スライディングモード制御を用いた台車型直列二重倒立振子の部分的振り上げ制御
逸見 知弘

はじめに非線形性，劣駆動性といった特徴を有する倒立振子システムは，制御器設計手法の検証用として多くの研究者
その中でも，図 で示により研究されている
されるように，振子が直列につながった直列二重倒立振子の制御問題は，単一の振子に比べ非線形性，劣駆動性が強いため困難な課題である． そこで本稿では，台車型の直列二重倒立振子に対して，両振子が真下に下がった状態，または台車に付いた第一振子は倒立状態で その先にある第二振子は真下に下がった状態から，第一振子はそのままの状態を保ちながら第二振子のみを振り上げる部分的振り上げ制御問題を考える．
直列二重倒立振子の制御問題を扱った代表的なものとが挙げられる．ここでは直列二重倒立振子
して文献を用いた様々な問題が扱われており，本稿と同様の制御が台問題も紹介されている．しかしながら，従来法車の位置制御の考慮が必要ない回転型の直列二重倒立振子システムが制御対象であるのに加え，第一振子の安定化は行われず，第二振子の振り上げのみに着目した制御則であり，第一振子が大きく揺れたときは別の安定化制御器に切り替えて安定化し，再び振り上げ制御を行うものであった．
そこで本稿では 第二振子の振り上げ制御だけでなく第一振子の安定化制御と台車の位置制御も考慮した手法
として，第一振子の安定化制御と，台車の位置制御を行に第二振子の振うスライディングモード制御入力り上げを行うエネルギー制御法による制御入力を加える
原稿受理： 月日
高松高専制御情報工学科
岡山大学大学院 自然科学研究科

井上 昭

手法を提案する． 本手法は つの制御則をお互いに外乱にみなし，それぞれロバスト性を利用することで つの制御を達成し，また，振り上げ制御ではジョイント位置を仮想的な台車と見なす手法である．これは，文献内の直列二重倒立振子の振り上げ制御における，振子の状態が 第一振子：下−第二振子：下 から 下−上 の制御と同様の手法であるが，本稿では，文献に加え，振子の状態が， 上−下 から 上−上 の制御にも適用し，同じ制御手法が つの目的に適用可能であることを実験で検証した結果である．

Z
Second Pendulum
First Pendulum

l1L

l2m1g
θm2g
φ

Joint C図

直列二重倒立振子の概略図

高松工業高等専門学校研究紀要

直列二重倒立振子の運動方程式
図 で示される，台車型の直列二重倒立振子の運動方式で表される．
程式は，ここで 各係数は以下で表される．

このとき方程式の正定解である．または以下のより求めることができる．

ここで，は美多らにより考案された手法にお上での閉ルーいて，スライディングモード超平面以下に指定し，不確かさに対するロプ極の実部をバスト性を決める設計パラメータである．
式で表される制御入力が，第一振子の安定化および台車の位置制御を行うスライディングモード制御入力である．

第二振子の振り上げ制御

また，各変数およびパラメータは， 台車の変位， 第一振子の鉛直下向からの角度， 第二振子の鉛直下向きからの角度，各振子の質量，両振子間のジョ各振子のイント質量， 各振子の軸 重心間距離，各振子のジョイントの重心回りの慣性モーメント，回転軸回りの慣性モーメント，各振子の回転摩擦係数， 第一振子の全長， 重力加速度とした．さらに制御入力は台車への印加加速度とし，とした．

第一振子の安定化制御と台車の位置制御
まず，第一振子を上または下の平衡点で安定化させ，台車の位置制御を行う制御則を求める．本稿では，安定化および台車の位置制御に，入力外乱に対してロバスト式性を持つスライディングモード制御を採用する．の運動方程式において，第二振子の角度 に関する項を無視し，第一振子の角度 に関する項のみを考えると，が得られる．今，第一振子を安定化する制御入力をとおき，システムの状態変数を第一振子を安定平衡点で安定化 制振制御 を行うときはを，第一振子を不安定平衡点すなわち倒立状態で安定化をそれぞする際の状態変数にはれ用いて，式を平衡点近傍で線形近似を行うと，平衡点近傍におけるシステムの状態方程式は以下のように表すことができる．

ここでは，線形近似を行った際の状態方程式の係数ベクトルである．
式のシステムに対し，スライディングモード制御を用いた安定化制御器を構成すると以下のようになる

続いて，第二振子の振り上げ制御則を考える．今，第二振子は第一振子の先に接続されており，直接第二振子を制御することができない．そこで，われわれは第一振子と第二振子のジョイント部分を仮想台車とみなし，その加速度を第二振子への仮の制御入力とみなし制御則を考える．すなわち，ジョイントを台車に，第二振子を単振子に置き換えて制御する．
まず，両振子間のジョイント部分を仮の台車とみなし，その加速度 を求めるととなる 今，第二振子を振り上げる台車への加速度入力を，仮想台車への加速度入力をとし，式を用いて式を変換すると，以下のような， との関係式を得ることができる．

式の関係式を用いることで，システムは仮想台車と第二振子のみの運動方程式で表すことができる．今，摩を用いた第二擦項の影響を無視したとき，仮想入力振子のみの運動方程式は次式となる．

本稿では，式で表される第二振子の振り上げ制御を行う手法として，エネルギー制御法を採用する．
今，新たな関数を採用する．ここで，はエネルギー準位を倒立点がとなるようにした第二振子のエネルギーである．今，振り上げ制御入力をと設計すると，の時間微分は≦

逸見知弘 他：スライディングモード制御を用いた台車型直列二重倒立振子の部分的振り上げ制御≧

ここで，摩擦係数は小さく，ジョイント部の摩擦係数は無視できるとすると，入力をにしても第二振子のエネルギーは変化せず振り子は一定のエネルギーで振動する．したがって，有限時間後には再び，となる．
式
ここで仮想入力と台車への加速度入力の関係式
を用いると，から第二振子を振り上げる制御入力を求めることができる．したがって，第一振子を安定化しながら第二振子を振り上げる制御入力は以下の式となる．
本稿では，第一振子の安定化入力 と第二振子の振り上げ入力 をお互いに外乱とみなす．スライディングモーによれば，≧入ド制御は，野波ら力外乱 を満たすとき，入力外乱 に対するロバスト性が保証されている． この条件は十分条件であり， が条件を満たさなくても制御系はロバスト性を持つ場合があを調る．また，エネルギー制御法では，入力ゲイン整することで，外乱による散逸エネルギーより入力による注入エネルギーを大きくすることで外乱を考慮するこ
したがって，上記の条件を大きく超えとが出来るないように振り上げ制御パラメータおよび安定化パを調整することで， つの制御目的はラメータ達成可能である．とした．さらに制御パラメー
タは，表 に示すものを用いた．この値は，試行錯誤的に， つの制御則 振り上げと安定化 が達成する最適な値を選んだ．また同時に台車の移動距離も制御則の性質上，一意的に決定しないためパラメータは試行錯誤的選んだ．またシミュレーションにおける初期状態は，図，図とした．まず，図 を見ると，従来法の振り上げ制御のみでは，第二振子は振り上がるがその前に第一振子が振り上がり回転しているのに対し，提案法では第一振子の安定化を行うスライディングモード制御により第一振子が真下で安定化され，第二振子もエネルギー制御法により振り上がっているのが判る．また，従来法では台車位置が発散しているのに対し，提案法では台車が大きく動いていないのが判る．つづいて，
図 でも図 の制御同様，従来法では第一振子が安定化できず倒れて回転しているのに対し，提案法では第一振子は倒れることなく第二振子を振り上げることに成功し，また同時に台車の位置制御が行われているのが判る．
また，実際に実験を行った結果図 図 を見てみると，シミュレーションと同様の挙動を示し，ともに実験に成功している．これらより，目的の違う二つの制御則を加えても，ロバスト性をもつ制御則を用いることにより，お互いに外乱とみなすことができ，お互いの干渉を抑えて，二つの制御が達成されることが証明できた．

4- Proposed method-- Previous method2θ[rad]収束させることができ，第二振子を振り上げることができる．
ここで，第一振子の安定化制御への影響を小さくするため，振り子 スイング中のエネルギー増加の効率が良いときにのみ入力を与えることとする．今，振子のエネ式より，振子が鉛直下向きをルギーが一定のとき，が最大でとなり通り過ぎるとき，角速度の値が最大となる．したがって，エネルギーの増加効率ももっとも良いといえる．そこで以下のように第二振の間だけ振り上げ入力を子が鉛直下方向の前後，与えることとした．ている．また，直列二重倒立振子モデルのパラメータは0-2-40

4

0.5

1

1.5

22.5

3

11.5

22.5

31.5

22.5

3

- Proposed method-- Previous method

2φ[rad]と非正となる．今，簡単な解析より，恒等的にすとなるのは，のときだけなので，関なわちに
数 およびエネルギー は

0-2-400.50

シミュレーションおよび実験による検証
本手法の有効性を検証するため，シミュレーションによる従来法と提案法の比較と実験による検証を行った．
制振制御 振り上げ制御の結果を図 ，図 に，安定化制御＋振り上げ制御の結果を図 図 に示す．ここは第二振子の振り上げ制御のみをで，従来法 破線行ったものとし，提案法 実線 は振り上げ制御則だけでなくスライディングモードによる第一振子の安定化制御器も付加したものを示す．グラフは共に上から，第一振子の角度，第二振子の角度，台車の位置の順に示され

z [m]-2-4- Proposed method-- Previous method-6-800.5

1Time[s]図第一振子の制振制御＋第二振子の振り上げ高松工業高等専門学校研究紀要
48- Proposed method-- Previous method01423456023456012345601234560-4012345

60.4

50.2

z [m]

- Proposed method-- Previous method00-0.2-0.4-51-2-2-4042- Proposed method-- Previous method

2z [m]

32.5

20

φ [rad]θ[rad]

4φ[rad]θ [rad]63.50

12345Time [s]6Time [ s ]図図

実験による検証 安定化制御＋振り上げ

第一振子を倒立安定化＋第二振子の振り上げおわりに2θ [rad]10-1-2

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

00.511.522.5

33.5

44.5

4

φ [rad]20-2-41

参考文献

0.5z [m]本稿では，台車型の直列二重倒立振子システムに対し，第一振子を初期の状態に保ちながら第二振子のみを振り上げる部分的振り上げ制御問題を考えた．提案法は，ロバスト性を持つスライディングモード制御を用いた第一振子の安定化および台車の位置制御則にエネルギー制御による振り上げ制御則を加え，ロバスト性を利用することでお互いを外乱とみなし，二つの制御を同時に達成する手法を提案した．数値シミュレーションおよび実機での実験により本手法の有効性を証明した．

0-0.5

00.5

1

1.5

22.5

33.5

44.5

Time [s]図実験による検証 制振制御＋振り上げ表

制御パラメータ

図

図

図

逸見 知弘，
井上 昭，植木 信幸，
平嶋 洋一 台車型直列二重倒立振子の振り上げ制
御 日本機械学会論文集 編
図美多 陳：スライディングモード制御とロボットアームの軌道制御 システム制御情報学会誌，
野波 田 スライディングモード制御 非線形ロバス
ト制御の設計理論 ，コロナ社，