数学の手法を取り入れた化学の実験データの解析
橋本 典史＊

Analysis of Chemical Data Using Mathematical Techniques
Norifumi HASHIMOTO
Abstract
Mathematical techniques are useful to understand some knowledge of science and technology. In order toanalyze chemical data, teaching methods using mathematical techniques helps students to increase theirmotivation. This paper shows the derivative of equation of curve from the graph gives us much information.
Keywords: Chemical Data, Mathematical Techniques, Derivative Technique

１．緒言

速度は増加し続けることはなく、一定の上限値となる。この理由を高等専門学校の一般教育科レベルの数学の微酸を強塩基で滴定する場合の滴定曲線において、滴分と極限を用いて説明した。

定初期のｐＨ曲線の立ち上がりの形状は強酸と弱酸ではなぜ違うのか？酵素触媒反応の反応速度が基質濃度を２．0 への極限値を用いた化学の実験データの解析

増やしても速度が一定値を超えない理由は？これら学
生からの質問に高等専門学校の教員は、どのように回答

Ａ：強酸の 0.10 M の塩酸 10 mL を強塩基の 0.10 M の水しているだろうか？これらの質問に数学の知識を導入し酸化ナトリウム水溶液で滴定する場合て論理的に回答しているのであろうか

1) - 6)。

高等専門学校の一般教育における化学の実験データ

Ａの条件：滴定初期であるため、滴定中の液性は十分酸の解析に数学の微分と極限の手法を取り入れた教育法性であり、塩酸は完全に電離しているものとする。加えるは現在まで報告されていない。高等専門学校の一般教

水酸化ナトリウム水溶液を x mL とする。

育の数学の知識が化学のどの項目で適用できるのか、物質収支から学生はわかっていないのが現状である。
数学の微分と極限の知識が、化学の実験データの解[Cl－]＝

析に十分役立つことを容易に示すことができる教材を開110＋x
電荷収支から発できれば、学生の数学及び化学に対する学習意欲は向上すると考えられる。

M[Na＋]＝0.1 x10＋xM[H＋]＋[Na＋]＝[OH－]＋[Cl－]今回開発した教育教材は次の２点である。

滴定初期であるので①0 への極限値を用いた化学の実験データの解析
酸を強塩基で滴定する滴定曲線において、弱酸と強[OH－]＝0 M

酸では滴定初期におけるｐＨ曲線の立ち上がりの形状が明らかに異なる。この違いを高等専門学校の一般教育科以上の関係からレベルの数学の微分と極限を用いて説明した。

[H＋]/M ＝

1･10－x10 10＋x②∞への極限値を用いた化学の実験データの解析
酵素触媒反応の速度は、基質濃度の増加に伴ってpH ＝－log＊

香川高等専門学校 高松キャンパス 一般教育科

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1 10－x
110＋x･＝1＋･ ln
10 10＋x
ln 1010－x

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要6(2015)f (x)＝1＋1
ln 10･ ln

10＋x10－x

f ´(x)＝20ln 10

1－0.1 x[CH3CO2H]＝－[H＋]＋(0＜x＜0.01) とおく

10＋x……… ②

M

式①と式②を酢酸の Ka の式に代入して整理する。
･1(10＋x)(10－x)

lim f ´(x) ＝x→+0

Ka ＝＞0 (∵ 0＜x＜0.01)

1
5 ln 10()0.1 x

M ＋Ka [H＋]－Ka ･10＋x

1－0.1 x

M ＝010＋x[H＋]/M＝0＜x＜0.01 において、 f ´(x)＞0 から、

120＜x＜0.01 において、 f (x) は単調増加する。

x→+0＝1.8×10-5 M[CH3CO2H][H＋]2＋以上より、以下に示すグラフの情報が得られる。

lim f ´(x) ＝[CH3CO2－][H＋]｛(－) (0.1 x＋K ＋10＋x)20.1 x10＋x－K ＋4K10＋x｝

ただし、K＝1.8×10-5 とする。

15 ln 10＝ 0.087

x＝0 における極限値から、0.1 mL の滴下量で pH は、0.0087 程度上昇する。

ここで、｛｝ で囲まれた部分を □ と表記する。

pH ＝－log( )1･□ ＝ｌｏｇ 2－2

つまり、滴定初期では pH の変化はほとんどないことが容g (x)＝ｌｏｇ 2－易に理解できる。
滴定前の水溶液の pH は、1.00 である。

g´(x)＝－Ｂ：弱酸である 0.10 M の酢酸水溶液 10 mL を強塩基の0.10 M の水酸化ナトリウム水溶液で滴定する場合

1ln 101ln 10･1ln 10･ ln□･ ln□ (0＜x＜0.01) とおく。

□´□

ここで、ln 10＞0、□＞0 であるので、 g´(x) の符号の変化は、 －□´ に一致する。

Ｂの条件：滴定初期であるため、滴定中の液性は酸性で次に、｛ある。加える水酸化ナトリウム水溶液を x mL とする。
酢酸の解離定数：Ka ＝1.8×10-5 M｝ 内の √ を √ と表記する。

－□´＝

1√･1(10＋x)2･ (□＋4 K )＞0

物質収支から[CH3CO2H]＋[CH3CO2－]＝＋[Na ]＝0.1 x10＋x110＋x以上より、以下に示すグラフの情報が得られる。

M0＜x＜0.01 において、 g´(x)＞0 から、0＜x＜0.01 において、 g (x) は単調増加する。

Mlim g´(x) ＝

電荷収支から＋x→+0＋－－2[H ]＋[Na ]＝[OH ]＋[CH3CO ]1
100 ln 10･＠＋3 K
＠(＠－K )

ただし、＠＝ K 2＋0.4 Kとする。

滴定初期であるので
x＝0 における極限値は、K＝1.8×10-5 を代入する[OH－]＝0 Mと、0.1 mL の滴下量で pH は 0.17 程度上昇する。

以上の関係から、次の式①と式②が得られる。
－2＋[CH3CO ]＝[H ]＋0.1 x10＋x

つまり、滴定初期では pH の変化は弱酸は強酸よりも大きいことが容易に理解できる。

M

……… ①

滴定前の水溶液の pH は、2.87 である。

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橋本典史：数学の手法を取り入れた化学の実験データの解析

x＞0 において、h´(x)＝＞0 から、Ａ及びＢの結果を図１に示す。

x＞0 において、グラフは単調増加する。
pH2.88pH1.011.00

x＞0 において、h´´(x)＝＜0 から、x＞0 において、グラフは上に凸である。

2.8700.100.1

滴定量/mL

滴定量/mL

強酸の場合

弱酸の場合

lim h (x) ＝ k2[ET]x→+∞この極限値から基質の濃度（[S]）が十分に大きいとき、反応速度は上限値である k2[ET]に近づく。

図１ 強塩基による滴定初期のグラフの形状以上の情報から、図２が得られる。
図１から、酸を強塩基で滴定する場合の滴定曲線において、滴定初期のｐＨ曲線の立ち上がりの形状は強酸と弱k2[ET]酸ではなぜ違うのか？に対して数学の知識を導入して
v →論理的に示すことができた。
３．∞への極限値を用いた化学の実験データの解析

0[S] →

Ｃ：酵素触媒反応では Michaelis-Menten の式が成り立つ。
以下の反応における Michaelis-Menten の式を示す。た

図２ 酵素触媒反応の基質濃度と反応速度の関係

だし、E：酵素、S：基質、ES：酵素基質複合体、P：生成物、
４．結言

k1：酵素と基質が酵素基質複合体となる反応の反応速度定数、k-1：酵素基質複合体が酵素と基質となる反応の反応速度定数、k2：酵素基質複合体が酵素と生成物となる高等専門学校の一般教育における化学の実験データ

反応の反応速度定数とする。の解析に数学の微分と極限の手法を取り入れた教育法

E ＋S

k1

ESESk2の例を今回示した。高等専門学校の基礎課程において、数学の知識と化学の知識を融合した教育教材の開発は、

E ＋P

k-1

学生の学習意欲向上に大いに寄与すると考える。

Michaelis-Menten の式
v＝

参考文献

k2[ET][S]

KM＋[S]
ただし、[ET]：酵素の全濃度、KM：KM＝(k-1＋k2)／k1

1

大橋弘三郎 小熊幸一 鎌田薩男 木原壯林，分析化学－溶液反応を基礎とする－，三共出版，1993年．

v ＝ h (x) とおく。ただし、x＝[S]、x＞0 とする。
v ＝ h (x) ＝h´(x)＝h´´(x)＝k2[ET]KM
2(KM＋ x)3(KM＋ x)3

原口紘炁 監訳，原書 6 版 クリスチャン 分析化学
Ⅰ．基礎編，丸善，2009 年．

＞0 (∵ x＞0)-2k2[ET]KM

庄内利之 田中稔 渋谷康彦 松下隆之 増田嘉孝，
分析化学演習，三共出版，1998 年．

(x＞0)

KM＋ x

lim h (x) ＝ lim

x→+∞2k2[ET] x

4

姫野貞之 市村彰男，溶液内イオン平衡に基づく分析化学，化学同人，2009 年．

5＜0 (∵ x＞0)

佐竹正忠 御堂義之 永廣徹，分析化学の基礎，共立出版，2005 年．

k2[ET]x→+∞ K ／x＋1

6＝ k2[ET]鳥居泰男 康智三 共訳，改訂版 R. A. デイ, Jr.・A.
L. アンダーウッド 定量分析化学，培風館，1989M年．

以上より、以下に示すグラフの情報が得られる。

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