格子ＱＣＤによるＱＧＰ研究
状態方程式、遮蔽効果、磁場質量と空間方向ストリングテンション

高知大学総合情報センター 斎藤卓也
九大若手研究会2008

内容
1.
2.

3.

4.

5.

はじめに：閉じ込め問題とＱＧＰ
状態方程式の計算
1. 格子計算
2. T_cの決定
3. 摂動計算との比較
カラー遮蔽
1. エネルギーの階層性
2. 遮蔽ポテンシャル
3. 磁場遮蔽質量4. 摂動計算との比較
磁場質量と空間方向ストリングテンション
1. 熱摂動論における赤外発散
2. 消えない空間方向線形弦張力
3. クーロンゲージでの例
4. ＭＡゲージでの例
5. その他の関連事項
まとめ

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閉じ込め問題とＱＧＰ
1.

ＲＨＩＣでのＱＧＰの発見
sQGP, 完全流体、ジェットクエンチング、など。

2.

ＱＧＰ研究の目的
1.
2.
3.

ＱＣＤの理論的検証
非閉じ込め領域でのＱＣＤ
非摂動論的特徴の理解
閉じ込め構造、カイラル対称性
新しい物質の特徴の理論的理解
ＱＧＰ中でのハドロン物質、クォークとグルーオンの力学、カラー遮蔽効果

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格子ＱＣＤ計算による熱力学

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状態方程式（１）:計算方法
Basic relation

T 2  ln Z (T ,V )Tf   ln Z (T , V )  V
TVpf

On the lattice1
 Nt aTV  ( N s a )3Integral Method


f'

Nd

 S0  ST s 
4T 0
0G.Boyd, NPB469(1996), 419

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状態方程式（２）:クエンチ近似
ウイルソン作用クエンチ近似（動的クォー
ク効果を含まない）連続極限理想気体の極限とは１５％の差がある
Thermodynamics ofSU(3) lattice gauge
theory: G. Boyd, et. Al,NPB469(1996)419

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状態方程式（３）:クエンチ改良作用
岩崎型改良作用クエンチ近似（動的クォーク効果を含まない）
連続極限
ウイルソン作用とは一致する
SBとは一致しない
Equation of state for pureSU(3) gauge theory withremormalization group
impoved action, M.
Okamoto, et. al,
PRD60,094510(1999)
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状態方程式（４）：クエンチ非等方格子

非等方格子クエンチ近似（動的クォーク効果を含まない）
連続極限
SBとは一致しない

Thermodynamics of SU(3)gauge theory on anisotropic
lattice, Y. Namekawa, et. al,
PRD64,074507(2001)

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状態方程式（５）：cut-off error

246





3p30

1

12
(N 1) 1        O   
4T 63  N t  3  N t  N t  

G.Boyd, NPB469(1996)419, Karsch, PoS(Lattice2007) 026
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臨界温度(1)Susceptibility for the Polyakov lineL( x )  U t ( x ,0)U t ( x ,1)...U t ( x , N t  1)
TrL ~ e FqT

  0  Fq  , confinement 0  Fq  , deconfinementL  L2  L ( x, t )U t ( x , Nt )2

U t ( x ,1)

 ( x ,0)

例：Y.IwasakiＰＲＤ56(1997)151より
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臨界温度(2):クエンチ近似
Lattice Action

Tc / Reference

1x1plaquette action

0.625(3)(4)

G.Boyd,NPB469(1996),4
19

1x2,2x2,1x2 tadpole
improved action

0.630(5)B.Beinlich,EPJC6(1999),133

RG (Iwasaki) improved
action0.656(4)

Y.Iwasaki, PRD56(1997),
151

RG(Iwasaki) improved
action0.650(5)

M.Okamoto,
PRD60(1999), 094510

1x1 plaquette on an
anisotropic lattice0.635(10)Y.Namekawa,PRD64(2001), 074507

If   420MeV, Tc  263 ~ 276MeV
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状態方程式(６):動的クォーク
Improved staggered fermion
Energy and pressure
The pion mass 220MeV

QCD equation of state withalmost physical quark masses
PRD77,014511(2008)

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状態方程式(７):動的クォーク
Improved staggered fermion
Entropy
The pion mass 220MeV

QCD equation of state withalmost physical quark masses
PRD77,014511(2008)

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臨界温度(３):動的クォーク
Improved staggered action, physical quark mass
Chiral susceptibility

T 2 log Z2
V mud Tc (  )  151(3)(3)MeV

Quark number susceptibilitys1 2
log Z Tc (  s )  175(2)(4)MeV
22TTV  s 0s

Polyakov loopP L

 Tc ( P)  176(3)(4)MeV

The QCD transition temperature: Results with physicalmasses in the continuum limit, Y. Aoki, PLB643(2006)46.
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臨界温度(４):動的クォーク
Nf=2, improved wilson,
Nt=8,10BornyakovPosLat2005,157(2006),
Chiraldeconfinement

Nf=2, improved wilson, nt=4,6Y.Maezawa,JPG34:S651
Nf=2+1, improved staggered, nt=4,6,8C.Bernard,PRD71,034504(2005)
Nf=2+1, improved staggered, nt=4,6M.Cheng,PRD74,054507(2006)
Nf=2+1, staggered(stout), nt=4,6,8,10
Y.Aoki,PLB643,46(2006)

chiral+deconfinement

Recent lattice results on finite temperature anddentiy QCD, part II, Karsch, PoS (2007) 015 より。

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HTL近似と格子計算

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熱場摂動論とHTL近似
１９８０ごろ、熱場摂動論や赤外発散の議論。 (A.D. Linde, PLB 96, 289;
D.J.Gross, R.D.Pisarski and L.G.Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53,43)
１９８９、硬熱ループ予加算法。(Braaten and R.D. Pisarski, PRL. 64, 1338)

１９９３、理論の２次近似の電場（デバイ）質量の計算。
(A.K. Rebhan, PRD.48,3967, NPB 430, 319)
１９９９、自由エネルギーなどの格子ゲージシミュレーションとHTLとの比較を行い、よい結果を得ている (J.-P.Blaizot, E.Iancu,A.Rebhan,
PRL 83,2139. , J. O. Andersen, E. Bratten, M. Strickland.,PRL83,2906.)
２００２、２ループでのHTL計算は収束性がよくない。（J.O.Andersen,
E.Braaten, E. Petitgirard and M.Strickland PRD６６, 085016.）

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格子QCD計算とHTL近似
１）自由エネルギー

J.O.Andersen, E.Braaten, and M. Strickland
PRL,83,2139 (1999)

摂動論
2ループβ関数：  ~ 2T  ~ TC
収束が悪い
繰り込み点に関数依存性が大きい
HTL摂動理論（1ループ）
2ループβ関数： ~ 2T , 3mg（ｍｇはデバイ質量）

T/Tc=1～５において格子計算の結果と同じ符合を示し、その違いはそれほど大きくはない。
繰り込み点に関する依存性もそれほど大きくはない。
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白抜き：もともとの摂動
塗りつぶし：HTL自由エネルギー
ひし形の点：格子シミュレーション

２）

エントロピー・圧力

J.-P Blaizot, E. Iancu, A. Rebhan,
PRL,83,2906(1999)、PLBB470,181(1999)

HTL再加算法

T/Tc>2において格子計算の結果を再現している。RHICやLHCで実現されるであろう温度領域でよい結果となっている。

先のJ.O.Andersen, et al.の結果よりも格子計算に近い値がでている。（計算方法が違う）
J.O.Anderson, et al（圧力）

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３）２ループでのHTL計算
J.O.Andersen, E.Braaten, E.Petitgirard,
HTL摂動理論（２ループ）

M.Strickland, PRD66,085016(2002)

2ループβ関数：  ~ 2T  0.65TC

薄いグレー：LO HTLpt
濃いグレー：NLO HTL.pt

収束性と繰り込み点依存性はよい
格子計算との違いが大きい格子計算による

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HTL resummationとHTL perturbation theory(?)
HTL resummation

HTL perturbation theory 2loop が出発点

Screened pertubation theory

スタート地点は、HTL伝播関数、ｍD

スタート地点は、HTL伝播関数、ｍD 2loop がゲージ依存性をもつ

オーダー毎でゲージ依存性を示す

2-loop Φ-derivativeがやりにくい 2loop をスタート地点にしているので熱力学的量の計算には良い。しかし、他の量は計算できない。

熱力学的物理量やQGPに関するさまざまな量を計算することができる。
そもそもの摂動論と同様な制限を持つ。
Φ-derivativeよりもやりやすい。しかしΣの計算の仕方が大変？

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カラー遮蔽クォークポテン
シャルの計算九大若手研究会2008

Color screening effect Electric (Debye) screening

V (r ) ~e

2 mD rrT 01
1mD2 ~ ( N  N f ) g 2 (T )T 2
32

 Magnetic screening
Infrared cut-off to the thermal QCD theory (Linde 1982)
Not screened at leading order, it starts at g^2
Not accessible by the perturbation, non-perturbative origin
3d reduction argument predicts a magnetic scaling ~ g^2TEnergy Hierarchy

T , gT , g 2T , 

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T 0Screening masses on the lattice Gluon propagator with gauge fixing

1Gg ( p ) ~ 2
 C exp(  E ( p) z ) at large distances
2p m Polyakov line correlator

exp(  Fq ,q )  L(r ) L†(0)  exp( exp( 2me r ) V (r )  C
r九大若手研究会2008

V (r ))
TPolyakov line ( x, t )Polyakov line
1  a a t
A(x,t)0 i t ( x , t )  0





U t ( x , Nt )

t

a a 
 ( x , t )  T exp i  dt 't A0 ( x , t ')  ( x ,0)0~ L( x ) ( x,0)L( x )  U t ( x ,0)U t ( x ,1)...U t ( x , N t  1)

Order parameter in pure gauge theory

TrL ~ e FqT

  0  Fq  , confinement 0  Fq  , deconfinement
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U t ( x ,1) ( x ,0)

Correlators in color channels
1) Polyakov line

L( R ) 2) QQ

1
Tr tNt1U 0 ( R, t )Nc

3  3  1 8e Vca ( R ) / T 

TrL(R)TrL  (0)TrL(0)e V1 ( R ) / T  3

2TrL(R)L  (0)TrL(0)2eV8 ( R ) / T V ( R) ~ C (T )

 V ( R ) ~ C (T )exp( 2me (T ) R)R

exp(  me (T ) R )R

8 TrL(R)TrL (0) 3 TrL(R)L (0)2298
TrL(0)
TrL(0)(S.Nadkarni,PRD33,3738;PRD34,3904)
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Color average(attractive）

Singlet（attractive）

C   Ti  T ji jC43C16Octet（repulsive）

Correlators in color channels3) QQ

33  63eVca ( R ) / T

TrL(0)
Ve syme( R) /TVantisym ( R ) / TC   Ti  T j

TrL(R)TrL (0)

i j

2

Coloraverage（attractive）

3 TrL(R)TrL (0) 3 TrL(R)L(0)244 TrL(0) 2
TrL(0)

Symmetric（repulsive）

C

1
33 TrL(R)TrL (0) 3 TrL(R)L(0)2
22 TrL(0) 2
TrL(0)

Antisymmetric（attractive）

C23

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Color-singlet channele V1 ( R ) / T  3

TrL(R)L  (0)TrL(0)2

 V ( R ) ~ C (T )exp(  me (T ) R )R

カラー一重項チャネルを計算してみると、カラー平均チャネルより強い（遠距離に届く）ポテンシャルを生むことがわかる。
ただし、そのポリヤコフ相関関数はゲージ不変でなく、ゲージ固定が必要。

Kaczmarek, et. al, PLB548(2002)41
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By dynamical quark simulation
2-flavor QCD simulation
同様な遮蔽効果を示す。

Kaczemarek, Ejiri, Karsh,
Laermann, hep-lat/0312015

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Several color channels ( 2 quarks )We have calculated
singlet, octet, symmetricand antisymmetricpotentials; they arescreened at finite T.
Singlet andantisymmetric channels
show an attractive force.
Octet and symmetricchannels show a repulsiveforce.
Attractive channels
show the long-range
potentials

PTP111(2004)733,112(2004)183

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T dependence of qq potentials

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T dependence of qq potentials

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3-body quark potential
3  3  3  1  8  8 10e mr
V ( R) ~ Cr

C1  2
C8  1
2

C10  1
Heavy quark free energies for three quark systems at finite temperature
K.Huber, et. al, PRD77,074504(2008)

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3-body quark potential

1QQQ

Fand 3(F  FQ )3QQ

106FQQQ
and 3(FQQ FQ )

Heavy quark free energies for three quark systems at finite temperature
K.Huber, et. al, PRD77,074504(2008)
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グルーオン遮蔽質量

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Ｇｌｕｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ
PropagatorsG (z)  TrA (z)A (0) Electric and magnetic propagator22
,0,0, z )  Gtt (0,,0, z )
Nx
Ny2
2
Gm ( p, z ) ~ G yy (,0,0, z )  Gxx (0,,0, z )NxNyGe ( p, z ) ~ Gtt (Fit data at large distances Z>1/TGe( m) ( z )  c  e

 Ee ( m ) ( p ) zG(z )z  1/ T距離
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Electric propagators
G( z) ~ e( p 2  m2 ) ZFinite mass
Difference
above/below
T_c

Stochastic Lorentz-type gauge
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A.Nakamura Phys.Rev. D69(2004) 014506

Magnetic propagators
FinitemassDifference
above/below
T_cNegative
spectrum atshort Z

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Gauge parameter dependence

Gaugedependence isLittle

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Temperature dependence
T/Tc=1.0~6.0（RHIC、LHC)HTLLOPFIT Magnetic mass isfinite
gT,g^2T scaling
HTL improves
LOP.

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Higher temperatureTemperature
regions:
T/Tc=1.0~16.0
Magnetic mass
is sensitive to thevolume size.

Ce  1.69(4),  2  0.66
Cm  0.549(16),  2  1.27

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Screening mass fromsinglet potential
We assume for the
singlet potential,exp(me R)
V1 ( R) / T  CRRT > 1
Screening mass fitted by
one-gluon exchange
screened potential isconsistent with obtainedfrom the gluon prop.

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Another approach for screening mass
Extraction from Polyakovcorrelator (gauge invariant)Euclidean time reflection andcharge conjugation enable us toclassify the PL correlator toelectric and magnetic
Nf=2, improved wilson action

Y.Maezawa, et.al, hep-lat0811.0426v1

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磁場質量と空間方向のストリングテンション

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Infrared mode of QGP
Scales in QGP
1/ T ,1/ gT ,1/ g 2T

Torus of 1/T
Infrared singularity of QGP
Gluon0  00  0QuarkNonstatic gluon and quark are very heavy (Appelquist decoupling )3d-reduction argument may well describe a long-distance physics of QGP
S3E   d 3 x



2122
TrFF

TrD,A
mTrA


TrA

ij iji0
D0
A0
g E2

g E2  g 2T

Magnetic scaling
S3   d 3 x

1
TrFij Fij2
g3

g32  g 2T

T.Appelquist,R.Pisarski,PRD23,2305(1981),M.Cheng, PRD78,034506(2008)
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Spatial Wilson loop
 Spatial Wilson loop
Area law behavior even above T_cW ( R, S ) ~ e  s RSwhere R and S are spatial extent
We assume the fitting function with linear + Coulomb terms at large
distances, in order to obtain the spatial string tension
Spatial Wilson loop related to the spatial component may depend on thenon-vanishing thermal quantity. One assumes

 s (T )  Cm g 2 (T )TMagnetic element shows confining after the phase transition
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SU(2) case of the spatial string tension
G.S. Bali, et. al, PRL71,3059(1993)

W ( R, S ) ~ e s RS s (T )  Cm g (T )T

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2Spatial string tension in a dynamicalquark simulation (1)2+1 flavor QCD with physical quark massSpatial string tension scales as a magnetic mode and increases as Tincreases.
“The spatial string tension and dimensional reduction in QCD”, M.Cheng,PRD78,034506(2008)
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Spatial string tension in a dynamicalquark simulation(2)Spatial string tension
increases with T.

2 flavor QCD with RG improved gauge and clover-improved Wilson quark
“Heavy-quark free energy, Debye mass, and spatial string tension at finite
temperature in two flavor lattice QCD with Wilson quark action; Y.Maezawa,
PRD75,074501(2007)
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Example of Coulomb gauge
 In the Coulomb gauge QCD,
one can obtain a linearly risingpotential in the QGP phase.
(instantaneous mode) The non-vanishing string
tension is fitted by magnetic
scaling

Properties of color-Coulomb string
tension, Y. Nakagawa,
PRD73,094504(2006)

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T dep. of instantaneous string tension
Fitting function

T1 12Cg(T ) i (T )C ,   : free parameter T 1T b1  2b0 ln ln  2ln  2
g (T )
 b0     T Tc  b1 
 T Tc   2b0 ln   ln  2ln   Tc   b0  Tc   
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T dep. of instantaneous string tension
T1 1
,
2
 i (T ) C g (T )Two-parameter fit ( T/Tc=2-4 )C  0.735(18), Tc /   4.41(29),  2 / ndf  1.47
Spatial Wilson loop; two-parameter fit, ( NPB469 1996 410-444 )C  0.566(13), Tc /   9.6(8),  2 / ndf  ?
Spatial gluon propagator ( PRD69,014506,2004 )C  0.486(31)  0.549(16)九大若手研究会2008

Other examples
 MA-gauge
Wrapped monopole reproduces the spatial string tension: S.Ejiri,PLB376(1996)116

MA gauge

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Other topics on magnetic component in QGP
 Role of monopole, vortex, etc. in QGP (?)
Center vortices, the functional Schrodinger equation, and CSB.
J.M.Cornwall, arXiv:0812.0359 [hep-ph]
The role of monopoles in a Gluon Plasma.
C.Ratti, E. Shuryak, arXiv:0811.4174 [hep-ph]Physics of Strongly coupled Quark-Gluon Plasma.
E.Shuryak, arXiv:0807.3033 [hep-ph]Manifestations of magnetic vortices in equation of state of Yang-Mills plasma,
M.N.Chernodub, A. Nakamura, V.I. Zakharov, Phys.Rev.D78:074021,2008
Magnetic component of Yang-Mills plasma
M.N.Chernodub, V.I. Zakharov , Phys.Rev.Lett.98:082002,2007
Others
Equation of State of Gluon Plasma from a Fundamental Modular Region
D.Zwanziger, PRL94,182301(2005)
The spatial string tension, thermal phase transition, and AdS/QCD
O.Andreev, V.I.Zakharov, PLB645 (2007) 437

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Summary
1. Lattice cut-off effect of EOS has been studied.
2. The critical temperature is also re-estimated byseveral groups.
3. Screening potential, screened gluon
propagators, (thermal quark propagator) arestudied in the lattice simulations.
4. Spatial string tension in the QGP phase is also
re-calculated and that infrared mode may be
important for the understanding of the strongly
coupling QGP.
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