まずは，(1) について説明します．

今回は 2021 年度入試の上智大学／経済学部・理工学部の過去問を，マーク式から記述式に改題，および，一部抜粋して出題しました．以下，問題を確 ［解答］以下，南北方向の区画の並びを列，東西方向の区認してみましょう．
画の並びを行と呼ぶことにする．

問題

m = 3 のときについて考える．k を自然数とす(1)

南北方向に m 区画，東西方向に n 区画に区切られた長方形の土地がある．この土地のそれぞれの区画にる．1 列目から k 列目（k = 1，2，B，n - 1）まm 種類の作物を 1 種類ずつ植える．ただし，南北方向でを植えているとして，k + 1 列目をつけ加える．には同じ種類の作物が植えられている区画はないよう

k 列目に植えた作物を，上から順に（A，B，C）にする．このとき，東西方向に隣り合う区画に同じ種とする．k + 1 列目に植える作物を上から順にどう類の作物が植えられている場合には，それらの区画はするかによって，畑の数の増え方は以下のようにな連結した 1 個の畑と見なすとする．例えば，南北方向

る．に 3 区画，東西方向に 5 区画で，A，B,C 3 種類の作物を次のように植えた場合，畑が 11 個と見なす．

AB
C
(1)

AC
A
B

(i) （A，B，C）のとき畑の数は変化しない．

BCB(ii) （A，C，B），（C，B，A），（B，A，C）のとAき
畑の数は 2 個増える．

m = 3 のときを考える．n = 1 ならば，畑の数は(iii) （B，C，A），（C，A，B）のとき

常に 3 個で，1 通りある．n = 2 ならば，畑の数は畑の数は 3 個増える．

3 個，5 個，6 個のいずれかで，3 通りある．n = 3ならば，畑の数は何通りあるか．また，n = 10 ならば，畑の数は何通りあるか．
(2)以上の増え方は，k 列目の A，B，C の植え方（並m = 3 で n = 3 のとき，畑の数が 8 個になる植えべ方）によらず，同様に考えることができる．

方は何通りあるか．
(3)

m = 6 のときを考える．各列の南北方向の 6 区画

以下，南北方向に m 区画，東西方向に n 区画のに作物を植える植え方は 6 ! 通りあるが，それらすとき，畑の数が何通りあるかを，am_n で表すとする．

べてが等確率になるように植えることにする．n = 2のとき，畑が 8 個である確率 p と，畑が 10 個であn = 2 のとき，畑の数は，問題文よりる確率 q をそれぞれ求めよ．また，n = 3 のとき，3，5，6 のいずれか畑が 10 個である確率を r とする．r が満たす不等であり，a3_2 = 3 である．

式を，以下の (a) ～ (h) の中から 1 つ選べ．
(a) r ≥

1100

11≤r<500200
11(e)≤r<2000
1000
11( g)≤r<10000
5000( c)n = 3 のとき，畑の数は (i) ~ (iii) より

11≤r<200
100
11( d)≤r<1000
500
11( f)≤r<5000
2000
1(h ) r <10000(b)n = 2 のとき 3 ならば，3，5，6 のいずれか
n = 2 のとき 5 ならば，5，7，8 のいずれか
n = 2 のとき 6 ならば，6，8，9 のいずれかである．よって，n = 3 ならば，畑の数は3，5，6，7，8，9 のいずれかであるから，a3_3 = 6 である．

(1) と (2) が (3) のための準備問題になっています．

1

・(i) のとき

n = 3 のときの畑の数から，n = 4 のときの畑の数

k 列目 (k + 1) 列目への変化を考える．
まず (i) で畑の数が増えず，n = 3 のときの畑の数

A
B
Cが n = 4 のときの畑の数と等しくなることはある．
次に，n = 3 のときの畑の数が 7，8，9 のときから (iii) で畑の数が 3 個増え，n = 4 のときの畑の数

A
B
C・(ii) のときが 10，11，12 になることはある．さらに，n = 3 のk 列目 (k + 1) 列目ときの畑の数の最大値は 9 であるから，n = 4 のときの畑の数の最大値は 12 である．
また，k + 1 列目をつけ加えたとき，畑が 1 個だ
け増えることはないので（k 列目と k + 1 列目の，ある 1 行以外の作物を同じにすると，残りの 1 行も同じ作物になるため）n = 4 のときの畑の数が 4 になることはない．
以上より，n = 4 のときの畑の数は3 と，5 以上 12 以下の自然数のいずれかA
B
CACBA
BCC
BA

A
B
CBA
C

(ii) について，2 つの列で 3 行のうち 1 行だけ同である．

じ作物を植える場合は，残りの 2 行に植える作物

同様に，n = s（s は 3 以上の自然数）のときの畑が入れ替わり，畑の数が 2 個増えます．の数が・(iii) のとき
3 と，5 以上 l 以下の自然数のいずれか

k 列目 (k + 1) 列目（ただし l は 9 以上の自然数）のとき，n = s + 1 のときの畑の数は3 と，5 以上 (l + 3) 以下の自然数のいずれかである．つまり，畑の数は n が 1 増えると 3 通り増える．
以上より，n = 10 のとき，畑の数はA
BCBCAABCCA
B(iii) については，2 つの列で 1 行も同じ作物がa3_10 = a3_3 + 3(10 - 3)ないときを考えています．(i) でも (ii) でもないと= 6+3•7

きなので= 27 （通り）3!-1-3=2ある．と考えてもよいですが，3 行程度であれば，順番に書き出していけば，以下のような手順ですべて《解説》のパターンを見つけることができます．

(i)，(ii)，(iii) について，わかりやすいように縦に例えば，A の右に B とする．

並べると，以下のようになります．

B の右に A としたら C の右に C でダメ．
B の右には C が入るしかなく，そのとき，C の右に A が入り適する．

2

(i)，(ii)，(iii) から，m = 3 のときは，n が 1 つ増ての植え方について，畑の数の増え方を調べている

えたときの畑の数の増え方が，+ 0，+ 2，+ 3 の 3ので，なんとか理由も含めて気づきたいです．ここパターンしかないことがわかります．

で + 1 がないことに理由も含めて気づければ，(3) でn = 3 のときは，解答のように具体的に計算すれも活用することができます．

ばよいでしょう．

続いて，(2) について説明します．

n = 10 のときは，n = 3 のときと異なり，具体的にすべて書き出すのは大変です．ただ，n = 4 のと［解答］

きの畑の数を具体的に書き出してみると(2)

m = 3，n = 3 のときについて考える．k を自然

n = 3 のとき 3 ならば，3，5，6 のいずれか数とする．
1 列目から k 列目までを植えているとして，

n = 3 のとき 5 ならば，5，7，8 のいずれかk + 1 列目をつけ加える．

n = 3 のとき 6 ならば，6，8，9 のいずれか(1) の (ii)，(iii) より，k + 1 列目の植え方は

n = 3 のとき 7 ならば，7，9，10 のいずれか畑の数が 2 個増える植え方は 3 通り

B1

n = 3 のとき 8 ならば，8，10，11 のいずれか畑の数が 3 個増える植え方は 2 通り

B2

n = 3 のとき 9 ならば，9，11，12 のいずれかある．(1) と同じ記号を用いると，a3_3 = 8 となるのとなるので，「n = 3 のときの畑の数 が 3，5，6 のはときに n = 4 のときの畑の数を考えることは，n =（ア） a3_1 = 3，a3_2 = 5，a3_3 = 8

2 のときの畑の数 が 3，5，6 のときに n = 3 のとき（イ） a3_1 = 3，a3_2 = 6，a3_3 = 8のいずれかのときのみであり，これらに重複する植の畑の数を考えるときと考え方が同じだから，n = 3のときの畑の数と同じ数は必ず出てくる」こととか， え方は存在しない．1 列目に植える作物が上から順「n = 3 のときの畑の数 が 7，8，9 のとき，最大で +に A，B，C のとき．（ア）または（イ）となる植え3 できるから，n = 4 のときの畑の数として 10，11，方の総数は，1，2 より3 • 2 + 2 • 3 = 12 （通り）12 が新しく登場する」ことなどが見えてきます．

ある．1 列目の A，B，C の並べ替えも考えて，求n = 5 のときまで具体的に書き出してしまうと時める植え方の数は間が厳しいので，なんとか n = 4 のときの具体例から

3 ! • 12 = 72 （通り）
「畑の数の最大値 M は 3 ずつ増える」

である．

「3 以上 M 以下の自然数は，4 以外すべて登場する」《解説》

ことに気づきたいです．この特徴に気づければ，マー列を 2 回つけ加えて，畑の数を + 5 します．(1) かク式でなく記述解答の場合は

ら，列を 1 回つけ加えるときの畑の数の増え方は，「+ 0 があるから，1 つ前と同じ数は現れる」+ 0，+ 2，+ 3 しかないと分かっているので，2 回で「+ 3 があるから，1 つ前の最大値 M に対し+ 5 にするためには，+ 2 と + 3 が 1 回ずつ起こるとて，M - 2，M - 1，M から M + 1，M + 2， きしかありません．この増え方の組合せ方を考える部分が，(3) で活用できます．

M + 3 が現れる」

最後に，(1) では k 列目と k + 1 列目の作物が同じ「+ 1 がないから，4 は現れない」などの理由で説明すればよいでしょう．「畑の数がか異なるかだけに注目していたので，A，B，C の+ 1 されることはない」という点は，他に比べると並べ替えを考察する必要はありませんでしたが，(2)気づくのが少し難しいです．(1) では 3 ! 通りのすべ

では，数えたい場合の数が作物の植え方であるた3

め，1 列目の作物の並び順も影響することに注意し

n = 3 のとき，1 列目から k 列目（k = 1，2）までましょう．

が植えられているとして，k + 1 列目をつけ加える

さて，ついに (3) の問題にとりかかります．

ときの畑の数の増え方について考える．
n = 2 のときと同様に考えて

［解答］
(3)

畑が 2 個増える植え方は 15 通り

m = 6 のときを考える．(1) と同じ記号を用い

B3

畑が 4 個増える植え方は 135 通り B4ると，a6_1 = 6 である．

ある．また 1 列目に畑の数が 6 個あるところから，

n = 2 のときについて，1 列目に 2 列目をつけ加え2 列つけ加えることで畑の数が 4 個増える（合計 10るとき，畑の数が 2 個増える（合計 8 個になる）作個になる）ときを考えているから，1 列つけ加える物の植え方を考える．6 行のうち 4 行は，1 列目とことで畑の数が 5 個以上増えるときを考える必要は同じ作物を植え，残りの 2 行については 1 列目と作ない．

物を入れ替えたものを植える植え方なので

k + 1 列目に k 列目と同じ順で作物を植えれば，畑の数は変化しない．その植え方はC4 = 15（通り）

6ある．よって
p=1 通りB5である．

6! ∑ 15
1=(6!)248

また，(1) のときと同様に，畑が 1 個だけ増える植である．

え方は存在しない．

n = 2 のときについて，1 列目に 2 列目をつけ加以上より，a6_3 = 10 となるのはえるとき，畑の数が 4 個増える（合計 10 個になる）（ア） a6_1 = 6，a6_2 = 8，a6_3 = 10

作物の植え方を考える．6 行のうち 2 行は，1 列目（イ） a6_1 = 6，a6_2 = 6，a6_3 = 10と同じ作物を植える．残りの 4 行について，例えば（ウ） a6_1 = 6，a6_2 = 10，a6_3 = 10

1 列目に上から順に作物 A，B，C，D を植えたとする． のいずれかのときのみであり，これらに重複する植
このとき，2 列目が以下のいずれかになれば，畑のえ方は存在しない．

数は 4 個増える．

これらと，3，4，5 より

1 列目 2 列目ABCD6! ∑ 15 ∑ 15 + 6! ∑ 1 ∑ 135 + 6! ∑ 135 ∑ 1(6!)315(15 + 9 + 9)=(6!)211=11520= 0.0009 ºº

r=B
A
DC

B
C
DA

B
DACCA
DBC
DB
A

DA
B
C

DC
A
B

DC
B
A

C
DA
B

である．また1= 0.0005
2000
1= 0.001
1000

よって，畑の数が 4 個増える作物の植え方はC2 • 9 = 135（通り）

6あるのでであるから，r が満たす不等式は6! ∑ 135
3q==(6!)216( e)

である．

である．

411
≤r<2000
1000

という発想を使いましょう．

1に近いことまで
1000

気づけていれば《解説》
まず，n = 2 のときから解説します．

r=畑の数が 8 個になるためには，1 列つけ加えるこ

11= 0.0009 ºº
11520

1= 0.0005
2000
1= 0.0010
1000
1= 0.0020
500とで 2 個増えてほしいので，4 行は左の列と同じ作物を植え，残りの 2 行は植える作物を入れ替えるしかありません．
畑の数が 10 個になるためには，1 列つけ加えることで 4 個増えてほしいです．2 行は左の列と同じ作と小数に直して比べることで，(e) に含まれることが物を植えるとして，残りの 4 行は左の列とすべて異わかりやすくなります．

なる作物を植えなければなりません．4 行分あるので，書き出すには少し勇気が必要ですが，書き出し［補足］てみればそこまで多くはありません．余裕のある方(3) の 4 を導くために，k 列目と k + 1 列目に植は，最後の［補足］に書かれている【完全順列】にえる作物が 4 行分すべてで異なる植え方を 9 通りとついても参考にしてください．

数える際に，すべて書き出しました．

次に n = 3 のときについてです．畑の数を 10 個にここについては，以下の知識があれば，別の捉えするために，2 列つけ加えることで，畑の数を合計方をすることもできます．

+ 4 しますので，+ 5 以上の変化について考える必要【完全順列（かく乱順列）】はありません．また，+ 1 の変化がないことに，理n 個の自然数 1，2，3，B，n を要素とする

由も含めて (1) で気づいていれば，m = 6 になっても+ 1 の変化はありませんから「+ 1 と + 3 が 1 回ずつ」
で + 4 になるルートも考える必要はありません．そ順列において，i 番目が i でない順列を「完全順列（かく乱順列）」という．n 個の要素からなる完全順列の総数を bn とするとこで，+ 0 になるときのみ追加で考えて，+ 0，+ 2，b1 = 0，b2 = 1+ 4 を重複を許して 2 回用いて，合計で + 4 となる

bn + 2 = (n + 1)(bn + 1 + bn)

ルートをすべて考えています．

(n = 1，2，B)が成り立つ．

最後に確率 r が求まった後，8 つの不等式のうちこの事実を知っている場合，9 通りを出すだけなどれを満たすのか，おおよその大きさを評価しなくら，以下のように b4 を求めれば解決できます．

101=が近そうてはいけません．ぱっと見，
10000 1000

b3 = 2(1 + 0) = 2
b4 = 3(2 + 1) = 9には見えますが元々の上智大の問題はマーク式でしたから，完全11 > 10

順列の知識を用いれば，書き出さずに解く事もでき11520 > 10000たでしょう．

1110であるため，とを比べようとしても，11520
10000さらには，この完全順列の考え方は，2022 年 1 月実施の共通テスト，数学 IA の「場合の数・確率」

分母も分子も小さくなってしまうので，大小がハッの問題でも出題されました．完全順列を知らない学キリしません．こういうときは生でも解けるよう誘導がついてはいましたが，事前分数で困ったら小数，小数で困ったら分数に知っていれば問題内容の把握が素早くできたり，

5

り途中の計算をショートカットできたりして，かなりのメリットがあったと思われます．

ui ≠ i

新高 3 生の皆さんは，この 2 月に行われる（もし(i = 1，2，B，j - 1，j + 1，B，n + 2)

くはすでに行われた），研伸館「新学年準備イベン

であるから

ト 2022」内の「高 3 京大阪大への数学」の授業内で詳しく扱いますので，気になった方は，是非，参加，VOD 視聴，講義ノートの見直しをお願いします．

を要素にもつ，n + 1 個の完全順列となる．

レゼント交換」の問題として登場するなど，研伸館の授業の中で時折触れられるテーマですので，新高以上，(i)，(ii) と，6 の j の選び方が n + 1 通り

3 生以外の皆様は授業内で出会えることを楽しみにあることからしておいてください．

bn + 2 = (n + 1)(bn + 1 + bn)

待ちきれない方のために，漸化式の導き方で代表る場合は，お近くの数学科講師まで申し出てくださ（数学科いね．
［漸化式の導き方］
1 から n + 2 の整数が完全順列をなしているとき，i 番目の整数を t i とする．このときti ≠ i （i = 1，2，B，n + 2）である．
B6として，以下のように場合分けを行う．
t j = n + 2 のとき
最初の順列から
tn + 2 = j，t j = n + 2を除けば，残りのt 1，t 2，B，t j - 1，t j + 1，B，t n + 1
が1，2，B，j - 1，j + 1，B，n + 1
を要素にもつ n 個の完全順列となる．
(ii)(n = 1，2，B)が導かれる．

的なものを，以下に載せておきます．何か質問があ(i)

が1，2，B，j - 1，j + 1，B，n + 2

他にも，研伸館中学生課程のテキスト内にも「プtn + 2 = j ( j ≠ n + 2)

u 1，u 2，B，u j - 1，u j + 1，B，u n + 2

t j = k (k ≠ n + 2) のとき
un+2 = kui = ti(i = 1，2，B，j - 1，j + 1，B，n + 1)

として新しく順列を作り直せば， k ≠ n + 2 よ6中西）