第６学年

算数科学習指導案

１

単元名 比例と反比例「比例の関係をくわしく調べよう」

２

児童の実態と本単元の意図（１） 児童の実態
本学級の児童は、明るく素直で何事にも前向きに取り組むことができる児童が多い。算数の学習においては、２４名中２０名が学習するのが好きと答えている。難しい課題に対しても、あきらめるのではなく学び合って解決していこうという雰囲気があり、他の児童の説明を聞いて理解を深めたり、考え方や見方の幅を広げたりしようという姿勢が身に付いている。しかし、自分の考えを筋道を立てて説明をすることのできる児童は限られている。全国学力・学習状況調査でも問題形式別の正答率を見てみても、選択式が８０．９％、短答式が８１．６％に対して、記述式は６４．４％とかなり下回っている。
また、本単元に関わるレディネステストの結果は次のとおりでる。
問題のねらい問題

簡単な場合の比例の意味〇時速６０㎞で走る自動車があります。次の問題に答えましが分かっているか。また、正答率ょう。

比例の関係を式に表し、対①走る時間を□時間、進む道のりを〇㎞として、道のりを求①５２.２％応する値を求めることがめる式を書きましょう。
（略）②□が１、２、３、４と変わるとき、〇はそれぞれいくつに②９１.３％できるか。

なりますか。表のあいているところにあてはまる数を書きましょう。
③走る時間が 2 倍、3 倍、4 倍になると、進む道のりはどの③８７％ようにかわりますか。
④進む道のりは、走る時間に比例していますか。

④１００％⑤走る時間が 6.5 時間のときの進む道のりを求めましょう。 ⑤８７％
⑥進む道のりが９０㎞のときの走る時間を求めましょう。

⑥８２.６％

伴って変わる二つの数量が比例の関係にあるかを問う問題では、全員が正答だった。また、二つの数量の変わり方を問う問題では、８７％の児童が正答であった。しかし、二つの数量の関係を〇や□を使って表す問題は正答率が５２．２％で半数近くの児童が立式できていなかった。これらのことから、伴って変わる二つの数量の変わり方については気付くことができているが、その関係やきまりを式で表すことは苦手な児童が多いと考えられる。
（２） 教材について本単元で扱う比例と反比例は学習指導要領には以下のように位置付けられている。
第６学年 C 変化と関係（１） 伴って変わる二つの数量に関わる数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるように指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
（ア） 比例の関係の意味や性質を理解すること。
（イ） 比例の関係を用いた問題解決の方法について知ること。
（ウ） 反比例の関係について知ること。
イ 次のような思考力、判断力、表現力等を身に付けること。
（ア） 伴って変わる二つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、目的に応じて表や式、グラフを用いてそれらの関係を表現して、変化や対応の特徴を見いだすとともに、それらを日常生活に生かすこと。

本単元は、伴って変わる二つの数量を見出して、比例・反比例の関係に着目し、「変化のきまり」や「対応のきまり」を考察し、関数的に考える力を伸ばすことをねらいとしている。
児童はこれまでに、伴って変わる二つの数量関係について、一方が２倍、３倍、…になれば、それに伴って他方も２倍、３倍、…になるという変化のきまりを表から見付け、この関係を「〇は□に比例する」と表現することを学習してきた。また、表と数直線の図を関連づけ、既習のかけ算の場面についても比例という観点で見直すことを行ってきている。
本単元では、こうした学習をもとに、比例についてさらに考察を進めるとともに、反比例についても学習し、関数の考えを伸ばしていく。そして、生活や学習に比例が活用できる場面を見つけ、「比例の関係にあるとみる」ことで問題解決の方法を日常生活に生かすことの良さを味わわせ、積極的に比例の関係を生かしていくことができるようにすることが大切であると考える。
【教材の関連と発展】
４年

５年

６年

中学 1 年伴って変わる二つの数量・変化の様子と表や式、折れ線グラフ

伴って変わる二つの数量の関係
・簡単な場合の比例の関係

比例・比例の関係の意味や性
質・比例の関係を用いた問
題解決の方法・反比例の関係

比例、反比例・関数関係の意味・比例、反比例・座標の意味
・比例、反比例の表、式、グラフ・比比（３） 指導について
本単元では、まず、第５学年の比例の学習を基に、表を使って整数倍から小数倍や分数倍へと見方を広げ、倍を表す数がどんなときでも同じことが言えることを確かめ、「ｙがｘに比例するとき、ｘの値が□倍になると、それに対応するｙの値も□倍になる。
」と一般化してまとめていく。次に、表を縦に見て対応のきまりを探り、比例の式や「決まった数」の多様な意味について考察する力を養っていく。
また、比例のグラフを用いて、２つの数量の関係を表現し、変化や対応の特徴を見出して問題解決に活用できる力も養っていく。さらに、比例の関係が有効に用いられる場面で、比例の関係を用いると手際よく問題を解決することができるなどのよさを味わわせるようにしていく。例えば、３００枚の画用紙を用意する場面では、画用紙の枚数とその重さに比例関係にあることに気付き、ある枚数を取り出し、その重さを測定し、画用紙全体が取り出した枚数の a 倍ならば、測定した画用紙の重さも a 倍になると考えて解決していく。これらの問題解決を通して、日常の問題の解決に進んで比例の関係を活用しようとする態度を育てるようにしたい。
反比例の学習では、比例と同様に定義や性質、式、グラフについて理解を深めるとともに、比例と反比例の違いを見つける活動を通して、比例、反比例の関係をさらに深めていきたい。
また、単元を通して自分の考えを筋道を立てて説明をすることのできる児童を育てるために、ICT 機器を活用し、ペアでの学び合いや他者説明の場を設定することで、わかりやすく自分の考えを伝えるにはどうしたらよいかを考えさせていきたい。
３

単元の目標○比例や反比例の関係について理解し、伴って変わる2つの数量やそれらの関係に着目し、表や式、グラフを用いて変化や対応の特徴を見いだして2つの数量の関係を考察する力を養うとともに、比例や反比例の関係を数学的表現を用いて考えた過程を振り返り、多面的に粘り強く考えたり、今後の生活や学習に活用しようとしたりする態度を養う。

・比例や反比例の意味や性質、表やグラフの特徴について理解し、比例や反比例の関係にある2つの数量の関係を表や式、グラフに表したり、比例の関係を用いて問題解決したりすることができる。 【知識及び技能】
・伴って変わる2つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、目的に応じて表や式、グラフを用いてそれらの関係を表現して変化や対応の特徴を見いだして問題解決に活用している。
【思考力・判断力・表現力等】
・数学的に表現・処理したことを振り返り、多面的に捉え検討してよりよいものを求めて粘り強く考えたり、数学のよさに気付き学習したことを今後の生活や学習に活用しようとしたりしている。
【学びに向かう力、人間性等】
４

指導と評価の計画時
１

学習内容
比例の性質の理解

２
３
４

比例の式の理解５
６

比例のグラフの理解

７8○比例の活用９１０１１

反比例の意味の理解

１２反比例の性質の理解

１３

反比例の式の理解

１４

反比例のグラフの理解

１５１６

学習内容の理解評価規準・評価の方法主な評価規準
・y が x に比例するとき、x の値が 0.5 倍、2.5 倍などになると、それに伴って y の値も 0.5 倍、2.5 倍などになること、x の値が 1/2 倍、1/3 倍、…になると、それに伴って y の値も 1/2 倍、1/3 倍、…になることを理解している。
［知技］【観察・ノート】
・比例の関係に興味をもち、その性質を調べようとしている。
［態度］【観察・ノート】
・yがxに比例するとき、xの値が□倍になると、それに伴ってyの値も□倍になることを理解している。［知技］【観察・ノート】
・yがxに比例するとき、y＝決まった数×xと表せることを理解し、比例の関係を式に表すことができる。
［知技］【観察・ノート】
・比例の関係に興味をもち、その関係を式に表そうとしている。
［態度］【観察・ノート】
・比例のグラフは原点を通る直線になることを理解し、比例の関係をグラフに表したり、グラフから読み取ったりすることができる。
［知技］【観察・ノート】
・傾きの異なる2本の比例のグラフから、それぞれの特徴や事象の様子などを読み取ることができる。
［知技］【観察・ノート】
・比例の関係を用いた問題解決の方法を理解している。
［知技］【観察・ノート】
・伴って変わる2つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、表や式を用いてそれらの関係を表現して変化や対応の特徴を見いだし問題解決に活用している。
［思判表］【観察・ノート】
・比例の関係に着目するよさに気付き、比例の関係を生活や学習に活用しようとしている。
［態度］【観察・ノート】
・基本的な問題を解決することができる。 ［知技］【観察・ノート】
・反比例の意味を理解している。
［知技］【観察・ノート】
・2つの数量の変わり方に興味をもち、表を使ってその関係を調べようとしている。
［態度］【観察・ノート】
・yがxに反比例するとき、xの値が1/2倍、1/3倍、…になると、それに伴ってyの値は2倍、3倍、…になることを理解している。
［知技］【観察・ノート】
・反比例する2つの数量の関係について、比例の関係を基に、表などを用いて調べている。
［思判表］【観察・ノート】
・yがxに反比例するとき、y＝決まった数÷xと表せることを理解し、反比例の関係を式に表すことができる。
［知技］【観察・ノート】
・反比例の関係に興味をもち、その関係を式に表そうとしている。
［態度］【観察・ノート】
・反比例のグラフの特徴を理解し、反比例の関係をグラフに表したり、グラフから読み取ったりすることができる。［知技］【観察・ノート】
・基本的な問題を解決することができる。 ［知技］【観察・ノート】
・数学的な着眼点と考察の対象を明らかにしながら、単元の学習を整理している。
［思判表］【観察・ノート】
・単元の学習を振り返り、価値づけたり、今後の学習に生かそうとしたりしている。
［態度］【観察・ノート】

５

本時の学習指導（１） 目標 伴って変わる 2 つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、表や式を用いてそれらの関係を表現して変化や対応の特徴を見いだし問題解決に活用することができる。
【思考力・判断力・表現力等】（２） 展開

学習活動
１

学習内容

本時の問題場面を知る。
画用紙３００枚を、全部数えないで用意する方法を考えましょう。

２○指導上の留意点（配慮・手立て）◎評価○実際に画用紙を用意し、数えることの大変さを実感させ、数えるよりも簡単な方法はないかという動機づけを行う。

本時の課題をつかみ、解決する。

画用紙を全部数えないで用意するには、どうしたらよいだろうか。
（１）見通しをもつ。
〈予想される児童の反応〉
・一枚の重さを求める。
・比例の表を作る。
・決まった数を見つける。

（２）自力解決をする。

○比例の利用○二つの量に目をむけさせ、画用紙の重さは枚数に比例するとみることを確認し、見通しをもつことができるようにする。
〇画用紙 1 枚の重さは正確に量れないため、１０枚の重さをもとにすることを確認する。
○問題を解決するために必要な条件を提示し、関係をわかりやすくするために表にまとめる。
○表や式を用いて、数を数えないで用意する方法を記述させる。
○一つだけに限らず、別の方法でも挑戦するように助言する。
○戸惑っている児童には、ヒントカードを活用し、比例の性質をもとに考えられるよう助言する。

（３）考えを発表する。
①ペアで②全体で○どのように考えたかを端末を使ってネットワーク上に書かせ、示せるようにしておく。
〇途中まででもよいので、自分の考えを説明することを確認する。
○友達の式を読み取ったり、代わりに説明したりして、全員で考えを深められるようにする。

（４）共通点や相違点について話し合う。
〈予想される児童の反応〉
共通点
・みんな枚数と重さが比例していることを使っている。
・答えがすべて２７６０ｇ
相違点
・表の見方（縦と横）・単位量当たりを求めている。

○それぞれの式の意味を考える際は、表に戻って確かめるように助言する。
○共通点は、枚数と重さが比例していることを使っていることであることを確認する。
○相違点は、単位量当たりの大きさを求めた
り、比例の性質を使ったり、対応のきまりや比例の式を使ったりしている点であることに気付かせる。
◎伴って変わる 2 つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、表や式を用いてそれらの関係を表現して変化や対応の特徴を見いだし問題解決に活用している。
［思考・判断・表現］【観察・ノート】

・比例の性質を使っている。
・決まった数を求めている。
３

本時のまとめをする。

○以下の点を押さえて本時のまとめをする。
・比例の関係を使うと、画用紙全部を数えなくてもおよその枚数を準備することができる。
・比例の考えを使うと、日常生活の問題も解決できる。
〇実際に重さを計測し、日常生活に活用できることを確認する。

○画用紙の重さは枚数に比例すると考えて、その関係を使うと、画用紙を全部数えなくても、およその枚数を用意することができる。
４５

適用問題に取り組む。

本時の学習を振り返る。

○答えを確認するだけでなく、解決の方法もペアで説明し合うようにする。
〇日常生活で比例関係を活用している場面を紹介する。
○既習との関連や学習過程で気付いたことなどについて記述させる。
○端末を使って、ネットワーク上のシートに記入させ、蓄積できるようにする。

（３）板書計画〈黒板〉
問○

画用紙３００枚を、全部数えないで用意する方法を考えましょう。

課○ま○

画用紙を全部数えないで用意するには、どうしたらよいだろうか。

画用紙の重さは枚数に比例すると考えて、その関係を使うと、画見○・一枚の重さを求める。

共通点

用紙を全部数えなくて・比例の表を作る。

・みんな枚数と重さが比例しているも、およその枚数を用・決まった数を見つける。

ことを使っている。

意することができる。

・答えがすべて２７６０ｇ
１枚の重さは正しく量れない。

練○

相違点

この画用紙 10 枚の・表の見方（縦と横）

厚さは２㎜ありまし

・単位量当たりを求めている。

た。このことをもとに・比例の性質を使っている。

して、３００枚用意す・決まった数を求めている。

る方法を説明しましょう。

〈電子黒板〉

重さは枚数に比例すると考えて、１枚の重さを求める。

重さは枚数に比例すると考えて、決まった数を求める。

重さは枚数に比例すると考えて、比例の性質を使う。

枚数が１/１０倍になるから、重さも１/１０倍。
１枚の重さは９２÷１０＝９．２
重さは３００倍だから、９．２×３００＝２７６０
答え ２７６０ｇ用意すればよい。

枚数が１/１０倍になるから、重さも１/１０倍。
１枚の重さは９２÷１０＝９．２
重さは３００倍だから、９．２×３００＝２７６０
答え ２７６０ｇ用意すればよい。

３００÷10=30
枚数が３０倍になっている。
重さも３０倍になるから、
９２×３０＝２７６０
答え ２７６０ｇ用意すればよい。