小テスト直し：小テストの間違えた問題，解答できなかった問題を，レポート用紙などに正しく解答（説明・計算も含む）して提出すれば加点する。小テストの答案を直して提出しても加点しない。
力学 2（工）（10 回目）

第 9 回授業 レポート課題
第 10 章の問題演習 10：Ａ.問題 10-6（p.46）に取り組む。Ｂ.問題 10-3（p.45）と第 9 回授業演習 2 の座標軸の設定で，（追加 0）力学的エネルギー保存則が成立するかしないか，理由を付けて答えよ。
（追加 1）手を放した直後の力学的エネルギー𝐸0 を求めよ。（追加 2）エネルギーの考え方を用いて，つり合いの位置（自然長の位置）における速さ𝑣0 を求めよ。
（追加 3）エネルギーの考え方を用いて，ばねが最も縮んだときの位置𝑥S と，最も伸びたときの位置𝑥L を求めよ。物体のつりあいの位置を，すべての位置エネルギーの基準とする。
注意 1：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。説明文や適切な図を加えて，答案を作成すること。答案作成力も見る。
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提出〆切：答案用紙を，授業と同じ週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

第１０回

円運動と慣性力 1（基礎事項）テキスト第 9，10，18，23 章の応用

1. 今回の授業の目的
前回までの 3 回で単振動を理解した。単振動は，車のエンジンを動かした際のボディの振動，地震による建物の振動，交流回路の電流や電圧の振動など，様々な振動を扱う基礎となる。一方，エンジンのギアやクランク，発電機（モーター）の回転軸など，機械要素として回転運動（円運動）を行うものが多数ある。
その回転運動のうち最も基礎的な等速円運動は，単振動を基にして理解できる。そこで，今回の授業の目
的は，等速円運動と関連事項（遠心力など）を理解することである。
𝑦2. 授業の進行：テキスト第 9，10，18，23 章の応用

𝑣⃗

𝐴(1) 等速円運動と単振動： 等速円運動とは，円軌道上を一定の速さで運動することである。速度（ベクトル）の向きは時々刻々と変化するが，速さ（速度の大きさ）は一定のままである。状況設定は右図：◍ 物体の質量は𝑚 [kg]，円軌道の半径は𝐴 [m] とする。
◍ 円軌道の中心を原点 O として𝑥 軸，𝑦軸をとる。
◍ 時刻𝑡 [s] での物体の回転角𝜃(𝑡)[rad] は，𝑥 軸の正側から図のように左回りを正の角として測る。

𝑦(𝑡)−𝐴𝑟⃗

O

𝜃(𝑡)

𝑎⃗，𝐹⃗
𝑥(𝑡) 𝐴𝑥−𝐴

角速度𝜔と周期𝑇： 回転角𝜃(𝑡)の時間的な変化率𝜔を角速度という：
角速度：𝜔 =d𝜃(𝑡)[rad/s] → 等速円運動の場合，𝜔は定数d𝑡
等速円運動では，𝜔は定数なので，式（10.1）より（𝜔の不定積分を考えて），等速円運動の回転角：𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝛼 [rad]（10.1）（𝛼 は時刻 0 [s]での回転角）（10.2）

また，物体が円軌道を一周する時間を周期𝑇という。第 8 回プリント項目 2 の(4)で学んだ『単振動に対する想像上の円運動』を思い出せば，第 8 回プリントの式（8.6）が等速円運動の場合にも成立する。
等速円運動の周期と角速度の関係：𝜔𝑇 = 2𝜋

回転数𝑛 = 1⁄𝑇 [Hz]（10.3）

位置ベクトル𝑟⃗(𝑡)：前々回のプリント項目 2 の(4) で学んだ『単振動に対する想像上の円運動』（あるいはその前の回のプリントの三角関数の定義）から，等速円運動の位置ベクトルは次のようになる。

𝐴 cos(𝜔𝑡+ 𝛼)𝑟⃗(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = ( 𝐴 cos(𝜔𝑡+ 𝛼),𝐴𝐴 sin(𝜔𝑡sin(𝜔𝑡 ++ 𝛼)𝛼)) [m]（10.5）

速度𝑣⃗(𝑡)と加速度𝑎⃗(𝑡)： 位置ベクトルが分かれば，速度と加速度が計算できる。
d𝑟⃗(𝑡)𝑣⃗(𝑡) =𝑎⃗(𝑡) =d𝑡⃗⃗(𝑡)d𝑣d𝑡=(− 𝜔𝐴+ 𝛼)+ 𝛼) ,−sin(𝜔𝑡𝜔𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡𝜔𝐴cos(𝜔𝑡++𝛼)𝛼)𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) [m/s]（10.6）=(−−𝜔𝜔22𝐴𝐴cos(𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡++𝛼)𝛼) ,−2𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡−𝜔𝐴2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡++𝛼)𝛼)) [m/s2]（10.7）

10 回目-1

力学 2（工）（10 回目）
式（10.5）と（10.7）より，等速円運動の加速度と位置ベクトルの向きは逆であることが分かる。
等速円運動の加速度と位置の関係：𝑎⃗(𝑡) = −𝜔2𝑟⃗(𝑡)（10.8）

演習 1： 次の問いに答えよ。
(a) ベクトル𝑟⃗(𝑡)，𝑣⃗(𝑡)，𝑎⃗(𝑡)を表す矢印を，前ページの図に描け。（必要な補助線も描くこと。
）⃗⃗|を，𝜔 と𝐴で表せ。（等速円運動では，速さ（速度ベクトルの(b) 等速円運動のベクトルの大きさ|𝑣⃗|，|𝑎大きさ）と加速度の大きさは時間的に変化せず一定値であることが分かる。）|𝑣⃗| =|𝜔|𝐴⃗⃗| =，|𝑎（10.9）

𝜔2 𝐴（10.10）

向心力（力が等速円運動を引き起こす条件）： 加速度が分かれば，等速円運動する物体に働く力（複数の力が働く場合は合力）𝐹⃗ (𝑡)が運動方程式から計算できる。

𝐹⃗ (𝑡) = 𝑚𝑎⃗(𝑡) = −𝑚𝜔2

大きさ：|𝐹⃗ (𝑡)|=𝑟⃗(𝑡) [N] ⇒𝑚𝜔2 𝐴（ 10.11 ）向き：𝐹⃗ (𝑡) は物体から円軌道の中心を向く確認演習：力𝐹⃗ (𝑡)を表す矢印を前ページの図に描け。そして以下のまとめを確認せよ。
力 (10.11) は，ベクトル𝐹⃗ (𝑡)の向きと大きさ（あるいは成分）を表すものの，具体的な力の種類（重力，ばねの力，電気力あるいは他の種類の力なのか）までは特定していない。物体に働く力の種類が何であっても，合力𝐹⃗ (𝑡)が式（10.11）の関係を満たす場合にのみ，物体は等速円運動することが分かる。式（10.11）の関係を満たす合力𝐹⃗ (𝑡)は向心力（という状態）になっているという。すなわ
ち向心力とは，力の種類ではなく，物体が等速円運動する場合の力の状態に対する名称である。
演習 2： テキストの例題 9.1（p.39～40）に取り組む。追加の設定⇒𝑚 = 2.0 [kg] ，
𝑙 = 0.50 [m]，𝑛 = 4.0 [Hz]，水平面内に𝑥𝑦軸をとり，回転中心を原点 O とする。小球は𝑡 = 0で𝑦軸上の正の側から出発した。追加⃗⃗(𝑡) = () [m]を求問題：(1)～(4)は数値（有効数字 2 桁）でも求めよ。(5)小球の位置ベクトル 𝑟,めよ。(6)糸が小球を引く張力𝑆⃗(𝑡) = (,) [N]を求めよ。空気抵抗や重力は無視できるとする。

以上が等速円運動の基礎事項である。ところで，『回転する物体に遠心力が働くから・・・』などと話す場合がよくある。しかし『遠心力』を誤解して使い，物理的に間違った説明になっていることもよくある。そこで以下，遠心力の正確な理解をまとめていく。そのためにまず，『慣性力』を理解する必要がある。そして，遠心力は慣性力の一例であり，物体と共に円運動する観測者を考えることで初めて遠心力が理解できることが分かる。（説明はやや難しい。見かけの力・慣性力の意味をつかんでほしい。）(2) 加速運動する観測者が測る見かけの力（慣性力）： これまで，観測者は静止していることを（暗黙の内に）前提としてきた。しかし，この項目(2) では右図の設定を考える。
⋆ 静止する観測者 D1（太郎）と運動する観測者 D2（花子）が物体 P を観測⋆ 𝑚 [kg]：物体 P の質量⃗⃗⃗⃗𝐹1 (𝑡) = 𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)1P◍ ⃗⃗⃗⃗(𝑡)
𝑟1 [m]：太郎（D1）が測る物体 P の位置ベクトル𝑟1⃗⃗⃗⃗(𝑡)太郎⃗⃗⃗⃗◍ 𝐹1 (𝑡) [N]：太郎（D1）が測る物体 P に働く力（実在する力）（D1）▴ 𝑞⃗(𝑡) [m]：太郎（D1）が測る花子（D2）の位置ベクトル𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑟2⃗⃗⃗⃗(𝑡)= ⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑟1− 𝑞⃗(𝑡)𝑞⃗(𝑡)以上の設定で，D2（花子）が測る次の量を求めることを考える。
◍ ⃗⃗⃗⃗(𝑡)
𝑟2 [m]：花子（D2）が測る物体 P の位置ベクトル◍ ⃗⃗⃗⃗𝐹1 (𝑡) [m]：花子（D2）測る物体 P に働く力𝑢⃗⃗(𝑡)

花子（D2）観測者の変換（相対的な位置関係）： 図から，位置ベクトル⃗⃗⃗⃗，𝑞
𝑟1 ⃗，𝑟⃗⃗⃗⃗2 の関係が直ちに読み取れる。
観測者の変換：⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑟2=𝑟⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑟12 −−𝑞⃗(𝑡)⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑞⃗(𝑡)（ 10.12 ）

左辺は観測者 D2（花子）が測る量であり，右辺は観測者 D1（太郎）から測る量だけで構成されることに注意。つまり，D1（太郎）が測る量だけで D2（花子）が測る量を知ることが出来る。
10 回目-2

力学 2（工）（10 回目）
速度と加速度の変換（相対速度と相対加速度）： 位置ベクトルの変換（10.12）が分かれば，微分することで速度と加速度の変換が計算できる。
花子（D2）が測る P の動き（運動）は，⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)d𝑟2
太郎（D1）が測る P の動きとは異なって見える。
相対速度：⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑣2== ⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑣1−𝑢⃗⃗(𝑡)d𝑡⃗⃗⃗⃗𝐹1 (𝑡) − 𝑚𝑏⃗⃗(𝑡) =⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)d𝑣2⃗⃗相対加速度：⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑎2== ⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑎1 − 𝑏 (𝑡)⃗⃗⃗⃗2 (𝑡) = 𝑚𝑎𝐹⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)
2d𝑡𝑢⃗⃗(𝑡) =ただし，𝑏⃗⃗(𝑡) =d𝑞⃗⃗(𝑡)d𝑡⃗⃗(𝑡)d𝑢d𝑡：D1（太郎）が測る D2（花子）

Pの速度𝑟2⃗⃗⃗⃗(𝑡)：D1（太郎）が測る D2（花子）の加速度

花子（D2）

右図は，観測者 D2（花子）から見た状況である。

⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑣2= ⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑣1−𝑢⃗⃗(𝑡)

慣性力：D2（花子）が測る物体 P の加速度⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)
𝑎2 が得られたので，運動方程式から力⃗⃗⃗⃗𝐹2 (𝑡)が計算できる。

⃗⃗(𝑡)(𝑡) ==⃗⃗⃗⃗(𝑡)−−𝑚𝑏(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)==𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑚𝑏
𝐹⃗⃗⃗⃗
D2（花子）が測る力：⃗⃗⃗⃗𝐹2 (𝑡) = 𝑚𝑎𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑚{𝑎𝑏⃗⃗(𝑡)}𝐹𝑚⃗⃗𝑏
22
1⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)11(𝑡)1 −−（ 10.13 ）⃗⃗(𝑡) を（D （花子）が測る物体 P に働く）慣性力という。
この右辺に現れる −𝑚𝑏2
力学１から学んできた様々な種類の力（重力，ばねの力，摩擦力などなど）の向きと大きさを決める法則は全て，静止する観測者 D1（太郎）が測るという（暗黙の）前提があった。そこで，観測者 D1（太郎）が測る力⃗⃗⃗⃗𝐹1 を『実在する力』だと言うことにしよう。そうすると，式（10.13）に現れる慣性⃗⃗⃗⃗ ≠ ⃗0⃗の力 −𝑚𝑏 は実在する力ではないことが分かる。慣性力とは，観測者 D2（花子）が加速運動（加速度𝑏運動）をすることで『見かけ上』物体 P に働いているように見える力（見かけの力）である。
(3) 遠心力（慣性力の等速円運動への適用例）： 項目(1) の等速円運動で，⃗⃗⃗⃗𝐹2 (𝑡) = ⃗⃗⃗⃗𝐹1 (𝑡) − 𝑚𝑏⃗⃗(𝑡) = ⃗⃗0◍ D1：原点 O に静止する観測者（太郎）◍ D2：物体 P と一緒に等速円運動する観測者（花子）

止まって見える！とする。右図はこの状況設定である。この状況で，観測者
D2（花子）が測る物体 P に働く慣性力を遠心力という。

⃗⃗(𝑡)
−𝑚𝑏

花子
（D2）

遠心力𝐶⃗(𝑡)の導出： いまの状況設定では，観測者 D1（太郎）が測る『実在する力』⃗⃗⃗⃗
𝐹1 が向心力（10.11）になることによって，物体 P は等速円運動をするので⃗⃗⃗⃗
𝐹1 (𝑡) = −𝑚𝜔2 ⃗⃗⃗⃗(𝑡)𝑟1
ただし，⃗⃗⃗⃗(𝑡)
𝑟1 は D1（太郎）が測る等速円運動の位置ベクトル（10.5）と同じ成分の位置ベクトルである。
一方，D2（花子）には，物体 P があたかも静止しているように見えるので，D2（花子）が測る物体 P に働く力（合力）はゼロである。

（ =𝑢⃗⃗(𝑡) ）𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)P⃗⃗⃗⃗
𝐹1 (𝑡)

花子（D2）

太郎（D1）O⃗⃗⃗⃗2 (𝑡) = ⃗⃗𝐹0⃗⃗⃗⃗𝐹1 (𝑡) = 𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)1⃗⃗（ = 𝑚𝑏(𝑡) ）𝑟1⃗⃗⃗⃗(𝑡)（ = 𝑞⃗(𝑡) ）⃗⃗(𝑡))とすると，式(10.13) から，次のようになる。
以上より，D2（花子）が測る慣性力を𝐶⃗(𝑡)(= −𝑚𝑏⃗⃗⃗⃗𝐹1 (𝑡) + 𝐶⃗(𝑡) = ⃗0⃗ ⇒⃗⃗⃗⃗1 (𝑡) = 𝑚𝜔2 ⃗⃗⃗⃗(𝑡)
𝑟1𝐶⃗(𝑡) = −𝐹

遠心力は向心力と逆の力となり，その成分は式（10.5）から計算できる。
遠心力𝐶⃗(𝑡) =2( 𝑚𝜔+ 𝛼)𝑚𝜔𝐴2cos(𝜔𝑡𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+ 𝛼)

10 回目-32 2 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
, 𝑚𝜔𝑚𝜔
𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)) [N]（ 10.14 ）力学 2（工）（10 回目）
演習 3： テキストの問題 9.2 に（p.40）取り組む。自動車や電車がカーブを曲がるときの運動は，円運動の一部分を取り出したものとして理解できる。水平な直線道路を進んでいた自動車が，半径1.0 × 102 [m]の円周と同じ（曲率半径100 [m]という）円形道路（カーブ）を，一定の速さ時速14[m/s]で曲がったという設定である。追加の設定として，（人が乗った）自動車の質量を1.2 × 103 [kg]とし，上の図のように右に曲がる円形道路であるとする。
追加問題
答えはスライド参照(a) 速さを14 [m/s]を時速～km（km/h）で表せ（有効数字 2 桁）。
(b) テキストの(1)(2)は地面で静止している者（D1）から見たときの答えか，自動車に乗っている者（D2）から見たときの答か。

𝑎⃗，𝐹⃗(c) カーブを曲がる自動車の加速度𝑎⃗の向きを上の図に図示せよ。

太郎
（D1）

(d) この自動車を円運動させている合力𝐹⃗ の向きを上の図に図示せよ。合力の大きさ𝐹 を求めよ。また，この力𝐹⃗ は主に，何から働くどんな種類の力かを考えてみよ。［水平面と平行な向きの力だけでよい。
］(e) 自動車に乗っている者（D2）から見た場合，自動車は常に静止している。D2 には，遠心力𝐶⃗がどう働いているように測られるか。問い(d)の力𝐹⃗ と関係づけて説明せよ。𝐶⃗ の向きを下の図に図示せよ。

花子
（D2）

𝐶⃗

𝐹⃗

(4) 一般の円運動（速さも変化する場合）： 発展的内容（授業時間に余裕があれば扱う）
項目(1) では等速円運動を扱った。では，軌道の形は円でも速さが変化するような円運動では，速度や加速度，力などが等速円運動の場合とどう違うかをまとめる。
観測者は原点 O に静止しているとする。今の設定では，回転角𝜃(𝑡)は式（10.2）のような時刻𝑡の 1 次関数ではなく，角速度𝜔も時間的に変化する。
d𝜃(𝑡)𝜔(𝑡) =[rad/s]d𝑡
位置ベクトルは回転角𝜃(𝑡)を使って，𝑟⃗(𝑡) = ( 𝐴 cos 𝜃(𝑡) ,𝐴 sin 𝜃(𝑡)速度は（合成関数の微分規則に従って計算して），d𝑟⃗(𝑡)𝑣⃗(𝑡) =d𝑡=(− 𝐴𝜔(𝑡) sin 𝜃(𝑡) ,) [m]𝐴𝜔(𝑡) cos 𝜃(𝑡)加速度は（合成関数の微分規則に従って計算して），⃗⃗(𝑡)d𝑣𝑎⃗(𝑡) == −𝜔(𝑡)2 𝑟⃗(𝑡) + ( − 𝐴 𝛽(𝑡) sin 𝜃(𝑡)d𝑡𝛽(𝑡)= −𝜔(𝑡)2 𝑟⃗(𝑡) +𝑣⃗(𝑡) [m/s2]
𝜔(𝑡)ただし，𝛽(𝑡) =d𝜔(𝑡)d𝑡=d2 𝜃(𝑡)d𝑡 2,) [m/s]𝐴 𝛽(𝑡)cos 𝜃(𝑡))[rad/s2]（角度の加速度，角加速度）である（等速円運動では𝛽 = 0）。

よって，物体に働く力は，

𝐹⃗ (𝑡) = 𝑚𝑎⃗(𝑡) = −𝑚𝜔(𝑡)2 𝑟⃗(𝑡) + 𝑚𝛽(𝑡)𝜔(𝑡)𝑣⃗(𝑡) [N]である。
第 1 項は，等速円運動の場合と同じ向心力であり速度の向きを変える働きをし，第 2 項は速度方向（円軌道の接線方向）を向く分力であり速さを増加あるいは減少させる働きをする。
第 1 項と第 2 項の和が，等速でない円運動に働く力𝐹⃗ (𝑡)であり，𝐹⃗ (𝑡)は円の中心を向いていないことに注意する。
10 回目-4