授業後にノートの写真を撮ってメールで提出すれば０.５点を加点する。目的は，スライドや黒板を写していたかではなく，演習など授業に取り組んでいたかを確認するため。事情があれば，授業後の確認も可。 力学 1（工）・力学（情）（4 回目）

第 3 回授業

レポート課題≪第 4 回目の授業の初めに小テストを行う≫

数値で求める解は有効数字 2 桁で答えよ。

テキスト p.8～9 の問題 2-1 (1)～(4)， 2-2，2-3，2-4，2-6 を，以下の修正・追加をして解け。
◍追加：問題 2-1(1)～(3)は力の向きも答えよ。
◍追加：問題 2-2 の設定で，自然長から 4.0［cm］縮めたときの弾性力の大きさはいくらか。
◍問題 2-3 を次のように修正する：問題文の設定において，動摩擦力 ⃗⃗⃗𝑓′の大きさと向きを求めよ。また，テキストのように，𝑥 軸の正方向を水平右向きとしたときの 𝑥 成分 𝑓′𝑥 も求めよ。
注意：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。計算式だけでなく，説明文や適切な図を加えて，答案を作成することを心がけよ。答案作成力も見る。
＊提出方法や提出場所・期限は通常通り（第 1 回配布のプリントを見よ。
）

第４回

力の合成・分解，力のつり合い：テキスト第 1，2，23 章

1. 今回の授業の目的
前回までの授業で，力はベクトルで表されることと，力の代表的な種類について力の法則（向き，大きさ，作用点を決める法則）を理解した。そこで，これまでの内容を具体的な問題に適用する。今回の授業の目的
は，力の合成・分解と力のつり合いを理解して，適切な作図と計算が出来るようになることである。
2. 授業の進行：テキスト第 1，2，22 章とこのプリントを合わせて理解を深める(1) 力の合成（第 1 章 p.1）： 一つの物体に複数の力 ⃗⃗𝐹𝑖 （𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛）が働くと，物体は何らかの運動を行う（静止や変形も運動の一つ）。その複数の力の働きと同じ働きをする（全く同じ運動を引き起こす）一つの力 𝐹 を考えることができる。この力 𝐹 を ⃗⃗𝐹𝑖 （𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛）の合力といい，ベクトルの和で求められる。
（平行四辺形の法則を繰り返し使って求める。第 1 回目の実験を思い出せ。）
𝐹 = ⃗⃗⃗⃗
𝐹1 + ⃗⃗⃗⃗
𝐹2 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑛

（4.1）

式（4.1）から合力 𝐹 の大きさ，向き，成分が分かる。合力を考えることを，力を合成するという。
(2) 力の合成の復習演習： テキスト第 1 章の問題演習 1 から，問題 1-6 (1)(2)に取り組む。
(3) 力の分解（p.1～2）： 一つの力 𝐹 を，いくつかの力（例えば 2 つ）のベクトル和 𝐹 = ⃗⃗⃗𝐹1 + ⃗⃗⃗
𝐹2 として表すことを力の分解という。このとき分解された力 ⃗⃗⃗𝐹1 と ⃗⃗⃗
𝐹2 を分力という。力の分解は複数（例えば 3個，一般に 𝑛個）の方向を考えることも可能で，その場合の力 𝐹 と分力 ⃗⃗𝐹𝑖（𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛）との関係は式（4.1）と同じベクトル和である。
注意 1：力の分解が重要になるのは，例えば第 1 回目の実験のような設定である。一つの重り（実験ではボルトを入れた容器）を 2 本の糸（実験ではばね）に吊るしたときに，重りの重力𝐹 をそれぞれの糸の方向に分解することで 2 つの分力 ⃗⃗⃗𝐹1 ，⃗⃗⃗𝐹2 が考えられる。そして，重りが静止している場合（力がつり合っている場合）は，その分力と逆の力 −⃗⃗⃗⃗
𝐹1 ，−⃗⃗⃗⃗𝐹2 が，それぞれの糸が重りを引っ張る力となる。（なぜなら，これで重りの重力と糸の力の合力がゼロベクトルになるから。
）
注意 2：テキスト p.1 の力の分解の図は，力を分解する方向として直交する 2 方向（𝑥 軸と𝑦軸）を考えている。しかし，力の分解は，直交する 2 方向（𝑥 軸と𝑦軸）だけに限定されない。直交しない任意の2 方向の分解を考えることができる。第 1 回目の実験では，2 本のばねは直交していなかったが，それらの方向に力が分解できた（分力が存在していた）ことを忘れてはいけない。
(4) 力の分解の演習： テキスト第 1 章の問題演習 1 から，問題 1-8 に次の手順で取り組む。（考える物体は静止していなくてもよい。物体が運動している場合は，図に描かれた瞬間を考えれば全く同じである。）
手順 1：𝑥 軸方向の分力を ⃗⃗⃗⃗𝑓1 ，𝑦軸方向の分力を⃗⃗⃗𝑓2 とすると，重力 ⃗⃗⃗𝐹 が ⃗⃗⃗𝐹 = ⃗⃗⃗𝑓1 + ⃗⃗⃗𝑓2 と表せることを，上の説明から理解する。

⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗
手順 2：ベクトル和として 𝐹𝑓1 + ⃗⃗⃗𝑓2 と表せるということは，分力 ⃗⃗⃗𝑓1 と ⃗⃗⃗⃗𝑓2 の矢印を 2 辺とする平行四辺形を作図すれば（ ⃗⃗⃗𝑓1 と ⃗⃗⃗⃗𝑓 の矢印の始点は重力 ⃗⃗⃗𝐹 の始点と同じ位置）その平行四辺形の対
2

4 回目-1

力学 1（工）・力学（情）（4 回目）⃗⃗⃗⃗ と 𝑓⃗⃗⃗⃗ を作図する。
⃗⃗⃗ の矢印に一致するということである。これを踏まえて，分力 𝑓角線が重力 𝐹
12（定規などを使い，丁寧に作図すること。
）⃗⃗⃗ = (𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 ) の成分を求める。
手順 3：分力の図から，重力 𝐹（必要があれば，テキスト第 18 章を参照。）(5) 力のつり合い（p.2）： 2 回目のプリントの項目 1-(13)を復習。
物体に複数の力が働いているにも関わらず「物体が静止し続ける（あるいは速度一定のまま移動し続ける）」場合には，合力がゼロベクトル ⃗0 になることが実験的に知られている。（この実験事実は，テキス
ト第 5 章を学ぶ際に，慣性の法則としてまとめる。）
注意：力がつり合わない場合（合力がゼロベクトルでない場合），物体は速度が変化（速くなったり遅くなったり運動の向きが変わったり）するような運動を行う。これを加速度運動という。加速度運動
は，テキスト第 5，6 章の運動方程式を扱う授業で詳しく考える。
(6) 力のつり合いの演習 1：p.8 の例題 2.1 の設定を次のように変えて取り組む。作図もすること。
設定：𝑇 = 50［N］の張力を水平より60°上向きに加えたとする。項目(4)を参考にして，張力の水平方向の分力の大きさ，鉛直方向の分力の大きさを，それぞれ求めよ。(1)(2)(3)で大きさと向きを答えよ。
【張力の大きさが何［N］より大きくなると動き始めるか？（難しい）】(7) 力のつり合いの演習 2： テキスト第 2 章の問題演習 2 から，問題 2-7 の問(2) に次の手順で取り組む。

⃗⃗⃗ ，糸 1 の張力を ⃗⃗⃗⃗
手順 1：図の重力を 𝐹
𝑇1 ，糸 2 の張力を ⃗⃗⃗⃗
𝑇2 として，力のつり合いを表すベクトルの式（テキスト p.2 を参照）を書く。
手順 2：手順 1 を式変形して，2 本の糸の張力の合力（⃗⃗⃗𝑇1 + ⃗⃗⃗𝑇2 ）が，重力の逆の力 −⃗⃗⃗𝐹 になることを理解する。
⃗⃗⃗ （= ⃗⃗⃗⃗
手順 3：2 本の糸の張力の合力（重力の逆の力）−𝐹𝑇1 + ⃗⃗⃗⃗𝑇2）を作図する。
手順 4：手順 3 で作図した張力の合力 −⃗⃗⃗
𝐹 を 2 本の糸の方向に分解する作図をする（糸に沿った辺で構成⃗⃗⃗
されて，−𝐹 が対角線になるような平行四辺形）。

⃗⃗⃗2 を表すベクトル（矢手順 5：手順 4 で作図した平行四辺形で 2 本の糸に沿った辺で，求める張力 ⃗⃗⃗𝑇1 ，𝑇印）が分かる。少なくとも，この作図までは確実に理解することが必要である。
⃗⃗⃗ = (𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 )， 張力
手順 6：水平右方向を 𝑥 軸，鉛直上方向を 𝑦 軸とする。三角比を利用して，重力 𝐹⃗⃗⃗
𝑇1 = (𝑇1𝑥 , 𝑇1𝑦 ) と ⃗⃗⃗𝑇2 = (𝑇2𝑥 , 𝑇2𝑦 ) の各成分を求める。
（参考： sin(30°) = cos(60°) = 1⁄2， cos(30°) = sin(60°) = √3⁄2 ）手順 7：3 つの力の各成分の和（合力の各成分）がゼロになるように，力のつり合いの式を立てる。連立方程式を解いて，⃗⃗⃗𝑇1 と ⃗⃗⃗𝑇2 の大きさ（強さ）𝑇1 と 𝑇2 を求める。
別解法（手順 5 から続く）
手順 6’：三角比（第 18 章）を利用して，図形的に，⃗⃗⃗
𝑇1 と ⃗⃗⃗
𝑇2 の大きさ（強さ）𝑇1 と 𝑇2 が計算できる。
注意：記号の添え字の書き方に注意。𝑇1𝑥 などの右下に小さめについている添え字1𝑥 は「糸 1 の張力の𝑥 成分」という意味を持っている。𝑇1𝑥などと大きく書くと，𝑇 × 1 × 𝑥 という掛け算と区別がつかなくなるので，𝑇1𝑥 と添え字は，小さく，位置を下にずらして書く必要がある。他の人が見て判別できることが重要である。
⃗⃗⃗ | ，⃗⃗⃗ ，ベクトルの大きさの記号 𝐹 または |𝐹(8) 記号は適切に使い分けること： ここまでで，ベクトルの記号 𝐹
ベクトルの成分の記号 𝐹𝑥 （あるいは 𝐹𝑦 ），成分表示 (𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 )，そして添え字の書き方，が出てきた。
これらの記号を適切に使い分けて答案を作成することを，学生の皆さんには要請します。記号の使い方は基本的に世界の共通事項となっているので，記号の使い方が不適切な答案は不正解とする，あるいは減点となる。

4 回目-2