: s0 = sol[0][C]; s1 = sol[1][C]und deren Taylor-Entwicklung beginnt mit

sage: s0.series(z, 6)
1*z + 1*z^2 + 2*z^3 + 5*z^4 + 14*z^5 + Order(z^6)
sage: s1.series(z,6)
1 + (-1)*z + (-1)*z^2 + (-2)*z^3 + (-5)*z^4 + (-14)*z^5 + Order(z^6)
Die zweite Lösung ist oensichtlich unbrauchbar, wohingegen die erste die erwarteten Koezienten liefert. Daher setzen wir

sage: C = s0321

15. Abzählende Kombinatorik
Wir können nun die nächsten Terme berechnen:

sage: C.series(z, 11)
1*z + 1*z^2 + 2*z^3 + 5*z^4 + 14*z^5 + 42*z^6 +132*z^7 + 429*z^8 + 1430*z^9 + 4862*z^10 + Order(z^11)
oder im Nu den 100. Koezienten:

sage: C.series(z, 101).coefficient(z, 100)
227508830794229349661819540395688853956041682601541047340
Leider muss alles nochmals berechnet werden, falls wir einmal den 101.Koezienten brauchen.
Faule Potenzreihen (siehe Unterabschnitt 7.5.3) machen hier Sinn, zumal wir sie direkt aus
einem Gleichungssystem denieren können, ohne es zu lösen und auch deshalb, weil wir für
die Antwort keine geschlossene Form brauchen. Wir beginnen mit der Denition von faulen
Potenzreihen
L.<z> = LazyPowerSeriesRing(QQ)
Dann erzeugen wir eine freie Potenzreihe, der wir einen Namen geben und die wir danndurch eine rekursive Gleichung denieren:

sage: C = L()sage: C._name = 'C'
sage: C.define(z + C*C)
sage: [C.coefficient(i) for i in range(11)][0, 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862]
Wir können nun einen beliebigen Koezienten erfragen, ohne C neu denieren zu müssen:

sage: C.coefficient(100)227508830794229349661819540395688853956041682601541047340
sage: C.coefficient(200)129013158064429114001222907669676675134349530552728882499810851598901419\
013348319045534580850847735528275750122188940
Rekursion und geschlossene Form.

zurück:Wir kommen nun auf die geschlossenen Form von C(z)sage: z = var('z'); C = s0; C-1/2*sqrt(-4*z + 1) + 1/2
1 (n)
Der n-te Koezient der Taylorentwicklung von C(z) ist durch n!
C (0) gegeben. Wir be(n)trachten dazu die sukzessiven Ableitungen C (z):sage: derivative(C, z, 1)
1/sqrt(-4*z + 1)
sage: derivative(C, z, 2)
2/(-4*z + 1)^(3/2)
sage: derivative(C, z, 3)12/(-4*z + 1)^(5/2)

322

15.1. Erste Beispiele
Das lässt die Existenz einer einfachen expliziten Formel vermuten, nach der wir jetzt suchen
werden. Die folgende kleine Funktion gibt dn = n!cn zurück:

sage: def d(n): return derivative(C, n).subs(z=0)
Mit Verwendung sukzessiver Quotienten

sage: [ (d(n+1) / d(n)) for n in range(1,17) ][2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62]
bemerken wir, dass dn der rekursiven Bezehung dn+1 = (4n − 2)dn genügt, aus der wir
herleiten, dass cn die Gleichung cn+1 = 4n−2
n+1 cn erfüllt. Wir vereinfachen und nden, dass cn
die (n − 1)-te catalansche Zahl ist:
1 2(n − 1).
cn = Catalan (n − 1) =n n−1
Das prüfen wir:sage: def c(n): return 1/n*binomial(2*(n-1),n-1)
sage: [c(k) for k in range(1, 11)][1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862]
sage: [catalan_number(k-1) for k in range(1, 11)][1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862]
Wir können nun auch die viel späteren Koezienten berechnen; hier berechnen wir c100000 ,das mehr als 60000 Ziern hat:sage: time cc = c(100000)
Time: CPU 0.35 s, Wall: 0.37 s
sage: ZZ(cc).ndigits()
60198
Das Verfahren, das
wir verwendet haben, wird auf alle rekursiv denierten Objekte verallgemeinert: die Gleichungssysteme für Mengen werden in Gleichungssysteme für die erzeugende Reihe übersetzt;
das gestattet die rekursive Berechnung ihrer Koezienten. Wenn die Gleichungssysteme fürMengen hinreichend einfach sind (wenn beispielsweise nur cartesische Produkte und disjunkte
Vereinigungen vorkommen), erhalten wir eine algebraische Gleichung in C(z). Diese hat nicht
immer eine Lösung in geschlossener Form; indessen können wir aus ihr durch Eingrenzungeine lineare Dierentialgleichungen herleiten, die ihrerseits in eine Rekursionsgleichung fester Länge für die Koezienten cn umgeformt wird (die Reihe wird nun D-endlich genannt).
Schlieÿlich geht die Berechnung der Koezienten nach diesen Vorberechnungen sehr schnell.
Alle diese Schritte sind rein algorithmisch, und es ist vorgesehen, alle in Maple (die Pakete gfun
und combstruct) oder MuPAD-Combinat (die Bibliothek decomposableObjects) vorhandenen
Implementierungen nach Sage zu übertragen.
Systematische Behandlung mit algebraischen Dierentialgleichungen.

Für den Moment veranschaulichen wir das allgemeine Vorgehen für den Fall vollständiger Binärbäume. Die erzeugende Funktion C(x) ist Lösung einer algebraischen GleichungP (z, C(z)) = 0, wobei P = P (x, y) ein Polynom mit Koezienten aus Q ist. Im vorliegenden
Fall ist P = y 2 − y + x. Wir dierenzieren diese Gleichung symbolisch nach z :323

15. Abzählende Kombinatorik
sage: x, y, z = var('x, y, z')sage: P = function('P')(x, y); C = function('C')(z)sage: equation = P(x=z, y=C) == 0
sage: diff(equation, z)diff(C(z), z)*D[1](P)(z, C(z)) + D[0](P)(z, C(z)) == 0oder in besser lesbarer FormdC(z) ∂P∂P
(z, C(z)) +(z, C(z)) = 0.
dz y∂xDaraus leiten wir her:

∂P
dC(z)
∂x
= − ∂P(z, C(z)).
dz∂yBei vollständigen Binärbäumen ergibt das:sage: P = y^2 - y + x; Px = diff(P, x); Py = diff(P, y)sage: - Px / Py
-1/(2*y - 1)
Nun ist aber P (x, y) = 0. Wir können deshalb diesen Bruch modulo P berechnen und so die
Ableitung von C(z) als Polynom in C(z) mit Koezienten aus Q(z). Dazu bilden wir den
Quotientenring R = Q(x)[y]/(P ):sage: Qx = QQ['x'].fraction_field(); Qxy = Qx['y']sage: R = Qxy.quo(P); R
Univariate Quotient Polynomial Ring in ybar
over Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x
over Rational Field with modulus y^2 - y + x
Bemerkung: ybar ist der Name der Variablen y im Quotienten; wegen weiterer Informationen
zu Quotientenringen siehe Unterabschnitt 7.2.2. Wir setzen nun die Berechnung dieses Bruches
in R fort

sage: fraction = - R(Px) / R(Py); fraction(1/2/(x - 1/4))*ybar - 1/4/(x - 1/4)
Wir heben das Ergebnis nach Q(x)[y] und ersetzen dann z und C(z), um einen Ausdrück fürdC(z) zu bekommen:dz

sage: fraction = fraction.lift(); fraction(1/2/(x - 1/4))*y - 1/4/(x - 1/4)
sage: fraction(x=z, y=C)
2*C(z)/(4*z - 1) - 1/(4*z - 1)
oder besser lesbar

∂C(z)
1
2
=
−
C(z).
∂z
1 − 4z 1 − 4z

In diesem einfachen Fall können wir aus diesem Ausdruck eine lineare Dierentialgleichungmit Koezienten aus Q[z] unmittelbar herleiten:

sage: equadiff = diff(C,z) == fraction(x=z, y=C); equadiffdiff(C(z), z) == 2*C(z)/(4*z - 1) - 1/(4*z - 1)

324

15.1. Erste Beispiele
sage: equadiff = equadiff.simplify_rational()
sage: equadiff = equadiff * equadiff.rhs().denominator()sage: equadiff = equadiff - equadiff.rhs()
sage: equadiff(4*z - 1)*diff(C(z), z) - 2*C(z) + 1 == 0oder besser lesbar∂C(z)+ 2C(z) − 1 = 0.
∂z
Es ist trivial, diese Gleichung in geschlossener Form zu verizieren:(1 − 4z)sage: Cf = sage.symbolic.function_factory.function('C')
sage: bool(equadiff.substitute_function(Cf, s0))
True
Im allgemeinen fahren wir mit der Berechnung der sukzessiven Ableitungen von C(z) fort.
Diese Ableitungen sind auf den Quotientenring Q(z)[C]/P beschränkt, der die endliche Dimension deg P auf Q(z) hat. Dafür nden wir zwischen den ersten deg P Ableitungen vonC(z) eventuell eine lineare Beziehung. Setzen wir das auf einen gemeinsamen Nenner, erhalten
wir eine lineare Dierentialgleichung vom Grad ≤ deg P mit Koezienten aus Q[z]. Durch
Herausziehen des Koezienten von z n in der Dierentialgleichung bekommen wir die verlangte rekursive Beziehung zwischen den Koezienten. Hier treen wir wieder auf die Beziehung,die wir - auf der geschlossenen Form basierend - breits gefunden hatten:

cn+1 =

4n − 2cn
n+1

Nach Festlegung der korrekten Anfangsbedingungen wird es möglich, die Koezienten vonC(z) rekursiv zu ermitteln:sage: def C(n): return n if n <= 1 else (4*n-6)/n * C(n-1)
sage: [ C(i) for i in range(10) ][0, 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430]
Wird n zu groÿ für eine explizite Berechnung von cn kann eine asymptotisch äquivalente
Folge von Koezienten cn gesucht werden. Auch hier gibt es wieder generelle Techniken. Das
zentrale Werkzeug ist komplexe Analysis, speziell die Untersuchung der erzeugenden Funktion
in der Nähe ihrer Singularitäten. Bei der vorliegenden Aufgabe bendet sich die Singularität
n−1
bei z0 = 1/4 und wir bekämen cn ≈ n43/2 √π .
Zusammenfassung. Wir erkennen hier ein allgemeines Phänomen der Computeralgebra:
die beste Datenstruktur zur Beschreibung eines komplizierten mathematischen Objektes (eine reelle Zahl, eine Folge, eine formale Potenzreihe, eine Funktion, eine Menge) ist oft eine
Gleichung, die das Objekt deniert (oder ein Gleichungssystem, typischerweise mit Anfangsbedingungen). Eine Lösung in geschlossener Form zu nden zu versuchen, ist nicht immer
interessant: einerseits existiert eine solche geschlossene Fom nur selten (z.B. bei der Lösung
von Polynomen durch Radikale), und andererseits enthält die Gleichung alle für die algorithmische Berechnung der Eigenschaften des betrachteten Objektes notwendige Informationin sich (z.B. eine numerische Näherung, die ersten Terme oder Elemente, ein asymptotischesÄquivalent) oder für die Rechnung mit dem Objekt selbst (z.B. Arithmetik mit Potenzreihen).
Deshalb suchen wir nach der Gleichung, die das Objekt beschreibt und zu dem zu lösenden
Problem am besten passt; siehe auch Unterabschnitt 2.2.2.

325

15. Abzählende Kombinatorik
Wie wir an unserem Beispiel gesehen haben, ist Eingrenzung (beispielsweise in einem endlichdimensionalen Vektorraum) ein grundlegendes Werkzeug für die Untersuchung solcher Gleichungen. Der Begri der Eingrenzung ist bei Eliminationsverfahren breit anwendbar (lineare
Algebra, Gröbner-Basen und ihre Verallgemeinerungen bei algebraischen Dierentialgleichungen). Dasselbe Werkzeug spielt bei der automatischen Summierung und der automatischen
Prüfung von Identitäten eine zentrale Rolle (Algorithmen von Gosper oder Zeilberger undihre Verallgemeinerungen [PWZ96]; siehe auch die Beispiele in Unterabschnitt 2.3.1 und inÜbung 54).
Alle diese Techniken und ihre vielfältigen Verallgemeinerungen sind Gegenstand sehr intensiver Forschungen: automatische und analytischbe Kombinatorik mit gröÿeren Anwendungenin der Analyse von Algorithmen [FS09]. Es ist wahrscheinlich und wünschenswert, dass sienach und nach in Sage implementiert werden.

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengen
15.2.1. Beispiel: Teilmengen einer Menge

Stellen wir uns eine Menge E der Gröÿe n vor und betrachten ihre Teilmengen der Gröÿe
k . Wir wissen, dass diese Teilmengen durch Binomialkoezienten nk abgezählt werden. Wir
können deshalb die Anzahl der Teilmengen der Gröÿe k = 2 von E = {1, 2, 3, 4} mit der
Binomialfunktion berechnen:

sage: binomial(4, 2)
6
Alternativ können wir die Menge P2 (E) der Teilmengen der Gröÿe 2 von E konstruieren unddann nach ihrer Kardinalität fragen;sage: S = Subsets([1,2,3,4], 2); S.cardinality()
6
Liegt S einmal vor, können wir auch die Liste der Elemente bekommen, ein Element zufällig
auswählen oder ein typisches Element verlangen.

sage: S.list()[{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}]
sage: S.random_element(){1, 4}
sage: S.an_element(){2, 3}
Genauer, das Objekt S modelliert die Menge P2 (E), die mit einer festen Ordnung (hier dielexikographische Ordnung) ausgestattet ist. Daher ist es möglich, nach ihrem 5. Elementzu fragen, wobei zu beachten ist, dass in Python das erste Element mit 0 indiziert ist: als
Abkürzung kann man hier auch schreiben:

sage: S.unrank(4){2, 4}
sage: S[4]{2, 4}

326

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengen
Das sollte aber mit Vorsicht gemacht werden, weil manche Mengen eine andere Indizierung
haben als (0, . . .).
Umgekehrt können wir die Position eines Elementes in dieser Ordnung berechnen:

sage: s = S([2,4]); S.rank(s)4Beachten Sie, dass S nicht die Liste ihrer Elemente ist. Wir können beispielsweise die Menge
24
P(P(P(E))) bilden und deren Kardinalität 22 berechnen:

sage: E = Set([1,2,3,4])
sage: S = Subsets(Subsets(Subsets(E))); S.cardinality()
2003529930406846464979072351560255750447825475569751419265016...736
was ungefähr 2 · 1019728 ist:

sage: S.cardinality().ndigits()
19729
und nach dem 237102124. Element fragen:sage: S.unrank(237102123){{{2, 4}, {1, 4}, {}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4}, {4}, {2, 3}, {1, 3}, {2}},{{1, 3}, {2, 4}, {1, 2, 4}, {}, {3, 4}}}
Physikalisch ist es unmöglich alle Elemente von S explizit hinzuschreiben, denn es gibt vielmehr davon als Partikel im ganzen Universum vorhanden sind (schätzungsweise 1082 ).
Bemerkung: in Python wäre es nur natürlich, mit len(S) nach der Kardinalität von S zu
fragen. Das geht hier aber nicht, weil Python verlangt, dass das Ergebnis von len eine Zahl
vom Typ int zu sein hat; das könnte zu einem Überlauf führen und bei unendlichen Mengenauch nicht den Wert Infinity zurückgeben.

sage: len(S)Traceback (most recent call last):...
OverflowError: Python int too large to convert to C long
15.2.2. Partitionen natürlicher Zahlen

Wir nehmen uns jetzt ein anderes klassisches Problem vor: gegeben ist eine natürliche Zahln; auf wieviele Arten kann n in Form einer Summe n = i1 + i2 + . . . + il geschrieben werden,
wobei i1 , . . . , il natürliche Zahlen sind? Zwei Fälle sind zu unterscheiden:• die Reihenfolge der Summanden ist unwichtig; dann nennen wir n = i1 + i2 + . . . + ileine Partition von n;• auf die Reihenfolge der Summanden kommt es an; dann nennen wir die Summe eine
Komposition von n.

327

15. Abzählende Kombinatorik
Wir beginnen mit den Partitionen von n = 5; wie zuvor bilden wir zuerst die Menge dieser
Partitionen:sage: P5 = Partitions(5); P5
Partitions of the integer 5dann fragen wir nach ihrer Kardinalität:

sage: P5.cardinality()7
Wir sehen uns diese 7 Partitionen an; da es auf die Reihenfolge nicht ankommt, werden die
Einträge vereinbarungsgemäÿ in absteigender Reihenfolge angeordnet.

sage: P5.list()[[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]
Die Berechnung der Anzahl der Partitionen verwendet die Formel von Rademacher (siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Partitionsfunktion), implementiert in C und bestens
optimiert, was sie sehr schnell macht:

sage: Partitions(100000).cardinality()
2749351056977569651267751632098635268817342931598005475820312598430214
7328114964173055050741660736621590157844774296248940493063070200461792
7644930335101160793424571901557189435097253124661084520063695589344642
4871682878983218234500926285383140459702130713067451062441922731123899
9702284408609370935531629697851569569892196108480158600569421098519
Partitionen natürlicher Zahlen sind Objekte der Kombinatorik, die mit vielen Operationen
ausgestattet sind. Sie werden im Vergleich zu einfachen Listen als reichere Objekte zurückgegeben.

sage: P7 = Partitions(7); p = P7.unrank(5); p[4, 2, 1]
sage: type(p)<class 'sage.combinat.partition.Partitions_n_with_category.element_class'>Zum Beispiel können sie graphisch als Ferrers-Diagramm dargestellt werden.

sage: print p.ferrers_diagram()
****
**
*
Wir überlassen es dem Leser, die verfügbaren Operationen durch Introspektion zu erkunden.
Wir können eine Partition auch direkt erzeugen mit

sage: Partition([4,2,1])[4, 2, 1]
sage: P7([4,2,1])[4, 2, 1]328

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengen
Möchte man die möglichen Werte der Teile i1 , . . . , il beschränken, zum Beispiel beim Wechseln
von Geld, kann man WeightedIntegerValues benutzen. Die folgende Rechnung beispielsweise

sage: WeightedIntegerVectors(8, [2,3,5]).list()[[0, 1, 1], [1, 2, 0], [4, 0, 0]]zeigt, dass 8 Dollar mit Banknoten zu 2$, 3$ und 5$ entweder in 3$ plus 5$ oder in 2$ plus 2
mal 3$ oder 4 mal 2$ getauscht werden können.
Kompositionen von natürlichen Zahlen werden ebenso behandelt:

sage: C5 = Compositions(5); C5
Compositions of 5 sage: C5.cardinality()
16
sage: C5.list()[[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 1], [1, 1, 3],[1, 2, 1, 1], [1, 2, 2], [1, 3, 1], [1, 4], [2, 1, 1, 1],[2, 1, 2], [2, 2, 1], [2, 3], [3, 1, 1], [3, 2], [4, 1], [5]]Die Anzahl 16 scheint bedeutsam zu sein und lässt die Existenz einer Formel vermuten. Wir
schauen auf die Anzahl der Kompositionen von n im Bereich von 0 bis 9:

sage: [ Compositions(n).cardinality() for n in range(10) ][1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256]
Wenn wir die Anzahl der Kompositionen von 5 hinsichtlicht der Länge betrachten, nden wir
eine Zeile des pascalschen Dreiecks:

sage: x = var('x'); sum( x^len(c) for c in C5 )x^5 + 4*x^4 + 6*x^3 + 4*x^2 + x
Das obige Beispiel benutzt eine Funktionalität, die wir bislang noch nicht gesehen haben:
Da C5 iterierbar ist, kann es wie eine Liste in einer for-Schleife oder einer Raung1 engl.
comprehension) verwendet werden (Unterabschnitt 15.2.4).

Übung 52. Beweisen Sie die von obigen Beispielen nahegelegte Formel für die Anzahl der
Kompositionen von n und die Anzahl der Kompositionen von n der Länge k ; untersuchen Sie
durch Introspektion, ob Sage diese Formeln zur Berechnung von Kardinalitäten verwendet.
15.2.3. Einige andere abzählbare endliche Mengen

Das Prinzip ist für alle endlichen Mengen, mit denen wir in Sage Kombinatorik betreiben
wollen, im wesentlichen das gleiche; wir beginnen mit der Konstruktion eines Objektes, dasdiese Menge modelliert und benutzen dann die passenden Methoden, die einem immer gleichen
Interface folgen2 . Es folgen noch ein paar weitere typische Beispiele.
Intervalle natürlicher Zahlen:

sage: C = IntegerRange(3, 21, 2); C{3, 5, ..., 19}1
2(
Oder zumindest sollte das so sein. Es sind aber immer noch etliche Ecken zu fegen.

329

15. Abzählende Kombinatorik
sage: C.cardinality()9
sage: C.list()[3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]
Permutationen:sage: C = Permutations(4); C
Standard permutations of 4
sage: C.cardinality()24
sage: C.list()[[1, 2, 3, 4], [1, 2, 4, 3], [1, 3, 2, 4], [1, 3, 4, 2],[1, 4, 2, 3], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 3, 4], [2, 1, 4, 3],[2, 3, 1, 4], [2, 3, 4, 1], [2, 4, 1, 3], [2, 4, 3, 1],[3, 1, 2, 4], [3, 1, 4, 2], [3, 2, 1, 4], [3, 2, 4, 1],[3, 4, 1, 2], [3, 4, 2, 1], [4, 1, 2, 3], [4, 1, 3, 2],[4, 2, 1, 3], [4, 2, 3, 1], [4, 3, 1, 2], [4, 3, 2, 1]]

Abb. 15.2 - Ein Poset mit 8 Knoten

Mengenpartitionen:sage: C = SetPartitions([1,2,3]); C
Set partitions of {1, 2, 3}
sage: C.cardinality()5
sage: C.list()[{{1, 2, 3}}, {{1}, {2, 3}}, {{1, 3}, {2}}, {{1, 2}, {3}}, {{1}, {2}, {3}}]Teilweise Ordnungen (posets) auf Mengen mit 8 Elementen bis auf Isomorphie:330

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengensage: C = Posets(8); C
Posets containing 8 elements
sage: C.cardinality()
16999
Wir wollen eins dieser Posets zeichnen (siehe Abb. 15.2):

sage: show(C.unrank(20))
Wir können auch über alle diese Graphen bis auf Isomorphie iterieren. Es existieren beispielsweise 34 einfache Graphen mit 5 Knoten:

sage: len(list(graphs(5)))
34
Hier nun, wie wir diejenigen bekommen, die höchstens 4 Kanten haben (siehe Abb. 15.3):

sage: for g in graphs(5, lambda G: G.size() <= 4): show(g)Allerdings steht die Menge C dieser Graphen in Sage noch nicht zur Verfügung. Die fogenden
Befehle sind daher noch nicht implementiert:

sage: C = Graphs(5); C.cardinality()34
sage: Graphs(5); C.cardinality()
24637809253125004524383007491432768
sage: Graphs(19).random_element()
Graph on 19 vertices
Was wir bis jetzt gesehen haben, lässt sich im Prinzip auf endliche algebraische Strukturen
wie Diedergruppen anwenden:

sage: G = DihedralGroup(4); G
Dihedral group of order 8 as a permutation group
sage: G.cardinality()
8
sage: G.list()[(), (1,4)(2,3), (1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,3), (2,4), (1,4,3,2), (1,2)(3,4)]
oder die Algebra der 2 × 2-Matrizen auf dem endlichen Körper Z/2Z:

sage: C = MatrixSpace(GF(2), 2); C.list()[[0 0] [1 0] [0 1] [0 0] [0 0] [1 1] [1 0] [1 0] [0 1] [0 1][0 0], [0 0], [0 0], [1 0], [0 1], [0 0], [1 0], [0 1], [1 0], [0 1],[0 0] [1 1] [1 1] [1 0] [0 1] [1 1][1 1], [1 0], [0 1], [1 1], [1 1], [1 1]]sage: C.cardinality()16

331

15. Abzählende KombinatorikÜbung 53. Listen Sie alle Monome 5. Grades in drei Variablen auf (siehe

IntegerVectors). Bearbeiten Sie die geordneten Mengenpartitionen (OrderedSetPartitions)und die Standardtabellen (StandardTableaux).

Abb. 15.3 - Die einfachen Graphen mit 5 Knoten und höchstens 4 KantenÜbung 54. Listen Sie die Matrizen mit alternierenden Vorzeichen der Gröÿe 3, 4 und 5 auf

und versuchen Sie, die Denition zu erraten (siehe AlternatingSignMatrices). Entdeckung
und Beweis dieser Formel für die Auistung dieser Matrizen (siehe die Methode cardinality),die durch Berechnungen von Determinanten in der Physik motiviert worden waren, sind eine
eigene Geschichte. Insbesondere ist der erste Beweis von Zeilberger 1992 durch ein Rechnerprogramm automatisch geführt worden. Er war 84 Seiten lang und es brauchte nahezu 100
Leute, um ihn zu verzieren [Zei96].

Übung 55. Berechnen Sie die Anzahl der Vektoren in (Z/2Z) von Hand und dann die
5Anzahl der Matrizen in GL3 (Z/2Z) (d.h. die Anzahl der 3 × 3-Matrizen mit Koezienten
in Z/2Z und Inversen). Verizieren Sie Ihre Antworten mit Sage. Verallgemeinern Sie das zu
GLn (Z/qZ).

332

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengen
Mengenraungen und Iteratoren

Wir zeigen nun einige der von Python angebotenen Möglichkeiten der Bildung von (und desDurchlaufs durch) Mengen in einer Schreibweise, die exibel ist und nahe am üblichen mathematischen Gebrauch sowie insbesondere, welche Vorteile das für die Kombinatorik hat.

Wir beginnen mit der Bildung der endlichen Menge i2 | i ∈ {1, 3, 7} :sage: [ i^2 for i in [1, 3, 7] ][1, 9, 49]
und dann der gleichen Menge, nur dass i nun von 0 bis 9 läuft:sage: [ i^2 for i in range(1,10) ][1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]
In Python heiÿt diese Art der Bildung einer Menge Mengenraung . Eine Bedingung kannhinzugefügt werden, um nur die primen Elemente zu behalten:

sage: [ i^2 for i in range(1,10) if is_prime(i) ][4, 9, 25, 49]
Durch Kombination zweier Mengenraungen kann die Menge {(i, j) | 1 ≤ k < i < 6} erzeugt
werden:sage: [ (i,j) for i in range(1,6) for j in range(1,i) ][(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)]oder das pascalsche Dreieck:sage: [[binomial(n, i) for i in range(n+1)] for n in range(10)][[1],[1, 1],[1, 2, 1],[1, 3, 3, 1],[1, 4, 6, 4, 1],[1, 5, 10, 10, 5, 1],[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1],[1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1],[1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1],[1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]]
Die Ausführung einer Raung erfolgt in zwei Schritten; zuerst wird ein Iterator erzeugt,
dann wird eine Liste nach und nach mit den vom Iterator zurückgegebenen Werten gefüllt.
Technisch gesehen ist ein Iterator ein Objekt mit einer Methode next, die solange es geht bei
jedem Aufruf einen neuen Wert zurückgibt.

sage: it = (binomial(3, i) for i in range(4))
gibt nacheinander die Binomialkoezienten 3i mit i = 0, 1, 2, 3 zurück:
sage: it.next()
1

333

15. Abzählende Kombinatorik
sage: it.next()
3
sage: it.next()
3
sage: it.next()
1
Wenn der Iterator schlieÿlich erschöpft ist, erscheint eine Exception:

sage: it.next()
Traceback (most recent call last):...
StopIteration
Allgemein, eine Iterable ist ein Python-Objekt L (eine Liste, eine Menge,. . .), über deren
Elemente iteriert werden kann. Technisch wird der Iterator durch iter(L) erzeugt. In derPraxis werden die Befehle iter und next selten gebraucht, weil for-Schleifen und Raungeneine viel elegantere Syntax bieten:

sage: for s in Subsets(3): s
{}
{1}
{2}
{3}
{1, 2}{1, 3}{2, 3}{1, 2, 3}
sage: [ s.cardinality() for s in Subsets(3) ]0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3]
Welches Interesse besteht an Iteratoren? Sehen wir uns das folgende Beispiel an:sage: sum( [ binomial(8, i) for i in range(9) ] )256
Bei der Ausführung wird eine Liste von 9 Elementen gebildet, dann wird sie als Argument ansum übergeben, um die Elemente hinzuzufügen. Übergibt man den Iterator jedoch direkt ansum (zu beachten ist das Fehlen der eckigen Klammern),sage: sum( binomial(8, i) for i in xrange(9) )256übernimmt die Funktion sum den Iterator direkt und kann die Konstruktion der Zwischenlistekurzschlieÿen. Bei einer groÿen Anzahl von Elementen vermeidet das die Allokation einesgroÿen Speicherbereichs, der mit der Liste gefüllt wird, die sofort wieder gelöscht wird3 .
Die meisten Funktionen die eine Liste von Elementen als Argument erhalten, akzeptieren
stattdessen auch einen Iterator (oder eine Iterable). Um damit zu beginnen, können wir die
Liste (oder das Tupel) von Elementen wie folgt erhalten:
3Technisches Detail: xrange gibt einen Iterator über {1, . . . , 8} zurück, während range die entsprechende

Liste zurückgibt. Ab Python 3.0 verhält sich range genauso wie xrange und xrange wird nicht länger
gebraucht.

334

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengensage: list(binomial(8, i) for i in xrange(9))[1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1]
sage: tuple(binomial(8, i) for i in xrange(9))(1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1)
Wir betrachten nun die Funktionen all und any, die wie and bzw. or, aber für mehrere
Argumente wirken.

sage: all([True, True, True, True])Truesage: all([True, False, True, True])
False
sage: any([False, False, False, False])
False
sage: any([False, False, True, False])
True
Das folgende Beispiel bestätigt, dass alle Primzahlen von 3 bis 99 ungerade sind:

sage: all( is_odd(p) for p in xrange(3,100) if is_prime(p) )True
Eine Mersenne-Zahl ist eine Primzahl der Form 2p − 1. Wir verizieren für p < 1000, dass p
prim ist, wenn 2p − 1 prim ist:

sage: def mersenne(p): return 2^p - 1
sage: [ is_prime(p) for p in range(1000) if is_prime(mersenne(p)) ][True, True, True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True]
Ist auch die Umkehrung wahr?

Übung 56. Probieren Sie die folgenden Befehle aus und erklären Sie die beträchtlichen Unterschiede in den Ausführungszeiten.

sage: all( [ is_prime(mersenne(p)) for p in range(1000) if is_prime(p)] )False
sage: all( is_prime(mersenne(p)) for p in range(1000) if is_prime(p) )False
Wir versuchen jetzt, das kleinste Gegenbeispiel zu nden. Dazu verwenden wir die SageFunktion exists:

sage: exists( (p for p in range(1000) if is_prime(p)),...:
lambda p: not is_prime(mersenne(p)) )(True, 11)|
Alternativ können wir einen Iterator über alle Gegenbeispiele konstruieren:

sage: contre_exemples = \....:(p for p in range(1000)....:
if is_prime(p) and not is_prime(mersenne(p)))
sage: contre_exemples.next()
11 sage: contre_exemples.next()
23335

15. Abzählende KombinatorikÜbung 57. Was bewirken die folgenden Befehle?
sage: cubes = [t**3 for t in range(-999,1000)]
sage: exists([(x,y) for x in cubes for y in cubes], lambda (x,y): x+y == 218)
sage: exists(((x,y) for x in cubes for y in cubes), lambda (x,y): x+y == 218)
Welche der letzten beiden ist sparsamer an Zeit? An Speicherplatz?

Übung 58.

Probieren Sie alle folgenden Befehle und erläutern Sie die Ergebnisse. Warnung:Bei einigen davon muss die Ausführung abgebrochen werden.

sage: x = var('x'); sum( x^len(s) for s in Subsets(8) )sage: sum( x^p.length() for p in Permutations(3) )sage: factor(sum( x^p.length() for p in Permutations(3) ))sage: P = Permutations(5)sage: all( p in P for p in P )sage: for p in GL(2, 2): print p; print
sage: for p in Partitions(3): print p
sage: for p in Partitions(): print p
sage: for p in Primes(): print p
sage: exists( Primes(), lambda p: not is_prime(mersenne(p)) )sage: contre_exemples = (p for p in Primes()....:
if not is_prime(mersenne(p)))
sage: for p in contre_exemples: print p
Zur Manipulation von Iteratoren bietet Python zahlreiche
Möglichkeiten; die meisten davon sind Teil der Bibliothek itertools, die importiert werden
kann mit

Operationen auf Iteratoren.

sage: import itertools
Wir zeigen einige Anwendungen und nehmen als Ausgangspunkt die Permutationen von 3:

sage: list(Permutations(3))[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]
Wir können die Elemente einer Menge auisten, indem wir sie numerieren:

sage: list(enumerate(Permutations(3)))[(0, [1, 2, 3]), (1, [1, 3, 2]), (2, [2, 1, 3]),(3, [2, 3, 1]), (4, [3, 1, 2]), (5, [3, 2, 1])]oder nur die Elemente an den Positionen 2, 33 und 4 (analog zu l[1 : 4]):sage: list(itertools.islice(Permutations(3), 1, 4))[[1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1]]
oder eine Funktion auf alle Elemente anwenden:336

15.2. Die üblichen abzählbaren Mengensage: list(itertools.imap(lambda z: z.cycle_type(), Permutations(3)))[[1, 1, 1], [2, 1], [2, 1], [3], [3], [2, 1]]
oder die Elemente auswählen, die einer bestimmten Bedingung genügen:sage: list(itertools.ifilter(lambda z: z.has_pattern([1,2]),
sage: ....:
Permutations(3)))[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2]]
In allen diesen Situationen kann attrcall bei der Erstellung einer anonymen Funktion einevorteilhafte Alternative sein:

sage: list(itertools.imap(attrcall("cycle_type"), Permutations(3)))[[1, 1, 1], [2, 1], [2, 1], [3], [3], [2, 1]]
Neue Iteratoren zu konstruieren ist einfach, wenn man
in einer Funktion das Schlüsselwort yield anstelle von return verwendet:
Implementierung neuer Iteratoren.

sage: def f(n):....:for i in range(n):....:yield iNach yield wird die Ausführung nicht beendet, sondern nur angehalten und bereit vom selben
Punkt an fortzufahren. Das Ergebnis der Funktion ist daher ein Iterator über die aufeinander
folgenden Werte, die von yield zurückgegeben werden:

sage: g = f(4)sage: g.next()
0sage: g.next()
1sage: g.next()
2sage: g.next()
3
sage: g.next()
Traceback (most recent call last):...
StopIteration
Die Funktion kann folgendermaÿen angewendet werden:

sage: [ x for x in f(5) ][0, 1, 2, 3, 4]
Dieses Berechnungsschema namens Kontinuation erweist sich für die Kombinatorik als sehr
nützlich, besonders wenn es mit Rekursion gekoppelt wird. (Siehe auch Unterabschnitt 2.2.2
wegen weiterer Anwendungen.) Hier folgt, wie alle Wörter einer gegebenen Länge über einem
gegebenen Alphabet erzeugt werden:

sage: def words(alphabet,l):....:
if l == 0: yield []337

15. Abzählende Kombinatorik
....:
else:
....:
for word in words(alphabet, l-1):....:
for l in alphabet: yield word + [l]sage: [ w for w in words(['a','b'], 3) ][['a', 'a', 'a'], ['a', 'a', 'b'], ['a', 'b', 'a'], ['a', 'b', 'b'],['b', 'a', 'a'],['b', 'a', 'b'],['b', 'b', 'a'], ['b', 'b', 'b']]
Diese Wörter können gezählt werden mit

sage: sum(1 for w in words(['a','b','c','d'], 10))1048576
Das Abzählen der Wörter eines nach dem anderen ist hier natürlich kein ezientes Verfahren,da man die Formel nl benutzen kann; beachten Sie aber, dass dies nicht der stupideste Ansatz
ist - er vermeidet immerhin die Erzeugung der kompletten Liste und deren Speicherung.
Wir betrachten nun die Wörter der Dyck-Sprache. Das sind wohlgeformte Ausdrücke mit den
Buchstaben ( und ). Die untenstehende Funktion erzeugt nun alle Dyck-Wörter gegebener
Länge (wobei unter Länge die Anzahl der Klammerpaare zu verstehen ist), indem sie dierekursive Denition anwendet, die besagt, dass ein Dyck-Wort entewder leer ist oder von derForm (w1 )w2 , wobei w1 und w2 Dyck-Wörter sind.

sage: def dyck_words(l):....:if l == 0: yield ''
....:
else:
....:
for k in range(l):....:for w1 in dyck_words(k):....:for w2 in dyck_words(l-k-1):....:
yield '(' + w1 + ')' + w2
Hier sind alle Dyck-Wörter der Länge 4:

sage: list(dyck_words(4))['()()()()', '()()(())', '()(())()', '()(()())', '()((()))','(())()()', '(())(())', '(()())()', '((()))()', '(()()())','(()(()))', '((())())', '((()()))', '(((())))']
Beim Abzählen entdecken wir eine wohlbekannte Folge:

sage: [ sum(1 for w in dyck_words(l)) for l in range(10) ][1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862]

Übung 59. Erzeugen Sie einen Iterator auf der Menge C der vollständigen Binärbäume mitnn Blättern (siehe Unterabschnitt 15.1.2).

Hinweis: Verwenden Sie BinaryTree; im untenstehenden Beispiel erzeugen wir ein Blatt undden zweiten Baum von Abbildung 15.1.

sage: BT = BinaryTree
sage: BT().
sage: t = BT([BT([BT(), BT([BT(),BT()])]), BT()]); t[[., [., .]], .]338

15.3. Konstruktionen
Vorsicht! Sage benutzt beim Zeichnen eines vollständigen Binärbaums die klassische Konvention, nur sein Skelett darzustellen.

sage: view(t)15.3. Konstruktionen
Wir wollen nun sehen, wie ausgehend von diesen Bausteinen neue Mengen gebildet werden.
In Wirklichkeit haben wir im vorigen Abschnitt mit der Konstruktion von P(P(P({1, 2, 3})))und mit der Konstruktion von Kartenmengen in Abschnitt 15.1 schon damit begonnen.
Betrachten wir ein groÿes cartesisches Produkt:

sage: C = cartesian_product([Compositions(8), Permutations(20)]); C
The Cartesian product of (Compositions of 8, Standard permutations of 20)
sage: C.cardinality()
311411457046609920000
Klar, es ist unpraktisch, die Liste aller dieser Elemente des cartesischen Produktes zu bilden.
Trotzdem kann man mit ihr arbeiten und beispielsweise ein zufälliges Element generieren:

sage: C.random_element()([2, 3, 2, 1], [10, 6, 11, 13, 14, 3, 4, 19, 5, 12, 7, 18, 15, 8, 20, 1,
17, 2, 9, 16])
Die Konstruktion cartesian_product kennt die algebraischen Eigenschaften ihrer Elemente.
Deshalb ist H im folgenden Beispiel genauso wie seine Produktgruppe mit den normalen
Operationen der Kombinatorik ausgestattet.

sage: G = DihedralGroup(4)sage: H = cartesian_product([G,G])
sage: H.cardinality()64
sage: H in Sets().Enumerated().Finite()True
sage: H in Groups
True
Wir bilden jetzt die disjunkte Vereinigung der beiden vorliegenden Mengen:sage: C = DisjointUnionEnumeratedSets([Compositions(4),Permutations(3)])
sage: C
Disjoint union of Family (Compositions of 4, Standard permutations of 3)
sage: C.cardinality()
14
sage: C.list()339

15. Abzählende Kombinatorik[[1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 2, 1], [1, 3], [2, 1, 1], [2, 2], [3, 1],[4], [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]
Es ist auch möglich, die Vereinigung von mehr als zwei disjunkten Mengen zu nehmen, ja sogar
von einer unbegrenzten Anzahl von Mengen. Wir bilden jetzt die Menge aller Permutationen,
aufgefasst als Vereinigung der Mengen Pn der Permutationen der Gröÿe n. Wir beginnen mit
der unendlichen Familie F = (Pn )n∈N :sage: F = Family(NonNegativeIntegers(), Permutations); F
Lazy family (<class 'sage.combinat.permutation.Permutations'>(i))_{i in
Non negative integers}
sage: F.keys()
Non negative integers
sage: F[1000]
Standard permutations of 1000
S
Jetzt können wir die disjunkte Vereinigung n∈N Pn bilden:
sage: U = DisjointUnionEnumeratedSets(F); U
Disjoint union of
Lazy family (<class 'sage.combinat.permutation.Permutations'>(i))_{i in
Non negative integers}
Das ist eine unendliche Menge:

sage: U.cardinality()+Infinity
die aber die Iteration über ihre Elemente nicht verhindert, so dass sie irgendwann abgebrochen
werden muss.

sage: for p in U: p[]
[1]
[1, 2][2, 1][1, 2, 3][1, 3, 2][2, 1, 3][2, 3, 1][3, 1, 2]...
Beachten Sie, dass obige Menge auch direkt erzeugt werden kann mit

sage: U = Permutations(); UStandard permutations340

15.4. Generische Algorithmen
Um es kurz zu sagen, Sage bietet eine Biblithek von abzählbaren Mengen, die durch Standardkonstruktionen kombiniert werden können, was eine Toolbox ergibt,
die exibel ist (aber noch erweitert werden kann). Es ist auch möglich, Sage mit wenigen
Zeilen neue Bausteine hinzuzufügen (siehe den Code in Sets().Enumerated().Finite()).
Das wird möglich durch die Übereinstimmung der Schnittstellen und die Tatsache, dass Sageauf einer objektorientierten Sprache basiert. Es können dank der faulen Auswertungsstrategie(Iteratoren usw.) auch sehr groÿe und sogar unendliche Mengen bearbeitet werden.
Zusammenfassung.

Da ist keine Zauberei dabei: unter der Haube wendet Sage die normalen Regeln an (beispielsweise, dass die Kardinalität von E×E gleich |E|2 ist); der Mehrwert stammt aus der Fähigkeit,
komplizierte Strukturen zu verarbeiten. Die Situation ist vergleichbar mit Sages Implementierung der Dierentialrechnung: Sage verwendet die bekannten Regeln für die Ableitung vonFunktionen und ihre Kompositionen, wobei hier der Wertzuwachs aus der Möglichkeit hervorgeht, komplizierte Gleichungen zu verarbeiten. In diesem Sinne implementiert Sage eine
Analysis endlicher abzählbarer Mengen.

15.4. Generische Algorithmen
15.4.1. Lexikographische Erzeugung ganzzahliger Listen

Unter den klassischen abzählbaren Mengen ist besonders in der algebraischen Kombinatorik
eine bestimmte Anzahl aus ganzzahligen Listen mit konstanter Summe aufgebaut, wie Partitionen, Kompositionen oder ganzzahligen Vektoren. Diese Beispiele können auch ergänzende
Nebenbedingungen aufweisen, die ihnen hinzugefügt worden sind. Hier sind einige Beispiele.
Wir beginnen mit dem ganzzahligen Vektor mit der Summe 10 und der Länge 3 mit Teilen,
die unten durch 2, 4 und 2 begrenzt sind

sage: IntegerVectors(10, 3, min_part = 2, max_part = 5,
inner = [2, 4, 2]).list()[[4, 4, 2], [3, 5, 2], [3, 4, 3], [2, 5, 3], [2, 4, 4]]
Die Komposition von 5 mit jedem Teil von höchstens 3 und Länge 2 oder 3:

sage: Compositions(5, max_part = 3,
min_length = 2, max_length = 3).list()[[3, 2], [3, 1, 1], [2, 3], [2, 2, 1], [2, 1, 2], [1, 3, 1],[1, 2, 2], [1, 1, 3]]
Die streng fallenden Partitionen von 5:

sage: Partitions(5, max_slope = -1).list()[[5], [4, 1], [3, 2]]
Diesen Mengen liegt die gleiche algorithmische Struktur zugrunde, die in der allgemeineren und etwas umständlicher zu benutzenden - Klasse IntegerListsLex implementiert ist. Diese
Klasse modelliert Mengen von Vektoren (l0 , . . . , ll ) nicht-negativer ganzer Zahlen mit Nebenbedingungen für Summe und Länge, sowie Grenzen für Teile aufeinander folgende Dierenzen
zwischen den Teilen. Hier sind noch einige Beispiele:341

15. Abzählende Kombinatorik
sage: IntegerListsLex(10, length=3, min_part = 2, max_part = 5,
floor = [2, 4, 2]).list()[[4, 4, 2], [3, 5, 2], [3, 4, 3], [2, 5, 3], [2, 4, 4]]
sage: IntegerListsLex(5, min_part = 1, max_part = 3,
min_length = 2, max_length = 3).list()[[3, 2], [3, 1, 1], [2, 3], [2, 2, 1], [2, 1, 2], [1, 3, 1],[1, 2, 2], [1, 1, 3]]
sage: IntegerListsLex(5, min_part = 1, max_slope = -1).list()[[5], [4, 1], [3, 2]]
sage: list(Compositions(5, max_length=2))[[5], [4, 1], [3, 2], [2, 3], [1, 4]]
sage: list(IntegerListsLex(5, max_length=2, min_part=1))[[5], [4, 1], [3, 2], [2, 3], [1, 4]]
Für das Modell von IntegerListsLex spricht der gute Kompromiss zwischen Allgemeingültigkeit und Ezienz der Iteration. Der Hauptalgorithmus gestattet die Iteration über einesolche Menge S in inverser lexikographischer Ordnung und konstanter mittlerer Zeitkomplexität (Constant Amortized Time - CAT), auÿer in pathologischen Fällen; grob gesagt ist die
Zeit, um über alle Elemente zu iterieren proportional zur Anzahl der Elemente, und das ist
optimal. Auÿerdem ist der Speicherbedarf proportional zum gröÿten gefundenen Element, inder Praxis also vernachlässigbar,()(5)(4, 1)

(4)

(3)

(2)

(3, 1)(3, 2)(2, 2)(2, 1)(1, 1)(2, 2, 1)(2, 1, 1)(1, 1, 1)(2, 1, 1, 1)(1, 1, 1, 1)(3, 1, 1)(1)(1, 1, 1, 1, 1)
Abb. 15.4 - Der Präx-Baum der Partitionen von 5.

Dieser Algorithmus basiert auf einem sehr allgemeinen Prinzip der Traversierung eines Entscheidungsbaumes, nämlich Branch-and-Bound: auf dem obersten Niveau durchlaufen wir allemöglichen Alternativen für l0 ; zu jeder dieser Alternativen durchlaufen wir alle möglichen Alternativen für l1 und so fort. Mathematisch gesprochen haben wir auf die Elemente von S die
Struktur eines Präx-Baumes gelegt. Ein Knoten des Baumes in der Tiefe k entspricht einem
Präx l0 , . . . , lk von einem oder mehreren Elementen von S (siehe Abbildung 15.4).
Das übliche Problem bei diesem Anatz ist die Vermeidung schlechter Entscheidungen, die zum
Verlassen des Präx-Baumes führen und zur Erkundung toter Äste. Das ist deshalb besonders342

15.4. Generische Algorithmen
problematisch, weil die Anzahl der Elemente mit der Tiefe exponentiell anwächst. Es stelltsich heraus, dass die oben aufgelisteten Bedingungen einfach genug sind, um die folgende
Eigenschaft zu garantieren: bei gegebenem Präx l0 , . . . , lk von S ist die Menge der lk+1 so,dass l0 , . . . , lk+1 als Präx von S entweder leer ist oder ein Intervall der Form [a, b], und die
Grenzen a und b in linearer Zeit, also proportional zur Länge des längsten Elementes von S
berechnet werden können, welches das Präx l0 , . . . , ll besitzt.
15.4.2. Ganzzahlige Punkte in Polytopen

Auch wenn der Algorithmus in IntegerListsLex ezient ist, ist sein Zählalgorithmus dochnaiv: er iteriert schlicht über alle Elemente.
Es gibt für dieses Problem einen alternativen Ansatz: die Modellierung der gewünschten ganzzahligen Liste als Menge der ganzzahligen Punkte eines Polytops, will sagen, die Menge der
Lösungen mit ganzzahligen Koordinaten eines Systems von linearen Ungleichungen. In diesem
sehr allgemeinen Kontext gibt es hoch entwickelte Zählalgorithmen (z.B. Barvinok), die in Bibliotheken wie LattE implementiert sind. Iteration stellt im Prinzip kein groÿes Problem dar,jedoch gibt es zwei Einschränkungen, die die Existenz von IntegerListsLex rechtfertigen.
Die erste ist theoretidscher Natur: die Gitterpunkte in einem Polytop erlauben nur die Modellierung von Problemen fester Dimension (Länge). Die zweite ist praktischer Art: zur Zeit hat
nur die Bibliothek PALP eine Schnittstelle zu Sage, und obwohl es mehrere Möglichkeiten fürdie Untersuchung von Polytopen bietet, produziert es in der gegenwärtigen Fassung lediglicheine Liste von Gitterpunkten, ohne für einen Iterator oder nicht-naives Zählen zu sorgen:

Abb. 15.5 - Das Polytop L und seine ganzzahligen Punkte in stereographischer Ansicht (Kreuzblick)

Hier folgt, wie dieses Polytop in 3D gezeichnet wird (siehe Abb. 15.5):

sage: A = random_matrix(ZZ,6,3,x=7)
sage: L = LatticePolytope(A)sage: L.points()
M(1, 4, 3),
M(6, 4, 1),...
M(3, 5, 5),343

15. Abzählende Kombinatorik
in 3-d lattice M
sage: L.points().cardinality()23
sage: L.plot3d()
15.4.3. Arten, zerlegbare kombinatorischer Klassen

In Unterabschnitt 15.1.2 hatten wir gezeigt, wie die rekursive Denition binärer Bäume dazu
dient, sie mit generierten Funktionen ezient abzuzählen. Die verwendeten Techniken sindsehr allgemein und lassen sich immer dann anwenden, wenn die beteiligten Mengen rekursiv
deniert werden können (je nachdem, wen sie fragen, heiÿt eine solche Menge eine zerlegbare
kombinatorische Klasse oder, grob gesagt, eine kombinatorische Art). Das umfasst alle Typenvon Bäumen und auch Permutationen, Kompositionen, Funktionsgraphen usw.
Hier erläutern wir einige nur einige wenige Beispiele, die die Sage-Bibliothek für kombinatorische Arten verwenden.

sage: from sage.combinat.species.library import *sage: o = var('o')
Wir beginnen damit, dass wir vollständige Binärbäume neu denieren; dazu wenden wir die
Rekursionsbeziehung direkt auf die Mengen an:sage: BT = CombinatorialSpecies()
sage: Leaf = SingletonSpecies()
sage: BT.define( Leaf + (BT*BT) )Nun können wir die Menge der Bäume mit fünf Knoten bilden, sie auisten, sie zählen. . . :sage: BT5 = BT.isotypes([o]*5); BT5.cardinality()
14
sage: BT5.list()[o*(o*(o*(o*o))), o*(o*((o*o)*o)), o*((o*o)*(o*o)), o*((o*(o*o))*o),o*(((o*o)*o)*o), (o*o)*(o*(o*o)), (o*o)*((o*o)*o), (o*(o*o))*(o*o),((o*o)*o)*(o*o), (o*(o*(o*o)))*o, (o*((o*o)*o))*o, ((o*o)*(o*o))*o,((o*(o*o))*o)*o, (((o*o)*o)*o)*o]
Die Bäume sind mittels einer generischen rekursiven Struktur erzeugt worden; die Ausgabe ist
deshalb nicht berauschend. Um sie zu verbessern, müsste Sage mit spezielleren Datenstrukturen ausgestattet sein, die über die gewünschten Darstellungsfähigkeiten verfügen. Wir teenwieder auf die erzeugende Funktion der Catalan-Zahlen:

sage: g = BT.isotype_generating_series(); gx + x^2 + 2*x^3 + 5*x^4 + 14*x^5 + O(x^6)
die als faule Potenzreihe zurückgegen wird:

sage: g[100]227508830794229349661819540395688853956041682601541047340
Wir schlieÿen mit den Fibonacci-Wörtern, binären Wörtern ohne zwei aufeinander folgende1. Sie ermöglichen eine natürliche rekursive Denition:344

15.4. Generische Algorithmen
sage: Eps = EmptySetSpecies(); Z0 = SingletonSpecies()
sage: Z1 = Eps*SingletonSpecies()
sage: FW = CombinatorialSpecies()
sage: FW.define(Eps + Z0*FW + Z1*Eps + Z1*Z0*FW)
Die Fibonacci-Folge kann hier leicht wiedererkannt werden, daher der Name:sage: L = FW.isotype_generating_series().coefficients(15); L[1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987]
sage: oeis(L)0: A000045: Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 andF(1) = 1.
1: A212804: Expansion of (1-x)/(1-x-x^2).
2: A132636: a(n) = Fibonacci(n) mod n^3
Das ist eine unmittelbare Konsequenz der Rekursionsrelation. Mit denselben Einschränkungen, die von der generischen Anzeige herrühren, können wir auch gleich alle Fibonacci-Wörter
gegebener Länge generieren.

sage: FW3 = FW.isotypes([o]*3)
sage: FW3.list()[o*(o*(o*{})), o*(o*(({}*o)*{})), o*((({}*o)*o)*{}),(({}*o)*o)*(o*{}), (({}*o)*o)*(({}*o)*{})]Nach Ersetzen von ◦ durch 0, von {}*o durch 1 und Weglassen der runden Klammern undauch des letzten geschweiften Klammerpaars {} lesen wir 000, 001, 100 bzw. 101.
15.4.4. Graphen bis auf Isomorphie

In Unterabschnitt 15.2.3 haben wir gesehen, dass Sage Graphen und partielle Ordnungen bis
auf Isomorphie erzeugt. Jetzt wollen wir den zugrunde liegenden Algorithmus beschreiben, derin beiden Fällen der gleiche ist und eine wesentlich breitere Klasse von Problemen abdeckt.
Wir rufen zunächst einige Begrie in Erinnerung. Ein Graph G = (V, E) ist eine Menge V von
Knoten und eine Menge E von Kanten, die diese Knoten verbinden; eine Kante wird durch
ein Paar {u, v} verschiedener Knoten aus V beschrieben. Ein solcher Graph heiÿt benannt;
seine Knoten sind typischerweise numeriert, zum Beispiel ist V = {1, 2, 3, 4, 5}.
Bei vielen Problemen spielen die Namen der Knoten keine Rolle. Ein Chemiker möchte typischerweise alle möglichen Moleküle mit gegebener Zusammensetzung untersuchen, zum Beispiel die Alkane mit n = 8 Kohlenstoatomen und 2n + 2 = 18 Wasserstoatomen. Daher
möchte er alle Graphen nden, die aus 8 Knoten mit 4 Nachbarn bestehen und 18 Knoten mit
nur einem Nachbarn. Die verschiedenen Kohlenstoatome werden jedoch alle als identisch angesehen, desgleichen die Wasserstoatome. Unser Chemieproblem ist nicht eingebildet; dieser
Anwendungstyp steht aktuell am Anfang eines wichtigen Forschungszweiges zu isomorphen
Problemen in der Graphentheorie.
Arbeitet man von Hand mit einem kleinen Graphen, ist es wie im Beispiel von Unterabschnitt
15.2.3 möglich, eine Zeichnung zu erstellen, die Bezeichner zu entfernen und die geometrische
Information zur Lage der Knoten in der Ebene zu vergessen. Um jedoch einen Graphen in
einem Rechnerprogramm darzustellen, müssen an den Knoten Bezeichner eingeführt werden,345

15. Abzählende Kombinatorik
um beschreiben zu können, wie die Kanten miteinander verbunden sind. Um dann die dadurch eingeführte Extrainformation zu kompensieren, sagen wir, dass zwei Graphen g1 und
g2 isomorph sind, wenn von den Knoten von g1 zu den Knoten von g2 eine Bijektion existiert,
welche den Kanten von g1 die Kanten von g2 bijektiv zuordnet. Ein nicht benannter Graphist dann eine Äquivalenzklasse der benannten Graphen.
Generell ist die Prüfung zweier Graphen auf Isomorphie sehr aufwendig. Jedoch wächst die
Anzahl der Graphen, auch der unbenannten, sehr schnell an. Dennoch können unbenannte
Graphen anhand ihrer Nummern sehr ezient aufgelistet werden. Beispielsweise kann das
Programm Nauty die 12005168 einfachen Graphen mit 10 Knoten in 20 Sekunden auisten.
Wie in Unterabschnitt 15.4.1 ist das allgemeine Prinzip des Algorithmus die Organisation
der Objekte, die numeriert werden sollen, in einem Baum, der traversiert wird. Dazu wirdin jeder Äquivalenzklasse benannter Graphen (das heiÿt für jeden unbenannten Graphen) ein
passender kanonischer Repräsentant festgelegt. Die folgenden sind die grundlegenden Operationen:
1. Testen, ob ein benannter Graph kanonisch ist;
2. Berechnen des kanonischen Repräsentanten eines benannten Graphen.
Diese unvermeidlichen Operationen bleiben aufwendig; deshalb versucht man, die Anzahl ihrer
Aufrufe zu minimieren.
Die kanonischen Repräsentanten werden in der Weise bestimmt, dass es zu jedem kanonischen
benannten Graphen G eine kanonische Festlegung einer Kante gibt, deren Entfernung wieder
einen kanonischen unbenannten Graphen produziert, der dann der Vater von G genannt wird.
Diese Eigenschaft hat zur Folge, dass die kanonischen unbenannten Graphen auf einer Menge V von Knoten als Knoten eines Baumes organisiert werden können: an der Wurzel steht
der Graph ohne Kanten; darunter sein einziges Kind, der Graph mit einer Kante; dann die
Graphen mit zwei Kanten usw. Die Menge der Kinder eines Graphen G kann durch Augmentation konstruiert werden, durch Hinzunahme jeweils einer weiteren Kante zu G, die auf allemöglichen Weisen erfolgt und nachfolgende Auswahl der Graphen, die noch kanonisch4 sind.
Rekursiv erhält man alle kanonischen Graphen.
In welchem Sinne ist dieser Algorithmus generisch? Betrachten wir z.B. planare Graphen(Graphen, die in der Ebene gezeichnet werden können, ohne dass sich Kanten kreuzen): durch
Entfernung einer Kante aus einem planaren Graphen erhalten wir wieder einen planaren
Graphen; somit bilden planare Graphen einen Teilbaum des vorhergehenden Graphen. Um siezu erzeugen kann exakt derselbe Algorithmus verwendet werden, der nur die Kinder auswählt,die planar sind:

sage: [len(list(graphs(n, property = lambda G: G.is_planar())))....: for n in range(7)][1, 1, 2, 4, 11, 33, 142]
Auf ähnliche Weise kann man jede abgeschlossene Famile von Graphen durch Entfernung vonKanten erzeugen und insbesondere jede Famile, die durch verbotene Teilgraphen charakterisiert ist. Das schlieÿt beispielsweise Wälder ein (Graphen ohne Schleifen), bipartite Graphen(Graphen ohne ungerade Schleifen) usw. Mit diesem Ansatz können auch erzeugt werden
4

In der Praxis würde eine eziente Implementierung die Symmetrien von G ausnutzen, d.h. seine automorphe
Gruppe, um die Anzahl der zu untersuchenden Kinder zu reduzieren und den Aufwand für jeden Test, ob
es kanonisch ist.

346

15.4. Generische Algorithmen• partielle Ordnungen über die Bijektion mit Hasse-Diagrammen, gerichtete Graphen ohne
Schleifen und ohne Kanten, die durch die Transitivität der Ordnungsrelation impliziert
werden;• Gitter (in Sage nicht implementiert), über die Bijektion mit passenden Halbgittern, diedurch Entfernen des gröÿten Knoten erhalten werden; in diesem Fall wird eine Augmentation der Knoten, nicht der Kanten vorgenommen.

1
2

0
3

1
2

0
3

1
2

1
0

2

3

0
3

1
2

1
0

2

0

3

3

1

1

2

0
3

1

2

2

0
3

0
3

1
2

0
3

1
2

0
3

Abb. 15.6 - Der Baum der einfachen Graphen mit 4 Knoten.

347

16. Graphentheorie
Dieses Kapitel bietet das Studium der Graphentheorie mit Sage. Zunächst wird die Klasse
Graph beschrieben (Abschnitt 16.1) wie auch ihre Methoden (Abschnitt 16.2). Dann werden
sie zur Lösung praktischer Probleme angewendet (Abschnitt 16.4) bzw. zur experimentellen
Verizierung theoretischer Resultate (Abschnitt 16.3)

16.1. Erzeugen eines Graphen
16.1.1. Beginn bei Null

Hier denieren wir Graphen als Paare (V, E), wobei V eine Menge von Knoten darstellt(vertices im Englischen) und E eine Menge von Kanten (edges im Englischen). Der Graph in
Abb. 16.1 ist auf der Menge der Knoten {0, 1, 2, 5, 9, 'Madrid', 'Edinburgh'} deniert und hat(1, 2), (1, 5), (1, 9), (2, 5), (2, 9) sowie ('Madrid', Edinburgh) als Kanten.
In Sage werden Graphen - kaum überraschend - durch die Klasse Graph dargestellt:

sage: g = Graph()
Voreingestellt ist, dass der Graph g zunächst leer ist. Das folgende Beispiel illustriert, wie
ihm Knoten und Kanten hinzugefügt werden: Sobald eine Kante erzeugt worden ist, werden
die zugehörigen Knoten - wenn sie nicht schon im Graphen enthalten sind - stillschweigend
eingefügt. Wir kontrollieren den Ablauf der Prozedur mit Methoden, deren Rollen leicht zu
erraten sind:

sage: g.order(), g.size()(0,0)
sage: g.add_vertex(0)sage: g.oder(), g.size()(1,0)
sage: g.add_vertices([1,2,5,9])
sage: g.order(), g.size()(5,0)
sage: g.add_edges([(1,5),(9,2),(2,5),(1,9)])sage: g.order(), g.size()(5,4)
sage: g.add_edge('Madrid','Edinburgh')
sage: g.order(), g.size()(7,5)
Das Hinzufügen der Kante (1, 2) bedeutet dasselbe wie das Hinzufügen der Kante (2, 1).
Man sieht auÿerdem, dass die Methoden add_vertex und add_edge beide einen Plural(add_vertices und add_edges) haben, dem jeweils eine Liste als Argument übergeben wird,
was eine kompaktere Schreibweise erlaubt (siehe z.B. Unterabschnitt 16.4.1, wo wir einen
Graph erzeugen, nachdem wir seine Kanten generiert haben).

349

16. Graphentheorie
Generell achtet Sage nicht auf den Typ der Objekte, die als Knoten eines Graphen verwendet
werden können. Sage akzeptiert in der aktuellen Version 7 jedes nicht mutable Python-Objekt(und daher auch keine Objekte der Klasse Graph), d.h. alles was ein Diktionär als Schlüssel
akzeptieren würde (siehe Unterabschnitt 3.3.9). Es ist dann selbstredend auch möglich, hinzugefügte Elemente mit Hilfe der Methoden delete_* wieder zu entfernen und die Knotenoder Kanten aufzuzählen, über die wir häug iterieren.

sage: g.delete_vertex(0)sage: g.delete_edges([(1,5), (2,5)])
sage: g.order(), g.size()(6,3)
sage: g.vertices()[1,2,5,9,'Edinburgh', 'Madrid']
sage: g.edges()[(1, 9, None), (2, 9, None), ('Edinburgh', 'Madrid', None)]
Für Sage sind Kanten in Wahrheit Tripel, deren letzter Eintrag ein Bezeichner (label ) ist. In
ihm werden meistens numerische Werte gespeichert - die zum Beispiel von Algorithmen fürden Fluss oder den Zusammenhang als Kapazitäten oder als Gewichtung für das Problem
der Kopplung (matching ) interpretiert werden - und kann auch ein nicht mutables Objekt
enthalten. Voreingestellt ist der Wert None.
Sind die Knoten und Kanten eines Graphen im voraus bekannt, kann man ihn auf kompakte
Weise mit einem Diktionär erzeugen, das jedem Knoten die Liste seiner Nachbarn zuordnet:

sage: g = Graph({....:
0 : []....:
1 : [5,9]....:
2 : [1,5,9],....:'Edinburgh' : ['Madrid']

Abb. 16.1 - Ein Graph, dessen Knoten Zahlen sind oder Zeichenketten

Auch dort könnte man sich erlauben, die Zeilen zu vergessen, die den Knoten 5, 9 oder
'Madrid' entsprechen, die ja schon als Nachbarn anderer Knoten aufgeführt worden sind.
Ebenso könnte man sagen, dass 1 ein Nachbar von 2 ist, obwohl 2 nicht in der Liste derNachbarn von 1 erscheint: die Kante (1,2) wird gleichwohl erzeugt.
Übung 60. (Zirkulierende Graphen). Der zirkulierende Graph mit den Parametern n, d ist

ein Graph mit n Knoten, die von 0 bis n − 1 numeriert sind (die wir uns auf einem Kreis
angeordnet denken können), sodass zwei Knoten u und v dann durch eine Kante verbundensind, wenn u ≡ v + c mod n ist und −d ≤ c ≤ d. Schreiben Sie eine Methode, der die
Parameter n und d übergeben werden und die den zugehörigen Graphen zurückgibt.

350

16.1. Erzeugen eines Graphen
16.1.2. Verfügbare Konstruktoren

Den vorstehehenden Illustrationen zum Trotz wird in Sage selten auf eine Adjazenztabelle
zugegrien oder gar manuell auf Kante nach der anderen, um einen Graphen zu erstellen.
Meistens ist es ezienter, sie mit Hilfe bereits vordenierter Elemente zu erstellen: die Methoden graphs.* erlauben die Erstellung von über 70 Graphen oder Graphenfamilien, die wir
jetzt vorstellen. Die Graphen von Chvatal und Petersen beispielsweise erhält man in Sage mit
folgenden Zeilen:

sage: P = graphs.PetersenGraph()
sage: C = graphs.CvatalGraph()
Beginnen wir die Beschreibung mit kleinen Graphen - im Gegensatz zu Graphenfamilien,denen wir später begegnen werden.
Diese Graphen tragen zumeist den Namen ihres Entdeckers oder eines
Objejektes, dem sie ähneln (ein Haus, ein Schnuller, ein Stier).
Kleine Graphen.

Sie erschienen oft als Gegenbeispiele zu bestimmten Vermutungen oder als kleinere Graphen,die diese oder jene Eigenschaft besaÿen. Der Graph von Petersen ist zum Beispiel nicht planar:
er besitzt - gleichzeitig - die beiden kleineren, vom Satz von Kuratowski verbotenen (K5 undK3,3 ). Es ist auÿerdem ein Graph ohne Dreieck (seine Masche - Umfang (girth) ist gleich 5),
3-regulär und von der chromatischen Zahl 3. Es ist auch ein knotentransitiver Graph. Jederseiner Parameter kann von Sage mittels der entsprechenden Methoden aufgefunden werden:
Kleine Graphen
BullGraph

ChvatalGraph

DesarguesGraph

DiamondGraph

ClawGraph
DodecahedralGraph

FlowerSnark

FruchtGraph

HeawoodGeaph

HexahedralGraph

HigmanSimsGraph

HomanSingletonGraph

HouseGraph

HouseXGraph

IcosahedralGraph

KrackhardtKiteGraph

LollipopGraph

MoebiusKantorGraph

OctahedralGraph

PappusGraphPetersenGraph

TetrahedralGraph

ThomsenGraphsage: P = graphs.PetersenGraph()
sage: P.is_planar()False
sage: P.minor(graphs.CompleteBipartiteGraph(3,3)){0: [0, 1, 1: [2, 7], 2: [8}, 3: [6, 9], 4: [5], 5: [3, 4]}
sage: P.minor(graphs.CompleteGraph(5))\{0: [0, 5], 1: [4, 9], 2: [2, 7], 3: [3, 8], 4: [1, 6]}
sage: P.girth()5
sage: P.is_regular()True
sage: P.chromatic_number()3
sage: P.is_vertex_transitive()
True
sage: P.show()351

16. Graphentheorie

Familien von Graphen. Die hier vorgestellten Konstruktoren beschreiben Familien von Graphen, sie nehmen deshalb einen oder mehrere Parameter als Argument auf (mit einer Ausnahme, nauty_geng, das keine besondere Familie von Graphen beschreibt, sondern die Menge
fast aller Graphen mit Isomorphismus - siehe Unterabschnitt 15.4.4).
Familien von Graphen
BarbellGraph

BubbleSortGraph

CircularLadderGraph

DegreeSequence

DegreeSequenceBipartite

DegreeSequenceCongurationModel

DegreeSequenceTree

DorogovtsevGoltsevMendesGraph

FibonacciTree

FuzzyBallGraph

GeneralizedPetersenGraph

Grid2dGraph

GridGraphHanoiTowerGraph

HyperStarGraph

KneserGraph

LCFGraph

LadderGraph

NKStarGraph

NStarGraph

OddGraph

ToroidalGrid2dGraphnauty_geng

In dieser Liste ndet sich eine Verallgemeinerung (eigentlich sogar zwei) des Petersengraphen:der Graph von Kneser. Dieser
 Graph wird ausgehend von zwei Parametern n und k erstellt,
und seine Knoten sind die nk Teilmengen der Gröÿe k von {1, . . . , n}. Zwei dieser Mengen sindgenau dann adjazent, wenn sie disjunkt sind. Die Kanten des Petersengraphen entsprechen
den Teilmengen der Gröÿe k = 2 einer Menge der Gröÿe 5:sage: K = graphs.KneserGraph(5, 2); P = graphs.PetersenGraph()
sage: K.is_isomorphic(P)
True
Nach Konstruktion sind die Knesergraphen auch knotentransitiv. Ihre chromatische Zahl ist
genau n − 2k + 2, ein überraschendes Ergebnis, das von Lovász vermittels des Satzes vonBorsuk-Ulam bewiesen worden ist und somit durch topologische Betrachtungen [Mat03]. Verizieren wir das gleich durch ein paar Beispiele:

sage: all(graphs.KneserGraph(n,k).chromatic_number() == n - 2*k + 2....:
for n in range(5,9) for k in range(2,floor(n/2)))
TrueÜbung 61.

(Graphen von Kneser). Schreiben Sie eine Funktion mit den beiden Parametern n, k , die den zugehörigen Knesergraphen ausgibt, und dies, wenn möglich, ohne if zu
verwenden.

352

16.1. Erzeugen eines Graphen
Folgende Graphen sind der Grundbestand, nämlich die gängigsten in
der Graphentheorie (vollständige Graphen, bipartit vollständige, zirkulierende, Pfade, Kreise,
Sterne usw.). Auch hier wieder eine Ausnahme: trees; diese Methode erlaubt die Iterationüber die Menge der Bäume mit n Knoten.
Elementare Graphen.

Diese letzte Klasse von Grapohen ist sehr reich an Eigenschaften. Wir nden da unter anderem die Gn,p und Gn,m , die beiden einfachsten Modelle von zufälligen
Graphen.
Zufallsgraphen.

Elementare Graphen
BalancedTree

CirculantGraph

CompleteBipartiteGraph

CompleteGraph

CubeGraph

CycleGraph

EmptyGraph

PathGraph

WheelGraphStarGraphtrees

Die Graphen Gn,p werden durch eine ganze Zahl n und eine reelle Zahl 0 ≤ p ≤ 1 festgelegt.
Wir erhalten einen Zufallsgraphen Gn,p mit n Knoten {0, . . . , n − 1}, indem für jedes der n2
Knotenpaare i, j eine Münze geworfen wird - wobei ihre Wahrscheinlichkeit, auf Zahl zu
fallen, gleich p ist - und dem Graphen die entsprechende Kante hinzugefügt wird, wenn Zahl
kommt.
Wir beobachten, dass bei jedem festgelegten Graphen H die Wahrscheinlichkeit, dass Gn,p H
als induzierten Teilgraphen enthält, gegen 1 tendiert, wenn 0 < p < 1 fest ist und n gegen
unendlich geht (siehe 16.3.4). H ist ein von G induzierter Teilgraph, wenn es eine Knotenmenge
S ⊆ V (G) gibt, sodass die Beschränkung auf S von G (d.h. der Graph, dessen Knoten S sindund dessen Kanten diejenigen Kanten von G sind, die nur die Knoten von S berühren) ist
isomorph zu H . Wir stellen auch fest, dass dieser Untergraph G[S] induziert.

sage: H = graphs.ClawGraph()
sage: def test():....:g = graphs.RandomGNP(20,2/5)....:
return not g.subgraph_search(H, induced=True) is Nonesage: sum(test() for i in range(100)) >= 80
True
16.1.3. Disjunkte Vereinigungen

Zusätzlich zu diesen Grundbausteinen erlaubt Sage mit Hilfe von zwei einfachen, aber ezienten Operationen die Vereinigung von disjunkten Graphen. Die Addition von zwei Graphen
entspricht ihrer disjunkten Vereinigung.

sage: P = graphs.PetersenGraph()
sage: H = graphs.HoffmanSingletonGraph()
sage: U = P + H; U2 = P.disjoint_union(H)sage: U.is_isomorphic(U2)
True
Das Produkt eines Graphen G mit einer ganzen Zahl k gibt die disjunkte Vereinigung von kKopien von G zurück:353

16. Graphentheorie
sage: C = graphs.ChvatalGraph()
sage: U = 3*C; U2 = C.disjoint_union(C.disjoint_union(C))
sage: U2.is_isomorphic(U)True
Die folgende Zeile erzeugt die disjunkte Vereinigung von drei Kopien des Petersengraphen undzwei Kopien des Graphen von Chvatal:

sage: U = 3*P + 2*C
Zufallsgraphen
DegreeSequenceExpected

RandomBarabasiAlbert

RandomBipartite

RandomGNM

RandomGNP

RandomHolmeKim

RandomInterval

RandomLobster

RandomNewmanWattsStrogatz

RandomRegularRandomShell

RandomTreePowerlaw

Es gibt viele Möglichkeiten, dieses Ergebnis zu erzielen, die alle Ausüchte dafür sind, ein
paar Zeilen Code zu schreiben. Beispielsweise dadurch, dass sichergestellt wird, dass jede
Verbindung mit einem der beiden Graphen isomorph ist:

sage: all((CC.is_isomorphic(P) or CC.is_isomorphic(C))....:
for CC in U.connected_components_subgraphs())
Trueoder durch Berechnung der genauen Anzahl von Untergraphen:sage: sum(CC.is_isomorphic(P)....:for CC in U.connected_components_subgraphs())
3 sage: sum(CC.is_isomorphic(C)....:for CC in U.connected_components_subgraphs())
2
Technische Details. Es muss gesagt werden, dass die Operationen Addition und Multiplikation hinsichtlich des Aufwands an Speicherplatz und Zeit Kopien sind. Das kann zuweilenQuelle von Verlangsamung werden. Andererseits wird die Modikation von P oder C nachvorstehendem Beispiel U nicht verändern. Mehr noch: bei diesen Operationen gehen zwei
Informationen verloren:- die Knoten des Endgraphen werden mit ganzen Zahlen {0, 1, 1, . . .} umnumeriert,- die Positionen der Knoten (im Plan) bleiben in U nicht erhalten.
Die Methode disjoint_union zeigt ein anderes Verhalten: wenn der Graph g einen Knoten
a enthält und der Graph h einen Knoten b, enthält der von g.disjoint_union(h) zurückgegebene Graph die Knoten (0, a) und (1, b). Für den Fall, dass a oder b nicht ganzzahlig
sind sondern andere Objekte (Zeichenkette, Tupel), dann vereinfacht die Anwendung dieser
Methode die Arbeit mit dem resultierenden Graphen erheblich.

354

16.1. Erzeugen eines Graphen
16.1.4. Ausgabe von Graphen

Ein sehr willkommener Aspekt des Studiums von Graphen in Sage ist die Möglichkeit, sie zu
visualisieren. Ohne Varianten oder Schnörkel genügt ein einziger Befehl:

sage: C = graphs.ChvatalGraph(); C.show()

Dabei handelt es sich um ein präzises Werkzeug zur Visualisierung bestimmter Funktionen.
Hier lassen wir eine unabhängige Menge zeichnen:

sage: C.show(partition = [C.independent_set()])

Dem Argument partition der Methode show wird, wie der Name sagt, eine Partition der
Knotenmenge, eine Zerlegung also, übergeben. Eine Farbe wird dann jeder Menge (hier nur
eine: rot) der Partition zugewiesen, um sie sichtbar zu unterscheiden. Eine letze Farbe (hier:355

16. Graphentheorierosa) wird dann denjenigen Knoten zugewiesen, die nicht in der Partition erscheinen. In unserem Beispiel haben wir somit insgesamt zwei Farben.
Es ist selbstverständlich möglich, die Farben selbst festzulegen, die man den Knoten geben
möchte, nämlich mittels eines Diktionärs und einer einigermaÿen natürlichen Syntax:

sage: C.show(vertex_colors = {....: "red" : [0,1,2],"blue" : [3,4,5],....: "yellow" : [6,7,8], "purple" : [9,10,11]})

Zuweilen wünscht man sich keine Grundfarben oder Mischfarben 1. Grades. Man kann die
Farben dann mit ihrem Hexadezimalcode festlegen, wie das auch bei HTML der Fall ist.
Methoden wie coloring sind genau dafür gemacht:

sage: C.coloring(hex_colors = True){'#00ffff': [3,8,5], '#7f00ff': [11],'#ff0000': [0,2,7,10], '#7fff0000': [1,4,6,9]}356

16.2. Methoden der Klasse Graph
Genauso verhält sich das Argument edge_colors:

sage: from sage.graphs.graph_coloring import edge_coloringsage: edge_coloring(C, hex_coloring = True){#00ffff}: [(0,6),(1,2),(3,9),(4,8),(5,10),(7,11)]#7f00ff}: [(0,9),(1,7),(2,6),(3,4),(5,11),(8,10)]#ff0000}: [(0,1),(2,3),(4,5),(6,11),(7,8),(9,10)]#7fff00}: [(0,4),(1,5),(2,8),(3,7),(6,10),(9,11)]
sage: C.show(edge_colors = edge_coloring(C, hex_colors = True))}

Es ist auch möglich, die von Sage erzeugten Graphen einzeln zu exportieren. Das folgende Beispiel erzeugt vollständige Graphen mit 3, 4, . . . , 12 Knoten undspeichert sie in den Dateien graph0.png, ..., graph9.png.
Bilder exportieren.

sage: L = [graphs.CompleteGraph(i) for in range(3,3+10)]
sage: for number, G in enumerate(L):....:G.plot().save('/tmp'/ + 'graph' + str(number) + '.png')
Für die Befehle show und plot gibt es keine ausführliche Dokumentation. Wir erwähnen
immerhin die Option figsize = 15, mit der die Auösung des Bildes bestimmt wird. Sie
erweist sich bei groÿformatigen Graphen als nützlich.

16.2. Methoden der Klasse Graph
Die Klasse Graph verfügt über mehr als 250 Methoden, wenn man diejenigen beiseite lässt, die
exclusiv in der Klasse DiGraph deniert sind, wo sie nur in angehängten Modulen erscheinen.
Das macht Sage zu einer ausdrucksstarken und vollständigen Bibliothek der Graphentheorie,
die es erlaubt, sich auf das Wesentliche zu konzentrieren, d.h. es wird vermieden, vor den
Funktionen, die uns interessieren erst noch andere Funktionen programmieren zu müssen.
Wie beim Erlernen jeder Programmiersprache (oder Bibliothek) ist es hilfreich, wenigstenseinmal die Liste ihrer Funktionen durchzugehen, um zu erkunden, was sie alles kann. Dieser

357

16. Graphentheorie(nicht erschöpfende) Abschnitt versucht, sie ..... vorzustellen. Dem Leser sei geraten, die paar
Minuten zu opfern, die für die Lektüre des Inhalts jeder Kategorie nötig sind - und auch dievollständige Liste der verfügbaren Methoden: die dafür benötigte Zeit wird sich angesichts
eines Graphenproblem schlieÿlich als gute Investition erweisen! Es ist ebenfalls ratsam, eineoene Sagesitzung vor sich zu haben, um die Dokumentation der dargestellen Funktionen
einsehen zu können (z.B. g.degree_constrained_subgraph?), von denen manche mehrere
Optionen haben oder wenn ihr Name nicht hinreichend aussagekräftig ist.
16.2.1. Modikation der Struktur von Graphen

Natürlich enthält ein Groÿteil der Klasse Graph Methoden, die mit der Denition und derModikation von Graphen zu tun haben, die erforderlich sind, obwohl sie keine merkliche
Funktionalität hinzufügen.
Methoden für den Zugri und die Modikation der Klasse Graph
add_cycle
add_edge
add_edges
add_pathadd_vertex
add_vertices
adjacency_matrix
allow_loops
allow_multiple_edges
allows_loops
allows_multiple_edges clear
delete_edge
delete_edges
delete_multiedge
delete_vertex
delete_vertices
edge_iterator
edge_label
edge_labels
edges
edges_incident
get_vertex
get_vertices
has_edge
has_loops
has_multiple_edges
has_vertex
incidence_matrix
latex_options
loop_edges
loop_vertices
loops
merge_vertices
multiple_edges
nameneighbor_iterator
neighbors
networkx_graphnum_edges
num_verts
number_of_loops
orde
relabelremove_loops
remove_multiple_edges rename
reset_namesave
set_edge_label
set_latex_options
set_vertex
set_vertices
size
subdivide_edge
subdivide_edges
vertex_iterator
vertices
weightedweighted_adjacency_matrix
16.2.2. Operatoren

Ebenfalls zu den Methoden zählen die Operatoren , die ein Objekt des Typs Graph (oderDiGraph) zurückgeben. Wird beispielsweise die Methode complement auf G angewendet, gibt
sie einen Graphen mit denselben Knoten zurück, dessen Kante uv nur existiert, wenn uv ∈/G
ist. Die Methode subgraph erlaubt ihrerseits, zu einem Graphen G den von einer gegebenen Knotenmenge induzierten Untergraphen zu erhalten, eine Operation, die G[{v1 , . . . , vk }]geschrieben wird.
Verizieren wir einige elementare Relationen. Das Komplement von P5 (geschrieben P̄5 ) ist
ein Haus, und die Graphen P4 und C5 sind autocomplementär:

358

16.2. Methoden der Klasse Graphsage: P5 = graphs.PathGraph(5); Haus = graphs.HouseGraph()
sage: P5.complement().is_isomorphic(Haus)
True
sage: P4 = graphs.PathGraph(4); P4.complement().is_isomorphic(P4)True
sage: C5 = graphs.CycleGraph(5); C5.complement().is_isomorphic(C5)
True
Sage deniert auch (mit der gleichnamigen Methode) den Kantengraphen (line graph) von G- oft mit L(G) bezeichnet - dessen Knoten den Kanten von G entsprechen und bei dem zwei
Knoten adjazent sind, wenn die entsprechenden Kanten in G inzident sind. Wir nden auchdie Denition verschiedener Produkte von Graphen. In jedem der folgenden Beispiele nehmen
wir an, dass G das Produkt von G1 und G2 ist, das auf der Knotenmenge V (G1 ) × V (G2 )deniert ist. Zwei Knoten (u, v), (u0 , v 0 ) sind genau dann adjazent, wenn:
Kartesisches Produkt

Lexikographisches Produkt

Disjunktes Produkt

Tensorprodukt

cartesian_productu = u0 und vv 0 ∈ E(G2 )oderuu0 ∈ E(G1 ) und v = v 0

lexicographic_product
uu0 ∈ E(G1 )oderu = u0 und vv 0 ∈ E(G2 )disjunctive_product
uu0 ∈ E(G1 )odervv 0 ∈ E(G2 )tensor_product
uu0 ∈ E(G1 )und
vv 0 ∈ E(G2 )Starkes Produkt

strong_produkt u = u0 und vv 0 ∈ E(G2 )uu0 ∈ E(G1 ) und v = v 0oder
uu0 ∈ E(G1 ) und vv 0 ∈ E(G2 )Wir können das quadratische Gitter GridGraph als cartesisches Produkt von zwei Pfaden
bilden:sage: n = 5; Path = graphs.PathGraph(n)sage: Grid = Path.cartesian_product(Path)sage: Grid.is_isomorphic(graphs.GridGraph([n,n]))True
Produkte, Operatoren

cartesian_produkt
copy
kirchhoff_matrix
lexicographic_productto_directed
tensor_productunion

categforial_productdisjoint_union
laplacian_matrix
strong_productto_simple
transitive_closurecomplement
disjunctive_productline_graphsubgraph
to_undirectedtransitive_reduction359

16. Graphentheorie
16.2.3. Traversierung von Graphen und Abstände

Sage bietet die üblichen Methoden zur Traversierung von Graphen wie die Tiefensuche (depth_
first_search) und die Breitensuche (breadth_first_search). Das sind grundlegende Routinen für die Abstandsberechnung, den Fluss oder die Konnektivität. Sage enthält auch eine Implementierung des weniger klassischen lex_BFS (lexicographic breadt_rst search ), die
zum Beispiel zum Erkennen triangulierter (cordaler) Graphen (vgl. is_chordal). Diese Methoden geben Listen von Knoten zurück, deren Ordnung der Reihenfolge ihres Aundens
entspricht1 :sage: g = graphs.RandomGNP(10, .6)
sage: list(g.depth_first_search(0))[0, 6, 9, 8, 4, 7, 3, 2, 1, 5]
sage: list(g.breadth_first_search(0))[0, 1, 6, 2, 3, 5, 8, 9, 4, 7]
sage: g.lex_BFS(0)[0, 1, 6, 3, 8, 9, 5, 2, 4, 7]
Mit Hilfe dieser Traversierungen denieren wir die Methode shortest_path, die wahrscheinlich die meistbenutzte von allen ist2 . Sage erlaubt gleichfalls die Berechnung verschiedener
Invarianten, die mit Abständen zu tun haben:- eccentricity: ordnet einem Knoten v den maximalen Abstand zu allen anderen Knoten
des Graphen zu;- center: gibt einen zentralen Knoten des Graphen zurück - sozusagen die kleinste Exzentrizität;- radius: liefert die Exzentrizizät eines zentralen Knotens;- diameter: gibt den gröÿten Abstand zwischen zwei Knoten zurück;- periphery: gibt die Liste der Knoten zurück, deren Exzentrizität gleich dem Durchmesser
ist.
Abstände, Traversierung

average_dstancedepth_first_search
distance_all_pairs
lex_BFS
shortest_path
shortest_path_length1

breadth_first_searchdiameterdistance_graphperiphery
shortest_path_all_pairs
shortest_paths

centerdistanceeccentricity
radiusshortst_path_length

lex_BFS eine Knotenliste zurückgibt, sind die Methoden depth_first_search undbreadth_first_search die Iteratoren über die Knoten, daher die Verwendung der Methode list2
Es ist anzumerken, dass shortest_path nicht unbedingt breadth_first_search aufruft: sind die Kanten
Wenn

mit Abständen gewichtet, wird es von Implementierungen des Algorithmus von Dijkstra (Standard oderbidirektional) abgelöst.

36016.2. Methoden der Klasse Graph16.2.4. Fluss, Konnektivität, Paarung (Matching)

Mit Hilfe der Methode flow (vgl. Unterabschnitt 17.4.3) kann Sage Probleme des gröÿten Flusses lösen3 . Dank der vorstehend erwähnten Traversierung enthält Sage auch mehrere Methoden, die mit dem Zusammenhang zu tun haben (is_connected, edge_connectivity, vertex_
connectivity, connected_components,...) wie auch mit Konsequenzen aus dem Satz vonMenger:Seien G ein Graph und u,v zwei seiner Knoten. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:- der Wert des maximalen Flusses zwischen u und v ist k (siehe flow);- es existieren k (aber nicht k+1) kantendisjunkte Pfade zwischen u und v (siehe
edge_disjoint_paths);- es existiert eine Menge von k Kanten in G, durch deren Entfernung aus dem Graphen
entfernt u und v getrennt werden (siehe edge_cut).
Gegenstücke dieser Methoden hinsichtlich des Zusammenhangs der Knoten sind flow (dankseiner Option vertex_bound=True), vertex_cut und vertex_disjoint_paths.
Wir verizieren, dass der Zusammenhang eines Zufallsgraphen Gn,p mit (sehr) groÿer Wahrscheinlichkeit seinem minimalen Grad gleicht:

sage: n = 30; p = 0.3; trials = 50
sage: def equality(G):....:return G.edge_connectivity() == min(G.degree())
sage: sum(equality(graphs.RandomGNP(n,p)) for i in range(trials))/trials
1
Wir können auch die Zerlegung eines Graphen in zweifache Knoten-Zusammenhangskomponenten
erhalten oder auch seinen Baum von Gomory-Hu durch blocks_and_cut_vertices bzw.
gomory_hu_tree.
Da es sich um eine grundlegende Funktion der Graphentheorie handelt, erwähnen wir hier auchdie Methode matching, die mit dem Algorithmus von Edmonds eine maximale Paarbildung
bewirkt. Die Paarbildung wird auch in den Unterabschnitten 16.4.2 und 17.4.2 angesprochen.
Flüsse, Zusammenhang,. . .

blocks_and_cut_vertices
connected_components
connected_components_subgraphedge_boundaryedge_cutedge_disjoint_spanning_trees
gomory_hu_tree
matching
vertex_boundary
vertex_cut

3

connected_component_containing_vertex
connected_components_number
degree_constraint_subgraphedge_connectivity
edhe_disjoint_paths
flow
is_connected
multicommodity_flow
vertex_connectivity
vertex_disjoint_paths

Es stehen noch zwei andere Methoden zur Verfügung: die erste folgt dem Algorithmus von Ford-Fulkerson,
die andere ist ein lineares Programm.

361

16. Graphentheorie
16.2.5. NP-vollständige Probleme

Für bestimmte NP-vollständige Aufgaben enthält Sage Algorithmen für eine exakte Lösung.
Wohlgemerkt können dieses Aufgaben je nach Fall lange Rechenzeiten benötigen, doch haben
reale Beispiele oft die angenehme Eigenschaft einfacher zu sein als die theoretischen Gegenbeispiele. Beispielsweise ist es möglich, folgende Optimierungsaufgaben zu lösen.
Eine maximale Clique eines Graphen ist eine
Menge von paarweise adjazenten Knoten maximaler Kardinalität (nicht adjazent im Falle einer
unabhängigen Menge). Eine Anwendung dieses Aufgabentyps wird in Unterabschnitt 16.4.1
vorgestellt. Der verwendete Algorithmus ist der des Programms Cliquer [NO].
Methoden: clique_maximum, independent_set
Cliquen und maximale unabhängige Mengen.

Eine echte Färbung der Knoten eines Graphen besteht
darin, je zwei adjazenten Knoten verschiedene Farben zu geben. Sage verfügt über mehrere Funktionen zur exakten Berechnung bestimmter Farbgebungen, wobei meistens lineare
Programmierung oder der Algorithmus Dancing Links verwendet wird. Die Erklärung eines
einfachen, aber nicht optimalen Färbealgorithmus ndet der Leser im Unterabschnitt 16.3.1.
Methoden: chromatic_number, coloring, edge_coloring, grundy_coloring4 .
Färbung von Knoten und Kanten.

Eine Knotenmenge S eines Graphen G heiÿt dominierend , wenn jeder
Knoten v von G Nachbar eines Elementes von S ist - wir sagen dann, dass sie führend ist oder wenn er selbst Element von S ist. Da die Menge aller Knoten trivialerweise dominierend
ist, besteht die Aufgabe darin, die Gröÿe der Menge S zu minimieren. Dieses Problem wird
in Sage mit Hilfe der linearen Programmierung gelöst.
Methode: dominating_set

Führende Menge.

Ein Graph heiÿt hamiltonisch , wenn ereinen Kreis besitzt, der jeden Knoten genau einmal passiert. Im Gegensatz zum Problem desEuler-Kreises - hier muss der Kreis genau einmal durch jede Kante von G gehen - ist dieses
Problem NP-vollständig und wird in Sage mit linearer Programmierung wie ein Spezialfall
des Problems des Handlungsreisenden gelöst.
Hamiltonkreis, Problem des Handlungsreisenden.

Wir illustrieren die Funktion hamiltonian_cycle, die einen Hamilton-Kreis zurückgibt, falls
ein solcher Kreis existiert (Abb. 16.2):

sage: g = graphs.ChvatalGraph(); cycle = g.hamiltonian_cycle()
sage: g.show(vertex_labels = False); cycle.show(vertex_labels = False)
Methoden: is_hamiltonian, hamiltonian_cycle, traveling_salesman_problem

4

Diese Methoden sind über die Klasse Graph nicht unmittelbar zugänglich. Um auf sie wie auch auf andere
Färbefunktionen zuzugreifen, konsultieren Sie das Modul graph_coloring362

16.2. Methoden der Klasse Graph

Abb. 16.2 - Der Graph von Chvatal und einer seiner Hamilton-Kreise

NP-vollständige Probleme (oder angeglichene)

automorphism_groupchromatic_number
coloring
edge_coloring
genus
independent_set_of_representatives
is_isomorphic
minor
multiway_cut
traveling_salesman_problem
vertex_covercharacteristicc_polynomial
chromatic_polynomial
disjoint_routed_paths
dominating_set
hamiltonian_cycle
is_hamiltonian
max_cut
multicommodity_flow
subgraph_searchsteiner_tree

Verschiedene Probleme. Sage kann auch das Geschlecht (genus) eines Graphen berechnen.
die maximalen Schnitte (max_cut), Steiner-Bäume (steiner_tree) usw. Es erlaubt auch die
Lösung von wichtigen Problemen wie Mehrfachüsse (multicommodity_flow), der Test auf
Existenz von Minoren (minor - Suche eines isomorphen Minoren zu einem gegebenen Graphen)oder die Suche nach Subgraphen (subgraph_search).

Obwohhl die theoretische Komplexität dieser Probleme noch nicht bekannt ist, sind doch
Algorithmen für das Problem des Isomorphismus von Graphen is_isomorphic sowie auchfür die Berechnung von Gruppen von Automorphismen von Graphen (automorphism_group)
verfügbar.
16.2.6. Erkennen und Prüfen von Eigenschaften

Viele NP-vollständige Probleme besitzen einen ezienten Lösungsalgorithmus (linear, quadratisch. . . ), wenn die Graphen zu einer bestimmten Klasse gehören. Es ist beispielsweise trivial,
ein Problem der maximalen Clique auf einem chordalen (triangulierten) Graphen zu lösen,und es ist polynomial (wenn auch kompliziert), eine optimale Färbung der Knoten eines vollkommenen Graphen zu berechnen. Sage besitzt für einige elementare Klassen von Graphen
Algorithmen zur Erkennung: Wälder (is_forest), Bäume (is_tree), bipartite Graphen(is_bipartite), eulersche Graphen (is_eulerian), reguläre Graphen (is_regular) usw.
Es ist ebenfall möglich, die folgenden Klassen zu identizieren.

363

16. Graphentheorie
Ein Graph heiÿt chordal , wenn er keinen Kreis als induzierten Subgraphzulässt, der gröÿer ist als 4. Auf dieselbe Weise kann jeder chordale Graph durch sequentielle
Wegnahme von Knoten zerlegt werden, deren Nachbarschaft ein vollständiger Graph ist (diese
Reihenfolge der Zerlegung wird Ordnung der vollständigen Elimination genannt). Erkannt
werden diese Graphen mittels einer lexikographischen Breitensuche (lex_BFS).
Methode: is_chordal
Chordale Graphen.

Sei I = {I1 , . . . , In } eine endliche Menge von Intervallen von Mengenreeller Zahlen. Wir denieren für I einen Graphen G auf n Knoten, dessen Knoten i und j
genau dann adjazent sind, wenn die Intervalle Ii und Ij eine nichtleere Schnittmenge haben.
Die Graphen der Intervalle sind diejenigen, die wir auf diese Weise erhalten können. Sie bilden
eine Unterklasse der chordalen Graphen, welche in linearer Zeit dank der Struktur von PQBäumen zu erkennen ist.
Methode: is_intervalIntervallgraphen.

Vollkommene Graphen. Ein Graph G heiÿt vollkommen , wenn für jeden induzierten Subgraph G0 ⊆ G die chromatische Zahl von G gleich der maximalen Gröÿe einer Clique ist (d.h.

die Gleichheit von χ(G0 ) = ω(G) ist gegeben). Auch wenn das Erkennen solcher Graphen ein
polynomiales Problem ist, sind die bekannten Algorithmen komplex und die Implementierung
von Sage verwendet einen exponentiellen Algorithmus.
Methode: is_perfect
Ein Graph G heiÿt knotentransitiv , wenn für jedes Knotenpaar
u und v ein Isomorphismus h : V (G) 7→ V (G) so existiert, dass h(u) = v ist. Obwohl die
theoretische Komplexität dieses Problems noch nicht ermittelt ist, ist die in Sage verfügbare
Implementation sehr ezient.
Methode: is_vertex_transitive

Knotentransitive Graphen.

Nur bestimmte Graphen lassen sich kartesisches Produkt einer Folge von Graphen G1 , . . . , Gk ausdrücken. Es ist auÿerdem möglich, zu einem
gegebenen zusammenhängenden Graphen die einzige Möglichkeit zu nden, ihn so mit Hilfe
eines eleganten Ergebnisses der Charakterisierung zu nden, das leicht in einen polynomialen
Algorithmus übersetzt werden kann.
Methode: is_cartesian_transitive
Kartesisches Produkt von Graphen.

Zu zahlreichen Klassen von Graphen ndet man auÿer ihrer Charakterisierung durch eine
Konstruktion (die chordalen Graphen) oder eine spezielle Eigenschaft (die vollkommenen Graphen) eine äquivalente Formulierung mittels ausgeschlossener Subgraphen. Das läuft darauf
hinaus zu sagen, dass ein Graph G genau dann zu einer Klasse C gehört, wenn in ihm Graphenaus {G1 , . . . , Gk } vorkommt. In diesem Fall kann man einen Erkennungsalgorithmus beschrei-ben, der nur auf die Existenz jedes dieses Subgraphen testet, was der Befehl subgraph_searchzu tun erlaubt.

364

16.3. Graphen in Aktion
Erkennen und Prüfen von Eigenschaften

is_bipartite
is_equitable
is_forest
is_overfull
is_subgraphis_triangle_free

is_cordal
is_eulerian
is_interval
is_regular
is_transitively_reduced
is_vertex_transitiveis_directed
is_even_hole_free
is_odd_hole_free
is_split
is_tree

16.3. Graphen in Aktion
Es ist nun an der Zeit, aus den Funktionen, die wir gefunden haben, Nutzen zu ziehen. Die
folgenden Beispiele haben zur Motivation einen praktischen oder theoretischen Vorwand undsind nicht generell die beste Art und Weise, Sage zur Lösung der Probleme zu verwenden, diesie beschreiben. Oft sind sie roh und aufzählend, aber das verleiht ihnen auch ihren Charme:
ihr Ziel ist natürlich das Aufstellen einer Liste von leicht und bequem zugänglichen Anwendungsbeispielen für die Verwendung der Bibliothek der Graphen von Sage - alles ist hier inder Form, nicht in der Substanz.
16.3.1. Gierige Färbung der Knoten eines Graphen

Das Färben der Knoten eines Graphen besteht darin, jedem von ihnen eine Farbe zuzuweisen(wir nehmen hier an, dass eine ganze Zahl eine Farbe bedeutet), und dies so, dass jeder Knoten
eine Farbe hat, die von den Farben seiner Nachbarn verschieden ist. Das ist selbstverständlichmöglich: es genügt, soviele Farben zu wählen wie der Graph Knoten hat; aus diesem Grund ist
das Färbungsproblem ein Minimierungsproblem: zu einem gegebenen Graphen G die kleinste Anzahl von Farben chi(G) zu nden, die die Färbung der Knoten unter der genannten
Bedingung erlaubt.
Auch wenn die Berechnung der Zahl chi(G) ein schwieriges Problem ist, das sich an eine
beeindruckende Literatur anlehnt, wird ein Leser mit eher praktischem Blick entzückt sein zu
erfahren, dass es recht schnell gelingen kann, näher am Optimum zu sein als durch Verwendungvon |V | Farben. Diesen schlagen wir folgenden Algorithmus vor: Gierige Färbung der Knoten
eines Graphen.
Wir wählen einen Knoten zufällig und geben ihm die Farbe 0. Der Reihe nach wählen wir
einen noch nicht gefärbten Knoten und geben ihm als Farbe die kleinste ganze Zahl, die vonseinen Nachbarn nicht verwendet wird.
Dieser Algorithmus erfordert zur Erklärung nur einige Zeilen und genauso läuft es in Sage ab.
Wir wenden ihn hier auf einen Zufallsgraphen an:

365

16. Graphentheorie
sage: n = 100; p = 5/n; g = graphs.RandomGNP(n, p)
sage: # Menge der verfügbaren Farben.
sage: # In der Mehrzahl der Fälle genügen n Farben
sage: verfuegbare_farben = Set(range(n))
sage: # Dieses Diktionär enthält die jedem
sage: # Knoten des Graphen zugeordnete Farbe
sage: farbe = {}sage: for u in g:....:
verbotene = Set([farbe[v] for v in g.neighbors(u)....:if v in farbe])....:
farbe[u] = min(verfuegbare_farben - verbotene)sage: # Anzahl der verwendeten Farben sage: max(farbe.values()) + 1
6
Das ist deutlich ezienter als mit 100 Farben zu arbeiten. Es ist indessen einfach, diesen
Algorithmus zu verbessern, da man bemerkt, dass die Färbung eines Graphen von einer Unbekannten abhängt: der Reihenfolge, in welcher die Knoten ausgewählt werden. Es stimmt,
dass wir mit diesem Algorithmus über die Reihenfolge keinerlei Kontrolle haben, weil wir uns
damit begnügen, die Knoten mittels  for u in g aufzuzählen, was vor allem der Kürze desProgramms zugute kommt. Das lehrreiche Kapitel 15 hat die Aufzählung von Mengen in Sagebehandelt, wozu auch Permutationen gehören. Besser noch, diese Klasse beitzt eine Methoderandom_element, derer wir uns nun bedienen können.

sage: P = Permutations([0,1,2,3]); P.random_element()[2, 0, 1, 3]
Daher werden wir versuchen, bessere Resultate zu erzielen, in dem wir die Knoten unseres
Graphen 30 mal kolorieren, jeweils in der Reihenfolge wie sie die zufällige Permutation ergibt.
Es ergibt sich der folgende Code, den wir auf den eben denierten Graphen anwenden:

sage: verfuegbare_farben = Set(range(n))
sage: anzahl_tests = 30
sage: knoten = g.vertices()sage: P = Permutations(range(n))
sage: bessere_faerbung = {}sage: bessere_chromatische_zahl = +oo
sage: for t in range(anzahl_tests):....:# Zufällige Ordnung auf den Knoten....:
p = P.random_element()....:
farbe = {}....:for i in range(g.order()):....:
u = knoten[p[i]]....:verbotene = Set([farbe[v] for v in g.neighbors(u)....:if v in farbe])....:
farbe[u] = min(verfuegbare_farben - verbotene)....:# Aktualisierung der besseren Färbung....:
if max(farbe.values()) + 1 < bessere_chromatische_zahl:....:
bessere_faerbung = farbe....:bessere_chromatische_zahl = 1 + max(farbe.values())

366

16.3. Graphen in Aktion
sage: # Anzahl der verwendeten Farben
sage: bessere_chromatische_zahl
4
Ein Gewinn, immerhin! Doch war diese ganze Artillerie zur Aktualisierung des Mininimums
gar nicht erforderlich. Das Umprogrammieren, wie hier ausgeführt, erübrigt sich. In Python
ist die groÿe Mehrheit der Objekte - und im vorliegenden Fall die Paare Ganzzahl, Diktionär
- vergleichbar, und dies in lexikographischer Ordnung (zuerst vergleichen wir die ersten Terme- eine ganze Zahl - dann den zweiten - ein Diktionär - was hier keine groÿe Bedeutung hat).
Wir schreiben unsere ersten Codezeilen um und machen eine Funktion daraus. Man kann das
folgende Ergebnis erhalten:

sage: def gierige_faerbung(G, permutation):....:n = g.order()....:verfuegbare_farben = Set(xrange(n))....:
knoten = g.vertices()....:
farbe = {}....:for i in range(g.order()):....:
u = knoten[permutation[i]]....:verbotene = Set([farbe[v] for v in g.neighbors(u)....:if v in couleur])....:farbe[u] = min(verfuegbare_farben - verbotene)....:
return max(farbe.values()) + 1, farbe
Ist diese Funktion deniert, machen wir 50 Versuche und das Aunden des Minimums ist
eine Trivialität:

sage: P = Permutations(range(g.order()))
sage: anzahl_farben, coloration = min(....:gierige_faerbung(g, P.random_element()) for i in range(50))
sage: nombre_couleurs4
Um einen Graphen mit der Mindestzahl an Farben zu färben, ist die Verwendund der Methodecoloring vorzuziehen. Da diese Aufgabe NP-vollständig ist, muss man sich mit einer längeren
Rechenzeit abnden als bei einer gierigen Färbung.

Übung 62.

(Optimale Reihenfolge bei gieriger Färbung) Der Algorithmus der gierigen Färbung kann einen Graphen mit einem Minimum an möglichen Farben färben. Mit der Methode coloring, die eine optimale Färbung berechnet, ist eine Funktion zu schreiben, die eine
Reihenfolge der Knoten zurückgibt, bei welcher der Algorithmus der gierigen Färbung eine
optimale Färbung ausbildet.

16.3.2. Erzeugung von Graphen unter BedingungenZufallsgraphen Gn,p haben sehr interessante Zusammenhangseigenschaften. Insbesondere sindihre minimalen Paarungen fast immer die Nachbarschaft eines Knotens: wir nden daher dort
Paarungen, von denen eine der beiden verbundenen Komponenten ein eindeutiger Knoten ist.
Das kann auch ungünstig aussehen: die ganze beachtliche Menge der Knoten deniert eine
Paarung, deren Kardinalität angesichts der minimalen Paarung sehr groÿ ist. Es ist indessen367

16. Graphentheorie
mit viel Geduld (um groÿe Graphen zu bekommen) und wenigen Zeilen Sage möglich, etwas
andere Zufallsgraphen zu erzeugen. Hier das Verfahren, das wir implementieren werden.
Seien n und k zwei Zahlen; die erste bezeichne eine Knotenzahl und die zweite einen Zusammenhang. Der Algorithmus beginnt mit einem Baum mit n Knoten, berechnet eine minimale
Paarung und ihre beiden korrespondierenden Mengen. Solange diese minimale Paarung von00
kleinerer Kardinalität ist als k < k , werden k − k aus den beiden Mengen zufällig ausgewählte
Kanten hinzugefügt.

Wie vorher auch werden wir zu zwei gegebenen Mengen S und T ein Paar von Elementen(s, s̄) ∈ S × S̄ erzeugen müssen. Dafür nehmen wir die Klasse CartesianProduct und ihre
Methode random_element.

sage: n = 20; g = graphs.RandomGNP(n, 0.5)....:g = g.subgraph(edges = g.min_spanning_tree()))
sage: while True:....:-, edges, [S,Sb] = g.edge_connectivity(vertices = True)....:
cardinality = len(edges)....:
if cardinality < k:....:
CP = CartesianProduct(S, Sb)....:g.add_edges([CP.random_element()....:
for i in range(k - len(edges))])....:else: break
Damit ist alles gesagt.
16.3.3. Anwendung eines probabilistischen Algorithmus bei der Suche nach einergroÿen unabhängigen Menge

Auch wenn Sage eine Methode Graph.independent_set besitzt, die in einem Graphen die Suche nach einer unabhängigen Menge maximaler Gröÿe ermöglicht (einer Menge von paarweise
nicht adjazenten Knoten), hindert uns nichts, mittels amüsanter Ergebnisse der Graphentheorie unsererseits eine unabhängige Menge aufzupüren. Wir lesen beispielsweise in dem Buch
The Probalistic Method [AS00], dass in jedem Graphen G eine unabhängige Menge S existiert, sodass
X
1
|S| ≥
,
d(v) + 1v∈G

wobei d(v) der Grad von v ist. Der Beweis dieses Ergebnisses erfolgt in folgendem Algorithmus.
Sei n : V

→ {1, . . . , |V |} eine zufällige Bijektion, die jedem Knoten in G eine ganze Zahl

eindeutig zuordnet. Ordnen wir nun dieser Funktion eine unabhängige Menge Sn zu, die als die
Menge von Knoten aus G deniert ist, welche ein kleineres Bild haben als alle ihre Nachbarn(minimale Knoten). Als Formel schreiben wir dafür:

Sn = {v ∈ G | ∀u: uv ∈ E(G), n(v) < n(u)} .
Diese Menge ist unabhängig kraft Denition, doch wie vergewissern wir uns ihrer Gröÿe?
Tatsächlich reicht es hin, sich bei jeden Knoten zu fragen, mit welcher Häugkeit er in der368

16.3. Graphen in Aktion
Menge Sn erscheint. Wenn wir die Menge P der Bijektionen von V auf {1, . . . , |V |} betrachten,
stellen wir fest
X
XX
|Sn | =
1 wenn v minimal ist für n, 0 sonst
n∈Pn∈P v∈G

!
=
=

X

X

v∈G

n∈P

X
v∈G

1 wenn v minimal ist für n, 0 sonst

X
1
|P |
= |P |.
d(v) + 1
d(v) + 1v∈G

Folglich
entspricht eine solche Funktion im Mittel einer unabhängigen Menge der GröÿeP
1v∈G d(v)+1 . Um eine Menge dieser Gröÿe in Sage zu bekommen, verwenden wir deshalb
zufällige Bijektionen aus der Klasse Permutations, bis wir die durch den Satz versprochene
Menge erhalten:

sage: g = graphs.RandomGNP(40, 0.4)
sage: P = Permutations(range(g.order()))
sage: mittel = sum(1/(g.degree(v)+1) for v in g)sage: while True:sage:n = P.random_element()sage:
S = [v for v in g if all(n[v] < n[u] for u in g.neighbors(v))]
sage:
if len(S) >= mittel: break
16.3.4. Suchen eines induzierten Subgraphen in einem Zufallsgraphen

Wir werden uns jetzt mit Zufallsgraphen Gn,p beschäftigen, die in Unterabschnitt 16.1.2 bei
den Konstruktoren für Graphen kurz beschrieben worden sind. Wie bereits erwähnt, besitzen
diese Graphen die folgende Eigenschaft:
Sei H ein Graph und 0 < p < 1. Dann gilt:

lim P [H ist ein von Gn,p induzierter Subgraph] = 1n→+∞was bedeutet, dass für gegebene H und p ein groÿer Zufallsgraph immer einen
induzierten Subgraphen H enthalten wird (siehe Denition in 16.1.2).

Sagen wir es deutlicher: sind ein Graph H und ein ein groÿer Zufallsgraph gegeben, ist esmöglich, eine Kopie von H in Gn,p zu nden, und zwar dadurch, dass jedem Knoten vi von
V (H) = {v1 , . . . , vk } iterativ ein Repräsentant hi zugeordnet wird, wobei jeder vi eine korrekte Erweiterung der bereits ausgewählten Knoten ist. Wir werden daher diesem Algorithmus
folgen:- ordne v1 einen Zufallsknoten h(v1 ) ∈ Gn,p zu;- ordne v2 einen Zufallsknoten h(v2 ) ∈ Gn,p zu, sodass h(v1 ) und h(v2 ) in G genau dannadjazent sind, wenn v1 und v2 in H adjazent sind;
- ...

369

16. Graphentheorie- nach j < k Schritten haben wir jedem der vi (i ≤ j) einen Repräsentanten h(vi ) ∈ Gn,pso zugeordnet, dass für alle i, i0 ≤ j, h(vi )h(vi0 ) ∈ E(H) dann und nur dann gilt, wenn
vi vi0 ∈ E(H) ist. Nun ordnen wir vj+1 einen Zufallsknoten h(vj+1 ) so zu, dass für alle i ≤ jdann h(vi )h(vj+1 ) bestätigt, dass h(i)hj+1 ∈ E(G) genau dann gilt, wenn vi vj+1 ∈ E(H)
ist.
- ...
- nach k Schritten ist der von den Repräsentanten der Knoten v1 , . . . , vk induzierte Subgraphvon Gn,p eine Kopie von H .
Proposition. Wenn n groÿ wird, funktioniert diese Strategie mit groÿer Wahrscheinlich-keit.

Beweis. Wir schreiben Hj = H[{v1 , . . . , vj }] und bezeichnen mit P [H 7→ind Gn,p ] die Wahr-

scheinlichkeit, dass H ein induzierter Subgraph von Gn, p ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass
Hj , doch nicht Hj+1 ein induzierter Subgraph von Gn,p ist, können auf folgende Weise wir
grob eingrenzen:- Ist eine Kopie von Hj in einem Graphen Gn,p gegeben, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass kein anderer Knoten die aktuelle Kopie zu einer Kopie von Hj+1 vervollständigenkann. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten akzeptiert wirddp Hj+1(vj+1 )

j−dHj+1 (vj+1 )(1 − p)≥ min(p, 1 − p)j ,dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der verbliebenen n − j Knoten akzeptabel ist,höchstens(1 − min(p, 1 − p)j )n−j .

- In unserem Graphen gibt es maximal j! nj verschiedene Kopien von Hj (tatsächlich nj
Möglichkeiten, eine Menge von j Knoten auszuwählen und j! Bijektionen zwischen diesen
Knoten und denen in Hj ).
Da 0 < p < 1 ist, schreiben wir 0 <  = min(p, 1 − p); infolgedessen ist die Wahrscheinlichkeit,
dass Hj ein induzierter Subgraph von Gn,p ist, nicht aber Hj+1 , für jedes bestimmte j ≤ khöchstens nj!
(1 − j )n−j ≤ j!nj (1 − j )n−j = o(1/n),j
was mit wachsendem n asymptotisch gegen null geht. Wir haben schlieÿlich

P [H 7→ind Gn,p ] ≥ 1 − P [H2 7→ind Gn,p , H3 67→ind Gn,p ]− P [H3 7→ind Gn,p , H4 67→ind Gn,p ]...
− P [Hk−1 7→ind Gn,p , Hk 67→ind Gn,p ]X
P [H 7→ind Gn,p ] ≥ 1 −j!nj (1 − j )n−jj≤k

≥1−k o 
1.
nAuÿerdem liefert uns dieser Beweis einen Zufallsalgorithmus, der uns die Suche nach einer
Kopie des Graphen H in einem Zufallsgraphen Gn,p ermöglicht. Auch wenn dieser Algorithmus

370

16.4. Einige mit Graphen modellierte Probleme
eine existierende Kopie von H nicht immer ndet, geht die Wahrscheinlichkeit dafür dochgegen 1, wenn n gegen unendlich geht.

sage: def suche_induziert(H, G):sage:# die Abbildung von V(H) auf V(G), die wir zu definieren suchensage:
f = {}
sage:# Menge der von f noch nicht verarbeiteten Knoten von G
sage:
G_verbleibend = G.vertices()
sage:# Menge der Knoten, für die wir noch keinen Repräsentanten gefunden habensage:
H_verbleibend = H.vertices()sage:# Solange die Funktion noch nicht vollständig ist
sage:
while H_verbleibend:sage:v = H_verbleibend.pop(0)sage:# wir suchen den nächsten Knoten aus H und seine möglichen Bilder
sage:
kandidaten = [u for u in G_verbleibend ifsage:
all([.has_edge(h,v) == G.has_edge(f_h,u)sage:for h, f_h in f.iteritems()])]
sage:# wenn wir keinen finden, brechen wir ab
sage:
if not kandidaten:
sage:
raise ValueError('No copy of H has been found in G')
sage:# wenn doch, nehmen wir den ersten davon
sage:
f[v] = kandidaten[0]sage:
G_verbleibend.remove(f[v])sage:
return f
Um einen Graphen H in einem Graphen G zu suchen, ist es ezienter, vonder Methode Graph.subgraph_search Gebrauch zu machen.

Als Einzeiler.

16.4. Einige mit Graphen modellierte Probleme
16.4.1. Ein Rätsel aus der Zeitschrift Le Monde 2

In der Nr. 609 von Le monde 2 konnte man das folgende Rätsel nden:
Wie groÿ ist die gröÿte Menge S ⊆ {0, . . . , 100}, die keine Paare ganzer Zahlen

i, j ∈ S enthält, für die gilt, dass |i − j| ein Quadrat ist?
Dieses Problem ist mit dem Formalismus der Graphentheorie einfach zu modellieren. Die
Relation  |i−j| ist ein Quadrat  ist binär und symmetrisch, daher können wir damit beginnen,
den Graphen auf der Menge der Knoten {0, . . . , 100} zu erzeugen, worin jeweils zwei Knoten
adjazent (inkompatibel) sind, wenn ihre Dierenz ein Quadrat ist. Dafür verwenden wir die
Klasse Subsets, die uns im vorliegenden Fall ermöglicht, über die Teilmengen der Gröÿe 2 zu
iterieren.

sage: n = 100; V = range(n+1)
sage: G = Graph()
sage: G.add_edges([(i,j) for i,j in Subsets(V,2) if is_square(abs(i-j))])371

16. Graphentheorie
Nachdem wir auf der Suche nach einer Mengen mit einem Maximum an kompatiblen Elementen sind, können wir die Methode independent_set aufrufen, die eine gröÿte Teilmenge
von Elementen zurückgibt, die paarweise nicht adjazent sind.

sage: G.independent_set()[4, 6, 9, 11, 16, 21, 23, 26, 28, 33, 38, 43, 50,
56, 61, 71, 76, 78, 83, 88, 93, 95, 98, 100]
Die Antwort ist also 24 und nicht 42. Folglich war das Rätsel aus Le Monde 2 nicht diegroÿe Frage Was ist das Leben, die Welt und überhaupt. Die Antwort darauf müssen wir
noch weiter suchen.
16.4.2. Die Zuordnung von Aufgaben

Wir benden uns nun in folgender Situation: auf einer wichtigen Baustelle sollen zehn Personen
insgesamt zehn Aufgaben ausführen. Wir können jede Person mit einer Teilliste von Aufgaben
verbinden, die in ihren Kompetenzbereich fallen. Wie sind die Aufgaben zu verteilen, damit
alles nach den Regeln der Kunst abläuft?
Auch hier beginnen wir wieder mit der Modellierung des Problems durch einen Graphen: er sei
zweiteilig, deniert auf der Vereinigungsmenge {w0 , . . . , w9 } ∪ {t0 , . . . , t9 } von Personen und
Aufgaben, und wir denieren ti als adjazent an wj , falls wj in der Lage ist, ti auszuführen.

sage: tasks = {0: [2, 5, 3, 7], 1: [0, 1, 4],....: 2: [5, 0, 4],
3: [0, 1],....: 4: [8],5: [2], ....: 6: [8, 9, 7]
7: [5,8,7],....: 8: [2, 5, 3, 6, 4]
9: [2, 5, 8, 6, 1]} sage: G = Gtraph()
sage: for i in tasks:....: G.add_edges(("W" + str(i), "t" + str(j)) for j in tasks[i])Es bleibt uns jetzt nur noch, die Methode matching anzuwenden, die uns eine gröÿte Menge von Aufgaben zurückgibt, die gleichzeitig von den Personen ausgeführt werden, die das
können:sage: for task, worker,_ in sorted(G.matching()):....: print task, "kann von", worker, "ausgeführt werden"
t0 kann von w2 ausgeführt werden
t1 kann von w3 ausgeführt werden
t2 kann von w5 ausgeführt werden
t3 kann von w8 ausgeführt werden
t4 kann von w1 ausgeführt werden
t5 kann von w7 ausgeführt werden
t6 kann von w9 ausgeführt werden
t7 kann von w0 ausgeführt werden
t8 kann von w4 ausgeführt werden
t9 kann von w6 ausgeführt werden372

16.4. Einige mit Graphen modellierte Probleme
16.4.3. Planung eines Turniers
Gegeben ist eine Anzahl von Mannschaften, die an einem Turnier teilnehmen, bei dem jedeMannschaft einmal gegen jede andere Mannschaft antritt. Wie kann man den Ablauf auf die
schnellstmögliche Art organisieren, wenn mehrere Begegnungen gleichzeitig stattnden können?

Dieses Aufgabe ist ein typischer Fall für die Anwendung der Kantenfärbung aus der Graphentheorie. Die Aufgabe besteht darin, für einen gegebenen Graphen G jeder Kante eine (evtl.
abstrakte) Farbe so zuzuweisen, dass kein Knoten zwei Kanten gleicher Farbe berührt. Auf
gleiche Art läuft dieses Problem darauf hinaus, eine Partition von gekoppelten Kanten (Vereinigungsmenge disjunkter Kanten) mit minimaler Kardinalität zu nden. Im vorliegenden Fallversuchen wir, die Kanten eines vollständigen Graphen zu färben, von denen jede ein Spiel
repräsentiert, das von zwei Mannschaften ausgetragen wird, für welche die beiden Knoten
stehen.

sage: n = 10
sage: G = graphs.CompleteGraph(n)sage: from sage.graphs.graph_coloring import edge_coloringsage: for tag, spiele in enumerate(edge_coloring(G)):....:
print "Spiele Tag", tag, ":", spiele
Spiele Tag 0 : [(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)]Spiele Tag 1 : [(0, 2), (1, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)]
Spiele Tag 2 : [(0, 4), (1, 3), (2, 9), (5, 8), (6, 7)]Spiele Tag 3 : [(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 9), (7, 8)]Spiele Tag 4 : [(0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 9)]Spiele Tag 5 : [(0, 1), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 9)]Spiele Tag 6 : [(0, 3), (1, 2), (4, 8), (5, 7), (6, 9)]Spiele Tag 7 : [(0, 5), (1, 4), (2, 3), (6, 8), (7, 9)]Spiele Tag 8 : [(0, 7), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (8, 9)]Diese Lösung kann leicht an den Fall angepasst werden, wo nicht jeder gegen jeden spielen
muss.

373

17. Lineare Programmierung
Dieses Kapitel geht auf die lineare Programmierung (LP) ein und die lineare Programmierung mit ganzen Zahlen (MILP) mit vielen Illustrationen von Problemen, die damit gelöst
werden können. Die angeführten Beispiele stammen groÿenteils aus der Graphentheorie, dieeinfachsten können ohne besondere Vorkenntnisse verstanden werden. Und was die Kombinatorik betrit, reduziert sich der Gebrauch der linearer Programmierung auf das Verständnis,
wie ein Existenz- oder Optimierungsproblem in die Form linearer Bedingungen umgeschrieben
werden kann.

17.1. Denition
Ein lineares Programm ist ein System von linearen Ungleichungen, für das wir eine optimale
Lösung suchen. Formell denieren wir es durch eine Matrix A : Rm → Rn und zwei Vektorenb ∈ Rn und c ∈ R. Die Lösung eines linearen Programms läuft nun darauf hinaus, einen Vektor
x zu nden, der eine Zielfunktion maximiert und dabei einem System von Bedingungen genügt,
d.h.
ct tx =
maxy,sodassAY ≤bwobei die Relation u ≤ u0 zwischen zwei Vektoren bedeutet, dass alle Einträge von u kleineroder gleich den entsprechenden Einträgen von u0 sind. Dafür schreiben dafürmaximiere: ct x
sodass: Ax ≤ b.
Das folgende lineare Programm bekommt die Lösung x = 4, y = 0 und z = 1.6:
max: x + y + 3
sodass: x + 2y ≤ 45z − y ≤ 8
Genauso können wir sagen, dass die Lösung eines linearen Programms darauf hinausläuft,einen Punkt zu nden, der eine lineare Funktion maximiert, die auf einem Polytop deniert
ist (Urbild A−1 (≤ b)). Diese Denitionen erklären uns bislang noch nicht den Zusammenhang
der linearen Programmierung mit der Kombinatorik, dem Hauptziel dieses Kapitels. Wir
werden daher sehen, wie mit diesem Formalismus andere Probleme zu lösen sind, darunterdas Rucksackproblem (Unterabschnitt 17.4.1), das Problem der Kopplung (Unterabschnitt
17.4.2) oder des Flusses (Unterabschnitt 17.4.3). In Abschnitt 17.5 benutzen wir die Erzeuger
der Bedingungen zur Lösung des Existenzproblems Hamiltonzyklus.

375

17. Lineare Programmierung

17.2. Ganzzahlige Programmierung
Die momentan gegebene Denition wird von einer schlechten Nachricht begleitet: die Lösung
eines linearen Programm kann möglicherweise in polynomialer Zeit berechnet werden. Diese
Nachricht ist schlecht, weil es bedeutet, dass es bei Denition eines linearen Programms exponentieller Gröÿe nicht möglich sein wird, dieses Verfahren zur Lösung von NP-vollständigenProblemen einzusetzen. Glücklicherweise kompliziert sich dies alles, sobald wir als Bedingung
hinzufügen, dass alle oder einige Komponenten ganzzahlig sein müssen und nicht reell. In diesen Fällen erhalten wir ein lineares Programm in ganzen Zahlen (ILP), oder wenn nur einige
Komponenten ganzzahlig sein müssen, ein gemischtes lineares Programm (auf englisch: Mixed
Integer Linear Program oder MILP).
Die Lösung eines ILP oder eines MILP ist ein NP-vollständiges Problem. Deshalb können wir
lange darauf warten.

17.3. In der Praxis
17.3.1. Die Klasse MixedIntegerLinearProgram

Die Klasse MixedIntegerLinearProgram stellt in Sage ein . . . MILP dar. Wir verwenden sie
indessen auch für kontinuierliche Probleme falls erforderlich. Sie besitzt eine sehr reduzuierte
Anzahl von Methoden, die zur Denition des MILP dienen, zu seiner Lösung und dann zum
Lesen der erhaltenen Lösung. Es ist auch möglich, seinen Inhalt zu visualisieren oder es inden Formaten LP oder MPS zu exportieren - beide sind Standard.
Um das zu illustrieren, lösen wir wieder das lineare Programm aus Abschnitt 17.1. Dazu
müssen wir ein Objekt der Klasse MixexIntegerLinearProgram erzeugen,sage: p = MixedIntegerLinearProgram(),die drei Variablen, die wir brauchen, nachdem wir die Methode new_variable aufgerufen
haben,

sage: v = p.new_variable(real=True, nonnegative=True)
sage: x, y, z = v['x'], v['y'], v['z']die Zielfunktion,

sage: p.set_objective(x + y + 3*z)
und die Bedingungensage: p.add_constraint(x + 2*y <= 4)sage: p.add_constraint(5*7 - y <= 8)
Die Methode solve von MixedIntegerLinearProgram gibt den optimalen Wert der Zielfunktion zurück:

sage: p.solve()
8.8
Wir erhalten eine optimale Zuordnung zu x, y und z durch Aufruf der Methode get_values:376

17.3. In der Praxis
sage: p.get_values(x), p.get_values(y), p.get_values(z)(4.0, 0.0, 1.6)
17.3.2. Variable

Die mit einer Instanz von MixedIntegerLinearProgram verbundenen Variablen sind Objekte
des Typs MIPVariable, aber das berührt uns nicht wirklich. Im vorstehenden Beispiel haben wir diese Variablen durch die Kurzschreibweise v['x'] erhalten, was ausreicht, solange
die Anzahl der Variablen überschaubar ist. Die linearen Programme, die wir im Folgendendenieren werden, verlangen regelmäÿig die Verbindung von Variablen mit einer Liste vonObjekten, wie ganzen Zahlen, Knoten eines Graphen oder Gröÿen anderer Art. Es ist daher
nötig, von einem Vektor von Variablen sprechen zu können oder auch von einem Diktionär
von Variablen.
Benötigt unser Progranmm beispielsweise die Denition der Variablen x1 , . . . , x15 , wird es
wohl einfacher sein, die Methode new_variable mit einen Vektor aufzurufen:

sage: x = p.new_variable(real=True, nonnegative=True)
Nun ist es möglich, die Bedingungen mit Hilfe unserer 15 Variablen zu denieren:

sage: p.add_constraint(x[1] + x[2] - x[14] >= 8)
Wie man sieht, muss die Gröÿe des Vektors x nicht festgelegt werden. Tatsächlich akzeptiert
x jeden Schlüssel nicht mutablen Typs (siehe Unterabschnitt 3.3.7), genau wie ein Diktionär.
Daher können wir uns erlauben zu schreiben:

sage: p.add_constraint(x["ich_bin_ein_gültiger_Index"] + x["a",pi] <= 3)
Nebenbei sei bemerkt, dass dieser Formalismus auchPdie Verwendung von Variablen mit mehreren Indizes erlaubt. Zur Denition der Variablen 0≤i,j<4 xi,j ≤ 1 schreiben wir

sage: p.add_constraint(p.sum(x[i,j] for i in range(4) for j in range(4))<=1)
Die Schreibweise x[i,j] ist mit der Schreibweise x[(i,j)] gleichwertig.
Wir haben von new_variable verlangt, dass die zurückgebenen Variablen
positiv reell sein sollen. Das entspricht der Voreinstellung. Es ist aber auch möglich, die Variablen mit dem Argument binary = Tru als binär zu denieren oder mit integer = True alsganzzahlig. Später kann man mit set_max und set_min maximale oder minimale Schranken
denieren oder umdenieren (zum Beispiel um negative Werte zu erhalten. Auch kann derTyp einer Variablen nach ihrer Erzeugung mit den Methoden set_binary, set_inter oder
set_real wieder geändert werden.
Variablentypen.

377

17. Lineare Programmierung
17.3.3. Nicht lösbare oder nicht endende Probleme

Manche linearen Programme haben keine Lösung. Es ist wirklich ehrgeizig, eine Funktion selbst eine lineare - auf einer leeren Menge optimieren zu wollen oder umgekehrt auf einerDenitionsmenge, wenn die Zielfunktion nicht begrenzt ist. In beiden Fällen wirft Sage bei
Aufruf der Methode solve eine Ausnahme aus:sage: p = MixedIntegerLinearProgram
sage: v = p.new_variable(real=True, nonnegative=True)
sage: p.set_objective(v[3] + v[2])sage: p.add_constraint(v[3] <= 5)sage: p.solve()
Traceback (most recent call last):...
sage.numerical.mip.MIPSolverException:
GLPK: The LP (relaxation) problem has no dual feasible solution
sage: p.add_constraint(v[2] <= 8)sage: p.solve
13.0
sage: p.add_constraint(v[3] >= 6); p.solve()
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
sage.numerical.mip.MIPSolverException: GLPK: Problem has no feasible
solution
Auch kann die Vorschrift der Ganzzahligkeit eine leere Menge ergeben:

sage: p = MixedIntegerLinearProgram()
sage: v = p.new_variable()sage: p.set_objective(v[3])sage: p.add_constraint(v[3] <= 4.75); p.add_constraint(v[3] >= 4.25)
sage: p.solve()4.75
sage: p.set_integer(v[3]); p.solve()
Traceback (click to the left of this block for traceback)...
sage.numerical.mip.MIPSolverException: GLPK: Problem has no feasible
solution
Welche Möglichkeit auch immer eintritt, es wäre unvernünftig, einen Code unter dem Vorwand, ein lineares Programm könne nicht gelöst werden, abrupt zu stoppen; manche linearen
Programme haben übrigens den einzigen Zweck, die Existenz einer Lösung zu prüfen undsind daher selten lösbar. Um diese Möglichkeiten zu erzeugen, wird man den klasssischen
Mechanismus des try-except von Python verwenden, um die Ausnahme abzufangen:sage: try:....:p.solve....:print "Das Problem hat eine Lösung!"....: except:378

17.4. Erste Anwendungen auf die Kombinatorik....:
print "Das Problem ist nicht lösbar!"Das Problem ist nicht lösbar!

17.4. Erste Anwendungen auf die Kombinatorik
Nachdem nun die Grundlagen geklärt sind, gehen wir zu einem interessanteren Aspekt über,der Modellierung. In diesem Abschnitt nden sich mehrere Optimierungs- oder Existenzprobleme: wir beginnen mit ihrer abstrakten Denition, dann folgt eine Modellierung als MILP,
was ermöglicht, mit wenigen Zeilen Code einen Algorithmus für ein NP-vollständiges Problem
zu erhalten.
17.4.1. Das Rucksackproblem

Das sogenannte Rucksackproblem ist das folgende: Wir haben eine Reihe von Gegenständen
mit jeweils eigenem Gewicht vor uns, sodass ein Nutzen als reelle Zahl gemessen werden
kann. Wir möchten jetzt einige dieser Gegenstände auswählen, und dabei sicher sein, dass
dass das zulässige Gesamtgewicht C nicht überschritten wird. Die Anzahl der Gegenständesoll möglichst groÿ werden.
Dazu weisen wir jedem Objerkt o aus einer liste L eine binäre Variable genommen[o] zu,
die gleich 1 ist, wenn der Gegenstand in den Rucksack gepackt ist, und 0, wenn nicht. Wirversuchen nun das folgende MILP zu lösen:X
max :Nutzeno × genommenoo∈Lsodass:X

Gewichto × genommen0 ≤ Co∈LIn Sage weisen wir den Objekten einen Preis und einen Nutzen zu:

sage: C = 1
sage: L = ["Topf", "Buch", "Messer", "Flasche", "Taschenlampe"]sage: p = [0.57, 0.35, 0.98, 0.39, 0.08]; u = [0.57, 0.26, 0.29, 0.85, 0.23]
sage: Gewicht = {}; Nutzen = {}sage: for o in L:....:
Gewicht[o] = p[L.index(o)]; Nutzen[o] = u[L.index(o)]Nun können wir das MILP schreiben:

sage: p = MixedIntegerLinearProgram()
sage: genommen = p.new:_variable(binary = True)
sage: p.add_constraint(....:p.sum(Gewicht[o]*genommen[o] for o in L) <= Csage: p.set_objective(....:
p.sum(Nutzen[o]*genommen[o] for o in L))
sage: p.solve()1.42
sage: mitnehmen = p.get_values(mitnehmen)
Die gefundene Lösung bestätigt die Gewichtbeschränkung:379

17. Lineare Programmierung
sage: sum(Gewicht[o]*mitnehmen[o] for o in L)
0.96
Muss man eine Flasche mitnehmen?

sage: prendre["Flasche"]Übung 63.

(Teilmengenproblem) Die Teilmengenproblem genannte Rechenaufgabe besteht
darin, in einer Menge ganzer Zahlen eine nichtleere Teilmenge von Elementen zu suchen, deren
Summe null ist. Lösen Sie diese Aufgabe mit einem ganzzahligen linearen Programm für die
Menge {28, 10, -89, 69, 42, -37, 76, 78, -40, 92, -93, 45}.

17.4.2. Paarung (Matching)In einem Graphen eine Paarung zu suchen, heiÿt, eine Menge von Kanten zu nden, die paarweise disjunkt sind. Da die leere Menge schon als Paarung gilt, richtet sich unser Augenmerk
auf eine maximale Paarung: wir versuchen, die Anzahl der Kanten in einer Paarung zu maximieren. Die Aufgabe der maximalen Paarung ist dank eines Ergebnisses von Jack Edmonds[Edm65] ein polynomiales Problem. Sein Algorithmus basiert auf lokalen Verbesserungen, auchder Beweis, dass der Algorithmus nur bei einer maximalen Paarung stoppt. Dabei handelt essich nicht um einen Algorithmus der Graphentheorie, der schwieriger zu implementieren wäre,
sondern seine Formulierung in MILP braucht nur zwei Zeilen.
Wir müssen dafür, wie vorher auch, jedem unserer Objekte - den Kanten eines Graphen einen passenden binären Wert zuweisen, ob diese Kante in unserem Matsching erscheint odernicht.
Wir müssen uns dann vergewissern, dass zwei adjazente Kanten sich nicht beide gleichzeitig
im Matching benden. Das ähnelt, zumindeswt von weitem, an eine lineare Bedingung: wenn
x und y zwei Kanten eines Graphen sind, und wenn mx und my die beiden Variablen sind,denen die Kanten zugewiesen worden sind, dann reicht es hin zu verlangen, dass mx + my ≤ 1
ist.
Die beiden Kanten können nicht gleichzeitig in unserer Lösung zu nden sein, und wir sinddaher in der Lage, ein lineares Programm zu schreiben, dass eine maximale Paarung berechnet.
Es ist indessen möglich schneller zu sein, wenn man beachtet, dass wenn zwei Kanten nicht
gleichzeitig in einem Matching sein können, dies der Fall ist, weil beide durch einen Knoten
v des Graphen gehen. Deshalb ist es schneller zu sagen, dass jeder Knoten v von höchstens
einer Kante eines Matching berührt wird.
Diese Bedingung ist ebenfalls linear.
X
max :
me
e∈E(G)

sodass : ∀v ∈ V (G),X

me ≤ 1.

e∈E(G), e=uv

In Sage ist ein solches MILP wieder einfach hinzuschreiben:

380

17.4. Erste Anwendungen auf die Kombinatorik
sage: g = graphs.PetersenGraph()
sage: p = MixedIntegerLinearProgram()
sage: Paarung = p.new_variable(binary = True)
sage: p.set_objective(p.sum(Paarung[e]....:for e in g.edges(labels = False)))sage: for v in g:....:p.add_constraint(p.sum(Paarung[e]....:for e in g.edges_incident(v, labels = False)) <= 1)sage: p.solve()5.0
sage: Paarung = p.get_values(Paarung)sage: [e for e, b in Paarung.iteritems() if b == 1]Übung 64.

(Führende Menge) Eine dominierende Menge eines Graphen ist eine Menge S
von Knoten, sodass jeder Knoten, der nicht in S ist, mindestens einen Nachbarn in S besitzt.
Schreiben Sie ein ganzzahliges lineares Programm, um im Petersen-Graph eine dominierende
Menge minimaler Kardinalität zu suchen.

17.4.3. Fluss

Dieser Abschnitt präsentiert einen weiteren fundamentalen Algorithmus der Graphentheorie:
den Fluss! Der besteht darin, zu zwei gegebenen Knoten s und t eines gerichteten Graphen G(d.h. seine Kanten haben eine Richtung, siehe Abb. 17.1) von s nach t durch die Kanten von
G einen maximalen Durchuss oder Fluss passieren zu lassen. Jede dieser Kanten weist eine
maximale Kapazität auf, nämlich den Fluss, der maximal durch sie hindurchgehen kann.
Die Denition dieses Problems bietet uns sofort seine Formulierung als lineares Programm an:
wir suchen einen reellen Wert, der jeder Kante zugeordnet wird, der die Intensität des Flusses
durch diese Kante repräsentiert und der zwei Bedingungen genügt:- die Gröÿe des bei einem Knoten (auÿer s und t) ankommenden Flusses muss gleich derGröÿe des abgehenden Flusses sein (Knoten sind keine Speicher),- der Fluss durch eine Kante kann ihre Kapazität nicht übersteigen.
Nachdem dies klargestellt ist, bleibt uns nur zu versuchen, den Fluss, der s verlässt, zu maximieren: der kann seinen Lauf nur am Punkt t beenden, denn die anderen Knoten können nur
weiterleiten, was bei ihnen ankommt. Wir formulieren deshalb das Flussproblem durch das
folgende lineare Programm (wobei wir die Kapazität der Kanten zu 1 annehmen):
X
max :
fsv
sv∈E(G)X

sodass: ∀v ∈ V (G)\ {s, t} ,vu∈E(G)

fvu =

X

fuv

uv∈E(G)∀uv ∈ E(G), fuv ≤ 1.
Wir lösen hier das Flussproblem auf einer orientierung des Graphen von Chvatal (siehe Abb.
17.1), in dem alle Kapazitäten gleich 1 sind:381

17. Lineare Programmierung
sage: g = graphs.ChvatalGraph()
sage: g = g.minimum_outdegree_orientation()sage: p = MixedIntegerLinearProgram()
sage: f = p.new_variable()sage: s, t = 0, 2
sage: for v in g:....:
if v == s or v == t: continue....:
p.add_constraint(....:p.sum(f[u,v] for u in g.neighbors_out(v)) ==....:p.sum(f[u,v] for u in g.neighbors_in(v)))
sage: for e in g.edges(labels = False): p.add_constraint(f[e] <= 1)sage: p.set_objective(p.sum(f[s,u] for u in g.neighbors_out(s)))
sage: print p.solve()
2.0

17.5. Erzeugung von Bedingungen und Anwendung
Auch wenn die vorstehenden Beispiele den Eindruck groÿer Ausdrucksvielfalt vermitteln, istdie Interpretation eines gegebenen Optimierungs- oder Existenzproblems durch seine Formulierung als lineares Programm eine willkürliche Wahl. Das gleiche Problem kann durch
verschiedene Formulierungen gelöst werden, deren Leistungsfähigkeiten ebenfalls sehr unterschiedlich sind. Das bringt uns dazu, die Möglichkeiten der Löser eines MILP intelligent zu
nutzen, indem wir jetzt von ihnen verlangen, solche linearen Preogramme zu lösen, deren Bedingungen nicht sämtlich bekannt sind, und indem ihm nach und nach diejenigen hinzugefügt
werden, die nötig sind: diese Technik wird unverzichtbar, sobald die Anzahl der Bedingungenzu groÿ wird, um bei der Erstellung des linearen Programms explizit angegeben werden zu
können. Wir bereiten uns nun auf die Lösung des Hamiltonkreisproblems vor (ein Spezialfall
des Problems des Handlungsreisenden ).

Abb. 17.2 - Das Gitter der Gröÿe 4 × 6 auf dem wir unsere Formulierungen testen.

Wir sagen, dass ein in einem Graphen enthaltener Kreis C ⊆ E(G) hamiltonisch ist, wenn er
durch jeden Knoten von G geht. Die Prüfung auf Existenz eines Hamilton-Zyklus in einem
gegebenen Graphen ist ein NP-vollständiges Problem: eine schnelle Lösung muss man also382

17.5. Erzeugung von Bedingungen und Anwendung
nicht erwarten, was uns aber nicht abhalten soll zu versuchen, es als lineares Programm zu
formulieren. Eine erste Formulierung könnte auf folgende Weise beginnen:- weise jede Kante einer binären Variablen be zu, die anzeigt, ob die Kante im Kreis C enthalten ist,
- lege für jeden Knoten fest, dass er genau zwei Kanten besitzt, die inzident sind in C .

Abb. 17.3 - Eine mögliche Lösung der Gleichungen des Grades

Leider ist diese Formulierung nicht exakt. Es ist auf jeden Fall möglich, dass die mit dieser
Formulierung erhaltene Lösung eine disjunkte Vereinigungsmenge mehrerer Kreise ist - jeder
Knoten hätte daher wohl zwei Nachbarn in C , es wäre aber nicht unbedingt möglich, unter
alleiniger Benutzung der Kanten von C von einem Knoten v zu einem anderen Knoten u zu
gelangen.
Es ist indessen möglich, eine komplexere und exakte Formulierung (benannt nach MillerTucker-Zemlin) zu nden:- man weise jedem Knoten v des Graphen eine ganze Zahl iv zu, die den Schritt angibt, bei
dem der Kreis C ihn passiert; dabei ist iv0 = 0 für einen festen Knoten v0 ,- man weise jeder Kante uv von G zwei binäre Variablen buv und bvu zu, die anzeigen, ob
die Kante Teil des Kreises C ist (und wir sagen auch, in welcher Richtung diese Kante
durchlaufen wird),- man lege für jeden Knoten fest, dass er in C eine eingehende und eine abgehende Kante
besitzt,- eine Kante uv kann nur in C erscheinen, wenn iu < iv ist (die Kanten werden in wachsender
Reihenfolge durchlaufen).

383

17. Lineare Programmierung
Diese Formulierung kann folgendermaÿen in linearen Gleichungen geschrieben werden:

max : Schritt der zu optimierenden FunktionX
buv = 1
sodass: ∀u ∈ V (G),uv∈E(G)∀u ∈ V (G),X

bvu = 1uv∈E(G)∀uv ∈ E(G\v0 ),iu − iv + |V (G)|buv ≤ |V (G)| − 1
iv − iu + |V (G)|bvu ≤ |V (G)| − 1∀v ∈ V (G), iv ≤ |V (G)| − 1
buv ist eine binäre Variable
iv ist eine ganzzahlige Variable
Wir bemerken in dieser Formulierung die Anwesenheit eines Koezienten |V (G)|, was oft ein
Zeichen dafür ist, dass wir nicht sehr schnell zu einer Lösung des linearen Problems gelangenwerden. Auch benutzen wir für das Hamiltonkreisproblem eine andere Formulierung. Sein
Prinzip ist in der Tat etwas einfacher und beruht auf folgender Beobachtung: wenn in unserem
Graphen ein Hamilton-Zyklus existiert, existiert er auch für jede echte Teilmenge S der Knoten
mit mindestens zwei Kanten von C , die in S hineingehen oder aus S herausführen. Wenn wir
uns entschlieÿen, mit S̄ die Menge von Kanten zu bezeichnen, die genau eine Extremität in S
besitzen, erhalten wir folgende Formulierung (welche die Variablen buv und vvu gleichsetzt):

max : Schritt der zu optimierenden Funktion
Xsodass: ∀u ∈ V (G),buv = 2uv∈E(G)∀S ⊆ V (G), ∅ =6 V (G),X

ve ≥ 2e∈S̄buv ist eine binäre Variable
Es wäre allerdings riskant, die vorstehende Formulierung zur Lösung eines Hamiltonkreisproblems direkt zu verwenden, selbst bei einem so kleinen Graphen wie unserem Gitter mit
6 × 4 = 24 Elementen: die Bedingungen bezüglich der Mengen S wären 224 − 2 = 16777214 an
der Zahl. Im Gegensatz dazu bietet sich das von den Lösern linearer Ungleichungen verwendete Verfahren des branch-and-bound (oder branch-and-cut ) zur Erzeugung der Bedingungenwährend der Lösung eines linearen Programms eher an. Wenn ein lineneares erst einmal gelöst
ist, ist es also möglich, eine weitere Bedingung hinzuzufügen und das neue Programm mit einem Teil der während der vorigen Lösung ausgeführten Rechnungen zu lösen. Die Erzeugung
der Bedingungen für das Hamiltonkreisproblem besteht also daraus, nachstehenden Etappen
zu folgen:- Erzeugen eines linearen Programms - ohne Zielfunktion - mit einer binären Variablen je
Kante,- Hinzufügen einer Bedingung zu jedem Knoten, die den Grad 2 bewirkt,- Lösen des linearen Programms,- falls die aktuelle Lösung kein Hamilton-Zyklus ist (das ist ein Teilgraph, der mehrere verbundene Bestandteile hat), S aufrufen, den einen der verbundenen Bestanteile, und die
Bedingung hinzufügen, die bewirkt, dass wenigsten zwei Kanten aus S herausführen.

384

17.5. Erzeugung von Bedingungen und Anwendung
Zu unserem Glück sind die Verikation der Ungültigkeit der aktuellen Lösung und die Erzeugung der entsprechenden Bedingung algorithmisch schnell. Hier ist die Lösung des Hamiltonkreisproblems für unser Gitter durch Erzeugung der Bedingungen durch Sage:sage: g = graphs.Grid2dGraph(4, 6)
sage: p = MixedIntegerLinearProgram()
sage: b = p.new_variable(binary = True)

Abb. 17.4 - Ein durch Erzeugung von Bedingungen berechneter Hamilton-Zyklus.

Um keinen Unterschied zwischen den Variablen b[u,v] und b[v,u] zu machen, ist es angebracht, eine Lambda-Funktion zu erzeugen, die das geordnete Paar x, y durch die Menge{x, y} ersetzt:

sage: B = lambda x, y: b[frozenset([x,y])]Nun fügen wir die Bedingungen für den Grad hinzu:

sage: for u in g:....:p.add_constraint(p.sum(B(u,v) for v in g.neighbors(u)) == 2)
Nun ist es Zeit, die erste Lösung unseres Problems zu berechnen und den Graphen zu erzeugen,der sie abbildet.

sage: print p.solve()0.0
sage: h = Graph()
sage: h.add_edges([(u,v) for u,v in g.edges(labels=False)....:
if p.get_values(B(u,v)) == 1.0])
und dann mit den Iterationen zu beginnen:

sage: while not h.is_connected():....:S = h.connected_components()[0]....:p.add_constraint(....:p.sum(B(u,v) for u,v....:
in g.edge_boundary(S, labels = False)) >= 2)....:zero = p.solve()....:h = Graph()....:h.add_edges([(u,v) for u,v in g.edges(labels=False)....:
if p.get_values(B(u,v)) == 1.0])385

17. Lineare Programmierung
Mit mindestens zehn Iterationen (womit im Vergleich zu 224 − 2 eine Ersparnis an Rechenzeit
einhergeht) erhalten wir eine zulässige Lösung für unser Gitter (siehe Abb. 17.4). Die Leistungsfähigkeit dieses Lösungsverfahrens ist mit derjenigen nach Miller-Tucker-Zemlin nicht
vergleichbar. Wenn wir beide Programme in Sage implementieren, erhalten wir für einen Zufallsgraphen G35,0.3 folgende Rechenzeiten:

sage: g = graphs.RandomGNP(35, 0.3)
sage: %time MTZ(g)CPU times: user 51.52 s, sys: 0.24 s, total: 51.76 s
Wall time: 52.84 s
sage: time constraint_generation(g)sage: %time constraint_generation(g)CPU times: user 0.23 s, sys: 0.00 s, total: 0.23 s
Wall time: 0.26 s

386

A. Lösungen der ÜbungenA.1. Erste SchritteÜbung 1 Seite 15. Der Befehl SR.var('u') erzeugt die symbolische Variable u und weist
sie der Sage-Variablen u zu. Die Sage-Variable u empfängt dann in zwei Wiederholungen ihren
aktuellen Wert plus eins, also erst u + 1, dann u + 2 (wobei u immer die symbolische Variable
ist).

A.2. Analysis und Algebra mit SageÜbung 2 Seite 27.

(Rekursive Berechnung der Summe)

sage: n = var('n'); pmax = 4; s = [n + 1]....:
for p in [1..pmax]:....:s += [factor(((n+1)^(p+1) - sum(binomial(p+1, j)*s[j]....:for j in [0..p-1]))/(p+1))]
sage: sDamit erhalten wir:nP

1
k = (n + 1)n,
2
k=0
n
P
1
3
k = (n + 1)2 n2 ,
4
k=0

n
P

1
k 2 = (n + 1)(2n + 1)n
6
k=0
n
P
1
4
k = (n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)n30
k=0Übung 3 Seite 30.

(Eine symbolische Grenzwertberechnung) Um die Frage zu beantworten,
werden wir eine symbolische Funktion verwenden, mit der wir die Taylorentwicklung um 0 bis
zum 3. Grad berechnen.

sage: x, h, a = var('x h a'); f = function('f')
sage: g(x) = taylor(f(x), x, a, 3)
sage: phi(h) = (g(a+3*h) - 3*g(a+2*h) + 3*g(a+h) - g(a))/h^3; phi(h)D[0, 0, 0](f)(a)Die Funktion g unterscheidet sich von f um einen Rest, der gegenüber h3 vernachlässigbar
ist, somit unterscheidet sich die Funktion phi vom untersuchten Quotienten um einen Rest
O(1); also hat phi mit null den gesuchten Grenzwert. Abschlieÿend gilt

1(f (a + 3h) − 3f (a + 2h) + 3f (a + h) − f (a)) = f 000 (a).
h→0 h3lim

Diese Formel gestattet die näherungsweise Berechnung der 3. Ableitung von f , ohne auch nur
eine Ableitung vorzunehmen.

387

A. Lösungen der Übungen
Wir können davon ausgehen, dass die Formel in folgender Form generalisiert wird:
!
 
n
n
1 X
f (a + kh) = f (n) (a).
lim(−1)n−kh→0 hnk
k=0

Zur Überprüfung dieser Formel für gröÿere Werte von n, können wir den obigen Code nun
einfach anpassen:

sage: n = 7; x, h, a = var('x h a'); f = function('f')
sage: g(x) = taylor(f(x), x, a, n)sage: sum((-1)^(n-k)*binomial(n,k)*g(a+k*h) for k in (0..n))/h^nD[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0](f)(a)Übung 4 Seite 31.

(Eine Formel von Gauÿ).

1. Wir wenden nacheinander trig_expand und trig_simplify an:sage: theta = 12*arctan(1/38) + 20*arctan(1/57) \....:+ 7*arctan(1/239) + 24*arctan(1/268)
sage: tan(theta).trig_expand().trig_simplify()1
2. Die Tangensfunktion ist auf I = 0, π4 konvex, deshalb liegt ihr Graph unterhalb ihrer
Sehne; anders gesagt, ∀x ∈ I , tan x ≤ π4 x.
sage: 12*(1/38) + 20*(1/57) + 7*(1/239) + 24*(1/268)
37735/48039
Daraus leiten wir her:1
1
+ 20 arctan+ 7 arctan 1239 + 24 arctan 1268
38
57
1
1
1
1
+ 20 ·+7·+ 24 ·≤ 12 ·
28
57
239
268
37735
4
=
≤ .
48039
π

θ = 12 arctan

Deshalb ist θ ∈ I ; nun ist (siehe Frage 1) tan θ = 1 = tan π4 und der Tangens ist injektiv
auf I . Daraus schlieÿen wir θ = π4 .
3. Wir setzen das Taylorpolynom in die Formel von Gauÿ ein:sage: x = var('x'); f(x) = taylor(arctan(x), x, 0, 21)
sage: approx = 4*(12*f(1/38) + 20*f(1/57) + 7*f(1/239) + 24*f(1/268))
sage: approx.n(digits=50); pi.n(digits=50)
3.1415926535897932384626433832795028851616168852864
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
sage: approx.n(digits=50) - pi.n(digits=50)
9.6444748591132486785420917537404705292978817080880e-37388

A.2. Analysis und Algebra mit SageÜbung 5 Seite 32.

(Asymptotische Entwicklung einer Folge). Die Einschachtelung von xnerlaubt die Behauptung xn ∼ nπ , es sei also xn = nπ + o(n).

Wir setzen diese Gleichung dann in folgende Gleichung ein, die wir aus arctan x+arctan(1/x) =π/2 erhalten haben:
 
1
π
.
xn = nπ + − arctan2xn
Wir setzen danach die asymptotischen Entwicklungen von xn wieder ein, die wir mit dieser
Gleichung bekommen haben, bis repetita placent1 (Methode der fortschreitenden Verfeinerung).
Da wir wissen, dass bei jedem Schritt eine Entwicklung der Ordnung p eine Entwicklung der
Ordnung p + 2 ermöglicht, können wir in vier Schritten eine Entwicklung der Ordnung 6
erhalten. Wie wir in Kapitel 3 schon vorweggenommen haben, können wir diese vier Etappen
in einer Schleife ausführen:

sage: n = var('n'); phi = lambda x: n*pi + pi/2 - arctan(1/x)
sage: x = n*pi
sage: for i in range(4):....:x = taylor(phi(x), n, infinity, 2*i); x
Wir bekommen schlieÿlich

xn =

1
1
1
3 π2 + 8 π2 + 8
π+πn −+−+
2
πn 2 πn212 π 3 n3
8 π 3 n4 
42
415 π + 240π + 208 3 π + 80 π 2 + 208
1
−
+
+O
5
5
5
6
240 π n96 π nn7Übung 6 Seite 33.

(Ein Gegenbeispiel von Peano zum Satz von Schwarz) Die partiellen

Ableitungen f (x, 0) und f (0, x) sind in (0, 0) identisch null; daraus folgern wir ohne Rechnung∂1 f (0, 0) = ∂2 f (0, 0) = 0. Dann berechnen wir die Werte der zweiten partiellen Ableitungenin (0, 0):

sage: h = var('h'); f(x, y) = x * y * (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)
sage: D1f(x, y) = diff(f(x,y), x); limit((D1f(0,h) - 0) / h, h=0)-1
sage: D2f(x, y) = diff(f(x,y), y); limit((D2f(h,0) - 0) / h, h=0)1
sage: g = plot3d(f(x, y), (x, -3, 3), (y, -3, 3))
sage: g.show(viewer='tachyon')

1lat. etwa: Wiederholungen tun gut

389

A. Lösungen der ÜbungenAbb. A.1 - Die Peano-Fläche

Daraus leiten wir ∂1 ∂2 f (0, 0) = 1 und ∂2 ∂1 f (0, 0) = −1 her. Somit liefert diese Funktion ein
Gegenbeispiel zum Satz von Schwarz (Abb. A.1).

Übung 7 Seite 34.

(BBP-Formel)

1. Wir beginnen
mit dem Vergleich von
√


1/R 2
4
2
1
1
un =
f (t) · t8n dt und vn = 8n+1
− 8n+4− 8n+5− 8n+6
0


1 n
16 .

sage: n, t = var('n, t')sage: v(n) = (4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6))*1/16^nsage: assume(8*n+1>0)
sage: f(t) = 4*sqrt(2)-8*t^3-4*sqrt(2)*t^4-8*t^5sage: u(n) = integrate(f(t) * t^(8*n), t, 0, 1/sqrt(2))
sage: (u(n)-v(n)).simplify_full()02
Wir folgern daraus un = vn . Wegen der Linearität des Integrals erhalten wir:
√
1/
Z 2

IN =

f (t) ·
0

2

!
X
l

8n
imitsN
n=0 t

dt =

N
X
n=0

un =

N
X

vn = SN .

n=0

Sage vereinfacht so weit nicht, der gelieferte Ausdruck lässt sich jedoch leicht als nullwertig erkennen.

390A.2. Analysis und Algebra mit SageP
2. Die Potenzreihe n≥0 t8n hat den Konvergenzradius, sie konvergiert daher im Intervall[0, √12 ]. Auf diesem Intervall können wir deshalb Integral und Grenze vertauschen:
√
1/
Z 2

lim SN = lim

N →∞f (t) ·

N →∞
√
1/
Z 2

t

dt

∞
X

!
8n

t

dt

n=0

0

√
1/
Z 2

=

!
8n

n=0

0

f (t) ·=

NX

f (t) ·

1dt = J.
1 − t80

3. Wir fahren dann mit der Berechnung von J fort.

sage: t = var('t'); J = integrate(f(t)/(1-t^8), t, 0, 1/sqrt(2))
sage: J.simplify_full()
pi + 2*log(sqrt(2) - 1) + 2*log(sqrt(2) + 1)
Zur Vereinfachung dieses Ausdrucks müssen wir Sage anweisen, die Summe der Logarithmen zu bilden:

sage: J.simplify_log().simplify_full()piLetztendlich erhalten wir die verlangte Gleichung:
+∞ 
X
n=0

4
2
1
1
−
−
−
8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6



1
16

n
= π.

Mit Hilfe dieser Gleichung geben wieder einen Näherungswert für π :sage: l = sum(v(n) for n in (0..40)); l.n(digits=60)
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510581474759
sage: pi.n(digits=60)
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494
sage: print "%e" % (l-pi).n(digits=60)-6.227358e-54

Übung 8 Seite 35.

(Polynomiale Näherung für den Sinus) Wir versehen den VektorraumRπ
C ∞ ([−π, π]) mit dem Skalarprodukt hf |Gi = −π f g . Das gesuchte Polynom ist die orthogonale Projektion der Sinusfunktion auf den untervektorraum R5 [X]. Die Bestimmung dieses
Polynoms wird auf die Lösung eines linearen Gleichungssystem zurückgeführt: tatsächlich ist
P die Projektion des Sinus genau dann, wenn die Funktion (P − sin) zu jedem Vektor der
kanonischen Basis von R5 [X] orthogonal ist. Hier folgt der Sage-Code:sage: var('x'); ps = lambda f, g : integral(f * g, x, -pi, pi)
sage: n = 5; a = var('a0, a1, a2, a3, a4, a5')
sage: P = sum(a[k] * x^k for k in (0..n))sage: equ = [ps(P - sin(x), x^k) for k in (0..n)]sage: sol = solve(equ, a)391

A. Lösungen der Übungensage: P = sum(sol[0][k].rhs() * x^k for k in (0..n)); P
105/8*(pi^4 - 153*pi^2 + 1485)*x/pi^6 - 315/4*(pi^4 - 125*pi^2 +1155)*x^3/pi^8 + 693/8*(pi^4 - 105*pi^2 + 945)*x^5/pi^10
sage: g = plot(P,x,-6,6,color='red') + plot(sin(x),x,-6,6,color='blue')sage: g.show(ymin = -1.5, ymax = 1.5)
Nun können wir die Sinusfunktion und ihre orthogonale Projektion zeichnen und die Qualität
dieser polynomialen Approximation beurteilen.

Abb. A.2 - Approximation des Sinus mit der Methode der kleinsten QuadrateÜbung 9 Seite 36.

(Das Problem von Gauÿ) Zunächst beweisen wir die geforderten Beziehungen symbolisch. Dem schlieÿt sich die numerische Ableitung an. Wir beginnen mit derDenition der Vektoren r~i :sage: p, e = var('p, e')sage: theta1, theta2, theta3 = var('theta1, theta2, theta3')
sage: r(theta) = p / (1 - e * cos(theta))
sage: r1 = r(theta1); r2 = r(theta2); r3 = r(theta3)
sage: R1 = vector([r1 * cos(theta1), r1 * sin(theta1), 0])
sage: R2 = vector([r2 * cos(theta2), r2 * sin(theta2), 0])
sage: R3 = vector([r3 * cos(theta3), r3 * sin(theta3), 0])~ + e · ~ı ∧ D~ der Nullvektor ist.
• Wir verizieren, dass S
sage: D = R1.cross_product(R2)+R2.cross_product(R3)+R3.cross_product(R1)sage: S = (r1 - r3) * R2 + (r3 - r2) * R1 + (r2 - r1) * R3
sage: i = vector([1, 0, 0]); V = S + e * i.cross_product(D)sage: V.simplify_full()(0, 0, 0)
Daraus leiten wir die geforderte Beziehung her: e =der Bahnebene und somit auch auf ~ı.

392

~
~
kSk
kSk
~
~ = kDk~ , denn D steht senkrecht auf
k~ı∧Dk

A.2. Analysis und Algebra mit Sage~ ∧D~ kollinear ist:
• Nun verizieren wir, dass ~ı zu S

sage: S.cross_product(D).simplify_full()[1:3](0, 0)
Dieses Ergebnis zeigt, dass die zweite und die dritte Komponente verschwinden.
~ + e · ~ı ∧ N~ der Nullvektor ist.
• Ebenso verizieren wir, dass p · S

sage: N = r3 * R1.cross_product(R2) + r1 * R2.cross_product(R3)\....: + r2 * R3.cross_product(R1)sage: W = p * S + e * i.cross_product(N)sage: W.simplify_full()(0, 0, 0) Daraus folgern wir:
p=e

~k
~k
~k
k~ı ∧ N
kN
kN
=e
=
,
~
~
~
kSk
kSk
kDk

~ steht auf der Bahnebene senkrecht und somit auch auf ~ı.
denn Np• Als Formel für Kegelschnitte haben wir a = 1−e2.
• Wir kommen jetzt zur verlangten numerischen Abbildung:

sage: R1=vector([0,1,0]); R2=vector([2,2,0]); R3=vector([3.5,0,0])
sage: r1 = R1.norm(); r2 = R2.norm(); r3 = R3.norm()
sage: D = R1.cross_product(R2) + R2.cross_product(R3) \....: + R3.cross_product(R1)sage: S = (r1 - r3) * R2 + (r3 - r2) * R1 + (r2 - r1) * R3
sage: N = r3 * R1.cross_product(R2) + r1 * R2.cross_product(R3) \....: + r2 * R3.cross_product(R1)sage: e = S.norm() / D.norm(); p = N.norm() / D.norm()
sage: a = p/(1-e^2); c = a * e; b = sqrt(a^2 - c^2)
sage: X = S.cross_product(D); i = X / X.norm()
sage: phi = atan2(i[1], i[0]) * 180 / pi.n()sage: print("%.3f %.3f %.3f %.3f %.3f %.3f" % (a, b, c, e, p, phi))
2.360 1.326 1.952 0.827 0.746 17.917
Als Erkenntnis gewinnen wir:a ≈ 2.360,b ≈ 1.326,

c ≈ 1.952,

e ≈ 0.827,

p ≈ 0.746,

ϕ ≈ 17.917.

Die Neigung der groÿen Achse gegen die Abszisse beträgt 17.92◦ .

Übung 10 page 37.

(Basen von Untervektorräumen)

1. Die zu A gehöige Lösungsmenge S eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein
Untervektorraum des R5 , von dem wir dank der Funktion right_kernel die Dimension
und eine Basis erhalten:

sage: A = matrix(QQ, [[ 2, -3,
2, -12, 33],....:
[ 6, 1, 26, -16, 69],....:
[10, -29, -18, -53, 32],....:
[ 2, 0,8, -18, 84]])
sage: A.right_kernel()

393

A. Lösungen der Übungen
Vector space of degree 5 and dimension 2 over Rational Field
Basis matrix:[
1
0 -7/34 5/17 1/17][
0
1 -3/34 -10/17 -2/17]
S ist daher die von den beiden obigen Vektoren aufgespannte Ebene (die man zeilenweiselesen muss, wie weiter unten).
2. Wir isolieren aus der gegebenen Familie von Erzeugenden auf folgende Weise eine Basis des gesuchten Untervektorraums. Wir reduzieren die Matrix A (mit den Spalten
u1 , u2 , u3 , mu4 , u5 ) bezüglich der Zeilen auf hermitesche Form:sage: H = A.echelon_form(); H


1
0

0
0

0
1
0
0

4
2
0
0


0 −3
0 7

1 −5
0 0

Sei F = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) die Familie der Spaltenvektoren von A. Das ist ein
Untervektorraum von R4 . In H bemerken wir, dass sich die Pivotstellen in den Spalten
1, 2 und 4 benden. Genauer haben wir (u1 , u2 , u4 ) ist eine linear unabhängige Familie,
u3 = 4u1 + 2u2 ,
u5 = −3u1 + 7u2 − 5u4
Daher wird F = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) = Vect(u1 , u2 , u4 ) von der Familie (u1 , u2 , u4 )
erzeugt; nun ist diese Familie linear unabhängig; deshalb ist (u1 , u2 , u4 ) eine Basis von F .
Wir hätten ebenso, wenn auch direkter, die Funktion column_space verwenden können:

sage: A.column_space()
Vector space of degree 4 and dimension 3 over Rational Field
Basis matrix:[
1
0
0 1139/350][
01
0-9/50][
00
1 -12/35]
3. Wir suchen jetzt Gleichungen des erzeugten Untervektorraums. Dafür reduzieren wir
die um ein zweites Glied erweiterte Matrix A, indem wir Sage anzeigen, dass wir auf
einem Polynomring mit vier Unbestimmten arbeiten:

sage: S.<x, y, z, t> = QQ[]
sage: C = matrix(S, 4, 1, [x, y, z, t])sage: B = block_matrix([A, C], ncols=2)
sage: C = B.echelon_form()
sage: C[3,5]*350-1139*x + 63*y + 120*z + 350*t
Daraus folgern wir, dass F eine Hyperebene des R4 ist mit der Gleichung−1139 ∗ x + 63 ∗ y + 120 ∗ z + 350 ∗ t = 0394

A.2. Analysis und Algebra mit Sage
Diese Gleichung hätten wir auch durch Berechnung des Kerns von A von links bekommen
können, was die Koordinaten der Linearformen ergibt, die F denieren (davon gibt eshier nur eine):

sage: K = A.left_kernel(); K
sage: Vector space of degree 4 and dimension 1 over Rational Field
sage: Basis matrix:[
1 -63/1139 -120/1139 -350/1139]
Die durch diese Linearform denierte Hyperebene hat als Basis die folgenden drei Vektoren, die wir schon mit A.column_space() erhalten hatten:

sage: matrix(K.0).right_kernel()
Vector space of degree 4 and dimension 3 over Rational Field
Basis matrix:[
1
0
0 1139/350][
01
0-9/50][
00
1 -12/35]

Übung 11 Seite 37.

A und C .

(Eine Matrixgleichung) Wir beginnen mit der Denition der Matrizen

sage: A = matrix(QQ, [[-2, 1, 1], [8, 1, -5], [4, 3, -3]])
sage: C = matrix(QQ, [[1, 2, -1], [2, -1, -1], [-5, 0, 3]])
Die Gleichung A = BC ist eine lineare Gleichung, daher ist die Lösungsmenge ein aner
Untervektorraum von M3 (R). Wir suche also eine partikuläre Lösung unserer Gleichung.

sage: B = C.solve_left(A); B[ 0 -1 0][ 2 3 0][ 2 1 0]
Nun bestimmen wir die allgemeine Form der Lösungen der homogenen Gleichung, oder anders
gesagt, den Kern von links von C .

sage: C.left_kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:[1 2 1]
Schlieÿlich geben wir die allgemeine Form der Lösung unserer Gleichung an:sage: x, y, z = var('x, y, z'); v = matrix([[1, 2, 1]])
sage: B = B + (x*v).stack(y*v).stack(z*v); B
Wir können das Ergebnis schnell verizieren:

sage: sage: A == B*C
True

395

A. Lösungen der Übungen
Schlieÿlich ist die Lösungsmenge ein aner Untervektorraum der Dimension 3:x
2x − 1 xy + 2 2y + 3 y  (x, y, z) ∈ R3 .
z + 2 2z + 1 z

A.3. Programmierung und Datenstrukturen
A.4. GraphikÜbung 12 Seite 79.

(Pascal-Conchoïden)sage: t = var('t'); liste = [a + cos(t) for a in srange(0, 2, 0.1)]
sage: g = polar_plot(liste, (t, 0, 2 * pi)); g.show(aspect_ratio = 1)(a) Pascal-Conchoïden

Übung 13 page 83.

(b) Untersuchung einer rekursiven Folge(Zeichnung der Terme einer rekursiven Folge)

sage: f = lambda x: abs(x**2 - 1/4)
sage: def liste_pts(u0, n):....:u = u0; liste = [[u0,0]]....:
for k in range(n):....:v, u = u, f(u)....:liste.extend([[v,u], [u,u]])....:return(liste)sage: g = line(liste_pts(1.1, 8), rgbcolor = (.9,0,0))
sage: g += line(liste_pts(-.4, 8), rgbcolor = (.01,0,0))
sage: g += line(liste_pts(1.3, 3), rgbcolor = (.5,0,0))
sage: g += plot(f, -1, 3, rgbcolor = 'blue')sage: g += plot(x, -1, 3, rgbcolor = 'green')
sage: g.show(aspect_ratio = 1, ymin = -.2, ymax = 3)

Übung 14 Seite 85.

396(Lineare Dierentialgleichung 1. Ordnung)A.4. Graphik
sage: x = var('x'); y = function('y')
sage: DE = x^2 * diff(y(x), x) - y(x) == 0
sage: desolve(DE, y(x))_C*e^(-1/x)
sage: g = plot([c*e^(-1/x) for c in srange(-8, 8, 0.4)], (x, -3, 3))
sage: y = var('y')
sage: g += plot_vector_field((x^2, y), (x,-3,3), (y,-5,5))
sage: g.show(ymin=-5, ymax=5)

2 0Abb. A.3 - Integralkurven von x y − y = 0Übung 15 Seite 88.

(Modell Beute-Räuber)sage: from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4
sage: f = lambda x, y: [a*x-b*x*y,-c*y+d*b*x*y]
sage: x, y, t = var('x, y, t')sage: a, b, c, d = 1., 0.1, 1.5, 0.75
sage: P = desolve_system_rk4(f(x,y), [x,y],....:
ics=[0,10,5], ivar=t, end_points=15)
sage: Qh = [[i,j] for i,j,k in P]; p = line(Qh, color='red')sage: p += text("Hasen", (12,37), fontsize=10, color='red')sage: Qf = [[i,k] for i,j,k in P]; p += line(Qf, color='blue')sage: p += text("Fuechse", (12,7), fontsize=10, color='blue')sage: p.axes_labels(["Zeit", "Population"])sage: p.show(gridlines = True)
Wir können auch die rechte Graphik in Abb. 4.12 reproduzieren:397

A. Lösungen der Übungensage: n = 10; L = srange(6, 18, 12/n); R = srange(3, 9, 6/n)
sage: def g(x,y): v = vector(f(x,y)); return v/v.norm()
sage: q = plot_vector_field(g(x, y), (x, 0, 60), (y, 0, 36))
sage: for j in range(n):....:P = desolve_system_rk4(f(x,y), [x,y],....:
ics=[0,L[j],R[j]], ivar=t, end_points=15)....:
Q = [[j,k] for i,j,k in P]....:
q += line(Q, color=hue(.8-j/(2*n)))sage: q.axes_labels(["Hasen", "Fuechse"]); q.show()Übung 16 Seite 88.

(Ein autonomes System von Dierentialgleichungen)sage: from scipy import integrate
sage: def dX_dt(X, t=0): return [X[1], 0.5*X[1] - X[0] - X[1]^3]
sage: t = srange(0, 40, 0.01); x0 = srange(-2, 2, 0.1); y0 = 2.5
sage: CI = [[i, y0] for i in x0] + [[i, -y0] for i in x0]
sage: def g(x,y): v = vector(dX_dt([x, y])); return v / v.norm()
sage: x, y = var('x, y'); n = len(CI)sage: q = plot_vector_field(g(x, y), (x, -3, 3), (y, -y0, y0))
sage: for j in xrange(n):....:X = integrate.odeint(dX_dt, CI[j], t)
sage: q += line(X, color=(1.7*j/(4*n),1.5*j/(4*n),1-3*j/(8*n)))sage: X = integrate.odeint(dX_dt, [0.01,0], t)
sage: q += line(X, color = 'red'); q.show()Übung 17 Seite 88.

(Strömung um einen Zylinder mit Magnuseekt)

Für die Lösung dieser Aufgabe können wir beispielsweise die Funktion odeint von Scipy
verwenden:

sage: from scipy import integrate
sage: t = srange(0, 40, 0.2)
sage: n = 35; CI_cart = [[4, .2 * i] for i in range(n)]sage: CI = map(lambda x: [sqrt(x[0]^2+x[1]^2),\....:pi - arctan(x[1]/x[0])], CI_cart)
sage: for alpha in [0.1, 0.5, 1, 1.25]:....:
dX_dt = lambda X, t=0: [cos(X[1])*(1-1/X[0]^2), \....:-sin(X[1]) * (1/X[0]+1/X[0]^3) + 2*alpha/X[0]^2]....:
q = circle((0, 0), 1, fill=True, rgbcolor='purple')....:for j in range(n):....:X = integrate.odeint(dX_dt, CI[j], t)....:
Y = [[u[0]*cos(u[1]), u[0]*sin(u[1])] for u in X]....:
q += line(Y, xmin = -4, xmax = 4, color='blue')....:q.show(aspect_ratio = 1, axes = False)
Abbildung A.5 zeigt die Lösungen zu den Fällen α = 0.1, 0.5, 1.

398

A.5. Denitionsmengen

Abb. A.4 - Ein autonomes System von Dierentialgleichungen

Fall α = 0.1

Fall α = 0.5

Fall α = 1

Abb. A.5 - Magnuseekt

A.5. DenitionsmengenÜbung 18 Seite 100. Die Klasse des Ringes ZZ heiÿt IntegerRing_class, wie wir mit den
folgenden Befehlen sehen können:

sage: print type(ZZ)'sage.rings.integer_ring.IntegerRing_class'>

399

A. Lösungen der Übungensage: ZZ.__class__'sage.rings.integer_ring.IntegerRing_class'>
Tatsächlich ist der Ring ZZ die einzige Instanz dieser Klasse, die wir mit der Kategorie vonZZ nicht verwechseln dürfen

sage: ZZ.category()
Join of Category of euclidean domains and Category of infinite
enumerated sets and Category of metric spaces
und auch nicht mit mit Klasse seiner Elemente

sage: ZZ.an_element().__class__<type 'sage.rings.integer.Integer'>A.6. Endliche Körper und elementare ZahlentheorieÜbung 19 Seite 121. Wir setzen n = pqr voraus mit p < q < r. Dann muss p ≤ n sein
3

und die Funktion wird

sage: def enum_carmichael(N, verbose=True):....:p = 3; s = 0....:
while p^3 <= N:....:
s += enum_carmichael_p(N, p, verbose); p = next_prime(p)....:return s
worin die Funktion enum_carmichael_p die Anzahl der Carmichael-Vielfachen zählt, die vonder Form a + λm sind mit λ ∈ N0 , a = p und m = p(p − 1), weil n ein Vielfaches von p seinmuss und n − 1 ein Vielfaches von p − 1:sage: def enum_carmichael_p (n, p, verbose):....:a = p; m = p*(p-1); q = p; s = 0....:
while p*q^2 <= n:....:q = next_prime(q)....:s += enum_carmichael_pq(n, a, m, p, q, verbose)....:
return s
Die Funktion enum_carmichael_pq zählt die Anzahl der Carmichael-Vielfachen von pq , dievon der Form a0 + µm0 sind mit µ ∈ N0 , wobei a0 ≡ a mod m ist, a0 ≡ q mod q(q − 1) und
m0 gleichzeitig Vielfaches von m = p(p − 1) und von q(q − 1). Zur Lösung der simultanen
Kogruenzen nehmen wir die Funktion crt. Dabei schlieÿen wir den Fall aus, dass es keine
Lösung geben kann, sonst würde Sage einen Fehler verursachen. Wir setzen auch a0 > pq 2 ,um r > q zu haben:

sage: def enum_carmichael_pq(n,a,m,p,q,verbose):....:if (a-q) % gcd(m,q*(q-1)) <> 0: return 0
....:
s = 0
....:
a = crt (a, q, m, q*(q-1)); m = lcm(m,q*(q-1))....:
while a <= p*q^2: a += m....:
for t in range(a, n+1, m):....:r = t // (p*q)

400

A.6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie
....:
....:
....:
....:
....:

if is_prime(r) and t % (r-1) == 1:
if verbose:
print p*q*r, factor(p*q*r)
s += 1
return s

Mit diesen Funktionen erhalten wir

sage: enum_carmichael(10^4)561 3 * 11 * 171105 5 * 13 * 172465 5 * 17 * 29
1729 7 * 13 * 19
2821 7 * 13 * 31
8911 7 * 19 * 67
6601 7 * 23 * 41
7 sage: enum_carmichael(10^5, False)
12 sage: enum_carmichael(10^6, False)
23 sage: enum_carmichael(10^7, False)47Übung 20 Seite 123.

Zunächst schreiben wir eine Funktion aliq, welche für n die aliquote
Folge berechnet und stoppt, sobald wir 1 erhalten oder eine Wiederholung auftritt:sage: n = 840
sage: s = [n]sage: while n > 1:....:n = sigma(n) - n....:s.append(n)....: print s[:5], s[-5:](748, [840, 2040, 4440, 9240, 25320], [2714, 1606, 1058, 601, 1])
sage: points([(x,log(s[x])/log(10.0)) for x in range(len(s))])401

A. Lösungen der ÜbungenÜbung 21 Seite 124.

Konstante von Masser-Gramain Bei Frage 1 sei C der Grenzkreis
einer kleineren Kreisscheibe. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen,dass der Ursprung O auf dem Kreis liegt - tatsächlich gibt es mindestens einen Punkt von Z2
auf dem Kreis, sonst ist die Scheibe nicht optimal. Wir können auch voraussetzen, dass derKreismittelpunkt im ersten Quadranten liegt (durch Rotation der Scheibe um ein Vielfaches
von π/2) um O). Wir werden zugestehen, dass wir ebenfalls zwei Punkte A und B im ersten
Quadranten aufqdem Kreis haben, und der Kreis somit Umkreis des Dreiecks OAB ist. DiekSchranke rk <ermöglicht, die Punkte A und B einzugrenzen, denn ihr Abstand zu O
q π
ist höchstens 2k
π . Wir können annehmen, dass einer der Punkte A und B , beispielsweise A,
im zweiten Oktanten liegt (wenn beide wegen der Symmetrie zur Geraden x = y im ersten
Oktanten liegen, bringen wir sie in den zweiten Oktanten). Wir können auch annehmen, dassder Winkel OAB spitz ist (indem wir A und B notfalls vertauschen, wegen der Symmetrie zur
Geradenq x = y liegen sie in verschiedenen Oktanten).
q Die Abszisse von A veriiziert deshalb

xA <

2k
π , seine Ordinate veriziert xA≤ yA <

4k/π − x2A . Für den Punkt B habenq

2 (spitzer Winkel bei A). Das ergibt
wir 0 ≤ xB < 2 πk und 0 ≤ xA yB + yyA xB ≤ x2A + yA
den folgenden Code, wobei die Routine rk_aux
die Anzahl der Punkte in der Scheibe mitpdem Zentrum xc /d, yc /d und dem Radius r2 /d, wobei xc , yc , d und r2 sämtlich ganzzahlig
sind.

sage: def rk_aux(xc, yc, d, r2):
....:
s = 0
....:
xmin = ceil((xc - sqrt(r2))/d)....:
xmax = floor((xc + sqrt(r2))/d)....:
for x in range(xmin,xmax+1):....:
r3 = r2 - (d*x-xc)^2 # (d*y-yc)^2 <= r2 - (d*x-xc)^2....:
ymin = ceil((yc - sqrt(r3))/d)....:
ymax = floor((yc + sqrt(r3))/d)....:s += ymax + 1 - ymin....:return s

402

A.6. Endliche Körper und elementare Zahlentheorie
sage: def rk(k): # renvoie (r_k^2, xc, yc)....:
if k == 2: return 1/4, 1/2, 0....:
dmax = (2*sqrt(k/pi)).n(); xamax = (sqrt(2*k/pi)).n()....:sol = (dmax/2)^2, 0, 0, 0....:
for xa in range(0, floor(xamax)+1):....:# falls xa=0, ya > 0 den A kann nicht auf O liegen....:yamin = max(xa, 1)....:
for ya in range(yamin, floor(sqrt(dmax^2-xa^2))+1):....:
xbmin = 0 # wir wollen xb*ya <= xa^2+ya^2....:
if xa == 0:....:
xbmin = 1 # O, A, B dürfen nicht über- oder nebeneinander liegen....:
xbmax = min(floor(dmax), floor((xa*xa+ya*ya)/ya))....:
for xb in range(xbmin, xbmax+1):....:
ybmax = floor(sqrt(dmax^2-xb^2))....:
if xa > 0: # wir wollen xb*ya+yb*xa <= xa^2+ya^2....:
tmp = floor((xa*xa+ya*ya-xb*ya)/xa)....:
ybmax = min(ybmax, tmp)....:
# si xb=0, yb > 0 denn B muss verschieden sein von O....:
ybmin = 0....:
if xb == 0:....:
ybmin = 1....:
for yb in range(ybmin,ybmax+1):....:
d = 2*abs(xb*ya - xa*yb)....:
if d <> 0:....:
ra2 = xa^2+ya^2; rb2 = xb^2+yb^2....:
xc = abs(ra2*yb - rb2*ya)....:
yc = abs(rb2*xa - ra2*xb)....:
r2 = ra2*rb2*((xa-xb)^2+(ya-yb)^2)....:
m = rk_aux(xc,yc,d,r2)....:
if m >= k and r2/d^2 < sol[0]:....:sol = r2/d^2, xc/d, yc/d....:return sol
sage: for k in range(2,10): print k, rk(k)2 (1/4, 1/2, 0)
3 (1/2, 1/2, 1/2)
4 (1/2, 1/2, 1/2)
5 (1, 0, 1)
6 (5/4, 1/2, 1)
7 (25/16, 3/4, 1)
8 (2, 1, 1)
9 (2, 1, 1)
Die Lösung zu Frage 2 ist die folgende:

sage: def plotrk(k):....:r2, x0, y0 = rk(k); r = n(sqrt(r2))....:
var('x, y')....:c = implicit_plot((x-x0)^2+(y-y0)^2-r2,....:(x, x0-r-1/2, x0+r+1/2),(y, y0-r-1/2, y0+r+1/2))

403

A. Lösungen der Übungen
....:
....:
....:
....:
....:
....:
....:
....:

center = points([(x0,y0)], pointsize=50, color='black')# wir wollen (i-x0)^2+(j-y0)^2 <= r2# daher |i-x0| <= r et |j-y0| <= r2 - (i-x0)^2
l = [(i, j) for i in range(ceil(x0-r), floor(x0+r)+1)
for j in range(ceil(y0-sqrt(r^2-(i-x0)^2)),floor(y0+sqrt(r2-(i-x0)^2))+1)]
d = points(l, pointsize=100)
return (c+center+d).show(aspect_ratio=1, axes=True)P
Frage 3 erfordet etwas Überlegung. Wir schreiben Si,j = jk=i 1/(πrk2 ). Ausgehend von deroberen Schranke (6.2) für rk erhalten wir rk2 < (k − 1)/π , somit ist 1/(irk2 ) > 1/(k − 1) und
R N +1P
Sn,N > N
dk/k = log((N + 1)/n).
k=n 1/(k − 1) > n
Die untere Schranke von (6.2) ergibt 1/(πrk2 ) < 1/k + 2/k 3/2 für k ≥ 407, was für n ≥ 407 zu√
R√P
3/2 ) < N (1/k + 2/k 3/2 )dk = log(N/(n − 1)) + 4/ n − 1 − 4/ N
(1/k
+
2/k
Sn,N < N
k=nn−1
führt, woraus folgt√
S2,n−1 + log(1/n) ≤ δ ≤ S2,n−1 + log(1/(n − 1)) + 4 n − 1.

sage: def bound(n):....:s = sum(1/pi/rk(k)[0] for k in range(2,n+1))....:
return float(s+log(1/n)), float(s+log(1/(n-1))+4/sqrt(n-1))
sage: bound(60)(1.7327473659779615, 2.2703101282176377)
Daraus leiten wir 1.73 < δ < 2.28 her. Also ist der Näherungswert δ ≈ 2.00 mit einem
absoluten Fehler unter 0.28.

Übung 22 Seite 125.

Wir benutzen hier wieder dieselben Begrie wie der Artikel vonBeauzami [Bea09]. Wir setzen si = 1−xi −. . .−xk mit k+1 = 1. Dann muss x1 +. . .+xi−1 ≤ si
gelten und insbesondere ist x2 ≤ x1 ≤ s2 . Es sein

Zs2
C1 =
x1 =x2xn1 1 dx1 =1  n1 +1− xn2 1 +1 .
s2
n1 + 1

sage: x1, x2, s2 = var('x1, x2, s2')
sage: n1 = 9; C1 = integrate(x1^n1, x1, x2, s2); C1
1/10*s2^10 - 1/10*x2^10Dann haben wir x3 ≤ x2 ≤ s3 = s2 + x2 , ersetzen wir deshalb s2 durch s3 − s2 in C1 undintegrieren über x2 von x3 bis s2 /2 - denn x1 + x2 ≤ s3 und x2 ≤ x1 - erhalten wir:sage: x3, s3 = var('x3, s3')
sage: n2 = 7; C2 = integrate(C1.subs(s2=s3-x2)*x2^n2, x2, x3, s3/2); C2
44923/229417943040*s3^18 - 1/80*s3^10*x3^8 + 1/9*s3^9*x3^9 9/20*s3^8*x3^10 + 12/11*s3^7*x3^11 - 7/4*s3^6*x3^12 + 126/65*s3^5*x3^13- 3/2*s3^4*x3^14 + 4/5*s3^3*x3^15 - 9/32*s3^2*x3^16 + 1/17*s3*x3^17
und so fort. Bei jeder Iteration ist Ci ein homogenes Polynom in xi+1 und si+1 mit rationalen
Koezienten und insgeamt vom Grad n1 + . . . + ni + i. Für die letzte Variable integrieren wir
von xk = 0 bis xk = 1/k .

404

A.7. Polynome
Nehmen wir für Zähler und Nenner von I eine bekannte Schranke an, können wir I modulo
p für verschiedene Primzahlen berechnen, die den Nenner von I nicht teilen und daraus dann
mit den chinesischen Resten den Wert von I modulo dem Produkt dieser Primzahlen herleiten
und schlieÿlich mit rationaler Rekonstruktion den exakten Wert von I ermitteln.

A.7. PolynomeÜbung 23 Seite 129.
1. Wir können zum Beispiel nehmen (es gibt viele andere Lösungen):sage: x = polygen(QQ, 'y'); y = polygen(QQ, 'x')Erinnern wir uns an den Unterschied in Sage zwischen Python-Variablen und mathematischen Variablen. Python-Variablen sind Namen, die zum Programmieren dienen
und bezeichnen den Speicherplatz im Rechner. Mathematische Variablen, darunter die
Unbestimmten der Polynome, sind von völlig anderer Art: es sind Sage-Objekte, die in
Python-Variablen gespeichert werden können. Wenn wir eine 'x' genannte Unbestimmte erzeugen, verpichtet nichts dazu, in der Python-Variablen x zu speichern - und nichts
hindert daran, dort 'y' unterzubringen.
2. Wir fangen damit an, der Python-Variablen x die Unbestimmte 'x' der Polynome mit
rationalen Koezienten zuzuweisen. Der Ausdruck x+1 wird dann im Polynom x +1 ∈ Q[x] ausgewertet, die wir der Variablen p zugewiesen haben. Dann weisen wir der
Variablen x die Zahl 2 zu. Das hat keinen Einuss auf p, das immer noch x + 1 ist: dieses
x hier (die Unbestimmte) hat mit der Python-Variablen nichts zu tun, die ist jetzt 2.
In diesem Stadium wird p+x zu x + 3 ausgewertet. Daher ist der Endwert von p gleichx + 3.

Übung 24 Seite 134.

Eine einfache Lösung besteht darin, sukzessive euklidsche Divisionen
durch Tschebyschow-Polynome fallenden Grades durchzuführen: wenn dass Polynom p, dasin die Basis von Tschebyschow umgeschrieben werden soll, vom Grad n ist, setzen wir p =cn Tn + Rn−1 mit cn ∈ Q und deg Rn−1 ≤ n − 1, dann Rn−1 = cn−1 Tn−1 + Rn−1 und so
weiter.
Beim folgenden Sage-Code haben wir uns entschieden, statt die als els einfache Liste erhaltenen Koezienten cn zurückzugeben, einen symbolischen Ausdruck zu bilden, wobei das
Polynom Tn als eine inerte Funktion T(n,x) dargestellt wird (d.h. als nicht ausgewertete
Form betrachtet)

sage: T = sage.symbolic.function_factory.function('T', nargs=2)
sage: def to_chebyshev_basis(pol):....:(x,) = pol.variables()....:res = 0....:for n in xrange(pol.degree(), -1, -1):....:
quo, pol = pol.quo_rem(chebyshev_T(n, x))....:
res += quo * T(n, x)....:
return res
Testen wir diese Funktion. Um die Resultate zu verizieren, reicht es aus, in unsere inerte
Funktion T die Funktion einzusetzen, welche die Tschebyschow-Polynome berechnet und zu
entwickeln:

405

A. Lösungen der Übungensage: p = QQ['x'].random_element(degree=6); p2*x^6 - x^5 + x^3 + x^2 + 1/5*x + 1
sage: p_cheb = to_chebyshev_basis(p); p_cheb
1/16*T(6, x) - 1/16*T(5, x) + 3/8*T(4, x) - 1/16*T(3, x) + 23/16*T(2, x) + 13/40*T(1, x)+ 13/40*T(1, x) + 17/8*T(0, x)
sage: p_cheb.substitute_function(T, chebyshev_T).expand()
2*x^6 - x^5 + x^3 + x^2 + 1/5*x + 1

Übung 25 Seite 134. Eine direkte Übertragung nach Sage ergibt so etwas:

sage: def mydiv(u, v, n):....:v0 = v.constant_coefficient()....:
quo = 0; rem = u....:
for k in xrange(n+1):....:c = rem[0]/v0....:
rem = (rem - c*v) >> 1 # bitweise Rechtsverschiebung....:quo += c*x^k....:return quo, rem(Wir werden die Laufzeit dieser Funktion anhand recht groÿer Beispiele messen können undversuchen, den Code ezienter zu machen, ohne den Algorithmus zu verändern.)
Doch der Quotient in der Division durch bis zur Ordnung n wachsende Potenzen ist einfach
die Reihenentwicklung des gebrochen rationalen Ausdrucks u/v , die mit der Ordnung n + 1
abgebrochen wird. Mit der Division der formalen Potenzreihen (siehe Abschnitt 7.5) können
wir daher die Division durch steigende Potenzen wie folgt berechnen.

sage: def mydiv2(u, v, n):....:x = u.parent().gen()....:quo = (u / (v + O(x^(n+1)))).polynomial()....:
rem = (u - quo*v) >> (n+1)....:
return quo, rem
Die Zeile quo = ... konvertiert erstens ein Polynom in eine abbrechende Reihe, indem sie
ein O(.) anhängt und zweitens erfolgt die Division durch eine Reihe in der Voreinstellung mit
der Genauigkeit des Divisors.

Übung 26 Seite 135. Zunächst sind wir darauf gefasst, dass u

1010000 Ziern in der Gröÿenordnung 10000 hat. Eine Berechnung als ganze Zahl kommt somit überhaupt nicht in Frage,
Deshalb interessieren wir uns nur für die letzten fünf Ziern, und das ist wirklich kein Problem: wir machen die ganze Rechnung modulo 105 . Das in Unterabschnitt 3.2.4 vorgestellte
Verfahren zur schnellen Potenzierung verlangt nun einige zigtausend Multiplikationen von1000 × 1000-Matrizen mit Koezienten aus Z/105 Z. Jedes dieser Matrizenprodukte kommt
auf eine Milliarde Multiplikationen modulo 105 oder etwas weniger mit einem schnellen Algorithmus. Das is nicht völlig unmöglich, aber der Versuch einer einzigen Multiplikation lässt
vermuten, dass die Berechnung mit Sage eine gute Stunde dauern würde:sage: Mat = MatrixSpace (IntegerModRing(10^5), 1000)
sage: m1, m2 = (Mat.random_element() for i in (1,2))
sage: time m1*m2
1000 x 1000 dense matrix over Ring of integers modulo 100000 (use the'.str()' method to see the entries)
Time: CPU 0.37 s, Wall: 0.39 s

406

A.7. Polynome
Was den Algorithmus betrit, gibt es eine bessere Möglichkeit. Mit S bezeichnen wir den
Verschiebungsoperator (an )n∈N 7→ (an+1 )n∈N . Die u = (un )n∈N genügende Gleichung wird
nun P (S) · u = 0 geschrieben, wobei P (x) = x1000 − 23x729 + 5x2 − 12x − 7 ist; und für jedes
N (insbesondere N = 10100 ) ist der Term uN das erste Glied der Folge S n · u. Sei R der Rest
der euklidschen Division von xN durch P . Wegen P (S) · u = 0 haben wir S N · u = R(S) · u.
Deshalb genügt die Berechnung des Bildes von xN in (Z/105 Z)[x]/hP (x)i. Wir gelangen zu
folgendem Code, der auf derselben Maschine in weniger als einer halben Minute ausgeführt
wird:

sage: Poly.<x> = Integers(10^5)[]
sage: P = x^1000 - 23*x^729 + 5*x^2 - 12*x - 7
sage: Quo.
 = Poly.quo(P)sage: op = s^(10^10000)
sage: add(op[n]*(n+7) for n in range(1000))
63477
Die gesuchten fünf letzten Ziern sind also 63477. Der Unterschied zwischen beiden Versionen
bei der Rechenzeit wächst mit der Rekursionstiefe rapide an.

407

A. Lösungen der ÜbungenÜbung 27 Seite 146.
1. Nehmen wirPan, dass as un+s + as−1 un+s−1 + · · · + a0 un = 0 ist für alle n ≥ 0 und nennen
wir u(z) = in=0 nf ty . Sei Q(z) = as + as−1 z + . . . + a0 z 8 . Dann ist

S(z) = Q(z)u(z) =∞X(as un + as−1 un−1 + . . . + a0 un−s )z n

n=0

mit der Konvention, dass un = 0 ist für n < 0. Der Koezient von z n in S(z) ist null
für n ≥ s. Daher ist S(z) ein Polynom und u(z) = S(z)/Q(z). Der Nenner Q(z) ist
das reziproke Polynom des charakteristischen Polynoms der Rekursion, und der Zähler
kodiert die Anfangsbedingungen.
2. Die ersten Koezienten reichen hin, eine Rekursion 3. Ordnung zu erraten, die den gegebenen Daten oenbar genügen. Durch Aufruf von rational_reconstruct bekommen
wir einen gebrochen rationalen Ausdruck, mit dem wir eine Reihe entwickeln können,
in der alle gegebenen Koezienten wiederzunden sind sowie die wahrscheinlich dannfolgenden:

sage: p = previous_prime(2^30); ZpZx.<x> = Integers(p)[]sage: s = ZpZx([1, 1, 2, 3, 8, 11, 34, 39, 148, 127, 662, 339])
sage: num, den = s.rational_reconstruct(x^12, 6, 6)
sage: S = ZpZx.completion(x)420
sage: map(lift_sym, S(num)/S(den))[1, 1, 2, 3, 8, 11, 34, 39, 148, 127, 662, 339, 3056, 371,
14602, -4257, 72268, -50489, 369854, -396981](Die Funktion lift_sym wurde in Kapitel 7 deniert. Die ersten 20 Koezienten liegenweit unter 229 , sodass wir die Rekursion modulo 230 entwickeln dürfen, nachdem wir
das Ergebnis in Z erstellt haben.)Mit berlekamp_massey ist das Ergebnis das charakteristische Polynom der Rekursion
direkt mit Koezienten in Z:

sage: berlekamp_massey([1, 1, 2, 3, 8, 11, 34, 39, 148, 127])x^3 - 5*x + 2
Wir verizieren, dass alle gegebenen Koezienten der Gleichung un+3 = 5un+1 − 2un
genügen, und davon ausgehend erraten wir die fehlenden Koezienten 72268 = 5 ·14602 − 2 · 371. − 50489 = 5 · (−4257) − 2 · 14602 und so weiter.

Übung 28 Seite 146. Wir beginnen mit der Berechnung eines Polynoms 3. Grades, dass die

gegebene Interpolationsbedingung erfüllt. Das ergibt eine Lösung mit deg p = 3:

sage: R.<x> = GF(17)[]
sage: pairs = [(0,-1), (1,0), (2,7), (3,5)]
sage: s = R(QQ['x'].lagrange_polynomial(pairs)); s6*x^3 + 2*x^2 + 10*x + 16
sage: [s(i) for i in range(4)][16, 0, 7, 5]408

A.8. Lineare Algebra
Wir werden damit wieder auf das Problem der rationalen Rekonstruktion verwiesen

p/q ≡ s mod x(x − 1)(x − 2)(x − 3).
Da s nicht invertierbar modulo x(x−1)(x−2)(x−3) ist (denn s(1) = 0), gibt es für konstantes
p keine Lösung. Mit deg p = 1 nden wir:sage: s.rational_reconstruct(mul(x-i for i in range(4)), 1, 2)(15*x + 2, x^2 + 11*x + 15)

Übung 29 Seite 150.R Der Ablauf ist derselbe wie beim Beispiel im Text: wir codierenx

die Gleichung tan x = 0 (1 + tan2 t)dt und suchen ausgehend von der Anfangsbedingungtan(0) = 0 einen Fixpunkt.

sage: S.<x> = PowerSeriesRing(QQ)
sage: t = S(0)sage: for i in range(7): # hier ist t korrekt bis zum Grad 2i+1....:
# O(x^15) vermeidet das Anwachsen der Abbruchordnung....:t = (1+t^2).integral() + O(x^15)
sage: tx + 1/3*x^3 + 2/15*x^5 + 17/315*x^7 + 62/2835*x^9 + 1382/155925*x^11 +
21844/6081075*x^13 + O(x^15)

A.8. Lineare AlgebraÜbung 30 Seite 170.

(Minimalpolynom von Vektoren)

1. ϕA ist ein Annihilator-Polynom aller Basisvektoren ei . Es ist deshalb ein gemeinsames
Vielfaches von ϕA,ei . Sei ψ das kgV von ϕA,ei . Dann gilt ψ | ϕA . Auÿderdem ist ψ(A) =[ψ(A)e1 · . . . · ψ(A)en ] = 0 Annihilator der Matrix A. Daraus folgt ϕA | ψ . Da die
Polynome unitär sind, sind sie gleich.
2. In diesem Fall haben alle ϕA,ei die Form χli , wobei χ ein irreduzibles Polynom ist.
Gemäÿ der vorigen Frage fällt ϕA mit dem der χli zusammen und hat den maximalen
Exponenten li .
3. Sei ϕ ein Annihilator-Polynom von e = ei + ej und ϕ1 = ϕA,ei und ϕ2 = ϕA,ej . Wir
haben ϕ2 (A)ϕA,ei = ϕ2 (A)ϕ(A)e − ϕ(A)ϕ2 (A)ej = 0. Daher ist ϕ2 ϕ Annihilator vonei und somit teilbar durch ϕ1 . Da nun ϕ1 und ϕ2 teilerfremd sind, gilt ϕ1 | ϕ. Genauso
beweist man ϕ2 | ϕ, weshalb ϕ ein Vielfaches von ϕ1 ϕ2 ist. Nun ist ϕ1 ϕ2 Annihilator
von e, deshalb ist ϕ = ϕ1 ϕ2 .
4. Da P1 und P2 teilerfremd sind, existieren zwei Polynome α und β , sodass 1 = αP1 +βP2 .
So haben wir x = α(A)P1 (A)x + β(A)P2 (A)x = x2 + x1 für jedes x, wobei x1 =β(A)P2 (A)x ist und x2 = α(A)P1 (A)x. Wegen ϕA = P1 P2 ist P1 Annihilator vonx1 = β(A)P2 (A)x (ebenso ist P2 Annihilator von x2 ). Ist x1 = 0 für jedes x, dann ist
βP2 Annihilator von A und ist somit ein Vielfaches von P1 P2 , woraus 1 = P1 (α + γP2 )folgt, was deg P1 = 0 impliziert. Es existiert daher ein x1 6= 0, sodass P1 ein AnnihilatorPolynom von x1 ist. Zeigen wir, dass P1 für x1 minimal ist: sei P˜1 ein AnnihilatorPolynom von x1 . Dann ist P˜1 (A)P2 (A)x = P2 (A)P˜1 (A)x1 + 1̃ (A)P2 (A)x2 = 0, mithin
ist P˜1 P2 ein Vielfaches von ϕA = P1 P2 . So gilt P1 | P˜1 und P1 ist das Minimalpolynom
von x1 . Für x2 geht der Beweis genauso.

409

A. Lösungen der Übungenii
5. Zu jedem Faktor ϕmexistiert ein Vektor xi . Dabei ist ϕm
das Minimalpolynom undiider Vektor x1 + . . . + xk hat ϕA als Minimalpolynom.

6. Wir berechnen zunächst das Minimalpolynom der Matrix A.

sage: A = matrix(GF(7),[[0,0,3,0,0],[1,0,6,0,0],[0,1,5,0,0],....:[0,0,0,0,5],[0,0,0,1,5]])
sage: P = A.minpoly(); Px^5 + 4*x^4 + 3*x^2 + 3*x + 1
sage: P.factor()(x^2 + 2*x + 2) * (x^3 + 2*x^2 + x + 4)
Es ist vom höchsten Grad.

sage: e1 = identity_matrix(GF(7),5)[0]sage: e4 = identity_matrix(GF(7),5)[3]sage: A.transpose().maxspin(e1)[(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0)]
sage: A.transpose().maxspin(e4)[(0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)]
sage: A.transpose().maxspin(e1 + e4)[(1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 5, 5),(3, 6, 5, 4, 2), (1, 5, 3, 3, 0)]
Die Funktion maxspin iteriert einen Vektor von links. Wir wenden sie deshalb auf die
Transponierte von A an, um ausgehend von den Vektoren e1 und e4 die Liste der linear
unabhängigen Krylow-Iterierten zu bekommen. Das Minimalpolynom von e1 hat daher
den Grad 3, das von e4 den Grad 2 und das von e1 + e4 den Grad 5.
Wir sehen, dass die spezielle Gestalt der Matrix die Vektoren e1 und e4 wie Iterierte anderer Vektoren der kanonischen Basis wirken lässt, Diese Form heiÿt FrobeniusNormalform (siehe Unterabschnitt 8.2.3). Sie beschreibt, wie die Matrix den Vektorraum
in zyklische invariante unterräume zerlegt, die von den Vektoren der kanonischen Basis
erzeugt werden.

Übung 31 Seite 177.

sage: def sind_aehnlich(A, B):....:
F1, U1 = A.frobenius(2)....:F2, U2 = B.frobenius(2)....:if F1 == F2:....:
return True, ~U2*U1
....:
else:
....:
return False, F1 - F2
sage: B = matrix(ZZ, [[0,1,4,0,4],[4,-2,0,-4,-2],[0,0,0,2,1],....:[-4,2,2,0,-1],[-4,-2,1,2,0]])
sage: U = matrix(ZZ, [[3,3,-9,-14,40],[-1,-2,4,2,1],[2,4,-7,-1,-13],....:[-1,0,1,4,-15],[-4,-13,26,8,30]])
sage: A = (U^-1 * B * U).change_ring(ZZ)
sage: ok, V = sind_aehnlich(A, B); ok
True
sage: V[12824643/1601680 -6818729/1601680

410A.9. Polynomiale Systeme-43439399/11211760 73108601/11211760][
0342591/320336-2360063/11211760 -10291875/2242352][
0-367393/640672-888723/4484704 15889341/4484704][
0661457/3203360
13485411/22423520 -69159661/22423520][
0 -4846439/3203360-32420037/22423520 285914347/22423520]
sage: ok, V = sind_aehnlich(2*A, B); ok
False-695773/320336
673091/640672-565971/3203360
7915157/3203360

A.9. Polynomiale SystemeÜbung 32 Seite 180. Zu einem gegebenen Polynomring ring gibt die Funktion test_poly
die Summe aller Monome des gesamten Grades zurück, der durch den Wert des Parameters
deg begrenzt ist. Der Code ist relativ kompakt, arbeitetet jedoch mit einigen Verrenkungen.

Die erste Anweisung erzeugt eine Menge (dargestellt durch ein spezisches Objekt SubMultiset,siehe Abschnitt 15.2) von Listen zu jedem deg und weist sie der lokalen Variablen monomialszu, mit Elementen, deren Produkt einen Term des Polynoms bildet:

sage: ring = QQ['x,y,z']; deg = 2
sage: tmp1 = [(x,)*deg for x in (1,) + ring.gens()]; tmp1[(1, 1), (x, x), (y, y), (z, z)]sage: tmp2 = flatten(tmp1); tmp2
[1, 1, x, x, y, y, z, z]
sage: monomials = Subsets(tmp2, deg, submultiset=True); monomials
SubMultiset of [y, y, 1, 1, z, z, x, x] of size 2
sage: monomials.list()[[y, y] , [y, 1] , [y, z] , [y, x] , [1, 1] , [1, z] , [1, x] , [z, z] , [z, x] , [x, x]]Dafür beginnen damit, dem Tupel der Unbestimmten 1 hinzuzufügen und jedes Element desErgebnisses durch ein Tupel von deg Kopien von sich selbst zu ersetzen und dan diese Tupel in einer Liste zu gruppieren. Wir bemerken die Verwendung von (1,). das ein Tupel
mit nur einem Element bezeichnet sowie Operatoren für die Verkettung und für die Wiederholung *. Die erhalten Liste der Tupel wird durch flatten zu einer Liste gemacht, diejede Unbestimmte und die Konstante 1 genau deg mal enthält. Die Funktion Subsets mit
der Option submultiset=True berechnet sodann die Menge der Teilmengen der Gröÿe deg
der Multimenge (eine Kollektion ohne Ordnung aber mit Wiederholung) der Elemente dieser
Liste. Das Objekt monomials ist iterierbar: so ist (mul(m) for m in monomials) ein PythonGenerator, der die Monome durchläuft, die beim Durchgehen der Listen mit mul entstanden
sind und die Teilmengen darstellt. Dieser Generator wird schlieÿlich add übergeben.
Die letzte Zeile könnte durch add(map(mul, monomials)) ersetzt werden. Wir könnten auch((1,) + ring.gens())*deg schreiben, um den Ausdruck [(x,)*deg for x in (1,) +ring.gens()] zu vereinfachen.

Übung 33 Seite 181. Ein Beispiel von der Hilfeseite PolynomialRing? schlägt eine Lösung

vor: um eine Familie von komplizierten Unbestimmten zu erhalten - hier durch Primzahlen

411

A. Lösungen der Übungenindiziert - übergibt man PolynomialRing eine mit einer Raung erzeugte Liste (siehe Unterabschnitt 3.3.2):

sage: ['x%d' % n for n in [2,3,5,7]]['x2', 'x3', 'x5', 'x7']
sage: R = PolynomialRing(QQ, ['x%d' % n for n in primes(40)])
sage: R.inject_variables()Defining x2, x3, x5, x7, x11, x13, x17, x19, x23, x29, x31, x37
Die Methode inject_variables initialisiert die Python-Variablen x2,x3,..., die jeweils den
entsprechenden Generator von R enthalten.

Übung 34 Seite 186. Wir verizieren, dass (3, 2, 1) die einzige Lösung ist, beispielsweisemit

sage: R.<x,y,z> = QQ[]
sage: J = R.ideal(x^2*y*z-18, x*y^3*z-24, x*y*z^4-6)
sage: J.variety(AA)[{x: 3, z: 1, y: 2}]oder auchsage: V = J.variety(QQbar)
sage: [u for u in V if all(a in AA for a in u.values())][{z: 1, y: 2, x: 3}]
Eine Substitution der Forn (x, y, z) 7→ (ω a x, ω b y, ω c z) mit ω k = 1 lässt das System genau
dann unverändert, wenn (a, b, c) Lösung modulo k des linearen homogenen Systems dieser
Matrix ist:

sage: M = matrix([ [p.degree(v) for v in (x,y,z)]....:
for p in J.gens()]); M[2 1 1][1 3 1][1 1 4]
Nach Berechnung ihrer Determinante

sage: M.det()
17
sieht man, dass K = 17 passt. Wir müssen nur noch ein von null verschiedenes Element desKerns nden:

sage: M.change_ring(GF(17)).right_kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Finite Field of size 17
Basis matrix:[1 9 6]

Übung 35 Seite 199. Das ist beinahe sofort:

sage: L.<a> = QQ[sqrt(2-sqrt(3))]; L
Number Field in a with defining polynomial x^4 - 4*x^2 + 1
sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: J1 = (x^2 + y^2 - 1, 16*x^2*y^2 - 1)*R

412

A.9. Polynomiale Systeme
sage: J1.variety(L)[{y: 1/2*a, x: 1/2*a^3 - 2*a},{y: 1/2*a, x: -1/2*a^3 + 2*a},{y: -1/2*a, x: 1/2*a^3 - 2*a},{y: -1/2*a, x: -1/2*a^3 + 2*a},{y: 1/2*a^3 - 2*a, x: 1/2*a},{y: 1/2*a^3 - 2*a, x: -1/2*a},{y: -1/2*a^3 + 2*a, x: 1/2*a},{y: -1/2*a^3 + 2*a, x: -1/2*a}]Somit haben wir beispielsweise für die erste Lösung oben
q
q
√
√
√ 3/2
1
1
x = (2 − 3) − 2 2 − 3, y =2 − 3.
22Übung 36 Seite 202. Wir haben gesehen, wie man eine Basis des Q-Vektorraums Q[x, y]/J2erhält:sage: R.<x,y> = QQ[]; J2 = (x^2+y^2-1, 4*x^2*y^2-1)*R
sage: basis = J2.normal_basis(); basis
x[x*y^3, y^3, x*y^2, y^2, x*y, y, x, 1]
Wir berechnen dann das Bild von B unter mx und leiten daraus die Matrix von mx in derBasis B her:sage: xbasis = [(x*p).reduce(J2) for p in basis]; xbasis[1/4*y, x*y^3, 1/4, x*y^2, -y^3 + y, x*y, -y^2 + 1, x]
sage: mat = matrix([ [xp[q] for q in basis] for xp in xbasis])
sage: mat[ 0
0 0 0 0 1/4 0 0]
[ 1
0 0 0 0 00 0]
[ 0
0 0 0 0 0
0 1/4][ 0
0 1 0 0 0
0 0]
[ 0 -1 0 0 0
1 0 0][ 0
0 0 0 1 00 0]
[ 0
0 0 -1 0
0 0 1][ 0
0 0 0 0 0
1 0]
Das Polynom χx und seine Wurzeln sind dann dann gegeben (siehe Kapitel 2 und 8) durch

sage: charpoly = mat.characteristic_polynomial(); charpolyx^8 - 2*x^6 + 3/2*x^4 - 1/2*x^2 + 1/16
sage: solve(SR(charpoly), SR(x))[x == -1/2*sqrt(2), x == 1/2*sqrt(2)]An diesem Beispiel kann man sehen, dass die Wurzeln von χ die Abszissen der Punkte vonV (J2 ) sind.
Für ein beliebiges Hauptideal J setzen wir χ(λ) = 0 voraus mit λ ∈ C. Daher ist λ ein
Eigenwert von mx . Sei p ∈ Q[x, y]\J Repräsentant eines λ zugeordneten Eigenvektors: wirhaben xp = λp + q für ein q ∈ J . Wegen p ∈/ J können wir (x0 , y0 ) ∈ V (J) nden, sodass
p(x0 , y0 ) 6= 0 ist und haben dann(x0 − λ)p(x0 , y0 ) = q(x0 , y0 ) = 0,413

A. Lösungen der Übungenworaus λ = x0 folgt.

Übung 37 Seite 211. Die Ausdrücke sin, cos, sin(2θ) und cos(2θ) sind verknüpft durch die
klassischen geometrischen Formeln

sin2 θ + cos2 θ = 1,

sin(2θ) = 2(sin θ)(cos θ),cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ.

Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir c = cos θ und s = sin θ. Das Hauptideal

hu − (s + c), v − (2sc + c2 − s2 ), s2 + c2 − 1i
von Q[s, c, u, v] bringt die Denitionen von u(θ) und v(θ) der Aufgabe sowie die Beziehungzwischen sin und cos zum Ausdruck. Für eine Anordnung der Monome, die vorrangig s und c
entfernt, gibt die kanonische Form von s6 modulo dieses Hauptideals das gesuchte Ergebnis.

sage: R.<s, c, u, v> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
sage: Rel = ideal(u-(s+c), v-(2*s*c+c^2-s^2), s^2+c^2-1)
sage: Rel.reduce(s^6)
1/16*u^2*v^2 - 3/8*u^2*v + 7/16*u^2 + 1/8*v^2 - 1/8*v - 1/8

A.10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte FolgenÜbung 38 Seite 222.

(Dierentialgleichungen mit trennbaren Variablen)

1. Wir wenden dieselbe Methode an wie in Unterabschnitt 10.2.1:

sage: x = var('x')
sage: y = function('y')(x)sage: ed = (desolve(y*diff(y,x)/sqrt(1+y^2) == sin(x),y)); ed
sqrt(y(x)^2 + 1) == _C - cos(x)Da taucht das gleiche Problem auf: Wir legen fest, dass _C-cos(x) positiv ist:

sage: _C = ed.variables()[0]sage: assume(_C-cos(x) > 0)sage: sol = solve(ed,y); sol[y(x) == -sqrt(_C^2 - 2*_C*cos(x) + cos(x)^2 - 1),
y(x) == sqrt(_C^2 - 2*_C*cos(x) + cos(x)^2 - 1)]sage: P = Graphics()
sage: for j in [0,1]:....:
for k in range(0,20,2)::
P += plot(sol[j].subs(_C == 2+0.25*k).rhs(), x,-3,3)
sage: P

414

A.10. Dierentialgleichungen und rekursiv denierte Folgen

2. Dasselbe Verfahren:

sage: solu = desolve(diff(y,x) == sin(x)/cos(y),y, show_method = True)
sage: solu[sin(y(x)) == _C - cos(x), 'separable']sage: solve(solu[0],y)[y(x) == arcsin(_C - cos(x))]Übung 39 Seite 223.

(Homogene Gleichungen) Wir verizieren, dasss die auf ]0, +∞[ undauf ] − ∞, 0[ denierte Gleichung xyy 0 = x2 + y 2 bestimmt homogen ist. Dann versuchen wir,sie durch Veränderung einer unbekannten Funktion zu lösen, wie das im Unterabschnitt 10.1.2
im Beispiel gezeigtworden ist.

sage: x = var('x')
sage: y = function('y')(x)sage: id(x) = x
sage: u = function('u')(x)sage: d = diff(u*id,x)
sage: DE = (x*y*d == x**2+y**2).subs(y == u*id)
sage: equ = desolve(DE,u)
sage: solu = solve(equ,u)sage: solu
[u(x) == -sqrt(2*_C + 2*log(x)), u(x) == sqrt(2*_C + 2*log(x))]|sage: Y = [x*solu[0].rhs() , x*solu[1].rhs()]
sage: Y[0]-sqrt(2*_C + 2*log(x))*x415

A. Lösungen der Übungen
Wir könen für x Bedingungen hinzufügen (mit assume), um in Erinnerung zu rufen, dass die
Gleichung für x = 0 nicht deniert ist.

A.11. FlieÿpunktzahlenÜbung 40 Seite 241. Wir schlagen zwei Lösungen vor.
1. Wir führen die Rechnung ohne die Methoden der Klasse RealField aus, welche Mantiise
und Exponent einer Zahl ausgeben. Wir verizieren zunächst 299 < 1030 < 2100 (1030 =(103 )10 ≈ (210 )10 ).

sage: R100=RealField(100)sage: x=R100(10^30)
sage: x>2^99
True
sage: x<2^100
True
Wir berechnen dann die Mantisse von x:

sage: e = 2^100
sage: s1 = 10^30
sage: mantisse = []sage: anzziff = 0 # Zähler der notwendiger Ziffern
sage: while s1 > 0:....:e /= 2....:
if e <= s1:....:
mantisse.append(1)....:s1 -= e
....:
else:
....:
mantisse.append(0)....:anzziff += 1
sageprint mantisse[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0,
1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1,
1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1]
sage: print "Anzahl der notwendigen Ziffern ", anzziff
Anzahl der notwendigen Ziffern 70
Die binären Ziern der Mantisse sind oberhalb der siebzigsten gleich null. Die zu 1030
nächstgelegene Zahl bekommt man daher durch Addition von 2−100 zur Mantisse, woraussich als Resultat für x.ulp() der Wert 2−100 · 2100 = 1 ergibt.
2. Mit der Methode sign_mantissa_exponent() der Klasse RealField erhalten wir unmittelbar

sage: R100=RealField(100)sage: x=R100(10^30)
sage: s,m,e = x.sign_mantissa_exponent()

416

A.11. Flieÿpunktzahlen
sage: print s,m,e
1 1000000000000000000000000000000 0
Der Befehl m.binary() erlaubt die Feststellung, dass wir in beiden Fällen die gleiche Mantisse
erhalten.

Übung 41 Seite 244.

1. Wir suchen zunächst die Werte von α, β und γ in der Gleichungun =α100n+1 + β6n+1 + γ5n+1.
α100n + β6n + γ5n(A.1)

Warum machen wir das nicht mit Sage? Wir bedienen uns der Werte u0 , u1 und u2 , um
ein Gleichungssystem zu bekommen und zu lösen, dessen Unbekannte α, β und γ sind.
Wir formulieren die rekursiv denierte Folge und denieren die allgemeine Lösung:sage: var("u0 u1 u2 alpha beta gamma n")(u0, u1, u2, alpha, beta, gamma, n)sage: recurrence = lambda a,b: 111-1130/a+3000/(a*b)
sage: gener1 = lambda n :(alpha*100^n+beta*6^n+gamma*5^n)sage: solGen = lambda n: gener1(n+1)/gener1(n)Wir berechnen u2 als Funktion von u1 und u0 und stellen das System auf:

sage: u2 = recurrence(u1,u0)
sage: s = [u2==solGen(2),u1==solGen(1),u0==solGen(0)]sage: t = [s[i].substitute(u0=2,u1=-4) for i in range(0,3)]Dann lösen wir es:

sage: solve(t,alpha,beta,gamma)[[alpha == 0, beta == -3/4*r1, gamma == r1]]
Die Rechnung zeigt uns, dass γ unbestimmt bleibt.
Wir müssen noch verizieren, dass wir tatsächlich eine allgemeine Lösung erhalten, d.h.
dass die Gleichung (A.1) für jedes n erfüllt ist.

sage: alpha=0
sage: beta = -3/4*gamma
sage: final = solGen(n) - recurrence(solGen(n-1), solGen(n-2))
sage: print final.simplify_full()0
Für γ können wir einen beliebigen Wert einsetzen, z.B. γ = 4, dann haben wir β = −3
und α = 0.
2. Wir denieren eine Funktion für die rekursiv denierte Folge mit exakten Koezienten,
damit wir sie mit unterschiedlichen Genauigkeiten verwenden können:

sage: def recur(x1,x0):....:
return 111 - 1130/x1 + 3000/(x0*x1)
Die Anfangsbedingungen werden hingegen aus RealField() genommen, sodass die
Rechnung auf dieser Denitionsmenge erfolgt.

417

A. Lösungen der Übungensage: u0 = 2.
sage: u1 = -4.
sage: for i in range(1,25):....:
x = recur(u1,u0)....:
print i,x....:u0 = u1....:
u1 = x 1 18.5000000000000
2 9.37837837837838
3 7.80115273775217
4 7.15441448097533
5 6.80678473692481
6 6.59263276872179..................
23 99.9999986592167
24 99.9999999193218
Oensichtlich konvergiert die Folge gegen 100.
3. Für die Erklärung des Verhaltens ist wichtig, dass die Werte un nicht exakt berechnet
werden: wenn die Folge mit Anfangsbedingungen un−1 und un−2 deniert würde, die
mit einem Rundungsfehler behaftet wären, dann lieferte die Gleichung keine allgemeine
Lösung mehr.
Suchen wir nun die stationären Werte der Folge:

sage: var("x")
xsage: solve(x==recurrence(x,x),x)[x == 100, x == 5, x == 6]
Es gibt drei stationäre Werte: 100, 5 und 6. Die Konvergenz gegen 100, die bei Anwesenheit von Rundungsfehlern beobachtet wird, veranlasst Überlegungen zur Stabilität
dieser drei Werte (Überlegungen, die jenseits der Grenzen dieser Übung angesiedeltsind).
4. Die Erhöhung der Genauigkeit bringt nichts, die Folge konvergiert immer gegen 100:

sage: RL = RealField(5000)
sage: u0 = RL(2)sage: u1 = RL(-4)
sage: for i in range(1,2500):....:
x = recur(u1,u0)....:
u0 = u1....:
u1= xsage: x100.00000000000000000000000000000000000000000000000000000...
Es genügt, dass ein einziges ui nicht exakt berechnet wird, damit die Folge divergiert(α ist nicht mehr null).
5. Das Programm erfährt nur geringfügige Änderungen. Wir lassen die Variablen u0 und
u1 ganzzahlig initialisieren:418

A.12. Nichtlineare Gleichungensage: u0 = 2
sage: u1 = -4
sage: for i in range(1,2500):....:
x = recur(u1,u0)....:
u0 = u1....:
u1 = xsage: float(x)6.0Wir nden wirklich den Wert 6.0, doch wenn wir die rationale Zahl x ausgeben, sehen wir
die enorme Menge an Information, die für die Berechnung benötigt wird (die Ausgabe
wird hier nicht wiedergegeben!). Bei Ausgabe von x−6 erkennt man, dass der Grenzwert
nicht verändert worden ist: die Gröÿe der rechnerinternen Darstellung von x wird nicht
kleiner, wenn wir die Iterationen fortsetzen.

A.12. Nichtlineare GleichungenÜbung 42 Seite 263. Wir haben gesehen, dass das Schlüsselwort return die Ausführung

der Funktion beendet. Es reicht deshalb aus zu testen, ob f (0) null ist oder nicht. Um diemehrmalige Auswertung der Funktion f an der Stelle u zu vermeiden, speichern wir ihren
Wert in einer Variablen. Mit dieser Änderung bekommen wir die folgende Funktion:

sage: def intervalgen(f, phi, s, t):....:assert (f(s) * f(t) < 0), \....:'Wrong arguments: f(%s) * f(%s) >= 0)'%(s, t)....:yield s....:yield t....:while 1:....:
u = phi(s, t)....:yield u....:fu = f(u)....:if fu == 0:....:
return....:if fu * f(s) < 0:
....:
t = u
....:
else:
....:
s = u
Testen wir diese Funktion mit einer Gleichung, deren Lösung wir kennen, beispielsweise mit
einer linearen Funktion.

sage: f(x) = 4 * x - 1
sage: a, b = 0, 1
sage: phi(s, t) = (s + t) / 2
sage: list(intervalgen(f, phi, a, b))[0, 1, 1/2, 1/4]

Übung 43 Seite 263. Die intervalgen als Parameter übergebene Funktion phi bestimmt
die Stelle, an der ein Intervall geteilt werden soll. Wir müssen dieser Funktion also nur die
passende Denition übergeben.

419

A. Lösungen der Übungensage: f(x) = 4 * sin(x) - exp(x) / 2 + 1
sage: a, b = RR(-pi), RR(pi)sage: def phi(s, t): return RR.random_element(s, t)
sage: random = intervalgen(f, phi, a, b)
sage: iterate(random, maxit=10000)
After 22 iterations: 2.15844376542606

Übung 44 Seite 271. Es bietet sich an, die Rechnungen mit PolynomialRing(SR, 'x') auszuführen. Es gibt jedoch eine technische Schwierigkeit: dieses Objekt nicht über die Methoderoors().

sage: basering.<x> = PolynomialRing(SR, 'x')
sage: p = x^2 + x
sage: p.parent()
Univariate Polynomial Ring in x over Symbolic Ringsage: p.roots(multiplicities=False)
Traceback (most recent call last):...
NotImplementedError
Achtung: Hier wird noch eine Änderung erfolgen, denn inzwischen ist Sage in der Lage, ein
Ergebnis zu liefern: [−1, 0].
Die Funktion solve ist nicht mehr eine Zusammenarbeit mit den Objekt PolynomialRing(SR, 'x').
Eine Alternative besteht in der Verwendung von SR, das diese Methode implementiert, dochbietet sie kein Äquivalent für die Methode lagrange_polynomial() von PolynomialRing(SR, 'x').
Daher werden wir zwischen diesen Objekten hin und her wechseln.

sage: from collections import dequesage: basering = PolynomialRing(SR, 'x')
sage: q, method = None, Nonesage: def quadraticgen(f, r, s):....:global q, method....:t = r - f(r) / f.derivative()(r)....:
method = 'newton'....:
yield t....:pts = deque([(p, f(p)) for p in (r, s, t)], maxlen=3)....:
while True:....:q = basering.lagrange_polynomial(pts)....:p = sum([c*x^d for d, c in enumerate(q.list())])....:
roots = [r for r in p.roots(x,multiplicities=False) \....:if CC(r).is_real()]....:approx = None....:for root in roots:....:
if (root - pts[2][0]) * (root - pts[1][0]) < 0:....:approx = root
....:
break
....:
elif (root - pts[0][0]) * (root - pts[1][0]) < 0:....:pts.pop()....:approx = root
....:
break
....:
if approx:420

A.13. Numerische lineare Algebra
....:
....:
....:
....:
....:
....:

method = 'quadratic'
else:
method = 'dichotomy'
approx = (pts[1][0] + pts[2][0]) / 2
pts.append((approx, f(approx)))yield pts[2][0]Jetzt ist es möglich, die ersten Terme der mit dem Verfahren von Brent rekursiv denierten
Folge auszugeben. Aber Achtung: Die Rechnung ist ziemlich langwierig (und die Ausgabe desErgebnisses passt nicht auf eine Seite dieses Buches. . . ).

sage: basering = PolynomialRing(SR, 'x')
sage: a, b = pi/2, pi
sage: f(x) = 4 * sin(x) - exp(x) / 2 + 1
sage: generator = quadraticgen(f, a, b)
sage: print generator.next()
1/2*pi - (e^(1/2*pi) - 10)*e^(-1/2*pi)
Wärend der Ausführung des folgenden Codes wird der geduldige Leser die Parabelbögen sehen
können, die bei der Berechnung der ersten Terme der Folge verwendet werden.

sage: generator = quadraticgen(f, a, b)
sage: g = plot(f, a, b, rgbcolor='blue')sage: g += point((a, 0), rgbcolor='red', legend_label='0')
sage: g += point((b, 0), rgbcolor='red', legend_label='1')
sage: data = {'2': 'blue', '3': 'violet', '4': 'green'}
sage: for l, color in data.iteritems():....:
u = RR(generator.next())....:
print u, method....:
g += point((u, 0), rgbcolor=color, legend_label=l)....:
if method == 'quadratic':....:q = sum([c*x^d for d, c in enumerate(q.list())])....:
g += plot(q, 0, 5, rgbcolor=color)
2.64959209030252 newton
2.17792417785930 quadratic
2.15915701651408 quadratic
sage: g.show()

A.13. Numerische lineare AlgebraÜbung 45 Seite 279. Mit der Gleichung von Sherman und Morrison ist die Lösung von
Bx = f äquivalent zu derjenigen von Ax = σ(I + ut vA−1 )f mit σ = (1 + tv A−1 u)−1 . Wir
gehen dann folgendermaÿen vor.
1. Wir berechnen w als Lösung von Aw = u, dann σ = (1 +t vw)−1 .
2. Wir berechnen z als Lösung von Az = f , dann g =t vz (das ist ein Skalar).
3. Wir berechnen dann h = σ(f − gu) und lösen Ax = h; x ist die Lösung von Bx = f .

421

A. Lösungen der ÜbungenWir stellen fest, dass wir drei lineare Systeme mit der zerlegten Matrix A gelöst haben, sprich
die Lösung von sechs linearen Systemen mit Dreiecksmatrix. Jede dieser Lösungen erfordert
Operationen der Ordnung n2 , viel weniger als der Aufwand für eine Zerlegung (die von derOrdnung n3 ist). Um die Gleichung von Sherman und Morrison zu verizieren, müssen wir nur
das zweite Glied der Gleichung mit A + ut v (von rechts) multiplizieren und dann verizieren,dass dieser Ausdruck gleich der identischen Matrix ist.

Übung 46 Seite 283. Wir betrachten die Cholesky-Zerlegung von A = C C , dann dietSingulärwertzerlegung von C : C = U Σt V . Dann ist X(U Σt V )(V Σt U ) = U Sigmat U U Sigmat U = X 2 .

= U Σt U . In der Tat: A = C t C =Erstellen wir eine symmetrische positiv denite Zufallsmatrix:

sage: m = random_matrix(RDF,4)
sage: a = transpose(m)*m
sage: c = a.cholesky()
sage: U,S,V = c.SVD()
sage: X = U*S*transpose(U)Verizieren wir, dass X 2 − a null ist (abgesehen von numerischen Fehlern):sage: M = (X*X-a)sage: all(abs(M[i,j]) < 10^-14....:
for i in range(4) for j in range(4))
True

A.14. Numerische Integration und DierentialgleichungenÜbung 47 Seite 308.

(Berechnung der Koezienten von Newton-Cotes)

1. Wenn wir bemerken, dass Pi n − 1-ten Grades ist (worauf Gleichung (14.1) angewendet
wird), und dass Pi (j) = 0 für j ∈ {0, . . . , n − 1} und j 6= i, leiten wir daraus her:n−1
Z

Pi (x)dx = wi Pi (i)

0

also

n−1
R

wi =

Pi (x)dx0

Pi (i).

2. Einfach folgt daraus die Berechnung der Gewichte:sage: x = var('x')
sage: def NCRule(n):....:P = prod([x - j for j in xrange(n)])....:
return [integrate(P / (x-i), x, 0, n-1) \....:/ (P/(x-i)).subs(x=i) for i in xrange(n)]422A.14. Numerische Integration und Dierentialgleichungen
3. Durch einen simplen Variablentausch:Zbb−af (x)dx =
n−1

a

n−1
Z



b−a
f a+
du.
n−1

0

4. Wir wenden vorstehende Gleichung an und nden wir das folgende Programm:

sage: def QuadNC(f, a, b, n):....:
W = NCRule(n)....:ret = 0....:for i in xrange(n):....:ret += f(a + (b-a)/(n-1)*i) * W[i]....:return (b-a)/(n-1)*ret
Bevor wir die Genauigkeit dieses Verfahrens mit der von anderen vergleichen, können
wir bereits verizieren, dass es keine inkohärenten Ergebnisse liefert:

sage: QuadNC(lambda u: 1, 0, 1, 12)1sage: N(QuadNC(sin, 0, pi, 10))1.99999989482634
Nun vergleichen wir das erhaltene Verfahren kurz mit den Funktionen von GSL anhand
der Integrale I2 und I3 :sage: numerical_integral(x * log(1+x), 0, 1)(0.25, 2.7755575615628914e-15)
sage: N(QuadNC(lambda x: x * log(1+x), 0, 1, 19))0.250000000000001
sage: numerical_integral(sqrt(1-x^2), 0, 1)(0.7853981677264822, 9.042725224567119e-07)
sage: N(pi/4)
0.785398163397448
sage: N(QuadNC(lambda x: sqrt(1-x^2), 0, 1, 20))0.784586419900198
Wir bemerken, dass die Güte des Ergebnisses von der Anzahl der verwendeten Punkte
abhängt:

sage: [N(QuadNC(lambda x: x * log(1+x), 0, 1, n) - 1/4)....: for n in [2, 8, 16]][0.0965735902799726, 1.17408932921378e-7, 2.13476805677182e-13]
sage: [N(QuadNC(lambda x: sqrt(1-x^2), 0, 1, n) - pi/4)....: for n in [2, 8, 16]][-0.285398163397448, -0.00524656673640445, -0.00125482109302663]
Ein interessanterer Vergleich zwischen den verschiedenen Integrationsfunktionen vonSage mit unserem Verfahren QuadNC würde die Umwandlung in ein adaptives Verfahren verlangen, welches das betrachtete Intervall wie numerical_integral automatischunterteilt.

423

A. Lösungen der ÜbungenA.15. Aufzählende KombinatorikÜbung 48 Seite 319.

(Wahrscheinlichkeit, beim Poker einen Vierling zu ziehen) Wir bilden

die Menge der Vierlinge:

sage: Farben = FiniteEnumeratedSet(["Karo","Herz","Pik","Kreuz"])
sage: Werte = FiniteEnumeratedSet([2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,"Bube", "Dame", "Koenig", "Ass"])
sage: Vierlinge = cartesian_product([(Arrangements(Werte,2)), Farben])
Wir haben FiniteEnumeratedSet benutzt statt Set, um die Reihenfolge der Farben, derWerte und damit auch der Vierlinge festzulegen.

sage: Vierlinge.list()[[[2, 3], 'Karo'],[[2, 3], 'Herz'],...
[['Ass', 'Koenig'], 'Kreuz']]
Diese Liste beginnt mit einem Zweier-Vierling und der Karo 3 und endet mit einem Vierlingvon Assen und dem Kreuz König. Insgesamt gibt es 624 Vierlinge.

sage: Carres.cardinality()
624
Bezogen auf die Anzahl möglicher Hände haben wir eine Chance von 1:4165, einen Vierling
zu bekommen wenn ein Blatt zufällig gezogen wird.

sage: Karten = cartesian_product([Farben, Werte]).map(tuple)
sage: Haende = Subsets(Karten, 5)
sage: Vierlinge.cardinality() / Haende.cardinality()
1/4165Übung 49 Seite 319.

(Wahrscheinlichkeit, beim Poker einen Straight Flush oder einen Flushzu ziehen) Einen Straight Flush einzuordnen läuft zum Beispiel darauf hinaus, seine kleinste

Karte zu bestimmen (zwischen 1 und 10) und seine Farbe. Davon gibt es demnach 40.

sage: StraightFlush = cartesian_product([srange(1, 11), Farben])sage: StraightFlush.cardinality()40
Und es gibt 5108 Flushes:sage: AlleFlushes = cartesian_product([Subsets(Werte,5),Farben])sage: AlleFlushes.cardinality() - StraightFlush.cardinality()
5108
Schlieÿlich ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Flush zu ziehen, etwa zwei Promille:

sage: _ / Mains.cardinality()
1277/649740
sage: float(_)
0.0019654015452334776

424

A.15. Aufzählende Kombinatorik
Es wäre schön, die vorstehende Rechnung mit Mengenoperationen durchzuführen, indem die
Menge der Flushes explizit als Dierenz von alleFlushes und StraightFlush gebildet wird.
Indes gibt es keinen ezienten generischen Algorithmus zur Berechnung der Dierenz zweier
Mengen A\B : ohne zusätzliche Information gibt es kaum etwas Besseres als alle Elemente
von A zu prüfen, ob sie in B enthalten sind. In obiger Rechnung haben wir die Tatsachebenutzt, das B in A enthalten ist, was Sage vorher nicht wissen kann. Ein weiteres, leicht zu
umgehendes Hindernis ist, dass die Elemente von B und A auf die gleiche Weise repräsentiert
werden müssen.

Übung 50 Seite 319. Wir beschränken uns darauf den Fall eines Full House zu illustrie-ren, das aus einem Drilling und einem Paar besteht. Beginnen wir damit, eine Funktion zu
schtreiben, die prüft, ob eine Hand ein Full House ist. Eine knappe Schreibweise erzielen wir
mit dieser Methode:sage: Word(['a','b','b','a','a','b','a']).evaluation_dict(){'a': 4, 'b': 3}
sage: def is_Full_House(Hand):....:Farben = Word([Wert for (Farbe, Werte) in Hand])....:Wiederholungen = sorted(Farben.evaluation_dict().values())....:
return Wiederholungen == [2,3]sage: is_Full_House({('Karo', 5), ('Karo', 6), ('Herz', 6),....:('Pique', 5), ('Pique', 1)})False
sage: is_Full_House({('Kreuz', 3), ('Pik', 3), ('Herz', 3),....:('Kreuz', 2), ('Pik', 2)})True
Wir automatisieren jetzt die Abschätzung des Anteils von Full Houses. Allgemeiner, die folgende Funktion schätzt den Anteile jedes Elements der endlichen Menge menge, das einem
praedikat genügt. Sie geht davon aus, dass die Menge mit einer Methode random_element
versehen ist, die gleichverteiltes Ziehen implementiert:

sage: def schaetzung_anteil(menge, praedikat, n):....:zaehler = 0....:
for i in range(n):....:if praedikat(menge.random_element()):....:
zaehler += 1....:
return zaehler/nsage: float(schaetzung_anteil(Haende, is_Full_House, 10000))
0.0009Kommen wir jetzt zur symbolischen Rechnung. Ein Full House zu bestimmen heiÿt, zwei
verschiedene Farben anzugeben, die eine für den Drilling, die andere für das Paar, sowie eine
Menge von drei Werten für den Drilling und eine andere mit zwei Werten für das Paar:sage: Full_Houses = cartesian_product([Arrangements(Valeurs, 2),....:
Subsets(Symboles, 3), Subsets(Symboles, 2)])
Hier beispielsweise ein Full House mit einem Drilling von Zweien und einem Paar von Dreien:425

A. Lösungen der Übungensage: Full_Houses.first()[[2, 3], {'Kreuz', 'Pik', 'Karo'}, {'Pik', 'Kreuz'}]
Die Wahrscheinlichkeit für ein Full House ist dann:

sage: float(MainsPleines.cardinality() / Mains.cardinality())
0.0014405762304921968

Übung 51 Seite 320.

(Berechnung der vollständigen Binärbäume von Hand) Es gibt einen

vollständigen Binärbaum mit einem Blatt und einen mit zwei Blättern. Für n = 3, 4 und 5
Blätter ndet man 2, 5 bzw. 14 Bäume (wegen n = 4 siehe Abbildung 15.1)

Übung 52 Seite 329. Die Kompositionen von n über k Teilen sind in Bijektion mit den

Teilmengen der Gröÿe k von {1, . . . , n}: der Menge {i1 , . . . , ik } mit i1 < i2 < . . . < ik ordnen
wir die Komposition (i1 , i2 − i1 , . . . , n.ik ) zu und umgekehrt. Daraus leiten sich die Formeln
für das Abzählen ab: es gibt 2n Kompositionen von n. Davon sind binomnk Kompositionen
mit k Teilen. Um herauszunden, ob diese Gleichungen verwendet werden, können wir uns
die Implementierung der Methode cardinality anschauen

sage: C = Compositions(5)sage: C.cardinality??
Im zweiten Fall liefert schon der Name der intern verwendeten Methode, _cardinality_from_iterator, die Information: die Kardinalität wird - inezient - durch Iteration über alle
Kompositionen berechnet.

sage: C = Compositions(5,length=3)
sage: C.cardinality<bound method IntegerListsLex...._cardinality_from_iterator ...>

Übung 53 Seite 332. Einige Beispiele:

sage: IntegerVectors(5,3).list()[[5, 0, 0], [4, 1, 0], [4, 0, 1], [3, 2, 0], [3, 1, 1], [3, 0, 2],...
[0, 4, 1], [0, 3, 2], [0, 2, 3], [0, 1, 4], [0, 0, 5]]
sage: OrderedSetPartitions(3).cardinality()13
sage: OrderedSetPartitions(3).list()[[{1}, {2}, {3}], [{1}, {3}, {2}], [{2}, {1}, {3}], [{3}, {1}, {2}],...
[{1, 2}, {3}], [{1, 3}, {2}], [{2, 3}, {1}], [{1, 2, 3}]]sage: OrderedSetPartitions(3,2).random_element()[{1, 3}, {2}]sage: StandardTableaux([3,2]).cardinality()5
sage: StandardTableaux([3,2]).an_element()[[1, 3, 5], [2, 4]]Übung 54 Seite 332. Im Kleinen bekommen wir diese Permutationsmatrizen:

426

A.15. Aufzählende Kombinatorik
sage: list(AlternatingSignMatrices(1))[[1]]sage: list(AlternatingSignMatrices(2))[[1 0] [0 1][0 1], [1 0]]Das erste neue Element erscheint bei n = 3:

sage: list(AlternatingSignMatrices(3))[[1 0 0] [0 1 0] [1 0 0] [ 0 1 0] [0 0 1] [0 1 0] [0 0 1]
[0 1 0] [1 0 0] [0 0 1] [ 1 -1 1] [1 0 0] [0 0 1] [0 1 0]
[0 0 1], [0 0 1], [0 1 0], [ 0 1 0], [0 1 0], [1 0 0], [1 0 0]]
Bei Betrachtung der Beispiele mit gröÿerem n können wir sehen, dass es sich immer um
Matrizen handelt mit Koezienten aus {−1, 0, 1}, sodass in jeder Zeile und jeder Spalte die
von null verschiedenen Koezienten zwischen −1 und 1 alternieren, wobei sie mit 1 beginnen
und mit 1 enden.

Übung 55 Seite 332. Es gibt 2 Vektoren in (Z/2Z) :5

5

sage: GF(2)^5Vector space of dimension 5 over Finite Field of size 2
sage: _.cardinality()
32
Um eine invertierbare 3 × 3-Matrix mit Koezienten aus Z/2Z zu bilden, reicht es hin, einen
ersten von null verschiedenen Zeilenvektor (aus 23 − 1) auszuwählen, dann einen zweiten
Vektor (aus 23 − 2), der nicht in der vom ersten aufgespannten Geraden liegt, dann einen
dritten Zeilenvektor (aus 23 − 3), der nicht in der von den ersten beiden aufgespannten Ebene
liegt. Das macht

sage: (2^3-2^0)*(2^3-2)*(2^3-2^2)
168
Und wirklich:

sage: GL(3,2)
General Linear Group of degree 3 over Finite Field of size 2
sage: _.cardinality()
168
Dieselbe Überlegung führt auf die allgemeine Formel, die mittels q_factorial ausgedrückt
wird:
n−1
Y
qn
(q n − q k ) =[n]q !
(q − 1)n
k=0

Also:

sage: from sage.combinat.q_analogues import q_factorial
sage: q = 2; n = 3427

A. Lösungen der Übungensage: q^n/(q-1)^n *q_factorial(n,q)
168Übung 56 Seite 335. Im ersten Fall beginnt Python mit der Konstruktion der Liste aller

Ergebnisse, bevor sie an all übergen wird. Im zweiten Fall übergibt der Iterator die Ergebnisse
an all nach und nach; letztere kann deshalb terminieren, sobald ein Gegenbeispiel gefundenwird.

Übung 57 Seite 336. Die erste Zeile ergibt die Liste aller Kuben der ganzen Zahlen zwischen−999 und 999 einschlieÿlich. Die beiden folgenden suchen nach einem Paar von Kuben, deren
Summe gleich 218 ist. Die letzte Zeile ist ezienter in der Zeit, denn sie terminiert, sobald
eine Lösung gefunden wird:

sage: cubes = [t**3 for t in range(-999,1000)]
sage: %time exists([(x,y) for x in cubes for y in cubes],....:
lambda (x,y): x+y == 218)
CPU times: user 1.28 s, sys: 0.07 s, total: 1.35 s
Wall time: 1.35 s(True, (-125, 343))
sage: %time exists(((x,y) for x in cubes for y in cubes),....:
lambda (x,y): x+y == 218)
CPU times: user 0.88 s, sys: 0.02 s, total: 0.90 s
Wall time: 0.86 s(True, (-125, 343))
Vor allem ist sie ezienter beim Speicherbedarf: wenn n die Länge der Liste der Kuben ist,
ist die Gröÿe des benutzten Speichers von der Gröÿenordnung n statt n2 . Das wird besonders
dann spürbar, wenn wir n verzehnfachen.

Übung 58 Seite 336.

- Berechne die erzeugende Reihe
Kardinalität.

P

s⊂S x

|s| aller Teilmengen von {1, . . . , 8} als Funktion ihrer- Berechne die erzeugende Reihe der Permutationen von {1, 2, 3} als Funktion der Anzahl
ihrer Inversionen.
- Veriziere die Tautologie ∀x ∈ P, x ∈ P für die Menge P der Permutationen von {1, 2, 3, 4, 5}.
Das ist ein guter Test für den inneren Zusammenhang der Iterationsfunktionen und für die
Zugehörigkeit zur selben Menge. Er ist zudem in den generischen Test von Sage enthalten;
siehe:

sage: P = Partitions(5)sage: P._test_enumerated_set_contains??
Die Tautologie ∀x ∈/ P, x ∈/ P wäre gut geeignet. den Test auf Zugehörigkeit zu komplettieren. Allerdings müsste die Grundmenge präzisiert werden; und vor allem bräuchte eseinen Iterator auf dem Komplement von P in dieser Grundmenge, was keine gewöhnliche
Operation ist.
- Gib alle auf Z/2Z invertierbaren 2 × 2-Matrizen aus.
- Gib alle Partitionen von 3 aus.
- Gib alle Partitionen der ganzen Zahlen (terminiert nicht!).

428

A.16. Graphentheorie- Gib alle Primzahlen aus (terminiert nicht!).
- Suche eine Primzahl, deren zugehörige Mersenne-Zahl nicht prim ist.
- Iteriere über alle Primzahlen, deren zugehörige Mersenne-Zahl nicht prim ist.

Übung 59 Seite 338. Bilden wir Leaf und Node wie vorgeschlagen:sage: Leaf = var('Leaf'); Node = function('Node', nargs=2)
Dann denieren wir unseren Iterator rekursiv:

sage: : def C(n):|....:if n == 1:....:
yield Leaf....:
elif n > 1:....:
for k in range(1,n):....:
for t1 in C(k):....:for t2 in C(n-k):....:
yield Node(t1, t2)
Hier die kleinen Bäume:sage: list(C(1))[Leaf]
sage: list(C(2))[Node(Leaf, Leaf)]
sage: list(C(3))[Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)), Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf)]
sage: list(C(4))[Node(Leaf, Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf))),Node(Leaf, Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf)),
Node(Node(Leaf, Leaf), Node(Leaf, Leaf)),
Node(Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)), Leaf),
Node(Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf), Leaf)]
Wir treen wieder auf die Folge von Catalan:sage: [len(list(C(n))) for n in range(9)][0, 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429]

A.16. GraphentheorieÜbung 60 Seite350.

(Zirkulierende Graphen). Zwei Schleifen reichen aus!

sage: def circulant(n, d):....:g = Graph(n)....:for u in range(n):....:for c in range(d):....:g.add_edge(u, (u+c)%n)....:
return g

429

A. Lösungen der ÜbungenÜbung 61 Seite 352.

(Graph von Kneser) Das Einfachste ist, das Sage-Objekt Subsetszu

verwenden. Wir listen dann alle Knotenpaare auf, um die adjacenten zu nden, doch das
erfordert viel unnütze Rechnerei.

sage: def kneser(n,k):....:g = Graph()....:g.add_vertices(Subsets(n,k))....:
for u in g:....:
for v in g:....:
if not u & v:....:
g.add_edge(u,v)....:
return g
Wir können allerdings Zeit gewinnen, wenn wir nur die adjazenten Knoten auisten.

sage: def kneser(n,k):....:g = Graph()....:sommets = Set(range(n))....:
g.add_vertices(Subsets(sommets,k))....:
for u in g:....:
for v in Subsets(sommets - u,k):....:g.add_edge(u,v)....:
return gÜbung 62 Seite 367.

(Optimale Reihenfolge bei gieriger Färbung) Die Methode coloring

liefert eine Färbung als Liste von Listen: die Liste der Knoten mit der Farbe 0, die Liste derKnoten mit der Farbe 1 usw. Um auf den Knoten eine Ordnung zu erhalten, die mit dem
gierigen Algorithmus eine optimale Färbung liefert, genügt es, die Knoten mit der Farbe 0
aufzulisten (egal in welcher Reihenfolge), dan die mit der Farbe 1 uns so fort! So erhalten wir
für den Petersen-Graphen:sage: g = graphs.PetersenGraph()
sage: def ordre_optimal(g):....:ordre = []....:for classe_de_couleur in g.coloring():....:for v in classe_de_couleur:....:ordre.append(v)....:return ordre
sage: ordre_optimal(g)[1, 3, 5, 9, 0, 2, 6, 4, 7, 8]

A.17. Lineare ProgrammierungÜbung 63 Seite 380.

(Teilsummenproblem) Jedem Element der Menge weisen wir einebinäre Variable zu, die anzeigt, ob das Objekt zur Teilmenge mit der Summe null gehört odernicht. Dann gibt es zwei Bedingungen:- die Summe der zugehörigen Elemente muss null sein,- die Menge darf nicht leer sein.

430

A.17. Lineare Programmierung
Das macht nun der folgende Code:sage: l = [28, 10, -89, 69, 42, -37, 76, 78, -40, 92, -93, 45]
sage: p = MixedIntegerLinearProgram()
sage: b = p.new_variable(binary = True)
sage: p.add_constraint(p.sum([v*b[v] for v in l]) == 0)
sage: p.add_constraint(p.sum([b[v] for v in l]) >= 1)
sage: p.solve()0.0
sage: b = p.get_values(b)sage: print [v for v in b if b[v] == 1][-93, 10, 45, 78, -40]
Zu beachten ist, dass keine Zielfunktion deniert werden musste.

Übung 64 Seite 381.

(Dominierende Menge) Die Bedingungen dieses ganzzahligen linearen
Programms entsprechen einem Überdeckungsproblem: eine Menge S von Knoten eines Graphen ist eine dominierende Menge genau dann, wenn für jeden Knoten v gilt ({v} ∪ NG (v)) ∩S 6= ∅, wobei NG (v) die Menge der Nachbarn von v in G bezeichnet. Daraus leiten wir
folgenden Code her:sage: g = graphs.PetersenGraph()
sage: p = MixedIntegerLinearProgram(maximization = False)
sage: b = p.new_variable(binary = True)
sage: for v in g:....:p.add_constraint(p.sum([b[u] for u in g.neighbors(v)]) + b[v] >= 1)
sage: p.set_objective(p.sum([b[v] for v in g]))sage: p.solve()3.0
sage: b = p.get_values(b)sage: print [v for v in b if b[v] == 1][0, 2, 6]

431

433

B. Bibliographie

B. Bibliographie[AL03][AP98][AS][Bea][BZ10][Cia82][CLO07][CM84][Coh][CP01][DGSZ95][Edm65][EM07][FS09][FSED09][Gan90][Gol91]

434

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435

C. Register437

Index
LU -Zerlegung, 286
QR-Verfahren, 286
QR-Zerlegung, 281, 286
π , 11*, 43**, 43**=, 43*=, 43+, 43, 57, 71, 160, 354+=, 43 43-, 43-=, 43., 43.., 45/, 43//, 43/=, 43:, 43;, 42, 43
<, 43
, 43
<=, 43<>, 43=, 43==, 17, 43>, 43>=, 43, 43, 406?, 12, 42
%, 43
&, 43
Ähnlichkeit
Matrizen, 169Ähnlichkeitsinvariante, 169, 172, 173Äquivalenz
Matrix, 160
Matrizen, 164
LATEX, 76
, 43
_, 13
lex_BFS, 360
polygen, 128

plot_histogram, 90+, 57==, 44AA, 103, 269
AlgebraicField, 103
AlgebraicRealField, 103
AlternatingSignMatrices, 332
Arrangements, 319
CC, 100, 252
CDF, 248, 252
CIF, 252
CompleteBipartiteGraph, 353
CompleteGraph, 357
ComplexDoubleField, 252
ComplexField, 111, 248, 252
ComplexIntervalField, 252
Cyclic, 190
DiGraph, 357
Digraph, 358
Expression.find_root, 271
Expression.roots, 255
Expression, 254
False, 11, 105
FieldIdeal, 190
Fields, 101
FiniteEnumeratedSets, 341
FiniteEnumeratedSet, 424
FiniteField, 103, 117
Frac, 142
GF, 103GL(n,k), 156
Gleichung
Sherman und Morrison, 421
Graphics, 85, 90
Graph, 350, 357, 358
IF, 252
InfinitePolynomialRing, 181, 182
Infinity, 327
IntegerListsLex, 341
IntegerModRing, 106, 115, 120
IntegerRing, 103
IntegerVectors, 332
Integers, 103, 115439

IndexInteger, 252
LaurentSeriesRing, 142
LazyPowerSeriesRing, 150
MPolynomial, 181
MatricSpace, 156
MatrixGroup, 156
MatrixSpace, 107
Mersenne-Zahl, 335
MixedIntegerLinearProgram, 376
NaN, 240
None, 43
NotImplementedError, 131
NumberField, 136
NumberFiels, 108
OrderedSetPartitions, 332
PetersenGraph, 351
Polynomial.root_field, 252
PolynomialRing, 103, 152, 179
PowerSeriesRing, 103, 144
QQbar, 103, 139, 185
QQ, 104, 252
RDF, 131, 239, 248, 252
RIF, 137
RR, 104, 252
RationalField, 103, 252
Rational, 95
RealDoubleField, 252
RealField, 103, 239, 248, 252
RealIntervalField, 252
SL(n,k), 156
SR, 108, 146
SVD (singular value decomposition), 280
SVD (singular value decomposition), 282
Set, 71, 424
StandardTableaux, 332
SubMultiset, 411
Subsets, 411, 430
TimeSeries, 82
True, 11, 105
VectorSpace, 155
WeightedIntegerValues, 329
ZZ, 103, 116, 252
Zerlegungin einfache Elemente, 142__add__, 96__mult__, 96
abs, 9, 96, 105
add_constraint, 376
add_edges, 349
add_edge, 349

440

add_vertex, 349
add_vertices, 349
add, 63
all, 335, 428
and, 105
animate, 76any, 335
append, 66, 268
assert, 42
assume, 225
attrcall, 337
augment, 156
automorphism_group, 363
bar_chart, 80, 90
base_extend, 156, 159
base_ring, 115, 128, 156
basering.lagrange_polynomial, 268
basis_is_groebner, 206
basis, 156
berlekamp_massey, 146, 408
binomial, 9, 326
block_diagonal_matrix, 158
block_matrix, 156, 158bool, 17, 105
breadth_first_search, 360
cardinality, 331, 426
cartesian_product, 339
catagories, 133
catalan, 8, 11
category, 101
center, 360
change_ring, 131, 156, 159, 208
characteristic_polynomial, 162
characteristic, 115
charpoly, 136, 162, 171
chromatic_number, 352, 362
circle, 89, 90
class, 42
clique_maximum, 362
collections, 268
collect, 18, 129
coloring, 356, 362, 367
column_space, 394
combine, 20
combstruct, 323
complement, 358
complex_plot, 79, 90
conjugate, 132, 160
connected_components, 361
contrib_ode, 216

Indexcopy, 69, 160, 286, 359
count, 66
cover_ring, 136
crt, 119, 132
decomposableObjects, 323
decomposition, 173def, 42, 52
degree, 130, 181
delete_edge, 350
delete_vertex, 350
depth_first_search, 360
deque, 268
derivative, 134, 181, 256
desolve_laplace, 227, 230
desolve_rk4, 85, 90
desolve_system, 228
desolve, 216, 230
det, 166
dict, 130
diff, 130, 230, 389, 397
dimension, 185, 193
discriminant, 137
disjoint_union, 353, 354
divides, 132, 185
dominating_set, 362
eccentricity, 360
echelon_form, 162, 164, 394
echelonize, 162, 164
edge_cut, 361
edge_disjoint_paths, 361
eigenmatrix_left, 162
eigenmatrix_right, 162
eigenspaces_left, 162, 174
eigenspaces_right, 162
eigenspacesright, 174
eigenvalues, 174
eigenvectors_left, 162, 174
eigenvectors_right, 162
eigenvectors_riht, 174
elementary_divisors, 166
elementwise_product, 160
elif, 52
elimination_ideal, 193
else, 51
euler_gamma, 11
exec, 42exists, 335
expand, 18
extend, 66
factor_list, 20

factorial, 10, 104
factor, 20, 96, 137, 185
filter, 61, 66, 68, 70
finance, 82
flatten, 63, 68
float, 103
floor, 9flow, 361
for, 42, 44, 62, 329
for-Schleife, 44
function_factory, 405
function, 19
galois_group, 137, 141
gcd, 134, 185
gens, 179
genus, 193
gen, 128
get_values, 377
gfun, 323
ggT
Polynom, 132
global, 53
hamiltonian_cycle, 362
homogenize, 181, 190
ideal, 135, 136, 185, 190
identity_matrix, 286
if, 51, 61
image, 162, 168
imag, 105
implicit_plot3d, 93
implicit_plot, 79, 90
import, 14, 42
independent_set, 355, 362, 372
index, 66
infinity, 240
inject_variables, 412
integer_kernel, 162, 168
integrate, 304
interreduced_basis, 210
intersection, 190
int, 103, 327
inverse_laplace, 227, 230
in, 60, 71
irrelevant_ideal, 190
is_cartesian_transitive, 364
is_chordal, 360, 364
is_constant, 130
is_integral_domain, 133
is_interval, 364
is_irreducible, 136, 137441

Indexis_isomorphic, 354
is_monic, 130
is_noetherian, 128
is_perfect, 364
is_prime, 120
is_pseudoprime, 120
is_regular, 352
is_ring, 133
is_squarefree, 185
is_vertex_transitive, 352, 364
is_zero, 257
itertools, 336
iter, 334i (imaginäre Einheit), 11
jacobian_ideal, 190
jacobi, 123
jordan_block, 156, 162
jordan_form, 176
kernel, 162, 168
keys, 340
lagrange_polynomial, 132, 298
lambda, 42, 61
laplace, 226, 230lcm, 119, 132, 185lc, 181
leading_coefficient, 130
left_kernel, 37, 162, 168len, 59, 327
lhs, 224, 230
lift, 116, 135, 136, 190
limit, 389
line3d, 93
line, 83, 84, 90
lm, 181log, 120, 248
lt, 181
map_coefficients, 181
map, 61, 63, 68, 70
matching, 350, 372
matrix, 36, 107, 136
max_symbolic, 307
maxspin, 162, 171
minimalpolynomial, 162
minpoly, 136, 162
mod, 116, 136, 184, 190
mq, 191
multi_polynomial_sequence, 191
new_variable, 377, 382
next_prime, 120
next, 333, 334

442

normal_basis, 193, 202
not, 105
number_field, 136
numerator, 142
numerical_approx, 10, 98
numer, 96
ode_contrib, 218
ode_solver, 84, 310
odeint, 84, 90, 398
oeis, 320
one, 156
order, 349
or, 105
parametric_plot, 78, 90
parent, 115partial_fraction_decomposition, 143partial_fraction, 227
pass, 42
periphery, 360
piecewise, 77
pivot_rows, 162
pivots, 162
pi, 14
plot3d, 15, 91
plot_histogram, 90
plot_points, 75
plot_vectorfield, 87
plot, 15, 75, 90, 220, 298, 357
points, 90
point, 82
polar_plot, 79, 90
polygon, 90
polynomial, 182
pop, 66
prec, 142, 239
prime_range, 121
print, 42, 58
pseudo_divrem, 134
q_factorial, 428
quit, 43
quo_rem, 132, 184
quotient, 190
quo, 135, 136, 190
radical, 137
radius, 360
random_element, 131, 366
random_matrix, 156
random, 82
randrange, 80
range, 334

Indexrank, 166
rational_argument, 187
rational_reconstruction, 118
rational_reconstruct, 142, 144
raw_input, 58
real_root_intervals, 139
real_roots, 137, 270
real, 105
reduce, 62, 135, 190
resultant, 137, 185, 193
return, 42, 47, 261, 337
reverse, 64, 129
reversion, 142rhs, 230
right_kernel, 37, 162, 168, 393
roots, 138, 199, 251, 256
rsolve, 232
save, 76
scipy, 398
set_binary, 377
set_immutable, 160
set_integer, 377
set_max, 377
set_min, 377
set_objective, 378
set_real, 377
show, 76, 90, 355, 357
simplify, 11, 109
size, 349
smith_form, 162, 166
solve_left, 37, 162, 168
solve_right, 37, 162, 168
solve, 89, 185, 222, 376, 378
sorted, 66
sort, 65
split, 68
squarefree_decomposition, 138
stack, 156
str, 68, 103
subgraph_search, 353, 371
subgraph, 358
submatrix, 156
substitute_function, 406
subs, 18, 130, 181, 183sum, 63, 334
swap_columns, 162
swap_rows, 162
taylor, 145
test_poly, 180
text, 91

timeit, 117
trace, 136
transformed_basis, 187, 212transpose, 160, 279, 283
trees, 353
triangular_decomposition, 187, 193, 200
trig_expand, 388
trig_simplify, 388
try, 42, 81
ulp, 241
variable_names_recursive, 181
variable_name, 130
variables, 230
variety, 185, 193, 198var, 15, 230
vector_space_dimension, 193vertex_connectivity, 361
vertex_cut, 361
vertex_disjoint_paths, 361
while, 42
while-Schleife, 45
with, 42xgcd, 132
xrange, 334
x (symbolische Variable), 14
yield, 42, 261, 337
zip, 70
Ableitung
Polynom, 130
Abschluss von Zariski, 192
Absolutwert, 9Abstand, 360
Adjazenztabelle, 351
Algebralinear, 155
numerisch, 273
Algorithmus
Dijkstra, 360
Ford-Fulkerson, 361
Gauÿ, 161
Gauÿ-Jordan, 162, 164
schnelle Multiplikation, 152
Alias, 68
alternierende Folge, 49
Anfangsbedingung, 216
Animation, 76
anonyme Funktion, 61
Anweisungsblock, 44
Approximation
numerisch, 47, 139443

IndexPadé, 144
Arbeitsblatt, 5Arithmetik
endlicher Körper, 117
Matrix, 160
modulo n, 116
Polynom, 130
Polynome, 132, 183
ATLAS, 291
Ausdruck
Funktion, 19
gebrochen rational, 20
gebrochen-rational, 142
symbolisch, 15, 17, 105, 108, 111, 153,
405
Ausgabe, 57, 85, 355
Auslöschung, 242
Austausch der Variablen, 222
Auswerten, 18
Auswertung, 131
automatische Vervollständigung, 98
Axiom, 99, 127
Basistyp, 103
Baum
Ausdruck, 17
Steiner, 363
Befehlszeile, 8
Begleitmatrix, 176
Bild, 85
lineare Abbildung, 168
Bionomialkoezient, 10
Bisektion, 261
BLAS, 291
Brdingungen, 51
Brent-Verfahren, 271
Cassini
Fläche, 94
charakteristischer Wert, 169
chinesischer Restsatz, 121
Cholesky-Zerlegung, 279, 283
CIF, 139
Clique, 362
Cliquer (Programm), 362
CoCoA, 202
Collatz-Problem, 51
Comprehension, 62
Cox, David A., 179
Cramersche Regel, 276
CSV (Comma Separated Values), 81444

Denitionsmenge, 102
Dekorator, 55
Determinante, 162, 166, 169
Dezimalpunkt, 10
Diagonalisierung, 162
Diagramm, 80, 90
DicksonLemma, 206
Dictionary, 72
Diemension
einer Varietät, 210Dierentialgleichung, 86, 149, 297, 309
Bernoulli, 217
Clairaut, 216
exakt, 217
Graph einer Lösung, 220
homogen, 217, 222, 223
konstante Koezienten, 224, 226
Lagrange, 216
linear 1. Ordnung, 84, 215
Parameter, 223partiell, 215
Riccati, 216
System, 227
Trennung der Variablen, 217, 222
Verhulst, 223
Diktionär, 72, 350
Dimension, 192
eines Ideals, 185, 198, 210
Diskriminante, 137
Polynom, 141
Division, 9, 134
ganze Zahlen, 10
nach wachsenden Potenzen, 134
Polynom, 132
Polynome, 183, 209
Dokumentation, 12
doppelte Genauigkeit, 239, 271
Dreiecksform, 163
Dreieckszerlegung
eines Ideals, 199
Edmonds, Jack, 380
Eigenvektor, 162, 174
Eigenwert, 162, 169, 174, 228
Einrückung, 8, 44
Elimination, 193
algebraisch, 196
Elkadi, Mohamed, 179
Endlosschleife, 65, 261
erraten, 146

Index
Erzeugende
Vektorraum, 155
Evolute, 88
Evolvente
einer Familie von Kurven, 196
Exponent, 237, 246
ExportBild, 357
Export einer Abbildung, 76
Exzentrizität, 360
Färbung
Graph, 362, 365, 373
Faktorinvariant, 173
Faktorisierung, 136
ganze Zahl, 96, 122, 137
Polynom, 110, 115, 136, 137
Fakultät, 10
Programmierung, 54
Farbe, 75, 355
Faugère, Jean-Charles, 179
Fehler, x
Fibonaccifolge, 54
Fixpunkt, 149
FlächeCassini, 94
parametrisiert, 91
Fluss, 361, 381
Folge
aliquot, 123
alternierend, 49
Fibonacci, 54
gebrochen rational, 232
gleichverteilt, 82
hypergeometrisch, 232
Krylow, 170
logistisch, 229
polynomial, 232
rekursiv deniert, 45, 47, 135, 151, 229,
243
Sturm, 258
Zeichnung, 83
Form
Frobenius, 170, 172
Hermite, 165
hermitesch, 394
Jordan, 169
Fourier-Reihe
Partialsumme, 77
Fundamentalsatz der AlgebraGauÿ-d'Alembert, 253
Funktion, 52, 216, 248
anonym, 61
Python, 43
symbolisch, 19, 387
trigonometriisch, 248
trigonometrisch, 3
Zeta (ζ ), 51
Funktionsgleichung, 149
gebrochen-rational, 134
Genauigkeit, 237, 244
doppelt, 239
Einbuÿe, 242
Reihe, 142
Generator, 123, 128, 261, 266
Polynomring, 181
generisch, 97
Geometrie, 195, 197
geordnete Liste, 64
geschlossene Formel, 187
GF, 117
ggT, 116, 118, 256
Gleichung, 12
einer Kurve, 196
Fläche, 93
Kurve, 78, 79
linear, 167
mit partiellen Ableitungen, 216
nichtlinear, 251
polynomial, 141
Gleichungssystem, 179
linear, 167
Gleichverteilung, 82
Gleitpunktzahlen, 237
GMP, 252
GMRES, 294, 296
GNU MPFR, 239
Gröbner-Basen, 326
Gröbnerbasis, 189, 192, 203
Aufwand, 212
Denition, 206
reduziert, 210
Gradient
konjugiert, 294
Grak, 15
Graph, 349
Bezeichner, 350
cordal, 360
Familien, 352
Funktion, 75, 90445

IndexIntervall-, 364
klein, 351
Kneser, 352
knoten-transitiv, 351
knotentransitiv, 364
komplexe Funktion, 79
Lösung Dierentialgleichung, 311
Lösung einer Dierentialgleichung, 220
Petersen, 351
planar, 351
rekursiv denierte Folge, 230
Tangente, 265
Traversierung, 360
vollkommen, 364
vollständig, 353
zirkulierend, 350
Zufalls-, 353
Graphik, 75
Grenzwert
numerische Approximation, 48
Gruppe, 101
Galois, 137
linear, 156
GSL, 84, 304, 305, 311, 423
Häufungspunkt, 230
Hüllkurve, 89
Hamiltonkreis, 362
Hamiltonkrteis, 384
Handbuch, 12
Handlungsreisender, 362, 382
Hilbertmatrix, 274
Hilfe, 7, 12, 98
Histogramm, 81, 90
https://cloud.sagemath.com , 5iimaginäre Einheit, 105
Ideal, 185
Polynome, 188
IEEE-754, 238
immutabel, 70, 71
Inhalt, 131, 132
Instanz, 95
Integralkurve, 85, 90
Integration, 297
Interpolation
Cauchy, 146
Introspektion, 98, 328
Inversemodular, 116

446

Iteration, 45
Iterator, 333, 334, 337
Jacobi-Symbol, 122
Jordanblock, 175
Jordanmatrix, 176
Körper, 111, 134
endlich, 96, 106, 115, 120
endlich, zusammengesetzt, 117
Kante (Graph), 349
kash, 98
Kategorie, 99, 133
Kern, 162, 168
Klasse, 95, 99
Knoten, 94
Knoten (Graph), 349
Koezient, 128, 180, 183
Binomial-, 10
Leitkoezient, 181
Polynom, 128, 181
kompensierte Summierung, 246
Kondition, 274, 279281
Konditionierung, 294
Kongruenz, 106
Konstante
Catalan, 8, 11Masser-Gramain, 124
vordeniert, 11
Konvergenz, 50, 259, 269
Konvergenzbeschleunigung, 270
Konversion, 97, 240
Kopplung, 350
Kreiszahl, 11
Kryptologie, 117
Kurve
Parameterdarstellung, 78, 196
parametrisiert, 88, 90
parametrisiert, im Raum, 93
LösungDierentialgleichung, 84
numerisch, 201, 251
polynomiale Systeme, 184
Wurzelausdruck, 254
Lapack, 287
Laplace-Transformation, 226
LattE, 343
Leitkoezient, 181, 203
Leitmonom, 181, 203
Leitterm, 203

IndexLemma
Dickson, 206
lexikographische Ordnung, 65
Listegeordnet, 64
Listen, 58
Little, John B., 179
Logarithmus, 3
diskret, 122logisch, 105
LU-Zerlegzng, 277
Macauley2, 202
Magma, 127
Magna, 98
Magnus-Eekt, 88
Mantisse, 237, 246
Maple, 14, 127, 323
Masche, 351
Masser-Gramain
Konstante, 124
Matching, 380
Matrix, 36, 106, 155, 273, 375
Adjazenz-, 157
Begleit-, 176
Block-, 158
Eintrag, 157
Faktorisierung, 277
Hilbert, 274
identisch, 156
Norm, 274, 280282
unimodular, 165
Matrizenprodukt, 63
Maxima, 14, 222, 256, 305, 313
Mendès-France, Michel, 83
Menge, 70
führend, 381
unabhängig, 355, 368, 372
Methode, 96
Minimalpolynom, 172, 186
lineare Rekursion, 136
Matrix, 37, 162
Minor, 363
Matrix, 162
ModellRäuber-Beute, 86Modulkomplexe Zahl, 105
Mourrain, Bernard, 179
MPFR, 239
Muller, David. E., 267

Muller, Jean-Michel, 244
Muller-Verfahren, 267
Multiplikation
schnell, 152
Multiplizität, 188, 251
Multiplkation, 9
MuPAD, 99
MuPAD-Combinat, 323
mutabel, 160, 350
Nenner, 142
Newton-Verfahren, 265
Norm
komplexe Zahl, 105
Matrix, 274, 280282
Normaform
Matrix, 160
normale Gleichung, 280, 281
Normalform, 20, 102, 128
Ausdruck, 112
Matrix, 172
modulo eines Ideals, 190
Notebook, 7
Nullstellensatz, 190
numerische Algebra, 273
numerische Approximation, 10, 273
Dierentialgleichung, 309
Grenzwert, 48
Integral, 297
Lösung von Gleichungen, 201
NumPy, 86, 268
O'Shea, Donal, 179
Objekt, 95
Operationarithmetisch, 9arithmetisch-harmonisch, 97
Operationen, 3
Optimierung, 375
Ordnung, 183
additiv, 116
lexikographisch, 65
Monome, 184
multiplikativ, 116
Variable, 181
Paarung, 380
PALP, 343
Parametrisierung, 88, 196
PARI, 98, 268, 303, 305, 307
Partialbruchzerlegung, 227

447

Indexpartielle Dierentialgleichung
Wärmeleitung, 225
PascalSchnecken, 79
Permutation, 366
Phänomen
Gibbs, 77
Runge, 300
Pivotstelle, 163
Pocklington
Satz, 121
Polarkoordinaten, 79
Polymorphie, 97
Polynom, 127, 181
charakteristisch, 162, 169, 172
Legendre, 300
Tschebyschow, 134
Wurzel, 242
Polynomdarstellung
dünn besetzt, 151
rekursiv, 129
voll besetzt, 151
Polynomdarszellung
faktorisiert, 109
Polynomdivision, 183
Polynomring, 107, 127, 180
in unendlich vielen Unbestimmten, 182
Potenz, 3
invers, 285
iteriert, 284, 295, 296
Potenzierung
modular, 121
Potenzreihe, 107, 143, 406
Präzision, 237
Primzahl, 117
Produkt
Graphen, 359
kartesisch, 100
Skalar-, 36
Vektor-, 36
Programmierungganzzahlig linear, 376
linear, 362, 375
objektorientiert, 95
Projektion, 194
Prompt, 8
Prozedur, 52
Pseudodivision, 132
pseudoprim, 120
Python, 4

448

QR-Zerlegung, 279
QUADPACK, 305
Quadratur, 299
Quadratwurzel, 3
Quotientenring, 189
Radikal, 191Raung, 62, 333
Rang, 166
Matrix, 162, 166, 169
Rangprol, 162, 166
Reduktion
Endomorphismen, 162
verzögert, 115
Regel von Descartes, 257
Reihe, 107, 245
abgeschnitten, 142
faul, 150
Fourier, 78
harmonisch, 245
Potenz-, 107, 147
Riemann, 50
Reihenentwicklung
abbrechend, 108, 150
Rekonstruktion
rational, 118, 125, 142, 143
Rekursion, 45
rekursiv, 151
rekursiv denierte Folge, 45, 47, 229
Graph, 230
Relation, 135
Restquadratisch, 122
Restklassenring Z/nZ, 115
Restsatzchinesisch, 121
Resultante, 139, 197
Riemann-Reihe, 50
Ring der ganzen Zahlen, 115, 120
Rucksackproblem, 379
Rundung, 238, 242
Fehler, 247
Safey El Din, Mohab, 179
Sage
Cloud, 5
Geschichte, 4sage-support, x
sagemath.org, 6Satz
Borsuk-Ulam, 352

IndexCaley-Hamilton, 172
Kuratowski, 351
Pocklington, 121
Schleife
for, 44
while, 45
Schleifenabbruch, 47
Schmiegkreis, 89
schnelles Potenzieren, 55
Schnitt
Graph, 363
SciPy, 84, 85, 271, 293, 296
Sekantenverfahren., 266
Serveröentlich, 5Singulärwert, 280, 281, 283
Singular, 181, 202
Skalarprodukt, 36
SpalteMatrix, 158
Spur, 274, 282
Steensen-Verfahren, 270
Stein, William, 4
Struktur
algebraisch, 100
Sturm
Folge, 258
Summe
Programmierung, 48
Teilmengen, 380
SVD engl. Singular Value Decomposition,
282
SWZ für Singulärwertzerlegung, 282
Sympy, 232
Syracuse-Vermutung, 51
Tabellenkalkulation, 81
Tangente
Graph, 265
Taylor, 387
Teilgraphinduziert, 353, 369
Teilhabe an denselben Daten, 68
Tenenbaum, Gérard, 83
Test
Fermat, 120
textttsin, 248
trac.sagemath.org, xTreppe, 207
Treppenlinie, 206
Treppennormalform, 163, 164

Trigonalisierung, 163
Trigonometrie, 211
Tupel, 70
unendlich, 11Ungleichung, 375
polynomiale Systeme, 197
unit in the last place, 241
Untermatrix, 159
Urbild, 73
VandermondeDeterminante, 109
Variable, 130
abhängig, 216
Deklaration, 15
Python, 13
symbolisch, 14, 15
unabhängig, 216
Varietät
algebraisch, 188
VektorErzeugung, 157
zyklisch, 171
Vektorprodukt, 36
Vektorraum, 155
Basis, 156
Eigenraum, 169
Eigrenraum, 162
invariant, 169
Vereinfachung, 11, 111
Vereinigung, 353
Mengen, 321, 339
Verfahren
Brent, 271
doppelt exponentiell, 298, 301
Dormand und Price, 310
Euler, 310
Gauÿ-Kronrod, 298, 300
Gauÿ-Legendre, 300
Gear, 310
Muller, 267
Newton, 265
Newton-Cotes, 298
Rechteck, 298
Runge-Kutta, 310
Steensen, 270
Trapez, 301
Trennung der Veränderlichen, 225
Verfahren der falschen Position, 263
Vergleich, 20, 44449

IndexVerkettung, 68
Verschiebung, 162
Vervollständigung
automatisch, 12
Vielfachheit, 251, 256
Vorfahr, 99, 102, 135
Vorzeichenregel
Descartes, 257
Wärmeleitungsgleichung, 225
Wahrheitswerte, 11, 105
Wahrscheinlichkeit, 353
worksheet, 7
Wurzeln-te, 9Polynom, 136, 242, 251
Wurzel eines Polynoms
Isolation, 258
Zahl
algebraisch, 108, 131, 139, 185
Carmichael, 121
chromatisch, 351
Flieÿpunkt, 105ganz, 105
ganz modular, 115
Gleitpunkt-, 237
harmonisch, 118
komplex, 105, 228
Mersenne, 335
p-adisch, 127
rational, 104
Zariski-Abschluss, 195, 198
Zeichenkette, 57, 67
Zeichnung, 86, 90
Graph, 355
Zeile
Matrix, 158
Zerlegung
LU , 286
QR, 281
Cholesky, 279, 283
Dreiecksform (eines Ideals), 199in einfache Elemente, 20
LU, 277
QR, 279
quadratfrei, 138
Zerlegung (Matrix)
Gauÿ-Jordan, 164
LU, 164
Zeta-Funktion, 51

450

Zielfunktion, 376
Zufallsgraph, 367, 369
Zufallsweg, 82
Zusammenhangskomponenten, 361
Zuweisung, 13, 49, 68
Zwangsmodell, 97