平成１９年度水理実験

水面形計算

水面形計算演習 （開水路）
１． 理論式と計算手順
１．１ 開水路（跳水と水面形）の問題
河川や水路のデザインには，開水路水理学の知識が必要である．
雨が降るなどして，ある流量が発生して，開水路に流れ込む場合，水位がどこまで上がるのか，というのはデザインの上で基礎的な問題となる．それは単純な水路の設計だけではなく，多様な自然を配置しながら河道を設計する場合も，水深の推定が必要であることには変わりはない．また植物の配置によっても，抵抗によって水深は変わってくる．
今回の計算（演習）では，以下の 2 つについて，計算・確認を行う．
（１）水面形がどこから決まってくるのかを学習する（２）水面形方程式を用いた水面形の計算実験では，緩勾配の水面形，M1 と M2 の計測を行った．このカーブを，水面形方程式を用いて計算し再現できるかどうかを確認し，考察する．

等流水深 h0

等流M2

限界水深 hc

緩勾配 ib<ic
Q

計算
始点等流↓限界流（支配断面 h0=hc）
S2等流

急勾配 ib>ic
跳水M1h2M3h緩勾配 ib<ic

1h0hc

h1
図-1 水路の水面形変化の例↓等流

平成１９年度水理実験
１．２

水面形計算

水面形方程式と計算の手順

１．２．１

理論

水面形方程式は，エネルギー保存則または運動量保存則から求めることができるが，本授業ではその導出は講義しない．よってこの方程式からいかに計算するかについて，説明する．
水面形方程式は，広矩形断面（幅広の長方形）では次式で表せる．

水面形方程式は，水深の勾配 dh/dx を水深 h の関数で書いている．
水面形方程式（参考）：

1 − (h0 / h )dh（Manning 則）= ib3dx
1 − (hc / h )10 / 3(1)ただし，式中の変数は以下の通り与える．
路床勾配：ibhc = 3

限界水深：q2g(2)
3 / 10⎛ n2q2 ⎞⎟h0 = ⎜(3)⎜ ib ⎟⎠⎝（Manning 則の時，粗度係数 n 与える）数値がわかっているときは直接与える．

等流水深：

この式は，ある場所での水面の傾き（勾配 dh/dx）は，そこの水深 h の関数できまる，ということを示している．上流，あるいは下流で水深がわかっている場所があれば，そこから，その場所その場所の勾配を順に上下流につないでいけば，カーブが描ける．
（ここは数値計算の解説．図を理解してください．）
ここでは式が h の関数なので，次式のように逆数（分母分子を逆）にする方が計算しやすい．x が h の関数であると思うこととして，水深勾配の逆数

dx
1 1 − (hc / h )（Manning 則） (2)= f ( h) =dh
ib 1 − (h0 / h )10 / 33を既知の計算開始点（xb，hb）から積分するのが，古典的な水面形の計算法である．
この式を解析的（数学的に積分するのは難しく，x を h の関数で明示できないので，少しづつ水深を変化させながらつぎの x を計算してゆくという，逐次計算を行うことがある．
たとえば，下図のように，M2 カーブを下流から計算する場合，計算開始点付近の勾配が分かれば，少し高い水位（上流側）での位置が計算できる．さらに，計算が進んで，ある水深 hi での位置が xi であったなら，そこから∆h だけ高い水
深 hi+1=hi+∆h に対応する位置 xi+1 が計算できる．

この「次の水深 hi+1=hi+∆h となる位置 xi+1」を求めるには，式(3-2)をわずかに∆h だけ，つまり hi から hi+1までを積分すればよい．

xi+1 = xi + ∫hi +1hi

hi +1dxdh = xi + ∫ f (h)dhhidh(4-1)

また，その積分を近似する式として Simpson の 1/3 則がある．これが(4-2)の式である．

2

平成１９年度水理実験

xi+1 ≅ xi +∆h{ f (hi + 4 f (hi+1 / 2 ) + f (hi+1 )}
6

水面形計算

(4-2)

関数 f()は式(3−2)に対応する．その中の各水深は，hi（=hb+i∆h）， hi+1/2=hi+∆h/2， hi+1=hi+∆h （=hb+(i+1)∆h）をあらわす．

よって，∆h を決めて，ある（hi，xi）から hi+1 に対応する位置 xi+1 を求めるには，式(3-2）に hi，hi+1/2，hi+1 をそれぞれ式(4-2）に代入して得られる．これを繰り返すことで，水面形（水深分布）が得られる．
等流水深hchhi+1hi
hi=1hb=hi=0

一連の計算はこの範囲に収まる．

・・・

∆h>0
∆h>0

限界水深hc
M2カーブの場合：

xxi+1xi・・・・・ xi=1∆h>0，f(h)<0xb=xi=0

路床

図-2

１．２．２

計算手順

この一連の手続きは，データシートを作り計算できる．ここでは，簡単に計算するために，ホームページから，エクセルファイルをダウンロードし，計算してみることとする．
http://godos2.daido-it.ac.jp/kpage/sumi/exp/exp.htm
重要なのは，計算開始点を知っておくことである．講義したように，常流では上流に波が伝播するから，下流から水面形が決まる．よって，下流端の水位を知ることが出来なければ，計算できない．
（射流の場合は逆である．）表-1 の，矢印の方向に水面形が決まる．
表-1 水面形の分類と，水面形の決まる方向（矢印）
勾配の名称

緩勾配

限界勾配

急勾配

限界水深・等流水深の関係

h0 > hc

h0 = hc

h0 < hc

図h0 と hc の関係と水面形の分類（各水路勾配で，３つのうちのどれかの水面形が現れる）
勾配の関係

h0
常流

M1hc

M2

射流

M3水平へ

C1hc=h0水平へ
C3

S2

g 10 / 9 n 2
ib = ic ≡q2/9水平へ
常流

S3
射流

ib<ic

3

S1

h0

常流

ib=ic

ib < ic

hc

ib>ic

ib < ic

射流平成１９年度水理実験

水面形計算■ケース１，２の計算（図-3 参照）
常流と，射流の判定は，等流水深 h0 と限界水深 hc で（自動的に）判定できる．
よって，入力情報は，単位幅流量， Manning の粗度係数， 水路勾配， 計算開始点の x 方向位置 xb とそこでの水深 hb，があればよい．そのほかに，どの位置まで計算するのか xend，計算開始点での水路の高さ zb，を与える．本エクセルシートでは，瞬時に水面形が計算でき，グラフにも現れる．
1 枚目のシートでケース１を，2 枚目のシートでケース２を計算する．
シートの切り替えは，画面下方のタグをクリックして行う．

図-3 ケース１またはケース２の計算シート4平成１９年度水理実験

水面形計算■ケース３（跳水のケース）の計算
実験データを，ゲート下流のデータ(x=3m）から入力する．
計算開始点（上流側，下流側）の情報，単位幅流量等を入力する．
計算結果には，３つのカーブが描かれる．上流の水面形（射流），下流の水面形（常流）に加え，下流水深の共役水深が描かれる．この共役水深と上流水面形がクロスする点（一致する点）が跳水点である．ここに縦の赤い矢印を動かし，跳水点として表示する．

図-4 ケース３（跳水ケース）の計算シート5平成１９年度水理実験

水面形計算

レポート課題：諸君の前回実験のデータ 3 ケースをそれぞれ，計算し，上記うち，計算条件（単位幅流量，限界水深，路床勾配，カーブの種類，計算開始点位置，開始水深），および水面形のグラフを添付して，提出せよ．
計算開始点もわかるようにしておくこと．表紙は不要．1 ページ目の始めに，班，学籍番号，氏名，レポート作成時間を記述すること．ホチキス止めせず，(1/2）などのページ番号を右上に記すこと．
提出期限：7/5 授業開始時まで．
（それまでに 4212 室鷲見ポストでも OK）
レポート

水面形計算
班番号
学籍番号
提出日
作成時間

ケース２ （水面形分類：M1）
氏名

実験条件：
表-1 実験条件
単位幅流量 q=
限界水深 hc=
等流水深 h0=Manning 粗度係数 n=路床勾配 ib=

図-2

ケース 1 （水面形分類：M2）

ケース３ （水面形分類：跳水

図-2
図-1

ケース２の計算結果

ケース３（跳水）の計算結果

ケース１の計算結果

次回も 4309 室に一旦集合すること．
（直接 4403B 室に行かないこと）

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M3→M2）