KEK物構研コロキウム
量子振り子の開発と応用
学習院大学 理学部物理学科 准教授
松本 伸之 2021/10/8

力のセンサー

地震計
原子間力顕微鏡

慣性センサー

重力波望遠鏡

重力勾配計

重力計

2

力のセンサー

地震計
原子間力顕微鏡

慣性センサー

重力波望遠鏡

重力勾配計

重力計

3

力の雑音
• 振り子・ねじれ振り子・カンチレバー・MEMS…
原理的な雑音：ブラウン運動

熱的な揺動力∝散逸（揺動散逸定理）
地面の揺れとか風とかを取り除くと、
ブラウン運動が観測される

4

力の雑音
• 振り子・ねじれ振り子・カンチレバー・MEMS…
原理的な雑音：ブラウン運動
運動方程式
𝑚𝑥ሷ = −𝑘𝑥 − 𝑚𝛾 𝑥ሶ + 𝜉
𝜉 2 ∝ 𝑘𝐵 𝑇𝛾
𝜉：熱的揺動力（力の雑音）
𝛾：散逸

熱的な揺動力∝散逸（揺動散逸定理）𝛾, 𝑇が小さいと嬉しい

地面の揺れとか風とかを取り除くと、
ブラウン運動が観測される

5

測定器

原子間力顕微鏡

慣性センサー

静電型トランスデューサー
光てこ

重力波望遠鏡

重力勾配計
光共振器

重力計

光てこ
マイケルソン干渉計

6いずれも線形かつ連続的な計測
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝜁(𝑡)原子間力顕微鏡
𝐴：感度係数𝜁：（信号読み取りの）雑音
𝑦：出力

測定器
慣性センサー

𝐴が大きく、 𝜁が小さいと嬉しい

静電型トランスデューサー
光てこ

重力波望遠鏡

重力勾配計
光共振器

重力計

光てこ
マイケルソン干渉計

7いずれも線形かつ連続的な計測
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝜁(𝑡)原子間力顕微鏡
𝐴：感度係数𝜁：（信号読み取りの）雑音
𝑦：出力

測定器
慣性センサー

𝐴が大きく、 𝜁が小さいと嬉しい

静電型トランスデューサー
光てこ

干渉計や共振器を使った光計測

重力波望遠鏡

重力勾配計
光共振器

重力計

光てこ
マイケルソン干渉計

8

究極の性能• 十分に低散逸な振動子・高い感度係数・小さな読み取り誤差を実現すれば、どこまで空間分解能が高められるか？

9究極の性能• 十分に低散逸な振動子・高い感度係数・小さな読み取り誤差を実現すれば、どこまで空間分解能が高められるか？
• 究極の空間分解能→振動子の量子揺らぎ：𝑥zpf =ℏ2𝑚𝜔0

今日の話：光計測で↑の空間分解能を実現するにはどうすればよいか？

10

究極の性能• 十分に低散逸な振動子・高い感度係数・小さな読み取り誤差を実現すれば、どこまで空間分解能が高められるか？
• 究極の空間分解能→振動子の量子揺らぎ：𝑥zpf =ℏ2𝑚𝜔0

今日の話：光計測で↑の空間分解能を実現するにはどうすればよいか？

話の流れ：応用例→量子計測の条件→フィードバック冷却と量子推定
11応用例（1/4） ↓プランク定数の測定• 重力定数多くの測定結果が誤差の範囲内で一致していない→これまでと異なる測定手法↑重力定数の測定

12

Nature volume 591, pages225–228 (2021)

応用例（1/4）• 重力定数

f=3.59 mHz
Q=4.9
散逸→0.7 mHz

小さなソースマス（~mg）の重力を測る→系統誤差減らすことが可能だろう
先行研究
低散逸振動子光てこ
13Nature volume 591, pages225–228 (2021)

応用例（1/4）• 重力定数

f=3.59 mHz
Q=4.9
散逸→0.7 mHz

小さなソースマス（~mg）の重力を測る→系統誤差減らすことが可能だろう
先行研究
低散逸振動子光てこ

本研究→さらに低散逸化(uHz!)
→光共振器
14

応用例（2/4）• 重力子の間接測定→重力の制動放射によるデコヒーレンス

分子の存在をブラウン運動から間接測定したのと同様
例）40 kg, 40 km, 1 kHzのとき20秒でdecohere∝（物体の質量/プランク質量）^215応用例（3/4）

16応用例（3/4）• 軽いダークマター→古典的な波長の長い波（1e-12 eVで1500 km, 200 Hzくらい）

17応用例（3/4）• 軽いダークマター→古典的な波長の長い波（1e-12 eVで1500 km, 200 Hzくらい）• 未知の力（“第五の力”）を媒介するゲージボソンかも例）B-L（バリオン数-レプトン数）に結合するゲージ場かも• B-Lは標準理論では保存量• 大体、物体の中性子数に一致→材質に依存する周期的な力18応用例（3/4）• 軽いダークマター→古典的な波長の長い波（1e-12 eVで1500 km, 200 Hzくらい）• 未知の力（“第五の力”）を媒介するゲージボソンかも例）B-L（バリオン数-レプトン数）
この鏡だけに結合するゲージ場かも• B-Lは標準理論では保存量• 大体、物体の中性子数に一致→材質に依存する周期的な力

鏡の同相振動はキャンセルされる

動く

19

応用例（3/4）

200 Hz鏡に加わる力：𝑔𝐵−𝐿 𝜌𝐷𝑀 𝑁𝑛 cos 𝜔𝑡𝑔𝐵−𝐿 ：結合定数𝜌𝐷𝑀 ：ダークマターの密度
𝑁𝑛 ：中性子数
𝜔：ダークマターの
質量に対応

等価原理
の検証

我々の装置
大型重力波望遠鏡

東京大学
道村さんの計算20

応用例（4/4）• 相対論的重力21

目次
量子計測の条件• 古典力学と量子力学• 線形計測・ショットノイズ• 量子計測の条件：測定率と熱的デコヒーレンス

低散逸振動子の開発• 振り子の散逸（structural, viscous, 重力希薄化）• 光ばねによる散逸の希薄化• 量子計測の条件を満たした振動子
量子制御と推定• フィードバック冷却（420 uK）• 量子推定によるスクイーズ状態の生成（純度～0.001）
• まとめ

22

古典力学

位置

• 古典力学
時間

23

古典力学

位置

• 古典力学
決定論
時間

24

古典力学
• 古典力学
決定論

運動量

古典力学では特定できる

位相空間（ある特定の時間）
位置25古典力学と量子力学• 古典力学
決定論

運動量

位相空間
（ある特定の時間）• 量子力学
確率的（本質的に揺らぎが伴う）

古典力学では特定できる量子力学では特定できない（量子揺らぎ）位置

26

古典力学と量子力学• 古典力学
決定論

運動量

位相空間
（ある特定の時間）• 量子力学
確率的（本質的に揺らぎが伴う）

古典力学では特定できる量子力学では特定できない（量子揺らぎ）位置

振動子のエネルギーの最小単位（フォノン）：ℏ𝜔ℏ𝜔
量子揺らぎのエネルギー：227

古典力学と量子力学の違い• 量子力学の舞台
ヒルベルト空間という抽象的（数学的）な複素空間
物理量は演算子 𝑥,ො 𝑝Ƹ = 𝑥ො 𝑝Ƹ − 𝑝Ƹ 𝑥ො = 𝑖ℏ28

古典力学と量子力学の違い• 量子力学の舞台
ヒルベルト空間という抽象的（数学的）な複素空間
物理量は演算子 𝑥,ො 𝑝Ƹ = 𝑥ො 𝑝Ƹ − 𝑝Ƹ 𝑥ො = 𝑖ℏ
不確定性原理• Δ𝑥Δ𝑝 ≥

ො 𝑝ො
𝑥,
2

ℏ
=
2

29

古典力学と量子力学の違い• 量子力学の舞台
ヒルベルト空間という抽象的（数学的）な複素空間
物理量は演算子 𝑥,ො 𝑝Ƹ = 𝑥ො 𝑝Ƹ − 𝑝Ƹ 𝑥ො = 𝑖ℏ
不確定性原理• Δ𝑥Δ𝑝 ≥

ො 𝑝ො
𝑥,
2

ℏ
=
2

振動子の量子揺らぎ（零点振動）の大きさ
𝑥𝑧𝑝𝑓 =ℏ
m 7 mg−17= 3 × 10
2𝑚𝜔
𝑚
Hz

0.5

2𝜋1000 Hz
𝜔

0.5
30

古典力学と量子力学の違い• 量子力学の舞台
ヒルベルト空間という抽象的（数学的）な複素空間
物理量は演算子 𝑥,ො 𝑝Ƹ = 𝑥ො 𝑝Ƹ − 𝑝Ƹ 𝑥ො = 𝑖ℏ
不確定性原理• Δ𝑥Δ𝑝 ≥

ො 𝑝ො
𝑥,
2

ℏ
=
2

光計測でこの空間分解能は実現可能か？

振動子の量子揺らぎ（零点振動）の大きさ
𝑥𝑧𝑝𝑓 =ℏ
m 7 mg−17= 3 × 10
2𝑚𝜔
𝑚
Hz

0.5

2𝜋1000 Hz
𝜔

0.5
31

線形計測（光量変化から位置を線形に測定）
線形変位計測• 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝜁 W
W

W
m

m

読み取り誤差（ショットノイズとか）32雑音𝜁の扱い方• 雑音の分散は𝑉𝑉𝜁(𝑡)ヒストグラムはガウシアン

時間33

雑音𝜁の扱い方• 雑音の分散は𝑉𝑉𝜁(𝑡)ヒストグラムはガウシアン時間
パワースペクトル（自己相関をフーリエ変換）𝑆𝜁𝜁 (𝜔)周波数34

雑音𝜁の扱い方• 雑音の分散は𝑉𝑉𝜁(𝑡)ヒストグラムはガウシアン時間
パワースペクトル（自己相関をフーリエ変換）𝑆𝜁𝜁 (𝜔)𝑉 = න𝑆𝜁𝜁 (𝜔) 𝑑𝜔
周波数
分解能＝1/観測時間35線形計測の空間分解能
線形変位計測• 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝜁 W
W

W
m

m

読み取り誤差（ショットノイズとか）36ショットノイズの復習• レーザー光に含まれる光子の数はポアソン分布に従う• 平均と分散が等しく、時間的な相関はない（パワースペクトルは定数）

Shot noiseV37

ショットノイズの復習• レーザー光に含まれる光子の数はポアソン分布に従う• 平均と分散が等しく、時間的な相関はない（パワースペクトルは定数）・一秒に平均𝑛個の光子
ത（光のパワーは𝑃ത 𝑊 = ℏ𝜔𝑛）ത・パワースペクトルの積分が分散

𝜏秒𝑆𝜁𝜁 (𝜔)න 𝑆 𝑑𝑓 = 𝑆 න 𝑑𝑓 = 𝑆Δ𝑓 = 𝑃2

1
Hz
𝜏
周波数

38

ショットノイズの復習• レーザー光に含まれる光子の数はポアソン分布に従う• 平均と分散が等しく、時間的な相関はない（パワースペクトルは定数）・一秒に平均𝑛個の光子
ത（光のパワーは𝑃ത 𝑊 = ℏ𝜔𝑛）ത・パワースペクトルの積分が分散

𝜏秒
I.
II.

න 𝑆 𝑑𝑓 = 𝑆 න 𝑑𝑓 = 𝑆Δ𝑓 = 𝑃2

ഥP
平均光子数：𝑁 = 𝑛𝜏
ത = 𝜏
ℏ𝜔

光子数の標準偏差：𝜎𝑁 = 𝑛𝜏ത39ショットノイズの復習• レーザー光に含まれる光子の数はポアソン分布に従う• 平均と分散が等しく、時間的な相関はない（パワースペクトルは定数）・一秒に平均𝑛個の光子
ത（光のパワーは𝑃ത 𝑊 = ℏ𝜔𝑛）ത・パワースペクトルの積分が分散

𝜏秒
I.
II.
III.

න 𝑆 𝑑𝑓 = 𝑆 න 𝑑𝑓 = 𝑆Δ𝑓 = 𝑃2

ഥP
平均光子数：𝑁 = 𝑛𝜏
ത = 𝜏
ℏ𝜔

光子数の標準偏差：𝜎𝑁 = 𝑛𝜏തℏ𝜔
レーザーパワーの標準偏差：𝜎𝑃 = 𝜎𝑁 =
𝜏

ℏ𝜔𝑃ത
𝜏

長時間測定すると０に近づく
40

ショットノイズの復習• レーザー光に含まれる光子の数はポアソン分布に従う• 平均と分散が等しく、時間的な相関はない（パワースペクトルは定数）・一秒に平均𝑛個の光子
ത（光のパワーは𝑃ത 𝑊 = ℏ𝜔𝑛）ത・パワースペクトルの積分が分散

𝜏秒
I.
II.
III.

න 𝑆 𝑑𝑓 = 𝑆 න 𝑑𝑓 = 𝑆Δ𝑓 = 𝑃2

ഥP
平均光子数：𝑁 = 𝑛𝜏
ത = 𝜏
ℏ𝜔

光子数の標準偏差：𝜎𝑁 = 𝑛𝜏തℏ𝜔
レーザーパワーの標準偏差：𝜎𝑃 = 𝜎𝑁 =𝜏

パワースペクトル（のルート）は
ℏ𝜔𝑃ത
=
𝜏

ത
ℏ𝜔𝑃Δ𝑓

41

線形計測の空間分解能
線形変位計測• 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝜁 W
WWm

長時間平均化すると０読み取り誤差（ショットノイズとか）m• 測定率（何秒測定すると量子揺らぎがみえるか）• Γmeas =
Hz

2
𝑥𝑧𝑝𝑓

𝑆𝜁𝜁

W2
Hz

/𝐴2

=

2
𝑥𝑧𝑝𝑓

𝑆𝑖𝑚𝑝
m2
Hz

imprecision:不明確な42

測定時間の制限• 測定時間は無限に大きくしていいのか？
→もちろんダメ位置• 一つの上限は周期（𝟐𝝅/𝝎𝒎 ）

周期以上測定して平均化
すると信号（振り子の揺れ）も０

時間

43量子計測の目標• 測定時間に制限はないのか？
課題：測定時間内にも外乱（熱的揺動力）が入る

デコヒーレンス率：
どのくらいのレートでフォノンが環境から出たり入ったりしているのか？
→𝜸𝒏𝒕𝒉

エネルギー散逸（励起した振動子が何秒揺れるか）

熱的揺動力：𝑘𝐵 𝑇𝛾𝑚（ブラウン運動）レーザー（線形計測）の測定率：Γ𝑚𝑒𝑎𝑠
44古典的な振動（ブラウン運動）の影響• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ (≡ 𝑛𝑡ℎ 𝛾)

フォノン１個生成するより短い測定時間で量子揺らぎを計測可能な分解能に達すればよいレーザー（線形計測）の測定率：Γ𝑚𝑒𝑎𝑠

熱的揺動力（ブラウン運動）で一秒にフォノン何個分のエネルギー生じるか𝑘𝐵 𝑇：Γ𝑡ℎ =𝛾ℏ𝜔45もう少し定量的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ
2
𝑥𝑧𝑝𝑓
𝑘𝐵 𝑇
>
𝛾,
2
ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝑃𝑖𝑛 /𝐴ℏ𝜔

マイケルソン干渉計の場合の感度係数

標準量子限界に達するためのレーザーパワー

𝑃𝑖𝑛
𝐴 = 2𝜋, 𝑃𝑖𝑛 = 𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓 2
𝜆46
ショットノイズと量子反作用が等しいもう少し定量的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ
2
𝑥𝑧𝑝𝑓
𝑘𝐵 𝑇
>
𝛾,
2
ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝑃𝑖𝑛 /𝐴ℏ𝜔𝑃𝑖𝑛
𝐴 = 2𝜋, 𝑃𝑖𝑛 = 𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓 2
𝜆

2
ℏ
1
2𝜋
𝑘𝐵 𝑇
2
𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓
>
𝛾
2
2𝑚𝜔 ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟
𝜆
ℏ𝜔

47

もう少し定量的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ
2
𝑥𝑧𝑝𝑓
𝑘𝐵 𝑇
>
𝛾,
2
ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝑃𝑖𝑛 /𝐴ℏ𝜔𝑃𝑖𝑛
𝐴 = 2𝜋, 𝑃𝑖𝑛 = 𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓 2
𝜆

2
ℏ
1
2𝜋
𝑘𝐵 𝑇
2
𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓
>
𝛾
2
2𝑚𝜔 ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟
𝜆
ℏ𝜔

48

もう少し定量的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ
2
𝑥𝑧𝑝𝑓
𝑘𝐵 𝑇
>
𝛾,
2
ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝑃𝑖𝑛 /𝐴ℏ𝜔𝑃𝑖𝑛
𝐴 = 2𝜋, 𝑃𝑖𝑛 = 𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓 2
𝜆

𝜔2

2
ℏ
1
2𝜋
𝑘𝐵 𝑇
2
𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓
>
𝛾
2
2𝑚𝜔 ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝜆ℏ𝜔𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟2
49

もう少し定量的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ
2
𝑥𝑧𝑝𝑓
𝑘𝐵 𝑇
>
𝛾,
2
ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝑃𝑖𝑛 /𝐴ℏ𝜔𝑃𝑖𝑛
𝐴 = 2𝜋, 𝑃𝑖𝑛 = 𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓 2
𝜆

𝜔2

2
ℏ
1
2𝜋
𝑘𝐵 𝑇
2
𝜋𝑐𝜆𝑚𝑓
>
𝛾
2
2𝑚𝜔 ℏ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝜆ℏ𝜔𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟2

𝜔2 4𝑘𝐵 𝑇>𝛾ℏ50もう少し定量的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ

標準量子限界感度を仮定すると↑の条件は次のように書ける
ボルツマン定数
振動子の共振周波数

振動子のエネルギー散逸

𝜔2 4𝑘𝐵 𝑇>𝛾ℏ

振動子の（バルクの）温度

プランク定数エネルギー散逸下げると温度を下げるのと同様な効果51定性的には？
• 量子計測の条件
Γ𝑚𝑒𝑎𝑠 > Γ𝑡ℎ

標準量子限界感度を仮定すると↑の条件は次のようにも書ける
測定の
量子反作用

𝑆𝑟𝑎𝑑
𝐶𝑞 ≡
>1
𝑆𝑡ℎ

quantum cooperativity（量子協同性）

熱的揺動力：𝑘𝐵 𝑇𝛾𝑚（ブラウン運動）振動子のブラウン運動

レーザー
2𝑃
の輻射圧：
𝑐

52

量子計測の条件を満たした振り子作りました53

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 身近な散逸源→空気抵抗2𝑘 = 𝑚𝜔𝑚𝑖𝜔𝑚𝛾

空気の衝突による散逸
54

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 散逸のモデル• 𝑚𝑥ሷ = −𝑘𝑥 − 𝑚𝛾 𝑥ሶ
フーリエ変換すると• −𝑚𝜔2 𝑥 = − 𝑘 + 𝑖𝑚𝜔𝛾 𝑥複素ばね定数2
𝑘 = 𝑚𝜔𝑚𝑖𝜔𝑚𝛾

空気の衝突による散逸
55

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 散逸のモデル• 𝑚𝑥ሷ = −𝑘𝑥 − 𝑚𝛾 𝑥ሶ
フーリエ変換すると• −𝑚𝜔2 𝑥 = − 𝑘 + 𝑖𝑚𝜔𝛾 𝑥 = −𝑘 1 + 𝑖𝜙 𝑥𝜔
ロスアングル：𝜙 =𝜔0 𝑄
2
𝑘 = 𝑚𝜔𝑚𝑖𝜔𝑚𝛾

空気の衝突による散逸
56

どうすれば散逸が小さくなるか？
松本研の振り子• 振り子の散逸のトイモデル（Zener model）

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑

𝜅

Wire

𝑖𝜔𝑚𝛾
重力波検出器の振り子

57

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 振り子の散逸のトイモデル（Zener model）

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑

𝜅

Wire

𝑖𝜔𝑚𝛾
振り子の
内部散逸
58

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 振り子の散逸のトイモデル（Zener model）

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑
ワイヤが曲がると、
この場合左側が熱くなり右側が冷える。
→熱が流れる→エネルギー散逸

𝜅

Wire

𝑖𝜔𝑚𝛾
振り子の
内部散逸

59

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 振り子の散逸のトイモデル（Zener model）

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑

𝜅

Wire

𝑖𝜔𝑚𝛾
散逸の項

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑 ≃ 𝑘𝑔𝑟𝑎𝑣

𝜅 2 𝑚𝛾1 + 𝑖𝜔
𝑘𝑔𝑟𝑎𝑣 𝜅 2 + 𝜔𝑚𝛾 2𝜅60

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 振り子の散逸のトイモデル（Zener model）

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑

𝜅

Wire

𝑖𝜔𝑚𝛾
散逸の項

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑 ≃ 𝑘𝑔𝑟𝑎𝑣

𝜅 2 𝑚𝛾1 + 𝑖𝜔
𝑘𝑔𝑟𝑎𝑣 𝜅 2 + 𝜔𝑚𝛾 2 dissipation dilution
𝜅(散逸の希薄化)61

どうすれば散逸が小さくなるか？
• 振り子の散逸のトイモデル（Zener model）

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑

𝜅

Wire

𝑖𝜔𝑚𝛾

ワイヤを細く長くすればよい→直径1 um、長さ5 cmのシリカ線で吊るした→100時間程度揺れ続ける
世界最小散逸を実現→量子計測の条件を達成

散逸の項

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑 ≃ 𝑘𝑔𝑟𝑎𝑣

𝜅 2 𝑚𝛾1 + 𝑖𝜔
𝑘𝑔𝑟𝑎𝑣 𝜅 2 + 𝜔𝑚𝛾 2 dissipation dilution
𝜅(散逸の希薄化)

62さらに散逸を小さく！
• 光学トラップでさらに低減

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑
𝑘𝑜𝑝𝑡
𝜅

Wire

レーザーでつくったばね（光ばね）
でさらに希薄化（optical dilution）

𝑖𝜔𝑚𝛾
𝑘𝑜𝑝𝑡 ≃ 𝑘𝑜𝑝𝑡 1 + 𝑖

𝜅
𝑘𝑜𝑝𝑡

𝜙𝑤

1
, 𝜙𝑤 ≔
𝑄𝑤

振り子の
内部散逸
63

さらに散逸を小さく！
• 光学トラップでさらに低減

Gravity

𝑘𝑝𝑒𝑛𝑑
𝑘𝑜𝑝𝑡
𝜅

Wire

レーザーでつくったばね（光ばね）
でさらに希薄化（optical dilution）

𝑖𝜔𝑚𝛾
𝑘𝑜𝑝𝑡 ≃ 𝑘𝑜𝑝𝑡 1 + 𝑖

𝜅
𝑘𝑜𝑝𝑡

𝜙𝑤

振り子の
内部散逸

1
, 𝜙𝑤 ≔
𝑄𝑤
Q値が共振周波数の2次で増大

64

光ばね
• 共振からずらした（離調）場合、光圧で復元力をつくれる

𝑥光の周波数がとても高い(>100 THz)
ため、熱雑音のない理想ばねとなる
光ばねによる
復元力は正共振器内パワー
𝛿𝑃
𝛿𝑥

∝光圧

𝑥
65

具体的に計算してみよう！

66具体的に計算してみよう！

↑光ばねで300 Hzくらいに共振周波数高めて、
なおかつ、
精密光計測を実現して
structural dampingを
実証済み

67

具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ

68

具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e769具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e770具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e7

6桁足りない71具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e72
𝜔𝑜𝑝𝑡

6桁足りない

4𝑘𝐵 𝑇
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇 𝜔0• 光ばねがあると→>⇔>𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )
ℏ
𝜔𝑜𝑝𝑡

2

72

具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e72
𝜔𝑜𝑝𝑡

6桁足りない

4𝑘𝐵 𝑇
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇 𝜔0• 光ばねがあると→>⇔>𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )
ℏ
𝜔𝑜𝑝𝑡

2

73

具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e72
𝜔𝑜𝑝𝑡

6桁足りない

4𝑘𝐵 𝑇
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇 𝜔0• 光ばねがあると→>⇔>𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝜔𝑜𝑝𝑡

2~(2 / 300)^2 = 4e-5(逆数とると2e4)74具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e7

6桁足りない

2
𝜔𝑜𝑝𝑡

4𝑘𝐵 𝑇
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇 𝜔0• 光ばねがあると→>⇔>𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝜔𝑜𝑝𝑡

~(2 / 300)^-1 = 150

2~(2 / 300)^2 = 4e-5(逆数とると2e4)75具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e7

6桁足りない

2
𝜔𝑜𝑝𝑡

4𝑘𝐵 𝑇
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇 𝜔0• 光ばねがあると→>⇔>𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝜔𝑜𝑝𝑡

~(2 / 300)^-1 = 150

2~(2 / 300)^2 = 4e-5(逆数とると2e4)

150 * 2e4 = 3e6!!
6桁の不足をおぎなった！

76具体的に計算してみよう！
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇
• 条件：
>
𝛾(𝜔0 )ℏ~1e-23 * 300 / 1e-34 = 3e13~(2*pi*2)^2 / 6e-6 ~ 3e7

6桁足りない

2
𝜔𝑜𝑝𝑡

4𝑘𝐵 𝑇
𝜔02
4𝑘𝐵 𝑇 𝜔0• 光ばねがあると→>⇔>𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝛾(𝜔𝑜𝑝𝑡 )ℏ𝜔𝑜𝑝𝑡

~(2 / 300)^-1 = 150

量子計測可能な振動子！

2~(2 / 300)^2 = 4e-5(逆数とると2e4)

150 * 2e4 = 3e6!!
6桁の不足をおぎなった！

77他の振動子との比較• 様々な振動子：
振り子、ねじれ振り子、
カンチレバー、薄膜、浮上球…
大きなスケールでは振り子が
すごい！

78

低散逸化に成功、変位計測と制御• 後半では
精密変位測定→光ばね＋フィードバック冷却
フィードバック冷却→制御でモード温度を冷却する
量子推定→測定データを因果的に解析し、不確かさを減らす(条件付き確率の制御)
79精密変位計測の実現

Optical dilutionによるさらなるQ値の増強(雑音の低減)↓

Gravity• 三角共振器（回転の光学トラップ）• 光ばね（重心振動の光学トラップ）• （PRL2020ではないが）低散逸振動子→精密変位が原理的に可能。技術的には？

Optical spring
Wire
Gas

80

理想的計測に向けた実験構成
真空中（”all-in-vac operation”, 10^-5 Pa未満）

多段防振・光源安定化システム
信号取得系・調節機構→測定精度向上
大気中
単一周波数光源(1064 nm/500 mW)
光学変調器・電気信号のフィルター
データ解析
開発期間（予算獲得・設計・発注/納品・構築・脱ガス評価…）：

2.5年（2015～2017年）
実験期間（高精度化）：4か月

Setup~1 m

ISO class 6
Clean room

~1 m
Setup
Int. stab.
Coil-magnet
actuator

Freq. stab.

cooling

ISO class 6
Clean room

Signal lines

XYZ-stage

1m

Current signals aretransferredthrough
twisted cables

Main signals

Foralignment
Signals foralignment-tuning
actuators aretransferred to the
air via Burndy

Data logger• 回路とかロガーの写真

Controllerofpicomotors

Electric circuits for
Laser stabilization,
Cooling

製作過程

88

光学トラップされた冷えた振り子（10 mK）
rocking
1st
violinさらにフィードバック冷却すると• 11 mK→420 uK90

量子状態推定• 10 mK, 400 uK程度まで冷えた振動の時系列データ＋• 因果的な量子推定アルゴリズム（量子ウィーナーフィルタ）→測定データ中の不確かさを低減（条件付き確率分布の制御）
量子推定！
フィードバック制御と異なり・制御の安定性を気にする必要なし
・モデルのパラメータをじっくりと精査可能→フィードバック制御へ移行する前の準備91

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁

𝑥

+

𝑦

𝜁
• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に92

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁

𝑥

+

𝜁

𝐻
𝑦

𝑥෤
推定値：
測定結果から条件つけられた確率変数（条件付き確率）• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に93

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁

𝑥

+

𝜁

𝐻

𝑥෤

𝑦

推定値：
測定結果から条件つけられた確率変数（条件付き確率）+𝑥 − 𝑥෤

• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に94

不規則信号の推定信号が既知のとき（例えば重力波）はマッチドフィルタ

ウィーナーフィルタ• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁

𝑥

+

𝜁

𝐻

𝑥෤

𝑦

推定値：
測定結果から条件つけられた確率変数（条件付き確率）+𝑥 − 𝑥෤
知識の中（測定データ中）の不確かさ• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に95

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程→分散は𝜎𝑥2• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁• 推定値：𝑥෤ = 𝐻𝑦

• 雑音：𝜁→分散は𝜎𝜁2• 目標：D =•𝐷=𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に

𝑥 − 𝐻𝑦 2=𝑥−𝐻 𝑥+𝜁2= 1 − 𝐻 2 𝑥 2 + 𝐻2 𝜁2

𝑑𝐷
𝜎𝑥2
•
= 0から𝐻 = 2 2 → 1
𝑑𝐻
𝜎𝑥 +𝜎𝜁
96

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程→分散は𝜎𝑥2• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁• 推定値：𝑥෤ = 𝐻𝑦

• 雑音：𝜁→分散は𝜎𝜁2• 目標：D =•𝐷=𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に

𝑥 − 𝐻𝑦 2=𝑥−𝐻 𝑥+𝜁

信号と雑音は無相関と仮定（古典的）2= 1 − 𝐻 2 𝑥 2 + 𝐻2 𝜁2

𝑑𝐷
𝜎𝑥2
•
= 0から𝐻 = 2 2 → 1
𝑑𝐻
𝜎𝑥 +𝜎𝜁
97

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程→分散は𝜎𝑥2• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁• 推定値：𝑥෤ = 𝐻𝑦

• 雑音：𝜁→分散は𝜎𝜁2• 目標：D =•𝐷=𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に

𝑥 − 𝐻𝑦 2=𝑥−𝐻 𝑥+𝜁𝑑𝐷
𝜎𝑥2•= 0から𝐻 = 2 2 → 1
𝑑𝐻
𝜎𝑥 +𝜎𝜁

信号と雑音は無相関と仮定（古典的）2= 1 − 𝐻 2 𝑥 2 + 𝐻2 𝜁2

バンドパスフィルタみたいなもの98不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程→分散は𝜎𝑥2• 出力：𝑦 = 𝑥 + 𝜁• 推定値：𝑥෤ = 𝐻𝑦

• 雑音：𝜁→分散は𝜎𝜁2• 目標：D =•𝐷=𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に

𝑥 − 𝐻𝑦 2=𝑥−𝐻 𝑥+𝜁𝑑𝐷
𝜎𝑥2•= 0から𝐻 = 2 2 → 1
𝑑𝐻
𝜎𝑥 +𝜎𝜁

信号と雑音は無相関と仮定（古典的）2= 1 − 𝐻 2 𝑥 2 + 𝐻2 𝜁2（SN比高いとき）99

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝜁

𝑥

𝐴

+

𝜁

𝐻

𝑥෤ 𝑥 𝑦)𝑦+𝑥 − 𝑥෤

• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に100

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝜁

𝑥

𝐴

+

𝜁
• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に𝐻𝑥෤ 𝑥 𝑦)𝑦+𝑥 − 𝑥෤

𝐴∗ 𝑃𝑥𝑥𝐻=
𝐴 2 𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝜁𝜁

101

不規則信号の推定• 目的信号𝑥：確率過程• 出力：𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝜁

𝑥

𝐴

+

𝜁
• 目標： 𝑥 − 𝑥෤ 2 を最小に𝐻𝑥෤ 𝑥 𝑦)𝑦+𝑥 − 𝑥෤

𝐴∗ 𝑃𝑥𝑥𝐻=
𝐴 2 𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝜁𝜁

1
𝐴

102

少しだけ一般化• 目的信号を一般的に𝑑とすると
•𝐻=

𝑆𝑦𝑑
𝑆𝑦𝑦

=

𝑦(𝜔)𝑑 ∗ (𝜔)𝑆𝑦𝑦• 目的信号が𝑥のとき

𝐻

𝑑ሚ

𝑦

𝐴∗ 𝑃𝑥𝑥•𝐻= 2
𝐴 𝑃𝑥𝑥 +𝑃𝜁𝜁+𝑑 − 𝑑ሚ

103

少しだけ一般化• 目的信号を一般的に𝑑とすると
•𝐻=

𝑆𝑦𝑑
𝑆𝑦𝑦

=

𝑦(𝜔)𝑑 ∗ (𝜔)𝑆𝑦𝑦• 目的信号が𝑥のとき

𝐻

𝑑ሚ

𝑦

𝐴∗ 𝑃𝑥𝑥•𝐻= 2
𝐴 𝑃𝑥𝑥 +𝑃𝜁𝜁+𝑑 − 𝑑ሚ

104

少しだけ一般化• 目的信号を一般的に𝑑とすると
•𝐻=

𝑆𝑦𝑑
𝑆𝑦𝑦

=

𝑦(𝜔)𝑑 ∗ (𝜔)𝑆𝑦𝑦• 目的信号が𝑥のとき

𝐻

𝑑ሚ

𝑦

𝐴∗ 𝑃𝑥𝑥•𝐻= 2
𝐴 𝑃𝑥𝑥 +𝑃𝜁𝜁+𝑑 − 𝑑ሚ

周波数領域で複素共役→時間領域で時間軸が逆転→式のうえでは因果律に反することがありえる
105

システムの応答関数と因果性
因果的な応答∞𝑡• 𝑥(𝑡) = ‫׬‬−∞ 𝜒 𝑡 − 𝜏 𝐹𝑑𝜏 = ‫׬‬−∞ 𝜒 𝑡 − 𝜏 𝐹𝑑𝜏 , 𝜒 𝑡= 0 (𝑡 < 0)

数学的には、応答関数がラプラス空間で左反平面に極と零点を持てばよい例• 𝑚𝑥ሷ = −𝑘𝑥 − Γ𝑥ሶ + 𝐹
•𝜒 𝜔

𝑥
1
1
1
1
= =
=
, 𝑠 = −𝑖𝜔𝐹𝑚 Ω2 −𝜔2 −𝑖𝜔Γ𝑚 𝑠2 +Γ𝑠+Ω2→極が左反平面106

システムの応答関数と因果性
因果的な応答∞𝑡• 𝑥(𝑡) = ‫׬‬−∞ 𝜒 𝑡 − 𝜏 𝐹𝑑𝜏 = ‫׬‬−∞ 𝜒 𝑡 − 𝜏 𝐹𝑑𝜏 , 𝜒 𝑡= 0 (𝑡 < 0)

数学的には、応答関数がラプラス空間で左反平面に極と零点を持てばよい例• 𝑚𝑥ሷ = −𝑘𝑥 − Γ𝑥ሶ + 𝐹
𝑥
1
1
1
1
•𝜒 𝜔 = ==, 𝑠 = −𝑖𝜔𝐹𝑚 Ω2 −𝜔2 −𝑖𝜔Γ𝑚 𝑠2 +Γ𝑠+Ω2
Γ22• 𝑠 + Γ𝑠 + Ω = 0となるのは𝑠 ≃ − ± iΩ
2

→極が左反平面107

因果的なウィーナーフィルタ• 非因果的な場合
•𝐻=

𝑆𝑦𝑑
𝑆𝑦𝑦

=

𝑦(𝜔)𝑑 ∗ (𝜔)𝑆𝑦𝑦+ −• 𝑆𝑦𝑦 = 𝑆𝑦𝑦
𝑆𝑦𝑦• 因果的な場合
1• 𝐻𝑞 = +
𝑆𝑦𝑦

𝑆𝑞𝑦
−
𝑆𝑦𝑦

+

108

因果的なウィーナーフィルタ
imag• 非因果的な場合
•𝐻=

𝑆𝑦𝑑
𝑆𝑦𝑦

=

𝑦(𝜔)𝑑 ∗ (𝜔)
𝑆𝑦𝑦

s平面

極

+
𝑆𝑦𝑦
零点

−
𝑆𝑦𝑦

+ −
• 𝑆𝑦𝑦 = 𝑆𝑦𝑦
𝑆𝑦𝑦

real

• 因果的な場合
1• 𝐻𝑞 = +
𝑆𝑦𝑦

𝑆𝑞𝑦
−
𝑆𝑦𝑦

+

109

因果的なウィーナーフィルタ
imag• 非因果的な場合
•𝐻=

𝑆𝑦𝑑
𝑆𝑦𝑦

=

𝑦(𝜔)𝑑 ∗ (𝜔)
𝑆𝑦𝑦

s平面

極

+
𝑆𝑦𝑦
零点

−
𝑆𝑦𝑦

+ −
• 𝑆𝑦𝑦 = 𝑆𝑦𝑦
𝑆𝑦𝑦

real

• 因果的な場合
1• 𝐻𝑞 = +
𝑆𝑦𝑦

𝑆𝑞𝑦
−
𝑆𝑦𝑦

+

110

光ばね・光の直接検出、の場合• 先行研究光ばねなし、ホモダイン測定（位相測定）• 我々
光ばねあり（detuningあり）
直接検出（振幅測定）• 光検出が単純で容易、振動子のコヒーレンスが増大• 理論が複雑111

光ばね・光の直接検出、の場合• 先行研究光ばねなし、ホモダイン測定（位相測定）• 我々
光ばねあり（detuningあり）
直接検出（振幅測定）• 光検出が単純で容易、振動子のコヒーレンスが増大• 理論が複雑112

光ばねがあるとき

PhysRevA.94.033822 (2016)
Matsumoto et al.

• 三角共振器で回転振動を光学トラップしてる
ことは理論モデルには影響しないΓ ≫ Γbare𝑥, 𝑦, Δ, 𝜅

𝑥𝑖𝑛 , 𝑦𝑖𝑛𝑞, 𝑝Ω, Γbare
𝑥𝑜𝑢𝑡
𝑋

113

本研究のモデル• 線形近似• Dispersive coupling
𝜕𝜔𝑐
(𝑔 ≡
𝜕𝑥

𝑛𝑐 𝑥zpf,bare )• 離調による光ばね• フィードバック冷却• 光源雑音• 検出ロス• mg鏡以外は無視
2
2
𝑥𝑖𝑛
= 𝑦𝑖𝑛
= 2𝑁𝑡ℎ + 12𝑝𝑖𝑛= 2𝑛𝑡ℎ + 1

ハミルトニアン
ℏΩ 2
ℏΔ 2
2
𝐻=
𝑞 +𝑝 −
𝑥 + 𝑦 2 + ℏ𝑔𝑥𝑞
4
4
ランジュバン方程式
𝜅𝑥ሶ = − 𝑥 − Δ𝑦 + 𝜅𝑥𝑖𝑛2𝜅𝑦ሶ = − 𝑦 + Δ𝑥 + 𝜅𝑦𝑖𝑛 − 2𝑔𝑞
2𝑞ሶ = Ω𝑝𝑝ሶ = −Ω𝑞 − Γ𝑝 + 2Γ𝑝𝑖𝑛 − 2𝑔𝑥 − ‫ 𝑡 𝑓 𝑠𝑑 ׬‬− 𝑠 𝑋
出力方程式′
𝑋 = 𝜂𝑥𝑜𝑢𝑡 + 1 − 𝜂𝑥𝑖𝑛
, 𝑥𝑜𝑢𝑡 = 𝑥𝑖𝑛 − 𝜅𝑥114

adiabatic limit• 光ばねで固有モードが変わるので、変数変換• adiabatic limit

115

adiabatic limit• 光ばねで固有モードが変わるので、変数変換• adiabatic limit

116adiabatic limit• 光ばねで固有モードが変わるので、変数変換• adiabatic limit

117

adiabatic limit• 光ばねで固有モードが変わるので、変数変換• adiabatic limit

118ウィーナーフィルター解析解1෨ 𝜒 𝜔 ,𝜒 𝜔 =𝐻𝑞 𝜔 = 𝐴ሚ 1 − 𝑖 𝐵𝜔Ω′2 − 𝑖Γ ′ 𝜔 − 𝜔 2′′

直感的な理解・出力X(光の直交位相振幅)から鏡の位置qのパワースペクトルを最適推定(フィルターの次元は1/sqrt(Hz)、フィルターのゲインは校正係数)
・微分項は推定誤差の低減（冷却）・感受率の項はS/N比の高い領域を選定（高周波成分除去）119ウィーナーフィルター解析解1෨ 𝜒 𝜔 ,𝜒 𝜔 =𝐻𝑞 𝜔 = 𝐴ሚ 1 − 𝑖 𝐵𝜔Ω′2 − 𝑖Γ ′ 𝜔 − 𝜔 2′′

モデルパラメータ（ノイズの特性も）に依存
直感的な理解・出力X(光の直交位相振幅)から鏡の位置qのパワースペクトルを最適推定(フィルターの次元は1/sqrt(Hz)、フィルターのゲインは校正係数)
・微分項は推定誤差の低減（冷却）・感受率の項はS/N比の高い領域を選定（高周波成分除去）120

ウィーナーフィルター解析解1෨ 𝜒 𝜔 ,𝜒 𝜔 =𝐻𝑞 𝜔 = 𝐴ሚ 1 − 𝑖 𝐵𝜔Ω′2 − 𝑖Γ ′ 𝜔 − 𝜔 2′

共分散の解析解
（X依存なし）数値計算との一致を確認′

振り子の揺れ（unconditional state）

ここに数式を入力します。

Cooling（purifying）
Squeezing

直感的な理解・出力X(光の直交位相振幅)から鏡の位置qのパワースペクトルを最適推定(フィルターの次元は1/sqrt(Hz)、フィルターのゲインは校正係数)
・微分項は推定誤差の低減（冷却）・感受率の項はS/N比の高い領域を選定（高周波成分除去）
121変位測定結果• 変位計測122

変位測定結果• 変位計測123

変位測定結果• 変位計測位相空間(回転座標)

変位測定の結果(真の値に近い)

不確かさの大きさ~ 𝑛ത ≃ 106
124

変位測定結果• 変位計測位相空間(回転座標)

変位測定の結果(真の値に近い)

バンドパスフィルタ

time domain

不確かさの大きさ~ 𝑛ത ≃ 106125

状態推定のイメージ• 位置推定→（測定に条件つけられた）スクイーズ
位相空間(回転座標)

変位測定の結果(真の値に近い)(model-based)causal estimation
for position

band-pass filtered data
(Brownian motion)
time domain

推定結果とのずれ→conditional variance
Uncertainty principle PREVENTS from localizing it→(position) squeezing126条件付き誤差の分配
線形計測
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒, 𝐶:校正係数
𝑦 ′ = ‫𝑦 𝑃𝐵𝑔 𝑠𝑑 ׬‬, 𝑔𝐵𝑃 :バンドパスフィルタ𝑦′𝑥 ≃ （PRL2019のブラウン運動観測）

なんでスクイーズされるか？
→確率論の観点からの回答

𝐴

量子状態推定（ウィーナフィルタ）𝑥 𝑐 = 𝐸 𝑥 𝑦 = ‫)𝑦|𝑥(𝑝𝑥 𝑥𝑑 ׬‬
𝑉𝑐 = 𝑥 2 𝑐 − 𝑥 2𝑐
EVE’s law𝑉 𝑥 = 𝐸[𝑉 𝑥 𝑦 ] + 𝑉 𝐸[𝑥|𝑦]= 𝑉𝑐 + 𝑥 2𝑐127

条件付き誤差の分配
線形計測
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒, 𝐶:校正係数
𝑦 ′ = ‫𝑦 𝑃𝐵𝑔 𝑠𝑑 ׬‬, 𝑔𝐵𝑃 :バンドパスフィルタ𝑦′𝑥 ≃ （PRL2019のブラウン運動観測）

なんでスクイーズされるか？
→確率論の観点からの回答

𝐴

量子状態推定（ウィーナフィルタ）𝑥 𝑐 = 𝐸 𝑥 𝑦 = ‫)𝑦|𝑥(𝑝𝑥 𝑥𝑑 ׬‬
𝑉𝑐 = 𝑥 2 𝑐 − 𝑥 2𝑐
EVE’s law𝑉 𝑥 = 𝐸[𝑉 𝑥 𝑦 ] + 𝑉 𝐸[𝑥|𝑦]= 𝑉𝑐 + 𝑥 2𝑐128

条件付き誤差の分配
線形計測
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒, 𝐶:校正係数
𝑦 ′ = ‫𝑦 𝑃𝐵𝑔 𝑠𝑑 ׬‬, 𝑔𝐵𝑃 :バンドパスフィルタ𝑦′𝑥 ≃ （PRL2019のブラウン運動観測）

なんでスクイーズされるか？
→確率論の観点からの回答

𝐴

量子状態推定（ウィーナフィルタ）𝑥 𝑐 = 𝐸 𝑥 𝑦 = ‫)𝑦|𝑥(𝑝𝑥 𝑥𝑑 ׬‬
𝑉𝑐 = 𝑥 2 𝑐 − 𝑥 2𝑐
EVE’s law𝑉 𝑥 = 𝐸[𝑉 𝑥 𝑦 ] + 𝑉 𝐸[𝑥|𝑦]= 𝑉𝑐 + 𝑥 2𝑐
unconditional variance=
within-group variance+between-group variance129条件付き誤差の分配
線形計測
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒, 𝐶:校正係数
𝑦 ′ = ‫𝑦 𝑃𝐵𝑔 𝑠𝑑 ׬‬, 𝑔𝐵𝑃 :バンドパスフィルタ𝑦′𝑥 ≃ （PRL2019のブラウン運動観測）
𝐴

真の値はわからないので〈𝑉𝐶 〉 = 𝑥 − 𝑥 𝑐 2
2
𝑦′
≃
− 𝑥𝑐
𝐴
で推定

量子状態推定（ウィーナフィルタ）𝑥 𝑐 = 𝐸 𝑥 𝑦 = ‫)𝑦|𝑥(𝑝𝑥 𝑥𝑑 ׬‬
𝑉𝑐 = 𝑥 2 𝑐 − 𝑥 2𝑐
EVE’s law𝑉 𝑥 = 𝐸[𝑉 𝑥 𝑦 ] + 𝑉 𝐸[𝑥|𝑦]= 𝑉𝑐 + 𝑥 2𝑐
unconditional variance=
within-group variance+between-group variance130

モデルパラメータの特定

displacement• 光ばねの特性を利用してパラメータを特定

fitting131

モデルパラメータの特定• 光ばねの特性を利用してパラメータを特定

displacement

freq.
counting

132

モデルパラメータの特定• 光ばねの特性を利用してパラメータを特定

displacement

freq.
counting

fitting133

measured data

結果

estimated data (prediction)difference

位置

運動量

相関

134

measured data

結果

estimated data (prediction)difference

位置

運動量

相関

135

結果
current experimentexperimentcurrent experimentsqueezing

theory～500

purityidentified value𝑛,ത 𝑁

in Wiener filter
136

結果
experimentcurrent experimentcurrent experimentsqueezing

theorypurityidentified value𝑛,ത 𝑁

in Wiener filter137

結果
experimentcurrent experimentcurrent experimentsqueezing

theorypurityidentified value𝑛,ത 𝑁

in Wiener filter138

量子スクイーズに向けて• スクイーズの原理検証は成功• 真空場揺らぎよりは小さくできていない→もっと散逸を下げる必要あり！
• 既に低散逸化に成功！
5 cm

139

将来計画
• モノリシック振り子を使えば量子スクイーズ可能！

squeezing(previous case)quantumsqueezing

puritypurity (previous case)

5 cm

140

直交位相エンタングルメント• 振り子の位置・運動量のマイケルソン干渉計を用いた量子もつれ生成→２つの振り子の量子もつれ PRL 100, 013601 (2008)

スクイーズ状態生成（同相振動と差動振動）
位置の最適
状態推定
同相振動
の推定

ウィーナフィルタ

詳細は後で光の直交位相エンタングルメント

光学トラップ
された振り子←arXiv2020 Matsumoto & Yamamoto
差動振動
の推定

・巨視的物体の量子もつれ→量子制御技術の限界に挑戦
・重力子・自己重力・相互重力によるデコヒーレンス
141→新奇プローブ直交位相エンタングルメント• 振り子の位置・運動量のマイケルソン干渉計を用いた量子もつれ生成→２つの振り子の量子もつれ PRL 100, 013601 (2008)

スクイーズ状態生成（同相振動と差動振動）
位置の最適
状態推定

光の直交位相エンタングルメント

ウィーナフィルタ

光学トラップ
された振り子←arXiv2020 Matsumoto & Yamamoto

・巨視的物体の量子もつれ→量子制御技術の限界に挑戦
・重力子・自己重力・相互重力によるデコヒーレンス
142→新奇プローブ直交位相エンタングルメント• 振り子の位置・運動量のマイケルソン干渉計を用いた量子もつれ生成→２つの振り子の量子もつれ PRL 100, 013601 (2008)

スクイーズ状態生成（同相振動と差動振動）
位置の最適
状態推定

光の直交位相エンタングルメント

同相振動
の推定

ウィーナフィルタ

光学トラップ
された振り子←arXiv2020 Matsumoto & Yamamoto
差動振動
の推定

・巨視的物体の量子もつれ→量子制御技術の限界に挑戦
・重力子・自己重力・相互重力によるデコヒーレンス
143→新奇プローブ直交位相エンタングルメント• 振り子の位置・運動量のマイケルソン干渉計を用いた量子もつれ生成→２つの振り子の量子もつれ PRL 100, 013601 (2008)

スクイーズ状態生成（同相振動と差動振動）
位置の最適
状態推定

光の直交位相エンタングルメント

同相振動
の推定

ウィーナフィルタ

光学トラップ
された振り子←arXiv2020 Matsumoto & Yamamoto
差動振動
の推定

・巨視的物体の量子もつれ→量子制御技術の限界に挑戦
・重力子・自己重力・相互重力によるデコヒーレンス
144→新奇プローブ

まとめ
重力デコヒーレンス・重力定数測定などに向けた巨視的振動子の量子制御• 量子計測の条件→測定率、熱デコヒーレンス率、ショットノイズ、熱的揺動力• 量子計測の条件を満たした巨視的な振動子→重力希薄化、光学希薄化、structural dampingによる低散逸化• フィードバック冷却と量子推定→光ばね、スクイーズ状態、変位計測の低雑音化
145