第８回レポート課題略解dddd=2 +と置く。
6d d== ・・・ = 〇d dd d〇== ・・・d ddddd2=3 −3 と置く。
d d== ・・・ = ▽d dd d▽== ・・・d d2d= −15 sin 3 −3d2d= −45 cos 3 −d3d= 6 cos 2 +d6d= −12 sin 2 +d6

図は教科書や授業プリントを参照
初期条件 0 = ・・・ [m] , 0 = ・・・ [m/s]もプリントに記載されている。

= 10 [N/m]
ばねの弾性力の法則より，[N]
力が分かったので，運動方程式から加速度が求められる。
110=⇒==−5[N]力が分かったので，運動方程式から加速度が求められる。
110=
⇒
==−5

⇒

=d( )

d
位相

= −2 ( )[m/s2][m/s2]= ! + " とおいて， = # sin(! + ") = #sin より，

d ! + " d #sind ( ) d d=·=·= ! · # cos = !# cos ! + " = ( )d ddddddd d
d ! + " d !# cos==·=·= ! · !# − sin = −! # sin ! + "d ddddd= −! ( )d # sin(! + ")d ( )∴= −! # sin(! + ") すなわち= −! ( )dd

問(c)より， ( ) = # sin ! + " のときこれと問(b)の答えを比較すると，とすれば，が求まる。
&
よって，= # sin 2 + " [m]

d( )

= −!
である。
d&
= # sin ! + " で ! = 2 （⇒!＝ 2）&

位置を微分すれば速度である。(c)を導く過程の計算を用いて，&
d ( ) d # sin 2 + "&&=== 2# cos 2 + " [m/s]ddc-1),c-2)に = 0を代入した結果と，初期条件と比較する。
&d-1)より， 0 = # sin 2 × 0 + " = # sin "&&&d-2)より， 0 = 2# cos 2 × 0 + " = 2# cos "初期条件
0 = 0 [m] より， # sin " = 0&
0 = 8 [m/s]より， 2# cos " = 8&
⇒ # cos " = 4 2# ≠ 0 と①より sin " = 0 。
単位円周上で縦軸の座標がsinの値。
0 ≦ " < 2 の範囲で解となるのは，" = 0[rad] または " = [rad]である。どちらを選んでも等価な解なので，" = 0を選ぶと，&&# cos 0 = 4 2 ⇒ # = 4 2 [m]&（" = [rad]， # = −4 2 [m] でもよい。）&&

8⁄ 2 （ = 4 & 2 ）・・・②

1−1

1−1&

0 [rad]&・・・①0[m]0 ≦ " < 2 の範囲で解となるのは，" = 0[rad] または " = [rad]である。どちらを選んでも等価な解なので，" = 0を選ぶと，&&# cos 0 = 4 2 ⇒ # = 4 2 [m]&（" = [rad]， # = −4 2 [m] でもよい。）の位相&&&−1[m][m]&= 2 から，角振動数! = 2 [rad/s] と読み取れる。
2π&&
よって，1 == 2π [s]!
&[s]

授業プリントまたはスライドを参照
周期，振幅を明示して sin型のグラフを描く

&
&

1

&

0 [rad]&−1

授業予定（変更されたシラバス）①力学１の確認と力学２の概要②仕事③運動エネルギー④位置エネルギー （小）⑤力学的エネルギーとその保存則⑨単振動３：問題演習 （小）⑩円運動と慣性力１：基礎事項 （小）⑪円運動と慣性力２：問題演習 （小）⑫力のモーメント１：実験的理解と定義 （小）（小）⑬力のモーメント２：問題演習１ （小）⑭問題演習２⑥エネルギーの総合演習 （小）⑦単振動１：定性的な理解と三角関数（＋確認試験２）（＋確認試験１）⑮まとめ⑧単振動２：運動方程式を解く⑯期末試験

力学２≪学習到達目標≫
１）仕事の定義を説明できる。
２）力学的エネルギー保存則を説明できる。
３）単振動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。
４）円運動と，慣性力としての遠心力を説明できる。
５）力のモーメントの定義を説明できる。

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(5) 演習2：
⃗( )

[m]
O

この単振動の，位相周期 を求めよ。

，振幅，角振動数 ，振動数 ，さらに時間があれば，この単振動の速度を求めよ。と加速度

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(5) 演習2：
⃗( )

[m]
O

位相
振幅
角振動数
周期は （）の中が[rad]，，[rad/s]，変化する条件

から，

周期[rad/s]
振動数
速度と加速度[rad/s]については省略。

，

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(6) 演習3：⃗( )O

この単振動の - グラフを描け。（振幅と周期が分かると描きやすい。）

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(6) 演習3：
⃗( )

振幅，周期

# = 3−3

2=1O

第9回目 単振動３（問題演習）
今日の授業の目的
前回，ニュートン力学で実際の運動を理解する具体例として単振動を扱った。今回の授業の目的は，前回の授業の内容を定着させるための問題演習である

(1)演習１：問題演習10 問題10-1（テキスト p.45）

まず，ばね定数 ，物体の質量 ，単振動の角振動数 ，単振動の周期 の間の関係式を整理すること。
大→ 大or小？
(1) ばね定数と振動の周期の関係(2) 物体の質量と振動の周期の関係
大→ 大or小？
(3) ばね定数と振動の周期の関係 2倍→ 何倍？
(4) ばね定数と物体の質量から周期を計算(5) ばね定数と物体の質量から振動数を計算(6) 質量と周期からばね定数を計算

５分
３２６（テキスト第10章p.45 ）(1)問題演習10 問題10-1⃗( )&O

またはの関係に基づいて（１）～（６）に答える。

(2)演習２：問題演習10 問題10-3（テキスト p.45）

質量kg，ばね定数 N/m
つり合いの位置からm引っ張って（静かに）手を放す。
[s] とす追加問題： 物体から手を放した瞬間を時刻る。問題文の状況から，[s] における物体の位置）[m]，速度（の 成分） 4[m/s] を答えよ。
「力学の基本パターン」（第6章の手順）に従って，答案を前回のレポート課題（問２）の答案のように作る
次の三角関数の2階微分の性質を使ってよい。
d ( )= −!の解は= # cos ! + " [m]と表せる。
dO

１０３分
２８７

（テキスト p.45）(2)演習２：問題演習10 問題10-3追加問題
4

初期条件[m]，[m/s]（１）
物体に働く力の 成分
運動方程式：

4O4d( )
d4= −!

加速度の 成分44三角関数の 階微分の性質より[m]4&[rad/s] ， ，は積分定数

（テキスト p.45）(2)演習２：問題演習10 問題10-3
初期条件から積分定数を決めるためにを求める
[m]

Oと置く。

速度の 成分

4[m/s]
練習のために加速度の 成分 4を求める計算もやろう。

（テキスト p.45）(2)演習２：問題演習10 問題10-3
加速度の 成分 4
計算もやろう

を求める

[m/s]

4Oと置く。

加速度の 成分444[m/s]

（テキスト p.45）(2)演習２：問題演習10 問題10-3
初期条件[m]，[m/s]

追加問題
4O[m] ・・・①[m/s] ・・・②4①より②より

5 = sin14なので，単位円の作図より[rad]を選ぶと（１）答：振幅

1 = cos，[rad]⇒[m]，初期位相[m][rad]（←注意）（テキスト p.45）(2)演習２：問題演習10 問題10-3（１）答：振幅
初期位相（注意）[m]，[rad]O

初期位相はとした場合は，[rad]となる。⇒教科書略解

&[m]
[m/s]

4（２）

&

&

（テキスト p.45）(2)演習２：問題演習10 問題10-3[m]，[rad]&

O
[m]
[m/s]

4（３）つり合いの位置（）では速さ（4（４）つり合いの位置（4（別解）44）では 4より， 4より，44 ）が最大

（テキスト第10章p.45 ）(3)演習3（単振動をエネルギーの考え方で扱う
空気抵抗と摩擦力は無視できる

質量[kg]，
ばね定数[N/m][m]， 66[m/s]O(a) 力学的エネルギー保存則が成立するかしないか，理由をつけて答えよ。
(b) 振動を始めた瞬間の物体の運動エネルギー 6 ，位置エネルギー 6 ，力学的エネルギー 6 を求めよ。
(c) 単振動の振幅を とする。
での物体の力学的エネルギー 7 を， を使ってc-1)求めよ。
c-2) 問い(a), (b), c-1) から， を求めよ。

（テキスト第10章p.45 ）(3)演習3（単振動をエネルギーの考え方で扱う
空気抵抗と摩擦力は無視できる

質量[kg]，
ばね定数[N/m][m]， 66[m/s]O(d) 物体が原点を通過する瞬間の速さ（速度の大きさ） 8 を単位をつけて求めよ。
(e) 最後に，床と物体の間に摩擦力が働く状況で，上記の初期位置 6 と初速度 6 で運動を始めさせた。しばらくして，つり合いの位置（）で物体は止まった。物体が運動を始めてから静止するまでの間に，摩擦力が物体に与えた仕事 と，摩擦熱などの形で物体が失ったエ
ネルギーＱ を求めよ。

（テキスト第10章p.45 ）(3)演習3（単振動をエネルギーの考え方で扱う
空気抵抗と摩擦力は無視できる

質量[kg]，
ばね定数[N/m][m]， 66O[m/s](a) 空気抵抗と摩擦力は無視でき，垂直抗力は仕事をしないので，力学的エネルギー保存則は成立する。
(b)

66[kg][m/s])

J]，

66[N/m][m])J]，

力学的エネルギー 666J]

J]

[J]

（テキスト第10章p.45 ）(3)演習3（単振動をエネルギーの考え方で扱う
空気抵抗と摩擦力は無視できる

質量[kg]，
ばね定数[N/m][m]， 66(c) 単振動の振幅を とする。
c-1)
では 4。
9
位置エネルギー 777O[m/s]N/m]7c-2) 問い(a), (b), c-1) から， を求めよ。
力学的エネルギー保存則より， 7&⇒ ∴[m]

6

（テキスト第10章p.45 ）(3)演習3（単振動をエネルギーの考え方で扱う
空気抵抗と摩擦力は無視できる

質量[kg]，
ばね定数[N/m][m]， 66(d) 原点

[m/s]

O

を通過する瞬間は， 7J

運動エネルギー 888kg]

J8

力学的エネルギー保存則より，&⇒ ∴&速さは， 8[m/s]8

6[m/s]&[m/s]（テキスト第10章p.45 ）(3)演習3（単振動をエネルギーの考え方で扱う(e)摩擦力が働く状況を考える。

摩擦力が物体に与えた仕事
物体が失ったエネルギーＱ動き始めたとき 8
Jで止まったから，::[m]，:

J:

エネルギー保存則より， :∴J
J
物体が失ったエネルギーＱO8JJ:[m/s]

（テキスト第10章p.45 ）(4) 演習4：O単振動しており，その位置が;[m]<だとする。
位相，振幅 ，角振動数 ，振動数 ，周期 を求めよ。

（テキスト第10章p.45 ）(4) 演習4：
;
<⃗( )

[m]
O

位相
振幅
角振動数

[rad]，，[rad/s]，周期は （）の中が周期振動数変化する条件

から，[rad/s][rad/s]，第9回授業 レポート課題
第10章，問題演習10 の問題10-6（p.46）に取り組む。問題10-3（p.45）と9回授業の座標軸の設定で，（追加0）力学的エネルギー保存則が成立するかしな
いか，理由を付けて答えよ。（追加1）手を放した直後の力学的エネルギー=8を求めよ。（追加2）エネルギーの考え方を用いて，つり合い（自然長）の位置における速さ 8 を求めよ。（追加3）エネルギーの考え方を用いて，ばねが最も縮んだときの位置 > と，最も伸びたときの位置 ? を求めよ。物体のつりあいの位置を，すべての位置エネルギーの基準とする。
注意1：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。説明文や適切な図を加えて，答案を作成すること。答案作成力も見る。
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提出〆切：答案用紙を，今週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・レポート解答用紙
・次週の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること