トモグラフィ画像再構成の基礎とトレンド～解析的再構成法から圧縮センシングを経て深層学習まで～
工 藤 博 幸1
康2) 藤 井 克 哉2
) 橋 本
)
,
矢代
航


 ヴォルフガング・フォグリ

本論文では，CT 画像再構成法の歴史的な変遷と進歩につい

.

は じ

め

に

て，当該分野に馴染みがない読者を対象として平易に解説す
る．

CT ( Computed Tomography )技術は 1973 年に医療診断に

まず，CT 画像再構成法の進歩をまとめると，表のようおいて実用化されたが， 2000 年以降非破壊検査や材料計測になる． 2000 年頃までは第 1 世代のフーリエ変換や微積分に用いられ既に有効なツールとして定着している．CT 技術に基づく解析的再構成法，及び画像と投影データの関係を表のキーは， X 線・電子線その他波動を用いて測定された物

す線形方程式を反復法で解く逐次近似再構成法が用いられて体の線積分を表す投影データから，データ処理により断面のいた(1)(8)．これらの手法の欠点は，投影データの方向数が画像を生成する画像再構成法にあるといって過言ではない．

少ない状況(スパースビュー CT と呼ばれる)や投影データの表1

CT 画像再構成法の歴史的進歩の概観．

筑波大学システム情報系1)教授 2)研究員(〒3058573 つくば市天王台 111)東北大学 国際放射光イノベーション・スマート研究センター教授
東北大学 多元物質科学研究所教授
東京学芸大学 自然科学系准教授
Fundamental and Trend of Tomographic Image Reconstruction: from Analytical Reconstruction Method, through Compressed
Sensing, to Deep Learning; Hiroyuki Kudo, Katsuya Fujii, Koh Hashimoto, Wataru Yashiro,and Wolfgang Voegeli(
Faculty of Engineering, Information and Systems, University of Tsukuba, Tsukuba. International Center for Synchrotron
Radiation Innovation Smart, Tohoku University, Sendai. Institute of Multidisciplinary Research for Advanced Materials, Tohoku
University, Sendai. Department of Physics, Tokyo Gakugei University, Tokyo)
Keywords: tomography, CT, inverse problem, image reconstruction, sparseview CT, lowdose CT, filtered backprojection, compressedsensing, total variation, deep learning
2021年 9 月13日受理[doi:10.2320/materia.61.7]

ま て り あ 第61巻 第 1 号(2022)
Materia JapanSN 比が悪い状況(低線量 CT と呼ばれる)では，画質の劣化が大きいことであった．そして， 2000 年代になり粗くサン
プリングされた測定データから原信号を高精度で復元する圧フ ィ ル タ 補 正 逆 投 影 ( Filtered Backprojection,
FBP)法(1)(3)縮センシング(Compressed Sensing, CS)と呼ばれる逆問題解

現在のほとんど全ての CT 装置では，第 1 世代の解析的再法が発見され，第 2 世代として CS やそれに関連したスパー

構成法に属する FBP 法と呼ばれる手法が用いられている．

ス正則化に基づく画像再構成法が研究され実用化に至っ

FBP 法は式( 1 )をフーリエ変換や微積分を用いて解析的にた(9)(19) ． CT が発明されて 30年が経過して，ようやく少なp(r,u)から f(x, y)を求める逆変換の形に変形し，逆変換を計

い方向数や SN 比が悪い投影データで CT を実現する夢がか

算することで画像再構成を行う手法である．以降では，

なえられた．更に， 2017 年には第 3 世代と位置づけられる

FBP 法の導出を簡潔に述べる．まず，FBP 法の基礎となる深層学習を用いた画像再構成の研究が始まり，現在世界的にのは投影切断面定理と呼ばれる f(x, y)と p(r,u)をフーリエ空

精力的に研究が行われている状況である(20)(26)．

間で関係づける定理である．いま，f(x, y)の 2 次元フーリエ

本論文では，上述の歴史を踏まえ，第 1 世代の解析的再変換を F ( m,n )( m,n は x, y に対応する角周波数)， p ( r,u )の動構成法と逐次近似法，第 2 世代の圧縮センシング，第 3 世

径 r に関する 1 次元フーリエ変換を P (v,u )( v は角周波数)

代の深層学習再構成法，について解説する．

で表すと，次式が成り立つ．
F(vcosu, vsinu)＝P(v,u)

.

解析的再構成法と逐次近似再構成法(第 1 世代)(2)

図に式( 2 )の意味を示すが，角度 u 方向の投影データ
p(r,u)は f(x, y)の 2 次元フーリエ変換 F(m,n)の u 方向の切断

まず，CT における画像再構成問題を定式化することから面の情報を持っている．よって，様々な角度 u の投影データ

始める．図に， CT における投影データ収集の様子を示

を 1 次元フーリエ変換して画像の 2 次元フーリエ変換

す．物体の物理量分布を表す画像を f ( x, y )とする． CT でF(m,n)の情報を埋め，2 次元フーリエ逆変換することで画像

は，各角度 u 方向から物体に平行な X 線を照射して X 線源再構成ができる．その手順は次式で表される．

と反対側に配置した検出器により，物体を透過した X 線の強度を測定する．この測定データは，動径 r と角度 u の関数

p(r,u) → P(v,u)＝F(vcosu, vsinu)
1D Fourier→f( x , y )2D Inverse Fourier

として p(r,u)と表され，X 線が通過する直線 xcosu＋ysinu＝(3)

r 上の f(x, y)の線積分の意味を持っており投影データと呼ば

FBP 法は式( 3 )の 2 次元フーリエ逆変換の部分を極座標で～ 180 °
であれる．投影データを測定する角度範囲は通常 0 °計算することから導かれ，その処理手順は最終的に Step り，この範囲の投影データを測定すれば物体を通過する全て

byStep の表現で書くと次式となる．

の直線上の線積分を測定したことになる．f(x, y)と p(r,u)の［Step 1］ 投影データの 1 次元フーリエ変換∞

関係は次式で表される．
∞fp(r,u)＝f(rcosu－ssinu, rsinu＋scosu)ds

f

P(v,u)＝(1)－∞

式( 1 )を f(x, y)に p(r,u)を対応づける変換と考え発見者の名にちなみラドン変換と呼ぶ．CT における画像再構成は，式( 1 )に基づき p(r,u)から f(x, y)を復元する逆問題である．



CT における投影データ収集の方法．

(4)［Step 2］ フィルタ関数|v|の乗算と 1 次元フーリエ逆変換
q(r,u)＝

∞

f

1
2p

P(v,u)|v|exp(jvr)dv

(5)

－∞

［Step 3］ 逆投影
f(x, y)＝

図1

p(r,u)exp(－jvr)dr

－∞

図2

p

f

1
2p

q(xcosu＋ysinu,u)du(6)0

投影切断面定理の意味．

特集

FBP 法の直感的な意味は以下のように解釈すると分かりや何学的に考えると，方程式 Ax ＝ b を構成する各々の式 Σjすい．式( 6 )の逆投影と呼ばれる演算は，各再構成点( x, y )aij xj ＝ bi ( i ＝ 1,2, … ,I )は J 次元ベクトル空間の超平面 h1, h2,～ 180 °の投影データを加算する演に対してこの点を通る 0 °… ,hI を表しており，全ての超平面は一点で交わっておりそ算で，いわば全ての方向の投影データを重ね合わせる処理での交点が方程式の解である．一般の次元の場合には図では描ある．しかし，数学的に逆投影のみで画像再構成を行うとぼけないが，J＝2, I＝2 の場合の様子を図(a)に示す．交点をやけて再構成されてしまい，逆投影の画像のぼけを先に投影求める反復法として，初期画像 x(0) を与え図 3( a )に示すよ

データに高周波強調フィルタを作用させ補正するのが FBP

うに超平面 h1,h2, … ,hI に順番に一つずつ射影を行うことを法である．

繰り返す(一巡が終了したら最初に戻る)方法が考えられる．

現在の医療用 CT 装置は， X 線管からファン状の X 線を

このような反復法は画像再構成の分野で Gordon らにより提照射するファンビーム CT とコーン状の X 線を照射して 3

案され ART 法と呼ばれる(6) ．後になって， ART 法は数学

次元断層像を生成するコーンビーム CT が主流である(図 1)．

者 Kaczmarz が既に発見していた線形方程式の反復解法と同FBP 法はファンビームやコーンビームにも拡張することがじであることが分かった． ART 法の反復式は，一般の次元できる(1)．

J の場合について次式で表される．



初期化x(0), arbitrary

逐次近似再構成法(4)(8)反復k＝0,1,2, …

次に，解析的再構成法とは考え方が全く異なる逐次近似再構成法について述べる．基本となる考え方は，式( 1 )を離x(k＋1)＝x(k)＋bi－aix(k)ai (i＝k(mod I)＋1)||ai||2(8)

散化して画像と投影データの関係を表す線形方程式を作り，

ただし，ai は行列 A の i 行目の行ベクトルを表し(はベク

これを様々な反復法を用いて解くことで画像再構成を行う手

トルの内積)，最後の i＝k(mod I)＋1 は射影を行う超平面を法である．いま，画像の画素値を一列に並べた J 次元ベクト

選ぶ順番を決める関数でアクセスオーダーと呼ばれる．

ルを x＝( x1,x2,… ,xJ )T ，投影データを一列に並べた I 次元ベ

ART 法の最大の特徴は一回の画像更新に投影データの一標

クトルを b＝(b1,b2,…,bI)T で表す．このとき，式( 1 )を離散

本値 bi のみを用いる点で，このような構造の反復法を Row

化すると次式の線形方程式で近似的に表すことができる．

Action 型と呼ぶ．近年 ART 法のアクセスオーダーを上手く(J

Ax＝b ∑ aij xj＝bi (i＝1,2, …,I)
j＝1

)

(7)

設計すると極めて高速に収束することが示され， Row Action 型の反復法がリバイバルしている(8)．問題点としては，

式( 7 )において測定した投影データの数 I が画像の画素数 J

線形方程式の解法であるため，投影データに雑音が含まれ全より大きく I ≧ J であれば，式( 7 )を解くことで投影データての超平面が一点で交差しない場合には，雑音が上手く平均

b から画像 x を再構成することができる．ただし，式( 7 )は化されず SN 比が悪い画像に収束する点が挙げられる．

次元が極めて大きく数万次元になるため反復法を用いて解く

次に， ART 法の雑音特性が悪い問題点を解決した SIRTのが一般的である．このような考え方の再構成法を逐次近似法について述べる．いま，式( 7 )において I ＞ J ではあるが再構成法と呼ぶ．代数的に定式化することが本質であり逐次投影データ b に雑音が含まれる場合を考える．この場合，

近似法という用語は適切でないと思われるが，CT 分野では

Ax ＝ b を満足する x は存在せず，雑音の影響を抑制するにそのように呼ばれる．

は最小 2 乗法に基づき次式の評価関数 f ( x )を最小化するの式( 7 )を解く線形方程式の反復解法は様々なものが存在するが，ここでは初期の段階に考案された ART ( Algebraic
Reconstruction Technique)法と SIRT(Simultaneous

Itera-

tive Reconstruction Technique)法について述べる(5)(8)．幾図3が妥当である．
I(J

f(x)＝||Ax－b||2＝∑ ∑ aij xj－bi
i＝ 1

j＝1

)

2

(9)

f(x)を最急降下法を用いて最小化する具体的な反復式は次式(a) ART 法の画像更新の幾何学的意味，(b) SIRT 法の画像更新方向と ART 法の画像更新方向の関係．

ま て り あ 第61巻 第 1 号(2022)
Materia Japan



となる．

い J＞＞I の状況となり，Ax＝b を満たす画像 x は無数に存

初期化x(0), arbitrary

在し画像再構成問題の解は一意に定まらない．このような状

反復k＝0,1,2, …

況でも，高精度で画像 x が復元できる場合があることを数x(k＋1)＝x(k)＋aAT(b－Ax(k))(10)

学的に示し，更には実際に様々な事例に適用すると従来の逆

ただし，a＞0 は更新量を表すステップサイズである．SIRT

問題解法と比較してはるかに高精度で画像復元できる手法が法は a を 0 ＜ a ＜ 2 /|| ATA ||を満たすように選べば式( 9 )をCS である． CS のキーは以下に述べる「スパース性」とい最小化する最小 2 乗解に収束し ART 法と比較して雑音特性

う従来の逆問題解法にはなかった着想である．スパース性とが良い．一方，式( 10 )は投影データの全標本値を同時に用

は，画像 x にある行列 W を乗じて線形変換した際に変換係いて画像更新を行う形をしており，このような構造の反復法

数 Wx にゼロ成分(ゼロに近く無視できる成分)の数が多いを同時反復型と呼び収束が遅いことが知られる．また，性質のことである．図に，楽器音と自然画像の場合の典型

ART 法の画像更新と SIRT 法の画像更新には図 3(b)に示す的なスパース性の例を示す．例えば，望遠鏡で撮影された画関係がある．SIRT 法の画像更新方向 AT(b－Ax(k))は ART

像は背景が黒でゼロの画素が多い，楽器音は少数の正弦波の法の更新方向である各超平面 ai ・ x ＝ bi ( i ＝ 1,2, … ,I )への射

重ね合わせで表現できフーリエ変換した空間ではスパース，

影を全ての超平面について同時に計算して重み付き平均化し自然画像は(画像自身はスパースでないが)微分して濃度勾配

たものになっている．最後に，歴史的に ART 法や SIRT 法を取るとエッジ以外はほぼゼロになりスパース，などが代表

は電子顕微鏡分野において 3 次元画像を様々な方向の電子的な例である．この信号をスパースにする変換 W をスパー

顕微鏡画像から構築する(現在の電子線トモグラフィを)目的

シファイ変換と呼び，扱う信号の種類により様々なものが考に提案されたこともあり，電子線トモグラフィ分野ではえられる．そして， Ax ＝ b を解いて信号を復元する際にス

SIRT 法の使用が定着している．

パース性を用いて x の未知数の数を削減して解が一意に定まる良条件の問題にして解くのが CS である．しかし，変換.

圧縮センシング(第 2 世代)(9)(19)W でスパースにできることは既知でも変換係数 Wx のどの要素がゼロかは事前に未知の場合が多いため， CS では，
様々な CT 技術の応用において，長年少ない方向数の投影(1) Wx のどの要素がゼロ(ゼロに近い)かを同定すること，データから画像再構成を行うスパースビュー CT，X 線管の(2) Wx のゼロと同定された要素を無視して x を復元するこ

電流を落として低線量で測定した SN 比が悪い投影データかと，の 2 つの問題を同時に解く必要がある．その解法としら画像再構成を行う低線量 CT の実用化の要望が大きい．例ては，分析型と呼ばれる解法と合成型と呼ばれる解法が存在を挙げればきりがないが，代表的な例を述べる．医療用 CTする．合成型 CS の説明は他の文献に譲り，以降では通常のの分野では， 2000 年代に入り CT 検査の被曝が発がんリス

正則化を用いた逆問題解法と類似して分かりやすく CT で採クを高めることを指摘する論文発表や米国で発生した被曝事用されている分析型について述べる．分析型では，以下の最故が重なり，低線量 CT の実用化は 2000 年頃から現在の最適化問題を解くことにより信号復元を行う．

重要テーマの一つである(9)(10) ．別の例として，電子線トモ［測定データに雑音がない場合］

グラフィの分野では，連続傾斜像の測定に数十分程度の時間がかかり測定時間短縮のためスパースビュー CT への期待が非常に大きい(11) ．放射光 CT や暗視野 CT においても，同様に測定時間が長い問題点がある．第 1 世代の画像再構成

minimize f(x) subject to Ax＝b (f(x)≡||Wx||pp)(11)［測定データに雑音がある場合］
minimize bf(x)＋||Ax－b||2 (f(x)≡||Wx||pp)(12)

ただし，p≧0 はノルムの次数を表すパラメータで，CS では

法では，再構成の処理中に雑音の平滑化を行ったり測定デー
タ不足を何らかの先験情報で補う枠組みが組み込まれていな
いため，スパースビュー CT や低線量 CT の画像再構成には太刀打ちできなかった．しかし，2000年代に入って Candes
らと Donoho が，圧縮センシング(Compressed Sensing, CS)と呼ばれる不足した測定データから原信号を高精度で復元する逆問題の新解法を発見し，状況は一変した(12)(13)．その後
CS は多くの計測技術に波及したが， CT 分野でも膨大な数の CS を用いた画像再構成法の研究開発が行われようやくス
パースビュー CT や低線量 CT が実用化に至った．以降では，
CS の原理を平易に述べる．
CS の原理はスパースビュー CT を例に説明するのが最も分かりやすい．投影データの方向数が少ないスパースビュー
CT の状況では，式( 7 )の画像と投影データの関係を表す式

において未知数の数 J が測定データの数 I よりはるかに大き




図4

圧縮センシングにおけるスパーシファイ変換 W によるスパース化の例．

特集p ＝ 1 が用いられ理由は後述する．式(11)の意味は， f( x)でただし， fmn をサンプリングされた 2 次元画像とすると，

Wx のスパース性を評価しており，計測方程式 Ax ＝ b を満TV ノルム||x||TV は次式で定義される．

たす x の中からスパース性が最大( f ( x )が最小)のものを選び出すと解釈できる．また，式( 12 )のパラメータ b はハイ||x||TV≡||∇fmn||＝∑∑ (fmn－fm＋1,n)2＋(fmn－fm,n＋1)2
m n

(16)

パーパラメータと呼ばれ，この値を調節してどの程度強くス
パース性を課すかを決定して使用する．次に，式(11), (12)即ち，TV 正則化はスパーシファイ変換として画像の濃度勾の f(x)において p＝1 とすれば，何故スパース性を評価して配|∇ fmn |を計算する変換を用いた CS とみなすことができスパースな x を抽出できるかを述べる．まず，p＝0, 1, 2 にる．簡単なものであるが，TV 正則化は画像のエッジを保存

ついて||||pp の定義は次式である．

して濃度変化が平らな部分のみを平滑化する効果が驚くほど

K

K

K

k＝1

e→＋0 k＝1||z||22＝∑ z2k, ||z||11＝∑|zk|, ||z||00＝ lim ∑|zk|e (13)k＝1

大きく，これが TV 正則化が好まれる理由である．
次に，式(14),(15)の問題を解く反復法について述べる．

図に，式( 13 )のノルムの等値線を変換係数ベクトル z のTV 正則化の反復解法の研究は画像再構成分野における人気

次元が 2 の場合について p＝0, 1, 2 を比較して示す．スパー

テーマで実用的にも重要であることから，多くの研究が行わ

スな z は z＝(z1, z2)T の片方の成分がゼロのベクトルだかられている(14)(19) ．この問題が難しい理由は TV ノルムが微座標軸上の黒丸で示す点である．図から，p＝0 と p＝1 は座

分不可能であるため，最急降下法など微分可能な評価関数の標軸上から離れた非スパースな点を過度に大きく評価する性

最適化手法を使用できない点にある(x＝0 で微分不可能であ質があり，逆に座標軸上のスパースな点を上手く選び出すこることは簡単に確認できる)．初期の研究では，簡単な解決とができる．これが p＝1 が好まれる理由であり，その効果策である次式のように微分可能な関数で近似して微分可能最は実際の問題では p＝2 と比較して非常に大きい．一方，CS適化の手法を用いるアプローチが用いられた．

のほとんど全ての手法で p ＝ 1 が使われ p ＝ 0 はほとんど使われないが， p ＝ 0 のノルムは非凸関数で最小化が困難なこ||x||TV∑∑ (fmn－fm＋1,n)2＋(fmn－fm,n＋1)2＋e

(17)

m n

ただし， e ＞ 0 は評価関数を平滑化して原点で微分可能にすとが主な理由である．
CT 画像再構成の分野では，分析型の CS 解法の中でもトるために導入した小さな正の定数である．しかし，TV が上ータルバリエーション(Total Variation, TV)正則化と呼ばれ手く効きにくい問題点があり，最近は微分不可能最適化の手る手法が多く用いられる．TV 正則化では，解を選び出す評法で厳密に最小化する研究が主流である．表に，TV 正則

価関数として画像の TV ノルムと呼ばれるものを用い，画化の画像再構成問題を解く最近の反復法を整理してまとめて像再構成問題を次式のように定式化する．

示す(14)(19)．

［測定データに雑音がない場合］
minimize||x||TV subject to Ax＝b

上述の説明はスパースビュー CT を想定したが，投影方向(14)

数は十分だが低線量で投影データを測定する低線量 CT の画(15)とができる．最小 2 乗誤差|| Ax－ b ||2 が小さいこと，スパ［測定データに雑音がある場合］
minimize b||x||TV＋||Ax－b||2

像再構成についても，式(12),(15)の定式化を用いて行うこース性が大きい画像であることの 2 つの条件を同時に満足する x が高画質の画像である点は同様であり，式(12),(15)のように定式化して両者の重み付き和を最小化して画像再構成を行う．ハイパーパラメータ b の値を調節して，2 つの条

表2

図5

TV 正則化の画像再構成問題を解く最近の反復法のまとめ．

スパーシファイ変換 W を施した変換係数 z の空間における L2, L1, L0 ノルムの等値線．

ま て り あ 第61巻 第 1 号(2022)
Materia Japan物体検出などの問題から研究が開始されたが， 2017 年に初め て CT 画 像 再 構 成 に 適 用 し た 2 件 の 論 文 が 発 表 さ れた(20)(21)．そして，その後論文数が急激に増加して CT 分野のホットな研究テーマとなっている．深層学習と CS の優劣に関しては世界的に未だはっきり断言できない状況であるが，以降では深層学習がどのようにスパースビュー CT や低線量 CT の画像再構成に用いられるかを述べる．図に，深層学習を用いた再構成法の原理を示す．まず，スパースビュ
ーや低線量で測定した投影データに通常の FBP 法で画像再構成を行い，アーティファクトや雑音で劣化した劣化画像 yを生成する．そして，y を画像変換を行う畳み込みニューラ
ルネットワーク(Convolutional Neural Network, CNN)に入
図6

スパースビュー CT (投影データ方向数 64 )と低線量 CT
における FBP 法，SIRT 法，TV 正則化の再構成画像の比較(腹部 CT 実画像の例)．

力して画質を改善した出力画像 x を求めるのが基本となる適用方法である．即ち，画像再構成には通常の FBP 法を用い，発生した雑音やアーティファクトを低減する後処理をCNN で行うのである．CNN としては画像変換を行うネット

ワークの UNet，敵対的生成ネットワーク(Generative Ad件のバランスを決定して使用する．医療用 CT 分野では，

versarial Network, GAN)に属する pix2pix，ResNet などの2010年代に医療用 CT 装置の大手メーカーによる低線量 CT構造のものが用いられる． CNN の学習では画質を最も良く再構成法の開発競争が行われ，現在は全ての大手メーカーが改善する CNN パラメータ(重み w，バイアス b)を決める必TV 正則化による再構成法を製品に搭載している．学術的な要があるが，劣化画像 y と正解画像 x のペアを多数集めた名称としては，MBIR(ModelBased Iterative Reconstruc-

学習データ(xi,yi)(i＝1,2,…,N)を準備して，次式で表される

tion)と呼ばれている．

平均 2 乗誤差( MSE )の損失関数を最小化して CNN パラメ

図に，スパースビュー CT と低線量 CT の設定で，FBP法， SIRT 法， TV 正則化の 3 手法の再構成画像を比較した
シミュレーション実験の結果を示す．原画像として腹部 CTータを求める．
MSE(w,b)＝

1 N∑||xi－CNN(w,b)yi||2
N i＝ 1(18)

実画像を用い，スパースビュー CT では投影方向数が 64 方

ただし，CNN(w,b)は CNN に劣化画像を入力して画質を改

向で弱いポアソン雑音を加えた投影データから，低線量 CT

善した画像に変換する演算を表す．学習に用いる損失関数とでは投影方向数が 1024 方向で強いポアソン雑音を加えた投しては，相互エントロピーや平均 L1 ノルム誤差，最近の研影データから再構成を行っている．TV 正則化の再構成画像

究では人間が画像を見るときの画質評価指標に近い SSIM

は， FBP 法や SIRT 法と比較して劇的に画質が改善されて(Structural Similarity Index)や Perceptual Loss と呼ばれるいることが分かる．

ものを用いる研究も存在する．上述の適用方法で最も問題になるのは，学習データをどのように収集するかである．

.

深層学習(第 3 世代)(20)(26)

CNN の学習には，多数の正解画像 xi と劣化画像 yi のペアが必要だが，同一の人物を良条件と悪条件の両方で撮影した
画像処理分野において，深層学習は画像認識，領域分割，

図7




CT 画像ペアなど全く存在しない．そこで，通常の撮影条件

深層学習を用いた CT 画像再構成法の原理．

特集

の正解画像 xi( i＝ 1,2, … ,N )のみを集め対応する劣化画像 yiに， 80枚のテストデータの平均の PSNR (Peak(i＝1,2, …,N)は投影データを測定して FBP 法で画像再構成

Noise Ratio)値と SSIM 値を図中の表にまとめて示す．上述するイメージング過程を計算機でシミュレーションして生成のように，TV 正則化の画像は滑らかな濃度変化が消失してする方法が多くの場合用いられている．

おり，深層学習では血管などの低コントラスト構造物の消失

深層学習を用いた手法に関して最も興味があるのは，画質

Signaltoが随所に見られる．更に，図中で Hybrid 法と記載したの性能や計算時間などの視点で CS より優れているかだが，現は，筆者らが文献( 26 )で提案した TV 正則化と深層学習を状で結論が出ている箇所を整理すると以下のようになるだろ組み合わせ， TV 正則化と FBP 法の 2 つの再構成画像を 2う．まず，計算時間に関しては，深層学習は学習に時間はか

入力 1 出力の CNN に入力して組み合わせ画質改善を行う新かる反面 CNN モデルを作ってしまえば CNN を通すだけで手法の結果であるが，両者の欠点を上手く補い合い驚きの画

画質改善が実現でき CS のように反復計算が不要であり，質改善が実現できている．

CS より優れている．画質性能に関しては， CS と深層学習

深層学習を用いた CT 画像再構成法の最新のトレンドとしで発生する劣化の性質に違いがある． CS では， TV 正則化ては，投影データを入力として直接再構成画像を出力するなどの手法が画像は区分的一様(構造物境界を除いて値が一

CNN の構造を用いる方向(22)，学習の損失関数に人間の視覚定の領域の組み合わせでできている)という仮定で画像再構により合致したものを用い性能を向上させる方向(23)，Cycle

成を行うため，階段状アーティファクトの発生や滑らかな濃GAN や教師あり自己学習など必要な学習データを削減する

度変化の消失の形で劣化が現れやすい．一方，深層学習で

方 向(24)(25) ， CS と 組 み 合 わ せ 画 質 性 能 を 向 上 さ せ る 方

は，学習データに含まれない構造物(例えば，医療用 CT の向(26)，などがある．

場合では病変や血管)や個人差が大きい構造物が消失する形の機械学習特有の劣化が発生しやすい．

.

お

わ

り

に

図に，深層学習と TV 正則化の再構成画像を比較した実例を示す．腹部 CT 実画像のデータセットを用い，投影方

本論文では，CT 画像再構成の基礎と近年のトレンドにつ向 数 が 64 方 向 の ス パ ー ス ビ ュ ー CT の 状 況 を 想 定 し て いいて，解析的再構成法から出発して CS を経由して深層学習

る．学習データは58症例の 3DCT 画像から肝臓が大きく写に至るまでを平易に解説した．画像再構成に関して深く理解るスライスを 5 枚ずつ切り出した計290枚の画像，評価に用するには各々の項目を詳しく説明した論文や書籍を読むこといるテストデータは16症例の 3DCT 画像から肝臓が大きくが必要だが，本論文を読んで興味を持った内容や手法にたど写るスライスを 5 枚ずつ切り出した計 80 枚の画像としていり着くまでのインデックス的なものとして，利用していただ

る．画質評価指標である MSE 値と SSIM 値を個別の画像上

きたい．最後に，より深く学びたい読者のために，CT の画像再構成に関して日本語で詳しく書かれた文献として筆者による文献(27)があることを申し添える．
本研究は JSTCREST(JPMJCR1765)の助成を受けた．

文

図8

スパースビュー CT(投影データ方向数64)における FBP法， TV 正則化，深層学習， Hybrid 法(文献 26 )の再構
成画像の比較(腹部 CT 実画像の例)．

ま て り あ 第61巻 第 1 号(2022)
Materia Japan献( 1 ) A. C. Kak and M. Slaney: Principles of Computerized Tomographic Imaging, SIAM, (2001).
( 2 ) R. M. Lewitt: Proc. IEEE, 71(1983), 390408.
( 3 ) L. A. Shepp and B. F. Logan: IEEE Trans. Nucl. Sci., 21(1974), 21
43.
( 4 ) Y. Censor: Proc. IEEE, 71(1983), 409
419.
( 5 ) G. T. Herman: Fundamentals of Computerized Tomography:
Image Reconstruction from Projections, Springer, (2009).
( 6 ) R. Gordon, R. Bender and G. T. Herman: J. Theor. Biol., 29(1970), 471
481.
( 7 ) P. Gilbert: J. Theor. Biol., 36(1972), 105117.
( 8 ) G. T. Herman and L. B. Meyer: IEEE Trans. Med. Imaging, 12(1993), 600
609.
( 9 ) 工藤博幸日本医用画像工学会誌，Medical Imaging Technology, 32(2014), 239248.
(10) H. Kudo, T. Suzuki and E. A. Rashed: Quantitative Imaging in
Medicine and Surgery, 3(2013), 147161.
(11) 工藤博幸，董 建，加茂勝己他日本顕微鏡学会誌，顕微鏡，
51(2016), 4853.
(12) E. J. Candes, J. Romberg and T. Tao: IEEE Trans. Inf.
Theory, 52(2006), 489509.
(13) D. L. Donoho: IEEE Trans. Inf. Theory, 52(2006), 12891306.

(14) H. Yu and G. Wang: Phys. Med. Biol., 55(2010), 39053916.
(15) Q. Xu, D. Yang, J. Tan, A. Sawatzky and M. A. Anastasio:
Med. Phys., 43(2016), 18491872.
(16) E. Y. Sidky, J. H. Jorgensen and X. Pan: Phys. Med. Biol., 57(2012), 3065
3091.
(17) H. Nien and J. Fessler: IEEE Trans. Med. Imaging, 34(2014),
388399.
( 18 ) J. Dong and H. Kudo  日 本 医 用 画 像 工 学 会 誌 ， Medical
Imaging Technology, 35(2017), 6373.
(19) T. Wang, H. Kudo, F. Yamazaki and H. Liu: Phys. Med. Biol.,64(2019), 145006.
(20) H. Chen, Y. Zhang, W. Zhang, P. Liao, K. Li, J. Zhou and G.
Wang: Biomed. Opt. Express, 8(2017), 679694.
(21) K. H. Jin, M. T. McCann, E. Froustey and M. Unser: IEEE
Trans. Image Process., 26(2017), 45094522.
(22) B. Zhu, J. Z. Liu, S. F. Cauley, B. R. Rosen and M. S. Rosen:
Nature, 555(2018), 487492.
(23) Q. Yang, P. Yan, Y. Zhang, H. Yu, Y. Shi, X. Mou, M. K.
Kalra, Y. Zhang, L. Sun and G. Wang: IEEE Trans. Med. Imaging, 37(2018), 13481357.
(24) C. Tang, J. Li, L. Wang, Z. Li, L. Jiang, A. Cai, W. Zhang, N.
Liang, L. Li and B. Yan: Comput. Math. Methods Med., 2019(2019), 8639825.
(25) J. Lehtinen, J. Munkberg, J. Hasselgren, S. Laine, T. Karras,
M. Aittala and T. Aila: Proceedings of Computer Vision and
Pattern Recognition (CVPR) 2018(2018), https://arxiv.org/
abs/1803.04189( 26 ) 工藤博幸，森 和希第 39 回日本医用画像工学会大会予稿集(2020), 311.
(27) 工藤博幸医用画像工学ハンドブック，日本医用画像工学会，
2012，第 2 章「投影からの画像再構成」．

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工藤博幸
1985年東北大・工・通信卒．1990年同大大学院博士課程了．現在，筑波大・システム情報系・教授．2020～，日本医用画像工学会(JAMIT)会長．1990年
電子情報通信学会論文賞， 1991 年・ 2001 年・ 2006 年・ 2008 年・ 2018 年・2019年日本医用画像工学会論文賞(6 回)，2018年日本コンピュータ外科学会
論文賞，2006年・2008年国際雑誌「Inverse Problems」High Lights，2008年
国際雑誌「Physics in Medicine and Biology」High Lights，「新方式 CT の構成方式と画像再構成法に関する先駆的研究」により平成30年度文部科学大臣
表彰科学技術賞(研究部門)受賞．CT を中心とした医用イメージング，画像処理の研究に従事．

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工藤博幸

矢代

航

藤井克哉

橋本

康

ヴォルフガング・フォグリ

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