水理実験 水面形計算

水面形計算演習 （開水路）
１． 理論式と計算手順
１．１ 開水路（跳水と水面形）の問題
河川や水路のデザインには，開水路水理学の知識が必要である．
雨が降るなどして，ある流量が発生して，開水路に流れ込む場合，水位がどこまで上がるのか，というのはデザインの上で基礎的な問題となる．それは単純な水路の設計だけではなく，多様な自然を配置しながら河道を設計する場合も，水深の推定が必要であることには変わりはない．また植物の配置によっても，抵抗によって水深は変わってくる．
今回の計算（演習）では，以下の 2 つについて，計算・確認を行う．
（１）水面形がどこから決まってくるのかを学習する（２）水面形方程式を用いた水面形の計算実験では，緩勾配の水面形，M1 と M2 の計測を行った．このカーブを，水面形方程式を用いて計算し再現できるかどうかを確認し，考察する．

等流水深 h0等流M2

限界水深 hc

計算
始点等流↓限界流（支配断面 h0=hc）

緩勾配 ib<ic

S2等流Q

急勾配 ib>ic

M1
跳水h2M3h緩勾配 ib<ic
水路の水面形変化の例

1h0hch1
図-1↓等流水理実験 水面形計算
１．２

水面形方程式と計算の手順

１．２．１ 理論
水面形方程式は，エネルギー保存則または運動量保存則から求めることができるが，本授業ではその導出は講義しない．よってこの方程式からいかに計算するかについて，説明する．
水面形方程式は，広矩形断面（幅広の長方形）では次式で表せる．

水面形方程式は，水深の勾配 dh/dx を水深 h の関数で書いている．
水面形方程式（参考）：1  h0 / h dh（Manning 則） ib3dx
1  hc / h 10 / 3(1)ただし，式中の変数は以下の通り与える．
路床勾配：ibhc  3

限界水深：q2g(2)3 / 10 n2q2 (3)h0   ib （Manning 則の時，粗度係数 n 与える）数値がわかっているときは直接与える．

等流水深：

この式は，ある場所での水面の傾き（勾配 dh/dx）は，そこの水深 h の関数できまる，ということを示している．上流，あるいは下流で水深がわかっている場所があれば，そこから，その場所その場所の勾配を順に上下流につないでいけば，カーブが描ける．
（ここは数値計算の解説．図を理解してください．
）
ここでは式が h の関数なので，次式のように逆数（分母分子を逆）にする方が計算しやすい．x が h の関数であると思うこととして，水深勾配の逆数

dx
1 1  hc / h （Manning 則） (2) f ( h) dhib 1  h0 / h 10 / 33を既知の計算開始点（xb，hb）から積分するのが，古典的な水面形の計算法である．
この式を解析的（数学的に積分するのは難しく，x を h の関数で明示できないので，少しづつ水深を変化させながらつぎの x を計算してゆくという，逐次計算を行うことがある．
たとえば，下図のように，M2 カーブを下流から計算する場合，計算開始点付近の勾配が分かれば，少し高い水位（上流側）での位置が計算できる．さらに，計算が進んで，ある水深 hi での位置が xi であったなら，そこからh だけ高い水
深 hi+1=hi+h に対応する位置 xi+1 が計算できる．

この「次の水深 hi+1=hi+h となる位置 xi+1」を求めるには，式(3-2)をわずかにh だけ，つまり hi から hi+1までを積分すればよい．

xi1  xi  hi 1hihi 1dxdh  xi   f (h)dhhidh(4-1)

また，その積分を近似する式として Simpson の 1/3 則がある．これが(4-2)の式である．

2水理実験 水面形計算

xi1  xi h f (hi  4 f (hi1 / 2 )  f (hi1 )
6(4-2)

関数 fは式に対応する．その中の各水深は，
hi（=hb+ih）， hi+1/2=hi+h/2， hi+1=hi+h （=hb+(i+1)h） をあらわす．

よって，h を決めて，ある（hi，xi）から hi+1 に対応する位置 xi+1 を求めるには，式(3-2）に hi，hi+1/2 ，hi+1 をそれぞれ式(4-2）に代入して得られる．これを繰り返すことで，水面形（水深分布）が得られる．
等流水深hchhi+1hi・・・hi=1hb=hi=0

h>0
h>0

一連の計算はこの範囲に収まる．

限界水深hc
M2カーブの場合：

xxi+1xi・・・・・ xi=1

h>0，f(h)<0xb=xi=0

路床

図-2

１．２．２ 計算手順

この一連の手続きは，データシートを作り計算できる．ここでは，簡単に計算するために，
ホームページから，エクセルファイルをダウンロードし，計算してみることとする．
http://www.daido-it.ac.jp/~t-sumi/exp/exp.htm （「鷲見哲也研究室」で検索も OK）
重要なのは，計算開始点を知っておくことである．講義したように，常流では上流に波が伝播するから，下流から水面形が決まる．よって，下流端の水位を知ることが出来なければ，計算できない．
（射流の場合は逆である．
）表-1 の，矢印の方向に水面形が決まる．
表-1

水面形の分類と，水面形の決まる方向（矢印）

勾配の名称

緩勾配

限界勾配

急勾配

限界水深・等流水深の関係
図h0 と hc の関係と水面形の分類（各水路勾配で，３つのうちのどれかの水面形が現れる）

h0  hc

h0  hc

h0  hc

勾配の関係

h0
常流

M1hc

M2

射流

M3水平へ

C1hc=h0水平へ
C3S2g 10 / 9 n 2ib  ic q2/9水平へ
常流

S3
射流ib<ic

3S1

h0

常流ib=ic

ib  ic

hcib>ic

ib  ic

射流水理実験 水面形計算■ケース１，２の計算
常流と，射流の判定は，等流水深 h0 と限界水深 hc で（自動的に）判定できる．（図-3 参照）
よって，入力情報は，単位幅流量， Manning の粗度係数， 水路勾配， 計算開始点の x 方向位置 xb とそこでの水深 hb，があればよい．そのほかに， どの位置まで計算するのか xend， 計算開始点での水路の高さ zb，を与える．本エクセルシートでは，瞬時に水面形が計算でき，グラフにも現れる．
1 枚目のシートでケース１を，2 枚目のシートでケース２を計算する．
シートの切り替えは，画面下方のタグをクリックして行う．

図-3 ケース１またはケース２の計算シート4水理実験 水面形計算■ケース３（跳水のケース）の計算
実験データを，ゲート下流のデータ(x=0m）から入力する．
計算開始点（上流側，下流側）の情報，単位幅流量等を入力する．
計算結果には，３つのカーブが描かれる．上流の水面形（射流），下流の水面形（常流）に加え，下流水深の共役水深が描かれる．この共役水深と上流水面形がクロスする点（一致する点）が跳水点である．ここに縦の赤い矢印を動かし，跳水点として表示する．

図-4 ケース３（跳水ケース）の計算シート5水理実験 水面形計算

課題（本日中に出すこと）：諸君の前回実験のデータ３ケースをそれぞれ計算し，上記うち，計算条件（単位幅流量，限界水深，路床勾配，カーブの種類，計算開始点位置，開始水深），および水面形のグラフを添付し，簡単な考察を加えて，提出せよ．計算開始点もわかるようにしておくこと．表紙は不要．1 ページ目の始めに，班，学籍番号，氏名，レポート作成時間を記述すること．ホチキス止めしない．
レポートのテンプレートがホームページにあるので、ダウンロードして貼り付ける。
提出期限：本日中．
（17:00 まで）
レポート

水面形計算
班番号
学籍番号
提出日
作成時間

ケース３ （水面形分類：跳水M3→M2）

氏名

実験条件：
表-1 実験条件
単位幅流量 q=
限界水深 hc=
等流水深 h0=Manning 粗度係数 n=路床勾配 ib=
ケース 1 （水面形分類：M2）

図-2

ケース３（跳水）の計算結果

考察：
ケース１，２は，計算のカーブは実験値に沿っている．
ケース３は，跳水の位置がややずれているが，そのほかは計算のカーブは実験値に一致している．

図-1

ケース１の計算結果

次回レポート提出時の注意：
今回の結果を次回提出のレポートに貼り付けて、「水面形の理論との比較」として考察すること。（班長レポート・要約レポート、ともに）6