リッチテンソル

リーマンテンソルの縮約によって作られるリッチテンソルを作ります。ついでに、アインシュタインテンソル、ワイルテンソルも定義します。

リーマンテンソル Rαβγρ の縮約を取りますが、リーマンテンソルの対称性のために単純な話です。α と β 、γと ρ については反対称になっているので、ここの部分の縮約は 0 になり、α と ρ、α と γ 、β と ρ のようなものは

Rαβγα = −Rαβαγ , Rαβγβ = Rβαβγとなるので、単に符号が違うだけになります。なので、意味のあるものはRαβαρ = Rβρとした 1 番目と 3 番目による縮約だけです。この縮約したのをリッチテンソル (Ricci tensor) と呼びます。リッチテンソルはRβρ = Rαβαρ = g αη Rηβαρ = g αη Rαρηβ = Rηρηβ = Rρβとなるので対称で、独立成分は 10 個です。リッチテンソルをクリストッフェル記号で表せば{Rµν =αµν}{−|αα}{−µα|ν

αβν}{βµα}{+α}{βαβ}µνとなります。
リッチテンソルに対してさらに縮約を取った

R = Rαα = g µν Rµν = g µν g αβ Rαµβνβ
R をリッチスカラーやスカラー曲率と呼び、その名前のとおりスカラーです。ちなみに、縮約を取ることを行列と同じようにトレースを取ると言ったりもします。
リッチテンソルとリッチスカラーによって定義される

1Gµν = Rµν − gµν R2(1)のことをアインシュタインテンソル (Einstein tensor) と呼びます。リッチテンソルと計量で書かれていることから、アインシュタインテンソルは対称です。
ビアンキの恒等式{Rαηβγ||ρ }(β,γ,ρ) = Rαηβγ||ρ + Rαηρβ||γ + Rαηγρ||β = 0を縮約を取るように変形させると、計量は共変微分に引っかからないことから

g ηγ g αβ (Rαηβγ||ρ + Rαηρβ||γ + Rαηγρ||β ) = g ηγ (Rηγ||ρ − Rηρ||γ + Rβηγρ||β )= R||ρ − Rγρ||γ − Rβρ||β(g ηγ Rηγ||ρ = (g ηγ Rηγ )||ρ = R||ρ )= R||ρ − Rγρ||γ − Rγρ||γ= R||ρ − 2Rγρ||γ(2)よって、ビアンキの恒等式は

1(Rαβ − g αβ R)||α = 02となり、積分して微分を外せば

1
Rαβ − gαβ R = C2
これはアインシュタイン方程式の形になります (C は定数)。
また、これはアインシュタインテンソルの発散が 0 になることも言っています。(2) からリッチスカラーの発散は11R||ρ = g ηρ R||η = Rηρ||η
22となり、添え字の位置をそろえれば

1 ηρηg R||η = R||η2
これをアインシュタインテンソルの発散に使えば

1 µν
1 µν
1 µνµνGµν||α = R||α − 2 g R||α = 2 g R||α − 2 g R||α = 0となるので、発散を取ると 0 になっています。
アインシュタインテンソルの縮約を取ると

1
G = Gµµ = Rµµ − g µµ R = R − 2R = −R2
この結果からも分かるように、(1) をみると、

1Rµν − gµν R4とすれば、縮約を取った時に 0 になることが分かります (g µµ = 4)。なので、トレースを取ると 0 になるテンソルとして

1Sµν = Rµν − gµν R , S αα = 04というのが作れます。
次に1Cµνρλ = Rµνρλ − (gµρ Rνλ − gνρ Rµλ + gνλ Rµρ − gµλ Rνρ )
21+ (gµρ gνλ − gµλ gνρ )R6
このようなテンソルを定義します。これをワイルテンソル (Weyl tensor) と呼びます。ワイルテンソルはリーマンテンソルと同じ対称性を持つように作られています。なので、添え字の置換に対して

Cµνρλ = −Cνµρλ , Cµνρλ = −Cµνλρ , Cµνρλ = CρλµνCµνρλ + Cµρλν + Cµλνρ = 0という関係を持っています。このワイルテンソルはトレースが 0 のテンソル Sµν を使って11111Cµνρλ = Rµνρλ − [gµρ (Sνλ + gνλ R) − gνρ (Sµλ + gµλ R) + gνλ (Sµρ + gµρ R) − gµλ (Sνρ + gνρ R)]
244441+ (gµρ gνλ − gµλ gνρ )R
6
1= Rµνρλ − (gµρ Sνλ − gνρ Sµλ + gνλ Sµρ − gµλ Sνρ )2
1 1
1111− ( gµρ gνλ − gνρ gµλ + gνλ gµρ − gµλ gνρ )R + (gµρ gνλ − gµλ gνρ )R
2 444461111= Rµνρλ − (gµρ Sνλ − gνρ Sµλ + gνλ Sµρ − gµλ Sνρ ) − ( gµρ gνλ − gνρ gµλ )R + (gµρ gνλ − gµλ gνρ )R244611= Rµνρλ − (gµρ Sνλ − gνρ Sµλ + gνλ Sµρ − gµλ Sνρ ) − (gµρ gνλ − gνρ gµλ )R212と書くこともできます。
ワイルテンソルの重要な性質はトレースを取ると 0 になることです。実際にやってみれば

11g αβ Cαµβν = g αβ Rαµβν − g αβ (gαβ Sµν − gµβ Sαν + gµν Sαβ − gαν Sµβ ) − g αβ (gαβ gµν − gµβ gαν )R21211= Rµν − (4Sµν − gµα Sαν + gµν S − g βν Sµβ ) − (4gµν − gµα gαν )R21211= Rµν − (4Sµν − Sµν − Sµν ) − (4gµν − gµν )R2121= Rµν − Sµν − gµν R
411= Sµν + gµν R − Sµν − gµν R
44=0
このように 0 になります。ワイルテンソルのようにトレースが 0 のものを既約 (irreducible) と言い、これ以上分解できないことを意味します。そして、リーマンテンソルは既約なテンソルによって分解することができます。
一般的に、リーマンテンソルはワイルテンソル、トレース 0 のリッチテンソル、リッチスカラーによって分解されます。
最後に、リッチスカラーが定数になる空間を見ておきます。リッチテンソルとリッチスカラーはリーマンテン
ソル Rabcd から

Rab = g cd Rdacb = Rcacb
R = g ab Rab
で与えられています。このとき、リーマンテンソルがRabcd = λ(gac gbd − gbc gad )(3)という形になっているとします (λ は定数)。これに g ac をかけてリッチテンソルにしてみると (n 次元とします)

Rbd = λ(g ac gac gbd − g ac gbc gad )= λ(ngbd − δba gad )= λ(n − 1)gbd
さらに g bd をかけてリッチスカラーにするとR = λn(n − 1)
そうすると λ は

λ=Rn(n − 1)

なので、(3) にこれを入れることで、リーマンテンソルは n > 2 のとき

Rabcd =R(gac gbd − gbc gad )n(n − 1)となります。このときの R がどうなっているのか見ます。
リッチテンソルRab =Rgabnから出発します。ここでビアンキの恒等式

Racbd||e + Raceb||d + Racde||b = 0を持ってくると

0 = g ab g cd (Racbd||e + Raceb||d + Racde||b )= R||e − g cd Rce||d − g ab Rae||b(Rabcd = −Rbacd = −Rabdc )= R|b − Rab||a − Rab||a= R|b − 2Rab||a(4) の共変微分は、計量の共変微分は 0 になることから

Rab||c ==g ac Rab||c =Rab||a =R
1R||c gab + gab||cnn
1R|c gabn
1 acg R|c gabn
1R|bn

(g ac gab = δbc )これを入れて12R|b − 2Rab||a = R|b − 2 R|b = (1 − )R|bnn
なので(1 −これから2)R|b = 0n(4)∂R=0∂xb
R = constとなるので、リッチスカラーは定数です。このように (4) が成立している空間（リッチテンソルが計量に比例している空間）ではリッチスカラーが定数になります ((3 が必要十分条件))。このような空間をアインシュタイン空間と言います。そして、このときリーマンテンソルはRabcd =となります。

R(gac gbd − gbc gad )n(n − 1)(n > 2)