超微細構造のゼーマン分裂の計算方法
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目的Breit-Rabi の式が使えないアルカリ原子超微細構造のゼーマンシフトの計算方法を紹介する。
電子の全角運動量を𝑱、核スピンを𝑰とし、これらの合成角運動量を
𝑭=𝑱+𝑰(1)|(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 ⟩(2)とする。𝑱と𝑰が結合している基底を、で表す。この基底は{𝑱2 , 𝑰2 , 𝑭2 , 𝑭𝑧 }の角運動量演算子に対し同時固有状態である。
超微細相互作用ハミルトニアンは[1]、33(𝐈 ⋅ 𝐉)2 + 2 (𝐈 ⋅ 𝐉) − 𝐼(𝐼 + 1)𝐽(𝐽 + 1)
𝐻hfs = 𝐴hfs (𝐈 ⋅ 𝐉) + 𝐵hfs
2𝐼(2𝐼 − 1)𝐽(2𝐽 − 1)+𝐶hfs

10 (𝐈 ⋅ 𝐉)3 + 20 (𝐈 ⋅ 𝐉)2 + 2 (𝐈 ⋅ 𝐉)[−3𝐼(𝐼 + 1)𝐽(𝐽 + 1) + 𝐼(𝐼 + 1) + 𝐽(𝐽 + 1) + 3] − 5𝐼(𝐼 + 1)𝐽(𝐽 + 1)
𝐼(𝐼 − 1)(2𝐼 − 1)𝐽(𝐽 − 1)(2𝐽 − 1)(3)であり、磁気双極子相互作用ハミルトニアンは、𝐻mag = −𝛍𝐽 ⋅ 𝐁 − 𝛍𝐼 ⋅ 𝐁 = 𝑔𝐽 𝜇𝐵 𝐉 ⋅ 𝐁 + 𝑔𝐼 𝜇𝐵 𝐈 ⋅ 𝐁(4)である。ボーア磁子は、𝜇𝐵 = 1.39962449361 MHz/Gauss。ここでは磁場は𝑧軸に沿って与えられているとする。この二つの相互作用ハミルトニアンの和、(5)

𝐻 = 𝐻hfs + 𝐻magを|(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 ⟩基底で対角化し、任意の磁場中での超微細構造の固有値を計算する。ここで𝐴hfs は磁気双極子定数（𝐼, 𝐽 > 0の場合有効）、𝐵hfs は電気四重極定数（𝐼, 𝐽 > 1/2の場合有効）、𝐶hfs は磁気八重極定数（𝐼, 𝐽 > 1の場合有効）である。

計算方法(3)式のハミルトニアンの行列要素は Wigner 3-j, 6-j シンボルを用いて以下の関数、
𝑋𝑘 (𝐼, 𝐽, 𝐹) = (−1)𝐽+𝐼+𝐹𝐽(−𝐽𝐹 𝐽 𝐼{}
𝑘 𝐼 𝐽𝑘 𝐽𝐼 𝑘)(
0 𝐽 −𝐼 0𝐼)
𝐼(6)を定義すると、
𝐻hfs (𝐹, 𝑚𝐹 , 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ ) ≡ 〈(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 |𝐻hfs |(𝐽, 𝐼) 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ 〉 = (𝐴hfs 𝐼𝐽𝑋1 +𝐵hfs
𝑋 + 𝐶hfs 𝑋3 ) 𝛿𝐹𝐹′ 𝛿𝑚𝐹𝑚𝐹′
4 2(7)

となる[2]。
(4)式のハミルトニアンの行列要素は Wigner-Eckart 定理を用いると、
(𝑘=1)

(𝑘=1)

𝐻mag (𝐹, 𝑚𝐹 , 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ , 𝐵) = 𝜇𝐵 𝐵 〈(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 |(𝑔𝐽 𝐽𝑞=0 + 𝑔𝐼 𝐼𝑞=0 )| (𝐽, 𝐼) 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ 〉𝐹1 𝐹′= 𝜇𝐵 𝐵(−1)𝐹−𝑚𝐹+𝐽+𝐼+1 √(2𝐹 + 1)(2𝐹′ + 1) ()−𝑚𝐹 0 𝑚𝐹′′
𝐼 1 𝐼
𝐽 1 𝐽× [𝑔𝐽 (−1)𝐹 √𝐽(𝐽 + 1)(2𝐽 + 1) { ′} + 𝑔𝐼 (−1)𝐹 √𝐼(𝐼 + 1)(2𝐼 + 1) { ′}] 𝛿𝑚𝐹𝑚𝐹′𝐹𝐽 𝐹
𝐹 𝐼 𝐹(1)(1)となる。𝐽0 と𝐼0 は量子化軸に対する磁気量子数を変化させないため、
𝑚𝐹 = 𝑚𝐹′(8)(9)を満たす準位間でのみ行列要素が存在している。(8)式の赤字で書いた箇所は間違えやすいので要注意。論文によっては両者が同じ量子数になっており、その場合 Breit-Rabi の式の計算結果とずれてしまいます。
以上より任意の磁場における行列要素は(7),(8)式より、
𝐻(𝐹, 𝑚𝐹 , 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ ) = 𝐻hfs (𝐹, 𝑚𝐹 , 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ ) + 𝐻mag (𝐹, 𝑚𝐹 , 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ , 𝐵)

(10)で与えられ、この固有値を数値的に計算すればよい。計算結果は、J=1/2 の場合 Breit-Rabi の式による計算結果と一致する。

計算結果の例(サンプルプログラムを実行)
セシウム 133 原子、62 𝑃3/2 状態の場合（左図の黒線が全ての𝑚𝐹 成分、緑点線が弱磁場極限の(33)式、赤点線が強磁場極限の(38)式。右図がそれぞれの𝑚𝐹 成分ごとの様子で、非対角項による準位間の反発が見えている）
𝐽 = 3/2;
𝐼 = 7/2;
𝑔𝐽 = 1.334;
𝑔𝐼 = −0.00039885395;
𝐴hfs = 50.28827;[MHz]𝐵hfs = −0.4934;[MHz]𝐶hfs = 0.560 ∗ 10−3;[MHz]補足 1：角運動量演算子、Wigner-Eckart 定理、Wigner 3-j, 6-j シンボル

(𝑘)

(𝑘)

ここでは一般的な合成角運動量を𝑱 = 𝑱1 + 𝑱2 とし|(𝐽1 𝐽2) 𝐽 𝑚⟩ = |𝐽 𝑚⟩基底を考える。𝐓𝑞 と𝐔𝑞 はそれぞれ𝑱1 か𝑱2のみに作用するランク k、磁気量子数 q の非換算テンソル演算子とする。丸括弧と中括弧はそれぞれ Wigner 3-j,6-j シンボルである。以下ではℏ = 1としている。
基本的な角運動量演算子：
𝑱2 |𝐽 𝑚⟩ = 𝐽(𝐽 + 1)|𝐽 𝑚⟩(11)

𝐽𝑧 |𝐽 𝑚⟩ = 𝑚|𝐽 𝑚⟩(12)𝐽± = 𝑗𝑥 ± 𝑖 𝑗𝑦

(13)

𝐽± |𝐽 𝑚⟩ = √𝐽(𝐽 + 1) − 𝑚(𝑚 ± 1)|𝐽 𝑚 ± 1⟩

(14)

Wigner-Eckart 定理：
𝐽(𝑘)〈𝐽 𝑚 |𝐗 𝑞 | 𝐽′ 𝑚′ 〉 = (−1)𝐽−𝑚 (−𝑚𝑘𝑞𝐽′) 〈𝐽‖𝐗(𝑘) ‖𝐽′ 〉, 𝐗 = 𝐓 or 𝐔𝑚′(15)〈𝐽‖𝐉 (1) ‖𝐽′ 〉 = √𝐽(𝐽 + 1)(2𝐽 + 1)𝛿𝐽,𝐽′(16)𝐽′〈(𝐽1 𝐽2 ) 𝐽‖𝐓(𝑘) ‖(𝐽1′ 𝐽2′ ) 𝐽′ 〉 = (−1)𝐽 +𝐽1 +𝐽2+𝑘 √(2𝐽′ + 1)(2𝐽 + 1) { 1′𝐽

𝑘𝐽2𝐽1′} 〈𝐽1 ‖𝐓(𝑘) ‖𝐽1′ 〉δ𝐽2𝐽2′𝐽

(17)

𝐽′
〈(𝐽1 𝐽2) 𝐽‖𝐔 (𝑘) ‖(𝐽1′ 𝐽2′ ) 𝐽′ 〉 = (−1)𝐽+𝐽1 +𝐽2+𝑘 √(2𝐽′ + 1)(2𝐽 + 1) { 2′𝐽

𝑘𝐽1𝐽2′} 〈𝐽2 ‖𝐔(𝑘) ‖𝐽2′ 〉δ𝐽1𝐽1′𝐽(18)(17)式と(18)式の赤で示した箇所が、(8)式の赤で示した箇所の起源である。
非換算テンソル演算子のエルミート共役：(𝑘)†𝐓𝑞(𝑘)= (−1)−𝑞 𝐓𝑞(19)

Wigner 3-j シンボルは偶数回の列を入れ替えは不変であり、奇数回の入れ替えは位相因子が付く。
𝐽( 1𝑚1𝐽2𝑚2𝐽𝐽)=( 2𝑚𝑚2𝐽𝑚𝐽1𝐽)=(𝑚1𝑚𝐽= (−1)𝐽1+𝐽2+𝐽 ( 2𝑚2𝐽1𝑚1𝐽1𝑚1𝐽2)
𝑚2𝐽𝐽) = (−1)𝐽1+𝐽2 +𝐽 ( 1𝑚𝑚1𝐽𝑚𝐽2𝐽) = (−1)𝐽1 +𝐽2+𝐽 (𝑚2𝑚𝐽2𝑚2𝐽1)
𝑚1(20)

当然、(−1)𝐽1 +𝐽2+𝐽 = (−1)−(𝐽1+𝐽2+𝐽)

(21)

である。
さらに磁気量子数の符号の変化に対して以下の関係がある。
𝐽( 1𝑚1𝐽2𝑚2𝐽𝐽) = (−1)𝐽1+𝐽2 +𝐽 ( 1𝑚−𝑚1𝐽2−𝑚2𝐽)−𝑚𝐽1𝐽4𝐽3𝐽}={1𝐽6𝐽4𝐽3𝐽6𝐽5𝐽2𝐽6}
𝐽3(22)

Wigner 6-j シンボルは列を入れ替えても不変である。
𝐽{1𝐽4𝐽2𝐽5𝐽3𝐽}={2𝐽6𝐽5𝐽3𝐽6𝐽1𝐽}={3𝐽4𝐽6𝐽1𝐽4𝐽2𝐽}={2𝐽5𝐽5𝐽2𝐽}={3𝐽5𝐽6𝐽2𝐽5𝐽1}
𝐽4(23)

さらに 2 つの行を入れ替えに対しても不変である。
𝐽{1𝐽4𝐽2𝐽5𝐽3𝐽}={1𝐽6𝐽4(24)

今回は以下の関係式を用いている[3]𝐽(𝑚𝐽{11𝐽2𝐽3𝐽−𝑚𝐽3𝐽}={3𝐽2𝐽21𝐽)=(0−𝑚1𝐽110𝑚𝐽) = (−1)𝐽−𝑚𝑚√𝐽(𝐽 + 1)(2𝐽 + 1)

(25)

𝐽1 (𝐽1 + 1) − 𝐽2 (𝐽2 + 1) − 𝐽3 (𝐽3 + 1)
𝐽3} = (−1)𝐽1+𝐽2+𝐽3𝐽22√𝐽 (𝐽 + 1)(2𝐽 + 1)𝐽 (𝐽 + 1)(2𝐽 + 1)
22233(26)3

補足 2：磁気双極子相互作用ハミルトニアンの行列要素(弱磁場極限)(8)式の対角成分は、(𝐹−𝑚𝐹𝑚𝐹
1 𝐹) = (−1)𝐹−𝑚𝐹
0 𝑚𝐹√𝐹(𝐹 + 1)(2𝐹 + 1)

(27)

𝐽{𝐹

𝐼(𝐼 + 1) − 𝐹(𝐹 + 1) − 𝐽(𝐽 + 1)
1 𝐽} = (−1)𝐽+𝐼+𝐹
𝐼 𝐹
2√𝐹(𝐹 + 1)(2𝐹 + 1)𝐽(𝐽 + 1)(2𝐽 + 1)

(28)

𝐼{𝐹𝐽(𝐽 + 1) − 𝐹(𝐹 + 1) − 𝐼(𝐼 + 1)
1 𝐼} = (−1)𝐽+𝐼+𝐹𝐽 𝐹
2√𝐹(𝐹 + 1)(2𝐹 + 1)𝐼(𝐼 + 1)(2𝐼 + 1)(29)を用いると、〈(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 |𝐻mag |(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 〉 = 𝜇𝐵 𝐵𝑚𝐹 (𝑔𝐽

𝐹(𝐹 + 1) + 𝐽(𝐽 + 1) − 𝐼(𝐼 + 1)
𝐹(𝐹 + 1) − 𝐽(𝐽 + 1) + 𝐼(𝐼 + 1)+ 𝑔𝐼)
2𝐹(𝐹 + 1)
2𝐹(𝐹 + 1)= 𝜇𝐵 𝑔𝐹 𝑚𝐹 𝐵

(30)となる。ここで、𝑔𝐹 (𝐽, 𝐼, 𝐹) ≡ 𝑔𝐽

𝐹(𝐹 + 1) + 𝐽(𝐽 + 1) − 𝐼(𝐼 + 1)
𝐹(𝐹 + 1) − 𝐽(𝐽 + 1) + 𝐼(𝐼 + 1)+ 𝑔𝐼
2𝐹(𝐹 + 1)
2𝐹(𝐹 + 1)と定義した。
別の方法として、〈𝐹, 𝑚𝐹 |𝜇𝐵 𝑔𝐽 𝐉 ⋅ 𝐁 + 𝜇𝐵 𝑔𝐼 𝐈 ⋅ 𝐁|𝐹, 𝑚𝐹 〉 = 〈𝐹, 𝑚𝐹 |𝜇𝐵 𝑔𝐽(𝐉 ⋅ 𝐅)(𝐅 ⋅ 𝐁)
(𝐈 ⋅ 𝐅)(𝐅 ⋅ 𝐁)
+ 𝜇𝐵 𝑔𝐼| 𝐹, 𝑚𝐹 〉2𝐅
𝐅21 21 2(𝐅 + 𝐉 2 − 𝐈 2 )(𝐅 ⋅ 𝐁)
(𝐅 − 𝐉 2 + 𝐈 2 )(𝐅 ⋅ 𝐁)
2
2
= 〈𝐹, 𝑚𝐹 |𝜇𝐵 𝑔𝐽+𝜇𝑔| 𝐹, 𝑚𝐹 〉𝐵 𝐼
𝐅2𝐅2(31)11(𝐹(𝐹 + 1) + 𝐽(𝐽 + 1) − 𝐼(𝐼 + 1))(𝑚𝐹 𝐵)(𝐹(𝐹 + 1) − 𝐽(𝐽 + 1) + 𝐼(𝐼 + 1))(𝑚𝐹 𝐵)
2= 𝜇𝐵 𝑔𝐽+ 𝜇𝐵 𝑔𝐼 2
𝐹(𝐹 + 1)𝐹(𝐹 + 1)
= 𝜇𝐵 𝑔𝐹 𝑚𝐹 𝐵

(32)としても同じ結果を得る。
故にエネルギー固有値の近似解は、𝐸(𝐹, 𝑚𝐹 )~ (𝐴hfs 𝐼𝐽𝑋1 +𝐵hfs
𝑋 + 𝐶hfs 𝑋3 ) + 𝜇𝐵 𝑔𝐹 𝑚𝐹 𝐵
4 2(33)となる。

補足 3：強磁場極限

強磁場極限では𝑱と𝑰結合が弱まり量子化軸に対して独立に歳差運動している独立基底、(34)|𝐽 𝑚𝐽 , 𝐼, 𝑚𝐼 ⟩が良い量子状態である。この基底は{𝑱2 , 𝑱𝑧 , 𝑰2 , 𝑰𝑧 }の角運動量演算子に対し同時固有状態である。
この基底での超微細相互作用ハミルトニアンの行列要素の対角成分は
𝑰 ⋅ 𝑱 = 𝐼𝑧 𝐽𝑧 + 𝐼𝑥 𝐽𝑥 + 𝐼𝑦 𝐽𝑦 = 𝐼𝑧 𝐽𝑧 +𝐼+ 𝐽− + 𝐼− 𝐽+2(35)を用いて最低次まで計算すると以下のようになる。
𝐻hfs (𝑚𝐽 , 𝑚𝐼 ) ≡ 〈𝐽 𝑚𝐽 , 𝐼, 𝑚𝐼 |𝐻hfs |𝐽 𝑚𝐽 , 𝐼, 𝑚𝐼 〉 = 𝐴hfs 𝑚𝐽 𝑚𝐼(36)

磁気双極子ハミルトニアンの行列要素は対角成分のみで、
(1)

(1)

𝐻mag (𝑚𝐽 , 𝑚𝐼 ) = 𝜇𝐵 𝐵 〈𝐽 𝑚𝐽 , 𝐼, 𝑚𝐼 |(𝑔𝐽 𝐽0 + 𝑔𝐼 𝐼0 )| 𝐽′ 𝑚𝐽′ , 𝐼 ′ , 𝑚𝐼′ 〉 = 𝜇𝐵 𝐵(𝑔𝐽 𝑚𝐽 + 𝑔𝐼 𝑚𝐼 )

(37)

である。
故にエネルギー固有値の近似解は、𝐸(𝑚𝐽 , 𝑚𝐼 )~𝐴hfs 𝑚𝐽 𝑚𝐼 + 𝜇𝐵 (𝑔𝐽 𝑚𝐽 + 𝑔𝐼 𝑚𝐼 )𝐵(38)となる。

補足 4：超微細相互作用ハミルトニアンの行列要素(別の表式)(𝐈 ⋅ 𝐉)の演算子は(1)式より
1𝐈 ⋅ 𝐉 = (𝐅 𝟐 − 𝐉 𝟐 − 𝐈 𝟐 )2(39)であり、|(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 ⟩は{𝑱2 , 𝑰2 , 𝑭2 , 𝑭𝑧 }の演算子に対し同時固有状態であるので、𝐾′δ ′δ
2 𝐹𝐹 𝑚𝐹𝑚𝐹(40)

𝐾(𝐽, 𝐼, 𝐹) ≡ 𝐹(𝐹 + 1) − 𝐽(𝐽 + 1) − 𝐼(𝐼 + 1)

(41)〈(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 |𝑰 ⋅ 𝑱|(𝐽, 𝐼) 𝐹 ′ , 𝑚𝐹′ 〉 =となり、対角成分のみが値を持つ事がわかる。ここで、である。故に、

𝐾 2 3 𝐾
3 ( ) + ( ) − 𝐼(𝐼 + 1)𝐽(𝐽 + 1)
𝐾2 2〈(𝐽, 𝐼) 𝐹, 𝑚𝐹 |𝐻hfs |(𝐽, 𝐼)𝐹, 𝑚𝐹 〉 = 𝐴hfs + 𝐵hfs 2
22𝐼(2𝐼 − 1)𝐽(2𝐽 − 1)
𝐾 3
𝐾 2𝐾
10 ( 2 ) + 20 ( 2 ) + 2 ( 2 ) [−3𝐼(𝐼 + 1)𝐽(𝐽 + 1) + 𝐼(𝐼 + 1) + 𝐽(𝐽 + 1) + 3] − 5𝐼(𝐼 + 1)𝐽(𝐽 + 1)
+𝐶hfs
𝐼(𝐼 − 1)(2𝐼 − 1)𝐽(𝐽 − 1)(2𝐽 − 1)(42)となる。これは(7)式と一致する。

参考文献[1] Lloyd Armstrong, Jr., Theory of the Hyperfine Structure of Free Atoms (Wiley-Interscience, New York, 1971).
Gerginov, Vladislav, Andrei Derevianko, and Carol E. Tanner. "Observation of the Nuclear Magnetic Octupole
Moment of C s 133." Physical Review Letters 91.7 (2003): 072501.
[2] Beloy, Kyle, Andrei Derevianko, and W. R. Johnson. "Hyperfine structure of the metastable P 3 2 state ofalkaline-earth-metal atoms as an accurate probe of nuclear magnetic octupole moments." Physical Review A 77.1
(2008): 012512.
[3] Zare, Richard N. Angular momentum. Vol. 33. Wiley, New York, 1988.