ビーム不安定性ー
電子雲、イオン、CSR

加速器におけるプラズマ型不安定性は陽子リングにおいて、BINP-PSR、CERN-ISR などで観測されていた不安定性の解釈として考えられた [2]。陽子ビー
ムは電子ビームに比べバンチ長が長く、場合によって

1はリング 1 周にわたってビーム粒子が詰まった状態

はじめにで運転されている（コースティングビームという）。

初期の加速器では導体の真空パイプの中を荷電粒

e-p 不安定性といわれている問題となった現象はイ

子ビームが磁石、高周波加速装置などの作用を受けオン化によってできた電子が陽子ビームに捕獲され、ながら高速で運動しているというモデルで設計されビームが横方向に振動し不安定になるというもので運転されてきた。荷電粒子を加速するために空洞内ある。コースティングビーム全体としてコヒーレンに高周波電磁波を閉じ込めビームにエネルギーを渡トにベータトロン振動しているビームにおける２流すことが加速装置の役目である。空洞の固有モード

体不安定性である。

はビーム（バンチ）が来るたびに加速電場がビーム

プラズマ物理の２流体不安定性は相対速度の異なに働くように設計する。しかしながら空洞にはさまる２種類のビームが互いの固有振動で不安定を起こ

ざまな固有モードが存在し、それらはビームによっ すものである。ちなみに相対速度が同じビームは振て誘起され周波数によっては蓄積し、バンチ間の運 動モードは存在するが、不安定を起こさない。この動に結合を引き起こしたり、バンチを変形させたりことは静止した異荷電の２粒子を想像すれば容易にする。このような現象の理解を目的として不安定性理解できる。加速器の場合はビームが高 (光) 速で運の研究が発展してきた。初期の加速器はバンチ数も動し、異粒子は静止系である。ビームが周期条件を少ないため、バンチ結合型不安定性に対しては長い

満たすベータトロン振動をしているため、静止系で時間誘起された電磁場が残存するいわゆる Q 値の大のビーム振動 (mω0 + ωβ ) とビームポテンシャルのきな空洞の固有モードが、単バンチ不安定性にはチェ 中での異粒子の振動数 (ωc ) との共鳴と考えられる。
ンバー、空洞の段差からの電磁場によるビームへの 異粒子によりベータトロン振動は多少変更を受ける
インパクト (R/Q) がそれぞれの原因として知られてがそのチューンシフトは 0.1 以下で、それ自体は大いた。ビームはシンクロトロン放射光や残存ガスのきくはない。

イオン化、ビーム粒子のロスにより、電子やイオンなどの異種粒子を作るが、バンチ間隔が広いため次80 年代以降、それまで少数バンチで運転されていた高エネルギー用電子 (衝突) 加速器から、放射光用のバンチがくるまでに作られた異種粒子は消えてし

電子加速器用が派生し、放射光高輝度化をめざし多まい、バンチ間結合も起こさないし、１バンチで作

バンチ運転に移行していった過程で、残留ガスからられる数は少ないので単バンチ不安定性も起こさな生成されたイオンが捕獲され、e-p 同様にして不安定かった。

が起こることが観測された。この現象はイオントラッ

その後の加速器の高強度化に伴い、ビーム電流はピングといわれ長年研究されてきた [4]。

mA から A へと増加、電子陽電子リングではバンチ
90 年台に入り計算機の発達に伴い、ラティス設計、数を増やし、陽子リングでは長いバンチに多くの陽 ダイナミックアパーチャなどの問題に始まり、真空子をつめ高強度化が行われている。このような加速 パイプのインピーダンス問題、ビームビーム効果な器ではビームが作る異種粒子、とりわけビームと電 どに数値的解析が使われるようになった。そしてこ荷が反対の粒子はビームに引き寄せられ蓄積し、ビー れらの不安定性がシミュレーションで取り扱われる
ムを取り巻く雲を形成する。その雲とビームがコヒーようになった。イオン不安定性をシミュレーションでレント運動をすることで不安定性が起こる。異種粒

はじめて扱ったのは、いわゆるファーストイオン不子は非相対論的で、ビームとの相互作用の間ビーム安定性と呼ばれる、シングルパスでのイオン不安定

進行方向には動かないと考える。ビームへの影響は性の問題である [6]。物理的には従来のイオン不安定

ビームのある進行方向位置部分 (z1 ) と異種粒子が相性と同じくビームとイオン振動の共鳴であるが、そ互作用し、異種粒子が受けた摂動をビームの別の進れまでの制限された条件から、実際の条件にあわせ

行方向部分 (z2 ) に伝える。

た解析が行われるようになった。

1

そのころ日米で B ファクトリィ計画が提案され、 CSR は電磁場あるがこれは伝搬する電磁波である。
蓄積電流が A という当時は信じられない電子、陽電

いずれにせよビームの前後の運動相関に対して航跡

子リング加速器が設計され、建設されようとしてい場という考えを使う。x = (x, y, z) に関する運動方程た。また当時 PF はイオン不安定性を避けるため陽式は以下のように書ける。
∫
電子運転が開始された。陽電子運転の最初は未知の d2 x
N r0 ∞+ Kx (s)x = −Wx (z − z 0 )ρ1,x (z 0 )dz 0
バンチ結合型不安定性に悩まされが、8 極磁石の効 ds2
γL −∞∫果で不安定性を抑えつつ運転され、500 mA 以上の d2 y
N r0 ∞+ Ky (s)y = −Wy (z − z 0 )ρ1,y (z 0 )dz 0
電流の蓄積に成功していた。そして B ファクトリィ ds2
γL −∞
(1)
に向けて、PF で観測されていた不安定性の理解とい
∫ ∞
2
2
d
z
µ
N
r
0
う動機もあって、陽電子リングの電子雲効果が発見
W 0 (z − z 0 )ρ0 (z 0 )dz+ s2 z = −ds2
LγL −∞ 0
された [5, 8]。
変数の定義だが、px , py は通常の横方向力学的運動量
電子はイオンに比べきわめて軽いため、バンチ化を設計運動量 (p0 ) で規格化した無次元量であり、線形されたビームではビーム振動と共鳴する振動数を持の範囲で px(y) = x (y ) である。z 方向は設計運動量
つことはできない。不安定を起こす電子はビームとからのずれを規格化 pz = δp/p0 , z = s − ct は基準粒
一度強く相互作用するだけである。そのため解析的子に対する到着時刻の進みに c をかけたもので、手っな手法はなじまず、計算機による解析が最初から行取り早くいえばバンチの前 (z > 0) 後 (z < 0) の位置われた。ある意味で 2 流体不安定性の進展、展開は、と思って差し支えない。我々がビームの前後を論じる
その解析手法の進展とともに進んでいる。KEKB のときの観測量は、モニターのある場所での到着時刻だ
運転の進展とともにバンチ結合型不安定性だけでなからこの z の定義 (時刻) は実は的を得ている。K はく、単バンチ不安定性も発見され、その抑制により電磁石などによる横方向の収束力。µs = 2πνs はシン
KEKB のルミノシティは飛躍的に伸びた。
クロトロンチューンである。L で割っているのは s が
いまや電子雲効果の研究は J-PARC、SNS、LHC
L 進んでチューンだけ位相が進むからである。横方向のような高強度陽子加速器、superKEKB、SuperB、も収束力のディテイルを問わなければ K → (µx /L)2
ILC ダンピングリングなどの設計にも深くかかわっとしても本質は失わない。W は後方だけに相関を与てきている。
えるとしたら、
以下で円形加速器における航跡場の概念、ビーム振動の基礎から始め、2 流体不安定性の概要を述べ、W (z) = 0

z>0

(2)

e-p、イオン、電子雲不安定性について順次展開してが満たされるが、ビームが光速で直進する場合以外いく。
はこの条件は満たされない。また先行粒子の直後は最後に縦方向不安定性として最近問題になってい
進行方向に減速、また横方向に発散力を与える。
る CSR 不安定性についておまけ程度に触れる。
左辺はビームの前後の相関を与える項で W を航跡場という。航跡場はリング 1 周を積分したもので定2義するのが一般的である。局所的な効果は重要でな

航跡場

い場合が多いからである。運動方程式 (1 では単位距

一般的にビームの不安定性の原因はビーム前方の離 (s) あたりの航跡場として分母に L が入っている。

変位（x、y 方向、密度）が後方に摂動として伝わることが原因である。よく知られているようにビームx − y に関しては前の粒子 (z 0 ) に対する後ろの粒子(z) の運動への効果は前の粒子のずれに比例し z − z 0内の超相対論的粒子は互いに相互作用することがな

のみによるということを意味している。z に関してい。そのためビーム内の相互作用はビーム前方の粒は (z 0 ) での密度が z の運動に影響している。

子 ⇒ 真空パイプの中の「何か」⇒ 後方の粒子といっ

ビームの進行方向に対する、密度、x − y モーメ

た形で伝搬する。ここで「何か」というのが前述の空ントを記述するための (ρ1,x , ρ1,y , ρ0 ) は以下で表さ

洞内に誘起される電磁場であり、この講義の対象とれる。

する電子雲、イオンである。もう一つの対象となる

ρ1,x (z) =2∫xΨ(x, px , y, py , z, pz )dxdpx dydpy dpz

∫ρ1,y (z) =3ビームの振動モード(3) 3.1

単バンチの振動モード

yΨ(x, px , y, py , z, pz )dxdpx dydpy dpz∫

ρ0 (z) =Ψ(x, px , y, py , z, pz )dxdpx dydpy dpz

ビーム内の粒子は横方向 (x − y 面内) にベータトΨ は位相空間でのビーム粒子の分布関数である。分 ロン振動、進行方向にシンクロトロン振動をしてい布関数としての運動方程式は Vlasov 方程式と呼ばれ る。集団としてのビームも基本的にはそれらの振動ていて以下の式で表される。
の組み合わせである。単バンチの振動モードから考∑えよう。図 1 のように y(x) がシンクロトロン振動の∂Ψ∂Ψ dxi∂Ψ dpi= −[Ψ, H] =−+(4)
位相空間に対して相関がある分布がモードに対応し∂s∂xi ds∂pi dsi=xyz[] は古典力学におけるポアソン括弧である。H は運動を記述するハミルトニアンで以下のように書ける。
H=

p2x + p2y − αm p2z2ている。式で表すと以下である。
][
Jy (a cos mφs ) Jz
−
exp −
2εy
εz

Jy (∆y) = γy (y − ∆y)2 + 2αy (y − ∆y)py + βy p2y (9)
µ2

+

(8)

Kx x2 + Ky y 2 − αmsL2 z 2

それぞれの図はある (たとえば初期) 時刻で以下の

m = 1, 2, 3 に対応する分布をしている。この図では y[W0 (z − z )ρ0 (z )(5) としているが密度と考えれば ρ0 も同じことである。こ−∞こで φs はシンクロトロン位相で φs = tan αm pz /µs z+xWx (z − z 0 )ρx (z 0 ) + yWy (z − z 0 )ρy (z 0 )] dz 0 で表される。周回に対して分布は以下の置き換えで
N r0
+
γ

∫ ∞

2

0

0

変換される。
(

分布関数の時間変化といっても基本的には個々の粒子の運動によって決まる。運動方程式 (1) または H
から Vlasov 方程式の係数部分は以下のように与えら
れる

dx
dy
dz
= px
= py
= αm p z
ds
ds
ds
∫
dp
N r0 ∞=Wi (z − z 0 )ρi (z 0 )dz 0
ds
γL −∞

y
py

)

(
→ My−1ypy)

φs → φs + µs

(10)
(11)

Vlasov 方程式は一周後の分布は一周前の位置での分(6) 布がそのまま移ってくる事を意味している。

Vlasov 方程式と個々の粒子の運動方程式とはポアッ
ソン括弧のまえの符号が違う。
0x = [x, H]

4(7)

多バンチの振動モード
各バンチを重心で表し、そのスナップショットのバ

ンチ列の並び方でモードを定義する。スナップショッ

これは運動による変数の変化に注目するか、位相空トなので周期条件を課することができる (フーリエ間座標内の分布に注目するかの違いである。位相空間内で衝突のない平均化した場の中で運動する場合、位相空間内での非圧縮性流体と考えられ、運動に沿っ成分で表す)。バンチを m = 0, M − 1 で表し、m が大きいバンチが前方であるとする。バンチ m の振動を以下のように表す。n がモードを表し、スナップて密度の保存が成り立つ。今の分布は昔の分布からショットでの 1 周あたりのうねりの数である。ベー

決まっている、ということを表したのが、力学方程タトロン振動をしている。
)(
nm− iωβ tym (t) = a[n] exp 2πiM

式と負号が反対の式 (4,7) である。式 (4) をもとに不安定性理論が作られていて、過去の多くの OHO テ
キストで論じられている。

(12)

図 2 に n = 0, 1, 2 の例を示す。一般の振動はモードの重ねあわせである。モードの数もバンチ数と同じM である。このモード (n) で振動するバンチ列を加3

速器のある場所においたモニターで観測しよう。バンチ m = 0 の到着時刻を t = 0 とすると、バンチ m
は t = −mT0 /M に到着する。モニターの受ける信号は以下となる。

(
) (
)
mT0
mT0
δ t−
(13)
ym −
M
M
m=0
[
] (
)
∑
2πim
mT0
[n]
=a
exp
(n + νβ ) δ t −
M
M
m
∞
∑

y(t) =

信号をフーリエ解析する。

{
}
T0
y(t)e
dt =
exp im [(n + νβ )ω0 + ω]
M
m=0
(14)
ここで以下の公式を使った。

∫

y
1
0
-1
1
-1

0
z

0

−iωt

∞
∑

∆p/p

1 -1

∞
∑

exp(imωT0 ) = ω0

m=−∞

∞
∑

δ(ω − pω0 )

(15)

p=−∞

ビームモニター信号をスペクトルアナライザーと言yう信号の周波数特性を測る装置を使って観測すると、
10

モード n の振動に対して以下の周波数の信号が観測

-1

される。

ω = (n + νβ + pM )ω0
-1

(16)

1
z

0

0
1 -1

pM ω0 は同じ強さの信号がバンチ間隔に対応する
周波数で繰り返されることを意味する。その信号を∆p/p

強さを調べることでどのモードがどれだけ誘起されyているかがわかる。式 (16) の周波数は実験室系での1あるモードのビームの振動周波数である。これを逆0手にとれば実験室系である周波数の振動源あるいは-1

航跡場があればそれに対応したモードの振動が誘起されることになる。

-1
z

0
1 -1

0

∆p/p

1

4.1

コースティングビームの振動モード

陽子ビームにおいて RF 電圧を OFF すると、バン

図 1: バンチ内振動のモード

チ内粒子はエネルギーの違いからスリップして、リング全体に一様に存在するようになる。これをコースティングビームという。コースティングビームの分布関数は以下で表される。
)]
[
(
2πn
− ωt
Ψ(y, py , s) = δ y − a cos
L
)]
[
(
2πn
− ωt
(17)
δ py − b sin
L4図 2: 多バンチの振動のモード
ここで z = s − ct である。Vlasov 方程式 (z − s をである周波数が観測される。

変数)∂Ψ ∂Ψ dy∂Ψ dpy+−=0∂s∂y ds ∂py ds

(18)

5

から b = ak, ω − nω0 = ωβ が求められる。ω がモニ加速器における 2 流体不安定性

2 流体不安定性は、相対速度の異なる 2 種類のプラ
ズマは安定に存在できない、プラズマは集団的な相ターで観測される周波数であり、ωβ がベータトロン
周波数で p0y = −ωβ2 y に従う。
実際にリング一様に分布しなくても周期条件を仮対速度が等しい状態が安定である、という物理的事定できるような状況であるならば、コースティング

実から起こるべくして起こる現象である。加速器のビームと考えることができる場合がある。それはバ

場合は磁場による強い束縛、ベータトロン振動、がンチ内の不安定性の成長がシンクロトロン振動よりあるため、ちょっとした違いはあるが、物理的本質に

速く、バンチ内振動数が大きい場合である。ビーム

おいて違いがあるわけではない。
まず一様にチェンバーの中心を流れるビームを考の振動は図 3 のようになる。

える。その周辺に反対の電荷を持った粒子の雲があるとする。ビームの運動はその横方向 (進行方向に垂直な面）の重心位置 y(s, t) で記述される。ここで syは進行方向座標、t は時間である。y は垂直方向を意

1

味するが、x でもよい。電子などの場合横長のビーム

0
-1
0
-1
z

0

1

の場合垂直方向が問題になることが多いので y で代∆p/p表して話を進める。加速器では運動する粒子に乗った変数を使うことも多い。基準粒子に対する時間遅1 -1

れに光速を掛けた量、z = s − ct と s を使い、y(z, s)で記述する。s, t, z の内の 2 つが独立変数であるが、図 3: コースティングビーム的な振動のモード

一方を座標変数、他方を時間的変数（運動のパラメー
タ）にとる。どちらを使っても同じことであるが、ど多バンチ振動において M → ∞ の極限をとったもちらを使うのが簡単かは問題による。今の問題は進のをコースティングビームと考えることもできる。モ

行方向に一様なビームの進行方向位置 s での y 方向

ニターで観測される信号は上述の式と同じく、リンの位置を時間の関数として調べる。流体力学には流グ一周でうねる数 n に対応して

ω = (n + νβ )ω0

体の運動を絶対位置、時間で記述する考え方と、流(19)5

体に沿って運動を記述する考え方があるが、1 ここで考える。このように方程式ができてしまえば、簡単なは前述の方法をとる。異種粒子が静止系にあり、ビー

2 つの線形微分方程式なので解は直ちに求められる。

ムもリングにわたって一様にあるので、そのほうがここで y(s, t) = exp(iks − iωt)ỹ とする。k は一様相互作用を素直に表すことができる。ベータトロン

ビームの s に対する振動パターンを表す。もちろん振動はビーム粒子に乗った (ラグランジュ) 的な表現

どんな振動パターンも異なる (ω, k) の足し合わせでになっている。ビーム粒子に乗った的微分と静止系表されるので、ある (ω, k) だけ考えれば十分である。

で見た微分は以下の関係にある。

リングの場合は周期的境界条件のため、k = 2πm/L

でなければならない。ここで L はリングの周長、m(20) は整数で、時間をとめてみたときの 1 周の振動パター
ンの節の数である。当然ながら線形加速器の場合は異種粒子がビーム近傍にあり、それがガウス分布をしk に制限はない。
コヒーレントにビームと相互作用するとすると、そこの式をフーリエ変換して周波数に対する分散式の相互作用は 2 次元のクーロン力と考えれば (異種粒を表すと、子は非相対論的)、運動方程式は以下のようになる。

d
∂
∂
=
+c
dt
∂t
∂s

(

)2
∂
∂
+c
yb (s, t) + ωβ2 yb (s, t)∂t∂s
2nc rb c2
F (yb (s, t) − yc (s, t))=−γ[(ω − kc)2

− ωβ2 ]ỹb = ωb2 (ỹb − ỹc )

2

ω ỹc

=

ωc2 (ỹc − ỹb )ωb2=

2nc rb c2
γσy (σx + σy )

(24)
(25)

(21) ここで(26)
d2 yc (s, t)
2
=
−2n
r
c
F
(y
(s,
t)
−
y
(s,
t))
(22)
b c
c
b
dt2
2nb rc c2
ωc2 =
(27)
σy (σx + σy )ここで nb , nc はそれぞれビーム、粒子雲の線密度であり、rb , rc はそれぞれの粒子の古典半径である (rb(c) = yc ,yb を消去することにより、以下の分散式が得ら
1/4π0 e2 /mb(c) c2 )。プラズマ物理との違いは加速器 れる。
中のビームはベータトロン振動をしていることであ][(ω 2 − ωc2 ) (ω − kc)2 − ωβ2 − ωb2 = ωb2 ωc2 . (28)
ることにより ωβ を含む項があり、それは相互作用項に比べはるかに強い。
この ω に対する 4 次方程式を解けば、ある k を持っ式 (21,22) の F は非線形力になるが、ビーム近傍 たビーム、粒子雲の振動パターンがどのように成長では以下のような線形力が支配的である。

Fy =ここで σx(y) =yσy (σx + σy )していくかがわかる。
以下でリングの場合と、線形加速器の場合を論じ(23)

るが、リングの場合とはビームが一様に回っている√
22
σx(y),b+ σx(y),cである。一方遠方

状態で周期的境界条件がなりたつ場合、線形加速器の場合とは周期的境界条件がない場合で、リング内

では Fy = y/r2 で減少する。σb はビームサイズ、σcの一部にビームが回っている場合を含む。

は粒子雲のサイズであるが、粒子雲の場合ビームサ

リングの場合 kc = mω0 で置き換える、ここで m

イズより大きな場合もあるので、ここではビームとは整数で、ω0 は周回周波数である。不安定は粒子雲のコヒーレント振動に対して、集団的に運動する実の振動に近いビームの振動モードが誘起されること

効的サイズといったほうがいいだろう。具体的にどのから起こる、ある意味粒子雲の振動とビームの振動くらいのサイズかというと、雲のサイズが大きい場

モードの共鳴である。そのため ω ≈ ωc ≈ mω0 ± ωβ合、数値的に調べないとわからない。粒子雲がビーで不安定になることが推測される。ω = ωc + ∆、ムサイズ程度なら多分問題なく、そのサイズを入れωc − mω0 = ±ωβ + ∆± と置き、式 (28) に代入するて間違いない。

と、高次を無視すると以下の ∆ に関する 2 次方程式

異粒子は、磁場がかかっている場合も考慮しなけが得られる。

ればならないが、ここではビームからの作用のみを∆2 ± ∆± ∆ ∓1 前述をオイラー的、後述をラグランジュ的という6ωb2 ωc
=0
4ωβ

(29)

判別式 D はω 2 ωcD = ∆2± ± b
ωβ

ここで wake function の振幅である RS /Q は以下の(30) ようになる。

ωc − mω0 ≈ ωβ では判別式は常に正で安定である。
一方 ωc ≈ mω0 − ωβ では共鳴条件からのずれが小さように書かれる。
(
)2
∂
∂
+ vs
yb (s, t) + ω̃β2 yb (s, t)∂t∂s∫
nb rb c2 t=
W (t − t0 )yb (s, t0 )dt0 .
γT0 t0になる。このことはストップバンドが存在するということである。
線形加速器の場合は k に条件がつかない。ωβ −kc =−ωc をもった波数 k の振動は虚数部が現れる。
∆2± = ±

4ωβ(31)

この wake function に対応するインピーダンスは
以下のように定義される。
∫ ∞Z⊥ (ω) = i
W (t) exp(−iωt)dt

加速器の不安定性は一般に航跡力 (wake force) を使って論じられる。ここでは式 (21),(22) からスター
トして、その不安定性理論に沿うような変形を行っ

この場合よく知られているように以下のようになる。

のように解くことができる。ここで t = t0 で yc = 0<Z ⊥ =とした。

yb (s, t0 ) sin ωc (t − t0 )dt0

=Z⊥

(32)

t0

=

πcRS
[δ(ω − ωc ) − δ(ω + ωc )]2Q()
cRS ωc
1
1
+
(39)
2Q
ω − ωcω − ωc

ここで少しくどいようだが、教科書にあるようなこの式を (21) に代入すれば運動方程式は以下のよう電磁場による wake function の導入に沿って同じこ

になる。

∂
∂
+ vs
∂t
∂s

(38)

−∞

てみる。まず式 (22) は定数変化法などを用いて以下

(

(37)

型インピーダンスによるものである。

衰させる別の効果もある。

∫ t

(36)

この wake function は従来の言い方で Q = ∞ の共鳴つまり必ず不安定性である。ここでは述べないが減

y c = ωcγωb2 ωcT0 .
nb rc c2

結局運動方程式は wake functionW を使って以下のくなったとき、∆2− < ωb2 ωc /ωβ で虚根になり不安定

ωb2 ωccRS /Q =とを繰り返してみよう。基底状態は電磁場の場合、)2

空洞であったが、ここではビーム、粒子雲が s 軸上

yb (s, t) + ω̃β2 yb (s, t)(x = y = 0) に一様に存在する場合を基底状態とす= ωb2 ωcyb (s, z 0 ) sin ωc (t − t0 )dt0 . (33) る。粒子雲は式 (22) に従い運動する、すなわち ωc でt0振動する。この周波数は空洞の固有周波数と同じ意
2
22
ここで ω̃β = ωβ + ωb は粒子雲との相互作用を考慮 味を持つ。今ビームのある位置 z = 0 に y 方向へ小したビームのベータトロン角周波数である。チュー さな変異があるとしよう、y = y0 。粒子雲はこの摂∫ t

ンシフトとしてあらわすと (ω̃β = ωβ + ∆ωβ )、以下

動によって、運動を開始する。ダイポールを持ったのように書ける。

ビームの通過によって、空洞に固有振動が誘起され

∆ωβ =

ωb2
,
2ωβ

る状態である。粒子雲の受ける運動量変化は(34)∆vy = ωc2 δs∆y

ここで ω0 は周回角周波数である。式 (33) の右辺は加(40)

その後の粒子雲の運動は

速器の不安定性理論でお馴染みの航跡力 (wake force)
としてみなすことができる。wake force は 2 点の進

yc =行方向の位置の差の関数である。ある単位時間 T0 =vysin(ωc t)
ωc(41)

L0 /c あたりの wake function は以下のようになる。 によって表される。この振動によって、ビームは以下のような力を受ける。
W1 (z) = cRS /Q sin ωc t
(35)
∆py ≡ Fy = ωb2 yc = ωb2 ωc δs∆y sin ωc (t − t0 ) (42)7これから wake function が再び得られる。

W =

(ω )
F
γωb2 ωc
c
=
L sin
z
3
nb rb ∆y
λb rc ccy = ỹ exp(−iωβ s/c) exp(ωc z/c) という解を考える。
ỹ(s, z) は z, s に対してゆっくり変わる成分で、2 回(43) 微分を無視すると、
Λ
dỹ
=
ds
4

つぎにリングの場合でのこの wake force による不安定性を調べよう。運動方程式 (37) をフーリエ変換
ピーダンスで表される。

−(ω − mω0 )nb rb c2Z⊥ (ω)+ ωβ2 =
γT0

Λ=
(44)

ω − mω0 ± ωβ = ±nb rc c2iZ⊥ (ω)2ωβ γT0

(48)

nc rb
1
ωc
ω 2 ωc= b ωβγ σy (σx + σy ) ωβ
2(49)

さらに z で微分すると以下のような偏微分方程式が右辺は小さい量なので、ω ≈ nω0 ± ωβ のときを考えれば十分である。

ỹ(s, z 0 )dz 0z

ここでする。右辺の wake force はフーリエ変換のためイン

2

∫ ∞

得られる。

∂2
Λ
= ỹ(s, z)
(50)
∂z∂s
4
(45) この解は方程式の対象性から F (Λzs/4) とすると
ξF 00 + F 0 + F = 0

本来は上の式を解くのだが、右辺 Z において ω =ξ = Λ/4(51)mω0 ± ωβ を代入する。ω の虚数部が不安定性の成長 となり、変形ベッセル関数 F (ξ) = I0 (2√ξ) で表せ
度 1/τ になる。
る。結局解は1
nb rc c2=∓i<Z⊥ (mω0 ± ωβ )
τ2ωβ γT0√√ỹ = I0 ( −Λzs) ≈ exp( −Λzs)

(46)

(52)

となり、成長は指数関数的でなく平方根が入る。こ式 (39) から、不安定になるのは下側の符号をとったの解はリングでの Q = ∞ の場合の解に対応するも場合、つまり ω = mω0 − ωβ の場合で、成長度は無限大である。式 (30) と定性的に一致しているが、スのである。バンチ長、トレイン長が Q に対し短い場

トップバンドの有無、成長度の大きさの違いは上述

合、ωc σz /cQ < 1 の場合には上の式は正しいが、長の近似からくる。あえて式 (44) を解かないのは、Q

い場合、ωc σz /cQ > 1、には正しくない。
ちなみにバンチ長が短い場合 (ωc σz /c < 1) では、が有限の場合ストップバンドが広がって実質上なくQ に関係なく、なるため、この方法でもとめた成長度で実際正しい[(からである。このことは後でまた触れる。

exp

次に線形加速器、あるいはリング内で一部にビー)1/3 ]
Λ
σz s
2

(53)

ム粒子が入っている場合について述べる。周期的条件のように成長する。

がないので、ビームの振動に対して条件はない。ビー
ムは動いてしまうのでラグランジュ的に考える。電空洞の場合、空洞表面のロスによって固有振動は

子雲は実験室系で運動するので、wake force はそれ減衰するため有限の Q になる。粒子雲の場合でも、ぞれの s に存在するので、加速器で一般に使われてビームに誘起された粒子雲の振動が永遠に続くこといる時間変数を s にとる。z は先ほども述べたようには考えられない。我々は異種粒子の振動がビームの基準粒子からの時間遅れに光速をかけたもので、実強い非線形力のなかで起こっていることを知ってい質先頭を z = 0 としたときの進行方向の位置であるる。Q がある程度小さく、つまり粒子雲の振動の周(z < 0)。

期数幅がストップバンドより広ければ、ストップバ
ンドは意味を成さなくなり、不安定性の強さは共鳴

( )2
ω̃β
d2 yb (s, z)+yb (s, z)
(47)
ds2
c
∫
ωb2 ωc ∞ωc= 3
yb (s, z 0 ) sin (z − z 0 )dz 0 .
cczからの周波数差、言い換えれば式 (45) において ωc でピークを持つインピーダンスの Z(mω0 − ωβ ) の大きさで決まる。大型のリングや低エミッタンス、高強度リングでは周回周波数に比べ大きく、ωc  ω0 、そ8

の幅も大きいのでストップバンドは存在しない。む

いわれてきた。陽子ビームは一様ないし非常に長い

しろいくつかの不安定モードが現れる。

ωc σz /c  1 場合を想定している。物理的モデルは後どのくらいの Q なのかは線形理論では知ることはで述べる陽電子リングにおける単バンチ電子雲不安

できないが、あとで数値的な手法からわかるように定性と同じである。

Q≈ 5 程度である。ここでは現象論的にチューン広

リングの場合 Q によって静止系でのビーム振動周

がり、減衰振動を導入して、これまでの議論を繰り

波数 mω0 − ωβ が電子の振動数幅に入ると基本的に返す。

ビームは不安定になる。しかしながらビームを安定式 (22) に以下のように減衰項を加える。

化させるメカニズムがある。それはランダウ減衰で

d2 yc
dyc
+α
= 2nb rc F (yc − yb )2dtdt

ある。ビーム粒子が s 方向にエネルギーの違いによ(54) り速度が異なる。超相対論的ビームの場合でも速度

この減衰は Q が有限になることに対応する。Q と α のは c で一定だが、運動量コンパクションがあるため、関係は α = ωc /2Q によって表される。wake function

進行方向速度に違いが出てくる。
ある周波数でビームが振動していたとしても、進は行方向速度差により位相が混じって振動が減衰してW (z) = cR/Q exp(αz/c) sin(ωz/c)

z<0

(55)

しまう。図 4 にその様子を図示した。ある瞬間正弦
波的なビーム振動があってもエネルギー毎に正弦波

インピーダンスはZ⊥ (ω) =cR(S)ω 1 + iQ ωc − ωω

がずれてしまい。平均すると重心は 0 になってしま(56)う。このように位相が混じることでコヒーレント振幅

ωcが減衰していくいわゆる現象をデコヒーレンスといリングの場合の不安定成長度はこのインピーダン

う。ランダウ減衰は、ほぼ同じことなのだが”不安定スの式 (56) を (46) に代入すればよい。その Q に応性で起こる振動の成長を抑える”効果として区別する

じていくつかのモードが不安定になる。

べきだといわれている。ある振幅のコヒーレント振線形加速器、リングの一部にビーム粒子がある場

動がビームに振動させようと、ビームにエネルギー合には式 (50) はを与えようとしても、振動は育たず、エネルギーを∂2∂Λỹ = α α + ỹ(s, z)
∂z∂s
∂s
4

ビームに受け付けてもらえないいう、なんとも奥ゆ(57)

かしい物理がランダウ減衰の本質である。つまりエとなる。s が小さいうちは左辺は無視でき右辺だけでネルギーを与えたとき、ビームに振動エネルギーを決まる、指数関数的成長が見られる。

与えようとしたとき、エネルギー毎の振動が大きくỹ ∝ exp(Λs/4α)

なって、コヒーレント振動が無い状態になるのでは(58)

なく、コヒーレント振動はもちろんのこと、エネル

この成長度は一様ビームの場合と同じである。

ギー毎の振動も大きくならない、つまりビームはエ

ここまでが線形理論で得られる加速器内での 2 流

ネルギーを得ないということである。2 図でわかるよ

体不安定性の概要である。wake force による不安定

うにモードが高いほどコンパクションに対して位相性は知られているし、知っている方にはここまでわが混じりやすく、減衰率も大きい。

かればずいぶん見通しがついたことと思う。以降は周回周波数はエネルギーによる。

この考えを基礎に個々の場合、すなわち e-p、イオン(トラッピング、ファースト)、電子雲 (バンチ結合型、単バンチ型) についてそれぞれの特徴を述べつつ、説明していく。

6

e-p 不安定性∆T /T0 = ηpz

η =α−

1
γ2

(59)

2 流体不安定性はビームの横波の成長なので、エネル
ギーによって進行方向進度がばらばらになると、横波のコヒーレンスが失われてしまう。
エネルギー pz = ∆E/E0 を持ったビーム粒子に対する wake force は、そのビーム粒子より過去に通陽子ビームと電子雲の 2 流体不安定性は、いく

2 エネルギーがあっても使ってしまうので、いただかなくても結構です、という感じ。

つかの陽子蓄積リングで観測され、e-p 不安定性と9知られた分散式が得られる。
∫ ∞nc rb c2f (pz )
1 = ±iZ(ω)
dpz
2ωβ γT0ω−(mω∓ ωβ )(1 − ηpz )
0
−∞
(63)

1.5
1

y

0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0

5

10
s

15

20

この分散式の ω の虚数部の有無によって、安定性を1.5知ることができる。ビーム粒子のエネルギー分布に1

応じて安定性の条件が決まる。大雑把に安定性を知

y

0.5
0

るには、積分が簡単に実行できる分布を選んでしま

-0.5
-1

うことである。エネルギーに対してどの程度分布が

-1.5
0

5

10
s

15

20

広がっているかが減衰の本質だから、分布形状によ

図 4: ランダウ減衰 (正確にはデコヒーレンスによる減衰) の概念図

る多少の違いは無視してしまう。ローレンツ分布と仮定すれば、複素積分によって容易に積分を実行できる。その半値幅 σp を使って、分布を以下のように過したすべてのビーム粒子の分布に応じて発生する。

与える。

f (pz ) =つまりビーム粒子のエネルギーに対する分布を f (pz )で表すとすると、wake force は pz を持ったビーム粒

1 σp
π p2z + σp2

積分を実行し子 (の重心) と、エネルギーに対する分布関数 (f (pz ))の積の積分にたいして wake functionW の積をとり、

ω = mω0 ∓ ωβ (1 − ησp ) ± i

時間に対して積分する。ビーム粒子の (重心の) 運動
は以下で表される。
()2∂2πmvs (pz )+iyb (s, t, pz )∂t
L(pz )(64)

nb rb c2Z(ω)
2ωβ γT0(65)=ω < 0 であるために
nb rb c2
Z(ωc ) < 14πγnησp ωβ

(66)

(60)
+ωβ2 (1 − ηpz )2 yb (s, t, pz )Z の寄与が大きい ω = ωc に対して、m が選ばれる。
∫∫
t∞nc rb c20000 また mω ∓ ω ≈ ω = nω とした。n は電子の周波
0=dt W (t − t )yb (pz )f (pz )dpz0βc0γT0 −∞−∞数に対する周回周波数の比である。ローレンツ分布√
ここで、L(pz ) はエネルギーのずれ (pz ) を持ったビー 以外の分布では係数がかかるが、一般的に 3 を掛ム粒子のリング 1 周の軌道長、L(pz ) = L0 (1 + αpz )、 けた式が用いられている。
vs (pz ) はエネルギーのずれ (pz ) を持ったビーム粒子√
3nb rb c22の速度、vs (pz ) = vs (1 + pz /γ ) で表される。2 項目
Z(ωc ) < 1(67)4πγnησp ωβは係数は以下のようになる。
電子雲の線密度で表すと、以下のようになる。
vs (pz )= ω0 (1 − ηpz )(61)
L(pz )
2πσx σy γnωβ ησp√ne,th =
(68)
3Qrb cL
ベータトロン周波数は s に対して進む位相から定義されているので、t に対しては速度や軌道長が長くな
一様ビームでなく、バンチの場合でも ωc σz /cQ > 1
る効果が入ってくるため ωβ に (1 − ηpz ) が掛けられ ならば、不安定成長度は一様ビームと同じで、ランダている。

ウ減衰も同じため、安定化条件も同じく式 (67),(68)フーリエ変換することによりで表される。
][
222− {ω − mω0 (1 − ηpz )} + ωβ (1 − ηpz ) yb (ω) 表 1 にいくつかの陽子加速器に対して、電子雲の密度、ビーム線密度との比 (中性度) を示す。3∫ ∞nc rb c2Z(ω)
yb (ω)f (p0z )dp0z (62)=
不安定の観測がされている LANL-PSR では 2.1%
γT0−∞
に対し、観測されていない Rutherford-ISIS では 42%
左辺の係数を右辺の分母に移行し、両辺を f (pz ) を
3 JPARC-RCS、180 MeV 入射の場合は 400 MeV に比べや∫掛け pz で積分し、両辺を yb f dpz で割れば、よく さしいので 400eV で評価

10表 1: いくつかの陽子円形加速器における電子雲不安定性に対する電子密度閾値variablesymbolJPARC-RCSJPARC-MR

KEK-PS

PSR

ISIS

circumference
relativistic factor
beam line density

L (m)γ
np (×1010 ) m−1

348.3
1.43/4.2
37.7/50.6

1567.5
4.2/54.
50.6/259

339
12.8
0.74

90
1.85
46.2

163
1.07
20.8

rms beam sizes
rms momentum spreadtransition energy

σr (cm)σE /E (%)
γt1.9/1.2
9.14

1.1/0.35
0.25
31.6 i

0.5
0.3
6.76

1.0
0.4
3.08

3.8
0.5
5.07

electron frequency
thresholdωe L/cne,th /np (%)

422/775
28.2/3.0

27080
3.1/0.042

225
4.0

229
2.1

73.6
42.

と不安定性を起こしにくいことがわかる。JPARC はている。波長は 60 cm である。イオンはビームのポ
PSR より電子密度の閾値が低い場合もある。実際に テンシャルで運動するが、イオンの振動周波数がバ
電子密度がどのくらいかを評価する必要がある。こンチ列の周波数 c/Lsp に比べ十分長ければ、バンチのためには 8.1 節にあるシミュレーションを行う。

列であるビームを連続的に近似できる。バンチ列を連続ビームではイオン化などビーム近傍で作られ一様としたときのイオンの周波数は以下のようにかた電子が、ビームポテンシャルにより安定に運動し、 ける。

1
2Ne rp(69)
M Lsp σy (σx + σy )ここで Ne はバンチあたりの電子数である。代表的な値 Ne = 1 × 1010 , Lsp = 1 m, σx = 1 mm,
ωi2 =徐々に密度は増えていくため最終的には不安定を起こす密度に達する。しかしながらビームが振動を始める、微小振動であっても電子はビーム振動と共鳴しているため、大振幅になり、拡散してしまう。そのため不安定性の強さは生成率が低ければ問題にならない。このことは線形理論では表現できず、数値シミュレーションで示される [3]。この点から表 1 の中性度がどの程度意味があるか、難しい問題である。
それが低いことがとくにイオン化で電子がゆっくり

σy = 0.1 mm を代入すると、ωi /2π = 5 × 106 s−1 ,ωi Lsp /c = 0.1 となる。この値はイオンは 10 バンチの通過に対して 1 rad の振動をすることを意味し、バ
ンチ列は一様なビームと考えてよい。
イオンの受けるキックとバンチ間のドリフト時間からイオンの捕獲条件が計算できる。
2Ne rp1
Ki =M σy (σx + σy )蓄積されるような場合、直ちに深刻であることを意
味しない。

(70)

バンチ間隔の間のイオンのドリフト (Lsp /c) による

7

転送行列から以下の捕獲条件が得られる。

イオン不安定性

2

Ki Lsp /c = (ωi Lsp /c) < 4

電子ビームにより陽イオンが作られ、ビームとの(71)

2 流体不安定性がイオン不安定性である。電子ビー
ムの残留ガス CO のイオン化断面積は、数 GeV の

この条件は上述の条件と事実上同じものである。

ビームに対して σion = 2 × 10−22 m2 であり、真空で述べたことがそのまま適用できる。すなわち wake

バンチ列を連続ビームと考えることにより、5 節

度 10−7 Pa では、電子 1 個が 1 m 進むとイオンの生成率は 4.5 × 10−9 m−1 である。
電子ビームは一般的にはバンチ長 ∼ 1cm で、RF波長ないしその数倍の間隔 (Lsp ) でリング全体ある

force は式 (35),(39),(55),(56) により、不安定性の成長率はその wake force を使い式 (46) により与えられる。いくつかの加速器における不安定成長度とイオン密度の関係を表 2 に示す。ここで成長度は中性度

いはイオンをクリアする目的でギャップを設けてい(ni /ne )、Q で規格化されている。

る。RF 周波数は日本では 500MHz 周辺が多用されne re βL
T0
/f Q =
τγσx σy11(72)

表 2: いくつかの電子蓄積リングにおける、中性状態での不安定性成長。成長度は中性度を掛けることで得られる。σy = 0.1σx を仮定している。

variablesymbol

KEK-PF

KEKB

SPring-8

PLS

circumferenceenergybeam line density

L (m)E (GeV)ne (×1010 ) m−1

186.
2.5
1.2

3016.
8.0
3.0

1436
8.0
0.25

280
2.5
0.46

beam sizes
growth rate

σx (mm)
T0 /τ

0.5
516

0.5
6760

0.2
2150

0.4
395

またここでも ep 不安定性と同じく、イオンが徐々 となる。α > 0, ﬁnite Q の場合、s が小さいうちはに蓄積して、不安定がいくらでも強くなるという可ỹ ∝ exp(Λ0 zs/4α)能性を考えられるが、小さいビーム振動でイオンが(77)

拡散してしまうため、制限なくイオンがたまるわけ

この成長度は Λ0 z = Λ としたときの一様ビーム (イではない。しかし一般的にリングでギャップを入れなオン捕獲) の場合と同じである。

いで一様ビームで運転すると、不安定になりがちで

表 3 にいくつかのリングにおける不安定成長度をあることは事実である。

示す。

ここで注意したいのは不安定性の成長が最近の高バンチ化されたビームは z 方向に運動することは強度低エミッタンス加速器ではかなり強いというこないため、e-p 不安定性の時のようなシンクロトロとである。電子生成率 4.5 × 10−9 から KEKB など

ン振動によるランダウ減衰は期待できない。放射減では 1 ターン (3016 m) で作られるイオンで中性度は1.4 × 10−5 で、5 周たまれば、成長率はT0= 6760 × 1.4 × 10−5 × 5 = 0.47
τ

衰より早い不安定性は横方向のチューン広がりを利用したランダウ減衰、あるいはクロマティシティと(73)

通常のインピーダンスによるヘッドテイル減衰に頼らざるを得なかった。最近はフィードバック技術がとすでに不安定成長時間 2 ターンとなってしまってい進歩して KEKB なら 50 ターンくらいの減衰率が達る。このことは不安定性が起こるために多くのター成されている [14]。それでも KEKB の 7 ターンやSuperKEKB の 0.5 ターンは恐ろしい値である。実
不安定になることを意味する。これがいわゆるファー 際にはイオンービームの力は振幅が大きくなると弱ストイオン不安定性と呼ばれるものである。線形加速 くなる。振動数が遅くなる効果は Q に含まれるが、器の場合の 2 流体不安定性の式 (48),(48), (50) とほ 振動振幅が大きくなったときの成長度が遅くなる効
ン数のイオンの蓄積は必要なく、シングルパスで十分

ぼ同じであるが、違いはイオン数が |z| が増えるにし果などは線形理論では考慮しきれてはいない。ビー

たがって (後方) 増えていくことである、ni = n0i |z|。

ムの微少振動によりイオンは大きく振動し、イオン関連した係数

サイズも大きくなることも不安定性を弱くする。つΛ = Λ0 |z| = (ωb2 )0

ωi
|z|
ωβ

まりフィードバック、そのノイズ、許容振幅も考慮し(74) なければならない。これらを考慮すべくシミュレー
ションが行われている。

それに伴って、式 (50),(57) は以下のようになる。

次に電子ビームのなかでのイオンの振動について

0

2

∂
∂
Λ
ỹ = α α + z ỹ(s, z)
∂z∂s
∂s
4
解は α = 0(Q = ∞) の場合√√

ỹ = I0 (−z Λ0 s) ≈ exp(−z Λ0 s)

(75)

調べる。

ωi02 =

1
Ne rp
c2
M σz σy (σx + σy )(78)

先ほどの定型的なパラメータに加え σz = 1 cm とす07 −10(76) ると、ωi /2π = 3.5 × 10 s , ωi σz /c = 0.007 であり、イオンはバンチ内の振動に対して、位相はほとん

12表 3: いくつかの電子蓄積リングにおけるファストイオン不安定性の成長度 (msec 単位とターン単位で並記) 、Q = 5 を仮定

variablesymbol

KEK-PF

KEKB

superKEKB

SPring-8

PLS

ILC-DR

circumferenceenergyL (m)E (GeV)

186
2.5

3016
8.0

3016
7

1436
8.0

280
2.5

6477
5.0

beam line density
bunch train lengthne (×1010 ) m−1
Ltr (m)

1.2
150

3.0
2800

6.5
2945

0.25
800

0.46
240

1.1
41.4

beam sizes
vacuum pressure
growth time

σx (mm)P (nTorr)
τ (ms/turn)0.5
1
0.70/11250.5
10.07/70.2
0.5
0.005/0.5

0.2
10.18/380.4
10.96/1030

0.13
0.2
0.08/3.8

8.1

電子雲の蓄積ど変化しない。ビームの不安定性はイオンの振動によって起こるので、バンチ内での振動がないという

電子はイオンと違ってチェンバーの壁から光電効

ことは、イオンはバンチ内の振動に影響しない、つ果によって作られる。その量は圧倒的に多い。そのまりこのパラメータ領域では単バンチ不安定性は起ためビームから遠い電子も多い一方、その数の圧倒こりにくいということができる。

的に多いことでビームに影響する。まず放射光の放出は以下の式で表される。

8電子雲不安定性

5π
Nγ = √ αγ
3電子はイオンに比べはるかに軽いため、ビームに(79)に比例するの挿入光源を無視すると、PF では陽電子 1 個あたり 1 周で、240 倍である。イオンのときと同様代表的な値

320 個、KEKB では 450 個生成される。メートルあた

Np = 1×1010 , Lsp = 1 m, σx = 1 mm, σy = 0.1 mm

りで 1.7/m、0.15/m となる。光子が真空チェンバーに−1/2よる振動も速くなる。振動数は mc

あたると、0.1 個 (つまり 10 個に 1 個) 電子が放出されを入れると ωe /2π = 1.1 × 10 , ωi Lsp /c = 24 とな
9る。そのエネルギーは非常に低く数 eV である。つまり、電子にとってバンチ列を一様なビームと見るこり電子の生成率は KEK-PF で Y1 = 0.17e− /m · e+、とはできない。電子がイオンのようにビームポテン

KEKB で Y1 = 0.015e− /m · e+ となる。この値はイシャルの中で振動したり、トラップされることはない。そのためバンチ間の結合型不安定性に対して、直オン化生成率 Yi = 5 × 10−9 e− (CO)/m · e− に比べ、ちに 5 節の手法は適応できないし、それ自身が起こ

圧倒的 (7 桁) である。4

りうるかという問題にもなる。しかしこれは単一電

次に電子がどのくらいチェンバーに蓄積されるか子の周波数なので、集団的な周波数は異なる可能性考える。簡単には電子がチェンバーにどのくらい留もある。結果的にはバンチ結合型不安定性として起まっているかわかれば、蓄積量はわかる。電子の平

こりえることを以下で述べる。

均エネルギーは平均陽電子電流によるポテンシャル

一方、バンチは短くはあるが、5 節のリングの一V =部にビームが蓄積された場合に当てはめると、σz =1 cm として、ωe /2π = 8 × 109 s−1 、ωe σz /c = 1.7となる。バンチ内での振動は不安定を起こす可能性があり、5 節の方法で扱うことができる。以下で単バンチ不安定性として論じる。

np e
2π0

∫ R

1
σx r

(80)

から、KEKB の場合 500 V である。電子の初期エネ
ルギーは小さいので、運動エネルギーとポテンシャ
ルエネルギーの等分配を仮定すると、電子の平均エ4 ただし πr 2 /σ σ = 3 × 105 なので密度という観点に立てば
x y電子、イオンの滞在時間の問題もあるので面白い関係になる。

13

ネルギーは 250 eV、平均速度は 107 m/s で 2R を走るのに 10 ns となる。

y

蓄積される電子は 2A の陽電子ビームでは、ne =e-x

Y1 np c×10 ns= 2 × 109 m−1 となる。中性度は
λe /λp = 5 %である。一様分布とすると ρe =ne /πR2 = 2.5 × 1011 m−3 である。大局的に見れ

Secondary e-

ばおおむね電子密度としては正しい値になっている

e+ beameγ

が、実際は熱平衡ではないため正確ではない。そのため数値シミュレーションによって電子の量、分布をe-求めるのが一般的である。電子蓄積を調べるシミュ

Beam chamber

レーションは、電子が作られる描像をそのままプログラム化すればよい。つまりチェンバーを考えビームが通るたびに Y1 × Np の電子を発生させ、ビームで内側に引っ張り、次のバンチが来たらまた電子を発生させ、これを繰り返すことでチェンバー内に電N子をためていくのである。計算機上では Y1 × Np で5はなく、少ない数のマクロ粒子を使うのは言うまでもない。磁場を入れたり、電子がチェンバーに戻った

0y5

ときに 2 次電子を作ったりいろいろバリエーション

0cmはありうるが、とくに原理的に難しい点はない。図x5 に KEKB での電子雲の蓄積状態を示す。
加速器中で発生する電子量を実験的に測定するこ

1e+12

cm

5

5

Density of electron cloud (4/60/4)と合っている [10]。SuperKEKB ではビーム電流がさらに上がるので、放射光をチェンバーに当てない
よう、アンテチャンバーを採用したり、2 次電子放出

Density (m^-3)とは精力的に行われていて、ほぼシミュレーション

8e+11
6e+11

Near beam

4e+11(後述) を減らすためにコーティングをするなどのに

2e+11より、真空系は設計されている。それらの有効性は0

Average

010

KEKB でのテストチェンバーを使った測定 [11]、シ

20

30
Bunch

40

50

60

ミュレーションにより確かめられている。
図 5: 電子雲形成モデルと、電子雲密度

陽子リングの場合、放射光は放射されないが、陽子のチェンバーでのロスや、イオン化が電子源として考えられている。いずれにしても、初期量は陽電2.5

子リングの場合に比べ数桁小さい。こういった場合

2
1.5
d2

2 次電子が電子雲の主原因になる [12]。1 つの電子が真空チャンバー壁に吸収されると、その電子のエネ
ルギーと、表面材質、表面状態により 2 次電子が放出される。その放出係数は図 6 で表されるとされる。

1

ピーク値 (δ2,max ) とその入射エネルギー (Emax )、00.5

エネルギーでの電子の反射 (δ0 ) と減少係数 (Es ) を00

パラメータとして、以下の式で表す。

δ2 (E) = δ2,max

dm=1.7-2.0 and Ec=300 eVE+ δ0 e−E/Es
1.44
Emax 0.44+(E/E
1.44
max )
(81)
14

200

400
600
E (eV)

800

図 6: 2 次電子放出係数の例

1000

シミュレーションでこの式を用いて、乱数を発生

ド番号 (m) ごとの不安定成長度 (単位 s−1 ) である。

させて電子雲の蓄積などを計算できる。電子量の初位置電極モニターなどで測定すると mω0 +ωβ の周波期値が少ないので、ビームや係数に対するある条件数が観測される。この計算は KEKB デザイン時のも(シミュレーションで評価) が満たせば、電子数がバンチの通過とともに指数関数的に増加する。指数関

のでバンチはすべてのバケット 2ns ごとに (H=)5120

数的になるかどうかはビームや 2 次放出係数に非常に非常に早い不安定成長を示す。

入れられている。PF、KEKB で観測されているように強く依存する。長く電子を出し続けると、2 次放出
500000料を使ってのビーム環境ので測定が欠かせない。

4000008.2-<dv(m/s)>

係数は減る傾向にあることも確かめられている。試バンチ結合不安定性

300000200000100000

こ の 節 の 最 初 に 述 べ た よ う に 、電 子 の 振 動 は0

ωi Lsp /c  1 であるため、バンチ間の時間でビー-100000

ムから離れてしまい、線形領域でビームに捕獲され

100

120

140

ない。しかしながらこの議論はあくまでもビーム近

160

180

200

Bunch

傍のことである。電子はチェンバー全体に広がってい3000て、全体量は膨大である。電子が線形領域から非線

2000
growth rate (/s)

形領域に出て行ったとしても直ちにチェンバーに吸収されるわけではない。バンチ間隔が狭ければ、前のバンチの運動の痕跡が何らかの形で後方に伝わったとしても何の不思議もない。このバンチ間の相関がバンチ結合型不安定性の原因となる。

1000
0
-1000
-2000

この不安定性が KEK-PF で観測され、それが電子

-3000
0

雲効果研究の始まりとなった。このバンチ間の相関、

1000

2000

3000

4000

5000

Mode number

結合を解析的に扱うのは難しい。そのために数値的に航跡場を求め、その航跡場による不安定性を論じ

図 7: 電子雲による wake force(上図) と不安定モーる手法がとられる [8]。数値的方法は式 (42) を求めた

ドとその成長度 (下図)

手法を計算機上で行う。8.1 節で行ったように、バン
チ列を並べ、チェンバーを通過するたびに電子を発生

電子雲のバンチ結合不安定性にはこれまでとちょっ

させ、電子雲を形成させる。電子雲が平衡に達したらと違った要素が入ってくる。それは磁場である。実バンチ列のうちの一つをずらして、その後のバンチ

験的に蓄積される電子の量は影響を受けても不安定の受ける力を計算するのである。これが wake force

性の強さには磁場があっても大きな変化はなかった。

である。もちろんずらしたバンチもその後のバンチ電子はビームと相互作用してから、環境の磁場状態

も電子を作り続けるつつ、wake force を計算する。

に応じて運動する。次のバンチが受ける効果はそのwake force が求まればあとは公式 (46) に入れれば 間の運動状態を反映する。それによって結合モード
不安定性の成長度を計算できる。図 7 に数値的に求 の現れ方が磁場の有無によってまったく違っていた。
めた KEKB での wake force(上図) と、不安定成長度

実際 KEKB ではリングに巻いたソレノイド磁石を(下図) を示す。上図の縦軸は電子雲のうける速度変化で適当な係数を掛ければ wake function が得られ

ON/OFF してバンチ結合モードを測定したがきれいにその特徴を表すモードが得られた。図 8 にソレノる。ビームのずれ 1 mm、2 mm に対して速度変化がイド磁石あり (下図)、なし (上図) それぞれの測定さ計算されている。ずれが 2 倍になると速度変化も 2

れた不安定モードを示す。この図はバンチ振動フィー倍になっているので、wake force の線形性は成り立っ ドバックを切った際、ビームダンプする直前のビームている。下図はその wake function から求めたモー位置モニターの信号を FFT をかけたものである。横15

軸はモード番号 (m) で mω0 + ωβ の角周波数のビー

して、5、6 で述べたように評価すればよい。しかし

ム振動に対応する。バンチは 8 ns ごとに入れられて電子雲全体がガウス分布を保ったまま運動するとす

いて、横軸のフルスケールは H/4=1280 である。数ると、

値シミュレーションでもこれとまったく同じ不安定

σi =モードが計算できる。[13] これは電子雲効果である√
R2 + σi.b ≈ R(82)となりまったく違った wake function になってしま

ことのもっとも明確な証拠のひとつである。

う。(周波数が低くなる。)
想像するにビームの力は遠方で小さくなるので、雲3,400,000
3,200,000
3,000,000
2,800,000
2,600,000
2,400,000
2,200,000
2,000,000
1,800,000
1,600,000
1,400,000
1,200,000
1,000,000
800,000
600,000
400,000
200,000
0

全体がコヒーレントに動くことは考えにくい。定量
的に wake function を決めるには数値的方法しかない。数値的に wake function を調べるには 8.2 節と同様に、式 (42) を求めた方法に沿って、計算機上で行う。

• 一様なビームを考える、計算機上でマクロ粒子
を縦方向に等間隔に並べる、マクロ粒子は横方
0

200

400

600

800

1,000

向にビームサイズに対応したガウス分布を持た

1,200

Mode IDせる。

3,400,000
3,200,000
3,000,000
2,800,000
2,600,000
2,400,000
2,200,000
2,000,000
1,800,000
1,600,000
1,400,000
1,200,000
1,000,000
800,000
600,000
400,000
200,0000• 電子をマクロ粒子として横方向に分布させる。
• ビームマクロ粒子の最初の部分をわずかに横方向にずらし相互作用させる。

• 2 番目のビームマクロ粒子を電子の位置まで動かす。それにかかる時間だけ電子を運動させる。
0

200

400

600

800

1,000

• 2 番目のビームマクロ粒子と電子を相互作用さ

1,200

せる。

Mode ID• 以降繰り返しビームマクロ粒子が受ける力を計算する。

図 8: 測定されたソレノイド磁石のオン (上図)、オ
フ (下図) による不安定モードの変化 [14]電子雲をビームと同じサイズのガウス分布として初期条件を与えると、式 (36) と等しい R/Q が得ら

8.3

単バンチ不安定性れる。また電子雲はビームの非線形力を受け最初の単バンチ不安定性は物理的にはすでに述べた e-p、イオンの 2 流体不安定性と同様に議論できる。6、7
節では電子やイオンの分布がビームと同じ大きさであると想定していた。今の場合、電子はチェンバー内に広く分布している。そのためどのくらいの電子が不安定性に効いてくるかが問題になる。チェンバーの
大きさの電子雲がバンチ内のポテンシャルでコヒーレントに運動するのか、あるいはビーム近傍の電子だけが運動するのか、それによって RS /Q や ωc は
ずいぶん変わってくる。ビーム近傍の電子だけがコ
ヒーレントに運動するとすると、ne = 2πσx σy ρe とビームから受けたコヒーレントな変動が徐々にばら
ばらになり消えてしまう。(Q ≈ 60) そこで電子雲のサイズを大きくしてみる。
数値計算の結果、wake function はビームサイズ程
度の電子雲が運動していると考えて良いことがわかる。もう少し細かく言うと実効的に wake function に効く電子は、電子雲を十分大きくとっても (10σx ×

10σy )、cRS /Q の値で、ne = K × 2πσx σy ρ に換算
して、K = 2.5 程度の増大にしかならないことがわ
かる。wake function の減衰から、線形理論では出せなかった Q ≈ 5 − 10 値も求められる。図 9 に KEKBの場合の wake function を示す。ちなみにこの航跡

16

場をフィットした Q は 10σx × 10σy の電子雲の場合の先頭と後方ではかなり違ったものになると推測でで Q = 6.3 である。

きる。これは wake function が変異点と作用点の差だけの関数ではないことを意味する。ωc σz /c > 2π に

7

1

x 10

なると解析的方法との違い、wake function を使った

(1,1)
(1,10)(10,1)(10,10)近似からのずれが顕著になる。そういった状況では相互作用を、より現実的な数値モデルでシミュレー
ションする。

1−2−W (m )

0.5

この不安定性はバンチ内のヘッドテイル不安定性0として見ることができる。周波数で言うとベータト
ロンに対するシンクロトロンサイドバンド ωβ ±ωs と−0.5

して観測されるはずである。実際 KEKB において、
−1
0

0.02

0.04

ビームサイズの肥大と、それに伴いサイドバンドが0.06−z (m)

図 9:

観測されている。その閾値もほぼ予測と一致する。図数値的に求めた電子雲による短距離 wake

10 にベータトロンとそのサイドバンドのスペクトルを示す。縦軸はバンチ番号で下が先頭バンチである。

force[19]、電子雲のサイズは σx × σy 、10σx × σy 、左側の白い線がベータトロン、右側がサイドバンド
σx × 10σy 、10σx × 10σyで ωβ + aωs 、2 > a > 1 である。ソレノイドオン、
またバンチはシンクロトロン振動をしているので、 オフで消えたり現れたりする。サイズ肥大はルミノ
e-p 不安定性と同様にランダウ減衰が効き、安定化す シティを悪化させたため、リング全周にソレノイドる。結果として不安定性が起こる閾値は式 (68) で計コイルを巻き、そのサイズ肥大を抑えることで、ル算される。ne,th = πKσx σy とすることで密度に対す

ミノシティが飛躍的に向上したことは良く知られてる閾値の式が得られる。

いる。

2γnωβ ησpρe,th = √3KQrc cL

100

(83)
75

Bunch Number

この式を得るために使ったのはコースティングビー
ムでビーム粒子がリング全体にわたって分布してい50

るとしている。実際にはバンチ長があるので Q が大
きくて、電子の振動がバンチからはみ出すような Q

25は無意味である。そこでこの式で使う Q は非線形から決まる Qnl と ωσz /c の小さい方を採用する。

1
0.5

Q = min(Qnl , ωσz /c)

(84)

0.55

0.6

Fractional Tune

0.65

0.7

図 10: 電子雲による単バンチ不安定性を示すバンチ
K は ωσz /c の値が大きいと、周辺から多くの電子をに沿ったシンクロベータサイドバンドスペクトルのかき集めてくる。様々な ωσz /c のケースをシミュレー
測定 [16]
ションした結果から経験的にK = ωσz /c(85)でほとんどの結果を再現する。

9

不安定性のシミュレーション

9.1

多バンチ不安定性

表 4 にさまざまな陽電子リングの電子密度の閾値を示す。この値と 8.1 で求めた、電子密度との比較で不安定性が起こるかが推測できる。

ここまで線形理論を扱ってきたが、相互作用はビー

電子はバンチとの相互作用が進むにしたがってビー

ム粒子と電子雲やイオン雲との距離に対して著しく

ム周辺に集められる。そのため wake force はバンチ

17

表 4: いくつかの陽電子蓄積リングにおける単バンチ不安定性の電子密度に対する閾値

variablesymbolKEKBSuperKEKB

Cesr-TA

BEPC-II

SuperBcircumferenceenergybunch population

L (m)E (GeV)Np (×1010 ) m−1

3016
3.5
8.4

3016
4
9

768
2
2

240
1.5
4.9

1260
6.7
5

bunch length
beam sizeenergy spreadσz (mm)σx (mm)σE /E (%)

7
0.5
0.07

6
0.2
0.08

6.8
0.15
0.08

15
1.2
0.052

5
0.13
0.064

slippage factor
electron oscillation

η(×10−4 )ωe σz /c

2.7
2.5

3.5
18.8

68
11

261
2.3

4.9
14.1

thresholdρe,th (1012 m−3 )

0.54

0.27

1.7

6.1

0.7

非線形である。ビームと雲が大きな振幅で振動するビームの位置、イオンの重心位置、イオン雲のサイようになると、不安定性の成長が緩やかになる。まズを示す。イオンはビームが通過するたびに作られた不安定に寄与する電子、イオンの量は遠方 (大振ていく。最初イオンのサイズが変動するのはビーム幅) から近づいてきたり、ビーム振動の影響で遠方にの力により、振動を開始ししばらくして周波数広が拡散していったりするので、シミュレーションによっ りにより振動が収まり、サイズが安定するのが 4 周てしか、正確に評価できない。

位までに起こっている。イオン重心とビームは徐々多バンチ不安定性を問題にするときは、電子陽電にイオンの振動数で振動を開始し、10 周後 200µm

子リングの場合、バンチ間隔がバンチ長に比べ大き程度で飽和する。垂直ビームサイズ ∼ 100µm であいので、バンチの内部振動は考慮する必要はない。バる。イオンサイズも振動が大きくなるにつれ大きく

ンチは重心は運動するが、分布は不変だと考えてシなる。図 12 は KEKB におけるイオン-ビーム不安定

ミュレーションすれことができる。一方電子、イオ
ン雲はビームのようにかたまって運動するわけでは性による振動の成長である。振幅はビームサイズ程√度 ( εy = 10−5 m1/2 ) で収まっていることがわかる。

ないので、多数のマクロ粒子で表す。式で表すと以このように前節 7 の線形理論で取り入れられなかった

下のようになる。

いくつかの点が考慮できるようになる。さらにフィードバックをシミュレーションにいれ、許容振幅に押
Nc
d2 xb
re ∑
+K(s)x
=
F
(x
−x
)δ
(s−s
)
(86)
さえられるようにするための減衰率を決めるなどの
b
b
c
P
c
ds2
γ c=1
検討が行われている。
電子雲に関しても同様で、違いは質量と初期条件
Nb
∑∑
d2 xc
2
である。イオンはビームの通過する場所に作られる
F (xc − xb )δP (t − tp )= 2rc cdt2
turn p=1が電子はチェンバーの壁で作られる。質量が軽いた
e dxc
∂φ
+
× B − 2re c2,(87) めイオンのようなきれいな線形振動は見えない。71me dt∂xは質量比 50000 倍 (電子と CO イオン) から全く満た

Nb はバンチ数で、Nc は雲中の電子、イオン数である。 されない。それでも電子雲全体としてはビームに線F の性質は式 (23) で述べたが、具体的にはビーム 形効果を及ぼす。それは 8.2 で航跡場的扱いができてがガウス分布の場合複素誤差関数で表される。雲のいることからも推察される。むしろ電子雲の分布が粒子がガウス分布をしたビームから受ける力はやは

チェンバー全体に広がっているため、最終的に現れ

り同じ F である。作用反作用を考えれば当然のこと

る振動は線形に近く、ビームの振動が大きくなってである。図 11 は KEK-PF におけるイオン-ビームのも増幅が収まらない、結果的にビームロスを起こす

2 流体不安定性による振動の様子をシミュレーショ ことになる。これらは理論的には説明できないがシンした結果である。リングのある場所での通過する ミュレーションによって見ることができる。図 13 に
18

KEKB における電子雲不安定性による振幅の成長と振動の様子を示す。振動モードはきれいな正弦波ではないが、振幅はチェンバーサイズである cm まで
指数関数的に増加している。
(a)xmax,ymax (m)0.1

0.0004y(beam)ion size

0.00020.01
0.001

0.00001

y (m)

x
y

0.0001

0

0

50

100
turn

150

200

0.02
x,y (m)(b)-0.0002-0.0004
0

2

4

6

8

0.01
0

y(ion)

0.01

10 12 14 16 18 20 22

0.02

x
y

200

220

240

260

280

300

bunch

Revolution

図 13: KEKB における電子雲不安定性による振幅の

図 11: KEK-PF におけるイオン-ビームの 2 流体不成長と振動の様子 (シミュレーション)。上図はバン

安定性による振動の様子 (シミュレーション)。

チ列中最大振幅の増加、下図は 200-300 番目のバンチにかけての振動の様子。
実験では節 4 にあるようにビームの通過を定点でとらえ、フーリエ解析が行われる。実験結果を図 8 に示したが、シミュレーションでも同様のことができる。図 14 に定点を通過するビームの位置のフーリエ解析の結果である。電子雲が自由空間にある場合とソレノイド磁石にある場合でのバンチ結合振動モー0.0001ドを示す。実験とよく一致しているのがわかる。ソ1e-05

レノイドで現れる周波数は電子がチェンバーの縁を

500

1e-06

400

回転していく周波数に対応する。

300

1e-07
Jy

200

1e-08

100

9.2

単バンチ不安定性

1e-09
1e-10

単バンチ不安定性ということで、前のバンチとの(b) P=1nTorr

相関は考えない。前のバンチの運動には無関係だが、

1e-11
0

前のバンチを前提とした、電子雲の与えられた分布

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Revolution

を与えて、ビームと電子雲の相互作用を解く。バンチ

図 12: KEK-KEKB におけるイオン-ビーム不安定性による振動の成長 (シミュレーション)。図の数字はバンチの先頭からの位置。×βy により y の振幅が得られる。

内振動を表現するために、バンチは多数のマクロ粒子で表される。ビームの作る電磁場は横方向なので、電子雲を 2 次元面内に配列させ、双方のポテンシャ
ルをポアッソン方程式を解くことで決め、相互作用を計算する。このような相互作用の計算の仕方は加速器分野では衝突型加速器におけるビームビーム衝
突効果、陽子ビームの空間電荷効果のシミュレーショ
ンなどでも行われている。前で述べたように不安定19

性のメカニズムはバンチの前方での相互作用が後方に伝搬する点にある。電子雲の場合、ビームの通過とともにバンチの前から後ろへと移動に従って、静止系の電子が振動することである。その振動数はわかっているので、シミュレーションでもその振動が十分に表現できるようバンチを進行方向に切って、それぞれのスライス毎に電子の運動を求めていく (積分していく)。ωe σz /c がバンチが通過する際に電子が振動する位相角である。∆z のスライスが通過するで間の電amplitude amplitude amplitude amplitude(arb. unit) (arb. unit) (arb. unit) (arb. unit)

子振動の位相角が 1 より十分小さい、ωe ∆z/c < 1、同じことだが ωe σz /c より十分多くのスライスで切る

2

(a)

1
0
0
50

200

0
0
5

200

400

600

800

1000

1200
(c)

0
0
200

200

400

600

800

1000

1200
(d)

200

400

600
800
mode

1000

1200

400

600

800

1000

1200
(b)

であれば十分である。バンチに沿って積分していく
際ビームの受けた力も記憶していき、次回の相互作用には電子は初期化されるがビームには過去の相互作用の記憶が蓄積されていく。ポアッソン方程式に対する境界条件は電子陽電子ビームの場合パイプ径に比べ横方向ビームサイズが小さいため、自由境界条件を用いる。自由境界条件を満たすグリーン関数

100
0
0

ということである。おおざっぱに ωe σz /c × 10 程度

は以下である。

2000
amplitude

(a)
1000

200

400

600

800

1000

1200

2000
amplitude1
ln(x2 + y 2 )2(88)

ポテンシャルは荷電分布とグリーン関数の積分に

500
0
0

(b)

より得られる。
∫
φ(x, y) = G(x − x0 , y − y 0 )ρ(x0 , y 0 )dx0 dy 0 (89)

1500
1000

効率的に計算するためにフーリエ変換と畳み込み

500
0
0

200

400

600
800
mode

1000

1200

図 14: KEKB における電子雲不安定性による不安定性のモード。上 4 図自由空間、下 2 図ソレノイド磁
石中。

G(x, y) =1500を用いる [21]。
∫Gk = G(x, y)e−ikx x−iky y dxdy∫ρk = ρ(x, y)e−ikx x−iky y dxdy∫
1
φ=
Gk ρk eikx x+iky y dkx dky
(2π)2

(90)
(91)
(92)

ビーム粒子、電子の受ける作用は以下で計算される。

∆px = −

re ∂φ
γ ∂x

(93)

このスライスと電子の相互作用の計算を、スライス
数 × ターン数繰り返し、ビームの運動をシミュレー
ションする。
図 15 に KEKB の場合での、ある周回 (数 100 ターン) のビームスライスの通過 (バンチの進行方向に沿って) に沿ってビームの重心、サイズ、電子雲の重心が20

図示されている。シンクロトロン振動の無有に対しての 2 図示されている。シンクロトロン振動がないとバンチ後部のみ振動する尻振り運動だが、シンク
ロトロン振動があるとバンチ全体に振動が発生する。
電子雲の重心は常に毎回初期化されているため 0 から始まり、ビームとある位相関係でバンチ通過とと0.0004もに徐々に振動が大きくなる。

sigy (m)Beam size
Cloud amplitude

y (m)

0
-5e-051.2e120.00030.00015e-05

1.4e12

Beam amplitude

1.0e120.00020.8e120.0001

0.6e12-0.0001
0-0.00015

01000-0.0002-0.00025-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5z/σz2000 3000
turn

4000

5000

図 16: 電子雲密度毎の y 方向ビームサイズの増大。

0.00060.0005y (m)0.00040.0003bunch slice size

0.0002bunch slice amplitude
0.0001cloud amplitude0-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5z/{/Symbol s}_z

図 15: バンチ進行方向に沿ってのスライス毎のビー
ムの重心、サイズ、電子雲の重心。右がバンチ前方、
単位はバンチ長。上図はシンクロトロン振動をしな

FFT ampい場合、下図はしている場合。
図 16 に y 方向のビームサイズの増大を電子密度毎にプロットした。ρe = 0.6 × 1011 m−3 を超えた電子
密度でビームサイズの増大が見られ、閾値がわかる。
この振動をフーリエ変換することで実験で得られ0.00020.000180.000160.000140.000120.0001
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
0

1.8e121.6e121.4e121.2e121.0e12<1.0e120.5た周波数スペクトルと比較することができる。図 17にシミュレーションによる振動をフーリエ変換して求めた電子密度毎の周波数スペクトルを示す。図 10

0.55

0.6
tune

0.65

0.7

図 17: 電子雲密度毎の y 方向振動の周波数スペク
トル

はバンチ列に沿って電子密度が高くなっていくと考えられる。密度が高くなるにつれサイドバンドが高い方にシフトしていく、またサイドバンドの周波数ピークが ωβ + ωs と ωβ + 2ωs にあるという点で非常に良く一致する。

21

陽子ビームの不安定性

9.3

分布関数 Ψ を z に関する縦波とエネルギー分布の積として表す。
J-PARC 陽子ビームのようにバンチ長と、バンチ[()]
間隔がともに大きく同じような加速器では単バンチ、 Ψ = ρp (pz ) 1 + a exp 2πins − iωt(98)LL多バンチと区別することができない。また周波数域[()]
1ω − nω0ωz
も MHz から GHz と広い。電子のバンチ内の振動数= ρp (pz )+ a exp −i
s+i
L
c
c
であるが 100 位になる。電子の運動をなめらかに表現するにはバンチを 1000 程度にスライスする必要が ここで定数部分 1/L は進行方向一様分布を意味し、ある。シミュレーションとしてはタフな作業になる。 z 方向の密度はリング 1 周あたり n 周期濃淡がある
このような複雑さが避けられないのは、不安定性増 分布を表す。Vlasov 方程式に代入して[]
大とランダウ減衰の両方を同時に考慮しようとする
ω(1 + ηp pz ) − nω0−iρpからである。不安定性増大だけに注目すれば多バンc∫∫
チ不安定性で行ったようにバンチをマクロ粒子 (マイ
0
Nb r0
ρp
= −ρ0pdz 0 W (z − z 0 )e−iω(z−z )/cγLL
クロバンチ) 列で表してしまえば簡単に計算できる。
∫
N
r
c
b
0
一方ランダウ減衰は確立した考えであるので、計算= −ρ0pZ(ω) dp0z ρp (p0z )(99)γL2で求められた成長率とランダウ減衰率の比較で、閾
値以上かどうかは判断できる [22]。

10

Coherent Synchrotron Radiation (CSR)

10.1

進行方向単バンチ不安定性

Ψ, ρp は 1 で規格化されている。両辺を (ω(1+ηp pz )−nω0 )/c で割り、pz で積分すれば、安定性を論じるた
めの分散関係式を得る。
∫
ρ0p
Nb re c2
1 = −iZ(ω)
dpz
γL2ω(1 + ηp pz ) − nω0(100)
部分積分を行い

これまで論じたビームと電子雲、イオン雲との相

Nb re c2ηωZ(ω)
γL2∫

るコヒーレント放射光による不安定性は縦波（粗密ρpdpz(ω(1 + ηp pz ) − nω0 )2(101)波）である。また媒介するのは進行する電磁場であ

ここで横方向で行ったように Lorentz 分布を仮定する。Sec.6,8.3 において横方向で見たように、バンチ

ると、積分は簡単に実行できる。

1 = −i

互作用は横方向の不安定性を起こした。ここで論じ

ビームの不安定性に関してもコースティングビーム
で考えることができる。運動方程式は以下である。
∫
dpz
Nb r0 ∞= −W0 (z − z 0 )ρ0 (z 0 )dz 0 (94)
ds
γL −∞
dz
= −ηp pz
(95)ds

ρp (pz ) =

1=

1 σp
π p2z + σp2

N re c2ηωZ(ω)γL [ω(1 + iησp − nω0 ]2Z(ω) がピークになる n に対して、√上式の RF 復元力に対応する µ2s z/ηp が省かれている。
Nb re c2iωησp =
ηωZ(ω)γLz − pz に関する Vlasov 方程式∂Ψ ∂Ψ 0 ∂Ψ 0
+
z −
p =0
∂s
∂z
∂pz z

(102)

(103)

(104)

(96) 両辺を二乗し、大雑把であるが、安定であるためのインピーダンスの条件で得られる。

に運動方程式を代入して、以下の式を得る。

Z(nω)γηLZ0 2σ< 0.5
nNb re p

(105)
∂Ψ ∂Ψ
−
ηp pz
(97)
∂s
∂z
∫ ∞
ここで Z0 = 4π/c = 377Ω である。横方向と同じく、∂Ψ Nb r0+
W (z − z 0 )ρ(z 0 )dz 0 = 0
実際の分布はローレンツ分布ではないので、一般的∂pz γL −∞22

に使われる式は以下で Keil-Schnell の公式 [24] とし

ここで τ ,B は放射減衰、放射励起項 (B = σp2 /τ )。

て知られている。

ついでに触れておくと FEL も縦方向不安定性の 1Z(nω)γηLZ0 2
< 0.34σn
Nb re p種である。アンジュレータのインピーダンスが ω =(106) ω γ 2 に共鳴ピークを持つためビームの粒子分布が式u(98) のモードが不安定を起こす状態が FEL 発振である。(ωu = 2πc/λu , λu :アンジュレータ波長)

この公式はバンチ長に焼き直すことができることも横方向同様である [25]。

2πνs σz = ησp L(107)

ビームの線密度は同じにとるので、Nb /L → Nb /2σzにするようにしなければならない。横方向と同じく、インピーダンスの Q は ωσz /c より大きいと、バンチからはみ出るので、実効的にはQef f = min(Q, ωσz /c)

10.2

CSR によるインピーダンス

CSR インピーダンスは総研大博士課程 Demin
Zhou 氏が研究しているのを (一応指導教官として) 見ていたくらいなので、さらっと流したい。詳しくは
彼あるいは吾郷氏の博士論文を読んでいただきたい。
自由空間、平行平板の CSR は J.Murphy 氏等の論(108)

文 [23] に詳しく書かれている。天下り的であるが、である。
この式は簡単で便利なのだが、KEK ではどちらか

インピーダンスは以下で表される。

というと不人気である (私は好きであるが)。KEK でiAZ0
Z(ω) =
2

は Vlasov 方程式を摂動で解く方法が昔から行われている。それも非摂動分布をガウス分布[]
σz2 /βz + βz σp2
exp −
2εz

(

ωR
c

)1/3
(111)

ここで

√
A = 3−1/3 Γ[2/3]( 3i − 1) = 1.63i − 0.94

(109)

(112)

R は偏向磁場内での軌道の曲率半径である。

βz = αL/2πνs

Keil-Schnell の式 (106) は以下のように変形される。

を使うのは良くなく、数値的に解いた平衡解から摂動により固有値問題を解くという方法である [?]。

ωR
<2
c

10-20 年前は縦方向不安定性のシミュレーションは上手くできないとされていた。マクロ粒子によりビー(

N e r e ω0 R√
|η|γσp2 2πcσz

)3/2
(113)

ム分布を作って、航跡場と積分して航跡力を求める√のだが、ビーム分布に N 統計ノイズが避けられな

右辺が大きいと不安定になる。この式は周波数とバ

いため、不安定が助長されるのである。周波数の高チ内粒子数に対して、式で決まる周波数より遅い周い航跡場 (インピーダンス) を考慮しようとすればす

波数で不安定になるということである。

ンチ内粒子数の関係になっている。与えられたバンるほど、進行方向にバンチをたくさんスライスする

実際にはインピーダンスの遅い周波数 (長波長) 成

必要が出てきて統計ノイズが厳しくなる。最近の計分はビームチェンバーのため以下の条件でカットさ

算機の進歩でマクロ粒子数は依然と比べものになられている。

ωR/c > (πR/2b)3/2

ないくらい増やせるようになったのである程度はシ
ミュレーションも可能にはなってきている。

(114)

また不安定によりビーム分布に内部構造が発生する

Vlasov 方程式を放射減衰、励起を考慮した Fokker- ためにはPlank 項をいれて解く方法も行われている。[?] 粒子を運動されるのではなく、分布を表す場の量を「逆」運動させ (式 4 を参照)、Fokker-Plank 項による緩和を経て (不安定を含む準) 平衡解を求める。
(
)
∂Ψ
∂Ψ 2
+B
Ψ0 = −[Ψ, H] +
∂pz τ
∂pz

ωσ/c > 1(115)である必要がある。
これら 3 条件 [28]、式 (113)(114)(115) により CSRによる不安定性が起こるか、だいたいの目安をつけ(110) ることができる。

23

チェンバーの境界を考慮に入れた CSR インピーダ

う連絡が入りました。その後 M. Furman 氏が PEP-

ンスの計算は上下平行平板を境界とした場合が行わ

II に関して検討を始めました。4 月ころつくばでのれていたが、左右の境界も含めたインピーダンスはILC ワークショップで話をした際に F. Zimmermann
吾郷、横谷氏により初めて行われた [29]。曲線座標 氏が来て、彼も始めるといっていました。以来 15 年
系で表した Maxwell 方程式のフーリエ成分の満たす 以上経ち、KEKB も無事に終わりました。多く議論式を解くことで横方向電場を計算し、
[
]
∂E ⊥
i
2k 2 x=E⊥∇2⊥ E ⊥ +ds
2π
Rをしてくださった KEKPF、KEKB の方々、海外の研究者の方々に感謝します。

(116)

進行方向電場を次の関係 (近軸光線近似) から計算し、 参考文献
インピーダンスを計算する。

i
Es = (∇⊥ · E ⊥ − µ0 cJz )k[1] K. Ohmi, ”加速器におけるプラズマ型不安定性 ,加速器 Vol. 3, No. 1, 2006.

(117)[2] E. Keil and B. Zotter, ”Landau damping of coupled electron-proton oscillations”, CERN-ISR-

この方法を使ったコードが、その後も生出、Zhou 氏によりそれぞれ開発されている。

TH/71-58 (1971).

長い偏向磁石あるいはトロイダルパイプ内での周回運動での CSR に対して高い Q のインピーダンス[3] K. Ohmi, T. Toyama and G. Rumolo, ”Elec-が発生することがわかっている。実際問題では何台tron cloud instability for a coasting proton
beam in circular accelerators”, proceedings of

かの偏向磁石での CSR の干渉という形での高い Qのインピーダンスが現れる。繰り返すがバンチ長を

ECLOUD04, 351 (2004).

はみ出すような高い Q は不安定性には寄与しない。

SuperKEKB のダンピングリングでは数台の偏向磁
石の干渉まで考慮する必要があるようである。

11[4] S. Sakanaka, OHO86.
[5] M. Izawa, et. al., ”The vertical instability in apositron bunched beam”, Phys. Rev. Lett., 74,5044 (1995).

まとめ

加速器に見られる 2 流体不安定性について、全体論、e-p、イオン、電子雲不安定性について解析的お[6] T. Raubenhemer and F. Zimmermann, ”Fastbeam-ion instability II. Linear theory and simulations” Phys. Rev. E52, 5487 (1995).

よびシミュレーションにより述べた。定性的に、ファクターを無視すれば定量的にも、解析的手法で 2 流
体不安定性をよく説明できる。実際には解析的手法[7] G. Stupakov, T. Raubenhemer and F. Zimmermann, ”Fast beam-ion instability II. Eﬀect of

では考慮できない、いろいろな条件があるので、数ion decoherence”, Phys. Rev. E52, 5499 (1995).

値的手法の助けやシミュレーションが必要になる。
シミュレーションもいきなりコードを書いて結果[8] K. Ohmi, ”Beam-photoelectron interactions inが出ても、結果の妥当性の評価ができない。今の世のpositron storage rings”, Phys. Rev. Lett. 75,
1526 (1995).

中計算機が発達しているので、あまり凝った解析的扱いは必要ないとは思われるが、物理の本質的なと[9] K. Ohmi, ”Numerical study for the two-beam
ころは理解しておくために、線形理論は重要である。
instability due to ions in electron storage rings”,
光電子による不安定性理論は、伊澤、佐藤 (佳)、豊Phys. Rev. E55, 7550 (1997).
増氏により PF で観測されていた不安定性の解釈から[10] K. Kanazawa, Y. Suetsugu, H. Hiramatsu, H.
始まりました。その際には小林 (正)、生出氏と良く議Fukuma, M. Tobiyama, ”Measurement of the
論していただきました。1995 年 1 月か 2 月に KEK で最初の発表をした翌日 SLAC からコピーを送れとい24electron cloud density at KEKB”, proceedingsof ECLOUD07.

[11] Y. Suetsugu, K. Kanazawa, K. Shibata, H. [22] K. Ohmi, T. Toyama, C. Ohmori, ”Electron
Hisamatsu, ”Recent studies on photoelectron
cloud instability in high intensity proton rings”,
and secondary electron yields of TiN and NEG
Phys. rev. ST-AB, 5, 114402 (2002).
coatings using the KEKB positron ring”, Nucl.
[23] J. Murphy, S. Krinsky, R. Gluckstern, ”LonInstru.Meth. A578,470 (2007).
gitudinal wakeﬁeld for an electron moving on[12] M. Furman, G. Lambertson, proceedings ofa circular orbit”, Particle Accelerators, 57, 9
MBI97 (KEK Report No. 97-17, 1997, p170.

(1997).

[13] S.S. Win, K. Ohmi, H. Fukuma, M. Tobiyama, [24] E. Keil, W. Schenell, CERN Report THJ. Flanagan, S. Kurokawa, ”Numerical study of
RF/69-48 (1969).
coupled bunch instability caused by an electron[25] D. Boussard, CERN Lab II/RF/Int 75-2
cloud”, Phys. Rev. ST-AB, 8, 094401 (2005).
(1975).
[14] M. Tobiyama, J. Flanagan, H. Fukuma, S.
[26] oideyokoya K. Oide, K. Yokoya, ”LongitudiKurokawa, K. Ohmi, S. Win, ”Coupled bunch
nal single bunch instability in electron storage
instability caused by an electron cloud”, Phys.
rings”, KEK-Preprint-90-10.
Rev. ST-AB, 9 012801 (2006).
[15] M. Tobiyama, E. Kikutani, ”Development of ahigh speed digital process system for bunch-by-[27] wornock M. Venturini, R. Warnock, Phys. Rev.
Lett. 89,224802 (2002).

bunch feedback system ”, Phys. Rev. ST-AB, 3, [28] S. Heifets, G. Stupakov, ”Single-mode coher012801 (2000).
ent synchrotron radiation instability” Phys. rev.
ST-AB 6, 064401 (2003).
[16] J. Flanagan et al., ”Observation of verticalbetatron sideband due to electron cloud in [29] T. Agoh, K. Yokoya, ”Calculation of coherent
the KEK LER”, Phys. Rev. Lett., 94, 054801(2005).
[17] E. Benedetto, J. Flanagan, K. Ohmi, ”Simulation of Synchro-betatron sideband instability
caused by electron cloud at KEK”, PAC07 proceedings.
[18] K. Ohmi and F. Zimmermann, ”Head-tail instability caused by electron cloud in positronstorage rings”, Phys. Rev. Lett., 85, 3821
(2000).
[19] K. Ohmi, F. Zimmermann, E.Perevedentsev,”Wake ﬁeld and fast head-tail instability caused
by electron cloud”, Phys. Rev. E65, 16502(2002).
[20] H. Fukuma, ”Electron cloud eﬀect in KEKB”,
proceedings of ECLOUD04.
[21] R. Hockney, J. Eastwood, ”Computer Simulation using particles”, Taylor and Francis, 1988.
25

synchrotron radiation using mesh”, Phys. Rev.
ST-AB 7, 054403 (2004).