と断定することはできず，f(x) = 0 のもう 1 つの今回の問題はシンプルですので，さっそく問題を解が b になるとは限らない．

確認してみましょう．

（理由終）

問題
ある 2 次方程式 f(x) = 0 の解の 1 つが a = s + t 2《解説》
正しくないことに気づけば，反例を挙げて一瞬で（s，t は有理数）であった．このとき，もう一つの解b に関する次の議論は正しいか，正しくないか．理由解答できます．高 1 生の場合は，今まで 2 次方程式をつけて，説明しなさい．

を解いた際の記憶に，簡単な因数分解か解の公式で解いたものしか残っていないと， a = s + t 2 の見

a = s + t 2 から簡単な計算により，た目に騙されて「解の公式を使って出てきた答えにa2 - 2sa + s2 - 2t2 = 0違いない！」と勘違いし， b = s - t 2 が正しい答を得る．これは，a がえであるように思えてしまったかもしれません．

x2 - 2sx + s2 - 2t2 = 0の解であることを意味することから，f(x) = x2 - 2sx + s2 - 2t2がわかる．よって，f(x) = 0 のもう一つの解 b は［考察 1］
ここで，問題の議論の中でどこに矛盾が生じていx2 - 2sx + s2 - 2t2 = 0 を解いてるのか考えてみましょう．説明のために，問題文のb = s- t 2

議論の部分を以下のように 4 つのブロックに分けまと求まる．

す．
（ア） a = s + t 2 から簡単な計算により，まずは問題に答えるだけなら簡単なので，さくっa2 - 2sa + s2 - 2t2 = 0と解答を紹介しておきます．

を得る．
（イ） これは，a が［解答］x2 - 2sx + s2 - 2t2 = 0の解であることを意味する

結論：正しくない．

（ウ） ことから，理由：以下に問題の議論にそぐわない f(x) の反例

f(x) = x2 - 2sx + s2 - 2t2を挙げる．

がわかる．

x = a を解に持つ方程式の 1 つとして，x = 0，（エ） よって，f(x) = 0 のもう一つの解 b はa を解に持つ

x2 - 2sx + s2 - 2t2 = 0 を解いてx(x - a) = 0b = s- t 2- x 2 - ( s + t 2)x = 0と求まる．

が存在し，この方程式の左辺を f(x) と考えることができる．他にも，x = a でない方の解を変え以下，1 つずつ確認してみましょう．

れば，いくらでも問題文の条件に合う f(x) を作ることができる．
よって（ア） a = s + t 2 から簡単な計算により，a2 - 2sa + s2 - 2t2 = 0f(x) = x2 - 2sx + s2 - 2t2を得る．

1B1

（ウ）の部分が正しければ，s，t が有理数である2 乗計算が入るため，微妙に怪しいのですがことから，f(x) = 0 が実数係数の 2 次方程式なので，

a = s+t 2b の値も正しくなりますが，今回は（ウ）の段階で- a-s = t 2

正しくないため，（エ）の部分が意味をなさなくなっfi (a - s)2 = ( 2t)2ています．

- a - 2sa + s - 2t = 0222という計算で，1 を得ることができます．2 乗計算

以上から，この問題の議論では特に（ウ）の部分の部分が同値変形ではないことに，一応注意しておに問題があることがわかります．反例を挙げて問題きましょう．

を解くだけなら必要のない分析ですが，自分の答案を模範解答例と見比べて，どこで間違っているのか（イ） これ（1）は，a が222x - 2sx + s - 2t = 0を判断するときなどに，このように分析する力は役B2に立ちます．加えて，2 乗計算や，方程式の解の定の解であることを意味する

義など，普段何気なく使っていることに関して，少しだけ踏み込んで，正しい使い方や意味を知ってお

ここは正しいです．方程式の解の定義は「等式に代入したときに，その等号を成立させる値」であり，くと，証明問題では有利になります．

実際 2 に x = a を代入すれば 1 となるので，これ ［考察 2］は成り立っています．
次に，今回の問題で f(x) にどのような条件がつけば b の値がもう 1 つの解として正しくなるのか，（ウ）（a が 2 の解であることを意味する）ことから， について考えてみましょう．
f(x) = x2 - 2sx + s2 - 2t2
皆さんの記憶を遡ってみても，実数係数の 2 次方がわかる．

程式で s + t 2 を解に持てば s - t 2 も解に持つ
経験のほうが多いはずで，もしかしたら皆さんが解先ほど紹介した解答の反例から，ここが正しくないている 2 次方程式には何か偏りがあり，偏ったもい，ということがわかります．x = a を解に持つよのばかり解いているせいで，今回の議論のような勘うな 2 次方程式はいくつでも作ることができますか違いが起こっているのかもしれません．その偏りをら，問題の f(x) = 0 と 2 が同じ 2 次方程式を表し探ってみましょう．ているとは限りません．（ア）の 2 乗計算の際にa-s = -t 2以下，実数係数の 2 次方程式の話に限定します．の場合も含んでしまうことで同値性が崩れているこ

2 次方程式 f(x) = 0 を，a を 0 でない数としてとに気づいていると，（ウ）の部分が正しくないこf(x) = ax2 + bx + c = 0とに，より気づきやすいでしょう．

とおき，3 の解を求めてみましょう．3 を変形していくと（エ）よって，f(x) = 0 のもう 1 つの解 b は
2ªºb 2 b2- 2 +c = 02a4ab 2 b2 - 4 ac- x+=2a4a2a x+x - 2sx + s - 2t = 0 を解いて
2B32ªb = s- t 2と求まる．

2º

- x+

最初の解答で挙げた反例以外にも，(i) や (ii) のよb2 - 4 acb=±ºº(*)
2a2 a\ x=-うな例もあるわけですが，ここで逆に考えてみると・ b2 - 4 ac の部分以外からはb2 - 4 acb±ºº42a2a2 の部分が出てこないとなります．ちなみに，(*) の行から 4 の行への変・ b2 - 4 ac の部分が 2 重根号になることで 2形では，仮に a が負の数であっても， ± が _ に変わるだけなので，結局同じ 2 数になることを用いての部分以外の余計なものが出てくる，というこいます．

とがない

こ こ で 4 か ら， a = s + t 2 の2 の 部 分 が，b - 4 ac の部分以外も関わって計算されている
2という 2 つの条件を満たせば，すなわち係数の a，b，c がすべて有理数であれば， s + t 2 を解に持てば s - t 2 も解に持と， b = s - t 2 も解に持つとは言えなさそうです． つと言えそうです．続いて，この予想を証明してみましょう．

以下，いくつか具体例を見てみましょう．

-(i)bの部分から2a（示したいこと）2 が出てくるものs，t を有理数，a を 0 でない数としてf(x) = ax2 + bx + c = 0

x 2 - 2 2x - 7 = 0

において，a，b，c がすべて有理数であるとき，3を解くとが s + t 2 を解に持つならば s - t 2 も解に持つ．

x = 2 ± 2+7［証明］= ±3+ 2a，b，c が有理数のとき，3 の両辺を a で割ってとなり， s + t 2 を解に持つとき， s - t 2 ではな

x2 + kx + l = 0（k，l は有理数） B4

く - s + t 2 を解に持つ．

(ii)と変形できる． x = s + t 2 を 4 に代入して(s + t 2)2 + k(s + t 2) + l = 0

c の部分のみ，無理数を含むもの- (s 2 + 2t 2 + sk + l) + (2 st + tk) 2 = 0x 2 + 3x - 2 = 0となる．ここで，s2 + 2t2 + sk + l，2st + tk は有理数を解くと
x=B3なので， 2 が無理数であることより-3± 9+4 2
2

s2 + 2t2 + sk + l = 0
2st + tk = 0-3± 9+2 8=2- 3 ± (2 2 + 1)
=2\ x = -1+ 2 , - 2- 2

B5B6となる．6 よりt(2s + k) = 0で，t = 0 のとき s + t 2 = s - t 2 より示される．
次に，k = - 2s のとき，5 よりとなり， s + t 2 を解に持っても s - t 2 を解に

l = - s2 - 2t2 - s(- 2s)持たない．

= s2 - 2t2であるから，4 に代入して3用いれば，以下のように簡単に示すことができます．

x2 - 2sx + (s2 - 2t2) = 0となる．実数係数の 2 次方程式なので，解の公式よ（示したいこと）りg を複素数，a を 0 でない数として

x = s ± s 2 - ( s 2 - 2t 2 )ax2 + bx + c = 0= s± 2 t

B7において，a，b，c がすべて実数であるとき，7 が= s ± 2tg を解に持つならば g も解に持つ．となるので，4 つまり 3 は s - t 2 も解に持つ．

［証明］

以上より，示された．
（証明終）

x = g を 7 に代入してag2 + bg + c = 0が成り立つ．両辺で共役複素数を考えると以上から，f(x) = 0 が有理数係数の 2 次方程式でag 2 + bg + c = 0あれば， a = s + t 2 を解に持つとき b = s - t 2- ag 2 + bg + c = 0も解に持つと示せました．ただ，問題の議論の文章- a∑ g ∑ g + b∑ g + c = 0

においては，仮に f(x) の係数が有理数であったと- a g + bg + c = 02

しても（ウ）の部分の説明が不十分なので，議論すとなる．これは，
x = g も 7 の解であることを表す．

べてが完璧に正しくなる！というわけではないこと

以上より，示された．に注意しましょう．

（証明終）《補足 1》
さて，［考察 2］において，3 を実数係数の 2 次

研伸館の授業においては，《補足 1》は「高 3 数学方程式に限定しました．今回出題した問題だけならトップレベル［文系］」の 3 月期の授業にて，《補足 2》

ば，x = a と x = i を解にもつときの f(x) などを考は春期講習の「高２数学 S［数 III：複素数平面］」

えれば複素数係数の反例も作ることができ，特に実の授業で扱った内容と繋がりがあります．受講して数係数に限る必要はないのですが，［考察 2］においいた方は，これを機会に一度，授業内容を振り返っては 4 の 1 行手前の (*) の式で問題が生じます．もてみてはどうでしょうか．

しも a，b，c の中に虚数があったとすると，(*) の（数学科根号の中に i が残るかもしれませんが，これはいけません．高校数学ではi を考えることはできないからです．よって，複素数係数の 2 次方程式においては解の公式も使えないことになります．
《補足 2》
今回のテーマとよく似た知識として，実数係数の2 次方程式であるならば，複素数 g を解に持つとき，共役複素数の g も解に持つ，というものがあります．これは，数学Ⅲの「複素数平面」で扱う公式を4中西）