平成１９年度水理実験

３．跳水

３．跳水 （開水路）
１． 理論式と実験手順
１．１ 開水路における跳水の問題
河川や水路のデザインには，開水路水理学の知識が必要である．雨が降るなどして，ある流量が発生して，開水路に流れ込む場合，水位がどこまで上がるのか，というのはデザインの上で基礎的な問題となる．それは単純な水路の設計だけではなく，多様な自然を配置しながら河道を設計する場合も，水深の推定が必要であることには変わりはない．また植物の配置によっても，抵抗によって水深は変わる．
跳水とは，その上流で急勾配によって生じた，高エネルギーを持つジェット的な浅く早い流れを，深く緩い流れにするとともに，エネルギーを効率よく失わせる．これによって流れを緩くすることで，下流の河床洗掘や護岸等構造物の破壊を抑制することができる．このとき，下流の水深がいくらになるのか知る必要がある．よって，理論に基づいて，上流水位と下流水位の関係を知ることが重要である．
本実験では，以下の 3 つについて，計算・確認を行う．
（１）限界水深の計算と流れの分類
水面形を考える際の基礎量として，「限界水深」がある．これより実際の水深が浅いか深いかによってある，２つの流れの状態を分類する．水深が浅くジェット的な「射流」と深く緩やかな「常流」と分ける．こうした流れの状態をいくつかの点から確認する．
（２）跳水の理論の確認
図-1.1 の下流区間の様に，浅い「射流」から，深い「常流」に変化する現象を「跳水」という．
その上下流の水深を計測し，跳水理論と比較する．
水路全体の水面形については，実験４で計測を行う．

等流水深 h0
限界水深 hc

等流M2
緩勾配 ib<ic

Q

計算
始点
等流

↓限界流（支配断面 h0=hc）
S2

等流

急勾配 ib>ic
跳水

M1h2

M3h（水深はどこまで？）

緩勾配 ib<ic

1h0hc

h1

図-1.1 水路の水面形変化の例↓等流

平成１９年度水理実験
１．２

３．跳水

実験装置の概要と計測方法

図-1.2 に示しているように，上流側のバルブで流量調整し，出口で流量計測する．跳水は 1 段目において計測し，水位の制御は 1 段目下流のゲートを上げ下げして行う．
h(x)を 5cm または 10cm 毎に計測

高水槽から給水バルブ

h2

１段目

h1

跳水メジャーx→

図-1.3 跳水計測部（1 段目）
オリフィス
・堰

表-1.1 跳水水面形データ（例）３段目

Q(m3/s)=502
q(cm2/s)=50.2
hc(cm)=1.37
ケース１-1
ケース１-2h1(cm)=
h1(cm)=
0.4
h2(cm)=
h2(cm)=
3.2x(cm)
h(cm)
x(cm)
h(cm)
00.4
100.4
20 1 0.4
30
0.540
1.3
45
1.6
50
1.955
2.260
2.570
3.080
2 3.2903.31003.3

水面形hQ

低水槽

Q(m3/s)=293q(cm2/s)=29.3
hc(cm)=0.958
ケース2-2ケース2-1h1(cm)=
h1(cm)=
h2(cm)=h2(cm)=x(cm)
h(cm)
x(cm)
h(cm)

流量計測

図-1.2 実験装置の概要

h（１）諸元の把握と計測: 計測を始める前に，変化しない量（諸元）を把握しておく必要がある．
質問：それは何か？

答え：水路の（２）各変量の計測: ある流量における計測は，以下を行う．流量はこれまで通り 3 回計測する．
(a)流量 Q の計測：

流量 Q は 3 回づつ計測する．流量は直接測れないので，水路下端でバケツで捉える体積 V をその時間 t で割って流量 Q とする．電子天秤で重量を計り，1g=1cm3 として体積に変換する．これを 3 回繰り返し (Q1〜Q3)，平均してそのバルブ開度の Q とする．単位は cm3/sでよい．さらにこの時点で，単位幅流量 q=Q/B(cm2/s)を計算し，これをデータ整理の基礎量として扱うこと．
(b)限界水深 hc の計算：

式（１）から，q を使って限界水深 hc(cm)を計算する．

(c)下流ゲート操作による水面形の設定： 下流端ゲートを絞ることでせきあげ，跳水を発生させる．
このゲートの絞り方，つまり下流側水深を 2 通り変化させて，それぞれ以下の計測を行う．
(d)各ケースについて，跳水部分の水面形を記録する．（5cm〜10cm の間隔で位置を変えながら，水深 h を記録する．例：表-1.1，図-1.4 参照）(e)跳水の共役水深（h1，h2）の計測と現象の観察： 流量が一定でもこの絞り方で，跳水の位置と，水深関係が変化する．

．
跳水の上流水深 h1 と下流水深 h2 を記録する（表-1.1□で囲った部分）

また，上下流で水面に触れ，上流へ波が伝わるか確認する．
上流バルブを操作して流量を変化させ，上記の計測を繰り返す．流量が 2 通り，それぞれの流量での水→データシートを考えよ．

面形が 2 通り，合計 4 通りの水位を計測する．

2平成１９年度水理実験
１．３

３．跳水

理論式と，実験後の整理方法・考察内容（１）限界水深 hc「射流」と限界水深 hc は，ある断面形（この実験では，矩形）の水路に，ある流量で流した場合に，「常流」の間の限界を決める水深である．（表-1.3 参照）

hc = 3⎛q ⎞q= ⎜⎜ ⎟⎟g ⎝ g ⎠22

実験の矩形断面では，式（１）で表される．

13（１）（矩形断面における限界水深の式）
限界水深 hc は単位幅流量 q だけで決まる．実験では，この式から各（単位幅）流量に対する限界水（2 ページ表-1.1，および 4 ページ表-1.4 に整理の例）
深 hc を計算して求める．

（ここではまだ，確認事項はない．）＜解説＞
ある流量に対し，ある場所の水深がこの限界水深より深く，流れが緩やかだと「常流」，逆に浅く速い流れだと「射流」となる．常流では，下流の水位変化や波が上流に伝わるが，射流では伝わらない．擾乱で発生した波は上流と下流に伝わるが，流速がその伝播速度（ c =gh ）を超えると伝わらなくなるからである．この分類を，表-1.3 で認識しておこう．その場所の流速 v と伝播速度 c =gh の比を Froude 数と呼び，これが 1を超えると射流，下回ると常流となる．
表-1.3 流れの分類（常流と射流）（太枠部は，レポートの「理論」の部分で必要）

流れの状態

常流

限界流

射流

水深 hh > hc

h = hch < hcFr < 1

Fr = 1

Fr > 1c = gh > v

c = gh = v

c = gh < v（流速の方が小さい）（流速と同じ）（流速の方が大きい）

フルード数
Fr =qgh 3=vgh

擾乱伝播速度c = gh と流速との関係
擾乱の伝播-cv-c<0v-c=0v+cv+cv-c>0v+cc

上下流へ伝播する

速度：下流が正静水中

速度：下流が正速度：下流が正上流へも下流へも伝わる

上流へ伝わろうとする波がその場にとどまる．

3速度：下流が正下流へのみ伝わる．

平成１９年度水理実験

３．跳水（２）跳水の理論流れの分類
図-1.6 のように上流水深 h1 から跳水する場合下流水深 h2 は限界水深より深くなる．この２つの水深の関係を互いに「共役水深」という．
（h2 は h1 の共役水深）運動量保存則（６ページ参照）から，次式のようになる．
2h2 − 1 + 1 + 8Fr1=2h1

Fr1 =qgh1

Fr2 =3qgh2

3=v1=v2（２）単位幅流量 q

点線：下流水位が高い場合
h2（３）

射流h<hc
Fr1>1gh1

（４）

h2

h1gh2

h1

限界水深 hc
常流 h<hc
Fr1>1x→図-1.6 跳水ここにq：単位幅流量（cm2/sec)，q=Q/B，Q：流量（cm3/sec)，B：水路幅（cm)，A=Bh：断面積（cm2)
A1=Bh1：上流側断面積（cm2)v1：上流側の平均流速（cm/sec)，v1=q/h1=Q/A1，
v2：下流側の平均流速（cm/sec)，v2=q/h2=Q/A2，
A2=Bh2：下流側断面積（cm2)h1：上流側水深(cm) （流れは射流，h1<hc，限界水深より浅い）
h2：下流側水深(cm) （流れは常流，h2>hc，限界水深より深い）
Fr1：上流側のフルード数(Froude 数）（無次元，跳水の上流側では「射流」で，1 より大きい．Fr1>1）
Fr2：下流側のフルード数(Froude 数）（無次元，跳水の下流側では「常流」で，1 より小さい．Fr2<1）
g：重力加速度（980cm/sec2）
跳水の上下流では，流れが異なり，上流側では「射流」が現れ，下流側では「常流」が現れる．
ここでの確認事項は，以下のとおり．
①跳水の上流側で「射流」，下流側で「常流」であることを，以下の３点で確認する．
まず，限界水深 hc を式（１）で計算しておく．
（１）上流側水深 h1 は限界水深 hc より浅く，下流側水深 h2 は限界水深 hc より深いか？
（２）上流側フルード数 Fr1 は１より大きく，下流側 Fr2 は 1 より小さいか？
（３）実験中に，擾乱を与えて上流側に伝播するかを確認．（上流の「射流」では伝播しない．）
HOWto①→（１）（２）は，表-1.4 の様にデータ整理表の上で確認する．（２）については，式（３）（h1 と q→Fr1），および式（４）（h2 と q→Fr2）からフルード数を求める．（３）については，実験中に現象を２，３度確認した結果を記述する．
表-1.4 データ整理の例（h1 と h2 の関係のみ）
50.2
hc(cm)= 1.37 （流量1回目）
q(cm2/s)=
h2/h1
実験値
実験値
Fr1
Fr2h2(cm)h1(cm)
実験値 理論値※１0.4
3.2
6.339 0.280
8.00
8.48
0.7
2.2
2.738 0.491
3.14
3.40
29.3
hc(cm)= 0.957 （流量2回目）
q(cm2/s)=
h2/h1
実験値
実験値
Fr1
Fr2
h2(cm)
h1(cm)
実験値 理論値※１0.4
2.26.479 0.411
6.29
8.68
0.6
1.6
2.887 0.6632.67
3.61※１：実験値のh1とFr1を用い，式(2)で計算する．
※２：Fr1,Fr2はqとh1，h2から式(3)(4)で計算する．

4

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３．跳水②表-1.1 の跳水の水面形のデータをグラフにする．跳水長さは，下流側水深の 6 倍程度といわれている．そうなっているかどうか確認せよ．
HOWto②→跳水の水面形（表-1.1 データ，最大・最小流量で各１ケース）をグラフにする．限界
水深線 hc を図-1.7 にならって記入すること．跳水部分の長さ（跳水長）を読み取り，h2 の何倍になるか計算し，上記を確認する．
表-1.1 跳水水面形データ（再掲）4

3Q(m /s)=293q(cm2/s)=29.3
hc(cm)=0.958
ケース2-1
ケース2-2h1(cm)=
h1(cm)=
h2(cm)=
h2(cm)=x(cm)
h(cm)
x(cm)
h(cm)

実験値（q=50.2m2/s，ケース1-1）
限界水深hc=1.37cm

3.5
3水深ｈ(m)

3Q(m /s)=502
q(cm2/s)=50.2
hc(cm)=1.37
ケース１-1
ケース１-2h1(cm)=
h1(cm)=0.4h2(cm)=
h2(cm)=
3.2
x(cm)
h(cm)
x(cm)
h(cm)
0
0.4
10
0.4
20
0.4
30
0.5
40
1.3
45
1.6
50
1.9
55
2.2
60
2.5
70
3.0
80
3.2
90
3.3
100
3.3

2.5
2
1.5
1
0.5
0
0

20

40x(m)

6080

100

図-1.7 跳水の水面形（ケース 1-1 の場合）
(ケース 1-2 も同図に載せて良い，
ケース 1-1,1-2 を一つに，2-1,2-2 を一つに．）③流量も変えたケースも含め，h2 と h1 の関係は理論どおりか確認する．実験値から得られる h2/h1（縦軸）と，式（２）の h2/h1 の理論値（横軸）が一致するか確認する．
HOWto③→表-1.3 のように，実験値の h2/h1 と計算し，また， h1 と Fr1 から式（２）によって h2/h1の理論値を計算しておき，前者を縦軸，後者を横軸にプロットする（図-1.8）．これが 45 度の線（縦軸＝横軸の線）に載るかどうかによって，一致するかを考察する．

102h2 − 1 + 1 + 8Fr1=h12

理論値 h 2/h18

実験値＝理論値の線64
実験値
×：q=50.2cm2 /s○：q=29.3cm2 /s

200246810

実験値h2/h1

図-1.8 跳水前後水深比 h2/h1 の実験と理論の比較

5平成１９年度水理実験

３．跳水

２．理論（跳水の理論）
射流から常流へ流れの遷移する状況を跳水（hydraulic jump）と呼ぶ．水路床が水平で，底面摩擦を無視すると，跳水前後の水深は共役水深の関係にある．ここでは，運動量保存則から式(2)を誘導する．
単位時間当たりに流入する運動量

コントロールボリューム

単位時間当たりに出てゆく運動量ρBq2/h1ρBq2/h2h２

12
P1 = Bρgh1
2

P2 =h１

全水圧

12Bρgh22

全水圧

路床
図-2.1 跳水（右が正）

ここでの運動量保存則は，右向き方向を正に考えると，この区間の体積（コントロールボリューム，図中の点線枠）について，１単位時間当たりに[出てゆく運動量（右向き正）ー入ってくる運動量（右向き正）]は，２この区間（コントロールボリューム）に作用している力（右向き正）に等しい事を保障する．
諸量を以下に定義する．

ρ：水の密度（1000kg/m3 または 0.001kg/cm3）（体積当りの質量）q：単位幅流量（m2/sec または cm2/sec)，矩形断面水路では，q=Q/B，Q：流量(m3/sec または cm3/sec)，B は水路幅(m または cm)
A：流水の断面積(m2 または cm2)，矩形断面では A=Bh，
まず，単位時間に断面を通過する運動量について考える．
Q=Bq であることから，単位時間に断面を通過する質量は，ρQ=ρBq である．それが持っている右向きの速度は v=Q/A=Q/Bh=q/h である．運動量は質量 x 速度であるから，単位時間に断面を通過する運動量はこれらをかけたものとなる．つまり，ρ Q2/A =ρBq2/h である．これを入口側と出口側で考える．出てゆく運動量は右側断面でρBq2/h2 となり，入ってくる運動量は左側断面でρBq2/h1 であるから，上記の１はρBq2/h1-ρBq2/h2 となる．
次に２について考えると，作用する力は，区間左側からかかる全水圧 P1 が正の方向（右）に作用し，区間右側から全水圧 P1 が，負の方向（左）に作用する．
各全水圧は P1 = 1 Bρgh12 ， P = 1 Bρgh 2 であり，これらの差 P1 − P2 = 1 Bρgh12 − 1 Bρgh2 2 が作用する力となる．
222222

よって，１＝２より，

ρBq2/h1-ρBq2/h2=Bρgh12/2- Bρgh22/2
2q2/g(1/h1-1/h2)=h12/2-h22/2となる．これを整理すると，

2 ⎫⎧⎪⎛ h ⎞ 2 h(h1 − h2 )⎨⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2 − 2 q 3 ⎪⎬ = 0gh1 ⎪⎭⎪⎩⎝ h1 ⎠ h12h2 − 1 + 1 + 8Fr1=h12となり，ρBq2g/2 で割ると，となる．よって，h1=h2 以外の解として，2（式(2)）が得られる．ここに， Fr12 = q である．
3gh1

6以上