My related works: S.N.-Seo-Sin-Yogendran,hep-th/0611021 and arXiv:0708.2818
and S.N. arXiv:0711.1601

Shin Nakamura
Asia Pacific Center for TheoreticalPhysics (APCTP)

Baryon Chemical Potential in
AdS/CFTこのような問題に AdS/CFT を用いたらどうか。

• 時間発展する系.
• 大きなサイズの系.
• 2222• 有限 baryon 密度 (有限化学 potential) の系.

しかし、残念ながら技術的に難しい計算も存在する：

Lattice QCD: 第一原理に基づく計算

quark-hadron 系の興味深い現象は強結合領域に存在する場合が多く、その場合、QCDの非摂動的解析が必要となる。
(例: RHIC quark-gluon plasma)動機

では、何が理解され、何が問題として残ってでは、何が理解され、何が問題として残っているのかして残っているのか、いるのか、formalismの視点から概観の視点から概観してみたい。の視点から概観してみたい。

多くの成果が得られているものの、まだ完全な枠組みは完成していないと言える。

初期の論文：• Kim-Sin-Zahed (D4-D8-D8)• Horigome-Tanii (D4-D8-D8)• S.N.-Seo-Sin-Yogendran (D3-D7)• Kobayashi-Mateos-Matsuura-Myers-Thomson(KMMMT) (D3-D7)

Baryon化学ポテンシャルを導入する試みは2006年頃から始まった:

AdS/CFT におけるbaryon化学ポテンシャル

A

V (φ )-m2B

φB

φ 理論

3“trivial” vacuum“non-trivial” vacuum

B: Ф=ФB

2つの解:
A: Ф=0λ問題：この真空まわりの物理を記述したい。
問題：この真空まわりの物理を記述したい。
どうするか？

m2φ

φB =2m 2

1 2 2 1 3
V (φ ) = − m φ + λφ23!

アナロジー:
アナロジー Euclidean

AdS/CFTとは何か?

source termが存在。

φ の言葉では、場は期待値を持っている。
：一点関数、あるいは
Jφdynamical

2. “Trivial” vacuum周りの摂動論にsourceを加えたもの：

φ = φB + ϕ
dynamical
ϕ の言葉では、場は期待値を持たない。

1. “Non-trivial” vacuumまわりの摂動論：

2つの等価な方法:“Non-trivial” vacuumまわりの物理

J+J J＝+2..

無限個のdiagramの計算が、注目する真空を変えると一発で無限個のの計算が、注目する真空を変えると一発で出来てしまう例がある。

しかし、”non-trivial vacuum”まわりの摂動論で直接計算するとdiagramは単純。（一点関数は存在しない。）
例えば古典的2点関数であれば一つのdiagramで良い。

• 一点関数の挿入された無限種類のdiagramを足し合わせる必要がある。
• （もちろん、Jが小さい場合は、Jの高次を無視して構わない。）+

従って、``trivial vacuum”まわりで計算しようとすると

closed string のpropagator

弦理論(closed string)の一点関数:
D-brane一点関数の挿入が必要

D-brane弦理論では平坦な時空まわりの摂動論が整備されているので、これを用いて、曲った時空まわりの物理を記述してみる。

平坦な時空：(trivial vacuum)

曲った時空：ここではblack 3-brane solution(non-trivial vacuum)

超弦理論の(低エネルギーでは10次元の超重力理論超重力理論)
超重力理論 の2つの解：同じ事を超弦理論でやってみる。

+

+2.

AdS空間となる

YM理論に対するsourceはAdSの境界で与えられる。

曲った時空（ D-braneなし）でのdiagramによる単純計算

D-braneの自由度のみ取り出す操作(near-horizon limit)を行うと。。。。

D-brane上にはYM理論が存在する。

Aµ+平坦な時空で、D-braneの入った無限個のdiagramを扱う計算

つまり以下の二つの計算が等価になると考えられる

すると、得られた時空での「簡単な」計算が、YM理論における「複雑な」計算と等価な結果を与えてくれる。

3. D-brane上の自由度（YM理論）のみ取り出す極限(near-horizon limit)を、曲った時空に対して施す。

2. そのD-braneに対応する曲った時空をみつける。

1. 考えたいYM理論がその上に存在するようなD-braneのセットアップを考える。

教訓古典
gravitonのtree diagramの和 量子＝gluonのloop diagramの和

open string (gluon)がloopを描いている

closed string (graviton)がpropagateしている

String理論のcylinder diagram

YMの1-loop＝重力のtreeD3-brane

3+1 dim.

N=4 SYMAµAdS5 × S

5

対応する時空のnear-horizon limit• 重力側で高階微分補正を無視する
極限：YM理論側では強結合極限• 重力側で量子重力の効果を無視する極限：YM理論側ではlarge-Nc

最も標準的な例

Maldacena ‘97

conjecture

強結合量子ゲージ理論
強結合

Large ‘t Hooft coupling における4次元 large-Nc SU(Nc)
N=4 超対称Yang-Mills理論

10次元

5古典超重力理論
古典
AdS5 × S 空間上の古典(Weak version)

AdS/CFT=boundaryのある空間

AdS

外から（外場で）叩いて反応を見る＝ 外場(source)

場のモードのうち境界に近づくにつれて大きくなるモード（non-normalizable mode）「曲った空間」 の境界上の値D3-brane

3+1 dim.

Aµ

N=4 SYM

Dictionary (GKP-Witten)

重力理論の古典的作用（境界条件の関数）

Jで微分することで、conjugateなoperatorの期待値が求められる。

YM理論の有効作用

W ( J ) = S on− shell ( J )場の境界での値

Dictionary (GKP-Witten)

両者の違いは?

confinement / deconfinmentの2種類の解が存在する。

• （漸近的な）AdS空間にblack holeの存在する空間(AdS-BH)• AdS空間の時間方向を周期的にした空間(thermal AdS)

この境界条件でsupergravityの方程式を解くと、D-braneのnear-horizon limitに対応する曲った時空としてEuclid化し、時間方向をコンパクト化すれば良い。

有限温度の導入重力理論では、この間のtransitionはHawking-Page transitionとして知られている。（通常、1次相転移）

Deconfinement相• 高温領域で実現される。

AdS-BH• Free energyがO(Nc2)

Confinement相• 低温領域で実現される。

• Free energy（重力理論側ではon-shell作用）がO(1)Thermal AdS

有限温度の4次元、強結合 large-Nc
SU(Nc) N=4 SYM理論(deconfinement phase).

Witten ‘98

conjecture

AdS-ブラックホール×S5上の古典超重力

有限温度AdS/CFT=

4d SYM

quarkmq

複数のD7-braneを導入すると、複数のflavor :U(Nf)D3

Nf D7quarkを導入するには:flavor-braneを導入すればよい。

Dp-brane: (p+1)-dim. object

N=4 SYM 理論には fundamental quarkが入っていない。

Flavorの導入

AdS-BH

D7

D3

D7horizon

anti-quarkmesonmq

Meson

D7-braneの揺らぎ

gravity dual

4d SYMquark• Free energy～Flavor-brane action

flavor braneからの bulk gometry に対するback reactionを無視。 (～quenched 近似)• YM 理論: N=2 large-Nc SYM with quarks• Flavor branes: Nf D7-branes• Flavor 対称性: U(Nf)• Quark の質量: mq• Probe 近似 (Nc>>Nf)

ここで考えている系: D3-D7 system

Black-hole branch

Tc<T<Tdis

horizonsQGP-likeな相

1st order

Tdis<T

Mateos, Myers, and Thomson, hep-th/0605046
Albash, Filev, Johnson and Kundu, hep-th/0605088, hep-th/0605175
Karch and O'Bannon, hep-th/0605120

Deconfinement 相におけるquark-antiquark 結合状態のある種の “dissociation” 転移とも見なせる。

AdS-BH

D7(mesonのspectrumがgapを持つ) (mesonのspectrumがgap-less)

Minkowski branch

Deconfinement 相においてmeson系のさらなる相転移が存在

Kim-Sin-Zahed,2006/8; Horigome-Tanii,2006/8

conjugate
A0 on the flavor brane at the boudary of the geometry
U(1)B chemical potential

U(1)B charge: このU(1) ゲージ場に対する「電荷」

D7-brane上ではU(1)ゲージ対称性
ゲージ対称性にenhanceされている。
ゲージ対称性flavor 対称性の対角成分• もちろん flavor brane が必要（D7-brane)• U(1)B 対称性: U (  f ) ≅ U (1) B × SU (  f )有限 baryon数密度の導入

AdS-BH

D7D3D7horizon

電場A0: 化学ポテンシャル

mq

gravity dual

4d SYM電場
quark

stringの端点：電荷として働く

D7

ρ: 5次元方向コメント：「brane上の電場に逆らって、時空の境界から単位電荷を ρminまで持ってくるのに要する仕事」と言うことも出来るが「時空の境界から5次元方向に電荷を運ぶ」ことの物理的意味は不明。

Edρ A0′ρ-derivative

ρ mindρ Fρ 0 = A0 (∞) − A0 ( ρ min ) = ∫AdS-BH

boundaryρ minµ≡∫

S.N.-Seo-Sin-Yogendran, 2006/11, 2007/8
Kobayashi-Mateos-Matsuura「ゲージ不変」な定義として：
Myers-Thomson, 2006/11∞∞

化学ポテンシャルの定義についてboundarydt A0 ）この定義の方が、GKP-Wittenの処方から見て、より「自然」とも言える。

（より正確にはβ −1 ∫A0の絶対値そのものが化学ポテンシャルとしての意味を持つことができる。

Λ (t = 0) = Λ (t = β )A0 ( x) a A0 ( x) + ∂ 0 Λ ( x)有限温度(imaginary time)ではGhoroku-Ishihara-Nakamura (arXiv:0708.3706)
Karch-O’Bannon (arXiv:0709.0570)

境界上のA0のみで化学ポテンシャルを定義することもできる。

t=0

この条件を満たすように固定。

µ = A0 (∞) − A0 ( ρ min ) の流儀と差はない。

0 H

なるためには A

Horizon上では A0 dt という1-formがwell-definedにEuclideanではhorizon上で「時間」方向がshrinkする。

時空• Flavor braneがblack holeのhorizonに接している場合

この場合、 A0のconstant shiftはどのように固定されるのか？

このように、化学ポテンシャルの定義については、まだ議論の余地がある。

• Q=0では µ = A0 (∞) の定義は排除されない。
• 5次元空間上でのQの分布がnon-trivialな場合は化学ポテンシャルの定義はさらに複雑となる。

S.N. Prog.Theor.Phys.119(2008)51とconsistentに化学ポテンシャルを定義しようとすると• Q≠0でchargeがhorizonに最も近い場所に局在している
場合はµ = A0 (∞) − A0 ( ρ min ) の定義が自然。

F = Ω + µQ

∂F=µ∂Q T

Flavor braneがhorizonに接していない場合

dρ L( y, y′; A0′ )=Ω∂L= −Q
∂A0′「電荷」密度Gauss-law constraint:

ensembleにおけるgrand potential.

∂Ω= −Q∂µ T

quark 数密A0’(電場）の関数: 作用は grand canonicalL = ∫ dΩ3 det(G + 2πα ′F )

ρ min

S /( βV3 ) = ∫∞Flavor braneの作用（horizonに接する場合）:

熱統計力学は AdS/CFTでは古典電磁気学

F = Ω + µQ

重力理論側の古典電磁気学（の解析力学）

YM 理論側の熱統計力学“Hamiltonian” はcanonical ensemble
における Helmholtz 自由エネルギー 。

5次元方向を「時間」と思った場合の∂L
H = L − A0′∂A0′

Legendre 変換

バリオンchargeを担うobject（が3+1次元方向に均一分布した状況）を重力理論側で正確に記述できていない。

問題の原因：

しかし、少なくとも中村個人の意見としては、化学ポテンシャルとflavor brane上のA0の対応のさせ方に、まだ議論の余地があるように思われる。

このように、有限バリオン化学ポテンシャルにおけるAdS/CFTのformalismは整備されつつある。

• これらの多体系がflavor braneと相互作用している。
この多体問題を解かねばならない。（今後の課題）

quark : string
baryon: S5に巻きついたD5-brane

バリオンchargeを担うもの

quark Nc個のbound state：バリオン

Nc本の同じ向きの弦が終端することができる。

ここに巻きついたD5-brane

AdS5 × S
5バリオンとしてのD5-braneバリオンchargeが大きくなるとこの近似が破綻。

Nf/ Nc <<1、クエンチ近似に対応。

• ほとんどの解析は、flavor braneが周囲の時空に影響を及ぼさない近似（probe近似）のもとに行われている。

その他の課題• これらの多体系がflavor braneと相互作用している。
この多体問題を解かねばならない。（今後の課題）

quark : string
baryon: S5に巻きついたD5-brane

バリオンchargeを担うもの

• バリオン密度の導入方法については一定の理解が得られている。しかし、厳密に有限密度系を再現するためには技術的に解決しなければならない問題がまだ存在する。

• AdS/CFTは驚くべき対応関係ではあるが、非常に自然な考察とstring理論の注意深い解析の中から得られている。

まとめ

現在、これらの問題の解決に向けて、バリオンの影響を考慮した超重力の解を得る試みを行っている。

T

熱力学的不安定領域

Q

sQGP-like

QGP

注意：
この系ではconformal対称性のため、confinement/deconfinement転移温度はゼロ。
系は常に非閉じ込め相にある。

sQGP-like

QGP

T

D3-D7系の予備的な相図の概略µ• Large-Nc QCDの有限密度系で調べると面白い（調べても意味のある）現象は？

質問