（シリーズ） ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その２） ガリレオ流の微分・積分を模索する―
鎌田 弘*

小島 隆史**

上代 良文**

由良 諭***Development of Assistant Tool for Learning Derivation and Integration
through Galileo’s Acceleration Experiment― (Part 2) Groping of Galileo’s-like Derivation and Integration ―Hiroshi KAMADA, Takafumi KOJIMA, Yoshifumi JODAI and Satoshi YURA
Abstract
The series of studies describe development of teaching materials to make a goal of modern derivation and integration basic concept
through explanation of Galileo’s acceleration experiment. This second report shows teaching materials with respect to analysis of theacceleration experiment using function graph with Cartesian coordinate, the teaching materials are then named “Galileo’s-likederivation and integration”. The scoring results and review of homework under the teaching materials are also shown.

Keywords : Galileo and Descartes, Galileo’s-like Derivation and Integration, Development of Teaching Materials

1. はじめにガリレオの斜面実験のデータをデカルト座標上の関数（１）目標グラフで再構成し，それを解析的に処理した教材の開本シリーズでは，高等専門学校 2 年生が，微分・積発を行った．

分の基本的概念を習得することを目標としている．
（３）本シリーズでの数理的処理「（その１）ガリレオの斜面実験をひも解く」ことからガリレオの幾何学的説明，または論証は我々には難始めて，目標を達成するために，その１～その３のシしい．そこで，ガリレオが扱った物理量を，中学校既習リーズ教材開発を試みる．の直交座標上での関数グラフを用いて再構成し，そのその１：ガリレオの斜面実験をひも解く（１）
その２：ガリレオ流の微分・積分を模索する
その３：現代風の微分・積分へのアプローチ

図形量の計算で数理的処理をする．さらに，単位換算は次元解析による．すなわち，「速さ𝑣（cm/s）×時間
Δt（s）＝移動距離 Δy（cm）」の計算では長方形を想定

本報告は，上記シリーズ教材その２の開発について述し，その縦の長さに速さ𝑣（cm/s），その横の長さに時べる．

間Δt（s），その面積に移動距離 Δy（cm）を対応させる．

（２）教材開発の背景

2．シリーズ教材その２の授業実践

ガリレオが斜面実験をした当時には，ニュートン力（１）実践状況学，ニュートン流の微分・積分はまだ成立していなかっ香川高専機械工学科本校 2 年生 42 名の特別活動た．また，直交座標（デカルト座標）上での関数のグラ（キャリア概論）の時間 45 分（令和 2 年 1 月 22 日 7

フ表示も数学ツールとしては使われていなかった．

限目）で実施した．

今回の報告では，微分・積分の基本概念の萌芽がガリ（ア）授業用教材スライドの要点のプリントを学生

レオの斜面実験とガリレオの思索の中にあると筆者らに配布し，教材スライド（実施版）をプロジェクは考え，さらにガリレオとデカルトの出会いを仮想し，ターで投影し，説明する方法は一斉授業形式で行った．なお，巻末の付録 A（スライド教材）は，* 香川高等専門学校 名誉教授** 香川高等専門学校 機械工学科*** 香川高等専門学校 機械電子工学科

一部追補した改良版である．
（イ）授業後にはアンケート「(1)疑問・質問，(2)感7

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 12(2021)⑤ 微小区間 Δt における各微小移動量 Δy を計算せ想等」を行った．

よ．即ち，「Δy＝t 2/16，3 t 2/16， □，□」の□の値を t で表せ．

（ウ）授業内容の理解程度を調べるため，「宿題 1（微分），宿題 2（積分）」を課し，回収は後日担任経由⑥ ⑤から，各 Δy の総和 y の値を求めよ．
（ガリレオで行った．

流積分法）（２）アンケート結果と宿題の解答状況（ア）授業後アンケート「(1)疑問・質問，(2)感想等」

表 2 ＜宿題 2＞の解答採点集計（人数）の学生の自由記述の抜粋は，付録 B である．
（イ）授業内容の理解程度を調べた「宿題 1（微分），宿題 2（積分）」と，その解答の採点集計表（表 1，表 2）を以下に示す．

正解

半正解

不正解

合計

①340842②363342③392

142④392142＜宿題１＞ t の区間［t－h，t＋h］で，グラフ y= 𝑡2 を

⑤324642考える．点 A’（t－h，(t－h)2），点 B’（t＋h，(t＋h)2）⑥2081442として，図形的に線分 A’B’に注目する．ただし，点T’（t，t 2 ）とする．

（ウ）宿題 1，2 の解答を採点した筆者の感想を，以① t の増分 Δt，y の増分 Δy を t と h で表せ．

下に述べる．

② 線分 A’B’の傾き（図形量）に対応する平均の速・アンケート記述からは，ほとんどの学生は授業さ𝑣̅ （物理量）を t と h で表せ．

内容を理解できたと楽観しているが，宿題の採③ (i)時刻 t での瞬間の速さ𝑣を t で表せ（ガリレオ流点結果から眺めると，理解度の曖昧さが露呈し微分法）た学生が少なからずいた．

(ii) 点 T’で 𝑣 は図形的に何を意味するか．

・物理量と図形量との対応関係の理解は，微分の④ グラフ y＝t 2 上の点 T’で，上の③（ii）の意味を方が積分より難しい．

示す直線を描け．

・ガリレオ流微分法の理解が不十分と思われる学生の割合は，約 3 割である．

表 1 ＜宿題 1＞の解答採点集計（人数）・ガリレオ流積分法の理解が不十分と思われる学

正解

半正解

不正解

合計

①2651142②1024842③ (i)2621442(ii)95284216101642④生の割合は，約 2 割である．

・宿題 1，2 を共に理解できていると思われる
学生の割合は，約 5 割である．
（３）アンケート点検と宿題採点から気付いたこと（ア）ガリレオ流の微分法について「ガリレオ流の微分法（実施版）」では，図形量の数値計算に偏っていたので，ガリレオ流の微分法概念の理解が不＜宿題 2＞ グラフ𝑣 ＝2t について，次の問いに答えよ．

十分な者が多くいたようだ．それが，宿題 1 の不

① t の区間［0，t］を 4 等分割した微小区間 Δt を t で正解の多さにも表れていた．

表せ．

（イ）アンケートにも，Δt の取り方を区間［t―h，② ①のとき，分割点それぞれにおける時刻についてt＋h］にした理由を知りたいとあった．そこで，筆「0，t/4，□，□，t」の □の時刻を t で表せ．

者の思考過程を追跡した補充教材を提示する必要③ ②の t の分割点に対する瞬間の速さ𝑣の値をいえ．

を感じた．補充教材について２．
（４）に提示する．

即ち，「0，t /2，□，□ ，2 t」の時刻□での𝑣の値

そのスライドを実施版スライドのスタート個所にを t で表せ．

追補した．その改良版が付録 A である．

④「微小区間 Δt での平均の速さ𝑣̅ を計算せよ．即ち，(ウ）アンケートに，宿題 1，2 の模範解答の配布を「t /4 ，3 t /4，□，□ 」の時刻□での速さ𝑣̅ の値を t

希望する者がいた．未配布になってしまったが，担で表せ．

任経由で配布すべきだったと思う．

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鎌田弘 他： （シリーズ）

ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その２）（４）実施版スライド教材に追補した補充教材

ガリレオ流の微分・積分を模索する―●目指す結果２：ガリレオ流の積分法を示唆．

実施版スライド教材のはじめへの追補内容は，つぎの 2 つである．
1 つ目：前回授業の結果を明示し，結果を再確認する．
2 つ目：今回授業の結果を提示し，結果への心構を作る．
（ア）１つ目（前回授業の結果の明示と再確認）：●準備：斜面実験のデータと平均の速さ𝑣̅ の計算表．

3. おわりに筆者らの授業経験では，微分・積分の基本概念の理解不足から専門科目の学びで苦労している香川高専２年生がいるのも現状である．その対応策が，本シリーズ教材（その１～その３）であり，数学と専門科目の学びにおける橋渡しになればとの試みである．特に今回の●前回の結果 1：平均の速さ𝑣̅ と瞬間の速さ𝑣の関係性．

報告（シリーズ教材その２）は，ガリレオの斜面実験（参考文献（２））と思索（参考文献（３））に注目し，その中に微分積分の萌芽を模索した試みである．さらにガリレオとデカルトの出会いを仮想し，ガリレオの斜面実験のデータを直交座標上の関数グラフで再構成し，それを解析的に処理した教材を開発した．そこでの微分・積分の基本概念の扱いをガリレオ流と命名したが，この教材は物理量を図形量として図解説明するのに有効であったと思う．

●前回の結果 2：瞬間の速さ𝑣と移動距離 y の関係性．

次回の報告（シリーズ教材その３）では，ガリレオ流の微分・積分から現代風の微分・積分（教科書で習う微分・積分）へ繋がる内容の教材開発を目指す．微分・積分の基本概念に，学生が「改めて気付く」ための教材を開発したい．
教材スライド等の提供
授業用の教材スライド（改良版）は，付録Ａに掲示している．授業等での活用を希望される方は，筆者までご連絡をいただきたい．ご提供いたします．

（イ）２つ目（今回授業が目指す結果の提示）：●目指す結果１：ガリレオ流の微分法を示唆．

謝辞
本教材での実践の場と時間を提供頂いた当時の機械工学科 2 年担任，坂本具償教授に感謝の意を表す．
参考文献（１）鎌田，小島，上代，由良，“（シリーズ）ガリレ
オの斜面実験から微分・積分へ―（その１）ガリレオの斜面実験をひも解く―”，香川高等専門学校研究紀要第 11 号，2020，pp. 7－129

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 12(2021)（２）ガリレオ・ガリレイ，今野・日田訳，“新科学対話（下）”，pp. 35－36，第 47 図，岩波文庫，1937（３）「ガリレオ・ガリレイ，今野・日田訳，“新科学対話（上）”，岩波文庫，1948（４）大田，“読むだけ微積分”，学研，2009（５）村田，“数学をきずいた人々”，さ・え・ら書房，2008（付録 A） 授業用の教材スライド（講話改良版）

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鎌田弘 他： （シリーズ）

ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その２）11

ガリレオ流の微分・積分を模索する―

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 12(2021)12

鎌田弘 他： （シリーズ）

ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その２）13

ガリレオ流の微分・積分を模索する―

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 12(2021)（付録 B） アンケート回答（一部抜粋）（１） 疑問・質問を書いて下さい．
・グラフをデカルトはどうやってつくったのか．
・ガリレオ流の微積は，どの様なときに使うと便利なのか．
・ガリレオは，どのような人物ですか．
・デカルトは，何をしたのか．
・Δt を時間 t の 1－h と 1＋h で考える理由は何か．
・計算の仕方は分かったが，それが何に繋がるのか．
・微小移動距離とは，なんですか．
・水時計の約２秒を，単位時間とする理由が分からない．
・y＝t 3 での微分を考えるとき，ガリレオ流でどうなるのか．
・ガリレオが距離と速さの関係を，どのようにして考えたのか知りたい．

（２） 感想等を書いて下さい．
・デカルト，ガリレオについて，もっと知りたいと思った．
・ガリレオ流の微分・積分は，分かりやすかった．
・どうして微積を考えるのかが分からない．
・微分・積分の理解が，より深まった．
・積分も今まで何をしているか分からなかったが，少し理解が深まった．
・y＝t 2，t＝1 のとき，Δy/Δt＝2 となるのに少し驚いた．
・今まで曖昧だった微分・積分の正体が分かった．
・ガリレオの考えの中に，微積の萌芽があるとはすごい．
・微積は大切と思ったので，理解できるようにがんばる．
・ガリレオの考えをデカルトの図形と組み合わせて説明できるのが素晴らしい．
・積分を微分と結び付けて説明する観点は，面白いと思った．
・微分と積分の使い方が分からない．
・いい話だった，分かりやすかった．
・面白かった．すごく良かった．
・自分には，理解できなかった．少し難しかった．
・シリーズ１，２の宿題1，2の模範解答が欲しい．
・今日の話は，物理で習った自由落下につながると思った．
・今日の用語（図形量，等分割数）で戸惑ったが，微積をがんばりたい．
・ガリレオ流の微積を，もっと詳しく知りたい．
・ごり押しの所があったが，面白かった．
・今日の授業で，微積について色々な事が理解できた．

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