問題集０（単位の表現）単位について：本授業では、SI 単位系で扱う．重力加速度 g=9.8m/s2 として仮定せよ．
問題０−１

単位について（１）水の密度は 1kg/L（１リットルの質量は 1kg）である．これを，kg/m3 の SI 単位に変換するといくらになるか．
（１L=0.001m3）(2)1000kg の質量に作用する重力は何 N（ニュートン）か？
(3)1000kg/m3 の密度の流体（水）の単位体積重量γ=ρg はいくらか．SI 単位で記すこと．途中の単位変換も示すこと．
(4)100W を消費して光っている電球は，1 秒当たりに何 J の仕事をしているのか．（1W（ワット）の定義）

問題０−２

圧力の単位までの変換について（１）水の密度(質量/体積）をρ=1000kg/m3 とする．右図の
面積 A=2.0m2 の板に作用する水圧は，その上に載っている水の体積 V=1.0m3 から作用して決まる．以下の手順でこの底面の板に作用する圧力（力/面積）p を求めよ．ただし，すべて単位を付けて記すこと．単位がどのように変換されるのかわかるように書くこと．

水：
密度：ρ=1000kg/m3
体積 V=1.0m3
板：
面積 A=2m2
図-0.1 水柱の底面に作用する圧力

1)この体積 V の水の質量 M を求めよ．
2)その質量に重力によって作用する重量 Fy を求めよ．
3)板に作用する水の圧力（水圧）p を求めよ。
（２）この（１）の問いにおいて，仮に水圧 p=2000N/m2=2000kPa がかかっているとき，この板に作用する全水圧 Fy は
いくらになるか．

水理学演習 （2008 年
問題０−３

月

日提出）

学籍番号：

氏名：
レポート作成時間

分

／（A）

であ

単位の定義，比重と密度，比重と単位体積重量以下の空白を埋めよ．
（１）密度ρ
密度ρはその流体の， （A）

である．つまりρ=（B）

あたりの（B）

る．水は１L（リットル）あたり 1kg だから，これを「kg/m3」の SI 単位に変換すると，
水の密度ρ=（C）（数値）

kg/m3 となる．

(2) 重量，重さ
重量＝重力（重さ）は，力の単位であり，その物体や流体の（B）
地球上での（D）

×（D）

から求める．

m/s2 である．

は（E）（数値）

kgm/s2 であるが，kg・m/s2=N（ニュートン）例えば，1000kg の質量に作用する重量は（F）（数値）であり，k（キロ）=1000，であるから，（G）（数値）

kN と表す．

(3)単位体積重量γ
単位体積重量γとは文字通り，ある流体の （A）
つまりγ=（I）／（A）

γを変形すると，γ=（（B）
括弧内は（J）

あたりの（I）

である．

である． （I）は(2)のように，（I）=（B）×（D）であるから，
／（A）

）×（D）

から，

である．よって，単位体積重量γ=ρg と表される．

水の（密度 1000kg/m3）の単位体積重量γ=ρg は，9800(kg/m3)(m/s2）となるが，kg・m/s2=N（ニュートン）であり，k（キロ）=1000，であるから，水の単位体積重量はγ=ρg=（K）（数値と単位）となる．

(4)比重 s の使い方
比重 s は，その流体の密度と，水の密度の比である．つまり，ある流体の比重 s＝その流体の密度ρ' ／ 水の密度ρである．右辺の分母と分子の両方に重力加速度 g を掛けても比重は変わらない．すると分子はρ'g と，分母はρgとなり，単位体積重量の比でもある．つまり，ある流体の比重 s＝その流体の単位体積重量（γ'=ρ'g） ／ 水の密度単位体積重量（γ=ρg）となる．比重には単位（次元）がない．これらを変形すると，ある流体の比重が s であるとわかっているとき，・その流体の密度ρ' ＝比重 s × 水の密度ρ（＝（C）

kg/m3）

・その流体の単位体積重量γ' ＝比重 s × 水の密度単位体積重量γ（=（K）となる．例えば，ある油の比重が s=0.9のとき，その油の密度ρ'は単位体積重量γ'は（L）（数値と単位））

kg/m3 であり，となる．

(5)仕事と仕事率 （応用編）
・100W を消費し光る電球は，1 秒当たりに（M)J の仕事をしている．（1W（ワット）の定義）

・真夏の日射が地上 1m2 あたり 1000W/m2 のエネルギー入射があるとする．10m2 の面積の太陽電池パネルがあり，その発電効率が 10%のとき，その出力可能な電力は（O)（Q)

個灯すことができる． 1 時間当り（P)

使われる「１kW・時」という単位は，（R)
問題０−４

深さと圧力

W であり，このとき，消費電力 20W の電球を

kJ のエネルギーを送ることができる．電力会社のメータでkJ に相当し，電力量＝消費エネルギーの単位である．

以下の数値や単位を埋めて文章を完成させよ．
（１）絶対圧とゲージ圧：
大気の平均的な圧力は，絶対圧で 1013hPa=1013×

Pa である．

Pa＝

これが１気圧(atm)である．
Pa=N/m2 であるから，水平に置いた板の面積 1m2 あたりにかかる力がN であるということだ．

これは，水面にいつも作用している．しかし「大気の海」の底に住んでいる我々は，絶対圧=0 がいくらであるかを必要としない．つまり，大気圧を 0 とした状態で圧力を測った値をゲージ圧と呼び，通常はこれを利用する．

(2)水深 h(m)だけ沈んだ場所の水圧（圧力）を考えてみる．その深さで面積 A（m2）の板を水平に置き，その上面に作用する圧力を考えるため，まず，その上に水面までの四角柱の箱を想像して，その重さ W を考える．h(m)の水深のとき，その体積 V は記号で
水の密度=質量/体積が ρ （単位：）であるから，箱の質量は記号でを掛けたものが，重さとなる． N=kg・m/s の単位変換を施すと，重さは記号でると，圧力の式は p=
2

N/m =
p=

（単
2

）となり，これに，

位：（m3）であり，

（または

（または

）(単位：

）となる．これを面積 A で割）となるが，この単位を）（単位：と変換するから，圧力の式は（または） （単位：）

・・・式①となる．仮に大気圧を p0 とすると，これがさらに加わり，圧力の式は
p=

（または

となる．柱の上面に作用する圧力 p0 に

） （単位：）

・・・式②を加えたものが下端の水圧 p となる．

■以後，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の密度ρ=1000kg/m3，単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
(3) 式①から，水深 5m での水圧（ゲージ圧）を求めよ．

答え：(4) 絶対圧で 10 気圧=10atm になる水深は，およそ何 m となるか？

．（数値と単位）

理由（計算過程）も示せ．＜やや難＞2008.4.23
水理学演習

問題集（１）

側圧管

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．圧力はすべてゲージ圧で答えよ．（大気圧=0）
類題１−１

側圧管

以下の問いに答えよ．

（１）図-1.1 において，A 点での圧力 pA は式でどう表せるか？
また，L=0.5m，θ=60°のとき，pA はいくらになるか．
（2）図-1.2 において，A 点での圧力 pA は，式でどう表せるか？
また，右側の液体をγm＝s γ とし，比重 s=13.6 として，h1=0.3m，h=0.8m のとき， pA の値はいくらか．
（3） 図-1.3 において，A 点の圧力 pA の計測値を知った時，B 点での圧力 pB は式でどう表せるか？また，
pA=0.5kPa，h=0.1m，h1=0.1m，h2=0.1m， s=0.9 とした場合，pB の値を求めよ．
（4）図-1.4 において液体 A より軽い液体 B が U 字管の右側に注入された．その高さ h2 がわかっているとき，その差∆h=h2-h1 はいくらになるか，図中の記号を用いた式で答えよ． （参考書「絵とき水理学」p.26）
また，液体 A が水，液体 B がトルエン（比重 s= ρ2/ρ1=0.875）で，h2=0.2m の時，∆h は数値でいくらか？
（5）教科書 p.47 の問題１(a)〜(c)を解け．

θ
図-1.1
類題１−２

図-1.2

図-1.3

図-1.4

ベンチュリー管（差圧マノメータ）

図-1.5 のベンチュリー管の断面 A，B の圧力差を測りたい．水が入っていた U 字管に水銀を入れ，その差圧マノメータの差は h であった．以下の問いに答えよ．
①この時の圧力差∆p＝pa-pb を式で表せ．水銀の比重を s とせよ．
②圧力水頭差（ピエゾ水頭差）∆p/γ＝∆p/ ρg＝(pa-pb)/ ρ g はどうか．
③さらに，水銀の比重を s=13.6 とし，水銀柱の高さの差が h=0.05mの時，圧力差∆p の値はいくらか？

図-1.6

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．圧力はすべてゲージ圧で答えよ．（大気圧=0）
問題１−１

側圧管

以下の問いに答えよ．

（１） 図-1.7 において，A 点での圧力 pA は，式でどう表せるか？
また，L=1.0m，θ=30°のとき，pA はいくらになるか．
（２） 図-1.8 において，A 点での圧力 pA は，式でどう表せるか？また，h1=0.3m，h=0.2m のとき， pA はいくら（値）になるか求めよ．水銀の比重 s=13.6 とせよ．
（３） 図-1.9 において，A 点と B 点の圧力差∆p＝pA-pB は式でどう表せるか？
また，左右の液体を水とし，真ん中の液体の比重 s=γm/ γ = 13.6 とし， h=0.1m，l=0.1m のときの，∆p の値
を求めよ．

θ

図-1.7
問題

１−２

図-1.8

図-1.9

差圧マノメータ（上向き）

図-1.10 の様に，水平な管路上の A 点および B 点に，トルエン（比重ｓ）を用いた差圧マノメータが付けてある．その差が∆h の時，
以下の問いに答えよ．

トルエン：
比重 s=0.875

C点
Δh

D点
水

①管路のこの AB 間の圧力差∆p＝pA-pB は，記号でどう表される

差圧マノメータか？
②さらに トルエンの比重 s=0.875 とし，∆h =2.0cm=0.02m の時，∆p はいくらか，値（と単位）で求めよ．
③また，∆p の圧力水頭差はいくらか？

A点

管路(水平）

図-1.10B点

水理学演習問題集（２）

平面に作用する全水圧

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
類題２−１

平面に作用する全水圧（1）（長方形，水没パターン）θ =30°

図-2.1 における，全水圧 P の大きさと，作用線の位
置 sC および，HC を求めよ．ただし，幅 B，高さ H の長

Hc

全水圧 P

O

sc

方形の重心周りの断面２次モーメントは，
I G = BH 12 であることを利用せよ．
3

C

G

G

C

s1=4m

B=3m
H=4m
図-2.1

θ =30°（2）（一般図形＝円形の例）
図-2.2 における，円盤に作用する全水圧 P の大き

O

全水圧 P

Hc

sc

さと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ． ただし，
直径 D の円の重心周りの断面２次モーメントは，C

I G = πD 64 であることを利用せよ．
4

G

C

G

s1=4m
D=4m

図-2.2

θ =60°（３）（長方形，水面まであるパターン）
図-2.3 における，全水圧 P と，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．

O

Hc
全水圧

sc

P
C

G
C

B=2m
図-2.3

H=6m

問題２−１平面に作用する全水圧θ =60°（1）（長方形，水没パターン）O

図-2.4 における，長方形板に作用する，全水圧 Pの大きさと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．たHc

sc

だし，幅 B，高さ H の長方形の重心周りの断面２次モ

全水圧

ーメントは， I G = BH 12 であることを利用してよい．

P

3

s1=3m
G
C
G
C

H=6m
B=2m
図-2.4

θ =30°（2）（一般図形＝三角形の例）
図-2.5 における，三角形の板に作用する，全水圧

P

P の大きさと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．
ただし，底辺 B，高さ H の三角形の重心周りの断面２

O

全水圧

sc

Hc

次モーメントは， I G = BH 3 36 であることを利用せよ．

G

C

s1=4m
C

B=3m

G

H=4m
図-2.5

θ =30°（３）（長方形，水面まであるパターン）
図-2.6 における，長方形板に作用する，全水圧 P と，

Hc

O

全水圧

P

sc

G

作用線の位置 sC および，HC を求めよ．

C

G
C

B=2m

H=6m

図-2.6

水理学演習

問題集（２

の

その２）

鉛直平面に作用する全水圧

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
類題２−２平面に作用する全水圧（鉛直面）θ =90°（1）（一般図形＝三角形の例，完全水没，鉛直面）

O

図-2.7 における，三角形の板に作用する，全水圧

h1=4m

P の大きさと，作用線の位置 HC を求めよ． ただし，

Hc

底辺 B，高さ H の三角形の重心周りの断面２次モーメ
ントは， I G = BH 3 36 であることを利用せよ．
全水圧

G

P

G
C

C

H=3m

B=3m
図-2.7

θ =90°O（２）（長方形，水面まであるパターン，鉛直）
図-2.8 のような鉛直な壁面に作用する，全水圧 P と，

Hc

作用線の位置 HC を求めよ．
但し，水深 H=6m，奥行き B=10m とする．

全水圧

P

H=6m

G
C

幅（奥行き）B=10m
図-2.8

問題２−２平面に作用する全水圧（鉛直面）θ =90°O（1）（長方形，水没パターン，鉛直）

Hc

図-2.9 における，幅 B=3m の水没した長方形板に作用する，全水圧 P の大きさと，作用線の位置 HC を

h1=4m

全水圧 P

求めよ．

G

ただし，幅 B，高さ H の長方形の重心周りの断面２

H=4m

C

次モーメントは， I G = BH 3 12 であることを利用してよい．

幅（奥行き）B=3m
図-2.9θ =90°O

Hc（2）（一般図形＝円形の例，鉛直）h1=4m

図-2.10 における，円盤に作用する全水圧 P の大きさと，作用線の位置 HC を求めよ．
ただし，直径 D の円の重心周りの断面２次モーメン

全水圧 P

トは， I G = πD 4 64 であることを利用せよ．

G

G

C

C

D=4m

図-2.10（３）（長方形，水面まであるパターン，鉛直）

θ =90°

図-2.11 のように，水深 H=4m，幅（奥行き）B=3m のO

鉛直板（長方形）に作用する，全水圧 P と，作用線の位置 HC を求めよ．

Hc
全水圧

P

H=4m

G
C

幅（奥行き）B=3m
図-2.11

水理学演習問題集（３）

曲面に作用する全水圧

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
，幅 b，高さ H の長方形の重心周りの断面２次モーメントは， I G = bH 3 12 であることを利用してよい．なお，ここでの「曲面」は，円筒状の曲面に限定される．
類題３−１

曲面に作用する全水圧（１）（テンターゲート，上向き作用，教科書 p.34 類題）

奥行き B=10m

図-3.1 のような，奥行き B=10m，半径 R=4m，中心A

角θ=60°のテンターゲート(B-E 面）に作用する，全H1=4m

水圧 P の大きさとその分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．（曲面のゲートにだけ作用する力であること

Hc

E

O

α

に注意）

θ =60°

Px

また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ．

Hc'

半径
R=4m

全水圧 P

Pz

B

xC

図-3.1

奥行き B=10m
類題３−２（ローリングゲート，上下面）

図-3.2 のような，奥行き B=10m，半径 R=4m のゲート（A-B 面）に作用する，全水圧 P の大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．

半径

A

R=4m
θ =30°

Hc

E

O

α

また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ．

Px
H c'

R=4m

全水圧 P

Pz

B

xC
図-3.2

問題３−１曲面に作用する全水圧（１）（テンターゲート，下向き作用）A

図-3.3 のような，奥行き B=10m，半径 R=6m，中心角θ=60°のテンターゲートに作用する，全水圧 P の

奥行き B=10m

Hc

半径
R=6m

大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．
全水圧 P

また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ．

Pz
θ =60°

Px

Hc'

α

B

O

xC
図-3.3

（2）（テンターゲート，上向き作用）

奥行き B=10m

図-3.4 のような，奥行き B=10m，半径 R=6m，中心角θ=60°のテンターゲートに作用する，全水圧 P の

A

O

α

Hc

θ =60°

大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．
また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ．

Px
Hc'

全水圧 P

半径
R=6m

Pz
B

xC

図-3.4

問題３−２

（ローリングゲート，上下面）

奥行き B=5m

A（教科書 p.４７問題 2 の類題）
図-3.5 のような，奥行き B=5m，直径 4m（半径

半径
R=2m

R=2m）の円筒形のローリングゲートに作用する，全水
圧 P の大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを

Hc

E

求めよ．

O

α

また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ．

Px
Hc'

R=2m

全水圧 P

B

Pz
xC
図-3.5

水理学演習問題集（４）

連続式と流れの分類（乱流・層流）

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
類題４−１

連続式
v2

（１本の管路の流れ）

v1

図-4.1 のような，流管に流れている水の流量を Q とする．
断面①および断面②での平均流速と内径は，それぞれ，
v1,D1 および v2,D2 とする．
D1=20cm, D2=10cm として，以下の問いに答えよ．
（１） 流量 Q=5l/s の時の流速 v1 および v2 を求めよ．
（2） 流速 v1=1.0m/s のときの流量 Q および v2 を求めよ．

図-4.1
D3=1m

類題４−２

連続式（分岐水路の流れ）

図-4.2 のように分岐している水路がある．図の様に，①か速 v1〜v3 とそれぞれ定義する．

② Q2

を求めよ．
（2） Q1=12m3/s，v2=1.0m3/s の時の，流量 Q3 を求めよ．

図 -4.3 の よ う に ， 面 積 A1=10m2 の タ ン ク か ら ， 内 径
D2=0.1m の管に流れている．以下の問いに答えよ．
(1) このタンクの水位低下速度-dh/dt=v1 が，0.01m/s のとき，

図-4.2

面積 A1=10m2

D2=0.1m(2) 管の流速が v2=1.0m/s のとき，タンクの水位低下速度 v1v2 ② Qを求めよ．
図-4.3
内径 D=4cm の円管がある．その層流・乱流の流れの分類について，以下の問いに答えよ．ただし，水の動粘性係数ν（ニュー）=1.0×10-6m2/s=1.0×10-2cm2/s とせよ．
(1) 流量 Q=50cm3/s のときの流れは層流か乱流か？
(2) 流量 Q=0.2l/s のときの流れは層流か乱流か？

①-dh/dt=v1

管を流れる流量 Q と，その流速 v2 を求めよ．

類題４−４ 流れの分類(層流・乱流）

D2=2m

①

（１） v1=2m/s，v2=1m/s，時の，流量 Q1〜Q3 および，流速 v3タンクの水位低下と流量（おふろ問題）

v2

v1
Q1

D1=4m, D2=2m, D3=1m として，以下の問いに答えよ．

類題４−３

③

内径 D1=4m

ら③の断面において，流量 Q1〜Q3，内径 D1〜D3，平均流Q3v3

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
問題４−１

連続式
内径 D1=0.5m（１本の管路の流れ）
図-4.4 のような，流管に流れている水の流量を Q とする．

内径 D2=0.25m

v1

断面①および断面②での平均流速と内径は，それぞれ，

v2

Q

v1,D1 および v2,D2 とする．

②

Q

①

D1=0.5m, D2=0.25m として，以下の問いに答えよ．
（１） 流量 Q=0.784m3/s の時の流速 v1 および v2 を求め
よ．

図-4.4

（2） 入り口の流速 v1=2.0m/s のときの流量 Q および断面②の流速 v2 を求めよ．

D1=2m
Q1
③

問題４−２

v1

内径 D3=8m

連続式（分岐水路の流れ）

v3

図-4.5 のように合流している水路がある．図の様に，①①

から③の断面において，流量 Q1〜Q3，内径 D1〜D3，平均流速 v1〜v3 とそれぞれ定義する．
D1=2m, D2=4m, D3=8m とし， v1=2m/s，v2=1m/s の時の，

②

v2

Q2
D2=4m

流量 Q1〜Q3 および，流速 v3 を求めよ．

問題４−３

タンクの水位低下・上昇と流量

図-4.5

面積 A1=20m2
面積 A2=4m2

図-4.6 のように，面積 A1=20m2 のタンク①から，面積
A1=4m2 のタンク②へ，内径 D3=0.2m の管を通じて流れて-dh/dt=v1

いる．以下の問いに答えよ．

v2(1) タンク①の水位低下速度-dh/dt=v1 が 0.01m/s のとき，管を流れる流量 Q と，管の流速 v3 を求めよ．
Q(2) (1)において，下流タンク②の水位上昇速度 v2 を求めよ．
問題４−４ 流れの分類(層流・乱流）
内径 D=1cm=0.01m の円管がある．その層流・乱流の流れの分類について，以下の問いに答えよ．ただし，水の動粘性係数ν（ニュー）=1.0×10-6m2/s=1.0×10-2cm2/s とせよ．
(1) 流量 Q=50cm3/s のときの流れは層流か乱流か？
(2) 限界レイノルズ数となるとき，つまり層流と乱流の限界となるときの，流量 Q を求めよ．（ヒント：Re=2000のときの平均流速 v を求める）

Q3

内径 D3=0.2m
図-4.6水理学演習問題集（５）

ベルヌイの式（損失なし）

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
類題５−１

ベルヌイの式の基礎

今，断面積 A=0.1m2 の管に水が流れている．以下の問いに答えよ．
（１） 流量 Q=5l/s の時の，速度水頭を求めよ．
（2） 速度水頭が 5cm=0.05m の時の速度と流量を求めよ．
類題５−２

ベルヌイの式の基礎（損失なし）

図-5.1 について，以下の問いに答えよ．但し，エネルギー損失は考えない．
（1） エネルギー損失がない場合，タンクから管にかけて，

Q

点A
v

タンク

どこでも全水頭は一定である．全水頭 E はいくらか？
A'（2） 管内の流速と流量はいくらか？
（3） 地点 B での圧力水頭はいくらか？
（4） 地点 B での圧力はいくらか？（単位付き）

4m

B
zB=2m

内径
D=0.1m基準面zC=3m（4） 図-5.1 を描き，全水頭線，動水勾配線を描け．
図-5.1
類題５−３

ベルヌイの式の基礎（損失なし）

図-5.2 の様に，管の断面①および②にそれぞれマノメータが付いている．各断面の内径は，D1=0.2m および D2=0.1mで，z1=3m，z2=2m である．
①における，管中心からのマノメータ水位 h1=2m，流量
Q=0.01m3/s の時について，断面②におけるマノメータの管中心からの水位 h2 と，両断面の流速 v1，v2 を，それぞれ求めよ． 但しエネルギー損失は考えない．
類題５−４

図-5.2

ベンチュリーメータ（損失なし）

図-5.４の様な，水銀（比重 s=13.6）を用いたベンチュリーメータがある．
(1)流量と H'の関係を求めよ．（補正係数は考えなくて良い．
まず，側圧管の方法により①および②での圧力と H'の関係を，ベルヌイの定理から圧力差と流量の関係を求めよ）(2) D1=0.3m，D2=0.15m，H'=0.1m の時の流量 Q を求めよ．

C（大気）

図-5.3

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
問題５−１

ベルヌイの式の基礎

今，図-5.4 のように，タンクから断面積 A=0.01m2 の管に水が流れている．エネルギー損失を無視し，以下の問いに答えよ．

点A(1)B 点の管からのマノメータの水位 h が 1m の時，管の流速

タンク

断面積
A=0.01m2h

および流量はいくらか？

v(2) 流量 Q=0.02m3/s の時，h はいくらか？

A'
B

Q

4m

zB=1m

基準面

図-5.4
問題５−２

ベルヌイの式の基礎（損失なし）

図-5.5 について，以下の問いに答えよ．但し，エネルギー損失は考えない．
（1） エネルギー損失がない場合，タンクから管にかけて，

Q

点A
v

タンク

どこでも全水頭は一定である．全水頭 E はいくらか？
A'（2） 管内の流速と流量はいくらか？
（3） 地点 B での圧力水頭はいくらか？
（4） 地点 B での圧力はいくらか？（単位付き）

5m

B
zB=1m

内径
D=0.2m基準面zC=3m（5） 図-5.5 を描き，全水頭線，動水勾配線を描け．
図-5.5

問題５−３

ベルヌイの式の基礎（損失なし）

図-5.6 の様に，管の断面①および②にそれぞれマノメータが付いている．各断面の内径は，D1=0.4m および D2=0.2mであり，管の基準面からの高さは z1=4m，z2=2m である．
断面②でのマノメータの水位 h2=2m で，流量 Q=0.04m3/sの時，全水頭 E はいくらか，また，断面①でのマノメータの水位 h1 と流速 v1 を求めよ． 但しエネルギー損失は考えな
い．

C（大気）

図-5.6

水理学演習問題集（６）

ベルヌイの式（損失なし

その２）

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
類題６−１

オリフィス（ベルヌイ）

図-6.1 のような，タンクとオリフィスがある．このオリフィスの
出口 B 点＝「ベナコントラクタ」での流速と，流量を求めよ．但し，摩擦は無視するものとし，流量係数＝縮点A
タンク

流係数 C=0.6 とする．

内径D=0.1m
流量係数
C=0.6

点B
３m
v

Q 大気

zB=1m
図-6.1
類題６−２

ベルヌイの式の基礎（損失なし，鉛直管）

図-6.2 のようなタンクと鉛直な管がつながって水が流れている．D=0.1m，h=1m，l=2m，y=1m として，以下の問いに答
えよ．タンク内の速度水頭と損失は無視してよい．
（１）管内流速および流量を求めよ(2) C'点，C 点，および E 点の圧力水頭を求めよ．

図-6.2
類題６−３

分岐管（損失なし）

図-6.3 のような，水平面上に配置された分岐管があり，分
岐後すぐに大気中に放流されている．いま，135l/s の流量が流れているとすると，各管の流量および主管 A の
圧力はいくらか？
図-6.3

類題６−４ ピトー管（教科書 p.67）
図-6.4 のような，ピトー管がある．H=0.02m のとき，流速 v
はいくらか？ 補正係数 C=1.0 とせよ．
図-6.4

基準面

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．
問題６−１

ベンチュリーメータ（損失なし）

図-6.5 の様な，水銀（比重 s=13.6）を用いたベンチュリーメータがある．
D1=0.3m，D2=0.15m，H'=0.05m の時の流量 Q を求めよ．公式を用いて良い．また，流量係数 C=1.0 とせよ．
図-6.5
問題６−２

テンターゲート（ベルヌイ）

図-6.6 のような，奥行き B=10m のテンターゲートがある．いま，H1=2.6m，H2=2.2m，H=(H1+H2)/2 であるとき，このゲートの流量を求めよ．小型オリフィス公式を用いるものとし，摩擦を無視し，流量係数=縮流係数 C=0.6 とする．
（ヒント：断面積は長方形で縮流係数だけ減少，出口流速はベルヌイ式から求める）
図-6.6

問題６−３

ベルヌイの式の基礎（損失なし，鉛直管）

図-6.7 のようにタンクと鉛直な管がつながって水が流れている．流量 Q=0.15m3/s，D=0.15m，l=3m の時の，管内流速 v，タンク水深 h および C 点の圧力 pC を求めよ．タンク内の速度
水頭と損失は無視してよい．
（ヒント：まず連続式から点 B の流速を求め，点 A と B の間で
ベルヌイ式をたて，h を求めよ）
図-6.7

問題６−４

分岐管（損失なし）

図-6.8 のような分岐管で，上流側の断面 A，下流側の顔面
B,C の諸量について，表のようにわかっているとき，断面 B の
圧力はいくらか？ エネルギー損失はないものとする．
（ヒント：A から全水頭 E を求め，ベルヌイ式から vc を求め，連続式からｖB を求め，最後に pB/ρg を求める．

図-6.8

水理学演習問題集（７）

ベルヌイの式（管路，損失あり，管径一定）

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．（出口損失はいつも fo=１である）
類題７−１
図-7.1 のような，２つのタンク A および G につながれた，管径一定の管路がある．
摩擦損失係数 f=0.02，
管径 D=1.2m， 点 A-G 間管路長 l=100m
流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.5，
バルブ（弁）の損失係数 fv=0.1，
曲がり（屈折）損失係数をそれぞれの fb=0.18，
および
図-7.1

流出（出口）損失係数 fo=１，とする．タンク A の水位 HA=15m の時，以下の問いに答えよ．
(1)流量 2.5m3/s の水を送るには，タンク G の水位 HG を
基準面からいくらにとればよいか？
（2）タンク A，タンク G の間の水位差 H=2m のときに管を流れる流量 Q を求めよ．
(3) (2)において，管路の全長のうちの中間点 K が点 Cと点 F の間にあり，その基準面からの高さは zK=5mであった．この点 C での圧力水頭はいくらか？またその圧力 pK をｋPa で表せ．
類題７−２
図-7.2 のような，摩擦損失だけの管路がある．以下の管の諸量問いに答えよ． （曲がりと流入損失（入口損失）は無視

内径 D=0.1mすること）

f=0.01，l=l1+l2，
C(1) 管内の速度水頭を H と L を用いて表せ．次に流量Hl1

l1=l2=20m
l2も表せ．管の諸量は数値を代入せよ．
zC=H/4(2) C 点での圧力水頭を H と L で表せ．管の諸量は数値を代入せよ．
(3)

A

H=12m，L=2m の時の，速度水頭，管内流速，流量，C 点での圧力水頭および圧力を数値で求め
よ．

(4) いま，出口の高さ L を変更できるものとし，C 点での圧力が負とならないときの L の条件を求めよ．

図-7.2

B

L

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする． （出口損失はいつも fo=１である）
問題７−１
図-7.3 の様な，管径一定の管路がある．タンク A の水
位 HA=10m，管径 D=1.0m，管の全長は 200m である．
摩擦損失係数 f=0.02，流入損失係数(入り口損失係数）
fe=0.5，バルブ（弁）の損失係数 fv=0.1 および流出（出口）損失に配慮し，曲がり（屈折）の損失を無視し，以下の問いに答えよ．
図-7.3（１）タンク A，タンク G の間の水位差 H=2m のときに管を流れる流量 Q を求めよ．

(2) (1)において，管路の全長のうちの中間点 K が点 C と点 F の間にあり，その基準面からの高さは zK=2m であった．この点での圧力水頭はいくらか？また，その圧力 pK をｋPa で表せ．
(3) (1)とは別に，流量 Q=1.0m3/s の水を送るには，基準面からのタンク G の水位 HG をいくらにとればよいか？
問題７−２

管の諸量

Q

図-7.4 のような，単純な管路がある．摩擦損失係数および流出（出口）損失にのみ配慮し，流量 Q または
水位差 H が未知であるとして、以下の問いに答え

局所損失：

内径 D=0.1m

出口損失係数ζ0=1，

f=0.01，l=l1+l2，

その他局所損失は無視

l1=l2=20m
H

C
l1

よ．
(1) タンク間で損失水頭を含むベルヌイ式を立て，(a)

l2

基準面

zC

管内の速度水頭と流量を，記号を用いて表せ．次に，(b)諸量の数値を代入し，速度水頭が H に比例する

B
A

図-7.4

事を確認せよ．

(2) いま，zC が予め与えられ、H だけが変更できるものとする。C 点での圧力が負とならないとき（つまりゼロの時）の H と zC の関係を示せ．なお(1)(b)の結果を利用すること．（ヒント：まず，C 点での圧力水頭を H と zc で表せ．）
(3) H=10m，zC=2m の時の，管内流量 Q と，C 点での圧力（単位 kPa）を数値で求めよ．
問題７−３
図-7.5 のようなタンクと管路がある．以下の問いに答えよ．
（１）この管路を流れる流量を示せ．ただし，損失は摩擦損失と出口損失のみを考え，出口損失係数 ζ0=1，摩擦損失係
数を f とする．管の内径は D とし，l1，l2 は管の長さを表し，

l1

H2+H

l2
A
B

fl1/D=1，fl2/D=2 であるとする．
（２）C 点での全水頭線，ピエゾ水頭，圧力水頭を式で表せ．また H= 3.0m，L=2.0m の時の C 点での圧力の値を求めよ．

C

基準面

H2

zc =H2+L

図-7.5（３）A 側のタンクの水位 H を自由に変えられる場合， C 点での圧力が負圧（大気圧未満）にならないための，
H の条件を求めよ．

水理学演習問題集（８）

ベルヌイの式（管路，損失あり，管径変化・大気開放）

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．（出口損失はいつも fo=１である）
類題８−１
図-8.1 のように，タンクから，入口損失，曲がり損失，
摩擦損失のある管路をとおり，大気中へ放出している．
以下の問いに答えよ．
C
H=12m(1)速度水頭，流速 v および流量とを求めよ．

l1

管の諸量
内径 D=0.1m
f=0.01，l=l1+l2，
l1=l2=20m
入口損失 fe=0.5
曲がり損失 fb=0.5
l2(1) C 点の曲がり後（点 C+)での圧力水頭および圧力を
zC=H/4数値で求めよ．
A

図-8.1
類題８−２
図-8.2 のような，管路がある．
摩擦損失係数 f1= f2=0.03，
管径 D1=0.3m，D2=0.15m，
管長 l1=10m，l2=10m，
流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.25，
曲がり（屈折）損失係数を fb=0.25，
急縮損失係数 fsc=0.36，
バルブ損失係数 fsc=0.14，
出口損失 fo=１，
点 B〜F の基準面からの高さ zB=zF=3m，タンク A の基準面からの水位 HA を 7m とする．とする．以下の問いに答えよ．
（１）タンク A と B の水位差 H=2m のときに管を流れる
流量 Q と，管 1 および 2 でのそれぞれの速度水頭v12/2g および v22/2g を求めよ．
(2) (1)において，点 C の右側（急縮後，点 C+）での圧
力水頭はいくらか？またその圧力 pC をｋPa で表
せ．

20

図-8.2

B

L=2m

水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする． （出口損失はいつも fo=１である）
問題８−１
図-8.4 のように，タンク A から，大気に開放された管がある．各諸元は，摩擦損失係数 f1= f2=0.03，
管径 D1=0.3m，D2=0.15m，
管長 l1=17m，l2=8m，
流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.25，
曲がり（屈折）損失係数を 2 箇所それぞれ fb=0.1，

図-8.3

急縮損失係数 fsc=0.36，
点 B および F の基準面からの高さ zB=zF=3mとする．ただし，タンク B への出口損失は fo=１である．以下の問いに答えよ．
（１）出口を基準面にとり，タンク A の水位 HA=8m，HB=4m のときに管を流れる流量 Q，管 1 および 2 でのそれぞれの速度水頭 v12/2g と v22/2g を求めよ．
(2) (1)において，点 F の右側（急縮後，点 F+）での圧力
水頭はいくらか？またその圧力 pF をｋPa で表せ．

問題８−２
図-8.4 のように，タンク A から，大気に開放された管がある．各諸元は，問題８−１と同じである．
摩擦損失係数 f1= f2=0.03，
管径 D1=0.3m，D2=0.15m，
管長 l1=17m，l2=8m，
流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.25，
曲がり（屈折）損失係数を 2 箇所それぞれ fb=0.1，
図-8.4

急縮損失係数 fsc=0.36，
点 B および F の基準面からの高さ zB=zF=3mとする．当然出口損失はない．以下の問いに答えよ．
（１）出口を基準面にとり，タンク A の水位 HA=8m のときに管を流れる流量 Q および速度度水頭 v12/2g とv22/2g を求めよ．
(2) (1)において，点 F の右側（急縮後，点 F+）での圧力
水頭はいくらか？またその圧力 pF をｋPa で表せ．

21

水理学演習問題集（９）

開水路の流れ（常流・射流の分類，等流の流量）

重力加速度 g＝9.8m/s2 とする．
類題９−１

常流と射流（フルード数 Fr）

図-9.1 のように，幅 B=1.2m の矩形（長方形）断面の水路に，流量 Q=1.0m3/s が流れている．以下の問いに答えよ．
(1) 水深 H=0.8m のとき，流れが常流か射流かを判断せよ．
また，水面形は上流・下流のどちら向きに決まるか？
(2) (1)の時比エネルギー(河床を基準面とした全水頭）はいくらか？（ヒント：水面での全水頭でよい．）(3) この流量の限界水深 Hc と限界流速 vc を求めよ．
（限界状態 Fr=1 のときの水深と流速を求める．）

図-9.1(4) (3)の時の比エネルギーは，限界水深の何倍か？
類題９−２

等流と抵抗則（Manning 則）

図-9.2 のように，一様な長方形断面の水路を，一定の水
深 H=0.8m で流れている．底面の幅 B=1.2m，水路の勾配
ib=1/1000 で，底面・壁面の粗度係数は n=0.015 である．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ．
図-9.2
類題９−３

等流と抵抗則（Manning 則）

図 -9.3 の よ う に ， 左 右 壁 面 の 勾 配 が １ ： ２ ， 底 面 の 幅
b=1.7m，底面・壁面の粗度係数 n=0.025 の，一様な台形断面の水路を，水深 H=3.5m，水面勾配 I=1/2000 で流れている．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ．（「斜面の勾配 1:2」とは，鉛直１に対し，水平２の割合の傾きである．）
図-9.3
類題９−４ 複断面水路の流量計算（Manning 則）
図-9.4 のような，一様な複断面水路の流量を求めよ．ただし，水面勾配 I=1/1600，粗度係数は，高水敷（左側の高い部 分 ） で は n1=0.035 ， 低 水 路 （ 右 側 の 低 い 部 分 ） で は
n2=0.020，とする．（ヒント：高水敷と低水路に分け，それぞれでの流速・流量を Manning 則から求め，流量を合計す
図-9.4

る．）

22

重力加速度 g＝9.8m/s2 とする．
問題９−１

常流と射流（フルード数 Fr）

図 -9.5 の よ う に ， 幅 B=5.0m の 矩 形 断 面 水 路 に ， 流 量
Q=10.0m3/s が流れている．以下の問いに答えよ．

Hc？，vc?

(1) 水深 H=1.0m のとき，流れが常流か射流かを判断せよ．
また，水面形は上流・下流のどちら向きに決まるか？

HQ，v(2) (1)の時，比エネルギーはいくらか？
(3) この流量の限界水深 Hc と限界流速 vc を求めよ．
B(4) (3)の時の比エネルギーは，限界水深の何倍か？

図-9.5

問題９−２

等流と抵抗則（Manning 則）

図-9.6 のように，一様な長方形断面の水路を，一定の水深で水が流れている．底面の幅 B=5.0m，水面勾配 I=1/1600 で，底面・HQ

壁面の粗度係数は n=0.015，水深 H=2.0m である．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ．
B
図-9.6
問題９−３

等流と抵抗則（Manning 則）

図-9.7 のように，左右壁面が 45°に傾いた，底面の幅 b=4.0m，粗度係数 n=0.020 の一様な台形断面水路を，水深 H=2.0m，水

H

45 °

面勾配 I=1/900 で流れている．このときの，平均流速 v と，流量 Q
を求めよ．
b
図-9.7

問題９−４ 複断面水路の流量計算（Manning 則）

b1=200mb2=300mb3=200m

図-9.8 のような，一様な複断面水路の流量を求めよ．
ただし，水面勾配 I=1/1700 であり，粗度係数は，高水敷（左右の高い部分）では n1=n3=0.035，低水路（真ん中の低い部分）では n2=0.020，とする．

H1=1.0m
n1=0.035

H3=1.0m
H2=6.0mn2=0.020
図-9.8

23n3=0.035