気候変動の不確実性を考慮した治水施設に対する予算配分の動学的最適化
瀬木
1 正会員

工博

俊輔 1・湧川 勝己 2・錦織

神戸大学准教授俊之 3・小林優輔 4大学院工学研究科市民工学専攻（〒657-0013 神戸市灘区六甲台町 1）
E-mail: segi@people.kobe-u.ac.jp

2 正会員

工博

株式会社東京建設コンサルタント（〒170-0004 東京都豊島区北大塚 1-15-6）
E-mail: wakigawa-k@tokencon.co.jp

3 正会員

工修

株式会社東京建設コンサルタント（〒170-0004 東京都豊島区北大塚 1-15-6）
E-mail: nishikohri-t@tokencon.co.jp

4 正会員

工博

大阪大学特任准教授 世界最先端研究機構（〒560-0043 大阪府豊中市待兼山町 1-2）
E-mail: y-kobayashi@qiqb.osaka-u.ac.jp

地球温暖化の進行に伴い，降雨量や豪雨の頻度が増加することが予測されており，これらに対応するための治水施設の整備が必要とされている．しかし，今後，気候変動がどの程度の速度で進行し，気温が何度上昇するのかについては，多大な不確実性が存在している．そのため，従来のように，過去の降雨量のデータに対する統計解析の結果を用いて，治水施設の適切な整備時期を評価することは困難である．本研
究は，気候変動の不確実性を考慮したうえで，治水施設に対する予算配分を動学的に最適化する問題と，この問題のヒューリスティックな解法を提案する．本研究はさらに，提案した最適化問題と解法を，日本国内の匿名の流域に対して適用し，その有効性を確認する．

Key Words: climate change, flood management, dynamic optimization, budget allocation, real options

1. はじめに生じる洪水の被害の関係をモデル化する．本研究は，この工夫により，現実の流域に適用可能な最適化問題を定

地球温暖化の進行に伴い，降雨量や豪雨の頻度が増加

式化する．

することが予測されており，これらに対応するための治本研究が提案する最適化問題は，厳密に解くことが困

水施設の整備が必要とされている．しかし，今後，気候難な問題である．そこで本研究は，遺伝的アルゴリズム

変動がどの程度の速度で進行し，気温が何度上昇するのを応用した，この問題のヒューリスティックな解法も提かについては，多大な不確実性が存在している．そのた案する．本研究はさらに，提案した最適化問題と解法を，め，従来のように，過去の降雨量のデータに対する統計

日本国内の特定の流域に対して適用し，その有効性を確解析の結果を用いて，治水施設の適切な整備時期を評価認する．以下，2. では既往研究のレビューと本研究の位することは困難である．限られた予算を治水施設に対し置付けを述べる．3. では最適化問題の定式化を行う．4.

て適切に配分するためには，将来の気温変化と，それにでは最適化問題の解法を提案する．5. では提案した最適伴う降雨量の増加に関する，あらゆるシナリオを考慮し化問題とその解法を，日本国内の匿名の流域に対して適た分析枠組みが必要となる．

用し，その有効性を確認する．

本研究はこのような分析枠組みとして，気候変動の不確実性を考慮したうえで，治水施設に対する予算配分を動学的に最適化する問題を提案する．この最適化問題は， 2. 既往研究のレビューと本研究の位置付け
様々な降雨量と降雨波形を想定して実施された流出解析と氾濫解析の結果を，インプットデータとして利用する．

地球温暖化の進行が，総雨量や時空間分布などの降雨

これにより，降雨量の増加や治水施設の整備と，流域に特性に及ぼす影響については，水文学の分野をはじめと
1

して，多くの分野において精力的な研究が行われている．
国土交通省国土技術政策総合研究所 1)は，気候モデルの出力値を用いて，気候変動後の環境における降雨量が，現在の何倍となるのか（降雨量倍率）を，日本全国の各水系について求めている．「地球温暖化対策に資するアンサンブル気候予測データベース(d4PDF)」に収録されている，モデル出力降雨を用いて，気候変動後の環境における降雨量の確率分布を求める研究も行われている 2),
3)．これらの研究は，気候変動後（例えば気温 4 度上昇後）の環境における降雨の特性を分析するものであり，

図-1 将来の気温変化のシナリオ

将来の気温変化の程度や，気温変化の推移過程に関する不確実性は分析の対象となっていない．そのため，地球た確率的動学的最適化問題を定式化し，日本国内の匿名
温暖化が不確実性を伴いながら進行していく環境の中で， の流域に対して適用している．
治水施設の整備の優先順位付けをどのように行っていく以上の確率的動学的最適化問題は，治水施設の整備にべきかという問いに対して，直接的な答えを提供するも使える予算に上限が無い状況を想定している．これは，のではない．

治水施設の整備に割り当てるべき予算の，規範的な金額

気温変化の推移過程の不確実性を踏まえ，治水計画のを検討するうえでは有用である．一方で，予算に上限が評価を行う手法も，学術的な研究の分野において関心の存在する環境においては，以上の研究の枠組みを採用す対象となっている．その中でも多く使われている手法は， ることは困難である．そこで，本研究では，治水施設の
気候変動の推移過程に関するシナリオを決め打ちし，そ整備に使える単年度予算に上限が存在する環境を想定し，のシナリオの下で評価を行うものである．例えば，
Rojas, et al.4)は，特定のシナリオの下で，気象シミュレー

気候変動の不確実性下において，治水施設に対する予算

ションのアンサンブルデータを利用し，気候変動が進行

枠組みを用いることにより，より実用的な分析を行うこする中で水害の被害がどのように増加していくのかを分析している． Kind5)や Eijgenraam et al.6)は，気候変動に伴うとが可能となる．これが本研究の新規性である．

配分を動学的に最適化する問題を提案する．このような洪水の生起確率の増加シナリオを決め打ちしたうえで，
堤防の高さを動学的に最適化する問題を定式化し，分析

3. モデルを行っている．
近年では，より洗練された評価手法として，確率的動(1) 気温変化のシナリオ

学的最適化問題（あるいはリアルオプション分析，
ROA）7),8)の枠組みを採用した研究も存在している 9)- 11)．

時点を𝑡𝑡 = 0,1,2, ⋯のように離散的に表現する．𝑡𝑡 = 0

は現在時点を表す．𝑡𝑡 = 𝑇𝑇は気温変化のシナリオを考えこれらの研究では，将来に実現し得るシナリオを網羅的る最終時点を表す．本研究は，𝑡𝑡 = 0を2020年に取り，に考慮したうえで，治水施設の最適な整備時期の評価をには，最悪のシナリオにも対応可能な治水施設の整備計

𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 = 80を2100年に取る．以下では，0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 80の気画を事前に用意し，実際の気候変動のモニタリング状況

本研究は，将来の気温変化が従う確率過程の設定に，行っている．将来の気候変動の不確実性に対応するため温変化のシナリオをモデル化する．時点0の気温𝑠𝑠0 は確定しており，外生的に与えられるとする．

に合わせて，段階的に治水施設の整備を実行していくこ

IPCCの報告書12)に掲載されているグラフ（報告書中のとが望ましいと考えられる．確率的動学的最適化問題は， FAQ 12.1, Figure 1）から読み取ったデータを利用する．読
このような治水施設の段階的な整備順序に関する分析をみ取ったデータをグラフ化したものが，図-1の青いグラ行うための枠組みとして利用できる．

フと赤いグラフである（破線のグラフについては後述す

治水計画の分野においては，現実の河川を対象にしてる）．横軸は年，縦軸は気温変化𝑠𝑠[°C]である．青いグ

確率的動学的最適化問題を扱った研究は少なく，ほとん

ラフと赤いグラフはそれぞれ，最も気温上昇の低いシナどの研究は仮想的・概念的な分析に留まっている．そのような研究の中で，Kind et al.10)と瀬木ら 11)は，実際の河リオ（RCP2.6シナリオ）と，最も気温上昇の高いシナリオ（RCP8.5シナリオ）の下での予測モデルの平均値であ川を対象に分析を行っている．Kind et al.は，現実的な将る．本研究では，これらの曲線に挟まれた領域は，将来

来シナリオを設定したうえで，オランダ・ライン川支流の気温変化𝑠𝑠の予測の90%信頼区間を表すと仮定する．

の堤防高の設計を最適化している．瀬木ら 7)は，河道掘

また，𝑠𝑠の対数値はドリフト付きのランダムウォークに

削や，ダム・遊水地整備等の様々な治水施設を対象とし
2

従うと仮定する．

(2) 気温変化と降雨量の関係(1)
ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 = ln 𝑠𝑠𝑡𝑡−1 + 𝜇𝜇𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑡𝑡
ここで，𝑠𝑠𝑡𝑡 [°C]は時点𝑡𝑡における気温変化を表す．𝜇𝜇𝑡𝑡 と𝜎𝜎𝑡𝑡

時点𝑡𝑡の年最大降雨量𝑟𝑟𝑡𝑡 [mm]の決定過程をモデル化する．

ある流域を想定する．この流域の基準地点における，
𝑟𝑟𝑡𝑡 が従う確率分布をガンベル分布で表す．ガンベル分布

は時点𝑡𝑡 − 1から時点𝑡𝑡にかけての気温の変化率が従う正規分布𝑁𝑁(𝜇𝜇𝑡𝑡 , 𝜎𝜎𝑡𝑡2 )のパラメータである．𝜇𝜇𝑡𝑡 と𝜎𝜎𝑡𝑡 の値は時は年最大日降水量に良い適合性を示すことが知られている13)．分布の確率密度関数𝜙𝜙を以下のように定式化する．

点ごとに異なる．時点の間隔は1年とする．𝜀𝜀𝑡𝑡 は標準正規分布に従う確率変数である．

𝜙𝜙(𝑟𝑟𝑡𝑡 |𝑠𝑠𝑡𝑡 ) =式(1)の仮定の下では，時点0において予測される，時E0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ] = ln 𝑠𝑠0 + � 𝜇𝜇𝜏𝜏

(2)V0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ] = � 𝜎𝜎𝜏𝜏2

(3)

𝜏𝜏=1

𝑡𝑡

(9)

𝜃𝜃(𝑠𝑠𝑡𝑡 )と𝜂𝜂(𝑠𝑠𝑡𝑡 )はガンベル分布の形状を決定するパラメー

点𝑡𝑡の気温の対数値ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 は正規分布に従う．その期待値
E0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ]と分散V0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ]はそれぞれ，𝑡𝑡

𝑟𝑟 −𝜃𝜃(𝑠𝑠𝑡𝑡 )𝑟𝑟 −𝜃𝜃(𝑠𝑠𝑡𝑡 )
1
− 𝑡𝑡
− 𝑡𝑡
𝑒𝑒 𝜂𝜂(𝑠𝑠𝑡𝑡) exp �−𝑒𝑒 𝜂𝜂(𝑠𝑠𝑡𝑡) �𝜂𝜂(𝑠𝑠𝑡𝑡 )タであり，時点𝑡𝑡の気温𝑠𝑠𝑡𝑡 に依存する．これらのパラメータを以下のように定式化する．
𝜃𝜃(𝑠𝑠𝑡𝑡 ) = (1 + 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑡𝑡 )𝜃𝜃base

(10)

(11)
𝜂𝜂(𝑠𝑠𝑡𝑡 ) = (1 + 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑡𝑡 )𝜂𝜂base𝜃𝜃base と𝜂𝜂base はそれぞれ，気温変化が𝑠𝑠 = 0の環境における，ガンベル分布のパラメータを表す．𝑢𝑢は定数であ𝜏𝜏=1と表される．𝑠𝑠0 は時点0の気温であり，確定値である．
E0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ]とV0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ]を用いると，時点0において予測さる．式(10), (11)は，気温が𝑠𝑠度上昇すると，年最大降雨量の期待値と標準偏差が1 + 𝑢𝑢𝑢𝑢倍になることを表していれる，ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 の90%信頼区間は，
E0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ] − 1.64V0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ]る．𝑟𝑟𝑡𝑡 は式(9)のガンベル分布に従い確率的に決定される．

信頼区間の上限がln 𝑠𝑠𝑡𝑡8.5 に一致すると考える．ただし，

うち，いずれかが実現すると考える．降雨波形𝑤𝑤 ∈{1, ⋯ , 𝑁𝑁𝑊𝑊 }が実現する確率を𝑝𝑝𝑤𝑤 で表す．𝑝𝑝𝑤𝑤 は時間を通(4)≤ ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ≤ E0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ] + 1.64V0 [ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 ]と表せる．本研究は，この信頼区間の下限がln 𝑠𝑠𝑡𝑡2.6 を，(3) 複数の降雨波形の考慮
降雨波形としては，あらかじめ設定された𝑁𝑁𝑊𝑊 種類の𝑠𝑠𝑡𝑡2.6 と𝑠𝑠𝑡𝑡8.5 はそれぞれ，RCP2.6シナリオとRCP8.5シナリ

オの下での時点𝑡𝑡の気温変化(度)である．このとき，式

じて不変であると考える（現実には，気温変化𝑠𝑠に依存(2)-(4)を用いて，パラメータ𝜇𝜇𝑡𝑡 と𝜎𝜎𝑡𝑡 の値は以下のようにすると考えられるが，本研究は単純化のため，𝑠𝑠に依存

キャリブレートできる．

2.6
8.5+ ln 𝑠𝑠𝑡𝑡−1
ln 𝑠𝑠𝑡𝑡2.6 + ln 𝑠𝑠𝑡𝑡8.5 ln 𝑠𝑠𝑡𝑡−1
𝜇𝜇𝑡𝑡 =−
22
𝜎𝜎𝑡𝑡2 = [𝜎𝜎�𝑡𝑡2 ]+𝜎𝜎�𝑡𝑡2 = ��𝑎𝑎𝑡𝑡 = �2

ln 𝑠𝑠𝑡𝑡8.5 − ln 𝑠𝑠𝑡𝑡2.6
� − 𝑎𝑎𝑡𝑡−1
2 ⋅ 1.64

2ln 𝑠𝑠𝑡𝑡8.5 − ln 𝑠𝑠𝑡𝑡2.6

2 ⋅ 1.64
𝑎𝑎𝑡𝑡−1�(𝜎𝜎�𝑡𝑡2 ≥ 0)

しないと考える）．時点𝑡𝑡の降雨波形を𝑤𝑤𝑡𝑡 で表す．𝑟𝑟𝑡𝑡 と(6)

𝑤𝑤𝑡𝑡 が確率的に決定されると，次節で述べる手順に従い，(7)(4) 水害被害の評価方法(5)

時点𝑡𝑡の水害被害が評価される．

本研究の最適化問題を解くためには，降雨量や降雨波
形，破堤地点，治水施設の整備状況が異なる極めて多く(8)の状況について，水害の被害を評価する必要がある．し(𝜎𝜎�𝑡𝑡2 < 0)

かし，これらの全ての状況について，水文学のモデルに[𝑥𝑥]+ はmax[𝑥𝑥, 0]を表す記号であり，𝑥𝑥の値が負の場合に基づく流出解析と氾濫解析を実行することは，計算時間は0への切り上げを行うことを意味する．𝜎𝜎�𝑡𝑡2 と𝑎𝑎𝑡𝑡 は導出の観点から困難である．そこで本研究では，以下のようの際に使われる補助的な変数である．式(8)は𝑡𝑡 ≥ 1の場な手法を用いて，水害の被害を近似的に評価する．まず，

うな場合には𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 0とし，式(8)を用いて差分の計算を解析を実施しておく．そのうえで，この解析結果を用いせたサンプルパスの例である．このように，様々な気温

ear function)として表現する．そして，最適化問題を分析

変化のシナリオが実現し得るという前提に立つモデルをする際には，この区分線形関数を用いて，様々な状況に採用することにより，シナリオを決め打ちしない分析がおける水害の被害を近似的に評価する．すなわち，水文

可能となる． 以上の手法を用いると，𝑡𝑡 = 𝑇𝑇における気学に基づく流出・氾濫解析の結果を補間・補外すること合に成立する式であり，𝑎𝑎0 = 0とする．基本的には，最適化問題を分析する前の段階において，降雨量や降雨[(ln 𝑠𝑠𝑡𝑡8.5 − ln 𝑠𝑠𝑡𝑡2.6 )(2 ⋅ 1.64)]2 の時間差分が𝜎𝜎𝑡𝑡2 となるが， 波形，破堤地点，治水施設の整備状況が異なる複数の条
この差分が負になる時点𝑡𝑡が生じることがある．このよ件を設定し，各条件の下で，水文学に基づく流出・氾濫

繰り越す．図-1の破線で表された3本のグラフは，以上て，降雨量・降雨波形とピーク流量の関係など，水害の被害の評価に必要な情報を，区分線形関数(Piecewise lin-のようにキャリブレートされた𝜇𝜇𝑡𝑡 と𝜎𝜎𝑡𝑡 を利用して発生さ温変化の期待値は2.55度となる．

により，水害被害の近似的な評価を行う．
3

実際の河川を対象とした5. の分析においては，水文学に基づく流出・氾濫解析の手法として，日本の実務において標準的に採用されている手法を採用した．流出モデ
ルには貯留関数法14)を利用し，氾濫解析には洪水浸水想
定区域図作成マニュアル15)の手法を用いた．降雨の時空間分布を表す降雨波形には，対象河川の基本高水検討対
象洪水の実績降雨ハイエトグラフを用いた．特定の降雨量に対応する降雨波形は，実績降雨ハイエトグラフの特定の時間帯の降雨量を定率で拡大・縮小することによって得た．複数の氾濫ブロック（地区）を設定し，各氾濫
ブロックごとに，被害最大となる1 地点を破堤地点とし

図-2 降雨量とピーク流量のて設定した．そのうえで，降雨量や降雨波形，破堤地点，

関係を表す区分線形関数の例

治水施設の整備状況が異なる複数の条件を設定し，各条件の下で流出・氾濫解析を実施した．

るように設定する．そのうえで，現況の河道を対象として，降雨波形𝑤𝑤と降雨量𝑟𝑟 𝑘𝑘 (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁𝑅𝑅 )の下で，水文学に基づく流出解析を行い，各ブロックのピーク流量
𝑞𝑞𝑗𝑗𝑘𝑘 を求める．この流出解析においては，越水は考慮するものの，破堤は生じないと考える．流出解析の結果として，𝑟𝑟-𝑞𝑞𝑗𝑗 平面上の点�𝑟𝑟 𝑘𝑘 , 𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤,𝑘𝑘 � (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁𝑅𝑅 )が得られる．これらの点の間を直線で結ぶことにより，区分線形関数𝐾𝐾𝑗𝑗 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)を得る．

以下では，水文学に基づく流出・氾濫解析の結果を用いて，特定の降雨量と降雨波形が実現した状況における水害被害を，近似的に評価する方法を説明する．
想定されている氾濫ブロックの数を𝑁𝑁𝐽𝐽 で表す．氾濫ブロックを添え字𝑗𝑗 ∈ �1,2, ⋯ , 𝑁𝑁𝐽𝐽 �で表す．河川の左岸と右岸には異なる氾濫ブロックを設定する．各氾濫ブロッ
クは，破堤を起こし得る候補地点（破堤候補地点）を一

𝑁𝑁𝑅𝑅

𝐾𝐾𝑗𝑗 (𝑟𝑟|𝑤𝑤) = PL ��𝑟𝑟 𝑘𝑘 , 𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤,𝑘𝑘 �

つのみ有する．氾濫ブロックの番号は，上流のブロック

𝑘𝑘=1の破堤候補地点が下流のブロックの破堤候補地点に先行

�

(13)

𝑘𝑘 𝑘𝑘
ただし，PL({𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑘𝑘 }𝑁𝑁
𝑘𝑘=1 ) は，𝑁𝑁 個の点(𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) (1 ≤𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁)の間を直線で結ぶことにより得られる区分線形関数であり，以下のように定義される．

するように並べられているとする．
現実には，各ブロックに複数の破堤候補地点が存在しており，右岸のブロックの候補地点と左岸のブロックの𝑁𝑁

PL ��𝑥𝑥𝑘𝑘 , 𝑦𝑦𝑘𝑘 �𝑘𝑘=1 �

候補地点が交互に並ぶような場所も存在する．ただし，

𝑦𝑦 𝑘𝑘+1 − 𝑦𝑦 𝑘𝑘⎧ �𝑦𝑦 𝑘𝑘 +⋅ 𝑥𝑥�𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥 𝑘𝑘⎪+⎪
𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦11
�𝑦𝑦 + 2⋅ 𝑥𝑥�=𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1⎨+⎪
𝑦𝑦 𝑁𝑁 − 𝑦𝑦 𝑁𝑁−1
𝑁𝑁−1
⎪�𝑦𝑦
+ 𝑁𝑁
⋅ 𝑥𝑥�
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑁𝑁−1⎩+

本研究では，各ブロックが破堤候補地点を一つのみ有しており，これらの候補地点は上述の条件を満たすように並べられると考える．後述するように，複数の河川が合流する状況においても，上述の番号の並べ方が満たされていれば分析が可能である．

(𝑥𝑥 ∈ [𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 ])(𝑥𝑥 ∈ [0, 𝑥𝑥1 ])(𝑥𝑥 ∈ [𝑥𝑥 𝑁𝑁 , ∞])(14)

𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 1 の場合には，(𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦1 )と(𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )を結ぶ直線を補外する．𝑥𝑥 > 𝑥𝑥 𝑁𝑁 の場合には，(𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 , 𝑦𝑦 𝑁𝑁−1 )と(𝑥𝑥 𝑁𝑁 , 𝑦𝑦 𝑁𝑁 )を
𝑁𝑁𝐼𝐼
結ぶ直線を補外する．補外された直線が負の値になった
𝑋𝑋
(𝑟𝑟
)
(𝑟𝑟
)𝑓𝑓
(𝑥𝑥
)
𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝐾𝐾𝑗𝑗 𝑡𝑡 |𝑤𝑤𝑡𝑡 − � Δ𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡 |𝑤𝑤𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡
場合には，値を0に切り上げる．
𝑖𝑖=1
図-2に示したグラフは，5. の分析に用いた𝐾𝐾𝑗𝑗 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)の例
𝑗𝑗−1
である．この図には，降雨量𝑟𝑟と，あるブロックのピー(12)− � Δ𝐵𝐵𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ 𝑗𝑗
ク流量𝑞𝑞の関係を表す区分線形関数𝐾𝐾𝑗𝑗 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)のグラフが4𝑗𝑗 ′ =1
本描かれている．各グラフは，特定の降雨波形𝑤𝑤に対応
𝐾𝐾𝑗𝑗 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)は，現況（𝑡𝑡 = 0期首）の河道において，降雨している．グラフ上のマーカーは，水文学に基づく流出波形𝑤𝑤と降雨量𝑟𝑟が実現した場合の，ブロック𝑗𝑗のピーク解析の結果である(𝑟𝑟, 𝑞𝑞)の組である．
流量𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 を評価する関数であり，水文学に基づく流出解
この流域には，現在時点では未整備であり，かつ，整
析の結果を用いて構築される．構築の手順は以下の通り
備の検討されている治水施設が𝑁𝑁𝐼𝐼 件存在する．これらである．まず，基準地点における降雨量として，𝑁𝑁𝑅𝑅 通の治水施設を添え字𝑖𝑖 ∈ �1,2, ⋯ , 𝑁𝑁𝐽𝐽 �で表す．Δ𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)は，りの水準𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟 2 , ⋯ , 𝑟𝑟 𝑁𝑁𝑅𝑅 を設定する（5. の分析においては，
治水施設𝑖𝑖の整備による，ブロック𝑗𝑗のピーク流量の削減
現状の年最大降雨量の確率分布における確率規模1/10,
効果を評価する関数であり，水文学に基づく流出解析の1/20, 1/30, 1/50, 1/80, 1/100, 1/200, 1/500, 1/1000, L2の10通りの水結果を用いて構築される．構築の手順は以下の通りであ準を用いた）．このとき，𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 2 < ⋯ < 𝑟𝑟 𝑁𝑁𝑅𝑅 が成立す
時点𝑡𝑡のブロック𝑗𝑗の破堤候補地点におけるピーク流量を𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 [m3/s]で表す．𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 を以下の式により評価する．

4

る．現況の河道に対して，治水施設𝑖𝑖のみを整備する（その他の治水施設は整備しない）という変更のみを加えた状況を考える．この状況の河道を対象として，降雨
波形𝑤𝑤と降雨量𝑟𝑟 𝑘𝑘 (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁𝑅𝑅 )の下で，水文学に基づ
く流出解析を行い，降雨量𝑟𝑟 𝑘𝑘 とブロック𝑗𝑗のピーク流量𝑤𝑤,𝑘𝑘�を得る（減少量を計算する際の減少量の組�𝑟𝑟 𝑘𝑘 , Δ𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑤𝑤,𝑘𝑘の基準には𝑞𝑞𝑗𝑗 を用いる）．これらの点の間を直線で結ぶことにより，区分線形関数Δ𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)を得る．
𝑁𝑁𝑅𝑅

𝑤𝑤,𝑘𝑘
Δ𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑟𝑟|𝑤𝑤) = PL ��𝑟𝑟 𝑘𝑘 , Δ𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖
�

𝑘𝑘=1

�

(15)

図-3に示したグラフは，5. の分析に用いたΔ𝑋𝑋
𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑟𝑟|𝑤𝑤)の

図-3 降雨量とダム整備によるピーク流量の例である．これらのグラフは，ダムを整備した際の，あるブロックのピーク流量の削減量を表している．グラフに単調増加ではない部分が存在する理由は，ダムの貯水量が容量に達し，異常洪水時防災操作が行われることを表している．
𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 ∈ [0,1]は，時点𝑡𝑡の期首における，治水施設𝑖𝑖の整削減効果の関係を表す区分線形関数の例

0⎧⎪𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡

�𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 ��𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 < 𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 < 𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 �(18)⎨𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡
⎪
1
�𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 ≥ 𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 �⎩𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 は，ブロック𝑗𝑗において破堤が生じる可能性のあるピーク流量の下限値（氾濫開始流量）であり，𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 は破堤が確実に生じるピーク流量（堤防満杯流量など）である．
𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 と𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 は河道掘削と堤防の整備の影響を受ける．これらの治水施設の整備の影響を，以下の式により表現する．
𝜋𝜋𝑡𝑡𝑡𝑡 =備の進捗率を表す．𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0は治水施設が未着工である

ことを，𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1は治水施設の整備が完了していることを表す．𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 )は，治水施設𝑖𝑖の整備の進捗率が𝑥𝑥𝑖𝑖 のときに，治水施設𝑖𝑖が発揮する効果の大きさを表す関数である．ダムのように，治水施設の整備が完了しない限り，効果が全く発揮されない治水施設の場合には，𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 )は𝑁𝑁𝐼𝐼

𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑞𝑞�𝑗𝑗base + � ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 )
𝑖𝑖=1
𝑁𝑁𝐼𝐼

以下のように表される．
0 (0 ≤ 𝑥𝑥𝑖𝑖 < 1)(𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼1 )(16)
𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = �(𝑥𝑥𝑖𝑖 = 1)
1
一方，河道掘削のように，整備が完了していない場合で𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑞𝑞�𝑗𝑗base + � ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 )

(19)
(20)

𝑖𝑖=1

も，工程の進行に伴い，徐々に治水効果が発現する治水施設の場合には，𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 )は以下のように表される．

𝑞𝑞�𝑗𝑗base , 𝑞𝑞�𝑗𝑗base はそれぞれ，現況（𝑡𝑡 = 0期首）の𝑞𝑞�0𝑗𝑗 と𝑞𝑞�0𝑗𝑗の値である．ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 は，治水施設𝑖𝑖の整備による𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 と𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 の(17)
𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 𝑥𝑥𝑖𝑖 (𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼2 )𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 はそれぞれ，式(16)と式(17)が適用される治水施設

増加効果を表す定数である．治水施設𝑖𝑖がブロック𝑗𝑗の堤防もしくは河道掘削である場合には，𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 と𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 が同じ量だけ増えると考え，ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0とする．それ以外の治水施の集合を表す．

治水施設の整備によるピーク流量の削減効果は，線形設については，ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0とする．

に足し合わせることが可能であると仮定する．この仮定

式(18)-(20)により破堤確率𝜋𝜋𝑡𝑡𝑡𝑡 が決定されると，その確の下では，式(12)の右辺第二項は，時点𝑡𝑡（の期首）にお率に基づき，破堤の生起がランダムに決定される．

いて整備されている治水施設が，ブロック𝑗𝑗のピーク流

𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡 = �

量を削減する効果を表す．
Δ𝐵𝐵𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ 𝑗𝑗 は，ブロック𝑗𝑗 ′ で破堤が生じた際に，その下流のブロック𝑗𝑗におけるピーク流量が減少する効果を表す．
Δ𝐵𝐵𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ 𝑗𝑗 は後に述べる過程を経て，確率的に決定される．
以下では，式(12)に基づき，流域の被害額が決定される過程をモデル化する．まず，𝑗𝑗 = 1に設定する．𝑗𝑗 = 1の場合，式(12)の右辺第3項は存在しないため，𝑟𝑟𝑡𝑡 と𝑤𝑤𝑡𝑡 を所与として，𝑞𝑞𝑡𝑡1 は確定的に計算される．
次に，以下の式を用いて，ブロック𝑗𝑗の堤防の破堤確率𝜋𝜋𝑡𝑡𝑡𝑡 が決定される．

01

�𝑧𝑧𝑡𝑡𝑡𝑡 ≥ 𝜋𝜋𝑡𝑡𝑡𝑡 ��𝑧𝑧𝑡𝑡𝑡𝑡 < 𝜋𝜋𝑡𝑡𝑡𝑡 �(21)𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡 は時刻𝑡𝑡におけるブロック𝑗𝑗の破堤を表す確率変数であり，破堤する場合は1を，破堤しない場合は0を取る．
𝑧𝑧𝑡𝑡𝑡𝑡 は一様分布𝑈𝑈(0,1)に従う確率変数である．

ブロック𝑗𝑗において破堤が生じると，当該ブロックに被害が生じる．さらに，場合によっては，当該ブロックの下流のブロック𝑗𝑗 ′ > 𝑗𝑗にも被害が生じる可能性がある．
ブロック𝑗𝑗において破堤が生じた際に，ブロック𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ ≥𝑗𝑗)にもたらす被害額𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ は，以下の式により決定される．
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ = 𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑔𝑔𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ �𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 |𝑤𝑤𝑡𝑡 �𝑁𝑁𝐼𝐼5𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 − � ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 )
𝑖𝑖=1

(22)

(23)

𝑔𝑔𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)は，ブロック𝑗𝑗の破堤がブロック𝑗𝑗 ′ にもたらす被害額を表す区分線形関数である．被害額𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ はブロ

ック𝑗𝑗のピーク流量の関数として表せると仮定する．ただし，ブロック𝑗𝑗において河道掘削が行われている場合には，同じピーク流量𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 の下でも，被害額が減少することを考慮する必要がある．そこで，式(23)のように，治水施設𝑖𝑖がブロック𝑗𝑗を含む河道掘削である場合には，治水施設𝑖𝑖の整備により，実質的なピーク流量を表す𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡
がℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 だけ減少する効果を得られると考える（ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 = ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖

とする）．それ以外の治水施設については，ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0とする．関数𝑔𝑔𝑗𝑗 は𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 に依存する．

図-4 ピーク流量と被害額のブロック𝑗𝑗において破堤が生じた際には，当該ブロッ関係を表す区分線形関数の例

クから下流のピーク流量が減少する．この効果は以下の式に基づき決定される．
Δ𝐵𝐵𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ = 𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ �𝑞𝑞�𝑡𝑡𝑡𝑡 |𝑤𝑤𝑡𝑡 �(24)

𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)は，ブロック𝑗𝑗で破堤が生じた際の，当該ブロックから下流のブロック𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ > 𝑗𝑗)におけるピーク流量の減少量を表す区分線形関数である．Δ𝐵𝐵𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ を導入する

ことにより，上流の破堤のリスクを下げると，下流の破堤のリスクが増すことを表現できる．複数の河川が合流する状況においては，一部の(𝑗𝑗, 𝑗𝑗 ′ )について𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤) =0と設定すれば，問題なく分析が可能である（例えば，
ブロック1が合流前の本川に存在し，ブロック2が合流前の支川に存在する場合には，𝐿𝐿12 (𝑞𝑞�|𝑤𝑤) = 0となる）．

図-5 ある地点のピーク流量と破堤時の下流地点のピーク流量の削減効果の関係を表す区分線形関数の例

関数𝑔𝑔𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)と𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)は，水文学に基づく流出・
氾濫解析の結果を用いて構築される．構築の手順は以下の通りである．現況の河道を対象として，降雨波形𝑤𝑤と降雨量𝑟𝑟 𝑘𝑘 (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁𝑅𝑅 )が生じ，ブロック𝑗𝑗の堤防のみが破堤し得るという前提の下で水文学に基づく流出・氾濫解析を行う．この流出・氾濫解析解析において，ブロッ
ク𝑗𝑗を除くブロックにおける越水は考慮するものの，破堤は生じないと考える．解析の結果，ブロック𝑗𝑗のピー
𝑤𝑤,𝑘𝑘
ク流量とブロック𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ ≥ 𝑗𝑗)の被害額の組�𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤,𝑘𝑘 , 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑗𝑗′ �，′ (𝑗𝑗 ′> 𝑗𝑗)のおよび，ブロック𝑗𝑗のピーク流量とブロック𝑗𝑗
𝑤𝑤,𝑘𝑘
�を得る（減少量を
ピーク流量の減少量の組�𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤.𝑘𝑘 , Δ𝑞𝑞𝑗𝑗𝑗𝑗′
計算する際の基準には𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤,𝑘𝑘 を用いる）．前者の点の間を直線で結ぶことにより𝑔𝑔𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)を，後者の点の間を直線で結ぶことにより𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)を得る．
𝑁𝑁𝑅𝑅

𝑤𝑤,𝑘𝑘
𝑔𝑔𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤) = PL ��𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤,𝑘𝑘 , 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑗𝑗
′ �

𝑘𝑘=1
𝑁𝑁𝑅𝑅

𝑤𝑤,𝑘𝑘
𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤) = PL ��𝑞𝑞𝑗𝑗𝑤𝑤,𝑘𝑘 , Δ𝑞𝑞𝑗𝑗𝑗𝑗
′ �

�

𝑘𝑘=1

�

値を確率的に決定できる．すると，この結果と式(12),(18)-(26)を用い，今度は，𝑗𝑗 = 2の場合について，𝑞𝑞𝑡𝑡2 , 𝜋𝜋𝑡𝑡2を求めることができ，さらに，𝑏𝑏𝑡𝑡2 , 𝑑𝑑𝑡𝑡2𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ ≥ 2), Δ𝐵𝐵𝑡𝑡2𝑗𝑗 ′(𝑗𝑗 ′ > 2) の値を確率的に決定できる．この操作を𝑗𝑗 =3, … , 𝑁𝑁𝐽𝐽 と繰り返すことにより，全てのブロックについて，𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ ≥ 𝑗𝑗)の値を確率的に決定できる．
ブロック𝑗𝑗の被害額𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 は，𝑑𝑑𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ 𝑗𝑗 (𝑗𝑗 ′ ≤ 𝑗𝑗)の中で最大の金額として求める．
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 = max
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑗𝑗 ′ 𝑗𝑗′
𝑗𝑗 ≤𝑗𝑗

この定式化を採用する理由は，複数のブロックで破堤が生じた際に，被害額の二重計上を避けるためである．全ブロックの𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 が決定されたら，時点𝑡𝑡において生じる水害の被害総額𝐷𝐷𝑡𝑡 を，それらの合計値として決定する．

(25)

𝑁𝑁𝐽𝐽

(26)

𝐷𝐷𝑡𝑡 = � 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑗𝑗=1

図-4と図-5に示したグラフはそれぞれ，5. の分析に用い(28)以上が，本研究が採用する，特定の降雨量と降雨波形が実現した状況における水害被害を，近似的に評価する方法である．この手法は，水文学に基づく流出・氾濫解
析の結果を補間・補外するものであるとは言え，状況によっては，被害額の評価に無視できない誤差をもたらす
可能性がある．ただし，治水施設の整備に最適化問題を適用する既存の研究においては，洪水の被害額の評価にた𝑔𝑔𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)と𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)の例である．𝐿𝐿𝑗𝑗𝑗𝑗 ′ (𝑞𝑞�|𝑤𝑤)のグラフには単調増加ではない部分が存在する．この理由は，堤内側の水位が高くなり，氾濫した水が堤内に流入しにくくなっていることを表している．
以上の式(12), (18)-(26)を用いると，𝑞𝑞𝑡𝑡1 , 𝜋𝜋𝑡𝑡1 を求めることができ，さらに，𝑏𝑏𝑡𝑡1 , 𝑑𝑑𝑡𝑡1𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ ≥ 1), Δ𝐵𝐵𝑡𝑡1𝑗𝑗 ′ (𝑗𝑗 ′ > 1)の

(27)

6

在価値の総和の期待値𝑉𝑉0 を，以下のように定式化する．

単純な関数を採用することもあることを踏まえると（例えば，Kind5)やEijgenraam et al.6)は降雨量や降雨波形などを考慮しない単純な指数関数を採用している），本研究が採用する手法には一定の合理性があると考えられる．
なお，本節の手法は内水氾濫を考慮していないことを付記しておく．ただし，本節の手法は，水文学に基づく流出・氾濫解析の結果を補間・補外するだけのものであるため，内水氾濫を考慮した氾濫解析の結果があれば，同様の考え方に基づき，内水氾濫の被害を表現することができると考えられる．

𝑇𝑇+𝑇𝑇�

𝑉𝑉0 = E0 �� 𝛽𝛽 𝑡𝑡 𝐶𝐶𝑡𝑡 �

E𝑡𝑡 は時点𝑡𝑡の期首に入手可能な情報を用いて期待値を計算する操作を表す．𝛽𝛽は割引因子であり，社会的割引率
を𝜌𝜌とするとき，𝛽𝛽 = 1/(1 + 𝜌𝜌)と表される．𝑇𝑇�は，目的関数を評価する際に，𝑡𝑡 ≥ 𝑇𝑇以降の何期間を考慮するのかを表す定数である．気温変化のシナリオを考慮する最終時点は𝑡𝑡 = 𝑇𝑇であるが，この時点以降も治水施設は洪水被害の軽減に役立つため，𝐶𝐶𝑡𝑡 (𝑡𝑡 ≥ 𝑇𝑇)も考慮しなけれ(5) 予算配分と治水施設整備の進捗の関係

ば，治水施設の便益を過少評価してしまう．そこで，𝑇𝑇 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇 + 𝑇𝑇� の期間の𝐶𝐶𝑡𝑡 を目的関数に含めることによ

時点𝑡𝑡において治水施設𝑖𝑖の整備に投入される工費を
𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 で表す． 時点𝑡𝑡の期首における，治水施設𝑖𝑖の整備のり，過少評価を防止する．𝑡𝑡 ≥ 𝑇𝑇において，気温変化𝑠𝑠𝑡𝑡
は時点𝑇𝑇の気温変化𝑠𝑠𝑇𝑇 のまま維持される（𝑠𝑠𝑡𝑡 = 𝑠𝑠𝑇𝑇 , 𝑡𝑡 ≥ 𝑇𝑇�）進捗率を表す𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 は，𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 に依存して遷移する．
𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥𝑥𝑡𝑡+1,𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 +
(29)
𝑐𝑐𝑖𝑖
𝑐𝑐𝑖𝑖 は治水施設𝑖𝑖の総工費を表す定数である．過去から時と考える．

本研究は，𝑉𝑉0 を動学的最適化問題の目的関数として採用する．最適化問題の決定変数は，各時刻において各点𝑡𝑡までに投入された工費の総額が𝑐𝑐𝑖𝑖 に達すると，治水

治水施設𝑖𝑖の整備に投入される工費𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 である．𝑉𝑉0 を最小

施設𝑖𝑖の整備が完了する．

化することは，治水施設の整備から得られる純便益の割

時点𝑡𝑡の1年間の工費𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 は，以下の制約を満たす必要

引現在価値の期待値を最大化することに等しい．このよがある．

𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝑐𝑐𝑖𝑖 (1 − 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 )

(34)

𝑡𝑡=0

うな目的関数の設定は，他の研究や実務においても見ら(30)れる一般的なものである．なお，式(34)のように社会的(31)
𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦�𝑖𝑖
費用の割引現在価値の総和を定義する場合，各時点にお式(30)は，整備の進捗率𝑥𝑥𝑡𝑡+1,𝑖𝑖 が1を超えないことを表す．
ける社会的費用𝐶𝐶𝑡𝑡 はフローとして定義される必要がある．
式(31)は，1年間に達成可能な工程の量には，物理的な上
しかし，水害の被害額𝐷𝐷𝑡𝑡 の評価には，ストックの毀損限が存在し，治水施設𝑖𝑖の整備には，最低でも𝑐𝑐𝑖𝑖 /𝑦𝑦�𝑖𝑖 年の額を用いることが一般的であり，本研究においてもこの期間が必要であることを表す．𝑦𝑦�𝑖𝑖 は1年間の工費の上限
評価方法を採用する．ストックの毀損額を用いてフローを表す定数である．
の被害額を評価することは，一定の仮定の下では正当化
治水施設の整備に使える1年間の予算には，上限𝑌𝑌� がが可能である．その議論は付録Iに記す．
設定されている．
𝑁𝑁𝐼𝐼� 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝑌𝑌�

(32)

4. 最適化問題の解法

𝑖𝑖=1

𝑌𝑌� は定数として与えられる．𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 は式(30)-(32)の制約の範囲内で決定される．実際の流域を対象に分析を行う際に3.で定式化した最適化問題は，多数の状態変数を含むは，当該の流域に割り当てられた年間予算の実績値を基に𝑌𝑌� を設定することになる．𝑌𝑌� の値を無制限に大きく設

ため，動的計画法を適用することや，厳密解を求めることは困難である．このような問題の解法は大別して二つ存在する8)．一つは強化学習である．もう一つは，決定定すれば，予算制約が無い状況を表現できる．

変数を決める方策（Policy）を，パラメータを含む形で(6) 目的関数定式化し，シミュレーションを通じて，このパラメータ

本研究では，最適化問題の目的関数として，社会的費を最適化する手法（Parametric optimization）である．両者用の割引現在価値の総和の期待値を用いる．まず，時点の適用を試みたところ，Parametric optimizationの方が目的

𝑡𝑡において生じる社会的費用𝐶𝐶𝑡𝑡 を，治水施設の工費と水関数𝑉𝑉0 の値を低くできたため，本研究ではParametric opti-

害の被害総額𝐷𝐷𝑡𝑡 の和として定式化する．
𝑁𝑁𝐼𝐼

𝐶𝐶𝑡𝑡 = � 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐷𝐷𝑡𝑡mizationを採用する．

(33)(1) 方策の定式化

𝑖𝑖=1

𝐶𝐶𝑡𝑡 を用いて，時点𝑡𝑡 = 0における，社会的費用の割引現決定変数を決める方策を，パラメータを含む形で定式

7化する．問題の構造より，気温変化𝑠𝑠𝑡𝑡 が一定の閾値を超えた場合に，治水施設の整備を開始することが効率的となることが予想される．そこで，本研究では，以下のような方策を採用する．まず，時点𝑡𝑡において整備費を投入する治水施設の集合Λ𝑡𝑡 を，下記の式に従い決定する．
Λ𝑡𝑡 = {𝑖𝑖|𝑠𝑠𝑡𝑡 ≥ 𝑠𝑠̃𝑖𝑖 and 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 < 1}(35)
∪ {𝑖𝑖|𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼1 and 0 < 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 < 1}
ここで，𝑠𝑠̃𝑖𝑖 は治水施設ごとに設定されるパラメータであり，「気温変化𝑠𝑠𝑡𝑡 がこの水準以上であれば，治水施設𝑖𝑖に整備費を投入すべきである」ことを示す閾値である．

式(35)の1行目は，𝑠𝑠𝑡𝑡 ≥ 𝑠𝑠̃𝑖𝑖 を満たす治水施設𝑖𝑖のうち，整備の完了していないものが𝐻𝐻𝑡𝑡 に含まれることを表している．1行目のルールだけでは，気温変化𝑠𝑠𝑡𝑡 が減少した

場合に，過去に着工した治水施設の整備が停止することが起こり得る．治水施設の整備が完了しない限り，治水効果が全く発揮されない治水施設（𝐼𝐼1 に含まれる治水施設）の場合には，このような整備の停止は，過去に投入された整備費を無駄にする可能性がある．そこで，𝐼𝐼1 に含まれる治水施設については，一旦着工したら，整備がInput: 3.で定式化した最適化問題のパラメータ，𝑠𝑠̃𝑖𝑖(1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑁𝑁𝐼𝐼 ) の下限と上限[𝑠𝑠̃𝑙𝑙 , 𝑠𝑠̃𝑢𝑢 ]，乱数のサンプルパスの本数𝑀𝑀
Output: 最適化問題の解𝐬𝐬� ∗ = �𝑠𝑠̃1∗ , ⋯ , 𝑠𝑠̃𝑁𝑁∗ 𝐼𝐼 �1)
𝑠𝑠̃𝑖𝑖0 ← 𝑈𝑈(𝑠𝑠̃𝑙𝑙 , 𝑠𝑠̃𝑢𝑢 ) (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑁𝑁𝐼𝐼 ) により𝐬𝐬� 0 を得る．
2)
iter ← 1
3)
𝑠𝑠𝑡𝑡 , 𝑟𝑟𝑡𝑡 , 𝑤𝑤𝑡𝑡 , 𝑧𝑧𝑡𝑡𝑡𝑡 の乱数のサンプルパスを𝑀𝑀本発生させる．
4)
変数𝐬𝐬�の各要素の定義域を[𝑠𝑠̃𝑙𝑙 , 𝑠𝑠̃𝑢𝑢 ]，𝐬𝐬�の初期値を𝐬𝐬� iter−1 として遺伝的アルゴリズムを実行し，3)のサンプルパスの束の下での最適解𝐬𝐬� iter を得る．
5)
iter ← iter + 1
6)iter ≤ 100なら 3)に戻る．そうでなければ7)に進む．
7)
𝐬𝐬�1 , 𝐬𝐬� 2 , ⋯ , 𝐬𝐬�100 の中央値を𝐬𝐬� ∗ として返却して終了する．
図-6 最適な𝑠𝑠̃𝑖𝑖 を求めるアルゴリズム

完了するまで，常にΛ𝑡𝑡 に含まれると考える．一方，整備工程の進行に伴い，徐々に治水効果が発現するタイプ(2) 目的関数の評価手法の治水施設（𝐼𝐼2 に含まれる治水施設）の場合には，整備以上で定式化した方策のパラメータは，各治水施設𝑖𝑖が停止しても，過去に投入された整備費が無駄になるこに対して定義される気温変化の閾値𝑠𝑠̃𝑖𝑖 である．目的関数とはないため，2行目のルールは適用しない．

𝑉𝑉0 を最大化するような𝑠𝑠̃𝑖𝑖 を求めることにより，動学的最次に，Λ𝑡𝑡 に含まれる治水施設に対する，整備費の配適化問題を近似的に解くことができる．これがParametric
分の優先順位を定める．治水施設𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑁𝑁𝐼𝐼 に対して， optimizationの考え方である．
整備の優先順位rank(𝑖𝑖)を設定する．整備費の配分は，目的関数を評価する際には期待値を計算する必要があ

𝑠𝑠̃𝑖𝑖 が小さい治水施設を優先して行うものとする．このとるが，この期待値の計算を厳密に行うことは困難である．

き，rank(𝑖𝑖)は以下の式を満たすように定まるrank(𝑖𝑖) < rank(𝑖𝑖 ′ ) ⇔ 𝑠𝑠̃𝑖𝑖 < 𝑠𝑠̃ 𝑖𝑖 ′rank(𝑖𝑖) ∈ {1,2, ⋯ , 𝑁𝑁𝐼𝐼 }このとき，𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 は以下のように決定される．
(𝑖𝑖 ∉ Λ𝑡𝑡 )0
𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 = ��min�𝑐𝑐𝑖𝑖 (1 − 𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡 ), 𝑦𝑦�𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑌𝑌rank(𝑖𝑖) � (𝑖𝑖 ∈ Λ𝑡𝑡 )𝑌𝑌�1 = 𝑌𝑌�𝑌𝑌�𝑙𝑙+1 = 𝑌𝑌�𝑙𝑙 − 𝑦𝑦𝑡𝑡,rank−1(𝑙𝑙)

そこで，モンテカルロ・シミュレーションを用いて，(36)

目的関数を近似的に評価する．本研究のモデルに含まれ(37)る確率変数は，気温変化𝑠𝑠𝑡𝑡 ，年最大降雨量𝑟𝑟𝑡𝑡 ，降雨波形
𝑤𝑤𝑡𝑡 ，そして，破堤の生起に関わる式(21)の𝑧𝑧𝑡𝑡𝑡𝑡 である．こ

れらの確率変数の乱数のサンプルパスを𝑀𝑀本発生させた(38)

うえで，目的関数𝑉𝑉0 を，以下の式に従い評価する．

(39)

𝑀𝑀

𝑇𝑇+𝑇𝑇�

1
𝑉𝑉0 ≃ � �� 𝛽𝛽 𝑡𝑡 𝐶𝐶𝑡𝑡𝑚𝑚 �
𝑀𝑀

(40)
�
𝑌𝑌𝑙𝑙 は，優先順位が𝑙𝑙位の治水施設が利用可能な予算の上(41)𝑚𝑚=1 𝑡𝑡=0

限額である．式(39)が示すように，優先順位が1位の治水施設が利用可能な予算の上限額は，年間の予算上限額𝑌𝑌�

変数の添え字𝑚𝑚（1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 𝑀𝑀）は，𝑚𝑚本目の乱数のサの逆写像であり，優先順位が𝑙𝑙位の治水施設の番号𝑖𝑖を表式(41)を用いれば，与えられた𝑠𝑠̃𝑖𝑖 の下で，目的関数のンプルパスの下で，その変数が取る値を表す．

である．式(40)は，優先順位の高いものから順に整備費
𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 が配分されていくことを表す．rank −1 (𝑙𝑙)はrank(𝑖𝑖)(3) 目的関数の最適化手法

す．式(38)は，治水施設𝑖𝑖の整備費𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 が，式(30), (31)の制
約と，利用可能な予算𝑌𝑌�rank(𝑖𝑖) の制約を満たす範囲内に評価を行える．ただし，最適化の際に，目的関数の勾配

は，𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0となる．式(38)-(40)により，整備費の配分をためである．そこで，本研究では，目的関数の勾配を用を用いた手法を使うことはできない．なぜなら，式(41)おいて，最大の値に設定されることを意味する．ただし， の右辺は，𝑠𝑠̃𝑖𝑖 について階段状の不連続な関数形を取り，目的関数の勾配は定義域のほぼ全体においてゼロとなる
治水施設𝑖𝑖が整備費を投入する候補に含まれない場合にいない最適化手法として，実数値の遺伝的アルゴリズム決定できる．

を採用する．採用した遺伝的アルゴリズムの詳細は付録
8

IIに示す．

表-1 最悪規模の洪水が生じたときの氾濫ブロック別被害

遺伝的アルゴリズムを適用して式(41)の右辺を最適化する際，右辺の評価に用いる𝑀𝑀本の乱数のサンプルパス

氾濫
ブロック𝑗𝑗は，固定されなければいけない．サンプルパスを固定し

1

4,100

110

ないと，目的関数の評価の度に評価値が大きく変動する

2

22,0003,600

326,0004

4

15,000

160

5

7,300

0

6

13,000

1

7

5,700

12

8

3,000

0

9

6,300

160

ため，最適化が進行しない．しかし，サンプルパスを固定すると，最適解はそのサンプルパスのみに適応したものとなり，異なるサンプルパスの下での目的関数値が悪くなる．そこで本研究では，以下のような手法を採用する．まず，𝑀𝑀 本のサンプルパスの束を100束生成する（すなわち，合計100𝑀𝑀本のサンプルパスを生成する）．
そのうえで，各束の下で遺伝的アルゴリズムを適用し，100個の最適解を求める．最後に，これらの最適解の中被害額[億円]

死者数[人]

表-2 未整備の治水施設の設定

央値を取ることにより，汎用性のある解を求める．平均

治水施設𝑖𝑖値ではなく中央値を取る理由は，乱数の分散のために生じる極端な値の影響を減らすためである．本研究が最適

ダム

な 𝑠𝑠̃𝑖𝑖 を求めるために用いたアルゴリズムを図-6に示す．

遊水地 A
遊水地 B

𝑈𝑈(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)は区間(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)の一様分布に従う乱数を表す．

区間 1掘削5.でこのアルゴリズムを適用する際には，𝑠𝑠̃𝑖𝑖 (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤区間 2-3掘削

𝑁𝑁𝐼𝐼 ) の下限と上限は𝑠𝑠̃𝑙𝑙 = 0(度), 𝑠𝑠̃𝑢𝑢 = 7.5(度)とし，一束の区間 4 掘削

サンプルパスの本数は𝑀𝑀 = 1000とした．この場合，10

区間 5 掘削

万本のサンプルパスを考慮して分析を行うことになる．

区間 6掘削区間 7 掘削区間 8 掘削

5. 最適化問題の適用結果

区間 9掘削(1) 問題の設定

𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 )𝑦𝑦�i

効果を及ぼすブロック𝑗𝑗

25

1-9

25

1-9

40

25

1-9

20

25

1

60

25

2, 3

60

25

4

𝑐𝑐𝑖𝑖

関数形

[億円]

[億円]

𝐼𝐼1
𝐼𝐼1
𝐼𝐼1
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2

300
100

20

25

5

50

25

6

20

25

7

200

25

8

90

25

9

現時点において未整備の治水施設として，ダム1ヶ所，本研究は，提案した最適化問題と解法を，日本国内の遊水地2ヶ所（遊水地A，遊水地B），河道掘削8区間の匿名の河川であるX川流域に適用した．適用に当たり設合計11施設を考える（𝑁𝑁𝐼𝐼 = 11）．各施設に関するパラ定した諸条件を以下に整理する．社会的割引率𝜌𝜌には4%を用いた． 1年間の予算の上限𝑌𝑌� には50億円を用いた．

メータと，各施設が治水効果を及ぼす氾濫ブロックを表-2に整理する．ダムと遊水地は，整備が完了するまで治式(10), (11)のガンベル分布のパラメータ𝜃𝜃base と𝜂𝜂base は，

水効果が得られない一方で，河道掘削は工程の進行に伴対象河川の基準地点における，過去50年間の年最大降雨

い徐々に治水効果が発現すると考えている．総工費𝑐𝑐𝑖𝑖 の量の実績値に対して，最尤法を適用することにより推定

数値は有効数字1桁で示している．遊水地Bは遊水地Aよした．気温𝑠𝑠(度)の上昇は，年最大降雨量を(1 + 0.05𝑠𝑠)

降雨量が2度上昇で1.1--1.15倍，4度上昇で1.2--1.4倍になる

りも小規模なものである．1年間の工費の上限𝑦𝑦�𝑖𝑖 は全てという国土交通省の試算16)に基づいている．降雨波形に掘削は特定の破堤地点にのみ治水効果をもたらす．

倍する効果があるとした（𝑢𝑢 = 0.05）．この設定は，の施設について25億円と設定した． ダムと遊水地は全破堤地点に対して治水効果をもたらすのに対して，河道は，対象河川の基本高水検討対象洪水の実績降雨ハイエ

4. (4)でも述べたように，水害の被害を近似的に評価すトグラフを用い，各降雨波形の実現確率𝑝𝑝𝑤𝑤 は，全てのるための区分線形関数の作成には，日本の実務において波形について等しいとした．
氾濫ブロックは9か所設定した（𝑁𝑁𝐽𝐽 = 9）．現状の河標準的に採用されている流出・氾濫解析の手法を採用した．河道掘削に分類される治水施設𝑖𝑖については，式(19),(20), (23)に含まれるℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 , ℎ�𝑖𝑖𝑖𝑖 （破堤が生じる流量の増加量）

道を想定するとき，L2規模の降雨量が生じ，かつ，ピーク流量を最大化する降雨波形が実現し，かつ，各地点の値を設定する必要がある．この値は，掘削に伴う径深𝑗𝑗で破堤が生じた場合の被害は，表-1のように整理できと断面積の増加に伴う流下能力の増加量を，等流計算にる．被害額は物的資産の被害額を示す．死者数は避難率

よって評価することにより設定した．

が0%である場合の数値である．表中の被害額と死者数

以下の分析では，水害の被害額の評価手法として，人は有効数字2桁で示されている．
9

命の価値を考慮しない手法と，人命の価値を考慮する手法の二通りを考える．人命の価値を考慮しない手法では，物的資産の被害額のみを水害の被害として考慮する．人命の価値を考慮する手法では，人命の価値を 1 人当たり
10 億円と設定し，死者数×10 億円を被害額に算入する．
このような二通りの評価手法の各々を用いて分析を行う
ことにより，人命の価値の考慮が分析結果に与える影響
に関する感度分析を行う．
(2) アルゴリズムの有効性
本節では，水害の被害額として，人命の価値を考慮し図-7ない手法を採用する場合の分析過程を取り上げ，提案しiter = 1のサンプルパスの束の下での目的関数値の収束状況

たアルゴリズムの有効性を確認する．
図-7は，図-6の繰り返し数がiter = 1のサンプルパスの束の下における，遺伝的アルゴリズムの収束状況を示したものである．横軸は世代数𝑔𝑔，縦軸は目的関数値である．51世代目までに目的関数値がほぼ収束していることを確認できる．よって，遺伝的アルゴリズムの世代数の設定は適切だと考えられる．
図-8の青い実線は，図-6の繰り返し数iterが1から100までのサンプルパスの束の下における，目的関数の最適値（図-7に示されたグラフの𝑔𝑔 = 51における数値に対応する）を示したものである．図-8のオレンジの破線は，
図-6のアルゴリズムにより得られた最適解𝐬𝐬� ∗ を利用して，

図-8 各サンプルパスの束の下での目的関数の最適値

100万本のサンプルパスの下でシミュレーションを行い，式(41)により求めた𝑉𝑉0 の値（以下では，𝑉𝑉0∗ で表す）の水

表-3 最適解𝑠𝑠̃𝑖𝑖 と目的関数値

準である．𝑉𝑉0∗ は1740.8億円である．各繰り返しの1000本

物的資産
のみ

人命価値
含む

ダム

3.53

遊水地 A

3.46

3.05

2.77

遊水地 B

0.88

0.86

0.30

0.29

0.43

0.36

0.98

1.00

0.41

0.43

0.31

0.34

0.64

0.65

5.51

5.41

1.23

0.98

1740.81818.22246.12379.5

治水施設𝑖𝑖のサンプルパスの下での最適値は，𝑉𝑉0∗ を中心に変動していることが確認できる．青い実線で表される100個の最適値の平均値（以下では，𝑉𝑉�0 で表す）は1721.0億円であり，𝑉𝑉0∗ に近い値となっている．両者の差はサンプル

区間 1 掘削

パスの本数に由来している．1000本のサンプルパスを用いて目的関数の評価を行う場合には，サンプルパスに存在する偏りのため，最適解は𝐬𝐬� ∗ とは異なったものになる．
例えば，ある1000本のサンプルパスには，たまたま，大規模な洪水をもたらす乱数があまり含まれていなかった

区間 2-3掘削
区間 4 掘削
区間 5 掘削区間 6 掘削区間 7 掘削とする．このとき，そのサンプルパスの束の下では，治区間 8 掘削

水施設の整備を控えることにより，目的関数値を減らすことができる．𝑉𝑉0∗ と𝑉𝑉�0 の差が小さいことは，このよう

区間 9 掘削
𝑉𝑉0 [億円]

𝑉𝑉0bad [億円]

なサンプルパスの偏りを利用した，目的関数値の改善の余地が小さいことを表している．よって，一束のサンプ
ルパスの本数𝑀𝑀が最適解𝐬𝐬� ∗ に及ぼす影響は，𝑀𝑀 = 1000を考慮する手法を採用した場合の最適解を示している．

のとき，実用上問題の無い大きさであると考えられる．

現在時点𝑡𝑡 = 0における気温変化𝑠𝑠0 （確定値）は0.63度であるから，𝑠𝑠̃𝑖𝑖 ≤ 0.63である治水施設は，現在時点もし(3) 分析結果

くは近い将来において，整備を開始すべきであることを分析により得られた最適解𝑠𝑠̃𝑖𝑖 を表-3に示す．「物的資意味している．また，式(36)で定義したように，𝑠𝑠̃𝑖𝑖 の低産のみ」と「人命価値含む」の列はそれぞれ，水害の被い治水施設は，整備の優先順位が高い．例えば，人命を害額の評価手法として，人命を考慮しない手法と，人命
10

ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

図-9 人命の価値を考慮しない場合の平均シナリオ下の各治水施設の最適整備時期

ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

図-10 人命の価値を考慮しない場合の温暖化急速進行シナリオ下の各治水施設の最適整備時期

ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

図-11 人命の価値を考慮する場合の温暖化急速進行シナリオ下の各治水施設の最適整備時期考慮しない手法の場合，時点𝑡𝑡 = 0における予算50億円

一本目は，図-1に示したRCP2.6シナリオとRCP8.5シナリが配分される治水施設は，区間1の掘削（15億円），区オの中間の気温変化のサンプルパスであり，平均シナリ

間5の掘削（10億円），区間6の掘削（25億円）となる．

オと呼ぶ．二本目は，図-1に示したRCP8.5シナリオの気表-3の「𝑉𝑉0 [億円]」の行は，最適解を採用した場合

温変化のサンプルパスであり，温暖化急速進行シナリオの目的関数値を示している．「𝑉𝑉0bad [億円]」の行は，と呼ぶ．水害の被害額の評価手法として，人命を考慮し現在時点以降に，治水施設の整備を一切行わないという， ない手法を採用する場合，これらの二本のサンプルパス
無作為の方策を採用した場合の目的関数値を示している． の下で，各治水施設の整備が行われる時期を，図-9, 図これらの目的関数値は，100万本のサンプルパスの下で10に示す．表の各行は治水施設𝑖𝑖を，各列は時点𝑡𝑡を表す．

シミュレーションを行うことにより評価している．𝑉𝑉0

左の列から右の列に向かって，2020年，2021年，…，

により得られる純便益の期待値を示している．水害の被治水施設の整備が行われる時点（𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 > 0となる時点）と𝑉𝑉0bad の差は，治水施設の整備を最適に実施すること2100年を表している．各行の塗りつぶされた枠が，当該害額の評価手法として，人命を考慮しない手法の下でのを表している．温暖化急速進行シナリオの下では，平均純便益は505.3億円，考慮する手法の下での純便益はシナリオの場合と比較して，より早い時期に遊水地Bの561.4億円と評価できる．

整備と区間4, 9の河道掘削が行われていることを確認で治水施設の最適な整備時期は，将来に実現する気温変

きる．さらに，平均シナリオの下では，ダムと遊水地A化に依存したものとなる．この性質を具体的に示すためは整備されないのに対して，温暖化急速進行シナリオのに，気温変化に関する二本のサンプルパスを設定する．

下では，これらの治水施設が2075年以降に整備されるこ11

の人口・資産の変化や，治水施設の維持管理・更新費用とを確認できる．
このように，本研究の提案する最適化問題とその解法を考慮することが挙げられる．第三の課題は，決定変数を利用することにより，実際の気候変動のモニタリング

を決める方策を，より複雑な関数形で表現することであ状況に合わせた，段階的かつ柔軟な治水施設の整備計画

る．例えば，全ての状態変数を入力とするニューラルネ

を求めることができる．この最適化問題を解く過程におットワークなどを用いることが考えられる．

いては，「現段階では，気温が大きく上昇する可能性が低いから，この治水施設にはまだ投資しない方が良い」， 謝辞：本研究の遂行に当たり，国土技術研究センター研あるいは，「気温がこの水準まで上昇してから，この治究開発助成第 19004 号の助成を受けました．ここに記し

水施設の整備を開始したのでは遅すぎる」といった比較て感謝の意を表します．

が暗黙的に行われている．このような比較に基づいて整付録 I 被害額の評価にストックの毀損額を用いることの正当性

備計画を導くことが可能であることが，本研究の提案する分析枠組みの有用性である．
図-11 は，水害の被害額の評価手法として，人命を考(1) フローの被害額とストックの毀損額の関係慮する手法を採用する場合，温暖化急速進行シナリオの下で，各治水施設の整備が行われる時期を示している．
図-10 と比較すると，より早い時期にダム・遊水地 A の定の仮定の下では正当化できる．その仮定とは，資産価

整備と，区間 9 の河道掘削が行われていることを確認で値の評価額が，その資産が将来に生み出す付加価値の割きる．一方，その他の治水施設の整備時期は，図-10 と引現在価値に等しいことである．

被害額の評価にストックの毀損額を用いることは，一図-11 の間に大きい差は無い．この原因は二つあり，第耐用年数が𝐿𝐿，一時点に生み出す付加価値が𝑅𝑅の資産

一に，表-1 に示すように，多くの氾濫ブロックにおいてを考える．この資産が調達される時点を𝑡𝑡 = 0の期首，除却される時点を𝑡𝑡 = 𝐿𝐿 − 1の期末とする．この資産が時点𝜏𝜏 (0 ≤ 𝜏𝜏 < 𝐿𝐿)以降に生み出す付加価値の，時点𝜏𝜏には，死者数が少ないため，これらのブロックを保護する
河道掘削の便益は，命の価値を考慮してもあまり変わらないことである．第二に，死者が出る状況は，床上浸水おける割引現在価値𝑆𝑆𝜏𝜏 は，
𝐿𝐿−1を伴うような大規模な洪水の場合に限られるため，気候𝑆𝑆𝜏𝜏 = � 𝛽𝛽 𝑡𝑡−𝜏𝜏 𝑅𝑅 =変動がかなり進行しないと，治水施設が死者数を減らす

𝑡𝑡=𝜏𝜏

便益は顕在化しにくいことである．以上のように，本研

1 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏⋅ 𝑅𝑅
1 − 𝛽𝛽(42)と表される．ただし，𝛽𝛽 = 1/(1 + 𝜌𝜌)は社会的割引率𝜌𝜌

究が提案する分析枠組みを用いて，人命の価値に関するに対応する割引因子である．仮に，この資産の時点𝜏𝜏に
感度分析を行うことにより，最適解の頑健性を確認できおける価値の評価額が𝑆𝑆𝜏𝜏 に等しいとすれば，この資産がる．これにより，遊水地 Aや区間 9 の河道掘削のように，
時点𝜏𝜏（の期首）において失われる損害の社会的費用は，最適整備時期が命の価値に依存する治水施設を特定できストックの毀損額𝑆𝑆𝜏𝜏 として表せる．なぜなら，𝑆𝑆𝜏𝜏 はこのる．
資産が失われることによって消失する，将来のフローの価値を表しているからである．
会計上は，資産価値の評価額は，取得価額から減価償

6. おわりに却累計額を控除した簿価として表される．これは，資産が将来に生み出す付加価値の割引現在価値とは一般に異

本研究は，気候変動の不確実性を考慮したうえで，治なる．しかし，経済学における一般均衡の考え方を用い

水施設に対する予算配分を動学的に最適化する，現実のると，簿価と付加価値の割引現在価値は近い値を取るこ流域に適用可能なモデルを提案するとともに，遺伝的アとが期待される．式(42)において考えた資産の取得価額

ルゴリズムを応用した，この問題のヒューリスティック

を𝐴𝐴とする．この資産の市場が均衡状態にあると仮定すな解法を提案した．さらに，提案した最適化問題と解法

ると，𝑆𝑆0 = 𝐴𝐴が成立するように，𝐴𝐴と𝑅𝑅の水準が市場メを，日本国内の匿名の流域に対して適用し，その有効性

カニズムにより調整されていると考えられる．すなわち，を確認した．
本研究には三つの課題が残されている．第一の課題は，提案した分析枠組みを，複数の流域を対象に適用するこ𝑆𝑆0 > 𝐴𝐴が成立している状況においては，この資産に対する投資が増加するため，この資産の需要と，この資産が生み出す財・サービスの供給が増加する．これは𝐴𝐴のとである．それにより，複数の流域の間で，治水施設の増加と𝑅𝑅の減少をもたらす．𝑆𝑆0 < 𝐴𝐴が成立している状況

整備の予算をどのように配分していくべきかを考察するにおいては，逆の現象が生じる．よって，長期的には，ことができると考えられる．第二の課題は，分析の内容をより精緻化することである．具体的には，将来の流域
12𝑆𝑆0 = 𝐴𝐴が成立する均衡状態が実現すると考えられる．

この均衡においては，る．この仮定の下では，ある時点において資産の復旧に

1 − 𝛽𝛽
(43)
𝑅𝑅 =
⋅ 𝐴𝐴
1 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿が成立する．これを式(42)に代入すると，
1 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏(44)𝑆𝑆𝜏𝜏 =⋅ 𝐴𝐴
1 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿が成立する．ここで，𝛽𝛽 = 1/(1 + 𝜌𝜌)とおき，𝜌𝜌 ≪ 1と要する支出額𝐴𝐴は，それ以降に資産が生み出す付加価値
𝑆𝑆0 によって丁度相殺される．よって，復旧時期に依存せず，資産の所有者（公共資本の場合は国民）が得る純
便益は変化しない．
(3) 𝑆𝑆0 ≠ 𝐴𝐴の場合仮定すると，𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏 ≃ 1 − 𝜌𝜌(𝐿𝐿 − 𝜏𝜏)であるため，
𝐿𝐿 − 𝜏𝜏
(45)
𝑆𝑆𝜏𝜏 ≃⋅ 𝐴𝐴
𝐿𝐿と近似できる．これは資産を定額法により償却する場合

𝑆𝑆0 = 𝐴𝐴が成立しない場合には，被害額の評価にストックの毀損額を用いることは，被害額の過大評価もしくは過小評価をもたらし得る．このバイアスについて，
𝑆𝑆0 < 𝐴𝐴の場合と𝑆𝑆0 > 𝐴𝐴の場合に分けて議論する．

の簿価に等しい．すなわち，資産の市場が均衡状態にあa)ると仮定すると，会計上の資産の簿価を用いて，その資𝑆𝑆0 < 𝐴𝐴の場合

この場合には，式(43), (44)の等号（=）が不等号（<）

産が失われることによって消失するフローの価値を近似に置き換えられる．よって，ストックの毀損額（式(44)

的に評価できる．

の右辺）は，フローの被害額𝑆𝑆𝜏𝜏 を過大評価する．過大評

国土交通省の治水経済調査マニュアル 17)においては，価の大きさは式(44)の両辺の差となる．

資産の被害額の評価に再調達価格（すなわち𝐴𝐴）を用い

この場合には，被災後に資産の復旧を行わないことがることとされているため，以上の議論に基づけば，被害最適となる．資産の復旧を行うと，資産の所有者が得る額を過大評価することになる．ただし，以上の数式で用いられている耐用年数𝐿𝐿は，資産が調達された時点から，資産が使用に耐えなくなる時点までの，物理的な耐用年

純便益は（復旧を行う時点を基準にして）𝐴𝐴 − 𝑆𝑆0 だけ減

少する．
b)

数であることに留意する必要がある．会計上の資産の簿

𝑆𝑆0 > 𝐴𝐴の場合この事例が該当する資産は，市民の生活再建のために価の評価に用いられる法定耐用年数が，物理的な耐用年

不可欠なインフラなどである．このような資産は，被災数より短い場合には，会計上の資産の簿価を用いること

後に直ちに復旧することが最適となる．復旧が遅れるほは，被害額を過小評価する可能性がある．治水経済調査

ど，資産の所有者が得る純便益は減少する．すなわち，マニュアルにおける被害額の評価方法は，資産の物理的フローの被害額が増加する．

な耐用年数が非常に長いという仮定を置いた評価方法でこのような資産の所有者は，資産が耐用年数を迎えるあると解釈できる．本研究では，適切な耐用年数につい度に，資産の再調達を行うことが最適となる．この最適ての議論は行わず，治水経済調査マニュアルに従って物な行動を取る所有者が，将来にわたり獲得する純便益を的資産の被害額を評価した．適切な耐用年数の設定に基求めよう．時点𝑡𝑡 = 0の期首において資産の再調達が行づく被害額の評価方法は今後の課題である．

われるとき，次の再調達が行われる時点𝑡𝑡 = 𝐿𝐿までの間に所有者が得る純便益𝐵𝐵は，時点𝑡𝑡 = 0を基準にして，(2) 被害額とストックの復旧時期の関係

𝐿𝐿−1

前節の議論は「被災した資産の復旧（再調達）をいつ(46)

𝐵𝐵 = � 𝛽𝛽 𝑡𝑡 𝑅𝑅 − 𝐴𝐴

行うべきか，あるいは，復旧を放棄すべきか」という判

𝑡𝑡=0

断とは無関係に成立することに注意されたい．被害額のと表せる．この純便益が𝐿𝐿期間ごとに生じるため，所有評価にストックの毀損額を用いる理由は，その資産が将者が時点𝑡𝑡 = 0から無限期間にわたり得る純便益𝑊𝑊は，∞来に生み出していたはずの付加価値の割引現在価値を近𝑖𝑖=0

額に等しいからではない．後者の理由を採用すると，資産の復旧を放棄すれば，その資産の被害額はゼロとなる
が，これは不合理である．資産が復旧されない場合でも，資産が耐用年数を迎えるまでに生み出していたはずの付

𝑡𝑡=0

𝑡𝑡

∞

𝑊𝑊 = � 𝛽𝛽 𝐵𝐵 = � 𝛽𝛽 𝑅𝑅 − � 𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴

似しているからであって，その資産の復旧に要する支出ている．式(42)の𝑆𝑆𝜏𝜏 は，この失われた付加価値を評価すと表せる．𝑊𝑊は再調達が行われる時点以降に所有者が得る純便益である．一方，時点𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 (0 ≤ 𝜏𝜏 < 𝐿𝐿)以降に所有者が得る純便益は，時点𝑡𝑡 = 𝜏𝜏を基準にして，と表せる．

るものである．

(47)

𝑖𝑖=0

∞

∞

𝑡𝑡=𝜏𝜏

𝑖𝑖=0

𝑆𝑆𝜏𝜏 + 𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏 𝑊𝑊 = � 𝛽𝛽 𝑡𝑡−𝜏𝜏 𝑅𝑅 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏 � 𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴

加価値（フロー）は失われており，経済的な被害が生じ(48)

いま，時点𝑡𝑡 = 𝜏𝜏の期首において災害が生じ，この資

被災した資産の復旧時期に依存せずに前節の議論が成立する理由は，𝑆𝑆0 = 𝐴𝐴の成立を仮定していることであ

∞

𝑖𝑖𝑖𝑖

産が失われたとする．このとき，最適な行動を取る所有
13

者は，直ちに資産を復旧する．この災害の結果として，

Input: 関数𝑓𝑓(𝐱𝐱) ，変数𝐱𝐱 = (𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) の定義域
�𝐱𝐱, 𝐱𝐱��，𝐱𝐱の初期値𝐱𝐱 init
Output: min 𝑓𝑓(𝐱𝐱)の近似解𝐱𝐱 ∗所有者が得る純便益は，𝑆𝑆𝜏𝜏 + 𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏 𝑊𝑊から𝑊𝑊に減少する．
この減少額は式(48)と式(47)の値の差であるから，𝑆𝑆𝜏𝜏 + 𝛽𝛽

𝐿𝐿−𝜏𝜏

𝑊𝑊 − 𝑊𝑊 = (1 − 𝛽𝛽

𝐿𝐿−𝜏𝜏

∞

1)
2)

𝑖𝑖𝑖𝑖

) � 𝛽𝛽 𝐴𝐴
𝑖𝑖=0

1 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿−𝜏𝜏
(49)
=
⋅ 𝐴𝐴
1 − 𝛽𝛽 𝐿𝐿と表せる．この結果と式(44)の右辺を比較すると，実は

3)
4)
5)
6)

𝑆𝑆0 > 𝐴𝐴の場合の被害額も，会計上の資産の簿価を用いて評価できることがわかる．

このように，𝑆𝑆0 > 𝐴𝐴の場合にも，ストックの毀損額

はフローの被害額に一致し得る．ただし，これは，被災

7)

後に資産が直ちに復旧されるという前提の下で成り立つ
結果であることに留意する必要がある．資産の復旧が遅れれば遅れるほど，所有者が得る純便益の減少額は拡大する．よって，資産の復旧が被災後に直ちに行われない

8)9)

場合には，ストックの毀損額はフローの被害額を過小評価することになる．

10)

付録 II 遺伝的アルゴリズムの実装

11)
12)

遺伝的アルゴリズムの実装には様々な手法が存在する
が，本研究では，Yoon and Kim を参考に，図-12に示す
18)

遺伝的アルゴリズムを採用する．図中の変数や関数の名𝐱𝐱𝐱𝐱1 ← 𝐱𝐱 init
一様乱数を用い，𝐱𝐱 𝑘𝑘 ∈ �𝐱𝐱, 𝐱𝐱��を満たすベク
トルを 99 個生成する (2 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 100)．
𝐱𝐱 𝑘𝑘 (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 100) を，𝑓𝑓(𝐱𝐱 𝑘𝑘 )の値が昇順になるように並べ替える．
𝑔𝑔 ← 1𝑘𝑘 ′ ← 101
𝐱𝐱 𝑘𝑘 (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 100) から 2 つのベクトルを非復元抽出する．その際，𝐱𝐱 𝑘𝑘 が抽出される確率を，101 − 𝑘𝑘に比例させる．
6)で抽出された2つのベクトルを交叉させ，新たなベクトルを 2 つ生成し，それらのベクトルに変異を適用する．このようにして′′生成された 2 つのベクトルを𝐱𝐱 𝑘𝑘 , 𝐱𝐱 𝑘𝑘 +1 とする．
𝑘𝑘 ′ ← 𝑘𝑘 ′ + 2
𝑘𝑘 ′ ≤ 199なら6)に戻る．そうでなければ10)に進む．
𝐱𝐱 𝑘𝑘 (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 200) を，𝑓𝑓(𝐱𝐱 𝑘𝑘 )の値が昇順にな る よ う に 並 べ 替 え る ． そ の 後 ， 𝐱𝐱 𝑘𝑘(101 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 200)を削除する．
𝑔𝑔 ← 𝑔𝑔 + 1
𝑔𝑔 ≤ 50なら 5)に戻る．そうでなければ𝐱𝐱1 を
𝐱𝐱 ∗ として返却して終了する．
図-12 実数値の遺伝的アルゴリズム

前の意味は，3.で定式化したモデルとは異なることに注意されたい．𝑘𝑘はベクトルの個体番号を表し，𝑔𝑔はアルゴリズムの繰り返し数（世代数）を表している．個体数

Input: 親となる 2 つのベクトル𝐱𝐱 𝑝𝑝1 , 𝐱𝐱 𝑝𝑝2
Output: 子となる 2 つのベクトル𝐱𝐱 𝑐𝑐1 , 𝐱𝐱 𝑐𝑐2
1)
𝑖𝑖 ← 1𝑝𝑝
𝑝𝑝
2)𝑚𝑚 ← min�𝑥𝑥𝑖𝑖 1 , 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 �
𝑝𝑝1 𝑝𝑝2
3)
𝑀𝑀 ← max�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑖𝑖 �4)𝑧𝑧 ← 𝑈𝑈(0,1)
𝑐𝑐
5)𝑥𝑥𝑖𝑖 1 ← 𝑚𝑚 + (𝑀𝑀 − 𝑚𝑚)𝑧𝑧
𝑐𝑐6)𝑧𝑧 < 1/2 な ら ば 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 ← (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚)/2 + (𝑀𝑀 −𝑐𝑐𝑚𝑚)𝑧𝑧 を実行する．そうでなければ𝑥𝑥𝑖𝑖 2 ←
𝑚𝑚 + (𝑀𝑀 − 𝑚𝑚)(𝑧𝑧 − 1/2)を実行する．
𝑐𝑐
𝑐𝑐
7)25%の確率で𝑥𝑥𝑖𝑖 1 ← 𝑥𝑥𝑖𝑖 1 + 𝑁𝑁(0, 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚)を実
行する．
𝑐𝑐
𝑐𝑐
8)
25%の確率で𝑥𝑥𝑖𝑖 2 ← 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 + 𝑁𝑁(0, 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚)を実行する．
9)𝑖𝑖 ← 𝑖𝑖 + 110) 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛なら 2)に戻る．そうでなければ𝐱𝐱 𝑐𝑐 を返却して終了する．

は100，最終世代数は51に設定している．個体が親として選抜される確率は，個体の目的関数値の順位に応じて設定される．個体の置き換えは，親子の200個体を順位付けし，順位の低い100個体を削除することによって行
う．交叉と変異には，図-13に示すアルゴリズムを採用する．図中の4)-6)は交叉を表し，ベクトルの要素ごとに，両親の数値の中間的な数値がランダムに決定される．交𝑐𝑐
𝑐𝑐
叉の結果として決定される𝑥𝑥𝑖𝑖 1 , 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 は，(𝑚𝑚, 𝑀𝑀)の範囲の𝑐𝑐𝑐𝑐
値を取り，�𝑥𝑥𝑖𝑖 1 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 � = (𝑀𝑀 − 𝑚𝑚)/2を満たす．図中の7), 8)は変異を表し，ベクトルの要素ごとに，両親の数値の差に依存した大きさのノイズが乗せられる．図-12の7)では，図-13のアルゴリズムを用いて，2つの子を生成する．個体別の関数の値𝑓𝑓(𝐱𝐱 𝑘𝑘 )の計算は，並列化による高速化が可能である．

図-13 交叉と変異のアルゴリズム

参考文献
1)

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Vol. 54, pp. 3018–3036, 2018.

DYNAMIC OPTIMIZATION PROBLEM OF BUDGET ALLOCATION FOR
FLOOD CONTROL FACILITIES TAKING ACCOUNT OF CLIMATE CHANGE
UNCERTAINTY
Shunsuke SEGI, Katsumi WAKIGAWA, Toshiyuki NISHIKORI and Yusuke
KOBAYASHI
It is predicted that the amount of rainfall and the frequency of heavy rainfall will increase as global
warming progresses. Therefore, it is necessary to develop flood control facilities to deal with the increasein rainfall. However, there is a great deal of uncertainty about how fast climate change will progress andhow much the temperature will rise. Therefore, it is difficult to properly determine the order of constructionof flood control facilities by assuming a deterministic magnitude of raifall. This study proposes a stochastic
dynamic optimization problem to control the budget allocation for flood control facilities, taking the uncertainty of climate change into account. This study also proposes a heuristic solution method for the problem.
We apply the proposed optimization problem and solution method to a watershed in Japan and confirm its
effectiveness.

15