《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

ߨٛϊʔτ௒఻ಋͷ‫֓ૅج‬೦—ɹॳ౳తͳཧղʹ޲͚ͯɹ—େࡕେֶେֶӃཧֶ‫ڀݚ‬Պෟଐɹઌ୺‫࣓ڧ‬৔Պֶ‫ڀݚ‬ηϯλʔࡾ୐࿨ਖ਼͜ͷϊʔτ͸ి‫ؾ‬௨৴େֶେֶӃ‫ج‬൫ཧ޻ֶઐ߈Ͱେࡕେֶͷࡾ୐࿨ਖ਼টᡈ‫ڭ‬तʹΑͬͯߦΘΕͨूதߨٛͷ‫ه‬࿥Ͱ͢ɽಉઐ߈ത࢜‫ظޙ‬՝ఔʢ෬԰‫ݚ‬ʣͷழ࡚༏‫ت‬ɼՏଜল‫ޗ‬ɼࢁాᏻ֜ɼઙ߳༤࠸ɼ҄ౡ༟େ͕ߨٛͷ಺༰ʹԊͬͯ࡞੒͠·ͨ͠ɽࡾ୐‫ڭ‬तͷਅҙΛ఻͑ΔΑ͏ʹ౒ྗ͠·͕ͨ͠ɼ಺༰ʹ͍ͭͯͷ੹೚͸ϊʔτ࡞੒ऀʹ͋Γ·͢.*1ͳ͓ɼߨٛ͸ 2019 ೥ 8 ݄ 26 ೔͔Β 5 ೔ؒʹΘͨͬͯߦΘΕ·ͨ͠ɽ࡞ऀΛ୅දͯ͠ɹழ࡚༏‫ت‬*1 ϊʔτͷ಺༰ʹ͍ͭͯ͸ࡾ୐‫ڭ‬तʹ͓໨௨͍͍͍ͨͩͯ͠·͢ɽ《講義ノート》

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1

໨࣍

ୈ1ষ

ಋೖ

3

1.1

ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷੑ࣭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

௒఻ಋͷྺ࢙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

௒఻ಋͷ֓೦ (Ӭ‫ )͍ͯͭʹྲྀిٱ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

௒ྲྀಈͷಈྗֶ

9

2.1

ॎԠ౴ͱԣԠ౴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92.2

೤ཋ͕ӡಈ͢Δͱ͖ͷ೤ฏߧ෼෍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3

ϥϯμ΢ͷ൑ఆ৚݅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4

ࣗ༝ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷ৔߹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5

֨ࢠ‫ܥ‬ͷ৔߹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.6

࣓৔ͷޮՌɿϕΫτϧϙςϯγϟϧͱ௒఻ಋిྲྀ . . . . . . . . . . . . .

16

2.7

ϚΠεφʔޮՌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8

೤ྗֶతྟք࣓৔

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.9

࣓৔தͷ௒఻ಋମ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.10

ԋश໰୊̍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.11

ԋश໰୊̍

26

ୈ2ষ

ୈ3ষ

ղ౴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬

28

3.1

ӷମϔϦ΢Ϝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

3

He ͱ 4 He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Ҿྗͷ‫ ݯى‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.4

Ϋʔύʔͷ 2 ମଋറঢ়ଶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.5

Ϋʔύʔର‫ܗ‬੒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.6

ిࢠ-֨ࢠ૬‫ ༻࡞ޓ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.7

d όϯυۚଐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.8

Ϋʔύʔର‫ܗ‬੒΁ͷ஗ԆޮՌ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.9

ҟํతΫʔύʔର‫ܗ‬੒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.10

ԋश໰୊̎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.11

ԋश໰୊̎ɹղ౴

41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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໨࣍

2
ୈ4ষ

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

42

4.1

४ฏ‫ ۉ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.2

s ೾ͷΪϟοϓํఔࣜͷղ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.3

T < Tc ʹ͓͚Δੑ࣭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.4

s ೾ BCS ঢ়ଶͷ෺ཧྔͷੑ࣭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.5

NMR ॎ؇࿨཰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.6

ԋश໰୊̏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.7

ԋश໰୊̏ɹղ౴

62

ୈ5ষ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GL ཧ࿦ͷུ֓ͱ࣓ଋͷྔࢠԽ

63

5.1

GL ཧ࿦ͱ࣓ଋͷྔࢠԽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2

ODLRO (Off Diagonal Long Range Order) ͱϘʔζ‫ڽ‬ॖ . . . . . . .

66

5.3

Ϊϯπϒϧά-ϥϯμ΢ཧ࿦ͷඍࢹత‫ ͚෇ૅج‬. . . . . . . . . . . . . . .

68

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3

ୈ1ষ

ಋೖ
͜ͷষͰ͸ɼ෮शͱͯ͠ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷੑ࣭ͱ௒఻ಋͷྺ࢙ʹ͍ͭͯ؆୯ʹ৮ΕΔɽ௒
఻ಋ͸ຊདྷόϯυཧ࿦ʹै͏͕ɼ·ͣ͸؆୯ͷͨΊϑΣϧϛ‫ؾ‬ମΛߟ͑Δɽ

1.1 ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷੑ࣭೾਺ k Λཻ࣋ͭࢠ਺ʹରԠ͢ΔϑΣϧϛ෼෍ؔ਺͸࣍ͷΑ͏ʹॻ͚Δɽ

nk =

1

(1.1.1)

1 + eβ("k −µ)͜͜Ͱɼβ = 1/kB T ɼ"k = !2 k2 /2m Ͱ͋Γɼµ ͸ԽֶϙςϯγϟϧͰ͋Δɽ͜ͷͱཻ͖ࢠ਺͸εϐϯࣗ༝౓Λߟྀͯ͠ɼ

N =2

!

"

nk = 2V

k

1
dk
3
β("
(2π) 1 + e k −µ)(1.1.2)

Ͱ͋Δɽ͜ͷࣜ͸ µ Λ T ͱ (N/V ) ͷؔ਺ͱͯ͠༩͑Δؔ܎Ͱ͋Δɽεϐϯ͋ͨΓͷঢ়ଶີ౓͸࣍ͷΑ͏ʹ‫·ٻ‬Δɽρ(") =dk
2
4π (2π)
3k

d"

1
2
√
mk
2 k dk= 2π!2 k
∝ "
=
2
2
2π !
m dk

(1.1.3)‫ج‬ఈঢ়ଶ (T = 0) ʹ͓͍ͯ͸ɼ

N = 2V

4π
(2π)3

" kF

dkk 2 =

0V 3
k
3π 2 F(1.1.4)Ͱ͋ΓɼϑΣϧϛ೾਺ kF ͸ɼཻࢠ਺ີ౓ N/V Λ༻͍ͯɼ

kF =

#

3π

2N

V

$ 13

(1.1.5)ͱ༩͑ΒΕΔɽϑΣϧϛΤωϧΪʔ "F ͱͦ͜Ͱͷঢ়ଶີ౓ ρF ͸ϑΣϧϛ೾਺ kF ༻͍%&

2
ͯ "F ≡ !2 kF/ (2m)ɼρF ≡ mkF / 2π!2 ͱͳΔɽ

sha1_base64="k+5Qgw0RHaC1P3HTX4BILK/6Pg4=">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</latexit>

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4
ୈ1ষ

ਤ 1.1.1 ϑΣϧϛ‫ىྭ( ٿ‬ঢ়ଶ)C=

ਤ 1.1.2!2 k12!2 k22−$#2m2 2 2m2 2 $ # 2 2! kF!2 k12
! kF
! k2
−
+
−
=
2m
2m
2m
2m

E & kB T (ρF kB T ) = (kB T )2 ρF

C=

2π 2
2
ρF k BT
3

dE
2& ρF kB
T
dT

ಋೖ

✏F

࣓৔ʹΑΓ෼྾ͨ͠ঢ়ଶີ౓ (఺ઢ͸࣓৔ 0 ͷ࣌ͷঢ়ଶີ౓)ਤ 1.1.1 ʹࣔ͢Α͏ͳྭ‫ى‬ঢ়ଶ (kB T $ "F ) ʹ͓͍ͯɼྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ͸࣍ͷΑ͏ʹ༩

͑ΒΕΔɽ

"ex =

(1.1.6)Ұ߲໨͸ཻࢠɼೋ߲໨͸ਖ਼޸ͷΤωϧΪʔʹରԠ͍ͯ͠ΔɽͲͪΒͷΤωϧΪʔ΋ਖ਼ʹͳΔ͜ͱʹ஫ҙ͍ͨ͠ɽ෺ཧྔͱͯ͠ઌͣൺ೤Λߟ͑Δɽ༗‫ݶ‬Թ౓ͷͱ͖ʢ͔͠͠ɼॆ෼௿ԹྖҬͰͷʣɼϑΣϧϛ෼෍ؔ਺͸ਤ 1.1.3 ͷΑ͏ʹͳΔɽϑΣϧϛ४Ґۙ๣ͷ kB T ఔ౓ͷΤωϧΪʔ෯Ҏ֎ͷిࢠঢ়ଶ͸ T = 0 ͱಉ͡Ͱ͋Δɽిࢠ͸ΤωϧΪʔΛड͚औͬͯྭ‫͢ى‬ΔͨΊɼൺ೤ʹ‫د‬༩͢Δঢ়ଶͷ਺͸ ρF kB T ͱͳΔɽ͕ͨͬͯ͠ྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ kB T Λ͔͚ͯ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔΛ‫ੵݟ‬΋Δͱɼ(1.1.7)

γϟϧͷԹ౓มԽ (∝ T 2 /"F ) ͸ඇৗʹখ͘͞ແࢹͰ͖Δ΋ͷͱͨ͠ɽ਺܎਺·Ͱਖ਼͘͠ͱදͤΔɽ͜ΕΛԹ౓ T Ͱඍ෼ͯ͠ൺ೤͕‫·ٻ‬Δɽ͜͜Ͱ kB T $ "F ΑΓɼԽֶϙςϯ‫͢ࢉܭ‬Δͱൺ೤͸࣍ͷΑ͏ʹ‫·ٻ‬Δɽ

(1.1.8)࣮‫ݧ‬తʹ͸ɼൺ೤Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱͰঢ়ଶີ౓Λಛఆ͠ɼ༗ޮ࣭ྔΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

(1.1.9)

《講義ノート》

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1.1 ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷੑ࣭

5
nk
T=0
0 < kBT ≪ ϵF1kF

ਤ 1.1.3k༗‫ݶ‬Թ౓ͷϑΣϧϛ෼෍ؔ਺࣍ʹεϐϯଳ࣓཰ʹ͍ͭͯߟ͑Δɽ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτͷେ͖͞Λ µm ͱ͢Δͱɼ֤ʑͷεϐϯ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτʹରͯ͠ΤωϧΪʔ͸ɼ'"↑,k = "k − µm H"↓,k = "k + µm H

(1.1.10)

ͱͳΔɽ࣓৔ʹΑΔԽֶϙςϯγϟϧͷมԽ (∝ H 2 /"F ) ͸ແࢹ͢Δɽঢ়ଶີ౓͸ਤ 1.1.2
ʹࣔ͢Α͏ʹεϐϯ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτͷ޲͖ʹґଘͯ͠෼྾͢ΔɽT = 0 ʹ͓͍ͯɼ࣓Խ

M ͸࣓Խʹ‫د‬༩͢Δཻࢠ਺ ρF µm H ͱ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτ µm Λ༻͍ͯ࣍ͷΑ͏ʹ‫ੵݟ‬΋ΒΕΔɽ

M & µm (ρF µm H) = µ2m ρF H
͕ͨͬͯ͠ଳ࣓཰ χ ͸ɼχ=dM
& µ2m ρFdH

(1.1.11)(1.1.12)ͱͳΓɼ↑ ͱ ↓ ͷঢ়ଶ਺ͷࠩΛߟ͑ͯ਺܎਺·Ͱਖ਼͘͠‫͢ࢉܭ‬Δͱɼ

χ = 2µ2m ρF(1.1.13)ͱͳΔɽ͜͜·Ͱ͸ kB T $ "F ͷ௿ԹΛѻ͖ͬͯͨɽkB T ) "F ͷߴԹͰ͸ɼΤωϧΪʔ౳෼഑ଇͱεϐϯࣗ༝౓͔Βൺ೤Λ‫ٻ‬ΊΔͱɼશཻࢠ਺ N Λ༻͍ͯɼE&

3
N kB T × 2 = 3N kB T
2

(1.1.14)dE= 3N kBdT(1.1.15)C=ͱͳΓɼσϡϩϯ-ϓςΟͷ๏ଇΛಋ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
ଳ࣓཰͸ΩϡϦʔͷ๏ଇͱҰக͠ɼ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

χ&

µ2m N
kB T

(1.1.16)

《講義ノート》

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ୈ1ষ

6
(a)

ਤ 1.2.1

ಋೖ(b)(a)1911 ೥ʹใࠂ͞Εͨ Hg ʹ͓͚Δ௒఻ಋ(b) ௒఻ಋྟքԹ౓ͷ࠷ߴ஋ͷ೥୅มԽɼ͓Αͼؔ࿈͢ΔΤϙοΫϝʔΩϯάͳग़དྷࣄkB T ) "F ʹ͓͍ͯ‫ࡏہ‬εϐϯ‫ʹܥ‬ରͯ͠੒ཱ͢ΔΩϡϦʔͷ๏ଇ͕੒Γཱͭ͜ͱ͸࣍ͷΑ͏ʹཧղ͞ΕΔɽϑΣϧϛԹ౓ TF ≡ "F /kB ʹରԠ͢ΔυɾϒϩΠ೾௕ λTF ͸ɼh/λTF = !kF ͷؔ܎ʹ஫ҙ͢ΔͱɼϑΣϧϛཻࢠؒͷฏ‫ ཭ڑؒࢠཻۉ‬a Λ༻͍ͯɼ1
λTF = 2π
&2
kF

#

V
N

$ 13

&a

(1.1.17)

ͱදͤΔɽ͢ͳΘͪɼT > TF Ͱ͸ɼϑΣϧϛཻࢠͷฏ‫ۉ‬೤υɾϒϩΠ೾௕ λT ͸ λT & aΑΓ୹͘ͳΔͷͰɼϑΣϧϛཻࢠ͸೾ಈతੑ࣭ΛࣦΘͳ͍‫ݸ‬ผཻࢠ (‫ )ࢠཻࡏہ‬ͷੑ࣭Λ࣋ͭ͜ͱʹͳΔɽͦͷͨΊɼΩϡϦʔͷ๏ଇ͕੒Γཱͭ͜ͱʹͳΔɽ

1.2 ௒఻ಋͷྺ࢙௒఻ಋ͸ 1911 ೥ʹ Hg ͰॳΊͯൃ‫͞ݟ‬Εͨ (ྟքԹ౓=໿ 4.20K*1 )ɽͦͷྺ࢙͸ྔࢠྗֶͷ‫׬‬੒ (1930 ೥ࠒ) ΑΓ΋‫͍ݹ‬ɽͦͯ͠ 1956 ೥ʹ͸௒఻ಋཧ࿦ͷۚࣈౝͰ͋Δ BCSཧ࿦͕஀ੜͨ͠ɽ͔͠͠ɼBCS ཧ࿦Ͱ΋ͦͷ··Ͱ͸ѻ͑ͳ͍௒఻ಋ (ॏ͍ిࢠ‫ܥ‬΍ಔࢎԽ෺ߴԹ௒఻ಋମ‫ ͕ )Ͳͳܥ‬1980 ೥୅Ҏ߱ʹ਺ଟ͘ൃ‫͞ݟ‬ΕɼύϥμΠϜγϑτ͕‫ى‬͖ͨɽసҠԹ౓ͷ೥୅มԽΛਤ 1.2.1 ʹࣔ͢ɽࠓճ͸ͦΕҎ߱ͷమ‫ܥ‬௒఻ಋ (2000 ೥୅)ɼ͓ΑͼེԽਫૉ‫( ܥ‬2000 ೥୅‫ޙ‬൒) ͷ໰୊͸ѻΘͣɼBCS ௒఻ಋΛத৺ʹѻ͏ɽ

*1 H.Kamerlingh Onnes, Proc.

14, 818 (1911).

Sciences. Koninklijke Akad. van Wetenschappen (Amsterdam),《講義ノート》

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1.3 ௒఻ಋͷ֓೦ (Ӭ‫)͍ͯͭʹྲྀిٱ‬

1.3 ௒఻ಋͷ֓೦ (Ӭ‫)͍ͯͭʹྲྀిٱ‬υʔφπϦϯά‫ܕ‬ͷۚଐΛߟྀ͢Δɽ

1. T > Tc ͷͱ͖ɼ֎෦࣓৔͸෺࣭಺෦ʹ৵ೖ͢Δɽ

2. Tc > T ͱͳΔΑ͏෺࣭Λྫྷ٫͠ɼ௒఻ಋମʹసҠͤ͞ΔɽԹ౓ΛԼ͛ͯ௒఻ಋస
Ҡͤͨ͞‫ޙ‬ɼ֎෦࣓৔Λ͔͚Δɽ͜ͷͱ͖ɼ֎෦࣓৔͸෺ࢿதΛ৵ೖͰ͖ͣɼ෺࣭
Λආ͚ΔΑ͏ʹৼΔ෣͏ɽ·ͨɼ֎෦࣓৔ʹΑͬͯԁిྲྀ͕෺࣭಺෦ʹੜ͡Δɽ

3. ֎෦࣓৔Λ੩͔ʹআ‫͢ڈ‬Δ͜ͱͰɼԁిྲྀ͸֎෦ʹ෺࣭Λ‫͘ר‬Α͏ʹ‫؀‬ঢ়࣓৔Λͭ
͘Δɽ

7

《講義ノート》

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ୈ1ষ

8

ಋೖ

4. Ҏ্ͷաఔʹΑͬͯɼϦϯάதʹӬ‫͕ྲྀిٱ‬ੜ͡Δɽ
Pb ͷϦϯάʹ༠ಋ͞Εͨిྲྀ͸ 2 ೥൒ͷؒɼ‫ݮ‬ਰΛࣔ͞ͳ͔ͬͨ (MIT ͷ࣮‫)ݧ‬ɽ࣮ࡍɼ͜ͷిྲྀͷ؇࿨࣌ؒ͸໿ 10 ສ೥ͩͱใࠂ͞Ε͍ͯΔ*2 ɽ͔͠͠ɼ‫ݮ‬ਰ͸ඞͣੜ͡Δɽྫ͑͹ɼ๮ঢ়ͷۚଐΛ༗‫ݶ‬Թ౓ʹ͓͍ͯਫฏΛอͪҰ఺Ͱࢧ͚͍͑ͭͮͯͨΒɼ͍ͭͷ೔ʹ͔๮͸ॏྗͷӨ‫Ͱڹ‬࿪Ήɽ͜Ε͸݁থதͷసҠઢ (dislocation line) ͕Ҡಈ͢Δ͜ͱʹΑΓɼ݁থ͕ඍࢹతʹͣΕΔ͜ͱʹΑΓੜ͡Δ‫ݱ‬৅Ͱ͋ΔɽӬ‫ྲྀిٱ‬΋ಉ༷ɼྔࢠԽ͞Ε࣓ͨଋ Φ0 = h/2e ΛӡͿඍࢹతͳ‫͕ߏػ‬ଘࡏ͠ (2.9 ࢀর)ɼզʑ͕஌֮͠ಘͳ͍େ͖ͳλΠϜεέʔϧͰ͸‫ݮ‬ਰ͢ΔͷͰ͋Δɽ

*2 J. File and R. G. Mills, Phys. Rev. Lett. 10, 93 (1963).

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9

ୈ2ষ௒ྲྀಈͷಈྗֶ
͜ͷষͰ͸ɼ‫ࢹڊ‬తʹ௒ྲྀಈ‫ݱ‬৅Λߟ͑Δɽͦͷ‫ޙ‬ɼిࢠͷ௒ྲྀಈͱͯ͠௒఻ಋΛಋೖ͢Δɽ·ͨ௒఻ಋମͷి࣓৔Ԡ౴Λ෮श͠ɼୈ̍छ௒఻ಋମͱୈ̎छ௒఻ಋମͷҧ͍ʹ͍ͭͯ΋ٞ࿦͢Δɽ

2.1 ॎԠ౴ͱԣԠ౴*1௒఻ಋͷٞ࿦ʹೖΔલʹɼҰൠͷӷମʹର͢Δ௒ྲྀಈΛऔΓѻ͍ɼͦͷ‫ޙ‬ՙిཻࢠͷ௒ྲྀಈͱͯ͠௒఻ಋΛ༩͑Δɽ·ͣɼӷମ͕௒ྲྀಈঢ়ଶͰ͋ΔͨΊͷ৚݅Λߟ͑ΔɽҰํ޲ʹແ‫ʹݶ‬௕͍༰‫ྲྀʹث‬ମ͕٧·͓ͬͯΓ (ਤ 2.1.1)ɼ༰‫ث‬ͷน͕଎౓ u Ͱӡಈ͍ͯ͠Δͱ
Ծఆ͢Δ. ྲྀମͷӡಈྔ P ͷฏ‫ۉ‬஋͸นͷ଎౓ʹର͢Δઢ‫ܗ‬Ԡ౴ͱͯ͠ɼ

+P , = V χu(a)(2.1.1)

(b)
ux
y
y
x
x

ux
ਤ 2.1.1uxux(a) ॎԠ౴ (b) ԣԠ౴ʹରԠ͢Δ໛ࣜਤ*1 ҎԼɼ
2.6 અ·Ͱͷٞ࿦͸ɼG. Baym, ”The Microscopic Description of Superconductivity” [”Mathe-

matical Methods in Solid State and Superconductivity” eds. R. C. Clark and G. H. Derrick, Springer,
Boston MA, USA] ͷୈ 3 ষ (pp 121-156) ͷ಺༰Λॳ౳తʹղઆͨ͠΋ͷͰ͋Δɽ

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

10Ͱ༩͑ΒΕΔɽV ͸ྲྀମͷମੵͰ͋Δ. Ԡ౴ͷ܎਺Ͱ͋Δ χ ͸ϕΫτϧ +P ,ɼu Λͭͳ͙ςϯιϧͰ͋Γ‫ײ‬ड཰ͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽχ ʹ͸ॎԠ౴ɾԣԠ౴ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ 2 ੒෼͕͋Δɽ·ͣॎԠ౴Λߟ͑Δɽ༰‫ث‬ͷนʹਨ௚ͳํ޲ʹนΛӡಈͤ͞ɼฏߦʹ௥ै͢Δྲྀମͷӡಈྔͷฏ‫ۉ‬ΛͱΔ [ਤ 2.1.1(a)]ɽྲྀମΛ N ‫ݸ‬ͷཻࢠ͔ΒͳΔͱߟ͑ΔͱɼఆৗͰ͸ྲྀମͷ௒ɾৗྲྀಈʹ͔͔ΘΒͣશͯͷཻࢠ͕นͷӡಈʹ͍ͭͯΏ͘ɽ͜ͷ࣌શӡಈྔͷฏ‫ۉ‬͸ɼ+Px , = N mux(2.1.2)

Ͱ͋Δɽ·ͨɼ͜ͷ৔߹ͷ χ Λ χ$ ͱද͢͜ͱʹ͢Δͱ,

χ$ =

mN
V

(2.1.3)

Ͱ͋Δ. ҰํɼนΛ௕खํ޲ʹಈ͔͠ɼͦΕʹฏߦʹ༠‫͞ى‬ΕΔӡಈྔͷฏ‫ͳ͏Ͳ͕ۉ‬Δ
͔Λߟ͑ͯΈΔ [ԣԠ౴ɿਤ 2.1.1(b)]ɽৗྲྀಈͰ͋Ε͹ఆৗঢ়ଶͰશͯͷཻࢠ͕นͷӡಈʹ௥ै͢Δɽ͔͠͠શཻࢠͷதͰ Nn (< N ) ‫ݸ‬ͷཻࢠ͕ৗྲྀಈঢ়ଶʹ͋Δͱ͢Ε͹ɼ͜ΕΒҎ֎ͷཻࢠ͸௒ྲྀಈͷͨΊຎࡲΛड͚ͣɼน͔ΒӡಈྔΛ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͸ͳ͍ɽͨ͠
͕ͬͯɼશӡಈྔͷฏ‫ۉ‬͸ৗྲྀಈཻࢠ਺Λ༻͍ͯɼ+Px , = Nn mux(2.1.4)

ͱ͔͚Δɽ·ͨɼ͜ͷ৔߹ͷ χ Λ χ⊥ ͱද͢͜ͱʹ͢Δͱ,

χ⊥ =

mNn
V

(2.1.5)

Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱɼ௒ྲྀಈঢ়ଶ͕࣮‫͍ͯ͠ݱ‬ΔͳΒ͹ɼগͳ͘ͱ΋ৗྲྀಈཻࢠͷ‫਺ݸ‬͸શཻࢠͷ‫਺ݸ‬ΛԼճΔͷͰ,Nn < N(2.1.6)χ⊥ < χ $(2.1.7)͕੒Γཱͪɼ͜ͷ৚݅͸ χ Λ༻͍ͯ,ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

2.2 ೤ཋ͕ӡಈ͢Δͱ͖ͷ೤ฏߧ෼෍
௒ྲྀಈ͕ൃ‫͢ݱ‬Δ৚݅ΛɼนͷӡಈʹΑΔྲྀମதʹੜ͡Δྭ‫ى‬Λߟ͑Δ͜ͱʹΑΓௐ΂ΔɽͦͷͨΊʹɼ‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯΛߟ͑Δɽઌ΄ͲԣԠ౴Λ‫ͨݟ‬ηοτΞοϓΛߟ͑ɼࠓ౓͸น (೤ཋ) ͕଎౓ u Ͱ௕खํ޲ʹӡಈ͍ͯ͠Δ΋ͷͱ͢ΔɽN ‫ݸ‬ͷཻࢠ͕ɼཻ
ࢠ͓ؒΑͼนͱͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λड͚Δ࣌ɼϋϛϧτχΞϯ͸࣌ؒ t ʹґଘ͠ɼ

《講義ノート》

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2.2 ೤ཋ͕ӡಈ͢Δͱ͖ͷ೤ฏߧ෼෍

H(t) =

N
!
pi 2
i=1

2m

+

11

!
i<j

V (ri − rj ) +

N
!
i=1

VB (ri − ut)(2.2.1)ͱද͞ΕΔɽ࣌ؒʹґଘ͢Δϙςϯγϟϧ VB (ri − ut) ͸ɼԜತͷ͋Δน͕ӡಈ͠ɼཻࢠ
ʹিಥͯ͠ࢄཚͤ͞Δ༷ࢠΛ૝૾͢ΔͱΑ͍ɽ͜ͷ߲ͷͨΊγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜi!

∂Ψ= H(t)Ψ
∂t(2.2.2)͸ඇఆৗʹͳΔɽ͜ͷํఔࣜΛղ͘ʹ͸ɼนͱͱ΋ʹ଎౓ u Ͱӡಈ͢Δ࠲ඪ‫ʹܥ‬ҠΕ͹ྑ͍ɽ͜ͷม‫ʹ׵‬ΑΓҐஔ r ɼӡಈྔ p ͸ɼ'U (t)rj U −1 (t) = rj + ut
(2.2.3)
U (t)pj U −1 (t) = pj*
( )Nͱม‫͞׵‬ΕΔɽ͜͜Ͱ U (t) = exp i i=1 pi!·ut Ͱ͋Δɽ͜ͷม‫׵‬ΛϋϛϧτχΞϯʹ
΋ࢪ͢ͱɼH̃ ≡ U (t)HU −1 (t) =

N
!
pi 2
i=1

2m

+

!
i<j

V (ri − rj ) +N!

VB (ri )(2.2.4)i=1

ͱͳΔɽ݁ՌΛ‫ݟ‬ΔͱɼϋϛϧτχΞϯ͸࣌ؒΛ࿐ʹ‫ͣ·ؚ‬ɼఆৗঢ়ଶΛද͍ͯ͠Δ͜ͱ͕Θ͔Δɽ࣍ʹɼ͜ͷӡಈ‫͚͓ʹܥ‬ΔγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜΛಋ͘ɽ੩ࢭ‫ܥ‬ͷγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜ (2.2.2) ͷࠨ͔Β U (t) Λ࡞༻ͤ͞Δͱ,U (t)i!

∂Ψ= U (t)H(t)U −1 (t)U (t)Ψ ≡ H̃ Ψ̃
∂t(2.2.5)ΛಘΔ ʢΨ̃ ≡ U (ut)Ψʣɽ͞ΒʹࠨลΛม‫͢ܗ‬Δ.

U (t)i!

∂Ψ∂∂U (t)= i! [U (t)Ψ] − i!
Ψ
∂t
∂t
∂t
N
!
∂ Ψ̃
pi · u= i!
+!
U (t)Ψ
∂t
!
i=1
+
,
N
!
∂
= i! + u ·pi Ψ̃.
∂ti=1͕ͨͬͯ͠ɼนͱͱ΋ʹӡಈ͢Δ࠲ඪ‫ܥ‬ͷγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜ͸ɼ.
∂ Ψ̃ = H̃ − u · P Ψ̃
(2.2.6)∂t)N
Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜͜ͰɼP = i=1 pi ͸੩ࢭ‫Ͱܥ‬ͷશӡಈྔͰ͋Δɽ͜ͷ݁Ռ͔i!

Βɼ೤ཋ͕଎౓ u Ͱӡಈ͢Δ৔߹ͷ౷‫౓ີܭ‬ԋࢉࢠ ρeq ͸ɼ《講義ノート》

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ12vsਤ 2.3.2
ਤ 2.3.1ྲྀମ͔Β‫ͨݟ‬นͷӡಈͱૉྭ‫ى‬Ұ༷ͳ௒ྲྀಈྲྀମρeq =e−β(H−u·P )0/
Tr e−β(H−u·P )(2.2.7)

Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔ΔɽҎ্ͷٞ࿦͸ɼϥϯμ΢-Ϧϑγοπʮ౷‫ܭ‬෺ཧֶʯ§67 ͰΨϦϨΠ*2ͷ૬ରੑ‫ݪ‬ཧʹ‫͍ࣔͯͮ͞ج‬Ε͍ͯΔ͜ͱͷඍࢹతͳಋग़ͱҐஔ͚ͮΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

2.3 ϥϯμ΢ͷ൑ఆ৚݅௒ྲྀಈঢ়ଶ͕࣋ଓՄೳͰ͋Δ͔ͷ൑ఆ৚݅Λ༩͑ΔͨΊʹɼนͷӡಈʹΑΓྲྀମதʹੜ
͡Δྭ‫ʹى‬஫໨͠ɼ௒ྲྀಈྲྀ͕‫ݮ‬ਰ͢ΔͨΊͷඞཁ৚݅Λߟ͑Δɽਤ 2.3.1 ʹࣔ͢଎౓ vsͷҰ༷ͳ௒ྲྀಈΛɼಉ͘͡଎౓ vs Ͱಈ͘࠲ඪ‫͔ܥ‬Β‫؍‬ଌ͢Δͱɼྲྀମͱนͱͷ૬‫༻࡞ޓ‬ʹΑΓӡಈྔ͕มԽ͠ɼ͜Ε͕ૉྭ‫ى‬Λ༩͑Δɽ‫ج‬ఈঢ়ଶͱྭ‫ى‬ঢ়ଶͷΤωϧΪʔ͓ΑͼӡಈྔΛද 2.3.1 ʹ༩͑Δ.
ྲྀମ্ͷ࠲ඪ‫Ͱܥ‬͸นΛେ͖ͳ࣭ྔ M Λ࣋ͭ෺ମͱΈͳ͠ɼૉྭ‫ى‬ΛนͷӡಈྔมԽͱͯ͠ද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ (ਤ 2.3.2)ɽྭ‫͕ى‬ଘࡏ͢Δ৔߹ɼྭ‫ى‬ͷલ‫࣍Ͱޙ‬ͷΤωϧΪʔอଘ͓Αͼӡಈྔอଘ͕੒Γཱͭͱ͢Δɽ
ΤωϧΪʔอଘ:E0 +ද 2.3.1

M 2
M &2
vs = E0 + "p +v
2
2 s

(2.3.1)‫ج‬ఈঢ়ଶ͓Αͼૉྭ‫ى‬ͷΤωϧΪʔͱӡಈྔ

ΤωϧΪʔ

ӡಈྔ

‫ج‬ఈঢ়ଶ

E00ྭ‫ى‬ঢ়ଶ

E0 + " pp*2 ಉ༷ͷٞ࿦ʹΑΓɼ೤ཋ͕֯଎౓ Ω Ͱճస͢Δ࣌ͷ౷‫౓ີܭ‬ԋࢉࢠ͸ࣜ (2.2.7) ʹ͓͍ͯ u · P → Ω · LͱվΊΕ͹Α͍ɽL ͸੩ࢭ‫ܥ‬ͷશ֯ӡಈྔͰ͋Δɽৄ͘͠͸ɼK. Miyake and T. Usui, Prog. Theor. Phys.
64, 1119 (1980) ࢀরɽ《講義ノート》

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2.3 ϥϯμ΢ͷ൑ఆ৚݅

13

ࣇ࢛ࣀࣥ

ࣟࢺࣥ

єp
єp =(∆/p0) p∆єp =vs pp0
ਤ 2.3.3ӡಈྔอଘ:p௒ྲྀಈϔϦ΢Ϝ 4 He ͷΤωϧΪʔ෼ࢄ−M vs = −M vs& + p(2.3.2)M ͷେ͖͍‫Ͱݶۃ‬, ্‫ ه‬2 ͔ࣜΒɼ"p + p · vs = 0(2.3.3)ΛಘΔɽ͜Ε͸ྭ‫͕ى‬ଘࡏ͢ΔͨΊͷඞཁ৚݅Ͱ͋Δ͔Βɼ"p + p · vs > 0 ͕͋ΒΏΔૉྭ‫ʹى‬ରͯ͠੒Γཱͯ͹ɼྭ‫ى‬͸ੜ͡ͳ͍ͱ‫͑ݴ‬Δɽྭ‫͕ى‬ੜ͡ͳ͚Ε͹ྲྀମ (ྲྀମ͔Β‫ݟ‬Ε͹น) ͸ӡಈྔΛࣦΘͣɼྲྀମ͓Αͼนͷ଎౓͸มԽ͠ͳ͍ɽ͢ͳΘͪ͜Ε͕௒ྲྀಈ͕҆ఆʹଘࡏ͢Δ৚݅Ͱ͋Δɽ(ϥϯμ΢ͷ൑ఆ৚݅)͜ͷ൑ఆ৚݅͸ૉྭ‫ى‬ͷΤωϧΪʔ෼ࢄʹద༻͢Δͱਤࣜతʹཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
௒ྲྀಈϔϦ΢Ϝ 4 He ͷૉྭ‫ى‬෼ࢄ͸ਤ 2.3.3 ʹࣔ͢௨ΓͰ͋Δɽӡಈྔͷ௿͍ྖҬͰ͸ϑΥϊϯʹΑΔઢ‫ͳܗ‬෼ࢄ͕‫ݟ‬ΒΕΔ͕ɼཻࢠؒ‫཭ڑ‬ͷ‫਺ٯ‬ఔ౓ͷ೾਺ྖҬʹϩτϯͱ‫ݺ‬͹ΕΔྭ‫͕ى‬ଘࡏ͢Δɽ͜ͷྭ‫ى‬աఔʹΑͬͯ෼ࢄ͸‫ۃ‬খ஋Λ͕࣋ͭɼ‫఺ݪ‬Λ௨Δ௚ઢ

"p = p · vs ͷ܏͖ vs ͕ ∆/p0 ΑΓখ͚͞Ε͹ɼશͯͷӡಈྔʹ͓͍ͯ "p + p · v > 0 ͕੒ཱ͠ɼϥϯμ΢ͷ൑ఆ৚͔݅Β௒ྲྀಈ͕҆ఆͯ͠ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δɽ*3

ࣗ༝ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମ͕௒ྲྀಈʹͳΒͳ͍͜ͱ΋ಉ༷ʹࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ͷ৔߹ͷྭ‫ى‬͸ཻࢠ-ۭ޸ͷϖΞͰ‫ݱ‬Ε (ਤ 2.3.4(a))ɼͦΕͧΕͷ෼ࢄ͸ϑΣϧϛ೾਺ kF Λ༻͍ͯɼ

"p =

k2
p(p + 2kF cosθ)(p + k)2
− F =
2m
2m
2m

(2.3.4)

ͱॻ͔ΕΔ. εϖΫτϧ͸ཻࢠͱਖ਼޸ͷӡಈྔ͕੒֯͢ʹΑͬͯ࿈ଓతʹมԽ͠ɼ͜ΕΒΛਤࣔ͢Δͱਤ 2.3.4(b) ͷΑ͏ʹͳΔɽ͜Ε͸ 4 He ͷྫͱ͸ҟͳΓɼ‫͔఺ݪ‬ΒҾ͍ͨ௚ઢͷԼํʹৗʹૉྭ‫ى‬ͷΤωϧΪʔ͕ଘࡏ͢Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼϥϯμ΢ͷ൑ఆ৚݅ʹΑΕ͹҆ఆͨ͠௒ྲྀಈ͸ଘࡏ͠ͳ͍͜ͱʹͳΔɽ
*3 ͨͩ͠ɼ͜ΕΒͷૉྭ‫ى‬Ҏ֎ʹ΋ɼ༰‫ث‬ͷ‫ܗ‬ঢ়ʹΑͬͯ͸ɼӔࢳର΍ӔࢳϦϯάͳͲͷૉྭ‫͕ى‬ՄೳͰ͋Γɼ௒ྲྀಈͷྟք଎౓ vsc ͸͜ΕΒͷޮՌʹΑܾͬͯ·Δɽ《講義ノート》

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

14

2.4 ࣗ༝ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷ৔߹࣮ࡍʹૉྭ‫ى‬ͷඳ૾ʹ‫͍ͯͮج‬ɼࣗ༝ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͷ χ⊥ Λ‫ٻ‬ΊͯΈΔ. ϋϛϧτχΞϯ͸ઌ΄Ͳͱಉ༷Ͱ͋Δ͕ɼૉྭ‫͕ى‬ϑΣϧϛ෼෍ʹ‫ͱͮ͘ج‬Ծఆ͢Δ. ϑΣϧϛ෼෍ؔ਺Λ np,σ ͱॻ͘ͱ,+H̃ − P · u, = E0 +!
p,σ("p − p · u) np,σ(2.4.1)

ͱॻ͚Δ. ͜͜ͰɼE0 ͸‫ج‬ఈঢ়ଶͷΤωϧΪʔΛද͢ɽ଎౓ํ޲ʹ༠‫͞ى‬ΕΔӡಈྔͷฏ‫ۉ‬஋͸ࣜ (2.4.1) ͔Β࣍ͷΑ͏ʹ‫͞ࢉܭ‬ΕɼԣԠ౴ͷ‫ײ‬ड཰΋ಉ༷ʹ‫·ٻ‬Δ.

+Px , =

!
p,σ

!

px
β("
−µ−p·u)
p
e
+1

∂
1
β("
−µ)
p
∂"
+1
p e
p,σ
2
1
1
1! 2 ∂=uxp3 p,σ∂"p eβ("p −µ) + 1&

px (−p · u)

(2.4.2)

ͱͳΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼ(2.1.4), (2.1.5) ͷؔ܎ʹΑΓɼ

2
1
1 ! 2 ∂
1χ⊥ =p
3V p,σ∂"p eβ("p −µ) + 1(2.4.3)

ͱͳΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜ͷ p− ੵ෼͸࣍ͷΑ͏ʹ࣮ߦ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽξp ≡ ("p − µ)Λಋೖ͢Δͱɼ

(a)

(b)

θ
k

єp

p

o

єp =vs p

p+k

2kF
ਤ 2.3.4(a) ϑΣϧϛ‫ͱٿ‬ϑΣϧϛཻࢠͷྭ‫( ى‬b) ૉྭ‫ى‬ͷ෼ࢄp《講義ノート》

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2.5 ֨ࢠ‫ܥ‬ͷ৔߹

15

$
#
1 ! 2
∂
1
χ⊥ =
p −
3V p,σ∂ξp eβξp + 1
$
#
2 ! 2
∂
1
=
p −
3V p
∂ξp eβξp + 1
$
#
"
1
∂
2NF p2F ∞
dξ −
&
βξ
3
∂ξ e + 1−∞=

2NF p2F
p3
N= m 2F 3 = n = χ$
3
3π !
V

(2.4.4)͕ͨͬͯ͠ɼࣜ (2.1.7) ΑΓࣗ༝ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମ͸௒ྲྀಈͷੑ࣭͸ࣔ͞ͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δ.

2.5 ֨ࢠ‫ܥ‬ͷ৔߹Ծ૝తʹྲྀମதʹ֨ࢠ͕ுΓ८Β͞Ε͍ͯͯɼ֨ࢠͷ଎౓ u (r) ͕ۭؒతʹ؇΍͔ʹมԽ͢Δঢ়‫گ‬Λߟ͑Δɽӡಈྔີ౓ P (r) ΋ۭؒతʹมԽ͢ΔɽP (r) ͷ α(= x, y, z) ੒෼͸ྔࢠྗֶతԋࢉࢠͱͯ࣍͠ͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɽ
N

Pα (r) =1!
[piα δ (r − ri ) + δ (r − ri ) piα ]2 i=1(2.5.1)

͜͜Ͱɼpiα ≡ −i!∂/∂riα ͸ӡಈྔͰ͋Δɽӡಈྔີ౓ԋࢉࢠΛࣜ (2.5.1) Ͱఆٛ͢Δ͜ͱͰɼ࿈ଓͷํఔࣜ ∂n/∂t + ∇ · (P/m) = 0 ͕ϋΠθϯϕϧάͷӡಈํఔࣜʢྔ

ࢠྗֶతԋࢉࢠͷؔ܎ʣͱͯ͠੒Γཱͭ͜ͱΛࣔͤΔɽn ͸ཻࢠ਺ີ౓ԋࢉࢠͰ͋Γɼn (r) =ͳΔɽ)N

i=1 δ (r − ri ) ͱఆٛ͞ΕΔɽPα (k) ͷϑʔϦΤ੒෼ʹΑΔදࣔ͸࣍ͷΑ͏ʹPα (k) ="dre−ik·r Pα (r)(2.5.2)ಉ༷ʹ଎౓ u (r) ʹ͍ͭͯ΋ϑʔϦΤ੒෼ΛಋೖͰ͖Δɽuβ (k) ="͜ΕʹΑΓ P · u ͸ɼ"drP (r) · u (r) =dre−ik·r uβ (r)(2.5.3)"(2.5.4)dk(2π)

3 P (k) · u (−k)ͷ‫ʹܗ‬ҰൠԽͰ͖ΔɽP ͸ u ʹؔͯ͠ઢ‫ܗ‬ͷൣғͰ࣍ͷ‫ʹܗ‬දͤΔɽ

+Pα (k), =!
βχαβ (k) uβ (k)(2.5.5)

《講義ノート》

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

16͜͜Ͱɼχαβ (k) ͸ରশςϯιϧͰ͋Γɼ‫͕ܥ‬౳ํతͰ͋Δ৔߹Λߟ͑ΔͱҰൠతʹ࣍ͷ‫͖ॻͰܗ‬දͤΔɽ

k α kβ
k2
#
$
kα kβ
kα kβ
≡ χ$ (|k|) 2 + χ⊥ (|k|) δαβ − 2kkχαβ (k) = aδαβ + b(2.5.6)͜͜Ͱɼu ͷมԽ͕Ұ༷ͳ‫ݶۃ‬ɼͭ·Γ k → 0 ʹ͓͍ͯɼࣜ (2.5.6) ͷ χ$ (|k|) ͓Αͼχ⊥ (|k|) ͸ࣜ (2.1.3) ͷ χ$ ͱࣜ (2.1.5) ͷ χ⊥ ʹ౳͘͠ͳΔɽྫ͑͹ɼkz ≡ 0 ͱ‫ݻ‬ఆͨ͠ͱ͖ͷਤ 2.1.1(b) ͷΑ͏ͳঢ়‫گ‬Λߟ͑Δɽ͜ͷ৔߹ x ํ޲ʹۭ͕ؒҰ༷ͳͨΊɼઌʹ

kx → 0 ͷ‫ݶۃ‬Λऔͬͨ‫ޙ‬ɼky → 0 ͷ‫ݶۃ‬ΛऔΔɽࣜ (2.5.5) ͓Αͼࣜ (2.5.6) ʹ͓͍ͯα = β = x ͱ͓͘ͱ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ
+Px (k), = χxx ux (k)= lim lim

ky →0 kx →0= χ⊥ (0) ux1χ$ (|k|)

#
$2
kx2
kx2
+
χ
(|k|)
1
−
ux (k)⊥
k2
k2(2.5.7)‫ݶۃ‬ΛऔΔॱ൪ʹ͸஫ҙ͕ඞཁͰ͋ΔɽԣԠ౴Λߟ͑Δ৔߹ʹ͸ kx → 0 Λઌʹߦ͍ɼਤ

2.1.1(a) ͷΑ͏ͳॎԠ౴Λߟ͑Δ৔߹ʹ͸ ky → 0 Λઌʹߦ͏ඞཁ͕͋Δɽ͢ͳΘͪɼ+Px (k), = χxx ux (k)= lim lim

kx →0 ky →0= χ$ (0) ux1χ$ (|k|)

#
$2
kx2
kx2
+
χ
(|k|)
1
−
ux (k)⊥
k2
k2(2.5.8)ͱͳΔɽ

2.6 ࣓৔ͷޮՌɿϕΫτϧϙςϯγϟϧͱ௒఻ಋిྲྀ
࣓৔ͱ௒఻ಋిྲྀͷؔ܎Λߟ͑ΔͨΊɼϕΫτϧϙςϯγϟϧͷޮՌΛ࣍ͷΑ͏ʹऔΓࠐΉ. ӡಈྔԋࢉࢠ͸ϕΫτϧϙςϯγϟϧͷӨ‫ڹ‬Λड͚ͯɼpi → pi − qA (ri )(2.6.1)ͱมߋ͞ΕΔɽq = −e (< 0) ͸ిࢠͷిՙΛද͢ɽϕΫτϧϙςϯγϟϧ A ͷઢ‫ܗ‬Ԡ౴Λߟ͑ΔൣғͰ͸ɼӡಈྔ pi ͷมԽʹ൐͍ϋϛϧτχΞϯ H ͸ɼ
N

H→H−

q 1!
[pi · A(ri ) + A(ri ) · pi ] + O(A2 )m 2 i=1(2.6.2)

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2.6 ࣓৔ͷޮՌɿϕΫτϧϙςϯγϟϧͱ௒఻ಋిྲྀ

17ͱۙࣅͰ͖Δɽ࣍ͷΑ͏ʹӡಈྔີ౓ԋࢉࢠ P (r)[ࣜ (2.5.1)] Λ༻͍ͨද‫ݱ‬Λಋೖ͢Δɽ
͢ͳΘͪɼ
N

1 q !
[pi · A(ri ) + A(ri ) · pi ]2 m i=1
"
N
q
1!
=
dr
[pi δ(r − ri ) + δ(r − ri )pi ] · A(r)
m
2 i=1
"
q
drP (r) · A(r)=mΑͬͯϋϛϧτχΞϯ H ͸ɼ

H→H−
=H−

q
m

q
m
"

"

drP (r) · A(r)dkP (k) · A(−k)(2.6.3)ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ΕΒͷ݁ՌΑΓɼࣜ (2.5.4) ͱࣜ (2.6.3) ͷୈೋ߲໨Λൺֱ͢Δ
ͱɼu(r) ͕࣓৔ͷ͋Δ‫Ͱܥ‬͸ɼ

u(r) →qA(r)m(2.6.4)ͱม‫͞׵‬ΕΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽ
௒఻ಋঢ়ଶͰྲྀΕΔిྲྀΛௐ΂ΔͨΊɼిྲྀີ౓ԋࢉࢠΛɼNj(r) ≡=

q 1!
{[pi − qA(ri )] δ (r − ri ) + δ (r − ri ) [pi − qA(ri )]}m 2 i=1
qq2
P (r) − n(r)A(r)mm(2.6.5)ͱද͢ɽ͜͜Ͱɼཻࢠ i ͷ଎౓ԋࢉࢠ͸ vi = [pi − qA(ri )]/m Ͱ͋Δ͜ͱΛ༻͍ͨɽ͜

ͷిྲྀີ౓ԋࢉࢠ j(r) ʹ͍ͭͯɼ࣓৔தͷϋϛϧτχΞϯΛ༻͍ͯઢ‫ܗ‬Ԡ౴Λ‫ٻ‬ΊΔͱɼ

q2 !
q2 n
Aα (k)
χ
(k)A
(k)
−
αβ
β
m2
m
β
1
2
q2 !
kα kβ
kα kβ
q2 n
= 2
χ$ (k) 2 + (δαβ − 2 )χ⊥ (k) Aβ (k) −Aα (k)
m
k
k
m
β


1
$
2 !#
2
χ⊥ (k) kα kβq
δαβ − 2Aβ (k)
(2.6.6)=− 2 n−mm
k+j(k), =βͱ͍͏݁Ռ͕ಘΒΕΔɽ͜͜Ͱɼχ$ (k) = m N
V = mn [ࣜ (2.4.4)] ͷؔ܎Λ༻͍ͨɽϕΫτϧϙςϯγϟϧͷԣ੒෼ Aβ ͱిྲྀີ౓ͷؔ܎Λࣔࣜ͢ (2.6.6) ͸ɼ࣍અͷϩϯυϯ-ϐύʔυͷؔ܎ [ࣜ (2.7.1)] ͱಉ͡ߏ଄Λ΋ͭɽ͜ͷ݁Ռ͸௒఻ಋͷඳ૾ͱ௒ྲྀಈͷඳ૾͕ಉ࣭Ͱ͋Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɽిྲྀ j ͕֨ࢠதΛྲྀΕΔ‫ܥ‬͸ɼͦͷిྲྀ j Λ࠲ඪͷ‫ج‬४ʹ͢Δ͜ͱͰपғͷ֨ࢠ͕ಈ͘‫ʹܥ‬ஔ͖‫͑׵‬ΒΕΔɽ௒ྲྀಈͷٞ࿦ͱͷରൺʹΑΓಘΒΕΔ
௒఻ಋిྲྀͷඳ૾͸ɼ֨ࢠʹΑΓྲྀΕ્͕֐͞ΕͣҰఆͷ଎౓ͰྲྀΕΔిྲྀͰ͋Δɽ

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

18

2.7 ϚΠεφʔޮՌ௒఻ಋঢ়ଶͰ͸ɼి‫ؾ‬఍߅͕θϩͱͳΔҎ֎ʹϚΠεφʔޮՌ͕ൃੜ͢Δɽࣜ (2.6.6)Λ࣮ۭؒදࣔʹ͢Δͱɼ࣍ͷΑ͏ʹۙࣅͰ͖Δɽ

3ns q 2j (r) = −4πmξ0"dr & e−|r−r |/ξ0 ×!

[(r − r & ) · A⊥ (r & )] · (r − r & )|r − r & |4(2.7.1)͜͜Ͱɼns ≡ n − χ⊥ (0) /m ͸௒఻ಋཻࢠ਺ີ౓ɼA⊥ ͸ϕΫτϧϙςϯγϟϧͷԣ੒෼ (divA⊥ = 0) Ͱ͋Δɽ·ͨɽξ0 ͸ΫʔύʔରͷαΠζͰ͋ΓɼίώʔϨϯε௕ͱ‫ݺ‬͹Εɼ௒఻ಋͷ૬͕ؔ‫཭ڑͿٴ‬Λࣔ͢ɽࣜ (2.7.1) ͸ɼ࣓৔ͷۭؒมԽͷεέʔϧ͕ ξ0 ͱൺ΂Ώͬ͘Γ͍ͯ͠Δͱ͖ɼ

j (r) =

−ns q 2A⊥ (r)
m(2.7.2)ͱۙࣅͰ͖Δɽ͜Ε͕ϩϯυϯํఔࣜͰ͋Δɽࣜ (2.7.2) ͱΞϯϖʔϧͷ๏ଇɼ∇ × H (r) = µ0 j (r)(2.7.3)Λ૊Έ߹ΘͤΔͱɼ࣓৔ H (r) ͸࣍ͷؔ܎Λຬͨ͢ɽ∇2 H (r) =͜͜ͰɼλL ≡

1
H (r)
λ2L

(2.7.4)7m/µ0 ns q 2 ͸ϩϯυϯͷ࣓৔৵ೖ௕Ͱ͋Γɼ࣓৔ͷۭؒมԽͷεέʔϧΛ༩͑Δɽਤ 2.7.1 ͷΑ͏ʹ௒఻ಋମͷ֎ଆ (x < 0) ʹ z ํ޲ͷ࣓৔͕͋Δͱ͖ɼ௒఻ಋ
ମ಺෦ (x > 0) ͷ࣓৔෼෍ Hz (x) ͸ࣜ (2.7.3) ͔Β,Hz (x) = H0 e−x/λL(2.7.5)

ͱͳΔɽ͜͜ͰɼH0 ͸ਅۭதͷ࣓৔ z ੒෼Ͱ͋Δɽࣜ (2.7.5) ͔Βɼ࣓৔͸௒఻ಋମͷද໘͔Β λL ఔ౓ͷ‫͔͠Ͱ·཭ڑ‬৵ೖͰ͖ͳ͍͜ͱ͕Θ͔ΔɽλL ͷ஋͸ۚଐͷछྨʹΑΓҟͳΔ͕ɼे෼௿ԹͰ͸ 1 µm ҎԼͰ͋ΔɽΑͬͯ‫ࢹڊ‬తͳεέʔϧͰ͸ɼे෼ʹऑ͍࣓৔͸௒఻ಋମ͔Βഉআ͞ΕΔɽ͜ΕΛϚΠεφʔޮՌͱ‫Ϳݺ‬ɽԜΜͩ௒఻ಋମͷ্෦Ͱ࣓ੴ͕ු͘‫ݱ‬৅͸͜ͷϚΠεφʔޮՌʹΑΔ΋ͷͰ͋Δɽ͜ͷٞ࿦͸ɼλL ) ξ0 ͷ৔߹ʹ੒Γཱͪɼ‫ٯ‬ͷ‫ ݶۃ‬λL $ ξ0 Ͱ͸ɼࣜ (2.7.1) ͱࣜ (2.7.3) ΑΓಘΒΕΔඇ‫ॴہ‬తํఔࣜΛ਺஋తʹղ͘͜ͱʹΑΓ࣓৔৵ೖ௕ λ & 0.79λL (ξ0 /λL )1/3͕ಘΒΕ͍ͯΔ*4 ɽλL < ξ0ͱͳΔ‫ܥ‬Λୈ̍छ௒఻ಋମɼλL > ξ0 ͱͳΔ‫ܥ‬Λୈ̎छ௒఻ಋମͱΑͼ۠ผ͢Δɽ

*4 தౢః༤ʮ௒఻ಋೖ໳ʯ
ʢഓ෩‫ؗ‬ʣ6-9 અʹಋग़ͷུ͕֓ٞ࿦͞Ε͍ͯΔɽ

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2.8 ೤ྗֶతྟք࣓৔

19

ਤ 2.7.1

ਤ 2.8.1

௒఻ಋମද໘ʹ࣓৔͕৵ೖ͢Δ༷ࢠ

௒఻ಋମʹίΠϧΛ‫ܥ͍ͨר‬ਤ 2.8.2 ίΠϧʹྲྀΕΔిྲྀͷ࣌ؒมԽ

2.8 ೤ྗֶతྟք࣓৔
ϚΠεφʔޮՌʹΑΓɼऑ͍࣓৔͸ (ϚΫϩͳεέʔϧͰ‫ݟ‬Δͱ) ௒఻ಋମͷ಺෦͔Βഉআ͞ΕΔɽ࣓৔ H Λେ͖ͯ͘͠೤ྗֶతྟք࣓৔ (H = Hc ) ʹୡ͢Δͱɼ௒఻ಋঢ়ଶ
Λյ࣓ͯ͠৔͕Ұ༷ʹ৵ೖ͢Δɽ௒఻ಋঢ়ଶ͓Αͼৗ఻ಋঢ়ଶͷϔϧϜϗϧπͷࣗ༝ΤωϧΪʔΛ Fs ɼFn ͱॻ͘ͱɼ

Hc2= Fn − Fs8π(2.8.1)ͷؔ܎ʹ͋Δɽࣜ (2.8.1) ͷҙຯ͸ɼ୯ҐମੵΛ࣋ͭे෼ʹ௕͍ԁ౵ঢ়ͷ௒఻ಋମͷपΓʹίΠϧΛ‫ר‬͍ͨ‫( ܥ‬ਤ 2.8.1) Ͱɼਤ 2.8.2 ͷΑ͏ʹίΠϧͷిྲྀ I Λঃʑʹ૿ͯ͠ (௒఻ಋମ͕ͳ͍
ͱͨ࣌͠ͷ) ࣓৔͕ Hc ʹୡ͢Δ৔߹Λߟ࡯͢Δ͜ͱͰཧղͰ͖Δɽ௒఻ಋମʹ࣓৔͕৵
ೖ͢Δ࣌ͷࣗ༝ΤωϧΪʔ͸ɼԁ౵಺෦͕ৗ఻ಋঢ়ଶʹ͋Γ࣓৔͕Ұ༷ʹ৵ೖ͍ͯ͠Δঢ়ଶͷͦΕʹ౳͍͠ɽ࣓৔ͷ৵ೖʹཁ͢Δ࢓ࣄ Wp ͸ɼͦͷ࣌ࠁ t0 ͷલ‫Ͱޙ‬ίΠϧͷిྲྀ͕Ұఆ஋ Ic ʹอͨΕ͍ͯΔ͜ͱͱɼίΠϧ಺෦ͷ࣓ଋ Φ ͸ t = t0 ʹ͓͍͔ͯ̌Β LIc
ʹෆ࿈ଓʹ૿େ͢Δɼ͢ͳΘͪɼ༠ಋ‫ྗిى‬͸
Δͱɼ

Wp =

" t0 +δtt0 −δtdtdΦ(t)dt = LIc δ(t − t0 ) ͱͳΔ͜ͱΛߟྀ͢dΦ
H2I(t) = LIc2 = cdt
4π(2.8.2)

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

20

ਤ 2.8.3೤ྗֶతྟք࣓৔ Hc ͷԹ౓ґଘੑͱධՁͰ͖Δɽ͜͜Ͱɼδt(> 0) ͸ඍখ࣌ؒɼL ͸ίΠϧͷࣗ‫ݾ‬ΠϯμΫλϯεɼΦ ͸ίΠϧΛ؏࣓͘ଋɼI ͸ిྲྀͰ͋Γɼؔ܎ Φ = LI ͓ΑͼɼLI 2 /2 = H 2 /8π Λ༻͍ͨɽ࣓৔ͷΤωϧΪʔ͸ɼΦ(t) = LI(t) ΑΓɼ

H2
1 2
LI =
2
8π

(2.8.3)

Ͱ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼࣗ༝ΤωϧΪʔͷόϥϯε͸ɼ

Fs +

Hc2
H2
= Fn + c4π
8π(2.8.4)ͱ‫·ٻ‬ΔɽΑͬͯɼࣜ (2.8.1) ͕੒Γཱͭɽ೤ྗֶతྟք࣓৔ Hc ͸͓Αͦਤ 2.8.3 ͷΑ͏ͳؔ਺‫هͰܗ‬ड़Ͱ͖Δɽ

1

T2
Hc (T ) & Hc (0) 1 − 2
Tc2(2.8.5)͜ͷͱ͖ɼT = Tc Ͱͷൺ೤ͷͱͼ͸ɼ

C=T

d2 F
dS
= −T
dT
dT 2

(2.8.6)

Ͱ͋Δ͔Βɼ

d2(Fn − Fs )dT 2 #$d2
Hc2=T
dT 2 8π#$dHc ∂Hc=T
dT 4π ∂T+#,
$2T
d 2 Hc
dHc
=
+ Hc
4π
dT
dT 2

Cs − Cn = TͰ༩͑ΒΕΔɽT → Tc (Hc → 0) ͷ‫ݶۃ‬Λͱͬͯɼ

Tc
Cs (Tc ) − Cn (Tc ) =
4π

#

dHc
dT

$2

T =Tc

(2.8.7)

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2.9 ࣓৔தͷ௒఻ಋମ21

ਤ 2.9.1

ୈ̍छ௒఻ಋମͷ ξ0 ͱ λL ͷؔ܎ͱ‫·ٻ‬Δɽ௒఻ಋঢ়ଶͱৗ఻ಋঢ়ଶͷ‫ڥ‬քͰͷજ೤͸࣍ͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕΔɽ88d(Fn − Fs )88
Tc [Sc (Tc ) − Sn (Tc )] = Tc
dT
T =Tc (H)
# 2$
d
Hc
= Tc
dT 8π T =Tc (H)
$
#
Tc
dHc
Hc
=
4π
dT T =Tc (H)(2.8.8)͢ͳΘͪɼH = 0 Ͱͷ૬సҠ͸જ೤ͳ͠ͷୈ̎छͰ͋ΓɼH /= 0 ͰͷͦΕ͸જ೤Λ൐͏ୈ̍छ૬సҠͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽͨͩ͠ɼ͜ͷ݁࿦͸ ௒఻ಋ − ৗ఻ಋసҠ ͕ۭؒతʹҰ༷ੑΛอͬͨ··‫͖ى‬Δ͜ͱΛલఏͱ͍ͯ͠Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δඞཁ͕͋Δ (࣍અࢀর)ɽ

2.9 ࣓৔தͷ௒఻ಋମ௒఻ಋମ͸ୈ̍छͱୈ̎छ௒఻ಋମʹ෼͚ΒΕΔɽલઅ͸ɼୈ̍छ௒఻ಋମʹؔ͢Δ΋ͷͰ͋ͬͨɽୈ̍छͱୈ̎छ௒఻ಋମ͸ɼΫʔύʔϖΞͷ޿͕ΓΛද͢ύϥϝʔλ ξ0 ͱ࣓৔৵ೖ௕ λL Λ༻͍ͯ࣍ͷΑ͏ʹಛ௃෇͚ΒΕΔɽ
ୈ̍छ௒఻ಋମ
ୈ̎छ௒఻ಋମ

↔
↔

ξ0 > λ L
ξ0 < λ Lୈ̍छͱୈ̎छ௒఻ಋମͰ͸ɼͱ΋ʹ͋Δ࣓৔ͷେ͖͞ΑΓ΋େ͖͍࣓৔ྖҬͰ‫׬‬શʹ௒఻ಋঢ়ଶ͸յΕΔɽୈ̍छͷ৔߹ͷྟք࣓৔Λ೤ྗֶతྟք࣓৔ͱ͍͍ (લઅࢀর)ɼୈ̎
छͷ৔߹ͷྟք࣓৔Λ্෦ྟք࣓৔ͱ͍͏ɽୈ̍छͱୈ̎छ௒఻ಋମͰ͸ɼͦΕͧΕͦͷ࣓৔ΑΓ΋খ͍࣓͞৔ྖҬͰৼΔ෣͍͕ҟͳΔɽୈ̍छͱୈ̎छ௒఻ಋମͦΕͧΕʹ͍ͭͯɼ௒఻ಋঢ়ଶ͕յΕΔલͷ࣓৔ྖҬʹ͓͚Δৗ఻ಋঢ়ଶͱ௒఻ಋঢ়ଶͷ‫ڥ‬քͷ༷ࢠΛઆ໌͢Δɽ

《講義ノート》

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

22

ਤ 2.9.2

ୈ̍छ௒఻ಋମʹ࣓৔͕৵ೖ͢

ਤ 2.9.3 ୈ̍छ௒఻ಋମʹ࣓৔͕৵ೖ͢

Δ༷ࢠ 1

SCɼN ͸ͦΕͧΕ௒఻ಋঢ়ଶɼ

Δ༷ࢠ 2

SCɼN ͸ͦΕͧΕ௒఻ಋঢ়ଶɼ

ৗ఻ಋঢ়ଶΛද͢ɽৗ఻ಋঢ়ଶΛද͢ɽਤ 2.9.5 ୈ̎छ௒఻ಋମʹ࣓৔͕৵ೖ͢
Δ༷ࢠ
ਤ 2.9.4ୈ̎छ௒఻ಋମͷ ξ0 ͱ λL ͷؔ܎

SCɼN ͸ͦΕͧΕ௒఻ಋঢ়ଶɼৗ

఻ಋঢ়ଶΛද͢ɽ

·ͣୈ̍छ௒఻ಋମͷ୯Ґ໘ੵ͋ͨΓͷ‫ڥ‬քΛ࡞Δࣗ༝ΤωϧΪʔ Gb ͸ɼ

Gb ≈

Hc2
H2
ξ0 −
λL > 08π
8π(2.9.1)

Ͱ͋Δɽୈ߲̍͸௒఻ಋ͕յΕΔ͜ͱʹΑΔΤωϧΪʔͷଛࣦΛද͠ɼୈ߲̎͸࣓৔͕৵
ೖ͢Δ͜ͱʹΑΔΤωϧΪʔͷརಘΛද͢ɽୈ̍छ௒఻ಋମͰ͸ ξ0 > λL ͳͷͰ Gb ͸ਖ਼Ͱ͋ΔɽΑͬͯɼୈ̍छ௒఻ಋମ͸‫ڥ‬քΛ࡞ΔͱΤωϧΪʔͷଛࣦʹͳΔɽ͜Ε͸ୈ̍छ௒఻ಋମ͸‫ڥ‬քΛ࡞Γʹ͍͘͜ͱΛද͠ɼਤ 2.9.1 ʹ͓͍ͯɼ௒఻ಋ૬Ͱடংม਺͕؇΍͔ʹ૿େ͢Δ͜ͱͱରԠ͢Δɽ
ୈ̍छ௒఻ಋମʹ࣓৔͕৵ೖ͢Δ༷ࢠ͕ਤ 2.9.2 ͱਤ 2.9.3 Ͱ͋Δɽୈ̍छ௒఻ಋମ͸௒఻ಋঢ়ଶͱৗ఻ಋঢ়ଶͷ‫ڥ‬քΛ࡞Γʹ͍͘ͷͰɼ·ͱ·ͬͯ‫ݱ‬ΕΔɽ௒఻ಋঢ়ଶͱৗ఻ಋঢ়ଶ͸΄΅౳ִؒʹ෼෍͢Δɽ࣓৔͕େ͖͘ͳΔͱৗ఻ಋঢ়ଶͷׂ߹͕૿͑ͯɼ೤ྗֶ
తྟք࣓৔ Hc Ͱ‫ܥ‬શମ͕ৗ఻ಋঢ়ଶʹͳΔɽ
ୈ̎छ௒఻ಋମͷ୯Ґମੵ͋ͨΓͷ‫ڥ‬քΛ࡞Δࣗ༝ΤωϧΪʔ Gb ͸ɼࣜ (2.9.1) ͱಉ͡

Gb ≈

Hc2
H2
ξ0 −
λL
8π
8π

Ͱ͋Γɼ

H>

9

ξ0
Hc ͷͱ͖ Gb < 0λL

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2.9 ࣓৔தͷ௒఻ಋମ23

ਤ 2.9.6 Ӕࢳͷฒͼํ

ਤ 2.9.7 Ӕࢳͷ࣮૾*5

ਤ 2.9.8 d−2 ͱ B ͷؔ܎ਤ 2.9.9

ͱͳΓɼH >:

ୈ̎छ௒఻ಋମͷ H-T ਤξ0
λL Hc Ͱ͋Ε͹ୈ̎छ௒఻ಋମ͸‫ڥ‬քΛ࡞ΔͱΤωϧΪʔͷརಘʹͳΔɽ

͜Ε͸ୈ̎छ௒఻ಋମ͸‫ڥ‬քΛ࡞Γ΍͍͢͜ͱΛද͠ɼਤ 2.9.4 ʹ͓͍ͯɼ௒఻ಋ૬Ͱட
ংม਺͕‫૿ʹٸ‬େ͢Δ͜ͱͱରԠ͢Δɽ
ୈ̎छ௒఻ಋମʹ࣓৔͕৵ೖ͢Δ༷ࢠ͕ਤ 2.9.5 ʹࣔ͞ΕΔɽୈ̎छ௒఻ಋମ͸௒఻ಋঢ়ଶͱৗ఻ಋঢ়ଶͷ‫ڥ‬քΛ࡞Γ΍͍͢ͷͰɼୈ̍छ௒఻ಋମͷΑ͏ʹৗ఻ಋঢ়ଶ͕·ͱ·ͬͯ‫ݱ‬ΕͣɼࢸΔॴʹ‫͍ڱ‬ৗ఻ಋঢ়ଶͷྖҬ͕Ͱ͖Δɽ͜ͷࢸΔॴʹͰ͖ͨৗ఻ಋঢ়ଶ
ΛӔࢳͱ͍͏ɽ֤ӔࢳΛ؏࣓͘ଋ͸ྔࢠԽ͞Ε͍ͯΔɽਤ 2.9.5 ͸ଟ਺ͷӔࢳ͕Ͱ͖͍ͯ
Δ༷ࢠΛද͢ɽ͜ͷྔࢠԽ͞Ε࣓ͨଋͭ·Γɼ1 Ӕࢳ͋ͨΓͷ࣓ଋ Φ0 ͸

Φ0 =

h
2e

Ͱ͋Δɽ෼฼ͷ̎͸௒఻ಋঢ়ଶ͸Ϋʔύʔର‫ڽ‬ॖͱ͍͏Ұछͷཻ̎ࢠঢ়ଶ͕‫ࢹڊ‬తͳ਺ͷిࢠʹΑΓ઎‫͞ڌ‬Ε͍ͯΔ͜ͱͷ௚઀తূ‫ڌ‬Λ༩͍͑ͯΔ (̏ষࢀর)ɽ
֤Ӕࢳ͸ਤ 2.9.6 ͷΑ͏ʹࡾ֯֨ࢠঢ়ʹ഑ྻ͢Δɽ̎ͭͷӔࢳؒͷ‫཭ڑ‬Λ d ͱ͢Δɽ͜
√ͷͱ͖ɼਤ 2.9.6 ͷ྘ͷࡾ֯‫ܗ‬ͷ໘ੵ͸ 12 23 d2 Ͱ͋Γɼ྘ͷࡾ֯‫·ؚʹܗ‬ΕΔ࣓ଋ͸ 12 Φ0*5 H. Essman and U. Trauble, Phys. Lett. A 24, 526 (1967).

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

24ͳͷͰ࣓ଋີ౓ B ͸ɼ

Φ0
B= √
3 2
2 d
Ͱ͋Δɽ࣮ࡍʹ࣮‫͍͓ͯʹݧ‬ɼ֤Ӕࢳ͸ਤ 2.9.7 ͷΑ͏ʹࡾ֯֨ࢠঢ়ʹ഑ྻ͠ɼB ͱ d−2ͷؔ܎͸ਤ 2.9.8 ͷΑ͏ʹઢ‫ͳʹܗ‬Δɽd−2 -B ͷ܏͖͔Β Φ0 Λ࣮‫ݧ‬తʹܾఆͰ͖Δɽ
ୈ̎छ௒఻ಋମͷ H -T ૬ਤ͸ਤ 2.9.9 ͷΑ͏ʹͳΔɽୈ̍छ௒఻ಋମͱ͸ҟͳΓɼྟք࣓৔͸Լ෦ྟք࣓৔ Hc1 ͱ্෦ྟք࣓৔ Hc2 ͷ̎छྨ͕͋ΔɽH < Hc1 ͷྖҬ͸ϚΠ
εφʔঢ়ଶͰ͋ΓɼH > Hc1 ʹͳΔͱ௒఻ಋମ಺෦ʹਤ 2.9.5 ͷΑ͏ʹɼ࣓ଋ͕ೖΓࠐΈ࢝ΊͯӔࢳঢ়ଶʹͳΔɽHc2 ͸ɼࡾ֯֨ࢠঢ়ʹ഑ྻ͍ͯͨ͠Ӕࢳಉ࢜ͷִؒ d ͕খ͘͞ͳ
Γɼ࠷ऴతʹશͯͷྖҬ͕ӔࢳͰຬͨ͞ΕΔ࣓৔Ͱ͋ΔɽԼ෦ྟք࣓৔ Hc1 ͱ্෦ྟք
࣓৔ Hc2 ͷؔ܎͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

πξλL
Hc (T )
ln
ξ
24λL
√ λL
Hc2 (T ) = 2 Hc (T )ξ

Hc1 (T ) = √(2.9.2)(2.9.3)

ͭ·Γɼ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɽ

Hc1 (T )Hc2 (T ) & 0.91 ln

λL
Hc (T )2ξ͜ͷ͋ͨΓͷৄ͍͠આ໌͸ɼυɾδΣϯψͷ௒఻ಋͷ‫ڭ‬Պॻ*6 ʹৡΔɽ

*6 P. G. De Gennes, Superconductivity of metals and alloys (Advanced Books Classics, 1999).

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2.10 ԋश໰୊̍25

2.10 ԋश໰୊̍(1) ཧ૝Ϙʔε‫ؾ‬ମ͸ T ≤ T0 ʹ͓͍ͯϘʔζ‫ڽ‬ॖΛ‫͜͠ى‬ɼӡಈྔ p Λ΋ͭϘʔε‫ؾ‬ମͷ෼෍ؔ਺ n(p) ͸ɼn(p) =

1eβ"p − 1Ͱ༩͑ΒΕΔ (β ≡ 1/kB T ɼkB = 1 ͷ୯Ґ‫ܥ‬Λ༻͍Δ)ɽ͢ͳΘͪɼཧ૝Ϙʔεཻࢠͷ෼෍ؔ਺n(p) =

1eβ("p −µ) − 1ʹ͓͍ͯɼԽֶϙςϯγϟϧ µ ͕θϩͱͳ͍ͬͯΔɽ͜ͷ෼෍ؔ਺Λ༻͍ͯɼ೤ཋ (น)͕ x ํ޲ʹ଎౓ ux Ͱಈ͍͍ͯΔ৔߹ͷ +Px , Λ‫ٻ‬ΊΔͱɼ+Px , =!

1
& V χ⊥ ux + O(u2x )px β(" −p·µ)
p
e
−
1
p

Ͱ͋Δɽ
͜͜Ͱ χ⊥ ͸ɼ

1
#
$2
∂
1 ! 2
1
χ⊥ =
p −
3V p
∂"p eβ"p − 1Ͱ༩͑ΒΕΔɽ͜ͷ p ੵ෼Λ࣮ߦͯ͠ɼχ⊥ (T ) ͸ T 3/2 ʹൺྫ͢Δ͜ͱΛࣔ͠ͳ͍͞ɽ͢

ͳΘͪɼχ⊥ (T ) ͸ T → 0 Ͱθϩʹۙͮ͘ɽ(2) ཧ૝ϘʔεཻࢠͷΤωϧΪʔ෼ࢄ "p = p2 /2m ͸ϥϯμ΢ͷ৚݅Λຬͨ͞ͳ͍ͷͰɽ௒ྲྀಈ͸ࣔ͞ͳ͍͸ͣͳͷʹɼ(1) ͷ݁Ռ͸ɼ

+Px ,
< mN
ux
ͱͳͬͯ௒ྲྀಈ͢Δ͜ͱʹͳ͍ͬͯΔɽ͜ͷύϥυοΫε͕ੜͨ͡‫ݪ‬ҼΛߟ࡯͠ͳ͍͞ɽ

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ୈ 2 ষ ௒ྲྀಈͷಈྗֶ

26

2.11 ԋश໰୊̍ղ౴

(1)+Px , =!

1
& V χ⊥ ux + O(u2x )px β(" −µ−p·µ)
p
e
−
1
p

$2
1
#
∂
1 ! 2
1
χ⊥ =
p −
3V p
∂"p eβ"p − 1Ͱ͋ΔɽϘʔε‫ڽ‬ॖ͕‫͖ى‬Δͱ͖ɼT < T0 ⇒ µ = 0 ΑΓϘʔε‫ؾ‬ମͷ෼෍ؔ਺͸ɼ1
eβ("p −µ) − 1=1eβ"p − 1ͱͳΔ͜ͱͱ "p = p2 /2m ʹ஫ҙͯ͠ɼ

$2
1
#
1 ! 2
∂
1
χ⊥ =
p −
3V p
∂"p eβ"p − 1
$2
1
#
" ∞
1 V
∂
1
4
=
4π
dp p −
3V (2π)3∂"p eβ"p − 1
0
$
#
" ∞
5 1
3
1
∂
1
2
2
=
−
(2m)
d" "
6π 2
2 0
∂" eβ" − 1
#
$
" ∞
5 1
3
3
1
∂ 1
−
=
(2m) 2 β 2dx x 2 −6π 2
2∂x ex−1
0#1
2∞ " ∞
$
5 1
3
1
1 3 1
−1 3
−
=
(2m) 2 β 2x2+dx x−1 x 2
6π 2
2
ex−1
e
2
0
0
; "
<
1
5 1
1
3 ∞ x2
− 32
2
=
β
(2m)
dx
6π 2
2
2 0 ex−1
# $
5
3
1 −3
3
π 2 (2m) 2 ζ
T2
=
16
2
→ 0 (T → 0)
͜͜Ͱ, ࣍ͷެࣜΛ࢖ͬͨ*7 ɼ

" ∞
0

1

x2
dx = Γ
ex−1# $ # $ √ # $
π
3
3
3
ζ
=
ζ
ɽ
2
2
2
2

(2) ϥϯμ΢ͷ৚݅͸ɼ
p2+p·u>02m*7 ਺ֶެࣜ III (‫ؠ‬೾) p.18

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2.11 ԋश໰୊̍ղ౴

27Αͬͯɼཧ૝ϘʔεཻࢠͷΤωϧΪʔ෼ࢄ͸ϥϯμ΢ͷ৚݅Λຬͨ͞ͳ͍ͷͰ. ௒ྲྀಈ͸ࣔ͞ͳ͍ɽ͔͠͠ (1) ͷ݁Ռ͸௒ྲྀಈΛࣔ݁͢Ռͱͳͬͨɽ͜Ε͸ (1) Ͱ͸ +Px , ΛO(ux ) ͷΦʔμʔ·Ͱۙࣅ͍ͯͨ͜͠ͱʹ‫ى‬Ҽ͢ΔɽҎԼͰࣔ͢Α͏ʹɼO(u2x ) ·Ͱߟྀ͢Δඞཁ͕͋ͬͨɽ‫ͯ͠ͱ܇ڭ‬ɼඍখύϥϝλͰల։͢Δͱ͖ɼʮ͍ͭͰ΋ઢ‫͕ࣅۙܗ‬Α͍ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ʯɽ(ࢀߟ)ཧ૝Ϙʔε‫ؾ‬ମͰ͋Δ͜ͱͱɼ

1
p2
−p·u=
(p2 − 2mp · u)
2m
2m
0
1 /
(p − mu)2 − m2 u2=2mʹ஫ҙͯ͠ɼ

!
p

1

p
e

p2
β( 2m
−p·u−µ)

=
−1

!

p

p

=

!

1
e

1
2
β [ 2m(p−mu)2 −(µ+ m
2 u )](p! + mu)

p!

= mu

!
p!

e
e

β

= mN u

!

β

!

1
1

"

p!2
m 2
2m −(µ+ 2 u )2
T < T0 Ͱ͸ɼµ + m
2 u = 0 Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δͱɼ

e

Ͱ͋Δɽ

2m

2

−1

"

p!2
m 2
2m −(µ+ 2 u )

Ͱ͋Δɽ


)
1
 N0 (T ) + p! β p!2
2m
e
−1
)
N=
1

p! β p!2 −(µ+ m u2 )−1

(T < T0 )(T > T0 )−1−1

《講義ノート》

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28

ୈ3ষ

௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬͜ͷষͰ͸ɼඍࢹతʹ௒఻ಋͷൃ‫͑ߟ͍ͯͭʹߏػݱ‬ɽΫʔύʔର͕௒఻ಋΛҾ͖‫͜ى‬͢͜ͱΛཧղ͢Δɽ·ͨɼΫʔύʔର‫ܗ‬੒ʹ͸஗ԆޮՌʹΑΔిࢠؒͷҾྗ͕ඞཁͰ͋Δ
͜ͱΛ֬ೝ͢Δɽ

3.1 ӷମϔϦ΢ϜHe ‫ࢠݪ‬ͷిࢠঢ়ଶ͸ (1s)2 ͷด֪ߏ଄Ͱ͋Γɼ‫ؒࢠݪ‬૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΔҾྗ͸ϑΝϯσ
ϧϫʔϧεྗͰͳͷͰ‫ۃ‬Ίͯখ͍͞ɽҰํͰ‫ࢠి͕ࢠݪ‬Λަ‫͢׵‬Δ΄Ͳ‫ͱͮۙ͘ʹ͍ޓ‬ύ΢Ϧͷഉଞ‫ݪ‬ཧʹΑΓେ͖ͳੱྗ૬‫͕༻࡞ޓ‬ੜ͡Δɽͦͷུ֓͸ਤ 3.1.1 ͷΑ͏ʹࣔ͞Ε
ΔɽΤωϧΪʔͷ୯Ґ͸ϘϧπϚϯఆ਺ kB & 1.38 × 10−23 J · K−1 ɽ௕͞ͷ୯Ґ͸Å Ͱ
͋Δɽ

3.2

3

He ͱ 4 HeHe ʹ͸ೋͭͷಉҐମ (3 He ͱ 4 He) ͕ଘࡏ͢Δɽ4 He ͷߏ੒͸ɼཅࢠɼதੑࢠɼిࢠ͕
ೋ‫͋Ͱͭͣݸ‬ΔͨΊɼ‫ࢠݪ‬Ґஔͷަ‫ʹ׵‬ରͯ͠‫਺ۮ‬ճූ߸൓స͢ΔͷͰ೾ಈؔ਺͸ରশͰ

ਤ 3.1.1

ϔϦ΢Ϝ‫ؒࢠݪ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬ϙςϯγϟϧ

《講義ノート》

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3.2

3

He ͱ 4 He

1.0

ਤ 3.2.1

29

2.0

3.0

4.0

5.0

4

He ͷԹ౓-ѹྗ૬ਤ (Ҿ༻ɿʮ෺ੑ෺ཧֶʯ ே૔ॻళ)ਤ 3.2.2

3

He ͷԹ౓-ѹྗ૬ਤ (Ҿ༻ɿʮ෺ੑ෺ཧֶʯ ே૔ॻళ)͋ΔɽΑͬͯɼ4 He ͸Ϙʔε౷‫͏ैʹܭ‬ɽҰํɼ3 He ͸தੑࢠ͕Ұͭগͳ͍ͨΊɼ3 He ͸‫ݸ਺ح‬ͷϑΣϧϛཻࢠ͔Β੒Γɼ‫ࢠݪ‬Ґஔͷަ‫ʹ׵‬ରͯ͠೾ಈؔ਺͸‫਺ح‬ճූ߸൓స͢
ΔɽΑͬͯɼ3 He ͸ϑΣϧϛ౷‫͏ैʹܭ‬ɽ
4

He : p2 n2 e2Ϙʔεཻࢠ → (−1)2 (−1)2 (−1)2 = 1
3He : p2 n1 e2ϑΣϧϛཻࢠ → (−1)2 (−1)(−1)2 = −1Ҏ্ͷཧ༝ʹΑΓɼ3 He ͱ 4 He ͸‫ؒࢠݪ‬૬‫༻࡞ޓ‬͸ಉ͡ʹ΋ؔΘΒͣɼ‫ۃ‬௿ԹͰͷੑ࣭͸શ͘ҟͳΔ༷૬Λࣔ͢ɽ
ਤ 3.2.1 ͷ 4 He ʹ͓͚ΔԹ౓-ѹྗ૬ਤ͕ࣔ͢௨ΓɼৗѹͰ͸ T < Tλ & 2.17K ͷԹ౓ྖҬͰ௒ྲྀಈΛࣔ͢ɽ௒ྲྀಈ͕ग़‫͢ݱ‬Δ‫ͳͱݤ‬Δͷ͸ɼߏ੒ཻࢠ͕Ϙʔε౷‫ͱ͜͏ैʹܭ‬
Ͱ͋Δɽ࣮ࡍʹɼӷମ 4 He Λࣗ༝Ϙʔε‫ؾ‬ମͱΈͳͤ͹Ϙʔε‫ڽ‬ॖԹ౓ T0 ͸

!2 % N & 23
m V
4
He : T0 & 3.1K & TλT0 ≡ 3.31

ͱͳΓɼ௒ྲྀಈసҠԹ౓ Tλ = 2.17K ͱಉఔ౓ͷ஋ʹͳΔɽҰํͰ 3 He ͸໌Β͔ʹԹ౓ͷεέʔϧ͕ҧ͏݁Ռʹͳ͍ͬͯΔɽ4 He ͱ 3 He ͷ௒ྲྀಈసҠԹ౓͕ҟͳΔཧ༝Λ࣭ྔͷࠩͱ͢Δʹ͸ɼԹ౓ͷεέʔϧ͕ҧ͍͗͢Δɽӷମ 3 He ͷ௒ྲྀಈసҠ͸௒఻ಋͷൃੜ‫ػ‬ߏͱಉ༷ɼΫʔύʔର‫ڽ‬ॖʹΑΓੜ͡Δͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔɽ(஫ɿਤ 3.2.1 ͸ 1910 ೥୅ɼਤ 3.2.2 ͸ 1972 ೥ͷ݁Ռ*1 )*1 ෺ੑ෺ཧֶʢே૔ॻళʣେ؏ಯກ (ฤ)ɼઙ໺ഹɼ্ా࿨෉ɼࠤ౻ӳߦɼதଜ৽உɼߴॏਖ਼໌ɼࡾ୐࿨ਖ਼ɼେ

؏ಯກɼ஛ాਫ਼࣏ (ࣥ) (2000)ɽ

《講義ノート》

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ୈ 3 ষ ௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬30

ਤ 3.3.1

֨ࢠৼಈΛར༻ͯ͠ిࢠؒʹҾྗΛੜ͡Δաఔͷ௚‫ײ‬తඳ૾

3.3 Ҿྗͷ‫ݯى‬BCS ཧ࿦Ͱ͸ɼΫʔύʔର‫ܗ‬੒ʹඞཁͳҾྗ૬‫༻࡞ޓ‬͸ϑΥϊϯʹΑͬͯ༠‫͞ى‬ΕΔ
ͱߟ͑ΒΕΔɽཧ࿦తʹ΋ࣔͤΔ͕ɼ͜͜Ͱ͸௚‫؍‬తઆ໌Λߦ͏ɽ
ਤ 3.3.1 ͷΑ͏ͳ֨ࢠ (ΠΦϯ) ͱిࢠͷӡಈͷ༷ࢠΛߟ͑Δɽిࢠ 1 ͕֨ࢠؒΛҠಈ͢Δͱɼਖ਼ͷిՙΛ࣋ͭΠΦϯ͸ిࢠ 1 ʹҾ͖‫ͤد‬ΒΕΔɽͦͷ݁Ռɼిࢠ 1 ͷߤ੻ۙ๣͸ਖ਼ͷిՙ͕ଟ͍ྖҬͱͳΔɽΠΦϯͷӡಈͱిࢠͷӡಈ͸࣌ؒεέʔϧ͕ҧ͏ɽͦΕͧΕͷ࣌ؒεέʔϧ͸−1ΠΦϯͷӡಈͷ࣌ؒεέʔϧɿωDిࢠͷӡಈͷ࣌ؒεέʔϧɿ!/EFͰ͋Γɼ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɽ
−1
ωD
>>

!
&
EF

9

m
−1
& 10−2 ωDM͜͜Ͱ m ͸ిࢠͷ࣭ྔɼM ͸ΠΦϯͷ࣭ྔͰ͋Δɽ͢ͳΘͪɼΠΦϯͷӡಈ͸ిࢠͷͦΕʹൺ΂ͯΏͬ͘Γੜ͡Δ (஗ԆޮՌ)ɽ͜ͷ஗ԆޮՌʹΑͬͯੜ͡ΔҾྗ͸Լ‫ه‬ͷࣜ

(3.3.1) ͱʮΠΦϯͷӡಈͱిࢠͷӡಈͷ࣌ؒεέʔϧ͕ҟͳΔʯཱ͕྆͢Δͱ͖ʹ‫ݱ‬Ε
−1Δɽͱ͍͏ͷ͸ɼߤ੻ʹΑΔਖ਼ͷిՙ෼‫ۃ‬͸ ωDఔ౓ͷ࣌ؒଘࡏ͠ଓ͚Δ͕ɼͦͷ࣌ؒεέʔϧ͸ిࢠͷӡಈΑΓ΋ 102 ఔ౓௕͍ͷͰɼిࢠ 2 ͕ిࢠ 1 ͷߤ੻ʹҾ͖‫ͤد‬ΒΕΔ
͜ͱʹͳΔɽ͢ͳΘͪɼిࢠؒҾྗ͕ੜ͡Δɽ

8 !2 k12
8!2 k22 88 888−= ξk1 − ξk2 8 < !ωD
2m
2m(3.3.1)

《講義ノート》

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3.4 Ϋʔύʔͷ 2 ମଋറঢ়ଶ

31−1Ұํɼిࢠ 1 ͕ΠΦϯΛҾ͖‫ͤد‬ΔͨΊʹ͸ ωDఔ౓ͷ͕࣌ؒඞཁͰ͋ΔͷͰɼిࢠ 1 ͕−1ߤ੻Λ࡞Δલʹ (ωDҎ಺ʹ) ిࢠ 2 ͕΍ͬͯ͘ΔͱҾྗ͕ൃੜ͠ͳ͍͜ͱʹͳΔɽΑͬͯɼΤωϧΪʔͱ࣌ؒͷෆ֬ఆੑؔ܎ΑΓɼిࢠؒʹҾྗ͕ੜ͡ΔͨΊʹ͸ɼೋͭͷిࢠͷӡಈΤωϧΪʔͷ͕ࠩ !ωD ΑΓ΋খ͍͞ͱ͖ͱ͍͏৚݅ࣜ (3.3.1) ͕՝͞ΕΔ͜ͱʹͳΔͷͰ͋Δɽ΋ͪΖΜɼిࢠؒʹ͸Ϋʔϩϯੱྗ͕ଘࡏ͢Δ͕ɼిࢠ 2 ͕”ߤ੻”Λ௨Δͱ͖ʹిࢠ 1͸͢Ͱʹͦͷ৔ʹ͍ͳ͍ͨΊɼੱྗ͸ऑΊΒΕ͍ͯΔɽ͜ΕΛ஗ԆޮՌͱ͍͏ (3.8 ࢀর)ɽ3.4 Ϋʔύʔͷ 2 ମଋറঢ়ଶ
௒఻ಋ૬΁ͷసҠʹ൐͍ɼඍࢹతʹ͸ 2 ͭͷిࢠ͕ҾྗʹΑΓରΛ‫ܗ‬੒͢ΔΑ͏ʹͳΔɽ͜͜Ͱ͸ɼ௒఻ಋʹಛ༗ͳΫʔύʔର͕ 2 ମ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΓ‫ܗ‬੒͞ΕΔ͜ͱΛࣔͨ͢Ίͷ४උͱͯ͠ɼϋϛϧτχΞϯͱ 2 ମ໰୊ͷ೾ಈؔ਺ΛͦΕͧΕࣔ͢ɽ2 ମ૬‫༻࡞ޓ‬ͷϋϛϧτχΞϯ͸ୈ 2 ྔࢠԽදࣔͰ͸ɼ

Hint =

1!!!
V (q)a†p+q,σ a†p! −q,σ! ap! ,σ! ap,σ
2 p,σ ! ! q(3.4.1)p ,σ†ͱද͞ΕΔɽa† , a ͸ͦΕͧΕిࢠͷੜ੒ɼফ໓ԋࢉࢠͰ͋Γɼ൓ަ‫{( ܎ؔ׵‬ak , a&k } =†δk,k! , {ak , a&k } = 0, {a†k , a&k } = 0) Λຬͨ͢ɽ࣍ʹҎԼͷม਺ม‫׵‬Λߦ͏ɽ
p + q = k + s2
 &p − q = −k + s2
p& = −k& + s2
p = k& + s2

kɼk& ͸ 2 ମͷॏ৺ʹ‫ݻ‬ఆ͞Εͨ‫͔ܥ‬Β‫ͨݟ‬ӡಈྔΛҙຯ͢Δɽ·ͨ͜ͷ࣌ q = k − k&ͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜ͷม‫ʹ׵‬ΑΓɼϋϛϧτχΞϯ͸ɼ

Hint =1!!!
V (k − k& )a†k+ s ,σ a†−k+ s ,σ! a−k! + s2 ,σ! ak! + s2 ,σ
2
2
2
!
! s

(3.4.2)k,σ k ,σͱॻ͖‫׵‬ΘΔɽ͜ͷ 2 ମ૬‫༻࡞ޓ‬ͷաఔΛμΠϠάϥϜͰද͢ͱਤ 3.4.1 ʹͳΔɽ·ͨɼ؆୯ͷͨΊʹॏ৺ӡಈྔ s Λ 0 ͱ͢Δͱɼ

Hint =1!!
V (k − k& )a†k,σ a†−k,σ! a−k! ,σ! ak! ,σ
2!
!

(3.4.3)k,σ k ,σ͕ಘΒΕΔɽ

2 ిࢠ໰୊ͷ೾ಈؔ਺Λߟ͑Δɽεϐϯ 1 ॏ߲ΛԾఆ͢Δͱɼ2 ཻࢠ೾ಈؔ਺͸೾਺੒෼ͱεϐϯ੒෼ͷੵͰද͞Εɼ1
Ψ(k; σ1 , σ2 ) = ϕk √ (|↑↓, − |↓↑,)(3.4.4)2!
1
ϕk eik·(r1 −r2 ) √ (|↑↓, − |↓↑,) (࣮ۭؒදࣔ) (3.4.5)
Ψ(r1 − r2 ; σ1 , σ2 ) =2k《講義ノート》

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ୈ 3 ষ ௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬32

ਤ 3.4.1

2 ମ૬‫༻࡞ޓ‬Λද͢μΠϠάϥϜ

ͱॻ͚Δɽύ΢Ϧͷഉଞ཯Λຬͨͨ͢Ίʹɼ೾ಈؔ਺͸ཻࢠͷۭؒ࠲ඪʢ͋Δ͍͸೾਺੒
෼ʣͱεϐϯ੒෼ͷೖΕସ͑ʹରͯ͠ූ߸Λม͑ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɽεϐϯ 1 ॏ߲Ͱ͸εϐϯͷ੒෼ཻ͕ࢠͷೖΕସ͑ʹରͯ͠‫͋Ͱح‬Δ͔Βɼ೾਺੒෼͸‫ۮ‬ύϦςΟͰͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɽҰํɼεϐϯ 3 ॏ߲ͷ৔߹εϐϯ͸ཻࢠͷೖΕସ͑ʹରͯ͠‫͋Ͱۮ‬ΔͨΊɼ೾਺੒෼͸‫ͳʹح‬Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ

3.5 Ϋʔύʔର‫ܗ‬੒
/√ 0ϑΣϧϛ‫ٿ‬ͷ֎ଆͷബ͍֪ʹεϐϯ 1 ॏ߲ ϕk (|↑↓, − |↓↑,)/ 2 Λ੒͢ 2 ‫ݸ‬ͷిࢠΛ෇͚Ճ͑Δ (ਤ 3.5.1)ɽ͜ͷͱ͖ɼ3.3 અͰٞ࿦ͨ͠Α͏ʹɼిࢠͷӡಈͷ࣌ؒεέʔϧ͕
−1֨ࢠͷৼಈप‫ ظ‬ωDΑΓେ͖͍৔߹ͷΈిࢠؒʹಇ͘ҾྗΛԾఆ͠ɼ݁Ռͱͯ͜͠ΕΒͷిࢠ͕‫ʹ͍ޓ‬ଋറ͞ΕΔ͜ͱΛࣔ͢ɽ্ͷ৚݅Λຬͨ͢ిࢠؒϙςϯγϟϧ V ΛԾఆͨ͠γϡϨσΟϯΨʔํఔࣜΛɼ!
!2 k 2ϕk +Vk,k! ϕk! = (E + 2EF )ϕkm!
|k |>kF'−V : 0 < ξk , ξk! < Ec (= !ωD )Vk,k! =
0 : ͦͷଞ(3.5.1)ͱॻ͘ɽ͜͜Ͱɼξk ≡ !2 k 2 /2m − EF ͱఆٛͨ͠ɽࠨลୈ 1 ߲͓Αͼӈล຤߲͸ 2 ཻࢠͷͨΊ 1 ཻࢠͷ৔߹ͷ 2 ഒʹͳ͓ͬͯΓɼE ͸૬‫ ༻࡞ޓ‬V ʹΑΔΤωϧΪʔͷͣΕʹରԠ͢Δɽఆ਺ C Λ C ≡)k ! ϕk!

ͱఆٛ͢Δͱɼϕk ͸ɼ

ϕk = −VC
E − 2ξk《講義ノート》

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3.6 ిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬33

ਤ 3.5.1 ϑΣϧϛ໘্Ͱ૬‫͢༻࡞ޓ‬Δ 2 ཻࢠ

ͱͳΔɽ͜ΕΛࣜ (3.5.1) ʹ୅ೖ͢ΔͱɼC /= 0 ͷ৚͔݅Β

1=−

!
k

8
8
8 2Ec 81V
8& ρF V log 88
E − 2ξk2
E 8(3.5.2)

ͱͳΔɽ2 ൪໨ͷ౳߸Ͱ͸ k ͷ࿨Λੵ෼ͱ͠ɼঢ়ଶີ౓͸Ұఆͷ஋ ρF ͱͨ͠ɽ͜ΕΛ Eʹ͍ͭͯղ͘ͱɼE < 0 ͷղ͸ɼE & −2Ec e− ρ 2V
F(3.5.3)Ͱ༩͑ΒΕɼV ͕ͲΜͳʹখͯ͘͞΋ɼৗʹଋറঢ়ଶ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɽ

3.6 ిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬લઅͰ͸ɼిࢠͱ֨ࢠͷӡಈ࣌ؒεέʔϧͷେখʹΑͬͯੜ͡Δ૬‫ࢠి͕༻࡞ޓ‬ରΛੜ੒͢Δ͜ͱΛ‫ͨݟ‬ɽ͜͜Ͱ͸ͦͷΑ͏ͳϙςϯγϟϧ͕ిࢠ-֨ࢠ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΓՄೳͱ
ͳΔ͜ͱΛࣔ͢ɽ·ͣిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬Λ‫ه‬ड़͢ΔϋϛϧτχΞϯ͔Β࢝ΊΔɽHe−p = e
=

2

!"

!

σ

ψσ† (r)ψσ (r)K(r − r & )div [u(r & )]Wq a†k+q ak (bq + b†q )(3.6.1)k,q|Wq |2 ≡2πe2
ωqk2 + q2

K(r − r & ) ͸ిࢠʹΑΔःณͷޮՌ΋‫ؚ‬ΊͨΫʔϩϯϙςϯγϟϧɼu ͸ΠΦϯͷมҐϕΫτϧɼωq ͸ϑΥϊϯৼಈ਺Ͱ͋Δɽ·ͨ aɼb ͸ͦΕͧΕిࢠɼϑΥϊϯ৔ͷԋࢉࢠͰ

͋Δɽ2 ൪໨ͷ౳߸͸৔ͷԋࢉࢠΛϑʔϦΤม‫͢׵‬Δ͜ͱʹΑΓಘΒΕΔɽ͜ͷϋϛϧτ
χΞϯͷ‫͔ܗ‬Βɼ૬‫༻࡞ޓ‬Λද͢μΠϠάϥϜ͸ਤ 3.6.1 ʹࣔ͢ 2 ௨ΓʹͳΔɽ

《講義ノート》

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ୈ 3 ষ ௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬34

ਤ 3.6.1

ϑΥϊϯ-ిࢠͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λද͢μΠϠάϥϜ

͜ͷ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ෺ཧతҙຯ͸࣍ͷΑ͏ʹߟ͑ΒΕΔɽ͢ͳΘͪɼ−ediv [u(r & )] ͸ɼ+eʢͱԾఆʣΛ΋ͭΠΦϯͷมҐ u(r & ) ʹ൐ͬͯੜ͡Δిՙີ౓Ͱ͋ΓɼͦΕ͕ःณ͞ΕͨΫʔϩϯϙςϯγϟϧ K(r − r & ) Λ௨ͯ͡Ґஔ r ʹ͋Δిࢠͷిՙີ౓ (−e))†σ ψσ (r)ψσ (r)ʹӨ‫ڹ‬Λ‫ʹࣄ͢΅ٴ‬ΑΓੜ͡ΔΤωϧΪʔͱ͍͏ҙຯΛ࣋ͭɽϑΥϊϯʹΑΓഔհ͞ΕΔ
૬‫༻࡞ޓ‬͸ɼਤ (3.6.2) ʹࣔ͞ΕΔΑ͏ͳ He−p ͷ 2 ࣍ઁಈʹΑͬͯੜ͡ΔભҠ֬཰͕ɼؒ઀૬‫ ༻࡞ޓ‬Hindirect ͷ 1 ࣍ઁಈʹΑΔભҠ֬཰ʹ౳͍͠ͱߟ͑Δ͜ͱʹΑΓಘΒΕΔɽ
۩ମతʹ͸ɼ

+II|Hindirect |I, =!
i

1+II|He−p |i,
2

#

1
1
+
EII − Ei
EI − Ei$+i|He−p |I,(3.6.2)ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜͜ͰɼI, II ͓Αͼதؒঢ়ଶ i ͷΤωϧΪʔ͸ɼ

EI = ξk! + ξ−k! = 2ξk!

EII = ξk + ξ−k = 2ξkEi = ξk! + !ωc + ξ−kEi = ξ−k! + !ωc + ξk: ऴঢ়ଶ: ॳ‫ظ‬ঢ়ଶ: (ਤ 3.6.2(a)): (ਤ 3.6.2(b))Ͱ͋Δɽͦͷ݁Ռɼ+II|Hindirect |I, ͸ɼ+II|Hindirect |I, = |Wq |

2

#

1

1

− &
ξk − ξk& − !ωqξk − ξk − !ωq!
!ωk−k= 2|Wk−k! |2(ξk − ξk! )2 − (!ωk−k! )2$(3.6.3)

ͱͳΔɽ͜ͷ݁Ռͱ‫ݩ‬ʑଘࡏ͢ΔిࢠؒͷΫʔϩϯ૬‫༻࡞ޓ‬Λߟྀ͢Δͱɼ༗ޮϋϛϧτ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

3.7 d όϯυۚଐ35

ਤ 3.6.2

ϑΥϊϯ-ిࢠͷ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ 2 ࣍ઁಈΛද͢μΠϠάϥϜ

χΞϯ Heff ͸ɼ1
2
1!!
!ωk−k!
2
Heff =
Uk−k! + 2|Wk−k! |2(ξk − ξk! )2 − (!ωk−k! )2!
!
k,σ k ,σ×a†k,σ a†−k,σ! a−k! ,σ! ak! ,σ=

1!!
Vk,k! a†k,σ a†−k,σ! a−k! ,σ! ak! ,σ
2!
!

(3.6.4)k,σ k ,σͱͳΔɽ͜͜Ͱɼ

1!ωk−k!
Vkk! ≡ Uk−k! + 2|Wk−k! |(ξk − ξk! )2 − (!ωk−k! )22

2(3.6.5)

ͱͨ͠ɽU ͕Ϋʔϩϯ૬‫ͨ͋ʹ༻࡞ޓ‬ΔɽVk,k! ͕ෛʹͳΔͨΊʹ͸গͳ͘ͱ΋ |ξk −ξk! | < !ωk‘−k! (= !ωD ) Ͱͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ʢͨͩ͠ɼ3.8 અͷ஗ԆޮՌͷٞ࿦ࢀরʣɽ͜

Ε͸ 3.3 અͰٞ࿦ͨ͠ిࢠ-֨ࢠ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΔΫʔύʔରੜ੒ͷ௚‫؍‬తγφϦΦͱҰக͍ͯ͠Δɽ

3.7 d όϯυۚଐిࢠ-֨ࢠ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΔΫʔύʔରੜ੒͸ిࢠͱ֨ࢠΛߏ੒͢Δਖ਼ΠΦϯͷӡಈ͕΄ͱΜͲಠཱͰ͋ΔΞϧΧϦۚଐʹΑ͘߹͏ඳ૾Ͱ͋Δ͕ɼ࣮ࡍͷ௒఻ಋ෺࣭͸ભҠۚଐͰଟ͘‫ݟ‬ΒΕΔɽ࣮ࡍɼৗѹͰ௒఻ಋΛࣔ͢ΞϧΧϦۚଐ͸ଘࡏ͠ͳ͍ɽભҠۚଐͰ͸‫ࢠݪ‬͕ৼಈ͍ͯͯ͠΋ɼిࢠ͕‫ࢠݪ‬αΠτʹΑ͘‫͍ͯ͠ࡏہ‬ΔͨΊɼͦͷిՙதੑ͕Α͘อͨ
ΕΔɽ͕ͨͬͯ͠ભҠۚଐͰ͸Ϋʔύʔରੜ੒ͷ‫ʹݯى‬લઅͰٞ࿦ͨ͠ిࢠ-֨ࢠ૬‫࡞ޓ‬༻ͱ͸ҟͳΔ‫͕ؔߏػ‬Θ͍ͬͯΔͱ‫͑ݴ‬Δɽͦ͜Ͱ d ిࢠۚଐͰͷిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬͸ɼిࢠͷαΠτؒඈͼҠΓੵ෼ͷ֨ࢠৼಈʹΑΔมௐ͔Βੜ͡Δͱߟ͑ΒΕΔɽిࢠͷඈͼ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

ୈ 3 ষ ௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬36ҠΓੵ෼Λ t ͱ͢Δͱɼt ͸୯Ґ๔ͷମੵมԽʹΑͬͯมௐΛड͚ΔͷͰɼిࢠ-֨ࢠ૬‫ޓ‬࡞༻ͱͯ࣍͠ͷ‫ܗ‬ͷ΋ͷ͕ՄೳͱͳΔɽ
&
He−p
≡−

1 ! dt †c ci (divui + divuj ).
2 i,j dΩ j

(3.7.1)લઅͰٞ࿦ͨ͠ిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ৔߹ͱಉ༷ɼu ͸֨ࢠৼಈʹ൐͏มҐϕΫτϧͰ͋ΔɽΩ ͸୯Ґ֨ࢠͷମੵΛද͠ɼ֨ࢠͷମੵมԽʹΑΔ t ͷมௐʹൺྫ͢Δ‫͍ͯͬͳʹܗ‬Δɽ֨ࢠৼಈΛ΍͸Γୈ 2 ྔࢠԽ͢Δͱɼ

divuj =!

Aq (bq + b†q )eiq·Rj(3.7.2)q

ͱͳΔɽ·ͨɼj− αΠτͷిࢠͷফ໓ԋࢉࢠ cj ΛϑʔϦΤ‫਺ڃ‬දࣔ͢Δͱɼ1 !
cj = √
cp eip·Rj
N p(3.7.3)

ͱͳΔɽͦͷ݁Ռɼࣜ (3.7.1) ͷϋϛϧτχΞϯ͸ɼ%&!
1 ! dt !
Aq c†p,σ cq! ,σ (bq + b†−q )e−ip·Ri +ip ·Rj eiq·Ri + eiq·Rj
2N i,j dΩ !
p,p ,q*!
!
1 dt
1 ! ( −i(p−p! −q)·Ri +ip! ·Rδ=−e
Aq c†p,σ cp! ,σ (bq + b†−q )+ e−i(p−p −q)·Ri −ip·Rδ
2 dΩ !
N

&
He−p
=−

p,p ,qi,δ

1 dt !
Aq (γp! + γ−p )c†p,σ cp! ,σ (bq + b†−q )δp,p! +q=−
2 dΩ !
p,p ,q=−

1 dt !
Ap−p! (γp + γp! )c†p,σ cp! ,σ (bp−p! + b†−p+p! )2 dΩ !

(3.7.4)p,pͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜͜Ͱɼγp ≡ (1/N )

)

δe

ip·Rδ

͸ߏ଄ҼࢠΛද͢ʢRδ ͸ϗοϐϯ

άʹରԠ͢Δ‫ؒࢠݪ‬ͷ૬ରҐஔϕΫτϧʣɽલઅʹ͓͚Δిࢠ-֨ࢠ૬‫( ࣜ[ ༻࡞ޓ‬3.7.1)]
ͷϑʔϦΤ੒෼ Wp−p! ͷ୅ΘΓʹ −(dt/dΩ)Ap−p! (γp + γp! )/2 ͕‫ݱ‬ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ

3.8 Ϋʔύʔର‫ܗ‬੒΁ͷ஗ԆޮՌ
3.6 અͰಋग़ͨࣜ͠ (3.6.5) ͸Ϋʔϩϯੱྗͱిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ࿨Ͱද͞Ε͍ͯΔɽΫʔύʔରΛ‫ܗ‬੒͢ΔͨΊʹ͸ΫʔϩϯੱྗΑΓ΋ిࢠ-֨ࢠ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΔҾྗ͕େ͖
͘ͳΔඞཁ͕͋ΔɽԿ‫ݩނ‬ʑଘࡏ͢ΔΫʔϩϯੱྗΑΓ΋ిࢠ-֨ࢠ૬‫͕༻࡞ޓ‬େ͖͘ͳΔͷͩΖ͏͔ɽ͜ΕΛ਺ࣜͰ֬ೝ͢Δɽ3.5 અͱಉ༷ʹ࣍ͷΑ͏ͳγϡϨσΟϯΨʔํఔ͔ࣜΒग़ൃ͢Δɽ

!
!2 k 2ϕk +Vk,k! ϕk! = (E + 2EF ) ϕk
m
!
k >kF

(3.8.1)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

3.8 Ϋʔύʔର‫ܗ‬੒΁ͷ஗ԆޮՌ37

ti siteਤ 3.7.1

j site‫ࢠݪ‬αΠτؒͷϗοϐϯάུਤ

Vk,k! ͸ࣜ (3.6.5) தͷΫʔϩϯੱྗΛ U , ిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬Λ V ͱද͢͜ͱͰ؆ུʹද‫͢ݱ‬Δɽ

Vk,k! =

A

: 0 < ξk , ξk! < Ec = !ωD: ͦͷଞʢͨͩ͠ɼξk , ξk! < EF ʣ

U −VU

(3.8.2)

͜͜Ͱɼ0 < ξk < Ec ͷͱ͖ࣜ (3.8.1) ͸࣍ͷΑ͏ʹදͤΔɽ

(E − 2ξk ) ϕk = (U − V )

<
!

ϕ

k!

+U

k!

ϕk !

k!

= (U − V ) C1 + U C2)<>!

(3.8.3))>k! ͸ Ec ಺ɼ

k! ͸ Ec ֎ͷ࿨ΛͦΕͧΕͱΔ͜ͱΛද͢ɽ͜ΕΒͷ࿨͸ఆ਺Ͱ͋Δ͔Βɼ3.5 અͱಉ༷ʹఆ਺ C1 , C2 ͱஔ͍ͨɽEc < ξk < EF ͷ৔߹͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

(E − 2ξk ) ϕk = U<!

ϕk ! + Uk!

= U C1 + U C 2

>
!

ϕk !

k!

(3.8.4)E − 2ξk /= 0 ͳͷͰɽࣜ (3.8.3) ͱࣜ (3.8.4) ͸྆ลΛ E − 2ξk /= 0 ͰׂΔ͜ͱͰʠϕk =”)<)>ͷ‫ʹܗ‬ม‫͖Ͱܗ‬Δɽͦͷ݁ՌΛ C1 = k ϕk ͱ C2 = k ϕk ʹ୅ೖ͢Δ͜ͱͰɼ࣍ͷࣜ

ΛಘΔɽ

C1 =
C2 =

<
!
C1 (U − V ) + C2 Uk>!
k

E − 2ξk

C1 U + C2 U
E − 2ξk(3.8.5)(3.8.6)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

ୈ 3 ষ ௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬38ͦΕͧΕΛ C1 ͱ C2 ʹ͍ͭͯ੔ཧ͢Δɽ

+

,
<
!
1
1
1 − (U − V )C1 − U
C2 = 0E − 2ξk
E − 2ξk
k
k
,
+
>
>
!
!
1
1
C2 = 0C1 + 1 − (U − V )−U
E − 2ξk
E − 2ξk<!

k(3.8.7)(3.8.8)k͜ΕΛ (C1 , C2 ) /= 0 ͱಘΔɽ)

k & ρF1
1 = ρF2≡;Bdξk Ͱ͋Δ͜ͱΛ༻͍ͯղ͘ͱɼ࣍ͷΑ͏ͳղΛUV −1
1 + 2 ρF U log EEFc

<

log

2Ec
E

2Ec
1
ρF (V − U ∗ ) log
2E(3.8.9)ࣜ (3.5.2) ͱൺֱ͢ΔͱɼU ∗ ͷ߲͚ͩҧ͏ɽ͜Ε͕ɼΫʔϩϯੱྗ U Λߟྀͨ݁͠Ռ‫ݱ‬Ε߲ͨͰ͋Δɽͨͩ͠ɼU ∗ ͸‫ݩ‬ʑͷ U ʹൺ΂ͯখ͘͞ͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕ॏཁͰ͋ΔɽUͱ U ∗ Λൺֱ͢ΔɽEF ≈ 102 Ec ͱ 12 ρF U ∼ 1 ΑΓ U ∗ ∼ 15 U ͱͳΓΫʔϩϯੱྗ͕཈੍

͞Ε͍ͯΔ͜ͱ͕Θ͔ΔɽΫʔϩϯੱྗ U ͱిࢠ-֨ࢠ૬‫ ༻࡞ޓ‬V Λൺֱ͢Δͱɼ‫ݩ‬ʑଘࡏ͢ΔΫʔϩϯੱྗͷํ͕ిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬ΑΓ΋େ͖͍ͷ͕ී௨Ͱ͋Δɽ͔͠͠Ϋʔϩϯੱྗ͕ U ∗ ͱͳΓ 1/5 ʹ཈੍͞ΕΔ͜ͱͰɼిࢠ-֨ࢠ૬‫ ༻࡞ޓ‬V ͷ‫د‬༩͕૬ରతʹ‫ݦ‬ஶʹͳΔɽ͜ΕʹΑΓɼΫʔύʔରΛ‫ܗ‬੒Ͱ͖ΔͷͰ͋Δɽ3.3 અͰిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ௚‫؍‬తͳཧղΛ༩͑ͨΑ͏ʹɼΫʔύʔର‫ܗ‬੒ʹ͸ΠΦϯͱిࢠʹӡಈͷ࣌ؒεέʔϧͷ͕ࠩ͋Δ͜ͱ͕ॏཁͰ͋ͬͨɽ͜ͷ͜ͱ͸ɼࣜ (3.8.9) ͔Β΋໌Β͔Ͱ͋Δɽ

3.9 ҟํతΫʔύʔର‫ܗ‬੒
͍··Ͱ͸౳ํతͳΫʔύʔର‫ܗ‬੒ʹ͍ͭͯٞ࿦ΛਐΊ͖ͯͨͨΊɼిࢠʔ֨ࢠ૬‫࡞ޓ‬༻ V Λఆ਺ͱͯ͠ѻ͖ͬͯͨɽҟํతΫʔύʔରΛ‫ܗ‬੒͢Δ৔߹ɼిࢠؒ૬‫༻࡞ޓ‬͸Ұൠʹ࣍ͷΑ͏ʹॻ͚Δɽ!

!

V (k − k ) = V (|k − k |) =∞!

(2l + 1) Vl Pl (cos θ)(3.9.1)l=1

͜͜ͰɼV (k − k! ) ͸ k ͱ k! ͷؒͷ֯౓ θ ͚ͩͷؔ਺Ͱ͋Γɼ|k| = |k! | = kF Ͱ͋Δ͜ͱΛ౿·͑ͯɼ

2|k − k! | = k 2 + k &2 − 2k · k! = 2kF2 (1 − cos θ)ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɽ·ͨɼPl (cos θ) ͸ϧδϟϯυϧؔ਺Ͱ͋Γɼ೾਺ۭؒͷ‫ٿ‬໘ௐ࿨% &ؔ਺ Ylm k̂ Λ༻͍ͯද͢ͱ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

Pl (cos θ) =

l
!

m=−l

% &
& (l − |m|)!
∗%Ylm k̂ Ylm k̂ &(l + |m|)!

(3.9.2)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

3.9 ҟํతΫʔύʔର‫ܗ‬੒39͜͜Ͱɼk̂ ≡ k/k ͱఆٛ͞ΕΔɽࣜ (3.9.2) Λ༻͍ͯࣜ (3.9.1) Λॻ͖‫͑׵‬Δɽ͢ͳΘͪɼ!

V (k − k ) =

l
∞ !
!

l=0 m=−l% && (l − |m|)!
∗%(2l + 1) Vl Ylm k̂ Ylm k̂ &(l + |m|)!

(3.9.3)ࣜ (3.9.3) Λ༻͍Δ͜ͱͰ 2 ମͷγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜ͸࣍ͷΑ͏ʹද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
l
∞ !
! !
% &
&
∗%
(l − |m|)!
!2 k 2ϕk +Vl Ylm k̂ Ylm k̂ & ϕk! = (2EF + E) ϕk(2l + 1)m
(l + |m|)!
!
|k |>kF l=0 m=−l(3.9.4)% &͜ͷํఔࣜ͸ Vl < 0 ͷͱ͖ ϕk = fk Ylm k̂ ͷ‫ܗ‬ͷղΛ΋ͭɽϕk ͸εϐϯͷೖΕ‫ʹ͑׵‬ରͯ͠‫͋Ͱۮ‬Ε͹ k → −k ͷม‫ʹ׵‬ΑΓූ߸Λม͑Δ͕ɼ‫͋Ͱح‬Ε͹ k → −k ͷม‫ʹ׵‬ΑΓූ߸Λม͑ͳ͍ɽεϐϯҰॏ߲͸εϐϯͷೖΕ‫ʹ͑׵‬ରͯ͠‫͋Ͱح‬Γ l = 0 ͷ৔߹ s

೾ɼl = 2 ͷ৔߹ d ೾Λද͢ɽεϐϯࡾॏ߲ʹ͍ͭͯ͸ɼεϐϯͷೖΕ‫Ͱۮͯؔ͠ʹ͑׵‬͋Γ l = 1 ͷ৔߹ʹ p ೾ɼl = 3 ͷ৔߹ʹ f ೾Λද͢ɽԋश໰୊ʹͯɼεϐϯ̏ॏ߲ʹ͓
͚Δ࣮ࡍͷ‫ࢉܭ‬Λߦ͏ɽҎ্Ͱɼೋମͷ໰୊Ͱ͋ΔΫʔύʔͷ໰୊ͷٞ࿦Λऴ͑Δɽ࣍ষ͔Β͸ɼBCS ཧ࿦ʹ޲͚ͯٞ࿦Λల։͍ͯ͘͠ɽ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

ୈ 3 ষ ௒఻ಋͷൃ‫ߏػݱ‬40

3.10 ԋश໰୊̎ҟํతΫʔύʔର‫ܗ‬੒ͷ໰୊Λεϐϯ̏ॏ߲ p ೾ͷ৔߹ʹ͍ͭͯߟ͑Δɽत‫Ͱۀ‬ٞ࿦ͨ͠εϐϯ̍ॏ߲ s ೾ͷ৔߹ͱͷҧ͍͸ϑΣϧϛ‫ٿ‬ͷ֎ଆʹ͋Δ (k ↑, −k, ↑) ͷঢ়ଶΛද͢√೾ಈؔ਺ ϕk |↑, ↑, Λߟ͑Δ͜ͱʹ͋Δɽ[εϐϯঢ়ଶ͕ |↓, ↓, ͓Αͼ (|↑, ↓, + |↓, ↑,) / 2
ͷ৔߹΋ಉ༷] ·ͨɽ೾਺෦෼ ϕk ͷγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜʹ‫ݱ‬ΕΔϙςϯγϟϧ Vk,k!
ͷ‫͕ܗ‬ɼVk,k!

-͔Β k̂ · k̂&.

Vk,k! ʹஔ͖‫׵‬ΘΔɽ

εϐϯ̍ॏ߲ s ೾ͷ৔߹ͷٞ࿦Λࢀߟʹͯ͠ɼ೾ಈؔ਺ ϕk ͱଋറΤωϧΪʔ Eb ͷදࣜΛ‫ٻ‬Ίͳ͍͞ɽ)&ώϯτɿεϐϯ̍ॏ߲ s ೾ͷ৔߹ʹɼ͸ɼϕk ͷ k̂ ґଘੑΛߟྀ͢Δɽ

k ! ϕk!

≡ C ͱͨ͜͠ͱΛൃలͤ͞Δɽ۩ମతʹ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

3.11 ԋश໰୊̎ɹղ౴

41

3.11 ԋश໰୊̎ɹղ౴
εϐϯ̏ॏ߲ (|↑, ↑,)p ೾ͷ৔߹γϡϨσΟϯΨʔํఔࣜ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

!
!2 k 2ϕk − V k̂ ·k̂! ϕk! = (E + 2EF ) ϕkm!
k

͜͜Ͱɼϕk = k̂z φk ͷ‫ܗ‬ͷղΛԾఆ͢Δͱɼk̂

!
!2 k 2φk − V k̂k̂!2 φk! = k̂ (E + 2EF ) φk
m
!
k

Αͬͯɼ

!
!2 k 2k̂!2 φk! = (E + 2EF ) φk
φk − Vm!
k

ͱͳΔɽ͜͜Ͱɼl = 1, m = 0 ͷͱ͖Λ૝ఆͯ͠ɼk̂ = kz Λ༻͍ͨɽs ೾ͷ৔߹Λ֦ு͠
ͯɼC ≡

)

k! k̂

!2

φk! (Cɿఆ਺) ͱ͢ΔͱɼVC
φk =E − 2ξk#$!2 k 2
− EF
ξk ≡
2m

ͱͳΔͷͰɼ͜ΕΛ੔ཧ͢Δͱ࣍ͷࣜΛಘΔɽ

Αͬͯɼ

!1

V
3 E − 2ξkk!
8
8
8 2Ec 81 V
8
→ 1 & ρF log 88
2
3
E 8
1=−

−6

Eb & −2Ec e ρF V

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

42

ୈ4ষ

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬લষͰ͸ɼిࢠؒͷҾྗʹΑΓΫʔύʔରΛ‫ܗ‬੒͢Δ‫ߏػ‬ΛΈͨɽຊষͰ͸ BCS ཧ࿦Λ঺հ͠*1 ɼൃ‫ʹߏػݱ‬ΑΒͳ͍ిࢠϖΞͷҰൠతੑ࣭Λٞ࿦͢Δɽ

4.1 ४ฏ‫ۉ‬BCS ϋϛϧτχΞϯͷ࿩ʹೖΔલʹ४ฏ‫( ۉ‬quasi average) Λ঺հ͢Δɽ͜ͷߟ͑ํΛ
༻͍Δ͜ͱͰฏ‫ۉ‬৔ʹରԠ͢Δ +ââ, ͕༗‫ͳʹݶ‬Δ͜ͱΛࣔ͢ɽ͜͜Ͱ͸ཧ૝Ϙʔζ‫ؾ‬ମΛԾఆ͢Δɽཧ૝Ϙʔζ‫ؾ‬ମͷϋϛϧτχΞϯ H̃ ʹԾ૝৔ η Λಋೖ͠ɼ೤ྗֶత‫ݶۃ‬Λऔͬͨ͋ͱʹ η → 0 ͱ͢Δɽ͜Ε͕४ฏ‫ۉ‬ͷߟ͑ํͷཁͰ͋Δɽཧ૝Ϙʔζ‫ؾ‬ମͷϋϛϧτχΞϯ H̃ Λ

H̃ =

!
k

=

.
("k − µ)â†k âk + η ∗ aˆ0 + ηâ†0

!

k+=0

=

!

k+=0

.
("k − µ) â†k âk − µaˆ0 † â0 + η ∗ â0 + ηâ†0("k − µ) â†k âk − µ#ηâ†0 −

∗

µ

$#

η
â0 −
µ

$

+

|η|2
µ

ͱม‫͢ܗ‬Δɽã0 ≡ â0 − µη ͱஔ͖‫͑׵‬Δ͜ͱͰɼ

H̃ =

!

k+=0

("k − µ)â†k âk − µã†0 ã0 +|η|2µͱͳΔɽ͜ͷϋϛϧτχΞϯ H̃ Λ༻͍ͯ a˜0 ͷ೤ฏ‫ۉ‬Λ‫ٻ‬ΊΔͱɼ.
Tr exp −β H̃ ã0. =0+ã0 , =Tr exp −β H̃*1 J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957).

(4.1.1)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

4.1 ४ฏ‫ۉ‬

43

Αͬͯɼ

+â0 , =

C#

ã0 +

η
µ

$D

=

η
µ

(4.1.2)͕ࣔ͞Εɼடং͕Ծ૝৔ η ʹґଘ͢Δ͜ͱ͕໌֬ʹͳΔɽҰํɼ‫ڽ‬ॖྔࢠ਺ N0 ͸

E

†

F

E
F
N0 = â†0 â0
$#
$D
C#
η∗
η
†
ã0 +
=
ã0 +
µ
µ
E
F |η|2= ã†0 ã0 + 2µͱͳΓɼ ã0 ã0 Λ H̃ ͔Β‫ٻ‬ΊΔͱ,Eã†0 ã0F)∞
n exp(βµn)= )n=0∞n=0 exp(βµn)
;
<
∞
!
1 ∂
log
exp(βµn)
=
β ∂µ
n=0

1
1 ∂
log
β ∂µ
1 − exp(βµ)
1 ∂
log(1 − exp(βµ))
=−
β ∂µ
1
=
exp(−βµ) − 1=

Ͱ͋Δ͔Βɼ

N0 =

|η|2
1
+ 2
exp(−βµ) − 1µ(4.1.3)

ͱͳΔɽϘʔζ‫ڽ‬ॖ͕ੜ͍ͯ͡Δͱ͖ʹ͸೤ྗֶత‫( ݶۃ‬V → ∞, N → ∞) ʹ͓͍ͯµ → 0 ͳͷͰࣜ (4.1.3) ͷୈ 1 ߲໨͸ແࢹͰ͖Δɽ͜ͷ͜ͱ͔Β N0 Λɼ
N0 &

|η|2
µ2

ͱԾ૝৔ η ʹΑΓಛ௃͚ͮΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͞ΒʹɼͰ͋Δ͔Βɼࣜ (4.1.2) ΑΓɼ

8 8
8η8 7
8 8 & N08µ8+â0 , &7

N0 exp(iα)(4.1.4)(4.1.5)͕ಋग़͞ΕΔɽ͜ͷ݁Ռ͸Ϙʔε‫ڽ‬ॖ͍ͯ͠Δͱ͖ͷ݁ՌͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɽ·ͨɼϘʔε‫ڽ‬ॖ͢Δ͜ͱʹΑΓ‫ࢹڊ‬తࣗ༝౓ͱͯ͠ͷҐ૬ α ͕‫ݱ‬ΕΔ͜ͱ͕஫໨͞ΕΔɽ

《講義ノート》

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ୈ4ষ

44

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

4.1.1 ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅ
BCS ཧ࿦ͷࠜຊʹ͸ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅ͕༻͍ΒΕ͍ͯΔɽฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͱ͸ɼฏ‫ۉ‬஋͔ΒͷζϨͷೋ࣍Ҏ্Λແࢹ͢ΔۙࣅͰ͋Δɽ͜Ε͔Β BCS ۙࣅͷϋϛϧτχΞϯΛಋ͕͘ɼͦ
ͷલʹฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͷ‫ࢉܭ‬ͷ෮शΛ݉Ͷͯ‫ࡏہ‬εϐϯ‫ܥ‬ͷ༗ޮϋϛϧτχΞϯʹ͍ͭͯٞ࿦
͢Δɽ‫ࡏہ‬εϐϯ‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯ͸

Hspin =!

,i,j-

Jij Si · Sj

(4.1.6)

Ͱ͋Δɽ

Hspin ʹฏ‫ۉ‬৔ۙࣅΛࢪ͢ɽ
!
Hspin =Jij (+Si , + Si − +Si ,) · (+Sj , + Sj − +Sj ,)
,i,j-

=

!

Jij [+Si , · (Sj − +Sj ,) + +Si , · +Sj , + (Si − +Si ,) · +Sj , (Si − +Si ,),i,j-+ (Si − +Si ,) · (Sj − +Sj ,)]!
&[Jij +Si , · Sj + Jij +Sj , · Si − Jij +Si , · +Sj ,]
,i,j-

≡

!
j

hj · Sj +≡ Heff!
ihi · Si −

!

,i,j-

Jij +Si , · +Sj ,ೋߦ໨Ͱ (Si − +Si ,) · (Sj − +Sj ,) ͷ߲Λແࢹͨ͠ɽHeff ͕ Hspin ͷฏ‫ۉ‬৔ۙࣅʹΑͬͯಘΒΕΔϋϛϧτχΞϯͰ͋ΔɽHeff ʹ‫ݱ‬ΕΔฏ‫ۉ‬৔ hj ɼhj ͸ɼ

hj ≡
hi ≡

!

,i,j-

!

,i,j-

Jij +Si ,eff
Jij +Sj ,effͱఆٛ͞ΕΔɽ+Si ,,+Sj , ͸ɼ֤ʑฏ‫ۉ‬৔ hj ɼhj தͷ 1 ‫ݸ‬ͷεϐϯ‫ܥ‬ͷ໰୊Λղ͘͜ͱʹΑͬͯಘΒΕΔͷͰɼ͜ΕΒͷؔ܎ࣜ͸ฏ‫ۉ‬৔ʹର͢Δηϧϑίϯγεςϯτͳํఔࣜ‫ܥ‬Λ੒͍ͯ͠Δɽ

4.1.2 ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͱ BCS ϋϛϧτχΞϯ
࣍͸ BCS ۙࣅʹΑΔ༗ޮϋϛϧτχΞϯΛ‫ٻ‬ΊΔ.*2 ग़ൃ఺ͱͳΔϋϛϧτχΞϯ͸ɼ

H=

!!
k

σ

ξk a†kσ akσ +1 !!
V (k − k& )a†kσ a†−kσ! a−k! σ ak! σ!
2! !

(4.1.7)kσ k σ*2 ͜ͷઅɼ͓Αͼ 4-4,4-5 ͷ֤અͷٞ࿦͸ɼA. J. Legget, ෺ੑ‫ ڀݚ‬22 ‫ ר‬3 ߸ pp291-324 (1974) ʹ‫͍ͮج‬͍ͯΔɽ

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4.1 ४ฏ‫ۉ‬45

Ͱ͋Δɽ͸͡Ίʹɼ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ෦෼Ͱ (ฏ‫ۉ‬஋)-(ฏ‫ۉ‬஋͔ΒͷζϨ) ͷ‫ܗ‬Λͭ͘Δɽ

a†kσ a†−kσ! akσ a−kσ!
(.*= +a†kσ a†−kσ! , + a†kσ a†−kσ! − +a†kσ a†−kσ! , · [+a−k! σ ak! σ! , + (a−k! σ ak! σ! − +a−k! σ ak! σ! ,)](= +a†kσ a†−kσ! , (a−kσ akσ! − +a−k! σ! akσ ,) + +a†kσ! a†−kσ! ,+a−k! σ! ak! σ ,+ +a−k! σ ak! σ ,(a†kσ! a−k! σ! − +a†kσ a−kσ! ,)+(a†kσ a†−kσ! − +a†kσ a†−kσ! ,)(a−kσ! ak! σ − +a−k! σ ak! σ ,)
†

†

†

†

*

Ҏ߱ͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ (akσ a−kσ! − +akσ a−kσ! ,)(a−kσ! ak! σ − +a−k! σ ak! σ ,) Λແࢹ͢Δɽσ & =−σ Λຬͨ͢εϐϯ 1 ॏ߲ʹ‫ݶ‬ΔͱɼϋϛϧτχΞϯ H ͸,!

H&ξk a†k! σ akσ +

kσ

-

1 !!!
V (k − k& )2 σ!
k(4.1.8)k×+a†kσ a†−kσ ,a−k! σ ak! σ + +a−k! σ ak! σ ,a†kσ a−kσ −+a†kσ a†−kσ ,+a−k! σ ak! σ ,

=

!
k

+

ξk (a†k↑ ak↑ + a†k↓ ak↓ ) +.

1!
V (k − k& ) +a†k↑ a†−k↓ ,a−k! ↓ ak! ↑ + +a†k↓ a†−k↑ ,a−k! ↑ ak! ↓
2 !

k
†
†
++a−k! ↓ ak! ↑ ,ak↑ a−k↓ + +a−k! ↑ ak! ↓ ,a†k↓ a†−k↑−+a†k↑ a†−k↓ ,+a−k! ↓ ak! ↑ , − +a†k↓ a−k↑ ,+a−k! ↑ ak! ↓ ,.*(4.1.9)ͱม‫͞ܗ‬ΕΔɽεϐϯ 1 ॏ߲Ͱ͸ϙςϯγϟϧ V ͸ k − k& ʹ͍ͭͯ‫͋Ͱۮ‬Γɼk ͱ k&ͷަ‫͍ͯͭʹ׵‬ෆมͰ͋Δ͔Βɼ

H&

!
k

+

+

ξk (a†k↑ ak↑ + a†k↓ ak↓ ) +

!
k!

!
k!

V (k − k& )+a†k! ↑ a†−k! ↓ ,a−k↓ ak↑

V (k − k& )+a−k! ↓ ak! ↑ ,a†k↑ a†−k↓ −!
k!

V (k − k& )+a†−k! ↓ a†k! ↑ ,+ak↑ a−k↓ ,,ͱͳΔɽࣜΛ·ͱΊΔͨΊʹ k ↔ k& ͷަ‫࡞ૢ׵‬Λߦͬͨɽεϐϯ‫ܥ‬ͷ৔߹ͷٞ࿦ΛҰൠԽͯ͠ɼฏ‫ۉ‬৔ ∆k ,∆∗k Λ࣍ͷΑ͏ʹಋೖ͢Δ∆k ≡ −∆∗k ≡ −

!
k!

!
k!

V (k − k& )+a−k! ↓ ak! ↑ ,(4.1.10)V (k − k& )+a†k! ↑ a†−k! ↓ ,(4.1.11)ͦͷ݁Ռɼ࠷ऴతʹ BCS ۙࣅͷϋϛϧτχΞϯ͸ɼ

H&

!(
k

ξk (a†k↑ ak↑ + a†−k↓ a−k↓ ) − (∆∗k a−k↓ ak↑ + ∆k a†k↑ a†k↑ ) − ∆∗k +ak↑ a−k↓ ,*(4.1.12)ͱͳΔɽҎԼͷٞ࿦Λ؆໌ʹਐΊΔͨΊʹɼ(ξk (a†k↑ ak↑ + a†−k↓ a−k↓ ) − (∆∗k a−k↓ ak↑ + ∆k a†k↑ a†k↑ ) − ∆∗k +ak↑ a−k↓ ,*(4.1.13)

《講義ノート》

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ୈ4ষ

46

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

ਤ 4.1.1 Hk ͷ̐ͭͷ‫ݻ‬༗஋ͱ‫ݻ‬༗ঢ়ଶͷ෦෼Λ Hk ͱఆٛ͢Δɽ͢ͳΘͪɼࣜ (4.1.12) ͸ɼ

H=

!

Hk

(4.1.14)kͷ‫ʹܗ‬ද͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰɼ೾਺ k ͝ͱʹ‫ݻ‬༗஋ɼ‫ݻ‬༗ؔ਺Λٞ࿦͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ·ͣɼ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭ͜ͱ͕෼͔ΔɽA†

Hk a†k↑ |0, = ξk a†k↑ |0,
Hk a†−k↓ |0, = ξk a†−k↓ |0,(4.1.15)†͢ͳΘͪɼak↑ |0,ɼa−k↓ |0, ͸ Hk ͷ‫ݻ‬༗஋ ξh Λ΋ͭ‫ݻ‬༗ঢ়ଶͰ͋Δɽ͜͜Ͱ |0, ͸ཻࢠ††͕ଘࡏ͠ͳ͍ਅۭͷঢ়ଶΛද͍ͯ͠Δɽ͜ͷؔ܎͕੒Γཱͭ͜ͱ͸ɼak↑ |0, ΍ a−k↓ |0,Λ Hk ͷୈ߲̎ʹ࡞༻ͤ͞ΔͱθϩʹͳΔ͜ͱ͔ΒྃղͰ͖Δɽಉ༷ʹͯ͠ɼ࣍ͷؔ܎

A

Hk |0, = −∆k a†k↑ a†−k↓ |0,
Hk a†k↑ a†−k↓ |0, = 2ξk a†k↑ a†−k↓ |0, − ∆∗k |0,†(4.1.16)†͕੒Γཱͭ͜ͱʹ஫ҙ͢ΔͱɼϋϛϧτχΞϯ Hk ͸ɼ|0, ͱ ak↑ a−k↓ |0, ͷώϧϕϧτ

ۭؒͰ࣍ͷΑ͏ʹߦྻදࣔ͞ΕΔɽ

Hk =

#

0
−∆k

−∆∗k
2ξk

$

(4.1.17)͜ͷϋϛϧτχΞϯͷ‫ݻ‬༗஋໰୊Λղ͘ͱɼ ‫ݻ‬༗஋


λ± = ±Ek + ξk‫ݻ‬༗ؔ਺ɹΦ± =




:
2
, Ek ≡ ξk 2 + |∆k |∆∗k |0, − (ξk ± Ek ) a†k↑ a†−k↓ |0,:2|∆k | + (Ek ± ξk )2

(4.1.18a)(4.1.18b)

͕ಘΒΕΔɽ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ϋϛϧτχΞϯ Hk ͷ̐ͭͷ‫ݻ‬༗஋ͱ‫ݻ‬༗ঢ়ଶ͕‫ͨͬ·ٻ‬《講義ノート》

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4.1 ४ฏ‫ۉ‬47(ਤ 4.1.1)ɽ͜͜Ͱɼ
uk ≡ :
vk ≡ :

Ek + ξ k2|∆k | + (Ek + ξk )

2

∆k

2

|∆k | + (Ek + ξk )2

(4.1.19)(4.1.20)

Λಋೖ͢Δͱɼࣜ (4.1.18) ͷ‫ݻ‬༗ঢ়ଶ͸؆໌ʹද‫͖Ͱݱ‬ΔɽϘΰϦϡʔϘϑม‫ݺͱ׵‬͹ΕΔϢχλϦม‫ʹ׵‬ΑΓɼ৽ͨʹੜ੒ · ফ໓ԋࢉࢠ

A

†
γk↑
≡ uk a†k↑ − vk∗ a−k↓†γ−k↓ ≡ uk a†−k↓ + vk∗ ak↑(4.1.21)

Λಋೖ͢Δͱɼࣜ (4.1.15) ͱࣜ (4.1.18b) Ͱ༩͑ΒΕΔ೾ಈؔ਺͸࣍ͷࣜ (a)ʙ(d) ͷΑ͏ʹද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ΕΒΛ BCS ೾ಈؔ਺ͱ‫Ϳݺ‬ɽ

.

∆∗
†
†
k

(k)
=
+
v
a
a
u
(a)
Φ
−
k
k

k↑ −k↓ |0,|∆k | .
∆k † a† |0, = ∆k u a† − v ∗ a(b)k −k↓ Φ− (k) ≡ |∆k | γk↑ Φ− (k)k↑|∆k | -k k↑
.
†
†
†
∆k
∆k

 a−k↓ |0, = |∆uk a−k↓ + vk∗ ak↑ Φ− (k) ≡ |∆γ
Φ− (k) (c)k|k | −k↓



†
∆k †
(d)
Φ+ (k) = |∆k | γ−k↓ γk↑ Φ− (k)(a) ͸ grand pair (GP)ɼ(b)(c) ͸ broken pair (BP)ɼ(d) ͸ excited pair (EP) ͱ֤ʑ†‫ݺ‬͹ΕΔɽࣜ (4.1.21) Ͱఆٛ͞ΕΔ γkσ ͓ΑͼͦͷΤϧϛʔτ‫ڞ‬໾ྔ γkσ ͸࣍ͷΑ͏ʹϑΣϧϛཻࢠͷै͏൓ަ‫܎ؔ׵‬Λຬͨ͢ɽG

γkσ , γk† ! σ!

H

= δσσ! δkk!
GH†
{γkσ , γk! σ! } = γkσ, γk† ! σ! = 0)
I
k+=0 Hk ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ɼ k+=0 Φ− (k) Ͱ༩͑ΒΕΔɽ(a) ࣜΛ༻͍Δͱ,J

k+=0(4.1.22)J ∆k ! J(uk + vk a†k↑ a†−k↓ ) |0,!
|∆|kk! +=0kJiφ(uk + vk a†k↑ a†−k↓ ) |0,=eΦ− (k) ʹkͱॻ͚ͯɼBCS ͕‫ݪ‬࿦จͰԾఆͨ͠೾ಈؔ਺ͷ‫ܗ‬Λ͍ͯ͠Δ*1 ɽ͕ͨͬͯ͠ɼ(b)ɼ(c) ͸ྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ Ek Λ࣋ͭϑΣϧϛ४ཻࢠ͕̍έ͋Δঢ়ଶɼ(d) ͸̎έ͋Δঢ়ଶΛද͢ɽͦͯ͠೤తฏ‫ۉ‬͸४ཻࢠͷϑΣϧϛ‫ؾ‬ମʹରͯ͠௨ৗͷ౷‫ֶྗܭ‬Λద༻ͯ͠‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕
Ͱ͖Δɽ(ͨͩ͠ɼ४ཻࢠ͸ੜ੒ফ໓Λ൐͏ͷͰͦͷԽֶϙςϯγϟϧ ͸ 0 Ͱ͋ΓిࢠͷԽֶϙςϯγϟϧͱ͸۠ผ͢Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δ)
ද 4.1.1 ͷΤωϧΪʔ४ҐεΩʔϜ͸ɼϋϛϧτχΞϯ Hk ͕࣍ͷΑ͏ʹදͤΔ͜ͱΛ
ҙຯ͢Δɽ
†
†
Hk = (−Ek + ξk ) + Ek (γk↑γk↑ + γ−k↓γ−k↓ ) − ∆∗k +ak↑ a−k↓ ,(4.1.23)

《講義ノート》

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ୈ4ষ

48

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬͕ͨͬͯ͠ɼࣜ (4.1.12) Ͱ༩͑ΒΕΔ BCS ۙࣅͷϋϛϧτχΞϯ͸ɼH=!

(−Ek + ξk ) +

k

!
k,σ

†
Ek γkσγkσ −!
k∆∗k +ak↑ a−k↓ ,ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
ද 4.1.1

ঢ়ଶ

GP

(Φ− )

BP (a†k↑ |0,)BP (a†−k↓ |0,)
EP

(Φ+ )

ΫʔύʔϖΞͷ֤ঢ়ଶʹ͓͚Δ෺ཧྔ

ΤωϧΪʔ

εϐϯ

ӡಈྔ

૬ର࣮‫཰֬ݱ‬ξ k − Ek

0

0

1

!k

e−βEk

ξk

1
2
- 12

e−βEk

ξ k + Ek

0

−!k

ξk

0

e−2βEkࣜ (4.1.10) Ͱ༩͑ΒΕΔฏ‫ۉ‬৔ ∆k ͸ɼද 4.1.1 ʹ‫ݱ‬ΕΔ֤ঢ়ଶʹ͍ͭͯ a−k! ↓ ak! ↑ ͷ‫ظ‬଴஋Λ‫ٻ‬Ίɼ࣮‫཰֬ݱ‬Λֻ͚ͯ࿨ΛऔΔ͜ͱʹΑΓ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ۩ମతʹ͸ɼࣜ (4.1.21) ͷ‫ٯ‬ม‫( ࣜͱ׵‬4.1.19) ͓Αͼࣜ (4.1.20) ʹΑΓ uk ɼvk ͕༩͑ΒΕΔ͜ͱΛ༻͍ͯɼ∆k! (ξk! − Ek! )∆k !
+a−k! ↓ ak! ↑ ,GP = −2
2 = 2E !

k
|∆k! | + (ξk! − Ek! )
∆k! (ξk! + Ek! )∆k !
+a−k! ↓ ak! ↑ ,EP = −2
2 = − 2E !
k|∆k! | + (ξk! + Ek! )
+a−k! ↓ ak! ↑ ,BP = 0(4.1.24a)(4.1.24b)(4.1.24c)ͷΑ͏ʹ‫ٻ‬ΊΒΕΔɽ͜ͷ݁ՌΛ༻͍Δͱɼ∆k ͸࣍ʹΑ͏ʹม‫͖Ͱܗ‬Δɽ

∆k = −
=−

!
k!

!
k!

Vkk! +a−k! ↓ ak! ↑ ,Vkk! [PGP (Ek! ) − PEP (Ek! )]

∆k !
2Ek!

!

͜͜Ͱɼ؆୯ͷͨΊ V (k − k ) ≡ Vkk! ͱͨ͠ɽ֤ঢ়ଶͷ‫֨ن‬Խ͞Εͨ֬཰෼෍͸࣍ͷΑ

͏ʹͳΔɽ


1


=
P (E ) =−βE
k + e−2βEk
 GP k
1 + 2eͭ·Γɼ PEP (Ek ) =1(1 + e−βEk )e−2βEk2(4.1.25a)e−2βEk=2
1 + 2e−βEk + e−2βEk(1 + e−βEk )(4.1.25b)

1 − e−2βEk
βEk= tanh−βE2k)(1 + e2(4.1.26)

PGP (Ek ) − PEP (Ek ) =ͱͳΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼ࣍ͷΪϟοϓํఔࣜΛಘΔɽ

∆k = −

!
k!

Vkk!

∆k !
βEk!
tanh
2Ek!
2

: Ϊϟοϓํఔࣜ(4.1.27)

《講義ノート》

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4.2 s ೾ͷΪϟοϓํఔࣜͷղࣜ (4.1.18a) ΑΓɼEk! =49:
2
ξk2 ! + |∆k! | Ͱ༩͑ΒΕΔͷͰɼ͜ͷΪϟοϓํఔࣜΛղ͘͜ͱʹΑΓ ∆k ͕Թ౓ͷؔ਺ͱͯ͠༩͑ΒΕΔɽ

4.2 s ೾ͷΪϟοϓํఔࣜͷղ·ͣɼT = 0 ʹ͓͚Δ s ೾ͷΪϟοϓํఔࣜͷղΛ‫ٻ‬ΊΔɽ͜͜Ͱ͸૬‫ ༻࡞ޓ‬Vkk! ͱͯ࣍͠ͷΑ͏ʹԾఆ͢Δɽ

Vkk! ='−|V0 |
0(|ξk | < "c , |ξk! | < "c )(ͦͷଞ)(4.2.1)

͜͜Ͱ "c ͸ిࢠ-֨ࢠ૬‫༻࡞ޓ‬ͷͱ͖ͷ !ωD ʹ֘౰͢Δɽ͜ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ༻͍ͯɼࣜ

(4.1.27) Λ s ೾ʹద༻͢ΔɽT = 0 ͷͱ͖͸ɼtanh (βEk /2) = 1 ͱͳΔͷͰɼΪϟοϓํఔࣜ [ࣜ (4.1.27)] ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

∆k = |V0 ||ξk |<"c

!
k!

∆k !
2Ek!

͜ͷ͔ࣜΒ ∆k ͸౳ํతͰ͋ΔͷͰɼ∆ = |V0 |ρF

" "c

dξ &

sinh

"
-c

−"

" "cc

∆
2Ek!

1
dξ & 7&2
2 ξ + ∆2−"c
" "c1
= |V0 |ρFdξ 72
ξ + ∆20-" .
c= |V0 |ρF sinh−1∆

1 = |V0 |ρFͱͳΓɼ࣍ͷදࣜΛಘΔɽ

∆=1|V0 |ρF.

(4.2.2)Ҏ্ͷࣜม‫Ͱܗ‬͸ɼ∆ ͕ఆ਺Ͱ͋ΓɼϑΣϧϛ४Ґۙ๣Ͱͷঢ়ଶີ౓ ρF ͕ఆ਺Ͱ͋Δ͜ͱΛ༻͍ͨɽV0 ρF $ 1(ऑ݁߹) ͷͱ͖ɼT = 0K Ͱ͸∆k (0) & 2"c e− |V 1|ρ
0F(4.2.3)

ͱͳΔɽ͜͜ͰΫʔύʔͷଋറΤωϧΪʔͷදࣜ [ࣜ (3.5.3) ࢀর]Eb & −2Ec exp[−2/ (V ρF )]Λࢥ͍ग़͢ͱɼexp ͷ‫ݞ‬ͷ 2 ͕ͳ͍͜ͱʹ‫͕ͭ͘ؾ‬ɽ͜Ε͸ϑΣϧϛ໘ΑΓ্͚ͩΛߟ͍͑ͯͨΫʔύʔͷೋମ໰୊ͷঢ়‫ͱگ‬ҟͳΓɼϑΣϧϛ໘ΑΓԼ΋ߟྀͨͨ͠ΊͰ͋Δɽ݁
Ռͱͯ͠ࠓճͷঢ়‫گ‬ͷํ͕݁߹͕‫͍ڧ‬ɽ

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ୈ4ষ

50

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬࣍ʹɼసҠԹ౓ Tc ͕ͲͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕΔ͔Λߟ͑Δɽ͜ͷͱ͖ɼ∆ → 0 ͱߟ͑Ε͹ྑ͍ɽ͢ͳΘͪɼΪϟοϓํఔࣜ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ|ξk |<"c! tanh βc ξk
2
2ξk
k
" "c
tanh β2c ξ= |V0 |ρF
dξ
ξ
0
#
$
2γ"c
& |V0 |ρF log
πkB Tc

1 = |V0 |(4.2.4)γ ͸ Euler ਺ͱ‫ݺ‬͹Εɼlog γ = 0.577... Λຬͨ͢ɽҎ্͔ΒɼసҠԹ౓ Tc ͕࣍ͷΑ͏ʹ‫·ٻ‬Δɽ

k B Tc &2γ − |V 1|ρ"c e 0 Fπ(4.2.5)

T = 0 ͷͱ͖ͷΪϟοϓΛ ∆ (0) ͱ͢Δͱɼࣜ (4.2.3) ͱࣜ (4.2.5) ͔Β∆ (0) =πkB Tc & 1.76kB Tc
γ(4.2.6)Ͱ͋ΔͷͰɼ∆ (0) ͱ Tc ͸ൺྫؔ܎ʹ͋Δɽ࠷‫ʹޙ‬ɼT ≤ Tc Ͱͷ ∆ (T ) ͸ɼΪϟοϓํఔࣜ

1 = |V0 |ρF

" "c
0

βc

√2

ξ +∆2

tanh
2
dξ 7
ξ 2 + ∆2

(4.2.7)Λۙࣅతʹղ͘͜ͱʹΑΓ‫·ٻ‬ΔɽసҠԹ౓ Tc ۙ๣Ͱ͸ɼβ = βc + δβ ͱ͓͍ͯɼδβ, ∆2ʹ͍ͭͯҰ࣍·Ͱల։͢Δ͜ͱͰɼ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

∆ (T ) &K

2 T2
8π 2 kBc7ζ (3)#

T1−
Tc

͜͜Ͱɼζ ͸πΣʔλؔ਺Ͱ͋Γɼζ (3) =

$ 12

)∞

& 3.1kB Tc

n=1 1/n3 ∆ (0) = 1.76kB Tc. 12 ∆ (T ) & 3.1kB Tc 1 − TT
c

#

T
1−
Tc

$ 12

(4.2.8)= 1.202... Ͱ͋Δɽ(T = 0)(T ≤ Tc )(4.2.9)సҠԹ౓ۙ๣ʹ͓͍ͯɼடংม਺͕ (1 − T /Tc )1/2 ʹൺྫ͢Δͷ͸ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͷಛ௃Ͱ͋*3
Δɽͳ͓ɼT $ Tc Ͱ͸Ϊϟοϓํఔࣜ͸࣍ࣜͰ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕Θ͔͍ͬͯΔɽ

1
7∆ (T ) & ∆ (0) − 2πT ∆ (0) 1 −

2
∆(0)
T
e− T
8∆ (0)(4.2.10)*3 ͨͱ͑͹ɼΞϒϦίιϑɼΰϦίϑɼδϟϩγϯεΩʔஶʮ౷‫ܭ‬෺ཧֶʹ͓͚Δ৔ͷྔࢠ࿦ͷํ๏ʯ(౦‫ژ‬ਤॻ)ɼ36.1 અ ࢀরɽ

《講義ノート》

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4.3 T < Tc ʹ͓͚Δੑ࣭

51

Δ(T)

1.76kBTc

3.1kBTc(1-T/Tc)-1/2

0Tcਤ 4.2.1TΪϟοϓํఔࣜͷԹ౓ґଘ

4.3 T < Tc ʹ͓͚Δੑ࣭
Vkk! & −V0 ɼ͓Αͼ ∆k (=

෼ࢄ͸ɼ

)

k V0 +a−k ↓ ak ↑ ,) ͕౳ํతͱ͢Δͱ४ཻࢠͷΤωϧΪʔ
!

!

:
2
Ek = ("k − µ) + ∆2

(4.3.1)

ͱͳΔɽ·ͨɼ४ཻࢠͷ୯Ґମੵ͋ͨΓͷঢ়ଶີ౓͸࣍Ͱ༩͑ΒΕΔɽ

2 !
δ (E − Ek )
V
k
" ∞
dk 2
=
k δ (E − Ek )
π2
0
8
8
" ∞
dEk 2 dk 88 d"k 88=δ (E − Ek )kπ2d"k 8 dEk 8∆" ∞dEk 2 dkE=√k
δ (E − Ek )d"k
E 2 − ∆2 ∆ π 2'
0(0 < E < ∆)=√ E
N(∆ ≤ E)E 2 −∆2 n

Ns (E) =͜͜Ͱ |dEk /d"k | = |"k − µ|/Ek =(4.3.2)7
Ek2 − ∆2 /Ek Λ༻͍ͨɽࣜͷҰߦ໨ʹ͋Δ܎਺ 2

͸εϐϯࣗ༝౓Λߟྀͨ݁͠ՌͰ͋ΔɽΪϟοϓ ∆ = 0 ͷ࣌ɼΤωϧΪʔ෼ࢄ͸ઢ‫ʹܗ‬ͳΓɼ୯Ґମੵ౰Γͷঢ়ଶີ౓͸ Nn ͰҰఆͱͳΔɽҰํͰ ∆ /= 0 ͱͳΔͱɼΪϟοϓͷ։͍ͨΤωϧΪʔଳʹ‫ݩ‬ʑ͍ͨঢ়ଶ͸ΪϟοϓΑΓߴ͍ΤωϧΪʔଳʹԡ্͛͠ΒΕɼࣜ (4.3.2) ʹै͏ɽਤ 4.3.1 ͷࣹઢ෦෼ (I) ͸ (II) ʹԡ্͛͠ΒΕɼͦͷ໘ੵ͸ (I)=(II)ͱͳΔɽ

《講義ノート》

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ୈ4ষ

52

ਤ 4.3.1

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬४ཻࢠͷঢ়ଶີ౓

ࠓճѻͬͨ౳ํత௒఻ಋͰ͸ɼ௒఻ಋΪϟοϓ͸೾਺ۭؒͰ౳ํతʹ։͕͘ɼ౳ํੑ͕
่ΕΔͱɼE = ∆ (T ) ʹ͓͚Δಛҟ఺ͷൃࢄ͕཈͑ΒΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ

4.4 s ೾ BCS ঢ়ଶͷ෺ཧྔͷੑ࣭
4.4.1 εϐϯଳ࣓཰
BCS ঢ়ଶͷ࣓৔ʹର͢ΔԠ౴Λ‫ݟ‬Δɽεϐϯ 1 ॏ߲ͷ ground pair(GP) ͓Αͼ excitedpair(EP) ͸εϐϯ 0 ͷͨΊɼ࣓৔ͷӨ‫ڹ‬Λड͚ͳ͍ͷͰɼ2 ͭͷ broken pair(BP) ʹ͍ͭͯͷΈߟ͑Δɽද 4.4.1 ͔Β෼഑ؔ਺ Zk Λ࣓৔ͷ 1 ࣍·Ͱ‫͢ࢉܭ‬Δͱɼ

Zk = 1 + e−β(Ek −µm H) + e−β(Ek +µm H) + e−2βEk&2%& 1 + e−βEk(4.4.1)ͷΑ͏ʹ࣓৔ʹґଘ͠ͳ͍‫͕ܗ‬ಘΒΕΔ (µm ͸࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτ)ɽ࣓Խ M ͸֎෦࣓৔ Hͱ࣓Խ཰ χ Λ༻͍ͯ M = χH ͱද͞ΕΔͨΊɼχ ΛಘΔʹ͸࣓Խ M ͷ‫ظ‬଴஋Λ‫͠ࢉܭ‬ද 4.4.1

broken pair ͷྭ‫ى‬ΤωϧΪʔɼεϐϯɼ೤ྗֶతଘࡏ֬཰

BP(+)
BP(−)

ྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ

εϐϯ

ଘࡏ֬཰

Ek − µm H

1
2
− 12

∝ e−β(Ek −µm H)

Ek + µm H∝ e−β(Ek +µm H)

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4.4 s ೾ BCS ঢ়ଶͷ෺ཧྔͷੑ࣭

53

Y(T)
1
1− C∆2∝ (T#-T)∝ exp(−∆/kBT)TC
ਤ 4.4.1

T๕ాؔ਺ Y (T ) ͷ֓‫ܗ‬ͨ‫ʹޙ‬ɼ࣓৔ͷ 1 ࣍·Ͱల։͢Ε͹ྑ͍͜ͱ͕Θ͔Δɽ͢ͳΘͪɼM=! µm e−β(Ek −µm H) − µm e−β(Ek +µm H)(1 + e−βEk )k& 2µm 2 H
= µm 2

!

!
k

β

k

2

e−βEk

(1 + e−βEk )

2

β
H
k
2cosh2 βE
2(4.4.2)

ͱͳΔɽ೾਺ͷ࿨ΛΤωϧΪʔੵ෼Ͱද͢ͱ࣍ͷΑ͏ʹදͤΔɽχ = µ m 2 ρF

" ∞

dξ

0

β
k
2cosh2 βE
2

Ek ≡

7
ξ 2 + ∆2

(4.4.3)͜ͷදࣜ͸ ∆ → 0 ͷ‫͍͓ͯʹݶۃ‬ৗ఻ಋঢ়ଶͷεϐϯଳ࣓཰Λ࠶‫͢ݱ‬Δɽ͢ͳΘͪɼ2

χ n = µ m ρF

" ∞
0

dξ

β
= 2µm 2 ρF
2cosh2 βξ
2(4.4.4)ͳ͓ɼ೚ҙԹ౓ͷଳ࣓཰ χ(T ) ͸ৗ࣓ੑঢ়ଶͷଳ࣓཰ͱ๕ాؔ਺ Y (T ) Λ༻͍ͯද͞ΕΔɽ๕ాؔ਺ͷ֓‫ܗ‬Λਤ 4.4.1 ʹࣔ͢ɽ

χ(T ) = χn

" ∞
0

dξ

1
≡ χn Y (T )2kB T cosh2 2kEB T(4.4.5)

《講義ノート》

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ୈ4ষ

54

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

4.4.2 Τϯτϩϐʔ·ͣɼද (4.1.1) ʹ‫ݱ‬ΕΔ 4 ͭͷঢ়ଶ͔ΒͷΤϯτϩϐʔͷ‫د‬༩ Sk Λ‫ٻ‬ΊΔɽͦΕͧΕͷ࣮‫཰֬ݱ‬͸ɼ

PGP =
PEP =
PBP =

1
(1 + e−βEk )e−2βEk(1 + e−βEk )e−βEk(1 + e−βEk )

2,

2,

2,

Ͱ༩͑ΒΕΔͷͰɼSk ͸࣍ͷΑ͏ʹ‫·ٻ‬Δɽ

1

12e−βEk
e−βEk
1
ln
+
ln
(1 + e−βEk )2 (1 + e−βEk )2(1 + e−βEk )2 (1 + e−βEk )22e−2βEke−2βEk+ln(1 + e−βEk )2 (1 + e−βEk )2
(%
%
&
&
%
&*
2kB
−βEk 2
−βEk
−βEk
−βEk
ln
1
+
e
e
=
1
+
e
−
βE
1
+
e
k
(1 + e−βEk )2
1
2
%
&
βEk
(4.4.6)= 2kB ln 1 + e−βEk +(1 + eβEk )Sk = −kB

4.4.3 ೤༰ྔ∂S
೤༰ྔ C ͸Τϯτϩϐʔ S Λ༻͍ͯ C = T ∂TͰ‫͞ࢉܭ‬ΕΔɽ্ͷ݁ՌΛ༻͍Δͱ s

೾ BCS ঢ়ଶͷ೤༰ྔ͕ಘΒΕΔɽ͢ͳΘͪɼ

2
1
&
%
βEk
∂ !
−βEk
+
C=T
2kB ln 1 + e∂T(1 + eβEk )
k
$
:
! 1 #
Ek
∂Ek
−
T
,
E
≡
ξk2 + ∆2 (T )
E
=
k
k
2 βEk
2kB T 2∂Tcosh 2(4.4.7)k

ͱͳΔɽTc ۙ๣Ͱͷ௒఻ಋঢ়ଶͱɼৗ఻ಋঢ়ଶͷࠩ͸࣍ͷΑ͏ʹ‫·ٻ‬Δɽ

CS − CN = −=−&−1
2kB Tc
!
k

!
k

!
k

k
Ek ∂E
∂T

cosh2 βc2Ek

12kB Tc cosh2 βC2ξk
δ(ξk )+

1 ∂|∆|
2 ∂T

∂|∆|2
∂|∆|
= ρF
∂T
∂T

2

,

2

(4.4.8)

《講義ノート》

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4.4 s ೾ BCS ঢ়ଶͷ෺ཧྔͷੑ࣭55s ೾௒఻ಋͷ৔߹ʹ ∆ ͷදࣜ
2

|∆| =

2 2
8π 2 kB
Tc
7ζ(3)

#

1−

T
Tc

$

Λࣜ (4.4.8) ʹ୅ೖ͢Δͱɼ

CS − CN &2
8π 2 kB
Tc ρF
7ζ(3)

ͱͳΔ͕ɼࣜ (1.1.8) ΑΓɼCN = (2π 2 /3)ρF kB 2 T ͳͷͰɼ12CS − CN (Tc )=& 1.426...
CN (Tc )7ζ(3)(4.4.9)ͱͳΔɽ͢ͳΘͪɼৗ఻ಋʹର͢Δ௒఻ಋঢ়ଶͷൺ೤ͷ૬ରൺ཰͸ Tc ͷ஋ͳͲʹ͸ґଘ͠ͳ͍Ϣχόʔαϧͳ஋ΛͱΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ࣮ࡍɼ͜ͷ஋͸࣮‫؍Ͱݧ‬ଌ͞Ε͍ͯΔɽྫ
ͱͯ͠ɼਤ 4.4.2 ͸௒఻ಋɾৗ఻ಋΨϦ΢Ϝͷൺ೤ͷԹ౓ґଘੑΛଌఆͨ͠΋ͷͰ͋Δɽ

Tc Ͱ‫ݟ‬ΒΕΔൺ೤ͷඈͼͷ஋ͱɼৗ఻ಋঢ়ଶͷൺ೤Λ 0 K ʹ֎ૠͨ͠੾ยͷൺ͸ 1.43 ʹ͍ۙ஋ΛͱΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ

ਤ 4.4.2

ৗ఻ಋ, ௒఻ಋΨϦ΢Ϝͷൺ೤ͷԹ౓ґଘੑ*5*5 N. E. Phillips, Phys. Rev. 134, A385 (1964).

《講義ノート》

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ୈ4ষ

56

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

4.4.4 ΫʔύʔରͷαΠζ͜͜Ͱ͸, ϩϯυϯϐύʔυͷؔ܎ [ࣜ (2.7.1)] ʹ‫ݱ‬ΕΔΫʔύʔରͷαΠζ ξ0 Λ‫ੵݟ‬΋ΔͨΊʹɼ+ψ↓ (r)ψ↑ (0), ͷ r ґଘੑΛ‫͢ࢉܭ‬Δɽ

1 !!
exp(ik · r)+ak↓ ak! ↑ ,
V
k k!
1 !
exp(ik · r)+ak↓ ak↑ ,
=
V
k
#
$
∆k
1 !
β
Ek
exp(ik · r)
tanh
=
V
2Ek
2

+ψ↓ (r)ψ↑ (0), =(4.4.10)k͜͜Ͱࣜ (4.1.24) ͱࣜ (4.1.25a), ࣜ (4.1.25b) ͷؔ܎Λ༻͍ͨɽ
ैͬͯɼT=0K Ͱ͸ tanh(βEk /2) = 1 ͱͳΓɼ"∆dk
exp(ik · r) 7 2(2π)32 ξk + ∆ 2" ∞sin(kr)
∆
1
7
=
dkk 2
2
8π 2 0kr
ξk + ∆ 2
$2
#
$
#
" ∞ 1
∆
m
kF r
kF r
7
ξ
=
dξ sin(kF r) cosξ + cos(kF r) sin
22
8π r "F2"F2"
ξ + ∆2
#
$
" ∞
m∆
kF r
1
sin(kF r)&dξ cos
ξ 7
2
2
8π r
2"F
ξ + ∆2∞7
7
2 + 2mξ = k 2
ͱͳΔɽ్தͰ k = kF
1 + 2mξ/kF2 ͷؔ܎ͱ ξ $ "F = kF2 /2m ͷ৚F+ψ↓ (r)ψ↑ (0), =݅Λ༻͍ͯɼ

K<2mξ
sin(kr) = sin
1+ 2
kF
#
$$
#
1 ξ
& sin kF r 1 +
2 "F
$
$
#
#
kF r
kF r
= sin(kF r) cosξ + cos(kF r) cos
ξ
2"
2"
;

kF2

ͱͨ͠ɽੵ෼෦෼Λม‫ܗ‬ϕοηϧؔ਺ K0 ʹஔ͖‫͑׵‬Δ͜ͱͰɼm∆sin(kF r)+ψ↓ (r)ψ↑ (0), &8π 2 r" ∞∞m∆sin(kF r)K0=
4π 2 rdξ cos

#

#

kF ∆
r
2"F

$

͕ಘΒΕΔɽ*6 ͜ͷ K0 (z) ͸ɼz ) 1 ʹ͓͍ͯɼK0 (z) &*6 ਺ֶެࣜ III(‫ؠ‬೾) p.187 ࢀরɽ9πexp(−z)
2z

kF r
ξ
2"F

$

7

1
ξ 2 + ∆2
(4.4.11)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

4.5 NMR ॎ؇࿨཰57ͷ઴ۙ‫ܗ‬Λ΋ͭɽ*7
ैͬͯɼT= 0 K ͷۙ๣Ͱ͸ΫʔύʔରͷαΠζ ξ0 ͸ɼ

ξ0 =

#

πkF ∆
2"F

$−1

=

;

πkF ∆
2
! 2 kF

m

<−1

=

!vF
π∆(0)

(4.4.12)ͱͳΔɽξ0 ͱిࢠͷฏ‫ ִؒۉ‬a ͷൺΛͱΔͱɼ

"
ξ0
&
)1
a
k B TcͰ͋Δ͔ΒɼΫʔύʔରͷαΠζ ξ0 ͸ిࢠͷฏ‫ ִؒۉ‬a ΑΓ΋ང͔ʹେ͖͍αΠζΛ࣋ͭ*8 ɽ࣍ʹ T = Tc ۙ๣ͷ৔߹ɼ+ψ↓ (r)ψ↑ (0), ͸࣍ͷΑ͏ʹ‫͞ࢉܭ‬ΕΔɽ+ψ↓ (r)ψ↑ (0), &m∆sin(kF r)
4π 2 r" ∞∞dξ cos
#

#

kF r
ξ
2"

$ tanh$m∆
2
πkF Tc&sin(kF r) 2 exp −
r T
2
4π r
π
2"F
$
#
πTc
m∆
2
sin(kF r) exp −&4π 2 r
π
!vF

-

2ξ

βc ξ
2

.

% r &
F
cos k2"ξdξ 2
2
ξ + "n
−∞

∞ " ∞
!
n

(4.4.13)

ͱͳΔɽ͜͜Ͱɼ"n = (2n + 1)T (n ͸੔਺) ͱఆٛ͞Εɼদ‫ৼݪ‬ಈ਺ͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽ్
தͰɼ

tanh

-

2ξ

βξ
2

.

=T

!
n

1
"2n + ξ 2ͷؔ܎Λ༻͍͍ͯΔɽࣜ (4.4.13) ͸ T ∼ Tc ͰͷΫʔύʔϖΞͷαΠζ͕,ξ0 (Tc ) =!vF
πkB Tc(4.4.14)ͱͳΔ͜ͱΛҙຯ͢Δɽॏཁͳ͜ͱ͸ࣜ (4.2.6) ͷ݁ՌΛߟྀ͢Ε͹ɼΫʔύʔରͷαΠζ ξ0 (T ) ͸ T = 0 ͱ T = Tc ෇ۙͰ΄ͱΜͲมΘΒͳ͍͜ͱͰ͋Δɽ͜Ε͸ɼ5.1 અͰٞ࿦͢Δ GL ཧ࿦ͷ૬ؔ‫ ཭ڑ‬ξGL ͕ T →Tc ʹ͓͍ͯൃࢄతʹ૿େ͢Δ͜ͱͱ޷ରরΛ੒͢ɽ

4.5 NMR ॎ؇࿨཰͜ͷઅͰ͸௒఻ಋͷಛ௃Λද͢΋ͷͱͯ͠ൺ೤ͱͱ΋ʹΑ͘஫໨͞ΕΔɼ࣓֩‫ڞؾ‬໐
ʢNMRɿNuclear Magnetic Resonanceʣͷॎ؇࿨཰ʹ͍ͭͯ؆୯ʹٞ࿦͢ΔɽNMR ͸*7 ਺ֶެࣜ III(‫ؠ‬೾) p.173 ࢀরɽ*8 ξ0 ͸ 5.1 અͰٞ࿦͢Δ GL ཧ࿦ʹ‫ݱ‬ΕΔ૬ؔ‫ ཭ڑ‬ξGL ∼ ξ0 (1 − T /Tc )−1/2 ͱ͸ҟͳΔ͜ͱʹ஫ҙɽ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

ୈ4ষ

58

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬࣓৔ͱ‫֩ࢠݪ‬ͷ‫ڞ‬໐Λ‫؍‬ଌ͢Δɽ‫ͱࢠిͱ֩ࢠݪ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬ʢ௒ඍࡉ૬‫༻࡞ޓ‬ʣʹΑΓ‫ݪ‬ࢠ֩ͷ‫ڞ‬໐ʹిࢠͷੑ࣭͕‫ݱ‬ΕΔ͜ͱ͔Βɼ‫ݻ‬ମͷిࢠঢ়ଶΛ஌ΔҰͭͷखஈͱͯ͠༻͍
ΒΕ͍ͯΔɽNMR ͷಛ௃ͷҰ͕ͭɼ੩తͳ‫؍‬ଌ͚ͩͰͳ͘؇࿨࣌ؒͷଌఆʹΑΔಈతͳ‫؍‬ଌ͕Մೳͳ఺Ͱ͋Δɽॎ؇࿨཰ʢNMR ͷॎ؇࿨࣌ؒ T1 ͷ‫਺ٯ‬ʣ͸࣍ͷΑ͏ʹಈతεϐϯଳ࣓཰ χ+− (q, ω) Λ༻͍ͯදͤΔɽ

8! Imχ+− (q, ω) 88
1
∝T
8
8
T1
ω
q

(4.5.1)ω∼0͜͜Ͱɼω ͸ NMR ͷ֯ৼಈ਺Ͱ͋Δɽ·ͨɼ

χ+− (q, ω) = i" ∞dteiωt0(4.5.2)) ††−p ap−q/2↑ ap+q/2↓ ɼSq ≡p ap−q/2↓ ap+q/2↑ ͱఆٛ͞ΕΔɽϘΰϦϡʔ†Ϙϑม‫( ࣜ[ ׵‬4.1.21)] Λ ak↑ ͱ a−k↓ ʹ͍ͭͯղ͘ͱ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

Ͱ͋ΓɼSq+ ≡

)

L/ +
0M
−
Sq (t) , S−q
(0)

a†k↑
a−k↓

†
=u∗k γk↑+ vk∗ γ−k↓†=uk γ−k↓ − vk γk↑(4.5.3)Ҏ্ΑΓɼॎ؇࿨཰͸࣍ͷΑ͏ʹॻ͖‫͑׵‬ΒΕΔɽ

2#$!! 1 1ξk ξk! + Re (∆k ∆∗k! )
∂f
1
1+
−
δ (Ek − Ek! )∝T
T1
2
Ek Ek !
∂Ek!
kk

(4.5.4)1 + {ξk ξk! + Re (∆k ∆∗k! ) /Ek Ek! } ͷ෦෼͸ɼ࣓‫ؾ‬؇࿨ʹ͓͚ΔίώʔϨϯεҼࢠͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽॎ؇࿨཰ 1/T1 [ࣜ (4.5.4)] ͷԹ౓ґଘੑ͸ ∆k ͷ k-ґଘੑʹΑΔɽઌͣ s೾ϖΞͷ৔߹Λߟ͑ΔɼͦͷͨΊ ∆k = ∆ʢఆ਺ʣͱͯ͠ɼ౳ํతͳ৔߹Λߟ͑Δɽ

)

k &

B

Ns (E) dE ͕੒Γཱͭ͜ͱ͔Βɼࣜ (4.5.4) ͸࣍ͷΑ͏ʹද‫͖Ͱݱ‬Δɽ
+
,
$
2 #
0 + |∆|∂f
1
1+
δ (E − E & )−dENs (E) dE Ns (E )
2
EE &
∂E
&#
%
$
"
Ns2 (E) E 2 + ∆2
T
∂f
dE
=
−
2
E2
∂E

1
∝T
T1

"

"

&

&

͜͜ͰɼNs (E) ͸ࣜ (4.3.2) Ͱ༩͑ΒΕɼਤ 4.3.1 ͷΑ͏ͳ E ґଘੑΛࣔ͢ͷͰɼ࠷ऴత
ʹࣜ (4.5.4) ͸࣍ͷΑ͏ʹදͤΔɽ

T
1
∝
T1
2

" ∞
∆

%
&#
$
NF2 E 2 + ∆2∂fdE−
E 2 − ∆2∂E

(4.5.5)ࣜ (4.5.5) ΑΓɼ∆k ͕‫׬‬શʹ౳ํతͰ͋Ε͹ 1/T1 ͸ log ൃࢄ͢Δɽ͔͠͠ɼ‫ʹ࣮ݱ‬͸ϑΣϧϛ໘ͷҟํੑΛ൓өͯ͠ ∆k ͕ҟํతͱͳΔͨΊɼT ! Tc ʹ͓͍ͯ 1/T1 ͸ϐʔΫߏ଄Λ࣋ͭɽ͜ͷϐʔΫߏ଄Λ࠷ॳͷ‫؍‬ଌऀʹͪͳΜͰɼ΁ʔϕϧ-εϦΫλʔϐʔΫ《講義ノート》

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4.5 NMR ॎ؇࿨཰59

Al ͷ NMR ॎ؇࿨࣌ؒͷԹ౓ґଘੑ*10

ਤ 4.5.1ͱ‫Ϳݺ‬ɽਤ 4.5.1 ͸ Al ͷ NMR ॎ؇࿨࣌ؒ T1 ͷԹ౓ґଘੑΛଌఆͨ݁͠ՌͰ͋Δɽॎ࣠͸ NMR ॎ؇࿨࣌ؒ T1 ɼԣ࣠͸సҠԹ౓ Tc Λ୯Ґͱͨ͠Թ౓ͷ‫͋Ͱ਺ٯ‬ΔɽసҠ఺෇
ۙͰ NMR ॎ؇࿨཰ͷ૿Ճ (T1 ͷ‫ݮ‬গ) Λ֬ೝ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ࣍ʹΪϟοϓ ∆k ͕ p ೾΍ d ೾ͳͲͷΑ͏ʹຊ࣭తʹҟํతͳ৔߹ʹ͍ͭͯߟ͑Δɽྫ͑͹ɼ∆k = ∆k̂z ΍ ∆k = ∆ (cos kx − cos ky ) ͷΑ͏ͳ৔߹Ͱ͋Δɽ͜ͷΑ͏ͳҟํత௒఻ಋͷ৔߹ɼࣜ (4.5.4) ͷίώʔϨϯεҼࢠ͸̍ͱͳΔͷͰॎ؇࿨཰͸࣍ͷΑ͏ͳඇৗʹγϯϓϧͳ‫͚ॻͰܗ‬Δɽ

2#$!! 1 1ξk ξk!
∂f
1
1+∝T−
δ (Ek − Ek! )T1
2
Ek Ek !
∂Ek
!
k k
#
$
!! 1
∂f
[1 + 0] −δ (Ek − Ek! )
=T
2
∂Ek
!
k

(4.5.6)k౳ํతͳ৔߹ͱಉ༷ͷૢ࡞Λߦ͏ͱࣜ (4.5.6) ͸࣍ͷΑ͏ʹॻ͖վΊΒΕΔɽ

T
1
∝
T1
2

" ∞
0

dENs2 (E)

#

∂f
−
∂Ek

$

δ (Ek − Ek! )(4.5.7)

ঢ়ଶີ౓ Ns ʹ͍ͭͯɼਤ 4.5.2 ʹࣔ͢Α͏ͳ৔߹Ͱ͸௿ԹͰ Ns (E) ͸ E ʹൺྫ͢ΔͨΊɼT $ Tc Ͱ͸ɼ

1
∝ T3
T1

(4.5.8)ͱͳΓɼਤ 4.5.3 ʹࣔ͢Α͏ͳ৔߹͸ Ns (E) ͸ E 2 ʹൺྫ͢ΔͨΊɼT $ Tc Ͱ͸ɼ

1
∝ T5
T1
ͷԹ౓ґଘੑΛ࣋ͭ͜ͱ͕Θ͔Δɽ
*10 Y. Masuda and A. G. Redfield, Phys. Rev. 125, 159 (1962).

(4.5.9)

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ୈ4ষ

60

ਤ 4.5.2

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

1/T1 ∝ T 3 ͱͳΔ৔߹ͷྭ‫ى‬ঢ়ଶີ౓ ਤ 4.5.3 1/T1 ∝ T 5 ͱͳΔ৔߹ͷྭ‫ى‬ঢ়ଶີ౓

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4.6 ԋश໰୊̏

4.6 ԋश໰୊̏
BCS ௒఻ಋঢ়ଶͰͷ χ⊥ (T ) Λ࣓Խ཰ͷ‫ͳʹࢉܭ‬Β࣮ͬͯߦ͠ͳ͍͞*11 ɽͦͷࡍɼนͷ଎౓Λ u ͱͨ͠ͱ͖ͷೋͭͷ broken pair ͷΤωϧΪʔ͸ͦΕͧΕ Ek − !u · k ͓Αͼ

Ek + !u · k Ͱ͋ΓɼͦΕʹରԠ͢Δӡಈྔ͸ !k ͓Αͼ −!k Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙͯ͠ɼuͷํ޲ʹӡಈ͢Δશӡಈྔ +P , Λ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱͰɼนͷӡಈͰ༠‫͞ى‬ΕΔϊʔϚϧʢৗྲྀಈʣ੒෼͕߱Թͱͱ΋ʹͲͷΑ͏ʹθϩʹ͔͕ۙͮ͘෼͔Δɽ

ground pair ͱ excited pair Ͱ͸ӡಈྔ͕θϩͳͷͰɼ+P , ʹ͸‫د‬༩͠ͳ͍͜ͱʹ஫ҙɽ

*11 χ⊥ ͸ 2.1 અͰٞ࿦ͨ͠ԣԠ౴ [ਤ 2.1.1(b)] ʹର͢ΔԠ౴ྔΛද͢ɽ

61

《講義ノート》

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ୈ4ষ

62

BCS ཧ࿦ͷ‫ૅج‬

4.7 ԋश໰୊̏ɹղ౴
ৗྲྀಈཻࢠ਺Λ Nn ͱ͢Δɽนͷ଎౓͕ u ͷͱ͖ɼH → H − P · u ͱͳΔ͜ͱΛ౿·

͑Δͱද 4.7.1 ͕ಘΒΕΔɽground pair ͓Αͼ excited pair ͷঢ়ଶͰ͸ӡಈྔ͸θϩͳͷͰɼ̎ͭͷ broken pair ঢ়ଶ͚ͩΛදࣔͯ͋͠Δʢද 4.4.1 ͱಉ༷ʣɽΑͬͯࣜ (4.4.1)
ʹରԠͯ͠ɼΑͬͯɼ

&2
%
% &
Zk = 1 + e−βEk + O u2Ͱ͋ΔͷͰɼӡಈྔ P ͸࣍ͷΑ͏ʹ‫͖Ͱࢉܭ‬Δɽ

P =

!%

1 + e−βEk

k

& !2

!
k

&−2 (

k (k · u) β

!k · e−β(Ek −!u·k) − !k · e−β(Ek +!u·k)

1
2 cosh (βEk /2)

*

2

" ∞
1
1 2 2
dξβ
= ! k F ρFu2
3
2 cosh (βEk /2)
−∞
Nn
1
u
= !2 kF2 (2ρF ) Y (T ) u ≡ m3V&%͜͜ͰɼρF = (mkF )/ 2π 2 !2 ͳͷͰɼmNNn
= m Y (T )VVΑͬͯɼχ⊥ (T ) ͸࣍ͷΑ͏ʹදͤΔɽχ⊥ (T ) = m
·ͨɼns ≡ N
V − χ⊥ /m ͔ͭ λL ≡௕ λL ͸ɼNNNn= m Y (T ) ≤ m
VVV7(mc2 ) / (4πns e2 ) Ͱ͋ΔͷͰɼϩϯυϯͷ࣓৔৵ೖλ−2L ∝ [1 − Y (T )]ͱͳΓɼϚΠεφʔޮՌΛࣔ͢ɽ

ද 4.7.1֤ঢ়ଶʹ͓͚Δ෺ཧྔঢ়ଶྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ

ӡಈྔ

ଘࡏ֬཰

BP(+)

Ek − !u · k!k∝ eβ(Ek −!u·k)BP(−)

Ek + !u · k−!k∝ eβ(Ek +!u·k)《講義ノート》

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63

ୈ5ষ

GL ཧ࿦ͷུ֓ͱ࣓ଋͷྔࢠԽ͜ͷষͰ͸ɼΪϯπϒϧΫ-ϥϯμ΢ͷཧ࿦ʢGL ཧ࿦ʣΛѻ͏ɽ‫ݱ‬৅࿦తʹಋೖ͞ΕͨGL ཧ࿦ͷ೾ಈؔ਺ͷҙຯʹ͍ͭͯٞ࿦͢Δɽ

5.1 GL ཧ࿦ͱ࣓ଋͷྔࢠԽΫʔύʔରঢ়ଶ Φ (p1 , σ1 ; p2 , σ2 ) ͸ϚΫϩͳ਺ͷిࢠରʹ઎‫͞ڌ‬ΕΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼϚΫϩม਺ͱͳΔɽ௒఻ಋঢ়ଶͰ͸ɼψ (P ) ≡! !

Φ

σ1 ,σ2 k#

PP+ k, σ1 ;− k, σ2
2
2

$

/= 0

(5.1.1)ͱͳΓɼடংΛಛ௃͚ͮΔɽΪϯπϒϧάͱϥϯμ΢͸ɼψ (P ) ͷ࣮ۭؒදࣔΛடংม਺ͱͯ͠ɼೋ࣍૬సҠͷ‫ݱ‬৅࿦Λల։ͨ͠ɽ࣮ۭؒදࣔ ψ (r1 ; r2 ) ͸࣍ࣜͰ༩͑ΒΕΔɽψ (r1 ; r2 ) =1 !!
Φ (P , k) eiP ·R eik·ρVP(5.1.2)k͜͜Ͱɼ૬ର࠲ඪ ρ ≡ r1 − r2 ͱͨ͠ɽBCS ཧ࿦͕ग़Δલʹɼ௒఻ಋͷடংม਺͕

ԿͰ͋Δ͔ͷຊ࣭Λಎ࡯͠ɼ‫ج‬ຊతʹਖ਼͍͠‫ݱ‬৅࿦Λߏஙͨ͜͠ͱ͸஫໨͢΂͖Ͱ͋
Δɽࠓճ͸ BCS ཧ࿦ʹཱ‫͠٭‬ɼٞ࿦ΛਐΊΔɽࣗ༝ΤωϧΪʔີ౓ F (R) ͸டংม਺Ψ (R) = (const.) · φ (R) ͷ൚ؔ਺Ͱ͋ΓɼసҠ఺ۙ๣Ͱ Ψ Ͱల։Ͱ͖Δͱͯ͠ɼ
8#
$ 82
8
2e
1 88
8
−i!∇
+
A
Ψ
F [Ψ, A] =84m 8c(5.1.3)b 4
1
2
2|∇ × A|+ a|Ψ| + |Ψ| +28πͱԾఆͨ͠*1 ɽ|Ψ|2 ͸௒ྲྀಈϖΞͷ਺ີ౓ ns /2 Λද͓ͯ͠ΓୈҰ߲͕௒ྲྀಈͷӡಈΤωϧΪʔΛද͢Α͏ɼͦͷ܎਺ΛܾΊΔɽ࣮ࡍʹΫʔύʔରͷॏ৺͕଎౓ vs Ͱӡಈ͢Δঢ়ଶɼ

Ψ (R) =
*1 ͜ͷઅͰ͸ CGS ୯Ґ‫ܥ‬Λ༻͍Δɽ

9

ns
· exp
2

#

2imvs · R!

$

(5.1.4)

《講義ノート》

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ୈ5ষ

64

ਤ 5.1.1

GL ཧ࿦ͷུ֓ͱ࣓ଋͷྔࢠԽ࣓৔͕ͳ͍ͱ͖ͷࣗ༝ΤωϧΪʔີ౓ F (Ψ) ͱடংม਺ͷৼ෯ |Ψ| ͷؔ܎(a)T > Tc : (b)T < Tc

Λ A = 0 ͷͱ͖ʹࣜ (5.1.3) ͷୈҰ߲ʹ୅ೖ͢Δͱɼ(ӡಈΤωϧΪʔ) =1
mns vs22ͱ͍͏݁ՌΛಘΔɽΨ ͸ೋମͷ೾ಈؔ਺Ͱ͋ΔͨΊɼA → A + ∇χ ͷήʔδม‫ʹ׵‬ରͯ͠ɼΨ → exp (i2χ/!c) Ψ ͱม‫͞׵‬ΕΔɽ͜ͷؔ܎ΑΓɼୈҰ߲ͷϕΫτϧϙςϯγϟϧ

A ͷ܎਺ 2e/c ͸ήʔδෆมੑ͔Βͷཁ੥ʹΑΓఆ·Δɽ܎਺ a ͸ T = Tc ʹ͓͍ͯූ߸
Λม͑Δ؆୯ͳԹ౓ґଘੑ a = ā (T − Tc ) ΛԾఆ͠ɼ܎਺ b ͸Թ౓ʹґΒͳ͍ఆ਺ͱ͢
Δɽ1/8π ͕܎਺ͱ͔͔ͯ͠Δ࠷‫ޙ‬ͷ߲͸࣓৔ͷΤωϧΪʔΛද͍ͯ͠Δɽ

࣓৔͕ͳ͘ (A = 0)ɼΨ ͕ۭؒతʹҰ༷ͷ৔߹ɼࣗ༝ΤωϧΪʔີ౓ͷ |Ψ| ґଘੑ͸ਤ

5.1.1 ͷΑ͏ʹͳΔͱɼฏߧঢ়ଶͰͷ Ψeq ͸ࣗ༝ΤωϧΪʔͷఀཹ৚݅ ∂F/∂Ψ = 0 ʹΑΓ࣍ͷΑ͏ʹܾ·Δɽ

'

T > Tc ͷͱ͖ |Ψeq | = 0
T < Tc ͷͱ͖ |Ψeq | = − ab = āb (Tc − T )(5.1.5)͕ͨͬͯ͠ɼடংͷൃੜͱͱ΋ʹ |Ψeq | /= 0 ͱͳΔɽT < Tc ʹ͓͚Δฏߧঢ়ଶͷࣗ༝ΤωϧΪʔ͸࣍ͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕΔɽba2
2
Feq = a|Ψeq |2 + |Ψeq |4 = − (Tc − T )22b(5.1.6)

Αͬͯɼடংͷൃੜʹ൐͏ൺ೤ͷ௓ͼ ∆C ͸ɼ

8∂ 2 Feq 88ā2∆C = −T= Tc
82∂T T =Tcb(5.1.7)2

ͱͳΔɽBCS ཧ࿦ʹΑΔͱɼā = |V0 |2 NF /Tc ɼb = 7ζ (3) |V0 |4 NF /8π 2 (kB T ) Ͱ͋Δɽࣗ༝ΤωϧΪʔີ౓ F [Ψ, A] Λ A ʹ͍ͭͯ൚ؔ਺ඍ෼͢Δͱɼ

$
2
1 #
2e
e
1
∇ × (∇ × A) =Ψ∗ −i!∇ + A Ψ + c.c.
4π
2cm
c

(5.1.8)

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5.1 GL ཧ࿦ͱ࣓ଋͷྔࢠԽ

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ਤ 5.1.2 ௒఻ಋϦϯάΛ؏࣓͘ଋͷؔ܎͕ಘΒΕΔɽΞϯϖʔϧͷ๏ଇ j = (c/4π) ∇ × (∇ × A) Λ༻͍Ε͹ిྲྀີ౓ j
͸ɼ

1 #
$
2
2e
e
∗
Ψ −i!∇ + A Ψ + c.c.
j=2m
c

(5.1.9)Ͱ༩͑ΒΕΔɽΨ = αeiϕ ɼৼ෯ α ͷۭؒมԽ͸ͳͩΒ͔ͩͱͯ͠ແࢹ͢Δͱɼిྲྀີ
౓͸ɼ

1
2
2e
e
!∇ϕ + A α2j=mcͱͳΔɽ͜ͷࣜͷԣ੒෼ΛͱΔͱ (|α|2 = ns /2 ʹ஫ҙ͢Δͱ) ϩϯυϯํఔࣜͦͷ΋ͷʹ
ͳΔɽϕΫτϧϙςϯγϟϧ A ͷ܎਺ 2e/c ͸ిࢠ 2 ͕ͭϖΞΛ࡞͍ͬͯΔূͰ͋Γɼ࣮‫ݧ‬ͷ஋Λ࠶‫͢ݱ‬Δ͜ͱ͔Β͜ͷٞ࿦ͷਖ਼౰ੑ͕อূ͞ΕΔɽ
࣍ʹɼਤ 5.1.2 ͷΑ͏ͳυʔφπঢ়ͷ௒఻ಋϦϯάΛ૝ఆ͢ΔɽϦϯά಺෦ʹ͓͚Δԁঢ়ͷ‫ܦ‬࿏ C ্Ͱ͸ϚΠεφʔޮՌʹΑΓɼj = 0 ͱͳΔͨΊɼA = − (c!/2e) ∇ϕ ͕੒Γཱͭɽ͕ͨͬͯ͠ɼ‫ܦ‬࿏ C ʹԊͬͯઢੵ෼Λߦ͏ɽNc!
A · dl = −
2e
C

N

C

(∇ϕ · dl)

(5.1.10)͜ͷࠨล͸ετʔΫεͷఆཧΑΓɼϦϯάΛ؏࣓͘ଋ Φ ͱ౳͍͠ɽNC

A · dl =""S(∇ × A · dS) = Φ(5.1.11)·ͨɼࣜ (5.1.10) ͷӈล͸ɼΨ = αeiϕ ͕ҰՁؔ਺Ͱ͋ΔͨΊɼΦ=ch× (੔਺)
2e(5.1.12)ͱͳΔɽ͜ΕΛ࣓ଋͷྔࢠԽͱ͍͍ɼ࣓ଋྔࢠ Φ0 = ch/2e ͷ෼฼͕ 2e Ͱ͋Δ͜ͱ͸௒఻ಋ͕Ϋʔύʔର‫ڽ‬ॖʹΑΓੜ͍ͯ͡Δ͜ͱΛࣔ͢ॏཁͳ݁ՌͰ͋Δɽ

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ୈ5ষ

66

GL ཧ࿦ͷུ֓ͱ࣓ଋͷྔࢠԽࣗ༝ΤωϧΪʔີ౓ͷදࣜ F [Ψ, A][ࣜ (5.1.3)] Λடংม਺ Ψ(R) ʹ͍ͭͯ൚ؔ਺ඍ෼
͢Δ͜ͱʹΑΓɼΨ(R) ͷै͏ํఔ͕ࣜ࣍ͷΑ͏ʹಘΒΕΔɽ1aΨ + b|Ψ| Ψ +
4m
2

#

2eA
−i!∇ +c$2

Ψ=0(5.1.13)సҠ఺ۙ๣ (T ! Tc ) Ͱ͸ɼୈ߲̎͸ୈ߲̍ʹൺ΂ͯແࢹͰ͖ΔͷͰɼΨ(R) ͷۭؒมԽΛද͢ಛ௃తͳ௕͞ ξGL (T ) ͕࣍ͷΑ͏ʹܾ·Δɽ2ξGL(T ) =!2
4m|a(T )|(5.1.14)ࣜ (5.1.5) ʹΑΕ͹ɼa(T ) = ā(Tc − T ) ͳͷͰɼ௿Թଆ͔ΒసҠԹ౓ Tc ʹۙͮ͘ͱɺξGL

͸ (Tc − T )−1/2 ʹൺྫͯ͠ൃࢄ͢Δɽͦͷൺྫ܎਺Λ BCS ཧ࿦࿮૊ΈΛ༻͍ͯඍࢹత

ʹ‫͢ࢉܭ‬Δͱɼࣜ (4.4.12) Ͱ༩͑ΒΕΔɼT = 0K ͰͷΫʔύʔରͷαΠζ ξ0 Λ༻͍ͯɺ

T ! Tc Ͱ͸ɼξGL (T ) & 0.74ξ0

#

T
1−
Tc

$−1/2

(5.1.15)

ͱͳΔɽ͜ͷ݁Ռ͸ɺ T & Tc ͰͷΫʔύʔରͷαΠζ [ࣜ (4.4.14)] ͸ൃࢄత૿େ͸ࣔͣ͞ɺξ0 (T & Tc ) = ξ0 [∆(0)/kB Tc ] & 1.76ξ0 [ࣜ (4.2.6) ࢀর] Ͱ༩͑ΒΕΔࣄͱ޷ରরΛͳ͢ɽ͢ͳΘͪɼξGL ͸ΫʔύʔରͷαΠζ ξ0 ͱ͸֓೦తʹҟͳΓɼʮGL ͷ૬ؔ‫཭ڑ‬ʯͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɽ

5.2 ODLRO (Off Diagonal Long Range Order) ͱϘʔζ‫ڽ‬ॖϥϯμ΢͸Ұ؏ͯ͠ɼ௒ྲྀಈ‫ݱ‬৅͸Ϙʔζ‫ڽ‬ॖͱ͸ؔ܎ͳ͍ͱओு͍ͯͨ͠ͱ‫ݴ‬ΘΕΔ͕ɼ݁Ռతʹిࢠͷ௒ྲྀಈͰ͋Δ௒఻ಋͰ΋͋ΔछͷϘʔζ‫ڽ‬ॖ͕ͦͷຊ࣭Ͱ͋Δ͜ͱΛࢦఠ͍ͯͨ͜͠ͱʹͳΔ*2 ɽ࣮ࡍɼલઅͷΪϯπϒϧΫͱϥϯμ΢ʹΑΔ࿦จʹ͓͍ͯɼGL ཧ࿦Ͱಋೖ͞Εͨ೾ಈؔ਺ Ψ(r) ͸ɼҰମͷີ౓ߦྻ"ρ(r, r ! ) = Ψ(r, r i & )∗ Ψ(r ! , r i & )dr &i= +Ψ̂† (r)Ψ̂(r ! ),(5.2.1)ͱ݁ͼ෇͍͍ͯΔͱͷ‫ه‬ड़͕͋Δɽ͜͜Ͱ Ψ(r, r i & ) ͸ଟཻࢠ‫ܥ‬ͷ೾ಈؔ਺ΛɼΨ̂† (r)ɼΨ̂(r) ͸ੜ੒ɼফ໓ԋࢉࢠΛද͢ɽ͜ͷࣜ (5.2.1) ͷ̍ߦ໨͸࣍ͷΑ͏ͳҙຯΛ࣋ͭɽri&͸ N ମͷ೾ಈؔ਺Λ‫ه‬ड़͢Δશͯͷ࠲ඪ rj (j = 1, 2, · · · , N ) ͷத͔ΒҰ͚ͭͩऔΓग़B

ͨ͠ r ·ͨ͸ r & Λআ͘ (N-1) ‫ݸ‬ͷ࠲ඪΛද͢ɽͦͯ͠ɼ dri& ͸ɼͦΕΒશͯͷ࠲ඪʹ࿱ͬͯͷੵ෼Λද͍ͯ͠ΔɽGL ͸௒఻ಋடংม਺͸࣍ͷࣜͰఆٛͰ͖Δͱड़΂͍ͯΔɽlim|r−r ! |→∞ρ(r, r ! ) ≈ Ψ∗ (r)Ψ(r ! )(5.2.2)*2 ”Landau’s Collected Papers”ɼGordon & Breach and Pergamon Pressɼ1965ɼChap.73ɼp.546ɼ

ࡾ୐࿨ਖ਼ :ʮ‫ݻ‬ମ෺ཧʯ2005 ೥ɼ40 ‫ ר‬2 ߸ɼ147-148 ทࢀরɽ

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5.2 ODLRO (Off Diagonal Long Range Order) ͱϘʔζ‫ڽ‬ॖ

67͢ͳΘͪɼ௕‫཭ڑ‬டংͷͳ͍ඇ௒఻ಋঢ়ଶͰ͸ɼρ(r, r ! ) ≈ Ψ∗ (r)Ψ(r ! ) = 0(5.2.3)ρ(r, r ! ) ≈ Ψ∗ (r)Ψ(r ! ) = ρ0 /= 0

(5.2.4)lim|r−r ! |→∞Ͱ͋Γɼ௒఻ಋঢ়ଶͰ͸ɼ

lim|r−r ! |→∞ͱߟ͑ͨɽ͜Ε͸ɼ‫ ʹޙ‬C. N.Yang *3 ʹΑΓ Off Diagonal Long Range Order (ODLRO)ͱ‫ݺ‬͹Ε͕ͨɼ1950 ೥ʹΪϯπϒϧΫͱϥϯμ΢ʹΑͬͯࢦఠ͞Ε͍ͯͨͷ͸‫Ͱ͖ڻ‬
͋Δɽ
࣮ࡍɼ T < T0 ʹ͓͍ͯɼϘʔζ‫ڽ‬ॖ͢Δͱ͍͏৚݅Λ༻͍ͯɼ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭ͜ͱΛࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

lim|r−r ! |→∞ρ(r, r ! ) =lim|r−r ! |→∞+Ψ̂† (r)Ψ̂(r ! ),= +Ψ̂† (r), +Ψ̂(r ! ), =N0
V

(T < T0 )͜͜Ͱɼ

1 ! ik·reâkΨ̂(r) = √V kͰ͋Γɼ

1 ! ! −ik·r+ik! ·r! †e+âk âk! ,Vk k!
1 ! −ik·(r−r! )
e
nk
=
V

+Ψ̂† (r)Ψ̂(r ! ), =kͱͳΔɽT < T0 ʹ͓͍ͯ͸ɼ

nk =

A

N0 (k = 0)1k2
(k /= 0)ɼ "k = 2m(! ≡ 1)eβ$k −1

Αͬͯɼ

1
N0
1 ! −ik·(r−r! )
+
e
nk =
2
V
V
(2π)
k

" ∞

" 1

!
1
dxe−ik|r−r |x β"
k
e
−1
0
−1
%√
&
" ∞
sin 2m" |r − r ! |
N0
1
1
=
+ 2m
d"
!
β"
V
2π
|r − r |e −1
0*3 C. N.Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

dkk

2(5.2.5)

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ୈ5ষ

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GL ཧ࿦ͷུ֓ͱ࣓ଋͷྔࢠԽͱม‫͖Ͱܗ‬ΔͷͰɼT < T0 ʹ͓͍ͯ͸ɼ

lim|r−r ! |→∞ρ(r, r ! ) ==lim|r−r ! |→∞+Ψ̂† (r)Ψ̂(r ! ),1 ! −ik·(r−r! )enk|r−r |→∞ V
lim
!

k

N0
=
V
Ҏ্ΑΓɼ ࣜ (5.2.5) ͕ࣔͤͨɽ

·ͨɼ͜ͷ݁Ռ͸ 4.1.1 અͰٞ࿦ͨ͠४ฏ‫ۉ‬Λ࢖ͬͯཧղ͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɽ

1 ! ik·r+Ψ̂(r), = √e+âk ,V k
1 7
1
N0 eiα= √ +aˆ0 , = √VV͜͜Ͱ +âk , = 0 (k /= 0) Λ࢖ͬͨɽΑͬͯɼ

lim|r−r ! |→∞ρ(r, r ! ) =lim|r−r ! |→∞+Ψ̂† (r)Ψ̂(r ! ),= +Ψ̂† (r), +Ψ̂(r ! ), =N0V

5.3 Ϊϯπϒϧά-ϥϯμ΢ཧ࿦ͷඍࢹత‫͚෇ૅج‬Ϊϯπϒϧά-ϥϯμ΢ͷࣗ༝ΤωϧΪʔ (೤ྗֶϙςϯγϟϧ) ͷҰ෦ (௒఻ಋϖΞͷ߲) Λಋ͖ɼసҠԹ౓΍ൺ೤ʹ͍ͭͯٞ࿦͢Δɽ೤ྗֶϙςϯγϟϧ Ω ʹؔͯ͠ɼ࣍ͷෆ౳͕ࣜ੒Γཱͭɽ*4Ω ≤ Ω0 + +Vpair ,0 ≡ Ω̃

(5.3.1)͜͜ͰɼΩ0 ͸೚ҙͷۙࣅϋϛϧτχΞϯ H0 (ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅ΋ͦͷྫͱͯ͠‫·ؚ‬ΕΔ) Λ΋ͭ‫ܥ‬ͷ೤ྗֶϙςϯγϟϧΛද͢ɽ·ͨɼ+· · · ,0 ͸ϋϛϧτχΞϯ͕ H0 ͷ‫ܥ‬ͷ೤ฏ‫ۉ‬Λද͢ɽΩ̃ ͸࣍ࣜͰ༩͑ΒΕΔɽΩ̃ = K0 − µN − T S0 + +Vpair ,0(5.3.2)

ઌͣɼ+Vpair ,0 Λ‫͢ࢉܭ‬Δɽ

+Vpair ,0 =
&
=

!!

!!
k

k!

!!
k

k!

k

k!

Vkk! +a†k↑ a†−k↓ a−k! ↓ ak! ↑ ,0

Vkk! +a†k↑ a†−k↓ ,0 +a−k! ↓ ak! ↑ ,0
Vkk!

#

βEk
∆k
tanh
2Ek
2

$∗ #

βEk!
∆k!
tanh
2Ek!
2

$

*4 R. P. Feynmann, ”Statistical Mechanics”, W. A. Benjamin, Inc., Reading MA, USA. 2.11 અʹࣗ༝ΤωϧΪʔ F ʹ͍ͭͯূ໌͞Ε͍ͯΔɽ೤ྗֶϙςϯγϟϧ Ω ʹ͍ͭͯ΋ಉ༷ͷূ໌͕Մೳɽ

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5.3 Ϊϯπϒϧά-ϥϯμ΢ཧ࿦ͷඍࢹత‫͚෇ૅج‬

69

ͱͳΔɽ

Fk ≡
Λಋೖ͢Δͱɼ

+Vpair ,0 =

∆k
βEk
tanh
2Ek
2

(5.3.3)!!

(5.3.4)

Vkk! Fk∗ Fk!

k!

k

ͱදͤΔɽ
࣍ʹɼK0 − µN Λ‫͢ࢉܭ‬Δɽ

K0 − µN =
=

!
k

!
k

-

†

.

†

ξk +a†kσ akσ ,0.
ξk +a†k↑ ak↑ ,0 + +a†−k↓ a−k↓ ,0͜͜Ͱɼ ak↑ ak↑ + a−k↓ a−k↓ ͷฏ‫ۉ‬஋͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ



1
†
†
+ak↑ ak↑ + a−k↓ a−k↓ , = 1 − Eξkk

1 + Eξkk

BP (±)
GPEP

͜ΕΒΛ༻͍Δͱɼ(K0 − µN ) ͱ T S0 ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

K0 − µN ==!

1

ξk PGP

k

!

ξk

k

#

#

ξk
1−
Ek

$

+ 2PBP + PEP

ξk
βEk
1−
tanh
Ek
2

$

#

ξk
1+
Ek

$2

−1 !
[PGP ln PGP + 2PBP ln PBP + PEP ln PEP ]
β
k
2
$
!1 #
&
βEk
2 %
−βEk
Ek tanh− 1 − ln 1 + e=−
2
β(5.3.5)

T S0 =(5.3.6)k

͜͜ͰɼPGP [ࣜ (4.1.25) ͷ্]ɼPEP [ࣜ (4.1.25) ͷԼ] ͱ PGP (Ek ) ͕

PBP (Ek ) =e−βEk(1 + e−βEk )2

ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɽҎ্Λ༻͍ͯ Ω̃ ͸ɼΩ̃ =(const.) +!1
k2
Fk ∆∗k + Fk∗ ∆k − Ek − ln
β

2 !!
&
%
−βEk
+
1+e
Vkk! Fk∗ Fk!
kk!

(5.3.7)

ͱͳΔɽ
࣍ʹɼ

1
2
&
∆k ∗
2 %
βEk
∂
Ek + ln 1 + e−βEk =
= Fk∗
tanh
∂∆k
β
2Ek
2

(5.3.8)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

ୈ5ষ

70

GL ཧ࿦ͷུ֓ͱ࣓ଋͷྔࢠԽͷؔ܎Λ༻͍Δ͜ͱͰɼΩ̃ Λ ∆k Ͱඍ෼͠ɼఀཹ৚݅Λ‫ٻ‬ΊΔͱɼ

+
,
!
∂ Ω̃
∂Fk∗
∆k +
=
Vkk! Fk! = 0
∂∆k
∂∆k
!

(5.3.9)k

ͱͳΔɽ͢ͳΘͪ࣍ͷΪϟοϓํఔ͕ࣜಘΒΕΔɽ

∆k = −!
k!

Vkk! Fk! = −

!

Vkk!

k!

βEk!
∆k !
tanh
2Ek!
2

(5.3.10)͜Ε͸ɼࣜ (4.1.27) Ͱ༩͑ΒΕͨΪϟοϓํఔࣜΛ࠶‫͍ͯ͠ݱ‬Δɽ
·ͨɼΩ̃ ͷ ∆k ґଘੑΛ‫ٻ‬ΊΔͨΊʹɼΩ̃ Λ Fk (or Fk∗ ) ͷؔ਺ͱΈͳͯ͠ల։Ͱ͖Δɽ͢ͳΘͪɼࣜ (5.3.8) ͷ࠷ॳͷ౳߸Ͱ༩͑ΒΕΔؔ܎Λ༻͍ΔͱɼΩ̃ & (const.) +
+

!!
k

!1
k

∆k Fk∗ + ∆∗k Fk −! 1"∆∗k dFk +k)

Fk∗ d∆k −"Fk d∆∗k2

Vkk! Fk Fk!

k!

= (const.) +ͱͳΔɽΨ ≡"k Fk (=)"∆k dFk∗

2

+

!!
k

Vkk! Fk Fk!

k +a−k↓ ak↑ ,) ͱ͠ɼҎԼͰ͸ s ೾ΛԾఆ͠ɽVkk

Ͱٞ࿦͢ΔɽΨ Λ ∆ Ͱల։͢Δͱɼ

Ψ=

! ∆k
k

2Ek

tanh

(5.3.11)

k!

βEk
2

!

= |V0 | ͷԼ

(5.3.12)2= K1 (T ) ∆ − K2 (T ) |∆| ∆ + ...
ͱͳΔɽ͜͜Ͱ K1 (T ) , K2 (T ) ͸ɼ

B "c

2γ"c
1

K
(T
)
=
ρ
dξ 2ξ
tanh βξ
1F
2 & ρF ln πkB T > 0

−"c


K (T ) =2

ρF
(2kB T )2

B∞
0/ d tanh x 0>0dx x1 − dxxͰ༩͑ΒΕΔɽҎ্Λ༻͍ͯɼ∆ Λ‫ ʹٯ‬Ψ ʹ͍ͭͯࣜ (5.3.12) ͷΑ͏ʹల։͢Δ͜ͱͰ
೤ྗֶϙςϯγϟϧ͸ɼΩ̃ = (const.) +#$1 K2 (T )1− |V0 | |Ψ|2 +|Ψ|4 + ...
K1 (T )
2 [K1 (T )]4(5.3.13)

ͱͳΔɽ͢ͳΘͪɼΪϯπϒϧά-ϥϯμ΢ͷࣗ༝ΤωϧΪʔͷҰ෦ (∇Ψ ʹґଘ͠ͳ͍෦෼) ͕ಋग़͞ΕΔɽࣜ (5.1.5) ͷؔ܎͔ΒΘ͔ΔΑ͏ʹɼ|Ψ|2 ͷ܎਺͕ 0 ͷͱ͖ɼసҠԹ౓ Tc ͕ܾ·Δɽ۩ମతʹ͸ɼࣜ (5.3.13) ͷ |Ψ|2 ʹ͔͔Δ܎਺͕ 0 ͱ͢Δͱ͍͏৚͔݅ΒసҠԹ౓ Tc ͸ɽk B Tc =2γ − |V 1|ρ"c e 0 Fπ(5.3.14)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 9, No. 1, 091201 （2021年5月号）

5.3 Ϊϯπϒϧά-ϥϯμ΢ཧ࿦ͷඍࢹత‫͚෇ૅج‬71Ͱ༩͑ΒΕΔɽ͜Ε͸ࣜ (4.2.5) Λ࠶‫͍ͯ͠ݱ‬Δɽ
࣍ʹɼT ≤ Tc ʹ͓͍ͯ |Ψ|2 ʹ͔͔Δ܎਺ Λ (Tc − T ) ʹ͍ͭͯల։͢Δͱɼ2
1−1∂K1 (T )1− |V0 | =(T − Tc ) + ...
K1 (T )
[K1 (Tc )]2
∂T
T =Tc
ρF
T − Tc&2[K1 (Tc )]Tc(5.3.15)

ͱͳΔɽ͜͜Ͱ͸ɼ∂K1 (T ) /∂T = −ρF /T ɼΛ༻͍ͨɽ͜ͷؔ܎͔ΒɼΩ̃ ͸ɼ

1 K2
T − Tc ρF|Ψ|2 +|Ψ|4 + ...
2
T K1
2 K14
T − Tc1 K2= (const.) +|Ψ̃|2 +
|Ψ̃|4 + ...
T2 ρ2FΩ̃ = (const.) +(5.3.16)ͷΑ͏ʹల։͞ΕΔɽ͜͜Ͱɼ|Ψ̃|2 = |Ψ|2 ρF /K12 ͱఆٛͨ͠ɽΩ̃ Λ࠷খʹ͢Δ৔߹ΛԹ౓Ͱ۠ผ͢ΔͱɼA|Ψ̃| = 0ρ2|Ψ̃|2 = KF2 TcT−T
c

T > TcT < TcͱͳΔɽͭ·ΓɼT > Tc ͷͱ͖͸ |Ψ̃|2 ↔ ρF |∆|2 ͷؔ܎͔Β ∆ = 0 ͕ Ω̃ Λ࠷খʹ͢Δɽ
ҰํɼT < Tc ͷͱ͖ɼΩ̃ ͷ࠷খ஋͸ɼ

1 ρ2FΩ̃ = (const.) −2 K2#

Tc − T
Tc$2(5.3.17)Ͱ͋Γɼ͜ͷ͜ͱ͔ΒɼT = Tc ʹ͓͚Δൺ೤ͷ௓ͼ͸ɼ;<
ρ2∂ 2 Ω̃
∆C = Cs − Cn = −Tc= F
2∂T
K2 T c
T =Tc
1" ∞
#
$2−1
d tanh x
12−= 4ρF kB Tc
dx
x
dx x
0
% 2 &
2
ͱͳΔɽCN = 2π /3 ρF kB
Tc [ࣜ (1.1.8)] ΑΓɼ
6
∆C
= 2
CN
π

1" ∞
0

1
dx
x

#

d tanh x
−
dx x

$2−1

& 1.426 . . .

(5.3.18)(5.3.19)ͱͳΓɼࣜ (4.4.9) ͱҰக͢Δɽ
Ҏ্ͰɼຊߨٛϊʔτΛऴ͑Δɽ͜ͷ‫ޙ‬ɼत‫Ͱۀ‬͸௒఻ಋ‫͚͓ʹڀݚ‬ΔύϥμΠϜγϑ
τʹ͍ͭͯͱɼҟํత௒఻ಋʹؔ͢ΔΑΓൃలతͳ಺༰ͷߨ͕ٛ͋ͬͨɽ