・a ≠ b のとき実軸に関しての対称性より，4 点 a1,a2,b1,b2

それでは，前回の解答です．

は等脚台形 ( 長方形も含む ) の 4 頂点をなす．等脚台形は円に内接するので，a1,a2,b1,b2 はす
べて同一円周上ににある．以上で前半部分は示せ
た．

第１問（数 III）
a,b,c を実数とし，3 つの 2 次方程式
x2 + ax + 1 = 0 ºº 1x2 + bx + 2 = 0 ºº 2x2 + cx + 3 = 0 ºº 3の解を複素数平面上で考察する．
(1) 2 つの方程式 1,2 がいずれも実数解を持たないとき，それらの解はすべて同一円周上にあるか，またはすべて同一直線上にあることを示せ．また，それらの解がすべて同一円周上にあるとき，その円の中心と半径を a,b を用いて表せ．
(2) 3 つの方程式 1,2,3 がいずれも実数解を持たず，かつそれらの解がすべて同一円周上にあるための必要十分条件を a,b,c を用いて表せ．

a2a-t+28 - b2 i
2--ª- a2 - t º + 4 -4a = ª- b2 - t º + 8 -4 b2222- at + t 2 + 1 = bt + t 2 + 2
1- t=
a-b1,2 がいずれも実数解をもたないことからa ≠ b)である．すなわち，中心は

D1 = a - 4 < 0 ºº 42ª a -1 b º である．

また，半径は

D2 = b2 - 8 < 0 ºº 5である．このとき

a1 - t =-a±4 - a2 i
b= - -t+22-(#2 - x=b2a 1 - t = b1 - t

1 の判別式を D1 とし，2 解を a1,a2 とする．
同様に2 の判別式を D2，2 解を b1,b2
3 の判別式を D3，2 解を g1,g2とおく．

1 - x=t以下，a1,a2,b1,b2 が同一円周上にあるとき，その円の中心と半径を求める．このとき a ≠ b であり，上図のように a1,b1 の虚部が正であるとして一般性を失わない．
実軸に関しての対称性より，円の中心は実軸上にあるので，中心を表す実数を t とおく．

＜解答＞

(1)

b1

a1

at + t 2 + 1
1
1++1
a - b (a - b)24 - a2 i
(# 4)
2=a∑

- b ± 8 - b2 i
(# 5)
2=

a(a - b) + 1 + (a - b)2a-b=

2a 2 - 3ab + b2 + 1a-bである．a1 と a2,b1 と b2 はそれぞれ互いに共役な複素数であり，複素数平面上で実軸に関して対称に位置する．

である．

ab- a = b のとき
・- = 22(2) 1,2,3 がいずれも実数解をもたないことか
ら，4,5 に加えて
D3 = c2 - 12 < 0

a1,a2,b1,b2 の実部がすべて等しいので，これらはすべて虚軸に平行な直線上にある．

1

(1) 1,2 が実数解をもたないことから，まず判別式の条件を見ます．授業をしててびっくりするの- c ± 12 - c 2 i
3 - x=は，この条件を見落とす人が多いことです．「問2題文に実数解をもたないって書いてあるんだかであり，g1 と g2 も実軸に関して対称な位置にある．
ら，もたないこと前提で議論すればいいんじゃな
さらに，1,2,3 の解がすべて同一円周上にいですか？」などと聞かれますが，それは間違いあることから，a1(a2),b1(b2),g1(g2) の実部はいです．実数解をもつときもあるわけですから，a,bずれも相異なり，a,b,c はいずれも相異なる ( 方には動ける範囲に条件があり，答案にはその条件
程式の定数項が違うので，1,2,3 の解が一致を明記すべきです．
することはないことに注意 )．
この小問で最も重要なのは，以下の事実 ( 定理 )ここで，2,3 の 4 解が同一円周上にあるとき，です．
中心を表す実数を s とおく．(1) と同様にしても必要である．このとき

b1 - s = g 1 - s
b-s+228-b i
c= - -s+2212 - c i
2---ª- b2 - s º + 8 -4 b = ª- c2 - s º + 12 -4 c222定理
f(x) を実数係数の整式とする．
このとき，方程式 f(x) = 0 が虚数解 a をもてば，2その共役である a も解である．

2- bs + s 2 + 2 = cs + s 2 + 3
1- s=b-c

証明できますか？基本ですが，稀に問題として出題されることもありますので，証明も与えておきます．
※ 共役複素数の性質であるである．この円と (1) の円の中心が一致する条件
はa + b = a + b, ab = a ∑ b

1
1t=s =a-b b- c- a-b=b-c- 2b = a + cを用います．これらは a = a + bi,b = c + di(a,b,c,d は実数 ) とおいて，具体的に計算することで示せます．各自示してみてください．
＜証明＞

である．これが成り立つとき，同じ点が中心でいずれも b1,b2 を通るので，一致する．

f(x) =nSa xk=0

以上より，求める必要十分条件は「a,b,c が相異なる実数である」
かつ 「a2 < 4 かつ b2 < 8 かつ c2 < 12」
かつ 「2b = a + c」
である．
＜解答終＞

kk

(ak はいずれも実数 )とおく．x = a が解であることから
f( a) = 0 -n

Sa a =0k=0kkである．両辺の共役をとって，上の性質を用いるとnn

S a a = 0 - S a ∑( a ) = 0＜コメント＞
数学科の川﨑です．今年度もよろしくお願いいた
します．今回は，この春の 2018 年度入試から，東京工業大学の問題を出題しました．出来はいかがだったでしょうか？この問題は今年のセットでは取りたい問題です．決して難しくはないのですが，本番では十分に差がついた問題だと思います．
以下設問ごとの補足です．

k=0kk

k=0-nS a ∑( a ) = 0 ºº (*)

k=0-kkkkf( a ) = 0となる．ただし，(*) には ak が実数であることを用いた．
したがって， a も解である．
＜証明終＞

2

b 2 - a 1 b 2 - a 2 b 2 - a 1 b1 - a 1∏∏=b1 - a 1 b1 - a 2b1 - a 1 b 2 - a 1

今は 2 次方程式なので，解の公式で解けば当たり前の事実ですが「実数係数で虚数解なら共役も解」が問題を解く上での鍵になることも少なくありません．きちんと押さえましょう．合わせて，虚数係数の方程式ではこの事実は成り立たないことも覚えておいてください．
さて，問題に話を戻します．今見たことから，a1 と a2,b1 と b2 は実軸対称です．これらの位置関係から，実部が等しければ同一直線上，実部が等しくなければ等脚台形をなすので同一円周上と分かります．同一円周上を示す部分は，以下の定理を用いても良いでしょう．

ª# a = a , b = b º
2d-a d-b∏が実数g-a g-bgd=b 2 - a1b1 - a 12(a,b は実数 )g(2) 3 つ目の方程式が登場するので，やはり判別式を見ましょう．また，同一直線上にはないので，a,b,c はすべて異なります．ここまではすぐです．
6 解がすべて同一円周上になくてはいけないので，(1) の円 (1,2 の解を通る円 ) と 2,3 の解を通る円が一致する条件を考えます．(1) と同様に中心と半径を求めて，それらが一致するとしても良いのですが，ちょっと考えると，中心が一致すれば十分 ( どちらの円も b1 を通ることから，半径は等しくなる ) が分かります．これに気付けば手間は半分以下で済みます．丁寧に計算して完答となります．必要十分条件を答えるので，一つでも条件が漏れては駄目です．気をつけてください．

db

この定理は argb 2 - a1 b 2 - a1∑
b1 - a 1 b1 - a 11です．これも意外と盲点になるみたいですので，気をつけましょう．

ab=a + bi = a 2 + b2となることである．
a2となり，これは実数であるから，4 点 a1,a2,b1b2 は同一円周上にある．
＜別解終＞となります．
一般に複比は計算が煩雑になることが多く，まずは図形的に解けないかを考えてみるのですが，何も思いつかないときは最後の手段に使いましょう．
後半の円の中心と半径は，対称性から中心が実軸上にあることが分かれば，距離を丁寧に立式していくことで出せます．実部，虚部が分かっていれば定理
複素数平面上に 4 点 a,b,g,d があり，これらは同一直線上にないとする．このとき，これら4 点が同一円周上にあるための必要十分条件は複比

1d-ad-b, arg( 上図で矢印g-bg-aをつけた角 ) の差を考えていて，左上図のようにa,b が線分 gd に対して同じ側にあるときは円周角の定理を，a,b が線分 gd に対して反対側にあるときは内接四角形の性質 ( 向かい合う角の和がp) を表します．本問にこの定理を用いると＜別解＞
a1,a2,b1,b2 が同一直線上にないとき最後に一問，練習問題を載せておきます．今の問題と同一テーマです．是非挑戦してみてください．

3問
整式 F(x) = x3 - x2 + (k2 - 1)x + k2 + 1 について，次の各問に答えよ．ただし，k > 0 とする．
(1) 方程式 F(x) = 0 を解け．
(2) 複素数平面において，F(x) = 0 の 2 つの虚数解を表す点を P,Q とし，実数解を表す点を Rとする．3 点 P,Q,R を通る円の方程式を zを用いて表せ．
(3)p∠ PQR = のとき，k の値を求めよ．
4(1) よりP(1 + ki),Q(1 - ki),R(- 1)としてよい．実軸に関しての対称性より，円の中心は実軸上にあり，中心を表す実数を t とおく．

(2)

(1 + ki) - t = - 1 - t- (1 - t)2 + k 2 = t 2 + 2t + 1- 4t = k2k24である．また，半径はk2+14である．
よって，求める円の方程式はk2k2=+144である．
∠ PQR =-11xOQ

この図よりk=2である．

＜数学科である．

(3)

Rいと思います．また次回をお楽しみに．

- x = - 1,1 ± ki (# k > 0)z-P

いかがだったでしょうか．今回はここまでにしたF (x) = 0 - (x + 1){x 2 - 2 x + (k 2 + 1)} = 0-1-t =y

＜解答終＞

＜解答＞
(1) ( F( - 1) = 0 に気付くことで )- t=

kp4のとき，GPQR は – PRQ が直角の直角二等辺三角形であり，次図のようになる．

4川﨑＞