令和 3 年度 卒業論文

位相空間回転による STF ビームラインでの高ルミノシティビーム生成～X-Z エミッタンス交換の特性評価～

広島大学理学部物理科学科
加速器物理学研究室
B185113 伊達 圭祐
担当教員 栗木 雅夫

1

要旨
本研究は電子陽電子リニアコライダーで高いルミノシティを実現するために必要となる、
低エミッタンスで大きなアスペクト比を持ったビームを、ビームの位相空間制御により実現しようとするものである。ビームは運動量(温度)と空間的広がりからなる 6 次元位相空間で定義されるが、力学的に体積を変えずに、各自由度の広がりを制御することが可能である。リニアコライダーで必要となるビームのエミッタンス（各自由度における位相空間が張る面積）は、εx=10.0 mm.rad, εy=0.025 mm.rad, εz =370 mm であり,x は小さい値、 yは極小値、そして z 方向は大きいという特徴がある。ビームを、生成が容易な各々の自由度
において中庸なサイズで生成し、自由度間の制御により、最終的に y が極小な形とする。本
研究では高エネルギー加速器研究機構(KEK)の超伝導リニアック試験施設(STF)での実験を念頭に、シミュレーションによる検討をおこなった。
本論文 1 章では加速器の変遷と特徴について概要を説明する。2 章ではエミッタンス交換による高ルミノシティビームの生成に関する説明と、高ルミノシティの恩恵についての説明を行う。
3 章では位相空間技術である RFBT と TLEX の原理とその周辺の事項を説明する。
4 章では STF のビームライン構成とシミュレーションの原理および結果を示し、得られた結果について理論と比較しながら考察を記す。５章で本研究の結論を述べる。

2

目次

要旨…………………………………………………………………………………………………2
目次…………………………………………………………………………………………………3
１．序論……………………………………………………………………………………………4
２．ルミノシティとエミッタンス交換…………………………………………………………5
３．エミッタンス交換
3.1 エミッタンス
3.2 x-y エミッタンス交換
3.3 x-z エミッタンス交換
４．シミュレーション
4.1 シミュレーション方法とビームライン
4.2 x-y エミッタンス交換の確認
4.3 RFBT と TLEX の接続
4.4 理論値との比較と考察
５．まとめ
６．参考文献3

1.序論
本章では加速器の変遷と特徴について【1】-1 章に従って説明する。
加速器は荷電粒子のエネルギーを外部的に増大させることで粒子の微細構造や未知の現象を観測することを目的とした装置である。
加速器の歴史は、現在も幅広い分野で活用されている、粒子を一定の電場をかけて走らせる「静電型加速器」にはじまり、高エネルギー加速器で採用されている、電場を時間的に変化させ繰り返し加速させることで加速エネルギーを高める「高周波加速器＝RF 加速器」に至るまで変遷を遂げてきた。
加速器の種類には Synchrotron や Cyclotron など、粒子が円形軌道を描きながら加速される「円形加速器」、加速空洞を直線状に並べて内部に RF を閉じ込めて加速電場を作ることで円形加速器に特有のシンクロトロン放射による加速限界の制限を克服した「線形加速器」がある。
加速器の利用方法としては加速粒子を固定標的に打ち込む「固定標的型」と、同じ運動量の大きさを持つ粒子同士を正面衝突させることにより重心系のエネルギーを最大化する「コライダー」がある。固定標的型は反応確率や操作性がコライダーより優れており、かつ温度や電磁場などの実験条件の詳細な制御が可能であるため粒子生成や原子核反応などの比較的低エネルギーでイベント数を稼ぎたい場合に用いられる。一方コライダーは加速された粒子同士の衝突なので高エネルギー現象を観測したい場合に用いられる。
昨今の最先端研究では、2012 年にヒッグス粒子を発見した CERN(欧州原子核研究機構)のLHC(Large Hadron Collider)加速器をはじめとする大型 RF 加速器の活躍が目覚ましい。
より高エネルギー、高ルミノシティをもつ加速器の開発が求められる風潮の中、注目を集めたものが電子・陽電子リニアコライダーである。リニアコライダーは 1965 年に M.Tigner
によって考案され、線形加速器で粒子を加速するため前述の通りシンクロトロン放射によるエネルギー損失が無くエネルギーは加速勾配と敷地面積で決まるため、リングコライダ
ーに比べてエネルギー効率が良い。また加速器の建設コストは円形加速器の場合、加速器エネルギーの 4 乗に比例する(【1】-1.23)ため既に必要とされる加速エネルギーが限界を迎えている状況ではコストを抑えることが難しい。一方リニアコライダーの場合コストは加速空洞の数に比例するため、設計をコンパクトにすることでコストを抑えることができる。
コライダーの設計においてルミノシティ(反応レートを断面積で規格化した値
𝑚−2 𝑠 −1)を大きくすることが課題となってくる。
リニアコライダーのルミノシティは
4

単位：

𝑓𝑁 2

𝐿 = 4𝜋𝜎 𝜎

(1-1)

𝑥 𝑦

𝑓は衝突周波数、𝑁はバンチ内粒子数、𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 はそれぞれ衝突点における x 方向、y 方向のビームサイズである。
【1】-(7.2)
リニアコライダーでは粒子は所定のエネルギーまで加速した後に衝突点に送られ、衝突後は捨てられてしまうためビーム電流が大きく制限される。ルミノシティはビーム電流に比
例し衝突点のビームサイズに反比例するため、コライダーにおいてビーム電流を大きくすることはそれに比例して必要な電力も大きくなることから賢明ではない。従って現実的な電力で高ルミノシティを実現させるには衝突点におけるビームサイズを極小化する必要がある。ここで注意すべきは Beamstrahlung と呼ばれる現象である。Beamstrahlung とはビーム間の相互作用の一つであり、ビームの周りに発生した磁束密度によって衝突相手が曲げられることでシンクロトロン放射によるエネルギー損失を起こしてエネルギーの広がりを作ってしまう現象であり、コライダーの実験において避けるべき現象である。
Beamstrahlung によるエネルギー広がりは1

𝛥𝐸 ∝ (𝜎 +𝜎 )2𝜎
𝑥

𝑦

(1-2)

𝑧

で表される。シンクロトロン放射の原因となるのはビームのつくる磁場であるが、ビームのつくる磁場はビームの面積ではなくビームを囲む領域の周長に反比例するため、このような式になる。従って Beamstrahlung を抑制しつつ高エミッタンスを実現するには𝜎𝑥 ≫𝜎𝑦 となるような扁平ビームを用いる必要がある。
現 在 日 本 で の 建 設 が 検 討 さ れ て い る 国 際 リ ニ ア コ ラ イ ダ ー ILC(International Linear
Collider)では電子ビームを周長 3km の DR(Damping Ring)に蓄積し、放射減衰によって
𝜀𝑥 =10 mm mrad, 𝜀𝑦 =0.04 mm mrad の非対称エミッタンスビームを作り、これを線形加速器で加速して衝突点において𝜎𝑥 =640 nm, 𝜎𝑦 =5.7mm の扁平ビームを生成する設計だが、加速器の構成を簡略化するための代替案として DR を取り払い、エミッタンス交換技術によって非対称エミッタンスビームを生成することを考えられている。[1]
本研究では STF のビームラインに対し、シミュレーションにより RFBT と TLEX を確認して扁平ビームを生成することを検討する。

5

2.ルミノシティとエミッタンス交換

コライダーにおいて、ある反応の起きる度合い(反応断面積)をσ(m^2)として、単位時間当たりにある反応が起きる回数 N(1/s)は

𝑁 = 𝐿𝜎(2-1)

であり、ここで𝐿(1/sm^2)がルミノシティである。リニアコライダーのルミノシティは(11)で示した通りである。ビームのバンチ内にいくつの粒子が存在しているか、衝突点でビームサイズがどの程度小さくなっているかによって決まってくる。
一般に反応の確率密度関数がガウス分布に従うとき、真値𝜇̅ からのずれ幅は N 回測定した時の平均値を𝜇として、標準偏差σにより𝜇̅ − 𝜇 =

𝜎
√𝑁

(2-2)

と与えられる。すなわち、現象を測定する回数の二乗根に反比例して精度は向上するた
め、より多数回の現象を観測することは、実験物理にとって本質的に重要である。ある反応の生じる断面積は自然が支配する物理法則により決まっているため、ある現象の生じる時間当たりの回数を高める方法は、唯一、ルミノシティを高めること以外にない。ルミノ
シティはコライダーの性能を表す指標である。
前章で述べた Beamstrahlung によるエネルギー広がりを抑制しつつ、高ルミノシティのビームを生成するには𝜀𝑥 ≫𝜀𝑦 の非対称エミッタンスで𝜎𝑥 ≫𝜎𝑦 の扁平ビームを生成する必要がある。このビームを生成する方法が位相回転技術である。次章では位相回転技術である
RFBT と TLEX についての詳細を説明する。

6

3.エミッタンス交換
本章では【2】を参考に RFBT と TLEX について説明する。RFBT、TLEX はそれぞれ
x-y、x-z 方向の位相回転技術である。

3.1 エミッタンス
以下【2】1.2~3.3 に従って説明をする。一般的に加速器物理ではビームライン(縦方向)に s 軸を設定し、s 軸に直交する座標系を x,y、並行する座標系を z と定義する。
単粒子の座標は直交座標系(x,y,z)で表され、横方向運動量を縦方向運動量で規格化したも𝑝𝑝のを x’,y’で表す。(x’= 𝑝𝑥 y’= 𝑝𝑦)𝑧𝑧

ビーム内のすべての粒子は 6 次元位相空間(x,𝑝𝑥 ,y,𝑝𝑦 ,z,𝑝𝑧 )での点として表すことができ、粒子集団がこの空間に占める体積(4 次元位相空間では面積)をエミッタンスという。
〈〉を全粒子の平均として x 方向正規化エミッタンスは、粒子質量を𝑚、光速を𝑐を用いて以下の式で表される。
1𝜀𝑛𝑥 = 𝑚𝑐 √〈𝑥 2 〉〈𝑝𝑥2 〉 − 〈𝑥𝑝𝑥 〉2(3-1)

散逸力（加熱や冷却）が無い系では、リウヴィルの定理のため、粒子の占める六次元位相空間の体積は不変である。また、相互作用が線形である場合には、(3-1)式で定義される量は運動の恒量となる。これ Courant-Snyder invariant またはエミッタンスと呼ぶ。ここで運動量を無次元化して(3-1)を書き直すと幾何エミッタンスは

𝜀𝑥 = √〈𝑥 2 〉〈𝑥′2 〉 − 〈𝑥𝑥′〉2(3-2)となる。これをビーム行列を用いて説明する。粒子の座標を以下のように表す。

𝑥
𝑥′
𝑦
𝑈=
𝑦′
𝑧
( 𝑧′ )(3-3)

同じ成分を持つ行ベクトルと列ベクトルの積をとり、その統計平均をとったものをビーム行列といい、次のように表される。

7

〈𝑥 2 〉 〈𝑥𝑥′〉 〈𝑥𝑦〉 〈𝑥𝑦′〉 〈𝑥𝑧〉 〈𝑥𝑧′〉〈𝑥 ′ 𝑥〉 〈𝑥′2 〉 〈𝑥 ′ 𝑦〉 〈𝑥 ′ 𝑦′〉〈𝑥 ′ 𝑧〉〈𝑥 ′ 𝑧′〉〈𝑦𝑥′〉 〈𝑦 2 〉 〈𝑦𝑦′〉 〈𝑦𝑧〉 〈𝑦𝑧′〉̃〉 = 〈𝑦𝑥〉𝛴 = 〈𝑈𝑈〈𝑦 ′ 𝑥〉〈𝑦 ′ 𝑥′〉〈𝑦 ′ 𝑥′〉〈𝑦 ′ 𝑦′〉〈𝑦 ′ 𝑧〉〈𝑦 ′ 𝑧′〉〈𝑧𝑥〉 〈𝑧𝑥′〉 〈𝑧𝑦〉 〈𝑧𝑦′〉 〈𝑧 2 〉 〈𝑧𝑧′〉( 〈𝑧 ′ 𝑥〉 〈𝑧 ′ 𝑥′〉 〈𝑧 ′ 𝑦〉 〈𝑧 ′ 𝑦′〉 〈𝑧 ′ 𝑧〉 〈𝑧′2 〉 )(3-4)

この行列式の平方根が 6 次元位相空間のエミッタンスに相当する。
各自由度のエミッタンスは、上式における対角 2×2 成分の行列式の平方根として与えられ、𝜀𝑖 = |〈𝑖 2 〉 〈𝑖𝑖′〉| = √〈𝑖 2 〉〈𝑖′2 〉 − 〈𝑖𝑖′〉2〈𝑖′𝑖〉 〈𝑖′2 〉(𝑖 =x,y,z)(3-5)となる。幾何エミッタンスは、運動量を角度表示し、エネルギー依存するため加速前後で𝑣

𝑃

エミッタンスは変化する。ここでローレンツ因子𝛽 = 𝑐 , 𝛾 = √1 + (𝑚 𝐶 )2 を用いると、正規0化エミッタンスと非正規化エミッタンスの関係は以下のとおりである。
𝑚𝑐

𝜀

𝑛𝑥
𝜀𝑖 = 𝜀𝑛𝑖 𝑃 ≈ 𝛽𝛾

(3-6)

𝑧

従って非正規化エミッタンスにローレンツ因子をかけることでエネルギー依存性を除去できる。この値が正規化エミッタンスである。
加速器内の粒子の横方向運動方程式は u=x,y、k を外部場による関数(一定)として

u’’+k(z)u=0(3-7)

A(z)と B(z)が(3-7)の独立した 2 解であると仮定する。境界条件を以下の式で設定する。

A(𝑧0 )=B’(𝑧0 )=1
A’(𝑧0 )=B(𝑧0 )=0

(3-8)

任意の解は

u(z)=A(z)u(𝑧0 )+B(z)u’(𝑧0 )u’(z)=A’(z)u(𝑧0 )+B’(z)u’(𝑧0 )(3-9)

𝐴(𝑧) 𝐵(𝑧))𝑀(𝑧|𝑧0 ) = (𝐴′(𝑧) 𝐵′(𝑧)(3-10)

𝑧0~z での転送行列𝑀はで表せる。ビーム輸送において転送前のΣ行列を𝛴0 、転送後のΣ行列を𝛴1 とすると
8̃
𝛴1 = 𝑀𝛴0 𝑀(3-11)の関係性がある。また、|𝑀|=1 であり、(3-10)式を用いると(3-9)式はu(z)=M(z|𝑧0 )U(𝑧0 )U(z)=(

𝑢(𝑧)
)
𝑢′(𝑧)

(3-12)

M はビームライン要素のみに依存するので、Ｍ(𝑧𝑛 |𝑧0)=M(𝑧𝑛 |𝑧𝑛−1)…M(𝑧2 |𝑧1 )M(𝑧1 |𝑧0)と書けるので、実数 k について
(k>0 のとき)転送行列は𝑀(𝑧1 |𝑧0 ) = (

𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑐𝑜𝑠𝜑

√𝑘

−√𝑘𝑠𝑖𝑛𝜑)𝜑 = (𝑧1 − 𝑧0 )√𝑘(3-13)

𝜑 = (𝑧1 − 𝑧0 )√𝑘(3-14)

𝑐𝑜𝑠𝜑(k<0 のとき)転送行列は𝑀(𝑧1 |𝑧0 ) = (

𝑠𝑖𝑛ℎ𝜑

𝑐𝑜𝑠ℎ𝜑

√𝑘

−√𝑘𝑠𝑖𝑛ℎ𝜑

)

𝑐𝑜𝑠ℎ𝜑

と表せる。
ドリフト空間(外力の働いていない)の場合は k=0 であり𝑀(𝑧|𝑧0 ) = (1 𝑧 − 𝑧0)01

(3-15)

quadrupole では長さℓ＝𝑧 − 𝑧0 強度(k)の場合、焦点距離𝑓がℓに比べて十分大きく、thinlens 近似を用いると

1
𝑀 = (− 1⁄𝑓

01)− 1⁄𝑓 = 𝑘ℓ

(3-16)となる。
𝜕𝐻

ここでハミルトニアンの運動方程式𝑞𝑖 = 𝜕𝑃𝑖

𝜕𝐻

𝑃𝑖 = − 𝜕𝑞 に初期値𝑞𝑖0 , 𝑃𝑖0を与え,時刻𝑡を考慮𝑖

した解の形𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 (𝑞𝑖0 , 𝑃𝑖0 , 𝑡) , 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖 (𝑞𝑖0 , 𝑃𝑖0 , 𝑡)について 6×6 転送行列𝑀6は
𝜕𝑞1
𝜕𝑞10

𝑀6 =

⋮
𝜕𝑞3

(𝜕𝑞10

𝜕𝑞1

⋯

𝜕𝑞30

⋱
⋯

(3-17)⋮
𝜕𝑃3
𝜕𝑞30 )

̃6 𝐽6 𝑀6 = 𝐽6 を満たし、𝐽6はシンプレティック行列であり単位シンプレティッ
また、上式は𝑀
ク行列𝐽を用いて

𝐽 0 0
𝐽6 = (0 𝐽 0)
0 0 𝐽

𝐽=(

と表せる。
9

0 1
)
−1 0

(3-18)

同様に 4 次元位相空間(𝑥, 𝑃𝑥 , 𝑦, 𝑃𝑦 )につて𝑃 = √𝑃𝑥 2 + 𝑃𝑦 2 + 𝑃𝑧 2のとき

1000
𝑷 = (0 𝑃 0 0 )
0 010
0 00𝑃

𝑀4 = 𝑷−1 𝑀4 𝑷

(3-19)

̃4 𝐽4 𝑀4 = 𝐽4 を満たし、𝐽4はシンプレティック行列であり単位シンプレティッ
また、上式は𝑀
ク行列𝐽を用いて𝐽
𝐽4 = (
00)
𝐽(3-20)

また、𝑀はシンプレティック行列で|𝑀|=1 の場合ビーム輸送によってΣ行列の行列式は不変であり、エミッタンスはΣ行列の行列式の平方根であるので保存される。しかし加減速によって|𝑀|≠1 の場合はエミッタンスは保存されない。

3.2 x-y エミッタンス交換(1-1)および(1-2)式より、ビームの xy 自由度間における大きな非対称性が必要であり、
この扁平ビームを実現するためには 2 つのアプローチがある。１つはフラットレーザース
ポットを使用して非対称電子ビームを直接カソードに生成する方法。もう一方は位相回転技術(RFBT)である。前者で得られる非対称エミッタンスは要求値を下回ってしまうことに加えて複雑な加速構造が必要で現実的でないため後者を用いる。
RFBT の構成は電子ビームをソレノイド磁場中のカソードで生成し xy 間に角運動量による相関を持たせ、この際に生じた見かけのエミッタンス増大をビームライン下流に Skew
Quadrupole（通常の quadrupole を 45 度傾けたもの）を３つ設けることで解消するというものである。結果としてこの一連の過程によって xy 間に非対称エミッタンス生まれる。
空間電荷、ビームエミッタンス、角運動量、外部電磁集束などの要因によって電子ビー
ムの振る舞いは決まる。

図 3.1 ビーム内の粒子の振る舞いの様子(a)エミッタンス支配下(b)角運動量支配下(c)空間電荷支配下【2】P.29 から引用
10

図 3.1 は各支配下におけるビーム内の粒子の振る舞いをモデル化したものである。各点が粒子の位置を、矢印の長さが粒子の速さを示している。(a)エミッタンス支配下では電子はランダムに動く。(b)角運動量支配下では電子は渦パターンを描きながら動き、外周ほど速さは大きい。(c)空間電荷支配下ではクーロン力による斥力を受け、電子は放射状に広がる。
このことからも xy に相関を持たせながらビームの散逸を防ぐためには、ビームを角運動量支配下でコントロールしつつ空間電荷効果を抑制して輸送する必要があることが視覚的に分かる。
横方向のバンチビームサイズσの変化は外部電磁力がない場合以下の式で表せる。
𝑘

𝜀2

𝐿2

𝜎 ′′ − 4𝜎 − 𝜎𝑢3 − 𝜎3 = 0(3-21)

𝑘は perveance と呼ばれる空間電荷の影響がビームの動きに及ぼす指標であり𝑘 =2𝐼
𝐼0 𝛽3 𝛾3で表される。𝐼は瞬間ビーム電流の絶対値、𝐼0 はアルヴェン電流(17kA)、𝜀𝑢 は無相関な横方向エミッタンス(熱エミッタンス)、𝐿は平均正準角運動量< 𝐿 >と縦方向運動量𝑃𝑧 を用いて
ℒ=

<𝐿>
𝑃𝑧

である。(3-21)式について第２項が空間電荷、第 3 項がエミッタンス、第 4 項が角運動量の効果を反映している。第 4 項が第 2,3 項よりも遥かに大きい時、ビームは角運動量支配下であると言える。また、外部電磁線形収束がある場合は外部収束力𝑘0を用いて
𝑘0 𝜎が式に付加される。
(3-21)式から、カソード磁場はエミッタンスを最小化する際に取り除く必要があるが角運
動量支配下のビームを生成するには磁場が必要である。
回転対称の場合、正準角運動量の保存はブッシュの定理から
𝑒𝐿 = 𝛾𝑚𝑟 2 𝜑 + 2𝜋 𝛷 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(3-22)(3-22)式は円筒座標系(𝑟, 𝜑,z)で記述されており、𝛷は特定の z に対応する半径𝑟で囲まれた𝑒

磁束である。𝛾𝑚𝑟 2 𝜑はカソードで平均的に 0 (∵𝜑 = 0)、2𝜋 𝛷はビームが角運動量を得るた
めに消えてはいけない。つまりカソードでの縦方向の磁場が必要である。従ってビームを角運動量支配下で生成するにはソレノイド磁場中にカソードを配置してビーム生成を行う必要がある。
以下、扁平ビームの生成について行列を用いて説明する。
横方向トレース空間の粒子座標を 2 つのベクトルで定義する。

𝑥
𝑋=( )
𝑥′

𝑦
𝑌 = (𝑦′)これに対応する 4×4 ビームマトリックスは
11(3-23)

〈𝑋𝑋̃〉
𝛴=(
〈𝑌𝑋̃〉

〈𝑋𝑌̃〉
)
〈𝑌𝑌̃〉

(3-24)

R を 4×4 回転行列として、単位行列 I を用いると

𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅=(
−𝐼𝑠𝑖𝑛𝜃

𝐼𝑠𝑖𝑛𝜃
)
𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃

(3-25)

ビームが回転対称ならば、回転についてビームマトリックスは不変であるため

𝛴 = 𝑅𝛴𝑅 −1(3-26)

が成立する。(3-26)式より〈𝑋𝑋̃〉𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 〈𝑌𝑌̃〉𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + (〈𝑋𝑌̃〉 + 〈𝑌𝑋̃〉)𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 〈𝑋𝑋̃〉(3-27)

が成立する。θは任意であることから(3-27)式より〈𝑋𝑋̃〉 = 〈𝑌𝑌̃〉〈𝑋𝑌̃〉 + 〈𝑌𝑋̃〉 = 0 ⇔ 〈𝑋𝑌̃〉 = −〈𝑌𝑋̃〉(3-28)(3-29)

が得られる。(3-28)、(3-29)の転置をとると

̃̃̃ 〉〉 = − 〈〈𝑌𝑋̃ 〉〉 = −〈𝑋𝑌̃〉〈〈𝑋𝑌(3-30)

が成立する。従って〈𝑋𝑌̃〉は反対称行列で、シンプレティック単位行列 J を用いて〈𝑋𝑌̃〉 = ℒ𝐽

(3-31)と書ける。つまり(3-31)式の左辺成分は粒子の角運動量を表す成分である。
(x,x’)、(y,y’)で記述される一般的な円形ビームマトリックスの対角成分〈𝑋𝑋̃〉, 〈𝑌𝑌̃〉はバンチを表していて〈𝑋𝑋̃〉 = 〈𝑌𝑌̃〉 = 𝜀𝑇0(3-32)と書ける。ここで𝜀は横方向エミッタンス。𝑇0は Twiss Parameter α,βを用いて

𝛽
𝑇0 = (−𝛼−𝛼
1+𝛼2 )(3-33)𝛽である。但し|𝑇0 | = 1である。(3-33)式と(3-31)式から一般的な円筒対称で角運動量をもつ
4×4 ビームマトリックスは𝜀𝑇
𝛴0 = ( 0
−ℒJ

ℒJ
)
𝜀𝑇0

(3-34)と書ける。よって M をシンプレティックな転送行列とすると転送後のビームマトリックス
は(3-11)式から

̃
𝛴 = 𝑀𝛴0 𝑀(3-35)となるので、(3-35)式からシンプレティック変換に関する以下の２つの不変量が確認できる。
【3】3.17 式から

𝐼1 = 𝜀4𝐷 = √|𝛴|12

(3-36)

−1𝐼2 (𝛴) = 2 𝑇𝑟 (𝐽4 𝛴𝐽4 𝛴)(3-37)

ここで、転送行列 M によって転送されたビームマトリックスが対角成分のみ残すとすると

𝜀 𝑇
𝛴=( − −
0

0
)
𝜀+ 𝑇+

また 𝑇± = (

𝛽±
−𝛼±

−𝛼±

1+𝛼± )(3-38)𝛽±となる。(3-36)を(3-35)に適用すると√|𝛴| = √|𝛴0 | ⇒ 𝜀+ 𝜀− = 𝜀 2 − ℒ 2(3-39)

が得られる。また𝐽𝑇0,± 𝐽𝑇0,± = −𝐼より−(𝜀 2 + ℒ 2 )𝐼𝐽4 𝛴0 𝐽4 𝛴0 = (0−𝜀 2 𝐼𝐽4 𝛴𝐽4 𝛴 = ( −00)−(𝜀 + ℒ 2 )𝐼20)
−𝜀+2 𝐼(3-40)(3-41)と求められる。これと(3-37)式から

𝐼2 (𝛴) = 𝐼2 (𝛴0 ) = 𝜀+2 + 𝜀−2 = 2(𝜀 2 + ℒ 2 )(3-42)(3-39)および(3-42)から

𝜀± = 𝜀 ± ℒ(3-43)が求められる。従って(3-44)から、角運動量支配下でのビーム輸送によって非対称エミッタンスが生じ、熱エミッタンス𝜀とℒによって値が決まる。
ソレノイドによる扁平ビーム生成の場合、ソレノイド磁場中でカソードから𝛴0 のビーム
マトリックスでビームを入力し、シンプレティック転送行列 M を備えた Skew
Quadrupole を設ける必要がある。

図 3.2 RFBT の構成概念図(【2】P26 図参照)
カソード表面での電子の座標は(3-23)とする。𝐵𝑐 をカソード上での縦方向磁束密度とする。
Solenoid 出口では𝐵𝑧 = 0。位相空間座標𝑥 ′ , 𝑦′の変化𝛥𝑥 ′ , 𝛥𝑦′は以下の式で与えられる。

𝛥𝑥 ′ = −𝑘𝑦𝛥𝑦 ′ = 𝑘𝑥

13(3-45)

但し𝑘 =𝑒𝐵𝑐
2𝑃𝑧である。これにより𝑦
𝑌 = (𝑦 ′ + 𝑘𝑥)𝑥
𝑋 = (𝑥 ′ − 𝑘𝑦)(3-46)となる。
カソード表面に相関モーメントがない（〈𝑥𝑥′〉 = 〈𝑥𝑦〉 = ⋯ = 0）と仮定すると、ビームマト
リックスは

𝑘𝜎 2
𝜎2
0
0
2 2
2
2
0
)
𝛴0 = ( 0 𝑘 𝜎 + 2𝜎′ −𝑘𝜎
2
0
0
−𝑘𝜎
𝜎
0
0 𝑘 2 𝜎 2 + 𝜎′2
𝑘𝜎 2(3-47)と表せる。但し𝜎 2 = 〈𝑥 2 〉 = 〈𝑦 2 〉, 𝜎′2 = 〈𝑥′2 〉 = 〈𝑦′2〉であり、(3-34)式と(3-47)式からℒ = k𝜎 2𝜀 = √𝜀𝑢2 + ℒ 2 (𝜀𝑢 = 𝜎𝜎′)
𝛼=0
𝛽=

𝜎2

(3-48)

2 +ℒ 2√𝜀𝑢となる。ここで𝜀𝑢 は非相関横方向エミッタンス(熱エミッタンス)と解釈できる。
(3-43)から予想される扁平ビームエミッタンスは𝜀 = √𝜀𝑢2 + ℒ 2 ± ℒ(3-49)となり、ℒ ≫ 𝜀𝑢 のとき
𝜀2

𝜀− = 2 𝑢ℒ𝜀+ = 2 ℒ
𝜀+
𝜀−

2ℒ 2

≈ (𝜀 )
𝑢(3-50)

以上により入力ビームマトリックス𝛴0 から非対称エミッタンスを作ることができると示された。そのエミッタンス比は熱エミッタンスとソレノイド磁場が与える角運動量によって決まり、エミッタンス積は保存されている。
次にシンプレティック転送行列 M によってビームマトリックスの非対角成分を 0 にする
ために Skew Quadrupole×3 の構成について考える。
通常の Quadrupole×3 の転送行列𝑀𝑁𝑄 は

𝑀𝑁𝑄 = (

𝐴
0

0
)
𝐵

(3-51)と表せ、Skew Quadrupole×3 の場合

𝑀 = 𝑅 −1 𝑀𝑁𝑄 𝑅
で表せる。(3-25)式で𝜃 = 45°を代入すると上式は14(3-52)

1 𝐴
𝑀 = 2( +
𝐴−

𝐴−
)
𝐴+

𝐴± = 𝐴 ± 𝐵(3-53)となる。(3-35)式で与えられる、Skew Quadrupole×3 出口でのビームマトリックスの非対角成分が０となるためには XY カップリングコンポーネントが消えて

̃− + 𝐴− 𝑇0 𝐴
̃+ ) + ℒ(𝐴+ J𝐴
̃+ − 𝐴− J𝐴̃− ) = 0𝜀(𝐴+ 𝑇0 𝐴(3-54)となる。これを解くためにシンプレティック行列 S を用いた条件

𝐴− = 𝐴+ 𝑆(3-55)

を用いて(3-54)式を解くと、(3-54)式の第 2 項は|S|=1 であることから消えて、第 1 項も条件

𝑇0 𝑆̃ + 𝑆𝑇̃0 = 0(3-56)

を満たすとき０となる。𝑇0は対称であるため上式から

̃0
𝑆𝑇0 = −𝑇0 𝑆̃ = −𝑆𝑇(3-57)

つまり𝑆𝑇0は反対称行列であり、一方|𝑇0 | = |𝑆| = 1であるから𝑆𝑇0 = ±𝐽となる。従って−𝛼

𝑆 = ±𝐽𝑇0−1 = ± (1+𝛼2
𝛽

−𝛽
𝛼

)

(3-58)と置ける。これを(3-32)式と(3-33)式で比べると、𝑆は回転対称なビームの〈𝑋𝑋̃〉によって決定されることが分かる。

𝑆
𝑆 = ( 11
𝑆21

𝑆12
1 𝛴
) = ± ( 12
𝜀 𝛴22
𝑆22

−𝛴11
)
𝛴12

(3-59)

Skew Quadrupole×3 による転送後ビームマトリックスの対角成分〈𝑋𝑋〉, 〈𝑌𝑌〉は

̃+ + 𝐴− 𝑇0 𝐴̃̃̃
2𝛴𝑋𝑋,𝑌𝑌 = 𝜀(𝐴+ 𝑇0 𝐴− ) ∓ ℒ(𝐴+ J𝐴− − 𝐴− J𝐴+ )(3-60)となる。但し、𝑆𝑇0 𝑆̃ = 𝑇0 と𝐽𝑆̃ = −𝑆𝐽 = ±𝑇0は(3-58)式の𝑆の符号によって決まる。従ってSkew Quadrupole×3 出口でのビームマトリックスは𝑆 > 0として(𝑆 < 0のときはビームが
狭くなる)

𝜀 𝑇
𝛴=( −
0

0
)
𝜀+ 𝑇

(3-61)

1
̃+ , 𝜀± = 𝜀 ± ℒである。𝑇0が対称であったとしても𝑇は必ずしも対称と表せ、𝑇 = 2 𝐴+ 𝑇0 𝐴

ではない。但し M のシンプレティック条件から𝐴𝐴
𝐴𝐴| +⁄2| = | −⁄2| , | +⁄2| + | −⁄2| = 1 ⇒ |𝐴± | = 2 ⇒ |𝑇| = 1(3-62)

が成立する。
Skew Quadrupole×3 が(3-55)を満たすことを示す。通常の Quadrupole×3 の thin-lens 近
似での 2×2 転送行列は

1
𝑄(𝑞) = (
𝑞
15

0
)
1

(3-63)

1

で与えられる。𝑞は quadrupole strength であり quadrupole の焦点距離 f を用いて𝑞 = と𝑓表せる。他の表現としては横方向運動量 P、磁場勾配 g、quadrupole の有効長𝑙𝑒𝑓𝑓 を用いて

𝑞[1⁄𝑚] =300𝑔[𝑇⁄𝑚]𝑙𝑒𝑓𝑓 [𝑚](3-64)

𝑃𝐶[𝑀𝑒𝑉]と表せる。ドリフト空間の 2×2 転送行列は

1 𝑑
)
0 1

𝐷(𝑑) = ((3-65)

である。3 つの Skew Quadrupole を SQ(1),SQ(2),SQ(3)とした時、SQ(1)と SQ(2)間の距離を
𝑑2 、SQ(2)と SQ(3)間の距離を𝑑3 と設定する。skew Q channel の転送行列において横方向
𝑥0
行列 A が(x,x’)位相空間で与えられるとき電子の座標は𝑋0 = (𝑥′ )は𝑈(𝑧𝑓 ) = 𝑀4 𝑈(𝑧𝑖 )より0

𝑦0
𝐴𝑋0を介して変換され、𝑌0 = (𝑦′ )は𝐵𝑋0を介して変換されて A と逆符号なので
0

1
𝐴=(
𝑞3

0 1
)(
1 0

𝑑3 1
)(
1 𝑞2

0 1 𝑑2 1)()(
1 0 1 𝑞1

0)
1

𝐵 = 𝐴(−𝑞1 , −𝑞2 , −𝑞3 , 𝑑2 , 𝑑3 )(3-66)(3-67)と書ける。(3-66)式と(3-67)式を(3-55)式に代入して𝑞𝑖 (𝑖 = 1,2,3)について解くと【2】3.50 式より

𝑞1 = ±√−𝑑2 𝑆11 + 𝑆12 − 𝑑2 𝑑 𝑇 𝑆21 + 𝑑 𝑇 𝑆22
𝑑2 𝑑 𝑇 𝑆12
𝑞2 = −

𝑞3 = −

𝑆12 + 𝑑 𝑇 𝑆22
𝑑2 𝑑3 (1 + 𝑆12 𝑞1 )𝑞1 +𝑞2 +𝑑2 𝑆11 𝑞1 𝑞2 +𝑆21
1+(𝑑𝑇 𝑞1 +𝑑3 𝑞2 )𝑆11 +𝑑2 𝑑3 𝑞2 (𝑆21 +𝑞1 )(3-68)と導かれる。𝑆𝑖𝑗 は S の ij 成分で、𝑑 𝑇 = 𝑑2 + 𝑑3 、S は相関行列で𝑆 𝑐𝑜 と定義され、

𝑌 = 𝑆 𝑐𝑜 𝑋

(3-69)のように xy の相関を示す行列であり、熱エミッタンスが０のとき𝑆 𝑐𝑜 = 𝑆 (𝛴0 の式で𝜎 ′ =0)となる。

3.3 x-z エミッタンス交換
これまで xy の非対称性に関して RFBT の技術を用いて説明してきたが、実際のビーム輸
16

送において理想的なエミッタンスの振り分けを行う事は難しい。これには様々な要因が関係しているが、その一つにクーロン力由来の空間電荷効果が考えられる。この非線形効果
によってエミッタンスの積は保存されるが個々のエミッタンスは単純な保存量ではなくな
りエミッタンス増大が生じる。従って RFBT による転送後の非対称エミッタンス(𝜀𝑥 ≫ 𝜀𝑦 )は𝜀𝑦 が要求値であった場合𝜀𝑥 が過大となってしまう。これを解決するための技術が TLEXである。TLEX は xz の位相空間分布を入れ替える技術であり、過大となった𝜀𝑥 を z 方向に逃がすことができる。
以下、本節は【4】【5】【6】【7】を参照している。TLEX は EEX(Emittance EXchanger)と呼ばれるビームラインを使用する。以下に EEX の構成を図示する。

図 3.3 EEX の構成【4】P4 図から引用

Dipole Magnet の幅を D、𝑆1を Dipole Magnet1 と Dipole Magnet２間の距離、𝑆2をDipole Magnet2 と Cavity 間の距離、θを曲げ角、𝐿𝑐 を Cavity の長さとする。4 次元単粒子ベクトルを S=(x,x’,z,δ)とする。但しδ=ΔE/E は設計エネルギーE からのずれΔE の割合を表す。
EEX 通過前の x と z 空間でのビームエミッタンスをそれぞれ𝜀0𝑥 , 𝜀0𝑧 とすると、通過後のビームエミッタンス𝜀1𝑥 , 𝜀1𝑧 は

𝜀1𝑥 = 𝜀0𝑧
𝜀1𝑧 = 𝜀0𝑥(3-70)(3-71)と書ける。Dogleg の転送行列𝑀𝐷 は

1 𝐿 0 𝜂
1 0
𝑀𝐷 (𝜂, 𝜉, 𝐿) = (0 0 )0 𝜂 1 𝜉0 0 0 1(3-72)と与えられる。ここで𝜂は dispersion function(分散関数)、𝜉は momentum compaction
factor(運動量圧縮係数)であり
𝑆 𝑠𝑖𝑛𝜃

2𝐷11
𝜂 = 𝑐𝑜𝑠
2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1)

17

(3-73)

𝑆 𝑠𝑖𝑛2 𝜃

2𝐷

𝑆

2𝐷

𝑠𝑖𝑛𝜃

1
𝜉 = 𝑐𝑜𝑠
3 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜃)

(3-74)

𝐿 = 𝑐𝑜𝑠13 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑆2

(3-75)

𝛥𝐸と書け、Dogleg 通過前のエネルギー広がりが𝛿0 = 𝐸 0のとき、Dogleg 通過後の𝑥1 , 𝑧1に対
して
𝛥𝐸

𝛥𝐸

𝛥𝑥1 = 𝜂 𝐸0

𝛥𝑧1 = 𝜉 𝐸0

(3-76)の位置変化をもたらす。
次に Dipole モード Cavity の転送行列𝑀𝑐 は

1 0 0 0𝑀𝑐 (𝑘) = (0 1 𝑘 0)
0 0 1 0𝑘 0 0 1(3-77)と与えられる。𝑘は Cavity の振幅を表すパラメータで、アイリス径𝑎、Cavity 中心から𝑎/2の位置での加速電圧𝑉0 、ビームエネルギー(電圧表示)E を用いて𝑉𝑘 ≡ 𝑎𝐸0(3-78)と定義される(【7】(30)式)。EEX 全体での転送行列𝑀𝐸𝐸𝑋 は

𝑀𝐸𝐸𝑥 = 𝑀𝐷 𝑀𝐶 𝑀𝐷(3-79)

より、(3-72)式と(3-77)式を(3-79)式に代入すると

2𝐿(1 + 𝑘𝜂)
1 + 𝑘𝜂𝑘𝐿 𝜂(1 + 𝑘𝜂) + 𝜂 + 𝜉𝑘𝐿𝑘𝜉
1 + 𝑘𝜂
0𝑘)
𝑀𝐸𝐸𝑥 = (2𝜉(1 + 𝑘𝜂)𝑘𝜉 𝜂(1 + 𝑘𝜂) + 𝜂 + 𝜉𝑘𝐿 1 + 𝑘𝜂0
1 + 𝑘𝜂
𝑘𝑘𝐿(3-80)

が導かれる。これに対角成分を除去するための整合条件

1 + 𝑘𝜂 = 0(3-81)を(3-80)式に適用すると、𝑘を消去した形で𝑀𝐸𝐸𝑋 =

0
0
0
0
𝜉𝐿
𝜉
−𝜂 𝜂 − 𝜂
1

(− 𝜂

𝐿

−𝜂

𝐿

−𝜂
1

−𝜂
0
0

𝜉𝐿

𝜂− 𝜂
𝜉

−𝐿
0
0 )

(3-82)と書ける。上式は Dogleg のパラメータのみで記述されており、対角成分の行列式が０、非対角成分の行列式が１であることから TLEX 通過後の x,z 位相空間はそれぞれ通過前のz,x 位相空間が転送されたものであることが分かり、エミッタンスの大きさは不変であるため(3-70),(3-71)式が成り立っていることが分かる。TLEX 入り口での粒子状態𝑆𝑖 、TLEX
18

出口での粒子状態𝑆𝑓 の関係性は𝑆𝑓 = 𝑀𝐸𝐸𝑋 𝑆𝑖 であるため
𝐿𝜉𝐿− 𝜂 𝑧𝑖 + (𝜂 − 𝜂 ) 𝛿𝑖

𝑥𝑓
𝑥𝑖
′
𝑥𝑓
𝑥′𝑖
𝑆𝑓 = ( 𝑧 ) = 𝑀𝐸𝐸𝑋 ( 𝑧 ) =
𝑓
𝑖
𝛿
𝛿𝑓
𝑖

1

𝜉

− 𝜂 𝑧𝑖 − 𝜂 𝛿𝑖𝜉

(3-83)

𝜉𝐿− 𝜂 𝑥𝑖 + (𝜂 − 𝜂 ) 𝑥 ′ 𝑖
1𝐿− 𝜂 𝑥𝑖 − 𝜂 𝑥′𝑖()と書け、エミッタンスの積は保存されるが各変数の値は EEX の設計によって決定される。
次に【8】(13)~(25)の式変形に習って thck lens 近似を用いる場合、すなわち Cavity が有限長の場合を考える。この時の Cavity の転送行列は以下のとおりである。

1 𝐿𝐶 𝑘𝐿𝐶 /2
𝑘1
𝑀𝐶𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘 = (0
1
0
0
2
𝑘𝐿
𝑘
𝐶 𝑁𝑘 𝐿𝐶
但し定数 N は Cavity 内のセル数 n を用いて𝑁 =

1+2𝑛2
12𝑛2

1
0)
0
𝑘

(3-84)と表せる。EEX 全体の転送行列は(3-79)と同様にして
𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘
𝑀𝐸𝐸𝑋
=(

𝐴
𝐶

𝐵
)
𝐷

(3-85)と表せる。ここで各行列成分 A,B,C.D は

0
0

𝐿𝐶 /4
)
0

𝐴=(
𝐵=−

1 𝐿𝐶 + 4𝐿(
1
4𝜂

4𝜉𝐿 − 4𝜂2 + 𝜉𝐿𝐶)𝜉

𝐶 = 𝐵𝑇𝐿𝜉 𝜉2)
𝐷 = 4𝜂𝐶2 (1 𝜉(3-86)

であり、thin lens 近似の場合は𝐿𝐶 = 0となるので A=D=0。従って(3-85)式の対角成分が０になる。
EEX の転送行列の行列式は
𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘
det|𝑀𝐸𝐸𝑋| = 𝜂2(3-87)である。従ってエミッタンスの積が保存されるためにはη=1 でなければならない。
次に EEX 通過後のビームマトリックスを考える。通過前のビームマトリックスは Twiss
Parameter を用いて

𝛴0 = 𝜀𝑖0 (

𝛽𝑖0
−𝛼𝑖0

−𝛼𝑖0
)
2
(1 + 𝛼𝑖0)/𝛽𝑖0
19(3-88)

と表せて、(3-85)式から EEX 通過後のビームマトリックスは以下の式で表せる。

𝐴𝛴 𝐴𝑇 + 𝐵𝛴𝑧0 𝐵 𝑇
𝛴1 = ( 𝑥0 𝑇
𝐶𝛴𝑥0 𝐴 + 𝐷𝛴𝑧0 𝐵 𝑇

𝐴𝛴𝑥0 𝐶 𝑇 + 𝐵𝛴𝑧0 𝐷𝑇)
𝐶𝛴𝑥0 𝐶 𝑇 + 𝐷𝛴𝑧0 𝐷𝑇(3-89)

ⅹ方向の規格化エミッタンスについて上式の対角成分を計算すると
2
𝜀𝑥1= |𝐴𝛴𝑥0 𝐴𝑇 + 𝐵𝛴𝑧0 𝐵 𝑇 |(3-90)

これを|𝑋 + 𝑌| = |𝑋| + |𝑌| + 𝑡𝑟(𝐽−1 𝑋 𝑇 𝐽𝑌)の展開式を用いて計算すると
2
2
2
𝜀𝑥1
= |𝐴|2 𝜀𝑥0+ |𝐵|2 𝜀𝑧0+ 𝑡𝑟{(𝐴𝛴𝑥0 𝐴𝑇 )𝐵𝛴𝑧0 𝐵 𝑇 }(3-91)となる。ここで i=x,z として

𝑄𝑖0 ≡

𝛽
( 𝑖0
√𝛽𝑖0 −𝛼𝑖010)1(3-92)

を導入すると EEX 前のビームマトリックスは𝑇
𝛴𝑥0 = 𝜀𝑥0 𝑄𝑥0 𝑄𝑥0(3-93)−1 −1
𝑈 ≡ 𝑄𝑥0
𝐽 𝐴𝐽𝐵𝑄𝑧0(3-94)

22
2
𝜀𝑥1= |𝐴|2 𝜀𝑥0+ |𝐵|2 𝜀𝑧0+ 𝜀𝑥0 𝜀𝑧0 𝑡𝑟(𝑈𝑈 𝑇 )(3-95)と表せる。ここで行列 U をで定義すると(3-91)式はと書ける。またビームマトリックスの各成分がシンプレティック行列の場合、|A|+|C|=1、|A|=|D|、|B|=|C|の関係が成り立つ。また、𝑡𝑟(𝑈𝑈 𝑇 ) ≡ 𝜆2 (≥ 0)とすると
2
2
2
𝜀𝑥1
= |𝐴|2 𝜀𝑥0+ (1 − |𝐴|)2 𝜀𝑧0+ 𝜀𝑥0 𝜀𝑧0 𝜆2(3-96)と書ける。z 方向のエミッタンスも同様にして
2
2
2
𝜀𝑧1
= (1 − |𝐴|)2 𝜀𝑥0+ |𝐴|2 𝜀𝑧0+ 𝜀𝑥0 𝜀𝑧0 𝜆2(3-97)となる。従って thick lens 近似を適用すると以下の式で書き直せる。
2

2
2
𝜀𝑧1
= 𝜀𝑥0
(1 + 𝜆 ⁄𝜌0 )

2
2 (1
𝜀𝑥1
= 𝜀𝑧0
+ 𝜌0 𝜆2 )(3-98)

但し、𝜌0 = 𝜀𝑥0 /𝜀𝑧0 である。また𝜆2 は EEX の各パラメータを用いて2 )(𝜉 2 +(𝜉𝛼 −2𝛽 )2 )𝐿2 (1+𝛼𝑥0𝑧0𝑧0

𝜆2 = 𝐶64𝜂 2 𝛽𝑥0 𝛽𝑧0(3-99)である。また、λはエミッタンス増大因子と呼ばれ、𝐿𝐶 > 0のときエミッタンス増大が生じることが分かる。また、thin lens 近似の場合は(3-70)式(3-71)式が成立し、完全なエミッタンス交換が可能になる。

20

4. シミュレーション
本章ではシミュレーションに用いたビームラインの設計とシミュレーション方法およびシミュレーション結果について記述する。

4.1 シミュレーション方法とビームライン
以下に本研究でシミュレーションする STF のビーライン(概要図)を示す。

図 4.1 STF ビームラインの概念図

光電陰極 RF-電子銃は、加速器の電子源に光電陰極を使用し、rf 加速場に直接挿入する装置である。これを使用するメリットとしては、高輝度電子ビームを得られること。初期電子分布を制御できること。ドライブレーザーパラメータを調整することで横方向エミッタン
スを最適化できること。超短パルスレーザー光が利用でき、バンチ長を rf 波長より十分に短くでき複雑なバンチングスキームを除去できること。などがあげられる。また、熱電子陰極を使用した場合に比べて 2 桁高い電荷密度を成し遂げることができるため実用性が高い。
実際の STF ビームラインは図 4.1 の RFBT 部に概ね一致し、TLEX 部はシミュレーショ
ンの概念図である。RFBT 部を通過したビームを TLEX 部に入射することを考える。
21

本研究では図 4.1 のビームラインの設計でシミュレーションを行いビームの品質を評価する。
シミュレーションは、空間電荷追跡アルゴリズム ASTRA および ELEGANT を用いて行った。ASTRA は、初期粒子を生成する generator、外部の磁場や電場の影響を読み取って粒子を追跡する ASTRA、電磁界を表示する fieldplot、粒子の位相空間プロットを表示する
postpro、ビームサイズ・エミッタンス等を表示する lineplot から構成される。ELEGANT
は各パラメータを設定した条件下で最適化することによって理想的なビーム状態や軌道を追跡できるトラッキングコードである。ELEGANT で計算したパラメータの設定を ASTRA
で読み込んでシミュレーションを行う【9】【10】。

4.2 xy エミッタンス交換の確認
RFBT のシミュレーションには STF の RFBT 研究の先行研究者である荒本氏のビームライン設計に従った。シミュレーションに用いたパラメータを以下に示す。
Parameter

Value

units

number of particles

10000

個

total charge-6.0E-02

nC

magnetic field on cathode 𝐵𝑐

1300

Gauss

rms beam size on cathode 𝜎𝑥

1.20

mm

rms beam size on cathode 𝜎𝑦

1.20

mm

rms beam size on cathode 𝜎𝑧

1.11

mm

Rf gun phase

25

deg

RF gun peak gradient

-40

MV/m

RF gun frequency

1.3

GHz

Q(1)position

8.398

m

Q(1)focusing strength

0.989

𝑚−2

Q(2)position

8.698

m

Q(2)focusing strength-1.766𝑚−2

Q(3)position

9.533

m

Q(3)focusing strength

0.333

𝑚−2

Q(4)position

13.265m

Q(4)focusing strength-0.5102𝑚−2

Q(5)position

14.05

m

Q(5)focusing strength-0.510𝑚−222Q(6)position

41.640m

Q(6)focusing strength

0.263

𝑚−2

Q(7)position

42.84

m

Q(7)focusing strength-0.2632𝑚−2

SkQ(1)position

43.5

m

SkQ(1)focusing strength

2.691

𝑚−2

SkQ(2)position

46.5

m

SkQ(2)focusing strength-3.962𝑚−2

SkQ(3)position

51.845m

SkQ(3)focusing strength-4.482𝑚−2

表 4.1 RFBT parameter

RF gun、Cavity の RF 位相は ASTRA の Auto phase 機能によって設定されており、cavityの位相は空洞内でエネルギーを最大化するようにビーム中心が最大加速度位相に乗るように調整される。skewQ 下流でのビームマトリックスの非対角成分０に近づくように
ELEGANT で最適化をする。
表 4.1 のパラメータを用いてシミュレーションを行った結果、以下のようなシミュレーショ
ン結果が得られた。
𝜀𝑥 (㎛)𝜀𝑦 (㎛)

cathode

1.016

1.016

1.000

1.032

skewQ 通過後

62.57

0.1205

519.3

7.539

表 4.2

𝜀𝑦 /𝜀𝑥𝜀𝑥 𝜀𝑦RFBT 結果

これから、cathode で生成されたエミッタンスは x、y について対称であるが、skewQ 通過
後には x 方向のエミッタンスが y 方向のエミッタンスに比べて過大になっていることが分かることから RFBT が確認できた。
また、横方向エミッタンスの積については thin lens 近似の場合完全に保存されるが、シミュレーションでは実際の加速器設計に基づいて行ったためエミッタンス増大が見られる。

23

グラフ 4.1 skew quad 後の横方向エミッタンス
グラフ 4.1 は skew quad を過ぎた時の横方向エミッタンスのプロットである。赤線が y 方
向、黒線が x 方向のエミッタンスになっていて交換していることと、ｙ方向のエミッタンスが極小となっていることが視覚的にも分かる。
したがってこのビームを TLEX により x-z で位相空間回転をおこして、x 方向の過大なエミッタンスを z 方向に逃がすことを考える。

4.3 RFBT と TLEX の接続
24

前節で得られた RFBT 通過後のビームを TLEX に接続することを考える。TLEX の先行研究【8】では、bending magnet および dipole mode cavity の転送行列を ELEGANT を用いて直接入力することで thin lens 近似と thick lens 近似によってエミッタンス交換を確認している。本研究では EEX の設計を ASTRA で行うことで、より現実的なビームライン設計を想定した。以下、EEX のパラメータ合わせについて解説する。
bending magnet のパラメータは【5】で用いられる設計に従った。
Parameter

Value

Unit

𝑆1

1

m

𝑆2

0.3

m

θ

20

deg

D

0.2

m

表 4.3 𝑆1 は bending magnet 間のドリフト距離、𝑆2 は bending magnet と cavity 間のドリフト距離、θは
曲げ角、D は bending magnet の幅を表す

上のパラメータを(3-73)式に代入して計算するとη=-0.4624m となる。この値と対角成分を除去するための整合条件(3-81)式から𝑘 = 2.1626と求まる。
次に bending magnet の磁束密度𝐵𝑚 を求める。電子が磁場を受けながら運動するときローレ
ンツ力を受けて軌道が曲がる。この時、磁束密度𝐵𝑚 (T)と粒子の運動量 P(MeV/c)、曲率半径ρ(m)との間に𝑃 = 300𝐵𝜌
が成り立つ【12】P.28。ここで曲率半径は下図のように表される。

25

(4-1)

図 4.2 bending magnet の曲率半径ρ

上図から、

𝜌 sin(𝜃) = 𝐷(4-2)

が成り立ち、ρ=0.5847 となるので、(4-1)式から𝐵𝑚 =2.0394(T)と求まる。この磁束密度で設計した dogleg にビームを通した時ビーム軌道は下の図のようになる。

x-z面ビーム軌道

Xave(m)

0.00E+00
5.80E+01-2.00E-01

5.90E+01

6.00E+01

6.10E+01

6.20E+01

6.30E+01-4.00E-01-6.00E-01-8.00E-01-1.00E+00

z(m)
Xave
グラフ 4.1 x-z 面ビーム軌道 縦軸はビームバンチの平均 x 座標。bending magnet はそれぞれ 59m、 60.2m、 61.7m、 62.9m に配置している。

26

6.40E+01

次に dipole mode cavity のパラメータを合わせる。(3-77)式の転送行列をビームに作用させると x,z 面に関して

𝑥2
𝑥1
1 0 0 0′𝑥2
𝑥 ′1
( 𝑧 ) = (0 1 𝑘 0) ( 𝑧 )21
0 0 1 0𝑧′2
𝑧′1
𝑘 0 0 1

(4-3)

𝑥 ′ 2について見ると𝑥 ′ 2 = 𝑥 ′1 + 𝑘𝑧1と表せる。ここで z はバンチ中心からの s 軸方向のズレなので、𝑘𝑧1はバンチ中心から z だけズレた電子が曲げられるときの曲げ角に相当する。
図 4.2 と同様にして(4-2)から

𝜌 sin(𝜃) = 𝐿𝑐

(4-4)

となる。𝐿𝑐 は cavity の幅である。ここでθ<<1 とするとsin(𝜃) = 𝜃と近似でき、曲げ角θは

𝜃=

300𝐿𝑐
𝑃

𝐵𝑐

(4-5)

と書ける。ASTRA では cavity の電磁場成分が 3D マップで与えられており、y 方向の磁束密度の振幅、および定在波の位相を調整することで各成分がその値に合わせてスケールされる。前述のように𝑘𝑧1 はバンチ中心から z だけズレた電子が曲げられるときの曲げ角に相当することからバンチ中心をクレスト位相に合わせることでその動きを再現できる。
ASTRA で与えられる y 方向の磁束密度は𝐸

𝐵𝑦 = 𝑐0 cos (𝑤𝑡)(4-6)

である【11】。また、(4-5)式に登場する𝐵𝑐 は𝐵𝑦 を cavity 内での座標系でみた z について積分した値であるので

𝐵𝑐 = ∫ 𝐵𝑦 𝑑𝑧(4-7)と書ける。バンチ中心をクレスト位相に合わせることを考えると下図のような cos 関数のとき四角に囲まれた範囲で積分しなければならない。

27

cos(θ)
1.5
1
0.5
0
-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-0.5
-1
-1.5
グラフ 4.2

積分すべき範囲

ここでバンチ中心からのズレ z は光速 c とローレンツβを用いて

𝑧 = 𝛽𝑐𝑡(4-8)

で表されるので、ωt=0 になる点にバンチ中心を置くと𝜋𝑧 = 𝛽𝑐(𝑡 ± 2𝜔)(4-9)と書け、式変形すると
𝜋

𝜔

2

𝛽𝑐

𝜔𝑡 = ± +𝑧(4-10)である。これを用いて(4-6)式を変形すると𝐸𝜋𝜔

𝐵𝑦 = 𝑐0 cos (± 2 + 𝛽𝑐 𝑧)(4-11)

であり、これをｚ=0 でテーラー展開すると
𝜔𝐸

𝐵𝑦 = ∓ 𝛽𝑐 20 𝑧
−𝐿𝑐となる。これを2(4-12)

𝐿+ 𝑧~ 𝑐 + 𝑧で定積分する。
2

𝐿𝑐

+𝑧

𝐵𝑐 = ∫−𝐿2 𝑐
2

+𝑧

𝜔𝐸

∓ 𝛽𝑐 20 𝑧𝑑𝑧
𝐿𝑐

𝜔𝐸0 𝑧 2 2+𝑧=∓ 𝛽𝑐 2 [ 2 ]−𝐿𝑐
2

=

𝜔𝐿 𝐸

∓ 𝛽𝑐𝑐 2 0 𝑧+𝑧(4-13)と書けるので、確かにバンチ中心なら z＝０で𝐵𝑐 = 0となることが分かる。ここで(4-5)式と𝑘𝑧は曲げ角に相当することから

𝑘𝑧 =

300𝐿𝑐
𝑃

28

𝐵

(4-14)

とかけ、(4-13)式と(4-14)式を照らし合わせると300𝜔𝐿2 𝐸

𝑘 = ∓ ( 𝑃𝛽𝑐 𝑐) 𝑐0𝐸(4-15)

𝐸となる。ここで 𝑐0は𝐵𝑦 の最大振幅なので𝐵𝑦0 = 𝑐0と定義すると
𝑃𝛽𝑐

𝐵𝑦0 = ∓ (300𝜔𝐿2) 𝑘(4-16)𝑐である。シミュレーションでは(4-16)式に以下の値を用いた。

表 4.4

value

Unit

P

357.8

MV/c

𝐿𝑐

0.7040m

ω1.895×E09

Hz

β

1.0

c

2.998×E08k

2.1626m/s

パラメータ合わせで用いた値。k は bending magnet で求めた値

表 4.4 の値を(4-16)式に代入して計算すると

𝐵𝑦0 = ∓8.233 × 10−2 (T)(4-17)と求まるので、この値に近づくように 3D マップをスケールした。また、(3-99)式でエミッタンス増大を抑制するために𝛼𝑥 = 0の条件を付けることを考える。このために EEX の前に quadrupole を２つ設け、elegant によって focusing strength の最適化を行った。この時の quadrupole の focusing strength は次のようになる。

Q(13)= 5.662

T/m

Q(16)= -4.672

T/m

下のグラフは EEX 入り口付近での𝛼𝑥 (黒線)、𝛼𝑦 (赤線)を表す。

29(4-18)

グラフ 4.3

EEX 進入前の𝛼𝑥 (黒線)および𝛼𝑦 (赤線)

グラフより𝛼𝑥 ≒ 0であり最適化が行われていることが確認できる。
以下にシミュレーション結果を示す。
𝜀𝑥 (㎛)𝜀𝑦 (㎛)𝜀𝑧 (㎛)

EEX 通過前62.56

0.120579.65

EEX 通過後

6174

0.169298.34

表 4.5 𝛼𝑥 の調整の有無でのシミュレーション結果
ここで【8】に倣ってエミッタンス増大率を次のように定義する。
𝜀𝜀

𝑅 = 𝜀𝑥1𝜀𝑧1
𝑥0 𝑧0

𝜀

𝑅𝑥 = 𝜀𝑥1𝑧0

𝜀𝑅𝑧 = 𝜀𝑧1(4-19)𝑥0

この時、それぞれの値は

𝑅 =121.84

𝑅𝑥 =77.51

𝑅𝑧 =1.57(4-20)となり、大きくエミッタンス増大が起きている。完全なエミッタンス交換が行われている場
合は R=１になるはずである。

30

4.4 理論との比較と考察
以下に交換がうまくいかなかった原因を考察する。
1 つ 1 つのパラメータについてみたときにグラフ 4.1 からも分かるように bending magnet
は設定通りに機能しておりビーム軌道が線形的で、dogleg 通過後も cavity に進入する前にも s 軸方向に平行である。従って cavity のパラメータが合っていないことが原因の一つとして考えられる。
そこで初期位相を 1 周期分変化させてエミッタンス増大率について調べた。
各点は位相を 6 度ごとに変化させたときの R である。

R
800
600
400
200
0
0

グラフ 4..4

50

100

150

200

250

300

350

400

250

300

350

400

R の変化

Rx
100
80
60
40
20
0
0

グラフ 4.5

50

100

150

200

Rx の変化

31

Rz
15

10

5

0
0

グラフ 4.6

50

100

150

200

250

300

350

400

Rz の変化増大率 R は Rx と Rz の積なので一定値になるはずであるが Rx と Rz の形から一定にならないことが分かる。したがって 3D マップで与えられている式と今回計算した式とで位相と振幅のパラメータが合っておらずその結果エミッタンス増大が起きていることが一つ考えられる。
次に考えられるのがエミッタンス増大因子の抑制ができていないことである。
(3-99)式から、エミッタンス増大を引き起こす要因は𝛼𝑥 と(𝜉𝛼𝑧0 − 2𝛽𝑧0 )の値であると考えられる。今回は𝛼𝑥 =0 の最適化のみで設計したため(𝜉𝛼𝑧0 − 2𝛽𝑧0 )の影響が考慮できていない。
これらのことからエミッタンス増大が生じていると推測できる。

５．まとめ
32

本研究では STF ビームラインの設計で高ルミノシティビーム生成することを目的として
RFBT および TLEX をシミュレーションによって試みた。Astra では空間電荷効果などの非線形効果も含まれる他、RFBT 部分は実際の STF ビームライン設計に沿って設計されているため単純な RFBT モデルに比べてエミッタンス増大は生じるが、横方向に大きく非対称なエミッタンスを確認することができた。しかし今回設計した EEX ではパラメータ合わせ
が完全には出来ておらず大きなエミッタンス増大が起きた。また、EEX に進入する直前のビームに対してエミッタンス増大を抑制する最適化が十分ではない。今後の課題としては
cavity の振幅および位相をどのようにして合わせるかという点と入射直前のビームの最適化方法であるが、前者に関しての一つの解決策はパラメータを少しずつ変えていき相応し
い値に漸近させていくことが考えられる。後者に関しては elegant で適切な処理を行うことを検討する。

謝辞33

本論文の執筆にあたり担当教員の栗木先生をはじめ、研究室の方々には大変お世話になりました。とくに栗木先生には最後まで丁寧に指導していただき論文を執筆することができました。また、荒本先輩にも何度も手伝っていただきプログラミングをはしらせることができました。本研究室に携わって頂いたすべての方々に感謝申し上げます。

34

６．参考文献【1】Graduate school of Advanced Sciences of Matter, Hiroshima University Accelerator
Physics Foundation of Electron Accelerator Author: Masao KURIKI【2】THE UNIVERSITY OF CHICAGO ANGULAR-MOMENTUM-DOMINATED ELECTRON BEAMSAND FLAT-BEAM GENERATION A DISSERTATION SUBMITTED TO THE FACULTY OF THE
DIVISION OF THE PHYSICAL SCIENCES IN CANDIDACY FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF
PHILOSOPHY DEPARTMENT OF PHYSICS BY YIN-E SUN CHICAGO, ILLINOIS JUNE 2005【3】K.-J. Kim, “Round-to-flat transformation of angular-momentum-dominated beams,”
Phys. Rev. ST Accel. Beams 6, 104002 (2003).
【4】Transverse-to-longitudinal emittance exchange to improve performance of high-gain
free-electron lasers P. Emma and Z. Huang Stanford Linear Accelerator Center, Stanford,
California 94309, USA K.-J. Kim Argonne National Laboratory, Argonne, Illinois 60439, USA
35

P. Piot Northern Illinois University, DeKalb, Illinois 60115, USA and Fermi National
Accelerator Laboratory, Batavia, Illinois 60510, USA (Received 1 August 2006; published 25
October 2006)【5】Transverse to longitudinal emittance exchange M. Cornacchia* and P. Emma† Stanford
Linear Accelerator Center, Stanford University, Stanford, California 94309 (Received 13 June
2002; published 29 August 2002)【 6 】 Using an emittance exchanger as a bunch compressor Bruce E. Carlsten, Kip A.
Bishofberger, Steven J. Russell, and Nikolai A. Yampolsky Los Alamos National Laboratory,
Los Alamos, New Mexico 87545, USA (Received 21 February 2011; published 29 August
2011)【7】Emittance Partitioning by Phase-space Rotation and Its Applications Masao KURIKI*【8】位相空間回転によるリニアコライダーのための高ルミノシティビーム生成―x-z エミッタ
ンス交換の特性評価―

広島大学理学部物理科学科

西村武【9】A Space Charge Tracking Algorithm Version 3.2 March 2017 Author: Klaus Floettmann
DESY Notkestr.85 22603 Hamburg Germany Klaus.Floettmann@DESY.De【10】User’s Manual for elegant Program Version 15.1.1 Advanced Photon Source Michael
Borland April 21, 2004
【11】10.37 FTRFMODE—One or more beam-driven TM dipole modes of an RF cavity, withdata from a file.

36