
dE  d p  =v⋅= ev ⋅E
dt
dt

１．はじめに加速器を使って粒子をより高いエネルギーまで加速するには、入射器、ブースター加速器、メ
インシンクロトロンなどの構成で複数の加速器によって徐々に加速する必要がある。電子の場合、エネルギー10MeV程度で相対論的運動になるた
め、加速周波数は一定になる。陽子、イオンビー
ムなど重い荷電粒子の加速では、そのエネルギーと共に加速高周波を同期させなければならず、陽子シンクロトロンのビーム加速は技術的に工夫が必要で大変おもしろい。
この高周波の基礎では、比較的エネルギーの低い陽子シンクロトロンでのビーム加速を想定し、縦方向(longitudinal）ビーム運動について解説する。

２．縦方向の運動方程式ーLongitudinal
Equation of Motion
２.1 座標シンクロトロンを周回するビームの運動を調べる前にまずここで座標系の定義とその確認をおこなう。

(2.2.2)

ここで、電場ECは進行方向（longitudinal又は
縦方向）の電場と磁場の時間変化による起電力場
EBの和で表される。


E = EC + EB

Electromotive force EBは、Maxwellの式か
ら



∂
B
rotEB = − dt

(2.2.3)で計算できる。

２.3 高周波電場 Ec
ここで、荷電粒子（ここでは主に陽子: p)の加速ギャップを通過する時を考える。ギャップ電圧
V[volt]、ギャップ間距離g(m)とする。

V (t) = VO ⋅ sin(ω t)(2.3.1)

進行方向の電場Ecが均一であるとすると、粒子が加速ギャップを通過する時に得るエネルギー
ΔE(eV)は、

eVO g 2ΔE =sin(ω t)ds
g ∫− g 2(2.3.2)

ここで、sはリング進行方向の距離、ωは加速高周波の角周波数とする。

ここで、座標 sはビームの進行方向、座標(x,y)はビームの進行方向に対して、水平、垂直方向の座標を表す。又、reference orbitは、平均半径 R[m]の円軌道と考える。

２.2 荷電粒子の運動方程式
電磁場E、Bの中で速度ｖで運動する荷電粒子（電荷 e）は、


  
dp
= e( E + v × B)
dt

(2.2.1)の力を受ける。
ここで、energy gain dE/dt を得るために速度と力の内積を考える。

粒子は加速ギャップg(m)を通過するのに有限の時間Δt(=t2-t1)掛かるとする。
ωt = ωS/v + const.であるから式(2.3.2)に代入して、⎡ sin(a ) ⎤2 ⎥Δ E = eVO ⋅ sin(ω t) ⎢
a
⎢⎣
2 ⎥⎦

(2.3.3)

式中の a は、reference orbit の中心から加速ギャップgを見る中心角を表す。
この式(2.3.3)左辺の括弧[ ]で括った部分をtransit time factorと呼び、ビームが加速空胴を通過する間に受ける実効的なエネルギーを示す

係数である。陽子シンクロトロンの場合、加速空胴の長さは2m程度(加速ギャップの長さではない。一般に空胴は複数の加速ギャップに構成される)、小型のKEK-PS Booster[4]の場合でも周長は40m程度であるから transit time factor >0.995になり、殆どの場合、1と考えてよい。
したがって、粒子が加速ギャップを通過する時に得るエネルギーΔE(eV)は、

Δ E = eVO ⋅ sin(ω t)(2.3.4)で表される。

２.4 加速周波数とハーモニック数
粒子が速さ 速度 v [m/s] で周長C[m;=2πR、Rは平均半径]のシンクロトロン（リング）を周回しているとする。周回周期 TO [sec]、
周回周波数 fO [Hz]は、
周期 TO = C/v = 1/fO

(2.4.1)

であらわされる。
荷電粒子がリング上の加速空胴を通過する度に発生する高周波電圧を感じる要にすればよいか
ら、発生させる加速電場の周波数と周回周波数の間には、整数則が生じる。
frf = h x fO

(2.4.2)

この整数ｈを高周波のハーモニック数(harmonics or harmonic number)と呼ぶ。

つける。ビーム受け渡し時のマッチングの条件として、周波数が等しいとすると、
ωrf1=ωrf２→h1ωo1=h2ωo2→h1ｖ／Co1=h2ｖ／Co2
ビームの速度vは同じであるから、→h1／Co1=h2／Co2
それぞれのリングの周長比は、リングのそれ
ぞれのハーモニック数の比に等しくする必要ある。
リングのハーモニックス数をいくらにするかは、単純ではない。ビーム利用者がどのような時間構造を持ったビームを実験をする上で望んでいるかが重要である。また、その上で、ハードウェ
アー（空胴、高周波源）が実現できるか。特に、100MeV以下の陽子シンクロトロンでは、
速さvと高速 c の比、β＝v/c＜１でエネルギーの応じて変化する。つまり、エネルギー（運動量）と共に加速周波数を変化させなければない。
加速周波数可変を実現するためのハードウェアーの制限も高周波ハーモニック数の選択に影響を与えている。J-PARC陽子シンクロトロンは400MeVリニアック、3GeVシンクロトロン（RCS)、50GeVシンクロトロン（50GeVMR)
で 構成される。3GeV RCSは、25Hzの速い繰り返しで運転され、MRサイクル4秒の中で約95%強のビームが3GeVビームを使った利用者に供給させる。RCSとMRの周長比は、1 : 4.5であり、最終的にそれぞれのハーモニック数は、2及び9に選択された[5]。

２.5 加速に必要な電圧
荷電粒子の円形運動を司るのは偏向電磁石の
磁場 B [T] とし、磁石の曲率半径ρ[m] とすると運動量 p との間に、
p = - eBρor 3.3p [GeV/c] = Bρ[Tm](2.5.1)の関係がある。ここで e は陽子加速を想定し、素電荷とした。
また、式 (2.2.2) から

d p 1 dE=
dt β c dt
図に示すように、高周波のハーモニック数の数
だけ縦方向の運動を司る安定位相が存在する。
ビームをより高いエネルギーまで加速するためにシンクロトロンをカスケードにすることがあら
ゆる点で効率的である。２つのシンクロトロンでビーム受け渡しを行う場合、縦方向位相空間マッ
チングを考える必要がある。２つのリングの周長
C、加速周波数ｆ、ハーモニックス数ｈとし、それぞれに２つのリングを区別するために添え字を(2.5.2)

ここで、E=γmOc2 は全エネルギーである、mO
陽子の静止質量、cは光速とする。
一方、式 (2.3.4) から粒子がリングを１周する間に得るエネルギーは、 Δ E = eVO ⋅ sin(ω t) でその平均値は、

Δ E eVO=⋅ sin(ω t)
ΔT Trev(2.5.3)

従って、式 (2.4.1) と式 (2.5.2)から

eVO ⋅ sin(ω t) = 2π Rd(Bρ )
dt(2.5.4)磁場の時間変化に必要な加速電圧を得る。VO は粒子がリングを一周する間に受ける最大の加速電圧 [ volt/turn ] である。ここで、加速電圧が、リングの大きさと磁場の時間変化の最大値の積に比例し、決まることは大変重要である。必要な加速電圧を得るために加速空胴の台数を増やそうと思ってもスペースがなくて増やせない場合がある。リングを大きくして空胴の場所確保できれば良さそうだが、そのために加速電圧がさらに必要になることを忘れてはならない。

２.6 Synchronous 粒子

p = mv = mOγβｃδp = mOβcδγ+mOγc δβδp/p = δγ/γ + δβ/β＝1/β2 δγ/γ
δβ/β＝1/γ2 δp/pなる関係があり、粒子の角速度ωrと運動量pの間には、T=C/vを使って、
δω/ω＝ーδTｒ/To =ーδC/C ＋δv/v⎛
1 ⎞ δp= − ⎜αP − 2 ⎟ ⋅γ ⎠ p⎝(2.7.3)を得る。ここで、括弧（）をslippage factorと
呼び、

⎛
1⎞
η == ⎜ α P − 2 ⎟γ ⎠⎝(2.7.4)

前節の式 (2.5.4) から磁場の時間変化量dB/
dtと最大加速電圧 VO [volt/turn]が決まれば、で定義する。
slippage factor は、ビームのエネルギーが⎛ 2π R dB ⎞φ = asin ⎜ρ≡ φS⎝ eVO d t ⎟⎠γ == α P(2.6.1)式 2.6.1 で決まる高周波の位相にいる粒子は、毎回同じ位相に留まる。この位相を同期位相
synchronous phaseといい、この同期条件を満たして運動する粒子をsynchronous
particle（粒子） 又は、reference particle と呼び、この粒子は常に高周波と同期している。

２.7 トランジションエネルギー：γt
シンクロナス粒子は加速器のデザイン通りに運動する粒子のことで、磁場の中心軌道を運動する。殆どの粒子はシンクロナス粒子の周りに異なる運動量を持って分布している。軌道を司る偏向電磁石が運動量分散を持つために、それらの軌道
は中心軌道からずれる。

δC
dp
= αP
C
p

(2.7.1)式 (2.7.1)に示すように、運動量のずれと軌道の長さのずれを表す量としてmomentum
compaction: αpが導入される。

αP =1
X P (s) dϑ
2π R ∫(2.7.2)

Xp(x)はラティスの分散関数、αpは分散関数のリング一周の積分量の中心軌道に対する割合で表される。
運動量と速度 v の間には、(2.7.5)でゼロになる。このときのエネルギーを遷移エ
ネルギー（transition energy）と呼ぶ。
ビームは、γ= γt でサイクロトロンの用に等時性が保たれてしまう。
加速領域に遷移エネルギーが存在するとビーム
不安定性や加速のための位相制御のため、大強度加速器ではビーム損失が問題になる。そのため、最近の設計では、γtを加速域から外したり、αpを負の値ににする（imaginary γt）などの工夫がされた、J-PARC大強度陽子加速器が稼働し始めた[6]。

２.8 位相安定性の原理
シンクロトロンで加速される粒子は、エネル
ギーにばらつきが有り、加速に必要な高周波に対する位相も一定ではない、つまり、2.6 で述べた
シンクロナス粒子の周りに分布している。そこ
で、簡単のためにエネルギー、加速周波数を一定として、シンクロナス粒子の周りに粒子の運動を考える。リング軌道上の１カ所に高周波加速空胴があり、式(2.3.1)の加速電圧V(t)V(t) = VO sin ωtが発生している。
まず、磁場が一定で加速がないとき、シンクロ
ナス粒子は、図中の a点、又はb点の高周波電圧のどちらかの zeroクロスに留まる。

動量や位相の変化が安定になる条件存在し、このことをシンクロトロンに於ける位相安定性の原理として理解されている。

２.9 シンクロトロン運動の方程式

そこで、シンクロナス粒子と運動量の異なる粒子の運動を次に考える。まず、図中 原点に高周波位相にある粒子の運動量がシンクロナス粒子より大きい場合を考える（下図上）。

運動量の大きい粒子は、シンクロナス粒子より先に空胴に到達するため少しずつ減速される。シンクロナス粒子の運動量と等しくなった時点でシンクロナス粒子との位相差は最大になり、今度は、周回周期がシンクロナス粒子の周期より長くなるために、その位相差は逆に縮まっていく。このようにして、シンクロナス粒子と運動量が異なる粒子は、時間的にシンクロナス粒子の周りを行ったり来たりすることになる。
もう一つの安定点（上図下段）の粒子はどうなるであろうか？今度は、運動量の大きい粒子はさらに加速電圧を感じるため、より運動量がおおきくなる。一方、運動量に小さい粒子は、周回する度により運動量が小さくなるため、シンクロナス
粒子から運動量を異にする粒子は不安定な振る舞いをすることになる。図に示した高周波位相上の数学的な2つの不動点の内、1つは stable ﬁxed
point、もう一つが unstable ﬁxed pointと呼ばれる(詳細は2.12)。高周波による加速では、運シンクロナス粒子と運動量及び加速空胴に到達したときの高周波位相が異なる粒子（非同期粒子）の運動について詳しく見る。
非同期粒子のパラメータを以下に定義する。
ω＝ωo＋Δω、p＝po＋Δp、φ＝φs＋ΔφE＝Eo＋ΔE、θ＝θo＋Δθ
ここで、ω、ｐ、 E、 φ、θは、それぞれ、周回角速度、運動量、エネルギー、位相、リング上の粒子の中心角（軌道角）を示し、添え字 “s”“o”は、シンクロナス粒子に値を示す。

高周波の位相φと軌道角θは、高周波のハーモ
ニックスをhとして、
Δφ＝φーφs＝ーhΔθ となる。
角速度ωは、ω＝dθ／dt なので、

Δω =

d
1 dφ
Δθ = −dt
h dt

式 (2.5.4) からVO→Vとして、周回あたりにビームが得るエネルギーは eV sin(φ)だから、周回周波数f＝2πωを使って、energy gaindE ω=eV sin (φ )dt 2π(2.9.1)を得る。特に、シンクロナス粒子に対する式(2.9.1)は、

dEo ω o=eV sin (φS ) だから、
dt
2π
dE
dEo
1 d
dE Δω d ⎛ ΔE ⎞
−
=
ΔE −
≈
ω dt ω O dt ω O dt
dt ω O2 dt ⎜⎝ ω O ⎟⎠

したがって、シンクロナス粒子と運動量の異なる粒子に対して、ここでΩO＝c/R=ωO/βO は、速度v=c（高速)の時の角振動数を表す。

d ⎛ ΔE ⎞1=eV ( sin (φ ) − sin (φS )) (2.9.2)⎜⎟
dt ⎝ ω O ⎠ 2π

式(2.10.1)より、シンクロトロン振動の安定条件:を得る。

η cos (φS ) < 0

ω＝βc/RからがMcMillanとVekslerにより示された[7]。
ビームのエネルギーがトランジションエネルギーγtより低い又は高い場合で安定位相の条件が変化する。
γ＜γt → ０＜φS＜π／2γ＞γt → π／2＜φS＜πΔω ω − ω O ω
β RO
=
=
−1=
−1
ωO
ωO
ωO
βO R

この方程式の振動数、

一方、位相角φの時間変化は、

dφ= −hΔω
dt(2.9.3)

運動量のずれと周長の関係からmomentum
compactionを使って、

Ω S = ΩOheV η cos (φS )
2π EO

dp
R = RO (1 + α P) を代入すると、式 (2.7.3)
pO

をシンクロトロン振動数と呼び、ΩSをΩOで除した量を synchrotron tune: QSと呼ぶ。

Δω
1 Δp
Δp
= −(α P − 2 )= −ηωOγ O pO
pO

QS =

を得る。

(2.9.3)と (2.7.3)から位相に関して、

dφΔphω 2 ⎛ ΔE ⎞= η hωO=η 2O ⎜dt
pO
β E ⎝ ω O ⎟⎠(2.9.4)の方程式を得る。
変数(φ、ΔE/ωO)はシンクロトロン運動を表す位相空間の変数であり、式(2.9.2)と(2.9.4)
は、シンクロトロン運動を表す方程式であり、非同期粒子の位相とエネルギーが、同期位相と中心エネルギーの周りを振動する運動（シンクロトロン振動）を示している。

２.10 Small amplitude synchrotron
oscillation
シンクロトロン運動の方程式に於いて、パラメータが時間的に大きく変化せず、位相振動の振幅が小さい場合、sin(φ) - sin(φs)〜cos(φs)Δφ、さらに、

dφ d (φS + Δφ ) d ( Δφ )
=
≈
dt
dt
dt
を使って、式(2.9.4)を式(2.9.2)に代入すると、
Δφについての振動の微分方程式を得る。

d 2 ( Δφ ) heVΩO2 η cos (φS )−( Δφ ) = 0
d t2
2π EO

(2.10.1)

ΩS=
ΩO

heV η cos (φS )2π EO

以下に、J-PARCを構成する2つのシンクロトロ
ンについて、典型的な運転状態でのシンクロトロ
ン運動の振動数を計算する。
J-PARC parameters
RCS:
Harmonic number: h=2
ΩO=c/R=5.4 [1/ms]
Injection
extraction
Energy181MeV
3GeV
η
-0.69-0.045φS
00
V (kV)
60 kV
150 kVΩS
2πx 3 kHz 2πx 630 Hz
QS
0.00630.00076---------------------------------------------------------MR:
Harmonic number: h=9ΩO=c/R=1.2 [1/ms]
Injection
Extraction
Energy3GeV
50GeV
η-0.058-0.0013φS
00
V (kV)
280 kV
280 kVΩS
2πx 460 Hz 2πx 20 Hz
QS
0.00250.0001

----------------------------------------------------------J-PARCの例でも分かるように、シンクロトロ
ンチューンは10-3程度である、これは、粒子が１シンクロトロン振動するのに1000ターンほど掛かることを意味している。

２.11 Hamiltonian
正準変数にφ、ｗ（＝ΔE/ωO）を選
び、Hamiltonian: H(φ、w）を考える。

⎧ dφ ∂H (φ , w )
⎪ =
∂w
⎪ dt
⎨
⎪ dw = − ∂H (φ , w )⎪⎩ dt∂φ式(2.9.2)と式(2.9.4)から、シンクロトロン振動のHamiltonianは、

1 hηΩO2 2 eV
H (φ , w ) =w +( cos (φ ) + φ sin (φS ))2 ES
2π(2.11.1)

２.12 Separatrix
高周波のパラメータである電圧:V や同期位
相: φSが小さいとき、ビームが周回あたりに得るエネルギーは小さくなり、slippage factor: ηの変化も小さい。このような条件では、シンクロ
トロン振動のHamiltonianも時間依存性が小さ
く、断熱的な運動として考えられる。

adiabaticity =1 dω S
1 dTS=
12
ω S dt2π dt

ハミルトニアンの時間依存性が小さいとして、シンクロトロン振動をもう少し詳しく見ていく。
式(2.11.1)をさらに書きたすと、

1 hηΩO2 2
H=
w +
2 ES
eV
( cos (φ ) − cos (φS ) + (φ − φS ) sin (φS ))2πで表わすことができる。

(2.12.1)を得る。
このハミルトニアンは、位相空間内に２つの不動点（φS, 0）、(πーφS、0）を持つ。
（φS、０）は、stable ﬁxed pointといい、粒子のこの周りの軌跡からelliptical ﬁxed pointとも呼ばれる。もう一つの不動点 (πーφS、0）は、unstable ﬁxed pointであり、この周りの軌跡が双曲線になることから hyperbolic ﬁxed
pointと呼ばれる。また、unstable ﬁxed
pointを通る軌跡を Separatrixと呼び、位相空間に於ける安定領域の境界を表す。安定領域内の粒子は、stable ﬁxed pointの周りをシンクロト
ロン運動し、bunchと呼ぶ集団を形成する。

H SP =eV
Γ (φS )
2π

( )(2.12.2)

( ) (

) ( )

ここで、 Γ φS = −2 cos φS + π − 2φS sin φS
高周波電圧 eV sin(φ)が作るpotential 及び
シンクロトロン振動の軌跡trajectoryを考える。
式(2.11.1)の右辺第２項が高周波位相φに対するpotentialを表し、典型的な同期位相（ΦS=0と30º）に対して計算すると下の図のようになる。
図の縦軸はpotential energyであるので、緑の点線と青のpotential曲線に囲まれたbucket形状の領域が安定領域になっていることが理解できよう。

とした。
Separatrixの軌道はH=HSPであるから、式(2.12.1)と(2.12.2)から

w2 =

eVES
( − cos(φ ) − cos (φS ) + (π − φS − φ ) sin (φS ))ηhπ ΩO2を得る。
下の図に、ΦS=0、30º、 60º の時の規格化したSeparatrixを描く。

（J-PARCの場合）
RCS
Energy (GeV):
3
Harmonics: h
2
Slippage: η-0.045|h η|
0.09
電圧比(VMR/VRCS) 1

MR
3
9-0.0580.52
6加速高周波が基本波だけの場合、マッチングのためにMRの待ち受け電圧とRCS取り出し電圧の比は６倍程度に設定する必要がある。

３．RF gymnastics

Separatrixは、２つのzeroクロス点を位相上−π ≤ φ ≤ π に有する。１つは先に述べた
unstable ﬁxed point (π-φS、0）、もう一つは
φuとして、cos (φU ) + φU sin (φS ) = − cos (φS ) + (π − φS ) sin (φS )を満たす（φU、0）ある。
上の図からも分かるように、φSの増加と共に、Separatrixの高さ、幅ともに大きく減少する。ここで、
Bucket length: |πーφSー φU |Bucket height:

wh =

−eVES
Γ (φS )
η hπ ΩO2になる。
J-PARCのように多段のシンクロトロンでビームを高いエネルギーまで加速する場合、2つの加速器で縦方向のマッチングをとることが重要になる。一般に、シンクロトロンAからシンクロ
トロンBにビームを受け渡す場合、シンクロトロ
ンAの取り出し周波数とシンクロトロンBの入射周波数は同じに選ばれる、そのためマッチングのためには、ΦS=0でのbucket heightが2つのシンクロトロンで同じになるように、Vηh= const.

パラメータが選ばれる。

シンクロトロンでより大強度のビームを加速するためには、ビームの蓄積技術、空間電荷効果を抑制、ビームエミッタンスの制御が必要になる。また、加速されたビームを取り出すための前準備として、実験に適したビームを得るための時間構造や運動量のコントロール、さらにビームを加速するために行われる加速期間のmatching操
作など、様々な RF gymnastics が考えられている。

３.1 Single bunch manipulations
空間電荷効果の緩和、不安定性の回避のための縦方向（Longitudinal）位相空間でのビームエ
ミッタンス制御、(1) emittance blow-up、 (2)bunch lengthening 、取り出しビームの波形成
形のための (3) bunch compression, (4) bunchrotation, (5) debunching が挙げられる。

3.1.1 Emittance blow-upとlengthening
J-PARC RCSやMRシンクロトロンなど、エネルギーが比較的低い陽子シンクロトロンでは、
空間電荷効果によるビーム強度が制限される。それは、空間電荷によりpotential well distortionが起こり、また、coherent /incoherent
betatron tune shiftやtransverse/longitudinalcollective instabilityの閾値を下げている。そのため、 空間電荷効果の緩和、ビーム不安定性の回避のために、transverse方向のだけでなく、
longitudinal方向のemittanceを大きくし、ピー
ク電流を下げることが不可欠である。
ビーム強度の閾値を挙げるには 2次高調波加速システムなどの高調波システムが有効である。
これらは、ビーム加速には直接寄与しないが、シンクロトロンチューンを広げたり、longitudinalpotentialを平らにすることができる。
Bunching factor

Bf =peak current
average current

を大きくすることができ、incoherent spacecharge tune shiftを下げることに繋がる。

ング上に満たされる。シンクロトロン放射が無視できる場合、粒子の運動量はdebunching課程で変化しない。
Debunching time: Td は、粒子の最大運動量δm
として、

Td =

2π
η hω Oδ mで定義する。
ビーム壁電流モニターは、周回するバンチビームを観測するのに用いられる。このモニターを用いて、バンチしたビームがdebunchする過程を観察し、debunching time: Tdを測定すること
で、ビームの運動量広がりを観測することができる。

3.1.3 Bunch rotation and compression
高周波電圧をnon-adiabaticに上げた場合、位相空間内のバンチは4極振動を始める。
そのようすを模式的に示したのが上図である。
J-PARC RCSは、50GeVシンクロトロンと中性子利用施設のそのビーム供給を行う。MR
ビームは、空間電荷効果抑制の観点からバンチ長の長いビームが求められ、一方で、中性子利用施設のミューオングループは時間構造の短い単バン
チ長ビームが実験上必要とされているため、RCS

図は、J-PARC RCSで行った、入射時の空間電荷効果緩和のために行った２次高調波を使ったバンチ形成の例である。J-PARC RCSは将来1MWの大強度ビーム加速を目指しているが、そのためには、入射エネルギーの低い、加速開始付近の空間
電荷効果の抑制が鍵になっている。上図のビーム実験では、粒子シュミレーションを元に考えた2
次高調波システムを導入した RF gymnastics
が、シュミレーションの通りにビームのbunching factorを操作することを示した[9]。

3.1.2 De-bunching
高周波電圧をnon-adiabaticに切った場合、粒子はslippage factorに応じてドリフトし、終いには連続ビーム(coasting beam)となって、リ取り出しでは、ここで示したようなbunchrotationの操作が有効になっている。

4．RF システム
シンクロトロンの高周波加速電場は、粒子の周回周期の同期しなければならない。共振型の空胴が使われる。陽子シンクロトロンでは、周波数が低く、同軸型空胴が一般的である。加速周波数

4.1 MA loaded Cavity

が10MHzまでの同調型空胴にはこれまでフェラ
イト磁性体を装荷したものが使われてきた。しかしながら、近年、加速器の大強度化、小型化に伴
い、高電場勾配加速空胴が求めら、新しい磁性材料を使った空胴の開発が求められてきた。金属磁性体 (Magnetic alloy)を使った高電場勾配加速空胴は、大強度陽子加速器施設 J-PARC実現に向けて、開発され、実用化した新しいタイプの高電場
勾配加速空胴である。下のグラフは、様々な陽子
シンクロトロン施設で稼働している（稼働していた）高周波加速空胴の動作帯域と電場勾配を示した。

Rsh = ω rf LPQ

金属磁性体（Magnetic Alloy: MA）の高電
場勾配加速空胴への応用開発は、1990年代半ば
J-PARCの前進である大型ハドロン計画の実現へ向けた研究開発が開始した頃に始まった。当時は陽子シンクロトロンの高周波加速装置はフェライト磁性体を装荷した空胴が主流であったが、これまでにない大強度陽子シンクロトロンの実現のた
めには２倍以上の加速電場勾配が可能なシステムが必要であった。
動作周波数がMHz帯の磁性体装荷型空胴は、電力の殆どが磁性体で損失する。空胴のshunt 抵抗 Rsh は、空胴のQ値とインダクタンス
Lp から(4.1.1)になる。ここで、Lp は空胴インピーダンスの等価回路をLCR並列回路で表したときの並列インダク
タンスを表す。
空胴のインダクタンスは、透磁率の大きい磁性体の体積で決まるからその複素透磁率: μr＝μʼ­ｊμ”、磁性体の幾何学寸法：内径 a[m]、外径 b[m]、長さ lF [m]として、磁性体のインダクタンス L

L=µO µ r⎛ b⎞⎛ b⎞
lF ln ⎜ ⎟ = 2 × 10 −7 µr lF ln ⎜ ⎟
⎝ a⎠
⎝ a⎠
2π

を使って、

(

)

(

Rsh = ω rf L Q + 1 Q ∝ ω rf µ ' Q + 1 Q)(4.1.2)
ここで、ωrf は、加速周波数である。

フェライト磁性体を使った空胴は、飽和磁束密度、磁気余効効果などの磁気特性のために電場
勾配は20kV/m以下に制限されている。J-PARCで求められる20kV/m以上の電場勾配を得るには、金属磁性体(Magnetic alloy) を使ったシステ
ムが必要であることが言える[10]。

空胴のQ値は、磁性体の複素透磁率の比 Q＝μʼ／μ” で決まる。フェライト磁性体のQ値は、数10〜100程度であるのに対して、金属磁性体
は、0.5〜1 で小さい。しかしながら、式(4.1.1)
で分かるように、損失を決める shunt 抵抗は、L(Q+1/Q)の積で決まるため、L が大きい金属磁性体は、十分に高い shunt 抵抗を得ることができる。
空胴に発生する加速電圧は、coaxtial 空胴に装荷した磁性体を貫く磁束密度 Brf の時間変化で得られる。coaxial構造を持つ磁性体は、トロイダル形状であり、磁束密度は 1/r の依存性を持つ。

VRF = ω rf lF ∫ B ( r ) dr1
b

a

⎛ b⎞
= ω rf lF Ba raln ⎜ ⎟⎝ a⎠（4.1.3)≈ ω rf Ba A
ここで、添え字 “a”は、平均値を示す、また、Aは磁束が貫く面に垂直な磁性体の断面積である。

shunt抵抗が得られることが分かってきた。これによりさらに高い電場勾配を実現できる可能性が出てきた。
金属磁性体の利用には技術的な課題がいくつか存在するが、将来のMWクラスの加速実現に不可欠な加速器材料になっている。そして、JPARCでは50GeVシンクロトロンのビーム増強、
高繰り返し化に向け、それに対応できる加速空胴に研究が進められている[12]。

5. ビームローディング
ビーム電流が高周波空胴を通過するとwakeﬁeldを誘起する。高周波加速ギャップに発生する電圧
は、加速電圧を発生するためのgenerator
current とbeam currentの合成電圧になる。

図は、典型的な加速器に使われるフェライト
磁性体と金属磁性体の shunt 抵抗と高周波磁束密度Brfに対する関係を示した。式(4.1.3)から磁束密度は加速電圧に比例することから図の横軸は電圧に比例する。金属磁性体は、高い高周波電圧に対しても、そのインピーダンスに低下は見られない。高電場勾配の加速空胴に利用できることが分かる。金属磁性体のこの性質は飽和磁束密度が高いためと考えられているが、その他に、高電場勾配を実現する加速器への応用では、キューリ温
度560º高く、磁歪の小さい金属磁性体が使われる。金属磁性体は、非晶質の磁性体リボン（厚み18ミクロン）にシリカによる絶縁被膜されたものを巻いて製造される。そのためコアの大きさに制限はなく、いろいろな分野で期待されている。
金属磁性体コアは、ハンドリングや冷却のための防錆のため、エポキシ樹脂を使った含浸、コー
ティングの工程をへて実用される。コア自身のQ
値は、Q=0,5程度であるが、カットコアとして利用することで、実効的なQ値を変える事が可能である。これは、磁性体コアのカットにより周方向の磁気抵抗をコントロールし、shunt抵抗を変えることなく、インダクタンス L を可変できる性質を使っている。現在、J-PARC RCS 及びMR 2つのシンクロトロンの加速空胴に高電場勾配を実現した実用機として世界で初めての運用が開始した[11]。
最近では、磁性体リボンの厚み調整や磁場雰
囲気での熱処理により、これまで以上に高い

空胴に誘起した電圧が蓄積されるエネルギー
を W = aV を仮定する。ここで、aは任意であ2る。ビームが空胴に誘起する電圧Vbとし、ビームに影響を与える電圧 Ve = bVb とする。ここで、ｂは任意の数、0 < b < 1である。
２つのビームが位相角θで空胴を通過すると

き、それぞれが誘起する電圧を Vb1 , Vb2 とする。

 
Vb1 , Vb2 は、大きさが等しく、位相角θで誘起されるから２つビームにより空胴に蓄えられるエネ
ルギーは、
2

 2
⎛
⎛θ ⎞⎞
W = a Vb1 + Vb2 = a ⎜ 2Vb cos ⎜ ⎟ ⎟⎝ 2⎠⎠⎝= 2aVb2 (1 + cos (θ ))である。一方、それぞれの粒子のenergy損失
は、粒子の電荷をqとして、

ΔU = qVe + qVe cos (θ )を得る。エネルギーの保存からW = ΔU 、

1
Ve = Vb
2
つまり、周回ビームは、誘起した電圧の正確に1/2の電圧を見る。
これは、加速器のビームローディングを考える上で重要な考えになっている。[13]5.1 Shunt Impedanceとloaded QL
加速空胴に発生する電圧Vと損失電力
PO、Shunt Impedance Rshの間には、ビームが空胴に誘起する電圧 V = Ib RsH は安定な加速に必要な同期位相Φsをbeam loadingにより変化させてします。[14][15]
そのため、加速に必要な振幅と位相を得るた
めに detuning angleとgenerator currentの調整が必要になる。
ビームが無いときのgenerator current:

IO = I O e jθ
ビームが有るときのgenerator current:j θ +θ
Ig = I g e ( g )ビームのimage電流の高周波成分：

V2
Rsh =
2PO

Ii = −I i = − − I bの関係がある。
Q値は、蓄積された電力と損失の比で定義される。周波数ω、蓄積エネルギーWsとのあいだにP
ωWS
Q = stored =POPOの関係がある。
エネルギーの保存から

Required rf accelerating voltage:Vg = Vg e jθ
Detuning angle:

ϕ = tan −1

2Q (ω − ω r )
ωr

dWS
ωWS
= −PO = −dt
Q
つまり、蓄積エネルギーWs は、

WS = WS 0 e

−ω t

Q

で時間的に変化する。

T=2Q
を ﬁlling timeとする。
ω

5.2 ビームローディング補償
加速空胴に加速電圧を発生させるために必要
で generator current: Ioは、

IO = I O e jθ
加速電圧 Vacc＝Vg cosθ＝Vg sinφsの関係を持つ。
ここで、Vg＝Io Rsh.
周期的に空胴を通過するビームの作るimage
current Ibは、Fourier展開により、bunch長が短いとき、直流成分 Idcの2倍の振幅を持つ。

そして、loading factor:
Y=image current/generator currentで定義する。
加速電圧Vgは、

参考文献

(

)

j θ +θ
Vg = I o Rsh e jθ = I g e ( g ) − I1 Rsh cos ϕ e− jϕで書き表される。両辺を複素展開し、実数部と虚数部を比較すると、

Y sin (θ )( ) tan1(+ϕ Y) −cos(θ )tan θ g =Ig = Io

1 + Y cosθ
cosθ g

ビームローディング補償のための、detuningの条件を得る。

5.3 Robinsonʼs dipole mode instability
ビーム周回周波数ωOとし、加速高周波ハーモニック数をｈとする。

Δω
ΔE= −η 2ωO
β EO

周回周波数とエネルギー広がりの関係からビームのエネルギーγ<γtとき、 空胴の共振周波数ωrが加速周波数 hωOより高いければ、 ωOより高い周波数でビームは周回するために空胴により高いwakeﬁeld を誘起して、エネ
ルギーをより損失する。つまり、dipole振動は空胴インピーダンスのinductive partにより、減衰方向に働く。他方、この条件で空胴の共振周波数が ωr < hωOの時、ビームはcapacitive な空胴イ
ンピーダンスのために、dipole振動はさらにその振幅を大きくして、結果的に不安定になる。以上をRobinsonの安定条件または、Robinson 不安
定性と呼ぶ[16]。

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Accelerator Physics, CERN 87-03, 21
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[3] 亀井亨、木原元央「加速器科学」パリティー
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with large amplitude second harmonic rf
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Research Complex”, Phys. Rev.ST[10] Y. Mori, et al.,“A New Type of RF Cavity
for High Intensity Proton Synchrotron
using High Permeability Magnetic Alloy”
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SLAC=49, p.32 (1965)