2021 年第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力・宇宙論分科会

集録集

■ 謝辞
2021 年度天文・天体物理若手夏の学校は、基礎物理学研究所を始め、国立天文台、宇宙線研究者会議 (CRC) からのご支援により成り立っております。事務局一同厚く御礼申し上げます。
重力・宇宙論分科会

2

■ index
重宇 1

末藤 健介

大域的磁場を持つ動的宇宙モデルと佐々木多様体

重宇 2

齊藤 海秀

Universal 1020 Hz stochastic gravitational waves from photon spheres of black
holes

重宇 3

野村 皇太

重宇 4

度會 大貴

非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの準固有振動
連星ブラックホール合体時に放射される重力波を用いた Hawking の面積定理の
検証

重宇 5

大澤 悠生

Analogue black hole における Hawking 放射

重宇 6

郭 優佳

超伝導体から見るブラックホール像

重宇 7

脇 隆浩

Complementarity と Firewall

重宇 8

鳥羽 修平

ブラックホール熱力学と高階微分重力理論

重宇 9

沼尻 光太

潮汐変形現象に対する理論的解析: 一般相対論及びその拡張理論の観点から

重宇 10

宮下 優一

宇宙論と非局所場理論

重宇 11

宮地 大河

２次元ブラックホール時空中の偽の真空崩壊

重宇 12

斎藤 大生

回転ブラックホール時空における真空崩壊

重宇 13

高寺 俊希

Stable cosmology in generalized massive gravity

重宇 14

七條 友哉

ひも模型と揺らぎのスペクトル解析

重宇 15

三木 大輔

光学振動子系における非ガウス状態の量子もつれ

重宇 16

前田 新也

非ガウス性による重力の量子性の検証

重宇 17

砂川 浩諒

回転ブラックホール周辺のアクシオン電磁気学

重宇 18

松田 大輝

膨張宇宙における Black Hole Shadow

重宇 19

諏訪 みづきインフレーション宇宙論におけるブラックホールのダイナミクス

重宇 20

金森 翔太郎大気チェレンコフ望遠鏡を用いた原始ブラックホールの探索

重宇 21

笠井 健太郎

原始ブラックホールを生成するインフレーション

重宇 22

上原 晃一朗

曲率ピークの形状が原始ブラックホール形成においてサイズに及ぼす影響

重宇 23

Gao Pengyuan

Cosmic No-hair Conjecture and Inﬂation with an SU(3) Gauge Field

重宇 24

村田 知瞭

閉じた宇宙における axion-SU(2) モデル

重宇 25

宮崎 一慶

ultra-light axion-like particle の oscillon による 21cm 異方性の効果

重宇 26

中島 光一朗21 cm forest による暗い銀河の検出可能性

重宇 27

伊東 拓実

ガウス過程回帰を用いた前景除去

重宇 28

阿部 祐大

銀河形成シミュレーションを用いた銀河の特異速度 の推定法の開発

重宇 29

尹 聖煥

a new approach to model baryonic eﬀects on future cosmological surveys : thebaryoniﬁcation method

重宇 30

室越 琳生

CMB スペクトルの黒体からのズレの詳細測定で拓く初期宇宙探査

重宇 31

筧 嵩文

Cosmic Birefringence による Axion-Like Particle の 探査と制限

重宇 32

河合 宏紀

Fuzzy Dark Matter (FDM) ハローモデルの構築と FDM の質量制限

重宇 33

林 慎太郎

Early Dark Energy による Hubble Tension の解決

重宇 34

井上 直樹

後期宇宙での暗黒物質崩壊によるハッブルテンションの緩和

重宇 35

谷口 貴紀

観測的効果を考慮したコズミックシアバイスペクトルの測定手法

重宇 36

寺澤 凌

separate universe simulation を用いた長波長密度揺らぎへの応答の測定

重宇 37

山下 晃毅

大スケール非一様性を持つ宇宙での構造形成について

重宇 38

中沢 准昭

Dispersion Measure による宇宙論的距離の推定

重宇 39

村上 由三

ボソン星の動的発展

重宇 40

稲熊 穂乃里Post-Newtonian 効果を考慮した Eccentric Kozai-Lidov 時間

3重宇 poster1

窪田 圭一郎

重力波を用いたダークエネルギー探索

重宇 poster2

佐田 彩夏

Analogue Gravity

重宇 poster3

齋藤 仁

非線形 teleparallel gravity における GR との等価性

重宇 poster4

田村 悠陽

静的な二体ブラックホール時空中の円軌道の解析

重宇 poster5

加藤 翠

ゴーストスカラー場を用いたワームホールの安定性解析

重宇 poster6

乾 玲冬

CMB 観測を説明する Quartic Hilltop Inﬂation モデルの研究

重宇 poster7

桑原 聡一朗チェレンコフ放射状の重力波探索

重宇 poster8

村越 悠太

アクシオン暗黒物質によるナノヘルツ帯の重力波の痕跡

重宇 poster9

宮元 龍之介

主成分分析による前景放射除去

重宇 poster10

伊元 聖也

初代星の星質量・SFRD と宇宙論的 21-cm 線シグナルの関係

重宇 poster11

平 啓輔

重力レプトジェネシスによる物質の起源の研究及び理論の検証

4

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重宇 1

大域的磁場を持つ動的宇宙モデルと佐々木多様体
大阪市立大学 理学研究科数物系専攻
末藤 健介

5

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

大域的磁場を持つ動的宇宙モデルと佐々木多様体
末藤健介（大阪市立大学大学院

理学研究科）

Abstract
昨年私の研究室の松野・石原が磁場と電流を含む連立系の Einstein 方程式の解析解を構築した．しかしその解は静的解であるのでこの宇宙を記述できているかは明らかではない．そこで本研究はこの解の時間発展を追い，動的な宇宙モデルとしての解を探索した．

1

そこで，この計量のスケール因子に時間依存性を持

Introduction

たせた
宇宙の様々なスケールで観測される磁場の起源を

ds2 = −dt2 +a2 (t)(dθ2 +sin2 θdφ2 )+b2 (t)(dψ+cos θdφ)2

知ることは，宇宙物理学の最も重要な問題の一つである．強い磁場は一般相対論では重力の源となり，磁(1)場を含む時空の構造を明らかにすることは興味深いとなる計量で宇宙を考えていく．ここでこの計量か課題ですが，Einstein 方程式と Maxwell 方程式の連ら 1-form をω(t) = −dtω = a(t)dθ立系を解くことは容易ではありません．磁場が重力源となる Einstein-Maxwell 系の解として Bertotti-(θ)

Robinson 解 [2,3] や Melvin 解 [4] が挙げられますが
ω(φ) = a(t) sin θdφ




ω
(ψ) = η = b(t)(dψ + cos θdφ)

これらの解では磁場は源のない Maxwell 方程式の解から構成されている．

そ こ で ，佐々木 多 様 体 を 3 次 元 空 間 と し て ， で定義する．これより frame を e(2)= g νλ ω(µ)λ で定義するとこの eµ 達は g(e(µ) , e(ν) ) = ηµν を満たし，Einstein-Maxwell-current 系の連立方程式を解いたのが松野・石原解である [1]．しかしここで得られた(µ)ν

正規直交基底となる．

解は静的解であったのでこれを拡張し，動的な宇宙

以下特に η とこれに対応するベクトル ξ = 1/b(t)∂ψに拡張するのが本研究の趣旨である．

が重要な役割を果たす．

2

Methods

2.2

2.1

setup

ゲージ場の導入

ゲージ場を ξ 方向に導入する．これを form でA(t) = c(t)η

[1] ではと表現する．これより場の強さ F はd00
dt (bc) cos θ00−bc sin θとなる計量で時空を記述した．これは S 2 の各点に F = dA = d0− dt (bc)cosθ bc sin θψ 方向にファイバーが S 1 として存在し，S 2 とファd− dt (bc)00イバーバンドルを合わせてトポロジカルな S 3 となっa2
ads2 = −dt2 + (dθ2 +sin2 θdφ2 )+ (dψ+cos θdφ)2
4
4

(3)

d
dt (bc)000(4)ている佐々木多様体と呼ばれる多様体の一つを 3 次元空間とし，そこに時間を組み合わせた時空である．

6で表現できるので電場，磁場に対応する form は
(
)
(
)
1 d
d
Ẽ = dt∧(bc)(dψ + cos θdφ) = dt∧
(bc)η
dt
b dt








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B̃ = bc sin θdθ ∧ dφ =bcωθ ∧ ωφa2

2.4

エネルギー・運動量テンソル

荷電粒子は圧力の無視できる dust 流体であるとす

これより電場，磁場はると，流体と電磁場のエネルギー・運動量テンソルは

1 dbc(bc)ξ, B = 2 ξb dtaと表現できる．また場の強さが求まったので電流は
E=

gas
Tµν
= mngµλ gνσ (uλ+ uσ+ + uλ− uσ− )1emTµν= g λσ Fµλ Fνσ − gµν Fλσ F λσ
4gasem
Tµν = Tµν
+ Tµν

Maxwell 方程式より

(8)
(9)

J = −g µλ ∇ν Fνλ ∂µ
(10)
(
(
)
(
) )
2
2
ḃ 2ȧb̈ 2ȧḃ ḃb= c̈ ++ċ ++− 2 + 4 c ξ で表現でき，保存則 ∇ν Tνµ = 0 から流体の数の保
b
a
b
ab
b
a
存則
(5)
nu0 V = const(11)と表現できる．これよりゲージ場，電場，磁場，電を得る．ここで V は時刻 t での宇宙の体積を表して流全てが ξ 方向を向いていることがわかる．これはおり，計量より V (t) = 2π 2 a2 (t)b(t) と計算される．
rotξ ∝ ξ という特別な性質に由来しておりこれにより系を簡単にでき，またこれが空間に佐々木多様体を導入した理由である．

2.5

Einstein 方程式

計量とエネルギー・運動量テンソルの表式を得た

2.3

荷電粒子

のでこれより Einstein 方程式を考えることができる．
宇宙項有りの Einstein 方程式

ξ 方向への電流の担い手として正の電荷を持つ粒子と負の電荷を持つ粒子の四元速度をGµν + Λg = Tµν

u+ = u ∂t + u ξ, u− = u ∂t − u ξ
0

3

0

3

は frame を用いて対角化すると方程式の数は 4 本ととし，荷電粒子の電荷の大きさを e, 粒子の数密度をなるがそのうちの 2 本は同じ方程式が得られ，Hamil-n とするとtonian constrain で一本，時間発展を与える方程式で2 本の方程式が得られる．これにより必要な方程式

J = en(u+ − u− ) = 2neu3 ξがそろった．
となるので Maxwell 方程式より
)
(
) )
(
(
b̈ 2ȧḃ ḃ2b2ḃ 2ȧ
3
2neu = c̈ ++ċ ++− 2+ 4 c
b
a
b
ab
b
a
(6)
が成り立つ．これは発展方程式の一つとなっている．
運動方程式はu ν ∇ν u µ =e µνg Fνλ uλmでありこれを解くと

e
const
− c
(7)
b
m
を得る．さらに u0 は u の規格化 u2 = −1 より u0 =√u3 =1 + u3 2 で与えられる．このように計算できた理由は ξ が Killing vector として振る舞うからであり，

const は ξ 方向の運動量を表している．

7

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3

Results

Reference
松野皐, 石原秀樹（2020）,”Solutions to the EinsteinMaxwell-Current System with Sasakian maifolds”

ds2 = −dt2 + a2 (t)(dθ2 + sin2 θdφ2 ) + b2 (t)(dψ +cos θdφ)2 で表現される時空に A(t) = c(t)η でゲージ場を導入した宇宙の方程式系は

const
e
3


u = b − m c√
u0 = 1 + u3 2nu0 V = const

B. Bertotti(1959), Uniform electromagnetic ﬁeld in thetheory of general relativity , Phys. Rev. 116, 1331
I. Robinson(1953), A Solution of the Maxwell-Einstein
Equations(12)

M. A. Melvin(1964), Pure magnetic and electric geonsと EInsrtein 方程式系の Hamiltonian constraint2

b4 (1+2c2 )−4a2 b2 (1+ȧ2 )−8a3 bȧḃ+2(c2 ḃ2 +2bcḃċ+b2 (2Λ+4mu0 ρ+ċ2 ))a4 = 0
を満足し，発展方程式

b4 (1 + 2c2 ) + 4a3 b(ȧḃ + bä) + (2c2 ḃ2 − b2 (4Λ − 2ċ2 ) + 4b(cḃ + ċb̈))a4 = 02
b4 (3 + 2c2 ) − 4a2 b2 (1 + ȧ2 ) + 2(c2 ḃ2 + 2bcḃċ + b2 (2Λ − 4mu3 ρ + ċ2 ))a4 − 8a3 b2 ä = 0

(
(
)
(
)
)


2neu3 = c̈ + ḃ + 2ȧ ċ + b̈ + 2ȧḃ − ḃ22 + b24 c
b
a
b
ab
b
a

(13)
によりスケール因子 a(t), b(t) とゲージ場の因子 c(t)の時間発展が決まる．

4

Discussion
一様な時空なので Einstein 方程式が時間に対する常微分方程式となったが解析解を求めるのは容易ではなく系を単純化して解析解を求めることができな
いか模索していく必要がある．
この方程式系を解き，宇宙初期に磁場がありやがて磁場が薄れ De Sitter 時空の様になるか調べていきたい．

5Conclusion
松野石原解を時間発展させた系の方程式系を得る

ことができたが複雑な常微分方程式系となり解析解を求めることは困難となった．今後この厳密解を探していき，現実の宇宙を記述するモデルとして相応
しいか検証をしていく必要がある．

8

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重宇 2

Universal 1020 Hz stochastic gravitational waves fromphoton spheres of black holes
神戸大学 理学研究科物理学専攻
斎藤 海秀

9

未提出

10

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重宇 3

非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの準固
有振動神戸大学 理学研究科物理学専攻
野村 皇太

11

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの準固有振動
野村 皇太 (神戸大学大学院理学研究科)

Abstract
近年、コンパクト天体から生じる重力波や電磁波などの複合的観測、及び理論的研究の発展が目覚ましい。
その中でも、ブラックホールから伝播する波は、それに固有の振動数を伴った特徴的な減衰振動をすることが知られている。この振動は準固有振動と呼ばれ、これを観測することで、ブラックホールの質量などの情報の取得や重力理論の検証が行えるため、その解析は重要視されている。重力と電磁気を含む理論は、典型
的には、Einstein-Hilbert ラグランジアンと、電磁場の強さからなる Maxwell ラグランジアンを足し合わせた Einstein-Maxwell 理論で記述される。この理論で構成される荷電ブラックホールの準固有振動について
は、過去に Leaver (1990) などによって調べられている。一方で、量子補正など高エネルギー由来の効果を加味すると、ラグランジアンには電磁場の強さ及びその双対からなる高次の補正が含まれると期待される。
量子電磁力学からの補正や、時空特異点の解消など、高エネルギー領域におけるブラックホールの性質に迫る方法の一つとして、このような非線形電磁気の枠組みでのブラックホール解が精力的に研究されている。
本研究では、この非線形電磁気の枠組みにおける荷電ブラックホールから生じる重力波・電磁波の準固有振動を算出した。

1

Maxwell ラグランジアンを足し合わせた Einstein-

Introduction
ブラックホール連星からの重力波観測や影の直接撮像などによって、ブラックホールの存在は実証され、今や精密観測の対象となりつつある。ブラックホー

Maxwell 理論で記述される。この理論で構成される
荷電ブラックホールの準固有振動については、過去に (Leaver 1990) などによって調べられている。一方で、量子補正など高エネルギー由来の効果を加味す

ルは天体物理の分野において興味深い研究対象であると、ラグランジアンには電磁場の強さ及びその双ることは間違いないが、それと同時に理論物理学に対からなる高次の補正が含まれると期待される。例

おいても重要な地位にある。特に、ブラックホールは「重力」に対する理解を深める機会を与えてくれる。
ブラックホールに関する話題で特筆すべきものは、その摂動に対する安定性と準固有振動である。一般相

えば、量子効果を取り入れた電磁力学の有効理論として、電磁場の強さ Fµν とその双対 Feµν の高次の項を含んだ Euler–Heisenberg 理論がある。量子電磁力学からの補正や、時空特異点の解消など、高エネル

対論においては、単純なクラスのブラックホールはギー領域におけるブラックホールの性質に迫る方法

摂動に対して安定で、準固有振動と呼ばれる特徴的の一つとして、このような非線形電磁気の枠組みでな減衰振動をすることが示されている。例えば、球対称真空解である Schwarzschild ブラックホールの安のブラックホール解が精力的に研究されている。本
研究では、このように Fµν と Feµν の高次の項の寄与

定性解析は (Regge & Wheeler 1957) および (Zerilli

を含む、非線形電磁気の枠組みにおける荷電ブラッ

1970) によってなされ、その後に (Zerilli 1974) など

クホールから生じる重力波・電磁波の準固有振動をによって Einstein–Maxwell 理論における荷電ブラッ

算出した。

クホールへ解析が拡張された。準固有振動には、ブラックホールの質量などの情報が含まれているため、その解析は重要視されている。
重力と電磁気を含む理論は、典型的には、Einstein-

Hilbert ラグランジアンと、電磁場の強さからなる

12

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

2とする。このとき、スカラー量 (2), (3) の背景でのCharged black hole

値 F̄, Ḡ は本研究では一般的な非線形電磁気の枠組みにおける一般相対論を取り扱う。つまり、A = Aµ dxµ を電磁場として、作用は電磁場の強さ F = 12 Fµν dxµ ∧dxν = dA だけでなくその双対 Fe = 1 Feµν dxµ ∧dxν =

2
1
ρσ
µ
ν
ϵ
F
dx
∧
dx
からの寄与を含む。この枠組み
4 µνρσでの作用は、一般に次の形で与えられる。


Z
1
4 √
(R − 2Λ) − L(F, G)
S[g, A] = d x −g
16πG
(1)

F̄ =

S2

(9)

0

なお、場の強さ (7) をもたらす背景電磁ポテンシャルĀ は、Ā = A¯µ dxµ = q(±1 − cos θ) dϕ(10)と取れる。背景の球対称ブラックホール時空を記述

gµν の行列式、L は次で定義されるスカラーする計量 ḡ は Einstein 方程式を使うことで(2)ḡ = ḡµν dxµ dxν = −f (r) dt2 +(3)の一般の関数である。
計量 gµν に関して作用の変分を取ることにより、Einstein 方程式

テンソルの成分、Tµ ν は電磁場のエネルギー・運動量テンソルの成分(5)1dr2 + r2 dΩ2
f (r)
(11)

と書かれる。ここで dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2 であり、
関数 f (r) は

f (r) = 1 −(4)を得る。ここで Gµ ν は gµν から計算される EinsteinΛTµ ν = LF Fµλ F νλ + δµν LG G − L −
8πG

0

(8)

より、この時空における全磁荷に相当する量である。

ラー、Λ は宇宙定数、G は Newton の重力定数、g はGµ ν = 8πGTµ νḠ = 0となる。定数 q は、
Z π Z 2πZF̄ =dθdϕ sin θ q = 4πq

ここで R は計量 g = gµν dxµ dxν に関する Ricci スカ

1
F := Fµν F µν
411
G := Fµν Feµν = ϵµνρσ F µν F ρσ
4
8

q2
,
2r4

2GM
Λ
2GMq (r)− r2 −r3
r(12)で与えられる。ただし M は任意定数（ブラックホールの質量に相当する量）で、Mq (r) は
 2 
Z
q
2
Mq (r) := 4π dr r L
,0
2r4

(13)

である。

である。ここで LF := ∂L/∂F, LG := ∂L/∂G である。同様に、電磁場 Aµ に関して作用の変分を取れ
ば、電磁場の運動方程式

∇µ LF F µν + LG Feµν = 03(6)が得られる。ここで ∇µ は gµν に関する共変微分をEquations of motion forblack hole perturbations
ブラックホール時空上の計量と電磁場の摂動のダ

イナミクスを調べるために、表す。
ここでは、背景時空として球対称な磁場を伴ったgµν = ḡµν + δgµν

(14)

ブラックホール解を考える。つまり、背景の電磁場

Fµν = F̄µν + δFµν

(15)の配位 F̄ は、q を定数として

1
F̄ = F̄µν dxµ ∧ dxν = q sin θ dθ ∧ dϕ2と書く。バーのついた量が Sec. 2 で調べた球対称背(7)

景、δgµν と δFµν がそれぞれ計量と電磁場の摂動である。

13

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
背景の球対称性から、摂動を解析する際には、摂程式系をなし、他方、パリティ偶の計量摂動とパリ動をテンソル球面調和関数の基底で展開し、その動ティ奇の電磁場摂動が混ざり合って一つの運動方程

径方向の依存性と角度依存性を分離するのが便利で式系をなす。ここでは紙面の都合により l ≥ 2 におある。その後、摂動をパリティの下での変換性によける「パリティ奇の計量摂動とパリティ偶の電磁場

り次のように分類することができる。

摂動」のタイプの運動方程式 (Nomura et al. 2020)のみを以下に記載する。なお、以下は時間に関して−+
δgµν = δgµν
+ δgµν

(16)

Fourier 変換したものである。つまり、∂t → −iω の(17) 置き換えを施している。




−
−

d
1 d
1
ここで δgµν
と δFµν
は、l を球面調和関数の方位量子
−
2 −
r ∗
rR
+
ω
R
f
dr
r2 dr∗
数のラベルとして、パリティ変換の下で (−1)l+1 のI
I−V11
R− − V12
E = 0 (20)因子が現れる項であり、しばしば「パリティ奇」ある





+
+
1 p
d
1 d p
いは「軸性」の項と呼ばれる。一方、δgµν
と δFµν
は|LF | ∗
|LF |Elf
dr
LF dr∗
パリティの下で (−1) の因子が付く「パリティ偶」ま
たは「極性」の項である。(Regge & Wheeler 1957)
II+sgn(LF ) ω 2 E − V22
E − V21R− = 0 (21)に倣って適当なゲージを取ると、パリティ奇の計量−+
δFµν = δFµν
+ δFµν

の摂動は (t, r, θ, ϕ) 座標での行列として次のように表

ここで f dr∗ = dr,

せる。


0

X 0
−

δgµν
=
⋆
l,m 
⋆

0

−[h0 / sin θ] ∂ϕ0−[h1 / sin θ] ∂ϕ

⋆

0

⋆

0

h0 sin θ ∂θf h1
8πG(−iω)r
√ 2
2r
p
E :=
l(l + 1) (l + 2)(l − 1)|LF |q2+
× LF − 4 LGG f01
r

R− := √


h1 sin θ ∂θ 
 Ylm

0

0
(18)

(l + 2)(l − 1)
(24)
2
p r
q 16πG(l + 2)(l − 1)|LF |
I
I
V12
= V21
=
(25)
r3

l(l + 1)
1I
V22
= |LF |
r2 LF − (q 2 /r4 )LGG
16πGq 2+(26)
r4

モード (l, m) ごとに与えられる (t, r) の関数である。

I
V11
=

なお、スター ⋆ の成分は対称性から決まる。
パリティ偶の電磁場の摂動は (Zerilli 1974) に倣っ

+
f02
∂ϕ

(23)

および

ここで Ylm = Ylm (θ, ϕ) は球面調和関数、h0 , h1 はて次のように表記する。

+
+
0 f01
f02
∂θ

X × 0 f + ∂θ
12
+

δFµν
=
× ×
0

l,m
× ×
0

(22)




+
f12
∂ϕ 
 Ylm (19)
0 

である。
0
+
上の方程式により摂動 h1 , f01のダイナミクスが決+++ +ここで f01 , f02 , f12 ,f23 はモード (l, m) ごとに与え まる。同じタイプに含まれる他の変数 h , f + , f + のられる (t, r) の関数である。バツ × の成分は反対称性から決まる。

0

02

12

+
発展も、h1 と f01が与えられれば決まる。

摂動展開 (14), (15) を運動方程式 (4), (6) に代入
し、摂動に関して線形化することにより、線形摂動

4の運動方程式を得ることができる。背景磁場はパリティ奇、背景計量はパリティ偶であるため、線形摂

Eﬀective ﬁeld theory andquasinormal modes

動論においては、一方でパリティ奇の計量摂動とパ前節で導いた方程式を使えば、どんな非線形電磁

リティ偶の電磁場摂動が混ざり合って一つの運動方

気のラグランジアンに対してもブラックホールの線

14

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形摂動の発展を調べることができるが、その解析は準固有振動は、運動方程式の複素固有振動数を伴っ一般に複雑である。それでも、非線形電磁気によるた減衰振動を指す。複素固有振動数は離散的に存在主要な補正を調べる目的においては、F と G の 2 次

し、ブラックホール近傍で摂動が内向きに伝播し、無までの項を含む有効ラグランジアンを考えるのが合限遠で外向きに伝播するという境界条件によって選理的だろう。そこで、以降では次のラグランジアン

び出される。今考えている系のように、複数種の摂動

L(F, G) = F − αF 2 − βG 2が couple した場合の準固有振動数を求める方法とし(27)ては、直接的な数値積分を用いる方法 (Chaverra etに集中して考えることにする。ここで、α と β は次

al. 2016) や、Leaver が初めて用いた連分数法 (Leaver1985) を行列値に拡張した方法がある。本研究では、

元 −4 のパラメータである。宇宙定数 Λ は簡単のた

有効的な非線形電磁気の枠組み (27) における荷電ブ

めゼロとする。

ラックホールから生じる重力波・電磁波の準固有振上の有効非線形電磁気でのブラックホール時空は(13) から簡単に得られる。ラグランジアン (27) から 動を、これらの方法を用いて算出した。将来的には、
この理論的予言と観測を結び付けることにより、ブ
直ちに

L


q2
q2
αq 4
,
0
=
−
2r4
2r4
4r8

ラックホールを実験場として Einstein-Maxwell 理論
を超えた物理を探査できるかもしれない。

(28)であるから、計量の中の関数 f (r) は2GM
Q2
ᾱQ2 (GM )4
f (r) = 1 −
+ 2 −
r
r
10r6

Reference(29) Tullio Regge, & John A. Wheeler, “Stability of a
Schwarzschild singularity,” Phys. Rev. 108 (1957)
1063

で与えられる。ここで、

Q2 := 4πGq 2Frank J. Zerilli, “Eﬀective potential for even parity Regge-Wheeler gravitational perturbation equations,” Phys. Rev. Lett. 24 (1970) 737(30)と定義し、無次元のパラメータ

αq 2
ᾱ :=
(GM )4Frank J. Zerilli, “Perturbation analysis for gravitational and electromagnetic radiation in a ReissnerNordstroem geometry,” Phys. Rev. D9 (1974) 860(31)

E. W. Leaver, “Quasinormal modes of ReissnerNordstrom black holes,” Phys. Rev. D41 (1990)
2986-2997を導入した。同様に

β̄ :=

βq 2
(GM )4(32)を定義すれば、ᾱ と β̄ は摂動パラメータとなる。
「パ

Kimihiro Nomura, Daisuke Yoshida, & Jiro Soda, “Stability of magnetic black holes in general nonlinear
electrodynamics,” Phys. Rev. D101 (2020) 124026

リティ奇の計量摂動とパリティ偶の電磁場摂動」の系における摂動の運動方程式は、

q2
αq 4
Q2
ᾱQ2 (GM )4
− 8 =
−
4
4
2r
4r
8πGr
16πGr824αqᾱ(GM )
LF = 1 − 4 = 1 −rr4
8πGᾱ(GM )4
LFF = −2α = −Q28πGβ̄(GM )4
LGG = −2β = −
Q2
L=

(33)
(34)

Eliana Chaverra, Juan Carlos Degollado, Claudia
Moreno, & Olivier Sarbach, “Black holes in nonlinear electrodynamics: Quasinormal spectra and parity
splitting,” Phys. Rev. D93 (2016) 12, 123013
E. W. Leaver, “An Analytic representation for
the quasi normal modes of Kerr black holes,”Proc. Roy. Soc. Lond. A 402 (1985) 285-298

(35)
(36)

を (24)–(26) に代入すれば求められる。

15

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重宇 4

連星ブラックホール合体時に放射される重力波を用いた Hawking の面積定理の検証
東京大学 理学系研究科物理学専攻
度會 大貴

16

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

連星ブラックホール合体過程で放射される重力波を用いた

Hawking の面積定理の検証
度會 大貴 (東京大学大学院 理学系研究科物理学専攻 M1)

Abstract
ブラックホール (以下 BH) を支配する諸力学法則は, 数理物理学としての一般相対論 (以下 GR) の帰結である. そのうちの一つ Hawking の面積定理「事象の地平面の面積の和は減少しない」は, 現実の時空で起こる連星 BH(BBH) 合体過程で放射される重力波を観測, そして解析することで検証が可能となる. 本稿では, この検証に必要な理論を確認し,GW150914 を用いてこの目的のためにデータ解析を行った先行研究 [1] の結果をレビューする. 一方で, 一口に BH と言っても, 数理物理学上の BH と天体 BH を同一視することには飛躍がある. 飛躍が生じる本質的な理由は, 我々がこの時空全体を把握することが原理的に不可能であるにも関わらず, 前者の BH の概念を大域的な定義で与えていることにある. この飛躍を埋める試み [2] についても触れる.

1

広く知られている”BH は光ですら脱出できない領

Introduction

域”,”事象の地平面は BH の表面”という表現は, これ事 象 の 地 平 面 に 基 づ く BH の 力 学 法 則 はらの定義の翻訳である. また, この定義から得られる

Bardeen,Carter そ し て Hawking に よって 定 式

重要な事実は, 時空全体を構築しなければこれらの概化された. これらは BH のダイナミクスの規則と制念について語ることができないということである. こ限を記述するものであり,GR が持つ豊かな数学的な構造の帰結である. そして, その第二法則が Hawkingのことについては 4 章で再び触れる.

の面積定理であり, 事象の地平面の面積の変化を制2.2

限する法則である.
一方で, コンパクト連星合体を源とする重力波は,Theorem. (Hawking の面積定理): 物質がヌルエネ

動的な強重力場の情報を豊富に含んでいると期待される. これらは,GR をはじめとした重力理論やそれらの帰結を, 客観的に検証する絶好の機会を提供する.

ルギー条件を満たすならば,BH の事象の地平面の面
積は時間に対し減少しない.
ヌルエネルギー条件は, エネルギー運動量テンソル

以下では,BBH 合体からの重力波データを用いた

Tab と任意のヌルベクトル ξ に対し

面積定理の検証を考える.2 章では検証に必要な理論の概要,3 章では先行研究 [1] の結果のレビュー,4 章では議論と今後の展望を述べる.

Hawking の面積定理

Tab ξ a ξ b ≥ 0(1)である. 例えば, エネルギー密度 ρ, 圧力 p である完全
流体 T µν = diag(−ρ, p, p, p) に対してこの条件は2Theoretical Frameworks

2.1

BH 領域と事象の地平面

Deﬁnition. (BH 領域と事象の地平面): BH 領域は,
時空の未来のヌル無限遠と因果関係を持つことができない時空域として定義される. そして, その境界が事象の地平面である.

ρ+p≥0

(2)

となり, 成立が見込まれる1 . この定理は,BH 合体現象の場合に適用すると「合体後の BH の事象の地平面の面積は, 合体前の 2 つの BH のそれらの和より減少することはない」ということを意味する.
1 ヌルエネルギー条件は, 古典的な過程では基本的に成立すると考えられているが, 例えば Hawking 放射では破られることが知られている.

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2.3

事象の地平面の面積

じた歪みを吐き出し終状態の定常 BH に向かうリン
グダウン段階である. それらを観測した際の重力波形

定常 BH に対して事象の地平面の面積の定量的なも一貫した特徴を持ち,GW150914 を例にとると図 1

表現を得よう. 以下で見るように, これは事象の地平のとおりである.

面となるヌル超曲面と時間一定面との断面積で与えられる.
ここでは後の応用のために, 質量 M スピン J を持
つ BH が作る定常軸対称な重力場 (Kerr 解) を考える.Boyer-Lindquist 座標 (t, r, θ, ϕ) を用いると∆ − a2 sin2 θ 2 2 Σ 2)c dt + dr
Σ
∆
2
2 2
(r + a ) − ∆a2 sin2 θ+ Σdθ2 +sin2 θdϕ2Σ
2a sin2 θ(r2 + a2 − ∆)
cdtdϕ
−
Σ
(3) 図 1: GW150914 からの strain の推定値と数値相対論でモデリングした値 [3]と書ける. ここで a, ∆, Σ は以下で定義される量であ
ds2 =(

る.

波源の性質を推定するには, 観測データと様々な理

2
2GM r 論波形の相関をとるという手順を踏む . この手続き
J, ∆ = r2 + a2 cos2 θ, Σ = r2 + a2 −をより精緻に繰り返し, 最も高い相関を与える理論波
Mc
c2
(4)
形を到来した重力波であると同定することで, 波源のそして, 興味のある事象の地平面は性質を推定しているのである. したがって, 各段階の√理論的枠組みと波源のパラメータとの関わりを理解GMGM
r = r+ = 2 + ( 2 )2 − a2(5)
しておくことは必須である. 以下では, 今回特に興味cca=のあるリングダウン段階について詳細を確認する.

を満たすヌル超曲面である (r+ は Σ = 0 の解). その面積は, これに t = 一定の条件を加えた 2 次元曲面の表面積として以下のように得られる.

リングダウン段階は終状態 BH 時空からの摂動で良く記述される. 特に, この時期の減衰振動する重力
波形は, 終状態 BH の質量とスピンのみに依存した準固有振動 (QNMs) で良く説明される3 .QNMs の固A(M, χ) = 4π(r+ + a )22

有振動数の集合は, 無限個存在する離散的な複素数√
GM= 8π( 2 )2 (1 + 1 − χ2 )c

(6)値のセットである. その要素は球面調和関数のラベル(l, m) に加え, その各々に対し無限個のモード数 N で虚部が最も小さいものを 0 とし (基本モードと呼ばれ

2ac
ここで無次元のスピンパラメータ χ を χ = GM=る) 虚部が大きくなる順にラベルされる. 減衰時間がJc
GM 2 と定義した.

2.4

早い高いモードは同定することが難しいため, 実際上
は (l, m) = (2, 2) の基本モード (本検証では N = 1

連星ブラックホール合体の一般論のモードも用いる) と観測データの相関を取ることで終状態の BH の質量とスピンを推定する.

一般に BBH 合体の一連の振る舞いは, それらの質
量やスピンに依らず普遍的であり, 次の三段階から成る. まず, 離れた二つの BH が準定常な円軌道を描く
インスパイラル段階. 次は, 二つの BH が安定な軌道を保てなくなり合体する合体段階. 最後は, 合体で生2 この手法は Mathced ﬁltering と呼ばれる. コンパクト連星合体を源とする重力波のように, 波形が予測可能な場合に有効な手法である.
3 QNMs が減衰振動となる直感的な理由は、無限遠へ逃げていく波や地平面下に落ち込む波が存在するためである。

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2.5

検証で想定する状況

M1 , M2 , χ1 , χ2 、合体後において Mf , χf を独立に推定することに帰着される.

まず本検証では,BH 脱毛定理 (No-hair theorem)

また, 本検証は直接的には, 用いられている仮定のが成り立つことを仮定する4 .

検証である. 仮に (9) が成立していないとすると, 例

Theorem. (BH 脱毛定理): Einstein-Maxwell 系でえばヌルエネルギー条件や BH 脱毛定理などが破れの定常 BH 解は, その質量とスピンと電荷のみで特徴ている可能性がある.

づけられる.
すると, 電気的に中性と考えられる天体ブラック

3

ホールのパラメータは, その質量とスピンのみとな

Results

る. これらを踏まえ, 本検証では, 漸近的に定常な BH

この研究では GW150914 を用いた解析を行ってい

時空における事象の地平面の面積の変化を検証する.

る. 再構築後の波形のピークを境に合体前後に分割し,つまり, 合体過程の至るところで面積定理を検証する

各時間領域で解析することで合体前後での独立なパ

わけではない5 . 素直には, 時空が最も動的になる合ラメータ推定を可能にしている (図 2).

体段階でのこの定理の真偽が気になるが, これを議論することは避ける. その理由は, この段階では事象の地平面の面積の定量表現が存在しないためである. したがって, 今回の検証の枠組みにおいて, 合体段階はブラックボックスとして扱われる.
さて,BH 合体過程を含む時空において定常と見なせるのは, インスパイラルの初期段階と終状態である.
これらの時空領域であれば (6) を用いることができる. インスパイラルの初期段階では, 二つの BH は十分に離れており潮汐変形は無視できる. したがって,2

図 2: Hanford で観測された GW150914 の重力波形

つの BH の質量をそれぞれ M1 , M2 , スピンパラメーを再構築したもの. ピークを境に合体前 (青色) と合

タを χ1 , χ2 とすると, 合体前の表面積の和 A0 は

体後 (オレンジ色) に分割している. 黒い点線は合体

A0 := A(M1 , χ1 ) + A(M2 , χ2 )過程全体 (IMR) における波形を表す [1].

(7)と見積もることができる. 一方で終状態 BH の質量をMf , 無次元スピンパラメータを χf とすると, その表
面積 Af はAf := A(Mf , χf )合体前のパラメータは, ピークまでの波形と最も一致度の高い理論波形 (を用いている) から推定する.
事前確率として,BH の全質量や質量比, スピンの大きさ, 光度体積, 軌道面の傾斜角の余弦に対して一様な(8)分布, スピンの向きに対しては等方的な分布を用いる.

となる.Hawking の面積定理が成り立つならば, これ

また, 合体後の解析は,らに対して1. ピーク直後から N = 0, 1 のモードを用いる.
∆A := Af − A0 ≥ 0(9)

2. ピークの 3ms 後から N = 0 のモードのみを用いる.

となっているはずである.A は BH の質量とスピンに依存していたことから, この検証は, 合体前において
4 本来この定理も別途検証されるべきものである. これに関して先行研究 [4] がある.
5 仮に相離れた状態間での事象の地平面の面積 (の和) が減少することがあれば, 合体過程のどこかに定理が破れている箇所が必ず存在することになるので, この検証は必要条件になっているというわけである.

の二通りの方法で行う. これらから得られる ∆A
A0 の事
後分布は図 3 の通りである. 面積定理が成立する確率
は, この事後分布のうち ∆AA0 ≥ 0 となっている部分の面積で与えられる. 実際に数値積分を行うことで,1
では 97%,2 では 95%の確率であることが分かる.

19

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いるものが多くある6 . しかし, 我々は原理的に時空全体を知りえないため, 天体 BH を本格的に扱おうとす
ると, より局所的な枠組みを必要とする. つまり時空全体に言及せずに,BH を特徴づける概念とそれらに対する BH の力学法則の定式化が望まれる. 成功を収めたものとして, 部分的に定常な BH と動的な BH の表面を特徴づける準局所的な概念である isolated horizonと dynamical horizon がある [2]. 前者は Killing 地平
面7 の概念から着想を得て, 事象の地平面より制限を
図 3:1(緑色) と 2(オレンジ色) の場合について ∆A
A0

弱められた概念である. 後者は Heyward の捕捉領域の事後分布 [1].

から着想を得た概念であり, その特徴は空間的となりうることである. これはつまり, 外部からの重力波の2 章で述べたとおり, 今回の検証の理論的枠組みで フラックスや物質が地平面を介して出入り可能なこ
は, 合体段階は対象外である. しかし, パラメータを とを意味し, 確かに BH の進化を表すことが期待できより精確に (SNR を高めて) 推定するために, この領る. そして, これらに対して BH の力学法則は定式化

域を含めた解析を行っている. この解析が, 本検証に可能である.dynamical horizon の非一意性など現実差し支えないかは確認すべきことである. まず, インに応用するうえで重要となる未解決問題もあるよう

スパイラル段階の解析を, ピーク時から 4ms 手前でだが, 準局所的で厳密なこの枠組みを BBH 合体に適打ち切ってもほとんど違いがないことが [1] 中で示さ

用し, 動的で強重力な時空域の解析可能性を検討するれている. また,BH 摂動論が確実に有効となるのは,ことは今後の興味深い可能性の一つである.

リングダウンの後期段階と考えられる. したがって,

また,BBH 合体からの重力波は天体 BH の進化のピーク直後からこのモデルで解析することの有効性

情報を豊かに含んでいる. 今回の検証では合体段階はは非自明に思われるが,GW150914 と良く似た系の高対象外としたが, ここには興味深い物理が潜んでいる精度数値シミュレーションの解析結果から, これは正可能性が大いにある. この段階の解析には数値相対論

当化されるとしている.

を用いる他ないため,GR を完全に批判的に検討することは難しいが, ある仮説の GR からのズレを考える

4

ことで, 間接的な検証を行うことができる可能性があ

Discussion and Prospects

る. 今後の重力波検出器の感度を踏まえ, 可能な検証の枠組みを議論しておくことも課題である.

BH 力学の第二法則である Hawking の面積定理
を,BBH 合体を源とする重力波を用いて検証する理論的な枠組みと先行研究 [1] の結果をレビューした.

Reference

これによると面積定理は 97%または 95%の確率で成立している. 実はこの結果自体は特別新しいものではない.BBH 合体過程全体でパラメータ推定を行う研1. M.Isi et al., Phys.Rev.Lett.127, 011103 (2021)

究は様々行われており, これらの研究も [1] も GR の2. A.Ashtekar & B.Krishnan, Living Reviews in

成立を前提とした解析であることは共通しているた

Relativity volume 7:10 (2004)

め, 似た結果が得られることは予想がついているから

3. B.Abbott et al.,Phys.Rev.Lett.116,061102(2016)

である.[1] で新しいことは, 時間領域に分離しての解4. M.Isi et al., Phys.Rev.Lett.123, 111102 (2019)

析を面積定理の検証の文脈で行ったことである.
一方,2 章で概観した理論的枠組みには, 最も根本的な部分に議論の余地がある.GR の帰結として得られる BH の性質は, 事象の地平面 (2.1 参照) に依存して

6 本検証で興味がある BH の力学法則はこの例である. 一方で,特異点定理は例外である.
7 漸近平坦な定常 BH 時空では, 事象の地平面と Killing 地平
面は一致する (Hawking 1972).

20

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重宇 5

Analogue black hole における Hawking 放射名古屋大学 理学研究科
大澤 悠生

21

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Analogue Black hole における Hawking 放射と entanglement 構造
大澤悠生 (名古屋大学大学院 理学研究科 QG 研)

Abstract
本研究では曲がった時空中の非線形な分散関係を持つ無質量スカラー場の粒子生成及び mode 間の entangle-

ment 構造の解析を行った. 解析の結果分散関係の非線形性により 2 つの mode 間に共有される entanglementの他に, 3 つ以上の mode の間で共有される entanglement が存在していることが示された. また線形な分散関係と非線形な分散関係における生成粒子のスペクトルの差異に 3 mode 間 entanglement が関与する可能性が示唆された.

1

Introduction

散関係の中の非線形項は実験に即したモデルの変更
以上に重要な意味を持っている. そこで本研究ではHawking は重力崩壊により形成された BH 時空

非線形項の効果が強くなるような周波数領域も含め中のスカラー場を解析することにより BH が熱放て放射粒子のエネルギースペクトルや粒子間の en-

射 (Hawking 放射) を出していることを示した [1].

tanglement 構造の解析を行った. 本講演集では以下

Hawking の理論は量子重力理論の足がかりになると考えられているが, 熱放射の放射温度が宇宙マイクロ波背景輻射の温度よりも遥かに低いため Hawking 放のような順で議論を進める. まず Section2 においてAnalogue BH について概説し, Section3 で数値計算を紹介する. 最後に Section4 において結論及び, 今射の直接的な観測は困難とされている. Unruh によ

後の課題について述べる. 本講演は論文 [17] に基づり粒子間距離が存在しない理想的な流体中の音波の方いている.

程式は acoustic metric と呼ばれる計量を導入すれば曲がった時空上のスカラー場の方程式と同一視できることが指摘された [2]. [2] で Unruh は Schwarzchild2

Analogue Black Hole

時空に対応する acoustic metric 上で [1] と似た議論を展開し, その時空上でのスカラー場が Hawking 放

本 Section では [2] に基づいて acoustic metric を射を再現することを示した. また流体の粒子間距離の導入し水流中の音波の方程式に対応する曲がった時効果を取り入れるため波数に cutoﬀ が現れるような

空のスカラー場の理論があることを紹介する. 次に

非線形な分散関係にモデルを変更し数値解析を行い,

analogue BH におけるモードの定義を行う. 後半の変更された分散関係でも熱放射に近い放射が現れる

内容は [13] による. 空間に依存する速度 v で流れる外ことを数値的に示した. その後, 熱放射が現れる周波力の働かない等エントロピー流体を考えると流体は数領域を解析的に求める試み [3][4], 数値的に求めるdρ+ ∇(ρv) = 0
dt

試み [5] などがなされた. また BEC や ion ring を用いた anlogue モデル [6][7] や mode 間 entanglement(∇

や場の二点相関関数など analogue BH を解析する新しい物理量の提案などもなされた [8][9]. 近年では

dΦ 1
+ v · v + h(ρ)
dt
2

(1)
)
=0

(2)

Analogue BH の放射スペクトルや放射粒子間のエン なる方程式により記述される. ただし Φ は ∇Φ = v
により定義される速度ポテンシャル, ρ は流体の密度,
タングルメントの測定実験 [10][11] も行われた.
∫ dp
しかし非線形項がある分散関係を考える場合には また h(ρ) は h(ρ) = ρ は定義される単位体積あた
Hawking のシナリオ [1] とは異なった方法で mode 関 りの流体のエンタルピーである. p は流体の圧力を表数を構成がなされており (例えば [12][13] を見よ), 分

している. ここで Φ = Φ0 + ϕ, ρ = ρ0 + ρ0 ψ なる展22

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校開を行い摂動の計算を行う. 背景の密度が一様で時(5) の解を図的に表すと図 1 のようになる. v > −1

間依存しないと仮定すれば, 空間 1 次元の場合の摂動となる時 (horizon の外側に対応する漸近領域) では

一次の式 (音波の方程式) は実数解が 4 つ, v < −1 となる時 (horizon の内側に対(∂t + ∂x v)(∂t + v∂x )ϕ − c2 ∂x2 ϕ = 0

応する漸近領域) では実数解は 2 つになり, 残りの 2(3)

つの解は虚数解となる. 分散関係の虚数解は指数関と表せる. ただし c2 = ∂h(ρ0 )/∂ρ は音波の速度を表数的に成長もしくは減衰する mode に対応するが指している. 一方この方程式は ds2 = c2 dt2 −(dx−vdt)2

数関数的に増大する mode は物理的ではないとして除外することにする. v < −1 の漸近領域におけるなる計量の時空中の無質量スカラー場の方程式と同式 (5) の実数解を小さい順に k1− , k2− , 減衰 mode にじ形である. このような計量を acoustic metric と√呼ぶ. v(x) = − xs /x ととると acoustic metric は対応する解を kim , v < −1 の漸近領域における解を+ + + +
Schwarzchild 半径 xs の 1+1 次元 BH を表す Painlevé 小さい順に k1 , k2 , k3 , k4 と呼ぶことにする. mode

計量となる. BH の文脈では −c = v(x0 ) を満たすよ

0.6

うな x0 は horizon と呼ばれる. Hawking 放射のス

0.4ペクトルに現れるのは v(x) の horizon 上における0.2

一階微分の値 (BH の表面重力に対応する) のみであ

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-0.2

り, v(x) の詳細な形にはよらないことがわかってい-0.4

る. v(x0 ) = −c なる x0 (sonic horizon) があるような-0.6

速度関数を持つような流体は, Analogue BH と呼ばれる.

図 1: 分散関係の図示:交点の x 座標が分散関係の解

以降では簡単のため c = 1, ℏ = 1 として, v(x) =となる波数を表す.

−1 + D tanh(κx/D) と表される場合を考える. こ間の Klien-Gordon 内積を調べると, k1− , k1+ に対応すのとき x = 0 が horizon になっており, |x| ≫ 1 でv(x) = const. とみなせる. |x| ≫ 1 なる漸近領域でる mode のノルムが負となっており, k1− , k1+ は反粒式 (3) を時間と空間で Fourier 変換すると

子 mode になっていることがわかる. 各 mode 関数(ω − vk) = k22の群速度を調べると {k1− , k2− , k3+ } に対応する mode(4) 関数が horizon から外に出ていく向き, 他の 3 つのなる分散関係を得る. ただし k は波数, ω は周波数である. 分散関係に(ω − vk)2 = k 2 −mode が horizon に入っていく向きとなっており, それぞれの mode を out mode, in mode と呼ぶことにする. horizon に向かって入射する波束はすべて in

4

k
k02

(5) mode の mode 関数を使って表すことができ, horizonから出ていく波束はすべて out mode の mode 関数なる変更を行うと波数の最大値は k0 となり, 1/k0 よを用いて表される. 故に, in mode と out mode の間

り短いスケールは記述できなくなるため, 流体中の原の関係調べることにより, analogue model における子間距離の効果を取り入れることが可能になる. こ

粒子生成や mode 間 entanglement を解析することがの式を逆 Fourier 変換することで)(∂4(∂t + ∂x v)(∂t + v∂x )ϕ = c2 ∂x2 + x2 ϕk0

可能となる. x ≪ −1 における mode 関数を式 (6) でx ≫ 1 まで発展させた時 x ≫ 1 の mode 関数で展開(6) することができ, mode 関数間の関係を調べることができる. 更に mode 関数の間の関係式を生成消滅演

なる波動方程式を得る. 以降はこの波動方程式の解算子の間の関係式に焼き直すことにより, 以下のよう析を行うことにする. ω を決めたとき, それぞれの漸+な Bogolyubov 変換を得る. ただし â+
3 などは k3 の近領域では式 (5) の解 k を用いれば漸近領域で mode

mode 関数に対応する生成消滅演算子である. また反関数 exp(−iωt + ikx) は波動方程式の解となる. 式

粒子 mode に対応する消滅演算子は生成消滅演算子

23

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で差異はない.|α 一方 ω ∼ ωcutoﬀ での値は k0 = 2 のに置き換えてある.

��=��

場合のほうが大きい. residual of entanglement は
���
���

��=�

��

k0 = 2, k0 = 15 の場合ともに ω ≪ ωcutoﬀ では τ1 ≪

(7)

�

���

�����

���

�����

���

��=�

EN 1:23 であるが, 一方 ω ∼ ωcutoﬀ では EN 1:23 のう

+
+ †
+
â−
2 = α31 â4 + α32 (â1 ) + α33 â2

�����
��-�

��-�

���
��-�

ち τ1 が占める割合は増えている.
���

���

�

�

��-�

���

ω

この時 horizon 外部に放射される粒子数密度は |α12 |2|α�� �
k0=15

���
��

���

�/��
k0=15

���
���

k0=2

�

���

�����

���

�����

���

�����
��-�

Numeriacal Calculation��� ��� ���

ω

���

����

により表される.

3

�/��

���

��=��

���

+
+ †
+
â+
3 = α11 â4 + α12 (â1 ) + α13 â2
+ †
+
+ †
â−
1 = α21 (â4 ) + α22 â1 + α13 (â2 )

�

��

����

��-�

���

���

�

�

k0=2

���
��-�

��-�

���

ω

��� ��� ������ω

数値的に微分方程式 (6) を解き, 式 (7) 中の Bo-

図 2: 放射スペクトル; 右は分散関係が線形となる場

golyubov 係数の決定を行い, その Bogolyubov 係数

合の Hawking 温度と放射の温度の比を取ったもの

から放射粒子のスペクトル, out mode 間の negativ-

ity, residual of entanglement の解析を行った. negativity は N = (||ρP T || − 1)/2 に定義される量であり, N > 0 のときに系は entangle している. ここで√||A|| = T r A† A であり, ρP T は密度行列を部分転置した行列を表している [14][15]. log negativity は

EN = log(2N + 1) により定義されこの量が正である
時, 系は entangle している. また residual of entan-

図 3: 3 体の log negativity

glement は τi = EN i:jk − EN i:j − EN i:k により定義されており, τi > 0 のとき i の関与する entanglement
は 2 体間の entanglement に分割できない entangel-�����ment を含む [16]. i, j, k は mode を指定する index で������������� ������������ �� =��

τ�
τ�

τ�

����

τ�

����

�����

系を i と {j, k} に分割したときの 2 つの系の間の log

����

τ�

�����

あり {i, j, k} は互いに異なるように取る. EN i:jk は�������� ������������ �� =�

����

τ�

�� × ��-�����

negativity である. また EN i:j は k 系を traceout し�� × ��-�

�

�

�

�

�

����
���

���

���

���
ω

ω

���

���

���

た時の i, j 系間の log negativity を表す.
簡略化のため以降は k3+ , k1− , k2− をそれぞれ 1,2,3

図 4: residual of entanglement
!⇠0

a1

a1

と書くことにする. 数値計算では D = 0.7, κ = 7 とa3

して k0 = 2, 15 においてそれぞれ解析を行った. 粒子=! ⇠ !cutoff
a1を入れた影響で周波数にも cutoﬀ 周波数 ωcutoﬀ が現 4れている. k0 = 15, ω ≪ ωcutoﬀ のときには線形な分

Discussion

=

a1
a3

a2

a3
a2

a1
a3

a2

+

a2

a2

の放射スペクトルは図 2 のようになる. 波数に cutoﬀ

a1
a3

+

a3
a2

数値計算の結果 ω ≪ ωcutoﬀ の場合には放射は熱的散関係の場合と一致している. 一方 k0 = 2 のときはになり, さらに k0 > κ の場合には放射の温度は線形なω ≪ ωcutoﬀ のときには熱放射になっているがその温 分散関係の場合の温度に近づくことが示された. 一方
度は線形な分散関係の場合と異なっている. 3 体間 で k < κ となるような場合には線形な分散関係と放0の log negativity 及び residual of entanglement は図射の温度がずれることがわかった. {1:3} の間に mode
3 及び図 4 である. horizon の外側への放射スペクト 間 entanglement は存在しないことは示すことができ
ルに関係するものは EN 1:23 及び τ1 である. EN 1:23 る. ゆえに {1:23} なる mode 間 entanglement を考の ω ≪ ωcutoﬀ の振る舞いは k0 = 2, k0 = 15 の間えた時, この entanglement は {1:2} 間で共有される

242021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
entanglement と 3 体の間で共有される entanglement [12] S.J.Robertson 2012, J. Phys. B At.Mol. Opt. Phys.
45, (2012) 163001.

の合計となっている. entanglement の観点からスペクトルを見ると, 2 体間で entanglement を共有するほうが 3 体間で entanglement を共有するよりも {1:23}[13] S. Corley, T. Jacobson 1996,Phys. Rev.D 54, (1996)
1568–1586.
[14] A.Peres 1996,
1413–1415.

の entanglement は大きくなるため, ω ≪ ωcutoﬀ では {1:23} の entanglement は最大値に近づき熱的な

Phys. Rev. Lett. 77,(1996)[15] P. Horodecki 1997, Phys. Lett. A 232, (1997)
333–339

スペクトルが現れており, 一方で ω ∼ ωcutoﬀ では

3 体間 entanglement の割合が増えたため {1:23} のentanglement は最大化されなくなり熱的なスペクト[16] G. Adesso and F. Illuminati 2006, New J. Phys. 8,(2006) 15.
[17] Y.Nambu, Y.Osawa 2021, Phys. Rev. D 103,
125007.

ルが現れなくなったと考えられる. k0 = 2 のとき放射の温度が下がっているのは cutoﬀ の効果によりhorizon の外側に放出できるエネルギーの総量に制限がついてしまったからだと考えられるが, この部分をより明確にすることは今後の課題である.

Acknowledgement
本講演は南部保貞准教授との研究に基づいたもの
です. 南部保貞准教授には研究内容についてのみな
らず, 物理学や研究に対する姿勢なども日々学ばせていただいています. 日頃の議論及びご指導に感謝申し上げます.

Reference[1] S.W.Hawking 1975, Commun. Math. Phys. 43,(1975) 199–220.
[2] W.G.Unruh 1995, Phys. Rev. D 51, (1995)
2827–2838.
[3] W. Unruh, R. Schützhold 2005, Phys. Rev. D 71,(2005) 024028.
[4] R. Brout, S. Massar, R. Parentani, & P. Spindel
1995, Phys. Rev. D 52, (1995) 4559–4568.
[5] Jean MacHer,Reanud Parentani 2009, Phys. Rev.D
79, (2009) 124008.
[6] L.J.Garay, J.R.Anglin, J.I.Cirac, & P.Zoller1 2000,
Phys.Rev.Lett.(2000) 85(22) 4643-4647[7] B.Horstmann, B.Reznik, S.Fagnocchi, & J.I.Cirac
2010, Phys. Rev. Lett., 104, 250403, (2010)[8] X. Busch, R. Parentani 2014, Phys. Rev. D 89,(2014) 105024[9] Jeﬀ Steinhauer 2015, Phys. Rev. 92, 024043 (2015)[10] Jeﬀ Steinhauer 2016, Nature 12, 959-965 (2016)[11] Juan Ramón Muñoz de Nova, Katrine Golubkov,
Victor I. Kolobov & Jeﬀ Steinhauer 2019, Nature
569,688–691 (2019)25

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重宇 6

超伝導体から見るブラックホール像
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
郭 優佳

26

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

超伝導体から見るブラックホール像
郭優佳 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
本研究では、3+1 次元 漸近 AdS-Schwarzchild 時空中の Einstein-Maxwell 理論においてゲージ場が作る像を計算する。この理論は AdS/CFT 対応において、超伝導体の QFT の重力双対であると考えられている。
本研究で構築した像は photon ring 半径と一致しており、超伝導体の QFT の背景にある時空の性質を反映する。また、超伝導体の 2 次相転移に相当する像の変化が見られた。

1

はじめに

明し、5 章でその結果を示す。最後にまとめをする。

AdS/CFT 対応とは、「漸近 AdS 時空の重力理論」と「AdS 境界上の QFT」が等価であるという仮説で2ある。重力理論における場の運動は、運動方程式とAdS 境界上の境界条件によって決まる。ここで、AdS境界における場の値 (境界条件) を外場とする QFT

Sch-AdS4 におけるEinstein-Maxwell 理論
まず、Sch-AdS4 計量は以下で与えられる。
[]
dr2gµν = diag −F(r),, r2 , r2 sin2 θF(r)を考える。外場に対するカレントは、AdS 境界における場の漸近解の展開係数 (傾きなど) に比例することが愚直な計算から示せる。QFT の外場に対応する

r2
rh
F (r) = 1 + 2 −Lr

場の境界値を source、カレントに対応する場の展開
係数を response と呼ぶ。

(

r2
1 + h2
L

(1)

)
(2)

AdS/CFT 対応のモデルの 1 つに、「3+1 次元 漸

ただし rh は horizon 半径。複素スカラー場を Ψ、ゲー

近 AdS-Schwarzchild 時空 (Sch-AdS4 ) 中の Einstein-

ジ場を Aµ とし、重力場 gµν を背景場として扱うとMaxwell 理論」と「超伝導体の QFT」の対応が挙げ する。この時、Sch-AdS4 における Einstein-Maxwell
られる。この重力双対はホログラフィック超伝導体と 理論のラグランジアン密度は以下で与えられる。
呼ばれ、超伝導体理論の新たな側面として物性分野

2|Ψ|21
L = − Fµν F µν − Dµ Ψ(Dµ Ψ)∗ +4
L2

でも注目されている [1]。しかし、ホログラフィック
超伝導体は電流が発散する振る舞いを見せるものの、実在する超伝導物質を記述しているかどうかは不明(3)

ただし Fµν ≡ ∂µ Aν −∂ν Aµ は電磁場テンソル、Dµ ≡∇µ − iAµ はゲージ共変微分である。以下では L = 1

である。先行研究では、QFT の物理量から photon

ring を構築する手法が提案された [2]。本研究ではこ

とする。
35

れをホログラフィック超伝導体に応用し、超伝導体

ρ=26.08830

ρ=32.527の観測量から photon ring を構築する手法を考える

25

Ψ (2)

[3]。これにより、実在する超伝導体の背景に重力理論があるかどうかを検証できると期待する。本研究ρ=39.732

20
15
10は村田佳樹氏、辻村潤氏との共同研究である。

5

構成は以下のとおりである。2 章では、Sch-AdS40

時空中の Einstein-Maxwell 理論とその静的解、本研究のセットアップについて説明する。3 章では、ゲージ場の線形摂動解を考える。4 章で像の構築方法を説

27

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

T

Figure 1: Ψ(2) の Hawking 温度依存性

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校(A) スカラーヘアがある場合/無い場合の Sch-AdS4ゲージ場とスカラー場の運動方程式はDµ Dµ Ψ + 2Ψ = 0

を背景時空として用意する。(図 2 の左側)

(4)(B) AdS 境界上の南極に単振動する局所的な光源を∇ν F νµ = J µ
(5)
(
)
∗
と書ける。ただし J µ ≡ i Ψ∗ Dµ Ψ − Ψ (Dµ Ψ) 。

2.1

source として置き、そこから伝播するゲージ場
を摂動計算、ゲージ場の response を求める。

(C) AdS 境界上の θ = θobs に観測点を設け、光源

静的解から伝播する電磁場をレンズを通して観測する。

(B) で求めた response を観測量と定義し、レン(4),(5) を満たす静的解を構築しよう。Ψ = Ψ(r)、ズ公式を適応して像を構築する。(図 2 の右側)

Aµ = Φ(r)δ tµ を運動方程式へ代入すると()

F (r)′
2
+
Ψ(r)′
F (r)
r
Φ(r)2
2
+
Ψ(r) +
Ψ(r) = 0
F (r)2F (r)2
2Ψ(r)2
Φ(r)′′ + Φ(r)′ −Φ(r) = 0rF (r)Ψ(r)′′ +手順 (A) のために、まずパラメータ rh , ϵ を指定する。

ϵ > 0/ϵ = 0 の場合に式 (6)(7) を解いて静的解を作り、これを背景場とする。次の章で手順 (B) につい(6)て説明する。

(7)を得る。無限遠方での漸近解は

3

Ψ(1)
Ψ(2)
Ψ(r → ∞) =+ 2 + ··· ,rrρΦ(r → ∞) = µ − + · · ·rの形で与えられる。境界条件として
Ψ(rh ) = ϵ, Ψ(1)

この章では手順 (B) の通り、ゲージ場の線形摂動(8)を計算する。その際、南極の光源に対応する境界条

(9)

件を課す。
スカラー場 Ψ の摂動を δΨ、ゲージ場 Aµ の摂動を(10) ∆Aµ とする。式 (4)(5) より、線形摂動方程式は= 0,

Φ(rh ) = 0, Φ′ (rh ) =

線形摂動解

q
rh2

(11)

D2 δΨ +2δΨ = 2iδAµ Dµ Ψ + i(∇µ δAµ )Ψ (12)L2を課す。これより rh , ϵ, q の 3 つのパラメータ系列解を得る。ここで (6) を rh 付近で展開すると Ψ(rh ) =∇ν δF νµ = δJ µ′−(3/2)rh Ψ (rh ) の拘束条件を得るため、解は 2 つのパラメータ系列になる。今回は rh , ϵ の 2 つのパラである。ただし、δJ µ ≡ i(δΨ∗ Dµ Ψ − δΨ(Dµ Ψ)∗ +Ψ∗ Dµ δΨ − Ψ(Dµ δΨ)∗ ) + 2Ψ2 δAµ 。

メータを指定して数値解を構築する。

(13)

図 1 に、Ψ(2) の Hawking 温度依存性をプロットした。転移温度 Tc 以上でブラックホール周りの静的ス
カラー場が凝縮する様子が見られる。さらに Tc 以下の場合に時間に依存しないゲージ場の摂動を計算す
ると、AdS 境界上の電流が発散することが知られている [1]。これより、スカラーヘアの有 (ϵ > 0)・無(ϵ = 0) が超伝導相・常伝導相に対応すると考えられており、Sch-AdS4 Einstein-Maxwell 理論がホログラ
フィック超伝導体と呼ばれる所以である。
以下では、超伝導相・常伝導相それぞれに対応する系の光子球の像を構築していく。具体的なセットアップを図 2 に示した。手順は以下のとおりである。

28

Figure 2: Caption

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
次に摂動場をスカラー球面調和関数 Ylm (θ, φ) とベていることになる。以上より、式 (18) を αl について

クトル球面調和関数 (Ylm (θ, φ))i でモード展開する。 数値的に解き、(17) へ代入して線形摂動解を得る。
ベクトル球面調和関数は

式 (18) より、解の漸近形は(Ylm (θ, φ))i = ϵij D̂j Ylm (θ, φ)(14)

αl (r → ∞) = 1 +で定義されていて、i, j, · · · = {θ, ϕ} は単位球面 S 2
上の座標、D̂i は単位球面 S 2 上の共変微分を表す。まαl(1)+ ··· .
r

(20)と展開できる。漸近解の展開係数を用いて、responseは以下で与えられる。

た、後で単振動・軸対称な境界条件を課すため、摂動場の時間依存性は e−iωt 、また φ 依存性はないもの⟨JiV (t, θ)⟩ = e−iωtiとする。さらにゲージ条件として、D̂ δAi = 0 を課∞∑

cl αl(1) (Yl0 (θ))i

(21)

l=1

す。これより、各摂動場は以下のように展開できる。

δΨ = e−iωt∑lδAµ = e−iωtcl ψ l (t, r)Yl0 (θ),

∑

4

(15)

[
cl δ aµ ala (r)Yl0 (θ)

l+δ iµ αl (r)(Yl0 (θ))i]

像の構築
この章では手順 (C) に従い、前章で計算された re-sponse から像を構築する。
まず response から作った適当な実スカラー量を観(16)

ただし cl は重ね合わせの係数、a, b, · · · = {t, r}。今回はページ数の都合上、ベクトル球面調和関数で展開できるベクトルモード摂動のみ紹介する。

測量として定義する：
[ iωt
]
e
V
ij
V
O (θ) ≡ Im
ϵ D̂j ⟨Ji (t, θ)⟩
λl
[∞
]
∑
l(1)
= Im
cl α Yl0 (θ)

(22)
(23)

l=1

3.1

ベクトルモードの摂動解

ここで、電気抵抗に共役な量として虚部を選んだことに注意しよう。外部電場は非自明なベクトルモードの摂動は

δAi = e−iωt∞∑cl αl (r)(Yl0 (θ))i

Ei = Re [−δFti ] ∝ sin ωt

(17)

(24)

[
]
と与えられ、これは Im ⟨JVi (t, θ)⟩ と同位相である。

l=1のみである。式 (13) より、αl の従う方程式は
(
)
]
[ 2
λl
d
2
2
−
+ 2Ψ F (r∗ ) + ω αl (r∗ ) = 0 (18)dr∗2r2

これより response の虚部がジュール熱に寄与するた
め、これが電気抵抗に共役な電流である。
（responseの実部、虚部は t → t + 2π/ω と時間を再定義すれば入れ替わるので、虚部であること自体に意味はない。）

で与えられる。ただし λl ≡ l(l + 1)、Ψ は 2 章で求∫rめたスカラー場の静的解である。r∗ ≡ ∞ 1/F (r)dr

次に OV (θ) をレンズを通して観測したときに見える像について考えよう。具体的には、AdS 境界上のは亀座標を表し、r = rh ↔ r∗ = −∞, r = ∞ ↔

θ = θobs , ϕ = 0 の観測点に小さなパッチを取り、そr∗ = 0 に対応する。また境界条件として、ingoingの上の OV (θ) を測定する。さらに 3 次元ユークリッ

条件 dαl /dr∗ |r=rh = −iωαl |r=rh と、規格化条件

ド空間内に仮想的な観測系をおく。この観測系には

αl |r=∞ = 1 を課す。ここで cl を[]∑
1
(π − θ)2
cl Yl0 (θ) =exp−≡ g(θ) (19)
2πσ 2
2σ 2

半径 d のレンズと焦点距離 f の半球面スクリーンが設置されている（図 2 の右側）。OV (θ) の測定値をレンズへ入射する平面波として観測系にコピーしよう。

l

レンズによって屈折した波の振幅は、d ≪ f の仮定を満たすように決める。これにより境界値 δAi |r=∞は、θ = π に局在した Gaussian が振動数 ω で振動しの下で Fourier-Fresnel 公式によって与えられる：∫I V (⃗xs ) =OV (⃗x(θ, φ)) eiω⃗x·⃗xs /f
(25)
|⃗
x|≤d

29

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ϵ=0.0

ϵ=30.0ϵ=40.0Figure 3:
photon ring(ϵ=0.0)
photon ring(ϵ=10.0)
photon ring(ϵ=40.0)

ベクトル

モ ー ド 摂 動 の 像 。赤 、
青 、緑 の 点 線 は ϵ=0.0, 30.0, 40.0 の場合のphoton ring 半径。

ϵ=0

ϵ=30

ϵ=40

8000

8000

8000

6000

6000

6000

l-value

2000

l=42
l=47
l=52

4000

Veff (r*)

l=46
l=51
l=56

4000

Veff (r*)

Veff (r*)

50

2000

40

l=10
l=19
l=24

4000

30

2000
20

0

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

r*

0.0

0

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0

0.0

-3.0

-2.5

r*

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

r*

0.0

10

Figure 4:ϵ = 0.0, 30.0, 40.0 の場
合の有効ポテンシャル。
黒い線は ω = 80 を表
す。

ただし、⃗
x は AdS 時空内の S 2 のパッチ上の座標 (θ, ϕ)

効ポテンシャルの極大をかすめて跳ね返される運動を、観測系の平面レンズ上へ射影したときのデカル

は、ブラックホール周りを n(≫ 1) 周する光路、n + 1

ト座標で、⃗
xs は半球面スクリーン上に張ったデカル

周する光路 · · · など、密な多数の光路に対応するたト座標。これより、I (⃗xs ) をプロットすれば光源かめ、この場合の l モードが像へ最も寄与すると考えらの光がレンズを通して作った像を構築できる。

られる。これより、スカラーヘアが大きくなると有V

効ポテンシャルを底上げし、小さい l モードが像へ寄与するため像が小さくなることが分かる。さらに5

結果

ϵ ≳ 35 まで大きくすると、急激に像が小さくなる振I V (⃗xs ) のノルムを図 3 にプロットした。パラメー
タは rh = 0.3, ϵ = {0, 35, 41} と設定した。その他、

ω = 80, d = 0.5, σ = 0.01, θobs = 0◦ とした。

る舞いが見られる。これは有効ポテンシャルの極大
値が、重力ポテンシャルの頂点からスカラーヘアのポテンシャルの頂点へ遷移するためである。

像はリング状になるが、これは系の軸対称性から

6自明である。注目すべきは、リングの半径と geodesic
近似から計算される photon ring の半径が一致することである。これより I V (⃗xs ) の像は photon ring に対応しており、時空の性質を捉えていることが分かる。
像の ϵ 依存性に着目する。ϵ = 0 の常伝導相の場合

まとめ
本研究は、Sch-AdS4 時空中の Einstein-Maxwell 理論におけるゲージ場の photon ring を計算した。背景にスカラーヘアがある場合とない場合について、ゲージ場のベクトルモード摂動を計算し、レンズをには、スカラーヘアのない Sch-AdS4 時空の photon

通して見える像を構築した。ベクトルモードの像はring が反映されている。ϵ > 0 の超伝導相では、ϵ をスカラーヘアの有無に応じた変化が表れ、超伝導体
大きくするにつれてリング半径は徐々に小さくなる。
の 2 次相転移を反映していると考えられる。
このリング半径の変化は超伝導体の 2 次相転移を反Reference

映している。重力理論としてこの転移を理解するには、有効ポテンシャル（図 4）を考えるのが良い。式(18) より、ゲージ場の有効ポテンシャルは()
l(l + 1)
2
Veﬀ (r∗ ; l, ϵ) =+2ΨF (r∗ )
r2

1. S. Hartnoll, C. Herzog and G. Horowitz,
Phys.Rev.Lett., 101, 1-4, 2008
2. K. Hashimoto, S. Kinoshita and K. Murata,(26)

Phys. Rev. D, 101(6):66018, 2020
3. Y. Kaku, K. Murata and J. Tsujimura,

で与えられる。方位量子数 l の大きさは像の大きさ

arXiv:2106.00304 2021と対応している。また、電磁場のエネルギー ω が有30

——–index へ戻る

重宇 7

Complementarity と Firewall
京都大学 理学研究科物理学宇宙物理学専攻
脇 隆浩

31

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Complementarity と Firewall
脇 隆浩 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
以下の仮定を満たす理論は存在するだろうか。1.BH の形成・蒸発過程は遠くの観測者から見ると標準的な量子力学で記述される。特に Unitary 性を仮定する。2. 大きな BH の stretched horizon の外側は、semi-classical な QFT で記述できる。3. 遠方の観測者 (以下 Bob) には状態空間の次元は Bekenstein-Hawking
エントロピーの指数で与えられる。4. 自由落下する観測者 (以下 Alice) は event horizon で何も特別なことを観測しない。1 と 4 は一見すると以下の思考実験により矛盾している。Alice が量子情報を持って event

horizon に飛び込む状況を考える。4 によりその量子情報は event horizon で破壊されない。また 1 によりその情報は Hawking radiation によって Bob に返却される。つまり Alice と Bob が同じ量子情報を持ち量子クローニング禁止定理に反するように見える。しかし、単一の観測者が矛盾を確認できない場合は矛盾してもよいとする仮説（Complementarity）を採用すればこの矛盾は回避できる
ところが、仮定の矛盾を単一の観測者が見てしまうという主張が AMPS らによってなされた。この主張の趣旨は 123 を仮定すると Alice は高エネルギーのモード (Firewall) に horizon 近傍で出会い、4 に矛盾するというものである。
本稿では論文 (Susskind et al. 1993)(Polchinski et al. 2013) に基づき、Complementarity と Firewall についてレビューする。

1した。この主張の趣旨は自由落下する観測者は高エIntroduction
一般相対論に現れるブラックホールは一度中に入った物体は外に出ることのできない対象である。しかネルギーのモード (Firewall) に horizon 近傍で出会
い、等価原理を破棄しなければなければならないというものである。また同じ結論を量子もつれのモノ

し、半古典的な重力理論を使い、量子効果を加味す

ガミー性を用いることでも導くことができる。

ることで、ブラックホールから熱的なスペクトルを

本稿ではまず、ブラックホール情報パラドックス

持った粒子が飛び出てくることを Hawking は示しについてレビューをする。次に Page curve を後のた。Hawking はさらに議論を進め、ブラックホール

議論で必要であるので導入する。最後に本題であるの形成蒸発過程において、情報が失われると結論した (Hawking 1976)。これが「ブラックホール情報パ

Complementarity と Firewall についてレビューする。

ラドックス」といわれるものである。つまりユニタ
リ性は失われる。

2

これに対する一つの解答が Susskind 達によって提ブラックホール情報パラドックス

唱された Complementatrity という仮説である。こブラックホールの蒸発はホライズンよりわずか外れは一人の観測者が理論の矛盾を見ない限りは、理側で対生成が起こり、負のエネルギーを持った粒子が論は無矛盾であるとする仮説である。この仮説におブラックホールに落ち、正のエネルギーを持った粒子

いてユニタリ性と等価原理の両方が許容される。

が遠方に飛び去る（Hawking 放射）ことで起こると

しかし、Polchinski 達は Complementarity は十分考えられる。しかし古典的なブラックホールでは物

でない、つまり単一の観測者が理論の矛盾を見ると質はブラックホールのホライズンにはないため、粒子いうことを主張する「AMPS パラドックス」を提唱

はその物質の情報をブラックホールの外側に持ち去

32

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ることができない。そのため、情報を取り返すために

Page time 以前の radiation（early time radiation)

は、イベントホライズンよりわずか外側に stretchedと以後の radiation(late time radiation) ではもつれて

horizon と呼ばれる量子的な情報が刻まれた構造を用 いるパートナーの自由度の所在は異なる。early time
意する必要がある。stretched horizon は遠方の観測

radiation はブラックホールともつれている。対して、者にとって実体としてふるまうが、等価原理より自由

late time radiation は early time radiation ともつれ落下する観測者はそれを見ないことを要請する。そることによってエンタングルメントエントロピーをうすることで情報が返ってくるとしよう。

減少させている。一般に混合状態にある量子状態に

しかしこれは単純に考えると、量子クローニング

対して、それのパートナーとなる自由度を用意するが起こっているように見える。以下の論理でそれがことで純粋状態に近づけることを purify と呼ぶ。つわかる。まず量子ビットを持った観測者（アリス）がまり、今回のケースでは late time radiation は early

イベントホライズンの中に飛び込む。情報はホーキ

time radiation を purify している。

ング輻射に乗って遠方の観測者（ボブ）に帰ってくる。これら二人の観測者は同一の同時刻面に乗せることができ、量子クローニングが起こってしまう。その解決策が後述する Complementarity である。

3

Page curve
少し話は逸れるが、Page curve についてレビューする (Page 1993)。ホーキング輻射により時間がた
つにつれて、ホライズンの面積は小さくなっていく。
ベッケンシュタインエントロピーはホライズンの面

図 1: Page curve と呼ばれるエンタングルメントエ

積に比例する。そして、これを指数の肩に乗せたもントロピーの時間変化を視覚化した曲線であるのはブラックホールの状態空間の次元であるとする。
したがって、ブラックホールの状態空間の次元は放射に伴ってどんどん減っていく。そしてその自由度

4はホーキング輻射に移っていると考えられる。そうして Hawking 輻射を記述する状態空間の次元は増えていく。

Complementarity
以下の四つの仮定すべてを満たす理論は存在できるだろうか。

Page は System が典型的な状態であることを仮定
1. Unitarity：System の時間発展はユニタリ演算子

して、輻射のエンタングルメントエントロピーを計で記述できる。

算した。
（全体で純粋であるのでブラックホールのエ
ンタングルメントエントロピーも同じ値になる）そ2. 大きいブラックホールの stretched horizon の外うすると、状態空間の次元が一致するとき、エンタは半古典的な重力理論で記述される。

ングルメントエントロピーは最大になり、蒸発しきったとき 0 になることがわかる。エンタングルメント

3. eSBekenstein ≃ dim(HBH ) が成り立つ。

エントロピーが 0 になるというのは系が純粋状態に

4. No drama:自由落下する Observer は何も感じなっていることを意味している。エンタングルメン

ない。

トエントロピーが最大になる時刻のことを Page timeといい、ブラックホールの蒸発時間の半分程度にな

前に見た通り、そのような理論はナイーブには、量る (図 1 参照)。

子クローニングを引き起こしてしまう。そこで単一の観測者が物理法則の矛盾を見ない限りは大丈夫で

33

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
あるとしよう（Complementarity）。そうすると上記

5

Firewallの四つすべてを満たす理論はいくつかの思考実験にComplementatrity を採用することで上記の思考実

おいて整合している。そのうちの一つの思考実験を験においては物理法則は矛盾を回避している。しか見よう (Susskind 1993)。

し、より精密に考えると、回避できることがわかる。

一人（Bob）はある時刻までホライズンの十分遠方

以下の思考実験を考えよう。

に留まり、一人（Alice）は量子ビットをもって earlytime のホライズンに自由落下する状況を考える。Bob
は Alice がもっていた量子ビットが Hawking 輻射に乗って帰ってくるまで待つ。radiation が purify され

5.1

一つ目の導出るのは page time 程度であるから、Bob が量子ビット

まず観測者は early time radiation を一つ受け取る。

を手に入れるのは少なくとも page time たった後であ先ほど述べた通り、ある early time radiation とあるる。先ほどした思考実験とここまでは同じであるが、 late time radiation はエンタングルメントしている。
まだ単一の観測者が矛盾、この場合は特に cloning を このことから、観測者はその early time radiation からある late time radiation を予測することができる。

見ていないので大丈夫である。
しかし、Bob が輻射を受け取った後、horizon に飛

これは early time radiation が late time radiation にび込む状況は危ういように見える。Alice が Bob に

よって purify されるという描像に基づくため、ユニ

むけて自分が持ってる量子 bit の情報を飛ばすことタリ性を暗に仮定している。その late time radiation

で、Bob は同じ状態の量子 bit を二つ持つことになの遠方での周波数はブラックホールの温度程度であり量子クローニングに成功するからである。ところ

るはずである。それの周波数がホライズン付近ではが、Alice が Bob に向けて情報を発信できる時間はどのようであったのかは半古典的な重力理論を使っ計算すると M exp(−M 2 ) 程度であるので、その通信て、逆向きに時間発展させればわかる。そして観測者の周波数は最低でもその逆数程度必要であり、プラはそれが激しく blue shift することを予測する。つまンクエネルギーを優に超える。この通信の時空へのり、観測者はホライズン付近で高いエネルギーの輻

反作用により、ボブへの通信は妨げられると考えら

射 (Firewall) に出会うと予測する。しかし、観測者れる。よってクローニングは起こらないと考えられが自由落下してホライズンに飛び込むとすると、高る (図 2 参照)。

いエネルギーの粒子に出会うことは no drama の仮定に反する。したがって単一の観測者が仮定の矛盾を見てしまう (図 3 参照)。

5.2

二つ目の導出

同様の結果が異なる論理で導ける。まず領域をブ
ラックホール A、ホライズンの近く B （2M < r <3M ）、それ以外 R という風に分割する。early time
においては放射とブラックホールが強くもつれている
ため、A と B は強くもつれている。また Minkowski
図 2: クルスカル時空のペンローズダイアグラムの一

時空の真空状態において、分割した二つの領域は強部である。オレンジの線が Alice と Bob の軌跡であ

くもつれている。大きいブラックホールにおいてはイるが、その間に Alice は Bob に信号を送らなければ

ベントホライズンはほとんど平坦であり、Minkowski

ならない。しかし、オレンジの線の固有時間はプラ時空と同じ様な構造をしておいてほしいのでこれはンク時間より短い。

自然である (図 4 参照)。

34

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
では late time においてはどうだろうか。late time

否定する仮説である Firewall についてレビューした。

radiation と early time radiation は先述の通り強くFirewall は等価原理の破れを含むため、情報パラドッ

もつれている。つまり、領域 B と R は強くもつれ

クスの満足な回答になっているとは言えず、さらなている。したがってモノガミー性より、B と A はもる進展が期待される。

つれていない。これは Minkowski 時空における真空の構造と大きく異なる。よって、何らかの励起状態

Reference（Firewall）にあると考えられる。

Hawking, S. W,Phys. Rev. D,14, 2460(1976).
L.

Susskind, L. Thorlacius,arXiv:9306069v2(1993).

and

J.

Ugrum,

A. Almheiri,D. Marolf,J. Polchinski,and J. Sully,
arXiv:1207.3123v4(2013)
Don N. Page arXiv:gr-qc/9305007
L. Susskind, L. Thorlacius arXiv:hep-th/9308100(1993)

図 3: エディントンフィンケルシュタイン図に観測者が予測する late time radiation の波束の運動を記した。

図 4: ペンローズダイアグラムの一部である。黒い線
はイベントホライズンである。領域を 3 つに分割し、それらの間のエンタングルメントに着目する。

6

結論
本稿では、Hawking 輻射が情報を取り出すことがどのように物理法則への修正を要求するか見た。具体的にはその仮説として Complementarity とそれを35

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重宇 8

ブラックホール熱力学と高階微分重力理論
京都大学 理学研究科物理学宇宙物理学専攻
鳥羽 修平

36

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール熱力学と高階微分重力理論
鳥羽 修平 (京都大学大学院 基礎物理学研究所)

Abstract
本稿では [1] をレビューする．今まで一般相対性理論を拡張した理論として修正重力理論が精力的に考えられてきた．今回はその新たなアプローチとして，熱力学的な観点から修正重力理論を導くことを試みる．
この背景には Einstein 方程式が熱力学的な関係式から状態方程式として導くことができる [2] という事実があり，本稿ではそれに倣って状態方程式として修正重力理論の方程式を導けることを見る．

1

程式を導くことを試みる．そしてその結果として導Introduction
一般相対性理論は多くの実験事実と一致する結果を導いているが，宇宙の加速膨張の起源等についてかれた状態方程式から具体的に Lovelock 重力理論等が導かれることを見る．

は説明仕切れていない．そこで，Einstein 方程式を導く Einstein-Hilbert 作用は計量の最低次の微分項しか持たないが，良い性質を保ちつつ高階微分項を準備

2

この節では，計算のために必要な概念の定義をする．

含ませることでこれを拡張した修正重力理論を考えることができる．一方，修正重力理論を熱力学的な要請から求めるという考え方がある．その考え方に至るまでには以下のような背景がある．

2.1

Local Causal Horizon

まず一般相対性理論において，ブラックホール (BH)Σp を時空点 p を通る測地線で生成される任意の小に対し熱力学に類似した法則が成り立つ．そのうちさな spacelike D −2 次元面とする．Σp 上の各点におの一つに，BH のエントロピー S ，温度 T ，エネル

いて，Σp に垂直なヌルベクトルが独立に 2 つ存在し，

ギー Q の関係を表す Clausius の関係式

それらを k a , la (ka la = −1) と置く．これらが接する

δQ = T δS(1)

測地線を Σp の全ての点で考えると，それらの測地線から 2 つの超曲面が生成される．その一方 (今回はがある．BH のエントロピーと温度は BH の境界で

k a の接する測地線で生成される超曲面) のうち過去あるイベントホライズンに関する量で表される．さの部分を Local Causal Horizon(LCH) と定義する．

らにこの関係は一般相対性理論において定義される
他の種類のホライズンでも成立する．
それとは逆に，エントロピーと温度の式，そして2.2

Null Normal Coordinates(1) を仮定して Einstein 方程式を導くことができる

Σp 上の座標をまず定義する．点 p 上で D − 2 個の[2]．この導出は丁度熱力学における状態方程式の導D−2
正規直交ベクトル {eaA }A=1を選ぶ．Σp は {eaA } が張出と類似しているため，Einstein 方程式を状態方程る空間上のベクトルが接する測地線により生成され式と考えることができる．また，この議論は重力理る．その測地線上の点 q と点 p のアフィンパラメー論の背後により基本的な理論として熱力学が存在す

タ単位の距離を s，点 p での単位接ベクトルを v a とる可能性を示唆する．

a
して，xA eA= sv a として D − 2 次元の座標 xA を

以上を踏まえ，本稿ではこの宇宙を表す重力理論

定める．同様に，k a , la に接する測地線のアフィンパは熱力学的な性質を満たすという立場を取り，熱力ラメータ単位で残りの 2 次元分の座標 (U, V ) を定め

学から状態方程式として高階微分を含む重力場の方37

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
る．ここで，k a に対応するのが V ，la に対応するの

p を通る LCH の generator である．これを central

が U とする．

horizon generator と呼ぶ．

以上により，点 p の近傍点 r の Null Normal CoorA
dinates(NNC) が xα
r = (U, V, xq ) が定められる．こ

2.4の座標を用いると，LCH は U = 0 かつ V ≤ 0 の領域となる．

局所 Killing ベクトル

熱とエントロピーを計算するために Killing ベクト
a尚，NNC は k の自由度を用いて，点 p においてルを考える必要がある．しかし曲がった時空では全て局所慣性系になるように出来る．以下はそのようなの点で正確に Killing 方程式を満たすようなベクトル

NNC を取っていることとする．

は一般には存在しない．ゆえに，点 p で正確に Killing
ベクトルであり，点 p の周りで近似的に Killing ベク

2.3

トルであるようなベクトルとして局所 Killing ベクト

Horizon sciles

ルを考えたい．そのために，Σ, Σ0 を十分小さく取れ出発点は Clausius の関係式

δQ = T δS

ば central horizon generator Γ 上からの寄与が支配的だと考え，Γ 上で以下の 3 つの条件を課す．

(2)である．ここで，δQ は LCH に流入する熱，T =ξ α |Γ

=Ṽ δVα + O(Ṽ 2 )(3)ℏ/2π(通常 BH 熱力学では表面重力を κ として T =∇(α ξβ) |Γ=(Ṽ 2 )

(4)=(Rδαβγ ξδ )|Γ + O(Ṽ 2 )(5)ℏκ/2π であるが，ここでは κ = 1 と規格化しているとする)，δS は LCH 上でのエントロピーの変化であ∇α ∇β ξ γ | Γ

るから，ある時間でのエネルギーとエントロピーを

ここに Ṽ = V − V0 である．以下，式 (3),(5) は Γ 上計算するための LCH 上の spacelike な断面を考える

で O(Ṽ 2 ) = 0 となることを示す．アフィン接ベクト必要がある．しかし，ここでは点 p の十分近傍を考ル v a を持つ測地線上でベクトル場 ζ a が Killing 恒等えるので，V =(定数) 面同士の変化ではなく，図 1

式を満たすとすると，その両辺に v a v b を掛けて縮約のような Σ, Σ0 上での差を考えることにする．

を取ることでv a ∇a (v b ∇b ζc ) = Rdabc ζ d v a v b(6)が成り立つ．これは二階の線形常微分方程式であるから，ζ a と v b ∇b ζ a の初期値が分かれば解が一意に定まる．測地線の任意のアフィンパラメータを s とすると，s の二階 v a 方向微分が 0 であるので，sv a は解である．故に，1 つの点で ζ a = sv a ，v b ∇b ζ a = v a が成立すれば測地線上で常に ζ a = sv a な事が分かる．
ここで，ξ a = Ṽ k a を考えると，点 p0 で ξ a = 0 · k a ,k b ∇b ξ a = k a ( ∵ これは表面重力の定義式となるノン
アフィンな測地線方程式を Ṽ で割ったものであるから) が成り立つので，測地線 Γ 上で ζ a = Ṽ k a は式

(6) の解となる．
以上により，式 (3)(4)(5) は

図 1: 計算に用いるホライズンの断面 (R. Guedens,

et al. 2012)

ξ α |Γ

=Ṽ δVα(7)

ここで，図 1 の点 p0 は後に分岐点 (Killing ベクト∇(α ξβ)=O(x2 )(8)

ルがゼロベクトルとなる点) とする点であり，Γ は点∇α ∇β ξ γ | Γ=(Rδαβγ ξδ )|Γ

(9)

38

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校となる．局所 Killing ベクトルはこれを満たすものとと表せる．仮定 1. より式 (11)(12) の被積分関数はする．

O(x) で一致するので，ℏ− ∇b sab ka = T ab ξb ka + O(x2 )π

状態方程式の導出

3が成立する．これは全ての点 p とそこからのヌル方
向 (Γ 上) に課せられる．

仮定

3.1

(13)

状態方程式の導出にあたってする 3 つの仮定をす

エントロピー密度3.3

る．

仮定 3. より

1. Clausius の関係式 (1) が，p0 → p の極限で，図1 の Σ, Σ0 で囲まれた領域 H 上で成立する．たsab=

だし，T = ℏ/2π とする．

Qab=

2. エントロピーが Σ 上の D − 2 次元積分で表さ

2π ab
Q
ℏ
W abc ξc + P abcd ∇c ξd

(14)
(15)

と書ける．ただし，W, P の前 2 つの添字は反対称でれる．

ある．二階微分以上の項は Killing 恒等式より消え

3. エントロピーが局所 Killing ベクトルとその微分に対し線形である．

る．P abcd の cd に関しての対称成分の ∇b Qab への寄与は式 (8)(9) により，小さな Σ を考えれば O(x2 )である．故に P abcd の cd に関しての反対称成分を1. は点 p の近傍で Clausius の関係式が成り立つこと X abcd と置くと，から要請される仮定，2. はエントロピーが BH 熱力b∇b Qab = (∇r W arb + X arst Rrst)ξb
学において面積に比例することからの類推，3. はこ
arst
b
+X
(∇r ∇s ξt − Rrst ξb )の仮定を満たすエントロピーの一般式 (15) の形が，+(W ast + ∇r X arst )∇s ξt

エントロピーを Neother チャージとして導く Wald
エントロピーと同じ形であることや，熱の流れが局
所 Killing ベクトルで書かれる事からの類推と考える事ができる．

(16)となる．右辺一行目は ξ が O(x) なので O(x) で，2 行
目は小さな Σ 上では 0 である．3 行目は s, t の対称成
分は式 (8) より O(x2 ) で，反対称成分は O(1) である．
一方，式 (13) の右辺は O(x) なので，W a[st] +∇r X arst

3.2の 0 次の項，すなわち点 p での値は 0 となる．このClausius の関係式

議論は全ての点で行う事ができる．それぞれの点の仮定 2. より，Σ 上のエントロピーは以下のように書ける．

議論で取る座標系 (NNC) が異なるが，0 テンソルの∫座標変換は 0 テンソルであるので，結局全ての点でsab Nab dA

S=

(10)

W a[st] + ∇r X arst = 0

Σ

ここに s

ab

はエントロピー密度で反対称テンソル，Nab

が要請される．これと W, X の前 2 つの添字が反対は Σ の binomal テンソルである．よって，Stokes の称な事から，

定理を用いれば，ℏ
T δS = −π∫W arb = ∇s (X sarb + X sbra + X srba )∇b s ka dV dA
ab

(11)

となる．熱に関しては，熱の流れが −Tab ξ と表せる
ため，

きて，

∫
ab

δQ =

T ξb ka dV dAHb∇b Qab = (∇r W arb + X arst Rrst
)ξb

(12)

(18)

と分かる．よって，式 (16) 右辺の 2,3 行目は無視で

H
b

(17)

と書ける．

39

(19)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.4の左辺は対称で，計量の 2 階以下の微分のみで状態方程式構成され，発散が 0 となる．これは Lovelock の式 (18) を式 (16) に代入したものを式 (13) に代入

定理の仮定そのものであるので，状態方程式はすると，Lovelock 重力のものになる．

1(aR rst X b)rst + 2∇r ∇s X (a|s|b)r + Φg ab = − T ab
2
(20)

4

が導かれる．これが状態方程式である．これにエネ
ルギー運動量保存則 ∇b T ab = 0 を課せば，()(a∇a Φ = −∇b R rst X b)rst + 2∇r ∇s X (a|s|b)r

Conclusion
本稿では，エントロピーに局所キリングベクトルの選択に対する依存性を導入するという代償を払う
ことで，状態方程式を高階に拡張することに成功し(21)た．しかしこの依存性はエントロピーの差に主次的により Φ が決定される．これが満たされる時，式 (20)に現れるものであるので，今回の導出が熱力学的にの左辺は発散が 0 の 2 階テンソルである．作用 Ig [g]に対し δIg /δgab は計量とその微分で表される発散が0 の 2 階テンソルで，またそのようなテンソルは全重要な意味を持つかは明らかでなく，物理的な解釈は曖昧である．今回取ったステップの他に，熱力学的エントロピーに対する定数分の任意性やエンタンてこの形で表せる事が知られているので，故に状態

グルメントエントロピーからの寄与などの微妙な点

方程式は作用 Ig + Imatter より導かれる運動方程式を更に考慮に入れることでより良い定式化ができるになっている．

のかもしれない．もしくは，重力場方程式への高次曲率項の寄与は，局所的な熱力学レベルでは現れな

3.5

いということもあるかもしれない．

例

今後も熱力学と重力理論の間にある関係性の解明

1. L(R) 理論が期待される．

X abcd =f ac bd(g g − g ad g bc )2

(22)

Acknowledgement(f = f (R, Rij , Rijkl )) として式 (21) を計算す

質問や議論に何度も付き合ってくださいました基

ると，

1∇ Φ = − f ∇a R
2
a

礎物理学研究所と天体核研究室の先輩の皆様に多大(23)なる感謝を申し上げます．

となるため f は R の関数と分かる．ある関数

L(R) により f = −dL/dR と書くと，Φ = L/2と書けるため，式 (20) を計算するとL′ (R)Rab − ∇a ∇b L′ (R)
)
(
L(R)
′
g ab
+ □L (R) −2=

Reference[1] R. Guedens & T. Jacobson & S. Sarkar, Horizon entropy and higher curvature equations of state, Phys.
Rev. D 85 (2012) 064017, [1112.6215].

1 ab
T (24)
2が 導 か れ る ．こ の 方 程 式 は ラ グ ラ ン ジ ア ン

L(R) + Lmatter から導かれる運動方程式と一致[2] T. Jacobson, Thermodynamics of space-time: The
Einstein equation of state, Phys. Rev. Lett.75 (1995)
1260-1263, [gr-qc/9504004].

している．

2. Lovelock 重力
X abcd が g µν の 2 階 微 分 以 下 を 含 み か つ∇a X abcd = 0 とし，式 (21) を課せば，式 (20)40

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重宇 9

潮汐変形現象に対する理論的解析: 一般相対論及びその拡張理論の観点から
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
沼尻 光太

41

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

潮汐変形現象に対する理論的解析:
一般相対論及びその拡張理論の観点から
沼尻 光太 (名古屋大学大学院 理学研究科 QG 研究室)

Abstract
本発表では、観測による重力理論の決定を念頭に、中性子星の潮汐変形現象における修正重力理論の効果について議論する。まず一般相対論における潮汐変形についてレビューを行い、‘星が歪む度合い’(潮汐変形率) を決定する観測可能なパラメータである Tidal Love number (TLN) を導入する。そして重力理論として f (R) 重力理論を採用した際に、(Jordan frame の下で) 潮汐変形および TLN に現れる影響について検証する。

1

イントロダクション

tion

1
2κ

SEH =

修正重力理論は、一般相対性理論 (GR) に新たな∫√
d4 x −gR.

物理的自由度を追加する等を行い理論を拡張するもにおいて、Ricci scalar R をその関数 f (R) に拡張すのであり、ダークエネルギーやインフレーションとることで得られる:

いった宇宙論的問題の解決や、量子重力理論への橋S=

渡しを期待されている。今回扱う f (R) 重力理論もこの一種であり、特に宇宙論的制限をクリア出来る可能性があるとして議論されている ([1] 他)。現在は強重力領域など他のエネルギースケールからくる制限∫√
d4 x −gf (R).

(1)

なお今回、重力場の独立変数は metric gµν のみであるとする metric formalism に基づくものとする1 。この場合、物質場の作用 +SM (gµν , ψ) を加えた上で、を満たす関数 f (R) の模索が課題となっている。
一方、観測サイドでは近年 LIGO, Virgo, KAGRAといった重力波観測器による、強重力天体の観測が12κ

metric に対する変分を行うことで以下の重力場の運動方程式 (EOM) を得る:

1f ′ (R)Rµν − f (R)gµν −[∇µ ∇ν − gµν □] f ′ (R) = κTµν .
2波などで捉えられる) 中性子星は、その物理量が強く(2)
重力理論に依存し、なおかつこの物理量の情報は重 ここで−2 δSM
力波の振幅や位相から読み取れる [3]。このことから
Tµν = √.
−g δg µν
中性子星は強重力領域の重力理論に対するプローブ
なお、正確には EOM (2) を得る際には、metric のとして注目されている。
本発表では中性子星の潮汐変形現象について、一 微分があることから surface term の取り扱いを慎重スタートしている ([2] 他)。なかでも (連星合体重力2

般相対論 (GR) 及び f (R) 重力の観点から検証する。 に行う必要があるが 、ここではその説明は割愛す
なお本集録では紙面の都合から、レビューパートを る。EOM (2) は f (R) = R で Einstein 方程式に帰着
中心に説明する。

する。
重要な事実として、f (R) 重力は通常の GR が持つ

2 物理的自由度に加えて scalar 1 自由度を加えたも

2

f (R) 重力理論
本章は [4] に基づく。修正重力理論の一種である

f (R) 重力理論は、GR における Einstein-Hilbert ac-

1 これに対し、metric および connection がそれぞれ独立であるとするのが Palatini formalism である。
2 GR では Gibbons-York-Hawking term と呼ばれる全微分項を足しておくことで処理できるが、f (R) 重力ではそのような一般的な手法は知られていない。

42

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校のとなっていることが知られている。実際、(1) は次(a, b = (t, r), A, B = (θ, ϕ)) ΩAB は S 2 の metric でと等価であることが知られている。
∫√
1S=
d4 x −g[ϕR − V (ϕ)] + SM (gµν , ψ) ,2κある。以下 F −1 = grr とする。Energy-momentum
は流体の速度ベクトル uα を用いて

Tαβ = pgαβ + (p + ρ)uα uβ ,ϕ = f ′ (R), V (ϕ) = R(ϕ)ϕ − f (R(ϕ)),と表される。よって方程式は TOV 方程式

これは scalar-tensor 理論 (重力の独立変数が metric+ scalar 場である理論) の 1 種である Brans-Dicke 理dmdψm + 4πr3 p= 4πr2 ρ,
=
,
dr
dr
r2 F

論3 の action であり、これから f (R) 重力における物理的自由度は 2 + 1 であることが分かる。このことなり、保存則はとは、共形変換dpdψ= −(ρ + p) ,
dr
dr

′

gµν → g̃µν = f (R)gµν ≡ ϕgµν ,(3)となる。実はこの保存則は静水圧平衡式
および再定義

√
dϕ̃ =

3 dϕ
,
2κ ϕ

∇α p = −(ρ + p)uβ ∇β uα ,(4)に対応している。そして、星の外部は Schwarzschildを実行し、いわゆる Einstein frame に移れば
[
]
∫
√
R̃
1 α
′
4
− ∂ ϕ̃∂α ϕ̃ − U (ϕ̃)
S = d x −g̃
2κ 2
)
( √
+SM e− 2κ/3ϕ̃ g̃µν , ψ ,√ 2κ
Rf ′ (R) − f (R)ϕ ≡ f ′ (R) = e 3 ϕ̃ , U (ϕ̃) =2 ,2κ (f ′ (R))解に接続するものと考える。
次に tidal ﬁeld を定義しよう。これは無限遠方のソースが作る曲率を使って次のように定義する4 。

Eαβ = Rαγβδ uγ uδ ,1Bαβ = ϵαγµν Rµν βδ uγ uδ .
2となり、より明白である。この追加された scalar 自由

(5)
(6)

次に背景解に対する線形摂動を定義し、この摂動度を以て late-time expansion や H0 tension といったに対する方程式を導出しよう。metric の摂動を次の問題を解決しようという試みがなされている [1, 5]。 ように定義する:
また NS の質量半径関係に与える影響についても議論されている [6, 7]。

ḡab = gab + pab , ḡaB = paB ,ḡAB = r2 ΩAB + pAB ,3ḡ ab = g ab − pab , ḡ aB = −paB /r2 ,GR における潮汐変形ḡ AB = ΩAB /r2 − pAB /r4 .

次に [8] に基づき、GR における潮汐変形現象についてレビューする。球対称な静水圧平衡解に対し、無また energy-momentum tensor の摂動を

限遠方のソースに由来する重力場 (tidal ﬁeld) が加わδTαβ = (δρ + δp)uα uβ + (ρ + p) (δuα uβ + uα δuβ )る場合を考える。なお潮汐変形は十分に静的であるとする。よって背景解は星内部でds2 = gµν dxµ dxν = gab dxa dxb + r2 ΩAB dθA dθB ,
(
(
)−1 )
2m(r)
2ψ(r)
gab = diag −e
, 1−
,
r

+ δpgαβ + ppαβ ,(7)とする。そしてこれらを scalar, vector, tensor har-3 正確には Jordan frame における Brans-Dicke parameterω0 = 0 の Brans-Dicke theory

4 上を gravito-electric ﬁeld, 下を gravito-magnetic -と呼ぶ。

43

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
monics で展開し、Regge-Wheeler gauge を取ると、 Bℓm は (6) を pseudo-vector harmonocs で展開した∑∑
際の係数関数であり、kℓmag が magnetic tidal Love
ℓm
ℓm
hℓm
hℓm
pab =
, paB =ab (r)Ya (r)XB ,number である。
ℓm
ℓm
∑
2 ℓm
ℓm
最後に内部解に対する摂動を計算し、表面での接続r K (r)ΩAB Y ,pAB =を考えることで、各 TLN を導く。まず、(7) を metric
ℓm
∑
∑
ℓm ℓm
ℓm ℓm
の摂動で書くことを考える。摂動された速度場 ūα =δTab =Qab Y , δTaB =Pa XB ,ℓm∑uα +δuα が timelike Killing vector に比例すること5 、

ℓm
ℓm
.
Qℓm
♭ ΩAB Ynormalization が不変であることから、
)
(
1
−ψ
ℓm
ℓm
ptt , ptr , ptθ , ptϕ .
δuα = e(Y : scalar harmonics, XB : pseudo-vector har2
monics) 以上を用いて、星内外で線形摂動 Einstein
また、密度・圧力摂動を
方程式をパリティ別に解こう。
δTAB =ℓm

まず外部解のうち、偶パリティ部分に対する独立δρ = −ρ′ rF, δp = −p′ rF,

な方程式は
(
)′′
(
)′
r2 F hℓm+ 2(r − 3M ) hℓm− ℓ(ℓ + 1)hℓm
tt
tt
tt = 0,F = δr/r,で定義し、(4) に対する摂動(M は星の質量, ’ は r 微分) のみであり、他の成分は(ρ + p)δaα + (δρ + δp)aα + ∂α δp = 0,

0 もしくは hℓmtt の関数である。この解は (5) の球面
調和展開係数 Eℓm を用いて

(aβ = uα ∇α uβ ) に代入し、(3) を用いると、上式の

2eℓ rℓ Eℓm ,ℓ(ℓ − 1) 1
( )2ℓ+1Reℓ1 = F 2 Aℓ1 (r) + 2kℓel
F 2 B1ℓ (r),
r

角度成分は

hℓm
tt = −∂A F = −

δaA
.
rψ ′

δaα は具体的に計算でき、以上より、F の球面調和
展開係数 F ℓm はとなる。ここでAℓ1 = H(2 − ℓ, −ℓ; −2ℓ; 2M/r),

F ℓm =

B1ℓ = H(ℓ + 1, ℓ + 3; 2ℓ + 2; 2M/r)

1 e−2ψ ℓmh ,2 rψ ′ tt(8)となることが分かる。それでは内部偶パリティ解をは超幾何関数である。kℓel が electric tidal Love num-

構成しよう。energy-momentum の摂動 (7) の偶パリ

ber (TLN) という定数で tidal ﬁeld に対する星の重ティ部分は力場の歪みを決定する比例係数であり、重力波から読み取ることのできる観測量である [3]。これを決定

Qtt = −e2ψ rρ′ F ℓm − ρhℓm
tt ,することが本章の計算の目的である。

Qtr = ρhℓm
tr ,Qrr = −F −1 rp′ F ℓm + phℓmrr ,奇パリティ部分も同様で、独立な方程式は()′′
r2 hℓm− F −1 [ℓ(ℓ + 1) − 4M/r]hℓm= 0,ttでありこの解はQ♭ = −r3 p′ F ℓm + r2 pK ℓm .
(8) を代入すると、master 方程式

Aℓ3 = H(−ℓ + 1, −ℓ − 2; −2ℓ; 2M/r),

(
)′′
(
)′
r2 hℓm+ rA1 (r) hℓm− A2 (r)hℓm
tt
tt
tt = 0,[]3m−12
A1 = 2F1−− 2πr (ρ + 3p) ,
r
[
(
)]
dρ
−1
2
A2 = Fℓ(ℓ + 1) − 4πr (ρ + p) 3 +,dp

B3ℓ = H(ℓ − 1, ℓ + 2; 2ℓ + 2; 2M/r).

5 これは系が静的であることから要請される。

2bℓ rℓ+1 Bℓm ,3(ℓ − 1) 1
( )2ℓ+1ℓ + 1 mag R
bℓ1 = Aℓ3 −
B3ℓ ,
2kℓ
ℓ
r

hℓm
=
t

44

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: electric TLN [8]図 2: magnetic TLN [8]を得る。他成分は hℓmtt の関数、または 0 である。こ
こで

(
)′
r hℓm
tt
ηℓ (r) =,hℓmtt

について計算したものが図 1, 2 である。

4を導入し、master 方程式を書き換えると発表者は前章の計算を f (R) 重力の場合で計算してrηℓ′ + ηℓ (ηℓ − 1) + A1 ηℓ − A2 = 0,いる。この際一般相対論との大きな違いは、Einstein-となる。これを状態方程式 (EOS) とともに数値的に解くことで内部解を得ることができる。
同様の手順により、奇パリティ成分についても mas-ter 方程式

f (R) 重力における潮汐変形

Hilbert action にはない scalar 自由度がある点である。この自由度は eﬀective には重力を強める作用があることから TLN にも変化が生じるものと思われる。この点を踏まえて、発表では特に TLN に着目して議論したいと考えている。

rκ′ℓ + κℓ (κℓ − 1) − G1 κℓ − G2 = 0,
(
)′
r hℓm
t
,
κℓ (r) =hℓmt

Reference[1] Salvatore Capozziello. Curvature quintessence. Int. J.
Mod. Phys. D, Vol. 11, pp. 483–492, 2002.
[2] B. P. Abbott, et al. GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral. Phys.
Rev. Lett., Vol. 119, No. 16, p. 161101, 2017.
[3]
Eanna
E. Flanagan and Tanja Hinderer. Constrainingが求められる。
neutron star tidal Love numbers with gravitational wave
そして、ηℓ (r), κℓ (r) が星の表面 r = R で連続であdetectors. Phys. Rev. D, Vol. 77, p. 021502, 2008.
ることを要請すると、TLN が決定される:[4]
ThomasP. Sotiriou and Valerio Faraoni. f(R) Theories( ℓ )′ℓ
Of Gravity. Rev. Mod. Phys., Vol. 82, pp. 451–497, 2010.
1 R A1 − [ηℓ (R) − ℓ − 4M/(R − 2M )] A1
el
kℓ =
( ) ,
2 [ηℓ (R) + ℓ + 1 − 4M/(R − 2M )] B1ℓ − R B1ℓ ′ [5] Sergei D. Odintsov, Diego Sáez-Chillón Gómez, and German S. Sharov. Analyzing the H0 tension in F (R) gravity
models. Nucl. Phys. B, Vol. 966, p. 115377, 2021.
( ℓ )′R A3 − [κℓ (R) − ℓ − 1] Aℓ3[6] Salvatore Capozziello, Mariafelicia De Laurentis, Ruben
ℓ
mag
kℓ
=
.
( )
Farinelli, and Sergei D. Odintsov. Mass-radius relation2(ℓ + 1) R B3ℓ ′ − [κℓ (R) + ℓ] B3ℓ
for neutron stars in f(R) gravity. Phys. Rev. D, Vol. 93,
No. 2, p. 023501, 2016.
以上を用いれば、TLN を数値的に求めることがで[7] Pasquale Feola, Xisco Jimenez Forteza, Salvatore
きる。これを energy-polytrope 型 EOS
Capozziello, Roberto Cianci, and Stefano Vignolo. Massradius relation for neutron stars in f (R) = R+αR2 gravity: A comparison between purely metric and torsion
p = Kρ1+1/ν
formulations. Phys. Rev. D, Vol. 101, No. 4, p. 044037,
2020.
及び mass-polytrope 型 EOS[8] P. Landry. Tidal deformations of compact bodies in general relativity. 2014.
p = Kρ1+1/ν , ρ = ρ + νp,

G1 = 4πr2 F −1 (ρ + p),[]
4m
G2 = F −1 ℓ(ℓ + 1) −+ 8πr2 (ρ + p) ,
r

m

m

45

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重宇 10

宇宙論と非局所場理論
東京工業大学 理学院物理学系
宮下 優一

46

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙論と非局所場理論
宮下 優一 (東京工業大学 宇宙論研究室)

Abstract
一般相対性理論 (GR) は現代物理における重力の基礎理論として今日受け入れられている。その一方で、紫外 (UV) 領域で予言能力が完全に失われるという open problem もまた存在する。この問題に対し、 GR を

UV 領域で拡張することで解決を図るのが修正重力理論である。この試みとして、 GR の Einstein-Hilbert
作用に無限階の微分項を加えることで理論の修正を図る、非局所場理論がある。この理論では無限階の微分項を考えることによって、高階微分項を取り入れつつ、 unitarity を失う事なく理論を拡張することが可能となる。本稿では、 Galilean shift symmetry を持つ Galileon 場を非局な所場へ拡張する。まず、理論の作用を非局所的にする form factor として指数関数型のものを考える。この理論の propagator が tree-level で

ghost-free になることを確認したのち、 form factor を反復的に拡張する手続きを与える。更に、この拡張された form factor を重力理論へ適用し、 Minkowski 時空周りの線形化重力が持つ propagator が ghost-freeとなる理論を構成する。最後に、この一般化された重力理論及びその線形化重力から具体的な状況下で重力ポテンシャルを計算し、原点におけるポテンシャルの特異性が解消されていることを確認する。

1

これを見るため、この理論の propagator を求める。
√√
係数 α, β から定まる m0 = 3α + β, m2 = −β/2

Introduction
Einstein による一般相対性理論 (GR) は多くの観を用いると、 propagator は測実験でその予言能力を実証されてきた。最近の例
では 2016 年の LIGO/Virgo による重力波の実証がΠ(p) = ΠGR (p) +挙げられる。これらの観測事実から、 GR は今日広

P2
1 P0
− 2
2
2
2 p + m0
p + m22(2)

く受け入れられている。その一方で、 GR には紫外となる。第一項 ΠGR は GR の propagator であり、(UV) 領域で予言能力が完全に失われるという open

第二項と第三項が新しく現れる。これらに現れる

problem が存在する。古典論的には、 black hole 特

P (0) , P (2) は夫々 spin-0, spin-2 のスピン射影演算

異点や宇宙論的な特異点の問題が、量子論的にはく子であり、第二項と第三項は massive spin-0 と masりこみ不可能であるという問題が生じる。そのため、 sive spin-2 の自由度に対応した propagator となる。

GR は UV 領域で修正されなければならない。その このとき第三項にはマイナスの符号が付いている。
GR の拡張理論として考えられたのが、 Stelle によ一般にこのような自由度は理論の unitarity を破っる Stelle’s gravity である。これは GR を記述するてしまう、 ghost と呼ばれる自由度に相当する。

Einstein-Hilbert 作用に 2 次の曲率項を加えた理論で場の理論において、 unitarity は光学定理で記述さある。その具体的な作用は以下で与えられる。
∫]
d4 x √ [2−g R + αR2 + βRµν
(1)
SQuad =
16πGれる。この定理では、S 行列 S = 1 + iT が条件

このような高次の微分項は、eﬀective ﬁeld theory のを満たす、と主張する。これは散乱行列の nontrivial

S † S = 1 ⇐⇒ 2 Im T = T † T(3)

観点から導入される。この重力理論はくりこみ可能なpart である T 行列の虚部が非負である事を示してい理論となっていることが確認されている [1, 2]。そのる。tree-level において、nontrivial part は propaga-

一方で、 Stelle’s gravity は摂動の最低次 (tree-level)tor Π に相当する。従って、この条件は Im Π ≥ 0 とで unitarity が破れてしまうことも明らかになった。 いう条件になる。先程出てきた ghost 自由度の prop-47

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
agator で確認すると、iε-prescription を明示してこのとき、微分演算子の form factor F として}{−□/Ms2
1
(4) 2
−1
2e
Im
=
−πδ
(p
)
≤
0
(4)
F (□) = −Ms(8)
p2 − iε□となる (ただし簡単のため massless にした)。理論をとる。この理論は Galiean shift symmetry が拡張された、ϕ(x) → ϕ(x) + ψk (x)(k ∈ Z) となる対称性定理の破れは理論の予言性に支障をきたしてしまう。 を持つ。この ψk (x) は以下で定義される関数である。
の unitarity は確率保存則に対応しているため、光学

2B
ψk (x) = √ sinhk

そのため、理論を拡張していくうえで、このような

ghost 自由度を回避することが望まれる。

)√+ ae−(

k/2B )bµ xµ(9)metry を持つ。このときの propagator はの作用に取り入れる方法として注目されているのが非局所場理論である。非局所場理論の例として、以Π(p) =

下のような scalar 場の Lagrangian が挙げられる。

1 −γ(□/Ms2 )ϕe□ϕ − V (ϕ)
2kb µ xµ2B

これは k = 0 の場合として、元の Galilean shift sym-

この ghost 自由度を回避しつつ、高階微分を理論

L=

(√

1
1
2 /M 2
2
p
s − 1
Ms e

(10)

と計算でき、これは非負の虚部を持つ。よって tree-(5)level の unitarity が確認できる [4]。

このとき、関数 γ は整関数 (entire function) とする。

この理論が実際に UV 発散を回避できる事を具体

この理論の propagator は kinetic term から例で確認する。Lagrangian が cubic term をもつ
∫
(
)
e
Ms2
4
−□/Ms2(6)
Π(p) =
S
=
−
d
xϕ
e
−
1
ϕ
p2
2
(
)
□/Ms2
と計算できるが、整関数の指数関数は零点を持たな
(
)
e
−
1
3 ∫
2
M
d4 x e□/Ms − 1 ϕ
∂µ ϕ
−λ s
いため、この propagator は 通常の scalar 場と同様、
2
□
(
)
2
非負の虚部を持つ。そのため、この理論は (少なくとe□/Ms − 1
も tree-level では) 光学定理を満たすことが分かる。
∂µϕ
×
(11)
□
2
−γ(□/Ms )ここで、Lagrangian に挿入した eの factorをとってくる。ここから 1-loop self-energy が計算を展開すると、 Lagrangian は無限階の微分を持つ事できて、 diagram は図 1 のようになる。
がわかる。通常の scalar 場の作用は、各点で定義さ−γ(−p2 /Ms2 )れる場、ひいては Lagrangian を空間全体で足し上げる (=積分) ことで得られる。これは Lagrangian が各点の近傍、局所的な領域で定められている事に基づく。これに対し、(5) は無限階の微分によって、局所的でない、非局所的な関数形となる。これが”非局所場”理論と呼ばれる所以である。この様な非局所場理論は様々なシナリオで登場する。一例として、 string

ﬁeld theory や p-adic string が挙げられる [3]。

図 1: 1-loop self-energy Σ(1) (p)。λ は cubic term の結合定数、k は loop を走る運動量を表す。

diagram から Σ(1) (p) を読み取ると、()2222 Galiean shift symmetry
Σ(1) (p) =λ2 Ms2 e−p /Ms − 1
(
)2 (
)2
2
2
−k2 /Ms2∫ 4
2.1 Nonlocal generalization−1e−(p−k) /Ms − 1
d k e
( 2 2
)(
)
×
2
2
(2π)4
ek /Ms − 1 e(p−k) /Ms − 1
Galilean shift symmetry ϕ → ϕ + bµ xµ + a を非)2(局所場に拡張する。以下の Lagrangian を考える。
k·pp · (p − k)k · (p − k)
+ 2 2+ 2
×k 2 (p − k)2k p
p (p − k)2
1(7)
L = ϕF (□)□ϕ − V (ϕ)
(12)
2

48

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校と計算できる。ここで UV 側 k 2 ≫ Ms2 におけるloop 積分のふるまいを取り出すと、()222
Σ(1) (p) →λ2 Ms2 e−p /Ms − 1
∫
2
2
2
2
d4 k e−2k /Ms
× e−p /Ms
(2π)4
k2

3

重力理論への応用

次に、拡張された form factor を重力理論へ適用することを考える。2 次の曲率項と form factor を含
む、一般的な Lagrangian は以下の形に書き下せる。
L=

(13)

{
}
1
1
R + [RF1 (□)R + Rµν F2 (□)Rµν ]16πG2

ここから Minkowski 時空 ηµν 周りの線形化重力をgµν = ηµν + κhµν で導出すると、作用 S (2) はとなる。局所的な理論の場合 (Ms → ∞) では、被積分関数が D = −2 の次数を持つため、UV 発散を起こした。これに対し、(13) では指数関数による

S (2) =

suppression が強く効くため、UV 側での発散が回避

1
4

d4 x

て、 loop の UV 発散がそもそも起こらない理論となっている。この性質は、非局所場理論を考える元々の motivation に関係する。場の理論では物質の基本1hµν f (□)hµν − hσµ f (□)∂σ ∂ν hµν
2
1+ hg(□)∂µ ∂ν hµν − hg(□)□h2}1f (□) − g(□)
(19)
+ hλσ
∂λ ∂σ ∂µ ∂ν hµν2□と計算できる。このとき便利のため form factor を

単位を無限小の点粒子とする描像で記述されており、この無限小の大きさが UV 発散に繋がっている。これを回避するべく、場の理論の枠組みの中で発散の起こさない理論として非局所場理論が研究されてき{∫される。即ち、理論に導入した場の非局所性によっ1f (□) = 1 + F2 (□)□
2

(20)

1
g(□) = 1 − 2F1 (□)□ − F2 (□)□
2(21)

で再定義している。この理論の propagator はた、という背景がある。

Π(p) =

2.2(18)

further extentions

P2
P0+
f (p2 )p2
(f (p2 ) − 3g(p2 ))p2(22)と計算できる。unitarity のため、この propagator
この非局所的な scalar 場の理論は form factor にが ghost-free となるように form factor を選ぶ必要

ついて更に一般化することが出来る [5]。非負整数がある。そこで、f = g = (f (n) (□) − 1)/□ とすると}{∫
d4 x √
f (n) − 1 µνRS=
−g R + Gµν
(23)
16πG
□
1
Π = (n) ΠGR (p)
(24)
f (p)

n ∈ Z≥0 をとり、次の Lagrangian を考える。
1 (n)ϕf (□)□ϕ − V (ϕ)(14)
2
ただし、簡単のため nonlocal scale を Ms → 1 としてL=いる。form factor f (n) (□) については、f (0) (z) = ezと作用を決定できる。GR の EH 作用は F1 = F2 =として、以下の漸化式で反復的に定義する。

0 ⇐⇒ f = g = 1 の場合に相当する。
(z) − 1
(15)
最後に、この理論から重力ポテンシャルのふるまz
これを漸化式として解くと、以下の表式が得られる。 いを見ていく。まず、線形化重力における場 hµν が()
n−1持つ場の方程式は、 Einstein 方程式から∑ zkn!
f (n) (z) = n ez −
(16)
(
z
k!
k=0
f (n) (□) □hµν − ∂σ ∂ν hσµ − ∂σ ∂µ hσν
この n = 1 の場合が先程の form factor F (□) に相当+η ∂ ∂ hρσ + ∂ ∂ h − η □h)f (n) (z) = n

f

(n−1)

µν ρ σする。この具体的な表式を用いると、f (z) > 0(z ∈ R)

µ ν

µν

= −2κTµνであることが示せる。ここで、理論の propagator は
11
Π(p) = (n) 2 2(17)f (p ) p(25)となる。これを具体的に解くため、ポテンシャル Φ, Ψを用いた Newtonian gauge と球対称座標をとる。

となる。これは先程の f (n) > 0 から非負の虚部を持ち、 tree-level の ghost-freeness を持つ事がわかる。

49

ds2 = −(1 + 2Φ)dt2 + (1 + 2Ψ)dr2(26)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
また、方程式に現れる source term として、 mass m

していく手続きを構成した。この拡張された理論にの static point-like source をとる。

対し tree-level での unitarity を確認した。また、こTµν = mδµ0 δν0 δ (3) (r)の form factor を重力理論へ適用し、線形化重力に(27)

おける singularity-freeness を確認した。今後の展望

GR では、この source term は Newton potential 型 として、 loop-level における unitarity と full な重の重力ポテンシャル Φ ∼ 1/r を生成する。この設定 力理論における singularity-freeness の確認が必要である。また、一般化された form factor による理論

下で、 form factor f (n) に対する重力ポテンシャル

Φ(n) の従う Poisson 方程式は以下の形に修正される。 を区別化するための枠組みが求められる。
f (n) (∇2 )∇2 Φ(n) (r) = 4πGmδ (3) (r)(28)

Acknowledgements

このとき、 form factor を挿入したことによる修正は
左辺の nonlocal form factor として現れている。こ本研究のみならず、常日頃から議論に付き合ってれは IR 側で Newton 重力を再現するといった境界

頂き、ご教示くださる東京工業大学宇宙論研究室の条件から、積分形で解を書き下すことが出来る。
∫
2
2Gm ∞
e−k k 2n−1
Φ(n) = −dksin(kr) (29)πr 0n! − nΓ(n, k 2 )皆様、そして現在のコロナ禍において発表の機会を与えてくださった天文・天体物理若手夏の学校運営
スタッフの皆様にこの場を借りて深く感謝致します。

いま form factor をラベルする n についての極限

f (n) → 1(n → ∞) から、解 Φ(n) は n の増加に従って GR の場合の解に近づくことが分かる。この解をReference

具体的に数値計算すると、図 2 のようになる。

[1] K. S. Stelle, Renormalization of Higher

0.0

Derivative Quantum Gravity, Phys. Rev. D 16

-0.2

(1977) 953–969.

-0.4

2Φ

[2] K. S. Stelle, Classical Gravity with Higher

n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
GR

-0.6
-0.8
-1.0

Derivatives, Gen. Rel. Grav. 9 (1978) 353–371.
[3] N. Moeller and B. Zwiebach, Dynamics with

-1.2

inﬁnitely many time derivatives and rolling-1.4

tachyons, JHEP 10 (2002) 034,

0

1

2

3

4

5

6

arXiv:hep-th/0207107.

7r[4] L. Buoninfante, G. Lambiase, and
図 2: Φ(n) と GR の重力ポテンシャルの比較

M. Yamaguchi, Nonlocal generalization of
Galilean theories and gravity, Phys. Rev. D

図 2 を見ると、解 Φ(n) (r) には GR の場合に見ら100 (2019) 026019, arXiv:1812.10105 [hep-th].

れるような、原点における特異性が存在しない事が確認できる。すなわち、今回構成した作用の線形化[5] L. Buoninfante, G. Lambiase, Y. Miyashita,

重力は原点において singularity-free となっている。

W. Takebe, and M. Yamaguchi, Generalized
ghost-free propagators in nonlocal ﬁeld

4

theories, Phys. Rev. D 101 (2020) 084019,

Conclusion

arXiv:2001.07830 [hep-th].

Galilean shift symmetry を非局所場の対称性へ拡張した後、更に form factor に関して反復的に拡張

50

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重宇 11

２次元ブラックホール時空中の偽の真空崩壊
神戸大学 理学研究科物理学専攻
宮地 大河

51

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

２次元ブラックホール時空中の偽の真空崩壊
宮地 大河 (神戸大学大学院理学研究科物理学専攻)

Abstract
スカラー場のポテンシャルに縮退していない２つの安定点がある場合を考える。スカラー場の値がエネル
ギーの高い方の安定点にある状態は偽の真空、低い方の安定点にある状態は真の真空と呼ばれている。スカラー場が偽の真空にある時、量子的な効果によって、スカラー場が偽の真空から真の真空へ遷移する。この遷移現象は偽の真空崩壊と呼ばれている。特に、ブラックホールがある場合、この偽の真空崩壊の確率が大きくなることが指摘されている。本発表では、ブラックホールから離れた位置で偽の真空崩壊が起こる確率を、背景時空を固定した上で計算した我々の研究を紹介する。ただし簡単のため、背景時空は 2 次元 Schwarzschild
時空を考えている。 数値計算の結果、ブラックホールから離れている場合でも偽の真空崩壊が起こる確率は大きくなることが わかった。ブラックホールのホライゾンでこの確率は最も大きくなり、無限遠では平坦時
空の場合と一致する。

1

Introduction
現在、標準模型の多くのパラメータについて測定値が得られている。これらのパラメータの中央値を用いてヒッグス場の有効ポテンシャルを計算すると、
図 1 のような２つの異なる極小点を持つポテンシャ
ルが得られる [1]。エネルギーの高い方の極小点は偽の真空、低い方は真の真空と呼ばれており、偽の真空が現在のヒッグス真空に対応してる。ヒッグス場
が偽の真空にある時、量子的な効果によって偽の真空から真の真空への遷移が起きる。この遷移は偽の真空崩壊と呼ばれている。したがって、現在のヒッグス真空は不安定であると言える。
偽の真空崩壊が起こると、偽の真空状態にある空間の中で真の真空状態の領域が局所的に出現し、そ図 1: 偽の真空を持つヒッグス場のポテンシャルの後膨張する。この真の真空の領域はバブルと呼ばれている。

Minkowski 時空の場合、偽の真空の寿命が宇宙年

ブラックホールが消失する過程の確率が最も高いこ

齢をはるかに超えるため、この不安定性は問題になとである。このような量子重力的な効果が、今興味のらない [1]。ところが近年、ブラックホールの存在にある電弱スケール以降のエネルギースケールで効い

よって偽の真空の寿命が宇宙年齢を下回ることが指てくるとは考えにくい。また、仮にブラックホールが摘された [2]。これは標準模型に対してヒッグス場の消失しない過程を考えた場合でも、ブラックホール

不安定性を解消するような修正が必要であることをを内包するような環状のバブルが出現している（図示唆している。

2 左）。Minkowski 時空の場合は球状のバブルが最もしかし、先行研究 [2] における偽の真空の寿命の計出現しやすい。したがって、ブラックホール時空の算には２つの疑問点がある。まず、真空崩壊に伴って場合でも、このような環状のバブルが現れる確率は

52

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられる。ここで、G は重力定数、M はブラッ低いと考えられる。

クホールの質量である。系の作用は実スカラー場と重力の最小結合で与える。


Z
√
1
S = d2 x −g − g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)2(2)

ここでポテンシャル V (ϕ) は図 1 のように、ϕ = 0, ϕtに極小点を持ち、
図 2: 先行研究 [2] と我々の研究 [3] の違い

V (0) = 0, V (ϕt ) = −ε以上の２点を踏まえて、本研究 [3] では背景時空(3)とする。この時、エネルギー的に準安定な ϕ = 0 のを固定した上で、図 2 右のようにブラックホールか

点は偽の真空、エネルギー的に安定な ϕ = ϕt の点はら離れた位置で偽の真空崩壊が起こる確率を計算し真の真空と呼ばれている。Minkowski 時空の場合 [4]た。ただし、４次元時空の場合は出現する確率が最から類推して、偽の真空から真の真空へスカラー場も高いバブルの形状が分からないため (図 3）、2 次
元 Schwarzschild 時空の場合を考えた。今の場合、時空の並進対称性が破れているため、Minkowski 時空の値が遷移する確率 Γ は次のように評価できると仮定する。

Γ = A exp(SE [ϕb ])の場合と同じ手法 [4] で真空の寿命を計算することが(4)

係数 A の計算についてはここでは扱わない。ここでできない。そこで、我々はバブルのダイナミクスを

SE は Euclid 作用で次のように与えられる。

Z
式を簡単化した。この手法の下で数値計算した結果、
1 µν
√gE ∂µ ϕ∂ν ϕ + V (ϕ)
SE = dτ dr gE
ブラックホールから離れている場合でも、偽の真空
2崩壊が起こる確率はブラックホールによって大きく
ここで τ は実時間 t を Wick 回転
なることが分かった。ブラックホールホライゾンで(5)確率は最も大きくなり、無限遠では平坦時空の場合(6)

記述するような有効作用を導出して、解くべき方程

t = −iτと一致する。
することで得られる虚時間である。gE は計量 (1) にこの Wick 回転をすることで得られる Euclid 計量である。次に ϕb は Euclid 作用から得られる運動方程式

δSE
=0
δϕ

(7)

ϕ|τ =±∞ = 0

(8)

→
ϕ||−
x |=+∞ = 0

(9)

∂ϕ
=0
∂τ τ =0

(10)

と境界条件
図 3: ４次元時空の場合、出現しやすい形状のバブルが分
からない。

2

Methodsを満たす古典解である。この古典解はバウンスと呼２次元 Schwarzschild 時空中の実スカラー場を考える。計量は

ds2 = −f (r)dt2 +ばれている。Minkowski 時空の場合、O(4) 対称性の下でこの運動方程式と境界条件を満たす解が存在し

2

dr
,
f (r)

f (r) = 1 −2GMrていることが知られている。また、後で述べる薄壁(1)近似のもとで SE [ϕb ] を閉じた形で得られる [4]。しか53

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
し、Schwarzschild 時空の場合、空間並進対称性が破3れているため解を得ることが難しい。そこで、[5, 6]

Resultsの手法をブラックホール時空の場合に拡張して、バ

数値計算で得られた SE [ϕb ] をプロットしたのが図

ブルのダイナミクスを記述する有効作用を導出する。

4 である。グラフより、偽の真空崩壊が起こる確率は導出の詳細は [3] を参照していただくことにし、ここでは導出した有効作用Z
Sef f =

ことが分かる。また、確率はブラックホールホライ
ゾンで最大となり、無限遠では Minkowski 時空の場



合と一致する。特に、後者の結果は Schwarzschild 時

dt ε(Q(t) − P (t))
X q−σブラックホールから離れている場合でも大きくなる

空の漸近平坦性と整合的である。

 (11)
f (R) − f (R)−1 Ṙ2 

R=P,Qの物理的意味を見ていく。これは実時間の作用であることに注意。ここで、P, Q は偽の真空と真の真空の境界（バブルの壁）の位置である。また、ε は偽の
図 4: バウンス解を代入した Euclid 作用 B = SE [ϕb ] のグ
ラフ。左図はブラックホールとバブルの距離 P (0) に対する依存性、右図はブラックホールの質量 M に対する依存性をプロットしている。縦軸は Minkowski
時空の場合の Euclid 作用 Bf lat で規格化している。

真空と真の真空のエネルギー密度の差（図 1）、σ は
Z ϕt pσ=dϕ 2V (ϕ)(12)
0で与えられるバブルの壁の表面張力である。この有効作用からハミルトニアンを導出し、さらに物理的意
味を見やすくするために Minkowski 極限 f (R) → 0
を取ると、

H = −ε(Q − P ) +

X
R=P,Q

4
σ

p
1 − Ṙ2(13)

Discussion
今回は２次元時空で計算したが、最終的には４次元時空の場合で偽の真空崩壊の確率を計算したい。そとなる。第１項はバブルの内部エネルギー、第２項

こで、図 (5) のような円環状のバブルが出現する確はバブル表面のエネルギーに Lorentz 因子を掛けた率を、４次元時空の場合で前章と同様の方法を用いものになっている。したがって、有効作用 (11) は確て計算した。Introduction でも述べたように、このかにバブルのダイナミクスを記述している。

ような円環状のバブルが出現する確率は低いと考え

次に、Wick 回転 t = −iτ で Euclid 化した有効作られるが、ブラックホールが確率へ及ぼす影響の傾用から、Hamilton 運動方程式を導出し、バウンスに向を見る上では十分と考えられる。計算の結果、こ対応する境界条件の場合でもブラックホールの存在によって偽の真空

πR (t = τ = 0) = 0,

H(t = τ = 0) = 0

崩壊が起こる確率は大きくなった図 6。したがって、(14)

最も出現しやすい形状のバブル（図 3）の場合でも同を課して解く。ここで、πR は位置 P, Q の共役運動様の結果が得られると期待できる。

量である。また、P (t = τ = 0) はバブルとブラック
ホールの距離を表すフリーパラメータとして残して5いる。今、運動方程式は常微分方程式になっている
ので、数値計算で容易に解くことができる。後は得本研究ではブラックホールから離れた位置で偽のられた解をユークリッド化した有効作用に代入する
ことで、偽の真空崩壊の確率 (4) の指数 SE [ϕb ] を得られる。

Conclusion

真空崩壊が起こる確率を、２次元 Schwarzschild 時
空を背景時空として計算した。数値計算の結果、ブ

54

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校[3] T. Miyachi and J. Soda, “False vacuum decay in a
two-dimensional black hole spacetime,” Phys. Rev.
D 103 no. 8, (2021) 085009, arXiv:2102.02462[gr-qc].
[4] S. R. Coleman, “The Fate of the False Vacuum. 1.
Semiclassical Theory,” Phys. Rev. D 15 (1977)
2929–2936.
[5] E. Keski-Vakkuri and P. Kraus, “Tunneling in atime dependent setting,” Phys. Rev. D 54 (1996)
7407–7420, arXiv:hep-th/9604151.
図 5: 円環状のバブル[6] L. Darmé, J. Jaeckel, and M. Lewicki, “Towards
the fate of the oscillating false vacuum,” Phys.
Rev. D 96 no. 5, (2017) 056001, arXiv:1704.06445[hep-ph].

図 6: 円環状のバブルにおける B = SE [ϕb ] のブラック
ホール質量への依存性。縦軸は Minkowski 時空の場合の Euclid 作用 B0 で規格化している。

ラックホールから離れている場合でも偽の真空崩壊が起こる確率は大きくなることが分かった。確率はブラックホールホライゾンで最大となり、無限遠方
では Minkowski 時空の場合と一致する。４次元時空の場合でも同様の結果になることが期待される。

Acknowledgement
コロナ禍の中、天文・天体物理若手夏の学校を企画・運営してくださった全てのスタッフの皆様に心より感謝申し上げます。

Reference[1] S. Chigusa, T. Moroi, and Y. Shoji, “Decay Rateof Electroweak Vacuum in the Standard Model and
Beyond,” Phys. Rev. D 97 no. 11, (2018) 116012,
arXiv:1803.03902 [hep-ph].
[2] R. Gregory, I. G. Moss, and B. Withers, “Blackholes as bubble nucleation sites,” JHEP 03 (2014)
081, arXiv:1401.0017 [hep-th].

55

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重宇 12

回転ブラックホール時空における真空崩壊
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
斎藤 大生

56

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

回転ブラックホール時空における真空崩壊
斎藤 大生 (名古屋大学理学研究科 QG 研 M2)

Abstract
真空崩壊とは局所安定な状態からより安定な状態への場の遷移を意味する。この研究ではトンネル効果によるその様な遷移、特に 3 次元回転 ブラックホール (BH) 時空における真空崩壊に着目し解析をした。解析は thin shell 近似の下で Israel junction condition を用いて計算した。その結果、BH の質量が極めて小さ
くない限り、その存在は真空崩壊を妨げることが分かった。一方、角運動量が増大すると真空崩壊確率は増加した。

1なる BH が静的球対称なものに限られていることがIntroduction
真空崩壊は古典的に安定な状態 (偽真空) からより

低エネルギーの状態 (真真空) への場の遷移である。
この遷移は例えば量子トンネル効果によって引き起指摘される。実際の BH は角運動量を持つため、先行研究の結果を現実の宇宙や素粒子現象に適用するには不十分である。私はこの双方の側面の発展を目
指し、BH が角運動量を持っている場合の崩壊の様子こされる。この遷移を偽真空の場を持つ時空で考えを調べることを考えた。4 次元の回転 BH 時空でいく

ると、トンネル効果により確率的に真真空を持つ領

つかの対称性を持つものとしては定常軸対称な Kerr

域 (真空泡) が発生するという描像が考えられる。生時空が存在するが、非球対称性により先行研究と同じた真空泡が膨張し時空は真真空の場で埋め尽くさ様の手法で解析することは困難となる。[9] という先れ得る。この現象は Coleman らによって 40 年以上前

行研究はあるが、これもいくつかの仮定の元で解析から考えられている [1, 2]。一方、重力と他の場との結合は普遍的なものであり真空崩壊においてもその寄与を考えることは重要である。[3] や [4] ではブラックホール (BH) 時空中の真空崩壊が考えられた。その結果、4 次元 Schwarzschild BH の存在が真空崩壊したものとなっている。そこでこの講演では角運動量を持つトイモデルとして、3 次元 AdS 中の BH 解
である BTZ 時空での真空崩壊を考える。BTZ は定常かつ球対称な回転 BH 時空であり、[4] と同様の手法で解析できる。

の確率を引き上げることが分かった (触媒効果)。転移の中には質量や horizon 面積の減少を伴うものも見られた。これは量子重力的な効果に対応するため、 2

Motion of the Bubble Shell

基礎物理の側面から関心を集めている。BH が引き

BTZ 時空は (2 + 1) 次元の漸近 AdS 時空である。

起こす真空崩壊の解析は応用研究の側面からも重要である。2012 年に Higgs 粒子が発見された [5, 6] が、 AdS 時空というのは負の宇宙項を持つ極大対称時空
現在の宇宙は Higgs ポテンシャルの偽真空にあると を指す。BTZ 時空の計量は
2
いう可能性がある。平坦時空ではこの偽真空の寿命
14J
ds2 = −f (r)dt2 +dr2 + r2 dφ − 2 dt
は宇宙年齢より長いと見積もられている [7] が、宇宙f (r)rに存在する BH により寿命は短くなる [8]。その見積(1)もりから宇宙にある BH の個数や質量を制限する研f (r) = −8M +究も近年なされている。

r2
16J 2
+ 2
2
l
r

(2)

一方、BH の触媒効果は研究の余地を残している。 と書ける。ここで M と J はそれぞれ BH の質量と角基礎物理の側面としてはその物理的意味がしばしば運動量、l は AdS length で宇宙項と l−2 = −Λ の関議論となっている。応用の観点から言えば、触媒と係にある。[1] によると、トンネル効果による真空崩57

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
壊の確率は Euclid 化した時空での作用や運動方程式0.06

により決定される。そこで本研究も以後、t = −itE

0.04と時間を変換した Euclid 時空に関して議論する。

0.02

V(R)

この研究で考える真空崩壊では、真空泡が薄いこ
1.8とを仮定する (thin shell 近似)。また崩壊の前後と-0.02も上記の BTZ spacetime で与えられる場合を想定す-0.04

る。その場合時空の球対称性から、転移で生じる真

2.0

2.2

2.4

R/l-

-0.06

空泡の境界が球面 r = R(t) であると仮定できる。この面上で Israel junction condition [10] を課すことで

図 1: Euclid 時空でのポテンシャルの例。

Euclid 時空での運動方程式を見る。shell の外側にある転移前の時空に関して +、内側の (転移後の) 時空については − と書くことでその物理量をラベルする。
ここで junction condition は 1st junction condition[hab ]± = 0

3Euclidean Action and Decay
Rate

(3)
単位時間・単位体積あたりの真空崩壊率 Γ はと 2nd junction condition[Kab ]± = −8π (Sab − hab S)Γ ∝ e−B/ℏ(6)(4)
で与えられる。ここで B ≡ SE −SE0 であり、shell のからなる。ここで hab と Kab 、Sab はそれぞれ shell のある系の Euclidean action SE と偽真空の Euclidean

induced metric および外的曲率、shell 上の energy- action SE0 の差である。計算するとmomentum tensor であり、本研究では tension σ のπ(rH+ − rH− )
2





I
4J 2 dtE−
4J 2 dtE+− M− − 2− 2 dτ
M+ − 2
R
dτ
R
dτ
(7)

B=

みを持つと仮定した。またここで簡略化のため記号[A]± ≡ A+ − A− を定義した。
shell 上の観測者の proper time を τ とし 2nd junction condition を課すと、(τ, ϕ) から転移前後で角運動量が保存することが分かる。(ϕ, ϕ) 成分から shell
の運動は


−

dR
dτ

2

を得る。積分は Euclid 時空の shell の運動周期に渡って行う。ここで rH± は転移前後の BH の horizon 半(f+ − f− )2= σ̄ 2 R2 − f¯ +16σ̄ 2 R2≡ 2V (R)径である。horizon 半径は方程式 fE (r) = 0 の解で与
えられ、

r

(5)
rH± =

という 1 次元ポテンシャル問題の形になることが分かる。ここで σ̄ = 4πσ, Ā =A+ +A−という記号を定
2

2 + 4l4M± l±±

q

2 l2 − J 2
M±
±

(8)

と書ける。この講演では宇宙項、BH 質量、角運動量といった種々のパラメーターによる B の変化を計
V (R) は下図 1 の様になる。shell は Euclid 時空で 算することで真空崩壊の確率を評価する。比較対象
V (R) < 0 の領域を振動し、Ṙ = 0 の点でトンネリン として、同じ宇宙項を持つ AdS 時空間の遷移に関義した。

グを起こし発生する。Ṙ = 0 の解が 1 つの時、shell

する作用の差 BCDL を計算し、その比を評価する。

は転移後も静止する。これを static shell と呼ぶ。

B/BCDL < 1 であれば、BH のある時空の方が真空崩壊の確率が高いと言える。

58

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

そこで、宇宙項と shell の tension を固定し、static

Results
前 section で計算した B の結果を与える。特に角運動量に着目するが、規格化された量として spin ã+ ≡J/(M+ l+ ) を定義する。これは 1 を上限とする値であshell を与える B/BCDL を計算すると図 4 の様になった。崩壊率は M− に対して単調減少し、M− が小さ
い領域では B/BCDL < 1 となることが分かる。

る。また、結果を表す際に無次元パラメーター L+ =B

l+ /l− と s = σl− を定義した。

˜ =0.0,static
L+ =2.0,s=0.2,a
+

B CDL
8

6

4.1

ã+ = 0 case4

まずは角運動量をゼロとし、転移後の質量を変えた時の B の変化を考える。ポテンシャルの M− 依

2

存性は図 2 のようになる。M− を減少させていくと

0.2

V (R) = 0 を満たす 2 点間の距離が縮まり、また軸の

0.4

0.6

0.8

1.0

M+

図 4: static shell を与える B の M+ 依存性

位置が左にずれていく。
V(R)
0.15

0.10

M- =0.33
M- =0.32

4.2

M- =0.31

0.05

M- =0.304741(static)
1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

R
l-

ã+ ̸= 0 case

角運動量を有限とした結果を与える。図 5 を見ると、やはり B/BCDL > 1 で static shell が生じる確-0.05

率が最大となることがわかる。
図 2: ポテンシャルの M− 依存性

B

L+ =2.0, s=0.2, ˜
a + =0.5, M+ =0.1

B CDL
2.80

B/BCDL の M− 依 存 性 は 図 3 の 様 に なった 。 2.75
B/BCDL > 1 であることが見て取れる。また、M−

2.70の左端は static shell に対応し、そこで shell が生じ2.65

る確率が最大となることがわかる。

2.60

B

L+ =2.0, s=0.2, ˜
a + =0.0, M+ =0.1

2.55

B CDL
2.80

0.305

0.310

0.315

0.320

0.325

0.330

0.335

M-

図 5: B の M+ 依存性 (ã+ ̸= 0)

2.75
2.70

そこで、宇宙項と shell の tension を固定し、static

2.65
2.60

shell を与える B/BCDL の角運動量依存性を計算する

2.55と図 6 の様になった。崩壊率は ã+ に対して単調増加

0.305

0.310

0.315

0.320

0.325

0.330

0.335

M-

することことが分かる。

図 3: B の M+ 依存性 (ã+ = 0)592021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference

L+ =2.0,s=0.2

B
BCDL
4

3

[1] Sidney R. Coleman. The Fate of the False Vacuum. 1. Semiclassical Theory. Phys. Rev. D,
15:2929–2936, 1977. [Erratum: Phys.Rev.D 16,1248 (1977)].

M+ =0.2
M+ =0.1

2

M+ =0.05[2] Curtis G. Callan, Jr. and Sidney R. Coleman. The
Fate of the False Vacuum. 2. First Quantum Corrections. Phys. Rev. D, 16:1762–1768, 1977.

1

0.0

5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ã+

図 6: static shell を与える B の角運動量依存性[3] W. A. Hiscock. CAN BLACK HOLES NUCLEATE VACUUM PHASE TRANSITIONS? Phys.
Rev. D, 35:1161–1170, 1987.

Discussion and Conclusion[4] Ruth Gregory, Ian G. Moss, and Benjamin Withers. Black holes as bubble nucleation sites. JHEP,
03:081, 2014.

B/BCDL の値は 1 を上回ることが多くなった。こ[5] Georges Aad et al. Observation of a new particle
in the search for the Standard Model Higgs bosonwith the ATLAS detector at the LHC. Phys. Lett.
B, 716:1–29, 2012.

れは BH の存在が真空崩壊を妨げることを意味し、[4, 11] といった先行研究の結果と異なる。この違い
が 3 次元の特殊性なのか BTZ 時空固有のものなのかは分かっていない。ã+ や M+ を固定し M− を変化さ

[6] Serguei Chatrchyan et al. Observation of a New
Boson at a Mass of 125 GeV with the CMS Experiment at the LHC. Phys. Lett. B, 716:30–61,
2012.

せたいずれの場合も、M− を下げるほど decay rate
は上がり、static shell の形成が支配的となった。これは [4] や [11] の結果と同一である[7] So Chigusa, Takeo Moroi, and Yutaro Shoji. Decay Rate of Electroweak Vacuum in the Standard
Model and Beyond. Phys. Rev. D, 97(11):116012,
2018.

ã+ が有限の場合であっても static shell が最も生じやすい結果となった。決まった M+ に関する static

shell を考え ã+ を増していくと崩壊率は単調に増加した。このことから、BTZ 時空において角運動量の[8] Philipp Burda, Ruth Gregory, and Ian Moss. Gravity and the stability of the Higgs vacuum. Phys.
Rev. Lett., 115:071303, 2015.

存在は真空崩壊を促す効果を持つと考えられる。一方、Kerr 時空に関する先行研究 [9] の結果では角運[9] Naritaka Oshita, Kazushige Ueda, and Masahide
Yamaguchi. Vacuum decays around spinning black
holes. JHEP, 01:015, 2020. [Erratum: JHEP 10,
122 (2020)].

動量の増加に伴って崩壊率は単調に減少していた。

[9] は shell の形状を仮定し、非等方応力を与えるという前提の上で計算していた。そこでより詳細な比較のために Kerr においても tension のみを energy-

momentum の成分として持つ shell が生じる描像のもと shell の形状を方程式を解いて決定し、角運動量の存在が崩壊率にどう影響するかを見ることが今後[10] W. Israel. Singular hypersurfaces and thin shells ingeneral relativity. Nuovo Cim. B, 44S10:1, 1966.
[Erratum: Nuovo Cim.B 48, 463 (1967)].
[11] Philipp Burda, Ruth Gregory, and Ian Moss. Vacuum metastability with black holes. JHEP, 08:114,
2015.

の課題である。次元依存性という側面では、5 次元

Myers-Perry 時空などの高次元 BH 時空での解析も将来の研究課題に挙げられる。

Acknowledgement
本講演は柳哲文講師との研究に基づいたものです。
日頃の議論、ご指導に対し感謝申し上げます。

60

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重宇 13

Stable cosmology in generalized massive gravity
立教大学 理学研究科物理学専攻
高寺 俊希

61

未提出

62

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重宇 14

ひも模型と揺らぎのスペクトル解析
九州大学 理学府物理学専攻
七條 友哉

63

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

ひも模型と揺らぎのスペクトル解析-光学機械振動子の量子制御に向けて七條 友哉 (九州大学大学院 理学府 物理学専攻)

Abstract
自然界には 4 つの力が存在し、電磁気力、強い力および弱い力は量子力学に従うが、重力が量子力学に従っていることが検証されていない。もし重力が量子的であるならば、重力の量子力学的重ね合わせ状態が観測できるはずである。重力は他の力に比べ非常に弱い力であり、重力の効果を大きくするために物体を巨視化してしまうと環境との相互作用により、物体を量子力学的状態に保つことが難しくなる。光学機械振動子は、
重力波の検出にも応用されている、光共振器と振動子とを組み合わせた力学系で、[1] では重力の量子性の検証に向けて、7mg の振動子についてエネルギー散逸を大きく低減することに成功している。これにより、従来の限界より 5 桁も重い巨視的振動子の量子制御が可能にするものである。この研究では、光共振器の片側の鏡を固定し、もう片側の鏡をひもでつるした振動子とする光学機械振動子の理論模型を構築し、その量子制御に向けた理論解析を行った。ひもの影響を考えていない文献 [2] の解析を応用し、本研究ではひもの影
響を含めて鏡の振動子の揺らぎを考える。初めに、ひもを考慮した光学機械振動子の模型を導入し、ひもの熱的な揺らぎが、ひもの端についた鏡振動子の揺らぎにどう影響するのか明らかにする。鏡の揺らぎを考えるために、[2] の研究を応用し、定常状態における鏡振動子の揺らぎの 2 乗期待値を計算し、揺らぎの振幅のスペクトル解析を行った。また、鏡の揺らぎがひもの影響を考えることでどのように変化したかについて議論する。

1

存在する重ね合わせになった粒子は 2 つの異なる重Introduction

力場を生み出すだろうとファインマンは主張した。も自然界に存在する 4 つの力の内、重力のみが量子

しも時空の重ね合わせが壊れずに保たれ、試験質量力学に従うことが示されていない。重力の理論であが重ね合わせになった重力場と実際に相互作用したる一般相対性理論と量子力学の統合が、プランクス

ら、それは重力の重ね合わせが試験質量と「量子もケールという極微のスケールで起こるのではないか

つれ」を生み出し、重力の量子性の証拠となるだろと考えられている。このような小さな世界の現象をう。

探るには、実験のエネルギースケールを大きくする

重力は非常に小さな力であるため、物体を巨視化

か、高精度の実験を行うかの二つの方法がある。プする必要がある。一方で、物体を巨視化してしまう

ランクスケールを見るためには LHC(大型ハドロンと逆に量子揺らぎを作ることが困難になってしまう。

衝突器) より 15 桁以上の大きさの加速器が必要とな量子制御が可能なほど小さくかつ、重力源として使り現実的ではない。そのため、高精度の実験を追求

える程度に大きな物体として中間なミリグラム程度していく。

の振動子に着目した。

プランクスケールで起きる観測できない事象が卓

重力波干渉計において振動子の量子制御がすでに上実験で観測できる現象に影響を及ぼすのではない

行われているため、同じように振動子を用いることかと考え、アスペルマイヤーらは実験を行っている。
アスペルマイヤーらの実験はファインマンが 1957 年

渉計の振動子はひもによって吊るされており、端につに思考実験として提唱したものに基づいており、もし重力が量子現象であるなら、同時に 2 つの場所にができるだろうと考え用いている。一般に重力波干いている鏡が 4kg と非常に重く、ひもの熱的な揺らぎが効かないと考え、ひもから受ける影響を無視し64

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
り、ℏ = 1 とする。)て考える。しかし、端についている鏡の質量が 7mgという小さいものだと、ひもの熱的な揺らぎが無視∫ l

できないのではないかと考えた。そのため、ひもの

dσ[

H=

揺らぎまで含めた理論が必要となる。

0

1
T (σ)
Π2 +
2ρ(σ)
2

(

∂X
∂σ

)2

−G0 a† aX(σ)δ(σ − l)] + ωc a† a+iE(a† e−iω0 t − aeiω0 t )2Methods(1)

ただし、Π はひもの位置 X に対して共役な運動量とする。また、交換関係は [X(σ), Π(σ ′ )] = iδ(σ − σ ′ )を満たす。ハミルトニアンについて、第 1 項はひもとひもの端点についた鏡の運動エネルギーの和であり、第 2 項はポテンシャルに相当する (T (σ) はひもの張力)。第 3 項は鏡と光子のカップリングを表して√おり、G0 = ωLc

1
M ωm は鏡と光子の結合定数である(ωc :光子の周波数、L 鏡間の距離、ωm :調和振動子の周波数)。第 4 項は光子のエネルギーを表しており、

a は ([a, a† ] = 1 を満たす) 消滅演算子である。最後の項は周波数 ω0 のレーザーよって駆動される入力を記述し、E は入力レーザーの出力 |P | に関連してお√り、|E| = 2P κ/ω0 である (κ は光子の散逸率)。

図 1: 説明

運動方程式は
図 1 に示すように二つの鏡を用意する。左側の鏡かる際に、光子の運動量の一部を鏡が受け取ることT ∂ 2 X(σ)ρ0 ∂σ 2∂X
M ẍ = −T|σ=l − η ẋ + G0 a† a + ξ∂σ√ȧ = −(κ + i(ωc − ω0 ))a + iG0 ax + E + 2κain

で右側の鏡が振動する。また、光子は鏡で完全に反射

鏡の運動方程式には、鏡の速度に比例する抵抗力 (比するわけではなく、一部は鏡を透過するが、左の鏡の例係数 η) とブラウン運動による確率的な力 ξ(時間平外からレーザーを当てることにより、減少していく

均すると 0) を導入した。揺動力 ξ は次の揺動散逸関Ẍ(σ) =

を動かないように固定し、質量 M の右側の鏡は天井から吊り下げられている。左右の鏡内部に光子を閉じ込めることを考える (光共振器)。光子が鏡にぶつ

光子を補うものとする。右側の鏡について、天井から係を満たすと仮定する。
∫dω −iω(t−t′ )′< ξ(t)ξ(t ) >= ηeω考える。簡単のためひもの運動は 1 次元の運動をし、
2π
[
(
)
]
鏡と同じ軸上を動くものとする。また、ひも上に座
ω
coth
+
1
標 σ を取り、座標 σ におけるひもの位置を X(t, σ) と2kB T置いておく。このとき鏡の位置を x(t) = X(t, σ = l)
ここで、kB はボルツマン定数、T は環境の温度であとする。また、ひもの線密度を ρ0 、長さを l、ひもにる。鏡内の光子の振幅は、散逸率 κ で減少し、真空かかる張力を T (σ) で表す。ここで、ひもと鏡を一体
輻射入力ノイズ ain (t) により受ける影響を取り入れとして考えると、線密度はた。ここで、ain (t) の相関関数は次のように与えらひもで吊るされており、ひも自身も振動することをれる。

ρ(σ) = ρ0 + M δ(σ − l)で表すことができる。このとき系全体のハミルトニ< ain (t)ain,† (t′ ) >= [N (ωc ) + 1]δ(t − t′ )アンは次のように表せる。(以降では自然単位系を取< ain,† (t)ain (t′ ) >= N (ωc )δ(t − t′ )65

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
N (ωc ) = (exp{ωc /kB T } − 1)−1 は平衡状態の平均熱 こ こ で 、Sth (ω) は 熱 的 な 雑 音 の ス ペ ク ト ル 、
的光子の数である。光の周波数では ωc /kB T ≫ 1 よ Srp (ω, ∆) は 輻 射 圧 雑 音 の ス ペ ク ト ル 、そ し て 、り N (ωc ) ≈ 0 となる。

χ∆eﬀ (ω) は輻射圧によって修正された振動子の有効感受率である。

次に、X = X̄ + δX, x = x̄ + δx, a = α + δa の摂動を考える。(ただし、X̄, x̄, α はそれぞれの定常状態を表す。) まず、定常解は次のように表される。

X̄ =
α=

G0 |α|2σTE

ま た 、ひ も の 影 響 を 考 え な い 場 合 に つ い て は√ ρ0
式 (16) の 4 項目についてT ωl ≪ 1 の範囲で√(√ ρ0 )
T 1
≈
は、cot
T ωl
ρ0 ωl の近似が成り立ち、(√ ρ0 )
√ ρ0
g
T
T
2
M
T ω cot
T ωl ≈ M l = l ≡ ωm となり、ωm
はひもの影響を考えない際の振り子の周波数である

κ + i(ωc − ω0 − G0T|α| l)2(g は重力加速度)。この極限では、鏡の位置の分散< δx2 >p は、次のようになる

次に、1 次摂動の運動方程式は次のように与えられる。(|ᾱ| ≫ 1)

∫

dω ∆
S (ω)
(11)
2π xp
∆
2
Sxp
(ω) = |χ∆(12)
eﬀp (ω)| [Sth (ω) + Srp (ω, ∆)]()ω
Sth (ω) = ηω coth
(13)
2kB T
G2 κ[∆2 + κ2 + ω 2 ]
Srp (ω, ∆) = 2(14)[κ + (ω − ∆)2 ][κ2 + (ω + ∆)2 ]
1
η
G2 ∆
χ∆
[−ω 2 − iω−eﬀp (ω) =MM
M {(κ − iω)2 + ∆2 }T ∂ 2 δX
δ Ẍ =(2)ρ0 ∂σ 2
∂δX
|σ=l − ηδ ẋ + GδA + ξ (3)M δ ẍ = −T∂σ√δ Ȧ = −κδA + ∆δB + 2κX in(4)√in
δ Ḃ = −κδB − ∆δA + Gδx + 2κY(5)< δx2 >p =ここで、直交するキャビティ場を δA ≡ (δa +√√δa† )/ 2, δB ≡ (δa − δa† )/i 2 とし、対応する
エルミート入力雑音演算子を δAin ≡ (δain +√√δain,† )/ 2, δB in ≡ (δain − δain,† )/i 2 と定義した。

2 −1
+ ωm
]

(15)

また、振動子と光の有効なカップリングは次のよう3に表される。

G=√

パラメータの値については、[3] の実験を参考にし、

2Go α

鏡の位置の分散 < δx2 > は式 (2)〜(5) を周波数空間
で解き、対応する揺らぎのスペクトルを積分することで得ることができる。

∫dω ∆< δx2 >=
S (ω)
(6)
2π x
2
Sx∆ (ω) = |χ∆(7)
eﬀ (ω)| [Sth (ω) + Srp (ω, ∆)]()ω
Sth (ω) = ηω coth
(8)
2kB T
G2 κ[∆2 + κ2 + ω 2 ]
Srp (ω, ∆) = 2(9)[κ + (ω − ∆)2 ][κ2 + (ω + ∆)2 ]χ∆eﬀ (ω) =Results & Discussion次に示す。

M = 7 × 10−6 kg, T = 7 × 10−6 × 9.8 kg m/s2 ,η = 4.83 × 10−5 Hz ·kg, κ = 2π × 8.2 × 105 Hz,
1−∆ = 0.0292κ,|G| = 2π × 4.5 × 102 (kg Hz) 2 ,ρ0 = 2650 × π × (0.5 × 10−6 )2 kg/m, l = 0.01m,
kB T /ℏ = 1011 Hz,ωm = 31.3Hz
以上のパラメータを用いて、鏡の変位の揺らぎの 2
乗期待値 < δx > を周波数 ω の関数として書くと、
図 2 のようになる。図 2 より、光子と鏡のカップリングがある場合には、鏡の揺らぎの周波数が大きい√
方にシフトすることが分かった。また、 ρT0 ωl ≪ 1の範囲において、< δx2 >, < δx2 >p を比較したものを図 3 に示す。今回用いたパラメータの範囲では
ηG2 ∆1[−ω 2 − iω−MM
M {(κ − iω)2 + ∆2 }ひもの揺らぎによる影響が鏡の揺らぎには大きく影
√
(√
)
T
ρ0
ρ0
響しないことが分かった。
+
ω cot
ωl ]−1
(10)
M T
T

66

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校ことも必要である。
1012

1010
<δx2 >

Reference
1. Seth B. Cataño-Lopez , Jordy G. SantiagoCondori, Keiichi Edamatsu, & Nobuyuki Matsumoto, Phys. Rev. Lett. 124, 221102 (2020)

108
Exact
G=0(no copling)

106
1

5

10

50

100

500

2. C. Genes, D. Vitali, P. Tombesi, S. Gigan, & M.
Aspelmeyer, Phys. Rev. A 77, 033804 (2008),
arXiv:0705.1728

1000

ω[Hz]

3. Nobuyuki Matsumoto &arXiv:2008.10848 (2021)

図 2: T0 = 300K の際、鏡の変位の揺らぎの 2 乗期
待値 < δx > のスペクトル解析。G=0 の時は、光子が鏡と相互作用せず、鏡は光子からの輻射圧を受け
ない。
1011

<δx2 >

1010
109
108
<δx2 >

107<δx2 >p

106
105

1

5

10

50

100

500

1000

ω[Hz]

図 3: T0 = 300K の際、鏡の変位の揺らぎの 2 乗期待
値 < δx > のスペクトル解析。< δx2 >p はひもの影
響がなく、鏡が振り子運動を行う際の揺らぎである。

4

Conclusion
式 (2)〜(5) にてひも模型の量子ランジュバン方程式を導き、式 (6)〜(10) にてひも模型における定常状態の揺らぎのスペクトルを計算した。今回用いたパラメータではひも模型による影響が無視できることが分かった。
今後の課題としては、今回は周波数が低い領域の実験のパラメータを取り扱ったため、周波数が高い領域の実験のパラメータを用いてひもの影響が見られるのかを確認する必要がある。このひも模型をより実験に近い状況である beam model に拡張する必要がある。また、量子制御のために平均二乗誤差を最小化する Wiener ﬁlter と呼ばれるフィルタを導入

67

Naoki

Yamamoto,

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重宇 15

光学振動子系における非ガウス状態の量子もつれ九州大学 理学府物理学専攻
三木 大輔

68

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

光学振動子系における非ガウス状態の量子もつれ三木 大輔 (九州大学大学院 理学府)

Abstract
重力が量子力学に従うかを検証するために、重力により生じる量子もつれに着目した模型がいくつか提案されている。これらの模型では、2 つの物体を重ね合わせに用意する必要があるが、系の状態は量子もつれの一般的な評価が難しい非ガウス状態になっている。私たちは非ガウス性を特徴づけるキュムラントをもとに、非ガウス状態の量子もつれの判定法を構築する。また、この判定法を光学振動子系に適用することにより、非ガウス性由来の量子もつれを検出できることを示す。一方、非ガウス性が大きくなると、この判定法では量子もつれを検出することが難しくなることも説明する。

1

ね合わせ状態にする必要があり、その状態は非ガウ

Introduction

ス状態になっている。そのため、非ガウス状態の量
重力を記述する一般相対性理論と量子力学の統一

子もつれは重力の量子性の検証において、重要な役のために、様々な研究が盛んに行われてきたが、確立割を持つ。

した理論は存在しない。これは重力の量子的な振る

本研究 [7] では、非ガウス性を特徴づけるキュム

舞いを検証する実験の欠如が要因となっている。そラントに着目し、非ガウス状態に対しても適用できの一方で、重力が量子力学に従うことが自明ではなる量子もつれの条件を導出する。また、この条件をいとの指摘もあり [1]、量子力学の原理から重力の量子性に関する議論も行われている。特に近年の量子光学振動子系に適用し、2 つの重力相互作用する鏡間の量子もつれの評価を行う。この時、共分散行列技術の発展を契機として、重ね合わせの原理の観点では捕らえることのできない量子もつれをキュムラから重力の量子性を説明する実験模型が提案されてントに基づく条件では検出できることを示す。さらいる [2, 3]。この模型では、2 つの重ね合わせにある
物体間にニュートン重力によって生成される量子もに、この条件では非ガウス性が大きくなると、量子もつれの検出が難しいことも議論する。

つれに着目する。ここで、量子もつれは量子力学で知られる非局所的な相関であり、量子情報理論から古典的には生成できないことが知られている。従っ2

Methods2.1

量子もつれの評価法て、重力による量子もつれの生成は重力が量子力学に従っていることを意味する。
巨視的な重ね合わせを実現し、重力の量子性を検

この節では、キュムラントに基づく量子もつれの評証するための模型として、光学振動子系が注目され価法について説明する。一般の状態に対する量子もている [4, 5]。この模型では、質量を持つ鏡がキャビ

つれの評価法として、PPT 条件が知られている [6]。

ティ内の光子と相互作用することにより重ね合わせ

これは状態を表す密度行列 ρ に対して状態となる。この時、鏡の状態は波動関数がガウス型でない非ガウス状態となっている。ガウス状態のTr[ρpt fˆ† fˆ] ≥ 0,

量子もつれはよく研究されており、共分散行列によを破るような演算子 fˆ が存在するならば、量子もつり特徴づけられるが、非ガウス状態の量子もつれをれが存在するという条件である。ここで、ρpt は密度

正確に捕らえることは非常に難しい。その一方で、光行列について一方の系のみ転置した行列を表す。

(1)学振動子系に限らず、重力による量子もつれから量

ここでは、正準演算子 r̂ = (q̂a , p̂a , q̂b , p̂b ) で表さ子性を検証するためには、2 つの物体をそれぞれ重れる系 A と系 B について考える。これらの正準演

692021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
算子は



T

[r̂, r̂ ] = iΩ,

0 1 −1 0
Ω=
 0 0

0

0

0

0

2.2




0 
,
0 1 

−1 0
0

光学振動子系のセットアップ
鏡
質量

(2)
光子源
ハーフミラーの交換関係を満たす。ここで、キュムラントに基づく
非ガウス状態の量子もつれの評価法を得るため、演
算子 fˆ を˜ i + ζij ∆r̂
˜ i ∆r̂˜ j,fˆ = zi ∆r̂(i = 1, 2, 3, 4),

光子源

鏡
質量

(3)

˜ = r̂ − Tr[ρpt r̂] であり、z =と選ぶ。ここで、∆r̂

図 1: 光学振動子系のセットアップ。入射光子はハー(z1 , z2 , z3 , z4 ) と ζ = (ζ11 , ζ12 , · · · , ζ44 ) は複素ベフミラーを通して 2 つの経路に分けられる。また、各クトルである。この時、不等式 (1) の左辺は
!T
!
!
z∗
A B
z
pt ˆ† ˆTr[ρ f f ] =
, (4)
ζ∗
B† D
ζ

鏡はキャビティ内の光子と相互作用することにより、と表される。ここで、行列 A, B, D はそれぞれ 4 ×子はハーフミラーを通して 2 つの経路に分けられ、一TT

重ね合わせ状態となる。
図 1 に光学振動子系のセットアップを示す。各光方のキャビティの終端にある鏡と相互作用する。各4, 4 × 16, 16 × 16 行列であり、各成分は

鏡はこの光子との相互作用を通して重ね合わせ状態(5) となる。この系のハミルトニアンは√√(6)ℏΩm 1 + g 2ℏΩm 1 + g 22Ĥ =(p̂a + q̂a ) +(p̂b + q̂b2 )∗B
2
2
Dij,kℓ = κT
+
A
A
+
A
A
+
A
A
,
(7)
kℓ
ik
jℓ
iℓ
jk
ij
4,ijkℓ+ ℏωp (ĉ†1 ĉ1 + ĉ†2 ĉ2 ) + ℏωp (dˆ†1 dˆ1 + dˆ†2 dˆ2 )と表される。ここで、σ は共分散行列であり、∆r̂ =ΛΩmΛΩm ˆ† ˆ−ℏĉ† ĉ1 q̂a − ℏ
d d1 q̂br̂ − Tr[ρr̂] を用いて、σ = Tr[ρ{∆r̂, (∆r̂)T }] と表さ(1 + g)1/4 1(1 + g)1/4 1れる。また、κn は n 次のキュムラントであり、gΩm− ℏ√q̂a q̂b ,(10)
1+g
κn,j1 j2 ,··· ,jn

 


と表される。ここで、q̂a , p̂a (q̂b , p̂b ) は無次元化した∂∂,=iΩj1 k1· · · iΩjn knlnχ(r)
鏡の正準量であり、ĉ1 , ĉ† (dˆ1 , dˆ† ) は光子の生成消滅
∂r
∂r

1 TB
(σ + iΩij ),2 ijBBi,jk = κT
3,ijk ,
Aij =

k1

kn

1

r=0

1

(8) 演算子を表す。また、重力カップリング g と鏡と光子のカップリング Λ はTと定義される。ここで、χ(r) = Tr[ρeir Ωr̂ ] は特性
r
ωp
ℏ
Gm
関数である。PPT 条件を用いると、,(11)
g = 2 3, Λ =!
Ωm hΩm l 2mΩm
A B
M≡
≥ 0,
(9)
と表される。ここで、G は重力定数、Ωm , ωp は鏡とB† Dを破るならば、状態は量子もつれ状態である。従って、共分散行列と 3 次、4 次のキュムラントにより光子の振動数、l はキャビティ長を表す。また、鏡の初期状態は非ガウス状態の量子もつれは特徴づけられる。また、ガウス状態に対する量子もつれの評価法は A ≥ 0 と同等であり、行列 B 、D が非ガウス状態の量子もつれを特徴づける。

70′|ϕm ⟩ = eir Ωr̂ |0⟩a |0⟩b ,(12)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校とし、光子の初期状態は

×10-4

0.0

1
|ϕp ⟩ = √ (|0⟩c1 |1⟩c2 + |1⟩c1 |0⟩c2 )21⊗ √ (|0⟩d1 |1⟩d2 + |1⟩d1 |0⟩d2 ),
2

- 0.2
- 0.4

×10- 2

E2

(13)

0.5
- 0.6

0.25
- 0.8

とする。ここで、r̂ は (2) の交換関係を満たす鏡の-3
g = 10Λ = 0.1

0.0
0

6

12

- 1.0

正準演算子であり、r ′ = (qa′ , p′a , qb′ , p′b )T である。

0

2

4

6

8

10

12

Ωm t

全体系の密度行列 ρ = |ϕm ⟩ |ϕp ⟩ ⟨ϕm | ⟨ϕp | から光

-6

×10

0.0

子をトレースアウトすると、鏡の密度行列は

- 0.2

ρm =

1
1 X

4

kl
kl
ρkl
m = |ϕ ⟩ ⟨ϕ | ,

kl
ρm
,

- 0.4

(14)

E2

k,l=0

0.3
- 0.6

0.15
- 0.8

と得られる。ここで、

0

- 1.0

|ϕkl ⟩ = e− 2 r H r̂t ei(jiT-3
g = 10Λ=1

0.0) H −1 Ω[1−etΩH ]r̂

kl T

0

|ϕm ⟩ , (15)

6
2

12
4

6

8

10

12

Ωm t

であり、j kl = ΛΩm (1 + g)− 4 (k, 0, l, 0)T である。ま1

た、ハミルトニアン行列は
 √
1+g
0

√

0
1+g
H=
 −√ g
0

1+g

0

0

g
− √1+g

0

0

0

1+g

0

√

0

√

図 2: 行列 A の最小固有値 E2 の振る舞い。重力カップリングは g = 10−3 であり、鏡と光子のカップリ

ングは Λ = 0.1, 1 である。各図は負の固有値の領域



,



のみであり、全体の振る舞いは図中に縮小図として
示す。

1+g

-4

×10

0.0

(16)
- 0.2

と与えられる。この状態 ρm は 4 つのガウス状態の

- 0.4

E4

和になっており、Λ = 0 を除いて非ガウス状態になっ- 0.6ている。この状態から行列 A, B, D を計算し、重力- 0.8による鏡間の量子もつれについて評価する。

- 1.0

-3
g = 10Λ = 0.1

0

2

4

6

8

10

12

Ωm t
×10-5

3

0.0

Results- 0.1

図 2 と図 3 はそれぞれ行列 A と行列 M の最小

- 0.2

E4

固有値 E2 , E4 の振る舞いを示す。ここで、重力カッ- 0.3

プリングは g = 10−3 とし、鏡と光子間カップリン- 0.4

グは Λ = 0.1, 1 とした。各図において最小固有値が

- 0.5

-3
g = 10Λ=1

0

負の値をとるとき、不等式 (1) を破るので量子もつ

2

4

6

8

10

12

Ωm t

れが生じている。Λ が非常に小さいときには、状態はガウス状態に近づくため、行列 A と M のどちら

図 3: 行列 M の最小固有値 E4 の振る舞い。各カッを用いても量子もつれは同じように検出される。一

プリングは図 2 と同じである。図 2 と異なり、非ガ方、Λ が大きくなると非ガウス性が大きくなり、行

ウス性由来の量子もつれを検出できている。

列 A により量子もつれを検出できる領域は少なくなる。しかし、行列 M による評価では、行列 A では

71

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
捕らえられない量子もつれを検出することができて1.4いる。従って、3 次、4 次のキュムラントを用いるこ

1.2-3
g = 10Λ=1

1.0
distanceとにより、非ガウス性由来の量子もつれを特徴づけることができている。

0.8
0.6
d00,11

0.4

d00,01
0.2

d00,100.04Discussion

0

2

4

6

8

10

12

Ωm t
-3
g = 10Λ=11.4

前章では、3 次と 4 次のキュムラントにより非ガウ

1.2

ス状態の量子もつれを検出できることを示した。しdistance

1.0

かし、状態の非ガウス性が大きくなると、この条件
では量子もつれが検出しにくくなる。これを示すた

0.8
0.6
d10,01

0.4

d10,11

めに、鏡の状態に対する Wigner 関数を求めると、
Z
TT
1
W (X) =
d2 rTr[ρm eir Ωr̂ ]eiX Ωr
2π
1
X
kl
′ T −1T −1kl′π=e−(X+S(J +r )) S S (X+S(J +r )) ,8

0.2

d01,11

0.0
0

2

4

6

8

10

12

Ωm t

図 4: 各ガウス分布の中心間の距離の振る舞い。各ガ

ウス分布が近いと状態はガウス状態に近づき、各分(17) 布が離れるほど状態は非ガウス性は大きくなる。

k,l=0となる。ここで、X = (Qa , Pa , Qb , Pa )T であり、J kl = H −1 (1 − e−tHΩ )j kl 、S = eΩHt と定義した。
また、この分布は 4 つのガウス分布の和になってお各鏡はキャビティ内の光子との相互作用により重ね合わせ状態を実現でき、系の状態は非ガウス状態とり、各ガウス分布の中心は X kl = −S(J kl + r ′ ) となっている。この時、キュムラントに基づく判定法

なっている。ここで、各分布間の距離を

dij,kl = |X

成される量子もつれを評価した。光学振動子系では、では、共分散行列のみでは捕らえられない量子もつ√− X |/ Σ,(18) れを検出できることを示した。一方この判定法では、非ガウス性が大きくなると量子もつれの検出が難しと定義する。ここで、Σ は SS T の固有値の和であ くなることも示した。実験においては、光と相互作
ijkl

る。図 4 は g = 10−3 , Λ = 1 における各距離の振る用する鏡の量子制御技術が進歩し、2 つの鏡の 2 次舞いを示す。図 3 と比較すると、各分布間距離が最相関の測定スキームも提案されている。周りの環境も離れている Ωm t = π, 3π では、量子もつれが検出による影響を考慮し、より現実的な模型の構築が今しにくくなっていることがわかる。従って、4 次まで後の課題である。

のキュムラントに基づく条件では、非ガウス性が大きくなると量子もつれが検出しにくくなっている。

Reference
5[1] R. Perose, Gen. Rel. Grav. 28, 581 (1996)

Conclusion[2] S. Bose et al., Phys. Rev. Lett. 119, 240401 (2017)[3] C. Marletto and V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 119,240402 (2017)

私たちは共分散行列と 3 次、4 次のキュムラント
に基づく量子もつれの判定法を導出した。この評価[4] A. A. Balushi et al., Phys. Rev. A 98, 043811 (2018)

法は非ガウス性を特徴づける高次のキュムラントを[5] A. Matsumura and K. Yamamoto, Phys. Rev. D 102,
106021 (2020)

用いており、非ガウス状態の量子もつれを評価することができる。また、この判定法を光学振動子系に[6] A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

適用することにより、重力相互作用する鏡の間に生[7] D. Miki et al., arXiv:2108.00662

72

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重宇 16

非ガウス性による重力の量子性の検証
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
前田 新也

73

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

非ガウス性による重力の量子性の検証
前田 新也 (名古屋大学大学院 重力・素粒子的宇宙論 (QG) 研究室)

Abstract
近年、量子制御技術が飛躍的に発展してきている。それに伴い、重力のプランクスケールにおける非相対論
極限、弱重力での振る舞いについての研究が行われている。第一量子化の観点からエンタングルメントを用いた重力の量子性の検証は提案されていたが、第二量子化の観点からは提案されていなかった。そこで本発
表では、第二量子化の観点から量子性の指標となる BEC 状態での波動関数の非ガウス性の提案を行い、第一量子化と同じようにエンタングルメントを用いた際の問題点を指摘した [1] のレヴューを行う。

1

まず、古典的なニュートン重力に対するハミルト

Introduction

ニアンは重力のプランクスケールにおける振る舞いを記述

1
Hint =
2する理論は、その実験による検証の困難さから未だ確立した理論は存在しているとは言えない。その一∫d3 rρ(r)Φ(r)(1)

方で近年の量子制御技術の発展に伴い、実験室系にと記述される。Φ(r) はニュートンポテンシャル、ρ(r)おける重力のプランクスケールにおける性質に関すは古典的な質量密度である。重力が量子論に従うとる研究が行われている [2],[3],[4]。非相対論的、弱重すれば ρ(r) と Φ(r) の両方が量子化され、このよう力のもとで重力がニュートンポテンシャルになるこな重力モデルを Quantum Gravity(QG) と呼ぶ。一とを用い、ポテンシャルの量子性を検証する手立て

方、Classical Gravity(CG) と呼ばれる重力モデルでが調べられてきた。第一量子化の観点からはポテン

は、物質すなわち ρ(r) のみが量子化され、重力ポテン

シャルに含まれる重力源の位置が演算子になっていシャル Φ(r) は量子化されない。ρ̂(r) = mΨ̂† (r)Ψ̂(r)るモデルと期待値になっているモデルがあり、後者を用いて、第二量子化によるハミルトニアンはそれを含む方程式は Schrödinger-Newton 方程式と呼ばれぞれ∫
1m d3 r : Ψ̂† (r)Ψ̂(r)Φ̂(r) :2∫
ĤCG = m d3 r Ψ̂† (r)Ψ̂(r)Φ[Ψ](t, r)ている。

ĤQG =

本発表ではこれらのモデルに対し、第二量子化による BEC 状態での自己重力ハミルトニアンの表式を与え、その量子性の指標となる量を提案した [1] についてレヴューを行う。

(2)
(3)

と表される。:: は normal ordering を表しており、mは粒子の質量である。また、CG において 1/2 を取2り除いたのはエーレンフェストの定理からの類推に

BEC 状態での第二量子化による よる。QG の重力ポテンシャル Φ̂ はポアソン方程式
から求められ、
自己重力相互作用∫

基底状態がマクロ的に占められる十分低温な物理Φ̂(r) = −Gm系を考える。この時、Bose gas は非相対論的なスカ

d3 r ′

Ψ̂† (r ′ )Ψ̂(r ′ )|r − r ′ |(4)

ラー量子場 Ψ̂(r) によって記述され、Ψ̂(r) ≈ ψ(r)âとなる。一方、CG の重力ポテンシャルは (4) の期待と近似される [5]。ψ(r) は波動関数、â は粒子の消滅値を取ったものであり、Φ = ⟨Φ̂⟩ としたものである

演算子であり、全ての同種粒子が同じ状態になって

[6]。

いる。

74

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
り原理的には λLR = m

Ψ̂(r) = ψ(r)â を用いれば、BEC 状態のハミルト∫∗
d3 rψL(r)ψR (r)Φ[Ψ](t, r)

が 0 でなければ、すなわち波動関数に重なりがあれ

ニアンはそれぞれ

1
ĤQG = λQG â† â† ââ
2ば λLR â†L âR +h.c. の項によってモード間にエンタン(5) グルメントが生じてしまう。二つのモードを十分離
せばこのエンタングルメントは抑えられるが、それĤCG = λCG â† â

(6)に併せて重力も弱くなるという問題を抱えている。

と書き下される。λQG 、λCG はそれぞれ

また、エンタングルメントを用いて QG と CG を区∫別するためには CG が LOCC(Local Operations and

λQG = −Gmd3 rd3 r ′|ψ(r ′ )|2 |ψ(r)|2|r − r ′ |(7) Classical Cmmunication) であるという仮定が必要となるが、BEC 状態における波動関数の非ガウス性を∫
λCG = −Gm32

d r|ψ(r)| Φ[Ψ](t, r)

用いた検証にはそのような仮定は必要としない。

(8)

実験的側面においても、重量のある粒子を空間的である。

に離れた重ね合わせの状態に置く実験は困難とされ、これはニュートン極限で (2) の BEC の自己重力

電磁気や van der Waals 相互作用などのノイズは距

ハミルトニアンが現れる全ての QG 理論と、(3) の離を離すことで抑えられるが重力も弱くなるという
BEC の自己重力ハミルトニアンが現れる全ての CG 問題がある。それに対し、重量のある BEC 状態は理論についての、特定のモデルに依らない一般的な 既に実験的に作られており、Feshbach resonance に検証となっている。

よって電磁気相互作用のみを制御することができる

[8]。

3

エンタングルメントを用いた重力の量子性の検証の問題点

4

非ガウス性

第一量子化した重力の量子性の検証の手立てとしてエンタングルメントが提案されている [7]。まず古
典的にはニュートンポテンシャルは

V (x1 , x2 ) = −ハミルトニアンが位置と運動量、あるいは消滅演
算子と生成演算子について二次までで表される場合、
すなわちハミルトニアンが2Gm|x1 − x2 |重力の量子性による波動関数の

(9)

Ĥ =

のように記述される。QG では x1 と x2 の両方ともが量子化され、CG では重力を受ける方の位置のみが量子化され重力源の位置は期待値を取る。この時、QG には x1 と x2 の両方の演算子が分離できない形で含まれるため、エンタングルメントが生じる。一∑kλk (t)x̂k +∑x̂Tk µkl (t)x̂l

(10)

kl

である時、ガウス状態はガウス状態にのみ移る。こ
こで添え字はモードを表しており、xTk = (x̂k , p̂k ) であり、λk (t) と µkl (t) は 2×1 と 2×2 の時間に依存する任意の実行列である。この形以外のハミルトニア

方、CG では重力を受ける側の演算子しか含まれな
いため系 1 と系 2 のハミルトニアンは H1 ⊕ H2 の形に分離でき、エンタングルメントは生じない。

ンは波動関数のガウス性を保存せず、非ガウス性をもたらす。
実スカラー場の free Hamiltonian は、
∫
]
[
1
Ĥ =
d3 r (∂t ϕ̂)2 + (∇ϕ̂)2 + m2 ϕ̂22

また一方で、第二量子化による観点からは CG でもエンタングルメントを生じうる。BEC 状態を double-

well potential で二つのモードに分けると、Ψ̂(r) =(11)

ψL (r)âL +ψR (r)âR のようになる。âL 、âR はそれぞ であり、場を消滅演算子と生成演算子で展開した ϕ̂ =∑†∗k [uk (t, r)âk + uk (t, r)âk ] を代入することで、(11)であり ψL 、ψR はそれぞれの波動関数である。(3) よ のハミルトニアンが (10) の形になることが分かる。
れ左のモードの消滅演算子、右のモードの消滅演算子75

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
つまり、free Hamiltonian は波動関数のガウス性を

ングルメントが生じ、また particle entanglement が保つ。

物理的かどうかの問題も残る。そこで筆者らは BEC

QG の場合の BEC の自己重力のハミルトニアン

状態における自己重力相互作用のもとでの波動関数(5) は消滅演算子と生成演算子について 4 次の形にの非ガウス性を用いた重力の量子性の検証を提案しなっており、この自己相互作用は波動関数を非ガウた。ハミルトニアンが正準共役量について 2 次以下ス型にする。一方で CG の場合の BEC の自己重力であればガウス性が保存されることを用いて、第二のハミルトニアン (6) は消滅演算子と生成演算子に量子化した QG と CG の識別が可能となることが示

ついて 2 次の形になっており、この自己相互作用はされた。これらは QG 理論や CG 理論に依らない非波動関数のガウス性を保存する。よって初期の波動

常に一般的な検証となっており、実験的にも優秀な関数をガウス型にし、その後の時間発展による非ガ検証となっている。また、4 次のキュムラントを用いウス性を測定すれば QG と CG が識別できる。

れば波動関数の非ガウス性は測定される。

しかし一方で第一量子化の観点からすると、(9) より QG でも CG でも位置について 2 次に収まっておAcknowledgement

らず波動関数を非ガウス型にしてしまう。このこと
は非ガウス性を用いた検証の課題と言えるだろう。

日頃から議論していただいている南部保貞様、郭優佳様、大澤悠生様に感謝します。また本集録作成5にあたり、協力していただいた QG 研のみなさんに波動関数の非ガウス性の測定
波動関数の非ガウス性は q̂(φ) = âe−iφ

感謝します。

† iφと地球に感謝。

(12)

Reference+ â e

して、4 次のキュムラント

κ4 =⟨q̂ 4 ⟩ − 4⟨q̂⟩⟨q̂ 3 ⟩ − 3⟨q̂ 2 ⟩2
+ 12⟨q̂ ⟩ ⟨q̂ ⟩ − 6⟨q̂⟩
2 2

4

4

[1] Richard Howl, Vlatko Vedral, Devang Naik,

によって測定される。これは一般のオーダーでは⟨X1 : X2 : · · · ; Xn ⟩
[
∂ ∂
∂
=
···
∂t1 ∂t2
∂tn
⟨
[ n
]⟩]
∑
× ln exp
ti Xi
i=1

Marios Christodoulou,

Carlo Rovelli,andAditya Iyer. Non-gaussianity as a signature ofa quantum theory of gravity. PRX Quantum,
2:010325, Feb 2021.

(13)[2] C. Marletto and V. Vedral. Gravitationally induced entanglement between two massive particles is suﬃcient evidence of quantum eﬀects in

t1 =t2 =···=tn =0となっており、期待値や分散を一般化したものであgravity. Phys. Rev. Lett., 119:240402, Dec 2017.

る [9]。ガウス分布は 2 次以上のキュムラントが 0 になり、対照的な非ガウス分布は 3 次のキュムラント

[3] Sougato Bose, Anupam Mazumdar, Gavin W.

が 0 になるため、波動関数の非ガウス性の測定にはMorley, Hendrik Ulbricht, Marko Toroš, Mauro

4 次のキュムラントを用いる。

Paternostro, Andrew A. Geraci, Peter F.
Barker, M. S. Kim, and Gerard Milburn.
Spin entanglement witness for quantum gravity.

6

Conclusion

Phys. Rev. Lett., 119:240401, Dec 2017.

第一量子化の観点からは、エンタングルメントを用[4] Chiara Marletto and Vlatko Vedral. When can

いた重力の量子性の検証が提案されている。しかし第gravity path-entangle two spatially superposed

二量子化の観点からは QG と CG のどちらでもエンタ

masses? Phys. Rev. D, 98:046001, Aug 2018.

76

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校[5] S. Stringari L. Pitaevski. Bose Einstein Condensation and Superfluidity. Oxford University
Press, 2016.
[6] L. Diósi. Gravitation and quantum-mechanicallocalization of macro-objects. Physics Letters
A, 105(4):199–202, 1984.
[7] Daniel Carney, Philip C E Stamp, and Jacob M
Taylor. Tabletop experiments for quantum gravity: a user’s manual. Classical and Quantum
Gravity, 36(3):034001, jan 2019.
[8] 加藤宏平. 極低温異核フェッシュバッハ分子の研究. 博士論文.

[9] 鈴木増雄 田崎晴明 江沢洋, 渡辺敬二. くりこみ群の方法. 岩波書店.

77

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重宇 17

回転ブラックホール周辺のアクシオン電磁気学
神戸大学大学院 理学研究科物理学専攻
砂川 浩諒

78

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

回転ブラックホール周辺のアクシオン電磁気学
砂川浩諒 (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract
回転ブラックホールからエネルギーを取り出す方法として最もよく知られているのはペンローズ過程である。ペンローズ過程の一種にブラックホール周辺の磁場のエネルギーを取り出す Blandford & Znajek 機構(BZ 機構) というものがある。本記事ではまず、ペンローズ過程と BZ 機構を紹介する。次に BZ 機構で扱われるフォースフリー電磁気学 (FFE) を微分形式を用いて表現する方法をレビューする。我々は電磁場とアクシオンの相互作用が BZ 機構に及ぼす影響に興味がある。そこでアクシオンと電磁場の相互作用を考慮した FFE の方程式系を微分形式を用いて最小作用の原理から考察する。結果的には、アクシオンと電磁場の相互作用を考慮すると、従来から知られている BZ 機構に帰着することが結論づけられる。

1

正のエネルギーを放出することと等価である。このIntroduction
ブラックホールとは、巨大な星が重力崩壊したり、銀河の中心、あるいは初期宇宙のような超高密度なようなペンローズ過程の一種に Blandford & Znajek
機構 (Blandford, & Znajek 1977) がある。BZ 機構とは、回転ブラックホールの周辺に存在する磁場の状態において生じる時空の閉領域である。ブラックエネルギーを放出する機構である。AGN には磁場がホールの存在は一般相対論により理論的に予言され存在することを考慮すると、BZ 機構が AGN からのる。一般相対論によると、ブラックホールは事象のエネルギー放出を説明すると期待される。

地平線と呼ばれる境界をもち、その境界を含む内部

BZ 機構では、プラズマの慣性を無視する条件、フォースフリー条件が仮定される。この条件の下、考えは外部と因果関係を持つことができない。近年、ブラックホール連星由来の重力波観測や影の直接的なられる電磁気学体系をフォースフリー電磁気学 (FFE)

撮像によって、ブラックホールの存在は確かなものとなり、精密天体観測のターゲットになリつつある。
ブラックホール研究は天体物理学において重要な研と呼ぶ。FFE をテンソル形式ではなく微分形式を用いて記述すると、共変性が明白であることに加えて計算がはるかに簡単になり、計算や物理的考察の見究分野であることに加えて、理論物理学においても通しが立ちやすい (Gralla, & Jacobson 2014)。

時空と物質の関係を探求する上で重要な研究である

活動銀河核 (AGN) の周辺にアクシオンダークマと考えられる。

ターが存在すると仮定するならば、アクシオンと電活動的な銀河の中心 (AGN) からは毎秒 1044−47 ergのエネルギーが放出されていることが観測的に分かっている。また、AGN の正体は巨大な回転ブラックホールであると考えられている。したがって、あらゆるものを吸い込むイメージのある、巨大な回転ブラック

磁場の相互作用が BZ 機構に影響を与えるのではな
いかと我々は考えた。そこで本研究では、アクシオ
ンと電磁場の相互作用項をラグランジアンに加えてFFE の方程式系を最小作用の原理から導出した。その結果、アクシオンと電磁場の相互作用を考慮してホールからエネルギーが放出される物理的プロセス

も、相互作用を考慮しない従来の BZ 機構を支配すが存在すると考えられる。ブラックホールからエネ

る FFE の方程式系と同一の体系を得た。

ルギーが放出される機構として最も有名だと思われるのはペンローズ過程である。ペンローズ過程とは、
回転ブラックホール周辺のエルゴ領域で作られた負のエネルギーをブラックホールに吸い込ませるプロ
セスである。負のエネルギーを吸い込ませることは79

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

ネルギー E = −k · P をもつ粒子を測地線に沿って

Penrose process

移動させ、エルゴ領域に投げ入れる。次にエルゴ領本研究に関係する BZ 機構は回転している定常か域で負のエネルギー E1 = −k · P1 をもつ粒子 1 と正つ軸対称ブラックホールに対してのみ成り立つ。回転ブラックホールの厳密解は 1963 年に Kerr によって発見されたことから、カー・ブラックホールと呼のエネルギー E2 = −k · P2 をもつ粒子 2 に分割する。すると局所的な慣性系で次式のエネルギー保存
則が成り立つ。

ばれ、計量 ds2 = gµν dxµ dxν はボイヤー・リンキス
ト座標を用いて (−, +, +, +) の記法で次のように書

E = E1 + E2

(6)

かれる。

)
2M r
4M ar sin2 θ
ds2 = − 1 −
dt2 −
dtdϕ
Σ
Σ
A
Σ
+ sin2 θdϕ2 + dr2 + Σdθ2Σ∆

いま、(6) 式において、E1 < 0 より、(

E2 = E − E1 > E(7)(1) となる。粒子 2 は正のエネルギーもつのでエルゴ領域の外側に出てくることができる。したがって、投げ

ただし、入れた粒子よりも大きなエネルギーをもつ粒子 2 を

Σ = r + a cos θ, ∆ = r − 2M r + a
2

2

2

2

A = (r2 + a2 )2 − a2 ∆ sin2 θ2(2) 取り出せることが分かる。このとき、カー・ブラック(3) ホールは負のエネルギー E1 をもつ粒子 1 を吸い込んで回転エネルギーが下がる。これは間接的にカー・ブである。外側と内側の地平線をそれぞれ r± とすると、 ラックホールから回転エネルギーを引き抜いたこと√∆ = (r − r+ )(r − r− ) であり、r± = M ± M 2 − a2 を意味する。このカー・ブラックホールからのエネルである。外側の地平線は事象の地平線と呼ばれる。 ギー引き抜き過程をペンローズ過程 (Penrose 1969)(1) で表される計量は時間 t と方位角 ϕ に依存しな という。
いので、時空は 2 つのキリングベクトル、k := ∂/∂tと m := ∂/∂ϕ をもつ。ブラックホールが回転してい3

る場合、事象の地平線の外側にはエルゴ領域と呼ばれる空間がある。エルゴ領域とは時間的キリングベ

BZ mechanism
BZ 機構とは、カー・ブラックホール周辺の磁場かクトルのノルム k2 = gtt が空間的、つまり gtt > 0となる、事象の地平線より外側の領域のことである。
実際、事象の地平線の外側で gtt > 0 となるのは、らエネルギーを取り出す機構であり、ペンローズ過程の一種である (Blandford, & Znajek 1977)。活動

銀河の中心には回転ブラックホールが存在し、その周
√
√
2
2
2
2
2
M + M − a < r < M + M − a cos θ (4) 辺には磁場があると考えられているので、銀河の中
心からエネルギーのジェットが吹き出す仕組みを BZの領域である。
機構で説明できそうである。回転ブラックホール周
エルゴ領域にある粒子はエネルギー的に興味深い辺に存在するプラズマの慣性を無視する条件、フォー

性質をもつ。粒子のエネルギーは時間的キリングベ

スフリー条件を課すと、電磁場テンソルは次式を満

クトル k と粒子の 4 元運動量 P を用いて次のように

たす。

書ける。

Fab j b = 0

E = −k · P
2

(5)

(8)

ここで j b は 4 元カレントである。また、Fab は電磁2(5) 式において、P < 0 であり、k > 0 である時空 場テンソルであり、ベクトルポテンシャル A を用いa領域ならば k · P > 0 となる可能性がある。このとき て次式で定義される。
E < 0 となり、粒子はエルゴ領域で負のエネルギーを持ちうることが分かる。この性質を用いてカー・ブ
ラックホールから回転エネルギーを引き抜ける。エ80

Fab = ∇a Ab − ∇b Aa(9)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで ∇ は時空の共変微分である。いま、時空が定(16) 式は動径方向外向きに流れるエネルギー流速を

常かつ軸対称であることからベクトルポテンシャル表している。したがって、(16) 式が正のとき、カー・が時間と方位角に依存しないと仮定すると次式が得

ブラックホールからエネルギーが取り出せることがられる。

分かる。(16) 式が正になるのは ΩH > ω となるとき∇r A0 · j 0 + ∇r A0 · j ϕ + Bϕ j ϕ = 0であることが分かる。つまり、ブラックホールの角(10) 速度の方が電磁場の角速度より大きいとき、カー・(11) ブラックホールからエネルギーが取り出せることが∇ θ A0 · j 0 + ∇ θ Aϕ · j ϕ − B ϕ j r = 0(12)∇ r A0 · j r + ∇ θ A0 · j θ = 0

分かる。このエネルギーを取り出す過程を BZ 機構(13) と呼ぶ。正の外向きエネルギーはエルゴ領域で言い換えると負の内向きエネルギーとなる。この見地にまた、ソースを含むマクスウェル方程式は次のよう 立つと、BZ 機構はペンローズ過程の一種であるとい∇ r Aϕ · j r + ∇ θ Aϕ · j θ = 0

になる。

える。

∇b F

ab

=j

a

(14)

通常、(14) 式は右辺の 4 元カレントが与えられて左4辺の電磁場を解くべき式である。だが、フォースフ
リー条件の仮定の下ではそうではない。この仮定の下で (14) 式は電磁場と 4 元カレントを結びつける関係式であるだけであり、電磁場を解くための方程式ではない。電磁場の方程式は (8) 式に (14) 式を代入することで次のように得られる。

Fab ∇c F bc = 0
ここで、真空 (∇b F

Covariant force-free electrodynamics(15) 式を微分形式で表現してみる。微分形式を用いる利点は相対論的共変性を視覚的に明白に保ちながら計算できることと、計量の代わりにホッジスター
演算子を用いて計算するので、カー計量などの複雑な式を扱うことなく簡単に計算できることである。

(15)

フォースフリー条件を満たす電磁場テンソル F は次ab= 0) の場合も (15) 式を満た のようにかけることが知られている (Uchida 1996)。
すが、(15) 式の成立は自明でありつまらない。とこF = dϕ1 ∧ dϕ2(20)
ろが、プラズマがある場合 (∇b F ab ̸= 0) には (15) 式の電磁場を求めることは非自明である。したがって、 ここで、ϕ1 , ϕ2 はオイラーポテンシャルと呼ばれるプラズマがある場合を考える。

スカラー関数である。次に、フォースフリー条件 (8)実際、BZ 機構で取り出せるエネルギーはどのよう

式を微分形式を用いて表現することを考えよう。そに表されるのだろうか。地平線上のエネルギー流速のために、カレント 1 形式のホッジ双対である次のは次式で表される。

ようなカレント 3 形式を考える。

E a = −T ab kb ∝ ω(ΩH − ω)(B ϕ )2
1
T ab = Fca F bc − Fcd F cd g ab
4

jb =

(16)

式を (8) 式に代入すると次式を得る。

ブラックホールの角速度、ω は (8) 式から電磁場の角aΩH = 2r+ + a2∇ r A0ω=−∇ r Aϕ(21)(17) ここで ϵbcde は 4 次元のレビ・チビタ記号である。(21)

ここで B ϕ は磁場の方位角成分である。また、ΩH は速度だと解釈可能で次のように定義される。

1 bcdeϵJcde
3!

Fa[b Jcde] = 0(22)

ここで、[· · · ] はその中の添え字について完全反対称(18) であることを意味する。これを微分形式で書くと (20)式を用いて次のように書ける。
(19)dϕi ∧ J = 081(i = 1, 2)(23)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
また、最小作用の原理を次の作用

∫ (
SEM =

1
− F ∧ ∗F + A ∧ J
2)dϕi ∧ d(∗F + κaF ) = 0(24)(i = 1, 2)(31)(31) 式において、dϕi ∧ (κaF ) = κdϕi ∧ da ∧ F = 0に適用することにより、次式のマクスウェル方程となる。よって、(31) 式は次のようになる。

式が得られる。

d∗F =J(25)dϕi ∧ d ∗ F = 0と書ける。ここで ∗ はホッジスター演算子であり、今1 ab
F ϵabcd2!

オンと電磁場の相互作用を考慮しても、フォースフ(26) リー電磁気学 (FFE) の方程式系は結局、アクシオン(25) 式を (23) 式を代入することで次式が得られる。
dϕi ∧ d ∗ F = 0(i = 1, 2)と電磁場の相互作用を考慮しない場合における FFEの方程式系に帰着することが分かる。

(27)

6

これがフォースフリー電磁気学を支配する方程式
であり (15) 式を微分形式で書いたものに対応する。
次に (27) 式を最小作用の原理から導出する方法を紹介する。作用は次のようになっている。
∫
1dϕ1 ∧ dϕ2 ∧ ∗(dϕ1 ∧ dϕ2 )SFF = −
2(32)

これは (27) 式と全く同じである。よって、アクシの場合、次式で定義されている。

∗Fcd =(i = 1, 2)

Conclusion
本記事ではまず、回転ブラックホールからエネル

ギーを取り出す方法であるペンローズ過程と、その一種である BZ 機構について説明した。そして BZ
機構では、電磁場が満たすべき条件としてフォース(28)

フリー条件を課し、一般の電磁気学体系とは異なり、(28) 式ではフォースフリー条件を課しているのでマクスウェル方程式を条件式として扱うフォースフ

F = dϕ1 ∧ dϕ2 であることを用いた。(28) 式を ϕ1 , ϕ2リー電磁気学を紹介した。この特別な電磁気学体系に関して変分をとり、最小作用の原理を用いると (27)を相対論的共変性が明白になる微分形式を用いて表式を得る。

現した。最後にアクシオンと電磁場の相互作用を考慮してフォースフリー電磁気学を微分形式を用いて再構築した。その結果、アクシオンと電磁場の相互

5Force-free axion electrody- 作用を考慮しても、通常のフォースフリー電磁気学に帰着することが分かった。このように、微分形式
namicsを用いると、一般時空における方程式系の解析を見

前節の内容を参考に電磁場とアクシオンの相互作用

通しよく行うことができる。したがって、微分形式を考慮すると (27) 式がどのように変化するかを我々 を用いた解析は現在、我々が取り組むブラックホーは考えた。アクシオンと電磁場との相互作用を考慮し ル物理学の研究に役立つだろうと期待している。
たマクスウェル方程式は最小作用の原理を次の作用
)
∫ (
1
κ
SEM−axi =− F ∧∗F − aF ∧F +A∧J (29)22Reference
Blandford R. D., & Znajek R. L. 1977, MNRAS.

に適用することにより、次式が得られる。

Gralla. S. E., & Jacobson T. 2014, MNRAS.

d ∗ F = −κda ∧ F + J(30) Penrose R. 1969, Riv. Nuovo Cimento.

ここで κ はアクシオンの崩壊定数である。(23) 式

Uchida T. 1997, The American Physical Society.

に (30) 式の J を代入すると次式のようになる。

82

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重宇 18

膨張宇宙における Black Hole Shadow
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
松田 大輝

83

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

膨張宇宙での Black Hole Shadow松田

大輝 (名古屋大学大学院 理学研究科

重力・素粒子的宇宙論研究室)

Abstract
今回レビューする (Gennady S. Bisnovatyi-Kogan & Oleg Yu. Tsupko 2018) では、宇宙論的距離にある Black Hole(BH) に対する BH shadow の見た目の大きさについて解析したものである. 膨張宇宙でのshadow の大きさを計算する手法は厳密解である Schwarzchild-deSitter の場合以外に知られていない. そのため (Gennady S. Bisnovatyi-Kogan & Oleg Yu. Tsupko 2018) では新たな計算手法として,angular size

redshift relation を用いて近似的に一般的な場合での shadow のサイズを求める方法を提案した. この計算から shadow の angular size は black hole redshift に依存した関数として得られる. 結果として, 大きな宇宙論的距離にある BH の shadow のサイズが, 我々の住む銀河の中心にある BH の shadow に近いサイズになり得ることがわかった. また最後に, このような shadow の観測の可能性について議論する.

1

2

Introduction

Description of Methods

2019 年、the Event Horizon Telescope によりおと膨張する宇宙に埋め込まれた Shwarzschild BH をめ座銀河団の楕円銀河Ｍ 87 の中心に位置する super-

考える. 宇宙の膨張は Hubble parameter H(t) で表さ

massive BH の姿を画像で捉えることに成功した. 画

れる. 現在の Hubble parameter の量を H0 とする.BH

像から BH を囲む明るいリング構造とその中心にあの mass を M ,the Shwarzschild radius を RS = 2m

る暗い領域が存在することが分かる. この暗い領域はとする. ここで mass parameter m は,m = M G/c2

BH shadow と呼ばれている. この shadow の大きさ

である.
観測者は BH から非常に離れているとし,radial co-

や輪郭により BH のパラメータを決定することが出ordinate は rO ≫ m とする.

来る.

ここで, 以下の関係を満たす radial coordinate r1

我々が住む宇宙は膨張している事が分かっている. 膨張による効果から BH の shadow のサイズに影響を与を導入する.

えると考えられる. しかし膨張宇宙に BH を適切に埋m ≪ r1 ≪ rO .

め込み, 強い重力下で光の軌道を計算する必要がある
ため Friedmann-Robertson-Walker(FRW)metric で

この条件 (1) から,描かれる一般的な場合の expanding Friedmann uni-(i) BH 近くの領域, r < r1verse での shadow の計算は困難である.
そこで, この論文では観測者が BH の horizon に比べ非常に遠く, 膨張が非常に小さい場合に、BH 付近
では膨張の影響を無視でき, また観測者が十分離れているため BH の重力の影響を無視できるような状況
本発表では, これらの状況下で shadow の angular
られることを述べる.

(ii) BH から離れた領域, r > r1
からなる二つの領域が考えられる.

(i) は BH の重力と比べ, 宇宙の膨張を無視できる領域, (ii) は宇宙の膨張が優勢で,BH の重力が無視できる領域である.

を考える.

size が black hole redshift に依存した関数として得(1)

領域 (ii) で今回提案する angular size redshift re-lation を, 宇宙膨張の効果が現れるので適用する.
まず初めに,shadow の physical linear size を考える. 観測者が r1 に位置すると, 宇宙膨張のない

shadow のサイズを見ることになる. よって Synge の84

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
式 (J.L. Synge 1966) より,Shwarzchild BH の angu-

この式を用いて様々な宇宙での shadow のサイズを

lar radius αsh は,求める.
ここで,z が十分小さいときのサイズを求める. この

sin2 αsh =27m
27m (1 − 2m/r1 )
≃
.
r12
r12
2

とき Int(z) ≃ z (ここで Ωm0 + Ωr0 + ΩΛ0 = 1 を用

2(2)いた) なので,angular radius は,と書ける. そのため shadow の linear radius Rsh は,√

Rsh ≃ r1 sin αsh = 3 3m .

√
H0 1
.
αsh (z) = 3 3m
c z

(9)

(3)
となる. これは,BH との距離を Dd ≃ cz/H0 とすると書ける. また、radius r1 では, 宇宙膨張が小さいたと（これは z ≪ 1 のときに正しい）(10) 式は,√
3 3m
αsh (z) =.
Dd

め膨張による効果を無視している.
次に, 宇宙膨張による影響を受ける領域 (ii) でのangular radius を,angular size redshift relation を用いて考える.

(10)となる.

angular diameter distance DA は定義より,
DA =

L
,
∆θ

例として,M87 の supermassive BH を考える. z =0.004283 , M = 6.2 × 109 M⊙ とすると,angular di(4) ameter は約 35 µas を得る. z が十分小さいとき, 条
件 (1) よりこの近似は適用できないが, 現実的な状況ではこれらは有効である.

と書ける, ここで L は object の proper diameter, ∆θは angular diameter である.angular diameter dis-

tance は redshift z の関数であることが知られている.
c
DA (z) =Int(z) ,(1 + z)H02.1Black hole in de Sitter universede Sitter universe で BH shadow が comoving(5)

observer からどのように見えるかを考える.de Sit-

ここで,matter,radiation,dark energy の現在の den-ter universe では,ΩΛ0 = 1,H(t) = H0 = const

sity parameter の量を Ωm0 , Ωr0 , ΩΛ0 とすると,,Int(z) = z なので (8) 式は,∫z
Int(z) =√H0 1 + z.
αsh = 3 3m
c
z

(
)−1/2
Ωm0 (1 + z̃)3 + Ωr0 (1 + z̃)4 + ΩΛ0
dz̃ ,

0

(6)

(11)

となる.
ここで z → ∞ とすると,である. よって,(4) 式より angular diameter は,

H0 1 + z∆θ(z) = L.
c Int(z)√H0αsh → 3 3m
.
c

(12)

(7)
となる. この結果は Kottler metric で計算した結果となる.(3) 式を代入すると,angular radius は

αsh (z) = Rsh

H0 1 + z.
c Int(z)と一致する (V. Perlick et al. 2018).
よって,dark energy が支配的のとき,(12) 式のよう

(8) に angulae radius は有限の値に収束する.

となり、shadow の angular radius の式を得た.

85

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.2

Einstein de Sitter spacetime

次に,matter が支配する宇宙を考える.Einstein deSitter spacetime では,Ωm0 = 1, Ωr0 = 0 , ΩΛ0 = 0なので (9) 式は,√
1+z
3 3m H0αsh (z) =.
2
c [1 − (1 + z)−1/2 ](13)となる. これは,z = 5/4 で αsh (z) は最小値をとる.
よって,matter が支配的のとき,redshift z の増加で
図 2: 図 1 の拡大図, また破線は (9) 式をプロッangular size は増加する.

トしたもの.z の全範囲で (9) 式は宇宙膨張のない

Schwarzschild の場合と解釈できる. また曲線上の円

2.3Real multicomponent universe

は McVittie metric を用いて数値計算した結果である.

現在の観測で知られているパラメータを持つ宇宙を考える. パラメータとして Ωm0 = 0.3,Ωr0 = 0,ΩΛ0 =3

0.7 を用いると図 1 のようになる.
z = 10 のとき,αsh ≃ 26 mH0 /c となる. ここで
M = 1010 M⊙ , H0 = 70 km/(sec·Mpc) とすると,Comparison with exact numerical solution in McVittie
metricαsh ≃ 0.6 µas となる. また.M = 1011 M⊙ とする

これらの結果を McVittie metric を用いて数値計算と.αsh ≃ 6 µas となる. 結果として, 宇宙論的距離にで求めた shadow のサイズと比較する.McVittie met-

ある BH の angular diameter は 12 µas 程度になり

ric は,G = 1 = c とすると,得る.

(
ds2 = −

1−µ
1+µ

)2
dt2 + (1 + µ)2 a2 (t)(dr2 + r2 dΩ2 ),(14)と記述される. ここで µ ,dΩ2 はµ=m, dΩ2 = sin2 ϑ dφ2 + dϑ2 ,2a(t)r(15)である. また a(t) はスケール因子である.
この metric からラグランジュ関数 L = gµν ẋµ ẋν(ドットは aﬃne parameter λ での微分である。) を用いて,cosmological term only と matter only のと

図 1: angular radius αsh の z 依存性:de Sitter model

きの shadow のサイズを計算する. 観測者の共動座標(Ωm0 = 0, ΩΛ0 = 1),Einstein–de-Sitter space-を r(λ0 ), t(λ0 ) とし,H0 が十分小さく, r(λ0 ) ≫ mtime (Ωm0 = 1, ΩΛ0 = 0) ,real multicomponent(G = c = 1) として数値計算を行うと cosmologicaluniverse(Ωm0 = 0.3, ΩΛ0 = 0.7).

term only と matter only のとき図 2 のようになる.
これらの結果は, 近似で求めた結果と一致する.

862021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Conclusion

J.L. Synge , Mon. Not. R. Astron. Soc. 131, 463 (1966)(i) 膨張宇宙での shadow の大きさを計算する手法として angular diameter redshift relation を用いた (8)V. Perlick, O. Yu. Tsupko, & G. S. Bisnovatyi-Kogan,
Phys. Rev. D (2018), accepted, arXiv:1804.04898(2018).

式を提案した.(10) 式で z が小さいときに正しい結果が得られたこと,(12) 式が Shwarzschild-de-Sitter の場合での結果が厳密解と一致すること,McVittie met-ric を用いて数値計算した結果が一致することを確かめられた.

(ii)matter 成分が存在すると,z の値が大きい BHは shadow のサイズが大きくなることが分かった. 最近の観測では z ≃ 20 までの宇宙の特性が明らかになった. 大きな z で観測するために設計された, 未来のプロジェクトである,’James Webb Space Telescope’(https://jwst.nasa.gov) は, 大きな redshift のオブジ
ェクトの観測できると考えられる. 将来的に大きな宇
宙論的距離にある supermassive BH の shadow が観測されると期待される.

(iii) このような大きな宇宙論的距離にある BH のshadow を観測するには、angular radius が十分大きいだけでなく, 十分な光源が必要になる.
最後に, 銀河中心にある BH の shadow の現在の観測と, 宇宙論的距離にある BH の shadow の観測の可能性を比較する. 銀河中心にある supermassive BHの観測の場合, 光放射はダストによって遮蔽されるた
め光学測定は不可能である. したがって観測はサブミリの範囲で行われる. クエーサーの場合, 光学測定が可能であり, 光学バンドとミリバンドの間の波長には3 桁の違いがある. そのため VLBI テクノロジーを用いると 3 桁優れた解像度が得られる可能性がある. これは, 大きな宇宙論的距離ににある BH の shadow を観測するのに十分と考えられる.

Acknowledgement
本発表において、ご指導してくださった講師の柳哲文さん,QG 研の皆さまに感謝申し上げます.

Reference
Gennady S. Bisnovatyi-Kogan & Oleg Yu. Tsupko,
arXiv:1805.03311(2018)87

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重宇 19

インフレーション宇宙論におけるブラックホールのダ
イナミクス
近畿大学 総合理工学研究科理学専攻
諏訪 みづき88

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

インフレーション宇宙論におけるブラックホールのダイナミクス
諏訪

みづき (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract2019 年 4 月 10 日に EHT 国際共同研究グループが楕円銀河 M87 の中心にある巨大ブラックホールの撮影に成功したと発表した [1]。その結果は、ブラックホール時空における光の振る舞いについて一般相対性理論が予言する通りであった。ブラックホール時空を記述する上で最も簡単な解は、Schwarzschild 時空である。Schwarzschild 時空は、十分遠方では Minkowski 時空になる漸近平坦時空である。しかし、我々の宇宙は、現在ダークエネルギーにより加速膨張しており、初期にはインフレーションという加速膨張を経験している。こうした加速膨張宇宙は漸近平坦ではなく、de Sitter（ドジッター）時空に漸近することが分かっている。そのため、宇宙論におけるブラックホールのダイナミクスを理解する上では、背景時空がインフレー
ションを表すような漸近的 de Sitter 時空上のブラックホールが重要である。そこで、本発表では、スカラー場のポテンシャルがゆっくり進化する slow-roll インフレーション宇宙論におけるブラックホールについて考察する。そのようなブラックホールは、宇宙定数が時間とともにゆっくり進化する quasi-Schwarzschild-deSitter 時空によって記述できる。本発表では、初めに静的 Schwarzschild-de Sitter 時空の基本を説明する。
その後、Gregory-Kastor-Traschen の研究 [2] にしたがって、Schwarzschild-de Sitter での slow-roll する
スカラー場の波動方程式を分析して、ポテンシャルが時間座標 T のみに依存する新しい座標を導入する。そして、slow-roll インフレーション宇宙論における動的ブラックホールの熱力学法則を解説する。

1

Introduction

2

Schwarzschild 時空2019 年 4 月 10 日に EHT 国際共同研究グループ
Schwarzschild 時空とは、静的球対称真空ブラックが楕円銀河 M87 の中心にある巨大ブラックホールの ホール解のことである。Schwarzschild 計量は、撮影に成功したと発表した。その結果は、ブラック
dr2
rs 2
2
+ r2 (dθ2 + sin2 θdϕ)
ホール時空における光の振る舞いについて一般相対 ds = −(1 − )dt +r
1 − rrs性理論が予言する通りであった。ブラックホールを記(1)
述する上で最も簡単な解は、Schwarzschild 時空であ ここで、rs は Schwarzschild 半径である。この解は、る。Schwarzschild 時空は、十分遠方では Minkowski 宇宙項を含まない漸近平坦時空である。
時空になる漸近平坦時空である。しかし我々の宇宙は、現在ダークエネルギーにより加速膨張している。
また、宇宙初期にはインフレーションという加速膨張を経験している。本発表では、インフレーション宇宙論におけるブラックホールのダイナミクスを、スカ
ラー場のポテンシャルがゆっくり進化する slow-roll
条件のもとで考える。

3

ブラックホールの熱力学

Schwarzschild 解の表面積 A = 4πrs と質量パラメーター M の関係から、以下の（2）式のような熱力学第一法則に対応する式を導くことができる。

δM = Tb δSb(2)κ
ここで、Tb = 2π
、A = 4πrs2 、S = A
4 である。M ：ブラックホールの質量、Tb ：ブラックホールのホラ
イズン温度、Sb ：ブラックホールのホライズンのエ892021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ントロピーを表す。ここで、ブラックホールの表面（3）式に、T = t + h(r) となる座標 T を導入する。

積とエントロピー、および表面重力と温度の関係がここで関数 h(r) を上手く選ぶことで、T = const 超あることがわかる。これらの関係は、場の量子論を曲面がブラックホールホライズンと cosmological ホ

考察した Hawking 輻射の公式を導出することで明確

ライズンの両方のホライズンの横切るようになる。

に定まる。

ds2 = −f dT 2 + 2ηdrdT +Schwarzschild-de Sitter 時空

4dr2(1 − η 2 ) + r2 dΩ2 (8)f

ここで、f = f (r, T )、η = η(r, t) は、slow-roll するス
カラー場を通して摂動的に与えられる。
（8）式は、質Schwarzschild-de Sitter 計量は、以下のような式で与えられる。
ds2 = −f0 (r)dt2 +量や宇宙項が準静的に変化する quasi-Schwarzschild-de Sitter 時空を表す。

2dr+ r2 dΩ2f0 (r)(3)

Λ 2
ここで、f0 = 1 − 2GM
r − 3 r である。また、M ：質

6

量、Λ：正の宇宙定数である。

GM ≤ 3√1 Λ のとき、f0 (r) = 0 には、3 つの解がある。それぞれの解を、rn 、rb 、rc とすると

f0 (r) = −Λ(r − rc )(r − rb )(r − rn )3r

(4)

Schwarzschild-de Sitter ブラックホールの第一法則と質量第一法則

Schwarzschild-de Sitter ブラックホールの第一法
則は、と書き換えることができる。ここで、rn = −(rb +rc )Tb δSb + Tc δSc + Mp2 Vds δΛ = 0.

である。よって、

rc rb (rb + rc )GM =2(rb2 + rc2 + rb rc )
また、

Λ=

3
rb2 + rc2 + rb rc

(9)

3
3
ここで、Vds は、Vds = 4π
3 (rc − rb ) で与えられる SdS(5) ブラックホールの熱力学体積である。
（11）式に現れた量の時間変化は slow-roll スカラー場を用いて記述できる。また、漸近平坦な場合（2）式と比べると、(6) slow-roll スカラー場のポテンシャルで与えられる宇である。rb：ブラックホールのホライズン半径、rc： 宙項の変分 δΛ が現れ、その係数が熱力学体積 Vds で
cosmological ホライズンの半径を表す。2 つのホライ 与えられ点が特徴的である。
また、質量第一法則は、ズンでの表面重力は、h をホライズンとすると、

κh =f0′ (rh )2で求まる。f0 (r) に Λ > 0 が含まれるため、この解は漸近平坦ではなく、漸近 de Sitter 時空である。

(10)3
ここで、Vb は、Vb = 4π
3 rb で与えられる熱力学体積

である。

7

slow-roll 条件

5δM − Tb δSb + Mp2 Vb δΛ = 0.

(7)

今後の展望

インフレーション宇宙では、加速膨張の観点からス

本発表では、slow-roll 条件を考えることによって、カラー場のポテンシャルがゆっくり進化する slow-roll

インフレーション宇宙論におけるブラックホールの条件を考える。宇宙定数 Λ は、スカラー場 ϕ のポテ

ダイナミクスを考えた。よって、宇宙定数や質量に時ンシャルＷによって与えられ、時間とともに進化す

間依存性を与え、時間依存のホライズン領域、熱力学る。

体積、および動的表面重力を考察した。今後は、定数902021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ｒの表面を横切るスカラー場のエネルギー運動量を取る、ブラックホールのホライズンから入り cosmo-

logical ホライズンから出ていくスカラー場のフラックスについて考えたい。

8

Reference[1]The Event Horizon Collaboration The Astro-phy. J. 875,L1(2019)[2]R.Gregory, D.Kastor, J.Traschen, Classicaland Quantum

Gravity 35, 155008, (2018)91

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重宇 20

大気チェレンコフ望遠鏡を用いた原始ブラックホールの探索東京大学 理学系研究科物理学専攻
金森 翔太郎92

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

大気チェレンコフ望遠鏡を用いた原始ブラックホールの探索
金森 翔太郎 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
現代宇宙論の興味深いテーマの一つに原始ブラックホール (Primordial Black Hole, PBH) がある。PBH とは、インフレーションの時に生じた密度揺らぎが、重力崩壊して形成すると考えられているブラックホールである。PBH は、現在観測されている大質量ブラックホールの起源を自然に説明できるだけでなく、ダーク
マターの正体である可能性や最初の重力波検出である GW150914 の連星ブラックホールの起源を説明できることから、注目されている。

PBH を探索する方法の一つとして、ブラックホールが起こすとされている Hawking 放射によるガンマ線を観測する方法がある。ブラックホールによる Hawking 放射は、時間と共に放出する光子のエネルギーが上昇する。特にガンマ線領域は、エネルギーの増加の様子が顕著であることから、エネルギーが上昇してゆくガンマ線を検出することで PBH を検出することが考えられてきた。この方法による PBH の探索はこれまで、100 TeV 付近のエネルギーに最高感度を持つ水チェレンコフ検出器の HAWC、1 TeV 付近のエネルギーに最高感度を持つ大気チェレンコフ望遠鏡の H.E.S.S.、1 GeV 付近のエネルギーに最高感度を持つガンマ線天文衛星 Fermi-LAT などを用いて行われており、PBH の個数密度に制限を付けてきた。
本発表では HAWC と H.E.S.S. を用いて、それぞれ PBH の探索を行った文献のレビューを行う。また、次世代大気チェレンコフ望遠鏡である CTA が現在建設中である。CTA は従来の大気チェレンコフ望遠鏡の 10倍以上の感度を持つことから、PBH の探索が飛躍的に進むことが期待されている。本発表では H.E.S.S. の結果だけでなく、CTA を用いた将来展望についても議論する。

1

序論

1.1

原始ブラックホールと Hawking 放射

Hawking 放射の温度 T は [1] によると

原始ブラックホール (Primordial Black Hole, PBH)とは、インフレーションの時に生じた密度揺らぎが、重力崩壊して形成すると考えられているブラックホールであり、宇宙誕生からおおよそ 1 秒以内に形成さℏc3
T =∼ 10−78πGM kB

(

M
M⊙

)−1
K

(1)

である。ただし、M は現在のブラックホールの質量である。(1) より、太陽質量程度のブラックホールで、最大 10−7 K 程度の放射なのに対し、PBH は太陽質量より軽い質量まで持つことが可能であり、1017 g

れたとされる [1]。通常のブラックホールは 1M⊙ 以
下の質量を持つことはできないが、PBH の質量の理論的に予想される範囲は 10−5 g から 1017 M⊙ であり、様々な質量を持つことが可能である。PBH は、
現在観測されている大質量ブラックホールの起源を自然に説明できるだけでなく、ダークマターの正体

より軽い質量のときガンマ線領域まで放射される。

Hawking 放射による個数フラックス dN
dt は、図１
より 、時間と共に上昇していくことがわかる [3]。

Hawking 放射によりエネルギーを外部に放出し、ブラックホールの質量は減少することも考慮すると PBH
からのガンマ線は時間と共に粒子のエネルギー、フである可能性や最初の重力波検出である GW150914の連星ブラックホールの起源を説明できることから、注目されている。
ブラックホールは量子効果を考慮すると、Hawk-

ラックスが増加してゆく。
また、PBH 検出に対する感度の指標としてある単位時間あたりに PBH が蒸発する個数密度 ṅPBH があ

ing 放射と呼ばれる熱的な放射をするとされる [2]。

932021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
る。ここで、ṅPBH はṅPBH =

1.3
nsig
Veﬀ

仮定するモデルHawking 放射は (1) で定義されるエネルギー以下(2)と定義される。ただし、nsig は予想される PBH からの信号数であり、Veﬀ は観測可能な体積である。

の粒子をすべて放射できる。その為、仮定する素粒子物理学のモデルによって放出できる粒子の数が異なり、予想されるガンマ線のフラックスも異なる。以下
では、素粒子物理学のモデルとして標準模型を仮定
し、PBH からのガンマ線を検出することを考える。

大気シャワー

2

大気に入射したガンマ線あるいは荷電粒子は、地球大気と相互作用し 2 次粒子を作る。2 次粒子はさらに地球大気と相互作用し、3 次粒子、4 次粒子を次々に生み出していく。これらの粒子群のことをまとめて大気シャワーと呼ぶ。IACT や水チェレンコフ望
遠鏡ではこの大気シャワーを利用し、間接的に元のガンマ線の情報を復元している。

3

観測装置

3.1

HAWC

HAWC (High Altitude Water Cherenkov Observatory) はメキシコの標高 4100 m に位置する、100
GeV から 100 TeV の範囲にあるガンマ線や荷電粒

図 1: Hawking 放射による粒子の個数フラックス [3]子を観測することを目的として作られた観測装置で図の波線は PBH が蒸発する時間を表し、エネルギーが 100 GeV 以上のガンマ線のみを表している。また、図の時間は PBH が蒸発する時間からの相対的な時ある [4]。メインアレイと呼ばれる直径 7.3 m の水を含んだタンク 300 個とアウトトリガーと呼ばれる直径 1.55 m のタンク 345 個から構成される。視野は間差を表す。

IACT より広くおおよそ 2 sr ほどである。IACT と比べ長時間観測可能であるという特徴を持ち、1 年

1.2の時間うちの 95% 以上観測可能である。

観測する対象PBH の検出に用いる解像型大気チェレンコフ望3.2

遠鏡 (Imaging Atmospheric Cherenkov Telescope,

H.E.S.S.

IACT) や水チェレンコフ検出器は、最高感度が GeV

荷電粒子が空気中の光速を超えると、チェレンコフ

から TeV にある為、その付近のエネルギーの Hawk-

光と呼ばれる可視から紫外領域の光を放射する。このing 放射を観測する。そのエネルギーを放射する PBH チェレンコフ光を地上で捉え、元のガンマ線を間接的は、現在 109 − 1010 g 程度の質量を持ち、また GeV に観測することができる。このようにガンマ線を観測から TeV で 10−100 秒程度輝く。本稿では、この質する望遠鏡を解像型大気チェレンコフ望遠鏡 (Imaging

量範囲の PBH について考察を行う。

Atmospheric Cherenkov Telescope, IACT) と呼ぶ。

94

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
IACT は HAWC と異なり、シャワー中の荷電粒子で4.2はなく、大気中で発生したチェレンコフ光を観測し

HAWC

探索は 2015 年 3 月から 2018 年 5 月までの 959 日ている。

間に、HAWC からおよそ 0.5 pc の距離にある範囲

H.E.S.S.(High Energy Stereoscopic System) はナ

について行われた [4]。これらの探索では PBH から

ミビアの標高 1800m に位置する 5 台の IACT で、おの有意な信号は検出されなかった。また、(2) を用い

およそ 50 GeV 以上のガンマ線を観測することを目て観測データから実際に HAWC の ṅPBH の上限値を的に建設された。

計算すると、−3ṅPBH < 3400+400
yr−1−100 pc(3)が得られた。

4.3

H.E.S.S.

2004 年 1 月から 2013 年 1 月の間の 2600 時間以上の観測データを用いて PBH の探索が行われた [6]。

HAWC の解析と同様な方法で探索が行われたが、
H.E.S.S. による探索でも PBH からの有意な信号は検出されなかった。これまでと同様に (2) 式を用いて ṅPBH の上限値を計算すると、

ṅPBH < 56000 pc−3 yr−1(4)が得られた。

5

CTA による探索

5.1

CTA について

図 2: IACT によるチェレンコフ光観測 [5]CTA (Cherenkov Telescope Array) は現在建設中の次世代ガンマ線望遠鏡である。大・中・小の望遠鏡から成り、南サイト (チリ)・北サイト (スペイン)

4

観測結果

4.1

解析

に建設予定である。現在は北サイトに大口径望遠鏡(Large-Sized Telescope, LST) 1 号機が完成している。LST は口径が直径 23m あり、高い集光性能を持

何も天体がない方向を観測した際に、突発的なガンマ線信号が観測されているかを調べた。有意な PBH

つ為、暗い信号でも捉えることができる。CTA の感度は従来の IACT の 10 倍以上である [7]。

からの信号が検出されなかった際には、各々の観測において、ṅPBH の 99% 信頼区間の上限値について調べられた。

5.2

予想される CTA の ṅPBH

先行研究 [8] によって行われた推定によると、CTAの感度が H.E.S.S. と比較して 10 倍であると仮定した際には、ṅPBH に更に強い制限を課すことが可能

952021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。感度がこれまでの 10 倍になると (2) 式にお[3] Jane H MacGibbon, Tilan N. Ukwatta, J. T.

ける Veﬀ の値が変更され、結果的に ṅPBH も変更さ

Linnemann, S. S. Marinelli, D. Stump, andれる。推定された ṅPBH の上限値は、2000 時間の観K. Tollefson. Primordial Black Holes. In 5th

測で、International Fermi Symposium, 3 2015.
ṅPBH < 187 pc−3 yr−1

(5)[4] A. Albert, et al. Constraining the Local Burst

である。

Rate Density of Primordial Black Holes with
HAWC. JCAP, Vol. 04, p. 026, 2020.

6

結論[5] Heinrich J. Völk and Konrad Bernlöhr. Imaging Very High Energy Gamma-Ray Telescopes.

これまで、HAWC,H.E.S.S. の観測結果と予想さExper. Astron., Vol. 25, pp. 173–191, 2009.

れる CTA の観測結果を示してきた。初めに示した−3
HAWC の結果が ṅPBH < 3400+400
yr−1 とこ−100 pc[6] J-F. Glicenstein, A. Barnacka, M. Vivier, and

れまでの制限で最も強いものとなっている。これは、T. Herr. Limits on Primordial Black Hole evap-

観測時間が他の観測装置と比べて長く、観測できる

oration with the H.E.S.S. array of Cherenkov

視野も広い為、最も統計数が得られる為である。

telescopes. In 33rd International Cosmic Ray

一方、IACT の H.E.S.S. の結果では ṅPBH

56000 pc

−3

−1

yr

<

Conference, 7 2013.

である。これは HAWC の結果よりも 1 桁弱い制限である。しかし、IACT は高いバッ[7] B. S. Acharya, et al. Science with the Cherenkov
Telescope Array. WSP, 11 2018.

クグラウンド除去能力を持つことから、PBH に対して高い時間分解能を持つ。これはガンマ線バースト[8] Miquel Cassanyes. MAGIC sensitivity to Pri-のような高いエネルギーから低いエネルギーに下がっ

mordial Black Hole bursts and modelizationていくイベントと PBH からのガンマ線を区別する

of BH chromospheres and gamma-ray emission

際にとても重要になる。これらの理由から IACT で

spectra. Master’s thesis, 2015.

PBH を観測することも重要である。
最 後 に CTA で 予 想 さ れ る 結 果 は ṅPBH<

187 pc−3 yr−1 である。この予想はこれまでの HAWC
で得られた結果よりも 10 倍以上の精度で観測可能である。また、CTA による観測は、HAWC や H.E.S.S.
に比べて 3 倍以上遠い範囲まで観測が可能であり、これまで探索されていなかった範囲も観測可能である。
これらの理由から CTA によって PBH 探索が大きく前進することが期待される。

Reference[1] B. J. Carr, Kazunori Kohri, Yuuiti Sendouda,
and Jun’ichi Yokoyama. New cosmological constraints on primordial black holes. Phys. Rev.
D, Vol. 81, p. 104019, 2010.
[2] S. W. Hawking. Black hole explosions. Nature,
Vol. 248, pp. 30–31, 1974.

96

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重宇 21

原始ブラックホールを生成するインフレーション
東京大学 理学系研究科物理学専攻
笠井 健太郎97

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始ブラックホールを生成するインフレーション
笠井

健太郎 (東京大学大学院 理学系研究科物理学専攻)

Abstract
原始ブラックホールは未だ正体のわかっていない暗黒物質の有力な候補の一つであり、その質量によっては、全ての暗黒物質を説明できる可能性が残されている。原始ブラックホールを生成するには、波長が小さく振幅の大きな宇宙の初期密度揺らぎが必要である。そのような揺らぎを作る有力で自然なメカニズムとして、
インフレーションの機構が考えられる。
本発表では、まず文献 [1] に基づいて、宇宙の初期揺らぎに基づいてどのようにして原始ブラックホールが作られるかを議論する。
その上で、そのような初期揺らぎを作るインフレーションのシナリオとして現在考えられているものを紹介する。[2] では、単一のインフラトン場を用いた方法で、inflection point と呼ばれる特徴的な領域を持つようなポテンシャルを用意することによって、波長の小さな初期揺らぎを作ることができる。このモデルでは、比較的広い質量領域の原始ブラックホールを生成することができる。

1

が与える曲率揺らぎと、原始ブラックホールの存在

Introduction比について計算する。
暗黒物質は、現代宇宙論における最も大きな謎の一つである。これを説明するシナリオとして、WIMPS、
重いアクシオンなどの素粒子標準模型を超える物理2が提唱されている。一方で、暗黒物質が原始ブラッ

単一 inflaton 場によるインフ
レーションの復習

クホールで構成されているという可能性も指摘されている。原始ブラックホールは、インフレーション

ここでは宇宙がロバートソンウォーカー計量であるの機構により作られる宇宙初期の密度揺らぎにより

ds2 = −dt2 + a2 (t)δij xi xj

作られると考えられている。これには振幅の大きな曲率揺らぎのモードが必要である。これを可能にすで記述されるとする。宇宙が Inflaton 場 ϕ で満たさるものとして、1996 年に Garcia-Bellido、Linde、おれている時、エネルギー運動量テンソルは以下のよ

よび Wands によって提案された２つの場を用いたイ

うにかける。

ンフレーション模型が挙げられる [2]。一方で、このTβα = g αν

講演では、単一の inflaton 場を用いて振幅の大きな揺らぎを生成する機構を議論した、文献 [2] を紹介する。本集録では、その準備として、まず 2 節、3 節において、単一の inflaton 場を用いたインフレーショ

∂ϕ ∂ϕ
1
∂ϕ ∂ϕ
− δβα [ g µν µ ν + V (ϕ)] (1)
ν
β
∂x ∂x
2
∂x ∂x

この発散が 0 という条件から、Inflaton 場は以下の方程式を満たす。

ン模型と、宇宙の密度揺らぎの一次摂動の取り扱い

ϕ̈ + 3H ϕ̇ + V,ϕ = 0(2)について復習する。また、4 節では [1] に基づいて原始ブラックホールが生成されるために必要な揺らぎ

また、フリードマン方程式は以下のように書かれる。

の振幅について述べ、５節では与えられた波長の揺H2 =らぎに対してどのタイミングでどの程度の質量の原)κ2 ( 1 2
ϕ̇ + V (ϕ)
3 2

(3)

始ブラックホールが生成されるかを述べる。さらに、 スローロール近似では、Inflaton 場の２階微分の項

6 節では、[2] で議論されているモデルを元に、それを十分小さいとして無視する。この時、Inflaton 場

982021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
は非常にゆっくりとポテンシャル中を転がり、その4

原始ブラックホールの質量間はハッブルパラメータの値はほぼ一定となる。す原始ブラックホールは、インフレーション後に、揺なわち、加速膨張が実現される。具体的には、
d(1)1 ( V,ϕ )2
ϵ=
=
(4)
dt H
16πG Vδ=

らぎの波長が再びハッブルホライズン内に入る際、ある閾値を超えた振幅を持つ揺らぎが重力崩壊して生成されると考えられる。波数の絶対値 k の揺らぎが、(5) どの程度の質量の原始ブラックホールを生成するか

1 ϕ̈
1 V,ϕϕ
=ϵ−
H ϕ̇
8πG V

を議論する。

がともに十分小さい場合、加速膨張が実現される。

ハッブルホライゾンと同程度の大きさの領域が重力崩壊するので、領域のサイズは生成時期のハッブル−3
パラメータの値を Hform として、4π/3Hformと見積

Inflaton 場と時空の揺らぎ

3

もることができる。一方、密度は、Friedmann 方程Inflaton 場の値が空間座標に依存せず、一様等方で式によりあるとみなせるが、実際には、そこからのずれが存

2
3Hform8πGと書けるので、原始ブラックホール質量は在する。これが十分小さい場合、摂動として線形に扱うことが可能である。

ϕ(t, x) = ϕ̄(t) + δϕ(t, x)(6)

Einstein 方程式に従うと、この揺らぎに応じて、時ρform =

(10)

−1
MPBH ∝ Hform(11)と見積もることができる。Hform は、注目している

空も一様等方な FRW 計量からのスカラー型の摂動

波長の揺らぎが、ハッブルホライズンと同程度のスを受ける。共動ゲージと呼ばれるゲージを用いて、線ケールになる時点でのハッブルパラメータの値であ素をるため、k に依存する量である。従って、原始ブラッds = a (η){−(1 + 2ξ)dη + (1 + 2ζ)δij dx dx } (7) クホール質量は、それを作る揺らぎの波長に依存する。
と書く。なお、η は共形時間である。摂動量 ζ は曲率
2

2

2

i

j

揺らぎと呼ばれる。
以下では、任意の揺らぎを、その波数 k （共動空間座標に対応する波数）のフーリエ成分ごとに分けて5扱うことにする。詳細な説明は省略するが、アイン

単一の Inflaton 場を用いた原始ブラックホールの生成

シュタイン方程式などの基礎方程式を用いると、曲率揺らぎの波長 a/k がハッブルホライズン H −1 を超上記の条件を満たすような揺らぎを、単一の Infla-

えると、その振幅が保存することを示すことができ

ton 場を用いて生成する機構を議論する。ここでは、る。

以下のようなポテンシャルを考える。
(1)
1
1
V (ϕ) =
m2 ϕ2 − αvϕ3 + λϕ4 (1+ξϕ2 )−2 (12)2
34Inflaton 場の揺らぎのパワースペクトルと、揺らぎの波長がハッブルホライズンを超えた後の曲率揺らぎのパワースペクトルはそれぞれ以下のように書ける。

H2Pδϕ (k) = 3
2k( aH )22πGH 2PR (k) =Pδϕ (k) =′ϵk 3 aH=kϕ̄[2] によると、このポテンシャル型はヒッグスインフ(8) レーションの機構において自然と出てくる。これを別のパラメータに変換して、(9)
V (x) =

揺らぎの振幅は ϵ に反比例するという性質は、後で重要になってくる。

λv 4 x2 (6 − 4ax + 3x2 )12(1 + bx2 )2(13)と書いておく。なお、x = ϕ/v, m2 = λv 2 , a =α/λ, b = ξv 2 である。このポテンシャルの形状は、

99

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
k = 0.05Mpc−1 における CMB の観測パラメータに注目する。

ln(1010 A2s ) = 3.094 ± 0.068
ns =d ln PR= 0.9569 ± 0.0154
d ln kdns= 0.011 ± 0.028
d ln kr = 16ϵ < 0.09

なお、N (ϕ) はその時点からインフレーション終了ま2

図 1: a = 1, b = bc (1)−β, bc (a) = 1− 13 a2 + a3 ( 2a92 −1) 3 , β = 1 × 10−4 の時、横軸を x とした時のポテン
2

でにスケールファクターが e の何乗分変化するかを
表す量で、

′

シャルのグラフ。下側は ϕ と ϕ の相図で、青線がフリードマン方程式とエネルギー保存則を数値的に解いた結果を示している。文献 [2] より抜粋。

κdϕ
√
2ϵ(ϕ)
ϕend

(16)

と定義される。また、このモデルにおいて

ns = 1 − 2ϵ(N ) +図１のようになっている。これを見ると、途中にポテンシャルが局所的に平坦になる部分が存在してい∫ ϕ
N (ϕ) =ϵ′ (N )
ϵ(N )

(17)

が成り立つ。さらに、ることがわかる。これを Inflection point と呼ぶ。最A2s = PR (N = 62)

小超対称標準模型におけるインフレーションモデル
では、通常、Inflaton 場の初期値を inflection pointに近いもののそれより低い値に設定することが多いのに対し、ここでは、Inflection point よりも大きい
値を初期値に取ることにする。[2] では、曲率揺らぎのパワースペクトルを、スローロール近似を用いずに計算している。具体的には、(2),(3) 式を連立させて、数値的に ϕ(t),H(t) を求める。さらにスローロー
ルパラメータをϵ(ϕ) =

d(1)
dt H

である。
上の制限を満たすようにパラメータの値を色々と動かして、曲率揺らぎのパワースペクトルを厳密に計算した結果を以下の図 2 に示す。具体的には、スペクトルが極小を取る N の値を N = 35、β = 10−4 、

ns = 0.954 となるように a、κ2 v 2 の値を動かしてい
る。

(14)

の方で定義し、曲率揺らぎに比例する無次元量

PR =κ2 H 2k 3 PR (k)=22π
8π 2 ϵ(ϕ)(15)

を、aH = k となる ϕ の値 (すなわち、揺らぎの振幅がハッブルホライズンを超えるタイミングにおける

inflaton 場の値) において計算している。なお、この(20) 式の表式は、スローロール近似を用いなくても成り立つ。
パラメータの値は、CMB の観測による制限を受ける。すなわち、CMB におけるスケールの大きい曲率揺らぎの観測と矛盾してはならない。ここでは、

図 2: N と曲率揺らぎ PR の関係。文献 2 より抜粋。
場の配位が Inflection point あたりにあるとき、ス100

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ローロールパラメータ ϵ は小さくなるので、曲率揺となる。さらに、これを元に、その時期における原らぎのパワースペクトルは極大値をとる。それだけ

始ブラックホールの宇宙全体に対する存在比は、

でなく、Inflaton 場は、この inflection point 近傍で

Ωeq
PBH =

非常にゆっくりと変化するので、inflection point 近
傍にしばらくとどまる。パワースペクトルが極大値

∫ Meq
M∗

dM eq
β (M )
M(20)付近をとる時間が長いため、その分、その時間に対と表される。なお、M ∗ は、その時期までに原始ブ応する波長の幅（そのタイミングでハッブルホライ

ラックホールが蒸発しない質量の下限であり、Meq

ズンを超えるような揺らぎの波長）が大きくなる。

はその時期において形成される原始ブラックホール

実際、図 2 を見ると、実際広い波数の領域で曲率揺の質量である。一例として、このモデルにおいて、パ

らぎの極大が実現されていることがわかる。生成さラメータを a = 1, b = bc (1) − β, κ2 v 2 = 0.108, β =れるブラックホールの質量は揺らぎの波長で決まる

1 × 10−4 , ζc = 0.0753 とすると、Ωeq
PBH = 0.42 となため、広い質量領域の原始ブラックホールを生成す

り、現在宇宙に存在するダークマターの全てを原始ることができる。一方で、揺らぎの振幅はいずれもブラックホールで説明できる。

10−4 程度のオーダーにとどまっていることがわかる。
最後に、原始ブラックホールの存在比について言及する。ここでは、揺らぎの振幅がガウス型の確率分

6

Conclusion

布をしていると仮定すると、ある時刻 t = tM におい

今回は、単一の inflaton 場を用いたインフレーショて重力崩壊により質量 M の原始ブラックホールがでン模型による原始ブラックホールの生成について考きる確率は、重力崩壊する揺らぎの振幅の閾値を ζcえた。その際、inflaton 場の値が、ポテンシャル中として、の inflection point と呼ばれる特徴的な点を通る際に

∫ ∞
=
ζc

ρPBH (M )β form (M ) =
ρtot
t=tM

曲率揺らぎの極大が実現されることを利用した。曲

率揺らぎのオーダーは、CMB 観測に矛盾しないパラ
ζ2
σ
ζc2
dζ
メータの選び方にはあまり依存せず、どれも 10−4 程√
exp(− 2 ) ≃ √exp(− 2 )
2σ
2σ
2πζc
2πζc
度であることがわかった。また、ダークマターの全(18)てを説明できるパラメータ領域が存在することもわかった。

と書ける。ここで、< ζ 2 >= σ 2 = PR (kM )で、kM は時刻 tM においてハッブルホライズン内に入る揺らぎの波数である。また、σ は ζc に比べて十分小さいとした。なお、ζc は流体の状態方程式に主に依存し、例えば輻射優勢期においては ζ = 0.086 となる。このようにして、β は σ を通して kM に依存

Reference[1]Misao Sasaki & Teruaki Suyama & Takahito
Tanaka & Shuichiro Yokoyama 2018, astro-ph.CO[2]J. Garcia-Bellido & E. Ruiz Morales 2017, Phys.
Dark Univ

し、さらに kM は揺らぎの波長がハッブルホライズ
ンと一致する条件 aHform = kM と (16) 式を通して

M に依存していることに注意すると、β form (M ) の関数を求めることができる。さらに、この β form を用いると、質量 M の原始ブラックホールの、輻射と物質のエネルギー密度が等しくなる時期における宇宙全体に対する質量比 β eq を求めることができ、
aeq formeq
βPBH(M ) =β(M )(19)a(tM )

101

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重宇 22

曲率ピークの形状が原始ブラックホール形成においてサイズに及ぼす影響
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
上原 晃一朗102

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

曲率ピークの形状が原始ブラックホール形成においてサイズに及ぼす影響
上原 晃一朗 (名古屋大学大学院 理学研究科 QG 研)

Abstract
本発表では論文 (A. Escrivà, C. Germani, & R. K. Sheth 2021), (A. Escrivà & A. E. Romano 2021) をレビューする．輻射優勢な Friedman-Robertson-Walker (FRW) 宇宙において初期曲率ゆらぎの異なるプロファイルから起こる球対称な原始ブラックホール (Primordial Black Hole, PBH) 形成についてなされた数
値解析を紹介する．Apparent horizon 形成時 tAH での PBH の始質量 MBH,i と降着過程を経た後の終質量

MBH,f の曲率プロファイルに対する依存性について，その問題設定や解析手法を紹介する．

1

導入

対称での摂動からなる PBH 形成における数値計算などで調べることも期待される.

原始ブラックホール (Primordial Black Hole, PBH)

本発表では主に PBH 形成の数値計算の初期条件

は初期宇宙において形成されるブラックホールの総と計算手法，閾値や apparent horizon の条件，並び称で，典型的にはインフレーションの際に生じた密に降着プロセスの解析について紹介する.

度ゆらぎの初期分布において，稀な高い非線形ピー
クによって PBH 生成が起こるとされる．これらは暗黒物質候補の一つとされ，暗黒物質が PBH の形であ2PBH 形成の設定る程度の割合で存在するシナリオが考えられている．
密度ゆらぎの重力崩壊に起因する PBH 形成の数

PBH 形成にいたる球対称ゆらぎの時間発展を考え

値計算は以前からなされており．そこで得られるブ

る. 球対称な相対論的完全流体の非線形な時間発展を

ラックホール形成に必要な初期振幅の閾値や形成さ記述する微分方程式として， Misner-Sharp 方程式

れるブラックホール質量は，理論モデルから PBH 量の見積もりを行う上で欠かせない要素となっている．

(C. W. Misner & D. H. Sharp 1964) を考える．まず球対称時空は以下の計量で記述される．

これまでに PBH 形成の閾値付近では PBH の質量がds2 = −A(r, t)2 dt2 + B(r, t)2 dr2 + R(r, t)2 dΩ2 . (1)

自己相似スケーリング則に従うことが示されているが，apparent horizon 形成時 tAH の PBH のサイズと質量降着の影響について複数の初期プロファイル

重力ポテンシャルと運動エネルギーからの寄与を含む Miner-Sharp mass は∫ Rを用いた系統的な数値解析は行われていなかった．

M (r, t) ≡論文 (A. Escrivà, C. Germani, & R. K. Shethdr 4πR2 ρ ∂r R ,2021) では PBH 形成の閾値が主に compaction func-tion（所与の体積内での質量超過を表す）のピーク付 ここで次の不変量が定義される√
近の形状と状態方程式に依存することが示され, 宇宙Γ=論的に十分精度の良い解析的な公式の構築がなされた．これらに加え，始質量 MBH,i や終質量 MBH,fに対する曲率プロファイルの形状や閾値に対する依存性，質量降着の推定などについて PBH 形成を数値的に調べたのが (A. Escrivà & A. E. Romano 2021)
である. これらの初期曲率ゆらぎは主に球対称性を仮定して解析されているが，今後の発展として非球(2)0

1 + U2 −

2M
.
R

(3)

U (r, t) はオイラー座標での流体の動径速度を表す量である．
状態方程式 p = wρ (輻射流体の場合 w = 1/3) の完全流体を考え，Misner-Sharp 方程式は次の形で記
述される．

103

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
PBH 形成の基準の一つとして compaction func-][tion の peak value Cmax = C(rm ) が用いられるMw Γ2 ∂r ρ+ 2 + 4πRwρ , (4)(M. Shibata & M. Sasaki 1999),(T. Harada, C.-M.
1 + w ρ ∂t R R∂t R = AU,(5) Yoo, T. Nakama, & Y. Koga 2015). rm は peak()
位置である. δ̄(rm ) ≥ δc において PBH が形成さU
∂r U∂t ρ = −Aρ(1 + w) 2 +,(6) れるような閾値 δc = Cc (rm ) を定義する. ここでR ∂r R2
δ̄(r) = f (w)K(r)rm, f (w) = 3(1 + w)/(5 + 3w),
2
∂t M = −4πAwρU R ．
(7)
Cc (r) は critical compaction function とする．
∂t U = −A

初期条件を指定することはある特定の曲率プロファ

境界条件は R(r = 0, t) = 0, U (r = 0, t) = 0 そ

して M (r = 0, t) = 0 を課す．球対称性を考慮し， イル K(r) を選ぶことに対応している．Compaction∂r p(r = 0, t) = 0 を得る．これらの方程式系を FRW functionC(r) は superhorizon scale にある時は一定
background で解くことを考える．Eq.(1) は r → ∞ であるが，計算を開始すると非線形な時間発展が起
こる．δ̄(rm ) > δc ，すなわち C(rm ) > δc になると，で FRW background となる．

Gradient expansion(long wavelength) 近似を用い 重力による圧縮が圧力勾配と背景宇宙の膨張に勝ることになる．これによって apparent horizon が形成ることで Misner-Sharp 方程式を ϵ ≪ 1 の lead-ing order で 解 く こ と が で き る ．こ こ で ϵ(t) =された後に BH 形成が起こると考えられる．

RH (t)/a(t)rm である. rm は今考えている摂動の長さのスケールで，RH (t) = 1/H(t) は cosmological
宇宙論的摂動の振幅を球対称領域での質量超過によって以下のように定義する．

δ(r, t) =1V∫ R
dr 4πR20

数値手法

3

horizon である．

δρ∂r R ≃
ρb

(

1
aHrm

本発表では詳細な数値手法については立ち入らず
概略を述べるに止める.PBH 形成の研究では以前から)2

主に差分法が用いられてきたが, この研究は Pseudo-δ̄(r),

spectral methods を用いているのが特徴であり, 誤差(8) の収束性と基底関数の定義域の広さにおいてメリッ

ここで V = 4πR3 /3.

トがある. この手法を用いて Misner-Sharp 方程式を

(I. Musco 2019) より gradient expansion 近似で解く.
一度 apparent horizon が形成されると, 特異点が2

C(r) = f (w)K(r)r2 =r
δ̄(r),2rm

C(rm ) = δ̄(rm ) = δ̄m .

(9)
(10)

存在してしまい数値計算に困難が生じてしまう. この
困難を回避し, FRW background から降着過程を追うための技術の一つが excision と呼ばれるものであEq.(1) は superhorizon scale で gradient expan-

る. これは event horizon の内側の影響が外側に及ば

sion(long wavelength) 近似をとると次の形に帰着すないと見なし, 各時刻での apparent horizon の動き

る (M. Shibata & M. Sasaki 1999)．
[
]
dr2
2
2
2
2
2
ds = −dt + a (t)+ r dΩ . (11)1 − K(r)r2を追うことができる．

宇宙論的摂動はこの初期曲率 K(r) に対して関連付

4Apparent horizon 形成

けられる．Gradient expansion の leading term とし

まず 2M (rAH , tAH ) = R(rAH , tAH ), 動径座標 rAHて，所与の体積内での質量超過を表す compaction

で apparent horizon が形成される時刻 t = tAH で

function C(r) は積 K(r)r2 に比例する．特に，の PBH のサイズを計算する．計算は以下の異なる

2 δM (r, t)
2 [M (r, t) − Mb (r, t)]C(r) ≃=. (12)
R(r, t)R(r, t)

初期曲率ゆらぎそれぞれに対して行う (A. Escriv‘a,

104

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
C. Germani, & R. K. Sheth 2020),(A. Escrivà, C.
Germani, & R. K. Sheth 2021),(I. Musco 2019)
C(rm )
2
f (w)rm

1 + 1/q( )2(q+1) ,(13)
1 + 1q rrm)
2q( )2λ (1+λ)2 (1−( rrm ) 1+λC(rm )
rq
Kexp (r) =e.
2f (w)rm
rm(14)
Kbasis (r) =ここで無次元パラメータとして C(r) の最大値での曲率についてq=2−rm∂rr C(rm )4C(rm )

(15)

図 1: (A. Escrivà & A. E. Romano 2021) 異なる qを定義する．PBH 形成の閾値はこの q と状態方程式に対する δ̄m の関数としての tAH /tH ．予想されていにのみ依存することが知られている．(A. Escriv‘a,

た通り q が減ると δ̄m の最小値, すなわち δc も減少

C. Germani, & R. K. Sheth 2020),(A. Escrivà, C.

する．円印は Eq.(13), 星印は Eq.(14) で λ = 0，四Germani, & R. K. Sheth 2021)．Eq.(13) は輻射に対応する範囲 0.4 ≤ δc ≤ 2/3 においてパラメータ q

角は Eq.(14) で λ = 1 を表す.

に関する全ての可能な閾値 δc が得られるという意味
で完全基底である．

tAH での PBH の面積半径 RBH,i = R(rAH , tAH )と Hubble 半径 RH,i の比をプロットしたのが図 (2) である．予想されていた通り，ゆらぎが cosmologicalhorizon に再突入して崩壊することにより，全てのPBH で RBH,i < RH,i となる．(T. Harada & B. J.
Carr 2005) では RBH,i /RH,i の上限が解析的に求め
られた．

(

RBH,i
RH,i

(

)
=
max

2
1 + 3w)3 [3(1 + w)√
2(1 + w

] 3(1+w)
1+3w

w3/2 ．
図 2: (A. Escrivà & A. E. Romano 2021) 異なる q に(16)対する比 RBH,i /RH,i ．q が減ると δ̄m の最小値, すな
わち δc も減少する．円印は Eq.(13), 星印は Eq.(14)5で λ = 0，四角は Eq.(14) で λ = 1 を表す.

降着の効果
Apparent horizon が形成された後は降着過程に移Eq.(17) の輻射優勢期での解析解はり，終質量 MBH,f で安定するまで BH のサイズが増大する．

MBH (t) =BH の時間発展において充分時間が経つとその質
量は以下の方程式に従うことが示されている．

dMBH
2= 4πF RBHρb (t) ,
dt

1
(

3
1
Ma + 2 F

1
1t − ta) ,(18)

Ma と ta は初期条件である．
(17)

ここで F は accretion rate constant である．

105

一度最適な ﬁtting parameter が決定されると，最2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 3: (A. Escrivà & A. E. Romano 2021) 異なる q に対する比 MBH,i /MH ．q が減ると δ̄m の最小値, すな
わち δc も減少する．円印は Eq.(13), 星印は Eq.(14)で λ = 0，四角は Eq.(14) で λ = 1 を表す.
終的な PBH の質量は漸近的な未来極限として得られ，(
MBH,f = lim MBH (t) =
t→∞

1
3F
−
Ma
2ta

)−1
. (19)

図 4: (A. Escrivà & A. E. Romano 2021) 異なる
プロファイルに対して δ̄m − δc (q) の関数としてプロットした比 MBH,f /MBH,i . 円印は Eq.(13)，星印はEq.(14) で λ = 0，三角は Eq.(21) を表す．subplot
は MBH,f ≃ MH の PBH についての比 MBH,f /MBH,i
を表す.

謝辞

δ̄m ≈ δc において以下のようなスケーリング則が発研究室でセミナーをして頂いた著者の Albert Es-

見された．(J. C. Niemeyer & K. Jedamzik 1998),(A.

crivà さん並びに日頃指導して頂いている講師の柳哲

G. Polnarev & I. Musco 2007)

文さん, QG 研の皆様に深く感謝申し上げます.

MBH,f = MH K(δ̄m − δc )γ ．

(20)

輻射優勢では γ ≈ 0.36 で，K は曲率プロファイル毎に決まる定数である．

Reference
A. Escrivà, C. Germani, & R. K. Sheth, JCAP 01,(2021) 030

C(r) のピークから十分離れた質量超過の存在を調A. Escrivà & A. E. Romano, JCAP 05, (2021) 066
整するために，Eq.(13) の二つの曲率の接合部に由来する別のプロファイルを使用する．これを two-tower
プロファイルと呼ぶ．compaction function Cb としての表現は直接 Eq.(21) で与えられる，+ θ(r − rj )Cb (r − rj , δ2 , q2 , rm2 ), (21)
(

r
rmj

M. Shibata & M. Sasaki, Phys. Rev. D60, 084002 (1999)
T. Harada, C.-M. Yoo, T. Nakama, & Y. Koga,
Phys.Rev. D91, 084057 (2015)

Ctt (r) = Cb (r, δ1 , q1 , rm1 )Cb (r, δj , qj , rmj ) = δj

C. W. Misner & D. H. Sharp, Phys. Rev.136, B571
(1964))2

I. Musco, Phys. Rev. D100, 123524 (2019)

1 + 1/qj()2(qj +1)

1 + q1j

A. Escriv‘a, C. Germani, & R. K. Sheth, Phys. Rev.
D101, 044022 (2020)

J. C. Niemeyer & K. Jedamzik, Phys. Rev. Lett.80,5481(1998)

r
rmj

(22)

A. G. Polnarev & I. Musco, Classical and Quantum
Gravity24, 1405 (2007)
T. Harada & B. J. Carr, Phys. Rev. D71, 104009(2005)

106

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重宇 23

Cosmic No-hair Conjecture and Inﬂation with an SU(3)Gauge Field
神戸大学 理学研究科物理学専攻
Gao Pengyuan

107

未提出

108

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重宇 24

閉じた宇宙における axion-SU(2) モデル
立教大学 理学研究科物理学専攻
村田 知瞭

109

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

閉じた宇宙における axion-SU(2) モデル
村田 知瞭 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本研究では、axion-SU(2) インフレーションモデルに対する正の空間曲率の影響を調査した。適切な ansatzの下では、ゲージ場の項からも空間曲率の影響が現れるため、空間曲率の非自明な影響が現れることが分かった。正の空間曲率が存在する宇宙において、単一スカラー場モデルではインフレーションが起こりにくくなり、
短時間で宇宙が潰れてしまう可能性がある。しかし、axion-SU(2) モデルではこの結果と異なり、正の空間曲率が存在する宇宙においても潰れにくくなるということが分かった。また、spectator として axion-SU(2)モデルを入れた場合、さらに潰れにくくなることが分かった。

1にも適切にインフレーションが起こるのかを調べた

Introduction
インフレーションとは、ビッグバンの前にあったとされる急激な加速膨張のことである。この機構により、宇宙が一様等方かつ平坦という状況を自然に作り出すことができ、標準ビッグバン理論の初期条件に関する問題を解決することができる。これまでの観測結果からインフレーションがあったことはほ[3]。また、単一場モデルに対してインフレーション
前に正の空間曲率を加えると、インフレーションが起こりにくくなり、短い時間で宇宙が潰れてしまう可能性があることが調べられている [4]。このことか
ら、ベクトル場を含むモデルにおいても正の空間曲率のインフレーションへの影響を探ることは重要である。

ぼ確実視されているが、具体的なモデルの特定には至っておらず、現在も様々なインフレーションモデ
ルが研究されている。
インフレーションを実現する簡単なモデルとして、
単一スカラー場によるスローロールインフレーショ
ンモデルがよく研究されている。このモデルは、ス
カラー場が十分平らなポテンシャルをスローロール
することにより、そのポテンシャルエネルギーで加本研究は、まず Sec. 2 で axion-SU(2) モデルを導入した。その後、閉じた宇宙において一様等方性と整合的なゲージ場の ansatz を導入し、基礎方程式を導出した。Sec. 3 では、これらを元に導出した基礎方
程式を数値的に解いた。Sec. 4 では、Sec. 3 での結果を spectator axion-SU(2) モデルに拡張した。Sec.

5 で結論、Sec. 6 で今後の展望をまとめた。

速膨張を引き起こすことができる。その他にも近年はベクトル場を含むモデルが数多く考案されている。 2
特にベクトル場を含むモデルでは、インフレーショ

Axion-SU(2) モデルの Lagrangian は、ン前の非等方性が残り続けてしまう可能性が指摘されている [1]。つまり、ベクトル場を含むインフレーショ

LCN =ンモデルは初期条件に対して非自明な依存性を持っている可能性があり、十分に調査する必要がある。今回はベクトル場を含むモデルの中でも、原始重力波の予言に特徴が見られることで注目される axion-SU(2)
モデルを考える。このモデルは既に、非等方な初期条件に対して等方な解がアトラクターになっている

Axion-SU(2) モデル
2
1
1
MPl
2
R − F a Faµν − (∂µ χ)
2  4 µν 2
χλ− µ4 1 + cos−
χF̃ a F µν ,f
4f µν a(1)で与えられる1 。χ は axion、f は axion の崩壊定数、aµ, λ は結合定数である。Fµνは SU(2) ゲージ場 Aaµを用いて、ことが調べられている [2]。本研究ではその次の段階として、初期に空間曲率 (非平坦性) が存在する場合

110

a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gA ϵabc Abµ Acν ,1 c = ℏ = 1 の単位系を用いる。

(2)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられる。gA はゲージ場の結合定数、ϵabc はで定義される。この ansatz を用いることで、ゲージ
SU(2) の構造定数で 3 次元の完全反対称記号である。 場の項はがポテンシャルの坂を転がることでインフレーショ

"
2 
2 #
6
ȧ
K
a
Fµν
Faµν = − 2
ψ̇ + ψ − ψ 2 − 2, (11)
gA
a
a



12
K
ȧ
a
µν
2
e
Fµν Fa = 2 ψ̇ + ψ
ψ − 2
(12)
gA
a
a

ンを起こす。一番の違いはゲージ場との相互作用項となり、一様等方性と整合的となる。

aa
また、Feµνは Fµνのホッジ双対である。

このモデルの平坦な場合のシナリオについて簡単にまとめる。基本的には単一場モデルと同じく、axion

であり、この項により axion がポテンシャルの坂を急速に転がるのを抑える (減速させる) 役割を果たす。 基礎方程式： ここから、axion とゲージ場の運動方
程式はその結果、このモデルではポテンシャルの形に依ら
ずスローロールインフレーションを起こすことができる。
ゲージ場の ansatz： 本研究では閉じた宇宙を考えている。この時計量は
ds2 = −dt2 + a2 (t) dr2 + S 2 (r)(dθ2 + sin2 θdφ2 ) ,(3)で与えられる。ここで、a(t) はスケールファクター
で、閉じた宇宙 (K > 0) では√
sin( Kr)√
S(r) =
,
K

(4)


µ4
χ
3λ 
K
sin = − 2 ψ̇ + Hψ
ψ2 − 2 ,
f
f
f gA
a
(13)





λ
K
ψ̈ + 3H ψ̇ + Ḣ + 2H 2 ψ =χ̇ − 2ψψ2 − 2 ,fa(14)χ̈ + 3H χ̇ −と求まる。ここで、H := ȧ/a はハッブルパラメー
タある。また、アインシュタイン方程式は、




χ
K
χ̇2
2
3MPl
+ µ4 1 + cos+ ρψ ,
H2 + 2 =
a
2
f
(15)


4
K
2
(16)
−2MPl
Ḣ − 2 = χ̇2 + ρψ ,a3である。ここで、"
2 #におけるゲージ場を考える場合は、temporal ゲージ
2 
3 
K
2
ρψ = 2ψ̇ + Hψ + ψ − 2, (17)
Aa0 = 0 と Aai = aψδia という ansatz を用いられる。
2gAa
しかし、空間曲率を含む場合にこのような ansatz を用いると、作用の F F や Fe F の項に空間依存性が現 である。ゲージ場の存在により空間曲率が物質場のであり、K は空間曲率を表す。平坦な時空 (K = 0)れ、一様性に反してしまう。そこで、[5] で考案され方からも現れるため、空間曲率による非自明な影響た ansatz、が期待される。次の section ではこれらの基礎方程式

を具体的に評価し、数値的に解くことでダイナミク
gA Aa1 = aψLa1 ,(5) スを調べる。


p
(6)
gA Aa2 = aψSLa2 − 1 − 1 − KS 2 La3 ,ihpgA Aa3 = 1 − 1 − KS 2 La2 + aψSLa3 sin θ,

gA Aa0 = 0,

3

Results(7)

今回は空間曲率の影響に注目するために、axion とを用いる。ここで、ψ(t) は t のみの関数で、Lai は、 ゲージ場の運動エネルギーよりも空間曲率が十分大La1 = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ),(8)

La2 = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ),(9)La3 = (− sin φ, cos φ, 0),(10)

きい (χ̇, ψ̇ ≪ K) とする。この時 Eq. (15) は

111

2
3MPl
H2 ≃

3 K2
2 K
2
2 a4 − 3MPl a2 + 2H∗ ,
2gA

(18)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校の形になる。ここで、今後の簡単のために axion のポテンシャルのスケールを H∗ := µ2 /MPl と書いた。
この式を無次元化すると、
H
gA MPl2 

K
a2 H 2

2

2
K− 2 2 +
a H
3



H∗
H

2.8
2.7

2

2.6

K/H∗2

1
1≃
2

2.9

,

2.5
2.4

(19)

2.3

となる。ここで、H ∼ H∗ と K/a H∗2 ∼ 1 の場合を
2

2.2
2.1

考える。初期に axion のポテンシャルと同程度の空間

1.5

2.0

2.5

曲率が存在する場合でも、右辺第 1 項のおかげで第 2項の影響を薄めることができるため、単一場の場合よりも空間曲率の影響を受けにくくなっていることが

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

gA/H∗

図 1: 黒ドットは宇宙が潰れた境界を表しており、上の領域が潰れた領域である。ゲージ場の初期条件は ψ0 = 10−7 MPl
で、H0 = 10−6 MPl として、ψ̇0 は Eq. (15) から決めた。

分かる。つまり、ゲージ場の支えにより宇宙が潰れる
1.75

0.050

1.50

0.025

1 項の影響を決めるのは gA であり、gA < H∗ の場合

1.25

(20)

を与えた。パラメータは (f, µ, λ) =(10−2 MPl ,10−3 MPl , 2 × 102 ) とした3 。先程の見積もりの通り°0.025°0.050°0.075°0.1000.00

く潰れやすくなると考えられる 。このことを数値的(χ0 , χ̇0 ) = (10−2 πf, 0),

0.75

0.25

2

横軸に gA /H∗ をとり、axion の初期条件として

1.00

0.50

の場合は第 1 項の影響が小さく単一場の場合と同じに示したのが、図 1 である。縦軸に空間曲率 K/H∗2 、

0.000

√/gA

はこの効果が顕著で潰れにくくなり、逆に gA > H∗¬/ºfのを回避しやすくなるということが分かる。そして第

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

H§ t

12.5

15.0

17.5

20.0

°0.125
0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

H§ t

12.5

15.0

17.5

20.0

図 2: 左が axion で右がゲージ場の解軌道。パラメータは (K, gA ) = (0.5H∗2 , 2 × 10−6 ) を用いた。axion の初期条件は Eq. (20)、ゲージ場の初期条件は (ψ0 , ψ̇0 )=2) で与えた。
(10−7 MPl , − 10−12 MPl

すると、Lagrangian は

L = LCN −gA が小さいほど潰れにくいことが分かる。
次に、空間曲率が axion のポテンシャルスケール



1
ϕ
2
(∂µ ϕ) − αµ4 1 + cos
,
2
f

(21)

と同程度存在した場合の解軌道を図 2 に描いた。こで与えられる。ここで、α は定数で、axion と inﬂaton

こから、axion もゲージ場も H∗ t ≃ 3 付近で急激なとのポテンシャルの比率に対応する (α > 1)。inﬂaton

変化が起こっていることが分かる。これは Eq. (13)のポテンシャルは Vinf ∼ 2αH∗ となるので、これはの右辺が 0 になる時、つまり ψ 2 = K/a2 の瞬間に相Eq. (18) において、H∗ → (1 + α)1/2 H∗ とリスケー互作用が切れたためである。この瞬間にゲージ場のリングすることに相当する。したがって、相対的にブレーキが失われるため、ポテンシャルの反対側まgA /H∗ の値は小さくなるので、先程の計算と同じよで急速に転がってしまう。そして、再度ゲージ場のうに潰れにくくなる。
ここから、spectator として axion-SU(2) モデルがブレーキが働き始めることで、スローロールしなが存在する場合は、axion-SU(2) モデルのみの場合や単ら十分にインフレーションすることができる。

一場モデルと比べてさらに潰れにくくなることがわかる。

4Spectator axion-SU(2)ここでは、簡単に spectator として axion-SU(2) モデルが存在している場合も考える。inﬂaton を ϕ と

5Conclusion
本研究では閉じた宇宙における axion-SU(2) モデ

2 ただし、gA ≪ H∗ の場合は Eq. (15) を満たせないため適切な初期条件を選べない。
3 数値計算中は、M
Pl = 1 とする。

ルのダイナミクスを調べた。結果として、ゲージ場の結合定数とハッブルパラメータの比 gA /H が小さ112

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
い時は宇宙が潰れにくくなることが分かった。また、

axion の相互作用項にゲージ場を通して空間曲率の影響が入ってくるため、平坦な場合とは異なるダイ
ナミクスを起こすことが分かった。また、spectator
として axion-SU(2) モデルを入れた場合、さらに潰れにくくなることが分かった。

6

今後の発展
一般の Bianchi type I 時空では等方な解がアトラ

クターになっていることが、既に調べられている [2]。
今後の発展として、正の空間曲率を持つ非等方時空においても等方化されるかを調べることが挙げられる。

Acknowledgement
日頃から議論して頂いている小林努教授、並びに理論物理学研究室の方々に、この場を借りて感謝させていただきたいと思います。

Reference[1] M. a. Watanabe, S. Kanno and J. Soda, Phys. Rev.
Lett. 102, 191302 (2009)[2] I. Wolfson, A. Maleknejad, T. Murata, E. Komatsu
and T. Kobayashi, [arXiv:2105.06259 [gr-qc]].
[3] T. Murata and T. Kobayashi, [arXiv:2107.07199[gr-qc]].
[4] V. A. Belinsky, H. Ishihara, I. M. Khalatnikov andH. Sato, Prog. Theor. Phys. 79, 676-684 (1988)[5] D. V. Galtsov and M. S. Volkov, Phys. Lett. B 256,17-21 (1991)

113

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重宇 25

ultra-light axion-like particle の oscillon による 21cm 異方性の効果東京大学 理学系研究科物理学専攻
宮崎 一慶

114

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

ultra-light axion-like particle の oscillon による 21cm 異方性の効果
宮崎一慶 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
Ultra-light Axion-like particle （ULAP）は、その質量が m ∼ 10−20 eV の領域では、ΛCDM におけるsmall scale crisis を解決しうる粒子として、近年注目を浴びている。ULAP は、ポテンシャルの羃が 2 乗よりも緩やかであれば、oscillon(I-ball) と呼ばれる局所的なオブジェクトを作ることが知られている [2]。この

oscillon は、断熱不変量の近似的な保存から、生成されてから赤方偏移が z ∼ 10 程度まで存在し続けることが可能であり、ゆらぎを増幅することによって構造形成に影響を与える。oscillon の power specturm を用いて、minihalo がどの程度生成されるかを計算できる [3]。この minihalo は中性水素からできていると考えられているので、背景光 (CMB) が通ることによって、超微細構造に由来する 21cm 線のゆらぎが生成される。本研究では、oscillon が存在することよって、21cm 線のシグナルへどのような影響を与えるかを調べ、それらの観測可能性について調べた。

1

本研究では、CMB が minihalo を通過することにIntroduction

よって生成されるゆらぎを計算し、今後の観測によっ
現在、宇宙の物質の大部分を占めるのはダークマ
ターと考えられているが、その正体は今だに未解明のままである。ダークマター (DM) のモデルとして、Ultra-light Axion-like particle （ULAP）がある。ULAP は、ΛCDM モデルで生じる small scaleて oscillon を probe できるかを調べた。まず、宇宙に密度ゆらぎによって生成される minihalo を計算し、その後 21cm 線ゆらぎの計算方法を紹介する。最後に、oscillon による効果と結論を議論する。

crisis を解決することができ、ダークマターの有力な候補の 1 つである。この ULAP は、oscillon と呼ばれるオブジェクトを作ることが知られており、oscillon
が宇宙論にどのような影響を与えるかを調べること

2

minihalo の性質と 21cm 異方性

2.1

Halo mass function

は重要なことである。

oscillon が影響を与えうる現象の 1 つに、21cm 線がある。21cm 線とは、中性水素における電子のスピンと核子のスピンの相互作用により、スピンが平行

質量スケール M ∼ M + dM における minihalo の数密度 dn は、Press-Schechter formalism を修正した Schth-Tormen mass function

または反平行で 1s 状態が分裂し、そのエネルギー差

dn =（波長にして 21cm）に伴って放射 · 吸収されるもの

d ln ν
ρm
f (ν)
dM
M2
d ln Mである。CMB などの背景光が中性水素で満たされたで与えられる [1]。ここで、密度分散 σ(M, z) と δc =領域を通過した場合、21cm 線に由来した放射によっ 1.686 を用いて ν = δc /σ であり、f (ν) は以下のようて、そのシグナルは本来の CMB のそれと異なって に表される。

νf (ν) = A 1 +観測される。
そのような中性水素が多い領域は、z ∼ 10 程度で存在することができ、minihalo と呼ばれている。

1
(aν)p



aν 1/2 e−aν/2√2πminihalo はビリアル温度が 104 K よりも低いので、 (A, p, a の値は [1] 参照。)homogeneous ULAP や os星形成に必要な冷却が非効果的になり、十分な中性 cillon が存在する時、mass function (厳密には σ) に水素を保つことができる。

影響を与え、CDM と異なる結果を与える。oscillon が115

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
存在せず、homogeneous ULAP のみが存在する場合、 2.3
小スケールをならすので、mass function は ΛCDM
モデルに比べて抑制される。しかし、oscillon が存在する場合、揺らぎが増幅されるので、ΛCDM モデルに比べて大スケールの minihalo を増やす効果をもた
らす。

2.2

Minihalo gas proﬁle

スピン温度

中性水素の超微細構造分裂によって生じた励起状
態と基底状態の数密度を、それぞれ n1 , n0 と表すことにする。これらの数密度の比を、以下で定義されるスピン温度 Ts を用いて表すと便利である。




g1
E10
T∗
n1
≡
exp −
= 3 exp −
n0
g0
kB Ts
Ts
ここで、g1 , g0 は、それぞれ励起状態と規定状態のminihalo によって放射（吸収）される 21cm を観

スピン自由度であり、T∗ ≡ E10 /kB ≃ 68mK は 2

測したいので、中性水素が minihalo の中でどのようつの状態の温度差に対応するものである。2 つの状な分布をしているかを調べる必要がある。minihalo態の遷移に関わる物理的なプロセスとして、spon-は DM と中性水素を含むが、それぞれの分布は一般

taneous emission, absorption, stimulated emissionには異なる。DM minihalo proﬁle ρDM に関しては、 の 3 つ存在し、spontaneous emission の遷移率は、
数値シミュレーションから次の NFW proﬁle で表さ

A10 = 2.85 × 10−15 s−1 で与えられる。他のプロセスれる。

の遷移率に関しては、以下の 2 つの相互作用によっρDM (r) =ρDM 0
r/rs (1 + r/rs )2て決まる。（実際には Ly-α の寄与もあるが、現段階

ここで、ρDM 0 はそれぞれ中心における DM 密度ででは不定性が多いために無視する)あり、ビリアル半径 rvir を用いて

ρDM 0 = R rvir
0

• CMB

M
−1

[r/rs (1 + r/rs )2 ]中性水素は、背景光の CMB が入射することにdrより、励起 · 脱励起する。minihalo のビリアル
温度は CMB 温度より高いので、典型的には脱と表され、スケール半径 rs は ﬁtting から

1+z
rs =
14.8



M
1.3 × 1013 h−1 M⊙

励起し、minihalo から出てきた光は CMB より

0.14

高くなることが多い。

rvir• 粒子衝突で与えられる。

minihalo 中で起こる粒子衝突は電子のスピンを中性水素の Gas proﬁle ρg は、中性水素の平均分

スワップさせるので、スピン温度に影響を与え

子質量 µ = 1.22 として、静水圧平衡と状態方程式

る。粒子衝突は H–H、H–e、e–e の 3 つの衝突

GM (r)dP (r)=−
ρg (r)drr2
ρg (r)
P (r) =
kB Tvirµがあるが、再イオン化する前の時期を考えているので、自由電子は少ないと考えられる。したがって、H–e、e–e 衝突は無視する。この時、粒子衝突による遷移率 C10 は、C10 ≃ nHI κ10 でを課すことにより、以下のように求められる。


µ
2
2
ρg (r) = ρg0 exp −(vesc (0) ) − vecs (r) )2kB Tvir

与えられる。ここで、nHI は中性水素の数密度であり、κ10 の値は [3] 参照。
以上の 2 つのプロセスを考慮することにより、スピ

なお、中心密度 ρg (r) と脱出速度 vesc (r) の表式に関

ン温度は次のように与えられる。

しては、[2] 参照とする。

Ts−1 ≃

116−1
Tγ−1 + xc Tvir
1 + xc2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、Tγ = 2.73(1 + z) は赤方偏移 z での CMB 温

H(z) はハッブル定数、∆νef f = [ϕ(ν10 )(1 + z)]−1度であり、は、赤方偏移した有効ライン幅であり、Mmax , Mmin

C10 T∗xc =A10 Tγは、それぞれ minihalo の最大質量、最小質量を表す。

Mmax は、星になるための冷却が有効ではないといである。

う条件 (Tvir (M ) ≲ 104 K) から得られ、Mmin は圧力と自己重力が釣り合うという条件から得られる、ジー

2.4

ンズ質量

Optical depth

Optical depth は、背景光が minihalo を通過した時に、光がどれだけ吸収されるかを表す物理量であ
MJ = 5.73×10

3

Ωm h2
0.15

−0.5 

Ωb h2
0.022

− 35 

1+z
10

 32

り、次の表式で与えられる。
で与えられる。
Z∞
3hc2 A10nHI (r)τ (ν, M, α) =ϕ(ν)dR
32πkB ν10 −∞ Ts (r)2.5 21cm angular power spectrum√22
ここで、α =
r − R は光の衝突係数であり、最後に、観測される物理量として、21cm 線ゆらν10 = 1420MHz は 21cm 線の遷移振動数、ϕ(ν) はp
ぎの angular power spectum を計算する。angularLine proﬁle で、∆ν =（ν10 /c） 2kB Tvir /mH を用
power spectrum は、赤方偏移 z での n̂ 方向の 21cm
いて
ゆらぎ


(ν − ν10 )2
1√ exp −
ϕ(ν) =
δTb (n̂, z) = ∆Tb (z)b̄(z)δ(n̂, z)
∆ν 2
∆ν π
で与えられる。

を球面調和関数 Ylm (n̂) で展開し、多重極モーメント

Optical depth を用いて、minihalo からでてくる(展開係数)

ﬂux を計算する。ﬂux は、Raylei-Jeans 極限をとった際に対応する温度、輝度温度 Tb を用い、以下で表される。

Tb (r) = Tγ e−τ +Z τ (r)a21
lm (z) =Z
δTb (n̂, z)Ylm∗ (n̂)dn̂

の相関を取ることによって求めることができる [4]。
′Ts e−τ dτ ′21∗ ′Cl21 (z, z ′ ) ≡ ⟨a21
lm (z)alm (z )⟩0輝度温度の、minihalo の大きさと、質量分布に関しての平均を計算する。minihalo の大きさに関しての= ∆Tb (z)∆Tb (z ′ )b̄(z)b̄(z ′ )Clm (z, z ′ ),Z 2
k dk
Clm (z, z ′ ) = D(z)D(z ′ )P (k)jl (kr(z))jl (kr(z ′ ))2π

平均は、minihalo の視線方向の断面積 A を用いて、
Z
ここで、b̄(z) は fux weighed bias factor であり、背1
Tb (r)dA⟨Tb ⟩ =
景物質密度 δ(n̂, z) と minihalo の密度との比を ﬂux
Aで平均したもので、以下で定義される (F, b の定義はによって計算できる。これを用いて、輝度温度の CMB[4] 参照)。
に関するゆらぎは
R MmaxdndM dM
F(z, M )b(M, z)
Mmin⟨Tb ⟩ − Tγ (z)b̄(z)=
R Mmax∆Tb =dn
F(z, M )
dM dM
1+z
Mmin
で表される。質量分布の平均に関しては、揺らぎをD(z) は growth factor、P (k) は物質の power specmass function で重み付けして計算することにより、 trum、jl は球ベッセル関数である。
以下の表式を得る。
4 Z Mmax∆Tb =c(1 + z)ν10 H(z)Mmin

ULAP や oscillon が存在する時に、この 21cm an∆νef f ⟨Tb ⟩A

dn
dM
dM

gular power spectrum にどのような影響を与えるかを計算する。

117

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Results

4

21cm angular power spectrum の結果を図 1 に示す。

Conclusion
本研究では、homogeneous ULAP や oscillon が存在する場合に、21cm 揺らぎの angular power spec-

trum に与える影響を見た。oscillon が存在しない場
合、ULAP を含めることによって CDM にくらべてシグナルは小さくなることを確認した。oscillon が存在する場合にも、その揺らぎが大きすぎるため、21cm
揺らぎに関与する minihalo の数を減らしてしまい、CDM に比べてかなりシグナルは小さくなる。
将来的には、CDM の場合のみ観測可能性があるが、foreground ノイズの影響を考慮することができていないので、更なる研究が必要である。
図 1: 21cm angular power spectrum
ここで、横軸は角運動量 l、縦軸は 21cm angular

Reference

power spectrum を表し、青、黄、緑の実線はそれぞれ CDM、oscillon なし、oscillon ありの場合、赤実線
は今後の SKA による観測感度である。なお、ULAPの質量は mU LAP = 10−21 eV としている。観測感度[1] R.K.Shethph/9901122

andG.Tormen.,1999,arXiv:astro-[2] M.Kawasaki
ph/2010.13504v1

et.al.,2021,arXiv:astro-に関して、foreground のノイズは含めておらず、実[3] B.Zygelman,2005,The
622:1356-1362

験機器のノイズのみ考慮している。

[4] K.kadota et.al.,2021,arXiv:astro-ph/2007.02276v2

図 1 より、CDM に比べて、homogeneous ULAP
はシグナルを弱める傾向にあり、さらに oscillon が存在する場合はさらにシグナルが小さくなっている。
これは次のように解釈できる。oscillon がなく、ho-mogeneous ULAP のみが存在する場合、これは物質の密度ゆらぎをならす効果が働くので、minihalo の数が少なくなってしまい、シグナルは小さくなる。一方 oscillon を含めた場合、これは CDM の場合に比べて密度揺らぎは大きくなるが、シグナルは小さくなってしまっている。これは、むしろ揺らぎが大きくなりすぎると CDM に比べてより昔に minihalo が生成され、大スケールの minihalo を生成してしまい、

21cm 揺らぎに関与する minihalo は少なくなってしまうことによる。なぜなら、大スケールの minihaloが星形成のための冷却条件（Tvir ≲ 104 ）を満たさなくなってしまい、平均化の際の積分上端 Mmax が小さくなってしまうからである。

118

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重宇 26

21 cm forest による暗い銀河の検出可能性
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
中島 光一朗1192021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

21cm forest による暗い銀河の検出可能性
中島 光一朗 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の構造形成初期の天体の電離光子により, 宇宙の晴れ上がり (赤方偏移 z ∼ 1100) 以降続いた暗黒時代
は終わり, 宇宙は夜明けを迎えた. その後宇宙の中性ガスが電離されていき, この時期は宇宙再電離期と呼ばれる. 数々の観測やシミュレーションにより, 再電離期は赤方偏移 z ∼ 20 で始まり z ∼ 6 で終わると示唆されているが, 完全な理解には至っていない. 特に, 再電離期の初期や暗黒時代の終わりには未だに観測が届いていない. そこで注目されているのが, 中性水素の超微細構造に由来する 21cm 線である.
本研究では, 21cm forest による再電離期の構造の検出可能性を示すことを目的とする. 21cm 線は, 中性水素の超微細構造に由来する電磁波である. これを用いて, クエーサー等の明るい背景光源と我々の間の中性水素ガスを検出することができる. さらに, 光が赤方偏移するので広い波長域に吸収線が刻まれ, 21cm forest と呼ばれる森のような観測スペクトルが検出される. 将来的には Square Kilometre Array(SKA) などの大規模電波干渉計による観測により, 高赤方偏移クエーサーを用いて観測される見込みである. 本公演では, まず

21cm forest の吸収線シグナルが再電離期の構造 (銀河, 銀河間物質) を識別する可能性について議論する. さらに, ターゲットを銀河間物質 (IGM) に絞って, その密度ゆらぎを吸収線シグナルから読み取ることで, マ
ターパワースペクトルの制限への利用を議論する.

1

導入

本研究では, 21cm forest によって再電離期に存在する構造を検出する可能性について議論する.

宇宙が生まれたばかりの高温な時期において, 主

まずは, 21cm forest の吸収線シグナルが再電離期な元素である水素は電離した状態にあった. しかし,の銀河を見つけることができるか議論する. 再電離

宇宙は膨張とともに冷え, 赤方偏移 z ∼ 1100 には電期において銀河は重要な構造であると考えられてい子が陽子に捕らえられて宇宙は一度中性化した (宇宙る. 最初は初代天体が電離光子源とされるが, その後の晴れ上がり). この後しばらく中性な時代 (暗黒時電離された状態までの電離光子源は銀河が供給した代) が続いたが, 初期構造形成により天体が形成されと示唆されている. 銀河を検出する方法としては, 光

電離光子が放出されると, 宇宙は再び電離された. こ

学的厚みという物理量を計算することで, 吸収線シグ

れを宇宙再電離という. 数々の観測から, 宇宙は赤方

ナルの大きさを予測する. これは中性水素の数密度

偏移 z ∼ 6 までにほとんど電離され, 現在もその状態を保っていることがわかっている.

及び温度により決まるので, 銀河と IGM についてそ
れぞれモデル化することで, これらの構造による吸収

さて, 再電離期の中性水素の変化する数密度は, こ線シグナルを予測する.

の時期の重要な情報の１つである. 中性水素の検出

次に, 21cm forest の吸収線シグナルから IGM のには, 水素原子を周る電子のエネルギー準位差に由来

密度ゆらぎの情報を得ることで, マターパワースペク

する電磁波が便利である. そのうち Lyα 線を使った

トルに制限をつける可能性について議論する. 21cm

観測は既に行われている. しかし, Lyα 線は非常に吸

forest と似た Lyα forest という観測では, すでにマ収されやすいという特徴を持っており, 中性水素が多ターパワースペクトルの制限がなされている. よっ
く残る再電離期前半においては背景光を吸収しきっ て, 21cm forest の吸収線シグナルから密度ゆらぎのてしまう. そのため再電離期前半を知る手がかりと 情報を得ることができれば, マターパワースペクトル
しては, Lyα 線はあまり適していない. そこで注目さの制限ができるのではないかと考えられる. 本研究れているのが 21cm 線である.

120

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
では, 吸収線シグナルを光学的厚みに直すことで密度出した密度ゆらぎがガウス分布に従うと考え, その分の吸収されやすさを表すもので,
)]
[
(
∫
0.068
σ0 ϕ(ν)n0
τ = ds 1 − exp −TS散を計算し, いくつのデータがあれば分散を特定できと計算される (Pritchard J. R., &Loeb A. 2012).

るのかを調べる.

ま た, σ(ν)

ゆらぎの情報を取り出すことを考える. そして, 取り= σ0 ϕ(ν) は 21cm 断 面 積 (σ03c A10 /8πν ), A10 = 2.85 × 1022

2

−15 −1s(2)≡はアインシュ

タインの A 定数と呼ばれ, 自発放射率を表す. さら∫に ϕ(ν) はラインプロファイルであり, ϕ(ν)dν = 1

21cm 線の物理

21 線は中性水素の超微細構造由来の電磁波である. 水素の電子のエネルギー準位は電子軌道由来のものがよく使わる. さらにそれぞれの準位は, 電子と陽子のスピンがともに同じ方向を向いている状態に規格化されている. 21cm 線の光学的厚みを考える場合は, ラインプロファイルはガスの熱運動による速度分散を考える. ガスの速度分散によるドップ
ラー効果によって, 吸収および放射の周波数は中心

ν0 = 1.42 GHz から広がりをもち,()
1ν − ν02行) にさらに細かく分裂できることがわかっている.
√ exp −
ϕ(ν) =
(3)
∆νD π
∆νD 2
エネルギー準位は平行の状態の方が高い. 特に 1s√
BT
軌道の超微細分裂のエネルギー差は周波数, 波長が のように分布する. ここで ∆νD ≡ νc0 2km
はドッν ∼ 1420MHz, λ ∼ 21.1cm の光子のエネルギーに対 プラー幅で, 熱的広がりを表す.
(平行) と, 互いに反対方向を向いている状態 (反平応する. これが中性水素 21cm 線である.

次はこの光学的厚みを用いて観測で実際に検出さまた, エネルギーが高い準位と低い準位の中性水素数密度の比はボルツマンの分布関数と同じ式
(
)
n1
g1
hν10
= exp −
n0
g0
kB TS

れる輝度温度について説明する. 輻射輸送方程式により, 輝度温度は次のように計算される (Pritchard

J. R., &Loeb A. 2012).
)
TS − TR (1 − e−τν
(4)
δTb =
1+z
(
)(
)1
で表される. ここで, kB はボルツマン定数, g1 =
Ωb h2
0.15 1 + z 2∼ 27xHI (1 + δb )3, g0 = 1 はそれぞれのエネルギー準位における統計
0.023Ωm h2 10()[]
的重み (縮退度) である. さらに, TS はスピン温度とTS − TR
H(z)/(1 + z)×mK
(5)
呼ばれる物理量であり, 式 (1) を見ればわかるようTS∂r vrに, 上下のエネルギー準位の分布を決めるパラメータ 1 行目から 2 行目は積分範囲が十分小さい近似の計算となっている. ただし, TS はエネルギー準位を変え である. ここで, x は平均中性水素率, δ はバリオ
(1)

得るさまざまな物理が考慮されて決まる温度である.
基本的には中性水素ガスと以下の 3 つの相互作用によって決定される.

b

2ンの超過密度, Ωb h , Ωm h はそれぞれバリオン, マ
ターの密度パラメータ, H(z) はハッブルパラメータである. である. また, ∂r vr は IGM の視線方向の(1) 背景放射 (主に CMB) 光子との相互作用

速度勾配, TR は背景放射源の温度で, 背景放射源は(2) 他の水素原子や電子との衝突

CMB やクエーサーなどが使われる. 本研究では強い(3) ライマンアルファ光子との相互作用

3

HI
2

背景光源としてクエーサーを考える.

輝度温度
スペクトルの 21cm 線吸収の大きさを計算するた

4

計算方法

4.1

銀河と IGM の識別可能性

めには, 光学的厚みという物理量を用いる. これは光まずは, 21cm forest の吸収線シグナルが再電離期の銀河を見つけることができるか議論する. ただし

121

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
今回は単純なモデルとして、ビリアル定理を用いた本研究では, まずはマターパワースペクトルのデー

球対称モデルを考える. 簡単のためできた天体は半タから式 (9) を積分し, 分散を計算した. この時のス

径 Rvir の一様球とすると,

ケール R は, 観測の周波数分解能 ∆νresol から決めた. そして計算した分散に対応したガウス分布で密(6) 度ゆらぎを発生させてその情報が 21cm forest で得4πRvir 3 ρ = M
3とが成り立つ. ここで, ρ は天体の質量密度, M は天体の質量である. ビリアル平衡にある天体の質量密度 ρは宇宙の平均質量密度 ρ̄ との間に ρ = 18π 2 (1+z)3 ρ̄0

られるとする. この時どのくらいのデータ数があれば密度ゆらぎの情報から分散の情報を復元することができるのかを探る.

の関係があるとされる. δ は密度ゆらぎである. 宇宙の平均質量密度の現在の値 ρ̄0 は物質の密度パラメー
タ Ωm0 と臨界密度 ρc0 を用いて, ρ̄0 = Ωm0 ρc0 と表される. 以上により, 式 (6) を Rvir について解けば,(Rvir ∼ 162.3

M
106 M⊙)1/3 (

1+z
20

5

結果と結論

5.1

銀河と IGM の識別可能性

)−1
pc

(7)

前章の仮定のもと, 銀河の光学的厚みを計算すると次のようになる.

(と求めることができる.

τGalaxy ∼ 1.8

目標はこの銀河モデルに対して光学的厚みを見積もることである. 式 (2) において∫
nb0
ds → Rvir , n0 → 18π 2 (1 + z)3
4

104 K
TS

)(

M
9
10 M⊙

)1/3 (

1+z
20

)−1
(10)

(8) 一方で IGM の光学的厚みは, 式 (2) から, 図 1 のよ
うに計算される. 点は密度ゆらぎを含む光学的厚み,とする. ただしドップラープロファイルは積分されて実線はその平均である. ここで高赤方偏移 (z ∼ 20)

1 になるとする. nb0 はバリオンの数密度で, バリオを考えたのは, 水素はほぼ電離されていない簡単な状

ンの全てが水素であるとし, そのうち 1/4 (∵ 式 (1))

況を考えるためである. 密度ゆらぎは式 (9) で求めらが下のエネルギー状態であるとした. 次の章でこれれる分散のガウス分布に従った乱数で与え, スピン温を計算し, IGM の光学的厚みと見分けられるか議論

度は CMB 温度で与えた.
式 (10) から, M ∼ 109 M⊙ 程度の銀河であればする.

IGM と 102 程度オーダーが異なるので, 十分に識別4.2できる可能性があると考えられる. M < 109 M⊙ のマターパワースペクトルの制限銀河というのは高赤方偏移ではほとんど見つかって密度ゆらぎについて知るための指標として, 宇宙の平均密度に比べてどのくらいの分散を持つかといういないので, 21cm forest は銀河観測の新たなプロー
ブとして期待できる.

ものがある. 密度ゆらぎの分散はパワースペクトルP (k) により次のように与えられる.
∫ 2
k dk 22
σ (R) ≡
W (kR)P (k)
2π 2

5.2
(9)

ここで W (kR) はウィンドウ関数 WR (x) の 3 次元
フーリエ変換である. フーリエ空間のウィンドウ関
数は, 波数の小さな長波長スケールのゆらぎのみを残して, 波数の大きな短波長スケールのゆらぎを消し去る役割をする.

スピン温度とマターパワースペクトルの制限

IGM の光学的厚みから読み取れる情報として, ゆらぎと平均の２種類がある. 式 (2) から, 光学的厚みのゆらぎは中性水素ガスの密度ゆらぎ δ, 平均はスピ
ン温度 TS と下の準位の中性水素数密度 n0 に対応する. 特に中性水素の平均数密度の進化は, 宇宙論的に122

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ゆらぎ成分から元の分布関数の分散を求めるため

は (1 + z)3 に比例するから, n0 は分かっているとすにはある程度データの数が必要である. そこで, ガウ

ればスピン温度が求められるはずである.
例えば 21cm forest から図 1 のようなデータがとス分布に従う乱数を作り, 何回分のデータで元の分散れたとする. 式 (2) に宇宙論パラメータを代入して中を復元できるかを計算した. 図 2 は測定データを取る回数と誤差の関係である. ただし, 実際にデータを取る回数というのはすなわち背景光源となるクエー

opticaldepth
average of opticaldepth

0.025

サーの必要な数である. この計算から, クエーサーがN ∼ 100 個程度で誤差が < 3% となることがわかる.
実際今は高赤方偏移にはほとんどクエーサーが見つ

0.015

かっていないので, 今後どのくらいクエーサーが見つ
0.010

かるかが課題である.

0.005

0.000
19

19.5

20
redshift

20.5

6

21

今後の展望
今回は 21cm forest 観測で得られる光学的厚みの図 1: IGM の光学的厚み値を予測し, 簡単にモデル計算した. この計算で最も改善の余地があるのはスピン温度である. 2 章で述性水素の平均数密度に対応する光学的厚みはτ̄IGM ∼ 1.0

1
TS

(

1+z
20

べたように, スピン温度は主に３つの効果によって決

)3/2
(11)

と近似的に計算できる. これを用いて観測で得られたデータの平均の値からスピン温度を求めることができる. 今回は図 1 の実線のデータを観測で得られた

まるが, 今回は簡単のために CMB 温度として計算した. 実際には３つの効果が複雑に作用し, スピン温度の進化をシミュレーションする先行研究も存在する.
今回のモデルにスピン温度をより正確に計算することなどを今後の研究課題として取り組んでいきたい.

と思って, 式 (11) からスピン温度を求めた. 結果としては図 1 の元データである CMB 温度を復元することができた. 数密度がわかれば光学的厚みの平均かAcknowledgement
本発表を行うにあたり、研究室の皆様には多くのらスピン温度を求めることができることがわかった.

場面で助けていただきました. 特に, 准教授の田代寛之さん, 助教の柏野大地さん, 研究員の長谷川賢二さ0.300

ん, 博士課程の安藤梨花さん, 阿部克哉さん, 近藤寛

z=20人さん, 修士課程の坂本陽菜さん, 角谷健斗さん, 同

0.250

期の皆には大変お世話になりました. 夜遅くまで議

0.200
error

optical depth

0.020

論や計算に付き合ってくださり, 熱心にご指導していただきましたこと, 心より感謝申し上げます.

0.150

0.100

Reference

0.050

0.000
0

100

200

300

400

500
Ndata

600

700

800

図 2: クエーサーの数と σ(R) の誤差

900

1000

Pritchard J. R., &Loeb A., 2012, RPPh, 75, 086901.
doi:10.1088/0034-4885/75/8/086901
Šoltinský T., Bolton J. S., Hatch N., Haehnelt M. G.,
Keating L. C., Kulkarni G., Puchwein E., et al., 2021,
arXiv, arXiv:2105.02250

123

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重宇 27

ガウス過程回帰を用いた前景除去
熊本大学 自然科学教育部理学専攻
伊東 拓実

124

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

ガウス過程回帰を用いた前景除去
伊東拓実 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
宇宙で最初の天体が誕生した後、天体が発する紫外線によって宇宙全体にある中性水素ガスが電離される時期を宇宙再電離期 (Epoc of Reionization : EoR) と呼ぶ。宇宙再電離期の 21cm 線の検出は当時の中性水
素および電離源の分布や性質の解明につながることから、初代星や宇宙初期における銀河やブラックホール、
銀河間物質などの研究において非常に重要である。宇宙再電離期の 21cm 線は Murchison Wideﬁeld Array(MWA) や LOFAR (Low Frequency Array),Hydrogen Epoch of Reionization Array (HERA) などによる観測が試みられており、近いうちに Square Kilometre Array (SKA) による観測も予定されている。
再電離期からのシグナルは銀河系のシンクロトロン放射など、21cm 線自身より 3 桁以上も明るい前景放射の中に埋もれており、 シグナル検出のためにはこの前景を回避するか正確に除去する必要がある。前景の回避および除去については様々な研究が行われている。Mertens et al 2018 においてはガウス過程回帰(Gaussian Process Regression, 以下 GPR) を LOFAR のシミュレーションデータに適応することで効果的に前景が除去できることを示しており、実際の LOFAR データにも適応されている。(Mertens et al 2020)
今回は Mertens et al 2018 の論文で紹介されている GPR のプログラムを用いてシミュレーションデータの前景除去をおこなってみたため、その結果を報告する。

GPR では前景放射がスペクトル的にも空間的にも滑らかであるのに対して EoR シグナルはそうでもないということを利用して前景除去を行う。

1

導入

考えられているのが銀河間物質 (IGM) 中の中性水素から放射される 21cm 線である。21cm 線はライマン

宇宙晴れ上がりののち、宇宙に天体は存在せず、わアルファ光子と比較して中性水素からの吸収を受けずかな揺らぎを持った中性水素が一面に広がっていにくいため、中性水素が豊富に存在する時期の探査た。この時代を宇宙の暗黒時代という。やがて、重に適している。また電離領域からは 21cm 線が検出力による構造形成が進み、初期の天体が形成される。 されないため、これを利用してイオン化バブルの構
この初期天体からの放射によって天体の周りの中性造を知ることもでき、電離源の分布や性質の解明に水素が電離される。時間が経ち銀河等の構造が作らもつながる。

れていくと天体の周りの電離した領域も徐々に空間

再電離期からの 21cm 線を観測する上で大きな問を満たしていき、最終的には宇宙全体がイオン化さ題となってくるものの一つに天体からの前景放射がれる。この時代を宇宙再電離期と呼ぶ。

ある。赤方偏移した 21cm 線が観測される周波数帯

宇宙再電離期の観測について述べる。宇宙再電離は系内のシンクロトロンや系外の活動銀河核 (AGN)
期が終わる時期については、強いライマンアルファ なども同時に観測され、それらの強度は予想される輝線を放出する天体 (LAE) やクェーサーの吸収線な 宇宙再電離期からの 21cm 線と比較して３桁から４どの観測によって制限が得られているが (1)、 再電

桁ほど大きい。宇宙再電離期の情報を 21cm 線を用離が始まる時期や再電離以前に関してはいまだに観いて得ようとする場合、この前景をどのように除去、測的な制限は得られていない。ライマンアルファ光

または回避するかが重要になってくる。前景の除去

子は中性水素により強い吸収を受けるため中性水素については主成分分析や多項式近似など様々な手法が大量に存在する宇宙再電離期序盤や中盤の観測にによる研究が進められているが、今回は (2) の論文は適していない。この時期の観測に有効なツールと125

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校で行われたガウス課程回帰を用いた前景除去に注目

2.2

した。

カーネルモデル今回用いた共分散モデル (カーネルモデル) は

Matérn Kernel(8 式) と呼ばれるものである。

ガウス過程回帰を用いた前景除

2

KMatern (ν, ν ′ )
(
)
(
)
1−η
√ | ν − ν′ | η√ | ν − ν′ |
22
=σ
2η
Kη
2η
Γ(η)
l
l
(8)

去
ガウス過程回帰2.1

ここでは (3) および (4) を参考にガウス過程回帰を用いた前景除去を説明する。観測されたデータ

d は foreground(f ),EoR signal(e),noise(n) を含む。

ここで σ 2 はシグナルの振幅を決めるパラメータ、l は相関のスケールを決めるパラメータ、

η は関数の滑らかさを決めるパラメータ (η が大きいほど関数(1) は滑らか:図 1)、Γ はガンマ関数、Kη は第２種のベッセル関数である。特定の η (e.g.η = 1/2, 3/2, 5/2) をまたこれらの信号は無相関であると考えられるので 選択することでこの関数は単純化できる。
d=f +e+n

データの共分散は

前景放射は周波数的に滑らかであり、21cm 線は周(2) 波数的に滑らかでないという仮定を用いることでそれぞれのカーネルに適した η をハイパーパラメータ
ここでデータがガウス分布をしていると仮定すると として設定することができる。今回は 21cm 線のカー
C = Cf g + C21 + Cn

その確率分布を次のようにモデル化できる。

ネル K21 では η = 1/2、前景放射のカーネル Kf g は

d ∼ N (m(ν), K(ν, ν))(3)

η = 5/2 と η = 3/2 の 2 成分を用いた。

ここで m はモデルの平均値、K は共分散 (カーネルとも呼ばれる)。共分散のモデルを K = Kf g +K21 +Kn
としてデータ d と前景放射 f ′ の同時分布を考えると次のようになる。ただし簡単のために平均値は 0 と
した。
[ ]
d

f′

([ ] [
0
Kf g + K21 + Kn
∼N
,
0
Kf g

Kf g

])

Kf g
(4)

′

′

このとき前景放射 f の期待値 E[f ] および共分散

Cov[f ′ ] は
E[f ′ ] = Kf g [Kf g + K21 + Kn ]−1 d

(5)

図 1:

Cov[f ′ ] = Kf g − Kf g [Kf g + K21 + Kn ]−1 Kf g
(6)
このようにして求めた前景放射の期待値をデータ

０を中心にして書いた特定の η での Matern kernel。

η が大きいほど関数は滑らかになるから引くことで残差 (Residual)r を求める。これが前景除去を行った後のデータである。

r = d − E[f ′ ]

(7)

126

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

使用データ、コード

3

今回使用したコードは gpr4im という名前で公開されている (5)(6)。また、使用したデータは SKA1

Low を想定したシミュレーションデータである。周波数は 167MHz-187MHz(6.6 < z < 7.5), 周波数分解能は 0.2MHz, 視野は 600Mpc×600Mpc、グリッド数
は 400×400×100。HI のデータは 21cmFAST(7)(8),
前景放射は GLEAM(9) を用いて作成してある。今回考慮した前景は点源のみである。(図 2)

図 3: 今回の計算によって得られたパワースペクトル
黒:正解

青:GPR

赤:主成分分析

程度再現できていることが確認できる。また、輝度
図 2: ある周波数における 21cm 線および前景放射の温度でみると前景放射は２桁ほど落ちている。

intensity map (左：21cm 線 右：前景放射)

結果, 議論4

図 3 は今回の前景除去によって得られたパワース
ペクトルの図である。黒のグラフは真の 21cm 線のパワースペクトル、青が GPR を用いて前景放射を行った結果得られた 21cm 線のパワースペクトルで

図 4: 前景除去後の intensity map

ある。比較のために主成分分析による前景除去の結

左：真右：前景除去後

果 (第３主成分までを除去) を赤のグラフで示している。
真のパワースペクトルと比較すると除去できていない前景が残っていることがわかる。これはカーネ

5まとめルにおけるハイパーパラメータである η の値を変え

今回はシミュレーションデータを用いて GPR を用たり、異なるカーネルを使用することによって改善いた前景放射の除去をおこなった。その結果完全とすることが可能である。

はいかないまでも多くの前景を除去することに成功

図 4 は今回の前景放射除去によって得られたあるした。除去できていない前景に関してはカーネルの周波数における 21cm 線の intensity map である。左ハイパーパラメータを変更することによって改善さ側が真の分布であり右側は GBR による前景除去にれることが考えられるため今後はよりよく前景が除よって得られた分布である。両者の比較のためにカ去できるパラメータの検証などを行う必要がある。

ラーバーは統一してある。ゆらぎのパターンがある

1272021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

謝辞[8] Andrei Mesinger,
Renyue Cen.

今回の解析に用いたデータは国立天文台の吉浦伸

Steven Furlanetto,

and21cmfast: a fast, seminumeri-cal simulation of the high-redshift 21-cm signal.

太郎さんにいただいたものです。この場を借りておMonthly Notices of the Royal Astronomical So-

礼申し上げますciety, Vol. 411, No. 2, pp. 955–972, 02 2011.
[9] Natasha Hurley-Walker, John Morgan, Ran-

Referencedall B. Wayth, Paul J. Hancock, Martin E.
Bell, Gianni Bernardi, Ramesh Bhat, Frank[1] Xiaohui Fan, C. L. Carilli, and B. Keating. Observational Constraints on Cosmic Reionization.
, Vol. 44, No. 1, pp. 415–462, September 2006.

Briggs, Avinash A. Deshpande, Aaron EwallWice, Lu Feng, Bryna J. Hazelton, Luke
Hindson, Daniel C. Jacobs, David L. Ka-[2] F. G. Mertens, A. Ghosh, and L. V. E. Koop-

plan, Nadia Kudryavtseva, Emil Lenc, Ben-

mans. Statistical 21-cm signal separation via

jamin McKinley, Daniel Mitchell, Bart Pin-

Gaussian Process Regression analysis. , Vol.

dor, Pietro Procopio, Divya Oberoi, André Of-

478, No. 3, pp. 3640–3652, August 2018.

fringa, Stephen Ord, Jennifer Riding, Judd D.
Bowman, Roger Cappallo, Brian Corey, David[3] Carl Edward Rasmussen and Christopher K. I.
Williams.

Gaussian Processes for Machine

Learning. 2006.

Emrich, B. M. Gaensler, Robert Goeke, Lincoln Greenhill, Jacqueline Hewitt, Melanie
Johnston-Hollitt, Justin Kasper, Eric Kratzen-

Gaussianberg, Colin Lonsdale, Mervyn Lynch, Russell

process foreground subtraction and power spec-

McWhirter, Miguel F. Morales, Edward Mor-trum estimation for 21 cm cosmology. , Vol. 501,

gan, Thiagaraj Prabu, Alan Rogers, Anish
Roshi, Udaya Shankar, K. Srivani, Ravi Subrah-[4] Nicholas S. Kern and Adrian Liu.

No. 1, pp. 1463–1480, February 2021.

manyan, Steven Tingay, Mark Waterson, Rachel[5] Paula S. Soares, Catherine A. Watkinson,

Webster, Alan Whitney, Andrew Williams, andSteven Cunnington, and Alkistis Pourtsidou.

Chris Williams. The Murchison Wideﬁeld Array

Gaussian process regression for foreground re-Commissioning Survey: A Low-Frequency Cat-

moval in hi intensity mapping experiments,

alogue of 14 110 Compact Radio Sources over 6

2021.

100 Square Degrees. , Vol. 31, p. e045, Novem-[6] F G Mertens, A Ghosh, and L V E Koopmans.
Statistical 21-cm signal separation via gaussian
process regression analysis. Monthly Notices of
the Royal Astronomical Society, May 2018.
[7] Steven G. Murray, Bradley Greig, Andrei
Mesinger, Julian B. Muñoz, Yuxiang Qin, Jaehong Park, and Catherine A. Watkinson. 21cmfast v3: A python-integrated c code for generating 3d realizations of the cosmic 21cm signal.
Journal of Open Source Software, Vol. 5, No. 54,
p. 2582, 2020.

128

ber 2014.

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重宇 28

銀河形成シミュレーションを用いた銀河の特異速度の推定法の開発
弘前大学 理工学研究科
阿部 祐大

129

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河形成シミュレーションを用いた銀河の特異速度の推定法の開発
阿部祐大 (弘前大学大学院 理工学研究科)

Abstract2017 年の連星中性子星合体からの重力波検出により、銀河までの距離が精度良く測定された事でハッブル定
数が約 15 ％の精度で決定された。しかし、銀河の後退速度に関しては宇宙膨張に起因する成分であるハッブル流と個々の銀河の特異運動に起因する特異速度が合わさったものであるため、特異速度の不定性が残っている。そのため、より精度よくハッブル定数を求めるには、銀河の特異速度の正確な推定が必要になる。本研
究では最新の銀河形成シミュレーション (IllustrisTNG) を用いて、銀河の空間分布から特異速度による不定性を除去する手法の開発を行なっている。TNG シミュレーションの銀河カタログは公開されており、一辺が205h−1 Mpc の立方体内に約二百万個の銀河が分布している。銀河の特異速度の推定法としては線形摂動論(ZA: the Zel’dovich approximation) と 2 次の摂動論 (2LPT: 2nd order Lagrangian perturbation theory)を用いる。ZA によると速度場と密度場はフーリエ空間を介して比例関係にある。また、2LPT は ZA に対して重力の潮汐効果による補正を行なった 2 次の解である。ここで推定した特異速度で補正を行う事により、TNG の銀河カタログにおいてフィールド銀河に関しては速度の標準偏差を実空間では約 45%、赤方偏移空
間では約 37% 減らすことに成功した。

1の空間分布から特異速度による不定性を除去する手

Introduction法の開発を行なっている。
宇宙の膨張を示すものとして v = H0 d(ハッブルの法則) が挙げられる。v は銀河の後退速度、d が銀河までの距離、H0 がハッブル定数である。この式より、銀河の後退速度 v と銀河までの距離 d の２つを正確に測定することでハッブル定数 H0 の精度向上が期待される。

2017 年、重力波検出器 LIGO と Virgo が連星中性
子星合体からの重力波を初めて検出した。これに伴っ

TNG シミュレーションは暗黒物質とバリオン (星、ガス、ブラックホール) の重力進化を同時に追っており、星や銀河形成、活動銀河核によるフィードバッ
クも考慮されている [Nelson D., et al (2019)]。TNGの銀河カタログ (質量、位置、速度等のデータ) と粒子分布 (質量、位置、速度のデータ) は公開されており、一辺が 205h−1 Mpc の立方体内に約二百万個の銀河が分布している。

た電磁波観測から母銀河も特定され、この銀河までの特異速度場の推定方法としては、密度場と速度場

距離が精度良く測定された事でハッブル定数が約 15 ％の関係を用いる。密度場については実空間と、実際にの精度で決定された [LIGO Scientiﬁc Collaboration,

観測される赤方偏移空間においてそれぞれ求め、速et al (2017)]。連星中性子星からの重力波を用いた距度の推定を行なっている。赤方偏移空間については、

離測定の手法は、距離ハシゴを仮定しないため系統
誤差が非常に小さい。しかし、銀河の後退速度につ

カイザーの公式を利用した線形密度場の推定を試みている。

いては銀河の特異速度の効果により大きな不定性が残っている。
ここで特異速度とは宇宙膨張に起因しない、銀河の固有運動による速度である。そのため、より精度

2

Methods

よくハッブル定数を求めるには、銀河の特異速度のここではラグランジアン摂動論 (LPT: Lagrangian

正確な推定が必要になる。本研究では最新の銀河形

perturbation theory) の概要を述べる。初期の粒子位

成シミュレーション (IllustrisTNG) を用いて、銀河

置 q と最終的なオイラー粒子の位置 x は変位ベクト

1302021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
ル S を用いて以下の様に表される。

x(q, t) = q + S(q, t).

場は以下のポアソン方程式に従う。

∇2q ϕ(1) (q)= δ (1) (q),X (1) (1)(1)
∇2q ϕ(2) (q) ={ϕ,ii ϕ,jj − [ϕ,ij ]2 }(1)

ゼルドヴィッチ近似 (ZA) によると、変位ベクト

(8)

i>j

ルの線形解と密度場の間には以下の様な関係が成り= δ (2) .

(9)

立つ。

∇ · S (1) (q) = −D1 (t)δ (1) (q).

式 (1)〜(3)、式 (8)〜(9) より、実空間での変位 x(2) と速度 v は

δ (1) は現在の線形密度場であり、D1 (t) は線形成長因

x(q)

=

v

≡

子である。
さらに変位ベクトルの 2 次の解を求めるため、2 次=の摂動論 (2LPT: 2nd order Lagrangian perturbation

theory) を用いる。2LPT は ZA の変位に対して重力の潮汐効果による補正を行なった 2 次の解を示す, f2 ≈ 2Ω6/11)。また、となる (D2 ≈ − 37 D12 Ω−1/143mm
フーリエ空間では以下の様に表される。

[Scoccimarro, (1998)]。
∇·S

(2)



−k 2 ϕ̃(1) (k) = δ̃ (1) (k),

3 −1/143 (1) (1)(1) (1)
Sa,a Sb,b − Sa,b Sb,a , (3)(q) = − Ωm
14(1)

q − D1 ∇q ϕ(1) + D2 ∇q ϕ(2) ,
(10)
dx
dt
−D1 f1 H∇q ϕ(1) + D2 f2 H∇q ϕ(2) ,(11)(12)−k 2 ϕ̃(2) (k) = δ̃ (2) (k),ṽ = −iD1 f1 Hkϕ̃(1)

ここで Sa,b ≡ ∂Sa /∂qb であり、Ωm は物質密度パ(1)+ iD2 f2 Hkϕ̃

(13)
(2)

. (14)

ラメータを表す。
赤方偏移空間 s と実空間 x の座標には以下の関係

2.1が成り立つ。

特異速度の推定方法

銀河の特異速度の推定法を以下に示す。

1s(q, t) = x(q, t) +[v(q, t) · ẑ]ẑ,aH

まずシミュレーションボックスを等間隔に格子点(4)で区切る。次に粒子分布から、格子点毎に平均化しまた a(t) はスケール因子、H(t) はハップルパラメー

た質量分布を推定し密度場を割り出す。この密度場
タを ẑ は視線方向の単位ベクトルをそれぞれ表す。 をフーリエ変換し、式 (15) の様に平滑化フィルター
また、v は q での特異速度を表す。

をかけ、重力ポテンシャルを求める。この重力ポテ
ンシャルと式 (13),(14) を用いて格子点毎の特異速度v(q, t) = a

dD1 a
dS
=
S(q).
dt
dt D1

を推定する。

(5)ϕ̃(1) (k)赤方偏移空間での変位ベクトル S (s) を以下の様に

s(q, t) = q + S (s) (q, t),2
G(k) = exp[−0.5(k⊥+ k∥2 )Σ2 ],

(6)

(15)

(16)

と表す。

ここで

S (s) (q, t) = S(q) + f1 [S(q) · ẑ]ẑ,

(7)

2.2

であり、f1 = d ln D1 /d ln a は線形成長率である。
また、重力ポテンシャルの 1 次と 2 次をそれぞれ

ϕ

δ̃(k)
G(k),
k2

ここで G(k) は平滑化フィルターであり

導入する。

(1)

= −

(q), ϕ(2) (q) とすると、重力ポテンシャルと密度

カイザーの公式を用いた線形密度場の推定

実際に観測されるのは赤方偏移空間 (s) での密度場であるが、今回補正する TNG の速度場は実空間

131

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校(x) のものである。その為、密度場を赤方偏移から実空間に変換する必要がある。

δ̃s (k) = (1 + f1 µ2 )δ̃(k),

実空間における物質密度を ρ(x) とし、赤方偏移空間での物質密度を ρs (s) とすると

ρ(x)d3 x = ρs (s)d3 s,(25)

ここで µ ≡ kz /k である。

(17)

これより赤方偏移空間を介した実空間の重力ポテ
ンシャル (式 (15)) は、が成り立つ。ここで実空間から赤方偏移空間へのヤϕ̃(1) (k) = −コビアンは式 (4) より

J=

∂(s)
∂  vz 
,
=1+
∂(x)
∂z aH

δ̃s (k)G(k),(1 + βµ2 )k 2

(26)(18) とかける。

となり、赤方偏移空間の物質密度は

ρs (s) = J −1 ρ(x),

(19)

3

Results
ここで推定した特異速度で TNG の銀河カタログとなる。

内のフィールド銀河の速度を補正する。フィールド

また、線形近似を用いて∂  vz ρs (s) = 1 −
ρ.
∂z aH

銀河とは銀河団に属さない銀河であり、銀河団に属

(20)

ρ
− 1,
ρ̄

フィールド銀河に限定している理由としては、フィー
ルド銀河は銀河団銀河に比べ非線形性が小さく、補実空間の物質密度のゆらぎを

δ(x) =する銀河団銀河とは区別する。補正している銀河を正の効果がより顕れると考えた為である。
推定した特異速度を vest とし、TNG のフィールド(21)と定義し、赤方偏移空間の物質密度のゆらぎも同様

fとして、補正した速度 v ′ を以下
銀河の速度を vTNGのように表す。

に定義する。
fv ′ = vTNG
− vest .

式 (20)、(21) より

δs (s) = δ(x) −∂  vz 
,
∂z aH

(27)

推定した特異速度は各格子点上での速度であるの(22)で、この格子点上の速度を各銀河に割り当てる事でここで非線形項となる δ と vz の積は無視した。実空補正を行う。この割り当てに関しては格子点の近く間と赤方偏移空間の座標値の差はゆらぎの 1 次以上にある銀河に対して CIC(Cloud In Cell) を用いていの量なので、今回の様な線形近似では式 (22) の左辺る。また、格子点の数は 503 個である。

の δs (s) を δs (x) と置き換えることができる。これをフーリエ変換すると

δ̃s (k) = δ̃(k) −表 1 は補正の方法と平滑化スケール、速度の標準偏差を示し、図 1 は Σ = 5h−1 Mpc で補正を施した

ikzṽz (k),aH(23)

後の速度分布と補正前の速度分布を実空間と赤方偏移空間でそれぞれ比較したものである。

となる。ここで式 (11),(13) よりδ̃s (k) = δ̃(k) + f

kz2
δ̃(k),
k2

4(24)

Discussion
実空間に関しては、ZA、2LPT 共に平滑化スケー

これより、線形領域においては、赤方偏移空間でルに依存するが標準偏差の 19〜45% を減らすことがの物質密度場 δs と実空間での物質密度場 δ の間にはできた、赤方偏移空間でカイザーの公式を用いて推フーリエ空間を介して以下の関係が成り立つ。

定した線形密度場を使った場合についても、平滑化

1322021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
大きくなっている。速度分布を見ると分布中央の銀表 1: 平滑化スケールと標準偏差
methodΣ[ h−1 Mpc] σ[km/s]w/o

外側の銀河の数に関しては元の速度分布より増えて275.285

real ZA
2LPT
Kaiser ZA
2LPT

104

河の数は元の速度分布に比べ増えているが、分布のいる事が分かる。

5.0

151.046

今回は q, x, s の間の関係 (式 (1),(6)) を考慮せず補10173.695

正を行なった。そのため、線形近似である ZA に関し

5.0

221.241ては Σ = 5h−1 Mpc で標準偏差を約 45%減少させる

10

186.376

ことに成功した。しかし 2LPT に関しては式 (3) の5.0

171.65様に q でのゆらぎの 2 次の量を無視出来ず、本来の10

198.788

値とズレが生じてしまったと考えられる。今回の補5.0

217.017

正ではそのズレが速度分布外側の過大評価に繋がっ

10196.227

たと考える。

<distribution of Vz (real space)>
w/o correction
2LPT correction
ZA correction

5103Conclusion
実空間 (x) における物質密度場を用いた ZA 近似

numberでの速度補正に関しては標準偏差を最大 45% 削減す

102

ることが出来た。この補正の精度を上げるため非線
形項 (ここでは 2LPT) を含めた補正を試みた。しか101

し、2LPT での補正に関しては ZA に比べ標準偏差の値が大きくなっている事から、非線形項を追加す

0

10-1500 -1000

-500

0
500
Vz[km/s]

1000

1500

る為には q での物質密度場を推定する必要があると考えられる。

104<distribution of Vz (redshift space)>

また、物質密度場 δ に関しては TNG の粒子分布

w/o correction
2LPT correction
ZA correctionの質量を用いた。実際の銀河サーベイでは銀河の質
量は測定出来ず、サーベイから得られた銀河数密度103

ゆらぎ δg にバイアス b を仮定し物質密度場 δ を求めnumberる。そのため、今後はこの理想的な状態において、速102

度補正の精度の更なる向上を測りたい。

1

10

Acknowledgement010-1500 -1000

-500

0
500
Vz[km/s]

1000

1500

指導教官である高橋龍一准教授にはこの様な興味深い研究テーマを提案、また右も左も分からなかった私を指導してくださり感謝申し上げます。

図 1: Σ = 5h−1 Mpc での各補正における速度分布
上図が実空間、下が赤方偏移空間での補正を表す。紫は補正をしていない速度分布を、青は ZA ので補正
を、黄色は 2LPT での補正をそれぞれ示す。

Reference
LIGO Scientiﬁc Collaboration, et al, 2017 , Nature, 551

スケールに応じて標準偏差を 21〜37% 削減できた。 Scoccimarro, 1998, MNRAS, 299, 1097-1118

2LPT での補正に関しては ZA に比べ、標準偏差がNelson D., et al,2019,Computational Astrophysics andCosmology,6,2133

——–index へ戻る

重宇 29

a new approach to model baryonic eﬀects on futurecosmological surveys : the baryoniﬁcation method
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理専攻
尹 聖煥

134

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

A new approach to model baryonic eﬀects on futurecosmological surveys : the baryoniﬁcation method
SeongWhan Yoon(Nagoya University M1)

Abstract
For decades, cosmologists have uncovered evolution and formation of large scale structure of the Universe. On the other hand, for the small scale structure, due to complicated baryonic physics ourunderstanding is under developed. considering that data from the small scale structure allows us tobreak degeneracy of cosmological models and parameters, understanding baryonic physics will be crucial
for future survey projects. For this goal, likelihood analysis with simulations to study potential baryoniceﬀects on future survey projects like Erosita and Euclid may be a good choice.
To approach the physics in this scale, a unique technique is developed, the baryoniﬁcation method . In
this method, the matter proﬁle is modeled by displacement of particles in N-body simulations throughparametrization to account for baryonic eﬀects of stars and gas, instead of running full hydrodynamical
simulations. this approach allows us to deal with baryonic uncertainty and high computational cost.
Also, an emulator is constructed. Based on the relation between limited known exact results and corresponding parameters, the authors ﬁnd a function of parameters for power spectra. Power spectra
can be calculated for any parameters without additional simulations. Combining these two tools withmock data, the authors perform the likelihood analysis to evaluate baryonic eﬀects on cosmologicalconstraints.
Especially, I focus on the interesting methodology and introduce the result for the Massive neutrino
LambdaCDM model. We show how cosmological constants are constrained when we use the baryoniﬁcation method.

1

Introduction

2

For several decades, our understanding about theuniverse has been enormously improved. despite
this success, new data casts even more questions.
one of the best example is to observe small scale
structures for cosmological purpose. cosmologists
observe various structures such as galaxies, galaxy
clusters, ﬁlaments etc. then they get high quality data. quantities like cosmic shear, cosmic convergence, power spectra can be computed. ﬁnally,
they check whether these observational quantities
are compatible with candidate theories or not.
there is one big problem. on a large scale, cosmology is easy because only graviational interaction isrelevant and linear theory can be applied. unfortunately, things are completely diﬀerent on a small
scale. one have to consider all the relevant complex interactions. instead of struggling with thisdiﬃculty, focusing on large scale structures may bean easy choice. however, understanding small scale(k ∼ 1h/M pc) structures will be a breakthrough forcosmology. I shall introduce interesting tools to deal
with this problem.

The baryoniﬁcation method

To model baryonic eﬀects on cosmological observations, the ’baryoniﬁcation method’ has been proposed.
since we understand gravity well and computational
cost is relatively low , we start from a gravity only
simulation. we ﬁnd a dark matter halo and compute the density proﬁle. then the (Dark Matter
Only,dmo) proﬁle can be written asρdmo (r) = ρnf w (r) + ρ2h (r).

(1)

ρnf w (r) is a ’truncated nfw proﬁle’ motivated bysimulations.
ρnf w,0,(2)
ρnf w (x) =x(1 + x)2 (1 + y 2 )2
here, x ≡ rrs , y ≡ 4×rr200 . ρ2h (r) ,a ’2-halo term’motivated by the ’eﬀective halo theory’, shows relations between diﬀerent haloes.
we want this proﬁle to be more realistic one which
reﬂects baryonic physics(Dark Matter Baryon,
dmb).

135

ρdmb (r) = ρgas (r) + ρcga (r) + ρclm (r) + ρ2h (r). (3)2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

a modiﬁed density proﬁle leads to mass
∫ r
dss2 ρχ (s),Mχ (r) = 4π

(4)0

χ corresponds to each component.
of course, total mass of a halo should be conserved.
Mtot = Mgas (∞)+Mcga (∞)+Mclm (∞) = Mnf w (∞).
also, we deﬁne mass fractions fχ Mtot = Mχ (∞)

2.1

The stellar component

ﬁrst, we consider the stellar component. a proﬁlefor the central galaxy is approximated by a powerlaw with exponential cutoﬀ.

Figure 1: comparison between hydrodynamic(solidlines) and baryoniﬁcated(colored bands) simulations. even though parameters are ﬁtted by halodensity proﬁles,we have few % errors for Power
spectra P (k). also, P (k) are suppressed on a small
scale.

2.3

The collisionless component

[ (
)2 ]
fcga Mtotrρcga (r) =
exp −
2Rh
4π 3/2 r2

Next, the collisionless component. in this case, the(5) NFW proﬁle should be modiﬁed due to the baryonic components(’adiabatic relaxation’).
as we know well, total angular momentum should
here, Rh = 0.015r200 is the stellar half-light radius. be conserved. modeling the collisionless matterapart from the central galaxy, there are other parts as spherical shells which can be expanded or consuch as satellite galaxies or stellar haloes. for these tracted, we ﬁnd ri Mi = rf Mf , Mi and Mf are thestructures, collisions are negligible. so they follow initial(dmo) and ﬁnal(dmb) enclosed mass.
the NFW proﬁle(but this should be modiﬁed. see but, better model has been proposed.
the section 2.3).
[(
)n
]
rf
Mi
next, we consider the total stellar abundance
−1=a
−1
(9)
ri
Mf
fstar ≡ fcga + fsga where cga refers to the central
galaxy and sga refers to the others(for example, thewe use a=0.3 and n=2. Mi ≡ Mnf w (ri ),satellite galaxies)
Mf ≡ fclm Mnf w (ri ) + Mcga (rf ) + Mgas (rf )()ηstarbasically, computing a consistent ﬁnal proﬁle is11
2.5 × 10 M⊙ /hfstar (M200 ) = 0.09
(6) not easy. iteration would be helpful.
M200
fclm dρclm (r) =Mnf w (r/ζ)
(10)
(
)ηcga
2 dr
11
4πr
2.5 × 10 M⊙ /h. (7) here, ζ ≡ r /r , M (r) = f M
fcga (M200 ) = 0.09fi
clm
clm nf w (r/ζ).
M200
fclm = Ωdm /Ωm + fsga (with fsga = fstar − fcga ).
in this way, an original proﬁle is parametrized by
ﬁve free parameters(θe j, Mc , µ, ηstar , ηcga ). how2.2 The gas component
ever, one can ﬁx ηstar , ηcga , since they don’t play aaccording to observation, gas proﬁle shows devia- major role in estimating cosmological parameters.
tion from the NFW one( at out or innerskirt).
replacing particles according to above proﬁles, we’baryoniﬁcate’ N-body results.
ρgas,0ρgas (r) =()β (()2 )(7−β)/2rr
1 + 0.1r200
1 + θej r200
3 Emulator
here, β(M200 ) = 3 −

(

Mc
M200

(8)

)µ
.

fgas is easy:fgas = Ωb /Ωm − fstar .

we construct a model to compute approximate values for any parameters, based on some exact samples.

136

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

therefore, mathmatically our goal is to ﬁnd a function Y = M (X). here, input vector is X ={xi |i ∈ 1, ..., d; d ∈ N} and output value is Y ∈ R.
function M (X) can be expanded using polynomial
terms(Polynomial Chaos Expansion).
∑
Y = M (X) =ηα Ψα (X)
(11)
α∈Nd

α = {α1 , ..., αd } is degree of polynomial,Ψα is anelement of a multivariate orthonormal polynomial
basis, ηα is the corresponding coeﬃcient. again,
the basis can be written by the new basis
Ψα (X) =d∏ϕ(i)αi (xi ) (12)Figure 2: ∆ = 100 (Pemu /Ptrue − 1). 0 ≤ z ≤ 2,
diﬀerent colors for k. note that we get only few %error for P (k).

i=1

Mock data
where ϕ iis an orthonormal polynomial of de- 4
gree αi . due to the computational cost, consideringinﬁnite αi is not practical.we only consider a ﬁnite although there are many planned projects, EUCLID
and eROSITA will be assumed. EUCLID is an ESA
number of terms.
∑
mission to investigate the universe on a large scale.
Y = M (X) ≈ηα Ψα (X)(13)
scientists will observe various galaxies with weakα∈Alensing eﬀect in visible near-infrared wavelength.
A forces us to consider the ﬁnite degree.
mass of an halo can be estimated.
{}
Ad,p = α ∈ Nd , ||α||1 < p(14) eROSITA is the part of the Russian-German mission. scientists will perform the X-ray(up to 10KeV
but this is not enough. we go further.
energy range) all-sky survey. one of its main scien{}
tiﬁc goal is to detect the hot intergalactic medium of
Ad,p,q,r = α ∈ Ad,p , ||α||q < p & ||α||0 < r .
(15) galaxy clusters and groups and hot gas in ﬁlaments(∑)1/q
between clusters. from detected X-ray photons, wedq.
here, ||α||q =αi=1 i
can estimate amount of gas in a halo.
in our case, what we want to compute is power spec- with EUCLID and eROSITA setting, realistic
tra P (k, z) (function of wavenumber k and redshift mock data can be constructed. ﬁrst, we run Nz) given the sample matrix D(nED elements), pa- body(gravity-only) simulations. then, each simularameters(except k,z) θ (nθ elements),tion snapshot is ’baryoniﬁcated’. then, we cut simunEDlation boxes into a smaller part for diﬀerent z. then∑D=
λi (θ) P C (k, z)(16) these parts are arranged in right order(according toi=1
their z) to construct a lightcone. we can make more
samples by rotating boxes or cutting boxes diﬀerλi (θ) is expanded.
∑
ently.
λi (θ) ≈ηα Ψα (θ)(17)(i)α (xi )α∈Awe expand the basis by normalized legendre polynomials.
nθ∏√
2αl + 1Pαl (θl )(18)
Ψα (θ) =5

Results

we shall ∑focus on the ΛCDM with massive
neutrinos( mν = 0.1eV , see Figure3) case.
l=1
this model is particulary interesting because notthere are several ways to ﬁnd ’good’ ηα . for exam- only it is the simplest one, but also baryon and massive neutrinos aﬀect structures similarly on a smallple, ’least-angle-regression’ technique.
as we have seen, construction process for an emu- scale. we assume 4 data scenarios.
lator is not easy to understand. however, one may 1. WL(Weak Lensing) only: WL data.
notice that this process is very similar to wavefunc- 2. WL+X-ray: WL+X-ray data
3.WL+X-ray+CMB-p(planck)5: WL+X-ray data,tion calculation in quantum mechanics.

1372021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

priors motivated by CMB-planck5
4.WL only(no baryon): WL data ,baryonic eﬀects
are ignored during likelihood analysis.
let’s see Figure4. left panel shows that power spectra suppression on a small scale(which is very similar to ﬁgure ∑1). right panel shows posterior contoursfor Ωm and mν . all scenarios cannot reliably exclude the massless neutrino cosmology. constraining∑ priors using CMB data signiﬁcantly enhancesmν constraint( but not Ωm ). if we ignore baryonic eﬀects(during likelihood analysis), likelihood
analysis lead to wrong conclusion(Ωm < 0.28 &∑mν ≪ 0.1eV ) it is obvious that ignoring baryonic eﬀects cannot be a viable option.
next, let’s see Figure5. X-ray data strongly constrains baryonic parameters(µ, Mc , θej ) and Ωb .
other cosmological parameters are not satisfactoryas they do. To constrain cosmological parameters,
considering CMB(large scale data) would be beneﬁcial.

6

Figure 3: parameters and corresponding priors.
numbers in square brackets show prior(ﬂat) interval. for numbers-only(cosmological parameters in+CMB case), gaussian prior is assumed.(numbers
are standard deviation).

summaryin this paper, we saw how they parametrize an halo
proﬁle to describe uncertain baryonic structures,
how they accelerate parameter estimation with an’emulator’, how they use simulations to describe
real survey projects. as a results, we conﬁrmed thatnew tools introduced here work fairly well(% level
errors). also, it became obvious that the ΛCDM
with massive neutrinos model is pretty interesting
and considering baryonic eﬀects is important.

Figure 4: left: comparison of power spectra P (k)for various neutrino mass(z=0.5).
right: posterior∑countours for Ωm &mν . the black cross represents assumed real values. other parameters are
marginalized.

Reference
Schneider A et al.,arXiv:1910.08494

2019,

arXiv

e-prints,p.

Schneider A et al.,arXiv:1910.11357

2019,

arXiv

e-prints,p.

Schneider A et al.,arXiv:1810.08629

2018,

arXiv

e-prints,p.

Euclid collaboration et al., 2018, arXiv e-prints, p.
arXiv:1809.04695

Figure 5: posterior contours for various parameters(for each case, other parameters are marginalized)138

——–index へ戻る

重宇 30

CMB スペクトルの黒体からのズレの詳細測定で拓く
初期宇宙探査東北大学 理学研究科天文学専攻
室越 琳生

139

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

CMB スペクトルの黒体からのズレの詳細測定で拓く初期宇宙探査
室越 琳生 (東北大学大学院 理学研究科)

Abstract1965 年のペンジアスとウィルソンによる宇宙マイクロ波背景放射 (Cosmic Microwave Background, CMB) の発見以降、CMB の観測は宇宙論の進展に重要な役割を果たしてきた。1989 年に打ち上げられた COBE(COsmic

Background Explorer) の FIRAS(Far InfraRed Absolute Spectrophotometer) によって、CMB は温度
2.725K の黒体放射であり、黒体からのズレは ≲ 10−5 であることが示された [1]。しかし、宇宙膨張による相互作用頻度の低下に伴い、光子がバリオンとの熱平衡状態からずれると元の平衡に戻すことができなくな
り、宇宙の晴れ上がりの十分前から黒体からのズレが生じる。CMB スペクトルの黒体からのズレは、宇宙の進化や暗黒物質の正体を探る重要な観測的ツールの一つである。本発表では [2] を参考に、相互作用と宇宙膨張のタイムスケールの比較から光子の分布関数の変遷を追い、黒体からのズレが生じる時期を解説する。

1

態からずれた時にこれらの反応によって熱平衡状態

Introductionが復元されるタイムスケールを計算する。ここで扱
ビッグバン直後、光子とバリオンは頻繁に相互作用をしており熱平衡状態にあった。しかし、赤方偏移 z ≲ 106 では宇宙膨張によって相互作用の頻度が下がり、何らかのエネルギー注入によって光子がバリオンとの熱平衡状態からずれた時に元の平衡状態

うのは宇宙の温度が電子の静止質量エネルギーよりも十分に小さい (kB Te << me c2 、kB : ボルツマン定数、Te : 電子の温度、me : 電子質量、c: 光速) のときであり、電子の速度を v としたときに v/c の 2 次までの近似で議論を進める。

に戻ることができなくなる。これは CMB のスペク
トルに黒体放射からの歪みが生じることを示唆する。
この歪みを検出するために PIXIE や PRISM といっ

2.1

たミッションが計画されており、観測されれば宇宙論に大きな貢献をすることが期待される [3]。本発表
では主に [2] のレビューを行い、CMB スペクトルのBoltzmann equation

コンプトン散乱、制動放射、ダブルコンプトン散乱を考慮した時の光子のボルツマン方程式は∂n= CC + Cbr + CdC∂t

黒体からのズレがいつ、どのような物理過程で生じるかについて基本的な事項を解説する。

(1)

である。ここで n = n(ν, t): 光子の分布関数 (等方)、C: 衝突項、添字は C: コンプトン散乱、br: 制動放2

Relaxation time scales

射、dC: ダブルコンプトン散乱である。以下では、CMB 光子とバリオンの熱平衡状態をつくる基本的な物理過程はコンプトン散乱、制動放射、ダブルコ
ンプトン散乱である。コンプトン散乱は光子数を保存したまま光子のエネルギーを再分配する (Comp-

tonization) ので化学ポテンシャル µ ≠ 0 であり、光子を Bose-Einstein 分布にする。一方制動放射、ダブ
ルコンプトン散乱は光子を吸収、放射するので µ = 0

光子の周波数 ν を無次元量 xe = hν/kB Te を用いて表す。ここで h はプランク定数である。ボルツマン
方程式は以下の式で与えられる [4]。
( )
( )
(
)
∂n
∂n
∂n
dxe
=
+
∂t xe
∂t ν
∂xe ν dt()∂nxe dTe= CC + Cbr + CdC −∂xe ν Te dt

であり、光子を Planck 分布にする。光子が熱平衡状

140

(2)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.2

∂E

Compton scatteringと書ける。ここで Te = Te0 のとき ∂tγ = 0 を使った。

コンプトン散乱による光子のエネルギー再分配の過程を記述する方程式は Kompaneets 方程式としてプラズマのエネルギー変化量が電子と光子のコンプ∂E

P
トン散乱によって光子に渡されるので、 ∂tγ = − ∂E∂tである。
知られており、衝突項が以下のように与えられる [5]。
( (
))
d∆Te
8σT
ne
∂n
1 ∂
=−
Eγ dt
(9)
CC = KC 2x4e+ n(1 + n)
(3)∆Te
3me c ne + nixe ∂xe∂xe∴ ∆Te ∝ e−t/te
(10)
kB Te
K C ≡ ne σT c
2
n
8σ
me c
e
T
Eγ
(11)
t−1
)
e ≡
(
)(
YHe
3m
c
n
+
ni
2
e
e
1− 2
Ωb h0
−30
4
−1
∼ 2.05 × 10 (1 + z)
s
0.226
0.88
このことから te が電子の温度が光子との熱平衡から(4) ずれたときに元の熱平衡状態に戻る典型的な時間を
ここで n : 電子数密度、σ : トムソン散乱断面積、 表すことが分かる。
eTΩb : バリオンの密度パラメータ、h0 : ハッブルパラ
メータ、YHe : ヘリウム質量存在比である。

2.3

Bremsstrahlung

温度 Te の熱平衡分布を持つ電子との一回のコンプ制動放射による衝突項は以下の式で与えられる [6]。

トン散乱による光子の平均のエネルギー変化は ∆ε =4kB Teme c2 ε である。平均自由時間は tmf= ne σ1T c であe−xe
(1 − n(exe − 1))(12)
る [5]。N 回の散乱で光子のエネルギーがもともと光x3e()−7/2 (
)3子が持っていたエネルギー程度変化するとすると、
kB Te
αnb
h
Kbr ≡ ne σT cgbr
ε = N ∆ε であるので、光子のエネルギーが変化する
me c(24π 3 )1/2 me c2))2 ((典型的な時間が以下のように与えられる。
1 − YHeΩb h20
−27
5/2
2
s−1
∼ 2.08 × 10 (1 + z) gbr
2
0.226
0.88
−1 me ctC = N tmf = (ne σT c)(5)4kB Te(13)
Cbr = Kbr

電子の温度を光子との熱平衡状態から少しずらしたとき、コンプトン散乱によって電子の温度が光子との平衡の温度に戻るまでのタイムスケール te を求

ここで α: 微細構造定数、nb : バリオン数密度、gbr =gbr (xe , Te ): ガウントファクターである。
光子が Planck 分布から少しずれたときに、制動放める。電子は陽子などのイオンとクーロン力によって強く結びついているので、電子の温度が変化すると直ちにプラズマ全体の温度が変化する。したがって電子温度 Te = Te0 + ∆Te (Te0 = Tγ : 熱平衡状態のときの電子の温度) 、イオンの数密度を ni とすると、プラズマのエネルギー密度 Ep の時間変化は以下

射による吸収や放射で光子数を調整することによって元の平衡状態に戻ろうとするタイムスケールを求める。Tγ = Te : 光子の温度のとき、Planck 分布は

nP l = exe1−1 とかける。n = nP l + ∆n とすると、∆nの一次までで∂∆ne−xeのように表せる。以下微小量 ∆Te の一次までとする。
(14)= Kbr 3 (−∆n(exe − 1))∂txe3
Ep = (ne + ni )kB Te(6)2∴ ∆n ∝ e−t/tbr
(15)
∂∆Te
3
∂Ep
−x
= (ne + ni )kB(7)
e e xe
∂t
2
∂t
t−1
(16)
(e − 1)br ≡ Kbrx3e
光子のエネルギー密度の時間変化は (3) を用いて
( )
( )
∫
と書ける。ここで n = nP l のとき ∂n
∂n
∂Eγ
2ν 2
∂t B = 0 を使っ
4πdνhν
=3
た。このことから tbr が光子の分布が Planck 分布か
∂t
c
∂t C
=

4σT neEγ ∆Teme c(8)

らずれた時に制動放射によって元の熱平衡状態に戻る典型的な時間を表すことが分かる。

1412021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.4

Double Compton scattering

3

Generation of CMB spectral
distortion

ダブルコンプトン散乱の反応式は γ +e ↔ γ +γ +eである。ダブルコンプトン散乱による衝突項は以下の式で与えられる [6]。

2 章で求めたパラメータを用いて CMB のスペク
トルのズレが生じる時期を見積もる。

1
CdC = KdC 3 (1 − n(exe − 1))xe()24α kB Te
KdC ≡ ne σT
gdC IdC
3π me c2
∼ 7.57 × 10−41 (1 + z)5 gdC IdC)()(
1 − YHeΩb h20
2
×
s−1
0.226
0.88
∫
′
′
′
′
IdC ≡ dxe xe4 n(xe )(1 + n(xe ))宇宙の晴れ上がり前の 2 × 103 ≤ z ≤ 107 での(17)

xe = 0.01 における緩和時間と Hubble time(1/H, H:
Hubble rate) を図 1 にプロットした。ここで gbr =2.99, gdC = 1.005, IdC = 25.976 とした [7]。各反応が光子スペクトルに影響を与えるには、そのタイムス

(18)
(19)

ケールが Hubble time より短くなければならない。図1 から、xe = 0.01 ではダブルコンプトン散乱 (黄)、制動放射 (赤) は z ≳ 105 、コンプトン散乱 (青) はz ≳ 5 × 104 で効くことが分かる。また、電子温度の

ここで gdC = gdC (xe ): ガウントファクターである。 緩和時間 (水色) は常に Hubble time より短いので、制動放射と同様にしてダブルコンプトン散乱のタ 電子の速度分布は非常に良い精度で温度 Te = Tγ のMaxwell-Boltzmann 分布にあると考えて良い。。

イムスケールを求める。

∂∆n1= KdC 3 (−∆n(exe − 1))∂txe∴ ∆n ∝ e−t/tdCt−1
dC ≡ KdC

1 xe(e − 1)x3e

次に xe < 1 での xC の赤方偏移依存性を図 2 に示

(20)

し、光子分布の周波数、赤方偏移依存性を考える。こ(21) こで xH (赤線) は制動放射とダブルコンプトン散乱の−1
確率が Hubble rate と等しくなる (t−1
br + tdC = H) と(22) きの x を表している。制動放射とダブルコンプトンe

このことから tdC が光子の分布が Planck 分布からずれた時にダブルコンプトン散乱によって元の熱平衡状態に戻る典型的な時間を表すことが分かる。

散乱の確率が Hubble rate よりも大きくなる xe < xHのときに制動放射とダブルコンプトン散乱が効く。

2.5 章から xe > xC のときは化学ポテンシャルµ ̸= 0 であり光子数が保存するので、光子の放射や吸収を伴う制動放射やダブルコンプトン散乱は効かな

2.5

Chemical potential

光子の分布関数を化学ポテンシャル µ << kB Te 、

1022
1018
1014
1010
106
102
10 2
10 6

Tγ = Te の Bose-Einstein 分布であると仮定すると、は以下の式で書ける。以下 µ/kB Te を µ とする。
(
)
∂
µ
∂µ
0 ∼ −KCx2e+ (Kbr + KdC ) 2 (23)
∂xe
∂xe
xe

µ(xe ) = µc e−xC /xe は µ(0) = 0 を満たす (23) の解で

time scale[s]xe << 1 に対する定常状態のボルツマン方程式 (2)ある。ここで µC は xC << xe << 1 のときの µ の値
) 21
(
dC
である。また、xC = KbrK+K
は µ(xe ) が小さC

104

くなる典型的な周波数 (xe ) を表す。よって xe ≳ xcのとき µ ̸= 0 であり光子数は保存し、逆に xe ≲ xCのときは µ が小さくなるので光子の生成や消滅が効

tC, Compton
tbr, Bremstrahlung
tdC, Double Compton
te, equilibrium
Hubble time

105

z

106

107

図 1: 各タイムスケールの赤方偏移依存性 (xe = 0.01)

いてくる。

142

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
トン散乱のみの熱平衡状態では Bose-Einstein 分布と100なるため黒体放射のスペクトルを実現できない。コンxc
xH
tC = tH10 1

プトン散乱、制動放射、ダブルコンプトン散乱によって Planck 分布を維持できるのは xe ≲ 0.01 であればz ≳ 5 × 104 であり、xe ≳ 0.01 では z ∼ 106 − 107xeBose- Einstein

で黒体からずれ始める。よって晴れ上がり前に光子は Planck 分布を維持できなくなり、CMB スペクト

10 2

10 3

ルの黒体からのズレが生じることが分かった。

Blackbody104

今後の課題としては、まず CMB スペクトルの黒Blackbody
105

z

106

体からのズレからどのような宇宙論的情報が引き出107 せ、その実現にはどのような観測実験が要求されるかを明らかにすることが挙げられる。将来的には宇宙背景ニュートリノ (CNuB) スペクトルの黒体から

図 2: xe = xc/H の赤方偏移依存性のズレからどのような宇宙論研究が展開できるのかい。図 2 の黒線は tc = 1/H を表しており、z ≲ 5×104

を調べたいと考えている。

となる水色の領域ではコンプトン散乱が効かなくなる。一方青色の領域はコンプトン散乱によって熱平衡状態を保つことができ、光子は Bose-Einstein 分布に5なる。xe < xC のときは µ ∼ 0 なので光子の放射や吸収が生じ、さらに xe < xH では制動放射とダブル
コンプトン散乱によって熱平衡状態を保つことができるので黒体放射のスペクトルを示す。z ≳ 5 × 104
ではコンプトン散乱も起こるので、赤色の領域は制動放射やダブルコンプトン散乱による光子の生成、吸収と共にコンプトン散乱による光子のエネルギー再分配も生じる。一方 z ≲ 5 × 104 のピンク色の領域
では制動放射とダブルコンプトン散乱のみで Planck
分布を維持している。xH < xe < xC の緑色の領域
ではいずれの散乱過程でも熱平衡状態を保つことが
できない。

4

Summary and Future work
宇宙膨張と散乱過程のタイムスケールを比較する

ことで、光子がバリオンとの熱平衡状態からずれた
時にコンプトン散乱は z ≳ 5 × 104 、制動放射とダブ
ルコンプトン散乱は低周波数の方がタイムスケールが短くなり、xe = 0.01 では z ≳ 105 であれば元の熱平衡状態を復元できることが分かった。また、黒体のスペクトルをつくるのは光子の分布が Planck 分布となる制動放射とダブルコンプトン散乱であり、コンプ

143

Reference

1. J. C. Mather et al., Astrophys. J. 420, 439 (1994)
2. R. Khatri, R. A. Sunyaev, and J. Chluba, Astron.
Astrophys., 540, A124 (2012)
3. Chluba, J., Abitbol, M.H., Aghanim, N. et al., Exp
Astron, (2021)
4. L. Danese and G. de Zotti, Riv. Nuovo Cimento,
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5. G. B. Rybicki, A. P. Lightman, Radiative process
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6. A. P. Lightman, Astrophys. J. 244, 392 (1981)
7. J. Chluba and R. A. Sunyaev, Mon. Not. R. Astron. Soc., 419, 1294 (2012)

——–index へ戻る

重宇 31

Cosmic Birefringence による Axion-Like Particle の 探
査と制限
京都大学 理学研究科物理学宇宙物理学専攻
筧 嵩文

144

未提出

145

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重宇 32

Fuzzy Dark Matter (FDM) ハローモデルの構築とFDM の質量制限
東京大学 理学系研究科物理学専攻
河合 宏紀

146

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Fuzzy Dark Matter (FDM) ハローモデルの構築と FDM の質量制限
河合 宏紀 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
Fuzzy dark matter (FDM) は、質量が m ∼ 10−24 − 10−20 eV 程度の、重力場に結合した自己相互作用しないスカラー粒子であり、Cold dark matter (CDM) に代わる有力なダークマター候補として近年注目されている。FDM シミュレーション結果によると、FDM ハローには量子力学的干渉効果に由来する粒状構造が存在することが知られている。この粒状構造が生成する密度揺らぎを調べ、観測データと比較することでFDM 質量に制限をかけられる。そこで我々はまず、FDM ハローを視線方向に射影した密度場の局所的領域
における物質パワースペクトルの解析的モデルを構築した。次に、この解析的モデルから得られた Einstein
半径近傍におけるパワースペクトルと、強重力レンズ系の観測結果 SDSS J0252+0039 から得られたパワースペクトルを比較し、FDM 質量制限について議論した。現在の観測結果では、FDM 質量に制限をかけられなかったが、ALMA 望遠鏡を用いた将来の観測で FDM の典型的な質量 m ∼ 10−22 eV 近傍に対する強い制限をかけられることが分かった。

1

序論

中心付近はドブロイ波長程度の大きさのソリトンコ
アからなり、その外側領域は CDM ハローと同様に標準的な ΛCDM 宇宙論モデルでは、タークマター

Navarro-Frenk-White (NFW) プロファイルに従うとして Cold dark matter (CDM) モデルを仮定してことが分かった。また、FDM ハローの中には、量子

おり、宇宙の大規模構造の観測結果を非常によく説

力学的干渉効果に由来する粒状構造が無数にできる

明することに成功している。しかし、約 1 Mpc 以下

ことが分かった。

のスケールに注目すると、CDM による理論予言と観観測面では近年、宇宙に存在する銀河より小さい測との間に不一致が見られ、総称して小スケール問

構造体の分布を調べるために、強重力レンズ効果を題と呼ばれる（e.g. Boylan-Kolchin & Bullock 2017,用いる新たな解析手法が開発された。Hezaveh, Y. etfor review）。小スケール問題には、コア・カスプ問

al. (2016) は、強重力レンズを用いてレンズ天体の射

題、銀河の回転曲線の多様性問題、ミッシング・サ

影密度場の物質パワースペクトルを推定する枠組み
テライト問題、Too-big-to-fail 問題等が挙げられる。 を構築した。また、Diaz, R. et.al. (2018) では、収これらの小スケール問題を解決するようなダークマ

束場のパワースペクトルを推定する手法を構築した。

ターモデルを探す研究が盛んに行われている。

Bayer, D. et al. (2018) は、これらの手法を銀河-銀河
Fuzzy dark matter (FDM) は、小スケール問題を の強重力レンズ系 SDSS J0252+0039 に適用し、射影解決する可能性のある有力なダークマター候補の一 密度場の物質パワースペクトルに対する制限を得た。
つとして近年注目を集めている。FDM は、質量がm ∼ 10−24 − 10−20 eV 程度の、重力場に結合した

我々は FDM モデルの妥当性を調べるために、以下の研究を行った。まず、FDM ハロー射影密度場の自己相互作用しないスカラー粒子である。FDM は、 局所的領域における物質パワースペクトルの解析的O(1) kpc 程度のドブロイ波長内では波動性が支配的 モデルを、シミュレーション結果を参考に構築した。
となり、小スケール問題の解決に重要な役割を果たす 次に、この解析的モデルから得られたパワースペク
一方で、それより大きなスケールでは粒子的振る舞い

トルと、強重力レンズ系の観測から得られたパワーをし、CDM と同じ大規模構造形成を促す。FDM ハ

スペクトルを比較し、FDM の質量制限について議論

ローの構造は、FDM シミュレーション (Schive, H.Y.

した。本稿では、これらの研究結果をまとめる。

et al. 2014) によって明らかにされた。それによると、

147

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

FDM ハロー射影密度場の局所 で与えられる。正規化条件は、∫∫的領域における物質パワースペ
d3 r u(⃗r − r⃗′ ) =d3 r u(⃗r − r⃗′ ) = 1⃗
VV (r )
クトルの解析的モデル

2

ϵ

(4)

′

である。ここで、V はハローの体積を表し、Vϵ (r⃗′ ) は

FDM ハローの内部には、ドブロイ波長程度の大きさの粒状構造が無数に存在する。我々は、FDM ハ

粒状構造より大きく、ハローサイズよりは十分小さ
いような中心座標 r⃗′ の球の体積を表す。この体積内

ロー内における粒状構造を、密度場のアンサンブル平

ではハロープロファイル ρh (⃗r) は一定とする。

均がハロープロファイル（e.g. NFW プロファイル）に従うようにランダムに配置するものとした。FDM

これらの設定から、ハロー内の FDM の密度分布ρf (⃗r) は、の分布はこのランダムに配置した粒状構造の重ね合∫

わせで書ける。2.1 節では、上記の FDM ハローをρf (⃗r)∫V定式化するとともに、この 3 次元密度場を視線方向

d3 r′ ρh (r⃗′ )Vc n(r⃗′ )u(⃗r − r⃗′ )=に射影して得られた射影密度場の、局所的領域における物質パワースペクトルの計算結果を示す。2.2 節

d3 r′ ρc (⃗r ; r⃗′ )n(r⃗′ )

=

(5)

V

ではバリオンを加えた場合について述べる。バリオと書ける。ここで、n(⃗r) は粒状構造の中心の数密

ンは粒状構造に依存せず滑らかなプロファイル（e.g.

度を表す。粒状構造は数密度のアンサンブル平均がとして、それぞれ NFW と Hernquist プロファイル

ロファイルに一致する。つまり、に選んだ場合のパワースペクトルとそのパラメータ⟨ρf (⃗r)⟩ = ρh (⃗r)

Hernquist プロファイル）で与えられるものとした。 ⟨n(⃗r)⟩ = 1/Vc となるようにランダムに配置する。そ2.3 節では、ダークマターとバリオンのプロファイル うすると、密度場のアンサンブル平均は、ハロープ

依存性について議論する。

(6)

を満たす。

2.1

3 次元密度場から、視線方向（z 軸方向）に積分す

FDM-only の場合

ハロープロファイルを ρh (⃗r) で与えた時に、中心が r⃗′ にある粒状構造の質量 Mc (r⃗′ ) は、粒状構造の
体積 Vc を用いて、Mc (r⃗′ ) = ρh (r⃗′ )Vc

ることで射影密度場 Σf (⃗x) が得られ、∫Σf (⃗x) ≡dz ρf (⃗r)
∫Z ∫
=
dz
d3 r′ ρh (r⃗′ )Vc n(r′ )u(⃗r − r⃗′ )
Z

(1)

Vϵ(⃗
r)

(7)

と仮定した。粒状構造の半径はドブロイ波長を用いて、と表せる。ここで ⃗x は、2 次元射影密度場における
( )3
4
λc
座標を表しており、ハローの中心を通るように原点
Vc = π(2)32を取っている。また、アンサンブル平均は、∫∫で与えるものとする。ここで λc は FDM のドブロ
⟨Σf (⃗x)⟩ =dz ⟨ρf (⃗r)⟩ =dz ρh (⃗r)
イ波長を表し、FDM 質量 m、速度分散 v を用いて、ZZ≡ Σh (⃗x)(8)
λc = 2πℏ/mv と表せる。速度分散 v は定数であるとし、それゆえ粒状構造の大きさを一定と仮定し計算を進める。
中心が r⃗′ にある粒状構造内の密度分布は、正規化で与えられる。

された質量プロファイル関数 u(⃗r − r⃗′ ) を用いて、

ρc (⃗r ; r⃗′ ) = Mc (r⃗′ )u(⃗r − r⃗′ )2 次元射影密度場のある点 ⃗x 近傍の密度揺らぎは、
δ(⃗x) ≡

(3)148

Σf (⃗x) − Σh (⃗x)Σh (⃗x)(9)2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校と表される。この密度揺らぎをフーリエ変換して得られる δe⃗l を用いて、物質パワースペクトルは、⟨⟩(2)δe⃗l δel⃗′ ≡ Sϵ δ⃗ ⃗′ ⃗ P (l).
(10)
l+l ,0と定義される。ここで、Sϵ は、⃗
x 近傍の十分小さい⃗
2 次元球領域を表す。物理量 l は 2 次元波数ベクト

パラメータ依存性

2.3

ハロープロファイル、バリオンプロファイルをそれぞれ NFW プロファイルと Hernquist プロファイ
ルに選んだ。NFW プロファイルの質量集中度および Hernquist プロファイルの有効半径は、それぞれハローの全質量 Mh とバリオン全質量 Ms と関係式ルを表す。異なる点における数密度には相関がない、⟨⟩
つまり、 n(⃗r)n(r⃗′ ) = δ (3) (⃗r − r⃗′ ) を仮定して、式 が知られている。我々はこれらを利用し、2 つのプロ

(10) の左辺を計算することで、最終的に求めたいパ

ファイルを一意に決めるパラメータを、ハローの全

ワースペクトルが得られ、Vc
Pf (l) =|eu⃗|2rh (⃗x) l

質量 Mh と質量比 Ms /Mh とした。
ドブロイ波長 λc = 2πℏ/mv は、速度分散 v を√
3GMtot
,
(17)
v=
2Rvir

(11)

となる。ここで、rh (⃗x) は、ハローの有効半径であり、(∫)2dz ρh (⃗r)
Σ2h (⃗x)Z
rh (⃗x) ≡ ∫= ∫.
(12) で決めることにより、一定値に定めた。ここで、Mtot
dz ρ2h (⃗r)
dz ρ2h (⃗r)
は全質量、Rvir はハローのビリアル半径である。質Z
Zと定義した。また、ue⃗l は、質量プロファイル関数 u(⃗r)
を 3 次元フーリエ変換して、波数 ⃗k の z 成分を 0 と量プロファイル関数 u(r) は、分散がドブロイ波長のして得られる関数である。つまり、フーリエ変換すると、

ue⃗l ≡ ue⃗k |kz =0 .

半分であるような正規化されたガウス関数とした。

( 2 2)λ l.
uel = exp − c
8

(13)

である。
以下では簡単のため、球対称系を考えることにする。これまで引数としてベクトル量になっていたも(18)となる。ここで必要になるパラメータは FDM 質量m だけである。
最後に射影密度場のハローの中心からの距離 x をのは、球対称系ではベクトルの長さの依存になる。

決めれば、パワースペクトルが得られる。図 1 では、

2.2

Mh , Ms /Mh , m, x の 4 パラメータの内、FDM 質量 m

バリオンを加えた場合を変えた時のパラメータ依存性を示した。式 (11),(16)バリオンは FDM の粒状構造と無関係に滑らかにより、パワースペクトルの平らな部分の高さは粒状構存在すると考える。バリオンプロファイルを ρb (r) と造の体積 Vc ∝ m−3 に比例し、実際にそのような依存

すると、全密度 ρ(r) は性が見られている。また、落ち始めは l ∼ 1/λc ∝ mρ(r) = ρf (r) + ρb (r).
で表され、射影密度場は、(14)おける物質パワースペクトルを調べることは、FDM∫

Σ(x) = Σf (x) +質量を決めるための有効な手法であることが示唆さ

dz ρb (r)れる。

Z≡ Σf (x) + Σb (x)(15)となる。2.1 節と同じ過程で計算を進めることによって、バリオンを含めた FDM ハロー射影密度場の局所的領域における物質パワースペクトルは、()2Σh (x)
P (l) =
Pf (l)
Σh (x) + Σb (x)となる。

となっている。このようにパワースペクトルが FDM
質量に対して大きく依存することから、局所的領域に3

観測結果との比較
2 章で構築したパワースペクトルモデルと、強重力(16)レンズ系の観測から得られたパワースペクトルの制限を比較することで、FDM 質量の制限を得る。3.1
節ではまず、物質パワースペクトルを無次元収束場149

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

P(l) [kpc−2 h2]

図 2 の橙色の領域は、現在の制限を表している。異
10

−1

10

−3

10

−5

10

−7

10

−9

10

−11

10

−13

10

なる線は、上記のパラメータと異なる FDM 質量に対して得られた解析的モデルによる計算結果である。
この図から、現在の観測結果からは、FDM 質量に制限がかけられないことが分かる。一方、黒色の領域
は、将来的に ALMA 望遠鏡を用いて観測したときにlog(m/eV) = − 21log(m/eV) = − 22

期待される制限である (Hezaveh, Y. et al. 2016)。将来的に FDM の典型的な質量 m ∼ 10−22 eV 近傍に

log(m/eV) = − 23
−3

10

−2

10

−1

10

0

10

1

10

2

10

厳しく制限がかけられることが分かる。

3

l [kpc−1 h]100

図 1: パワースペクトルの FDM 質量依存性。他の3 つのパラメータは Mh = 1013 h−1 M⊙ , Ms /Mh =
である。

2 (l)

0.01, x = Rvir /10 とした。ここで h はハッブル定数

10

10 4
10 6

パワースペクトルに変換する。3.2 節では、この無次

10 8

元収束場パワースペクトルを用いて、FDM 質量の制10 10 110限について議論する。

3.1

m=3.2e-23 eV
m=1.0e-22 eV
m=3.2e-22 eV
m=1.0e-21 eV2

無次元収束場パワースペクトル

ペクトルから

(

Σ(x)
Σcr

101

102

l [kpc 1 h]103

図 2: SDSS J0252+0039 観測による FDM 質量の無次元収束場パワースペクトルは、物質パワース∆2δκ (l) = 2πl2100制限。橙色領域は現在のパワースペクトルの制限(Bayer, D. et al. 2018) であり、黒色領域は将来の観測から期待される制限 (Hezaveh, Y. et al. 2016)

)2
P (l)

12 −1
(19) である。理論線には Mh = 6.3 × 10 h M⊙ , Ms =2.0 × 1011 h−1 M⊙ , x = 3.1h−1 kpc を用いた。

によって変換できる。ここで、Σcr は臨界面密度である。物理量 Ds , Dd , Dds をそれぞれ、観測者からレンズ天体、観測者から光源天体、レンズ天体から光源天体までの角径距離とすると、臨界面密度は、

Σcr =

Ds
c2
·
4πG Dd Dds(20)

Boylan-Kolchin, M., Bullock, J. S., & Kaplinghat, M.
2011, MNRAS, 415, L40
Schive, H.-Y., Chiueh, T., & Broadhurst, T. 2014, NaturePhysics, 10, 496

で表せる。

3.2

Reference

Hezaveh, Y., Dalal, N., Holder, G., et al. 2016, JCAP,
2016,048

FDM 質量の制限

銀河-銀河間の強重力レンズ系 SDSS J0252+0039の解析から、Einstein 半径近傍では、波長 0.5 kpcの密度揺らぎに対して ∆2δκ < 1、1 kpc に対してDiaz Rivero, A., Cyr-Racine, F.-Y., & Dvorkin, C.
2018,PhRvD, 97, 023001
Bayer, D., Chatterjee, S., Koopmans, L. V. E., et al.
2018, arXiv e-prints, arXiv:1803.05952.

∆2δκ < 0.1 、3 kpc に対して ∆2δκ < 0.01 の制限が得られている (Bayer, D. et al. 2018)。

150

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重宇 33

Early Dark Energy による Hubble Tension の解決
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
林 慎太郎

151

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Early Dark Energy による Hubble Tension の解決
林 慎太郎 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
標準宇宙論モデル（ΛCDM モデル）は、モデルに依存するかどうかによって、現在の宇宙膨張率を表すハッブル定数、H0 の観測による見積もりが異なることが指摘されている。この問題は Hubble Tension と呼ばれている。また、バリオン音響振動 (BAO) の観測は、ΛCDM モデルにおける CMB 最終散乱面での音響ホラ
イズン rs∗ の見積もりが大きすぎることが Hubble Tension と関係していることを示唆している。そのため、Hubble Tension を解決するモデルは、rs∗ を ΛCDM モデルより小さくするような、新しい物理を要請すると考えられる。[1]その一つとして提案されている Early Dark Energy(EDE) は、再結合前のエネルギー密度を増やすことで、

ΛCDM モデルよりも rs∗ を小さくし、H0 を大きくする。本発表では従来の EDE モデル [2] 及び、[2] とは異なる EDE モデルとして、再結合前に短寿命の偽真空崩壊を連続して起こすという Chain EDE モデル [3]を紹介するとともに、従来のモデルの Hubble Tension 解決の問題点と改善点、Chain EDE モデルによる

Hubble Tension 解決の可能性について議論する。

1

Introduction
θs (z) =H0 の見積もりについて、さまざまな観測が行われ∫ zている。CMB や BAO+ビッグバン元素合成のよう

dA (z) =な、初期宇宙における観測は宇宙論モデルに依存し、0ΛCDM モデルにおいては全て低い H0 を示す。これに対し、距離はしごをメインにしたモデルに依存しないもの (例えば SH0 ES は H0 = 74.03 ± 1.42 km

s−1 M pc−1 [4]) は高い H0 を示している。初期、後期ともに一貫しているため、系統誤差でこの問題を説明することは難しい。そのため ΛCDM モデルを変更し、モデル依存する観測による H0 を大きくする必要があると考えられる。

rs (z)dA (z)
dz
H(z)

(2)

(3)

を用いることで、その redshift までの角直径距離dA (z)、さらにはそのモデルにおける、各 redshift での H(z) の値を知ることができる。
宇宙初期において、バリオンが光子との結合によってひきづられる、バリオン音響振動 (BAO) の終了時の redshift を z drag とし、その時の音響ホライズンを

rsdrag = rs (z drag ) とすると、θsdrag =θs (z drag ) の観測
結果は c/(H0 rsdrag )=29.54 ± 0.406 の制限を与える。
ここで、横軸に rsdrag 、縦軸に H0 をとった rsdrag -H02平面を考える。

Sound Horizon Problem

図 1 から明らかなように、ΛCDM モデルでは、

SH0 ES、BAO、CMB の三つを同時に一致させるこある redshift での音響ホライズン rs (z) は音速を
cs (z) とすると、とはできない。Hubble Tension 解決には、CMB か∫ ∞ら見積もられる H0 を大きくするだけでは十分でな

rs (z) =z

cs (z)
dz
H(z)

(1)

く、音響ホライズンも標準モデルよりも約 7% 小さくする必要がある。

音響ホライズンの角スケール θs を観測することが
できれば、

152

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校る。そのため、axion のポテンシャルを一般化したポ
テンシャル、ϕV (ϕ) = V0 (1 − cos( ))nf(4)を考える。崩壊スピードの関係から n ≥ 2 であることが要請される。

3.2

Chain EDE

Chain EDE モデル [3] の ρEDE は、偽の真空に蓄えられたスカラー場のエネルギー密度 ρϕ と暗黒放射
図 1: rsdrag -H0 plane。オレンジのバンドは SH0 ES、のエネルギー密度 ρDR の和 (ρEDE = ρϕ + ρDR ) で緑のバンドは BAO、そして青のコントアが CMB で表される。ρϕ は真空崩壊によって減少し、減少分はある。ここで、CMB はそのデータによって (l < 800

暗黒放射 (例えば重力波) となると考えられる。そしか l > 800)ωm の見積もりが変わり、rsdrag − H0 平て、暗黒放射は状態方程式パラメータ wDR に従って

面上での制限が異なる [1]減少する。
偽真空にある間により安定な真空のバブルが生まれ、3

成長し、非等方性となる。そのような非等方性が CMB

Early Dark Energyには見られないため、一つ一つの偽真空は短寿命でHubble Tension 解決のモデルの一つとして提案さ なければならない。そのため、十分な時間、真空崩れているのが Early Dark Energy(EDE) である。こ 壊が続くためには 600 回以上の偽真空崩壊が起こる

れは再結合前のエネルギー密度を標準モデルよりも必要がある。この連続した真空崩壊を可能にするた増やすことで H(z) を大きくし、式 (1) より、最終散

めに、ポテンシャルとして、

乱面での音響ホライズン rs∗ = rs (z ∗ ) を小さくする。

ϕV (ϕ) = −µ3 ϕ + λ4 cos( ) + V0f

ここで z ∗ は最終散乱面での redshift である。このrs∗ は先程の rsdrag よりも少し小さいが、この違いは(5)

Hubble Tension を扱う上では重要ではない。観測かのような、傾いたコサインを考える。ただし、こら θs∗ =θs (z ∗ ) は正確に測られているため、式 (2)、(3)のままでは真空崩壊がずっと続いてしまうため、もより H0 が大きくなる。
全体のエネルギー密度 ρtot に対する EDE のエネル

う一つのスカラー場を導入することによるストップ
メカニズムが考えられている。

ギー密度 ρEDE を fEDE = ρEDE /ρtot とする。Hub-ble Tension を解決するために、EDE は、常に subdominant で、再結合前に fEDE ≃ 0.1 になり、low-

3.3

fEDE

二つのモデルの fEDE は図 2 のようになる。wDR

redshift の cosmic 進化を変えないように放射と同じについては 1/3 < wDR < 1 であると考えられる。[5]かそれより早く崩壊し切らなければならない。

真の wDR は二つの極値 1/3 と 1 の間にあると推測されるため、図 2 より、chain EDE と original EDE

3.1

Original EDEの fEDE は同じような振る舞いをすることが考えら

EDE のモデルとして、まず [2] のモデルについてれる。ただし、chain EDE モデルはスカラー場の零紹介する。EDE の崩壊時間から軽いスカラー場であ

点振動がないため fEDE には振動する特徴がない。

る必要があり、そのようなモデルは axion のみであoriginal EDE モデルの rsdrag −H0 plane は図 3 のようになる。この図からは original EDE モデルでは 2σ で153

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
終散乱面での音響ホライズン rs∗ と photon diﬀusionのスケール (damping scale)rd∗ = 1/kd∗ の比によって決まっている。そのため、この比を変えるようなモ
デルは high-l データと合わなくなってしまう。
図 4 は音響ホライズンと photon diﬀusion スケールの H(z) の変化への依存性を示している。そのため両方の変化が同じになるような fEDE の形を作れるモデルならばうまくいく可能性がある。

図 2: Original EDE 及び Chain EDE の fEDE 。w≡

wDR 。 [1]も SH0 ES、BAO、CMB は重なっておらず、Hubble

Tension の完全な解決はできていないことがわかる。
EDE
ΛCDM

図 4: rs と rd の H(z) の変化への依存性。[1]

80

5

H0

76
72

参考
CMB による制限について。

68

137.5 140.0 142.5 145.0 147.5

rdrag

図 3:

68

72

76

80

H0

Original EDE の rsdrag − H0 plane。青は planck2015+ΛCDM、紫が planck2018+Original

EDE。EDE の計算結果は先行研究のもの [6]4図 5: CMB からくる制限。赤矢印で示したピーク

Discussion

位置は θs∗ で決まっており、緑の丸で囲われた部分

Original EDE モデルで完全な解決に至らなかった (damping tail) がシルクダンピングである。
理由として考えられるのが CMB の high-l の「シルクダンピング」からの制限である。EDE は θs を ﬁx することができるモデルであるが、シルクダンピングについては考慮していなかった。シルクダンピングは最154

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference
1. L. Knox and M. Millea 2020, Phys. Rev. D 101,
043533
2. T. L. Smith, V. Poulin and M. A. Amin 2020, Phys.
Rev. D 101, 063523
3. Katherine Freese and Martin Wolfgang Winkler
2021, arXiv:2102.13655 [astro-ph.CO]
4. A. G. Riess, S. Casertano, W. Yuan, L. M. Macriand D. Scolnic 2019, arXiv:1903.07603 [astroph.CO]
5. F. Niedermann and M. S. Sloth, Phys. Rev. D
102, 063527 (2020), 2006.06686
6. https://users.ﬂatironinstitute.org/ chill/H20 data/155

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重宇 34

後期宇宙での暗黒物質崩壊によるハッブルテンションの緩和
富山大学 理工学教育部物理学専攻
井上 直樹

156

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

後期宇宙での暗黒物質崩壊によるハッブルテンションの緩和井上直樹 (富山大学大学院 理工学教育部)

Abstract
宇宙の膨張率をあらわすハッブル定数 H0 は、推定方法の違いで値が異なっており、この問題はハッブルテ
ンションと呼ばれる。ハッブルテンションを解消するため、ダークエネルギーや暗黒物質のモデルの修正などが提案されている。本講演では論文 (K. Vattis et al. 2019) のレビューを行い、暗黒物質が質量ゼロの粒子と質量のある重い粒子へ崩壊する過程が、ハッブルパラメーターへどのように影響するかをみる。もし生成された重い粒子が温かい粒子であれば、ハッブルテンションを緩和することができる。また、DESI などの将来のサーベイ観測により、この暗黒物質崩壊のシナリオの検証ができる。

1としては、暗黒物質が隠れた電荷を持つモデル (P.

Introduction
宇宙論パラメータの一つであるハッブル定数 H0は現在の宇宙の膨張率をあらわす。しかし、この値は初期宇宙の観測からの推定値と局所宇宙の直接的な測定値の間で違いがあり、この問題をハッブルテ
ンションと呼ぶ。前者では宇宙論の標準モデルである ΛCDM モデルを仮定し、宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の観測から H0 = 67.4 ± 0.5kms−1 Mpc−1

Ko et al. 2017) や、3 つの粒子が散乱し 2 つの粒子が出てくるような散乱過程を考えるカンニバル暗黒物質と呼ばれるモデル (M. A. Buen-Abad et al. 2018)が存在する。隠れた電荷を持つ暗黒物質であれば直接探査による観測が可能である。宇宙初期の QCD 相
転移時期に作られたアクシオンを用いてハッブルテ
ンションを解消するモデル (F. D’Eramo et al. 2018)も存在する。

と推測されている (N. Aghanim et al. 2021)。後者
は Ia 型超新星などを使った距離はしごの観測から

H0 = 74.03 ± 1.42kms−1 Mpc−1 と測定されており、二つの値のズレは 4.4σ になる (A. G. Riess et al.

2019)。
二つの測定ではそれぞれ、宇宙初期の物理と恒星の物理が基礎となっている。値のズレを説明するために、どちらか一方または両方の修正が考えられる。
特に宇宙論的立場からのハッブルテンション解消へのアプローチとしては、ダークエネルギーや暗黒物質のモデルを修正する提案がなされている。例として、
ダークエネルギーが負の宇宙定数をもつモデル (K.

Dutta et al. 2020) や暗黒物質とダークエネルギーの相互作用を考えたモデル (S. Kumar et al. 2019) があ

本講演では文献 (K. Vattis et al. 2019) のレビューを行い、暗黒物質の崩壊を含めた宇宙論モデルを考えることによるハッブルテンションの解消を紹介する。暗黒物質崩壊によるハッブルテンションの解消には暗黒物質からニュートリノへ崩壊するモデル (L.

A. Anchordoqui et al. 2016) や、相対論的粒子に崩壊するモデル (K. L. Pandey et al. 2020) などが存在する。ここでは暗黒物質が質量ゼロの相対論的粒子と質量を持つ重い粒子への二体崩壊を考える。崩壊は宇宙の再結合時以降に起こると仮定する。パラ
メーターの数とそれぞれのパラメーターが相関していることを考慮して、マルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）を使用し、ハッブルテンションの解消を見る。

り、どちらも ΛCDM からの簡単な拡張でハッブルテ
ンションを解消することが出来る。他にも初期宇宙（z ≳ 3000）でのダークエネルギーの振る舞いに基づいたモデル (V. Poulin et al. 2019) や量子重力効果を2

Methods

考慮した真空相転移を扱ったモデル (A. Banihashemi

暗黒物質の二体崩壊を考える。この時生成される

et al. 2019) などもある。暗黒物質からのアプローチ

粒子として、質量ゼロの相対論的粒子と質量をもつ

157

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
重い粒子を考える。以下では親粒子を”0”、生成されここでた相対論的粒子を”1”、質量を持つ粒子を”2”とラベ∑ル付けしておく。これらの粒子の４元運動量は、親粒

ρi (a) = ρ0 (a) + ρ1 (a) + ρ2 (a)i

子の静止エネルギー m0 と親粒子から相対論的粒子+ ρr (a) + ρν (a) + ρb (a) + ρΛへ移るエネルギーの割合 ϵ を使って、pµ,0 = (m0 , 0)、(4)pµ,1 = (ϵm0 , p1 )、pµ,2 = ([1 − ϵ] m0 , p2 ) で与えられ である。再結合時では宇宙は ΛCDM のように振る舞る。また、親粒子と相対論的粒子の時間発展は、親粒子の崩壊率 Γ(= 1/τ ) を使ってうと考えることができ、再結合時を初期条件とする
ことでこの方程式が解ける。ここで得られた H(z) に対し初期宇宙と後期宇宙の観測が説明できるようなdρ0ȧ+ 3 ρ0 = −Γρ0
dt
a
dρ1
ȧ
+ 4 ρ1 = ϵΓρ0dta(1) パラメーターを探す。複数のパラメーター同士の相関を考慮して、マルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）を使用してサンプリングする。

と書ける。ここで、宇宙の再結合時 zrec ≈ 1090 よ今回 τ 、ϵ、ΩDM 、h = H0 /(100km/sMpc−1 ) の 4

り前には崩壊が起こっていないと仮定し、暗黒物質

つを自由パラメーターとし、事前分布は次の範囲で密度の初期条件として再結合時の値を ρ0 (arec ) =平坦に分布すると仮定する。

ρcrit ΩDM a−3
rec とする。また、生成された重い粒子に−4 ≤ log10 ϵ < log10 (0.5)

対しては、エネルギー密度を以下のように書ける。

ρ2 (a) =

C
a3

∫ a

−Γt(aD )

arec

e
aD HD

[

β22

( a )2

1 − β22aD+1v2 /c = ϵ/ (1 − ϵ)、C√ρcrit ΩDM Γexp [Γt (arec )] 1 − 2ϵ である。
こ こ で β20 ≤ ΩDM ≤ 1

]1/2

≡

−3 ≤ log10 τ ≤ 4
0.5 ≤ h ≤ 1daD

ここでサンプルされる ΩDM と h は暗黒物質の(2)

エネルギー密度に初期条件を与える。光子とバリ= オンのエネルギー密度 ρr 、ρb に関しては、Plank
TT,TE,EE+lowE+lensing モデルから得られるもの

今回の暗黒物質崩壊のシナリオを定性的に理解すを使用する。また ρν についてはニュートリノの質量ることができる。暗黒物質の密度パラメータ ΩDMを考慮して扱い (E. Komatsu et al. 2011)、ダークエと寿命 τ を固定し相対論的粒子が持つエネルギーの割合 ϵ を増加させた場合、H(z = 0) は減少する。こネルギーのエネルギー密度 ρΛ については宇宙の平坦性から得られる。

れは物質密度が宇宙膨張に対し希釈されやすい放射密度へより多く移るためである。一方で ϵ を固定しτ を減少させると、暗黒物質が多く崩壊することに

3

よって、物質とダークエネルギーの等密度時が早ま

Results
図 1 が MCMC を実行した結果である。それぞれる。またこの時、上記と同様の理由で H(z = 0) は小各パラメーター同士の相関関係を表しており、内側さくなる。このように、ϵ と τ がとる値によってハッ の線が 68%、外側の線が 96%の信頼区間である。まブルパラメータが変化し、CMB と Ia 型超新星など た、一番上の分布は MCMC で得られた各パラメーの観測から得られている H0 を説明できる。

ターの確率密度に対応する。h と ΩDM の関係をみ実際の宇宙に対応する平坦な宇宙に対して、フリー
ドマン方程式は以下のように書ける。
( )
ȧ
8πG ∑
2
H (a) ≡=
ρi (a)a3i

ると、負の相関を持っていることがわかる。観測のように後期宇宙で宇宙膨張が早くなるためには、物質とダークエネルギーの等密度時が早い時期に移れ(3) ばよい。つまり h の値が大きくなるには Ω
DM の値が小さくなる必要があり、負の相関を持つことがわ
かる。同じ効果が τ 、h、ΩDM との間の相関にも見られ、τ の値が小さく、ϵ の値が大きいような場合に158

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校発展である。また、濃い赤い線は中央値を表し、赤い影の部分が 68%の信頼区間である。宇宙初期ではCMB の測定から推測される ΛCDM モデルの振る舞
いに一致する。後期宇宙では暗黒物質の崩壊によって膨張速度が上がることで h の値が大きくなる。したがって、CMB を使った ΛCDM の予測より h の値が大きくなり、ハッブルテンションが緩和される。
図 1 の一番上の分布がそれぞれのパラメーターの確率分布をあらわしており、68%の信頼限界で log10 ϵ =+0.63−0.78+0.14−2.10 、log10 (τ /[Gyr]) = 1.55−0.25 と値が得られる。つまり、暗黒物質から相対論的粒子へ移ったエネルギーの割合 ϵ が比較的大きく、暗黒物質の寿命 τ が宇宙年齢よりも十分長い場合にハッブルテン
ションが緩和できる。今回得られた結果に対し、生成
図 1: 暗黒物質崩壊のシナリオで実行した MCMC の
結果 (K. Vattis et al. 2019)

された重い粒子の状態方程式の発展を考えると、エネルギー密度が ρ2 ∝ a−3.15 で発展する。それゆえ、
この重い粒子は相対論的と非相対論的の中間の温かい粒子として振舞う。
暗黒物質の崩壊は構造形成にも影響を与える。宇宙の密度ゆらぎの成長をあらわす線形成長因子 D(z)を計算することで、構造形成への影響を定量的に評価できる。D(z) は方程式
(
)
d2 D
dlnH
3 dD 4πGρm
+
+
−
=0
da2
da
a da
ȧ2

(5)

に従う。ここで ρm = ρ0 + ρ2 + ρb であり、暗黒物
質の崩壊が反映されることがわかる。この量は DESI
図 2: ハッブルパラメーターの発展。縦軸の単位は

kms−1 Mpc−1 である。 (K. Vattis et al. 2019)などの将来のサーベイ観測によって測定され、今回の暗黒物質の崩壊シナリオを検証することが可能である。

は、h と ΩDM の取れる値の幅が大きく、観測量と一致させるために調整する必要がある。また、τ が小さい場合には、大きな値の ϵ が要求される。これは4

Conclusion

物質成分から放射成分へ多くのエネルギーが遷移す

本講演では文献 (K. Vattis et al. 2019) のレビューることが必要とされ、ΛCDM からの離脱を早めるこを行い、暗黒物質の崩壊を考えることでハッブルテとを意味する。ここで、h と ΩDM については、暗黒ンションを解消するシナリオを紹介した。このモデ

物質崩壊のシナリオから得られているわけではなく、 ルでは暗黒物質が相対論的粒子と質量を持つ重い粒子への崩壊を考えており、暗黒物質から相対論的粒初期条件を設定するために使われる。
図 2 はハッブルパラメーターの赤方偏移発展をあ子へ移ったエネルギーの割合 ϵ が比較的大きく、暗黒らわす。細いグレーの線が ΛCDM モデルで期待さ物質の寿命 τ が長い場合にはハッブルテンションのれる発展で、赤い線が暗黒物質崩壊を含めたときの解消が期待される。また、このシナリオは DESI などによる将来のサーベイ観測で検証可能である。

159

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Acknowledgement
本講演に際して、議論、助言してくださった富山
大学理論物理学研究室の皆様に感謝いたします。

Reference
K. Vattis, S. M. Koushiappas, and A. Loeb, Phys.Rev.D
99(2019)12, 121302
Planck Collaboration, N. Aghanim et al., Astron.Astrophys. 641(2020)A6, Astron.Astrophys.
652(2021)C4(erratum)
A. G. Riess, S. Casertano, W. Yuan, L. M. Macri, and
D. Scolnic, Astrophys. J.876(2019)1, 85
K. Dutta, Ruchika, A. Roy, A. A. Sen, and M. M.
Sheikh-Jabbari, Gen.Rel.Grav.52(2020)2, 15
S. Kumar, R. C. Nunes, and S. K. Yadav, Eur.Phys.J.C
79(2019)7, 576
V. Poulin, T. L. Smith, T. Karwal, and M.
Kamionkowski, Phys.Rev.Lett. 122(2019)22, 221301
A. Banihashemi, N. Khosravi, and A. H. Shirazi,
Phys.Rev.D 99(2019)8, 083509
P. Ko, N. Nagata,773(2017)513-520

and Y. Tang,

Phys.Lett.B

M. A. Buen-Abad, R. Enami, and M. Schmaltz,
Phys.Rev.D 98(2018)8, 083517
F. D’Eramo, R. Z. Ferreira, A. Notari, and J. L. Bernal,
JCAP 11(2018)014
L. A. Anchordoqui, V. Barger, H. Goldberg, X.
Huang, D. Marfatia, L. H. M. da Silva, and T.
J. Weiler,Phys.Rev.D 92(2015), 061301, Phys.Rev.D
94(2016) 6,069901(erratum)
K. L. Pandey,
07(2020)026

T. Karwal,

and S. Das,

JCAP

WMAP Collaboration, E. Komatsu et al., Astrophys.J.Suppl. 192(2011)19160

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重宇 35

観測的効果を考慮したコズミックシアバイスペクトルの測定手法
東京大学 理学系研究科物理学専攻
谷口 貴紀

161

未提出

162

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重宇 36

separate universe simulation を用いた長波長密度揺らぎへの応答の測定東京大学 理学系研究科物理学専攻
寺澤 凌

163

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

separate universe simulation を用いた長波長密度揺らぎへの応答の測定
寺澤 凌 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
後期宇宙の宇宙構造形成では、重力の非線形性により、異なる波長の密度揺らぎは互いに影響を与え合う(モードカップリング)。 実際の観測領域や数値宇宙論シミュレーションの体積は有限だが、この有限体積を超える超長波長の密度揺らぎ (super-survey mode) は、有限体積内の密度揺らぎに影響を与える。この超長波長モードとのモードカップリングによる共分散を Super sample covariance (SSC) という。超長波長モード
は直接測定できない量であるが、近年の研究の指摘により SSC の重要性が認識され、SSC の効果を考慮した物理解析が通例になっている。超長波長モードの共分散への寄与を測定する手法として、separate universe

simulation(以下 SU シミュレーション) という数値的手法が開発された。この手法では超長波長モードの影
響を背景宇宙の変化に取り入れることで、構造形成への影響を非線形領域まで正しく評価できる。SU シミュ
レーションを用いると、物理量の超長波長モードへの応答を測定することができる。SSC はパワースペクト
ルの応答で記述できる。Baldauf et al.(2016) では、SU シミュレーションを行って SSC だけでなくハローの数密度の応答である、一次のハローバイアスも測定した。発表者は、多数回の SU シミュレーションを行い、任意の宇宙論パラメータに対してパワースペクトルの応答を出力するエミュレータの開発を進めている。本発表では Baldauf et al.(2016) のレビューを行う。発表者がシミュレーションで得た結果も併せて紹介する。

1

2

Introduction

Separate universe methods

観測領域やシミュレーションボックスの大きさはサーベイ領域またはシミュレーションボックスよ有限だが、その大きさを超える長波長の密度揺らぎ

り十分長波長の揺らぎは、観測領域からは定数としが有限体積の中の揺らぎにも影響を与える。この超て見えるため、背景宇宙の密度が定数分変化したと長波長揺らぎとのモードカップリングによるパワーみなせる。

スペクトルの誤差共分散を Super Sample covariance

つまり、宇宙全体の平均密度を ρG とすると、等方といい、S/N や宇宙論パラメータ推定の精度に影響的な超長波長揺らぎ δl が乗っている Local な領域のを与えることが知られている。

平均密度 ρL は、

この長波長の揺らぎの有限体積の中の揺らぎへの影響を調べるため、Separate universe simulation とρL = ρG (1 + δl )いう手法が開発された。
この手法を用いて超長波長揺らぎへのパワースペ
クトルの応答を測ることで、SSC を計算できる。また、同様にハローの数など、任意の物理量の応答も測ることができる。Baldauf et al.(2016) ではこれをと書ける。以下、Global な量を G,Local な量を Lの添字で表す。また、δl の１次の項までを考える。
物理的な質量は ρL a3L = ρG a3G と表せるため、この平均密度の変化は膨張速度の違いとして現れる：(

用いてハローバイアスを求めている。

aL = aG

以下では、Baldauf et al.(2016) のうち、Separate

universe simulation の方法、パワースペクトルの応答とバイアスの結果について述べる。

(1)

δl
1−
3

)
(2)

つまり、平均密度が高い (低い) 宇宙ほど、膨張が遅く (速く) なる。同様に、ハッブルパラメータや密164

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
度パラメータも変更を受け、宇宙全体が平坦でも長表 1: シミュレーションで用いた宇宙論パラメータ。
f+

波長揺らぎのある Local な宇宙は曲率を持つ。

(G)

HL (aG ) =Ωm,L =

(
)
a˙L
f δl
(G)
= HG (aG ) 1 −
aL
3

(3)

)
]
[
(
8πGρ¯L
2
f
δ
=
Ω
1
+
Ω
+
0
l,0
m,0
m,0
3HL2
3
(4)
(

)

K
2
ΩK,L = − 2 2 = − Ωm,0 + f0 δl,0a H
3[

ΩΛ,L =(

δl-0.100

0.00

0.100

Ωm

0.263

0.28

0.297

Ωb

0.038

0.04

0.042

Ωc

0.225

0.24

0.255

ΩK

0.061

0.

-0.061

ΩΛ

0.676

0.72

0.764

aL (aG = 1)

1.033

1.

0.967

h

0.721

0.7

0.679

(5)
)

]

Λ
2
= (1−Ωm,0 ) 1 + Ωm,0 + f0 δl,0
3HL2
3
(6)

時空で考えると、DG (aG ) ∝ aG より、Growth factorの長波長揺らぎに対する変化は、(

ここで、δl,0 は現在の長波長揺らぎの大きさ、 f =dlnD/dlna、f0 は Global な宇宙で aG = 1 の時の f

δL (x)

以上の議論から、背景宇宙のパラメータを変化させることで長波長揺らぎの効果を取り込めることが平均密度が宇宙全体よりも高い (低い) 宇宙でそれぞれ N 体シミュレーションを行い、パワースペクト

2.1

∝

aG

13
aG
21

DL (aG ) = DG (aG )(1 + 13/21δl ) (8)factor は ΛCDM 宇宙で計算しても 1% 以下の違いしかない。
また、物理的な距離は r = aG xG = aL xL と書けるから、Local な共動座標は Global な共動座標で)(
δlxG (xL ) = xL 1 −3
simulation(δl,f0),overdense simulation(δl,+=

密度揺らぎは= 0.1),underdense(

simulation(δl,− = −0.1) の 3 つのシミュレーションδL (x) =を行った。
同じ初期条件を用いることで、Cosmic Variance をキャンセルすることができる。

(9)と表せる。以上の議論から、Local な宇宙で測った

長波長揺らぎへの応答を数値的に調べ

ﬂat

(7)

によって加速されることがわかる。Local な Growth

Simulation

る た め 、ﬁducial=となり、小スケールの揺らぎの成長が長波長揺らぎ

ル等を測定すれば、その差分を取ることで長波長揺
らぎへの観測量の応答を測ることができる。

)

よって、

である。

わかる。

∂D
∂δl

) [ (
)]
13
δl
1 + δl δB x 1 +
21
3

(10)

と表せる。δB は Global な宇宙で線形成長する密度揺らぎである。
これを Global な宇宙での観測量に書き直すと、

3Overdensities
Spectrum

and

Power
δG (x)

物質の密度揺らぎの線形成長は、Growth factor Dで記述される。物質のみの Einstein-de Sitter(EdS)165=(1 + δl )δL (x)
(11)
(
)
[ (
)]
13
δl
=
1 + δl (1 + δl )δB x 1 +21
3

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
comoving coordinate が式 9 のように変更を受けるため、Local に観測される波数は()
δlkG (kL ) = kL 1 +3(12)となる。よって、長波長揺らぎが存在する領域のパワースペクトルは Global な観測量として

[ (
)]
δl
PG k 1 +
3

(
=

1+

)
47
δl PB (k) (13)
21

、または

(
PG (k)

=
∼

)
[ (
)]
47
δl
δ l PB k 1 −
(14)
21
3
(
)
47
δl dlnP
1 + δl −PB (k) (15)21
3 dlnk1+と書ける。パワースペクトルの応答には二つの寄図 1: [1] より、Separate universe simulation で測ったパワースペクトルの応答。実線と点線は線形理論
の理論線。

与がある。

dlnP (k)47 1 dlnP−∼dδl
21 3 dlnk

b1 は δl を用いて
(16)
(E)

b1

第 1 項は小スケールの揺らぎの成長が促進される=

1 ∂nn̄ ∂δl(18)

効果 (Growth eﬀect)、第２項は膨張が遅くなることと書ける。この微分は 3 つのシミュレーションの結により対応するスケールがシフトする効果 (Dilation

果から数値微分で求めることができる。

eﬀect) である。
(E)

図 1 はパワースペクトルの応答をプロットしたも)][ (のである。dlnPG k 1 + δ3l /dδl が非線形領域で

bδ,sim =21/47 からずれるのは、overdense universe と un-

Nδ+ /Vδ+ − Nδ− /Vδ−Nδf /Vδf (δ+ − δ− )(19)N δ+ − N δ−Nδf (δ+ − δ− )

(20)

(L)

bδ,sim =derdense universe で形成されるハローの数が変わってくるためである。

ここで、n はハローの密度、Nδ はハローの個数、Vδ はシミュレーションの体積である。また、(E),(L)4

Bias from the Separate Universe Simulations
一般に、ハローの分布は、背景のダークマターのはそれぞれ Eulerian space, Lagrangian space を表している。
図 2、3 は separate universe simulation で求めた

b1 を理論曲線と比較したものである。ハロー質量が小さいところを除いて、よく一致している。

密度や速度、重力場の長波長揺らぎで展開できる：

δh (x) ∼∑ (E)bi O(i) (x) + ϵ(i)

(17)

5

Super Sample Covariancei

パワースペクトルの誤差共分散は、パワースペク

ここで、ϵ(i) はダークマターと関係しない寄与で、

stochastic bias と呼ばれる。このバイアス展開の主

トルの応答を用いて、要な項は物質の密度揺らぎ δ に比例する項で、係数は b1 と書くことが多い。

166

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校と書ける。
第一項は観測領域内のガウシアン揺らぎによる共分
散、第２項が super sample covariance(SSC) である。

σV はシミュレーションの大きさや観測領域の形状から計算できる量である。
パワースペクトルの応答は宇宙論パラメータに依存するため、尤度計算の際は多数の宇宙論に対して

SSC を計算する必要がある。
これを全て separate universe simulation で求めるのは計算時間の面で不可能であるため、発表者は任意の宇宙論パラメータの組に対して SSC を高速に出力できるエミュレータの開発を目指している。separate

universe simulation を多数の宇宙論パラメータの組
図 2: [1] より、1 次の Eulerian バイアスパラメータ。
エラーバー付の三角の点が separate universe simu-

に対して行い、得られたパワースペクトルのデータから学習を行う。

lation で求めた値、丸の点がパワースペクトルから求めた値、実線と点線はある mass function を仮定した場合の理論線である。

6

Conclusion
Separate universe simulation は、超長波長揺らぎの影響を非線形領域まで正しく評価できる方法であることがわかる。また、Cosmic Variance を打ち消すようにシミュレーションをデザインすることができるため、よりロバストな結果が得られる。

Reference
Baldauf, T., Seljak, U., Senatore, L., & Zaldarriaga,
M. 2016, Journal of Cosmology and Astroparticle
Physics, 2016, 007–007.

図 3: [1] より、1 次の Lagrangian バイアスパラメー
タ。エラーバー付の三角の点が separate universe sim-

ulation で求めた値、実線はある mass function を仮定した場合の理論線である。

Cov[P (ki )P (kj )] = P (ki )P (kj )V −1 ×[]
4π 2 (K) dlnP (ki ) dlnP (kj ) 2δ+σV
ki2 ∆k ij
dδl
dδl

(21)

167

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重宇 37

大スケール非一様性を持つ宇宙での構造形成について
九州大学 理学府物理学専攻
山下 晃毅

168

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

大スケール非一様性を持つ宇宙での構造形成について山下

晃毅 (九州大学大学院 理学府物理学専攻)

Abstract
標準宇宙模型では背景時空の空間的一様等方性 (宇宙原理) を仮定しており、宇宙初期の CMB パワースペク
トル等の様々な観測を概ね再現している。しかし一方で、CMB ハワースペクトルの半球非対称性 (Eriksen

et al.) や、宇宙膨張率の方向依存性 (K.migkas et al.2020) 等、大スケールでの一様等方性の破れを指摘す
る報告もある。Aoki らによって提案された暗黒エネルギーの理論模型は、超曲率スケールのダイナミカルなスカラー場に基づいた暗黒エネルー模型である (Aoki et al. 2018, Nan, et al. 2019)。この研究を動機として、暗黒エネルギーが超ホライズン大スケールの非一様等方性を持つ宇宙模型の研究が行われている (NanYamamoto 2021)。この模型では、現在のホライズンスケールより十分大きなスケールで 暗黒エネルギー密
度が O(1) の非一様性を持つランダムスカラー場のポテンシャルエネルギーが、加速膨張を説明している。また、この模型は一般に大スケールでの非一様性を持ち宇宙原理を破る模型であるが、スカラー場の非一様性のスケールが現在のホライズンスケールより十分大きいので、観測からの制限を回避できる可能性がある。
本発表では、この理論模型における、暗黒エネルギーと物質密度の非一様性の進化を摂動論により調べた結果について述べる。次に、暗黒エネルギーの非一様性が、大規模構造の形成に与える影響について解析を行なった結果を報告する。

1(i)CMB power spectrum の半球非対称性. ([Erik-

Introduction
現在、Ia 型超新星や宇宙マイクロ波 (CMB) の観測によって、私達は加速膨張する宇宙に住んでいることが確認されている。この宇宙の膨張率は遷移赤方偏移と呼ばれるある特定の赤方偏移で減速膨張から加速膨張へ変化していることが分かっているが、この相転移の実際の原因は未だ不明なままである。一
般相対性理論 (GR) では現在の宇宙の加速膨張は、一般にダークエネルギーと呼ばれる何らかのエキゾチックなエネルギーによって駆動されていることがsen et al. 2004]) CMB power spectrum を南天と北天で得られたデータを別々に解析した。その結果、2つの間にパワー非対称性が存在することを示唆する結果が得られた。これにより、南天と北天という大きなスケールでのパワー半球非対称性の存在が議論されている。

(ii) ハッブルパラメーター H0 の方向依存性 [K.Migkas
et al. 2020]. 銀河団の X 線輝度−温度関係を用いて、宇宙の膨張率を示すハッブル定数を全天で調査した
結果、膨張率に方向依存性があることを示唆された。

分かっている。このダークエネルギーは 1990 年代後

そこで、今回のモチベーションは、もしこのような半から、冷暗黒物質 (CDM) に加えて宇宙論の重要

大スケール非一様性を持つ宇宙模型を考えた時、そなテーマとなっている。

の模型は観測と矛盾しないのか、その模型が示す理

加速膨張を説明する最も単純で最も一般的な模型であるダークエネルギーとしての宇宙定数模型は、広範な観測の結果と矛盾しておらず、現在でも有力な論予言は何なのか解明することにある。中でも特に銀河の大規模構造に非一様がどのような影響を与えるのかという点に着目した。

ものと考えられている。しかし、標準的な宇宙論的模型は大規模なスケールでの等方性と均質性を前提（宇宙原理）としている一方で、この一様等方な宇宙模型から逸脱している可能性を示唆する研究が存在するので、いくつか例に上げて紹介する。

近年、加速する宇宙の様々な側面を研究するために、多数の異方性を持つ宇宙論模型が構築されている。今回はそのような異方性を持つ宇宙論模型の中でも、Supercurvature mode dark energy model と169

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
いう特定のインフレーションシナリオに関連した開今回は物質がダークマターのみであるとして、流体いた宇宙を仮定した確率的な大規模非一様性を持つ近似を用いた。

ダークエネルギーの模型 [H. Aoki et al. (2018)] を簡

ここで T ν単化したもの考える。この模型には、現在のホライズ

あり、T ν

ンスケールより十分大きなスケール（supercurvatureソルである。

µ (m)

µ (ϕ)

scale）で O(1) の揺らぎを持つスカラー場のポテン

は物質のエネルギー運動量テンソルではスカラー場のエネルギー運動量テン

一様等方な宇宙の一般化として、ϕ の揺らぎによる

シャルエネルギーが加速膨張を説明する模型であり、 非一様性は上記の基本方程式系によって記述される。
大スケールでの非一様性を持つため宇宙原理を破る模型である。今回は簡単のため、この模型での空間曲率 K を K = 0 とした模型の superhorizon mode

2.2

dark enegy model を考える。以降はまずこの模型の紹介のために先行研究 [Nan&Yamamoto et al. 2021]

Superhorizon mode

具 体 的 な 計 算 の 前 に Superhorizon mode(SH-mode) の摂動について紹介する。

のレビューを行い、大規模構造への摂動項が従う方程
式と摂動項の解、power spectrum の解を求めた後、σ8 の数値解と観測を比較する。

2.2.1

Properties of SH-mode

SH-mode による摂動項に関する量として、スカラー場 ϕ, 重力ポテンシャル Ψ, 曲率ポテンシャル

2

Basis of the formulation

Φ, 密度揺らぎ δ, 速度場 v i がある。 これらの摂動項

Superhorizon dark energy(SH-DE) を考慮した際、 にはそれぞれ
物質密度揺らぎの進化の定式化とその解がどのようSH

ϕH = ϵ SH ϕ(t, x),(5)に変化するのかを計算する。以降は、LSS(large scaleSHSHΨ(t, x),(6)ΦH = ϵ SH Φ(t, x),(7)

structure) matter power spectrum のような観測可ΨH = ϵSH能である、宇宙後期での大規模構造に主に着目する。

SH

この章では、非一様模型を記述する方程式系を紹介する。また、一様等方な宇宙の大規模構造形成は

δH = ϵSHδ(t, x),(8)SH ivH = ϵ SH v i (t, x).

(9)

宇宙論的摂動論により良く知られている。そのため、これを用いて非一様な宇宙模型での宇宙論的摂動論と書ける。ここで添え字 “H” は観測可能宇宙のホラの定式化を行う。

イズン内での影響を表している。SH-mode は非常に大スケールな揺らぎなので、ホライズンスケールではその振幅は微小量となる。今回はその微小量を ϵ

2.1

Basic equations

で表し、O(ϵ) の 2 次以上の項を無視して考える。

宇宙論的摂動論は以下の式によって記述される。

Gµν = 8πG(T µν (m) + T µν (ϕ) )次に SH-mode はべき展開して以下のように書き直すことができる。

(1)√1√ ∂µ ( −gg µν ∂ν ϕ) − m2 ϕ = 0
(2)
−g
∂ρ
1
+ 3ρ(H + Φ̇) + ∂i (ρv i ) = 0
(3)
∂t
a
(
)
∂
1
ρ ∂Ψ
=0
+ 4(H + Φ̇) ρv i + ∂j (ρv i v j ) +
∂t
a
a ∂xi
(4)

SH

ϕ(t, x) =

3
∑

(n)

(n) i

ϕ1 (t)Ti

n=1

x +

5
∑

(n)

(n)

ϕ2 (t)Tij xj xi

n=1

(10)
右辺１項目は dipole を表し、２項目は quadrupole(n)を表している。ここで出てきた Ti とは、具体的に
 
1
√
(1)
3  
Ti =
4π 0 と書けるような x 成分の dipole

01702021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校を表すものである。同様にして他の量もべき展開す

非一様な宇宙での notation

3

ると
SH i

v =

3
∑

(n)
(n)
V1 (t)Ti +

n=1
SH

SH

δ=

Φ=

5
∑

次は、非一様な宇宙での大規模構造を説明するために必要な notation を説明する。前述の SH-mode(n)(n)
V2 (t)Tij xjを考慮して、密度揺らぎ δ 、速度場 v i 、曲率ポテン

n=1

3
5
∑
∑
(n)
(n)
(n)
(n)
δ1 (t)Ti xi +
δ2 (t)Tij xj xi
n=1

n=1

3
∑

5
∑

(n)

(n) i

Φ1 (t)Tix +n=1

シャル Φ、重力ポテンシャル Ψ、スカラー場 ϕ は

δ = LSS δ + ϵ SH δ
(n)

(n)

v i = LSS v i + ϵ SH v i

Φ2 (t)Tij xi xj

n=1

Φ = LSS Φ + ϵ SH Φと書ける。
最後に、初期時刻 t = 0 で

Ψ = LSS Ψ + ϵ SH ΨSHΦ(0, x) =SH

Ψ(0, x) =ϕ = ϕ0 + ϵ SH ϕ

0 である (isocurvature)。
と表す。ここで

2.3

LSSδ は、LSS-mode(large scale

structure mode) の密度揺らぎを表しており、大規SH-DE model が従う式

模構造への摂動を表す密度揺らぎである。そのため、次は、今回の模型が従う式について紹介してい短波長モードであるという特徴を持つ。さらに LSS-

く。スカラー場の運動方程式 (Klein-Gordon 方程式)、 mode を

Einstein 方程式、膨張宇宙での流体の保存則より、まLSSず background は

δ = AD δ + ϵ ISO δというように、SH-mode がない場合の密度揺らぎ

ϕ̈0 (t) + 3H(t)ϕ̇0 (t) + m2 ϕ0 (t) = 0
1
1
3H 2 = 8πG( ϕ̇20 + m2 ϕ20 + ρ0 )22ä
1 2 2 1 2
2
(2 + H ) = 8πG( m ϕ0 − ϕ̇0 )a22
ρ˙0 + 3Hρ0 = 0

AD

δ と SH-mode による LSS-mode の変化

分けて書くことができる。

AD

ISO

δに

δ は一様等方宇宙での断熱密度揺らぎに対応しているため、よく調べられている。 ISO δ は SH-mode に由来するため、振幅は微小量であると考えられる (O(ϵ))。また、LSS-modeに従う。ここで ρ0 : 密度の background、m : スカのため波長は小スケールである。

ラー場の質量SH-mode のべき展開係数も同様に (l = 1, 2)

4Speciﬁc calculationϕ̈l + 3H ϕ̇l + m2 ϕl + (4Φ̇l − 6HΨl )ϕ̇0 − 2Ψl ϕ̈0 = 0

ここからは以下の流れで具体的に非一様な宇宙で4πG(ρ0 Ml + m2 ϕ0 ϕl − ϕ̇20 Ψl + ϕ̇0 ϕ̇l )Φ̇l − HΨl =3H
Φ̇l − HΨl = −4πG(ρ0 Vl′ + ϕ̇0 ϕl )の密度揺らぎの進化を求めて行く。(i)notation を Eq.

(3) と (4) に代入。 (ii) 摂動展開の 1 次までのフーΨl + Φ l = 0

物質密度揺らぎと power spectrum の解を得る。

リエ展開。(iii) 連立方程式を解き、 非一様宇宙でのδl + 3Φl = 0
V˙ ′ l − Ψl = 0
Vl′ ≡ −aVlに従う。これらの解は数値計算を用いて既に知られ
ている。

171

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

Construct
計算の結果、物質密度揺らぎ解は

2 ∑ (n)(ipi )Ti D1 (a′ ) √δL (p)
5 n=1
H0 Ω′m()(n)(n)
× Q1 (a) − Q2 (a)
(11)
3

ISO

δ1 (t, p) ≃となった。ここで

∫ a

{
(n)
da′ D1 (a′ ) V1 (a′ ) [D1 (a′ )
0
}
(n) ′
]
AD
′
′ ′ dV1 (a )−2
θ1 (a ) + D1 (a )ada′

D2 (a)(n)
Q1 (a) ≡D1 (a)(n)
Q2 (a) ≡

(12)

∫ a

′

′

da D2 (a ){(n)
V1 (a′ ) [D1 (a′ )0(n)]dV (a′ )−2 AD θ1 (a′ ) + D1 (a′ )a′ 1 ′da

図 1: 現在 (a = 1) での SH-mode による P (a, k) への影響}
k ∼ 0.1 では 0.6%程度の影響を大規模構造へ与える事が分かった。

(13)

更に、構造形成の特徴的な宇宙論パラメータであD1 , D2 は成長モードと減衰モード、Ω′m は密度パラ
メータ、pi , k1i は波数、δL は初期密度揺らぎ依存の定る σ8 を計算すると、一様等方な宇宙に比べて 0.9%程度の修正がかかる事が分かった。
計算の結果、SH-mode による影響を考慮すると数である。

σ8 = 0.809 となった。観測結果では、WMAP では

同様に power spectrum P (a, k) はP (a, k) =

⟨ LSS
(

δ(a, k1 ) LSS δ(a, k2 )= P0 (a, k) 1 + ϵ23 ∑3∑n′ =1 n=1

(n′ )

Tj

σ8 = 0.821±0.023、SDSS では σ8 = 0.785±0.044 と⟩i j(n) (k1 k1 ) (n)
Q (a)
H02

)

いう結果が得られているため、現在の観測と今回の計算は矛盾しているわけではないという事が分かった。

Ti

(14)

Referenceである。ここでQ(n))2
4 1 ( (n)
(n)
(a) ≡
Q
(a)
−
Q
(a)
1
2
25 Ω′m[1] H. K. Eriksen, A. J. Banday, K. M. Gorski, F. K.
Hansen, P. B. Lilje, Astrophys. J. 660, L81 (2007)(15)

P0 (a, k) = D12 (a)Pm (k) は一様等方な宇宙での power
spectrum である。

6[2] K. Migkas, G. Schellenberger, T. H. Reiprich,
F. Pacaud, M. E. Ramos-Ceja, L. Lovisari,
arXiv:2004.03305[3] H. Aoki, S. ISO, D.-S. Lee, Y. Sekino, and C.-P.
Yeh, Phys. Rev. D 97, 043517 (2018).
[4] Y. Nan, K. Yamamoto, H. Aoki, S. ISO, and D.
Yamauchi, Phys. Rev. D 99, 103512 (2019).

Conclusion[5] Y.Nan,K. Yamamoto submitted to PRD (2021)

今回は宇宙論原理を破るような非一様を持つ SH-

DE model による大規模構造への影響について理論モデルを構築し、影響の大きさを数値的に計算した。
その結果を図 1 となった。この結果から、a=1 では

172[6] K.Yamashita, et al.in preparation

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重宇 38

Dispersion Measure による宇宙論的距離の推定
名古屋大学 素粒子宇宙物理学専攻
中沢 准昭

173

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

dispersion measure による宇宙論的距離の推定
中沢 准昭 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙論全般の議論において距離の指標について議論することは重要である。本講演では、宇宙論で用いる距離指標の一つとして dispersion measure (DM) を取り上げる。天体から放射された電波が自由電子と相互作用することによって、電波の周波数に依存した観測時間の遅延が生じることが知られている。DM はこの観測量に比例する量として定義され、したがってこれは観測者と天体との間にある自由電子の存在量に比例する。これまで観測の分野において DM は距離の観測と併せることで、視線方向の電子の平均密度を推定するために用いられてきた。一方で宇宙論において DM は自由電子密度がよくモデルされる状況で電波の放射源までの距離を推定する手法として使用できる。しかし大きい赤方偏移において、DM を用いた距離の推定が有効ではなくなる。これは再電離時期よりも過去の領域には中性気体しか存在せず DM が再電離完了以前の
高赤方偏移では変化しなくなることに起因している。一方で、この性質から再電離時期の推定に利用できる。
本講演では、DM を使った赤方偏移の推定方法とその有効性を Zhang et al (2020) を中心に議論する。また、高赤方偏移での DM の振る舞いに着目して、再電離時期の推定についても議論する予定である。DM に関してハローや天の川銀河からの寄与など様々考えられるが、今回は IGM からの寄与のみを考えていく。

1

さから決定する角度距離、明るさから決定する輝度

Introduction

距離など様々な指標が用いられてきた。本発表では天体と観測者間にある電子の量を利用した dispersion

measure (DM) を議論する。DM は周波数に依存した観測時間の遅れ (遅延時間) を観測することで測る事ができる量で、Lorimer et al (2007) でミリ秒ほどの時間で電磁波が放出される現象である fast radio

burst (FRB) の観測（図 1 参照）が報告されて以来注目されるようになってきた。DM は観測者と天体の間にどれくらい自由電子が存在するかを表す量で、密度分布が分かっていれば DM によって距離を測る事ができる。DM の観測に際し、天の川銀河中や銀
河間、母銀河中などでは電子密度が異なるため、DM
図 1: 実際の観測における遅延時間の周波数依存性

は以下のように分割される。

(Lorimer et al (2007))：データは 2001 年 8 月 24 日

DM (z) = DMIGM + DMMW + DMhaloのもの。横軸は観測時間 [ms]、縦軸は周波数 [GHz]+となっている。図中に書かれている白線はパルスが観測され始めた時刻と終了した時刻を表しており、それぞれが周波数に依存している事がわかる。

DMhost + DMsource
1+z(1)

DMIGM は銀河間物質からの寄与、DMMW は天の川

宇宙論では銀河分布や年代を特定する上で距離指標の議論が重要である。距離指標には見た目の大き銀河中の星間物質による寄与、DMhalo は天の川銀河のハローによる寄与、DMhost は観測する天体の母銀河のハローによる寄与、DMsource は天体の母銀河中174

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校の星間物質からの寄与である。今回は DMIGM のみであるので、Ampere-Maxwell 方程式より()
を議論していくことにする。
ωp2∇ × H = −ϵ0 1 − 2 ωE0 sin ωt(5)
２章では遅延時間のと DM の関係について説明し、
ω
３章では膨張宇宙における遅延時間と DM の取扱い√について説明する。4 章では DMIGM による赤方偏 を得ることができる。ここで ωp = ne e2 /me ϵ0 は移の推定について数値計算と観測の両方から議論すプラズマ振動数と呼ばれるものである。(5) より IGM

る。DM による赤方偏移の推定にあたって、自由電中の比誘電率 ϵ∗ は ϵ∗ ＝ 1 − ωp2 /ω 2 と見ることができ

子密度の赤方偏移依存性の議論も重要となる。電子る。ここで比透磁率µ∗ を µ∗ ≃ 1 とすると屈折率 n√ ∗ ∗ √
は n = ϵ µ ≃ 1 − ωp2 /ω 2 となるので、IGM 中

密度にに大きく影響を与えた出来事として、宇宙誕
生初期にあったビッグバンによる元素合成 (4 分くらい)、電子が陽子に捉えられ中性水素が形成されて宇宙が中性になる再結合 (z ∼ 1300)、初代天体の形成(z ∼ 30)、そして天体が発する紫外線によって中性を電磁波が伝搬する速度 vg は
(
)
√
ωp2
ωp2
vg = cn = c 1 − 2 ∼ c 1 −
ω
2ω 2

(6)

水素が光電離する再電離 (6 ≲ z ≲ 10 − 20) がある。 となる。最後の近似では多くの観測においてプラズ
初代天体形成以降では再電離時期があるため、再電 マ振動数が極端に小さくなることを用いた。これに離よりも前の時期の天体の DM はほぼ一定になり、 よって電磁波が IGM 中を通過することによって生じ赤方偏移の推定を行う事ができない。しかし、逆に る遅延時間 ∆t を求めることができる。
∫ r
高赤方偏移の天体の DM を測ることによって再電離
rdl∆t(r) =−
時期の制限に利用する事ができる。そこで、5 章で
v
c
g
0
)
(
∫
は DMIGM を用いた再電離時期の制限について説明
ωp2
1 r
r
≃
dl −
1+
する。
c 0
2ω 2
c
∫
r
e2
=
ne dl
(7)
2
2me cϵ0 ω 02

遅延時間と DM の関係

遅延時間はプラズマ中を電磁波が伝搬したときに、真この章では遅延時間と DM の関係について宇宙論的な影響が小さい z ≪ 1 のときを考える。

空中を伝搬した場合に比べて観測者によって観測される時間にどれほどの差があるのかを示している。最後

プラズマで構成されている IGM 中に電場 E = の等式にある積分は後に説明する dispersion measure
E0 cos ωt をもつ電磁波が通過することを考える。プ (DM) と呼ばれるものである。これを DM と表す事
ラズマは電子と陽子で構成されるが陽子は電子に比 にするとべて約 1800 倍もの質量があるので基本的に電子が運∆t(r) =

動している状態である。ここで電磁波の干渉を受けている電子 (質量 me ) の運動方程式はdvme= eE0 cos ωtdt

ne e2 E0 sin ωt
me
ω

(2)

数) の２乗に反比例することが分かる。遅延時間の周
波数依存性は変位電流に起因するものであり、遅延時間は電磁波が視線方向の電子とどれくらい散乱したかを示す端的な指標となることが分かる。

(3)となる。一方で変位電流は∂D= −ϵ0 E0 ω sin ωt∂t(8)と表される。遅延時間は DM に比例し振動数 (周波となり、積分を行って電流密度 i を求めると

i = ne ev =DM (z)e2
DM (z) ∝2
2me cϵ0 ωω23

膨張宇宙における遅延時間
説明に入る前に、宇宙論での議論でよく用いられ(4)

る赤方偏移と距離の関係について説明しておく。

175

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
赤方偏移 z は観測者から物理的距離 l だけ離れた位置で発せられた電磁波の波長 λ(l) と観測者がその電磁波を観測した時に測定する波長 λobs によって

1+z ≡

ω(l)
λobs
=
λ(l)
ωobs

(9)

の関係で定義される。具体的な関係は光速を c、Hub-ble パラメータを H(z) として以下の式で表される。
dl(z) =c dz
H(z)(1 + z)

(10)

ここまでの議論において物理的線素と周波数（振動数）が赤方偏移に依存するという点は遅延時間の議論に少々の変更を加えることになる。以下では赤方偏移 z の天体から発せられた電磁波が観測者によって観測されるときの遅延時間 ∆t(z) は∆t(z) =e2
2me cϵ0∫ r(z)0∫ r(z)

図 2: IllustrisTNG によるシミュレーションと FRBの観測の DMIGM -z 関係：青線は Illustris シミュレー
ションの結果で水色の領域はシミュレーションの 95%
信頼区間である。点とエラーバーは観測の結果である。(Zhang et al (2020))

ne (z ′ )dlobs
ω(z ′ )2

かを見ていく。

IGM の寄与の DM は (13) より∫ z
0
ne (z ′ )c dz ′DMIGM (z) =(15)′ 2となる。ここで dlobs は観測者にとっての物理的線素
0 H(z)(1 + z )であり、(9) の関係によりとなる。ここで ne (z) は IGM の電子密度であり、
2=e2me cϵ0ne′
2 (1 + z ′ ) dl(z )ωobs

dlobs = (1 + z)dl(z)

(11)

(12)

Hubble パラメータはとなることを用いている。また、振動数が赤方偏移

H(z) = H0√(1 + z ′ )3 Ωm + (1 + z ′ )2 ΩK + ΩΛz に依存するために積分の中に組み込まれることに注意する。したがって膨張宇宙における遅延時間の観測において実効的な DM は
∫ r(z)∫ z
ne (z ′ )c dz ′ne (z ′ )
′
dl(z
)
=
DM (z) =′ 2
1 + z′
0 H(z)(1 + z )
0
(13)

(16)
である。ここで Ωm , ΩK , ΩΛ はそれぞれ物質、曲率、宇宙項の現在の密度パラメータであり、それぞれ Ωm =0.3089, ΩK = 0.0, ΩΛ = 0.6911 としている。Hubble
定数は H0 = 67.74[km s−1 Mpc−1 ] とした。(Plank

Collaboration et al. (2016))

であることが分かる。これにより膨張を考慮した遅自由電子密度の計算は宇宙論流体シミュレーション

延時間はIllustrisTNG を用いて行われ、各赤方偏移において∆t(z) =DM
e2
2 DM ∝ ω 2
2me cϵ0 ωobs
obs

それぞれ柱密度の平均値を求めてそれをその赤方偏(14)

移での自由電子密度として計算している。

のように表すことができる。

IGM 中の自由電子の密度がある程度わかっているな
らば、DMIGM と赤方偏移を一意に関連づける事が4できる。図 2 は z < 1 の領域での観測とシミュレー

DM による赤方偏移の推定

ションによる結果の比較である。この図では観測とこの章では DM の数値計算によって IGM の寄与

シミュレーションが一貫しており、DM による赤方分の DM による赤方偏移の推定がどれほど有効なの偏移 z の推定ができていることが分かる。しかし赤176

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
方偏移 z が大きくなると、再電離時期 zre を境にして ne ≃ 0 となって DM が赤方偏移の増加に伴って大きくなることはなくなる。したがって再電離時期
によって DM のものさしとしての有効性がどの範囲まで有効なのかを見る必要がある。

5

DM による再電離時期の制限
この章ではシミュレーションによって DM による

再電離時期の制限に対する有効性を議論する。
バリオンに対する水素の質量存在比 XH 、水素原子１個あたりの自由電子の数 xe (z) を用いると自由電
子密度はne (z) = ρcr Ωb XH (1 + z)3 m−1
p xe (z)図 3:IllustrisTNG に よ る シ ミュレ ー ション の

DMIGM の赤方偏移依存性と Plank からのデータの比較 (Zhang et al (2020))：青線はシミュレーションの結果で水色の領域は 95 ％信頼区間となっている。

(17)

赤線は tanh モデルの zre = 5.95, ∆z = 0.05 の線である。緑線、オレンジ線は Plank Collaboration et al.

と表される。ρcr , Ωb はそれぞれ現在における臨界密(2016) のデータで、それぞれ再電離が終了する時の度、バリオンの密度パラメータであり、mp は陽子

赤方偏移 zend に関して一様分布、zend > 6 に偏ったの質量である。ここで再電離の z 依存性について、 分布を事前分布とした時の結果である。この図ではLewis (2008) で用いられている tanh モデル[()]
fyre − yxe (z) =1 + tanh2∆y

緑線、オレンジ線でそれぞれ zre = 7.2, 7.8 を与えて
いる。

(18)

を適用する。ここで y = (1 + z)3/2 , yre = (1 +√zre )3/2 , ∆y = 1.5 1 + z∆z であり、zre は再電離が起こった時の赤方偏移であり、∆z は再電離時期の幅である。また、f は水素とヘリウムの個数比であり、

f = 1 + fHe = 1 + nHe /nH である。この図では再電

4000[pc/cm3 ] の範囲で赤方偏移の推定に有効である
ことを示した。さらに再電離モデルとして tanh モデルを適用し、DM の赤方偏移依存性を IllustrisTNG
シミュレーションによって調べることで遠方の天体の DM を調べることによって再電離時期の制限を行うことができることを示した。

離時期があることによって DM が 4000[pc/cm3 ] より大きい値をとる場合には赤方偏移の測定に用いることができないことを示している。逆に遠方の天体の DM を観測することによって再電離時期の制限を行うことが期待できる。今後より遠方の天体の DMの観測が多くなれば、再電離時期を観測的により精密に制限することができると期待できる。

6

Reference
Z. J. Zhang, K. Yan, C. M. Li, G. Q. Zhang, and F. Y.
Wang, The Astrophysical Journal, Nov 2020, Vol.906,
Issue 1, id.49, 7 pp.
D. R. Lorimer, M. Bailes, M. A. McLaughlin, D.
J. Narkevic, F. Crawford, Science 02, Nov 2007,
Vol.318, Issue 5851, pp. 777-780

Conclution

Lewis, A. 2008, Phys.Rev.D 78, July 2008, 023002

本研究では IllustrisTNG シミュレーションによっ Planck Collaboration Ade P. A. R. ,et al.,2016,A&A,
594, A13て得られた IGM からの寄与分の DM による赤方偏移 z の推定が、赤方偏移が特定されている FRBの観測結果と一貫していることを示し、DMIGM <Planck Collaboration, Adam, R., Aghanim, N., et al.
2016, A&A, 596, A108

177

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重宇 39

ボソン星の動的発展
大阪市立大学 理学研究科
村上 由三

178

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

ボソン星の動的発展
村上 由三 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
本講演では、(Edward Seidel & Wai-Mo Suen 1990) のレビューを行う。

(Edward Seidel & Wai-Mo Suen 1990) では、自己重力相互作用をする複素スカラー場としてボソン星を考え、基底状態に摂動を加えたときの動的な発展を数値計算によって調べている。主な結果は以下のとおりである。

(i)(総質量 M と粒子数 N の) 有限な摂動の下では、基底状態の形状が安定、もしくは不安定になる。その分岐点は M=0.633(MP2 lank /m) の critical mass に対応する。m はスカラー場の質量で、考えられる摂動によって決まる。

(ii) 安定な場合は、摂動を加えられると振動して、固有振動数を持つスカラー場を放射し、より質量の少な
い、大きな半径を持つ形状へと安定化する。

(iii) 不安定な場合に摂動が加えられると、ブラックホールに崩壊、もしくは別の状態へと変化し最終的には安定な場合に落ち着く。

1

Introduction

作用・計量

2

素粒子物理学による宇宙論への重要な一つに、ボ自己重力相互作用をする複素スカラー場 ϕ = ϕ1 +ソンが宇宙の形成に重要な役割を果たす、というも

iϕ2 を表すため、作用を以下のように定める。
∫√
1d4 x −gR
互作用をするボソンが大量に作られたと予測してい I = 16πG∫る。また、銀河形成や原始元素合成の研究によると、√
111− d4 x[ −g( g µν ∂µ Φ∗ ∂ν Φ + m2 Φ∗ Φ + λ|ϕ|4 )]ダークマターはバリオンよりも多く、ダークマター
2
2
4
(1)
はボソン粒子で作られている可能性がある。従って、のがある。多くの素粒子理論は、初期宇宙で弱い相ボソンで作られた天体であるボソン星を研究することによって、宇宙物理、天文学に何らかの示唆を与えることが期待される。

第一項目が重力による作用で、第二項目がスカラー場の作用である。この作用から、スカラー場の方程式

以前の研究によって、ボソン星の平衡な基底状態に無g µν ϕ;µν − m2 ϕ − λ(ϕ ∗ ϕ)ϕ = 0(2)

限小摂動を加えたときの振る舞いが既に調べられている。参考文献 [1] では、星への物質の降着や、カッ と、アインシュタイン方程式
プリングによるスカラー粒子の消滅のような天文物
理学的な環境下での振る舞いを調べるために、ボソン星の総質量 M と粒子数 N を変化させるような有限の摂動を考えている。調べる時空は球対称とする。

Rµν − 1/2gµν R = 8πGTµν ,

(3)

2
∂
Tµν = √[LM ]−g ∂gµν(4)が求められる。(LM は作用第二項のラグランジアン
密度)
また、ハミルトン拘束条件

Gtt − 8πGTtt = 0

179

(5)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
を満たすものとする。球対称時空を考えるため、計

4

発展方程式

量は以下のように定める。

ds2 = −(N 2 − S 2 )dt2 + 2Sdtdr + r 2 dΩ2

計量 (6) を用いて、スカラー場の方程式 (2)、アイ(6) ンシュタイン方程式 (3)(4)、ハミルトン拘束条件 (5)

ここで、S はシフト、N はラプス関数である。N とS には自由度があるが、polar-slicing 条件を課し、シフト S(t, r) = 0 とする。

を書き直し、数値計算をするための発展方程式を求める。平衡状態の振動数を用いて、変数を以下のよ
うに無次元化する。

r ≡ mr, t = ω0 t, ϕ =√4πGΦ, N ≡ N

m
ω0

(8)

また、計算のため、以下のような変数変換を行う。

3

平衡状態

ψ1 ≡ rϕ1 , ψ2 ≡ rϕ2 , π1 ≡まず、ボソン星の平衡状態について説明する。ボα≡ソン星は、半径方向に n 個の節を持つとき、n 次励起状態といわれる。今回は基底状態でのボソン星の振る舞いについて説明する。図 1 は r=0 でのスカラー場 ϕ(0) に対する質量の分布を表したグラフである。

1 ∂ψ1
1 ∂ψ2
, π2 ≡
(9)
α ∂t
α ∂t

N
g

これらの変数を用いて、発展方程式は以下のように表せる。

ġ = N (π1 ϕ′1 + π2 ϕ′2 ),
(10)
[ 2
]
[ ′ 2
] π12 + π22
N g −1
′
′ 2
2 2
2
N =
+ r (ϕ1 ) + (ϕ2 ) − g (ϕ1 + ϕ2 ) +
2
r
r
(11)
]
[
′
α
π̇i = α′ ψi′ + αψi′′ − ψi gN +, i = 1, 2, (12)r

質量のピーク Mc = 0.633(MP2 lanck /m) をとる ϕ(0)を ϕ(0)c と呼び、これよりも ϕ(0) が小さい場合は安定となり (S-branch(stable-branch))、大きい場合は不安定となる (U-branch(unstable-branch)) ことが知られている。

ψ̇i = απi , i = 1, 2

(13)

g2 − 1 π2 + π2
ϕ′2 + ϕ′22g ′+ 2 2 − 1 2 2 2 − 1 2 2 − (ϕ21 + ϕ22 ) = 0
3
rg
r g
r g
g
(14)

5

境界条件・初期条件
r = 0 と r = ∞ での境界条件を設定する。

r = 0 では、時空が特異的でないという条件を課す。
これにより、g(r = 0) = 1 となること、g, N, ϕ1 , ϕ2 の

図 1: ϕ(0) に対する質量の分布

空間微分が r = 0 付近で 0 になること、ψ1 , ψ2 , π1 , π2平衡状態の解について考える。スカラー場 Φ が時
間依存しないような解は存在しないため、代わりに

Φ が固定された振動数 ω0 で振動するものとする。
Φ(t, r) = Φ0 (/bmr)e−i/omega0 t(7)

が r = 0 に関して反対称であることがわかる。

r = /inf ty では、ラプス N が初期値から固定されており、スカラー場は outgoing であるものとする。

6

S-branchS-branch に摂動を加えることを考える。例として、
図 2 のような摂動を加えると、(実線が元の状態、破180

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
線が摂動を加えた状態) 星の持つ総質量は図 3 のようになる。

図 4: U-branch の中心密度を減少させた場合の g の変化
図 2: Stable branch に与える摂動

別の例として、U-branch の星の密度を減少させた場合を考える。この変化によって、状態は図 1 の曲
線を左に移動するため、もしも Mc よりも小さくなった時には、S-branch に移動することになる。図 5 では、Unstable-branch に上記の摂動を加えた場合の状態と、Stable-branch の状態が比較されている。

図 3: 質量の変化
図 2 より、星はスカラー場を放出しながら振動し、元の状態よりも総質量の小さい別の S-branch へと移る。
図 5: 質量の変化

7

したがって、U-branch の星は、星の密度を増加させ

U-branchU-branch に摂動を加えることを考える。例として、

質量 M = 0.609 < Mc を持つ U-branch の星の中心

るか、減少させるかによって、崩壊するか、S-branchに移動するかが決まるということが分かった。

密度を増加させて M = 0.615 < Mc にするような摂動を加えると、図 4 のような結果が得られる。t = 0
では g 2 の値はほとんど 0 であったのに対し、t = 48
では大きな値を持っている。これは、ボソン星がブラックホールへと崩壊したことを示している。

8

Conclusion

第３節 (平衡状態) より、ボソン星には安定な状態(S-branch) と不安定な状態 (U-branch) が存在する。
第６節 (S-branch) より、S-branch に小さな摂動を加181

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
えると、星はスカラー場を放出しながら振動し、元の状態よりも総質量の小さい別の S-branch へと移る。
第７節 (U-branch) より、U-branch に摂動を加えた
とき、加える摂動により、(1) 星の外へスカラー場をほとんど放出せずブラックホールを形成するか、(2)
安定な S-branch へと移る。

Acknowledgement
本発表にあたり、ご指導いただいた宇宙物理・重力研究室の皆様、講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営の皆様に深く感謝申し上げます。

Reference
Seidel, & Suen 1990, physical review D

182

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重宇 40

Post-Newtonian 効果を考慮した Eccentric Kozai-Lidov
時間東京大学 理学系研究科物理学専攻
稲熊 穂乃里183

2021 ೥౓ ୈ 51 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ

Post-Newtonian ޮՌΛߟྀͨ͠ Eccentric Kozai-Lidov ࣌ؒҴ‫ึ ۽‬೫ཬ (౦‫ژ‬େֶେֶӃ ཧֶ‫ڀݚܥ‬Պ)

AbstractϒϥοΫϗʔϧͷ࿈੕͕ɺଞͷগ͠ԕํʹ͋Δఱମ (3 ମ໨ͱ‫ʹ )Ϳݺ‬ଋറ͞Ε͓ͯΓɺ‫֊͕ܥ‬૚త 3 ମ‫ͱܥ‬ͳ͍ͬͯΔ৔߹ɺEccentric-Kozai-Lidov ϝΧχζϜʹΑΔ࿈੕ͷ཭৺཰ͷ੒௕ʹΑͬͯɺ࿈੕ͷ߹ମ཰͕େ
͖͘ͳΔͱ༧૝͞ΕΔɻEccentric-Kozai-Lidov ϝΧχζϜʹΑΔ࿈੕ͷ཭৺཰΍࿈੕ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͱ 3 ମ໨ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͷͳ֯͢౓ͷมԽ͸ৼಈతͰ͋Γɺͦͷ࣌ؒεέʔϧΛ EKL ࣌ؒͱ‫Ϳݺ‬ɻैͬͯɺຊ‫Ͱڀݚ‬͸཭৺཰ͷมԽ཰Λௐ΂ΔͨΊɺEKL ࣌ؒΛ 3 ମ໨ͷ࣭ྔΛ༷ʑʹมԽͤ͞ɺ཭৺཰ͷมԽ཰΁ͷ 3 ମ໨ͷ‫د‬༩Λௐ΂ɺ3 ମ໨ͷ࣭ྔ͕ 0.2 ഒʹͳΔͱ EKL ࣌ؒ͸ 3.5 ഒ௕͘ͳΔͱ͍͏݁ՌΛಘͨɻ͞Βʹɺ֊૚తࡾମ‫ʹܥ‬ର͢Δۙࣅͷ octupole ߲·Ͱͱͬͨ৔߹΍ Post-Newtonian ޮՌ͕ EKL ࣌ؒʹͲͷΑ͏ͳӨ‫ڹ‬Λ‫͔͢΅ٴ‬Λௐ΂ɺͦΕΒ͕཭৺཰ͷมԽ཰ʹͲͷΑ͏ʹӨ‫͢ڹ‬Δ͔Λ͔֬Ίͨɻͦͷ݁Ռɺ‫͕҆ܥ‬ఆͳ‫ݶ‬Γɺ

2.5Post-Newtonian ޮՌ͸ EKL ࣌ؒʹӨ‫͕ͱ͍͜ͳ͠ڹ‬Θ͔ͬͨɻ1Post-Newtonian ΍ octupole ߲ͷӨ‫ʹڹ‬ΑΔ EKL ࣌ؒͷɺ࿈੕ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͱ 3 ମ໨ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͷͳ֯͢౓΍࿈੕ͷ࣭ྔൺ΁ͷґଘੑʹ͍ͭͯɺ͞ΒͳΔ‫͕ڀݚ‬ඞཁͰ͋Δɻ

1

IntroductionతʹมԽ͢Δ͜ͱΛ͍͏ɻ·ͨɺ͜ͷৼಈͷ࣌ؒεέʔϧΛ EKL ࣌ؒͱ‫Ϳݺ‬ɻ
Laser Interferometer Gravitational-Wave Obserैͬͯɺ߃੕࣭ྔϒϥοΫϗʔϧ࿈੕ʹ͓͍ͯ΋ɺ͜vatory(LIGO) ͷ‫؍‬ଌʹΑͬͯɺ2 ͭͷ߃੕࣭ྔϒϥοͷ EKL ϝΧχζϜʹΑͬͯɺ߹ମ཰্͕ঢ͢ΔͱΫϗʔϧͷ߹ମ͸සൟʹ‫͍͖ͯى‬Δ͜ͱ͕ূ໌͞Εߟ͑ΒΕΔɻ͞Βʹɺ࿈੕ϒϥοΫϗʔϧͷ߹ମ͸ɺͨɻ͔͠͠ɺ߃੕࣭ྔϒϥοΫϗʔϧΑΓ΋͸Δ͔ʹ࿈੕ͷ‫ي‬ಓ཭৺཰͕‫ʹܹٸ‬มԽ͠େ͖ͳ஋Λͱͬͨେ͖ͳɺ໿ 105 ∼ 101 0 ଠཅ࣭ྔ΋ͷ࣭ྔΛ΋ͭ‫ڊ‬େ࣌ʹ‫͖ى‬ΔͨΊɺ཭৺཰ͷมԽ཰͕େ͖͍৔߹ɺ͢
ϒϥοΫϗʔϧ͸ɺಠཱͨ͠ 2 ͭͷ‫ڊ‬େϒϥοΫϗʔͳΘͪɺEKL ͕࣌ؒ୹͘ɺ୹͍࣌ؒεέʔϧͰ཭৺ϧͷ‫͍͓ͯʹܥ‬ɺӉ஦೥ྸҎ಺ʹ߹ମͰ͖ͳ͍͜ͱ͕
཰͕େ͖͘ͳΔ৔߹ʹ߹ମ཰্͕ঢ͢Δͱߟ͑ΒΕ໌Β͔ͱͳ͍ͬͯΔ (Begelman M. C. et al. 1980)ɻ
Δɻຊ‫Ͱڀݚ‬͸ɺ3 ମ໨ͷ࣭ྔΛ༷ʑʹมԽͤͨ͞৔
͔͠͠ɺۙ೥ɺ࿈੕Λͳ͢ 2 ͭͷ‫ڊ‬େϒϥοΫϗʔϧ߹ͷ EKL ࣌ؒΛௐ΂Δ͜ͱͰɺ཭৺཰ͷมԽ཰ͱ 3Ҏ֎ʹɺͦΕʹଋറ͞Ε͍ͯΔ 3 ମ໨ͷ‫ڊ‬େϒϥοΫମ໨ͷ࣭ྔͷؔ܎Λௐ΂ͨɻ͞Βʹ֊૚తࡾମ‫ʹܥ‬ϗʔϧ͕গ͠ԕํʹଘࡏ͠ɺ‫֊͕ܥ‬૚త 3 ମ‫ͬͳͱܥ‬ର͢Δۙࣅͷߴ࣍·Ͱͱͬͨ৔߹΍ Post-Newtonian͍ͯΔ৔߹ʹ͸ɺ‫ڊ‬େϒϥοΫϗʔϧͷ߹ମ͕‫͖ى‬ޮՌ͕ EKL ࣌ؒʹͲͷΑ͏ͳӨ‫ڹ‬Λ‫͔͢΅ٴ‬ΛௐΔ͜ͱ͕໌Β͔ͱͳͬͨ (Iwasawa M. et al. 2006)ɻ
΂ɺͦΕΒ͕཭৺཰ͷมԽ཰ʹͲͷΑ͏ʹӨ‫͢ڹ‬Δ(Iwasawa M. et al. 2006) ʹΑΔͱɺ͜ͷ߹ମ͕‫͖ى‬͔Λ͔֬Ίͨɻ
ΔҰͭͷେ͖ͳཁҼ͸ɺEccentric-Kozai-Lidov ϝΧχζϜʹΑͬͯɺ2 ͭͷ‫ڊ‬େϒϥοΫϗʔϧͷ࿈੕ͷ཭৺཰͕‫ʹܹٸ‬େ͖͘ͳΔ͜ͱʹΑͬͯ 2 ͭͷ‫ڊ‬େϒϥοΫϗʔϧ͕઀ۙ͠ɺॏྗ೾Λ์ग़͢Δ͜ͱ

2

ຊ‫ڀݚ‬͸ɺSecular ίʔυ (Okinami) ͱɺ௚઀ N

Ͱ͋Δɻ͜͜ͰɺEccentric-Kozai-Lidov(EKL) ϝΧχζϜͱ͸ɺ֊૚త 3 ମ‫͍͓ͯʹܥ‬ɺԕํʹ͋Δ 3

Methods/Instrumentsମ‫ࢉܭ‬ίʔυ (Tsunami) Λ༻͍ͯߦͬͨɻ

ମ໨ͷӨ‫Ͱڹ‬ɺ࿈੕ͷ‫ي‬ಓ཭৺཰΍ɺ࿈੕ͷ‫ي‬ಓฏ
໘ͱ 3 ମ໨ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͷͳ֯͢౓͕͋Δ࣌ؒͰৼಈ

184

2021 ೥౓ ୈ 51 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ

2.1

֊૚త 3 ମ‫ܥ‬ͷӬ೥ۙࣅͷΑ͏ʹ‫ݱ‬ΕΔ (e.g. (Naoz S. et al. 2013a), (NaozS. et al. 2013b), (Liu B. & Lai D. 2018))ɻͨͩ͠ɺ

Hkepler =ਤ 1: ֊૚తࡾମ‫ܥ‬ͷུ֓ਤ. m1 ͸ 1 ମ໨ͷ࣭ྔ,k 2 m1 m2
k 2 m1 m2
+
2a1
2a1

(4)

ͱ͓͍ͨɻैͬͯɺϋϛϧτϯྗֶʹଇͬͯϋϛϧm2 ͸ 2 ମ໨ͷ࣭ྔ, m3 ͸ 3 ମ໨ͷ࣭ྔ, itot ͸಺࿈ τχΞϯ H ͔Β‫͞ࢉܭ‬Εͨ಺࿈੕ͷ཭৺཰ e1 ͷม੕ (ਤதͷ Inner binary, ੨ͷପԁ) ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͱ֎ Խ཰͸ɺ֤߲ͷӨ‫ڹ‬Λ""""࿈੕ (ਤதͷ Outer binary, ੺ͷପԁ) ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͷ de
"
"
"
de1 "
1
" + de1 " + de1 " + de1 "="""ͳ֯͢౓Λද͢.
dt
dt quaddt octdt 1PN
dt "
2.5PN
(5)

ਤ 1 ͸֊૚తࡾମ‫ܥ‬ͷུ֓ਤͰ͋Δɻm1 Λ 1 ମ໨ͷ࣭ྔɺm2 Λ 2 ମ໨ͷ࣭ྔɺm3 Λ 3 ମ໨ͷ࣭ྔɺ ͷΑ͏ʹ൓ө͢Δɻ

itot Λ಺࿈੕ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͱ֎࿈੕ͷ‫ي‬ಓฏ໘ͷͳ֯͢ຊ‫Ͱڀݚ‬͸ɺ্‫ه‬ͷఆࣜԽʹଇͬͨ Secular ίʔυ౓ (ҎԼɺinclination ͱ‫͢ͱ )Ϳݺ‬Δɻ·ͨɺe1 ɺe2(Okinami) Λ࢖༻ͯ͠ EKL ࣌ؒΛௐ΂ɺ֤߲ͷӨ‫ڹ‬ΛͦΕͧΕ಺࿈੕ɺ֎࿈੕ͷ཭৺཰ɺa1 ɺa2 ΛͦΕʹ͍ͭͯٞ࿦ͨ͠ɻ͞Βʹɺಉ͡‫ʹܥ‬ରͯ͠ OkinamiͧΕ಺࿈੕ɺ֎࿈੕ͷ௕࣠൒‫( ܘ‬a1 ≪ a2 ) ͱ͠ɺ·ίʔυͷ݁Ռͱ௚઀ N ମ‫ࢉܭ‬ίʔυ (Tsunami) ͷ݁ͨɺ1 ମ໨͔Β 2 ମ໨Λ݁ͿϕΫτϧ r1 ͱɺ಺࿈੕

ՌΛൺֱ͠ɺٞ࿦ͨ͠ɻ

ͷॏ৺͔Β̏ମ໨Λ݁ͿϕΫτϧ r2 ͷͳ֯͢Λ Φ ͱ͢ΔɻPost-Newtonian ޮՌΛߟྀ͠ͳ͍ͱ͖ɺ͜ͷ֊૚తࡾମ‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯ H0 Λ aa12 Ͱల։͢Δ

2.2

ͱ (e.g. (Naoz S. et al. 2013a))ɺ

k 2 m1 m2
k 2 m1 m2
+
2a1
2a1
∞
2 !
k
a1
r1
a2
+
( )n Mn ( )n ( )n+1 Pn (cos Φ)
a2 n=2 a2
a1
r2

H0 =

֊૚త 3 ମ‫͍͓ͯʹܥ‬ɺ3 ମ໨ͷӨ‫ʹڹ‬ΑΓɺe1 ͱ಺࿈੕ͱ itot ͸͋Δ࣌ؒͰৼಈతʹมԽ͢Δɻ͜Ε
Λ Koza-Lidov ϝΧχζϜͱ‫ͼݺ‬ɺͦͷৼಈͷ࣌ؒε(1)έʔϧΛ EKL ࣌ؒͱ‫Ϳݺ‬ɻຊ‫Ͱڀݚ‬͸ɺe1 ͕‫ۃ‬େ஋ΛͱΔ࣌ؒΛ‫ه‬࿥͠ɺͦͷִ࣌ؒؒΛ EKL ࣌ؒͱ
ఆٛ͠ɺOkinami ίʔυ΍ Tsunami ίʔυͰಘΒΕͱͳΔɻ͜͜Ͱɺk 2 ͸ສ༗Ҿྗఆ਺Ͱ͋Γɺ

mn−1 − (−m2 )n−1
Mn = m1 m2 m3 1
(m1 + m2 )n

EKL ࣌ؒͷࢉग़ͨ‫݁ࢉܭ‬ՌΛ༻͍ͯ͜ͷ EKL ͕࣌ؒͲͷΑ͏ʹมԽ

(2)

Ͱ͋Δɻࣜ (1) ͷ n = 2 ͷ߲Λ quadrupole ߲ɺn = 3 ͷ߲Λ octupole ߲ͱ‫Ϳݺ‬ɻ͞ΒʹɺPostNewtnian(PN) ͷޮՌΛߟྀ͢Δͱɺۙ೔఺ҠಈͷޮՌ (1PN)ɺॏྗ೾ͷޮՌ (2.5PN, ॏྗ೾ͷޮՌΛ‫ؚ‬Ή࠷௿࣍ͷ߲)ɺ·ͨɺquadrupole ߲ɺoctupole ߲ͷޮՌ͸ɺ֊૚తࡾମ‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯ H ʹɺ͢Δ͔Λௐ΂ͨɻ·ͣɺ2.5PN ͷޮՌ·ͰऔΓೖΕͨ Okinami ίʔυͰ 3 ମ໨ͷ࣭ྔ m3 ΛมԽͤ͞ɺEKL ࣌ؒͷมԽΛٞ࿦ͨ͠ɻ࣍ʹɺitot ͷॳ‫ظ‬஋ΛมԽͤ͞ɺEKL࣌ؒͷมԽΛٞ࿦ͨ͠ɻ͞ΒʹɺOkinami ίʔυͰquadrupole ߲ͷΈΛऔΓೖΕͨ৔߹ɺoctupole ߲·ͰΛऔΓೖΕͨ৔߹ɺ1PN ߲·ͰΛऔΓೖΕͨ৔߹ɺ

2.5PN ߲·ͰΛऔΓೖΕͨ৔߹ͷ 4 छྨͷ݁ՌΛൺ
ֱ͠ɺ2.1 Ͱड़΂֤߲͕ͨͲͷΑ͏ʹӨ‫͍ͯ͠ڹ‬Δ͔ٞ࿦ͨ͠ɻ

H = H0 + H1PN + H2.5PN= Hkepler + Hquad + Hoct + H1PN + H2.5PN

(3)

185

2021 ೥౓ ୈ 51 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ

3

Results & Discussion

3.1

3 ମ໨ͷ࣭ྔΛมԽͤͨ͞৔߹ͷ
EKL ࣌ؒͷมԽ

3.2

2.2 અͷख๏Ͱɺ2.5PN ͷޮՌ·Ͱ‫ؚ‬Ή OkinamiίʔυͰಘΒΕͨ‫݁ࢉܭ‬ՌΛ΋ͱʹ EKL ࣌ؒΛ‫ࢉܭ‬ͨ͠ɻm3 Λ༷ʑʹมԽͤ͞ɺm3 = 10.5 ଠཅ࣭ྔҎ্ʹͨ࣌͠ɺ‫͕ܥ‬ෆ҆ఆͱͳΓ 2.5 × 107 ೥Ҏ಺ʹ 1
ମ໨ͱ 2 ମ໨ͷিಥ͕‫ͨͬ͜ى‬ɻ

ਤ 2 ͸ m3 Λ༷ʑʹมԽͤͨ࣌͞ʹಘΒΕͨ e1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠͱಘΒΕͨ EKL ࣌ؒͷҰྫͰ͋ΔɻਤEKL ࣌ؒ΁ͷ Post-Newtonian ޮՌ͜͜Ͱ΋ɺ2.2 અͷख๏ͰɺOkinami ίʔυͰಘΒΕͨ‫݁ࢉܭ‬ՌΛ΋ͱʹ EKL ࣌ؒΛ‫ͨ͠ࢉܭ‬ɻquadrupole ߲ͷޮՌɺoctupole ߲ͷޮՌɺ1PN ͷ
ޮՌɺ2.5PN ͷޮՌͷӨ‫ڹ‬Λ‫ݸ‬ผʹௐ΂ΔͨΊɺ

quadrupole ߲ͷޮՌͷΈΛऔΓೖΕͨ Okinami ίʔυɺoctupole ߲ͷޮՌ·ͰΛऔΓೖΕͨ Okinamiίʔυɺ1PN ͷޮՌ·ͰऔΓೖΕͨ Okinami ίʔυɺ

2.5PN ͷޮՌ·ͰऔΓೖΕͨ Okinami ίʔυͷ 4 छྨͷίʔυͰಘΒΕͨ݁ՌΛൺֱͨ͠ɻ֤ύϥϝʔλ2 ͷ্ஈͷ e1 ͷ࣌ؒมԽͷάϥϑʹ͓͍ͯɺ͜͜Ͱ ͷॳ‫ظ‬஋͸ɺa = 23 auɺa = 502 auɺe = 0.001ɺ
12
1
͸ɺm3 Ҏ֎ͷύϥϝʔλͷॳ‫ظ‬஋͸ɺa1 = 23 auɺ
e = 0.6ɺi = 94ɺ˃ m = 10 ଠཅ࣭ྔɺm = 8 ଠ

a2 = 502 auɺe1 = 0.001ɺe2 = 0.6ɺitot = 94 ˃ɺ

m1 = 10 ଠཅ࣭ྔɺm2 = 8 ଠཅ࣭ྔʹ‫ݻ‬ఆͨ͠ɻ͜͜ͰͷղੳʹΑΓɺm3 ͕ 0.2 ഒʹͳΔͱɺEKL ࣌ؒ͸໿ 3.5 ഒʹ௕͘ͳΔ͜ͱ͕Θ͔ͬͨɻ

2

tot

1

2

ཅ࣭ྔʹ‫ݻ‬ఆ͠ɺm3 = 1 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ͱɺm3 = 1
ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ʹ͍֤ͭͯίʔυͷ݁ՌΛൺֱͨ͠ɻ
ਤ 3 ͸ m3 = 1 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ͷ e1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠͱಘΒΕͨ EKL ࣌ؒͰ͋Γɺਤ 4 ͸ m3 = 10 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ͷ e1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠͱಘΒΕͨ EKL
࣌ؒͰ͋Δɻ
·ͣɺਤ 3 ͱਤ 4 Λൺֱ͢Δͱɺਤ 3 Ͱ͸ 1PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹ͱ 2.5PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Ͱ EKL࣌ؒʹҧ͍͕ͳ͍ͷʹର͠ɺਤ 4 Ͱ͸ 1PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹ͱ 2.5PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Ͱɺ2.5PNΛऔΓೖΕͨ৔߹ͷํ͕ 2.5PN ΛऔΓೖΕͳ͍৔߹ͷ EKL ࣌ؒΑΓ΋୹͍ͱ͍͏ҧ͍͕͋Δɻ͜͜Ͱɺ

m3 = 10 ଠཅ࣭ྔͱͨ࣌͠ɺ1PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔
߹ͱ 2.5PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹ͷ಺࿈੕ͷ௕࣠൒‫ܘ‬ਤ 2: m3 ΛมԽͤͨ࣌͞ͷ e1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠͱa1 ͷ࣌ؒมԽΛൺֱ͢Δͱɺਤ 5 ͷΑ͏ʹɺ1PN ·

EKL ࣌ؒ (੨ઢ͸ m3 = 1 ଠཅ࣭ྔ, ΦϨϯδઢ͸ͰऔΓೖΕͨ৔߹Ͱ͸ a1 ͸࣌ؒมԽ͍ͯ͠ͳ͍ͷʹ

m3 = 5 ଠཅ࣭ྔ, ྘ઢ͸ m3 = 10 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹

ର͠ɺ2.5PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Ͱ͸ a1 ͸࣌ؒͱͱΛද͢. ·ͨɺଞͷύϥϝʔλͷॳ‫ظ‬஋͸ a1 = 23΋ʹখ͘͞ͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δɻ͜Ε͸ɺ3 ମ໨

au, a2 = 502 au, e1 = 0.001, e2 = 0.6, itot = 94 ˃ ,m1 = 10 ଠཅ࣭ྔ, m2 = 8 ଠཅ࣭ྔʹ‫ݻ‬ఆͨ͠.)ͷӨ‫͕ڹ‬େ͖͘ͳͬͨ͜ͱʹΑΓ‫͕ܥ‬ෆ҆ఆͱͳΓɺ಺࿈੕͕ॏྗ೾Λ์ग़ͯ͠ΤωϧΪʔΛࣦ͍ͬͯΔ
͜ͱʹΑΔ΋ͷͰ͋ΔɻҰํͰɺm3 = 1 ଠཅ࣭ྔͱ

·ͨɺಉ༷ͷ‫ࢉܭ‬Λ Tsunami ίʔυͰߦͬͨͱ͜

ͨ͠৔߹͸ɺ2.5PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Ͱ΋ a1 ͷ஋ΖɺOkinami ίʔυʹൺ΂ɺEKL ͕࣌ؒ୹͍ͱ͍͏

͸࣌ؒมԽ͍ͯ͠ͳ͔ͬͨɻैͬͯɺe1 ͷ࣌ؒมԽ݁Ռ͕ಘΒΕͨɻ͞Βʹɺm3 = 10.5 ଠཅ࣭ྔҎ্ʹ͓͍ͯɺ2.5PN ͷޮՌ͸‫͕ܥ‬ෆ҆ఆʹͳΓॏྗ೾ʹͨ࣌͠ɺ2.5 × 107 ೥Ҏ಺ʹ 1 ମ໨ͱ 2 ମ໨ͷিಥΛ์ग़͍ͯ͠Δ৔߹ʹͷΈޮ͘΋ͷͰ͋Γɺ‫͕҆ܥ‬͸‫͔ͨͬͳ͖ى‬ɻ͜Ε͸ Okinami ʹ͸‫·ؚ‬Ε͍ͯͳఆͳ৔߹͸ 2.5PN ͷޮՌ͸‫ݱ‬Εͳ͍ɻ࣍ʹɺ1PN ͷޮՌʹ͍ͭͯٞ࿦͢Δɻਤ 4 ΑΓɺ͍ΑΓߴ࣍ͷ PN ͳͲͷޮՌʹΑΔ΋ͷͩͱߟ͑Β
ΕΔ͕ɺࠓ‫͞ޙ‬ΒͳΔ‫͕ڀݚ‬ඞཁͰ͋Δɻ

1PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹ͷ EKL ࣌ؒ͸ octupole ߲186

2021 ೥౓ ୈ 51 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ

4ConclusionҎ্ͷ݁Ռͱߟ࡯ΑΓɺEKL ࣌ؒɺ͢ͳΘͪ཭৺཰ͷมԽ཰ʹ͓͍ͯɺ‫͕҆ܥ‬ఆͳ‫ݶ‬Γ͸ 2.5PN ͷޮՌ͸ॏཁͰ͸ͳ͍͜ͱɺEKL ࣌ؒ͸ m3 ͷؔ਺Ͱ͋ਤ 3: m3 = 1 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ͷ e1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠͱ EKL ࣌ؒ (ΦϨϯδઢ͸ quadrupole ߲ͷΈ, ੺ઢ͸ octupole ߲·Ͱ, ੨ઢ͸ 1PN ·Ͱ, ྘ઢ͸ 2.5PN·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Λද͢. )Δ͜ͱ͕͔֬ΊΒΕͨɻ·ͨɺEKL ࣌ؒ͸ itot ΍ m1
ͱ m2 ͷ࣭ྔൺʹ΋ґଘ͢Δ͜ͱ͕ࣔࠦ͞Εͨɻैͬͯɺ཭৺཰ͷมԽ཰ΛΑΓৄ͘͠ௐ΂ΔͨΊʹ͸ɺ

itot ΍ m1 ͱ m2 ͷ࣭ྔൺΛมԽͤͨ࣌͞ͷ EKL ࣌ؒʹ͍ͭͯ΋ٞ࿦͢Δඞཁ͕͋Γɺ͜Ε͕ࠓ‫ޙ‬ͷ՝୊Ͱ͋Δɻ

Acknowledgementຊൃදʹ͋ͨΓɺ‫ࢉܭ‬ίʔυΛఏ‫ͬͩͯ͘͞͠ڙ‬ਤ 4: m3 = 10 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ͷ e1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠͨཧԽֶ‫ ॴڀݚ‬Alessandro Alberto Trani ത࢜ɺٞͱ EKL ࣌ؒ (ΦϨϯδઢ͸ quadrupole ߲ͷΈ, ੺ઢ࿦ͯͩͬͨ͘͠͞٢ా௚‫ڭل‬तΛ͸͡Ί౦‫ژ‬େֶӉ͸ octupole ߲·Ͱ, ੨ઢ͸ 1PN ·Ͱ, ྘ઢ͸ 2.5PN஦ཧ࿦‫ࣨڀݚ‬٢ా‫ࣨڀݚ‬ͷօ༷ɺ·ͨՆͷֶߍؔ܎·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Λද͢. )ऀͷօ༷ʹ‫͢·͍ͨ͠ँײ‬ɻ

Referenceਤ 5: m3 = 10 ଠཅ࣭ྔͷ৔߹ͷ a1 ͷ࣌ؒมԽͷ༷ࢠ (੨ઢ͸ 1PN ·Ͱ, ྘ઢ͸ 2.5PN ·ͰऔΓೖΕͨ৔߹Λද͢. )·ͰऔΓೖΕͨ৔߹ͷ EKL ࣌ؒΑΓɺEKL ࣌ؒͷৼಈతมಈͷप‫͍ͯͬͳ͘୹͕ظ‬Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ

(Naoz S. et al. 2013b) ΑΓɺ1PN ͷޮՌΛೖΕͨ৔߹ͱೖΕͳ͍৔߹Ͱ͸ɺinclination itot ͷৼΔ෣͍

Begelman M. C., Blandford R. D. & Rees M. J. 1980,
Nature, 287
Iwasawa M., Funato Y. & Makino J. 2006, ApJ, 651,
1059
Naoz S., Farr W., Lithwick Y., Rasio F. A., &Teyssandier J. 2013a, MNRAS, 431, 2155.
Naoz S., Kocsis B., Loeb A. & Yunes N. 2013b, ApJ,
773, 187.
Liu B. , & Lai D. 2018, ApJ, 863, 68.

ʹҧ͍͕ग़Δ͜ͱ͕Θ͔͍ͬͯΔɻैͬͯɺEKL ࣌ؒ͸ itot ʹґଘ͢Δͱߟ͑ΒΕΔɻ࠷‫ʹޙ‬ɺoctupole ߲ͷޮՌʹ͍ͭͯٞ࿦͢Δɻਤ

4 ΑΓɺquadrupole ߲ͷΈऔΓೖΕͨ৔߹ͷ EKL ࣌ؒ͸ɺoctupole ߲ΛऔΓೖΕͨ৔߹ʹൺ΂௕͘ɺ͞Βʹ࣌ؒมԽ΋͍ͯ͠ͳ͍ɻैͬͯ EKL ࣌ؒͷ࣌ؒมԽ͸ octupole ߲ͷޮՌʹΑΔ΋ͷͰ͋Δɻoctupole߲͸ m1 = m2 ͷ࣌ʹ 0 ͱͳΔ͔ΒɺEKL ࣌ؒ͸ m1
ͱ m2 ͷ࣭ྔൺʹ΋ґଘ͢Δ͜ͱͱߟ͑ΒΕΔɻ

187

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重宇 poster1

重力波を用いたダークエネルギー探索
京都大学基礎物理学研究所 理学研究科物理学専攻
窪田 圭一郎188

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波を用いたダークエネルギー探索
窪田 圭一郎 (京都大学基礎物理学研究所 M2)

Abstract2015 年に LIGO によって初めて観測された重力波は、強重力場や高密度天体の研究のみならず宇宙論研究においても重要である。重力波は伝搬中に加速膨張の影響を受けるため、ダークエネルギーや大きいスケールでの重力の性質を調べるための新しい道具として使うことができる。そのうちの１つとして標準音源と呼ばれるものがある。経験的に真の明るさが分かっている標準光源（Standard Candle）では、観測された標準光源の見かけの明るさと真の明るさを比較することで光源までの光度距離が見積もることができる。この標準光源と相補的になるものが標準音源である。中性子星やブラックホールの連星によって生成された重力波は、波源までの光度距離が見積もることができる。
そのため光度距離が分かる標準光源になぞらえて、この重力波源を標準音源（Standard Siren）と呼んでいる。本集録では標準音源とこれを用いた重力理論のテストについてレビューする。

(obs)

観測されると Mc がわかる。周波数 fgw

1 Standard Sirenと重力波の振幅 h+,× (τobs ) が観測されると既知の Mc と組み中性子星やブラックホールからなる連星によって合わせることで、(1) 式から光度距離 dGW が見積も生成された重力波は、重力波の観測のみで重力波源られる。

までの光度距離が見積もられる。まずどのようにし

2 Runnning Planck massて重力波観測から光度距離が見積もられるかを簡単にレビューする。

一般相対性理論では電磁波と重力波それぞれから円運動をしている連星から放出された重力波が見積もられた光度距離は等しいが、スカラー場が重FRLW 背景時空を伝搬してきた場合、観測される重力場と結合しているような理論では重力波の伝搬が力波の四重極成分は以下で与えられる [[1] の (4.194)

変更され一般に等しくならない。スカラー場と重力式] 。

場との結合は超弦理論の低エネルギー極限や高次元

h+,× (τobs ) ∝

(

4
dGW

GMc
c2

)5/3 (

(obs)

πfgw

(tobs )

)2/3

機がある一般相対性理論の拡張である。ここでは以c下で与えられるような作用を考え、[2] を基に電磁波(1)と重力波それぞれから見積もられた光度距離の違い

ここで Mc は連星の質量をそれぞれ m1 , m2 , 重力波を見積もる。

源の赤方偏移を z としたとき

Mc = (1 + z)

(m1 m2 )3/5
(m1 + m2 )1/5

L = G2 (ϕ, X) + G3 (ϕ, X)□ϕ + G4 (ϕ)R + (Matter)
(4)

(2)

ここで X は運動項で X = −g µν ∇µ ϕ∇ν ϕ/2 である。

で与えられる量であり、dGW は重力波源までの光度

この作用では重力波の伝搬速度は光速と等しく、連距離である。また周波数の時間微分は以下で与えら星中性子星合体由来の重力波 GW170817 等によっれる [[1] の (4.196) 式]。

96 8/3
(obs)
f˙gw
=
π
5

(

GMc (z)c3)5/3 [(obs)
fgwのコンパクト化などから提案され、簡単で多くの動てかけられている制限を満たしている 。右辺第３項]11/3

G4 (ϕ)R が今注目しているスカラー場と重力場の結

(3)

合である。

(obs)
(obs)
(3) 式から、周波数 fgw とその時間微分 f˙gw が重力波を計算したいので計量 gµν を背景時空 ḡµν

189

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校と摂動 hµν に分ける。

のかを見積もる。そのためにまず hA を aGW (η) =gµν = ḡµν + hµν , |hµν | ≪ |ḡµν |.

a(η)MPl (η)/MPl (η0 ) で normalize する*1 。

(5)ĥA := aGW hA .

同様にスカラー場 ϕ も空間的に一様な部分 ϕ̄(t) と摂動 φ に分ける。

(9)ĥA すると (8) 式はフーリエ空間で以下のようにか

ϕ(t, x ) = ϕ̄(t) + φ(t, x ), |φ| ≪ |ϕ̄|.
i

i

ける。

(6)

ĥ′′A +

本集録ではテンソル型摂動にのみ注目しそれを hA(a′′k − GWaGW
2)ĥA = 0(10)とかくことにする。A = +, × である。背景時空 ḡµν

短波長 (k ≫ a′′GW /aGW ) の重力波では a′′GW /aGW

を FLRW 時空にして作用をテンソル型摂動の二次まは無視することができる。従って短波長の重力波でで展開すると以下になる。

は ĥA は振幅が定数の平面波解になる。つまり ĥA

∫
S=
1
≃
2

√
∫

は伝搬中常に定数なので、normalize してない重力−gG4 (ϕ)R + · · ·32d xdηMPl()

波の振幅は hA ∝ 1/aGW ∝ 1/(a(η)MPl (η)) とな()ijϕ̄(η) a(η) h′2
A − δ ∂ i ∂ j hA2る。一般相対性理論では Planck mass は定数なので

hA,GR ∝ 1/aGW ∝ 1/(a(η)MPl (η0 )) となる。これ(7)

らを組み合わせると、重力場がスカラー場と結合しここで MPl (ϕ̄) は Planck mass であり、ここではスている場合と一般相対性理論の場合の重力波の振幅

2
カラー場の関数で MPl(ϕ̄) := 2G4 (ϕ̄) である。またの関係はη は conformal time、a(η) は scale factor、h′A はテ
ンソル型摂動を conformal time で偏微分したもので

hA,ST =

ある。この摂動の二次まで展開された作用をテンソ
ル型摂動 hA について変分すると以下を得る。

h′′A + [2 + αM (η)] Hh′A + δ ij ∂i ∂j hA = 0

MPl (ϕ̄(ηsource ))hA,GRMPl (ϕ̄(η0 ))(11)となる。hA ∝ 1/dGW だったので、重力場がスカラー場と結合している場合と一般相対性理論の場合(8)の重力波から見積もられた光度距離の関係はここで H はハッブル定数であり H = a′ /a である。
また αM は一般相対性理論からのズレをあらわすパdGW,ST =′ラメータであり αM = 2MPl/(HMPl ) で与えられ、MPl (ϕ̄(η0 ))dGW,GR
MPl (ϕ̄(ηsource ))(12)一般相対性理論では αM = 0 である。(8) 式は重力波となる。重力場とスカラー場の結合は重力波のみ変が摩擦を受けながら伝搬することを意味する。摩擦

更するため、重力場とスカラー場の結合がある場合項である第二項に注目すると、一般相対性理論の場でも電磁波から見積もられた光度距離は一般相対性

合と重力場がスカラー場と結合する場合とでは摩擦理論と等しくなる。つまり重力場とスカラー場の結項の大きさが違い振幅の減衰具合が異なることをあ合がある場合、重力波と電磁波から見積もられた光らわしている。そのため実際の物理が重力場がスカ度距離の関係はラー場と結合している場合は、観測装置に到達した

dGW,ST =ときの重力波の振幅から一般相対性理論を仮定して見積もられる光度距離は誤って見積もられることにMPl (ϕ̄(η0 ))dEM
MPl (ϕ̄(ηsource ))(13)となる。重力波と電磁波それぞれから精度よく光度なる。

距離を見積もることができれば重力理論のテストを

次に重力場がスカラー場と結合している場合の重行うことができる。

力波から見積もられた光度距離は、一般相対性理論を仮定して見積もられた光度距離からどれだけずれる*1 ηo は現在の conformal time である

190

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
本集録では重力場と結合しているスカラー場の空間的に一様な部分だけを考えていたが、ポスター発
表ではスカラー場の摂動も取り入れ、スカラー場の
空間的ゆらぎが重力波から見積もられる光度距離に及ぼす影響ついて考える。

Acknowledgement
夏の学校の運営に尽力していただいた全ての方に感謝申し上げます。

Reference[1][2]

M. Maggiore, ”Gravitational waves: Volume
1: Theory and experiments”, Oxford University
Press (2007).
M. Lagos et al., Physical Review D 8, 083504(2019).

191

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重宇 poster2

Analogue Gravity
大阪市立大学 理学研究科数物系専攻
佐田 彩夏

192

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Analogue

Gravity佐田

彩夏 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対論やその拡張理論 (修正重力・量子化) の検証のために Black Hole の存在を確認したいがそれ自身を直接観測することは原理的に不可能であるため、代わりに Black Hole に関連して起こると予想される現象を観測する必要がある。しかし、そのような現象の一つである Hawking radiation は宇宙背景放射に比べて非常に微弱なため観測は殆ど不可能だと考えられている。そこで 1980 年に Unruh が地球上の流体でつくった Black Hole に類似した環境 (Analogue Black hole) によって観測することを提案した。[1] このよ
うに Hawking radiation の類似現象の観測を目的として誕生した Analogue Black Hole だが、現在ではその限りでなく superradiance や重力波の類似現象も研究されている。[2,3] 本研究では本学の超低温研究室で実現されている超流動の吸い込み渦 [4,5] を Kerr Black Hole の類似として考察する。

1

Hole ならば観測できるというアイデアである。(図Introduction
一般相対論において Einstein 方程式が予言する非自明な真空解に Black Hole 解がある。Black Hole は
その定義より内部から外部へ情報が伝搬しない。一般相対論によると光よりも速い速度を持つものは存在しないため光速より速く情報を伝えることはでき
ないが、そんな光でさえも抜け出すことはできない
領域が Black Hole である。つまり Black hole を直接観測することは原理的に不可能であるため、Black

Hole の検証のためには、その近傍で起こりうる現象
を理論予測し、観測しなければならない。現在 Black

Hole に関連して予測されている主な現象として・光の湾曲, Black Hole shadow，散乱，干渉現象, ・penrose process（Kerr Black Hole からの粒子によるエネルギー引き抜き） ・Superradiance（Kerr Black

Hole からの波動によるエネルギー引き抜き）・Hawking radiation（Black Hole 近傍での粒子生成による

1) このことのレビューは 2 章と３章で紹介する。
そこで私たちは、本学の超低温研究室において唯一、超流動ヘリウムの巨大吸い込み渦 [4,5] が実現していることからこの渦により Kerr Black Hole のAnalogue Black Hole が再現できると予測した。この
渦をつくる超流動ヘリウムは超流動成分と常流動成分で構成されていると考えられている。このモデル
を二流体モデルという。二流体モデルの場合は圧力と密度の波である通常の音波 (第 1 音波) だけでなく温度とエントロピーの波である第 2 音波も存在する。
第 2 音波の方が伝搬速度の幅が広く、背景流に超音速領域をつくりやすいため Analogue Black Hole を実現しやすい。しかしこれまで考えられてきた Acous-tic metric は第一音波を massless scalar 場と見立てているため、第 2 音波を用いる場合は従来の Acoustic

metric からの変更が必要であるが、この場合にも同様に考えられることを４章で提案する。

熱放射） が挙げられる。ここで Hawking radiation
は曲がった時空上での量子論を考えることにより予測される Black hole からの熱放射であるが、その温度(10−7 K 程度) は宇宙背景放射の温度 (3K 程度) に比
べ微弱であるゆえに観測は絶望的である。そこで 1981
年に Unruh が流体を時空に、音波を massless scalar
場に見立て、Black Hole に類似した状況 (Analogue

Black Hole[1]) が作れることを提案した。実際の観測が絶望的な Hawking radiation も Analogue Black

193

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

2を得る。さらに

Analogue Black Hole

dρ0
dρ0
ρ1 =
P1 = −ρ0dP0dP0

流体は次の仮定•ρ = ρ (P ):barotoropic,•∇×v =0:irrotation;(v = ∇Φ, Φ : velocity potential ) ,•inviscid ﬂuid,∂ρ+ ∇ · (ρv) = 0∂t:equation of continuity,∂v∇P+ (v · ∇) v = −∂tρ:Euler’s equation•∂ρ1+ ∇ · (ρ1 v0 + ρ0 v1 ) =
∂t

=

∇P
ρ

=

(1)

(2)

x0 ,

(x, y, z) → xi ,

=

const

(5)

i = 1, 2, 3 の書き換えにより∂ ρ0 ∂Φ∂ ρ0 i ∂Φ
−v∂x0 c21 ∂x0∂x0 c21 ∂xi) ∂Φ∂ ρ0 ( 2 ij
∂ ρ0 j ∂Φv+
c1 δ − v i v j
2
2
i
0
i
∂x c1 ∂x
∂x c1
∂xj

−

−

(3)
(4)

0

0
を得る。さらに音速 c21 ≡ dP
dρ0 と Φ1 → Φ , t →

0 =

1
1
2
∇v 2 = ∇ (∇Φ) ,
2
2
∫ P
dP ′
∇
′
0 ρ (P )を用いることで
∫ P
dP ′
1
∂Φ
2
+
+ (∇Φ)′∂t2
0 ρ (P ):Bernoulli’s principle)に代入することで、波動方程式
[
(
)]
∂
dρ0
∂Φ1
0 =
−
ρ0
+ v0 · ∇Φ1
∂t
dP0
∂t
[
(
)
]
dρ0
∂Φ1
+ ∇· −
ρ0+ v0 · ∇Φ1 v0 + ρ0 v1dP0∂tに従う。また式 (2) を次の式変形(v · ∇) v∂Φ1+ v0 · ∇Φ1∂tであるのでこれを式 (1) の ϵ の 1 次を満たすとき、次の方程式•(とでき、次のテンソル
(
−1
ρ0
µν
f ≡ 2
c1
−v i

)

−v j

( 2 ij)c1 δ − v i v j

を用いると∂µ (f µν ∂ν Φ) = 0を得る。次に第 1 音波をつくる圧力の摂動と速度ポと表せる。ここで Φ を massless scalar 場の波動関数

テンシャルの摂動と見立てるため、Klein Gordon 方程式

P≃

P0 + ϵP1 ,Φ≃Φ0 + ϵΦ1;gを考える。ここで添え字 0 は given 関数、添え字 1 は変数を表す。これに伴って、

ρ ≃
∫ P
0

dP ′
ρ (P ′ )
v

≃
=

dρ0
ρ (P0 ) + ϵ
P1 , ≡ ρ0 + ϵρ1 ,
dP0
∫ P0
dP ′
P1
+ϵ ,
′)
ρ
(P
ρ0
0
∇Φ0 + ϵ∇Φ1 ≡ v0 + ϵv1となるので, 式 (5) の ϵ の 1 次より()∂Φ1
P1 = −ρ0+ v0 · ∇Φ1
∂t

(√
)
1
√ ∂µ
−gg µν ∂ν Φ = 0−g= det (gµν )∇µ ∇ µ Φ =と同一視することで、( ()− c21 − v 2
ρ0
gµν =
c1
−δij v i−δij v j)δijを得る。よって Acoustic metric は)( )2 ]
ρ0 [ ( 2ds2 =− c1 − v 2 dt2 − 2v i dxi dt + dxi
c1となる。
次に液体流体で Kerr Black Hole の再現をすることを考える。ρ は定数、静的で軸対称、超音速領域を

1942021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校もつという条件により、背景流の速度は、B を定数、 のとき次の方程式

rH を Horizon 半径として
v

=
=

•

vˆr (r) eˆr + vˆϕ (r) eˆϕrHB−c1 eˆr + eˆϕrr•と書けるので Acoustic metric は][
r2 + B 2 /c21 2 2
c1 dt
ds2 = − 1 − H 2
r
(
)−1
2
rH
− 2Bdtdϕ + 1 − 2
dr2 + r2 dϕ2r•となる。この model を Draining bathtub model と∂ (ρσ)= −∇ · (ρσvn )(6)∂t:entropy conservation,
∂vn
∇P
ρs
+ (vn · ∇) vn = −
−
σ∇T
(7)
∂t
ρ
ρn
:Euler’s equation for nomalfuluid component,∂vs∇P+ (vs · ∇) vs = −
+ σ∇T
(8)
∂t
ρ
:Euler’s equation for superﬂuid componentに従う。また式 (2) を式 (3,4) と次の式変形∫ T
σ∇T = ∇σ (T ′ ) dT ′ ,
0

いう。

ρs
σ∇T
ρn

3

Null geodesics
波長が振幅の変化スケールに比べて十分に短く、平面波とみなせる場合、波動関数は Φ = AeiS と表すことができ、Klein Gordon 方程式に代入した実部は

g µν

∂S ∂S
∂xµ ∂xν

≃

0

=

∇
0

)
ρs
σ (T ′ ) dT ′ .
ρnを用いることで
∫ P
∂Φn
dP ′
1
2
+
+ (∇Φn )
′)
∂t
ρ
(P
2
0
)
∫ T(
ρs
σ (T ′ ) dT ′ = const
+
ρn
0

(9)

を得る。次に第 2 音波をつくる温度の摂動と速度ポテンシャルの摂動を考え、2 章と同様のステップを踏∂Sとなる。ここで波数ベクトル k µ ≡ g µν ∂xµ

gµν k µ k µ = 0,∫ T(k ν ∇ν k γ = 0を満たすことから波数ベクトルが null vector に同一視でき、流体中の第 1 音波が時空中の光の類似と考えられることが分かる。

むことで式 (7) の ϵ の 1 次より()
1 ρn0 ∂Φn1
+ vn0 · ∇Φn1
T1 = −
σ0 ρs0
∂t
が得られ、

σ1 =

dσ0
1 ρn0 dσ0T1 = −
dT0
σ0 ρs0 dT0(∂Φn1+ vn0 · ∇Φn1
∂t)

を式 (6) の ϵ の 1 次に代入することで以下の波動方

4

For 2nd sound

程式

超流動ヘリウムは転移温度以下でエントロピーを持たない超流動成分とエントロピーを持つ常流動成分の 2 成分に分離させて記述できることが知られており、これを超流動の二流体モデルという。二流体モデルは 2 章での仮定に加えて•

ρ = ρn + ρs ,•σ = σ (T ) : 単位質量当たりのエントロピー

n : 常流動成分, s : 超流動成分[()]∂ ρ0 ρn0 dσ0 ∂Φn1
+ vn0 · ∇Φn1
∂t σ0 ρs0 dT0
∂t
[
(
)
]
ρ0 ρn0 dσ0 ∂Φn1
− ∇ · ρ0 σ0 vn1 −+ vn0 · ∇Φn1 vn0
σ0 ρs0 dT0∂t√
s0 dT0を得るため第 2 音波の速度 c2 ≡ σ0 ρρn0
dσ0 と t →0=(x, y, z) → xi ,

x0 ,
0

=
−

195

−

i = 1, 2, 3 と書き換えることで∂ ρ0 σ0 ∂Φ∂ ρ0 σ0 i ∂Φ
−
v
2
0
0
∂x c2 ∂x∂x0 c22∂xi) ∂Φ∂ ρ0 σ0 j ∂Φ
∂ ρ0 σ0 ( 2 ijv+
c2 δ − v i v j∂xi c22∂x0∂xi c22∂xj−

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る。これは第１音波の場合に c1 を c2 に、ρ0 を

Temp Phys 196, 204–210 ,2019

ρ0 σ0 に置き換えることにより同様の Acoustic metric

6.C.Barcelo, et al, Living Rev.Rel. 14 ,2011

を使って考えて良いことが分かった。さらに第 1 音波

7.Y Okura, master’s thesis ,2021

よりも第 2 音波の方が遅い速度領域を持つことから、 8.L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ﬂuid mechanics2
背景流の超音速領域をつくりやすいため Analogue

Black Hole を実現しやすい。

5

Discussion and Future Work
Draining bathtub model を本学の超低温研究室で実現されている超流動ヘリウムの吸い込み渦に適用することを考えると Event Horizon はないが Ergoregion の類似ができることが予想されるため、Superradiance が可能かどうか検討したい。
またコンピュータシミュレーションが発展している
現在における Analogue Gravity の立場についても検討したい。本研究においては、超流動ヘリウムの渦の速度を測ることは困難であり現在も不明であることから、流体力学に幾何学的な見方を与えることで明らかになる音波の軌道の湾曲や予想される増幅を通して、超流動ヘリウムの性質を解明できる可能性があると考える。

Acknowledgement
毎週ゼミナールに参加していただいた石原秀樹教授と小川達也氏をはじめ、アドバイスをくださった
本学の重力理論研究室の方々と、質問や議論する時
間をくださった小原顕教授をはじめとする本学の超低温研究室の方々に深く感謝申し上げます。

Reference[1].W. G. Unruh, Phys.Rev.Lett.

46 1351-1353,

1981[2].T.Torres, S.Patrick ,et al, Nature Physics 13,
833-836 ,2017[3].S. Datta, U. R. Fischer, arXiv:2011.05837 ,2020[4].H Yano et al 2018 J. Phys.: Conf. Ser. 969
012002[5].I.Matsumura, K.Ohyama, K.Sato, et al. J Low

196

図 1: Analogu Black Hole のイメージ図

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重宇 poster3

非線形 teleparallel gravity における GR との等価性
立教大学 理学研究科物理学専攻
齋藤 仁

197

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

非線形 teleparallel gravity の GR との等価性
齋藤 仁 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
重力を記述する最も標準的な理論は、曲率により表される一般相対性理論（GR）である。一方で、より一般的な多様体を考えて異なる幾何学量が用いられる重力理論も存在していて、Torsion を用いる metric teleparallel

gravity(TEGR)、Non-metricity を用いる symmetric teleparallel gravity(STEGR)、Torsion,Non-metricityの両方を用いる general teleparallel graivity(GTEGR) などが存在する。これら三つの理論は、teleparallel
スカラーの一次では GR と等価な理論となっていることが知られている。しかし、非線形に拡張した理論においても透過であるかどうかは全く非自明な問題となっている。今回レビューする論文 [1] では、非線形理論において GR とどのような関係性があるのかについて調べている。

1と比較しどのような関係を持っているかについて調Introduction
重力を記述する理論としてよく知られたものは

GR であるが、その他にも全く別のアプローチから重力を考えることもできる。GR は、Torsion と Non-

metricity を 0 にする Levi-Civita 接続を用いて Ricci
スカラー R を用いて重力を記述している。一方で、別の試みとしてより一般の接続を考えることで、Tor-sion や Non-metricity を用いて重力を記述しようとする試みが teleparallel gravity(TEGR) である。この理論では、Ricci スカラーの代わりに、Torsion や

Non-metricity の関数である teleparallel スカラーがべていが、今回の発表では特に f (T), f (G) 理論の二つについて考えていく。非線形理論では、一般座標変換のゲージ対称性や Local Lorentz 対称性など破れてしまう対称性が存在する。しかし、Minkowski
時空の周りで線形な運動方程式の範囲で摂動を施すと破れていた対称性が回復し accidental な対称性として現れてくる。この accidental な対称性のおかげ
で GR と等しい自由度にまで落とすことができることが分かっている。ここから、運動方程式の線形の範囲においては少なくとも GR と等価な理論になっていることを示すことができたことをみる。

用いられる。一般の接続の場合には、計量とは独立に決定することができる。この TEGR では、Ricci スカ
ラー R を 0 にするような条件を課していて、これによって Einstein-Hilbert 作用を teleparallel スカラー

幾何学的構造と Local Lorentz

2変換を用いて表すことができるという点で TEGR と GRは等価な理論ということができる。しかし、telepar-

allel スカラーの高次の項まで考えた場合にも GR と

2.1

Torsion と Non-metricity

等価な理論となっているかどうかは非自明なことなより一般の多様体を考えた場合、Torsion と Non-

ので、非線形に拡張した場合にどのような性質が現

metricity という二つの幾何学量が現れてくる。これれてくるのかが今回知りたいことである。ここでは、 らはそれぞれ、

TEGR、STEGR、GTEGR の三つの非線形に拡張しQαµν ≡ ∇α gµν

た理論をそれぞれ f (T), f (Q), f (G) 理論と呼んでいT αµν ≡ Γανµ − Γαµνる。また、この三つの非線形理論は適切な conformal
変換を施すことによって Einstein frame に移すことができる。レビューする論文 [1] では、非線形理論のEinstein frame について考え、自由度の観点から GR（Non − metricity）(Torsion)(1)(2)と定義されている。ここで、gµν は計量を表し、∇αは一般の接続における共変微分を表している。(1)、198

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校(2) 式から一般の接続を表すことができ、
1λΓλµν =Γ̃λµν + (Tµλ ν + Tν λ µ − Tµν)21− (Qµλ ν + Qνλ µ − Qλµν )2と定義する。Aabµ はスピン接続と呼ばれ、Local

Lorentz 変換に対して、
δAabµ = Λac Acbµ + Λbc Aacµ − ∂µ Λab

(3)

(9)

と 変 換 す る も の と す る 。tetrad に 対 す る Localと書くことができる。Γ̃λ µν は Levi-Civita 接続を表

Lorentz 変換に対する共変微分を、す。また、この一般の接続で書かれる Ricci スカラーDµ eaν = ∂µ eaν + Aabµ ebν

は、

R = R − G + Dµ (Qµ − Q̄µ + 2T µ )

(4)

(10)

とする。この場合、tetrad の時空の添字について何も考えていないので考える必要がある。ここで、全と表すことができる。ここで、R は Levi-Civita 接共変微分を、

続で書かれた Ricci スカラー、Dµ は Levi-Civita 接Dµ eaν = Dµ eaν − Γρνµ eaρ

続での共変微分である。また −G は teleparallel スカ(11)

ラーであり、と定義する。また、計量に対する全共変微分は 0 に
1
1−G ≡ Tµνρ T µνρ + Tµνρ T νµρ − Tµ T µ + Qµνρ T ρµν なるものとする。これにより、Γ は、
4
2
1
1
µ
Γρνµ = eaρ (Dµ eaν )(12)− Qµ T + Q̄µ T µ + Qµνρ Qµνρ − Qµνρ Qνµρ
42
11
− Qµ Qµ + Qµ Q̄µ(5) と表すことができる。
42で書かれる。

3
2.2

Local Lorentz 変換

TEGR には、３つの種類が存在することが知られ多様体上のある点 x における 4 脚場（tetrad）eaµを考える。ここで、アルファベット a は tetrad の添
字、ギリシャ文字 µ を時空の添字とする。tetrad には、

gµν = ηab eaµ ebν

teleparallel gravityている。TEGR では、空間が ﬂat であることを条件として与えるので (4) 式において R = 0 を課す。それによって、

R = G + (全微分項)(6)の関係性がある。ηab は Minkowski 時空の計量を表し、ηab = (−, +, +, +) で表す。ある場 Φ に対するとなる。従って作用は全微分項をのぞいて、∫∫√√
d4 x −gR = d4 x −gG

Local Lorentz 変換を、
δΦ =E−Haction

1 abΛ Sab Φ
2

(7)

(13)

(14)

TEGRactionとなり、作用において Einstein-Hilbert(E-H) 作用とTEGR の作用が等しくなるので GR と等価な理論をとする。Φ は、スカラー場やスピノル場、ベクトル作ることができるとわかる。R = 0 という条件を課す
Lorentz 変換に対して微分は ことで接続の形を決めることができ、任意の GL(4, R)
共変的でないので共変微分を考える必要がある。今、 の元 Λµν を用いることによって、共変微分を、(15)
Γλνµ = (Λ−1 )λρ (∂µ Λρν )1 abDµ Φ = ∂µ Φ + A µ Sab Φ(8)2と定めることができる。TEGR は３種類存在してい場などである。Local

て、

199

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
・metric TEGR−→ R = 0, Q = 0となる。ここで、Λ̃αµ = eϕ Λαµ , Ũ (ϕ) = e−4ϕ U (ϕ) で・symmetric TEGR−→ R = 0, T = 0ある。(20) 式を見ると、f (T) 理論の懸念点をみて取・general TEGR −→ R = 0

ることが出来る。それは、がある。それぞれ、重力を表すための幾何学量が異なるだけで全て GR と等価である。

・作用第二項のスカラー場の運動項の符号が正・f (T) 理論は Local Lorentz 対称性を破る。

4

Non-linear teleparallel gravity
非線形に TEGR を拡張していく。非線形に拡張した場合にも GR（f(R) 理論）と等価な理論かどうかを調べることで一般相対論との関係性などについて調べることができる。また、TEGR において高次の項が関係する高エネルギー領域でどのような性質がである。一つ目は、運動項が正なのでゴーストスカ
ラー場となり、エネルギー条件を破ることになるので、f (T) 理論が正常であるためには、第四項によって、ゴーストでなくなって欲しいことになる。また、二つ目は、そもそも (15) 式のような接続では Torsion
が Local Lorentz 対称性を破ってしまうことに起因している。

現れるのか、また非線形理論の低エネルギー極限で

TEGR を再現するのかについて見ることができる。

4.2

f (G) 理論

metric TEGR の Q = 0 の条件を取り除いた一般的な理論である GTEGR の非線形拡張である。telepar-

f (T) 理論

4.1

まず、metric TEGR の非線形拡張を行う。ここで、torsion スカラーは R = 0, Q = 0 を課すことで、
T = R + Dµ (2T µ )(16)となる。ここで、

allel スカラーは (15) 式そのものを用いて考えると、
f (T ) 理論と同様の計算を行えば、作用は、∫√
1 2
S = Mpl d4 x −q[R + 6(∂ϕ)2 − Ũ (ϕ)
2˜ β qµν + 2T̃ α− 2{(q αβ q µν − q αµ q βν )∇f (Q)theory∫S=f (T )theory}∂α ϕ](21)

d4 xf (T)(17)
のようになる。この式は、f (Q), f (T ) 理論による特を考える。ここから、Einstein frame に移していく。 別な寄与が両方とも含まれている。
補助場 ϕ, χ を導入すると、∫√
1 2
S = Mpld4 x −g[ψR − 2(∂µ ψ)T µ − U (ψ)]2
(18)

U (ψ) = ψχ − f [χ(ϕ)]と書き換えることができる。また、gµν =

e

−2ϕ

5

Minkowski 時空周りでの摂動

5.1

f (T ) 理論の場合

(19)
1
ψ qµν

=

f (T) 理論が正常な理論であるか見るために、ここでは Minkowski 時空周りで摂動をして考えていく。今、qµν と conformal 変換を施し、(15) 式を代入す

ると、

1 2
S = Mpl2∫√
d4 x −q[R + 6(∂ϕ)2 − Ũ (ϕ)− 8q αβ (∂α ϕ)(Λ̃−1 )µρ ∂[β Λ̃ρµ] ]

(20)

200

qµν = ηµν + hµν(22)ϕ = ϕ0 + π(23)Λ̃αµ = δ αµ + λαµ(24)2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校と摂動をする。ここで、ϕ0 は Minkowski background

調べた。結果としては、理論全体では破れてしまうでのスカラー場の値で Const である。摂動の二次ま

一般座標変換による対称性や Local Lorentz 対称性で考慮すると二次の項のみをまとめた部分は、[∫
1
S (2) = d4 x LGR (h) + 3(∂π)2 − m2π π 22]− (∂ α h − ∂β hαβ )(∂α π)(25)が運動方程式の線形の範囲で摂動を施すと回復する。

と求められる。ここで、LGR (h) は Fierz-Pauli 作用、2 ′′m2π = 21 Mpl
U (ϕ0 ) である。摂動の二次では、R = 0という条件から自発的に破れていた Local Lorentz 対称性が回復する。さらに、場の再定義 hµν −→ hµν +2πηµν を行うことによって、最終的に S (2) は、
(
)
∫
1 2 2
(2)
4
S = d x LGR (h) − mπ π(26)2

これによって Minkowski 時空周りでは少なくとも、

GR と同じ massless-spin2 のみ自由度として持つという結果を得ることができた。よって、低次の寄与が優勢となる低エネルギー領域では GR になることがわかった。しかし、より高次の項が寄与してくる
高エネルギー領域の話や、具体的な宇宙論の話などについてはここでは言及できなかったので、これ以降の研究ではこれらのより発展的な内容について取り組んでいきたいと思う。

Acknowledgementとなり、スカラー場の運動項が作用から消去されるこ

今回、発表の機会を設けていただいた天文・天体とによって自由度で無くなることがわかる。従って、 物理夏の学校関係者の皆様にここで深く御礼申し上

f (T ) 理論は、少なくとも Minkowski 時空周りの運げます。また、今回の研究について多くの時間を作っ動方程式の線形の範囲では、GR と等価な massless-ていただいた立教大学理論物理学研究室宇宙グルーspin2 の自由度を持つという結果が得られる。

プの皆様、特に同じく立教大学理論研の池田さんにはたくさんの議論やアドバイスの数々、心から感謝

5.2

申し上げます。

f (G) 理論の場合

f (G) 理論で同様に摂動を行った場合について考える。Minkowski 時空周りで摂動を施し、S (2) を取りReference

出すと、∫
S (2) =

[1] J. B. Jiménez and T. S. Koivisto, Universe
7, no.5, 143 (2021) doi:10.3390/universe7050143[arXiv:2104.05566 [gr-qc]].

[

1
d4 x LGR (h) + 3(∂π)2 − m2π π 22][2] R. Aldrovandi and J. G. Pereira, doi:10.1007/97894-007-5143-9− (∂ α h − ∂β hαβ )(∂α π) − 2∂β λ[αβ] ∂α π(27)となる。ここから、f (T ) 理論と同様に場の再定義を行
えば、最終的に f (T ) 理論と同じ massless-spin2 のみの自由度を持つという結果に帰着することがわかる。

6

Conclusion and Discussion
TEGR や GTEGR は GR と等価な理論とであるが、これら理論を非線形に拡張した f (T ), f (G) 理論
では一般に等価な理論となるかは非自明であったので、この非線形理論がどのような性質を持つのかを

201[3] S. Bahamonde, K. F. Dialektopoulos, C. EscamillaRivera, G. Farrugia, V. Gakis, M. Hendry,
M. Hohmann, J. L. Said, J. Mifsud and E. Di
Valentino, [arXiv:2106.13793 [gr-qc]].
[4] J.
B.
Jiménez,
L.
Heisenberg
andT. S. Koivisto, Universe 5, no.7, 173 (2019)
doi:10.3390/universe5070173[arXiv:1903.06830[hep-th]].

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重宇 poster4

静的な二体ブラックホール時空中の円軌道の解析
大阪市立大学 理学研究科数物系専攻
田村 悠陽

202

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

静的な二体ブラックホール時空中の null 円軌道の解析
田村

悠陽 (大阪市立大学大学院 宇宙物理・重力研究室

修士 1 年)

Abstract
力波による天体の観測が可能になってから、一つの天文学的な観測対象に対して複数の信号で観測することが非常に重要となっている。重力波により観測された連星ブラックホールの合体は、連星ブラックホールが宇宙の中に存在することを示唆したが、ブラックホールの定義より、ブラックホールそのものの電磁波による観測は困難である。
本研究では K.Nakashi and T.Igata(2019) の論文をもとに、アインシュタイン方程式の特殊な厳密解である
静的な最大電荷の二体ブラックホール解を用いて、等質量の連星ブラックホール時空を表す計量を構築し、その時空中の null 測地線を解析した。
連星ブラックホール間の null 円軌道の安定性について解析し、それらの円軌道がブラックホール間の距離によってどのように変化するのかを調べた。

1

静的な二体ブラックホール時空の計量は定数である. 故に, null 条件 gµν ẋµ ẋν = 0 より, 有質量と同じ大きさの電荷を持つ二つのブラックホー

効ポテンシャル V が以下のように得られる.

ルが時空中 z = a, −a に存在するとき, 計量とベクト
ルポテンシャル Aµ は K.Nakashi and T.Igata(2019)の論文より以下で与えられる.

ρ̇2 + ż 2 + V = E
V (ρ, z; L2 ) =dt2gµν dx dx = − 2 + U 2 (dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 )Uµ−1Aµ dx = U dtµν

U (ρ, z) = 1 + √2M−+√ρ2 + (z − ρ)2ρ2 + (z + a)2
M+

L2

(1)

ρ2 U 4z = 0 面での null 測地線(1) 式より, 測地線が円軌道になるための条件 ρ̈ =z̈ = 0 を課すと,これより, 測地線のラグランジアン L は,V,z = 0,V,ρ = 0.

これより,

1
t2
1
L = gµν ẋµ ẋν = [− 2 + U 2 (ρ̇2 + ρ2 ϕ̇2 + ż 2 )].
2
2 U

U,z = 0,U + 2ρU,ρ = 0を得る. ここで簡単のため M± = M とし, また,
また, 静的かつ軸対称なのでエネルギー E および角運動量 L は測地線に沿って保存するので,

E=

ṫ2
˙ 2
, L = ρ2 U 2 phi
U2z ̸= 0 の領域は Reisnor による不安定な円軌道しかないので z = 0 の面にのみついて考えることとする.

U,z = 0 の条件からは z = 0 しか得られないので,

2032021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
U + 2ρU,ρ = 0 の条件を z = 0 で計算すると,(ρ2 + a2 )3/2 + 2M (a2 − ρ2 ) = 0
これを解くと, 0 ≤ a ≤

√(

√

(

8/27M (2) のときに

(

) ))2
27a2
ρ1 =
1−
/3
− a2
4M 2
√(
(
(
) ))2
2π
27a2
4M
図 2: null 測地線が安定な円軌道となるための a のcos− cos−1 1 −
ρ2 =
/3
− a2
3
3
4M 2
条件
4M
cos
3

cos−1

が解をもつ.
故に,測地線の解析

3√√
4/27M ≤ a ≤ 8/27M の時に安定な null

円軌道が存在する.

前節で得られた解の安定性を評価する. z = 0 のと
2

2

まとめ

∂ V
∂ V
き (1) より, ∂ρ∂z
= ∂z∂ρ
= 0 である.

4

有効ポテンシャルの z 二階微分に関しては,√
ブラックホールが二体存在すると 4/27M ≤ a ≤√8/27M の時に安定な null 円軌道が存在すること∂2V(z = 0) ∝ −2a2 + ρ2∂2zより, ρ >√が分かった.

2

2a (3) で ∂∂ 2Vz (z = 0) > 0 より, null 測

地線の円軌道が安定となる.

Reference
K.Nakashi and T.Igata 2019, DOI: 10.1103/PhysRevD.99.124033

ρ 方向の安定性について, 有効ポテンシャルを z = 0
かつ適当な a での概図を書くと,

図 1: z = 0 かつ適当な a での有効ポテンシャルの概図
故に前節で得た解 ρ1 , ρ2 の内, より小さい ρ2 の解が安定な円軌道を表していることが分かる.
ここで, (2),(3) および ρ1 , ρ2 より null 測地線が安定な円軌道となるための a の条件は図 2 より,204

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重宇 poster5

ゴーストスカラー場を用いたワームホールの安定性
解析
立教大学 理学研究科物理学専攻
加藤 翠

205

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

ゴーストスカラー場を用いたワームホールの安定性解析
加藤 翠 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対論は重力波やブラックホールの存在、初期宇宙のビッグバンといった現代宇宙物理学の主流となる研究対象を多数導いてきた。中でも一般相対論の予言の一つとして、ワームホール解が挙げられる。ワーム
ホールとは、ある時空と別の時空がスロートと呼ばれる部分で結合された時空構造を指す。今回はそのようなワームホール時空の簡単なモデルを用いて、摂動に対する安定性について議論する。安定性はワームホー
ルの観測可能性を議論する上で重要な要素である。不安定なワームホールの場合、摂動の時間発展によってスロートが大きく変形し、ワームホールの崩壊を導くことになる。そこで今回はゴーストスカラー場を用いた静的球対称ワームホール解に線形摂動を加え、その時間発展を追うことでワームホール時空の安定性に関する結論を導く。

1

Introduction

2

ゴーストスカラー場を用いた静的球対称ワームホール解

ワームホールの時空構造を図 1 に示す。ワームホー
ルの存在は一般相対論によって予言されているが、現無質量ゴーストスカラー場と最小結合した重力場

実的に存在しうるのかは未だ分かっていない。実際を考える。このとき作用は次式で与えられる。
∫
1
物質の存在が大きな課題となっていることがわかる。
(−R + κ∇µ Φ∇µ Φ)d4 x,S[g, Φ] =16πG
しかしワームホール時空の構築は星間旅行やタイム
κ = −8πG < 0
マシーンといった興味深い物理学を実現するためのにワームホール時空の構築を目指すと、エキゾチック

鍵となっており、その研究に注目が集まっている。そこでワームホール時空の存在について安定性という作用を変分することで場の方程式

視点から議論しようと思う。安定した時空のみが現実に存在する可能性を持つので、ワームホールの観Rµν = κ∇µ Φ∇ν Φ,

0 = ∇µ ∇µ Φ

測可能性を議論する上で重要な要素である。今回レビューする [1] では、ゴーストスカラー場を用いた静的球対称なワームホールの線形安定性について議論
し、ワームホール時空の存在可能性を模索する。

が得られる。また、静的球対称メトリックを次のように仮定する。

g = −e2d dt2 +e2a dx2 +e2c (dθ2 +sin2 θdϕ2 )(x ∈ R)

ここでメトリックおよびスカラー場は x のみに依存する関数である。場の方程式にメトリックを代入し静的球対称ワームホール解を求めると、

g = −e2γ1 arctan(x) dt2+ e−2γ1 arctan(x) [dx2 + (x2 + 1)(dθ2 + sin2 θdϕ2 )]Φ = Φ1 arctan(x)図 1: ワームホール時空の概念図

206(γ1 ≧ 0)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る。ここで、γ1 は積分定数であるが、物理量とを得る。マスター方程式の形を見ると、Schrödinger

関連づけることができる。そのためにワームホール

方程式と似た形をしていることが分かる。ポテンシャ

時空の面積半径と ADM mass に注目する。面積半径ル V (x) に静的球対称解を代入すると、は定義から、V (x) =√
r = ec = 1 + x2 e−γ1 arctan(x)(x − γ1 )22(1 + γ12 )e4γ1 arctan(x)
[1 −
+
]
2
2
x +1
x +1
(x − γ1 )2を得る。上式からポテンシャル V (x) は x = γ1 （スで与えられる。r(x) は x = xthroat = γ1 で最小値

ロート）で発散することが分かる。そのためマスターを持ち、r(xthroat ) = rmin をワームホール時空のス

方程式はスロートにおいて Ψ が急速にゼロに減衰す

ロート半径と呼ぶ。また Misner-Sharp mass を m(x)ることを要請する。摂動の時間発展を記述する上でとすると、ADM mass は、limx→±∞ m(x) で与えらそのような要請を課すことに物理的な理由は存在しれ、それぞれ m(∞) = γ1 exp(−γ1 π/2), m(−∞) =ないため、次節では時空の至る所で正則となるマス−γ1 exp(γ1 π/2) となる。特に γ1 = 0 となる時空をター方程式を導く。

massless ワームホール時空と呼ぶ。以上のことから、パラメータ γ1 はワームホール時空のスロート半径と4

ADM mass を決定する量であることがわかる。

マスター方程式の変換先に導いたマスター方程式を時空全体で正則とな3る方程式に変換する。Ψ の定義に静的球対称解を代

線形安定性解析

入することで次式を得る。

先に導いた静的球対称ワームホール時空に線形摂Ψ0 =動を加え、その時間発展を考える。摂動の時間発展を記述する式（マスター方程式）は場の方程式を線形化することによって得られる。ここで、スカラー

ここで Ψ0 を用いて次の演算子を定義する。

場およびメトリックに対して以下の摂動を与える。

Φ(λ) = Φ + λδΦec
γ1 (1 + γ1 x)(1 +arctan(x))
x − γ1
1 + γ12

A=∂−

∂Ψ0
,
Ψ0

∂ = e2γ1 arctan(x) ∂xAΨ = X とおくと、前節で導いたマスター方程式は次のように書き換えられる。

g = −e+e2(d+λδd)2(c+λδc)2

dt + e2(a+λδa)

2

2

dx

2

Xtt −∂ 2 X +W (x)X = 0,

2

W (x) = −V (x)+2((dθ + sin θdϕ )

∂Ψ0 2
)
Ψ0

新たに得られたポテンシャル W (x) の概形を図 2 に球対称重力場には動的自由度が存在しないため、線示す。W (x) は時空全体で有限な値を持つため、返還

形摂動の時間発展は δΦ の単一のマスター方程式で後のマスター方程式は常に正則である。

記述出来る。マスター方程式を導出するために、以ここで変換後のマスター方程式は変数分離型の解を

下のようなゲージ不変量を定義する。

与える。

X (t, x) = eβt X0 (x)ΦxΨ = ec (δΦ −δc)cx

境界条件から X0 は無限遠 (x → ±∞) で指数関数的

Ψ の時間発展を解くことで線形摂動に対する時空のにゼロに減衰する。ここで H = −∂ 2 + W と定義す

安定性を考察する。線型化された場の方程式からマると、X は H の固有状態となり、エネルギー固有値

スター方程式は E0 = −β 2 で与えられることが分かる。次節では

Ψtt − ed−a ∂x (ed−a Ψx ) + V (x)Ψ = 0

エネルギー固有値を数値的に解くことで、X の時間
発展が指数関数的に成長するモードを持つことを示す。（不安定モード）207

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: ポテンシャルの概形

5

図 3: 解析結果
ケールについて議論する。ワームホールのスロート

不安定モードの存在における固有時間はバックグラウンドの解を用いてH のエネルギー固有値 E0 = −β 2 を数値的に計算 τ = eγ arctan(γ) t と表される。一方、スロートの面積√
し、X の不安定モードを導く。マスター方程式を書 半径は定義から r
1 + γ 2 e−γ1 arctan(γ1 ) で
throat =1

き下すと与えられる。よって不安定性に関連する時間スケール τunstable は、τunstable = eγ1 arctan(γ1 ) /tunstable を

HX = [W (x) − ∂ 2 ]X = −β 2 X

用いてである。ここでマスター方程式の解 X が境界条件をτunstable =満たすような β を見つける。マスター方程式の漸近解 (x → ∞) から始めて、x → −∞ に向かってマスター方程式を数値的に積分する。x → ∞ における漸近解は次式で与えられる。

X (x) ≈ e−βρ(x) ,∫ x
ρ(x) =

e2γ1 arctan(γ1 ) rthroat√
1 + γ12 βで与えられる。(T = τrunstable)throatここで図 3 の結果を用いると γ1 = 10 のとき、

τunstable ≈ 1.97 × (rthroat /km)µs を得る。これは
e−2γ1 arctan(y) dy

数 km のスロート半径を持つワームホールが µs の時

0間スケールで崩壊することを意味する。

漸近解を初期値としてマスター方程式を積分していき、x → ±∞ において X がゼロに減衰するようなβ を求める。同様の計算を各 γ1 の値に対して計算す6

ることで図 3 を得る。

Conclusion[1] ではゴーストスカラー場を用いた静的球対称

図 3 中に記されている T は T = √ 1 2 で与えら

ワームホール時空の線形安定性について考察した。

れる。したがって全ての γ1 の値に対して、β は正線形摂動を加えることで解が時間発展とともに指数1+γ1 βの実数値をとることがわかる。このことから摂動量関数的に成長する不安定モードを持つことが分かっX (t, x) = eβt X0 は時間発展とともに指数関数的に成 た。これは静的球対称ワームホールが線形摂動に対長する不安定モードであることが確かめられた。こ して不安定であることを意味する。また数値計算のの結果は線形摂動に対する静的球対称ワームホール

結果から線形摂動に対するワームホール時空の不安

時空の不安定性を意味する。

定性に関する時間スケールを評価することができ、線最後にワームホール時空の不安定性に関する時間ス

形摂動によってワームホールのスロートが宇宙年齢2082021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
よりもはるかに短い時間スケールで崩壊することが確かめられた。今後の展望としては [1] で想定したモデルとは別のワームホールモデルとして回転ワーム
ホールに注目し、線形摂動に対する安定性を考察していこうと考えている。

Acknowledgement
今回の発表の機会を与えてくださった夏の学校運営スタッフの皆様、御支援くださった方々に深く感謝いたします。また、本研究に関して多くの時間を割いて下さった宇宙理論研究室の院生ゼミの皆さん
に対してこの場を借りてお礼申し上げます。

Reference[1] J.A.Gonzalez, F.S.Guzman, & O.Sarbach, Class.
Quant. Grav. 26, 015010 (2009)

209

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重宇 poster6

CMB 観測を説明する Quartic Hilltop Inﬂation モデルの研究
名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
乾 玲冬

210

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

CMB 観測と整合する Quartic Hilltop Inﬂation の研究乾玲冬 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ヒルトップインフレーションは最も成功したインフレーションモデルの一つである。特に、４次のヒルトッ
プインフレーションの数値計算結果は観測結果と整合性があり注目されている。一方で、本モデルの解析解
は数値計算の結果と異なる挙動を示していた。[2] そこで本発表では本モデルの解析解を再構築する。そして、この新たな解析解による予言が数値計算結果と一致していることを確認すると共に、従来解と数値計算が異なる挙動を示す要因について言及する。本発表内容は [2] のレビューである。

1

Introduction
ビッグバン宇宙論は地平線問題や平坦性問題等の諸問題を内包しているが、これらを解決する理論としてインフレーション理論が有力視されている。この理論では、宇宙最初期において、宇宙が加速膨張したとされている。インフレーションを引き起こす最も単純な機構は、インフラトンと呼ばれる単一のス
カラー場 ϕ によって記述される。単一のスカラー場
によって記述されるインフレーションモデルは数多く存在するが、それらは観測結果と整合性がなけれ

図 1: Planck 2018：緑色の線で囲まれた部分はヒルばならない。代表的な観測結果としてプランクによ

トップ・インフレーションの数値計算による予測

る宇宙マイクロ背景放射（CMB）の観測結果があり、スペクトル指数 ns とテンソル・スカラー比 r に制限が課されている。CMB の観測的制限を上手く説明で理論

2

ヒルトップ・インフレーション

きるモデルに、ポテンシャルの勾配が十分緩やかで、 2.1
インフラトンがゆっくりとポテンシャルを転がり落
ちる「スローロール・インフレーション」がある。本
発表では、スローロール・インフレーションモデルh q i...
の中でも、ポテンシャルが V = V0 1 − λ mϕpで記述されるヒルトップ・インフレーションに注目する。特に、q=4 とした場合の数値計算結果は観測

ここでは従来の解析解について説明する。
ヒルトップ・インフレーション のポテンシャルは式(1) で与えられる。


q 
ϕ
V = V0 1 − λ
+...
mp

(1)

結果と整合性があり注目されている。(図 1) 一方で、従来の解析解は λ ≫ 1 の範囲のみを対象としていた

こ こ で 、V0 は 定 数 、λ は パ ラ メ ー タ、mp=

ため、λ が任意の値をとる数値計算とは異なる結果(8πG)

を示していた。[2] そこで本発表では λ の範囲を見直

また、スローロール・インフレーションにおいて、ス

し本モデルの解析解を再構築する。そして、この新ペクトル指数 ns は式 (2) で与えられる。

−1/2

はプランク質量、q は正の整数である。

たな解析解による予言が数値計算結果と一致していns = 1 − 6ϵ + 2ηることを確認する。

211

(2)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
式 (6) に代入して

2

d V
′′
ここで、ϵ, η は V ′ = dV
dϕ , V = dϕ2 として

 2
1 2 V′
mp2
V′′Vη ≡ mp 2
V
ϵ≡

−2

2 #
ϕ(N )
ϕ(N )
+λ
mp
mp

−2
2 #
ϕend
1
ϕend
−
+λ
8λ
mp
mp

(3)

1
N=
8λ

(4)

で定義される。

λ ≫ 1 の場合、式 (2) を用いてスペクトル指数 nsを計算すると、式 (5) となる。


q−1 1
ns = 1 − 2
q−2 N

"

=N̄ − Nend

(8)

ただし、N̄ , Nend は以下のように定義した
"
−2

2 #
1
ϕ(N )
ϕ(N )
N̄ ≡
+λ
ここで、N は膨張指数であり式 (6) のように表される。
8λ
mp
mp
"
−2

2 #
Z ϕ(N )
1
ϕend
ϕend
1
V
Nend ≡
+λ
N=
dϕ
(6)
8λ
mp
mp
mp ϕend V ′

(5)

(9)

ϕ(N ) はインフレーション中のインフラトンの値で つまり、N̄ はインフレーション中の任意の時刻の膨あり、ϕend はインフレーション終了時のインフラト 張指数であり、Nはインフレーション終了時点のend

ンの値である。

膨張指数である。

式 (5) は q = 4 の時

次に、Nend の具体的な表式を計算する。
スロー・ロールパラメータは定義式 (3),(4) より

3
ns = 1 −
N

(7)
8λ2

式 (7) で N = 60 とすると、ns = 0.95 となり、こϵ= 

れは観測による制限 ns ≳ 0.96 を満たしていない。

1−λ

また、ns ≳ 0.96 となるのは N ≳ 75 の時である。イ



ϕ
mp



ϕ
mp

6
4 2

(10)

ンフラトンの運動エネルギーが支配的になるとき、インフレーションが終了する。この期間で、N のとりう
る最大値は N = 71 である。[3] したがって、N ≳ 75

η=

1−λ

という値は大き過ぎるので不適切である。

2.2

めに膨張指数を計算し、その後にスペクトル指数 ns ,テンソル・スラー比 r を計算する。

V0
mp

ϕ
mp

2
4

と式 (10), (11) より ϕend を求め、式 (9) に代入して・|η(ϕend )| = 1 のとき

ϕ
mp

3

, V ′′ = −12λ(11)|η(ϕend )| = 1, ϵ(ϕend ) = 1

準備として V ′ , V ′′ を計算する。

V ′ = −4λϕmp

Nend を求める。

膨張指数





インフレーション終了時の条件

解析解の再構築

観測量は膨張指数で表せるので、ここではまず初

2.2.1

−12λ

−12λ
V0
mp 2



ϕ
mp

2

1−λ

212




ϕ
mp
ϕ
mp

2
4 = 1

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校から, 観測による制限 ns ≳ 0.96 を満たすのに必要なこれを解いて



ϕend
mp

!

r

2
=6

1+

1
−1
36λ

N の値が N ≳ 75 と大きくなる。
(12) それに対し、λ ≪ 1 の時、Nend は無視できなくなる。そのため必要な N の値は λ ≫ 1 の時よりも小式 (9) に代入して

さくなる。

 √1
4

つまり、従来の解析解は常に Nend の値を無視してい

(λ≪1)

λ

Nend =

(13)
3
2

(λ≫1)

たために数値計算の結果と乖離していた。実際は λの値によって Nend の寄与を考慮する必要がある。

・ϵ(ϕend ) = 1 のとき

8λ2



ϕ
mp

6

2.2.2


 4 2 = 1
1 − λ mϕp
これを解いて
"
#

3
√
ϕend
ϕend
1
+2 2
=
mp
mp
λ

観測量

まず始めにスペクトル指数 ns を計算する。

(14)

式 (2) に式 (3),(4) を代入し整理すると
3Zns = 1 −N̄ Z − 1(15) ただし、式 (20) の導出過程でZ ≡ 16λN̄ 2

これは解析的に解けないが、λ の極限をとり解を求めることはできるので

2
ϕend
1
=√
mp
λ

(20)

(21)

と置いた。

(λ ≪ 1)N̄ は式 (19) で表されるので、式 (20) は λ ≫ 1 (Z ≫(16) 1) の極限で式 (7) に一致する。
つまり、式 (20) は極限的に従来の解析解を含む形と



ϕend
mp

3

なっている。

1= √2 2λ(λ ≫ 1)(17) また、式 (20) を Z について解いて式 (21) を用いると

ただし、式 (17) の導出において、λ ≫ 1 で ϕend ≪ mp

16λN̄ 2 =となることを用いた。
式 (9) に代入して

 √1
4N̄ (1 − ns )N̄ (1 − ns ) − 3(22)

更に、式 (22) に式 (19) を代入して λ について解くと
λ

(λ≪1)

Nend =

√

(18)
1
4λ1/3

(λ≫1)

2.1 より λ ≫ 1 の場合は不適切なので、λ ≪ 1 の場
1合のみ考えるといずれの条件でも Nend = 4√
であ
λ

る。

λ=

2(1 − ns )N − 3
4N [3 − (1 − ns )N ](23)

式 (23) において、N = 50 − 60 の範囲でスペクトル指数 ns の観測値 ns = 0.965 ± 0.004 を満たすとすると、λ の範囲は 0 < λ ≲ 10−4 となる。

この結果を式 (8) に代入して次にテンソル・スカラー比 r を計算する。

1
N̄ = N + √4 λ(19) テンソル・スカラー比はスローロールパラメータを用いてここで、Nend の効果について少し触れておく。
r = 16ϵλ ≫ 1 の時、式 (13),(18) より Nend は無視できるほど小さくなる。この時、N = N̄ − Nend ≃ N̄ となる

213

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校と表され、式 (3) を代入して、式 (8)、式 (20) を用い

Acknowledgementて整理するとp
3[2(1 − ns )N − 3]8
r = (1 − ns ) 1 −
3(1 − ns )N

本発表に関しまして、ご指導いただきました宇宙(24) 論研究室の皆様に厚く感謝申し上げます。お忙しい
中、議論や御助言に貴重なお時間を割いていただきまして、誠にありがとうございました。

3

また、夏の学校の企画運営をしてくださった方々へ

Results

この場を借りて深く感謝申し上げます。
式 (24) をプロットした結果を図 2 に示す。

0.10
0.08

Reference

N=50 ( <<1)
N=60 ( <<1)
N=50 ( >>1)
N=60 ( >>1)

[1] Y. Akrami et al.[Planck], arXiv:1807.06211, astroph.CO

0.06
r[2] Konstantinos Dimopoulos, ”An analytic treatmentof quartic hilltop inﬂation”, Physics Letters B

0.04[3] DAVID H. LYTH , ANDREW R.LIDDLE, ”THE
PRIMORDIAL DENSITY PERTURBATION”,
CAMBRIDGE

0.02
0.00
0.935 0.940 0.945 0.950 0.955 0.960 0.965 0.970 0.975 0.980
n_s

図 2: 式 (24) の Planck 2018 との比較
緑色の 2 点を結ぶ線分は Linear Inﬂation (V ∝ ϕ) の予測である。
式 (24) は λ ≪ 1 の時、数値計算結果とよく一致する。
具体的な値を挙げると、N = 60, ns = 0.965 の時、

r = 0.0446 である。

4

Conclusion
本発表では、ヒルトップ・インフレーションの新たな解析解を示し、従来の解析解が数値計算と異なる挙動を示す原因を考察した。従来の解析解は λ ≫ 1 の範囲を対象としていたため、膨張指数の計算に Nend
が関与しなかった。しかし、λ の値によっては Nendの影響が無視出来なくなる。特に、λ ≪ 1 の範囲でNend の寄与を考慮することで、数値計算と一致する
結果が得られる。

214

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重宇 poster7

チェレンコフ放射状の重力波探索
東京大学 理学系研究科物理学専攻
桑原 聡一朗215

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

Searching Cherenkov-like Gravitational Waves
Soichiro Kuwahara (University of Tokyo M2)

Abstract
Seraching for gravitatinal waves whose waveform is similar to Cherenkov radiation. We assume that thegravitational waves are generated when a point mass moves faster than speed of light in similar schemeof Cherenkov radiation and shock wave generation. The code to generate waveform whose spectrum is
Cherenkov-like one is constructed, and the analysis will be done by the method of Matched Filtering.
To perform this analysis, Gstremaer pipeline is being used.

1

Introduction• Using inverse Fourier transformation, create the wave form in time domain.

There are four types of gravitational wave which is
expected to be observed. One of them is ”Burst”
gravitational wave. Burst gravitational wave is generally produced in short period of time and its
source is unknown or anticipated. In this research,
the attempt is to ﬁnd the gravitational wave which
has similar waveform of Cherenkov radiation assuming that such waveform might be created when apoint mass moves faster than speed of light. If amass moves faster than not only the speed of lightin medium but also the speed of light in vaccuum,
it will be a sugesstion to deny constancy of speed oflight and leads to Lorentz violation. Since there
is no concrete system of generating gravitational
waves under Lorentz violation, we here only ”expect” Cherenkov-like wave might occur.

• Crucial feature is(a) the power spectrum is mostly proportional to ω(b) it has high frequency cut oﬀ
The created waveform and its spectrum is given
below. The point of making this waveform is

Figure 1: GW waveform and its spectrum

2

Methods

1. Write a code to create Cherenkov-like waveform.
First, let us check the spectrum of Cherenkov
radiation.
dW
e2
= 2
dxdω
c

(
1−

1
β 2 n2 (ω))ω, nβ > 1

(1)

n · · · index of reﬂaction, β = vc · · · rate of velocity of a particle versus speed of light in vacuum
This formula is developed by Frank and Tammin 1937. [Frank & Tamm (1937)]• When the spectrum includes lower andlower frequency, the eﬀect of low frequency appears in the waveform. If wehave the lowest frequency 0, the waveform goes wrong. Thus, we set the low
frequency cut oﬀ as well.
• Cherenkov Radiation-like wave must be
time-causal. It is hard to make completely
time causal waveform from frequency domain. Hence, the window function in theregion of t < 0 until convolution changes
spectrun too much is injected.
• The parameter to create this waveform is• From this formula, we can estimate thespectrum of Cherenkov-like waves and it
will give us the waveform in frequency domain.

216(a) high frequency cut oﬀ(b) velocity versus light of speed rate β2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
2. Create a template bank to perform ”Matched 3
Future Works
Filtering”
In GW data analysis, there are two obvious hy- Currently, this research reaches to the stage of
pothesis on what we would get as data.[Schutz creating pipeline for performing the analysis bymatched ﬁltering. The improvements which was(1987)]
emerged at this point is mainly two things.
• noise only
1. time causality of waveform• noise+signal
2. how to spread templatesThen, what will be the criteria to determine
whether we have signal or not must be given. First, as is mentioned in methods section, time
In this research, Neyman-Pearson criterion is causality is not perfectly achieved. To create comintroduced.
plete time causal waveform, phase spectrum is necessary. Collecting the phase spectrum of Cherenkov
P (θ|signal)Λ(θ) =(2) radiation as a real data and inject it to create waveP (θ|no signal)
form might solve this problem.
where θ is data. Neyman-Pearson lemma Second, altough number of templates are now bestates that this likelihood ratio given above ing created, the way of spreading them is not ideal.
is the most powereful test given a ﬁxed false Since the templates which are generated by conalarm probability.[Neyman & Pearson (1933)] stant intervals of input parameters are not spreadNow,thecalculationof uniformly in parameter space. Therefore, there is a
P (θ|signal), P (θ|no signal) is needed.
By possiblity to miss the signal if the signal is placed
performing fourier transformation and whiten- where the concentration of templates is low in paing the data, probability is given as below rameter space. In order to avoid this, templates
from Karhunen-Loève Theorem.
must be uniformly placed in parameter space. The
2closeness of two templates can be calculated by tak∏1
x˜k√P (θ|signal) =exp −(3) ing the inner product of these. Collecting the data
2Sk
2πSk
k
of inner product of each two templates, and utilize∏
1(x˜k − s˜k )2 it to create template bank which has enough density√
P (θ|no signal) =
exp −
(4)
is expected.
2Sk
2πSk
k

However,this only gives the likelihood ration
on only one signal. As stated in introduction, Reference
burst search is to seach gravitational waves I.M. Frank & I.E. Tamm,Dokl. Akad. Nauk SSSR14,109
from unkonwn sources. We do not know what(1937)
the value of parameters, and even the existenceof such waves. Hence, the calculation of likeli- B.F.Schutz. Nato Asi, (1987)
hood ratio on many wave templates with sevNeyman.J & Pearson.E.S. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A.
eral input parameters is necessary. This set
Volume 231. Issue 694–706(1933)of templates is generally called as ”templatebank”.
3. Use Gstreamer for creating a pipeline of thisanalysis
The general use of Gstreamer is to process complex workﬂows of audio and video. In this research, we utilize Gstreamer for gravitational
wave data analysis. There are many complex
steps on GW data analysis such as whitening
the data, creating multiple templates, and calculating signal to noise ratio, etc. Gstreamer
is capable to perform those analysis with lowlatency processing of data.

217

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重宇 poster8

アクシオン暗黒物質によるナノヘルツ帯の重力波の痕跡
福島大学 共生システム理工学研究科
村越 悠太

218

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

アクシオン暗黒物質によるナノヘルツ帯の重力波の痕跡
村越 悠太 (福島大学大学院 共生システム理工学研究科)

Abstract
アクシオンは強い CP 問題を解決するために導入された未知の素粒子で、暗黒物質の候補としても考えられている。ハッブルパラメータがアクシオンの質量に匹敵するようになると、ゼロ以外の初期のずれを持つ
アクシオンが振動し始め、暗黒物質として振る舞う。 振動の開始前後で、U(1) ゲージ場はアクシオンとの結合によって爆発的に生成され、かなりの量の確率論的重力波の放出につながる。このゲージ場の爆発的な生成により、すぐに線形解析の適用が難しくなるため、非線形な解析が必要になる。本研究は、数値格子シ
ミュレーションを利用して、重力波の放出に重要な貢献をする逆反応や再散乱などの非線形ダイナミクスを適切に追跡する。 正しい暗黒物質の存在量を与える減衰定数 f ∼ 1016 GeV のアクシオンは、次世代電波望
遠鏡 SKA によって検出可能と考えられるナノヘルツ帯の重力波を生成することや、結果として得られる重力波スペクトルが、アメリカとカナダの研究グループ NANOGrav の 12.5 年分のデータによる、過去のア
クシオン密度を大幅に低減する必要がある問題を説明する可能性があることも紹介する。

1

Introduction2

宇宙論的な観測は、暗黒物質として知られている
目に見えない物質の存在を明らかにした。アクシオ
ンは強い CP 問題を解決するために導入された未知の素粒子で、暗黒物質の候補としても考えられているが、識別のために固有の特徴を探る必要がある。PPTや,NANOGrav,EPTA などのパルサータイミング観測を通じた、ナノヘルツ帯の重力波の測定からアクMethods/Instruments
and Observations
アクシオン (ϕ) と質量のない U(1) ゲージ場 (Aµ )の相互作用システムについて考えると、 ラグランジ
アン密度は次の式で与えられる。
11α
L = − ∂ µ ϕ∂µ ϕ − V (ϕ) − F µν Fµν −ϕFµν F̃ µν
2
4
4f
(1)

パラメータがアクシオンの質量に匹敵するようにな

ここで、F µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ は電磁場テンソル、√F̃ µν = ϵµνρσ Fρσ /(2 −g) は双対テンソルである。

ると、ゼロ以外の初期ミスアライメントを持つアクまた g は計量の行列式で α は無次元の結合定数、fシオンが振動し始め、暗黒物質として振る舞う。 振はアクシオンの減衰定数である。アクシオンのポテ

動の開始前後で、U(1) ゲージ場はアクシオンとの結

GW の放出につながる。本研究では、ゲージ場とアンシャル V (ϕ) を考えると、[]
ϕV (ϕ) = Λ4 1 − cos( )fクシオンの非線形ダイナミクスを適切に解く数値格

ここで、Λ は動的なスケールで、アクシオンの質量 m子シミュレーションを実施し、暗黒物質の存在量をと関連付けて m = Λ2 /f とする。以下では、スケー

一貫して説明しながら、減衰定数 f ∼ 10

GeV の

ルファクター a(t) ≃ t1/2 として輻射優勢期の平坦なアクシオンが SKA によって検出可能なナノヘルツ

FLW 宇宙を想定する。アクシオンの運動方程式は以帯の重力波を生成できることを示す。

下で与えられる。

シオン暗黒物質を発見できる可能性を探る。ハッブル合によって爆発的に生成され、かなりの量の確率的

16

ϕ̈ + 3H ϕ̇ −

(2)

∂V
1 2
∇ ϕ+
= −∂α4f ϕFµν F̃ µν (3)a2∂ϕ

ここで、ハッブルパラメータ H = ȧ/a を用い、点は時間微分を表す。A0 に関する作用の変化により、拘219

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
束方程式が生成される。

∂i Ȧi −αϵijk ∂i ϕ∂j Ak = 0
fa

(4)

3

Results

3.1

アクシオンからのゲージ場の生成

完全非線形ダイナミクスを正確に解析できる数値

さらに、Ai に関してゲージ場の発展方程式が導か

格子シミュレーションを実行することにより、運動方

れて、∂j Aj + H Ȧi −=1 2
1∇ Ai + 2 ∂ i ∂ j Aja2aαϵijk (ϕ̇∂j Aj − ∂j ϕȦk )fa

程式（3）および（5）を直接解いた。離散化された格子空間のグリッド点の数は 2562 で、共動ボックスの(5)

大きさは α = 18 のとき (π/2)m−1 、α = 20, 25, 30 のとき (π/4)m−1 である。

ここで、時間ゲージ A0 = 0 とした。アクシオンは、
初期角度 θi = ϕi /f でミスアライメントメカニズム
によって均一に生成されると仮定し、これはインフレーション前またはインフレーション中とする。アクシオンとの相互作用はゲージ場を指数関数的に増幅する。アクシオンは標準模型の光子と相互作用することができるが、光子は荷電粒子で満たされた宇宙の熱有効質量を得る。これはハッブルパラメータ、つまり振動の開始時のアクシオン質量よりもはるかに大きい。その場合、ゲージ場での生産は運動学的に禁止される。したがって、ゲージ場はアクシオン
振動の開始時に熱化されない隠れた光子であると仮定する。指数関数的成長を確認するために、ゲージ場のフーリエモードを 2 つの円偏光モードに分解す
ると、以下の式が示される。
)
(
k αϕ̇
k2
Ä± + H Ȧ± +
=0
∓
a2
a f

図 1: アクシオン（赤）、ゲージ場（緑）、ΩGW × 104（青）のエネルギー密度の変化。 比較のために、細い赤点線でゲージ場を生成せずに断熱進化した場合を示す。f = 1016 GeV、m = 2 × 10−14 eV、θi = 2、

α = 30(実線) および 18(破線) を採用した。 [1](6)

図 1 は、H = m で定義され、スケールファクター
を、軸振動の開始時のスケールファクターで割った値

この方程式は、ϕ̇ の符号に応じて、2 つの円偏光で表した、軸のエネルギー密度 ρϕ (赤線) とゲージ場

モードの 1 つがタキオンになり、ゲージ場の振幅がρA (緑線) の変化を示している。これはゲージ場の成長

指数関数的に増幅されることを意味する。タキオン

がアクシオンのエネルギー密度に追いつくと終了する

不安定性がオンになると、ゲージ場は指数関数的にことを示す。つまり、α = 30 の場合は a/aosc ≃= 15

成長し、ゲージ場のエネルギー密度は最終的にアクであり、これはダイナミクスがその後非線形領域に

シオンのエネルギー密度に匹敵するようになる。 次入ることを意味する。

に、ゲージ場の生成が飽和し、線形近似が分解される。 特に生成されたゲージ場は、式（1）の右辺を介してアクシオンダイナミクスに影響を及ぼし始め

3.2

重力波放出

る。したがって、システムの非線形ダイナミクスを爆発的に生成されたゲージ場は、GW の確率的背解いて、重力波源とアクシオンの存在量を正確に計景を発生させる可能性がある。これは、平坦な FRW

算する必要がある。

宇宙で次のように定義された計量摂動のテンソル成分 hij によって与えられる。

ds2 = −dt2 + a2 (δij + hij )dxi dxj

220

(7)

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
テンソルモードの摂動アインシュタイン方程式は、

GW の発展を決定する。
ḧij + 3H ḣij −2
1∇hij = 2 ΠTijT
2
a
MP

(8)

ここで、ΠTijT は異方性ストレスの TT 成分である。
このシステムでは、異方性ストレスはトレースのない部分で与えられ、

Πij = ∂ i ϕ∂j ϕ +1
1
Ei E j + 2 B i B j
a2
a

(9)

ここで、Ei = Ȧi と Bi = ϵijk ∂j Ak /a はそれぞれゲー
ジ場における電気成分と磁気成分である。

(+)

振動するアクシオンによって増幅されるゲージフ
ィールドまたは不均一なアクシオンによって供給される GW のピーク振幅の大まかな推定を行う。 簡単にするために、GW の支配的な部分が飽和した周囲に放出されると仮定すると、GW のピーク振幅はおおよそ次のように推定される。

k2
ρsrc (tem )∼hij (tem ) ∼
a2em
MP2

(

mf θi
MP

)2 (

aosc
aem

)3

ここで、aem は放出時のスケール係数、t = tem 、ρsrc
は場のエネルギー密度であり、tem での軸の均一モードのエネルギー密度に匹敵する。 次に、GW の密度
パラメーターは以下のように表される。

ΩGW (tem ) ∼

k
aem m

)−2 (

f θi
MP

)4 (

aosc
aem

(−)

2
ΩGW h2（破線）の 2 つ
依存性は、ΩGW h（実線）との円偏光モードで構成される。 f = 1016 GeV、θi = 2、m = 2 × 10−14 eV、α = 20（赤）、25（青）、30（マゼンタ）を採用した。[1]GW スペクトルの予測を示している。 ここで、Ω±
GWは、合計の ΩGW に対する 2 つの円偏光モードのいずれかの寄与を示す。 図 2 はアクシオン暗黒物質か

(10)

(

図 2: 結果として得られる ΩGW h2 のスペクトルの αらの GW が SKA によって検出可能であることを示唆している。 スペクトルは α = 20 で鋭いピークを持ち、α が大きくなるとスペクトルの幅が広くなる。
したがって、スペクトルの高さは O（0.1）だけ低下する。 したがって、このモデルは、α に応じて、非常にピークのあるスペクトルと広く拡張されたスペ

)2
(11)

クトルの両方を予測できると考えられる。

さらに、現在の GW の周波数は、次のようにアクシ
オン質量に関連している。

)1/2
g∗osc
m
k
k (
∼ 0.1nHz 1/3−14
2πa0g∗Sosc aosc m 10 eV
(12)
1/4

ν=

このとき、a0 は現在のスケールファクターで、g∗osc
はアクシオン振動の開始時のエントロピー密度の有効な相対論的自由度である。
このシナリオで正確な GW スペクトルを取得する
ために、定式化された格子シミュレーションによって、アクシオンとゲージ場のダイナミクスとともに

GW の進化を数値的に解いた。図 2 は、アクシオンが観測された暗黒物質の存在量と一貫した値を与える場合の、SKA（シアンの線）の感度とともに現在の

図 3: GW（X = ΩGW 、実線）およびゲージ場（X =ρA 、破線）の円偏光非対称性の発展。f = 1016 GeV、θi = 2、m = 2 × 10−14 eV、およびα = 20 （赤）と25（青）を採用した。[1]2212021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Conclusion&Discussion
NANOGrav によって報告された信号が、このシナリオで説明できるかどうかについて説明する。nHzの範囲においては、dΩGW h2 /d ln ν ∼ 10−9 が必要とされる。 放出された GW の密度は、f = 1016 GeVに対してΩGW ∝ f 4 およびΩGW ∼ 10− 15 − 10−14
として大まかにスケーリングされるため（図 3 を参照）、NANOGrav のデータを説明するには f ∼ 2 −4 × 1017 GeV が必要となる。図 2 に示すように、このシナリオでは、検出可能な GW 信号だけでなく、GW の円偏光も予測される。 図 3 は、GW の密度
パラメータ ΩGW とゲージ場のエネルギー密度 ρA の2 つの円偏光モード間の差の時間発展を示している。
円偏光の予測される非対称性は、結合に応じて 1〜
10 ％である。 原理的には、GW の異方性を観測することにより、パルサータイミング観測で円偏光を検出することが可能と考えられる。この研究では、暗黒物質の役割を果たすアクシオンにのみ焦点を当てている。 具体的には、GUT スケールの減衰定数、つまり f ∼ 1016 GeV の場合、アクシオンの質量は、放出された GW の nHz 範囲に対応する m ∼ 10−14 eVである必要がある。 ただし、多数のアクシオンが存在する弦理論では、質量の異なるアクシオンが存在する場合がある。

Reference[1]Naoya Kitajima,Jiro Soda, and Yuko Urakawa
Phys.Rev.D 103 (2021) 8, 085009

222

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重宇 poster9

主成分分析による前景放射除去
熊本大学 自然科学教育部
宮元 龍之介223

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

主成分分析による前景除去
宮元龍之介 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
宇宙の大規模構造を探る有効な手法として 21cm 線の強度マッピングがある。21cm 線とは中性水素が超微細構造の準位間において遷移する際に生じる電磁波のことである。しかし、21cm 線のシグナルは非常に弱く、宇宙再電離期以降の電波放射、主に銀河系内のシンクロトロン放射や系外電波源由来の前景放射などの強烈な前景放射に覆い隠されるため 21cm 線の検出は非常に困難である。そのため前景放射の除去もしくは回避が必要となってくる。
前景放射除去としては様々な方法が存在する。(1) の論文では 3 つの手法 (主成分分析、独立成分分析、多項式近似) を考えてる。そこで今回は (1) の論文を元に、主成分分析について説明する。 この手法は FAST やSKA などの将来的な観測でも用いられる可能性があり、すでにいくつかシミュレーションで実験が行われている。(7) の論文では FAST での主成分分析を用いた前傾放射除去に おける最近の進展を紹介する。

1

導入

2

主成分分析とは

初期宇宙は非常に高温高密度で大量の電子が飛び

主成分分析 (Principle Component Analysis, 以下

交っていた。やがて宇宙が膨張し温度が徐々に低下

PCA) とは、多くの変数を持ったデータは扱いにく

していくと電子は陽子と反応し中性水素が生成されいため、なるべくデータ内の情報を失わずに低次元た。これにより光子は散乱せずに直進できるように

化 (情報のシンプル化) することでデータが持つ情報なった。これが宇宙の晴れ上がりと呼ばれる現象での解釈を容易にする手法である。PCA においては共ある。その後、暗黒時代に突入するが初代星が誕生

分散行列を求めて対角化し、固有値と固有ベクトルしたことで天体から紫外線光子や X 線光子が放射さを求める手順が主成分を求めることに対応している。

れ天体周辺の中性水素が電離された。時間が進むに

また、PCA ではデータの各成分を線形結合した主成

つれて電離は進み、やがて宇宙を満たしていたほぼ分ベクトル (principle component vector) を評価し全ての中性水素が電離された。この時代を宇宙再電離期と呼ぶ。

ていく。例えば、K 個の変数 n1 , n2 , · · · , nK を持つ→→→
データがあればそれら K 個の変数 −n ,−n , ..., −n

宇宙再電離期や電離後の銀河分布を調査するためにをそれぞれ固有ベクトルとして以下のように変換では IGM や銀河に付随する中性水素から放出されるきる。

121cm 線の観測が有効とされている。しかし、21cm

2

K

→
→
→
z1 = a11 −n 1 + a12 −n 2 + · · · + a1K −nK

線のシグナルは一般的には数 mK であるのに対して、→→→
z2 = a21 −n 1 + a22 −n 2 + · · · + a2K −nK

銀河系シンクロトロン放射や系外シンクロトロン放射などの前景放射は 4 桁以上も大きい。そこで今回は前景放射の除去もしくは回避をするために主成分..
.

分析を用いた手法に着目し、FAST での先行研究 (7)→→→zm = am1 −n 1 + am2 −n 2 + · · · + amK −nKを報告する。

z1 が第 1 主成分、z2 が第 2 主成分、zm が第 m 主成分である。主成分はデータを射影した際にデータの分散が最大になるように求め、分散が大きい時はそ2242021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校の主成分に含まれるデータが多いと考えられる。第のスカイマップ、Tcosmo は宇宙論的信号、Tnoise は

1 主成分とはデータの分散が最も大きいものである。 機器ノイズである。この式を線形で書き表すと、
以下、分散が大きい順に第 2,3,· · · ,K 主成分に該当す

x = Â · s + r

る。

PCA を行う際に良く使われる指標として寄与率と累 となる。ここで、xi = T (νi , n̂), Aik = fk (νi ), sk =積寄与率というものがある。寄与率とはその主成分 Sk (n̂), ri = Tcosmo (νi , n̂) + Tnoise (νi , n̂) に該当す
でデータの何割を説明できるかの指標である。もうる。前景放射除去では Â と s を決定し、r = x− Âs を一つの累積寄与率とは、第 1 主成分から第 m 主成分

正確に求めたい。そのアプローチの 1 つとして PCAまでの寄与率の和を表す。

を用いる。

3.2

3

PCA による前景除去

3.1

前景放射除去PCA

ここでは、Alonso et al. 2015 (1) をもとに説明する。主成分分析を前景減算法に適応することで、前景成分 Sk と関数 Aik を同時に求めることが可能で強度マッピングに最も関連する前景は銀河系外（主ある。観測で得られたデータから周波数共分散行列に天の川の外にある天体）と銀河系内に分類される。 を計算する。周波数共分散行列は、振幅の観点から見ると圧倒的に大きな前景は銀河系Nθ1 ∑T (νi , n̂n )T (νj , n̂n )Cij =Nθ n=1

シンクロトロン放射 (GSE) であり、これは高エネ
ルギー宇宙線の電子が銀河の磁場によって加速されたものである。また、GSE のシグナルはある冪乗と書ける。共分散行列は対角化すると、（β ≈ −2.8）に従って滑らかに減衰していく周波Û T Ĉ Û = Λ̂diag(λ1 , · · · , λN ν )数依存性があると考えられている (Dickinson et al.

2009;(4) Delabrouille et al .2013(2))。

ここで、λi は Ĉ の固有値であり、Û は対応する固銀河系内のもう一つの前景発光源としてイオンによっ 有ベクトルを列とする直行行列である。次に前景のて加速された自由電子が電離媒体付近をなぞるよう 固有値に対応する Û の列から行列 Ûf g を作りる。こに通過することで起こる自由自由放射も上げられる。 こで重要なのは、観測される輝度温度の主要な成分
こちらも GSE の場合と同様、スペクトル的に滑らかは前景放射なため、主成分のうちの上位の主成分がであると考えられている (Dickinson, Davies Davis

前景放射に対応し、それをデータから差し引くこと2003(3))。

で前景放射が差し引けることが期待できることであ

このように 21cm 線強度マッピングの前景放射は周る。各視線の輝度温度を以下のようにモデル化する。

波数に関して非常に滑らかであることが期待される。

x = Ûf g s + r

前景放射除去の際に空のある方向 n̂ と周波数 ν の輝度温度を以下のように表す。

∑

この式は、前景放射除去の式と非常に類似していることがわかる。右辺の第一項は前景マップ、第二項

Nf g

T (ν, n̂) =fk (ν)Sk (n̂)

は 21cm 線とノイズの情報が含まれる。そして前景
マップ s は Ĉ の固有ベクトルに x を射影することでk=1+ Tcosmo (ν, n̂) + Tnoise (ν, n̂)以下のように求められる。

ここで、Nf g は差し引く前景の自由度の数、fk (ν)

s = ÛfTg xは周波数を変数に持つ滑らかな関数、Sk (n̂) は前景

なお、Û は直行しているため ÛfTg Ûf g = 1 となることに注意する。

225

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
実際の実験では機器ノイズの相関がある場合のようReferenceに複雑化する。この問題に関してはグリーンバンク[1] David Alonso, Philip Bull, Pedro G. Ferreira, andMário G. Santos. Blind foreground subtraction for
intensity mapping experiments. , Vol. 447, No. 1,
Switzer et al. 2013(6)）で異なる時期での温度マッ
pp. 400–416, February 2015.

望遠鏡のチームが行った解析（Masui et al. 2013(5);プの相互相関によって周波数共分散行列を計算することで対処された。

4

FAST
FAST(Five-hundred-metre Apartre Spherical ra-

dio Telescope) は中国の球面電波望遠鏡であり、開口部は約 500m にも及ぶ。また、FAST はグリーンバ
ンク望遠鏡の約 10 倍の集光面積を持つ。
宇宙の大規模構造を調べる上での有効な手段として中性水素の 21cm 強度マッピングがある。しかし、実際は銀河系の放射光や自由自由放射、ノイズなどの様々な前景により汚染されている可能性がある。
そこでこの先行研究では、中性水素のシグナルに対する空の位置と角度の両方のスケールで前景成分の変化を捉えるために、20,000 平方度の観測領域で一年間のシミュレーションを行い、PCA による前景の分離を行なっている。その結果、前述した様々な前
景やノイズなどを含めて再構築された 21cm 線強度マッピングと予測される純粋な 21cm 線シグナル間の標準偏差の値は Δ T = 0.034mK となり、中性水
素の固有モードが全スカイ成分のわずか 1%未満のレベルであることが示された。
実際に FAST で行われた先行研究では、第四主成分まで差し引きされていて、その寄与率はデータの 99%になる。さらに、前景放射除去後のデータは中性水
素のパワースペクトルを再現していて、それが 1%レ
ベルの精度を達成していた。(7)5まとめ[2] J. Delabrouille, M. Betoule, J. B. Melin, M. A.
Miville-Deschênes, J. Gonzalez-Nuevo, M. Le Jeune,
G. Castex, G. de Zotti, S. Basak, M. Ashdown,
J. Aumont, C. Baccigalupi, A. J. Banday, J. P.
Bernard, F. R. Bouchet, D. L. Clements, A. da Silva,
C. Dickinson, F. Dodu, K. Dolag, F. Elsner, L. Fauvet, G. Faÿ, G. Giardino, S. Leach, J. Lesgourgues, M. Liguori, J. F. Macı́as-Pérez, M. Massardi,
S. Matarrese, P. Mazzotta, L. Montier, S. Mottet,
R. Paladini, B. Partridge, R. Piﬀaretti, G. Prezeau,
S. Prunet, S. Ricciardi, M. Roman, B. Schaefer, andL. Toﬀolatti. The pre-launch Planck Sky Model: amodel of sky emission at submillimetre to centimetre wavelengths. , Vol. 553, p. A96, May 2013.
[3] C. Dickinson, R. D. Davies, and R. J. Davis. Towards a free-free template for CMB foregrounds. ,Vol. 341, No. 2, pp. 369–384, May 2003.
[4] C. Dickinson, H. K. Eriksen, A. J. Banday, J. B.
Jewell, K. M. Górski, G. Huey, C. R. Lawrence,
I. J. O’Dwyer, and B. D. Wandelt. Bayesian Component Separation and Cosmic Microwave BackgroundEstimation for the Five-Year WMAP Temperature
Data. , Vol. 705, No. 2, pp. 1607–1623, November
2009.
[5] K. W. Masui, E. R. Switzer, N. Banavar, K. Bandura, C. Blake, L. M. Calin, T. C. Chang, X. Chen,
Y. C. Li, Y. W. Liao, A. Natarajan, U. L. Pen, J. B.
Peterson, J. R. Shaw, and T. C. Voytek. Measurement of 21 cm Brightness Fluctuations at z ˜0.8 in
Cross-correlation. , Vol. 763, No. 1, p. L20, January
2013.
[6] E. R. Switzer, K. W. Masui, K. Bandura, L. M.
Calin, T. C. Chang, X. L. Chen, Y. C. Li, Y. W.
Liao, A. Natarajan, U. L. Pen, J. B. Peterson, J. R.
Shaw, and T. C. Voytek. Determination of z ˜0.8
neutral hydrogen ﬂuctuations using the 21cm intensity mapping autocorrelation. , Vol. 434, pp. L46–
L50, July 2013.

[7] Elimboto Yohana, Yin-Zhe Ma, Di Li, Xuelei Chen,
and Wei-Ming Dai. Recovering the 21-cm signalをした。FAST の先行研究では PCA を用いた手法でfrom simulated FAST intensity maps. , Vol. 504,
No. 4, pp. 5231–5243, July 2021.
高い精度で前景を除去できることがわかった。また、今回は PCA に関する 2 つの論文を読み、その紹介

この PCA を用いた前景の除去は建設中である SKA（Square Kilometre Array）でも取り入れることができるためその結果を期待したい。

226

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重宇 poster10初代星の星質量・SFRD と宇宙論的 21-cm 線シグナルの関係名古屋大学 理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
伊元 聖也

227

未提出

228

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重宇 poster11

重力レプトジェネシスによる物質の起源の研究及び理論の検証
福島大学 共生システム理工学研究科
平 啓輔

229

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力レプトジェネシスによる物質の起源の研究及び理論の検証
平 啓輔 (福島大学大学院 共生システム理工学研究科)

Abstract
宇宙はビッグバンにより形成されたとされる．しかしこのとき物質と反物質が同じ量で生成されたとすると，互いに対消滅するため，今の宇宙は形成されなかったと考えられる．このことから，宇宙のある時期，有力な時期としてはインフレーションの後において粒子が反粒子よりも多く生成されたと考える仮説が，バリオン数生成である．バリオン数生成のみでも，バリオン数とレプトン数の差が保存されるという不備が生じるため，導入される理論がレプトン数生成である．レプトン数生成は，右巻きのマヨラナニュートリノが左巻
きニュートリノと左巻き反ニュートリノに崩壊し，このうち左巻きニュートリノの方に多く崩壊したことで物質が生成されたという理論である．この非対称性は，カイラル重力波の生成によって膨張中のレプトンのカレントが重力異常を起こしたものによるという仮説が，重力レプトジェネシスである．
今回は，重力レプトジェネシスの中でも，輻射誘起重力レプトジェネシスの力学的な進化の様子について調べた．すると，CP の曲率の偶数相互作用がレプトン数のカレントの保存を破ること，また宇宙が拡大する
につれレプトン数密度の進化の様子が変わるという理論が見られた．これらの効果は，ボルツマン方程式により記述される．重力レプトジェネシスによりボルツマン方程式がどのように表されるか，またそのボルツマン方程式により宇宙はどのような進化を遂げてきたかをレビューする．

1に初期宇宙の高温の時期に進化項 W(z) がレプトン

Introduction
輻射誘起重力レプトジェネシスは，RIGL とも呼ばれる，バリオン対光子比 η = (nB − nB̄ )/nγ ≃6 × 10−10 を裏付けると共に，初期宇宙でレプトン数の非対称性を生成するとされる理論である．この理論の基本となる考えは，重力潮汐効果がレプトンと反レプトンの伝播に非対称をもたらすというものである．これにより，初期宇宙の高温でも，平衡状態が保たれ消失しないレプトンの非対称性が生じるとされる．
新たに導入された重力相互作用の物理的意味は，対と光子の比率 NL = nL /nγ を平衡以下に保っている段階が存在する．次に NL により NLeq の働きが生じる段階が存在する．最後に進化項が弱まって NL が

NLeq に働きかけることができなくなる段階が存在す
る．
これらの段階の遷移は，宇宙が膨張する，つまり冷却するときの曲率と温度に依存する速度 W (z)，W(z)，NLeq (z) の間の力学的なバランスに依存する．今回は，力学的な進化のメカニズムについて記述する．レプ
トン数密度の進化方程式から，CP 偶数曲率相互作用
が有効作用に含まれる場合にレプトン数のカレント

応する演算子が CP 偶数であるか CP 奇数であるかが保存されないことを示す．また，これらの重力効によって異なる．CP 奇数演算子は消失しない平衡レ

果を組み込んだ新しい一般化ボルツマン方程式を表

プトン数密度 neq
L を生成する役割を持つ．また，宇し，その意味を記述する．

宙の初期の段階でレプトン非対称性の進化をさせる
ため CP 偶数演算子の役割に着目する．

CP 奇数演算子による平衡レプトン数密度と，CP 偶数演算子によるレプトン数密度 nL によって，ボルツ2レプトン数の進化

マン方程式は明確に表される．このボルツマン方程自由ディラックラグランジアンであれば，レプト式に従うと，全体の進化の様子は図１のように表さン数のカレントは保存されるが，有効ラグランジア

れる．この図のグラフは，３つの段階を示す．最初ンに曲率項があれば，カレントは保存されないため，

2302021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校
レプトン数の時間依存性が示される．現在の非保存方程式は，このように表される．
)(1µ(1 + 2cR)Dµ J + a + 2c + d ∂µ RJ µ
2
(
←− )
←
−
+2d ν¯L D2 γ.DνL + ν¯L γ. D D2 νL 〜0
µ

µ

ν

µ

Dµ J + 2aRµ νD J + 2b̂∂µ RJ 〜0

3

重力レプトジェネシス
ラグランジアンの CP 対称性の破れ演算子は，FRW

(1)

(2)

時空で次のように表される．
∫√
Sb = b d4 x −g∂µ Rν¯L γ µ νL∫∫√
= dtbṘ d3 x −g (3) J 0(7)

ここで，Dµ J µ 〜O(λ2 ) であり，Dµ J µ の前の 2cR は

このように表すと，J 0 がレプトン数密度 nν である

省略される．また，FRW 時空では，b̂ = 21 + c + 14とすると，レプトン数に化学ポテンシャル µ = bR をとすると，非保存方程式は次のように表される．

導入することと同義であることがわかる．ニュート∂0 J 0 + ∂i J i + Γii0 J 0()+ 2a R00 ∂0 J 0 + Rji ∂i J j + Rji Γii0 J 0

リノは初期宇宙の温度を媒介するものとヒッグス場(3)+ 2b̂ṘJ 0 〜0を介して相互作用するため，この化学ポテンシャル
は正味のレプトン数 nL = nν − nν c から，熱平衡で消えない値 neqL 〜µT 2 を生成する．確かに，化学ポカレントに対する電荷密度 J 0 は，レプトン数密度とテンシャルポテンシャルを生成するには，リッチス

同義である．等方性宇宙では上の式の空間勾配が消

カラーが時間とともに変化する必要があるため，完えるため，レプトン数密度の時間発展方程式は次の全な熱平衡状態ではない．しかし，∆L ≠ 0 の反応がように表される．

変化率 Ṙ よりも速い場合，ニュートリノと反ニュー
トリノは準平衡状態となる．

dnL+ 3HnL + 2aRii HnL(1 + 2aR0 0)
dt+ 2b̂ṘnL = 0

また，平衡レプトン数密度は，µ/T が小さい場合次(4)のように表される．

neq
L = nν − nν c
(
)
∫ 3
1
d |⃗
p|
1
=
−
(2π)3 e(ε−µ) /T + 1 e(ε+µ) /T + 1∫ ∞( µ )2|⃗p| 2 e ε
2µ 1
d|⃗
p
|
+
O
≃
T 2π 2 0(eε + 1)2
T
(8)

これらの式を拡張すると次のように表される．

()
dnL+ 3HnL + −3R0 0 + Rii HnL
dt+ 2b̂ṘnL = 0(5)

この式に曲率を代入することで，次の式が求められる．

この式を近似すると，次のように表される．

dnL
dt

(
[
])
+ 3HnL 1 − 8πGρ(1 + w) 2a − 2b̂(1 − 3w)

neq
L ≃

=0

∫ ∞
dx
0

x2 ex
1
= µT 2x
2(e + 1)3(9)

加えて，熱平衡状態での消失しないレプトン数密度(6)の非対称性は次の式で表される．

この式から，宇宙の進化に伴い輻射曲率補正がレプ

neq
L =

トン数密度を変化させるかは，[2a − 2b̂(1 − 3w)] の組み合わせの符号に依存することがわかる．上の式を，新しいボルツマン方程式に組み込む．

2µ 1 3T
T 2π 2

1bṘT 23(10)

係数 b は，b = trbij = O(λ4 ) であり，bij =
∑
†
†
1
1 1
α,β,k λβj λiα λβk λkα Mα Mβ I[αβ] となる．以9 (4π)4
上が，輻射により誘発されるレプトン数生成の機構
である．

231

2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

ボルツマン方程式となることより，次の式が導かれる．

dnL+ 3HnL = −2 Γν∆L=2 (nL − neqL)dt以上で述べた２つの効果を，レプトン数密度の時間
あるいは温度依存性を表すボルツマン方程式に組み込む．NL = nL /nγ ，nγ 〜T 3 ，T 〜1/a であり，a(t)(17)

この式の意味は，∆L = 2 が活発に反応するとき，レは FRW スケールパラメータであることから，(6) 式

プトン数密度 nL は平衡値 neq
L に向かうということで表した進化項は，次のように表される．
(
)
1 dnL
dNL
=
+ 3HnLdtnγdtである．さらに，dNL = dz で表すと，dNL /dz =−2W∆L=2 (NL − NLeq ) W = Γ/zH は，宇宙の膨張(11)率に対する反応速度の比率を表す．以上から，ボルツマン方程式は次のように表される．

また，z = M1 /T であることを用いて進化を表現で

dNL= −W (NL − NLeq ) − WNL
dz
[
] ρ 1
W = −3(1 + w) 2a − 2b̂(1 − 3w)
Mp2 z
√ 2
3π
ρ3/2 1
NLeq =(1 − 3w)(1 + w)b 3
z
2ζ(3)
Mp M1

きる．M1 は，最も軽いステライルニュートリノの質量と考える．z から，d/dz = (1/Hz)d/dz と表すことができる．よって，（６）式は次のように表すこと
ができる．

[
] ρ 1
dNL
= 3(1 + w) 2a − 2b̂(1 − 3w)
NL
dz
Mp2 z
(12)
平衡数密度 neq
L が消えないことによって生じる変化cについては，下記のようになる．νL H ↔ νL
H のよ

(18)
(19)
(20)

従来のレプトン数生成のモデルと比較すると，消失しない平衡非対称性 NLeq と，新しい進化項 WNL が追加されている．これらの式をグラフ化したものが
図１である．

うに表される ∆L = 2 反応の場合，dnν c /dt に対応
する結果は次の式で得られる．

dnν
+ 3Hnν
dt(=< σ|v| >−nν nH +

eq
neq
ν nH
eq eq nν c nHnν c nH)(13)以上から，nH ≃ neq
H とすることができるため，次のように表すことができる．

neqν≃ e2µ/T
neq
νc

(14)

このことから，nL = nν − nν c の場合，次のようになる．

図 1: (18) 式から導出される，温度による NL (z) の進化の段階．
領域 (a)，(b) は高温領域，領域 (c)，(d) は低温領域

dnL+ 3HnL
dt(

である．領域 (a) では，W(z) が 1/z 5 に依存するこ)= Γν∆L=2 −(1 + e−2µ/T )nν + (1 + e2µ/T )nν c)(µ= −2 Γν∆L=2 nν − nν c − (nν + nν c )T(15)

また，neq
L について，µ(nν + nν c ) ≃ neq
LTとで，W (z) と比較すると，|W(z)| > W (z) となり，平衡値から外れる．領域 (b) では，W (z) が支配的となることで，NL は平衡値 NLeq に収束する．領域 (c)では，W (z) が再び小さくなることで，平衡が維持できなくなり，NL は分離，一定となる．領域 (d) では，

NL は最終的に一定の値に収束する．
(16)

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2021 年度 第 51 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

Conclusion
宇宙が初期の段階，あるいは低温の段階においてNL は平衡値ではなくなること，また，横軸を時間としてとらえると，宇宙の誕生から一定の時間が経過
して NL は平衡値となることがグラフから見てとれる．今回提示されたこの説は，レプトンのカレントが重力異常を起こしたことで粒子と反粒子の非対称性が生じたという仮説と合致すると考えられる．
ここで，右巻きのマヨラナニュートリノは，熱的に生成されたとする仮説がある．宇宙においてニュートリノが熱的に生成された時期は，インフレーショ
ンの後，再び温度が上昇した再加熱の時期であるとされている．この仮説と今回レビューした説を照らし合わせると，図１の (b) の領域で非対称性が生じたとすれば，(b) の領域は再加熱期の温度のときのグラフであると考えられる．これら２つの説を両立して矛盾が生じないかについて，確認することを次の目標とする．そのために，今回レビューしたこの仮説を自身でも確認することを目指す．

Reference[1] Kohei Kamada et al. arXiv:1911.02657v3(2020).
[2]

Soichiro Hashiba &arXiv:1905.12423v3(2020).

Jun’ichi

Yokoyama,[3]

Jamie I. McDonald &arXiv:2006.09425v2(2020).

GrahamM,

shore,

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