広島工業大学紀要研究編
第 ₅₃ 巻（₂₀₁₉）117 – 123論

文

セルトのスピン反転とカイラルやじろべえ
鬼追一雅*（平成₃₀年₁₁月 ₁ 日受付）

On the spin reversal of the celt and the “chiral balancing toy”
Kazumasa KIOI
(Received Nov. 1, 2018)

Abstract
The celt or rattleback, sometimes called wobblestone, has a semi-spheroidal rigid body with asymmetric mass distribution. When it is rotated on a horizontal smooth surface such as a table, it “rattles”
and eventually rotates in the opposite direction. It is a toy that makes a strange motion that seems to
be breaking a law of conservation of angular momentum. In this paper, we look back on the history of
research on the spin reversal mechanism of the celt and consider the chirality causing spin reversal.
Finally, a spin reversal phenomenon of the “chiral balancing toy” has been introduced as a novel open
question.
Key Words: celt, rattleback, wobblestone, spin reversal, chiral dynamics, chiral balancing toy, open
question
本稿ではセルトのスピン反転機構に関する研究の歴史を

₁ ．はじめに振り返ると共に，スピン反転をもたらすカイラリティにつセルト（celt）はコマの一種で，図 ₁ のような慣性主軸に対して底面が非対称な形状のものと，図 ₃ のような回転

いて考察を行う。最後に関連現象として“カイラルやじろべえ”のスピン反転現象を紹介する。

楕円体の底面を持ち慣性主軸に対して非対称に重りを載せ

₂ ．セルト研究の歴史たものとの ₂ 通りの作り方がある。いずれの場合も慣性主
軸と形状主軸がずれている。ラトルバック（rattleback）あ

回転運動は一般的に複雑であり，コマの回転のように滑るいはウォブルストーン（wobblestone）とも呼ばれる。机らかな運動でない限り数理的解析は容易でない［ ₂ ］。セルなどの水平で滑らかな平面上で回転させるとガタガタと振トは単純な構造ではあるが，その運動は単純な回転運動か動し，やがて逆方向に回転する。一見すると角運動量保存

ら少しだけ外れた運動をするので，解析対象として興味深則を破っているかのように見える不思議な運動をする玩具

い。セルトに関する最初の科学的な研究は₁₀₀年以上前にである。最初に考古学者が古代の遺跡から見つけ，石斧をG. T. Walker によって発表されている［ ₃ ］
［₄］
。定性的な

意味するセルトと名付けた［ ₁ ］。しばしばケルト人（Celt）

振る舞いを記述してはいるが，物理的な根拠は希薄であり，と混同されるが発音が異なり，全く別の言葉である。セル

その後の研究においてもセルトの奇妙な振舞いは厳密に解

トは元来は考古学用語である。一般向けの日本語解説とし明されることなく，永らく未解決問題であった。定性的なては物理学者の戸田盛和が「おもちゃの科学」という書籍

振舞いに関しては J. Walker による₁₉₇₉年の論文が詳しい［ ₂ ］の中において“あっち回りが好きな石”という見出し［ ₁ ］。また₁₉₈₆年には定常宇宙論で高名な Bondi が数理的で紹介している。

な解析を行った［ ₅ ］がやはり物理的根拠は希薄であった。

* 広島工業大学情報学部情報工学科
─ 117 ─

鬼追一雅

セルトは負回転では反転しないかのような説明がなされや振動センサの研究［₁₇］もなされている。セルトの力学

ることがあるが，それは間違いである。大きな自励振動がはいわゆる非ホロノミック系であり，掘削抗の底における生じるなら両方向に反転することは既に G. T. Walker が指ドリルビットの動作解析の研究にも影響を与えている摘している［ ₃ ］。

［₁₈］。また，セルトが自発的にジャンプすることは以前か関連する現象として，ゆで卵の立上り現象や日本の逆立
ちゴマ（tippe top）の振舞いがある。逆立ちゴマの力学にら指摘されており［₁₉］，回転卵における下村や Batista の解析はセルトにも適用できると考えられる。

関しては₁₉₅₂年の Braams［ ₆ ］および Hugenholtz［ ₇ ］に

₃ ．セルトのスピン反転現象

よって解決された。重心のずれた球形物体の回転運動においてジェレット定数と呼ばれる運動定数が存在することが₃.₁．スピン反転と摩擦力見いだされたことによって解決されたのである。回転する

セルトの奇妙な振舞いについては永らく摩擦力が重要な

ゆで卵の立上り現象については₂₀₀₂年に Moffatt と下村に役割を担っていると考えられてきた［ ₂ ］。しかし Moffatt

よって最終的な解決を見た［ ₈ ］。これはジャイロスコピッ

ら［₁₂］によると，セルトの反転機構にとって散逸（つまク近似と名付けられた方法により，任意の軸対称物体に対り滑り摩擦）の存在は本質的ではなく，滑り摩擦が無視でしてジェレット定数が保存することを発見したことが解決きる場合には無限回のスピン反転が可能である。
“滑り摩擦に至った大きな要因である。また下村らは回転するゆで卵が無視できる場合”というのは滑り摩擦によるエネルギーが自発的にジャンプすることを理論的に導出し［ ₉ ］，実験

散逸が ₀ に近いことを要請しているのであって，必ずしもでも確認した［₁₀］。下村らの解析では滑り摩擦を仮定して静止摩擦係数が大きいことを要請しているのではない。そいたのに対して，Batista は回転楕円体の動作のごく初期にういう意味では「摩擦係数が大きければ，滑らない状況においては摩擦がなくても自発的ジャンプが生じうることを近くなるので，反転回数は大きくなるはずである」という見出した［₁₁］。

説明［₂₀］は現実的ではないだろう。

これらの成果を踏まえてセルトの振舞いに関する理解がG. T. Walker は形状主軸（長径）と慣性主軸のずれが ₆°

近年になって大きく前進した。Moffatt と時枝［₁₂］はの場合にはピッチング振動とローリング振動のいずれに対Markeev［₁₃］と Pascal［₁₄］が導入した ₃ 次の非線形動しても不安定であり，停止するまでに ₃ 回反転したと記し

力学系を用いてカイラル反転を記述し，散逸パラメータをている［ ₃ ］。現時点においても公開されているデータとし調整することによって任意の回数のスピン反転が可能であて確認できる最大反転回数はせいぜい ₄ 回である［₂₄］。J.

ることを示した。すなわち原理的には無限回のスピン反転

Walker によると，“ラトルバック”という名称の名付け親が可能であることになる。Moffatt らによって再構築されたでもあるミシガン大学の Moore が作った半卵型のセルトはセルトのモデル方程式は，地磁気の反転を説明するモデル

₁₅回以上反転した記録を出したが，その後は再現できなくとしても使えるという［₁₅］。

なってしまった［ ₁ ］。原因はよく分からないという。十分に条件を整えることが出来れば反転回数を増加させることが出来ると考えられる。スプーンのような非対称な底面形状の方が振動は生じやすく［₁₉］， ₃ 回反転の様子を公開している Ucke［₂₁］と ₄ 回反転の様子を公開している Youd［₂₄］もスプーンの柄を曲げて作製している。
₃.₂．カイラリティ

セルトの ₃ つのモード：ピッチ（P），ロール（R），スピン（S）。スピン方向が反転する。垂直方向の軸はヨー（yaw）
軸と呼ばれる場合もある。慣性主軸に対して底面が非対称な形状をしている。

セルトは図 ₂ に示すように，その形状はカイラリティ

Moffatt らとは独立に₂₀₀₈年，Zhuravlev と Klimov はセ

(a)Ｌ体
(b)Ｒ体
(a)Ｌ体
(b)Ｒ体
(a)Ｌ体
(b)Ｒ体
L-bodyR-bodyL-bodyR-body
L-bodyR-body
セルトの形状はカイラリティを有している。黒丸は重りの図₁

ルトについての包括的な理論を提案した［₁₆］。それまでの研究では，セルトの机との接点における速度が ₀ といった

図₂

単純化した仮定を含んでいたが，彼らの研究は乾燥摩擦と接触面積に依存する効果を含んでいる。
最近ではセルトを利用したエネルギーハーベスティング
─ 118 ─

位置を示す。（a）L 体と（b）R 体は互いに鏡像体の関係にある。L 体は左回転，R 体は右回転が弱反転方向（負回転方向）になる。大半のセルトにおいて，弱反転方向に回した場合（負回転）には振動の発展よりも回転の減衰の方が早いので反転しない。

セルトのスピン反転とカイラルやじろべえ（対掌性）を有している。即ち，互いに鏡像体†の関係にあ

した値である。α ，β ，γ はロール，ピッチ，スピンの回転る（a）の L 体と（b）の R 体は回転と並進だけでは重ね合の エ ネ ル ギ ー を 結 び つ け る 係 数 で，わすことができない。剛体の運動は，その鏡像の運動と一βω P2 A02 + αω R2 B02 + γ n2 = 2 E の 関 係 が あ る。E は 全 エ ネ ル

致するので L 体と R 体はそれ自体の運動はカイラリティをギーである。

示さないが，「剛体＋机」系の運動は重力の存在によってカここで χ > ₀ を仮定する。強反転方向のピッチングモー

イラリティを示すことになる。

ドでは振幅 A は N = ₀ のときに励起されて dN/dτ < ₀ とな

以下 Moffatt と時枝［₁₂］によるセルトのモデル式およる。すなわちセルトは負のスピンを開始する。弱反転方向

びカイラリティの影響について簡単に紹介する。

のローリングモードの場合は振幅 B が励起され dN/dτ > ₀

楕円体 ( X / a) + (Y / b) + ( Z / c ) = 1 の運動を考える。

となりセルトは正のスピンを始める。しかし，λ > ₁ なので座標系は図 ₃ に示すように Z 軸上向きを正とする右手系と角加速度は小さい。時間尺度が遅い場合の ₃ 次元力学系のする。滑りが無いと仮定すると移動する接点 P の座標 x(t)振舞いは式（₁）によって完全に記述される。

2

2

2

と y( t) に は 二 つ の 独 立 し た 振 動 モ ー ド，ピ ッ チ ン グ( x, y ) = (1, 0 ) e − iω t とローリング ( x, y ) = (0,1) e − iω t が存在す
P

₃.₃．摩擦力と反転モーメントR

すべり摩擦のある場合には式（₁）は次のように拡張される。楕円体が z 軸周りに回転するとこれら ₂ つのモードはる。

結合するが安定したままである。

 B   A   µ1 A 
 A
d  
B = sgn χ  λ A ∧  B  −  µ2 B    dτ  
 0   N   µ3 N 
 N

（₂）

式（₂）において散逸パラメータ μ ₁，μ ₂，μ ₃を調整するこ

Spinningとにより，エネルギーが ₀ になるまでの任意の反転回数をforce ofnormal reaction

実現できる。式（₁）および式（₂）は Markeev［₁₃］とPaskal［₁₄］が導出したスカラー形式の式から，Moffatt ら［₁₂］によって導出されたベクトル形式のセルト反転メカニ
ズムを表す式である。

contact point
P(x(t),y(t))

図₃gravity

右手系座標系。X，Y，Z はセルトの形状主軸（＝幾何学的形状の主軸）であり，x，y，z は慣性主軸である。黒丸は重りを表す。セルトの底面と机は点 P で接触している。Z(z)軸は省略されている。



既に述べた通り，セルトの反転機構については永らく摩擦力が重要な役割を担っているという誤った説明がなされてきた［ ₂ ］。摩擦力は回転速度を落とす効果はあっても，スピンの反転に直接寄与する力とはなり得ないはずである。
Moffatt ら［₁₂］はこの点について「セルトの反転機構にとって散逸（つまり滑り摩擦）の存在は本質的ではない」

楕円体の形状主軸に対して Z 軸周りに少しだけ回転させと明確に否定した。摩擦はあくまでも回転速度を落とすだ

た慣性主軸を x とする座標系 xyz を使うと接点 P 付近のセけであってスピン反転には寄与しない。多くのセルトでは，ルトの表面は局所的に，

弱反転方向に回転した場合には摩擦による回転の減衰がz = −1 +ローリング振動の発展よりも早いのでスピン反転に至らな

x2
xy y 2+χ 2 + 222aa2bいのである。スピン反転の本質はカイラリティにあり，そで表される。ここで χ はカイラリティ・パラメータで，正の運動が非ホロノミック系であるということだ。
例えば小川ら［₁₉］は，「セルト底面と机面との接点が慣または負の小さな値を持つ。摩擦によるエネルギー散逸を性主軸上にないことから，振動中のセルトに机面から働く

無視できる場合には，セルトの力学的振舞いは

垂直抗力は慣性主軸周りの回転モーメントを発生させる。」

 B   A
 A
d  
B = sgn χ  λ A ∧  B   dτ  
 0   N
 N

（₁）

と説明している。それにもかかわらず，スピン回転運動から振動（ピッチングとローリング）へのエネルギーの移動‡と書ける 。ここで ω P をピッチング振動の周波数，ω R を
₂

ローリング振動の周波数とすると，λ = (ω P/ω R) である。まのきっかけとなるのが摩擦であると結論付けており，説明に矛盾がある。

–₂

また村上［₂₂］は「ローリングによって接点は上から見た z 軸周りの角速度 (₀,₀,n) に対して N = ₅(₁ + ₆b )n であ(る。A = 5 1 + 6 b−2) β / γ A と B = 5 (1 + 6b ) α / γ B はそ
0

−2

0

れぞれピッチング振幅 A₀(t) とローリング振幅 B₀(t) を変形て反時計方向に転がる。そのときの摩擦トルクが順方向の回転トルクになる。」という説明をしている。これは弱反転─ 119 ─鬼追一雅

方向（負回転）では逆転しないという前提での説明であり，

₃.₅．セルトの重心位置とカイラルやじろべえ
ところでセルトは机上において安定した平衡状態で静止

実際のセルトが弱反転方向（負回転）から強反転方向（正可能である。これは接触点 P における垂直抗力よりも重心回転）へもスピン反転を起こすことと矛盾する。

を通る鉛直線の方が回転楕円面の内側にあるので回転の₃.₄．セルトの形状とスピン反転条件

モーメントが復元力として働くからである。図 ₄ のように

Moffatt らによるとセルトの反転は（₁）強反転方向（正セルトを構成する重りが上方に突き出しているような形状回転）に回転，（₂）ピッチング振動の発展＝スピン逆（負をしている場合には重心の位置が高くなる。重心を通る鉛回転）モーメントの発生，（₃）スピン反転＝弱反転方向

直線が接点 P よりも外側にくると重力と垂直抗力による回（負回転）に回転，（₄）ローリング振動の発展＝スピン逆転のモーメントは復元力とはならず，セルトは横倒しに（正回転）モーメントの発生，（₅）スピン反転＝強反転方向

なってしまう。

（正回転）に回転，という経過を繰り返す［₁₂］。

z一方，Zhuravlev らは楕円体の表面を

weight( − x cos d + y sin d )2 + ( x sin d + y cos d )2 + z 2 − 1 = 0 （₃）
c2と表して，運動座標系を慣性主軸に合わせて解析を行った。
Zhuravlev らのシミュレーションによるスピン反転の様子を見ると，強反転方向（正回転）から弱反転方向（負回転）Pへのスピン反転においてはピッチング振動の発展が支配的ではあるが，弱反転方向（負回転）から強回転方向（正回

図₄転）へのスピン反転においては，必ずしもローリング振動rodynormal reaction

b2

gravitya2

weight

セルトの安定性。重心位置が上がって重心を通る鉛直線が接点 P よりも外側にくると横倒しになる。

の発展が支配的とは言えない。
逆に重りの位置が低く，重心が底面の回転楕円面より低

Moffatt らの結果においてはピッチング振動とローリング
振動のいずれか一方のみの振幅が発展しているのに対して，くなった場合はどうだろうか。図 ₅ にそのような例を示す。

Zhuravlev らの結果では，正から負，負から正のいずれの反この構造はやじろべえの支点部分をセルトに置き換えたこ転においてもピッチング振動とローリング振動の両方が発とに他ならない。このようなやじろべえ型のセルトをカイ展している。これは Moffatt らが局所的な近似であるのにラルやじろべえと名付ける。

加えて，長径 a と短径 b について a >> b という条件を与えていることが影響していると考えられる。

rod

これらの事柄は R 体か L 体かだけでなく長径／短径の比
gravity

によっても強反転方向が変わり得る可能性を示唆している。
そこでセルトの長径 a と短径 b との比率と反転条件について考える。セルトの長径 a と短径 b とが等しい場合は慣性

pitching

主軸と形状主軸が常に一致する。スプーンを利用したセル

P(x(t),y(t))

ト［₂₁］は a ≒ b に近い形状をしており Zhuravlev らの条件

mg(b/a ≒ ₀.₂₂₉) に近い。スプーンのように非対称な形状の方

table

が反転回数が多くなりやすいという指摘があるが［₂₀］，Zhuravlev らの結果を見ると非対称であることよりもむしろa ≒ b に近い形状であることが反転回数の増加に寄与する可mg

図₅能性がある。筆者の予備的な実験では，実際にそのような

重りの位置を低くしたやじろべえ型のセルト。上は上面図。
下は側面図。重心を低くするとピッチング周期は長くなる。
やじろべえの支点をセルトに置き換えたのと等価である。

傾向が観察された。上面の楕円率 b/a = ₀.₄のセルトでは再筆者の簡易的な実験では，このような構成にしてセルト

現性良く ₆ 回反転させることができた。
セルトの XY 断面の楕円率 b/a とスピン反転条件並びにの重心位置を下げられたセルトは，スピン反転し難くなっ

YZ 断面の楕円率 c/b とスピン反転条件について詳細に検討たり，強反転方向が逆（R 体であるのに右回転が強反転方した報告例は今のところ見つかっていない。今後の検討が向に）になったりする場合がある。これまでにこのような望まれる。

現象の報告例はなく，現象自体の詳しい調査が必要である。
─ 120 ─

セルトのスピン反転とカイラルやじろべえ

確認されたのである。Moffatt ら［₁₂］および Zhuravlev ら［₁₆］のセルトの運動解析においては自発的ジャンプについての言及はない。シミュレーション結果を見てもジャンプ
はしていないように見える。セルトの運動を観察していると長径 ₂a≒短径 ₂b に近づくほどガタガタ音が激しくなる。
このことから回転卵の自発的ジャンプと同じメカニズムである可能性が高い。回転卵の自発的ジャンプ理論のセルトへの適用および実験的検証が望まれる。また接触点の移動軌跡を追跡することによって反転モーメントとジャンプの様子を直感的に知ることができるのではないかと考えられる。
図₆₄ ．カイラルやじろべえの振舞い

筆者の自作セルト。（a）と（b）は木製，（c）と（d）はア
クリル樹脂製。底面を紙やすりなどで磨いて適当な重りを付けると，簡単にスピン反転するようになる。

短径 b ≒ ₀ の構造を持ったカイラルやじろべえを作製する。もはやセルトの形状をしていない。これは上から見て今のところ正確なメカニズムは不明である。カイラルやじ

慣性主軸が形状主軸からずれたやじろべえである。このカ

ろべえは振動周波数が低くなる。このことから実験的観察

イラルやじろべえは z 軸まわりの角運動量が変化し，やはには向いていると考えられる。

りスピン反転する。

図 ₆ は筆者の自作セルトの一例である。セルトの作製はその動作にセルトほどの不思議さを感じないのは，カイ

意外に簡単で，適当な形状でも慣性主軸をずらすとスピン

ラルやじろべえの縦方向の振動（＝ピッチング振動）の振反転するようになる。しかし実験しようとすると再現性に幅が大きくて，かつ周波数が低いことが原因と考えられる。

乏しく，正確なデータを得るためにはそれなりの仕掛けがピッチング振動の周波数が低く，もはやジャンプすること必要になる。上記のような実験はあくまで簡易的であり，はないのでセルトのようにガタガタ音を発生しない。セル

定性的な特性を示せても定量的な再現性に欠ける。近年，

トの強反転方向の運動は，回転運動→ピッチング振動の発

₃D プリンタの普及により，安価に正確な形状のサンプルを展→逆回転という運動変化が生じるが，このカイラルやじ作製できるようになった。図 ₆ のアクリル製セルトは ₃D プ

ろべえでは，回転＋ピッチング振動→逆回転＋ピッチング

リンタで作製したものである。現在，この他にも様々な形

振動という運動変化が観察される。

状のセルトを作製し実験的検証を進めている。

短径 b ≒ ₀ のカイラルやじろべえは曲線状の底面を持つタイプのセルトを支点に持つやじろべえであるとも考えら

₃.₆．セルトの自発的ジャンプれる。更に a = b ≒ ₀ の場合のカイラルやじろべえを考え既に述べたようにセルトが自発的にジャンプすることはる。この場合はほぼ点接触となり接触点の移動がほぼ ₀ で以前から指摘されている。ラトルバックという名称は「ガある。長径と短径が共にほぼ ₀ 即ち a = b ≒ ₀ の場合にはス

タガタと音を立てる」という意味が語源である。セルトのピン反転しないことが予測されるが，実際にはむしろスピ運動を観察していると，このガタガタ音はセルトが自発的

ン反転を繰り返す。筆者が試しに作製した図 ₇ のカイラルにジャンプをして机に落下した時の衝突音であるように見やじろべえはスピン反転を₃₂回繰り返した。点接触と考ええる。しかしながら，このガタガタ音がジャンプしたときの衝突音であることが実験データとして示されたことはない。前節のようにして重心位置を下げるとピッチング振動
は周波数が低くなりガタガタ音は出にくくなる。
村上はピッチング振動における接点での抗力と摩擦力をインパルス＝打撃力に近いとして考察を行った［₂₂］。すな
わち強反転方向（正回転方向）におけるガタガタ音が落下時の衝撃音であるとした考察である。
一方，回転卵の立上り現象における卵の自発的ジャンプ
ついては下村ら［ ₉ ］が理論的に導出するまでは現象の存在が知られていなかった。実験的検証［₁₀］を経て初めて

図₇

─ 121 ─a = b ≒ ₀ のカイラルやじろべえの例。このカイラルやじろ
べえはスピン反転₃₂回を記録した。

鬼追一雅るのが間違いであり，a = b << ₁ の小さな球面もしくは回［ ₈ ］H. K. Moffatt and Y. Shimomura, ＂Spinning eggs - a

転楕円面と考えるべきなのかもしれない。今後の解析課題

paradox resolved,＂ Nature, vol. ₄₁₆, no. ₆₈₇₉, pp. ₃₈₅-

である。

₃₈₆, ₂₀₀₂.

このカイラルやじろべえはスピン回転の角速度が遅い上［ ₉ ］Y. Shimomura, M. Branicki and H. K. Mof fatt,に ₁ 回転未満で反転する。しかも振幅の大きなピッチング＂Dynamics of an axisymmetric body spinning on a振動を伴う。常にピッチング振幅が大きく振動数は回転運

horizontal surface. II Self-induced jumping,＂ Proc. R.

動の方がはるかに遅いため，風にゆらゆらと揺られて回転

Soc. A, vol. ₄₆₁, no. ₂₀₅₈, pp. ₁₇₅₃-₁₇₇₄, ₂₀₀₅.

しているように見える。カイラルやじろべえは自発的ジャ［₁₀］T. Mitsui, K. Aihara, C. Terayama, H. Kobayashi and Y.

ンプをすることはない。このことはピッチング振動の周波

Shimomura, ＂Can a spinning egg really jump?,＂ Proc.

数と密接な関係があると推測される。

R. Soc. A, vol. ₄₆₂, no. ₂₀₇₄, pp. ₂₈₉₇-₂₉₀₅, ₂₀₀₆.
［₁₁］M. Batista, ＂Self-induced jumping of a rigid body of

₅ ．おわりに

revolution on a smooth horizontal surface,＂ Int. J. Non-

セルトのスピン反転機構に関する研究の歴史を振り返る

linear Mechanics, vol. ₁₉, no. ₇₄, pp. ₁₅-₂₀, ₁₉₉₉.

と共に，スピン反転をもたらすカイラリティについて考察［₁₂］H. K. Moffatt and T. Tokieda, ＂Celt revarsals: aを行った。またカイラリティの考察を踏まえ，新たな未解

prototype of chiral dynamics,＂ Proc. R. Soc. Edinburgh

決課題として“カイラルやじろべえ”のスピン反転現象を紹介した。

Sect. A, vol. ₁₃₈, no. ₂, pp. ₃₆₁-₃₆₈, ₂₀₀₈.
［₁₃］A. P. Markeev, ＂On the dynamics of a solid on an

今後の課題として，

absolutely rough plane,＂ Jour nal of Applied

・セルトの自発的ジャンプのメカニズム

Mathematics, vol. ₄₇, no. ₄, pp. ₄₇₃-₄₇₈, ₁₉₈₄.

・セルトの XY 断面の楕円率 b/a 並びに YZ 断面の楕円率

Translated from Prikl. Matem. Mekhan., vol. ₄₇, no. ₄,
pp. ₅₇₅-₅₈₂, ₁₉₈₃.

c/b とスピン反転性能［₁₄］M. Pascal, ＂Asymptotic solution of the equations of・セルトの重心高さとスピン反転性能
・セルトの机との接触点の移動軌跡

motion for a celtic stone,＂ Journal of Applied・カイラルやじろべえのスピン反転現象の運動

Mathematics, vol. ₄₇, no. ₂, pp. ₂₆₉-₂₇₆, ₁₉₈₄.

など興味深い話題が尽きない。

文Translated from Prikl. Matem. Mekhan., vol. ₄₇, no. ₂,
pp. ₃₂₁-₃₂₉, ₁₉₈₃.

献§［₁₅］吉田善章，時枝正，＂Celt（rattleback）のスピン反転
運動，”日本物理学会第₇₀回年次大会概要集 , p. ₃₁₄₀,［ ₁ ］J. Walker, ＂The mysterious ＂rattleback＂: a stone that

₂₁-₂₄ Mar. ₂₀₁₅.

spins in one direction and then reverses,＂ Scientifec［₁₆］V. P. Zhuravlev and D. M. Klimov, ＂Global Motion of theAmerican, pp. ₁₇₂-₁₈₄, ₁₉₇₉.

Celt,＂ Mechanics of Solids, vol. ₄₃, no. Issue ₃, pp. ₃₂₀-

［ ₂ ］戸田盛和，おもちゃの科学（₆），東京：日本評論社，

₃₂₇, June ₂₀₀₈.

₁₉₉₅.
［ ₃ ］G. T. Walker, ＂On a curious Dynamical Property of［₁₇］A. Nanda, P. Singla and M. A. Karami, ＂Energy

Celts,＂ Proceedings of the Cambridge Philosophicalharvesting using rattleback: Theoretical analysis andSociety, 第 巻₈, 第 PT.₅, pp. ₃₀₅-₃₀₆, ₁₈₉₅.

simulations of spin resonance,＂ Journal of Sound andVibration, 第 巻₃₆₉, pp. ₁₉₅-₂₀₈, ₁₂ May ₂₀₁₆.

［ ₄ ］G. T. Walker, ＂On a dynamical top,＂ The quarterly
journal of pure and applied mathematics, vol. ₂₈, pp.

［₁₈］N. M. Musa, V. I. Gulyayev, L. V. Shevchuk and H.
Aldabas, ＂Whirl Interaction of a Drill Bit with the Bore-

₁₇₅-₁₈₄, ₁₈₉₆.

Hole Bottom,＂ Modern Mechanical Engineering, 第 巻［ ₅ ］H. Bondi, ＂The rigid body dynamics of unidirectional

Vol. ₅, pp. ₄₁-₆₀, ₁₀ July ₂₀₁₅.

spin,＂ Proc. R. Soc. Lond. A, vol. ₄₀₅, pp. ₂₆₅-₂₇₄,［₁₉］小川陽弘 and 裕 . 大島，“セルトの研究，”可視化情₁₉₈₆.

報，vol. ₁₉, no. ₇₄, pp. ₁₅-₂₀, ₁₉₉₉.

［ ₆ ］C. M. Braams, ＂On the influence of friction on the
motion of a top,＂ Physica, vol. ₁₈, no. ₈-₉, pp. ₅₀₃-₅₁₄,［₂₀］高野浩志，“滑る場合における viscous 摩擦によるラトルバック反転運動の解析，”素粒子論研究・電子版 ，₁₉₅₂.
［ ₇ ］N. M. Hugenholtz, ＂On tops rising by friction,＂ Physica,
vol. ₁₈, no. ₈-₉, pp. ₅₁₅-₅₂₇, ₁₉₅₂.

vol. ₇, ₂₀₁₁.
［₂₁］C. Ucke, ＂celt, rattleback, wobblestone - multiple spin

─ 122 ─

セルトのスピン反転とカイラルやじろべえ

reversal,＂ [Online]. Available: http://www.youtube.

注com/watch?v=₀_₁₄₅zVizxM. [Accessed ₁₄ July ₂₀₁₇].
D. Youd, ＂Rattleback spoon,＂ [Online]. Available:†

鏡像体：右手と左手のように，その物体の鏡像と重ねhttps://www.youtube.com/watch?v=tUi₉he₂KTe₈

合わすことができない性質をカイラリティあるいは漢[Accessed ₁₁ Nov ₂₀₁₈].

語で対掌性という。化学の世界ではキラリティーと呼［₂₂］村上力，“玩具‘ラトルバック（rattleback）’の奇妙

ぶことが多い。セルトの R 体と L 体は互いに鏡像体でな挙動の直感的説明，”日本機械学会第₁₀回「運動と振動の制御」シンポジウム講演論文集 , pp. ₃₉-₄₂, Aug

ある。
‡

₂₀₀₇.

ここで a ∧ b はウェッジ積（Wedge product）であり行
ベクトル a, b に対して直積 ⊗ を用いて，a ∧ b = a ⊗ b −［₂₃］Z. Yoshida, T. Tokieda and P. J. Morrison, ＂Rattleback:A model of how geometric singularity induces dynamicb ⊗ a = abT − ba T で定義される。
§

本稿の執筆にあたり全ての原著論文を調べ直した。セchirality,＂ Physics Letters A, vol. ₃₈₁, no. ₃₄, pp. ₂₇₇₂-

ルトの初出論文としてはよく₁₈₉₆年の G. T. Walker

₂₇₇₇, ₁₂ Sep ₂₀₁₇.

［ ₄ ］が挙げられてきたが，前年の₁₈₉₅年に簡単な論文［₂₄］D. Youd, ＂Rattleback spoon,＂ [Online]. Available:

紹介が掲載されている［ ₃ ］。J. Walker の論文［ ₁ ］

https://www.youtube.com/watch?v=tUi₉he₂KTe₈

は戸田の書籍［ ₂ ］の参考文献欄で p. ₁₄₄と誤った記[Accessed ₁₁ Nov ₂₀₁₈].

載がされている。日本語文献では，これを孫引きしたと思われる誤記例が多い。

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