それでは問題の確認です．ていないときです．6 人が取り出したカードの合計枚数が k 枚と決まれば，「あたり」のカードを引かない
確率は 6 人が取らない (53 ¡ k) 枚の中に「あたり」問題（数学 IAIIB）のカードが含まれる確率なので，53 枚のカードのう何人かで次のゲームを行うことにしました．

ち「あたり」のカードがある場所については対等性が53 枚のカードのうち，1 枚だけ「あたり」と書かあると考えて ÝÝ (¤1)

れたカードを用意します．このカードをよく混

各自が 1〜6 の目が出る公平なサイコロを 1 回だ

53 ¡ k53となります．ただ，この問題では，k の値がどの値にけ投げ，カードを見ないようにして出た目の数なるかの確率は k の値によって異なるので，ひとまだけ山の上から順にとっていきます．なお，一ずその確率を Pk とおいて，求めたい確率を立式して度とったカードは再度山にはもどさないこととみましょう．

ぜて，1 つの山に重ねて置きます．次に，参加者します．このとき，手にしたカードの中に「あた［解答 1］り」のカードが入っていたら，そのカードをとっ6 人の参加者がサイコロを投げて出た目を順にた参加者を勝者と決定してゲームは終了します．
また，いずれの参加者も「あたり」のカードをと

X1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 ; X 5 ; X 6

ることができなければ，このゲームは引き分けとし，自然数 k (6 · k · 36) に対しで終了するものとします．

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = k

参加者が 6 人のとき，このゲームが引き分けでとなる確率を Pk とおく．このとき，ゲームが引き分終了する確率を求めなさい．ただし必要であれけで終了するのは，「当たり」のカードが上から k 枚ば，以下の内容が成り立つことを用いてもかま目までに入っていない場合なので，求める確率を Pいません．

とおくと

自然数 k (6 · k · 36) に対し，1 以上 6 以下

P=の 6 個の自然数 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 の集

k=6合 Ak を

Ak = U (x1 ; x2 ; Ý ; x6 )

6
∑
i=136
∑

=xi = k m36∑
k=6=1¡と定め，Ak の要素の個数を n(Ak ) としたとき

n(Ak ) = n(A42¡k )Pk ¢53 ¡ k53

Pk ¡
15336
∑kP

k

k=636
∑
k=653

kPk

ÝÝ 1である． ÝÝ (¤2)

が成り立つ．
≪考察 2 ≫以下，≪考察≫内では［解答 1］の 1 式内にある以下の解説の中で (¤1)〜(¤4) と付けた箇所につい36∑ては，一番最後に補足の説明を載せていますので，必kPkk=6要に応じて参照してください．

を S とします．S が求まれば，P が求まりますので，この値について考えてみましょう．

≪考察 1 ≫(i) k = 6 のとき

以下，≪考察≫内では k は 6 · k · 36 をみたす自すべての目が 1 のときなので然数とします．まず，引き分けで終了するのは，6 人

P6 =が取り出したカードの中に「あたり」のカードが入っ

1

166

(ii) k = 7 のとき=

6 人がサイコロを投げて出た目のうち，1 つだけ 2で，他がすべて 1 のときなので

P7 = 6 C1 #(iii) k = 8 のとき

11;# ;
66111+535336∑kPk

k=6ÝÝ 2すなわち

515336∑k=6kPk = P ¡1153である．これを，1 に代入してÞÞÞP = 1 ¡ #P ¡と Pk についてそれぞれの確率を具体的に求めようとすると，ものすごく大変なので，別の方法を考えたい∴ところです．ここで，問題文で与えられたヒントでである．

P=3253

11;53ある≪考察 3 ≫n(Ak ) = n(A42¡k ) ÝÝ (¤3)

［解答 2］においてに注目しましょう．6 人分のサイコロの出た目の和がP=k のときと 42 ¡ k のときの場合の数が一致するとい36∑
k=6うことなので

P42¡k ¢53 ¡ k53と表した後，j = 42 ¡ k と置き換えることでn(Ak )n(A42¡k )=66
66

S=すなわち36∑kPk

k=6の一部である Pk にあたる部分を作り出せます．さらPk = P42¡kに，置き換えた結果として，1 式の S の前の符号をが成り立ちます．これを用いて，P を別の形で表し¡ から + に変えたものが 2 式の中に現れるので，1てみましょう．

式と組み合わせることで S を消去して P を求めることができます（S の前の符号が変わっていない場合，［解答 2］（［解答 1］の続き）

解答と同じようにして 1 式に代入しても，P も消えここで，問題文で与えられたてしまうので答えが求まりません）．最後の部分は Sn(Ak ) = n(A42¡k )を消去できればよいので，1 と 2 を足し合わせてもよりよいでしょう．

Pk = P42¡k≪考察 3 ≫（数学 B「統計的な推測」を用いた解法）

であるから

P=36
∑
k=6

今回の問題のように

P42¡k ¢53 ¡ k53n(Ak ) = n(A42¡k )のヒントが与えられていなかった場合，入試本番の限と表せる．この式において，j = 42 ¡ k とおくと

P=36∑
j=6=36∑j=6=1153

られた時間内で［解答 2］で用いたような工夫に気づ53 ¡ (42 ¡ j)Pj ¢53

くことはハードルが高いと思われます．ところが，数11 + j
Pj ¢53いると，S の値をもっとシンプルに求めることができ

36
∑
j=6

Pj +153

学 B「統計的な推測」で学ぶ「期待値」の考え方を用ます！

36
∑

jPj

S=

j=636
∑
k=62

kPk

は，確率変数 k とその確率 Pk の総和なので，k の数学 B の知識を用いることにより，S の値をサイコ期待値になっています．また，確率変数 X ; Y の和ロを 1 個投げたときに出る目の期待値の 6 倍として，X + Y の期待値 E(X + Y) に関する性質簡単に求めることができました．2025 年の 1 月に実施される共通テストからは「数学 IIBC」において解E(X + Y) = E(X) + E(Y) ÝÝ (¤4)

かなければならない選択問題が 1 題増えます．文系

を用いると，確率変数の種類が X ; Y ; Z と 3 種類を目指す方で数学 C「平面上の曲線と複素数平面」のになっても選択問題を選択しない場合は数学 B「統計的な推測」

E(X + Y + Z) = E((X + Y) + Z)を勉強しないといけなくなり，今までの受験生よりも= E(X + Y) + E(Z)負担が増えると思います．ですが，学んだ知識を使い= E(X) + E(Y) + E(Z)こなすことができれば，使える公式・解法が増えるこというようにして，2 種類のときと同様に，X ; Y ; Zとになり，今回の問題のようにシンプルな解法を選択それぞれの期待値の和に分けることができます．同できたり，共通テスト本番で別解で解き直すことによ様の変形を繰り返し用いれば，確率変数の種類が 4 種る検算に活用できたりします．強者たらんとする皆類以上であっても，n を自然数としてさんは，単元の数が増えることに臆することなく，むしろ自分を強化するのにちょうどいいや！ ぐらいのE(X1 + X2 + ÝÝ + Xn )つもりで臨むのが，ちょうどよいのではないでしょ= E(X1 ) + E(X2 ) + ÝÝ + E(Xn )うか．というように，確率変数それぞれの期待値の和に分けそれでは，また次回．

ることができます．ここまでの内容を踏まえると，簡単な計算で S を求めることができます．以下、その（補足）解法を紹介します．

(*1) 53 枚のカードをよく混ぜて 1 つの山に重ねて置いたとき，「あたり」のカードが上から m 番目（m は【［解答 2］の別解】
36∑
kPk は，6 人の参加者がサイコロを投げて出た

1 · m · 53 をみたす自然数）にある確率は，m の値によらず，（「あたり」以外の 52 枚のカードの並べ

k=6目の和 k =6∑方の総数）／（53 枚のカードの並べ方の総数），すな

Xi の期待値である．よって

わちi=136
∑

52!
1=53!
53

kPk = E(X1 + X2 + X3となるので，53 枚のカードのうち「あたり」のカー

k=6

ドがある場所については対等性がある．

+ X4 + X5 + X6 )= E(X1 ) + E(X2 ) + E(X3 )(*2)+ E(X4 ) + E(X5 ) + E(X6 )36∑Pk は，6 人の参加者がサイコロを 1 回ずつ

k=61(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ¢ 6
6= 21=

投げて出た目の和について，起こりうるすべての事象の確率の総和なので，1 になる．

である．1 に代入して，求める確率は(*3) この 2 つの集合の要素の個数が一致する理由に

21
32
P=1¡
=5353

ついては，以下のように説明できる．

1 以上 6 以下の自然数 xi (i = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6)である．

に対し 7 ¡ xi を対応させて，集合 Ak の要素≪最後に≫(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )
3

ÝÝ 3

に対し

= (x1 + y1 )p11 + (x1 + y2 )p12+ (x2 + y1 )p21 + (x2 + y2 )p22

(7 ¡ x1 ; 7 ¡ x2 ; 7 ¡ x3 ;7 ¡ x4 ; 7 ¡ x5 ; 7 ¡ x6 ) ÝÝ 4

= fx1 (p11 + p12 ) + x2 (p21 + p22 )gを対応させる．すると，7 ¡ xi の値は 1 以上 6 以下の= (x1 p1 + x2 p2 ) + (y1 q1 + y2 q2 )+ fy1 (p11 + p21 ) + y2 (p12 + p22 )g

自然数のいずれかであり
6∑i=1(7 ¡ xi ) = 42 ¡6∑
i=1

= E(X) + E(Y)xi = 42 ¡ kであるから，4 は集合 A42¡k の要素である．さらに，3 が異なれば 4 も必ず異なるものになる（6 回分のサイコロの出た目に対して，すべてそのサイコロの裏側の面の目を対応させる，と考えてもよい）．よって，2 つの集合の要素の個数は一致する，すなわちn(Ak ) = n(A42¡k )が成り立つ．

(*4) 2 つの確率変数 X ; Y の確率分布が，それぞれ以下の表で与えられているとする．

Xx1x2計

Yy1y2

計

P

p1p21Pq1q2

1

さらに，i = 1 ; 2 ; j = 1 ; 2 に対しP(X = xi ; Y = yj ) = pijとすると，次のことが成り立つ．

Yy1y2

計x1

p11

p12

p1x2

p21

p22p2

計

q1q2

1

X

p11 + p12 = p1 ; p21 + p22 = p2
p11 + p21 = q1 ; p12 + q22 = q2

X = xi ; Y = yj のとき，X + Y = xi + yj であり，その確率は pij であるから，E(X + Y) は次のように計算される．

E(X + Y)
4