広島工業大学紀要研究編
第 ₄₆ 巻（₂₀₁₂）39 – 46論

文

鏡面修整形球面鏡アンテナの設計
浦崎修治*・岡田尚樹**（平成₂₃年₁₀月 ₁ 日受付）

Design of A Spherical Reflector Antenna with Shaping Reflectors
Shuji Urasaki and Naoki Okada(Received Oct. 1, 2011)

Abstract
In a spherical reflector antenna consisting of a main reflector with spherical surface, a sub-reflector
with non-quadric surface to correct spherical aberrations and the primary feed horn, the amplitude
distribution in the main reflector is inverse tapered and good radiation characteristics cannot be obtained.
In order to control the amplitude distribution two reflectors, namely a shaping sub-reflector and a shaping additional reflector between the main reflector and the primary feed horn are necessary, we reported
the reflector shaping method.
In this paper, we show the design results of the spherical reflector antenna based to the reflector
shaping method.
Key Words: reflector antenna, aperture antenna, spherical reflector antenna, reflector shaping

₁ ．まえがき

₂ ．鏡面構成

球面鏡である主反射鏡，修整鏡面である副反射鏡，修整

₂.₁

鏡面の組合せ鏡面である補助反射鏡，および給電ホーンからなる球面鏡

₅ 個の回転対称な鏡面の組合せを表 ₁ に示す ︵₁︶。ここ

アンテナにおいて，主反射鏡開口分布を制御できる鏡面修で，初期値として与える外形寸法，すなわち各鏡面の周辺︵₁︶整法が報告されている 。これらの修整鏡面は楕円面鏡での鏡面定数において，副反射鏡が楕円面鏡で補助反射鏡群，または双曲面鏡群で構成されているため，副反射鏡とが双曲面鏡，また逆に副反射鏡が双曲面鏡で補助反射鏡が補助反射鏡とがどの鏡面群で構成されるかで ₅ 個の組合せ

楕円面鏡，更に両者とも楕円面鏡の組合せがある。
また，副反射鏡で反射した光線と鏡軸である z 軸との交が存在することも報告した。
この報告では，まず，修整鏡面を導く微分方程式の初期点が副反射鏡と補助反射鏡との外側にある組合せの場合を値に各鏡面の周辺における鏡面定数を与えているが，すべ表₁ての初期値に対して修整鏡面を求めることができないこと，すなわち解が存在できる初期値の範囲について示す。
次に，この修整法で設計された鏡面座標のみを用いて，反射の法則，光路長一定の条件，および電力の条件を吟味

NO-CROSS 形して，解の妥当性を確認する。
CROSS 形* 広島工業大学工学部電気システム工学科** 三菱電機エンジニアリング─ 39 ─

鏡面の組合せ
副反射鏡

補助反射鏡

図α型

双曲面

楕円面

図₁β型

楕円面

双曲面

図₂γ型

楕円面

双曲面

図₃δ型

楕円面

楕円面

図₄

原型

楕円面

楕円面

図₅

浦崎修治・岡田尚樹

NO-CROSS 形，副反射鏡で反射した光線と z 軸との交点がる︵₁︶。なお，一次放射器による周辺レベルは -₂₀ dB, 要求

副反射鏡と補助反射鏡との間にある組合せの場合を CROSSする開口分布は均一と固定している。

形としている。

ここで，主反射鏡で反射して副反射鏡へ向かう光線が補NO-CROSS 形において，α 型，β 型，および γ 型の ₃ 種類の鏡面の組合せであり，これらを図 ₁ ，図 ₂ ，および図₃ に示す。また，CROSS 形では δ 型と原型の ₂ 種類の組合せであり，これらを図 ₄ および図 ₅ に示す。なお，表 ₁ において β 型と γ 型は同じ組合せであるが補助反射鏡である双曲面の凹凸面に，また δ 型と原型も同じ組合せであるが補助反射鏡である楕円面の焦点位置に相違点がある。

₃ ．初期値の与え方
図 ₁ から図 ₅ において，主反射鏡の開口径 Dm（図中には示していない）は₁₀₀₀₀と固定できるので，初期値は図に示すように主反射鏡の開口角 θ mm，副反射鏡の焦点位置
Z fs₀，一次放射器である給電ホーンの焦点位置 Z fd，補助反射鏡の開口径 D d および副反射鏡の開口径 Ds の ₅ 個であ

図₁

α 型の鏡面構成

図₂

β 型の鏡面構成
─ 40 ─

図₃γ 型の鏡面構成

図₄

δ 型の鏡面構成

図₅

原型の鏡面構成

鏡面修整形球面鏡アンテナの設計

上記の①と③の条件，および凸面の双曲面鏡の条件から助反射鏡，給電ホーンによるブロックキングを軽減するため，①補助反射鏡と主反射鏡との各頂点を重ねる，②給電次のようにする。

ホーンの位相中心 Fd を主反射鏡および副反射鏡の周辺を結ぶ直線と Z 軸との交点 F m から離す，および補助反射鏡が鏡面として機能させるため，③できるだけ Dd を Ds に近づけるという ₃ 条件を課して初期値を ₂ 個にする。ここで，この ₂ 個の初期値を θ mm，および Ds に選び，他の初期値

α（₉）

Dd = 2 | Z fs 0 | tanθ sm（₁₀）

ここで，θ sm は次式で表される。
tanθ sm =Zfs₀，Zfd，および Dd は上記の ₃ 条件から決定する。
₃.₁

Z fs 0 = −0.9 Z fd

ρ sm =型

Ds2( Z fm − Z fs 0 + ρ smcosθ mm )Ds2 sinθ mm（₁₁）（₁₂）

図 ₁ に示す α 型は補助反射鏡が副反射鏡よりも大きくなる鏡面構成である。したがって，③の条件，補助反射鏡を₃.₃副反射鏡の大きさに近づけるために Z fs₀ は十分大きくする必要があり，次のように Zfs₀ を定めた。

ら次のようになる。

ここで，点 Fm の Z 座標である Zfm は次式で表される。
Z fm =

Dm
2 sin

( )
θ mm2−Dm
2 sinθ mm型

図 ₃ に示す γ 型において，α 型と同様に①と③の条件か（₁）

Z fs 0 = 10 Z fm

γDd = 2 | Z fs 0 | tanθ sm（₁₃）

Z fs 0 = −10 Z fm

（₁₄）

ここで，Zfm，θ sm は次式で表される。

（₂）

また，補助反射鏡の位置は①の条件から定まるので，補Z fm =助反射鏡の大きさ Dd は次のようになる。

tanθ sm =（₃）

Dd = 2 Z fs 0tanθ sm

ここで，副反射鏡と補助反射鏡の周辺を見込む角 θ sm はρ sm =次式で表される。
tanθ sm = −ρ sm =Ds
2( Z fm − Z fs 0 + ρ smcosθ mm )Ds
2 sinθ mm

（₄）

Dm

Dm
2 sinθ mm（₁₅）

Ds2( Z fm − Z fs 0 + ρ smcosθ mm )

（₁₆）

2 sin

( )
θmm
2−Ds
2 sinθ mm（₁₇）

次に，②の条件から，Fd は Fm と補助反射鏡の頂点との中点とすれば，Zfd は次のようになる。

（₅）

Z fd =Z fm

（₁₈）

2

最後に，②の条件から給電ホーンの焦点 Fd は球面鏡の頂点 O と Fm の中間点とすれば，給電ホーンの位置 Zfd は次の₃.₄ようになる。
Z fd =

₃.₂

δ

型

図 ₄ の δ 型と図 ₅ の原型との相違点は，δ 型の場合 Zfs₀ <Z fm（₆）

2Zfd であり，原型の場合は Zfs₀ > Zfd となることである。図 ₄において，①と③の条件からつぎのようになる。

図 ₂ の β 型と図 ₃ の γ 型との相違点は，補助反射鏡におZ fs 0 =いて β 型は凸面の双曲面鏡で，γ 型は凹面の双曲面鏡で反α 型と同様に，②の条件から Fd は Fm と補助反射鏡の頂点との中点とすれば，Zfd は次のようになる。
Z fm

Z fm =（₇）

2

ρ sm =

ここで，Zfm は次式で表される。
Z fm =

Dm
2 sin( )θmm2Z fm + ρ smcosθ mm2（₂₀）

ここで，Zfm，ρ sm は次式で表される。

射することである。

Z fd =（₁₉）

Dd = Ds

β 型−Dm2 sinθ mm（₈）

Dm2 sin( )θmm2−Dm2 sinθ mmDs2 sinθ mm（₂₁）（₂₂）

次に，②の条件から，Fd は Fm と Zfs₀との中点とすれば，Zfd は次のようになる。

─ 41 ─浦崎修治・岡田尚樹

Z fm + Z fs 0

Z fd =（₂₃）

2の法則を満足している保証はない。
この点 S に対応して求まる主反射鏡，補助反射鏡上の点を各々，点 M(xm, zm)，点 D(xd, zd) とすると，NO-CROSS 系

₃.₅原型

では α ，β ，および γ 型に対して ₃ 通り，CROSS 系では δ

図 ₅ に示す原型において，①と③の条件からつぎのようになる。
（₂₄）

Dd = Ds
Z fs 0 =Z fm + ρ smcosθ mm2型および原型に対して ₂ 通りの点 M，S，D が求まる。

点 S における接線ベクトルを S1S で近似すると，単位接線ベクトル t は次のようになる。
t = [i( x s − x s1 ) + k( z s − z s1 )]/ lss1

（₂₅）

ここで，Zfm，ρ sm は次式で表される。
Z fm =

Dm2 sin( )θmm
2Dm−2 sinθ mmDs
ρ sm =2 sinθ mm（₂₆）（₃₁）

n 0 = it z − kt x次に， SM 方向の単位ベクトルを a， SD 方向の単位ベクトルを b とすると次のようになる。

（₂₈）

₄ ．解の存在範囲初期値として，図 ₁ から図 ₅ に示した外形の鏡面定数を与えて，次に示す方法で解の存在範囲を求める。
₄.₁（₃₀）

次のようになる。

中点とすれば，Zfd は次のようになる。
2

lss1 = ( x s − x s1 )2 + ( z s − z s1 )2る。この t を用いて，点 S における単位法線ベクトル n₀ は

（₂₇）

Z fm（₂₉）

ここで，i，k は各々，x 軸，z 軸方向の単位ベクトルであ

次に，②の条件から，Fd は Fm と補助反射鏡の頂点とのZ fd == it x + kt z

反射の法則を満足するための条件

鏡面設計の初期値を与えると図 ₆ （NO-CROSS 系）に示

（₃₂）

lms = ( xm − x s )2 + ( zm − z s )2（₃₃）

b = [i( xd − x s ) + k( zd − z s )]/ lds（₃₄）

lds = ( xd − x s )2 + ( zd − z s )2（₃₅）

点 S における反射の法則は次のようになる

すように副反射鏡の周辺 S₁(x s₁, z s₁) が定まる。次に，この（₃₆）

n0 ⋅ a = n0 ⋅ b

初期値を用いて，微小な位置だけ離れた点 S(x s , z s ) を微分方程式で求める場合︵₁︶，光路長一定の条件，電力の条件を強制的に満足させているが，残りの副反射鏡における反射a = [i( xm − x s ) + k( zm − z s )]/ lms

ここで，単位法線ベクトル n₀ は近似値なので，式（₃₆）
を満足しない。
しかし，図 ₇ に示すように n₀ に関して a，b が共に同方向の場合は反射の法則を明らかに満足せず，少なくとも互いに反対方向でなければ反射の法則を満足しない。

図₇

判別法

したがって，式（₃₆）の代わりに反射の法則を満足できるかを次式で判別する
図₆( n0 × a ) ⋅ ( n0 × b ) < 0

法線ベクトル─ 42 ─（₃₇）

鏡面修整形球面鏡アンテナの設計

NO-CROSS 形において，α 型，β 型，または γ 型のうち₁ 個の型を初期値の S₁として与えると，次に求まる S は式（₃₇）を満足するように決定する。この点 S は与えた S₁の型に捉われずに ₃ 個の内から決定する。次に，この点 S を新しい初期値と置き換え，最終点まで式（₃₇）が満足する場合を解が存在すると定義している。CROSS 形は δ 型と原型の ₂ 個となるだけで，解の存在に対する定義は同様である。
₄.₂

計算結果

初期値を NO-CROSS 系の γ 型で与え，θ mm を₄₀°，₆₀°，および ₈₀° とし，Ds を変化させて ₃ 章に示した方法で他の図₉離散的に求まる修整鏡面座標初期値を決定した。その結果，θ mm が ₄₀°，₆₀°，₈₀° の場
合，Ds が各々₆₄₀，₁₅₃₀，₂₉₅₀以上の範囲で解が存在し，と，図 ₉ に示すように最終点まで副反射鏡の座標点 S(xs, zs)

この範囲を図 ₈ の縦の実線で示した。すなわち，式（₃₇）

が離散的に求まる。これらの点をスプライン関数で近似しを満足するためには Ds において下限値が存在する。このて，点 S における微係数 dxs/dzs を求めることができる。

結果は他の型を初期値として与えた場合も同様に下限値がこの微係数を用いて，正確な単位法線ベクトル n は次の存在し，ほぼ同一の下限値になった。

ようになる。

なお，収差補正形球面鏡アンテナにおいて，副反射鏡が形成できるためには Ds において下限値の存在することが報告されており︵₂︶，今回の鏡面修整球面鏡アンテナの場合も同様な結果が得られた。

n = icosθ − ksinθ

（₃₈）

tan θ = dx s / dz s（₃₉）

ここで，i，k は各々，x 軸，z 軸方向の単位ベクトルである。したがって，点 S における厳密な反射の法則は，次のようになる。
n⋅a = n⋅b₅.₂（₄₀）

光路長一定の条件

図 ₉ において，初期値を用いた開口面上の点 Am から焦点 Fd までの全光路長 L₀ は次のようになる。
L0 =| Am M1 | + | M1S1 | + | S1 D1 | + | D1 Fd |図₈（₄₁）

次に，開口面上の点 A からの入射光線に対して座標値が解の範囲求まっている点 M，S，D を用いて ₂ 点間の距離を求めると，全光路長 L は次のようになる。

₅ ．設計値の妥当性

L =| AM | + | MS | + | SD | + | DFd |CROSS 系，および NO-CROSS 系において解の範囲を示

ここで，鏡面設計︵₁︶ 時の設計目標である L/L₀ が ₁ になしたが，この範囲では，反射の法則において式（₃₇）の必要条件を確認しているのみである。したがって，求まった（₄₂）

れば設計法の妥当性を確認できる。

各鏡面座標のみを用いて厳密に反射の法則を満足しているかを確認する必要がある。なお，この鏡面座標の設計法で₅.₃

は光路長一定の条件，電力の条件は強制的に満足させているので，設計目標との一致が確認となる。

電力の条件

図 ₉ に示すように，点 A の x 座標 xm に対する補助反射鏡の点 D(x d , z d ) が求まっているので，焦点 F d からこの点 Dを見込む角 θ d を求めることができる。主反射鏡上の振幅分

₅.₁

反射の法則

布を Amp(xm) とすると電力の条件は次のようになる。

図 ₈ に示したように解の存在範囲にある初期値を選ぶ
─ 43 ─

浦崎修治・岡田尚樹

P(θ d )sinθ d dθ d = Amp( xm )xmdxm（₄₃）

かな不一致があるが反射の法則を確認できた。
次に，光路長一定の条件の確認を図₁₀（b）に示す。こここで，P(θ d) はホーンの放射パターンであり，cos θ d とこで，開口面上の xm を横軸にして，全光路長の比 L/L₀を与えている。したがって，上式から開口分布 Amp(xm) は次示す。ここでは，スプライン関数を用いていないので，すのようになる。

べての領域で L/L₀ が ₁ であり，光路長一定の条件を確認でnAmp( xm ) = cos nθ dsinθ d dθ d⋅xm dxm（₄₄）

きた。
最後に，電力の条件の確認を図₁₀（c）に示す。ここで，ここで，微分値 dθ d/dxm は，離散的に与えられている鏡開口面上の xm を横軸にして，振幅分布 Amp(xm) を示す。ほ面座標を用いた θ d と xm の関係をスプライン関数で近似し，とんどの領域で ₁ に一致して，設計目標の電力の条件を確このスプライン関数の微係数として求めることができる。

認できた。なお，一部の不一致はスプライン関数の近似に︵₁︶

鏡面設計時の設計目標である Amp(xm) が均一分布，すなよるものである。
以上の計算結果は γ 型について示したが，他の α ，β ，δ

わちいかなる xm に対して ₁ になれば設計法の妥当性を確認

型および原型も同様に，反射の条件，光路長一定の条件，できる。

および電力の条件を確認できた。
₅.₄

計算結果

₆ ．修整鏡面の鏡面定数と ray tracing

図 ₈ に示した γ 型において，θ mm を₆₀° のときの D s の下

図₁₀は NO-CROSS 系の γ 型を初期値として与えた場合，限値，₁₅₃₀を初期値として，反射の法則，光路長一定の条求まった鏡面座標のみを用いた確認である。ここで，初期件，および電力の条件を確認する。
まず，反射の法則の確認を図₁₀（a）に示す。ここで，横値として γ 型を与えたが，途中の鏡面は γ 型を持続しない

軸は副反射鏡の xs 座標，縦軸は( n ⋅ a )/( n ⋅ b ) にしている。

で，同じ NO-CROSS 系である α 型，または β 型へ移行す

ほとんどの領域で ₁ に一致して厳密に反射の法則を満足しることがある。
この移行状況は副反射鏡，および補助反射鏡の鏡面定数ており，一部，スプライン関数の近似による誤差のため僅である離心率で把握でき，これを図₁₁に示す。ここで，点F m から主反射鏡上の点 M を見込む角を θ m (=∠MF m O) とし，修整鏡面である副反射鏡の離心率を es，補助反射鏡の離心率を ed としている。この図から途中で初期値の γ 型から α 型へ移行していることがわかる。

図₁₁ θ m に対する es, ed（γ 型）

次に，初期値を α ，β ，δ 型および原型とした場合の移行状態を図₁₂に示す。ここで，θ mm は ₆₀°，Ds は下限値としている。なお，Ds の下限値は α ，β ，δ 型および原型の場合，各々₁₅₆₀，₁₅₀₀，₁₄₄₀，および₁₄₃₀である。
図₁₃に γ 型を初期値として与えた場合に求まる鏡面座標を用いた光線追跡を示す。ここで，主反射鏡へ等間隔の光線を入射させている。
また，図₁₂に対応する α ，β ，δ 型および原型の光線追跡を，各々，図₁₄，図₁₅，図₁₆，および図₁₇に示す。
図₁₀確認
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鏡面修整形球面鏡アンテナの設計

図₁₄ α 型の ray tracing

図₁₅ β 型の ray tracing

図₁₂ θ m に対する es, ed

図₁₃ γ 型の ray tracing

図₁₆ δ 型の ray tracing─ 45 ─

浦崎修治・岡田尚樹

図₁₇

原型の ray tracing

₇ ．むすび
球面鏡アンテナの鏡面修整法を用い，まず，修整鏡面を求めることができる設計パラメータの範囲を示し，次に，離散的に求まる修整鏡面座標をスプライン関数で内挿して，反射の法則，光路長一定の条件，および電力の条件が厳密に満足していることを確認し，設計理論の妥当性を確認した。

文

献［ ₁ ］浦崎，岡田，“回転対称形球面鏡アンテナの鏡面修整法”，信学技報，A・P₂₀₁₀-₅₂（₂₀₁₀-₇）.
［ ₂ ］浦崎，“球面収差補正形球面鏡アンテナの設計法”，信学技報，A・P₂₀₀₉-₇₆（₂₀₀₉-₇）.

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