小テスト直し：小テストの間違えた問題，解答できなかった問題を，レポート用紙などに正しく解答（説明・計算も含む）して提出すれば加点する。小テストの答案を直して提出しても加点しない。
力学 2（工）（8 回目）

第 7 回授業 レポート課題
まず問１として①sin(− 𝜋⁄6)，②cos(2𝜋⁄3)，③sin(3𝜋⁄2)，④cos 3𝜋を求めよ。次に第 18 章，問題演習 18の問題 18-1(2)(4)(6)，18-2，18-3（p.78）に取り組む。ただし，変数 𝑥の範囲は全ての実数（−∞ < 𝑥 < ∞）として，可能な解を全て示すこと（整数 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, …などを使って表す）。なお，第 7 回授業プリントの定義（7.2）のような図（単位円）を描いて答案をまとめよ。記号が混乱しないように注意。
［アドバイス：まずは 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 の範囲で解を求めてから，−∞ < 𝑥 < ∞ に広げて考えるのがよい。］注意 1：計算式だけでなく，説明文（必要なら適切な図も）を加えて答案を作成すること。答案作成力も見る。
注意 2：最初はこの問題がよく解けなかったとしても構わない。しかし，次の確認テストまでに何度も復習し，適切な答案を作れるようにすることを強く勧める。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
提出〆切：答案用紙を，授業と同じ週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

第８回

単振動２（運動方程式を解く）：テキスト第 5，6，10，18，20 章

1. 今回の授業の目的
前回から始まり３回分の授業で，ニュートン力学で実際の運動を理解する具体例として，単振動を扱っている。前回には前提知識として必要な三角関数の基礎事項を学んだ。そこで今回の授業の目的は，力学の基本パターン（第 6 章の手順）に従って運動方程式を解いて，物体の単振動を理解することである。
2. 授業の進行：テキスト第 5，6，10，18，20 章とこのプリントを合わせて理解を深める(1) 状況設定： 以下の設定で，ばねに結ばれた物体の運動を考える。（単位は国際単位系で示す。）＜テキスト第 10 章 p.43 の上図と同様な図を描け＞◍ テキスト第 10 章 p.43 の図（上側の図）と同じ設定を考える。ばねは水平方向に伸び縮みし，摩擦と空気抵抗はないとする。この場合，ばねの弾性力だけが物体に働く。このように，ばねの弾性力だけで実現する運動を単振動（あるいは調和振動）という。
◍ 物体の質量を𝑚 [kg]，ばねのばね定数を 𝑘 [N/m] とする。
◍ 𝑥 軸の原点は，ばねの自然長の位置（物体に働く合力がゼロの位置）。x軸の向きは，ばねが伸びる方向を正の向きにとる。物体は𝑥 軸上を運動するので，位置・速度・加速度・力のベクトルは全て𝑥 成分だけを考えればよい。右下の添え字𝑥 を省略するが，記号は大きさではなく成分を表していることを，常に意識していること。
◍ 初期条件は次の通り。ただし，𝑡0 , 𝑣0 , 𝑥0 は定数とする。（時刻𝑡0 [s]はゼロにとることも多い。）
初期条件：時刻𝑡 = 𝑡0 [s] で，𝑣(𝑡0 ) = 𝑣0 [m/s] ，𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0 [m]（8.1）

注意：テスト問題では，定数 𝑡0 , 𝑣0 , 𝑥0 や 𝑚，𝑘 に具体的な値を決めて出題する。しかし，このプリン
トでは，数学的な記号の扱いの訓練という意味も込めて，出来るだけ定数は記号𝑡0 , 𝑣0 , 𝑥0 や 𝑚，𝑘のままで解説を続けていく。どの記号が定数で，どの記号が変数で，どの記号が三角関数などを示す記号なのか，という区別に注意して計算を進めていこう。

8 回目-1

力学 2（工）（8 回目）(2) 力学の基本パターン（第 6 章 p.25 の手順）の実行：
物体に働く力 𝐹(𝑡)（p.25 の①，②）： 第 10 章 p.43 の図（上側の図）に示されるように，ばねの力が物体に働く。時刻 𝑡 [s] での物体の位置（ベクトルの𝑥 成分）を𝑥(𝑡)[m] とすると，時刻𝑡 で物体に働く力（の𝑥 成分）𝐹(𝑡)[N] は，ばねの弾性力を決める法則（第 2 章）から次のようになる。

−𝑘𝑥(𝑡)

𝐹(𝑡) =

物体の位置𝑥(𝑡)の時間変動に伴って，力𝐹(𝑡)も時間変動することが分かる。
運動方程式（p.25 の③）： 時刻𝑡での物体の加速度（の𝑥 成分）を𝑎(𝑡)[m/s2] とすると，運動方程式は（𝑚，𝐹(𝑡)，𝑎(𝑡)で表して），

𝑚𝑎 (𝑡) = 𝐹(𝑡)加速度 𝑎(𝑡)（p.25 の④）： 力の法則と運動方程式，そして加速度は位置の 2 階微分であること（力学１d2 𝑥(𝑡)「微分の基礎事項と速度・加速度の定義」のプリント参照）から，2 階微分
2 を𝑥(𝑡)で表すと，d𝑡𝐹(𝑡)𝑚𝑎(𝑡) = 𝐹(𝑡) より, 𝑎(𝑡) =𝐹(𝑡)𝑚−𝑘𝑥(𝑡)𝑘d2 𝑥(𝑡)== − 𝑥(𝑡)（𝑎(𝑡) =）=𝑚𝑚𝑚
d𝑡 2
これは，未知関数𝑥(𝑡)が満たすべき微分方程式（微分を含んだ関係式）である。

（8.2）

速度 𝑣(𝑡)と位置𝑥(𝑡)（p.25 の⑤，⑥）： 未知関数𝑥(𝑡)が微分方程式（＊）を満たすことが分かったので，前回授業の最後に学んだ定理が適用できる。
（前回の定理で，𝑐 = 𝑘⁄𝑚と置き換えればよい。）よって，d2 𝑥(𝑡)𝑘=−𝑥(𝑡)d𝑡 2𝑚𝑥(𝑡) =⇒𝑘𝑥(𝑡) = 𝐴 cos (√ 𝑡 + 𝛼)𝑚𝑘
ただし，𝜔 = √ であり， 𝐴，𝛼 は積分定数𝑚

𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼 )（8.3）

注意：力学 1 の放物運動の授業の演習問題やレポート問題では，位置𝑟⃗(𝑡)を求めるまでに積分を 2 回実行⃗⃗(𝑡) = ∫ 𝑣⃗⃗(𝑡) d𝑡 の計算）。しかし，前回に学んだ三角関数のする必要があった（𝑣⃗(𝑡) = ∫ 𝑎⃗(𝑡) d𝑡 と 𝑟定理によって，単振動の場合には積分を具体的に実行することなく位置 𝑥(𝑡)が得られたのである。積分の計算を回避できるという意味で，単振動の扱いは簡単である。（ただし，積分計算を回避する代わりに，三角関数を良く理解することが必要になる。一般的な方法の積分計算では求められないという意味では，単振動の取り扱いの方が難しいともいえる。）
注意：試験で，単振動の運動方程式を解く問題では，「定理より」解を求めるだけではなく，定理が成り立つことを微分計算で示せる力を問う。三角関数の微分に習熟しておくこと。
定数 𝐴，𝛼 の決定： 定数𝐴，𝛼 は初期条件（8.1）から決められる。初期条件を利用するために，速度（の𝑥成分）𝑣(𝑡) [m/s] を定数𝐴，𝛼 で表そう。式（8.3）を微分して（前回授業の演習 4 参照），𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝛼 と置く。
d𝑥(𝑡) d𝜃 d𝑥 d(𝜔𝑡 + 𝛼) d(𝐴 cos 𝜃)=∙=∙= 𝜔 ∙ 𝐴(− sin 𝜃) = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)d𝑡d𝑡 d𝜃d𝑡d𝜃𝑣(𝑡) =d𝑥(𝑡)d𝑡= −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
8 回目-2（8.4）

力学 2（工）（8 回目）（8.3）と（8.4）と，初期条件（8.1）を用いて，積分定数𝐴，𝛼 を決めるための関係式（方程式）を導く。

𝑥(𝑡)，𝑣(𝑡)に𝑡 = 𝑡0 を代入して
𝑥(𝑡0 ) = 𝐴 cos(𝜔𝑡0 + 𝛼)𝑣(𝑡0 ) = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡0 + 𝛼)𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0𝑣(𝑡0 ) = 𝑣0

𝐴 cos(𝜔𝑡0 + 𝛼) =𝐴 sin(𝜔𝑡0 + 𝛼) =𝑥0𝑣0−𝜔

この連立方程式を解けば，𝐴，𝛼 が得られる。
(3) 演習 1：𝐴（𝐴 ≠ 0）と𝛼 の連立方程式

𝐴 cos(0.3 + 𝛼 ) = 0 を解け。
𝐴 sin(0.3 + 𝛼) = 7

ただし，三角関数を扱う際は，前回学んだ三角関数の定義で示したような半径 1 の円周（単位円）上の点を適切に作図して，その図を使って三角関数を考えること。
(4) 単振動の特徴： 式（8.3）で導いたように，単振動する物体の位置は，𝜔 = √𝑘 ⁄𝑚 かつ積分定数を 𝐴，𝛼として𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) [m]（8.5）

である。これに基づいて，単振動の特徴をまとめる。
注意 1： 式（8.3）では，式（8.5）と違う形にまとめたかもしれない。しかし，式（8.3）を正しく導けていれば，この式（8.5）と同じ形に変形できる。前回プリントの式（7.5）
やテキスト p.43，p.78 などを参照。
想像上の円運動： 前回学んだ三角関数の定義から，三角関数は円周上の点の座標として理解できる。よって，単振動を理解するには，右図のような「想像上の円運動」を考えるのが便利である。この「想像上の円運動」の半径は|𝐴|，𝑥 軸（に平行な軸）からの位置ベクトル ⃗𝑟⃗ の回転角𝜃は，𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝛼で時間変化する。また，式（8.5）は cos で位置𝑥(𝑡)を表しているので，円運動する物体の横軸座標が，単振動の位置𝑥(𝑡)に対応する。
（前回学んだ三角関数の定義を参照）|𝐴|
𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝛼𝑟⃗
|𝐴|

−|𝐴|

−|𝐴|

𝐹(𝑡)

−|𝐴|

O𝑥(𝑡) |𝐴|𝑥位相（位相角）： 単振動（8.5）の三角関数の引数（角度に相当する）𝜔𝑡 + 𝛼 [rad] を位相（位相角）という。「想像上の円運動」では，物体の回転角に対応する。
注意 2： テキスト p.43 では，積分定数𝛼 を位相と呼んでいる。しかし，この授業では，「想像上の円運動」との対応させ易さを優先して，三角関数の角度部分の全体 𝜔𝑡 + 𝛼 [rad] を位相と呼ぶことにする。
「位相」の意味には，このような流儀の違いがあるので，注意が必要である。
（物理学の多くの分野では，この授業と同じ流儀で，三角関数の角度全体を位相と呼んでいる。工学系の中には，積分定数を位相と呼ぶ流儀の分野もあるだろう。）

8 回目-3

力学 2（工）（8 回目）
振幅： 単振動（8.5）の三角関数の係数の絶対値 |𝐴| を振幅という（𝐴 > 0という条件を付けることも多い）。これは，振動の中心（𝑥 = 0）からの最大振れ幅である。「想像上の円運動」では，回転半径に対応する。
角振動数（角周波数）： 単振動（8.5）の1 [s] 当りの位相の変化（正確には位相の時間微分）を角振動数（角周波数）という。位相を𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝛼 [rad] とすると，d𝜃(𝑡)角振動数（角周波数）：= 𝜔 [rad/s] （→ [1/s] ）d𝑡
この量は，「想像上の円運動」の場合には，角速度（回転角𝜃(𝑡)の時間的な変化率・微分，つまり速度）と名称が変わる。
振動数（周波数）： 単振動（8.5）の1 [s]当りの振動回数（往復回数） 𝑓 [1/s]を振動数（周波数）という。
「想像上の円運動」では，1 [s]当りの回転数に対応する。
注意 3： 振動数の単位の意味は[回/s]だが，JIS，SI では[回]のような単位は書かない約束にしている。振動数の単位 [1/s] には [Hz]（ヘルツ）と名前がついている。
周期： 単振動（8.5）が 1 回振動して元に戻るのに必要な時間 𝑇 [s] を周期という。
「想像上の円運動」では， 1 回転するのに必要な時間に対応する。
単振動の基本的な関係式： 「想像上の円運動」で考える。「1 [s]当りの回転角（ラジアン単位）」である
角振動数（角速度）𝜔 [rad/s] に，円周上を一周する時間である周期 𝑇 [s] を掛けると，一周の回転角2𝜋 [rad] に等しくなることから，

𝜔𝑇 = 2𝜋（8.6）の関係が成り立つ。また，「想像上の円運動」で 1 周するときの回転角 2𝜋 [rad] が，現実の単振動では 1 振動することに対応する。 振動数𝑓[Hz]を求めることは，「想像上の円運動」では1 [s]当たりの回転角𝜔 [rad/s]が何周分に相当するか（2𝜋 [rad]の何倍か）を求めることに等しいから，
𝑓=

𝜔
1(= )
2𝜋𝑇または𝜔 = 2𝜋𝑓 (=2𝜋𝑇)（8.7）の関係が成り立つ。
（これらは波動現象を考える際にも登場する基礎的な関係式である。）(5) 演習 2： 物体が𝑥 軸上を単振動しており，その位置は𝑥(𝑡) = 2 cos(3𝜋𝑡 + 0.2𝜋) [m]だとする。この単振動の，位相𝜃(𝑡)，振幅|𝐴|，角振動数𝜔，振動数 𝑓，周期 𝑇を求めよ。さらに時間があれば，この単振動の速度𝑣(𝑡)と加速度𝑎(𝑡)を求めよ。
(6) 演習 3： 物体が𝑥 軸上を単振動しており，その位置𝑥(𝑡) = 3 cos(4𝑡) だとする。この単振動の𝑥-𝑡グラフを描け。（振幅と周期が分かると描きやすい。）(7) 演習 4： 物体が𝑥 軸上を単振動しており，その位置𝑥(𝑡) = 8 cos(2𝑡 + 𝜋⁄2) [m] だとする。この単振動の𝑥-𝑡グラフを描け。
（前回プリントの基本性質（7.5）を使うと，グラフを描きやすい形に式変形できる。）
注意： グラフの平行移動を理解していれば，𝑥(𝑡) = 8 cos[2(𝑡 + 𝜋⁄4)]より，𝑥̃(𝑡) = 8 cos[2𝑡] のグラフを𝑡 軸方向に− 𝜋⁄4 だけ平行移動すれば，𝑥(𝑡)のグラフになることが分かる。𝑡 = − 𝜋⁄4のとき（）の 中 が ゼ ロ にな る こ とに 注 目 す る 。し た が って ， 𝑡 = − 𝜋⁄4 の 位 置 を 新 し い 原点 だ と 考 え て𝑥̃(𝑡) = 8 cos[2𝑡] のグラフを描けばよいことが分かる。これがグラフの平行移動の考え方である。

8 回目-4