1

量子力学への道

1.1 古典力学との矛盾
質点や有限な大きさをもつ物体の位置が，時間とともにどのように変動するかを解明した古典力学では，分子，原子，原子核，電子，素粒子等のミクロな世界の記述は難しい．ミクロな世界では，原子間隔のような微小なスケールの位置を測定する物差しは存在しないので，もともと位置の時間的な発展を追うことはできない．そして，古典物理学では説明できず，むしろ矛盾する様々な現象が見つかった．それらの説明のため，新しい概念と論理（数学）が必要となった．
歴史的に，ミクロな世界の特異な現象は，黒体輻射の光の分布関数，光電効果，原子の安定性と線スペクトルの存在，等の順に見つかった．これらの解明に向けて，黒体輻射でプランクが量子仮説を導入し (1900)，光電効果でアインシュタインが光量子として拡張し (1905)，原子の安定性や線スペクトルでボーアが量子の考えを電子に使い量子条件を導く (1914)，等の新たな量子概念が生まれた．量子の考えを，はじめにプランクが光に適用し，次にアインシュタインが光と電子の相互作用に適用した．最後にボーアが原子の内部における電子に適用し，ミクロな現象が説明された．これより，光が粒子性を兼ね備え，電子が波動性を兼ね備えることがわかった．その後，ハイゼンベルク，ディラック，ド・ブロイ，シュレディンガー等による閉じた論理体系としての量子力学の定式化が進んだ．
プランクによる量子概念の導入から量子力学の定式化までが，20 世紀の初めのほぼ 30 年間になされた．波動性と粒子性が共存した世界の理解に端を発し

2

第1章

量子力学への道た量子力学が，古典力学に代わってミクロな世界を記述する力学となった．量子力学は，ミクロな世界の諸現象や様々な物質の構成様式や性質の解明を可能にし，科学技術の大きな発展に寄与している．

1.2 光
1.2.1 黒体輻射
有限な温度で熱平衡にある物理系の性質は，その系に含まれるすべての物理状態やそれらが従う運動法則を反映する．そのため，熱的物理量は，系の内部の情報を供給する強力な手段を与える．例えば，ある温度 T で熱平衡にある輻
射（電磁波）のスペクトルは，古典物理学では温度で決まる特徴的な分布をもつ．これは，黒く塗った壁で囲まれた箱の内部を温度 T に保ったときに，箱の内部に充満する固有な光（黒体輻射）の分布に現れる．箱にあけた小さな穴から放射される光の観測から，黒体の壁と熱平衡にある内部の光の分布がわかるのである．
黒体輻射の分布は，古典的な電磁波の分布になる，と当初思われていた．ところが，この測定の結果は，振動数に依存し，低温領域と高温領域で異なる分布を示した．低温での高振動数領域における分布は，振動数 ν の関数として光の速さ c，温度 T と 2 つの定数 α と β で表されるウィーン (Wien) の放射式

P (T, ν) =8παν 3 − βνe Tc3(1.1)に従い，高温での低振動数領域における分布は，レイリー−ジーンズ (Rayleigh-Jeans) の放射式
P (T, ν) =8πν 2kTc3(1.2)に従うことがわかった．低温で高振動数における分布は，有限温度 T においてエネルギー E をもつ状態の存在確率を表すボルツマン分布

P (T, E) = e− kT
E(1.3)と似ているが，同一ではないし，高温では全く異なる．すなわち，これらの黒体輻射の分布は，古典物理学では全く理解できないものである．
そこでプランクは，量子仮説という大胆なことを考え，ウィーンの放射式とレイリー−ジーンズの放射式を統一的に表す低振動数領域から高振動数領域ま1.2 光3で成立する公式として，プランクの放射式，

P (T, ν) =18πhν 3hν
3ce kT − 1(1.4)

を得た [1]．式 (1.4) は，単純なボルツマン分布 (1.3) とは全く異なる形であり，また，作用の次元（エネルギーと時間の積）をもつ新たな物理定数 h が含まれている．この物理定数 h は，プランクが導入したのでプランク定数と呼ばれている．実際，式 (1.4) で，T を小さく ν を大きくすると，近似的にhνhνe kT − 1 ≈ e kT(1.5)

が成立する．これを代入して，式 (1.4) は8πhν 3 − hν
e kT
(1.6)
c3となり，ウィーンの放射式に一致する．また，式 (1.4) で T を大きく ν を小さ
P (T, ν) =くすると，近似的に

hνkT

(1.7)

8πhν 3 kT
c3 hν

(1.8)

hν

e kT − 1 ≈が成立する．これを代入して，式 (1.4) はP (T, ν) =となり，レイリー−ジーンズの放射式に一致する（図 1.1）．
このように，プランクの放射式は，ウィーンの放射式とレイリー−ジーンズの放射式を統一的に表している．

図 1.1 プランクの放射式（実線），ウィーンの放射式（点線）とレイリー - ジーンズの放射式（1 点鎖線）

2

量子力学の原理

量子力学の原理をはじめに整理しておこう．もともとミクロな現象の理解のために発展した量子力学を，これらの現象と切り離して論じるのは，あまり意味がない．しかしながら，膨大な現象と量子力学の論理を逐次並行に理解することは，初学者にとって大きな労を必要とし，効率的ではない．本章でははじめに量子力学の原理と使用する数学をまとめておく．
ミクロな世界を記述する量子力学は，古典力学とは全く異なる形の極めて首尾一貫した論理体系として，4 つの原理から構成される．第 1 原理は，ミクロな物理系が重ね合わせの原理を満たす複素ベクトル空間で表現されること，第 2原理は，正準座標と正準運動量が複素ベクトル空間における特殊な演算子であり，これらの間の交換関係が純虚数で，大きさが量子論に固有の基本物理定数であるプランク定数で決まる正準交換関係であること，第 3 原理は，状態ベクトルの時間発展が，シュレディンガー方程式で決まるというものである．以上の 3 つの原理は，複素ベクトル空間において表現された，演算子と状態ベクトルに関する基本法則を表す．しかし最後の第 4 原理は，これらと異なる．2 つの状態ベクトルの内積は，それらの状態間の遷移確率振幅であり，振幅の絶対値の 2 乗はその確率である．つまり，確率に従って，自然現象が発現する．すなわち，自然法則と自然現象の間に確率が関与するというものである．
量子力学と古典力学における物理状態の表現の仕方は，大きく異なる．古典
力学で質点の物理状態は，位置座標や運動量で表され，運動は時間に依存して変化する位置座標や運動量で記述される．これらの変数の時間に対する変化率が，基本的な役割をしている．質点の運動方程式は，質量，位置や速度の変化率と力の間の普遍的な関係式である．1 つの物理系は，1 つの力をもつ運動方程式で記述され，その物理系の様々な運動は，同じ方程式の異なる解である．

2.1 第 1 原理：重ね合わせの原理

23

ところが，量子力学では，質点の物理状態は複素ベクトル空間の要素である複素ベクトルで表現される．複素ベクトルが物理状態に対応し，物理状態の情報を担う．複素ベクトルの時間変化が，運動法則の基本をなす方程式，シュレディンガー方程式で決まる．1 つの物理系は，1 つの複素ベクトル空間で表され，その物理系が示す様々な運動状態は，同じシュレディンガー方程式の異なる解に対応する．このように，時間の関数である位置座標や運動量が物理情報を担い，直接観測で簡単に決まる，ニュートンの運動方程式を満たす古典力学とは大きく異なる．
量子力学では，質点の物理状態を表すのは複素ベクトルであり，複素ベクトルの時間変化はシュレディンガー方程式で表される．シュレディンガー方程式から決まる複素ベクトルは，物理状態の時間発展を決めるが，直接観測されるわけではない．観測される物理量は，後で詳しく説明されるように，複素ベクトルとその複素共役の積で表される．さらに，この関係には確率が伴う．これらの関係は，理解しにくいものであるが，いずれにしても，観測量，物理量，ならびに運動法則の間の関係が，量子力学と古典力学とで大きく異なっているのである．

2.1 第 1 原理：重ね合わせの原理
古典的な波である，水面波，電磁波，光等は，物質や電磁場等の変位を表し，実数である．これらの波が，第 1 章で示した 2 重スリットを通過してスクリーンに達するとき，それぞれのスリットを通って重ね合わされた波が，スクリーン上で複雑な干渉縞の模様を示す．これら実数の波の干渉や回折は，波の強度のパターンとして発現し，直接測定することができる．
間隔の小さな 2 重スリットを電子が通過してスクリーンに達するとき，それぞれの波が重ね合わされたことにより，スクリーン上に複雑な干渉縞の模様が現れる．ところで，この場合に測定器により観測される値は，複素数の絶対値の 2 乗に比例することがわかっている．つまり，ミクロな世界の波動現象を記述する波動方程式は複素数を含み，波動関数は複素数である．これは，複素数を含むベクトルとみなせ，各ベクトルが 1 つの物理状態に対応し，複数のベクトルの線形結合が新たな物理状態に対応する複素ベクトル空間をなす．このように量子力学は複素ベクトル空間で表現され，ミクロな世界が波動現象を示す．

24

第 2 章 量子力学の原理

そのために，複素ベクトルの代わりに，波動関数なる名称が一般に用いられている [9]．
後で述べるように，量子力学における観測値と，複素数である波動関数の関係は，量子力学に固有な形をとる．
少し数学的になるが，次項に複素ベクトル空間の性質をまとめておこう．これらは，波動関数が従う性質，方程式や波動関数を含む空間の性質を示したものである．

2.1.1 複素ベクトル空間
複素ベクトル空間の要素である波動関数は，複素数の関数である．この点，量子力学の世界は，実数だけで物理法則が表される古典物理学とは大きく異なる．いま 1 つの物理系 P を，1 つのベクトル空間 V で表すことにし，空間 Vの要素を v とする．この空間で，任意の 2 つの要素 v1 , v2 と任意の 2 つの複素数 c1 , c2 が与えられたとき，それらの線形結合が同じ空間に属する，すなわち

v1 ∈, v2 ∈ V → c1 v1 + c2 v2 ∈ V(2.1)

が満たされるとき，この空間を複素ベクトル空間と呼ぶ．
ベクトル空間の簡単な例として，質点の位置ベクトルの集合がある．これは，実数のベクトルの集まりである実ベクトル空間であり，実数を係数とする任意の 2 つのベクトルの線形結合が同じ空間に属している．実ベクトル空間は，複素ベクトルの集合である複素ベクトル空間とは異なる性質をもつ．1 つの平面上のすべての位置ベクトルの全体が作る空間では，2 つのベクトル r1 , r2 と2 つの実数により構成された線形結合
x1 r1 + x2 r2 = r(2.2)

は，明らかに同じ空間に入っている．
線形独立
複数のベクトル v1 , v2 , v3 , v4 , · · · , vn が線形独立であるとは，これらのどのベクトルも，他のベクトルの線形結合として表せないことである．
別の表現として，既知のベクトル v1 , v2 , · · · から，係数 c1 , c2 , · · · を決める
線形方程式

c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn = 0

(2.3)

3

1 次元運動

本章から，具体的な物理系を考察する．前半では，主に第 1 から第 3 までの3 つの原理を適用して，状態ベクトルの諸性質をシュレディンガー方程式に基づいて明らかにする．
まず，一直線上の粒子の運動から始めよう．波動関数は，時間と 1 つの空間座標で表される．1 次元空間のシュレディンガー方程式は比較的やさしく，解析的に解ける場合もいくつかある．量子力学の特徴的な性質は，空間次元に無関係である．そのため，量子力学の原理的な面やシュレディンガー方程式の解法や解の性質を知るのに，1 次元の問題を調べることは有益である．また，近年の目ざましい技術の進歩の結果，電子が 1 次元空間に閉じ込められた物理系を作成できるようになってきた．そのため，1 次元シュレディンガー方程式で得られた結果を，直接実験的に検証することが可能である．
質量 m の粒子がポテンシャル U (x) 中にあって 1 次元運動をする物理系の波動関数 ψ(x, t) は，シュレディンガー方程式∂
ψ(x, t) = Hψ(x, t)∂tp2∂
H=+ U (x), p = −i2m∂xi

(3.1)(3.2)に従う．ここで，H は，この物理系の古典力学におけるハミルトニアンである．
2p，ポテンシャル U (x)，ハミルトニアンはエ
量子力学では，運動エネルギー 2mルミート演算子である．そのため，固有値は実数である．また，方程式 (3.1) の解は，時間によらない全確率dx ρ(x, t)(3.3)

をもつ．全確率が時間によらない定数であることは，確率密度 ρ(x, t) と確率の

66

第 3 章 1 次元運動

流れ j(x, t) が，波動関数とその複素共役の積で

ρ(x, t) = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)j(x, t) = ψ ∗ (x, t)(3.4)−i ∂ ∗−i ∂ψ(x, t) +ψ (x, t)ψ(x, t)
2m ∂x
2m ∂x(3.5)となっていて，連続の式を満たすことよりわかる．実際，上のシュレディンガー方程式 (3.1) より，∂∂∂
ρ(x, t) = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) + ψ ∗ (x, t) ψ(x, t)∂t∂t ∂t(2−11∂=+ U (x) ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)
−i
i 2m
∂x

(211 ∗∂+ U (x) ψ(x, t)+ ψ (x, t)
−i
i
2m
∂x

2−1
∂
1=−i
ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)i 2m∂x(2∂1−iψ(x, t)(3.6)+ψ ∗ (x, t)2m∂x2∂1∂1j(x, t) =ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)−i∂xi 2m∂x(2∂1∗+ψ (x, t)−iψ(x, t)(3.7)
2m∂xとなり，ポテンシャルとは無関係に連続の式∂∂
ρ(x, t) +j(x, t) = 0∂t∂x(3.8)を満たす．連続の式は，まさに確率が保存することを示している．連続の式より，空間積分した全確率は∂∂t

dx ρ(x, t) = −dx∂j(x, t) = −[j(x)]∞−∞ = 0∂x(3.9)となり，時間によらない．ここで，十分遠方では ψ = 0 とする．
上の連続の式は，電荷密度と電流密度が満たす関係式と同じである．電磁気の場合には，ある場所における電荷密度の時間的な変化は，電荷の空間的な移動を伴うことを示す．量子力学の確率が同じ性質をもっている．

3.1 平面波67

3.1 平面波
自由な粒子では，U (x) = 0 であり，波動方程式はip2∂
ψ(x, t) =ψ(x, t)∂t2mであり，座標表示で∂2i ψ(x, t) = −∂t2m

∂∂x(3.10)2ψ(x, t)(3.11)となる．この方程式は線形であるので，方程式の 2 つの解 ψ1 と ψ2 の線形結合

ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2(3.12)

は，やはり同じ方程式の解となる．
定常状態は，時間が経過しても変わらない状態であり，時間について指数関

数型の波動関数

ψ(x, t) = expEtiψ(x, 0)(3.13)

で表される．ここで，座標の関数 ψ(x, 0) は，E をエネルギー固有値とする固有値方程式−22m∂∂x2ψ(x, 0) = Eψ(x, 0)(3.14)を満たす．E は，古典力学のエネルギーに対応する量子力学のエネルギーである．

3.1.1 進行波
ここで，方程式 (3.11) の特解として，平面波

ψ(x, t) = e−i(  t−kx)
E(3.15)の解を求めよう．式 (3.15) を波動方程式 (3.11) に代入して，エネルギーと運動量ならびに波数との関係

E=p2,2mp = k(3.16)を得る．エネルギーが運動量の 2 乗に比例するのは，古典力学と等価である．
この波で，位相の変化が一定であるのは，任意の定数 C に対して

4調和振動子

調和振動子は，k をばね定数とした 2 次式のポテンシャル

V =k(x − x0 )2 + V02(4.1)

で表される 1 次元の物理系である．ここで，k は正の値をとるばね定数であり，x0 は振動の中心である．調和振動子は，簡単なポテンシャルでありながら様々な物理系において近似的に現れる．位置 x0 で，質点が安定に静止しているな
らば，ポテンシャル V (x) は極小になっていてV  (x)|x=x0 = 0(4.2)

である．したがって，x0 の近傍では，ポテンシャルは近似的に

1
V (x) = V0 + V  (x0 )(x − x0 )22(4.3)のように，定数 k = V  (x0 ) の 2 次式で表せる．
安定点の近傍の領域では，物体はばね定数 k の微小振動を行う．微小振動の量子力学は，固有値や固有解をはじめ，解析的に，かつ厳密に解くことができる．また，一般の微小振動に拡張するのも比較的やさしい．本章では，1 次元調和振動子の量子論を考察する．

4.1 定常状態
簡単のために x0 = 0, V0 = 0 とし，質量を m とする．古典力学では，運動エネルギーは正定値である．そのため，全エネルギーがある値 E であるとき，

E=p2k+ x2
2m 2(4.4)

4.1 定常状態

97となり，位置座標は有限な領域|x| ≤ x1 ,x1 =2Ek(4.5)に限られる．E の大きさが，領域の大きさを決めている．特に，原点に静止している (x = 0, p = 0) 解のエネルギーは E = 0 である．一般の解では，E はゼロか任意な正の値となる．
量子力学では，定常状態のエネルギーは，古典力学とは大きく異なる．定常Et状態の波動関数 e i ψ(x) で，ψ(x) はシュレディンガー方程式

−
k 2
2 ∂ 2x+ψ(x) = Eψ(x)2m ∂x22(4.6)に従う．図 4.1 に，ポテンシャルと波動関数の x → ∞ での振る舞いを示した．

|x| → ∞ で必ずE−となるので，波動関数は

k 2x <02∂2ψ∂x2ψ

(4.7)>0(4.8)となる．そのため，この波動関数は，|x| → ∞ でゼロとなるか，発散する．後者は物理的に意味がないので除外する．つまり粒子は，無限遠領域では存在しない点で，古典力学と同じ性質をもつ．
しかし量子力学では，E の値が不連続な値に制限される．実際，規格化条件

 ∞

−∞

dx |ψ(x)|2 < ∞(4.9)

を満たす波動関数は，E が飛びとびの値となる．このように，エネルギーが連続である自由粒子とは異なる振る舞いが，調和振動子では現れる．

図 4.1 x とともに減少する
波動関数

98

第 4 章 調和振動子

4.2 微分方程式の解法：エルミート多項式
微分方程式 (4.6) は，飛びとびの E で解をもち，この値を固有値，方程式を固有値方程式と呼ぶ．

4.2.1 漸近形
固有値方程式を解く前に，いくつかの関数の 2 階微分を計算してみよう．

α や σ を定数とする指数関数では，
2 ∂ 2 −αx(α)2 −αxee=−2m ∂x22m2 σ −σx2 (2σ)2 2 −σx2
2 ∂ 2 −σx2e=−ex e−22m ∂xm2m−(4.10)(4.11)となる．式 (4.10) より，関数 e−αx は上の定常状態の固有値方程式 (4.6) の解にはなりえないことがわかる．しかし，式 (4.11) は，方程式 (4.6) におけるパラメーターがk=(2σ)2,mE=2 σm(4.12)であれば，方程式 (4.6) と同等な式となっている．つまり，関数2e−σx ,√mk

(4.13)

km(4.14)σ=は，方程式 (4.6) の固有値がE=2である固有関数である．この関数 e−σx は非常になめらかで，無限遠で急激に小さくなる．後でわかるように，この状態は，最低のエネルギーをもつ基底状態である．また，励起状態は，有限な x でゼロとなる節をもつ固有関数である．このことは，図 4.2 に示した基底状態と第 1 励起状態の波動関数からよくわかる.
方程式 (4.1) の 1 つの特解がわかったので，次に一般解を求める．一般解は，漸近領域の振る舞い（漸近形）を変えないはずである．ここで，f (x) を未知の関数として2

ψ = f (x)e−σxとおく．これを微分方程式 (4.6) に代入すると(4.15)

6

水素原子

水素原子は，正電荷 +1|e| をもつ陽子に 1 つの電子が束縛された，最も単純な原子であり，電子と陽子の座標と，これらの距離に反比例するクーロンポテンシャルからなるハミルトニアンで表される．異符号の電荷をもつ陽子と電子の間のクーロン引力のために，束縛状態が形成される．クーロン力は，スピンには依存しないので，ここでは，スピンは無視する．
量子力学は，第 1 章でみたように，(1) 原子に不連続スペクトルが存在すること(2) 原子核の周りの電子の運動に古典物理学を適用すると，原子は電磁波を放射して徐々にエネルギーを失うこととなり，不安定である等の古典物理学では不可解な事柄の理解を目指して展開した．当初は，量子の考えを古典物理学に巧妙に組み入れた半古典論が適用された．本章では，シュレディンガー方程式を解くことにより，原子の不連続なエネルギー準位を導く．
これにより，ボーアと一致する結果が得られることを示す．

6.1 2 体問題
質量 M1 ，位置ベクトル x1 の質点と，質量 M2 ，位置ベクトル x2 の質点が，互いの距離 r = |x1 − x2 | で決まるポテンシャル U (r) のもとで運動している系のラグランジアンはL=M12dx1 (t)dt2+M22dx2 (t)dt2− U (r)であり，それぞれの運動量 p1 ，p2 を用いて，ハミルトニアンは

(6.1)

160

第 6 章 水素原子H=11
p1 (t)2 +p2 (t)2 + U (r)2M12M2(6.2)

である．
ここで，ポテンシャルの性質を考慮して，2 つの重心の位置を表す重心座標と相対的位置を表す相対座標を導入しよう．重心座標 X(t) と相対座標 r(t) は

M2r
M1 + M2
M1x2 = X −r
M1 + M2

x1 = X +(6.3)(6.4)

であり，これらに共役な運動量 P ，p を用いて表すと

M1P +pM1 + M2
M2
p2 =P −p
M1 + M2
p1 =(6.5)
(6.6)

である．
ハミルトニアンは，重心座標と相対座標に共役な運動量で表すと

11p(t)2 − U (r)P (t)2 +2Mt
2μ
M1 M2μ=, Mt = M 1 + M 2
M1 + M2

H=(6.7)(6.8)のように変数分離形になる．そのため，定常状態の波動関数は

Ψ (x1 , x2 ; t) = e−iEtΨE1 (X)ψE2 (r),E = E1 + E 2(6.9)のように両変数の関数の積となり，それぞれが，波動方程式

1P (t)2 Ψ (X) = E1 Ψ (X)
2Mt
1p(t)2 − U (r) ψ(r) = E2 ψ(r)2μ(6.10)(6.11)

を満たす．
ここで，特に 2 つの質量に大きさな差があって，M1  M2 の場合

μ=M1 M2≈ M2 ,
M1 + M2

Mt = M 1 + M 2 ≈ M 1(6.12)となる．陽子の質量は，電子の質量の約 2000 倍であり，この状況に一致している．波動関数で，重心座標に依存する部分が 1 つの運動量をもつとしても，相対座標 r に依存する部分は必ず拡がった波動関数となっている．このため，電子1となる．
は r の拡がりと同じ拡がりをもつが，陽子は相対座標の拡がりの 2000

6.2 水素原子のレンツベクトル

161

6.2 水素原子のレンツベクトル
6.2.1 レンツベクトル
相対座標 x に依存し，電荷で決まる定数 αc からなるクーロンポテンシャル，

U (x) = −αc,r1/2r = (x2 + y 2 + z 2 ),αc =e24πε0(6.13)がはたらいている陽子と電子からなる 2 体系で，質量 m の電子の相対座標 xの運動では，保存量は角運動量と，クーロンの相互作用に固有なベクトル（レンツベクトル）である．なお，この αc は，微細構造定数ではない．
相対座標に依存するハミルトニアンは

1 2 αcp −2mr

(6.14)

xṗ = mv̇ = −αc 3r(6.15)

H=であり，古典力学の運動方程式はである．m は厳密には換算質量であるが，ほぼ電子の質量に一致するので，ここでは記号 m を使う．
動径方向の単位ベクトル er の時間変化を調べよう．r の定義から，

dd r
er ==dt
dt r=!d "!d "dt r r − dt r r
r2 &'d!d "dt r·r
rr
r
−dtr

r2
1 p r − (p · r)r=mr32="!d " 2 !ddt r r − dt r · r r
r3(6.16)となる．次に，恒等式(x × p) × x = x2 p − (x · p)x(6.17)

L=x×p(6.18)r'
1 &dL× 3(L × p) = L × ṗ = −dt
αcr(6.19)と，角運動量の定義ならびに運動方程式から得られる

8

摂動論

8.1 近似法
クーロンポテンシャルや調和振動子では，エネルギー固有状態や固有値を厳密に求めることができた．しかし，これら以外の一般的なポテンシャルでは，通常，シュレディンガー方程式を解析的に解くことや，ハミルトニアンの固有状態を解析的に求めることは困難である．本書で今まで調べた物理系は，例外的に方程式の厳密な解が具体的に求まった．しかし，現実の多くの問題では，解が解析的に求まるわけではない．それにもかかわらず，物理の諸問題を調べるには，方程式の解を求めることや，解の様々な性質を知ることが必須である．
このような場合，様々な工夫がなされる．それらは，大きく(1) 近似的解法(2) 数値的解法の 2 種類に分類される．(2) の数値的解法は，近年の高速計算機の発達に伴って，大きく進展している．微分方程式を数値的に解くには，端的にいえば，微分を差分に置き換えて計算を実行する．しかし，数値的解法の詳細の説明には，多くのページを要し，また本書の目的とは合致しないので，省くことにする．
本書では (1) の近似的解法について，取り扱うことにする．まず，主要な近似法の 1 つである摂動論を本章で説明し，続いて，準古典近似（WKB 法）と変分法を II 巻で説明する．

8.2 摂動論

197

8.2 摂動論
摂動論は，最もよく使われる近似法であり，ハミルトニアンを，解析的に固有解がわかる成分 H0 と，それ以外の項 H1 に分解する．H0 は，ポテンシャルを含まない自由粒子のものである場合と，ポテンシャルを含み解析解がわかっている場合がある．状況や考察する問題に応じて，様々な H1 が考察される．
ところで，ミクロな状態を探るために，外部から電場や磁場や電磁波を加え，物理系が示す反応を調べることが多い．この電磁場とミクロな状態との相互作用が十分弱いため，摂動論が有効である．また，荷電粒子と電磁場との相互作用は，前章で示したように普遍的な形をとることがわかっている．そのため，ミクロな状態の情報が，電磁場を通して得られる．
はじめに，定常状態の摂動論を調べる．時間に依存しない H1 でのエネルギー固有値や固有状態を，摂動論を適用して求める際，不連続エネルギーの状態と連続エネルギーの状態で扱いが異なる．不連続エネルギーの状態では，エネルギー固有値も固有状態も H1 で変わる．つまり両方が変化するので，エネルギー固有値と固有状態を相互作用の大きさを表すパラメーターでベキ展開して近似する．一方，連続エネルギーをもつ状態では，相互作用によって，エネルギーが一定に保たれると考えられることもある．この場合は，エネルギーを一定の値に固定しておく計算が簡単である．
次に，時間に依存する摂動を調べる．この場合，時間に依存するシュレディンガー方程式を調べることで，相互作用からの効果がわかる．さらに，この結果から，状態の遷移する確率振幅や確率が計算される．時間に依存する摂動論は，後で扱う散乱問題で重要な役割をする．
ここでは，まず，有限な行列における固有値や固有ベクトルを求める．最も簡単である 2 × 2 行列の対角化を例にとって，摂動論を考えてみる．この場合には，ハミルトニアンは 2 × 2 行列であり，固有値は 2 つの値をとり，状態は規格化される．そのことから，この扱いは，不連続エネルギーの状態である束縛状態の扱いに対応する．
最も簡単でありながら自明ではない，2 × 2 エルミート行列をはじめに考察する．

198

第 8 章 摂動論

8.3 2 × 2 行列の対角化
8.3.1 厳密な対角化
ハミルトニアン H = H0 + H1 で，H0 と H1 のそれぞれが次の 2 × 2 行列



H0 =E100E2,H1 =0i−i0であり， を 1 つのパラメーターとする．このハミルトニアン H の固有値 Eと固有ベクトル u は，固有値方程式 Hu = Eu から簡単に求められる．次に，摂動論に基づいて，対角行列 H0 の固有値や固有ベクトルを使い，非対角行列H1 を含む H の固有値や固有ベクトルを  についてのベキ展開の形で求めることにする．

H0 の 1 つの固有ベクトルは
u01 = 10であり，固有値 E1 をもち，固有値方程式

H0 u01 = E1 u01に従う．もう 1 つの固有ベクトルは

u02 =(8.1)

 01であり，固有値 E2 をもち，固有値方程式

H0 u02 = E2 u02(8.2)に従う．
これら 2 つのベクトルの線形結合

u1 u01 + u2 u02 =u1



u2からなるベクトル空間を考える．
まずはじめに，H の厳密な固有解を求めよう．固有値方程式は