機械数学 I（2015 年度後期）期末テスト問題（2016 年 2 月 8 日１限 工学部講義棟 203 号教室）
以下の設問に解答してください．ただし問 7 は問 7A，問 7B，問 7C から 1 問を選んで解答してくださ
い．問 7 を複数解答しても，評価に反映するのは 1 問だけです．解答は設問の番号順でなくても構いません．解答用紙は 4 枚提出してください．各解答用紙の右上に名前と学籍番号を明記し，片面のみ記入してください．裏面の解答は無効とします．
1．以下の各小問が定める条件で dy dx を求めて下さい．x と y は変数であり，a と n は 0 以外の定数です．
(1) y = ax ，(2) y = aen

2．

x

式(1)(2)の関係を利用するオイラー法を参考に，表１において x=5.50 の dy/dx を算出してください．
(1)x1 = x0 + hy1 = y 0 + hdydx(2)3． 図 1 および式(3)において，θと x1 が時間 t の関数で，y1 と r とξが定数であるとき，点（x3,y3）の加速度を数式で示してください．点（x1,y1）は y=y1 を保ちながら往復運動し，点（x2,y2）は原点を中心に回転運動し，点（x3,y3）は点（x1,y1）と点（x2,y2）をつなぐ連接棒上の 1 点である．また，θは点（x1,y1）と点（x2,y2）を結ぶ線分と x 軸のなす角，r は点（x1,y1）と点（x3,y3）の距離，ξは連接棒において点（x1,y1）と点（x2,y2）を結ぶ線分と点（x1,y1）と点（x3,y3）を結ぶ線分のなす角である．なお，この設問において，θと x1 の挙動は算出せず，解答中もθと x1 の変数で記述してください．
⎛ x3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ cosθ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜⎝ y3 ⎠ ⎝ y1 ⎠ ⎝ sin θ4．

− sin θ ⎞⎛ r cos ξ ⎞⎟⎜⎟cosθ ⎟⎠⎜⎝ r sin ξ ⎟⎠(3)

トルク 25.6 N･m で 1 分当たり 1200 回転する回転軸の出力を SI 単位で求めてください．トルクは，力のモーメントと同じ意味で，回転方向にかかる力にその作用点と回転中心の距離を乗じたものです．

5． 絶対値が図 2 の斜線部の面積と同じで負の値を示す S が得られるように，空欄をうめて完成させた式(4)を回答用紙に記述してください．なおこの問題では，逆関数は使いませんし，y=F(x)も具体的な関数は指定していません．

S= ∫= − ∫(4)

6． 比熱 Cp が 200～900K の温度範囲において式(5)で表された時，この物質 m kmol が 400K から 800K まで加熱されるときに必要なエネルギーを求めてください．
2⎛ 100 ⎞⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞c p =A+B ⎜⎟+C ⎜⎟ +D ⎜⎟
100100⎝⎠ ⎝⎠⎝ T ⎠[kJ/(kmol･K)](5)

7A． 半径が r の「球」の体積が(4πr3)/3 になることを証明してください．ただし球の表面積 4πr2 を半径r で積分したものが球の体積になる関係は利用しないでください．
7B． 一様な厚みと密度で断面が図 3 のような直角三角形をした三角柱が横たわっている．図 3 の x-y 座
標で直角三角形 OAB の重心 G の x 座標 xG が a/3 になることを証明してください，この照明において，「y 軸(x=0)からの距離と質量の積に比例するモーメントを考えた際に，分割した微小要素のモーメントの総和が，物体全体の質量と重心まで距離から求めるモーメントに等しい」と示す式を用いてください．
7C． 断面積 S と密度ρが均一で，長さが L の棒があったとして，棒の中心を回転中心とする場合の慣性モーメントを求めてください．慣性モーメントは，質量 dm の回転中心からの距離を r として，r2dm を全体に積分することで求められます．

表 1 オイラー法を参考に dy/dx を計算する問題のための数値
x1.00
2.00
4.00
y1.00
8.01
25.02

y7.00
48.03

11.00
81.04

θ

(x2,y2)
ξ’(x1,y1)(x3,y3)x

図 1 オフセットクランク機構の中間節に掛かる慣性力の解析

yy=F(x)

F(x2)

F(x1)
(0,0)

x1x2

x

図 2 x の関数 y と積分

yB（0,b）
A（a,0）
Ox

図 3 横たわる三角柱の断面

答案の返却および評価の異議申し立ては，2016 年 2 月 16・17・19 日に受け付ける予定です．日程は改めて機械棟 1 階の掲示板で通知します．希望する学生は担当者の居室を訪問してください．

d 2 ⎛ x3 ⎞ d 2 ⎛ x1 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ =⎜⎜ ⎟⎟dt 2 ⎝ y 3 ⎠ dt 2 ⎝ 0 ⎠解答例
１．

dydy= anx n −1 ，(2)= ae x
dx
dx

(1)

２．
式(1)(2)を整理すると式(3)が得られる．
dy y0 − y1
=dx x0 − x1

(2-1)

d 2θ ⎛ sin θ− 2 ⎜⎜dt ⎝ − cos θcos θ ⎞⎛ r cos ξ ⎞⎟⎜⎟sin θ ⎟⎠⎜⎝ r sin ξ ⎟⎠2⎛ dθ ⎞ ⎛ cos θ−⎜⎟ ⎜⎜⎝ dt ⎠ ⎝ sin θ− sin θ ⎞⎛ r cos ξ ⎞⎟⎜⎟cos θ ⎟⎠⎜⎝ r sin ξ ⎟⎠で点（x3,y3）の加速度が得られる．

ここで 4 と 7 の平均が 5.5 であり，式(2-1)より xが 4 から 7 の間の変化の割合を x=5.50 における4．

dy/dx とする．よって

力を F，移動距離を L，時間を t として，dy 48.03 − 25.02== 7.67dx
7−4

P=(2-2)

以上より，x=5.50 において dy/dx=7.67 である．

FLt(1)

ここで回転中心からの力の作用点までの距離を rとしたとき，3．
位置を時間 t で 2 階微分したものが加速度になる．

d ⎛ x3 ⎞ d ⎛ x1 ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟dt ⎜⎝ y 3 ⎟⎠ dt ⎜⎝ y1 ⎟⎠d(− sin θ )⎞⎟⎛ r cos ξ ⎞dt⎟⎜⎜⎟⎟dsinξr⎟⎠⎝cos θ ⎟dt⎠⎛d⎞− sin θ ⎞⎜ dt (r cos ξ )⎟⎟⎟⎜cos θ ⎟⎠⎜ d (r sin ξ ) ⎟⎜⎟⎝ dt⎠

d ⎛ x ⎞ dθ ⎛ sin θ⎜= ⎜⎜ 1 ⎟⎟ −dt ⎝ y1 ⎠ dt ⎜⎝ − cos θcos θ ⎞⎛ r cos ξ ⎞⎟⎜⎟sin θ ⎟⎠⎜⎝ r sin ξ ⎟⎠L = 2πrnt

(3)

1⎛T ⎞
P = ⎜ ⎟(2πrnt )rt⎝ ⎠= 2πnT(4)式(4)に n=1200/60, T=25.6 を代入する．

P=3.216W=3.22kW
以上より，3.22kW である．
5．

S=∫

F ( x1 )F ( x2 )xdy = − ∫F ( x2 )F ( x1 )xdy6．

d 2 ⎛ x3 ⎞ d 2 ⎛ x1 ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟dt 2 ⎜⎝ y 3 ⎟⎠ dt 2 ⎜⎝ y1 ⎟⎠

比熱を温度で積分し，質量を乗じた値が熱量となる．

d 2θ ⎛ sin θ− 2 ⎜⎜dt ⎝ − cos θcos θ ⎞⎛ r cos ξ ⎞⎟⎜⎟sin θ ⎟⎠⎜⎝ r sin ξ ⎟⎠⎛ dθ ⎞ ⎛ cos θ−⎜⎟ ⎜⎜⎝ dt ⎠ ⎝ sin θ− sin θ ⎞⎛ r cos ξ ⎞⎟⎜⎟cos θ ⎟⎠⎜⎝ r sin ξ ⎟⎠2(2)式(1)に式(2)(3)を代入する⎛d⎜ cos θ+ ⎜ dt
⎜ d sin θ⎜⎝ dt⎛ cos θ+ ⎜⎜⎝ sin θTr

F=y1 も定数であるから以上より，

800

Q = m ∫ C p dT
400

ここで上の式と式(5)より() ()⎧⎪⎫⎪B 8002 − 4002 C 8003 − 4003
Q = m⎨A(800− 400) +++100D ln 2⎬
22 ×100⎪⎩⎪⎭
3×100= m(400 A + 2400 B + 14933C + 69.3D )

7A．

7C．

y

長さ l の棒の中心を回転中心とする慣性モーメント

R
S-R

Ic は(r,y)lRO

I C = ∫ 2l r 2 dm
−x(1)

2

またこのとき，棒の断面積と密度がそれぞれ S，ρであるから，-Rdm = ρ Sdr

図のような状態で y 軸に垂直な断面 S の半径 r と式(1)(2)よりすると式(1)(2)が得られる

r =R −y222l2l−2

I C = ρ S ∫ r 2 dr(1)S = πr 2(2)また球の体積 V は=R

V = ∫ Sdy(3)−R()

V = ∫ π R 2 − y 2 dy−Rρ Sl 312(3)以上より，棒の中心を回転中心とする慣性モーメン式(3)に式(1)(2)を代入
R(2)

2⎛
R ⎞⎟
= 2π ⎜⎜ R 3 −3 ⎟⎠⎝トは =ρ Sl 312である．

配点と解説
問1

4= πR 33

各3点

以上より，球の体積は半径を R とすると 4πR3/3で示される

さすがにこれが正解できない人はいないと思いますが，念のための確認です．

7B．
この問題を 2016 年 2 月の期末試験で解答した学生

問2はいないため，解答例は割愛する．

式(2-1)の記述：2.5 点式(2-2)の記述：2.5 点

dy/dx が「x の変化量に対する y の変化の割合」であることを認識できていることを確認するため(4)mdy dy dt== ae t ⋅ bmx m −1 = abmx m −1e bx
dx dt dx(5) = anx emnx+ amx

m −1 nxeの設問です．そのため，問題の式(1)(2)に数値を代入してから h を消去する方法は不可とする．なお計算ミス等は-1.25 の減点とした．
問3
時間で２階微分したものが加速度である旨の記
述：3 点
速度の計算ができている：3 点

加速度の計算ができている：3 点

dy1/dx=0 を反映している：１点・説明ができていない：-50%
・記述で常用対数と自然対数の区別がない：-10%

それぞれの評価項目は，以下の確認事項に対応し・計算において常用対数と自然対数を混同：-40%ている．

・定積分ができていない：-40%

・説明する意識がある

出題の意図は，積分の計算の解釈に関する理解・積・dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)の計算ができる

分の計算方法・単位や次元の確認・自然対数と常用・d{ f (x ) ⋅ g (x )}dx

対数の区別，などの確認をすることであった．

d⎧d⎫= ⎨ f (x )⎬ ⋅ g (x ) + f (x ) ⋅g (x ) ができる
dxdx
⎩⎭

問7

・別の問題の丸暗記でない

20 点
ただし主要な数式を適切に導いていない場合は，40%減点した．

問4

出題の意図としては，積分を用いて現象等を適切20 点に表現し，かつ自身の思考を記録に残せることであただし以下の項目で各 2.5 点の減点項目を設けた．

る．なお問 7C で式（E7-1）やそれに相当する説明の記述無しに，式（E7-2)のみ記述されている場合

・数式の説明は，減点した．実際の計算で式(E7-2)を使うことに・P=2πnT の記述

何の問題も無いが，説明は説明と割り切るべきで，・回転数を 1 秒当たりに直す考え方を記録し示すことが大事である．計算結果が・有効数字を妥当な方法で示す同じであるなら式（E7-1）を示すべきである．

・数値を正しく計算する・出力を kW または W で回答する
IC = ρS

問題の意図としては，「単位や次元を適切に取り扱う」「有効数字を適切に示す」ということを確認することである．なお解答において次元が出力にな

l2 r 2 drl−2∫(E7-1)l

I C = 2 ρ S ∫ 2 r 2 dr0(E7-2)

らないものは不可とした．また有効数字を有効桁数で丸める際に，「≒」を使用した場合も減点対象である．

試験全体を通して，些細な数値の入力ミスが答案だ
けで明らかになる場合，適切に考え方の記録や説明

問5がなされていたと判断できるため，減点しない場合20 点もある．

積分が何をしているのか認識できていることを確認する問題である．授業の時から述べているよう

シラバスからの変更に，適当に計算し易い数式と積分範囲を仮定して計授業の成績評価は，期末試験の点数 100%で評価算したら，自身の解答の妥当性が確認ができる．

します．５点を配分していた２回の小テストで受講者全体の達成度が低く，期末試験で類似問題を出題問6したため，小テストにおける能力評価は期末試験の20 点一部で更新され評価したものとします．

ただし，以下を減点項目とした．

また D 評価の学生に再試を実施します．