1章

式の計算

単元

3

覚えよう！

1教科書

因数分解
いんすう

多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとぶんかいの式を因数分解するという。
因数分解(x+1)(x+3)
x2+4x+3
展開
2 共通な因数……mx+my=m(x+y)

3

P.28〜36因数分解の公式⑴⑵⑶⑷

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+2ax+a2=(x+a)2
x2-2ax+a2=(x-a)2

x2-a2=(x+a)(x-a)

チェック1 共通な因数
次の式を因数分解しなさい。

例題

2x2+4x⑴=2x*x+2x*2=2x(x+2)⑵ ay-4by+3cy=y*a+y*(-4b)+y*3c

共通因数は 2x=y(a-4b+3c)
yをくくり出す2x をくくり出す
確認問題１⑴ ab+ac

次の式を因数分解しなさい。
⑵
〔〕

〔〕

⑷ a b-abc

共通因数はy2am+bm

2ac+6bc⑶〔〕〔〕⑸ 3xy+5xz-2x〔〕〔〕⑹ 2ax+4bx-6x

チェック2 x2+(a+b)x+ab の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+9x+20⑴

和が +9⑵ x2-5x+6

積が +20

和が -5+4 と +5x +9x+20=(x+4)(x+5)
2

確認問題２〔⑷ x2-7x+6〔x2+4x-45〔
22

和が +2-2 と -3⑵ x2+6x+8〕〕〕〔⑸ x2-10x+16〔⑻ x2-5x-14〔

積が -35-5 と +7x +2x-35=(x-5)(x+7)
2

次の式を因数分解しなさい。

⑴ x2+3x+2⑺積が +6x -5x+6=(x-2)(x-3)
2x2+2x-35

⑶

⑶〕
⑹〕
⑼〕

x2+10x+21〔〕〔〕〔〕x2+2x-15x2-8x-9

1章

チェック3 x2+2ax+a2 や x2-2ax+a2 の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+6x+9⑴=x +2*3*x+32=a -2*4*a+42=(x+3)22=(a-4)2(●+▲)2 の形にする

確認問題３a2-8a+16⑵⑶=(5x) -2*1*5x+12⑴ x +2x+1⑵ x2-4x+4〔〕⑷ x +14x+492〔〕⑸ x -12x+36⑺ x +8xy+16y⑻〔〕9a +6a+12〔〕〔〕〔〕⑹ a -18a+81⑼ 4a -12a+92〔〕

5x を1つの文字とみる

2〔〕

22⑶ a2-6a+92〔22=(5x-1)2

次の式を因数分解しなさい。

225x2-10x+1

式の計算〕

チェック4 x2-a2 の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題x2-9⑴4x2-25y2⑵=x2-32=(2x)2-(5y)2=(x+3)(x-3)

2x=●，5y=▲と考える=(2x+5y)(2x-5y)(●+▲)(●-▲)の形にする
確認問題４⑴ x -4

次の式を因数分解しなさい。

⑵ x2-162⑷ x -81〔〕2⑶ a2-49〔⑸ 4a -9b2〔〕〔〕2⑹〔25x -36y2〕〕2〔〕

チェック5 いろいろな式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題⑴

ax2+3ax-10a=a(x2+3x-10)=a(x-2)(x+5)

共通因数aをくくり出す(⑵)内を因数分解する(x+2)y+(x+2)

x+2=M とすると，(x+2)y+(x+2)=My+M=M(y+1)=(x+2)(y+1)
確認問題５

次の式を因数分解しなさい。

⑴ 2x2+14x+24〔Mをもとにもどす⑵ 4ax2-24ax+36a〕〔⑶〕(a-b)x-(a-b)y〔〕
23

1章

式の計算

単元

教科書

式の活用

4

P.37〜40

覚えよう！

1

計算の工夫

3

乗法の公式や因数分解の公式を使って，数の計算を簡単にすることができる。

2

あたい

式の値

式による証明の基本⑴

式による証明では，条件を式に表し，それを結論にあった形に変形する。

直接計算しても求めることはできるが，⑵式の展開や因数分解を活用して，簡単に答えを求め

偶数は 2n，奇数は 2n+1 または 2n-1(nは整数)

ぐうすう

き すう

⑶ aの倍数であることの証明は，式が「a*(整数)」のることができる。

形で表せることを示せばよい。

チェック1 計算の工夫
次の式を，くふうして計算しなさい。

例題⑵ 10121052-952⑴=(105+95)*(105-95)

確認問題１=502-22=1002+2*1*100+12=10000+200+1=10201=2500-4=2496

次の式を，くふうして計算しなさい。

⑴ 65 -352
2⑷ 95=(50+2)*(50-2)=(100+1)=200*10=2000

⑵

〔〕

〔〕

252*48⑶

21272-1232

⑶

〔〕

〔〕

⑸ 78*82

1042
〔〕

〔〕

⑹ 103*97

チェック2 式の値
次の式の値を求めなさい。

例題

⑴
⑵

x=6，y=5 のとき，x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)x=12，y=28 のとき，x2+2xy+y2••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑵x2+2xy+y2=(x+y)2 と因数分解し，⑴式を簡単にすると，

x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)=x2+2xy-(x2+3xy-10y2)=-xy+10y2
求める値は，-6*5+10*52=220

x=12，y=28 を代入すると，(12+28)2=402

=1600
答

確認問題２⑴

220

⑵

1600

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=16，y=-3 のとき，(x+3y)(x+4y)-(x-y)(x-2y)⑵ x=43 のとき，x -6x+9〔〕〔〕〔〕

2⑶ x=4.75，y=1.25 のとき，x -y2

242

1章

式の計算

チェック3 式による証明
例題

連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。このことを証明しなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••整数nを使って連続する2つの奇数を 2n-1，2n+1 と表し，問題に沿って計算する。

解

(証明)

nを整数とすると，連続する2つの奇数は，2n-1，2n+1と表すことができる。
それらの積に1を加えた数は，(2n-1)(2n+1)+1=4n2=(2n)2nは整数だから，2n は偶数である。
したがって，連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。
確認問題３「連続する2つの奇数では，大きいほうの奇数の平方から小さいほうの奇数の平方をひいた差は8の倍数になる」ことを，次のように証明した。〔〕にあてはまる式を書きなさい。

（証明） nを整数とすると，連続する2つの奇数は，小さい順に〔ア〕，2n+1と表すことができる。
大きいほうの奇数の平方から小さいほうの奇数の平方をひいた差は(2n+1)2〔イ〕=4n2+4n+1-(〔ウ=4n2+4n+1-4n2+〔エ=〔オ〕)〕〕

nは整数だから，8n は8の倍数である。

したがって，連続する2つの奇数では，大きいほうの奇数の平方から小さいほうの奇数の平方をひいた差は8の倍数になる。

チェック4 図形の性質の証明
例題

1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。

この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

小さい正方形の面積，大きい正方形の面積，図の点線で囲まれた正方形の1辺の長さ¾を，それぞれpやaを使って表す。

(証明)

ap

小さい正方形の面積は p2，大きい正方形の面積は (p+2a)2，点線で囲まれた正方形の1辺の長さは p+a と表される。

(道の面積)=(大きい正方形の面積)-(小さい正方形の面積) で求められるから，S=(p+2a)2-p2=p2+4ap+4a2-p2=4ap+4a2…①

また，¾=4(p+a) だから，a¾=a*4(p+a)=4ap+4a2…②①，②から，S=a¾
確認問題４

縦の長さがp，横の長さがqの長方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表されることを次のように証明した。〔(証明)(道の面積)=(〔ア〕にあてはまるものを答えなさい。

だから，S=(p+2a)(q+2a)-〔イまた，¾=2(〔ウa¾=a(〔エ①，②から〕)-(小さい長方形の面積)〕=2ap+2aq+4a2〕)+2(q+a)=2p+2q+4a だから，〕)=2ap+2aq+4a2

pq

a

¾

…①…②S=a¾25

1章式の計算

練単元３1

1 共通な因数⑴ x -xy〕⑷ 3ax-9bx+15cx〔⑴ x +6x+5

単元３3〕

x2+2x-48

22〔⑻ a2-6ab-16b2〕⑴ x2+4x+4〕⑷ x -2x+1〔〔〕⑺ x +22x+121

2⑴ x -36〔⑷ 49x -4〔

5 いろいろな式の因数分解⑷ 2ax2-2ax-84a〔
26〔⑸ a -14a+49〔⑻ 16x +8x+1〕〔〕〔⑸ 4x -9y2〕〕⑸ 4x2-16y2
〔

〔〕

〔〕

t2+18t+81⑹

x -12xy+36y〔2〕

2〔〕

〔〕

〔〕

⑼ 9x -30x+25⑶

9x2-16⑹64x -25y〕〕⑵ 4x2+20x+24〔〕

x2-15xy+54y2〕

次の式を因数分解しなさい。

〕

〔22〔〕

⑶〕〕

2〕

⑵ x2-1212〔x -3x-70

次の式を因数分解しなさい。

23x -9x-12⑹次の式を因数分解しなさい。

〕

2⑴a2-8a+7⑼2〔

4 x -a の因数分解2⑶〕2212〔〕⑵ x2+8x+16〔

単元３5⑸ a -a-20

3 x +2ax+a や x -2ax+a の因数分解
2

2

単元３
4〔

12x y-xyz-4xy2〕

2〔2⑹⑵ x2+9x+82〔〔〔

次の式を因数分解しなさい。

〕⑷ x -10x+24〕

2〕

2〔

4a b-16ab +12ab2

その⑶ 2xyz-8yz2〔⑸

2 x +(a+b)x+ab の因数分解⑺

題⑵ ax+3ay

〔

単元３2

問

次の式を因数分解しなさい。

22習

22〔〕

⑶ 3x2-24x+48〕
⑹〕

〔〕

〔〕

9a2b-4bc2

1章

練
単元４
1

1 計算の工夫⑴ 85 -152⑷ 97⑵〔〕

22 式の値問

題

その次の式を，工夫して計算しなさい。

2〔
単元４2

習372-272〕⑸ 57*63〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

104*96

⑹

〔

21032

⑶

〔式の計算〕

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=-12，y=3 のとき，x(x+6y)+(x-2y)(x-4y)⑵ x=84 のとき，x +12x+36
2⑶ x=6.5，y=4 のとき，4x -9y2

単元４323 式による証明 「連続する2つの整数では，大きいほうの整数の平方から2つの整数の和をひいた差は，小さいほうの整数の平方に等しい」ことを，次のように証明した。にあてはまる式を書きなさい。

（証明） nを整数とすると，連続する2つの整数は，小さい順にn，アと表すことができる。

大きいほうの整数の平方から2つの整数の和をひいた差は，
イ

単元４4｛n+(ウ)｝==エ-(2n+1)

ア〔〕

したがって，2つの続いた整数では，大きいほうの整数の平方か

イ〔〕

ら2つの整数の和をひいた差は，小さいほうの整数の平方に等し

ウ〔〕

い。

エ〔〕

オ〔〕

4 図形の性質の証明

オ¾

右の図のように，線分 AB の中点をＯとし，半径 OA の円をかく。さらに，AC=a となる点Ｃを OA 上にとり，半径 OC の円をかく。

OC の長さをr，点Ｏを中心として，AC の中点を通る円の周の長さを ¾ ，影の部分の面積を S とすると， S =a¾ となることを証明しなさい。

ACar O

B27

1章式の計算Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 18x2-27xy+9x〔⑷⑵ x2+7x+12〕44
a2- a+39〕⑺ 3x y+33xy+72y2

8x2-72〔〕〔⑵

112-122+132⑷

93 +2*93*7+7〕

〔〕

2〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

(x-y) -20(x-y)+100〕⑴ 5.9*357+5.9*643〕2⑼〔2 次の式を，工夫して計算しなさい。

⑶ 1004*996

単元４22〔⑹ (x+y)2-36〕⑻ (2x-1) -(x+6)
2〔
単元４1〕

1x2-5xy-36y2⑶〔⑸〔その23 次の式の値を求めなさい。

⑴ x=32 のとき，(6-x)(6+x)+(x-4)(x+3)⑵ x=5，y=10 のとき，16x +24xy+9y2

2⑶ x=17，y=12 のとき，x y-5xy-14y2

単元４
3

4 連続する2つの偶数では，大きいほうの偶数の2乗から小さいほうの偶数の2乗をひいた差は4の倍数になる。このことを証明しなさい。

28

1章

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 24x2+16xy〔⑸〔〕⑺ x +6xy+9y22〔〕t1
9 64
2(x+y) -12(x+y)+32〕⑴ 1.052⑶

913 -26*913+13〔⑵

552*3.14-452*3.14⑷25 -24 +23 -21〕

2〔22〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

⑼ (a-b)x-(b-a)

22 次の式を，工夫して計算しなさい。

2〕〔

21x2+ x+3
9⑹〔〕2⑶ a2b-4b〔⑻〔単元４1⑵ 5x2+10x-120〕⑷ 4x2-25y2

その式の計算22〕

3 次の問いに答えなさい。

⑴ x2+y2=(x+y)2-2xy となることを利用して，x+y=4，xy=-2 のときの，x2+y2 の値を求めなさい。

⑵⑶単元４4x+y=-1，xy=-6 のとき，x +y の値を求めなさい。
2〔〕

〔〕

〔〕

2x+y=-6，xy=1 のとき，(x-y)2 の値を求めなさい。

4 1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついてい¾る。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを¾とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。

pa29