産学共同プロジェクト「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」
数学Ⅲ 指導案(略案)上田 凜太郎
実験授業の目的
関数電卓の利用を前提とした解決において，中で働く思考を調査する。
授業のねらい𝑥 𝑛 = 1 の解を関数電卓の高次方程式機能を用いて求めるために，𝑥 𝑛 − 1の因数分解における各因数の最高次数に着目し，その規則性を推測することができる。
本時の展開
学習活動

指導の手立て留意点

・各自が探究したい状況

・ プ ロ ジ ェ クタと，2 から 4 次の方程式の解に応じて設定や表示ーを用いて関を求めることができる。

を変更する重要性を数電卓の画面伝える。

を表示する。

・関数電卓の機能を確認する。
①高次方程式機能を用いる

導入②高次方程式の解の表示方法
は，実数解のみを表示する場
合と，虚数解も表示する設定がある。
③複素数の表示方法は，𝑎 + 𝑏𝑖と𝑟∠𝜃の 2 つがある。
・本時の問題を把握する。
問題
𝑥 𝑛 − 1 =の解を求めてみよう
・自力解決を行う。

展開

・生徒の既習事項①極形式とド・モアブルの定理を丁寧に確認しを用いて代数的に探究する。て支援する。

①-1 𝑟の処理に手間取る。

S：𝑟 𝑛 = 1をどう処理す𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃とおく

れば良いのか．．
．

ド・モアブルの定理より
𝑛𝑛𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃 = 1→T：どうすれば，処理ができるようになるかな。
①-2 𝜃の処理に手間取る。
𝑥 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃)とおく
ド・モアブルの定理より
𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑟 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃 = 1
よって，𝑟 = 1

T：何に困っているのかな？
→S：𝜃をどうやって求めたらいいのか…
→T：𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 1となる場合は，具体的𝜃はよくわからない。にどんな場合かな？
①-3 解を求めるが，複素数T：複素数平面上だと，・ 計 算 上 の 処理平面は考えない。

どうやって表されるを，他の数学的かな？

表現で考察す𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃とおく。
ド・モアブルの定理より
𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑟 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃 = 1
𝑟 = 1, 𝜃 =→S：正多角形になる。
→T：𝑛が変化する事
は，図形上にどん2𝜋𝑘(𝑘 ∈ ℤ)
𝑛な違いとして表れ

よって，
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠

る見方を促す。

るかな？
2𝜋2𝜋𝑘 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛
𝑘𝑛𝑛→T：他の方法でも解決できるかな？

(𝑘 ∈ ℤ)②因数分解し，既知の方程式に帰着させる。
②-1

特定の場合のみ考えT：他の場合はどうかる。

な？

𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

→S：計算が大変。

𝑥 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)

→T：関数電卓は使える

2かな？
→S：使えない場合がありそう。

②-2 解ける場合と解けない場合を場合分けする。
𝑥 2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)

・ 関 数 電 卓 の機能の限界を顕在化させる。

𝑥 4 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)
5𝑥 −1
= (𝑥 − 1)(𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1)
6𝑥 −1
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1)

𝑥7 − 1

T：因数分解にはどんな・ 生 徒 の 途 中式

特徴があるかな？

を振り返るこ→S：みんなバラバラでとを通して，因特徴はない。

数分解の共通→T：因数分解の共通点点を見出すこはないかな？とを促す。

T：𝑛 > 5の場合も求めら

・ 関 数 電 卓 の使= (𝑥 − 1)(𝑥 6 + 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1)

因数分解ができる場合もあれ
ば，できない場合もある。
③関数電卓の高次方程式機能を用いる。
③-1 1 つの場合のみを求める。

れるかな？

𝑛 = 3の場合を考える。
高次方程式機能より，
𝑥1 = 1, 𝑥2 =𝑥3 =−1 + √3𝑖
2−1 − √3𝑖
2③-2 複数の場合を求める。

→S：因数分解できればできる。
→T：どこまで因数分解

用前提下での因数分解の捉えを顕在化させる。

できればいいのかな？

T：𝑛がどんな値のと・ 関 数 電 卓 の使

𝑛 = 3，4，5 の場合を考える。

き，高次方程式機能用前提下での高次方程式機能より，が使えないかな？

因数分解の捉→S：𝑛が大きくなるとえを顕在化さ

𝑛 = 3のとき
𝑥1 = 1, 𝑥2 =𝑥3 =−1 + √3𝑖
2−1−√3𝑖2𝑛 = 4のとき使えない。
→T：𝑛が大きくなるといつでも使えなくな
るかな？
→S：4 次以下まで因数

𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1,分解できるなら使え

𝑥3 = 𝑖, 𝑥4 = −𝑖る。

𝑛 = 5のとき
𝑥 − 1を因数にもつため
𝑥5 − 1せる。

= (𝑥 − 1)(𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 3 + 𝑥 + 1)

よって，𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = 0の解を，高次方程式機能を用いて求めると
𝑥1 =−1 + √5+ 0.9510565163𝑖4𝑥2 =−1 + √5− 0.9510565163𝑖
4𝑥3 =−1 − √5+ 0.5877852523𝑖
4𝑥4 =−1 − √5− 0.5877852523𝑖
4③-3 高次方程式機能を用い

T：この因数定理を一般

・ こ こ で 推 測がて解決できない場合を発見化するとどうなるの出ない場合にする。

かな？

は，さらに問い→S：多項式に規則性が𝑛 = 7の場合を考える
𝑥 − 1を因数にもつためありそう。
T：𝑛がどんな数の場

𝑥7 − 1= (𝑥 − 1)(𝑥 +𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 1)

合，因数分解がこれ右側の多項式がこれ以上因数以上できないんだろ

分解できないから，高次方程う？

65433式機能を使えない。

→S：規則性はない。

④手が止まる。

T：関数電卓の高次方程式機能を使って求められるかな？

・比較・検討を行う（グループ→全体）
グループ
議論の視点
・関数電卓の使用の有無
・両者の対応関係
全体
・①-3 より，複素数平面上での大別して①と②のどちらも取り上げるようにする。

かけず，全体での比較・検討で行う。

表現はできる。
・②-1 より，既知の方程式に帰T：因数分解したときに着できれば，解を求めることどんな方程式なら解ができる。

くことができるのか・②-2 より，既知の方程式に帰な？

着できない場合は解けない。
・③-2 より，関数電卓の高次方

T：②と③では，因数分程式機能を用いれば，4 次方解の目的は同じか程式までは解を求めることな？

ができる。
・③-3 より，𝑛がどんな数でもT：因数分解できたとし一回は因数分解ができそうて，どういう風に因だが，その後に因数分解でき数分解できたら高次るかはわからない。

方程式機能が使える・関数電卓の高次方程式機能をんだろう？

前提にすると，因数分解した多項式の最高次数が 4 以下であることが大事。
・因数分解した後の各因数の最高次数と𝑛との関係を調べる。
課題2 ≦ 𝑛 ≦ 10の場合で，因数の多項式の最高次数と𝑛との間にはどんな関係があるだろうか？
・自力解決に取り組む。
①𝑛と因数の最高次数の関係を表にまとめる。
𝑛2345678910

因数の最高次数

122426464②𝑛と因数の最高次数と因子の個数との関係を表にまとめる
𝑛2345678910

因数の最高次数

122426464

因数の個数

223242434・比較・検討を行う（全体）①𝑛が素数の場合は，最高次数は𝑛 − 1となる。
②最高次数は，𝑛が増加するに従って単調増加するわけではない。
③𝑛の約数の個数と因子の個数は対応している。
④𝑛と互いに素な𝑛以下の自然数の個数と最高次数は対応している。

T：どんな関係を推測できるかな？
T：𝑛が素数の時はどうだろう？
T：最高次数はどんどん大きくなる一方なのかな？
T：𝑛の約数とは関係ないかな？
T：𝑛と互いに素な数とは関係ないかな？

・本時の振り返りを行う。
①𝑥 𝑛 − 1 = 0の解を求める際に，関数電卓の高次方程式機能を用いることができるときとできないときがあった。
まとめ②①の場合を判断するため

・あくまでも推に，𝑛の約数の個数や互いに測であったこ

素な𝑛以下の自然数の個数にとを確認す

着目すればよさそう。

る。

・学習感想をかく。
※本指導案では，エミュレーターを使用しているため，画面が英語表示になっているが，実際の関数電卓では日本語表示となる。