また盛り上がってきた
cosmic string
高橋慶太郎
２００９年１月２２日＠ATセミナー
arXiv:0811.4698
with 成子・山内・柳・仙洞田・佐々木概要
・cosmic stringの研究はまた最近盛り上がりつつある・cosmic stringによるCMBのゆらぎを簡単に計算する
formalismを構築
・とりあえず１点関数を計算しnon-Gaussianityを議論目次
１、cosmic stringの基礎
２、イントロダクション
３、cosmic stringとCMB
４、cosmic stringとcosmic superstring
５、CMBゆらぎの再結合確率依存性

１、cosmic stringの基礎

cosmic string
すごく細くて重くて長くて速いひも−1 Gµ 
λ = 10 cm −7  10 
 Gµ 
21
σ = 10 g/cm −7  10 
 Gµ  L 
12m = 10 M sun  −7  10  1Mpc −30

・こういうひもが存在する可能性
・存在したら宇宙論的な影響は？
・どうやったら観測検証できる？

素粒子の標準模型＋重力で４種類の相互作用が存在する。

力の統一理論
もっとシンプルな枠組みで素粒子現象を説明したい
19

16

10 GeV 10 GeV

100GeV

重力強い力：SU(3)超ひも理論？
大統一理論？
SU(5)? SO(10)?
電弱統一理論SU(2)×U(1)

弱い力
電磁気力：U(1)宇宙の熱史

1610GeV

インフレーション
再加熱
GUT相転移GUTから電弱までにいろいろな相転移があり得る

100 GeV

電弱相転移

100 MeV

クォーク・ハドロン相転移

1 MeV

元素合成

0.3 eV

晴れ上がり

自発的対称性の破れ
スカラー場（ヒッグス粒子）のポテンシャル
・高温では真空（基底状態）はH = 0・低温になると有限のH（２つ）が真空・正負対称
ところが低温になってどちらかの真空に落ちてしまうと、そのまわりで対称性はなくなってしまう。
→ 自発的対称性の破れ

どういうdefectができるかは真空の構造によるtopological defect
対称性が破れるときtopological defectができることがある。
因果律 ＋ 場の連続性→ 真空に落ちられない場所→ topological defect
練習：domain wall

horizon scale
H-H+H
H+H-

V

相転移のスケールくらいdomain wall
宇宙の様々なところで大スケールではランダムに小スケールでは連続に相転移する。
→ domain wall network
・だいたいhorizonに１枚・horizonスケールで真っすぐ・重さは相転移のエネルギースケールで決まる
これが一番単純なtopological defectcosmic string
複素場で真空が円状

この辺が真空に落ちていない→ cosmic string!

cosmic stringは
2μ = 線密度 = 張力（tension） ～ MPT
22-6で特徴付けられる。GUTだとGμ～ MPT/MPL ～ 10。
cosmic stringの宇宙論的効果の大きさはGμで決まる。

topological defectまとめ
相転移前と後の対称性（真空の構造）によっていろいろなtopological defectができたりできなかったりする。 π k (G / H )・monopole → 否定
・cosmic string
domain wall
密度・domain wall → 否定
a-1
大統一理論がまだ完成して-3
monopole
aいないので実際の宇宙でどういうものが生成されたのかわからない。
しかし・・・。
cosmic stringはすぐ否定されない？
特殊な場合でないと生成されない？

RDMD
時間

cosmic stringのdynamics①
粒子のworld linetworld line

粒子はworld lineが最も短くなるように運動するx

stringのworld sheettworld sheet

stringはworld sheetの面積が最も小さくなるように運動する
Nambu-Goto actionx

cosmic stringのdynamics②
適当なゲージのもとで、波動方程式となる。
重心運動のほか、いろんなモードの波が伝播する。

stringの形状

loop

infinite string

cusp
kink

滑らかでないパターンが光速で進む波がうまくぶつかると滑らかでない点が一瞬だけできるstringの再結合
string同士が衝突するとつなぎかえが起こる。

このときkinkができる。

うまくつなぎかわるとループができる。

cosmic string network

・初期条件：horizonに１本・膨張宇宙で衝突を繰り返し長い(infinite) stringとループのネットワークが形成される
・とても非線形なので大規模数値シミュレーションか、簡単な解析的モデルで調べる

こんなのがあったら宇宙はどうなるか？

２、イントロダクション

cosmic stringの栄枯盛衰
盛り上がり

70

8090
（年代）

2000

10

cosmic stringの栄枯盛衰
genericity in GUTS
cosmic superstring
構造形成の種？
CSL-1事件
CMB観測CMBの精密観測

GUTを覗く

708090（年代）2000

10GUTを覗く
GUTのエネルギースケール～ 1016 GeV
なんて実験では到底到達できない。

cosmic stringによる構造形成①
cosmic stringがぐちゃぐちゃ動くと物質にもゆらぎができる。
→ インフレーションの対抗馬として注目される
・CMB
GUTスケールのstringだと2

 10 GeV ∆T ≈ 10 −6≈ Gµ ≈  19T
 10 GeV 
16

オーダーとしてはなかなかよい。
・銀河
ループにガスが降り積もってきて銀河ができる。

cosmic stringによる構造形成②
しかしCMBの精密観測によって否定される。
→ CMBゆらぎへの寄与は10%以下
パラメータがGμしかなく、予言能力があってきちんと否定されたよいサイエンス

inflation

cosmic stringcosmic string探索
重力レンズ
deficit angle→ 特徴的な重力レンズ→ 今のところ見つかっていない
Christiansen et al. 2008

重力波
loopからよく放出される→ pulsar timingから制限

Gµ < 10 , Ω CS < 0.01
−7

CSL-1事件 (Sazhin et al. 2003-2006)
見た目そっくりな２つの銀河

99.9% C.L.でスペクトルが一致！

cosmic stringの発見か！？

CSL-1事件の結末
シミュレーション

HSTによる観測

よく似た銀河のbinaryでした・・・最近の発展の背景：理論①●genericity in SUSY GUTs (Jeannerot et al., 2003)
インフレーションの後に相転移が起きると、だいたいどういうゲージ群から出発して、どんな風にSSBしてもcosmic string生成は避けられない。
・最終的にstandard modelになる・hybrid inflation・monopoleやdomain wallが生成されない・baryogenesis via leptogenesis
・protonが安定
・群のrankが８以下
SO(10) → SU(4)×SU(2)×SU(2)→ SU(3)×SU(2)×U(1)GUT群 → ・・・ → SU(3)×SU(2)×U(1)monopole, cosmic string, domain wall形成最近の発展の背景：理論②●superstring
過去の議論：superstringはプランクスケール
・inflation前に生成されるだろうからinflationで薄まる
・そのようなμのcosmic stringはすでに観測的に棄却→ cosmic stringとsuperstringは全く別物
ところが、ブレーンワールドモデルによってsuperstringのスケールがもっと低くてもよくなった。
・ブレーンインフレーションモデルではよく生成される・GUTスケールより低いスケールもあり得る
・F-stringとD-string
・GUTどころかsuperstringまで探索できる？
→ cosmic superstring!
GUT・superstringどちらにせよ素粒子論的にはcosmic stringの存在はわりと自然（？）

最近の発展の背景：観測・CMB‐小スケール‐Ｂモード‐nonGaussianity

μが小さくて大スケールの温度ゆらぎでは効かなくてもこういうものではcosmic stringがdominantである可能性がある

・重力波‐直接観測：LIGO, LISA, DECIGO・・・‐pulsar timing array・重力レンズ
観測技術の発達でより小さなμまで探索できる重力波

pulsar timing arrayやりたいこと
モチベーション
・cosmic stringは構造形成の種としては働かないが、理論的にはどうもあるっぽいので探したい
・普通のcosmic stringとsuperstringを観測的に区別
・もっと小さなμも視野に入れて・これまでの研究は大規模なシミュレーションに基づいていたが、モデル化して解析的にできると便利だし理解も深まる
実際にやること・string networkの解析的モデル
・CMBの小スケール温度ゆらぎの１点関数を計算、シミュレーションと比較
・後々は２点関数、３点関数、偏光、重力波、weak lensing、micro lensingなども

３、cosmic stringとCMBCMBゆらぎ
再加熱
インフレーション
量子ゆらぎ

再結合光子＋バリオン
音波振動

最終散乱面以降でできる
最終散乱面でのゆらぎ → primary ゆらぎ → secondaryCMBゆらぎ
再加熱
インフレーション
量子ゆらぎ

再結合

光子＋バリオン
音波振動

primary:
inflation, cosmic string

secondary:
SZ, lens, cosmic string

CMBスペクトル
primary
小スケールでシルク減衰

大スケールでは何も見えないが小スケールではいろいろ見えるかも

secondary・cosmic string・SZ・OV
小スケール：
等方な放射が何かを通過してできる。

イメージ
等方な放射がcosmic stringの近くを通ると温度が変わる

小スケールではsecondaryのISWだけを考えればよい（再結合以前のプラズマの運動を考えなくてよい）cosmic stringによる温度ゆらぎ
integrated Sachs-Wolfe効果

cosmic stringによる温度ゆらぎの一般的な表式

stringの接線ベクトル

速度

天球面上のstringの位置ベクトル
視線方向

Kaiser-Stebbins effectstraight stringまわりの温度ゆらぎ

動いていないとゆらぎはできない。
（止まっているとただの重力レンズ）

kinkとcusp

Stebbins (1988)

kinkまわりの温度ゆらぎ

δ：impact parameterkink付近で対数的に温度ゆらぎが大きくなる
cuspまわりの温度ゆらぎ

・あまりきちんと求められていない
・時間に依存する→ 周期的に明るくなるシグナル？

シミュレーション
Fraisse et al. (2008)によるシミュレーション
Nambu-Goto stringのdynamics (P=1) → 光子を伝播

１点関数
シミュレーションで得られた温度の１点関数
解像度0.42’(とんでもなく細かい）シミュレーション
推奨
loop全部入り
loopなしGaussian fit
・ゆらぎが小さいところではGaussianでよく合う・ゆらぎが大きいところでnonGaussian tailがある
・negative skewness
・loopはあまり寄与しない
・nonGaussianはkink?
・今回の目標はこれ

２点関数
primaryGμ = 2×10-6すでに否定-7Gμ = 7×10
現在の上限
Gμ = 7×10-8
thermal SZ
kinetic SZ
OV・μ2 でスケール・th-SZは差っぴける
・後はnonGaussian
B-modeで区別？

まとめ
CMBとcosmic string・primaryは小スケールで減衰・小スケールではISWだけ考えればよい・１点関数でnonGaussian tailがある
・μが上限近くなら２点関数はdominant
シミュレーションの問題点
・dynamical range, resolution
・１つのモデルに対して多数回試行・再結合確率依存性

４、cosmic stringとcosmic superstringcosmic stringの種類
field-theory string
・普通のcosmic string
・相転移のときにできる・μは相転移のエネルギースケール
superstring
・F-string：いわゆる「超弦」
・D-string：D1-braneまたはDp-braneが丸まったもの・brane inflationが終わる時にできる
・μはモデルによる(Gμ = 10-11 ～ 10-6 )・モデルによってＦ、Ｄ、F+Dなど
・Y-junction
観測的には「再結合確率」を通して区別できる（Y-junction入りネットワークは複雑なので今は無視）再結合確率
再結合スルー-41010-310-210-11PF-string
superstringでは一般にP < 1・string couplingの強さ
・extradimensionの効果

D-stringfield-theory stringcosmic stringへの制限
log GμF-stringD-string

GUT string-6-8-10-12-4

1010-310-210-1

1P

cosmic stringへの制限
log GμF-stringD-string

GUT string-6CMB, GW-8-10-12-41010-310-210-11P

cosmic stringへの制限
cosmic stringを特徴づける
平面内での制限（期待）log Gμ

F-string

D-string

GUT string-6-8

excluded-10-12

allowed-4

1010-3

10-2

10-1

1P

cosmic stringへの制限
cosmic stringを特徴づける
平面内での制限（期待）log Gμ

F-string

D-string

GUT string-6-8-10-12superstring発見！
-4

10

10-3

10-2

10-1

1P

再結合確率はどのような観測的影響を持つか？
↓networkの状態への影響を考えるnetworkはどう進化するか？
comoving
evolutionscaling
evolution

スケーリング（scale invariant）「horizon内にhorizonくらいの相関長を持ったstringがhorizon scaleくらいの間隔で分布」
・全てのスケールがhorizonスケールで特徴付けられる・初期条件によらずattractorに落ち着く・エネルギー密度は主成分と同じように
密度
時間発展

主成分
この振る舞いがcosmic stringを面白くしている。
c.f. monopole, domain wallcosmicstring
時間なぜスケーリング？
なぜこんなことが起こるか？
cosmic stringのガスの状態方程式はw = -1/3なので何も起こらなかったらすぐにdominantになる。
→ どんどんエネルギーを捨てないといけない。
→ ・長いstringは衝突によって次々とループを生成
・ループは重力波などを放出してすぐにdecay
スケーリングとは釣り合い
宇宙膨張でcosmic stringがdominantになっていく
傾向とループ形成でエネルギーを捨てるのがつりあうとスケーリング
スケーリング状態は安定
スケーリング状態よりstringがたくさんあるとたくさんループ形成が起こってエネルギーが減る

数値シミュレーション
Ringeval et al. (2006)
Nambu-Goto action
comoving box with volume 1
periodic boundary condition
matter domination
scale factor: 1 → 64
comoving horizon scale: 0.063 → 0.5
initial condition: random walkinitial coherence length: 0.01
resolution: 0.0005

スケーリングに到達するまで長いstringの密度①ループ形成が始まるまで②ループ形成が始まる③ループ形成と宇宙膨張がつりあって落ち着く

長さα/Hのループの密度再結合確率の影響
スケーリングするためにはどんどんループを作ってエネルギーを捨てなければならない。

スケーリングに到達したとき
horizon内に何本あるか？

再結合確率低い→ ループできにくい→ 平衡点でストリング多い
P → horizon内の本数
μ → １本の重さ
観測的にPとμに制限。
（ただしシミュレーションも解析的モデルもあまり収束していない。）

確率が低いほど多い
Avgoustidis & Shellard (2005)

まとめ
cosmic stringの種類：field, F, D・μとPでcosmic stringを特徴づける（しかしsuperstringにはそれ以外の特徴もある）・Pから一意に決めることはできないが、1より有意に小さかったらsuperstring！
ネットワーク・初期条件によらず、ある状態に落ち着く
・落ち着く先はPに依存する→ Pにより予言が異なる（CMB・重力波）

５、CMBゆらぎの再結合確率依存性

やること簡単な解析的モデルでCMBの１点関数を計算する。
・ネットワークのモデル化→ 既成のスケーリングモデルの拡張→ シミュレーションとよく合う（P < 1も含めて）・CMBゆらぎのモデル化→ オリジナル→ まずP = 1でFraisse et al.と合わせる→ これをP < 1に拡張
→ １点関数のP依存性がわかるネットワークのモデル化

Kibble & Copeland (1991)

L2
次のように簡単化してモデル化
・真っ直ぐなsegmentとその上に分布するkink
・つながりは無視
Lkink
・loopはすぐdecay（無視）L1・L1: segment間の平均距離・L2: segmentの長さ
・Lkink: kink間の平均距離
・v: segmentの平均速度→ velocity-three scale model
・これらを時間の関数として発展方程式を立てて解く
・スケーリング状態の存在、エネルギー密度などを再現
・シミュレーション：L1 ～ L2 ～ 1/H >> Lkink, v ～ 0.5

segmentとkink
真っ直ぐなsegmentとkinkに注目。
（ループとcuspは無視する）
segment周りの温度ゆらぎ

kink周りの温度ゆらぎ

δ：impact parameter温度ゆらぎのモデル化
segmentとkinkがランダムに独立に分布し通る場所によって様々な温度ゆらぎができる

segmentの近くを何回も通過 → random walk → Gaussian
kinkの近くをたまに通過 → nonGaussian tail

統計的情報ネットワークの進化の情報と素過程を組み合わせると、温度ゆらぎの統計的情報が得られる。
一般に数密度n、断面積σの粒子に対するoptical depthはdλτ = ∫ n( z ) σ ( z ) dzdz
0z recネットワークの進化の情報

素過程τ seg >> 1
τ kink << 1

ネットワークの発展①
いろいろなスケール
・L1: segment間の平均距離・L2: segmentの長さ
・Lkink: kink間の平均距離
・v: segmentの平均速度
L = L1 = L2とする。
horizonスケールで規格化

11L=, Lkink =γHKH

L2Lkink

スケーリング：γ・Kが定数

いろいろな量がL, Lkinkで表される

11µL µ3nseg = 3 , N seg = 3 3 = γ , ρ seg = 3 = 2 ,LH LLL
11L
N kink = 3 3= 3 2= γ 2K
H L Lkink H L Lkink

L1

ネットワークの発展②
ネットワークの大スケール構造の発展方程式
宇宙膨張

ループ形成

c～0.23:形成効率

曲率による加速 宇宙膨張ネットワークの発展③
スケーリングとは、γ・vrmsが一定値に落ち着くこと。
雰囲気をつかむため、vrms = 一定と簡単化して方程式を解いてみる（one-scale model）。

解はこれは時間がたつと一定値に近づいて初期条件を忘れる。
→ スケーリング！

ネットワークの発展④
スケーリングするとわかっていれば、スケーリング解はγ・vrmsを定数として代数方程式を解けばよい。

解は次のようになる。

horizonの1/2.5倍ほどのsegmentが常にhorizon内に１６本ほどある、ということになる。

ネットワークの発展⑤

Avgoustidis & Shellard (2005)

一般の再結合確率Ｐに拡張する。

解は次のようになる。

再結合確率が低いとsegmentの数が多くなり、シミュレーションの結果を再現する。

衝突しても再結合しない可能性があるkink①
Lkinkを求める代わりにkinkの数を数える。
kinkはどうやって生成・消滅するか？

①組み換えのとき生成②ループ形成のときに生成とともに離脱③宇宙膨張でなまされる④重力波放出でdecay

ここでは簡単のため生成と宇宙膨張だけkink②●生成
kinkの生成率はループの生成率に比例する。
まず体積Vのcomoving boxで考える。
q: kink生成効率●宇宙膨張によるdecay

Bennett & Bouchet (1990)

kink③
skinkは強いものから弱いものまで様々。
「kinkの数」とは？

smax

smint
生成率をt-s平面上の三角形内で積分すればよい。
現象論的パラメータ（定数）ネットワークとkink数の発展
以上より

c, q → シミュレーションからだいたいわかる
smax/smin → 現象論的パラメータ
あとでP = 1のときのCMB１点関数のシミュレーションと合わせるときに決める。そしてP依存性を予言。

１点関数の計算①segmentのCMB光子に対するoptical depthはとなって多数回散乱する。毎回温度がΔsegだけ上がるか下がるかなので、温度ゆらぎはrandom walkとなる。

ここで<αseg> = 1/2とした。

１点関数の計算②kinkはimpact parameter δによって温度が変わる。

以上のように次のような１点関数を得た（注意）。

シミュレーションとの比較（P = 1）

Gaussian部分はよく合う。
nonGaussianを合わせるのにsmax/smin, αkinkを調整。

angular resolution
kinkによる温度ゆらぎはkinkに近づくほど大きい。しかし角度分解能が悪いとkinkが分解できなくなる。
角度分解能θでkinkに最も近づくのはするとあるzのkinkによる最大の温度ゆらぎはある温度ゆらぎに寄与する最大のzは積分区間を変更する。

P依存性の予言
結果
・Pが小さいとsegmentの数が増えてGaussian部分が卓越する
・角度分解能が悪いとkinkが分解できずnon-Gaussian部分は抑制される
・Planck程度の分解能ではnon-Gaussian部分の観測は難しい
・arcminuteレベルの観測でPが大きければ観測できるかも

まとめ
簡単なモデル化でCMBの１点関数を計算
・ネットワークをvelocity-one scale modelで解析・kink数をカウント
・Gaussian: segmentによるランダムウォーク
・non-Gaussian: kinkに接近したとき
結果
・P = 1でGaussian部分はパラメータなしでシミュレーションとよく合う
・nonGaussian部分でパラメータを調整
・P < 1でのふるまいを予言→ Pが大きいほどnon-Gaussianityが大きい
今後
・kinkの分布関数（重力波にも応用）
・より観測的に重要な２点関数・多点関数を計算する