極小曲面法による膜構造の原型曲面解析
八 木 孝 憲4
石 原 競d大森博司叶概 要
本論文では膜構造の設計段階における初期以主リI
J闘を数他解析により求める手法に関して記述している。!段構造の形状解析に閲する既往の研究は初期応 )J 世;と極小山l 商法の 2 手法に大別される 。 本論文では:[!l!~命的に明解な検小 illi

凶法に基づく膜構造の阪地rt!
ltui
解析手法に l
刻して従来の I
IJj題点の整理とその改普策を提案している 。従米、核ノj、
Ith"uIi
I
問題は変分問題として扱われ、数値解析において附闘を三角形放素により離散化近似し、イfI浪弘'素解析が行われている 。し かしながら、各節点の :l' ， y， z凶襟全てを未知i最とした解析では、各節}.I.~ を一:百;に決定することは附難であ っ た 。

しかし、ケープル境界やケープル補強を省する牒梢迭の形状解析において各節点に何らかの拘束を加えて解析することは好ましくない。そこで本論文では、各節点に 3白由度を与えた状態で形状解析を可能とするために非線形巌適化
i‑NewlOll法、 SQPi法を用いて原型 il
O面を求める手法を提案する。
問題における解法として知られる Quas

1 序

理想的な状況であると言えよう。従って、本研究では任意の設定条件に対する等張力 幽商を数値解析により膜構造は膜南が表現する軽快さや優美さといった意求めることに重点をおく。

匠上の利点と建設 ・解体の容易さといった施工上の利点から従来、仮設構造物として博覧会などの各種イ ベントにおけるパピリオンに数多く用いられた。 しかし 、近年、膜材の研究 ・開発による耐久性 ・耐火性の向上とともに 、恒久構造物への利用 という期待が高ま った。

しかし、この等張力曲両を力学的観点から求める初期応力法には数値解析において多くの問題点が存在する。そこで等張力自両が幾何学的には平均曲率一定の曲両と等価であることに着目して、この平均曲率一定の曲面を求める立場を本研究ではとることとする 。

これは部材重量が軽いという大スパン構造物にとって大きな利点を膜構造が有することに起因する。

Oとなる出商のことを極小 曲面といい、この曲而を膜膜構造の力学的特徴と しては、両内張力によ ってのみ架橋を形成することが挙げられる 。従って、任意の設定条件に対して形状決定の基本 となる原形曲商を考えることは膜構造物の恒久性を実現する上で重要となる。
本論文ではこの原型曲商 として等張力曲面を採用する 。
従来、この等張力幽商を石鹸膜などの実験に より多大な労力を費や して求めていた 。それに対してこの出荷を数値計算により 求めることが可能となれば、それは*1 名 古 屋 大 学 工 学 部 助 教 授 工 博

また、その平均曲不一定の油商の中でも平均出本が構造の原型曲面とすることからこの手法を極小曲商法と呼ぶ。この出而を求める問題は古くから数学分野で変分問題として扱われていて、I' I~t.(，~lI問題として有名である。本研究においても変分法に基づく定式化を行い、表問積に 内包体積や部分長に関する付管条件 として付加した汎関数の停留解を求める。また、任意の境界形状や複雑な白雨形状の解析を可能とするために曲閣を三角形平面要素で離散化近似し、有限要素法を適は名古屋大学大学院生

‑23

工修

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町ヤム 出︑︒〆1 11 ll︑
EHhM

B E 5﹃1111J'n H S

rill‑J 1111

一︑一︐︐a‑ムH

2 理論背景2:¥1;，︑︑﹄
一一9 =凶用する 。

me

要素数
内包体積に関する j，ograngr乗数% ・指定内包体積
I'i ・J
番目の部分長に関する Logrange乗数
IOj ・ j番目の指定部分長
日:部分長指定数nJJ番目の部分長に属する線分要素数
人

極小出商法による研究 [1]では非線形計算の収束性向上 を図る ために各節点に対して方向余弦を設定し、自由度を低減した解析を行っている 。 これにより従来の極小曲面法での問題点が大きく改善され安定的に解形状を求め ることが可能となっ た。しかし、この手法では得 られる解形状が方向余技の設定に大きく依存し、必ずしも得 られる解形状が要求を i
満椅たしているとは F
限艮
らない。そこで本論文では節点に 3自由度与えたままで求解可能となる解法を提案する。
従 来 、 こ の 穫 の 非 線 形 問 題 の 解 法 に は Newton‑Rophson法が用いられていたが、この解法を適用条件として初期解が収束解の近傍に存在する必要がある 。し図上 三角形要素による曲面の離散化近似の概念図と三角形要素の記号

かし、本問題において初期解は人為的に設定されているので、必ずしもその初期解が解近傍にあるとは限らない。また、解近傍で汎関数の感度が極端に鈍い場合や感度の正負が頻繁に逆転する場合では New.
ton‑Rophson法で収束解を得ることが困難となる。以上のことが本問題の解析 を困難 とする原因であると考える 。
このことを受けて、本論文における変分問題を最適化問題として捉え、非線形解法として付帯条件のない場
osi‑
¥C'wt
on法、付帯条件を有する場合は SQP
合 は めl

図 2 部分長指定の概念図と線分要素の記号法を導入する。

3.
2 オイラーの方程式

3 理論展開本問題では式 (1)の停留解となる各節点座標を求め

3.
1 有限要素法による汎関数の定式化る。このw留解は汎関数の第一変分より導かれるオイ2)に各要素に関するオラーの方程式を満足する 。式 (図 lのように 三角形平面要素を、図 2のように線分要イラーの方程式を示す。

素を定義する 。このと き、内包体積と部分長に関するr;ヂペのとき付帯条件 Fでの平均曲不一定の曲面を求めるための汎1)，関数は次式となる 。

れ;，

工I'i.hj

J ="2二五'i+入9+kR;，ーλ(R;J+js;)
士02)行=
ぺkのときい)‑24

内R;~ 一人 (R;' 十 台:)一灼叫ん =0(2)4.
1 BFGS公式

このとき、諸量は以下の通りである。
行 :三角形婆素の頂点の位置ベクトル
ペ
三角形要素の基準酒射影三角形の頂点の位置ベクトル

Q
Uilsi‑Ncwton法では New.
ton‑Raphson法におけるHessc行列を近似行列に置換して収数計算を行 って いる。 この近似行列は BFGS公式を用いて、目的関数の(1'=1~:l 三角形要素の節点番号)'I' ~ k

割線勾配であることを示すセカント条件と正値対称性:j番目の指定部分長内のを満足するように逐次更新される。

ん番目の線分要素の端点の位置ベクトル(q==¥.2・線分要素節点番号)
Si:三角形要素面積ベクトル

ここでは目的関数を Sとし、その目的関数の節点座標値に関する勾配ベクトルをマ 5，節点の位置ベク

叫，.単位三角形要素面積ベクトル
三角形要素の基準面射影面積ベクトルl.
ik 線分要素長ベクトル
単位線分要素長ベクトル

トルケとする 。こ のとき 、収数計算過程において kス

5:I(k)に対するマ 5，5の値をそれぞれテップ自の近似解'n;ke

マ5(k)，5(k)と表記し、'I'， y(k) = ¥7S(州)ーマ 5(k)5(k)= (k+l)ーがk)Z);1';，の z座標値 ，gi= ~ 1 ~~とすれば、 B
F'GS公式は次式となる 。

l;E;z￨rが)(が[B~+ l)l ニ [B~) l + 一~'=jgtX(イ‑4')R;=jπ，xH‑'I';) R;(y(k))" 5(k)1)
1B~)l 5(k)(5刈r[ B~k)
刈い(5(川μkkl (4)gzx(T:'Ti')R;=;n× (T;‑4) ，Rγ=;
同士

gz×(Ti'‑f)jnz×(叫'I'¥) ，Rγ=jI，
f=‑dzk(3)従つて、 k+lステップでの修正方程式は次式となる 。

，L
f=nh[B~+1)18'1'(k+l) = ̲¥75(k+l)(5)以上の各要素 に関するオイラーの方程式から全体の4.
2 直線探索オイラーの方程式を構成する。本問題のオイラーの方
程式は未知量に対して非線形となるため、収数計算に目的関数値が収数計算のステップ毎に減少すれば、最よりその停留解を 求める 。

適解への安定的な収束が可能となる。これは次式で表現される。

4 Quasi‑Newton法=5('I'(k+l)+5(k+l))く 8(k+1)

5(k+2)

付帯 条件のない商積汎関数の変分問題に Quasi‑'1'(6)しかし、式 (5)より得られる付(糾 1)を用いた場合、必¥('¥¥"
1.011法を適用し 、解析を行う。この Qu
asトNewton6)を満足するとは限らない 。そこで次式をずしも式 (法の特徴は以下の 2点である 。

導入する 。

1.BFC自公式により Hesse行列を近似し、逐次更新I'(k+1)+
t8'1'(k+I))く 8(峠 1)
5('する 。
2. 直線探索による目的関数の最小化を行う 。

(7)

この式 (7)を満足する tを用いてステップ毎に目的関数値を減少させる手法を直線探索という 。本研究では

i‑
Newtol1法を本問題に適用す以降では、この Quastの探索手法として 2次補間法を用いている。

るための式展開を 行う 。

υ﹁円勺心5 SQP法

このベクト ル言を式 (4)の引に代え て用い る と日 QP法
での Bb'CS公式が得られる 。

制 約 条件 付 き最適化問題の最も有効な解法として、対象とす る問題に対 し て 収 数計算毎に 2次計画問題を5.
3 Lagrange関数と目的関数定義し、そ の 1<Ihn‑Tucker条件を解く操作を繰り返す
本問題において付帯条件を導入するために汎関数とSQP法 (日刊111f'1もialQlIa.
dra.
ticProgra.
mmingmethod)1)で示す Lagrange関数を用 いた。 しかし、双して式 (が存在 す る。

対定理によ り La
gra.
nge関数を 目的関数とすることは不5.
1 SQP 法で の修正方程式可能である 。従 って、次式のペナルテ イ関数を目的関

1¥IIhn‑Turk
刊、条件 に対応する修正方程式を式 (8)に数として直線探索を行う 。

示す。この式(パ)は、 La
gra.
nge関 数 で あ る 式 (1)の同 )=Ncwt，on‑H.
aphson 法 で の 修 正 方 程 式 の Hess
c行 列 をSJ
OJ LH︑BEl‑‑‑J問

ここでの Rはペナルテイ ・パ ラメータである ok+1ステ ップ 目の収数計算でこの目的関数を用 いて(8)次式を満たす tを 2次補間法によ り求める 。
.
J
N(r(k+l)+tdr(k+1r(k+l))))く JN()qd(PAUlμr
BIl‑‑EL一一F
Aυ

T入F
AUr
ail‑‑EtE
E
E
E
E
E
E
E
B
B‑'lll﹂︑

白問 TO例A0﹄

人7J1JHARplt'aE
BE
E‑lili‑‑︑EEl‑‑ly

BF(;
S公 式に よる近似行列で置換したものである 。

~ Sj+R [191+会Ihi]l5.
2 SQP法での BFGS公式
ここでは式 (1)の汎関数の節点座標値に関する勾配

6 数値解析結果

J.節点の位置ベク トJレかとする 。このとベ ク トル を 'C'.

き、収数計算過程に おいて kステップ自の r(k)と k+6.
1 Quasi‑Newton法による解析結果

Jステ ップ日の λ{糾 1)
3 μ(k+l)に お け る マ J，Jの値を6.1.1 HP幽面) .
)(k)とし、また 、 k+1ステップ目のそれぞれ マ.
)(止，HP曲面の解析結果を 図 3に示す。このモデルの境界，l μ(k+l)に お け る マ J，Jの値を そ れ ぞ れT(Hl}3 入(h.i0の立方体の側面 の対角線を結んだものであは一辺 1て7.J(k+l)，.
1(/十リと し、る。解析 デ ー タを 以下に示す。
S(k)=川 +け ̲ r(k) ，y(k)士 マJ(川 )ーマj<k)(9)とす る。さらに[/JNlの正値性の問題から次の条件式を~ OO

要素数
節 点数

221

収 数 計算 回 数 ・29

付加す る。

l((川 〉 )凸U

U8(s(ザ [ B~)l S(k))。
=S(k)のとき)l(>f[B~)lと0.
2(S(k().~ (.
s(k)f [B}.
;)]s(k)ー (S(k))'y(k)(それ以外のとき )初期形状

この式(日).(1り)より新たに次式を定義する 。
ド+(1‑8)[B}.
;)]S(k)Oy(k)解形状
図 3:HP曲商(11)266.1.2 Gergonne曲面

6.
2.2 矩形境界モデル

Cergonne曲面の解析結果を函 4に示す。このモデル

生
E形境界モデ Jレの解析結果を図 6に示す。このモデに示す H
P薗蘭を初期形状としている。このとは図 4ルでは対称性を考慮して 4分の lを解析対象 とし、初き上下の正方形の対角線上の節点は拘束し、側面の対期形状から内包体積を徐々に増加させて解析している。

角線上の節点はその部内のみ移動を許すという境界条

解析デ ー タを以下に示す。

件である。解析デ ータを以下に示す。
要素数
節点数

400

収数計算回数

1722J

初期形状

要素数200(1/4)

節点数
収数計算回数

121(1/4):各10回程度

初期形状

解形状 i解形状 2解形状 :3解形状

図 4・Gergonne曲面

6.
2 SQP法による解析結果

図 6目矩形境界モデル

6.2.
1 羽TienerF
rameモデル
6.2.3 空気膜構造モデル
WienerFrameモデルの解析結果を図 5に示す。図 5に示 されている初期形状から内包体積を徐々に減少さ

この空気膜構造モデルの解析結果を図 7に示す。初せている。その過程において図 5に示す極小解が得ら期形状から内包体積を徐々に増加させて解析している。

れた。解析データを以下に示す。

解析データを以下に示す。

要素数
節点数
収数計算回数
上下の円弧の半径上下の円狐の距離

400224146

要素数
節点数231‑各 10回程度
5.
0

収数計算回数: 各 5回程度

7.
5初期形状初期形状解形状

解形状enerFra.me
図 5・Wi: 空気膜構造モデル
図727‑

6.2.
4 サスペンション膜構造モデル

サスペンション膜構造モデルの解析結果を図 8に示解形状す。各ケープルの長さを解析状況に応じて指定し、内初期形状側の円境界上に存在する lつの節点を徐々に上昇させ

図 9 ケープル補強膜構造モデルている。解析データを以下に示す。
要素数
節点数
収数計算回数

7 結語

252
168

以上より、 QllnSi‑Nf'wt，
OI1法や SQP法を用いて、こ.各 35回程度れまで解析が困難であった複雑な境界形状での平均曲率 一定の曲簡を各節点に何 ら拘束を加 えず求め ることが可能となった。これによりケープル境界を有する膜構造の形状解析を円滑に行うことが可能となった。また、
Qllnsi‑NewtotJ法や SQP法により収束判定条件を厳しくして解析を続行したところ推測通り解近傍で汎関数初期形状の感度が鈍くなっていることが確認され、従来、収束解形状解を得ることが困難であった原因について究明された。

:サスペンション膜構造モデル
図8

参考文献

6.2.5 ケーブル補強膜情造モデル1)鈴木俊男、半谷総j)j;:砂・小I
JJI
函jの変数低減による布限gg
紫解析、日本建築学会縦造系論文報符集、 No.
425、ppII
J‑
120、1991年

ケープル補強膜構造モデルの解析結果を図 9に示す。

，

このモデルでは対称性を考慮して 4分の lを解析対象m、とし、ケーブル長や体積は解析状況に応じた指定債を

2) 茨木俊秀、福島雅夫:i
比適化プログラミング、芝ii
皮古

1991年用いている。解析デ ー タを以下に示す。
要素数
節点数
収数計算回数.
、:1)1 Ishiharit，ll.Ohlllori:MillilllalSl
Irfa.
('('Al1alysisby'initeElelllen
tMclhod，'l'h('ori('ala.
nd !
¥pplipd
IsillgF
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.
4
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112(1/4)
・ 71(1/4). 指定値によって異なる

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