ＮＯ．R2-3
２ヵ年研究用（R4）【研究成果報告時/研究成果の概要】様式-２-ウ

中小河川流域を対象にした雨量の不確実性とAIを応用した洪水予測モデルに関する研究
大阪工業大学

特任教授

田中耕司

中小河川における洪水予測は，短い洪水到達時間内に予測雨量の精度により的確な予測情報を提供することが困難である．そこで，本研究では，中小河川の洪水予測の課題を整理し，研究の意図を明確にした．さらに，予測雨量の精度に着目して，それを予測雨量の一意的な精度とは別に予測の幅を実績雨量から推定売る方法を提案した．これには，2次元指数関数確率モデルを適用した結果，一定の幅が提示できることを示した．次に，機械学習の一つとして，短時間でパラメータ推定が可能なUnscented Kalman
Filterを簡易的な水位予測モデルに適用して，モデルの精度検証を行った．その際に，MCMCを用いたパ
ラメータの確率分布から推定する方法やモデルの宛てはまりの良さについて指標を設定して提示した．
さらに，モデルの精度を確保するための情報量基準に基づき，洪水数と評価指標との関係性を検討して，少なくとも5～10程度の出水を対象に検証をすることが必要であることを指摘した．また，河床変動が予測に与える影響を把握する必要性について実際のハイドロから検証した結果，河床変動量により水位が大きく影響を与えることから，河床変動を今回適用した簡易水位モデルで考慮されているHQ式の実測補
正方法を適用することを今後の課題として指摘した．

Key Words :中小河川流域，データ同化，簡易水位予測モデル，情報量規準，MCMC
１．はじめに
洪水予測モデルを利用して，洪水予警報を発令し，さらに避難指示等への防災情報を作成している．これらの情報は，主として，避難のための準備～行動までのリードタイムを考慮して，流域面積の大きい河川流域を対象に実施されている．一方で，流域面積の小さい河川は，水防法に基づく洪水特別警戒水
位への到達情報を通知及び周知する河川として指定されている．
これらは水防法に基づく水位の周知が主としての目的であるが，一級河川の支川流域や都道府県管理の小規模な河川では，予測情報に基づく管理が十分ではないの現状である．
本研究では，流域面積が数方km2～400km2程度の河川を対象に，洪水予測上の課題を抽出し，この課題に対する技術的な検討を加えることを目的している．上記の目的に対して以下の課題について検討を行った．
①複数の対象河川における洪水予測の課題抽出対象とする中小河川流域として，自治体が管理する流域面積が 400km2 程度，洪水到達時間が 3 時間未満程度の河川を対象にする．これらの河川での水位観測状況も鑑み，実績降雨，予測降雨，河川水位データを比較し，流出モデル，河道モデル

といった水文／水理モデルを選択するモデルとその適用上の課題を，データ同化の適用による予測の精度向上の観点から考察を行う．
②中小河川流域の実績．予測雨量の不確実性の評価と実用的な補正方法
洪水予測に入力される雨量によって予測精度は大きく左右される．そこで，実際の予測雨量に対して実績雨量との関係を対象河川でのこれまでの発生洪水毎に整理する．これらのデータから，
2 変数の確率分布として，指数関数等を適用し統計的な予測雨量の取り得る範囲を評価する手法を提案する．また，中小河川流域では，高解像度の空間分布で予測雨量が提供されるが，雨域が流域に当てはまるかどうかも大きく影響する．そのため，流域面積を軸として 2 変数の確率分布についても検討の範囲とする．
③洪水予測モデルの構築とその予測精度の評価
上記①，②を対象河川毎の課題を踏まえた水文
水理モデルを作成するとともに，データ同化手法
として計算時間が非常に短くかつ適切な状態量を推定することができるアンセティド・カルマ
ン・フィルター他の適用性について検討する．この状態量推定方法と予測雨量の幅を考慮した降図1

滋賀県安曇川における平成 25 年 9 月台風 18 号の水位の挙動

雨波形群に対する洪水予測精度の評価を行う．また，一部の河川についてはデータ収集が困難であったため，河床変動が洪水予測に与える影響を見るために，河床変動解析による水位の挙動について検討した．なお，この検討においては最終章にまとめた．
④流出モデルの不確実な定数の推定とモデルの当てはまり良さの評価方法
上記③では，過去データから定数を推定することが前提となるが，予測時においては雨量に対する定数の応答特性については流域の状態によって不確実性のためにモデルの予測精度は拭えない．
そこで，過去のデータとそれに対する定数の挙動を学習データとして設定し，モデルの最適な選択手法の提案を行う．この最適化手法を用いることでデータ同化手法や AI モデルによる洪水予測モ
デルの最適な選択ができることを示す．なお，機械学習（AI）として，データ同化手法と位置づけた．
⑤河床変動が洪水予測に与える影響
河床変動が洪水予測に与える影響を見るために，
河床変動解析による水位の挙動について検討した．

３．中小河川の洪水予測の課題(1)問題提起
中小河川における洪水予測の課題として，以下のようなことが河川管理者から指摘を受けている．この結果は，多くの県管理河川を管理する滋賀県職員
から洪水予測に対する要望としてヒアリングによって得たものである．
1) 河川水位の挙動として，上流の水位が上昇せず，下流の水位が上昇し続ける現象があり，洪水予報作業において支障来す．(参照：図 1)2) 上記ことから，関係市町は下流の水位で防災情報を判断するが，氾濫危険水位に到達してからはリードタイムがとれないため上流の水位を頼りに発令を行うことにしている．上流側の水位が上昇しないと下流は大丈夫だと判断してしまう．
3) HQ 式で水位から流量を算定して，これにモデルをあわせること自体に限界がある．
4) 予測雨量は，流域が小さいほど雨域の移動によって幅が生じるのではないか．
(2)課題中小河川における洪水予測の課題として，以下のことを検討することが必要と考えられる．
1) 予測雨量の的中を考えるのは限界があるため，雨量の予測の幅から推定される水位の幅で管理することが現実的あれば，この幅を算定する
方法を検討する．
2) HQ 式を用いることは誤差を生み出し，予測モデルの限界があるのであれば，HQ 式を用いずに，それを変動させるパラメータで予測モデルを構築する方法を検討する．
3) 中小河川の河床変動が影響を与えることが自明であるなら，上記の方法で代用できるのかを検討する．
4) 予測モデルを実装する際に，そのモデルの“良さ”を評価する手法を検討する
３．予測雨量の幅の推定方法(1)研究内容
中小河川流域(滋賀県安曇川)を対象に実績雨量とそのときの予測雨量を比較し，その精度と実績雨量に対する予測雨量の幅を把握する．この幅を2変数の確率分布を適用し，予測雨量に対する実績雨量の幅を与えるための補正方法を提案する．
(2)雨量データ
雨量データとして収集したデータは，近畿地方（一部中国地方，四国地方含む）の以下のデータを気象庁から提供頂いた．

データ名
解析雨量
降水短時
間予報値

表 1 収集データ一覧
諸元
収集期間
1km 30 分毎
・2017 年 6 月 30
1km 6 時間予報 日～7 月 8 日
・2017 年 10 月
10 分毎
20 日～10 月 24日(3)流域平均雨量の算出
本研究で降雨の設定手法は，図 2 に示すように流出地点までの洪水到達を考慮した降雨とした．これは，後述する簡易水位モデルにおける誤差をできるだけ小さくすることを目的とした設定手法である．
以下，その設定方法を示す．
①標高データより作成した落水線に沿って、流域内の各メッシュに降雨の流下順を設定する。
②設定した流下順に対して、流出地点から流下時間分さかのぼった時間の降雨量をメッシュごとに整理する。
③流下時間分さかのぼった各メッシュの降雨を集計し、総量をメッシュ数で除した値を流出に対する降雨とする。

図 2 各メッシュにおける洪水到達時間の遅れを考慮し，合成した流域平均雨量の算出方法
この操作により流量へ直接関わる降雨のみを抽出
し、降雨の時空間分布による流量のばらつきの除去を試みた。流下時間の設定はメッシュごとの標高差
より、メッシュ間の勾配に応じた流下速度をクラー
ヘン式より設定した。
(4) 降雨誤差の定量的表現
予測降雨の誤差は予測降雨の条件付き実績降雨の発生頻度を求め、ガンマ分布などを当てはめることにより求めることが多い。しかし、この方法では、
予測降雨毎に分布関数を決めることになり、確率分
布を予測降雨と実績降雨の二次元分布とみなした場合にシームレスになっていない。また、統計解析に用いたデータを外挿することはできない。このため、本研究では、長尾ら 1)の二次元指数分布を用いて、シームレスで、外挿も可能な雨誤差確率モデルを構築した。
1
𝜎 𝜎 1
𝑅
𝜎 1 𝜌

𝑓 𝑅, 𝑟exp

𝑓 𝑅
ここに，𝐼 𝑥

∑∞

(1)

2 𝜌
𝑅𝑟
1 𝜌 𝜎 𝜎

𝑟
𝐼
𝜎 1 𝜌
𝑓 𝑅

・

𝜌

1
𝑒𝑥𝑝
𝜎
1
𝑒𝑥𝑝
𝜎
!

𝑅
𝜎
𝑅
𝜎

(2)
(3)

(第１種０次の変形ベッセル関数)𝜎 ,𝜎 ：実績降雨、予測降雨の分散
𝜌：実績降雨と予測降雨の相関係数である．
(5) 統計解析による予測雨量の幅の推定
二次元指数分布を適用できる条件として、周辺分
布が指数分布であることが必要となる。本研究では資料を片対数紙にプロットすると分布は曲線になることがわかった。このため、周辺分布を指数分布で近似できるように、降雨量のルートを採用することにした。この指数分布に条件付き予測雨量分布を

係数で表示する方策について提示する．さらに，提示した方法の妥当性を検証するために，1 流域の貯留関数モデルを基本とした水位予測モデルを構築
し，実流域を対象にした流出モデルの良さを評価した結果を報告するものである．

160
140

2.50%
31%
50%
69%
97.50%

実績雨量(mm/6hr)

120
100
80
60
40
20
0
0

20

40

60

80

100

80

100

予測雨量(mm/6hr)
160
140

2.50%
31%
50%
69%
97.50%

予測雨量(mm/6hr)

120
100
80
60
40
20
0
0

20

40

60

実績雨量(mm/6hr)

図 3 実績雨量と予測雨量の関係
左：予測雨量が与えられた場合の実績雨量
右：実績雨量が与えられた場合の予測雨量推定した．予測降雨が与えられたときに誤差分布か
ら降雨の変動幅を推定できる。実績雨量・予測雨量と誤差の関係は図 3 のとおりで、予測降雨が与えられた場合実績降雨の中央値は予測降雨の約 6 割である。
４．中小河川の水位予測モデルと精度評価(1)研究内容
洪水予測モデルの精度向上のために，分布型流出モデルの採用，フィルタモデルの導入等の方策が考えられ，その実績も多くなっている．しかし，これらの方策を導入によって，洪水予測の精度向上を計測する有効な指標はない．本研究は，WAIC が Leave
one out Cross Validation(Loo-CV)と等価であることに着目し，WAIC を Nash 係数で表現し，Loo-CV の解析結果に相当する Nash 係数により，当てはまりの良さを流出解析に関わる技術者が評価できるようにすることを試みた．その方法として，
WAIC を Nash
係数に変換する方法を誘導し，モデルの良さを Nash

(2) 洪水予測モデルの良さの評価方法の基本的な考え方
図 4 に洪水予測モデルの良さを評価する方法を概念図で示す．統計的推測(statistical inference)の考え方を基礎にしており，同図は渡辺の文献 2)を参考にして作成したものである．
左上図は真の分布 q(x)で，洪水の頻度分布を表現したものである．パラメータ x の正確な次元数はわからないので，N 次元と表現している．左上図は真の分布からの実現値が X n で，水位予測モデルでは観測水位である．X n は洪水数が n であることを示している．
右上の図はパラメータ w の確率分布で，w は x を説明するパラメータである．パラメータ w の確率分
布は(4)式のとおりで，ベイス推定を使用して推定する．
∏ 𝑝 𝑋 ,𝐹 𝑤 𝜑 𝑤
𝜑 𝑤(4)φ( w) は無情報事前分布(non-informative prior)で，制約条件の範囲内で一様分布と考える．尤度は洪水 X iに お け る 洪 水 予 測 モ デ ル F(w) の 尤 度 関 数
p( X i ,F( w) )で あ る ． Z は周辺分布で，確率分布の積分が 1 になるように調整するものである．事前分
布はパラメータ数の d 次元の確率分布で，w n は n個の洪水によって得られたパラメータであることを示している．
無情報事前分布から，パラメータの確率分布を推定する手法の一つに MCMC(Markov Chain Monte
Carlo)があり，本研究ではこれを採用する．
右下の図は発生した洪水から推定した洪水の 頻 度 分 布 p( x |X n ) である．洪水予測モデルの良さは，推定した洪水の頻度分布と真の確率分布の距離に相当する情報量規準で評価する．そして，情報量規準を Nash 係数に変換する．
(5)式の Kalback Leibler 情報量(LK 情報量) 3)を洪水予測モデルの良さと定義する．(5)は真の確率分布と推定した確率分布 p( x |X n )の対数尤度の距離であり，対数尤度比関数が小さいほど，推定した確率分布が真の確率分布に近い．また，(5)式は常に正値であり
2)，右辺第 1 項は真のパラメータ x で構成されているため一定値である．
𝐾𝐿 𝑞 ∥ 𝑝
𝑞 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑞 𝑥 𝑑𝑥

𝑞 𝑥 𝑙𝑜𝑔|𝑑𝑥

𝑞 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥|𝑋 𝑑𝑥(5)
本研究の洪水予測モデルは水位を予測するモデルであるので，水位を指標とした尤度関数を設定する．
尤度関数は観測水位と解析水位の差が正規分布にと仮定した．(6)式 の と お り で ， 解析水位 h i , ( t | t T ) と 観 測 水位 H i , t の 二乗誤差で，リードタイム T

図5

図 4 洪水予測モデルの良さの推定方法の概要
を 3 時間として，現時刻から 3 時間前までの 4 つの時刻を対象としたものである．ここに，サフィッ
クス t|t-T は T 時間前までの観測水位情報で t 時刻の水位を予測することを示している．また，m i は i
番 目 の洪水から得られた水位のデータ数である．
𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑋 , 𝐹 𝑤

𝑙𝑜𝑔 2𝜋𝑆 𝑋 , 𝐹 𝑤(6)∑

𝑆 𝑋 ,𝐹 𝑤

∑

𝐻,

ℎ, |

(7)
式中の𝐻 は観測水位の平均値である．尤度関数を使用して(8)式の S (X i , F(w)) を消去し，幾何平均により対数尤度と Nash 係数の関係を導出すると(9)式になる．(9)式の D は(10)式のとおりに表現でき，観測水位によって決まる定数である．
𝑁 𝑤
𝑁
1
𝐷

𝑒𝑥𝑝
∑

1

,
∑

(8)

,

1

1

𝑁 𝑤

2 ∑

𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑋 , 𝐹 𝑤

𝑙𝑜𝑔 2𝜋

∑

𝐻,

𝐻

𝐷

(9)
1

(10)
(9)式は対数尤度で表現される式であるので，LooCV の Nash 係数である(11)式の N L O O が成立する．
次に，L L O O と L C V がほぼ同じならば，L C V の Nash係数である(12)式の N C V が成立する．さらに L C V とWAIC がほぼ同じであるならば，WAIC に対応する
Nash 係数である(13)式の N WA I C が成立する．
1 𝑒𝑥𝑝 2𝐿𝑁
1 𝑒𝑥𝑝 2𝐿𝑁
𝑁 𝑒𝑥𝑝 2 𝑊𝐴𝐼𝐶 𝐷(3) 洪水予測モデルの概要
1)流域平均雨量

𝐷
𝐷

(11)
(12)
(13)

貯留関数モデルの概念図

流域平均雨量はテレメータ観測雨量 r(mm/h)を用いて算定し，(14)式のとおり，水位観測地点における観測雨量の重みを w s ，水 位 観 測 所 か ら 観 測 所
雨量がおおむね水位観測所まで流下する延長 を c l(km)，流 下 速 度 (km/h)と し ，降 雨 の 流
下時間を考慮した流域平均雨量を採用した．
ま た ， ベ ー ス フ ロ ー に 相 当 す る 雨 量
r b (mm/h) を 流 域 平 均 雨 量 に 加 算 す る こ と とした．
∑ 𝑤 𝑟 𝑡 𝑐𝑙/𝑣
𝑟,
𝑟
(14)
2)洪水予測モデル
使用する流出モデルは，図 5 に示す１流域の貯留関数モデルである．流域平均雨量 ra,t(mm/h)，貯留量
st(mm)，流出高 qt(mm/h)とすると，貯留量と流出高の関係は貯留関数定数 k0 を用いて(15)式で表現し，連続式(3.3.3)式と合わせた解析するモデルである．
/
𝑘 𝑞
(15)
𝑠
𝑟,
𝑞
(16)
𝑄
𝑘
𝐶

ℎ

𝑓𝑞 𝐴

.

𝑎 ℎ

𝐶𝑟,

𝑏
ℎ

(17)
𝑏

(18)

/
.

(19)

3)フィルターモデル
フィルタが非線形式であるため，二次統計量の近似を使用した Unscented Kalman Filter4)を採用している．ここでは，モデルの選択に関係する時間
更新式と観測更新式について説明する．
①時間更新式
時間更新式はパラメータを時間更新する方法を採用し，(20)式とした．𝛷t - 1 | t - 1 ，𝛷t | t - 1 はフィル
タの対象となるパラメータで，(21)式のとおり貯
留関数定数 kt，定数 C t ，H-Q 式の定数 b t の 3 個である．𝛷t - 1 | t - 1 は 1 時刻前の推定値で，𝛷t | t - 1 は
1 時刻前の推定値から現時刻の値を推定したものである．(21)式の係数行列 A は(22)式のとおりで，貯留関数定数にかかる係数 a k ，定数 C にかかる係数 a C ，H-Q 式の定数 b t にかかる係数 a b からなる．定数行列 B は(23)式のとおりで，フィルタの対象のパラメータの初期値である貯留関数定数 k 0 ，定数 C 0 ，H-Q の定数 b 0 とそれぞれのパラメータにかかる係数からなる．システムノイズは(24)式のとおりである．

表 3 対象とするモデル
モデルタ パラメータ

区分
実測調整

パ ラ メ

イプ

(基本パラメータを除く)

Type-1---5Type-2α6ータ数Type-3aC,eC,γ8フィルタType-4aC,ak,eC,ek,γ

10

モデル

Type-5aC,ab,eC,eb,γ10Type-6aC,ak,ab,eC,ek,eb,γ

12

𝛷|
𝛷
𝐴
𝐵
𝑊

𝑘
𝑎
0
0
1
1
1
𝑒

𝐴𝛷 |
𝐶 𝑏
0 0
𝑎
0
0 𝑎
𝑎 𝑘
𝑎 𝐶
𝑎 𝑏
𝑒 𝑒

𝐵

𝑊

(20)
(21)
(22)

(23)
(24)

②観測更新式
観測更新式は(26)式のとおり，貯留関数モデルを示している．観測ノイズは，流量が 0 となる標高を h0 とし，水深の関数とする．γは観測ノイズを算定するための定である．
ℎ𝑣

𝑆 ℎ ,𝑟 , ,𝑤
𝛾 ℎ ,
ℎ

𝑣

(25)
(26)

(4)モデル流域の概要と解析条件
直轄河川としては流域面積が小さい河川で，テレメータ水位が水文水質データベース 5)に公開されている鈴鹿川(三重県)，北川(福井県)，土器川(香川県)，菊川(静岡県)の 4 河川を対象とした．
MCMC の解析において，事前分布に関する情報はないので，無情報事前分布と仮定する．この仮定に対応できる MCMC の手法には MetropolisHastings 法があり，この手法を採用する．MCMCの初期は初期値の影響があり，定常状態になるまでの期間は捨てる．この期間を Burn-in と言う．
Burn-in は短い方がいいので，Burn-in に Simulated
annealing(SA) 6)による最適化を行う．
本研究で比較するモデルタイプは表 3 のとおりの 6 タイプである．Type-1 は実測調整を行うモデ
ルで，貯留関数モデルの解析に必要な
k 0 , C 0 , b 0 , r b , v c の 5 つの基本パラメータを推定するものである．

(5)WAIC，Nash係数等の解析結果の分析
河 川 毎 に，6 つ の タ イプ の モ デルに つ い て

図 6 モデルタイプ毎の NCV と最大 Nash 係
数(NS 係数)の関係
WAIC，L C V ，L L O O を解析し，これらの指標に関連する Nash 係数を解析した結果を示すに示す．
対数尤度および WAIC の列で，表 3.の(1)，(6)列以外の値は，初期値と酔歩の歩幅の異なる 8 セ ット を解析し，WAIC が上位 3 番目から 6 番目の値の平均とした．
表 3 をもとに，図 6 にモデルタイプと N WA I C ，
N M A X (NS 係数)の関係を図示する．土器川を除くと N WA I C は Type-1 が最も小さく，Type-2，Type3 の順に大きくなるが，Type-4 から Type-6 は Type3 の N WA I C に大きな差はない．当てはまりの良いタイプのグループの中から最も簡便なモデルが優れているとすると Type-3 が選択される．

(6)洪水数とWAICの関係
情報量規準等により，あてはまりの良いモデルを選択したのちのに，パラメータを選択し，洪水予測を行う必要がある．これまで，パラメータは確率分布として考えてきたが，確率分布からパラメータの値を設定し，洪水予測を行うことになる．
実現手法に着目すると，
最尤推定値は最も高 Nash係数を示す．その次は MAP 値である．理論的には予測分布の最頻値である MAP 値が最も高い
Nash 係数となると考えられるが，MAP 値が事前分布を正規分布と仮定したことにより，最尤推定
値より小さくなったことも考えられる．解析技術，
計算機の速度等を考えると現実的な実現値は最尤推定量と考える．
図 7 は，パラメータの実現値は，洪水数によって変化し，洪水数が多くなるほど，実現値は真の値に近づくことを示している．しかし，膨大な洪水数を用いた解析はあり得ないので，現実的には最低でも 5～10 洪水程度は必要と考える．

0.99

鈴鹿川 TYPE-4

0.97
0.94

Nash係数

0.90
0.70
0.40

NS係数

0.0

NWAIC
最尤推定値

-1.0

MAP
中央値

-4.0
-9.0

期待値

0

5

10
洪水数

15

20

図 7 洪水数と WAIC，Nash 係数，最尤推定値等の関係(事例：鈴鹿川)
また，パラメータそれぞれついて期待値を解析し，この値を用いて洪水予測を行った場合は，WAIC と同程度の Nash 係数となり，予測分布の期待値程度の結果となることがわかる．

り，全洪水の指標 p(x,Y)は右辺第 1 項が誤差項で，第 2 項が罰則項である．ここに，x はパラメータ，
Y は観測値である．ここで，(i)は i 番目の洪水のパラメータであることを示している．
𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑌

5．洪水予測モデルのパラメータ選択手法(1)研究内容
MCMC の適用性の研究のために採用した流出予測モデルは，１流域の貯留関数モデルである．
このモデルは，貯留関数モデルの定数を
Unscented Kalman Filter により逐次推定していく
もので，モデルパラメータが二層構造になっている．フィルタリングに必要な自己回帰係数，誤差
分散他，合計 19 個のパラメータが下層にある．
上層には貯留関数モデルの定数 k 等の解析に必要な定数が 4 個ある．
MCMC と 相 性 の よ い 最 適 化 手 法 で あ る
Simulated Annealing(SA)法により最尤推定値を解析し，その値を用いて，Cross Validation により予測能力を評価した．
本研究では，これらの手法を用いて解析した結果，MCMC，SA 法が適用できることを確認する．
また，最適化の指標に従来からよく使用される二乗誤差の他に，パラメータの時間ステップごとの変動を制限するために，パラメータの変動の大きさを指標に加えた効果を分析したものである．
(2)水位予測モデルにおける具体的な最適化の指標
洪水のモデル評価に情報量基準 WAIC を適用するために，洪水データ数は 1 洪水を 1 個のデータと考えると，洪水数と情報量基準の関係が明確なることがわかったので，評価指標を修正した．
具体的に示すと，水数を n 個とし，(27)式のとお

∑
𝑙𝑜𝑔 𝑝

𝑙𝑜𝑔 𝑝
𝑙𝑜𝑔 𝑝

𝑥, 𝑌

(27)

𝑥, 𝑌
∑

𝑥|

𝑥, 𝑌

𝑥|

𝑙𝑜𝑔
𝑝

, |

2𝜋 𝑑𝑒𝑡 𝑝
𝑥|

, |

𝑥|

(28)
(3)水位予測モデル
4．と同じモデルを適用して，実測補正については
UKFを用いた．対象流域を福井県北川流域とした．
(4)MCMCの適用結果
実績 21 洪水すべてを同定洪水として，パラメ
ータの推定量，標準偏差，変動係数等を解析した
結果は初期値の影響がないように 10 万回の RWの結果を捨てて，10 万回から 20 万回までは，MH法によりパラメータの確率分布を解析し，その後20 万回から 30 万回までは SA 法により最大対数尤度となるパラメータ最尤推定値を解析したものである．(表 5)
罰則項の有無による最尤推定値比を見ると，ほぼ 1.0 でほとんどほとんど差がない．また，標準偏差についてもほとんど 1.0 でほとんど差がない．
罰則項の有無によるパラメータの差は小さいといえる．
(5)水位予測結果の具体例
21 洪水のうちピーク水位が高い 2004 年 9 月洪

表 5 パラメータの解析結果
パラメータ

罰則項あり
(b)標準
(c)最尤
偏差 決定係数
偏差
推定値
μ
σ
Dv
γ
θM LE
0.503
0.26320.01170.0010
0.507

罰則項なし
比較指標
(d)標準
偏差 決定係数 最尤推定 最尤推定
偏差
値比(a/c) 値比(a/c)
μ
σ
Dv
γ
0.508
0.26970.00130.0002
0.986
0.992

No.

記号

単位

1

a(1)

-

(a)最尤
推定値
θM LE
0.500

2

a(2)

-

0.497

0.490

0.26440.02560.0018

0.503

0.501

0.26380.00490.0001

0.989

0.978

3
4

a(3)
a(4)

-

0.659
0.585

0.662
0.582

0.21630.26840.01530.01040.01000.0015

0.667
0.568

0.671
0.561

0.2156
0.27160.01880.02860.00970.0007

0.987
1.029

0.986
1.038

5

w(1)

m

-4.013-4.0902.01540.03810.0098-4.619-4.6002.40400.00800.0002

0.869

0.889

6
7

w(2)
w(3)

-

-3.797-3.751-3.780-3.6882.12922.71800.00830.02320.00930.0005-3.964-3.802-4.064-3.8482.73312.78780.03660.01650.00100.0030

0.958
0.986

0.930
0.958

-3.795
7.394-3.9327.522

2.08704.69850.06550.02730.00030.1819-3.7106.686-3.7536.759

2.70974.49120.01570.01620.00040.2837

1.023
1.106

1.048
1.113

-1

mm・hr
1/2 1/2
8
w(4)
mm hr
9 Logit(Cmax)
-

期待値

期待値

10

Logit(Co)

-

3.322

3.330

2.49050.00340.0687

2.919

2.951

2.32170.01380.1185

1.138

1.129

11
12

Ca
Cb

mm ・h
-

-1

4.79900.482

4.90460.484

2.74480.27100.03850.00970.00000.00014.80920.477

4.74010.474

2.78700.26110.02480.01100.00000.0001

0.998
1.010

1.035
1.022

13

r0
rc
k0

mm・h
-

-1

14
15

mm hr

1/2

1/2

-1/2

-3/2

16
17

ka
vc

18

na

mm hr
-1
km・h
-

19

nb

m

-1.465-1.466

1.25250.00080.0000-1.389-1.3661.20310.01910.0000

1.055

1.073

0.573040.90

0.567341.02

0.25014.50490.02270.02640.00040.00300.602440.69

0.590940.86

0.24764.86040.04670.03520.00330.0029

0.951
1.005

0.960
1.004

-2.81114.96-2.80415.16

1.4381
7.72730.0046
0.02680.00060.0100-2.64915.15-2.71014.73

1.5171
7.59510.04050.05460.01500.0063

1.061
0.988

1.035
1.029

0.181

0.187

0.1071

0.05810.2127

0.184

0.184

0.10730.00010.3049

0.985

1.019

3.842

3.918

2.60240.02920.0085

3.726

3.572

2.5097

0.06120.0071

1.031

1.097

w(1)～w(4)のシステムノイズおよびr 0は常用対数で示してある

水位(m)

雨量(mm/h)

水位(m)

雨量(mm/h)10.0
0
水の 3 時間後の予測結果の一例を図 8 に示す．解
流域平均雨量析結果はおおむね良好であるが，罰則項がある場
観測水位
8.0
50
信頼区間上限値
北川 高塚
合とない場合で，わずかな差異が認められた．立
予測値
6.0
100
信頼区間下限値
ち上がりが急な 2004 年 9 月洪水では，罰則項が2004年10月
4.0
150
ない場合は，水位変動は著しい．一方で，水位上３時間前のデータによる
現時刻の予測値
昇が緩やかな洪水では，罰則項の有無の差はない． 2.0
200
19/0
19/12
20/0
20/12
21/0
21/12
22/0
罰則項がない場合の方が，再現性が高い．このよ
日/時
10.0
0
うに罰則項の有無の差は洪水の立ち上がり急な
流域平均雨量
洪水でみられる．
観測水位
8.0
50
信頼区間上限値
北川 高塚
罰則項の有無の差は，同定洪水と検証洪水を分
予測値
6.0
100
信頼区間下限値
けて，解析する Cross Validation で顕著に表れると2004年10月
考えて，Cross Validation を行った．ここでは，1 番
4.0
150
３時間前のデータによる
現時刻の予測値
目の洪水のみ，1,2 番目の洪水，1～3 番目の洪水
2.0
200
19/0
19/12
20/0
20/12
21/0
21/12
22/0
のように，順次洪水数を増加させて，7 洪水まで
日/時の最大対数尤度となるパラメータを推定した．このパラメータをもとに，21 洪水の残り 14 洪水を図 8 2004 年 9 月洪水の解析結果
検証洪水として全体の Nash 係数を算定した．
(罰則項の有無の比較)
同定洪水数と検証洪水の全体 NS 値は図 9 のとされる．そこで，本検討では，2．で事例をとして
おりで，平均の Nash 係数は，罰則項がある場の示した安曇川での平成 25 年の出水の観測水位の方が小さい．一方，各洪水の Nash 係数のばらつ
きは罰則項がない場合の方が大きい．罰則項の有
課題を取り上げ，河床変動による観測水位の再現
無の差は，顕著に表れ，罰則項がない場合のモデ性を検討した．
ルの予測は当たりはずれが大きいことがわかる． なお，洪水予測においては，雨量データが入手できなかったため，ここでは当時の検証流量に基づ
6．河床変動が洪水予測に与える影響
く流量から固定床と移動床の 2 つの計算を実施
し，水位の再現性を検証した．そのうえで河床変(1)研究内容
動を今後どのように考慮すべきかを本研究でも河床が上昇すれば，水位から推測される流量は利用した簡易的な水位予測モデルでの有効な点過大となる可能性があり，逆に河床が低下すればについて考察した．
流量は過小評価される可能があり，河床が変化途(2) 対象区間の検証
中での水位予測の信頼性は低下することが懸念
安曇川は京都府県境の百井峠付近に源を発し、

図 10 対象区間の概略(3) 計算条件
この区間の解析は，流況および河床変動の追跡に iRIC2DH を用いた．与えた条件は以下の通りである．
表 6 解析条件
諸元

データ

河道断面

令和元年 LP データから断面を作成※滋賀県から提供堤内地の地盤

令和元年 LP データ※滋賀県から提供

高対象洪水

平成 25 年 8 月台風 18 号（2013 年）

対象区間のメ

格子数 18,000，

ッシュ数

7.5m×7.5m

粗度係数

安曇川

0.042

高水敷

0.032

上流端条件

格子の大きさ

北川

概ね

0.060

上流端条件：流量ハイドロ下流端条件：
高岩ダム水位ハイドロ(推定)流況解析

平面 2 次元水深方向に積分した支配方程式

河床材料

現地調査によって採取したものをポピュ
レーションブレク

2004年9月28日

2004年10月19日

0.01
2005年8月11日

2006年7月17日

2009年10月7日

2011年5月27日

2011年9月2日

2011年9月15日

2011年9月18日

2012年9月28日

2013年9月15日

2014年8月8日

2015年7月16日

平均

2006年7月15日

0.10

図 9 同定洪水数と検証洪水の Nash 係数の関係
針畑川、麻生川、北川等の支川を合わせ、大津市、
旧朽木村、旧安曇川町、旧新旭町を流下し琵琶湖に 注 ぐ 、 流 路 延 長 約 57.9km 、 流 域 面 積 約
300.0km2 の一級河川である．
対象区間は，河口から約 20km 上流に位置する
舟橋水位観測所からその下流部にある関西電力の高岩ダムまでの 2.2km とした．対象区間の位
置とその拡大図を図 10 に示す．これによれば，
下流高岩ダムで狭窄部となっており，直上流の左右岸に霞堤を有している．

流砂量式

掃流砂のみを考慮

粒度分布式

表層と下層に分離．厚さ 0.5m

(4)検証結果河床を固定した際の舟橋地点の水位ハイドロと河床が変動することを想定した水位ハイドロを比較したものを図 10 に示す．これによれば，河床変動を考慮しない固定床とした場合，実績水位よりも約 1m 高くなることがわかる．一方で，河床変動を考慮すると，観測水位とよく似た挙動となっている．若干ピーク後水位が上昇しているが，これは高岩ダムの通過流量が舟橋地点のピーク
生起時刻とはずれているため，貯留効果によるものと考えられる．一方で，洪水後半では舟橋地点の水位変化傾向よりも計算結果の方が急に水位が低減する結果となっている．これは下流端水位
が計算水位よりも高くなっているため，ゲートの起立も考えられるが，現時点ではそれを確認する
ことができないため，今後，高岩ダムによるゲー
ト操作を含めた洪水調節計算を実施する必要がある．

今後は上下流での観測水位の利用を踏まえて，
適切な洪水予測モデルの適用を考えていく必要があると考えられる．

図 10 舟橋地点の水位変化と河床変動の関係
6．おわりに本研究で得られた結果は，前述したとおりである．今後課題としては，以下の通りである．
・今回データ収集が難しかったため，今回提案した手法にデータを追加して，確実なモデルとして確立する必要がある．
・ある一定上の洪水による河床変動が観測水位に影響を与えることは，中小河川流域では多くある可能性がある．今回は一例のみであったが，

参考文献
1)長尾正・角屋：2 へんすうがんまぶんぷとその適用に関する研究(1)，京都大学防災研究所年報，
Vol.13B,1970
2) 渡辺澄夫:ベイズ統計の理論と方法，コロナ社,
pp.176-182,2012.
3) Sumio Watanabe: Asymptotic Equivalence of Bayes
Cross Validation and Widely Applicable Information
Criterion in Singular Learning Theory, Journal of
Machine Learning Research, Vol.11, (DEC),
pp.3571-3591, 2010.
4) S. J. Julier and J. K. Uhlmman: A New Extensionof the Kalman Filter to Nonlinear Systems, Proc.
SPIE, Signal Processing Sensor Fusion and Target
Recognition IV, pp.182-193, 1997.
5) 国土交通省：水文水質データベース
6) W. K. Hastings: Monte Carlo Sampling Methods
Using Markov Chains and Their Applications,
Biometrika, Vol.57, No.2, pp.97-109, 1970.