ることなくできるようになって、磁石の設計

ビーム輸送の基礎が非常にしやすくなってきている。
この小論では、はじめにビーム光学の基礎方

ビーム光学と電磁石の基礎

程式の導出、要素である各種磁石の輸送マト
リックスなどビーム輸送の基礎知識を述べ、

1. はじめに

次に２次元の静磁場、３次元静磁場の記述、

前世紀の半ば前（１９３２年）にコック

鉄など強磁性体を用いた電磁石、それらの磁クロフトとウォルトンが静電型加速器で陽子場測定などについて述べる。

を初めて加速して原子核の人工的変換を行っ

2. 磁 場 中 で の 荷 電 粒 子 の 運 動 方 程
式て以来、ヴァンデグラーフ静電加速器、サイクロトロンが作られ、第二次世界大戦後には線形加速器、シンクロトロンが発展してきた。

２.1. 磁場の中 の荷電粒子の運動
荷電粒子を偏向、収束等ハンドリングする
のに通常磁場を用いる。
ここでは磁場の中の荷電粒子の運動方程式を一般性を持って、導出している Brown の論
文 1)にそって述べる。
静磁場の中の荷電粒子の相対論的な運動方程式は運動量の時間変化がローレンツ力に等しいので、次のベクトル方程式が成り立つ。

これら加速器は原子核、素粒子の研究に使用されるばかりではなく、発生するガンマ線は医療に用いられてきた。さらに加速器の発達により加速された粒子線も治療に用いられるようになり、専用の加速器も作られるようになってきた。
このように加速器に伴ってビーム光学が発展し（ビーム光学の発展に伴って、加速器が発展し「もちろん工学的な発展によっても」）、 P˙ = e(V × B)

また加速器の複雑化、粒子線の利用装置の複雑化、精密化に伴って粒子線の精密かつ複雑(1)
ここで、e は荷電粒子の電荷、V は速度、P はなビーム輸送に対する要望が強くなり、それが技術の発展を促してきた。

運動量の大きさである。

€また、T は粒子の位置ベクトル、T は動いた

ビーム輸送の要素（加速器の要素でもある。）である磁石について言えば、常伝導電磁€長さとする。

石、超伝導電磁石、永久磁石によるものなど、€



粒子の軌道の単位接線ベクトルは dT dT な(dTdT)V 、€ ので、粒子の速度、運動量は€(dT dT)P と書ける。時間についての微分は、
τ を時間として、€d dτ = (dT dτ ) d dT€= V (d dT)

磁場の強さや形など、要望によっていろいろと発展してきた。
例えば、ビームの強収束原理の発見によって、鉄を用いた combined function 型（複合機能型）の偏向電磁石、収束用の四極電磁石、収€なので、式(1)は dT  d  dT V× B P  = eV 
dT  dT  dT差補正用の六極電磁石等が作られるようにな€った。また、強い磁石の必要性等から、これ€
らの超伝導磁石も作られ発展してきた。
また、永久磁石材（希土類永久磁石）の発達

これを書き直すと、

によりこれらを起磁力にした二極、四極磁石€等も作られ実用に用いられている。
最近では計算機の驚くべき発展によって、
２次元、３次元の静磁場の磁場計算のみならず交流、トランジェントな磁場計算も苦労す
d 2T dT  dP   dT  
P 2+
× B
  = edT
dT  dT   dT


(2)


B は磁束密度である。ところで単位ベクトルの微分はその単位ベクトルに垂直であるから、

€
€

€



d 2T dT 2 は dT dT に垂直である。従って、で表すとする。単位ベクトル ( xˆ , yˆ , tˆ ) の t に関式(2)は、

する微分は次のようになる。

€

€



d 2T e  dT  = × BdT 2 P  dT


(3)

dP
=0
dT

(4)

xˆ ′ = htˆ
yˆ ′ = 0€tˆ ′ = −hxˆ

と

€

(5)

ここで、h は t の関数でh(t) = 1 ρ (t)€で, ρ(t) は粒子の中心軌道の曲率半径である。

と書ける。
これらは磁場の中の運動では、P は constantof motion
であるし、静磁場による力は常に€速度に垂直であることを示している。

2.3. Curvilinear 座標系での運動の方程€€式
式(3)を上記の curvilinear 座標系で表すこ€
２.2. Curvilinear 座標系とにする。

図 2-1 に示す右手系の curvilinear 座標系(x, y,t) をとる。粒子の中心軌道上の点 O をとdT dT,d 2T dT 2 を t での微分を用いて表す
dT (dT dt) T ′==dT (dT dt) T ′原点とする。中心軌道上の粒子の運動の方向を座標 t の正の方向とする。

€

€





d 2T
d  dT 
1 d  T ′ 1 d  T ′
=
 =
 =
 
2
dT  dT  dT dt dt  T ′  T ′ dt  T ′ 
€ dT
となる。
これらから、
 T ′′T ′ − T ′T ′′ d 2Td  T ′(T ′)= T ′   = T ′
dT 2
dt  T ′ 
T ′2




 T ′T ′′  1 T ′ d= T ′′ −= T ′′ −T ′2 )(
2T′
2 T ′ dt€2

ここで、互いに垂直な単位ベクトル ( xˆ , yˆ , tˆ )これを用いて、式（３）を書くと、

 1 T′ d
 
e
2
′
′
′ × B) (6)T ′′ −
T
=
T
(
T
(
)
2 (T ′) 2 dt
Pを定義する。tˆ は点 A での t の正の方向を向 い た 中 央 軌 道 の 接 線 と す る 。 xˆ は €ˆsymmetry plane 上にあり点€ A を通り t に垂直、€ yˆ は点 A を通り symmetry planeに垂直でこれらは右手系を作っている。
即
€
€
ち
€
€
xˆ = yˆ × tˆyˆ = tˆ × xˆtˆ = xˆ × yˆの関係をみたしている。t の微分を prime€となる。
Curvilinear 座標系の線素は


dT = xˆdx + yˆ dy + (1+ hx) tˆdt (dT) 2 = dT ⋅ dT = dx 2 + dy 2 + (1+ hx) 2 dt 2

だから、これらを t で微分した式から、

€
€
€
€
€


T ′ = xˆx ′ + yˆ y ′ + (1+ hx) tˆ
T ′2 = x ′2 + y ′2 + (1+ hx) 2d2(T ′) = 2 x ′x ′′ + 2 y ′y ′′ + 2(1+ hx)(hx ′ + h ′x)
dtの関係が得られる。

は Bx = Bt = 0 で By ≠ 0 である。

また、

T ′′ = xˆx ′′ + xˆ ′x ′ + yˆy ′′ + yˆ ′y ′ + (1+ hx) tˆ ′+(hx ′ + h ′x) tˆ

Scalar potential が y の奇関数であるので、次のような展開系であらわす。

€

€
x2
x3
ϕ (x, y,t) = (A10 + A11 x + A12 + A13 + ⋅⋅)y
2!
3!
2
3
x
y
+(A30 + A31 x + A32 + ⋅ ⋅ ⋅) + ⋅ ⋅ ⋅
2!
3!
∞ ∞
n
2m +1
x
y
= ∑ ∑ A2m +1,nn! (2m + 1)!
m= 0 n= 0に式(5)を用いると、

T ′′ = xˆ [ x ′′ − h(1+ hx)] + yˆy ′′ + tˆ [2hx ′ + h ′x ]€こ れ ら の 関 係 を 式 (6) に 代 入 す る と 、curvilinear 座標系での運動方程式が得られ€る。
それは少し煩雑なので、x,y とそれらの微分の２次までとった、 xˆ , yˆ 成分の方程式はここで係数 A2m +1,n は t の関数である。

€

dT 2 = dx 2 + dy 2 + (1+ hx) 2 (dt) 2

x ′′ − h(1+ hx) − x ′(hx ′ + h ′x) =e
T ′ y ′Bt − (1+ hx) By
P €(7)y ′′ − (hx ′ + h ′x) =e
T ′ (1+ hx) Bx − x ′Bt
P[

Curvilinear 座標での線素 dT はであるから、€][

この座標系でのラプラス方程式は
€

1
∂
∂ϕ 
(1+ hx) 
(1+ hx) ∂x 
∂x 
∂ 2ϕ
1
∂  1 ∂ϕ 
+ 2+

=0
∂y
(1+ hx) ∂t (1+ hx) ∂t €

∇ 2ϕ =]となる。
粒子の中心軌道では x、y、x’、y’が０なので、€

h(t) =e 
By (0,0,t)P0になる。
これに ϕ の展開式を代入すれば、係数 A の間の関係が得られる。ここで、 P0 は中心軌道の €に次の関係がでる。

粒子の運動量である。

€′′ +1,n + nhA2m′′ +1,n−1−A2m +3,n = A2m€

2.4. M edian plane€ に対して対称性を持′ +1,n−1 + A2m +1,n +2−nh ′A2m+(3n + 1)hA2m +1,n +1 + n(3n −1)h 2 A2m +1,n

つ磁場+n(n −1) 2 h 3 A2m +1,n−1 + 3nhA2m +3,n−1

median plane に対して対称な静磁場をこの座標系で表すことを考える。

+3n(n −1)h 2 A2m +3,n−2静磁場が median plane 対称性を持つとい+n(n −1)(n − 2)h 3 A2m +3,n−3うことは、中心軌道を含む平面に対して
magnetic scalar potential

ϕ が座標 y の奇prime は d dt を表す。subscript に 0 がある関数

ϕ (x, y,t) = −ϕ (x,−y,t)であることである。
€


従って、 B = gradϕ (x, y,t) 注１）であるから€

Bx (x, y,t) = −Bx (x,−y,t)By (x, y,t) = By (x,−y,t)€Bt (x, y,t) = −Bt (x,−y,t)の関係がある。これから median plane 上で€係数 A の値は０であり、これらの係数は t の関数で、係数 A1,n (t) ですべて表される。

 ∂ n By 
A1,n =  n  ∂x  x= 0€€なので、midplane 上の磁場 By (x,0,t) で、すべての磁場の係数が表されることになる。
€
磁場の各成分を書くと、

€
€

€

y= 0

∞

∞

Bx = ∑ ∑ A2m +1,n +1
m= 0 n= 0∞

x n y 2m +1
n! (2m + 1)!

By (x,0,t) を書けば、

x n y 2m
By = ∑ ∑ A2m +1,nn! (2m)!
m= 0 n= 0∞

Bt = 1  ∂By 
n = −
 hBy  ∂x x= 0

∞

∞

€
n

y= 0

2m +1

1
x
y
′ +1,nA2m∑∑(1+ hx) m= 0 n= 0
n! (2m + 1)!

 1  ∂ 2 B 
β =  2  2y 2!h By  ∂x x= 0

である。

y= 0

粒子の運動の式を２次までとったように、

 1  ∂ B 
γ =  3  3y  3!h By  ∂x x= 03

磁場の表現も２次までとることにする。

€

そうすると、スカラーポテンシャルは

y= 0

By (x,0,t) = By (0,0,t)
1
ϕ (x, y,t) =  A10 + A11 x + A12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ y


2!
y3
+⋅⋅⋅
3!

€

∂ B 
A1n (t) =  ny  ∂x  x= 0€+(A30 + A31 x + ⋅ ⋅ ⋅)特に n は field index と呼ばれる。
中心軌道は

n

€

×[1− nhx + βh 2 x 2 + γh 3 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅]By (0,0,t) = hとなり、各係数は

y= 0

A30 = −[ A10′′ + hA11 + A12 ]となる。

€€ 具体的に磁場の各成分を書くと、次の様にな€∂ϕ= A11 y + A12 xy + ⋅ ⋅ ⋅∂x∂ϕ1
By (x, y,t) == A10 + A11 x + A12 x 2∂y2!
1+ A30 y 2 + ⋅ ⋅ ⋅2!
1 ∂ϕ
Bt (x, y,t) =(1+ hx) ∂t
1=[ A10′ y + A11′ xy + ⋅ ⋅ ⋅](1+ hx)

€

2
P 
1
1 ∂ ByA12 == βh 3  0 2e
2!
2! ∂x x= 0

P 
A30 = −[ h ′′ − nh 3 + 2βh 3 ] 0 
e

€

P 
A10′ = h ′ 0 
e

€

P 
A11′ = −[2nhh ′ + n ′h 2 ] 0 eで表される。

By (x,0,t) = A10 + A11 x + A12 x + ⋅ ⋅ ⋅y= 0

また、２次まで展開した磁場の各成分は

€

2
∂By 
1 ∂ By x+x2 + ⋅⋅⋅
2 ∂x x= 0
2! ∂x x= 0
y= 0

y= 0

と な る 。 第 一 項 が dipole 、 第 二 項 がquadrupole、第三項が sextupole 成分である。
€

€

y= 0

€

2

= By ] x=€
0 +

∂By
P 
= −nh 2  0 e∂x x= 0y= 0

midplane 上での By は€

P 
A10 = By (0,0,t) = h 0 
e
A11 =

る。

Bx (x, y,t) =

€

P0
e

ここで、次の dimensionless な量を導入して、€

P0[−nh 2 y + 2βh 3 xy + ⋅ ⋅ ⋅] (8-1)
ePBy (x, y,t) = 0 [h − nh 2 x + βh 3 x 2
e
(8-2)
1
3
3
2
− ( h ′′ − nh + 2βh )y + ⋅ ⋅ ⋅]2
Bx (x, y,t) =P0[ h ′y − ( n ′h 2 + 2nhh ′(8-3)
e+hh ′)xy + ⋅ ⋅ ⋅]T ′ = ( x ′2 + y ′2 + (1+ hx) 2 )1 2
P0
P0=
= 1− δ + δ 2 + 
P P0 (1+ δ )Bt (x, y,t) =となる。

を２次まで展開したものを代入する。そうす
ると、２次の項までとった x, y に対する微分

2.5. 四極磁場、六極磁場€

四極磁場は By が x に、 Bx が y に比例する€

x ′′ + (1− n)h 2 x = hδ + (2n −1− β )h 3 x 2+ h ′xx ′ + 1 2 hx 2 + (2 − n)h 2 xδ(9)
+ 1 2 ( h ′′ − nh 3 + 2βh 3 )y 2 + h ′yy ′− 1 2 hy ′2 − hδ 2

磁場で、

B0
B0
€ Bx = a y€ , By = a xと書ける。B0 は四極磁石の磁極表面上での強さで、そのアパーチャー半径が a であるとす€る。そうするとy ′′ + nh 2 y = 2(β − n)h 3 xy + h ′xy ′

∂By
P 
B
= 0 = −nh 2  0 e∂x x= 0 a€方程式が得られる。

€

１次の項に対する式は、

y= 0

2

ここで、 k q なる量を定義すれば

B e B0 1
kq2 = −nh 2 = 0=
a P0 a Bρ

€x ′′ + (1− n)h 2 x = hδ€になる。式(9)、（10）に、

る。

Bx =

2B0 xya2, By =€

B0 2(x − y 2 )
2
a

P 
1 ∂ ByB= 20 = βh 3  0 2e
2! ∂x x= 0 a€kq2 = −nh 2 を代入し
h → 0, h ′ → 0, h ′′ → 0 とすることによっ六極磁場の係数は2て純四極磁場に対する２次の運動方程式€

x ′′ + kq2 x = kq2 xδ

€y ′′ − kq2 y = −k q2 yδ

y= 0

2

2

€

 B  e  B 1
ks2 = βh 3 =  20   = 20
 a  P0  a Bρ2

これらの量 kq ,

€

(12)

が得られる。

となる。 ks なる量を次のように定義する。

€

(11)

y ′′ + nh 2 y = 0€六極磁場の場合は、磁場は次のように表され€(10)−h ′x ′y + hx ′y ′ + nh 2 yδ€

3同様に、 ks = βh を代入し
h → 0, h ′ → 0, h ′′ → 0 の極限をとると２次までの純六極磁場に対する次の式が得られ€る。

ks2 は四極、六極磁場内の運€x ′′ + ks2 (x 2 − y 2 ) = 0

動方程式を記述するときに用いられる。

(13)y ′′ − 2k s2 xy = 0€ ２次の運動方程式の記述
2.6.

式(11)が偏向磁石に対する運動方程式で、n ≠ 0 の磁石を combined function 型を言う。

２次の運動方程式（７）に磁場の展開式を代€入し、次の関係

2.7. 粒子の軌道の展開€

粒子の軌道の中心軌道からの変位を x(t) 、y(t) で表す。これらをつぎのようにテイラー€€展開する。

x = ∑ (x | x y x ′ y ′ δ )x y x ′ y ′ δ
κ
0

λ
0

µ
0

ν
0

χ

κ
0

λ
0

µ
0

ν
0

c(0) = 1, c ′(0) = 0
s(0) = 0, s′(0) = 1
d(0) = 0, d ′(0) = 0
q(0) = 0, q′(0) = 0χ

y = ∑ (y | x κ0 y 0λ x ′0µ y ′0ν δ χ )x κ0 y 0λ x ′0µ y ′0ν δ χ
ここで、 x 0 , y 0 , x 0′ , y 0′ は t = 0 での値である。

€

定数項は 0 で midplane 対称性から x, y のを満たす。

coupling の項も 0 である。一次のテイラー係

実際、多くの場合 h , n などが一定値( k が一€様)をとるような要素の配置で輸送路が構成

2€€数をつぎのように書く、(x | x 0 ) = c x (t),(x | x 0′ ) = sx (t),される。即ち、一定の長さ、一定磁場の偏向
磁石、一定の強さ、長さの四極、六極磁石が€ある間隔で置かれる。

(x | δ ) = d(t),(y | y 0 ) = c y (t),こ の 場 合 、 c, s は こ の 区 間 内 sinusoidal
function、hyperbolic function または単に t(y | y ′0 ) = sy (t)の linear function なる。

２次の項までとると、x は粒子軌道が展開係数で表されるということは

x = c x x 0 + sx x ′0 + dδ€+(x | x 2 )x 2 + (x | x x ′ )x x ′ + (x | x δ )x δ

軌道がマトリックスで表されると言うことで

0

0

0

0

0

0

0

ある。

0

ここで、具体的に各磁場の成分（磁石）に対+(x | x ′02 ) x ′02 + (x | x ′0δ ) x ′0δ + (x | δ 2 )δ 2

する一次の粒子輸送のマトリックスを書く。

+(x | y 02 )y 02 + (x | y 0 y ′0 )y 0 y ′0 + (x | y ′02 ) y ′02

これらは式(14)を各々の条件で解けば得られ同様に、y はる。

y = c y y 0 + sy y ′0€

(1) 二極磁場のマトリックスは1hsin k x L
(1− cos k x L)
 cos k x L
2
kx
kx


h
M x = −kx sin k x L cos k x L
sin kx L 
kx




0
0
1



+(y | x 0 y 0 )x 0 y 0 + (y | x 0 y ′0 )x 0 y ′0 +(y | x ′0 y 0 ) x ′0 y 0 + (y | x ′0 y ′0 ) x ′0 y ′0+(y | y 0δ )y 0δ + (y | y ′0δ ) y ′0δとかける。
これらを式(9),(10)に代入すると、１次、２次€の係数に対する式がでる。
2
x x

2
y y

c ′x′ + k c = 0, c ′y′ + k c = 0s′x′ + kx2 sx = 0, s′y′ + ky2 sy = 0(14) cos k y L

M y = −ky sin k y L

0


€

q′x′ + kx2qx = f x , q′y′ + k y2qy = f y
ここで、

€

ここで、

kx2 = (1− n)h 2 , k y2 = nh 2 で最後の式は一次kx2 = (1− n)h 2 , k y2 = nh 2€の dispersion dx (t) やドライビング項のあるである。
(2) 四極磁場はものに対する式を表している。

€

これらの係数は€1
sin k y L 0ky
cos k y L 0
0
1


€

€


 cos k q LM x,y = −k x sin kq L

0



1
sin k q L 0kq
cos k q L 0
0
1



 cosh k q LM y,x = −k q sinh kq L

0



1
sinh k q L 0kqcosh k q L 001

kq2 = −nh 2 =€る）。 x の所に入射した粒子は中心軌道の粒子に対して、€

hx tan β1= hx tan β1 (1− hx + )
(1+ hx)≈ hx tan β1

Δθ x =

この角度分よけいに曲げられる。従って、−Δθ x 中心軌道の方にまげられることになり、収束力を受けることになる。

€

x

€

B0 1
a Bρ

B||
β1

beam

B⊥

になる。

B

(3) ドリフトスペースは€tpole faceρ1 L 0
M x,y = 0 1 00 0 1

pole

積分路

B
t

B0

である。いずれの場合も、L は要素の長さで
ある。
図２−３

€

垂直方向のエッジ効果(4) エッジ効果

y 方向に関しては、高さ y > 0 、角度 β1 で

ここで、偏向磁石の磁極の端の磁場の効果について考える。

入射した粒子は

中心軌道が磁極面に垂直に入射、または垂Δθ y = nは発散される効果がある。

B0 ρ



∫ B ⋅ dt||⊥

直に出ていない時に、x, y 両方向に収束また €€ = tan β1 n €B0 ρの y 方向の角度の変化を受ける。

x

ところで、図 2-3 の様な積分路をとれば、

∫ B ⋅ dt − B y = 0

€
Beam
x





∫ B ⋅ dt

||

0

n

t

となるので、Δθ y = h tan β1 y の発散力を受け

β1

€ る。
両方向ともに入射の位置は変わらないので、pole face€
マトリックスは

ρ

 1
0 0


M x,y = h tan β1 1 0
 0
0 1

図２−２ 二極磁石のエッジ効果

入射の場合を考える。図 2-2 に示すように中心軌道と入射点での磁極端面の外側への法線への角度を β1 とする（半時計回りを正とす

出口についても、同様でそのマトリックスは

€
€

 1
0 0


M x,y = h tan β 2 1 0
 0
0 1

n 2 を定数とした

Φ′′ + n 2Φ = 0
1
n2R′′ + R′ − 2 R = 0rr€で与えられる。
（ β1 ,€

β 2 の符号に注意。 β 2 は時計回りが正を解くことで得られる。

に定義されている。）∞€

β1 = β 2 = 0 の二極磁石をセクター型という。

€

R(r) = ∑ an r nn= 0€の形で表される解を求めると、それは、

3. 磁石の基礎€€

ϕ (r, φ ) = ∑ c n r n sin(nφ + χ n ) (16)

前章では磁場の中の荷電粒子の運動の式を記述したが、その中に、磁場成分を表すのにであり、 c n ,dipole、quadrupole、sextupole field 等が出したがって、磁場の成分は、てくる。このような磁場を作るにはどのよう €

∂ϕ ∞
Br =
= ∑ n c n r n−1 sin(nφ + χ n )€∂r n= 0な形の磁石が必要なのか、どのくらいの起磁力が必要かなど、強磁性体（鉄）を使った電磁石について述べる。

1 ∂ϕ ∞Bφ == ∑ n c n r n−1 cos(nφ + χ n )r ∂φ n= 0

3.1. 磁場の多重極展開

x, y 成分は前章では運動方程式を記述するのに便利なように、磁場を curvilinear 座標で展開した€が、ここでは、磁場測定ためなど磁場の性質€
を分かりやすくするために多重極展開によるを ϕ と し 、 z 軸 を tˆ 方 向 と す る 円 筒 座 標 €(r, φ,z) を用いる。そうすると、ラプラスの方

Bx = ∑ n c n r n−1 sin[(n −1)φ + χ n ]程式は

By = ∑ n c n rcos[(n −1)φ + χ n ]にも depend する場合は 2)∞

ϕ (r, φ,z) = ∑ Fn (r,z)sin(nφ + x n )n= 0∞石の場合この仮定は通用する。
€

Fn = ∑ an,m (z) r m

この場合、ラプラスの方程式は

m= 0として、式(15)に代入すれば、€

この式の、 ϕ (r, φ ) = R(r)Φ(φ ) の形の解は 、€n−1

次に一般に、磁気スカラーポテンシャルが z

無視できる磁石の磁場を記述する。多くの磁

€

(18)

∞

である。

ないものとする。実際この仮定は漏れ磁場が∂ 2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ++=0
∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2

n= 0

n= 0

になる。
€
まず、簡単のために ϕ の z dependence が€ Bx  cos φ −sin φ  Br 
 =
 
 By   sin φ cos φ  Bφ ∞

€1 ∂  €∂ϕ  1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ+
= 0 (15)r  +r ∂r  ∂r  r 2 ∂φ 2 ∂z 2

€

(17)

で変換すれば求められ、表現を求める。磁場のスカラーポテンシャル€

χ n は定数である。

いままでの章で各磁場の成分（多重極成分）

an,m (z) = 0, m < nが粒子の運動にどのような寄与をするか、そ

1d2an,m (z) = − 2[an,m (z)] , m > n
m − n 2 dz 2

性質を持っているかを示してきた。この章でan,n (z) ≡ dn (z) とすれば、は各成分を発生させるにはどのような磁極の係数の間には次に関係が成り立ち、形（磁極の断面）にすればよいのかを述べる€ことにする。これは２次元で磁場を扱えばよ(−1) m n!
d 2m[dn (z)]4 m m!(n + m)! dz 2man,n +2m (z) =€れらの成分がどのように表され、どのようないので、複素数表示での取り扱いが便利である。ベクターポテンシャルを A 、スカラーポ
テンシャルを今までの様に ϕ とする。２次元

, m≥0



これらからポテンシャルはなので A は z 成分のみで、 Az ≡ A とする。


 €B = rot(A), B =€−div(ϕ ) から、∞€

ϕ (r, φ,z) = ∑ r n sin(nφ + χ n )
n=1
∞

m

(−1) n!r 2m d 2m
[dn (z)]m2m
m= 0 4 m!(n + m)! dz
磁場の各成分は B = grad ϕ より

∂A
∂ϕ
€
=−
∂y
∂x
∂A
∂ϕ
By = −
=−
∂x
∂y

€

×∑

Bx =

€

∞

€

Br = ∑ n r n−1 sin(nφ + χ n )である。ここで、複素ポテンシャル

n=1€ m (n −1)!(n + 2m)r 2m(−1)
×∑
4 m m!(n + m)!
m= 0

F(z) = A + iϕ , z = x + iy を導入すれば、€ 式(20)は、Caucy-Rieman の正則の条件である∞(19-1)

ので、 F(z) は z で微分可能である。

d 2m
× 2m [dn (z)]dz€

B˜ ≡ Bx + iBy と定義すれば 3)、€ 磁場は、∞

Bφ = ∑ n r n−1 cos(nφ + χ n )

€

n=1
∞

m

2m

2m

(−1) n!rd[dn (z)]m2m
m=1 4 m!(n + m)! dz(19-2)dF(z)B˜ * = i
dz

€

∞

€

Bz = ∑ r n sin(nφ + χ n )
n=1
∞

m

2m

2m +1

(−1) n!rd[dn (z)]m
2m +1
m= 0 4 m!(n + m)! dz

×∑

(21)

と表される。

×∑

€

(20)

Bˆ (r, φ ) ≡ Br + iBφ を定義すれば

Bˆ = B˜ ⋅ exp(−iφ )(19-3)€の回転で Br ,(22)

Bφ 成分に変換できる。

€ここで、F(z) を原点の周りでテイラー展開を
€

である。

して、

ここで、n=1 が dipole 成分、n=2 が quadrupole 、€

n=3 が sextupole 成分、 そのあと n=4,5,6 がそ€∞F(z) = ∑ Cn z n

れぞれ、octupole 成分、decapole、dodecapole
成分と言われる。

(22)

n= 0

で表すことができる。ここで、Cn は複素数で多重極係数と言われる。 n = 1 が dipole, n=2

3.2. 磁石の複素ポテンシャルと磁極の形€が quadrupole、n=3 が sextupole…である。
€€

ここでポテンシャルの定数は０とおけるので、

y = const. = ±C0 = 0 とする。
対称性を持つ 2N-pole 磁石は次の関係がなけ

またはればいけない。

€

であり、 g は磁極のギャップである。
四 重 極 磁 場 (quadrupole field) に 対 し て は

これから、
inπ N

€n = 2で€Bx = −2(a2 y + b2 x)

Cn e= −Cn , n = 1,2,€ でなければいけないから、
n = N(2m + 1), m = 0,1,2,

€ の時だけ係数が０ではない。

決まった N に対して複素ポテンシャルは

By = −2(a2 x + b2 y)€normal quadrupole を与える磁極の形は−a2 x y = const.

∞

F(z) = ∑ CN (2m +1) z N (2m +1)€⇒ x y = const. = ±m= 0

ここで、m=0 は基本 harmonics、奇数倍のも称性から、必ず現れるものである。Allowedr 2 sin(2φ ) = const. = ±a 20

harmonics をなくすには、磁極幅を無限に大で、 a0 は磁石のアパーチャー半径である。

きくしなければいけないがこれは不可能であ

六重極(sextupole field)については€ 磁場成分はる。
さて、磁石の磁極の形であるが、考えてい€Bx = −6a3 xy − 3b3 (x 2 − y 2 )る多重極成分に対するスカラーポテンシャル

By = −6b3 xy − 3a3 (x 2 − y 2 )の値が磁極表面で同じ値になる様に磁極の形

normal sextupole を作る磁極の形はを決めればよいことがわかると思う。
例えば、二重極磁場(dipole field)に対しては、

a3 (3x 2 y − y 3 ) = const.

€

複素ポテンシャルは⇒ 3x 2 y − y 3 = const.= ±a03
orF(z) = C1 zである。ここで、複素係数を

r 3 sin(3φ ) = const. = ±a03

Cn = an + ibn , an ,bn : real, n = 1

ここで、 a0 はアパーチャー半径である。

€とおくと、€

Combined function 磁石はdF(z)B˜ * = Bx − iBy = i= i(a1 + ib1 )dz
Bx = −b1
By = −a1€成分という。通常の dipole field はn=−€で field index が与えられるが、曲率半径 ρ 0 が大きくない時は、

normal€成分で (x,z) 平面に垂直な成分のみである。
Normal€ dipole の磁極の形は€ b1 = 0 としてn=−と書けば、 ϕ は€ で与えられて、€

R dBy
ρ + x dBy=− 0
B0 dR R = ρ 0 +xB€dx x= 00y= 0ℑ{F(z)} = ϕ = const.
€

ρ 0 dBy
B0 dx x= 0
y= 0となる。係数 an を normal 成分、 bn を skew

€

a02
2

or

のは allowed harmonics と言われ、磁場の対€g2r sin(φ ) = const. =€Bˆ (r, φ + π N) = − Bˆ (r, φ )

€

g
2

€

€

y= 0



は、 M は与えられたものと考えてよいが、電磁石に使うような磁気的に柔らかい材料ではx 
ϕ = −B0 1− n ln(1+ ) y
ρ0 





M = M 0 + µ0 χ m H

となり、

€

€

€



強磁性体の透磁率 µr は外場 H の小さいとの磁極の形は€とした方が良いのかもしれない。

€ ころでは大きくて、 H が大きくなって物質の中の磁束密度 B が大きくなると、透磁率が小[n ln(1+ hx ) −1] y = const.
ρ >> x の時は(n h x −1) y = const.

さくなって€µr が１に近づいてゆく（飽和効€で与えられる。

€€

果）。この様子を図3-1 に示す（B-H 曲線）。
€

€ 3.3. 電磁石に使用するコア
通常、電磁石には強磁性体の物質をコアとして使用する。これは、コイルの発生した磁場で物質を磁化させて、少ない電流で強い磁束密度を発生させる為である。普通、磁石のコアとして鉄または鉄の合金などを用いる。
コアの性質によるが、磁束密度が 1.5T 程度
以上の高い磁束密度を得ようとすれば、材質の磁化の飽和の為に、余計な電流を流さなけ
ればいけなくなる。~2T 以上の磁場を得よう

この図に示す様に強磁性体の励磁曲線はヒスとすれば、超伝導コイルで起磁力を出したり、テリシス効果を示し、外場 H を０に戻しても、コアを用いずに超伝導コイルだけで磁場を発物体の磁束密度は０にならなくて、 Br = M 0

生させるほうがよくなる。しかしながら、超が残る。これを残留磁化という。 B を０にす
る外場を保磁力といい
H c で表す。
€

伝導コイルの発生する磁場にも上限がある。
ここでは、強磁性体はどのような性質を持っているのかを、簡単に述べる。


強磁性体に外部磁場 H をかけると、その物質は強い磁化を示し、その状態は









ここで、磁石としての残留磁場、即ち、電€流を０にした時のアパーチャーギャップ内の€磁場を考えよう。
€ 

B = µ0 H + M = µ H

で 表 さ れ る€。 こ こ で 、 M は 磁 化 の 強 さ(magnetization)で、 µ0 は真空の透磁率であ
€る。





M
=
µ
χ
H
0 m
€

一般に、 M は€H の複雑な関数である。

と書くと、€ B =€µ H + µ χ H = µ (1+ χ ) H
0

0

m

0

m

€ µ (1+ χ ) = µ = µ µ
0

m

0 r

µr = 1+ χ m







鉄の中では Br = M と反対方向に反磁場 H がここで、 χ m は磁化率(susceptibility)である。

生じている。図 3-2 に示すような、積分路を永久磁石のような非常に磁気的に硬い材料で

とれば、

€

€
€

€

1  
∫ B⋅ ds = Iµ0 AirBg+ H i li = 0
µ0

(27)

ここで、ギャップの高さ g の中の磁束密度がB、鉄の中の磁束密度 Bi 、磁場を H i 、積分路

を用いる。

の長さが
li である。
€€ この磁石は一定の強さを発生する物で、磁極のギャップ長を g とした時に、磁極の形は前に述べた様に y = ± g 2 となる。磁極の幅は€としてよいので、磁石の動作点がヒステリシ

長ければ長いほど、アパーチャー内の磁場のス曲線の第二象限の方に移動する。その為に、磁石の残量磁場は鉄の残留磁化
Br よりも小€一様性が良くなるが、どの程度にするかは、€

3.5. 二極磁石(dipole magnet)µ l
B ≈ Bi = − 0 i H i€€g

どの程度の磁場の一様性がどの程度の範囲必€

さい。

要かによって、決めるべきものである。常識
的にはギャップの長さの 1.5~2 倍程度は必3.4. 電磁石の起磁力€要であろう。また、磁極の端を少し持ち上げ

電磁石に必要な起磁力（流す電流）を推測る等のシムをつけることを考えることも必要

するのに必要な式をここで導出する。

である。磁石のサイズに制限が課せられる場

静磁場を表すマックスウェルの式は合が多々あり、特に外形の幅、長さが制限さdiv B = 0
 
rot
H

 =J 
B = µ H = µr µ0 H

れ、思うような磁極が作れないことがあり、(23)

いろいろ工夫をしなければいけなくなること

(24)

がある。

(25)

二極磁石はその断面の形によって、C 型、H 型、窓枠型（Window frame）などがある。

€
である。
€

また、特殊な形のもとして、セプタム磁石、€ ここで、(24)を積分形に書き直すのが便利である。一つの閉曲線 C を縁とする任意の曲面
を S とし、S の面積素片を表すベクトルを dA ,
C の線素ベクトルを d s とする。式(24)と dA

ランバートソン型磁石がある。

との内積をとって積分すれば、

g



 
∫ (rot H ) ⋅ dA = ∫ J ⋅ dA€
S
S€€

この式にストークスの定理を使えば

  ∫ H ⋅ d s = ∫ J ⋅ dA = I€

CIntegration Path

図３−３

起磁力は図 3-3 に示す閉曲線上を積分すれ

即ち、

€

  1
1  
∫ H ⋅ ds = µ ∫ µ B⋅ ds = I
0 C
r
C

ば、

(26)



B0 g 1
BFe ⋅ d l+
= NI∫
µ0 µ0 in Fe µr

ここで、I は閉曲線 C によって囲まれた領域
を通る全電流である。鉄（強磁性体）を用い€二極磁石の積分路

S

ここで、N はコイルのターン数で I はコイルた電磁石の起磁力を推測するには、鉄の内部に流す電流である。NI は起磁力であり、単位の閉曲線上の積分は鉄の透磁率 µr >>1 なの€で０として、

は Ampere-Turn である。
鉄の内部の積分を無視して、

€

B0 g
≅ NI
µ0
である。これは、積分路から分かるように、二つのコイルの合計の起磁力である。

g

コイルを付ける位置であるが、鉄の透磁率€が無限大であれば、リターンヨークのどの位置に付けても良いが、透磁率が無限大ではな
いので、リターンヨークから、どんどん磁束が漏れてゆくので、通常、ギャップに近い所

図３−５

C型二極磁石にコイルを付ける。ギャップの反対側のリタ
ーンヨークにコイルを付けるのをバックレグ
ワインディングというが補正用とか特別の場

3.5.3. 窓枠型(Window Frame type)
これは左右対称な形である。磁極が飛び出合にしか使わない。

していなくて、リターンヨークの中にコイル

3.5.1 .

を置いたようなものである。

H 型磁石

この磁石は図 3-4 に示す様に、両側にリター

これを図 3-6 に示す。この磁場は H 型とは違

ンヨークがあり、左右対称な形をしている。

って、コイルに近づくにしたがって磁場が強くなる（怒り肩分布）。

図３−６ 窓枠型二極磁石
図３−４ H型二極磁石

一般に、磁極面がコイルの端よりも飛び出し

3.5.4. ランバートソン型磁石ているものである。磁場は左右対称でコイル

これは図 3-7 でわかる様に H 型の上半分しに近づくにしたがって磁場が弱くなってゆく

かなくて、下側は鉄のリターンヨークになっ（なで肩分布）。

ている。

3.5.2. C 型磁石

この磁石は他のビームラインに隣接して置く

図 3-5 のように、片方しかリターンヨーク
がない。

ためのものなので、もう一つのビームを通すためのダクト等のためのくびれを下部のヨー

そのために、リターンヨークが無い方の磁場が弱くなり、左右非対称になる。なるべく磁場を左右対称にするために磁極の形を工夫することを考える必要がある。しかし、片方クに設けている。くびれの角度はおよそB θ ≥ tan−1 0 
 Bs 

が開いているので、外側からのアクセスが良で与えられる。ここで、B0 は gap 内の磁場、いのでよく作られる。

Bs は鉄の飽和磁場である。
€€€

り少し余分な電流を流して、外側の磁場を小さくすることも考えられる。
この磁石はセプタムを薄くする必要があるθ

ので、電流密度が高くなる。従って、セプタ
ムコイルの冷却が非常に重要な問題となる。
この問題の一つの解決策はセプタム磁石をパルス運転することである。
パルスセプタム磁石は磁気シールドに強磁

図３−７ランバートソン型磁石性体の他に比抵抗の小さい物（例えば銅）を置きその渦電流で漏れ磁場を消すこともできる。また、積極的にセプタムコイルに励磁電3.5.5. セプタム磁石

流を流さずに、その中の渦電流で漏れ磁場をセプタムとは隔壁のことであるが、図 3-8小さくするセプタム磁石も使用されている。

でわかる様に、二重極磁石の左右の半分がな

この磁石はセプタム部をセプタムコイルより

くて、そこに薄いコイルをつけて、磁石の外も薄くできるし、その冷却もやり易い。

側の磁場を０にするものである。この磁石はセプタムに電流を流すタイプをカレントセプ

ごく隣接して通る他のビームに影響を与えな

タム磁石、セプタムに電流を流さずに、渦電い様にして、ビームを曲げるのに用いられる。

流を利用する物をパッシブセプタム磁石という。
渦電流で漏れ磁場を完全に消すことが出来

セプタム

ないので、パッシブセプタム磁石の場合、渦電流の減衰時間がパルス磁場波形よりも長い
時には、パルス磁場波形を両極性の一周期にした方が漏れ磁場を小さくできる 4)。
直流のセプタム磁石も使用されているが、
図３−８ セプタム磁石

セプタムの外側の漏れ磁場を小さくするのが難しく、前に述べたように、セプタムコイル

主に、加速器へのビームの入射、出射に使用の冷却もパルス磁石よりも難しくなる。

される。
セ プ タ ム コ イ ル が 無 い 時 は backleg

3.6. 四極磁石(quadrupole magnet)

winding なるので外側へのしみ出しが多いがこの磁石は、前にも述べた様に、

セプタムコイルと磁石のコアの間に隙間が無る時は、ほとんど、磁石の外側に磁場が漏れ

Bx = g y
By = g xない。

g = B0 a0

く、しかもコアの透磁率が無限大と考えられしかし、現実には、セプタムコイルの絶縁の
隙間、支持方法等で理想的な構造にはできな
いし、コアの透磁率も無限大ではないので、漏れ磁場が発生する。漏れ磁場が小さくなる
ようなセプタム部の構造にし、セプタムコイ

ここで、€B0 : field strength on pole surface€a0 : aperture radiusの磁場を発生する磁石である。
磁極の形は、前に述べたように

ルの外側に薄い磁気シールドを付ける等の工 €夫がいる。また、セプタムコイルに起磁力よx y= ±

€

a02
2

である。
良い磁場分布を得る為には、即ち、allowed
harmonics の割合を減らすには、双曲線の部
分を広くすることである。しかしながら、コイルをいれるスペースや磁石の外形に対する制限から磁極の幅は決められる。
四極磁石の起磁力を求めるには、図 3-9 の様な積分路をとると、

 NI = ∫ H ⋅ ds
 
 
a
B ⋅ drB ⋅ dr≅ ∫+ ∫0 at θ = π 4 µ0
on x axis µ0

B は x 軸上では x 軸に垂直で、 θ = π 4 では
€ Br = g r であるから、€ €€き、そこに強制的に磁気ポテンシャル０の面を作り、半分の領域に四極磁場を作ろうとする物である。鉄の透磁率が無限大ではないの
ンシャル０にならない。その為に、特に中心付近では良い磁場分布を作りにくい。

になる。前述の二極磁石と違って、これは一磁極当たりの起磁力である。

€

無い物で、対称面に鉄のリターンヨークを置で、このリターンヨークの表面は完全なポテ

ga 2
NI ≅
2µ0€

€

これは、図 3-10 に示す様に四極磁石の半分が一般的に、四極磁石は磁極構造の簡単な二極磁磁石と違って、磁極の組み立てが難しく、そのチェックも難しい。

Y

3.7. 六極磁石(sextupole magnet)
六極磁石は

2B0
xy
a2
B
By = 20 (x 2 − y 2 )
a
Bx =

O

X
Integration Pathの磁場を出す磁石で、その磁極の形は前節で
図３−９四極磁石の積分路示しているが、磁極の端の磁束密度が磁極の中央よりも強く

3 x 2 y − y 3 = ±a 333または、 r sin(3φ ) = ± a

なり、飽和状態になりやすいので注意を要す

である。

€

る。また、磁極の組み立てをチェックするための平面部分が必要になることもある。
特殊な四極磁石として、Half Q-magnet がある。

€ 四極磁石と同様に一磁極当たりの起磁力を€計算すれば、
1  B0  3
NI ≅
 a
3µ0  a 2 になる。
六極磁石の場合は 60毎に磁極があるので、€コイルスペースが大きくとれない。

密度が二次関数的に減少し、幅の半分で０に
3.8. 磁石のインダクタンス

なると仮定すれば、電磁石の電気回路の要素としてのパラメー
ターに、コイルの直流抵抗、インダクタンス

L≈がある。コイルの抵抗を計算するのは難しく

N2
28µ0 y max (y max + w c )2a3

ないので、ここでは、インダクタンスについて考察する。インダクタンスは、電流の安定

ここに、 y max を四極磁石の中心からコイルま度等を左右する重要なパラメーターである。 €また、パルス磁石の場合その立ち上がり時間での長さとする。

€４を決める重要な量である。
3.8.1.

交流電磁石、パルス電磁石

二極電磁石

ギャップ高さを h 、磁石の幅、長さを w,

4.1. 渦電流lとする。この中の磁束は

前章では、磁石の基礎的なことを記述したが、この章では時間的に磁場の強さが変化する交流、パルス磁石に特有なことを述べる。

µ NI€
φ ≈ B w l = 0 wl €hB˙ = −∇ × E

ここで、コイルのターン数は N、電流は I で€ ある。N ターンのコイルを貫く全磁束は Nφなので、磁束密度の時間変化が電場を発生すなので、インダクタンスの定義から、

σ の物質内に電流を流る。この電場が導電率€す。これが渦電流(eddy current)である。こ2

L=Nφ N µ0 w l≈Ihのために導体内に渦電流損失が起こるととも€に、磁石のコア内でも渦電流が流れ、コアの€磁束密度を減らし、電磁石の磁場を出なくす

幅 w はコイルの内部でどのような磁束分布

るし、もちろん損失もおこる。

€になっているかによっているの、磁石のタイ

ここで、交流磁場の中に、導体が置かれていプで異なってくる。

る簡単なモデルで渦電流による損失を考察しこの幅に対して、次のような近似式 5)があ

€

てみる。

る。

磁石の大きさ、磁場の周波数から、変位電

˙ の項は無視できるので、この効果は無視
流Dする。

窓枠型： w a コイル間の長さ、w c をコイルの幅として、

2w = wa + wc
3
€

€

図 4-1

は z 成分のみとし、導体の厚さは 2d 、高さ h 、
長さ l とし、 2d << h, l とする。

€

磁極のある磁石（H、C 型等）：€

w p は磁極の幅として、これにかかる外部磁場はピーク値 B0 、角周波€

1w = wp + h
2€€

数 ω とする。
€€
いま、€ 渦電流の効果が小さくて、導体の x y 面に一様に外磁場 B が掛っているとする。
€

y の所での幅 dy のリングで囲まれた所の磁束は Φ ≈ 2ylB で、リングを一周した時の起電€€
3.8.2.

に示す座標をとる。一様交流磁場

四極磁石

力 E は、€€二極磁石よりも少し複雑になるが、二極磁石の場合と同様に考えて、コイルの中の磁束

€

E =−

dΦ
dB
≈ −2y ldt
dt

d 2 B02ω 2 cos2 (ω t)
P=
3ρ

になる。

外磁場一周期についての平均をとれば、単位€時間あたりの渦電流損失は、

z

H

€

B02 d 2ω 2
P =
6ρ

(28)

で表される。
h

簡単なモデルでは、渦電流損失は、導体のJ
x€厚さの二乗、周波数の二乗に比例する。このyモデルは外磁場の周波数が高くなっても導体の内部に磁場が入り込む。実際は周波数が高lくなると、導体表面の渦電流のために、導体2d内に磁場が入り難くなる効果が入っていない。
また、外部磁場はスキンデプス程度しか導体内に侵入しないので、導体の厚さがスキンデ

2dyプスより大きくなっても、渦電流損失は余りdy増加しないと考えられる。それで、もう少しましな計算 6)をする。

lµ , ρ が定数であるとすれば、マックスウ
図４−１

ェル方程式は渦電流の計算のモデル

このリングの抵抗 R は導体の比抵抗を ρ と

€

すれば、

R=

ρ(2l + 2y) 2lρ
≈
h dy
h dy€

€
€
€

なので、リングを流れる電流 dI はE
h y dy dB
=−
R
ρ dt

dI =
€

€

になる。
この部分でのジュール熱は€2
2l h y 2  dB 
dW = R(dI) =dy  dt ρ€2dW = ∫ 0 dW =2l h d 3  dB  
3ρ  dt 

ここで、



H = (0, 0, H z (y)) , J = ( J x (y), 0, 0)と仮定する。また、外磁場の周波数を ω とする。H z (±d) = H 0 sin(ωt) の境界条件のもとに、面倒くさい計算をして、 H z (t),

€
2

P =

ρ H 0 β sinh(2β d) − sin(2β d)€ β d) + cos(2β d)
2d cosh(2(30)になる。単位体積あたりの発熱 P は、

µω 1
β=
=
2ρ δ

外場を B = B0 sin(ω t) として、が得られる。ここで、δ は skin depth である。

€€€

E x (t) を求め、渦電流損失を出すと、 €で、導体全体の発熱は

€




∂B
rot E = − , div H = 0  ∂t

rot
H
=
J
,
div
E

 
= 0
(29)
E = ρJ, B = µH µ ∂H µ ∂E∇ 2H =, ∇2E =
ρ ∂t
ρ ∂t

€

式(30)は導体の厚さが skin depth より非常に接続して、L-C 回路を構成する。コンデンサ

小さい時、 β d << 1の時、ーをチャージしておいて、スイッチをいれる

ρH 02β 4µ 2 H 02ω 2 d 2
3P ≈(β d ) =2d 3
6ρ
€と正弦波の電流パルス

i(t) = Vcとなって、(28) と一致する。
逆に、 β d >> 1の時、即ち、skin depth より€も導体の厚さが非常に大きい時、

ρH 02β ρH 02 µωP ≈=2d2d 2 ρ

€

C
1
sin(
t)
L
LC

を発生できる。Vc はコンデンサーの電圧であ€ る。
€となり、 ω に比例する様になる。

€

この計算でも、渦電流による外磁場の変化を取り入れていない。今では、セルフコンシス€テントな計算は計算機で出来るようになっている。しかしながら、これらの、単純なモデ
ルで渦電流損失の傾向を知ることができる。
とにかく重要なことは、これらの式からわかる様に、渦電流損失を小さくするには、磁場の方向に直角の方向の導体、コア等の厚さを逆に流れる電流は放電回路とは別の回路で大薄くすることが重要である。または比抵抗のきい時定数で戻すか、コンデンサー電圧が逆大きなコアを使用することである。

転した時点から、コンデンサー電圧を適当なその為に、交流磁石、パルス磁石のコアに抵抗を介して放電させる等の方法で大きな逆は薄いケイ素鋼板を積層にするか、比抵抗の電流が磁石に流れない様にする。

大きいフェライト（ソフトフェライト）を用

(2)

いている。

PFN に接続する。
磁石を図 4-3 に示す様にように、PFN（ Pulse forming network ） ま た は 、 PFL
4.2. パルス磁石と電源(pulse forming line)に接続する。

パルス磁石はその用途によって、パルス磁場の波形、パルス幅、パルスの繰り返しが決められる。それによって、どのような磁石にするか、どのような電源（パルサー）で励磁するかが決められる。ここでは、磁石と電源の組み合わせで、どのような波形の磁場が出せるかを述べる。
4.2.1

インダクターとしての磁石

普通の今まで述べてきた磁石は回路素子的にみれば、インダクターである。インダクタ
ーにパルス電流を流す回路を考える。
(1)

L-C 回路を構成する。

図 4-2 に示すように磁石にコンデンサーを

この場合は次の波形の電流を生じる。
PFN の特性インピーダンスを z 0 、チャージ電€

圧を V とすれば、電流はi=€

A = 1− ω 2 Lc, B = jωLVz 1− exp(− 0 t)
z0 
L 

C = jωc(2 − ω 2 Lc), D = 1− ω 2 Lcである。

で立ち上がる。
PFN が発生する長さ t d の電圧パルスが終わ€

これが、無限につながっているとすれば、 次€の関係が成り立つ、ると、電流はVnI= n = e− jθVn−1 In−1
Vn Vn−1==z
In In−1V € z0
exp− (t − t d ) L
z0
で立ち下がる。

€ この方式は、近似的な矩形波を発生できる。
4.2.2.

波が存在し、次のような関係が成り立つ。

€

伝送線型磁石4-2-1 の(2)場合よりも、立ち上がり、立ちz=

下りが速いパルス磁場を発生できる磁石である。伝送線型の磁石は回路的には図 4-4 に示す π 型のフィルターを多段にしたものである
7)。

z0 ω 21−  ωc L, ωc =
2c
ω
θ
= sin
ωc
2

z0 =

€

€

€
従って、 0 <€４端子回路網の理論から、n 段目のフィル
ターに対して、€2Lcω≤ 0.5の周波数範囲では
ωcz ≈ z0 =L
2cの特性インピーダンスを持つ伝送線と考えることができ、セクション毎の時間の遅れ（伝€Vn−1   A B Vn 

=
 
 In−1  C D In と書ける。ただし、+In−1 は回路網にはいる電€ 流、 +In は出てゆく電流とする。
この π 型フィルターの場合、各マトリックス
要素は

€
€

€

送時間）は

τ ~ 2Lc
で与えられる。これは、単位長さ当りのイン€ダクタンスがL、キャパシタンスが２c の分
布定数の伝送線と考えて差し支え無い。

line)に接続すれば、ピーク電流は、 V0 z 0 で２倍となる。図 4-7 にその電圧波を示す。

€

V
V

l

0

V0

z 0

z t=0

l

-V0
V
V

z

0

z t=l/2v

0
V

V

z

0

z t=l/v

0V

磁石のコアは比抵抗の大きいフェライトをV用いる。この磁石の構造を図 4-5 に示す。フz 0z t=3l/2vbに対するaの電圧波

cに対するbの電圧波

0ェライト磁石が L を、電極が c を構成する。
この磁石を特性インピーダンス z 0 の PFN ま
たは、PFL に接続し、磁石の後端を R = z 0 の抵抗で接地すれば、€€

図４−７ ブルームライン線路の電圧波

T ≈ Td + T€r

4.2.3. ストリップラインの立ち上がりのパルス磁場が得られる。
Tr は€
PFN がつくるパルス電流の立ち上がり、 Td

これは電磁石とは言えないが、立ち上がりのは磁石の中のパルスの伝搬時間で、€速い電磁波でビームを曲げるものなので、こnL
Td = n τ =z0こで述べる。

€€yで与えられる。ここで、 n はセクションの段数である。
€ この場合、PFN の充電電圧を V0 とすれば、

Hc

磁石に流れるピーク電流は、4.2.1.の(2)の場€

x

合の半分で、

I peak =

V0€
2 z0

z
図４−８

である。
l

€

a

L

c
b
a

ストリップラインの電磁場

インピーダンス z の平行平板のストリップ

b

V0

E

ラインを特性インピーダンス z の PFL に接R続する。ストリップラインの終端は通常イン

z

ピーダンス
€ z でターミネイトとする。

PFL か ら 流 れ 出 る€電 圧 波 は 平 行 平 板 内 を

図４−６ ブルームライン線路

TEM 波として伝わってゆく。図 4-8 に示す
この伝送線型磁石を図 4-6 に示すような三重E は電極間にかかり、それに垂直
様に、電場
€


同 軸 構 造 の ブ ル ー ム ラ イ ン 線 路 (Blumleinに磁場 H がある。この波の進行方向は E × H€€€

方向で速さは光速である。 この TEM 波に対を悪くしている。現在は、通常ピーク電流のして、安定度は 10 程度で、よくできている電源で

−3


H
ε
 = 0
µ0
E

−4

さえも 10 程度である。
最近、Linear collider や、SuperKEKB の€damping ring からのビームの取り出しなど€ でパルス磁石（キッカー磁石）の曲げ角の安の関係があるから、定度を一桁ないし二桁上げる要求が出てきた。
この為に考えられたのがこの double kicker€

B = ε 0 µ0 E =1Ecsystem である。
これは、同等な２台のキッカー磁石を置き、そ の 間 の 輸 送 マ ト リ ッ ク ス (Transferである。ここに、 c は光速である。
電場による力はFE = e E で電場の方向であ€Matrix)を −I にする。この状況を図 4-9 に示る。磁場による力は、２台のキッカー磁石は１台のパルス電源に並列に接続されているものとすると２台のキッ€€v
FB = ev B = e E = β FE
c

€

す。

v は粒子の速度で、β = v c である。粒子の進

カー磁石のインピーダンスは同じなので同じ電流が流れる。
M(k1,k2)= - I
θ + Δθ

む方向が電磁波の進行方向と反対の時は、磁€-Δθθ + Δθ

場の力は電場による力と同じ方向になり、電€場の進行方向と同じ方向に粒子が進む時は、€電場による力と反対方向になる。全体の力は

kicker-1
kicker-2
図４−９ Double kicker system

F = (1± β )FE
その結果、曲げ角のフラツキも同じになる。
で表される。従って、電磁波の進行方向は粒キッカーの曲げ角を θ + Δθ とすれば、二番目子と反対にする必要がある。
€のキッカーの所ではビームは中心軌道に対して −Δθ の角度エラーを持つ。二番目のキッカ

4.3. Double kicker system
ここで、少し話題がかわるが、パルス磁石

後では、中心軌道に対する角度のエラーは無のピーク電流（曲げ角）の安定度について述 €くなる。このように、２台のキッカーで曲げべてみよう。直流電磁石の電源は流れる電流

角のフラツキを無くしている。
（キッカー間の€を直接にフィードバックしているので輸送マトリックスが I であるときは、２台目−5€ーの曲げ角も€ θ + Δθ なので、このキッカーの−6

10 ~ 10 程度の安定度を得るのは難しくのキッカーの極性を反対にする。）２台のキッない。しかし、パルス電源ではピーク電流をカー間のタイミングは伝送線（同軸ケーブル）

直接にコントロールするのは困難で、普通はの長さで調整することになる。一般にパルス€

充電電圧をコントロールしている。パルス毎

磁石をパルス電源に接続するのに同軸ケーブに充電電圧を精度よく一定にコントロールす

ルを使用する。普通高圧がかかるので高耐圧るのが難しく、（特に繰り返し周波数の変化に同軸ケーブルを使用する事があるが、高耐圧対応するのが困難である）またスイッチングの同軸ケーブルは導体と絶縁物の間に半導電素子のジッターなどが粒子の曲げ角の安定度

層を入れて、電場が集中するのを防いでいる。

この半導電層が同軸ケーブルの周波数特性を

ρL 2
I = ρ LI jSFj は電流密度、 ρ は導体の比抵抗である。即ち、発熱量を減らすには、電流密度 j を小さW =悪くする。即ち、パルスの立ち上がりを悪くするので、長い高耐圧同軸ケーブルを使用するときは、注意が必要である。いずれにしろ、
伝送線はなるべく短くする事が重要である。

5. コイルの冷却

くすることである。
€€€

5.1. 冷却水量と圧力損失€

普通コイルの導体は銅、アルミニューム等

発熱量 W (kW ) コイルを冷却するのに必要の電気伝導度のよいものが使われる。しかし、な水の流量 G (l /sec) は、冷却水の温度上昇分

電気伝導度が良いといっても、電気抵抗が０を Δ t ( C) として 5)、ではないので、コイルは発熱する。このため€



コイルを冷却する必要がある。コイルの冷却方法としては、(1) 自然空冷：空冷は空気の自然対流で冷やす€もので、コイルの発熱量が小さい場合はこ €の方法を採用できる。コイルの表面から熱€を周りの空気に放出するので、コイルの表面積を大きくするとともに、コイルの絶縁€物の厚さを薄くするなど熱が逃げやすくすることが必要である。
(2) 強制空冷：ファン等で強制的に空気を送っ€て、コイルを冷却するものである。この方法でもコイル表面から、熱が逃げやすくすることが肝心である。コイルの発熱が~400W 以下ならば空冷できると思われる。
(3) 間接水冷：コイルのボビン等を水で冷却しW= 10−3 v AF = 10−3 Fsdh2
4.2Δt€
AF は水の流れる穴の面積 (mm 2 ) 、v (m /sec)
は水の流速である。また、 Fs は形状因子、
dh (mm) は穴の濡れ直径といわれるもので、G≅次の式で定義される。
€
€

Fs =

AF
dh2

€
（穴が円の場合はFs =4 AF
circumference
たいていの場合、水の流れは乱流領域にある€dh =ので、この冷却水路での水の圧力損失は、次€ の経験式で表される。
ΔPw (kg /cm 2 ) ≈ 0.18 ⋅ L ⋅ v1.75

1F d

1.75 1.25sh

L (m) はコイルまたは冷却水路の長さであて、コイルの熱を間接的にとるものである。

る。

したがって、コイルと水冷部の間との熱伝€穴が円形であるときの圧力損失はのタイプのコイルは、巻きやすいがパッキ

v1.75
ΔPw (kg /cm ) = 5 ⋅10 L 1.25dh

導が良い構造にすることが必要である。こ€ングファクターを大きくとれない欠点が
ある。

π
）
4

2

−5

である。

(4) 直接冷却：コイルの発熱が大きい場合に使われる。内部に水が流せる穴のあるコンダ €5.2. 冷却水による導体の浸食、腐食

クター（ホローコンダクター）に水を流し

普通、コイルは銅のコンダクターを用いてて直接的に導体を冷却する方法である。一作る。コイルの発熱が大きい為に、冷却水を般的にこの冷却方法がよく使われる。

多量に流す必要があるために流速を速くせざるをえないとき、コイルの温度を高くせざる€€必要な磁場を得るためのトータル電流をを得ないときなどには特に、銅の浸食、腐食I (A または AT)、コイルの占める断面積を S 、
パッキングファクターを F 、コイルの長さをL とすれば、コイルの発熱量 W は、€€€(erosion and corrosion)については気をつける必要がある。
銅の浸食、腐食については、以前から発電所のステーターの冷却や、真空機器、給湯器

素によって、守られなくなって、溶存酸素には移管等について、研究がなされており、加さらされて、また酸化銅になり、上述のプロ

速器では最近大きな問題となってきている

セスが繰り返される。溶け出した銅は溶存酸

8,9)。水冷の電磁石を使用していると、流れの素と化合して溶存酸素量に依存して赤褐色の急激な変化や、流れの乱れの部分が局所的にCu2O（酸化第一銅）か、黒色の CuO （酸化浸食され銅の部分が薄くなって、その周辺に第二銅）になる。

酸化銅、緑青が付着することがある。また、銅の溶ける量（銅の腐食率）は水が中性

冷却水の色が褐色や、黒色になり、流れが銅€（pH=7）の時は、溶存酸素量が200~300ppb€−

こる。これらのことが起こると水漏れやコイ

で大きくなり、 H の影響では、pH が約 8.5~9 なると小さくなる。また、温度は低いとルの異常な温度上昇をもたらしコイルの破壊

銅が溶ける量が多い。この効果は、水が酸性につながる。特に、電流密度が高く、冷却水になると顕著になる。即ち、水の流れが遅く€の流速が大きい電磁石ではこのようなことがなっている所、水の出口は温度が高いので銅起こりやすく、悲劇的なことになりうる。

の析出がおこり、水の流れをブロックするこの酸化物によって、ブロックされることが起

これらの現象は冷却水管の表面皮膜（銅のとが起こりやすい。

酸化物）が機械的または化学的に剥離される

コイルの冷却水による、浸食、腐食を小さくことにより起こる。

するには、機械的な表面皮膜の損傷は、管内に置ける気泡の発生、消滅に伴う衝撃波や管内固形物の振動によって表面皮膜が物理的に剥離されることがトリガーになって皮膜の破壊地点がアノード、周辺部がカソードとした局所電池作用によって破壊部の銅が溶け出して進行す(1) 浸食率を小さくする為に、流速を小さくする。
(2) 溶けている銅の析出量を抑える為に、水の温度を低くする。
(3) 銅の溶ける量を小さくする為に、空気、溶
融酸素量を小さくする。
(4) pH を８付近にする。

ると考えられる。
流速については、層流から乱流初期では、

第１項、２項は磁石の仕様、サイズ等が決め

腐食速度は流速の上昇に従って、穏やかに上られると自由にならない。第３項は非常に効昇するが、それより速い流速では、表面皮膜

果があり、KEKB の IR の磁石や、BT ライの機械的剥離が下地金属の修復機能を上回り

ンの磁石の冷却水系に取り入れられている。

浸食、腐食損傷が起こる。損傷速度は物理的

KEKB の IR の四極磁石の一つは電流密度が作用と水の性質（気泡の存在、溶存酸素濃度、約 80A /cm と極端に大きく、そのため、冷却水の流速は、約 5m /sec と大きい。脱気シス

温度、pH 等）に依存する。

2

化学的な表面剥離は、溶存酸素量に依存す

テムを入れる前は、冷却水が褐色になり、約る。酸素が溶けているということは空気が水 €一年の運転でコイルの一部が瞬間にして溶けに接しているということであるので、二酸化てしまった。冷却水の出口にある、ゴムの絶€炭素も水に含まれていることになる。二酸化

縁ホースの内部には銅が析出して付着してい炭素が水中にあると炭酸 (H 2CO3 ) を作る。こた。しかし、脱気システムを冷却水系に設置れが、後にはトラブルは無く、安定に動作している。
−
3+

H 2CO3 → HCO + H+
O と親和力があり、に分解、 H は冷却管内の€+−
2H + O → H 2O−
€ の反応で酸化銅の O がとられて、銅はイオン€状態で水に溶けやすくなる。金属銅表面は酸€€€6. 磁場測定製作した磁石の性能をチェックするのに、加工精度、組み立て精度を測定することは必要である。Halbach3)によって、磁極が正規のは式(31)より、

位置からずれたり、起磁力が少しずれた時にr0

どのようなエラーの磁場成分が現れるのか、E(θ,z1 ) = ω ∫ Bz (r,θ,z1 ) r dr

一次の摂動で計算されている。この理論を用

r= 0いることで、許容される加工、組み立て誤差

r0−ω ∫ Bz (r,θ,z2 ) r drを推定できる。また、この理論に基づいて、
精密四極磁石の磁場測定とチェックが行われ

(32)

r= 0

L

ている 11)。電磁石の設計をする際にはこの論+ ω r0 ∫ Br (r0 ,θ,z1 + l) dl

文を一度読んでみることを勧める。

l= 0

しかしながら、最終的には磁石の磁場を測
これは short coil による磁場成分 Br (θ,z) の定して、それが仕様にあうかどうかを見る必
要がある。

€

さて、一般的に磁場は、ローテイティング

測定になる。コイルの長さ L が小さいとして、展開すれば、

コイル（ハーモニックコイル、サーチコイル）、€€ ∂Bz L2 ∂ 2 Bz
E(θ,z1 ) = ω ∫ L+
+ rdr
2
∂z
2 ∂z

r= 0
r0

ホール素子、核磁共鳴（NMR）などで測定される。これらの方法について述べる。
6.1. ローテイティングコイル

∂B h 2 ∂ 2 Br
+ω r0 ∫ Br + h r +
+ 
dh
2
∂z
2 ∂z

r0,θ ,z1

これは、磁場の中で、コイルを回転させることよって誘起される電圧を測定することによって磁場を測定するものである。コイルに誘起される電圧は、と書ける。
このコイルの長さ L は磁石の磁場の長手方向

€

dΦ
or
dt
 

E = ∫ (v × B) ⋅ d s
E =−の領域を完全におおっているとすれば、(31)

E(θ,r€0 ) = ω r0 ∫ Br (r0 ,θ,z) dz

である。

(33)

L

€

となり、いわゆる Br l の測定になる。

€

式(17)の二次元表示の磁場の式を使えば、Br(r0,z)∞Bz(r,z2)

Bz(r,z1)E(θ,r0€) = ∑ω r0n c n sin(nθ + x n ) l (34)n=1r0となる。従って、 E(θ,r0 ) をフーリエ解析す
z

ω

z1

れば、各ハーモニクスの係数 c n l 、位相 χ n が€求まる。また、磁石の内部の（磁場の z 依存

z2

性が無い所）shortcoil での測定とから、有€効長 l も求まる。 €€この方法では、コイルの回転速度のふらつき

図６−１ ローテイティンコイル

図 6-1 に示すように、半径 r0 で１ターンのサーチコイルが回転軸を磁石の磁場中心と一がそのまま測定の誤差になる。回転速度のコ€

ントロールなどを行っても、回転速度のふら致して、角速度 ω で回転しているものとする。

つきを小さくするのが難しく、実際にはなかコイルの長さを L €とすれば、誘起される電圧

なか測定精度を上げられない。高精度のロー€€タリーエンコーダーを用いて、コイルのあるで表される。 zn−1は二項定理から、

角度からある角度区間の誘起電圧を積分器で積分する方法を用いる方が良いと思われる。

n−1
n−1

n−1
0

z€ = r

さて、磁場の中心とコイルの回転中心がずれた場合はどのようなことがおこるのであろ n −1∑ m  ρmm−0

×exp{i[(n −1− m)θ ′ + mφ ]}うか。長手方向の磁場成分が無いとして、二次元で考える。
便宜のために、3.2.で述べた Halbach の二次
元の磁場 3)と少し異なる定義ので表される。ここで、€B を導入する。

 n −1
(n −1)!
= m  m!(n −1− m)!

dF(z)= −i B˜ *dz
B = By +€i Bx
B≡である。
そうすると、z = x + iy = r exp(iθ )

€

n−1

∞

Bθ ′ + iBr′ = ∑ n d r

n−1
n 0

ベクトルの変換から,

n=1

Bθ + iBr = B exp(iθ ) n −1∑ m  ρ

m

m= 0

×exp{i[(n − m)θ ′ + mφ + χ n ]}€が得られる。
磁場 B は€となり、従って磁場の成分は、∞

B = ∑ n dn exp(iχ n )z n−1

€

n=1

€

∞
n−1 
n −1 mBθ ′ = ∑ n dn r0n−1 ∑
ρ
m 
n=1
m= 0

と書ける。ここで dn 、 χ n は実数である。

€

Y×cos[(n − m)θ ′ + mφ + χ n ]

Y'

€

€

€
r0
r

ρr0

θ'

で表される 2)。

€
φ

図６−２

×sin[(n − m)θ ′ + mφ + χ n ]

X'

O'

θ

ローテイティングコイルの中心がO'で磁石の中心が O

コイルに誘起される電圧は、コイルの長さをL 、角速度を ω とすれば、

X

O

∞
n−1 
n −1 mBr′ = ∑ n dn r0n−1 ∑
ρ
m 
n=1
m= 0

∞
n−1 
n −1 m
n
E
=
ω
L
nd
r
∑
∑

ρ
n 0
€
m 
n=1
m= 0

€

×sin[(n − m)θ ′ + mφ + χ n ]コイルの半径が r0 、コイルの回転中心が図6-2 にように ρ r0 ずれているものとすれば、コ
イル位置はz€= r0 exp(iθ ′) + ρ r0 exp(iφ )€ 0 ≤ θ ′ < 2π

€

となる。

€

存性があるので、磁場を精度よく測定するには、ホール素子の温度が一定になるように温度制御するかまたは素子の温度を測定して、温度補正する必要がある。最近の商品には温度補正が自動的にされるようになっている。
この他に注意すべきことは、電圧の測定器の 入 力 イ ン ピ ー ダ ン ス が 小 さ い と Ohmic
effect のために、測定電圧が落ちるし、電圧
この式から分かるように、四極磁場には二極を測定する方向と、電流の方向で作る面に磁磁場、六極磁場には四極、二極磁場の成分が場の成分が存在すると、Magnetoresistive 効m

果が出てくることも考慮する必要がある。

測定されることになる。その量は ρ に比例

ホール素子の sensitive な領域の大きさがする。表１にその結果 2)を示す。

はっきりしないことが多いので、細かな磁場
6.2.

ホール素子

分布を測定するには注意を要する。

€

半導体のホール効果(Hall effect)を利用し6.3. NMR（核磁共鳴 ）たもので、ホール素子に一定電流を流し、ホール効果によって出てくる電圧から、磁場の原子核の磁気モーメントと磁場の相互作用強さを測定するものである。ホール効果は一を利用するものであり、磁場の絶対値が精度

般的に次の式で書ける 10)。

よく測定できる。静磁場の中に原子核を置く

と、磁気モーメント µ とエネルギー E は次の 0 Ex 
 Iz
  E y  = R X
 
 −Iy
 Ez 

X


−Iz


Z  Bx −Ix  B 
Z  y  B
0  z 0Ix

関係になる。

Iy

YYE€= −µ ⋅ zˆB0 = −g€µN m B0(m = I,I −1,,−I + 1,−I)
ここで、静磁場の強さを B0 、その方向を zˆ 軸

€ とし、核スピンを I で表している。 g は核モーメントの g 因子と言われるもので、
magneton)でµN は核磁子(nuclear
€
€
€ e
€ −27
µ
=
=
5.0508×10
J ⋅ T −1N€
2 mp

ここで、 R はホール係数、 X,Y,Z は素子の€寸法である。
Y

€B

€

€

I
O

ある。

X

このエネルギー差に対応するエネルギーの
Z

€

E

図６−３

ホール素子での座標系

周波数の電磁波が吸収される。その共鳴周波
数は

ν0 =

普通は、磁場の方向に垂直な方向に一定電流gµN B0hを流し、磁場と電流の作る面に垂直な方向ので与えられる。ここで、 h はプランク定数で電圧を測定する。この状況を図 6-3 に示して

ある。

いる。

水素の原子核(g=5.58554)で、磁場が１T の場€

ホール素子には無視できないくらいの温度依合、€ν 0 = 42.57629 MHzては、書ききれないので何もふれない。しかである。

し、思いつくものとして、次のようなものがNMR 法はサンプルを覆う範囲である程度あるので、常識を増やしたい人は勉強された−3い。

の磁場の一様性(< 10 ) がないと、吸収線が€観測されにくい。

7. 電€磁 石 設 計 に 必 要 な 物 理 量 と 定
数

€

(1)

cos(nθ ) -winding etc.12)(2)

Panofsky-Type Q-mag12)(3)

Double helix D13) and Q14)

等。
また、いろいろ書かなければいけないこと

ここで、電磁石設計に役立つ定数と物理量を（言いたいこと）も多々ありますが、まとま述べる。工学に便利な国際単位系(SI)（これはりがなくなるので、この辺で終わります。

MKSA を拡張したもの）を使用することにする。

電磁石の参考書はあまり見当たりませんが、最近見つけたので、ビーム光学の参考書とと必要な定数としてはc8

もに、参考文献に載せます。

3 ×10 m /s
真空の透磁率µ0 4 π ×10−7
1
ε0
×10 7
真空の誘電率
2
4π c
€
である。
€
光速

謝辞
この小論を書くさいに、高エ研加速器の三増
俊広氏、多和田正文氏にいろいろお世話になりました。感謝いたします。

物理量については

磁束m
H A /mΦ Wb = V ⋅ s€

B Wb /m 2

長さ €

磁場の強さ

磁束密度
€

€

= 10 4 Gauss

E V /mインダクタンス L H(henry) Wb / A€
インピーダンスz Ω V /A比抵抗€
ρ Ω⋅ m

注１） B = −grad ϕ であるが、静磁場だけを考えているので、−符号をとっても差し支えな
い。

€

参考文献

電場の強さ

€
このくらい有れば、少なくとも電磁石につい€ての計算はできる。
€
また、粒子の運動量 P と (Bρ ) の間には
10 × P [GeV c ]Bρ [T ⋅ m] =3の関係がある。
€ €€ 7. 付け足し[1] K.L.Brown: A First- and SecondOrder Matrix Theory for the Design
Of Beam Tranport Sytems andCharged Particle Spectrometer ,SLAC Report-75 (1982)[2] R.D.Fyvie and D.E.Lobb: An
Analysis of Short Rotating Coil
Measurements in the Fringe
Field of A Quadrupole
Magnet, NIM 114 (1974) 609[3] K.Halbach: First Order Perturbation
Effects in Iron-Dominated TwoDimensuional Symmetrical

この小論では、鉄（強磁性体）を用いた電磁Multipoles, NIM 74 (1969) 147

石について述べてきた。超伝導磁石のように、[4] 坂本裕: private communication

主にコイルだけで磁場を発生する磁石につい[5]C.Bovet et al.: A Selection ofFormulae and data Useful for the
Design of A.G.Synchrotrons,
CERN/MPS-SI/Int. DL/70/4(1970)[6] 中山久義: セプタム電磁石のコン
ダクターの渦電流損失, TRISTANDesign Note, TN-84-018 (1984)[7] K.Takata et al.: Full Aperture Kicker
Magnets for KEK Proton Synchrotron(in Japanese),

KEK-76-21 (1977)[8] R.Dortwegt et al.: The Chemistry of
Copper in Water and Related Studies
Planned at the Advanced Photon
Source, PAC2001 1456
[9] 佐藤皓

編: 冷却水,浸食検討会,

KEK (2001)[10] P.A.Reeve et al.: Quadrupole Magnet
Field Measuring Equipment at
TRIUMF, NIM 135 (1976) 459[11] H.Nakayama et al.: Quadrupole
Magnets for the Final Focus of the
FFTB at SLAC,
Particle Accelerators 46 (1994)
225[12] H.Brechna: Superconducting
Magnet Systems,
Springer-Verlag (1973)[13] C.L.Goodzeit et al.: The Double-Helix
Dipole – A Novel Approach to
Accelerator Magnet Design,IEEE Trans. Superconductivity,
13 no.2 (2003) 1365
[14] R.B.Meinke et al.: Modulated
Double-Helix Quadrupole Magnets
IEEE Trans. S uperconductivity,
13 no.2 (2003) 1369
[15] J.T.Tanabe: Iron DominatedElectromagnets, World ScientificPub, (2005)[16] K.G.Steffen: High Energy Beam
Optics, Interscience Publishers,