アルマデータ解析講習会

電波⼲渉計イメージング［ 中級編］永井 洋（国⽴天⽂台アルマプロジェクト）

︖
イメージングに⼊る前に︓
電波⼲渉計原理の「超」基礎教科書第3章, 4.2章, 4.3章

単⼀鏡の応答

望遠鏡の解像度（≒回折限界）

θ

⼝径︓D

θ = λ/D(λ︓観測波⻑)⼲渉計の応答
複数の望遠鏡を⽤いて開⼝合成することで、望遠鏡間の距離（基線⻑）と等価の開⼝を持った望遠鏡の解像度を得ることができる⇒基線⻑が前⾴のDに相当する

θ=λ/D

⼝径︓D
（ただし、合成開⼝は⽳ぼこだらけ。これが厄介。）

⼲渉計の基本観測⽅程式

North polev※厳密には天体から⾒て常に同⼀平⾯にアンテナ群が存在しているわけではないので、空間周波数を表現するにはuv⾯に直交する軸wが必要になる。しかし、wの影響は微々たるものなので、無視をしても実際の観測にはほとんど影響しない

uA︓アンテナの主ビーム応答、I: 天体の輝度分布、u, v: 空間周波数※より⼀般化すると、これはvan Citter-Zernikeの定理であり、単⼀鏡の応答も同様に記述できる（単⼀鏡⾯の照度分布のフーリエ変換が、主ビーム応答に相当する）

Credit: Synthesis Imaging in Radio Astronomy

現実的な観測
ビジビリティは(u, v)平⾯上の有限な点でサンプリングされる
アルマデータのuvカバレッジの例

右図の関数を、左図の点上でサンプリングするイメージ

現実的な観測測定されたビジビリティVʼは以下のように書くことができる

Vʼのフーリエ変換を考える

合成ビーム

uvカバレッジと合成ビーム

練習問題
ビジビリティと輝度分布の関係"

𝑉 𝑢 = $ 𝐼 𝑙 exp −2𝜋𝑖𝑢𝑙 𝑑𝑙!"に対して、輝度分布I(l)が以下の(1), (2)のとき、 𝒍𝟎 を⽤いてV(u)を表しなさい。

(1) 𝐼 𝑙 = 𝐼# δ(𝑙 − 𝑙# )(2) 𝐼 𝑙 = 𝐼# δ 𝑙 − 𝑙# + δ 𝑙 + 𝑙#ただし、δはデルタ関数を表し、I0は定数とする。

イメージングの基礎
計算機の中では、グリッディング・重み付け->フーリエ変換・deconvolutionという流れで演算を⾏っているが、説明の都合上、逆順で説明する。

Deconvolution（教科書4.6章）• ⼲渉計で得られる画像は、真の輝度分布に合成ビームを畳み込んだもの• 合成ビームの畳み込みを解き、真の輝度分布を再現する作業がdeconvolution• 注意︓有限のuv点でしかビジビリティを取得できていないので、デコンボリューションによって再現できる解は唯⼀ではない（観測⽅程式が正則条件を満たさない）。
• デコンボリューションの仕⽅を誤ると、間違った構造が再現される。
• つまり、事前知識が必要。
• 天体物理学的性質からの推論、経験則、過去の観測、etc.
• 参考︓最近話題のスパースモデリングでは、事前知識を⽤いることなく、最適な解を探し出すことができるので、⼈為的な影響をなくすことができるという意味で優れた⼿法である。再現したい天体画像上の多くのピクセル値がゼロであるという仮定のもと、観測⽅程式（⼲渉計の場合V(u, v) ⇔ I(l, m)のフーリエ変換の関係式）に適切な制約項を加えることで、式を正則化し、解を探す。

CLEAN（教科書4.7章）• Hogbom (1974)によって考案されたデコンボリューションアルゴリズム。
• 天体構造が点源の集合で表現できると仮定• Iterativeに点源の位置と強度を決めていき、最終的にCLEANビームと呼ばれるビームを点源の集合に畳み込むことで、輝度分布を再現する。
• CLEANビームは、合成ビームをガウシアンで近似したものを使うのが⼀般的（後述）。

CLEANを漫画で説明
Iobs: 観測された輝度分布b(l): 合成ビーム①②③④⑤① 最も明るい場所を探し、δ関数（CLEAN成分）を置く。
② CLEAN成分に合成ビームを畳み込み、Iobsから差し引く。次に明るい場所に別のCLEAN成分を置く。
③ ②で⽴てたCLEAN成分に合成ビームを畳み込んだものを使って、I1から差し引く。
次に明るい場所に別のCLEAN成分を置く。
④ 残差マップ上に顕著な成分が⾒えなくなるまで、上記操作を繰り返す。
⑤ CLEAN成分の集合に、CLEANビームを畳み込み、最終残差マップを⾜したものを、最終マップ（CLEANマップ）とする。ここで、CLEANビームとは、合成ビームに対してガウシアンフィットを⾏って得たビームである。

CLEANシミュレーション

uvカバレッジ

CLEANイメージ

0.5%のゲインで5回イタレーション

合成ビーム

輝度分布

輝度分布-CLEANイメージ

Fidelityイメージ

CLEANシミュレーション

0.5%のゲインで50回イタレーション

CLEANシミュレーション

0.5%のゲインで500回イタレーション

CLEANシミュレーション

0.5%のゲインで5000回イタレーション

Clark CLEAN（教科書4.7章）• Clark (1980)によって考案された⽅法で、FFTを使ったCLEANアルゴリズム。

• メジャーサイクルとマイナーサイクルの2つの過程からなり、メジャーサイクルではモデルイメージのフーリエ変換を⾏って、ビジビリティドメインでデータとモデルの差分を取る。マイナーサイクルではイメージドメインでモデルをbuild-upする（Hogbom CLEANと等価）。Hogbom CLEANは常にイメージ上での操作に対し、Clark CLEANは適切な間隔で、ビジビリティからresidual imageを再⽣成する。
• Residual visibilityからresidual imageを⽣成する際、グリッディング、重み付け、その他⾼次の効果を含めた再計算が⾏われるが、マイナーサイクルではこの点を無視している。

Clark CLEAN（教科書4.7章）• メジャーサイクルを頻繁に⼊れたほうが、数学的により正確な解が導かれるが、計算コストがかかる。
• メジャーサイクルを⼊れるタイミングについての詳細は、CASA Docsを参照のこと。
「CLEAN not converged」というワーニングメッセージが出ることがあるが、これはメジャーサイクルの頻度を上げることで解決されることが多い。

CLEANのやめ時• CLEANを進めると、Residual imageにだんだん顕著な成分がなくなり、ランダムなノイズ成分だけが⾒えるようになってくる。
• どこでCLEANをやめるかは、あまり統⼀した⾒解がないように思える。
• 理論的には観測感度で決まる熱雑⾳レベルまでCLEANを進めたいが、実際には系統誤差の影響により、必ずしも熱雑⾳まで達しない。conservativeに熱雑⾳の3シグマあるいはそれ以上でCLEANを⽌めるのが安全だ。
tcleanのthresholdパラメーターで、閾値を与えることができる。
• 注意︓⾮常に明るい天体の場合、理論的熱雑⾳レベルからははるかに⾼いレベルの残差成分がresidual image上に残る。これは、主にphase calibration errorによって、しっかりと結像しなかった輝度成分がイメージ上にばらまかれてしまうことが原因。
ALMAの場合、イメージダイナミックレンジ（DR=Ipeak /Irms）は、通常のキャリブレーションでは100程度（⾼周波バンドではもっと低い）、self-calibrationを⽤いることで1000程度になる。

CLEANマスク（ボックス）の活⽤• Dirtyイメージ上のどの成分が真の輝度で、どの成分がサイドローブかの判定が必要• サイドローブ成分を積極的にCLEANしてしまうと、最終的に間違った構造を作り出してしまう。特にself-calibrationを併⽤するときには深刻。
• 以下の画像を例に、みなさんだったら、CLEANマスクをどのように置くか考えてみましょう。
Dirty image

Credit: Synthesis Imaging in Radio Astronomy

uvカバレッジ（おおよそこんな感じ）

Spectral Line Imaging• 連続波観測と違って、スペクトル線観測の場合、天体構造が周波数⽅向に変化するので、CLEANマスクの設定に悩むことがある。
• チャンネル毎にマスクを設定してもよいが、⾻が折れるので、全てのチャンネルで共通な、⼤きめのマスクを設定するのがよくやる⼿。

グリッディングと重み付け（教科書4.4章）• ビジビリティから輝度分布へとフーリエ変換する際、FFTを使った計算を⾏うのが⼀般的である。このため、測定されたビジビリティを、適切な間隔でグリッディングしたuv⾯上の格⼦に代表させる。この操作は、測定されたビジビリティをuv⾯上で適当な畳み込みを⾏った後、格⼦点でリサンプリングすることで実現する。
• ただし、uv⾯上に⼤きくキャップがある場合は、0 fillingを⾏う。

格⼦間隔よりも少し⼤きな広がりを持つ関数(CASA tcleanではprolate-spheroidal function を採⽤)

グリッディングと重み付け（教科書4.4章）• uvカバレッジは⼀様ではない• 各基線が取得するビジビリティの(u,v)⾯上での軌跡は、短い基線（内側の(u,v)点）ほどゆっくり時間変化し、⻑い基線ほど速く時間変化する。
• （u,v）原点に近いほど、ビジビリティ点が密になる傾向にあるので、各格⼦点に代表されるデータ点数は⼀定ではない。
• 結果的に、各格⼦点にかける重みによって、得られる合成ビームの形が変わる。
• Natural weighting• 格⼦要素内に含まれる全てのデータ点に対して、同じ重みをかけてフーリエ変換を⾏う。
• Uniform weighting• 格⼦要素内のビジビリティに対して1/Nk（Nkはk番⽬の格⼦要素のデータ点数）に⽐例した重みをかけ、結果的に(u,v)⾯全体にわたって重みの総和が⼀定になる。

グリッディングと重み付け（教科書4.4章）• Natural weightingは感度最⼤、uniform weightingは空間分解能が⾼い（サイドローブは⾼くなる傾向）。
• Briggs weightingは、ロバストパラメータ（R）というものを導⼊して、重み付けをより⼀般化した⽅法。R=0.5で合成ビームの形状と感度の両⽅を最適化することができる。

テーパーグリッディングと重み付け（教科書4.5章）• 基線⻑に応じたtaper functionを重み付けに使う⽅法。
• 天体構造の低空間周波数成分（広がった構造）のみに着⽬したいときに、⾼空間周波数成分の重みを相対的に落とすようにGauassian taperをかける。

主ビーム補正（Primary beam correction）• 上記式からもわかるように、ビジビリティを逆フーリエ変換することによって得られる輝度分布には、アンテナの主ビーム応答の影響が残っている。
• 通常、主ビーム応答は、おおよそガウシアンで表現でき、視野中⼼から外れるほど、感度が低下する。そのため、主ビーム補正を⾏わないと、視野中⼼から外れた放射のフラックス値を誤ってしまう。
• 特にモザイク観測で重要。
• tcleanのpbcor=Trueで、主ビーム補正を実⾏する。もしくは、pbcor=Falseで作成したイメージに対して、タスクimpbcorを実⾏する。

イメージングの知識 発展的内容

Multiscale CLEAN（教科書4.7.3章）• 天体は「点源の集合」では近似が難しいことも。
• Multiscale CLEAN: CLEANコンポーネントの太さを定義するパラメーターを導⼊することで、この問題を軽減。(deconvolver=ʻmultiscaleʻ)αΨはprolate spheroidal wave function（ほぼガウシアン）。

• α=0の時はデルタ―関数と⼀致（つまり通常のCLEAN）。
のっぺり広がった例（SN1993J）

Multifrequency Synthesis (MFS)とMultiterm MFS（教科書4.7.4章）
vu
⿊線︓ν=ν0において取得されるビジビリティの軌跡
⻘線︓ν0+/-Δνの範囲において取得されるビジビリ
ティの軌跡• ビジビリティは空間周波数の関数であり、空間周波数は観測周波数に依存する。
• ALMAの場合、⼀つのスペクトルウィンドウの最⼤有効帯域は1.875 GHzある。
この帯域を分光してデータを得るわけだが、分光点数分の独⽴なビジビリティが存在するので、本来はそれらを独⽴なビジビリティとして取り扱う必要がある。

Multifrequency Synthesis (MFS)とMultiterm MFS（教科書4.7.4章）• 連続波観測の場合、感度をかせぐために、帯域⽅向に積分することがあるが、これは、独⽴なビジビリティを⼀つのノミナルなビジビリティに代表させるという操作をしていることに相当する。これはsmearingという効果を⽣み、再現される天体の輝度分布の強度・構造をゆがめてしまう（詳しくは教科書の4.7.4を参照）。ゆがみの影響は、視野中⼼から離れるほど深刻になる。

ν0: 中⼼周波数、ν:帯域内の任意の周波数、(uν,vν):周波数νにおける本来の空間周波数

Thompson, Moran, & Swenson

Multifrequency Synthesis (MFS)とMultiterm MFS（教科書4.7.4章）• MFSは、周波数毎のビジビリティを独⽴に扱う。（CASAではspecmode=ʻmfsʼ）• メリット︓smearing free、uv点が増える。
• デメリット︓計算コストが上がる• MFSを採⽤するにあたっては、天体の放射スペクトルを与えなければならない。CASA
では、以下のようなテイラー展開によってCLEANコンポーネントのスペクトルをモデル化する。（CASAではdeconvolver=ʻmtmfsʼ）モザイク観測（教科書4.8章）• アンテナの主ビームで制限される視野よりも⼤きな範囲をイメージングする際に⽤いる⼿法。
• 望遠鏡のポインティングをずらしながら相互相関を取り、全てのポインティングをつなげて、実⾏的に広い視野を得る。

• イメージングする範囲が広いため、non-coplaner arrayの影響が無視できない（アンテナが同⼀平⾯にあるとみなせない）。
• 軽減策として、w-projectionやfacetingが⽤いられる（詳しくは教科書参照）。

W-projection

Facetingモザイク観測︓W-projection（教科書4.8.1章）
Visibility ó Intensity distributionの関係式（より厳密な式）（位相中⼼から⼗分狭い範囲（𝑙 ! + 𝑚 ! ≪ 1）では前述のV⇔Iの関係式が成⽴）

以下のように書き直す

G(l,m,w)のフーリエ変換" (𝒖, 𝒗, 𝒘 = 𝟎）を畳み込む演算を⾏う
2次元フーリエ変換（V(u,v,w=0)を⾏った後、𝑮ことで、w-termを無視できない状況のイメージングを可能にしている。

モザイク観測︓Faceting（教科書4.8.2章）• 天球⾯のカーブを⼗分無視できるくらいの⼩さなファセットに分割し、イメージングを⾏う。
• 厳密には、W-projectionもfacetingも、A(l,m)の⾼次の影響を考慮する必要がある（A-projection）。A-projectionは2020年1⽉現在、開発途上にあり、ALMAデータに対しては適⽤できていない。

偏波イメージング（教科書4.9章）• Stokes I, Q, U, Vの４つのストークスパラメータのイメージを得る。
• マイナスのフラックスを持つので、イメージ上でネガティブな成分に対してもCLEANを⾏う必要がある。

References

Backup slides