2018/10/07
第37回日本自然災害学会学術講演会

接合分布関数（コピュラ）を用いた
津波による複数建物の同時被災評価
福谷 陽1 ・森口周二2 ・小谷拓磨2 ・寺田賢次郎2
1 関東学院大学理工学部
2 東北大学災害科学国際研究所
1

研究背景

対象地点

頻度

◼ 原子力・不動産・保険事業分野における定量的リスク評価，構造物の設計（例えば、L1に対応する防潮堤の設計）等のためには、最大クラスの災害リスク評価ではなく、各種不確実性を考慮した確率論的リスク評価を実施しておくことが重要◼ ある対象物の確率論的な津波リスクを評価するためには、まず、当該地点で想定される津波浸水深の頻度分布・確率分布を知る必要がある

津波浸水深（m）

2

研究背景
確率論的に津波波高・津波浸水深を評価する手法として、これまで下記等の手法が提案されている。

◼ 多数の津波計算(土木学会(2002), Løvholt et al. (2012) etc.)◼ ロジックツリーモデル（Annaka et al. (2006), 土木学会(2011), Fukutani et al (2015) etc.）
考え得るパターンをロジックツリー分岐により網羅的に評価、原子力分野で活用◼ ランダムフェーズモデル（Goda et al (2015), 安田ら（2016） etc. ）断層の2次元すべり分布をランダムに生成させて評価→多数の津波数値計算（数百～数千）が必要◼ 極値統計法（信岡ら (2015) etc.）

過去の沿岸波高や痕跡高などのデータを用いて極値統計分析により評価◼ 応答曲面法（小谷ら (2016) etc.）→結果が過去のデータに依存

比較的少数の津波数値計算結果（沿岸波高）から応答曲面を生成して評価→本研究で検討3

研究目的① Honjo(2011)などで提案された応答曲面法を用いる信
頼性解析の枠組みを津波現象に適用することで，津波ハザードに関わる不確実性を，計算負荷を抑え，かつ，確率分布を用いて柔軟に取り込み，ある対象地点での津波浸水深を確率論的に評価する。

② 応答曲面法による津波浸水深評価手法を基に、２地点に立地する複数建築物の確率論的同時被災を、接合分
布関数（コピュラ）を用いて評価する。
4相模トラフ沿いで発生するM8クラスの地震の発生確率◼ 本研究では，首都圏に大きな影響を及ぼすと想定されている相模トラフ沿いの地震津波を対象とした．
Region 1

発生確率の重み:0.37

Region 2

Mw: 7.9
Region 50.03

0.11

Mw: 7.9

Region 3

Mw: 8.2
Region 6Mw: 8.4
Region 90.06

0.01

Mw: 8.5
Region 100.30

Mw: 8.0
Region 70.01

Mw: 8.50.05

Region 4

Mw: 8.3
0.02

Region 8Mw: 8.60.04

Mw: 8.2

防災科学技術研究所・確率論的地震動予測地図（地震調査研究推進本部）のための震源データJ-SHIS2018(http://www.j-shis.bosai.go.jp/map/)より抜粋

5

解析手法
Region1

Region2

Region1

Region2(a) 震源領域……

(b) 初期水位分布……

(c) 応答曲面……

各震源領域の発生
確 率 重 み に基づ く
モンテカルロ計算(d) 津波浸水深の頻度分布

発生確率の重み:0.37

発生確率の重み:0.06＋……
(e) 建物被害率の超過
確率分布・
期待値評価

Region10

Region10

発生確率の重み:0.04

初期水位分布の計算結果◼ 各震源の断層パラメータから、Okada(1985)の式を用いて初期水位分布を計算◼ 初期水位分布を基に、津波数値計算を実施
Region1

Region2

Region3

Region4

Region5

Region6

Region7

Region8

Region9

Region106津波数値計算■ 非線形長波方程式を用いて、初期水位から津波伝播計算を実行
津波数値計算条件

浸水深計算の対象地点

2次元非線形長波方程式
支配方程式 （東北大学TUNAMIN2model)
数値積分法

スタッガード・リープフログ法

境界条件

断層パラメータから
Okada(1985)の式で評価した初期水位
開放条件

座標系

平面直角座標IX系

潮位T.P. +0.9 m（神奈川県津波想定設定潮位）

メッシュサイズ（Δx）

270 m → 90 m →30 m → 10 m

計算時間

3時間

初期条件

東京湾
平塚港

相模湾

7応答曲面の構築◼ 不確実性として、すべり量と断層深さの変化を考慮◼ 各地震発生領域に対して，すべり量は基準ケースと±0.7倍・1.4倍の変化を与えた
3ケース，断層深さも基準ケースと+2.0km，−1.0kmの変化を与えた3ケースの計9ケースの津波数値計算を行った．
回帰分析の結果

領域１での解析結果

津波数値計算結果
応答曲面

abcdef領域10.3972
0.00760.00920.18980.00000.2514領域25.4532
0.0974-0.0518-1.5076-0.0119-1.6472

領域31.4483-0.02510.0402-0.1807-0.0024-0.1039

領域41.5244
0.00000.0415-0.20630.0000-0.1173

領域50.0000-0.4897
0.64370.68440.00000.5161abcde
f領域61.9515
0.1444-0.08530.0000-0.0394
0.1112

領域72.8756
0.2062-0.1947-0.34020.0000-0.2543

領域84.6945
0.0962-0.0511-1.1908-0.0119-1.2052

領域90.8555-0.04520.0458-0.1508
0.00000.0661

領域10-1.8047-0.01110.00000.26750.00000.0749𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f
8H(S,D) : 津波浸水深, S : すべり量の倍率, D : 断層端点の深さ, a,b,c,d,e,f : 回帰係数

各変数のばらつきの設定◼ 採用した応答曲面を基に、各変数のばらつきを考慮したモンテカルロ計算を行う。

𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f
変数

平均標準偏差分布形状

ばらつきの根拠

すべり量 S[倍率]1.000.10

原子力土木委員会津波評価部会によれば、断層面積の同じ既往地震を考慮する
正規分布 とMwのばらつきは±0.1程度であることが示唆。このときすべり量の変動幅は70～140%程度となる。

断層深さ D[km]0.12（対数平均）0.65（対数標準偏差）

気象庁一元化処理震源リ
対数正規 ストに記載された断層深さ分布の観測誤差のデータを基に作成。
9断層深さの観測誤差の頻度分布◼ 断層深さの観測誤差は、対数平均0.12, 対数標準偏差0.65の対数正規分布に良く一致している。
100%

25000

N=305030
90%

80%

観測誤差のヒストグラム
観測誤差の累積分布
対数正規分布

15000

70%
60%

50%

累積確率

頻度20000

40%

10000

30%

20%

5000

10%
0%

0

4.9

4.6

4.3

4

3.7

3.4

3.1

2.8

2.5

2.2

1.9

1.6

1.3

1

0.7

0.4

0.1

断層深さの観測誤差 (km)22平塚港での津波浸水深の頻度分布
Region 1

Region 2

Mw: 7.9
Ave: 0.84m
Stdv: 0.87m

Region 6

Region 3

Mw: 8.2
Ave: 2.30m
Stdv: 2.73m

Region 7

Mw: 8.5
Ave: 2.08m
Stdv: 2.26m

Region 4

Mw: 8.0
Ave: 1.16m
Stdv: 1.27m

Ave: 2.31m
Stdv: 2.60m

Mw: 8.3

Mw: 8.6
Ave: 2.29m
Stdv: 2.67m

Mw: 8.4

Ave: 1.20m
Stdv: 1.31m

Region 9Region 8

Mw: 8.5

Region 5

Ave: 1.55m
Stdv: 1.93m

Region 10

Mw: 7.9
Ave: 0.77m
Stdv: 0.85m

14Mw: 8.2
Ave: 1.46m
Stdv: 1.59m

相模トラフ全領域の津波浸水深の頻度分布◼ 相模トラフの各地震（10ケース）の発生確率重みに基づいて、どの地震が発生するか一様乱数により決定◼ 発生地震が決まれば、当該地震による津波浸水深の発生確率分布を用いて、津波浸水深を得る。同様に、試行100,000回のモンテカルロ計算を実施することで、相模トラフ全領域の寄与を想定した津波浸水深の頻度分布を得る。

Mw: 7.9
Region 50.03

Mw: 8.2
Region 6Mw: 8.4

0.110.01

Mw: 8.5
Region 100.040.30

Region 4Mw: 8.0
Region 70.01

Mw: 8.50.05

平塚港でのHistogram of p_h
津波浸水深の頻度分布

Mw: 8.3
Region 80.02

Mw: 8.6

全領域の合計Mw: 7.911Mw: 8.2

100,000回のモンテカルロサンプリング

05000

Region 9Region 315000の重み:
0.370.06

10000

Region 2

頻度Region 1 発生確率0123

津波浸水深 (m)45

大磯港と平塚港での計算

大磯港

平塚港

東京湾

相模湾

大磯港

平塚港

12

大磯港と平塚港の被害確率1000400
1.0 00.20.40.60.8

n = 10000

0.0Damage Probability（平塚港）

Frequency◼ 平塚港と大磯港の浸水深を完全独立（無相関）で発生させた場合

0.00.20.40.60.8Damage Probability
（大磯港）

1.0 0

400

1000

Frequency◼ しかし、平塚港と大磯港の浸水深には何らかの相関があると考えられる。
13◼ 接合分布関数（コピュラ）を用いて、相関を持った乱数を発生させる。

接合分布関数（コピュラ）とは◼ コピュラ（Copula）とは，多変量分布を周辺分布と分布間の依存構造に分離して表現した関数（ラテン語で相異なる物同士の「つなぎ」や「結び付き」を意味する名詞）◼ n個の地点における津波浸水深の確率変数を X1,…, Xnで表す◼ 複数地点における津波浸水深の確率的変動を同時に捉えることは，確率変数 X1,…, Xnの同時分布関数 F(x1,…, xn )の挙動を表すことに等しい◼ 周辺分布関数 F1, …, Fn と同時分布関数 F(x1,…, xn )の間には，以下のSklarの定理（Abe Sklar (1959)）が成り立つ

P(X1 ≤ x1 ,…, Xn ≤ xn ) = F(x1,…, xn ) = C (F1 (x1),…, Fn (xn ))を満たす関数Cが一意に存在する。このCがコピュラと呼ばれる関数であり，多変量分布を周辺分布と分布間の依存構造に分離してモデリングできる利点がある。
23

接合分布関数（コピュラ）とは◼ 変量間の依存構造は，線形相関ではなく，順位相関（ケンドールのτ）を用いて定量化する。
◼ 順位相関に基づくコピュラを用いて変量間の相関を表現した後，各周辺分布関数に変換する手法で，複数地点における津波浸水深の多変量分布を得る。
線形相関（ピアソンの積率相関係数）
変量間の線形的関係を捉える指標であり，線形関係にない変量間の依存関係を表現することは基本的にできない。
順位相関（ケンドールのτ）
各変量のデータの値ではなく，各変量のデータの順位に基づく相関であり，変量間の非線形的な相関も定量化することができる。
29

線形相関と順位相関
順位相関（ケンドールのタウ(τ)）
データの「値」ではなく、任意の2変量の「順位」の「相関」を表現する相関係数𝑗𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑥 , 𝑥𝑗を、同時分布関数𝐹(𝑥 , 𝑥 )、周辺分布𝐹 (𝑥 )、𝐹 (𝑥 )に従う確率変数ベクトルとする。このとき、ケンドールのタウ(τ)は、次式で定義される。

σ𝑛𝑖= 𝑃𝑖 − σ𝑛𝑖= 𝑄𝑖
𝜏=𝑛(𝑛 − 1)Τ2𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗

𝑥𝑖 − 𝑥𝑗

𝑥𝑖 − 𝑥

𝑃𝑖 =𝑥𝑖 − 𝑥

𝑄𝑖 =𝑥𝑖 − 𝑥𝑗> 0 となる個数𝑗< 0 となる個数𝑥 𝑖 > 𝑥 かつ 𝑥 𝑖 > 𝑥 という関係が常に成立する。（順位が完全に一致している。）→ 𝜏 = 1.0 （concordant:調和)
𝑥 𝑖 > 𝑥 かつ 𝑥 𝑖 < 𝑥 という関係が常に成立する→ 𝜏 = −1.0 （concordant:非調和)= 𝐹 (𝑥 )、= 𝐹 (𝑥 )とおいて、コピュラを 𝐶∞

𝜏 = 4න

,とすれば、以下が成り立つ。（証明省略）∞

න 𝐹 𝑥 ,𝑥−∞ −∞𝑑𝐹 𝑥 , 𝑥− 1 = 4න න 𝐶00,𝑑𝐶,−24 1証明25

代表的なコピュラ（２変量）と順位相関の関係
正規コピュラ𝐶,= 𝜱Σ(Φ−, Φ−)𝜱Σ(・)：相関行列Σの２変量標準正規分布関数
Φ− ・ ：１変量標準正規分布関数の逆関数

t コピュラ𝐶,= 𝒕ν・Σ (𝑡ν−, 𝑡ν−)𝒕ν・Σ(・)：自由度ν , 相関行列Σの２変量t 分布関数𝑡ν− ・ ：自由度ν の１変量t 分布関数の逆関数

クレイトンコピュラ

𝐶,= (෍𝑗=ガンベルコピュラ

𝐶,−𝛼− /𝛼,𝛼 > 0𝑗 − 𝑛 + 1)

= 𝑒𝑥𝑝 −(෍𝑗=(−𝑙𝑛 𝑗 )𝛾 ) /𝛾 , 𝛾 > 130

接合分布関数（コピュラ）とは
津波数値計算結果

𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f

応答曲面

順位相関係数

周辺分布

変量間の依存関係（接合分布関数：コピュラ）

x :津波浸水深（平塚港）

同時分布

周辺分布
y :津波浸水深（大磯港）

応答曲面

𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f
森平(2014), 解題 (特集 コピュラ : 信用リスク管理の新たな視点), 証券アナリストジャーナル, Vol.52, No.3, pp.2-9 より抜粋
14

津波数値計算結果と順位相関係数

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

津波浸水深（ｍ）（平塚港）
y

相模トラフ地震全領域の計算結果

Kendall’s τ = 0.83

n = 90
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

津波浸水深（ｍ）（大磯港）
x

3.5

相模トラフの地震領域No.

順位相関係数
Kendall’s τ

10.89

20.89

30.70

40.89

50.89

60.89

70.83

80.89

90.87

100.72

各地震領域において，コピュラを適用して、津波浸水深の同時分布を得る。

15

順位相関を用いて生成したコピュラ
領域１での結果（Kendall’s τ=0.89）
正規コピュラt コピュラn = 10000n = 10000
グンベル
コピュラ

クレイトン
コピュラ

n = 10000

n = 10000
17コピュラを用いて生成した被害確率の同時分布
正規コピュラ

全領域で評価した結果

t コピュラ

0.4

0.6

0.8

1.0 0400

1000

1000

グンベルコピュラ

0.2
0.0

0.2
0.0
0.2

400
0.8
0.6

0.8
0.6
0.4

クレイトンコピュラ

0.4

0.8
0.6
0.4
0.2
0.0(c)

1.0 0

400

(b)

1.0 0

1.0 0

400

(a)

0.0

損害確率（平塚港）

1000

1000

無相関

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 0400

1000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 0

400

1000

損害確率（大磯港）

18

2地点の建物被害率の合算値
100%

建物被害率の合算値90%
80%

70%
60%
50%
40%
30%
95%VaR

以上の平均

99%VaR

95%VaR

95%VaR

期待値

以上の平均

最大値

19

まとめ

◼ 相模トラフ地震を対象として、応答曲面法を用いて津波浸水深の頻度分布を評価した。
◼ 接合分布関数（コピュラ）を用いて、ある2地点に立地する建築物の被害確率の同時分布を評価し、２つの建築物の被害率の合算値を評価した。
◼ 無相関での評価よりも、グンベルコピュラにより相関を考慮した場合の方が、期待値・パーセンタイル値・最大値のいずれもが大きな値を示した。
今後の課題① 順位相関の根拠である、津波数値計算の数が少なく、分布の全体像が明確に把握できない → どのコピュラが適切なのか？
② １パラメータではなく、複数パラメータで規定されるコピュラを用いる【謝辞】
本研究は、「東北大学災害科学国際研究所リソースを活用した共同研究助成」の支援を得て実施しています。ここに記して謝意を表します。

ご清聴ありがとうございました。

20