月の平面直角座標系について
第6回 月測位研究会
2022/02/06
株式会社 パ ス コ© PASCO CORPORATION

資料

三島 研二

⽉⾯における測地基準

月面の座標系は，緯度&経度（BL）は決定されている© PASCO CORPORATION‐2‐⽉⾯における測地基準© PASCO CORPORATION‐3‐⽉⾯における測地基準© PASCO CORPORATION‐4‐⽉⾯における測地基準© PASCO CORPORATION‐5‐⽉⾯における測地基準© PASCO CORPORATION‐6‐

本初子午線（経度0）は，地球から見える中心© PASCO CORPORATION‐7‐

平⾯直⾓座標系

平面直角座標系は，ネット上では見つけられない平面直角座標系は，目的に応じて臨機応変に設定？
地球上のUTM座標系のような平面直角座標系をあらかじめ設定してはどうか© PASCO CORPORATION‐8‐地球上と⽉⾯上の平⾯座標系の特徴扁平率：1/300
扁平率：1/770© PASCO CORPORATION‐9‐地球上と⽉⾯上の平⾯座標系の特徴

月の半径は地球の半径の1/4程度なので，曲率が大きい．

© PASCO CORPORATION‐ 10 ‐

平⾯座標系の必要性
月面でインフラを整備する場合，CAD上あるいは紙上で平面上で計画，設計される．
複雑なプラント建設などの場合，高精度のレイアウト精度が要求される
緯度＆経度では，施工できない．
メートルでの施工できる環境が必要
平面座標系の整備が必要© PASCO CORPORATION‐ 11 ‐

球⾯を平⾯に投影するときの問題点
経度90°（スマトラ沖）

経度0°（グリニッチ天文台を通る子午線）

赤 道

この三角形の内角の和 = 270°
© PASCO CORPORATION‐ 14 ‐

球⾯を平⾯に投影するときの問題点
地球は，楕円体
地球表面の図形は曲面上の図形
曲面上の図形を平面上に投影すると・角度・距離・面積を正しく投影することはできない．
すなわち，ユークリッド幾何学は成り立たない© PASCO CORPORATION‐ 15 ‐

地球上の平⾯直⾓座標系
一般的に汎地球的に利用される座標系として，UTM座標系

日本の測量法第11条で定められた座標系として公共座標系，平面直角座標系© PASCO CORPORATION‐ 16 ‐

UTM座標系

メルカトル正軸円筒図法
は極地方が歪むユニバーサル横メルカトル（Universal Transverse Mercator）座標系© PASCO CORPORATION‐ 17 ‐

UTM座標系© PASCO CORPORATION‐ 18 ‐

UTM座標系
ユニバーサル横メルカトル（Universal Transverse Mercator）座標系

負の座標にならないように原点座標が0ではない© PASCO CORPORATION‐ 19 ‐

https://diovista‐ja.hitachi‐power‐solutions.com/faq/faq_1_2‐what‐is‐utm.html

https://nkgias.com/ja‐jp/NetHelp/index.html#!Documents/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB.htm© PASCO CORPORATION‐ 20 ‐

平⾯直⾓座標系

測量法第11条にもとづく
平面直角座標系© PASCO CORPORATION‐ 21 ‐

楕円体上の座標（φ，λ）と平⾯上の座標（ｘ，ｙ）

等角変換
曲面から平面への等角投影は，等角写像を2変数間の組で表されたときこれらの関数は，コーシーリーマンの方程式（Cauchy‐Riemann equation）を満たすことが必要十分条件© PASCO CORPORATION‐ 22 ‐

楕円体上の座標（φ，λ）と平⾯上の座標（ｘ，ｙ）
Nd  2
Nd  4x B
sin  cos  sin  cos3 (5  t 2  9 2  4 4 )224
6Nd sin  cos5 (61  58t 2  t 4  270 2  330t 2 2 )720
Nd  8
sin  cos7 (1385  3111t 2  543t 4  t 6 )40320
測量法第11条にもとづく平Nd  3
面直角座標系の換算式
cos3 (1  t 2   2 )y  Nd  cos  
65Nd 

cos5 (5  18t 2  t 4  17 2  58t 2 2 )120
Nd  7cos7 (61  479t 2  179t 4  t 6 )5040
赤道から緯度に至る子午線弧長

卯酉線曲率半径© PASCO CORPORATION‐ 23 ‐楕円体⾯を平⾯に投影する
120km
90km

投影平面s=1.0000

s=0.9999

s=1.0000

原点縮率s : 縮率 ； s/S
地球中心© PASCO CORPORATION‐ 24 ‐

地球表面

楕円体⾯を平⾯に投影する

この平© PASCO CORPORATION‐ 25 ‐

すると
影
投面に

楕円体⾯を平⾯に投影する
原点以外ではX軸と子午線方向は一致しない．
X軸に平行な方向

子午線（実際の地球表面で観測する真北方向）© PASCO CORPORATION

原点上では子午線とX軸は一致する．

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楕円体⾯を平⾯に投影する
座標
北

真北方向角

方位角

X
軸
子午線収差
真北（子 午線）© PASCO CORPORATION‐ 27 ‐

方向角

⽉⾯の場合© PASCO CORPORATION‐ 28 ‐

UTM座標系と平⾯直⾓座標系
投 影 法
適用範囲

UTM座標
平面直角座標系
正角図法（経度帯ごとにガウス‐ク 正角図法．（座標系ごとにガウス‐リューゲル等角図法で投影する）
クリューゲル等角図法で投影する）
北緯84°から南緯80°の間の地域

日本全国（北方領土は除く）

地球全体を6°幅の経度帯に分割し 日本全土を19のブロックに分けたた座標系．（経度帯の番号は，西経 座標系．
180 ° か ら 西 経 174 ° の 経 度 帯 を座標系の構成
Zone1 と し ， 東 回 り に Zone2 ，Zone3，・・・，Zone60とする．）
座 標 軸

中央経線を南北軸(N‐S) Y，赤道を東西軸(W‐E) X とする．

座標系の原点 各Zoneの中央経線と赤道の交点
北半球：
X=0.000m
Y= +500,000.000m
原点の座標値 南半球：
X=100,000,000.000m
Y= +500,000.000m© PASCO CORPORATION‐ 29 ‐

南北軸をX軸，東西軸をYとする．
座標系毎に設定している．
X= 0.000m
Y= 0.000m

UTM座標系と平⾯直⾓座標系
平面直角座標系

UTM座標

縮尺係数

中央経線上で0.9996とし，東西方 原 点 で 0.9999 と し ， 東 西 方 向 に向に180km離れた地点で1.0000と 90km離れた地点で1.0000とする．
する．

図郭の形

不等辺四角形．中央経線に対して 長方形
左右対称，赤道に対して上下対称．

誤 差 等

投影距離の誤差が6/10,000以内 投影距離の誤差が1/10,000以内に収まるように設計されている．に収まる様に設計されている．
わが国の場合，中央経線より東 各座標系原点より東西130km以内
西230km～290kmである．
を適用範囲としている．

その他

国土地理院が作成する地形図， 大縮尺地図の投影法に採用され地勢図の投影法に採用されている．ている．

© PASCO CORPORATION‐ 30 ‐

平⾯座標系の必要性
月面でインフラを整備する場合，CAD上あるいは紙上で平面上で計画，設計される．
複雑なプラント建設などの場合，高精度のレイアウト精度が要求される
緯度＆経度では，施工できない．
メートルでの施工できる環境が必要
平面座標系の整備が必要© PASCO CORPORATION‐ 31 ‐

月面のインフラ整備に要求される精度はどの程度
南極での活動を目指しているのに極地方の精度が悪い，精度のよい平面座標系を模索する
円筒座標系から円錐座標系の検討＆評価© PASCO CORPORATION‐ 32 ‐