アレクサンドライト結晶を用いた
DPSS レーザーの開発(Development of Alexandrite DPSS laser)
理学研究科
数物系専攻
京谷

隆正

目次
第1章

序章

2

1.1

歴史的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

研究目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

DPSS レーザーの原理

7レーザーの動作原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

自然放出と誘導放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2

反転分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.3

四準位レーザー. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

周波数モード（縦モード）と空間モード (横モード) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

DPSS レーザーの動作原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

閾値の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

DPSS レーザーにおける熱的な効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

熱レンズ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5

アレクサンドライト結晶の蛍光寿命の温度依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.6

ABCD 行列とビームパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.7

共振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

共振器内でのビーム径の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

第2章

2.1

2.2

ガウシアンビーム

2.2.1
2.3

2.3.1
2.4

2.7.1
第3章

実験

38

3.0.1

Pump 用半導体レーザー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.0.2

結晶について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.1

共振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2

結晶から放出される蛍光の分光測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3

小信号利得の測定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.4

熱レンズの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.5

発振しない原因の考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

まとめ

63

第4章
参考文献

65

1

第1章

序章
1.1 歴史的背景
ボース・アインシュタイン凝縮 (Bose-Einstein Condensation, 以下”BEC” と表記) の存在は 1925 年に A.Einstein によって予言された [1]。BEC はマクロな数の粒子が最低基底状態に落ち込み、１つの巨視的な波として振舞うようになる。Einstein が考えたのは理想気体に対しての BEC であったが、1938 年に

P.Kapitza によって液体ヘリウムの超流動が観測され [2]、同年に F.London は液体ヘリウムの超流動現象はBEC によるものであると説明した [3]。一方で、Einstein が最初に予言した気体の BEC の実現には 1960 年に T.H.Maiman により開発されたレーザー [4] が欠かせなかった。1975 年に T.W.Hänsh と A.L. Schalow
らによってレーザーを用いた気体原子の冷却法が提案され [5]、1985 年に S.Chu らによって Na 原子のレーザー冷却が達成された [6]。また 1987 年に E.L. Raab らによって、磁場とレーザー光を組み合わせることで気体原子の冷却とトラップを同時に行う磁気光学トラップ (Magneto-Optical Trap, MOT) が確立された [7]。
これらのレーザー冷却技術の発展の結果、数秒 数十秒という非常に短い時間で常温の気体原子を mK-100 µK
まで冷却することが可能となった。気体原子 BEC の実現にはさらに 100nK 程度まで原子を冷却することが必要であり、そのために蒸発冷却という手法が用いられる。これらレーザー冷却と蒸発冷却という２つの冷却法を組み合わせることにより 1995 年に Rb[8],Na[9], Li[10] において気体原子の BEC の実現が報告された。
冷却原子系を用いて実験を行う利点の１つはその高い操作性にある。磁場やレーザー光などの外場によって原子の内部自由度（電子状態、微細構造、超微細構造など）および外部自由度（原子の運動状態など）を操作することができる。この操作性の高さを表すものとしてフェッシュバッハ (Feshbach) 共鳴がある。フェッシュバッハ共鳴とは原子状態と分子状態が一致するときに現れる共鳴散乱現象のことであり、原子核物理の研究者である H.Feshbach によって理論的に提唱され [11]、冷却原子系においては 1998 年に 23 Na の BEC において観測された [12]。共鳴付近では原子間の二体の相互作用の強さを表すパラメーターである散乱長を外場を用いて自由に制御することができるために冷却原子系では原子種によらない普遍的な物理を探求するツールとして広く利用されてきた。また、共鳴を用いることでフェッシュバッハ分子と呼ばれる原子同士がゆるく束縛されている分子を作ることができ、この冷却分子を用いた実験も盛んに行われている。
冷却原子系の特徴として、実験を行う場としてのトラップポテンシャルを自由に設計できることも挙げられる。多くの冷却原子実験において蒸発冷却は磁場トラップ中で行われる。これは蒸発冷却に必要なトラップの深さとトラップ寿命を比較的容易に確保できるためである。しかしフェッシュバッハ共鳴を制御するために用いる外場としては静磁場を用いる磁場フェッシュバッハ共鳴が一般的であり、フェッシュバッハ共鳴に用いる
静磁場の自由度を確保するためには原子集団を磁場トラップから光トラップに移行させる必要がある。

2

光トラップを形成するために用いられるレーザー光の周波数は、原子集団が光散乱の影響によって加熱されることを防ぐために原子の共鳴周波数から十分に離す必要がある。しかし、レーザー光の周波数を原子の共鳴周波数から離してしまうとトラップの深さを確保するために高出力のレーザーが必要となる。したがって蒸発
冷却の終盤に原子集団を磁場トラップから光トラップに移行させることが多い。静磁場が自由に制御可能であることに加え、様々なスピン状態をトラップすることが可能であることやポテンシャル形状の変更が容易であることも光トラップの利点であり、様々な実験のデザインを可能にしている。
近年では「箱型トラップ」を用いた実験が注目を集めている [13]。光トラップは原子の共鳴周波数から負の離調をとったレーザー光を用いた引力のポテンシャルによるトラップが一般的であり、原子はレーザー強度が極大となる場所にトラップされる。引力ポテンシャルによる光トラップは、通常トラップの底で調和型に近似することができ、一本のレーザー光でもトラップすることが可能であるなど簡便な方法である。一方で、原子集団はポテンシャルの形状をそのまま感じるため、原子集団の密度分布が不均一になってしまうという問題がある。箱型ポテンシャルは、正に離調をとったレーザー光を用いた斥力のポテンシャルを利用したトラップであり、原子集団をレーザー光の壁で囲むことにより原子を光のない領域に閉じ込める。このトラップ方法により均一な密度分布を持った原子集団を用意することができる。原子集団の振る舞いは密度に依存することが多く、箱型トラップを導入することにより高精度の実験を行うことができる。図 1.1 に引力ポテンシャルと箱型
ポテンシャルの違いを示した。

トラップポテンシャル

トラップポテンシャル

BEC
BEC

(a) 引力ポテンシャルによる光トラップ(b) 箱型ポテンシャル

図 1.1: 引力ポテンシャルと箱型ポテンシャルを模式的に表した図。
箱型ポテンシャル中では一様な密度分布が得られる。

1.2 研究目的
本研究室では 41 K と 87 Rb 原子の混合冷却原子系の構築を行っている。混合系の特徴を活かした研究として混合 BEC の相分離ダイナミクスの研究を進めている。水と油のように二つの流体がどのように相分離していくのかは非常に興味深い問題である。混合 BEC の系では原子間の相互作用を急激に変化させることで二つの BEC が混ざり合った状態から相分離する状態へと瞬時に変化 (クエンチ) させることができ、相分離のダイ

3

ナミクスを直接観測することができる。この時のドメインの成長過程において、ドメインの大きさの分布を時刻ごとにリスケールすることでどの時刻でも変わらずに普遍的な関数に帰着することが期待されている。これ
を動的スケーリング仮説と呼び、検証が待たれている。クエンチした冷却原子によるドメイン形成の実験の例
としては、バークレーのグループが行ったスピン自由度のある 87 Rb の BEC の実験 [14] が有名である。二次元系でのドメイン生成のダイナミクスの観測は先駆的なものであったものの、87 Rb の相互作用のスピン依存部分は全エネルギーに比べ非常に小さいために実験結果の定量的な理解は難しく、動的スケーリング仮説の検証も行われなかった。
本研究室の所持する 41 K - 87 Rb の混合 BEC の系はフェッシュバッハ共鳴により相互作用エネルギーを自在に変化せることができるため、過去に 41 K - 87 Rb の混合 BEC を用いてクエンチによる相分離の過程の観測を試みた [15]。しかし、イメージングの解像度が悪く、トラップの大きさも小さかったため相互作用が可変であるという利点をほとんど活かせない実験になってしまった。トラップも一次元でかつ形状も不均一であるなど問題も多かった。
以上のような背景から我々は二次元の箱型トラップの導入を進めている。箱型ポテンシャルを用いた冷却原子実験の先行研究 [13] では三次元の箱型トラップを導入しているが、ドメインを直接観測するような実験ではイメージングによる観測の関係で二次元の領域に原子集団を閉じ込めた方が都合がよい。また、異核原子の混合 BEC の系では質量の違いにより、重力によるトラップ位置のズレが問題になる場合がある。この点でも重力方向に強く閉じ込めた二次元での箱型トラップでは位置のズレが無視できるようになる。実際の箱型ポテ
ンシャルの実装は図 1.2 のように垂直方向にリング状のレーザー光（リングビーム）と水平方向から斜め光格子（シートビーム）を照射して中心のレーザー強度の節の一つに原子を閉じ込める。箱型ポテンシャル実装のテストとして Rb の BEC を閉じ込めた様子が図 1.3 である。現状トラップのサイズは 100µm ×100µm 程度であるが、イメージングの解像度は 2µm 程度になると期待されているため、その百倍以上のサイズの系での実験を行うために 300µm × 300 µm 程度にトラップを拡大することを目標にしている。

リングビームシートビーム重⼒⽅向

リングビームの断⾯(a) リングビームとシートビーム(b) シートビームによる光格子

図 1.2: 箱型ポテンシャルの実装方法の模式図。

4

図 1.3: 箱型ポテンシャル中の Rb の BEC

トラップのサイズを拡大する際には重力方向の閉じ込めを行うシートビームの出力が問題となる。単純にビーム径を広げるとレーザーの出力が現状の十倍程度必要になる。レーザー光の周波数を原子の共鳴に近づける方法も考えられるがその場合、光散乱による加熱に気をつける必要がある。現在は Rb 原子の共鳴波長780nm(D2 線) および 790nm(D1 線)、また K 原子の共鳴波長 767nm(D2 線)、770nm(D1 線) のすべてから正に離調をとった 755nm の波長のレーザーをトラップ光源として用いている。斥力トラップの場合、光が無いところに原子がトラップされるために光散乱の影響は比較的少なく、現在は Rb 原子を 1 秒以上のトラップ
寿命を観測している。トラップ光源には半導体レーザーを用いているが、波長 755nm は半導体レーザーの発振波長の限界付近であり出力は 100mW 程度にとどまっている。したがって、本研究ではトラップ光の高出力化を目指して光源開発を行うことにした。
前述した通り、半導体レーザーでは波長 755nm でこれ以上の高出力化は難しい。そこで、トラップ光源
として固体結晶をレーザー媒質として用いた固体レーザーを検討した。世界で初めて開発されたレーザーであるルビーレーザー [4] のようにこれまで様々な結晶を用いたレーザーが開発されてきた。結晶の励起方法は様々であるが半導体レーザーは取り扱いが簡単なため、これを励起光源とした半導体励起固体レーザー(Diode-Pumped Solid State laser, DPSS レーザー) に着目した。DPSS レーザーは Nd3+ イオンを含む結晶を用いたレーザーが一般的であり、Nd:YVO4 結晶や Nd:YAG 結晶、Nd:YLF 結晶、Nd:GdVO4 結晶などが用いられる。当研究室でも励起波長が 808nm、発振波長が 1064nm の Nd:YVO4 結晶を用いた DPSS レーザーの作成の実績がある [16, 17]。また、波長 1064nm の二倍波である 532nm の波長のレーザーも多く作成されており、これを用いて斥力のポテンシャルを形成することも可能である。しかし、原子の共鳴から遠く離れているために光散乱の影響はほとんど気にならないものの、ポテンシャルの深さを確保するためにはさらに数十倍の出力が必要となり、トラップ光源としての要求出力が大きくなってしまう。よって、波長 755nm 付
近で発振する固体結晶を用いることが望ましく、755nm で発振する固体レーザーとしては Ti - Sapphire 結晶を用いたレーザーが最も有名である。一方で、Ti - Sapphire 結晶の励起光源は前述した 532nm のレーザーであり、装置が複雑で高価なものになってしまい高出力化が難しくなる。そこで、本研究では Cr3+ イオンを含むアレクサンドライト結晶 (Cr3+ :BeAl2 O3 ) を用いた DPSS レーザーに注目した。アレクサンドライト結晶の励起波長は半導体レーザーで出力可能な 635nm 付近であり、発振波長は 720 - 800nm であるため DPSS
レーザーの光をそのままトラップに用いることができる。Nd:YVO4 結晶を用いたレーザーに比べるとアレク
サンドライト結晶を用いたレーザーの開発の報告は少ないが、すでにワット級の出力の DPSS レーザーの実

5

現の報告もある [18] ので Alexandrite 結晶を用いることでトラップ光源の高出力が期待できる。目標出力は

3W であり、光格子を形成するために単一の周波数モードで発振し続けることが必要である。さらには実験を行う際に出力を光ファイバーで伝送するため、ファイバーとのカップリング効率向上のため空間モードはTEM00 モードにできるだけ近いことが望ましい。
以下に要求されるレーザーのスペックをまとめた。

• 出力が 3W 以上。
• CW(Continuous Wave、連続波発振) レーザーである。
• 空間モード、周波数モードがともにシングルモードである。
• 周波数が長期的に安定で発振する。

1.3 本論文の構成
本論文の構成は以下のようになっている。

• 第 1 章では本研究の背景および研究の目的について述べた。
• 第２章では DPSS レーザーの製作に必要なレーザー一般の知識および DPSS レーザーの動作原理やその設計について述べる。

• 第３章では実際に行った実験とその結果、考察について述べる。
• 第４章では本研究のまとめについて述べる。

6

第2章

DPSS レーザーの原理
本章では、レーザー一般の動作原理、DPSS レーザーの動作原理および DPSS レーザーに用いるレーザー
結晶に働く熱的な効果について述べる。最後に、今回設計したレーザーでの閾値の理論計算について述べる。

2.1 レーザーの動作原理
本節では、レーザー一般の動作原理について述べる。レーザー (laser) は分子や原子の光の誘導放出を利用し、光波を増幅する装置であり、”Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation” の頭文字をとって名づけられた。レーザーの基本構成は光を何度も往復させるための光共振器と、共振器内の光を増幅させるゲイン媒質からなる。図 2.1 に二枚のミラーからなる最も単純な共振器の構成を示した。ゲイン媒質の種類によって固体レーザー（例：Ti-Sapphire レーザー）や気体レーザー（例：He-Ne レーザー）、半導体レーザーなどが存在する。今回製作する DPSS レーザーは固体レーザーの一種である。
共振器ミラーには平面ミラーのほか凹面ミラーや回折格子などが用いられることもあり、また二枚以上のミラーを用いた共振器が使われることもある。
共振器ミラー

共振器ミラー

レーザー媒質
レーザー光出⼒

図 2.1: レーザーの基本構成

2.1.1 自然放出と誘導放出
ここでは上準位と下準位がそれぞれ一つだけあるような二準位原子について光の吸収と放出について考える。原子だけでなく分子やイオンでも同様であるが、ここでは分子やイオンなども総称して原子と呼ぶことに7する。また、ここでの議論は主に [19] を参考にしている。

原子が二つの準位 WU , WL の間で遷移をするとき、上準位 WU にある原子は光を放出し、下準位 WL にある原子は光を吸収する。この光の角周波数は、

ω=

WU − WLℏ(2.1)

で与えられる。
下準位にある原子にある光の吸収は入射光の強度に比例する。対して、上準位にある原子による光の放出は入射光がなくても起こり、これを自然放出という。一つの原子が単位時間に光を放出する確率を A とすると、
入射光のエネルギー密度を W (ω) であるときに上準位の原子が光を放出する確率はp(U → L) = AU L + BU L W (ω)(2.2)と表される。右辺の第二項は入射光の強さに比例して起こる起こる放出であり、誘導放出と呼ばれる。
下準位の原子が光を吸収し上準位に遷移する確率はp(L → U ) = BLU W (ω)(2.3)

BLU = BU L

(2.4)

となる。
上下準位の固有状態が１つだけのとき、となる。上準位の縮重度を gU 、下準位の縮重度を gL であるとすると

gU BU L = gL BLU

(2.5)

となる。

(2.2)、(2.3) の関係はアインシュタインが 1916 年に導き出した関係であるから AU L ,BU L をそれぞれアインシュタインの A 係数・B 係数という。以下の議論では簡単のため上下準位のどちらも縮退していない場合を考える。
いま下準位にある原子の数が NL であるとすると下準位の原子が単位時間に原子を吸収する光のエネルギー（吸収パワー）は、

Pabs = ℏωBLU W (ω)NL(2.6)となる。また、上準位にある NU 個の原子から単位時間に放出される光のエネルギー（放出パワー）は、

Pemi = ℏω{AU L + BU L W (ω)}NU(2.7)と表される。原子が温度 T で熱平衡状態にあるとき、ボルツマン分布もしくはカノニカル分布が成り立って
いるので



ℏω
NU = NL exp −
kB T

である。

8

(2.8)

2.1.2 反転分布
誘導放出と吸収は原子が上下準位それぞれに分布している限り同時に起きる。また、各順位の誘導遷移の確率は上準位から下準位への遷移と、下準位から上準位とで等しくなる。通常の媒質では、下準位にある原子数は上準位の原子数よりも多いので光の放出よりも吸収の方が大きくなる。何らかの方法で上準位の原子数を下準位の原子数よりも多くすることができれば光を増幅することができる。これがレーザー増幅であり、上準位の分布が下準位の分布よりも大きくなる分布のことを反転分布という。反転分布を実現するためには下準位の原子を減らし、上準位の原子を増やさなければならない。このことを下の準位から上の準位へ原子を汲み上げることだと考えられるのでポンピング (Pumping) と呼ばれる。
反転分布は 1954 年にタウンズ (Townes) らによってアンモニア分子線で実現され、波長 1.25cm のメーザー(maser, Microwave Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation) を作ることに成功した。[20, 21]
これは熱平衡分布しているアンモニア分子の二準位から下の準位の分子を不均一電場の作用で除去し、上の準位の分子を集める方法を用いている。しかし、光の遷移に対してはこのような下の準位の原子数を減らして反転分布を作る方法は使えない。なぜならば、マイクロ周波数 νm に対しては hνm ≪ kB T であるから (2.8) より NU ≈ NL となるが、光の周波数 νl に対しては hνl ≫ kB T となり NU が小さくなってしまうからである。
光の遷移に対して反転分布を実現するには下準位の原子を除去するのではなく、ポンピングによって上準位の原子数を増やす必要がある。二準位原子では上準位の原子数が増加するに伴って入射光や電子の影響で下の準位に遷移する確率が増加するので、どれだけ強く励起しても反転分布を作ることはできない。そこで、レー
ザーでは三つの準位または四つの準位を用いてポンピングを行い反転分布を作る。
今回実験で用いる Alexandrite 結晶を用いたレーザーは次節で述べるように四つの準位を利用した四準位
レーザーとなっている。

2.1.3 四準位レーザー
ここでは、アレクサンドライト結晶を含む四準位レーザーの一般論について述べる。図 2.2 のような四つの準位を持つ原子を考え、準位 0 から準位３に励起し、準位２と準位１の間で反転分布が形成されるものとする。Γ は単位時間あたりに準位１から準位３へと励起される確率、γij は光の吸収や放出が起こらない非放射の遷移の確率を表す。

9

3

2
ポンピング
レーザー遷移10
図 2.2: 4 準位レーザーのエネルギー準位図

レーザー遷移の下準位１と基底準位 0 のエネルギー差が kB T よりも大きければ、基底準位０から準位１へ
熱的に励起される原子の数が少なくなる。したがって、レーザー遷移の上準位２へと少数の原子を励起するだ
けで反転分布を形成することができる。
準位 1,2,3 の間隔は kB T よりも十分大きいので熱的な遷移は起きないと仮定する。一方で準位１は基底準位 0 に近く、熱的な励起 γ01 N0 は無視できないものとする。
各準位の原子数を ni (i = 0,1,2,3) とすると、それぞれの準位におけるレート方程式はdn1= γ01 n0 − γ10 n1 + γ21 n2 + γ31 n3dtdn2= −γ2 n2 + γ32 n3
dtdn3= Γn0 − γ3 n3
dt
dn 0
dn1
dn2
dn3
−
=
+
+
dt
dt
dt
dt

(2.9)

となる。ここで、γ2 = γ20 + γ21 , γ3 = γ30 + γ31 + γ32 とした。
定常状態を考え、(2.9) の各式の左辺を 0 とおくと、それぞれの準位の原子数は次のように与えられる。

γ01
γ21 γ32 + γ2 γ31+Γγ10γ10 γ2 γ3
γ32 Γ
n2 =
n0
γ2 γ3
Γ
n3 = n0
γ3



n1 =

(2.10)(2.11)(2.12)

全原子数を N = n0 + n1 + n2 + n3 とすると n0 は

n0 =γ10 γ2 γ3 N
(γ10 + γ01 )γ2 γ3 + γ32 (γ21 + γ10 )Γ + γ2 (γ31 + γ10 )Γ
10(2.13)

反転分布を形成するための条件は n2 > n1 であるから、

Γ>γ01 γ2 γ3γ10 γ32 − γ21 γ32 − γ2 γ31(2.14)と表される。γ01 は熱的励起の確率であり、準位１と基底準位０とのエネルギー差を W1 とすると熱平衡状態
では

γ01 = γ10 exp(−

W1
)
kB T

の関係が成り立つ。γ31 < γ3 = γ30 + γ31 + γ32 , γ21 < γ2 = γ20 + γ21 であるから γ10 ≫ γ2 であるなら近似
的に、

Γ>


 

γ01 γ2 γ3W1γ31 + γ30
= exp −
γ2 1 +
γ10 γ32kB T
γ32(2.15)となる。したがって、反転分布を少ない励起パワーで形成するために γ31 , γ30 ≪ γ32 かつ γ2 ができるだけ小さいことが望ましい。

2.2 ガウシアンビーム
本節では、レーザー光学において重要な概念であるガウシアンビームと縦モード (周波数) モードおよび横モード (空間モード) について述べる。詳細は後述するが、横モード (空間モード) が単一のモード (シングルモード) であらば集光性の良いビームを得ることができる。
ガウシアンビームとは、光軸に対して垂直面内の電場分布あるいは強度分布がガウス分布となっているようなビームのことをいう。ここでは、ガウシアンビームの導出とその性質についての議論を行う。[22]一様媒質中のマクスウェル方程式

∇·D =0∇·B =0





∂B


∇×E =−


∂t



∂D
∇×H =
∂t




D = ϵE B = µH





c
1


(n は媒質中の屈折率)
√ =
ϵµ
n

(2.16)

から、電場 E について以下の波動方程式が得られる。

∇2 E −

n2 ∂ 2 E=0c2 ∂t2(2.17)

ここで E(r, t) = E(r, t)ê (ê は電場の振動方向の単位ベクトル) として電場をスカラー場として扱う。さらに単色光の電場 E(r, t) = E(r)e−iωt を仮定すると、式 (2.17) は。

∇2 E(r) + k 2 E(r) = 0(k 2 =

n2 ω 2)c2(2.18)となり、ヘルムホルツ (Helmholtz) 方程式と呼ばれる形になる。いま、z 方向に伝搬する光E(r) = E0 (r)eikz
11(2.19)

を考えると、式 (2.18) は



∂2
∂2
∂2
∂
+ 2 + 2 + 2ik
2
∂x
∂y
∂z
∂z


E0 (r) = 0(2.20)となる。このとき次の近軸近似を行う。

∂ 2 E0∂ 2 E0∂ 2 E0
∂E0
≪ 2k
,
,
2
2
∂z
∂z
∂x
∂y 2

(2.21)式 (2.21) から、式 (2.20) において z の２階微分の項が無視できるので

∂∇2T + 2ik∂z


E0 (r) = 0

∇2T =

∂2
∂2
+
∂x2
∂y 2


(2.22)という近軸における波動方程式が得られる。この方程式の解は

w0
Elm = E0
Hl
w(z)

!
p
(2)x
Hm
w(z)

!
p
 2


(2)y
x + y2x2 + y 2exp −− i k(+ z) − (l + m + 1)η(z)
w(z)
w(z)2
R(z)
(l, m = 0, 1, 2 · · · )(2.23)となる。これを TEMlm モード (Transverse Electro Magnetic mode) という。

図 2.3: TEMlm モードにおける電場の強度分布を l,m = 0,1,2 について模式的に表した図。
また、

p1 + (z/zR )22
z 2 + zR
R(z) =zη(z) = arctan(z/zR )πw02 nzR =(レイリー長)λw(z) = w0

12(2.24)(2.25)(2.26)(2.27)

であり、Hn (x) は n 次のエルミート多項式を表す。特に、l=m=0 であるモードを TEM00 モードと呼びその強度分布がガウス分布となり性質の良い光としてレーザー光学の分野において重要となっている。
実際には光は l,m の値が異なる複数のモードの重ね合わせ状態（横モードあるいは空間モードがマルチモードであるという。）になっており、これによってビームの空間的な形状が決まる。光がほぼ TEM00 モードから構成されている場合、空間モード（横モード）がシングルモードであるという。

2.2.1 周波数モード（縦モード）と空間モード (横モード)
共振器内では、特定の周波数モード（縦モード）と空間モード（横モード）のみが安定に存在する。さらに、単一の周波数かつ TEM00 モードの成分のみが共振器内に存在するときシングルモードであるといい、それ以外をマルチモードであるという。
まず、周波数モードについて考える。共振器内の周波数モードは、共振器に共鳴するような周波数成分を持つもののみが許される。言い換えれば、共振器内に定在波が存在できるための条件

nl = N λn : 共振器内の媒質の屈折率
l : 共振器１周の長さ(2.28)

N : 整数λ : レーザー光の波長を満たす周波数成分のみが共振器内に存在できる。
式 (2.28) を光の周波数を用いて表すと、

f=

c
c
=N
= N · F SR
λnl

(2.29)となる。ここで、FSR(Free Spectral Range) とは

F SR = (光が共振器内を一周する時間)−1 =

光速
共振器１周の光路長(2.30)

であらわされる共振器の性質を表す値の一つである。共振器内に存在できる周波数成分は図 2.4 のように

FSR と同じ間隔で周期的に存在する。このように、共振器内に存在できる周波数モードが櫛状に現れること
から周波数コム (Comb) と呼ばれる。

13

共振器内で許される周波数モード

FSR

0

周波数

図 2.4: 周波数コム (Comb)

共振器にレーザー光を入射して場合、透過光のスペクトルは図 2.4 の形で観測される。しかし、観測される各ピークは δ 関数ではなく有限の幅を持つ。この幅を評価するために、反射率 R1 , R2 の２枚のミラーからなる Fabry - Perot 共振器を考える。共振器内を１周したときのエネルギーロスを L, 共振器 1 周の長を l とする。この共振器に、図 2.5 のように光電場 Ei で表されるような光を入射する。このとき透過光の電場 Et は
l/2

Et

Ei

R1

R2

図 2.5: 共振器の線幅

E t = Ei
|
+ Ei
|
+ Ei
|

p

p

p

1 − R2 (1 − L)1/4 eiϕ/2{zp
1 − R1}共振器を 0 周

1 − R2

1 − R2np

np

R1 R2 (1 − L)eiϕ{zo2(1 − L)1/4 eiϕ/2p
1 − R1}

共振器を１周o2
p
R1 R2 (1 − L) (1 − L)1/4 eiϕ/2 1 − R1{z}共振器を 2 周(2.31)

+ ···


nl
nl
ω
ϕ ≡ 2π = 2πf
=
λ
c
F SR



∞ p
X
p
= (1 − R1 )(1 − R2 )(1 − L)1/4 eiϕ/2  { R1 R2 (1 − L)}j  Ei
p

=

j=0

(1 − R1 )(1 − R2 )(1 − L) e√
1 − R1 R2 (1 − L)eiϕ

1/4 iϕ/214Ei

透過光強度 It は入射光強度 Ii として

It = ϵ0 c⟨Et∗ Et ⟩(⟨· · · ⟩ : 時間平均)√(1 − R1 )(1 − R2 ) 1 − Lpp=
ϵ0 c⟨Ei∗ Ei ⟩[1 − R1 R2 (1 − L)e−iϕ ][1 − R1 R2 (1 − L)eiϕ ]√(1 − R1 )(1 − R2 ) 1 − Lp=Ii
1 + R1 R2 (1 − L) − 2 R1 R2 (1 − L) cos ϕ(2.32)と表される。例として、R1 = R2 = 0.99, L = 0.01 のときの It /Ii をプロットすると図 2.6 のように FSR の間隔で周期的に有限の幅を持つピークが現れる。

図 2.6: 共振器の透過光強度式 (2.32) から 図 2.6 のようなピークの FWHM(Full Width Half Maximum, 半値全幅) を求める。式(2.32) において、It /Ii が最大値の 1/2 の値になるときの ϕ を ϕ1/2 とすると
1
1
1=
2 1 + Z 2 − 2Z
1 + Z 2 − 2Z cos ϕ1/2
cos ϕ1/2 = 1 −(1 − Z)22Z


(1 − Z 2 )ϕ1/2 = 2πN ± arccos 1 −2Z(N : 整数)(2.33)となる。It /Ii が最大値の 1/2 の値をとるような入射光の周波数 f1/2 は ϕ = 2πf /F SR より次のように表さ
れる。



F SR
(1 − Z 2 )f1/2 = N · F SR ±arccos 1 −2π2Z

これより、FWHM はFWHM =

F SR
π



15

1−

(1 − Z 2 )2Z(2.34)

(2.35)

と求まる。FSR と FWHM から Q 値に対応する Finesse という値が計算でき、Finesse ≡

FSR
FWHM

(2.36)と定義される。一般に Finesse の高い共振器ほど性能の良い共振器であるとされる。式 (2.34) より、nFinesse =arccosで表され、特に Z ≃ 1 のとき

π2)
1 − (1−Z2Zo=arccos 1 −(1 − Z 2 )arccos 1 −2Zpという近似が成り立つ。よって、



π

√
2
√ R1 R2 (1−L))(2.37)(1−2

R1 R2 (1−L)

1−Z
≃ √
Z

(2.38)

R1 R2 (1 − L) ≃ 1 のとき式 (2.37) はFinesse =π{R1 R2 (1 − L)}1/4
p
1 − R1 R2 (1 − L)

(2.39)と近似することができ、この形で用いられることが多い。また、Z ≲ 1 のとき異なる近似として


(1 − Z 2 )≃ − ln Z
arccos 1 −2Z(2.40)とすることもできる。この近似の下で Finesse の値はFinesse ≃πpln R1 R2 (1 − L)(2.41)

で与えられる。次に、空間モードについて考える。周波数モードについての議論では空間モードは考慮していなかったが、これは厳密な議論ではない。ガウシアンビームの共鳴条件は式 (2.23) の位相成分

θlm (z) = kz − (l + m + 1)η(z)(2.42)

に対して考えるべきである。

d

z
z1

z2

図 2.7: ミラー間の距離が d の共振器

16

図 2.7 のようなミラー間の距離が d(z2 − z1 = d) であるような Fabry-Perot 共振器に対して共鳴条件は、

θlm (z2 ) − θlm (z1 ) = N π(N : 整数)kd − (l + m + 1)η(z2 ) − ηz1 = N π(2.43)となる。このことから、式 (2.43) より共振器の共鳴条件は l+m の値に依存することがわかる。これを周波数で見ると、図 2.9 のように 1FSR の範囲に空間モードに依存した様々な共鳴ピークが現れる。

d=rzz1 = -r/2

z2 = r/2
図 2.8: 共焦点共振器

次に、図 2.8 の共焦点共振器についてレイリー長 zR は zR = r/2 となるので、式 (2.43) の共鳴条件は次のようになる。


−r/2
π


η(z1 ) = arctan( r/2 ) = − 4

π
r/2

η(z2 ) = arctan(
)=
r/2
4

FSR

f

0
図 2.9: 周波数モード17kd − (l + m + 1)π2

k = (2N + l + m + 1)
f=

= Nπ
π
2d

(2.44)ckc= (2N + l + m + 1)
2πn
4nd(N, l, m : 整数)となる。したがって、図 2.8 のような共焦点共振器の周波数モードは図 2.11 のようになり、図 2.9 で見たような多くの周波数モードが間隔 c/4nd で縮退する。これは、共焦点共振器の実効的な光路が１周 4d の Bow-tie

Cavity 型となり、正味の FSR が FSR = c/4nd となっていると理解できる。

d

図 2.10: 共焦点共振器の光路f0

図 2.11: 共焦点共振器の周波数モード

今回の実験では、半導体レーザーの光を共振器に入れ、その Finesse を測定することで共振器のロスを測定した。

18

2.3 DPSS レーザーの動作原理
DPSS レーザーとは、”Diode Pumped Solid State Laser (半導体励起固体レーザー)” の略称であり、半導体レーザーを用いてレーザー媒質である結晶を励起させる方式の固体レーザーのことを指す。ここでは、今回用いたアレクサンドライト結晶 (Cr3+ : BeAl2 O4 ) を例に DPSS レーザーの動作原理を説明する。図 2.12にはアレクサンドライト結晶でのレーザー動作におけるダイアグラムを示した。
アレクサンドライト結晶のレーザー媒質としての作用は次の (ⅰ) から (ⅳ) の過程を経る四準位レーザーとして作用する。

(ⅰ) アレクサンドライト結晶中に存在する Cr3+ イオンが Pump 光を吸収し、基底バンド 4 A2 から上準位のバンド 4 T2 へと励起される。

(ⅱ) 上準位に励起されたイオンは 4 T2 中の最低エネルギー状態に移動する。
(ⅲ) 光を放出して基底バンド 4 A2 へと遷移する。
(ⅳ) 基底バンド 4 A2 の最低エネルギー状態へと移動する。
上準位の寿命はⅱ、ⅳの遷移時間に比べて十分に長いため反転分布が形成される。

E
n
e
r
g
y

4

T2

2

E2

Pumping
635 nmLasing750~800 nm

4

A2(ground )図 2.12: アレクサンドライト結晶中の Cr3+ イオンの励起と放出のダイアグラム [18]。
実線は光学遷移、破線は非放射の遷移を表す。

また、アレクサンドライト結晶の結晶構造を図 2.13 に示す。Pump 光の波長 635nm に対しては、図 2.13の b 軸方向に平行な偏光を持つ光に対して結晶は最も高い吸収断面積を持つ (図 2.14)。

19

図 2.13: アレクサンドライト結晶の単位格子を c 軸方向から見た図。[18]図 2.14: Alexandrite 結晶の吸収断面積 [18]結晶を励起する方法には結晶の片側にのみ Pump 光を入射するシングルポンプと両側に Pump 光を入射するダブルポンプがある。ダブルポンプでは Pump 光のパワーをより多く結晶に注入でき高出力化を見込めるが、共振器ミラー等のアライメントが難しくなってしまう。今回の実験ではまずアレクサンドライト結晶を用いてレーザー発振が行えるかを確かめるために共振器の構成がシンプルなシングルポンプで実験を行った。
最終的にはダブルポンプでレーザー発振を行うことが目標である。

20

Pump光

Pump光

Pump光

レーザー出⼒レーザー出⼒(a) シングルポンプの例(b) ダブルポンプの例

図 2.15: シングルポンプとダブルポンプの共振器の例

2.3.1 閾値の計算
ここでは、アレクサンドライト結晶のレーザー発振の閾値を計算する。なお、ここでの議論は [18] を参考にした。
アレクサンドライト結晶のレーザー発振におけるエネルギーダイアグラムを図 2.16 に示した。n0 を基底状態にある Cr3+ イオンの数、n1 〜 n3 を各準位における Cr3+ イオンの数とする。ここで全イオン数を N
として、N = n0 + n1 + n2 + n3 である。また、σ0 を Pump 光の吸収断面積、σe を誘導放出断面積とし準位 n0 と準位 n1 の間でレーザー発振が起こるとする。σa は GSA(Ground State Absorption) と呼ばれる遷移の吸収断面積、σ1 , σ1a はそれぞれ結晶から放出されるレーザー光と Pump 光による ESA(Excited State

Absorption) と呼ばれる遷移の吸収断面積を表している。さらに、準位 1 の寿命を τf 、準位２，３の寿命をそれぞれ τ21 , τ31 とする。

図 2.17: 閾値の計算

図 2.17 のように結晶端面を z = 0 とし、Pump 光の進行方向を製の向きにとる。このとき、Pump 光強度

21

n3

n2
n1

n0
図 2.16: アレクサンドライト結晶のエネルギーダイアグラム

を IP (z)、結晶から放出されるレーザー光強度を Il± (z)(± は進行方向を表す) とすると次の式が成り立つ。

∂n1 (z, t)
∂t

=

1
1
ηp,0 σ0 IP (z, t) − cσe n1 (z, t)ϕ(z, t) + cσa n0 (z, t)ϕ(z, t) −n1 (z, t)
hνp
τf
dIl±
= ±[σe n1 (z, t) − σa n0 (z, t) − σ1a n1 (z, t)]Il± (z, t)dzdIP= −[σ0 n0 (z, t) + σ1 n1 (z, t)]I(z, t)dz I(z, t)l + + I(z, t)l −ϕ(z, t) =hνl c(2.45)(2.46)(2.47)

ここで、h はプランク定数、νP , νl はそれぞれポンプ光とレーザー光の振動数、c は媒質中での光速であり ηp,0
は n2 から n1 へと遷移する割合を表す。いま定常状態を考え、式 (2.45)〜(2.47) の時間依存性はないものとする。
レーザー発振の条件はアウトプットミラーの反射率 R、共振器を１周したときのロスを L、閾値での single

path gain を Gth とすると、
R(1 − L)G2th = 1(2.48)となる。2.46 を結晶長を l として、z=0 から l の範囲で積分すると閾値でのゲイン Gth について(ln(Gth ) = lnが得られる。ここでは F =Rl0Il± (l)Il± (0)±1 )= F (αe + αa + α1a ) − αl(2.49)

f (z)dz であり、f(z) は反転分布の割合 f (z) = n1 (z)/N であるとした。また、

αi = N σi である。2.49 を 2.48 に代入すると以下が得られる。
F =− ln[(1 − L)R] + 2αa l2(αe + αa + α1a )22(2.50)

(2.45) を定常状態 ∂n1 /∂t = 0 という条件のもとで解くと、
f (z)ηp,0 I/Is + ϕ(z)/ϕa=
1 − f (z)1 + ϕ(z)/ϕshνpIP,s =σ 0 τf1
ϕa =cσa τf1
ϕs =cσe τf(2.51)となり、IP,s は Pump 光の飽和強度を表す。(2.47),(2.50) に対して、共振器内での光子数が一定であるという条件、ϕ(z) = ϕ を課すと次のようになる。



I(0)
(1 + αγ) eα1 {F −a(l−F )} − 1=
IP,s (1 + ϕ/ϕs )γηp,01 − T eF −α1 {a(l−F )}ϕ/ϕaa=
1 + ϕ/ϕs
T = I(l)/I(0)(2.52)

γ = σ1 /σ0
レーザー発振の閾値 I0th は (2.52) において、共振器内にレーザー光が存在しないとき、すなわち ϕ = a = 0のときの値として求められる。

I0th
1
=
Is
γηp,0



e α1 F − 1
1 − T e α1 F(2.53)

さらに、Pump 光が結晶に完全に吸収される (T → 0) と、α1 F ≪ 1、すなわち反転分布が小さい (ESA の効果により上準位のイオン数が減少する)、という 2 つの仮定をすると、レーザー発振の閾値 I0th は次のように近似できる。

I0th ≈

hνp
α0 F
τf



1
1 + α1 F
2(2.54)(2.54) を用いて、アレクサンドライト結晶におけるレーザー発振の閾値での Pump 光強度と、各ビーム径における Pump 光パワーをプロットすると図 2.18 および図 2.19 のようになる。グラフの横軸は共振器を１周したときのミラーの反射率を除いたロスを表している。ここで、計算に必要な諸定数は表 2.1 のものを用いた。また、アウトプットミラーの反射率は今回実験で用いるものと同じ 98% とした。今回用いた結晶は Cr3+
イオンのドープ率が 0.2% のものを用いた。
今回の実験では励起光源として、ランダム偏光かつ最大出力が 12 W の半導体レーザーを二台用意した。
したがって、二台のレーザーを用いて得られる励起光の最大パワーは 24 W である。しかし、結晶は b 軸に平行な偏光を持った光を吸収するため、結晶に吸収されるパワーの上限は最大パワーの半分の 12 W 程度と23

考えられる。先行研究 [18] では Pump 光のパワーに対する発振効率は 54% であった。発振出力は

Pl = |{z}0.54 (Pabs − P0th )発振効率

P0th = πwP2 I0th
Pl : 発振出力(2.55)

Pabs : 結晶の吸収パワー
P0th : 発振の閾値パワー
wP : Pump 光のビーム半径で表されるので、3 W 以上の出力を確保するためには Pump 光の出力の範囲内で Pl > 3 W となるように Pump 光のビーム径を選ぶ必要がある。共振器ミラーの反射率を除いたロスを 1% 以下であるとすると、Pump 光ビームの直径を 400 µm 以下にすることで発振の閾値が 3 W 程度、発振出力が最大で 5 W 程度になることが期待できる。Pump 光のビーム径を小さくすることで発振の閾値パワーを下げることができるが、ビーム径を絞りすぎると次節で述べる熱レンズの影響が大きくなってしまう。そのため、今回は Pump 光のビーム径を 300 µm 程度で実験を行った。また、今回行った実験では励起レーザーは一台のみを使用したので、励起パワーは最大で 5 W 程度にとどまっている。
また、式 (2.48) において共振器内のミラーを除いたロスを 1%、共振器ミラーの二枚の反射率をそれぞれ

99.5% および 98% であるとすると、結晶の利得 (single - path gain) は 1.8% 程度必要になる。
表 2.1: アレクサンドライト結晶における諸定数 [18, 23]
結晶の温度
パラメータ

単位

σe

10−25 [m2 ]

10 °C

60 °C

4.16

8.53

10

−25

2

[m ]

0.03

0.12

10

−25

2

0.00150.0118

τf

[µ s]

314

190

σ0

10

−25

σ1a
σa

γ = σσ10

[m ]
2

[m ]

-

4.00

l

[mm]

N

26

10

71.1

[m

−3

24

10
]

1.01

図 2.18: Pump 光の閾値強度。横軸は共振器を光が１周したときの（ミラーの反射によるロスを除いた）ロス
を表す。

25

30
Pump光のビーム直径
60℃ 2007m
10℃
3007m
4007m
5007m
6007m
7007m
8007m

threshold pump power [W]

25

20

15

10

5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cavity loss [%]
図 2.19: Pump 光の閾値パワー

26

1.4

1.6

1.8

2

2.4 DPSS レーザーにおける熱的な効果
熱レンズ効果
ゲイン媒質であるアレクサンドライト結晶に対して Pump 光を入射すると、加熱効果によって結晶内に温度勾配が生じる。結晶内に温度勾配が生じると屈折率の勾配が生じ、結晶がレンズとして機能するようになる。この効果を熱レンズ効果と呼ぶ。

Pump 光を結晶に照射したときの熱レンズ効果について考える。なお、ここでの議論は [23, 16] を参考にしている。ここでは簡単のために結晶は円筒形をしており、図 2.20 のような円筒座標系を導入する。[23]定常状態において、結晶中の熱流を h(r, z)、単位体積、単位時間あたりに発生する熱量を Q(r, z) とすると

図 2.20: 熱レンズ

∇ · h(r, z) = Q(r, z)(2.56)という連続の式が成り立つ。また、熱流 h は結晶の熱伝導率 Kc を用いて。

h(r, z) = −Kc ∇T (r, z)(2.57)と表される。いま、Pump 光のエネルギーのうち γ(0 < γ < 1) だけ熱に変換されるとする。Q(r, z) は結晶の吸収係数を αp 、Pump 光の単位体積当たりの強度を Ip (r) として以下のようになる。

Q(r, z) = αp γIp (r)e(−αp z)(2.58)∇h(r, z) = αp γIp (r)e(−αp z)(2.59)式 (2.56)〜(2.58) から

ここで、z 方向の熱流は無視できるものとする。そこで、対称性から r 方向のみの熱流 h(r, z) = h(r, z)êrを考える。図 2.21 のような領域 V について、式 (2.59) の両辺を積分しガウスの定理を用いると、

Z

Z r

Ip (r′ )2πr′ dr′Z rh(r, z)2πrδz = αp γe−αp z · 2πδzr′ Ip (r′ )dr′0Zαp γe−αp z r ′∴ h(r, z)=r Ip (r′ )dr′r0

∇ · h(r, z)dV = αp γe
V

−αp z

δz

0

27

(2.60)

zV
図 2.21: 領域 Vが求まる。
いま r 方向の熱流のみを考えているので、式 (2.60) を (2.57) に代入すると

αp γe−αp zr

Z rr′ Ip (r′ )dr′ = −Kc0∂T (r, z)∂r(2.61)となる。結晶の中心から r の位置と結晶中心 r = 0 との温度差を δT (r, z) = T (0, z) − T (r, z) とすると、式(2.61) は以下のようになる。

δT (r, z) = T (0, z) − T (r, z)
Z r∂T (r′ , z) ′
=−
dr
∂r′
0
Z
Z ′
αp γe−αp z r dr′ r ′′r Ip (r′′ )dr′′
=
′
Kc
0 r
0


Z
Z r
αp γe−αp z r s(r′ ) ′
′
′
′
=
dr
s(r) ≡
r Ip (r )dr
Kc
r′
0
0

(2.62)

また、結晶の中心から r の位置と結晶中心 r = 0 を通る光の位相差を δϕ = ϕ(0) − ϕ(r) とすると、

2π
δϕ =
λ
=

2π
λ

Z l
δn(r, z)dz
0

Z l
δT (r, z)
0

dn
dz
dT

(n : 結晶の屈折率)(2.63)と表すことができる。式 (2.62) を式 (2.63) に代入すれば

Z rZs(r′ ) ′2πγ(dn/dT ) λ−αp z
δϕ(r) =
αp e
dz
dr
Kc λ
r′
0
Z r Z 0r
2πγ(dn/dT )s(r′ ) ′=dr(1 − e−αp l )
Kc λ
r′
0
0
が得られる。位置 r を通る光に対する熱レンズの焦点距離 fth (r) はfth (r) =2πr
λ{dδϕ(r)/dr}28(2.64)

で与えられる。式 (2.64) から fth (r) はfth (r) =Kc r 2γ(dn/dT )s(r)1
1 − e−αp l(2.65)となる。Pump 光強度がガウシアンビームのような中心 r = 0 付近に特に強い分布があるような場合、熱レンズの焦点距離は r = 0 での焦点距離 fth (0) を考えればよく、式 (2.65) で r → 0 として


lim

r→0


Z r
1
′
′
′
r
I
(r
)dr
= Ip (0)pr→0 r 2 0
Kc
1
fth (0) =Ip (0)γ(dn/dT ) 1 − e−αp l

s(r)
r2





= lim

(2.66)

となる。

I(r)

Ip(r)

r
wp

wp

図 2.22: 矩形の強度分布

Pump 光が図 2.22 のような矩形の強度分布を持つと仮定すると、熱レンズの焦点距離は (2.66) より

 Z r


1
s(r)
′
′
= lim
r Ip (0)drlim
r→0 r 2 0
r→0
r2


1 1 2
= lim
r Ip (0)r→0 r 2 2
1
= Ip (0)22Kc
1∴ fth (0) =(2.67)
Ip (0)γ(dn/dT ) 1 − e−αp lで与えられる。また、強度分布が矩形の場合 Ip (0) は Pump 光の全パワー Pp を用いて

Ip (0) =

29

Pp
πwp2

(2.68)

で表せる。したがって熱レンズの焦点距離は Pump 光パワーを用いて次のようになる。

fth =2πKc wp2
1
Pp γ(dn/dT ) 1 − e−αp l=2πKc wp2
1
Pabs (dn/dT ) 1 − e−αp l(2.69)(Pabs = Pp γ(1 − e−αp l ) : 結晶に吸収されるパワー)
この式を用いてアレクサンドライト結晶の熱レンズにおける焦点距離を計算すると図 2.23 のようになる。計算に必要な諸定数は表 2.3 の値を用いた [18, 24, 25] 。また、比較のために Nd:YVO4 結晶を用いた先行研究[16, 17] の値も示す。
熱レンズの焦点距離が短いと共振器を組んだ際にアライメントが難しくなってしまうので、発振の閾値も考慮して Pump 光のビームの直径を 300µm とした。このときの熱レンズの焦点距離は今回の実験で用いた

Pump 光の最大パワー 5W で 70.6mm 程度となる。
また、Nd:YVO4 結晶を用いた先行研究 [16, 17] では Pump 光の直径が 1 mm、結晶に吸収される Pump
光のパワーが 25W で熱レンズの焦点距離が 200 mm 程度であるため、アレクサンドライト結晶の場合熱レンズの焦点距離が Nd:YVO4 結晶よりも短くなる可能性がある。
表 2.2: アレクサンドライト結晶の諸性質 [18, 24, 25]

Cr 3+ ドープ量 (at. %)−6K

熱伝導度 Kc (Wm−1

熱膨張率 (10吸収係数 α (cm

−1

K

−1

熱光学係数 dn/dT (10

0.2

)

6.2

−1

)

K

−1

23

)

−6

6.3
)

16.3

表 2.3: 先行研究 [16, 17] での Nd:YVO4 結晶の諸性質

Nd3+ ドープ量 (at. %)熱膨張率 (10

−6

K

−1

)

0.1
11.37

熱伝導度 Kc (Wm−1 K−1 )5.17

吸収係数 α(cm−1 )31.4

熱光学係数 dn/dT (10−6 K−1 )

2.9

30

forcal length of thermal lens [mm]500
Pump beam radius
1007m
1507m
2007m
2507m
3007m
3507m
4007m

400
300
200
100
0

0

2

4

6

8

absobed pump power [W]
図 2.23: 熱レンズの計算

31

10

12

2.5 アレクサンドライト結晶の蛍光寿命の温度依存性
アレキサンドライトの蛍光寿命には温度依存性が存在する。[23, 26] これは、レーザー遷移に用いる上準位である 4 T2 準位の寿命が室温では 6.6µs 程度と短いが、その直下に存在する 2 E2 準位の寿命が 1.54ms と長く、そこから熱的にイオンが励起され 4 T2 へとイオンが供給されるために実効的な上準位の寿命が 260µs 程度まで長くなることが知られている。[27]さらに、結晶の温度を加熱することによって熱的に励起されるイオンの数が増えるので結晶を加熱することによって結晶から放出される光の量を増やすことができる。

E
n
e
r
g
y

4

T2

寿命: 6.6 s

熱的な励起

2

E2

寿命: 1.54ms

4

A2(ground )図 2.24: 結晶の蛍光寿命の温度依存性

32

実効的な
上準位の
寿命
260 s

2.6 ABCD 行列とビームパラメータ
ここでは、光線追跡によく用いられる ABCD 行列について説明する。ABCD 行列を用いた光線追跡では、図 2.25 のような光軸からの距離 r , 光軸との成す角 θ を用いた光線ベクトル (r θ)t を考える。（近軸sin θ ≃ θ を仮定する。）

θrz

図 2.25: 光線ベクトルの図

この光線ベクトルで表される光が媒質中を進む、あるいは異なる屈折率を持つ媒質の境界面に入射したときなどの光線ベクトルの変化を行列で表し、

r2 ≡

  
r2
A
=
θ2
C

B
D

 
r1
≡ M r1θ1のようになる。

r1
光軸

A

B

C

D

r2

図 2.26: ABCD 行列による光線ベクトルの変化の例

表 2.4 に代表的な光学要素に対応する ABCD 行列をまとめた。

33(2.70)

表 2.4: ABCD 行列の例
屈折率 n の一様媒質中を距離 L だけ伝搬

M=
L

1

L/n

0

1

!

焦点距離 f のレンズ

M=

1

0

− f1

1

1

0

0

n1
n2

!

f
屈折率 n1 , n2 の物質の境界面

M=

!

n1 n2
曲率半径 r , 屈折率 n1 ,n2 の物質の境界面

M=

r
n1

1

0

n2 −n1 1
·r
n2

n1
n2

!

n2

曲率半径 r の球面ミラー

M=
r

!

1

0

− 2r

1

表 2.4 を見ると、焦点距離 f のレンズは曲率半径 r = 2f の球面ミラーと同じ役割（光を収束させる）である
ことがわかる。このことを利用して、今回製作した DPSS レーザー では共振器を組む際に球面ミラーの代わりにレンズを用いている。これはレンズを用いることで結晶でのビームの大きさをミラーとレンズ間の距離を動かすことで変えることができ、球面ミラーを用いるよりも容易であるためである。

ABCD 行列はビームパラメータを導入することにより、ガウシアンビームに対しても用いることができる。
ビームパラメータは次のように定義される。

q ≡ z + izR(zR はレイリー長。)(2.71)

ビームパラメーター q の逆数を考えると、

1
z
zR
1
z + izR== 2
2 = z2 + z2 + i z2 + z2
qz − izRz + zR
R
R(2.72)式 (2.24), (2.25) から 式 (2.72) は

1
1
λ
=
+i 2
q
R(z)
πw (z)
34(2.73)

と書ける。ビームパラメーターを用いると、ある光学要素を通過した前後でのビームパラメータ q1 、q2 について次の関係が成り立つ (ABCD 則)。

q2 =Aq1 + B
Cq1 + D(2.74)

2.7 共振器
本節では今回実験に用いた共振器の設計について述べる。共振器は図 2.27 のような設計になっている。2.6
節の議論から Pump 光のパワーを変化させたとき熱レンズの焦点距離が変化し、共振器の安定条件が崩れてしまう可能性があるため、熱レンズの影響が少なくなるように通常のレンズの焦点近くに結晶を置き、ミラーと結晶の距離も短くする。

BM

f

OC

d2

d1

z
0

L
図 2.27: 共振器内でのビーム径の変化

2.7.1 共振器内でのビーム径の変化
共振器内での空間モードの変化は ABCD 行列とビームパラメータを用いて計算することができる。
共振器内に結晶が存在し、光が異なる屈折率を持つ領域間を伝搬するときビームパラメータは



q1
n1



+B
q2
=  
n2
C q1 + D
A

n1

⇔

qˆ2 =

(2.75)

Aqˆ1 + B
C qˆ1 + Dで表される。式 (2.75) において換算 q パラメーター q̂ を次のように定義した。

q̂ ≡

q
n
λ0
=
−i 2
n
R
πw

(λ0 : 真空中での光の波長)(2.76)

共振器を 1 周したとき、ビームパラメータは同じでなければならない (self-consistent 条件) ので共振器を 1周したときの ABCD 行列を用いて

q̂(z) =Aq̂(z) + B,
C q̂(z) + D
35

AD − BC = 1(2.77)

BM

f

OC

d2

d1

z
0

L
図 2.28: 共振器の設計が成り立つ。式 (2.77) を 1/q̂(z) について解くと、

q
1
D−A
=
±i
q̂(z)
2B

1−


D+A 2
2
B

(2.78)となる。式 (2.73) と (2.78) から、

2B
D−A
)1/4
r (
λ0
B2
w(z) =

π 1 − D+A 2

R(z) = n(2.79)(2.80)2が得られる。したがって、共振器中の任意の点において共振器内を１周したときの ABCD 行列を計算することによって共振器内でのビーム径とビーム曲率の変化を知ることができる。

図 2.29: 共振器中でのビームの計算

36例えば、図 (2.29) 上でバックミラー (BM) の位置、すなわち z=0 の位置でのビーム半径を計算するには
次のような手順で計算を行う。共振器長を L とし、結晶は熱レンズ効果により焦点距離 ff th のレンズとなっているとする。また、バックミラーと熱レンズ（結晶端面）との距離を d1 、 通常のレンズと熱レンズとの距
離を d2 とする。このとき、共振器中を一周したの後の ABCD 行列は次のように計算できる。



A
C

B
D




=

1
0



d1
1
1
0



1
− f 1th01

L − d1 − d2
1



1
0


1
− f1

d2
1





1 0
1 L − d1 − d2···
− f1 1
0
1




1
0
0
1 d2
1 d1
1
1
− f th 1
0 1
0 1(2.81)

L = 130 mm , f = 100 mm, d1 = 3 mm , d2 = 97 mm として z=0(BM 上) でのビーム半径を計算すると
w ∼ 36µm となる。同様に共振器内の各点でビーム径を計算すると図 2.30 のようになる。

図 2.30: 共振器内でのビーム径の計算。

L = 130 mm d1 = 3 mm, d2 = 97 mm, f = 100 mm, fth = 100 mm とした。

37

第3章

実験
3.0.1 Pump 用半導体レーザー
アレクサンドライト結晶の DPSS レーザーの Pump 用光源として、Wavespectrum 社製の中心波長 635nmの半導体レーザー (LD) を用いた。Pump 光は空間モードがマルチモードかつランダム偏光となっている。

Pump 光はマルチモードファイバーにカップリングされており、ファイバーはコアが中心に 1 つ、その周りに６個のコアが配置されたファイバーバンドルとなっている (図 3.1)。ファイバーバンドル全体の直径は 800µmとなっている。

図 3.1: Pump 光の形状

Pump 光の最大出力は 13.5W であり、その電流出力特性は図 3.2 のようになっている。

38

図 3.2: Pump 光の電流出力特性

Pump 光を結晶に入射する際の光学系は図 3.3 のようになっている。ファイバーから出た Pump 光を f
= 30mm のレンズでコリメートする。結晶の b 軸に Pump 光の偏光方向に合わせるために、偏光ビームスプ
リッタ (PBS) で Pump 光の偏光クリーニングを行う。Pump 光の偏光方向はランダムであるから、PBS を通過した後の Pump 光のパワーはおよそ半分になる。その後、f = 30 mm のレンズでファイバー端面でのビー
ム径のイメージングを行い、最後に f = 100mm のレンズと f = 32mm の非球面レンズで 3:1 の縮小系を組む。

f = 32 mm のレンズはマイクロメーター付きのステージに取り付けられており、Pump 光の焦点位置と Pump 光が結晶に当たる位置を調整できるようになっている。この系で、結晶に入射する直前での Pump
光ビームの直径は 320 µm となる。 このビーム径での発振の閾値は式 (2.54) から 3W 程度と見積もることができる。
ダイクロイックミラーは Pump 光と、後の実験で用いる波長 755nm の半導体レーザーからの光を同じ経路、同じ偏光で結晶に入射するために用いている。
結晶に入る直前での Pump 光のパワーと電流値を図 3.4 に示す。

39

f = 32mm
Φ2 in.

ダイクロイックミラー

f = 30mm
PBS
1 in.

λ/2 波⻑板

f=100mm
Φ2 in.

f = 30mm
Φ1 in.
ビームブロック

Pump⽤光源

図 3.3: Pump 光を入射する際の光学系

図 3.4: 結晶の直前での Pump 光パワーと電流値の関係

3.0.2 結晶について
結晶には、CRYSTECH 社製 0.2% ドープのアレクサンドライト結晶を用いた。結晶は c 軸に対して垂直な方向に切断された結晶 (c-cut) を用いており、結晶のサイズは 4mm × 4mm × 10mm のものを用いている。また、結晶の両端面には AR コートが施されており、Pump 光の波長付近 630 - 645 nm と、アレクサン
ドライト結晶の発振波長である 720-800 nm の光が透過するようになっている。結晶に吸収される Pump 光

40

のパワーは Pabs = Pp γ(1 − αp) のように表され、今回用いた結晶の吸収係数 αp は、αp = 7.5[cm−1 ] なのでPump 光は結晶端面からおよそ 1/αp ≈ 1.3[mm] の距離で吸収される。
さらに、アレクサンドライト結晶は温度によって誘導放出断面積が変化する [23, 26] ので、温度調節が行えるように銅製の結晶ホルダーにマウントされている。結晶ホルダーには Tholab 社製のサーミスタ”TH10K”を取り付け、その抵抗値を読み取ることで結晶の温度がわかるようになっている。

図 3.5: 結晶ホルダー

3.1 共振器
Pump 光の光学系を組んだのち、実際に共振器を組み実験を行った。バックミラー (BM) は Pump 光の波長付近 635nm において透過率が 98%、発振波長 720 - 800nm の光に対して反射率が 99.5% 以上となっている。また、アウトカップミラー (OC) は波長 720 - 800nm の光に対して反射率が 98% となっている。共振器長は 130mm、結晶は BM から 3mm、レンズは BM から 100mm の位置にあるような共振器である。レー
ザー発振を行うためには二枚のミラーの間で光が往復する必要があるので、次の手順で共振器ミラーの角度およびレンズの位置の調整を行った。
最初に Pump 光の焦点の位置に結晶を置く。その後、波長 755nm で発振する半導体レーザー (ECDL)の光を probe 光として probe 光が結晶を透過する際のロスが小さくなるように probe 光の光軸を調整する。
次にレンズを結晶から 97mm の位置に置き、レンズ表面での反射光が入射光と重なるようにレンズの上下方
向および左右の位置を調整する。さらに、レンズから 20mm の位置にアウトカップミラー (OC) を置き反射光と入射光が重なるようにミラーの角度を調整する。最後にバックミラー (BM) を結晶との間隔が 3mm になるように置き、同様に反射光と入射光が重なるようにミラーの角度を調整する。

41

f = 100 mm

3 mm
100 mm
130 mm
図 3.6: 共振器の設計

f = 100 mm

probe光反射光(a) レンズでの反射

f = 100 mm

probe光反射光(b) アウトプットカップラー (OC) での反射

f = 100 mm
probe光反射光(c) バックミラー (BM) での反射

図 3.7: 共振器の調整の手順

42

図 3.8: probe 光の共振器モードのパス合わせ

その後、probe 光が共振器の共振モードにカップルするようにビームプロファイラおよびフォトダイオー
ドを用いて透過光の空間モードおよび周波数モードを確認する。ビームプロファイラで透過光を確認すると、「共振器内を１往復したビーム, ２往復したビーム, ３往復したビーム,…」といったように複数の透過光が確認できるので、それが１カ所に集まるように共振器ミラーおよび probe 光のパスを調整する (図 3.8)。また、図3.9 のようにフォトダイオードを用いて透過光強度が最大になるように共振器ミラーおよび probe 光のパスを調整する。

probe光フォトダイオード

図 3.9: probe 光の透過光強度の測定

図 3.10 に probe 光の共振器モードをフォトダイオードで測定したものを示す。

43

図 3.10: probe 光の共振器モード

probe 光の透過光強度が最大になることを確認できた後、結晶に Pump 光を入射し probe 光の時と同様にビームプロファイラーを用いて結晶から放出される光の共振器内を往復した光を一致させ、さらに共振器を抜ける光のパワーを見ながら共振器ミラーの角度およびレンズの位置を調整する。しかしながら、最大パワー
は 350µW 程度でありレーザー発振には至らなかった。
その原因を探るために、結晶および共振器内のレンズにおけるロスの測定を行った。結晶のロスを測定した
ところ 0.5%、レンズのロスは 0.2% 程度であった。このとき共振器を１周した時のミラーを除いたロスから、
透過光強度は入射光の強度に比べて、

Iout= (1 − 0.005)2 × (1 − 0.002)2 = 0.9861
{z
} |
{z
}
|
Iin
結晶の透過率(3.1)

レンズの透過率となる。したがって、共振器を一周したときの共振器のロスは 1.4% 程度となる。これは 2.3.1 節で想定した共振器のロスよりも大きくなってしまっている。このときの発振の閾値は 4W 程度になってしまうが、Pump
光のパワーはそれ以上あるので、レーザー発振自体は可能であると考えられる。また、レーザー発振に必要な

44

結晶の利得は 2.0% 程度になる。結晶の利得がこの値に達しているかを確認するために、次節以降で述べるよ
うに結晶からの蛍光および利得を調べた。

3.2 結晶から放出される蛍光の分光測定
アレクサンドライト結晶の誘導放出断面積には、温度依存性が存在する。[23, 26] そのため利得を測定す
る前に予備実験として、結晶に pump 光を入射したときの放出される蛍光強度の温度依存性を確かめた。
結晶ホルダーにリボンヒーターを巻きつけ、結晶を加熱する。このとき、リボンヒーターに流す電流を on・oﬀ 制御することによって温度調節を行う。測定は、結晶の温度を 25°C(常温)、60°C、100°C 近辺にして行った。結晶に対して pump 光を入射し、Tholab 社製の分光器”SP2-USB” を用いて各温度での蛍光強度の測定を行った。また、測定を行う際に Pump 光の漏れ光が分光器に入らないように Tholab 社製の光学フィル
タ”FELH0700” を用いている。そのため、結晶から放出される光のうち 700nm より短い波長の成分は分光器に入る前にカットされている。

図 3.11: 蛍光スペクトル測定の実験セットアップ

測定の結果を図 3.12 に示した。この結果からアレクサンドライト結晶の DPSS レーザーにおいて波長750nm 付近で発振させる場合、結晶を 100°C 程度まで加熱した方が結晶から放出される光の量が増えるので有利であると思われる。

45

図 3.12: 結晶から放出される蛍光の温度依存性

46

3.3 小信号利得の測定
レーザー発振できなかった原因の一つとして結晶のゲインが小さい可能性があるので、光が結晶を１回通過
した後のゲイン、小信号利得 (Single Path Gain) の測定を行った。
結晶に対して DPSS レーザーの発振波長に近い、波長 755nm の半導体レーザー (ECDL) の光を probe 光として結晶に入射し、結晶を透過するパワーを測定する。その後、Pump 光と probe 光を同時に入射する。このとき、結晶からの誘導放出によって probe 光強度が増幅されるので、その増幅の割合を調べた。
結晶に入射する probe 光強度を Iin 、結晶を通り抜けた後の probe 光強度を Iout とすると、結晶の小信号利
得 G を次のように定義し、この G の測定を行った。

G[%] = (Iout− 1) ∗ 100
Iin

この実験のセットアップは図 3.13 および図 3.14 のようになっている。

図 3.13: 小信号利得の測定 光学系の全体図

47

(3.2)

図 3.14: 結晶後の測定系

probe 光のパワーを測定する際に、probe 光と異なる波長成分を持つ蛍光や Pump 光の漏れ光が混ざらないように回折格子とアイリスを用いる。回折格子は格子間隔を d、回折格子に対する光の入射角を α、回折角を β 、入射する光の波長を λ とすると次の関係が成り立つ。

d(sin α − sin β) = mλ

(3.3)

m は回折の次数 (整数) を表す。
今回の測定では、格子間隔 d = 1/1800 mm の回折格子を用いており、また入射角は α ∼ 47°、回折角は

β ∼ −39° であった。回折格子によって回折された probe 光は、回折格子から 150mm の位置で直径が 5mm程度となるので、この位置にアイリスを置き、probe 光がすべて透過するようにアイリスの開口を 5mm 程度に開けておく。
結晶からの蛍光は、回折格子により波長の異なる成分が空間的に分離され、755 nm ± 5nm の成分がアイ
リスを透過する。したがって、パワーメーターで probe 光のパワーを測定するとき、probe 光の波長 755 nm
に対して、±5nm までの成分が結晶からの利得として現れることになる。
また、前節で述べたようにアレクサンドライト結晶は温度によって誘導放出の断面積が変化するので、結晶の温度を変化させて測定を行った。
測定の結果を図 3.15 に示す。3.1 節で見たように、レーザー発振を起こすために結晶の利得は 1.7% 程度必要であり、そのためには Pump 光のパワーが常温では 5 W、結晶を加熱することで 3 W 程度の Pump 光パ
ワーが必要となることがわかる。また図 3.15 の結果を見ると、probe 光強度が 3 mW のとき結晶のゲインが小さくなっているように見える。結晶のゲインが下がってしまう原因としては結晶の破損や熱レンズ効果によって probe 光のビーム径が小さくなり飽和してしまうなどが考えられる。結晶が破損していれば破損部にPump 光が当たらないようにすれば良いので、その影響は考えにくい。したがって、熱レンズの影響を確かめるためにその測定を行った。

48

3.5

3.5

25°C
2.969 mW
0.831 mW

2.5
2.0
1.5
1.0

2.5
2.0
1.5
1.0

0.5

0.5

0.0

0.0
0

1

60°C
2.969 mW
0.831 mW

3.0
Single Path Gain [%]Single Path Gain [%]

3.0

2
3
Pump Power [W]

4

5

0

1

3.5

90°C
2.968 mW
1.055 mW

Single Path Gain [%]

3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5

1

2
3
Pump Power [W]

5

3

4

!"#

2.0

$%#

1.5

&%#

1.0
0.5
0.0
0

0.0
0

4

(b) 60°C での測定

Single Path Gain [%](a) 25°C(常温) での測定

2
3
Pump Power [W]

4

1

2

Pump Power [W]5(d) 各温度での利得の比較(c) 90°C での測定

図 3.15: 小信号利得の測定

495

3.4 熱レンズの測定
結晶の熱レンズが共振器内でのビームの空間モードにどの程度の影響を与えるかは不明であった。そこで結晶の熱レンズの焦点距離を定量的に評価するために、図 3.20 のような系を組んで熱レンズの焦点距離の測定を行った。Pump 光の焦点の位置でのビームの直径が 320µm 程度であり、結晶内にできる熱レンズの大きさも同程度になると考えられるので、probe 光のビーム径をそれよりも小さい 200µm 程度の平行光にして結晶に対して入射する。このとき Pump 光と probe 光との重なりが小さいと、熱レンズが probe 光の一部にしか作用しないので熱レンズの影響が見え難い。したがって、結晶を配置する前に Pump 光の焦点の位置でのPump 光と probe 光の重なりを確かめた。

ビームプロファイラ
probe

Pump
図 3.16: Pump 光と probe 光の重なりの確認

Pump 光の焦点の位置にビームプロファイラを置き、probe 光と Pump 光を同時に入射する。そして、Pump 光と probe の光のどちらか一方のビームを遮り Pump 光のみの場合と probe 光のみの場合の画像をそれぞれ撮影し、x 方向と y 方向それぞれの強度分布をとる。レーザー光の強度分布はガウシアン型の強度分布を持っているので、測定した強度分布をガウシアン関数

(x − x0 ) 2
I(x) = y0 + A exp −(
) )
width


(3.4)

でフィッティングする。なお、ビームプロファイラは 90°回転させておいているためにビームプロファイラ
上での x 方向は実際にはビームの垂直方向を映しており、同様に y 方向は実際には水平方向を映している。

x,y 方向の強度分布およびフィッティングの結果を図 3.18 に示す。この結果から、probe 光は Pump 光に比べ小さく中心位置のずれも 15µm 以内にあることがわかる。

50

図 3.17: Pump 光と probe 光の結晶の位置でのビームプロファイラの画像。x 方向は実際には垂直方向、y 方
向は水平方向の強度分布を映している。

図 3.17 を見ると probe 光の空間モードが汚くなってしまっているが、その原因として一部のミラーの面精度の問題が挙げられる。しかし、図 3.18 を見ると probe 光の強度分布がガウシアンで上手くフィッティン
グすることができているため測定に与える影響は少ないと思われる。

51

probe_X
Pump_X
fit_probe_X
fit_Pump_X

6

3.0 x 10

2.5!"#$%&'()*+,*-./0%1%2345
67%%%
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8%9:?7==$<7?%1%=:7=$<7A
B7%%%
8%A99;:?%1%7:CD=
E'F(G 8%97D:;H%1%7:AHA

Intensity [a.u.]

2.0

IJK %&'()*+,*-./0%1%2345
67%%%
8%9:CC?D$<7=%1%;CD@%%%%
8%A:77DH$<7?%1%A:=9$<7A
B7%%%
8%A999:D%1%7:99C%LMKN
E'F(G%8%99D:HA%1%7:9?%LMKN

1.5

1.0

0.5

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

x[ m]

(a) x 方向の強度分布
probe_Y
Pump_Y
fit_probe_Y
fit_Pump_Y

6

2.5 x 10!"#$% &'()*+,*-./0 1 2345

Intensity [a.u.]

2.0

67

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1.5

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1.0

67

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0.5

1000

2000

3000

4000

y[ m]
(b) y 方向の強度分布

図 3.18: Pump 光と probe 光の重なり

52

5000

Pump 光と probe 光の重なりを確かめた後、Pump 光の焦点の位置に結晶を置き Pump 光と probe 光を同時に入射する。そして probe 光のビーム径の変化をビームプロファイラを用いて測定する。ビームプロファ
イラを用いて測定する際、結晶から放出される蛍光が probe 光に混ざり、probe 光のビーム径の変化がわかり難くなる可能性があるため、回折格子を用いて蛍光の影響を除去する。測定は結晶の端面から 405mm ,530mm, 690mm, 785mm, 935mm で行った。測定で得られたビームプロファイラの画像を図 3.20 に示す。
また、図 3.20 の画像から probe 光の強度分布をプロットしたものを図 3.21 に示す。図 3.21 を見ると Pump
光を入射したとき、わずかにではあるが probe 光のビーム径が縮んでいるように見える。
熱レンズの焦点距離を評価するために、以下に述べるような解析を行った。図 3.21 の強度分布をそれぞれ
ガウシアン関数 (3.4) でフィッティングする。フィッティングの結果から得られた各測定点での probe 光のビーム径をさらに式 (2.24) でフィッティングし、結晶端面からの距離 z に対するビーム径の変化を求める。このビーム径の変化を図 3.22 に示す。y 方向 (水平方向) のビームの広がりはビームの伝搬による広がりだけでなく、回折格子の影響もあるため熱レンズの効果を取り出すのが難しい。したがって、熱レンズの焦点距離の推定には x 方向 (垂直方向) の結果を用いる。結晶の温度が 25°C、Pump 光のパワーが 5W のときの測定を行った結果を図 3.20、3.21、3.22

ビームプロファイラ

回折格⼦

結晶
probe
Pump
220 mm

図 3.19: 熱レンズの測定

53

図 3.20: ビームプロファイラの画像

54

図 3.21: 強度分布。上から順に結晶端面から 405mm , 530mm, 690mm, 785mm, 935mm の位置で測定したもの。

55

PumpありPumpあり フィッティング
PumpなしPumpなし フィッティング
-3

1.0

2

1/e radius [m]1.5 x 10

Y data:root:nopump_X
フィッティング係数 ± 標準偏差w0
= 0.00013315 ± 9.72e-06
z0= -0.33391 ± 0.0594
lambda= 7.5e-07 ± 0

0.5

Y data:root:radius_x_Pumped_micron
フィッティング係数 ± 標準偏差w0
= 0.00014583 ± 1.88e-05
z0= -0.33952 ± 0.105
lambda= 7.5e-07 ± 0
0.0
-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

z [m]

(a) x 方向のビーム径
Y data:root:nopump_Y
フィッティング係数 ± 標準偏差w0
= 1.2057e-05 ± 5.02e-06
z0= 0.17455 ± 0.145
lambda= 7.5e-07 ± 0

PumpありPumpあり フィッティング
PumpなしPumpなし フィッテング

-3

12 x 10

Y data:root:radius_y_Pumped_micron
フィッティング係数 ± 標準偏差w0
= 3.4445e-05 ± 6.4e-06
z0= 0.029924 ± 0.0881
lambda= 7.5e-07 ± 0

82

1/e radius [m]

10

6

4

2

0
-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

z [m]

(b) y 方向のビーム径

図 3.22: フィッティングの結果から得られたビーム径の変化。z = - 0.22 m が結晶端面の位置。

56

2200
Pumpなし：測定
Pumpあり：測定
PumpなしPumpありfth fit = 1276.2'386.7

2000

probe光の1/e2半径[7m]

1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200

0

200

400

600

800

1000

z [mm]
図 3.23: 熱レンズのフィッティング結果。Pump 光のパワーは 5W、結晶の温度は 25 ℃で測定を行った。

次に Pump 光が無い場合の結晶端面でのビーム径とビーム曲率を求め、ビームパラメータ q0 を式 (2.73)を用いて算出する。結晶端面を z = 0mm とし、結晶に熱レンズが現れたとき位置 z でのビーム径は ABCD
行列を用いて次のように計算できる。


M=

1
0

z
1



1
−1/fth 
01 − z/fth=
1−1/fthz11−1/fth + 1/q0=q(z)(1 − z/fth ) + z/q0
r s 

λ
1
w(z) =
Im
π
q(z)

(3.5)
(3.6)
(3.7)

この計算から得られる関数 w(z) を用いて熱レンズの焦点距離をフィッティングパラメーターとして各点でのビーム径をフィッティングする。図 3.23 にフィッティングの結果を示す。この結果から結晶の温度が25°C、Pump 光パワーが 5W のとき熱レンズの焦点距離は 1276.2 mm 程度になる。
同様の方法で Pump 光強度を変えて熱レンズの焦点距離の測定を行った。また、結晶の温度をあげること

57

で結晶の吸収長が短くなり、熱レンズの焦点距離が変化する可能性があるため 60°C および 100°C 付近においても測定を行った。その結果を図 3.24 に示す。また、熱レンズの焦点距離の逆数は Pump 光に比例するので、熱レンズの焦点距離の逆数をとったものを図 3.25 に示す。さらに、理論値との比較を図 3.26 に示した。

熱レンズの焦点距離 [mm]

14000

25℃
63℃
107℃

12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

ポンプ光のパワー [W]
図 3.24: 熱レンズの焦点距離のパワー依存性と温度依存性

この結果から、結晶の温度を上げると熱レンズの焦点距離のパワー依存性が小さくなってしまったことがわかる。これは結晶を加熱したことによって何らかの非線形光学効果が現れたためであると考えられる。いずれにしても熱レンズの焦点距離は今回測定した範囲では 1300mm 程度となったので、Pump 光が結晶に対して斜めに入射されることによって熱レンズが共振器の軸に対して傾いたり、熱レンズと通常のレンズの軸がずれていることによる共振器内での空間モードに対する影響は少ないと考えられる。

58

熱レンズの焦点距離の逆数 [1/m]

1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4

25℃
63℃
107℃

0.2
0
2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

ポンプ光のパワー [W]
図 3.25: 熱レンズの焦点距離の逆数

図 3.26: 熱レンズの焦点距離の逆数を理論値と比較したもの。Pump 光の直径は 320 µm で計算。

59

3.5 発振しない原因の考察
これまでの実験結果から、結晶の利得はレーザー発振に足るものであることが確認できた。また、結晶の熱レンズ効果が共振器内でのビームの空間モードに与える影響は少ないものと考えられる。そこで、改めてレーザー発振に至らなかった原因を考えるために 3.1 節で行った実験について考察をする。
図 3.27 に共振器の周波数モードとリファレンスキャビティの信号を示す。この信号から共振器の性能を表す値であるフィネス (Finesse) の計算した。図 3.10 において、ECDL の発振周波数を掃引しているピエゾ素子の応答が非線形になっているため共振器の FSR がピークごとにばらつきがあるが、FSR は 1.15 - 1.23

GHz 程度、半値全幅は 49.5 -56.0 MHz 程度となる。

図 3.27: レーザー共振器の周波数モードとリファレンスキャビティの信号

図 3.10 から得られる共振器のフィネスは式 (2.36) から 20 程度である。波長 755nm の光に対する BMの反射率が 99.5%、OC の反射率が 98% なので、式 2.39 を用いたフィネスから求められる共振器のロスは60

20% 以上存在すると考えられる。

図 3.28: Finess の計算

3.1 節で述べたように、結晶および共振器内のレンズから発生するロスは 1.4% 程度である。したがって、ロスが発生する原因には共振器モードに光が上手くカップルできず、共振器ミラーの淵から光が漏れてしまっていることなどが考えられるが、ミラーの角度等を調整しても図 3.10 以上の改善が見られなかった。また、結晶やレンズが共振器中の光軸に対して十分に垂直に置かれていないことなども挙げられる。特に結晶については光軸との角度に対するロスの変化が大きく、これを改善するためには結晶の角度やレンズの角度を微調整できるようにするようにすることが必要と思われる。
また、共振器の設計の改善案として、共振器長を 300mm、レンズを 150mm の位置に置くことによって共振器内での空間モードが図 3.29 のようになり、OC ミラーの端面でのビーム径が小さくなり共振器ミラー等が中心軸からずれてしまうことによる影響を少なくでき、共振器のロスを軽減することが期待できる。

61

3 mm

150 mm
300 mm(a) 共振器長 300mm、レンズを 150mm の位置に配置。

(b) 空間モード

図 3.29: 共振器の改善案

62

第4章

まとめ
本研究ではルビジウムとカリウムの原子を箱型トラップに閉じ込めるために、Alexandrite 結晶を用いた

DPSS レーザーの共振器の設計およびその製作を行い、レーザー発振に至らせることを目標としていたがそれには至らなかった。結晶や共振器内のレンズによるロスは 1.4% 程度で、レーザー発振させるのには問題ない範囲であったために結晶の利得や熱レンズの焦点距離の測定を行った。 本研究で用いた Alexandrite 結晶について波長 755nm の半導体レーザーの光を probe 光として結晶の利得を測定したところ、利得が 2% 程度であることがわかった。また、結晶を加熱することによって利得が上昇することを確かめた。今回用いた共振器ミラーは反射率が 98% であり、レーザー発振を行うのに十分な利得が存在することが確認できた。また、ビームプロファイラーを用いて熱レンズ効果による probe 光の空間モードの変化を測定し、その焦点距離を推定したところ 1300mm 程度の焦点距離になることが判明した。したがって、Pump 光が結晶に対して斜めに入射することで熱レンズが傾いてしまったり、熱レンズと通常のレンズの軸がズレてしまうことによるアライ
メントへの影響は問題にならないことになる。
レーザー発振ができなかった原因としては probe 光を共振器内に入れたところ、共振器の性能を表すフィネスから求められるロスが 20% 以上存在することが最も大きな原因として考えられる。これを解消するためには、共振器長を伸ばすことによって共振器ミラーの位置でのビーム径を小さくし、共振器のロスを小さくする
ような改善案が考えられる。

63

謝辞
本論文は、大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻レーザー量子物理学研究室における前期博士課程２
年間の研究をまとめたものです。研究を行うにあたりご指導・ご協力いただいた多くの方々に感謝の言葉を述べさせていただくことで本論文の締めとさせていただきます。
まず初めに、指導教官である井上慎教授に心から感謝の意を表します。井上先生には学部４年次から現在に至るまで、お忙しい中ご指導していただきました。井上先生には物理についてわかりやすく丁寧に教えていた
だいただけでなく、研究に対する姿勢などについてもご指導していただきました。先生に教えていただいたことはこれからの人生における指針になることと確信しております。３年間のご指導に深謝いたします。
堀越宗一特任准教授には、レーザーの製作に関して設計の方法や実験の方法などについて多くのご助言、ご助力をいただきました。また、堀越先生には学生の本読みにお付き合いいただき、本研究で研究を行うに当たっての基本的な知識を教えていただきました。本当にありがとうございました。
加藤宏平特任助教にはこの３年間、研究で行き詰まった際に何度も助けていただきました。研究を行うにあたり基本的な事柄ですら理解していなかった私に多くのことを教えていただきました。また、レーザーの設計や工作などにおいても多くのご助力をいただきました。本当に感謝しております。
超低温物理学研究室の石川修六教授、生体・構造物性物理学研究室の杉崎満准教授のお二人にはお忙しい中
本論文の査読を務めていただきました。貴重なご意見をいただきありがとうございました。
修士２年の小林一平氏は私や後輩たちに明るく接し、研究室の雰囲気を持ち上げていただきました。そのおかげで研究室での生活を楽しく過ごすことができました。感謝を申し上げます。
修士１年の船波寛史氏には、学生居室での席が隣同士であることから日々物理やその他の研究活動の議論を交わし、そのことが大きな刺激となりました。
同じく修士１年の藤野真幸氏は趣味が近いこともあり研究活動の合間などで会話が弾み、楽しい時間を過ごすことができました。
学部４年の川口泰加氏と米田光佑氏は１年間という短い期間でしたが、２人で研究に打ち込む姿を見て研究の励みになりました。

2021 年に前期博士課程を修了された谷澤昂樹氏には、研究室に配属されたばかりの頃に右も左もわからな
い私に色々なことを教えてくださいました。
最後に３年間の研究生活を支えてくれた両親に心よりの感謝を申し上げます。

64

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