KMI分野横断セミナー「時空の漸近構造、赤外発散、重力波」
2022年12月18日
於 名古屋大学

重力波のメモリー効果と時空の漸近対称性

石橋 明浩
近畿大理工

重力波の伝播
重力波源

重力波検出器（自由粒子の系）

メモリー効果： 重力波の「非振動的」振舞い
計量摂動（時空のゆらぎ）
自由粒子の系（重力波検出装置）

Before輻射バーストの通過に伴う自由粒子系の配置変化が元に戻らずいつまでも残る現象
Zel’dovich-Polnarev 74

Christodoulou 91

重力波

After

時間

メモリー効果の楽しみ １
I. メモリー効果 ⇒ 検出可能性
LISA
超大質量ブラックホールの合体からの重力波
e.g. Favata ‘10

DECIGO
GRBjet からの重力波
e.g. Sago Ioka Nakamura Yamazaki ‘04

Pulsar Timing Arrayによる制限
e.g. Wang et. al. ‘15

メモリー効果の楽しみ ２
II. 理論的側面
場の量子論との関係： 漸近対称性と軟粒子
非振動的効果軟（赤外）光子、軟重力子
ω → ０

Bondi-Metzner-Sachs(BMS) 対称性
Strominger-Zhiboedov ‘15

メモリー効果の楽しみ ２II. 理論的側面
ブラックホールの情報問題との関連性

重力波の伝播ブラックホール

BH

無限遠方の観測者
漸近対称性

漸近対称性が、ブラックホールのもつ自由度を、軟重力子として記述する可能性。
Hawking-Perry-Strominger ‘16非振動的効果

軟（赤外）光子、軟重力子
ω → ０

お話しすること

Bondi-Metzner-Sachs(BMS) 対称性

Transitions between “vacuua”
E → ０メモリー効果メモリー効果： 重力波の「非振動的」振舞い
計量摂動（時空のゆらぎ）
自由粒子の系（重力波検出装置）

Before輻射バーストの通過に伴う自由粒子系の配置変化が元に戻らずいつまでも残る現象
Zel’dovich-Polnarev 74

Christodoulou 91

重力波After時間

漸近平坦時空のペンローズ図
光的無限遠は、遠方の理想的な観測者+GW

検出器の世界線

GW
0

２次元図

３次元図

-漸近平坦時空のペンローズ図
光的無限遠は、遠方の理想的な観測者
重力波検出器（自由粒子）の世界線

ＧＷ検出器

自由粒子の系（重力波検出器）

重力波検出器は、実質的に光的無限遠に位置するとみなす。

メモリー効果
自由粒子の系重力波メモリー効果の具体的計算例

Minkowski 時空＋重力波摂動
アインシュタイン方程式＋ゲージ条件
源項

グリーン関数グリーン関数の形
δ-関数の積分⇒ ステップ関数

測地線偏差の式
摂動
位置変化に対する曲率テンソル

(偶数次元)
Leading-order term は δ-関数の微分．

D=6( ここでD=8
積分をしても、輻射と同じオーダーではステップ関数は現れない．

メモリー効果はない)

4D と D > 4 の違い
輻射の振る舞い：
静的（クーロン的）部分の振る舞い：
どちらも輻射と同じオーダーでのメモリー効果
メモリー効果なし

c.f. subleading メモリーPate-Raclariu-Strominger 1712.01204

Scalar wave
E.O.M
SourceSolution (Lienard-Wiechert)

試験粒子にはたらく力

力積
SourceScalar wave

試験粒子

Scalar memory“Momentum(velocity) kick”“Change of mass”
No velocity kick,No change of mass in leading order
Velocity kick で試験粒子は動径方向に変化

天球
Scalar 波の通過
試験粒子にはたらく力

力積
SourceScalar wave

試験粒子

Electromagnetic wave
E.O.M
Solution (Lienard-Wiechert)

Electromagnetic field

試験電荷にはたらく力

力積
SourceElectromagneticwave
天球面への射影テンソル
試験粒子

Electromagnetic memory： 天球面に接する方向に位置が変化し，そのまま残る： No memory effect

Velocity kick は天球面に接する方向

天球
電磁波の通過試験電荷にはたらく力

力積
SourceElectromagneticwave
天球面への射影テンソル
試験粒子

漸近対称性： BMS対称性
Bondi-van der Burg-Metzner 62
Sachs 62

漸近平坦時空の漸近対称性 Asymptotic Symmetry
於時空内部の対称性

光的無限遠方での漸近対称性
於Killing vector

は、Killing ベクトルである必要はない。

どの様な速さでとなるべきかは、決まる。

での境界条件で光的無限遠での漸近平坦性をどのように定義すべきか？
I.

漸近条件（境界条件）は十分に一般的であるべき重力波などのダイナミクスを許す程度には一般的な条件設定にする

II.

漸近条件（境界条件）は十分に強いものであるべきエネルギーなどの物理量が良設定となるようにある程度の対称性を許す程度には強い条件設定にする

光的無限遠での境界条件“安定”+“不安定”+

重力波
境界条件：

は、輻射のもとでも正則かつ光的で安定であれ漸近平坦性と整合
Geroch - Xanthopoulos ‘78

漸近平坦時空の漸近対称性 Asymptotic Symmetry
D ＝4 Minkowski 時空の例：

光的無限遠方での漸近対称性

時空内部の対称性

BMS 対称性Poincare 対称性

無限次元の群10 パラメーター• 並進対称性4• Super translations （超並進）-• ローレンツ変換6～の光的生成子をその上へ移す- 角度依存並進・ ローレンツ群～ BMS/supertranslations

2次元平面の例
が定数のときは並進対称性

が座標の関数のとき, 一般には対称性にならないMinkowski symmetry
Poincare symmetry

Asymptotic symmetry at null infinity
BMS symmetry
Supertranslations

Lorentz transf. Translations

無限次元角度依存並進光的ガウス (Bondi-型) 座標

Supertranslations (超並進対称性）の生成子：（ただし、の断面上の任意関数（ 角度座標）
球面調和関数の場合 ⇒ 通常の並進対称性）

空間回転対称性の生成子：上のKilling vector

Lorentz 対称性の生成子

:
（c.f.

: より一般の関数 ⇒の球面調和関数 ⇒: Conf. Killing: Superrotations(Virasoro)やDiff.生成子)

光的無限遠での境界条件近傍でGNC成分をについてべき展開

アインシュタイン方程式に代入し、係数間の関係を得る
高次も含めた境界条件

メモリー効果と Supertranslations ()べき展開解析より

曲率テンソルはG.W.
測地線偏差の方程式

ここで displacement テンソルはを積分

メモリー効果と Supertranslations ()偏移テンソル :：上の微分演算子

偏移 :は、メモリー効果の“ポテンシャル”

重力波

BMS超並進対称性と縮退した真空(1)

断 生成子の通常の並進(2)の生成子の角度依存並進の線形結合

超並進対称性

通常の並進で結びつく断面共に接続（共変微分）について“ひずみ”なし（shear-free)： 「同じ真空」
真空：についての曲率が自明

BMS超並進で結びつく断面
は新しい接続について
ひずみのない断面： 「異なる真空」
BMS生成子による真空の縮退メモリー効果BMS生成子縮退した真空軟（赤外）光子、軟重力子
ω → ０

BMS対称性Transitions between “vacuua”
E → ０輻射のエネルギー流と News

輻射のエネルギー流
輻射R. Penrose“Relativity, groups andtopology” 1964

光的ガウス (Bondi-型) 座標

News tensor

輻射のエネルギー流

Bondi flux = “hard” charge“soft” charge

重力波Hollands-AI-Wald ‘17
Satishchandran-Wald ‘19

BMS対称性の拡張

Minkowski symmetry
Poincare symmetry

Asymptotic symmetry at null infinity
BMS symmetry
Supertranslations

無限次元角度依存並進

Lorentz transf. Translations

Poincare symmetry

Extended BMS 1
Supertranslations•d >4 Soft-theorem との整合性を重視•

漸近構造の安定性とHamiltonian の存在⇒ No Supertranslations•

Conserved charges : well-defined

Extended BMS 3⇒ 緩い漸近条件（d=4 の条件と実質同じ）•

Conserved charges : ill-defined

Extended BMS 2
Superrotations•

Supertranslations•: Locally defined Virasoro vector on⇒ Singular, Infinite dim.
d > 4 への拡張は不可•

Conserved charges : ill-definedSupertranslations••: CKVでなくともよい
d > 4 へ拡張可（漸近条件を緩める必要有）⇒ d >4 Soft-theorem と整合可能•

Conserved charges : ill-defined⇒ (add counter-terms?)

メモリー効果と重力波のエントロピー

粒子の散乱による重力波放射

重力波

重力波

粒子の４元運動量

粒子の散乱による重力波放射

重力波
散乱粒子の“確率分布”！？

c.f. von Neumann エントロピー
BMS 超並進の生成ポテンシャル

偏移テンソル : 情報量（?）

重力波

まとめ

まとめ： 重力波メモリーと漸近対称性• 一般相対論の孤立系 ＝ 漸近平坦時空と光的無限遠• 漸近対称性＝＝ ＢＭＳ超並進を含む無限次元の対称性（の断面）上の任意関数＝ BMS超並進対称性の生成 “ポテンシャル”＝ 重力波メモリー効果の“ポテンシャル”
No Supertranslations ⇒ No memory＝ 重力波の“エントロピー”⇒ 情報理論的な考察も必要（？）

まとめ： 重力波メモリーと漸近対称性• 一般相対論の孤立系 ＝ 漸近平坦時空と光的無限遠• 漸近対称性＝ ＢＭＳ超並進を含む無限次元の対称性• 場の量子論における軟（赤外）粒子やブラックホールの情報問題との示唆的関係。
• 重力波の物理は、観測・理論の深まりとともに、天文天体物理や一般相対論の枠組みを越えた視界の拡がりも見せ始めている。

Back up

光的無限遠での境界条件 １ （線形摂動）
高次元（偶数）D > 4

線形摂動に対する条件

D=d

光的

D > 4 に特有
Hollands-AI 05c.f.

in D ＝ 4

BMS Supertranslations?
D > 4 に特有の境界条件を考えよう：
により生成される摂動が上の境界条件を満たすためには!
：上の微分演算子

D＞4

右辺は零D＝4零でなくてよい！
上の任意の球面調和関数が許される⇒ 無限次元の並進対称性 super-translations

BMS Supertranslations?
D > 4 に特有の境界条件を考えよう：
により生成される摂動が上の境界条件を満たすためには!
：上の微分演算子
右辺は零

D＞4のみ満たす !
上の球面調和関数の方程式と比較

BMS Supertranslations?
D > 4 に特有の境界条件を考えよう：
により生成される摂動が上の境界条件を満たすためには!
：上の微分演算子

D＞4：の球面調和関数でなければならない（：は通常の時間並進対称性に対応）

角度依存は許さない: d 個の独立な並進対称性のみ

2種類のメモリー効果

+Oridinary Memory (c.f. 線形メモリー)+輻射バースト-Zel’dovich-Polnarev 74

エネルギー・運動量の殆ど
時間的過去 - から未来 +へ
物体・粒子により運ばれる+

Null Memory (c.f. 非線形メモリー)+

Christodoulou 91

エネルギー・運動量は主に
輻射（光的粒子）により
光的未来へ運ばれる
初期データ
-

+

Null Memory (c.f. 非線形メモリー)
Christodoulou 91+

エネルギー・運動量は主に
輻射（光的粒子）により
光的未来へ運ばれる-

光的粒子