産学協同プロジェクト「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」
対数目盛を用いた線形変換に関する数学科指導案（略案）
棚澤日菜子

実験授業の目的
米国の標準テスト SAT の The SAT Math Test のサンプル問題 SAT math test Question 4 of 28 をもとに，関数電卓を用いて，次の 2 点について明らかにすることである：生徒らが，自身が点をプロットした片対数グラフと，関数電卓（カシオ計算株式会社 fx-JP900-N）の「統計計算」モードによる回帰計算の結果をもとに，y 軸を対数目盛に変更したことで，曲線で表されていたグラフの変化をどのように予想したのか，生徒らはどのような根拠をもとに線形であるとみなしたのか。
授業のねらい生徒らが，自身が点をプロットした片対数グラフと，関数電卓（カシオ計算株式会社 fx-JP900N）の「統計計算」モードによる回帰計算の結果をもとに，y 軸を対数目盛に変更したことで，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想することができる。また，線形であるとみなすために必要な根拠は何かについて考察することができる。
本時の展開
第1時
学習活動

指導の手立て留意点

・米国の標準テスト SAT の・プレゼンテーションソ

The SAT Math Test のサンプ

フトを用いて，問題のル問題である SAT math test

内容を説明する。

Question 4 of 28 の内容を把握する。

SAT math test Question 4 of 28
導入

選択肢

A：14 B：15

C：19

D：20

E：21

問題：
アリソンは 500 ドルを，年 5%の複利で利息がつく新しい普通預金口座に預けました。もし，アリソンが預金を追加したり引き出したりしない場合，口座の残高が 2 倍になるには何年かかるでしょうか？

・口座の残高が 2 倍になるということは，口座の残高が1000 ドルになるということを確認する。
・選択肢 A〜E のうち，どれ T：口座残高が 1000 ドルにが正解かを予想する。

なるのに，何年くらいかかると思いますか？
選択肢 A〜E のうち，正解だと思うものに手をあげてみてください。

・年数を x，口座の残高を y と ・現在〜3 年後の口座のすると，口座の残高を求め残高の求め方を確認

る式はし，y = 500×(1.05)xy = 500×(1.05)x（x：0 以上の整数）になっていることを学生と確認する。

・y = 500×(1.05)x（x：0 以上 ・実際に，グラフを表示す ・プレゼンテーションソの整数）で表される口座のる。

残高の指数関数のグラフを T：y = 500×(1.05)x（x：0 以確認する。

展開上の整数）をグラフで表・指数関数のグラフでは，x がしてみると，このような1 増加することに伴う y のグラフになります。この増加量が大きいため，グラグラフにはどのようなフが見づらいことを確認す特徴がありますか。

る。

S1：曲線
S2：急激に上がっている
S3：一気に増加している
T：今みなさんが見ているグラフ（曲線）をもとにした時，年度ごとの口座の残高の変化は見やすいですか。
S1：一気に増えているから分かりづらい
S2：1 年ごとは分かりづらそう

フトを用いて，グラフを表示する。

・口座の残高である y の値の T：y = 500×(1.05)x（x：0 以常用対数をとる。

上の整数）のグラフで・「指数関数のグラフでは，xは，年ごとの口座の残高が 1 増加することに伴う yの変化がわかりづらいの増加量が大きい」というですね。それでは，年ご問題を解決するために，口との口座の残高の変化座の残高である y の値の常をわかりやすくするた用対数をとる。

xめに，y = 500×(1.05)（x：0 以上の整数）の両辺の常用対数をとってみましょう。
・学生が，口座の残高額である y の値の常用対数をとる時間を確保する。
・y の値の常用対数をとる
際には，関数電卓の「基本計算」モードを使用するよう指示する。
・最低でも 8 年分の y の値の常用対数をとるよう指示する。
・x と y の値の常用対数をも ・片対数グラフとワークとに，片対数グラフに点をシート（【資料 1】）を配プロットする。

布する。

・x の値と y の値をもとに，点をプロットした片対数グラフをもとに，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想する。
・予想したこと，気付いたことをワークシート（【資料1】）に記述する。
・関数電卓の「統計計算」モードによる 2 変数 2 次回帰計算（y = a + bx + cx2）の結果 ・ワークシート（【資料 2】）もとに，y 軸を対数目盛に変を配布する。

更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想する。
・予想したこと，気付いたことをワークシート（【資料回帰計算結果が一覧表示されたときの2】）に記述する。

関数電卓画面

第2時
学習活動

指導の手立て・前時の振り返りをおこな T：x の値と y の値をもとう。に，点をプロットした・x の値と y の値をもとに，片対数グラフをもと点をプロットした片対数に，y 軸を対数目盛に変グラフをもとに，y 軸を対更したことにより，曲数目盛に変更したことに線で表されていたグラより，曲線で表されていたフがどのように変化しグラフがどのように変化たと予想しましたか。

するのか。

S1：直線・関数電卓の「統計計算」モ S2：直線っぽいグラフードによる 2 変数 2 次回帰 S3：ほぼ直線導入計算（y = a + bx + cx2）の結 T：関数電卓の「統計計算」
果もとに，y 軸を対数目盛モードによる 2 変数 2に変更したことにより，曲次回帰計算（y = a + bx

線で表されていたグラフ+ cx2）の結果をもとに，がどのように変化するのy 軸を対数目盛に変更か。

したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化したと予想しましたか。
S1：直線っぽいグラフ
S2：ほぼ直線にみえる放物線
S3：直線に近い曲線？

留意点

・y 軸を対数目盛に変更した T：y 軸を対数目盛に変更し ・近くの席の学生同士ことにより，曲線で表されたことにより，曲線で表で考えを共有して良ていたグラフが線形であ

さ れ てい たグ ラフ が 線いことを伝える。

るとみなせるというため

形 で ある とみ なせ る とには，どのようなことを根いうためには，どのよう拠にすればよいか，点をプ

な こ とを 根拠 にす れ ばロットした片対数グラフよいでしょうか。点をプやデータの並び，関数電卓

ロ ッ トし た片 対数 グ ラの「統計計算」モードによフやデータの並び，関数る 2 変数 2 次回帰計算（y電卓の「統計計算」モー= a + bx + cx2）の結果，ワドによる 2 変数 2 次回帰ークシートの記述内容を計算（y = a + bx + cx2）のもとに，線形であるとみな結果，ワークシートの記すための根拠について考述内容をもとに，線形で察する。

あ る とみ なす ため の 根・片対数グラフに点をプロットすると，線形になっているように見えることを根展拠として線形とみなす。

開・x の値と，log10y の値に着目すると，log10y の値の増加

拠 に つい て考 察し て みましょう。
・ワークシート（【資料 3】）を配布する。
x の値，log10 𝑦の値，log10 𝑦の値の増加量をまとめた表量がほぼ一定である。このことから，変化の割合もほぼ一定となるため，x の値と，log10y の値の変化の割合が一定であることを根拠として線形とみなす。
・関数電卓の「統計計算」モードを用いて，2 変数（x ,y）2 次回帰計算をおこな
い，出力結果をもとに，x2の係数（c の値）に着目す
ると，−7.14285×10-11 であり，限りなく 0 に近い値となっている。
出力結果をもとに，2 次関数で表すと，以下のような式になる。

関数電卓の「統計計算」モードによる
2 変数（x , y）2 次回帰計算の結果

log10y = −7.14285×10-11 x2+ 0.0211892997x+ 2.698970003
このことから x2 の係数（cの値）が，−7.14285×10-11 であり，限りなく 0 に近い値であることを根拠として線形とみなす。
・曲線で表されていたグラフが線形であるとみなすた

2 次関数 log10y = −7.14285×10-11 x2 +0.0211892997x+ 2.698970003 のグラフ

めの根拠について，考えたことを発表し，全体に共有する。
・y 軸を対数目盛に変更した
ことにより，曲線で表されていたグラフが線形とみなせることを確認する。
・関数電卓の「統計計算」モードによる 2 変数（x , y）
2 次回帰計算の結果より，y 軸を対数目盛に変更した
ことにより，曲線で表されていたグラフが線形変換され，線形とみなすことができる。これより，2 変数（x , y）1 次回帰計算をおこない，線形変換された口座残高を求める関数を式

関数電卓の「統計計算」モードによる
2 変数（x , y）1 次回帰計算の結果で表す。
log10y = 0.0211892993x+2.698970004…（＊）
・口座の残高が 2 倍になる年数を求めるため，関数電卓の「基本計算」モードのソルブ機能を用いて，式（＊）

式（＊）の y に 1000 を代入し，x = 14.20669894の y に 1000 を代入する。と表示された後の関数電卓画面→x = 14.20669894 と表示されるため，口座の残高が2 倍になるのは 15 年後である。よって正しい選択肢は B となる。
・［課題］を確認する。
まとめ・課題シート（【資料 4】）［課題］を配布する。

直線であるとみなすための根拠のうち，最も必要であると考える根拠を 1 つ選
び，その理由を記述しなさい。

【資料 1】x の値と，y の値をもとに，片対数グラフに点をプロットしなさい。また，プロットした点をもとに，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想し，その内容を記述しなさい。

【資料 2】関数電卓の「統計計算」モードを用いて，2 変数 2 次回帰計算（y = a + bx + cx2）をおこな
い，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想し，その内容を記述しなさい。

【資料 3】y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフが直線であるとみなせるというためには，どのようなことを根拠にすればよいか。点をプロットした片対数グラ
フやデータの並び，関数電卓の「統計計算」モードを用いておこなった 2 変数 2 次回帰計算（y = a + bx + cx2）の結果，ワークシートの記述内容をもとに，直線であるとみなすための根拠について考え，その内容を記述しなさい。

【資料 4】直線であるとみなすための根拠 3 つのうち，最も必要であると考える根拠を 1 つ選び，その理由を記述しなさい。