広島工業大学紀要研究編
第 57 巻（2023）27-31

論文

慣性計測装置によるセルトの自発的跳躍測定
青山

直樹＊・鬼追一雅＊（令和 4 年10月20日受付）

Measurement of Self-induced Jumping of Celt using IMU
Naoki AOYAMA and Kazumasa KIOI
（Received Oct. 20, 2022）

Abstract
For experimental verification of self-induced jumping shown by Batista's simulation［1］, the authors
have previously performed an analysis by using a high-speed camera. However, clear self-induced
jumping couldn’t be observed. Next, we aimed to detect self-induced jumping by measuring theacceleration in the direction perpendicular to a desktop surface using an inertial measurement unit
（IMU） BWT901. We analyzed the time variation of the acceleration component azʼ perpendicular toa desktop surface under the assumption that the acceleration components due to roll, pitch, and spin
are sufficiently smaller than the gravitational acceleration. As a result, signs of self-induced jumping
could be observed although a clear jumping could not be detected. In this paper, we describe thedetails of the experimental results.
Key Words: self-induced jumping, celt, rattleback, IMUる．一見すると角運動量保存則を破っているかのように見

1 ．はじめにえる不思議な運動をする玩具である［2］．

セルトはコマの一種で，Fig.1のように底面が楕円体のx 軸周りの回転をロール，y 軸周りの回転をピッチ，z形状をしている．「ラトルバック」あるいは「ウォブルス

軸周りの回転をスピンと呼ぶ．また，セルト上部の楕円形トーン」とも呼ばれる．机などの水平で滑らかな平面上でに関して，長軸半径 a，短軸半径 b と呼び，セルト高さを回転させるとガタガタと振動し，やがて逆方向に回転す

極軸半径 c とする．

る．セルトは例えば最初 z 軸周りに時計回りに回転を与えると，しばらくして反転し，反時計回りの回転を開始す

Fig.2．セルトの長軸半径 a，短軸半径 b，極軸半径 c．
上が平面図，下が正面図．

Fig.1．セルトの形状と回転軸
＊

広島工業大学情報学部情報工学科― 27 ―

青山直樹・鬼追一雅

セルトのスピン反転現象に関しては過去100年以上にわ筆者らは2020年にハイスピードカメラによる直接観察をたって様々な研究がされてきた ．これまでの研究による試みた．観察には長時間の撮影が可能なデジモ製のハイスと，強反転方向からの反転トルクはピッチ振動，弱反転方ピードカメラを使用した．Fig.4はフレームレート750FPS

向からの反転トルクはロール振動が不安定化することで生で撮影した木製のセルトの映像の一部であるが，映像ではじることが知られている ．セルトの反転のメカニズム自明確な跳躍を捉えられなかった．

［3］

［4］

体は明らかになっているが，種々の条件に対する詳細な振舞いについては一部しか明らかになっていない．また実験的な検証はほとんどなされていない．
今回，我々は慣性計測装置（IMU）BWT901を利用して机上面に垂直な加速度成分 aZ の時間変化を観測し，半楕円体型セルトの自発的跳躍現象の検出を試みた．その結果，自発的跳躍現象の兆候は観測できたが，明確な跳躍を捉えるには至らなかった．本稿ではその詳細を報告する．

2 ．先行研究
Fig.3は Ljubljuana 大学の Batista によって示された，回転楕円体における自発的跳躍現象のシミュレーショ
ン

Fig.4．ハイスピードカメラによる直接観察例．
明確な跳躍は捉えられなかった．の例である．

［1］

3 ．慣性計測装置 BWT901 による実験
3. 1

実験環境

今回我々は Witmotion 社製慣性計測装置 BWT901を用いてセルトの自発的跳躍現象の観測を試みた．データ取得
用ソフトウェアとしては Witmotion 社から提供されている MiniIMU（ver6.1.2）を使用した．セルトを回転させる
ス テ ー ジ と し て ア ク リ ル 板 を 用 い た． 慣 性 計 測 装 置
BWT901は右手系の座標系が採用されている．加速度の最大値は±16G（精度0.01G）で，x 軸周りの角度と z 軸周りの角度は±180°，y 軸周りの角度は±90°（精度0.01°）である．サンプリング周波数は200Hz すなわちサンプリング［1］Fig.3．Batista による自発的跳躍のシミュレーション結果．

間隔 5 ms である．
図中，上段のω1はロール振動の角速度，中段のθはピッチ振動の角度を示している．そして下段の Zp は机面から3. 2慣性計測装置の取り付け重心までの高さ距離 Zc と，回転楕円体の最下点から重心セルト上部に慣性計測装置を取り付ける為，Fig.5のよまでの高さ h との差分を表している．すなわち下段の Zp

うにプラスチック製の六角ナットを ４ か所に接着剤で固定の値が ０ の時には回転楕円体は机と接触しており，正の値した．

を取るときには空中に浮いていることを表している．初期

BWT901は自作ドータボードを介してリチウムポリマー

角速度は1800rpm すなわち30回転／秒を与えた場合のシ電池（40mAh）とコネクタで接続できるようにした．自ミュレーション結果である．Fig.3において，最初のジャ作ドータボードと BWT901マザーボードはピンヘッダでンプは時刻1.746まで空中に浮いており，最大0.461の高さ一体化し，プラスチック製ボルトでセルト本体に固定しまでジャンプしている．シミュレーションに用いた回転楕た．慣性計測装置全体の大きさは25.6mm 角，質量はリチ

円体の主軸の長さは30.2mm である．シミュレーションのウムポリマー電池を含めて7.64g である．

基準単位から計算すると空中滞在時間は71ms，最大ジャンプ高さは7.49mm である．実際のセルトの初期回転角速度はシミュレーションよりも 1 桁以上小さく，このように大きな自発的跳躍は生じにないと予測される．
― 28 ―

慣性計測装置によるセルトの自発的跳躍測定
Table 1 ．各セルトの形状パラメータ値
試料名

D3B2.5B3C4a（mm）

40505015b（mm）

20252020c（mm）

10101010b/a0.50.50.40.25M（g）

19.93

30.7024.7522.88

また Fig.8には各セルトの上面楕円形状とその楕円率 b/a を比較する図を示す．
Fig.5．支柱となる六角ナットを取り付けたアクリル製セルト

Fig.8．各セルトの上面楕円形状とその楕円率 b/a

各セルトの重り径Φ，重りねじれ角ζを変えて実験を行った．重り径Φ＝ 5 ，Φ＝ 6 ，Φ＝ 8 ，Φ＝ 9 ，Φ＝10の重りの質量はそれぞれ0.7g，1.3g，3.1g，4.4g，6.0g でFig.6．BWT901ボードと自作ドータボードをプラスチック製ボルトでセルトに固定した．

ある．
実験条件をまとめると，鉛製の重りはセルト上面の縁に両面テープで接着した．
Fig.7に示すように 2 つの重りの中心点を結ぶ直線と形状（ １ ）D（3 40－20－10），φ＝（5, 6, 8, 9, 10），ζ＝（15, 20, 30），主軸のなす角を重りねじれ角ζとする．

b/a ＝0.5，（ ２ ）B2.5（50－25－10），φ＝（5, 8, 9, 10），ζ＝（15, 20, 30），b/a ＝0.5，（ ３ ）B3（50－20－10），φ ＝（10），ζ＝（15, 20, 30），b/a ＝
0.4，（ ４ ）C4（60－15－10），φ＝（6, 8, 9, 10），ζ＝（15, 20, 30），
b/a ＝0.25
Fig.9はアクリル板上に置いたセルトの様子である．手Fig.7．セルトの重りねじれ角ζ

回しによって初期スピン回転を与えた．各条件について，
3. 3

実験手順

上から見てアクリル板の中央，左上，左下，右上，右下の実験では，セルト上部におもりを取り付けて手回しによ順番で計 5 回ずつ実験を行った．

りアクリル板上で回転させてデータを取得した．実験は形状 の 異 な る 4 種 類 の セ ル ト を 用 い た（ 試 料 名 を D3，

測定データは BWT901と Bluetooth 接続された PC にリB2.5，B3，C4とした）．各セルトの形状パラメータ値をアルタイムで送信され，MiniIMU によって txt データでTable 1 に示す．各セルトの極軸半径 c は全て10mm で同記録される．txt データには 5 ms 毎に計測された x，y，一 で あ る． 質 量 は D3 が 19.93g，B2.5 が 30.70g，B3 がz 軸の加速度，角速度，姿勢角が記録される．

24.75g，C4が22.88g である．

― 29 ―

青山直樹・鬼追一雅

Fig.9．アクリル板上のセルト

3. 4

Fig.10．加 速度 aZ の時間変化．D3（40-20-10）Φ＝10，ζ＝15°，b/a ＝0.5

鉛直加速度成分 aZ の導出

BWT901の測定によって得られる姿勢角は，机に固定された O-XYZ 座標系とセルトに固定された O-xyz 座標系との間の ZYX オイラー角（φ，θ，ψ）である．したがって BWT901の測定によって得られたセルト固定 O-xyz 座標系における加速度 n ＝ （ax, ay, az） T から机回転座標
O-xʼyʼzʼ座標系（O-XYZ から Z 軸周りにψだけ回転した座標系）における加速度成分 nʼ＝ （axʼ, ayʼ, azʼ） T は次の式によって求めることができる．

𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑥𝑥 ′
𝑛𝑛 = (𝑎𝑎𝑦𝑦 ′ ) = 𝑅𝑅𝑦𝑦𝑇𝑇 (𝜃𝜃)𝑅𝑅𝑥𝑥𝑇𝑇 (𝜙𝜙) (𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑧𝑧 ′′=(=(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
0−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

010𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 10 ) (0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 00𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠（1）Fig.11．加 速度 aZ の時間変化．B2.5（50-25-10）Φ＝10，ζ＝15°，b/a ＝0.5

0𝑎𝑎𝑎𝑎−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) (𝑎𝑎𝑎𝑎)
（2）
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
−𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎（3）

机回転座標系 O-xʼyʼzʼの zʼ軸は机固定座標系 O-XYZ のZ 軸と同じであるから，自発的跳躍を測定するためには机面に垂直な方向の加速度成分 azʼ（＝ aZ）を算出すればよい．すなわち，Fig.12．加 速度 aZ の時間変化．B3（50-20-10）Φ＝10，ζ＝15°，b/a ＝0.4

𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑧𝑧 ′ = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 （4）を用いればよい．セルトが跳躍すると自由落下状態になるので，aZ ＝ 0 となる．
Fig.10から Fig.13に上面楕円率 b/a を変えた場合の加速度 aZ の時間変動を示す．いずれも重り径Φ＝10mm，重り ね じ れ 角 ζ ＝ 15 °の 条 件 に お け る 測 定 結 果 で あ る．
Fig.10および Fig.11のセルトは両者とも上面の楕円率 b/a＝0.5のサンプルである．Fig.12のセルトは上面の楕円率b/a ＝0.4，Fig.13のセルトは上面の楕円率 b/a ＝0.25のサンプルであり，Fig.11と Fig.12に比べて上面の楕円率が小さい．
― 30 ―

Fig.13．加 速度 aZ の時間変化．C4（15-20-10）Φ＝10，ζ＝15°，b/a ＝0.25

慣性計測装置によるセルトの自発的跳躍測定

4 ．考察

5 ．まとめFig.10から Fig.13を見ると，最も楕円率の小さな Fig.13

今回，我々は慣性計測装置 BWT901を利用して机上面

では aZ ≒ 0 の箇所が見られる．これまでの実験により楕に垂直な加速度成分 aZ の時間変化を観測し，半楕円体型円率が小さいほど，強反転方向からの反転力が強くなるこ

セルトの自発的跳躍現象の検出を試みた．その結果，自発とがわかっている ．この実験結果から，反転力が強いセ的跳躍現象の兆候は観測できたが，明確な跳躍を捉えるにルトの方が自発的跳躍を生じやすいことが分かる．サンプは至らなかった．今後は明確な跳躍現象を観測できるよう

リング間隔 5 ms では自発的跳躍の兆候が見られるが，明に改善しなければならない．

［5］

確に跳躍している箇所は見出せなかった． 1 mm 程度の跳文

躍なら 5 ms のサンプリングでも観測可能なはずであるか
ら，跳躍していたとしても0.1mm 程度の僅かな跳躍であ献［1］M. Batista, “Self-induced jumping of a rigid body ofると推定できる．

revolution on a smooth horizontal surface,” Int. J.

セルトはロール振動とピッチ振動が不安定化したときにNon-linear Mechanics, Vol.43, pp.26-35, 2008.

ガタガタと音を発する．この音がラトル（ガラガラ）バッ［2］J. Walker, “The mysterious “rattleback”: a stone thatクという名の由来であるが，この音はセルトがジャンプしspins in one direction and then reverses,” Scientific

た後に机に衝突するときの衝突音だと考えられてきた ．

American, pp.172-184, Oct. 1979.

［6］

しかし我々のハイスピードカメラによる観測や，今回の慣［3］G. T. Walker, “On a Curious Dynamical Property of性計測装置による観測においても明確な跳躍現象は観測さCelts,” Proceedings of the Cambridge Philosophical

れなかった．全く跳躍していない場合の方が多いが，それSociety，vol.8，pt.5（1895）pp.305-306.

でもガタガタ音を発していることから，この音は跳躍の落［4］H. Moffatt and T. Tokieda, “Celt Reversals: A
Prototype of Chiral Dynamics,” Proc. Roy. Soc.

下時に机面に衝突する音ではないことが推測できる．
この BWT901はサンプリング間隔 5 ms が最小であるのEdinburgh Sect. A, 2008, vol.138, no.2, pp.361-368.

で，自発的跳躍を観測するためには，より高性能のセンサ［5］ 鬼追，半楕円体型セルトの主曲率とスピン反転回数にを導入するか，より高い跳躍をする条件を探索する必要が関する実験的特性，可視化情報学会論文集，Vol.40，ある．また本解析では，ロール，ピッチ，並びにスピンにNo. 3，pp. 1 - 8，2020年 3 月．

よる加速度成分が重力加速度に比べて十分小さいことを仮［6］ 小川陽弘，大島裕子，セルトの研究，可視化情報，定している．今後は，ロール，ピッチ，並びにスピンによる加速度成分を考慮した解析を進めることも必要である．

― 31 ―

Vol.19，No.74，pp.15-20，1999．