〈一般研究課題〉 乱流渦におけるマルチスケールのトポロジー解析
助 成 研 究 者

愛知工業大学中山雄行

乱流渦におけるマルチスケールのトポロジー解析
中山 雄行（愛知工業大学）

Topological analysis of vortices in decomposed
multiscale flows in a turbulence
Katsuyuki Nakayama(Aichi Institute of Technology)

Abstract：
The present analysis investigates the topological characteristics of vortices in decomposed flow
scales in turbulent flow. Vortical features are analyzed in an isotropic homogeneous turbulence tostudy fundamental features of vortices in different flow scales. The turbulence is analyzed by thepseudo-spectral method in DNS (Direct Numerical Simulation), and the flow is decomposed into
three types of scales using the band pass filter of the Fourier coefficients. The physical quantities
associated with the vortical flow topology, such as swirlity or symmetry quantity, specify thevortical regions and detail flow topology. The analysis shows that vortices in respective flow scales
have the similar feature in their topology and relationships between the development/decay ofvortices and their flow symmetry. Vortices have a strong correlation between the intensity ofswirling, i.e., swirlity, and the vortical flow symmetry in the swirl plane, and an intense vortex has
a high flow symmetry. In addition, a vortex develops or decays in terms of swirlity with increase or
decrease of the flow symmetry. These statistical characteristics are independent of the decomposed
flow scales, thus they may be invariant features of vortical flow topology in the isotropic
homogeneous turbulence in low Reynolds number.

－ 131 －

１．はじめに
流れにおける渦は、自然科学のみならず文学や社会現象の表現においても用いられる親しみのある流れの様相である。万葉集等古くから短歌でも詠われ、世界遺産としても検討されている鳴門の渦の壮大なダイナミクスは、流体力学の研究者だけでなく多くの人々を魅了している。また、渦は、海洋、気象、宇宙における自然現象だけでなく、原子力・火力・風力等の発電、航空、船舶、
建築構造物、エンジン等様々な分野の工学に関わり、これらの流れの特性に大きな影響を与える。
一方、この様に随分と親しみがある流れであるにも関わらず、実は渦には未だ統一された物理的定義が確立されていない。様々な渦の定義が提案されているが、理学また種々の工学分野における流れの渦の解析では、適用する渦定義によっては渦の有無が異なるという矛盾が生じ、この意味で渦中という言葉は渦の定義の様相にも少し当て嵌まるかもしれない。しかし、近年、一つの統一的な渦の定義が提案され[1]、更に渦の流れの様相(トポロジー)の詳細を定める物理量、即ち、旋回・吸込み流れの対称性と強さを示すswirlity, sourcity [2], 渦軸のeigen-vortical-axis-line[3]等が併せて定義されて、長年待ち望まれてきた渦の詳細なトポロジーの解析[4]や渦軸の特性の分析が可能となった。また、これにより、渦流の対称性（歪み）と渦の発達・減衰には強い相関があり、渦の発達には渦流対称性の向上が関わっていることが一様等方性乱流において示された[5]。
ところで、多くの流れは乱流であり、乱流は様々なスケールの流れにより分解・構成され、それぞれのスケールの流れで渦が存在し、相互に影響しあっていると考えられる。これらのスケールの渦のトポロジーと発達の関わりを明らかにすることは、乱流現象の解明だけでなく流れの評価技術
や特定のスケール流れの制御に繋がる。
本研究では、乱流において流れをスケール分解し、それぞれのスケールにおいて渦を同定し、その渦のトポロジーについて解析する。乱流としては、渦の基本的特性を調べるものとして低レイノ
ル ズ 数 に お け る 一 様 等 方 性 乱 流 を 対 象 と す る。 本 乱 流 の 擬 ス ペ ク ト ル 法 に よ るDNS(Direct
Numerical Simulation)において、フーリエ係数のバンドパスフィルタを用いて流れをマルチスケー
ルに分解し、それぞれのスケールの渦のトポロジー解析を行い、渦の強さとトポロジーの関係について分析する。渦の同定としては、渦流れのトポロジーの基本特性である「（ある点）軸の周りを旋回する渦流れであり、かつ慣性座標系に依存しないガリレイ不変の渦流れ」を渦とし、swirlityによりこの領域を同定する。本解析では、どのスケールの流れの渦においても渦の強さと渦流対称性
は高い相関を有し、また、渦の発達・減衰には渦流対称性の増減が強く関わることが示された。
従って、渦の強さ・発達とトポロジーに関するこれらの性質は、一様等方性乱流における低レイノ
ルズ数ではスケールに依らない不変の性質であることが明らかとなった[6, 7]。また、渦の発生におけるswirlityとトポロジーの特性から渦流れのトリガーとなる流れを同定することが数理的に可能であるが[8-10]、スケール分解した流れにおいても同様な特性があることが確認された[11]。
2．ローカルトポロジーを定める物理量
流れの中のある一つの点の周りの流れの様相について考える。デカルト座標系xi (i = 1, 2, 3)において、速度場vi (i = 1, 2, 3)中のある一つの点を基準とした局所的（ローカル）な流れは、速度勾配テ
ンソル v (= [∂vi /∂xj] (i, j = 1, 2, 3))を用いた∆－ 132 －

渦中という言葉は渦の定義の様相にも少し当て嵌まるかもしれない。しかし、近年、一つの統一的渦中という言葉は渦の定義の様相にも少し当て嵌まるかもしれない。しかし、近年、一つの統一的な渦の定義が提案され[1]、更に渦の流れの様相(トポロジー)の詳細を定める物理量、即ち、旋回・な渦の定義が提案され[1]、更に渦の流れの様相(トポロジー)の詳細を定める物理量、即ち、旋回・吸込み流れの対称性と強さを示す swirlity, sourcity [2], 渦軸の eigen-vortical-axis-line[3]等が併せて定吸込み流れの対称性と強さを示す swirlity, sourcity [2], 渦軸の eigen-vortical-axis-line[3]等が併せて定義されて、長年待ち望まれてきた渦の詳細なトポロジーの解析[4]や渦軸の特性の分析が可能とな義されて、長年待ち望まれてきた渦の詳細なトポロジーの解析[4]や渦軸の特性の分析が可能となった。また、これにより渦流の対称性（歪み）と渦の発達・減衰には強い相関があり、渦の発達にった。また、これにより渦流の対称性（歪み）と渦の発達・減衰には強い相関があり、渦の発達には渦流対称性の向上が関わっていることが一様等方性乱流において示された[5]。
は渦流対称性の向上が関わっていることが一様等方性乱流において示された[5]。
ところで、多くの流れは乱流であり、乱流は様々なスケールの流れにより分解・構成され、それところで、多くの流れは乱流であり、乱流は様々なスケールの流れにより分解・構成され、それぞれのスケールの流れで渦が存在し、相互に影響しあっていると考えられる。これらのスケールのぞれのスケールの流れで渦が存在し、相互に影響しあっていると考えられる。これらのスケールの渦のトポロジーと発達の関わりを明らかにすることは、乱流現象の解明だけでなく流れの評価技術
渦のトポロジーと発達の関わりを明らかにすることは、乱流現象の解明だけでなく流れの評価技術
や特定のスケール流れの制御に繋がる。
や特定のスケール流れの制御に繋がる。
本研究では、乱流において流れをスケール分解し、それぞれのスケールにおいて渦を同定し、そ本研究では、乱流において流れをスケール分解し、それぞれのスケールにおいて渦を同定し、その渦のトポロジーについて解析する。乱流としては、渦の基本的特性を調べるものとして低レイノの渦のトポロジーについて解析する。乱流としては、渦の基本的特性を調べるものとして低レイノ
ルズ数における一様等方性乱流を対象とする。本乱流の擬スペクトル法による DNS(Direct
ルズ数における一様等方性乱流を対象とする。本乱流の擬スペクトル法による DNS(Direct
Numerical Simulation)において、フーリエ係数のバンドパスフィルタを用いて流れをマルチスケー
Numerical Simulation)において、フーリエ係数のバンドパスフィルタを用いて流れをマルチスケー
ルに分解し、それぞれのスケールの渦のトポロジー解析を行い、渦の強さとトポロジーの関係につルに分解し、それぞれのスケールの渦のトポロジー解析を行い、渦の強さとトポロジーの関係について分析する。渦の同定としては、渦流れのトポロジーの基本特性である「（ある点）軸の周りをいて分析する。渦の同定としては、渦流れのトポロジーの基本特性である「（ある点）軸の周りを旋回する渦流れであり、かつ慣性座標系に依存しないガリレイ不変の渦流れ」を渦とし、swirlity に旋回する渦流れであり、かつ慣性座標系に依存しないガリレイ不変の渦流れ」
を渦とし、swirlity にvの実固有ベクトルξ
図1.
aに非平行な平面上のvθとvrの成分分解．
図ローカル流れにおける
1. ローカル流れにおけるvの実固有ベクトル
a に非平行な平面上のよりこの領域を同定する。本解析では、どのスケールの流れの渦においても渦の強さと渦流対称性
よりこの領域を同定する。本解析では、どのスケールの流れの渦においても渦の強さと渦流対称性vと vr の成分分解．
は高い相関を有し、また、渦の発達・減衰には渦流対称性の増減が強く関わることが示された。従は高い相関を有し、また、渦の発達・減衰には渦流対称性の増減が強く関わることが示された。従って、渦の強さ・発達とトポロジーに関するこれらの性質は、一様等方性乱流における低レイノルって、渦の強さ・発達とトポロジーに関するこれらの性質は、一様等方性乱流における低レイノル
ズ数ではスケールに依らない不変の性質であることが明らかとなった[6, 7]。また、渦の発生におけズ数ではスケールに依らない不変の性質であることが明らかとなった[6, 7]。また、渦の発生における swirlity とトポロジーの特性から渦流れのトリガーとなる流れを同定することが数理的に可能でる swirlity とトポロジーの特性から渦流れのトリガーとなる流れを同定することが数理的に可能であるが[8-10]、スケール分解した流れにおいても同様な特性があることが確認された[11]。
あるが[8-10]、スケール分解した流れにおいても同様な特性があることが確認された[11]。
∆2. ローカルトポロジーを定める物理量2. ローカルトポロジーを定める物理量
流れの中のある一つの点の周りの流れについて考える。デカルト座標系
xi (i = 1, 2, 3)において、
図2. ローカル流れにおけるx̃1 -x̃2 平面上の流れの分解．vθとvrの様相はそれぞれの実固有
流れの中のある一つの点の周りの流れについて考える。デカルト座標系
xi (i = 1, 2, 3)において、
図 2. ローカル流れにおける‫ݔ‬෦-‫ݔ‬
と vr の様相はそれぞଵ ෦平面上の流れの分解．v
ଶ vθとvrの流れ場中の曲線はそれぞれの二次形式の特値と実固有ベク
トルが定める．
速度場 vi (i = 1, 2, 3)中のある一つの点を基準とした局所的（ローカル）な流れは、速度勾配テンソ
速度場 vi (i = 1, 2, れの実固有値と実固有ベクトルが定める．v
3)中のある一つの点を基準とした局所的（ローカル）な流れは、速度勾配テンソ性を示す．本図は0 <λ θ1 λ θ2の場合を示す． と vr の流れ場中の曲線はそれ
ルv (= [∂vi /∂xj] (i, j = 1, 2, 3))を用いた
0 <1 2 の場合を示す．
ルv (= [∂vi /∂xj] (i,ぞれの二次形式の特性を示す．本図は
j = 1, 2, 3))を用いた
ௗ௫ப௩ௗ௫೔ ೔ ப௩ൌ ೔ xௗ௧ൌ ೔ப௫xೕj j
ௗ௧
ப௫ೕ

(1)

トポロジーを分析するために swirlity と渦流対称性 c を導入する。
として表すことができる。ここで、式(1)並びに以降では総和規約を用いた表記とする。この式(1)よとして表すことができる。ここで、式(1)並びに以降では総和規約を用いた表記とする。この式(1)として表すことができる。
ここで、式(1)並びに以降では総和規約を用いた表記とする。この式(1)よ3 次元の流れ場において、v
は少なくとも一つの実固有値を有するが、この実固有ベクトルaり、vの固有値と固有ベクトルがこの周りの流れの様相を表す[2]。しかし、ここでは更に詳細な
vの固有値と固有ベクトルがこの周りの流れの様相を表すことが解る[2]。しかし、ここでより、
り、vの固有値と固有ベクトルがこの周りの流れの様相を表す[2]。しかし、ここでは更に詳細なに平行ではないある平面‫ݔ‬෦-‫ݔ‬
vp を半径方向成ଵ ෦上の流れに着目し、本平面上のローカル流れ(速度)ଶ
は更に詳細なトポロジーを分析するためにswirlityと渦流対称性cを導入する。
分 vr と周方向成分 vにそれぞれ分解する。このイメージを図 1 に示す。このとき、vと vr の成分
2
ξ aに
3次元の流れ場において、 vは少なくとも一つの実固有値を有するが、この実固有ベクトル2
はv 成分∂vi /∂xj を用いた二次形式で表すことができる。このvと vr の二次形式の行列をそれぞれ
平行ではないある平面x̃1 -x̃2 上の流れに着目し、本平面上のローカル流れ(速度) vpを半径方向成分vrAと Ar と表すと、Aと Ar はユニタリー行列であり、2 つの実固有値と直交する実固有ベクトルをと周方向成分vθにそれぞれ分解する。このイメージを図1に示す。このとき、vθとvrの成分は v成分有する。これらの固有値と固有ベクトルにより v、vr の特性が判る[2, 5]。即ち、この固有値の大き∂vi /∂xjを用いた二次形式で表すことができる。このvθとvrの二次形式の行列をそれぞれAθとArと表さと固有ベクトル方向により v、vr の特性が与えられる。例えば、vの実固有値i (i = 1, 2)が共にすと、AθとArはユニタリー行列であり、2つの実固有値と直交する実固有ベクトルを有する。これ
同符号であれば、この平面の全周で同方向の周方向流れが存在することを示し、即ち旋回流れであらの固有値と固有ベクトルによりv
θ、vrの特性が判る[2, 5]。即ち、この固有値の大きさと固有ベクることが解る。この例を図 2 に示す。
図 2 において、e と eは半径・周方向の単位ベクトル、  ,

∆

∆

∆

r

ri

i

トル方向によりv
θ、vrの特性が与えられる。例えば、vθの実固有値λθi (i = 1, 2)が共に同符号であれ(i = 1, 2)は Ar と A
の実固有ベクトルをそれぞれ示す。swirlity  は vの強さと対称性を示す物理量ば、この平面の全周で同方向の周方向流れが存在することを示し、即ち旋回流れであることが解で、Aの実固有値i (i = 1, 2)の同符号性と相乗平均的な強さを示す。これは、v の実固有ベクトる。この例を図2に示す。図2において、erとeθは半径・周方向の単位ベクトル、ξ ri, ξ θi (i = 1, 2)はArとAθの実固有ベクトルをそれぞれ示す。swirlity φはv
3 θの強さと対称性を示す物理量で、Aθの実固有－ 133 －

図3. cによる旋回(ξ p-η p)平面上のトポロジーの相違. (a) c =0.25, (b) c =0.5,

3. また(c)c による旋回(p-p)平面上のトポロジーの相違.
(a) c =0.25,(b) c =0.5,
図 3. c図による旋回(
p-p)平面上のトポロジーの相違.
(a) c =0.25,(b) c =0.5,
c =0.8であり、楕円はその対称性（歪み）の程度を示す．
c =0.8 であり、楕円はその対称性（歪み）の程度を示す．
また(c)また(c)c =0.8 であり、楕円はその対称性（歪み）の程度を示す．
値λθi(i =図1,3.2)の同符号性と相乗平均的な強さを示す。これは、c による旋回(p-p)平面上のトポロジーの相違. (a) cvの実固有ベクトル=0.25, (b) c =0.5, ξ aに非平行な任∆意の平面において不変であり、即ちガリレイ不変の物理量となる。
また(c) c =0.8 であり、楕円はその対称性（歪み）の程度を示す．
ルaに関するAに非平行な任意の平面において不変であり、即ちガリレイ不変の物理量となる。
ルまた、v
a に非平行な任意の平面において不変であり、即ちガリレイ不変の物理量となる。
θ
θの実固有値 λ θi(i = 1, 2)の比の平方根をcとすると、これがvθの歪み度を表す不また、vAの実固有値2)の比の平方根をc とすると、これがvの歪み度を表に関するまた、v
Aの実固有値
i (i (0=1,<i (i2)の比の平方根をc とすると、これがvの歪み度を表に関するc =≤ 1,1)を特定できる。図3は、cにより渦流の対称性がルa変量となり、これにより渦流の対称性cに非平行な任意の平面において不変であり、即ちガリレイ不変の物理量となる。
す不変量となり、これにより渦流の対称性< c ≤ 1)を特定できる。図は、c により渦流の対称す不変量となり、これにより渦流の対称性
c (0 < cc≤(01)を特定できる。図3 は、c3 により渦流の対称v変化する例を示したものであり、cが1に近づくと渦流は軸対称的なものとなる。このとき、また、vに関する Aの実固有値i (i = 1, 2)の比の平方根を c とすると、これが vの歪み度を表 は性が変化する例を示したものであり、cが 1 に近づくと渦流は軸対称的なものとなる。このとき、性が変化する例を示したものであり、cが 1 に近づくと渦流は軸対称的なものとなる。このとき、iη（i：虚数）ξ p±により渦流の対称実固有値の他に共役複素固有値を有し、この複素固有値の固有ベクトルの実・虚pす不変量となり、これにより渦流の対称性
c (0 < c ≤ 1)を特定できる。図 3 は、cvは実固有値の他に共役複素固有値を有し、この複素固有値の固有ベクトル±iv は実固有値の他に共役複素固有値を有し、この複素固有値の固有ベクトルp ± ip（i：虚数）のpp（i：虚数）のベクトルξ p, η p にて張られる平面が旋回平面となる。また、このとき、複素固有値の虚部はφに等性が変化する例を示したものであり、cが 1 に近づくと渦流は軸対称的なものとなる。このとき、
実・虚ベクトルp, p にて張られる平面が旋回平面となる。また、このとき、複素固有値の虚部は実・虚ベクトルp, p にて張られる平面が旋回平面となる。また、このとき、複素固有値の虚部はしく、cはξ p, η p の長さの比となる[2]。
v は実固有値の他に共役複素固有値を有し、この複素固有値の固有ベクトルp ± ip（i：虚数）のに等しく、cp, p の長さの比となる[2]。
に等しく、cはp, は
p の長さの比となる[2]。
実・虚ベクトルp, p にて張られる平面が旋回平面となる。また、このとき、複素固有値の虚部は∆3．一様等方性乱流におけるDNSとマルチスケールトポロジー渦流解析
に等しく、cはp, p の長さの比となる[2]。

DNS とマルチスケールトポロジー渦流解析
3. 一様等方性乱流における
DNS とマルチスケールトポロジー渦流解析
3. 一様等方性乱流における複数のスケールの流れにおける渦のトポロジー解析を一様等方性乱流において行う。一様等方性
複数のスケールの流れにおける渦のトポロジー解析を一様等方性乱流において行う。
一様等方性
複数のスケールの流れにおける渦のトポロジー解析を一様等方性乱流において行う。
一様等方性
DNS とマルチスケールトポロジー渦流解析
3. 一様等方性乱流における乱流は、擬スペクトル法によるDNS(Direct Numerical Simulation)により解析する。256³ 節点か乱流は、擬スペクトル法による
DNS (Direct
Numerical
Simulation)により解析する。256³
節点からな
乱流は、擬スペクトル法による
DNS (Direct
Numerical
Simulation)により解析する。256³
節点からな
1/2
複数のスケールの流れにおける渦のトポロジー解析を一様等方性乱流において行う。
一様等方性k
らなる解析領域(2π) 3 において、波数ベクトル
=
(k
はk
<
121
とし、
1 , k 2 , k 3 )の波数k = (ki ki )33
る解析領域(2)において、波数ベクトル, k2, k3)の波数(kiはki k)1/2
121 とし、phase
る解析領域(2)において、波数ベクトル
k = (k1k, k=2, (kk31)の波数
k = (ki kki=)1/2<は121k <とし、phase
乱流は、擬スペクトル法による
DNS (Direct Numerical Simulation)により解析する。256³
節点からな
phase shifting methodによりエイリアスエラーを除去する[5]。
methodによりエイリアスエラーを除去する[5]。
shiftingshifting
methodによりエイリアスエラーを除去する[5]。
3る解析領域(2)において、波数ベクトル k = (k1, k2, k3)の波数 k = (ki ki )1/2 は k < 121 とし、phase
流れのスケール分解は、速度や速度勾配テンソル等の物理量のフーリエ係数に関するバンドパス
流れのスケール分解は、速度や速度勾配テンソル等の物理量のフーリエ係数に関するバンドパス
流れのスケール分解は、速度や速度勾配テンソル等の物理量のフーリエ係数に関するバンドパス
shifting
method によりエイリアスエラーを除去する[5]。
フィルタにより行う。即ち、ある3次元関数g(x)のフーリエ係数をf(k)とすると、波数ks, kl (ks ＜ kl)
フィルタにより行う。即ち、ある3 次元関数g(x)のフーリエ係数を
f (k)とすると、波数フィルタにより行う。即ち、ある3 次元関数g(x)のフーリエ係数を
f (k)とすると、波数ks, kl (ksks, kl)(ks  kl)
流れのスケール分解は、klにおける関数g' (x)は以下の式により与えられる。
の間の波数帯ks ≤ k ＜ 速度や速度勾配テンソル等の物理量のフーリエ係数に関するバンドパスの間の波数帯k  kl における関数
g' (x)は以下の式により与えられる。
の間の波数帯ks k  kkslにおける関数
g' (x)は以下の式により与えられる。
フィルタにより行う。即ち、ある 3 次元関数 g(x)のフーリエ係数を f (k)とすると、波数 ks, kl (ks  kl)(x) =f (k) exp(ikf (k) jexp(ik) 1, 2,(j =(2)g' (x) =g'g'(x)は以下の式により与えられる。
xj ) j(xjj =3)1, 2, 3)(2)の間の波数帯 ks k  kl における関数
ks  k  kl ks  k  kl

ここでは、流れを表1に示す3つのスケールに分解する。表1において、全波数による流れ、即ちg' (x) = 1 
f (k)3exp(ik( j = 1, 2, 3)(2)
j xj )
ここでは、流れを表
つのスケールに分解する。表1 において、全波数による流れ、即ここでは、流れを表
1 に示す
1 において、全波数による流れ、即ks に示すk3
 kつのスケールに分解する。表l波数帯の制限を行わない流れは、スケール分解を行わない流れである。
ち波数帯の制限を行わない流れは、スケール分解を行わない流れである。
ち波数帯の制限を行わない流れは、スケール分解を行わない流れである。
ここでは、流れを表1 に示す 3 つのスケールに分解する。表 1 において、全波数による流れ、即各々のスケールにおける渦流解析を行ってトポロジーを同定し、テイラーレイノルズ数Reλ ≈ 35ち波数帯の制限を行わない流れは、スケール分解を行わない流れである。
における各スケールの渦領域(φ = 3)のコンターを図4に示す。以降では、φは、それぞれのスケー
表 1:流れスケールの波数帯
表 1:流れスケールの波数帯
No.
No.
1
2
3
4

1
2
3
4

スケール
No.スケール
波数域波数域
表1:流れスケールの波数帯
表 1:流れスケールの波数帯
分解なし 0 ≤ k ≤ 0120
≤ k （全波数）≤ 120 （全波数）
1 分解なし
スケール
波数域
大スケール
2大スケール
8 < k ≤816< k ≤ 16
分解なし
0 ≤ k ≤ 120 （全波数）
中スケール
3中スケール20 < k ≤2040< k ≤ 40
大スケール
8 < k ≤ 16
小スケール
4小スケール< k ≤ 120
60 < k ≤60120
中スケール
20 < k ≤ 40
60 < k ≤ 120

小スケール
4－ 134 －

44

図4. 全波数、各スケール流れにおけるswirlity3).= 3).
図 4. 全波数、各スケール流れにおける
swirlity(φ)のコンター(φ=()のコンター((a)全波数流れ, (b) 大スケール, (c) 中スケール, (d) 小スケール.

(a)全波数流れ, (b) 大スケール, (c) 中スケール, (d) 小スケール.
ルにおける渦領域のφのroot mean square 値にて無次元化を行っている。図4によると、渦領域の形状はスケール流れにより異なる。大スケールの渦領域では丸みを帯びたコンターとなり、中ス
各々のスケールにおける渦流解析を行ってトポロジーを同定し、テイラーレイノルズ数 Re ≈ 35
ケールの渦領域のコンターは全波数流れのものに類似し、そして小スケールでは細かなコンターとにおける各スケールの渦領域( = 3)のコンターを図 4 に示す。以降では、は、それぞれのスケーなる。次に、各スケールにおけるローカルトポロジーの特性について解析するものとし、渦強さとルにおける渦領域のの root mean square 値にて無次元化を行っている。図 4 によると、渦領域のトポロジーとの相関をJPDF (Joint Probability Density Function) により分析する。Reλ ≈ 95にお形状はスケール流れにより異なる。大スケールの渦領域では丸みを帯びたコンターとなり、中スケ
いて、全波数流れ、並びに各スケール流れにおける渦の強さφと渦流対称性cに関するJPDFを図5
ールの渦領域のコンターは全波数流れのものに類似し、そして小スケールでは細かなコンターとなにそれぞれ示す。図5によると、まずスケール分解しない全波数における流れの渦では、渦の強さる。次に、各スケールにおけるローカルトポロジーの特性について解析するものとし、渦強さとトと渦流対称性の関係には高い相関があることが解る。また、スケール分解した流れにおいても同様
ポロジーとの相関を JPDF (Joint Probability Density Function) より分析する。Re ≈ 95 において、全に渦の強さと渦流対称性の関係には高い相関があり、渦が強いと相応に渦流対称性が高くなること
波数流れ、並びに各スケール流れにおける渦の強さと渦流対称性 c に関する JPDF を図 5 にそれが解る。図4の様に渦領域のコンターは各スケール流れで異なるものの、ローカルトポロジーではぞれ示す。図 5 によると、まずスケール分解しない全波数における流れの渦では、渦の強さと渦流渦の強さと渦流対称性の関係には類似性がある。即ち、渦強さが発達するためにはそれに応じて渦対称性の関係には高い相関があることが解る。また、スケール分解した流れにおいても同様に渦の流対称性が発達しなければならない[6,7]。図5におけるそれぞれのJPDFの相関係数は、スケール
強さと渦流対称性の関係には高い相関があり、渦が強いと相応に渦流対称性が高くなることが解る。
分解なしの流れ(全波数(a))の渦において0.75、大中小スケールの渦においてそれぞれ(b)0.88, (c)
図 4 の様に渦領域のコンターは各スケール流れで異なるものの、ローカルトポロジーでは渦の強さ
0.85,(d) 0.79である。
と渦流対称性の関係には類似性がある。即ち、渦強さが発達するためにはそれに応じて渦流対称性

5－ 135 －

図5. 全波数、各スケール流れにおけるφとcのJPDF. (a)全波数流れ, (b) 大スケール, (c) 中スケール, (d) 小スケール.

図 5. 全波数、各スケール流れにおけると c の JPDF. (a)全波数流れ, (b)4．考

察

大スケール, (c) 中スケール, (d) 小スケール.

4.1 渦の発達に関わるトポロジーが発達しなければならない[6, 7]。図 5 におけるそれぞれの JPDF の相関係数は、スケール分解なし
前章の図5で示した様に、一様等方性乱流の渦流、またスケール分解された各スケール流れの渦の流れ(全波数(a))の渦において 0.75、大中小スケールの渦においてそれぞれ(b) 0.88, (c) 0.85, (d) 0.79
流では、渦の強さと渦流対称性の関係には高い相関があり、共に発達・減衰する傾向がある。特にである。
渦が弱い領域では、φとcのJPDFの確率密度が高い領域が直線状となっており、強い相関で共に変化する。
4. 考 察渦の発達・減衰と渦流対称性の時間変化において、それぞれのコルモゴロフ時間で無次元化した
4.1 渦の発達に関わるトポロジー
これらの時間微分のJPDFを図6に示す。本図では、非分解の流れ、また各スケール流れの渦のい
前章の図 5 で示した様に、一様等方性乱流の渦流、またスケール分解された各スケール流れの渦ずれにおいても∂φ/∂tと∂c/∂tとには高い相関が観られる。図6におけるそれぞれのJPDFの相関係数
流では、渦の強さと渦流対称性の関係には高い相関があり、共に発達・減衰する傾向がある。特には、スケール分解なしの流れ(全波数(a))の渦において0.72 、大中小スケールの渦においてそれぞれ渦が弱い領域では、と c の JPDF の確率密度が高い領域が直線状となっており、強い相関で共に(b) 0.8, (c) 0.78, (d) 0.77である。従って、渦のトポロジーにおいて渦流対称性の変化は渦の発達・変化する。
減衰において重要な要素であることが解る。
渦の発達・減衰と渦流対称性の時間変化において、それぞれのコルモゴロフ時間で無次元化した
以上より、渦強さと渦流対称性はスケールに依らず統計的に共に発達・減衰する特性を有するこ
これらの時間微分の JPDF を図 6 に示す。本図では、非分解の流れ、また各スケール流れの渦のいとが示された。この関連に基づく渦強さとトポロジーのダイナミクスに関するイメージを図7に示
ずれにおいても∂ /∂t と∂c /∂t とには高い相関が観られる。図 6 におけるそれぞれの JPDF の相関係
す。
数は、スケール分解なしの流れ(全波数(a))の渦において 0.72 、大中小スケールの渦においてそれぞれ(b) 0.8, (c) 0.78, (d) 0.77 である。従って、渦のトポロジーにおいて渦流対称性の変化は渦の発4.2
渦の生成予測に関わるトポロジー
達・減衰において重要な要素であることが解る。
φは、ローカル流れの周方向成分の対称性と強さを示す物理量であるが、これを用いてswirlity
以上より、渦強さと渦流対称性はスケールに依らず統計的に共に発達・減衰する特性を有するこ渦の渦生成のプロセスのトポロジー解析が可能である[8]。即ち、φの符号が負から正に変わる領域とが示された。この関連に基づく渦強さとトポロジーのダイナミクスに関するイメージを図 7 に示v
は渦流れが発生した領域であり、これらの領域におけるトポロジーの変化や速度勾配テンソル
す。
∆の時系列変化を解析することにより、渦発生の過程を分析することができる。図8は、swirlity φが負から正に変化するときの旋回平面(渦発生後)となる平面におけるローカル流れの変化の様相を示
4.2 渦の生成予測に関わるトポロジー
す。抽出した周方向成分流れのトポロジーでは、渦流れの発生を明確に確認できる。このとき、渦swirlity は、ローカル流れの周方向成分の対称性と強さを示す物理量であるが、これを用いて渦発生のトリガーとなる流れ・速度勾配テンソル成分を特定できるが[9]、ここではスケール分解したの渦生成のプロセスのトポロジー解析が可能である[8]。即ち、の符号が負から正に変わる領域は流れにおける渦発生の本特性について記述する。

6－ 136 －

全波数、各スケール流れにおける∂φ/∂tと∂c/∂tのJPDF.
図 6. 図6.
全波数、各スケール流れにおける∂ /∂t と∂c /∂t の JPDF. (a)全波数流れ,(a)全波数流れ, (b) 大スケール, (c) 中スケール, (d) 小スケール.

(b) 大スケール, (c) 中スケール, (d) 小スケール.

渦の発達・減衰のモデル．渦の強さφとその図 7. 図7.
渦の発達・減衰のモデル．渦の強さ
トポロジーの渦流とそのトポロジーの渦流対称
対称性cは共に発達・減衰し、この特性はスケールに依らない．

性 c は共に発達・減衰し、この特性はスケールに依らない．
swirlity φが負の値である渦の発生前において、 vの固有値λi (i = 1, 2, 3)は全て実数であるが、∆ここでλ1 とλ 2 が同符号であるとする。正規直交基底ei (i = 1,2, 3)としてe1をλ 1 の固有ベクトルξ 1 に平渦流れが発生した領域であり、これらの領域におけるトポロジーの変化や速度勾配テンソルvの行にとり、e1 - e 2 平面をλ 1 とλ 2 の固有平面とすると、この座標系における速度勾配テンソル
時系列変化を解析することにより、渦発生の過程を分析することができる。図8 は、swirlityv(=A=
が負
∆

[∂v
i /∂xj] =[aij] (i, j = 1, 2, 3))は以下の形式で表される。
から正に変化するときの旋回平面(渦発生後)となる平面におけるローカル流れの変化の様相を示す。抽出した周方向成分流れのトポロジーでは、渦流れの発生を明確に確認できる。このとき、渦発生のトリガーとなる流れ・速度勾配テンソル成分を特定できるが[9]、ここではスケール分解した

7－ 137 －

図8. 渦流遷移における(予測された旋回平面上の)トポロジー変化．下図はvθの様相とこの二次形式の曲線の特性を示す．
渦流遷移における(予測された旋回平面上の)トポロジー変化．下図は
vの様
(a) 図
(φ< 8.
0)の状態から(c)への遷移においてφが増加し、(c)では0 < φとなって渦流れが発生する．

図 8.
渦流遷移における(予測された旋回平面上の)トポロジー変化．下図はvの様相とこの二次形式の曲線の特性を示す．(a)(< 0)の状態から(c)への遷移におい(< 0)の状態から(c)への遷移において相とこの二次形式の曲線の特性を示す．(a)が増加し、(c)では 0 < となって渦流れが発生する．
てが増加し、(c)では 0 < となって渦流れが発生する．
流れにおける渦発生の本特性について記述する。
流れにおける渦発生の本特性について記述する。
swirlity が負の値である渦の発生前において、v の固有値i (i = 1, 2, 3)は全て実数であるが、こが負の値である渦の発生前において、v
i (i =e1,2,3)は全て実数であるが、ここでswirlity
1 と2 が同符号であるとする。正規直交基底
ei (i =の固有値
1,2, 3)として
1 の固有ベクトル1 に平
1をこで1 と1-2 eが同符号であるとする。正規直交基底
ei (i = 1,2, 3)として e1 を1 の固有ベクトル(=
1A=に平行にとり、e2 平面を1 と2 の固有平面とすると、この座標系における速度勾配テンソルv
図9. 小スケール流れにおける∂φ/∂tと速度勾配テンソル成分∂aij/∂tのJPDF.
1 と2 の固有平面とすると、この座標系における速度勾配テンソルv(= A=[∂v行にとり、e1,9.2, 小スケール流れにおける∂3))は以下の形式で表される。
1- je図2=平面を /∂t と速度勾配テンソル成分∂ai /∂xj] =[aij] (i,ij /∂t の(a) (∂φ/∂t, ∂a21 /∂t), (b) (∂φ/∂t, ∂a31 /∂t).

[∂vi /∂xj] =[aij] (i, j = 1,JPDF.
2, 3))は以下の形式で表される。
(a) (∂ /∂t, ∂a21/∂t), (b) (∂ /∂t, ∂a31/∂t).
   

3
2

 1

(3)
A   0 1 2 3
1 2
 
 
A 0 0 0 2 3スケール分解した流れにおいても渦発生のトリガーと(3)(3)
スケール分解しない全波数の流れと同様に、
1 


0
3 
 0
なる流れの成分を特定できる可能性を示唆している[11]。
ここで、 i (i = 1, 2, 3)は本座標系における渦度ベクトル成分を示す。e1- e2 平面上で渦が発生するとここで、(ia=1,
3)は本座標系における渦度ベクトル成分を示す。e11-- ee22 平面上で渦が発生する
平面上で渦が発生すると
ここで、ω
(iが
2,2, 3)は本座標系における渦度ベクトル成分を示す。e
き、成分
ai21
に対して反対の符号の成分となることが渦流れとなる条件となる[8-10]。
i=
121,
5. 結 言き、成分a2121がaが12aに対して反対の符号の成分となることが渦流れとなる条件となる[8-10]。
とき、成分a
分解されたスケール流れにおいて、本スケールにおけるこの座標系を定義して速度勾配テンソル
12 に対して反対の符号の成分となることが渦流れとなる条件となる[8-10]。
低テイラーレイノルズ数の一様等方性乱流におけるスケール分解した流れでは、渦領域の形状は分解されたスケール流れにおいて、本スケールにおけるこの座標系を定義して速度勾配テンソル成分との時間微分の JPDF を評価する。即ち、渦が発生する直前におけるaij との双方の時間微分解されたスケール流れにおいて、本スケールにおけるこの座標系を定義して速度勾配テンソル
各スケール流れで異なるが、ローカルトポロジーでは渦の強さと渦流対称性の関係には高い相関が成分との時間微分の JPDF を評価する。即ち、渦が発生する直前におけるaij との双方の時間微分について解析し、渦発生と相関の高い速度勾配テンソル成分について分析する。図
9 は、小スケ成分とφの時間微分のJPDFを評価する。即ち、渦が発生する直前におけるaijとφの双方の時間微分ある。即ち、渦強さが発達するためにはそれに応じて渦流対称性が発達し、渦の発達／減衰のため分について解析し、渦発生と相関の高い速度勾配テンソル成分について分析する。図は、小スケールの渦発生において、aを示
12 (= —3 ) < 0 であるときの a21 と a13 に関するとの時間微分の 9JPDFについて解析し、渦発生と相関の高い速度勾配テンソル成分について分析する。図9は、小スケーにはトポロジー上の条件として渦流対称性の向上／低下が伴う。これは、低テイラーレイノルズ数ールの渦発生において、a(= 3—
0 であるときの21aとa
a13 に関するとの時間微分のJPDFを示している。∂aの実固有ベクトル
21 と13/∂t は∂ /∂ta)
ルの渦発生において、a(= 12－ω) 3<) <0であるときのa13 に関するφとの時間微分のJPDFを示し
12 との間に相関はない。本成分は渦発生後の渦軸(vの本乱流において、スケールに依らないトポロジーの不変の性質と考えられる。
している。∂a/∂t との間に相関はない。本成分は渦発生後の渦軸(vの実固有ベクトルの傾きに関わる成分であるが、渦発生時には渦軸方向の変化が統計的にないことを示している。一13/∂t は∂tとの間に相関はない。本成分は渦発生後の渦軸(vの実固有ベクトル
ξ a)のa )ている。∂a/∂
13 /∂tは∂φ∆の傾きに関わる成分であるが、渦発生時には渦軸方向の変化が統計的にないことを示している。一方、∂a21/∂t は∂ /∂t と非常に高い相関を有している。即ち、渦になるときは a21 が a12 と反対の符号
傾きに関わる成分であるが、渦発生時には渦軸方向の変化が統計的にないことを示している。一方、∂aa21 が a12 と反対の符号の値になることが解る。これは、e21/∂t は∂ /∂t と非常に高い相関を有している。即ち、渦になるときは
1- e2 平面で渦流となるためには欠かせない条件であり、渦発生の方、∂a21 /∂tは∂φ /∂tと非常に高い相関を有している。即ち、渦になるときはa 21 がa 12 と反対の符号の参考文献の値になることが解る。これは、eトリガーとなる流れである。また、本座標系のe1- e2 平面はv の固有ベクトルから特定される固有1- e2 平面で渦流となるためには欠かせない条件であり、渦発生の値になることが解る。これは、e
1 - e 2 平面で渦流となるためには欠かせない条件であり、渦発生のトリガーとなる流れである。また、本座標系のe1- e2 平面はvの固有ベクトルから特定される固有空間であるから、成分
a21 は慣性座標系に依らない不変の方向のせん断成分である。この解析は、[1]
K. Nakayama, K. Sugiyama,
and S. Takagi, “A unified
definition ofa vortex derived from vortical flow
トリガーとなる流れである。また、本座標系のe
1 - e 2 平面は vの固有ベクトルから特定される固有空間であるから、成分
a21 は慣性座標系に依らない不変の方向のせん断成分である。この解析は、
and the resulting pressure
minimum”, Fluid Dynamic Research, 46, 055511, 2014.
空間であるから、成分a
21 は慣性座標系に依らない不変の方向のせん断成分である。この解析は、∆[2] K. Nakayama, “Physical properties corresponding
8 to vortical flow geometry”, Fluid Dynamic Research,
46, 055502, 2014.

8－ 138 －

[3] K. Nakayama and H. Hasegawa, Relationships between eigen-vortical-axis line and vorticity line, Fluid
Dynamic Research, 50, 011417, 2018.

スケール分解しない全波数の流れと同様に、スケール分解した流れにおいても渦発生のトリガーとなる流れの成分を特定できる可能性を示唆している[11]。
5．結言低テイラーレイノルズ数の一様等方性乱流におけるスケール分解した流れでは、渦領域の形状は各スケール流れで異なるが、ローカルトポロジーでは渦の強さと渦流対称性の関係には高い相関がある。即ち、渦強さが発達するためにはそれに応じて渦流対称性が発達し、渦の発達／減衰のためにはトポロジー上の条件として渦流対称性の向上／低下が伴う。これは、低テイラーレイノルズ数の本乱流において、スケールに依らないトポロジーの不変の性質と考えられる。
参考文献［1］K. Nakayama, K. Sugiyama, and S. Takagi,“A unified definition of a vortex derived fromvortical flow and the resulting pressure minimum”, Fluid Dynamic Research, 46, 055511, 2014.
［2］K. Nakayama,“Physical properties corresponding to vortical flow geometry”, Fluid Dynamic
Research, 46, 055502, 2014.
［3］K. Nakayama and H. Hasegawa, Relationships between eigen-vortical-axis line and vorticity
line, Fluid Dynamic Research, 50, 011417, 2018.
［4］H. M. Blackburn, N. N. Mansour, and B. J. Cantwell, Topology of fine-scale motions inturbulent channel flow, Journal of Fluid Mechanics, 310, 269, 1996.
［5］K Nakayama,“Topological features and properties associated with development/decay ofvortices in isotropic homogeneous turbulence”, Physical. Review Fluids, 2, 014701, 2017.
［6］K. Yamamoto and K. Nakayama,“Relationships between development/decay of a vortex and its
topology in different flow scales in an isotropic homogeneous turbulence”, The 70th Annual
Meeting of the American Physical Society Division of Fluid Dynamics, 2017.
［7］K. Yamamoto and K. Nakayama,“Topological features of multi-scale vortices in isotropic
homogeneous turbulence”, Fourteenth International Conference on Flow Dynamics, 2017.
［8］K. Nakayama and L. D. Mizushima,“A numerical analysis for identification of flow transitionin vortex generation in terms of local flow topology”, Journal of Fluid Science and Technology,
12(3), 17-00134, 2017.
［9］K. Nakayama,“Invariant feature of swirlity and trigger flow in vortex generation in terms of
local flow geometry in isotropic homogeneous turbulence”, International Union of Theoretical andApplied Mechanics (IUTAM) Symposium on Dynamics and Topology of Vorticity and Vortices, 2017.
［10］K . Nakayama, “Topological effect in vortex transition in an isotropic homogeneous
turbulence”, Fourteenth International Conference on Flow Dynamics, 2017.
［11］K. Nakayama,“Identification of key flow for vortex generation in terms of local flowgeometry”, The 70th Annual Meeting of the American Physical Society Division of Fluid Dynamics,
2017.

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