基礎ゼミ第11回後半
需要変動型UE福田研M1 河井智弘

1

Introduction▼需要変動型利用者均衡⇒交通需要がOD間の交通サービス水準によって変化⇒これをロジットモデルで表現したい！
▼四段階推定法…発生・分布・分担…のプロセスは別々のモデルを使用⇒理論的に一貫した一つのモデルで表したい！

2

今回紹介するモデル一覧
7.2 基本モデル【UE/VD】:基本モデル(Beckmannモデル)【UE/EX】:等価な需要固定型問題への変換
7.3 分担・配分統合モデル【UE/MODE】①:分離型〃②:各交通機関で相互干渉を考慮【NLSUE/Mode】:Nested Logitモデルを使用

7.4 分布・配合統合モデル【UE/DIST-SG】:片側制約つき(発生交通量のみ与件)【UE/DIST-DB】:両側制約つき(発生・集中交通量が与件)【NLSUE/Dest】:Nested Logitモデルを使用

7.5(1) 分布・分担・配合統合モデル【UE/MODE/DIST】▼分布・分担・配分統合モデル；四段階推定法の代替3

7.2 基本モデル

4需要変動モデルの基本
UE/VD : User Equilibrium with Variable Demand
需要固定型のUEでは，所要時間をコストとして取り扱っている
𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =𝑎∈𝐴 0𝑡𝑎 ω 𝑑ω𝑡𝑎 : リンクaの所要時間(交通量𝑞𝑟𝑠 の関数)

rs間の交通需要(変動)： 𝑞𝑟𝑠 = 𝐷𝑟𝑠 𝑐𝑟𝑠
𝐷𝑟𝑠 ：需要関数の逆関数
𝑐𝑟𝑠 減少⇒𝐷𝑟𝑠 増加−1 (𝑞 )
⇔ 𝑐𝑟𝑠 = 𝐷𝑟𝑠
𝑟𝑠
𝑘𝑐𝑟𝑠 = 𝑚𝑖𝑛. 𝑐𝑟𝑠: 変動需要による最短経路の交通コスト−1
𝑞𝑟𝑠 減少⇒𝐷𝑟𝑠増加⇒ 𝑍減少としたい！

UE/VD(需要変動型の基本モデル)

𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =負𝑥𝑎𝑎∈𝐴 0𝑞𝑟𝑠𝑡𝑎 ω 𝑑ω −𝑟,𝑠0−1 ω 𝑑ω𝐷𝑟𝑠

需要変動を表す
5

需要変動モデルの基本
UE/VDUE/VD

𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =𝑎∈𝐴 0

𝑓𝑟𝑠𝑘 :経路kの交通量
𝒇:𝑓𝑟𝑠𝑘 のベクトル

𝑥𝑎 :リンクaの交通量
𝒙:𝑥𝑎 のベクトル

𝑞𝑟𝑠𝑡𝑎 ω 𝑑ω −𝑟,𝑠0−1
𝐷𝑟𝑠
ω 𝑑ω

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜𝑘𝑘 𝑓𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑓𝑟𝑠𝑘 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘

𝑥𝑎 =𝑟,𝑠𝑎,𝑘 𝑘𝑘 δ𝑟𝑠 𝑓𝑟𝑠

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑎, 𝑟, 𝑠, 𝑘δ𝑎,𝑘𝑟𝑠 = 1(使われる)

𝒒 :リンク合計交通量𝑞𝑟𝑠 のベクトル0(使われない)6

UE/VDの図形的な意味
𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =𝑎∈𝐴 0

𝑞𝑟𝑠𝑡𝑎 ω 𝑑ω −𝑟,𝑠0−1
𝐷𝑟𝑠ω 𝑑ω

旅行時間c
コスト関数

𝑥𝑎

𝐶=

最適解0𝑐∗0𝑥∗ 𝑥

交通量q𝑡𝑎 ω 𝑑ω

𝑚𝑖𝑛. 𝑍=(上図面積)ー(下図面積)

旅行時間c𝑐𝑟𝑠 =𝑞𝑟𝑠
0−1 ω 𝑑ω𝐷𝑟𝑠

需要関数の逆関数−1𝐷𝑟𝑠ω

𝑐∗0𝑥∗ 𝑥

交通量q7
交通ネットワークの均衡分析(土木学会)より

UE/VDの最適化条件
Lagrange関数 ∶𝐿 আ, ঑, 𝝀 = 𝑍 ঘ আ , ঑ +𝑓𝑟𝑠𝑘 )λ𝑟𝑠 (𝑞𝑟𝑠 −𝑟,𝑠𝑘Kuhn-Tucker条件
利用されている経路：𝑓𝑟𝑠𝑘

利用されていない経路：

𝜕𝐿𝑘
𝜕𝑓𝑟𝑠

𝑘= 0 → 𝑓𝑟𝑠𝑘 (𝑐𝑟𝑠(আ) − λ𝑟𝑠 )

=0𝑞𝑟𝑠

𝜕𝐿=0
𝜕𝑞𝑟𝑠−1→ 𝑞𝑟𝑠 (λ𝑟𝑠 − 𝐷𝑟𝑠(𝑞𝑟𝑠 )) ≥ 0𝜕𝐿≥0𝑘→ 𝑐𝑟𝑠
আ − λ𝑟𝑠𝑘𝜕𝑓𝑟𝑠

𝜕𝐿≥0𝜕𝑞𝑟𝑠≥0−1→ λ𝑟𝑠 − 𝐷𝑟𝑠(𝑞𝑟𝑠 ) ≥ 08等価な需要固定型問題への変換
UE/EX
超過需要 𝑒𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 − 𝑞𝑟𝑠 ；rs間で考慮対象以外の交通手段を使う需要rs間の需要上限(先に決める：固定)

正にした

⇒

変換してUE/EX

𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =𝑎∈𝐴 0𝒆𝒓𝒔

𝑡𝑎 ω 𝑑ω＋𝑟,𝑠

0

需要固定型と同様に取り扱える！
−1 𝑣 𝑑𝑣
𝐷𝑟𝑠

subject to𝑘𝑘 𝑓𝑟𝑠 + 𝑒𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠
𝑘𝑥𝑎 = 𝑟,𝑠 𝑘 δ𝑎,𝑘𝑟𝑠 𝑓𝑟𝑠
𝑓𝑟𝑠𝑘 ≥ 0𝑒𝑟𝑠 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

9

7.3など分担・配分統合モデル

10分担・配分統合モデル(分離型)
UE/MODE
𝑡𝑟𝑎𝑛 の二項選択モデル(例)分担：自動車𝑞𝑟𝑠 と公共交通𝑞𝑟𝑠＋配分：自動車の経路は複数，公共交通の経路は1つのみ①分担
𝑡𝑟𝑎𝑛・rs間需要 𝑞𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 + 𝑞𝑟𝑠
は与件とする←ここでは分布交通量をモデルで説明しないため！

・公共交通は道路混雑に依存しない(リンクコスト一定)：鉄道など
・需要関数(2項ロジット)

exp(−θ𝑐 )𝑟𝑠𝑞𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 × exp −θ𝑐 𝑡𝑟𝑎𝑛 +exp(−θ𝑐)𝑟𝑠𝑟𝑠

θ:パラメータ②配分

自動車は複数経路のうちコスト最小の経路を利用⇒自動車は仮想リンク1本を考えればよい！
仮想リンクｒs
実ネットワーク(自動車)
11

分担・配分統合モデル(分離型)
UE/MODE
UE/MODE𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =𝑥𝑎𝑎∈𝐴 0

𝑞𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 ×

1𝑡𝑎 ω 𝑑ω＋θ𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠

𝑟,𝑠01𝑡𝑟𝑎𝑛 −𝑐1+exp −θ 𝑐𝑟𝑠𝑟𝑠ln

ω𝑡𝑟𝑎𝑛+ 𝑐𝑟𝑠𝑑ω
𝑞𝑟𝑠 − ω(2項ロジット)
1𝑞 −ω

−1 ω = ln( 𝑟𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛
需要関数の逆関数：𝑐𝑟𝑠 = 𝐷𝑟𝑠)+𝑐𝑟𝑠
θω

subject to𝑘𝑘 𝑓𝑟𝑠 + 𝑒𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠
𝑓𝑟𝑠𝑘 ≥ 0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 r,s,k𝑒𝑟𝑠 ≥ 0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 r,s⇒UE/VDと同様

𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 + 𝑞𝑟𝑠
を用いて積分変数を変換

Kuhn-Tucker条件もUE/VDと同様

12

分担・配分統合モデル UE/MODE(リンク間相互干渉あり)(例)

・バス(公共交通)は自動車と同じく道路混雑に依存し，・リンク間相互干渉あり(リンクコスト関数が非分離型)の場合
𝑥𝑎

𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑ =𝑎0𝑞𝑟𝑠

𝑡𝑎 ω 𝑑ω＋𝑟,𝑠01𝜔ln𝑑𝜔 +θ𝑞𝑟𝑠 − 𝜔

このとき，Kuhn-Tucker条件は各交通機関ごとに成立

𝑥𝑏𝑡𝑟𝑎𝑛0𝑏𝑡𝑏𝑡𝑟𝑎𝑛 ω 𝑑ω

混雑効果(公共交通)

𝑘 আ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 − 𝑐
自動車:𝑓𝑟𝑠𝑘 𝑐𝑟𝑠
𝑟𝑠 = 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑘 আ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 − 𝑐𝑐𝑟𝑠𝑟𝑠 ≥ 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑡𝑟𝑎𝑛,𝑘𝑡𝑟𝑎𝑛
公共交通: 𝑓𝑟𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛,𝑘 𝑐𝑟𝑠
আ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 − 𝑐𝑟𝑠=0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑡𝑟𝑎𝑛,𝑘𝑡𝑟𝑎𝑛,𝑘𝑐𝑟𝑠
আ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 − 𝑐𝑟𝑠≥0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑡𝑟𝑎𝑛,𝑘𝑐𝑘𝑟𝑠 আ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 ，𝑐𝑟𝑠
আ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 ：交通コスト→経路交通量ベクトルআ, আ𝑡𝑟𝑎𝑛 の関数
13NLを用いたモデル
ここまで；伝統的な段階的交通需要推計法の統合
ここから；交通機関選択，経路選択などは階層的な選択構造によるものであるとする⇒Nested Logit モデルが使える⇒経路kと交通機関との組み合わせが重要なので，単に最小コストの経路(仮想リンク)のみ考えれば良い訳ではない！
スケールパラメータ

𝜽𝟏
𝜽𝟐車
𝑞𝑟𝑠
公共交通交通機関
(分担)

𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠

…

スケールパラメータ

𝑓1𝑟𝑠
𝑟𝑠
経路2 𝑓2経路1経路k𝑓𝑘𝑟𝑠

経路(配分)

14

分担・配分統合モデル(制約条件なし)
スケールパラメータ

𝜽𝟏
𝜽𝟐車
𝑞𝑟𝑠
公共交通交通機関
(分担)

𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠

…

スケールパラメータ

1
経路1 𝑓𝑟𝑠2
経路2 𝑓𝑟𝑠

経路k

経路(配分)

𝑓𝑟𝑠3【例】車(経路別)と公共交通(経路1本)の選択
経路kの選択確率 : Pr[k/rs,auto]=自動車の〃𝑘)exp(−θ1 𝑐𝑟𝑠
𝑘𝑘 exp(−θ1 𝑐𝑟𝑠 ): Pr[auto/rs] = 1+exp(−θ1𝑡𝑟𝑎𝑛 −𝑆2 𝑐𝑟𝑠𝑟𝑠 )公共交通の〃: Pr[tran/rs] = 1 − 𝑃𝑟 [auto/rs]
条件付確率
手段選択に関する車の期待最小費用(ログサム変数)
𝑆𝑟𝑠 = −需要関数

経路kの交通量:1𝑘ln[ 𝑘 exp(−θ1 𝑐𝑟𝑠)]
θ1𝑓𝑟𝑠𝑘 = 𝑞𝑟𝑠 Pr [k/rs,auto]

自動車全体の交通量: 𝑞𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠 Pr [auto/rs]
公共交通の交通量

𝑡𝑟𝑎𝑛 = 1 − 𝑞 [tran/rs]
:𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠
15

分担・配分統合モデル(制約条件なし)
NLSUE/Mode
NLSUE/Mode𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑, ঑𝑡𝑟𝑎𝑛

𝑥𝑎

=𝑎1+
𝜃10

𝑓𝑟𝑠𝑘 𝑙𝑛𝑟,𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑐𝑟𝑠
𝑞𝑟𝑠𝑡𝑎 ω 𝑑ω +𝑘𝑓𝑟𝑠𝑘𝑟,𝑠1+𝑞𝑟𝑠
𝜃2𝑟,𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑞𝑟𝑠𝑞𝑟𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛(𝑞𝑟𝑠 𝑙𝑛+ 𝑞𝑟𝑠 𝑙𝑛)
𝑞𝑟𝑠𝑞𝑟𝑠

エントロピーモデルの形

subject to𝑡𝑟𝑎𝑛 = 𝑞𝑞𝑟𝑠 + 𝑞𝑟𝑠
𝑟𝑠𝑘= 𝑞𝑟𝑠
𝑘 𝑓𝑟𝑠
𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠 ≥ 0 , 𝑞𝑟𝑠 ≥ 0𝑓𝑟𝑠𝑘 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘

エントロピーモデルの定義
確率分布(𝑝1 , 𝑝2 ,…, 𝑝𝑛 )のエントロピーは
𝐻=−𝑝𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑝𝑘
𝑘16

NLSUE/ModeのKuhn-Tucker条件
Lagrange関数
𝐿 ঘ আ , ঑, ঑𝑡𝑟𝑎𝑛 , 𝝀, 𝝁 = Z +𝑟,𝑠 λ𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 −𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠 + 𝑞𝑟𝑠+𝑟𝑠
𝑟𝑠 𝑓𝑟𝑠𝑟,𝑠 μ𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 −𝝀, 𝝁 : Lagrange乗数Kuhn-Tucker条件
配分𝑟𝑠

𝜕𝐿𝑘𝜕𝑓𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠

:分担各
交通機
関ごと𝜕𝐿
𝑓𝑟𝑠𝑘 𝑘 = 𝑓𝑟𝑠𝑘
𝜕𝑓𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠

=𝑘𝑐𝑟𝑠
𝑓1+
θ1

𝑘
𝑓𝑟𝑠
𝑙𝑛+1
𝑞𝑟𝑠

− μ𝑟𝑠 = 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑘
𝑐𝑟𝑠
𝑓

1+
θ1

𝑘
𝑓𝑟𝑠
𝑙𝑛+1
𝑞𝑟𝑠

− μ𝑟𝑠

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛+1
𝑞𝑟𝑠− λ𝑟𝑠 = 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛+1
𝑞𝑟𝑠− λ𝑟𝑠 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

𝜕𝐿
= 𝑞𝑟𝑠
𝜕𝑞𝑟𝑠

𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑐𝑟𝑠+

1
θ2

𝑙𝑛 𝑟𝑠

𝜕𝐿=𝜕𝑞𝑟𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑐𝑟𝑠+1
θ2𝑙𝑛 𝑟𝑠

𝜕𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛= 𝑞𝑟𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛
𝜕𝑞𝑟𝑠−

𝜕𝐿
𝑡𝑟𝑎𝑛 =
𝜕𝑞𝑟𝑠−≥ 011+θ1
θ2𝑙𝑛 𝑟𝑠 + 1 + μ𝑟𝑠 − λ𝑟𝑠 = 0𝑞𝑞𝑟𝑠

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

11+θ1
θ2𝑙𝑛 𝑟𝑠 + 1 + μ𝑟𝑠 − λ𝑟𝑠 ≥ 0𝑞𝑞𝑟𝑠

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠
17

7.4など分布・配分統合モデル

18分布・配分統合モデル(片側制約つき)(例)分布：目的地は多数存在⇒選択行動は多項ロジットにより説明＋配分：自動車・公共交通の区別なし
𝑂𝑟 : ノードrからの発生交通量(与件)：片側制約※集中交通量は与件でない①分布
需要関数: 𝑞𝑟𝑠 = 𝐷𝑟𝑠 (𝑐𝑟𝑠 ) = 𝑂𝑟 ×exp(−θ𝑐𝑟𝑠 )：修正重力モデルの形𝑠 exp(−θ𝑐𝑟𝑠 )⇒四段階推定法の分布交通量予測と同様！
𝑇𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝐴𝑗 𝑘𝑖𝑗 𝑓(𝑑𝑖𝑗 )の形𝑗 𝐴𝑗 𝑘𝑖𝑗 𝑓(𝑑𝑖𝑗 )②配分
仮想リンクｒs
実ネットワーク(自動車)

仮想リンク1本を考えればよい(UE/MODEと同様)
19

分布・配分統合モデル(片側制約つき)
UE/DIST-SG
UE/DIST-SG𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ, ঑ =𝑎−0𝑡𝑎 ω 𝑑ω +1θ𝑞𝑟𝑠 −1𝑟,𝑠 0 𝐷𝑟𝑠 ω 𝑑ωより𝑞𝑟𝑠 (𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 − 1)𝑟,𝑠

エントロピーモデルの形

subject to𝑘𝑘 𝑓𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠
𝑓𝑟𝑠𝑘≥0𝑘𝑥𝑎 = 𝑟,𝑠 𝑘 δ𝑎,𝑘𝑟𝑠 𝑓𝑟𝑠
𝑠 𝑞𝑟𝑠 = 𝑂𝑟𝑞𝑟𝑠≥0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 r, s
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑎, 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

20

分布・配分統合モデル(片側制約つき)
UE/DIST-SGLagrange関数

𝐿 আ, ঑, 𝝀, 𝝁 = 𝑍 ঘ আ , ঑ +𝑓𝑟𝑠𝑘 ) +λ𝑟𝑠 (𝑞𝑟𝑠 −𝑟,𝑠𝑘μ𝑟 (𝑂𝑟 −𝑟𝑞𝑟𝑠 )𝑠

片側制約
Kuhn-Tucker条件
𝑓𝑟𝑠𝑘

𝜕𝐿𝑘
𝜕𝑓𝑟𝑠

𝜕𝐿𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑘, 𝑟, 𝑠𝑐𝑘𝑟𝑠 𝒇 − λ𝑟𝑠 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑘, 𝑟, 𝑠=𝑘
𝜕𝑓𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠

= 𝑓𝑘𝑟𝑠 𝑐𝑘𝑟𝑠 𝒇 − λ𝑟𝑠 = 0

𝜕𝐿
= 𝑞𝑟𝑠
𝜕𝑞𝑟𝑠

𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑟𝑠

=λ𝑟𝑠 − μ𝑟 + 𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 = 01
θ𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠1
θ𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠λ𝑟𝑠 − μ𝑟 + 𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 ≥ 021

分布・配分統合モデル(両側制約つき)
UE/DIST-SG𝑟 𝑞𝑟𝑠 = 𝑂𝑟 ：ノードrからの発生交通量(与件)のとき，𝑚𝑖𝑛. 𝑍 は先ほどと同様𝑠 𝑞𝑟𝑠 = 𝐷𝑠 ：ノードsへの集中交通量(与件)

両側制約

Lagrange関数

𝐿 আ, ঑, 𝝀, 𝝁 = 𝑍 ঘ আ , ঑ +𝑓𝑟𝑠𝑘 ) +λ𝑟𝑠 (𝑞𝑟𝑠 −𝑟,𝑠𝑘μ𝑟 (𝑂𝑟 −𝑟𝑞𝑟𝑠 ) +𝑠ν𝑟 (𝐷𝑠 −𝑠𝑞𝑟𝑠 )𝑟

両側制約
Kuhn-Tucker条件
𝑓𝑟𝑠𝑘

𝜕𝐿𝑘
𝜕𝑓𝑟𝑠

𝜕𝐿𝑘
𝜕𝑓𝑟𝑠

𝑞𝑟𝑠

𝑘= 𝑓𝑟𝑠𝑘 𝑐𝑟𝑠
আ − λ𝑟𝑠 = 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑘, 𝑟, 𝑠𝑘𝑐𝑟𝑠
আ − λ𝑟𝑠 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑘, 𝑟, 𝑠=𝜕𝐿= 𝑞𝑟𝑠𝜕𝑞𝑟𝑠

λ𝑟𝑠 − μ𝑟 − ν𝑠 + 𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 = 01
θ𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠𝜕𝐿=𝜕𝑞𝑟𝑠λ𝑟𝑠 − μ𝑟 − ν𝑠 + 𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 ≥ 01
θ𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠22

NLを用いたモデル
スケールパラメータ

𝜽𝟏
𝜽𝟑

目的地A

𝑟𝑠
経路2 𝑓2…

スケールパラメータ𝑟𝑠
経路1 𝑓1

経路k 𝑓𝑘𝑟𝑠

目的地B…
目的地
(分布)

経路(配分)

23

分布・配分統合モデル(片側制約つき)
NLSUE/Dest
スケールパラメータ

𝜽𝟏
𝜽𝟑

目的地A

𝑟𝑠
経路2 𝑓2…

スケールパラメータ𝑟𝑠
経路1 𝑓1

経路k 𝑓𝑘𝑟𝑠

目的地別・経路別の交通量を算出する．
ODペアrsと経路kによる効用は𝑈 𝑟𝑠, 𝑘 = 𝑈(𝑟𝑠𝑘) + 𝑈 𝑟𝑠
ODペアrsと経路kの組み合わせによる効用

目的地B

ODペアrsごとの経路kに依らない効用

…
目的地
(分布)

経路(配分)

経路 k の選択確率 : Pr[k/rs] =𝑘)exp(−θ1 𝑐𝑟𝑠
𝑘𝑘 exp(−θ1 𝑐𝑟𝑠 )目的地 r の選択確率: Pr[r/s] =exp[−θ3 (𝐶𝑟𝑠 +𝑆𝑟𝑠 )]𝑠 exp[−θ3 (𝐶𝑟𝑠 +𝑆𝑟𝑠 )]𝐶𝑟𝑠 : ODペアrs間の経路によらない費用(与件)
𝑆𝑟𝑠 : OD間の経路選択に関する期待最小費用(ログサム変数)
1𝑘𝑆𝑟𝑠 = − ln[ 𝑘 exp −θ1 𝑐𝑟𝑠]
θ124

分布・配分統合モデル(片側制約つき)
NLSUE/Dest
NLSUE/Dest
𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑𝑥𝑎=
𝑎01𝑡𝑎 𝜔 𝑑𝜔 +
𝜃1𝑟𝑠

𝑘𝑓𝑘𝑟𝑠 1𝑟𝑠
𝑓𝑘 𝑙𝑛+
𝑞𝑟𝑠 𝜃3𝑞𝑟𝑠 𝑙𝑛𝑟,𝑠𝑞𝑟𝑠 ≥ 0

𝐶𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠𝑟,𝑠経路によらない費用
𝐶𝑟𝑠 の項subject to𝑠 𝑞𝑟𝑠 = 𝑂𝑟𝑘𝑘 𝑓𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠
𝑓𝑟𝑠𝑘 ≥ 0𝑞𝑟𝑠+𝑂𝑟𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑘𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

需要関数

経路kの交通量: 𝑓𝑟𝑠𝑘 = 𝑞𝑟𝑠 Pr [k/rs]

目的地rへの集中交通量: 𝑞𝑟𝑠 = 𝑂𝑟 Pr [r/s]
𝑂𝑟 :発生交通量(与件)

25

7.5
分布・分担・配分統合モデル

26

分布・分担・配分統合モデル
UE/MODE/DIST(例)①分布：目的地は多数存在⇒多項ロジット
exp(−θ𝑐𝑟𝑠 )𝑞𝑟𝑠 = 𝐷𝑟𝑠 (𝑐𝑟𝑠 ) = 𝑂𝑟 ×𝑠 exp(−θ𝑐𝑟𝑠 )②分担：公共交通と自動車の二項ロジット
公共交通と車の相互干渉作用なし(分離型)𝑎𝑢𝑡𝑜𝑞𝑟𝑠= 𝑞𝑟𝑠 ×𝑎𝑢𝑡𝑜exp(−θ𝑐𝑟𝑠)
𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑎𝑢𝑡𝑜exp −θ𝑐𝑟𝑠+ exp(−θ𝑐𝑟𝑠)③配分：自動車は仮想リンク1本を考える
全OD交通量を決定するための条件
統合𝑎𝑢𝑡𝑜 + exp −θ𝑐 𝑡𝑟𝑎𝑛
exp−θ𝑐𝑟𝑠𝑟𝑠
𝑎𝑢𝑡𝑜𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠+ 𝑞𝑟𝑠= 𝑂𝑟 ×𝑎𝑢𝑡𝑜𝑡𝑟𝑎𝑛+ exp(−θ𝑐𝑟𝑠))𝑠(exp −θ𝑐𝑟𝑠

リンク交通量: 𝑥𝑎 =𝑘𝑎,𝑘 𝑘𝑡𝑟𝑎𝑛𝑟,𝑠 δ𝑟𝑠 𝑓𝑟𝑠 + 𝑥𝑎

バスの換算台数(乗用車に換算したバスの交通量)

27分布・分担・配分統合モデル
UE/MODE/DIST
UE/MODE/DIST𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ, ঑ =𝑎0𝑡𝑎 ω 𝑑ω +1
θ𝑞𝑟𝑠 𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 +𝑟,𝑠1
θ𝑞𝑟𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛 +𝑟,𝑠

𝑐𝑟𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑞𝑟𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑟,𝑠Kuhn-Tucker条件𝑓𝑟𝑠𝑘

𝜕𝐿𝑘𝜕𝑓𝑟𝑠𝜕𝐿𝑘𝜕𝑓𝑟𝑠𝑞𝑟𝑠= 𝑓𝑟𝑠𝑘𝑎,𝑘𝑎 δ𝑟𝑠 𝑡𝑎 𝑥𝑎− λ𝑟𝑠 = 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠=𝑎,𝑘𝑎 δ𝑟𝑠 𝑡𝑎 𝑥𝑎− λ𝑟𝑠 ≥ 0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠𝜕𝐿= 𝑞𝑟𝑠𝜕𝑞𝑟𝑠− −1
θ𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠+ α𝑟 + λ𝑟𝑠
θ=0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠

𝜕𝐿
=
𝜕𝑞𝑟𝑠

− −1
θ

𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠
+ α𝑟 + λ𝑟𝑠
θ≥0𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑞𝑟𝑠

𝜕𝐿
𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑡𝑟𝑎𝑛 = 𝑞𝑟𝑠
𝜕𝑞𝑟𝑠

− −1
θ

𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠
+ α𝑟 + λ𝑡𝑟𝑎𝑛𝑟𝑠θ

= 0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠𝜕𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛 =
𝜕𝑞𝑟𝑠

− −1
θ𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑙𝑛𝑞𝑟𝑠
+ α𝑟 + λ𝑡𝑟𝑎𝑛𝑟𝑠θ

≥ 0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠α𝑟 :発生交通量制約に関するLagrange乗数
𝑐𝑟𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛 :rs間の公共交通による最小コスト
λ𝑟𝑠 :車の経路交通量条件に対するLagrange乗数
λ𝑡𝑟𝑎𝑛
𝑟𝑠 :公共交通の経路交通量条件に対するLagrange乗数28番外編：NLを用いて4段階を統合
分担
分布(目的地) (手段選択)
発生(出発地)

スケール
パラメータ

θ4

配分(経路選択)

θ3

θ2

θ129

aNLを用いた四段階の統合
各段階の選択確率は…

配分 経路

𝑃𝑟 [k/r,s,m]=

分担(手段)

𝑃𝑟 [m/r,s]=分布(目的地) 𝑃𝑟 [r/s]=

𝑟𝑠exp(−θ1 𝑐𝑘,𝑚)𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑟

𝑟𝑠𝑘 exp(−θ1 𝑐𝑘,𝑚 )𝑟𝑠exp[−θ2 (C𝑟𝑠𝑚 +𝑆𝑚 )]𝑟𝑠𝑟𝑠𝑚 exp[−θ2 (C𝑚 +𝑆𝑚 )]𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑚, 𝑠, 𝑟exp[−θ3 𝐶𝑟𝑠 +𝑆𝑟𝑠 ]𝑠 exp[−θ3 (𝐶𝑟𝑠 +𝑆𝑟𝑠 )]𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑠, 𝑟

exp[−θ 𝐶 +𝑆 ]4 𝑟
𝑟
発生(出発地) 𝑃𝑟 [r]= exp[−θ4 𝐶𝑟 +𝑆𝑟 ] +exp(−θ4𝑅𝑟)※生成交通量は制約条件で対応

分担 m
分布 s
(目的地) (手段選択)

発生 r
(出発地)

配分 k(経路選択)

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟【固有の費用】
𝑟𝑠
𝑐𝑘,𝑚:rs間でm番目の手段によるk番目経路の交通費用(ネットワークの混雑水準により変化)
𝑟𝑠C𝑚 :rs間の手段mに固有の費用(固定)𝐶𝑟𝑠 :ODペアrs間に固有の費用(固定)𝐶𝑟 :発生地rにおいてトリップ固有の費用(固定)R 𝑟 :発生地rにおいてトリップしない費用(固定)【期待最小費用(ログサム変数)】𝑟𝑠
𝑟𝑠 = − 1 ln(𝑆𝑚𝑘 exp(−θ1 𝑐𝑚,𝑘 )):経路選択に関するθ11
𝑟𝑠 + 𝑆 𝑟𝑠 ):手段選択ln( 𝑚 exp −θ2 (𝐶𝑚𝑚θ21
𝑆𝑟 = − θ ln( 𝑠 exp −θ3 (𝐶𝑟𝑠 + 𝑆𝑟𝑠 ):目的地選択
3𝑆𝑟𝑠 = −
スケール
パラメータ

θ4

θ3

θ2

θ130

NLを用いた四段階の統合
𝑚𝑖𝑛. 𝑍 ঘ আ , ঑, ॹ𝑥𝑎

=𝑚

1+
θ1𝑎𝑟𝑠

0𝑚

𝑡𝑎𝑚 ω 𝑑ω +𝑘𝑟,𝑠 𝑚𝑚,𝑘𝑓𝑟𝑠
1
𝑓𝑟𝑠𝑚,𝑘 𝑙𝑛 𝑚 +𝑞𝑟𝑠
θ2

分布 s(目的地)
発生 r
(出発地)

𝑚 𝑚
𝐶𝑟𝑠
𝑞𝑟𝑠 +

𝐶𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠 +𝑂𝑟 (𝐶𝑟 − 𝑅𝑟 )𝑟,𝑠𝑟,𝑠 𝑚𝑚
𝑞𝑟𝑠
1𝑚
𝑞𝑟𝑠 𝑙𝑛+𝑞𝑟𝑠 𝜃3𝑟

𝑞𝑟𝑠 𝑙𝑛𝑟,𝑠𝑞𝑟𝑠 1+𝑂𝑟 𝜃4𝑂𝑟 𝑙𝑛𝑟

𝑂𝑟𝑇𝑟

subject to分担 m(手段選択)
配分 k(経路選択)

𝑠 𝑞𝑟𝑠 = 𝑂𝑟𝑚𝑚 𝑞𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠𝑚,𝑘𝑚
= 𝑞𝑟𝑠
𝑘 𝑓𝑟𝑠
𝑓𝑟𝑠𝑚,𝑘 ≥ 0𝑚
𝑞𝑟𝑠
≥0𝑞𝑟𝑠 ≥ 0𝑇𝑟 ≥ 𝑂𝑟 ≥ 0

𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑚𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑚, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑚, 𝑘
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠, 𝑚𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟, 𝑠
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑟𝑟 𝑞𝑟𝑠 = 𝑂𝑟 ：ノードrからの発生交通量(与件)

𝑇𝑟 : 発生地rから発生しうる交通の上限
31