《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

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《講義ノート》

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t(z, x2 − y 2 ) = 23 n(l2 − m2 )(pdσ) − n(l2 − m2 )(pdπ)√
t(x, 3z 2 − r2 ) = l(n2 − 12 (l2 + m2 ))(pdσ) − 3ln2 (pdπ)√
t(y, 3z 2 − r2 ) = m(n2 − 12 (l2 + m2 ))(pdσ) − 3mn2 (pdπ)√
t(z, 3z 2 − r2 ) = n(n2 − 12 (l2 + m2 ))(pdσ) + 3n(l2 + m2 )(pdπ)

t(x, x2 − y 2 ) =†Ͱ͋ΔʢલઅͰ͸ diσ , diσ ͳͲͱද͍ͯͨ͠ʣɻ
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《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

ਤ 6

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《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

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3.1.3 εϐϯ‫ي‬ಓ૬‫༻࡞ޓ‬ɿ (t2 )5 ͷ৔߹εϐϯ‫ي‬ಓ૬‫༻࡞ޓ‬͸ɺ

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ਤ 7

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ϕ2± = √ (ϕξ ± iϕη ) | ±21 †= √ (cξ↑↓ ± ic†η↑↓ ) | 0,21
ϕ3± = √ (2ϕζ | ± ∓ (ϕξ ± iϕη ) | ∓)6

͜͜·Ͱ (t2 )1 ిࢠ഑ஔΛߟ͖͕͑ͯͨɺIr4+
ΠΦϯΛߟྀͯ͠ (t2 )5 ഑ஔͷిࢠঢ়ଶΛߟ͑Δɻ࣮͸ɺεϐϯ‫ي‬ಓ૬‫Ͳͳ༻࡞ޓ‬ͷҰిࢠԋࢉࢠʹؔͯ͠͸ɺ(t2 )n Ͱͷߦྻཁૉͱɺ૬ิ
ঢ়ଶ (t2 )(6−n) Ͱͷߦྻཁૉ͸ɺର֯ཁૉʹ‫ݱ‬ΕΔఆ਺Λআ͍ͯූ߸͕ҟͳΔ͚ͩͰେ͖͕͞
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Δʢਤ 7ʣɻ
E  ද‫͓ݱ‬Αͼ U  ද‫هͰݱ‬ड़͞ΕΔిࢠঢ়ଶ͸ɺͦΕͧΕ Jeﬀ = 1/2, 3/2 ঢ়ଶͱ‫ݺ‬͹Ε
Δ͜ͱ͕ଟ͍ɻຊߘͰ΋Ҏ‫ͦޙ‬ͷΑ͏ʹ͢Δ͕ɺ͜͜ʹͦͷཧ༝Λ෇‫͢ه‬Δɻt2 ‫ي‬ಓΛ‫ج‬ఈͱͨ͠ͱ͖ͷ‫ي‬ಓ֯ӡಈྔͷ֤ߦྻཁૉ͸ɺp ‫ي‬ಓΛ‫ج‬ఈͱͨ͠ͱ͖ͷ஋ͱූ߸Λআ͍ͯಉҰͰ͋Δ͜ͱ͕ࣔͤΔɻैͬͯɺt2 ిࢠ͸࣮ޮతʹ L = 1 ‫ي‬ಓ֯ӡಈྔΛ༗͍ͯ͠Δͱ‫ݟ‬၏ͤɺ͜Ε͕εϐϯ‫ي‬ಓ૬‫༻࡞ޓ‬Λ௨ͯ͡

S = 1/2 εϐϯ‫ي‬ಓ֯ӡಈྔͱ݁߹͢Δ͜ͱ
ͰɺJ = 1/2, 3/2 ঢ়ଶ͕ੜ͍ͯ͡Δͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻͦΕͧΕ͕ɺE  , U  ද‫ʹݱ‬ରԠ͓ͯ͠Γɺ͜Ε͕ Jeﬀ = 1/2, 3/2 ঢ়ଶͱ‫ݺ‬ͿॴҎͰ͋Δɻ《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

O ‫͚͓ʹ܈‬Δ௚ੵද‫ݱ‬ͷ؆໿ [3]ɻA1 , A2 , E, T1 , T2 , E  , E  , U  ද‫ݱ‬ͷ࣍‫ݩ‬͸ɺͦΕͧΕ
1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 4 Ͱ͋Δɻ
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E 

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E  + E  + U E  + E  + 2U E  + E  + 2U 

E + T1 + T2

E + T1 + T2

A1 + A2 + E + 2T1 + 2T2

E + T1 + T2Θͤͨ

3.2 ‫ڧ‬ଋറ໛‫ܕ‬
3.2.1 t2 ‫ي‬ಓؒͷඈͼҠΓੵ෼͜Ε·Ͱ͸୯Ұͷ Ir

4+ΠΦϯʹண໨ͯ͠

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Cu-O-Cu Ϙϯυͷ֯౓͸ 180◦ Ͱ͋ͬͨҰํ
ͰɺNa2 IrO3 Ͱ͸ IrO6 ീ໘ମ͸ྏ‫ڞ‬༗ʹΑΓ‫͓͕ͯͬܨ‬ΓɺIr-O-Ir Ϙϯυͷ֯౓͸ 90◦ Ͱ͋Δ఺Ͱ͋Δɻਤ 8 ʹࣔ͢ Ir-O-Ir ϘϯυΛߟ
͑ΔͱɺIr(1) ͔Βྡ઀͢Δ Ir(2) ΁ͷ 5d ిࢠͷભҠ͸ɺதؒʹ͋Δ O ͷ 2p ‫ي‬ಓΛհͯ͠ੜ͡Δɻͦͷύεͱͯ͠͸ O(1) Λ‫ܦ‬༝͢Δ
৔߹ͱ O(2) Λ‫ܦ‬༝͢Δ৔߹ͷೋ͕ͭߟ͑ΒΕ

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3.2.2 Jeﬀ = 1/2 ঢ়ଶ΁ͷࣹӨͯ͞ɺ͜͏ͯ͠‫ ͨͬ·ٻ‬t2 ‫ي‬ಓؒͷඈͼҠΓ੒෼ΛɺJeﬀ = 1/2 ঢ়ଶʹࣹӨ͢Δ͜ͱΛߟ͑ΔɻͦͷͨΊʹ͸ɺ(ϕ1+ , ϕ1− ) Λ‫ج‬ఈͱͨ͠ͱ͖ͷ Ht,1-2 ͷߦྻཁૉΛ‫ٻ‬ΊΕ͹Α͍ɻྫ͑͹ɺ
ϕ1+ (1) | Ht,1-2 | ϕ1+ (2)1=
0 | (c1ξ↓ − ic1η↓ + c1ζ↑ )3σ(c†1ξσ c2ησ + c†1ησ c2ξσ )(c†2ξ↓ + ic†2η↓ + c†2ζ↑ ) | 0=1
0 | (ic1ξ↓ c†1ξσ c2ησ c†2η↓ − ic1η↓ c†1ησ c2ξσ c†2ξ↓ ) | 0
3
σ

=i−i

ΔɻͦΕͧΕͷύεͰඈͼҠΓੵ෼͕༗‫ͱݶ‬=0ͳΔͷ͸ɺIr(1)yz-O(1)pz -Ir(2)zxɺIr(1)zx-

Ͱ͋Γɺಉ༷ͷ‫ʹࢉܭ‬ΑΓ

O(2)pz -Ir(2)yz ͷೋͭʹ‫ݶ‬ΒΕ͍ͯΔɻ͜Ε͸ Slater-Koster ͷදΛ༻͍ͯ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱͰ΋͔֬ΊΒΕΔɻಔࢎԽ෺௒఻ಋମͱಉ༷ͷखଓ͖Λ౿Ή͜ͱͰɺ

ϕ1+ (1) | Ht,1-2 | ϕ1− (2) = 0
ϕ1− (1) | Ht,1-2 | ϕ1+ (2) = 0
ϕ1− (1) | Ht,1-2 | ϕ1− (2) = 0͕‫ٻ‬ΊΒΕΔɻͭ·Γɺ७ਮͳ Jeﬀ = 1/2 ‫ي‬ಓؒ

2(pdπ) †
(c1ξσ c2ησ + c†1ησ c2ξσ ) + h.c.
Δ= −t(c†1ξσ c2ησ + c†1ησ c2ξσ ) + h.c.

Ht,1-2 = −ʹ͸ɺిࢠͷඈͼҠΓੵ෼͕ͳ͍͜ͱ͕෼͔Δɻ

Ir ͷ 5d ‫ي‬ಓͱ O ͷ 2p ‫ي‬ಓʹ͸༗‫ݶ‬ͷࠞ੒͕͋Δʹ΋ؔΘΒͣɺྡ઀ͨ͠ભҠۚଐͷ 5d ‫ي‬ಓͷؒͰిࢠ͕ඈͼҠΕͳ͍ͷ͸ͱͯ΋ෆࢥٞʹ‫ײ‬(pdπ)2͕ಘΒΕΔɻ͜͜Ͱɺt = Δ Ͱ͋Δɻ͜Ε͡ΒΕΔɻ͜ͷཧ༝͸ࣜม‫ܗ‬ͷத్Λ‫ͯݟ‬΍Ε͹Λɺ๘ͷ૥֨ࢠͷ͋ΒΏΔྡ઀αΠτͰ଍͠߹෼͔Γɺྏ‫ڞ‬༗ωοτϫʔΫͷ Ir(1)-O(1)-Ir(2)《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

ͱ Ir(1)-O(2)-Ir(2) ͷೋͭͷύε͕ɺ࣮ޮతͳඈ
ͼҠΓੵ෼ʹ i ͱ −i ͷ‫د‬༩Λ͓ͯ͠Γɺ࿨ͱͯ͠θϩʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱʹ͋Δɻͭ·Γɺ‫ࢠݪ‬୯Ґͷ‫ۃ‬খͷϦϯάʹ͓͍ͯɺҐ૬͕ π ҟͳΔ੒෼͕ྔࢠ‫ׯ‬ব͍ͯ͠Δɻ͜Ε͕ɺྏ‫ڞ‬༗Ͱ‫͕ܨ‬Δ

Jeﬀ = 1/2 ঢ়ଶͷॏཁͳಛ௃Ͱ͋Γɺ͜ͷ఺͸‫ޙ‬ͷ௒ަ‫׵‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷಋग़ʹ͓͍ͯ΋ॏཁͱͳͬͯ͘Δɻ

3.3 Hubbard ໛‫ܕ‬
3.3.1 ిࢠؒ૬‫༻࡞ޓ‬࣍ʹɺ‫ڧ‬૬ؔޮՌΛऔΓࠐΉ͜ͱΛߟ͑Δɻଟ‫ي‬ಓͷ‫Ͱܥ‬͸ɺ୯ҰαΠτͷ Coulomb ੵ෼ʹෳ਺ͷ߲͕ଘࡏ͠ɺϋϛϧτχΞϯ͸ɺ

Hint = HU + HU  + HJ + HJ 

(7)ͷΑ͏ʹෳ਺ͷ߲ͷ࿨Ͱද͞ΕΔɻͦΕͧΕͷ߲͸ɺ

HU = U

HU  =

U2niα↑ niα↓ , iIr(1)-O-Ir(2) ϘϯυͷඈͼҠΓੵ෼ɻ

3.3.2 ଟ‫ي‬ಓ Hubbard ໛‫ܕ‬

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i

ਤ8

(niα↑ + niα↓ )(niβ↑ + niβ↓ ),α=βJ  †
ciασ ciασ c†iβσ ciβσ ,HJ = −2 iҎ্ͷΑ͏ͳߟ࡯ʹΑΓɺt2 ిࢠ‫ܥ‬Λ‫ه‬ड़͢Δ
໛‫ͯ͠ͱܕ‬ɺ

H = Hso + Ht + Hint(8)α=β σ,σ

HJ  =J    † †ciασ ciασ ciβσ ciβσ2 i͕ಘΒΕΔɻ͜ͷ 6 × 6 ߦྻͰදͤΔϋϛϧτχ
Ξϯ͸ɺ೚ҙͷϑΟϦϯάͷ t2 ిࢠ‫ܥ‬Λ‫ه‬ड़͢α=β σ=σͰ͋Δɻ͜͜Ͱɺ

ΔͨΊʹ༗ޮͳҰൠతͳ΋ͷͰ͋ΔɻಛʹɺHso

αβ | α β  Λআ͍ͨ 2 ߲͔ΒͳΔϋϛϧτχΞϯ͸ɺଟ‫ي‬ಓdr1 dr2 ϕ∗α (r1 )ϕ∗β (r2 )=e2ϕα (r1 )ϕβ  (r2 )|r1 − r2 |ͱͯ͠ɺU = ηη | ηη, U = ηξ | ηξ, J = ηξ |

Hubbard ໛‫ݺͱܕ‬͹ΕΔɻͦΕͧΕͷ߲ͷΤωϧΪʔεέʔϧΛ֬ೝ͢Δ ɻε ϐ ϯ ‫ ي‬ಓ ૬ ‫ ༻ ࡞ ޓ‬ζ ͸ 3d ి ࢠ ‫ Ͱ ܥ‬͸ξη, J = ηξ | ξη Ͱ͋ΔɻHint ʹ͓͍ͯɺୈ

0.02 − 0.08eV ఔ౓Ͱ͋Δ͕ɺ‫ࢠݪ‬൪߸ͷେ͖Ұ߲͸ಉ͡‫ي‬ಓ಺ͷ Coulomb ੱྗɺୈೋ߲͸ҟͳ 5d ిࢠ‫Ͱܥ‬͸ 0.2 − 0.6eV ʢIr Ͱ͸ 0.55 eVʣͳΔ‫ي‬ಓؒͷ Coulomb ੱྗɺୈࡾ߲͸ҟͳΔ‫ي‬Ͱ͋ΔɻඈͼҠΓੵ෼ t ͸ɺભҠۚଐͷ d ‫ي‬ಓͱಓؒʹಇ͘ަ‫׵‬૬‫༻࡞ޓ‬ɺୈ࢛߲͸ҟͳΔ‫ي‬ಓؒࢎૉͷ 2p ‫ي‬ಓͱͷΤωϧΪʔࠩʹґଘ͓ͯ͠ΓͷϖΞϗοϐϯάΛҙຯ͍ͯ͠Δɻ͜ΕΒͷύϥ

෺࣭ʹ‫͘ڧ‬ґଘ͢Δ͕ɺ3d ిࢠ‫Ͱܥ‬΋ 5d ిࢠ‫ܥ‬ϝʔλ͸ಠཱͰ͸ͳ͘ɺU = U + 2J, J = J ͷͰ΋ɺͬ͘͟Γ 0.1 − 0.5 eV Ͱ͋Δɻిࢠ૬ؔʹؔ܎ࣜͰ݁ͼ͍͍ͭͯΔɻ·ͨɺେখؔ܎ͱͯ͠

ؔΘΔྔ͸ɺ3d ిࢠ‫Ͱܥ‬͸ U ͕ ∼ 6 eVɺJ ͕

U >U

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1
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2ϕ(3 T1 , M = 1, α) = c†η↑ c†ζ↑ | 0,
1
ϕ(3 T1 , M = 0, α) = √ (c†η↑ c†ζ↓ − c†ζ↑ c†η↓ ) | 0,
2ϕ(3 T1 , M = −1, α) = c†η↓ c†ζ↓ | 0,
ϕ(3 T1 , M = 1, β) = c†ζ↑ c†ξ↑ | 0,
1
ϕ(3 T1 , M = 0, β) = √ (c†ζ↑ c†ξ↓ − c†ξ↑ c†ζ↓ ) | 0,2
3
ϕ( T1 , M = −1, β) = c†ζ↓ c†ξ↓ | 0,
ϕ(3 T1 , M = 1, γ) = c†ξ↑ c†η↑ | 0,
1
ϕ(3 T1 , M = 0, γ) = √ (c†ξ↑ c†η↓ − c†η↑ c†ξ↓ ) | 0,2
3
ϕ( T1 , M = −1, γ) = c†ξ↓ c†η↓ | 0,
1ϕ(1 T2 , ξ) = √ (c†η↑ c†ζ↓ + c†ζ↑ c†η↓ ) | 0,
2
1 † †
1
ϕ( T2 , η) = √ (cζ↑ cξ↓ + c†ξ↑ c†ζ↓ ) | 0,
2
1
ϕ(1 T2 , ζ) = √ (c†ξ↑ c†η↓ + c†η↑ c†ξ↓ ) | 02Ͱ͋Δɻରশੑ͔ΒΤωϧΪʔʹؔ͢Δ৘ใΛҾ͖ग़ͤͳ͍ͷ͸ɺిࢠ૬ؔޮՌͷಇ͔ͳ͍Ұిࢠ‫ܥ‬ͷͱ͖ͱಉ༷Ͱ͋ΔɻCoulomb ૬‫༻࡞ޓ‬ͷߦྻཁૉΛ࣮ࡍʹ‫͢ࢉܭ‬ΔͱɺE(1 A1 ) = U + 2J  =U + 2J, E(1 E) = U − J  = U − J, E(3 T1 ) =《講義ノート》

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044208 （2015年11月号）

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