広島工業大学紀要研究編
第 44 巻（2010）pp.277-284

論文

アダプティブ二次元有限要素磁界解析のための磁束線を用いた一手法
佐々木雄太 *・山下英生 **（平成21年10月29日受理）

An Adaptive Method Using Magnetic Flux Lines For Two-Dimensional
Finite Element Magnetic Field Analysis.
Yuta SASAKI and Hideo YAMASHITA(Received Oct. 29, 2009)

Abstract
The finite element method is widely used as a numerical analysis technique for a field in theengineering field including the electromagnetic field analysis. However, when an analyticalfield is divided into finite elements, the distribution of finite elements size differs depending on
the analyst, and then the accuracy of analysis is influenced by his experience. The study about
an adaptive method is making progress in solving this problem.
In this study, we suggest an adaptive method by using magnetic flux lines in two-dimensional magnetic field analysis. By using magnetic flux lines, large and small finite elements aregenerated and distributed at a gentle place and a big place of a change of quantity of physics,
respectively.
In this paper, we use two models of magnetic field and show the utility of this proposed adaptive method.
Key Words: electromagnetic field analysis, finite element method, adaptive method, magnetic
flux line, subdivision of finite elements

１

域全体を一様に細かい要素に分割すればよいが，要素数がはじめに増え，計算コストが多大なものとなる。少ないコストで解

現在，数値解析手法の一つである有限要素解析法は，構の精度を維持した結果を得るには，物理量分布を十分考慮

造工学の分野から発展し，流体力学，熱伝導，電気工学なして，物理量の変化の激しい部分のみを細かい要素に分割

どの多くの工学分野で導入され，従来，解析が困難であっするといった要素の粗密分布を与えなければならない。こた複雑な境界値問題に対する数値解を与えることを可能にの作業を行うには，十分な経験と専門知識が必要となる。

している。電気工学の分野においては，電界や磁界の解析

しかし，経験に頼ることにも限界があり，より複雑な解析に利用され，汎用の解析ソフトも普及してきている。しかモデルに対して物理量の分布を予想することは難しく，適し，汎用の解析ソフトを用いて得られる解の精度は，解析切な要素分割を行うことは困難である。また，有限要素解領域の有限要素の粗密分布により大きく影響を受ける。す析の大衆化が進むと経験の少ない人も有限要素解析を使う

なわち，解析場の物理現象に詳しい専門家にゆだねないとようになってくる。そこで，経験によらず，希望許容誤差解の精度は保障されない。精度のよい解を得るには解析領を満足し，物理量分布を考慮した要素の粗密分布を自動的＊＊＊

広島工業大学大学院工学系研究科情報システム科学専攻＊＊＊

広島工業大学情報学部知的情報システム学科― 277 ―

佐々木雄太・山下英生に得ることのできるアダプティブ法の研究が近年盛んに行われている１），
２）。本論文では，磁束線の分布が物理量分布に一致することに着目して，磁束線を利用して三角形要素の生成を行うアダプティブ法を提案する３），４）。以下では，磁束線の数を変更することにより，その繰り返し回数を少なくすることもできる。

３点発生方法まず，本手法の概要を説明し，次に，要素を構成する点を物理量分布を考慮した要素の粗密分布を得るために，本磁束線上に発生させる方法について説明した後，誤差計算

手法では，磁束線上に三角形要素を構成する点を発生させについて説明する。最後に，適応例として二つのモデルにる。以下に，点の発生方法について述べる。

対して本手法を適応した結果について説明する。

２3.1

本手法の概要磁束線上の点発生方法

一般に磁束線は解析領域の自然境界上から出発し，境界二次元磁場解析における，物理量変数は磁気ベクトルポ上の他の点で終了する。この磁束線の２端点の一方から順テンシャルである。したがって，磁気ベクトルポテンシャ

次磁束線上に点を発生させ，終了端点まで点の発生を行う。

ルの分布が急激に変化するところを小さな三角形要素に分始点は，２端点のうち隣接する磁束線までの距離が近いほ割し，ポテンシャル分布がゆるやかな変化のところは，大うの端点とする。次に一本の磁束線の始端点から，磁束線きな三角形要素にすれば物理量分布を考慮した要素の分割上に点を発生させる方法について説明する。図２⒜は３本がなされているといえる。磁束線はポテンシャルの等高線の磁束線①，②，③が境界線ＰＱから発生している状況をを表している。すなわち，ポテンシャル分布が急激に変化示す。ここでは図２の②の磁束線上に点を発生させる場合するところで，磁束線間隔が狭く，ゆるやかな変化のとこを例として説明する。図２の⒜のように②に隣接する磁束ろでは，磁束線の間隔が広い。本手法では，この性質を利線①と③に垂線を引き，その交点との距離（d1，d3）を用して，磁束線上に三角形要素を作成するための点を自動計算する。そして，図２の⒝のように，d1 と d3 の短いほ発生させる。また，発生させる磁束線の数を解析回数に応うの距離（例えば d3 ＜ d1 とすると d ＝ d3）を選び，そじて増やすことにより，アダプティブ解析の初期段階におの距離だけ磁束線上を進み，そこに点Ｂを発生させる。次ける要素の偏りが少なくなるようにしている。一つの磁束に，図２⒞のように新しく発生させた点Ｂから，同様に両線上に発生させる点間隔は，隣接する磁束線までの最短距隣の磁束線に垂線を引き，距離を計算する。そして，近い離とする。このようにすることにより，磁束線間隔が狭いほうの距離を選び，その距離分だけ磁束線上を進みそこに領域では多数の点が発生し，小さな三角形要素を生成でき新たな点を作成する。この方法を磁束線の終点まで続ける。

る。このようにして発生させた点を用いて，Delaunay の点発生を開始させなかった側まで行くと，次の磁束線に新５）アルゴリズム により，解析領域を三角形に分割する。入しい点を発生させる。

力データは，アダプティブ反復回数と物体形状と磁束線の本数のみで，必要最小限のデータである。
図１に示すように有限要素分割，有限要素解析，磁束線発生，有限要素再分割を繰り返すことにより，順次要素分割が密になり，適切な要素の粗密分布が得られる。また，図２

磁束線上の点発生

次に，磁束線が物質境界（例えば鉄と空気の境界）を越えたときの点発生について述べる。図３のように鉄の中を３本の磁束線が通っているとする。まず，①の磁束線に上
図１

本手法のフローチャート述した方法で，点Ｂまで点を発生させる。この時，次に発― 278 ―アダプティブ二次元有限要素磁界解析のための磁束線を用いた一手法生させる点は，先ほど説明した方法によると図⒝の点Ｃの発生した点で一番近い点を見つけ，そこまでの距離を計算位置に点を発生させることになる。このままでは，物体境し，計算した距離分だけ物質境界ＰＱ上を進み，そこに新界上に点が発生せず物質形状が変化することになる。これ

しく点を発生させる。

を避けるために，磁束線上の次に発生させる点が物質境界以後，同様の処理を繰り返すことにより境界ＰＱ上に点を横切る時，点Ｃの場所に点を発生させるのをやめ物体境を作成する （図４⒝参照）。この操作を端点Ｑまで繰り返界上に点Ｃを発生させる。なお，ＣＢ間の距離とＣＡ間のす。この作業をコイル，物質境界上全てについて行う。た距離の比を求め，これがある与えられた値 ε より小さけれだし，物体境界が解析領域と重なっている場合，解析領域ば点Ｂを消去する（図３⒞参照）。なお ε は，0.3 としていのほうの処理が優先され，この処理は適用されない。

る。
3.3

ドローネ三角形

これまでに発生させた点を用いてドローネ分割を行い三角形要素を作成する。また，次節で述べる方法により要素の偏りを少なくしている。
3.4

点の平均移動作成された三角形要素の点を平均移動することにより要素の形状修正を行う。図５⒜のように点Ａが５つの要素の構成点となっているとする。点Ａを構成要素とする要素の各頂点を抽出し，それらの点のｘおよびｙ座標の平均を点Ａの移動後の座標にする。なお，境界線上に存在する点の
図３3.2

場合は，境界線に沿って点を移動させる。この方法を，解物質境界線付近の点発生析領域すべてに存在する点に適応する。

解析領域の境界および物質境界の点発生方法

解析領域の固定境界および，コイルや鉄心などの物質境界上の点発生方法について述べる。解析領域の固定境界の点発生は，その境界をポテンシャル値が０の磁束線と見なして，前述した方法で点を発生させる。次に，物質境界上の点発生を図４を用いて説明する。図４は，物質として鉄心，コイルが存在するモデルである。図４の赤色の矢印で図５示す鉄心境界のＰＱ間の点発生について説明する。全ての点の平均移動磁束線に点を発生させた後に，ＰＱ間に次のようにして点を発生させる。端点Ｐ，Ｑの一つを起点とする（図４⒜参3.5

境界線上の二重点の発生照）。点を発生させる起点の決定は，境界線の両端Ｐ，Ｑ磁場解析において，鉄心が存在する場合，磁束線は鉄心のうち，どちらがより磁束線上に発生させた点に近いかにに吸引され，鉄心そばの空気領域やコイル領域には磁束線より決定する。起点を決定したのち，起点から磁束線上にが少なくなる。このような領域に本手法を適応した場合，空気またはコイル領域に扁平な要素が発生する。例えば図６に示す鉄心とコイルが配置されたモデルでは，磁束線が鉄心を通り，コイル中は磁束線が少なくなる。この問題を解決するため，境界線上に二重節点の発生を行う。なお，二重節点を発生させる境界線は指定するものとする。次に，これら二重に発生させた点を指定した方向に距離 εd だけ移動し，再度ドローネ分割を適用する（図７⒝参照）。最後に，平均移動を行う。例として，図７⒜，⒞に二重点を発生させる前の分割図と，発生後の分割図を示す。

図４

物質境界線上の点発生図― 279 ―

佐々木雄太・山下英生… …………………………………………… ⑵ここで，Ni は補間関数である。
この推定された磁束密度 B ideal と有限要素解析により得eられている磁束密度 B FEM から，要素 e における誤差エネeルギー λ を次式により求める。
e… ……………… ⑶ここで，ν は磁気抵抗率である。
図６⑶式により求められた誤差エネルギー λ から⑷式を用
e

磁束線があまりコイルを通らないモデル

いて解析領域全体の相対誤差 ε を計算する。

… …………………………………… ⑷

ここで，ne は総要素数である。

５適用例

提案したアダプティブ法を用いて磁束線分布が上下対象となるモデルⅠ（図８）と左右上下対象となるモデルⅡ（図19）に適応し有用性を示す。灰色の部分が鉄心，赤い部分がコイル，白い部分が空気である。また，図８ではモデル
図７の左右のコイルに 100 ｍＡの電流をそれぞれ逆方向に流し境界線上の二重節点の発生た場合の解析を行う。図 19 ではモデルのコイルに 100 ｍ４Ａの電流を流した場合の解析を行う。図８の緑の丸で囲ま

誤差計算れている部分の境界線上に二重節点を発生させコイル内部

アダプティブ法において真値の推定は誤差評価を行う上の要素が扁平にならないようにしている。２つのモデルとで重要なことである。ここでは，文献１）の真値の推定式

もアダプティブの解析の回数ごとに磁束線の数を５，10，を用いる。

15 と５本ずつ増やして解析を行った。以下に示すアダプ

本手法では，有限要素解において一次三角形要素を使用

ティブ解析結果の分割図の左側の図が物体付近の拡大図，しているので，解析結果として計算される磁束密度は各要右側の部分が解析領域全体図となる。分割図の水色の部分素内で一定値となる。そこで，各節点ごとに，節点を共有がコイル，紫色の部分が鉄心，黒色の部分が空気である。

している要素の磁束密度値の重み付き平均を計算し，その平均値をその節点における真値により近い値とする。すな
わち，節点 i を n 個の要素が共有しているとした場合に，節点 i における磁束密度 Bi を次式により近似する。

… …………………………………………… ⑴

ここで，B j は節点 i を共有する j 番目の要素の磁束密度eであり，w j は，その要素の面積である。
e⑴式を用いることにより，解析領域に存在するすべての節点の磁束密度が推定できる。この節点の磁束密度を用いて，各要素内のより精度の高い磁束密度 B ideal を次式によeり求める。
― 280 ―

図８

磁束線が上下対象となるモデルⅠ

アダプティブ二次元有限要素磁界解析のための磁束線を用いた一手法

図９

解析１回目の分割図（モデルⅠ）

図 13

解析３回目の分割図（モデルⅠ）

図 10

解析１回目の磁束線図（モデルⅠ）

図 14

解析３回目の磁束線図（モデルⅠ）

図 11

解析２回目の分割図（モデルⅠ）

図 15

解析４回目の分割図（モデルⅠ）

図 12

解析２回目の磁束線図（モデルⅠ）

図 16

解析４回目の磁束線図（モデルⅠ）― 281 ―

佐々木雄太・山下英生

図 17

解析５回目の分割図（モデルⅠ）

図 21

解析１回目の磁束線図（モデルⅡ）

図 18

解析５回目の磁束線図（モデルⅠ）

図 22

解析２回目の分割図（モデルⅡ）

磁束線分布が上下左右対象となるモデルⅡ

図 23

解析２回目の磁束線図（モデルⅡ）

図 24

解析３回目の分割図（モデルⅡ）

図 19

図 20

解析１回目の分割図（モデルⅡ）― 282 ―

アダプティブ二次元有限要素磁界解析のための磁束線を用いた一手法

図 25

図 29

解析３回目の磁束線図（モデルⅡ）

5.1

解析５回目の磁束線図（モデルⅡ）

アダプティブ解析における分割図と磁束線分布モデルⅠでは図９に示すように第１回目の結果では全体的に大きな要素が多く存在している状態である。解析を進めるごとに物質内部の要素は小さくなり，最終的には物質内部にかなり小さな要素が発生している（図 11,13,15,17 参照）。空気領域の要素は正三角形に近いものができている。
磁束線分布も第１回目の解析結果（図 10）では，滑らかとはいいがたいが，解析を進めるごとに徐々に滑らかな磁束線が得られている（図 12,14,16,18 参照）。また，モデル
Ⅱでも同様にアダプティブ解析を進めるごとに結果が良好
図 26

解析４回目の分割図（モデルⅡ）になっているのが確認できる（図 20 ～図 29 参照）。
5.2

誤差評価結果モデルⅠとモデルⅡの誤差計算結果（対数表示）をそれぞれ図 30，31 に示す。

図 27

図 28

解析４回目の磁束線図（モデルⅡ）

解析５回目の分割図（モデルⅡ）― 283 ―

図 30

モデルⅠの誤差計算結果

図 31

モデルⅡの誤差計算結果

佐々木雄太・山下英生

モデルⅠ（図 30）では磁束線が鉄心に集中し，空気中文に漏れる磁束線が少ないので，アダプティブ解析の２回目献に誤差が小さくなり，その後，解析を進めても誤差の減少

１）横山貴之，Vlatko Cingoski，金田和文，山下英生：“磁が顕著にならないことが分かる。一方，モデルⅡ（図 31）

束密度の大きさを考慮したバブルシステム・アダプ

では，空気領域に磁束線が多く漏れるので，アダプティブティブ有限要素自動分割法”，電気学会論文誌Ｄ（産解析を進めるごとに誤差が少なくなる傾向を示している。

業応用部門誌），Vol.119-D，No.11，pp.1416 ～ 1421，

６Nov.，1999

おわりに２）手塚明，土田英二：“アダプティブ有限要素法”，丸善株式会社（2003）

本論文では，解析者の経験にたよらずに，与えられた希望許容誤差を満足する結果が得られるアダプティブ法の開３）佐々木雄太，山下英生：“アダプティブ二次元有限要発を行った。解析対象の物理量の変化の急な所では小さな素磁界解析のための磁束線を用いた一手法の提案”，有限要素が，その変化が緩やかな場所では大きな要素が生

平成 20 年度

成できるようにするために，磁束線を利用した方法を提案

合大会講演論文集，No.4-12，p.220，2008.

電気・情報関連学会中国支部第 59 回連した。鉄とコイルで構成される２つのモデルに適応し本手

４）佐々木雄太，山下英生：“アダプティブ二次元有限要法の有用性を示した。なお，ここでは２次元場磁場解析に素磁界解析のための磁束線を用いた一手法の提案⑵”，適用したが，本手法は，３次元場への拡張も行える。

平成 21 年度

電気・情報関連学会中国支部第 60 回連

今後の課題としては，さらに多くのモデルに適用し，有合大会講演論文集，No.4-5，p.517，2009.

効性を確かめること，および３次元モデルに対するアダプ

５）谷口建男：“FEM のための要素自動分割

デローニー

三角分割法の利用”，森北出版株式会社（2004）

ティブ解析システムの開発があげられる。

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