つり合いの位置でO三角関数の微分の性質より，一般解は…①でである。と置いて①を微分し，表わせる。ここで，速度の 成分を求めると，・・・初期条件は，0，00…②表わせる。ここで，である。と置いて①を微分し速度の 成分を求めると，

・・・…②1 P， 000
cos101
初期条件と比較して cos…③②より 0sin0
sin1
初期条件と比較してsin0 ⇒sin0 …④0なので，④よりsin0. 0≦2 の範囲で解を探す。
∴0 または. どちらを選んでも同じ解なのでを選択する。
③より cos⇒1∴，を①に代入して初期条件は，①より 00cos[m]でとなるのは；整数

なめらかな床で摩擦力が働かず，垂直抗力が仕事をしないので，力学的エネルギー保存則は成立する。
m，m/sより，m

J

J

つり合い位置での力学的エネルギーをJ 。この位置ではなので，と置く。保存則より，

JJつり合い位置での力学的エネルギーをJ 。この位置ではと置く。保存則より，なので，J⇒ばねが最も縮んだときの位置 と，最も伸びたときの位置 での力学的エネルギーを と置く。保存則より，J 。この位置では，となり，

⇒

なので，J

授業予定（変更されたシラバス）①力学１の確認と力学２の概要②仕事③運動エネルギー④位置エネルギー （小）⑤力学的エネルギーとその保存則⑨単振動３：問題演習 （小）⑩円運動と慣性力１：基礎事項 （小）⑪円運動と慣性力２：問題演習 （小）⑫力のモーメント１：実験的理解と定義 （小）（小）⑬力のモーメント２：問題演習１ （小）⑭問題演習２⑥エネルギーの総合演習 （小）⑦単振動１：定性的な理解と三角関数（＋確認試験２）（＋確認試験１）⑮まとめ⑧単振動２：運動方程式を解く⑯期末試験

力学２≪学習到達目標≫
１）仕事の定義を説明できる。
２）力学的エネルギー保存則を説明できる。
３）単振動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。
４）円運動と，慣性力としての遠心力を説明できる。
５）力のモーメントの定義を説明できる。

第10回目 円運動と慣性力1（基礎事項）
今日の授業の目的
前回までの3回で単振動を理解した。単振動は，車のエンジンを動かした際のボディの振動，地震による建物の振動，交流回路の電流や電圧の振動など，様々な振動を扱う基礎となる。
一方，エンジンのギアやクランク，発電機（モーター）の回転軸など，機械要素として回転運動（円運動）を行うものが多数ある。その回転運動のうち最も基礎的な等速円運動は，単振動を基にして理解できる。そこで，今回の授業の目的は，等速円運動と関連事項（遠心力など）を理解することである

（テキスト第9，17，22 章の応用）(1) 等速円運動と単振動：
角速度 ：[rad/s]→ 等速円運動の場合，は定数O等速円運動の回転角：[rad]（ は時刻0 [s]での回転角）

周期 ：の関係より
質問：

は何を意味する？

（テキスト第9，17，22 章の応用）(1) 等速円運動と単振動：
等速円運動を 平面内で， 軸の正の側または 軸の正の側から見れば， 軸上または 軸上の単振動に見える。
座標と 座標の動きは，単振動の式で表わせる。

O

位置ベクトル[m]速度[m/s]（テキスト第9，17，22 章の応用）(1) 等速円運動と単振動：[m]

位置速度[m/s]

O

加速度[m/s2]

（テキスト第9，17，22 章の応用）(1) 等速円運動と単振動：
等速円運動の加速度と位置の関係：，，を
演習1：(a)ベクトル表す矢印を，前ページの図に描け。
(b) ベクトルの大きさ ， を，と で表せ。 （）O[m/s][m/s2]，

（テキスト第9，17，22 章の応用）(1) 等速円運動と単振動：
向心力：
大きさ：
向き：

O

円軌道の中心を向く

演習2：物体（ [kg] ）を紐（ひも）の先に付けて等速円運動をさせる。中心を原点として，だとする。紐の張力[kg]，[m]を求めよ。空気抵抗や重力は無視。

[rad/s]，[m] ⇒

[N]
[N]

（テキスト第9，17，22 章の応用）(2) 加速運動する観測者が測る見かけの力（慣性力）：
向心力：
向き：円軌道の中心を向く
円運動する物体に働く力は遠心力で外向きじゃないの？
遠心力って何？

O（テキスト第9，17，22 章の応用）(2) 加速運動する観測者が測る見かけの力（慣性力）：
太郎（D1）が物体Pを測る，花子（D2）が物体Pを測る
，
太郎

P

（D1）

太郎（D1）が花子（D2）を測る

花子
（D2）

観測者の変換（相対的な位置関係）：

（テキスト第9，17，22 章の応用）(2) 加速運動する観測者が測る見かけの力（慣性力）：
速度と加速度の変換（相対速度と相対加速度）：
相対速度：

P
相対加速度：花子（D2）：D1（太郎）が測るD2（花子）の速度：D1（太郎）が測るD2（花子）の加速度

（テキスト第9，17，22 章の応用）(2) 加速運動する観測者が測る見かけの力（慣性力）：
慣性力：
D2（花子）が測る力：P
D2（花子）が測る物体P に働く慣性力
花子（D2）

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：
D1：原点O に静止する太郎
D2：物体P と一緒に等速円運動する花子

止まって見える！

D1（太郎）が測る
D2（花子）が測る力（合力）はゼロ
D2（花子）が測る慣性力
⇒

（）

花子
（D2）

P花子
（D2）
太郎
（D1）
O

遠心力は向心力と逆の力となり，（（））

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：
遠心力は向心力と逆の力となり，遠心力止まって見える！

[N]
（[N]
太郎
（D1）O）

花子
（D2）

P

花子
（D2）

（（））

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：問題9.2
演習3：質量[kg] の自動車（60 [kg]の運転手花子含む）が，曲率半[m]の右に曲がるカーブを，径一定の速さ [m/s] で曲がった。

太郎
（D1）

(1) 運転手が感じる遠心力の大きさ(2) 遠心力の大きさは重力の何倍
追加(a) 速さを [m/s]を時速～km（km/h）で表せ（有効数字2桁）。

花子
（D2）

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：問題9.2
質量：運転手60 [kg] ，自動車全体
曲率半径[m]，速さ(1)運転手（[kg][kg]）が感じる遠心力の大きさ
60[kg]太郎

14 m⁄s1.0（D1）

10 [m][N](2)重力の何倍倍の加速度追加(a)速さ花子（D2）⁄

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：問題9.2
演習3：質量[kg] の自動車（60 [kg]の運転手花子含む）が，曲率半[m]の右に曲がるカーブを，径一定の速さ [m/s] で曲がった。
追加(b) テキストの(1)(2)は地面で静止している者（D1）から見たときの答えか，自動車に乗っている者（D2）から見たときの答か。

太郎
（D1）

花子
（D2）

(c) カーブを曲がる自動車の加速度 の向きを上の図に図示せよ。

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：問題9.2
演習3：質量[kg] の自動車（60 [kg]の運転手花子含む）が，曲率半[m]の右に曲がるカーブを，径一定の速さ [m/s] で曲がった。
追加(d) この自動車を円運動させている合力の向きを上の図に図示せよ。合力の大きさ を求めよ。また，この力 は主に，何から働くどんな種類の力かを考えてみよ。［水平面と平行な向きの力だけでよい。］

太郎
（D1）

花子
（D2）

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：問題9.2
演習3：質量[kg] の自動車（60 [kg]の運転手花子含む）が，曲率半[m]の右に曲がるカーブを，径一定の速さ [m/s] で曲がった。
追加(e) 自動車に乗っている者（D2）から見た場合，自動車は常に静止している。D2には，遠心力 がどう働いているように測られるか。問い(d)の力 と関係づけて説明せよ。 の向きを下の図に図示せよ。

太郎
（D1）

花子
（D2）

（テキスト第9，17，22 章の応用）(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）：問題9.2
質量：運転手60 [kg] ，自動車全体曲率半径[m]，速さ[kg](b)テキスト(1)(2)の問いは，遠心力である。
したがって，自動車に乗っている者（D2）から見たときの答(c)自動車の加速度 の向き（上の図）(d)合力 の向き（上の図）は主に，・・・花子(e) D2には，遠心力 がどう働いている・・・（D2）
遠心力 は とつり合うように働いている。
∴
遠心力

太郎
（D1）

路面から働く摩擦力第10回授業 レポート課題(a) 第10回授業プリント項目(1) の演習2で考えた等速円運動について，以下の問いに答えよ。
a-1) 円軌道の半径 ，角速度 ，時刻0[s] での回転角 を読み取れ。
a-2) 周期 ，速さ （），加速度の大きさ （），を求めよ。
a-3) 物体と共に等速円運動する観測者を想定する。この観測者が測る，物体に働く遠心力を求めよ。
a-4) 演習2 で求めた張力が物体に与える仕事率（単位時間当たりの仕事） を求めよ。
(b) 今度は，第10回授業プリント項目 (1) の演習2で考えた物体（2.0 [kg] ）を，紐のかわりにばねの端に結び付けて回転させる。ばねの自然の長さはℓ 0.40 [m] である。このばねを用いた回転運動が，紐に結んだ演習(2)の場合と全く同じ，0.5 cos 28, 0.5 sin 28[m]で表される等速円運動であったときを考える。なお，演習2と同様に，空気抵抗や重力は無視できるとする。
b-1) このばねのばね定数 を求めよ。（ヒント：物体に作用する向心力から考えよ。）

第10回授業 レポート課題b-2) この物体が持つ力学的エネルギー を求めよ。（ヒント：重力が無視できることに注意して位置エネルギーを求めよ。）

挑戦問題（取り組むかどうかは各自の判断）： 以上の問題では，重力は無視できるとした。では，以上の問題で求めた力など様々な量について，重力を考慮した場合としない場合の誤差はどの程度だと見積れるか？
注意1：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。説明文や適切な図を加えて，答案を作成すること。答案作成力も見る。
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提出〆切：答案用紙を，今週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・レポート解答用紙
・次週の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること