力学 2（工）（2 回目）
第 1 回授業 レポート課題
テキストの第１～２章，４～８章，１７～１８章，２０章，２３章の問題演習から，力学１の範囲の問題を４問選んで解け。 １つの章から選ぶ問題は１問とする。復習が必要だと思う箇所から選ぶのが望ましい。
注意：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。説明文や適切な図を加えて，答案を作成することを心がけよ。答案作成力も見る。
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答案作成の注意：完成度の高いレポート答案は，期末テストを採点・成績評価する際に，参考にする（部分点をプラス α する）場合がある。
レポートは，たとえ間違えてもよいので，まじめに取り組むことを評価する。
提出〆切：答案用紙を，授業と同じ週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

第２回

仕事：テキスト第 12，23 章

1. 今回の授業の目的
力学 2 の前半は力学的エネルギーの理解を目指す。そして，エネルギーの根本的な基礎は『仕事』という考え方にある。そこで，今回の授業の目的は，仕事という考え方を理解することである。
2. 授業の進行：テキスト第 12 章，第 23 章とこのプリントを合わせて理解を深める(1) 『仕事』の意味： 物理学における『仕事』とは，物体に力が働くとき，どれだけのエネルギーをその物体に与えたのかを評価する量だと思ってよい。これから考える『仕事』とは『力によって与えるエネルギーの量』である。
(2) 物体に働く力 （の向きと大きさ）が一定かつ直線上を運動する場合の仕事（第 12 章 p.54）： テキストp.54 の図（下側）の状況を考える。物体には図に示されている力 の他にも，重力や垂直抗力などが働いているかもしれないが，ここでは特に力 に注目する。そして，力 が一定ベクトル（向きも大きさも不変）で，物体が 軸上を運動する（速度 が 軸に平行な）場合を考える。
◍ 力が強い程，物体を動かした距離が長い程，大きなエネルギーを与えることになるだろう。つまり，『力』×『移動距離』という掛け算を考えれば，その掛算の値が大きいほど「大きなエネルギーを与えた」と言える。
◍ 力 はベクトルなので，掛け算を構成するためには何らかの数値を考える必要がある。どんなに強い力を加えたとしても，その力が物体の移動方向を向いていなければ，運動のいきおいは変化しない。
この場合はエネルギーを与えたことにはならない，と考えてよいだろう。つまり，『力』×『移動距離』の『力』には，力の移動方向の成分（速度 方向の成分）を採用する。
以上の 2 点から，『力の 方向の成分』と移動距離 の積（テキスト p.54 の 2 つ目の式）で仕事を定義する。
直線運動かつ がcos一定の場合の仕事

ここで，cos［単位は項目(3)参照］『物体の移動距離』（テキスト p.48 の図を参照）

ベクトルの大きさ『 と の間の角』（テキスト p.48 の図を参照）と表すことに注意せよ。

『 の 方向成分』=
注意 1： 式（2.1）で1 つ目の式（（2.1）

cos （ベクトルの成分を復習）0（ と が同じ向きの場合）を考えれば， cos 0

1 よりテキスト p.48 の）を得る。

注意 2： 今回は，物体は直線上を運動し，かつ力 が一定の場合を扱う。次回は，必ずしも直線上の運動でなく，かつ が一定でもない場合も扱う。その際，定積分という数学を扱う。（力学 1 で扱った積分は正確には，不定積分という。）
2 回目-1

力学 2（工）（2 回目）(3) 仕事 の単位： 演習形式で理解しよう。
問題： 仕事の単位を基本的な単位［ m］，［s］，［kg］で表すと，［kg ∙ m2 ⁄s ］であることを示せ。
大切な単位： 仕事の単位［J］=［N ∙ m］=［kg ∙ m2 ⁄s ］をジュールという。
この単位は，力の単位［N］=［kg ∙ m⁄s ］ （ニュートン）と同様に，あまりにも頻繁に登場する重要な単位なので，［J］（ジュール）という略称が付いている。
（ジュールは，エネルギーの考え方を確立するための重要な研究をした研究者。2 年生の科目「基礎工学実験」ではジュールの重要な実験を追体験する。）(4) エネルギー： 仕事は「力 × 移動距離」で与えられる量である。しかし，必ずしも「力 × 移動距離」ではない，異なる計算過程からも単位［J］を持つ量が定義されることが，次回以降の授業で明らかになる。そこで，どんな計算過程（どんな定義）かによらず，とにかく［J］という単位を持ち，かつスカラーである量をエネルギーという。
注意 3（テキスト第 23 章 p.91）： スカラーとは，ベクトルのように向きを持たず，値だけで完全に決まる量のこと。例えばエネルギーの他に，温度，質量などもスカラーである。
(5) 演習 1： 例題 12.1（p.56），問題演習 12 の問題 12-3（p.57）に取り組む。追加問題：問題 12-3 をもとに，角度を90°，180°，150°に変えた場合の図を描き，力がする仕事を求めよ。
追加応用問題：重さ12 N の物体が傾斜角30°の斜面を5.0 m 滑り降りる。重力がした仕事を求めよ。
(6) 仕事率（第 12 章 p.54）： 単位時間あたりの仕事を仕事率と言い，単位は［W］（ワット）= ［J/ s］ である。速度 が一定（向きは 軸方向として成分は, 0 の場合を考えると， 軸に沿った移動距離（t は時間）なので，式（2.1）よりsが一定の場合cosの仕事率
ただし，=『J⁄s（2.2）と の間の角』（テキスト p.48 の図を参照）である。

(7) 力 と変位ベクトル の内積で表す仕事，力 と速度 の内積で表す仕事率（発展的内容）： ベクトルの内積を使うと，仕事や仕事率を簡潔に考えられる。
,とベクトルの内積（第 23 章 p.92）： テキスト p.92 の図（上から 3 つ目）のように，ベクトル,の間の角を とする。2 つのベクトルから 1 つの数値を得る規則として，つぎの内積を定義する。
ベクトルの内積： ∙cos （となることも証明できる）（2.3）
注意 4： ベクトルの間に点を打つ記号『 ∙ 』でcosという値（スカラー）を表すのであり，数の掛算を省略する点とは全く関係ない。なお，という記号で『外積』という別の考え方（力学 3 で扱う）を表すので，ベクトルに対する『 』と『 ∙ 』という記号を確実に使い分けなければならない。
以上の内積を使うと，仕事（2.1），仕事率(♯1) は次のように内積で表せる。
式(2.1)

⇒

[仕事]：

式(♯1)

⇒

[仕事率]：

coscos∙[J]∙(8) 演習 2：① 物体に1, 3 N の力を加えながら、∙ を内積の成分表示 ∙+[J/s]

（2.4）
（2.5）

5, 2 m だけ移動させた。力がした仕事を用いて求めよ。

1,0 ，y 軸の正方向の単位ベクトルを0,1 とする（発展）② x 軸の正方向の単位ベクトルを（p.92 参照）
。また，ベクトル と 軸の間の角（ 軸の正方向から測る角）を ，ベクトル と軸の間の角（ 軸の正方向から測る角）を とする。このとき，次の関係が成立することを，
2√3, 2 のとき，角 を求めよ。

ベクトルを作図して示せ。の成分：∙cos ）， の 成分：∙ （cos ）（これで，式（2.1） の cos =『 の 方向成分』を理解できる。）（2 回目-2