船型の数式表示について
1．はじめに船の推進性能評価にCFDが使われるよ
うになりましたが、初期検討から概略線
図までは、主要目比や肥瘠係数等のパラメータと水槽試験データを関連付ける性
能評価が主体です。本誌に紹介している
船型設計システムでは、CpカーブやCw
カーブ等、曲線の数式表示パラメータを加え、蓄積された水槽試験データの統計解析やニューラルネットワークにより推図− 1

進性能要素と関連付けた上で、遺伝アリ

線図 （MaxSurfサンプルデータより）ゴリズムにより優れた子孫、即ち推進性線図の評価は、上記2次元平面上の投能に優れた遺伝子（船型パラメータ）組

影曲線間の幾何学的整合精度と滑らかさ合せを設定し、最後に、具体的な船体形でなされ、創生から詳細設計の各段階に状（線図）を創生します。

必要な精度と滑らかさ向上、所謂、フェとし、x=1、x=0における以下の条件か

本稿では、本システムの基本となる

アリング精度向上に大方の時間が費やさら出来る連立方程式を解き、整理します。

Cp、Cwカーブ等、図面データの数式表

れます。この事態は、コンピュータ化が示法、パラメータと推進性能要素の関連進む現在も基本的に変らず、船型の数式等について概略説明します。

表示が期待されて来た所以です。

1．線図の構成について

2．Cpカーブの数式表示

船体という複雑・精緻・滑らかな3次

線図創生は、CpやCwカーブの設定か

元空間曲面を2次元平面に投影した図がら始まります。図−２にCpカーブの概線図です（図−1）。即ち、船首と船尾の略構成を示します。船首(Entrance)、曲面部分と船底ビルジ部を除き大部分が船尾(Run)をe、rで示し、船長（垂線間

立方体の平行部を船長方向の特定位置長L）を1.0としたときの、船首尾曲線(SS.No.)で 切 っ た 断 面 形 状(Frame

部長さをle、lr。これらを改めて1.0とLine)、所定高さで船長方向に水平に切っした場合の曲線部面積をwe、wr、とすれた線(Water Line)、中心から所定幅位

ば、AP-FP間（主要部）柱状係数Cp'は、

置で垂直に切った線(Buttock Line)を

長さ幅比L/B、Le=L×le、Lr ＝ L×lrと主体に、船首尾プロファイル、中央断面、

して、以下の式で表されます。

船首尾部の曲線を、先端x=0、肩x=1間の関数、

即ち、Cpカーブは、先端のCp値f、勾配t、2次微係数β、肩の2次微係数α、及船側と船底の平滑部がFrame Lineと接び面積ｗと、xのみの関数A0(x)の1次結する点を連ねたSide Flat End Lineや合で表される事が分かります。ここで、Bottom Flat End Line、甲板端Deck

即ち、船首尾部曲線の長さと面積で全Side Line等の3次元空間曲線群の投影

体の肥大度が評価出来る事が分かります。

モーメントは、図です。
曲面は、計画喫水での幅、喫水下曲面となります。従って、曲線は以下の様にが囲む容積の船長方向分布や積分値の水

数値パラメータで表されます。

線面積や排水容積等の条件を満足せねば

船首部（Entrance）

なりません。又、曲面の数式表示は困難

Le/B,le,we,fe,te,αe,βe,me,He/B

なため、一般に、各SS.No.での高さと幅の寸法で表示されます。

10

船尾部（Run）
図− 2

Cp、Cwカーブ

Lr/B,lr,wr,fr,tr,αr,βr,mr,Hr/B

LK<G^plGh'1*H\mh[^k+))2

浮心は、

ここで、da、dfはAP、FPでの喫水、Lは船長、Cmは平均喫水(da+df)/2での中央断面積係数です。
トリム無しCpカーブをy0(x)、トリムとなります。

付きのCpカーブをy(x)、浮面心をlcf、

なお、船首バルブや船尾端部に対応する

Cwカーブをyw(x)とし、Aft trimの場合

付加分の説明は、今回は省略します。

図− 3

造波抵抗係数との相関

図− 4

形状影響係数との相関

EntranceのCpカーブは以下の通りです。

3．Cwカーブの数式表示
Cwカーブは、図ー 2に示す様に、基本的にCpカーブと同じ性質の曲線です。
従って、数式表示法及びパラメータの意
味は同じですので、上記のパラメータに、wを付けて、以下のように表されます。
Entrance;Lew/B,lew,wew,few,tew,
αew,βew,mew,Hew/B
Run;Lrw/B,lrw,wrw,frw,trw,
αrw,βrw,mrw,Hrw/B

浮面心は、

又、Runの場合は以下の通りです。

さle、面積we船首Cwカーブ面積wew、船首端2次微分βewの相関が際立って高いこと、形状影響係数の場合は、長さ幅
比L/B、中央断面積係数Cmと共に、船尾Cpカーブ長さlr、面積wr、船尾端値fr

y0(x)を上記と同形式の多項式とし、トリや船尾Cwカーブ長さlrw、面積wrw、船ム付きCpカーブの肩と先端の条件より、

尾端値frw等の船尾特性との相関が高い
事が分かります。この様な調査を基に、神経細胞の情報伝達機能を模したニュー
mew、mrwは、Cpカーブの式と同じです。

ラルネットワークの結合荷重行列を設定

船尾端対応分の説明は省略します。

しましたが、既に紹介されていますので

4．数式表示式の適用性確認
上記の表示式の適用性を、既存の船型データを用いて調査しました。即ち、既省略します。

6．トリム付きバラスト状態
への拡張

Runの場合は、存のCp、Cwカーブと数式表示曲線の差

バラスト状態のCpカーブは、図−5のを最小とする最小二乗法を、方形係数

様に、トリム（大方はAft Trim）によりCBが0.4から0.9という広範囲で多様な特徴付けられます。Cpカーブ上のトリです。なお、A0(x)からA5(x)は、4.に記船型に適用し、特殊な数例を除き、良好

ムPは、肩部x=le、lrでの値、Cp(le)、Cp

載の式と同じで、な適用性を確認し、併せて、パラメータ(lr)、及び平行部の長さ(1-le-lr)によりのデータベース構築が行われました。

P=(Cp(lr)-Cp(le))/(1-le-lr)となります

5．推進性能要素との関連調査

が、船体トリム、T(%)=100(da-df)/L
から、P=(T/100)((L/B)(B/d)Cm)です。

がトリム影響として加わります。
バラスト状態のCwカーブは、傾斜船以上のCp、Cwカーブのパラメータと型で無ければ、全幅はトリムにより変化

推進性能要素、即ち、形状影響係数K、しないと見做せますから、基本的特性は、造波抵抗係数rw、自航要素(1-t、1-w、3．に記載した方法が適用可能です。更ηR)との相関を蓄積された水槽試験デーに、バラスト状態では、船首バルブや船タを介して調査しました。

尾端形状対応の付加分が満載状態に比べ

図−3に造波抵抗係数との相関を図−て相対的に大きくなり重要性を増します

4に形状影響係数との相関を示します。

が、紙面の関係から別途紹介します。

造波抵抗係数の場合、船首Cpカーブ長LK<G^plGh'1*H\mh[^k+))2

図− 5

トリム付Cpカーブ

（技術顧問

武隈克義）

11

船型の数式表示について（その2）SRC News No.81で、Cp曲線の数fp=∫bo(z)f(z)dz, tp=∫bo(z)t(z)dz ,式表示について紹介しました。本稿では、

αp=∫α(z)bo(z)dz,

この表示式を船体曲面表示に拡張する試βp=∫β(z)bo(z)dzと 対 応 し,容 積 は、みについて紹介します。

∫∫y(x,z)dxdz = wpCmとなります。

1．船体曲面の基本表示式
Cp曲線の表示式を以下に示します。

図−4

主要フレームCp(x) = Ao(x) + A1(x) w + A2(x) f
以下に、⑤Side Flat End Lineを考+ A3(x) t + A4(x)α + A5(x)β慮する数式表示を紹介します。高さzの

ここで 、xは前端0,肩で1.0の無次元長さ、wは曲線の面積、f,t,βは前端での

図−2

Cp値、1次微分及び2次微分、αは肩で船尾類似形状（船低後方より上方を俯瞰）

離をs(z)とします（図−4）。なお、s(z)の2次微分です。関数Ao(x) 〜 A5(x)には、s(z)=1となるCp曲線肩部で、z=hb,

ついては、SRC News No.81を参照下

ds(z)/dz = ∞, z=1で、s(1)=lw（Cw

さい。この式は、計画満載状態、バラス

曲線長さ/Cp曲線長さ）の条件に勾配等

ト状態、トリム付き状態のCp曲線,Cw曲の条件を加えて、例えば以下のような形

線に広く適用可能な事が確認されまsし式が提案されます。

たが、この事は、w, f, t, α,βを深さzの1‒s(z)=ao Z(‒1/n) + a2 Z2 + a3 Z3関数として描かれる水線曲線（Water

Z=(z‒hb)/(1‒hb), hbは、最大断面形状

Line Curve）を重ねると船体に似た曲面になる事を示唆します。各水線の先端と肩位置を同じとし、曲面を幅y、長さx,深さzの関数として以下のように記述してみます（図−1）。
y(x, z) =bo(z)( Ao(x) + A1(x)w(z)+ A2(x)f(z) + A3(x)t(z) + A4(x)α(z)+ A5(x)β(z))、y=Y/(B/2), z=Z/d,、B,dは最大幅及び計画喫水です。

において、船側垂直線と船底からの円弧
図−3

船尾類似曲面（船低前方より上方を俯瞰）

簡単な関数で表し、船首尾形状に似た曲面を描いた例を図−2、図−3に示します。条件設定に工夫は必要ですが、比較的単純な関数表示のパラメータで複雑な船体曲面が描けそうです。

通常の船体形状の場合、各水線の先端

図−1

座標

の接点高さです（図−5）。

bo(z),w(z),f(z),t(z),α(z),β(z)を

2．船体形状の特徴と表示式

図−5

サイドフラットエンドライン（2） 座標から肩までの長さは異なり、船首尾端も0<x<s(z)の 範 囲 で は、x̀=x/s(z)を深さにより変わります。線図は、①曲線(2)式に代入し、(x,y(x̀,z),z)が得られます。

状の船首尾プロファイル、②上甲板縁をs(z)<x<1の範囲では、幅は1ですか

連ねた曲線、③計画喫水線、④船底平滑ら、座標は、(x,1,z)となります。

域と上方の曲面との接点を連ねた曲線、（2） 断面積分布

前端からの距離xでの断面積Cp(x)Cm⑤船側平滑部と前後の曲面部との接点を

0<x<lwの範囲、A(x)=∫y(x̀, z)dz

は、以下の様に関係付けられますから、連ねた曲線及び⑥最大断面形状曲線等のlw<x<1の範囲、A(x)=Ac(x) + Af(x)∫y(x, z)dz =Cm( Ao(x) + A1(x) wp

基本フレームに水線という針金を巻きつAc(x)=∫y(x̀, z)dz ; z=0 〜 h(s(z))+ A2(x) fp + A3(x) tp + A4(z)αp

けて作られた曲面と理解されますが、数

Af(x)=(1 ‒ h(s(z))+ A5(x)βp)、各パラメータは、式表示に、これらフレームを考慮する必h(s(z))は、x=s(z)での高さ、s(z)のCm=∫bo(z)dz, wp=∫bo(z)w(z)dz,

4

水線において、先端x=0から肩までの距

要があります（図−4）。

逆関数で、h(lw)=1, h(1)=hbです。

LK<G^plGh'1+CZgnZkr+)*)（3）容積P=(x, f(x, z), z)で表し、接平面の成分

β(z)から得られます。次いで、基本形式

V=∫∫y(x, z)dxdz = Vc + Vf

P x = d P / d x = (1, p ,0) , P z = d P /E, F, G, L, M, N，曲率K, H, 更に、測地

0<x<s(z); 曲面範囲

dz=(0,q,1)、この接平面に直交する法線と演算を進めれば、曲面の特性を把握

ベクトルすることが出来ます。以下に、図−2、Vc=∫∫s(z)y(x̀, z)dx̀dz=∫s(z)w(z)dzs(z)<x<1; 船側平滑範囲
Vp=1‒hb ‒∫s(z)dz

e=(Px X Pz)/｜Px X Pz｜を求めます。

図−3の船体後半部に似た形状のガウス

ここで、p=dy/dx,q=dy/dz, Xは外積、曲率と平均曲率の計算結果を示します。

（4）Cp曲線のパラメータとの関連｜｜は絶対値、法ベクトルeは、(p, ‒1, q)/

位置xでの面積は、∫Ao(x̀)bo(z)dz√S, S=(1+p2+q2)となります。

+∫A1(x̀)w(z)bo(z)dz

第1基本形式、或いはリーマン計量は+∫A2(x̀)f(z)bo(z)dz

曲面上の微少長さを意味し、その式は+∫A3(x̀)t(z)bo(z)dz

dP. dP=(Px dx +Pz dz). (Px dx + Pz dz)+∫A4(x̀)α(z)bo(z)dz=Px. Pxdxdx+2Px. Pzdxdz+Pz. Pzdzdz+∫A5(x̀)β(z)bo(z)dz=E dxdx + 2F ddxdz + G dzdzです。

=Ao(x)Cm+A1(x)wp+A2(x)fp+A3(x)tp

ここで、E=1+p2, F==pq, G==1+q2が+A4(x)α+A5(x)βpの関係から、得られます。第2基本形式は、曲面の凹（4‒1）x=x̀=0にて、凸の程度を意味し、式は以下の通りです。

∫f(z)bo(z)dz=fp,‒dPde= ‒(Pxdx+Pzdz). (exdx+ezdz)∫(t(z)/s(z))bo(z)dz=tp= ‒(Px. ex + Px. ez + Pz. ex + Pz. ez)∫(βz)/s(z) )bo(z)dz =βp=Ldxdx + 2Mdxdz + Ndzdz

2（4‒2）容積より
1‒hb‒∫s(z)dz +∫s(z)w(z)bo(z)dz= wpCm（4‒3）x=1において、
0<z<hbで、s(z)=1、y=bo(z)hb<z<1で、y=bo(z)=1、従って、∫bo(z)dz+(1‒hb)=Cm= ‒Pz. ex, N=Pzz. e= ‒Pz. ez, となり、

図−7

Pxx=(0.r,o), Pxz=(0,s,0), Pzz=(0.t,0)

曲面の凸凹

r=d2y/dx2, s=d2y/dxdz, t=dq2y/dz2、から、L,N,Nが得られます。
L= ‒r/√S, M= ‒s/√S, N= ‒t/√S
曲率は、曲面上の曲線ベクトルの2回微分として定義され、接ベクトル方向曲率（4‒4）2次微分の式では、x=1において、と法ベクトル方向曲率があります。法方s(z)=1で、αの項のみが残り、向曲率には、主曲率、ガウスの曲率(K)∫α(z)bo(z)dz=αpとなります。但し積及び平均曲率(H)があり、E,F,G,L,M,N

分範囲は、実質的にz=0 〜 hbです。

により表せます。以下に、ガウス曲率と更に、船首尾形状、喫水線上形状と検平均曲率の式を示します。

討を進めねばなりませんが、その前に曲K = (LN ‒ M2)/(EG ‒ F2)

面の評価法について考察します。

H = (EN + GL ‒ 2FM)/(2(E G ‒ F2))

3．曲面を評価する方法について

ち測地的曲率が0となる座標を連ねた線と

図−8

ガウス曲率分布（船後上方から斜め下方を俯瞰）

図−9

平均曲率分布（船後上方から斜め下方を俯瞰）

測地線は、接ベクトル方向の曲率、即定義され、以下の微分方程式で表せます。
d2x/ds2+(pr/S)(dx/ds)2の保証は無く、滑らかさ評価や改善は必+2(ps/S)(dx/ds)(dz/ds)

要です。其の手法は2次元線図のフェア+(pt/√S)(dz/ds)2=0

リングではなく、3次元曲面の特性評価

接平面と法ベクトル

L=Pxx. e= ‒Px. ex, M=Pxz. e= ‒Px. ez

なお、積分範囲は、0 〜 hbです。

連続な関数表示の曲面でも、凹凸ゼロ

図−6d2z/ds2+(qr/S)(dx/ds)2となる筈です。以下、曲面幾何学に従い、+2(qs/S)(dx/ds)(dz/ds)

直交座標系で数式表示された曲面の特+(qt/S)(dz/ds)2=0

曲面表示による船型設計には、以上の性、即ち、基本形式や曲率等の式を導き、面倒な式ですが、p,q,r,s,tは、前記表様な曲面の良否評価、曲面修正等の方法

船型数式表示法への適用を検討します。

示式中の関数、Ao(x) 〜 A5(x)、或いはパが必要です。これが次の課題となります。

数式表示された空間曲面、y=f(x, z)をラメータ、bo(z), w(z), f(z), t(z), α(z),（続く）

LK<G^plGh'1+CZgnZkr+)*)

（技術顧問

武隈克義）

5

船型の数式表示について（3）SRC News No.82で、船体曲面形状

SFL、 船 首 尾 端 形 状 をProfileと、 又、場合も、容積や喫水線面積対応のパラを数式で表示し、その幾何学計量の計算

船首或いは船尾曲面を、Hull Formと略

メータは変えないこととします。前号で法、及び、端が垂直でSide Flat End称します。Hull Formは、SFLとProfile

紹介した基本形状を基に、肥大船を想定

Lineのない形状の計算例を紹介しましに挟まれた曲面部分と、SFLと肩位置のして創生した船首尾Hull Form（喫水線

た。本稿では、この表示式を、船首尾端垂線に挟まれた最大幅を持つ垂直平滑面下形状）を図− 3及び図− 4に示します。

形状が変化し、Side Flat End Lineが部分に区分されます。ここで、FP、あ付き,更に喫水線より上方の形状が被さる い はAPか ら の 距 離 を、SFLはs(z),

る複雑な曲面に拡張します。

Profileはg(z)とします。

1．船体曲面の基本表示式
Cp曲線（2次元平面曲線）表示式を船体（3次元空間）曲面に拡張した式を示
し ま す。 即 ち、 先 端 垂 直、Side Flat
End Line無の船首(Entrance)或いは船尾(Run)曲面（基本形状）の幅yは、長さx,深さzの関数として以下の様に記述されます。
y(x,z) = b(z)(Ao(x) + A1(x)w(z)+ A2(x)f(z) + A3(x)t(z)+ A4(x)α(z) + A5(x)β(z))

図−2

2−1

Xo = (x ‒ g(z))/(s(z) ‒ g(z))

X/L, y = Y/(B/2), z = Z/d,の形に無次原点をg(z)に移した深さzの水線長さ元化されています（図− 1）。b(z)は最がSFLまでの長さ(s(z) ‒ g(z))により無大断面形状、w(z)は深さzにおける水線

次元化された結果、曲面部分は、先端垂面積、f(z),t(z),β(z)は先端での幅，勾配、直でSFLのない基本形状の式が適用可能

曲率、α(z)は肩での曲率に対応するパラとなります。

メータ関数です。

y(x,z) = b(z)(Ao(Xo) + A1(Xo)w(z)+ A2(Xo)f(z) + A3(Xo)t(z) + A4(Xo)α(z)+ A5(Xo)β(z)、但し、Xo(x,z) = 0 〜 1

Lineが付き、船首尾端形状が深さ方向に

8

3．幾何学計量の計算
3−1

計算式

SRC News No.82で、第1、第2基

即ち本形式や曲率の式を紹介しましたが、こx = g(z) 〜 s(z)が上式の適用可能範囲で、れらの基礎となる曲面の1次微分及び2x = s(z) 〜 1ではy(x,z)=1となります。

次微分の式を曲面表示式から求めます。

上 式 に、 具 体 的 な パ ラ メ ー タ 関 数、

基本形状の表示式をSide Flat End

船首原点をprofileに移し、肩がSFLとなる
以下の座標変換を施します。

2．通常船体形状への拡張

図−4

座標変換

なお、曲面座標(x,y,z)は船首或いは船座標

船尾

船首尾プロファイル等

尾 長 さL， 最 大 幅B,喫 水dに よ り、x =

図−1

図−3

曲面表示式；

b(z), w(z), f(z), t(z), α(z), β(z)を与えy(x,z) = b(z) yo(x,z)て曲面形状を創生します。

yo(x,z) = ΣAi(Xo)Bi(z); i = 0 〜 5

これらパラメータは、基本表示式の場
合と同じですが、SFLやProfileに沿う関数のZ方向成分となります。

2−2

Hull Form 創生

変化し、更に、喫水線の上方形状が被さ基本形状に、ProfileとSFLを与えてる通常の船体形状の表示に拡張します。

喫水線下Hull Formを創生します。なお、

なお、以後は、Side Flat End Lineを

形状調整のためにパラメータを変更する

Xo = (x ‒ g(z))/(s(z) ‒ g(z));Bo(z) = 1, B1(z) = w(z),B2(z) = f(z),B3(z) = t(z), B4(z) = α(z),B5(z) = β(z)長さ方向の1次微分
y1 = dy/dx = b(z)y01,
y01 = Σ(Ai)̀Bi(z)/(s(z) ‒ g(z))

LK<G^plGh'1,:ikbe+)*)ると思います。船体曲面幾何学特性との(Ai)̀ = dAi(Xo)/dXo

感激の初対面ですが、この特性を曲面創生にフィードバックすることが次の課題

深さ方向の1次微分です。

y2 = dy/dz = b(z)̀yo + b(z)y02
y02 = ‒X1yo1+ yoo2

4．喫水線上方の形状への拡張

y002 = ΣAi(Xo)(Bi(z))b(z)̀ = db(z)/dz,

喫水線上方と下方の水中部分とは異な(Bi(z))̀ = dBi(z)/dz

る観点或いは条件で創生されますが、こX1 = (s(z)̀ ‒ g̀(z))Xo + g(z)̀
s(z)̀ = ds(z)/dz, g(z)̀ = dg(z)/dz

図−5 船尾 平均曲率分布
船尾端から斜め上方を俯瞰

れらをフェアな組合せる事が重要です。
前述の表示式を基に、Profile,SFL及びその他のパラメータ関数を上甲板面積や長さ方向の2次微分

端部幅条件を満たし、喫水線z=1で、1y3 = d(y1/dx) = b(z)dyo1/dx = b(z)yo3
yo3 = Σ(Ai)(Ai)

次及び2次微分値を共有する様にを決定

Bi(z)/(s(z)‒g(z))

します。図−4、図−5に示した喫水線下

2= d(Ai)̀/dXo = d2Ai(Xo)/dXo2の曲面に喫水線より上方形状を組合せた
曲面形状を図−9と図−10に示します。

長さ及び深さ方向の2次微分
y4 = dy1/dz = b(z)̀y01+ b(z)dy01/dz
dy01/dz = ‒sg(z)y01‒ X1 y03 + y04

図−6 船尾 平均曲率分布
船尾肩から斜め上方を俯瞰

sg(z) = (s̀(z) ‒ g̀(z))/(s(z) ‒ g(z))
y04 =Σ(Ai)̀(Bi(z)̀/(s(z) ‒ g(z))
深さ方向の2次微分
図−9

船尾形状

図−10

船首形状

Y5 = dy2/dz = b (z)yo + 2b̀(z)y02+ b(z)dy02/dz
dy02/dz = ‒(x2 ‒ 2sg(z)X1)y01‒x12y03 ‒ 2ｘ1, y04 + y05
X2 = (s(z)‒ g(z))Xo + g(z)

図−7 船首 平均曲率分布
船首端から斜め上方を俯瞰

Y05 =ΣAi(Xo)(Bi(z)(Bi(z))= d(Bi(z))̀/dz = d2Bi(z)/dz2

p = y1, q = y2, r = y3, s = y4, t = y5とし、第1、第2基本形式E, F, G, L, M,

おわりにN、曲率K, Hが得られます。
E = 1 + p2, F = pq, G = 1 + q2, S2 = 1 + p2 + q2,
L = ‒r/S, M = ‒s/S, N = ‒t/S
ガウスの曲率K = (LN ‒ M2)/(EG ‒ F2)
平均曲率H = (EN + G L ‒ 2FM)/2(EG ‒ F )以上の検討により、現在の2次元投影
図−8 船首 平均曲率分布
船首肩から斜め上方を俯瞰23−2図（線図）による方法と異なる3次元曲面を扱う船型設計法の可能性が見えて来ました。しかしながら、検討は緒に就いたばかりで、パラメータ関数設定法、幾曲率分布の計算例

スムースな曲面範囲のなだらかな傾向

何計量評価と曲面調整、推進性能との関

図−3、図−4に示す曲面について、が曲がりの大きな端部で変化し、曲面か連等、解決すべき多くの課題が待ち構え

微係数、基本形式,及び曲率等の計算しまら平面に変わるSFLに沿う膨らみやビルています。

したが、紙面の関係で平均曲率の分布をジ部付近の特徴等、一見滑らかなでも、

図−5から図−8に示します。

船体曲面形状の複雑な特性が示されていLK<G^plGh'1,:ikbe+)*)

（続く）

（技術顧問

武隈克義）

9

船型の数式表示について（4）はじめに
曲面の幾何学特性は曲面上の曲線に接する平面（接ベクトル）とそれに直交す
る法ベクトルにより定義される基本形
式、それから導かれる曲率や測地線により表されます。船体曲面を正面、平面、
図−4 1階微分Yx

側面の3面図によらず3次元空間の曲面として表す数式表示について紹介して来ましたが、創生した船体曲面から幾何学特性を計算してみます。対象は、載貨重図−1 容積係数の変化（船尾）2．船体曲面及び微分値

量7万トン程度の肥大船とし、以下の様設定した船首尾形状、SFL及びパラ

な主要目比や肥大度等を想定します。

メータ関数により、船体曲面Y(x, z)を創

L/B = 6, B/d = 3, Cp = 0.84, Cm = 0.997,

生します。前号で紹介しましたが、船首L/B(1‒Cp) = He/B+Hr/B = 0.96、

尾 形 状 を、 図 −2、 図 −3に 示 し ま す。

He/B = Le/B(1‒we) = 0.28,

曲面表示式を微分し、Yx, Yz, Yxx, Yxz,

Hr/B = Lr/B(1‒wr) = 0.68

Yzzを求めます。図−4から図−8に船

ここで、Le, Lrは船首部、船尾部の長尾曲面の例を示します。形状変化の大きさ、we, wrはそれら長さを1とするCpなビルジ部やプロペラチップ上方範囲で相当の数値です。なお、船首は突出約

微分値が局所的に卓越する特徴が見られ2%Lのバルブ、船尾はクルーザー型でます。又、2階微分のYxx, YxzにSFLに

プ ロ ペ ラ 中 心 付 近 の 端 部 がAP前 方 約

沿う窪みが現れ、Yzzではビルジ部の値

2%とします。

が更に卓越します。

1．パラメータ関数

図−5 1階微分Yz

図−6 2階微分Yxx

船体曲面表示式のパラメータ関数
w(z), f(z), t(z), α(z), β(z)は、先端が垂直でSide Flat End Line(SFL)のない基
本形状で定義され、船首端形状及びSFLと共に船体曲面を作ります。w(z)中の容積を表す系数wpは、基本形状の変形で

図−2 船首形状

増加あるいは減少し、SFLから肩の平滑
図−7 2階微分Yxz

部が加わり、we, wrとなりますが、本例
ではwp = 0.68からwe = 0.74, wr =0.71となりました。船尾部分の場合を
図−1に示します。

図−3 船尾形状

図−8 2階微分Yzz

8

SRC News No.84 July 2010

3．基本形式及び曲率
曲率は曲面上の曲線の2階微分として定義され、接ベクトルと法ベクトル成分
より構成されます。後者の成分は、主曲率の最大値と最小値(κ1, κ2)が基本形式の固有値として得られ、系数、E, F,
G;L, M, Nにより表されます。更に、ガ

図−10b ガウス曲率K（船首）図−12b 最大主曲率κ1（船首）ウ ス 曲 率K=κ1.κ2, 平 均 曲 率H=(κ1+κ2)/2と定義されます。SRC News平 均 曲 率Hを 図 −11a, 図 −11bに、

N0.82及び、No.83参照。ガウス曲率は、

最大主曲率κ1を図−12a, 図−12bに、(LN‒M2)/(EG‒F2)と記述され、分母の最小主曲率κ2を図−13a, 図−13bにEG‒F = 1+Yx +Yz は正ですから、ガ示します。これら特性の評価は今後の課

ウス曲率の正負はLN‒M2により決まり

題としますが、222ます（図−9）。

一見スムースに見える面も、幾何学特性というフィルターを介すと複雑な性質が現れます。

図−13a 最小主曲率κ2（船尾）図−9 EG−F2（船尾）
K>0では凹凸面、K<0の場合は鞍状曲面、K=0の場合は柱面や平坦面を意味します。図−10a, 図−10bにガウス曲率Kの分布を示します。SFLと肩間の平図−13b 最小主曲率κ2（船首）図−11a 平均曲率H（船尾）滑域でK=0、喫水線下は概ねK>0です
が、船尾端付近の水線に反りを与えた領域、プロペラ上方や喫水線上方の幅が広がる領域にK<0が現れます。ビルジ部や上甲板後端付近でKの値が卓越します。
図−14 座標の見方（No.81号参照）
図−11b 平均曲率H（船首）おわりに
微分幾何学に従って、微分値や曲率分布を計算しました。初めて見る船体曲面の多彩な特性に幻惑されています。次回

図−10a ガウス曲率K（船尾）は測地線に関する検討を予定していま
す。
（続く）
（技術顧問

武隈克義）

図−12a 最大主曲率κ1（船尾）SRC News No.84 July 2010

9

船型の数式表示について（5）
はじめにとする（Pu, Pv, e）の1次結合で表わ

2．曲面の基本形式

すガウスの公式により書き換えます。

SRC News No.82－84では、船体曲面の場合は、接線は接平面となり、曲面を関数Y（x,z）で表示し、曲面幾何

曲面は､ P(u,v) = (x(u, v), y(u, v), z(u,+ 2 ｢uuv(du/ds)(dv/ds）

学特性の式を導き、曲面創生や曲率分布v))、接平面は、（Pu, Pv）、直交する法+ ｢vuv(dv/ds)2）等の計算例を紹介しました。本稿では、ベクトルは､e = Pu×Pv/lPu×Pvlと定+ Pv(d2v/ds2 + ｢uvu(du/ds)2

測地線について、これまでの復習を含め義されます。ここで、Pu, Pvは、変数u,+ 2 ｢uvv(du/ds)(dv/ds）て解説します。

vの1階微分、Puu, Puv, Pvvは2階微分、+ ｢vvv(dv/ds)2)

Xは外積､・は内積、｜｜は絶対値を示し+ e(L(du/ds)2 + 2M(du/ds)(dv/ds)

ます。

+ N(dv/ds)2)

1．曲線の曲率とは？

P”（s) = Pu(d2u/ds2 + ｢uuu(du/ds)2-----------(3–2)

曲線に接線を描き、直角に立てた法線

接平面（Pu, Pv）成分が測地的曲率、上に中心を置いて曲線に接する円弧を描

直交ベクトルeの成分が法曲率、即ち、きます。円弧の半径の逆数が曲率です。

第2基本形式です。暫し、法曲率の復習です。
曲面上（ξ,η）で、リーマン計量に対する法曲率の最大及び最小値を求めま
図－3す。

接平面と法ベクトルλ = (Lξ2 + 2Mζη + Nη2）/(Eξ2 + 2Fζη + Gη2)

図－1 曲線の接線と法線
数学は「曲率は曲線の2階微分」と定

次に、第1基本形式（Ⅰ）と第2基本形

上式の変分 = 0として得られる方程式が式（Ⅱ）が定義されます。

解を持つための条件から導かれる式(Ⅰ) = dP.dP = E dudu + 2F dudv + G dvdv

（EG – F2)λ2 – (EN + GL – 2FM)λ(Ⅱ) = –dP.de = L dudu + 2M dudv + N dvdv

+ (LN – M2) = 0の解λ = κ1, κ2を義します。曲線の微分、即ち接線e1とdP = Pudu + Pvdv, de = eudu + evdv

最大､最小主曲率と呼び、それらの積を法線e2との関係を表す式、ei, e1 = 1,

E = Pu.Pu、F = Pu.Pv、G = Pv.Pv

ガウス曲率K、平均曲率Hと定義します。

e2.e2 = 1, e1.e2 = 0のうち、前2式

L = Puu.e = –Pu.eu,

K = κ1.κ2 = (LN – M2)/(EG – F2)の微分e1'e1 = 0, e2'e2 = 0は、2階

M = Puv.e = –Pu.ev = Pvu.e = –Pv.eu

H = (κ1 + κ2)/2 = ((EN + GL – 2FM)/2(EG – F2)

微分e1'、e2'とe1、e2が直交、e2, e1

N = Pvv.e = –Pv.ev

なお、半径aの球面のガウス曲率は、1/と平行を意味しますので、e1' = κe2（Ⅰ）式は曲面に沿う微少長さの2乗

a2、平均曲率は1/aです。

と書け、残った微分e1'.e2 + e1.e2'かに、（Ⅱ）式は曲面に垂直方向の変位にらe2' = –κe1となります。
（e1', e2'）

対 応 し、 特 に、（ Ⅰ ） 式 は、1854年、

K>Oは曲面が凹凸状、K<0は鞍状、Kが曲率ベクトル、κが曲率です｡空間曲

27歳のリーマンが、ゲッチンゲン大学= 0は平坦を意味し、κ1 = κ2の場合

線では､接線e1主法線e2に直交する従での教授就任講演で、第1基本形式に基は臍と呼びます。K<0の例として、図法線e3 = e1Xe2方向の捩れ率τが現づく幾何学を提唱した記念にリーマン計－4に擬球面を示します。ところで、曲れ（図－2）、e1' = κe2, e2' = –κe1

量とも呼ばれます。

率の式の分母、（EG – F2）は正値で、凹+ τe3、e3' = –τe2となります。

凸 等 を 決 め る の は 形 式 上 第2基 本 形 式

3．曲面の曲率とは？

ですが、実は、第一基本形式の存在が「曲面に沿う曲線P(s)の2階微分前提でした。
「曲面の特性は第1基本形式

P”(s)が曲面の曲率」の定義です。

により決まる。
」の証明は、Theorema

P”(s) = Pu(d2u/ds2) + Puu(du/ds)2

egregium（最も素晴らしい定理）とガ+ 2Puv(du/ds)(dv/ds) + Pvv(dv/ds)

ウスに言わしめた数学史上の金字塔とさ+ Pv(d v/ds )、Puu, Puv, Pvvを、クれています。

2

2

図－2

8

Frenetの標構2

リストフェル記号「uuu ～「vvvを係数

SRC News No.85 October 2010x = acos(s/c), y = asln(s/c), z = (b/c)sと書き換えます。クリストフェル記号は、「xxx = x/(a2 – x2) 以外は0となり、測地線の条件はd2x/ds2 + (x/(a2 – x2))(dx/ds)2 = 0
d2z/ds2 = 0となり、x, zの式を代入すれば、弦巻線が測地線の条件を満た
図－7

図－4

Ｋ＜ 0の曲面の例（疑球面）

楕円球面

していることが分かります。
同様な方法で、球面の測地線は、赤道5．測地線の計算式と子午線、楕円球面（図－7）は、座標

直交座標（x, y, z）で､y = Y（x, z）

4．測地線とは？

で表される曲面に沿う曲線が測地線であ「曲率の接平面成分が0となる曲面上連立方程式が得られます。

る条件を求めます｡（3-2）式から次の軸の作る面と交わる3本の測地線を持つことが証明出来ます。

6．船体曲面上の測地線の曲線」が測地線の定義です。即ち、曲d2x/ds2 + 2｢xxx(dx/ds)2

設定した曲面表示式からクリストフル

面に接する平面への投影線が直線であれ+ 2 ｢xxz(dx/ds)(dz/ds)

記号を計算し、連立微分方程式を解いて、ば曲線は測地線です。（図－5）+ ｢zxz(dz/ds) = 0 ------------(5-1)

測地線を求めます。肥大船の船尾部曲面

d2z/ds2 + ｢xzx(dx/ds)2を対象の計算例を図－8に示します。演+ 2｢xzz(dx/ds)(dz/ds)

算の便宜上、範囲を喫水線下の曲面部に+ ｢zzz(dz/ds) = 0 ------------(5-2)

限定し、微分値が不連続或いは∞となるクリストフェル記号は以下の通りです。

箇所の無い連続な曲面表示式を作りまし「xxx = YxYxx/(1 + Yx2 + Yz2)

た。計算上の誤差はありますが、船尾部「xzx = YzYxx/(1 + Yx + Yz )曲面（厳密には、船体近似曲面）の測地「xxz = YxYxz/(1 + Yx + Yz )線が得られたと思います。

2

2

2

2

2

2

2

「xzz = YzYxz/(1 + Yx2 + Yz2)

いずれの測地線も、船尾プロファイル

2「zxz = YxYzz/(1 + Yx + Yz )の端から、曲面に沿って斜め上方に直線「zzz = YzYzz/(1 + Yx + Yz )状に進み、Side Flat End Line近くで

2

図－5

球面の測地線例として、円柱に沿う弦巻線を示します。
（図－6）。又、測地線は、曲面上の最短線でもありますが、豆科植物が、最短の弦巻線に沿って成長する様子に自然の摂理を感じます。

図－6

2

2

------------(5-3)
以上の式より、半径aの円柱に沿う弦
巻線（図－6）について調べます。
弦巻線の式はx = acost, y = asint,z ＝ bt長さsとパラメータtの関係、
ds/dt = (a + b )
2

2 1/2

曲がり、船側平坦部に入る傾向を示し、平板ガラスを翳せば直線に見えるようです。以上の様子は、船尾粘性流場の限界
流線に似ており、弦巻線に見られる様な、自然の摂理を期待したくなります。
（技術顧問

=c

より、

図− 8

測地線の計算例（肥大船船尾）

1/2

武隈克義）

測地線の例（弦巻線）

楕円球面の測地線は座標軸よりなる面（x – y, y – z, z – x）との交線です。
（図－7）

SRC News No.85 October 2010

9

船型の数式表示について（6）はじめにg(z))範囲は船側平坦部です。関数Ao～
A5の特性から、曲面と平坦部はXo(x,SRC News No.81– 85では、Cp曲z) = 1で、半幅1と1階微分値0を共有線の表示式を3次元に拡張し、船首尾プします。左記の式により得られた曲面がロファイルや船側平坦部を持つ曲面表示

Side Flat End Lineに沿って船側平坦法及び曲面幾何学について紹介しまし面と滑らかな接合（x, z方向1、2階微分

た。

値の共有）となる例を紹介して来ました

ところで、船の形は、断面形状一定のが、数学的理由付けが欲しいところです。

胴体と両端の船首、船尾部よりなる複合

図－1、図－2に船首部曲面の1階微分体ですが、船首尾部は曲面や平面が様々の例を示します。

図− 3

船底の接合形態再現例

3．船首尾端部処理（丸め）
表示法

な形態で接合し構成される複雑な曲面で左記表示式が表す曲面端部は半幅b(z)あり、その表示式には接合形態の特徴がf(z)のブラント形状です。線図では仮想考慮されねばなりません。本稿では、船幅のブラントな端部に「丸め」と称する

首尾曲面の基本的な接合形態の表示形式

局所的整形、例えば、円弧と水線端とのについて紹介します。

接合が施されます〔図－4〕。

1．船側における接合形態の表示法
既報において、船首、船尾の曲面部分
は、先端x=0、肩x=1とする長さ方向位

図−11階微分Yx分布例

置x、計画喫水を1とする深さz、最大半幅を1とする水線半幅Y(x,z)として以下の様に記述される事を紹介しました。
図－4

Y(x, z) = bo(z)(Ao(Xo) + A1(Xo).w(z)+ A2(Xo).f(z) + A3(Xo).t(z)ブラントな水線先端付近の局所的な整+ A4(Xo)α(z) + A5(Xo)β(z))---(1)

形・処理方法を数式化し、適用した例を

Xo = (x – g(z))/(s(z) – g(z))-------(2)図－5及び図－6に示します。

ここで、bo(z)は最大断面形状表示式、Ao(Xo)–A5(Xo)は、長さ方向変化を表す関数、g(z)は船首尾プロファイル、s(z)は船側平坦境界線Side Flat End Line8

先端処理要領例

図－2

1階微分Yz分布例

2．船底における接合形態表
示法の表示式です。w(z), f(z), t(z), α(z),   

船 首 尾 曲 面 は 船 底 平 坦 部 とBottom

β(z)は、b(z)と共に深さzの水線面形状

Flat End Lineで接合しますが、その形を決めるパラメータ関数で、先端が垂直

態は互いに接する状態から交差状態まで

で船側平坦部のない基本形状の深さzの変 化しま す。Rise of Floorが0のFlat

水線面積係数、先端幅と長さ方向1階微Bottomの場合は、w(z), f(z), t(z)の式に

即ち、y = an. x(1/n) +∑ai. xiとし、先分、肩及び先端における長さ方向2階微z(1/n)の項を追加し、α(z), β(z)の調整に

端から距離xmにて、幅、1階微分及び2分の値を表します。(2)式は、基本形状

より、船底の接合形態を表せますが、ケー階微分値を整形・処理対象のCw曲線と曲面を船首尾端とSide Flat End Line

ス毎に表示法が異なる可能性があり、船共有する条件から係数、an,aiを設定し、の間0<Xo<1の曲面への変換を意味し底平面が傾斜するケースにも適用可能な端部の処理を施します。なお、n = 2,

ま す。 な お、1<Xo<(1–g(z))/(s(z)–表示法の開発が課題です（図－3）。

xm = fとしています。

図－5Cw 曲線（先端未処理）

SRC News No.86 January 2011Qm(z) = Bm(z).Xm(z)2–2Tm(z).Xm(z)て滑らかな接合が見られます。表示式+ 2Fm(z)-----------------------(5)(1)(2)(3)(4)について、接合線に沿って両曲面の1階微分及び、2階微分の式を

図－6

Cw 曲線（先端処理済）

D1(Xeo), D2(Xeo), D(Xeo, n)は曲面比較した結果、接合条件に含まれていなの表示形式により決まる関数、nは先端

いz方 向 微 分 値Yz、Yxz、YzzもdXm/

形状を調整する指数で、n=2では円弧、

dz = 0の場合に限り共有される事が分n=1で角形状です。図－9、図－10、図かりました。即ち、Side Flat End Line－11に示す適用例では、滑らかな接合に沿う滑らかな接合は基本形状座標でが見られます。

Side Flat End Line長さを一定(Xm(z)= 1とした結果であり、端部処理の場合

図－7に、図－5に示す曲線の曲率分

も、その基本形状座標では、境界線のz

布、図－8に端部処理有無の曲率分布の方向勾配は0としています。なお、高さ比較を示します。

一定の接合線の場合は、その上下曲面は、対応するパラメータ関数が連続であれ
ば、滑らかな接合となります。

6．曲面接合の表示式について
図－9

先端付近処理例

拡大図

以上の考察より、(1)(2)式で表示される後方肩側曲面(A)と接合する曲面(B)の表示式を提案します。即ち、基本形状座標上Xo = Xm(z)に沿って、曲面(A)と幅

図－7Cw 曲線曲率分布（先端未処理）

Bm(z)、x方向1階微分値Tm(z)、2階微分値αm(z)を共有する曲面(B)の表示式
は以下の通りです。
Yb(x,z) = b(z)(Fm(z)Ao(Xe)+ wm(z).A1(Xe)/Xm(z) + fm(z).A2(Xe)+ tm(z)Xm(z).A3(Xe)
図－10

先端処理施行船首部例+ αm(z)Xm(z)2.A4(Xe)+ βm(z)Xm(z)2.A5(Xe)+ Tm(z)Xm(z).A6(Xe)--------------(5)Xe = Xe(x, z) = Xo(x,z)/Xm(z)--(6)図－8

ここで、wm(z), fm(z), tm(z), βm(z)

先端処理有無の曲率分布

は、曲面(B)の基本形状座標の水線面積
この方法を3次元に拡張します。即ち、係数、先端の幅、長さ方向1階微分値及深さzの水線の端部処理曲面Ye(x,z)が、

び2階微分です。なお、関数A0-A5は曲

先端からの距離Xm(z)で、船体曲面と幅面(A)(B)共通で、新たに肩の勾配の関数(Fm(z))、x方向1階微分(Tm(z))、2階微A6が登場します。

分(Bm(z))を共有する事とし、その表示式を(3)、(4)のように記述します。
Xeo = Xeo(x, z) = Xo(x, z)/Xm(z)、-----(3)Ye(x,z) = D1(Xeo).Fm(z)図－11

後端処理施行船尾例

4．接合の滑らかさについて+ D2(Xeo).Tm(z).Xm(z) + D3(Xe0, n).Qm(z)上図によると、Side Flat End Line-------------------------------------(4)及び主要曲面と先端曲面の接合部に沿っ

SRC News No.86 January 2011

A6(Xe)=10Xe3–35Xe4+39Xe5–14Xe6
接合線Xm(z)に沿うz方向微分値の共有、即ち2つの曲面の滑らかな接合条件について、以上の一般式を基に検討を進める所存です。
（続く）
（技術顧問

武隈克義）

9

船型の数式表示について（7）表示式を z の多項式で表し、上記の条はじめに件から係数 aj, bkを設定します。

前号 SRC News No.86では、船体を構成する特性の異なる曲面の接合について

w(z)=wo + Σaj z j + bk z(1/k)----------(3)図− 1に w(z) の例を示します。

4. パラメータ関数t(z)

船首尾端に沿う水線勾配 t(z) も、z =0 ～ 1間の積分値 tp, z = 0, 1, mでの値、検討し、隣接面同士の滑らかな接合条件

t0, t1, tm、喫水線上下範囲の特性を与を満たす曲面表示法を提案しました。本

える条件や表示式は、w(z), f(z) と同じで稿では、パラメータ関数と曲面形状の関すが、曲面に局所的凹凸が生じぬ様な、係という数式表示本来のテーマに戻り、

w(z), f(z) との組合せとする必要がありまパラメータ関数の意味や表示式の基本構

す。図－ 3に t(z) の例を示します。

成について、具体例と併せて紹介します。

1.	曲面表示式とパラメータ関数
曲面は先端 x=0、肩 x=1とする長さ方
向位置 x と、計画喫水を1とする深さ z、の曲面関数として最大半幅1の水線半幅

5. パラメータ関数 α(z)、β(z)α (z) は,肩における2階微分値ですが、図－1 パラメータ関数 w(z)変形された曲面では side flat end lineに

3. パラメータ関数  f(z)

沿う水線の曲率を表します。又、β(z)は船首尾端に沿う水線の曲率を表し、船船首尾端に沿う仮想幅 f(z) も z = 0 ～底付近の水線の両端に反りを与えて、水1間の積分値 fp, z = 1での f1, z = 0での線形状を調整する補助的パラメータで、Y(x, z) = bo(z)(Ao(Xo) + A1(Xo).w(z)f0, z=mでの fmや喫水線上下夫々の範囲

船 底 近 傍 の 局 所 的 関 数 と し て い ま す。

+A2(Xo).f(z) + A3(Xo).t(z)の特性を決める条件や表示式は w(z) と基

図− 4に α(z) の例を示します。

Y(x,z) で表されます。

+A4(Xo)α(z) + A5(Xo)β(z))--------(1)本的に同形式ですが、船首バルブ形状やなお、z= 0 ～ 1間の積分値、wp, fp,

Xo = (x – g(z))/(s(z) – g(z))-----------(2)船尾での舵、プロペラ装着等を考慮する

tp, αp,β pは、横切面積曲線表示の数値

ここで、bo(z) は最大断面形状表示式、必要があります。図− 2に、f(z) の例を

パラメータ、又、wp は x = 0 ～ 1間の示します。

積分値 Cpに対応します。

Ao(Xo)–A5(Xo) は、長さ方向変化を表す
関数、g(z) は船首尾プロファイル ,s(z) は Side Flat End Lineです。
曲面形状を決めるパラメータ関数w(z),f(z), t(z), α(z), β(z) は、深さ zにおける水線面積係数 (w(z))、先端の仮想幅 (f(z))と水線勾配 (t(z))、長さ方向 2 階微分の肩における値 (α(z))、及び先端における値 (β(z)) を表します。

2. パラメータ関数w(z)

図− 2 パラメータ関数例 f(z)

水線面積係数 w(z) は、計画喫水線下のα(z)6. 船型創生のケーススタデイ

z = 0 ～ 1間の積分値で容積に相当する
wp、計画喫水 z=1の水線面積係数 w1,仮船長 / 幅比 L/B=6, 幅 / 喫水比 B/d=3

称、船底平坦面積係数、z=0 での値 w0

で肥瘠係数 Cb を変えた船型を創生し、及び喫水線上の仮称上甲板面積係数、z =条件設定方法や課題について検討中でmでの値 wmを満足し、喫水線上下夫々

す。

の範囲の分布形状の特性を与える条件
や、船底平坦面との接合を考慮して設定
されます。

8

図− 4パラメータ関数例

図− 3 パラメータ関数例 t(z)

Case

1

2

3

4

Cb

0.86

0.75

0.66

0.55

以上の内、case-2 についての検討結

SRC News No.87 April 2011

果を図− 5以降に紹介します。

図− 5 船型全体

図− 9 船尾曲面図− 12 船首尾プロファイル

図－13 船首 Yz
図− 6

船首曲面
図− 10 船尾正面図

図− 14 船尾 Yz

図− 5は、創生した船首尾曲面 ( 図−図− 7 船首正面図

6, 図− 9) を組合せた形状、図− 7, 図−
図− 11 船尾 Yx

10 は、曲面の切断面を示す正 面 線 図、
即ち肋骨線です。通常の表示法と違いますが検討途上の生データとご理解願います。
船首尾端は未処理で船底平坦面との接合に改良の余地はありますが、長さ方向
勾配分布（図− 8, 図− 11）、深さ方向
勾配分布 ( 図− 13, 図− 14) を見ると曲面の連続性や滑らかさは実現しているようです。 （続く）

図− 8 船首 Yx

SRC News No.87 April 2011

（技術顧問

武隈克義）

9

船型の数式表示について（8）はじめにが喫水や船幅に比べて十分小さな Flat

( ⅲ ) 座標変換と曲面形状計算

Bottom船型の表示に適しています。

Zoo(x, z)=(z–hoo(x))/(1–hoo(x))

船体形状を曲面で表す数式表示も、伝しかし、船底が傾斜すると底面はキー

統ある線図表示法との整合を迫られまル幅以下に収斂し、ヨットやボート、或す。その主要課題は、船体を構成する平いは、船底を幅広キールとみなす肥大船面、円筒面、更に複雑な 3次元曲面とい型 MIBS* 等に適用が限られます。

う幾何学特性の異なる面同士の接合表示

図－ 2、図－ 3に左記の式による痩せ法と滑らかさの保証です。例えば、船側形船、及び MIBS船型の例を示します。

Yo(x, z)=A0(Xo)+ΣWi(Zoo)Ai(Xo)
Xo(x, z)=(x–g(z))/(s(z)–g(z))( ⅳ ) 左記 (2) 対応の変換
bs(x, z)=b(Zoo)Y(x, z)=bs(x, z)Yo(x, z)

平坦部や船首尾端フェアリング部と前後の曲面同士の接合については既に紹介しここで、座標系、曲面表示の特性関数

ましたが、船底の傾斜平坦面と上方曲面

Ai(Xo)、パラメータ関数 Wi(z)、船首尾との接合や船側平坦面、船底ビルジ部円プロファイル g(z)、Side Flat End Line長

筒面及び主要部曲面が出会う個所の処理

さ s(z) については、既報に紹介済みです

等、線図の常識が数式表示法では問題とので説明を省略します。船底傾斜船型のなるのです。本稿では、船底形状、特に傾斜する船底平坦部を持つ曲面形状の表

図− 2 表示式 Y(x, z)=b(z)YO(x, z)（痩せ形船型）

曲面表示式は Flat Bottom船型と基本的に同じですが、パラメータ関数や最大断示法と、特性の異なる 3つの面の出会い

面幅は長さ方向位置毎に変わります。

が齎す影響について紹介します。

3. Slope Bottom 船型の創生

1.	船体の船底形状について

主要目を、L×B×d = 216m×36m×船体の最大断面形状は、船体中心と12mとし、肥大度および最大断面寸法を

キール端間の直線 (a)、キール端と船側設定し創生した船体曲面を図− 4から図

垂線上 Rise of Floor高さを結ぶ直線 (b)、－ 8 に示します。又、図－ 9 に Case B

及び直線 (b) と船側垂線 (c) に接する円弧

図− 3 表示式 Y(x, z)=b(z)YO(x, z)(Bilge Radius)(d) で表されます（図－1）。

（肥大船型 MIBS）

数式表示法は、曲面 Y(x, z) を、最大断面が長方形の曲面 Y0(x, z) と最大断面幅

2. 傾斜船底の数式表示の船首部曲面を正面線図にして変換前の形状と比べて示します。
Case

A

B

C

H(m)

1.8

0.9

0.6

R(m)

4.2

2.4

1.8

します。この式は、肥大船に採用されて

図－1に示す長方形断面を傾斜船底断

M(m)

1.0

1.0

1.0

いる Rise of Floor = 0で、Bilge Radius

面 (a),(b),(c) へ変換します。その手続き

Cm

0.916

0.960 0.974

は、(1) 長 方 形 底 辺 を 直 線 (a) か ら 直 線

Cp

0.59

0.66

0.82

(b) 上の円弧 (c) との接点までへの変換と

Cb

0.54

0.63

0.80

b(z) により Y(x, z) = b(z)Y0(x, z) と表示(2) 長方形垂直辺を円弧 (c) と船側垂線範囲への変換です。このプロセスを数式にして曲面部分に適用します。
( ⅰ ) 最大断面が長方形の曲面底辺
(c)

(d)

Y(x,z)

Y0(x, 0)=A0(Xoo)+ΣWi(0)Ai(Xoo)

Yo(x,z)Xoo(x)=(x–g(0))/(1–g(0))

(b)
(a)

θ
bb1

図－１

8

最大断面形状m( ⅱ ) 上記 (1) に対応する変換
幅

Yoo(x)=m + BB*(Y0(x, 0)–m)

図− 4 船型－ A（船首部曲面）

BB =(bb1–m)/(1–m)
高さ hoo(x)=(Yoo(x)–m)*tanθ

SRC News No.88 July 2011

図− 11 船型－ D
Yz勾配ギャップの影響

図− 5 船型－ A （船尾部曲面）
図− 9 船型－ B（船首部正面線図）

4. 船底ビルジ上端の問題
船首船尾の肩部、ビルジ円弧上端とSide Flat End Line, s(z) 下端の交点、船側平坦面、平行部船底円筒面および船首
尾曲面が出会う頂点近傍の z方向勾配は、
船側平面 0、平行部面略 0で、曲面では、
Yz = –(ds(z)/dz)*(dY0/dXo))と近似的に
図− 6 船型－ B （船首部曲面）表せます。dY0/dXoは微少でも、ds(z)/dzの値が大きいと、上下方向勾配に段差

図− 12 船型―D
正面線図

が生じ、その影響は、同じ高さの水線全以上の様な不都合な形状は、頂点で域に広がります。又、2階微分は、船側

ds(z)/dz = 0即ち、上下の境界線が互い

垂 線 と 円 弧 の 接 点 で 階 段 状 に 変 化 し、に接する形状にすれば解決可能です。線

Side Flat End Lineの影響が加わり、幾図の場合、フェアリングにより局所的に何学的滑らかさは期待出来ません。

ds(z)/dz = 0を達成している可能性があり、既存線図を解析・調査の予定です。

s(o)’ = ∞数式表示法でも、パラメータ関数分布や、

s(o)’ = 0

Side Flat End Line表示式の調整により

図− 7 船型－ B （船尾部曲面）改善は可能ですが、2階微分のギャップ
は、直線と円弧による表示法では避けら
船側平面

平行部円筒

れません。表示式設定の試行錯誤、曲面

s(z)
s(z)

創生や幾何学計量等の計算時間の急増

曲面

等、空間曲面表示法と平面図による伝統b(z)図− 10 3面の接合手法との共存の難しさを痛感します。伝統に固執せず、測地線計算で試みた全面
連続関数表示等も検討課題です。
（技術顧問

武隈克義）

図－11に、頂点高さ水線に沿った勾図− 8 船型－ C（船首部曲面）

配ギャップの例、図－12 に対応する曲面形状を正面線図で示します。

SRC News No.88 July 2011

9

SRC News̲No.89̲P14-15船型の数式表示について（９）のパラメータ値により得られる水線曲線Cwも併記しています。

（３）
パラメータ関数

SRC News̲No.89̲P14-15

なお、図では０がF.P.、1がA.P.を表しています。また、z=1へ

f(z)

図-６に船首端、即ちプロファ
イルに沿う幅分布に対応するf３. 浮心の近似式(z)を示します。z=0で接し、船Cp(x)の式から、モーメント(mt)、図心(Xc),全体の浮心(Lcb)の式を導きます。

首バルブ断面形状に対応して変化する傾向が見られます。

図-６ パラメータ関数 （z）f

mt=3/28+(wp*/2)/(1-xm)-3fp*/28

はじめに

Cp(x)=Ao(xx)+A1(xx)wp*/(1-xm)+A2(xx)fp*+ A3(xx)tp*-tp*/84+3(αp* -βp*)/5040（４）パラメータ関数2+A4(xx)αp*+A5(xx)βp*

Xc=xm + mt(1-xm) /wp*t(z)図-７に船首端に沿う長さ方

前号SRC News No.88まで、数式表示法と曲面幾何学特性のwp*は左記の式、fp*=∫f(z)dz,

Lcb(%)=((wep*le Xce +(1-le-lr)(1-lr+le)/2+wrp* lr(1-lr

向勾配に対応するt(z)を示しま関連を主題に紹介して来ましたが、船型設計との関連を論じる段

tp*=∫(t(z)/(s(z)-g(z)))dz,

Xcr))/Cp - 0.5)*100

す。z=0で接し、f(z)と同様に船階となりました。主要目や排水量の設定、横切面積曲線の決定、選αp*=∫(α(z)/(s(z)-g(z)) )dz,

ここで、le, wep*, Xme, lr,wrp*,は、船首entrance,船尾runの

首バルブ断面形状に対応して定した母型に似た船体形状の創出に至るプロセスの中で、各種のβp*=∫(β(z)/(s(z)-g(z)) )dz

数値、Cpは、船首、平行部、船尾の合計値、LcbはMid-shipの後変化する傾向が見られます。

表示式やパラメータ関数のデータ整備、曲面変形法等、色々な課

xx=(x-xm)/(1-xm), xm=∫g(z)dz

方が+、前方がーです。

2

2

題がありますが、本稿では、排水容積や横切面積曲線表示式、母船

1型選定のデータとなるパラメータ関数を線図オフセットから求め0.8

る方法について紹介します。

0.6

１. 排水容積 - 柱形肥瘠係数

2４. パラメータ関数の解析

0.4

0.2

船体形状〔半幅y(x,z)〕の式を以下に示します。座標(x,y,z)は、
船 首 或 い は 船 尾 端を原 点に、船 首 尾 長さ（ L e , o r L r ) 、半 幅
（B/2)、計画喫水(d)による無次元値、Ao(Xo(x,z)),---,A5(Xo

0
-0.2
0

0.2

端部を持ち(x=g(z))、side flat end line (s(z))に沿って、平0.8

坦面に滑らかに接合します。y(x,z)は中央断面幅b(z)とyo(x,z)

0.6の積で、x=g(z)〜s(z)の曲面域は、

0.4+A4(Xo)α(z)+A5(Xo)β(z)曲面域と平坦面域の容積の和に対応する式が得られます。
wp*=∫w(z)(s(z)-g(z))dz+∫(1-s(z))dz

1

1.2

1.4

1.6

1.8

図 -８に肩 部 の 曲 率に対 応

尾プロファイルを船首尾長、半幅、喫水の無次元値に直し、数式表するα(z)を示します。z=0で示法の座標に整理します。次に、長さxi,深さzjでの半幅y(xi,zj)の接し、喫 水 線に向けてマイナ

関係式を基に深さzjでのパラメータ関数の値、w(zj),f(zj),t(zj),αスの 値から０へと変 化します。

(zj),β(zj)を最小二乗法により求めます。

喫 水 線 付 近 から船 底 方 向 に

Ao(Xoij)+A1(Xoij)w(zj)+A2(Xij)f(zj)+A3(Xoij)t(zj)

水 線 の 肩 落 ち 傾 向 が 強 まる

+A4(xoij)α(zj)+A5(Xoij)β(zj)=y(xi,zj)/b(zj)

事を意味します。

図-8 パラメータ関数 α（z）Xoij=(xi-g(zj))/(s(zj)-g(zj))

ラメータ関数を解析した結果を紹介します。
Cp(a,b,c)（１）Side Flat End Line

0

s(z)

0.4

図-９に船首端曲率に対応するβ(z)を示します。z=0で接し、喫水が得られました。極値深さの水Side Flat End Line長と船首部長の比を深さベースにプロット

-0.2
0.2

（６）
パラメータ関数 β(z)の中間付近に極値をもつ分布

0.2

0.6

0.8

線を中心に先端付近で丸みを1図-2 Cp & Cw 曲線 Cb=0.65
1.2
Cw

1

（５）
パラメータ関数 α(z)オフセットの数値、即ち、深さz毎のSS.N0.における半幅や船首L/B=7,B/d=3,Cb=0.7の船型のオフセットから船首部曲面のパ

Xo(x,z)=(x-g(z))/(s(z)-g(z))∬yo(x,z)dxdzのxに関する積分から
柱形肥瘠係数wp*は、

0.8

Cw

0

平坦域x= s(z)〜1は、yo(x,z)=1です。

0.6

1.2
1

yo(x,z)= Ao(Xo)+A1(Xo)w(z)+A2(Xo)f(z) +A3(Xo)t(z)0.4

図-１ Xo(x,z)一定のx,z曲線(x,z))は、曲面の長さ方向変化を表す基本的な特性関数、w(z),f(z),t(z),α(z),β(z)はパラメータ関数です。曲面部は、変化する

図-7 パラメタ関数 （z）
t0.8

して図-４に示します。若干のバ帯び肩付近が膨らむ事を意味

ラツキはありますが、肩部船底し過度の、肩落ち傾向の局所

付近で船側垂直線に接してお的補正と考えられます。
図-9 パラメータ巻数 β（z）

り、両者の交叉に起因する曲面

0.6
Cp(a,b,c)0.4の局所的不連続性の発現を防船首、平行部、船尾部を合わせた柱形肥瘠係数Cpは、船首、船0.2

ぐ配慮が見られます。

尾の柱形肥瘠係数wep*,wrp*との以下の関係式から求める事

0（７）船体曲面の再現
以上データから各パラメータの表示式を回帰分析により設定し曲
図-4 Side Flat End Line S（zj）

面の再現を試みました。

-0.2が出来ます。
L/B(1-Cp)=Le/B(1-wep*)+Lr/B(1-wrp*)

２. 横切面積曲線を描く

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

船首バルブやフレームライ

1

図-3 Cp & Cw 曲線 Cb=0.82
上式は、Side flat end lineと船首尾形状による変形影響を考慮しています。

（２）
パラメータ関数w(z)ンの傾向等、原船型の特性が図-５に深さ方向の水線面積

かなり忠実に再現されたと評係数分布を表すw(z)を示します。

価されます。先人のノーハウを

船首尾部の横切面積係数曲線Cp(x)=∫yo(x,z)dz は、曲面部

図-２、図-３に近似式による計算結果（a）と断面毎の数値計算結

若干のバラツキはありますが、

パラメータ関数に置き換えると平坦部の区分けやXoが、zだけの関数ではなく図-1に示す様

果（b）
をSS.Noベースの曲線で示します。更に、tp*,αp*、βp*にxm

船底z=0で接し、喫水線、更に上

数式表示法の目標に一歩近着な曲面の為に解析解は勿論演算も面倒ですので、検討に便利なの更なる修正を加えた近似式による結果（c）も併記していますが、方へと増加する傾向は、フレーいた思いがします。

近似式を提案します。

３者は良く合っており、検討に必要な精度をもつと考えられます。

ムライン形状に対応しています。

SRC News No.89 December 2011

図-５ パラメータ関数 w（z）

図-１０ 再現された曲面
（技術顧問

武隈克義）

SRC News No.89 December 2011 15

SRC News̲No.89̲P14-15船型の数式表示について（９）のパラメータ値により得られる水線曲線Cwも併記しています。

（３）
パラメータ関数

SRC News̲No.89̲P14-15

なお、図では０がF.P.、1がA.P.を表しています。また、z=1へ

f(z)

図-６に船首端、即ちプロファ
イルに沿う幅分布に対応するf３. 浮心の近似式(z)を示します。z=0で接し、船Cp(x)の式から、モーメント(mt)、図心(Xc),全体の浮心(Lcb)の式を導きます。

首バルブ断面形状に対応して変化する傾向が見られます。

図-６ パラメータ関数 （z）f

mt=3/28+(wp*/2)/(1-xm)-3fp*/28

はじめに

Cp(x)=Ao(xx)+A1(xx)wp*/(1-xm)+A2(xx)fp*+ A3(xx)tp*-tp*/84+3(αp* -βp*)/5040（４）パラメータ関数2+A4(xx)αp*+A5(xx)βp*

Xc=xm + mt(1-xm) /wp*t(z)図-７に船首端に沿う長さ方

前号SRC News No.88まで、数式表示法と曲面幾何学特性のwp*は左記の式、fp*=∫f(z)dz,

Lcb(%)=((wep*le Xce +(1-le-lr)(1-lr+le)/2+wrp* lr(1-lr

向勾配に対応するt(z)を示しま関連を主題に紹介して来ましたが、船型設計との関連を論じる段

tp*=∫(t(z)/(s(z)-g(z)))dz,

Xcr))/Cp - 0.5)*100

す。z=0で接し、f(z)と同様に船階となりました。主要目や排水量の設定、横切面積曲線の決定、選αp*=∫(α(z)/(s(z)-g(z)) )dz,

ここで、le, wep*, Xme, lr,wrp*,は、船首entrance,船尾runの

首バルブ断面形状に対応して定した母型に似た船体形状の創出に至るプロセスの中で、各種のβp*=∫(β(z)/(s(z)-g(z)) )dz

数値、Cpは、船首、平行部、船尾の合計値、LcbはMid-shipの後変化する傾向が見られます。

表示式やパラメータ関数のデータ整備、曲面変形法等、色々な課

xx=(x-xm)/(1-xm), xm=∫g(z)dz

方が+、前方がーです。

2

2

題がありますが、本稿では、排水容積や横切面積曲線表示式、母船

1型選定のデータとなるパラメータ関数を線図オフセットから求め0.8

る方法について紹介します。

0.6

１. 排水容積 - 柱形肥瘠係数

2４. パラメータ関数の解析

0.4

0.2

船体形状〔半幅y(x,z)〕の式を以下に示します。座標(x,y,z)は、
船 首 或 い は 船 尾 端を原 点に、船 首 尾 長さ（ L e , o r L r ) 、半 幅
（B/2)、計画喫水(d)による無次元値、Ao(Xo(x,z)),---,A5(Xo

0
-0.2
0

0.2

端部を持ち(x=g(z))、side flat end line (s(z))に沿って、平0.8

坦面に滑らかに接合します。y(x,z)は中央断面幅b(z)とyo(x,z)

0.6の積で、x=g(z)〜s(z)の曲面域は、

0.4+A4(Xo)α(z)+A5(Xo)β(z)曲面域と平坦面域の容積の和に対応する式が得られます。
wp*=∫w(z)(s(z)-g(z))dz+∫(1-s(z))dz

1

1.2

1.4

1.6

1.8

図 -８に肩 部 の 曲 率に対 応

尾プロファイルを船首尾長、半幅、喫水の無次元値に直し、数式表するα(z)を示します。z=0で示法の座標に整理します。次に、長さxi,深さzjでの半幅y(xi,zj)の接し、喫 水 線に向けてマイナ

関係式を基に深さzjでのパラメータ関数の値、w(zj),f(zj),t(zj),αスの 値から０へと変 化します。

(zj),β(zj)を最小二乗法により求めます。

喫 水 線 付 近 から船 底 方 向 に

Ao(Xoij)+A1(Xoij)w(zj)+A2(Xij)f(zj)+A3(Xoij)t(zj)

水 線 の 肩 落 ち 傾 向 が 強 まる

+A4(xoij)α(zj)+A5(Xoij)β(zj)=y(xi,zj)/b(zj)

事を意味します。

図-8 パラメータ関数 α（z）Xoij=(xi-g(zj))/(s(zj)-g(zj))

ラメータ関数を解析した結果を紹介します。
Cp(a,b,c)（１）Side Flat End Line

0

s(z)

0.4

図-９に船首端曲率に対応するβ(z)を示します。z=0で接し、喫水が得られました。極値深さの水Side Flat End Line長と船首部長の比を深さベースにプロット

-0.2
0.2

（６）
パラメータ関数 β(z)の中間付近に極値をもつ分布

0.2

0.6

0.8

線を中心に先端付近で丸みを1図-2 Cp & Cw 曲線 Cb=0.65
1.2
Cw

1

（５）
パラメータ関数 α(z)オフセットの数値、即ち、深さz毎のSS.N0.における半幅や船首L/B=7,B/d=3,Cb=0.7の船型のオフセットから船首部曲面のパ

Xo(x,z)=(x-g(z))/(s(z)-g(z))∬yo(x,z)dxdzのxに関する積分から
柱形肥瘠係数wp*は、

0.8

Cw

0

平坦域x= s(z)〜1は、yo(x,z)=1です。

0.6

1.2
1

yo(x,z)= Ao(Xo)+A1(Xo)w(z)+A2(Xo)f(z) +A3(Xo)t(z)0.4

図-１ Xo(x,z)一定のx,z曲線(x,z))は、曲面の長さ方向変化を表す基本的な特性関数、w(z),f(z),t(z),α(z),β(z)はパラメータ関数です。曲面部は、変化する

図-7 パラメタ関数 （z）
t0.8

して図-４に示します。若干のバ帯び肩付近が膨らむ事を意味

ラツキはありますが、肩部船底し過度の、肩落ち傾向の局所

付近で船側垂直線に接してお的補正と考えられます。
図-9 パラメータ巻数 β（z）

り、両者の交叉に起因する曲面

0.6
Cp(a,b,c)0.4の局所的不連続性の発現を防船首、平行部、船尾部を合わせた柱形肥瘠係数Cpは、船首、船0.2

ぐ配慮が見られます。

尾の柱形肥瘠係数wep*,wrp*との以下の関係式から求める事

0（７）船体曲面の再現
以上データから各パラメータの表示式を回帰分析により設定し曲
図-4 Side Flat End Line S（zj）

面の再現を試みました。

-0.2が出来ます。
L/B(1-Cp)=Le/B(1-wep*)+Lr/B(1-wrp*)

２. 横切面積曲線を描く

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

船首バルブやフレームライ

1

図-3 Cp & Cw 曲線 Cb=0.82
上式は、Side flat end lineと船首尾形状による変形影響を考慮しています。

（２）
パラメータ関数w(z)ンの傾向等、原船型の特性が図-５に深さ方向の水線面積

かなり忠実に再現されたと評係数分布を表すw(z)を示します。

価されます。先人のノーハウを

船首尾部の横切面積係数曲線Cp(x)=∫yo(x,z)dz は、曲面部

図-２、図-３に近似式による計算結果（a）と断面毎の数値計算結

若干のバラツキはありますが、

パラメータ関数に置き換えると平坦部の区分けやXoが、zだけの関数ではなく図-1に示す様

果（b）
をSS.Noベースの曲線で示します。更に、tp*,αp*、βp*にxm

船底z=0で接し、喫水線、更に上

数式表示法の目標に一歩近着な曲面の為に解析解は勿論演算も面倒ですので、検討に便利なの更なる修正を加えた近似式による結果（c）も併記していますが、方へと増加する傾向は、フレーいた思いがします。

近似式を提案します。

３者は良く合っており、検討に必要な精度をもつと考えられます。

ムライン形状に対応しています。

SRC News No.89 December 2011

図-５ パラメータ関数 w（z）

図-１０ 再現された曲面
（技術顧問

武隈克義）

SRC News No.89 December 2011 15

SRC News̲No.90̲P14-15 入稿

SRC News̲No.90̲P14-15

り舷側曲面形状、船体中心側形状のCp曲線が、次いで形状が船型の数式表示について（10）

決まります。図-２に1軸船尾形状のツインスケグ船尾への変形例を示します。又、Cをｚの１次関数（傾斜スケグ）とした変形例

入稿

を図-３に示します。

3. 幾何計量と流力特性の関連について
3.1 経緯流体が接する船体曲面と流力現象の関係は、推進性能要素

1. はじめにと肥大度や横切面積曲線等の巨視的なパラメータの関連で評

複雑な船体形状をパソコン上に創り出す船型数式表示法は、価されデータベースとして蓄積されていますが、船型創生に必パラメータ関数により、肥大度やフレームライン等設計条件を満

要な流力現象と曲面特性の関連の知見は、経験に頼る事例が足する滑らかな曲面を記述し、その幾何学特性である微分値や多い事は否定できません。これを船舶工学の課題とする試みと曲率等の幾何計量を計算します。基本構成や主要課題について、して、本船型数式表示法と流力特性数値計算法CFDの連携に

既刊SRC Newsで紹介しましたが、船型設計についても、多様な

（1）

（2）

学院工学科の修士論文テーマに採り上げられました。以下、内（1）Yout（x,z）

んでいます。本稿では、２軸船船尾(Twin Skeg Stern)の表示法、（2）Yin（x,z）
×C

及び船体周りの流場と曲面幾何計量の関連を調査した例を概略紹介します。

（3）（Ys（x,z）-Yin（x,z））C
1.0

C（4）Ys（x,z）×C

図-１ ツインスケグ船尾概念図

２. 軸船尾船型への数式表示法適用について
２軸船尾船型の中で、スケグ中心面に沿って異なる形状の曲容を概略紹介します。
3.2 内容まず、船型設計法、船体曲面の数式表示法、微分幾何学のレ
ビュー、表示式や計算式の整理、計算プログラムの作成と言う研究基盤を整備します。次に、検討対象船として、L/B=6, B/d=3,
Cb=0.65の瘠せ形船及びCb=0.82の肥大船を選び、Cbや面が接合するツインスケグ船尾の表示法を紹介します。

Cp,Cw曲線等の設計条件に対応するパラメータ関数を調整・設定

2.1 ツインスケグ船尾曲面の数式表示

し、曲面形状Y(x,z)の創生、幾何計量計算を行いました。幾何計量

船型数式表示法に従い、船尾部長さ、最大半幅及び喫水をは、曲面のx,z方向１階微分Yx,Yz、
２階微分Yxx,Yxz,Yzz、及びこれ夫々１とする座標(x,y,z)により、スケグ中心面Ys(x,z),舷側のらから求められるガウス曲率K、
平均曲率Hとします。

曲面 Yout(x,z), 船体中心側曲面Yin(x,z)を夫々表示し、これ調査対象の流力特性は、曲面に沿う流速v 圧力p、及び剪断らを合わせて、半幅1、舷側幅 / 船体中心側幅比=1/Cの曲面応力τとし、構造格子対応流場解析ソフトNEPUTUNEにより計を作ります（図-１）。合成された曲面の表示式は、算しました。計算条件は、小型模型船対応のレイノルズ数、実船

船体中心側、(Ys(x,z)‒Yin(x,z))・C/(1+C)、

計画速力対応のフルード数です。

舷側、(Yout(x,z)+C・Ys(x,z))/(1+C)となります。

図 -４に、正 面 線 図 、図 -５に船 体 曲 面に沿う圧 力と幾 何 計 量

又、船長方向ｘの断面積A(x)は、積分範囲をz=0〜1として、
A(x)=∫((Yout(x,z)+C・Ys(x,z))/(1+C))dz‒∫((Ys(x,z)‒Yin(x,z)・C/(1+C)))dz

図-６
剪断応力と幾何計量の対応鳥瞰例（肥大船 船首、船尾）よる曲面幾何計量と流場特性の関連調査が、横浜国立大学大

（3）
（4）

船型への適用、曲面の変形、推進性能との関連等の課題と取組

図-５
圧力と幾何計量の対応鳥瞰例（肥大船 船首、船尾）

図-７
圧力と幾何計量の計算値対応例（肥大船 船首、船尾）の 対 応を比 べ た 例 、図 -６にせ ん 断 応 力と幾 何 計 量 の 対 応 例
図-２
ツインスケグ船尾数式表示例（１）
スケグ角0度図-３
ツインスケグ船尾数式表示例（２）スケグ角20度=∫(Yout(x,z)/(1+C))dz+∫Yin(x,z)(C/(1+C))dzを示します。値 の 大 小は濃 淡で示され、流 力 上 留 意すべき範囲 にマ ークが 付 さ れ 、対 応 が 鳥 瞰 出 来 る様 に なって い ます 。

相関係数による比較

更に、曲 面 上 同 位 置 の 圧 力 及 び 剪 断 応 力と幾 何 計 量 の 定 量

即ち、曲面Yout(x,z)/(1+C)とYin(x,z)・C/(1+C)の断面積

的 相 関 が 調 べられました。図 -７に示すようなデ ータにつ いて

船型0.82の和、即ち、横切面積係数Cp(x)は、舷側Cpout(x), 船体中心統計解析がなされ、流力特性と幾何計量の相関係数が得られ側Cpin(x)として、Cp(x)=Cpout(x)+Cpin(x)となります。

ています。各幾何計量の相関係数を船首と船尾に分けて図-８

2.2 ツインスケグ船尾表示例に示します。全 般 的に、船 長 方 向 微 分 の 相 関 が 深さ方 向 微 分

r
0.5

r

pと幾何特性

yxx

0.4
0.3
0.2
0.1
0

より強く、曲率は、ガウス曲率よりも平均曲率の相関が強い様

軸船尾曲面Yo(x,z)の変形曲面 Yout(x,z)= Yo(x,z)/(1+C),です。データの詳細分析や物理的意味の検討等課題は残りまr0.5

中心側は、高さZ(x)、幅C/(1+C)の線素から成る曲面の複合

した が 、この 様 な 研 究 例 は 知られておらず 、数 式 表 示 法 のさ体があります。ツインスケグ船尾と原型１軸船がCp曲線を共有

さやかな成果と言えましょう。

0.1

IrI→1
相関有

船首

τと幾何特性yx

船型0.65rpと幾何特性

船型0.82船尾

τと幾何特性

yx

0.4
0.3

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

船型0.82船型0.65

ツインスケグ船尾の中で良く知られている形態に、舷側は、
１〜船型0.65,0.82〜

夫 々、r 大 2 つ → 共 通

H

0.2

0

14

する場合、Z(x)=1‒Cp(x)、となります。なお、船体中心側形状、

船首あるいは舷側形状が与えられる場合は、上記の断面積の関係よ

図-４ 検討対象船型（数式表示肥大船型）

SRC News No.90 June 2012

船尾（元技術顧問武隈克義）

船型0.65船型0.82船型0.65船型0.82

yx
yz
yxx
yxz
yzz
K
H

図-８ 圧力、剪断応力と幾何計量との相関係数比較

SRC News No.90 June 2012 15

SRC News̲No.90̲P14-15 入稿

SRC News̲No.90̲P14-15

り舷側曲面形状、船体中心側形状のCp曲線が、次いで形状が船型の数式表示について（10）

決まります。図-２に1軸船尾形状のツインスケグ船尾への変形例を示します。又、Cをｚの１次関数（傾斜スケグ）とした変形例

入稿

を図-３に示します。

3. 幾何計量と流力特性の関連について
3.1 経緯流体が接する船体曲面と流力現象の関係は、推進性能要素

1. はじめにと肥大度や横切面積曲線等の巨視的なパラメータの関連で評

複雑な船体形状をパソコン上に創り出す船型数式表示法は、価されデータベースとして蓄積されていますが、船型創生に必パラメータ関数により、肥大度やフレームライン等設計条件を満

要な流力現象と曲面特性の関連の知見は、経験に頼る事例が足する滑らかな曲面を記述し、その幾何学特性である微分値や多い事は否定できません。これを船舶工学の課題とする試みと曲率等の幾何計量を計算します。基本構成や主要課題について、して、本船型数式表示法と流力特性数値計算法CFDの連携に

既刊SRC Newsで紹介しましたが、船型設計についても、多様な

（1）

（2）

学院工学科の修士論文テーマに採り上げられました。以下、内（1）Yout（x,z）

んでいます。本稿では、２軸船船尾(Twin Skeg Stern)の表示法、（2）Yin（x,z）
×C

及び船体周りの流場と曲面幾何計量の関連を調査した例を概略紹介します。

（3）（Ys（x,z）-Yin（x,z））C
1.0

C（4）Ys（x,z）×C

図-１ ツインスケグ船尾概念図

２. 軸船尾船型への数式表示法適用について
２軸船尾船型の中で、スケグ中心面に沿って異なる形状の曲容を概略紹介します。
3.2 内容まず、船型設計法、船体曲面の数式表示法、微分幾何学のレ
ビュー、表示式や計算式の整理、計算プログラムの作成と言う研究基盤を整備します。次に、検討対象船として、L/B=6, B/d=3,
Cb=0.65の瘠せ形船及びCb=0.82の肥大船を選び、Cbや面が接合するツインスケグ船尾の表示法を紹介します。

Cp,Cw曲線等の設計条件に対応するパラメータ関数を調整・設定

2.1 ツインスケグ船尾曲面の数式表示

し、曲面形状Y(x,z)の創生、幾何計量計算を行いました。幾何計量

船型数式表示法に従い、船尾部長さ、最大半幅及び喫水をは、曲面のx,z方向１階微分Yx,Yz、
２階微分Yxx,Yxz,Yzz、及びこれ夫々１とする座標(x,y,z)により、スケグ中心面Ys(x,z),舷側のらから求められるガウス曲率K、
平均曲率Hとします。

曲面 Yout(x,z), 船体中心側曲面Yin(x,z)を夫々表示し、これ調査対象の流力特性は、曲面に沿う流速v 圧力p、及び剪断らを合わせて、半幅1、舷側幅 / 船体中心側幅比=1/Cの曲面応力τとし、構造格子対応流場解析ソフトNEPUTUNEにより計を作ります（図-１）。合成された曲面の表示式は、算しました。計算条件は、小型模型船対応のレイノルズ数、実船

船体中心側、(Ys(x,z)‒Yin(x,z))・C/(1+C)、

計画速力対応のフルード数です。

舷側、(Yout(x,z)+C・Ys(x,z))/(1+C)となります。

図 -４に、正 面 線 図 、図 -５に船 体 曲 面に沿う圧 力と幾 何 計 量

又、船長方向ｘの断面積A(x)は、積分範囲をz=0〜1として、
A(x)=∫((Yout(x,z)+C・Ys(x,z))/(1+C))dz‒∫((Ys(x,z)‒Yin(x,z)・C/(1+C)))dz

図-６
剪断応力と幾何計量の対応鳥瞰例（肥大船 船首、船尾）よる曲面幾何計量と流場特性の関連調査が、横浜国立大学大

（3）
（4）

船型への適用、曲面の変形、推進性能との関連等の課題と取組

図-５
圧力と幾何計量の対応鳥瞰例（肥大船 船首、船尾）

図-７
圧力と幾何計量の計算値対応例（肥大船 船首、船尾）の 対 応を比 べ た 例 、図 -６にせ ん 断 応 力と幾 何 計 量 の 対 応 例
図-２
ツインスケグ船尾数式表示例（１）
スケグ角0度図-３
ツインスケグ船尾数式表示例（２）スケグ角20度=∫(Yout(x,z)/(1+C))dz+∫Yin(x,z)(C/(1+C))dzを示します。値 の 大 小は濃 淡で示され、流 力 上 留 意すべき範囲 にマ ークが 付 さ れ 、対 応 が 鳥 瞰 出 来 る様 に なって い ます 。

相関係数による比較

更に、曲 面 上 同 位 置 の 圧 力 及 び 剪 断 応 力と幾 何 計 量 の 定 量

即ち、曲面Yout(x,z)/(1+C)とYin(x,z)・C/(1+C)の断面積

的 相 関 が 調 べられました。図 -７に示すようなデ ータにつ いて

船型0.82の和、即ち、横切面積係数Cp(x)は、舷側Cpout(x), 船体中心統計解析がなされ、流力特性と幾何計量の相関係数が得られ側Cpin(x)として、Cp(x)=Cpout(x)+Cpin(x)となります。

ています。各幾何計量の相関係数を船首と船尾に分けて図-８

2.2 ツインスケグ船尾表示例に示します。全 般 的に、船 長 方 向 微 分 の 相 関 が 深さ方 向 微 分

r
0.5

r

pと幾何特性

yxx

0.4
0.3
0.2
0.1
0

より強く、曲率は、ガウス曲率よりも平均曲率の相関が強い様

軸船尾曲面Yo(x,z)の変形曲面 Yout(x,z)= Yo(x,z)/(1+C),です。データの詳細分析や物理的意味の検討等課題は残りまr0.5

中心側は、高さZ(x)、幅C/(1+C)の線素から成る曲面の複合

した が 、この 様 な 研 究 例 は 知られておらず 、数 式 表 示 法 のさ体があります。ツインスケグ船尾と原型１軸船がCp曲線を共有

さやかな成果と言えましょう。

0.1

IrI→1
相関有

船首

τと幾何特性yx

船型0.65rpと幾何特性

船型0.82船尾

τと幾何特性

yx

0.4
0.3

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

船型0.82船型0.65

ツインスケグ船尾の中で良く知られている形態に、舷側は、
１〜船型0.65,0.82〜

夫 々、r 大 2 つ → 共 通

H

0.2

0

14

する場合、Z(x)=1‒Cp(x)、となります。なお、船体中心側形状、

船首あるいは舷側形状が与えられる場合は、上記の断面積の関係よ

図-４ 検討対象船型（数式表示肥大船型）

SRC News No.90 June 2012

船尾（元技術顧問武隈克義）

船型0.65船型0.82船型0.65船型0.82

yx
yz
yxx
yxz
yzz
K
H

図-８ 圧力、剪断応力と幾何計量との相関係数比較

SRC News No.90 June 2012 15