「ガリレオの斜面実験から現代風の微分・積分へ」を終えて― その後の雑感と応用例 ―鎌田 弘*

由良 諭**

高橋 洋一***

After Finishing Series “Learning Derivation and Integration throughGalileo’s Acceleration Experiment”― Miscellaneous Impression and Engineering Application Examples ―Hiroshi KAMADA, Satoshi YURA and Yoichi TAKAHASHI
Abstract

Series of “Learning Derivation and Integration through Galileo’s Acceleration Experiment” as teaching material
suggestions have been published on National Institute of Technology Kagawa College Research Bulletin. 90-minutepractical mathematics class under the suggestions has been given to applicants of college second year students twice intwo days. Mathematics supplementary contents for the above mentioned series and basic derivation and integration
application examples of physics, electric engineering and mechanical engineering for students to get used to studying them
are described and student questionnaire results are introduced.
Keywords : mean value theorem of derivation, Maclaurin expansion, application examples

1. はじめに量の関数値である．このとき時間［0，t］での自動車のガリレオの斜面実験から微分積分へ（その１（１），その２（２），その３（３））を，授業教案として研究紀要に発移動距離ｙ(t)は，図１の斜線部の積分量で表わされる．

表してきた．その教案の実践を，香川高専高松キャン

よって y(t)＝∫0 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 ，y(a)＝∫0 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 ，y(b)＝𝑡

パスの卒業生の OB・OG 会（高松工業会）主催で，令𝑎𝑏

和 4 年９月に香川高専高松キャンパスにおいて，2 年∫0 𝑣(𝑡)𝑑𝑡，となるので，時間［a，b］での移動量 y(b)

生希望者を対象に，90 分×2 日で行った．参加学生 4－ y(a) は ∫𝑎 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 となり，図２の斜線部の積分量𝑏

名と参加教員４名，サポート学生２名の少人数であっである．

たが，試みとしては有意義であった．そのときの経験や質問から，今回の報告を検討した．その１つが「微分𝑡積分の基本公式の導出」であり，もう１つが「微分・積𝑦(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

分の専門分野での基本的応用」であった．それらを，

0

𝑣

「雑感」
，
「応用例」として取り上げたが，応用例はそれぞれの共著者が担当した．
2. ２つの雑感
2-1 微分・積分の基本公式を導く

𝑣(𝑡)2-1-1 運動している自動車の瞬間の速さ𝑣と時刻 t の関数関係0

時刻 t での瞬間の速さ𝑣(t)は，図１の縦の長さの線t
図１ 速度と移動量* 香川高等専門学校 名誉教授** 香川高等専門学校 機械電子工学科*** 香川高等専門学校 機械工学科

1t

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要14(2023)

ただし，dy/dt = 𝑣(𝑡) である．このとき，𝑦(𝑡)を𝑣(𝑡)𝑏∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = y(𝑏) − 𝑦(𝑎)𝑣の原始関数という．厳密には，d(定数)/dt = 0なので，

𝑎𝑦(𝑡) +(定数) を𝑣(𝑡)の原始関数という．
2-2 積分と微分の平均値の定理
独立変数 t の滑らかな連続関数𝑣(𝑡)として，図解的に考える．
2-2-1 積分の平均値の定理と図解（図５参照）𝑡

積分区間［a，t］での積分量は∫𝑎 𝑣(t)𝑑𝑡なので，積分

0

b

a

区間の中間点ξを適当にとると，𝑣 (x)(t − 𝑎)の積量にt等しくなる．よって，

図２ 時間［a，b］の速度と移動量𝑡∫𝑎 𝑣(t)𝑑𝑡 = 𝑣(x)(t − 𝑎) …(2)2-1-2 運動している自動車の移動距離 y と時間 t の関数関係となる．ただし，𝑎 ≦ x ≦ tである．

時間［0，t］での自動車の移動距離 y(t)は，図３の縦の長さの線量の関数値で表わされる．よって時間𝑣［a，b］での移動量 y(b)－y(a)は，関数量の差になる𝑡∫ 𝑣(t) dt = 𝑣(x )(𝑡 − 𝑎)ので図４の縦の長さの線量で表せる．このとき，

𝑎dy/dt＝𝑣(t) である．

y

a x t

0

t

y(𝑡)
図５ 積分の平均値の定理

t

0

t

2-2-2 微分の平均値の定理と図解（図６参照）
区間［a，t］での線分ＡＢの傾きは，{𝑦(t) − 𝑦(𝑎)}/図３ 移動量と時間の関係

y(𝑡 − 𝑎)である．区間の中間点ξを適当にとると，点Ｔ(x, y(x))で線分ＡＢに平行な接線がひけ，その接線の傾きは𝑦̇ ( x)である．よって，𝑦̇ ( x) = {𝑦(t) − 𝑦(𝑎)}/(𝑡 − 𝑎)となる．ただし 𝑎 ≦ x ≦ tである．このとき，
図５と図６のxは同じ値となる．

y(𝑏) − 𝑦(𝑎)

y
0

a

b

A

t

図４ 時間［a，b］の移動量
2-1-3y(𝑡) − 𝑦(𝑎)= 𝑦̇ ( x )𝑡−𝑎T

微分・積分の基本公式の導出

B

上述の物理的な解釈 2-1-1 と 2-1-2 から，次の公式が成り立つ．

0𝑏∫𝑎 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = y(𝑏) − 𝑦(𝑎) …(1)

a x

t

t

図６ 微分の平均値の定理

2

鎌田弘 他 : 「ガリレオの斜面実験から現代風の微分・積分へ」を終えて―その後の雑感と応用例―

2-2-3 微分の平均値の定理の別表記

G(𝑥) = k(𝑥 − 𝑎) + C

独立変数 t の関数 y(t)を, xの関数 h(𝑥) に置き

G(𝑥) = k{(𝑥 − 𝑎) /2} + C ， g(𝑥) = k(𝑥 − 𝑎)2 のと変え，区間［a，𝑥］における「微分の平均値の定理」

き，G(𝑥) = k{(𝑥 − 𝑎)3 /3} + C である．

を以下の様な表記とする．
{h(𝑥) − h(𝑎)}/(𝑥 − 𝑎) = ḣ(x)， g(𝑥) = k(𝑥 − 𝑎) の と き2

3-2-2 任意関数ｆ(𝑥)の(𝑥 − 𝑎)の項までの近似展開
べき関数の基本系を 1，𝑥 − 𝑎とすると関係式は次式…(3)となる(図 7(a)参照)．
f(𝑥) = [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎)] + g(𝑥)ただし𝑎 ≦ x ≦ 𝑥である．このときḣ(x)は𝑥＝xにおける微分係数である．

…(6)

誤差g(𝑥) は g(𝑥) = f(𝑥) − [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎)] と

3. 応用１： テイラー展開とマクローリン展開
独立変数ｘの滑らかな連続関数ｆ(x)を,小区間［a，ｘ］で考える．べき関数の基本系を 1，𝑥 − 𝑎，(x－a)2/2!，(x－a)3/3!，…として，任意の関数f(x)をべき関数の基本系の和（テイラー展開）として導出する．すなわちなり，ġ (𝑥) = ḟ(𝑥) − ḟ(𝑎)である．ここで両辺を(𝑥 − 𝑎)で割り，ġ (𝑥)/(𝑥 − 𝑎) = {ḟ(𝑥) − ḟ(𝑎)}/(𝑥 − 𝑎)においてḟ(𝑥)の平均値の定理を使うと，f̈ (x)に等しくなる中
間点xが存在するので，微分方程式 ġ (x) = f̈(x)(𝑥－𝑎)を得る．さらに，ġ (𝑥) の原始関数g(𝑥) を境界条件

f(𝑥) = [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + f̈(𝑎){(𝑥 − 𝑎)2 /2!}g(𝑎) = 0として求めると，g(𝑥) = f̈(x){(𝑥－𝑎)2 /2} となる．よってf(x)は+ ⋯ + f (n−1) (𝑎){(𝑥 − 𝑎)n−1 /(n − 1)!}]2+f (n) (x){(𝑥 − 𝑎)n /n!}
f(𝑥) = [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎)] + f̈(x){(𝑥－𝑎) /2!}
…(4)
(m)
̇
̈
(
である．ただし，f 𝑎)，f(𝑎)，…，f (𝑎) は点 a で…(7)の 1 次，2 次，ｍ次の微分係数である．
と展開できる．
3-1 べき関数の基本系
𝑓(x)べき関数の基本系を考えるため以下の準備をする．
3-1-1 （準備１）関数g(x)の導関数ġ (x)𝑓(𝑥)g(𝑥) =(定数)のときġ (𝑥) = 0 ，g(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) の誤差 g(𝒙)ときġ (𝑥) = 1 ，g(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)2 のときġ (𝑥) = 2(𝑥 −𝑎) ，g(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)3 のときġ (𝑥) = 3(𝑥 − 𝑎)2 である．
𝑓̇(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
3-1-2 （準備２）任意の３次関数ｆ(x)の展開
A
仮に，べき関数の基本系を 1，𝑥 − 𝑎，(𝑥 − 𝑎)2 ，𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)3 として，f(𝑥) = A + B(𝑥 − 𝑎) + C(𝑥 − 𝑎)2 +D(𝑥 − 𝑎)3 の展開を考える．ḟ(𝑥) = B + 2C(𝑥 − 𝑎) +axx
0
3D(𝑥 − 𝑎)2 ，f̈(𝑥) = 2C + 6D(𝑥 − 𝑎) ，f (3) (𝑥) = 6Dとなるので，f(𝑎) = A，ḟ(𝑎) = B，f̈(𝑎) = 2C，f (3) (𝑎) =(a) 一次近似と誤差
6D を用いると定数 A，B，C，D は，A = f(𝑎)，B =𝑓(x)ḟ(𝑎)，C = f̈(𝑎)/2!，D = f (3) (𝑎)/3! である．よって展𝑓(𝑥)開式(５)式となる．
誤差 g(𝒙)2
f(𝑥) = f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + f̈(𝑎){(𝑥 − 𝑎) /2!}
̈(𝑎){(𝑥 − 𝑎)2 ⁄2 !}𝑓+f (3) (𝑎){(𝑥 − 𝑎)3 /3!} …(5)3-1-3 べき関数の基本系の再考
𝑓̇(𝑎)(𝑥 − 𝑎)A
3-1-2 の結果より，べき関数の基本系をあらためて，
1，𝑥 − 𝑎，(𝑥 －a)2/2! ，(𝑥 －a)3/3!，…，(𝑥 －a)k/k!
𝑓(𝑎)
とする．
x
a
3-2 任意の関数 f(𝑥 )のテイラー展開
0x
3-2-1 （準備）ｇ(𝑥)の原始関数 G(𝑥)，すなわち，(b) 二次近似と誤差
Ġ(𝑥)＝ｇ(𝑥)図７
テイラー展開による関数近似
g(𝑥) = 0のときG(𝑥) = C ，g(𝑥) =定数 k のとき

3独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要14(2023)

f(𝑥) = [f(0) + ḟ(0)𝑥 + f̈(0){𝑥 2 /2!} + ⋯3-2-3 任意関数ｆ(𝑥)の(x－𝑎)2/2!の項までの近似展開(図 7(b)参照)+f (n−1) (0){𝑥 n−1 /(n − 1)!}]べき関数の基本系を 1，x－a, (𝑥－𝑎)2 /2!とするので関係式は次式となる．

+f (n) (x){𝑥 n /n!}

…(12)

2

f(𝑥) = [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + f̈(𝑎) {(𝑥－𝑎) /2!}]
がマクローリン展開である．ただし，n → ∞のとき

+g(𝑥)𝑥 n /n! → 0 である．以下工学的応用でよく用いられる…(8)

マクローリン近似式（2 次の項まで）を示す．

よって誤差g(𝑥)は3-3-1 1/(1+ 𝑥)に関する近似式
1/(1＋𝑥)＝1－𝑥＋𝑥 2－𝑥 3 …より 1/(1＋𝑥)＝1－𝑥＋g(𝑥) = f(𝑥)𝑥 2 である．

2− [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(x − 𝑎) + f̈(𝑎) {(𝑥－𝑎) /2!}]

3-3-2 三角関数（cos𝑥，sin𝑥）に関する近似式
𝑥はラジアンとすると sin𝑥 ＝𝑥 －𝑥 3/3!＋𝑥 5/5!－…

…(9)より sin𝑥 ＝𝑥 ，cos𝑥 ＝1－𝑥 2/2!＋𝑥 4/4!－…より，
cos𝑥 ＝1－𝑥 2/2!である．

となる．ġ (x) = ḟ(x) − {ḟ(𝑎) + f̈(𝑎)(𝑥 − 𝑎)}，さらにg̈ (x) = f̈(x) − f̈(𝑎) となる．ここで両辺を(x − 𝑎)で割り，g̈ (𝑥)/(𝑥 − 𝑎) = {f̈(𝑥) − f̈(𝑎)}/(𝑥 − 𝑎) について3-3-3 指数関数 exp(𝑥)に関する近似式
ここで exp(𝑥)はネピア常数 e の指数関数である．

f̈(𝑥)の平均値の定理を使うと，
f (3) (x)に等しくなる中間点xが存在する．よって g̈ (𝑥) = f (3) (x)(𝑥 − 𝑎)を得る．

exp(𝑥 )＝1+𝑥＋𝑥 2/2!＋𝑥 3/3!＋…より，exp(𝑥 )＝1+𝑥

ここでg̈ (𝑥)の原始関数ġ (𝑥)を境界条件ġ (𝑎) = 0として求めると，ġ (𝑥) = f (3) (x){(𝑥 − 𝑎)2 /2}となる.さらに3-3-4 対数 log(1+𝑥)に関する近似式ġ (𝑥)の原始関数g(𝑥)を境界条件g(𝑎) = 0で解くと，log(1+𝑥 )=𝑥－𝑥 2/2＋𝑥 3/3－…より，log(1+𝑥 )=𝑥－＋𝑥 2/2 である．
ここで対数 log は e を底とする自然対数とする．

g(𝑥) = f (3) (x){(𝑥 − 𝑎)3 /6}を得る．よって，実用性の𝑥 2/2 である．

高い次式を得る．
2
f(𝑥) = [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + f̈(𝑎) {(𝑥－𝑎) /2!}]

4. 応用２：回路理論の微分積分（４）（５）
回路受動素子抵抗 R，コンデンサ C，コイル L を用

+f (3) (x){(𝑥 − 𝑎)3 /3!}…(10)いて回路理論における微分積分について解説する．
RCL 直列回路の例題を通して，R，C，L の電圧と電流

3-2-4 任意関数f(𝑥)の(𝑥 − 𝑎)n−1 /(𝑛 − 1)!の項までの関係式を示しながら電圧や電流の方程式には微分との近似展開

積分を含む式として表現されることを示す．
2

RCL 直列回路の例題

べき関数の基本系を 1，𝑥－a，(𝑥－𝑎) /2! ，(𝑥 − 𝑎)3 /3! ，⋯ (𝑥 − 𝑎)n−1 /(𝑛 − 1)!とし，誤差4-1g(𝑥)を次式とする．

れる電流を𝑖(t)(A)とする．回路における電流と電圧のg(𝑥) = f(𝑥) − [f(𝑎) + ḟ(𝑎)(𝑥 − 𝑎)関係式を導出せよ．簡単のためコンデンサ両端の電圧2

例題：電圧𝑣(𝑡)(V)が印加された RCL 直列回路に流とコイルに流れる電流の初期値はそれぞれ 0 とする．
3+f̈(𝑎) {(𝑥－𝑎) /2!} + f (3) (𝑎) {(𝑥－𝑎) /3!} +𝑖(t)(n−1) (𝑎){(𝑥n−1/(𝑛 − 1)!}] …(11)𝑖R (t)(11)式を𝑛 − 1回まで微分し，3-2-3 と同様の操作を繰

𝑣R (t)⋯+ f− a)

り返すと(4)式を得る．

R𝑖C (t) C𝑣C (t)𝑖L (t)𝑣(𝑡)3-3 マクローリン展開と近似式

𝑣L (t)

まず，マクローリン展開を述べる．独立変数 𝑥の小区間［a，𝑥］でのテイラー展開を，a を 0 として［0，𝑥］での展開を記述する．
（4）式より図 8 RCL 直列回路

4L

鎌田弘 他 : 「ガリレオの斜面実験から現代風の微分・積分へ」を終えて―その後の雑感と応用例―

4-3 コンデンサ C（解説）①抵抗 R における電圧𝑣R (t)と電流𝑖R (t)の関係式
𝑣R (t) = R𝑖R (t) …(13)電荷量𝑞(t)（C）を用いると電流𝑖(t)（A）の定義式
は②コンデンサ C における電圧𝑣C (t)と電流𝑖C (t)の関係

𝑖(t) =

𝑑𝑞(t)

式

𝑑t

…(21)

𝑣C (t) = ∫ 𝑖C (t) 𝑑t …(14)Cである（例えば，𝑞(t)の変化（電荷の移動と考えて良い）③コイル L における電圧𝑣C (t)と電流𝑖C (t)の関係式

デンサの静電容量 C（F）
，コンデンサに蓄えられる電荷量𝑞(t)，およびコンデンサにかかる電圧𝑣C (t)（V）の1𝑣L (t) = L

𝑑𝑖𝐿 (t)𝑑t

が時間 t に対し一定であれば電流は直流となる）
．コン

…(15)

関係式は
𝑞(t) = C𝑣C (t) …(22)

キルヒホッフの第 1 法則・第２法則よりで表される．(22)式を(21)式に代入すると，コンデン
サに流れる電流𝑖C (t)や，かかる電圧𝑣C (t)は，𝑖(t) = 𝑖R (t) = 𝑖C (t) = 𝑖L (t) …(16)𝑣(t) = 𝑣R (t) + 𝑣C (t) + 𝑣L (t) …(17)𝑖C (t) = Cであるから，(13)～(17)式より𝑣(𝑡)と𝑖(t)の関係式は
1

𝑑𝑖(t)

と表すことができる．(16)式を考慮すると(24)式は，(18)式の第 1 項から第 3 項は受動素子 R，C，L それぞ(14)式と(18)式第２項に等しい．また，コンデンサに電圧が印加される以前（例えば電圧源のスイッチが OFFのとき）に電荷が蓄えられている場合，初期値としてれの電圧・電流特性を示している．実際に(18)式の解を(23)(24)式に影響を与える．

得るには，両辺を微分した 2 次微分方程式が用いられる．

𝑖C (t)
𝑑𝑡

=L

𝑑t2

+R

𝑑𝑖(t)
𝑑𝑡

𝑣C (t)

C

図 10 コンデンサの電圧と電流

4-2 抵抗 R

4-4 コイル L

抵抗 R(Ω)両端の電圧を𝑣R (t)（V），流れる電流を𝑖R (t)（A）とすると，𝑣R (t)と𝑖R (t)の関係式はオー

電磁気学におけるファラデーの電磁誘導に関する法
則では，巻数 N のコイルに交わる磁束Φ(t)(Wb)（コイムの法則よりル１巻当りの磁束）とコイル両端に発生する電圧（自己誘導による起電力）𝑣L (t)（V）の関係式は，

𝑣R (t) = R𝑖R (t) …(19)
または
𝑣 (t)

𝑖R (t) = R

R

C

1

+ 𝑖(t) …(18)’以下各素子の電圧・電流特性について解説する．

𝑣L (t) = −N

…(20)

𝑑Φ(t)
𝑑t

…(25)

となる．(25)式の負符号はレンツの法則によるもので，である．(16)式を考慮すると(19)式は(13)式と(18)式第磁束の増減を妨げる方向に電流が流れる（起電力が発１項に等しいことがわかる．

𝑖R (t)…(23)1なる微分式と積分式が混在する方程式として表される．

𝑑𝑣(t)

𝑑t

𝑣C (t) = ∫ 𝑖C (t) 𝑑t …(24)C𝑣(t) = R𝑖(t) + ∫ 𝑖(t) 𝑑t + L
…(18)
C
𝑑t

𝑑𝑖 2 (t)𝑑𝑣C (t)生する）ことを表す．ここで，巻数 N のコイルに交わる全磁束は流れる電流𝑖L (t)(A)に比例するため，比例定

R

数 L(H)を導入してNΦ(t) = L𝑖L (t) …(26)𝑣R (t)
図 9 抵抗の電圧と電流とする．(26)式を(25)式に代入すると

5

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要14(2023)

𝑣L (t) = −L

𝑑𝑖L (t)𝑑t…(27)

べる．加工学は，機械工学科 3 年生の専門科目であり，鋳造，溶接，塑性加工，切削及び研削の各加工法を取りとなる．回路理論では，定数Ｌを自己インダクタンスと呼び，コイル両端に発生する電圧𝑣L (t)と電流𝑖L (t)の扱っている．これらの各種の加工法や工作機械の基礎

方向は逆向きと定義して（図 11 参照）(27)式の負符号る能力を養うことを目標としている．本科目は，工作をキャンセルして(28)式を用いる．

実習とも深く関連する実際的な科目であり，同じ学年𝑣L (t) = L
𝑖L (t)𝑑𝑖L (t)𝑑tを理解し，工作物に対して最適な加工方法を選択できで学習する材料力学や工業力学と比べて，数学的な取…(28)

り扱いが少ない科目である．本科目で学習する内容のうち，塑性加工では，簡単な積分の考え方を使う内容

Lがある．しかし，数学的には簡単な問題であっても塑性加工に適用した場合，多くの学生が答えられないこ𝑣L (t)とが多々あった．そこで，この原因を考えるために，簡図 11 コイルの電圧と電流

単なアンケート調査を受講生に行い，数学で学習する
積分と専門教科で取り扱う積分の関係性について考察(27)式の負符号を取り去ることで，例えば(23)式と(28)する．

式が符号を考慮しない双対の関係となり電圧と電流の加工学で取り扱う積分の一例として，塑性加工の単関係式が扱いやすくなっている．１つのコイルに電源元で学習する公称ひずみ，真ひずみついて述べる．こ（例えば電流源）が接続されている場合，コイルに流れる電流𝑖𝐿 (t)やコイルにかかる電圧𝑣L (𝑡)をあらため

こで，図 12 に示すような初期長さ l0 の丸棒の片側を固定し，もう一方に引張荷重 P が作用して，長さ l1 になって以下の式で表す．

た時の公称ひずみ εN は (31)式のようになる．公称ひずみは，初期長さを基準としたもので，変形前後の長さ

1𝑖L (t) = ∫ 𝑣L (t) 𝑑t …(29)L𝑣L (t) = L

𝑑𝑖L (t)𝑑tの変化(l1-l0)を初期長さ l0 で除すことで求めることができる．一方，真ひずみ ε は，図 12 の変形前の長さ l0 か…(30)

ら変形後の長さ l1 に至るまでの微小なひずみの増加量

コイルに電源が接続される以前に交わる磁束が存在す(dl/l)の総和であり，(32)式のように求まる．すなわち，る場合，初期値として(29)(30)式に影響を与える．(16)

図 12 (b)に示すように，ある瞬間における長さ l と微小式を考慮すると(30)式は，(15)式と(18)式第 3 項に等し伸び dl から求まる単位長さあたりの瞬間伸びを積分しい．

たものである．

4-5 まとめ
回路理論における微分式・積分式について解説した．
RCL 直列回路の例題解説で示したように 4-2～4-4 節の各素子電圧・電流特性より，数学のように微分式や積分式を単体で解くのではなく，微分式や積分式が混在した方程式，つまり(18)’ 式のような高次微分方程式(a)変形前を解くことが多くなる．微分方程式の解法については(b)変形途中(c)変形後図 12 丸棒の引張

高専第 3 学年より学ぶが，微分式や積分式単体の解法がわかっていれば微分方程式解法のより深い理解が期

𝑙 𝑑𝑙

𝜀𝑁 = ∫𝑙 1

待できる．また高専第 4 学年以降では応用数学の手法

0 𝑙0（ラプラス変換など）を用い，比較的簡単に微分方程𝑙 𝑑𝑙

𝜀 = ∫𝑙 1

式を解くことができるようになる．応用数学は工学的

0問題を解く重要なカギとなるので，学生は高専低学年

𝑙

𝑙 −𝑙0

= 1

𝑙0

…(31)

𝑙

= ln( 1 ) …(32)𝑙0

上記に示した (32)式を導くために，
dl/l の積分についでの微分積分を十分に理解・学習してほしい．

て授業中に質問すると多くの学生は答えることができない．一方で，1/x･dx の積分では，ほとんどの学生が5. 応用 3：機械系科目で扱う積分

log x であると解答することができる．変数が x から l

本項では，著者のひとりが担当する加工学で取り扱に変わっただけあるが，数学の授業で習う(33)式に示す

う積分について，数学で学習する積分と関連付けて述ような積分公式としての印象が強く，(32)式を全く違っ

6

鎌田弘 他 : 「ガリレオの斜面実験から現代風の微分・積分へ」を終えて―その後の雑感と応用例―た式であると考えている学生が多いように思われる．

が，数学と専門科目で使用する変数の違いによって戸

また，dl/l を積分するという工学的意味を理解できてい惑いを感じていることが明らかになった．数学では，ない学生もいると考えられる．

XY 座標系が良く使用されることら，微分積分においても，変数が X，Y であることが多い．そのため，学生達

1∫ 𝑥 𝑑𝑥 = log 𝑥 …(33)は，その印象を強く持って積分公式等を覚えているもこの原因を考えるために加工学の授業を受けている

できて，dl/l の積分が解答できないのは，変数の違いに学生にアンケート調査を実施した．アンケートの質問

よる戸惑いが起因していると思われる．最後に数学とと選択肢は，以下の 5 項目とし，36 名の学生が回答し専門科目の微分積分についての意見を自由記述で書いた．

てもらうと，「数学が専門ではどのように使うかを説明<アンケートの設問と選択肢>して欲しい」，「数学が専門でどの程度重要なのかを示

1．数学で習う微分積分の理解度は？

して欲しい」，「数学の計算が実際にどのような分野でのと思われる．先に述べたように，1/x･dx の積分が解答

よく理解できている・理解できている(普通)・使うのかを説明して欲しい」，「何のための計算なのかあまり理解できないを示して欲しい」，「変数が違うと簡単な積分でも戸惑

2．専門科目で習う微分積分の理解度は？

う」等の記述があった．以上のアンケート結果より，数よく理解できている・理解できている(普通)・

学の授業時に微分積分が専門科目で使う内容であるこあまり理解できないとやその重要性を伝えることに加え，X，Y 以外の具体

3．数学で習う微分積分と専門教科で使う微分積

的な変数を示すことで，数学で習う微分積分と専門科

分が自分の中で関連付けられているか？

目で取り扱う微分積分との関連付けがスムーズにでき

はい・いいえるものと考えられる．

4．数学の微分積分で使う変数と専門科目で使う
微分積分の変数が異なると戸惑うか？
はい・いいえ5．数学と専門科目の微分積分について，何か意見は
あるか？
自由記述
図 13 にアンケート結果を示す．図 13 (a)は，数学で習う微分積分の理解度に関する結果であり，53％の学生が理解できていると回答しているのに対し，図 13 (b)の専門科目で習う微分積分の理解度では，42％の学生が理解できていると回答しており，数学の微分積分の理解より，若干低い．図 13 (c)の数学で習う微分積分と(a) 数学で習う微分積分の理解度は？

専門教科で使う微分積分が自分の中で関連付けられているかどうかを問う設問では，72％の学生が「いいえ」と回答しており，数学と専門科目の微分積分とは，上
手く関連付けられていないことが分かった．高松キャンパスでは，2019 年度から新カリキュラムに移行した
ことで，低学年次の数学の単位数が大幅に増えており，
数学教育の充実化が図られている（６）．これにより，1 年
次から微分積分を学習することで，物理学や専門教科への接続が良くなっている．しかし，学生自身の捉え方は，異なっており，数学と専門科目の関連付けが上手くできていないことがわかった．これに関連する図13 (d)の数学の微分積分で使う変数と専門科目で使う(b) 専門科目で習う微分積分の理解度は？

微分積分の変数が異なると戸惑うかとの設問に対しては，78%の学生が「はい」と回答している，多くの学生

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独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要14(2023)（４）小澤，“電気回路を理解する”，森北出版，2014（５）武藤，高川，早川，小川，杉江，“わかりやすい電気電子基礎”，コロナ社，pp.35-51，2011（６）岡野, 漆原，’’高専の高大接続システムを生かしたカリキュラム改革－香川高専高松キャンパスの実践
例－’’，工学教育，69 巻，2 号，pp.109-113，2021(c) 数学で習う微分積分と専門教科で使う微分積
分が自分の中で関連付けられているか？

(d) 数学の微分積分で使う変数と専門科目で使う
微分積分の変数が異なると戸惑うか？
図 13 アンケート結果
6. おわりに
授業教案「ガリレオの斜面実験から微分・積分へ」を，研究紀要に発表してきた．その教案の実践実施を，香川高専高松キャンパスの 2 年生の希望者対象に，90 分
×2 日で行った．その実践を踏まえて補足すべき内容
及び，学生が微分・積分に慣れ親しむ専門分野の基本的応用例を取り上げたのが本稿である．
今後も，学生が微分・積分に慣れ親しみ理解を深める
基本的応用例があれば，専門学科の教員方の協力を得て，掲載を続けたい．
参考文献（１）鎌田，小島，上代，由良，“（シリーズ）ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その１）ガリレオの斜面実験をひも解く－”，香川高等専門学校研究紀要，
Vol.11，pp.7-12，2020（２）鎌田，小島，上代，由良，“（シリーズ）ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その２）ガリレオ流の微分・積分を模索する－”，香川高等専門学校研究紀要，
Vol.12，pp.7-14，2021（３）鎌田，小島，由良，“（シリーズ）ガリレオの斜面
実験から微分・積分へ―（その 3）現代風微分・積分へのアプローチ－”，香川高等専門学校研究紀要，Vol.13，
pp.1-10，20228