産学協同プロジェクト「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」「通し矢」の矢の軌道に着目した数学ワークショップ指導案（略案）
佐藤 陽平
実験授業の目的
関数電卓使用を前提とした授業の中で，問題解決をおこなう際に，関数電卓によって得られた結果を意味づけ，活用している様子をワークシートから明らかにすることである。
授業のねらい
漫画『弓道士魂』の場面を数理的に捉え，数学的に表現し，関数電卓を用いて問題を解決し，解決過程を振り返り得られた結果の意味を考察することができる。

本時の展開（表中のは手計算での活動を示している。）

学習活動

指導の手立て留意点〇「通し矢」について知る。
・「通し矢」の由来，歴史を知る。

・【資料 1】の配布

・「通し矢」に興味を→「通し矢」は，平安時代末期か ・「通し矢」を題材とし 持ってもらう。
ら江戸時代にかけて三十三間た漫画『弓道士魂』の堂で行われていた。
「通し矢」で紹介をする。

は，約 120 m 先の的に，24 時間でどれだけ多くの矢を的にあてることができるかを競っていた。
導入

三十三間堂の看板・漫画『弓道士魂』の場面を確認する。

・遠くに飛ばすために ・三十三間堂には，は，矢を上に向ける必三十四本の肘木が要があることに触れあり，肘木を目印る。

として通し矢をおこなっていることを確認する。
・肘木があることによって，矢をどのように飛ばさなく・上へ向けすぎると，肘木にあたってしまい，てはならないか注意する。

遠くに飛ばないことを確認する。
漫画『弓道士魂』の場面①・120 m の距離を直線に ・水平近くに矢を構近い軌道で飛ばすとえると的まで届か届かないことを確認

ないことは，後のする。

問の解決をおこな

漫画『弓道士魂』の場面②

う際の判断材料の1 つとなるので，必ず触れる。
・的があること，縁側に座って弓を引いていることを伝える。

『三十三間堂通し矢図』
円山応挙（1733～1795）〇問題となる一場面を確認する。
・二十本目の肘木すれすれに飛ばす T：漫画には二十本目の展と，120 m 通しきることを確認す

肘木すれすれに飛ばる。

すことが肝心って書いてあるけど本当か開な？
S：本当だと思うよ
S：本当じゃないと思う
漫画『弓道士魂』の一場面

けどな…

〇問題を確認する。
［問 1］矢を二十本目の肘木すれすれに飛ばすとき，矢は的にあたるか確認してみましょう。
〇問 1 を解決するための条件設定を ・【ワークシート 1】のおこなう。

配布。

問題を解決する際に，必要なことは何ですか？
・問題となる漫画の一場面のモデル T：問題を解決するため ・授業者が問題となを確認し，矢の軌道を放物線と仮には，どんな条件がる漫画の一場面の定する。

必要かな？

モデルを提示す

S：二十本目の肘木までの距離は？
S：的の大きさってどの漫画の一場面のモデルくらい？

る。
・授業者が問題場面の数学化をおこなう。

・問題解決をおこなう上で必要となる仮定，条件設定をおこなう。
[仮定]①矢の軌道は放物線とする。
②矢の発射地点を縁側から高さ 1 m の地点とする。
③肘木すれすれの高さは 5 m とする。
④肘木の間隔は 3.6 m とする。
⑤矢の発射地点から二十本目の肘木までの水平距離は 68.4 m とする。
⑥的の直径を 2 m とし，縁側から高さ 2 m の地点に的の中心がくるように設置する。
[条件]
1.「通し矢」の場面は横から見る。
2．矢の発射地点から的までの距離は 120 m とする。
3．矢の最高到達点は 5 m。
4．射手が縁側に座っている地点を原点 O とする。
5．矢の先端を点 P（x, y）とおく。
6．矢の発射地点を点 A（0, 1）とする。
7．的の中心を点 B（120, 2）とする。
8．的を線分で表す。

・条件をもとに数学化した「通し矢」の場面を確認する。
条件を基に数学化した「通し矢」の場面〇設定した仮定と条件を用いて解決に移る。
・二十本目の肘木すれすれが放物線 T：放物線の頂点はどこの頂点となることを確認する。になりそうかな？

・仮定⑤と条件 3．より，放物線の T：頂点の他に通る点は頂点の座標を点 V（68.4, 5）と表あるかな？

す。

・頂点が（68.4, 5）で点 A（0, 1）を・㋐式を求めるまで通る 2 次関数の式を求める。

は，授業者が先導𝑦=−する。

4(𝑥 − 68.4)2 + 5 …㋐
68.42

・原点 O から 120 m 地点での，縁側 ・関数電卓のカルク機から飛んでいる矢までの鉛直距能を使用する。

離を求めるため，条件 2．より，㋐式に x＝120 を代入し，y の値を求める。
→求めた y の値から，的にあたる

関数電卓のカルク機能を用いた画面か確認する。
・仮定⑥より，矢の発射地点から・x＝120 のときの y

120 m の地点で，縁側から 1～3 mの値が何を表しての間を矢が飛んでいればよいこいるか確認する。とを確認する。
・カルク機能を用いた計算結果と仮 ・的にあてるためには，定⑥から，二十本目の肘木を狙う

二十本目の肘木すれと矢は的にあたることを確認す

すれを狙うことは正る。

しいことを確認してもらう。

・二十本目の肘木を狙うと的の中心 T：的に矢を当てるな ・漫画では的の中心にはあたらないことを確認し，普ら，みんななら的のにあてることには通は的の中心にあてることを確どこを狙う？

触れていないこと認する。

S：的の中心を確認する。

T：二十本目の肘木を狙 ・弓道の競技の中でっても的の中心にはも，的にあたればあたらないことがわ

いい競技と，的のかったね。的の中心中心を狙う競技がにあてるとしたら，あることを知らせ肘木何本目に飛ばせる。

ばいいのかな？

・的の中心を狙うことが出てこない場
合は，ダーツやアーチェリーを例に出す。

〇問題を確認する。
［問 2］矢が的の中心にあたるとき，何本目の肘木すれすれに飛ばせばよいか求めてみましょう。
〇問題解決に向け，問題場面の数学 ・【ワークシート 2】の ・問題となる場面の化をおこなう。

配布。

モデルを提示する。

・解決をおこなうために，必要な情 T：ここは通るとわかっ ・初期条件を逐一確報を整理する。ている点ってどこが→矢の軌道が放物線で表されてあるかな？

認する。

いること，放物線の頂点となる S：的の中心と矢の発射場所を確認する。

地点〇矢の発射地点と的の中心を通る 2・まずは，2 点のみを次関数の式を求める。

与えた状態で進めてもらう。2 点のみ
では定まらないこ・的の中心を点 B（120, 2）と表した T：2 点の座標だけで 2とを確認し次第，ときの，点 A（0, 1）と点 B（120,次関数の式って決ま条件の確認に移2）を通る 2 次関数の式を求める。

る？

る。

・2 点を定めただけでは，式は一意 S：決まらないに定まらないことを確認する。

T：初期条件の中で使えるものはないかな？

・肘木すれすれの高さが 5 m より，放物線の頂点の y 座標が 5 となることを確認する。
・放物線の頂点を V（F, 5）とし，矢が的の中心である点 B（120, 2）を通るときの F の値を求める。
F 2 − 960F + 4 × 1202 = 0 …㋑
関数電卓の高次方程式機能を用いた画面・㋑式の計算をすると，頂点の x 座 ・関数電卓の高次方程標が 895.69 と 64.31 の 2 つが出現

式機能を使用する。

する。
〇頂点の x 座標について，解の吟味をおこなう。
どちらの数値が問題に合致しているでしょうか。理由も含めて記述してください。
・【資料 1】の漫画の場面を再確認 T：解が 2 つ出てきたけ
し，漫画の内容に合致するのはどど，2 つとも答えでちらのグラフか理由も含めて記いいかな？
S：よくない？

述する。
・頂点の x 座標が 895.69 の場合と64.31 の場合の 2 つの数値がどういうことを表しているのか，考察する。

・グラフ描画ソフト
ウエアを用いて，2種類のグラフを提頂点の x 座標が 895.69 のグラフ示する。

頂点の x 座標が 64.31 のグラフ
・実際に 120 m の距離を飛ばすとき T：120 m の距離を人力 ・120 m の距離を飛に直線に近い軌道で飛ばすこと

でものを飛ばすときばすという点，人ができるかを踏まえて考察する。って軌道はどうなる力という点を考慮べきかな？

する。

・頂点の x 座標は 64.31 が漫画の内容に合致することを確認する。

・矢の発射地点から

64.31m は，十八本目と十九本目の肘木の間である。
〇矢を的にあてるためには，二十本 T：的にあてるためには目の肘木でなくてもよいことを絶対二十本目の肘木確認する。

じゃないとダメなの・仮定④より，矢の発射地点からかな？

64.31 m は二十本目の肘木ではな S ：そん なこと なさ そいことを確認する。

う。

・的にあてるためには二十本目の肘 T：的にあてるためには木でなくてもよいことを確認す

他に何本目の肘木する。

れすれに飛ばせばよいか求めてみよう。

〇問題を確認する。
［問 3］矢が的にあたるとき，二十本目の肘木以外では，何本目の肘木すれすれに飛ばせばよいか求めてみましょう。
〇問題解決に向け，問題場面の数学 ・【ワークシート 3】の化をおこなう。

配布。

・肘木すれすれを通るところが放物・問題となる場面の線の頂点になることを確認する。

モデルを提示す・放物線の頂点を点 V とし，点 V の ・何本目の肘木かを求
x 座標を F とする。原点 O からめるために，放物線の120 m 地点での，縁側から飛んで頂点の x 座標の値をいる矢までの鉛直距離を求める

変化させればよいこ

ため，x＝120 のときの y 座標のとに気づいてもらう。

る。

値を求める。
・仮定⑥より，x＝120 のときの y の・関数電卓では A，値が1 ≦ 𝑦 ≦ 3を満たすような F

B，C，D，E，F，の値を求める。

x，y しか入力できないため，F を用い〇問題解決に移る。
・2 点 V（F, 5），点 A（0, 1）を通る2 次関数の式を求め，x＝120 を代入する。
4F

𝑦 = − 2 × 1202 +8×120+ 1 …㋒Fる。

・㋒式の F に値を入力する。その際， ・関数電卓のカルク機二十一本目の肘木までの距離，十能を使用する。

九本目の肘木までの距離，…，のように入力する。
→二十一本目…72.0 m

T：二十一本目までの肘 ・適当に数字を入力

十九本目…64.8 m

木の距離っていくつするのではなく，十八本目…61.2 mになるかな？

仮定④と⑤を確認

十七本目…57.6 m

T：初期条件を用いて求し，値を決める。

められないかな？

・二十本目までの肘木の距離をもとに二十一本目までの肘木の距離を求め二十一本目の計算結果 十九本目の計算結果ることで，生徒が十九本目，十八本目，･･･を求める手助けをする。

十八本目の計算結果

十七本目の計算結果

・1 ≦ 𝑦 ≦ 3をみたさないということ

・二十一本目の計算結果と十七本目は，的にあたらなの計算結果は1 ≦ 𝑦 ≦ 3を満たしいということを再ていないことを確認する。

確認してもらう。

〇本時の振り返りをおこなう。
今回，「通し矢」を題材とした問題を解決するにあたり，様々な仮定・条件を設定しました。今回設定した仮定・条件をもう一度自身で見直してみて，関数電卓を用いて改めて問題を解決してみてください。その際，どんな仮定・条件を設定したかを書いてください。また，今回使用した仮定・条件を使用したり，変更した際は，まとめ□の中にチェックを入れてください。
・今回設定した仮定・条件をもう一 ・【ワークシート 4】の ・特に変更する条件度見直してもらう。
・問 1 のみもう一度解決してもらう。
・仮定・条件は自由に設定してもらう。

配布がない場合は，授業内で設定した仮定・条件で問題解決をおこなってもらう。

【資料 1】『三十三間堂通し矢図』
円山応挙（1733～1795）

漫画『弓道士魂』の場面

漫画『弓道士魂』の場面②引用・参考文献
平田弘史（2006）『完全版弓道士魂－京都三十三間堂通し矢物語－』松文館
円山応挙（1733~1795）『三十三間堂通し矢図』文化遺産オンライン
https://bunka.nii.ac.jp/heritages/detail/379127（2021. 8. 31 最終確認）

【ワークシート 1】［問 1］矢を二十本目の肘木すれすれに飛ばすとき，矢は的にあたるか確認してみましょう。

問題解決をする際に，必要なことは何ですか？

関数電卓を用いて［問 1］を解いてみて，わかったことや気づいたことは何ですか？

【ワークシート 2】［問 2］矢が的の中心にあたるとき，何本目の肘木すれすれに飛ばせばよいか求めてみましょう。

【ワークシート 3】［問 3］矢が的にあたるとき，二十本目の肘木以外では，何本目の肘木すれすれに飛ばせばよいか求めてみましょう。

【ワークシート 4】
今回，「通し矢」を題材とした問題を解決するにあたり，様々な仮定・条件を設定しました。
今回設定した仮定・条件をもう一度自身で見直してみて，関数電卓を用いて改めて問題を解決してみてください。その際，どんな仮定・条件を設定したかを書いてください。また，今回使用した仮定・条件を使用したり，変更した際は，の中にチェックを入れてください。

［問 1］矢を二十本目の肘木すれすれに飛ばすとき，矢は的にあたるか確認してみましょう。

「通し矢」の場面を横から見ている。

矢の軌道を放物線とする。

矢の発射地点から的までの距離は 120 m とする。

矢の発射地点を縁側から高さ 1 m

矢の最高到達点は 5 m。の地点とする。

射手が縁側に座っている地点を原点 O とする。

肘木すれすれの高さは 5 m とする。

矢の先端を点 P（𝑥 , 𝑦 ）とおく。

肘木の間隔は 3.6 m とする。

矢の発射地点を点 A（0, 1）とする。

矢の発射地点から二十本目の肘的の中心を点 B（120, 2）とする。

木までの水平距離は 68.4 m とす

的を線分で表す。

る。
的の直径を 2m とし，縁側から高さ 2m の地点に的の中心がくるよ
うに設置する。

自身で設定した仮定・条件があれば書いてください。個数に限りはありません。