MWE 2017 WE3B-1

平面フィルタの小型化のための基礎と勘所
Fundamentals and Vital Points of Planar Filtersin the Case of Miniaturization
和田 光司

小野 哲

Koji Wada and Satoshi Ono
電気通信大学 大学院 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻
和文概要
本講演では,著者らが平面伝送線路を用いた各種小型平面フィルタの設計,シミュレーション,試作等に携わってきた経験をふまえて,学生をはじめとする初学者向けに小型平面フィルタの設計および構造化等における基礎と勘所について紹介する。具体的には,分布定数線路, 高周波プリント基板, 共振器の Q
値等について述べる。さらに共振器の小型化およびバンドパスフィルタへの応用等について述べる。

1000

100000
Qd

Q0

Qr

800

10000

600

1000

400

100

200

10

0
0

2

Qr

Qc, Qd, Q0

Qc

1
5

10

Frequnecy(GHz)15

図 共振器の Q0，Qc，Qd および Qr の周波数特性の計算例

図 学生による小型 BPF の製作事例

Abstract
In this tutorial lecture, fundamentals and vital points for design, simulation and experiment of planar filters areshown based on the experience engaged in realization of various miniaturized planar filters. Specifically, we
describe about distributed transmission line, high frequency printed circuit board materials and various quality
factors of microstrip line resonator. Miniaturized resonators and their applications to bandpass filters are also
discussed.
１．はじめに集中定数素子を用いた LC (インダクタとキャパシタ)共振回路や分布定数線路の理論については, 大学
4 年次までの講義等で習うが,それらを用いたフィル
タ等の応用回路の理論や構造化については研究室に配属されてから具体的に検討を進めることが多い。
本講演では,著者らが小型平面フィルタの設計および実現に携わってきた経験から, 高周波プリント基板を用いた小型バンドパスフィルタ(Bandpass Filter:BPF)を題材に学生をはじめとする初学者にフィルタの設計,構造化を行う上で学んで覚えてほしい基礎知
識と勘所について紹介する。

２.分布定数線路理論による共振器の特性計算
平面フィルタを設計する際,分布定数線路を用いた等価回路による計算を行うことが多い。一昔に比べ現在では回路シミュレータや電磁界シミュレータが手軽に利用できるようになった。フィルタに用いられる分布定数線路で構成された共振器については
複雑な構造でなければ,回路シミュレータで計算できる。しかしながら, 平面フィルタの等価回路を検討する上で分布定数線路を用いた１ポート回路の入力アドミタンス（もしくはインピーダンス）や２ポート回路の計算は,共振器や共振器間を構成するインバータ等の設計で必要なるので覚えておくと便利である。
たとえば, 図 1 に示すような長さ l の有損失分布

l
Yin

Z0
ZL

図１分布定数線路

l1

l2

Z0

Z0

(a)λ/2 形(b)λ/4 形
図 2 λ/2 共振器とλ/4 共振器

𝑌in =Z0 +ZL tanh{(α+jβ)𝑙}ZL Z0 +Z20 tanh{(α+jβ)𝑙}式(1)𝑌in = j𝐵in =𝑍0 +j𝑍𝐿 tan𝛽𝑙式(2)𝑍𝐿 𝑍0 +j𝑍02 tan𝛽𝑙
tan𝛽𝑙1

𝐵in =

式(3)

𝑍0
cot𝛽𝑙2

𝐵in = −

式(4)

𝑍0

1
0.8

Bin(S)

定数線路の終端にインピーダンス ZL の負荷で終端された１ポート回路を考える。図 1 に示した回路構成
における入力アドミタンス Yin は,双曲線関数を用いて式(1)と表すことができる。ただし,α,βおよび Z0は減衰定数,位相定数および特性インピーダンスをそれぞれ表している。式(1)は分布定数線路において,その微小区間の長さにおける抵抗,インダクタおよびキャパシタを用いた等価回路表現しそれを基にした電圧と電流の関係式から導出することができる[1]。
また,無損失線路(α=0)の入力アドミタンスは式(1)を変形し三角関数を用いた式(2)で表すことができる。
分布定数線路を用いたフィルタでは,λ/2 共振器
やλ/4 共振器を用いることが多い。それぞれの共振器は,分布定数線路の終端を開放した長さλ/2 の１ポート線路,終端を短絡した長さλ/4 の１ポート線路で構成できる。たとえば,無損失線路を考えるとそ
れらの入力サセプタンス Bin は式(3)および式(4)でそれぞれ表すことができる。たとえば,共振器長を周
波数 2GHz でλ/2 とした先端開放λ/2 共振器と線路長を 2GHz でλ/4 とした先端短絡λ/4 共振器の周波数に対する入力サセプタンスの変化を図 3 に示す。
この特性については,回路シミュレータでも計算できるが,ここでは表計算ソフトの Excel で計算した結果を図 3 に示す。図 3 に示した結果より,λ/2 共振器において,入力サセプタンスが設定した 2GHz とその正の整数倍の周波数において 0 となり,λ/4 共振器では入力サセプタンスが設定した 2GHz とその奇数倍の周波数で 0 となっていることが確認できる。これらの共振器を BPF に適用すると,上記で述べた特性の影響によりフィルタ特性において中心周波数以外の周波数で高調波共振応答が出現することになる。
（勘所１：分布定数線路理論により共振器の特性傾向を確認することができる。）

0.6

λ/2共振器

0.4

λ/4共振器

0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0

1

2

3

4

5

6

7

Frequency(GHz)図 3 λ/2・/4 共振器の入力サセプタンス特性
ストリップ導体
誘電体材料
接地導体
図 4 MSL 構造
図 2 に示した分布定数線路共振器を平面伝送線路を用いて構造化するときに必要な平面伝送線路の特性インピーダンス, 実効比誘電率と構造パラメータの関係について考察する。ここでは, 平面フィルタの実現によく用いられる図 4 に示すようなマイクロス
トリップ線路(Microstrip line: MSL)を例に挙げ話を進める。式(1)～式(4)は自由空間波長を基にした線路長により計算されているが,構造化を進める際には先ず用いる高周波プリント基板と線路構造を決定し,線路の物理長を決定する必要がある。さらに MSL における実効比誘電率と特性インピーダンスも求める必要がある。MSL の特性インピーダンスおよび実効比誘電率は,回路シミュレータ付属の計算ツールやフリーソフト等で計算できるが, 過去に Schneider らにより実験式や経験式等を踏まえた理論式が提案されており,それを用いて計算することもできる。式(5)および式(6)を基にした線路の特性インピーダンスを式(7)に示す[1]。また, 式(5)~式(7)で使用している記号の意味を表１に示す。

8𝑡𝑊0 = 𝑊 + ln⁡[ 𝑡 2式(5)𝜀 −1 𝑡⁄ℎ
4.6 𝑊
√ ⁄ℎ

式(6)

ln⁡[1 + 𝑊 {𝑊 + √(𝑊 )2 + 𝜋 2 }]

式(7)

𝜀 +1

𝜀𝑤 = 𝑟2

Z0 ={( ) +
ℎ

𝜀 −1

+ 𝑟

2

30

4𝑒

]

𝜋

1
}2
𝑊
𝜋2 ( 𝑡 +1.1)2(1 +10ℎ −1𝑊) 2− 𝑟

4ℎ 8ℎ

√ 𝜀𝑤

0

0

8ℎ

0

表 1 式(5)~(7)における記号の意味
W
t
e
W0

線路幅
導体厚
ネイピア数
線路幅とエッジ効果
による等価線路幅h
εw
Z0 ⁡⁡⁡⁡⁡εr

基板厚
実効比誘電率
特性インピーダンス
基板に用いる誘電体の比誘電率

一例として高周波プリント基板にパナソニック株
式会社 MEGTRON6 基板の使用を想定し εr=3.64，
h= 0.5 mm および t=18 μm とし，W=1.05 mm とした
ときの εw および Z0 をそれぞれ算出すると，それぞれ εw=2.86 および Z0=50.1 Ωとなる。また MSL 構造
を電磁界シミュレータ Sonnet で解析した結果, Z0 は
2GHz で 50.8Ωとなり式(7)による計算結果とほぼ一致していることが確認できる。このことから,電磁界シミュレータにより厳密に計算することは重要であるが,設計値としてある程度の目安をつけるには理論式を用いて計算するのも方法の一つであることが確認できる。また,理論式を注意深く確認することにより MSL の構造パラメータ,材料定数と特性インピー
ダンス,実効比誘電率の関係を知ることができるので構造化の際のパラメータ調整等に役立つ。
（勘所 2：MSL において特性インピーダンスおよび実効比誘電率の式から構造パラメータ,材料定数との関係を知ることができる。
）
３．高周波プリント基板の選定
平面フィルタの実現には, 高周波プリント基板を材料として用いる。2 章の検討ではパナソニック株式会
社 MEGTRON6 ( 熱 硬 化 樹 脂 / ガ ラ ス ク ロ ス :R5775N)の諸元を一例として用いたが, MEGTRON6 基
板以外 にもたとえ ば Rogers Corporation RT/Duroid
5880(Poly-Tetra-Fluoro-Ethylene:PTFE),Rogers Corporation RO4305B ( 熱 硬 化 樹 脂 / セ ラ ミ ッ ク ),RO3003(PTFE/セラミック), パナソニック株式会社
MEGTRON7 (熱硬化樹脂/ガラスクロス/R-5785(N)),
MEGTRON 7(R-5785N)をはじめ色々な基板が使われている[2]。基板の選定については, 研究室で代々使用してきたものであったり, 学術論文でよく見かける
基板名だったから使ってみたという話をよく耳にする。検討の初段階としてはそれで十分であるが,シミュレーション,試作実験等を重ねると基板材料の材料
定数等がフィルタ特性の損失に影響することが見えてくるので, 必要に応じて用いる基板の再選定を行うことでフィルタ特性改善につながる場合もある。
具体的な基板の選定については,先ずは基板名とその材料定数（比誘電率，誘電正接 tanδ,導体厚,誘電体厚）を調査することになるが, 基板の材料定数がカタ
ログ上同じであっても,会社によって基板に用いられている材料の特性は異なるので実際に実験等で基板材料を評価する必要がある。また,研究室では多種の基板の購入は管理等の面で難しいので,基板の購入を前提に会社に問い合わせサンプル提供をお願いし特性評価してから基板を購入するのも一つである。
基板材料において,たとえばガラスクロスとレジンの割合,レジンの厚さ,ガラスクロスの密度等で特性が変化する。基板購入の際は用いられている誘電体材料においてガラスクロスとレジンの量による誘電体材料も指定できる場合がある。導体として用いられる銅箔についても圧延銅箔と電界銅箔を選択できる場合がある。銅箔については誘電体材料との接着面に数μm 程度の凹凸を付けている。高周波数帯
では導体面と誘電体材料との界面の面粗さが損失に影響を及ぼすので銅箔の選定は重要である。ただし面粗さをできるだけ少なくすることで損失は減る傾向となるが,逆にピール強度(基板の導体パターンを引き剥がす単位面積あたりの力)が下がる。よって回路パターンの線路幅が極端に狭いファンパターンの場合,基板加工機などで製作する場合,ピンセット等
で銅箔を剥がして試作する場合などその仕様や製作環境に応じてピール強度も基板選択の際に考慮に入れる必要がある。
基板に用いる誘電体の材料の配合によっては,平面フィルタを構成する上で回路パターン形状により誘電体材料の持つ異方性の影響を受けやすい場合がある。よって,誘電体材料の垂直方向と面方向の比誘電率や誘電正接が大きくことなる場合は注意が必要である。また,基板は通常の環境下に放置すると,大気中の水分を吸湿し特性に影響する場合があるので研究室等における基板の管理には注意を払う必要がある。
（勘所 3：高周波プリント基板の基板名と材料定数を調査し基板に用いられている材料や特徴についてできる限りの情報を集め,さらに使用用途,製作環境等を考慮に入れた上で基板を選定する。）

𝟏
𝑸𝟎

𝟏

=

𝑸𝒄

+

𝟏
𝑸𝒅

+

𝟏

8.68𝜋

𝑍𝐶𝑎

𝐴

8.29×10−3 𝑅𝑠,𝑟 √𝑓 𝜆0

ℎ

式(9)

表 2 式(9)のにおける記号の意味
AZca

図 5 の関係から導出
真空を媒質としたとき

hf

基板厚(単位:m)λ0

自由空間波長(単位 m)

周波数(単位:GHz)の特性インピーダンス

Rs,r

銅を 1 としたときの金属の抵抗Frequnecy(GHz)図 6 周波数と Qc の関係
たとえば， MEGTRON6 基板を想定し，W=1.05mm，Rs,r=1(導体は銅を想定)とした場合の Qc の周波数特性を図 6 に示す。図 6 に示した特性より周波数が高くなるにつれ Qc が高くなることが確認できる。この検討では導体と誘電体境界の表面粗さの影響は考慮されていないが，表面粗さを表皮深さ程度まで滑らかにしたとしても，Qc は劣化することが理論的にわかっており，実際の Qc は低く見積もる方がよいと考えられている。
MSL における誘電体損に起因する Q 値 Qd は，基板のデータシートから誘電正接 tanδ の逆数をとることで概算できる。これは導体がついていない誘電体
材料単体の Q であり,ここでは Qd と区別して Qε とする。MSL は誘電体材料に導体による回路パターンを配置し構成することから MSL において誘電体損に起因する Q を議論する場合には式(10)で Qd を計算する必要がある。表 3 に式(10)の記号の意味について示す。
磁性体についても tanδ が議論されるため，ここでは区別のため誘電体材料の誘電正接は tanδε とする。
tanδε の周波数特性は，材料測定より得るのが本来は望ましいが，会社から提供されているデータシート
から周波数に対する特性傾向を類推することもできる。図 7 に tanδε の周波数依存性を示す。図 7 に示した特性より，tanδε は周波数に対して増加傾向であり，周波数の累乗関数で近似できるが, 基板厚によって特性傾向が異なる場合があり，実際に用いる基板の
基板厚のデータを用いてその都度検証する必要がある。

𝑄𝑑 =図 5 W/h と A の関係(文献[1]より引用)

1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

式(8)

𝑸𝒓

Qc は式(9)と図 5 に示したグラフの関係から算出することができる。表 2 に式(9)の記号の意味について示す。図 5 に示したグラフは t/h=0.005，0.01，0.02 のみの記載であるが，Pucel らにより算出方法が示されている。実際にこの方法を使用する場合はグラフ上に近似線を引くことで傾向の目安をつけることがで
きる。

𝑄𝐶 =

Qc

４．共振器の Q0
図 4 に示した MSL を用いた共振器で構成した BPFの通過帯域での損失を軽減させる方法の一つに MSL
共振器の無負荷 Q 値 Q0 を高くすることが挙げられる。Q0 と共振器の導体損失に起因する導体 Q 値 Qc，
誘電体損失に起因する誘電体 Q 値 Qd，放射損失に起因する放射 Q 値 Qr の関係は式(8)で表される。ここでは文献[1]を参考に MSL を用いた両端開放形λ/2共振器の Q 値について,MSL における Qc，Qd およびQr を基に考察する。

1
10ℎ −
) 2
𝑊
1
10ℎ −
′
𝜀𝑟 tan𝛿𝜀 {1+(1+) 2}𝑊𝜀𝑟′ +1+(𝜀𝑟′ −1)(1+式(10)表 3 式(10)の記号の意味
ε r’h

基板の比誘電率

線路幅(単位は m)

W
tanδε

基板厚(単位は m)の面積方向，また，基板上面の空気層厚は無限大である。

誘電体の誘電正接

𝑄𝑟 =たとえば，パナソニック株式会社 MEGTRON6 基板を想定し，周波数と Qd および Qε の関係を図 8 に示す。図 8 に示した特性より，Qd，Qε は周波数に対して減少傾向を示すことがわかる。今回示した結果
では Qd と Qε の差が小さかったが， W が広い場合，または h が薄い場合には差がでるため注意が必要である。

⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐹𝑖 =

tanδε

0.005
0.004

y = 0.0021x0.2675

0.003
0.002
0.001
0
0

10

20

30

40

50

60

𝜇
𝜀0

式(11)

ℎ 2
)
𝜆0

2𝜋√ 0 𝐹𝑖 (
8

式(12)

3𝜀𝑟,𝑤

表 4 式(11)および式(12)の記号の意味
特 性イン ピーダ ン

Z0

h

基板厚

λ0
εr，w

自由空間波長

ス

μ0
ε0
Fi

0.007
0.006

𝑍0

真空中の透磁率
真空中の誘電率

実効比誘電率輻射(放射)定数MEGTRON 6 基板を想定した場合の Qr の周波数依存性について図 9 に示す。図 9 に示した特性より，
Qr は周波数に対して著しく減少することがわかる。
2GHz 帯におけるフィルタ設計では，遮断域での減衰量が高い場合や共振器間の弱い電磁界結合を考慮しない限り，放射をあまり意識しないことが多いが，周波数が高くなると放射に対して強く意識する必要がある。

Frequency(GHz)

図 7 MEGTRON 6 基板の tanδε の周波数特性(webページのデータシート[5]を参照し作成した。)

100000
10000

1000

Qr

900
800

Qd

700

Qε

Qd, Qε

600

1000
100
10

500
400

1

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

200

Frequnecy(GHz)100

図 9 周波数と Qr の関係

0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Frequnecy(GHz)図 8 周波数と Qd，Qε の関係
共振器からの放射に起因する Qr は式(11)で示される。放射定数 Fi は共振器形状によって決定され今回想定している共振器は両端開放形であるため，式(12)に示す放射定数を考える。式(12)を式(11)に代入する
ことで Qr が算出できる。表 4 に式(11)および式(12)の記号の説明を示す。ただし,共振器の配置条件は基板式(9),式(10)および式(11)で計算したそれぞれの結果
を式(1)に代入し Q0 の周波数特性を求めた結果を図10 に示す。図 10 に示した結果より，今回想定した
MEGTRON6 基板を想定した場合 2GHz で Q0=165 となる。電磁界シミュレーション結果との比較のために，図 11 に示すような電磁界シミュレーションのための回路構造を作成した。図 11 に示した構造では側面の金属シールドの影響を無視するために，共振器と側壁間の距離は λ/4 以上としている。図 11 に示した共振器の Q0 を図 12 に示した共振特性から算出す

1000
Qd

Q0

-20

≒163

-30
-40
-50
-60
-70
-80
1.8

1.9

f0

2

2.1

Frequency(GHz)

図 12 図 11 に示した回路構造の解析結果

誘電体
損割合
(%)
27%

放射損
割合
(%)
2%

Qr

800

10000

600

1000

400

100

200

10

0

1
0

2

5

10

Frequnecy(GHz)Qr

Qc, Qd, Q0

Q0=1.96165GHz/(1.96775GHz-1.9557GHz)-10

100000Qc

15

図 10 周波数と Q0，Qc，Qd および Qr の関係

天井は自由空間25mm
λ/2 共振器
94.74mm
51.1mm

図 11 電磁界シミュレーションにおける λ/2 共振
器構造

⁡⁡

0

|S21|(dB)

ると Q0=163 となり，若干の差はあるが，理論式と電磁界シミュレーションによる解析結果がおおむね一致していることが確認できる。
計算方法として図 12 に示した特性において共振周
波数を f0 とし，f0 での S21 の値から 3dB 下がった周波数を fL，fH(fL<fH)とし式(13)を用いて計算する。式(13)を用いる際には f0 での S21 を約-40dB 以下とする必要がある。この式を用いる際に 2GHz での導体損，誘電体損および放射損の割合について図 13 に示す。図13 に示した結果より，MEGTRON6 基板を想定した
場合 2GHz では導体損の割合がほぼ 7 割を占め，導体損の割合が支配的であることが確認できる。図 13に示した結果より 2GHz では今回検討した設定条件
においては，Qr が大きな値となり, 結果として，Qc とQd のバランスにより共振器の Q0 がほぼ決定されることが確認できる。これらの特性傾向は周波数によって,さらには基板の種類によって変化するので注意する必要がある。

⁡⁡⁡𝑄0 =

𝑓0
𝑓𝐻 −𝑓𝐿

式(13)

導体損
割合
(%)
71%

図 13 2GHz での各損失の割合
図 14 に MEGTRON6 基板の基板厚と λ/2 共振器の線路幅を変更したときの Q0 のコンター図（等値線図）を示す。基板の材料定数としては εr=3.64，tanδε=0.002を与えている。MSL の線路幅と基板厚を変化させた場合における Qc，Qd，および Qr を式(9)，(10) および(11)を用いてそれぞれ計算し，式(1)で Q0 に換算した結果である。図 14 に示した結果より線路幅と基板厚を変化させることで Q0 が変化しており,これらの関係を上手に選択することで Q0 の高い共振器が実現できる可能性がある。
（勘所 4：MSL の Qc，Qd および Qr の理論式から MSL
共振器の Q0 を算出することで導体損,誘電体損,放射損の割合を確認できる。これらの割合は周波数によって,さらには基板の種類によって変化するので注意する必要がある。
）

0.2
0.15

0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4

0.1

線路幅(mm)
0-25

25-50

50-75

75-100100-125

125-150

150-175

175-200

図 14 MEGTRON6 基板の基板厚と λ/2 共振器の線路幅を変化させた場合の Q0５.小型 BPF に用いる共振器
5.1 分布定数線路共振器における共振器長短縮
小型平面 BPF の実現には用いる共振器自体の小型化を行う必要がある。MSL 共振器の小型化にはインピー ダ ン ス ス テ ッ プ 共 振 器 (Stepped Impedance
Resonator:以下 SIR)やキャパシタを装荷した共振器(Capacitor-loaded resonator:以下 CLR)が用いられる[3]。SIR は,複数の異なる特性インピーダンスを有する分布定数線路の組み合わせにより構成できる共振器である。一例として,図 15 に両端開放型 SIRの回路構成を示す。Z1 および Z2 は回路図に示す線路部の特性インピーダンスを示している。2l1 は Z1 の線
路部の長さを,l2 は Z2 の線路部の長さをそれぞれ表している。図 15 に示した SIR の入力アドミタンスを式(14)に示す。ただし,Rz=Z2/Z1 とする。

l2

2l1

l2

Z2

Z1

Z2

図 15 両端開放形 SIR の回路構成
𝑌𝑖𝑛 = j𝐵𝑖𝑛 ⁡⁡⁡⁡
2(𝑅𝑧 tan𝛽𝑙1 + tan𝛽𝑙2 )(𝑅𝑧 − tan𝛽𝑙1 tan𝛽𝑙2 )=j⁡⁡⁡式(14)
𝑍2 (𝐴 − 𝐵)
𝐴 = 𝑅𝑧 (1 − 𝑅𝑧 tan2 𝛽𝑙1 )(1 − 𝑅𝑧 tan2 𝛽𝑙2 )𝐵 = 2(1 + 𝑅𝑧 2 )tan𝛽𝑙1 tan𝛽𝑙2
この共振回路の共振条件は式(15)で与えられる。
tan𝛽𝑙1 tan𝛽𝑙2 = 𝑅𝑧 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡式(15)共振器の全長を𝑙𝑎𝑙𝑙 とおくと𝑙𝑎𝑙𝑙 は式(16)で表すこと
ができる。
2
𝑅𝑧
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑙𝑎𝑙𝑙 = {𝛽𝑙1 + tan−1 ()⁡}⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡式(16)𝛽tan𝛽𝑙1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓𝑠2 = 2𝑓𝑠1 − 𝑓0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡式(19)SIR における l1 と lall の関係を図 16 に示す。また,
Rz と高次共振周波数の関係を図 17 に示す。図 16 お
よび図 17 に示した結果より𝑅𝑧 の選択により共振器
長の短縮,高調波共振応答の高域へのシフトが見込めることが確認できる。
140

Rz=10

120

Rz=5

Rz=2
Rz=1

100

lall(mm)0.25

𝑙𝑎𝑙𝑙 は𝑅𝑧 < 1の場合に最小値を示し, 𝑅𝑧 > 1となる場合に最大値を示す。また,𝑙1 = 𝑙2のとき SIR の共振器
長が最大値あるいは最小値となる特別な条件である。
𝑙1 = 𝑙2 = 𝑙0と設定した場合,SIR の最低次の基本共振
周波数(f0),と高次の共振周波数(fs1,fs2：fs1<fs2)は式(17)～式(19)で表すことができる。式(17)において vは位相速度を表している。
𝑣⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓0 =tan−1 (√𝑅𝑧 )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡式(17)2𝜋𝑙0𝜋⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓𝑠1 =𝑓0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡式(18)2tan−1 (√𝑅𝑧 )

80
60
40

Rz=0.5Rz=0.220

Rz=0.1

0
0

10

20

30

40

l1(mm)

図 16 SIR における l1 と lall の関係

f0, fs1, fs2(GHz)0.3

基板厚(mm)

0.5

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

fs2

fs1
f0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Rz

図 17 Rz と高次共振周波数の関係
また,SIR の理論式について整理を簡単にするため
ここでは,位相定数は Z1 の線路部および Z2 の線路部
ついて同じ β と設定したが MSL のような不均質媒質
線路の場合は, 特性インピーダンスが変化すると厳密には実効比誘電率も変化することに注意する必要がある。また,今回は SIR の共振条件を求めるために
𝑙1 = 𝑙2 と設定したが SIR を用いたフィルタの構造化の段階で調整が必要になる場合もある。

2lZ0(a) 両端開放形λ/2 共振器(b)SIRCC

図 18 CLR の回路構成
ここでは両端開放 λ/2 形を例に SIR について説明したが,さらなる共振器長の短縮には λ/4 形共振器を適用するのも一つの手段である。また, 図 18 に示すような CLR が使われる場合もある。この共振器構成は
図 15 に示した SIR の特性インピーダンス Z2 の線路部をキャパシタに置き換えたものに相当する。この共振器の共振器長(分布定数線路の部分)は式(20)で求めることができる。
21
tan−1 ()⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡式(20)𝛽𝜔𝐶𝑍0となる。式(20) より分布定数線路の特性インピーダ
ンス Z0 を大きく設定し, さらに分布定数線路の両終端についているキャパシタのキャパシタンスを大きく設定すれば理論上は CLR の全長は短くなることを表している。この式は,キャパシタの物理的大きさを考慮していないので CLR の全長は,理論式の上では線路部の長さとなるが,構造化の段階でキャパシタ
はチップ素子等で実現するので素子自体に長さを持つことになり,またチップ素子を配置するビアパッドも必要となるので構造化の際の共振器の大きさを議論するときには注意が必要である。
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑙𝑎𝑙𝑙 = 2𝑙 =5.2 SIR および CLR の構造化
図 19(a), (b)および(c)に両端開放形λ/2 共振器,SIR
および CLR の回路構造をそれぞれ示す。基板にはMEGTRON6 基板 εr=3.64，tanδε=0.002 を想定している。各共振器の Q0 を図 19 に示した構造を電磁界シミュレータでそれぞれ解析した結果, 図 19(a)に示した両端開放形λ/2 共振器では Q0=165, 図 19(b)に示した SIR では Q0=105, 図 19(c)に示した CLR は Q0=78であった。CLR の計算に用いたキャパシタは 株式会
社村田製作所 GJM1554C1H2R0WB01 のチップキャ
パシタの使用を想定している。

(c) CLR(キャパシタ：2pF)

図 19 各種共振器の構造
また,同社の GRM1554C1H2R0CA01 を用いた場合
Q0=115 であった。よってチップ素子の選択により同じキャパシタスのキャパシタの場合でも共振器の Q0が異なることが確認できる。結果としてはキャパシタの選択によっては SIR より Q0 が上回る場合もある。SIR については Rz を 1 よりかなり小さく設定
し,CLR についてはキャパシタンスの大きなキャパ
シタを使用することにより共振器長のさらなる短縮が見込まれるが同時に Q0 の劣化も起こる。また, SIRの場合,線路長の短縮が実現されても特性インピーダ
ンスの設定によっては,その線路幅が極端に広くなる場合もあり,理論式で共振器長の短縮が必ずしも共振器の小型化につながるとはいえないので 2 章で述べた勘所が大切になる。SIR は小型平面フィルタへの適用において,共振器が導体パターンのみで構成できるという点で部品点数が増えないというメリットがある。しかしながら,チップ素子自体も昔に比べると物理的大きさが小さくなりかつ素子の Q も高くなっており,さらに自己共振周波数も高くなっているので,部品点数の増加が許せるなら CLR の適用も方法の一つである。
（勘所 5：共振器長の短縮には SIR や CLR が適している。分布定数線路理論を用いて関係式を導出する
ことにより共振器長と特性傾向を併せて関連づけることができる。構造化において設計パラメータの選択に注意する必要がある。
）

６.小型 BPF の設計と実現事例
6.1 ヘアピン形共振器を用いた小型 BPF
5 章で示した共振器を用いた 2GHz 帯小型フィル
タの設計（中心周波数 2GHz,帯域幅 200MHz）の一例を示す。図 19 に示した SIR や CLR をさらに小型化するにはヘアピン構造の適用が考えられる。ここでは, 電磁界シミュレーションにより図 20(a)に示した回路構造を用いて外部 Q(Qe)を, 図 20(b) に示した回路構造を用いて結合係数 k を求めることによるフィルタ設計方法を示す。
基板は MEGTRON6 基板 εr=3.64，
tanδε=0.002 を想定している。Qe は入力部(出力部)と共振器の間の結合の度合いを示し, 結合係数は共振器間の電磁界結合の度合いを示す。

タップ位置

Qe を算出するための電磁界シミュレーションでは入力側(出力側)の結合よりも，出力側(入力側)の結合を非常に弱くするような構造とすることで，入力側(出力側)と共振器間のみの結合の度合いを求めることができる。
図 21 に給電線のタップ位置の変化に対する Qe を示す。共振器の開放端からタップ位置を変化させると Qe は大きくなることが確認できる。図 21 に示した特性傾向より, この構造では低特性インピーダン
ス線路部にタップ位置を設定する場合は Qe は変化が小さく,高特性インピーダンス線路にタップ位置を設定すると Qe の変化が大きくなる特徴が見える。
次に結合係数 k を図 20(b)で示した回路構造で解析した特性において各共振周波数を fp1，fp2(fp1<fp2)とし式(21)を用いて計算する。結合係数を求めるための回
路構造においては,入出力給電線と各共振器間が疎結合になるように回路を構成し,できる限り共振器間の結合の度合いのみを計算できるようにする。図 22 に共振器間ギャップと k の関係を示す。

𝑘=Qe(a)Qe の計算用(b)k の計算用
図 20 ヘアピン形 SIR を用いた Qe,k 計算用回路構造
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0

5

10

Tapping Position (mm)2 −𝑓 2
𝑓𝑝2
𝑝1

式(21)

2 +𝑓 2𝑓𝑝2
𝑝1

図 23 および図 24 に SIR を用いた 2 段 BPF(19.17mm
×14.48mm)の回路構造とフィルタ特性をそれぞれ示す。図 24 に示した結果より所望の周波数付近に通過帯域特性が得られていることが確認できる。

15

図 23 ヘアピン形 SIR を用いた 2 段 BPF

0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0.07
-0.08

0

Magnitude(dB)

Coupling coefficient

図 21 タップ位置と Qe の関係

0

0.5

1

1.5

Gap between resonators(mm)

図 22 共振器間ギャップと k の関係

2

-20
-40
-60
S11

-80
1

1.5

S21
2

2.5

3

Frequency(GHz)図 24 図 23 に示した BPF のフィルタ特性6.2 小型 BPF の試作例
小型 BPF の試作例として研究室で実際に実現した構造を挙げる。図 25(a)および(b)に 2GHz 帯小型 BPFの概観と回路パターンをそれぞれ示す。図 25 に示した BPF はチップキャパシタと MSL の組み合わせによる共振器を用いて小型化を実現している。5 章で検討した BPF をさらに小型化するため,共振器は MSLの中央部分でストリップ導体から接地導体への貫通ビアを設けた構造になっており,共振器の開放端同士はチップキャパシタで接続している。

(a)フィルタの概観(b)回路パターン
図 25 2GHz 帯小型 BPF|S11|, |S21| (dB)

0
-10

Sim.
Meas.

|S11| |S21|

-20
-30

-40
1.0

1.5
2.0
2.5
Frequency (GHz)

3.0

しかし,加工においてはドリルの歯により導体だけでなく誘電体材料も削られることから, 回路設計の段階で素子感度が高い場合は製作精度にかなり気をつける必要がある。また,加工を行った結果,電磁界シミュレーションにおける回路寸法と比較すると,シミュレーションにおける寸法通りの回路パターン実現は困難なため,基板加工機の癖を知り,加工前のレイア
ウト作成の段階であらかじめ回路パターンの寸法の微調整を行っておくのも一つである。
チップ素子は,いくつかの会社で開発が行われており,素子の物理的大きさが従来の 1608 型や 1005 型から 0603 型,0402 型等かなり小さくなっている。できれば会社ごとに,また同じ会社で同じ素子値であっても製品のシリーズによって特性が異なるのでいくつか評価した方がよい。その際チップ素子の素子値のばらつき等によるフィルタ特性への影響についても事前に評価することも必要である。
ま た , 数 GHz 帯 で の フ ィ ル タ の 試 作 で は Sub
Miniature Type A(SMA)コネクタを使用する場合が多い。MSL で構成された給電線路に SMA コネクタを取り付ける場合,SMA コネクタを 50Ω給電線路にそのまま取り付けるだけでは SMA コネクタ(同軸線路)と MSL(平面形線路)はそもそも線路構造が異なるので特性に影響が出る場合がある。そこで回路が動作する所望の周波数帯でできる限りこの影響を少なくするため給電線路に摂動導体等を与えたり,給電線路
をテーパ線路にしたり,SMA コネクタの中心導体を少し変形させる等の工夫が必要となる。
（勘所 6：小型 BPF の実現には,小スペースに回路パターンを凝縮させ,かつ特性を得るために材料や素子の選定,回路パターンの提案,コネクタ周辺環境の調整等あらゆることを考える必要がある。）

図 26 図 25 に示した BPF の特性
この BPF の設計は 6.1 節で述べた電磁界シミュレー
ションで Qe と k を求めることによるフィルタ設計方法を適用している。図 25(a)に示した写真より,50 円
玉の穴の面積ぐらいの回路パターンを実現できていることが確認できる。この小型 BPF は電子情報通信学会マイクロ波研究会主催の学生マイクロ波回路設
計試作コンテスト（フィルタ：小型化部門）にエント
リーした小型 BPF である。図 26 に図 25 に示した
BPF の電磁界シミュレータによる結果と試作結果を併せて示す。通過帯域の両側に減衰極を実現するフィルタ特性によりコンテストのスペックを満足させている。フィルタの試作は基板加工機を用いて行っている。基板加工機による製作は化学薬品を用いないので研究室における薬品後処理の面では助かる。

７.まとめ
本講演では高周波プリント基板を用いた小型 BPFを題材にフィルタを検討する上での基礎知識と勘所について紹介した。学生の皆さんが実践的にフィルタについて学ぶには, モノづくりを踏まえた電子情報通信学会マイクロ波研究会主催の学生マイクロ波
回路設計試作コンテスト等への参加がよいと思う。
文献[1] 小西良弘,“実用マイクロ波技術講座 –理論と実際-第 1
巻，” 株式会社ケイラボラトリー， pp.115-160， 2001.
[2] 小野雄司，“［技術解説］低誘電率/低損失基板材料を使った試作に応える マイクロ波/ミリ波向け基板試作サービ
スの現場から，”RF ワールド，No.38，pp.123-130，2017.
[3] 牧本三夫，佐川守一，松尾道明，和田光司，“マイクロ波伝送線路共振器の構成と応用，”森北出版株式会社 pp.731，2014.