負圧型空気膜構造の支持骨組の座屈挙動と補強方法についての基礎的考察
陳坤*1
洪文汗*1
川口健一*２梗概

負圧型空気膜構造に着目し、その支持骨組の座屈挙動について、線形座屈荷重と実大ﾓﾃﾞﾙの実験値との簡単な比較を行った。支持骨組はｱｰﾁ型であり、座屈拘束を目的としたﾛｰﾌﾟの補剛効果についても検討している。

1 はじめに空気膜構造には正圧型と負圧型があることが知られているが、正圧型に比べて負圧型の研究や実施例は尐ない。しかし正圧型は基礎などの境界構造が宿命的に大きくなる傾向があり、仮設構造物として空気膜構造を用いる場合、軽量構造のﾒﾘｯﾄが充分に活かせない原因となっている。これに対して、負圧型は境界構造を正圧型に比べて格段に軽量化できる可能性がある。
仮設建築としての空気膜構造の利用を考えた時、境界構造を簡易に軽量に済ませることができるというのは大きなﾒﾘｯﾄであり、検討の価値があると考えられる。
以上を踏まえ、本研究では単層の負圧空気膜構造ｼｽﾃﾑの基礎的な検討を行う。負圧型空気膜構造には通常、形態を保つ反力を得るための骨組みが必要となるが、その骨組に発生する座屈現象に関して、ロープを用いた補剛を検討する。（今後は負圧による張力膜などによる補剛効果を利用し、座屈荷重を高める可能性についても検討したい）。
本論文中では、基礎的な形状として、複数の半円ｱｰﾁにより支えられた半球状の負圧型空気膜構造を考えた。負圧空気膜構造の中に入れた骨組みには、圧縮力が作用するため、座屈問題について考える必要がある。本論文ではまず、線形座屈解
析により、座屈荷重を比較し、さらにﾛｰﾌﾟを用いて座屈補剛を行う方法について検討した。
同時に、直径約 6m の半球状の単層の負圧空気膜構造を実際に作成し、内圧を測定することで、座屈荷重を解析結果と比較した。

2.1 半円の二次元ｱｰﾁの安定性
図 1 に、ﾛｰﾌﾟにより補剛した直径 6m の半円の二次元ｱｰﾁを示す。黒い実線はｱｰﾁ、破線はﾛｰﾌﾟである。
有限要素法による、線形座屈解析を行い、二次元ｱｰﾁの安定性とﾛｰﾌﾟによる補強効果を調べた。ｱｰﾁの各節点の自由度は 3である。平面ｱｰﾁは二次元梁要素、ﾛｰﾌﾟはﾄﾗｽ要素とした。梁要素とﾄﾗｽ要素の剛性ﾏﾄﾘｸｽと幾何剛性ﾏﾄﾘｸｽは文献「3」、文献「5」に参照した。

図 1 二次元ｱｰﾁと補強ﾛｰﾌﾟ

節点と外力の状況を図 2 に示す。ｱｰﾁは 12 の梁要素なる。

2 ｱｰﾁによる骨組の線形座屈解析
負圧型空気膜構造を支える骨組について、簡単な線形座屈解析により、検討する。以下では、二次元単ｱｰﾁﾓﾃﾞﾙ、三次元の単ｱｰﾁﾓﾃﾞﾙ、三次元の複数ｱｰﾁﾓﾃﾞﾙの順に検討する。また、各ｱｰﾁの頂点の動きをﾛｰﾌﾟ(解析上はﾄﾗｽ要素)で拘束したﾓﾃﾞﾙも設定し、挙動を比較する。
*1*2

東京大学大学院工学系研究科，建築学専攻，大学院生-1東京大学生産技術研究所，教授，工博*** 横浜国立大学工学部 建設学科 学生

図 2 二次元ｱｰﾁの分割と初期外力の分布

外力は、各節点から円の中心に向かうものとする。
材料は、後述の実験の材料係数と一致させるため、以下のように設定する。
1、ｱｰﾁは塩ビ製ﾊﾟｲﾌﾟで組み立てる。塩ビ製ﾊﾟｲﾌﾟの断面は中空の円で、内径 2.5mm、外径 3.2mm である。塩ビ製ﾋﾞﾆﾙ管・継手協会により、ﾔﾝｸﾞ係数は 3333MPa、ﾎﾟｱｿﾝ比は 0.38 とする。
2、ﾛｰﾌﾟは直径 1.05mm の綿金剛打ﾛｰﾌﾟである。そのﾔﾝｸﾞ係数は文献「4」のVinylon fiber(K)の実験値を採用し、10.8GPaとする。
後述の各数値解析の例は、全てこちらの材料を用いる。
式（1）の一般化固有値問題を解くことで座屈荷重・座屈ﾓｰﾄﾞを求める。
（1）[ K Et   KGt ]  {U}  0有値として求められる）を表示したものである。

図 5（a） 三次元ｱｰﾁの剛性変位の側面図

式中： K Et 、 K Gt 、  、U はそれぞれ全体構造の剛性ﾏﾄﾘｸｽ、(幾何剛性ﾏﾄﾘｸｽ、座屈固有値（座屈荷重）、固有ﾍﾞｸﾄﾙ（座屈ﾓｰﾄﾞ）を表す。
式（1）を解くことで得られた最小の正数の  が一次座屈荷重であり対応する固有ﾍﾞｸﾄﾙは一次座屈ﾓｰﾄﾞである。後述の  は全て一次座屈荷重を表すものとする。
本論文中、ﾛｰﾌﾟなしの場合を無補強ｱｰﾁ（またはﾄﾞｰﾑ）、ありの場合を補強ｱｰﾁ（またはﾄﾞｰﾑ）と呼ぶ。
二次元ｱｰﾁの境界条件はﾋﾟﾝである。図 3 と図 4 はそれぞれ二次元ｱｰﾁの無補強と補強の一次座屈ﾓｰﾄﾞである。

図 5（b） 三次元ｱｰﾁの剛性変位の平面図(

図 6 と図 7 はそれぞれ無補強と補強の一次座屈ﾓｰﾄﾞである。
その 2 つの座屈ﾓｰﾄﾞはどちらも面外捩じれ座屈である。
一次座屈荷重を比べても、両者にほとんど差はなく、ｱｰﾁ面内にﾛｰﾌﾟを取り付けることは、一次座屈荷重は約 5.75％下回って、面外座屈に対しては効果がないことが分かった。
図 3 無補強の二次元ｱｰﾁの一次座屈ﾓｰﾄﾞ(

図 4 補強の二次元ｱｰﾁの一次座屈ﾓｰﾄﾞ

図 6(a) 無補強の三次元ｱｰﾁの一次座屈ﾓｰﾄﾞの側面図((

図 3 と図 4 を比較すると、一次座屈荷重は、ﾛｰﾌﾟで補強した後、約 3.5 倍大きくなったことが分る。二次元ｱｰﾁは面内しか発生しないため、ﾛｰﾌﾟで面内補強をすれば、ﾛｰﾌﾟの交点がﾋﾟﾝ支持点のような役割を果たし、座屈荷重を大きくすることができるようである。
図 6(b) 無補強の三次元ｱｰﾁの一次座屈モードの平面図

2.2 半円の三次元ｱｰﾁの安定性2.1 の例と同じ大きさ、荷重、材料と境界条件の三次元ｱｰﾁを考えた。
各節点の自由度を 6 である。三次元ｱｰﾁの場合、ﾛｰﾌﾟがあるかどうかにかかわらず、剛体変位の座屈ﾓｰﾄﾞが存在する。図 5はその剛体変位ﾓｰﾄﾞ（式（1）の固有値問題を解いたときに零固(-2-各節点の外力方向は、各節点から球の中心に向かって与える。各節点の外力の大きさは、後述する負圧空気膜構造の荷重条件を模擬するため、図 9 のように、ﾓﾃﾞﾙ上の節点で囲まれた球殻の負担表面積から次のように計算する。

図 7（a） 補強の三次元ｱｰﾁの一次座屈モードの側面図(

図 9 投影面の計算面積

図 7（b） 補強の三次元のｱｰﾁの一次座屈モードの側面図

2.3 複数の三次元のｱｰﾁによる半球なﾄﾞｰﾑの安定性
本節は三次元のｱｰﾁで製作した直径６m のﾄﾞｰﾑの安定性及ぶﾛｰﾌﾟによる補強方法と補強効果について考察した。
図 8 は、型 1 の半球のﾄﾞｰﾑである。そのﾀｲﾌﾟは、ｱｰﾁは 12 本で、等間隔で半球の経度方向に並ぶ。ﾛｰﾌﾟが境界の節点とﾄﾞｰﾑの頂点と繋がれて、全部 12 本である。
ｱｰﾁとﾛｰﾌﾟの要素と分割は、2.1 節の例と同じである。境界条件は全てﾋﾟﾝ支持とする。

図 9 の A1～A6 は水平面に四つまたは三つの節点に囲まれた負担面積である。外力は均等に 1Pa の面荷重として、A1～A6の各面積とその外力の乗積は、各面積に作用する外力として、周囲の節点に等分の値に与える。表 1 は A1～A6 の面積である。
表 1: 負担面積の計算
面積の番号

面積 (m2)

A10.8682

A20.7112

A30.6107

A40.4686

A50.2946

A60.1005

図 8（a） 三次元の型１のﾄﾞｰﾑの側面図

図 10（a） 無補強の型 1 のドームの一次座屈ﾓｰﾄﾞﾞの側面図(

図 8（b） 三次元の型 1 のﾄﾞｰﾑの平面図-3-

な、、隣り合うｱｰﾁの間を 2 本の斜材と 1 本の水平材をﾌﾞﾚｰｽ状に取り付ける補強する新しいﾛｰﾌﾟの配置について考える。

図 12（a） 三次元の型 2 のﾄﾞｰﾑの側面図
図 10（b） 無補強の型 1 のﾄﾞｰﾑの一次座屈ﾓｰﾄﾞの側面図(

図 11（a） 補強の型 1 のﾄﾞｰﾑの一次座屈ﾓｰﾄﾞの側面図(
図 12（ｂ） 三次元の型 2 のﾄﾞｰﾑの側面図

図 12 のﾓﾃﾞﾙに前述の荷重を与えたときの斜めのﾛｰﾌﾟ軸力は:＋0.6350N、水平方向のﾛｰﾌﾟ軸力は：-1.9894N であった。
線形座屈解析によって得られた一次座屈ﾓｰﾄﾞを図 13 に示す。
図 13(b)をみると、この座屈ﾓｰﾄﾞが全体のねじれ座屈を表していることが分かる。

図 11（b） 補強の型 1 のﾄﾞｰﾑの一次座屈ﾓｰﾄﾞの側面図(
図 13（a） 型 2 のﾄﾞｰﾑの一次座屈モードの側面図

図 11 の静定計算により、ﾛｰﾌﾟの軸力は+0.8832N（”+”は引っ張り力で、”-”は圧縮力である）である。
図 10 と図 11 はそれぞれ無補強と補強の型１のﾄﾞｰﾑの一次座屈ﾓｰﾄﾞであり、どちらも捩じれ座屈のである。例 2.2 の三次元ｱｰﾁの一次座屈ﾓｰﾄﾞと似ている。
座屈荷重（λ）をみると、補強時の座屈荷重は無補強時の 2/3程度に低下しており、ﾛｰﾌﾟの存在がかえって座屈荷重を下げてしまう傾向があることが分かった。
次に、捩れの座屈モードを拘束する目的で、図 12 の型 2 よう(-4-座屈荷重も無補強の場合に比べて 2 倍以上になっている。
ここは、節 2 の型 1～4 のﾄﾞｰﾑの結果を表 2 にまとめた。
表 2: ﾄﾞｰﾑの補強方法と数値解析の結果
ﾛｰﾌﾟの設置方
補強種類

法

ﾛｰﾌﾟの軸力（”+” 一次座屈座屈は引っ張り力荷重ﾓｰﾄﾞで、”-”は圧縮力(Pa)である）
型 1（無なしなし

8.61

捩じれ座屈+0.8832N

6.10

捩じれ座屈

44.03

並進座屈25.16

捩じれ座屈補強）
ﾛｰﾌﾟは境界の節点とﾄﾞｰﾑの頂図 13（b） 型 2 のﾄﾞｰﾑの一次座屈モードの平面図型1本である。

(

ただし、初期張力が導入されていないﾛｰﾌﾟは実際には圧縮力を負担できないため、この解析結果は実現象とは異なる可能性がある。そこで、結果をより実現象に近づけるため、水平方向のﾛｰﾌﾟを削除し、改めて座屈荷重と座屈ﾓｰﾄﾞを計算した。このときの座屈荷重および座屈ﾓｰﾄﾞを図 14 に示す。

点を結ぶ、計 12型2隣り合うｱｰﾁ斜めのﾛｰﾌﾟ軸の間を 2 本の斜力は:＋0.6350N、材と 1 本の水平水平方向のﾛｰﾌﾟ材をﾌﾞﾚｰｽ状に取軸力は：-1.9894Nり付ける。

であった。

隣り合うｱｰﾁ型3の間を 2 本の斜+0.8165N材をﾌﾞﾚｰｽ状に取り付ける。

図 14（a） 型 3 のﾄﾞｰﾑの一次座屈モードの側面図(

3 半球状の単層の負圧空気膜構造の製作
負圧型空気膜構造の基本的な挙動を把握するために、2012
年 1 月に、東京大学の生産技術研究所 Ew 棟 5 階ﾃﾗｽで、直径6ｍの半球状の負圧空気膜構造の製作実験を行った。
実験の手順は次のように述べる
１．図 16 に示すように、骨組みを入れずに空気膜構造を完全にｲﾝﾌﾚｰﾄして、正圧の空気膜構造を作った。
2．その正圧のﾄﾞｰﾑの中で、図 17 に示す 12 本のｱｰﾁで骨組を組み立てた（ﾛｰﾌﾟはまだ入れない）。
3．その後、空気膜構造内の空気を排出し負圧型へと移行させた。徐々に膜材が骨組により支持されるようになり最終的に骨組の座屈により全体的に非対称な変形が発生した。このときの骨組の座屈の臨界気圧差を測定した（図 18 の a と b）。
4．空気膜構造を再びｲﾝﾌﾚｰﾄし、元の半球の形状に回復させ、
図 15 のようなﾛｰﾌﾟをﾌﾞﾚｰｽ状にｱｰﾁとｱｰﾁの間に設置した。その後、再び排気を行い、負圧型空気膜構造とした。骨組が座屈するまで排気を続け、座屈時の臨界気圧差を測定した（図 19 のa と b）。

図 14（b） 型 3 のﾄﾞｰﾑの一次座屈モードの平面(

図 14 の斜めのﾛｰﾌﾟの軸力は+0.8165N であった。
図 14 をみると、型 3 の一次座屈ﾓｰﾄﾞは並進座屈であり、この補強方法には捩じれ座屈を止める効果があったことが分かる。

-5-

図 18(b) 無補強の骨組みの座屈時の内観(気圧差約-50Pa)

図１５ 交差のﾛｰﾌﾟで補強の簡略図

図 19(a) 補強された負圧の空気膜構造の外観
図 16 完全ｲﾝﾌﾚｰﾄした正圧の空気膜構造（気圧差約-30Pa~-40Pa）（気圧差約+110Pa）

図 19(b) 補強された負圧の空気膜構造の内観（気圧差約-30Pa ~ -40Pa）

図 17 骨組を入れた正圧の空気膜構造の内観（気圧差約+110Pa）

図 20(a) 補強された骨組の座屈時の外観
図 18(a) 無補強の骨組の座屈時の外観(気圧差約-70Pa)(気圧差約-50Pa)-6-次座屈荷重より高くなっている。
3）負圧空気膜構造では、支持骨組みの座屈を考慮する必要があり、補剛ﾛｰﾌﾟや膜面材による座屈拘束効果を上手に使うことによって、より軽量高剛性なｼｽﾃﾑが可能と考えられる。それらは、今後の課題としたい。

図 20(b) 補強された骨組みの座屈時の内観謝辞：本研究の一部は、文部科学省科学研究費挑戦適法が研究「ｱﾙﾃｨﾒｰﾄ･ｼｪﾙﾀｰの形態と力学性能に関する調査研究」、及び東京大学生産技術研究所「展開研究」の助成を受けている。
ここに記して謝意を表する。

(気圧差約-70Pa)

参考文献
4 実大実験と数値解析結果との比較
実験の図18 と図20 の結果を比較すると、今回の負圧空気膜構造は、ﾛｰﾌﾟで補強することにより座屈荷重が上昇したことが分かる。
次に実験値と数値計算結果の比較を行う。。
実験の図 18 と数値解析の図 10 はどちらも無補強の場合だが、これらの座屈ﾓｰﾄﾞはどちらも捩じれ座屈である。
図 18 の実験の座屈荷重は約-50Pa で、それに対して、図 10の一次座屈荷重は 8.61Pa で、約実験値の 17％である。
実験の図 20 により、横補強のﾛｰﾌﾟが弛んでいた。そして、数値解析の図 14 の型 3 との比較するほうが妥当だと考える。図 20の実験の座屈荷重は約-70Pa で、それに対して、型 3 の一次座屈荷重は 25.16Pa で、約実験値の 35%である。
一方、図20 と図14 の座屈ﾓｰﾄﾞを比較した。図14 に示す一次座屈ﾓｰﾄﾞは並進座屈であったに対して、図 20 の座屈形状は、塩ビ製ﾊﾟｲﾌﾟは片面で骨組の裏方向に凹み、局部的な座屈となって落ちつた。最終形状は異なるが、途中の変形性状を比較していないため、即断はできない。今回のようなラフなﾓﾃﾞﾙ実験の場合には初期不整が多く存在する。実験と解析結果が一致しない一因と考えられる。また、実験の負圧空気膜構造に、ｱｰﾁの間に膜があるため、これが引張力を負担し、補強材として働いている可能性も考えられるが、本報告では十分な検討を行っていないので、今後の課題としたい。

1) 川口健一，金子雅彦：空気の分子量に着目した空気膜構造物のｲﾝﾌﾚｰﾄ解析，
日本建築学会大会学術講演梗概集，pp.1063-1064，2000
2) 高田雅之，川口健一：「ｲﾝﾌﾚｰﾀﾞﾌﾞﾙ構造の大変位挙動に関する研究ｰ直径 6m
半球空気膜構造のｲﾝﾌﾚｰﾄ過程の測定ｰ」，日本建築学会大会学術講演梗概集，pp.909-910，2004
3) 川井忠彦，藤谷義信：座屈問題解析，有限要素法の基礎と応用シリーズ 11，培風館，1991
4) 関島謙蔵，川上清陛下等：連続繊維ﾛｰﾌﾟの性能評価（第 2 報），関東学院大

学工学総合研究所報 36，pp.11-20，2008
5) 金子雅彦：内包気体の分子数制御による空気膜構造のインフレ―ト解析，東京大学修士論文，2000
6) 高田雅之：空気膜構造インフレ―ト過程の三次元形状測定とその数値解析手法に関する研究，東京大学修士論文，2004

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5 まとめ
本報告では、負圧型空気膜構造について、有限要素法による骨組の線形座屈解析と実大実験の結果について簡単に報告した。
１）線形座屈数値解析の結果により、３次元ｱｰﾁの形の骨組みは、面外の捩じれ座屈を発生しやいことが分かった。また、補強ﾛｰﾌﾟの設置は座屈荷重及び座屈ﾓｰﾄﾞに影響を与える。ﾛｰﾌﾟをｱｰﾁとｱｰﾁの間に設置することで、面外の捩じれ座屈を止める効果があることが分った。
2）直径 6m の半球型の負圧空気膜構造を製作した。ﾛｰﾌﾟによる補強がある場合とない場合、それぞれについて座屈時の内圧を測定した。隣り合うｱｰﾁの間にﾛｰﾌﾟを設置する補強方法にはねじれ座屈を止める効果があることを確認した。実大実験で測定された座屈荷重は、補強／無補強に関わらず数値解析の一-7-

Fundamental study on the buckling behavior and reinforcement forthe skeleton supporting a negatively pressurized pneumatic structure
Kun CHEN*1)
Wenhan HONG*1)
Ken'ichi KAWAGUCHI *2)
SYNOPSIS
The advantage of negatively pressurized pneumatic structures is discussed. The buckling behavior of skeletons that support the pneumaticstructures’ surfaces is investigated by means of linear numerical analysis and a full-scale experiment. The configuration of the investigatedskeleton is an arch. The reinforcement effect by tension members is also considered.

*1）

Graduate Student, Dept. of Engineering, Univ. of Tokyo
Prof, IIS, Univ. of Tokyo, Dr. Eng*2）-8-