測定の不確かさ評価について―3. 不確かさの算出手順 2―
城野

克

広

○，最大で△△」という表現であると言い切ってよいでしょ

は じ

めにう．
言い切ったのはよいとして，それでは，「－20～＋20

前々回から 4 回に渡り，測定の不確かさについて解説しの間でばらつく」と言われたとき，不確かさをどう求めるかております．第 1 回は「不確かさとは何か」，前回と今回はということは大きな問題です．不確かさの計算には標準偏差「不確かさの算出手順」，第 4 回に「不確かさの活用」につが必要です．しかし，自分で実験した結果とは違って，このいてお話していきます．今回は，繰返しのばらつきの解析以

平均を計算し，◯平均からの差の二乗和を求め，場合には，◯外の方法による不確かさの算出と，不確かさにも単位がある それを(データ数－ 1)で割って正の平方根を取るという手◯というお話をします．

順は使えません．このままでは，不確かさの計算ができないのです．

･ 幅だけ分かるときには一様分布「－20～＋20」なる値の標準偏差はどうなるか早速ですが，結論を言ってしまいましょう．「－20～＋20」

前回は標準偏差を紹介しました．標準偏差とはごく普通のずれのことです．複数の不確かさ要因がある場合には，それらの標準偏差を 2 乗して，足して，正の平方根を取ったもなる値の標準偏差は20/ 3 ＝11.5…とします．
もちろん，なぜ3という疑問が湧くことでしょう．

この背景には，図.(a)に示す確率分布が関係しています．のが，最終的に知りたい値の標準偏差です．
ところが，考えてみると，標準偏差で表された不確かな数値というものは，世の中には実に少ないのです．例えば，「最大 30オフ」と言われたとき，では，普通は何オフなのかと勘繰ってしまいます．だからと言って，「悪天候のため新幹線に平均 30 分，標準偏差 15 分の遅れが出ております．」と言われたら，ちょっとイライラする気がします．「悪天候のため最大 1 時間の遅れ」の方が，まだましかも知れません．
他にも前々回のこの解説の冒頭でも述べましたように，「飲料のカロリー表示の誤差の許容範囲は，健康増進法に基づく栄養表示基準により，－ 20 ～＋ 20 と定められています」とか，「日本の電圧の値は電気事業法によって，95 V～107 V の間に収まっていればよい」など，我々にもっとも身近なばらつき表し方は「○○～△△」あるいは「最小で○

図 3.1( a )－ 20 から＋ 20 の範囲で一様な確率を持つ一様分布の確率密度関数と，(b)その一様分布を均等な間隔の値に同一の確率を与えた分布に近似したもの．

産業技術総合研究所 物質計測標準研究部門主任研究員(〒3058565 つくば市東 111)
Things about Measurement Uncertainty ―3. How to Evaluate It? (2/2)―; Katsuhiro Shirono(National Institute of Advanced Science andTechnology (AIST), Tsukuba)
Keywords: Uncertainty, Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM)
2014年 9 月 4 日受理[doi:10.2320/materia.54.405]

ま て り あ 第54巻 第 8 号(2015)
Materia Japanこの確率分布は一様分布と呼ばれるものです．－ 20 よりるから覚えておいてね」と言うところです．

も小さい，または＋ 20 よりも大きい値が観測される確率

さて，この節では，標準偏差を実験結果に基づかずに，手はゼロ．一方で，－ 20 ～＋ 20 の範囲の値が観測される元の情報から決定しました．このような不確かさの評価をタ

確率は一様です．これが，一様分布の名前の由来となっていイプ B 評価と呼びます．一方で，自分で実験し，不確かさます．ちなみに，一様分布は矩形(くけい)分布と呼ばれるこを評価するのをタイプ A 評価と呼びます．ともあります．矩形というのは長方形という意味です．

･ 分布の王様は正規分布

では，一様分布の標準偏差について考えましょう．ここではとっかかりを得るために，範囲「－ 20 ～＋ 20 」の一様分布を，図 3.1 ( b )のような(－ 20 ，－ 15 ，－ 10 ，

先ほどは，一様分布を使った評価を見ましたが，測定の分－ 5， 0，＋ 5，＋ 10，＋ 15，＋ 20)という 9 個野でもっともよく目にする分布は，一様分布ではありませの数字が同じ確率で現れる分布に近似します．この場合の標ん．もっともよく目にするのは，正規分布と呼ばれる分布で 平均は 0．◯
 平均からの差の 2 乗の準偏差は簡単です．◯

す．正規分布とは，図.(a)に示した釣り鐘(つりがね)型な

和を400＋225＋100＋25＋25＋100＋225＋400＝1500と求めどとよく呼ばれる分布で，真ん中が盛り上がり，裾に行くほ これをデータ数 9 で割ると†1) 167.66 …となります
ます．◯

ど小さいという特性を持っています．どうしてこの分布をよから，標準偏差はその正の平方根，およそ12.9となります．

く目にするのか，ちょっとした例を通してお話しましょう．

これは 20 / 3  11.5 とは，そんなに離れているわけ

じゃんけんで勝つか，負けるか，あいこになるかの確率がではないですが，ちょっと違う数字になりました．基本的なそれぞれ 3 分の 1 ずつになるというのは，ご存じでしょう

考え方はこれでよいのですが，もっと細かく刻んで平均を取かあいこになる確率が大きいような気がするとすれば，そる必要があるのです．例えば，(－ 20  ,れは大人数でのじゃんけんです．( 4 人でやると，半分近く－ 19.9  ,…,＋ 20.0 )と 0.1 ずつ 201個の値に区切って上の計算をするはあいこになります．）ここでは 2 人での 1 回きりのじゃんと，11.6となり，かなり11.5に近い数字になります．これをけんを考えます．読者の方にはじゃんけんに自信のある方ももっとずっと細かくしていくと，厳密に 20/ 3 になるといいるかも知れませんが，「勝」，「分」，「負」がそれぞれ 3 分

うわけなのです†2)．の 1 ずつというのは前提としましょう．

一様分布の標準偏差の計算の仕方はこれでよいとして，疑ということは，「勝」，「分」，「負」の一様な分布と言えまい深い方は，そもそもなぜ一様分布が出てくるのかと思った

す．しかし，ちょっとしたことで，この様相は変わってしまかも知れません．今，数値としてわかっているのは「－20

うのです．

～＋ 20 」だけです．だからと言って，一様分布のような例えば，2 回じゃんけんをしてみましょう．どんな勝敗の値の現れ方はしないというのは，常識的な判断かと思いま組み合わせが考えられるでしょうか例えば「 2 連勝」，そす．こういう幅が与えられている場合には，幅の限界ギリギ

れから，「 1 勝 1 分」，「 1 勝 1 敗」，「 2 分」，「 1 敗 1 分」，そリの値を見つける可能性は，幅の真ん中の値を見つける可能して，「 2 連敗」です．ここで，勝ち数から負け数を引いた性よりも，ずっと低いというのが普通でしょう．

数をポイントとします．2 連勝の場合は 2－0＝＋2 ポイント

これも不確かさが単なるお約束の積み重ねに過ぎないということの一つの表れかも知れません．不確かさのルールブッとなります．このポイントは，＋2 ポイントから－2 ポイン
トまでの，色々なポイントになる可能性があります．

クである国際文書 Guide to the expression Uncertainty in

それぞれのポイントの確率を計算してみましょう．結構大Measurement(GUMガム)には表面上は，常識や経験とい変ですので，心してかかってください．まず，＋2 ポイント

うものを取り入れて，不確かさを評価すると書いてはあります．しかし，事実上，一定の幅に値が収まっているという場合には，一様分布を用いることが多いのです．
結論としては，幅だけが分かっているときの標準偏差は半幅の3 分の 1．覚えてしまえば，別に難しいルールではありませんね．中学校の先生であれば「これはテストに絶対出†1 ) (データ数－ 1 )の 8 ではなく，データ数 9 で割ったのは，ここでは本当の平均 0 が分かるからです．前回述べたように本
当の平均が分からないときにはデータ数－ 1 で割りますが，本当の平均が分かるときにはデータ数で割ります．
†2) 細かくしてくと，最後は積分が現れます．中心が 0，半幅がA の(つまり － A から A を範囲とする)一様分布を考えましょう．値 x の中心 0 からのずれの 2 乗は x2 です．刻み幅を無2限に細かくすると， x2 の平均は∫A－Ax dx / 2A で与えられます．－ A から A まで x2 を積分したものを，その範囲の大きさ( 2A )で割って平均化しているのです．これを計算して，その正の平方根をとると A/ 3 が得られます．



図3.2

(a)正規分布の確率密度関数． m は平均． s は標準偏差．(b)じゃんけんを 3 回やったときの勝ち数から負け数を引いた値の確率分布．両者はよく似ている．

入 門 講 座は「2 連勝」しかないですから，一回目に勝つ確率の 1/3 とこの 95 の区間から標準偏差を計算したい時，どうする二回目に勝つ確率の 1/3 をかけて，1/9 となります．＋1 ポ

かと言えば，その半幅を 2 で割るのです．これは，ばらつイントも「1 勝 1 分」しかありませんが，先に勝つ場合と，きが正規分布ならば，標準偏差の±2 倍の範囲に95の値が先に分ける場合の 2 つの場合があります．つまり，2 連勝の現れるためです．そうでないということもあるのですが，例2 倍起こりやすく， 2/ 9 の確率があることになります． 0 ポ

外については次回またお話しましょう．

イントは，「 1 勝 1 敗」と「 2 分」があり，「 1 勝 1 敗」は先

この節の絶対テストに出るポイントをまとめますと，正規に勝つ場合と先に負ける場合があるので，全部で 3 つの場

分布で， 95 という確率と幅の大きさが分かっているとき合があり，確率は 3/9 となります．－1 ポイントは＋1 ポイには，その半幅を 2 で割ると標準偏差になるということでント相手がとった場合ということですから 2 / 9 ．同じく，す．

－2 ポイントは 1/9 です．ああ，大変でした．
何が言いたいかと言うと，この＋2 ポイントから－2 ポイ

･ 不確かさにだって単位があるントの確率の並び(1/9, 2/9, 3/9, 2/9, 1/9)は，全く一様ではないということです．真ん中が盛り上がっていて，裾に行く突然ですが，皆様にはパーティーの幹事になっていただきほど小さい…おや，先ほどの正規分布の説明に似ているようましょう．そのパーティーでは，食事は準備されているのでな…．

すが，飲み物のビールの値段は飲んだ分だけ後払いです．もここでは，せっかくなので，もう一回じゃんけんしてみまちろん，ビールの総額は，(ビール 1 本の値段)×(ビールのしょう．＋3 ポイントから－3 ポイントまでどういう確率で本数)ということなります．残念ながら，ビール 1 本の値段現れるか，どうしても計算をしたいという方を止めたりはしも，消費されるビールの本数も不確かです．幹事としては，ません．しかし，ここは先を急ぎましょう．答えを図3.2(b)おおよその値を定めるとともに，その不確かさも分かればうに示します．いかがでしょうかもうほとんど図3.2(a)と変れしいところです．

わらないと言っても過言では…あるかも知れませんが，だいぶん正規分布に似てきたとは言えましょう．
最初は一様であった，「勝」，「負」，「分」の確率分布が，ビール 1 本の値段については， 95 の信頼の水準で 260(円/本)から300(円/本)までの範囲に入るという情報があるとします．ビールの値段が正規分布するならば，ビールの値3 回繰り返すと，正規分布っぽくなるというのは，ちょっと段の標準偏差は95の範囲の半幅(20(円/本))の半分です．

不思議なことです．しかも，これを無限に繰返していくと，これは10(円/本)となります．

なんと，どんどんと正規分布に近づいていくことが数学的に証明されています†1)．
ここでは一様分布でしたが，実は，他のどんな分布であっでは，どれだけビールを飲むかというと， 100 本か， 102本か，93本か…そんなところです．ここでは，思い切って，100本と決めてしまいましょう．ただし，± 7 本の幅があるても，それらを足していくと，正規分布に近づくということものと考えます．半幅の大きさをが知られています．自然物でも，人工物でも，いくつかの誤が求まります．消費されるビール本数の標準偏差は 7 / 3差が重なった結果として，最終的に目に見える誤差になると本です．7/ 3 ＝ 4.04…ですから，およそ 4 本ということにいうことを考えると，誤差の分布は正規分布に近いものにななりましょう．

3 で割ると，標準偏差るであろうと予想されます．その予想は正しく，このためビールの総額は，(ビール 1 本の値段)×(ビールの本数)に，正規分布が測定の分野でよく表れることになるのです．

ですから，おおよそ 280(円/本)× 100(本)＝ 28000 円です．

それでは，正規分布が不確かさ評価において，どのように使われるかをお話しましょう．測定の分野で重要な正規分布

さて，この不確かさはどれほどでしょうか．
ここには 2 つの不確かさの要因があります．一つはビーの特性はただ一つです．それは正規分布においては，標準偏ル 1 本の値段．この標準偏差は10(円/本)です．もう一つは差の±2 倍の範囲に，95の値が現れるということです．

ビ ー ルの 本 数 です ． この 標 準 偏差 も 4 本と 分 かっ て い ま

もう少し細かい話は次回にいたしますが，これは測定装置す．複数の不確かさの要因が分かっているときには，「 2 乗を校正したときの不確かさと関連します．測定装置を校正にして足す」のでしたね．これが一番重要なルールでした．

出すと，校正事業者は校正結果を含む校正証明書を発行しま

さて， 2 乗して足してみましょう． 10(円/本)を 2 乗する

す．校正証明書には不確かさとして，標準偏差が書いていなと，100(円/本)2．4本を 2 乗すると， 16(本)2．これらを足いことがあります．その代わりにしばしば， 95 の信頼のして， 116 …と思った方はご用心． 116 の単位がどうなるか水準†2)をもつ区間が書かれているのです．

を考えてみて下さい． 100 の方の単位は「(円/本)の 2 乗」です．では， 116 も「(円/本)の 2 乗」かというと，それは†1) この無限にばらつく値を足しこんでいくと，その結果得られる値の分布が正規分布になるという定理を中心極限定理と呼びます．
†2) 統計学には「信頼水準」という用語がありますが，不確かさ評価ではあえて「信頼の水準」という異なる用語を使います．
この言い回しにひっかかる方は，とりあえず「確率」と言い換えていただいて問題ありません．

ま て り あ 第54巻 第 8 号(2015)
Materia Japan

おかしいですよね．足し算のする相手の16の単位は「本の 2乗」なのですから…．要は足せないのです．一体どういうことなのでしょうか
実は，肝心なことを言い忘れていました．「2 乗して足す」
ことで不確かさを決めることが出来るのは，不確かさの要因

が単純に足し算してあるとき，あるいは引き算してあるときだけなのです．なんとも，説明不足で申し訳ありませんでした．今回は(ビールの総額)＝(ビール 1 本の値段)×(ビールの本数)という掛け算なので，不確かさの計算はできないのです．これは困りました．
ただ，あきらめたら，そこで試合終了です．掛け算の不確
かさが計算できないのは事実です†1)が，掛け算を足し算に近似することはできるかも知れません†2)．
考えたいのは，例えば，ビール 1 本の値段が標準偏差の分10(円/本)変わったとしたら，どのくらいビールの総額が変わるかということです．ビールの本数はおおよそ100本です．ということは， 1 本の値段が 10(円/本)変わったら，総図 3.3掛け算を足し算に近似するときのイメージ図．
長方形の両辺の掛け算は長方形の面積．横のずれ( Dx )と縦の大体の値( y )を掛けると，横のずれによる変化となる．縦のずれも同じ．上で無視する面積が大きいほど近似は悪くなる．

額では 10(円/本)× 100本＝ 1000円変わるということになりますね．
具体的にビールの値段が 280 (円/本)の場合と 290(円/本)

このように，掛け算を足し算に近似できました．しかも，の場合，ビールの本数を 100 本と固定したならば，総額が不確かさの要因はそれぞれ別の項に移してあります．近似式

28000 円と 29000 円となります．確かに，ビール 1 本の値段の第 1 項の28000円は不確かさのない値です．第 2 項はビーが10円増えると，総額は1000円変わっていますね．

ル 1 本の値段の不確かさが考慮された項で，この標準偏差同じく，ビールの本数が 4 本変わったら，総額は 4 本×は 1000 円ということになります．第 3 項はビールの本数の280円＝1120円だけ変わるだろうということも分かっていた

不確かさが考慮された項で，標準偏差は1120円となります．

だけますでしょうか．

これであれば，2 つの不確かさ要因の標準偏差である1000

これらを踏まえると，ビールの総額は，円と 1120円は同じ単位なので，「 2 乗して足す」ことができ(ビールの総額)ますね．2 乗して足した値の正の平方根である，およそ1500＝(ビール 1 本の大体の値段)×(ビールの大体の本数)円がビールの総額の標準偏差なのです．

＋(ビール 1 本の値段の変化による総額の変化)＋(ビールの本数の変化による総額の変化)という足し算に近似できるような気がしてきます．なお，第1 項の(ビール 1 本の大体の値段)×(ビールの大体の本数)は28000円です．

このように，複雑な式で測定対象量を求める場合には，その式を，不確かさ要因ごとに別の項になるように，足し算あるいは引き算の形に近似します．
このときに，もともと知っていた単位での標準偏差が，別の値に変換されます．例えば，ビール 1 本の値段の標準偏

ちょっとピンと来ない方は図.もご覧ください．図3.3か差10(円/本)は1000円に変換されました．この変換の割合のらも分かるように，上の式は厳密には正しくはありません．

ことを感度係数と呼びます．この例では 1000 (円)/ 10 (円/しかし，不確かさがあまり大きくないときには，これで十分本)＝ 100 (本)が感度係数です．感度係数は単位を変換するな 近 似 な の で す ． 例 え ば ， ビ ー ル 1 本 の 値 段 が 290 ( 円 /係数とよく言われます．ただ，その背景に上の近似があると本)，ビールの本数が104本の時，ビールの総額は，290(円/いうことも知っておいて，損はないでしょう．

本)× 104 本＝ 30160 円です．上の近似では，(ビール 1 本の値段の変化による総額の変化)は 1000 円でした．同じく(ビ今回は実験以外の情報から不確かさを導き出す方法と，単ールの本数の変化による総額の変化)は1120円．ビールの総位の変換についてお話しました．次回は最終回．不確かさの額は28000円＋1000円＋1120円＝30120円となります．この使い方について，お話します．

(つづく)40円の差には目をつむってあげて下さい．
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2007 年†1) 正確に言うと，掛け算の不確かさを直接に計算しようとすると，とても大変だということです．通常は，モンテカルロ法と呼ばれる数値計算により実施します．
†2 ) これは学会報なので，「テーラー展開して線形近似します」
だけで説明としては十分でしょうが，数学が苦手な方のために遠回りな説明をしました．複雑な関数の不確かさを評価するには，テーラー展開による線形近似が必須です．



東京大学大学院新領域創成科学研究科博士課程修了
2009年 産業技術総合研究所研究員
2013年 3 月・現職
専門分野不確かさの評価の技術開発・比較試験の統計処理◎活動内容などは下記 Web サイトをご覧ください．
(https://staff.aist.go.jp/k.shirono/)
城野克広★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

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