エンジニアの道草ノート− 回転とオイラーの公式 −青木 正喜*Off the track note of an engineer- Rotation and Euler's formula Masayoshi AOKI*
概要：工学の分野において回転は基本の一つである。本稿では回転の数学的な表記法として，複素数空間における複素回転ベクトルに焦点を当て，オイラーの公式とその応用例を示す。また複素数の逆数による直線
から円への写像についても述べる。
はじめに他端に結び付けたペン等で作図される。円は，中心の位置と，中心からの距離すなわち半径 (radius) によって定e

オイラーの公式

まる。直行カルテシアン座標系 (rectangular Cartesianiθ

coordinate system) 上の一点は x 座標と y 座標の順序付き= cosθ + i sin θは，複素数平面で原点を中心とする半径 1 の単位円円周の組 (ordered pair) として (x , y) で与えられる。原点を上の点の 2 つの表記法を結び付けている。θ=ωt と置く中心とする半径 1 の正規化された単位円 (unit circle) は事により，複素数平面における回転ベクトル（複素回転陰関数 (implicit function) として次のように表される。

ベクトル）となり，正弦波関数の上位概念が導かれる。

x2 + y2 = 1

オイラーの公式を用いる事により，加法定理，回転の公半径が r であれば次式で表される。

式等が容易に導かれる。本稿ではオイラーの公式を中心

x2 + y2 = r 2に据え，回転，正弦波関数等に関して，基礎事項としてさらに中心が（x0 , y0）であれば次式で表される。

参照される頻度が高い式の導出プロセスを簡潔にまとめ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2

た。なお，複素数の四則演算と合同規則，指数法則，指円の中心と基準となる円周上の点（適当に定めてよい）

数関数の微分・積分に関しては予備知識があると仮定しとを結ぶ線を基準線とすることにより，単位円の円周上ている。結果としての式のみを参照せずに，その導出プの点はその点と中心を結ぶ直線と基準線とのなす中心角

ロセスに立ち返ることにより理解が深まる。本稿が少し（central angle）θで表される。直交カルテシアン座標系

でも読者のお役にたてれば幸いである。オイラーの公式

における単位円とは，中心を原点，基準点を（1, 0），基に関する詳細な記述は文献 1 を参照されたい。本稿の英準線を x 軸とすることにより対応づけができる。平面極

語の表記に関しては文献 3 を参考にした。

座標系（plane polar coordinate system）では，中心からの長さ（単位円では 1）と基準線からの角度の順序付きの

１．円（circle）

組として（1, θ）と書ける。以後，中心，基準点，基準線はこのように用いる。半径が r の円周上の点は（r , θ）

円は二次元平面 (two-dimensional plane) において最もとなる。これらは簡易的に 1∠θ，r∠θとも書ける。

均整のとれた図形 (figure) の一つである。中心からの距

２．角（angle）

離一定という性質から，コンパスや一端を固定した糸の角 ま た は 角 度 の 単 位 と し て は 度 （ degree ） と 弧 度*情報科学科教授(Professor, Dept. of Computer andInformation Science), e-mail address: masa@ee.seikei.ac.jp ,masa@st.seikei.ac.jp（radian）が用いられる。
度（記号

−69−

゜）は直角が 90 度，一回転が 360 度で，下位の単位は分（minute 記号' 1 度= 60 分），秒（secondが三角比である。言い換えれば角を辺の長さの関係で表'' 1 分= 60 秒）と 60 進法である。地図では緯度，している。sin は sine（正弦），cos は cosine（余弦），tan

経度にこれらの下位の単位がよく用いられる。我々が日は tangent（正接）と，それぞれ英語の単語の初めの 3 文

常用いている，角を度で測る度数法は数学的な根拠は明字を用いている。サインという名の由来は，

白ではなく，天文学で一年を 360 日として，一日を一度

ギリシャ語の jiva（ジャイバ，弓の「弦」
）

記号

（1）

とすることを起源とする慣習と言われている。360 と→アラビア語の jayb（ジャイブ，「凹所，入り江」）いう数には 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36,→ラテン語の sinus（シヌス，「凹所，入り江」）40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 と多くの約数（divisor）が→英語の sineある。時間も下位の単位は 60 進法の分，秒である。ただ→e を省略 sin

し時間（hour）自体には 12 進法または 24 進法が用いらと言われている（2）。

れている。温度（temperature）に関しても度（゜C Celsius），

斜辺の長さを 1 に正規化し，B を単位円の中心 O，BC

Fharenheit）が用いられる。SI 単位系では温度にを x 軸上に置き，点（1 , 0）を基準点 O'とすると，A はは（K Kelvin）が用いられ，K の前に（゜）は付かない。

単位円の円周上にある。ここでは sinθに焦点を当てる。

SI 単位系では基本単位，補助単位，補助記号の他の記号

c =1 であるからは使わない。温度に関しては，小数点以下は十進法が用

sin θ = b

いられる。なお C のみだと電荷の単位 Coulomb，F のみとなり，直角三角形の一辺 CA の長さとなる。中心角をだと電気容量の単位 Farad である。度量衡の度は角では

θラジアンとする扇形（sector）AOO'の弧の長さはθでなく物差，測るの意味である。

b（CA の長さ）＜扇形の弦（chord）の長さ＜θ（弧の長（゜F

弧度（circular measure, or radian）は，単位円の弧（arc）

さ）の長さを弧に対応する中心角として用いる。単位はラジの関係が成立する。（ただし，扇形の弦の長さは AO’のアン（radian）で，語源は半径である。円の半径が r の場長さ）

合には，弧の長さ l を r で割ってラジアンで表した角θが十分小さい場合には，これらlと正規化すれば一貫r

3 つの量は極めて接近し性を持って同じ角に対応する。単位円において，中心角

sin θ ≅ θがθラジアンであれば，対応する弧の長さはθであり，となり，θ（ラジアン）が sinθのよい近似となる。例え円の半径が r の場合には弧の長さは rθとなる。1 ラジア

ばθ=1 度の場合，sinθ= 0.017452，

ンは単位円で弧の長さが 1 の中心角であり，中心角 60゜に対応する弧の長さは円周（circumference）2πのπ= 0.017453 ラジ
180

アンであり，小数第 1 位の 0 を除くと 4 桁目まで一致し1，6ている。θ=10 度でも，sinθ= 0.17365

π> 1 であるから，1 ラジアンは 60゜よりは小さい。正3π= 0.17453 ラ
18

ジアンと小数第 2 位まで一致している。

確には円周 2πラジアンが 360゜であるから，
1 ラジアン=

４．回転（rotation）と正弦波関数（sinusoidal function）

360o= 57.2957 ⋅ ⋅ ⋅o
2π単位円の円周上の点（1 , θ）を（x , y）に変換するとである。

x = cos θ
y = sin θ

３．三角比（trigonometric ratio）となる。
（1 , θ），（x , y）共に単位円の円周上の一点を直角三角形（rectangular triangle）ABC において∠C を表すが，ここで直角，∠B=θ，AB= c，BC= a，CA= b としたとき

θ (t ) = ω tbcacosθ =cbtan θ =
aとθを時間関数（時間に比例）とすると，点は単位円のsin θ =

円周上を一定の速度で回転する。回転速度は単位時間当たりの距離ではなく，単位時間当たりに中心の周りを回転する角速度を用い，記号ω，単位 radian/s（または rad/s）を用い，角周波数ともいわれる。円運動に関しては角速−70−

度が，正弦波関数に関しては角周波数が多く用いられる。

て イ ン ピ ー ダ ン ス （ impedance ） や ア ド ミ ッ タ ン ス

ω= 2πの時，点は 1 秒間に反時計方向に 1 回転する。平（admittance）が複素数として扱われ，抵抗を実数で，キ面極座標系で単位円上での回転（1 , ωt）を直交カルテャパシタンス（capacitance）やインダクタンス（inductance）

シアン座標系の（x (t) , y (t)）で表すとの性質であるリアクタンス（reactance）を虚数で表す。

x(t ) = cos ω t

これらは直列接続，並列接続した場合に，一定の規則に

y (t ) = sin ω t

従って全体としての合成インピーダンスが計算される。

となり，x 座標，y 座標が，時間関数としての余弦波関数，

計算の途中では実数部と虚数部のクロスタームや虚数部

正弦波関数となる。これは円周上を一定角速度で運動し同士の積が発生するが，
i2= -1 の置き換えをすることで，ている点を，同一平面上の遠くの一点から見る（平行投最終的に得られる実数部と虚数部はそれぞれ等価的な抵

影

抗とリアクタンスを表す。

parallel projection）と周期的な増加と減少の繰り返しが観測されることを意味する。関数としての正弦と余弦

複素数は横軸を実数軸，縦軸を虚数軸とする二次元直の違いは，どこから見るかの違いだけであり，基になっ交平面上に表すことができる。これを複素平面またはガている回転運動は同じであるので，これを一般化して正ウス平面（Gaussian plane）と呼んでいる。直交カルテシ

弦波関数と呼び両方の総称とする。時間関数としての正アン座標系の x 座標と y 座標の順序付きの組（x , y）
，平

弦波関数は音叉の振動による音波，商用電源の電圧等広面極座標系の中心からの長さと基準線からの角度の順序く存在する。生物界では，DNA における螺旋，胴体や茎・付きの組（r , θ）は表現は異なるが共に二次元平面上の幹の断面に円形は見られるが，回転運動は明確な形では点の位置を表す。複素平面はこれらと類似した面もある

存在しない。天体の運動に見られる様に物体の運動としが，平面上の一点が一つの数としての複素数を表すといては，広く存在している。また単振動，振り子の振動，う側面が大きく異なる。

波，その他として，物体の運動の多くが少なくとも近似

６．複素数の四則演算

的には正弦波関数に従っている。正弦波関数は周期関数（periodic function）である。同じ波形が 1 秒間に周期 T（s）ごとに繰り返される回数を周波数 （Hzf, または 1/s）

Z1 = x1 + iy1

で表し，両者の間には
f =2 つの複素数をZ 2 = x2 + iy21Tとすると，加減算は次のようにの関係が在る。一周期は円運動の一回転に対応するので

Z1 ± Z 2 = ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )

ω = 2π f

実数部，虚数部それぞれ独立に計算すればよい。これはとなる。

虚数軸を直交カルテシアン座標系の y 軸とみなせば二次元のベクトルの加減算に相当し，複素数をベクトルとみ

５．複素数（complex number）と複素平面（complex plane）

なして複素数ベクトルの加減算と呼ばれる場合がある。
乗算に関しては，
i も変数とみなして分配法則を適用し，i2 を-1 で置き換えればよい。

複素数は実部（real part）と虚部（imaginary part）から

Z1Z 2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 )構成される単一の数であり，Z = x + iy

= x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i 2 y1 y2= ( x1x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 )と書かれる。ここで x が実部，y が虚部，i は虚数単位
2（imaginary unit，i = -1），x , y 自体は実数である。複素除算に関しては，分母の有理化を行えばよい。

数という名前は，実数の単位 1 と虚数の単位 i の 2 つ（複Z1x + iy1= 1
Z 2 x2 + iy2数）の単位を有することによる（素数の素とは意味が異なる）。複素数は自然数，整数，分数，有理数，無理数，=( x1 + iy1 )( x2 − iy2 )( x2 + iy2 )( x2 − iy2 )=( x1x2 + y1 y2 ) + i(− x1 y2 + x2 y1 )x22 − i 2 y22=

x1x2 + y1 y2−x y +x y+ i 1 2 2 22 1
x22 + y22
x2 + y2実数，虚数のすべての数の種類を包含している。複素数
は一つの数の中に 2 つの要素を含んでいて，加減乗除の演算で閉じた体系である。工学において，2 つの別々の要素・性質（entities）をまとめて一つの数として扱う必要がしばしば発生する。例えば電気電子工学関係におい−71−

８．ネイピア数（Napier's number）とオイラーの公式

逆数は分子を 1 として分母の有理化のみを行えばよい。

（Euler's formula）

1
1=
Z1 x1 + iy1=

x1 − iy1( x1 + iy1 )( x1 − iy1 )=x1 − iy1x12 − i 2 y12

=

x1
y
−i 2
x12 + y12x1 + y12a（a＞0）を底（base），変数を x とする指数関数（exponential function）は次式で与えられる。
f ( x) = a x
指数関数の x = 0 における傾きが 1 となる a をネイピア数と呼び e で表す。e を底とする指数関数は，微分しても関数の形が変わらない，すなわち７．複素数の極座標表示と乗除算

de x
= ex
dx

複素数は実数部と虚数部で表すと 2 つの別々の要素・という，大変重要な特徴を有しており，微分方程式の解性質が明示的に扱える。計算上では加減算はベクトルのとして用いられることが多い。f(x)= ex を x = 0 でテイラ演算として解釈できる。複素数をその絶対値と実数軸かー級数展開すると

らの角度として極形式（polar form）で表示すると，乗除ex =算の回転としての意味を明示的に表せる。これは正弦波

∞

xn

∑ n!
n =0

となる。x =1 と置く事で関数の複素数表現にも応用される。

e = 2.71828 ⋅ ⋅ ⋅複素数の大きさを｜Z｜（絶対値（absolute value）とも言う），実数軸からの角度を∠Z（偏角（argument）ともと求まる。x = iθと置くと（i2= -1，i3= -i，i4=1，i5= i…

言う）とすると，複素数の極座標表示はを適用して）

Z =| Z | ∠Z(iθ )n∞∑ n!

となる。｜Z｜を r，∠Z を∠θとして

n =0

Z = r∠θ1
1
1
11(iθ ) 2 + (iθ )3 + (iθ )4 + (iθ )5 + (iθ )6 + ⋅ ⋅ ⋅
2!
3!
4!
5!
6!
1
1
1
1
1
= 1 + iθ − θ 2 − iθ 3 + θ 4 + iθ 5 − θ 6 + ⋅ ⋅ ⋅
2!
3!
4!
5!
6!
1
1
1


= 1 − θ 2 + θ 4 − θ 6 + ⋅ ⋅ ⋅ 
2
!
4
!
6
!


= 1 + iθ +とも表記する。ここでは後者の表記を用いる。
実数部と虚数部の表記との関係は
Z = r (cosθ + i sin θ )となる。加減算はこの表記に変換してから行う。2 つの

1
1
1


+ i θ − θ 3 + θ 5 − θ 7 + ⋅ ⋅ ⋅ 
3!
5!
7!



複素数を
Z1 = r1∠θ1
Z 2 = r2∠θ 2

ここで cosθ，sinθのθ=0 のテイラー級数展開とすると，乗除算は次の様に定義される。

cosθ = 1 −1 2 1 4 1 6
θ + θ − θ + ⋅⋅⋅
2!
4!
6!

Z1
r
= 1 ∠(θ1 − θ 2 )Z 2 r2sin θ = θ −1 3 1 5 1 7
θ + θ − θ + ⋅⋅⋅
3!
5!
7!

すなわち絶対値は乗除，角度は加減となる。角度の加減を用いるとは複素ベクトルの回転を意味する。そこで，大きさが 1，eiθ = cosθ + i sin θ

角度がθの複素数，すなわち複素平面上で原点を中心とが導かれる。これをオイラーの公式と呼ぶ。複素数

する単位円上の複素数

Z = cosθ + i sin θ1∠θ = cosθ + i sin θは複素平面上で原点を中心とする単位円上で角度がθのを，他の複素数に乗じると，相手の複素数を反時計方向

点であるから，eiθは複素平面上で原点を中心とする単位

Z1Z 2 = r1r2∠(θ1 + θ 2 )にθ回転させる。大きさの 1 を省略して，iπ

円上で角度がθの点を表す。ei 0 = 1 ，e 2 = i ，eiπ = −1 ，×∠θと表記すれば，回転演算子としての働きが明示的に表さi3πe 2 = −i である。

れる。

1∠θ = cosθ + i sin θ−72−

であるから，eiθを他の複素数に乗じると，相手の複素数A1eを反時計方向にθ回転させることを意味する。そこで× e iθ

i (ω t +θ1 )+ A2ei (ω t + θ 2 )= ( A1eiθ1 + A2eiθ 2 )e

iω t

から

を複素数をθ反時計方向に回転させる演算子とする一つ

y1 (t ) + y2 (t ) = I m (( A1eiθ1 + A2eiθ 2 )eπの解釈が成立する。i，-1，-i を乗じる事は × e 2 ，× eiπ ，

iω t

)

i

i

3π

× e 2 となり，反時計方向にそれぞれとして求められる。これは 2 つの複素回転ベクトルが相対的な位置関係を保ったまま同一の角周波数で回転して

π
3π
，π ，
回転
2
2

いるため，大きさと位相を取り出してベクトル合成すれさせることを意味する。

ばよい事を表している。複素回転ベクトルの大きさと位iθ

また複素数の極座標表示 Z = r∠θは e を用いること相を表すベクトルは複素回転ベクトルで t = 0 と置くこにより
Z = reとにより得られる。

iθ

10．正弦波関数の微分・積分と表す事ができる。

９．正弦波関数のオイラーの公式を用いた表現

正弦波関数を複素回転ベクトル A ei (ωt +θ)を用いて
y (t ) = I m ( A e

正弦波関数の一般形は，3 つのパラメータ（自由度）

i (ω t +θ ))と表した時に y(t)の t に関する微分はを持ちy (t ) = A sin(ω t + θ ) d ( Aei (ω t +θ ) ) dy (t )
= Im 


dt
dt



と表記される。ここで A は振幅（amplitude），ωは角周
波数（angular frequency 単位 rad/s
ω= 2πf），θは位相（phase

周波数を f とすると単位 rad(radian)）である。

を用いて求められる。

オイラーの公式e を底とする指数関数 eαt +βの t に関する微分はeiθ = cosθ + i sin θd (eα t +βdtにおいて，θをωt+θで置き換える事により回転ベクト

)

α t+β

=αe

であるから

ル
Ae

i( ω t +θ )d ( Ae= A cos(ω t + θ ) + iA sin(ω t + θ )i (ω t +θ ))dtとなり，正弦波関数が複素平面における複素回転ベクトル Aei (ω t +θ )= iω Ae= ω Aeの虚数部としてy (t ) = I m ( Aei (ω t +θ )= ω Ae)ばよい。

が得られる。これは大きさがω倍となり，位相が2 つの同一（角）周波数（ω）を持つ正弦波関数
y1 (t ) = A1 sin(ω t + θ1 )π
進む
2ことを表している。複素回転ベクトルとして見ると×i，y2 (t ) = A2 sin(ω t + θ 2 )iπすなわち× e 2 により，の合成は，それぞれを

y2 (t ) = I m ( A2eπi (ω t +θ + )2dy (t )π= ω A sin(ω t + θ + )dt
2cos で代表する場合には実数部 Re（A ei (ωt+θ)）を用いれi (ω t +θ1 )

πi (ω t +θ ) i 2eからと表される。
これは正弦波関数を sin で代表しているが，

y1 (t ) = I m ( A1ei (ω t +θ )πの回転が付加されることにな
2

る。大きさがω倍となることは周波数が高い程，微分結)i (ω t +θ 2 )果が大きい事を意味している。
y (t ) = I m ( A e)i (ω t +θ ))の t に関する積分はで表し，複素回転ベクトルの和−73−∫ y(t )dt = I (∫ Aei (ω t +θ )

m

dt

)

Z=

を用いて求められる。

=

e を底とする指数関数 eαt +βの t に関する積分は∫e(α t + β )

V
I

Ve

Ie
 V  i(θV −θ I )=  eI 

 1  (α t + β )dt =  e
α 

であるから

∫ Ae

i (ω t +θ )i (ω t +θV )i (ω t +θ I )

I
V

Y=

 1  i (ω t +θ )dt =   Ae
 iω =πIei (ω t +θ I )i (ω t +θ )

V
Ve
I 
=  ei (θ I −θV )V  1  i (ω t +θ ) − i 2=   Aeeω π

 1  i (ω t +θ − 2 )=   Aeω 

ここで注目すべき最大の特徴は，時間関数としての v(t)，i(t)の間では除算はできないが，複素回転ベクトルに変換からする事で，直接除算が可能になる事である。除算の結果，∫ y(t )dt = ω A sin(ω t + θ − 2 )1

1

時間に関するωt が消去され，大きさと位相の関係が分1π倍となり，位相が 遅ω
2離された形で得られる。逆に時間関数と複素インピーダれることを表している。複素回転ベクトルとして見るとが，複素回転ベクトルには直接乗ずることができる。そ

π
-i
1
π
× ，すなわち × e 2 により，して乗算の結果から時間関数を得る事ができる。

が得られる。これは大きさがi2になる。大きさがンスや複素アドミッタンスを直接乗ずることはできないの回転が引かれること

12．加法定理（addition theorem）の導出（オイラー

1倍となることは周波数が低い程，積ωの公式の応用 1）

分結果が大きい事を意味している。
加法定理は 2 つの角の和と差の三角比をそれぞれの角

11．正弦波定常状態の三角比の組み合わせで表す。角の和は回転と直接関係しているので，オイラーの公式を用いて導出する。

電気電子工学では，電圧 v(t)と電流 i(t)が同一の（角）オイラーの公式eiθ= cosθ+i sinθ

周波数（ω）の正弦波関数で指数法則（exponential law）

v(t ) = V sin(ω t + θV )複素数の合同規則

i (t ) = I sin(ω t + θ I )axay= a(x+y)

2 つの複素数 Z1= x1+iy1，Z2= x2+iy2 が Z1= Z2 を満たすと表される場合を正弦波定常状態と呼んでいる。ここで⇔x1=x2，y1=y2

両者を複素回転ベクトルを用いてを用いて加法定理を導出する。

V = VeI = Iei (ω t +θV )eiα = cos α + i sin αi (ω t + θ I )eiβ = cos β + i sin βで書くと，両者は同一の角周波数ω（ω＞0）で反時計方とすると向に回転しており，両者の相対的な位置関係は一定に保eiα × eiβ = (cosα + i sin α ) × (cos β + i sin β )たれる。ここで V , I はそれぞれ電圧回転ベクトル，電流= (cosα × cos β − sin α × sin β )回転ベクトルの大きさを表す。この位置関係は（角）周+i(cosα × sin β + sin α × cos β )波数には依存せず，複素回転ベクトル同士の大きさと，となる。

複素回転ベクトル同士の角度の 2 つのパラメータで決定

ei (α + β ) = cos(α + β ) + i sin(α + β )され，複素インピーダンス（Z）や複素アドミッタンス

で，指数法則から（Y）が次の様に定義される。

eiα × eiβ = ei (α + β )であるから，左辺と右辺の実数部と虚数部がそれぞれ等しいことを用いて−74−cos(α + β ) = cos α × cos β − sin α × sin βで表される N 個の角は，N 倍すなわち N 回の回転によりsin(α + β ) = cos α × sin β + sin α × cos βθ + 2πMが得られる。それぞれの式においてβを-βで置き換える

となり

事により

ei 2πM = 1

cos(α − β ) = cos α × cos β + sin α × sin βであるから

sin(α − β ) = cos α × sin β − sin α × cos βei (θ + 2πM ) = eiθ ei 2πMとなり，加法定理の 4 つの式が得られる。

(M = 0, 1, …, N -1)= e iθ

13．原点の周りの点の回転（オイラーの公式の応用 2）となる。すなわち Z= r eiθの N 乗根として
1

 (θ + 2πM ) 
i

N


Z = rNe 

二次元空間の点（x , y）を原点の周りに反時計方向にの N 個が求まる。例えば 1 の 3 乗根は r =1，θ= 0 と置

θ回転させる変換を考える。回転させる点を複素平面上の複素ベクトル1

く事により， 13 = 1 であるから

z = x + iyで表す。これに eiθを乗じて複素ベクトルとして反時計方

 0 + 2π 0

Q
= 0
3



Z0 =1

向にθ回転させた結果を
Z = X + iYi

2πZ1 = e 3とする。
Z = X + iY
= ( x + iy )(cosθ + i sin θ )4πiZ2 = e 3= x cosθ − y sin θ + i( x sin θ + y cosθ )複素数の実数部，虚数部それぞれが等しいと置いてY = x sin θ + y cos θ 0 + 4π 4π 
Q
=

3 
 3

3
1
−i
2
2

=−

X = x cos θ − y sin θ

2π 
 0 + 2π
Q
=

3 
 3

3
1
+i
2
2

=−

= z e iθとなり，- 1 の 3 乗根は r =1，θ=πと置く事により，を得る。これを 2 行 2 列の回転行列で表すと
 X   cos θ  = 
 Y   sin θ(M = 0, 1, …, N -1)

1

13 = 1 であるから− sin θ  x  
cos θ  y iπZ0 = e 3となり，アフィン変換（Affine transform）の 3 つの要素である，回転（rotation），拡大縮小（scaling），平行移動（translation）の内の，回転に関する行列表現が得られた。

=

3
1
+i
2
2
i

3π

Z1 = e 314．複素数の N 乗根（N th root）

 π + 2π 0 π 
Q
= 
3
3


 π + 2π 3π 
Q
=

3 
 3

= −1

複素数 Z の N 乗根は，それを N 乗すると Z となる数
（一
般には複素数）である。Z を複素数の極座標表示で表しi5π

Z2 = e 3

Z = reiθと置く。大きさと角度を別々に考える。大きさは N 乗し=て r になることから

 π + 4π 5π 
Q
=

3 
 3

1
3
−i
2
2

となる。

1

rN
である。角度を N 乗することは，N 回の回転を意味し，15．複素数の逆数による直線の円への写像

N 回の回転の結果がθとなればよい。
θ 2πM
+
N
N

回転の興味深い例として，複素平面の直線上を点が動(M = 0, 1, …, N -1)

く時，複素数の逆数による写像結果は，複素平面の円上−75−

を動く，すなわち直線運動が円運動に写像されることを

22x2 + y2 x  y  +  =K2
K K
K
= 2
K
1
=
K

示す。
複素数平面で実数軸上の点（a+i0）と虚数軸上の点（0+ib）を通る直線を考える。この直線上の任意の点（x ,iy）の x と y の間には
x y
+ =1
a b

となる。右辺の第 2 項はの関係が成り立つ。これは直交カルテシアン座標系でのz = x + iyx y+ab =− 1−KKの逆数をとなる。右辺の第 1 項+右辺の第 2 項= 0 となり，右辺でZ = X + iY

は

とおく。

1
1
+
(2a) 2 (2b) 2

x 切片が a，y 切片が b の直線の式である。

1x + iyx − iy= 2
x + y2xy= 2−i 2
x + y2x + y2

X + iY =r=

1
1+( 2a ) 2 ( 2b)2

とおけば，
2

2

1  
1 

X −
 + Y + = r22a  
2b 

 1 1 となる。これは  ,  を中心とする半径 r の円の方程 2a 2b 

x
K

Y =−

x y
+ =1
a b

だけが残る。ここでここで K= x2+y2 と置けば
X =

Q

y
K

式である。無限の直線が有限な円に写像されるという事
実は興味深い。直線上で原点から無限の距離に点が移動となる。

（2 つ方向がある）すると，円上では両方とも原点に近
2

1
1


付く。点 (a + i0) は点  + i0  に，点 (0 + ib) は点  0 − i 
b
a



x
1
 x
=  −+aK ( 2a ) 2
K

に写像され，直線上で点 (a + i0) と点 (0 + ib) の間に在る

2

1 
1 

 x
X −
 = −
2a 
 K 2a 
2

2

1 
1 

 y
+
Y +
 = −

2
b
K
2
b




1
1


点は，点  + i0  と点  0 − i  の間の円弧に写像される。
a
b




2

a＞0，b＞0 であれば直線上で点 (a + i0) と点 (0 + ib) の間2に在る点は第 1 象限にあり，対応する円弧は第 4 象限と

y
1
 y
=  −+
2
 K  bK (2b)なる。

2 つの式の両辺を加えると
2

おわりに

2

1  
1 

X −
 + Y +

a
b
2
2

 
  x 2  y 2   x y  1
11=   +    −  +  ++  K   K    a b  K (2a )2 (2b) 2

本稿では「回転」の回りの話題として，数学的な記述に着目した。複素数の積を回転の側面から見ると，複素回転ベクトルが正弦波関数に対応する。集大成としてオとなる。右辺の第 1 項はイラーの公式を扱った。参考文献 1 の著者の指摘の様に「e -π= - 1」はネイピア数 e，円周率π，虚数単位 i を，極めて純粋な形式で結び付けた，オイラーの素晴らしい発見である。参考文献 1 を文庫本として世に送りだした
著者と出版社にも心から敬意を表したい。三角関数，オ
イラーの公式等は，初めは取っつきにくい面もあるだろ−76−

うが，その面白さ，深みが分かってくると，味わいが出てくる。本稿では式は必要最少限に止めた。本稿では図解はしなかったが，図を書く事で更に理解が深まるであ
ろう。

参考文献
人類の至宝 eiπ= -1 を学ぶ

1）オイラーの贈り物武

ちくま学芸文庫

吉田ISBN4-480-08675-7 C0141

2）直観でわかる数学 畑村洋太郎 岩波書店ISBN4-00-0056794 C3041
シリーズ No. 1

3）科学技術英語音声
号及び図形の読み方

数・数式・記日本科学技術英語研究会編−77−