2024 年第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

素粒子・重力・宇宙論 分科会

集録集

■ 謝辞
20242024 年度天文・天体物理若手夏の学校は、
基礎物理学研究所を始め、国立天文台、公益社団法人 伊勢志摩観光コンベンション機構、光学赤外線天文連絡会、理論天文学宇宙物理学懇談会、宇宙線研究者会議 (CRC)、天文教育普及
研究会、及び複数名の方々*からのご支援により成り立っております。
事務局一同厚く御礼申し上げます。
*協賛 (個人、敬称略):青山 尚平、長峯 健太郎、
西村 淳、牧島 一夫、三浦 均、水村 好貴、その他匿名希望 6 名
素粒子・重力・宇宙論 分科会2

■ index
重宇 a01

草壁克典

NANOGrav による重力波測定とブラックホール連星系観測の整合性

重宇 a02加藤杏実

PTA(Pulsar Timing Array) による背景重力波の検出

重宇 a03

伊藤勘太

Chern-Simons 重力におけるアクシオンの役割と重力波観測によるダークマター
探査の可能性重宇 a04堀井優希

Kalb-Ramond 場と重力パリティの破れ

重宇 a05

鈴木幹基

Ringdown 重力波の解析における overtone の重要性

重宇 a06

高田和輝

バースト重力波の検出・解析の方法について

重宇 a07

村上靖洋

重力波を用いた原始ブラックホールの探索手法の開発

重宇 a08

宮園

隼人

重力波観測による中性子星の状態方程式の制限

重宇 a09

前田新也

メモリー効果と量子性の解析

重宇 a10山本

聡一

カーブラックホール周りの回転する天体の可積分性について

重宇 a11

吉田壮希

ブラックホールの影と光子軌道の安定性

重宇 a12

関根粛稀

Schwarzschild 時空における測地線の再検討

重宇 a13

大西

悠稀

古典的な double copy について

重宇 a14林重宇 a15

田中孝輔

エネルギー条件を破る物質を要求しない通過可能ワームホール

重宇 a16西村俊太

シフト対称 GLPV 理論における hairy な静的球対称ブラックホール解

重宇 a17佐藤龍政

繰り込み可能な U (1)Lµ −Lτ ゲージボソンとマヨロンによるハッブルテンション

知哉

複素スカラー場を用いたワームホール解と安定性解析の解決
重宇 a18西原翼

重力レンズ効果の実体化：光学レンズ設計と 3D プリンターの活用

重宇 a19

由良海翔

WMAP 7-year データを用いた初期ベクトル型揺らぎと原始磁場生成に関する制限

重宇 a20

Jhun

Jiny-

超伝導宇宙ひもの安定性oung
重宇 a21

辻

天太

Axion inﬂation による共鳴的再加熱

重宇 a22

川口

遼大

経路積分形式での曲率ゆらぎの計算

重宇 a23

竹内智貴

ローレンツ対称性を破る重力理論とウンルー効果

重宇 a24

片山友貴

Generalized Cubic Covariant Galileon における非線形パワースペクトルと予測

重宇 a25上永裕大

相対論的量子オットー熱機関における因果律の効果

重宇 a26

廣谷知也

qutrit を用いた相対論的量子オットー熱機関の正仕事条件の導出

重宇 a27

福澄

諒太郎

量子論的枠組みにおける重力波と光学機械振動子系との結合

重宇 a28畠山

広聖

オプトメカ系で探る重力の量子性の理論的研究

重宇 a29吉本吏貢

QH 系における analog de Sitter での Gravitational anomaly と Hawking 放射

重宇 a30小野田

重宇 a31

吉岡重宇 a32堀之内

重宇 a33鵜飼

祥

星形成銀河と活動銀河核の宇宙再電離への影響

重宇 a34

瀬尾明莉

宇宙再電離期における電離バブル構造の高精度モデル化に向けた高精度輻射輸

の関係
康平
隼

天体活動が宇宙大規模構造に及ぼす影響の数値シミュレーション
擬スカラー場の赤方偏移依存性が宇宙複屈折へ及ぼす効果

杏水

暗黒エネルギーと暗黒物質の相互作用による宇宙の加速膨張

送計算コードの開発
重宇 a35

門田龍正

原始ブラックホールの質量分布とクラスタリング

重宇 a36

八木大地

原始ブラックホールからのバースト的な陽電子放射

重宇 a37

富田涼也

Starobinsky’s piecewise linear モデルにおける原始ブラックホールの形成について

重宇 a38

川口健三郎

複数場インフレーションによる特定のスケールでの原始ブラックホール生成の3促進重宇 b01

島田正顕

インフレーション中に生成される非ガウス性揺らぎとその原始ブラックホール
形成

重宇 b02

鈴鹿悠太

Lensing ring による M87*および Sagittarius A*の電荷への制限

重宇 b03

渡邉秀長

Thermal Wash-in Leptogenesis via Heavy Higgs Decay

重宇 b04佐藤圭悟

中性子星の潮汐変形率

重宇 b05

手良脇 大誠最尤法に基づく銀河・銀河レンズパワースペクトルの推定法開発

重宇 b06

柏木海翔

量子重力理論解明に向けた包括的なアプローチの実現

重宇 b07

佐野大志

The ways to quantum gravity

重宇 b09中野 新太朗

銀河赤方偏移サーベイ BOSS の銀河パワースペクトルを用いた複数場インフ
レーションモデルの制限

重宇 b10谷口彰

リュードベリ原子を用いた高周波重力波の観測方法の構築

重宇 b11

中馬史博

重力波波源の自己相関角度パワースペクトルとレンズ収束場の関係とその観測可能性

重宇 c01山本

峻

PTA（Pulsar timing array）による SGWB（Stochastic Gravitational Wave
Background）の検出と SMBHB（Supermassive Black Hole Binary）の影響

重宇 c02

牧田悠輔

静的ワームホール解の定常一般化

重宇 c03

今福隼斗

非反射対称性を持つブラックホールの観測的特徴

重宇 c04

谷口 喜太郎extended Einstein-Maxwell-scalar 理論における磁荷と微分結合の存在下でのヘアリーブラックホール解

重宇 c05千葉航

TeV ガンマ線バーストにおける円偏光を用いたアクシオンの検証可能性につい

重宇 c06松尾賢汰

重宇 c07

田中 亜花音2 次元量子ブラックホールにおける量子収束仮説

重宇 c08塙Analogue Gravity を用いた裸の特異点を持つ時空のモデル化

重宇 c09鬼澤重宇 c10

小林 弘太郎非整数階微積分のフラクタル図形との関係および物理現象へのその応用

重宇 c11

富塚祥伍

ベクトルテンソル理論の低エネルギー有効理論におけるブラックホール摂動

重宇 c12

山崎幹太

帯電した球対称シェルのライスナーノルドシュトロム時空上での運動

重宇 c13當銘優斗

ハッブル宇宙望遠鏡による近赤外撮像データから探る宇宙背景放射の起源

重宇 c14

末藤健介

蒸発しきらない正則ブラックホールの時空構造について

重宇 c15大西翔太

一様磁場中のシュバルツシルトブラックホールにおける帯電有質量スカラー場

重宇 c16

上道

恵也

て

正之
宥人

ブラックホール磁気圏と帯電について

宇宙項を持つ （１＋１）次元ブラックホールの準固有振動についての Quasi-normal mode 不安定性について
回転ワームホールとブラックホールの関係

4

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重宇 a01

NANOGrav による重力波測定とブラックホール連星
系観測の整合性草壁克典

52024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

活動銀河核の宇宙論的進化から探る

nHz 背景重力波への超巨大ブラックホール連星の寄与
草壁 克典 (大阪大学大学院 理学研究科)

Abstract
Pulsar Timing Array Collaboration から、nHz 帯域における背景重力波 (Stochastic Gravitational Wave
Background; SGWB) の存在が報告されている。nHz 帯域の重力波の主な発生源は超巨大ブラックホール連星系 (SMBHB) であると考えられてきた。nHz 背景重力波への SMBHB の寄与の見積もりには、銀河合体の頻度分布や銀河-超巨大ブラックホール間の質量相関を用い、銀河合体を SMBHB 合体に変換するモデル(e.g., Sesana 2008 など) が一般に用いられてきたが、これは超巨大ブラックホールが直接駆動する活動銀河
核 (AGN) ではなく、銀河の観測量に基づく間接的な推定であるという問題があった。
可視光・X 線観測の進展に伴い、AGN の宇宙論的進化は z ∼ 5 に至るまで精密に理解されている。さらに、近年では 2 つの AGN が対をなす、ペア活動銀河核の観測も大きく進展している。Chandra (Koss etal. 2012) や JWST (Perna et al. 2023) の観測結果によると、比較的低光度の AGN サーベイにおいては≳ 10% のペア AGN 割合が報告されている。一方で、Subaru/HSC や Gaia による高光度 AGN サーベイでは、∼ 0.01 − 0.1% と低いペア割合が報告されている (e.g., Silverman et al. 2020, Shen et al. 2023) 。本研
究では、これら最新の AGN 宇宙論的進化モデルおよびペア割合の観測結果を考慮し、超巨大ブラックホー
ル連星の nHz 背景重力波への寄与を見積もった。nHz SGWB と一致するためには、JWST や Chandra で報告されている高いペア割合が必要となることが分かってきた。本講演では、我々のモデルを紹介するとともに、nHz SGWB との比較や AGN ペア割合について議論する。

1

宇宙論的進化は、光学/X 線観測の進展により、z ∼ 5

導入まで精密に明らかにされてきており、また近年は 2 つ
超巨大質量ブラックホール連星系 (SMBHB) はブの AGN が対をなすペア AGN の観測も進んでいる。

ラックホールの主要な進化経路の一つである合体のこのような観測の進歩に基づき、AGN の X 線光度関

元になる天体である。SMBHB は、合体の過程の間数やペア割合の測定結果を考慮することで、SGWBにその質量に応じて 10−10 − 10−1 Hz と幅広い周波の評価をより直接的な方法で評価することが可能と数帯域において重力波を放出すると考えられている。 なった。本研究では、AGN の X 線光度関数とペア
特に低周波数帯域 (10−10 − 10−6 Hz) の重力波は中割合の測定を考慮することにより、SGWB の評価を

性子星の周期的なパルスを利用して、地球とミリセ再検討した。予測されたペア AGN 毎のスペクトル

カンドパルサー間のタイミング残差を捉えることでと PTA プロジェクトの一環である NANOGrav によ

確率的重力波背景放射 (SGWB) を推定する Pulsar

り報告された重力波シグナル (Agazie et al. 2023) とTiming Array (PTA) プロジェクトによる観測が行の比較により、重力波のシグナルと電磁波観測で得われている。

られている SMBHB のデータが整合的であるかにつ

SGWB の理論モデルは通常、銀河の質量関数やいて以下で述べる。

銀河-超巨大ブラックホールの質量相関を用いて、

SMBHB の質量スペクトルを間接的に推定している（e.g. Sesana et al. (2008)）。しかし、銀河合体に基2づくモデルでは銀河とブラックホールの高赤方偏移に方法
我々は X 線 観 測 を 基 に し た ブ ラック ホ ー ル 質

おける質量関係の推定などの面で不定性を含んでい量関数 (Ueda et al. 2014) 及びペア AGN の割ることが問題があった。一方、活動銀河核 (AGN) の合から SMBHB からの重力波背景放射を推定し、

6

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
NANOGrav の重力波シグナルとの比較を行った。こ AGN の数密度を与えるボロメトリック光度関数
こではその過程の概要について述べる。

dΦbol (Lbol , z)/dlogLbol 及びエディントン光度との比

周波数 f (Hz) における SGWB のエネルギー密度を表すエディントン比を対数正規分布の形で与えるΩGW (f ) は、各質量及び赤方偏移における SMBHB

分配関数 P (λ|L, z) を用いて以下のように与えるこから放出された重力波を積分することで推定できるとができる。

(Phinney. 2001)。

ΩGW (f ) =8πGf
3H0 2 c2

d log M
ΦAGN (z, M ) =
dM

∫
dzdM

d2 n dEGW
dzdM dfr

dΦbol (L, z)
P (λ|L, z)dlogλ,d log L

本研究ではエディントン比の分配関数について、分布の標準偏差 σlogλ = 0.3 及び平均のエディントン比ここで、M は chirp mass と呼ばれ、連星系の内、重いlog(λ̄) = 0.07 を採用して計算を行った。

方のブラックホールの質量 M 及び質量比 q を用いて3∫合体時間に関しては、Zhao et al. (2024) にまとめ

1

M = M q 5 /(1+q) 5 と定義される。また、d2 n/dzdMられている 4 つのステージに分けて推定した。具体は SMBHB の合体率、dEGW /dfr (fr = (1 + z)f : 重

的には、大きいスケールから順に

力波源から見た時の周波数) は各周波数におけて重力波として放出されるエネルギー (エネルギースペクト

1. 重力相互作用によるドラッグで減速する力学的ル) を表す。ここで、エネルギースペクトルについて

摩擦により角運動量を損失することに伴う軌道は (Chen et al. 2017; Bi et al. 2023) に従い重力波放収縮

出を始めるインスパイラルと呼ばれる段階において

2. 周囲の恒星が連星系の重力に取り込まれ、ロス

離心率の高い場合の放射過程を記述するモデルを採· コーン散乱を起こすことによる軌道収縮用した。但し、重力波を放出し始める軌道における

3. ガス降着により角運動量を失うことによる軌道

離心率 e0 については 円盤内縁の角振動数と遠日点収縮の軌道振動数を等しくとおくことにより、e0 = 0.57の値を用いた (Hayasaki et al. 2010)。

4. < 10−2 pc 程度まで軌道が縮むと重力波放出にエネルギー密度の被積分関数については、Mpc3 のよる軌道収縮体積中におけるブラックホールの個数を与えるブラッ
クホール質量関数 (BHMF) ΦBH , ペアの AGN の割という過程を経るものとした。これら 4 つのメカニ合を与える dual AGN pair fraction fpair 及び理論

ズムにおけるタイムスケールの総和として合体時間的に予測される SMBHB の合体時間 τ を用いて変数をブラックホール質量及び質量比の関数として見積に対する依存性をあらわに書き下すと以下のようにもった。なお、力学的摩擦に伴う軌道の収縮が始まなる。

る地点として、天の川銀河程度の中間質量クラスの

d2 n dEGW
dzdM dfr∫=×銀河の有効半径に相当する 10 kpc の値を採用した。

ΦBH (M, z) fpair (M )M ln10τ (M, q)dEGW (M, z, q, f ) dM dt
dq
dfr
dM dz

AGN のペア割合 fpair について、本研究ではペア
AGN の光度及び質量に注目し、計算に取り入れることを試みた。図 1 に各観測により報告されている値をまとめた。ここで、図 1 の上部横軸のブラックホール

ブラックホール質量関数については (Small &質量についてはエディントン比を 0.1 に固定した上でBlandford. 1992) により導入された質量関数の con-

ボロメトリック光度をブラックホール質量に変換してtinuity equation を解くことにより得られる。

いる。データポイントについて、Chandra や JWST、∂ΦBH dz∂ [ 1 − η λ̄LEdd ΦAGN ]
=−
∂z dt
∂M
η
c2

SDSS、COSMOS で報告されているようなペア AGN
は、主に中程度の光度 (Lbol ∼ 1043 − 1045 [erg/s])

ここで、η はブラックホールの放射効率、ΦAGN

であり、ペア割合は ∼ 1 − 20% 程度という値である。

は AGN についての質量関数、λ̄ はエディントン

一方で Subaru HSC や Gaia のような比較的高光度

光度との比を表すエディントン比の平均値を表す。 のクエーサーを対象とした場合では、∼ 0.01 − 0.1%
程度と 1 桁から 2 桁程度低い値が報告されている。

AGN の質量関数については、特定の光度を持つ

7

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

log10 (M/M )
7

8

6

9

log10 ( GW (f))

Dual AGN Fraction fpair

6
10 1
10 2
10

COSMOS
SDSS
ChandraSubaru HSC
Gaia
JWST

3

10 4

43

44

45

10

Bi+23
NANOGrav
Base
High

12
1410

Base
High

log10 Lbol [erg/s]

8

46

8

6

4

log10 (f [Hz])20図 2: 各ペア割合のモデルにおける SGWB のエネ
ルギー密度スペクトル。青、オレンジ線はそれぞれ

図 1: ボロメトリック光度及びブラックホール質量に対する AGN のペア割合。Circle、Thin Diamond、

Square、Diamond、Pentagon、及び Hexagon はそBase model, High model の AGN のペア割合に基づき算出した。黒線は NANOGrav の観測結果に合う
ように MCMC サンプリングされた銀河合体モデル

れぞれ COSMOS (Li et al. 2024)、SDSS(Liu et al.

(Bi et al. 2023) による事後分布の中央値。水色で示2011)、Chandra (Liu et al. 2011)、Subaru HSC (Sil-されているヴァイオリンプロットは NANOGrav にverman et al. 2020)、Gaia (Shen et al. 2023) 及びJWST (Perna et al. 2023) による観測結果を表す。
各線は本研究で考えている異なるシナリオを示す。

よる重力波シグナルの観測結果 (Agazie et al. 2023)を表す。
グナルを 1 − 2 桁下回るという結果が得られた。この本研究では、SGWB のスペクトル算出にあたり以結果は、SMBHB の合体頻度が電磁波観測で予測さ下の 2 つのモデルの場合を検討することにより重力れているよりも重力波観測の方が大きいということ

波シグナルとの比較検討を行った。

を意味する。一方、JWST による観測結果に基づくHigh model のケースでは NANOGrav の観測結果に

1. 6 つの観測により見積もられた全てのペア割合の値に対してフィットを行い、光度依存性を持っ 対して 3–σ の範囲において一致し、ここでの計算においてはペア割合が高い方が重力波シグナルと整合たケース (”Base model”)。
的であるという結果となった。

2. 近年の JWST の観測結果に基づく高い AGN ペ

図 3 には、Base model について、NANOGrav のア割合に基づくケース (”High model”)。

感度がある周波数帯に対して各ブラックホールの質量範囲からどの程度の寄与があるかを評価するプロット3を示した。この図から、NANOGrav は 107 − 109 M⊙

結果と議論

程度の比較的重い部類のブラックホールに対して感2 つの AGN のペア割合についてのシナリオ毎に現 度があることが分かる。従って、Base model のシナ
在の SGWB のエネルギー密度を計算した場合のス リオのように今まで報告されているペア割合を基にペクトルを図 2 に示す。ここで、図 2 中において比した場合は ≥ 107 M⊙ のブラックホールの数密度を過較として銀河進化を基にした先行研究の結果 (Bi et

小評価している可能性があるという示唆が得られた。

al. 2023) を黒線、NANOGrav による重力波シグナ

本研究における解析から、重力波のシグナルと一致

ル (Agazie et al. 2023) を水色のプロットで示した。 するためには広い質量範囲において高いペア割合 (∼Base model のペア割合を用い、全ての観測結果を考 20%)、もしくは高光度側でペア割合が 1% 以下と低
慮した場合については、NANOGrav による重力波シ い場合には現在見積もられているよりもブラックホー8

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

log10 ( GW (f))

6

Total

ような低いペア割合であるとした場合、X 線観測に

108 109 M
109 1010 M

106 107 M
107 108 M

より予測されていたよりも大きいブラックホール数
密度が要請されることが分かった。

8

Reference

10

Sesana, A., Vecchio, A., & Volonteri, M. 2009, MNRAS,
394, 2255

12
1410

8

6

4

log10 (f [Hz])2

Agazie, G., Anumarlapudi, A., Archibald, A. M., et al.
2023b, ApJL, 951, L8

0

Phinney, E. S. 2001, arXiv e-prints, astro
Hayasaki, K., Ueda, Y., & Isobe, N. 2010, PASJ, 62,1351

図 3: Base model における SGWB のエネルギー密度について、各質量範囲からの寄与を表した評価しUeda, Y., Akiyama, M., Hasinger, G., Miyaji, T., &Watson, M. G. 2014, ApJ, 786, 104

たプロット。Total と記された黒線は全ての質量範囲からの寄与を表し、図 2 の青線部分に相当する。

Small, T. A., & Blandford, R. D. 1992, MNRAS, 259,725

ルの個数を増加させる必要があることが分かった。

Chen, S., Sesana, A., & Del Pozzo, W. 2017, MNRAS,
470, 1738

ペア割合に関しては、サーベイされている光度範
囲や赤方偏移の範囲は未だ限定的であり、正確にペBi, Y.-C., Wu, Y.-M., Chen, Z.-C., & Huang, Q.-G.
2023, Science China Physics, Mechanics, and Astronomy, 66, 12040

ア割合を見積もるには更なるペア AGN の観測が要請される。

Zhao, S.-S., Jiang, W., Lu, R.-S., Huang, L., & Shen,
Z. 2024, ApJ, 961, 20

ブラックホールの数密度に関しては、例えば低光度 AGN などが電磁波観測により捉えきれていなかったブラックホールの存在として考えられる。これらは通常の AGN に比べて低いエディントン比を持ち、

Liu, X., Shen, Y., Strauss, M. A., & Hao, L. 2011, ApJ,
737, 101

その質量に比して光度が極端に低い天体である。こうした天体が現在の質量関数のモデルで捉えきれて

Koss, M., Mushotzky, R., Treister, E., et al. 2012, ApJL,
746, L22

いない隠れたブラックホールの存在である可能性がある。

Silverman, J. D., Tang, S., Lee, K.-G., et al. 2020, ApJ,
899, 154

これらを踏まえ、より正確に SMBHB の合体率を見積もり重力波背景放射を再評価をすることが今後

Shen, Y., Hwang, H.-C., Oguri, M., et al. 2023, ApJ,
943, 38の課題である。

4

Li, J., Zhuang, M.-Y., Shen, Y., et al. 2024, arXiv eprints, arXiv:2405.14980

Perna, M., Arribas, S., Lamperti, I., et al. 2023, arXiv
e-prints, arXiv:2310.03067

まとめ
AGN の光度関数及びペア割合から SGWB のエ

ネルギー密度スペクトルを評価した。その結果、

NANOGrav の重力波観測のシグナルと整合的であるためには、JWST や Chandra で報告されているよ
うな高いペア割合が、広い光度帯域において必要であることが分かった。あるいは、高光度でのペア割合において Subaru HSC や Gaia で報告されている

9

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重宇 a02

PTA(Pulsar Timing Array) による背景重力波の検出
加藤

杏実

10

未提出

11

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重宇 a03Chern-Simons 重力におけるアクシオンの役割と重力波観測によるダークマター探査の可能性
伊藤

勘太

12

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Chern-Simons 重力における Axion の役割と重力波観測による DM 探
査の可能性
伊藤 勘太 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在、宇宙のエネルギーのおよそ 4 分の 1 を占める暗黒物質の正体を突き止めることは、現代宇宙論における大きなテーマの一つである。その有力な候補の１つである素粒子 Axion は Chern-Simons coupling(CS結合) を通じて重力と coupling することが知られている。CS 結合をモデルに組み込むことで、Axion の振動に伴うパラメータ共鳴により、重力波は増幅されることが示される。本発表ではこの増幅を受けた重力波
が、10−9 ∼ 10−2 Hz で観測可能性があり Axion の質量を制限できることを示した [1] をレビューする。

1

2

Introduction

Axion ﬁeld
作用 S が以下のように与えられるモデルを考える。
)
(
∫
√
α
R
S = d4 x −g
+ RR̃ + Sϕ (2)
16πG
4
{
}
∫
1
Sϕ = d4 x − ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)
(3)
2
(
)
ϕ
V (ϕ) = m2a fa2 1 − cos(4)fa

暗黒物質の存在は、1970 年代後半の銀河の回転速度曲線の観測や、重力レンズ効果の発見などにより観測的に支持されている。しかし一方で、暗黒物質の正体については今だに明らかになっておらず、様々な候補が考えられている。その中でも特に有力だと考えられているのが、Axion という素粒子である。本発表では”Axion”として QCD Axion と Axion

Like Particles(ALPs) を扱う。QCD Axion は、量子 ma 、α、fa はそれぞれ Axion の質量、結合定数、崩
色力学 (Quantum Color Dynamics, QCD) におけ 壊定数である。(3) 第 2 項は Chern-Simons 項 (CS 項)
る strong CP problem の解決策として提案された であり重力と Axion の coupling を表す。ここから ϕPeccei-Quinn 機構において、カイラル対称性 U (1)PQ の運動方程式の自発的破れにより出現する南部-Goldstone bosonϕ̈ + 3H ϕ̇ + m2a fa sin

であり、U (1)PQ 対称性の破れるスケール fa と Axionの質量 ma との間には−6ma ∼ 5.7 × 10(
µeV1012 GeV
fa

ϕ
=0
fa

(5)

を得る。(5) を解くことで ϕ の振る舞いは図 1 のよう)になる。ここでは H ≃ ma となる時刻 t を tma = 1

(1)

とした。

の関係がある。一方 ALPs は、QCD Axion と多くの1.0

性質を共通して持つが、質量の獲得機構が異なるた
め QCD Axion のような ma と fa との間の関係は要

/fa

0.5

請されず、パラメータ空間における制限が弱くなっている。ALPs は Strong CP problem の解決策には

0.0

ならないものの、標準模型を超えた新物理の探究において motivated である。

10 2

本稿では、第 2 章で Axion 場の振る舞いを、第 3 章
で重力波の振幅 h の進化を扱い、第 4 章にて h がパ

10 1

100
tma

101

102

103

図 1: ϕ の時間変化

ラメータ共鳴によって増幅されることを示す。そしH ≫ ma では Axion ﬁeld は Hubble friction の効て最後第 5 章で増幅された重力波の観測可能性について述べる。

果で停留しており、温度が下がり H ≃ ma になると

13

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ϕ は動き出す。H ≪ ma になると振動をはじめ、宇宙 を得る。ただし ϕ̇ ≃ ϕ0 ma fa a−3/2 sin ma t を用いた。
膨張により a−3/2 で減衰していく。この時エネルギー また δ ≡ ma / min |mcs | ∝ a−3/2 であり、十分時間

密度 ρ は ρ ∝ a−3 で減衰し、Axion が matter-like なが経過し δ ≪ 1 となる時 (12) は成立する。ここから振る舞いを見せることがわかる。

3

EOM of GWs

3.1

Metric Perturbationd2 ψA+ (Ak − 2q cos 2x)ψA = 0
dx2
4k 2
λA kδ
x = tma /2, Ak = 2 2 , q =
a ma
ma a

と変形できる。これは Mathieu 方程式と呼ばれ、Ak ≃ 1 周辺の k に対してパラメータ共鳴が起こり

ここでは CS 項を考えた場合の重力波の方程式を

ψA が増幅される。

導出する。FLRW 計量における空間摂動成分 hij は

ds2 = −dt2 + a2 (t)(δij + hij (t, x))dxi dxj

(6)

3.3

で与えられる。これをフーリエ展開し、右巻き成分(R) と左巻き成分 (L) で展開する。
∑ ∫ d3 k⃗hij (t, x) =hA (t, k)eik·⃗x eA
ij
(2π)3

Ghost mode

(9) において DA < 0 となる場合、ḣ2A の係数が負になってしまう。するとエネルギーの下限を無限(7)に低くとる事ができ、安定な真空状態を作ることが

A=R,L

1 (+)
(×)
eA
ij = √ (eij + iλA eij )2(13)

できなくなってしまう。これを ghost mode と呼ぶ。

(8)

DA < 0 ⇔ k < a|mcs | であるから、k < aΛ < a|mcs |ただし (8) 内において λR = 1、λL = −1 である。ことなる Λ を導入し、ghost が生じるスケールに対しこから重力波の 2 次の作用 Sh が得られる。
()∑ ∫d3 k 31k2 2
2dt
a DA ḣA − 2 hA
Sh =
32πG
(2π)3
a

ては CS 項の効果を切って計算を進める。図 2 は横A=R,L

軸に tma 、縦軸に k/ma を取った。ghost 領域は青、Λ が扱う領域は赤で示されている。 明らかに、ghost(9)DA ≡ 1 −

λA k
amcs

(10)

101
k
m
a
mcs ≡ (16πGαϕ̇) は Chern-Simons 質量であり、CS 項の影響を受けうるスケール k を決定している。。
mcs は ϕ̇ = 0 において無限大に発散し、DA → 1、
k = a|mcs|
cutoffつまり一般相対性理論 (GR) に帰着する。この点で
100
20
40
60
80
100
120
Chern-Simons 重力は GR の自然な拡張になっていtmaる。先に述べた Axion ﬁeld の振る舞いを考えると、
図 2: aΛ と a|mcs | の比較
H ≫ ma では GR が支配し、H ≃ ma となる時刻付
近で CS 項が現れる事が分かる。この作用から運動領域は今回考慮に入れる領域よりも k が大きい領域
方程式 (11) が導かれる。
に存在している。したがって、ghost mode は今回の
(
)
2
ḊA
k
計算には影響を与えない。
ḧA + 3H +(11)ḣA + 2 hA = 0
DA
a
−1

3.2

4

Parametric Resonance{}1/2(11) に変数変換 ψA = hA DA (t)a3 (t)
を施
すと、

( 2
)
k
λA kma δψ̈A +−cos ma t ψA = 0a2
2aResult以下の図 3,4 はスケールが k = 10ma の重力波の振幅の時間進化を表している（BP については表 1）。
図 3 では右巻きと左巻きで振る舞いが大きく異なっ(12)ており、右巻き（赤）は時間経過しても振幅がほと14

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このようにして増幅された重力波のエネルギー密度の増幅率 Ω/Ω0 を表したのが図 5 である。スケー
ルが k = 6ma 付近で増幅率は最大となっている。インフレーションによる重力波がこの増幅を受けると考えて、増幅後のエネルギー密度と様々な検出器の感度曲線を比較したのが図 6 である。

図 3: 重力波の振幅の時間進化 (BP1)

図 6: 増幅後の重力波と感度曲線の比較
この図より、ma = 10−3 ∼ eV の Axion が存在す
る場合、Taiji や LISA などの感度を持つ検出器で観測可能であることがわかる。また ma = 10−12 eV のAxion が存在する場合、SKA や IPTA において観測可能である事がわかる。

図 4: 重力波の振幅の時間進化 (BP5)

表 1: 各 BP に対するパラメータma (eV)fa (GeV) α (GeV−1 )んど成長しない一方、左巻き（青）は最大で振幅が約 10 倍にまで成長している。一方図 4 では右巻き
左巻き両方で同程度の増幅が起こっている。増幅の

BP1

1

1017

5 × 1038

始まる時刻は tma ≃ 200 であり、これは Ak ≃ 1 ⇔

BP2

10−12

1017

5 × 1062

tma ≃ 2(k/ma )2 となる時刻と一致している。また

BP3

2 × 10−12

3 × 1018

4.2 × 1060

共鳴が起こった後の振幅は、宇宙膨張の影響で時間

BP4

2 × 10−12

3 × 1018

2.1 × 1060

BP5と共に減衰している。

5

1

10

16

2.5 × 1039

conclusion
本発表では、Chern-Simons 重力における Axion の振動に伴うパラメータ共鳴により、重力波が増幅されることを示した。増幅された重力波は 10−9 ∼ 10−2

Hz で観測可能性があり、Axion の質量を制限できることを示した。今後はこの増幅された重力波の観測を通じて、Axion の存在を確認することが期待される。
図 5: 重力波のスケールに対するエネルギー密度増幅
率の比較

15

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Acknowledgement
今回の発表に際して、熱心な指導とご助言を頂いた研究室のスタッフ、先輩方に感謝いたします。並
びに、今回このような発表の場を用意してくださっ
た、夏の学校運営の皆様にも感謝申し上げます。

Reference[1]Mingqiu Li et al.”Gravitational waves from Axion
wave production” arXiv:2309.08407[2]C.B Adams et al.”Axion Dark Matter”
arXiv:2203.14923[3]David J. E. Marsh”Axion Cosmology”
arXiv:1510.07633

16

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重宇 a04Kalb-Ramond 場と重力パリティの破れ
堀井

優希

17

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Kalb-Ramond 場と重力パリティの破れ堀井 優希 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本稿では論文 [1] をレビューする. 重力波物理学により一般相対性理論 (GR) を超える理論を調べることができる. Kalb-Ramond 場 (KR 場) という 2 形式場をダークマター候補とする最近の研究 [2] をもとに, 双対リーマン曲率テンソルと 2 つの KR 場の結合を考える. この項は重力波のパリティ対称性を破り, 質量次
元が 4 であるという特徴を持つ. Conformal FLRW 計量をバックグラウンドとしたテンソル摂動時空上で作用に対して計量で変分をとることで, 左巻き, 右巻き重力波の振幅の運動方程式を得る. この運動方程式を論文 [3] で紹介される運動方程式に対応させることで運動方程式の解を得る. そして得られた解を観測と比較する. 中性子星-中性子星合体によって重力波とガンマ線が同時に放出される. この重力波は LIGO, Virgo
によって検出され (GW170817), ほぼ同時にガンマ線 (GRB170817A) が観測された. この観測により重力波の伝搬速度に制限が課せられる [4]. そして Adv-LIGO, Adv-Virgo による重力波観測データセットである

GWTC-3 から, 重力波の振幅に制限がかけられる [5].

1Introduction
GR は近日点移動等の太陽系スケールにおける観測結果を精度良く説明する. しかし, 強重力場中での検証は十分ではない. 2015 年にブラックホール連星からの重力波が直接観測され, GR を強重力場で検証することができるようになった. 更なる重力波の観測計画 (LISA 計画等) も進行しており, GR を超える
物理の発見が期待されている. これらの観測が行わ

図 1: 左巻き重力波と右巻き重力波が伝搬する様子.

れた際に GR の比較対象として GR を超える理論を

T は重力波の周期を表す.

用意しておく必要がある.
時空計量を conformal FLRW バックグラウンドとGR のように重力セクターにパリティ対称性がある

テンソル摂動に分解する.

場合, 左巻きモード hL は鏡像反転 (パリティ変換) で

gµν = ḡµν + hµν ,
2

µ

ν

2

2

右巻きモード hR に変換される. 一方, リーマン曲率

(1)
2

2

テンソルとレヴィ・チヴィタ記号の縮約 (双対リーマ
ンテンソル)

2ds̄ = ḡµν dx dx = a(η) (−dη + dx + dy + dz ).
(2)R̃µνρσ =テンソル摂動である重力波は 2 つの自由度を持つ. z

1
ε
Rαβρσ
2 µναβ(4)

軸方向に伝搬する重力波を円偏光の基底で展開するが物質場と結合するような相互作用項を理論に含むと, z 方向に対してそれぞれ右巻きと左巻きに回転す場合, 左巻き右巻き重力波の運動方程式のソース項はる独立な 2 つの振動モードに分解できる.

0
0
0

0
−(h
+
h
)
i(h
1 
L
R
L − hR )hµν = √ 

2 0 i(hL − hR ) (hL + hR )000

異符号になる.


0

0
.
0

0
(3)

□hL = +Ξ,(5)□hR = −Ξ.

(6)

ここで Ξ はソース項であり, 物質場あるいは物質場の微分からなる. これらの方程式の解から, 2 つのモー18

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ドの振幅や伝播速度は異なることが示される. した

2

KR 場の運動項

がって GR は右巻き左巻き重力波の伝播速度や振幅

KR 場の運動項は次のように表される.

の差により検証可能である.
重力パリティを破る代表的な理論として dynamical

LB =Chern-Simons 理論 (dCS 理論) があげられる. GR の
重力波 2 自由度に加え, dCS 理論は擬スカラー場 ϕ と

1
Hµνρ H µνρ − V (B).
12

(9)

ここで,

Pontryagin 密度 R̃µνρσ Rµνρσ の結合を含む. 他にも
Hµνρ = ∂[µ Bνρ] = ∂µ Bνρ + ∂ν Bρµ + ∂ρ Bµν (10)

重力パリティを破る理論が存在するが, それらの多くに共通することは重力パリティを破る相互作用項が 5以上の質量次元を持つことである. 例えば dCS 理論では質量次元について擬スカラー場 ϕ が 1, リーマンテのとき, 理論にはゲージ対称性がある. V ̸= 0 で相互作用項 (8) が存在するとき, 明らかにゲージ対

ンソル Rµνρσ が 2 なのでそれらの結合 ϕR̃µνρσ Rµνρσ

称性が破れる. KR 場の強さが一定で 0 でない場合の質量次元は 5 である. ラグランジアン密度の質量2(B 2 = B(0)) についてはこれから示すように重力波

次元は 4 であるので, これらの結合には質量次元 1 をのパリティが破れる. このような場合はポテンシャ

もつ結合定数 mCS を要する. したがって dCS 理論

ルの形をにおけるラグランジアン密度の相互作用項は

ϕ
R̃
Rµνρσ
LdCS =
mCS µνρσは KR 場の強さ, V はポテンシャルである. V = 0

V (Bµν B µν − v 2 )
(7)

(11)

とすることで表現できる. KR 場が最小値を取ると
き, (1) で定義した ḡµν を用いてである. これは重力パリティの破れに対するポテン
シャルの効果が抑制されることを示唆する.

(0)

(0)
v 2 = ḡ µα ḡ νβ BµνBαβ

重力パリティを破る効果は一般に物質との非最小(12)結合を要請する. それらの物質はダークマターと関係とすることができる. 論文 [1] より, KR 場のバックする可能性がある. 弦理論において, Kalb-Ramondグラウンドを

場 (KR 場)Bµν という場が提唱されている. KR 場0Ve a2
2 0は論文 [2] でダークマターの候補として研究された.

1
(0)
Bµν
=√

KR 場が質量をもたない場合, KR 場の強さを双対化して KR アクシオンと呼ばれる擬スカラー場を作る

0

ことができる [6]. KR 場と双対リーマンテンソルが−Ve a2

0

0

0

0

0

0

−Vm a2結合したモデル, すなわち重力と物質の相互作用項が

0




0 

V m a2 
0(13)にとる. これは (9) から導かれる運動方程式を満た
ξ
µν ρσ
す
. Ve , Vm は実定数で, それぞれ KR 場の「電場的」Lint = − R̃µνρσ B B(8)2「磁場的」成分と考えることができる. ポテンシャルで表されるモデルを考える. KR 場の質量次元は 1 なの最小値は (12), (13) より Ve , Vm を用いて,ので, (8) の結合定数 ξ の質量次元は 0 である. これ√
2 − V2は dCS 理論の相互作用項 (7) の結合定数 mCS の質量
v = Vm(14)e
次元が 1 であることやその他多くの重力パリティを破る理論に質量次元が 1 以上の結合定数が現れるこ と表せる. これは時空のバックグラウンドの発展 a(η)とと決定的に異なる. 本稿では KR 場と重力の相互に依存しない.

作用が (8) で与えられるようなモデルから生じる左巻き右巻き重力波の伝搬速度や振幅の違いについて調べる. 結果を中性子星-中性子星合体によって放出

3された重力波とガンマ線バーストの同時観測による
重力波伝搬速度への制限 [4], Adv-LIGO, Adv-Virgo

全ラグランジアン密度
ラグランジアン密度が以下の式で与えられる理論

を考える.

による重力波観測データセットである GWTC-3 に

L = LEH + LB + Lint + Lm .

よる重力波振幅への制限 [5] と比較する.

19

(15)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ただし, LEH はアインシュタイン・ヒルベルト項

LEH = −R,
16πG

重力パリティを破る理論の分散関係は [3] 式 (30)で与えられる. この理論の場合は

(16)
2
ωR,L
= k 2 (1 + λ̃R,L k −1 ),LB は (9) で定義した KR 場の運動項, Lint は (8) でλ̃R,L = ∓定義した KR 場と重力場の相互作用項, Lm は KR 場
以外の物質項である. なお, KR 場と重力場の相互作

8πG

,

(20)
(21)

となる. 位相速度 vp と群速度 vg の定義は

用項は重力パリティ破れに関係するもののみを取り
入れた.

4

2
5ξVm
H

重力波の解

vp = ω/k,(22)

vg = dω/dk,(23)であるから, (20) より

物質項 Lm を無視し (15) による作用を計量で変分

1
vp = 1 + λ̃R,L k −1 + O(λ̃2R,L k −2 ),2
1 2
vg = 1 + λ̃R,L k −2 + O(λ̃3R,L k −3 ),8

すると, 左巻き右巻き重力波の方程式はそれぞれ以下のようになる.

(24)
(25)

ξ
{2Vm Ve hR (3H2 − a′′ /a) である. したがって, 群速度は光速よりわずかに大き8πGくなり, 位相速度は右巻き左巻き重力波でわずかに異− iH((5Vm 2 + 3Ve2 )∂z hR + 2iVm Ve h′R )なる.
2+ i(Vm+ Ve2 )∂z h′R } = 0,h′′R + 2Hh′R − ∂z2 hR −

(17)

5

ξ
{2Vm Ve hL (3H2 − a′′ /a)8πG+ iH((5Vm 2 + 3Ve2 )∂z hL − 2iVm Ve h′L )h′′L + 2Hh′L − ∂z2 hL −観測との比較
Section 4で得られた結果を観測データと比較する.

まず, 中性子星-中性子星合体によって発生した重力2− i(Vm+ Ve2 )∂z h′L } = 0.

波とガンマ線バーストの同時観測 [4] から重力波の伝搬速度 cgw に以下の制限が与えられる.

(18)
論文 [3] 式 (4) では重力パリティを破る理論における−3 × 10−15 < cgw − 1 < 7 × 10−16 .

重力波の方程式を統一的に扱う方法を紹介している.

(26)

Ve = 0 とすることで, (17), (18) を論文 [3] 式 (4) の (24) と比較して,√形に合わせることができる. これにより重力波の方

Vm

程式の解は論文 [3] 式 (29) で与えられる. (17), (18)にこのことを適用すると, 解は
{
}
2
ξVm
GR
hR,L = hR,L exp ∓(k(1 + z)DA + 5iz0 )
16πG
(19)

H0
< 9 × 10−5 mp .
k

(27)

√
ただし, mp = 1/ 8πG はプランク質量である.
次に, Adv-LIGO, Adv-Virgo による重力波観測
データセットである GWTC-3 における, ブラックで与えられる. ただし, hGR
R,L は KR 場が存在しない場
合の GR における重力波の解, z は赤方偏移, DA は

ホール連星の合体から生じた重力波振幅の観測 [5] より, 以下の制限が与えられる [1].

角径距離, z0 = ln(1 + z) である. Section 1でも述べVm < 1.9 × 10−11 mp .

たように, KR 場と重力場の結合定数は他のパリティ(28)を破る理論と異なり質量次元が 0 であるため, dCS
理論と異なり (19) には質量スケールによる UV カットオフが現れない.

6

Conclusion
本稿では Kalb-Ramond 場 (KR 場) というダーク

マターの候補である 2 形式場 2 つと双対リーマン曲

20

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校率テンソルの結合を含む理論において, 重力波のパリティが破れることを示した. そして左巻き, 右巻き重力波の振幅や伝搬速度を観測することで GR を超える物理を検証することができることを示した.
今後の研究として, KR 場を用いた初期宇宙モデルの構築を試みる.

Acknowledgement
研究発表の場を設けていただいた夏の学校スタッ
フの皆様, ご支援いただいた全ての関係者の皆様, お忙しい中発表練習にお付き合いいただいた小林努教
授と平松尚志助教, 本発表についてゼミで議論・助言していただいた立教大学理論物理学研究室の先輩方に心より感謝申し上げます．

Reference[1] Tucker Manton & Stephon Alexander, 2024,
arXiv:2401.14452[2] Christian Capanelli, Leah Jenks, Edward W. Kolb,& Evan McDonough, 2023, arXiv:2309.02485[3] Leah Jenks, Lyla Choi, Macarena Lagos, & Nicolás
Yunes, 2023, Phys. Rev. D 108 no. 4, (2023)044023[4] B. P. Abbott et al., 2017, Astrophys. J. Lett. 848
no. 2, (2017)L13[5] Thomas C. K. Ng, Maximiliano Isi, Kaze W. K.
Wong, and Will M. Farr, 2023, Phys. Rev. D 108,
084068[6] P. Svrcek & E. Witten, 2006, JHEP 06(2006)051

21

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重宇 a05

Ringdown 重力波の解析における overtone の重要性
鈴木

幹基

22

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Ringdown 重力波の解析における overtone の重要性
鈴木 幹基 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
コンパクト連星合体（Compact Binary Coalescence, CBC）は，inspiral, merger, ringdown という 3 つの過程に分類される．Ringdown 重力波の解析は，Inspiral-Merger-Ringdown (IMR) の解析と独立して CBCの解析を行えるという点で有用である．[1] では，overtone と呼ばれる ringdown の振動モードを考慮することによって，ringdown の解析時刻をピークと一致させても IMR の解析結果と矛盾のない結果が得られることを示している．また，ringdown 解析から一般相対論の検証を行うことができ，弱い制約ながら一般相対論から予測される値と矛盾のない結果が得られることを示している．本発表では，[1] で示されている結果と自分自身で計算した結果を比較することによって [1] のレビューを行う．

1があることを考慮して，合体から少し時間をずらし

Introduction
重力波（Gravitational Wave, GW）とは一般相対性理論から帰結される，時空の歪みが波として伝播て ringdown 解析を行なっていた．しかし，ringdown
重力波はすぐに減衰してしまうので，時間をずらすと信号が弱くなってしまうという問題点があった．とする現象である．現在，重力波望遠鏡で観測されているものはほとんどがコンパクト連星合体（Compact

ころが，合体直後でも非線形性の証拠は見られず，[1]では overtone と呼ばれる QNM を考慮することが重Binary Coalescence, CBC）で，この CBC は 3 つの過程に分類される．まず，連星となったコンパクト天

要であることが示された [2]．

体は，互いの周りを回転しながら徐々に軌道半径を小さくしていく．この過程を inspiral 過程という．連星がさらに近づくと非常に高速で回転し，後に合体する．この過程を merger 過程という．合体してでき2

Methods

2.1

Overtone の検証た天体は，合体の直後は歪んだ形をしているが，振重力摂動論から，ringdown 重力波の strain, h ≡動して GW を放出し，定常状態になる．この過程を

h+ − ih× のテンプレートとして，最も一般的なもringdown 過程という．
CBC でできた天体がブラックホール（BH）であっのは，たとすると，ringdown の振動は定常な BH に摂動を加

h=

X X

X

X

A[p]lmn

えたときの準固有振動（Quasi-Normal Mode, QNM）

p=±1 l≥2 −l≤m≤l n≥0になると考えられている．従って，ringdown 重力波

× e−t/τ[p]lmn e−iω[p]lmn t −2 S[p]lmn (ι, φ),は，合体後の BH の QNM に対応する減衰正弦波の重ね合わせになる．この波の振動数と減衰率は合体後の BH の質量と無次元スピンの大きさによって一意に定まるので，観測された ringdown 重力波とマッチする波形を見つけることで，合体後の BH の質量とスピンを推定することができる．このような ringdown
重力波の解析は，Inspiral-Merger-Ringdown (IMR)の解析と独立に合体後の BH の質量とスピンを推定することができるという点で有用である．
これまでの ringdown 解析は，合体直後は非線形な効果が大きく，GW が QNM で記述できない可能性(1)

で書かれる．ここで，p = +1 は prograde モード，

p = −1 は retrograde モード，l, m はそれぞれ方位量
子数と磁気量子数に対応し，−2 S[p]lmn (ι, φ) は spin-weighted spheroidal harmonics で，ι, φ はそれぞれ
BH のスピンの向きに対する方位角と極角である．また，τ[p]lmn と ω[p]lmn はそれぞれ減衰時間と振動数を表し，これらは BH の質量とスピンによって一意に定まる．n は overtone のモードで，τ[p]lmn > τ[p]lm(n+1)
を満たすように定義される．即ち，overtone のモードが大きくなるほど減衰時間が短くなる．

23

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
今回解析を行うイベントは世界初の重力波観測イベ

とき，

ント GW150914 である．このイベントは l = m = 2

d = s + n,のモードが支配的であることが知られているため，最も簡単なテンプレートとして，

hN
22 =

N h
X

と書ける．ノイズが Gaussian だとすると，信号 s の

i
−t/τn
−t/τn
A(c)
cos ωn t + A(s)sin ωn t ,
n e
n e

n=0

(7)

log-likelihood は，(2)

ln P (d˜| s̃) = −2∆fを採用する．ここで，N はテンプレートに含まれるN−1
X|d˜i − s̃i |2+ const.,S(fi )
i=0(8)

通り，振動数と減衰時間で，BH の質量 Mf とスピン

˜ s̃ はそれぞれデータと信号で与えられる．ここで，d,の Fourier 成分で，d˜i , s̃i はそれぞれ周波数 fi のデーχf で決まる．具体的には，

タと信号の Fourier 成分である．また，∆f = fi+1 −fi

最も高い overtone のモードである．ωn , τn は前述の

Mf ωlmn = 2πMf flmn = f1 + f2 (1 − χf )f3 ,1
ωlmn τlmn = q1 + q2 (1 − χf )q3 ,2

で，S(fi ) は one-sided power spectral density (PSD)(3)と呼ばれる量で，ノイズの大きさに関連する量である．

(4)

IMR の解析では通常，上で述べたような周波数領域で likelihood を計算する．一方，ringdown ではピーという関係にある．パラメター fi , qi は数値的に計クから解析を開始するので，時間領域で見ると急激に算されていて，今回は [3] の表の結果を用いた．

立ち上がった信号になり，周波数領域で計算を行うとこのテンプレートを使って，観測された strain の

情報を失ってしまう．そこで，ringdown の解析では

ピーク時刻から解析を始め，N = 0, 1, 2 の場合につ時間領域で likelihood を計算するという方法をとる

いて Mf と χf の posterior を計算した．また，N = 0ことがある．時間領域での信号 s の log-likelihood は，の場合について，観測された strain のピークから 1,

N −1

3, 5 ms 後に解析開始時間を設定して，Mf と χf の

ln P (d | s) = −posterior を計算した．

1 X−1(di − si )Cij
(dj − sj ),2 i,j=0(9)で計算される．ここで，Cij は共分散行列で，

2.2

一般相対論の検証

Cij = ρ(|i − j|),

上で見た，一般相対論の枠組みの中で計算された

ringdown の振動数と減衰時間からのずれを認め，そのずれの大きさを評価することで，一般相対論を検証することができる．N = 1 のモデルに対して，n = 1

(GR)

(GR)
τ221 (Mf , χf ) = τ221 (Mf , χf )(1 + δτ221 ),で 与 え ら れ る ．ρ(k) は autocovariance function(ACF) である．
(2) 式のテンプレートを採用して，(9) 式の時間領
域の log-likelihood を最大化することを考える．まず，の振動数と減衰時間を

f221 (Mf , χf ) = f221 (Mf , χf )(1 + δf221 ),(10)

時間領域の noise-weighted inner product(5)(a|b) ≡

(6)

N
−1
X

−1
ai Cij
bj ,

(11)

i,j=0

とし，ずれ δf221 , δτ221 の posterior を計算した．ここ
(GR)

(GR)

で，f221 , τ221

は一般相対論から計算される値で，(3)，(4) 式の振動数，減衰時間に一致する．δf221 =を定義する．(9) 式の s を (2) 式のテンプレートで置き換えて，δτ221 = 0 は一般相対論から予想される値に一致する
ことを示唆する．

2.3

時間領域での likelihood

観測されたデータを d，重力波信号を s，ノイズを n と表すと，重力波信号がデータの中に含まれる

24

T
s = hN
22 = a h = aj hj (c) T 
e−t/τ0 cos ω0 t
A0
 (s)   −t/τ0 A0   esin ω0 t  (c)    −t/τ1 cos ω t 1 ,= A1   e .  ..
 .  
.
.

 

(s)
e−t/τN sin ωN t
AN

(12)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: ∆t0 = 0 ms として，N = 0（青色の実線）, N = 1（黄色の実線）, N = 2（紫色の波線）の場合について BHの質量 Mf とスピン χf の posterior を計算した結果．また，黒の点線は IMR の結果を示し，そのピークの質量とスピン（Mf = 67.6M⊙ , χf = 0.69）を表す線を引いた．等高線は 90%の信頼範囲を表し，枠外のグラフはそれぞれ Mf , χf についての posterior である．

と書いておく．すると，(9) 式は，

図 2: N = 0 の場合について，ピーク後の解析開始時刻を ∆t0 = 1 ms（青の破線），∆t0 = 3 ms（青の実線），∆t0 = 5 ms（薄い青の破線）として BH の質量 Mf とスピ
ン χf の posterior を計算した結果．参考のため，∆t0 = 0
ms で N = 1 の場合を黄色の実線で表した．IMR の結果については図 1 と同様．等高線は 90%の信頼範囲を表し，
枠外のグラフはそれぞれ Mf , χf についての posterior で
ある．

2.4

解析の詳細

1
ln P (d | s) = − (d − s|d − s)21
= (d|s) − (s|s) + const.
2
1
T= (d|a h) − (aT h|aT h) + const.,
2となり，ここで，新たに N , M を析開始時間を tstart として，∆t0 ≡ tstart − tpeak

Ni ≡ (d|hi ),(13)

プリングレートは 2048 Hz とした．Hanford と Liv-

Mij ≡ (hi |hj ),(14)

ingston の重力波到達の時間のずれは 7 ms とした．

で導入すると，

1
ln P (d | s) = aT N − aT M a + const.,
2と書ける．これを a を変数として最大化すると，∂ ln P (d | s)
= 0 =⇒ aML = M −1 N
∂a
a=aML
1
∴ ln P (d | s) = N T M −1 N ,(15)
2を得る．これが時間領域での maximum log-likelihood

解析についてはいずれも GW150914 について行った．観測された strain のピークの時刻を tpeak ，解でピークから解析開始時間までのずれを表す．ここで，tpeak = 1126259462.423 GPS とした．データはLIGO Hanford と Livingston のデータを用い，サン

20 Hz のハイパスフィルターをかけ，ピークの 69 秒
前から 64 秒間の oﬀ-source data を用いて，Welch の方法で PSD を計算し，逆 Fourier 変換をして ACF を求めた．Prior については，Mf は [50, 100]M⊙ ，χf
は [0, 0.99]，δf221 は [−0.5, 0.5]，δτ221 は [−1, 1] の範囲で一様とした．ACF の推定などについては [5]で議論されている．

である [4]．

25

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3

Results and discussion
tpeak から解析を開始し，N = 0, 1, 2 の場合について，Mf , χf の posterior を計算し，90%の信頼範囲を描いたものが図 1 である．比較として，IMR の解析から得られた結果を灰色の点線で描画してある．

N = 0 の場合は tpeak から解析を開始すると，IMRの結果と一致しないことが分かる．一方で，N = 1の場合は IMR の結果と一致する．N = 2 では，IMRの結果と矛盾しないが，N = 1 の場合よりも信頼範囲が広がってしまっていることが分かる．従って，今回のイベントについては，n = 0 のモードに加えて n = 1 のモードを考慮することが重要であると言える．
続いて，N = 0 の場合に解析開始時刻を ∆t0 =1, 3, 5 ms と変化させて Mf , χf の posterior を計算

図 3: (5) と (6) 式のように n = 1 のモードの振動数と減衰時間について，一般相対論から予想される値からのずれ δf221 , δτ221 を考慮して，posterior を計算した
結果．黄色の等高線と黄色の点線は 90%の信頼範囲である．Mf , χf については周辺化した．

し，90%の信頼範囲を描いたものが図 2 である．期
待された通り，overtone を考慮しないと，∆t0 = 1

ms の場合は IMR の結果とは一致せず，overtone のモードが減衰した後の ∆t0 = 3 ms の場合は IMR の結果と一致することが分かる．一方で，∆t0 = 5 msの場合は信頼区間が広がってしまっていることが分行うことができ，高い信頼度ではないものの，一般かる．これは，n = 0 のモードも減衰して，SNR が相対論から帰結される値と矛盾しない結果を得た．
今後は，ACF の適切な推定方法や，l = m = 2 以

小さくなってしまっているためだと考えられる．
最後に，n = 1 のモードの振動数と減衰時間につい外のモードが支配的となるようなイベントについての解析等を試みる．

て，一般相対論から予想される値からのずれを考慮
して posterior を計算した結果が図 3 である．δf221
については，68%の信頼度で δf221 = −0.026 ± 0.26という結果を得た．一方，δτ221 については信頼区間
が −0.8 あたりから 1 まで広がっていることが分か[1] Maximiliano Isi, Matthew Giesler, Will M. Farr,
Mark A. Scheel, and Saul A. Teukolsky. Testing
the no-hair theorem with GW150914. Phys. Rev.
Lett., 123:111102, Sep 2019. arXiv:1905.00869.

る．以上から，今回の検証では高い信頼度ではないが，一般相対論の値（δf221 = δτ221 = 0）と矛盾しない結果が得られた．

4

Reference[2] Matthew Giesler, Maximiliano Isi, Mark A. Scheel,
and Saul Teukolsky. Black Hole Ringdown: The Importance of Overtones. Phys. Rev. X, 9(4):041060,
2019.

Conclusion
以上から，GW150914 については，ringdown 重力波の解析には overtone を考慮することが重要であると言える．また，overtone を考慮しない場合はピー[3] Emanuele Berti, Vitor Cardoso, and Cliﬀord M.
Will. Gravitational-wave spectroscopy of massive
black holes with the space interferometer lisa. Phys.
Rev. D, 73:064030, Mar 2006. arXiv:gr-qc/0512160.

クから解析を開始すると，IMR の結果と一致しない[4] Piotr
Jaranowski
andAndrzej
Krolak.
Gravitational-Wave Data Analysis. Formalism
が，n = 1 のモードを考慮することでピークから解and Sample Applications: The Gaussian Case.
析を開始しても IMR の結果と一致することが分かっ
Living Rev. Rel., 8:3, 2005. arXiv:0711.1115.

た．更に，ringdown の解析から一般相対論の検証を[5] Maximiliano Isi and Will M. Farr. Analyzing blackhole ringdowns. 2021. arXiv:2107.05609.

26

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重宇 a06

バースト重力波の検出・解析の方法について
高田

和輝

27

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バースト重力波の検出・解析方法
高田 和輝 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
本発表では coherent WaveBurst(cWB) と呼ばれるバースト重力波の検出・解析方法を紹介する。これは複数台の検出器のデータを組み合わせて尤度関数を構成し、波形や波源の位置を最尤法で推定する方法である。この方法は超新星爆発やガンマ線バーストなどが放出する、モデル波形が存在しない重力波の解析に有
効である。

1

coherent WaveBurst(cWB) である。

Introduction2015 年 5 月 19 日、ブラックホール連星合体の重力波イベントを初観測し、シミュレーションではない、 2

Methods

宇宙からの重力波を観測できるようになった。重力2.1

波天文学の始まりである。そこから 2024 年 7 月 20
日現在に至るまで、延べ 208 個もの重力波イベント

重力波の検出：excess power 法

cWB では excess power 法を用いて、データからを検出している。重力波は天体・宇宙の強力な観測

重力波候補信号を見つけ出す。「候補」というのは、手段として確立した。

データには時々グリッチと呼ばれる大きなノイズが重力波はモデル波形が存在するものとしないもの

発生し、これも有意な信号としてカタログに含まれに大別できる。前者の例としてコンパクト連星合体

るからである。グリッチと重力波信号を区別する方が、後者の例として超新星爆発やガンマ線バースト

法は 2.3 節で後述する。

が挙げられる。特に後者は数ミリ秒から 1 秒程度のexcess power 法は時系列データを時間・周波数領域

短時間で重力波を一気に放出することからバーストの信号に直し、そこで信号とノイズとのエネルギー

重力波と呼ばれる。

の比を計算して、閾値を越えれば重力波信号候補とみ現在までに検出された重力波イベントは、その全なす検出方法である。cWB の場合、時間・周波数領てがコンパクト連星合体によるものである。バース

域への変換はウェーブレット変換によって行われる。

ト重力波はそれよりもエネルギーが小さく、現行のψi,j (t) をウェーブレットとする。(i, j) はそれぞれ検出器で観測可能なのは 10kpc 程度の太陽系の近傍

離散時間、離散周波数である。観測した時系列デー

で起きるイベントに限られる。そのようなイベントの発生頻度は 100 年に数回程度と身積もられており、近い将来観測が期待される。バースト重力波はコン

タをウェーブレット変換したときの振幅を µij とする。時系列データ d(t) はパクト連星合体に次ぐ観測候補である。

d(t) =

コンパクト連星合体の重力波は、二つの星の質量

ﬁlter 法)。しかしバースト重力波に関しては、発生(1)と分解表示できる。この信号データのエネルギーは∫ ∞∑E=d(t)2 dt =
µ2i,j
(2)
−∞

機構に流体不安定性が関わっていたり、そもそも発生機構が正確に分かっていないことなどから、モデµi,j ψi,j (t)i,jやスピンを決めれば求められ、これとデータを比べて相関が最も高くなるように波形を決定する (Matched∑i,jとなる。最後はウェーブレットの正規直交関係を使っ

ル波形が存在しない。したがってバースト重力波をている。この式から時系列データ d(t) の時間・周波検出するには、波形モデルを使わずに観測データか数領域でのエネルギー密度は µ2i,j が該当することがら波形を検出する新しい方法が必要になる。それが分かる。他方で定常ノイズのエネルギースペクトル28

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
を Sj とする。このとき各時刻、各周波数でのデータ

ニングという)。そのようなホワイトニングしたデーとノイズとのエネルギー密度の比 ϵ はタベクトルを()
x1 [i, τ1 (θ, ϕ))]xK [i, τK (θ, ϕ)]√√w[i] =,...,(6)
S1 [i]
SK [i]

ϵ=

µi,j
Sj

(3)

となる。

と表す。ここで各検出器のデータに含まれるパラメー

これを計算して時間・周波数領域にプロットし、
あらかじめ設けておいた閾値を越える信号が無いか

タは TF 領域の座標 i の他に重力波の到達時間 τi (θ, ϕ)も含まれているということを露わに書いた。

チェックすることで、重力波候補信号を見つけ出すことができる。この方法で検出した信号の中には、重(4) をホワイトニングしているので、アンテナパ
ターンも規格化される。この行列を

力波ではない突発的な雑音が含まれている。これら

 F1+ (θ,ϕ)√
1 [i] F S(θ,ϕ)
2+ √ S2 [i]
F=

..

.

FK+ (θ,ϕ)√を選別する方法は 2.3 節で説明する。

2.2

バースト波形の再構成

重力波は二つの偏極モード h+ [i]、h× [i] を持つ。
これを並べてベクトル h = (h+ [i], h× [i]) とする。iSK [i]

た、j 番目の重力波検出器のアンテナパターンを Fj =S1 [i]

F2× (θ,ϕ) √S2 [i]..
.
√FK× (θ,ϕ)







(7)

SK [i]

ξ[i] = Fh[i](Fj+ (θ, ϕ), Fj× (θ, ϕ)) と書く。すると j 番目の重力波検出器が記録する重力波信号は Fj h である。実際の尤度関数は重力波のデータベクトルを

x = (x1 [i], x2 [i], . . . , xK [i]) とする。ここで添字の数 1,2,..,K は、検出器の番号である。
全部で K 個の検出器があり、それらに同一の重力波 h が入射し、それぞれのアンテナパターンと掛け合い、そこにノイズが加わる。このような描像から、データベクトルはL[h] =∑[2(w[i] · ξ[i]) − (ξ[i] · ξ[i])]と書ける。
重力波形 h+ 、h× そのものを尤度関数のパラメータとみなし、これについて式 (9) が最大になるようにする。この条件は

∂L
=0
∂h×

∂L
= 0,
∂h+

ンを並べた 2 × K 行列であり、具体的な表式は

F1+ (θ, ϕ) F1× (θ, ϕ) F2+ (θ, ϕ) F2× (θ, ϕ) 


(5)
F =
..
..



.
.

(9)

i

(4)

と表せる。ただし F は全部の検出器のアンテナパター

(8)

とおく。

データはこれにノイズ n が加わる。

FK+ (θ, ϕ)√と書く。そしては時間・周波数領域 (TF) のパラメータである。まx[i] = F h[i] + n[i]F1× (θ,ϕ) (10)であり、これを解いて(w[i] · f+ [i])|f+ [i]|2(w[i] · f× [i])h× [i] =|f× [i]|2h+ [i] =

(11)
(12)

重力波形が最尤法により求められた。上では見やすFK× (θ, ϕ)

さのために、パラメータは時間・周波数領域の座標である。

(i) のみ書いているが、重力波の到来方向 (θ, ϕ) もパ

1、2、...、K 番目の検出器のノイズのパワースペ

ラメータとして含まれていることに注意する。

クトル密度をそれぞれ S1 [i], S2 [i], . . . , SK [i] とする。
これらはノイズの二乗から構成されており、したがっ√て Sj [i] がノイズの大きさの指標となる。この値で式 (11)、(12) を式 (9) に代入してLmax (θ, ϕ) =∑i

各検出器の出力データ xj [i] を規格化する (ホワイト29w[i]P [i]wT [i](13)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る。ここで P は、規格化したアンテナパターン部の検出器のみで記録されていて、他の検出器とのベクトル e+ = f+ [i]/|f+ [i]|、e× = f× [i]/|f× [i]| より

相関は全く無い。この場合 Ecoh はほとんど 0 となり構成される平面への射影行列であって、次式より定|Ccoh | ∼ 0 を示す。以上のようにネットワーク相関義される。

係数を用いて候補信号が重力波かグリッチかを区別することができる。

Pnm [i] = e+n [i]e+m [i] + e×n [i]e×m [i](14)

式 (13) は空の座標 (θ, ϕ) の関数であり、これが最大値をとるときの座標が、データから再構成した重力波の到来方向である。

2.3

3

Results

3.1

波形の再構成重力波信号か偽信号かの区別

重力波検出器ではグリッチと呼ばれる大きなノイズが時折発生する。これらは機器そのものや周囲の環境に起因し、図 1 のように重力波信号と見間違う可能性がある。
図 2: cWB で波形を再構成 (S.Klimenco et al.(2021))
左は時間・周波数領域の尤度関数を、右は周波数領域での再構成波形を表す。

2.2 節で波形の再構成方法について説明した。上図
2 はこれを最初の重力波イベント GW150914 のデー(a) 重力波信号

タに適用したものである。本当はバースト重力波で(b) グリッチ

確認したいが、まだ検出されていないので、コンパク
図 1: 重力波とグリッチの時間・周波数マップ
左は GravitySpy2.0Wiki、右は M.Cabero et al.
(2019) の図を借りた。

ト連星合体の実データに適用した。左の方を見ると連星合体重力波の特徴であるチャープ信号が再現できていることが分かる。また右の図は同イベントの突発ノイズか真の重力波信号かを区別する方法と重力波のスペクトル分布を表している。赤線が cWB

して、cWB では次で定義されるネットワーク相関係によるもの、黒線が連星合体のモデル波形によるも数を用いて判定する。

のを表す。こちらも概ね一致することが分かる。

Cnet =

Ecoh|Ecoh | + En

(15)

3.2

ここで En はデータに重力波やグリッチなどの信号が含まれていない状態の (定常ノイズのみの) 信号のエネルギーである。また Ecoh は、Ecoh =∑∑iwn [i]Pnm [i]wm [i]

重力波の到来方向の推定

2.2 節の最後に cWB による重力波の到来方向 (θ, ϕ)を推定する方法を説明した。この方法を実際の観測データに適用してみる。 O1、O2 と呼ばれる観測期間に検出された 11 個の連星合体イベントについて推

(16)

n̸=m

定した。そのうち 4 つのイベントについて到来方向
を 10%、50%、90%の信頼区間幅でプロットしたもで定義される。
式 (16) を見ると分かるように Ecoh は、異なる検出のが図 3 である。

器間のデータの相関係数を計算している。したがって

図 3 を見ると、cWB による 90%推定領域とモデルもし候補信号が重力波なら、異なる検出器のデータに波形を用いた 90%推定領域は、共通領域が存在する

は相関があり Ecoh は 0 ではない値をもち、|Ccoh | ∼ 1

ことが分かる。この共通領域に本当の到来方向が存となる。反対に候補信号がグリッチなら、それは一在する可能性が高いと言える。

30

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
M.Drago et al. 2021, arXiv:2006.12604
M.Cabero et al. 2019, Class. Quantum Grav. 36 155010
Gravitaty Spy 2.0 Wiki, https://gswiki.ischool.syr.edu/(a) GW170104 HL(b) GW170608 HL(c) GW170729 HLV(d) GW170809 HLV

図 3: 到来方向のスカイマップ (F.Salemi et al.(2019))
上段は Hanford+Livingston、下段はそれらにVirgo が加わった推定である。青線が cWB、赤線は連星合体のモデル波形を用いた LALInference という推定による。

また上段は 2 台の検出器、下段は 3 台の検出器によるもので、検出器の数が多いほど cWB による推定領域が狭まることが分かる。

4

ConclusioncWB による波形の再構成やパラメータ推定は、モデル波形を必要としないため、理論的にはどのような種類の短期型重力波の検出・解析にも対応できる、
非常に一般性のある方法である。
そして検出器の数が多ければ多いほど、波形や到来方向の特定精度が向上する。アンテナパターンは方向依存性があり、到来方向によってはその重力波への感度が悪くなることが知られている。検出器を増やすことでこの感度が悪い領域を大幅に減らすことができる。今のところ LIGO と Virgo の合計 3 台による検出器のみが重力波を観測しているが、将来

KAGRA が観測可能になったり、LIGO India が完成
して検出器ネットワークに加われば、cWB はますます強力な重力波解析方法になると考えられる。

Reference
S.Klimenko et al. 2005, Phys.Rev. D72, 122002
S.Klimenko et al. 2008, arXiv:0802.3232v2
S.Klimenko et al. 2016, Phys.Rev. D93, 042004
F.Salemi et al. 2019, Phys.Rev. D100, 042003

31

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重宇 a07

重力波を用いた原始ブラックホールの探索手法の開発
村上

靖洋

32

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波を用いた原始ブラックホールの探索手法の開発
村上 靖洋 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
本研究では、太陽質量未満のコンパクト連星合体 (SSM CBC:Sub-Solar Mass Compact Binary Coalescence)からの重力波信号の性質や、それを探索する上での手法を提案する。世界最高感度の重力波望遠鏡を有する

LIGO ‒ Virgo ‒ KAGRA collaboration(LVK) では、太陽よりも重いブラックホール（BH： Black Hole）
・
中性子星がなす連星の探索に加えて、恒星進化の標準理論では形成されないような太陽質量未満の BH を含む連星の探索も行われている。このような天体の有力な候補として、宇宙初期に作られた原始ブラックホール（PBH: Primordial Black Hole）がある。しかし、このような太陽質量未満の質量領域の信号の継続時間は非常に長く、その探索感度は解析の計算コストや要求メモリーによって制限されている。また、波形が長くなることによって地球の自転の効果が無視できなくなったり、検出器のノイズの変化を追えなくなってしまい、両者とも信号の長さに比例してその影響は増加していく。 このような問題を解決するために、長い信号を時間で分割しその分割されたそれぞれの波形で観測データと相関をとっていく手法を紹介する。

1

Introduction

重力波（Gravitational Waves）

2

重力波とは、時空の歪みが光速で伝播する現象の代表的な重力に関する作用は S = SE + SM のよことで、電磁波に比べて物質透過性が非常に高いとうに書け、SE はいう特異な性質を有すことから、従来の電磁波観測とは異なる新たな観測手法を提供する。2015 年 9 月

SE =にアメリカの重力波観測施設 LIGO によって初観測(Abbott et al. 2016) されて以降1 、これまでに発見

c3
16πG

Z

√
d4 x −gR(1)

されていなかった質量のブラックホール（BH）を含であり、これはアインシュタイン・ヒルベルト作用と呼ばれる2 。R はリッチテンソル、g はメトリック

む多くの連星 BH による重力波イベントが次々と発gµν の行列式である。SM はメトリックの変分の下で見されており、発見された総イベント数は 207 個にエネルギー・運動量テンソル Tµν となる。よって Sも及ぶ。このような重力波観測の台頭は、これまでをメトリック gµν で変分をとると、以下のようなア知られていなかった宇宙の側面が明らかになるととインシュタイン方程式を得る。

もに、従来の常識にとらわれない新しい探索の重要

18πGRµν − gµν R = 4 Tµν
2c

性が浮き彫りになってきた。

(2)

近年恒星の進化の過程では説明できない太陽質量未満のコンパクト天体の探索に注目が集まってきた。 2.1

線形近似

特に、宇宙誕生直後に生成された原始ブラックホー
ル (PBH) は、そのような天体の有力な候補である。

式（2）で時空の性質が決まる。ここでは一番簡単

PBH は、初期宇宙や暗黒物質の謎に迫る重要な天に重力波の標識にたどり着くために背景時空をミン体だ。LVK は、0.2〜1.0 太陽質量の質量帯を探索

コフスキー時空 ηµν と考え、その背景に対する摂動

し、PBH の存在量に世界最高の制限を与えている

hµν として重力波を導く。この時メトリックは、(R. Abbott et al. 2022)。これは電磁波観測では見gµν = ηµν + hµν ,つけられないが、重力波なら PBH を発見できる可能性を示唆している。
1 これまでに 3 度のの長期重力波観測が行われており、現在は4 回目の観測 O4 が進行中である。

|hµν | ≪ 1(3)

2 c は光速、G は万有引力定数を表す。また添字はギリシャ文字（µ, ν など）は 0 から３を走り、ラテン文字 (i, j など) は１から３を走るものとする。これを用いて４次元時空の世界点（事象）を xµ と書く。

33

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校のようになる。これを用いて式（2）を線形化し、h̄µν =での時間を定義して

−5/8
5GM
Φ(τ ) = −2
τ −5/8 + Φ0c3hµν − 12 ηµν h を定義すると（hµν のトレースを h とする）、次のようになる。

(10)

3
16πG
Tµνのようにかける 。Φ0 = Φ(τ = 0) は合体時の位相4c(4) である。時間領域での式 (7),(8) は、解析の際には扱
ここで TT(Transverse-Traceless) ゲージ条件を課す いにくいので、通常解析の際は、以下のような周波□h̄µν +ηµν ∂ ρ ∂ σ h̄ρσ −∂ ρ ∂ν h̄µρ −∂ ρ ∂µ h̄νρ = −数空間の波形の式が用いられる。

5/6
c GM
1
h̃+ (f ) = AeiΨ+ (f )
,
r
c3
f 7/6

5/6
GM
1
iΨ× (f ) ch̃× (f ) = Ae
,
3
7/6
r
c
f

と、(4) 式は□hµν = 0(5)となり、背景時空に対する摂動 hµν は光速で伝播する波動方程式に従う。この時 hµν の自由度は２である。z 方向に進む重力波をここで考えると、h+,× =Ψ× (f ) = Ψ+ (f ) + (π/2) という関係があり、Ψ+ (f )２つの自由度をプラス（+）モード、クロス（×）モーについてはドの重力波と呼ぶ。振幅成分を行列表示で書くと次π 3
Ψ+ (f ) = 2πf (t∗ + r/c)−Φ0 − +
4 4

の通り。

0

0

0

A+

A×

A×

−A+

0

0




0

0

0

(12)

こ こ で 、A は 定 数 で あ り 、位 相 は 各 モ ー ド 間 に

A+,× exp(iω(t − z/c)) のように記述でき、それぞれ


0

0
{Aµν } = 
0

0

(11)



GM
8πf
c3

−5/3
(13)

と書ける。ここで、t∗ は (11),(12) 式を導出する際に(6)用いた停留位相法という手法のなかの 2πf = Φ̇(t∗ )で定義されている。これらは t∗ の周りで展開される
最低次の近似である4 。また、この振動数には連星系

これを見ると、TT(Transverse-Traceless) である。

が持つ運動エネルギーと位置エネルギーが重力波によって放出されるという仮定の下で、以下のような

2.2

インスパイラルにおける重力波

ここでは２つのコンパクト天体からなる連星系を考え、それぞれの質量を m1 , m2 をする。この連星系はニュートン力学で記述するものとし、連星の各振動数を ωs の円軌道を考え、観測地点から距離 r に位置するとする。この時実際に受け取る重力波の角振
動数は ωgw = 2ωs という関係が成り立ち、振動数になおすと fgw = 2fs となる。この時、重力波のプラ関係を得ることができる5/3
96 8/3 GM
11/3
π
fgw
.
f˙gw =
5c3(14) 式を見ると、重力波の振動数 fgw は時間の増加関数であることが分かる。つまり連星が合体するまで振動数は単調に増加していく。これは合体までにかかる時間 τ を用いて次のように書き直すこともできる。

1fgw (τ ) =π

スモードとクロスモードは次のようにかける。

h+ =

4
r

4
h× =
r




GM
c2
GM
c2

5/3 
5/3 

πfgw
c
πfgw
c

2/3
cos(Φ(tret )), (7)2/3sin(Φ(tret )), (8)

(14)



5 1
256 τ

3/8 

GM
c3

−5/8
.

(15) 式より τ (fgw ) の形で書くと、
−5/3

5
GM
(πfgw )−8/3
τ (fgw ) =
256
c3

(15)

(16)

と書ける。
ここで tret = t − r/c、チャープ質量をM=(m1 m2 )3/5
(m1 + m2 )1/5

(9)と定義している。そして位相の部分は、合体時間 tcoalを用いて τ = tcoal − t というある時刻 t から合体ま3 式 (7),(8),(10) を見ると、重力波は連星のチャープ質量 (9)式のみで特徴付けられることがわかる。よって、チャープ質量は重量な量となってくる
4 実際の解析には、ポストニュートニアン近似（PN 近似）というニュートニアンオーダー（0PN）からのずれとして表現される波形の式を用いている。(11),(12) 式は、0PN に相当する。現在までの解析で天体のスピンの効果まで取り入れた近似は 3.5PNまで計算されている。

34

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

マッチドフィルター

4

太陽質量未満のコンパクト天体の探索

観測データを眺めただけで重力波があることがわ
かるなら、一般相対性理論の誕生から重力波の直接

現在の重力波探索において主な観測対象となって観測まで 100 年もの歳月がかかることもない。つまいるソースは、BH や中性子星などが連星をなすコ

り、重力波信号はノイズの海に埋もれてしまっていンパクト連星合体 (CBC: Compact Binary Coales-

るので、その中から重力波信号の情報を取り出す必

cence) である。現在までに 207 個の重力波イベントが報告されているが、太陽質量未満のコンパクト連星要がある。
ここでは観測データを

合体 (SSM CBC:Sub-Solar Mass Compact Binaryx(t) = n(t) + h(t)Coalescence) のイベントは未だ報告されていない。

(17)

この質量範囲の天体は恒星の進化では生成されないのようにノイズ n(t) と重力波波形 h(t) で書くものと(Yudai Suwa et al. 2018) ため、PBH の存在を検証すする。ノイズについては 2 次のオーダーまでの定常

る重要なターゲットとなる。SSM CBC の探索はこれ性を仮定し、この時のノイズパワースペクトル密度までにも LVK などで、0.2〜1.0 太陽質量の質量帯でSn (f ) は

PBH の存在量に制限を与えており (R. Abbott et al.
⟨ñ∗ (f ′ )ñ(f )⟩ =1
δ(f − f ′ )Sn (f )22022)、さらに軽い質量帯での探索も行われている(18)(Andrew L. Miller et al. 2024)。
SSM CBC の探索は太陽質量以上の CBC の探索のように定義できる。ここで ñ(f ) はノイズ n(t) のフーリエ変換である。また ⟨W ⟩ は W が n(t) の関数に比べて、以下のような問題点がある。

• 計算コストの増加の時、n(t) のアンサンブル平均と定義する。

• 検出器のノイズ変動への対応の必要性

観測データ x(t) のノイズ n(t) の中から波形 h(t) を• 地球の自転の影響取り出すために、信号対雑音比 (SNR) を定義していく。ここでテンプレート波形 h(t) を用いて観測デー
タから信号を取り出す optimal ﬁlterz(t ) 5 は次のよ
0

うにかける。

Z ∞z(t0 ) = 40

これらの問題は、SSM CBC による重力波信号の継続時間が非常に長くなるという点に集約される。(16)式により波形の合体までの時間は∗

x̃(f )h̃ (f ; t0 = 0) 2πif t0edf
Sn (f )

−8/3
τ ∝ M−5/3 fgw,(19)h̃∗ (f ; t0 = 0) は波形の基準時刻 t0 で書けるが、その基準時刻を t0 = 0 に合わせたテンプレート波形である。SNR を構成するために各テンプレートで規格化し、位相について最大化する操作が必要である。こσ2 = 40|h̃(f ; t0 = 0)|2
df
Sn (f )のようにチャープ質量と観測する重力波の振動数によって決まる。そのため SSM CBC の信号は同じ振動数から観測を始めても、太陽質量以上による CBCの重力波に比べて信号が長くなる。これは必要なメ
モリが多くなり、漏れなく観測データから重力波をの時の規格化定数 σ 2 は

Z ∞

(22)

探索するためには、数ペタバイトの容量を要求する。
このため LVK での探索ではこれらの問題を回避す(20)

るために探索する振動数カットオフを 45Hz からにのようにすればよく、よって SNR は次のように定義設定している。しかし LIGO の探索感度は 10Hz かされる。

らあるため、この振動数カットオフは SNR を失うこ

|z(t0 )|
ρ(t0 ) =σ(21)とにつながる。これを表した図が図 1である。この計算は (20) 式の積分区間を [fmin ,fhigh ] で計算した。

45Hz からの探索だと、約１割の SNR を失っていることに相当する。
また、４５ Hz までの探索でのテンプレート波形の継5 z(t0 ) は複素数である。

続時間は数百秒で収まるようになっている。この場合

35

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: 振動数カットオフ fmin ,fhigh によって snr の

図 2: 横軸をチャープ質量、縦軸を波形の継続時間とロスがどれほど変化するかを示した図。縦軸の SNRしたグラフ。図 1で SNR の損失が１％となる場合のloss は (20) 式において積分区間を [15, 2048] とした

fmin = 27Hz で (23) 式を計算した値をカラーマップ

値で企画化した値である。PSD としては O3 での典で表した。PSD は O3 の典型的な値を用いている。

型的な値を用いている。
ノイズに関しても波形を分割したことでその都度ノは地球の自転の影響は効いてこない。しかし SNR のイズの PSD を更新することができる。

精度を上げるために振動数カットオフ fmin を下げてさらに要求メモリを減らすために、探索するパラ

いくと地球の自転の効果が現れてくる。地球の自転のメータで作られたテンプレート波形のうち、大雑把に効果によって SNR がどれほど失うかを表したのが図探索してのちに似ている波形との比とマッチドフィ

2である。これは図 1で SNR を１％失う fmin = 27Hz

ルターの結果の相関をとることの導入を考えているに設定した場合に地球の自転の効果を取り入れた波(Barak Zackay et al. 2018)。基準となる波形を h0 (t)形とそうでない波形をそれぞれ h̃1 (t), h̃2 (t) とかき、 と書いて、r(t) = h(t)/h0 (t) のような比を考え、h0 (t)Z fmaxSNR loss = max
∆t

fmin

h̃1 (f )e−2πif ∆t h̃∗2 (f )Sn (f )

でマッチドフィルターした結果を ρ0 (t) と書くと、Z
ρ(t) = ρ0 (t′ )r(t − t′ )dt′
(24)

0.5

(23)
のように相関をとったものである。これより約 10 時のような畳み込みを計算することで h(t) での SNR間ほど続く波形になると自転の効果により約１０％を算出する。これにより基準となる波形 h0 (t) で探の SNR を失うことが分かる。

索した結果を用いて他のパラメータの波形の SNR を計算することができる。これにより実際に観測デー
タを用いて探索する波形の数を大きく減らすことが5

SSM CBC の探索手法の提案と できる。最終的にこれらを実装し、観測データに適応することを目指す。
その展望
Reference

4章で述べた SSM CBC の問題点を解決するため

Abbott et al. 2016, Phys. Rev. D, 93 (2016), 12:122003に、波形を分割してマッチドフィルターをし、最後に合算する手法を提案した。これによって 1 日ほど

R. Abbott et al. 2022, Phys. Rev. Lett., 129 (2022),
6:061104.

続く波形に対しても SSM CBC の問題点を回避してAndrew L. Miller et al. 2024, arXiv:2402.19468

探索することが可能となる。必要なメモリに関して

Yudai Suwa et al. 2018, Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 481(2018) 3, 3305-3312

は分割した分だけ減らすことができ、分割した波形に地球の自転の効果を導入することができる。またBarak Zackay, Liang Dai and Tejaswi Venumadhav
2018, arXiv:1806.08792

36

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重宇 a08

重力波観測による中性子星の状態方程式の制限
宮園

隼人

37

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波観測による中性子星の状態方程式の制限
宮園 隼人 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
物理学の基本法則である強い相互作用の理解のために，中性子星の状態方程式 P = P (ρ) の制限が重要となる。そのために連星中性子星からの重力波の観測から状態方程式の関係を得ようとする研究が進められてきた。本発表でレビューする (E. E. Flanagan & T. Hinderer 2008) では，初めて地上の重力波検出器 LIGO・

Virgo で観測可能であり，かつ系を簡単な力学で記述できる合体初期の低周波数重力波に着目した。まず潮汐力と潮汐変形率を用いて作用を記述し，質量四重極モーメント Qij ，軌道半径 r ，系のエネルギー E ，重力波によるエネルギー放射率 Ė を求めた。次にそれらを用いて重力波の位相 Ψ を計算すると，Ψ が連星中性子星のチャープ質量 Mch と潮汐変形率 Λ̃ の 2 つのみで記述されることを示した。2017 年にはこの手法を用い，連星中性子星合体由来の重力波 (GW170817) 波形から潮汐変形率の制限がされ，それによりいくつかの「硬い」状態方程式が棄却された (B.P.Abbott et al. 2017)。更に中性子星半径にも R ≦ 13.5km(E.Annala

et al. 2018) という上限が与えられた。

1

動機と導入

1.1

動機

のの，周波数が LIGO の観測帯域に入っており，かつ簡単な力学で物理を記述できる。

物理学の基本法則である強い相互作用の理解のためには，核物質の QCD 相図全体を明らかにすることが必要である。特に，相図の低温高密度側は地上実験や格子 QCD シミュレーションによる検証が難
しく，同様の環境を持つ中性子星が良い実験場となる。中性子星の状態方程式 P = P (ρ) には現在様々な候補が挙げられているが (図 1)(K. Chatziioannou2020)，これを一本または数本に絞ることは QCD 図の解明に役立つ。連星中性子星合体由来の重力波はその有力なプローブである。

1.2

図 1: 種々の状態方程式に対する中性子星の半径 R と質量
m との関係

本レビュー研究の特徴

先行研究では中性子星の内部構造の影響が顕著な， 1.3
合体終期の高周波数 (>1000Hz) 重力波が注目されて潮汐変形率 λ および無次元化された Λ は，きた。しかし，周波数が重力波干渉計 LIGO の観測
帯域から外れる，重力波波形が一般相対論や流体力学

Qij = −λEij = −Λm5 Eijなど複雑な非線形偏微分方程式に依存する，など課題も多かった。対して (E. E. Flanagan & T. Hinderer

潮汐変形率

(1)

で定義される（なお，本レビューを通して c = G = 1

2008) は，LIGO で観測可能な，連星合体初期に放射 とする単位系を用いる）。ここで，Qij は星の質量四される低周波数 (<400Hz) 重力波に着目した。これ 重極モーメントテンソル，Eij は潮汐テンソルである。
により，重力波波形の振幅は相対的に小さくなるも

連星系を考える場合は相手の星の質量を m2 として，

Eij := −m2 ∂i ∂j (1/r) である。Λ が小さい (大きい)382024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校と，状態方程式は軟らかい (硬い) と分かる。これは，

1 2 ∑ 3m2 λ1，nµr +，22 (1 − 4x2n ) r3n
∑ m2 λ1，n1Q′ = µr2 +
6
2r3
n
Q=

状態方程式が軟らかいと密度分布が中心に集中し四重極変形が小さくなるから，逆に硬いと密度分布は一様に近づき四重極変形は大きくなるからだと説明できる。

である。また xi についての Euler-Lagrange 方程

つまり，重力波の位相 Ψ から Λ が求まれば，状態式を同様に解くことで方程式に制限をかけることができる。

[
r(ω) = M 1/3 ω −2/3

重力波の位相 Ψ とパラメータ2

Mch , Λ との関係
2.1

(3)

力学系のセットアップとエネルギー E ，
放射率 Ė の計算

2 つの中性子星を 1，2(質量はそれぞれ m1 ，m2 )3∑1+
χn g1 (xn )
4 n

]
(4)

と求まる。
ここで χn = (m2 λ1，n ω 10/3 )/(m1 M 5/3 )，xn =()ω/ωn ，g1 (x) = 1 + 3/ 1 − 4x2 である。また，r(ω)
を求める際に先に求めた Qij
n を利用した。

とし，相対座標系 x = x1 − x2 で考える。重力波放射による軌道進化の時間スケールに比べ公転周期

系の力学的エネルギーは，運動エネルギー，重力が十分短いという仮定のもと，円運動 x = r(cos Φエネルギー，内部エネルギーの和で表せる。各々を計算すると ((E. Poisson & C. Will 2014))[]
数が n 個のモードごとに展開し，各モードごとに変
9∑
µ
2/3
1−
χn g2 (xn ) ， (5)E(ω) = − (M ω)
形の周波数 ωn ，λ1，n ，Qijn を定義する。すなわち，
2
4 n∑
Qij = n Qij
n である。なお添字の上下は区別しない。ケプラー運動，潮汐力 (2 星間の重力をルジャン と表せる。
，sin Φ，0) を考える。個々の星に対して，変形を節のドル展開した際の l = 2 の項)，星自身の変形を考えると，系の作用は][∫∫
1
1 2 1 2 2 Mµ−dtQij EijS = dt µṙ + µr Φ̇ +
2
2
r
2
[
]
∑∫
1
+
dt
Q̇nij Q̇nij − ωn2 Qnij Qnij
2
4λ1，n ωnn(2)

また，系が重力波放射によって失う単位時間当た... ...
りのエネルギーは Ė(ω) = −⟨QTij Qij
T ⟩/5 と表される
ことが知られている。ここに (3),(4)，を代入して，[]∑
32 4/3 2 10/3
Ė(ω) = − M µ ωχn g3 (xn )
1+6
5
n
(6)
と表せる。
(
)(
)−2
ただし，g2 (x) = 1 + 3 − 4x2 1 − 4x2() ()
g3 (x) = M/m2 + 2 − 2x2 / 1 − 4x2 である。

と表される。なお，この式および以下では断らない限り星 1 の変形のみを考えるが，星 2 の変形も同様に加算される。ただし，M = m1 + m2 は全質量，

2.2µ = m1 m2 /M は換算質量，Φ̇ = ω は公転角振動数(これ以外にも物理量の上のドットは時間微分を表す)

ω = πf で表される重力波の振動数 f を用いである。

る。重力波波形 h(t) = A(t) cos[ϕGW (t)] を Fourier

作用 (2) に対し Qijn についての Euler-Lagrange

変換したものを振幅と位相部分に分ける（h̃(f ) =∫∞A(t) cos[ϕGW (t)]e−iωt =: B̃(f )eiΨ(f ) ）。この−∞′方程式を，λ の一次まで解くことで，QT
11 = Q +′Q cos(2Φ)， QT
QT
22 = Q −Q cos(2Φ)，
12 = Q sin(2Φ)′
T，QT
33 = −2Q と求まる。ただし，Qij は系全体の四重極モーメント QTij = Qij + µxi xj − µr2 δij /3 で，重力波の位相 Ψ の計算

時，位相部分の指数 Ψ(f ) は

Ψ(f ) = 2

39

tc 3
π 2
v −2ϕc − +
M
4 M

∫ v
vi

dv ′ (v 3 −v ′3 )E ′ (v)
Ė(v)(7)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校ることで，典型的な中性子星質量 1.4M⊙ に対してと 書 け る こ と が ，鞍 点 法 と 関 係 dt/dv

Λ(1.4M⊙ ) ≤ 800 という制限が課された。

=′

E (v)/Ė(v) か ら 導 か れ る

図 2 に観測された重力波から得られた，個々の星の(W. Ticky et al. 2000)。ここで添え字 c は定数を表

潮汐変形率 Λ1 ，
Λ2 の確率分布 (事後分布) を示す。2 つし、v = (M πf )1/3 は post-Newton パラメータと呼の破線はそれぞれ 90%，50% の信頼区間の境界を表し，ばれる無次元量である。

灰色の線は各状態方程式から Tolman-Oppenheimer-(dE/dv)(dE/dt)=

式 (7) の積分で表される第 4 項にのみ注目し，(5)， Volkoﬀ 方程式を解くことで求められる Λ の取り得る(6) を代入する。断熱近似 (ω/ωn → 0) を仮定し，星 範囲を示す。図の左下 (右上) にある状態方程式ほど
1,2 両方の寄与を足し，最低次と次の次数までを残す 軟らかい (硬い) ものである (More compact であるとことで，

Ψ(f ) = −いうことは，より軟らかいということを表す)。90%3
5/3
16Mch (πf )5/3(

信頼区間から外れているいくつかの状態方程式が棄) 却され，より軟らかい状態方程式が確からしいとい8
1 − Λ̃(M πf )10/3 + ...
5(8)

う事が考えられる。

を得る。ここに，チャープ質量

Mch = µ3/5 M 2/5(9)と，連星潮汐変形率Λ̃ =16 (m1 + 12m2 ) m41 Λ1 + (m2 + 12m1 ) m42 Λ2
13
M5
(10)

とを導入した。

3

GW170817 の観測と状態方程式の制限
図 2: 潮汐変形率 Λ の事後分布

2017 年 8 月 17 日，連星中性子星からのものと考えられる重力波が Advanced LIGO と Advanced Virgo

また，図 3 に各種状態方程式を基に描かれる，中によって検出された。2 で示した方法により，連星の性子星の半径 R(1.4M⊙ ) と Λ(1.4⊙ ) との関係を示す。
チャープ質量は Mch = 1.1977+0.0008−0.0003 M⊙ と求まった。
また，ベイズ統計を用いて連星潮汐変形率が Λ̃ ≤ 800 Λ(1.4M⊙ ) ≤ 800 という上限から，半径に対してもR(1.4M⊙ ) ≤ 13.6km という上限が課された。よりする。式 (8) の... で示した高次の項には中性子星のス 厳しく，50% 信頼区間の値を用いると R(1.4M⊙ ) ≤ピン χ = J/M 2 (J は角運動量) と質量比 q = m2 /m1 12.5km という上限が課される。なお，半径の下限にと制限された。後者の制限方法について具体的に説明が縮退している。χ，q の値に推測 (prior) を課したうえ

ついては，質量が 2M⊙ 中性子星が観測されているとでデータ解析をし，改めて得られた χ，q(posterior) をいう別の観測事実から，R(1.4M⊙ ) ≥ 9.8km という用いて 1.36M⊙ ≤ m1 ≤ 2.26M⊙ ，0.86M⊙ ≤ m2 ≤制限がある。

1.36M⊙ を得て，同様の解析で Λ̃ ≤ 800 を得た (なお，本発表では low-spin prior χ ≤ 0.05 を用いた解析についてのみ述べるが，high-spin prior χ ≤ 0.89

4Conclusionについても同様に考えられる)。さらに単体の星の今回レビューした (E. E. Flanagan & T. Hinderer

潮汐変形率についても，Λ(m) を m について展開す2008) の計算により，重力波の位相 Ψ(f ) からチャー40

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
W. Ticky, E.E.Flanagan, and E. Poisson, Phys. Rev. D
61，104015 (2000)

図 3: 中性子星の半径 R(1.4M⊙ ) と Λ(1.4⊙ ) との関係

プ質量 Mch ，連星潮汐変形率 Λ̃ の 2 つのパラメータが得られることが明らかになった。またこの手法が(B.P.Abbott et al. 2017) で重力波 GW170817 からのパラメータ取得に用いられ，その結果軟らかい状態方
程式がより確からしいことと，R(1.4M⊙ ) ≤ 13.6kmという上限が与えられることとが分かった。

Acknowledgement
本レビュー作成にあたり，京都大学理学研究科天体核研究室の先輩方から数多くの議論の機会やアドバイスを頂きました。お陰様で自分で考える機会が失われることなく，かつスムーズに理解を進めることができました。この場を借りてお礼申し上げます。
ありがとうございました。

Reference
E. E. Flanagan and T. Hinderer， Phys. Rev. D 77，
021502 (2008)
B. P. Abbott et al. (LIGO Scientiﬁc Collaboration andVirgo Collaboration) Phys. Rev. Lett. 119， 161101(2017)
E.Annala. T. Gorda， A. Kurkela， and A. Vuorien，
Phys. Rev. Lett. 120， 172703 (2018)
K. Chatziioannou General Relativity and Gravitation
52 (2020), 10.1007/s10714-020-02754-3
E. Poisson and C.Will ”Gravity”，Cambridge University Press (2014)41

——–index へ戻る

重宇 a09メモリー効果と量子性の解析
前田

新也

42

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力の量子性とメモリー効果
前田 新也 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
重力理論と量子論を整合させた量子重力理論はいまだ謎が多く未解明な部分が多い．昨今の量子制御技術の著しい発展に伴い，この思考実験が実現される期待が高まってきた．そこで Bose らが，量子もつれという量子力学に特有な非局所的な相関よって重力の量子的性質を評価する実験 (Sougato Bose et al. 2017)(C.

Marletto, & V. Vedral 2017) を提案した．しかし，ここではニュートン重力モデルが採用されており，重力の幾何学的性質や動的な自由度による効果は反映されていないため，十分な検証ではないとの批判が挙がっている．
我々は単純かつ効果的な BMV 実験をもとにして，場の量子論を用いた動的なモデルによる検証 (Yuuki

Sugiyama et al. 2017) を発展させることを考えた．まずは BMV 実験 (Sougato Bose et al. 2017)(C.
Marletto, & V. Vedral 2017) のレビューを行い，続けて (Yuuki Sugiyama et al. 2017) のレビューを行う．
最後に，そこからメモリー効果に注目した我々の研究について概要を発表する．

1

場の量子論を用いた動的なモデルによる検証 (Yuuki

Introduction

Sugiyama et al. 2017) が考案された．我々はこの結

重力理論と量子論を整合させた量子重力理論はい果を踏まえ，メモリー効果による変化を測定すること

まだ謎が多く未解明な部分が多い．この問題について Feynman は，量子系が作る重力場について次のよ
うな思考実験を発案した． 質量を持った粒子が重ね合わせの状態にあるとき，その粒子の作る重力場で検証を発展させることを考えた．まずは BMV 実験(Sougato Bose et al. 2017)(C. Marletto, & V. Vedral
2017) のレビューを行い，続けて (Yuuki Sugiyama
et al. 2017) のレビューを行う．最後に，そこからメは重ね合わせの状態になるだろうか．

モリー効果に注目した我々の研究について概要を発

昨今の量子制御技術の著しい発展に伴い，この思考表する．

実験が実現される期待が高まってきた．そこで Bose
らが，量子もつれという量子力学に特有な非局所的な相関よって重力の量子的性質を評価する実験 (Sougato

2

Bose et al. 2017)(C. Marletto, & V. Vedral 2017) をBMV 実験

提案した．位置の重ね合わせ状態にした粒子同士を重力相互作用させ，それらの量子もつれから重力の量子的性質を測る実験であり，BMV 実験と呼ばれている．しかし，ここではニュートン重力モデルが採用されており，重力の幾何学的性質や動的な自由度による効果は反映されていないため，重力の量子性
ではなく粒子の位置の量子性を測っているだけで十分な検証にはなっていないとの批判が挙がっている．
この提案の後，内部エネルギーと重力の相互作用を

図 1: Sougato Bose et al. 2017 より引用

組み込んだ量子時計による実験 (Kaku Youka et al.

2017) や，重力子のノイズによるデコヒーレンスのStern-Gerlach 干渉計を用いて 2 つの粒子をそれぞ

実験 (Kanno Sugumi et al. 2017) などの研究が行われ右の位置と左の位置の重ね合わせの状態にし，重れた．

力相互作用による量子もつれを評価する (図 1)．重

この単純かつ効果的な BMV 実験をもとにして，

432024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校と書かれる．それぞれの粒子は局所的に軌道の上を動くとして，カレント Jˆµ は力が量子的 (quantum) なモデルの場合は，x1 と x2の両方について量子化する．つまりポテンシャルはV̂ = −

Gm1 m2|x̂1 − x̂2 |JˆIµ (x) |P ⟩ ≈ JPµ (x) |P ⟩∫)dXPµ (4) (JPµ (x) = q dτx − XP (τ )
δ
dτ

(1)

と書かれる．量子的なモデルでは重力源の位置に応じて重力場が変化するため，重力場が重ね合わせのントの軌道である．このもとで Wightmann 関数と置の非局所的な相関が生じる．この相関は量子もつれと呼ばれており，量子力学に特有の現象となってい呼ばれる 2 点相関関数

Wµν (x, x′ ) = −る．一方で，半古典的 (semi-classical) なモデルの場
合は，重力源の位置について期待値を取ったポテン
シュレーディンガー方程式に現れるポテンシャルは⟨⟩Gm1 m2V̂1 = −
(2)
|x̂1 − x̂2 | 2

1
ηµν
(6)
4π 2 −(t − t′ − iϵ)2 + |x − x′ |2を計算することによって量子もつれを評価する．この計算ではクーロンポテンシャルの縦波成分のみならず動的な横波成分も含まれており，より正確で場の量子性を反映した検証となっている．

と書かれる．半古典的なモデルでは重力源の位置について期待値を取るため重力場はソース粒子の位置(5)と近似する．P = L, R，q は電荷で，XPµ (τ ) はカレ状態になっており，ソース粒子とプローブ粒子に位シャルをもう片方が感じる．つまり例えば粒子 1 の(4)

メモリー効果による検証

4に依らず，非局所的な相関，つまり量子もつれは発

重力メモリー効果について (Akihiro Ishibashi

生しない．以上のことから，粒子間の量子もつれを2022) のレビューを行う．漸近平坦時空において，計測定することによって重力の量子的な性質を調査し量の線形摂動 hab = gab − ηab のトレース反転テンようと試みるのが BMV 実験の概要である．

3

ソル

1
h̄ab = hab − ηab h2は，ソース項 Tab を含む波動方程式)(∂2− 2 + ∇ h̄ab = −16πGTab∂t

動的なモデルによる検証

(7)

(8)

を満たす．この方程式の Tab に基づく解はグリーン関数を用いて∫h̄ab = −16πG

d4 x′ G(x − x′ )Tab (x′ )(9)と書かれる．この時空のもとで測地線偏差方程式は

d2 ax = Ratbt xb
dt2

図 2: Yuuki Sugiyama et al. 2017 より引用と書かれる．方程式を 2 回積分すると，重力波バース

BMV 実験のセットアップを用いて，量子場による相互作用で動的な寄与を含めた量子もつれについてトを受けた粒子の位置の変化は hab のトランスバー
ス・トレースレス成分 hTabT を用いて評価する (図 2)．単純のため，ここでは場が電磁気
かつ量子的なモデルの場合のみを扱う．カレント Jˆµと U(1) ゲージ場 Âµ を用いて相互作用は∫()
V̂ = d3 x Jˆ1µ (x) + Jˆ2µ (x) Âµ (x)

(10)

∆xa =

1
∆hTabT xb
2(11)と書かれる．ここで十分遠方において，グリーン関
数の振舞い

(3)
G(x − x′ ) ≈44

1 δ(t − r)
4π
r

(12)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
より，位置の変化はステップ関数として振る舞うため，重力波バーストの通過後に戻ることはなく残り続ける．なおこの効果は重力波のみならず，電磁波や massless スカラー場の場合でも発生する．

BMV 実験のセットアップにおいて，このメモリー効果による量子性の検証を行う．先ほどの動的なモデルと同様の相互作用のもとで，マグナス展開を用いると |P ⟩1 |Q⟩2 の状態に対する時間発展演算子は[∫ÛP Q = exp − i d4 xJPµ Q (x)ÂIµ (x)
]
∫
∫
i
′
−
d4 x d4 x′ JPµ Q (x)JPν Q (x′ )Gµν
(x,
x
)
ret
2
(13)
µ
と書かれる．P, Q = L, R，JPµ Q (x) = J1P
(x) +
µ
J2Q
(x) である．第 2 項のソース項 J µ (x) と遅延グリーン関数 Gµν
ret の積分からメモリー効果が現れることが分かる．我々は，この永続的に寄与が残るメモ
リー効果を用いた量子性の検証実験を提案する．

共同研究者
南部保貞（名古屋大学），郭優佳（名古屋大学），
大澤悠生（名古屋大学）

Reference
Sougato Bose, & Anupam Mazumdar, & Gavin W. Morley, & Hendrik Ulbricht, & Marko Toroš, & Mauro
Paternostro, & Andrew A. Geraci, & Peter F. Barker,& M. S. Kim, & Gerard Milburn 2017, Phys. Rev.
Lett., 119, 240401
C. Marletto, & V. Vedral 2017, Phys. Rev. Lett., 119,240402
Kaku Youka, & Maeda Shin’ya, & Nambu Yasusada, &Osawa Yuki 2022, Phys. Rev. D, 106, 126005
Kanno Sugumi, & Soda Jiro, & Tokuda Junsei 2022,
Phys. Rev. D, 103, 044017
Yuuki Sugiyamae, & Akira Matsumura, & Kazuhiro Yamamoto 2012, Phys. Rev. D, 106, 045009
Akihiro Ishibashi 2022, Annu. Rep. RIST, No. 33, 31-37

45

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重宇 a10カーブラックホール周りの回転する天体の可積分性に
ついて
山本

聡一

46

未提出

47

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重宇 a11

ブラックホールの影と光子軌道の安定性
吉田

壮希

48

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校閉じた光子軌道の影によるブラックホールの決定吉田 壮希 (京都大学大学院 理学研究科 M1)

Abstract
近年、ブラックホールの影が直接観測されるようになったため、ブラックホールの影からより多くの情報を引き出すための理論整備が重要になってくると考えられる。今回は [1] に基づき、軸対称のブラックホール
において、時空の特性によってその影がどのように決定されるかを考察する。これによって影を決定するとKerr を変形した計量である Konoplya-Zhidenko 計量の例では尖った形になりうることを [2] に基づいて議論する。

1によらず、その基底ベクトル ∂t , ∂ϕ は Killing ベクト

Introduction

ルとなる。1 キリングベクトルと運動量の内積は
一般相対論によれば、光は重力によって曲げられd(gµν k µ pν )= pα ∇α (gµν k µ pν )dλ1
= pα pν ∇(α kν) = 0
2

るため、ブラックホールの十分近くを通る光はブラッ
クホールに落ちてしまい、観測者に届かない。逆に、観測者に届く光を時間的に遡ると、ブラックホールの十分近くから来る方向は影として観測され、そうで(2)

より軌道上で一定となるから、ない部分は背景の宇宙からの光が観測される。このE = −pt , L = pϕ

光を遡ったときに影となるか否かの境界は、ブラック(3)

ホール周りの不安定な閉じた光子軌道によって決定される。例えば、Schwarzschild ブラックホールは平は軌道上の定数となり、それぞれエネルギー、角運面上に円形の光子軌道（light ring, LR）を持つ。こ動量と呼ばれる。これらはアフィンパラメータの取の LR は光子軌道の摂動に対して不安定であるため、 り方による定数であるが、η = L/E はパラメータのこの LR の集まりが、光がブラックホールに落ちる 取り方によらず各軌道に固有の量となり、インパク
か無限遠に飛んでいくかの境界を形成し、ブラック

トパラメータと呼ばれる。

ホールの影を決定する。これと同様に、Kerr や Kerr

さらに、今回扱う Kerr、Konoplya-Zhidenko などのを変形した時空などの軸対称時空においても、不安

計量は隠れた対称性を持ち、(2 階の)Killing テンソ

定な閉じた光子軌道を使ってブラックホールの影がルを持つ。Killing テンソルは決定される。

2∇(µ Kνρ) = 0を満たす自明でないテンソルと定義され、Killing ベ

光子軌道の保存量

クトルと同様に軌道上の定数

ブラックホール周りの閉じた軌道を解析する上で、

K = Kµν pµ pν

軌道上の保存量を用いて軌道をパラメータ付けるこ(5)を誘導する。

とが有用である。光の軌道をアフィンパラメータ λ
µ

(4)

µ

を使って x (λ) と書き、その四元運動量を p と書く

今回扱う Konoplya-Zhidenko 計量において、これらと、これらは測地線方程式の 3 つの定数で測地線方程式が簡略化されることを見pµ ∇ µ p ν = 0

る。Konoplya-Zhidenko 計量は Kerr に変形パラメー(1)

タ ξ を追加して変形したもので、Boyer-Lindquist 座を満たす。ここで軸対称・定常な計量を仮定し、Boyer–Lindquist 座標を取ると、計量の各成分は t, ϕる.

49

1 Killing ベクトルとは, ∇(µ kν) = 0 を満たす k のことであ2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校と定義すると、式 (15) から


L
2 2
Q = sin2 ∆θ−aE
cos2 ∆θ

標で次のように表される。[2]
2M r2 + ξρ2 2
22
ds = − 1 −dt+
dr + ρ2 dθ2
rρ2
∆


(2M r2 + ξ)a2 sin2 θ2
2
2+ sin θ r + a +
dϕ2 .
rρ2
(6)

なることがわかる。なお, Q は E や L と同様、軌道

ただし、M は質量、a は回転パラメータでありのパラメータ付けによる量であるため, パラメータに∆ = a2 + r2 − 2M r −(17)となり、Carter constant は ∆θ に対して単調増加とよらない量に変換したものを

ξ
,
r

(7)

ρ2 = r2 + a2 cos2 θ

σ=

(8)

Q
E2

(18)

と定義し、これも Carter constant と略称する。

である。なお、変形パラメータを ξ = 0 としたもの
は Kerr 計量である。Killing テンソルは(r2 + a2 )2 µ νδt δt − ∆δrµ δrν∆(r2 + a2 )a µ ν a2 µ ν+δt δϕ + δϕ δϕ + r2 g µν∆∆

3K µν =(9)

観測者からの見え方と保存量
次にブラックホールの影の形を議論するためには、

ブラックホール周りの閉じた不安定軌道と、その周である。測地線方程式の t, ϕ 成分は保存量の定義式

辺の光が観測者から見てどの方向からやってくるかを解くことでとの対応関係を得ることが不可欠である。一般には(a2 E − aL + Er2 )(2M r2 + ξ)
,
∆ρ2 r
h
1
aE sin2 θ(2M r2 + ξ)ϕ̇ =2
∆ρ2 r sin θi+ a2 Lr cos2 θ − L(2M r2 − r3 + ξ)ṫ = E +この対応関係は数値的に得られるが、上述の Carter(10)

constant が存在する場合には、この対応関係は保存量を介して解析的に得ることができることを見る。

(11)と得られ、r, θ 成分の式はハミルトニアンの拘束条件

H(x, p) = g µν (x)pµ pν = 0

(12)

から

ρ4 ṙ2 = R(r)= −∆[Q + (aE − L)2 ] + [aL − (r2 + a2 )E]2 ,ρ4 θ̇2 = p2θ = Q − cos2 θ2L− a2 E 2
sin2 θ



(13)
(14)
図 1: 観測者から見た光の天球面上の座標とかける。ここで Q は

Q = K µν pµ pν − (aE − L)2

まず簡単のために観測者は赤道面上にいるとし、図(15)1 のように、観測者に届く光を計量が平坦と仮定しと定義され、Carter constant と呼ばれる。空間的にて遡り、観測者からブラックホールの中心にひいた閉じた軌道を考えると、軌道上で θ が最大または最直線と垂直な、ブラックホールを通る平面との交点

小となる点が存在して、その点では θ̇ = 0 が満たさの位置 (x, y) を光の軌道の座標とする。観測者とブれる。計量は赤道面に関して対称であることに注意

ラックホールの距離を r0 とおくと、観測地点での四して、それぞれの閉じた軌道に対して∆θ = θmax −ππ= θmin −
2
2

(16)

50

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
元運動量を使って、(x, y) は次のように書ける。[2]√grr pϕx = −r0 √,(19)
gϕϕ pr√grr pθ
y = r0 √.
(20)gθθ pr
これを保存量を使って表し、r → +∞ の極限を取ると、√
x = −η, y = ± σ(21)となる。こうしてそれぞれの閉じた軌道から少しずれた軌道が観測者の天球面のどの位置に見えるかという対応関係が保存量を介して得られる。

4

図 3: Kerr 計量における閉じた軌道の概形図
者から見た軌道の (x, y) 座標を考えると、各 x (= −η)Kerr ブラックホールの影

での影の境界の位置はここまでのことを使って Kerr ブラックホールの影

y=±の形を説明する。Kerr 計量の閉じた軌道はすべて rpσ(η(x))(23)

が軌道にそって一定であり、その半径および ∆θ と ηと関係づけられ、影が決定される。これを図示したの解析的な関係、そして、それらの軌道がすべて不ものが図 4 である。

安定であることが知られている。その分布は図 2, 図

3 の通りである。 なお、rperi はこれらの閉じた軌道

図 4: Kerr ブラックホール (a = 0.820M ) の影

図 2: Kerr 計量 (a = 0.820M ) における, 各 η での閉じた軌道の分布とその rperi , ∆θ.[1]5と赤道面との交点がなす赤道面上の円の半径に対応する量で、この円上での積分によってI√
2πrperi = dϕ gϕϕ

Konoplya-Zhidenko 回転ブラックホールの影
次に、Konoplya-Zhidenko 回転ブラックホールの影が尖った形になることを見る。この場合、閉じた軌道上での r は一定とは限らないが、軌道と赤道面(22)の交点の集まりは単一の円となるため、Kerr の時とと定義される。Kerr 計量の場合は 1 つの η に対応

同様に rperi が定義できて、∆θ, rperi と η の関係はそする rperi , ∆θ は 1 つだけであり、すなわち Carter

れぞれ図 5, 図 6 のようになる [2]。

constant σ(η) も各 η に対して 1 つだけ対応する。観測51

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
境界を決定する不安定軌道は η が増加するとともに

A-E の系列から F-D の系列に不連続に切り替わり、
その不連続性が尖った影として現れる。これを図示したものが図 7 である。

図 5: Konoplya-Zhidenko 計量 (a = 2M, ξ = 0.5) における, 各 η での閉じた軌道の分布とその ∆θ.[2] 赤の破線は安定な軌道を、青の破線および緑の実線は不安定なものを表す.

図 7: Konoplya-Zhidenko 回転ブラックホール (a =2M, ξ = 0.5) の影 [2]. 実線が影の境界であり, A-Fの頂点は図 5, 図 6 でのものに対応する.

まとめ

6

今回は、[1] に基づいて軸対称計量で保存量を介してブラックホールの影を決定する方法を考察し、尖った影になる場合があることを [2] の具体例を通して確
図 6: Konoplya-Zhidenko 計量 (a = 2M, ξ = 0.5) に認した。

おける, 各 η での閉じた軌道の分布とその rperi .[2]凡例は図 5 と同様.

Acknowledgement

ここで不安定な閉じた軌道に着目すると、1 つの ηに対応する r, ∆θ が 2 つ存在する場合があり、その本発表にあたり、ご指導いただいた天体核研究室・基ような η には Carter constant σ(η) が 2 つ対応する√
ため、1 つの x (= −η) での境界 y (= σ) の候補が

礎物理学研究所の皆様、講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営の皆様に深く御礼申し上げます。

2 つ存在することになる。しかし、2 つの境界候補の間には、内側に対応する閉じた軌道から少しだけずれた光などが届くことができるため、この部分は影Referenceとならず、実際に影の境界となるのは内側、すなわ[1]Pedro V.P. Cunha, Carlos A.R. Herdeiro, & Eugen
Radu, Phys. Rev. D 96, 024039 (2017)[2]

Mingzhi Wang, Songbai Chen, & Jiliang Jing,
JCAP 10 (2017) 051

ち |y| が小さい方の候補となる。Carter constant は∆θ に対して単調増加であったため、影の境界を決める不安定軌道は ∆θ が小さい方の軌道となり、これは図 5, 図 6 の緑の実線に対応する。その結果、影の52

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重宇 a12

Schwarzschild 時空における測地線の再検討
関根

粛稀

53

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Schwarzschild 時空における測地線の再検討
関根 粛稀 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホールは現代における最も標準的な重力理論である一般相対論によって予言される時空構造である。
ブラックホールは強い重力場によって光さえも脱出できないなどの興味深い性質を持ち、近年では、Event

Horizon Telescope が銀河中心ブラックホールの撮影に成功した。一般相対論が発表された直後、Schwarzschild
によって一般相対論の基礎方程式である Einstein 方程式を球対称かつ静的であるという条件の下に解いた厳密解が導出された。これは Schwarzschild 解と呼ばれ、ブラックホール時空構造を持っている Einstein 方程式の最も単純な解である。以降、この解によって記述される Schwarzschild 時空での運動する物体や光の軌道を理解するための研究が現在まで続いている。
本発表では論文 [1] のレビューを行う。Schwarzschild 測地線方程式の解の表し方は様々であるが、今回用いるのは Biermann-Weierstrass の定理に基づいた Weierstrass 楕円関数である。これを用いて測地線方程式の解を表し、Schwarzschild 時空における物体の軌道を記述する timelike 測地線と光の軌道を記述する null
測地線についての議論を行う。

1

Introduction

2

今 回 、ブ ラック ホ ー ル へ の 物 体 や 光 の 軌 道 を計量
新たな座標時間を以下のように導入する。

∫ r [(

探 る 上 で 、最 も 単 純 な ブ ラック ホ ー ル の モ デ ル(Einstein 方 程 式 の 球 対 称 静 的 時 空 の 真 空 解) で

t=t+

1−

あ る Schwarzschild ブ ラック ホ ー ル を 取 り 扱 う。

(

2M
ds = − 1 −
r

)

(

2M
dt + 1 −
r
2

)−1

]
− 1 ds(2)

これにより (1) の計量はSchwarzschild ブラックホールの計量は
2

2M
s

(
(
)
)
2M
2M
4M
ds2 = − 1 −dtdr+ 1 +
dt2 +
dr2
r
r
r

)−1
dr

2

+ r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2

+ r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2

(1)

(3)

と書き換えることができる。この座標を Eddington-と書ける。

Finkelstein 座標といい、ホライゾン (r = 2M ) で正する動機は、Schwarzschild ブラックホールへの相対 則となっていることがわかる。
本研究で Schwarzschild 時空での測地線を再検討

論的無衝突運動ガスの降着に関する研究と強く結びついている。この研究は、ガスのモンテカルロ型シ3ミュレーションを構築することを目的としているた

測地線運動

め、Schwarzschild 計量における全ての timelike およ測地線に沿って動く単一の粒子のハミルトニアン
び null の軌道を簡潔に記述できるものを探していた。 H について
本研究ではその具体的な手法についての紹介と導出
を行う。

H=

1 µν αg (x )pµ pν2(4)を考える。ここで、(xµ , pµ ) は正準変数として扱う。
ここでハミルトン方程式

dxµ∂H dpµ
∂H
=
,
=− µ
ds̃
∂pµ ds̃
∂x

54

(5)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、ϵr , ϵθ は運動方向に対応する符号でありは測地線方程式

d2 xµdxα dxβ
µ
+
Γ
=0
αβ
ds2
ds̃ ds̃ϵr = ±1, ϵθ = ±1(6)

有効ポテンシャル Uλ (ξ) はtimelike の場合

を導く。

(
2 )(
λ2 )
Uλ (ξ) = 1 −
1+ 2
ξ
ξ

timelike 測地線では、アフィンパラメータ s̃ を再スケーリングされた固有時間として以下のように選
択する。

τ̃
m
ここで m は静止質量とする。
s̃ =

(16)

null の場合(7)(2 ) λ2Uλ (ξ) = 1 −ξ ξ2null 測地線の場合

(17)

となる。

m = 0, H =1 µν
g pµ pν = 02

球対称な空間では軌道面が変化せずどの面も等価(8)であるため、運動を赤道面に限定して考える (θ =

となる。

π dθ
2 , ds = 0) と運動方程式はハミルトニアン H は計量 (3) を使うと

1[
H = g tt (r)p2t + 2g tr (r)pt pr + g rr (r)p2r2
p2φ )]
1(+ 2 p2θ +rsin2 θ

√dξ= ϵr ε2 − Uλ (ξ)
ds
dφ
λ
= 2
ds
ξ
√
2 ε2 − Uλ (ξ)
dτ
ε
− ϵr
=
ds
1 − 2ξ
ξ(1 − 2ξ )(9)と書き換えられる。これと (5) の左側の式を使うと粒子の運動方程式を導ける。

timelike の場合√
dξ2ε2 − 1 4= ϵr
ξ + 2 ξ 3 − ξ 2 + 2ξ
2
dφ
λ
λ

定義することにする。

timelike 測地線の場合
t = M τ, r = M ξ, pr = mπξ , pθ = M mπθ ,

M
s
m

(20)

(21)

null の場合
(10)
dξ
= ϵr
dφ

新しいアフィンパラメータ s についても

s̃ =

(19)

(18) と (19) から導出にあたって無次元に再スケールされた変数を

E = mε, l = M mλ, lz = M mλz

(18)

√

ε2 4
ξ − ξ 2 + 2ξ
λ2

(22)

が得られる。

(11)と定義する。

null 測地線の場合、(10),(11) について任意の質量パラメータ m̃ > 0 を導入する。

4

g2 , g3 というパラメータに依存している Weierstrass

以上のことを踏まえると運動方程式は以下のようの楕円関数 ℘(z; g2 , g3 ) は以下の積分方程式を満たす。

に書ける。

√
dξ
= ϵr ε2 − Uλ (ξ)
ds
dφ
λz
= 2 2
ds
ξ sin θ√dθ1λ2z
= ϵ θ 2 λ2 −dsξsin2 θ
√2 ε2 − Uλ (ξ)
dτ
ε
=
− ϵr
2
ds
1− ξ
ξ(1 − 2ξ )Biermann-Weierstrass の定理∫ ℘(z)
(12)

z=
℘(0)

(13)
(14)

√

dx
4x3 − g2 x − g3(23)

こ こ で Biermann-Weierstrass の 定 理 (Biermann-

Weierstrass 1860) を導入する。
４次の多項式(15)f (x) = a0 x4 + 4a1 x3 + 6a2 x2 + 4a3 x + a4

55

(24)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校を定義する。この式が

∫ x

dx
√
f (x′ )
x0

z(x) =

粒子軌道6′(33) を実際にプロットしてみる。ここで、半径 ξ(25)と角度 φ について極座標変換した座標 (x, y) での軌のように楕円積分の形をとるとき

道をプロットする。

g2 = a0 a4 − 4a1 a3 + 3a22

(26)

g3 = a0 a2 a4 + 2a1 a2 a3 − a32 − a0 a23 − a21 a4(27)timelike の場合となり
x = x0()√
1 ′′
1− f (x0 )℘′ (z) + 12 f ′ (x0 ) ℘(z) − 24
f (x0 ) + 24
f (x0 )f ′′′ (x0 )
+
(
)2
1 ′′
1
2 ℘(z) − 24
f (x0 ) − 48
f (x0 )f (4) (x0 )
(28)

と書ける。
図 1: 落下軌道

定理の適用

5

(21) と (22) について√の中身を (24) と係数比較をするとtimelike(21) の場合
a0 =ε2 − 11, a1 = 2 ,
2
λ
2λ
1
1
a2 = − , a 3 = , a 4 = 0
6
2

(29)

null(22) の場合
a0 =ε2, a1 = ０,λ2

図 2: 束縛軌道11a2 = − , a 3 = , a 4 = 0
6
2

(30)

となる。
また、どちらの場合でも√dξ= ϵr f (ξ)
dφ
より

(31)

∫ ξ
φ=

dξ ′
√
f (ξ ′ )ξ0図 3: 無限遠からの落下軌道(32)(ξ0 は角度 φ = 0 に対応する任意の半径) を得る。
よって Biermann-Weierstrass の定理を使って−ϵr
ξ(φ) = ξ0 +

√

(
)
1 ′′
1
f (ξ0 )℘′ (φ) + 12 f ′ (ξ0 ) ℘(φ) − 24
f (ξ0 ) + 24
f (ξ0 )f ′′′ (ξ0 )
(
)2
1 ′′
1
2 ℘(φ) − 24
f (ξ0 ) − 48
f (ξ0 )f (4) (ξ0 )(33)と求めることができた。

56

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
null の場合

図 4: 光子円軌道とその内側の落下軌道

図 5: 無限遠からの落下軌道

7

Summary
ま ず ホ ラ イ ゾ ン で 正 則 と な る 座 標 を 選 び 、測地線の運動方程式を導出した。その後 Biermann-

Weierstrass の定理を使うことで動径座標 ξ(φ) を求めることができた。これによって timelike および nullについて、あらゆるタイプの軌道を１つの式で表すことができた。今後の展望として、今回プロットした軌道と数値積分して求めた軌道を比較し、どれく
らいの精度で一致しているのかを調べていきたい。

Reference
Adam Cieslik and Patryk Mach, Class. Quantum
Grav. 39 225003

57

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重宇 a13

古典的な double copy について
大西

悠稀

58

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Black holes and the double copy大西

悠稀 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
近年、重力理論とゲージ理論の間に (重力理論)=(ゲージ理論 )2 のような対応 (double copy) が成立する可能性が発見された。ゲージ理論の摂動論は非常に理解が進んでいるが、重力理論は摂動論においても無限に高階微分項があり理解が進んでいない。double copy はこれらの一見異なる理論の間に単純な関係が成立することを示唆しており、重力理論の解析に大きな役割を果たすことが期待されている。この double copy の代表例として BCJ 対応と呼ばれる対応が知られている。これは (重力の散乱振幅)=(ゲージ理論の散乱振幅)2 のような対応である。tree level において成立することが証明されており、all order で成立することが期
待されている。本発表では、BCJ 対応から予見される古典的な double copy[1] に関してレビューをする。まず、ゲージ理論の解と定常的な Kerr-Schild タイプの計量が double copy により対応付けられることを示す。
その例として、Schwarzschild 計量が Coulomb ポテンシャルと対応し、Kerr ブラックホールが自転する電荷のポテンシャルと対応することを見る。さらに、この double copy が定常 Kerr-Schild 解に限らないより広いクラスの解に対しても拡張できる可能性について議論する。この double copy についてのより深い理解
は、重力理論のさらなる発展に繋がるものである。

1• string と場の理論の関係を深く探る

Introduction→ とりあえず、double copy が正しいと信じて進む

BCJ 対応：YM 理論の散乱振幅 A の colour-factor
ci → kinematic numerator ni とすることで重力によdouble copy の tree-level では、double copy はる散乱振幅 M となるという対応 −→ A ∼ M (double

KLT 関係（弦理論における開弦と閉弦の散乱振幅）

copy)と等しいことがわかっているもし完璧な double copy

2

(L)
Mm
= iL+1ができることになれば、exact な解についても関係がL( κ )m−2+2L ∑ ∫ ∏dd p2

L m−2+2L
A(L)m =i gi∈Γl=1

l 1 ni ñi(2π)d Si Παi p2αiL∑∫ ∏d d pl 1 n i c i(2π)d Si Παi p2αii∈Γ見つかるはず BCJ double copy は、tree-level では成
り立つことが証明されているが、loop ではあまり進んでいない。

→ classical な範囲で本来 loop を含むはずの計算に

l=1おける double copy を探ることにより、quantum のYM 理論：非可換ゲージ理論。現在の素粒子標準模範囲における loop についての double copy を考える

型のもとになっている理論

ことができるかもしれないとりあえず今回は、Kerr←→ 重力理論: 複雑 Schild 型の計量を持つものに対して、double copy 的な計算な解釈ができるかを探求する
double copy は、以下のような新しい理論を構成する

Yang-Mills 理論は比較的容易可能性がある。

• 重力波に対する GR 摂動を計算する新しい方法

2になる• BCJ 対応と double copy によって、可能な量子重力理論を探る

Kerr-Schild-type metric andsingle copy
Kerr-Schild の形でかけるときの double copy について考える。

• YM 理論や重力における新しい（非）摂動解を

gµν = ηµν + hµν = ηµν + ϕkµ kν

生み出す

59

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
このときの Ricci tensor, Ricci scalar は、Rνµ =と書ける。self-dual 理論に対する kˆµ は、

11kˆu = 0, kˆv = ∂w , kˆw = 0, kˆw̄ = ∂u441 µ(∂ ∂α (ϕk α kν ) + ∂ν ∂ α (ϕkα k µ ) − ∂ 2 (ϕk µ kν ))2とかけて、k̂·∂ = 0 である。このとき、真空の EinsteinR = ∂µ ∂ν (ϕk µ k ν )eq. は

定常的な解を仮定し、一般性を失わずに k 0 = 1 とする。今回は、Abelian な gauge 場（後述）と FieldRµν =Strengthk̂µ に具体的な量を代入することでκ∂ 2 ϕ − (k̂ µ k̂ ν ϕ)(∂µ ∂ν ϕ) = 0
2
これは self-dual な重力に対する Plebanski eq. これ

Aµ = ϕkµ , Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµを定義すると、真空の Einsteinκ[−k̂µ k̂ν ∂ 2 ϕ + κ(k̂µ k̂ν ∂ρ ∂σ ϕ)(k̂ ρ k̂ σ ϕ) − κ(k̂µ k̂ρ ∂ σ ϕ)(k̂ν k̂σ ∂ ρ
2eq.Rµν = 0 は、を書き換えると、∂µ F µν = ∂µ (∂ µ (ϕk ν ) − ∂ ν (ϕk µ )) = 0k̂ν (∂ 2 ϕ + ig[∂w ϕ, ∂u ϕ]) = 0と Maxwell eq. の形になる。

これは self-dual YM eq. に他ならない• ϕ は amplitude でいう propagator の働きをする。
• Aµ は、kµ に対してスカラー場 ϕ をかけて得ら

3

れる（single copy）• 自由度を数えると、gauge 理論=gravity+dilaton

Example1:Schwarzschild
metric
最も簡単な真空解として、Schwarzschild 解を考え

場+2-form 場であるが、hµν の symmetry とる。graviton 場はtracelessk 2 = 0 により dilaton と 2-form の分κM µϕkµ kν , ϕ =, k = (1, xi /r), r2 = xi xi24πrとなり、single copy により abelian gauge 場 Aµ =の自由度は残されていない。

hµν =• こんな風に、Aµ Aν ∼ hµν となって、かつ Ein-

stein eq. を満たす hµν に対して、Aµ が YM 方 ϕkµ に対して、
程式（今回はほとんど Maxwell 方程式）を満た

11κ
→ g, M → ca T a , kµ kν → kµ ,
→
2
4πr
4πr
すようなときに、これを”double copy 的な解釈”という、BCJ 対応からくる置き換えにより、と呼ぶことにする。
gca T a ( x )µA=1,
散乱を見るために、運動量空間で同様の Kerr-Schild
4πrr
ansatz を使う。すると、kµ は位置空間で微分演算子 と得る。 これは、Abelian Maxwell eq.
となり、計量は∂µ F µν = j νgµν = ηµν + hµν = ηµν + kˆµ kˆν ϕwith current
計量が symmetric になるように、[kˆµ , kˆν ] = 0 とすj ν = −g(ca T a )v ν δ (3) (x), v µ = (1, 0)

る。また、dilaton 場を除くように、hµν を trace freeを課すと、k̂ 2 = 0 このとき、light-cone coords を用
いて解を記述する。

u = t − z, v = t + z, w = x + iy, w̄ = x − iyとすると Minkowski 線素は

ds = −dudv + dwdw̄
2であり、これは原点で静止している colour charge の満たす方程式と等しい。これはさらにゲージ変換
( )
gca
r
Aaµ → Aaµ + ∂µ χa (x), χa = −
log
4π
r0
により、

(
Aµ =

)
gca T a, 0, 0, 0
4πr

これは d-次元に拡張することができる。

60

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Example2: Kerr metricdoublecopy

gauge 場 Aµ = kµ ϕ −−−−−−−→graviton 場 hµν =kµ kν ϕ と同様に、

Kerr(電荷がなく、自転している) ブラックホール

doublecopy

currentj µ −−−−−−−→energy-momentum tensorT µνについて考える。このとき、graviton 場はと考えられる。

(

hµν = ϕ(r)kµ kν
T

µν

ここで、

2M Gr3ϕ(r) = 4, kµ =
r + a2 z 2(

rx + ay ry − ax z
1, 2,.
r + a2 r 2 + a2 r)

2)[ξ µ ξ ν −cos2 θη̃ µν ]Cartesian 座標では、η̃ µν = diag(−1, 1, 1, 0)
第 1 項は回転する電荷が回転する mass に置き換えられた、pure な double copyである。ここで、r は、以下で定義される。
2

M sec3 θ= δ(z)Θ(a−ρ) −8πa2

第 2 項は disk を安定にするために必要な動径方向圧力項である。

2x +yz+ 2 =12
2
r +ar
ただし、x2 + y 2 ≤ a2 , z = 0 を除く。BCJ 対応にお5

ける置き換え”square root”

Example3:plane wave
時間依存する真空解として、d 次元の平面波解 (pp-κ1
1
→ g, M → ca T a , kµ kν → kµ ,
→
2
4πr
4πr

wave) を考える。pp-wave は Kerr-Schild タイプであるので

g
ϕ(r)ca kµ4πを Kerr-Schild single copy で定義するとこれはまた
Aaµ =gµν = ηµν + hµν = ηµν + ϕkµ kν

Maxwell eq. の解となっている。source を具体的に書 このとき、lightcone 座標 xµ = (u = z − t, v = z +くことを考える。Kerr 時空をつくる最小限の source t, xi ) with i = 1, · · · , d − 2 を用いると、pp-wave
は、ring 状特異点を示す disk である。楕円体座標sol. は√√x = r2 + a2 sin θ cos ϕ, y = r2 + a2 sin θ sin ϕ, z = r cos θ kµ dxµ = du = dz − dt, ϕ = ϕ(u, xi )であるので、Einstein eq. は、を導入すると、energy-momentum tensor は、T µν = σ(wµ wν +ζ µ ζ ν ), σ = −Mδ(z)Θ(a−ρ)
8π 2 a cos θ∂i ∂ i ϕ = 0
これより、gauge 場はwith(wµ = tan θ 1, 0,

)
)
(
1
1
Aaµ = kµ ϕa (u, xi )µ, ρ = a sin θ
,
0
,
ζ
=
0,
2
a cos θ, 0, 0
a sin θ
やはり、Kerr-Schild 計量は double copy が可能であ
また、wµ wν は面密度項、ζ µ ζ ν は圧力項である。する。
ると、source current()
g(ca T a )1
sec2 θ
µ2
j = −δ(z)Θ(a−ρ)
sec θ, 0,,0
4π a2 cos θa
6 Example4:Shock waveを得る。また、vectorξ µ = (1, 0, 1/a, 0) を導入する

無限大に加速された粒子には衝撃波が生じ、そのと、

j µ = qξ µ , q = −δ(z)Θ(a − ρ)

ときの場は Lorentz 収縮し、粒子の運動方向に対して垂直、横（transverse）方向の ﬂat plane 上に存在

g(ca T a )sec3 θ
4πa2する。このとき、計量は Aichelburg-Sexl 計量で記述

これは、z 軸に関して回転する colour charge の分布され、4 次元においては、平面波解の形をとり、になる。

ϕ(u, xi ) = Cδ(u) log |x|61

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
QCD と gravity における摂動的な衝撃波の関係はよく議論されている。それによると、gauge 理論側
が Abelian か Non-Abelian かによらず double copy
的な関係を満たす。

7

Discussion• なぜ Non-Abelian ではなくすべて Abelian なのか？Kerr-Schild ansatz は、coupling const. の 1
次までしかとっていない→higher-order の non-Abelian の項を無視している• double copy が明らかにするにはどういう gaugeのとり方をすべきかという一般的理解が足りていない。

→ 線形化されたされたレベルについては、gauge
symmetry について考えることで解決を図っている• これらだけではなく量子化したときの double
copy を考える取り組みも進んでいる。

8

Conclusion• double copy は散乱振幅を通じて gauge 理論と重力理論をつなぐものである。

• Classical で Kerr-Schild タイプの計量に対しては double copy 的な関係は成り立つ• ただ Kerr-Schild では線形的であるので、Nonabelian ではなく abelian になる

Reference[1] R. Monteiro, et al. arXiv: 1410.0239v2 [hep-th],2015[2] W. Israel, Source of the Kerr metric,
D2 (1970) 641–646.

Phys.Rev.

[3] A. Anastasiou,et al. Yang-Mills origin of gravitational symmetries, 1408.4434.
[4] N. Bjerrum-Bohr, J. F. Donoghue, and P. Vanhove, On-shell Techniques and Universal Resultsin Quantum Gravity,
JHEP 1402 (2014) 111,
1309.0804. 22

62

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重宇 a14複素スカラー場を用いたワームホール解と安定性解析
林

知哉

63

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

複素スカラー場を用いたワームホールとその安定性
林 知哉 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対性理論特有の時空構造の一つとしてワームホールがある。通過可能なワームホールが安定的に存在するためには Null エネルギー条件 (NEC) を破るようなエキゾチック物質が必要だと考えられている。エ
キゾチック物質を導入する方法はさまざまであるが、その一つにスカラー場のラグランジアン密度の運動項が負であるゴーストスカラー場を用いる方法がある。今まで、実ゴーストスカラー場を用いたワームホール
解の解析は頻繁に行われてきたが、複素ゴーストスカラー場を用いることは少なかった。複素ゴーストスカ
ラー場を用いることで、ボゾン・スターの構築に用いられる複素カノニカル・スカラー場の場合と同様に、調和的な時間依存性を導入することができる。そこで本論文では、4 次自己相互作用を持つ複素ゴーストス
カラー場を導入することで自明でない時空トポロジーを持つ均衡方程式を導き、球対称で漸近的に平坦な平衡解を得た。そして、その解の線形半径摂動に対する不安定性を示す。解析の結果、複素ゴーストスカラー
場を用いても安定解が得られないことがわかった。

1

Introduction
本発表は、[1] のレビューを行う。ワームホールとは、二つの領域を繋ぐ幾何学的構造のことである。
ワームホールを用いると異星間移動やタイムトラベ
ルができる可能性がある。しかし通過可能なワーム
ホールは、Null エネルギー条件が破られることが知られている。[2] そのような物質を導入する方法にゴー

図 1: 静的球対称ワームホール模式図 (t = const, θ =ストスカラー場を用いる方法がある。ゴーストスカ

π/2 の二次元スライスの埋め込み図)

ラー場とは、運動項の符号が負のスカラー場である。
これまでに、実ゴーストスカラー場を用いた研究は静的球対称ワームホールについて議論したい場合、以行われてきた。特に、４次の自己相互作用項を持つ

下のような座標系と計量を選ぶ。

ような実ゴーストスカラー場は研究されている。しかし、安定なワームホール解は知られていない。本

ds2 = eν(r) (dx0 )2 − dr2 − R(r)2 dΩ2

発表では、４次の自己相互作用項を持つメキシカン

x0 が時間座標、r が動径座標である。ν と R は r に

ハット型のポテンシャルを含んだ複素ゴーストスカ

のみ依存する。今回は、r の範囲を (−∞, ∞) とし

ラー場を用いて静的球対称ワームホール解を数値的

r → ±∞ で漸近的平坦領域を表す。ワームホール時空に導出する。さらに、解の不安定性についても議論は二つの漸近的平坦な領域を繋ぐ喉（Throat）と呼ばする。

れる構造を持ち、今回の場合は r = 0 でワームホール(2)の喉であるとする。つまり、R(0) = min{R(r)} = Rc

2とし Rc > 0 を喉の半径と呼ぶ。また、今回は計算を

静的球対称ワームホール

楽にするために R(r) = R(−r), ν(r) = ν(−r) とし、

r は [0, ∞) のみを考える。

一般に球対称時空は下のような形になる。

ds2 = eν (dx0 )2 − eµ dr2 − eλ dΩ2

(1)

64

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

ゴーストスカラー場

3

今回は下のような作用を考える。（c = ℏ = 1）
[
]
∫
√
−R
S = d4 x −g
+ LM
(3)
16πG
1
1
LM = − g µν ∂µ Φ∗ ∂ν Φ − V (|Φ|)(4)
2
2

LM の運動項に注目すると、符号が負になっている
ことが分かる。このようなスカラー場をゴーストス
カラー場と呼ぶ。(3) からエネルギー・運動量テンソ
ル T µν は1
T µν = − g µσ (∂σ Φ∗ ∂ν Φ + ∂σ Φ∂ν Φ∗ )2
1
+ δ µν (g λσ ∂λ Φ∗ ∂σ Φ + V (|Φ|))2

図 2: 喉の半径のグラフ φc =

(5)

∂Φ
1
∂ √
√
−gg µν ν
µ
∂x
−g ∂x

]

′′

=

dV
Φ
d|Φ|2

(

ϕ +
(6)

今回は、複素スカラー場を Φ(r, x0 ) = ϕ(r)e−iωxr→∞で

シャル V (|Φ|) を下のように仮定する。

R → r, eν → 1 −(12)
また、スカラー場も 0 ≤ ω/m ≤ 1 の範囲で√
ϕ → C1 exp (− m2 − ω 2 r)(mr)β for 0 ≤ ω/m < 1√
exp (− 8|C2 |mr)ϕ → C3for ω/m = 1 (13)(mr)3/4√
C1 , C2 , C3 は積分定数、β = −1 + C2 ω 2 / m2 − ω 2coupling constant) である。

数値解析
前節から、(2),(5),(6) からアインシュタイン方程式′と場の方程式は下のようになる。( は d/dr である。)

である。r = 0 での値は静的球対称ワームホールの条件からそれぞれ[ ′′ ( ′ )2 ]
R
R
1
− 2
+
+ 2 = 8πGT 00
R
R
R
′2

2 −ν 2= 4πG[−(ϕ + ω e

−

′

R
R

(

′

R
+ ν′
R

ϕ )+V]

R(0) = Rc , ν(0) = νc , ϕ(0) = ϕcR′ (0) = 0, ν ′ (0) = 0, ϕ′ (0) = 0
(8)

(14)

とする。
図 2 では、λ̄/4πGm2 = 500, 200, 100 の場合を載せ)+

1= 8πGT 11
R2ている。Ω が増大するにつれて、喉の半径 Xc = mRc= 4πG(ϕ′2 + ω 2 e−ν ϕ2 + V ) (9)

−

C2
2C2
, R′ → 1 −
mr
mr

(7)

m は質量パラメータ、λ̄ は自己相互作用定数 (self-

4

)
(
)
1 ′
R′
dV
′
2 −ν
ν +2
ϕ + ω e +
ϕ=0
2
R
d|Φ|2
(11)

ここで、漸近的平坦を課しているので境界条件は0（ω = 0 のき実スカラー場に対応する）としポテン

1
V (|Φ|) = −m2 |Φ|2 + λ̄|Φ|42

4πGϕc , Xc = mRc[1]

物質場の方程式は[√R′′
1 R′ ′ 1 ′′ 1 ′2+
ν + ν + ν = −8πGT 22
R
2R
2
4
′2
= −4πG(−ϕ + ω 2 e−ν ϕ2 + V )も増大していることが分かる。

5

安定性解析
線形摂動を行って、前節で求めた静的球対称ワーム(10)ホール解の安定性を解析する。(1) の計量関数 ν, λ, µ65

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校に対して

ν = ν0 (r) + νp (r, x0 )µ = µp (r, x0 )(15)0λ = λ0 (r) + λp (r, x )と置く。また、Φ に対しても

Φ(r, x0 ) = {ϕ0 (r) + Φ1p (r, x0 )+ iΦ2p (r, x0 )}e−iωx

0

(16)

と置く。添え字に 0 がついている関数は 3 節で求めた静的球対称時空であり、p が着いているのは新たに加えた摂動項である。今回は、νp = λp − 2µp とゲー

図 3: χ20 のグラフ (χ20 は χ2 の最小値)[1]ジを固定した。よって、アインシュタイン方程式と場の方程式を整理すると µp , λp , Φ1p のみの方程式に上記のように摂動関数 µp , λp , Φ1p を仮定し、境界条なる。

件を、r = 0 でµ′′p +

(

)

(

)

1 ′
1 ′ ′
ν0 + µ′0 µ′p − µ′′0 + µ′2
0 + µ 0 ν 0 λp22λp (0) = λp0 , µp (0) = µp0 , νp (0) = νp0 ,+ 2e−µ0 µp + e−ν0 µ̈p = −8πGVpλ′p (0) = 0, µ′p (0) = 0, νp′ (0) = 0(17)とする。よって、前節で求めた静的球対称ワームホー

(

)
1 ′
′′
′′
′
µp + λp + µ0 − ν0 (3µ′p − λ′p )
2
]
[
1
′2
′2
′ ′
′′
′′
− 3µ0 + ν0 + (4µ0 + ν0 + µ0 ν0 ) λp
2
+2e

−µ0

µp + e−ν0µ̈p + e−ν0Φ′′1p +(が負になってしまうと、(20) の e の肩が実数になりx0 が増加すると指数関数的に増大してしまうため安定ではない。
図 3 では、λ̄/4πGm2 = 3, 10 での結果を載せてい(18)

る。χ20 は χ2 の最小値である。0 ≤ ω/m ≤ 1 の範囲)
1 ′ν0 + µ′0 Φ′1p − e−ν0 (Φ̈1p + 2ω Φ̇2p )
2

2 −ν0

−ω e
(

ル解の安定性解析は、摂動方程式 (17),(18),(19) の振動数 χ2 を求める固有値問題に帰着する。もし、χ2λ̈p= −16πG[−ϕ′0 (2Φ′1p − ϕ′0 λp ) + Vp ]2 −ν0

ϕ0 νp + ϕ0 [ω e

−m

2

(21)

全体で χ20 が負になっており、前節で求めた静的球対
称ワームホール解が不安定であることが示された。

+ λ̄ϕ20 ]λp+ (ω 2 e−ν0 − m2 + 3λ̄ϕ20 )Φ1p = 0,

(19)

1
for Φ̇2p = ω[Φ1p − ϕ0 ( λp − µp )]2{1· − ϕ′0 (2Φ′1p − ϕ′0 λp ) + Vp−
2ϕ0 e−ν0 ω
1 [ ′′ 3 ′ ′1+µ + µ µ − µ ′ λ′4πG p 2 0 p 2 0 p))]}( ′′ 3 ′2−µ0µp− λp µ 0 + µ 0 + e
46結論
４次の自己相互作用項を持つ複素ゴーストスカラー

場を用いて静的球対称ワームホール解を求めることができた。しかし、摂動解析を行うと求められた解は不安定であることが分かった。特に、スカラー場の振動数 ω が増大するにつれて解の不安定性が増大してしまうことが分かった。ワームホールを構築するためには、今回とは違う方法でエキゾチック物質

ここで、摂動ポテンシャルは Vp = 2ϕ0 (−m2 +を導入しなければならないことが示唆される。

λ̄ϕ0 )Φ1p である。そこで、
yp (r, x0 ) = ȳ(r)eiχx

0

(20)

66

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

References[1]

V. Dzhunushaliev, V. Folomeev, B. Kleihaus,and J. Kunz, “Wormhole solutions with a complex ghost scalar ﬁeld and their instability”,
Phys. Rev. D 97, 024002 (2018).

[2]

M. S. Morris and K. S. Thorne, “Wormholes inspace-time and their use for interstellar travel:
A tool for teaching general relativity”, Am. J.
Phys. 56, 395–412 (1988).

67

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重宇 a15エネルギー条件を破る物質を要求しない通過可能ワー
ムホール
田中

孝輔

68

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

エネルギー条件を破る物質を要求しない通過可能ワームホール
田中 孝輔 (大坂公立大学大学院 物理学研究科)

Abstract
一様宇宙の真空解の一つに Taub-NUT 解がある。Brill は Taub-NUT 解に対応するような電場と磁場のある非真空解を導いた。Schwarzschild ブラックホールの事象の地平面の内部が Kasner 宇宙になっているように、Brill 宇宙の地平面の外側はブラックホール時空となる。
このブラックホール時空は一般に Reissner–Nordström-(Taub-)NUT（以下、RN-NUT）解と呼ばれ、ワー
ムホールのような構造を持つ。RN-NUT 解は RN 解と同様にパラメーターの値により、事象の地平面の数が 2 個、1 個、０個の 3 つの場合が考えられ、地平面が０個の場合のものをここでは NUT ワームホールと呼ぶ。NUT ワームホールは通過可能であり、地平面がないため行き来することが可能である。
通過可能なワームホールはヌルエネルギー条件を破るような物質を要求することが知られている。RN-NUT
ワームホールは通過可能なワームホールでありながらそのような物質を必要としないように見える。
しかし、RN-NUT ワームホールには極軸上に Misner 弦というヌルエネルギー条件を破るような物質が存在し、閉じた時間的曲線も存在する。

1

らに、RN-NUT 解には極軸上に Misner 弦という特Introduction

異点が存在し、この上ではやはりヌルエネルギー条
この発表は G.Clément らによる論文 NUT worm-

件が破れてしまうということも示し、Clément らの

holes [1] のレビューである。
ワームホールは 2 つの漸近的な領域を結ぶ、喉の主張に問題があることを提示する。

ような細くなった構造のある時空である。通過可能なワームホールがあれば遠く離れた 2 地点をショー

2

RN-NUT 解

トカットして移動することや、別の宇宙へ行くことが可能だとされている。しかし、通過可能なワーム

Brill は 1964 年にホールはヌルエネルギー条件を破るような物質（エds2 = −F −1 dt′ + (2n) F (dψ + cos θ dφ)()
2+ t′ + n2 dΩ2
2

キゾチック物質）を必要とすることが知られており、そのような物質は存在しないとされている。

2

2

(1)

Clément らはエキゾチック物質を必要としない通mt′ + n2 − t′ − 41 ϕ22過可能ワームホールを考えるため、Brill の解 [2] にF =t′ 2 + n 2
)2 (
(
)
2
E2 + H 2
ϕ 2 = t′ + n 2

注目した。Brill の解は、一様宇宙の真空解の厳密解である Taub-NUT 解に電場と磁場を加えたものであ

(2)
(3)

る。Schwarzschild ブラックホールは事象の地平面の内部が一様宇宙の真空解の厳密解である Kasner 宇という解を発見した。[2] これは真空一様宇宙の厳密

宙になっている。この対応から Brill 解も地平面の外解である Taub-NUT 解に電場と磁場を追加した非真側はブラックホール時空だとみなすことが可能であ空解である。ここで ψ は 4π の周期性を持つ座標でり、このブラックホール時空を RN-NUT 解という。 ある。
この解は t′ = r, 2nψ = t, F = −f と書き換える
Clément らは、RN-NUT 解の面積半径が正になるこことでとからワームホールの喉の構造が現れると考えた。
ここでは Clément らの論文に沿って議論を進め、

RN-NUT 解がワームホールのような構造を持つことを説明し、またそれが通過可能であることも示す。さ69ds2 = −f (dt − 2n cos θ dφ)2 +()
f −1 dr2 + r2 + n2 dΩ2(4)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校f=(r − m)2 + b
r 2 + n2b = e2 − m2 − n2 ,e 2 = p2 + q 2

通過可能性

3

(5)

前のセクションで RN-NUT 解がワームホールでは(6)

ないがワームホールのような構造を持つ時空であるとなる。Clément らの表記と少し異なるが今回の議ことを示した。ここからは b > 0 の RN-NUT 解を論には関係のない箇所であるので、あまり気にしな

NUT ワームホールと呼び、議論を進める。このセクいでいただきたい。この解は Brill 解の F = −f < 0、 ションでは NUT ワームホールの通過可能性を確か
つまり事象の地平面の外を考えており、Brill 解で時める。

間座標であった t が空間座標となり、空間座標であった ψ が時間座標を担っている。このようなブラック

Clément らの論文の計量に含まれている C というパラメーターを 0 とした場合、RN-NUT 解は Taub-

ホール解を RN-NUT 解と呼び、この解を特徴づけ

NUT 解と同じキリングベクトルを持つ。C が値を持るパラメーターは質量 m、電荷 q 、磁荷 p、そしてつかどうかによって特に結果は変わらないため、こNUT チャージ n である。

のまま C = 0 で議論を続ける。

ここで、もともと ψ は周期性を持っていた。時間
座標 t が周期性を持っていては、時空全体に閉じたκ(t) = ∂t

時間的曲線 (CTC) が存在してしまい、これは物理的κ(x) = −2n cos φ∂t − sin φ∂θ − cot θ cos φ∂φ (10)sin θ
2n sin φ∂t + cos φ∂θ − cot θ sin φ∂φ (11)κ(y) = −sin θκ(z) = ∂φ(12)に許されない。そのため、少し無理やりのようであるが、t のもつ 8nπ の周期性をほどき、t を −∞ から ∞ までの値をとる座標とする。実はこれが原因で後述の Misner 弦の問題が発生する。

RN-NUT 解は θ = π/2 で t = 一定、r = 一定の(9)

これらと uµ = dxµ /dτ = x˙µ の縮約は保存量となり、

とき、

(
)
ds2 = r2 + n2 dφ(7)

E = −gµν κµ(t) uν ≥ 0(13)

Ji = −gµν κµ(i) uν

(14)

√

r2 + n2 となる。つまり、 としてそれぞれエネルギーと角運動量にあたる。
ここで、θ = π/2 上の軌道角運動量は
この円周半径は r = 0 で 0 にならず、n となり、ワーとなるため、円周半径が()
l = r2 + n2 φ̇

ムホールの喉に似た構造が見られる。また、RN-NUT
解は f = 0 が事象の地平面になるが、b > 0 の場合(15)は地平面がない。そのため b > 0 であればこのワーと定義され、l = Jz − 2nE となるため、l も保存量

ムホールのようなものがもし通過可能であれば、行である。

き来することが可能になる。

θ = π/2 の測地線方程式はClément らはここでの議論で、t = 一定、r = 一
定の 2 次元球面の面積半径が 0 にならないという旨()
f (r) ṫ − 2nC φ̇ = Eの記述をしている。しかしこれは間違いである。t =φ̇ =一定、r = 一定の 2 次元曲面の線素は() ()
f (r)−1 ṙ2 − E 2 + r2 + n2 φ̇2 = ϵ()
ds2 = r2 + n2 dθ2{()}+ r2 + n2 1 − 4f cos2 θ dφ2

l

(17)

r 2 + n2(18)と書ける。ここで、E, l は (17) 式を (18) 式に代入す

(8)

ると

(
)
f (r)−1 ṙ2 − E 2 +となる。これは球面ではない。球面ではないため面積半径も定義することはできず、RN-NUT 解はワー
ムホールと普通言ったときに考えられるようなものとは異なる時空になっている。

(16)

l2
=ϵ
r 2 + n2となり、これは( )2dr+ U (r) = E 2 + ϵ
dτ

70

(19)

(20)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

U (r) = ϵ2mr + n2 − m2 − b2r 2 + n2[]2
l2 (r − m) + b2+2
(r2 + n2 )として、Rz t = 0

(26)
τ
,y
(21)
Rxt =
(27)
2(z 2 + n2 )τ,x(28)
Ry t = −と書き換えられる。つまり、θ = π/2 の動径方向の2(z 2 + n2 )運動は有効ポテンシャルの問題に帰着する。そして、
1 2
Rtt = (Rtt )reg + (τ )(29)
この有効ポテンシャルはどんな r でも発散すること
2
( )
1
2
はない。
Rij = Rij reg − hij (τ )(30)2つまり、NUT ワームホールはどんなパラメーター( )であっても、その有効ポテンシャルよりも E 2 が大き となる。Rtt , Rij の (Rtt )reg , Rij reg はデルタ関数
くなるようなエネルギーを与えれば必ず通過可能と の寄与のない項であり、つまり (22) 式のリッチテン
なる。

ソルの成分に一致する部分である。曲率にデルタ関数が現れているため、sin θ = 0 にひも状の特異点が4伸びていることがわかる。これを、Misner 弦という。

Misner 弦と NEC

さらに、この上での NEC を確認する。

以上により、NUT ワームホールが通過可能である

λ(r, θ)
sin θ
f

(31)

k r = ±λ(r, θ) sin θ

(32)

kt =

ことを確認した。NUT ワームホールは電磁場のみにより支えられており、エキゾチック物質は考えていなかった。そのため、エキゾチック物質のない通過

θ

k =0

可能ワームホールが考えられたようだが、実はそう

k φ = λ(r, θ)はなっていない。このセクションでは、[3] で行われている議論を基に、RN-NUT 解には Missner 弦という特異点があり、その上では NEC が破れていることを示す。

Rµν k µ k ν =(2e2(k θ )2 + sin2 θ(k φ )n2 + r 2

4n cos θ sin θ
4n2 f cos2 θ − (r2 + n2 ) sin2 θ(34)のように適切にヌルベクトルを選ぶ。このヌルベク
トルでは sin θ = 0 で (22) 式は 0 となる。さらに、( )2(Rtt )str k t = 0

RN-NUT 解の NEC の式は
2

(33)

)

(35)

であるから、∫
dxdyRµν k µ k νとなる。これは一見 NEC を満たしているように見え∫る。しかし、ここで用いている球座標は sin θ = 0 を{( )}= dxdy Rij str ki kj + Rit ki k t
カバーできていない。そのため、新しい座標を用意[
して sin θ = 0 上の NEC を改めて考える必要がある。
22
2= − 8πn2 (C ± 1) f (r) λ(r, 0)
そこで、u ≡ sin θ ≃ 0 として、z = r, x =∫{1+dxdy (kr )2
u cos φ, y = u sin φ という新しい座標を導入する。
2
(
)(
)}
]
すると計量は+f r2 + n2 (kx )2 + (ky )2 (τ1 )2

(22)

2

ds2 = − f [dt ∓ 2n{−∂y (ln u)dx + ∂x (ln u)dy}]
)(
)
(
(23)
+ f −1 dz 2 + z 2 + n2 x2 + y 2< 0 (36)となる。
以上より、sin θ = 0 の Misner 弦上では NEC が破となる。これにより、[4] を参考にして曲率を求めると

4πnf
τ =± 2
δ(x)δ(y)z + n2()()
h = dz 2 + f z 2 + n2 dx2 + dy 2

れている。つまり、エキゾチック物質を必要としな

(24)
(25)

い通過可能ワームホールを考えていたはずであるのに、結果としてエキゾチック物質を取り除くことはできていなかったのである。

712024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

ConclusionClément らは、Brill の解に注目し、NUT チャージを含む RN-NUT 解が Misner 弦という特異点を持つものの電磁場のみに支えられる通過可能ワームホー
ルになると考えた。
しかし、Misner 弦はエキゾチック物質そのものであり、RN-NUT 解でもエキゾチック物質を取り除く
ことはできなかった。またこの解は通過可能なワーム
ホールのような特徴を持つ時空ではあるが、ワーム
ホールと通常呼ばれるものとは異なるものであった。
さらに、θ ̸= π/2 で gφφ は負を取り得る。つまり、周期性を持つ φ が時間座標となる領域が存在し、RN-

NUT 解には CTC が存在することとなってしまう。
Clément らは、CTC については論文内で議論しており、CTC が測地線でなければ問題ないとしているが、これは疑わしい主張である。
しかしながら、エキゾチック物質を弦に集めてしまうというアイディア自体は面白いものではあるた
め、今後は似たようなアプローチで CT C のないワー
ムホールが考えることができると良いかもしれない。

References[1]

G. Clément, D. Gal’tsov, and M. Guenouche,“NUT wormholes”, Physical Review D 93,
024048 (2016).

[2]

D. R. Brill, “Electromagnetic Fields in a Homogeneous, Nonisotropic Universe”, PhysicalReview 133, B845–B848 (1964).

[3]

G. Clément and D. Gal’tsov, “Rotating
traversable wormholes in Einstein-Maxwell
theory”, Physics Letters B 838, 137677 (2023).

[4]

D. V. Gal’tsov, A. A. Garcia, and O. V.
Kechkin,“Symmetries

of

the

stationary

Einstein–Maxwell–dilaton theory”, Classicaland Quantum Gravity 12, 2887–2903 (1995).

72

——–index へ戻る

重宇 a16シフト対称 GLPV 理論における hairy な静的球対称ブラックホール解西村

俊太

73

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

シフト対称 GLPV 理論における hairy な静的球対称ブラックホール解西村 俊太 (東京理科大学大学院 理学研究科)

Abstract
スカラーテンソル理論は，一般相対論 (GR) において時空を記述する計量場に加えて，スカラー自由度を加えた理論である．この枠組みにおいて，エネルギーが下に有界になるように，運動方程式が３階微分以上の高階微分を含まない最も一般的な理論として Horndeski 理論がある．この理論を更に拡張した Gleyzes-

Langlois-Piazza-Vernizzi 理論（GLPV 理論）において，スカラー場が線形な時間依存性かつシフト対称性を持つ場合，静的球対称時空において，GR で一般的に成立するブラックホール (BH) 無毛定理を破る BH
厳密解が見つかっている．本発表では，文献 [1] をレビューし，[1] において見つかった厳密解の解析および解の性質について議論を行う．また，本集録を執筆する上で，同研究室卒業の高橋氏の修士論文 [2] を参考にさせていただきました．紙面の都合上，こちらで謝辞を述べたいと思います．ありがとうございました．

1

Introduction

2

Shift symmetric GLPV theories

宇宙の加速膨張を説明する方法の一つとして，GRを拡張した修正重力理論が挙げられる．スカラーテ

GLPV 理論の作用積分は，以下のように与えられンソル理論は修正重力理論の一つであり，GR におる．

ける計量場にスカラー場を加えたものである．

∫

一般的に，運動方程式が３階微分以上の高階微分

S=

d4 x

√

[
]
BH
−g LH + LBH.
4 + L5(2.1)

を含む場合，余分な自由度が生まれることで，エネルギーが下に有界でなくなる．この余分な自由度を

ここで，LH は Horndeski 理論のラグランジアンであOstrogradsky ghost と呼ぶ．この場合，系に安定な

り，LBH
LBH
4 ，
5 は GLPV 理論で追加される項である．

状態が存在せず，物理的ではなくなる．この問題を

LH は以下のように定義される：回避するように，運動方程式が３階微分以上の高階LH =微分を含まないよう構成された最も一般的な理論が

5
∑

Li .

(2.2)

i=2

Horndeski 理論 [3] である．この理論において，BH
無毛定理 [4] を破る解が見つかっている．ここで BH

各 Li は任意関数 Gi (ϕ, X) によってそれぞれ次のよ

無毛定理とは，「物質がなく，GR の枠組みでの重力

うに定義される：と電磁気力のみを考慮した時，漸近的平坦かつ定常
な BH 解は質量・電荷・角運動量の 3 つの物理量のL2 = G2 (ϕ, X),

みで記述される」という定理である．

L3 = −G3 (ϕ, X)□ϕ,

一方で，3 階微分以上の高階微分を含んでいても， L4 = G4 (ϕ, X)R[]
Ostrogradsky ghost が生まれないように Horndeski+ G (ϕ, X) (□ϕ)2 − (∇ ∇ ϕ)(∇µ ∇ν ϕ) ,4X理論を拡張した GLPV 理論 [5] があり，この理論に

µ

ν

[
1
3
µ ν
おいても，BH 無毛定理を破る解が見つかっている． L5 = G5 (ϕ, X)Gµν ∇ ∇ ϕ − 6 G5X (ϕ, X) (□ϕ)
近年，GLPV 理論において，スカラー場がシフト対−3(□ϕ)(∇µ ∇ν ϕ)(∇µ ∇ν ϕ)]+2(∇µ ∇ν ϕ)(∇λ ∇µ ϕ)(∇λ ∇ν ϕ) .

称性かつ線形な時間依存性を持つ場合で，新たな BH
厳密解が見つかった [1]．次節以降では，必要な知識の補完と，この厳密解の解析と議論を行う．

(2.3)

ここで、ϕ はスカラー場、X = −1/2∇µ ϕ∇µ ϕ であり、R はリッチスカラー， Gµν はアインシュタイン74

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
テンソルである．また，添字 X は X による微分をい．式 (2.6) に対して計量で変分をとることで，背景表しており，LBH
LBH
4 ，
5 は

方程式を得ることができる (A.1-A.4). この背景方程式に対して任意関数を具体的に与えることで BH 解

′ ′ ′

LBH
= F4 (ϕ, X)ϵµνρσ ϵµ ν ρ σ
4を求めることができる．また，次節以降の議論では，

× ∇µ ϕ∇ ϕ∇ν ∇ ϕ∇ρ ∇ ϕ,
µ′

ν′

(2.4)

ρ′

議論の見通しをよくするために，h(r) = f (r) という′ ′ ′ ′LBH
= F5 (ϕ, X)ϵµνρσ ϵµ ν ρ σ
5一様解仮定をおく．

× ∇µ ϕ∇µ′ ϕ∇ν ∇ν ′ ϕ∇ρ ∇ρ′ ϕ∇σ ∇σ′ ϕ, (2.5)と定義される．ただし，Fi (ϕ, X) は任意関数であり， 4ϵµνρσ は完全反対称テンソルである．
ここで，ϕ が定数シフトしても変化しないシフト満たすような GLPV 理論の枠組みにおける作用を考G2 = −

えると

S=

d4 x

√

[

]
BH

−g L2 + L4 + L4

.

ﬂat

black

任意関数に対して，以下のサブクラスを考える．

対称性 ϕ → ϕ + const. および反射対称性 ϕ → −ϕ を∫Asymptotically
hole
8η 2
X ,
3λ2

G4 = 1 −

4η 2
X ,
3

F 4 = η.
(4.1)

ここで，λ(> 0)，η は結合定数である．背景方程式(2.6)(A.1)-(A.4) より，この時，ϕ(t, r) および f (r) は次のように求められる．

と書ける．ただし2M
f (r) = 1 −( r)
π/2 − arctan(r/λ)
14+ ηq, (4.2)r/λ
1 + (r/λ)2L2 = G2 (X),
L4 = G4 (X)R[]+ G4X (X) (□ϕ)2 − (∇µ ∇ν ϕ)(∇µ ∇ν ϕ) ,ϕ(t, r) = qt + ψ(r),
[
]
q2
f (r)
′
2
[ψ (r)] =1−.
f (r)2
1 + (r/λ)2

′ ′ ′

LBH
= F4 (X)ϵµνρσ ϵµ ν ρ σ
4× ∇µ ϕ∇µ′ ϕ∇ν ∇ν ′ ϕ∇ρ ∇ρ′ ϕ,

(2.7)

(4.3)

であり，シフト対称性から，それぞれの任意関数は

ただし，M ，q は独立な積分定数であり，ある量 A に

ϕ に依らないことに注意する．

対して A′ は r による微分を表している．式 (4.2) は，

3

r → ∞ で f (r) → 1 となることから，漸近的平坦な
hairy BH 解と言える．解 (4.2) において，η と q は必

Setup

ず ηq 4 の形で現れている．ここから，η = −1, 1 とし，
4

ここからは，作用 (2.6) を元に議論を進めていく． q と λ の値を変化させることで，全てのパラメータ
文献 [1] では，静的球対称時空を考えている．すな を変化させることになる．以上を踏まえ式 (4.2) のグ
ラフをプロットしたものが図 1，2 である

わち線素として以下の形を仮定する．

ds = −f (r)dt + h(r)
2

2

−1

2

dr + r2(22dθ + sin θdφ2)

ここで，ηq 4 = 0 は GR における Schwarzschild 解.
f (r) = 1 −(3.1)
また，ϕ に対して線形な時間依存性

ϕ = qt + ψ(r),

2M
,
r

(4.4)

に帰着し，r = 2M において horizon（f (r) = 0 となる点）を持つことに対応している．図 1 を見ると，(3.2)

scalar hair q の変化によって horizon の位置が変化を考える．ここで q は定数である．上式のように，ϕしていることがわかる．すなわち，q は BH の大きに時間依存性を持たせてしまうと，先ほど仮定したさに影響を与える性質を持っている．ηq 4 > 0 の時

静的な条件を破ってしまうように思われる．しかしは scalar hair の値によって解の性質が大きく異なる．

ながら，式 (2.7) を見ると，ϕ はすべて微分される形

ηq 4 = 2 の場合，horizon は 1 つであるが，ηq 4 = 3.7

で現れており，式 (3.2) が静的な条件を破ることはなの場合は 3 つであり，ηq 4 = 4.5 では 2 つ形成する75

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる．この式 (4.8) において，以下で表される

Kretschmann scalar
K = Rµναβ Rµναβ(4.9)

を計算すると32η 2 q 8,
(4.10)
3λ4となり，原点で特異点が存在しない regular BH が存
K=在することがわかる．

5

図 1: 距離 r に対する計量成分 f (r) のグラフ.（ηq 4 =−150, −50, −5, 0.M/λ > πηq 4 /4 ,M/λ = 3．)

Black hole in a theory withcanonical kinetic term
次に，以下のようなサブクラスを考える．

G2 =

2η
X,
λ2

G4 = 1 + ηX,

F4 = −

η. (5.1)
4X

前節と同様に，背景方程式から f (r), ϕ(t, r) を求めると

f (r) = 1 + ηq 2−

2M
+ ηq 2r(

π/2 − arctan(r/λ)
r/λ

)
,

ϕ(t, r) = qt + ψ(r),
[
]
q2
f (r)
[ψ ′ (r)]2 =1−,
f (r)2
1 + (r/λ)2

4

(5.2)

(5.3)

図 2: 距離 r に対する計量成分 f (r) のグラフ．
（ηq =−150, −50, −5, 0 ．M/λ > πηq 4 /4 ，M/λ = 3， となる．スカラー場は前節と同じ形である．同様に，C ≡ M/λ − πηq 4 /4．)

f (r) をプロットすると，以下のようになる．

ことがわかる．また，ηq 4 = 7 の場合は horizon を持たない裸の特異点時空となることがわかる．また，

r → ∞ で f (r) を展開すると
2M
ηq 4
f (r) = 1 −+ 2λ2 2 + O
r
r

( )
1
,
4

(4.5)

となり，2λ2 ηq 4 → Q2 とすれば，scalar hair が，GRでの Reissner-Nordstrom 解

2M
Q2
(4.6)
+ 2,
r
r
における静電荷のような振る舞いを見せることがわ
f (r) = 1 −かる．さらに，r → 0 では

2M − πηq 4 λ/2 2ηq 4 2
r +O(r4 ), (4.7)−
r
3λ2と展開できる．式 (4.7) は M/λ = πηq 4 /4 の時に
f (r) = 1−2ηq 4 2f (r) = 1 −r + O(r4 ),3λ2

図 3: 距離 r に対する計量成分 f (r) のグラフ.（ηq 4 =−0.1, 0, 0.1.M/λ > πηq 4 /4 ,M/λ = 2．)

前節のモデルと同様に，この解も ηq 2 = 0 の時に(4.8)

GR に帰着する．図 3 から，ηq 2 が負の方向に大きく

76

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
なると，horizon の r 座標が大きくなり，正の方向にとなり，M/λ = πηq 2 /4 の時に，前節と同様に，大きくなると逆に小さくなることがわかる．他にも， Kretschmann scalar を計算すると

r → ∞ で f (r) を展開すると
2M
λ2
1+ ηq 2 2 + O( 4 ),f (r) = 1 + ηq −
r
r
r
2

K=
(5.4)

8η 2 q 4
,
3λ4

(5.7)

となり，原点で特異点が存在しない regular BH が存となり，q が Reissner-Nordstrom 型の項に現れる．こ在する．

の無限遠での展開を見れば，ηq > −1 の時，horizon
2を持つことがわかる．また，式 (5.4) に適切な座標変換を施すと，r → ∞ において，線素は()
ds2 = −dt2 + dr2 + r2 1 + ηq 2 dΩ2 ,6

Future works
ここでは，文献 [1] で発見された hariy BH 解に(5.5)

ついて取り扱った．それぞれの解についての性質は，となる．この式 (5.5) の右辺第 3 項の立体角に対応

前節までで述べた他にも詳細な議論が [1] で行われてする部分を見ると，球の表面積が 4πr2 に一致せず， いる．
局所的に漸近的平坦な解となることがわかる．また，

r → 0 で展開を行うと
f (r) = 1 −A

今後の研究として，[1] で発見された hairy BH 解の安定性解析を行う予定である．これにより，これらの解についてより発展した研究が行われるかの指

2M − πηq λ/2 ηq r+
+ O(r4 ). (5.6)
r
3λ2
2

2 2

標を得られることが期待される．

Field equation

以下に背景方程式の明示的な形を示す．3 つの未知量 f (r)，h(r)，ψ(r) に対応して Ett ，Err ，Etr が導出される．また，式を簡単にするため以下の量

Z(X) = 2XG4X − G4 + 4X 2 F 4,(A.1)

を定義する．これを用いると背景方程式は以下のように表される．

( ′
)
2hf ′
q2 h
2q 2 hhf′rZX + r2 G2X + 2G4X − 2hZX +(ZX − G4X ) +
rF4
−
,
f
Xf
f
h
f
2hf ′
q2 h
4q 2 h2
Err = −
rZ − r2 G2 − 2G4 − 2hZ +(Z + G4 ) −rF4 X ′ − hψ ′ Etr ,
f
Xf
f
( ′
)
(
)
q2
h
f′
Err
2
Ett = 4rX ′ ZX + 2−
rZ −− ψ′ +
Etr .
h
f
h
hf
Etr = −

Reference

(A.2)
(A.3)
(A.4)

[3] G. W. Horndeski, Int. J. Theor. Phys. 10, 363(1974).

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[2] 高橋優生．
「シフト対称 GLPV 理論における静的球対
称ブラックホール解の解析」．修士論文 (2024).

77[5] J. Gleyzes, D. Langlois, F. Piazza and F. Vernizzi,
Phys. Rev. Lett. 114, no.21, 211101 (2015)[arXiv:1404.6495 [hep-th]].

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重宇 a17

繰り込み可能な U (1)Lµ−Lτ ゲージボソンとマヨロンによるハッブルテンションの解決
佐藤

龍政

78

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

GeV 温度領域でのマヨロンの温度発展
佐藤 龍政 (横浜国立大学大学院 理工学府)

Abstract
本研究では GeV 温度領域において 1MeV 近辺の質量を持つマヨロンの温度がどのように時間発展するかを調べた。マヨロンとはレプトン数を電荷とする U(1)L 対称性が自発的に破れることにより生成される南部
ゴールドストンボソンである。このマヨロンとニュートリノとの結合が非常に小さい場合、GeV 温度領域では相互作用はほとんど起きず、マヨロンは逆崩壊により freeze-in 的に生成されると考えられている。しかしながら，散乱過程を通じてニュートリノと活発に相互作用する可能性があるため，この前提が妥当であるかを議論する。

1

宇宙の初期条件や観測データに影響を与えるかを検Introduction

討する。

Hubble 定数 H0 は、現在の宇宙の膨張率を示す重要な物理量だ。近年、Hubble 定数の測定値が観測方法によって大きく異なることが問題視されている。具2

体的には、近傍宇宙の観測による直接測定と、遠方標準模型における Neﬀ
標 準 模 型（SM）に お け る ニュー ト リ ノ 有 効 数

宇宙の観測から |ΛCDM モデルに基づいて推定され（Neﬀ）の定義は以下である。
る間接測定の間に大きな差異が報告されている。こ
 


ρR
ρν /3
の食い違いは「Hubble tension」と呼ばれている。例=1+(3 + ∆Nν )ργ 0
ργ 0 SM
えば、Planck 衛星による宇宙背景放射（CMB）の観
 4
7 Tν
測データから推定された Hubble 定数は、SH0ES プ=1+(3 + ∆Nν )8 Tγ 0
ロジェクトによる近傍宇宙の観測データから得られSM 4/3た値と大きく異なる。
7 4
Neﬀ
≡1+
8 11
この Hubble tension は、宇宙の進化を記述する

ΛCDM モデルに何らかの修正が必要であることを示

初期宇宙における粒子の熱的ダイナミクスを理解唆する。従来の研究では、ニュートリノの有効数 Neﬀ

するためには、平衡状態の概念が重要である。宇宙のを標準模型の予測値よりも大きくすることで、この問膨張とともに、粒子種間の反応率が宇宙の膨張率よ題を解決できる可能性が示されている。また、MeV 程

りも十分早く進行する場合、その系は平衡状態にあ度の質量を持つ新たなゲージ粒子 Z’ を導入する Lµ −るとみなされます。具体的には、反応率 Γ が Hubble

Lτ モデルを用いることで、Hubble tension とミュー rate（H）よりも大きい場合、Γ ≫ H が成立します。
オンの異常磁気モーメント問題（gµ − 2 anomaly） この平衡状態は、運動学的平衡、化学平衡、熱平衡を同時に解決できることが提案されている。しかし、 の 3 つに分類されます。
従来の Lµ − Lτ モデルでは、Z’ の質量を手で加えてNeﬀ は、ニュートリノのエネルギー密度が宇宙のいるため、理論のゲージ対称性が破れており、低エ放射成分にどの程度寄与するかを示すパラメータだ。

ネルギースケールでのみ有効な理論に過ぎない。

初期宇宙において、ニュートリノは光子の熱浴からそこで本論文では、より理論的に厳密な繰り込み可脱結合し、その後、電子と陽電子が対消滅すること

能な Lµ − Lτ モデルを提案し、このモデルが Hubble

で光子の温度がニュートリノの温度よりも高くなる。

tension と gµ − 2 anomaly を同時に解決できるかど この過程を通じて、最終的な Neﬀ の値が決定される。
うかを探索する。さらに、このモデルではニュート Boltzmann 方程式を用いて、ニュートリノと光子のリノの質量起源も説明でき、新たな軽い粒子として温度の時間発展を追跡し、数値計算により Neﬀ を求

Majoron と Z’ を含む。これらの新粒子がどのように める。

792024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Lµ − Lτ 模型における Neﬀ

かを示し、このモデルが Hubble tension と gµ − 2anomaly を同時に解決できる可能性を検討する。

Lµ − Lτ モデルは、標準模型のゲージ対称性をU(1)Lµ − Lτ で拡張したもので、新たなゲージ粒子
Z’ を導入する。このモデルは、ミューオン数 Lµ とタ

Reference

ウレプトン数 Lτ の差 (Lµ − Lτ ) を保存する称性をTakeshi Araki, Kento Asai, Kei Honda, Ryuta Kasuya, Joe Sato, Takashi Shimomura, Masaki J.S.
2 anomaly）を解決する模型として注目されている。
持ち、ミューオンの異常磁気モーメント問題（gµ −Yang 2021,arXiv:2103.07167v2

Lµ − Lτ 模型の Lagrangian は、標準模型の La-

grangian に対して、Z’ 場とそのカレントとの相互作 Kento Asai, Tomoya Asano, Joe Sato, and Masaki
用項を追加することで得られる。
J. S. Yang 2023,arXiv:2309.01162v1
1
ρ′
L = LSM − Z ′ρσ Zρσ+ gµ−τ Zρ′ Jµ−τ4ρ= µ̄γ ρ µ + ν̄µ γ ρ PL νµ − τ̄ γ ρ τ − ν̄τ γ ρ PL ντJµ−τ
このモデルでは、Z’ 粒子に質量を与えるために質量項を手で加えるが、これにより理論のゲージ対称性が破れる。そのため、低エネルギースケールにおける有効理論としてのみ機能する。
先行研究に基づき、Lµ − Lτ 模型における Neﬀ の計算を行います。具体的には、光子の温度とニュートリノの温度の時間発展方程式を導出し、数値的に解くことで、モデルの物理的な有効性を検証する。結果として、Lµ − Lτ 模型における Neﬀ の値は、標準模型に基づく結果と比較してどのように変化するかを議論する。

4

Majoronϕ を伴う Lµ − Lτ 模型
における Neﬀ
従来の Lµ − Lτ 模型では、Z’ 粒子の質量を手で加えることで理論のゲージ対称性が破れてた。そのため、より理論的に厳密な「繰りこみ可能な Lµ − Lτモデル」を提案し、このモデルに基づく Neﬀ の計算を行います。このモデルでは、ニュートリノの質量起源を説明し、新たな軽い粒子として Majoron と Z’
を導入します。
具体的には、Majoron と Z’ の相互作用を考慮した

Boltzmann 方程式を用いて、初期宇宙における温度の時間発展を追う。さらに、実験データに基づく Neﬀへの制限から、Majoron と Z’ のパラメータ空間に対する制約を議論する。
数値計算の結果、繰りこみ可能な Lµ − Lτ モデ
ルにおける Neﬀ の値が標準模型とどのように異なる80

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重宇 a18

重力レンズ効果の実体化：光学レンズ設計と 3D プリ
ンターの活用
西原81

翼2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力レンズの実体化: 光学レンズ設計と３ D プリンターの活用西原

翼 (甲南大学大学院 自然研究科)

Abstract
重力レンズ効果とは質量を持った天体の近くを光が通ると、光には質量がないにも関わらずその軌道が曲げられるという現象である。重力レンズ効果により湾曲される光線の曲率は理論的に計算されており、この計
算はこれまでの観測の結果によりその整合性が確認されている。しかし、重力レンズ効果を含めた宇宙の現
象は視覚的、感覚的に理解しにくくい。そこで、視覚的、感覚的に理解しやすくするために実物の教具があればより理解しやすく天文教育に役立つだろう。本稿では重力レンズ効果による光の折れ曲がりを再現する
光学レンズを設計する。一般相対性理論により導かれた重力レンズ効果による光の軌道を表す方程式を導出
し、重力レンズの光の折れ曲がりを再現する光学レンズの設計法について横尾他 (1998) の理論 [2] をベースに議論する。

1

Introduction

2

アルベルト・アインシュタインが 1905 年の特殊相対性理論に続いて、それを発展させた一般相対性理論を 1915 年に発表した。一般相対性理論の予言の一部に重力レンズ効果というものがある。重力レンズ

Methods/Instruments
and Observations
重力レンズ効果による光の折れ曲がり方は一般相対性理論により計算されており。アインシュタイン
方程式は以下で表され,効果とは質量を持った天体の近くを光が通ると、光

18πG
Rij − Rgij = 4 Tij
2cには質量がないにも関わらずその軌道が曲げられるという現象である。これは天体付近の時空が曲げら(1)

Rij は曲率テンソル gij は計量テンソル Tij は運動量れるからであり、この効果により、観測者と光源の間の天体がある種のレンズの役割を果たすことから、この現象は重力レンズ効果と名付けられた。
しかしながら、天文教育は未だ発展途上にあり、重テンソル c は光速 G は万有引力定数である。
この式はほとんどの場合、解析的に解くことはでき
ないが、静的、真空、球対称の場合では解くことが出来、この解 (計量) はシュバルツシルト解と呼び()
2GM知れ渡っているが、一般の方々には認知度は低い。こ2ds = − 1 − 2
dt2
c rの理由の一つとして、重力レンズを含む宇宙の様々
)−1
(
2GM
な現象は視覚や感覚に訴え理解するのは難しいこと
dr2+ 1− 2crがあげられる。私は、宇宙の様々な現象を数式などを+r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 )(2)
用いずに、視覚や感覚に訴えて一般の人々にも理解
力レンズ効果は天文学を専攻する者にとっては広くさせることを目指している現在、コンピュータやシ
ミュレーションを用いた動画が活躍しているが、実物の教具があれば、より視覚的・感覚的に理解しやと書くことが出来る。これは球座標で書かれており、

r, θ, ϕ で表される。この計量内で運動方程式
dxi dxj
d2 xm
+ Γm
=0
ij
2
dτ
dτ dτ

すくなり、天文教育に大いに貢献できると考えられる。

(3)

そこで本稿では横尾他 (1998) の理論 [2] に基づいを解く事で重力場内での粒子の運動が求まる。

て重力レンズ効果による光の折れ曲がりを再現する

シュバルツシルト計量内での運動方程式 (3) 式は光学レンズの設計について議論する。

(

82

du
dϕ

)2
=

) 1
1 ( 2
ϵ − 1 + 2 u − u2 + u3
l2
l

(4)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。u = rg /r であり、rg はシュバルツシルト半径と呼ばれ 2GM/c2 で表される。また l は角運動量

L を規格化した無次元角運動量であり、ϵ はエネル
ギー E を規格化した無次元エネルギーである。ここで、簡単のため軌道面を θ = π/2 とした。光子の運動を考えると、質量ｍは０の極限をとるので (4) は

(

du
dϕ

)2

= α−2 − u2 + u3

図 1: 弱い重力場近似した重力レンズの光線軌道(5)となる。ここで α は

ϵ −1
=
l2
2

lim

m→∞

(

Erg
Lc

)2

rg
r0
4GM
= 2
c r0

δ = 2α−1 =
≡ α−2

(6)

である。この (5) 式が重力場内での光子の軌道運動(11)という式が現れる。これが原点を重力源とし、弱いの式となる。一般相対性理論の効果を表す u3 を無視すると u = α−1 cos ϕ となり、α−1 は十分小さく、(5) のは重力源の無い直線の解となる。光線が直線からずれる効果を摂動計算から求めるために近似解と重力場近似した重力レンズ効果による光の折れ曲がり角を表す式となる [1]。後の便宜のために (11) の文
字を書き換える。

して∆θ =u = α−1 cos ϕ + α−2 f (ϕ)

(7)

4GM
c2 r

(12)

δ を ∆θ に、r0 を r に変えた。ここから先は [2] を参考に議論する。

とおく。これを (5) に代入し計算すると次に、光学レンズの屈折によりこの軌道を再現する。屈折率ｎの材質を考えると、入射角 Ψ と屈折角

1f (ϕ) = (sin ϕ2 + 1)
2

Φ の関係はスネルの法則より、n = sin Φ/sin Ψ 十分

(8)小さい近似をすると、n = ϕ/Ψ となる。したがってが得られる。これを (7) に代入し直行座標に書き換

触れ角は

えると


−α(x − αr ) (y ≫ 0)gy=α(x − αr )(y ≪ 0)∆θ = Φ − Ψ ∼(9)n−1Φ = (n − 1)Ψ
nとなる。(図２参照) 光軸からの距離をｒ、レンズのg

厚みをｚとすると、レンズ表面の勾配はとなる。これをグラフにすると図１のようになる。
図１のよう θ,δ,y0 ,r0 をとると、y = 0 と x = 0 を代入することで r0 = αrg ,y0 = α2 rg と求まり、

tan θ =1α

θ ≃ α−1

(13)

(10)

となる。よって、

図 2: 等価レンズによる光線の折れ曲がり

832024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。太陽質量を持つブラックホールの重力レンdz= − tan Ψ ∼ −Ψ
dr

ズ効果を再現するには、おおよそ 1/200000 倍したも(14)のを３ D プリンターで出力する必要があり、これは太陽質量を持つブラックホールの質点から 10km 離が成り立ち、(13) かられた場所での曲がり角が、光学レンズ状で半径 5cm

dz
1
=−
∆θ
dr
n−1

の場所での曲がり角と一致する。

(15)となり、(12) を代入すると、

dz
4GM 1
=− 2
dr
c (n − 1) r

Acknowledgement
天文・天体物理若手夏の学校を運営して下さった(16)

スタッフの方々、支援して下さった方々に心より感謝申し上げます。また天文・天体物理若手夏の学校

これを積分すると、に参加するにあたって、ご指導ご鞭撻のほどをしてくださった、先生方、同じ宇宙理論研究室の皆様に

4GM
z=− 2
ln r + 定数c (n − 1)

心より感謝申し上げます。

(17)となり、レンズの表面が対数関数になっていればReference

よいことがわかる。

[1] 佐藤勝彦 1996, 岩波書店

3[2] 横尾武夫, 加藤好博, 蜂谷正雄,& 福江純 1998, 天文月報

Results
表面が対数関数となるようなレンズを３ D プリン

ターを用いて作成する。３ DCAD でこれをデザインし、スライサーソフトでコンパイル、その後３ D プ
リンターで出力する。素材は Anycubic の High Clear

Rezin を使用した。この屈折率は 1.52 である。
質量が太陽と同じ星を想定すると、(17) はz[m] = −11343 ln r[m](18)となり、この大きさのままだとこの光学レンズの半径は 10km 以上必要になるが、３ D プリンターの出力可能なサイズに合わせるので、半径が 5cm 程度になるように縮尺する。つまり、おおよそ 1/200000 倍したものを３ D プリンターで出力する。これは太陽質量を持つブラックホールの質点から 10km 離れた場所での曲がり角が、光学レンズ状で半径 5cm の場
所での曲がり角と一致する。

4

Conclusion
重力レンズ効果で曲げられる光線軌道は (12) であり、これを再現する光学レンズの表面の形状は (17)84

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重宇 a19WMAP 7-year データを用いた初期ベクトル型揺らぎと原始磁場生成に関する制限
由良

海翔

85

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

WMAP 7-year データを用いた初期ベクトル型揺らぎと原始磁場生成に関する制限
由良 海翔 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河や銀河団において磁場が存在することを示す観測的証拠があるが、今のところそのような大規模な磁場の起源は未解明である。放射優勢期の宇宙では、光子と電子、電子と陽子が相互作用によってそれぞれ強く結合して一つの流体のように振る舞う。この流体は、宇宙論的摂動の内、ベクトルの性質を持つベクトルモードから誘起される速度で回転するとされている。これら 2 種類の相互作用の強さの違いと電子と陽子の質量差によって、電子と陽子の回転速度に違いが生じる。これによって生じた電流が磁場を生成することが提案されている (Harrison 1970)。ベクトルモードは、非等方ストレスがなく完全流体が存在するフリード
マン宇宙では減衰モードしか持たず、ベクトルモードの宇宙論観測に及ぼす影響は無視できると言われてきた。しかし、宇宙のエネルギー分布にニュートリノのような自由流動粒子による非等方ストレスが存在すれば、ベクトルモードに成長モードが存在することが発見されている (Antony Lewis 2004)。本発表では、論文 (Kiyotomo Ichiki et al. 2012) のレビューを行う。最初に予備知識としてベクトルモードの諸方程式及び強結合近似下でのその解について紹介し、WMAP の CMB 観測データを用いた初期ベクトルモードの量に関する制限について説明する。次に、初期ベクトルモードから生成される磁場のスペクトルを計算し、原始磁場の大きさの上限を与える方法とその結果について説明する。最後に、本論文における WMAP 観測デー
タを Planck によるものにアップデートし、解析を行った結果も発表する。

1

非等方ストレスがない完全流体で満たされたフリー

INTRODUCTION

ドマン宇宙では、ベクトル型の揺らぎ (ベクトルモー

現在広く信じられている銀河内の磁場の生成機構

ド) は減衰モードしか持たない。これは、ベクトル

は、大規模な磁場は小さな種磁場から増幅され流体型の揺らぎは初期時刻で発散していくことを意味し、的なプロセスであるダイナモによって持続されたとベクトルモードを含むモデルはほとんど等方的なフいうものである。しかし、ダイナモ自体は種磁場のリードマン宇宙と一貫性がなく線形摂動論の枠を超起源を説明するものではないため、種磁場の起源をえてしまうので、ベクトルモードは無視できるとし探ることが宇宙磁場の起源を理解するための重要なばしば言われてきた。

手掛かりである。現在の宇宙で観測された約 1µG のしかし、ニュートリノのような自由流粒子による非磁場を説明するためには、10−30 ∼ 10−20 G の大きさ

等方圧力が存在すれば、初期ベクトルモードに非ゼの種磁場が必要であることがわかっている。

ロの渦度を持つ成長モードが存在することがわかっ

種磁場の生成シナリオとしては、主に 3 つが挙げている。本論文では、Antony Lewis (2004) によっられる。1 つ目は、構造形成後の宇宙で天体活動にて考案された一次のベクトルモードについて考える。

よって生成されるというシナリオで、2 つ目は、イ

この成長モードはニュートリノのような自由流粒子

ンフレーション期の早期に長い相関長をもつ磁場がが存在するときにしか存在しなく、標準宇宙論モデ生成されるという宇宙論的なシナリオである。3 つルで考えるには難しいように思える。しかし、この目は、宇宙の再結合前の初期プラズマ中の流体の渦度によって磁場が生成されるというシナリオである。
これは放射によって電子が引きずられ、電子と陽子が異なる速度で回転することで、渦電流が生じ、それによって磁場が誘起されるというものである。

モードは観測によって制限できる可能性があり、もし観測されれば宇宙の歴史について有益な情報が得られるはずである。
本論文では、初めに WMAP7 年の CMB 観測デー
タを用いて初期ベクトルモードの振幅に関して観測86

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
物質部分では、バリオンのオイラー方程式は的な制限を与える。それから、このベクトルモードの振幅に関する制限からベクトルモードによって生v̇b + Hvb = −成される磁場の振幅を見積もる。

4ργ
ane σT (vb − vγ )
3ρb

(6)

によって与えられる。ここで、ne は電子の数密度、EQUATIONS&SOLUTIONS σT はトムソン散乱の散乱断面積である。光子につい2てのボルツマン方程式はA. Preliminary

1v̇γ + kπγ = −ane σT (vγ − vb )8

ここでは、初期ベクトルモードの基本的な発展方(7)とかける。図 1 はベクトルモードの時間変化を示し

程式を手短に説明する。メトリックている。

ds2 = a(η)2 [−dη 2 + (δij + hij )dxi dxj )](1)の Friedmann-Robertson-Walker 宇宙における syn-chronous gauge の線形摂動論を考える。ここで、a(η)
はスケールファクターである。今ベクトルモードに興味があるので、メトリック摂動 hij はフーリエ空間で

hij = iĥi hVj + ik̂j hVi(2)と分解できる。ここで、hVi は divergenceless、すな
わち k̂i hVi = 0 である。ベクトル hVi を

hVi (⃗k) =∑±⃗hV± (⃗k)e±i (k)図 1: k = 0.1Mpc−1 でのベクトルモードの時間変化。

(3)
B. Tight coupling approximation and solutionsのように、2 つの独立な横方向の基底ベクトルで展開する。ここで、± はパリティを表している。それ非常に早い時期の宇宙では、光子とバリオンは強くぞれのパリティ成分とそのフーリエモードは独立に進化するので、⃗k と ± の依存性はこれ以降省略する

結合しているので、透過性 τ1c = ane σT は大きい。こことにする。synchronous gauge を使って σ ≡ ḣV /k

パラメータはれによって tight coupling(強結合) 近似ができ、そののように定義したゲージ不変なメトリック変数 σ でこれ以降の議論していく。この変数に関する線形アϵ=

インシュタイン方程式は、k∼ 10−2τc(k
1Mpc−1

)(

1+z
104

)−2 (

Ωb h2
0.02

)−1
(8)

k 2 σ = −16πGa2 (ρ̄ + P̄ )v,2σ̇ + 2Hσ = 8πGa P̄ π/k(4)であり、Ωb は臨界密度で規格化した現在のバリオン(5)の密度で、h は 100km/s/Mpc で規格化したハッブ
ルパラメータである。2 次までの強結合近似の下でである。ここで、· は共形時間 η に関する微分、H =のバリオン・光子スリップは次のように与えられる。

ȧ/a は共形的なハッブルパラメータ、ρ̄ と P̄ はそれぞれ、全流体の 0 次の密度と圧力、v と π はそれぞれベクトルモードの速度と非等方ストレスを表す。
式 5 からベクトルモードは非等方ストレスがなければ、σ ∝ a−2 に従う減衰モードしか持たないことが
わかる。

87

vγ − vb =

k
RH
4 R
vγ −
(vγ + σ) (9)τc (1 + R)k
15 1 + R

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

CMB CONSTRANT ON
THE PRIMORDIAL VECTOR MODECMB のデータと正確に比較するために、COS-

MOMC という MCMC 解析コードに 2 つのパラメー
タ rv , nv を含める。ここで、rv はベクトル-スカラー比で、nv はベクトルモードパワースペクトルのスペ
クトル指数である。具体的には、計量摂動 σ の初期振幅を持つ初期ベクトルモードのパワースペクトルをk3⟨σ(⃗k)σ ∗ (⃗k ′ )⟩ = Pσ (k)δ(⃗k − ⃗k ′ )2π 2( )nv −1kδ(⃗k − ⃗k ′ ) (10)= Aσk0の よ う に パ ラ メ タ ラ イ ズ す る 。こ こ で 、k0

0.002Mpc−1

図 2: スカラー、ベクトル型揺らぎによって誘起された CMB の温度異方性パワースペクトル。赤色の破線と黄緑色の破点線のベクトルモードのパラメータはそれぞれ (rv , nv ) = (9.45 × 10−3 , 0.921) と (1.0 ×=

10−3 , 2.0) ととっている。

である。ベクトル-スカラー比は、

rv =

Aσ
As

(11)

で定義される。ただし、As はスカラーモードのパラースペクトルの振幅である。
初期ベクトルモードを含むために、Cvector,ℓ を

CMB の温度揺らぎ及び E モード偏光の自己相関(TT,EE) とそれらの相互相関 (TE) を CAMB と呼ばれるコードを用いて計算する。これらのパワースペ
クトルにスカラーモード、テンソルモードのパワー
スペクトルを加える。
TT,TE,EE
TT,TE,EE
TT,TE,EE
TT,TE,EE
Ctot,ℓ= Cscalar,ℓ+ Ctensor,ℓ+ Cvector,ℓ
図 3: nv −rv 平面の WMAP7 年データによる 68%(水(12) 玉) と 95%(青) の信頼領域。赤色の領域はテンソルモードありのときのマルコフ連鎖解析結果である。

ただし、初期スカラー、ベクトル、テンソルモード
は統計的に独立であると仮定している。それから、CMB データに Ctot をフィッティングし、パラメータを推定する。図 2 では、WMAP7 年データと CMB

この解析を可能な限り一般的にするために、初期テンソルモードありとなしのマルコフ連鎖解析を行う。テンソルモードを含むことでベクトルモードの角度パワースペクトルである。

制限に及ぼす影響は図 3 に赤と青の色分けにより示

図 3 は、初期ベクトルモードのパラメータ rv と nv

されている。テンソルモードを含めて解析を行うと、の相関を示している。もし、初期ベクトルモードがスケール不変であれば、小さい多重極子 ℓ で制限が行われ、その制限は弱いことがわかる。そのスペクト
ルが nv ≳ 1 のように、より blue-tilt すれば、制限はより大きい多重極子 ℓ からくるので、制限はきつくな

ベクトルモードの制限が全般的にきつくなっている
ことがわかる。その制限は、rv ≲ 8.36 × 10−3 (テンソルなし) で、rv ≲ 8.36 × 10−3 (テンソルあり) と得られる。ベクトルモードとテンソルモードの制限を同時に行った結果は図 4 に示されている。実は、ベクる。例えば、nv ≈ 1.0 のとき、制限は rv ≲ 0.001 であるのに対し、nv ≈ 2.0 のとき rv ≲ 0.001 になる。

トルモードとテンソルモードの温度異方性の角度パ882024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ワースペクトルは似ているので、現在の CMB デー

で与えられる。ここで、ϵijk は Levi-Civita テンソルタはベクトルモードとテンソルモードの揺らぎの総で、e は電荷である。本論文では、この式をおよそニ

量に関する制限を与えることができる。その制限は、 ュートリノの脱結合時期に対応する初期条件 z = 109

95.4%の信頼水準で、(r )≲ 0.012rv +40

で B = 0 として解き、生成される磁場の振幅を大雑把に見積もる。式 (14) から、
)
(
( 2 )
4σT a
ργ k(vγ − vb )aB≃とわかる。ただし、r はテンソル-スカラー比である。
3e
H
(
)
( )
)
(
4σT
k
R
4Rν + 5≃a 2 ργσ03eτc (1 + R)2
4Rν
) ( )
(
k
4σT 2
a ργ
σ0
(15)
∼
3e
τc

(13)

ここで、H はハッブルパラメータで、vγ − vb は強結合近似解を用いた。式 (8) と ργ ≃ 2 × 10−51 (1 +z)4 [GeV4 ],σT ≃ 1.7 × 103 [GeV−2 ] を代入することで、

a B ∼ 1.2 × 10
2

−27

(
G

k
Mpc−1

)(

1+z
104

)−1 (

rv )1/2
0.01(16)

図 4: r − rv 平面の制限領域。ベクトルモードとスカとわかる。従って、宇宙再結合期では、磁場の大きラーモードの総量の制限を示している。

さは B ∼ 10−21 G と予想される。

4

5

MAGNETIC FIELDS
GENERATIONCONCLUSION
本論文では、Antony Lewis (2004) で議論された

初期ベクトルモードに関して CMB の WMAP 観測

ベクトルモードにバリオンと光子の速度差が存在

データによる制限を与えた。その結果、ベクトルモー

すれば、磁場は必然的に生成される。これは、光子ドがほぼスケール不変のとき rv ≲ 0.01 が得られた。

が陽子よりも質量の小さい電子を選択的に散乱する

この結果を用いて、再結合期前に生成された磁場のからである。電場は電子と陽子の電荷分離を妨げる

rv 1/2k)× ( 0.002)(nv +1)/2 と大きさが B ≲ 10−23 G( 0.01

ために誘起され、もし渦度に差があれば、マクスウェ いう制限も得られた。また、本論文は WMAP の観測
ル方程式を通してこの誘起された電場から磁場が生 データを用いているが、Planck の最新の CMB デー成される。一般的には、磁場は流体の進化に影響をタを用いて解析を行えばより制限が厳しくなること及ぼすが、流体の運動における磁場からの逆反応はが予想されるので、その解析を future work として考えない。なぜなら、今ゼロから生成される磁場に残しておく。

興味があり、磁場からの逆反応は無視できるからである。宇宙論的摂動論的な観点では、磁場からの逆反応によるローレンツ力やエネルギー運動量テンソ

Reference

ル速度は摂動的な速度の２次のオーダーであるから

Kiyotomo Ichiki, Keitaro Takahashi, Naoshi Sugiyama,
2012, Phys. Rev. D 85, 043009

である。
トムソン散乱による磁場の発展方程式はd(a2 B i )4σT ργ a ijk=
ϵ (vγj,k − vbj,k )dt
3eAntony Lewis, 2004, Phys. Rev. D 70, 043518(14)

Harrison, 1970, Mon. Not. R. astr. Soc. 147, 279-286

89

——–index へ戻る

重宇 a20超伝導宇宙ひもの安定性

JHUN

JINYOUNG

90

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

超伝導宇宙ひもの安定性
Jhun Jinyoung (立教大学大学院 理学研究科 M1)

Abstract
本紙では, 位相欠陥と宇宙ひもについて簡単に説明し, 超伝導宇宙ひものモデルを導入する. 数値的に定常軸対称超伝導宇宙ひもの微分方程式を解き, 超伝導ひもが存在できるパラメータ領域について論文 [1] に基づいてレビューする.

1

はじめにルギーが急速に 0 に近づく必要がある. 勾配エネル
ギーは通常 0 以上だから, 遠方の境界での ϕ の値は,初期宇宙において, 宇宙の温度が下がるにつれてポテンシャルの真空期待値が 0 でなくなり, 対称性の自ポテンシャルが 0 になるようなもの (真空多様体 M)の中に限られる. すなわち

発的破れが起きたと考えられている. しかし, 物質場

lim ϕ(x) = ϕ0のあらゆる点で一律的に対称性が破れるのが不可能

x→∞(ϕ0 ∈ M, U (ϕ0 ) = 0)(2)な場合があり, その結果として位相欠陥が現れると予である. これは境界 ∂V における場の対応を考えてい想される. 特に, 1 次元的に形成された位相欠陥のこることなので, 一種の写像とみなすことができる. 例とを宇宙ひもと呼ぶ. 宇宙ひもは原始重力波の起源のえば, 境界が二次元的に特徴付けられる場合, 境界 ∂V候補としてもよく挙げられる.

は輪っか S1 であり, S1 から M への写像を考えるこ

標準模型の範囲では宇宙ひもは生じないので, 宇宙とになる. もっと具体的に以下のような複素場からなるポテンシャルを考えるとするとひもは少なくとも電弱統一時代より過去の大統一時
代の相転移の祭に生じたと考えられる. 大統一時代まλ(|Φ|2 − η 2 )2
(3)
4と, あるスカラー場の対称性が破れて宇宙ひもを形成 M は複素平面上に半径 η の円を描く. したがって, こし, 他のスカラー場がそのひもに流れ込んで局所的な の例では S1 から S1 への写像を考えることになる. すU (Φ) =

で遡ると考えられるスカラー場の数も増加する. する

るとこの写像は, 輪っかを何回巻くかで分類される.

カレントを形成するシナリオも考えることができる.

巻き数を変えるには, 境界での場の値がポテンシャル

そのような宇宙ひもを超伝導宇宙ひもと呼ぶ.

の山を超えないといけないが, そうするためには十分なエネルギーを加える必要がある. よって, 十分なエ

2

位相欠陥

ネルギーが与えられない限り, 系は巻き数を変えたり場で構成される物理系を解くことは, 時空における場の配置 (conﬁguration) を決めることを意味する. 特に定常系が対象になると, 空間のみの配置を考えることになる. すると, 時間に依存しない物理系において,
場からのエネルギーの寄与は以下となる.
∫
E=
dD x [f (∂ϕ) + U (ϕ)]

はせず, 安定である. 巻き数が 1 以上の場合はどうしても系の内部で Φ = 0 となる場所が存在し, 局所的にエネルギーが高い. このように一律的な真空に変化できず, 局所的にエネルギー高いところが生じるのを位相欠陥と呼ぶ.

(1)

3

V

ここで f (∂ϕ) は場の空間微分からなるエネルギーの寄与で, U (ϕ) はポテンシャルである.

宇宙ひも
宇宙ひもが実現されるモデルとして, 以下のような

Abelian-Higgs モデルがよく挙げられる.

通常, 物理系のエネルギーを考えるときは, その値

1λL = −(Dµ Φ)∗ (Dµ Φ) − Fµν F µν − (|Φ|2 − η 2 )24
4
(4)

が有限 (E < ∞) であることを要請する. その要請を満たすためには, 勾配エネルギーとポテンシャルエネ

912024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
このモデルのポテンシャル項は上で例として挙げた

図 1. は微分方程式を数値的に解いた解をプロットしポテンシャルと同じである. 即ち, 宇宙ひもとは 2 次たものである. この解は Abrikosov-Nielsen-Olesen ひ

元の面からみて Φ = 0 となる点を３次元の空間に拡もとも呼ばれる.

張して 1 次元の線になったものなのである.
宇宙ひもを記述する運動方程式は (4) のラグラン

4ジアンを変分することで得られる.

∂U= 0 (5)∂Φ∗A¨ν − ∆Aν = 2eIm(Φ∗ ∂ν Φ) − 2e2 Aν |Φ|2
(6)

超伝導宇宙ひも
Abelian-Higgs モデルに複素スカラー場をもう一つΦ̈ − ∆Φ + 2ieAµ ∂µ Φ + e2 Aµ Aµ Φ +入れて以下のようなモデルを考える.

1
L = −(Dµ Φ)∗ (Dµ Φ) − (∂µ σ)∗ (∂ µ σ) − Fµν F µν − V (Φ, σ)4
そこで次のような r = 0 が中心の軸対称な ansatz を
(11)
考える.
ここでポテンシャル V (Φ, σ) は以下のように与えらΦ = ηf (r)einθ
(7) れる.
n(8)
Ar = 0, Aθ = α(r), Az = 0λΦeV (Φ, σ) =(|Φ|2 − η 2 )2 + λΦσ (|Φ|2 − η 2 )|σ|24
すると運動方程式は x ≡ eηr, β ≡ λ/2e2 として
m2
λσ 4+ σ |σ|2 +
|σ|
2
2
2
4
d f
1 df
n
2
2
+
= 2 f (α − 1) + β(f − 1)f
(9)
dx2
x dx
x
超伝導宇宙ひもになるためには, ローカル U (1) 対称
1 dα
d2 α
2
−
= 2f (α − 1)(10) 性が破れて Φ が宇宙ひもを形成しそれに沿って σ のdx2
x dx
局所的なカレントが流れる必要がある. そこで次のと連立常微分方程式として書ける. 境界条件を考える ような, 軸対象な宇宙ひもに沿ってカレントが流れると, 複素スカラー場 Φ 及びゲージ場 Aθ は r = 0 で 0ansatz を考える.

を持たないと物理量としてうまく定義されないことから f (0) = α(0) = 0 が要請される. 遠方においては

Φ = ηf (r)einθ

(12)

Φ が真空に落ちる必要があることから f (∞) = 1 であ

(13)

ネルギーの寄与が 0 である必要があるため, α(∞) = 1

σ = ηg(r)ei(kz−ωt)n
Ar = 0, Aθ = α(r), Az = 0eであることが要求される. この境界値問題は解析的に(12),(14) は (7),(8) と同じである. すると運動方程式はり, 有限エネルギー条件を満たすためには角度勾配エは解けないので, 数値的に解く必要がある.

1.0

(14)

d2 f
1 df
n2
+
=
f (α − 1)2 + βΦ (f 2 − 1)f + 2βΦσ g 2 f
dx2
x dx
x2
(15)

f (x)

1 dg
d2 g
+
= γg + 2βΦσ (f 2 − 1)g + βσ g 3
2
dx
x dx
1 dα
d2 α
−
= 2f 2 (α − 1)
dx2
x dx

α(x)
0.8

0.6

(16)
(17)

となる. パラメータの関係は以下となる.

0.4

βΦ ≡

0.2

0.0
0

1

2

3

4

5

x

λΦσ
λσ
λΦ
, βΦσ ≡, βσ ≡ 2 ,
2
2e2
2e
2e
(
)
1
m2σ
2
2
γ ≡ 2 2 k −ω +e η2

境界条件は宇宙ひもに関しては同じで, カレントに関
図 1: n = 1, β = 1 のときの数値解

しては局所的であるという条件から g(∞) = 0, そしてr = 0 で滑らかであるための条件から dg/dx|x=0 = 0922024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校が流れているということが有効ポテンシャルのパ
ラメータの一部として寄与する. 実際, モデル (11)1.0に ansatz(12),(13),(14) を代入すると有効ポテンシャ
ルは

0.8

0.6

f (x)
g(x)

Veﬀ =

α(x)
0.4

βΦ 2
βσ 4
(f − 1)2 + 2βΦσ (f 2 − 1)g 2 +g + γg 222(18)となり, カレントの運動による寄与 k, ω が γ の一部と0.2

して入る. まず, ポテンシャルの真空多様体が f = 1

0.0
0

2

4

6

8

10

12

14

であって欲しいことから

xβΦ > 0, γ > 0, βΦ βσ − (2βΦσ − γ)2 > 0

図 2: n = 1, βΦ = 1, βΦσ = 0.49, βσ = 1, γ = 0.05(19)という制限が得られる. そしてカレントが存在し, かのときの数値解

つ局所的に流れるための制限として

2βΦσ − γ > 0, βσ > 0

1.0

(20)

が得られる. これらをまとめると以下となる.

0.8

0.4

βΦ > 0, βσ > 0, 2βΦσ > γ > 0,√
γ > 2βΦσ − βΦ βσ

0.2

実際に βΦ = 1, βσ = 1 とおいて (βΦσ , γ) のパラメー

0.6

f (x)
g(x)
α(x)

タ領域を数値的に解くと以下の図のようになる.
0.0
0

2

4

6

8

10

12

14

x

図 3: n = 1, βΦ = 1, βΦσ = 0.49, βσ = 1, γ = 0.3 のときの数値解となる. そこで, 任意のパラメータを与えたとき必ず超伝導宇宙ひもが生じるかというと, そうではない.
図 2. と図 3. は実際に数値計算をして論文 [1] のFIG.2. を論文とは独立な手法で再現したものである.
図 2. では明らかにカレントが凝縮しているが, 図 3.
ではそうならず, カレントが流れない. このように, 超伝導宇宙ひもが形成されるかはパラメータに強く依存する.

5

超伝導宇宙ひもが安定的存在できるパラメータ
位相欠陥が安定であるかはポテンシャルの形に強く依存する. 超伝導宇宙ひもの場合は, カレント

図 4: n = 1, βΦ = 1, βσ = 1 のときの数値解の振る
舞い
図 4. において三角形は宇宙ひもはできるがカレントが生じない場合, 円は超伝導宇宙ひもができる場合,
バツは宇宙ひもが存在しない場合を表示している. この図は論文 [1] の FIG.3. とほぼ同じ結果を再現して√いる. 図 4. の赤線は γ = 2βΦσ − βΦ βσ を示し, この線より上の領域が安定な超伝導宇宙ひもである. 赤93

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
線の下にある超伝導宇宙ひも解もあるが, それは勾配エネルギーによって支えられているので上の領域より不安定である.

6

Conclusion
本紙では,[1] に基づいて超伝導ひもが存在できるパラメータ領域についてレビューした. そして独立した手法を用いて [1] においての結果が再現できるのを確認した. 今後の研究課題としては, モデルで重力との相互作用も考慮し, 場のシミュレーションを通して超伝導宇宙ひも起源の重力波について研究することが挙げられる.

7

Acknowledgement
様々な質問にReference[1]T. Hiramatsu et al., Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 06 (IOP Science), 030, 13 Jun
2024[2]A. Vilenkin and E. P. S. Shellard. Cosmic Strings
and Other Topological Defects. Cambridge University
Presss, 1994.
[3]Nicholas Manton and Paul Sutcliﬀe. Topological Solitons. Cambridge University Presss, 2004.

94

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重宇 a21

Axion inﬂation による共鳴的再加熱
辻

天太

95

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Axion U(1)Preheating
辻天太 (KEK, 総合研究大学院大学 素粒子原子核コース)

Abstract
標準的な宇宙の熱史では Inﬂation のあとに Inﬂaton のエネルギーは radiation のエネルギーに移り変わる必要がある. この機構は再加熱と呼ばれる. 本公演では Axion Inﬂation の再加熱を考察する. この模型の再加熱は原始磁場生成やバリオン数生成の従来な定量的な評価を変える可能性があり, この系の Preheating の性質を調べることは重要な問題である. この模型の Prehating は Chiral Plasma Instability によって Axion
が数回転がる間に爆発的に Gauge 場が生成する. このため preheating の終了時にほとんどのエネルギーを

Gauge 場が占めているがその後再加熱は終わるのか, それとも摂動的な再加熱が寄与するのか？を議論する.

1

構も考えられている. しかし, 従来の磁場生成などのIntroduction
標準的な宇宙の熱史では Inﬂation の後に宇宙のエ

ネルギーは Inﬂaton が占めており radiation がエネ

定量的な評価は Inﬂation 期間のみの Gauge 場生成を議論しており再加熱の効果を十分に考慮に入れることが出来ていない. このような問題提起から本公ルギーを支配している Big Bang の時期に入るため演では Axion を用いた Preheating を議論をしこの模には Inﬂaton が崩壊して radiation にエネルギーを型の Preheating の結果とその物理的な意味を議論す

移す再加熱が起きる必要がある. この再加熱機構は

Inﬂation と BigBang を繋ぐ重要性に反して現在その機構は Inﬂation や BigBang 宇宙論に比べてあまりる.

Preheating に関する議論は [1] をもとに行なっている. Axion Preheating の数値計算の結果は [2][3] を用理解されていない. 特に Preheating と呼ばれる再加

いた. また Chiral 効果に関する議論は [4] の Review

熱の初めの時期に起こり得る非摂動で効率のいい粒子生成の時期は Dark Matter 生成やバリオン数生成

論文の議論を参考にした.

など豊富な現象を予言するもののこの時期に出来たradiation が宇宙のエネルギーを支配して再加熱が終

2

Set Up

わることはないと思われている. つまり再加熱温度な
ど最終的な再加熱の情報は preheating のあとに起こ

FLRW 時空のもと U(1) Gauge 場と Axion を用いる摂動的な再加熱によって決まると考えられている.

たモデルによって Preheating を考えるために以下のしたがって preheating が宇宙の熱史にどう影響する作用から始める.

のか, またどのようなことが一般に言えるかはほとん
どわかっていない.
この問題に対して Axion と U(1)Gauge 場が結合し

∫
S=

d4 x

√

−g L

(1)

ここでラグランジアン L はている preheating を考える.Axion は相互作用を通じL=て Potential に補正を与える radiative correction を受けないため, 再加熱を十分に起こすために相互作

2
Mpl
1
1
α
R− ∂µ ϕ∂µ ϕ−V (ϕ)− Fµν Fµν − ϕFµν F̃µν
2
2
4
4f
(2)

用の強さを強くしても Inﬂation を起こすのに必要なである. αは無次元の結合定数で f は質量次元 1 のAxion の potential の平坦性は影響を受けない. また

Axion の decay constant と呼ばれる量である.

Axion は CS 結合を通じて U(1)Gauge 場を生成する このラグランジアンの最後の項は特徴的な形をしておため,Blazar の観測などで存在が明らかになってきた りこの結合は Axion の Shift 対称性を壊さない形をし銀河間磁場を作ることが出来る. したがって銀河形成ている. したがってこの結合の結合定数を大きくとっに必要な種磁場を説明することが出来る可能性があても radiative correction で Inﬂaton の平坦性を壊す

る. またこれらの原始磁場を通じたバリオン数生成機

ことはない. したがって再加熱のために十分大きな結962024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
合定数を取ることが出来る. またこの項は ϕE ·B のよ

必要がある.

うな形を持っているため ϕ の崩壊を通して電場と磁場が並行となっている特定の偏光のゲージ場 (chiral

Gauge 場）が出来る.

4
3

Chiral(CPI)

PlasmaSemi-Analytical formula
ここでは宇宙膨張も考慮した上でのゲージ場の共Instability

鳴を semi-analytical な方法で求めていく. 但し, ここの計算では Axion の空間微分 ∇ϕ を無視し, 出来た

Gauge 場からの Axion に対する Back Reaction を無Chiral な Gauge 場生成は Chiral Plasma Instabil-

視する線形近似を用いる. この近似によってこの系のity と呼ばれる効果によって一般的に議論されている.
ここでは物理的な描像を掴むために宇宙膨張を切って a=1 とする
上記の作用から方程式を導くと以下の Maxwell 方程式が現れる.

∇ × B = ∂t E +

α
∂t ϕB
f

基本的な描像を半解析的に得ることが出来る.
ここで Gauge condition として ∂i Ai = 0

A0 = 0を採用する. この条件のもと作用から運動方程式を導くと2∂τ2 Ai − ∂m
Ai −

(3)

α
ϵimj ∂τ ϕ∂m Aj = 0f(5)

この方程式の右辺から磁場が電流のように振る舞っ となる. この方程式は前節で議論したαていることがわかる. このような磁場によって運動量 ∇ × B = ∂τ E + f ∂τ ϕBの低いところで U(1)Gauge 場に tachyonic な共鳴がに対応するものである.

起きて爆発的に増大する.

一方向の偏光の増幅を定量的に見るためにこの Gauge

実際にこの方程式の Gauge 場に対する振動数の分散場を偏光ごとに分解して Fourier 変換すると∑ ∫ d3 k†eikx ϵλi (k)[Aλk aλ (k)+Aλ∗Ai (t, x) =k aλ (−k)]
2π 3

関係は

ω 2 = k(k −

α
∂t ϕ)
f

(4)

λ=±

(6)

となっており k < αf ∂t ϕ で振動数の 2 乗が負となるとなる. これを (5) 代入すると

tachyonic な共鳴をする領域が現れる.

±Ä±
k + H Ȧ + k(k ∓このような現象は簡単な物理的な描像で理解出来る.
図 1. まず初めに z 方向に磁場があるとする. それが電流として働くと, アンペールの法則によってθ方向

α
ϕ̇)A±
k =0
f

(7)

となる. この方程式から Hubble friction を取り除いての磁場が誘起される. ここで誘起された磁場もまた電調和振動子の方程式に直すために場を ψk± = a1/2 A±k

流として働くことが出来るので, 同様にアンペールのと書き換えると法則から z 方向の磁場を誘起する. 以上を繰り返すこψ̈k± = −[ωk± (t)]2 ψk±とで磁場が共鳴的に増幅する. これがこの系の基本的(8)となる. ここで振動数を
)
( 2
ȧ2
ä
k
αk
±
2
+ 2−
∓
ϕ̇
[ωk (t)] =
2
a
4a
2a
fa

な物理描像である.

(9)

とした.
この方程式を WKB 近似法を用いて解析すると振動数が 0 となる ωk± (t1 ) = ωk± (t2 ) = 0 の間の時間 (t1 , t2 )2に ψ は指数関数的に増大する. その増幅率は [Ω±k] =図 1: Chiral Plasma Instability−[ωk± ]2 と定義すると

ここではスケール因子 a=1 としたが実際は宇宙膨張が共鳴を弱める方向に働くためその考慮を入れる97ψk± ∝ exp

(∫ t2

′

Ωk (t )dt
t1

′

)
(10)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる. したがって Gauge 場の振幅の増幅率は semi-

U(1)Gauge 場に移っていることがわかる. このような

analytical には (10) の積分を実行することで求める

振る舞いは結合定数を横軸とした図 6 も示している.

ことが出来る. この増幅率の評価は量子力学の散乱問−1
この結果から一つの指針として結合定数が 9.5Mpl
よ題と同様のものであり [1] で議論している方法を用いりも低い場合は Prehating は Eﬃcent ではなく摂動的た.

−1な再加熱に向かうと結論付けることができる.9.5Mpl

以上の結合定数の場合に起きる U(1)Gauge 場のエネ

Semi-Analytical に計算した結果 (実線) と数値

ルギーの振る舞いは興味深い, なぜなら [1] などが指摘している通り従来は Inﬂaton のエネルギーと出来た粒子のエネルギーが同程度になった時に Back Re-

action や Rescattering の効果によって粒子生成は共鳴から外れて Preheating が終わると考えられていたからである. しかしこの模型では Preheating によっ
図 2: Semi-Analytical/numericalてほとんどのエネルギーが Gauge 場に移っていることから摂動的な再加熱が起きず,Preheating によって計算の結果 (点線) を比較したのが図 2 である.[2] ま再加熱が完遂する可能性がある.

k
た赤, 青, 黒はそれぞれ aH= 1, e, e2 を表している.

ここで重要な点としてこの Simulation の結果から『結この図を見るとほとんど Semi-Analytical な結果と合定数が強い場合には Preheating で再加熱が終わる』

数値計算の結果があっていることがわかる. またそれと結論づけることはできない, なぜなら Inﬂaton のエ

ぞれの偏光の振幅を比較すると A+ が A− に比べてネルギーが少しでも残っている限り radiation のエネ

大きく増幅していることがわかる. これは宇宙膨張の効果によって初めに増幅される A+ と比べて A− がルギーの方が早く減衰するため再度 Inﬂaton のエネ

ルギーが支配する場合があるからである.
tachyonic に増幅するときの増幅率が低くなっている ここでこの Simulation の欠点について述べる. まずことから理解出来る.
数値計算の精度の問題として Inﬂation から再加熱の以上より Preheating の時期にカイラルな U(1)Gauge

終わりまでの全てを Simulation することは出来ない.

場が出来ることが線形近似の元で理解出来た. これにしたがってこの後に Gauge 場や Axion のエネルギー

よってこの系の時間発展の初期の振る舞いを理解す

密度がこのあとどのように発展するかがわかっていな

ることが出来た. しかしながら, 爆発的な Gauge 場生

い. またこの Simulation は古典数値計算なので Pre-

成によってすぐ線形近似は使えなくなるということ

heating など爆発的な粒子生成が起きる場合には効を理解しておかないといけない.

力を発揮するが摂動的な再加熱のような量子論の問題を扱うことは出来ない. したがって数値計算を摂動計算に接続して Boltzmann 方程式で解析する必要が5ある.

Non-Linear Lattice Simulation
ここでは非線形効果を取り入れた Classical lattice

Simulation の結果を考察する. ここで用いる Simulation の結果は [3] のものを用いるが [2] も同様の結果を表している−1
図 3,4,5 はそれぞれ結合定数 α
f を 6, 9.5, 15Mpl と変えた時にどのように Axion と Gauge 場のエネルギー密度が時間発展するのかを示した図である.
−1
これらの図をみると 9.5Mpl
を境に Preheating が効率よく起きておりほとんどの Inﬂaton のエネルギーが

98−1
図 3: 6Mpl

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
たがって, 今後この場合に Inﬂaton が再度エネルギーを支配して摂動的な再加熱が起きるか, それともそのまま Radiation dominant の時代に入るかを調べる必要がある. しかしながら, 現状の数値計算の能力から
この後これらのエネルギー密度がどのように発展す
るのかを調べることが出来ない. しかし図 6 で示した通りある結合定数を境に大きく系の性質が変わっていることがわかる. この振る舞いなどをさらに調べる
ことでこの系をより詳しく理解できる可能性がある.
これは今後の課題である.
−1
図 4: 9.5Mpl

以上の結果より Preheating 過程がこの模型にとって重要であることが理解できた. 特に U(1)Gauge 場が爆発的に出来ることで磁場生成やバリオン数生成などの評価に大きく影響することがわかる. したがって

Prehating 過程を用いたこれらの定量的な評価は今後さらに調べていく必要がある.

acknowledgement
今回の発表に関して再加熱や Axion Inﬂalation についてご指導いただいた向田享平先生, 磁場の減衰や観測について教えていただいた学振特別研究員の内田 経夫さん, そして本公演の発表練習に付き合って−1
図 5: 15Mpl

くださった KEK 理論センターの皆様方に深く感謝
申し上げます.

●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●●Reference

●
●

●
●
●

●
●

● ● ● ● ●●● ●[1] L.Kofman,A.Linde,A.Starobinsky● ●Towards the Theory of Reheating After Inﬂa-

●
●

●

●

●

● ●

tion ,hep-ph/9704452

● ● ●

●

[2] P.Adshead,J.Giblin Jr,T.Scully,E.I.Sfakianakis●●

Gauge-preheating and the end of axion
inﬂation,astro-ph/1502.06506

図 6: Preheating Eﬃciency Max Values[3] J.Cuissa,D.Figueroa

6

Lattice formulation of axion inﬂation. Applica-

結論と今後の展望

tion to preheating,astro-ph/1812.03132

上記の結果によって Axion を Inﬂaton とした場

[4] K.Kamada,N.Yamamoto,D.Yang

合には Preheating 中にほとんどのエネルギーがChiral eﬀects in astrophysics and cosmol-

U(1)Gauge 場に行くことが理解出来た.

ogy,Astrophysics/2207.09184

この結果は従来の Preheating と大きく異なり Pre-heating で再加熱が完遂する可能性を示している. し99

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重宇 a22

経路積分形式での曲率ゆらぎの計算
川口

遼大

100

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

経路積分形式での曲率ゆらぎの計算∼1 ループ補正と 3 点相関の関係 ∼PBH は死んでいない川口 遼大 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科 D1)

Abstract
本講演では (R. Kawaguchi et al. 2024) および (R. Kawaguchi et al. 2024) に基づき、曲率ゆらぎのパ
ワースペクトルへの 1 ループ補正を評価する方法を紹介する。近年、原始ブラックホール (PBH) と関連づけられて盛んに研究されている transient ultra-slow-roll モデルであるが、(J. Kristiano & J. Yokoyama2022) において問題点が指摘された。小スケールでのゆらぎの増幅が大きなスケール不変 1 ループ補正を生み出し、大スケールにおいてツリーレベルの結果よりも大きな補正をもたらしてしまい、理論の摂動性を破壊してしまうという問題点だ。我々は (J. Kristiano & J. Yokoyama 2022) とは異なったより素直なアプローチを取り、この問題点を再検討した。経路積分を用いて、パワースペクトルへの 1 ループ補正とツリーレベルのバイスペクトルの間に成り立つ関係式 (master formula) 及びツリーレベルのバイスペクト
ルとパワースペクトルの間に成り立つ関係式 (consistency relation) を導出し、それらを用いて 1 ループ補正を評価した。結果としては、(J. Kristiano & J. Yokoyama 2022) とは異なり、スケール不変 1 ルー
プ補正はツリーレベルよりも十分小さく抑えられており、摂動論は破綻していないことがわかった。

1

で大きな役割 (ダークマターなど) を担う可能性があIntroduction

り、大変注目を浴びている天体である。
インフレーション理論は現代宇宙論において広く認められた理論である。宇宙開闢期の指数関数的な加速膨張は標準ビッグバン宇宙モデルでの不自然な点であった平坦性問題や地平線問題を自然と解決する。それだけではなく、現在の宇宙の多彩な構造の起源はインフレーション中の量子ゆらぎにあると考えられている。現状、インフレーションのモデルを制約する観測データは CMB などの大スケールのものに限られており、小スケールでのゆらぎについてPBH 形成を引き起こすようなインフレーションモ
デルは数多くあるが、最も有名なのは Ultra-slow-roll(USR) モデルであろう。USR モデルではインフラト
ンポテンシャルが平坦な領域 (USR 領域) を持ち、その領域中にハッブル半径を横断したスケールのゆらぎが増幅される。その増幅によって小スケールで十分に大きな曲率ゆらぎが得られれば、PBH は形成されると考えられている。

は未だに強い制約はない。インフレーションの完全

し か し 、近 年 、Jason Kristiano 氏 と 横 山 順 一

な解明及び背後に隠れた高エネルギー物理の探索の氏によって、この模型のある問題点が指摘されたためには、小スケールでの振る舞いも明らかにして(J. Kristiano & J. Yokoyama 2022)。小スケールでいく必要があるだろう。

のゆらぎの増幅が 1 ループ補正として大スケールにインフレーションで生成される小スケールのゆら対して寄与し、摂動性を破壊するというのだ。このぎと関連して活発に議論されているのが原始ブラッ 議論に対しては多くのフォローアップ論文 (賛成も反クホール (PBH) である。もし、インフレーションに対も含む) が書かれており、いまだにこの議論は落ち

よって大きなスカラー型ゆらぎ (曲率ゆらぎ) が生成

着いていない。この議論に決着をつけるため、我々はされた場合、後の宇宙で密度の大きな領域が誘因さ

可能な限り不明瞭な点を取り除き、彼らとは異なるれる。そのような領域は重力的に潰れブラックホーアプローチ (経路積分) で 1 ループ補正を計算した。

ルとなることが予想されており、このように形成さ結論としては彼らの結果とは異なり、大きな 1 ルー

れるブラックホールを PBH と呼ぶ。PBH は宇宙論

プ補正は認められなかった。

1012024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Transient USR model107ζ (k) / ζ (0)2

まずは簡単に本論文で用いる transient USR modelの説明をしておこう。このモデルは USR モデルを解
析的に解けるように簡単化したモデルであり、それ

1000
10
0.100

は第 2 スローロールパラメータ η ≡ ϵ′ /aϵH によって
′

105

0.001

特徴づけられる。ϵ ≡ −H /aH は第 1 スローロー

0.001

2

0.010

0.100

ルパラメータである。

η(τ ) = ∆η [θ(τ − τs ) − θ(τ − τe )] , ∆η = −6 , (1)

1

10

100

1000

k/ks

図 1: 曲率ゆらぎのツリーレベルパワースペクトルここで τ は共形時間であり、τs , τe は USR ステージ

3の開始時刻と終了時刻である。

Master formula

摂動論を考える。特にスカラー型摂動である曲率
本章ではパワースペクトルへの 1 ループ補正

ゆらぎ ζ に着目する。この時、モード関数 ζk は運動を低次の相関関数と関連付ける公式を経路積分に方程式

d ( 2 ′)
D 2 ζk =a ϵζk − a2 ϵ∂ 2 ζk = 0dτより導出した結果のみを紹介する。細かな計算は(2)(R. Kawaguchi et al. 2024) を参照されたい。
ここでは一般的に議論を展開するために、以下のを満たす。transient USR model では解析的にこような 3 次の general Lagrangian を考える。

の方程式を解くことができる。具体的な式の形は(J. Kristiano & J. Yokoyama 2022) を参照せよ。そL3 =の表式を用いて、インフレーション終了時 τ = 0 でのパワースペクトルPζ (τ = 0, k) =

n
∑
A=1

(A)

λ3 (τ )

3
∏

(A)

Di

ζ,

(6)

i=1

ここで λ は時間依存する結合定数であり、Di は時間
3k|ζk (τ = 0)|2
2π 2

(3)

を計算すると、図 1が得られる。小スケールでの増幅

微分演算子 (恒等演算子も含む) である。パワースペ
クトルに対しては 2 つの 3 点 vertex を含むダイアグ
ラムが考えられる2 。
上記のラグランジアンは 1 ループに対して式 (7)が見てとれる。これにより PBH 形成が引き起こさ

のような寄与を及ぼす。ここで ζ̃ は ζ のフーリエ変れる。
しかしこれはツリーレベルでの結果であり、摂動換であり、⟨⟨⟩⟩ は相関関数から運動量に関するデルタの高次補正を取り入れた場合、その結果は変わり得関数を省略したものだ。G++ および G−+ は ζ のプる。実際、transient USR model は以下のような 3 点

ロパゲータであり、経路積分の closed time path の相互作用および 4 点相互作用を含む1 。これらから作

時間積分経路に応じて 2 種類存在している。また運られる相互作用 vertex によるパワースペクトルへの動量積分に関しては積分範囲を kmin 以上に限定し1 ループ補正を取り入れるのが本研究の課題である。 た。これは我々の興味が小スケールから大スケールへの補正であるためだ。式 (7) から読み取れるよう
[ 2
]
a
η
2
2
に、1 ループ補正は 3 点相関関数と関係づけられていL3 ⊃ MPlϵη ′ ζ 2 ζ ′ + ζ 2 D2 ζ +ζζ ′ D2 ζ ,22aHる。これを以下では master formula と呼ぶことにし(4)よう。この式変形を模式的に表したのが図 2である。
[ 2]a ϵη 3 22aϵ 2 ′ 2
次の章では、3 点相関関数に関する consistency re2
L4 ⊃ MPlζ ∂ ζ+ζ ζ ∂ ζ . (5)3H
lation を示し、master formula をさらに簡単にする。
1 もちろんこれで全てではない。しかし、3 点相互作用の主要な項はここに挙げた 3 項のみである。4 点相互作用は空間座標のrescaling symmetry xi → e−δζ xi and ζ(τ, xi ) → ζ(τ, xi ) + δζ を要請することで、3 点相互作用から自然と導かれる項のみを抽出している。また経路積分では境界項相互作用は寄与しないので無視できることも用いている (R. Kawaguchi et al. 2024)。
2 ここでは 1PI のみを考える。

102

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

One-loop𝐴

3-point correlation

=

𝐵

𝐴

𝜏∗

𝜏∗

𝑘"

𝑘"

𝑘#

𝐵

𝜏

+

𝑘$
𝜏

𝑘#

𝑘$

𝜏

𝜏

図 3: 3 点相関の Feynman diagram

図 2: 式 (7) の模式図
(3)⟨⟨ζ̃(τ∗ , k1 )ζ̃(τ∗ , −k1 )⟩⟩1-loop,1PI(∫ τ∗ [ ∑∫3 perms
n
∑
(A)
(A)
≃i
dτ
λ3
Di1 G++ (k1 ; τ, τ∗ )
τ0A=1(i1 ,i2 ,i3 )(A)−Di1 G−+ (k1 ; τ, τ∗ )

4

d3 k
(A)
(A)
⟨⟨ζ̃(τ∗ , k1 )Di2 ζ̃(τ, k)Di3 ζ̃(τ, −k1 − k)⟩⟩tree
3(2π)
k>kmin
)]

∫

d3 k
(A)
(A)
⟨⟨Di2 ζ̃(τ, k)Di3 ζ̃(τ, −k1 − k)ζ̃(τ∗ , k1 )⟩⟩tree
3k>kmin (2π)

ここで ⟨ζ⟩ = 0 を用いて、右辺に現れるはずの con-

Consistency relations
本章では 3 点相関関数について、consisitency re-lation が成り立っていることを確かめる。式 (7) にtact terms はゼロとしている。作用として ζ について
2 次と 3 次のものを考えた時、S = S2 + S3 として、⟨⟨D2 ζζζ⟩⟩ ∼含まれる 3 点相関関数は ⟨⟨ζ 3 ⟩⟩ のみならず、微分演算子を含むものについても示す必要がある。transient

USR model の 3 次ラグランジアン (4) の場合、以下の 4 つを考える必要がある。

⟨⟨ζ̃L ζ̃S ζ̃S ⟩⟩,⟨⟨ζ̃L ζ̃S′ ζ̃S ⟩⟩,⟨⟨ζ̃L D2 ζ̃S ζ̃S ⟩⟩,(7)⟨⟨ζ̃L D2 ζ̃S ζ̃S′ ⟩⟩
(8)

1
δS3
2 ⟨⟨ δζ ζζ⟩⟩
2MPl

(12)

と書き換えることができる。これを図示したものが
図 4である。右辺を transient USR model での具体的な作用で計算すれば、
(
)
δS3
2
≈ MPl
−6ζD2 ζ − 4a2 ϵζ∂ 2 ζ
δζ

(13)

ここで ζL , ζS は long および short モードを表していとなり、これを代入することで、D2 を含む 3 点相関る。前半の 2 つと後半の 2 つについて別々に議論し関数を劇的に簡単に計算できる。結果としては、よう。

算を愚直に行う。黒丸と白丸はそれぞれ経路積分に⟨⟨ζ̃L D2 ζ̃S ζ̃S ⟩⟩ ≈ −3⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩⟨⟨D2 ζ̃S ζ̃S ⟩⟩ − 2a2 ϵ⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩⟨⟨∂ 2 ζ̃S ζ̃S ⟩⟩
(
)
3
d
k
⟨
⟨D
ζ̃
ζ̃
⟩
⟩
2
S
S
S
1
≈ −⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩ 3
− 2a2 ϵ⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩⟨⟨∂ 2 ζ̃S ζ̃S ⟩⟩ (14)kS
d ln kS

登場する + 場と − 場を表しており、2 つのタイプのが得られる。ここからわかるのは 3 点相関関数のみでvertex を計算し、足し合わせる必要がある。結果とは consistency relation を満たしておらず、空間微分

しては次の関係式が得られる。 (
)
3
d
k
⟨
⟨
ζ̃
ζ̃
⟩
⟩
S S
S
1
⟨⟨ζ̃L ζ̃S ζ̃S ⟩⟩≃ − ⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩ 3
, (9)kSd ln kS()
3′
1 d kS ⟨⟨ζ̃S ζ̃S ⟩⟩′⟨⟨ζ̃L ζ̃S ζ̃S ⟩⟩≃ − ⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩ 3
, (10)kS
d ln kSを含む余分な項が現れるということだ。しかしこれ前半の 2 つについては Feynman rules に基づいて素直に計算を行うしかないだろう。すなわち図 3の計

これは conistency relations に他ならない。
次に運動方程式演算子 D2 を含む場合について計算を行う。ここで役に立つのが Schwinger-Dyson 方
程式である。Schwinger-Dyson 方程式によれば、作
用 S に対して次が成り立つ。

⟨⟨

δS
ζζ⟩⟩ ∼ 0δζ(11)は当然のことである。なぜなら、consistency relation
は空間座標の rescaling symmetry に由来するものであり、rescaling 変換の際には ζ のみならず D2 に含まれる空間微分 ∂ 2 の変換も考慮しなければならないからだ。この効果を取り入れるためには 3 点相関関数のみならず 4 点相関関数も加える必要があり、正しい consistency relation は次のように満たされる。
∫ 3 ′
d kS
2
⟨⟨ζ̃L D2 ζ̃S ζ̃S ⟩⟩ + a ϵ⟨⟨ζ̃L ∂ 2 ζ̃S ζ̃S ′ ζ̃S+S ′ ⟩⟩
(2π)3
(
)
3
d
k
⟨
⟨D
ζ̃
ζ̃
⟩
⟩
2
S
S
S
1
≃ −⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩ 3
,
(15)
kS
d ln kS103

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
(
)
3
′
d
k
⟨
⟨D
ζ̃
ζ̃
⟩
⟩
2
S
S
S
1

この 4 点相関関数は 3 次相互作用からの 1 ループ補≃ −⟨⟨ζ̃L ζ̃L ⟩⟩ 3kS

正 (7) からは現れないが、4 次相互作用 (5) からの 1
ループ補正から現れる。したがって、3 次と 4 次の 1

d ln kS,(16)

ループ補正の和としては consistency relation に従うが成立する。以上により、master formula の中に現量が運動量積分の中に現れることが示された。

れる 3 次もしくは 4 次の相関関数は運動量について

3-point correlation with 𝐷!

𝛿𝑆"
𝛿𝜁

𝐷! 𝜁

~ −

𝐵

𝐴

4-point correlation の全微分で書けることが示された。

5𝐴

One-loop correction
では master formula を用いて実際に 1 ループ補正を計算してみよう。3 点相関もしくは 4 点相関についての consistency realtions を代入すると、式 (17)図 4: Schwinger-Dyson 方程式による変換を得ることができる。consistency relations のおかげ
で運動量積分は表面項として簡単に実行できる。た同様に、⟨⟨ζ̃L D2 ζ̃S ζ̃S′ ⟩⟩ + 2a2 ϵ(loop)Pζ∫だし、2 行目では kmax からの寄与は次元正則化によ
d3 kS′⟨⟨ζ̃L ∂ 2 ζ̃S ζ̃S′ ′ ζ̃S+S ′ ⟩⟩3
り取り除いている。
(2π)(τ∗ , k1 )(tree)
Pζ(τ∗ , k1 )

≃2

∫ τ∗



dτ 

τ0

dτ
τ0

(A)

λ3

A=1

∫ τ∗
=2

3
∑

3
∑
A=1

3 perms∑()(A)
Di1 Im ζk1 (τ )ζ̄k1 (τ∗ )(i1 ,i2 ,i3 )(A)

λ3

3 perms∑(i1 ,i2 ,i3 )∫ kmax
kmin

(
)
(A)
(A)
3
d
k
⟨
⟨D
ζ̃(τ,
k)D
ζ̃(τ,
−k)⟩
⟩
i2
i3
d k 1

(2π)3 k 3
d log k
3

(
) k3
(A)
(A)
(A)
⟨⟨Di2 ζ̃(τ, k)Di3 ζ̃(τ, −k)⟩⟩Di1 Im ζk1 (τ )ζ̄k1 (τ∗ ) min
2π 2

(17)

結論：PBH は死んでいない！

さて transient USR model の具体的な 3 次相互作用の形を (A) として代入しましょう。考えられる結合定数と微分演算子は 3 次ラグランジアンより

a2 ′ϵη , and D = ∂τ , 1, 1 (18)
Acknowledgement2η2
λ = MPl , and D = D2 , 1, 1
(19)
2
対面で開催していただき嬉しいです。運営の方々に感謝申し上げます。
2 2
λ = MPl, and D = D2 , ∂τ , 1 (20)aHの 3 つである。2 つ目と 3 つ目は式 (17) に代入する
2
λ = MPlとゼロとなるので寄与はない。唯一寄与があり得る

Referenceのは 1 つ目の場合だが、(loop)

Pζ

≃−(tree)

Pζ) R. Kawaguchi, Shinji Tsujikawa, & Yusuke Yamada∆η ( (tree)(tree)Pζ(τs , kmin ) − Pζ(τe , kmin )2024, arXiv 2403.16022
4(21)となり、これも kmin を USR ステージ以前にホライ

R. Kawaguchi, Shinji Tsujikawa, & Yusuke Yamada
2024, 準備中ズンをでたスケールに取ればほとんどゼロである。したがって、小スケールからの大スケールへの 1 ルー
プ補正は十分に小さいことが示された。

J. Kristiano & J. Yokoyama 2022, Phys.Rev.Lett. 132(2024) 22, 221003, arXiv 2211.03395

104

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重宇 a23

ローレンツ対称性を破る重力理論とウンルー効果
竹内

智貴

105

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

ローレンツ対称性を破る重力理論とウンルー効果
竹内智貴 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
重力のローレンツ対称性を検証する手段として、ローレンツ対称性の破れを許容する一般相対論の拡張理論が提案されるようになった。そのような重力理論において、ブラックホールのホライズン近傍における粒子対生成現象（ホーキング放射）は、一般相対論と同様に確認することが可能である。一方で、 ホーキング放射と深く関連する現象としてウンルー効果があるが、それはローレンツ対称性が破れる状況ではウンルー効果も破れると考えられてきた。そのため、ウンルー効果はローレンツ対称性と根源的な関係があると考えられるようになった。本発表は、[１] のレビューを行う。ローレンツ
対称性を破るためにエーテル場とばれるベクトル場を導入する必要があるが、これまでそのダイナミ
クスは十分に考えられていなかった。本発表では、このエーテル場をダイナミカルな場として議論することでウンルー温度を導くことができ、ローレンツ対称性を破る重力理論においてもウンルー効果が存在することを示す。

1

導入

重力の熱力学的な性質は、時空構造を理解するにあたって重要な役割を果たしており、それらを一般相対論は低エネルギーでの有効理論であり、 満足しない重力理論を完全に排除することはない
高エネルギーを記述する重力の理論としては不十が、そうした理論を否定する要件として使用され分である。そのため、一般相対論を超えるようなることがある。簡単には、一般相対論で実現され重力現象を説明するために、修正重力理論や量子る現象であるホーキング放射やウンルー効果が修

重力理論の研究が進められてきた。重力の量子化

正重力理論でも理論的に導かれるかを確認するこや宇宙の高エネルギー現象の説明を目的とする研とである。ローレンツ対称性を破る重力理論にお究から、重力はローレンツ対称性が破れているこ

いて、ホーキング放射は一般相対論と同様に、そとが示唆されるようになった。ローレンツ対称性の重力理論に対する因果的境界の近傍で粒子対生
は、標準理論では根源的な性質であるのに対し、 成が生じることが確認された。しかし、ローレン
重力はどのようなスケールでローレンツ対称性がツ対称性を破る重力理論では、ウンルー効果が確破れるのか、または、破れるとしたらどれほどの認することができないと主張する研究がいくつか破れを許容するのかといったことは十分に理解さ挙げられるようになった。厳密に明らかにされてれていない。ローレンツ対称性が厳密に保たれるはいないものの、ホーキング放射とウンルー効果

としても、ローレンツ対称性が破れる場合の理論は原理的に類似した現象であり、いずれも熱的なと比較することで表れる差異を議論することによ

放射と理解されるため、ローレンツ対称性の破れり、重力理論の理解や時空構造の解析が進むこと

る重力理論においてどちらか一方が理論的に示さが期待される。

れないのは奇妙なことである。

106

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

ローレンツ対称性を破る重力である。(1 + 1) 次元の時空を考えるとき、計量は
以下のように書くことができる。

理論

gµν = −Uµ Uν + Sµ Sν

はじめに、ローレンツ対称性を破る重力の作用について以下のものを考える。
∫
1
SLV =
d4 x(R − LEÆ ) + Sm
16πG∗

Sµ は Uµ に直交する空間方向の単位ベクトルであ
(1)

β

α 2

+ c3 (∇α Uβ )(∇ U ) − c4 (U ∇µ Uα )βαµる。ローレンツ対称性を破るとはいえ、ウンルー
効果を考える上ではミンコフスキー時空が背景時空となるため、平坦座標 (t, x) で書き直すことがLEÆ = c1 (∇α Uβ )(∇ U ) + c2 (∇α U )
α

(4)

2

(2)

できる。

c1 ∼ c4 は定数である。ここで、Uµ は、エーテル

ds2 = − dt2 + dx2場と呼ばれるベクトル場であり、Uµ U µ = −1 をリンドラー座標は、平坦座標を共形変換すること満たし、時間成分のパラメータ Θ とするとき、これを用いて以下のように表すことができるものとで明らかになる。この共形変換は、GR の場合と同様にして行うことができる。したがって、

する。

∇µ Θ
Uµ = √−∇α Θ∇α Θ()
ds2 = e2āξ − dη 2 + dξ 2t
η = arctan , x2 − t2 = ā−2 e2āξx)( 2āξ
e + 1 e2āξ − 1,
Uµ (η, ξ) = −
2
2

(3)

Sm は物質場による作用である。このように重力場の作用に LLV を加えて修正した重力理論をKhronometric といい、Θ を Khronon 場という。
フロベニウスの定理により、Θ 一定のときに現れる空間的超曲面は全て特定の時間方向に対して直交する。この時間方向の単位ベクトルこそ Uµ で

(5)

(6)

のように書き下すことができる。ここで、ā はミンコフスキー上を等加速度運動する観測者の加速度の大きさである。または、エーテル場の加速度あり、特別な時間の方向を与えるようなベクトル

Aµ = LU Uµ

場である。そのため、作用の時点ではあらわでは= U α ∇α U µ

ないが、LLV を加えることで自発的なローレンツ
対称性の破れを引き起こす。したがって、この重の大きさ ∥A∥ = ā として理解することできる。

力理論ではローレンツブーストが存在せず、超光リンドラー座標の因果構造を示したものが図１で速のモードが許容される。

ある。光速を超えるモードが許される場合において、光の測地線を用いて時空の因果構造を議論することに意味がないと思われるため、GR で因果的境

3リンドラー座標

界として用いられたキリングホライズンに変わる

ローレンツ対称性を破る重力理論におけるリン
ドラー座標を議論する。リンドラー座標は、ミンコフスキー時空を等加速度運動する観測者の座標

無限大の速度のモードに対する因果的境界の導入が望まれる。そのような境界は universal horizonと呼ばれ、以下のように定義される。

Uµ χµ = 0

107

(7)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
χ は timelike キリングベクトルであり、ミンコフ ンツ対称性の破れる重力理論でのウンルー効果をスキー時空において χα = ∂η xα である。キリングµ

議論する場合でも、導出の流れは基本的に GR のホライズンは、χµ χ = 0 で定義される。timelike

場合と同様である。はじめに、質量を持たないス

キリングベクトル自身が直交する、すなわち、キ

カラー場 ϕ について、重力場中では以下のようなリングベクトルと光の単位ベクトルが直交する作用が考える。

ような表面として定義されていた。それに対し、∫

universal horizon は、timelike キリングベクトル Sϕ =と選択した特定の時間方向の単位ベクトルとの内

d4 x

√


n
∑
1
c
2j
2
ϕ(−∆)j ϕ−g  (∂α ϕ) +
2j
2
Λ
j=2


積が０となるような表面として定義される。

(8)
結合定数 c2j 、カットオフパラメータ Λ、そして、i+<latexit sha1_base64="Jr5lq6xii3OPbl6MAGVTC5NecI4=">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</latexit>

𝔽

𝕄

H1

∆ はラプラシアンである。ラグランジアンの第二項は、高エネルギーのモードに対して大きく寄与<latexit sha1_base64="Mx7apswnKiDketM6pcXIsi3dYn0=">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</latexit><latexit sha1_base64="B/IIiiIq+086GbbYxV1yJ8m/SA8=">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</latexit>

I

+

𝔽
𝕃

する項である。また、n については重力場の方程ℝℝℙ

i0 式から決定される。このように導入したスカラー<latexit sha1_base64="AygTBL4CgfOC0KoWD6tWpS0U/Qo=">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</latexit>

場のことを Lifshitz スカラーといい、ϕ について変分すると、スカラー場の方程式が得られる。こ<latexit sha1_base64="uT8FxZOIx4b2EaD0YwIBH2Z4uQQ=">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</latexit>

I<latexit sha1_base64="uT8FxZOIx4b2EaD0YwIBH2Z4uQQ=">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</latexit>

I

れを Lifshitz-Klein-Gordon 方程式という。

i<latexit sha1_base64="6LVCZNtFrlp3OfNLXjjJIvxvYrw=">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</latexit>□ϕ −図 1: 左側の図はミンコフスキー時空のペンロー
ズダイアグラム。R というリンドラー座標を拡大

n∑c2j(−∆)j ϕ = 0
2j−2
Λ
j=2

(9)

したものが右の図である。黄色の線が速さ āη でこの微分方程式の一般解を解析的に求めることは等速度運動する点粒子の世界線である。黒い実線

困難であるため、以下のように WKB 近似を行う。
[]
iϕ = ϕ0 exp S0(10)ℏ

が Θ 一定の空間的超曲面である。破線がキリング
ホライズンの一つであるが、超光速のモードが許される場合には因果的境界として役割を果たさない。代わりに、無限大の速度に対する因果的境界として universal horizon H ∞ が定義される。

ϕ0 は定数であり、S0 は (8) の作用を点粒子として近似したものである。このようにすることで、解析的にモードを調べることができ、(9) を満たす解 vR,Ω が得られる。

4

ウンルー効果このように、(9) の解を求めることができるた

ウンルー効果とは、「慣性系における真空を加速度系から測定すると、時空の因果的境界の近傍で粒子対生成が起こる」という現象である。より簡潔に言うと、慣性系の真空は、加速度系から見ればある温度の熱浴があるように見える。ローレ

め、それを用いて量子スカラー場 ϕ を生成・消滅
演算子を用いて展開することができる。
∫∗
ϕ̂ = dΩ vR,Ω b̂Ω + vR,Ωb̂†Ω∫= dω uM,ω âω + u∗M,ω â†ω

108

(11)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、âω はミンコフスキー時空における消滅

謝辞

演算子であり、b̂Ω はリンドラー座標における消滅演算子である。それぞれの消滅演算子に対して、

立教大学理論物理学研究室の大学院生ならびに、

ミンコフスキー座標における真空 |0M ⟩ とリンド

スタッフの皆様にこの場を借りて謝辞を述べさせ

ラー座標における真空 |0R ⟩ は以下のように定義すていただきます。

ることができる。

âω |0M ⟩ = 0,b̂Ω |0R ⟩ = 0(12)

これらの演算子は、ボゴリューボフ変換という線形変換により関係づけることができる。
∫ ∞
(
)
b̂Ω =
dΩ αâω + βâ†ω

Reference[1] F. Del. Porro et al., arXiv: 2310.03070(2023).
[2] F. Del. Porro et al., arXiv: 2310. 01472(2023).

(13)

0

規格化条件を用いることにより、それぞれの係数を決定することができる。そのため、加速度系に対するミンコフスキー真空の粒子数期待値を求めることができる。

⟨0M | b̂†Ω b̂Ω |0M ⟩ =12πΩ

e ā − 1(14)

この粒子数期待値からボース分布関数の形を得る
ことができるため、熱浴の温度 T を読み取ること
ができる。

T =

ā
2π

(15)

したがって、ローレンツ対称性が破れた重力理論においてもウンルー効果は導かれる。

5

結論
ローレンツ対称性の破れる重力理論においても時空の因果的境界として特徴づけられる universal

horizon の近傍で粒子対生成が起きることを導出できた。したがって、ウンルー効果はローレンツ
対称性の破れとは関係なく起こりうる現象であり、ローレンツ対称性との本質的な関係はなかったと考えられる。

109

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重宇 a24Generalized Cubic Covariant Galileon における非線形パ
ワースペクトルと予測
片山

友貴

110

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Generalized Cubic Covariant Galileon による非線形パワースペクト
ルと予測
片山 友貴 (総合研究大学院大学 高エネルギー加速器科学研究科)

Abstract
次世代調査のデータを最大限に活用するには、非線形スケールまでの物質パワースペクトルの正確なモデリン
グが必要である。今回レビューする論文 (2404.11471) では Generalized Cubic Covariant Galileon (GCCG)
モデルで非線形パワースペクトルの正確な予測を得るために、公開されているソフトウェア ReACT を GCC用に修正した。G3 モデルの極限で、修正された ReACT コードを N 体シミュレーションと比較し、さまざ
まなスケールと赤方偏移で一致が見られたことを確認した。次に GCCG によって導入された修正が非線形
物質パワースペクトルに及ぼす関連する影響を調べます。最後に、フィッシャー行列法を用いた次世代の調査による分光学的および測光的一次プローブからの予測を示した。

1

Introduction

2

今回用いるラグランジアンは次のとおりである。
)
(
∫
2
Mpl
4 √
S = d x −g
R + L2 + L3 + Sm [gµν , χi ],2

Methods
本レビューにおいては割愛した内容なので詳細は原論文を参照されたい。

2
Mpl
はプランク質量で、 Sm は物質の作用である。 3

Results

また Li は次のように指定する。
詳細は原論文を参照されたい。

L2 = G2 (ϕ, X)
L3 = G3 (ϕ, X)□ϕ,
Gi はスカラー場 ϕ と X = ∂µ ϕ∂ µ ϕ に関する関数である。
4(1−p2 )G2 = −c2 α2p(−X) 2 ,p

G3 = −c3 α31−4p3 (−X) 3
ここで αi は次のように指定する。
( 1−2p )
√
Mpl 3
1
1−4p3
α2 = H0 Mpl , α3 =
,
2p3
H0

Figure 1: N 体シミュレーションと今回の結果の比較

ここで H0 はハッブル定数である。また一般性を失わずに c2 = 1/2 とできる。 この上記のモデルをGeneralized Cubic Covariant Galileon (GCCG) と呼び、特に p2 = p3 = 1 を G3 と呼ぶ。

111

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Figure 2: 線形と非線形の比較

Figure 4: SKAO-like な観測に対するフィッシャー
Figure 3: Euclid-like な観測に対するフィッシャー 解析
解析

References
Luı́s Atayde, Noemi Frusciante, Benjamin Bose, Santiago Casas, Baojiu Li 2024, 2404.11741

112

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重宇 a25

相対論的量子オットー熱機関における因果律の効果
上永

裕大

113

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

相対論的量子オットー熱機関における因果律の効果
上永 裕大 (九州大学大学院 理学府 物理学専攻)

Abstract
相対性理論、熱力学、量子力学の 3 分野を横断するような研究は、まだ未開拓な部分も多く存在する。その研究テーマの１つに「相対論的量子オットー熱機関」が知られている。曲がった時空の量子場と相互作用する量子系、Unruh-DeWitt(UDW) 検出器 [1] を用いて曲がった時空の量子場から仕事を抽出するというモデルである。一瞬だけ量子場と相互作用するモデルにおいて、量子オットー熱機関における仕事と因果律との関係性が明らかとなっている [2]。本研究では、先行研究 [2] を拡張し任意の相互作用が時間依存性を持つ場
合での量子オットー熱機関と因果律との関係性を調べていくことを最終目標とする。
本発表では、研究の土台である調和振動子型 UDW 検出器を用いた相対論的量子オットー熱機関のフォーマリズムと、そこから判明した正の仕事を取り出す条件について紹介する。

1

Introduction

Unruh-DeWeitt 検出器モデル

2

現代物理学において様々な分野同士は密接に関連

今回は、2 準位系の粒子 (量子ビット) の代わりにしており、融合分野に対する研究が進んでいる。そ量子調和振動子を用いて、相対論的量子スカラー場の中に一つとして近年「量子熱力学」と呼ばれる “量と相互作用するモデルを考える。

子系における熱力学” が発展してきている。この分野ℏ = kB = c = GN = 1 とする。

では、熱浴と相互作用する量子物質を作動物質とした量子熱機関が重要な研究テーマとなっており、研調和振動子型検出器究が盛んに行われている。例として、非マルコフ効

2.1

果を取り入れ量子オットー熱機関を考えた場合、カルノー効率を超えた状況下においても仕事の抽出が

n + 1 次元の定常な1 曲がった時空 (M, g) を上を、
固有時 τ の軌跡 x(τ ) に沿って移動する調和振動子を可能であることが知られている [3]。

考える。

量子熱力学をさらに相対性理論・場の量子論と融量子スカラー場 ϕ̂(x) は、Zhiϕ̂(x) =
dn k b̂k uk (x) + b̂†k u∗k (x)合させた研究テーマとして、「相対論的量子オットー
熱機関」が知られている。これは、曲がった時空の量

(1)

Rn

子場と相互作用する 2 準位の量子系、Unruh-DeWitt†(UDW) 検出器モデル [1] を利用して、曲がった時空 と表され、b̂k 、b̂k は場の生成消滅演算子、uk (x)、∗の量子場から熱力学的仕事を抽出するものであり、ウ uk (x) は正および負振動モード関数を表す。

モード関数は、

ンルー効果を活用した仕事の抽出などが報告されている [4]。また、先行研究 [2] では、一瞬だけ量子場と相互作用する UDW 検出器を用いることにより、相対論的量子オットー熱機関における仕事は因果律が存在する時のみに抽出可能であることを明らかに(2)∂t u∗k (x) = iωk u∗k (x)(3)という性質を持つ。

した。

場における自由ハミルトニアン Ĥϕ はZĤϕ =dn k ωk b̂†k b̂k

本研究では、任意の相互作用時間依存性をもった
調和振動子型 UDW 検出機を用いて、非摂動論的にR

因果律と相対論的量子オットー熱機関との関連性を調べる。

∂t uk (x) = −iωk uk (x)と表される。
1 t 方向にキリングベクトルを持つ

114

(4)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
量子ランジュバン方程式 (8) の解は、調和振動子の自由ハミルトニアンは、

ĤHO (τ ) =P̂ 2 (τ ) 1+ mΩ2 Q̂2 (τ )
2m
2

(5)

Q̂(τ ) =と表され、Q̂(τ )、P̂ (τ ) はそれぞれ調和振動子の位置
演算子および運動量演算子であり、Ω はエネルギーギャップ、m は調和振動子の質量である。

ddQ̂(τ )G(τ )Q̂(0) + G(τ )
dτ
dτ
τ =0
Z τ
φ̂0 (s)−ds G(τ − s)
(11)
m
0

と 与 え ら れ 、こ こ で G(τ ) は 初 期 条 件 G(0)相互作用ハミルトニアンは、=

0, Ġ(0) = 1 をもつ解の斉次部分である。ラプラス

Ĥint (τ ) = λ {χ1 (τ ) + χ2 (τ )} Q̂(τ ) ⊗ ϕ̂(x(τ ))(6)変換を用いてと表される。ここで、χ1 (τ )、χ2 (τ ) はスイッチング

G(τ ) = L関数と呼ばれる、場との相互作用の時間依存性を表

−1



1
z 2 + Ω2 − K(z)/m(12)

す関数である。χ1 (τ ) は時刻 τ1on ≤ τ ≤ τ1oﬀ の間、 と表され、

χ2 (τ ) は時刻 τ2on ≤ τ ≤ τ2oﬀ の間作用する。また λK(z) = L[K(τ − s)]は結合定数である。

(13)(4)、(5)、(6) より、ハイゼンベルグ描像におけるである。
全体系のハミルトニアン Ĥtot (τ ) は
Ĥtot (τ ) =ĤHO (τ ) ⊗ 1ϕ + 1HO ⊗ Ĥϕ (τ )+ Ĥint (τ )

(7)

2.3

ガウス形式

本研究では、連続変数システムにおけるガウス状と表される。

態に注目する。システムの任意のガウス状態は、1 次モーメントおよび共分散行列により完全に決定され量子ランジュバン方程式

2.2

場と相互作用する振動子検出器モデルは、量子ブる [6]。1 次モーメント ⟨r̂⟩ は√√ ⟨r̂⟩ :=µ ⟨Q̂⟩ , ⟨P̂ ⟩ / µ

ラウン運動における”Caldeira-Leggett モデル” の特:= (⟨q̂⟩ , ⟨p̂⟩)

殊ケースに対応する [5]。ハイゼンベルグ描像におけ

(14)
(15)

る振動子のダイナミクスは、量子ランジュバン方程と定義。ここで、⟨·⟩ は検出器の状態に対する期待値

式により記述できる。

である。

m

共分散行列 σ はd2Q̂(τ ) + mΩ2 Q̂(τ )
dτ 2Z
−

R

ds K(x(τ ), x(s))Q̂(s) = −φ̂0 (x(τ ))σ(τ ) :=

(8)

ここで、

σqq (τ )σqp (τ )σpq (τ )σpp (τ )!
(16)と定義する。ここで、

φ̂0 (x(τ )) := λχ(τ )ϕ̂0 (x(τ ))(9)は振動子に働く外力の項であり、一般性を保つため
スイッチング関数を χ(τ ) と表している。また、′

σab (τ ) := ⟨{â(τ ), b̂(τ )}⟩ − 2 ⟨â(τ )⟩ ⟨b̂(τ )⟩

(17)

である。
共分散行列 σ(τ ) の各成分の時間発展を式 (11)、(17) より計算し、2 × 2 行列の形で表すと′

Kab (x(τ ), x (s)) := iΘ(t(τ ) − t (s))⟨[φ̂0 (x(τ )), φ̂0 (x′ (s))]⟩ρϕ (10)は散逸 Kernel と呼ばれる場の遅延伝搬子としてみなせる。Θ(t(τ ) − t′ (s)) はヘヴィサイド階段関数で
ある。

115

σ(τ ) = Tσ0 T⊺ + N(18)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
3. B→C 量子定積加熱過程 (⟨W2 ⟩ = 0)

ここで、各変数はT :=Ġ(τ )G(τ )µ/m!

mG̈(τ )/µĠ(τ )Z τ Z τN :=ds
ds′ g(s) ν(s, s′ )g⊺ (s′ )00!
√G(τ − s) µ/mg(s) :=
Ġ(τ − s)!
σqq (0) σqp (0)σ0 :=σpq (0) σpp (0)スイッチング関数 χ1 (τ ) を用いて、調和振動子(19)を時刻 τ1on ≤ τ ≤ τ1oﬀ の間、温度 Th の量子場と相互作用させる。相互作用の間、状態は (18)

(20)
(21)

(22)

に従い時間発展する。
熱力学第一法則より、吸収した熱量は、


1
1
2
⟨Q2 ⟩ = Ω2 Tr σ(τ1oﬀ ) + ⟨r̂(τ1oﬀ )⟩
2
2
!


1
2
− Tr σ(0) + ⟨r̂(0)⟩2˙と定義し、Q̂(τ ) = P̂ (τ )/m を用いた。

(25)
となる。

相対論的量子オットー熱機関

34. C→D 量子断熱圧縮過程 (⟨Q3 ⟩ = 0)

量子オットーサイクル内で動作する調和振動子型

UDW 検出器について考えていく。

熱浴との相互作用を終えた後、断熱過程よりエネ
ルギーギャップを Ω2 から Ω1 まで縮める。step2と同様の手順より調和振動子にした仕事は、
 


1
1
2
⟨W3 ⟩ = − ∆Ω Tr σ(τ1oﬀ ) + ⟨r̄(τ1oﬀ )⟩22(26)と表される。

5. D→A 量子定積加熱過程 (⟨W4 ⟩ = 0)
スイッチング関数 χ2 (τ ) を用いて、調和振動子を
時刻 τ2on ≤ τ ≤ τ2oﬀ の間、温度 Tc (Tc < Th ) の
図 1: 相対論的量子オットー熱機関

量子場と相互作用させる。相互作用後の状態は、

σ2 (τ ) = T̃Tσ0 T⊺ T̃⊺ + T̃NT̃⊺ + Ñ

3.1

ガウス形式の仕事、熱と表される。ここで、

1. エネルギーギャップが Ω1 であり、初期状態が σ0調和振動子を準備する

2. A→B 量子断熱膨張過程 (⟨Q1 ⟩ = 0)
エネルギーギャップを Ω1 から Ω2 まで広げる。
ここで Ω2 > Ω1 である。
内部エネルギーは、
  

1
1
2
Tr[ρĤ] = Ω Tr σ + ⟨r̂⟩
2
2

T̃ :=

Ġ2 (τ )G2 (τ )µ/m

(27)

!

(28)
mG̈2 (τ )/µĠ2 (τ )Z τ Z τÑ :=ds
ds′ g̃(s) ν22 (s, s′ ) g̃⊺ (s′ ) (29)00!
√G2 (τ − s) µ/mg̃(s) :=
(30)
Ġ2 (τ − s)

である。

(23)

で表される [7]。調和振動子がされた仕事は、
 


1
1
2
⟨W1 ⟩ = ∆Ω Tr σ(0) + ⟨r̂(0)⟩(24)
22である。ここで ∆Ω := Ω2 − Ω1 である。

step3 と同様に吸収した熱量は、


1
1
2
⟨Q4 ⟩ = Ω1 Tr σ2 (τ2oﬀ ) + ⟨r̂2 (τ2oﬀ )⟩
2
2
!


1
2
− Tr σ(τ1oﬀ ) + ⟨r̂(τ1oﬀ )⟩
2
(31)

116

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校である。

5

結論、今後の展望
今回、任意の相互作用時間依存性を持つ調和振動

3.2抽出された仕事量

子型 UDW 検出器を用いた量子オットー熱機関について考えた。その結果として、量子場との相互作用サイクルでの抽出された全仕事量は、⟨Wext ⟩ = −4
X

によって共分散行列に散逸 Kernel と呼ばれる因果律の効果が現れることが分かった。また、量子熱力学に

⟨Wj ⟩

j=1

おける仕事や熱の式をガウス形式で表すことで、サ

11(σ(τ1oﬀ ) − σ0 )= ∆Ω Tr222+ ⟨r̂(τ1oﬀ )⟩ − ⟨r̂(0)⟩

イクルが閉じる条件下での正の仕事を取り出す条件が判明した。しかしながら、今回導出した正の仕事!
2を取り出す条件式は、あくまでも共分散行列が対角(32)行列になるという仮定の下であり、実際に因果律を含む、含まない時において必ずしも成り立つかは不となる。サイクルを閉じる条件 σ(τ2oﬀ ) = σ(0) を課

明である。

すことで

今後の展望としては、まずは因果律を含まない場⟨Wext ⟩ = ⟨Q⟩(33)

合に、共分散行列が対角行列になるための条件式の導出を行う。次に因果律を含んだ上で同様の議論を行なっていく。その際に、因果律の有無で抽出されとなる。

る仕事の量の変化などもみていく。最後に、具体的な時空での振る舞いを見ていきたいと考えている。

正の仕事を取り出す条件

4

１次モーメント ⟨r̂(0)⟩ = 0 である場合を考えていく。この時、正の仕事を取り出す条件式は、Acknowledgement
天文・天体物理若手夏の学校を運営して下さったスσ(τ1oﬀ ) > σ(0)(34)

タッフの方々、支援して下さった方々に心より感謝申となり、サイクルを閉じる条件 σ(τ2oﬀ ) = σ(0) を課し上げます。また本研究を行うにあたり議論、指導すとして下さった量子宇宙物理理論研究室の方々に、この場をお借りして心より感謝申し上げます。

σ(τ1oﬀ ) > σ(τ2oﬀ )(35)となることがわかる。
調和振動子の状態が熱的のとき
!
ν 0
σ=
0 ν

Reference[1] W.G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976)(36)[2] K. Gallock-Yoshimura, J. High Energ. Phys. 01,
198 (2024)[3] Y. Shirai, K.Hashimoto, R. Tezuka, C. Uchiyama,
N. Hatano Phys. Rev. Research 3, 023078 (2021)

であり [6]、ここでν=eΩ/T + 1eΩ/T − 1(37)[5] Heintz-Peter Breuer, Francesco Petruccione, OXFORD (2002)

である。
式を変形していくと

Tc
Th
<
Ω1
Ω2

[4] Arias E, de Oliveira TR, Sarandy MS. The Unruh
quantum Otto engine. J High Energ Phys. (2018)[6] Alession Seraﬁni, CRC Press (2017)(38)となり、量子熱力学における “正の仕事を取り出す条件式” を導くことができた。

117[7] U. Singh, J. K. Korbicz, N. J. Cerf Phys. Rev. Research 5, L032010 (2023)

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重宇 a26

qutrit を用いた相対論的量子オットー熱機関の正仕事
条件の導出
廣谷

知也

118

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

qutrit を用いた相対論的量子オットー熱機関の正仕事条件の導出
廣谷 知也 (九州大学大学院 理学府 物理学専攻)

Abstract
ブラックホールの熱力学で知られるように、熱力学と相対論は密接に関わっていることが知られている。この関係性はこれまで様々な観点から研究されているが、本研究では、曲がった時空の量子場と相互作用する

3 準位の量子系を用いた相対論的量子情報 (RQI) と量子熱力学の横断的観点から研究を行う。ここでは RQIと量子熱力学の融合的研究の一端として、量子オットー熱機関のサイクルを通して、UDW 検出器が曲がった時空の量子場から仕事を取り出すための条件 (Positive Work Condition:PWC) に着目する。先行研究ではいずれも 2 準位系の UDW 検出器を用いた議論がなされてきたが、3 準位系を用いた議論は RQI の分野
では未だ存在しない。そこで、本研究では任意の曲がった時空において、3 準位の UDW 検出器がオットーサイクルから取り出す仕事の条件を導出し、相対論的効果との関わりを議論する。

1

は未だかつて研究されていない. そこで本研究ではIntroduction
相対論的量子情報理論 (RQI) では Unruh-DeWitt(UDW) 検出器と呼ばれる、2 準位以上の量子系が量子場と相互作用するモデルを用いた解析を行う。その[6] を 3 準位量子系に拡張し, 得られる仕事量およびPWC を導出する. 本稿では自然単位系 ℏ = kB = 1
を用いる.

代表的な研究例が Unruh 効果であり、これはブラッ
クホールの Hawking 効果の理解に貢献した。このよ
うに RQI は相対論、場の量子論、熱力学を横断する研究に用いることが可能である。一方、量子熱力学
は熱力学を量子力学の観点から再考する学問分野であり、カルノー効率の突破や、古典的出力・効率ト
レードオフ境界の突破 [1]、単一熱浴からの仕事抽出[2] など、古典では見られなかった性質が示されている。また、[3] では、量子熱力学的なアプローチを用いて、膨張する宇宙におけるエントロピー生成と粒子生成の関係が調べられており、相対論、場の量子

図 1: 本研究の位置づけ。左上、右上、左下の領域は論、量子熱力学の横断的研究は徐々に開拓されつつすでに研究がされている。しかし、右下の “qutrit をある。

用いた相対論的 QOE”の領域はまだ未開拓であるた本研究では、量子系を用いた熱機関の一種である

め、本研究ではこの領域の開拓に挑戦する。

「量子オットー熱機関 (QOE)」に着目する. QOE は

2 準位量子系 (qubit) が熱浴から仕事を抽出する熱機関であり, これまで非相対論的な状況で議論されてき2必要な量子熱力学の知識た. 他にも 3 準位の量子系 (qutrit) を用いた研究がな
まず、古典熱力学のアナロジーとして、量子力学されており, 2 準位系に比べて PWC が緩くなるなどの結果が報告されている [4, 5]. 一方で文献 [6] はこにおける仕事と熱の定義を行う [7, 8]。

れを RQI の枠組みに拡張し, 2 準位の UDW 検出器

量子状態 ρ とハミルトニアン Ĥ を持つような量子が曲がった時空の量子場から仕事を抽出する相対論系において、系の内部エネルギー、つまりエネルギー的量子オットー熱機関の一般論を提案した. しかし,

期待値 U (ρ) は以下のように表される。

3 準位の量子系を用いた相対論的量子オットー熱機関

119

U (ρ) = Tr[ρĤ].

(1)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
上式両辺を全微分すると、古典のオットー熱機関の場合、正の仕事が取り出せる条件は

dU = Tr[Ĥ dρ] + Tr[ρ dĤ],

(2)

(4)

つまり (step4) で接触させる熱浴の温度が、(step2)となり、古典熱力学における第一法則

dU = d′ Q + d′ W,

T H > T C,

で接触させる熱浴の温度より高いときに仕事が取り(3)と比較すると、 (2) 式の第一項は状態の時間変化を表しており、我々が制御できない項であるため、(3)式第一項の熱量に対応していることが分かる。さら出すことができる。
量子オットー熱機関も断熱過程と定積過程から構成される。ここでは qubit を例にとって説明する (図2)。

に、(2) 式の第二項はハミルトニアンの時間変化、つまり我々が制御可能な項であるため、(3) 式の第二項の仕事とみなすことができる。ここで、(3) 式右辺のd′ は不完全微分を表す。
量子系として n 準位系を考えると、ハミルトニア
ンの時間変化は n 番目の準位における振動数 ωn を使って dĤ ∼ dωn と書ける。一方、古典熱力学では∫
pdV と書けるので、上述し系がした仕事は dW ∼た対応関係により、dωn ∼ dV つまり、古典での体積は量子でのエネルギーギャップに対応しているということが分かる。ここで注意してほしいのは、体図 2: QOE のサイクルの模式図

積が縮むと一般に系の内部エネルギーは増加するが、エネルギーギャップを縮めると内部エネルギーは低(step1) 量子断熱膨張過程：量子場とは切り離され、
qubit のエネルギーギャップを拡大させる (Ω →係になっている。つまり古典における体積の増加は、下するため、伸び縮みの関係は古典と量子で逆の関Ω′ )。ここで qubit にする仕事は∫ B
dĤ(t)].
⟨W1 ⟩ =
dt Tr[ρdtA

量子でのエネルギーギャップの縮小と対応しており、逆も然りである。

3(5)(step2) 量子定積加熱過程：エネルギーギャップ Ω′

量子オットー熱機関を不変に保ちつつ量子場と接触させ、状態を変化させる (ρ → ρ′ )。ここで流入する熱量は∫ Cdρ⟨Q2 ⟩ =
dt Tr[Ĥ(t) ].
(6)
dt
B

ここではオットー熱機関の構造をレビューする。
古典では以下の４つの過程から構成される。

(step1) 断熱膨張過程：熱浴とは切り離され、系の(step3) 量子断熱圧縮過程：量子場とは切り離され、体積を膨張させる。

qubit のエネルギーギャップを縮小させる (Ω′ →(step2) 定積冷却過程：系の体積を不変に保ちつつ、Ω)。ここで qubit にする仕事は∫ D
dĤ(t)
dt Tr[ρ′⟨W3 ⟩ =].
dt
C

温度 T C の冷たい熱浴と接触させる。

(step3) 断熱圧縮過程：熱浴とは切り離され、系の体積を縮小させる。

(7)(step4) 量子定積冷却過程：エネルギーギャップ Ω(step4) 定積加熱過程：系の体積を不変に保ちつつ、
温度 T H の熱い熱浴と接触させる。

120を不変に保ちつつ量子場と接触させる (ρ′ → ρ)。
ここで放出する熱量は∫ Adρ′⟨Q4 ⟩ =
dt Tr[Ĥ(t)
].
dt
D

(8)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
最終的に我々が取り出せる正味の仕事 ⟨Wext ⟩ は、

⟨Wext ⟩ = −(⟨W1 ⟩ + ⟨W3 ⟩),Ĥs,q と Ĥs,ϕ はそれぞれは qutrit と量子場の自由ハ(9)

ミルトニアン、Ĥs,int は qutrit と量子場の相互作用
ハミルトニアンを表している。λ は相互作用の強さ、であり、⟨Wext ⟩ > 0 になる条件 (PWC) を求めるの

χ( στ ) は switching 関数と呼ばれるもので、相互作用が本研究の目的である。

の時間依存性を決定する（σ は典型的な相互作用の長さ）。Ŝx は qutrit の遷移の仕方を決める演算子

3.1であり、qubit の場合はスピン 1/2 のスピン演算子

qubit を用いた相対論的 QOE(パウリ行列)σ̂x で表される。そのアナロジーとして、量子系として qubit を用いた場合の PWC は先行
研究 [6] で求められており、
H
C
Tef
Tef
f
f
>
Ω
Ω′

(10)

qutrit ではスピン１のスピン演算子


0 1 0
1 

Ŝx = √ 1 0 1 ,
2
0 1 0

(15)

H
となる。ここで、Tef
f は (step2) で熱浴に接触したを導入する。これは１回の相互作用で隣接する準位

C
際に qubit が感じる有効温度であり、Tef
f は (step4)にしか遷移できないことを示している（図 3）。

で qubit が感じる有効温度である。温度というのは系が熱平衡状態になっていないと定義できないため、非平衡系で定義された有効温度というのは厳密には温度ではない。しかし、量子場が熱的状態で、相互作用がゆるやかに行われた場合、有効温度 Tef f は温度と見なすことができる。この (10) 式と古典で得られた (4) 式を見比べると、量子オットー熱機関では、

PWC にエネルギーギャップも関わってくるという興図 3: Ŝx で決定される qutrit の遷移の模式図

味深い性質が現れる。
次の 3.2 節では、これを qutirt に拡張したとき、果全系の初期状態は以下のように用意する。

たして同様の結果が得られるのかという課題について取り組む。

ρtot,0 = ρq,0 ⊗ ρϕ ,(16)

ρq,0 = p2 |e2 ⟩ ⟨e2 | + p1 |e1 ⟩ ⟨e1 |

3.2+ (1 − p1 − p2 ) |g⟩ ⟨g| .

qutrit を用いた相対論的 QOE

先ほど考えた QOE において、量子系として qutritを用いた場合の PWC を導出していく。

呼ばれる、n 点相関関数が 2 点相関関数の積と和だ
けで書ける状態とする。quasi-free 状態の例として真Ĥs,tot = Ĥs,q + Ĥs,ϕ + Ĥs,int

空状態や熱的状態などがあげられる。これらを用い(11)

ると、一回相互作用した (step2) 後の qutrit の状態

ρq,1 は以下のように求められる。

と書ける。ここで、H
ρq,1 = (p2 + δpH2 ) |e2 ⟩ ⟨e2 | + (p1 + δp1 ) |e1 ⟩ ⟨e1 |Ĥs,q = (ϵ0 |g⟩ ⟨g| + ϵ1 |e1 ⟩ ⟨e1 | + ϵ2 |e2 ⟩ ⟨e2 |) ⊗ 1ϕ ,(12)∫

dn k ωk â†k âk ,(13)τĤs,int = λχ( )Ŝx ⊗ ϕ̂(x(τ )).
σ(14)Ĥs,ϕ = 1q ⊗ここで、p2 , p1 はそれぞれ |e2 ⟩ ⟨e2 | , |e1 ⟩ ⟨e1 | の占有確率であり、量子場の初期状態 ρϕ は quasi-free 状態と全系のハミルトニアンは Schrödinger 描像で≡ Ĥ0 + Ĥs,int ,

Rn

(17)

121

H
+ (1 − p1 − p2 − δpH
1 − δp2 ) |g⟩ ⟨g| + 非対角項.

(18)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、

4

Conclusion

1 2
H
H
δpH
(19)
本研究では、先行研究 [6] をベースに、qutrit を用
2 = λ σ(p1 F (Ω12 ) − p2 F (−Ω12 )),2
いた相対論的量子オットー熱機関の PWC を調べた。
1 2
H
H
δpH
1 = λ σ{(1 − p1 − p2 )F (Ω01 ) − p1 F (−Ω01 )2
特に、量子断熱膨張後に、両ギャップが拡大する場合+ p2 F H (−Ω12 ) − p1 F H (Ω12 )},を考えると、qubit の結果 [6] を単純に拡張したよう(20) な結果が得られた。さらに、一般に３準位以上の系∫∫
1
ではギャップによって異なる有効温度が定義されるこF H (±Ω) =dτ
dτ ′ χ(τ /σ)χ(τ ′ /σ)σ RRとが知られており、本研究でもその結果が確認され′
× e∓iΩ(τ −τ ) W (τ, τ ′ ).
(21) た。今回の解析では両ギャップが拡大することを仮定
F (Ω) は response 関数であり、式 (19),(20) に出てくる F (Ω01 ) や F (Ω12 ) はそれぞれ、|g⟩ → |e1 ⟩、|e1 ⟩ →|e2 ⟩ への遷移確率に対応しており、F (−Ω) はその逆したが、他にも ∆Ω01 が拡大して ∆Ω12 が縮小する場合などもあり得る。今後の解析では、そうした多様なギャップの変化に対して PWC を求めていく。

の遷移確率に対応している。
以上より、取り出せる正味の仕事 ⟨Wext ⟩ は (9) 式より、
HH⟨Wext ⟩ = (δpH
2 + δp1 )∆Ω01 + δp2 ∆Ω12 ,(22)

ここで、∆Ω01 = Ω′01 − Ω01 , ∆Ω12 = Ω′12 − Ω12 であり、量子断熱膨張 (step1) 後のエネルギーギャップと元のギャップとの差を表す。仮定として、両ギャップが拡大するとする (∆Ω01 > 0, ∆Ω12 > 0)。先ほどと同様に２回目の相互作用 (step4) 後の状態 ρq,2 を求め、サイクルを閉じる条件 ρq,2 = ρq,0 を課し、有効H
C
温度 Tef
f , Tef f を

Tef f (Ω) =

F (Ω)
1
ln
Ω F (−Ω)(23)のように定義すると、PWC は
H
C
Tef
Tef
f,01
f,01
,
>
Ω01
Ω′01

(24)

H
C
Tef
Tef
f,12
f,12
>
,
Ω12
Ω′12

(25)

H
C
となる。ここで、Tef
f,01 , Tef f,01 は qutrit の準位|g⟩ ↔ |e1 ⟩ 間がそれぞれ (step2)、(step4) で感じる有H
C
効温度、Tef
f,12 , Tef f,12 は qutrit の準位 |e1 ⟩ ↔ |e2 ⟩間がそれぞれ (step2)、(step4) で感じる有効温度である。3.1 節を思い出すと、二つの条件式 (24)、(25)は qubit における PWC：(10) 式の単純な拡張であ

Reference[1] Hiroyasu Tajima and Ken Funo. Superconductinglike heat current: Eﬀective cancellation of currentdissipation trade-oﬀ by quantum coherence. Phys.
Rev. Lett., Vol. 127, p. 190604, Nov 2021.
[2] Marlan O. Scully, M. Suhail Zubairy, Girish S. Agarwal, and Herbert Walther. Extracting work from asingle heat bath via vanishing quantum coherence.
Science, Vol. 299, No. 5608, pp. 862–864, 2003.
[3] Nana Liu, John Goold, Ivette Fuentes, Vlatko Vedral, Kavan Modi, and David Edward Bruschi.
Quantum thermodynamics for a model of an expanding universe. Classical and Quantum Gravity,
Vol. 33, No. 3, p. 035003, jan 2016.
[4] Sachin Sonkar and Ramandeep S. Johal. Energy-gap
modulation and majorization in three-level quantum
Otto engine. arXiv.2403.09154, 2024.
[5] H. T. Quan, P. Zhang, and C. P. Sun. Quantum heatengine with multilevel quantum systems. Phys. Rev.
E, Vol. 72, p. 056110, Nov 2005.
[6] Kensuke Gallock-Yoshimura, Vaishant Thakur, andRobert B. Mann. Quantum otto engine driven byquantum ﬁelds. Frontiers in Physics, Vol. 11, , 2023.
[7] Sai Vinjanampathy and Janet Anders. Quantum
thermodynamics. Contemporary Physics, Vol. 57,
No. 4, pp. 545–579, 2016.
[8] H. T. Quan, Yu-xi Liu, C. P. Sun, and Franco Nori.
Quantum thermodynamic cycles and quantum heatengines. Phys. Rev. E, Vol. 76, p. 031105, Sep 2007.

るように見える。しかし、qubit の場合はギャップがΩ の一つしかなかったため、対応する有効温度は１種類しかなかったが、qutrit では、２つのギャップによって感じる有効温度が異なるため、２種類の有効温度が存在する。

122

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重宇 a27

量子論的枠組みにおける重力波と光学機械振動子系と
の結合
福澄

諒太郎

123

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

量子論的枠組みにおける重力波と光学機械振動子系との結合
福澄 諒太郎 (九州大学大学院 理学府物理学専攻)

Abstract
本講演ではレーザー干渉計を用いた重力波検出について量子力学に基づき理論的枠組みを構築した論文 [1]のレビューを行う。これまでは重力波を通してその背後にある天体現象の観測を行うことが重要であったが、近年は重力波そのものの原理的性質を研究することへの関心も高まってきている。この研究では、重力波と検出器、またそれらの相互作用を第一原理から導き、その量子力学的振る舞いを正準量子化の手法により解析した。重力波とオプトメカ系の従う運動方程式を導出し、重力波の無い極限では従来のよく知られた運動方
程式に帰着することを確認した。また、出力光のスペクトル密度に与える重力波の影響についても評価した。

1

文献 [1] は重力波と光干渉計のダイナミクスを正Introduction

準量子化に基づいて理論的に解析した初めての研究
現代物理学を支える２本の柱として、ミクロな物
体が従う量子力学と、マクロな重力現象を記述する
一般相対性理論がそれぞれ挙げられる。しかし、量子力学に従う系がどのような重力を作るのか、つまり量子力学と一般相対性理論がどのように関連していである。本稿では文献 [1] のレビューを通して、重力波とオプトメカ系との量子的な相互作用を考え、重力波と振動子、出力光の従う運動方程式を導出する。
また、出力光のスペクトル密度に重力波の効果がどのように現れるかを解析する。

るのか、という問題は未解明である。これは、現在の実験で量子状態が実現できている領域 (10−5 g 程度)と重力の測定がなされている領域 (10−1 g 程度) がそれぞれ重なっていないためである。このような重力の量子的な性質を実験的に探るためには、より大き2

Methods

2.1

Setup

い質量をもった物体を量子状態にする必要がある。
そこで、近年着目されているのがオプトメカ系である。オプトメカ系は、振動子として振る舞う鏡と固定された鏡からなる光共振器系であり、鏡を光との相互作用を利用して制御することにより、鏡の重心
運動の量子状態の実現が期待されている [2]。また、
重力波とオプトメカ系の相互作用による光の位相差の変化を利用することで、LIGO 干渉計による重力波の直接検出に成功している [3]。しかし、これらの量子的な相互作用はこれまで注意深く研究されていない。現在までの多くの研究は古典ニュートン重力との相互作用を用いており、一般相対論的観点に基づいた量子力学の第一原理からの理論構築はこれまで行われていない。また、重力波の信号が微弱であるため重力波検出器のノイズレベルは量子効果が影

現在の重力波探索では図 1 のような二つの腕を持った Michelson 干渉計が用いられている。重力波が来ると二つの腕の固有長さが変化することでそれぞれの方向の光の間に位相差が生じ、それによる光の干渉を計測することで重力波の観測を行っている。このような干渉計の差動モードは、図 2 に示すような
単一の光共振器として扱えることが知られている。
図 2 について、左の鏡は座標の原点に固定する。右の鏡は共振器のエンドミラーであり、自由質点として扱う。また、共振器に沿った方向を x 軸方向とする。エンドミラーの変位を q 、共振器の長さを L と表すと、座標は L′ = L + q と書ける。共振器内の電磁場は定常波として存在しており、両端で振幅が常に 0 となるような条件を満たす。

響するまでに小さくなっており、高周波領域では量子雑音により感度が制限されている。そのため、より微小な重力波を検証するには、系の量子力学的取り扱いが必要となる。

124

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校(0)

ラグランジアン LGW がそれぞれ次のように書ける。
Z
√
c4
SEH =
d4 x −gR
16πG


Z
Z
2
c4
1
2
=−
dt d3 k 2 ḣλ − k 2 |hλ |
64πG
c
Z
(0)
≡ dt LGW
(3)

𝐿

𝐿

𝑎ොin

次に、共振器内の電磁場、また電磁場とエンドミラーの相互作用を考える。電磁場が x 軸方向と y, z𝑎ොout

軸方向の成分に分離でき、境界（x = 0, L′ ）で電磁

図 1: Fabry–Pérot-Michelson 干渉計の概略。入射光場の値の大きさが 0 であるという条件から、ベクトはビームスプリッターにより分けられ、鏡と相互作

ルポテンシャルは用する。出力光は再度ビームスプリッターにより干Aj (t, x) = u(y, z)Aj (t, x)s
 nπ 
c2= u(y, z)
Φ
(t)
sin
x
j
ω0 L′
L′

渉し、その差動モードを測定する。

𝐿′
𝐿

𝑎ොin

(4)

と書ける。ここで、ω0 は共振器内光の共振振動数、

n はモード数である。これを考慮することで、ミン

𝑞ො

(0)

コフスキー時空での電磁場の作用 SEM が次のように
書ける。

𝑎ො

Z
1
d4 xFµν F µν
4µ0 VcavZ hi(0)≡ dt LEM + LOM(0)
SEM = −𝑎ොout
図 2: Fabry–Pérot 共振器の概略。図 1 の干渉計は 1
つの共振器として考えられる。

(5)

(0)

ただし LEM は共振器内の電磁場のラグランジアン、LOM は電磁場とエンドミラーとの相互作用のラグラ

2.2

Action and Lagrangian

ミンコフスキー時空からの計量の摂動を考える。

gµν = ηµν + hµν(1)

まず重力波について、計量の摂動は次のようにフーリエモードで展開できる。
Zd3 kphij (t, x) =τijλ (k)hλ (t, k)eik·x(2π)3ンジアンをそれぞれ表し、次のように得られる。


1 2
ω0 2
U
(0)
Φ (t)
(6)
Φ̇ (t) −LEM =2µ0 2ω0 j
2 j
U ω0 q 2
LOM =
Φ (t)
(7)
2µ0 L j
RR
2
ここで、U =
dydz|u(y, z)| であり、µ0 は真空の透磁率である。

また、電磁場と重力波の相互作用は、
Z
1h
SEM = −
d4 x hαµ ηβν F µν F αβ
2µ0
λ


Z
Z
ただしここで τij (k) は偏極テンソル、添え字 λ は偏
U
1
ω0
3
λ
=−
dt d k Jij (k)hλΦ̇i Φ̇j −Φi Φj
極の自由度を表す。この摂動が TT ゲージを取るとす
2µ0
2ω0
2
Z
ると Einstein-Hilbert 作用から、重力波の作用 SEH 、≡ dt Lint
(8)
GW

(2)

と書ける。ただし

−i e
λ
Jij
(k) =

125


− 1 τijλ (k)
q
kx L
3
(2π)

ikx L

(9)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校である。

ただし MG = c2 /32πG, ωk = c|k| である。

最後にエンドミラーの作用は、
Z
Z
m
2
Sq =
dt q̇ ≡ dt L(0)
q
2

(10)

と書ける。
まとめると、系全体のラグランジアンは次のよう
に書ける。
(0)

(0)

int
L = LGW + LEM + L(0)q + LGW + LOM(11)

次に、共振器内の電磁場について、(6) より

ω0 2
(0)
ĤEM =
α̂1 + α̂22(20)2と書けるが、電磁場が共振周波数からずれた振動数

ωL = ω0 + ∆ で振動しているとき、以下のように書き換えると共振からのずれのみに着目できる。

∆ 2
(21)
Ĥ∆ = −
α̂1 + α̂222
このときの ∆ を detune と呼ぶ。
また、電磁場とエンドミラーの結合、また電磁場

2.3Canonical quantizationと重力波の結合について、それぞれ (7)(8) より

変数 (hλ (k), Φ, q) に対して正準共役量を定義し、次のように交換関係を設定する。
hihλ (k), Π†λ′ (k′ ) = iℏδλ,λ′ δ(k − k′ )hiΦ̂, P̂ = [q̂, p̂] = iℏ

(12)
(13)

ここで、共振器内の電磁場の生成演算子を以下のように定義する。
#
r
r "s
1 2
U
2µ0
Φ̂ + iP̂â(t) =
2 ℏ
2µ0
U

ω0 q̂
ᾱα̂1
L
int
ĤGW
∼ −ω0 ᾱα̂1 ĥ(t)ĤOM ∼ −(14)

また、電磁場の振幅と位相を表す amplitude quadra-ture と phase quadrature を次のように定義する。
r

ℏ
α̂1 =
â + â†
(15)
2
r

ℏ
â − â†(16)α̂2 = −i2
これを用いると、
r2µ0Φ̂ =[α̂1 cos ω0 t + α̂2 sin ω0 t]
UsUP̂ = −[α̂1 sin ω0 t−α̂2 cos ω0 t]
2µ0

ω0 q̂ 2(α̂ + α̂22 )
(22)
2L 1
Z
ω0
int
λ
ĤGW
= − (α̂12 + α̂22 ) d3 kJxx(k)ĥλ (t, k)
2
ω0
(23)
≡ − (α̂12 + α̂22 )ĥ(t)2となる。ここで、古典的な期待値からの摂動 â →pℏ/2ᾱ + â を考え、2 次オーダーで近似すると、
ĤOM = −

(24)
(25)

と書ける。これを見ると、重力波、エンドミラーと結合するのは共振器内の電磁場の amplitude quadra-ture のみであることが分かる。
最後に、エンドミラーについては、(10) より

Ĥq(0) =

p̂2
2m

(26)

である。
よって全体のハミルトニアンは

(17)

(0)

int
Ĥ = ĤGW + Ĥ∆ + Ĥq(0) + ĤGW
+ ĤOM

(18)

(27)

となる。

と書ける。

2.4

Hamiltonian

3

Results

3.1

Equation of motion

このハミルトニアンを使って各変数に対する運動

前項で挙げた正準量を用いてルジャンドル変換を行い、系のハミルトニアンを導出する。まず重力波方程式を導出する。まずはエンドミラーについて

について、(3) より


Z
2
2
MG ωk2
1
(0)
3
(19)
ĥλ
ĤGW = d k
Π̂λ +
2MG
2

1
q̂˙ = p̂
m
√
ω0 ᾱ
p̂˙ =
α̂1 − Γp̂ + 2Γξˆ
L

126

(28)
(29)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校と求まる。ただし、式 (29) の第 2 項 −Γp̂ は散逸、第√3 項 2Γξˆ はノイズ ξˆ による揺動力をそれぞれ表し

4

この節では、これまで求めた運動方程式をフーリているが、これらは揺動散逸関係を満たすように現象論的に導入したものである。また第 1 項は、α̂1 による輻射圧によりエンドミラーが駆動され、その力の大きさは共振器内の電磁場の振幅のみに依存する

Discussion

エ変換することにより、出力光のスペクトル密度を求める。出力光は以下の input-output 関係により、入射光と共振器内の電磁場と関係づけられる。

ということを意味している。

out
in
α̂1,2
= α̂1,2−次に、電磁場の運動方程式はpα̂˙ 1 = −∆α̂2 − γ α̂1 + 2γ α̂1inpα̂˙ 2 = ∆α̂1 − γ α̂2 + 2γ α̂2in+ ω0 ᾱĥ(t) +となり、−γ α̂,

√

(30)
ω0 ᾱ
q̂
L

(31)

2


=

の式の意味として、detune の項により電磁場が振動するということ、そして重力波による効果とエンドミラーにかかる輻射圧の反作用はどちらも電磁場の位相 α̂2 にのみ直接影響を及ぼすことが読み取れる。
最後に、重力波についてとなり、重力波が電磁場に及ぼす影響の反作用として重力波が駆動されることが読み取れる。

ˆ 2in
α̃

2 

2γω02 ᾱ2Shh
ω2 + γ 2
Z
4γ 2 ω04 ᾱ4+ 2   
2
d3 k
ˆ 1in
+
α̃
2
2
2
2
3
2
2
ωk − ω
(2π) MG (ω + γ )  
2 4 4
2
4γ ω0 ᾱ
ˆ 1in
α̃
+
2
m2 ω 2 L4 (ω 2 + Γ2 )(ω 2 + γ 2 )D E
4γΓω 2 ᾱ2ˆ+ 2 2 2 2 02 2
ξ˜2
(39)m ω L (ω + Γ )(ω + γ 2 )る左の鏡から抜け出る電磁場を説明する。また、こ

(33)

(38)

ルは

2 
ˆ out
α̃

る。γ は共振器内の光の散逸率を表し、図 2 におけ(32)

2γ α̂1,2

各揺らぎは独立であるとすると、出力光のスペクト

2γ α̂in は揺動散逸関係を満たしてい

1
˙
Π̂λ
ĥλ =
MG
˙
Π̂λ = −ωk2 MG ĥλ + ω0 ᾱJλ∗ α̂1pとなる。ここで、簡単のため ∆ = 0 とし、長波長近似をとった。一項目は入力光のノイズ、二項目は重力波が共振器内の電磁場に与える影響、三項目は電磁場自身が作り出した重力波による影響、四項目は電磁場の揺らぎがエンドミラーに伝わりそれが再び電磁場に及ぼす影響、五項目はエンドミラーのノイズをそれぞれ表していることが分かる。

3.2

Fourier analysis

フーリエ変換を f˜(ω) =R∞−∞dteiωt f (t) とすると、 5

エンドミラーの運動方程式 (28) と (29) は ω ᾱ
√ ˆ
1
0 ˆ
ˆ
q̃(ω)
=−
α̃1 − 2Γξ˜mω(ω + iΓ) L

本稿では [1] に基づいてレビューを行った。一次元(34)となる。同様に、電磁場の運動方程式 (30) と (31) を解くと2γ ˆ inα̃γ − iω 1i
1 hp ˆ inˆ + ω0 ᾱ q̃ˆ
ˆ2 =2γ α̃2 + ω0 ᾱh̃α̃γ − iω
L

考え、重力との相互作用を正準量子化の手法により一般相対論的な観点から解析した。また重力波が出力

(35)
(36)

Reference[1] B. Pang, Y. Chen 2018, Phys.Rev.D 98, 124006となり、重力波の運動方程式 (32) と (33) を解くと

1
ω0 ᾱJλ∗ˆˆˆ1α̃h̃λ (ω, k) = h̃0 +MG ωk2 − ω 2の Fabry–Pérot 干渉計として光共振器系のモデルを

光のスペクトル密度に与える影響について考察した。

√

ˆ1 =
α̃

Conclusion[2]C. Whittle et al. 2021, Science 372, 1333

(37)

[3]B. P. Abbott et al. 2016, Phys.Rev.Lett. 116, 061102

ˆとなる。ただし h̃0 は斉次解である。

127

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重宇 a28

オプトメカ系で探る重力の量子性の理論的研究
畠山

広聖

128

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力相互作用で結合するオプトメカの量子もつれ度の誤差推定
畠山 広聖 (九州大学大学院 理学府物理学専攻)

Abstract
オプトメカ系は鏡とキャビティ光からなるシステムであり、光の輻射圧で鏡の運動を量子制御することで、巨視的な量子状態を実験的に生成することが期待されている。本発表では、量子制御下にある二つの鏡の量子性に関する理論的な研究結果を報告する。まず重力相互作用で結合する二つの鏡間のもつれ度を解析した
論文 [1] をレビューする。その後、現実的な実験状況に対応した有限時間で量子測定をした場合にもつれ度がどのように変化するのかを理論的に解析する。

1

イントロダクション

2

量子力学と一般相対性理論を融合的に理解できる
量子重力理論は多くの候補となる理論が提唱されて定式化
本発表で用いるオプトメカ系のシステムは文献 [1]の Fig1 に準じる。

いるが、統一的な解釈は未完成であり、実験的な検証もされていない。この問題に関して、ファインマ

鏡A

鏡B

ンは重力の量子的な重ね合わせについての思考実験

キャビティ光 𝒂𝑩[2] を行い、それ以降いくつかの実験模型が提案されキャビティ長 𝑙

キャビティ光 𝒂𝑨
ニュートン
重力相互作用キャビティ長 𝑙𝑸𝑩ている。近年の Bose らによる提案 [3] は重力によっ𝑸𝑨て誘起されたエンタングルメントを実験的に検証する方法であり、ファインマンの思考実験の現実的なアプローチであると解釈できる。

レーザー

差動モード

エンタングルメントは古典的な枠組みでは説明することができない、量子的な性質の代表例である。重力によって誘起されたエンタングルメントは未だ観

図 1: オプトメカ系の概略。出力光の差動モードと同相
モードを右下の検出器でそれぞれ測定する。

測されたことはないが、検証することができれば量子重力理論の構築に向けて大きな一歩となる。しかし重力相互作用は非常に小さいので、重力の量子力

二つの重力相互作用で結合する懸架鏡と二つのキャ
ビティ光を考える。この系のハミルトニアンは学的性質を検証するためには、より質量が大きい物

互作用で結合する 2 枚の鏡の間に生じるエンタング

P̂A2
1
1
P̂ 2
+ mΩ2 Q̂2A + B + mΩ2 Q̂2B
2m 2
2m 2
ℏωc
Q̂A â†A âA+ ℏωc â†A âA +lℏωc+ ℏωc â†B âB +Q̂B â†B âBl(â† + â†âA + âB )+ iℏE e−iωL t A√ B − eiωL t √
2
2
Gm3
1
−
(1)
L 1 − (Q̂B − Q̂A )/L

ルメントについて議論する。最初に先行研究 [1] に関と書ける。ここで Q̂j と P̂j (j = A, B) はそれぞれ鏡するレビューを行う。その後、実際の実験と同様にA,B の位置演算子と運動量演算子であり、[Q̂j , P̂k ] =有限の測定時間を考慮した場合にシステム誤差と統iℏδj,k を満たす。Ω、m はそれぞれ鏡の共振周波数と計的な誤差を含むもつれ度の時間変化を報告する。

質量である (鏡 A、鏡 B で共通)。âj と â†j (j = A, B)

体を量子状態にすることが求められる [4]。この問題

Ĥ =に対して、オプトメカ系と呼ばれる懸架鏡とレーザー光から構成される量子制御システムが有効とされている。オプトメカ系は近年の物理学・工学・光学・材
料科学などの横断分野の急速な発達により、近い将
来 mg スケールの巨視的鏡の量子状態が実現することが期待されている [5]。
本論文では二つのオプトメカ系において、重力相129

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
はそれぞれキャビティ光の生成消滅演算子であり、 と定義した。また、生成消滅演算子の摂動一次の[âj , â†j ] = 1 を満たす。l はキャビティ長、ωc はキャ 項の代わりに δ x̂± = e−iθ δâ± + eiθ δâ†± 、δ ŷ± =ビティ光の共振周波数である。6、8 項目は、鏡と光−i(e−iθ δâ± −eiθ δâ†± ) を導入した。それぞれレーザーの相互作用を表し、光の輻射圧光による共振器長の光の振幅直交変数 (the optical amplitude quadra-

変化から求めることができる。ωL はレーザーの周波ture)、位相直交変数 (the optical phase quadrature)数であり、レーザーパワー Pin とキャビティ光の減√衰率 κ を用いてレーザー振幅は E = Pin κ/ℏωL とと呼ばれる。

表すことができる。この項は入力レーザーによる電in
ズ、x̂in± 、ŷ± は入力レーザー光のノイズである。これ場を表している。最後の項は二つの懸架鏡の間に作らのランダムノイズ項は次の揺動散逸定理を満たす。

またノイズ項については、p̂in± は鏡のフォノンノイ

用する重力相互作用を表しており、L は二つの鏡の

in
in
⟨p̂in
± ⟩ = ⟨x̂± ⟩ = ⟨ŷ± ⟩ = 0,間の距離、G は重力定数である。
最初に同相モードと差動モードを導入する。それ
ぞれ (+, −) の添え字で表され、次の式で定義される。

Q̂A ± Q̂B√,
2âA ∓ âB
√
â± =
2

Q̂± =

P̂± =

(9)

1
±
in ′
′
⟨{p̂in± (t)p̂± (t )}⟩ ∼ (2nth + 1)δ(t − t ),
2
in ′
′
⟨x̂in
± (t)x̂± (t )⟩ = (2Nth + 1)δ(t − t )

(11)

in
in ′
⟨ŷ±
(t)ŷ±(t )⟩ = (2Nth + 1)δ(t − t′ ).

(12)P̂A ± P̂B
√
,
2

(10)

Q̄

(2)

−
また ∆ = ωL − ωc (1 + √2l) は detuning を表し、実験的には l を調整することで 0 にすることができる。

キャビティ光 A と B はそれぞれ反対方向に運動しているので、鏡の位置と運動量とは違い、â± の右辺の次章以降では簡単のため ∆ = 0 とする。n±th は熱フォℏΩ± γm /kB T Γ
ノン数であり、n±− 1)−1 、Nth は
th = (e分子の符号は ± ではなく ∓ であることに注意する。 光子数であり、Nth = (eℏωc /kB T− 1)−1 と定義した。

次に各演算子の一次の摂動展開 Q̂j = Q̄j +δ Q̂j , P̂j =P̄j +δ P̂j , âj = āj +δâj を行い、上式に代入する。ここでバー付きは C-number であり、摂動項は Q-number
であることに注意する。実験セットアップの対象性から (Q̄B , P̄B , āB ) = (−Q̄A , −P̄A , āA ) という条件をフーリエ空間での解析・もつれ度3フーリエ変換を f (ω) =∫∞−∞dtf (t)eiωt と定義す

ると、ランジュバン方程式の解は次の通りである。

課す。また、鏡の位置演算子と運動量演算子を次のδ q̂± (ω)

ように無次元化する。

√
q̂± =

√
2mΩ±
Q̂± ,
ℏ

p̂± =

2
P̂±
mℏΩ±

=
(3)

iω
δ q̂± (ω),
(14)
Ω±
√
i κ
δ x̂± (ω) =x̂in (ω),(15)
ω + iκ/2 ±√ ini
δ ŷ± (ω) =(−2g± δ q̂± (ω) + κŷ±(ω))
ω + iκ/2(16)

この条件のもとで、一次摂動に対するランジュバ

δ p̂± (ω) = −ン方程式は

δ˙q̂± = Ω± δ p̂± ,

(4)
√
in
δ˙p̂± = −Ω± δ q̂− − 2g± δ x̂± − γm δ p̂± + 2γm p̂± ,(5)√κδ˙x̂± = − δ x̂± − ∆δ ŷ± + κx̂in
±
2
√ in
κ
δ˙ŷ± = −2g± δ q̂± + ∆δ x̂± − δ ŷ± + κŷ±
2

(6)
(7)

√
Ω− = Ω

次にもつれの指標となるもつれ度について議論する。
もつれ度はフーリエ空間において正準交換関係を満たす二つの正準演算子の不確定性とコーシーシュワと得られる。ここで周波数はΩ+ = Ω,√(√
2ig± κ )
Ω±
in
2γ
(ω)
−
,
p̂
m
±
Ω2± − iγm ω − ω 2
ω + iκ/2(13)

ルツの不等式から導出することができる式であり、次4Gm
1− 3 2L Ω(8)式 ⟨E(ω)⟩ で定義される。⟨E(ω)⟩ < 1 を下回るとそ

1302024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校の系の状態はもつれていると判定できる [6, 7]。

⟨E(ω)⟩ =⟨R̂δq̂+ (ω)2 ⟩⟨R̂δp̂− (ω)2 ⟩Ω− /Ω

上記の方法で置き換えたもので定義する。

< 1 (17)|⟨[R̂qA (ω)2 , R̂pA (ω)2 ]⟩|2√
ここで qA = (δ q̂+ (ω) + δ q̂− Ω/Ω− )/2、pA =√(δ p̂+ (ω) + δ p̂− Ω/Ω− )/2 とする。R̂A (ω) はフーリエ空間でのエルミート演算子であり、R̂A (ω) =⟨E d (ωn , T )⟩ =⟨R̂δq̂d+ (ωn , T )2 ⟩⟨R̂δp̂d− (ωn , T )2 ⟩Ω− /Ω|⟨[R̂qA (ω)2 , R̂pA (ω)2 ]⟩|2(25)

ここで Eq. (17) の分母は交換関係で定義されているので、測定時間に依らないと考えることができる。

(Â(ω) + Â(−ω))/2, (A = δ q̂+ , δ p̂− ) と定義する。こ次に、もつれ度の統計誤差を計算する。ガウス

こで [1] に示される最適化されたパラメータを用い分布を仮定すると、n 回測定した場合の統計誤差

ると、

d(n)

⟨E(ω)⟩ = 0.2019

d(1)∆Estat (ω) は 1 回測定した場合の統計誤差 ∆Estat (ω)
(18)

を用いて
d(1)

となる。この数値は無限に長い時間で測定をした、理d(n)∆Estat (ωn , T ) =想的な場合のもつれ度であるということに注意する。

∆Estat (ωn , T )
√
n

(26)

と表される。ここで4有限測定時間での評価

E d (ωn , T ) =次に有限時間で離散的なデータを用いた場合を考える。フーリエ変換は∫ ∞1δ q̂(t) =dω δ q̂(ω)e−iωt
2π −∞
∫ ∞
δ q̂(ω) =dt δ q̂(t)eiωtR̂qd+ (ωn , T )2 R̂pd− (ωn , T )2 Ω− /Ω|[R̂q̃A (ω)2 , R̂p̃A (ω)2 ]|2(27)という期待値を取る前の形で定義すると、一回測定

(19)
(20)

−∞

した場合の統計誤差は次式で書くことができる。
√⟨(
)2
d(1)
E d (ωn , T ) − ⟨E d (ωn , T )⟩ ⟩∆Estat (ωn , T ) =(28)で定義される。一方実験で −T /2 ∼ t ∼ T /2 の間にδ q̂(t) を測定すると、ωn = 2πn
T として、∑

e−iωn tδ q̂d (ωn ) √Tn∫ T2eiωn tδ q̂d (ωn , T ) =δ q̂d (t) √ dt
T
− T2
δ q̂d (t, T ) =こ こ で ガ ウ ス 分 布 に 従 う 確 率 分 布 A,B,C,D は⟨ABCD⟩ = ⟨AB⟩⟨CD⟩ + ⟨AC⟩⟨BD⟩ + ⟨AD⟩⟨BC⟩(21)

3⟨A2 ⟩2 とできる。これを用いると Eq. (28) は√d(1)∆Estat (ωn , T ) = 2 2⟨E d (ωn , T )⟩(22)と表される。ここで直交関係は∫ T2を満たす。今、A = B = C = D とすると ⟨A4 ⟩ =

(29)

となる。

′
−iωn
t

e−iωn t e√
√ dt = δm,n
T
T
− T2

(23)

5

結果

となる。無限に長い測定時間の場合と有限測定時間の場合を関係づける式は以下の様になる。測定時間

Eq.(18) のパラメーターにおいて、有限測定時間 T

内のある点 t における測定の相関は測定時間が有限に対する系統誤差を含むもつれ度 Eq.(25) を示す。

の場合と無限の場合で等しくなる。

⟨δ q̂d (t, T )δ q̂d (t′ , T )⟩ = ⟨δ q̂(t)δ q̂(t′ )⟩(24)

有限測定時間における系統誤差を含むもつれ度

E d (ωn ) は次式のように Eq. (17) の一次摂動の項を131

〈E d (Ωn ,T)〉

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
0.25

も E d (Ωn , T ) は 1 を下回り、もつれていると判定する

0.20

ことができる。例として、T = 1 ×106 [s] ∼ 11.5[day]程度の測定を 10 回行う (または同じ精度の実験セッ

0.15

トアップを 10 個用意し、同時に測定する) ことで、0.10

十分な精度でもつれ度 E d (Ω, T ) = 0.1917 ± 0.17440.05を得ることができる。

0.00
0

200 000

400 000

600 000

800 000

1 × 106T(s)

図 2: 有限測定時間 T (s) に対する系統誤差を含むもつれ度 ⟨E d (ωn = Ω, T )⟩ の変化 (青色)。黄色の横線は測定時間を無限とした理想的なもつれ度 Eq.(18)である。

6

まとめと展望本研究では二つの巨視的鏡とキャビティ光で構成されるオプトメカ系において、重力誘起エンタング
ルメントを数値的に評価した先行研究 [1] をレビューした。その後に有限時間で測定した場合のもつれ度

図 2 の通り、系統誤差を考慮したもつれ度は T [s]を再評価した。十分な測定回数を取ることで、もつが小さい領域では激しく振動し、理想的なもつれ度れていると判定できる水準を得ることができた。

に対して下から漸近し、T [s] を十分大きくすることで収束する。これは有限時間での測定ではよりもつ

今後の計画は、今回用いたパラメータと標準量子限界との関係について調査を予定している。

れているように見えてしまうことを意味する。T [s]が比較的小さい時、振動の幅が大きい領域があるが、ここでは系統誤差が大きく正確にもつれ度を測れて謝辞いないと推測できる。

三木大輔氏と山本一博氏から本研究の有益なアドバイスを数多くご助言いただきました。厚く御礼申し上げます。また、今年度の若手夏の学校を主催す
る運営の皆様にも御礼申し上げます。

次に有限測定時間 T [s] に対して、系統誤差と統計誤
d(n)差を含むもつれ度 ⟨E d (ωn , T )⟩ ± ∆Estat (ωn , T ) を数値計算する。ここで測定回数を 10 回とする (n = 10)。
測定する周波数 ωn は常に鏡の共振周波数 Ω で固定するものとする。

Reference[1] D. Miki, A. Matsumura,Phys.Rev.D 109, 06490 (2024)

0.4

Yamamoto,[2] R. P. Feynman, F. M. Morinigo, and W. G. Wagner, Feynman Lectures on Gravitation (Westview
Press, Boulder, 1995).

0.3<E d (Ωn ,T)>K.

[3] S. Bose, A. Mazumdar, Gavin W. Morley, H. Ulbricht, M. Toros, M. Paternostro, A. A. Geraci, P.
F. Barker, M.S. Kim, and G. Milburn, Phys. Rev.
Lett. 119, 240401 (2017)

0.2

0.1

0.0
0

200 000

400 000

600 000

800 000

1 × 106T(s)

図 3: 有限測定時間 T (s) に対する系統誤差と統計誤差を
含むもつれ度 ⟨E d (ωn = Ω)⟩ の変化。
d(10)青色の線が ⟨E d (ωn , T )⟩ + ∆Estat (ωn , T )、黄色の横線は測定時間を無限とした理想的なもつれ度
Eq.(18) である。

図 3 は測定回数 10 回の場合における、誤差を含むもつれ度を示している。系統誤差と統計誤差を考慮して

132[4] Y. Chen, Macroscopic quantum mechanics: Theory and experimental concepts of optomechanics,
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 46, 104001 (2013).
[5] Seth B. Cataño-Lopez, Jordy G. Santiago-Condori,
K. Edamatsu, and N. Matsumoto, Phys. Rev. Lett.
124, 221102 (2020)[6] S. Mancini, V. Giovannetti, D. Vitali, and P.
Tombesi, Phys. Rev. Lett. 88, 120401 (2002)[7] L. Duan, G. Giedke, J.I.Cirac, P.Zoller, Phys. Rev.
Lett. 84, 2722

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重宇 a29QH 系における analog de Sitter での Gravitational
anomaly と Hawking 放射の関係
吉本

吏貢

133

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

QH 系における analog de Sitter での Gravitational anomaly とHawking 放射の関係
吉本 吏貢 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホールの Hawking 放射と gravitational anomaly の関係は、Wilczek と Robinson によって明らかにされた。本研究では、この gravitational anomaly を用いた Fulx の計算を量子ホール (QH) 系における de Sitter 時空に適用する。この系は chiral であるため、Wilczek と Robinson の手法で仮定されていた

horizon 近傍の ingoing mode を無視する条件を課す必要はない。また、この方法は通常の de Sitter 時空では定曲率であることから適用できなかったが、この系では de Sitter 時空が 2 つの Minkowski 時空に挟まれた構造をしており、境界での anomaly の相殺を考えることにより Flux の境界条件が得られる。この境界条
件のもと計算を行うことにより、Gibbons-Hawking 温度が再現されることをみる。

1

2Introduction

Setup

ブラックホールは古典的には何も放出することはこの章では今回使う系について説明する。以下のないが場の量子論を考えると Hawking 放射を行ってような左向きの励起が存在し、中心部分が微雨調すいる。しかし、その温度の低さゆえに実際のブラックる QH 系のエッジを考える。

ホールからの放射を観測することは難しい。Hawking
放射は Bogoliubov 変換 [1] や tunneling method[2] な
ど様々な方法で研究されてきた。Anomaly の関係するものでは Christensen,Fulling による Trace anomalyを用いた方法 [3] が有名であるが、ここでは Wilczekと Robinson らが発見した gravitational anomaly を用いた方法 [4] に着目する [4]。この方法では hori-zon 近傍の ingoing mode を無視することで現れる
anomaly を一般座標変換不変性を保つために相殺す
るような Flux として Hawking 放射が得られる。この方法を QH 系における de Sitter 時空 [5, 6] に応用する。QH 系では chiral なエッジモードが存在する
が、通常の実験でこのエッジを時間変化させることは

図 1: Schematic picture of an expanding edge in QH

ない。エッジが膨張したり収縮したりするような状況

systems. Regions I and III are static and region II isを考えると 1 + 1 次元の曲がった時空の chiral なスカ

the expanding region.

ラー場を再現できる。ところで、2 次元の重力場中にこの時各領域での analog metric はchiral な場が存在する時は trace anomaly だけでな−
ds2 = −dx+
III dxIII ,く gravitational anomaly が存在することが知られてRegion III: xIII ≤ −L/2,

いる。今回はこの anomaly を Wilczek と Robinson

Region II: |x| ≤ L/2,

ds2 = −e2Θ(t) dx+ dx− ,Region I: L/2 ≤ xI ,−ds2 = −dx+
I dxI ,の方法のように相殺することで Gibbons-Hawking 温度を導出する。

で与えられる。ここで eΘ(t) は領域 II でのスケール因±子である。また、x±I,III = tI,III ± xI,III , x = t ± x とした。領域 II での conformal ﬂat な座標は x = ±L/2

134

0.1

0.005
0.000
-0.005H 2 /(48⇡)<latexit sha1_base64="0C8i1yQkCK5Akig/ysfwkxm6am4=">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</latexit>-0.010

-2

0

2

4

6

xIII +

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校の境界上で不連続であるが、この境界での接続条件±を考えることにより、x±I ,xIII を II の領域に拡張する。
± ±計算は省略するが、xI ,xIII で示された II の計量は

C
xIII
D C1
<latexit sha1_base64="r6P7F5A73BKiUZ0kxwvfZlIvWj0=">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</latexit>

C
xIII
D
<latexit sha1_base64="ZU50Xo8Chv+51h0Hh8bwr7FTVro=">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</latexit><latexit sha1_base64="gGJB7mzSUgEb++gKdjcDZu4SAQU=">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</latexit>

finiteC<latexit sha1_base64="MSzfwrX/LCNNuULAUtIJKYNQpYE=">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</latexit>

HC<latexit sha1_base64="MSzfwrX/LCNNuULAUtIJKYNQpYE=">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</latexit>

IC<latexit sha1_base64="gGJB7mzSUgEb++gKdjcDZu4SAQU=">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</latexit>

I

ds2II = −e2Θ(t) dx+ dx−][−= − exp 2Θ(t) − Θ(x+ − L/2) − Θ(x− + L/2) dx+
I dxI .
(1)

III
I

II

III

<latexit sha1_base64="OvGO9upfJ3QQZw0aALdtYRsft2o=">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</latexit>I

xIC D Cfinite<latexit sha1_base64="5jfALt+hHmBIB6aQ7oO6DQ+s8HM=">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</latexit>

ds2II = −e2Θ(t) dx+ dx−[]−= − exp 2Θ(t) − Θ(x+ + L/2) − Θ(x− − L/2) dx+
III dxIII .
(2)

また、II の領域で I,III の座標で貼られた領域が重なる時はその間の座標変換を考えることができ、

[
[
]]
−1
x+
− Φ [−L/2] ,x+(3)
III + Φ [L/2]
I = Φ −L + Φ
[
[
]]
−
−
−1
xI + L + Φ [−L/2] − Φ [L/2] + L.
xIII = Φ −L + Φ(4)<latexit sha1_base64="bzM3Mg8fnXDhObEoGisxbi945Tc=">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</latexit>

H<latexit sha1_base64="2o1+8+PWrT2r6VjPBGyQ6ZYnVjY=">AAADBXicSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8vHLyAoFFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKxQuIVMTHlKRWlFR71sZp2+rGZOallVTGCygb6BmAgQImwxDKUGaAgoB8gbcMMQwpDPkMyQylDLkMqQx5DCVAdg5DIkMxEEYzGDIYMBQAxWIZqoFiRUBWJlg+laGWgQuotxSoKhWoIhEomg0k04G8aKhoHpAPMrMYrDsZaEsOEBcBdSowqBpcNVhp8NnghMFqg5cGf3CaVQ02A+SWSiCdBNGbWhDP3yUR/J2grlwgXcKQgdCF180lDGkMFmC3ZgLdXgAWAfkiGaK/rGr652CrINVqNYNFBq+B7l9ocNPgMNAHeWVfkpcGpgbNxuOeIqBoGhDn4wm3arh7Yarxq60EipcASVBs6ADlM8AioPgB6wQmBkP0qMdkhBnpGZrpmQWaKDs4QZMFB4M0gxKDBjDuzRkcGDwYAhhCgWZWMSxgWMmwiqmdaS3TFqZtEKVMjFA9wgwogGk/AKH1sG8=</latexit>

xIC D

1

図 2: Penrose diagram for the QH system with a deSitter edge region II. A future horizon and a pasthorizon exist (time-symmetric eternal case). The
vacuum condition is imposed on the past null inﬁnity I− in region I.

となる。ここで∫ xdy eΘ(y) .

Φ [x] =

(5)0Tνµ はエネルギー運動量テンソル (EMT) の期待値±である。ここでは (3) を I,III,II の x±
I ,xIII で拡張した

領域 A,B で解き、それらの境界条件を gravitationalとした。
今回用いる de Sitter 時空は II の領域での共形因

anomaly の相殺という観点から得る。
は I,III の MInkowski 時空の領域では anomaly は

子が

e

Θ(t)

1
.
=
cos(Ht)(6)ないので以下のようになる。

∂ − Ti −+ = 0,

で与えられる。これを上で計算した Φ [x] と計量に代
入すると

(13)

(j = I, III)。これを解くと
1
1 + sin Hx
Φ(x) =ln,
2H 1 − sin Hx
1
arcsin tanh Hx.
Φ−1 (x) =H
ds2II = −ds2II = −2cosh [H(xIII + L/2)]

[ +]
Ti −
+ = −2Ti++ = Fi xi ,

[ −]
Ti +
− = −2Ti−− = Gi xi ,

(8)

(14)
[ ]
[ −]
+
−
ここで Fi x+はxの任意関数で
G
x
は
x
i
i
i
i
i の
任意関数である。

−
dx+
I dxI
,
cosh2 [H(xI − L/2)]−
dx+
III dxIII

(7)

.

(9)

A,B の領域を考えると (3) は

(10)

Tj α
α =

R
,
48π

∇µ Tj µν =ϵµν ∂ µ R,√
96π −gj(j = A, B).
(15)が得られる。

3∂ + Ti +− = 0.

ここで 0 でないクリストッフェル記号は Γj +++ =−hj ∂+ (1/hj ) Γj −− = hj ∂− (1/hj ) である。ただし、j = A, B,hA := cosh2 [H(xI − L/2)],hB :=cosh2 [H(xIII + L/2)]。これを解くとCalculation and discussion
QH 系は (1+1)D の de Sitter 時空中での chiral

なスカラー場を再現している。このような時には以下のように trace anomaly だけでなく gravitational

anomaly が存在することが知られている [7, 8]。
R,48πϵµν ∂ µ R
√ ,∇µ Tνµ =96π −g
Tαα =

2
TA −
+ = −2 cosh [H(xI − L/2)] TA++
[ ]2
= fA x+I cosh [H(xI − L/2)] ,

(16)

2
TA +
− = −2 cosh [H(xI − L/2)] TA−−

[

(11)
(12)

135

=

]
H2
θ(−xI + L/2) + a
24π
[ ]
2
× g A x−I cosh [H(xI − L/2)] ,

(17)

H

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
2
TB −+ = −2 cosh [H(xIII + L/2)] TB ++[ +]= fB xIII cosh2 [H(xIII + L/2)]

(18)

2
TB +
− = −2 cosh [H(xIII + L/2)] TB −−][ 2Hθ(xIII + L/2) + b
=
24π
[ ]
2
× g B x−
(19)
III cosh [H(xIII + L/2)] ,[ +] [ −]−a, b は積分定数。fj xj ,gj xj はそれぞれ x+j ,xjの任意関数である.
次に境界条件を考える。I, または III の領域でのEMT は以下のように書ける。
TItot µν = TI µν [1 − θ(−xI + L/2)]+TA µν θ(−xI +L/2).
(20)
また、一般座標変換での有効作用の変化は∫√−δλ W = d2 x −g λν ∇µ TItot µν ,(21)

図 3: x+
III dependence of TIII++ in region III with

diﬀerent values of L (H = 1). For x+
III → ∞, TIII++2
approaches to H /(48π) which corresponds to theλν は一般座標変換のパラメーターである。有効作用 outgoing thermal ﬂux with the Gibbons-Hawking+
が一般座標変換で不変であることを要請すると、λν temperature TH = H/(2π). For xIII < 0, the leftの係数は０にならなければならない。これを具体的

moving ﬂux is negative which represents negativeに計算することにより x = L/2 での境界条件

energy density. For a ﬁnite negative x+
III , the ﬂux

TA++ − TI++ = −

H2
,
48π

negatively diverges.
(22)4TA−− − TI−− = 0,と x = −L/2 での境界条件

H2
TIII++ − TB ++ =,48π
TIII−− − TB −− = 0.

Conclusion
ここでは Robinson と Wilczek の gravitational

anomaly を用いた方法を QH 系における de Sitter 時(23)

空に適用した。通常の de SItter 時空ではこの方法は用いることができないが、QH 系では Minkowski 時空が得られる。(14),(16),(18) を見るとここで求めたい の領域と de Sitter 時空の領域の境界上で anomaly が量である Ti++ は x+i にしか依存しないことがわか 0 でないために境界条件として gravitational anomaly
る。そのため I の領域の S − で初期条件を与えると+因果的に繋がっている III の領域での EMT は決まる。 の効果を取り込むことができた。その結果、xIII →S − で ingoing ﬂux がない場合を考えると III の左向 +∞ で Gibbons-Hawking 温度が再現されることがきの ﬂux は (22),(23) の境界条件と (4) を使うとわかった。
TIII++[[]] 今回は境界条件を簡単にするために future/past+
HLcosh Hx+
H2
III sin 2 + sinh HxIII2
csc HL + arccos=−+
horizon の両方が存在する系を用いたが、TIII++ < 0
HL
48π
cosh Hx+
III + sin 2 sinh HxIII
×での発散は past horizon の影響であると考えられる

cos2 HL
H2
2
+
.
+
+ 2
HL
48π
(cosh HxIII + sin 2 sinh HxIII )ので future horizon に起因する ﬂux を調べたいので(24)2
図 3を見ると TIII++ は x+
III → +∞ で H /(48π) に近あれば図 4のように future horizon のみが存在する
場合の計算が有効であると考えられる。

づき、これを黒体放射の ﬂux と比較するとその温度aは T = 2Hであることがわかる。x+
III < 0 の領域ではTIII++ < 0 で発散するため負エネルギーの ﬂux が左に流れていることになるが、これは past horizon の影響であると考えられる。

136

6

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

C

HC

III

II

<latexit sha1_base64="MSzfwrX/LCNNuULAUtIJKYNQpYE=">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</latexit><latexit sha1_base64="gGJB7mzSUgEb++gKdjcDZu4SAQU=">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</latexit>I[7] Luis Alvarez-Gaume and Edward Witten. Gravitational Anomalies. Nucl. Phys. B, 234:269,
1984.

I

I

t D0
<latexit sha1_base64="BkgU2XXnzH0xo5+I1DhXghM8+Sc=">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</latexit>[8] R. A. Bertlmann. Anomalies in quantum ﬁeld

<latexit sha1_base64="OvGO9upfJ3QQZw0aALdtYRsft2o=">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</latexit>I

xIC D Cfinite

theory. 1996.

<latexit sha1_base64="5jfALt+hHmBIB6aQ7oO6DQ+s8HM=">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</latexit>

xIC D<latexit sha1_base64="OvGO9upfJ3QQZw0aALdtYRsft2o=">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</latexit>

I

C
xIII
D
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L=2

図 4: Penrose diagram for non-etnernal case that

corresponds to black hole formation via gravitational collapse.

Reference[1] S. W. Hawking.
Holes.

Particle Creation by Black

Commun. Math. Phys., 43:199–220,

1975. [Erratum: Commun.Math.Phys. 46, 206(1976)].
[2] Maulik K. Parikh and Frank Wilczek. Hawking radiation as tunneling. Phys. Rev. Lett.,
85:5042–5045, 2000.
[3] S. M. Christensen and S. A. Fulling.

Trace

Anomalies and the Hawking Eﬀect. Phys. Rev.
D, 15:2088–2104, 1977.
[4] Sean P. Robinson and Frank Wilczek. A Relationship between Hawking radiation and gravitational anomalies. Phys. Rev. Lett., 95:011303,
2005.
[5] Masahiro Hotta,

Yasusada Nambu,

Yuuki

Sugiyama, Kazuhiro Yamamoto, and Go Yusa.
Expanding edges of quantum Hall systems ina cosmology language: Hawking radiation fromde Sitter horizon in edge modes. Phys. Rev. D,
105(10):105009, may 2022.
[6] Yasusada Nambu and Masahiro Hotta. Analog de Sitter universe in quantum Hall systems with an expanding edge. Phys. Rev. D,
107(8):085002, jan 2023.

137

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重宇 a30

天体活動が宇宙大規模構造に及ぼす影響の数値シミュ
レーション
小野田

138

康平

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

天体活動が構造形成に与える影響
小野田 康平 (名古屋大学大学大学院 理学研究科)

Abstract
Lyα の森を用いることで、銀河サーベイよりも遠方の z ∼ 2 − 3 の大規模構造を調べることができる。これにより、S8 テンションという、CMB と近傍宇宙の観測にある不協和を z ∼ 2 − 3 の遠方宇宙で調べることができるのではないかと期待されている。しかし、Lyα forest は中性水素の観測であるため、星形成や超新星フィードバック、AGN フィードバックといった天体活動の影響を考慮しなければならない。そこで本発表
では、天体活動を考慮した SPH/N 体シミュレーションを実行し、Lyα forest の 1D パワースペクトルを測定した。

1

ションを行い、Lyα forest の 1D パワースペクトル

Introduction
現在の宇宙論の課題として S8 テンションがある。

S8 とは物質密度揺らぎの振幅を定量化したもので、を測定した。そして先行研究である Nagamine et al.

(2021) との比較を行い、特に AGN フィードバックの影響について議論する。

構造形成の度合いを示すパラメータである。この S8には、Planck 衛星による CMB 観測から推定した値と、銀河サーベイでの弱い重力レンズ効果から算出した値とに乖離があるという問題がある。CMB 観
測は z ≈ 1100 の宇宙の観測であり、銀河サーベイは

2

Methods
本研究ので用いた用いた宇宙論的流体シミュレーz < 1 の近傍宇宙の観測である。弱い重力レンズ効ションコードと、Lyα のスペクトルの解析手法につ果で得られる S8 の値は、CMB から得られる値よりいて説明する。

も系統的に小さい。これは、現在の宇宙の構造形成が ΛCDM モデルを仮定した場合よりも進行していないことを示唆している。この問題をより明らかに

2.1

Simulation

本研究では、Gadget4-Osaka(Oku ang Nagamine

するためには、z ≈ 1 よりも高赤方偏移での観測から S8 を推定することが有効であると考えられる。銀 2024) を 用 い て 中 性 水 素 の 解 析 を 行 なった 。
河サーベイよりも高赤方偏移を観測する方法として、 Gadget4-Osaka は N-body/SPH コ ー ド で あ る

Lyman-α の森の利用が挙げられる。Lyα forest とは、 Gadget4(Springel 2020) を拡張したものである。こ遠方クェーサーのスペクトルに見られる Lyα 吸収線 のコードでは星形成、超新星フィードバック、AGNの集合である。Lyα 吸収線は、光源であるクェーサー

フィードバックが実装されている。シミュレーショ

と観測者の間に存在する中性水素ガスによって生じンのボックスサイズは一辺が共同距離で 50h−1 Mpc

るため、スペクトルの吸収線を見ることで遠方にあの場合で行なった。ガスとダークマターの粒子数のる銀河間物質 (IGM) の構造を調べることができる。 初期値は 2 × 256 である。初期条件は Planck2018
しかし、IGM はダークマターとは違い、星形成、超 の観測結果を元にしている。
3

新星フィードバック、AGN フィードバックといった天体活動の複雑な影響を受けて構造形成をする。そのため、Lyα forest の観測から、S8 といった統計量2.2を制限するためには、天体活動のフィードバックを

Lyα forest の解析

解析には、まず Lyα 線に対する光学的厚み τ を計考慮した宇宙論的構造形成シミュレーションを行い、 算する。ある点 xi における τ (xi ) は一般的に次のよ
天体活動が構造形成に与える影響を調べておく必要がある。本発表では、天体活動を考慮したシミュレー

1392024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
うに計算される。

τ (xi ) =

∑
πe2
f12
nHI (xj )ϕ(xi − xj , vzj , Tj )dl
me c
j
(1)

ここで、e, me , c, f12 , nHI , ϕ, vz , T はそれぞれ素電
荷、電子の質量、光速、吸収振動強度 (f12 = 0.4162)、
中性水素数密度、Voigt 関数、シミュレーション粒子の視線速度、ガス温度を表す。吸収線のプロファイル
は量子的な効果による広がりを持つため、視線方向に対して和をとる必要がある。吸収線のプロファイルを表した関数が Voigt 関数である。引数の xi − xj 、vzj
はそれぞれ、宇宙膨張による赤方偏移、視線速度による吸収線のずれを考慮するためのものである。実際の光学的厚みの計算には、python モジュールである

fake_spectra(Astrophysics Source Code Library,record ascl:1710.012) を用いた。
光学的厚みを用いて transmitted ﬂux F 、およびそ
図 1: z ∼ 3.0 での F のマップの様子の揺らぎ δF を定義する。

横軸の Z(LoS) が視線方向. ドップラーシフトによりF = e−τ
δF =

F
−1
<F >

(2)

Flux が Z 方向に伸びている。X=30 での赤点線でのFlux をプロットすると二段目の図のようになる。

(3)

本研究では, 統計量として δF の視線方向の 1 次元パet al. (2021) の観測結果よりも値が大きくなる振る

ワースペクトル P1D (k) を解析した。

舞いが見られるが、本研究の結果では観測結果と同様の振る舞いがみられる。全体的な P1D (k) の振る舞いとして本研究の結果の方が Nagamine et al. (2021)

3のものよりも観測結果に近いと言える。ただし、今Results
今回は先行研究である Nagamine et al. (2021)、

および Walther et al. (2018) による観測結果とのz ∼ 3 における 1D パワースペクトルの比較を行なった。Nagamine et al. (2021) では、本研究で用いた

Gadget4-Osaka の古いモデルで計算を行っており、AGN フィードバックモデルが実装されていないという違いがある。図 2 を見ると、log10 k ≪ −1.0 の小スケールで Nagamine et al. (2021) の結果 (AGN 無し) と比べて、本研究の結果 (AGN 有り) の場合では回の比較では Lyα forest の解析に一貫性がないことに注意が必要である。Nagamine et al. (2021) ではス
ペクトル解析コードである fake_spectra を用いていないため、解析手法の一貫性が担保されていない。
正しい比較のためには、同じデータを用いてそれぞれの解析が同じ結果を返すか確かめる必要がある。

4

Discussion

パワースペクトルが大きく減衰され、スロープが急図 2 を見た通り、AGN 有りの場合小スケールでパになっている。Walther et al. (2018) でも同様の振ワースペクトルが大きく減衰することが特徴的であっる舞いが見られるが、本研究ほどの減衰見られない。 た。これは、AGN によるガスの吹き飛ばしの効果がlog k ≤ −2.0 の大スケールではどちらも同じよう 小スケールの揺らぎを減衰させたのではないかと考10

な振る舞いを見せるが、本研究の結果が系統的に低えられる。本研究では AGN フィードバックのみに着くなっている。−2.0 ≤ log10 k ≤ −1.0 のスケールで目した。しかし、実際に観測からパラメータを制限

は Walther et al. (2018) による観測結果が Nagamine

する場合は、星形成や超新星フィードバックといっ

140

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference
Oku and Nagamine 2024 (arXiv:2401.06324)
Nagamine, K., Shimizu, I., Fujita, K., Suzuki, N., Lee,
K.-G., Momose, R., Mukae, S., Liang, Y., Kashikawa,N., Ouchi, M., & Silverman, J. D. (2021). The Astrophysical Journal, 914(66), 20.
Walther, M., Hennawi, J. F., Hiss, H., et al. 2018, ApJ,
852, 22

図 2: Power spectrum at z ∼ 3.0
黒線が本研究の結果、青の点線が Nagamine et al.

(2021) の結果, 点は Walther et al. (2018) による観測結果.
た他の様々なフィードバックモデルの強さを変化させ、パラメータを推定する必要がある。

5

Conclusion
本発表では、Lymanα の森を用いた z = 2 − 3 での S8 推定に向けて、天体活動のフィードバックがLymanα の森の統計量に与える影響を調べた。特に今回は AGN フィードバックの有無に着目し、Nagamine

et al. (2021) との比較を行なった。その結果、AGN
フィードバックによって、特に小スケールの統計量のプロファイルは大きく変化することがわかった。そのため、Lymanα の森を利用して宇宙論パラメータを制限するためには、天体活動が統計量に与える影響を考慮する必要がある。これには、天体活動そのものの複雑性に加え、フィードバックモデルや、フィードバックの強さの不定性といった複雑性も絡んでくる。シミュレーションのみでこのような不定性を乗り越え、パラメータを制限することは、計算コストの観点から不可能である。そこで、近年機械学習を用いたエミュレーター作成プロジェクトが進行している。本研究は機械学習を用いた Lyman-α のパワース
ペクトルのエミュレーター作成のための学習用デー
タ作成の一環として行われたものであり、今後は天体活動のフィードバックの強さを様々に変化させた、シミュレーションデータを作成していくことになる。

141

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重宇 a31

擬スカラー場の赤方偏移依存性が宇宙複屈折へ及ぼす
効果
吉岡

142

隼

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

擬スカラー場の時間進化が宇宙複屈折へ及ぼす効果
吉岡 隼 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) には偏光があり、この偏光は空間反転 (パリティ変換) に対する変換性の違いから E モード、B モードという二つのモードに分解する事ができる。宇宙の一様等方性からパリティは保存され、各モードは互いに相関を持たない事が予想される。しかし、実際の観測においては 二つのモードの相関が確認されており、パリティは保存していない。(Minami & Komatsu 2020)

CMB 偏光におけるパリティが破れる理由として、宇宙の晴れ上がりから現在観測されるまでに生じる偏光面の回転 (宇宙複屈折、Cosmic Birefringence) が考えられている。そして、それを引き起こす物理的過程
として擬スカラー場と電磁場との相互作用がある。従来の解析では、CMB 偏光のパワースペクトルを偏光面の回転角が一定という近似のもと求めていた。しかし、一般的な擬スカラー場のモデルにおいては、擬ス
カラー場の時間変化に伴い回転角も時間変化することが予想されている。時間変化する擬スカラー場はより理論的に妥当であるだけでなく、検出器のもつ不定性と縮退しないという利点も持つ。
本発表は論文 (Galaverni et al. 2023) のレビューである。前半では CMB 偏光の理論と様々な擬スカラー場のモデルについて述べ、後半ではそれらを用いて次世代 CMB 観測、LiteBIRD で擬スカラー場の効果がどの程度検出されるのかを議論する。

1

Introduction

1.1

CMB

1.2

擬スカラー場

擬スカラー場は電磁場とカップリングし、直線偏光の偏光面を回転させる。

CMB (宇宙マイクロ波背景放射) は宇宙の全方位から観測される温度 3K の黒体輻射であり、その温度揺らぎの角度異方性から様々な宇宙論的情報を得

擬スカラー場 ϕ は式 (1) のような形でラグランジ
アン密度 L に現れる。

ることができる。

11gϕ
L = − (∂ϕ)2 −V (ϕ)− Fµν F µν − ϕFµν F̃ µν (1)2
4
4

CMB 観測では直線偏光の強さも測定されている。
直線偏光はパリティ偶な E モード、パリティ奇な B
モードという二つのモードに分解することができ、それらのパワースペクトルや相互相関を計算すること
でさらに多くの情報を得ることができる。
スタンダードな宇宙論モデルでは TB(温度揺らぎ-

B モード偏光) 相互相関と EB 相互相関はゼロになることが予想される。パリティが偶の温度揺らぎ、E
モード偏光と奇の B モード偏光の間に相関があるということはパリティが破れていることを意味するからだ。しかし、実際の観測データではゼロでない EB 相
互相関が確認されている。(図 1)(Minami & Komatsu

V は擬スカラー場のポテンシャル、Fµν は電磁場テンソル、F̃ µν ≡ 12 ϵµνρσ Fρσ はその双対、gϕ は電磁場と擬スカラー場の相互作用の強さを表す結合定数である。

1、2 項目がスカラー場の発展を、3 項目が電磁場の発展を記述している。4 項目は擬スカラー場と電磁場とのカップリングを記述しており、Chern-Simons項と呼ばれている。
式 (1) を解くことにより、擬スカラー場を通過した光子の偏光面がβ=

2020)
この観測結果を説明するために、パリティを破る
物理過程である擬スカラー場 (pseudoscalar ﬁeld) を
以下では考える。

gϕ[ϕ(x) − ϕ(xem )]2(2)

回転することがわかる。(Harari & Sikivie 1992)

ϕ(x) は座標 x での擬スカラー場の値である。ϕ(xem )は光子が放射された時の場の値を表しているため、回143

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで偏光面の回転 β を引き起こすのは擬スカラー

転角 β は擬スカラー場の正味の変化量 ∆ϕ に比例し場だけではないことに注意しなくてはならない。2、ている。

3 章でも触れるが、観測機器自体の偏光面に対する

1.3

回転角の不定性も式 (4)-(8) と同じ効果をもたらす。

Rotation of polarizasion angle

偏光面の角度 β の回転により、CMB 偏光の強度は式 (3) のように変化する。

Eℓobs ± iBℓobs = (Eℓrec ± iBℓrec ) exp(±2iβ)(3)2Theory擬スカラー場において式 (4)-(8) はあまり正確とは言えない。多くのモデルで擬スカラー場は時間進化

Eℓobs , Bℓobs はそれぞれ観測された時の E、B モード

し、時間進化する擬スカラー場は観測される Cℓ に複偏光の強度、Eℓrec , Bℓrec はそれぞれ宇宙の晴れ上がり

雑な変化を引き起こすからだ。擬スカラー場の時間

時の E、B モード偏光の強度を表している。

進化を考えるためには CMB 偏光を支配する相対論

式 (3) より、観測される CMB パワースペクトル的ボルツマン方程式を考える必要がある。

Cℓ は CℓEB,rec = 0、CℓTB,rec = 0 のもとで、それぞれ以下のように変化する。

2.1

CℓTE,obs = CℓTE,rec cos(2β)(4)

CℓTB,obs = CℓTE,rec sin(2β)(5)

偏光に対するボルツマン方程式は式 (9) のようになる。

∆′Q±iU (k, η) + ikµ∆Q±iU (k, η)

CℓEE,obs = CℓEE,rec cos2 (2β) + CℓBB,rec sin2 (2β) (6)= −ne σT a(η)[∆Q±iU (k, η)
√
∑ 6π
m (m)
+
±2 Y2 SP (k, η)]
5mCℓBB,obs = CℓEE,rec sin2 (2β) + CℓBB,rec cos2 (2β) (7)1 EE,rec(C− CℓBB,rec ) sin(4β) (8)2 ℓ
式 (4)-(8) までの結果で特に重要なのは式 (5) と式
CℓEB,obs =(8) で 1.1 章で述べたように擬スカラー場の導入でゼロでない CℓEB 、CℓTB が現れることが確認できた。(図1)Boltzmann equation(9)∓igϕ ϕ′ (η)∆Q±iU (k, η)∆Q±iU = ∆Q ± i∆U はストークスパラメータ Q、
U の偏光の成分を表している。1 式 (9) を晴れ上がりの時刻 ηrec から現時刻 η0 まで積分したのち、観測される E モード、B モード偏光の成分 ∆E,ℓ (k, η0 )、∆B,ℓ (k, η0 ) に変換すると、∫ η0jℓ (kη0 − kη)(0)∆E,ℓ (k, η0 ) =dηg(η)SP (k, η)(kη0 − kη)2
ηrec× cos 2[α(η) − α(η0 )]
(10)
∫ η0
∆B,ℓ (k, η0 ) =
ηrec

(0)

dηg(η)SP (k, η)jℓ (kη0 − kη)(kη0 − kη)2

× sin 2[α(η) − α(η0 )](11)
図 1: CℓEB の理論値と観測値
1

理論値は camb より β = 0.35deg として計算。 観2

測値は Planck DR4 より

1 https://camb.info
2 https://github.com/LilleJohs/Observed-EB-PowerSpectrum?tab=readme-ov-ﬁle1 ストークスパラメータとは E モード、B モードとは異なる偏光のパラメータである。ストークスパラメータはパリティで成分が分解されていない。

144

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校(0)
k は波数、η は conformal time、SP (k, η) はスカラー エネルギーとしてはたらくようなスカラー場であり、型揺らぎ2 のソース項、jℓ は球ベッセル関数、g(η) = 以下のポテンシャルを持つ。

τ ′ (η)e−τ (η) は visibility function といい、光学的厚V (ϕ) = Λ4 (1 − cos

み τ (η) で決まる関数である。図 2 からわかるように

ϕ n
)
f

(12)

visibility function は z ∼ 10 の再電離期と、z ∼ 1000

本論文では各パラーメータを n = 2、Λ = 0.417eV、の晴れ上がり期にピークを持っていて、その名の通

f = 0.05Mpl = 1.22 × 1017 GeV としている。ポテ

り見えやすさを表している関数と解釈できる。

ンシャルは図 3 のようになる。図には比較のため、

visibility function も並べてプロットしている。
このポテンシャルのもとで式 (1) を解き、(9) に得られた ϕ を代入することで時間進化する宇宙複屈折を評価することができる。ここで Axionlike as earlydark energy は初期にダークエネルギーとしてはたら
くため、フリードマン方程式にも式 (12) を代入し、ボルツマン方程式と合わせて解く必要がある。

図 2: visibility function (Galaverni et al. 2023)g

また、α(η) = 2ϕ ϕ(η) であり、式 (2) からわかるよ
うに擬スカラー場により偏光面が α 回転したことを表している。式 (10)、(11) に α(η) が α(η)−α(η0 ) という形で入っているため、すべての η で α(η)−α(η0 ) = ᾱで一定の時、式 (3) が成立することが少しの計算でわかる。

図 3: EDE のポテンシャル (Galaverni et al. 2023)

擬スカラー場の元で α(η) は一定では無いため、式(3) が正確な式ではないというわけである。特に g(η)
が z ∼ 10 と z ∼ 1000 にオーダーで高いピークを持っているため、α(ηz∼10 ) と α(ηz∼1000 ) が重要とな3る。ただしここで z ∼ 1000 での g(η) は特に大きい
ため、近似的に z ∼ 1000 での積分しか寄与しないとし、さらに α(η) − α(η0 ) ≃ α(ηrec ) − α(η0 ) = ᾱ とす
ると式 (3) が得られる。

Results
実際に、式 (12) を代入した CℓEB を図 4 に示す。結合定数 gϕ が大きいほど CℓEB への寄与が大きいことが読み取れる。また、ラージスケールで式 (3) の近似のもとでの CℓEB と大きくずれていることもわかる。
以降の章で将来観測で予想される Cℓ を解析して

2.2

いく。

EDE 擬スカラー場

論文 (Galaverni et al. 2023) では、Axionlike as

early dark energy、Axionlike as dark energy、Ax-

3.1

ionlike as dark matter という 3 つの擬スカラー場のモデルを考えている。本発表では主に Axionlike as

early dark energy を取り扱う。
Axionlike as early dark energy は宇宙初期にダーク2 今回はベクトル、テンソル型の揺らぎは考えない。

χ2 analysis

この章では式 (3) で得られる Cℓ と EDE 擬スカラー場の元での Cℓ が将来観測で区別できるのかを χ2 を用いて検証する。
将来観測における観測値と理論値との実行的なカ
イ二乗、χ2eﬀ を次のように定義する。式 (10)、(11) で145

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 4: EDE における CℓEB と式 (3) の近似のもとでのCℓEB (Galaverni et al. 2023)

図 5: miscalibration と gϕ の縮退 (Galaverni et al.

α(η) − α(η0 ) = ᾱ = 0.35 deg として得られる Cℓ に
次世代 CMB 観測装置である LiteBird で予想される
ノイズ Nℓ を加えたもの

Cℓ (ᾱ = 0.35 deg) + Nℓ2023)て得られる αmiscalib と gϕ の関係を図 5 に示す。
仮に αmisclib と gϕ が完全に縮退していれば図 5 は(13)

完全な直線になるため、擬スカラー場によりわずかに縮退が解けたことが読み取れる。

と、EDE 擬スカラー場での Cℓ に Nℓ を加えたもの

Cℓ (EDE) + Nℓ(14)を計算し、式 (13) と式 (14) から χ2eﬀ を計算する。
ここで結合定数 gϕ を決定する必要があるが、χ2eﬀ を最小とするを gϕ として決定する。今回の設定では

gϕ = 1.65 × 10−18 GeV−1 とした。以上の条件で
χ2eﬀ = 67.3 となった。χ2 が十分大きいため、EDE
擬スカラー場による Cℓ は式 (3) の回転角一定の近似の元での Cℓ と LiteBird によって見分けることがで

4Conclusion

本発表では赤方偏移依存性を持つ擬スカラー場が宇宙複屈折にもたらす効果を考察した。EDE 擬スカ
ラー場の時間進化を考慮することで観測される非等方性 Cℓ に式 (3) の近似のもとでは得られない複雑な効果が現れることがわかった。得られた非等方性か
ら将来観測において宇宙複屈折のモデルを判別できるのかを χ2 を用いて検証した。また最後に MCMCを用いて宇宙複屈折と観測誤差の縮退がどの程度解けるのかも検証した。

きると判断できる。
論文 (Galaverni et al. 2023) では gϕ の値について様々な考察を行なっているが、ここでは省略する。

Reference
Matteo Galaverni, Fabio Finelli, & Daniela Paoletti
2023, Phys. Rev. D, 107, 083529

3.2

MCMC

この章では擬スカラー場の導入により、1.3 章最後に触れた観測機器の回転角不定性と宇宙複屈折との縮退がどの程度解消されるのかを CosmoMC という

Yuto Minami, & Eiichiro Komatsu
2020, Phys. Rev. Lett, 125, 221301
Diego Harari, & Pierre Sikivie
1992, Phys. Lett. B 289, 67

MCMC コードを用いて検証する。
MCMC のパラメータとして通常の宇宙論パラメー
タ Ωc h2 、ΩB h2 、ns 、As 、τ 、θ、EDE 宇宙複屈折のパラメータとして gϕ 、観測機器の回転角不定性のパラメータとして αmiscalib を加える。 MCMC によっ146

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重宇 a32

暗黒エネルギーと暗黒物質の相互作用による宇宙の加
速膨張
堀之内

147

杏水

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

暗黒エネルギーと暗黒物質の相互作用による宇宙の加速膨張
堀之内 杏水 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表は論文 [1] のレビューである。暗黒エネルギーと暗黒物質という２つのスカラー場が相互作用するモデルによって宇宙の加速膨張を説明する。初期条件を適切に与えることで、スカラー場が暗黒エネルギーとして振る舞い、加速膨張を引き起こすことが分かった。

1

計量を用いる。暗黒エネルギーと暗黒物質はそれぞ

Introduction

れ独立に運動する。
現在の宇宙におけるエネルギー密度は暗黒エネル
ギーという未知の物理量がその多くを占めている。
しかし暗黒エネルギーの性質については解明されて3

いない部分が多く、これを知ることは宇宙論におい暗黒エネルギーと暗黒物質の運動方程式て重要な課題である。これまでにも宇宙定数やスカ
ラー場によって加速膨張を引き起こすクインテッセ

ラグランジアン (1) に対する作用 S を考え、ϕ とンスなど暗黒エネルギーとして加速膨張を説明する

ψ のそれぞれについて変分することで運動方程式をための様々な候補が考えらられてきた。本発表では

導出する。
∫
√
δS = δ d4 x −g{− 21 g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ

暗黒エネルギーと暗黒物質という２つのスカラー場
が相互作用する新たなモデルを提案することで、現在の宇宙の加速膨張を説明する。ポテンシャルとし− 12 g µν ∂µ ψ∂ν ψ − V (ϕ, ψ)} = 0てヒルトップ型を考え、暗黒物質の振る舞いに対して適切な初期条件を与えることで加速膨張を引き起こす機構について議論する。

2

まず ϕ については、∫√
δS[ϕ] = d4 x{−(∂µ −g)(∂ν ϕ)g µν

−暗黒エネルギーと暗黒物質が相互作用する系

(3)

−

√
√

−g(∂ν ϕ)∂µ g µν −√(4)

−gg µν (∂µ ∂ν ϕ)(ϕ,ψ)−g ∂V ∂ϕ}η = 0であり、FLRW 計量はまず初めに暗黒エネルギー ϕ と暗黒物質 ψ を表す

gµν = diag(−1, a2 (t), a2 (t), a2 (t))

２つのスカラー場が相互作用する系を考える。系のラグランジアンは(5)で与えられるので運動方程式は、

L = − 21 g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − 12 g µν ∂µ ψ∂ν ψ − V (ϕ, ψ) (1)ϕ̈ + 3H ϕ̇ + ∂V
∂ϕ = 0であり、ポテンシャルの具体形は以下のように設定となる。ここで H はハッブルパラメータである。ψ にする。

ついても変分を行うことで以下の運動方程式を得る。

ϕ 2) − 1}2 + 12 m2ψ ψ 2
V (ϕ, ψ) = ρde {( Λ

(2)

2

m
2 2
4
+ 12 Λint
2 ϕ ψ + λψ

(6)m2int ψ 2 ϕ
=0
Λ2

(7)

m2
2
3
ψ̈ + 3H ψ̇ + m2ψ ψ + Λint
=0
2 ϕ ψ + 4λψ

(8)

2

4ϕ ϕ
ϕ̈ + 3H ϕ̇ + ρde Λ
2 ( Λ2 − 1) +ここで暗黒エネルギーのポテンシャルとしてヒルトッ 初期条件として m ≳ H と λ ≪ m2ψ を考える。こ
2
ψ
0
MP
l
プ型を考えた。ϕ と ψ は一様等方であるとし FLRW こで H は現在のハッブルパラメータの値である。さ0148

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校らに ϕ̇ = ψ̇ = 0 であるとする。ただし ψi ̸= 0 であと書けることから、√2 ρる。この時 ψ の運動方程式を考えると、左辺第５項

ψcrit ≡ mintde

を無視することができるので、

ψ̈ + 3H ψ̇ + (m2ψ +m2int 2
Λ2 ϕ )ψ = 0(9)となる。したがって、ψ の運動は FLRW 背景で周波(15)で定義される。さらに ϕ がポテンシャルの頂上に十分長い時間とどまることで暗黒エネルギーとして振る舞う時間が長くなり、加速膨張の時間を十分に確3−2で減衰すると考えられる。 保できる。したがって転がり落ちるまでの時間を議
さらに、ψ の振動が十分速い場合時間平均 ⟨ψ 2 ⟩ であ 論し、膨張の割合を膨張指数 Nde を用いて考える。
るとみなせるので、ϕ は原点付近で ψ によってトラッ まず初めに mef f ≈ 0 となるような場合、ψ の振動
数 mψ を持ち振動は aプされる。ただし、時間が経過すること ψ の振動はが時間が経つにつれて減衰することで ϕ の有効質量減衰するためポテンシャルが ϕ をトラップできなくは０に近づき、ϕ は原点から転がり落ちる。この時なる。この時 ϕ は頂点から転がり落ちる。

間を tend とすると、
ψitend H0 ≊ 32 log( m√int
ρde )

4

パラメータ空間の解析解と書ける。次に、ψ は減衰振動をしているが、ϕ 方向

まず初めに ϕi ≪ Λ とし、ϕ と ψ は独立に進化するϕことから mint Λ≲ mψ を課すと、ψ の運動方程式はψ̈ + 3H ψ̇ + m2ψ ψ = 0

(16)

(10)

となり、減衰振動を表す。⟨ψ 2 ⟩ が小さい場合にはポに対してのポテンシャルの穴を感じそこから落ちる可能性がある。この場合にも ψ は ϕ を原点にトラップしておくことが出来なくなるため、この穴を通り過ぎるのにかかる時間と穴に落ちる時間を比較する必要がある。これを満たすには |ψ| < ψcrit であればテンシャルは (2) において、ϕ = 0 で Vhill (ϕ) ≃よいので、この時間を tinst とすると、Vhill (0) = ρde となる。この時背景 FLRW 計量はド・tinst H0 = 23 log(

ρde
ジッター計量になり、ハッブル定数は H02 ≈ 3M
2

と

Pl

mint ψi Λmψ
)
4ρde

(17)

と書ける。したがって、ϕ が原点にトラップされななる。よって (10) は解析的に解くことができ、くなるまでの時間、つまり ϕ が暗黒エネルギーとしψ(t) = ψi exp(− 3H20 t ) cos mψ t

(11)となる。ここで初期時刻を ti = 0 とした。一方で ϕて振る舞うことのできる時間はどちらかの時間に到達するまでであることから、膨張指数 Nde は、に関しては初め ψ 2 の値が大きいと、

int ψi, 32 log
Nde ≤ min[ 32 log √m
3M H
Plϕ̈ + 3H ϕ̇ +m2int ψ 2 ϕ
Λ2

=0

(12)

となるが、時間が経過するにつれて ψ 2 が 0 に近づい

0mint mψ Λψi
2 H2 ]
12MP
l 0

(18)

となり、ϕ は暗黒エネルギーとして Nde の最小値の時間まで加速膨張を引き起こすと考えられる。

てくると

ϕ̈ + 3H ϕ̇ + ∂V∂ϕ(ϕ) ϕ = 0で表されるようになり、ϕ は(13)∂V (ϕ)∂ϕ というポテンシャ

5

現実的な宇宙モデルとの比較
以上の結果をもとに現実的な宇宙モデルとの整合

ルの勾配を感じるようになり、転がり落ち始める。こ性を考えていく。初期宇宙において ϕ と ψ の運動はのように ψ の運動によって ϕ の運動が決まることがどちらも H によってハッブル摩擦の影響を受けるこわかる。さらに、完全に転がり落ちるのは有効質量とで、初期値は ϕi ≃ Λ と ψ ≃ MP l となる。しかしmint ψi≳ mψ 、mint ψi ≳ ρde のも
meﬀ が０になる時で、このことから ψ の運動は最低 条件 Λ ≲ MP l 、 Λ222でも ⟨ψ ⟩ > ψcrit である必要がある。ここで ψcrit は とで運動方程式から分かるように ϕ はポテンシャル

有効質量が０になる時の ψ の値であり、有効質量が
m2

ρde
2
m2eﬀ ≊ 21 Λint
2 ψi exp(−3H0 t) − Λ2の坂を原点に向かって登り始める。ϕ はポテンシャ
ルの坂を登ると ϕ = 0 で ψ のポテンシャルを感じ最(14)

小値が ρde であると考えるようになる。この時 ϕ は149

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ϕ = 0 にとどまり暗黒エネルギーとして振る舞う。ϕはこの状態で加速膨張を引き起こすが、その時間は長く続かず、3H ≃ mψ で ψ が減衰振動を始めると、ポテンシャルが ϕ を原点に留めておくことができな
くなる、もしくは ϕ が ψ の作り出すポテンシャルの穴を見つけその穴から通り抜けていく。この状態になると ϕ はポテンシャルを転がり落ち、暗黒エネル
ギーとして振る舞うことができなくなることから加速膨張が終了すると考えられる。

6

Conclusion
暗黒エネルギーと暗黒物質という２つのスカラー場が相互作用し、かつ初期条件を適切に与えること
で加速膨張を引き起こすことが分かった。今回はポテンシャルとしてヒルトップ型を考え、相互作用するスカラー場として暗黒物質を採用したが、他にも指数関数型のポテンシャルやスカラー場としてクインテッセンスなどを考えることができるため、これらを議論することで暗黒エネルギーの性質に対して理解を深めることができると考える。

Acknowledgement
本発表にあたり様々なアドバイスを下さった立教
大学理論物理学研究室の皆様に、心より感謝申し上げます。

Reference[1] J.M.Gomes et al , arXiv:2311.08888

150

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重宇 a33星形成銀河と活動銀河核の宇宙再電離への影響
鵜飼

151

祥

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

星形成銀河と活動銀河核の宇宙再電離への影響
鵜飼 祥 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙再電離を引き起こした電離光子源として、星形成銀河と活動銀河核 (AGN) が候補として挙げられる。高赤方偏移で暗い AGN が見つかり (Giallongo et al. 2015)、近年の James Webb Space Telescope(JWST) の観測でもそれ以上の数の AGN が見つかっていることを受けて (Harikane et al. 2023)、本発表では (Giallongo

et al. 2015) に基づいて銀河と AGN の宇宙再電離の寄与を観測から制限している (Yoshiura et al. 2017) をレビューする。(Yoshiura et al. 2017) では、AGN が支配的な再電離史が許されることがわかった。さらに、

JWST による AGN の観測 (Harikane et al. 2023) に基づいてこの制限を再検討すると、AGN のスペクトルによっては再電離史の観測と一致しない結果になった。これより、高赤方偏移での AGN のスペクトルの観測が、再電離光子源の検討に大きく影響することがわかった。

1

うに変わるかについて検討する。

Introduction
ビッグバン後、高温高密度のプラズマ状態だった宇宙は、宇宙が膨張するにつれて冷え、赤方偏移 1100

2

Methods程度で中性化する。その後、天体が形成されると、そ
水素の電離割合 fHII の進化を理論的に計算するたこから放出される光子によって再び電離される。これを、宇宙再電離と呼び、赤方偏移 20 程度に始まり、 めに、観測から赤方偏移 6 程度で完全に電離したことがわ

nH (1 + z)3

かっている。

dfHII
dt

全にはわかっていない。1 つめの候補は、星形成銀dNγ,HI− αB,HII (T )Cne (1 + z)3 nH (1 + z)3 fHII
dt
(1)

河である。実際に、再電離期 z > 6 で多くの銀河がを数値積分する。nH 、ne はそれぞれ水素と電子の再電離を引き起こした電離光子源については、完=観測されていることから、最も有力な候補と言える。 共動座標での数密度、αB,HII (T ) は Case B 再結合

2 つめの候補は、活動銀河核 (AGN) である。AGN 係数、C は銀河間物質の clumpiness factor であり、は、z > 3 で数が急速に減少するため、その寄与は

C = 3 としている。dNγ,HI /dt は単位体積あたりの少ないと考えられていた。しかし、z = 4 ∼ 6 で暗い

photoionization rate であり、ここでは電離光子源とAGN が観測されたことから (Giallongo et al. 2015)、 して星形成銀河と AGN を考えているので、それぞAGN が再電離に大きく寄与した可能性が示唆されて れの和、dNγ,HI /dt = dN∗,HI /dt + dNAGN,HI /dt といる。加えて、近年の James Webb Space Telescope なる。また、ヘリウムの電離も考えているので、ヘ(JWST) の観測でも、さらに多くの AGN が高赤方偏 リウムの１階電離、２階電離についても、式 (1) に移で、そして再電離期でも見つかっている (Harikane あたる式を考える。
et al. 2023)。
これを受けて、本発表では (Yoshiura et al. 2017)
をレビューする。この論文は、(Giallongo et al. 2015)

2.1の高赤方偏移での暗い AGN の観測を受けて、電離星からの電離光子星からの光子は、エネルギーがそれほど高くない

光子源として銀河と AGN を考えて再電離史を計算 （UV 領域）ため、平均自由行程が短い。そのため、し、観測されている再電離史と比較することでそれある赤方偏移で放出された光子は、その赤方偏移のぞれの寄与に制限を与えている。加えて、その制限

銀河間物質の電離に全て使われると考えることが出が JWST による AGN と銀河の観測によってどのよ来る。そして、単位時間に放出される光子数密度は、

152

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
星形成率密度（star formation rate density、SFRD） クスはに比例すると考えて、(2)

F (z, ν)∫(6)c(1 + z ′ )2′
= dz ′ εc (z ′ , ν ′ )exp(−τ
(z,
z
,
ν))
ν
H′
z

と書くことが出来る。γν は星質量あたりに生成されと書ける。c は光速で、ν ′ = ν(1+z ′ )/(1+z) である。

る振動数 ν の光子数であり、
∫ ν2
dν γν
ν1



5.43 × 1060 M⊙ (ν1 , ν2 ) = (νHI , νHeI )= 2.61 × 1060 M⊙ (ν1 , ν2 ) = (νHeI , νHeII )0.01 × 1060 M(ν , ν ) = (ν,ν)εc (z ′ , ν ′ ) は、共動座標での emissivity であり、赤方ṅ∗ν = (1 + z)3 fesc ρ̇∗ γν

⊙

1

2

HeII

偏移 z ′ にある AGN から単位時間あたりに届くエネ
ルギー密度である。これは、AGN の SED Lν と UV
光度関数 Φ(z, MUV ) を用いて、∫ M maxUV′′
εc (z , ν ) =Lν ′ (MUV )Φ(z ′ , MUV )dMUV
M min
UV

max,∗

(3)
である (Choudhury et al. 2005)。ここで、パラメー
ターとして電離光子脱出率 fesc を導入している。再電離期の銀河の電離光子脱出率はわかっていないた
め、(Yoshiura et al. 2017) ではこれをフリーパラメー
ターとして、銀河の再電離への寄与を変化させてい(7)と表せる。τν (z, z ′ , ν) は、赤方偏移 z で振動数 ν として観測される光子が、z ′ から z まで届くときの光学的厚みであり、(∫ z′c(1 + ẑ)2τν (z, z ′ , ν) =dẑfHI nH σHI (ν̂)
Hz

る。そして、今水素とヘリウムの電離を考えるので、放出された光子を、∫ ∞dN∗,i
ni σi ṅ∗ν
=
dν
dt
n
σ
+
n
HI HI
HeI σHeI + nHeII σHeII
νi
(4)

(8)
と書ける。

AGN の光度関数として、double power-law(Croom
et al. 2009)と、それぞれの粒子種 i に割り振っている。νi はそれぞれの粒子の Lyman limit 振動数であり、hP νHI =Φ(z, MUV )13.6 eV、hP νHeI = 24.5 eV、hP νHeII = 54.4 eV で=ある。また、hP νmax,∗ = 100 eV である。

)

+ fHeI nHe σHeI (ν̂) + fHeII nHe σHeII (ν̂)(9)Φ∗ exp(−z/zAGN )100.4(α+1)(MUV −M∗ ) + 100.4(β+1)(MUV −M∗ )を用いている。Φ∗ 、zAGN 、α、β はパラメーターであり、それぞれ、amplitude、傾きが変わるときの2.2

AGN からの電離光子

MUV 、暗い側の傾き、明るい側の傾きを変化させる

AGN は高エネルギーで平均自由行程が長い X 線を多く放出するため、ある赤方偏移 z での AGN からの光子を考えるには、z よりも大きな赤方偏移に存在する AGN からの光子を考える必要がある。赤方偏移 z での photo-ionization rate は、∫ νmax,AGN
dNAGN,idν(z) =σi ni (1 + z)3 F (z, ν)
dt
hP ν
νi
(5)
と書け、F (z, ν) は z より大きな赤方偏移からの振動数 ν でのエネルギーフラックスである。積分の上限は νmax,AGN = 2.4 × 1020 Hz であり、これは光子のパラメーターである。観測 (Croom et al. 2009)(Gi-

allongo et al. 2015) にフィッティングしているが、高赤方偏移での暗い AGN の数はまだ議論があるため、
z > 4.25 での α を αhz としてこれを変化させること
で AGN の再電離への寄与を評価している。

AGN の SED として２つのモデルを用いている。
１つ目は power-law モデル (PL モデル)ν −0.61 , h ν < 13.6 eVPLν ∝ν −0.61 , h ν ≥ 13.6 eV

(10)

P

である (Lusso et al. 2015)。2 つ目は accretion disk

エネルギーが 103 keV に対応する。エネルギーフラッ と corona からの放射を考えている AC モデルである。これは、PL モデルに加えて高エネルギーの光子が多くなっている。

1532024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 3: fesc = 0.1 で、αhz を変化させた時の水素の電離史の変化

図 1: z = 5.75 での AGN 光度関数

図 4: αhz = −1.00 で、fesc を変化させた時の水素の電離史の変化αhz = −1.5 で、暗い AGN が豊富に存在し、AGN が

図 2: z = 6 での AGN の SED

支配的な再電離史が観測からは許されるという結果3になっている。

Results
水素の電離史が図 3、図 4 に示されている。電離

光子脱出率が大きいほど、αHZ が小さいほど電離が速く進むことがわかる。

4

新しい観測を用いた考察

次にパラメーターの値を選んだ時の電離史が観測

JWST による観測では、高赤方偏移での暗い AGN

による水素の電離史と一致しているかを調べる。電離が (Giallongo et al. 2015) よりもさらに多く観測され史の観測として、z = 5.7 で電離が完了した (Fan etており (Harikane et al. 2023)、αhz ∼ −2.0 となって

al. 2006)、z = 6.6 で中性率 fHI = 0.2±0.2 (Ouchi etいる。これを用いてパラメーターの制限を検討する

al. 2010)、z = 7.3 で 0.3 < fHI < 0.8 (Konno et al.

と、AC モデルの場合は αhz = −2.0 で制限を満たすこ

2014) と比較している。さらに、CMB 光子のトムソン とは出来ず、一方で PL モデルの場合には fesc ≤ 0.07
散乱の光学的厚みを計算し、観測の τe = 0.058±0.012 の場合に制限を満たすことが出来る。これより、高(Planck Collaboration et al. 2016) と比較している。 赤方偏移での AGN のスペクトルが、再電離史の検これらの観測によるパラメーターの制限が図 5、図 討に大きく影響を与えることがわかった。
6 である。(Giallongo et al. 2015) で示されている

154

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校配的となるような再電離シナリオが許されることがわかった。さらに、その制限を近年の JWST による

AGN の観測 (Harikane et al. 2023) を用いて再検討すると、AGN のスペクトルとして高エネルギー側の光子が多いものを用いた場合には観測を満たすことは出来ず、単純な power-law のスペクトルを用いると fesc ∼ 0.07 の場合に制限を満たすことがわかった。
これより、高赤方偏移での AGN のスペクトルが、再電離史の検討に大きく影響すると言える。

Reference
Giallongo, E., Grazian, A., Fiore, F., et al. 2015, A&A,
578, A83
Harikane, Y., Ouchi, M., Oguri, M., et al. 2023, ApJ,
959, 39

図 5: AGN の SED として AC モデルを用いた時のパラメーターの観測からの制限

Yoshiura, S., Hasegawa, K., Ichiki, K., et al. 2017, MNRAS, 471, 3713
Choudhury, T. R., Ferrara, A. 2005, MNRAS, 361, 577
Croom, S. M., Richards, G. T., Shanks, T., et al. 2009,
MNRAS, 399, 1755
Lusso, E., Worseck, G., Hennawi, J. F., et al. 2015,
MNRAS, 449, 4204
Fan, X., Strauss, M. A., Becker, R. H., et al. 2006, AJ,
132, 117
Ouchi, M., Shimasaku, K., Furusawa, H., et al. 2010,
ApJ, 723, 869
Konno, A., Ouchi, M., Ono, Y., et al. 2014, ApJ, 797,
16
Planck Collaboration XLVII, 2016, A&A, 596, A108

図 6: PL モデルの時のパラメーターの制限

5Conclusion
本発表では、星形成銀河との宇宙再電離への寄与

を観測から制限している (Yoshiura et al. 2017) のレビューをした。Yoshiura et al. (2017) によると、
高赤方偏移に暗い AGN が豊富に存在し、AGN が支155

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重宇 a34

宇宙再電離期における電離バブル構造の高精度モデル化に向けた高精度輻射輸送計算コードの開発
瀬尾

明莉

156

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙再電離期における電離バブル構造の高精度モデル化に向けた
輻射輸送計算コードの開発
瀬尾 明莉 (筑波大学大学院 理工情報生命学術院数理物質科学研究群)

Abstract
宇宙再電離は、ビッグバンから約数億年後に宇宙が再び電離状態に戻る過程を指す。宇宙で最初の星、銀河、
ブラックホールから放射された紫外線が中性水素を再び電離させたと考えられているが、その電離源や電離史についてはまだわかっていない。
近年、輻射流体計算を用いた宇宙再電離のシミュレーションが行われるようになり、銀河形成と宇宙の電離構造が同時に計算されるようになった。しかし、多くのシミュレーションでは M-1 closure による近似的な
輻射輸送計算法が使用されている。この手法は、beam crossing 問題や光速を人工的に小さくしているため、結果として電離構造の精度において信頼性が不足している。
そこで、私は VET（Variable Eddington Tensor）法を基にした輻射輸送計算コードの開発に取り組んでいる。VET 法は、光子の流れをより正確にモデル化するための手法で、従来の方法に比べて高精度な計算が可能である。本講演では、VET 法の前段階として、1 次元のモーメント式、ray tracing 法の計算結果を紹介
する。

1

導入

1.1

宇宙再電離

宇宙再電離とは、ビックバンから約数億年後に宇宙が再び電離状態に戻る過程のことである。最初の星や銀河が生まれたことで、それらが光を放ち中性だった宇宙をバブル状に電離させていった。赤方偏移 7 頃、完全に電離されたことがわかっている。しかし、具体的な電離源やその過程についてはまだ完
図 1: 宇宙全体の中性度に対する電離バブルサイズ。

全には解明されていない。

(Neyer et al. 2024)

1.2

先行研究

した場合の方がバブルサイズが大きいことがみてわ

先行研究として、Thesan プロジェクト (Neyer et

al. 2024) を紹介する。このプロジェクトは再電離と銀河形成のための大規模構造を同時に計算する輻射
磁気流体力学シミュレーションである。

かる。また、四角や丸の点は観測の結果であり、赤方偏移９付近では観測的に示唆されている典型的な
バブルサイズを再現しているものの、赤方偏移７付
近ではバブルサイズを過小評価している事がわかった。

図 1 は、電離バブルサイズを宇宙全体の中性度に対してプロットしたものである。赤線が全ての光度の星に対してバブルサイズを計算した結果で、その他の線は明るい光度の星のみに対してバブルサイズを計算した結果である。明るい光度の星のみを計算

近年、このような輻射と流体を同時に解くことができるシミュレーションが行われている。これにより、電離源や電離過程の正確な理解が進んでいる。しかし、多くのシミュレーションでは M1 クロージャーによる近似的な輻射輸送計算法が使用されている。この手法は、beam crossing 問題や光速を人工的に小さ

157

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
くしているため、結果として電離構造の精度においシミュレーションにおいて安定性を保つ条件としてて信頼性が不足している。したがって、現在のジェー

知られている。

ムズウェッブ宇宙望遠鏡による観測データの解釈、今

∆x
(1)
c
この条件により、計算が光速よりも速く更新され∆t ≤後の 21cm 線観測プロジェクトに向けて、宇宙の電離構造を高精度にモデル化する事が急務である。

ることが保証され、数値解の安定性が確保される。
光速制限法を使用することで、c を小さくすることがbeam crossing 問題

2

でき、クーラン条件を緩和することができる。 した

図 2 は、2 本のビームが衝突する様子を、M1 ク

がって、∆t を大きくすることができるため、計算をロージャーを用いてシミュレーションした図である。 軽くすることができ、計算時間を短縮することがで
本来、光はぶつかることなくすり抜けるはずである

きる。しかし、短時間スケールで急速に成長するバが、M1 クロージャーを用いてシミュレーションする

ブルを解析する場合に問題となる。

と、流体のように光が衝突してしまっていることがわかる。これが beam crossing 問題である。宇宙再電離のシミュレーションでは複数の銀河が宇宙に存3.2在するとして計算するため、beam crossing 問題が起こると放たれた輻射が衝突してしまい、電離バブル

電離波面の速度

光速制限の問題点には電離波面の速度が関係している。ストレームグレン半径を以下の式で表す。

の構造を正しく計算することができなくなる。

Rs =

3Ṅs
4παn2

! 13
(2)

Ṅs が単位あたりの光子数、α が結合率、n が電子密度である。Ṅs をクエーサーが 1058 s−1 、銀河が1055 s−1 、星が 1050 s−1 とした。これより、電離波面の速度は以下の式で表せる。

v=

exp(−t/trec )Rs
3trec (1 − exp(−t/trec )) 32

Rs 1 − t/trec∼=
3trec (t/trec ) 32

図 2: 2 本のビームが衝突する様子を、M1 クロー(3)

trec は再結合するまでの時間である。この式をクジャーを用いてシミュレーションした図。(Asahina

エーサー、銀河、星に対して計算しプロットしたグ

et al. 2020)

ラフが図 3 である。
縦軸が光速に対する電離波面の速度で、横軸が電子密度である。クエーサーによる電離波面は光速の

3

光速制限法

3.1

光速制限

1/10 を超える速度で進むことがわかる。電離波面の速度より光速が遅くなると正しく計算できないため、電離波面の速度が速いバブルを計算するとき、光速

光速制限とは、光速を実際の光速の 1/10 や 1/100をあまり小さくできない。したがって、時間ステップに制限することで、時間ステップを大きく設定できを大きくできないため計算が軽くならず、M1 クローる近似法である。

ジャーのメリットが 1 つなくなってしまう。

時間ステップの決め方として、以下の不等式が数値

1582024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
これにより、VET 法は近似法ではないため、beamcrossing 問題は起きない。また、光速制限による問
題は VET 法でも起きてしまうが、M1 クロージャーという近似法を使ったとしても計算が軽くならないのだとしたら、より正確に計算できる VET 法の方が適切だと考えられる。

5
図 3: クエーサー、銀河、星に対しての電離波面の
速度

4

計算結果
ここでは、VET 法の前段階として、M1 クロージ

ャーと ray tracing 法による計算結果を示す。

Variable Eddingtonsor(VET) 法

Ten-

そこで、私は Variable Eddington Tensor(VET) 法
を用いて計算する。まず、モーメント式を以下に示す。

Z
∂Eν
∂Fνi
+
=
S dΩ
∂t
∂xi
Z
1 ∂Fνi∂Pνij+=
li lj S dΩ
c2 ∂t
∂xi

(4)
(5)

モーメント式にはクロージャー関係が必要であり、
以下のような式となる。

Pνij = fνij Eν

(6)fνij はエディントンテンソルという。これを近似的に求めた方法が M1 クロージャーであり、以下の式となる。

1 − fν ij 3fν − 1 i jδ +llfνij =
2
2
2
3 + 4ξ
pfν =5 + 2 4 − 3ξ 2
ξ=

Fνi
cEν

図 4: 左上図、右上図は M1 クロージャー、ray tracing
法を用いてテスト計算を行った結果。左下図、右下
図は M1 クロージャー、ray tracing 法を用いて 1 次
元の beam crossing 問題を再現した図。
図 4 の左上図、右上図は M1 クロージャー、ray(7)

tracing 法を用いてテスト計算を行った結果である。
この空間では吸収のみが起こると仮定したとき、輻

(8)

射輸送方程式は以下のようになる。

(9)

1 ∂Iν
∂Iν
+ li i = −αIνc ∂t∂xVET 法とは、ray tracing 法で輻射輸送方程式を直α は吸収係数であり、α = 0.05 とした。解析解は接解くことで求めた輻射強度を用いてエディントン

以下のようになり、図の緑点線である。

テンソルを求める方法であり、以下に式を示す。

1 ∂Iν
∂Iν
+ li i = S
c ∂t R ∂xli lj I dΩ
fνij = R
I dΩ

(12)

(10)

Iν = I0 exp(−αx)

(13)

(11)

M1 クロージャー、ray tracing 法共に、シミュレー
ション結果が解析解とよく一致していることがわか

1592024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
る。
また、左下図、右下図は M1 クロージャー、ray tracing
法を用いて 1 次元の beam crossing 問題を再現した図である。両端から Eν = 1 の光を入射して、光が重なった瞬間の様子をプロットした。ray tracing 法
では、光が重なっている部分はちょうど Eν = 2 になっていることから、正確に解けていることがわかる。しかし、M1 クロージャーを用いた計算では、重なった部分が Eν > 2 となり、衝突しているように見
える。

6

まとめ
本研究では、1 次元の ray tracing 法の計算コード、

M1 クロージャーの計算コードを作成し、その精度を確かめることができた。今後としては、まず、1 次元での VET 法のコードを作成し、その後、2 次元、3次元に拡張していきたい。

Acknowledgement
本発表にあたり、ご指導いただいた宇宙理論研究
室の皆様、講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営の皆様に深く感謝申し上げます。

Reference
Neyer et al. 2024, MNRAS 000, 1–15 (2024)
Asahina et al. 2020, The Astrophysical Journal, 901:96(21pp), 2020 October 1

160

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重宇 a35

原始ブラックホールの質量分布とクラスタリング
門田

龍正

161

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始ブラックホールの質量分布とクラスタリング
門田 龍正 (山口大学大学院 創成科学研究科)

Abstract
本発表では、原始ブラックホール (PBH: Primordial Black Hole) の質量分布が広がりを持つ場合に PBH
クラスタが形成されるメカニズムについて述べる。PBH は宇宙初期に形成されたブラックホールであり、暗黒物質の候補とされる。しかし、単一質量の PBH で暗黒物質を説明するのは難しくなってきており、PBHの質量分布に広がりを持つ可能性が検討されている。そのような場合、重い PBH が軽い PBH を引き付けてクラスタを形成する可能性がある。クラスタの有無は重力波放出量の予言に非常に重要となる。

序論

1を持つ可能性が検討されている (Carr et al. 2021)。

2015 年に重力波検出器 LIGO によって連星ブラッPBH とは、宇宙初期に高密度領域が重力崩壊すクホールの合体によって生じた重力波が初めて観測ることによって形成されたブラックホールである

されて以来、PBH への関心が急激に高まっている。

(Zel’dovich & Novikov 1967; Hawking 1971)。PBHの質量は 10−8 kg という非常に小さい質量から太陽10 太陽質量程度の PBH が宇宙に分布していた場合、質量の数千倍を超える質量まで、とても幅広い範囲

可能性がある。実際、30 太陽質量の PBH が暗黒物をもつ。

質の 0.001%以上存在すれば、LIGO で検出可能であ宇宙には、観測されている物質以外にも暗黒物質

その連星から放たれた重力波は LIGO で検出できる

ることが示されている (Sasaki et al. 2016)。

と呼ばれる未知の物質が存在すると考えられている。

こうした研究は、PBH は質量分布が単一だと仮定

暗黒物質（DM: Dark Matter）の候補の一つとしてして行われてきた。しかし、上述のように、幅のあ有力なのが PBH である。PBH 探索は広い質量範囲

る質量分布は今後ますます検討していく必要性があにわたって行われており、その存在量に制限が設け

り、質量分布が単一の場合には起こらなかった現象

られている (図 1)。

が起こる可能性がある。例えば、重い PBH が軽い

PBH を引き付けることで自然にクラスタ（互いの重力の影響によって集団となったもの）が形成されると期待される。連星形成率は密度の２乗に比例する
ため、クラスタの有無は重力波放出量の予言に非常に重要である。

2

PBH クラスタの形成
PBH クラスタが形成される機構を説明する（図２）。PBH の質量 MPBH は、形成される時刻 tf に比図 1: PBH の観測的制限 ((Niikura et al. 2019) より

例して大きくなる。

改変)

MPBH ∼

現在のところ制限のない範囲でも、まだ不定性が大きいものの制限が提案されており、暗黒物質を単一

c 3 tf∼ 105 M⊙
G

(

tf
1sec

)
(1)

ただし、c は光速、G は万有引力定数、M⊙ は太陽質量である。例えば、宇宙誕生から 10−43 秒後に 10−8 kg

質量の PBH で説明するのは難しい状況になりつつあの PBH が形成され、1 秒後には太陽質量の 1 万倍のる。そこで PBH の質量分布が単一ではなく、広がり

PBH が形成される。図 2 に示したように、軽い PBH

162

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ウンド時刻 tta のときのターンアラウンド半径 rta は

rta ≃ (2GMPBH tta )

1/3

(3)

となる (Adamek et al. 2019)。上式は近似のもと得られた解析解を (2) 式の数値解と比較して修正した
結果得られた式である。
軽い PBH 同士の相互作用を無視して、重い PBH
周りの軽い PBH の密度分布を導出した。このような

図 2: PBH クラスタの形成

る。ビッグバン理論によれば、初期から現在まで宇場合、密度分布 ρ(r) は
(
)
∫ ∞
2dt
2
2
ρ(r)r dr =drta rta ρta (rta )Torbitr

宙は膨張を続けている。そのため、軽い PBH が形成となる。ただし、ρta (rta (tta )) ＝ρPBH (tf /tta )3/2 はされた後、宇宙膨張によって軽い PBH 同士の距離はターンアラウンド時の軽い PBH の密度、ρPBH は重離れていく。その後重い PBH が形成されると、そのい PBH の形成時の密度、Torbit = πrta rg

重力で軽い PBH が宇宙膨張から離脱して重い PBH

PBH の軌道の周期、dt/dr = rgの近傍に引き止められる。宇宙初期の高密度が保持は軌道上の軽い PBH の速度の逆数、rg = 2GMPBH

されるため、非常に密度の高い PBH クラスタが形成

は重い PBH の重力半径である。密度分布の導出におが形成してしばらくしてから重い PBH が形成され3/2 −1/2

−1/2

(4)

は軽い

(1/r − 1/rta )−1/2

いて軽い PBH 同士の相互作用を無視したので、軽されることが期待される。

い PBH が重い PBH 周りを楕円軌道で運動せず、重い PBH にそのまま落ちる軌道になってしまう。なの3

PBH クラスタの密度分布

で、後々に軽い PBH 同士の相互作用を考慮する必要

重い PBH によって集積される軽い PBH の密度分がある。

布を評価する方法について説明する。軽い PBH は、

PBH クラスタの内側にある物質の質量（主成分は重4い PBH）が生み出す重力によって引き付けられる。

結論

な 2 体問題を解けばよい。これにより、重い PBH に(4) 式を具体的に計算すると、密度分布 ρ(r) は)− 23 ( )− 49
(
ρ(r)
MPBH
rta
33
≃ 1.7 × 10
(5)
ρDM0
100M⊙
rg

よって集積される軽い PBH の密度分布を評価すること求められた。ただし、ρDM0 は、現在の暗黒物質の重い PBH がどの距離まで軽い PBH を捕縛できるか調べるには、この重力と宇宙膨張を考慮した実質的とができる。以下より、光速 c = 1 とする。

背景密度である。上式から、ρDM0 と比較して PBH
FLRW 宇宙において、質量 MPBH の中心 PBH（重 クラスタの密度が非常に高い。また中心 PBH の質量
い PBH）とテスト粒子（軽い PBH）の固有距離 r は MPBH = 100M⊙ の場合、6kpc にわたって高密度でr̈ = −

ä
GMPBH
+ r
r2
a

ある。

(2)

のように変化する。ただし、a はスケール因子である。第１項は中心 PBH からの重力による引力を表

Reference

し、第２項は輻射優勢期において −r/4t2 となり宇宙

Zel’dovich & Novikov 1967, Soviet Astronomy 10, 602

膨張の減速を表している。中心 PBH が存在しない場

Hawking 1971, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 152, 75

合、背景宇宙では ṙ は無限遠で 0 に近づくが、決して 0 にはならないので ṙ は常に正の値を持つ。しかNiikura et al. 2019, Nat Astron 3, 524–534

し、中心 PBH からの重力（第１項）が宇宙膨張の項

Carr et al. 2021, Rep. Prog. Phys. 84, 116902（第２項）よりも大きくなると、軽い PBH は宇宙膨

Sasaki et al. 2016, Phys. Rev. Lett. 117, 061101

張から離脱してターンアラウンドする。ターンアラ

Adamek et al. 2019, Phys. Rev. D 100, 023506

163

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重宇 a36

原始ブラックホールからのバースト的な陽電子放射
八木

大地

164

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始ブラックホールからのバースト的な陽電子放射
八木

大地 (弘前大学大学院 理工学研究科)

Abstract
原始ブラックホールは理論上、Hawking 放射によって標準模型の素粒子の全てを等重率で放射し、特に電子と陽電子については同数の粒子を放射する。そのため、PAMELA や AMS-02 で観測された 10GeV 以上のエネルギー帯に於ける陽電子過剰の一部を原始ブラックホールの放射が担っている可能性がある。本発表では MacGibbon–Webber の Hawking 放射のモデルに最新の二次粒子放射の数値計算を取り入れ、軽量の原始ブラックホールからのバースト的な陽電子放射のスペクトル及びその地球への伝播を計算し、AMS-02 の観測結果と比較することで原始ブラックホールの存在量に対する制限について考察する。

1

導入

AMS-02 は国際宇宙ステーションに設置された宇宙線の観測装置である。AMS-02 の観測により、電原 始 ブ ラック ホ ー ル（Primordial Black Hole;子に対する陽電子の比が従来の予想に反して高エネ

PBH）とは Zel’dovich ら (Zel’dovich and Novikov(1967)) や Hawking (Hawking (1971)) によって予ルギー側で高いことが明らかになっている。従来、陽言された、ビックバン直後に揺らぎが重力崩壊して考えられていたが、この観測結果は他に陽電子の源できたとされるブラックホールである。恒星からで泉が存在することを示唆している。これまでにパル

きるブラックホールと異なり、10−5 g 程度まで小さ

電子は一次宇宙線が星間ガスに衝突して発生するとサーや超新星残骸、ダークマターの崩壊等が挙げらな質量を持つ PBH が理論的に許容されているので、 れているが、本研究ではブラックホールが Hawking
太陽質量以下のブラックホールは PBH である可能性

放射として直接陽電子を放出することに着目し、こが高いため、軽質量のブラックホールを研究するこれにより前述の観測結果から PBH の存在量に制限とで、インフレーションモデルなどに対して制限をを与えることを目的とする。

与えることができる。PBH は様々な質量の様々な観測で数密度の上限値が与えられている類似の観点での研究として、銀河系の暗黒物質ハ
ローに分布する 1016 g 程度の PBH から定常的に放ブラックホールの事象の地平線付近で対生成された射される陽電子についての検討が Boudaud et al.

粒子が一方はブラックホールに落ち込み、もう一方は(2019) で行われており、Voyager 1 で観測された低ブラックホールの外に放射されるという Hawking 放エネルギーの e± の星間フラックスを用いて銀河系ハ射が発生すると予言されている (Hawking (1974))。 ローに存在する PBH の上限が求められた。これにブラックホールは事象の地平線の表面積と等しい面

対し、本研究では太陽近傍に存在する、より軽量の積を持つ黒体とみなすことができ、その温度はPBH からの非定常な高エネルギー陽電子の放射に着

ℏc3
TH =
8πkB GM(1)

目することが目新しい。
スペクトルの計算に際しては、静止質量、QCD 閉で与えられる。

じ込めエネルギースケール、重力による灰色体因子

Hawking の研究によればブラックホールは Hawk-(Page (1976)) を考慮して Pythia (Bierlich et al.
ing 温度に対応する黒体として振る舞う。したがって、 (2022)) で粒子の崩壊を計算し、最終的に得られる陽十分軽いブラックホールは Hawking 放射を観測でき

電子のスペクトルを陽電子の拡散方程式に代入してると考えられている。Hawking 放射は光子だけでな計算することで、理論的に観測されるべきフラック

く全ての素粒子を放射する。そのため、Hawking 放射スを計算し、これを AMS-02 の観測データと比較すは Alpha Magnetic Spectrometer (AMS-02) (AMSることで、PBH の存在量の上限を導出する。

Collaboration (2021)) によって観測された高エネル
ギー領域での陽電子過剰を説明できる可能性がある。

165

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

PBH からの陽電子放射

2.1

Hawking 放射

2.2

MacGibbon–Webber モデル

Hawking 放射を MacGibbon と Webber の計算方法に基づくモデルで記述する (MacGibbon and WebStefan–Boltzmann の法則により、ブラックホール ber (1990))。Hawking 放射では、光子だけでなく、から放射される光子の光度は電子やクオークなど、真空から対生成で生じ得る全ℏc5(2) ての素粒子が放射される。この粒子を i 粒子と呼び、15360πM 2 G2次の粒子を考える。
である。よって、エネルギー保存の法則により、ブ¯ u, ū, s, s̄, c, c̄, b, b̄, t, t̄, e± , µ± , τ ± , g, Z 0 , W ± , H 0 ,i : d, d,
ラックホールの質量の変化率は
L = σTH4 × 4πrs2 =LdM=− 2 <0(3)dtcとなる。実際にはブラックホールは全ての素粒子を有効自由度ごとに放射する。全有効自由度を f (M )（図 1）とすると、

dM= −5.34 × 1025 g/s ×
dt

(

M
1g

νe , ν̄e , νµ , ν̄µ , ντ , ν̄τ , γ
粒子の静止エネルギー m0 c2 に対して、ブラック
ホールの温度のエネルギー kB TH が小さい時は、実質的にその粒子は放射されないと見做す。また、クオークやグルーオンは QCD 閉じ込めスケールのエ)−2f (M )(4)

ネルギー Λ = 250–300 MeV を超える運動エネルギーを持っていなければ、同様に放射されないと見做す。

と計算される。

i 粒子の多くは崩壊し安定な粒子に崩壊する。最終的な陽電子スペクトルは
∑ ∫ ∞
dṄe+
dṄi dNi→e+=gi
dEi(Ei , Ee+ ) (6)dEe+
dEi dEe+0iṄiが一次粒子のスペクトル、と書ける。ここで、 ddEidNi→fdEf (Ei , Ef ) はエネルギー Ei の i 粒子 1 個から電磁シャワーや QCD ジェットを経て最終的に出るエネルギー Ef の f 粒子の微分多重度である。この微分多重度を解析的に計算することは不可能なので、Pythia 8.3 (Bierlich et al. (2022)) を用いてモンテ
カルロシミュレーションを行なって平均値を数値的に求める。
図 1: 質量に対する有効自由度 (Carr et al. (2021))。
この式を f (M ) の変化を無視して M について微分2.3

方程式を解くと質量 M のブラックホールが蒸発するまでの時間 τ は

τ = 1.98 × 10−34 yr ×

(

M
1g

)3

f 粒子のエネルギー Ef を適当なビンの数に分けて、そのビンのエネルギー幅 ∆Ef を用いて、エネf (M )−1(5)となる。これにより、寿命 τ が宇宙年齢 t0 = 1.38 ×
10

モンテカルロシミュレーション

ルギー Ei の i 粒子 1 個が生成するエネルギービン[Ef , Ef + ∆Ef ] に入る粒子の個数を ∆Ni→f と定義する。

yr (Planck Collaboration (2020)) に等しいとPythia 8.3 の Resonance Decays を用いて、静止

すれば、宇宙誕生の際に PBH の質量が M∗ = 5.17 ×

質量 m0 = 2Ei 、電荷 0、色荷 0、スピン 1 重項の101014 g である時は、ちょうど現在に質量が 0 になり、 共鳴状態を設定し、iī 対に崩壊するように設定する。
「蒸発」する。ブラックホールが蒸発する際に、Hawk-

これを繰り返し計算し、∆Ni→f の平均値を求める。

ing 温度が急激に上昇し、バースト的に高エネルギー シミュレーション結果は図 2 の通りである。低エネの粒子を放射する。特に高エネルギー側ではほとん

ルギー側では破線の一次粒子より崩壊してできた陽どの粒子が蒸発直前に放射される。

電子の方が多いことがわかる（実線は総和）。

1662024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校した。ここで拡散係数 K はエネルギーに依存し、次の式で表される。

(
K = K0 βp
1 GeV/c)δ.

(8)

K0 、δ は観測によって一意に定まっておらず Donato
ら (Donato et al. (2004)) により複数のベンチマー
クモデルが提案されている（表 1）。
表 1: 拡散パラメータ。
モデル名
δ
K0 [kpc2 Myr−1 ]図 2: PBH からの陽電子放射のスペクトル。

2.4

MIN

0.85

0.0016MED

0.70

0.0112MAX

0.46

0.0765

陽電子バーストのスペクトル

陽電子放射率を質量の時間変化率を考慮して時間積分することで、PBH が蒸発するまでに放射する全陽電子のスペクトルが図 3 のように得られる。

本研究においては MED のパラメータを使用して計算する。また前節で議論した PBH の陽電子スペク
トルを源泉として PBH 一個が原点にあると考える
dṄ

+と書ける。Green 関数 G(r, t, t′ )と Q = δ 3 (⃗r) dEe+eを用いて、拡散方程式を解くと

∫

dṄe+
G(r, t, t′ )
dEe+

(9)

(
)
1
r2
exp
−
,
2
3
rdiﬀ
π 3/2 rdiﬀ√
rdiﬀ = 2 K(t − t′ )(10)n(r, E, t) =dt′となる。但し Green 関数はG(r, t, t′ ) =(11)である（Atoyan et al. (1995)）。この積分を数値的
図 3: PBH が完全に蒸発するまでに放射する陽電子に解いて計算すると図 4 のようになる。拡散長 rdiﬀの範囲において陽電子はおおよそ一定の値を取る。

のスペクトル。

3

陽電子の伝播陽電子の伝播を等方的な拡散現象と捉えて、次の

拡散方程式

(
)
∂ne+
K ∂
2 ∂ne+
− 2
r
−Q=0
∂t
r ∂r
∂r

(7)

を考える。K は拡散係数、Q は源泉である。ここで、主に銀河風の影響による移流項やエネルギー空間の拡散項は拡散する時間が十分に短いと仮定して無視167

図 4: PBH から拡散した陽電子の分布。

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

結果

4

拡散長程度の長さスケールで PBH は十分一様に分布すると考えれば、一個の PBH の放射による陽電子の数密度 ne+ と観測される陽電子フラックス Φe+ ,simの関係は、PBH の数密度 nPBH を用いて∫
c · nPBH ∞dr4πr2 ne+ (E, r)
Φe+ ,sim = √
3
0

(12)

と計算される。このフラックスと実際に AMS-02 で観測されたフラックスを重ねて、実測値を超えないような nPBH が求めたい PBH 数密度の上限となる。 図 5: n

PBH = 1.369 × 10

5pc−3 の場合の PBH から

nPBH を求めるには、AMS-02 の観測による陽電子 の陽電子フラックスと AMS-02 による観測値の比較。
フラックスの実測値を Φe+ とおくと Φe+ > Φe+ ,simを満たす範囲で最大の nPBH を求めれば良い。PBH

10−24
1

が現在から t0 − τ = 10 Myr 前に蒸発したとして、

10−23

10−22

10−21

M/M⊙
10−20

10−19

10−18

10−17

0.1

AMS-02 の観測値と比較すると最大の nPBH は

0.01
10−3
10−4

(13)
f (M)

nPBH = 1.369 × 105 pc−3

であり、この場合の陽電子フラックスの観測値と PBH

Extragalactic
γ-rays10−610−7による陽電子フラックス理論値を比較すると図 5 の

10−8

とおりになる。t0 − τ = 0–10 Myr の範囲で同様に

10−9
10−10

nPBH の上限を計算したが、有意な差は生じなかった。

10−11

結論

5

Big-bang nucleosynthesis

10−5

e± (Voyager 1)

Galactic
γ-rays

CMB
1010

1011

1012

1013
M [g]

1014

1015

1016

1017

図 6: fPBH への制限。

10 Myr 前に蒸発する PBH と現在丁度蒸発する
PBH の質量の差は十分小さいので、質量は常に M∗ =5.17 × 1014 g とする。一般に PBH の存在量を議論する際に、PBH がダークマターとして振る舞うことに着目し、ダークマターに占める PBH の割合

M. Boudaud and M. Cirelli 2019, Phys. Rev. Lett. 122,
041104.
B. Carr, K. Kohri, Y. Sendouda, and J. Yokoyama 2021,
Rep. Prog. Phys. 84, 116902.

(14)

F. Donato, N. Fornengo, D. Maurin, P. Salati, and
R. Taillet 2004, Phys. Rev. D 69, 063501.

を計算すると、fPBH (M∗ ) < 3.4 × 10−12 という制限

S.W. Hawking 1971, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 152,
75–78.

を得た。これは従来より強い制限を与えている (図S.W. Hawking 1974, Nature 248, 30–31.

M∗ nPBH
ρPBH=
fPBH =
ρDM
ρDM

6)。

J.H. MacGibbon and B.R. Webber 1990, Phys. Rev. D
41, 3052–3079.
D.N. Page 1976, Phys. Rev. D 13, 198–206.

Reference

Planck Collaboration 2020, Astron. Astrophys. 641,
A1.

AMS Collaboration 2021, Phys. Rep. 894, 1–116.
A.M. Atoyan, F.A. Aharonian, and H.J. Völk 1995
Phys. Rev. D 52, 3265–3275.

Ya.B. Zel’dovich and I.D. Novikov 1967, Sov. Astron.
10, 602–603.

C. Bierlich et al. 2022, SciPost Phys. Codebases 8.

168

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重宇 a37

Starobinsky’s piecewise linear モデルにおける原始ブ
ラックホールの形成について
富田

涼也

169

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Starobinsky’s linear model でのインフレーション
富田 涼也 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーションは、インフラトンと呼ばれるスカラー場がポテンシャルの坂をゆっくり転がることで実現される（スローロールインフレーション）。またポテンシャルの傾きが小さい時、インフラトンが非常にゆっくり転がることからウルトラスローロールと呼ばれる状況が実現される。ウルトラスローロール中に生成された曲率揺らぎは非常に大きな振幅を持つことから、原始ブラックホールを形成する可能性がある。
今回ウルトラスローロールを起こすインフレーションのモデルの一つとして、piecewise linear potential
モデルを考える。このモデルは２つの異なる傾きを持つ線形的なポテンシャルを結合したもので、接合部分
以外はスローロールをしているが、傾きが変わった直後はウルトラスローロールが実現され、曲率揺らぎが生成される。

1

Introduction
インフレーションは、宇宙初期の急激な加速膨張である。インフレーションはビッグバン理論の問題点とされる、平坦性問題やホライズン問題を解決する。また、インフレーションの摂動のスカラー成分が現在の宇宙構造の種になっているという点もこの理論を考える利点になっている。
インフレーションの最も簡単なラグランジアンはL=

図 1: ポテンシャルの概形

1R− g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)
16πG 2

であらわされる。R はリッチスカラーである。また、運動方程式は

的にはスローロールしている。スローロール条件が成り立つ時のスローロール中の場の運動方程式は

3H ϕ̇ +dVϕ̈ + 3H ϕ̇ +
=0
dϕ

dV
=0
dϕ

となる。接合部分を通過した直後だけはポテンシャ

H はハッブルパラメータである。

ルの坂が緩くなるのでスカラー場は減速をする。この時期をウルトラスローロールという。この時の場の運動方程式は

2

starobinsky’s linear modelϕ̈ + 3H ϕ̇ = 0

今回考えるインフレーションモデルは図１である。 傾きの違う線形的なポテンシャルが ϕ = ϕ0 で接合している。具体的な V の表式は、{
V = V0 + A+ (ϕ − ϕ0 ) ϕ > ϕ0

V = V0 + A− (ϕ − ϕ0 )となる。減速し終わると、再びスローロールに戻る。

3

ϕ ≦ ϕ0スカラー場の摂動展開
単一のスカラー場に対して、一様等方であるバッ

クグラウンドと、摂動成分があることを考える。ことなる。
スカラー場がポテンシャルの坂を下るとき、基本の時、

ϕ = ϕ̄(τ ) + δϕ(x, τ )170

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となり、δϕ は以下の運動方程式に従う。

(δϕ)′′ + 2

5

′

a ′
δϕ − ∆δϕ = 0a

パワースペクトルの決定
さて、無次元のパワースペクトル PR

ここで、′ は共形時間での微分である。

PR (τ ) =a をスケールファクターとして、v = aδϕ という

k3|Rk,i (τ )|22π 2

変換を課すと、フーリエ空間で()
a′′vk′′ (τ ) + k 2 −vk (τ ) = 0aで 求 め ら れ る 。曲 率 揺 ら ぎ を 決 定 す る た め に はと表される。この式を Mukahanov-佐々木方程式と空の真空解と一致するという条件から、i = 2 の時はいう。

接合部分での接続条件から求められる。接続条件のMukhanov-佐々木方程式の階の係数を決定する必要がある。i = 1 の時は短波長極限でミンコフスキー時

具体的な式は{4

曲率揺らぎが従う方程式

Rk,1 (τ0 ) = Rk,2 (τ0 )R′k,1 (τ0 ) = R′k,2 (τ0 )Mukhanoz-佐々木方程式の解はフーリエ空間で、である。係数を求め、興味がある i = 2 のパワース
ハンケル関数を用いて以下のように表される。
ペクトルを求めると図２のようになる。
√
√
(1)
(2)
vk,i (τ ) = Ci (k) −kτ H3/2 (−kτ )+Di (k) −kτ H3/2 (−kτ )ここでラベル i = 1, 2 のとき、傾きがそれぞれ A+ , A−
となる。
さらに、

Rk,i (τ ) =vk,i (τ )zi (τ )という関係を使えば、R′′k + 2z′ ′R + k 2 Rk = 0z k

図 2: パワースペクトルが得られる。ここで、√a|ϕ̇|z := aMpl 2ϵ =H

ここで κ = −kτ0 である。インフレーションが終わとしている。z はスローロールパラメータである。こ(IR)る時、つまり τ = 0 で CMB の PR

= 8.5 × 10−10で規格化している。

のような R を曲率揺らぎという。

z は場の運動方程式の積分から領域ごとに計算で
きて、

( )−1
a0
τ

 z(τ ) = − 3H
A
2
+ τ0
0 [
( )−1
( )2 ]a0ττ
 z(τ ) = − 3H
A
+
(A
−
A
)
2
− τ0
+
−
τ0
0

6

パワースペクトルの概形
得られた概形を見ると小スケールで大きなパワー

スペクトルになっていることが分かる。これがウルトラスローロールの寄与であると考えられる。また、となる。ここで、τ はそれぞれ{τ < τ0

テンシャルの接合部分は直角に近づき、ウルトラスτ ≧ τ0ローロールの効果が大きくなる。それが小スケール

また、{

Λ = A+ /A− であり、Λ が大きければ大きいほどポのパワースペクトルにも現れていることがわかる。

ϕ(τ0 ) = ϕ0
τ0 = −1/a0 H0

である。

171

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

7

結論と今後の展望
今回 linear potential model のパワースペクトルを求めるところまでしか計算できなかったが、ウルト
ラスローロールが実現されれば小スケールでパワースペクトルが大きくなり原始ブラックホールが形成される可能性があることを確認できた。
今後の展望として、スカラー摂動の中でも重要な話題の１つである原始ブラックホールについてこのモデルで考えていきたい。

Acknowledgement
お忙しい中であるにも関わらず多くのアドバイスをいただいた、飯塚さん、斉藤さん、村田さんをはじめとする理論物理学研究室宇宙院生ゼミの皆さんにこの場を借りてお礼申し上げます。また、このような発表の機会を与えてくださった夏の学校運営
スタッフの方々にも深く感謝いたします。

Reference
S.Pi & J.Wang 2023, JCAP 06, 018

172

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重宇 a38

複数場インフレーションによる特定のスケールでの原始ブラックホール生成の促進
川口

健三郎

173

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

状態方程式が時間依存する場合における原始ブラックホール生成の促進
川口 健三郎 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
初期宇宙において、高密度の領域が重力崩壊することで原始ブラックホールと呼ばれるブラックホールが生成される可能性がある。崩壊する密度の閾値は宇宙の状態方程式の w に依存する。初期宇宙にスカラー場が一時的に台頭し w の値を下げる場合には、原始ブラックホールの生成量が増加する。今発表では、輻射優勢
期に一時的にあるスカラー場の寄与が大きくなるようなモデルを考え、閾値の変化、およびそれにより原始ブラックホールが生成されやすくなることを発表する。

1

Introduction
LIGO が 2015 年に初めてブラックホール (BH) 連星由来の重力波を観測したことは記憶に新しい。連星を成していた BH の質量は太陽質量のおよそ 30 倍であった。通常の天体は進化の段階で質量放出を起こ
すため、こうした大質量 BH の起源を通常の天体に
図 1: 原始ブラックホール生成の模式図求めることは難しい。このような BH はいかにして生じたのか、その問いの答えとなる可能性があるのが原始ブラックホール (Primordial Black Hole: PBH)

らぎ（オーダー 1 程度）が必要である。単一場によである。

るスローロールインフレーションでは、揺らぎはス

PBH は宇宙初期に生成される BH である。宇宙マ ケール不変となる。密度揺らぎのパワースペクトル−5イクロ波背景放射（CMB）の観測から、この宇宙に は CMB の観測から 10 程度とわかっているため、は揺らぎが存在していることが明らかになっている。 スケール不変な揺らぎを生じるこの模型では PBH を
宇宙初期に存在した密度揺らぎのうち、十分振幅が 作ることはできない。これまでに単一場でも PBH が大きな揺らぎが地平線に入った時に重力崩壊を起こ生成されるよう、インフラトンのポテンシャルが一す可能性があり、PBH はこの重力崩壊によって生成部平坦になるようなウルトラスローロール模型、イ

されると考えられている（図 1）。PBH の質量は概ンフラトンの他に揺らぎを強める場を導入した複数

ね生成時のハッブル体積内の質量程度と見積もられ場インフレーション模型などが多数考えられてきた。

るので、大質量 BH の起源となりうるのである。
観測による PBH の質量への制限には 102 0g 程度のところに質量窓が存在しており、PBH が宇宙に存

2

Methods

在する暗黒物質全てを賄うことも可能である（図 2

PBH の生成は宇宙初期の密度揺らぎに起因し、そ）。暗黒物質としては axion や WIMP のように標準の閾値 δc は (Harada et al. 2013) により次のように模型に含まれない粒子を仮定するものもあるが、既求められている。

存の物質のみで暗黒物質の説明ができることは PBHの大きな魅力の一つである。

δc =未だ PBH の存在を示す直接的な証拠も、間接的な3(1 + w)
· sin2
5 + 3w(√ )π w
1 + 3w(1)

証拠も見つかっていない。しかし、その検出に備え、 ここで、w は宇宙の状態方程式 ρ = wp の w である。
PBH 連星ができるかどうかを理論的に検証しておく w が変化する場合、この閾値 δc も変化し、PBH のことは重要である。

生成が促進される可能性がある。そのために、輻射

PBH を生み出すには特定のスケールでの大きな揺 優勢期にスカラー場が一時的に台頭するモデルを考174

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

1 2 2 1 2
m ϕ + ϕ̇ ,22
1 2 2 1 2pϕ = − m ϕ + ϕ̇ ,
2
2
1
8πG
2
(ρr + ρϕ ) =H =2 (ρr + ρϕ ),33Mpl
1
Mpl := √
.
8πG
ρϕ =

(3)

上式より、ϕ̇ を掛けて整理すると、

ρ̇ϕ = −(3H + Γϕ )ρϕ ,(4)

ρ̇r = −4Hρr + Γϕ ρϕ ,図 2: PBH の蒸発、マイクロレンズ効果、重力波、PBH の降着から得られる、PBH が全ダークマターと書ける。

に占める割合の制限。 (Green, A. M. et al. 2021)

目的のスケールで PBH が生成されるかどうかを確認するために、数値計算を行う。ここで目標とす
る PBH の質量は 1020 g 程度である。時間スケールt ≈ Γ−1ϕ 程度で輻射が優勢になる。この間に ρϕ は急速に減少し、ρϕ と ρr の逆転が起こる。
初期条件として、

ρr,i = Rρϕ,i ,

R≫1

(5)

とする。Γ が小さい場合、ρr ∝ a−4 , ρϕ ∝ a−3 であるので、ρr ≈ ρϕ となるのは a = R の時である。輻
射優勢期では a ∝ t1/2 であるので、t = R2 ti である。
したがって、

1> R2
Γti

図 3: 今回のモデルの模式図。一時的にスカラー場のが得られる。

エネルギー密度が輻射を上回るような場合を考える。

以上のことから、次の方程式が得られる。

dρϕH= −(3 + 1)ρϕ ,
d(Γt)
Γ
H
dρr
= −4 ρr + ρϕ ,
d(Γt)
Γ
( )2
H
8π ρr + ρϕ=
2 Γ2 .
Γ
3 Mpl

え、どの程度 PBH が生成されうるかを調べる。(図3)
自然単位系 (c = ℏ = kB = 1) を用いて、以下の二つの方程式を連立して解く。

ϕ̈ = −(3H + Γϕ )ϕ̇ − m2 ϕ,ρ̇r = −4Hρr + Γϕ ϕ̇2 ,(2)

ここで、エネルギー密度と圧力は以下のように表

(6)

(7)

初期条件は、

(

される。

Hi
Γ

(

)2
=

となる。

175

1
2Γti

)2
=

8π (1 + R)ρr,i
,
2 Γ2
3
Mpl

1
> R2
Γti
(8)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 4: 輻射のエネルギー密度（青）とスカラー場のエ

図 5: PBH 生成の閾値 δc （青）と wtotal （橙）ネルギー密度（橙）ビリアル定理から、ρϕ = ϕ̇2 であり、pϕ = −ρϕ +ϕ̇2 = 0、つまり振動している時は wϕ = 0 である。これより、

wtotal =ρr /3 + pϕ
ρr /3=
ρr + ρϕρr + ρϕ

(9)

となる。

3

Results
方程式 (4) を解いて得られた結果が図 4, 図 5 であ

図 6: PBH に崩壊する領域の割合る。また、全領域のうち、PBH に崩壊する領域の割合 β は次で与えられる。
(
)
∫ ∞
δ2
2
√
exp − 2β(M ) =dδ
2σ (M )
2πσ 2 (M )δc(10)

フレーションモデルを設けても成り立つかしらべ、その場合の PBH の質量スケールを検証する。

ここで、δ は揺らぎ、σ は揺らぎの標準偏差である。 Reference
スケール不変な揺らぎを想定し、σ = 10−3 とした時の β が図 6 である。

Harada, T., Yoo, C. M., & Kohri, K. 2013. PhysicalReview D―Particles, Fields, Gravitation, and Cosmology, 88(8), 084051.

4

Green, A. M., & Kavanagh, B. J. 2021, Journal of
Physics G: Nuclear and Particle Physics, 48(4),043001.

Conclusion
図 6 より、特定のスケールで PBH が生成されやす

くなることがわかる。PBH が生成される時期は概ね

t ∼ 1/Γ の時である。つまり、スカラー場の崩壊率により PBH が生成される時期が決定される。
今後、適当な複数場インフレーションモデルにおいて同様に計算を行い、今回の設定が具体的なイン176

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重宇 b01

インフレーション中に生成される非ガウス性揺らぎとその原始ブラックホール形成
島田

正顕

177

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

インフレーション中に生成される非ガウス性揺らぎとその原始ブラックホール形成
島田

正顕 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
近年ガウシアン曲率揺らぎに対して生成量が増大されるとして非ガウス性を持つ曲率揺らぎの議論が行われている. そこで本研究ではインフレーション期に生成される非ガウス性を持つ揺らぎに注目し, その揺らぎの崩壊によって形成される原始ブラックホール (PBH) の形成の数値シミュレーションを行う. そのためにまずガウシアン曲率揺らぎと非線形的な関係を持つ曲率揺らぎを導出する. シミュレーションを実行した結果,

PBH が形成されるために必要な振幅と形成される PBH の構造の非ガウス性依存性の議論を行う. 本研究では非ガウス性が強くなればなるほど PBH 形成に必要な振幅が小さくなることが示された. さらには形成される PBH の質量や形成量に議論も行いたい.

1

2

Introduction
原始ブラックホール (PBH) は, インフレーション

期に生成された量子揺らぎが宇宙膨張に従って引き延ばされ, その揺らぎの崩壊によって形成されるブラックホール (BH) である. PBH が形成されるかどうか
は主にこの揺らぎの振幅に依存する. すなわち揺らぎの振幅がある閾値を超える場合に PBH は形成されうる. そのような揺らぎはさらにその構造から I 型

Curvature Fluctuation with
non-gaussianity
PBH 形成モデルとして three-zone モデルを用いる[2]. three-zone モデルは ﬂat FLRW 宇宙の内側に過密領域である揺らぎが closed FLRW 宇宙として存在するようなモデルである. したがって背景宇宙の計量は

ds2 = −dt2 + a2 (t)(dr2 + r2 dΩ2 )と II 型に分類される. II 型揺らぎは振幅が大きすぎ(1)ることから生成量も少なく PBH 形成への寄与も小さいと考えられ続けてきた. しかし近年揺らぎが強と書かれる. 一方内側の宇宙においては PBH 形成

い非ガウス性を持つ場合は II 型揺らぎの生成量も大時の仮定を課す. 十分 super-horizon scale においてきくなり II 型揺らぎの寄与を考えることも重要であζ の振幅が PBH 形成閾値 µc よりも大きい場合に,る可能性が指摘された [1].

horizon reentry 後の放射優勢期に PBH は形成され

本研究では揺らぎの非ガウス性に注目し, 揺らぎの得る. super-horizon scale では Hubble horizon RH

崩壊の数値シミュレーションを実行する. 本研究でと揺らぎの長さスケールを表す Rm で関連付けられ用いる曲率揺らぎは, ガウス性の曲率揺らぎと非線形的な関係を持っているため非ガウス性を持っている.

る無次元パラメータ ϵ ≡ RH /Rm は ϵ ≪ 1 を満たす.

ϵ → 0 極限において球対称計量は()
ds2 = −dt2 + a2 (t)e2ζ(r) dr2 + r2 dΩ2

そこで非ガウス性の強さを表すパラメータを導入し,そのパラメータごとにシミュレーションを実行する.

(2)

その結果 PBH 形成に必要な揺らぎの振幅と非ガウスと書くことができる.

性の関係についての議論を図る. さらには形成され

本研究ではガウシアンの曲率揺らぎ ζG の曲率揺らぎ

る PBH の質量や量の定性的評価を行うことにより,に対して非線形な関係を持つ曲率揺らぎ ζ = ζ(ζG )観測結果との比較を目指す.

を用いる. これは δN formalism を用いて導出することができる [3]. 具体的には

ζ=−

178

1
ln (1 − βζG )β(3)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

1.0

0.6

t/tH

R(r)

0.8

0.4

= 1.50= 0.80= 0.50

0.2
0.0
0.0

0.2

0.4

r

0.6

0.8

1.0
0.8

t/tH

R(r)

0.6
0.4

= 1.20= 0.60= 0.10

0.2
0.0
0.0

0.2

0.4

r

0.6

0.8

図 1: 面積半径 R(r) と µ 依存性 (上図) と β 依存性

80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.0

80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.0

= 0.50, = 0.80

0.2

0.4

z/L

0.6

0.8

1.0

= 0.50, = 1.10

0.2

0.4

z/L

0.6

0.8

1.0

図 2: A 型 PBH(上図) と B 型 PBH(下図) の構造.

(下図). 上図は β = 0.5 の場合, 下図は µ = 0.8 の場
合のプロファイルを示した. 青と紫が I 型揺らぎ, 赤が II 型揺らぎを表す.

ある, すなわち R′ (rII ) = 0 となるような rII が存在する場合その揺らぎは II 型揺らぎである. 逆にこのような rII が存在せず面積半径が単調性を保っていると表さる. ここで β は新しく導入された非ガウス性

ような揺らぎを I 型揺らぎと定義する.

の強さを表すパラメータであり, β = 0 はガウシアン

図 1 に面積半径 R の µ を変えた場合と β を変えた場を表す. また ζG に対しては典型的なプロファイルで合のプロファイルを示す. 図内において極値を持つよある monochromatic は表式を仮定する; 揺らぎの波

うな赤色の線は II 型揺らぎである. 振幅を大きくし

数 k を用いて ζG = µsinc(kr) と書かれる. したがっ た場合, もしくは非ガウス性を表す β の値を大きくして最終の曲率揺らぎはた場合に II 型揺らぎが生成されることが分かる. まζ=−1
ln (1 − βµsinc(kr)) .
β

た図 4 内の青線に I 型と II 型揺らぎの境界を示した.

(4)

β が正の領域では非ガウス性が大きくなるにつれて,すなわち β の値が大きくなるにつれてその閾値は小さくなることが分かる.

3

Type I/II Fluctuations

4

Type A/B PBH spacetime

PBH を形成するような曲率揺らぎは I 型と II 型揺らぎに分類される. I 型と II 型の本質的な違いはそ

曲率揺らぎの崩壊によって形成される PBH の構造の振幅の大きさである. II 型揺らぎの定義は, 面積半

もまた, その構造から A 型と B 型に分類される. A 型

径 R = areζ(r) が単調性を失う点が存在することでと B 型の決定的な違いは bifurcating horizon が存在

179

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校= 0.80, = 0.00

1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9

0.0

0.2

0.4

z/L

0.6

0.8

1.0

図 3: Ψ = eζ/2 の初期プロファイル.

図 4: 形成される BH のタイプと非ガウス性 β と振幅 µ の関係.

するかどうかである. 図 2 に 2 つの場合の PBH の構造を示した. 赤色の線は trapping horizon を表してWindow function W (r) の具体的な表式は [6] をいる. bifurcation horizon は 2 つの trapping horizon

参照されたい. 数値コードには Ψ = eζ/2 のプロファが交わっている場所を表している. 図 2 の上図のよイルを導入し, その時間発展を計算することによってうに交点が無いような構造の PBH を A 型 PBH と揺らぎの崩壊の数値シミュレーションを行う. 図 3 に定義し, 下図のように bifurcating horizon が存在す

µ = 0.80, β = 0.0 (ガウシアン) の場合の Ψ の初期プるような構造の PBH を B 型 PBH と定義する. より

ロファイルを示す. z, L は数値計算上の座標であり,詳細な議論は [4] を参照されたい.

特に z は r に対して scale-up 座標を用いている [4].

56Set-upResults

本研究はアインシュタイン方程式を数値的に解く

図 4 にパラメータ µ, β ごとの形成される PBH の数値コード「COSMOS」を用いて曲率揺らぎの崩壊タイプを示した. 青色の線は I 型曲率揺らぎと II 曲率の数値シミュレーションを実行する [5]. このセクショ 揺らぎの境目を表しており, 青線より上側は II 型曲率
ンでは数値計算を行うにあたっての初期条件の説明

揺らぎである. またオレンジ線より上側は 4 の真数条を行う. 数値計算を行う曲率揺らぎの初期条件の表式

件から来るパラメータ禁止領域である. また黒点と緑としては, 式 4 を用いるが 0/0 を避けるために r = 0

点はそれぞれ, compaction function と q-parameter近傍においてはテイラー展開をした形を用いる. またと呼ばれる手法によって推定される PBH 形成閾値を

r が大きい部分では Window function W (r) を導入表している [7].

した形を用いる [6].
ln(1 − βµ)µk 2 r2 −++ O(r4 )


β
6(−1
+
βµ)




for 0 ≤ r < 0.0001
 − 1 ln(1 − βµsinc(kr))
ζ=
β



for 0.0001 ≤ r < 0.7725



1


− ln(1 − βµsinc(kr))W (r)



β



for 0.7725 ≤ r ≤ 1.0

図 4 から明らかなように非ガウス性を表すパラメー
タ β の値が大きくなるにつれて PBH 形成に必要な振幅の値も B 型 PBH が形成に必要な振幅の値も小さくなることが分かる.

7

Conclusion
本研究ではガウシアンの曲率揺らぎに対して典型的なプロファイルを仮定し, ガウシアン曲率揺らぎと(5)

非線形的な関係を持つ曲率揺らぎの崩壊の数値シミュ
レーションを実行することで, 揺らぎの持つ非ガウス

1802024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
性による, 揺らぎと PBH 形成への影響を調べた. 揺
らぎに対しては非ガウス性を表すパラメータ β が正の領域で, 非ガウス性が大きくなるにつれて II 型揺らぎは生成されやすくなる. PBH 形成に対しても同様の条件で A 型,B 型 PBH の両方の形成に必要な振幅が小さくなることが分かった.

8

Future Work
今後は形成された PBH のアクリーションの効果を考慮し,PBH の最終的な質量とその生成量を考える.
それらを求めることでそれらの振幅や非ガウス性の依存性を調べることを目的とする.

Reference[1] Gow, A. D., Assadullahi, H., Jackson, J. H. P.,
Koyama, K., Vennin, V. and Wands, D.,
Non-perturbative non-gaussianity andprimordial black holes, EPL 142 (2023) 49001.
[2] T. Harada, C.-M. Yoo and K. Kohri, Thresholdof primordial black hole formation, Phys. Rev.
D 88 (2013) 084051.
[3] A. Escrivà, V. Atal and J. Garriga, Formationof trapped vacuum bubbles during inﬂation, andconsequences for pbh scenarios, Journal of
Cosmology and Astroparticle Physics 2023
(2023) 035.
[4] K. Uehara, A. Escrivà, T. Harada, D. Saito
and C.-M. Yoo, Numerical simulation of type II
primordial black hole formation, 2401.06329.
[5] C.-M. Yoo, H. Okawa and K.-i. Nakao,
Black-hole universe: Time evolution, Phys.
Rev. Lett. 111 (2013) 161102.
[6] C.-M. Yoo, T. Ikeda and H. Okawa,
Gravitational collapse of a massless scalar ﬁeld
in a periodic box, Classical and Quantum
Gravity 36 (2019) 075004.
[7] A. Escrivà, C. Germani and R.K. Sheth,
Universal threshold for primordial black holeformation, Phys. Rev. D 101 (2020) 044022.

181

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重宇 b02

Lensing ring による M87*および Sagittarius A*の電荷へ
の制限
鈴鹿

悠太

182

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Lensing ring による M87*および Sagittarius A*の電荷への制限
鈴鹿

悠太 (東京理科大学大学院 加瀬研究科)

Abstract
Event Horizon Telescope (EHT) collaboration は、M87 銀河の超大質量天体の M87*と、天の川銀河の超大質量天体の射手座 A*(Sgr A*) のリング画像を公開した。EHT は、観測されたリングの半径が電荷による光子球のサイズの変化率に比例するという仮定の下で、M87*および Sgr A*の電荷 (または代替電荷)に対する制限を与えた。この仮定の妥当性は確かめられていないため、電荷に対する 制限を別の仮定の下で確認する価値がある。
本研究では、単純なモデルで光子球だけでなく、lensing ring の半径の変化率を考慮し、前述の制限について調べた [1] のレビューを行う。結論として、光子球の半径の変化率に基づく EHT の制限は、lensing ringの半径の変化率に基づいて制限を行った場合に緩和される。[1] では、Reissner-Nordström ブラックホール
時空に焦点を当てているが、 ブラックホール時空上の代替電荷パラメータの上限の緩和を示唆している。

1のために BH の角運動量については扱わない。最もIntroduction

単純なモデルとして、粒子の最も内側の安定円軌道

M87 銀河の超大質量コンパクト天体 M87*と、天の川銀河の中心にあるいて座 A*(Sgr A*) は、私たちから見える最も大きな見かけの大きさを持つブラック
ホール (BH) 候補天体である。最近、Event Horizon(ISCO) に内縁を持つ幾何学的に薄いディスクの周りの Reissner-Nordström BH に焦点を当てる。幾何学
単位系 (c = G = 1) を用いる。

Telescope (EHT) collaboration は、波長 1.3 mm で観測する全球超長基線干渉計アレイを使用して、M87*

2

Reissner-Nordström
Holeと Sgr A*のリング画像を観測した。彼らは、リング
画像が光子球や photon ring ではなく、一般相対論
的磁気流体力学 (GRMHD) シミュレーションにおけ

Einstein-Maxwell

る Kerr BH の photon ring のほぼ外側にある高温プあるラズマからのシンクロトロン放射によって形成されµReissner-Nordström BH の光子球と Schwarzschild
BH の光子球の変化率を用いて、1-σ レベルで電荷 Qと質量 M の比を、M87*では 0 ≤ |Q| /M < 0.90[2]、Sgr A*では 0 ≤ |Q| /M ≤ 0.84[3] に制限した。観測されたリングは光子球ではなく、高温プラズマから

dr2+ r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) (1)f (r)である。ここで f (r) は、

2M
Q2
(2)
+ 2
r
r
であり、M と Q は中心天体の質量と電荷を表す。静f (r) ≡ 1 −的球対称時空を考えているため、一般性を失わずにϑ = π/2 とすることができる。
光子の軌道は、のシンクロトロン放射による重力レンズ画像と一致−f (r)ṫ2 +しているため、この制限がどの程度正確であるかは疑問が残る。
本研究では、単純なディスクと BH の場合の lens-Reissner-Nordström 解 の 線 素 は 、座 標

ds2 = −f (r)dt2 +Reissner-Nordström BH は、静的球対称で漸近ある。EHT は、観測画像と他の観測結果を合わせ、方程式の帯電真空解で

x = (t, r, ϑ, φ) において、る強い重力レンズ画像で説明できると主張した。
的平坦な Einstein-Maxwell 方程式の帯電真空解で

Black

ṙ2
+ r2 φ̇2 = 0
f (r)

(3)

で求められる。ここでドットはアフィンパラメータ

ing ring の変化率からの制限との比較により、光子球での微分を表す。また、 衝突径数 b ≡ L/E は、の変化率からの制限を緩和できることを示す。簡単E ≡ f (r)ṫ > 0

183

(4)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
L ≡ r2 φ̇(5)で与えられる光のエネルギーと角運動量から求められる。衝突径数を使って、(3) を書き直した後、光線が放射される位置 r = re から観測する位置 r = ro (> re )まで積分すると、光線が運動中に掃引する光線の曲
がり角 γ は次のように表される。
∫ ro
dr
√
γ=±
2
2
re r r /b − f (r)いる。ここでは、中心が O の単位球と座標 (X,Y,Z)
を導入している。中心 O は、BH の中心と一致する。
ディスクは平面 OXY 上にあり、その内縁は ISCO 軌
道、つまり re = rISCO であり、観測者 O′ と中心 O
図 1 の右側の図では、O′ の観測者に対する単位(6)

球と座標 (x, y, z) と天球座標 (α, β) を導入している。

と、曲がり角は、

γ≡O′ の位置にいる観測者が角度 i で見た場合を示しての距離は OO′ = ro = 105 M であると仮定する。

ここで、± は dr/dφ の符号と同じになるように選ぶ∫ φo

学的に薄い降着円盤の内縁から放射された光線を、

ここでは、(x, y, z) は x 軸と y 軸が、OX′ と OZ′ に平行になり、z 軸が OO′ と重なるように設定している。点 Q は、O′ での光線の接線と単位球の交点であ

dφ = φo − φe

(7)

φe

り、天球座標 β は、z 軸と O′ Q の間の角度で与えられる。

と定義できる。以下では、方位角座標 φ について、

簡単な計算から、天球座標 (α, β) は、観測する位置を φo = π/2 に固定する。dr/dφ は、光線が近星点 r = P = P (b) を通る時に符号が変わることに注意すれば、光線が運動中に近星点を通過する場合の曲がり角は、∫ ro∫ P (b)
bdr
bdr
√
√
+
γ=−
2 − f (r)b22 − f (r)b2
r
r
r
r
P (b)
re
(8)
と計算される。近星点を通過しない場合は、
∫ ro
bdr
√
γ=
.
2 − f (r)b2
r
r
re

(10)

√
b fo
tan β = √ro2 − fo b2(11)で求められる。ただし、fo = f (ro ) である。天球座
標 (α, β) で決まる点 Q を平面 z = 1 上の点 P に投影
すれば、以下となる。

β2βy = −2 cos α tan
2(9)x = −2 sin α tanと計算される。

3cos α = cot i cot γ

Set Up for Imaging

4

(12)
(13)

Direct and Lensing Rings
光子球の存在により、ディスク上の一点から光線が放射された場合でも、無数の光線が観測者に到達する可能性がある。光線はディスクからの放射後、n回ディスク面を横切る。ディスク面を 0 回、1 回、2回以上横切った光線によって形成されるリング像を、それぞれ direct ring (n = 0)、lensing ring (n = 1)、

photon ring (n > 1) と呼ぶ。
本研究においては、i = 0◦ の場合のみを考える。こ
図 1: (左) 中心 O が BH 中心でもある単位球と円盤の内縁にある点 E′ から放射される光線(右) 中心O′ にいる観測者の単位天球 ([1] より引用)

形をしている。BH、観測者、およびディスクの配置により、観測される光線の曲がり角は |γ| = (1/2 + n)πである。したがって、direct ring (n = 0) と lensing

文献 [4] で用いられている方法で画像の導出を行′の場合、リング像は図 2〜図 4 に示すように完全に円う。図 1 の左側の図では、E にある光学的かつ幾何

ring (n = 1) の曲がり角は、それぞれ |γ| = π/2 と3π/2 である。各交差数 n に対して、リング像をプ

184

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Q=0

6

6

4

4

2

2

0

0

2

2

4

4

6

6

8

8

6

4

2

0
2
x ro/M

Q = 0.9 M

8y ro/My ro/M

8

4

6

8

8

8

6

4

2

0
2
x ro/M468

図 2: i = 0◦ 、Q = 0 の場合の direct ring(緑) および

図 4: i = 0◦ 、Q = 0.9M の場合の direct ring(緑) おlensing ring(赤)よび lensing ring(赤)数 b の変化率を、

Q = 0.5 M

8

ρ=

6
4

(14)

と定義する。ここで、b0 は電荷がない時 (Q = 0) の2
y ro/Mb,b0b の値である。

0
2
4

5.1

M87*

6
8

8

6

4

2

0
2
x ro/M

4

6

EHT は、波長 1.3 mm で直径 42±3 µas の M87*の8

リング画像を観測し、距離 D = 16.8±0.8 Mpc という仮定の下で、GRMHD シミュレーションで観測された

図 3: i = 0◦ 、Q = 0.5M の場合の direct ring(緑) おリング画像が 1-σ レベルで M = (6.5 ± 0.7) × 109 M⊙

よび lensing ring(赤)の Kerr BH と一致すると結論付けた。質量 M と距
離 D の比は θg ≡ M/D = 3.8 ± 0.4 µas と求められロットするための 衝突径数 b を求めることができた。一方、M87*の周囲の星の運動から見積もった質る。Q の値に対して (9) を数値的に解き、direct ring

量の観測から θ ≡ M/D を求めると 3.62+0.60−0.34 µas とに対応する |γ| = π/2 を満たす b の値を求める。また、lensing ring についての 衝突径数は、|γ| = 3π/2として (8) を数値的に解くことで求めることができる。その時の絶対値 |b| は direct ring の場合、lensing

ring の場合共に、電荷 |Q| が 0 から M に増加するに
つれて、減少する。

なる。ここで、

θg
− 1,
(15)
θ
によって質量 M と距離 D の比を比較すれば、δ =δ≡−0.01 ± 0.17 を得る [5]。EHT は、文献 [2] では、δ =0.00 ± 0.17 とし、δ が Reissner-Nordström BH とSchwarzschild BH の光子球の大きさの許容差に対応すると仮定し、1-σ レベルで電荷 |Q| /M < 0.90 の

5Constraints of the Charge
by Observations
このセクションでは、M87*と Sgr A*の観測デー制限を得た。
一方、δ = −0.01 ± 0.17 と lensing ring の半径の変化率を使用すると、図 5 に示すように、1-σ レベ
ルでの境界 |Q| /M ≤ 0.96 が得られる。

タから、lensing ring の変化率による電荷の 制限を行う。前セクションで求めた電荷 Q に対する衝突径185

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

6

Conclusion

1.000

本研究では、EHT 観測とその他の観測から BH の

0.975

電荷または代替電荷に制限をかける方法を検討した

0.950[1] のレビューを行った。EHT は、光子球の半径の変0.925

化率を使用して、M87*と Sgr A*の電荷または代替

0.900

電荷に対する制限を与えたが、観測されたリングは0.875

光子球にも phorton ring にも一致しないという事実

0.850に留意する必要がある。
本研究において、BH の周りに幾何学的に薄いディ

0.825
0.800
0.0

0.2

0.4

|Q|/M

0.6

0.8

スクの ISCO 半径にある光源からの放射によって形1.0成される lensing ring のサイズの変化率を用いることによって、EHT が光子球のサイズで与えた電荷の図 5: 1-σ レベルでの M87*の観測による電荷の制限

制限を緩和できることを示した。粒子の ISCO に内は、δ = −0.01 ± 0.17 が黒色で、δ = 0.00 ± 0.17 が緑縁がある幾何学的に薄いディスクは、単純なモデル

色で示されている。曲線は direct ring(青)、lensing

であり、観測されるリング画像が lensing ring によっring(赤) の ρ の変化率を表す。

て説明ができるとは主張しない。今回の研究の論点
は、光子球のサイズによって与えられた電荷の制限

5.2

Sgr A*

をチェックし、電荷の制限が緩和される可能性がある

EHT の Sgr A*のリング画像観測に基づく、電荷の制限についても同様の議論を行うため、ここでは簡単に結果を示す。Keck 観測による制限を用いると、
図 6 に示すように光子球半径の変化率による制限は、|Q| /M ≤ 0.84 である [3] が、lensing ring の半径の変化率を使用すると、0 ≤ |Q| /M ≤ 0.87 となる。

ことを示すことにある。

[1] では Reissner-Nordström 解に焦点を当てたが、代替電荷を持つ代替 BH 解の場合にも、制限を与える研究が広く行われている。これらの代替 BH 解の場合においても、lensing ring のサイズを用いて代替電荷の制限が緩和される可能性がある。

Reference
1.000

1. N. Tsukamoto and R. Kase, [arXiv:2404.06414 [grqc]].

0.975
0.950

2. P. Kocherlakota et al. (Event Horizon Telescope),
Phys. Rev. D 103, 104047 (2021), [arXiv:2105.09343[gr-qc]].

0.925
0.900
0.875

3. K. Akiyama et al. (Event Horizon Telescope), Astro- phys. J. Lett. 930, L17 (2022),[arXiv:2311.09484 [astro- ph.HE]].

0.850
0.825
0.800
0.0

0.2

0.4

|Q|/M

0.6

0.8

1.0

4. K. Hioki and U. Miyamoto, Phys. Rev. D 107,
044042 (2023), [arXiv:2210.02164 [gr-qc]].

図 6: Keck 観測データを用いた 1-σ レベルでの Sgr

A*の観測による電荷の制限は黒色の直線である。曲
線は direct ring(青)、lensing ring(赤) の ρ の変化率
を表す。

186

5. K. Gebhardt, J. Adams, D. Richstone, T. R.
Lauer, S. M. Faber, K. Gultekin, J. Murphy,
and S. Tremaine, Astrophys. J. 729 119 (2011),[arXiv:1101.1954 [astro- ph.CO]].

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重宇 b03

Thermal Wash-in Leptogenesis via Heavy Higgs Decay
渡邉

秀長

187

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Thermal Wash-in Leptogenesis via Heavy Higgs Decay
渡邉 秀長 (総合研究大学院大学 素粒子原子核コース M2)

Abstract
本発表では、粒子崩壊では直接バリオン数やレプトン数を破ることのない leptogenesis の機構を提案する。
特に今回の模型では、標準模型に新たに二組の Higgs doublet を加えた three Higgs doublet model を考える。新たに加えた Higgs doublet のうち、軽い方の Higgs の崩壊によって、右巻き電子非対称性が作られる。
この非対称性は高温の初期宇宙では、近似的な保存量になる。この性質を利用することで、右巻き電子非対
称性は右巻きニュートリノが関わる wash-in 機構と sphaleron 機構を通して、最終的にバリオン非対称性へと変換される。

1

ノを導入することである。標準模型にマヨラナニュー

Introduction

トリノを加えると、次のような項をラグランジアン
現在の我々の宇宙にはバリオンと反バリオンの間に加えることができる。

に非対称性が存在する。このバリオン非対称性の起源
c ν + λℓ̄ϕ̃ν + H.c.
M ν¯R
R
R

を説明することは、宇宙の未解決問題の一つである。

(1)

バリオン非対称性を説明する有力なシナリオの一つとして、leptogenesis が挙げられる。標準模型の枠内ではバリオン数 B やレプトン数 L は量子的に破れ

ここで、第一項はマヨラナ質量項、第二項はニュートリノ湯川相互作用項である。この第一項のマヨラている。高温の初期宇宙においては、バリオン数やナ質量項はレプトン数を破っている。したがって、マレプトン数を破る sphaleron という過程が熱平衡にヨラナニュートリノを加えることでレプトン数を破あり、バリオン数やレプトン数を破る反応が頻繁にる反応が起きる。

起こっていたと考えられている。しかし、バリオン数とレプトン数の差 B − L はその過程でも保存している。したがって、例えばバリオン数やレプトン数を2

Wash-in Leptogenesis

同じ量だけ作る (すなわち、B − L = 0 を保つ)GUT

本研究では、wash-in leptogenesis という機構を利baryogenesis では、この sphaleron が熱平衡である

用してバリオン非対称性を作る。通常の leptogenesis

ために、せっかく作ったバリオン数やレプトン数がでは、マヨラナニュートリノの非平衡な崩壊によっ0 にならされてしまう。sphaleron が熱平衡にある温 て B − L 非対称性を作る。この場合、逆反応によっ度はおよそ 102 GeV ∼ 1012 GeV であり、この期間で てその非対称性が薄められないようにするため宇宙どのようにバリオン非対称性を作るかが重要である。 が高温の時期でマヨラナニュートリノを崩壊させる

leptogenesis では、この sphaleron の熱平衡過程を 必要がある。そのためこの場合のマヨラナニュート
利用してバリオン非対称性を作る。まず、何らかの機 リノの質量は非常に大きな値 (> 109 GeV) を持つ傾構によってレプトン非対称性を作る (B −L = c, (c ̸=向にある。

0))。次に、sphaleron が熱平衡にあるためそのレプト対して、今回採用する wash-in leptogenesis では

ン非対称性が減らされる。しかし、ここで重要なのが

B − L 非対称性を作るマヨラナニュートリノの反応

sphaleron が B − L を保つということである。この性 は化学平衡にあると考える。その結果、上述のよう質があるために、減らされたレプトン非対称性はバ な質量の大きいマヨラナニュートリノを考える必要
リオン非対称性へと変換される。これが leptogenesisがなくなり、比較的質量の小さいマヨラナニュートの概要である。

リノでもバリオン非対称性を作ることが可能である。

次に問題になるのはどのように B − L 非対称性を作るかである。その一つの方法はマヨラナニュートリ

以下では、右巻き電子非対称性に着目した wash-in
機構について議論する。

188

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
右巻き電子の非対称性は標準模型の湯川相互作用
によって変化しうる。しかし、宇宙が高温になると現在のバリオン非対称性を説明するために必要な右巻き電子非対称性は相互作用の反応率が宇宙膨張の速度に負けて、そのqe≃ −8.1 × 10−10
s TB−L

相互作用が効かなくなる。したがって、ある温度以
上では右巻き電子は近似的に保存量になる。電子の湯川相互作用の反応率と Hubble rate を比較すると、その温度は Te = 8.7 × 104 GeV であることが知られている。この温度より高い温度帯では、右巻き電子は近似的保存量になる。より高温になると、他の相互作用も効かなくなりそれに伴って新たな保存量がTB−L > Te . (4)である。B − L を破る反応が decouple する前、すな
わち宇宙の温度がマヨラナニュートリノの質量くらいになる前までに、これだけの右巻き電子非対称性を作り出す必要がある。次節で、この右巻き電子非対称性を作る模型を提案する。

現れる。今回はそのような相互作用が効かなくなっ

表 1: 保存量と化学平衡の反応
conserved charge
chemical equilibriumてできる保存量が右巻き電子だけである場合の温度
帯 (105 ∼ 106 GeV) での wash-in を考える。すなわqe

ち、B − L を破るマヨラナニュートリノの質量 M1 がQY = 0105 GeV < M1 < 106 GeV にあるとする。したがっµe
3µq + 6µu − 3µd − µℓe − µℓµ−µℓτ − µe − µµ − µτ + 2µϕ = 0てこの場合、B − L を破る反応が decouple する温度

TB−L もおよそ 105 GeV < TB−L < 106 GeV である。

equilibrium reaction

chemical equilibrium

weak sphaleronqµ + µℓe + µℓµ + µℓτ = 0

strong sphaleron−2µq + µu + µd = 0

アップ湯川−µq − µϕ + µu = 0

ダウン湯川−µq + µϕ + µd = 0µ ℓµ + µ ϕ + µ µ = 0

この温度帯での保存量と化学平衡になっている反
応及びそれらに対応する化学ポテンシャルの拘束条件を表 1 に示す。これらの化学ポテンシャルに対す
る連立方程式を解くことで、各粒子の化学ポテンシャ

荷電レプトン湯川

ルを右巻き電子の化学ポテンシャル µe で表すことがµ ℓτ + µ ϕ + µ τ = 0

できる。そして最終的に B − L 非対称性と右巻き電子非対称性の関係として、

3
qB−L = − qe10for

ニュートリノ湯川µ ℓi − µ ϕ + µ ν = 0(マヨラナ質量)(µν = 0)i = e, µ, τ(2)を得る。このように、何らかの機構で作られた右巻き電子非対称性は wash-in 機構を通してその一部がB − L 非対称性へと変換される。物理的には、右巻き
ニュートリノは右巻き電子とは結合していないため、

3

右巻き電子非対称性の生成
前節で、バリオン非対称性を説明するために必要

右巻き電子以外のレプトン非対称性を減らすことがな右巻き電子非対称性の量を見積もった。本節で、こでき、その結果正味のレプトン数すなわち B − L をの右巻き電子非対称性を作る模型を提案する。簡単で生成している (図 1)。この図から分かるように、右非自明な例として、標準模型に新たに Higgs doublet

巻き電子非対称性を作る段階では全体のレプトン数を二組加えた、いわゆる three-Higgs-doublet modelを破る必要はない。実際、のちに説明する右巻き電を考える。新たに加えた Higgs doublet は電弱スケー

子非対称性を生成する模型では、右巻き電子を生成

ルよりも十分重い質量を持つとする。本模型では、軽する際レプトン数は破っていない。

い方の Higgs doublet の崩壊によって右巻き電子非

最終的に必要なバリオン非対称性と右巻き電子非対称性が作られる。
本研究で考える模型の Lagrangian は以下の通りで対称性との関係はqB
28 qB−L
42 qe
≃
=−
,
s
79 s
395 s

(3)

で与えられる。そして、現在観測されているバリオン非対称性は qB /s|(obs) ≃ 8.6 × 10−11 であるから、

1892024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
初め H1 は熱浴に存在し、粒子と反粒子の間に非対称性がなかったとすると、H1 及び H̃1 の粒子数密
度に対して

n
neq
45ζ(3) 1
nH 1= H̄1 ≃ 2=.
sss
π 4 g∗(9)が得られる。また、崩壊の逆反応によって右巻き電子非対称性が薄められないと仮定すると、



ΓH1 →ē1 ℓ
1≳
≃
H
T =MH
1

90
π 2 g∗
−→

MH1 ≳ 1012 GeV

図 1: wash-in 機構の概念図。右巻きニュートリノの
Y 1† Y 1 11 MPl
16π
MH 1

1/2

Y
0.01

(10)

2
.

(11)

湯川相互作用が化学平衡にある状態で B − L を破るとなる。この場合 H1 の質量は N1 の質量よりも十分反応が起こる。この時、右巻き電子は右巻きニュー

大きいことになる。
崩壊率について、後の便宜のために次の記号を定トリノと結合していないため、右巻きニュートリノ

によってその量を減らされることはなく保存するが、 義する。
左巻きレプトンは右巻きニュートリノによりその量

ΓH1 →ēf ℓ ≡を減らされるため正味でレプトン数すなわち B − LXΓH1 →ēf ℓf ′ ,(12)ΓH1 →ēf ℓ ,

(13)

f′

を作っている。

ΓH1 →ēℓ ≡

X
f

ある。

L = LSM + LRHν + LHH
1/ i − Mi N̄i Ni
LRHν = N̄i i∂N2− ℓ̄f H̃SM λSM
f i Ni + H.c.
2

H̄1 についても同様の定義をする。また ΓH1 を H1 の(5)

全崩壊率とする。
右巻き電子非対称性は、

ne − nē1
q e1
= 1
s
s
ΓH̄1 →e1 ℓ̄ nH̄1
ΓH1 →ē1 ℓ nH1
≃
−
ΓH 1
s
ΓH 1
s

(6)

2

2
LHH = |DHα | − MH
|Hα |
α


− ℓ̄f Hα Yfαf ′ ef ′ + ℓ̄f H̃α λα
f i Ni + H.c.

(7)

(0)

≃−

ここで、LSM は、標準模型のラグランジアン、Ni はi 世代目のマヨラナニュートリノ (i = 1, 2, 3)、lf は
f 世代目の lepton doublet(f = e, µ, τ )、HSM は標
準模型の Higgs doublet、λSM
f i はニュートリノ湯川の結合定数である。また、Hα (α = 1, 2) は新たに加えた Higgs doublet で、対応する荷電レプトン湯川とニュートリノ湯川の結合定数は Yfαf ′ と λα
f i である。

2ΓH1 →ēℓ(0)
ΓH1

ϵē1 ℓ ×45ζ(3) 1,
π 4 g∗

(14)
(15)
(16)

ここで、”(0)”という記号はツリーレベルであることを示す。また、ϵēf ℓ は、

ϵēf ℓ ≡ΓH1 →ēf ℓ − ΓH̄1 →ef ℓ̄ΓH1 →ēℓ + ΓH̄1 →eℓ̄≃

ΓH1 →ēf ℓ − ΓH̄1 →ef ℓ̄(0),2ΓH1 →ēℓ

右巻き電子非対称性はこの中の H1 の崩壊によって作(17)であり、H1 とその反粒子の崩壊率の差を表すパラられる。この時の湯川相互作用項はレプトン数を保メータである。右巻き電子非対称性を作るためにはつ相互作用であるため、反応の前後ではレプトン数

CP の破れが必要になるが、その効果はこのパラメーは保存している。また、簡単のためマヨラナニュート

タに現れている。このパラメータがゼロでない値をリノの質量と Higgs の質量の関係は次のようにする。 持つことによって、右巻き電子非対称性を作ること

Te < TB−L ≃ M1 < MH1 ≲ MH2 ≪ M2 , M3 . (8)

ができる。

190

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校である。ただし、M1 ≪ MH1 であるため、M1 ≃ 0

ef ′

とした。

ℓf ′′

これらの結果を用いると、最終的な右巻き電子非H2H1対称性として
1 2† 1 2†
Im Y11
Y11 λ11 λ11

Ni

qe
qe
κ
= 1 ≃−ss
4π tr (Y 1† Y 1 ) + tr (λ1† λ1 )45ζ(3) 1
× f (MH2 /MH1 )(24)
π 4 g∗
2
Y∼ −8 × 10−10 δCP
,
(25)
0.01

ℓf
ef ′
ℓf ′′
H1

H2

が得られる。ただし、κ は H1 崩壊時の wash-out fac-Nitor で、δCP は、CP の破れを表す位相である。さらℓfに、MH2 = 2MH1 , Y 1 ∼ Y 2 ∼ λ1 ∼ λ2 とした。

図 2: 右巻き電子非対称性を作るために必要なファイ
ンマンダイアグラム。これらワンループのダイアグ
ラムとツリーのダイアグラムの干渉から非対称性の4

Conclusion
本講演では、three-Higgs doublet model を用いた効果が現れる。

新たなレプトジェネシスの機構を明らかにした。そこの asymmetry parameter は tree iagram と one-の結果、本模型で得られる右巻き電子非対称性は式loop diagram の干渉から得られる。図 2 に asymme-(25) となった。これから、バリオン非対称性を説明

try parameter に寄与する one-loop diagram を示す。 するために必要な右巻き電子非対称性を本模型で説これらの one-loop diagram と tree diagram の干 明できることが明らかになった。
本研究では、新しい機構の概念に集中して議論し渉から得られる asymmetry parameter は次のようにたために、定性的な議論が多かった。そのため、将なる。

来的には、ボルツマン方程式を解くなどより定量的

1 2† 1 2†
1 Im Y11 Y11 λ11 λ11
f (MH2 /MH1 ) (18)ϵē1 ℓ ≃8π
tr (Y 1† Y 1 )な議論をすることで、より正確な非対称性の値を見積もる予定である。
また、本研究では簡単のため右巻き電子非対称性
のみが保存する温度帯での wash-in を考えた。しかここで、し、より高温になると他の相互作用が宇宙膨張に負f (x) ≡ fself (x) + fvertex (x),1,fself (x) ≡ 2
x −1

fvertex (x) ≡ 1 − x2 log 1 + 1/x2 .

(19)
(20)
(21)

けて効かなくなり、それに伴って新たな保存量が現れる。そのため、より高温で近似的保存量が右巻き
電子以外にも存在する場合についても考える予定である。

である。index の”self”と”vertex”はそれぞれ、treeと self-energy diagram、tree と vertex-diagram との干渉から得られる寄与を表している。

Reference[1] K. Mukaida, H. Watanabe, M. Yamada,

また、tree level の崩壊率を計算すると、

1
tr Y 1† Y 1 MH1 , (22)
1
16π

1
(0)
(0)
ΓH →ℓ̄N ≃ ΓH̄1 →ℓN1 ≃tr λ1† λ1 MH1 , (23)
1
1
16π
(0)

(0)

ΓH1 →ēℓ ≃ ΓH̄ →eℓ̄ ≃191

arXiv;2405.14332.

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重宇 b04中性子星の潮汐変形率
佐藤

圭悟

192

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

中性子星の潮汐変形率
佐藤 圭悟 (東京理科大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対性理論 (GR) からの帰結の１つにアインシュタイン方程式があり，それは「何がしかのエネルギーが存在すれば，そこに時空の歪みが生じる」ことを示唆したものとなっている．大きく広がる物質があればな
だらかに歪み，局所的に重い物質があれば鋭く歪む．さらに，物質が変形すればその変形に応じてその周りに作られる歪みも変化する．重力波というのは主に，星が回りあったり衝突することで生じるのだから，その回り合う星が変形するのであれば，そこから出てくる重力波にも変更が生じるかもしれない．
一方で，次のような見方をすることもできる．例えば，星表面の情報を持つ中性子星が連星をなす場合である．このような連星系においては，星が潮汐変形する過程で貯蓄された星の内部エネルギーによる，軌道の変化が起こることが考えられている．これは内部構造を持たないブラックホールとは大きく異なる点である．従って，天体固有の変形のしやすさを表す潮汐変形率は，可観測量である重力波の周波数に対して影響を及ぼし得る物理量となる．そこで，今回はこの潮汐変形率を GR の下で計算した文献 [1] をレビューする．
具体的には，星の内部構造を想定した物質場を導入した時空における摂動方程式を導出し，それを数値的に解くことで，星の潮汐変形率，及び潮汐 Love 数を決定する．その上で，星を特徴づけるパラメータの値を振らすことにより，GR における潮汐 Love 数が何に強く依存するのかを明らかにする．これらの操作は，修正重力理論下においても，類似の手続きで潮汐 Love 数を求められることがすでに示されており，これらのテンプレートを理論側で数多く用意しておくことは，これからの観測技術の発展を見通した GR 検証にも大いに役立つことが期待できる．

1

導入

2

潮汐変形率と潮汐 Love 数
潮汐変形率と潮汐 Love 数は，多重極モーメントを2017 年 8 月 17 日に中性子星連星同士の衝突によって生じた重力波が観測された．これに先んじて， 使って定義される．ここで多重極モーメントというブラックホール連星合体による重力波もまた観測さのは，球対称ではない分布（今回は物質場である）をれており，ブラックホールと中性子星は重力波を用十分遠方から見た場合に，その分布がおおよそ球対いた重力理論の検証の鍵としてともに重要な役割を称であるといった近似のもとでテイラー展開（これ担う．

が要するに多重極展開である）した時に出てくるも一方，中性子星連星から発せられる重力波観測ののである．

成功には，ブラックホール連星の場合とはまた違っ理論の詳細は省略するが，この多重極モーメントた価値がある．中性子星連星合体時の重力波にはブは潮汐テンソルを用いて以下のように表現すること

ラックホール連星の重力波に含まれない，中性子星ができる．

Qij = −λεij

内部を構成する物質の情報が含まれているためである．そのため，宇宙分野だけでなく核物理をはじめとする物性分野においても大きな影響を及ぼし得る．
さらには，中性子星は合体時に重力波以外にも電磁波やニュートリノを放つため，どの連星系から放出されたのかを特定しやすいといった利点があり，所
謂マルチメッセンジャー天文学的な重要性を有している．今回はこのような中性子星を GR の下で考え
ていく．

(1)

この時の Qij は四重極モーメントで，多重極モーメ
ントにおける最低次項であり，それが潮汐テンソルεij に比例する，といった式になっている．要は潮汐力（潮汐テンソル）によって変形すればするほど，多重極モーメントが星の外にたくさん放出されることを表しており，その係数部分がちょうど潮汐変形率λ になっている．その潮汐変形率を表面の次元で再193

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ただし，定義したものが，以下の潮汐 Love 数である．

kl ≡(2l − 1)!!
GR−2l−1 λl2hµν = diag[ f (r) H0 (r),(2)

1
H2 (r),h(r)(6)

r2 K(r), r2 sin2 (θ) K(r) ] Ylm (θ, φ)3

摂動量の導入とし，H0 (r) や H2 (r)，K(r) は Regge-Wheeler ゲー星の潮汐変形率と潮汐 Love 数を定義するために，
まずは中性子星を想定した物質の詰まった星に関する摂動時空を考える．以下の通り，背景計量は GRの下で静的球対称時空を仮定しているが，星内部においては f (r) や h(r) が未知関数となっていることに注意が必要である．

ジにおける動径方向の摂動量であり，始めから摂動の時間依存性は落としていることにも注意が必要である．また，角度方向に関しては球面調和関数 Ylmで展開している．
この摂動時空において摂動の 1 次までを考慮し，重力に関する摂動量を１つに上手くまとめると，以下のような方程式に書き下すことができる．

ds

2

(b)
= gµν
dxµ dxνH ′′ (r)
[
(
)]
(
)
2
1
2M (r)+++ 4πr p(r) − ρ(r)H ′ (r)
r
h(r)
r2
[
(
)
2GM (r)6
ρ(r) + p(r)4π(4)h(r) ≡ 1 −+ −5ρ(r) + 9p(r) ++c2 rh(r) r2
h(r)
dp/dρ
]
また便利のために，h(r) に関しては予めこのような)(
2
1 8πr2 p(r) + 1− 2−1
H(r) = 0形を置いておく．M (r) もまた未知関数であるため，
rh(r)先ほどの議論に支障を与えない．また，星外部におい(7)ては，真空でかつ静的球対称な時空であるという仮定
1= −f (r) dt +dr2 + r2 dΩ2 ,
h(r)
2

(3)

から f (r) = h(r) = 1 − 2M/r となり，Schwartzchild

この式は，動径方向に関する摂動量が時空内でどの時空の外部解に帰着する．

ように振る舞うのかを表す式になっている．物理的

一方，摂動時空に関してだが，線型摂動の場合はなイメージをするのなら，安定な軌道を描く調和振偶パリティの物理量と奇パリティの物理量を完全に動子の運動方程式を思い出すと良い．今，時空が動分けて考えることができる．これは，摂動の 1 次ま

径方向に対して原点なる中心から遠かったり近づいでを含む Einstein 方程式が，微分演算子とパリティ たりしており，そこに例えばある試験粒子を置いた変換が可換になる性質を持っているためである．そ とする．そうすると，揺らぐ時空に引きづられて，そこで，今回考える時空における力学的自由度は，重の粒子も動径方向に揺さぶられることが想像できる

力場の 2 自由度と物質場の 1 自由度の合計 3 自由度

であろう．これを星の表面上で考えるのであれば，そになるが，それらの自由度はヘルムホルツ分解に従っ れはまさに星の表面が上下に変形していることを表て，重力場の自由度はそれぞれ隅パリティと奇パリ し，このマスター方程式 (7) から潮汐変形率や潮汐ティに 1 つずつ，物質場の自由度は偶パリティに振Love 数を定義できることとも整合的である．

り分けられることが分かっている．そこで，星の変(7) 式が物質を含む星内部での摂動方程式となって形率を考える上で重要となってくるのは，物質場のいる一方で，星の外側では真空 (ρ(r) = 0，P (r) = 0)
自由度を含んだ偶パリティの摂動方程式であるため， を仮定しているため，解析的に解ける形にこの方程式
今回の講演では [1] と同様に偶パリティ摂動に焦点をを落とし込むことができる．具体的には，x = r/M −1

当てた議論を進めていく．

と変数変換することで，以下のルジャンドル陪微分

まず，偶パリティの摂動時空については以下の通
りである．
(b)
gµν = gµν
+ hµν

(5)

方程式 (l = m = 2) の形にすることができる．
(
)
4
2
′′
′
(x − 1)H (x) + 2xH (x) − 6 + 2
H(x) = 0x −1(8)
この方程式の持つ解がルジャンドル陪関数であるこ

194

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校とは既に知られており，以下のようになる．
()
H(r) = H x(r)
( r
)
( r
)
= c1 P22− 1 + c2 Q22−1M) M( r )2 (
2M
= 3c1
1−
M
r
)[
(
)
( r )2 (
2M
3
r
+ c2
1−
log
M
r
2
r − 2M]
2
M (M − r)(2M + 6M r − 3r2 )−r2 (2M − r)2(9)

数値解析のための準備

4(7) 式を解析的に解くことは不可能であるため，数値的に解かねばならない．(13) 式から値を得るためには，星の表面上での摂動量 H(R)，H ′ (R) を知る必要があるため，以下の TOV 方程式と合わせてそれらを計算していく．

dM= 4πr2 ρ(r)
dr

(14)

ただし，P22 (r)，Q22 (r) はそれぞれ l = m = 2 におG(ρ(r) + P (r)/c2 )(M (r) + 4πr3 P (r)/c2 )dP=−
drr2 [1 − 2GM/(c2 r)](15)

ける第一種，第二種のルジャンドル陪関数を表して質量勾配を表す (14) 式は星の球殻における質量であいる．

り，圧力勾配の (15) 式はエネルギー保存則から得ら

次に，積分定数 c1 と c2 を決定するために，無限遠方における漸近解を考える．
( r )2(( r ))
H(r) = c1 3
+OMM(( ) )
( )3
4
M
8 M
+O
+ c2
5 r
r

れる．一方で，星内部における状態方程式に関して
は，最もシンプルな形とされるポリトロープ状態方
程式

P = KρΓ0
(10)

(16)

を仮定している．ただし，ρ0 は静止エネルギー密度を表しており，K, Γ ≡ 1 + 1/n は共に定数とする．

ここでは，第一項と第二項はそれぞれの解における，具体的な数値計算をする上では [2] の流れに倣って，無限遠方で最もリーディングな項を示している．こ

以下の無次元量を導入した．これは主に，計算過程

れらの項が漸近的平坦な系と繋がるように，c1 と c2における不用意な桁落ちを避けるための操作である．

を比較すると以下のように決定できる．

x=

2

M
15
ε, c2 =
λε
(11)
3
8M 3
この時点で，ようやく星外部における摂動方程式
c1 =の厳密解を得ることができた．従って，(9) 式と (11)式から星表面における H(R) = と H ′ (R) = の式を作り，その 2 式を連立することで ε を消去しつつ潮汐変形率を表す λ に関する式を導く．最後に，r
3M (r)
ρP, m(r) =,y= ,z=r0ρ̃0ρ̃0 c24π ρ̃0 r03(17)

ここで，r0 に関しては以下の通り，ρ̃0 を用いた距離の次元を持った量となっている．
√
c2
r0 =
Gρ̃0

(18)

さらに，圧力 z と密度 y に関しては，次の無次元化

3
k2 = GλR−5(12)2の関係式を使うことにより，以下の式を得る．これが今回の潮汐 Love 数 (l = 2) の定義式となる．
)(
RH ′ (R)M,y ≡k2 = k2 C ≡R
H(R)された静止エネルギー密度 χ，

χ≡

ρ0
ρ̃0

(19)

を使う．このようにすることで，この (19) 式の値をいじることにより，圧力と密度の値を同時に振らす

8C 5
2(1 − 2C) [2 + 2C(y − 1) − y]5{()
× 2C 6 − 3y + 3C(5y − 8)[]
+ 4C 3 13 − 11y + C(3y − 2) + 2C 2 (1 + y)}−1[]
+3(1 − 2C)2 2 − y + 2C(y − 1) log(1 − 2C)

=

(13)

ことができる．また，かなり天下りとなるが，χ を使った圧力と密度の表式を以下に提示しておく．

z(x) = Kχ(x)Γ , y(x) = χ(x) +K
χ(x)Γ (20)
Γ−1

ここで，(20) 式の左側に関しては，事前に仮定していたポリトロープ状態方程式の形そのものであることが分かる．

195

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

解析の流れと結果

0.3

摂動量に関する数値計算は，星の中心部から表面0.25にかけた背景量の計算と同時並行で行っていく．そる．(20) 式の右側について少し変形をし，

χ+

ρc
K
χΓ −
=0
Γ−1
ρ̃0

0.2
Love number k2のため，まずは星中心における χc を求める必要があ

n = 0.3
n = 1.0n = 1.2

0.15

0.1

(21)
0.05

を満たす χ を見つけ，これを数値計算における初期値とする．ただし，ρ̃0 = 1.6749 × 1014 g cm−3 で，ρc

0
0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Compactness 2GM/(c2R)は我々で与えるパラメータとなる．このようにして得られた χc からその他の中心における圧力や密度等

図 1: 潮汐 Love 数の依存性 (n = 0.3, 1.0, 1.2)が決定されるため，あとは ４次のルンゲクッタ法により (15) 式を数値的に解いていく．
ここで，星の半径については，圧力すなわち (20)6

この分野の今後とその意義

式における z(x) が 0 になった時の距離 x = xR に対Abstruct でも述べたように，今後の観測で更なる応する半径がそれになる．従って，星の表面 r = R∗

詳細が明らかになるであろう重力波に対して，理論は (17) 式より側から重力理論の候補を用意しては選別するといっR∗ = x R r0

(22)

た過程がとても大切になってくる．理論を選別すると定義できる．また，この距離までに星の中心部か上で判断材料となる Love 数の数値に関しても，修正ら累積されていた質量を星の総質量と見做している． 重力理論の下で用意する先例がすでに存在している．
これらの星の質量と半径の組 (M , R ) と，(7) 式を このような中性子星を扱った分野では，ブラックホー∗∗

星の表面まで解いた摂動量 (H(R∗ ), H ′ (R∗ )) によっ ル解に対して無毛定理が成り立ってしまうような修て，それらに対応する潮汐 Love 数の値が１つ決定す 正重力理論においても今回の議論は有用であり，より幅広い視野で重力理論を精査することができるとることができる．
最後に，今回の大きな目標であった，潮汐 Love 数

いった意味でも，かなり有意義で面白い分野だと個を決定付けるいくつかのパラメータを振らすことで， 人的に考えている．
その性質を吟味したい．レビュー論文 [1] と整合性が取れた限られたパラメータ領域のみでのプロットでかつ見苦しいノイズも入っているが，以下の図 1 がReference

現段階での解析結果である．

[1] T. Hinderer, Astrophys. J. 677, 1216-1220

n は (16) 式の Γ から出てきたポリトロープ指数で(2008) [erratum: Astrophys. J. 697, no.1, 964あり，今回は n = 0.3(赤), 1.0(青), 1.2(緑) の 3 つ(2009)] [arXiv:0711.2420 [astro-ph]].

の値の下で，横軸のコンパクトネス（星がどれだけ[2] R. Kase,

M. Minamitsuji & S. Tsu-

ぎゅっと詰まっているのかを表した量である）の値を

jikawa, Phys. Rev. D 97, no.8, 084009 (2018)

降らせてみた．結果として一番重要なことは，コン[arXiv:1711.08713 [gr-qc]].

パクトネスを変化させるよりも，ポリトロープ指数n を変化させた方がはるかに潮汐 Love 数が変化し得る，といったことである．これは，星の変形率を司る主な情報は，ポリトロープ状態方程式に押し込められていることを意味する．一般相対性理論に限った議論ではあるが，星を特徴づける上でとても重要な帰結である．

196

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重宇 b05

最尤法に基づく銀河・銀河レンズパワースペクトルの
推定法開発
手良脇

197

大誠

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

最尤法に基づく銀河・銀河レンズパワースペクトルの推定法開発
手良脇

大誠 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
前景銀河の分布と背景銀河の形状は、重力レンズ効果に起因する相関を持つ。これは銀河・銀河レンズと呼ばれており、大規模構造に基づく宇宙論解析において重要な役割を担っているが、パワースペクトル・バイス
ペクトルなどのフーリエ統計量による解析は進んでいない。実際の観測データの単純なフーリエ解析によって得られるフーリエ統計量は、観測領域の形状の複雑さや明るい星などのマスクの影響を畳み込んでしまい、
理論的解釈が難しくなる。そのため、こうした観測効果 (window 効果) を取り除いたパワースペクトル・バ
イスペクトルを推定する手法が必要となる。本研究では、銀河クラスタリングなどで用いられている最尤法という手法に着目し、window 効果を取り除いた銀河・銀河レンズのパワースペクトル・バイスペクトルの推定法の開発を行っている。本発表では、この手法のパワースペクトルに対する適用について議論する。

1

Introduction

1.1

ΛCDM モデルの現状

ΛCDM モデルは、ビッグバン元素合成や CMB の異方性など、数多の事象を説明可能な現在の宇宙論における標準モデルである。しかし、多様な高精度観測が進んだ現在、異なる観測間における結果の不整合（テンション）が見られるようになった。その1 つに S8 テンションがある。これは、宇宙の構造
形成の進行度を表す宇宙論パラメタである S8 の値
が、Planck-2018 などの CMB 観測とすばる Hyper-

図 1: 銀河・銀河レンズの模式図。背景銀河の光

Suprime-Cam(HSC) などの大規模構造観測との間で は前景銀河周辺の暗黒物質に曲げられるため、前不一致を示している、というものである。この不整 景銀河分布と背景銀河形状の間に相関が生まれる。
合が本当にモデルの綻びであるのかを判定するため （Credit:NASA, ESA & L. Calçada）に、統計精度の向上や多彩な観点からの解析による更なる検証が望まれている。

り、銀河・銀河レンズと呼ばれる相関を持つ。
銀河の詳細な形成過程については、未だに第一原

1.2

理的な理解が為されておらず、この不定性は精密宇銀河・銀河レンズ効果

宙論における系統誤差の重要な原因となる。銀河・我々が観測する銀河の形状は、光路上にある暗黒銀河レンズは、銀河クラスタリング（銀河分布自体

物質分布の弱重力レンズ効果によって歪められていの相関）との組み合わせにより、この不確かさの影る。この歪みの大きさは暗黒物質の存在量である Ωm

響を受けにくい宇宙論解析を可能にする。これまで

や S8 に対して感度を持つため、大規模構造を解析にも、銀河・銀河レンズの二点相関関数を用いて宇する上で重要な役割を持つ。また、現在標準的な宇宙論を制限する研究が多く行われてきた。その一方

宙の構造形成シナリオは、暗黒物質が密集した領域

で、フーリエ統計量であるパワースペクトルやバイに銀河が形成されることを予言する。そのため、図スペクトルを用いた解析は殆ど為されておらず、こ1 に示すように、前景銀河の分布と背景銀河の形状 うした統計量による解析を可能にすることで、更なは、共に前景銀河周辺の暗黒物質分布を反映してお る宇宙論的情報が引き出せるようになると期待され

198

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

測データ dw から window 効果のないパワースペクト

4◦
2◦
0◦
30.0◦ 32.0◦ 34.0◦ 36.0◦ 38.0◦

340.0◦

15
210.0◦

215.0◦

220.0◦

225.0◦

WIDE12H

4◦

dec [deg]

0.0◦

10

2◦
0◦
160.0◦

170.0◦

180.0◦

ある。
その方法の 1 つとして、(1) 式を波数について bin
分けした上で P true に関して逆解きする Psuedo-Cℓという手法がある。この手法はパワースペクトルに対しては十分機能することが知られているが、バイ

190.0◦

HECTOMAP

44◦
43◦
42◦
41◦

ル・バイスペクトルを推定する手法の開発が必要でGAMA15H

1◦0◦−1◦130.0◦ 135.0◦ 140.0◦ 145.0◦ 150.0◦

dec [deg]

350.0◦

GAMA09H

20

number density [arcmin−2]

dec [deg]

dec [deg]

4◦
2◦
0◦

観測結果を比較することができない。そのため、観

25

VVDS

XMM
−2◦
−3◦
−4◦
−5◦
−6◦

5

スペクトルに対しては計算コストの観点から難しい
220.0

◦

230.0

◦

ra [deg]

240.0

◦

0

と考えられている。そこで本研究では別なるアプロー
チを取る。O.Philcox(2021) は、銀河クラスタリング

図 2: すばる HSC の 3 年分の観測領域。黄色がデー

や CMB に対して、最尤法という手法に基づいた計タの存在する領域、青色がデータの欠落した領域で算によって window 効果を取り除いたパワースペク

ある。(Li et al., 2023.)

トル・バイスペクトルが共に計算可能であることを示した。そこで本研究はこの手法を拡張し、銀河・銀る。そこで本研究では、銀河・銀河レンズのフーリ

河レンズのパワースペクトル・バイスペクトルを測エ統計量に着目した。

定する手法の開発を行っている。ここではパワース
ペクトルに着目して議論する。

1.3

Window 効果

実際の観測領域は、その形状自体が複雑である上、

2

Methods

明るい星によるマスクなどといった観測的な事情で最尤法の基本的な考え方は、「与えられた（window
データが無い領域を含んでいる (図 2)。FFT を使っ 付きの）データベクトルに対して、尤度関数を最大たフーリエ解析を行うためには長方形のデータマッ 化するようなパワースペクトルを探す」ということプが必要であるから、こうしたデータの欠損領域にはゼロ埋めを行うことになる。そのため、観測されるデータは dw (x) = W (x)dtrue (x) と書ける。ここで W (x) は、データがある座標では 1 を、無い座標
では 0 を返す window 関数である。よって、例えば銀河・銀河レンズのパワースペクトルは次のようにである。尤度関数は以下で与えられる。
()
1
1 T −1√
L[d](p) =exp − dw C (p)dw2(2π)n det[C(p)](2)

p は真の（window のない）パワースペクトル、dw は
window 付きのデータベクトルであり、C は共分散行なる。ここで X は、重力レンズの成分である E モー列と呼ばれ、真なるパワースペクトルから決まる量

ドあるいは B モードを意味する。
∫ 2 ′
d k
true ′w
PgX(k) =|W̃ (k − k′ )|2 cos 2ϕk,k′ PgX
(k )
(2π)2
(1)

である。ここから計算を進めるために、pguess というすなわち、我々が window 付きのデータから直接得

何らかのパワースペクトル周りで尤度関数を 2 次まで展開し、極大条件 ∂L∂p = 0 を解く。すると以下のような推定式が得られる。

られるパワースペクトル P w (k) は、知りたい真のパpest
α = pguess,α +ワースペクトル P true (k) に window に起因する関数

1 ∑ −1 [ −1Fαβ Tr C (pguess )
2
β

∂C −1
C (pguess )(dw dTw − C(pguess ))∂pβを畳み込んだものになっているのである。このように、実データの単純なフーリエ解析によって得られ(3)

るパワースペクトルやバイスペクトルは、観測領域の形状の効果を受けてしまい、その理論的解釈が困難になる。理論から計算されるパワースペクトルは
当然 P true (k) であるから、(1) 式のままでは理論と

199

]

(
Fαβ =

])
[
∂C −1
∂C
1
Tr C −1 (pguess )C (pguess )
2
∂pα
∂pβ

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
この式においてはパワースペクトルは波数で bin 分

3.2

けされており、α, β がその bin を指定する添字である。pguess は自由に選ぶことができるが、尤度関数の展開を 2 次までで止めている以上、真なるパワース
ペクトルに近いほど良い推定式となる。(3) 式の第二項がデータベクトルに依存しているため、最初に推定する pguess の真なるパワースペクトルからのズレを、データを元に第二項で補正することで、pest というパワースペクトルの推定値を得る、という構成になっている。
詳細については（余白が狭すぎるので）割愛する
が、(3)(4) で与えられる数式は更に式変形することができ、FFT で計算することができる。特に、バイ

window と pguess

前節の流れで得られた 2 次元マップに、図 3 のような window を割り当てた。黄色の領域にはデータが存在するが、紫色の領域には存在しない（ゼロ埋めされている）。また、window をかける前の擬似デー
タに対して直接パワースペクトルを測ることで、真なるパワースペクトルを求めた。図 4 にこの真なるパワースペクトルと、今回使用した pguess をプロットした。すなわち、赤線で与えられる推測したパワース
ペクトル pguess から始めて、(3) 式の第二項を通じ、青線で与えられる真なるパワースペクトルを復元できるかを検証する。

スペクトルに対しても window 効果を現実的な時間で取り除けることが、この最尤法の強みとなる。

3

Data

3.1

観測量の生成開発したコードが正しく機能するか否かをテストするために、真なるパワースペクトルが既知である
シミュレーションデータに対して本手法を適用する。
今回使用したシミュレーションデータは、暗黒物質
粒子の 3 次元 N 体シミュレーションによって得られ

図 3: 今回使用した window の形状。黄色の領域にはデータがあり、紫の領域にはデータが無い。

た暗黒物質分布とハロー分布からなる。このシミュ
レーションから得られた 2000Mpc/h × 2000Mpc/h
× 250Mpc/h のボックスを 2 次元に射影することで、一辺が 2Gpc/h の正方形領域に属する暗黒物質・ハロー分布を 24realizations 生成した。
銀河・銀河レンズを見るために必要な観測量は、前景銀河の数分布と背景銀河の楕円率 ϵ1 , ϵ2 である。そしてこの楕円率は、弱重力レンズに起因する κ, γ1 , γ2と、銀河の固有形状に起因する ϵint,1 , ϵint,2 (ノイズとして寄与する) によって計算される。そこで今回は、前景銀河分布としてハロー分布を使用する。また、背景銀河形状に関しては暗黒物質分布から擬似的に

κ, γ1,2 を生成し（Bmode が 0 になるように生成した。）、乱数によって固有形状 ϵint,1,2 を発生させることで、銀河・銀河レンズの擬似データをセットアッ
プした。

図 4: halo-Emode のパワースペクトルの比較。青線
が真なるパワースペクトル、黄色線は推定法で必要なpguess 、緑線が (1) 式で与えられる window-convolved
なパワースペクトル、赤丸が本研究で開発した手法の適用結果。

200

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校4いたため、この結果も無矛盾である。さらに、今回Results and Discussionのデータには銀河の固有形状をノイズとして取り入
まず図 4 に、本手法による halo-Emode についてれていたが、これらの結果から、このノイズも正しの推定結果を赤丸で示す。最初の推測値である pguess

く除くことができていると考えられる。尚、今回使（黄色線）を離れ、真のパワースペクトル（青線）と整合する結果となっていることが確認できる。また、(1)式に相当する、window の効果を残したままナイーブ

用したデータは 24realizations であったが、これを増やせば E,Bmode 共に真なる値からのバラつきが更に抑えられると考えている。

に計算したパワースペクトル (緑線) に着目すると、

window の影響で真なる値よりもパワーが落ちていることが確認できる。逆に、window 付きのデータで5

Conclusion and Future work

あっても、本研究で開発した推定法を用いることで、本研究では、銀河・銀河レンズのパワースペクト

この失われたパワーを復元できることがわかる。 続ルに対して最尤法に基づいて window 効果を取り除く手法を開発した。そして、N 体シミュレーションから生成した擬似的な前景銀河分布・背景銀河形状の window 効果付きのデータに対して開発手法を適用し、約 5%以下の制度で window 効果を取り除いた
パワースペクトルを復元できることを示した。
今回用いたデータは、κ, γ1 , γ2 を擬似的に暗黒物質
分布から生成していたため、背景銀河の形状の歪みが前景銀河（ここではハロー）付近の暗黒物質分布のみの影響を受けているような状況であると言える。
図 5: halo-Emode についての、推定結果と真の値の比のプロット。

しかし、実際の背景銀河の形状は、視線方向上の暗黒物質分布全ての影響を受けているため、前景銀河付
近以外の暗黒物質の寄与がノイズとして現れる。その意味で、今回の結果は理想化された環境での検証であるといえる。現在、より現実の宇宙に近いデータでの検証を行うため、ray-tracing シミュレーションに基づく全天のシアー・ハローデータに対して本手法の適用を試みている。そしてその後、すばる HSC の銀河形状データと Sloan Digital Sky Survey(SDSS)の銀河分布データに対して手法を適用する見通しである。また、銀河・銀河レンズのバイスペクトルに対しても最尤法による推定法開発を行う予定である。

図 6: halo-Bmode の推定結果を、halo-Emode の真Referenceの値で割ったプロット。
いて、図 5 に本手法による推定結果を真なるパワー
スペクトルで割った結果を示す。どの波長においても比が 1 の周りに分布しており、およそ 5%以下程度の精度で本手法による復元がうまく機能していることがわかる。また、図 6 に halo-Bmode の推定結果
を、halo-Emode の真なるパワースペクトルで割った結果を示した。Bmode は 0 になるように場を作って

201

1.Oliver H.E. Philcox (2021).
Cosmology without window functions: Quadratic estimators for thegalaxy power spectrum , American Physical Society
2.Oliver H.E. Philcox (2021). Cosmology without
window functions. II. Cubic estimators for the galaxy
bispectrum , American Physical Society
3.Xiangchong Li et al (2023). Hyper Suprime-Cam
Year 3 Results: Cosmology from Cosmic Shear Twopoint Correlation Functions , American Physical Society

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重宇 b06

量子重力理論解明に向けた包括的なアプローチの実現
柏木

海翔

202

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

量子重力理論解明に向けた包括的なアプローチの実現
柏木 海翔 (九州大学大学院 量子宇宙物理理論研究室 M2)

Abstract
現代物理学では、量子重力理論として確立した理論は存在せず、重力が量子力学に従うか否かも不明である
ため、重力がどちらの立場をとるか、どのようなモデルに従うかを明確にすることが量子重力理論の解明に繋がる。本研究の目的は、モデルに依存しないアプローチの実現に向けて、２つの立場から提案されているモデルをまとめる理論的枠組みを構築することにある。そこで、そのような理論的枠組みとしてポアンカレ
対称性を持つ相対論的な Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad 方程式 (以降、GKSL 方程式) に基づく理論を構築した。しかしながら、先行研究では相互作用を持つ量子系を考慮していないという問題点があった。そこで、先行研究では相互作用の導入方法の目途として、相対論的散逸現象の開放量子系の理論による定式化について着目し、具体的なモデルを用いてそのダイナミクスを調べた。本発表では、得られた研究結果について紹介する。

1を導出し、この方程式に基づく枠組みを提供した [5]。

Introduction

しかし、この枠組みには問題点がある。それは、相現代において、重力と量子を統合した量子重力理論は未完成であり、重力の量子的性質を示す実験的証拠も報告されていない。そのため、重力が量子力学に従うか否かについても不明であり、次の２つの立場に分かれている。１つは「重力は量子力学に従う」とする立場であり、例えば量子化されたニュートン重力モデル [1] や摂動的量子重力理論 [2] などが提案されている。もう 1 つは、「重力は量子力学に従互作用を持つ量子系を考慮していない点である。これでは、重力相互作用を適用できず、目的の理論的枠組みの構築ができない。これを解決するためには、対称性を維持しながらの相互作用の導入方法が明ら
かにしなければならない。本研究では具体的な相対論的散逸現象を開放量子系のアプローチ (GKSL 方程式) で再定式化による相互作用項が満たすべき条件の導出を目指す。

わない」とする立場であり、Diósi-Penrose モデル[3] や Oppenheim モデル [4] などが代表的なモデルとして挙げられている。重力がどの立場の、どのモ2デルに従うかを明確にすることは、量子重力理論の解明に繋がると期待される。そこで、本研究ではモScattering theory and
GKSL equation

デルの詳細に依存しないアプローチの実現に向けて、

本来、GKSL 方程式は開放量子系1 の散逸ダイナミ

2 つの立場から提案されているモデルをまとめる理クスなどを記述する際にしばしば用いられる方程式

論的枠組みを構築することを目的とする。先行研究であり、以下のように与えられる:[]dρ(t) = −i M̂ , ρ(t) + D[ρ(t)]
dt
}]
∑[
1{ †
D[ρ(t)] =L̂λ ρ(t)L̂†λ −L̂λ L̂λ , ρ(t)2

では弱重力場の下で成立するポアンカレ対称性を持
つ相対論的な GKSL 方程式、d
ρ(t) = H[ρ(t)] + L[ρ(t)]
dt
[
]

(1)

(5)

λ

H[ρ(t)] = −i Ĥ, ρ(t)[∫D[ρ(t)] = d3 p â(p)ρ(t)â† (p)}1{ †−â (p)â(p), ρ(t)
2

(4)

(2)

ここで、ρ(t) は開放量子系の密度演算子、L̂λ は Lind-

blad 演算子と呼ばれ、環境との相互作用の影響を表す。以降では、(1) 式の右辺全体を GKSL 生成子と](3)1 量子力学で想定される孤立系は厳密には成立せず、実際には量子系は何らかな環境と相互作用をしている。このとき、この量子系を開放量子系と呼ぶ

203

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校呼ぶ。例えば、GKSL 方程式で記述される現象とし

記号 Re は演算子の実部4 を意味する。生成子が状態ては光子の散逸、自然放出などがある。これらの現発展を記述することを踏まえて、次のようなものを象は、非相対論的な量子系におけるものである。相定義する:

対論的領域においても、散逸現象は起こりうるもの

in
in
L[ρin
s ] ≡ S[ρs ] − ρs[]
= i ReT̂s0 , ρins][∫
1 { s† s in }s†−,ρ
+ dβ T̂sβ ρin
T̂
T̂
T̂
s
β
β β s
2
(8)

である。Neutral pion decay を例に考えてみよう。

Neutral pion は 2 つγの光子に崩壊していく。

γ

このとき、neutral pion
を開放系だと捉えると、そのダイナミクスは散π0逸ダイナミクスと考え

図 1: Neutral pion decay

ることができるかもしれない。その場合、このダイナミクスは GKSL 方程これにより、各散乱モデルにおいて、従来の散乱振幅の計算で ReT̂s0 と T̂sβ を計算することで、GKSL
生成子の具体的な表式を求めることが可能となった。

式で記述できる可能性がある。ここでは、これらの現象の記述によく使われる散乱理論の中に、GKSL
生成子が現れることを見ていく。
次のような散乱ダイナミクスを考えてみる:
[
]
in
†
S[ρin
]
=
Tr
Ŝρ
⊗
|0⟩
⟨0|
Ŝ
E
E
s
s
[ ∫ ∞
]
Ŝ = T exp −i
dtV̂I (t, x)3

Decaying particle model
前節では、散乱理論における GKSL 生成子の表式を求めた。ここでは、不安定スカラー粒子の崩壊過(6)程を用いて、生成子の具体的な表式を求めていく。この過程でのダイアグラムは次のように与えられる:−∞χ

ここで、赤色の文字は着目している量子系 (以降、着k1目系) の自由度、深緑色の文字は環境の自由度を表しpている。V̂I (t, x) は相互作用演算子であり、演算子 Ŝ

ϕは S 演算子2 と呼ばれ、散乱前の状態から散乱後の状態への状態発展を記述する。そのため、(6) の左辺は

k2

散乱後における着目系の状態だと言える。記法の簡

図 2: 不安定スカラー粒子の崩壊

便化のため、S 演算子を次のように書いておく。

Ŝ = Î + iT̂χ

このモデルにおいて、着目系はスカラー場 ϕ であ

(7)り、それぞれの質量は場 ϕ が µ、場 χ が m である。

表式 (6) は、次に定義された演算子及び環境での完

また、全系のハミルトニアンは以下のように与えら全性関係を用いて書き直すことができる:れる。

T̂sβ = E ⟨β|T̂|0⟩E(9)
Ĥtot = Ĥϕ ⊗ Îχ + Îϕ ⊗ Ĥχ + V̂I (x)
[
]
∫
(
)
2
1
Ĥϕ =
d3 x Π̂2ϕ (x) + ∇ϕ̂(x) + µ2 ϕ̂2 (x)
2
∫
[
]
1
2
Ĥχ =
d3 x Π̂2χ (x) + (∇χ̂(x)) + m2 χ̂2 (x)2∫V̂I (x) = −λ d3 x ϕ(x) ⊗ χ̂2 (x)T̂s0 = E ⟨0|T̂|0⟩E
∫

ÎE =

dβ |β⟩E ⟨β|

したがって、(7) とこれらの定義及び条件3 を用いると、
]
[
s
in
in
S[ρin
s ] = ρs + i ReT̂0 , ρs[]∫
以下で、このモデルにおける GKSL 生成子を求める。
1 { s† s in }s in s†+ dβ T̂β ρs T̂β −T̂β T̂β , ρs2
2Tは時間順序積を表している。
4 演算子 Â の実部は、ReÂ ≡ 1 (Â + Â† ) で与えられる。
2

3 他にも、S 演算子のユニタリー条件も用いている。

2042024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.1

作をすることで、有限の値にすることができる。すCalculation of T̂sβ

なわち、T̂sβ の定義は、着目系での完全性関係を用いて、次p′のように書き換えることができる:

T̂sβ = E ⟨β|T̂|0⟩E∫∫= E ⟨β|dα|α⟩S ⟨α|T̂
dᾱ|ᾱ⟩S ⟨ᾱ||0⟩E∫∫= dα dᾱ |α⟩SE ⟨β| ⊗ S ⟨α|T̂|ᾱ⟩S ⊗ |0⟩ES ⟨ᾱ|
(10)Sα0,ᾱ0

≈

p′
= 有限値

+
p

p

という風に、δm2 から来る相殺項によってループが引き起こす発散を打ち消すことができる。この繰り込みのパラメータを調整することで、この有限値をゼロにすることができる。したがって、演算子 T̂s0 は

ここに、このモデルにおける散乱振幅、無視することができるのである。

Sαβ,ᾱ0 ≡ E ⟨β| ⊗ S ⟨α|T̂|ᾱ⟩S ⊗ |0⟩Eが現れているのが分かる。これは、図 2 のダイアグ

4

ラムにおいてファインマン則を用いて計算ができる。
したがって、本モデルでの散乱振幅は、

iλ
Sαβ,ᾱ0 = − √δ 4 (k1 + k1 − p)
2 πωp Ek1 Ek2(11)となり、演算子 T̂sβ は、∫T̂sβ = −iλd3 p √
δ 4 (k1 + k1 − p)|0⟩S ⟨p|
2 πωp Ek1 Ek2(12)Result
これまでの結果をまとめると、このモデルにおける GKSL 生成子は次のようになる:√
2λ2 µ2in− m2 θ(µ2 − 4m2 )L[ρs ] =µ4∫ ∫ 3 3 ′d pd p 4√×δ (p − p′ )ωp ωp′
[
]
}
1{ †
†
in
× â(p)ρin
â
(p)
−
â
(p)â(p),
ρ
s
s
2
(13)
また、â(p) は以下のように定義している:となる。

â(p) ≡ |0⟩S ⟨p|

3.2

Calculation of T̂s0

表式 (13) を見ると、いくつかの特徴点がある。それを以下に列挙する。
√
2
µ2
2
2
2
の摂動を考えなければいけない。T̂sβ のときと同様、 1. 係数 2λµ4 − m θ(µ − 4m ) の意味
次に、T̂s0 の計算を見る。(8) と (12) より、2 次まで

定義を書き直すと、次のような散乱振幅が出てくる:係 数 の 中 に 現 れ る 階 段 関 数 θ(µ2 − 4m2 ) はµ2 − 4m2 < 0 だと 0 になる。これは、すなわ

Sα0,ᾱ0 ≡ E ⟨0| ⊗ S ⟨α|T̂|ᾱ⟩S ⊗ |0⟩E

ち、ϕ 場と χ 場の質量の関係が µ2 − 4m2 > 0 で

この散乱振幅の 2 次までの摂動を考える際は、不適切なものを除けば、大体次のようなダイアグラムを考えればよい:ないと崩壊が起きないことを意味している。

2. デルタ関数からの発散を含む
見ての通り、この生成子はエネルギーに関するデルタ関数 δ(0) により、発散が起きる。これは、

p′必ず崩壊が起きることを意味している (もちろ≈Sα0,ᾱ0ん、上の質量関係の下で)。それもそのはずで、今の場合、着目系のダイナミクスを無限大のタp

イムスケールで見ている。そのため、着目系の見て分かる通り、このダイアグラムは発散を起こす。

スカラー粒子がいずれ崩壊することは自然なこ

しかしながら、m → m + δm として繰り込みの操

とである。

2

2

2

205

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
3. ポアンカレ対称性を持つ

称性が満たされる演算子の形式が分かると期待され、
5(13) 式は、以下のポアンカレ対称性の条件式 を

それを先行研究の枠組みに定義として組み込むこと満たす:

で、相互作用も考慮できる枠組みを構築できると考

[

†
in †
Û(Λ, a)L[ρins ]Û (Λ, a) = L Û(Λ, a)ρs Û (Λ, a)]

えている。その暁には、今度は完成した枠組みからモデルに対してどのような制限が課されるかを調べ(14)ていきたいと思っている。

これはタイムスケールが無限大であることが原因となっている。相互作用のタイムケールは有限の値であるはずなので、時間に対するカット

Reference

オフを入れなければならない。カットオフ T を入れると、δ(0) → T と置き換わるので、ポアンカレ対称性は破れらることが分かる。しかしながら、もしそのタイムスケールが十分に長時間[1] S. Bose et al.,Phys. Rev. Lett. 119,240401(2017).
[2] J. F. Donoghue, Phys. Rev. D 50, 3874(1994).

なのであれば、(13) を用いた記述が十分有効に[3] D. Carney et al 2019 Class. Quantum Grav. 36

なるということである。

034001.

5[4] J. Oppenheim, Phys. Rev. X 13, 041040.

Summary and
Future Outlook

5.1[5] K. Kaito & A. Matsumura, Phys. Rev. A 109,
052214(2024).

Summary

今回、スカラー粒子の崩壊モデルから GKSL 生成
子 (13) を導出し、ポアンカレ対称性が満たされることを確認した。しかし、無限大のタイムスケールによりこの生成子は自明なダイナミクスしか引き起こさない。そのため、今後は非自明なダイナミクスからの生成子の導出を計画している。具体的には以下のような、スカラー場の対消滅過程を考える。

k1

k2

p1

p2

図 3: スカラー場の対消滅場が出会わないと対消滅は起きないので、非自明なダイナミクスが現れると予想している。

5.2

Future Outlook

本研究は、冒頭でも述べたように量子重力研究に対して応用できる可能性がある。本研究により、対5 Λ や a はそれぞれ Lorentz 変換と時空並進のパラメータで
ある。

206

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重宇 b07

The ways to quantum gravity
佐野

大志

207

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

静的球対称ブラックホールのシュレーディンガー対称性
佐野 大志 (早稲田大学理工学術院 先進理工学科)

Abstract
本発表では、重力の量子化を見据えた古典的な静的球対称ブラックホールの持つ対称性について近年の先行研究 [1,2] のレビューを行う。古典論において自由粒子や調和振動子型のポテンシャル持つ非相対論的な粒子
系は、過分な対称性としてシュレーディンガー対称性を持つ。量子化によってこの対称性は保存され、過分でない対称性となり、系の量子性を特徴づける対称性となる。静的真空球対称なブラックホールは古典レベル
でシュレーディンガー対称性を持つことを示す。粒子系からの類推から、この対称性は球対称ブラックホールの量子性の議論において重要な役割を果たすことが期待できる。

1

導入

剰な対称性であり、そのチャージ同士が独立とはならない。しかし、量子化でもこの対称性は保持され、今日の物理学における最大の謎の一つが重力の量過剰でない対称性となる。そのため、シュレーディ

子性である。量子重力理論は、時空をそのもののダ

ンガー対称性は理論の量子性を特徴づける対称性でイナミクスを考える一般相対性理論と量子論の融合あると考えられる。

であると予想されるが、理論的にでさえ量子重力理論の確立は困難である。

本集録では、非相対論的粒子系におけるシュレー
ディンガー対称性を、古典、量子それぞれで説明し一般相対性理論を特徴づける現象の一つとして、ブラックホールが存在する。ブラックホールは様々なた後、静的球対称ブラックホールがシュレーディン
ガー対称性を持つことを紹介する。

新しい物理の宝庫であると考えられ、重力の量子性も顕著になると考えられている他、熱力学第二法則
を満たすようなエントロピーを持つことが理論的に2予言されている。エントロピーの統計力学的な解釈

非相対論的古典系におけるシュレーディンガー対称性

としてのミクロ状態や、そこから如何にしてマクロな状態として時空が現れるかは未知であり、これら

本節では、非相対論的古典粒子系におけるシュレーは適切な量子重力理論によって説明されると考えら

ディンガー対称性に関して手短に述べ、それが過剰れている。

な対称性であることを述べる。d 次元非相対論的自具体的なミクロな状態がどのようなものであるかは、仮定するモデルに依るものの、このミクロな状態からマクロな状態が現れるという考え方は凝縮系の物理と同様のものであり、マクロな状態の物理は大域的対称性に支配された連続状態近似によって現れると予想される。そのため、ブラックホールの力
学と凝縮系の物理の間の対応関係について多くの研究がなされている [1,2]。
本発表では、静的球対称ブラックホールがシュレー

由粒子の作用は、以下のように表せる。
∫
mdtẋi ẋi
S=
2

(1)

ここで、m は粒子の質量であり、˙ は時間 t による微分を表し、i = 1, 2, · · · , d である。この系のハミル
トニアンは、xi の共役な運動量 pi = mẋi を用いて
1 i
H = 2mp pi と表わされる。物理量 O の時間変化は

ポアソン括弧を用いて、ディンガー対称性を持つことを紹介する。シュレー

dt O = {O, H} + ∂t O

ディンガー対称性は、調和振動子型のポテンシャルな(2)

どを持つ非相対論的粒子系が持つ対称性であり、共と表わされる。∂t は、xi , pi (i = 1, 2, · · · , d) に独立

形変換に対する対称性を含む。非相対論的粒子系にな偏微分である。上記の時間発展に対して、運動量

おいて、シュレーディンガー対称性は古典系では過208

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
pi 及び、以下で定義される bi , ji j はチャージとなる。 3(すなわち、dt O = 0。)

tb i = x i − pimjij = xi pj − xj pi

非相対論的量子力学におけるシュレーディンガー対称性

(3)
(4)

これらのチャージはそれぞれ d 個の空間並進、d 個のガリレイ変換、 21 d(d − 1) 個の空間回転に対応し、ポアソン括弧に対して以下のような関係を持つ。

本節では非相対論的量子力学においても、シュレーディンガー対称性が存在し、量子論においては古典論において独立でなかったチャージが独立となることを見る。前節同様に、非相対論的 d 次元自由粒子を考える。Ψ(x) とその複素共役 Ψ̄(x) を場の変数と{bi , bj } = {pi , pj } = 0, {bi , pj } = δij(5){jij , bk } = δik bj − δjk bi ,(6)

して作用は以下のように表される。
[
]
∫
ℏ2
d
i
S[Ψ, Ψ̄] = dtd x iℏΨ̄∂t Ψ −∂i Ψ̄∂ Ψ (15)2m{jij , pk } = δik pj − δjk pi ,(7)

この作用から以下のように自由粒子のシュレーディ

{jij , jkl }(8)ンガー方程式が得られる。

= δik jjl − δil jjk − δjk jil + δjl jik(9)これらに加えて、以下の q+ , q0 , q− も保存するチャージとなり、それぞれ時間並進、時間ディラテーショ
ン、特殊共形変換に対応する。

1
q+ = mH = pi pi ,2∂t Ψ =

以下では、この作用の正準量子化的な取り扱いを考える。正準共役な変数の組 Ψ, Ψ̄ に対して以下のポアソ(10){Ψ(x), Ψ̄(y)} =
H=−

ℏ2
2m

∫

1 (d)
δ (x − y),
iℏ

(17)

dd xΨ̄∂ i ∂i Ψ

(18)

これらを用いて、物理量の期待値の時間発展 O =∫ dd xΨ̄ÔΨ は古典論と同様に与えられる。

の Lie 代数を形成する。

dt O = {O, H} + ∂t O
{q+ , q− } = −2q0

(13)

これら q0 , q± と jij の間のポアソン括弧は 0 となるえられる。

dd xΨ̄xi Ψ∫Pi = −iℏ dd xΨ̄∂i Ψ∫
Jij = −iℏ dd xΨ̄(xi ∂j − xj ∂i )Ψ

ン括弧が作る代数が d 次元シュレーディンガー代数(14)

レーディンガー代数によって生み出される対称性がシュレーディンガー対称性である。ただし、古典論におい∫Xi =のが存在する。これら全てのチャージとそのポアソとなる。ここで、⊕s は半直積を意味する。このシュ(19)

位置、運動量、角運動量の期待値は以下のように与が、q0 , q± と bi , pj の間のポアソン括弧は 0 でないも

sh(d) = (sl(2, R) ⊕ so(d)) ⊕s (R ⊕ R)

(16)

ン括弧の関係及びハミルトニアン H が与えられる。

1q0 = xi pi − Ht,
(11)
2
t
t2
1
(12)
q − = x i x i − x i pi + H
2mm
これらの間の 0 でポアソン括弧は以下であり、sl(2, R){q0 , q± } = ±q± ,ℏ∂i ∂ i Ψ
2m

(20)
(21)
(22)

t
Pi は上記時間発展に対しPi , Jij 及び Bi := Xi − mて保存するチャージとなり、これらのポアソン括弧による関係は以下のようになる。

て系の自由度は 2d 個であるのに対して、これらチャー
ジの数は d 個 (pi の分)+d 個 (bi の分)+ 21 d(d − 1) 個

{Bi , Bj } = {Pi , Pj } = 0, {Bi , Pj } = δij n(23)(jij の分)+3 個 (q0 , q± の分) と明らかに過剰である。

{Jij , Bk } = δik Bj − δjk Bi ,(24)

実際、jij , q0 , 及び q± はいずれも bi , pi (及び、m, t) の{Jij , Pk } = δik Pj − δjk Pi ,(25)

{Jij , Jkl }(26)= δik Jjl − δil Jjk − δjk Jil + δjl Jik(27)

みから表現可能であり独立でない。しかし、量子論においてはこれらは独立となり、過剰でない系の対称性となることを次節で見る。

209

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校∫

dd xΨ̄Ψ である。同様に古典論におけ ン拘束と呼ばれる理論の時間 (ここでは、r 方向の座る q0 , q± の期待値に対応する Q0 , Q± も以下のよう 標のラベル) 付け替え不変性に対応する第一類拘束条
ここで、n :=

件が存在し、ラプス関数 N (r) がそのラグランジュ未に定義される。

Q+ = mH
1
D − Ht21
tt2
Q− = χ − D + H
2mm
ただし、D, χ は以下で定義される。
∫−iℏ
dd xΨ̄∂ i ∂i Ψ
D := −
2∫χ := dd xΨ̄xi xi Ψ
Q0 =

(28)
(29)
(30)

(31)

定乗数に相当する。この計量の下、アインシュタイ
ンヒルベルト作用 (一般相対性理論における重力の作用) の変分を考えればシュヴァルツシルト計量が得られる。
以下では、正準的な取り扱いを考える。N =√α/2β とゲージ固定すると、α, β に共役の運動量pα , pβ は以下のように得られる。
ϵClpα̇
(β α̇ − αβ̇), pβ = −ϵClp
(35)
α2
α
ここで、lp はプランク長である。また、C は以下の
pα =

(32)

これら Q0 , Q± も時間発展に対するチャージとなり、 ように定義される系の IR スケールと UV スケール
他のチャージとのポアソン括弧に対して古典論と同 の比に相当する定数である。
∫
4πls2 tf
様の関係を満たす。
C := 3dt(36)
lp t i故に、量子論においてもこれらチャージはシュレーディンガー代数を sh(d) を形成し、系はシュレーディ ゲージ固定後のハミルトニアン H は宇宙項が存在しンガー対称性を持つ。古典論との重要な相違点は、古典論の場合と異なり、これらチャージは独立であるということである。例えば、古典論では jij = bi pj −bj pi

ない場合、以下のようになる。
[
]
1
1
Clp
H=−
αpα pβ + βp2β − 2 ≈ 0
ϵClp
2
ls

(37)

となるが、量子論では Jij ̸= Bi Pj − Bj Pi となる。 これは、ハミルトニアン拘束によって 0 となるが、通これは、O は期待値であり、二つ量の積の期待値と常のハミルトニアンと同様にポアソン括弧を用いてそれぞれの期待値の積が異なる事実を反映しており、 r 方向の発展を以下のように記述することが出来る。

Ψ が場の変数であり本質的に無限の自由度を持つこ(ポアソン括弧を取った後に、拘束条件を用いると約とに起因している。

束する。)

dτ O = {O, H} + ∂τ O

(38)

ここで、τ はラプス関数 N (r) のゲージ固定によって静的球対称ブラックホールのシュ 選ばれた r 方向の座標である。チャージは d O = 04τ

レーディンガー対称性を満たす O として得られる。

本節では、一般相対性理論において真空の静的球
対称ブラックホールが 2 次元シュレーディンガー対称性を満たすことを手短に説明する。
静的球対称性時空の線要素は以下のように表される。

ds2 = ϵ(−N 2 (r)dr2 + γtt (r)dt2 ) + γθθ (r)dΩ2 (33)以下では、この系の持つチャージから対称性を考える。対称性を明確にするために変数を pα,β から取り換えて考える。
√
βτβpβ
P+ = αpα + √ , B+ = ϵ √ +P+ (39)
2 α
α ClP
√
√
τ
P− = αpβ , B− = 2ϵ α +
P−
(40)
ClP
J = ϵ(P+ B− − P− B+ ) = 2αpα(41)

ϵ = ±1 はブラックホール内外でそれぞれ+1,-1 を取

上記はいずれもチャージとなっており、以下の関係

る。ここで、を満たす。

γtt = 2β(r)/α(r), γθθ = ls2 α(r)(34)

とすれば、2 変数 α, β を持つ系として考えられる。

(ls は長さの次元を持った量) ただし、ハミルトニア

210{P+ , P− } = {B+ , B− } = 0,
{B± , P± } = 0,(42){B± , P∓ } = ϵ,(43)

{J, B± } = ±B± , {J, P± } = ±P± ,(44)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
また、Q0 , Q± を以下のように定義する。

Q+ = ClP H(45)

Q0 = D − τ H

(46)
2

τ
2τ
D+
H
ClP
ClP

Q− = −2ϵβ −(47)

ただし、D = (αpα + βpβ ) である。これらもまたチャージとなり、以下の関係を満たし sl(2, R) 代数を作る。

{Q0 , Q± } = ±Q± ,{Q+ , Q− } = −2Q0(48)

非相対論的粒子系の場合と同様に、Q0 , Q± と J の間のポアソン括弧は 0 であるが、Q0 , Q± と P± , B± の間には 0 でないポアソン括弧が存在する。
以上より、真空の静的球対称ブラックホールにおけるチャージは以下のシュレーディンガー代数を作る。

sh(2) = (sl(2, R) ⊕ so(1, 1)) ⊕s (R ⊕ R)

5

(49)

まとめと展望上記のように、一般相対性理論に静的球対称ブラックホールは二次元のシュレーディンガー対称性を持つ。この対称性は非相対論的粒子系において量子化によって保持され、量子論的性質を特徴づけるものであった。そのため、重力の量子化を考える場合にも鍵となる対称性であると考えられる。この結果を基に凝縮系の物理に習って重力の量子性を考えることは非常に興味深く、量子ブラックホールの興味深い特性を明らかにするかもしれない。

Reference[1] J. Ben Achour, E. R. Livine, D. Oriti, Phys.Rev.D
108 (2023) 10, 10[2] J. Ben Achour, E. R. Livine, D. Oriti, and G. Piani,
arXiv:2207.07312.

211

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重宇 b09銀河赤方偏移サーベイ BOSS の銀河パワースペクトルを用いた複数場インフレーションモデルの制限
中野

新太朗

212

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河赤方偏移サーベイ BOSS の銀河パワースペクトルを用いた複数場インフレーションモデルの制限
中野

新太朗 (東京大学大学院 理学系研究科 M2)

Abstract
インフレーションモデルの検証に有用な観測量として、場の揺らぎの Gauss 分布からのずれを表す「局所的原始非 Gauss
local
性（LPNG）」がある。fNL
は LPNG の大きさを表す重要なパラメータであり、単一場インフレーションのほとんどでは
local
local
local
fNL
< 1 となる一方、複数場インフレーションでは一般に fNL> 1 となる。従って、fNL> 1 が検出されれば、単一場インフレーションの多くを棄却できると同時に、複数場インフレーションのモデルに制限をかけることができる。

LPNG は密度揺らぎを通して銀河分布に影響を与え、銀河パワースペクトルにおいて波数の 4 乗に反比例する振る舞いを残す。すなわち、極めて大スケールにおいて LPNG の痕跡が残っているわけだが、観測に伴う系統誤差に埋もれてしまうという問題がある。特に、天の川銀河のダストの影響が大きく、角度方向に依存した大スケールの系統誤差として現れる。
本研究では、銀河パワースペクトルの計算に用いる銀河のペアを視線方向周りに限って行うことでこの効果を軽減することを試みる。またシミュレーションによる手法の正確性の評価についても報告する。

1[2] を応用し、BOSS の観測データに適用することを目標とイントロする。その準備段階として、宇宙論的シミュレーションの星や銀河、大規模構造から私達人類の存在まで、現在のデータを用いて手法の効果を確かめた。

宇宙に見られる多様な構造は、全てインフレーション理論

第 2 節では、非 Gauss 性があるとき銀河分布に生じるスが予言する原始揺らぎに起因すると考えられている [1]。でケール依存する補正項の導出を行う。次に第 3 節では、観は、インフレーションを起こした場の正体は何か？ この答

測データから測定した銀河分布から、視線方向に垂直な方えに迫る一つの鍵が、揺らぎの Gauss 性である。宇宙マイ向に変化する系統誤差の影響を取り除く Hand らの手法 [2]クロ波背景放射などの観測結果から、この原始揺らぎは非をレビューする。そして第 4 節では本研究で行なった計算

常に Gauss 分布 に近いことが分かっているが、僅かな非の概略を述べる。最後に第 5 節で結果と展望に触れる。

Gauss 性の存在は許されている。インフレーションを一つの場が起こす単一場モデルは整合性関係から O(1) 以上の揺らぎを作り出せない。一方で、インフレーションに関わる場が 2 つ以上ある複数場モデルには O(1) の揺らぎから

O(103 ) 程度の揺らぎまで作れるものもある。従って、観測

2

原始非 Gauss 性と銀河分布

2.1

局所的原始非 Gauss 性 (LPNG)

によって有意な Gauss 分布からのズレが検出できれば、直ちに単一場モデルを棄却することができ、そうでない場合

Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker 計量のスカラー
揺らぎを共形 Newton ゲージにおいて考える：

は得られた値によって複数場モデルの中からより相応しい

ds2 = a2 [−(1 + 2Ψ)dη 2 + δij (1 + 2Φ)dxi dxj ] (2.1)

ものを選ぶことができる。
一方で、大スケールに渡る銀河分布の特徴を捉えるには、
様々な観測的な困難がある。例えば、天の川銀河のダストなども同様に大スケールで変化し、観測される銀河数を方向ごとに変化させてしまう。その影響で、銀河パワースペ
クトルの解析では、極めて大スケールの情報は用いられていないのが現状である。そこで本研究では、Hand らが開発した角度方向に変化する系統誤差の影響を取り除く手法

このとき、Ψ が Newton 重力ポテンシャルに対応し、Φ はBardeen ポテンシャルと呼ばれる。また非等方ストレスが無視できるとき一般相対性理論では Φ = −Ψ であり、以降では代表して Φ を用いる。
インフレーションが作る揺らぎが非 Gauss 分布である場合を考え、改めて非 Gauss 分布な Bardeen ポテンシャルを213

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ΦNG と表記し、次のように展開する [3, 4, 5] ：モードと長波長モードのカップリングが生じ、短波長揺らぎのピークが長波長揺らぎによって 1 + 2fNL ϕl 倍に増幅さ
[
]
( )
local
ΦNG (x) = ϕG (x) + fNL
ϕG (x)2 − ⟨ϕ2G ⟩ + O ϕ3G (2.2)
れたことを意味する。結局、ハローの数密度揺らぎは√(1)2
δh,NG (x, η) = b1 (η)δl (x, η) + bϕ (η)fNL ϕl (x, η) (2.6)
ここで、ϕG は Gauss 分布の場で、 ⟨ϕ⟩ < 10−4 より ϕGの高次の項は十分に小さいため、Taylor 展開はすぐに収束す
localる。この 2 次の係数 fNL
が局所的原始非 Gauss 性（local

primodial non-Gaussianity; LPNG）である [6, 7]。第二項の ⟨ϕ2G ⟩ は 2 次までで ⟨ΦNG ⟩ = 0 を保証する。以下、localの添字は省略する。

となり、ポテンシャルに比例する項が加わる。ここで、bϕ =2δcr (b1 − 1) とおいた [10]。

2.4銀河分布の LPNG 補正項

上記の議論より銀河数密度揺らぎは

2.2

非 Gauss 分布 物質密度揺らぎ(1)δg(1) (x, η) = b1 (z)δm,G (x, η) + bϕ (η)fNL ϕG (x) (2.7)と書け、次節で定義する銀河パワースペクトルは][
2として、等密度時以降（ηeq ≪ ηini ）かつ super horizon で
b2ϕ fNL
2b1 bϕ fNL(11)
2+
Pgg (k) = b1 +Pmm (k) (2.8)
非線形成長が無視できる（kηini ≪ 1）時点での値を選び、
M(k)
M(k)2
時間の引数を省略し単に ΦNG (k) と表す。物質優勢期に入となる。上式の [•] 内が、LPNG によるスケール依存バイ
り十分時間が経ったとき、sub horizon のポテンシャルは線
アス（の 2 乗）であり、Gauss 分布（fNL = 0）の場合と比形成長の下で、べ、新たに M(k)−2 ∝ k −4 に比例する項が加わっている。
D+ (η)(1)
ΦNG (k)(2.3)
ΦNG (k, η) = T (k)a(η)
ここでは、ポテンシャル Φ の初期条件を定義する時刻 ηini

であり、D+ (η) は物質優勢期で a(η) に規格化された線形成長因子で、T (k) は遷移関数である。線形 Poisson 方程式は

3

系統誤差の影響3.1

銀河パワースペクトル(1)

δm,NG (k, η) = M(k, η)ΦNG (k)()
2 k 2 T (k)M(k, η) =D(η)+
3 Ωm0 H02

2.3

銀河パワースペクトルは、Fourier 空間での銀河数密度揺(2.4)

らぎの相関から定義される：⟨δg (k)δg (k′ )⟩ = (2π)3 δD (k + k′ )P (k)(3.1)

宇宙原理によれば、大域的に一様等方であるため、統計量

非 Gauss 分布 ハロー数密度揺らぎの銀河パワースペクトルは波数の大きさ k にしか依らない

物質の集まりであるハローは、揺らぎのピークに生じるはずである：P (k) = P (k)。しかし、一般には赤方偏移空と考えられる。そこで、Gauss 分布である ϕG を、背景を間変形や Alcock Pachynski 効果などの観測的効果により視担う長波長揺らぎ δl とピークを担う短波長揺らぎ δs に分線方向に関して非等方性が現れる：P (k) = P (k, µ)。さら解する（Peak-background split）[8]：ϕG = ϕl + ϕs 。これに、観測される銀河パワースペクトル P obs には、系統誤差を、式 (2.2) と Poisson 方程式に代入すると、∇2 Φ = Aδ とからの寄与が含まれる。視線方向に垂直な方向のクラスタ

して、次のように混合項が現れる [9]：リングにのみ影響する系統誤差を考えると、観測で得られ

δl = δG,l (1 + 2fNL ϕl ) + 2A−1 fNL ∇ϕl · ∇ϕlる銀河パワースペクトルは

P obs (k, µ) = P (k, µ) + P sys (k)δD (µ)δm = 2fNL (δG,s ϕl + δG,l ϕs ) + 4A−1 fNL ∇ϕl · ∇ϕs(3.2)(2.5) ここで、P (k, µ) は系統誤差がない場合の銀河パワースペク
トルであり、ここに興味のある宇宙論的情報が含まれていピーク付近では ∇ϕs = 0 であることなどを用いると、最終 る。今興味がある等方成分は、µ についての平均である：∫ 1
的に δs + δm ≃ δs (1 + 2fNL ϕl ) が得られる。すなわち、非P(k)=dµ P (k, µ)(3.3)
0Gauss 性が ϕ の非線形項として現れ、それにより短波長
δs = δG,s (1 + 2fNL ϕs ) + 2A−1 fNL ∇ϕs · ∇ϕs

G

0

214

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: ℓmax = 16 での R(µ) と non-uniform 図 2: 一辺が 2000 Mpc/h の box 内に生

図 3: Box シミュレーション（青）、系
binning。白と茶の各範囲では R(µ) の積分 成した系統誤差の場の、z = 0 Mpc/h の xy 統誤差の場（緑）およびそれらの和（橙）は 0 になり、左端の赤の範囲だけが 0 でな 平面でのスライス。大スケールの揺らぎは大 のそれぞれから測定した P̂0 。全て 25 個
きく、小スケールの揺らぎは小さい。
い。
の realization での平均。

3.2

系統誤差の漏れ出し

観測データから高速 Fourier 変換を用いて直ちに得られるのは、Legendre 展開の係数（多重極）である：∫
2ℓ + 1obs
dµ P obs (k, µ)Lℓ (µ)
P̂ℓ (k) =2
2ℓ + 1= Pℓ (k) + P sys (k)Lℓ (0)
2する系統誤差の寄与は R(µ) の積分に比例する：∫ 1(P̂0 (k) への系統誤差の寄与) ∝dµ R(µ) (3.7)µmin

つまり、この積分の値を最小にする、積分範囲の下限 µminを求めれば良い。幸い、関数 R(µ) の具体形は既知であり、(3.4)

グラフの概形は図 1 のように振動する。従って、ちょうど上振れと下振れの寄与が相殺するような µ の範囲の区切り方

ただし実際の解析では、計算時間が有限であるため ℓ =が存在し、これを non-uniform binning と呼ぶ。ℓmax = 16

0, 2, . . . , ℓmax に対する有限個の多重極しか得ることができの場合は全部で 9 個の bin が存在し、各 bin の端を µ0 =ない。これらを用いて元の P (k, µ) を推定すると、

0, µ1 , . . . , µ8 , µ9 = 1 とおくと、[µi , µi+1 ] (i = 1, . . . , 8) での R(µ) を積分値は 0 となる。

P̂ obs (k, µ) =ℓ∑maxP̂ℓobs (k)Lℓ (µ)

ℓ=0

=

ℓ∑
max

4
P̂ℓ (k)Lℓ (µ) − Psys(k)R(µ)(3.5)

本研究ではまず、AbacusSummit[11] の box simulation の

ℓ=0

)
(
ℓmax + 1
Lℓmax +1 (0)Lℓmax +1 (µ)R(µ) = −2µ

データを用いて、そこに角度方向にのみ変化する系統誤差(3.6)となる。すなわち、元々系統誤差の影響は µ = 0 のみに存在していたにも関わらず、観測データから推定した P̂ obs (k, µ)を与えた際に上記の方法を用いて解析した。
系統誤差としては、LPNG による銀河パワースペクトルへの寄与 (2.8) を想定し、次のような関数形を考える：には µ > 0 にも系統誤差の影響が現れてしまう。

3.3

Box simulation への実装

Psys (k⊥ ) ∝Non-uniform binning

式 (3.5) から明らかなように、P̂ obs (k, µ) を式 (3.3) に代入して得られる P̂0 (k) には、一般に 0 ではない系統誤差由

1
4 .
k⊥

上式を満たす系統誤差の場として、Fourier 空間で√δ sys (k) = 2πδD (k∥ ) Psys (k⊥ )eiϕk⊥

(4.1)

(4.2)

として生成し、その後 FFT により実空間の場とした（図 2）。

来の項が加わる。そこで、積分範囲から µ = 0 周りを除き、 ただし、z 軸を視線方向に選び、ϕk⊥ ∈ [0, 2π) はランダム
その影響を軽減することを考える。このとき、P̂ (k) に対 変数である。Box シミュレーションのみ、系統誤差の場の0

み、およびこれらの和から測定した、積分範囲 µ = [0, 1] でのパワースペクトルは図 3 に示した。

215

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図 4: 左が uniform bin、右が non-uniform bin における測定した P̂0 (k)。ラベルは P̂ obs (k, µ) の積分範囲。

5

結果・展望

[6] V. Assassi, D. Baumann, E. Pajer, Y. Welling andD. v. d. Woude, Journal of Cosmology and Astropar-

積分範囲の下限 µmin を変化させた際の銀河パワースペク

ticle Physics 2015, 024 ‒ 024 (2015).

トルの解析結果は図 4 のようになった。まず uniform bin-ning では、どの µmin に対しても、small k で元のパワーを復[7] V. Assassi, D. Baumann and F. Schmidt, Journal of

元することはできなかった。一方 non-uniform binning で

Cosmology and Astroparticle Physics 2015, 043 ‒は、確かに全ての µmin ̸= µ0 で系統誤差の影響を取り除く

043 (2015).

ことができた。特に、µ1 から µ3 では統計誤差によるふら[8] F. Schmidt, D. Jeong and V. Desjacques, Physical

つきも小さく、元の振幅を復元できている。

Review D 88 (2013).

現在、分光観測の領域・状況を模した光円錐状の模擬銀[9] T. Giannantonio and C. Porciani, Physical Review D

河データを作成した上で、視線方向を固定せず各銀河ペア

81 (2010).

ごとに定めた定式化の下で同様の測定を行っており、その後 BOSS の実データに対して行う予定である。

[10] A. Barreira, G. Cabass, F. Schmidt, A. Pillepich and
D. Nelson, Journal of Cosmology and Astroparticle
Physics 2020, 013 ‒ 013 (2020).

Reference[1] E. Komatsu et al., The Astrophysical Journal Sup-[11] N. A. Maksimova et al., Monthly Notices of the Royal

plement Series 180, 330 ‒ 376 (2009).
[2] N. Hand, Y. Li, Z. Slepian and U. Seljak, Journalof Cosmology and Astroparticle Physics 2017, 002 ‒
002 (2017).
[3] N. Dalal, O. Doré, D. Huterer and A. Shirokov, Physical Review D 77 (2008).
[4] P. McDonald, Physical Review D 78 (2008).
[5] V. Desjacques, D. Jeong and F. Schmidt, Physics
Reports 733, 1 ‒ 193 (2018).

216

Astronomical Society 508, 4017 ‒ 4037 (2021).

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重宇 b10リュードベリ原子を用いた高周波重力波の観測方法の
構築
谷口

217

彰

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

リュードベリ原子を用いた高周波重力波の観測方法の構築

谷口 彰 (九州大学大学院 理学府)

Abstract
高周波重力波には様々な天体や初期宇宙に関する情報が含まれていると期待されているが，高周波重力波の観測方法は未だ確立していない．このような背景から，私たちはリュードベリ原子を用いた高周波重力波
検出器を提案した [1]．リュードベリ原子を電磁誘導透明体 (EIT) というシステムとして用いると，電場を高感度で検出することができる．近年，この方法を発展させたスーパーヘテロダイン法が考案され，電場の検出感度が大幅に向上した．そこで，リュードベリ原子を用いたスーパーヘテロダイン法で，重力波が一定の磁場中に到来したときに発生する微弱な電場を検出できるかどうかを調べた．その結果，一例として，周

波数 26.4GHz，振幅約 10−20 程度の重力波を検出できることを見出した．また，この検出器は原子のエネル
ギー準位差や検出器の大きさを変更をすることで，幅広い周波数帯の重力波を検出することができることが判明した．本発表では，検出器の構成や重力波の検出方法を [1] に基づいて説明する．

1

Introduction

検出器の概要22015 年の KIGO/Virgo による重力波の初の直接検出により，近年の重力波天文学は著しく発展している．現在，地上の重力波干渉計は 1 Hz∼1 kHz を観測でき，将来宇宙に打ち上げ予定の重力波干渉計は2.1

重力波と磁場の相互作用

はじめに，重力波と磁場の相互作用によって電場が誘起されることを示す．ここでは，一様一定磁場

10−4 Hz ∼ 10−1 Hz 程度の重力波を観測できる．さら に重力波が入射する状況を考える．電磁場の作用は，
µν
µ ν
ν µ
に，パルサータイミングアレイは 10−9 Hz ∼ 10−6 Hz 電磁場テンソル F = ∂ A − ∂ A を用いて"#!の範囲を観測対象にできる．このように，1kHz より
1 µν
4 √S = d x −g − F Fµν(1)4も低周波領域の重力波の観測方法は非常に発展している．しかし，1kHz よりも高周波領域の重力波の観測方法は確立されていない．

高周波重力波には宇宙物理に関する豊富な情報が含まれていると期待されている．例えば，高周波重力波は原始ブラックホール連星から放出される．一般的に，天体起源のブラックホール連星からの重力波の最大周波数は 10kHz 程度である．一方で，原始ブラックホールは天体起源のブラックホールよりも軽い質量になり得るため、10kHz 以上の高周波重力波を放射できる．したがって，高周波重力波の検出
は原始ブラックホールの探索に有用である．

リュードベリ原子は，微弱な電場を測定する量子

センシングとして用いられる．近年，スーパーヘテ

ロダイン法という方法が考案され，電場の検出感度が大幅に向上した [2]．このような背景から，重力波と磁場の相互作用から生じる電場をリュードベリ原子を用いて測定すること，高周波重力波を検出できる可能性に注目した．

と書ける．作用 (1) に，4 次元ミンコフスキー時空からの摂動 hµν を考慮した計量

ds2 = (ηµν + hµν )dxµ dxν

(2)を代入して，ゲージ場 Aµ に関する変分を取ること

で，Maxwell 方程式
$
%
1 µν
µν
ν
αµ
µ
αν
∂ν F + ∂ν
hF + h α F − h α F= 0 (3)2が得られる．E i は重力波と一様一定磁場との相互作用によって生じるため，B i ∼ O(1), E i ∼ O(h) であることから，式 (3) は以下のように変形できる．

E i = εijk h0 j B k(4)

これは，重力波と磁場の相互作用から電場が生じることを表している．

218

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3
control laser&"

probe laser
&!

2.3

GWs
&#

Ω"

Ω#

Ω$

前節では，磁場が一定かつ一様であると考えて計算を進めてきた．したがって，式 (5) で表される重力

local laser&$

波を考えるためには局所慣性系を考える必要がある．

4

そこで，Fermi-Normal(FN) 座標を用いる．感度が2最大になるのは重力波が誘起するラビ振動が最も大Rabi oscillation1

きい場合である．これは，磁場に対して重力波が垂Ω!

直に入射するときに実現される．このとき，平均化

図 1: スーパーヘテロダイン法のエネルギー準位

2.2

Fermi-Normal 座標

されたラビ振動数 'Ωg $ はiF (%)'Ωg $ = |d(34) εijk 'h0 j $B k | = √ |d34 | hB
2

スーパーヘテロダイン法

リュードベリ原子は，スーパーヘテロダイン法と(6)となる．F (%) は Fermi-Normal 座標を導入したこと|1$ と |2$ のエネルギー順位差に対応する周波数 ωp をによる補正項であり，&'&'
π π 2 %2 − 3 Si(2π%) π 2π 2 %2 − 15 cos(2π%)
F (%) ≡+
2π%
8π 2 %2& 2 2'
π 2π % + 15 sin(2π%)+(7)
16π 3 %3

そして，プローブレーザーは周波数 Ωp ≡ |d12 · Ep |径 ( の比 % = (/λg = k(/(2π) である．

双極子モーメントである．興味深いことに，コント

では，図 2 に示すように F (%) が急激に減衰するため，と |3$ の間の周波数 Ωc ≡ |d23 ·Ec | のラビ振動は，|1$

方，短波長の重力波の場合，波長内のリュードベリ

して用いることで微弱な電場の測定に利用される [2].

スーパーヘテロダイン法では，4 準位系 (低いエネル
ギー状態 |1$, |2$ と 2 つのリュードベリ状態 |3$, |4$)を用意する (図 1)．状態 |1$ と |2$ の間の遷移は，状態持つプローブレーザー Ep cos (ωp t) によって実現する． である．ここで，% は，重力波の波長 λg とセルの半のラビ振動を誘起する．ここで，dij は |i$ と |j$ のロールレーザー Ec cos (ωc t) によって誘起される |2$と |2$ の間のラビ振動に干渉する．その結果，原子がプローブレーザーが透明になる (プローブレーザーが吸収されない) という現象が生じる．この現象を電磁誘導透明体 (EIT) という．さらに，スーパーヘテロダイン法ではローカルレーザー EL cos (ωL t) を用いて |3$ と |4$ の間にもラビ振動 ΩL ≡ |d34 · EL | を誘起

F (%) の振る舞いを図 2 に示した．長波長の重力波

重力波に対する検出器の感度が著しく低下する．一原子の数は体積 %−3 に比例して減少するため，感度が減少する．その結果，検出器の感度は % = 0.7 で最大になる．これは，観測目標にする重力波の波長と同等の大きさのセルを設置することで，重力波の感度が最大になることを意味している．

する．ここで，重力波がリュードベリ原子に到達したとする．4 準位のリュードベリ原子が存在する領域に

5

一様一定の磁場をかけると，重力波と磁場の相互作

F(ϵ) / ϵ34

用によって，周波数 ωg の微弱な電場が発生する．この電場は，|3$ と |4$ の間にラビ振動 Ωg ≡ |d34 · Eg |を誘起する．式 (4) より，重力波で誘起されるラビ振

3
2
1

動は，

0
0.0

i ijk 0Ωg = |d34 · E| = |d34 εkh jB |(5)である．ただし，Ωg & ΩL である. このラビ振動によってプローブレーザー吸収率が変化する．この変化を測定することで，重力波の到来を検知すること
ができる．

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ϵ

図 2: Fermi-Normal 座標を導入したことによる補正項の振る舞い．F (!)/!3 の ! = "/λg = k"/(2π) = ωg "/(2π)
依存性のプロットである．! ∼ 0.7 程度で感度が最大になる．これは，観測目標にする重力波の波長と同等の大きさのセルを設置することで，重力波の感度が最大になることを意味している．

219

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

感度の評価

3

この章では, 本検出器の感度を評価する．重力波の到来は，プローブレーザーに変化の吸収率に変化を与える．そして，プローブレーザーの吸収率は，4 準位系の密度演算子で表される複素感受率の虚部に比例する [3]. これらの関係について簡単に説明をした
後，感度の評価を行う．

)*
ˆ演算子を ρ(t) とすると，P (t) = N Tr dρ(t)と表される．これらを式 (13) と組み合わせることによって，)*ˆP (t) = N Tr dρ(t)= N d12 ρ21 (t) + c.c. (14)となる．さらに，P (t) の Fourier 変換を P̃ (ωp ) として，分極を Fourier モードで表すと，P (t) = P̃ (ωp )e−iωp t + c.c.

(15)複素感受率と密度演算子の関係

よって，式 (14) と式 (15) を組み合わせることで，率に比例していることを示す．以下の式で表されるを得る．また，E(t) のフーリエ変換を Ẽ(ωp ) として

3.1

はじめに，プローブレーザーの吸収率が複素感受P̃ (ωp ) = N d12 ρ21 (t)eiωp t(16)

ような，z 軸に沿って進む振幅 E0 の電場を考える． 電場 E(t) = Ep cos (ωp t) も Fourier モードで表すと，E(z, t) = E0 exp(ikz − iωt)(8)ε(ω, k) = 1 + χ(ω, k)(9)

また，複素誘電率は，と表される．ここで，χ(ω, k) は線形感受率であり|χ| & 1 である．屈折率 n(ω) と減衰係数 κ(ω) を用(いて ε(k, ω) を実部と虚部に分けると，(kε(k, ω) = ≡ n(ω) + iκ(ω)ω(10)

E(z, t) = E0 ei(ω n(ω)z−ωt) e−ωκ(ω)z(11)と書けるので，電場の表式が以下のようになる．

1
Ep e−iωp t + c.c. (17)2と表される．ここで，2 行目の変形には，cos (ωp t) ='& iω te p + e−iωp t /2 を用いている．複素感受率はE(t) = Ẽ(ωp )e−iωp t + c.c. =P̃ (ωp ) = χ(ωp )Ẽ(ωp )で定義されるので，式 (16), (17), (18) より, 感受率と密度演算子が以下の関係を満たすことが分かる．

χ(ωp ) =3.2

したがって，κ(ω) は電場の吸収率を表していることが分かる．次に，複素感受率も実部 χ" と χ"" に分け(18)

2N |d12 |2
ρ21 (t)eiωp t
Ωp

(19)

マスター方程式

リュードベリ原子の 4 準位系のハミルトニアンは，

以下のように表される．

Ĥ = ∆p |2$ '2| + (∆p + ∆c ) |3$ '3| + (∆p + ∆c + ∆L ) |4$ '4|"#て表したもの χ ≡ χ + iχ を式 (9) と式 (10) に代入ΩpΩcΩL + Ωg e−iδg t−|2$ '1| +|3$ '2| +|3$ '4| + h.c. (20)222することで，"

κ(ω) =

""

χ""
2

(12)

を得る．これは，吸収率が複素感受率の虚部に比例

ここで，∆p , ∆c , ∆L , and δg は離調 (detuning) と呼ばれる量で，以下のように定義される．

していることを意味している．

∆p≡(ε2 − ε1 ) − ωp

(21)

∆c

(ε3 − ε2 ) − ωc(22)

ネルギー準位 |1$ と |2$ の 2 準位系に注目する．双極子モーメント演算子 dˆ12 は，

≡

∆L

≡

ωL − (ε3 − ε4 )

(23)

δg

≡

ωg − ωL(24)

次に，感受率と密度演算子の関係を導出する． エ

dˆ12

=

d12 |1$ '2| + d21 |2$ '1|(13)

全系の密度演算子 ρ̃ に対する Lindblad 方程式はと表される．ここで，d12 は双極子モーメントである．半古典論では，プローブレーザー Ep cos (ωp t) によって誘起される分極 P は，原子数密度を N ，密度220dρ̃ = −i[Ĥ, ρ̃]
dt
"
-#
+
1, †
†
+
γk Ôk ρ̃Ôk −Ôk Ôk , ρ̃ (25)2k=2,3,4

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられ，Ôk = |1$ 'k| は |k$ から |1$ への自然崩となり，周波数 26.4GHz, 振幅約 10−20 の重力波をることで，のエネルギー差，および，リュードベリ原子を入れIm χ = 2N |d12 |2 κ0 + 2N |d12 |2 κ1 Ωg cos(δg t) (26)

対応させて変更することで，周波数が約 2GHz∼ 約

壊を表す演算子であり，崩壊率を γk で表している． 観測することが可能であることが分かった．さらに，マスター方程式 (25) を解き，関係式 (19) に代入す 26.4GHz 以外の重力波も，エネルギー準位 |3$ と |4$を得る．ここで，κ0 , κ1 は，ラビ振動数 Ω, 離調 ∆,崩壊率 γ に依存する定数である．透過してきたプ

ローブレーザーのパワーは，P (t) = |E (z, t) |2 =ているセルの大きさを，観測目標の重力波の波長に100GHz の重力波を観測目標にすることが可能である．

まとめ

Pi e−ωp L Im χ を用いて計算できる．ここで，Pi (=4

L はリュードベリ原子が入っているセルのサイズで力波を検出器できる可能性を調べた．本検出器は，重に，式 (26) を代入して P (t) を計算すれば，ベリ原子を用いたスーパーヘテロダイン法で測定す|E0 |2 ) はプローブレーザーの入力時のパワーであり，ある．したがって，z = L とおいた式 (11) と式 (12)P (t) = P0 + 2P0 N |d12 |2 ωp Lκ1 Ωg cos(δg t)(27)となる．ここで，P0 ≡ Pi e−ωp L2N |d12 | κ0 である.
2

ここで，式 (27) において第 2 項目の振動項が第 1

項目の定常項と同等のときに重力波を検出できると考えられるため，以下の条件を課すことができる．

2N |d12 |2 ωp L|κ1 |Ωg = 1(28)

ここに，式 (6) を代入することで，検出可能な重力波の最小振幅を評価できる．

3.3

本研究では，リュードベリ原子を用いて高周波重力波と磁場の相互作用から生じる電場を，リュード
る．この感度を評価したところ，一例として，周波数 26.4GHz，振幅約 10−20 の重力波を検出できることを見出した．また，この検出器の利点は，エネル

ギー準位 |3$ と |4$ のエネルギー差，および，リュー
ドベリ原子を入れているセルのサイズを変更することで，約 2GHz∼ 約 100GHz の範囲の幅広い周波数の重力波を観測目標にすることができる点である．

謝辞

本講演は，指導教員の菅野優美准教授と，神戸大学の早田次郎教授との共同研究に基づくものです．日々測定可能な重力波の最小振幅測定可能な重力波の最小振幅を評価する．リュード

ベリ原子にルビジウムを用いて，4 準位を |1$ : 5S1/2 ,|2$ : 5P3/2 , |3$ : 59P3/2 , and |4$ : 57D5/2 にとる．この場合，双極子モーメントとエネルギー準
位差は，|d12 | = 5.158ea0 , ε2 − ε1 = 384 THz,の議論を通して多大なご指導を頂いていることに，感謝を申し上げます．

Reference|d34 | = 2416ea0 , ε3 − ε4 = 26.4 GHz である．ここで，e は電気素量，a0 はボーア半径である．原子数密度 N は，[4] によると，N ∼ 1.6 × 1014 cm−3 まで大きくすることが可能である．以上のパラメータを用いて感度を計算すると，
$
%$
%$
%
1.91
10 T
2416 ea0−20
h = 5.7 × 10
F (%)
Bz
|d34 |
$
%2 $
%
14
−3
5.158 ea0
1.6 × 10 cm
×|d12 |
N$%$%$%
384 THz
10 cm
0.042 MHz−2
×
(29)
ωp
L
|κ1 |

221

[1] K. Sugumi, J. Soda, and A. Taniguchi, arXiv
preprint arXiv:2311.03890 (2023).
[2] Mingyong Jing et al. In: Nature Physics 16.9,
911- 915, (2020)[3] Marlan O. Scully and M. Suhail Zubairy.
”Quantum optics” Cambridge university press,(1997)[4] Harald Kübler et al. In: Nature Photonics 4.2,
112-116, (2010)

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重宇 b11

重力波波源の自己相関角度パワースペクトルとレンズ
収束場の関係とその観測可能性
中馬

史博

222

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波源の自己相関角度パワースペクトルとレンズ収束場の関係とその観測可能性
中馬 史博 (千葉大学大学院 融合理工学府先進理化学専攻物理学コース)

Abstract連星ブラックホールの合体から放射される重力波は非常に強力な標準音源である。しかし、その宇宙論への応用に重要な重力波源の赤方偏移は測定が難しいことがわかっており、重力波を十分活用するには、赤方偏移を使わない手法の開発が求められる。本研究では、重力波源の自己相関角度パワースペクトルとレンズ収束場の関係を明らかにするとともに、その関係から赤方偏移の情報なしにレンズ収束場の分散を導く手法を開発した。今回はその手法の提案と観測可能性について議論する。

1

れた光度距離は波源から観測点までの重力レンズ効

Introduction

果でばらつく。このことから、連星ブラックホール

GW150914 の観測以降、重力波観測技術は発展し、宇宙論への重力波観測の応用が盛んに行われるようになった。期待される応用の一つにレンズ収束場の分
散 ⟨κ2 ⟩ の測定がある。レンズ収束場の分散 ⟨κ2 ⟩ は、
例えば原始ブラックホールの存在量 (Zumalacárregui& Seljak 2018) やニュートリノの質量 ( Hada & Futamase 2014)、小スケールの宇宙論的密度パワース
ペクト ル (Ben-Dayan & Takahashi 2015) 等の制限に有効であり、レンズ収束場の分散からは豊富な宇宙論的情報を得ることができる。先行研究で、Ia 型超新星の観測から距離と赤方偏移の関係を求め、距離のばらつきからレンズ収束場の分散を得ていた。しかし、Ia 型超新星は優れた標準光源であるが、その光度進化が予期しない系統誤差を生む可能性があり、Ia 型超新星とは独立な手法による相補的な観測も重要である。有望なものに、連星ブラックホールがイン
スパイラル期に放射する重力波を用いる手法がある。
インスパイラル期とはブラックホール同士がお互いに公転運動しながら重力波を放射する段階で、この段階の波形は一般相対論で精度よく予測できる。こ
の予測された波形と観測データとの相関をとり重力波の信号を抽出できる。重力波形の解析からは理論
的には 1% 以下の精度で、電磁波観測とは独立に光の赤方偏移が重力波観測から得られれば、Ia 型超新星と同様の手法から、レンズ収束場の分散が得られ、宇宙論への応用ができると期待された。
しかし、現在まで連星ブラックホールの重力波観測で赤方偏移が同定された例はない。これは、1) 重力波形から赤方偏移を得るのが困難、2) 赤方偏移の同定に必要な、合体に伴う電磁波放出は稀な現象、3)
重力波観測器は到来方向の決定精度が悪く、母銀河の特定に大規模な追観測が必要、であることが原因である。そのため、 連星ブラックホールの重力波から宇宙論的情報を得るには、赤方偏移を使わない手法の開拓が必要となる (Oguri 2015)。
今回、連星ブラックホールから放射される重力波を用い、赤方偏移の情報は使わずに、レンズ収束場の分散を推定する手法を提案する。本研究では、理論的に連星ブラックホールの自己相関角度パワース
ペクトルにレンズ収束場の分散を組み込み (§2)、両者の関係を導いた (§3.1)、さらに、信号対雑音比を調べ、連星ブラックホールの自己相関角度パワース
ペクトルが観測可能であることがわかった (§3.2)。
この関係から、観測で得られた重力波源の自己相関
角度パワースペクトルからレンズ収束場の分散を得ることができる。

度距離を測定できる (Holz & Hughes 2015)。また、

Ia 型超新星では探査できない高赤方偏移まで探査が行えることが特長である。
重力波は他の電磁波と同様に重力レンズ効果を受け波形が変化する。したがって、重力波形から得ら223

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、d2 V /dΩdz = χ2 (dχ/dz) = χ2 /H(z) である

2

Methods2.1

重力波源の自己相関角度パワースペク ビン分けをする選択関数である。この選択関数 Si (z)
トル
は、

2.1.1

重力波源までの光度距離ことに注意する。Si (z) は Dmin,i < Di < Dmax,i のS(z) =

重力波源の分布は光度距離によって構成される。この光度距離には、観測誤差に加えて、弱い重力レン
ズ効果によるばらつきを伴う。そこで、標準理論のもと、一様等方宇宙でロバートソン・ウォーカー計量から計算される光度距離 D̄(z)、 標準理論に重力レンズに効果を考慮した光度距離 D(θ, z)、重力波観測から得られた光度距離 Dobs とすると、重力波源のと相補誤差関数 erfc (x) で表される。確率変数を
1 2 1 21
κ+ κ + γx(Dobs ) ≃ x̄ + √2
2
2σln D √と近似し、δx = κ + 21 κ2 + 12 γ 2 / 2σln D が十分小
さいとして、x̄ の周りで選択関数 Si (z) を Taylor 展開すると分布は次のよう表すことができる。

p (Dobs | D) = √12πσln D Dobs

1
(erfc {x (Dmin )} − erfc {x (Dmax )})
2



γ2
κ2
Si (z) = S̄i (z) + Ti (z) κ +++ Ui (z)κ222exp −x2 (Dobs )ただし、簡単のため重力波源の分布には対数正規分

ただし、

erfc {x̄ (Dmin ,i )} − erfc {x̄ (Dmax ,i )}2
 2
ln Dobs − ln D
−
exp
−x
(D
) + exp −x2 (Dmax,i )min,i√x (Dobs ) ≡√Ti (z) ≡2σln D
2πσln D
1である。分散 σln D は、重力波観測の観測誤差や、コ Ui (z) ≡ √ 2
x̄ (Dmin ,i ) exp −x̄2 (Dmin,i )2 πσln D
ンパクト天体の質量や系の傾きなどのパラメータと光
 2

−x̄
(D
)
exp
−x̄
(D
)
max,i
max,i
度距離との縮退など、様々な影響による誤差を含む。

布を仮定した。ここで、確率変数 x(Dobs ) はS̄i (z) ≡解析において σln D は、Einstein Telescope といった
次世代重力波観測器を想定する。
標準理論に重力レンズ効果を考慮した光度距離

D(θ, z) はロバートソン・ウォーカー計量から計算さここで、i 番目のビンにおける重力波源の平均角度数
密度 nw
i は、

Z ∞

χ2 
Si (z) − Ti (z)⟨κ2 ⟩H(z)0ṅGW (z)+Ui (z)⟨κ2 ⟩ Tobs
1+z

れる光度距離 D̄(z) と、重力レンズ効果の増光率 µ を

n̄w
i =

収束場 κ, シア場 γ で２次まで展開して近似的に

p√
D = D̄/ µ ≃ D̄/ 1 + 2κ + 3κ2 + γ 2dz

ただし、ray-tracing simulation から得られる ⟨κ⟩ =と表される。

−2⟨κ2 ⟩,⟨γ 2 ⟩ = ⟨κ2 ⟩ の関係を用いた (Takahashi, et2.1.2

重力波源の 3 次元数密度場の 2 次元天球面上への射影

al. 2015)。Tobs は観測期間。(1 + z)−1 は、ある赤方偏移 z の宇宙の観測では、当時よりも宇宙膨張で時間が引き伸ばされることを考慮している。連星ブ

重力波源の 3 次元数密度 nGW (θ, z) を視線方向に沿って光度距離によるビン Dmin,i < Di < Dmax,i に区切り、2 次元天球面上に射影する。i 番目のビンのラックホールの合体率は近傍宇宙で ṅGW ∼ 10−6 −10−8 h3 Mpc−3 yr−1 と見積もられ、高赤方偏移では、合体率は高くなることが観測からわかっている。以

重力波源の角度数密度を nw
i (θ) とすると

nw
i (θ) =

Z ∞
dz
0

χ2
Si (z)nGW (θ, z)
H(z)

224

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
上から、重力波源の数密度の揺らぎ δi2D,w (θ) は、Z ∞δi2D,w (θ) =dz [Wis (z)δGW (θ, z)
0


κ2
γ2
+Wit (z) κ +++ ⟨κ2 ⟩
2
2


2
κ
γ2
+Wit (z)δGW κ +
+
2
2

u
2
u
+Wi (z)δGW κ + Wi (z)(κ2 − ⟨κ2 ⟩)3

今回得られた重力波源の自己相関角度パワースペク
トルとレンズ収束場の分散の関係と重力波源の自己相
関角度パワースペクトルの信号対雑音比 S/N を示す。
計算設定は次のとおりである。z の範囲 : [2.0, 3.0] ;観測誤差 :σln D = 0.05 ; BBH の合体率 : ṅGW =1.0 × 10−5 h3 Mpc−3 yr−1 ; 観測時間 : Tobs = 5 yr
; 線形バイアス : bGW = 1.5 ; レンズ収束場の分散

ただし、: ⟨κ2 ⟩ = 3.6 × 10−3 。合体率は簡単のため定数とし
1 χ2n̄GW (z)Si (z)n̄w
i H(z)1 χ2
Wit (z) ≡ w
n̄GW (z)Ti (z)n̄i H(z)1 χ2Wiu (z) ≡ w
n̄GW (z)Ui (z)n̄i H(z)た。線形バイアスの赤方偏移依存性は未だ未解明なWis (z) ≡部分が多い。線形バイアス bGW も簡単のため定数とし、赤方偏移依存性は考慮していない。

3.1

重力波源の自己相関角度パワースペクトルは、そのDE定義式である δi2D,w δi2D,w = δll′ δmm′ C ww (ℓ) から

C
ss

ww

Results

ss

st

st

tt

C (l) =
0

C (l) = −2stH(z)dzWis (z)2 2 b2GW Pm

Z ∞
0

χ



ℓ + 1/2,zχ

1 のような重力波源の自己相関角度パワースペクトル Cℓww とレンズ収束場の分散 ⟨κ2 ⟩ の間に反相関の関係があることがわかった。この反相関の関係を用

dzWis (z)Wit (z)

初めに、今回得られた自己相関角度パワースペク
トルとレンズ収束場の関係を示す。本研究により、図(ℓ) = C (ℓ) + C (ℓ) + C (ℓ) + C (ℓ)
Z ∞

自己相関角度パワースペクトルとレンズ収束場の分散の関係

いれば、重力波源の観測から得られる自己相関角度

パワースペクトルからレンズ収束場の分散を求める
H(z) 2ℓ + 1/2
2
b
P
,
z
⟨κ(z,
θ)
⟩
m
GW
ことができると考えられる。ただし、⟨κ2 ⟩ が大きく
χ2
χZ ∞なり、観測誤差が小さくなると、レンズ収束場の展
C su (l) = 2
dz Wis (z)Wiu (z)開で得られた近似式の破綻が見られる。
0
H(z) 2ℓ + 1/2
2
×b Pm, z ⟨κ(z, θ) ⟩
χ2 GW
χ


Z ∞ 
ℓ + 1/2
2 H(z) 2b
P,z
C tt (l) =dz Wit (z)
m
χ2 GW
χ
0
Z z
′′
H(z )
×
dz ′′ W κ (z ′′ ; z) W κ (z ′′ ; z) ′′2
χ0ℓ + 1/2 ′′
×Pm
,z
χ′′
Z ∞ Z ∞Z min(z,z ′ )
′
t
t ′
+
dz
dz Wi (z)Wi (z )
dz ′′
0
0
0


′′
ℓ + 1/2 ′′κ′′
κ ′′ ′ H(z ),z× W (z ; z) W (z ; z ) ′′2 Pmχχ′′
図 1: 重力波源の自己相関角度パワースペクトルとレンズ

×

ここで、レンズ収束場 κ(θ, z) は物質密度場 ρ̄m (z) の
視線方向の積分で次のように表せられることを用いた
Z zρ̄m (z ′ )dz ′κ(θ, z) =δm (θ, z ′ )H (z ′ ) (1 + z ′ ) Σcrit (z ′ ; z)0Z z≡dz ′ W κ (z ′ ; z) δm (θ, z ′ )収束場の分散の関係。両者の間には反相関の関係がある。
観測誤差を小さくすると自己相関角度パワースペクトルの値は増加する。ただし、観測誤差が小さくなると近似の破綻が現れやすくなる。ℓ = 100 の時の結果である。

0225

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.2

信号対雑音比 S/N

4Conclusion

次に重力波源の自己相関角度パワースペクトルのレンズ収束場の分散は宇宙論的情報を豊富に持つ。

信号対雑音比 S/N を示す。自己相関角度パワースペ

この観測に連星ブラックホールが利用できると以前

クトルの共分散はから期待されていた。連星ブラックホールの重力波は2
σ ∼ Cov = δℓℓ′
2ℓ + 1
2

Cℓww +1

2

光度距離を直接導くことができ、系統誤差が少ない。
また、重力波は遠方宇宙の観測にも有効であるため、n̄GW

非常に優れた標準音源である。本研究では重力波観である。S/N は測の宇宙論への応用の一貫として、重力波観測から

v
uℓmax
u X C ww 2ℓ
S/N ≡ tCov

レンズ収束場の分散を得る手法を開発した。この手法で重要なのは、赤方偏移の情報を使用しない点である。コンパクト連星合体による重力波、特に連星ℓ

信号対雑音比 S/N を計算するにあたり、ℓ ビンの設定をする。そのビン幅は ∆ℓ = 1.0 とした。図 2 ようになる。重力波源の天球面上の数密度 n̄GW (Ω−1 )は n̄GW ∼ 104 であり、この逆数が重力波源の有限性によって生じるショットノイズである。したがって、

Cℓww ≃ 10−7 ∼ 10−6 ≪ 1/n̄GW ∼ 10−4 であるから共分散はショットノイズに支配される。この時、S/N
はブラックホールの重力波観測によって赤方偏移を同定するのは難しいことが明らかとなっており、連星
ブラックホールによる重力波を宇宙論に十分応用するためには赤方偏移に頼らない手法の開発が必要である。我々は重力波から得られる光度距離が重力レンズ効果で変化することに注目し、重力波源の自己相関角度パワースペクトルとレンズ収束場には反相関の関係があること、自己相関角度パワースペクト
ルの S/N を調べることで、想定される環境で観測が

v
uℓmax
uX
ℓn̄2
S/N ≃ t可能であることを明らかにした。

ww 2
GW Cℓ

ℓ

となり、ℓ が増加するにつれて、S/N は増加するが、 Acknowledgment
増加率は減少する傾向が見られる。したがって、ショッ
トノイズの影響が大きいが、重力波源の自己相関角度パワースペクトルは観測可能であるとわかる。

指導教官である千葉大学先進科学センター教授・大栗真宗先生には指導教員として本研究の実施の機会を与えて戴き，その遂行にあたり終始ご指導を戴いた。この場を借りて深謝の意を表する。重ねて、本専攻宇宙論研究室の各位にはこれまで貴重な助言を戴いた、ここに感謝の意を表する．

Reference[1] M. Zumalacárregui and U.Seljak, Physical Review
Letters, Volume 121, Issue 14, id.141101(2018)[2] R. Hada, T. Futamase, The Astrophysical Journal,
Volume 828, Issue 2, article id. 112, 8 pp. (2016).
[3] I.Ben-Dayan and R.Takahashi, Monthly Notices of
the Royal Astronomical Society, Volume 455, Issue 1,
p.552-562(2016)

図 2: 重力波源の自己相関角度パワースペクトルの SNR。 [4] D.Holz and S.Hughes, The Astrophysical Journal,
ショットノイズの影響で ℓ が増加すると増加率が下がる傾向がある。

Volume 629, Issue 1, pp. 15-22(2005)[5] M.Oguri, Physical Review D, Volume 93, Issue 8,083511(2016)[6] R.Takahashi, et al.: The Astrophysical Journal, Volume 742, Issue 1, article id. 15, 15 pp. (2011)

226

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重宇 c01

PTA（Pulsar timing array）による SGWB（Stochastic
Gravitational Wave Background）の検出と SMBHB（Supermassive Black Hole Binary）の影響
山本

227

峻

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

PTA における半球平均の角度相関曲線を用いた GW 飛来方向の推定
山本 峻 (弘前大学大学院 理工学研究科)

Abstract
本収録は Sasaki, Yamauchi,Ymamoto ＆ Asada 2024, Phys. Rev. D 109, 024023, 2024 に基づいて書かれている。この研究では、パルサータイ ミングアレイ (PTA) 観測によって得られるパルサーの開き角の角度相関曲線を用いて、巨大ブラックホール連星（SMBHB）から飛来する重力波の方向を推定する手法について調べた。角度相関曲線を得る際には、これまでの全方向に分布したパルサーについて平均を取るのではなく、半球での平均を取る手法を用いた。

源の天球上の位置にある場合のみであることを示す。

1 Introduction

第 4 章は結論である。本収録では、a と b のラベル

数十年前に、重力波（GW）の探索にパルサーを利は 2 つのパルサーをペアとして示す。

用するというアイデアが提案された。特に、Hellings

2 Methodと Downs（HD）は、天球上で平均化されたパルサー
ペアの角度相関パターンが、GW の証拠となりうる

2.1

座標系と全天平均ことを指摘した。そして昨年、複数のパルサータイ

座標系（x、y、z）において z 方向にあると仮定しミングアレイ（PTA）チームがナノヘルツの重力波

た GW 源を考える。(GW 方向座標系（x、y、z）にの存在を報告した。彼らの結果によると、超巨大ブ

ついては図 1 を参照。)a 番目のパルサーのタイミン

ラックホール連星（SMBHB）の重力波の重ね合わせ

グ観測における分周周波数シフトは次のように表す

が重力波源として考えられるものの、この顕著な相ことができる。

関の起源は特定されていない。一般相対論における偏波モードで構成される等方的な背景重力波の場合、

δνa= Ra h(t) + na (t)νa

パルサーペアの相関は HD 曲線に従うことが期待さ

ここで h(t) は GW 信号、na (t) はノイズ、Ra はれる。この相関曲線と比較して、単一の超巨大ブラッcos2Φa (1 + cosΘa ) の応答（Θa ∈ [0, π) および (Φaクホール連星からの重力波は等方性確率的背景と同∈ [(0, 2 π)]）である。全天を平均化することで、じ相関パターンを示す。つまり、この相関曲線を用いて、単一の SMBHB を特定することは難しい。

ΓS ≡しかし、平均する領域が全天から変更された場合、

1
4π

(1)

∫
Ra Rb dΩ(2)

S

全天平均からの逸脱によって等方性が破られる。そパルサーペア間の相互相関は HD 曲線となる。このため、GW 源の天体位置特定に修正された相互相

こで S は単位球であり、ノイズ項は相関がないと仮関曲線を使用することを可能にするかもしれない。

定されている。これまで (2) は主に背景重力波につ本研究の主な目的は、半球内のパルサーペアの角度

いて考えられてきた。

相関パターンによって、相関曲線への影響を考える

2.2

半球平均の座標ことで GW 源にを特定することである。本収録の構

図 2 の半球 H を考察する。半球の北極方向 NH は

成は以下の通りである。第 2 章では、半球で平均をNH ≡（sinαcosβ 、sinαsinβ 、cosα）と表記され、αとるための方法について議論する。３章ではその結は GW 源方向からの半球の傾斜角である。この半球果として、単一の半球について最大相関と最小相関の平均は次のように表される。

の差が最も大きくなるのは、その半球の北極が GW

ΓS ≡

228

1
2π

∫
Ra Rb dΩS(3)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校(6) ここで、ℓ̂ = (0, − 1, 0) および m̂ = (− 1, 0,0) は (x, y, z) 座標における GW の伝搬に垂直な平面上の直交基底であり、ℓ̂ および m̂ はプラスモードとクロスモードの定義に使われている。したがって、
プラスモードとクロスモードの両方による相関の総和は、

ΓH (α, β, γ) =

1
(2π)2

∫ 2π

∫

(

dδ
0

H

)
Ra+ Rb+ + Ra× Rb× dΩ,(5)

ここで、a 番目のパルサーは半球（（1/2 π）Rd Ω
図 1 z 軸方向から飛来する重力波を仮定した座標系）上で平均され、b 番目のパルサーは円錐（（1/2 π）Rd δ）上で平均される。積分の前の分母は 2 π（半球）× 2 π（δ積分）=(4 π)2 である。式（4）を半球積分の前にある因子が 1/2 π である。半球の式（5）に代入すると、積分は 6 つの角度α、β、γ、場合の Θa と Φa は、非自明な領域で許容されるた

δ、θ、ϕ の関数となる。現在の半球での平均の場

め、RH d Ω の計算は容易ではない。したがって、研合、式 (5）は次のように表される。

究対象とする半球での平均を尊重するために、角度ΓH (α, β, γ)∫ 2π ∫ 2π
∫ π/2
(
)
1
= 2
dδ
dϕ
sin θdθ Ra+ Rb+ + Ra× Rb× .
4π 0
0
0
(6)

座標 Θ と Φ を以下で指定します。式（3）の計算を行うため、北極を z ′ 軸として選択するような別の座
標（x′、y ′、z ′) を導入することが便利である。この座標系では、a 番目のパルサーへの単位ベクトルを本研究では、式 (6) の積分は半球に対して数値的

na = (sinΘcosΦ, sinΘsinΦ, cosΘ) と表わすことが

に行う。

できる。

2.3

3 半球平均による結果

パルサーの座標

パルサー対の分離角をγで表す。2 つのパルサー

3.1の配置を明確に表現するために、第 3 の座標系 （式（8）を数値計算すると、角度相関曲線が得られ

X 、Y 、Z ）を導入し、a 番目のパルサーの位置を Z 軸る。この曲線は、GW の伝播方向を中心に対称であに沿って選ぶ。b 番目のパルサーは円錐上にあり、頂るため、αには依存するが、βには依存しない（数値

点が（X 、Y 、Z ）座標の原点、頂点角度がγ、a 番目

プロットについては図 2 を参照）。半球の角度相関パのパルサーは軸上にある。第 3 座標系では、b 番目のターンは、半球の極軸を中心に回転対称である。しパルサーの方向は nb = (sin γ cos δ, sin γ sin δ

たがって、図 6 の α = π/2 のグラフは、半球のもの, cos γ) と表記できる。
2.4と全天のもののグラフが同じ形になっている。この半球平均による相関

一致の理由は、HD 曲線では、α = π/2 の場合にだ

方向 Ω から到来する GW のプラスモードとクロ

け、全天に対する北天と南天のパルサーの割合が半スモードに対するアンテナ関数 (A = a, b) は、次の分ずつになるからである。γ=0 の場合、αが大きくように書かれる。

なるにつれて相関は減少する。これは、半球が GW

(

+
RA
=

×
RA
=

数値計算の結果)2

1 nA · ℓ̂ − (nA · m̂)2
1 + Ω · nA()
nA · ℓ̂ (nA · m̂)軸に対してより傾くほど、その半球にあるパルサー
2の Θa が大きくなり、それゆえ Ra が小さくなるからである。αの値ごとの最大相関Γ max は、αの増(4)加に伴い単調に減少する。一方で最小相関Γ min は単調に増加する。最大相関と最小相関の差（∆Γ ≡1 + Ω · nA229

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図2

半球の向ける方向を変化させていった時の相関曲線

Γ max − Γ min）を利用して、GW の波源方向をる半球のセットを用意する。12 × 24=288 の半球に特定する。

ついて∆Γを推定し、最大の∆Γが天球上の GW の

3.2

波源の特定

位置を示唆するのような方法を使えば、GW 源特定∆Γは天球上の GW 源の方向で最大となる（∆Γ

につながるかもしれない。

の等高線天体図は、図 3 を参照）。この図から、∆Γの最大値が示す位置は、GW 天体の位置と完全に一致することがわかる。等高線は、前述のように半球ごとに平均化されているため、角度βに依存しない。
図 2 や図 3 のような観測データが将来得られた場合、許容される領域を持つ GW コンパクト源の存在を示
唆する可能性がある。
半球平均を用いた GW 天体位置の推定精度はどの程度になるだろうか。ここでは、半球間相互相関法の測定精度を 10 ％程度と仮定する。これは、∆Γの誤差がおよそ 0.1 程度であることを意味する。図 6によると、決定された緯度（αに対応）の精度はほぼ10-20 度である。これは、超巨大ブラックホールの連図3星のような関連 GW 源を含む可能性があるホスト銀軸方向から飛来する GW を仮定しているため、赤∆Γによってプロットされた等高線。今は z

色のところが最も大きな∆Γとなっている。

河の方向を特定するには不十分である。
上記の議論では、事前に GW の方向を仮定してい3.3

る。将来の PTA 観測から GW 源の位置特定に半球パルサーの個数と精度について

PTA 観測による重力波検出では、統計的に信号平均相関を使うにはどうすればよいだろうか。例え

対雑音比を増加させるためにはパルサーペアの総数

ば、12 の緯度と 24 の経度（15 度ステップ）からなを増やす必要がある。 ペアの最大数は全天（4 π）

230

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校に対して利用可能である。PTA で観測されるパルかる。

サーの総数を Npulsar とすると、パルサーの等方分(Npulsar /2)(Npulsar /2 − 1)/2 に減少する。Npulsar)1/2 ()()1/2
1µ sec.
δα ΓHNpulsarD ≲ 10Mpc
102
∆ta
0.1
(
)5/3 (
)
1/3
M
1yr−1
×
,
9
10 M⊙
fGW
(9)

≫ 1 の場合、これは (Npulsar )2/2 から (Npulsar )2/8

こ こ で 、連 星 系 に 対 す る 四 重 極 公 式 と し て 、に減少することを意味する。つまり、4 分の 1 にな

h ~ (M R2 )/(DT 2 ) ~ M 5/3(fGW )2/3/D であり、り、統計誤差が 2 倍に増加する。現在の PTA の統計

ここで M は総質量、R は軌道半径、T は軌道周期レベルでは、半球法は少し難しい。

である。近い将来、SKA によって数百のミリ秒パル(

布を仮定した場合、本手法におけるパルサーの数
は Npulsar の約半分となる。全天から半球に範囲を狭めると、ペア数は (Npulsar )(Npulsar − 1)/2 から推定される重力波の振幅と波源までの距離サーが新たに発見され、PTA の感度が約 5 倍以上に半球法に関連する GW 振幅の大きさを推定するた

大幅に向上することが期待されている。この時には

3.4

半球法を用いることができると考えられる。

めに、パルス信号ペアの相関を式 (1) を用いて求めると、⟨ ⟩⟨za zb ⟩ ∼ ΓH h2

4 Conclusion(7)

我々は、パルサーペアに対する半球平均角相関パ
ここで za と zb はそれぞれ a 番目と b 番目のパル

ターンについて議論した。我々の数値計算は、単一サーからのパルスの赤方偏移を表し、⟨⟩ は自己相関をの GW 源が支配的である場合、半球平均角相関曲線表す。大まかに見積もると、za ~ ∆ ta /Tobs となり、の変動は、その半球の北極が GW 源の天空位置にあここで ∆ ta は期待される到着時刻からの遅延、Tobs

るときに最大になることを示した。半球平均相関を

は観測期間を表す。PTA 観測では、Tobs はおおよそ用いた現在の PTA に関連する可能な GW 振幅と源関連する GW 周波数 fGW の逆数となる。したがっ距離について調査した。近い将来に完成予定の SKAて、za ~ zb ~ (∆ ta /Tobs ) ~ fGW ∆ ta となり、では、半球平均相関を用いた天体位置特定が可能に

Npair 対のパルサーについて、相互相関 ⟨za zb ⟩ の分散なる。 本論文で採用した半球条件は、パルサーペア

は [σ (⟨za zb ⟩)]2 ~ (Npair ) − 1 (∆ ta /Tobs ) 4 となの少なくとも 1 つのパルサーがその半球にあることる。標準偏差は、おおよそσ (⟨za zb ⟩) ~ (Npulsar ) −である。もう一つの選択肢として、ペアを構成する

1 (∆ ta /Tobs ) 2 となり、ここで Npair ~ (Npulsar ))パルサーが両方とも同じ半球にあるという条件も考2 となります。半球相関のα依存性は、σ (⟨za zb ⟩))えられる。このような選択肢を用いて、どちらの条≲ (δα ΓH )⟨h2 ⟩、δα ΓH はαの変化に対する ΓH の変

件が天体の位置特定により適しているかを調べるの化の大きさを表す場合に検出できる。したがって、も興味深い。今後の課題である。

GW 振幅は、 半球平均相関を用いることで、現在のReference

PTA と関連のある GW 振幅はおおよそ

R. W. Hellings, and G. S.Downs, Astrophys. J. Lett,
265, L39 (1983).
√h ∼ ⟨h2 ⟩ ≳N. J, Cornish, and A. Sesana, Class. Quantum Grav.
)(()1/2 ()()1/2 30, 224005 (2013).
∆ta
102
fGW
0.1
10−14
Sasaki, Yamauchi,Ymamoto & Asada 2024, Phys. Rev.
Npulsar1yr−11µsec.
δ α ΓHD 109, 024023, 2024(8)

ここで δα ΓH は約 0.1 であり、時間残差測定の平均精度は 1 µ sec とした。四十極公式から、GW 源までの距離 D が D ≲ 10Mpc の場合、近傍の GW 源をわずかに検出できることが以下の見積もりからわ231

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重宇 c02

静的ワームホール解の定常一般化
牧田

悠輔

232

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

静的ワームホール解の定常一般化
牧田 悠輔 (名古屋大学大学院 理学研究科 QG 研 M2)

Abstract
本発表は主に Volkov(2021)[1] のレビューである。 2 つの異なる宇宙、または同一の宇宙における離れた 2つの場所を結ぶ “橋” の構造をワームホール (WH) という。特に古典粒子や光が往来しうるものを “通過可能” な WH といい、SF におけるワープやタイムトラベルなどのモデルとなっている。WH は “throat” というくびれた構造を持ち、この構造は通常の物質とは異なるエキゾチック・マターの仮定を必要とする (より正確には、光的エネルギー条件を破る物質の仮定が必要である)。その一方で、この構造の維持に WH 自身の回転も寄与するということが先行研究によって明らかにされている。そこで、回転する WH 解を “解析的に”得て、その時空の安定性を調べることが目標となるのだが、静的 WH 解の定常一般化には様々な困難が伴う。特に時空全域で正則であるような解析解は未だに構成されていない。 そこで、本発表では Volkov(2021)
による、真空解に回転とスカラー場を付加する “dressing” の手法を紹介する。この操作によって、静的真空解である Ellis-Bronnikov WH に定常回転とスカラー場を付加することが可能である。これによって得られる解は、全域で正則とはならないまでも、かなり振る舞いのよい解である。その構成手法である dressing についての概略をレビューする。

1

しかしこれは stationary な一般化を制限するもの

Introduction
重力と couple したファントム・スカラー場を持つ理論において、回転するワームホール解の構成を考えよう。まず、通過可能 (traversable) なワームホー
ルは Null エネルギー条件 (NEC) を破る負のエネル
ギー密度を必要とする。Ellis と Bronnikov による最もシンプルな解はではない。すなわち、回転する EB ワームホール解はまだ可能性が残されている。解析的に構成することができるだろうという予想とともに、回転する解は全域で regular となるだろうと考えられてはいるが、これまで解が発見されることはなかった。

EB ワームホールの発見以前、この系列の中にリン
グワームホール解dθ2 + sin2 θdϕ2
|
{z
}
(1.1)

 
r2 + µ2 cos2 θ  2
dr + r2 + µ2 dθ2
2
2
r +µ

2
+ r + µ2 sin2 θdϕ2
(1.3)

(1.2)

があることが知られていた。複雑に見えるが、r ∈の組み合わせである。これを Ellis-Bronnikov(EB)このワームホールは、2 つの Minkowski 時空を r =ds2 = −dt2 + dr2 + r2 + µ2

ds2 = −dt2 +

dΩ2

と場

 
r
Φ(r) = arctanµ[0, +∞) に制限すれば普通の Minkowski 時空である。

ワームホールとよぶ。ここで r は r ∈ (−∞, +∞)0, θ = π/2 の “リング” で貼り合わせた構造になっの値をとる空間座標であり、r = ±∞ はワームホーている。

ルが繋ぐ 2 つの漸近的平坦領域に対応する。また µは throat の大きさを決める特徴長さである。

EB ワームホール (1.1) はリングワームホール解(1.3) から出発し、場 Φ = Φ(r) を導入することにこの理論のもとで構成されるワームホールは、軸よって得られる。結局この解は Φ(r) = arctan (r/µ)

対称な変形や、複数の軸対称ワームホール解の重ねである。この場 Φ を導入することによって、計量の合わせが可能である。しかし、変形を施した解は一般

rr 成分と θθ 成分だけが影響を受ける。この操作をに singular である。また、EB ワームホールは static“dressing” とよぶことにしよう。

な解であるが、全域で regular であるようには一般化できないことが知られている。

これと同じことが定常回転の場合にも行えるはずである。そこで、リングワームホール解 (1.3) の定233

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
常回転版が必要となる。真空の Ernst 方程式は質量、 ある

i
1
e4U h
2
2
2
2
∂ρ k = (∂ρ U ) − (∂z U ) − 2 (∂ρ w) − (∂z w)
ρ2ρ

角運動量を含む成分 gtt , gtϕ , gϕϕ を決定するが、これらは場 Φ の影響を受けない。したがって、まずはErnst 方程式を解き背景となる時空を構成し、続いて

hi22− (∂ρ Φ) − (∂z Φ) (2.4)

singularity を覆い隠せるスカラー場 Φ を構成するという手順を踏むことになる。

2

と

1
e4U
∂z k = ∂ρ U ∂z U − 2 ∂ρ w∂z w − ∂ρ Φ∂z Φ (2.5)
2ρ
4ρ

Fundamental theory

massless なファントム・スカラー場 Φ を導入すると、場の方程式は
Rµν = −2∂µ Φ∂ν Φ,∇µ ∇ µ Φ = 0(2.1)の 2 本から決まる。

3

Dressing method
解の構成の流れをまとめておこう。

である。

1. Ernst 方程式

軸対称な定常解として Papapetrou 形式

ds2 = −e2U (dt − wdϕ) + e−2U hij dxi dxj
2

Re(E)∆E = (∇E)

ル、wi は “回転場”、hij は gµν の空間成分で空間座
標 xi にのみ依存する。ここでは、空間の座標を円筒
座標 xi = (ρ, z, ϕ) でとり、軸対称性から ϕ の依存性はないものとしよう。真空である場合、計量の空間成分は

dl2 = hij dxi dxj = e2k dρ2 + dz 2 + ρ2 dϕ2となる。w や k は ρ, z にのみ依存する関数である。
回転場 w から twist ポテンシャル χ = χ(ρ, z) を∂ρ χ =

e

ρ

∂z w,

∂z χ = −eErnst 方程式は真空解を導く。そこで、式 (2.4),(2.5)
で Φ = 0 として得られる解 k を kI とおこう。すな
わち

i
e4U h
1
2
2
2
2
∂ρ kI = (∂ρ U ) − (∂z U ) − 2 (∂ρ w) − (∂z w) ,ρ2ρ
(2.4′ )
4U
1
e∂z kI = ∂ρ U ∂z U − 2 ∂ρ w∂z w(2.5′ )
2ρ4ρを解き、kI を求めることになる。これにより、真空解を構成することができる。ここにスカラー場 Φ を付加するためには、以下の手順を踏む。

4U

ρ

(2.3)

を解くことにより、関数 U, χ, w を決める。

から出発しよう。ここで U は Newton 重力ポテンシャ

4U

2

(2.2)

2. Poisson 方程式∂ρ w∆Φ = 0によって定義する。χ が ϕ の依存性を持たないことは


1
∇χ
=0
∇·
e4U

(2.1′ )

を解くことにより、スカラー場 Φ を決める。

そして、この Φ から kII を
h
i
1
2
2
∂ρ kII = − (∂ρ Φ) − (∂z Φ) ,(2.4′′ )ρ
から保証される。この χ をもとに Ernst ポテンシャ
1∂z kII = −∂ρ Φ∂z Φ(2.5′′ )ルE を2ρE = e2U + iχによって構成しよう。これらは式 (2.4),(2.5) で Φ ので定義すると、真空の Einstein 方程式は Ernst 方程式 項のみを取り出したものである。このようにして得Re(E)∆E = (∇E)

2

(2.3)

られた kI , kII はその和をとることでk = kI + kIIにまとまる [2]。計量 (2.2) 中の未知関数 U, w はここから定まり、残る k は Einstein 方程式の他の成分でなる “解の重ね合わせ” を実現する。以上の操作を、真空解にスカラー場を付加する “dressing” とよぶ。

234

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Spheroidal coordinates
円筒座標 ρ, z を楕円体座標 x, y = cos θ に変換しよう。その変換則は

ρ=ppx2 + ν sin θ = (x2 + ν)(1 − y 2 )z=−µ(µ+1)Pµ (y)x cos θ = xyである。一方で Qµ (x) には次の Legendre 様の方程式


 dQµ
d
2
x +ν
= µ(µ + 1)Qµ (x)dxdxで与えられる。ここで ν は符号因子であり
+1 for 扁平 (oblate) 楕円体座標ν = −1 for 偏長 (prolate) 楕円体座標
0
for 球座標に従うことを要請する。ν = −1 のとき、これは Leg-

endre 方程式そのものであり、|x| > 1 より解は第 2
種 Legendre 関数 Q(x) で与えられる。一方で ν = +1の値をとる。この座標系では計量の空間成分は
2dl = e種)Legendre 関数である。つまり


 dQµ
d
2
∆Φµ = Pµ (y)
x +ν
dx
dx



d
2 dPµ
+ Qµ (x)
1−y
dy
dy
|
{z
}

2

2k

2



2

では (定数の差を無視して)2dρ + dz + ρ dϕ
x2 + νy 2 2k
x2 + ν 2
e
dy
= 2
dx2 +
x +ν
1 − y2|{z}e2K

Φ = C arctan(x)の形の解を得る。Ellis-Bronnikov ワームホールに付+ x2 − ν 1 − y 2 dϕ2 (4.1)となり、4 次元全体では式 (2.2) から随するスカラー場 (1.2) はこのようにして得られる。

5ds2 = −e2U (dt − w dϕ) + e−2U dl2
2

Relation to Kerr solution
Kerr 解の計量はである。spheroidal 微分演算子は、この座標系のもds2 = −dt2 +

とでは

∆=



 ∂

∂ 2
∂
1
2 ∂
x
+
ν
+
1
−
y
,
x2 + νy 2 ∂x
∂x ∂y
∂y
(4.2)

(∇A) · (∇B)
1
= 2
x + νy 2 ∂A ∂B ∂A ∂B
x2 + ν
+ 1 − y2
∂x ∂x
∂y ∂y

+


Σ 2
dr + Σdθ2 + r2 + a2 sin2 θdϕ2
∆
2
2M r
dt − a sin2 θdϕ
Σ

(5.1)

で与えられる。ここで Boyer-Lindquist 座標

Σ = r2 + a2 sin2 θ,∆ = r2 − 2M r + a2を用いた。ここで rotation パラメーター a を固定したまま M → 0 の極限をとってみよう。このとき、計量 (5.1) はの形に変換される。
この座標系を用いるメリットは、スカラー場 Φ の従うべき Poisson 方程式 ∆Φ = 0 が変数分離される

r2 + a2 cos2 θ 2
drr 2 + a2
+ r2 + a2 cos2 θ dθ2 + r2 + a2 sin2 dϕ2

ds2 = −dt2 +ところにある。Laplace 演算子が式 (4.2) のように変数分離されるために、その解は

Φ(x, y) =Xとなる。これは static なリングワームホール解 (1.3)

Qµ (x)Pµ (y)である。すなわち、リングワームホール解は Kerr 解µの形を仮定することができる。ここで Pµ (y) は (第 1に内包されている。逆に、リングワームホール解の定常回転一般化は Kerr 解を含む系列となるはずで
ある。

235

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
1 章で紹介したように、リングワームホール解

得られている解が dressing のクラスに含まれていな(1.3) にスカラー場 Φ を付加することによって Ellis-

いものなのか、その詳細を明らかにすることが求め

Bronnikov ワームホール解 (1.1) が得られる。これと られる。
同様にして、Kerr 解を通じて Ellis-Bronnikov ワー
ムホール解の定常一般化を目指そう。3 章で紹介した
ように、付加すべきスカラー場は Poisson 方程式だ

Reference

けから決まる。ここでは再び[1] Mikhail S. Volkov. (2021). Stationary generalizations for the Bronnikov-Ellis wormhole and for thevacuum ring wormhole. Phys. Rev. D, 104, 124064.

Φ = C arctan(x)の形を仮定しよう。この dressing の操作を通じて、背景時空 (Kerr 解) は rr 成分と θθ 成分だけが変更を[3] Xiao Yan Chew, Burkhard Kleihaus and Jutta
Kunz. (2016). Geometry of spinning Ellis wormholes. Phys. Rev. D, 94, 104031.

受ける。それは式 (4.1) でみたように


Σ 2
Σ 2
dr + Σdθ2 −→ e2KII
dr + Σdθ2∆∆となる。この変更によって、新たな特異点がe2KII =∆
2(r − M ) + (a2 − M 2 ) cos2 θ=0すなわち r = M, θ = π/2 に出現する。この特異点は曲率特異点である。したがって、EB ワームホー
ル解の定常回転一般化は、もともとの Kerr 解からくるリング特異点に加え、新たなリング特異点を持つ解となっている。static なリングワームホール解のときには、dressing を通じて物質場の singularity を覆い隠すことができた。しかし、stationary な場合には物質場の singularity は隠せたとしても、新たなcurvature singularity を生じさせてしまうのである。

6[2] Frederick J. Ernst. (1968). New formulation of theaxially symmetric gravitational ﬁeld problem. Phys.
Rev., 167, 1175.

Conclusion
本発表における紹介はここまでであるが、原論文[1] では Taub-NUT 解などを用いた他の定常一般化を模索している。しかしながら、dressing による手法では

1. 定常で
2. 漸近的平坦であり
3. 全域において正則である
ような解はこれまでに発見・構成されていない。その一方で、Chew et al.[3] によれば、全域で正則な解が数値的に検証されているという。そのような解を解析的に得ることが Volkov(2021) の目標であった。

236

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重宇 c03非反射対称性を持つブラックホールの観測的特徴
今福

隼斗

237

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

非反射対称性を持つブラックホールの観測的特徴
今福

隼斗 (東京大学大学院 理学系研究科 M2)

Abstract
一般相対論 (General Relativity, GR) に基づく予測の 1 つである Kerr 仮説によると、現在の宇宙に存在する孤立したブラックホール (Black Hole, BH) は Kerr 時空によって記述される。Kerr BH 時空は定常であり、かつ、質量とスピンのみで特徴づけられる。それらの特徴に加え、いくつかの対称性を持ち、その 1 つが Z2 対称性である。Z2 対称性は、時空上に時空の対称面を表す赤道面が存在するというものである。この対称性の破れは Kerr 仮説の破れを意味する。したがって、孤立した BH の赤道面に関する対称性を調べる
ことで、GR を超えた物理への示唆を得ることが可能となる。本発表では、赤道面に関する対称性を持たな
い BH の降着円盤が、どのような観測的特徴を持つのか調べた [1] のレビューを行う。対称性が破れると、一般に、BH の周りの光子や降着物質の円軌道が、赤道面から垂直方向に歪む。このような効果が、観測にどのように現れるかについて述べる。

1

る。文献 [2] などで考えられている現象論的なモデル

Introduction
一般相対論 (General Relativity, GR) に基づくブ

ラックホール (Black Hole, BH) に関する予測の 1 つを考えると、Boyer–Lindquist 座標 (t, r, θ, ϕ) を用いて NoZ BH の計量は以下のように表される。

()
2M r r2 + a2 y 2に Kerr 仮説というものが存在する。Kerr 仮説では、

gtt = −1 +現在の宇宙に存在する孤立した BH は Kerr 時空で記述されると考えられている。Kerr BH 時空は、定常であり BH のスピンによって定義される対称軸を持ち、さらに、BH の幾何学は質量とスピンによってのみ特徴づけられる。
定常性と軸対称性に加え、Kerr BH 時空はいくつかの対称性を持つ。その 1 つが Z2 対称性であり、Kerr

BH 時空は時空の対称面を表す赤道面を持つ。この赤道面は、GR では Boyer–Lindquist 座標 (t, r, θ, ϕ)における θ = π/2 の軌道面を指す。孤立した BH に
対する Z2 対称性の破れは、Kerr 仮説が破れている

gφφ =

2

(r2 + a2 y 2 ) + (r2 − 2M r + a2 y 2 ) ϵ̃(y)
(1)
(
)( 2
)
2
2 2
1−y
r + a y + ϵ̃(y)2(r2 + a2 y 2 ) + (r2 − 2M r + a2 y 2 ) ϵ̃(y)()× [ r4 + a4 y 2 + r2 a2 + a2 y 2 + ϵ̃(y)()+ a2 ϵ̃(y) + 2M r a2 − a2 y 2 − ϵ̃(y) ] ,
(2)
(
)( 2
)
2
2 2
2M ra 1 − yr + a y + ϵ̃(y),gtφ = −
22
2
2
2
(r + a y ) + (r − 2M r + a2 y 2 ) ϵ̃(y)(3)

たときにどのような観測的特徴が現れるのかを理解

r2 + a2 y 2 + ϵ̃(y),r2 − 2M r + a2
r2 + a2 y 2 + ϵ̃(y)gyy =,1 − y2する必要がある。

ここで、M, aM はそれぞれ BH の質量とスピン、y =ことの確固たる証拠となり、GR を超えた物理への足がかりとなり得る。したがって、Z2 対称性が破れ

,

grr =

(4)
(5)

cos θ とした。Kerr 計量と異なる点は関数 ϵ̃(y) であり、ϵ̃(y) = 0 で Kerr 計量となる。

2

The NoZ Black Hole metric

計量は漸近平坦であり、また、t, φ が現れないた

ここでの目的は、Z2 対称性が破れたときにどのよめ定常で軸対称である。Boyer–Lindquist 座標では、

うな観測的特徴が現れるのかを理解することである。 NoZ BH の event horizon は Kerr BH と同様に一定
2
2
したがって、Z 対称性のみが破れ、Kerr 計量が持 の半径を持ち、r − 2M r + a = 0 によって定めら
2

つその他の全ての対称性が保存している計量を考えれる。特に重要な点は、ϵ̃(y) が y = 0 に関して対称でないときに時空の Z 対称性が破れるという点であ238

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校る。現象論的な構成のもと、無次元定数 ϵ を用いて

0.06

ϵ̃(y) = ϵM ay とする [2, 3]。また、裸の特異点を回避

0.04

するために、|ϵ| ≤ 2, |a|/M < 1 を仮定する。以下では、massive particles を粒子と呼ぶ。

0.02

ϵ=-1, a* =0.9

ϵ=1, a* =0.9

ϵ=-2, a* =0.9

ϵ=2, a* =0.9

ϵ=-1, a* =0.6

ϵ=1, a* =0.6

ϵ=-2, a* =0.6

ϵ=2, a* =0.6

0.00

�

- 0.02- 0.04

降着円盤と光子の円軌道

3- 0.06

BH 時空の Z2 対称性が破れると BH の周りを運動

0

2

4

6

する粒子の軌道にその影響が現れ、BH の北半球と

10

12

14

Kerr, a* =0.9

0.20

Kerr, a* =0.6

南半球で異なる振る舞いをすることがある。このよ|ϵ|=2, a* =0.90.15

うな軌道の存在により、BH の周りの降着円盤が曲面を持つようになる [3]。これは、降着円盤を構成する

8�/�

|ϵ|=2, a* =0.6

Ωφ
0.10

粒子の円軌道が、一般に、通常の赤道面 y = 0 上に0.05ないためである。同様に、spherical photon orbit の空間分布も、光子の円軌道が y = 0 上ではないこと

0.00

2

4

に付随して変形される。降着円盤と光子の軌道のこのような振る舞いは、降着円盤の形態や BH の撮像、輝線に新たな特徴として現れる。

3.1

6

8

10

12

�/�

図 1: 上図：粒子の円軌道の半径 r に対する緯度 y 。
各軌道の左端 (黒点) は innner most stable circularorbit(ISCO) を表す。下図：各半径 r に対する順行軌
道角速度 Ωφ 。

降着円盤

動径方向の物質の降着が無視できるほど十分短い時間であれば、降着円盤は異なる半径の円軌道を持
つ粒子の集まりだと見なすことができる。降着物質の回転軸が BH の回転軸と平行だと仮定する。それ
ぞれの円軌道に対する条件は、半径 r、緯度 y に対して、ṙ = r̈ = ẏ = ÿ = 0 となる。この条件下で測地線方程式を解き、ϵ と a∗ = a/M を定めることで、

y = y(r) と Ωφ = Ωφ (r) を得る。ここで、Ωφ は降着を正とした。降着物質の角速度は、ϵ よりも BH のス
ピン a∗ により強く依存していることがわかる。スピ
ンを固定して異なる ϵ に対して比較した場合、ほとんど重なっている。したがって、ϵ が変化したとき、降着物質の角速度 Ωφ の変化よりも降着物質の赤道面からの位置の変化の方が、disk image に対して強い影響を与える。

物質の軌道角速度である。図 1 がぞれぞれの結果を
表す。

3.2

図 1 上図は、いくつかの ϵ, a∗ に対する y と r の関係、すなわち、各半径に対して円軌道が通常の赤
道面 y = 0 からどのようにずれるのかを表している。

a∗ ̸= 0, ϵ ̸= 0 のとき、それぞれの円軌道は、通常の赤道面からずれた独自の平面上に位置することがわかる。漸近的平坦性により、半径が大きくなるにつれて円軌道は通常の赤道面に近づき、|y| は小さくなる。したがって、異なる半径の円軌道の集まりによって構成される降着円盤は表面が曲がったものになる。
加えて、ϵ > 0 の軌道は y < 0、ϵ < 0 の軌道は y > 0
へずれる。図 1 下図は、各半径に対する軌道角速度Ωφ を表している。ここで、BH のスピンと同じ方向

Spherical photon orbits

光子に対する測地線方程式と BH 周りの sphericalphoton orbits を考える。Kerr BH の場合、sphericalphoton orbits はそれぞれの半径 r を持ち、その軌
道は緯度方向へ振動する。さらに、光子の順行円軌
道、逆光円軌道、それぞれの半径によって sphericalphoton orbits の半径は制限される。Kerr 時空が持つ赤道面に関する対称性により、それらの 2 つの円軌道は赤道面 y = 0 上に存在する。Z2 対称性が破れたとき、光子の円軌道は依然として存在しうるが、

y = 0 の軌道面からずれる。そこで、NoZ BH の 2
つの円軌道がどのように振る舞うのかを考える。こ239

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校らずれる。図 2 下図は順行円軌道を表す紅紫色の点

���

をアップしたものであり、赤線は、y = 0 で転回点を���

持つ spherical photon orbit を表す。赤線と紅紫色の点の間の半径を持つ spherical photon orbit は、明ら����θ/�

���

かにその軌道が北半球内に留まっている。
���

Z2 対称性が破れた場合、光子の円軌道も粒子の円軌道と同様に y = 0 の赤道面からずれる。興味深い���

違いは、粒子、光子、それぞれの円軌道は反対側の半球へずれるという点である。ϵ > 0 に対しては、光���子の円軌道は y > 0 の半球に位置し、粒子の円軌道、
���
�

�

�

�

�

つまり降着物質は y < 0 の半球に位置する。

����θ/��������θ/�

���
���
���
���

-���

����

����

����

����

����

����

����θ/�

図 2: 上図：a∗ = 0.9, ϵ = 2 における NoZ BH のspherical photon orbits。青線は異なる半径のものである。紅紫色の点は順行円軌道、逆光円軌道である。
下図：順行円軌道近くの spherical photon orbit。赤線は y = 0 で転回点を持つものを表す。
こでも同様に、ṙ = r̈ = ẏ = ÿ = 0 を課して測地線方程式を解き、ϵ, a∗ を定めることで y = y(r) を得る。

NoZ BH 周りの spherical photon orbits を図 2 に表した。ここで、a∗ = 0.9, ϵ = 2 とした。黒色の領

図 3: i = 85◦ にいる観測者が観測する、Kerr 時空

域は BH の内部である。赤線、青線で描かれている(ϵ = 0) と NoZ 時空 (ϵ ± 2) における null 測地線のは各軌道であり、異なる spherical photon orbits

を Boyer–Lindquist 座標で表したもの。各色の点はは異なる半径を持つ。また、それぞれの軌道には緯Keplerian disk の表面のどこから光線が放たれたの度方向の転回点が存在し、その集合が破線で描かれかを表す。ϵ = 2 のときは測地線は disk を通らない。

ている。Z2 対称性を持つ BH に対しては、各軌道の転回点が赤道面 y = 0 に関して対称となる [4]。しかし、一般に、Z2 対称性が破れた場合には、sphericalphoton orbits の緯度方向の転回点は y = 0 に対称で

4

数値計算

はない。紅紫色の点で表した順行円軌道、逆光円軌

Eqs. (1)-(5) で書かれる NoZ BH 時空に対する測道を見てわかるように、2 つの円軌道は赤道面上か

地線方程式を数値的に計算する。原論文 [1] では、BH

240

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
shadow、Keplerian disk、輝線の特徴、それぞれにることによって見られるものである。sec. 3 の最後でついてまとめているが、ここでは紙面の都合上 Kep-

述べたように、光子の測地線は ϵ > 0 のとき y > 0

lerian Disk にのみ着目する。

へずれるが、粒子の測地線は ϵ > 0 のとき y < 0 へずれる。

5Conclusion
Kerr BH 時空の基本的な対称性の 1 つである Z2 対

称性は、孤立した BH で破れていれば GR に基づく

Kerr 仮説の破れとなる。本稿では、Z2 対称性を持たない BH の観測的特徴について述べた。sec. 3 では、
図 4: a∗ = 0.9, i = 85◦ , ϵ = 0, 2 における順行円軌

粒子と光子の測地線方程式を解くことで Z2 対称性が破れたときにそれぞれの円軌道がどのように振る舞

道の disk の image。ϵ = 2 のとき、左端に欠けた形

うのかを調べた。それぞれの円軌道は y = 0 に対し状が見られる。

て反対方向にずれる。その結果、disk の image に欠けた形状が見られた。ここでは深く述べられなかったが、この観測的特徴は a∗ , |ϵ| が大きいとき、ある

4.1

いは i ̸= 90◦ のとき、より顕著になる。将来的な展

Keplerian Disk

望として、モデルに依存しない特徴や小さい a∗ , i に

NoZ BH 時空の測地線と Kerr 時空の測地線には対しても観測可能な特徴を調べられると面白い。

様々な違いが現れる。その中でも、Keplerian Disk の構造を考えるときに特に重要になるのは、NoZ BH
周りの円軌道は通常の赤道面上に存在しないというAcknowledgement

点である。例えば、図 1 上図からもわかるように、
順行円軌道、a∗ = 0.9 のとき、Kerr BH(ϵ = 0) のISCO に比べ NoZ BH(ϵ = ±2) のときの ISCO は小さくなる [2]。

a∗ = 0.9, ϵ = ±2 の場合、順行円軌道の Kepleriandisk がどのように観測されるかを調べる。一般に、観測者の視線方向と BH の角運動量ベクトルがなす
角 i によって観測に現れる特徴が異なる。ここでは、

1 つの例として、観測的な特徴の違いが顕著である
i = 85◦ に着目する。図 3 は、上記の条件下におい天文・天体物理若手夏の学校を企画・運営してくださったスタッフの皆様、ご支援いただいた皆様に心より感謝申し上げます。また、本稿を執筆するに当たって議論していただいた、Che-Yu Chen 氏、度會大貴
氏、日頃から議論をしていただいている RESCEU の方々にこの場を借りて感謝を申し上げます。

References[1]

Che-Yu Chen and Hung-Yi Pu. In: (Apr. 2024).

て、φ = 0 にいる観測者に向かう null 測地線をいく

arXiv: 2404.07055 [gr-qc].

つか選び Boyer–Lindquist 座標で表したものである。 [2]Che-Yu Chen and Hsiang-Yi Karen Yang. In:ϵ = 0, −2 の場合、測地線は Keplerian disk を横切る。

Eur. Phys. J. C 82.4 (2022), p. 307. doi: 10.

よって、観測者は Keplerian disk の表面から放たれ1140 / epjc / s10052 - 022 - 10263 - 7. arXiv:

た光子を観測することが可能である。しかし、ϵ = 2の場合、測地線は Keplerian disk を通らない。すな
わち、観測者が Keplerian disk を光学的に観測する

2109.00564 [gr-qc].
[3]

p. 044009. doi: 10 . 1103 / PhysRevD . 106 .

ことができない領域が存在する。これが現れている

044009. arXiv: 2205.06962 [gr-qc].

のが図 4 の disk の image である。ϵ = 0 の場合と比べ、明らかに disk の左端が欠けている。この特徴は、

Che-Yu Chen. In: Phys. Rev. D 106.4 (2022),[4]

光子の測地線と降着物質の測地線が反対方向にずれ

241

V. Perlick. In: Living Rev. Rel. 7 (2004), p. 9.
doi: 10.12942/lrr-2004-9.

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重宇 c04extended Einstein-Maxwell-scalar 理論における磁荷と微分結合の存在下でのヘアリーブラックホール解
谷口

喜太郎

242

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

extended Einstein-Maxwell-scalar 理論における
磁荷と微分結合の存在下でのヘアリーブラックホール解
谷口 喜太郎 (東京理科大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表は我々の研究成果 [1] に基づくものである．U (1) ゲージ不変スカラーベクトルテンソル理論のサブクラスに分類される extended Einstein-Maxwell-scalar 理論におけるブラックホール解について研究する．
この理論は，Einstein-Hilbert 作用で記述される重力場に加えて，互いに結合したスカラー場とベクトル場を導入した作用で与えられる．特にベクトル場は電荷および磁荷をもつものとする．静的球対称時空において，微分結合を含む 3 種類のスカラー-ベクトル相互作用に着目し，Reissner-Nordström 解からの修正を調べる．ブラックホールのホライズン近傍と空間的無限遠という 2 つの漸近的領域において場の方程式を解析的に解き，ヘアリーブラックホール解の存在条件を明らかにする．また中間スケールでの解の振る舞いを理解するために，具体的なモデルに対して場の方程式を数値積分した．その結果，磁荷と微分結合の存在下において非自明なスカラー場の配位を伴う新たなヘアリーブラックホール解を発見した．さらに，スカラー場とベクトル場の結合が大きい極限において，3 種類の異なる相互作用から生じるヘアリーブラックホール解を区別できることを示す．

1

なスカラー場とベクトル場の結合は様々な理論で現Introduction

れ，ディラトン結合やアクシオン結合は典型的な例
太陽系における数々の重力実験によって，一般相である．

対論 (GR) は弱重力を非常に精度良く記述できることが知られている．しかし強重力領域における GRの検証は道半ばであり，まだ十分に明らかになってはいない．近年，ブラックホール (BH) のような重力の非線形領域に関する観測が飛躍的な進歩を遂げている．例えば，LIGO-Virgo-KAGRA による重力波の直接検出や，Event Horizon Telescope による BH
シャドウの撮像などが挙げられる．
一方で理論的な側面では，Einstein-Maxwell 理論
において定常かつ漸近平坦という仮定の下では Kerr-

Newman BH が唯一の真空解であることが知られており，これは無毛定理と呼ばれる．ここで，暗黒エネルギーや暗黒物質の問題から示唆されるような新
たな自由度を導入した理論において，この定理が維持されるかどうかを調べることは興味深い．もし正準スカラー場を Einstein-Maxwell 理論に追加した場
合，スカラー場は自明な定数解のみをもち，時空は

このスカラー-ベクトル相互作用はスカラーベクト
ルテンソル (SVT) 理論の枠組みに従って拡張することができる．Horndeski 理論や generalized Proca 理論は，場の方程式が 2 階微分までとなることを要請することで得られる．さらに，これらの一般的な作用は

SVT 理論として統一的に記述することができ，この理論はスカラー場とベクトル場の新たな相互作用項をもつ．特にベクトル場が U (1) ゲージ対称性を満たす
場合，そのサブクラスは U (1) ゲージ不変 SVT 理論と呼ばれる．この理論における 2 次の Lagrangian は

f2 (ϕ, ∂µ ϕ, Fµν , F̃µν ) のように書けて，上述したようなディラトンやアクシオンの相互作用は ϕ, Fµν , F̃µν
らの直接結合であるとみなすことができる1 ．ここでU (1) ゲージ不変 SVT 理論の文脈においては，直接結合だけでなくスカラー場の微分 ∂µ ϕ を含む結合も考慮することができる．そのような微分結合として，
例えば ∂µ ϕ∂ ν ϕF µα Fνα というスカラー積を構成でき依然として Kerr-Newman 計量で記述される．しかる．そこで我々は，スカラー場の微分とベクトル場

し，スカラー場が Maxwell 場と結合している場合，の相互作用を導入した理論において新たなヘアリー

スカラー場は非自明なプロファイルをもつことがで
き，BH 解はスカラーヘアーを獲得する．そのようBH 解が得られるかどうかを精査することを目的と
1F

243µν は Maxwell テンソル，F̃µν はその双対テンソルである．

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して研究を行う．また，ディラトン型やアクシオン

じることが知られている．先駆的な研究は文献 [2–5]型のような異なる種類の相互作用からくるヘアリー

を参照．ここで我々は新たな相互作用として ḡ3 Y とBH 解を区別する方法についても議論する．

書けるような項に着目し，また g1 , g2 , ḡ3 に ϕ 依存性
だけでなく X 依存性も含める．このようなスカラー場の微分を含む相互作用からくる BH 解について調

2

Setup

べるために，次のような作用で与えられる extended

U (1) ゲージ不変 SVT 理論における 2 次の相互作用を含む Lagrangian は，
"
#
Z
2
Mpl
4 √
S = d x −g
R + f2 (ϕ, X, F, F̃ , Y ) , (1)2√で記述される．ここで Mpl = 1/ 8πG は換算 Planck
質量，R は Ricci スカラーであり，f2 はスカラー場 ϕとベクトル場 Aµ から構成される以下のスカラー量，

1
1(2)
X = − ∇µ ϕ∇µ ϕ , F = − Fµν F µν ,2
41F̃ = − Fµν F̃ µν , Y = ∇µ ϕ∇ν ϕF µα Fνα ,(3)41Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ , F̃ µν = E µναβ Fαβ , (4)2の函数である．また ∇µ は共変微分，E µναβ は完全反Einstein-Maxwell-scalar 理論を考える．
Z 2√
S = d4 x −g (Mpl
/2)R + F + X
+ g1 (ϕ, X)F + g2 (ϕ, X)F̃ + ḡ3 (ϕ, X)Y . (10)ここで，ḡ3 は一般性を失うことなく，ḡ3 (ϕ, X) = g3 (ϕ, X)/(4X) ,(11)のように規格化できる．Lagrangian がホライズンで正則となるように，g1 , g2 , g3 は X に関してゼロもしくは正の冪をもつと仮定する．
変数 f, h, V, ϕ に関して作用の変分をとることで，それぞれの場の方程式，

Ef = 0 ,Eh = 0 ,EV = 0 ,Eϕ = 0 ,(12)を得る．以下では上式を解析的・数値的に解いていく．

対称 Levi-Civita テンソルであり E µναβ Eµναβ = +4!
と規格化されている．我々は静的球対称時空に着目

3するため以下の線素，

ds = −f (r)dt + h2

2

Asymptotic solutions
本節では 2 つの漸近的領域において式 (12) を解析

−1

2

2

2

(r)dr + r dΩ ,dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 ,(5)的に解く．場の変数に対して，ホライズンで正則で(6)あることと，BH から十分離れた遠方で漸近的平坦であることを要請する．また結合の効果は質量 M ，電を仮定する．時空の対称性に従って，スカラー場とベクトル場に対して次のような ansatz，

ϕ = ϕ(r) ,Aµ = (V (r), 0, 0, −P cos θ),(7)を課す．ここで P は磁荷である．このような配位においてそれぞれのスカラー量は，

hϕ′2
hV ′2
P2
X=−
, F =
− 4,
2
2f
2r
s
PV ′ hh2 ϕ′2 V ′2
F̃ = 2, Y =−,rff

荷 Q，磁荷 P をもつ Reissner-Nordström(RN) 解，rh 
rh  
1−µ(13)
fRN = hRN = 1 −rr
2MQ2 + P 2=1−(14)+
2 r2 ,r2Mpl
に対する補正として働くと仮定する．ただし rh は外側のホライズン，µ は無次元定数である (0 < µ < 1)．

(8)

3.1
(9)

ホライズン近傍で各変数は次のように展開できる．

のように評価される．もし磁荷 P が存在しない場合， f =F̃ = 0, Y = 4XF となるため，F̃ との結合は寄与せず，また Y による効果は XF の寄与と縮退する．先行研究において，ディラトン型相互作用 g1 (ϕ)F やア

Solutions around the horizon∞Xfi (r − rh )i , h =i=1

V = V0 +クシオン型相互作用 g2 (ϕ)F̃ からヘアリー BH 解が生

244

∞
X

hi (r − rh )i ,

(15)

i=1
∞
X
i=1

Vi (r − rh )i , ϕ = ϕ0 +∞X

ϕi (r − rh )i .

i=1

(16)

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上式を場の方程式 (12) に代入し，ホライズン近傍で本的な効果を調べるため，ϕ に関して線形な函数を展開する．そして (r − rh ) に関するオーダーごとに定める2 ．

方程式を逐次的に解き，展開係数 fi , hi , Vi , ϕi を求

gi (ϕ, X) = ci ϕ/Mpl .

(21)

める．結果として，計量成分は 2 次の項から補正，

f2 = f2,RN + Φ1,ϕ ϕ1 /C ,

(17)

4.1

Hairy solution arising from thederivative interaction

を受けることが分かる．ここで，f2,RN は RN 解をホ
ライズン近傍で展開した時の 2 次の項である．Φ1,ϕ我々は微分相互作用 ḡ3 Y に起因する新たな BH 解

は結合函数 gi の ϕ に関する微分 g1,ϕ , g2,ϕ , g3,ϕ からに興味があるため，c3 = 1, c1 = c2 = 0 の場合を考なる項のホライズンでの値であり，C は定数とする． える．上記のようなモデルにおいて場の方程式 (12)h(r) も 2 次の項から同様の形の補正を受ける．また を数値積分した結果を図 1 に示す．ただし境界条件
スカラー場の展開係数 ϕi は Φ1,ϕ に比例する．そのた として，ホライズン近傍での解析解を用いた．
め，もし結合函数が ϕ 依存性を持たないならば，計量は RN 解に帰着すると同時にスカラー場は定数解ϕ = ϕ0 をとるのでスカラーヘアーは生じない．従っ

101

100

て，ヘアリー BH 解を得るための条件として，結合10-1函数 gi の ϕ 依存性が不可欠であると分かる．

10-2

3.2

Asymptotically ﬂat solutions

10-3

次に空間的無限遠での漸近的平坦解を求める．こ10-4の領域において以下のように変数を展開する．

f =1+

∞ ˜
X
fi
i=1

V = V∞ +

r

,
i

h=1+

i=1

∞
X
Ṽi
i=1

∞
X
h̃i

r

,
i

ri

ϕ = ϕ∞ +

,

(18)

∞
X
ϕ̃i
i=1

r

.
i

10-5
f
h
V
-φ
h-f

-6

10

(19)
10-7
1

前節と同様の手順で解を求めると，結合函数は計量成分において 1/r2 のオーダーから現れることが分かる．ただし，2 次の係数である f˜2 と h̃2 は等しくな
い．RN 解は f = h を満たすので，この計量差は RN
解からの逸脱を示している．さらに，その計量差は，

h̃2 − f˜2 = ϕ̃21 /C̃ ,(20)のように表される．ただし C̃ は定数．スカラー場の10
r / rh100

図 1: ホライズンの外側における f, h, V, ϕ, h − f の数値解．結合定数は c3 = 1, c1 = c2 = 0．モデルパ
ラメータは µ = 0.1, P = 0.1Mpl rh ．境界条件として r = 1.001rh で ϕ0 = −1.0 × 10−4 とおいたホライ
ズン近傍の解析解を用いた
図 1 より，ホライズン近傍と十分遠方での 2 つの漸

1 次の係数である ϕ̃1 は電荷や磁荷とのアナロジーか 近解が滑らかに接続することが確認できる．計量差
らスカラーチャージと呼ばれる．従って，スカラー h − f はホライズン近傍で最大値 O(10−3 ) 程度をとチャージの存在が計量への補正を引き起こすと言える． り，遠方に行くにつれて減少する．この結果は，微分結合からくる新たなヘアリー BH 解が存在するこ

4

とを示す．

Concrete models
本節では，結合函数の形を定めた具体的なモデルにおいて数値解析を行う．3 種類それぞれの結合の基

2 元の論文 [1] では結合函数に X 依存性も取り入れた議論を行なっているが，ヘアリー BH 解を引き起こすソースは結合函数の ϕ 依存性であるため，本発表では X 依存性の効果に関する議論は割愛する．

245

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4.2

Large coupling limit of each interaction-2

10

さらに，3 種類の結合 g1 , g2 , g3 を区別する方法に10-3

ついて議論する．RN 解からの逸脱を特徴づける計
量差 h − f は任意函数 gi (ϕ, X) に対してホライズン
h-f近傍で次のように評価される．

-4

10

Φ21,ϕ
|h − f |≃. (22)
22(r − rh )22Mpl rh (1 − µ)(2rh4 − Φ1,X )-5

10

ここで，Φ1,X は Φ1,ϕ と同様に g1,X , g2,X , g3,X から

c3 = 1c3 = 10c3 = 100c3 = 1000

なる項のホライズンでの値である．モデル (21) における結合定数 c1 , c2 , c3 の振る舞いの違いを見るため，10-6結合が大きい極限を考える．|ci | ≫ 1 の下で計量差

1(22) を展開すると，リーディングオーダーの寄与は，
3 2
P 2 c1 (2µMpl
rh − P 2 c 1 ϕ 0 )|h − f |≃− C1 ,
4 r6(r − rh )2(1 − µ)ϕ0 Mpl
h10r / rh

図 2: 異なる結合定数 c3 ∈ {1, 10, 100, 1000} に対す
る h−f の数値解．モデルパラメータは µ = 0.1, P =(23)

0.1Mpl rh ．境界条件は r = 1.001rh で ϕ0 = 0.5Mpl
とおいたホライズン近傍の解析解を用いた．

2 2
P 2 c22 (2µMpl
rh − P 2 )|h − f |≃,4 r6(r − rh )2(1 − µ)Mpl
h

(24)

2 2
(2µMplrh − P 2 ) 2|h − f |C+≃,3(r − rh )22(1 − µ)c3 ϕ30 Mpl rh6

(25)

5

のように与えられる．ここで C1 , C3 は定数である．式(23) によると，c1 の増加に伴い計量差における支配的な寄与は c1 の線形項から 2 乗項に切り替わると予想される．c2 の場合は，式 (24) より計量差は c22 に比例して大きくなる．微分結合に関しては，式 (25)から c3 が大きい極限で h − f が定数項に収束し飽

Conclusion
我々はスカラー場の微分とベクトル場の相互作用を含む extended Einstein-Maxwell-scalar 理論において，新たなヘアリー BH 解の存在を示した．また，その存在条件として結合函数の ϕ 依存性が必要であることを発見した．さらに，結合が大きい極限における計量差の振る舞いによって，磁荷の存在下では3 種類のヘアリー BH 解を区別できることを示した．

和することが分かる．特に微分結合 c3 の場合について，h − f を数値積分した結果を図 2 に示す．図 2における数値解の振る舞いは，式 (25) による解析的

Reference

な予想と整合的である．今回選んだパラメータでは，[1] K. Taniguchi, S. Takagishi and R. Kase, Phys. Rev.
D (in press) [arXiv:2403.17484 [gr-qc]].

c3 ≳ O(100) 程度で計量差の飽和が実現している．ま[2] G. W. Gibbons, Nucl. Phys. B 207, 337-349 (1982)

た本集録では割愛するが，c1 , c2 に関しても同様に数値解の振る舞いは式 (23), (24) における予想を支持する結果となった．従って，式 (23)-(25) や数値解析の結果から分かるように，結合定数の絶対値 |ci | が大きい極限における計量差 h − f の振る舞いの違いによって 3 種類の結合を判別することができる．

246[3] G. W. Gibbons and K. i. Maeda, Nucl. Phys. B
298, 741-775 (1988)[4] D. Garﬁnkle, G. T. Horowitz and A. Strominger,
Phys. Rev. D 43, 3140 (1991) [erratum: Phys. Rev.
D 45, 3888 (1992)][5] K. M. Lee and E. J. Weinberg, Phys. Rev. D 44,
3159-3163 (1991)

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重宇 c05

TeV ガンマ線バーストにおける円偏光を用いたアクシ
オンの検証可能性について
千葉

247

航

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

TeV ガンマ線バーストにおける円偏光を用いた
アクシオンの検証可能性について
千葉

航 (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract
2022 年にガンマ線バーストが起源の数十 TeV のガンマ線を検出した。これは地球から 24 億光年はなれた銀河から放出されたものだった。標準物理では強い電磁波が銀河間空間を伝搬する時、電磁カスケードが起こるので、この観測事実を説明することができない。つまり、この観測結果は標準物理を超えた現象である
ことを示唆する。この問題を解決する 1 つのシナリオは理論に「アクシオン」を導入することであった。本
研究では、このシナリオから計算されるガンマ線バーストの偏光について議論する。

1

Introduction
10TeV を 超 え る 光 子 の 検 出 は 重 要 な 意 味 を 持

2

Methods2.1

混合行列 M と転送行列 Uつ。それは、銀河間には EBL(Extragalactic Back-ground Light) が存在するため VHE(Very High Energy,100GeV 以上) 光子によって e+ e− 対生成を起こす。さらに、対生成により生じた VHE 荷電粒子はEBL を叩き上げ高エネルギー光子が生じる。この高エネルギー光子が再び e+ e− 対生成を起こす。この

ここでは光子束の生き残る確率をどのように計算するのか、また、伝搬してきた光子の偏光状態がどのように表されるのかを議論する。
アクシオンと光子の相互作用はアクシオン質量 ma 、
結合定数 gaγγ を用いてネルギーを失い銀河間ほど遠くまで伝搬できないと

1⃗ · Ba⃗Laγγ = − gaγγ Fµν F̃ µν a = gaγγ E
4考えられている。なので、この観測事実は標準物理で与えられる。今回のモデルパラメタは、[1] を参考

連鎖反応 (電磁カスケード) により VHE 光子束はエ(1)を超えた現象であることが示唆される。エネルギーに ma = 10−10 eV、gaγγ = 4 × 10−12 GeV−1 とした。

の減衰により伝搬できないことを光学的深さ τ が大

連立運動方程式は、外磁場 B 中の y 軸方向の伝搬を考きくなったと解釈する。いったん EBL モデルが与ええることにより波動関数 ψ(y) = (Ax (y), Az (y), a(y))

られるとこれが計算できて、エネルギー ε の光子束を用いて次の Schrödinger 型の方程式に帰着する。
)(
d+ ε + M(ε, y) ψ(y) = 0
(2)
i
dy

が銀河間を伝搬し生き残る確率 (割合) は P (ε; γ →γ) = e−τ (ε) で与えられる。TeV スケールでの確率は [1] P (18T eV ; γ → γ) = 1 × 10−8 ,P (100T eV ; γ →γ) = 3 × 10−96 ,P (251T eV ; γ → γ) = 0 と計算される。では、この観測事実をどのように説明したら良いのだろうか?
ここで、理論にアクシオンを導入し、いわゆる”アクシオン-光子転換”を利用して VHE 光子の伝搬を説明する。さらに、光子束がアクシオン-光子転換により混合行行列 M の成分は以下のよう。


∆xx
∆xz
∆aγ sinϕ
M(ε, y) =  ∆zx∆zz∆aγ cosϕ (3)∆aγ sinϕ∆aここで、ϕ は伝搬方向に垂直な x-z 平面内に射影された外磁場の角度である。

伝搬してきたのなら円偏光が生じることが期待され行列の成分については、る。通常、ガンマ線バーストの放射機構から偏光を∆aγ (y) =作り出すことは難しいとされている。

∆aγ cosϕ

1gaγγ B(y)2(4)

は光子とアクシオンの外磁場を介した結合を表す。

∆a (ε) = −

248

m2a
2ε

(5)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
はアクシオンの質量項に対応する。また、左上の 2

2.3

× 2 成分について、)2(2iτγ (ε, y) ωplasmaB(y)∆diag =
−
+α
ε
2
2ε
Bcri

偏光

次に偏光状態について議論する。

(6)

光子の密度行列 ργ (左上の 2 × 2 行列に対応する) の各ユニットに次の Stokes パラメタを対応させると便は光子の有効質量に対応する。第 2 項目はプラズマによる光子の有効質量である。プラズマ振動数 ωplasma
は電子も数密度 ne 、電子の質量 me 、微細構造定数eα をもちいて ωplasma = 2παnで与えられる。ま
me

利である。
(
Ax A∗xργ =Az A∗xAx A∗zAz A∗z

)

1
≡
2

(

I +Q

U − iVU + iVI −Q(11)

た、第 3 項目は QED 効果 (Euler-Heisenberg 有効作用) による光子の 4 点結合に対応する。臨界磁場)

ここで、Stokes パラメタは以下のよう [2] 。

13Bcri = 4.41 × 10 G である。重要なのは第 1 項目の光学的深さ τγ に関する項である。これは、∫ ∞τγ (ε) ∼dE nε (E) ×σγγ (E)I ≡ |Ax |2 + |Az |2

Q ≡ |Ax |2 − |Az |2

U ≡ 2Re(Ax A∗z )V ≡ −2Im(Ax A∗z )

(12)

(7)

これらを用いて偏光 Π は次のように定義される。
√
Q2 + U 2 + V 2
で与えられる。thresholdεth = 1T eV である。また、Π== Π L + ΠC(13)I2nε (E) は EBL のモデルから与えられる [2] 。この項εthの影響で光子のエネルギーが TeV 付近になると光学的深さが大きくなり急激に数が減衰し始める。しかしながら、∆aγ が 0 でないために光子が全て消滅す
ることなく”逃げられる”というシナリオである。
式 (2) の解は転送行列 U を用いて、

ψ(y) = e−iεy U (ε; y, y0 )ψ(y0 )(8)

ここで、ΠL , ΠC はそれぞれ直線偏光と円偏光で√Q2 + U 2
ΠL =
(14)
I2
√
V2
ΠC =
(15)
I2
で与えられる。Π = 0 のとき無偏光で、0 < Π < 1のとき部分偏光で、Π = 1 のとき完全偏光していると書ける。ここで、

という。

∫ y
U (ε; y, y0 ) = exp(−i′′M(ε, y )dy )

(9)

y0

である。

光子の偏光状態は、()
ργ (y) #ρ(y) == U (y, y0 )ρ(y0 )U † (y, y0 )
#
#

(16)
である。

2.2

こうして、光子の生存確率や偏光を計算したいのな

生存確率

ら、式 (9) をもとに転送行列 U を求めることに帰着

密度行列 ρ(y) ≡ ψ(y) ⊗ ψ(y) を用いて光子の確率
は P (ε; γ → γ) は次のように書ける。

P (ε; γ → γ) = T r[ρf U (ε)ρi U † (ε)]

した。次の章で具体的なモデルをもとに混合行列 Mの成分を計算し、転送行列 U を求める手続きを行う。

(10)

これは初期の偏光状態 ρi から転送行列 U で発展した

2.4モデルとセットアップ

末に、ある偏光状態 ρf として生き残った光子の割合

今 回 は 地 球 か ら お よ そ 24 億 光 年 (赤 方 偏 移を計算したものである。ただし、独立な光子の状態

z=0.151) 離れた天体がターゲットで、ちょうど視線に対応するのは密度行列の (1,1) 成分と (2,2) 成分で方向は天の川銀河のディスクに水平であった。ここある。

で、区間を 3 分割し、それぞれの区間で転送行列 Uを計算する。分割する区間とそこでの物理量を以下249

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

表 1: 分割区間
母銀河 銀河間空間

20
10

区間の距離［kpc］

25

80 × 10磁場の大きさ［µG］

15

1 × 10−31−9電子数密度［cm−3］

6 × 10天の川銀河

3

1.1 × 10−2の表 1 にまとめる。各区間の磁場はランダムな方向に生成されるモデルを用いた [1] 。各区間で座標を母銀河 (y1 → y2 )、銀河間空間 (y2 → y3 )、天の川銀河 (y3図 2: 直線偏光 ΠL (横:eV, 縦:%)→ y4 ) のように対応させると全区間での転送行列 Uは、U (ε) ≡ U (ε; y4 , y1 ) =4∏U (ε; yi+1 , yi )

(17)

i=1

と書ける。これを用いて光子の生存確率 P (ε; γ → γ)は、∑P (ε; γ → γ) =T r[ρi U (ε)ρump U † (ε)]

(18)

i=x,z

と 表 せ る 。こ こ で 、ρx≡diag(1, 0, 0)、ρz≡

図 3: 円偏光 ΠC (横:eV, 縦:%)diag(0, 1, 0)、ρump ≡ diag(0.5, 0.5, 0) とした。初期状態 ρump は無偏光状態に対応する。
生存確率から TeV 光子の伝搬を説明する転送行列 U

4Discussionが作れたのなら、これによって無偏光状態から変化

生存確率については、TeV スケールで 10−7 程度した状態がわかり、偏光が計算できるというわけでに停滞させることに成功した。しかし、[1] の場合はある。

10−5 程度で停滞していた。この差は光学的深さの計
算精度に起因と考えられる。今回の計算では簡単のため赤方偏移の寄与を無視した。これはあまり大き

3Resultsな差にならないと考えられるが、指数関数の方に乗る分この差が敏感になる可能性がある。偏光につい

以下では計算結果を示す。

ては GeV スケールからじわじわ出てきていることか

図 1 は光子の生存確率で式 (12) を用いた。

ら QED の効果が現れ始めていると考えられる。アクシオン-光子転換による偏光も含まれていると考えられるが、それほど見られていない理由は今回のターゲット天体は地球からそれほど遠くなかったことが考えられる。走る距離がさらに伸び、磁場のコヒーレント長も長い場合は効率的に転換が起き、偏光がもっと見られると期待される。また、アクシオンのパラメタを変えることでより偏光が生じやすくなるかもしれない。[3] によればガンマ線バーストの放射機
構から円偏光作り出すのは難しく、0.6% のの円偏光

図 1: 生存確率 (横:eV, 縦: 確率)の観測が謎を残すほどである。なので、今後さらに

図 2,3 は地球に到達した光子の偏光でそれぞれ式(8),(9) を用いた。

遠くの銀河から TeV ガンマ線が観測されたのなら、
このシナリオから円偏光を計算し、アクシオンのパ250

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ラメタ空間に制限が与えられるかもしれない。

5Conclusion
理論にアクシオンを加えることにより TeV 光子の伝搬確率を残すことができた。また、アクシオンとの相互作用や QED 効果によりわずかな偏光が生じることが確認できた。今後は、最も変更が生じやす
いアクシオンのパラメタを用いて解析を進めていきたい。また、走る距離とコヒーレント長を伸ばし、偏光がどれくらい生じるかも解析していきたい。

Reference[1] Giorgio Galanti et al.2022, arXiv:2210.05659[2]A.Saldana-Lopez et al. 2021,507,5144[3]Kawai Nobuyuki, Asano Katsuaki, 2019,
ガンマ線バースト 新天文学ライブラリー 第５巻

251

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重宇 c06

ブラックホール磁気圏と帯電について
松尾

賢汰

252

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール磁気圏と帯電について
松尾 賢汰 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
近年の様々な観測結果は、ほとんどの銀河の中心には太陽質量の数億倍程度の超大質量ブラックホールが存在することを強く示唆している。また、いくつかの活動的な銀河の中心からは、細く絞られた光速に近いジェッ
トが噴き出していることも分かっている。ジェットの生成機構には多くの未解明の問題が残されており、特にそのエネルギー源についても決着がついていない。エネルギー源の候補の一つとして、”Brandford-Znajek(BZ)
過程”が有力視されている。Brandford と Znajek は今日 BZ split-monopole 解と呼ばれる近似解を解析的に構成し、BZ 過程が働く例を示した。BZ 過程がジェット生成に深く関わっているかどうか、現在活発に研究が進められている。また、先行研究では一様真空テスト電磁場 (Wald 解) 中でのブラックホールに片方の電荷を持つ荷電粒子が選択的に降着することが明らかにされている。そして近年、ブラックホールの帯電が BZ
過程を妨げる可能性が指摘され、現在も議論が続いている。本研究では、BZ split-monopole 解における帯電を解析することを目指して、まず split-monopole 磁場を伴う球対称ブラックホール時空における荷電粒子の運動を調べた。

1

特に、jet を駆動する際のエネルギー源に関してもIntroduction

決着がついていない。エネルギー源の候補の一つに、2019 年 4 月に EHT が BH シャドウの撮影に成BH の回転エネルギーを磁場を通して引き抜くとい功した M87 銀河中心には他の特徴として、銀河中心う考えが、1977 年に Brandford と Znajek によってから噴き出している jet が存在している (Fig.1)。
提案された [1]。二人の名をとって現在は”BZ 過程”と呼ばれている。ところで、先行研究の一つにキリ
ングベクトルの線形結合から構成された Wald 解
B0
Q
Aµ =
(mµ + 2akµ ) − kµ(1)22
で BH に片方の電荷を持つ荷電粒子が選択的に降着して帯電することが示唆されている [2]。

図 1: M87 銀河中心から噴き出す jet

jet は高エネルギー現象の一つであり、プラズマが光速に近い速度で細く絞られながら飛び出している。

jet にはいくつかの謎が残されていて、例えばどのような機構で jet を細く絞りつつ遠方まで届かせている
か、どのように光速に近い速度まで jet を加速させているのか、については現在まで解明されていない。

253

図 2: Wald 解での磁力線 (Q = 0)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。さらに、この split-monopole 解に対して時空と磁場を回転させることで BZ split-monopole 解が実現される。BZ split-monopole 解は Kerr 時空中に磁場とそれに垂直な電場、さらに磁力線に沿った電流があるような磁気圏である。

図 3: Wald 解での磁力線 (Q = 2aB0 )さらに、この荷電降着による BH の帯電によって

図 5: split-monopole 解の概念図

BZ 過程は jet を定常に引き起こすエネルギー源にはなりえないことが指摘されている [3]。
そこで、本研究では Blandford と Znajek が BZ 過程が起こることを理論的に示すときに用いた BZ split-

monopole 解 (図 4) における荷電粒子の運動を明ら

この split-monopole 解 (図 5) 上で荷電粒子、特に陽子と電子に対する運動を調べて BH の帯電を解析する。荷電粒子の運動方程式はmuν ∇ν uµ = eFµν uνかにすることを目指して、まず第 0 近似である split-

monopole 磁場を伴う球対称 BH 時空における荷電粒子の運動を調べた。

(3)であり、また初期条件として陽子と電子に

1. 無限遠方で静止 (E = 1)
2. 全角運動量はゼロ (mp Lp = −me Le )を課す。

3

Results
まず、荷電粒子の運動方程式 (3)式は時空の対称性

から t、φ 成分は保存量が存在している。また θ 成分
も変数分離して積分が可能で

1 2
u + Θ(θ) = K
2 θ

図 4: BZ split-monopole 解の概念図(4)となる。ここで、Θ(θ) は θ のみの関数であり、K は2

任意の定数である。このとき (4) 式から、θ = 一定

Methodsの解が存在しているので、まずはこの解に注目する。

split-monopole 解 (図 5) は、まずシュヴァルツシ

すると、残る r 方向の運動方程式を解析することでルト時空上に北極側を N 極、南極側を S 極として赤荷電粒子の運動は定まる。すなわち一次元問題に帰道面上に電流シートを置いた磁気圏であり、Aµ は着したことになる。r 方向の運動方程式はAµ = ±qm (1 ∓ cos θ) δµφ

(2)

254

1 2
ṙ + Vef f = E
2(5)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。ここで、Vef f は有効ポテンシャル、E は単となる。また、初期条件から全角運動量はゼロなので

位質量あたりのエネルギーである。有効ポテンシャ√√
2 2me M < me L̃e = mp L̃p < 2 2mp M

ルを書き下すとVef f = −

M
L̃2
M L̃2
+ 2− 3r
2rr(9)となる有効角運動量の範囲が存在する。上式は、陽(6)となる。ここで、L̃ は角運動量に磁場の効果が入ったもの (有効角運動量) である。(6) 式から有効ポテ
ンシャルは磁場の無い赤道面上でのシュヴァルツシ
ルト時空の粒子と同じ形状になる。

子と電子の約二千倍の質量差によって陽子のみが BHに落下して電子は BH に落下しないことを意味している。すなわち、陽子の降着により BH は正に帯電することになる。
陽子による BH の帯電後の荷電粒子の有効ポテン
シャルはブラックホールの電荷が生み出す電場によってVef f = −

1
r


M±
1
+ 2
2r

eQ
m
(



L̃ −
2



eQ
m

2 )
−

M L̃2
(10)
r3

と変化する。陽子による BH の帯電は最終的に電場
によって陽子と電子の運動が同じ振る舞いになるま
図 6: 動径方向の有効ポテンシャル
これらのことから荷電粒子は E, L, q を調整することで図 7 のように θ = 一定の磁力線の面 (cone) 上をで続く。陽子によって最大帯電量は Sgr A*BH でMQ ≈ 6 × 108[C](11)
4 × 106 M⊙となる。

運動することが分かる。

4

Conclusion
split-monopole 磁場での陽子の最大帯電量は SgrA*BH で約 6×108 [C] であることが分かった. さらに
Sgr A*BH での最大帯電量は、観測による制限が設けられていて [4]、Q ≤ 3 × 108 [C](12)となっている。よって、今回の研究で得られた結果とは、オーダーで同じ値になることが分かった。

図 7: cone 上での荷電粒子の運動

今後は、BZ split-monopole 磁場では帯電はどうな

次に荷電粒子の運動の解析で得られた結果を初期条件と共に陽子と電子の二粒子に当てはめる。ここるか？さらに帯電するならば BZ 過程はどうなるのかを調べる。

で、有効ポテンシャルの形状から陽子と電子が BHに落下する条件は√
mp L̃p < 2 2mp M√
me L̃e < 2 2me M

Acknowledgement(7)

本発表にあたり、ご指導いただいた宇宙物理・重(8)

力研究室の皆様、講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営の皆様に深く感謝申し上げる。

255

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference[1] Roger D Blandford and Roman L Znajek. Electromagnetic extraction of energy from kerr black
holes. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 179, No. 3, pp. 433–456, 1977.
[2] Robert M. Wald. Black hole in a uniform magnetic ﬁeld. Phys. Rev. D, Vol. 10, pp. 1680–1685,
1974.
[3] A. R. King and J. E. Pringle. Can the Blandford–Znajek Mechanism Power Steady Jets?
Astrophys. J. Lett., Vol. 918, No. 1, p. L22, 2021.
[4] Michal Zajaček, Arman Tursunov, Andreas
Eckart, and Silke Britzen. On the charge of thegalactic centre black hole. Monthly Notices of
the Royal Astronomical Society, Vol. 480, No. 4,
pp. 4408–4423, 2018.
[5] Serguei S. Komissarov.

Electrically charged

black holes and the Blandford–Znajek mechanism. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., Vol. 512,
No. 2, pp. 2798–2805, 2022.

256

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重宇 c072 次元量子ブラックホールにおける量子収束仮説
田中

亜花音

257

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

2 次元量子ブラックホールにおける量子収束仮説
田中 亜花音 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
量子収束仮説は量子効果を含む様々な状況で成り立つことが証明されている。しかしブラックホールの蒸発過程を考えた場合、Hawking 輻射のエンタングルメントエントロピーは Page time 以降減少することが知られている為、量子収束仮説は破れる可能性がある。そこで先行研究では island 形成を考慮した 4 次元球対称
動的ブラックホールにおいて量子収束仮説が成り立つことを証明した。しかし証明に使用されているモデル
は近似的なモデルであり、正確に量子効果を取り込めていない。そこで本研究では半古典 Einstein 方程式が厳密に解ける 2 次元量子ブラックホールにおいて量子収束仮説が成り立つことを証明する。

1

ここで Sout はブラックホール外側の輻射のフォンノ

Introduction
収束定理は一般相対論における重力の基礎的な性

質を理解するための大きな役割を担う。例えば特異点定理やブラックホール熱力学第二法則などの証明に用イマンエントロピーである (正確には物質場のエントロピー)。(4) を用いて一般化エントロピーの第二法
則 (GSL) は

dSgen ≥ 0.

いられている。収束定理は Raychaudhuri 方程式とヌルエネルギー条件 (NEC) を組み合わせた expansion

θ を用いて(5)

これは Sgen が非減少であることを示す。この半古典的な一般化に対応して収束定理 (1) を QFC に一般化

dθ
≤ 0,
dλ

(1)

する。QFC は

dΘ
≤ 0.
dλ

と表す。ここで λ はヌル測地線のアフィンパラメー
タとする。また expansion θ は(6)

ここで Θ は quantum expansion と呼び、expansion

1 dA
θ≡
.
A dλ

(2)

θ(2) を量子化したものであり次のように定義される。

ここで A は null congruence の断面積である。このΘ=A をブラックホールの断面積と読み替え、相対論の4GN dSgen
.
A
dλ

(7)

QFC は量子効果を含む様々な場合で成り立つこと

大域的な操作をするとが証明されている。しかしブラックホールの蒸発過程

dA ≥ 0(3)となり、これは面積エントロピーの第二法則である。
しかし、量子効果を取り入れると NEC は破れるため(3) は破れてしまう。そのため収束定理には修正が求められる。
そこで代替案として量子収束仮説 (QFC)[1] が提案された。QFC はベッケンシュタインの提案した一般化エントロピーを用いて定義される [2]。一般化エントロピーはを考えた場合は破れる可能性がある。Hawking 輻射のエントロピーをエンタングルメントエントロピーと捉えると、Page time[3] 以降、面積エントロピー
も輻射のエントロピーも減少してしまう。したがって QFC は破れてしまう可能性がある。これに対して先行研究 [4] は island 形成 [5,6] を考慮した蒸発する 4 次元球対称ブラックホールにおいて QFC が成り立つことを証明した。しかし先行研究 [4] のブラックホールモデルは近似解を採用しており、量子効果
を正確に取り込めていない。そこで本研究では半古A
Sgen =+ Sout .
4GN(4)

典 Einstein 方程式を厳密に解ける RST モデル [7] において QFC が成り立つことを証明する [8]。

2582024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

2 次元ブラックホールと island

2

を壊してしまう。よって対称性を保つために次のような作用を追加する。

この章では 2 次元ブラックホールである RST モ

IRST = −デル [7] と一般化エントロピーを計算するための is-land[5,6] についてレビューする。

c
48

∫

√
d2 x −gϕR.

(15)対称性 (14) を用いると、一般性を失わず ρ = ϕ とすることができる。また運動方程式を簡単に表すため

2.1

RST モデルに新しい場の変数を導入する。

まず 2 次元ディラトン重力における古典作用である CGHS モデルを考える。作用は∫√
1
ICGHS =
d2 x −ge−2ϕ {R + 4(∇ϕ)2 + 4λ2 }.
2π(8)Ω = e−2ϕ +

c
ϕ.
24

場の変数 (16) を用いると、作用 ICGHS + IQ + IRSTに対する運動方程式は∂+ ∂− Ω + 1,

2
−∂±
Ω=

ここで R はリッチスカラー、ϕ はディラトン場、λは長さのスケールを持つパラメータである。また適

(16)

c
t± .
24

(17)

ここで t± は以前に出てきた積分定数と同じものであ

切な座標変換により λ = 1 に設定することができる。 る。以降、蒸発する 2 次元量子ブラックホールについ
また物質場も導入する。また簡単のため共形的なも て議論する。liner dilaton vaccum に物質場の shockののみを考える。量子効果を取り入れると、エネル

wave が入射し、ブラックホールが形成されるような

ギー運動量テンソルは曲がった時空では共形アノマ

状況を考える。この時、エネルギー運動量テンソルリーを持つ：

は次のように仮定する。

⟨T µ ν ⟩ =

c
R.
12

T++ =

(9)

2M
δ(x+ − x+
0 ),
x+
0

T−− = 0,(18)

ここで c は central charge である。conformal gauge

ここで無限の過去では時空は平坦であるとする。までは、計量は次のようにとる。

た x± は null 座標であり、x+0 で shock wave が入射

ds2 = −e2ρ dx+ dx− ,+すると仮定する。この時、解 Ω は

(10)

−

ここで ρ は x と x の関数である。この gauge でΩ = −x+ x− −は (9) はc
T+− = − ∂+ ∂− ρ,
6
c
T±± =
[2∂ 2 − 2(∂± ρ)2 + t± ],
12 ±

(11)

M
c
+
+
log(−x+ x− ) − + (x+ − x+0 )θ(x − x0 ),
48
x0
(19)

となる。ここで M はブラックホールの質量であり、

ϵ = c/48M ≪ 1 とする。また座標 (u, v) を

(12)
x+ = x+0 v,と表せる。ここで t± (x± ) は積分定数であり物理的な境界条件で決まる。ここで導入した量子エネルギー

x− =

M
u,
x+
0

(20)

と定義すると、Ω は v > 1 の時

運動量テンソル (12) を再現する作用として非局所的な Polyakov 項を ICGHS に追加する。
∫
c
IQ = −
dx+ dx− ∂+ ρ∂− ρ.
12πΩ = M [1 − v(u + 1) − ϵ(−M uv)],(13)

であり、v < 1 の時

Ω = M [1 − v(u + 1) − ϵ log(−M uv)].

しかし、この項は古典作用 (8) の対称性:

δϕ = δρ = ϵe2ϕ ,

(14)

(21)

(22)

となる。(21) はブラックホール解であり、(22) は lin-

ear dilaton vacuum 解である。

259

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.2

一般化エントロピー

この章では 2 次元ブラックホールにおける一般化
エントロピー (4) を計算する。コーシー面を 2 つの領域に分割する点 A を考える。事象の地平面は２つの領域のうちの一つに存在し、もう一つの領域で一般化エントロピーを計算する。以降、点 A を anchor

point と呼び、ブラックホールのある領域を A の内部と呼ぶ。island rule ではエンタングルメントエン
トロピーは次式で与えられる。
{ [ ∑ Area]}
Sgen = min ext+ Sbulk .
4GN

(23)

A,I

ここで Sbulk の外部と island と呼ばれる領域の結合におけるエンタングルメントエントロピーである。面積
項は A と I の面積の和であり、I は島の境界を表す。

図 1: これは RST モデルの Penrose 図である。赤い線が island の端点であり、青い線は anchor curve を表す。

ここではエンタングルメントエントロピーが極大となる、単一の連結領域と空の 2 つのケースを考える。 3
この 2 つのケースをそれぞれ island conﬁguration、

no-island conﬁguration と呼ぶ。
island conﬁguration における一般化エントロピー
はRST モデルにおける Qunatum
focusing conjecture
この章では 2 次元蒸発ブラックホールである RST

モデルにおいて QFC が成り立つことを証明する。2次元における quantum expansion は次のように定義

Area(A) Area(I)Sgen =++ Sbulk [SAI ]
4GN
4GN

(24)

する。

Θ=

と表す。ここで第 1 項目はArea= 2(Ω − Ωcrit ),
4GN

(25)

Sgen を計算するとislandSgen=2M {1 − vI (1 + uI ) − ϵ log(−M vI uI )}3 項目は island の境界 I と anchor point A をつなぐ

+ 2M {1 − vA (1 + uA ) − ϵ log(−M vA uA )}
[(
]
)2
c
vA
v I uIuAv A uA
+ log
log
,
log
12
vI
uI
1 − vA (1 + uA ) 1 − vI (1 + uI )spacelike surface SAI 上の CFT 物質場の von Neumann entropy である。bulk entropy Sbulk は
clog |d(A, I)2 eρ(A) eρ(I) |t± =0 ,6(26)と表される。

Island がない場合の一般化エントロピーはSgen =

Area(A)+ Sbulk [SA0 ],
4GN

(27)

(29)
no-island
Sgen=2M {1 − vA (1 + uA ) − ϵ log(−M vA uA )}
[(
]
)2
c
vA
uA
v A uA
+
log
log
log
,
12
v0
u0
1 − vA (1 + uA )(30)と表される。ここで SA0 anchor curve と時空の innerboundary Ω = Ωcrit をつなぐ surface である。island
conﬁguration、no-island conﬁguration それぞれの状
況を図１に示す。

(28)

また (24)(27) を用いて具体的に一般化エントロピーとなる。また第 2 項目は island の境界項である。第Sbulk [SAI ] =1 dSgen.
2Ω dλとなる。ここで island の位置を (uI , vI )、anchor

curve の位置を (uA , vA ) とした。また 2 つのエント
islandno-island
ロピー Sgen, Sgenの振る舞いを確認するにあたり、次の 3 つの場合に分けて計算する。(i)horizon
近傍 ϵ ≪ −vA (1 + uA ) ≪ 1, (ii)horizon の遠260

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
方 −vA (1 + uA ) = O(1), (iii)horizon に十分近い[2]J.D. Bekenstein, Phys. Rev. D7 (1973) 2333

−vA (1 + uA ) ∼ ϵ。この 3 つの場合に対して[3]D.N. Page, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 3743

∂ [ e−2ρ ∂
∂v

Ω ∂v

]

island/no-island
Sgen
≤ 0,

(31)

を示すことが目的である。詳細な計算は省くがすべ[4]Y. Matsuo, JHEP12 (2023) 050[5]G. Penington, JHEP 09(2020)002,ての場合について QFC が成り立つことが証明でき[6]A. Almheiri, et al JHEP 12 (2019) 063ている (参照 [8])。

[7]J.G. Russo, L. Susskind, and L. Thorlacius, Phys.
Rev. D46 (1992) R1005

4

[8]A.
Ishibashi,
Y.
Matsuo,arXiv:2403.19136[hep-th].

Conclusion
本研究では 2 次元量子ブラックホールである RST

モデルにおいて、island 形成を考慮した上で QFC が成り立つことを証明した。RST モデルは Einstein 重
力と高次元で一致する。球対称のみに注目すると D
次元の Einstein 重力は 2 次元 dilaton 重力に帰着する。また largeD limit をとると Schwarzschild blackhole は CGHS モデルの eternal black hole と等価であるため、RST モデルの古典極限においても等価であると言える。よって本研究は Schwarzschild blackhole においても当てはまることが期待できる。
また QFC から量子ヌルエネルギー条件 (QNEC)を導出することもできる。RST モデルにおける QFCの結果を用いると QNEC はe−4ρ T++ ≥d2 Sout
,
dλ2

(32)

と表すことができる。これは 2 次元の QNEC に一致する。高次元ではいくつかの場合において QNEC が破れていることが確認されている。今後は 2 次元の場合にも QNEC が破れている可能性について研究していきたい。

Acknowledgement
本研究を行うにあたり、共同研究者である近畿大学 石橋明浩教授と松尾善典氏には多大なるご指導をいただきました。ありがとうございました。また、講演の機会を作っていただいた天文・天体物理若手夏の学校事務局の皆様に心より感謝申し上げます。

Reference[1]R. Bousso, Z. Fisher, S. Leichenauer, and A.C. Wall,
Phys. Rev. D93 (2016) 064044

261

A.

Tanaka,——–index へ戻る

重宇 c08

Analogue Gravity を用いた裸の特異点を持つ時空のモ
デル化
塙

正之

262

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

AnalogueGravity を用いた裸の特異点を持つ時空のモデル化
塙 正之 (東京学芸大学大学院教育学研究科)

Abstract
ブラックホールの性質を、何らかの物理現象との類推から探ろうとする、Analogue Gravity という分野が発展している。Unruh らが Klein-Gordon 方程式と流体の関係づけを提案してから [1]、様々なセットアップで重力の効果をモデル化する提案がなされ、実験も行われてきた。Schwarzschild 時空をはじめ、いくつかの
ブラックホール時空を流体と対応付ける方法は Oliveira らによって開発されており [2,3]、本稿では、この方法に倣って、裸の特異点を持つ JNWW 時空のモデル化を行った。

1

点とは、この特異点がむき出しになったものである。

Introduction

この時空を流体でモデル化するために必要な流体のブラックホールは非常に高密度な天体であり、光すら脱出できないホライゾンと呼ばれる境界を持つ。

密度や速度場などを求め、その正当性を確かめるた
め、流速と光速の大小関係や潮汐力に注目した。

そのためブラックホール内部は直接観測できない。こうした中、ブラックホールを直接観測しようとするのではなく、何らかの物理現象との類似性からブラック
ホールの性質を探ろうとする、Analogue Gravity と2

Acoustic Black Hole

呼ばれる分野が発展している。例えば、光と音の類似

まず、Unruh が提案した、流体と Klein-Gordon 方性を利用してブラックホール時空を再現するモデル

程式との対応についてまとめる。この流体による「ブには、ラバール管に空気を流し超音速流を作り出すラック」ホールは Acoustic (音響) ブラックホールとというものがある。 ラバール管は太さが一定でない呼ばれる。流体力学より、粘性のない、圧力が密度管で、細い部分では空気の流れが速くなる。そして、 のみに依存する渦無し流体は、以下の連続の方程式、空気の流れが音速を超え超音速流になると、上流域に オイラーの方程式および渦無しの条件に従う。
音が伝播しなくなり、音にとっての「ブラック」ホーセットアップで重力の効果をモデル化する提案がな∂ρ+ div (ρv) = 0
∂t{
}
∂v
ρ
+ (v · ∇)v = −∇P − ρFex∂t

され、実験も行われてきた。この流れの中、Oliveira∇×v =0ルになる。特に、1981 年に Unruh が Klein-Gordon
方程式と流体の関係づけを提案してから [1]、様々ならによって、静的球対称なブラックホールに対応する Schwarzschild 時空をはじめ、いくつかのブラッ
クホール時空を流体と対応づける方法が開発された[2,3]。この方法は従来からわかっていたブラックホー
ル周りでの光の軌跡だけでなく、粒子の運動もモデル化できる方法である。 本研究では Oliveira らの方法に倣い、JNWW 時空を流体でモデル化することを考え、Schwarzschild 時空の場合と比較した。JNWW

(1)
(2)
(3)

ここで、ρ は密度、v は速度場、P 、Fex はそれぞれ流体素片に加わる圧力と外力を表す。いくつかの式
変形の後、密度や流速、圧力について摂動を考えれば、v と v = ∇Φ で結ばれる流速ポテンシャル Φ の摂動 δΦ が従う方程式は
(
)
√
1
∂
µν ∂δΦ
√=0−ss∂xν
−s ∂xµ時空は静的球対称な時空であるが、同じく静的球対
称なブラックホールを表す Schwarzschild 時空とは違い、裸の特異点を持つ。特異点とは密度や圧力などの物理量が発散する点であり、通常はホライゾンの内側に隠されていると考えられている。裸の特異263

s = det sµν()ρ −(c2s − v 2 ) −v i(sµν ) =
cs
−v j
δ ij

(4)
(5)
(6)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。ここで、音速を cs =√の式は重力場中の波動方程式である Klein-Gordon 方
程式

1
∂
√
−g ∂xµ(√−gg µν

まず、2 つの式を見比べ、クロスターム dtdx をな∂P/∂ρ とした。こ

∂ϕ
∂xν

)
=0

(7)

と同じ形をしている。これはすなわち、音についてくすために、新たな時間座標∫v(x′ )T =t+dx′
c2 (x′ ) − v 2 (x′ )(12)を用いれば、線素 (10) 式は、ができたので、今度は特定の時空をモデル化するた[]
k2{− c2 (x) − v 2 (x) dT 222c (x)v (x)c2 (x)
dx2 + dy 2 }+ 2c (x) − v 2 (x)めに Oliveira らの論文で使われている線素を計算すとなる。次に、dy 2 と dϕ2 とを比較する。新たな角度る。(1+2) 次元の、流速が直交座標系を用いて座標 Θ = y/L (mod 2π) を用いれば (L は典型的なの波動方程式で、重力場中の波動方程式を模倣する

ds2 =ことができたということを意味している。

Acoustic ブラックホールの計量 sµν を求めること(13)

長さであるとし、今は 1 とおいた。極座標の角度方v(x, y) = v(x)ex(8)

向座標 ϕ と直交座標 y とを同一視するために、y をで表される流体を考える。連続の方程式より密度は、 無次元化し、周期境界条件を持つようにしている。)、
その係数が等しくなるように、動径座標 R(x) を用
積分定数 k を用いて

ρ(x) =

k
v(x)

いて

(9)

で表せるので、Acoustic ブラックホールの線素はR2 (x)f 1−γ (R) =

k2

(14)

c2 (x)v 2 (x)という条件が得られる。したがって、音速は

ds2 =sµν dxµ dxν

c(x) =

k
R(x)v(x)f (1−γ)/2 (R(x))

(15)
[
(
)
]
k
= 2 2 − cs 2 − v 2 dt2 − 2vdt dx + dx2 + dy 2 ときまる。音速 c を線素に代入して消去し、R′ (x) =cs v(10) dR(x)/dx であることに注意すれば、線素は、以下の形になる。
となる。ここからさらに時空を限定していくことで、
)
(
dR2
k2
2
2
2
1−γ
特定の時空をモデル化することができる。実際に、こ ds = R v f(R) − 2 dT 2 + R′2R′2 v 4v
R2 f 1−γ − k2
れを JNWW 時空の線素と同一視していく。
+R2 f 1−γ (R)dΘ2
(16)
2

−1

Analogue model for JNWW 次に、JNWW 時空の線素は、gtt と grr が同じ形をしていることから、その条件を課せば、()
spacetimek2
R′2
R′2 v 43

R2 v 2 f 1−γ (R) −Oliveira らに倣い、JNWW 時空と Acoustic ブラックホールを対応させていく。JNWW 時空を表す線素

v2

2

dr
ds = −f (r)dt + γ +r2 f 1−γ (r)(dθ2 +sin2 θdϕ2 )f (r)γ

R2 f 1−γ

−

k2

(17)

となり、v がは以下で与えられる。
2=2v(x) = ±kR(x)f (1−γ)/2 (x)R′ (x)(18)と定まる。こうして得られた、v を代入するなどすrg
f (r) = 1 −(11) れば、最終的に Acoustic metric が、座標変換や課しrた制約条件により、
γ は Schwarzschild 時空との違いを表す量で、γ = 1()
R′2
k 2 R4 f 2(1−γ)のとき Schwarzschild 時空に一致する。この線素を、 ds2 = −−dT 2
R2 f 1−γR′2
Acoustic ブラックホールの線素 (10) と同一視してdR2
いく。以下、JNWW 時空の線素を θ = π/2 で固定++ R2 f 1−γ dΘ2 (19)′2
k2 R4 f 2(1−γ)
R
−
2
1−γ
′2
R f
R
し、比較する。また、音速 cs は c として記す。

264

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。f (R)γ の形が JNWW 時空と同様になれば

JNWW 時空と全く同じ線素の形になるので、
R′2
k 2 R4 f 2(1−γ)−= f γ (R)R2 f 1−γR′2(20)となるから、

R′4 − R2 R′2 f − k 2 R6 f 3(1−γ) = 0(21)という条件を得る。ここで、k = rg = 1 という単位系をとり、具体的に f (R) = 1 − rg /R を代入すれば、
(
)
1
′
4
2 ′
2
R (x) − R(x) R (x) 1 −
図 1: 上図：JNWW 時空赤道面でのモデル。R(x) = 1
R(x)()3(1−γ)が裸の特異点に対応。下図：Schwarzschild 時空赤道1
− R(x)6 1 −=0
面でのモデル。R(x) = 1 がホライゾン、R(x) = 0
R(x)(22) が特異点に対応。左図：初期条件を R(0) = 2 として解いた式 (22) の数値解の 1 つ。右図：(15) 式、(18)という微分方程式を得る。この微分方程式を満たすよ 式のグラフの 1 つ。
うな R(x) であれば、JNWW 時空の線素と Acoustic
ブラックホール時空の線素とが同じ形で表現される。
したがって、その時、JNWW 時空のモデル化ができたと考えられる。
なお R(x) がわかれば、v(x) や c(x)、ρ(x) の形も配を考えた。これは、重力によって物体が引き伸ばされる現象と、流体の流れによって例えば何らかの
煙が伸ばされる現象が対応しているのではないかと

式 (18) や (15)、(9) より定まる。また、圧力 P も、 考えたためである。
JNWW 時空における潮汐力については先行研究
定義に従い、
dρ
dP
で考察されており[4]、角運動量のない自由落下する= c2 (x)(23)
dx
dx
粒子が受ける動径方向の潮汐力は()
を積分すれば得られる。
1 + γ rgγrg γ−2f1−(24)
以上の R(x)、v(x)、c(x) をプロットしたグラフが
r3
2 r
図 1 である。この図から Schwarzschild 時空のモデルに応じて大きくなる。式 (24) のグラフと流速勾配のとは違い、JNWW 時空のモデルでは常に c(x) > v(x)グラフを並べると図 2 となる。これらは概形は一致しとなり、裸の特異点時空にホライゾンがなく、光がているものの、γ の変化に対する定性的振舞いが一致
閉じ込められないことへの対応になっていることがしていない。この理由はこのモデルにおける潮汐力わかる。ここから、光に関するモデル化は正当性がの対応物が、|dv/dR| ではないか、もしくは JNWWあると考えられる。
時空中の粒子の運動については、このモデル化が適当ではないことが原因だと考えられる。

4

Tidal forces
前節で得られた JNWW 時空の流体モデルにおけ

5Conclusion

る更なる正当性を確かめるため、今度は光ではなく、裸の特異点を持つ JNWW 時空のモデル化を行っ粒子に関する現象、特に潮汐力に注目する。潮汐力た。光に関する現象はこの流体モデルで表現できたとは、重力源の方向に向かって物体を引き伸ばそう

が、粒子については少なくとも潮汐力において定性とする力のことである。ブラックホールの周りでは的な不一致が見られた。今後は、裸の特異点まわり
その重力の強さから、潮汐力も大きくなる。我々は、 の粒子の運動まで含め、流体でモデル化するための潮汐力に対する流体の対応として、流速 v の速度勾研究を進めていく。

2652024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: 潮汐力と流速勾配の図。左図：式 24 のグラフ。
右図：流速勾配 |dv/dR| を表す。どちらも rg = 1 とした。

Acknowledgement
今回発表の場として、天文・天体物理若手夏の学校を設営・運営して下さったスタッフの方々、そして支援して下さった方々に心より感謝申し上げます。
またこの研究を進めるにあたり、手厚いご指導をしてくださった東京学芸大学 小林晋准教授、納得がい
くまで議論に付き合ってださった研究室の先輩方・同期の皆様に深く感謝申し上げます。

Reference[1] W. Unruh, “Experimental Black-Hole Evaporation?”, Phys. Rev. Lett. 46, 1351 (1981).
[2] C. Oliveira et al., “Analogue models for
Schwarzschild and Reissner-Nordstrom spacetimes”, Phys. Rev. 104, 024036 (2021).
[3] C. Oliveira and R. Mosna, “Analog model for the
BTZ black hole” Phys. Rev. 106, 064030 (2022).
[4] 太田渓介, 東京学芸大学教職大学院専門学術論文(2021).

266

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重宇 c09

宇宙項を持つ （１＋１）次元ブラックホールの準固
有振動について
鬼澤

宥人

267

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙項を持つ (1+1) 次元ブラックホールの準固有振動について
鬼澤 宥人 (東京学芸大学教職大学院 教育学研究科)

Abstract
ブラックホールの性質を調べる方法としてブラックホール背景時空に摂動を加え、境界条件を課すことで得られる準固有振動 (Quasinormal mode) を調べるというものがある。この振動はブラックホールの内部構造の情報を持っていると考えられ、ブラックホールの安定性を調べることができる。これまで様々なブラック
ホールについて様々な方法で調べられているが、本研究では宇宙項をもつ (1+1) 次元のブラックホールの準固有振動を解析的に求めた。結果として、振動数が純虚数で得られ、過減衰の振動が得られた。また、宇宙項が準固有振動に与える影響について分析し、その結果、宇宙項が振動数を小さくする方向に働き、振動の周期を小さくする働きを持つことが分かった。

1とが分かっているが、(1+1) 次元時空はその効果が現Introduction
ブラックホールは宇宙に存在する、高密度で重力が非常に強い天体である。そのため光も脱出することができない領域が存在し、その境界を事象の地平れる最も次元の低い時空である。そのため (1+1) 次
元ブラックホールは通常の (3+1) 次元ブラックホールに関連する情報を引き抜くために有効なケースス
タディになると期待されている。

面 (horizon) と呼ぶ。また、ブラックホールの中心には特異点 (singularity) と呼ばれる点が存在すると考えられている。特異点は物質の密度や時空の曲がり具合を表す曲率が無限大に発散してしまっている点で、そこでは一般相対性理論などに基づく物理法則が破綻してしまうと考えられている。こうしたブラックホールの内部構造を直接視覚から観測することは本研究では、(1+1) 次元で宇宙項が時空に存在する場合に注目した。宇宙項は宇宙論的観測から存在が示唆されている量で、真空のエネルギーとして働くと考えられている。その量が (1+1) 次元ブラック
ホールの準固有振動に与える影響を解析した。以下、本稿では c = 1 の単位系を用いる。

難しい。なぜなら、事象の地平面の内部から電磁波(光) が出てくることはできないため、事象の地平面

2

1+1 dimensional black holeの外に内部の情報を伝えることができず、直接ブラックホール内部を観測することができないからである。

(1+1) 次元時空における重力理論は (3+1) 次元時

この問題を解決する方法の一つとしてブラックホー

空に比べて計算が容易であり、重力の本質的な効果がルの準固有振動 (quasinormal mode) を用いる方法がみやすいと期待される。しかし (1+1) 次元では時空ある。準固有振動とはブラックホールに微小な揺らぎの曲がり具合を表すアインシュタインテンソルがゼ(摂動) を加えた時に生じる波の一種であり、ブラック ロになるため、適当な物質場 (スカラー場) を導入す
ホールの安定性などを調べることができる。具体的に ることでブラックホール解を得ることができる。そこは摂動を加えて生じる波にブラックホールの horizon

で (1+1) 次元時空における重力場の作用としてディに向かって内向き (ingoing)、無限遠方に向かって外

ラトン場 ψ を導入した∫√
S[gµν , ψ] = d2 x −g
[
(
)
]
1
1 µν
×
ψR + Λ + g ∂µ ψ∂ν ψ +Lm
16πG2
2
(1)

向き (outgoing) に伝わるという境界条件を課すことで得られる。準固有振動はブラックホール内部の様
子に応じて変化するため内部の構造を知ることができる可能性があり、近年盛んに研究されている。
こうした流れの中で、Bhattacharjee らは (1+1) 次
元ブラックホールの準固有振動を求めた [1]。一般相が考えれられた [2]。ここで g µν や R はそれぞれ時空対性理論から、重力の本質は時空の曲がりであるこの曲がりを表す計量とリッチスカラー、G2 は 2 次元268

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校の万有引力定数、Λ は宇宙項、Lm は物質のラグランと変数分離し、∫ジアン密度である。また g=det (gµν ) である。宇宙x∗ =項 Λ は物理的には真空のエネルギーに相当し、宇宙の加速膨張を引き起こすダークエネルギーの候補とも考えられている。この作用の変分をとると、一般
相対性理論の基本方程式である Einstein 方程式に相式を変形すると R(x) はd2 R(x)+ [ω 2 − V (x)]R(x) = 0(8)dx2∗(2M 2 − ΛC)2
3 2 2 2M 2 − ΛCΛ x −−V (x) =
16
4
4Λ2 x2

この作用 (1) 式の右辺にある物質のラグランジア

を考え、変分によって求められた式を解くと、時空の歪みを表す線素 ds2 が以下のように得られる。

(7)で定義される座標 (tortoise coordinate) を用いて (4)当する式が得られる。
ンとして質量 M の質点が x = 0 に依存している状況
(
)
M
ρ=
δ(x)
(2)
2πG

dx
f (x)

に従う。(8) 式は Regge-Wheeler 方程式と呼ばれる方程式である。ここで V (x) は有効ポテンシャルであり、このポテンシャルを考えることで光や粒子の運動の定性的振る舞いについて考えることができる。

ds2 = gµν dxµ dxν = −f (x)dt2 + f −1 (x)dx2
1
f (x) = − Λx2 + 2M |x| − C(3)
2
ここで C は任意定数である。以下ではホライゾンが2 つ存在する場合に相当する 2M 2 − ΛC > 0 について考える。この条件下ではこの解はブラックホール
解である。
図 1: 有効ポテンシャルの図。M = 3, C = 5
左図: Λ が正の場合 右図: Λ が負の場合

3

Quasinormal modes of 1+1
dimensional black hole

Λ = 1(赤), Λ = 2(青), Λ = −1(茶), Λ = −2(紫)本研究では宇宙項を含んだ (1+1) 次元ブラックホー

図 1 の有効ポテンシャルの形から、宇宙項 Λ の絶ルに摂動という微小な揺らぎを加え、どのような振対値が増加するほどポテンシャルが屹立することがる舞いをするのか先行研究と比較した。(1+1) 次元

分かる。また、どの宇宙項の値に対しても光のエネ

で摂動の準固有振動を求めるには波動方程式の拡張

ルギーの大きさに関係なくブラックホールの中へとである Klein-Gordon 方程式をさらに一般化した進んでいくことが分かる。

√√
1∂µ ( −gh(ϕ)g µν ∂ν Ψ) = 0−gh(ϕ)

さらに (8) 式を解くために無限大の値を有限の値(4)する座標変換を解き、無限遠方で Ψ = 0 という境界条件を課せばy=良い。ここで gµν

は gµν の逆行列であり、(3) 式のf (x) は |x| − 2M /Λ を改めて x とおいた
1
2M 2
f (x) = − Λx2 +
−C
2
Λ

(9)

そして R(y) の展開として(5)を表す。ここで (4) 式を満たす波動関数 Ψ をR(x) −iωtΨ(x, t) = √
e
h(x)

1
( √
)
1
cosh2
4M 2 − 2ΛCx∗
2R(y) = (y − 1)A y B F (y)
A=

(6)

269

3
−iω
, B=√
4
4M 2 − 2ΛC(10)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校とおくと、F (y) について超幾何微分方程式

y(1 − y)d2 F (y)dF (y)+ [c − (1 + a + b)y]2dydy

− abF (y) = 0
a= b=1− √

(11)

iω
2iω
, c=1− √4M 2 − 2ΛC
4M 2 − 2ΛCが得られる。この超幾何微分方程式については係数と解についての関係が知られている。
2 F1 (a, b; c, x) = (1 − x)c−a−b2 F1 (c − a, c − b; c; 1) =図 2: パラメータ a を変化させた時の図。a = −0.9(

2 F1 (c − a, c − b; c; x)青) 、

Γ(c)Γ(a + b − c)Γ(a)Γ(b)a = −0.5(橙)、a = 0(緑)、a = 0.5(赤)、a = 0.9(紫)(12)

ここで、準固有振動を得るための境界条件として y =41(無限遠方) で F (y) = 0 という条件を課す。つまり分母のガンマ関数が発散する条件から準固有振動の振動数は√
ω = −i 4M 2 − 2ΛC(n + 1)

Conclusion
宇宙項がある場合の (1+1) 次元ブラックホールでの準固有振動を求め、宇宙項がない場合と同様に過減衰に相当する振動になることが分かった。また正(13)の宇宙項について、宇宙項の影響によって減衰の時定数が変化することが分かった。

と求められる。ただし、n = 0, 1, 2 · · · をとる。本研

今後は、負の宇宙定数の場合や特異点を回避した

究では 2M 2 − ΛC > 0 を考えているため ω は純虚数

Regular ブラックホールの準固有振動について低次であり、(6) 式より Ψ(t) の時間依存部分は元のものから高次元のブラックホールまで調べてい√e− 4M −2ΛCt = e2√
2ΛC−2M 1− 4M
2t

きたいと考えている。

(14)となる。これより振動の様子は過減衰に相当することが分かる。これは先行研究 [1] や宇宙項 Λ = 0 の場合と同様の結果である。
次に、無次元化したパラメータ a = 2ΛC/4M 2 を変化させ、波動関数の時間依存性について宇宙項 Λの効果について議論する。
図 2 から、宇宙項を大きくしていくと、減衰の時

Acknowledgement
今回発表の場として、天文・天体物理若手夏の学校を設営・運営して下さったスタッフの方々、そして支援して下さった方々に心より感謝申し上げます。
またこの研究を進めるにあたり、手厚いご指導をしてくださった東京学芸大学 小林晋准教授、納得がい
くまで議論に付き合ってださった研究室の先輩方・同期の皆様に深く感謝申し上げます。

定数が大きくなるためゆっくりと減衰するようになることが分かる。これは正の宇宙項が空間を膨張させる働きがあり、空間が引き伸ばされることで光の波長が伸びることによるものと考えられる。なぜな

Reference[1]S. Bhattacharjee (2021), Phys. Rev. D103, 024008

ら光速は c = λ/T かつ一定であることから、波長が伸びることで周期 T が大きくなったと解釈できる[2]J. Mureika, & P. Nicolini (2011), Phys. Rev. D84,
044020からである。よってこれは物理的にも妥当な結果であると考えられる。また、この結果は (3+1) 次元の[3]A. Zhidenko (2003), Class. Quantum Grav. 21 273
280

de-Sitter シュバルツシルトブラックホールの準固有振動の宇宙項の影響とも一致している [3]。

270

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重宇 c10非整数階微積分のフラクタル図形との関係および物理現象へのその応用
小林

弘太郎

271

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

非整数階微積分のフラクタル図形との関係および物理現象へのその応用
小林 弘太郎 (東京学芸大学大学院 教育学研究科 物理学研究室)

Abstract
非整数階微積分は通常の微積分を拡張した定義を持つ新たな演算である。近年、この非整数階微積分は物理現象が起こる空間の有効的な次元と対応付けされ、様々な現象の解析に用いられており、その有効性が明らかになりつつある。また現在は、ブラックホール時空の特異点付近での物質の運動や初期宇宙の発展の様子を精密に記述するために活用されている。しかし非整数階微積分は、実に多くの定義が考えられており、一般にどの定義が正しいか、どの定義を物理現象へ適用すべきかなどは分かっていない。そこで本研究では、
特に conformable 微分と呼ばれる非整数階微積分の定義について、フラクタル図形との関係性を示した。また物理現象への適用し、通常の微積分と比較を行い、conformable 微分の特性を示した。

1

本研究ではこの conformable 微分と次元の関係をフIntroduction
非整数階微積分は 1/2 階の微分や√2 階の積分な

ど、整数ではない任意の実数階で微積分を行えるよ
うにしたものである。この非整数階微積分は数学のラクタル図形と関連付けて調べた。また conformable
微分を物理現象へ適用し、通常の微分の場合と比較することで、conformable 微分の特性を調べた。

分野ではライプニッツの時代から約 300 年研究されている歴史ある計算であるが、物理現象への応用は
約 30 年ほどの短い歴史しかない。近年急速に様々な

2

Background philosophy offractional calculus

適用が進んだ背景には、フラクタル幾何学の発展により非整数次元との関係が見つかったことにある。そ微分は連続で滑らかな関数に関して無限小の微小して現在、非整数階微積分は人間の皮膚への薬物の量に対する変化を考えることで定義される。しかし浸透の解析や大気汚染の広がりの解析など、様々なながら実際の自然現象をモデル化する場合は、注目分野で活用され、その有効性が明らかになりつつあするスケールに応じて粗視化の様子が異なる。

る [1,2]。

例えば図 2.1 のように障害物のある空間中を進む

また量子重力理論では、微視的なスケールで時空物体の運動を考えてみる。図 2.1 の左のように微視的は最小の構造を持ち、そのスケールより小さいスケーな過程を無視する粗視化をすれば、運動を連続で滑

ルでは時空の有効次元が低下することが示唆されてらかに繋げることができ、通常の微分を使用するこいる [3]。そしてブラックホール時空の特異点付近でとができる。一方で図 2.1 の右のようにゴール地点の物質の運動や初期宇宙の発展の様子を精密に記述するために非整数階微積分が活用されている [4,5]。

𝑦

しかし非整数階微積分の定義はいくつも存在して

通常の微分

𝑦

留まった時間かかった時間おり、どの定義をどの現象へ適用するべきかは自明

非整数階微分ではない [6]。これは定義ごとに演算の性質が異なることに由来している。例えば通常の微分で成り立つ
積の微分則や合成関数の微分則が成り立たないタイ

𝑥 oo

プの非整数階微積分も存在し、既に解が知られてい時間る現象に非整数階微積分を適用したとしても解析解𝑥時間を得られるかも定かではない。このような問題に対して、通常の微積分が持つ法則を多く残した非整数

図 2.1: 粗視化のスケールが異なる微分のイメージ図

階微分として、conformable 微分が提案された [7]。

2722024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
通常の微分の場合という関係がある (A は比例定数)。たとえば 2 次元

時間が離散的の場合

物理量𝚫𝒇の平面図形は、α = 2 であるから x2 に比例した量が物理量𝚫𝒇

図形の特徴的な量（面積）となる。このように考え
時間𝚫𝒕

時間𝚫𝑻

ると、コッホ曲線やシェルピンスキーのギャスケッ
トについては x1.26 や x1.58 という量が図形の特徴的

図 2.2: 離散的な微分のイメージ図な量となるが、明らかにこれは長さや面積ではなくなる。

までの距離が変化していない短い時間に着目し、そ微分についても、離散的な時間がフラクタル性をの間物体の時間は「進んでいない」と見る粗視化も持つならば、微分の微小変位を ∆t という量で表すのある。この場合は、同じ図の下の時間軸に表現されではなく、次元 α を用いた時間の長さの特徴的な量ているように、時間が離散化されたことに相当する。 ∆tα で考えることが必要になる。すると時間がフラこのような離散的な時間では、通常の微分の定義はクタル性を持つときの微分は適用することができない。しかし時間の離散性に規

1 df
df
=
dT
A dtα

則性がないときは、この時間 ∆T による微分を考えることは難しい。一方で時間の離散性に規則性があるとき、すなわち時間がフラクタル性を持つときは、物理現象のモデル化が可能な微分を定義できる。

(2)となる。仮に物理量が f = t2 であれば、この式に従って微分すると df /dT = 2t2−α /αA となる。よって時間がフラクタル性を持つときには非整数階の微分が現れる。

3

Relationship between fractal geometry and eﬀective 4
dimension

Conformable derivative andresultsコッホ曲線やシェルピンスキーのギャスケット (図非整数階微積分は通常の微積分に連続する自然な

3.1) はフラクタル図形の代表例であり、どの部分を定義が考えられている。導関数や重積分、Fourier 変

拡大しても元の図形と相似な図形が現れるという特換など既存の様々な演算の定義が拡張され、演算の徴を持っている。これらにはハウスドルフ次元 (分割性質や計算結果の異なる非整数階微積分が存在してしたときに小さい相似図形がいくつできるかで定義いる。そのうちの一つである ν 階の conformable 微された次元) を定義することができ、これを使用する

分はと、コッホ曲線は約 1.26 次元、シェルピンスキーの一般に図形の次元 α と、図形の長さや面積や体積など、図形の特徴を表す量 X には、x を長さの次元を持つ量として

X = Axαdf (t + ϵt1−ν ) − f (t)= t1−ν f (t) (3)
ϵ→0
ϵ
dt

Dtν f (t) ≡ lim

ギャスケットは約 1.58 次元となる。

で定義される非整数階微積分である。例えば f (t) = t2のとき、定義式に代入すると、f (t) の ν 階微分はDtν f (t) = t1−ν

(1)

d 2
t = 2t2−νdt(4)となる。この結果は conformable 微分が微小変位をフラクタル図形にしたときの微分と t の冪が一致していることを表す。また conformable 微分は表 4.1のように通常の微積分が持つ法則を多く残している。
本研究では conformable 微分を使用し、時間がフラ
クタル性を持つ離散的な状態での物理現象の解析を
図 3.1: コッホ曲線とシェルピンスキーのギャスケット

行った。そして通常の微分で表される運動と比較を
行った。

273

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

表 4.1: 通常の微分と conformable 微分の法則の比較

5

Conclusion and Future work
conformable 微分を用いた運動は、物体は通常の

名称

通常の微分

conformable 微分運動と同じ軌道となる。一方、方程式の解は、時間 t

定数の微分

𝒅
𝑨=𝟎
𝒅𝒕

𝑫𝝂𝒕 𝑨 = 𝟎が tν /ν (0 < ν < 1) に変換したものになり、微分の𝒅𝒇 𝒕 𝒈(𝒕)𝒅𝒕= 𝒇′ 𝒕 𝒈 𝒕 + 𝒇 𝒕 𝒈′(𝒕)𝑫𝝂𝒕 𝒇 𝒕 𝒈(𝒕)= 𝑫𝝂𝒕 𝒇 𝒕 𝒈 𝒕 + 𝒇 𝒕 𝑫𝝂𝒕 𝒈′(𝒕)

𝒅
𝒇 𝒈 𝒕
𝒅𝒕

𝑫𝝂𝒕 𝒇 𝒈 𝒕

積/商の微分
ライプニッツ則
合成関数の微分チェーンルール

𝒅𝒏

𝜶

冪関数 𝒕
の微分

固有関数

𝒅𝒕𝒏

=

𝒅𝒇 𝒅𝒈
𝒅𝒈 𝒅𝒕

遅くなる。このとき微分の階数が 1 より下がること

𝒅𝒇 𝝂
𝑫 𝒈
𝒅𝒈 𝒕

は、障害物による運動の遅延に対応している。
今回、数多くある非整数階微積分のなかで con-𝑫𝝂𝒕 𝒕𝜶 = 𝑨𝒕𝜶−𝝂𝒕𝜶 = 𝑨𝒕𝜶−𝒏𝒅𝒇 𝒕 =𝒇 𝒕 ,𝒅𝒕
𝒇 𝒕 = 𝐞𝐱𝐩(𝒕)=階数 ν が小さくなるほど、物体の運動の時間発展がformable 微分を使用して、時間がフラクタル性を持𝑫𝝂𝒕 𝒕 = 𝒇 𝒕 ,𝒇 𝒕 = 𝐞𝐱𝐩

つときの物理現象について考えた。したがって非整

𝟏 𝝂
𝒕
𝝂

数階微積分の一般的な性質を表せているとは限らない。今後は、この結果が適用できる実際の物理現象が存在しているかを突き止めたい。

Acknowledgement𝑣0

今回発表の場として、天文・天体物理若手夏の学𝜃

校を設営・運営して下さったスタッフの方々、そして支援して下さった方々に心より感謝申し上げます。
またこの研究を進めるにあたり、手厚いご指導をしてくださった東京学芸大学 小林晋准教授、納得がい図 4.1: 非整数階微積分を用いた斜方投射: 青点はくまで議論に付き合ってださった研究室の先輩方・同ν = 1 で微分、赤点は ν = 0.5 で微分をしている。こ 期の皆様に深く感謝申し上げます。
のとき g = 9.8 m/s2 , v0 = 120km/h, θ = 45 °, 0.5 s
間隔でそれぞれ 10 打点している。

Reference
斜方投射に非整数階微積分を導入すると、水平方[1] H. Zhou et al., “Conformable derivative ap-

向・鉛直方向それぞれの運動方程式の 1 階微分を ν

proach to anomalous diﬀusion”, Physica A 491

階微分に取りかえると{ ν ν
Dt {Dt x(t)} = 0(2018) 1001-1013.

Dtν {Dtν y(t)} = −g[2] 島本憲夫, “非整数階微分による異常拡散のモデ(5)

ル化について（その１）”, 数理解析研究所講究
録, 第 1810 巻, 59-84 (2012).

となる。ここで g は重力加速度である。そして初期条件として、x(0) = y(0) = 0, Dtν r(x, y)|t=0 = v0 ,打ち上げ角度 θ を用いると
v0
 x = tν cos θν y = − g t2ν + v0 tν sin θ2ν 2ν

[3] G. Calcagni., “Multifractional theories : anconventional review ”, Journal of High Energy
Physics, 1703 (2017) 138.

(6)[4] A. Di Teodoro and E. Contreras, “ A vacuum
solution of modiﬁed Einstein equations basedが得られる。これを横軸を水平方向、縦軸を鉛直方向としてグラフにしたものが図 4.1 である。

274

on fractional calculus ”, Eur. Phys. J. C 83
(2023) 434.

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校[5] M A. Garcia Aspeitia, “Cosmology under thefractional calculus approach ”, MNRAS 517,
4813–4826 (2022).
[6] D. Valerio et al., “How many Fractional Derivatives Are There?”, Mathematics, 10 (2022),
737.
[7] R. Khalil et al., “A new deﬁnition of fractional
derivative”, J. Comput. Appl. Math. 264(2014) 65-70.

275

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重宇 c11

ベクトルテンソル理論の低エネルギー有効理論におけるブラックホール摂動
富塚

祥伍

276

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

ベクトルテンソル理論における低エネルギー有効理論
富塚 祥伍 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の加速膨張を一般相対論で説明するにはダークエネルギーが必要であるが、代わりにベクトルの自由度を足すことで加速膨張を説明するベクトルテンソル理論と呼ばれるものがある。しかしこれだけでは多くのモデルがあり、観測との比較からモデルを峻別する必要がある。低エネルギー有効理論の方法では、これら多くのモデルを統一的に扱うことができる。本稿では、(K. Aoki 2024) に基づいて一般の背景時空の下での低エネルギー有効理論の構築方法についてレビューする。

1

クトルテンソル理論における EFT についてレビュー

Introduction
重力を記述する理論としての一般相対論は様々な観測に対して大きな成功を収めている。しかし、一般相対論がいかなるスケールでも成り立っている保する。2 節において、EFT の構築方法について説明
し、3 節では静的球対称背景時空の下での EFT について議論する。本発表では、時間的なベクトル場を考えることにする。

証はない。一般相対論は太陽系程度のスケールではよく検証されているが、例えばミクロの世界や、逆に宇宙論的なスケールではよく検証されているとは言えない。現在、我々の宇宙は加速膨張していること

ベクトルテンソル理論における2が知られているが、一般相対論でこれを説明するに

低エネルギー有効理論の構築

はダークエネルギーと呼ばれる未知の成分が必要で今節では、ベクトルテンソル理論における低エネあり、このダークエネルギーは多くの難題 (e.g. 微調

ルギー有効理論の構築方法について解説する。まず

整の問題) を抱えている。しかし、一般相対論におけ

2.1 においてベクトル場による対称性の破れについてるダークエネルギーの存在は、重力理論が宇宙論的議論し、その後、残った対称性のもとでどのようななスケールで修正されることを示唆している可能性

lagrangian が許されるかを 2.2、2.3、2.4 で見ていく。

も考えられる。重力理論の修正に関して、多くのモデルが提案されており、その大半のモデルでは、一般相対論に対して自由度を追加することで、一般相

2.1

対論からの修正を行っている。本発表では、一般相対論に対して、時間的なベクトル場を一つ追加する、
ベクトルテンソル理論を考えることにする。ベクト
ルテンソル理論と言っても、様々なモデルが考えられ、どのモデルがこの世界をよく記述するかは、観測から制限をかけるしかない。しかし、観測から制限をかける際には、それぞれのモデルで観測量を導ベクトルテンソル理論におけるベクトル場

今回はベクトルテンソル理論を考えるので、時間的なベクトル vµ が存在するとする。するとこのベク
トル場により、理論の 4 次元一般座標変換に対する不変性が破られる。ベクトル場 vµ を、スカラー場 τ̃
と、U(1) ゲージ場 Aµ を用いて、出することが必要である。ここで、低エネルギー有v µ = ∂ µ τ + g M Aµ(1)

効理論 (EFT) の方法が役に立つ。EFT では、背景
時空と背景ベクトル場を固定することで、それらをとする。このとき、ベクトル場 (1) は時間に関する解としてもつ様々なモデルを統一的に扱うことがで

一般座標変換と U(1) 変換を組み合わせたもの

きる。従って、モデルに依らずに観測量などを導出することができ、これにより、モデルの峻別が容易になる。本発表では (K. Aoki 2024) に基づいて、ベ277τ̃ → τ̃ + gM χ ,(2)Aµ → Aµ − ∂ µ χ(3)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校に関して不変となっている。以下、これを residualで示したように、ベクトル場 δµτ は residual U(1) にU(1) と呼ぶことにする。この自由度を使い τ̃ を時間 対して不変であり、更に、3 次元一般座標変換に対して共変である。従って、このベクトル場 δµτ の大きさ

座標と同一になるように取ると、ベクトル場 (1) はvµ = δµτ + gM Aµ ≡ δµτ

g τ τ が building block として許される。
(4)

また、射影テンソル hµν や単位ベクトル場 nµ は、ベとかける。このようなゲージを unitary ゲージと呼クトル場 δµτ と計量 gµν から作られているので、これ

び、このゲージの下でのベクトル場を δµτ と書くことにする。

らは builing block として許される。特に、これらから作られる量ベクトル場 δµτ は各点で時間的な方向を決めるため、それに伴う射影テンソルを自然に定義することができる。まず、ベクトル場 δµτ が決める時間方向の単位ベクトル nµ を

Kµν ≡ hα(µ| ∇α n|ν) ,(7)

ωµν ≡ hα[µ| ∇α n|ν](8)は building block となる。ここで、() と [] はそれぞnµ ≡ − √δµτ−g τ τ

れ、対称化、反対称化を意味する。2 更に、射影テン(5)とする。但し g τ τ は、計量 gµν を用いて、g τ τ =g µν δµτ δντ である。このとき、射影テンソル hµν を
hµν ≡ gµν + nµ nν

ソルを用いて自然に、空間的な曲率テンソルを定義することができる。これは Gauss 方程式から、4 次
元曲率テンソルと
β γ δ
(3)
hα
Rµνρσ + 2W[ρ|µ W|σ]ν (9)µ hν hρ hσ Rαβγδ =(6)と定義できる。1 このとき、この射影された空間における 3 次元一般座標変換に対して理論は不変である。

という関係にある。但し、Wµν = Kµν + ωµν とした。このとき、3 次元曲率テンソルのトレース部分を従ってまとめると、この理論は 3 次元一般座標と、(3)αRµν =(3) R(µ|α|ν)(10)

residual U(1) の対称性を持っている。
と定義すると、これは building block となる。3
また微分作用素としては、4 次元共変微分を射影し2.2

EFT における building blocks

たもの

以下、unitary ゲージにおける EFT を考えること

Dµ ≡ h αµ ∇αにする。上述の通り、この理論は 3 次元一般座標変換と、residual U(1) に関して不変であり、従って、こ(11)と、nµ 方向の Lie 微分 Ln が許される。

の理論の lagrangian は原則として、これらの変換の最後に、ゲージ場に対する非自明な building block

下で不変な項は全て含まなくてはいけない。今節でを考える。場の強さ Fµν を用いて、electric part とは、計量 gµν 、射影テンソル hµν 、ベクトル場 δµτ かmagnetic part をら、どのような量が許されるかを考える。以下、許される構成要素を building block と呼ぶことがある。
まず自明に、4 次元一般座標変換と、元々の U(1)に対して不変な量が許される。これは、計量 gµν 、4次元共変微分 ∇µ 、4 次元曲率テンソル Rµνρσ 、場の強さ Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ から作ることができる。
次に、3 次元一般座標変換と、residual U(1) に対して不変な非自明な量を考えることにする。(2),(3)
1 但し、任意の時間的なベクトル場 δ に対しては、これで空µ間的な超曲面が定義できるとは限らない。これは、ベクトル場のvorticity のためであり、vorticity がないベクトル場の場合にはベクトル場に伴う自然な超曲面を定義できる。

Eµν ≡ ϵµνρσ nρ Fσα nα ,(12)βBµν ≡ hαµ hν Fαβ(13)と定義する。但し、ϵµνρσ =√−gεµνρσ は完全反対

称テンソルで、ε0123 = 1 とする。このとき、これらの量はそれぞれ building block となる。
µν に対して、A(µν) ≡ 1/2(Aµν + Aνµ )、A[µν] ≡ 1/2(Aµν − Aνµ ) である。
3 ここで定義した 3 次元曲率テンソルは通常の超曲面に対するものと異なり、トレース部分の反対称成分は一般に消えない。しかしこの反対称成分は Wµν でかけるので、building block としては考えなくてもよい。

278

2 任意のテンソル A

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
従って、以上の building block を用いて、unitaryとなる。同様に、residual U(1) に関してはゲージにおける EFT の lagrangian は∂ ḡ τ τ
∂ZνIµ
∂ ( )
∫
+ L̄ZνIµ(20)
L̄ ⃗x (τ, ⃗x) = L̄gτ τ√∂τ∂τS = d4 x −gL(g τ τ ,(3) Rµν , Kµν , Eµν , Bµν , Ln , Dµ ) ∂τが consistency relation となる。摂動の高次に関し(14)ても同様である。これら (19)、(20)、また、高次のとかける。4
consitency relation のもとで、作用が各次数で 3 次
元一般座標変換と residual U(1) の対称性を持つこと2.3が保障される。

Consistency relations

以下 、高 階 微分 の 項 は 無視 す る とし 、従って 、

Ln , Dµ は Lagrangian に含まれないとする。このと

2.4

き作用は
∫
√
S = d4 x −gL(g τ τ ,(3) Rµν , Kµν , Eµν , Bµν )以上の準備の下で、EFT における作用を
( 2
∫
√
M∗
SEFT = d4 x −g
f (x)R − Λ(x)2

(15)

EFT action+(g τ τ , ZνIµ の 1 次の項) + (摂動の 2 次の項) + ...

とかける。building block に関して、背景量からの摂
動を

(21)

とかける。但し、R は 4 次元リッチスカラーから全微分項を引いたものである。6 このとき、EFT でのδg τ τ ≡ g τ τ − ḡ τ τ (τ, ⃗x)(16)δZνIµ ≡ ZνIµ − Z̄νIµ (τ, ⃗x)(17)Consistency relation で結ばれている。また、背景と定義する。但し、バーがついているものは背景量場の運動方程式は摂動の 1 次までで出てくるので、を意味し、また、ZνIµ は I = 1, 2, 3, 4 がそれぞれ(3)
Rµν , Kµν , Eµν , Bµν を意味する。Lagrangian を

摂動の 1 次に関する係数、つまり、f (x), Λ(x) と、背景解周りで Taylor 展開すると、摂動の 1 次までで∫)√ (S(1) = d4 x −g L̄ + L̄gτ τ δg τ τ + L̄ZνIµ δZνIµ

ている。

(18)

作用の係数は完全に独立ではなく、2.3 節で示した

g τ τ , ZνIµ の係数は、背景場の運動方程式で関係しあっ3EFTとなる。5 Lagrangian は 3 次元一般座標変換と resid-ual U(1) に関して不変であるが、一般の背景時空のもとでは、Taylor 展開の各項はこの対称性を破っている。これは、Taylor 展開の各項が τ, ⃗x に依存しているからである。従って、残った対称性を尊重するように、

静的球対称背景時空のもとでの今節では、前節で用意した EFT を、静的球対称背景時空に適応する。静的球対称時空は関数 A(r), B(r)を用いて一般に、

ds2 = −A(r)dt2 +各項はある関係で結ばれている。これを consistency

relation と呼ぶ。例えば、摂動の 1 次のレベルで 3 次

1dr2 + r2 dΩ2B(r)元一般座標変換に関する consistency relation はとかける。ここで Lemaı̂tre 座標7 をとると、∂ ( )∂ ḡ τ τ∂ZνIµL̄ τ (τ, ⃗x) = L̄gτ τ+ L̄ZνIµ
∂⃗x
∂⃗x
∂⃗x

ds2 = −dτ 2 + (1 − A(r))dρ2 + r2 dΩ2

(19)

4ω
µν は Bµν を使って書けるので、building block としては外した。
5 また摂動の 2 次に関しては(∫√
1
L̄gτ τ gτ τ (δg τ τ )2
S(2) = d4 x −g2)
1+L̄gτ τ Z Iµ δg τ τ δZνIµ + L̄Z Iµ Z Jα δZνIµ δZβJανν2βとなる。但し r は、r = r(τ, ρ) であり、√B(1 − A)∂ρ r = −ṙ =
A

(22)

(23)

(24)

6 これは、R =(3) R + K µ K ν + ω µ ω ν µ − K 2 とかける。
ννµ7 Lemaı̂tre 座標は、無限遠から速度 0 で自由落下する観測者の固有時間を時間座標にとるような座標系である。

279)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校を満たす。今回は、EFT の 1 次までの作用として、( 2∫
M∗
tadpole4 √SEFT = d x −g
R − Λ(r) − c(r)g τ τ2)˜−d(r)K− αI (r)Z̄νIµ ZµIν

れたマスター方程式を用いることで、QNM や tidal

Love number などの計算が可能となり、これによりモデルと観測との比較などを行うことができると期
待される。

(25)

Acknowledgementというものを仮定する。8 また、背景ベクトル場はĀµ = δµτ q(26)

お忙しい中、議論や助言に時間を割いてくださった基礎物理学研究所宇宙グループ、京都大学大学院と仮定する。但し、q は定数である。これら背景量の天体核研究室の皆様と今回発表の機会を設けていた

もとで、EFT action の係数は背景時空の運動方程式

だくにあたり尽力してくださったすべての方に御礼を通して関係している。例えば背景時空として申し上げます。

A(r) = B(r) = 1 −

rs
Λeﬀ 2
−
r
r
3

(27)

Referenceというものを考えると、運動方程式から

K. Aoki et al. 2024, JCAP 03 (2024) 012

Λ = M∗2 Λeﬀ

(28)

c=0

(29)

αI=2′ = 0

(30)

′ I=2

K̄ α

˜′

+d =0

(31)

となる。但し、′ は r に関する微分である。この EFT

action を用いて、静的球対称時空における低エネル
ギー有効理論での摂動論を考えることができる。

4

Conclusion
本稿では、まず 2 節において、一般の背景時空のもとでの、ベクトルテンソル理論における EFT の構築方法について解説した。ベクトルテンソル理論ではベクトル場により対称性が自発的に破れるが、その際に残った対称性を尊重する項を用いて EFT の作用を記述することができた。摂動量に関する Taylor 展
開では、残った対称性を保証するように consistency

relation が課され、それにより一般の背景時空でのEFT の記述が可能となった。3 節では、EFT を静的球対称背景時空に対して適応し、その際の EFT

action や、運動方程式を通した係数間の関係などを見た。この EFT を用いることで、本ポスター発表では、静的球対称背景時空のもとでの EFT におけるブラックホール摂動論に関して議論する。特に、摂動量に関するマスター方程式の導出などを行う。得ら
8 異なる I の Z Iµ 間の cross term も一般にはあってもよい。
ν280

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重宇 c12

帯電した球対称シェルのライスナーノルドシュトロム
時空上での運動
山崎

幹太

281

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

RN 時空上における charged shell の運動
山崎 幹太 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
BH に関する問題の 1 つとして、自然界に存在する BH は帯電するのか、という問題がある。ここでは、解析的に考える方法の 1 つとして物質を無限に薄い球殻（shell）と見なすことを考える。BH 周りに陽子や電子で構成された球対称 shell をそれぞれ置くことで、2 枚の shell がどのように運動するのか、BH が帯電するのかを解析的に調べられると期待される。今回は、shell を複数置いた解析には踏み込まず、RN(Reissner‐Nordström) 時空上における球対称な charged shell の運動について [1] に基づいて紹介する。

1

Introduction
BH に関する問題として、自然界に存在する BH は帯電するのか、もし帯電するならばどの程度である
か、どのような影響があるか、といった問題がある。
帯電に関して、例えば BH まわりに同じオーダーの動径座標に位置している陽子と電子をテスト粒子として考えてみる。2 つの粒子が同じオーダーの運動
エネルギーを持つとき、陽子と電子の速度の 2 乗の比が質量の逆数の比になることから、陽子の方が速度は小さくなる。このことから、陽子の方が角運動量が小さくなり、より BH に落ちやすくなるのではないかと考えられる。しかし、クーロン相互作用を考慮すると、BH に落ちる陽子に引きずられて電子
図 1: shell の世界超曲面も落ちるのではないかと考えられるため、BH の帯電に関してはより深く議論する必要がある。
ここでは、BH の帯電について解析的に考える方の内側と外側の領域で異なり、法の 1 つとして、物質を無限に薄い球殻（shell）と

ds2 = −f± dt2± + f± dr2 + r2 dΩ2見なすことを考える。球対称 BH のまわりに球対称な shell を置くことで、動径方向の 1 次元問題に帰着する。また、今回は複数の shell を置いた解析には踏
み込まず、RN 時空上の球対称 charged shell の性質や運動を紹介する。

= dλ2 + hµν dxµ dxν

(1)f± = 1 − 2M± /r + Q2± /r2(2)と表される。式の 2 行目の形はガウス正規座標と呼ばれ、λ を超曲面直交方向の固有長とした。ガウス
正規座標は超曲面近傍であれば常に取ることができ2る。また、shell は無限に薄い球殻であることから、

shell の性質

エネルギー運動量テンソルは

RNBH の周りに物質が shell 状に分布している状況を考える。shell の時空図は図 1 のようになり、r = R(

Tµν = Sµν δ(λ − λs )(3)τ) の時間的超曲面を表す。すると、時空計量は shellSµν = σuµ uν + P (hµν + uµ uν )(4)となる。σ はエネルギー面密度、P は圧力を表し、λsは定数とした。このとき、球対称性より Sµν の形は282

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校と表される。このとき、エネルギー運動量テンソル

完全流体型に限られる。
次に、shell の運動を調べるため、アインシュタイ

は重力場中のテスト粒子の作用を変分して得られるものであるが、電磁相互作用項を含んでいても同じ1形になる。また、この形は一般の N 体系で成り立つ。
+
−
(5)
Kµν
− Kµν
= 8πG(Sµν − hµν Sρρ )2
この形を shell 状に分布した粒子に当てはめてみてを用いる。Kµν は超曲面の外的曲率である。この式 考える。球対称性より、それぞれの粒子の角運動量に対して、今考えている状況を当てはめると、は同じ値 l を取り、球面上を運動している。そのためン方程式から得られる接続条件の 1 つであるṘ2 + U (R) = 0

(6)

(
)
Q2+ − Q2−
1
2
U (r) = 1 − E +−2M− +
E − mErm()
1 ( Q2+ − Q2− )2 Q2+ + Q2−
m2
− 2
−
+
r
2m
2
4
(7)

粒子の 4 元速度に関して、RN 時空のテトラッド成分で考えると、

√
U

(0)

=

1+

l2
r2

U (1) = 0
(U (2) )2 + (U (3) )2 =

(10)
l2
r2

M+ − M−を得る。よって、エネルギー運動量テンソルに粒子のmを得る。m は shell の固有質量、E は shell の単位固 角運動量が影響することが分かる。球対称性より角有質量あたりの全エネルギーである。上式の通り 1 度平均を取るなどして整理すると、Sµν のテトラッド
m := 4πσR2 ,E :=次元問題に帰着する。運動可能領域は U (R) < 0 で成分を求めることができる。それを用いると、shell

あり、U (R) のグラフから shell が BH に落ちるかどのエネルギー面密度や圧力、固有質量は
√
l2
κ
1
+
σ=
4πr2
r2
l2
σ
P =
2(r2 + l2 )√l2
m=κ 1+ 2
r

うかが分かる。
ここで、m や E が shell の運動に対して定数かどうかを調べたい。今考えている状況では、時空の質
量パラメータは変化しないため、m のみ調べれば良い。接続条件などを用いると、熱力学第一法則に相
当する式

(11)

dR2
d(σR2 )
κ := N ϵ
(12)
+P
=0
(8)
dτ
dτ
を得る。この式から、shell を構成する粒子がダスト となる。κ は定数なので、上式の形から角運動量がである場合（P = 0）、m は固有時 τ に沿って定数で 0、または動径座標に比べて無視できる場合、shell をあることが分かる。逆に、ダストでなく一般の場合

構成する粒子をダストと見なして良いことが分かる。

は、m や E は shell の運動に対して定数ではないことに注意する必要がある。

4
3Discussion

collisionless particles から構 ここまで、shell の性質や運動をまとめてきた。また、有効ポテンシャルに含まれている shell の固有質成される shell
量に、shell を構成する collisionless particles の角運
m や E が定数でない場合、すなわち shell を構成する粒子がダストでない場合を考える。shell を構成する粒子が N 体系の collisionless particles であると動量が影響することが分かった。ポスターでは、shell
が BH に落ちていく状況で角運動量がどの程度影響
するかについても紹介、議論する予定である。

して考えてみる。N 体系のエネルギー運動量テンソ
ルは粒子の質量を ϵ、4 元速度を U µ とすると
∫
N
∑
1
µν
T =
ϵ √ U µ U ν δ 4 {xρ − xρj (τ )}dτ−gj=1

Reference(9)[1] K.Nakao et al 1999, Progress of Theoretical Physics,
Vol. 101, No. 1, January 1999

283

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重宇 c13ハッブル宇宙望遠鏡による近赤外撮像データから探る
宇宙背景放射の起源
當銘

優斗

284

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

ハッブル宇宙望遠鏡による近赤外撮像データから探る宇宙背景放射の起源當銘 優斗 (九州工業大学大学院 工学府)

Abstract
可視・近赤外背景放射の空間的なゆらぎには、既知の銀河では説明できない未知の成分が存在する。ハッブル宇宙望遠鏡を用いた過去の研究では、10 秒角以上の空間スケールにおいて既知の天体では説明できない過剰な成分を発見した。先行研究では、Hubble eXtream Deep Field を用いて可視域におけるゆらぎが観測され、過去の研究に比べ、より高い過剰成分が検出された。しかし、XDF 画像生成時における地球照補正の過程でゆらぎが消失したとして、近赤外域では解析がなされなかった。本研究では、XDF 画像を構成する
元データに立ち返り解析を行うことで、近赤外域（1.05, 1.25, 1.40, 1.60 µm）における最も深いゆらぎを測定した。その結果、これまでの研究で報告された 10 秒角以上の未知成分を観測し、そのスペクトル形状が明らかとなった。

1

本研究では、XDF を構成する近赤外域の 4 バンド

Introductionの元データに立ち返り、これまでの研究で報告されEBL(Extragalactic Background Light) とは、銀河系外のあらゆる光の積算であり、宇宙初期に関する重要な情報を含む。宇宙初期に誕生した初代天体は、非常に強い紫外線を放射し、後の銀河等の天体

たゆらぎの過剰成分が観測できるか検証する。また、
過去の HST によるゆらぎ解析による結果と比較し、近赤外域にみられる 既知の銀河では説明できない、
過剰なゆらぎ成分の起源天体を考察する。

形成に大きな影響を与えた。この放射は宇宙膨張に伴う赤方偏移により、可視光-近赤外域の波長に伸びているため、可視・近赤外 EBL は天体形成史の解明に重要な観測量である。
宇宙望遠鏡によって、近赤外 EBL には既知の銀

2Methods

2.1

Data

河の 5 倍程度の絶対輝度、既知の銀河の 10 倍程度の空間ゆらぎ (Thompson 2007; Mitchell-Wynne 2015;

Matsumoto 2019) が観測されており、未知天体の存在が示唆される。過去の研究により、遠方宇宙の初代天体、近傍宇宙の銀河合体時に銀河外に投げ出された星々による IHL(Intra Halo Light) が未知成分の主な候補天体である。
先行研究 (Matsumoto 2019) では、WFC3(WideField Camera 3) による深部観測、XDF(Illingworth2013) を用い、0.4 − 0.85 µm の 4 つのバンドでゆらぎ解析が行われた。その結果、10-20 秒角の空間ス
ケールに、これまでの研究に比べ高い強度の過剰成分

本研究では、XDF を構成する近赤外撮像データの内、総露光時間の多い F105W、F125W、F140W、F160W の 4 バンドを使用する。XDF の生成に使用された 19 の HST 観測プログラムのうち、WFC3 にて同天域 (赤経 = 53.2, 赤緯 = − 27.8) を観測した 2プログラム (Program ID:11563,12498/HST Cycle:

17,19) のデータを取得した。迷光等により質の悪いデータを除き、各バンドのデータを合成した。F105W
で総露光時間 18.8 万秒、F125W で 8.9 万秒、F140W
で 6.6 万秒、F160 で 18.3 万秒の合成データを解析した。

を観測し、近傍の非常に暗い天体である FCO(FaintCompact Object) が起源であると推定した。しかし、 2.2
近赤外域のゆらぎ解析は行われていない。近赤外域
では、XDF を作成する際の地球照を校正する処理によってゆらぎが消失した可能性があり、その強度が著しく低かったため、解析は行わなかったとしている。

Mask

ゆらぎを解析するため、画像内の星々をマスクする。全データの合成画像である IR 画像を作成した（図１左）。この画像に対しマスク処理を行い、以下285

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校の 4 つの手順で IR マスク画像を作成した (図１右)。 次元フーリエ変換し、パワースペクトルを導出した
マスクされる画素は IR 画像の 70%である。

（図２左）。

Step1 全画素値の分散を σ とし、平均値から ±10σ に含まれない画素をマスクする。この処理により、 2.4

Power Spectrum Correction

桁溢れ、デッド画素やホット画素による、画素
導出した生のパワースペクトルには、検出器、マ値が異常に高い、または低い画素がマスクされる。その後、再度全画素値の平均、分散を求め、 スクによる影響が含まれる。
検出器による影響は PSF によって現れ、主に、微±3σ に含まれない画素をマスクする。

小な空間スケールに影響を及ぼす。本研究において、Step2 広がった星の影響を除去するため、各画素の周辺を 3 × 3 画素 で区切って、合計 9 画素を比較

マスクにより、PSF の影響は除かれていることがわかった。

し処理を行う。9 画素のうち、4 画素以上が 1σ

マスクによる影響は、マスク部が０であるため、架より明るい場合、9 画素全てをマスクする。

空のゆらぎ、ゆらぎの低下を引き起こす。ゆらぎ模

Step3 9 画素のうち、６画素以上がマスクされている擬画像を作成し、マスクの有無による影響を評価した。生のパワースペクトルに補正関数（図２右）を場合、9 画素全てをマスクする。

かけることで、マスクによる影響を補正した。

Step4 もう一度 Step3 を繰り返し、マスクを拡張する。

図 1: 左：IR 画像、右：IR マスク画像

2.3

図 2: 左：生のパワースペクトル、右：補正関数

Power Spectrum Estimation′

3

本研究で扱うデータが見込む視野は、2.27 × 2.05′と非常に小角度であるため、平面と近似し、２次元フーリエ変換からパワースペクトルを導出する。パ

Results
本研究で導出したゆらぎ（図３）強度には以下の成分が含まれる。

ワースペクトルは２次元フーリエ展開係数の２乗をCl = Clnoise + ClZL + ClISL + ClDGL + ClIGL + Clunk

フーリエ輝度の方位角 ϕl に渡って平均したものとし(3)て定義される。

まず、ノイズ成分を見積もる。ノイズは空間スケー

∫ 2π
Cl ≡
0

dϕl
al a∗l2π

ルが大きくなるに連れ指数的に減少する。よって、(1)

本研究では、ゆらぎを輝度の標準偏差とし、以下で
定義する。

√

直線成分にフィッティングし、ノイズ成分とした（図３）。次に、限界等級以下の IGL（Integrated Galactic

Light）を見積もる。銀河カウント (Koushan 2021)

l2
Cl
(2)
2π
まず、各バンド画像にマスクを適応し、平均値を差を外挿し、29-36 等の系外銀河模擬画像を作成した。

し引くことで、偏差画像を作成した。偏差画像を２

いて IGL に比べカウント値が非常に少ないため考慮

C(0) =

模擬画像をゆらぎ解析し、IGL ゆらぎ強度とした（図３）。ISL（Integrated Star Light）は暗い等級にお286

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
しない。ZL（Zodiacal Light）は、本研究のような小さい空間スケールにおいて、ゆらぎに寄与しない(Pyo 2012)。DGL（Diﬀuse Galactic）の成分については見積もる方法を模索している。

図 4: 本研究の結果と未知天体のモデル

図 3: 近赤外域４バンドのゆらぎ強度

4Discussion
近赤外 EBL のゆらぎ過剰成分は (Mitchell-Wynne

図 5: DGL のスペクトル形状との類似性

2015) で 20” − 65” に観測されており、未知成分の起源は IHL が支配的という示唆を得た。本研究におけ形状から DGL による寄与が支配的である可能性をる、結果も同様に IHL の寄与を示唆するゆらぎ強度発見した。未知成分は存在するのか、また、その候となっている（図４）。しかし、F105W のみ起源天

補天体について示唆を得るため、今後、DGL ゆらぎ

体モデルを上回る強度を観測した。４バンドの結果

強度の推定を行う。

によるスペクトルは DGL のスペクトルと形状が類似していること（図５）から、DGL の寄与が支配的である可能性がある。よって、DGL によるゆらぎ強Reference

度を推定、観測することが重要である。

Thompson 2007, apj
Mitchell-Wynne 2015, Nature Communications

5

Conclusion

Matsumoto 2019, pasj

本研究では、XDF 元データを用い、近赤外域 4 バ

Illingworth 2013, apjs

ンドでゆらぎを導出した。その結果、F105W は、未Koushan 2021, mnras

知成分の候補天体モデルを上回る強度が観測され、 Pyo 2012, apj

F125W、F140W、F160W は IHL が未知成分であると示唆する結果となった。しかし、そのスペクトル287

——–index へ戻る

重宇 c14

蒸発しきらない正則ブラックホールの時空構造につ
いて
末藤

健介

288

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

特異点のないブラックホールについて
末藤健介 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
We study spacetime structures of non-singular black holes that evaporate spending an inﬁnite period oftime due to Hawking radiation. Such evaporating black holes can be classiﬁed into two types according
to whether the radius of the inner apparent horizon increases or decreases, which we call Case 1 andCase 2 respectively. All known models, such as the Bardeen and Hayward black holes are classiﬁed as
Case 1. In this paper, we present the spacetime structures of Case 1 and Case 2 without assuming any
speciﬁc model.

1

Introduction

2

Settings

The information loss problem is one of the long-

We assume the dynamically spherically symmet-

standing problems in black hole physics. To solve

ric spacetime described by the ingoing Eddington-

this problem, many studies have been done so far,

Finkelstein coordinates i.e.

such as AdS/CFT, island formula, black hole rem-ds2 = −f (r, v)A(r, v)dv 2 + 2A(r, v)drdv + r2 dΩ2 ,nant and so on. The non-singular black hole is a(1)candidate to solve the above problem since the cur-2

vature singularity plays a central role in the infor-

where dΩrefers to the unit sphere.

mation loss problem. Many good reviews reportconsider the asymptotically ﬂat spacetime which

the history and the properties of non-singular blackmeans lim f (r, v) = 1 = lim A(r, v). The reg-holes [1, 2].

ularity conditions in which the spacetime doesr→∞

We onlyr→∞

Some research suggests that there is no informa-

not have the curvature singularity are f (0, v) =tion loss problem in non-singular black hole space-

1, ∂r f (r, v)|r=0 = 0 and ∂r A(r, v)|r=0 = 0. These

times that completely evaporated [3, 4, 5]. On theconditions imply that the equation f (r, v) = 0 gen-other hand, the possibility that the non-singularerally has an even number of solutions. f (r, v) = 0

black holes do not completely evaporate has beenmeans the position of the apparent horizon sincesuggested [6]. The essence of this suggestion is thatthe expansion of the outgoing null rays is propor-

the non-singular black holes have at least two horizons, and these horizons intersect spending an inﬁ-

tional to f (r, v). Therefore, the asymptotically ﬂat

nite amount of the advanced time. Then the ﬁnal

non-singular spacetimes generally have even number of apparent horizons. In this paper, we assume

state of evaporation is an extremal black hole withthat there are only two apparent horizons and de-ﬁnite mass. They suggested a would-be Penrose di-note these as r± (v) (r+ (v) > r− (v)). We henceforthagram in the above article. However, another Pen-refer to them simply as the outer horizon and therose diagram for a remnant model was proposed in

inner horizon. From this, the function f (r, v) can

Figure 5 of[7]. Like this, the spacetime structure ofalways be expressed using the positive-valued func-

the remnant model has no consensus. Therefore, intion h(r, v) asf (r, v) = h(r, v)(r − r+ (v))(r − r− (v)).

this paper, we present that spacetime can be classiﬁed into some patterns.

(2)Since the normal vector to the apparent horizons is
n ∝ df = ∂v f dv + ∂r f dr,

289

(3)

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
the norm of this vector isg −1 (n, n) ∝this method. From the metric, the outgoing nullrays satisfy

2∂r f ∂v f.
A

(4)
dr
1
= f (r, v).
dv
2

The sign of ∂r f is positive (negative) on the outer(5)(inner) horizon. Therefore, the characteristic of theapparent horizon is determined by the sign of ∂v f

It will turn out that the gross behavior of the so-

and we can easily evaluate it as ∂ f|= −h(r+ , v)(r+ − r− )∂v r+
v r+
 ∂ f|= h(r , v)(r − r )∂ r .

attention on their relative positions to the two hori-

v

r−

−

+

−

lutions to this equation can be clariﬁed by focusing
zons.

v −

The result of these calculations is that the outer3

horizon and the inner horizon are timelike (spacelike) if and only if ∂v r± < 0(∂v r± > 0).
Since we are interested in the evaporation phase,
we impose the following conditions (1) ∂v r+ < 0;(2) lim r± = rc ; (3) The characteristic of each ap-

The spacetime structureof non-singular black holes
with inﬁnite evaporationtime: Case1

parent horizon is never changed; and (4) A(r, v) =We shall analyze the behavior of the radial outgoing null rays for Case 1 spacetimes focusing at-

1. The ﬁrst condition is based on the physical assumption that the radius of the outer horizon de-tention to the apparent horizons. We consider thecreases during the evaporation phase. The second

its initial position is (1) outside and on the outercondition is a representation of the assumption thathorizon; (2) inside and on the inner horizon; andnon-singular black holes have inﬁnite evaporation(3) between these horizons. To do this,we assume

time and asymptote extremal black holes. The thirdh(r, v) to (a) h(r, ∞) = lim h(r, v) behaves as an

and fourth conditions are imposed for simplicity;

analytic function of r and (b) h(r, v) is a positive

they can be discarded when considering more com-valued function in v0 ≤ v ≤ ∞ and 0 ≤ r < ∞.

plex evaporation scenarios.

Where v0 is the time at which evaporation starts.

v→∞

behavior of outgoing null rays in the cases wherev→∞

From the above discussions, we can classify theFirst, we examine the behavior of outgoing null

evaporation spacetime into the following two types;

rays whose initial positions are outside the outer

Case 1: ∂v r+ < 0, ∂v r− > 0, that is the timelike

horizon.

outer horizon and the spacelike inner hori-

Proposition 1. Outgoing null rays whose initialzon.

position is outside the outer horizon never intersect

Case 2: ∂v r+ < 0, ∂v r− < 0, that is the timelike

it and reach the future null inﬁnity I + ．

outer horizon and the timelike inner horizon.

Secondly, we consider the behavior of the outgoing null rays inside the inner horizon.

Known models such as the Bardeen or Hayward

Proposition 2. Outgoing null rays whose initial

black holes are classiﬁed as Case 1.

position is inside the inner horizon never intersect

In the following sections, we will draw the Pen-it and reach r = rc with inﬁnite advanced times.

rose diagram of these spacetimes. Since we expand
a general method, we would not calculate the retarded time to do this. Instead, the behavior of

Finally, we examine the behavior of the outgoingnull rays between two horizons.

the outgoing null rays can be discussed in a general

Theorem 1. There is a region J such that the out-

way, and we can draw the Penrose diagram withgoing null rays starting there do not intersect the2902024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
apparent horizons in ﬁnite time, even though theyB. Some outgoing null rays that are inside thelie in the region between these two horizons.

inner horizon do not intersect the innerhorizon.

Thus we obtained the relationships between theoutgoing null rays and the apparent horizons. The

The ﬁgure of these are drawn in my poster.

ﬁgure of this is drawn in my poster.

5
4

The spacetime structureof non-singular black holes
with inﬁnite evaporationtime: Case 2

Conclusions and discussions
In this paper, we classiﬁed the spacetime struc-ture of non-singular black holes with inﬁnite evaporation time. The spacetime structure depends onwhether the outer and inner apparent horizons are

In this chapter, we will analyze the relations be-timelike or spacelike. For this classiﬁcation, we divided the cases into Case 1 and Case 2 according totween the apparent horizons and the radial outgo-

whether the radius of the inner apparent horizon in-ing null rays for Case 2 spacetimes using the samecreased or decreased with advanced time. For Case

procedure as for Case 1.
The outgoing null rays outside the outer horizon

1 spacetime, only one structure exists due to thesatisfy Proposition 1.

apparent horizon ．On the other hand, for the Case

Proposition 3. If outgoing null rays are between
the inner and outer horizons, they will not intersect
the inner horizon.

relationship between the outgoing null ray and the
2 spacetime, the relationship between the outgoingnull ray and the apparent horizon depends largelyon the function f (r, v), and four types of spacetime
structures are allowed.

Finally, the relationship between the outgoingnull inside the inner horizon and the inner horizon
is examined. It is obvious that the outgoing null

Referencerays in rc < r(v) < r− intersect the inner horizon[1] Chen Lan, Hao Yang, Yang Guo, and Yan-in ﬁnite time since ∂v r > 0 and ∂v r− < 0. How-

Gang Miao. Regular black holes: A short topic
review. International Journal of Theoreticalever, it also depends on the detail of the function
f (r, v) whether the outgoing null rays in r(v) < rc

Physics, Vol. 62, No. 9, p. 202, September 2023.

intersect r = rc .
From the above discussions, there are 4 patterns[2] Hideki Maeda. Quest for realistic non-singular
black-hole geometries: Regular-center type.
Journal of High Energy Physics, Vol. 2022,• The relations with the outer horizon

No. 11, p. 108, November 2022.

1. All outgoing null rays that are between the
inner and outer horizons intersect the outer
horizon.

[3] Sean A. Hayward. Formation and Evaporationof Nonsingular Black Holes. Physical Review

2. Some outgoing null rays that are between

Letters, Vol. 96, No. 3, p. 031103, January 2006.

the inner and outer horizons do not intersect[4] Valeri P. Frolov. Information loss problem and athe outer horizon.

‘black hole’ model with a closed apparent hori• The relations with the inner horizon

zon. Journal of High Energy Physics, Vol. 2014,

A. All outgoing null rays that are inside theinner horizon intersect the inner horizon.

291

No. 5, p. 49, May 2014.

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校[5] Kensuke Sueto and Hirotaka Yoshino. Evaporation of a nonsingular Reissner–Nordström blackhole and the information loss problem. Progressof Theoretical and Experimental Physics, Vol.
2023, No. 10, p. 103E01, October 2023.
[6] Raúl Carballo-Rubio, Francesco Di Filippo, Stefano Liberati, Costantino Pacilio, and Matt
Visser. On the viability of regular black holes.
Journal of High Energy Physics, Vol. 2018,
No. 7, p. 23, July 2018.
[7] Sabine Hossenfelder and Lee Smolin. Conservative solutions to the black hole information
problem. Physical Review D, Vol. 81, No. 6, p.
064009, March 2010.

292

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重宇 c15

一様磁場中のシュバルツシルトブラックホールにおける帯電有質量スカラー場の Quasi-normal mode 不安定
性について
大西

翔太

293

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

一様磁場中の Schwarzschild BH における 荷電有質量スカラー場のQuasi-normal mode 不安定性
大西翔太 (大阪公立大学大学院 理学研究科 M2)

Abstract
アインシュタインの一般相対性理論から予言されるブラックホールや、そのリングダウン重力波の候補とされる Quasi-normal mode の研究は、ブラックホールの形質や性質をはじめ宇宙の成り立ちや様々な天体現象の解明にも寄与すると考えられている。今回レビューを行う先行研究では、Schwarzschild BH を一様
磁場中においた際の荷電有質量スカラー場について研究している。これを WKB 近似や Leaver の方法を用いて近似的に解析した結果、ある多重極数 l に対して 2l+1 のゼーマン効果によるモードが存在することや、Quasi-normal mode がある有効質量の閾値を超えると消滅、または磁場の強度とそれに対応する方位数 m との大小関係によって不安定性が発生することがあるとしている。私の研究では上記の結果についてのレビューと、近似を用いたこのような事象の妥当性について疑問が存在するため、これを二次元シミュレーションを用いて解析した結果と比較し検討していく。

1て解析した結果と比較し考察を行う。

Introduction
アインシュタインの一般相対性理論で予言された、「時空の歪みが光速で伝播する」という重力波は 2015
年に LIGO で初めて直接観測されその存在が証明さ

2

Quasi-normal mode 不安定性
(Review)

2.1

状況設定

れた。現在、重力波の発生源の候補として考えられているのは、超新星爆発・中性子星連星（BNS)・原始
ブラックホールからの背景重力波、そして今回取り・静的・球対称時空 (Schwarzschild 時空)上げる連星ブラックホール（BBH) などがある。重力波は電磁波と異なり、物質との相互作用が極めて小

ds2 = −f (r)dt2 +さいため、今後観測の精度向上が達成されるにつれ

dr2+ r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 (1)f (r)

重力波観測から初期宇宙の様子や宇宙で起こる様々

f (r) = 1 −な天体現象の解明につながると期待されている。
今回考える Schwarzschild BH の合体後には減衰振動するリングダウン重力波が発生すると考えられており、これをブラックホールの準固有振動（Quasi-

2M
r

(2)

・漸近的一様な背景磁場 B が z 軸方向に存在
このベクトルポテンシャルはNormal Mode) という。QNM 振動数はブラックホー
ルの質量（及び角運動量）のみに依存することが知Aµ =られているため、QNM の観測ができればブラック

1 2 2
Br sin θ(0, 0, 0, 1)
2(3)

ホールの物理量の直接的な測定が可能であることを※この背景磁場は試験磁場と見なし時空の構造への意味しており、その意義は大きいと考える。
今回レビューする論文は漸近的一様な背景磁場がある Shuwarzshild 時空中に荷電有質量スカラー場を置いたときの QNM が不安定性を示す可能性を論じたものである。これについて私はその解析手法に疑影響はない
この状況で荷電有質量スカラー場をこの時空においたときの dynamics を研究する。

問が存在するため、二次元シミュレーションを用い294

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.2

Regge-Wheeler 方程式

出発は電磁場中の荷電有質量スカラー場 Klein-

Gordon 方程式
g αβ (∇α − iqAα )(∇β − iqAβ )Φ − µ2 Φ = 0
これに (1)-(3) を代入すると
(
) ( 2
1 ∂
∂Φ
L
0= 2
r2 f
−
+ µ2 − qBLz
r ∂r
∂r
r2
)
1 ∂2Φ
1
− q 2 B 2 r2 sin2 θ Φ −
4
f ∂t2
(
)
]
[
∂
1 ∂2
1 ∂
2
sinθ
+
L =−
sinθ ∂θ∂θ
sin2 θ ∂ϕ2

Lz = −i

∂
∂ϕ

(4)

(5)
図 1: 有効質量の Zeeman 効果

(6)
(7)

となるが、− 41 q 2 B 2 r2 sin2 θ の項は先行研究論文ではB が小さいとして無視している。この正当性を後に議論する。
この Φ は変数分離できて球面調和関数 Ylm (θ, ϕ) を用いて、(l: 多重極数、m: 方位量子数)∫∑ Rl m(r, ω)1
Φ(t, r, θ, ϕ) =dω e−iωt
Ylm
2πr

図 2: 有効ポテンシャルの Zeeman 効果

l

(8)

2.4

とすると時間（周波数）-動径関数についての K-G 方
程式は

(

2

2.3 節で、ある条件によって Vef f < 0 となる領域が出現したが、実際)

d+ ω 2 − Vef f (r) Rlm (r, ω) = 0
dr∗2[]l(l + 1) f ‘ (r)2
Vef f (r) = f (r)++ µef fr2
r

Quasi-normal mode 不安定性

Vef f (r → ∞) → µ2ef f = µ2 − mqB

(9)

(10)

(11)

であるから、有効ポテンシャルが負であると不安定性が生じる原因となり、無限遠方で負であると実際となり、(9) を Regge-Wheeler 方程式という。また、 に QNM は不安定になると考えられる。
また定性的特徴として、µ2ef f = µ2 − mqB は有効質量である。
これは１次元 Schrödinger 方程式 (波動方程式) の ・l が大 ⇒ Vef f の高さは大きくなり、負の部分の深散乱問題と類似しており同様に解くことができる。 さは変化ないが、Vef f が負となる境界値 rn が大き
くなる。

2.3

・µef f が負の部分の深さを決める唯一のパラメータ

有効質量・有効ポテンシャルのゼーマ となっている。
ン効果
ここまでが、先行研究で述べられた QNM の不安定以上より、有効質量は下図のように方位量子数 mによって分離することになる。また、同様に有効ポテ
ンシャルも m によって分離し、mqB < 0 で Vef f < 0性であるが、2.1 節で変数分離が実行できる形にする
ため無視した − 14 q 2 B 2 r2 sin2 θ の項は r → ∞ で発散するため、この近似の物理的妥当性は疑わしい。しとなる領域が出現することが下図より読み取れる。こたがって、次のセクションで実際に不安定性は現れのように、磁場による Zeeman 効果で有効質量・有るのか二次元シミュレーションを行って検証してみ効ポテンシャルは分離する。

た一つの例を紹介する。。

295

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

数値シミュレーション
Schwarzschild 時空、一様磁場中のスカラー場の方

程式（再掲）

g αβ (∇α − iqAα )(∇β − iqAβ )Φ − µ2 Φ = 0
から亀座標 r∗ = r + 2M log

( 2M
r

(12)

)
− 1 を導入して整

理すると、

2f
∂t2 Φ = ∂r2∗ Φ +
∂r Φ
r ∗
(
)
∂ϕ2 Φ
f
2
+ 2 ∂θ Φ + cotθ∂θ Φ +rsin2 θ
− iqBf ∂ϕ Φ −

2

(13)

図 3: 数値シミュレーション2

q B
f r2 sin2 θΦ − µ2 f Φ
4

先 行 研 究 で 述 べ ら れ て い た QNM 不 安 定 性 は

ここで、軸対称な背景磁場より、ϕ は方程式に陽にMinkovski 時空では存在しないことを証明した。
Schwarzschild 時空、一様磁場中のスカラー場の依存しないためΦ(t, r, θ, ϕ) = e

imϕdynamics を数値的に解析していきたい。

Ψ(t, r, θ) と変数分離可能

さらに、Ψ(t, r, θ) = sin|m| θφ(t, r, θ) とすると、Z軸上 (θ = 0) で φ は φ ̸= 0 かつ、偶関数的に振る舞うことから最終的に方程式は、∂t2 φ = ∂r2∗ φ +Reference
Bobor Turimov et al.2019,
100,084038

2f
∂r φ
r ∗

Physical Review D) Schutz and Will 1985, The Astrophysical Journalf ( 2∂ φ + (2|m| + 1)cotθ∂θ φ − |m|(|m| + 1)φ291;L33-36
r2 θ
q2 B 2 2 2+ mqBf φ −f r sin θφ − µ2 f φ
4
(14)
+

θ = 0 では cot θ が発散するので cotθ∂θ φ → ∂θ2 φ と
すると

2f
∂r φ
r ∗
(
)
f
+ 2 (|m| + 1) 2∂θ2 φ − |m|φ + mqBf φ − µ2 f φ
r(15)∂t2 φ = ∂r2∗ φ +のように整理できる。
このようにして Runge-Kutta 法でスカラー場の時間発展をシミュレーションしたのが右図である。

m = 0, µ = 0, qB = 0.1 でシミュレーションした。

4

まとめ・今後の展望
一 般 相 対 論 的 Klein-Gordon 方 程 式 か ら 定 常

Schrödinger 型の方程式を得た。QNM は分離する。
（Zeeman 効果）

296

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重宇 c16回転ワームホールとブラックホールの関係
上道

恵也

297

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校

回転ワームホールとブラックホールの関係
上道 恵也 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ワームホールとは時空の 2 つの領域を直接つなぐトンネルのような時空構造であり、アインシュタイン方
程式の解である。また、ワームホールのいちばんくびれている部分を「喉」と呼ぶ。この喉を広げるためにありふれた古典的な物質に備わっている条件 (エネルギー条件) を破る物質が必要になるので、喉が広がった
通過可能なワームホール解を構成するのは難しい [1]。本研究では喉を広げるために回転の効果を用いて、エネルギー条件の破れ方を軽減するようなワームホール解の構成を試みる。しかし、任意の角速度の効果を入れると非球対称となり、この低い対称性からアインシュタイン方程式は偏微分方程式を解かなければいけな
いことになる。そこで、[2] では角運動量が等しい 5 次元空間における定常回転ワームホール解を構成し、4次元時空ワームホール解の構成のときと同じ自由度を保ちながらアインシュタイン方程式を常微分方程式にすることができた。本研究では漸近平坦な境界条件を課し、[2] では考えられてなかったワームホールの喉付
近における「非対称性」の自由度を考慮し、より一般的な解を構成する。そして、任意の角速度の効果について議論する。

1を構成するために本研究では回転する WH を扱う。

Introduction

なぜならば、角運動量による遠心力によってエキゾ
チック物質に頼らなくても WH のトンネルを広げることが期待されるからである。実際、遅い回転に限定した WH ではエネルギー条件の破れ方が軽減されることが解析的に示されている [2]。さらに速い回転を求める場合、一般に回転時空は 4 次元のまま数値的に解くと計算コストがかかる。そのため [3] では 5次元等角運動量時空で計算を簡略化し、WH 解を構

図 1: WH の模式図 ([1] 参照)

成しその安定性を解析している。[3] で得られた解はWH(WH) とは時空の 2 つの領域を直接つなぐト
ンネルのような時空構造である（図 1 参照）。WH は
一般相対性理論における時空の曲がりと物質分布を関連付けたアインシュタイン方程式の解（=時空構造）として与えられる。WH はワープ航法やタイム制限されたものであり、解をより一般的に拡張できることに気付いた。そして WH の５次元回転 WH のより一般的な解を構築することを目指す。[2, 3] での限定的なモデルで見たエネルギー条件の破れの軽減の証拠をより確実なものにする。

トラベルなどの空想上の技術と関連する興味深い時
空構造として研究されているが、一般に通過可能なWH 解を得ることは古典的な物質では難しいとされている。

2Ansatz と方程式

2.1

Ansatz

なぜならば、そのような WH 解を構成するのにはありふれた古典的な物質に備わっている条件（エネルギー条件）を破る物質（エキゾチック物質）を用いてトンネルを広げる必要があるからだ。よって、通今回考える作用としてはエネルギー条件が破れているファントムスカラー場を用いた 5 次元 Einstein
重力を考える。

過可能 WH の実現可能性は困難とされてきた。
なるべくエネルギー条件を破らない通過可能な WH

298

∫ [
S=

]
√
1
R + Lph−gd5 x16πG(1)2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
ラグランジアン Lph はファントムスカラー場 ϕ を用いて1∂µ ϕ∂ µ ϕ(2)2と表される。本研究で扱う５次元等角運動量定常回
Lph =る。ファントム場の方程式は (1) から)′( √∇ µ ∇ µ ϕ = 0 ⇔ p h3 ϕ ′ = 0
よって、定数 Q を使って転 WH は以下の計量である。

ds = −e dt22aQϕ′ = √p h3

2+ eq−a h[sin2 θ(dφ − ωdt)2 + cos2 θ(dψ − ωdt)2 ](3)

なお、計量関数 h(l) は以下の通りであり、r0 は喉のび、微分方程式の解を決定するパラメータである。
残りの計量関数は p, q, a, ω の 4 つなので、必要な4 つの方程式を Einstein 方程式から導くと以下のようになる。Einstein 方程式

半径を表している。

h(l) = l2 + r02(6)と置くことができ Q のことをスカラーチャージと呼+ pe−a {ea−q [dl2 + hdθ2 ]+ (ea−q − eq−a )h sin2 θ cos2 θ(dψ − dφ)2 }(5)Rµν = 0(µ, ν ̸= l)
(4)

(7)

を用いて、４つの方程式が求められる。

5h′ ′ h′2 − 4hp +p = 0,2h2h2cωω ′ = 5/2 2 q−4a ,h p e
a′ p′ + pa′′
c2 e4a−q
3a′ h′+− ω 3 4 = 0,
2h
p
2p h
′ ′
′′
′ ′
q p + pq4(e2(q−a) − 1)
3q h
+
−
=0
2h
p
h
p′′ +

ここで、t は時間座標で、座標 l は WH の動径固有座標で、範囲は −∞ < l < ∞ である。よって、

l → ±∞ が漸近領域となる (図 2)。θ, φ, ψ は角度座標で、θ = π/2 の時赤道面を表し、φ, ψ に関する角運動量が一致する（＝等角運動量）ようにしている。
このような５次元等角運動量座標をとっているので、すべての計量関数は動径固有座標 l のみに依存する

(8)
(9)
(10)
(11)

ようにしても、４次元非球対称時空の自由度と変わ

なお、(8) から求められる解の積分定数は座標変換のらない解析ができる。よって、ここで出てきたラプ

自由度に含めることができるので、適当な値をとるとス関数 ea (l)、非球対称性の歪み度 q(l)、角速度 ω(l)、p(l) =

共形空間因子 p(l) はすべて l のみに依存する形となる。また、ファントムスカラー場 ϕ(l) も l のみに依存する。なお、これ以降 ′ は d/dl としている。

l2 + r02 /2.
l2 + r02(12)

よって、(9-11) の微分方程式を使えば、解 p, a, q, ωを求めることできるが、Einstein 方程式として Rll に関する方程式が残っている。

Q2
Rll = −8πG 3 2
h p

(13)

これはファントムスカラー場の情報であるスカラー
チャージ Q と計量を繋げることができる。これを
図 2: l の説明図

constraint として求める。左辺を計量関数を用いて計算すると、

Q2
3p′′
3p′2
q ′′
3h′′
3h′2
−8πG 3 2 = −
+ 2
+
−
+
2
h p
2p
2
2h
4h
2p
( ′
)
′2
′
2.2 ファントム場の方程式と Einstein 方qp q− 2a′2 −+ a′ q ′ −
− a′
2
p 2
程式
(
)
′
′
h
3p
1
−
q′ +
− 4a′ + eq−4a hpω ′2 .
ここからは上で仮定したファントムスカラー場と
4hp2計量関数を求めるために必要な微分方程式を説明す(11) で q ′′ を消去して、(8) で p′′ を消去すると、299

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校と展開される。(19,20) に伴って、a, ω は

4πGQ2 = −e4a−q c2w
4ph

+

3 (

)
h
[ 4a′2 − 2a′ q ′ + q ′2 p2
4

l →+∞
( )
8GM+
+ O l−4 ,
3πl2
( )
4GJ
ω=
+ O l−6 ,
πl4
l →−∞

− 2 (a′ − q ′ ) pp′ − 3p′2 ]()+ h2 p2 4 − e2(q−a)

a=−+ h2 p [p (q ′ − a′ ) − 3p′ ] l − 3hp2 l2 (14)( )8GM− ea−∞+ O l−4 ,2
3πl( )4GJe2a−∞ω = ω−∞ ++ O l−64πlとなり、右辺は正の定数になることが constraint とa = a−∞ −

なる。

2.3

境界条件とパラメータのように展開される。ただし、質量は l > 0 側と(10,11) を解くためには cω の値を決めて、２階微分方程式を 2 つ解く必要があるので、さらに４つの自由度が存在する。そのうち１つは線素 (3) の１項
目から

l < 0 側で２つあるのでそれぞれ M+ , M− としたが、ω の漸近展開形を (9) から解析的に求めると、

l → ±∞ で l−4 の係数は同じになるため、角運動量
J は J+ = J− = J とする。これよりパラメータ cω
と J の関係は−e2(a+a+∞ ) dt2 = −e2a d(ea+∞ t)2(15)のように時間座標 t の変換に入れることができる。
よって、今回は

J=

π
cω .
16G

(21)

また、パラメータ cω , a−∞ を決めると計量関数 a が決まり、その展開形で M± も決めることができる。よっa+∞ = 0(16)て、２つのパラメータを cω , a−∞ の代わりに M+ , J
としてもよい (M− と M+ は独立ではない)。

とする。また、境界条件を漸近平坦条件

a(+∞) = q(+∞) = 0,a(−∞) = q(−∞) = a−∞(17)と課すことで自由度をさらに２つ減らすことができ

3

結果

3.1

ワームホール構造

る。なお、cω を含めて 5 つあった自由度はこれで 2つに減り、微分方程式 (10,11) を解くためには２つのパラメータ cω , a−∞ が必要である。
また、他の１解微分方程式 (6,9) の自由度は l → +∞上記をもとに数値的に微分方程式を解いた結果が以下の図である。l → ±∞ の範囲をコンパクト化す( )るため以下では l = tan π2 x (x ∈ (−1, 1)) と座標変換したものを扱う。

での境界条件ω(+∞) = 0,
ϕ(+∞) = 0(18)

図 3 は縦軸に WH の面積 A をスロート面積 Ath で割ったものであり、横軸の x によって面積の空間的な変化で減らす。そして、これらのパラメータは質量 M とを表したものである。パラメータとしては a−∞ = 0

角運動量 J に関連づけることができる。適当にスケーで、cω (または J) を変化させたものである。A が中ルを変えた座標 t̄, φ̄ を使って、５次元時空の場合計

央でいちばん小さくなっているので、WH の構造を

量は l → ±∞ で漸近的に()
8GM
gtt dt2 → − 1 −dt̄2 ,
3π¯l2表している。
また、角運動量を大きくすることで、スロート付近

(19)

2

gtφ dtdφ → −4GJ sin θ
dt̄dφ̄
π¯l2(20)の面積がほぼ一定となっていき、WH が伸びていく
ことが確認できる。また、図 4 は横軸、横軸はそれ
ぞれ角運動量 J 、l > 0 側の質量 M+ を Ath で無次300

2024 年度 第 54 回 天文・天体物理若手夏の学校
り、µ = 4α2 のとき臨界 MPBH 解と呼ばれる。臨界

MPBH 解はホライズン付近で面積が一定となり、時空が伸びるような構造を持つ。このことから図 4 の角運動量を大きくして、時空が伸びていき、高速回転極限では時空が無限に伸びて臨界 MPBH 解と一致することが示唆される。

[3] ではこの漸近性は述べられていたが、臨界 MPBH
解に WH 解が一致するという示唆の域を出ていない。
また、臨界 MPBH 解は真空解なので、もし WH 解と臨界 MPBH 解が一致すれば、エネルギー条件を破らない WH 解を構成できるという意味になる。実際

図 3: WH の面積(22) を (3) に適切な座標変換を加えて、計量を解析的に比較すると、

r04 = 4α2 − µ(24)を満たしていれば計量が一致することがわかった。こ
の条件は臨界 MPBH 解がホライズンを持つならば、右辺は 0 以下となり、左辺は 0 以上であるため、右辺=左辺=0 すなわち臨界 MPBH 解しか満たさないことになる。

4
図 4: M+ と J の相図

結論
高速回転極限では WH 解は数値的に臨界 MPBH

元化したもので、a−∞ を変化させた相図である。なお、|J| が大きい部分は外挿している。角運動量を大に漸近することが示唆されたが、解析的に比較する
ことで臨界 MPBH 解のみ一致することがわかった。

きくすることで質量は増加するが、最終的に図の右上の点に漸近することが確認できる。この漸近点は 5次元等角運動量時空での臨界 Myers-Perry ブラックAcknowledgement
私のこの研究をサポートしていただいた、共同研

ホール (MPBH) 解の値である。MPBH 解の計量は究者の古賀泰敬さん、斎藤大生さん、柳哲文さん、吉ΣΣds2 = − dt2 + dr2 + 2 dθ2
∆
r
)
)
(
(
+ r2 + α2 sin2 θdφ2 + r2 + α2 cos2 θdψ 2+

田大介さん並びに QG 研の皆様には厚く感謝を申し
上げます。

)2
µr2 (
dt + α sin2 θdφ + α cos2 θdψ ,Σ(22)[1] M. S. Morris, & K. S. Thorne 1988, Am. J. Phys.
56, 395.

ただし，()
Σ = r 2 r 2 + α2 ,Reference()2∆ = r2 + α2 − µr2 .

[2] P. E. Kashargin, & S. V. Sushkov 2008, Grav. Cosmol. 14, 80.

(23)と表され、回転ブラックホールが高次元時空で一般[3] V. Dzhunushaliev et al. 2013, Phys. Rev. D 88,
124028.

化されたものである。パラメータは α, µ と２つあ301