平成３０年度 卒業論文

位相空間回転によるリニアコライダーのための高ルミノシティビーム生成―x-z エミッタンス交換の特性評価―

広島大学理学部物理科学科
ビーム物理研究室
B152085西村武

指導教員・主査
副査

栗木雅夫

大野雅功

目次
1. 序論 ....................................................................................................................................2
2. エミッタンス交換による高ルミノシティビームの生成 ...........................................4
2.1 x-z エミッタンス交換 .................................................................................................6
2.2 シグマ行列............................................................................................................... 10
2.3 有限の長さを持つ偏向空洞の転送行列 ...............................................................11
2.4 高次の転送行列....................................................................................................... 14
2.5 エネルギーチャープ............................................................................................... 14
3. シミュレーション......................................................................................................... 15
3.1 シミュレーション方法........................................................................................... 17
4. シミュレーションの結果............................................................................................. 18
4.1 x-z エミッタンス交換の確認 .................................................................................. 19
4.2 TLEX における初期ビームパラメータの依存性 ................................................ 21
4.3 理論との比較........................................................................................................... 26
4.4 初期パラメータによるエミッタンス増大率の違い ........................................... 27
4.5 非線形効果が及ぼす影響 ...................................................................................... 29
4.6 エネルギーチャープの導入 .................................................................................. 31
4.7 最適な初期ビームの条件 ...................................................................................... 35
4.8 偏向磁石の曲げ角.................................................................................................... 35
4.9 RFBT と TLEX の接続 ............................................................................................ 38
4.10 調整のための四極磁石 ........................................................................................ 40
5. まとめ ............................................................................................................................. 43
謝辞 .................................................................................................................................. 44
参考文献.......................................................................................................................... 45

11. 序論
今日までに加速器は素粒子・原子核物理実験をはじめ、放射光による物質科学研
究、化学研究、生命科学研究、放射線医療など、多岐にわたる分野で利用されるよ
うになっている。その中で、新しい加速方式の提案や、高いエネルギー、高いルミ
ノシティ、小型化などが実現されてきた。現在日本において、国際リニアコライダー(International Linear Collider, ILC)の建設が検討されている。ILC は次世代高エネル
ギー電子・陽電子コライダー実験で、ヒッグス粒子やトップクォークの大量生成、
超対称性粒子などの発見を目指す国際加速器プロジェクトである。コライダーとは衝突型加速器のことで、二つのビームを衝突させることで、重心系エネルギーを最大化し、より高いエネルギーの現象を生じさせることができる。リニアコライダー(Linear Collider, LC)は線形加速器によるコライダーのことである。
LC は 1965 年にコーネル大学の M. Tigner によって提案された。LC の利点としては、シンクロトロン放射によるエネルギー損失がない、偏極電子(陽電子)が使用できる、ビームビーム相互作用に強いことが挙げられるが、その時点では、加速技術の未熟さ(加速勾配の低さ)やシンクロトロンの優位性などもあり、顧みられることはなかった。
すべてのコライダーにおける設計上の課題は、反応の起こるレートを断面積で規格化したルミノシティ(単位は cm-2s-1)を大きくすることである。ルミノシティはビーム電流に比例し、衝突点におけるビームサイズに逆比例する。リニアコライダー
においては、ビーム電流を増やすと、それに比例して必要な電力も上昇してしまう
ため、余り賢い方法とは言えない。ビームサイズを極小化してルミノシティを増大させるのが、リニアコライダーの設計の方針である。ただし、単にビームサイズを小さく絞ると、ビーム間の歓迎されない相互作用も増大し、ビームエネルギー幅が大きくなってしまう。それを防ぐ方法が、扁平極小ビームによる衝突である。
扁平ビームとは進行方向に対して、水平方向と垂直方向のビームサイズ比、エミッタンス比が大きいビームである。扁平ビームを生成する方法として現在のリニア
コライダーでは、周長 3km のダンピングリングにおける放射減衰を利用するが、2

本研究ではそれに代わる方法としてエミッタンス交換技術を利用する方法について検討する。エミッタンスは位相空間の面積あるいは体積として定義されるが、散逸などがないビーム運動において、六次元位相空間体積は不変量である。本研究では x-y および x-z という二つの自由度間のエミッタンス交換技術を利用して、リニ
アコライダーに必要となる非対称極小エミッタンスビームの生成を検討する。非線形空間電荷効果を抑制するため、大きなビームサイズでビームを生成し、xy エミッ
タンス交換の手法である RFBT(Round to Flat Beam Transformation)により y エミッタ
ンスを極小化する。初期ビームサイズ大きいため、初期エミッタンスも大きくなり、
その結果 x のエミッタンスは過大となるが、RFBT 後に水平方向と進行方向のエミッタンスを交換させる。これにより水平方向の過大なエミッタンスを進行方向に移すことができる。この手法を TLEX(Transverse to Longitudinal Emittance eXchange)という。
このエミッタンス交換(TLEX)は 2002 年に M. Cornacchia が提案し[1]、2006 年にP. Emma が線形力学において完全なエミッタンス交換を考案した[2]。A. Johnson グ
ループは実験により初めてエミッタンス交換を 2009 年に実証した[3]。理想的な線形運動の場合においてエミッタンスは完全に交換するが、実際には様々な非線形力学などのために、エミッタンス増大が生じる。最終的に必要な水平方向と垂直方向の高いエミッタンス比を得るために、本論文では主に TLEX の特性についての理解を深めるため、シミュレーションを用いて研究を行った。
本論文の 2 章で、エミッタンス交換の手法によるリニアコライダーのための高ルミノシティビームの生成について説明するとともに、本研究の主題となる TLEXの原理やビーム物理の必要事項について説明する。3 章では仮定したビームライン
や EEX に入射するビームのパラメータを示し、4 章でシミュレーション結果を示し、その結果から得られた事項の議論を進める。5 章で本研究から得られた結論を述べる。

3

2. エミッタンス交換による高ルミノシティビームの生成
リニアコライダーは線形加速器におけるコライダーである。コライダーは二つの粒子(たいていの場合は同じ運動量の大きさ、エネルギーを持つ)を互いに正面衝突させることで、重心系エネルギーを最大化させる加速器の利用方法である。二つのビームのエネルギーを各々E とすると四元運動量の保存則から、重心系のエネルギ
ーは 2E となる。一方、片方の粒子がエネルギーE をもち、相手が静止している場
合、重心系のエネルギーは√2𝑚𝐸となる(m は粒子の質量)。従って、エネルギーが粒子の静止質量を上回る領域(たいていの素粒子実験はこのエネルギー領域である)では、高い重心系のエネルギーを実現するのにコライダーは圧倒的に有利となる。一方で、コライダーは二つの密度の低いビーム(金属などの物質に比べたら密度はほぼゼロ)を衝突させるため、その反応確率を高める必要がある。単位時間あたりに反応が生じる数 N は次式で表される。
N = σℒ.
ここで σ は反応断面積(cm2)、ℒはルミノシティ(cm-2s-1)である。断面積は物理法則により決まる量であり、実験条件として操作性があるのはルミノシティである。ルミノシティはどれくらいの頻度で、どれくらいの密度で粒子が反応領域を通過するかを表す指標である。コライダーの場合は具体的には
𝑁2𝑓ℒ=,
4𝜋𝜎𝑥 𝜎𝑦と記述できる。上式の N はビームバンチの粒子数、f は衝突周波数、𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 は x,y 方向のビームサイズを表す。N や f を大きくするとルミノシティを大きくすることができるが、必要な電力も増えてしまうため、賢い方法とはいえない。そのかわりに分母のビームサイズを極小化して、ルミノシティを増大させる。一方で、ビームサ
イズを小さくすると、好ましくないビーム間の相互作用が増大する。ここでいうビーム間相互作用は Beamstrahlung と呼ばれ、衝突相手のビームがつくる磁場によりシンクロトロン放射がおこり、電子が確率的にエネルギーを失うことで、ビームエ
ネルギーの広がりが増大する現象である。Beamstrahlug によるエネルギー広がりは、
4

1
𝜎𝑥2 +𝜎𝑦2に比例することが分かっている[4]。この特性から、一方の自由度のビームサ

イズを極小化し、他方の自由度のビームサイズをある程度の大きさにとどめることで、ルミノシティを極大化し、Beamstrahlung の効果を抑制することが可能である。
現在の設計では 3 km のダンピングリングでの放射減衰を利用して、エミッタンスにして x 方向に 10 mm.-mrad, y 方向に 0.04 mm.-mrad という非対称なビームを生成し、そのビームを衝突点で x 方向に 640 nm、y 方向に 6 nm というサイズまで絞り込んで衝突させる。本研究ではこの生成方法に代わる方法として、エミッタンス交換による方法について検討する。
まず xy 方向のエミッタンス交換の手法である RFBT について説明する。RFBTは図 1 に示すビームラインによって構成される。ソレノイド磁場中で発生したビームは、RF 電子銃により加速される。ビーム発生の時点では、ビームは xy 対称で、かつ運動学的な角運動量を持たない。一方で、ソレノイド磁場中のベクトルポテン
シャルによる正準運動量としての角運動量を持っている。この正準運動量はソレノイドの端部磁場により運動学的な角運動量に変換され、回転する xy 対称ビーム(しばしば磁化ビームと呼ばれる)となる。磁化ビームは x-py などの相関を持つビームである。その後ビームは加速空洞によって加速され、適切な強さに設定されたスキュー四極磁石によって x-py などの相関が取り除かれる。この相関を取り除く際に、ビームの占めるエミッタンスは保存されるが、必然的に x と y のエミッタンス間で非対称に振り分けられる。ビームが発生時に持つエミッタンスを𝜀𝑥0 , 𝜀𝑦0 とし、スキュー電磁石下流におけるエミッタンスを εx1 , εy1 とすると、
𝜀𝑥0 𝜀𝑦0 = 𝜀𝑥1 𝜀𝑦1 ,(1)かつ
𝜀𝑥0 = 𝜀𝑦0 ,

𝜀𝑥1 > 𝜀𝑦1 ,(2)が成り立つ。RFBT の詳しい原理については[4]に譲る。このビームラインは加速空洞を除けば数メートル程度、加速空洞を含めても数十メートル程度であるので、この方法を用いた扁平ビーム生成により周長 3 km のリングが不要になれば、加速器の構成を大幅に簡略化でき、建設、運転、コスト、稼働率などの点において大きな5利点がある。

図 1 RFBT のビームライン概略図

2.1 x-z エミッタンス交換
リニアコライダーにおいて必要なのは、
xy における大きな非対称性であるから、
RFBT だけで十分に思えるが、話はそう単純ではない。RFBT において、ビーム運動が線形であれば理想的な形でエミッタンスの振り分けが可能で、リニアコライダ
ーで必要なビームが作れるが、現実には多くの非線形運動を起こす原因があり、そのため理想的なエミッタンス振り分けが困難となる。非線形運動の代表的なものがビーム自身の電荷によるクーロン力が原因の空間電荷効果である。多くの場合、ビームはガウス分布するが、ガウス分布しているビームのクーロン力は非線形となり、ビームエミッタンスはもはや単純な保存量ではなくなる。そのため、RFBT によるエミッタンスの振り分けを行うには、空間電荷効果を抑制する必要がある。幸いなことに、空間電荷効果はローレンツγの二乗に反比例するので、加速することで無視することができる。そのため、低エネルギーにおける空間電荷効果さえ抑制することができればよい。それにはビームの初期サイズを大きくとればよい。一方で、
ビームサイズを大きくすると、それに比例して初期エミッタンスも大きくなるため、
RFBT によって y 方向のエミッタンスをリニアコライダーに必要な極小エミッタン
スとした場合、式(1),(2)より x 方向のエミッタンスは過大となる。そこで RFBT 後に x 方向と z 方向のエミッタンスを交換させることにより、x 方向の過大なエミッタンスを z 方向に移す。本研究ではこの x-z エミッタンス交換の特性を評価し、x-z
エミッタンス交換において最適な条件を求めることを目的とする。
6

x-z エミッタンス交換の方法として現在よく使われている EEX(エミッタンス交換器, Emittance EXchager)と呼ばれるビームラインを使用する。このビームライン
は[2]の論文で考案されたもので、偏向空洞(deflecting cavity)とドッグレッグ(Dogleg : 曲げ角の等しい極性の異なる２つの偏向磁石(benging magnet)からなる要素)によって構成されている(図 2)。

図 2 EEX の模式図。図中の D , S1, S2 , Lc ,L,およびθはビームラインの寸法、MD お
よび MC は転送行列を表す。

図中の D は偏向磁石の長さ、S1 は Dogleg の偏向磁石間の距離、S2 は偏向磁石と偏向空洞の間の距離、LC は偏向空洞の長さ、L は EEX の前半の長さ、また、θは偏向磁石による曲げ角である。また MD は Dogleg の転送行列、MC は偏向空洞の転送行列を表している。ここから EEX 全体の転送行列を導くが、簡単のため偏向空洞を thin-lens 近似で扱い、EEX 全体の転送行列を導出する。x-z エミッタンス交換では y 方向を省いて議論を進めても支障は出てこないので、簡潔のために x 方向と z
方向の４次元位相空間だけを考え、非線形の変化は無視する。まず４次元の単粒子
ベクトルを
𝑥
𝑥′
s = [ ],𝑧𝛿7とする。ここで 𝑥 ′ ≡ 𝑝𝑥 /𝑝𝑧 は x 方向の運動量を進行方向の運動量で規格化、 𝛿 ≡∆𝐸/𝐸 は設計エネルギーE からのエネルギーのずれΔE の割合を表す。
次に、Dogleg の転送行列 MD は thick-lens 近似すると
1 𝐿
0 1
𝑀𝐷 (𝜂, 𝜉, 𝐿) = [
0 𝜂
0 0

0 𝜂
0 0
],
1 𝜉
0 1

(3)

で与えられる[2]。
ここで、
M16=η および M56=ξ はそれぞれ Dogleg における dispersion
function と momentum compaction factor である。η と ξ は、Dogleg 通過前の粒子のエ
ネルギー広がりが δ0=ΔE0/E で与えられる場合に Dogleg 通過後の𝑥1 , 𝑧1 に対して、
𝛥𝑥1 = 𝜂𝛥𝐸0,𝐸

𝛥𝑧1 = 𝜉𝛥𝐸0,𝐸の位置の変化を生み出す成分であり、エミッタンス交換において重要な役割を持つ。
また、相対論的なビームの場合、η, ξ, L はそれぞれ𝑆1 𝑠𝑖𝑛𝜃2𝐷1+(− 1) ,
2𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃(4)

𝑆1 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
2𝐷 𝑠𝑖𝑛𝜃+(− 𝜃) ,
3𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

(5)

𝑆1
2𝐷
+
+ 𝑆2 ,
𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃

(6)

𝜂=

𝜉=

𝐿=

で与えられる[4]。つまり Dogleg のパラメータを偏向磁石の曲げ角や偏向磁石間の距離から求めることができる。
次に偏向空洞の転送行列 MD は thin-lens 近似すると、
10𝑀𝐶 (𝑘) = [
0
𝑘

0 0
1 𝑘
0 1
0 0

0
0
],
0
1

(7)

と表すことができる。式中の k は偏向空洞の電圧 V0、素電荷 e、位相の周波数 f、8

および空洞内でのビームエネルギーE0 を用いて、
𝑘≡2𝜋𝑓𝑒𝑉0,𝑐𝐸

で定義される量である。ある k の値を必要とする場合、空洞内を通るビームのエネ
ルギーが高いと、空洞に印加する電圧も高くするか、周波数を大きくする必要があることを示す。
以上を用いると、EEX 全体の転送行列 MEX は図 2 の装置の並びより
𝑀𝐸𝑋 (𝜂, 𝜉, 𝐿, 𝑘) = 𝑀𝐷 𝑀𝐶 𝑀𝐷 ,(8)で与えられる。式(3),(7)より計算すると、
1 + 𝑘𝜂
0
𝑀𝐸𝑋 =
𝑘𝜉
[ 𝑘

2𝐿(1 + 𝑘𝜂)
1 + 𝑘𝜂
𝜂(1 + 𝑘𝜂) + 𝜂 + 𝜉𝑘𝐿
𝑘𝐿

𝑘𝐿𝑘
1 + 𝑘𝜂0𝜂(1 + 𝑘𝜂) + 𝜂 + 𝜉𝑘𝐿𝑘𝜉.
2𝜉(1 + 𝑘𝜂)
1 + 𝑘𝜂
]となる。ここで、対角成分が消える条件
1 + 𝜂𝑘 = 0,

(9)を課すことにより、
00
𝑀𝐸𝑋 = [𝑘𝜉𝑘00
𝜂 + 𝜉𝑘𝐿
𝑘𝐿

𝑘𝐿
𝑘
0
0

𝜂 + 𝜉𝑘𝐿
𝑘𝜉
].
0
0

(10)

または偏向空洞の強さ k を消去して、Dogleg のパラメータのみで式(10)を表すと

𝑀𝐸𝑋 =

0

0

0

0

𝐿
𝜉𝐿
𝜂−
𝜂
𝜂
1
𝜉
−
−
𝜂
𝐿
−

𝜉
𝜉𝐿
−
𝜂−
𝜂
𝜂
1
𝐿
−
−
[ 𝜂
𝜂

0

0

0

0

.

(11)

]

上式の意味を明確にするために、EEX 前の粒子状態を si , EEX 後の粒子状態を sf とすると、加速器物理の基礎的表現に従い、
𝑠𝑓 = 𝑀𝐸𝑋 𝑠𝑖 ,9と与えられる。つまり𝐿𝜉𝐿− 𝑧𝑖 + (𝜂 − ) 𝛿𝑖
𝜂
𝜂
𝑥𝑓
1
𝜉
𝑥𝑖
− 𝑧𝑖 − 𝛿𝑖
′
′
𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝜂
𝜂
,
𝑧𝑓 = 𝑀𝐸𝑋 [ 𝑧𝑖 ] =𝜉𝜉𝐿 ′− 𝑥𝑖 + (𝜂 − ) 𝑥𝑖
𝛿𝑖
[𝛿𝑓 ]
𝜂
𝜂
1
𝐿
− 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖′[𝜂𝜂]の関係式を得る。上式より EEX 後の x 方向の位相空間要素 xf および x’f を決めるのは、初期の z 方向の位相空間要素 zi および δi のみである。同様に EEX 後の z 方向の位相空間要素 zf および δf を決めるのは、初期の x 方向の位相空間要素 xi およびx’i のみである。結果として EEX の通過前後で x 方向と z 方向の位相空間の入れ替わりが実現する。ビームの位置及び運動量の広がりを表す指標であるエミッタンス
は、(x, x ′ )において𝜀𝑥 ≡ √< 𝑥 2 >< 𝑥 ′2 > −< 𝑥𝑥 ′ >2 ,で定義され、式中の”< >”は粒子に対する統計的平均を表す。今、det|𝑀𝐸𝑋 | = 1 より𝜀4𝐷 = 𝜀𝑥 𝜀𝑧 は保存される。つまり交換の前後でエミッタンスは完全に交換する。
これより式(10)または式(11)で実現される位相空間制御をエミッタンス交換と呼ぶ。

2.2 シグマ行列
エミッタンスや x や z などのパラメータの統計的平均を計算するのに便利な手法としてシグマ行列がある。シグマ行列は< 𝑥2 >′
𝛴 ≡< 𝑠𝑠 𝑇 >= [< 𝑥 𝑥 >< 𝑧𝑥 >< 𝛿𝑥 >< 𝑥𝑥 ′ >< 𝑥 ′2 >< 𝑧𝑥 ′ >< 𝛿𝑥 ′ >< 𝑥𝑧 >< 𝑥′𝑧 >
< 𝑧2 >< 𝛿𝑧 >< 𝑥𝛿 >< 𝑥 ′ 𝛿 >] ,< 𝑧𝛿 >< 𝛿2 >

で定義される。いま初期状態では x と z の相関がない場合を考えて、
Σ
Σ0 = [ x0
0
10

0
],
Σz0

とする。式中のΣx0 およびΣz0 は2

𝛴𝑥0 = [ < 𝑥′ ><𝑥 𝑥>

< 𝑥𝑥 ′ >] ,< 𝑥 ′2 >2𝛴𝑧0 = [< 𝑧 >< 𝛿𝑧 >< 𝑧𝛿 >] ,< 𝛿2 >である。いま、転送行列 M によって状態 0 から状態 1 に移動したとき、Σ0 とΣ1の関係は
𝛴1 = 𝑀𝛴0 𝑀𝑇 ,(12)で表される。上添え字 T は転置行列を示す。これより転送行列と初期のシグマ行列
さえ分かれば、転送後のエミッタンスなどを理論的に求めることができる。

2.3 有限の長さを持つ偏向空洞の転送行列
2.1 章では偏向空洞の転送行列については thin-lens 近似で扱っていた。しかしながら現実の偏向空洞は当然ながら有限の長さを持つ。そのため、より現実に近い偏向空洞の転送行列を扱うために thick-lens 近似を導入する。偏向空洞の長さを LC とすると、thick-lens 近似の転送行列𝑀𝐶𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘 は次式で与えられる[5]1𝐿𝐶𝑀𝐶𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘 = 0
0
[𝑘

1
0
𝑘𝐿𝐶

𝑘𝐿𝐶
2
𝑘
1
𝑁𝑘 2 𝐿𝐶

0
0 .
0
1]

(13)

ここで N は空洞のセル数 n によって決まる定数で𝑁=

1 + 2𝑛2,12𝑛2である。式(13)の 12 成分は空洞の長さをドリフトする効果を表しており、13 成分
は z に依存した横方向キックがドリフトを通じて x を変化させる効果、43 成分は z
位置により与えられる z 方向のキックの効果である。また k は thin-lens 近似の場合と同じ値である。
𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘
次に thick-lens 近似の転送行列𝑀𝐶𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘 を用いて再び EEX 全体の転送行列𝑀𝐸𝑋を導出する。装置の並びは同じであるので式(8)と同様にして

11

𝐴
𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘
𝑀𝐸𝑋
= 𝑀𝐷 𝑀𝐶𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘 𝑀𝐷 ≡ [
𝐶

𝐵
].
𝐷

(14)

ここで行列の各要素は煩雑になるため、2 × 2 行列である𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷をおく。ここから、偏向空洞のセル数を 1 として考える。対角要素の A, D は式(14)より
𝐴=[

0 𝐿𝐶 /4
],
0
0

𝐷=

𝐿𝐶 𝜉
[
4𝜂2 1

𝜉2
],
𝜉

(15)

と書ける。LC = 0 の時は A = D = 0 となり、thin-lens 近似の偏向空洞を用いた場合と
𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘
同じように𝑀𝐸𝑋の対角要素は 0 になる。非対角化要素の B, C は𝐵=−

1 𝐿𝐶 + 4𝐿[
1
4𝜂

4𝜉𝐿 − 4𝜂2 + 𝜉𝐿𝐶],𝜉

𝐶 = 𝐵𝑇 ,(16)と書ける。偏向空洞が thin-lens の場合、EEX 全体の転送行列の行列式はdet|𝑀𝐸𝑋 | = 1,を満たし、エミッタンスの積は EEX 前後で保存する。しかし、偏向空洞が thicklens の場合、EEX 全体の転送行列の行列式は
𝑡ℎ𝑖𝑐𝑘
det|𝑀𝐸𝑋| = 𝜂2 ,であり、η ≠ 1の時はエミッタンスの積は保存しない。つまり、偏向空洞が有限長であるときには、線形運動であっても基本的にエミッタンスの積は保存しない。
次にこの転送行列を用いて EEX 後のエミッタンスを計算する。シグマ行列はTwiss パラメータと呼ばれるビーム力学でしばしば使われるパラメータを用いると、
𝛴0 = 𝜀𝑖0 [

𝛽𝑖0
−𝛼𝑖0

−𝛼𝑖0
],
𝛾𝑖0

2
とも書ける。上式において𝑖 = 𝑥, 𝑧を表し、𝛾𝑖0 = (1 + 𝛼𝑖0)/𝛽𝑖0 を満たす。EEX 後のシグマ行列は式(12),(14)より
𝛴1 = (

𝐴𝛴𝑥0 𝐴𝑇 + 𝐵𝛴𝑧0 𝐵𝑇
𝐶𝛴𝑥0 𝐴𝑇 + 𝐷𝛴𝑧0 𝐵𝑇

𝐴𝛴𝑥0 𝐶 𝑇 + 𝐵𝛴𝑧0 𝐷𝑇).
𝐶𝛴𝑥0 𝐶 𝑇 + 𝐷𝛴𝑧0 𝐷𝑇(17)x 方向と z 方向の RMS エミッタンスは式(17)の対角要素の行列式である。ここからEEX 後の x 方向のエミッタンスを求める。z 方向のエミッタンス計算は x 方向と同様な計算をするので、ここでは省略する。(17)式の対角要素に対して行列式が RMS
12

エミッタンスになるので、
2
𝜀𝑥1= |𝐴𝛴𝑥0 𝐴𝑇 + 𝐵𝛴𝑧0 𝐵𝑇 |.

(18)

これを計算するために、２次元行列で一般的に成り立つ法則として|𝑋 + 𝑌| = |𝑋| + |𝑌| + 𝑡𝑟(𝑋 𝑎 𝑌),(19)がある。ここで、tr は行列のトレースを表し、𝑋 𝑎 = 𝐽−1 𝑋 𝑇 𝐽 である。また J は
0 1
),
−1 0

𝐽2 = −𝐼,𝐽≡(で定義する。これより x 方向エミッタンスは式(18),(19)より
2
2
2
𝜀𝑥1
= |𝐴|2 𝜀𝑥0+ |𝐵|2 𝜀𝑧0+ 𝑡𝑟{(𝐴𝛴𝑥0 𝐴𝑇 )𝐵𝛴𝑧0 𝐵𝑇 }.

(20)

ここで、ここからの計算を見やすくするために行列 Q を次式で定義する。
𝑄𝑖0 ≡

1

𝛽
( 𝑖0
√𝛽𝑖0 −𝛼𝑖00),1

ここで i = x,z である。この Q を用いると
𝑇
𝛴𝑥0 = 𝜀𝑥0 𝑄𝑥0 𝑄𝑥0,と表すことができる。さらに行列 U を−1 𝑎
𝑈 ≡ 𝑄𝑥0
𝐴 𝐵𝑄𝑧0 ,で定義すると、式(20)は
2
2
2
𝜀𝑥1
= |𝐴|2 𝜀𝑥0+ |𝐵|2 𝜀𝑧0+ 𝜀𝑥0 𝜀𝑧0 𝑡𝑟(𝑈𝑈 𝑇 ).

(21)

またシンプレティック行列の場合に次の関係が成り立つ|𝐴| + |𝐶| = 1,

|𝐴| = |𝐷|,

|𝐵| = |𝐶|.

さらに、tr(𝑈𝑈 𝑇 ) ≡ 𝜆2 (≥ 0)とすると(21)式は
2
2
2
𝜀𝑥1
= |𝐴|2 𝜀𝑥0+ (1 − |𝐴|)2 𝜀𝑧0+ 𝜀𝑥0 𝜀𝑧0 𝜆2 ,(22)と書ける。同様に EEX 後の z 方向エミッタンスは
2
2
2
𝜀𝑧1
= (1 − |𝐴|)2 𝜀𝑥0+ |𝐴|2 𝜀𝑧0+ 𝜀𝑥0 𝜀𝑧0 𝜆2 ,(23)と求められる。式(22),(23)より、仮に 𝜀𝑥0 = 𝜀𝑧0 の場合は 𝜀𝑥1 = 𝜀𝑧1 となることがわかる。これより偏向空洞に thick-lens 近似を用いた場合、EEX 後のエミッタンス
は次式で与えられる
2
2 (1
𝜀𝑥1
= 𝜀𝑧0
+ 𝜌0 𝜆2 ),

2
2 (1
𝜀𝑧1
= 𝜀𝑥0
+ 𝜆2 /𝜌0 ).

13

(24)

ここで 𝜌0 = 𝜀𝑥0 /𝜀𝑧0であり、EEX 前のエミッタンス比を表す。また𝜆2は初期ビー
ムの Twiss パラメータと Dogleg, 偏向空洞のパラメータを用いて2 )(𝜉 2𝐿2𝐶 (1 + 𝛼𝑥0+ (𝜉𝛼𝑧0 − 2𝛽𝑧0 )2 )𝜆 =,64𝜂2 𝛽𝑥0 𝛽𝑧02(25)と書ける。𝜌0 , 𝜆は共に無次元量であり、λ をエミッタンス増大因子と呼ぶことにする。thin-lens 近似(𝐿𝐶 = 0)の時は𝜆2 = 0、つまり EEX 後のエミッタンスは𝜀𝑥1 = 𝜀𝑧0 ,かつ 𝜀𝑧1 = 𝜀𝑥0 となり完全なエミッタンス交換が成り立つことも確認できる。一方、
LC > 0 の場合には必ず交換前のエミッタンスより増大することを示し、増大する大きさは𝜆2, 𝜌0 によって決まる。

2.4 高次の転送行列
これまでの議論において非線形による効果は無視してきた。現実は非線形の効果が必ず存在する。本研究では、非線形の効果を評価するため、シミュレーションに
おいて二次までを含める。二次までを含めた場合の粒子の座標六次元空間での転送は次のように与えられる[8]𝑥𝑖 (1) = ∑ 𝑅𝑖𝑗 𝑥𝑗 (0) + ∑ 𝑇𝑖𝑗𝑘 𝑥𝑗 (0)𝑥𝑘 (0) .
𝑗

(26)

𝑗,𝑘

ここで𝑅𝑖𝑗 は一次の転送行列、𝑇𝑖𝑗𝑘 は二次の転送行列であり𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1~6を表し、(1,2,3,4,5,6,)=(x, x’, y, y’, z, δ)を表す。これらの項を含めることにより、上の議論で展開してきた式で導いた値からずれが生じる。この二次の転送行列を含めて理論の展開をした方が現実に近いが、計算が煩雑になる。この二次の影響についてはシミュ
レーションによりその大きさを確認する。

2.5 エネルギーチャープ
TLEX は線形運動の範疇において、正確にエミッタンス交換する。しかしここまで述べてきたように偏向空洞が有限の長さを持つことや非線形の効果を含めることでエミッタンスは増大する。そこで、この効果を出来るだけ小さくすることが重14要である。この効果を小さくする方法の一つとしてエネルギーチャープを EEX 前のバンチビームに加えることが知られている。エネルギーチャープについては論文によって定義が異なることがあるが、本研究では[6]に沿った定義を用いる。
エネルギーチャープとは z-δ 位相空間における相関のことで、ここではエネルギーチャープ h をℎ≡< 𝑧𝛿 >,< 𝑧2 >(27)と定義する。式(25)において𝜆2を小さくする方法の一つとして、𝛼𝑧0 = 𝛽𝑧0 /𝜉 であればよい。ここで Twiss パラメータの𝛼𝑧0 は
𝛼𝑧0 ≡ −< 𝑧𝛿 >= −ℎ𝛽𝑧0 ,
𝜀𝑧0

(28)

と書けるので、ℎ = −1/𝜉 の値を持てば 𝜆2 は小さくなり、エミッタンスの増大を抑えることができる。
エネルギーチャープは、ビームを加速空洞でゼロクロスの位相に乗せて通過させることで得られる。ゼロクロスとは、𝑠𝑖𝑛(𝜃 = 0)の位相に相当し、平均の加速勾配がゼロで、バンチ前方と後方が逆符号の加速を得る状態である。

3. シミュレーション
以下に本研究におけるシミュレーションについてまとめる。
本研究のシミュレーションでは、偏向空洞は転送行列によってモデル化した。
EEX の基本的特性を調べるために、thin-lens 近似および thick-lens 近似の行列表現を用いた。
空間電荷効果はビームを発散させる重要な要因の一つである。しかし、本研究で扱う EEX ビームラインは加速空洞の下流に置かれることを想定しており、電子ビ
ームのローレンツ γ は少なくとも数十以上である。空間電荷効果(すなわちクーロ
ン力)は相対論的効果による電場と磁場の打ち消し作用により、1/𝛾 2に比例するた
15

め、加速された場合はたいていの場合無視できる。そこで本研究では空間電荷効果
は計算に含めていない。本研究でシミュレーションに含められる非線形の効果は、偏向磁石のフリンジ場と色収差である。
本研究で想定したビームラインのパラメータを表 1 に示す。特に断らない限り、すべてのシミュレーションを通してここに示すパラメータを用いた。パラメータについては[2]の論文を参考にして設定した。

表 1 EEX のパラメータ
パラメータ

表記

数値

単位

偏向磁石の長さD

20cm

偏向磁石間の距離S11m

偏向磁石と偏向空洞の距離

S2

30

cm

偏向空洞の長さ

LC

30

cm

偏向磁石による曲げ角

θ

20

deg

dispersoin 関数

η

-0.46

m

momentum compaction 関数

ξ

0.16

m

＊thin-lens 近似を用いる場合、EEX の全長が同じになるように S2 を変化させた。

EEX のビームラインによってエミッタンスが交換するための条件式(9)を満たす必要があるため、表 1 の条件の時、偏向空洞の強さ k を計算すると𝑘 = −1/𝜂 =2.17 である。この強さはビームエネルギーE=100 MeV で f=1.3 GHz とした時、V=8.0 MV に相当する。
EEX に入射するバンチビームの基準パラメータを表 2 に示す。シミュレーショ
ンではこの値に対して、適宜特定のパラメータを変化させてその特性を調べた。また入射ビームでは𝛼𝑥0 = 𝛼𝑧0 = 0 として、𝑥, 𝑥 ′ や𝑧, 𝛿 には相関の無い場合を仮定した。ただし、初期ビームがエネルギーチャープを持つ場合は、𝛼𝑧0 ≠ 0 となる。

16

表 2 バンチビームの基準パラメータ
パラメータ

表記

数値

単位

ビームエネルギー

E

100

MeV

初期の RMS x

σx0

1

mm

初期の RMS z

σz0

1

mm

初期の RMS x'

σx'0

1

mrad

初期の RMS δ

σδ0

0.1

%

初期 x 方向規格化エミッタンス

γεx0

197

μm

初期 z 方向規格化エミッタンス

γεz0

197

μm

シミュレーションは、thick-lens の効果や非線形効果を見るために、以下の 5 つの条件で行った。
① 偏向空洞は thin-lens モデルでドッグレッグは線形の効果のみを考慮する② 偏向空洞は thin-lens モデルでドッグレッグは非線形効果を考慮する③ 偏向空洞は thick-lens モデルでドッグレッグは線形の効果のみを考慮する④ 偏向空洞は thick-lens モデルでドッグレッグは非線形効果を考慮する⑤ ④の条件に、エネルギーチャープを加える①は理論上、初期のパラメータに依存せずに完全なエミッタンス交換が実現する。
④あるいは⑤が現実に最も近い条件となる。⑤ではエネルギーチャープを加えるた
めに、上流に加速空洞を設置する必要があるが、本研究ではビームの初期分布として与えた。

3.1 シミュレーション方法
本研究では荷電粒子のトラッキングコードの ELEGANT[6]を用いてシミュレー
ションを行った。ELEGANT は「ELEctron Generation ANd Tracking」の頭文字をとったもので、様々な電磁場の中でマクロ粒子を飛ばして、その軌跡を追跡すること
でビームの振舞いを理解する。プログラムは C 言語で記述されており、標準的な加速器用のビームトラッキングプログラムである。MAD[7]の台本(設定ファイル)17

の書式を用いることができる。他のいくつかのトラッキングコードではビームと共に追跡される基準粒子となるものが存在する。これは理想的な運動量をもち、理想的な位相や軌道を通る粒子である。この基準粒子は ELEGANT では存在しない。
その代わりに、ELEGANT では基準化を多数のマクロ粒子の統計的性質に基づいて行っている。使い方を簡単に述べると、電磁石や RF 空洞などのエレメントを組み合わせて目的の加速器を作成し、粒子のトラッキングを行う。本研究では主にELEGANT を用いてシミュレーションを行う。一部のシミュレーションについてはトラッキングコードの ASTRA[8]を使った。

4. シミュレーションの結果
2 章で述べたように、偏向空洞は thin-lens を適用し、運動を線形近似した場合、エミッタンスは正確に交換する。一方、非線形効果や thick-lens 近似を適用した場
合、各自由度における位相空間上に射影した粒子分布から求めたエミッタンスは交換されるとは限らない。そこで次のような三つのエミッタンス増大率を定義し、シミュレーションによりその値を評価する。
R≡

𝜀𝑥1 𝜀𝑧1,𝜀𝑥0 𝜀𝑧0

𝑅𝑥 ≡

𝜀𝑥1
,
𝜀𝑧0

𝑅𝑧 ≡

𝜀𝑧1
,
𝜀𝑥0

(29)

ここで、𝜀𝑥0 および𝜀𝑧0 は EEX 前の x,z 方向エミッタンス、𝜀𝑥1 および𝜀𝑧1は EEX 後のx,z 方向エミッタンスと定義する。R は交換前後における x および z におけるエミッタンスの積の比である。Rx は交換後の x 方向エミッタンスと交換前の z 方向エミッタンスの比、Rz は交換後の z 方向エミッタンスを交換前と x 方向エミッタンスの比である。正確に x-z エミッタンス交換が生じた場合、これらの指標は 𝑅 = 𝑅𝑥 =𝑅𝑧 = 1と、すべて 1 になる。理論上、これらの値は 1 を下回ることはないが、1 よりも大きい場合はエミッタンス増大が起きたことを示す。

18

4.1 x-z エミッタンス交換の確認
最初にシミュレーションを用いてエミッタンス交換が実現するかを確認する。基
準パラメータにおいて x 方向と z 方向のエミッタンスは同じ大きさであり、エミッ
タンスの大きさで x-z エミッタンス交換したか判断するのは分かりにくい。そこで交換したことを分かりやすくするために基準パラメータを少し変更した表 3 のパラメータを用いる。基準パラメータからバンチ長を 1/10 にした。④の方法でシミュレーションすると表 4 の結果になった。これより x 方向と z 方向のエミッタンス
が初期エミッタンスの大きさよりも増大して、交換していることがわかる。この時のエミッタンスの変化を横軸に s をとり図 3 に示す。ここからもエミッタンスが交換していることが分かる。次に x 方向と z 方向の粒子分布を図 4 に示す。図の(a)および(b)は EEX 前の(x,x’), (z,δ)の粒子分布、(c)および(d)は EEX 後の粒子分布である。初期の x 方向位相空間分布は楕円形にし、z 方向位相空間分布はガウス分布にしている。EEX 後の粒子分布から、位相空間分布の様子が交換していることが確認できる。

表 3 バンチビームのパラメータ
パラメータ

表記

数値

単位

ビームエネルギー

E

100

MeV

初期の RMS x

σx0

1

mm

初期の RMS z

σz0

0.1

mm

初期の RMS x'

σx'0

1

mrad

初期の RMS δ

σδ0

0.1

%

初期 x 方向規格化エミッタンス

γεx0

197

μm

初期 z 方向規格化エミッタンス

γεz0

19.7

μm

19

表 4 シミュレーション結果
パラメータ

表記

数値

単位

初期 x 方向規格化エミッタンス

γεx0

197

μm

初期 z 方向規格化エミッタンス

γεz0

19.7

μm

EEX 後 x 方向規格化エミッタンス

γεx1

20.4

μm

EEX 後 z 方向規格化エミッタンス

γεz1

197

μm

図 3: ビームラインに沿ったエミッタンスの大きさ。s=0 は EEX の 1 つ目の偏向磁
石直前である。黒線は x 方向エミッタンス、赤線は z 方向エミッタンス、青線は装置を表している

20

(a)

(b)

(c)

(d)

図 4 (a)および(b)は EEX 前の x 方向および z 方向の位相空間粒子分布、(c)および(d)は EEX 後の粒子分布

4.2 TLEX における初期ビームパラメータの依存性
初期ビームのパラメータ(𝜎𝑥0 , 𝜎𝑧0 , 𝜎𝑥 ′ 0 , 𝜎𝛿0 ) を変化させた時のエミッタンス
増大率を調べる。まず、図 5 (a)および(b)に、x 方向の初期ビーム径𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス交換の様子を、条件①でシミュレーションした結果を示す。図5(a)は交換前後でのエミッタンスを横軸に初期ビーム径𝜎𝑥0 をとり示したもの、図5(b)は式(29)で定義したエミッタンス増大率を同様に横軸に初期ビーム径𝜎𝑥0 をとり表示したものである。図 6,図 7,図 8 は同様に条件①でシミュレーションを行い、各々𝜎𝑧0 , 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 を変化させて同様に(a)にはエミッタンス、(b)には増大率を表示したものである。初期パラメータの変化により、交換前のエミッタンスのうち一つが線形に変化する。すべてのパラメータにおいて、増大率は 1 となり、予想通り完
全なエミッタンス交換されていることが確認できる。

21

εx0

εz0

εx1

εz1

R

エミッタンス増大率 R

エミッタンス[m]1.E-05
1.E-06
1.E-07
1.E-08
1.E-09(a)1.E-10
1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

Rz

1.000

0.995

0.990
1.E-06(b)

𝜎𝑥0 [m]Rx

1.005

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02𝜎𝑥0 [m]

図 5 (a)条件①で 𝜎𝑥0 を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件①で𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大率

εz0

εx1

εz1

エミッタンス増大率 R

エミッタンス [m]εx01.E-05
1.E-06
1.E-07
1.E-08
1.E-09

1.E-10
1.E-06(a)1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02RRz

1.E-04

1.E-03

1.000
0.995

0.990
1.E-06(b)𝜎z0 [m]Rx

1.005

1.E-05

1.E-02𝜎z0 [m]

図 6 (a)条件①で 𝜎𝑧0を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件①でエミッタンス [m]

εx0

(a)

εz0

εx1

εz1

1.E-05
1.E-06
1.E-07

1.E-08
1.E-09
1.E-10
1.E-06

1.E-05

1.E-04𝜎𝑥'0

1.E-03

1.E-02

エミッタンス増大率 R

𝜎𝑧0 を変化させた時のエミッタンス増大率

1.005

R

Rx

Rz

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.000
0.995
0.990
1.E-06(b)

1.E-02𝜎𝑥'0

図 7 (a)条件①で 𝜎𝑥′0 を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件①で𝜎𝑥′0 を変化させた時のエミッタンス増大率
22

εz0

εx1

εz1

1.E-06
1.E-07
1.E-08
1.E-09
1.E-10
1.E-06(a)1.E-05

1.E-04

1.E-03

エミッタンス増大率 R

エミッタンス [m]εx01.E-05

1.E-02Rx

Rz

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.000
0.995
0.990
1.E-06

(b)

𝜎𝛿0

R
1.005

1.E-02𝜎𝛿0図 8 (a)条件①で 𝜎𝛿0 を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件①で𝜎𝛿0 を変化させた時のエミッタンス増大率

次に④の条件で上と同様なシミュレーションを行った。その結果を図 9,10,11,12に示す。データの表示の方法は図 5,6,7,8 と同様である。まずこれらの図の(a)に注目する。各パラメータを小さくすると、𝜀𝑥0 または𝜀𝑧0 の大きさも共に小さくなる。
条件①ではそれに伴って 𝜀𝑧1 または𝜀𝑥1 も小さくなった(図 5,6,7,8)。しかし、条件④では 𝜀𝑧1 または𝜀𝑥1 の大きさはある一定値以下にはならないことがわかる。図 9の(a)を例にすると、𝜀𝑧0 ≅ 𝜀𝑥1 ≅ 10−6 とほとんど一致している。つまり、各パラメ
ータにおいて変化させない方のエミッタンスと交換後に対応するエミッタンスの
大きさはほとんどの範囲で一致している。これは図 10,11,12 においても同様な結果
であることがわかる。図 9,10,11,12 の(b)に注目すると、すべてのパラメータにおいて R > 1 となる範囲があり、エミッタンス増大が生じている。すべてのパラメータに共通して10−3 付近ではエミッタンス増大率𝑅 ≅ 1で理想のエミッタンス交換に非常に近い。R, Rx, Rz に注目すると、Rx, Rz のどちらか一方のみが大きくなり全体のエミッタンス増大率 R も大きくなっている。これは図の(a)で一方のエミッタン
スの組み合わせはずれが大きく、もう一方の組み合わせではほとんど一致していることと同義である。このように現実に近い条件では初期ビームのパラメータによって、エミッタンス増大率が変化する。

23

εz0

εx1

εz1

1.E-06
1.E-08
1.E-10
1.E-06(a)1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

エミッタンス増大率 R

エミッタンス [m]εx01.E-04

1.E+03Rx

Rz

1.E-04

1.E-03

1.E+02
1.E+01

1.E+00
1.E-06(b)

𝜎𝑥0 [m]R

1.E-05

1.E-02𝜎𝑥0 [m]

図 9 (a)条件④で 𝜎𝑥0 を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件④で𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大率

εz0

εx1

1.E-06
1.E-08(a)1.E-10
1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03R

εz1

1.E-02

エミッタンス増大率 R

エミッタンス [m]εx01.E-04Rz

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06(b)𝜎z0 [m]Rx

1.E+03

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02𝜎z0 [m]

図 10 (a)条件④で 𝜎𝑧0を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件④でエミッタンス [m]

εx0

εz0

εx1

εz1

1.E-04
1.E-06
1.E-08
1.E-10
1.E-06(a)1.E-05

1.E-04𝜎𝑥'0

1.E-03

1.E-02

エミッタンス増大率 R

𝜎𝑧0 を変化させた時のエミッタンス増大率

1.E+03R

Rx

Rz

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E+02
1.E+01
1.E+00
1.E-06(b)

1.E-02𝜎𝑥'0

図 11 (a)条件④で 𝜎𝑥′0 を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件④で 𝜎𝑥′0 を変化させた時のエミッタンス増大率
24

εz0

εx1

εz1

1.E-06
1.E-08
1.E-10
1.E-06(a)1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

エミッタンス増大率 R

エミッタンス [m]εx01.E-04

1.E+03Rx

Rz

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06

(b)

𝜎𝛿0

R

1.E-02𝜎𝛿0

図 12 (a)条件④で 𝜎𝛿0 を変化させた時の EEX 交換前後のエミッタンス (b)条件④で
𝜎𝛿0 を変化させた時のエミッタンス増大率

次に、条件②や③でも同様なシミュレーションを行う。横軸に各ビームパラメー
タをとり、条件②,③,④のそれぞれの条件でのエミッタンス増大率 R を図 13 に示す。これより条件④でのエミッタンス増大率 R が条件②または条件③のどちらの増大率 R に近いかわかる。条件②については非線形効果のみがエミッタンス増大を生じ、③については thick-lens 効果のみがエミッタンス増大を生じさせる。条件④は両方の効果によってエミッタンス増大が生じるので、条件②,③,④を比較する
ことにより thick-lens 効果もしくは非線形効果のどちらがエミッタンス増大に大きな影響を与えているかわかる。図 13 (c)について(𝜎𝑥′0 を変化させた場合)、条件④と条件②の増大率 R の大きさが近い。一方、(a),(b),(d)については条件④と条件③の増大率 R の大きさが近いことがわかる。つまり、𝜎𝑥′0 を変化させた時は非線形効
果がエミッタンス増大に対して支配的であり、それ以外のパラメータについてはthick-lens 効果がエミッタンス増大に支配的である。(a),(b),(c),(d)のエミッタンス増
大率 R の大きさに注目すると、各パラメータの大きさが10−6 で増大率 R が最も大きくなる。それぞれの増大率 R を比べると𝜎𝑥0 , 𝜎𝛿0 は𝑅 ≅ 200であるが、𝜎𝑥′0 , 𝜎𝑧0
は𝑅 ≅ 20である。
このような違いが生じる原因を議論する前に、条件③では式(24)からエミッタン
スの大きさを求めることができるので、次章で本研究のシミュレーション値と理論からの値を比較する。
25

R②

R③

R④

1.E+02

1.E+01

エミッタンス増大率 R(a)1.E+03

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02R②

R③

1.E+00
1.E-06(c)

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-03

1.E-02𝜎z0 [m]R③

R④

1.E-04

1.E-03

1.E+03

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06(d)

𝜎𝑥'0

1.E-04

1.E+01R②

1.E+01R④

1.E+02R④

1.E+02R③

1.E+03(b)

𝜎𝑥0 [m]エミッタンス増大率 R

1.E+00
1.E-06

R②

エミッタンス増大率 R

エミッタンス増大率 R

1.E+03

1.E-05

1.E-02𝜎𝛿0

図 13 (a)条件②,③,④で 𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大率. (b),(c),(d)はそれ
ぞれ𝜎𝑧0, 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について(a)と同様なデータ表示

4.3 理論との比較
偏向空洞が thick-lens 近似の場合、線形運動であっても正確なエミッタンス交換からずれることを 2.3 章で示した。thick-lens 近似かつ線形運動の時(条件③)、EEX
後の x, z エミッタンスの大きさは式(21)から計算でき、この式から条件③でのエミッタンス増大率 R を求めると
𝑅≡

𝜀𝑥1 𝜀𝑧1= √(1 + 𝜆2 𝜌0 )(1 + 𝜆2 /𝜌0 ).
𝜀𝑥0 𝜀𝑧0(30)

図 14 に横軸に初期ビームのパラメータをとり、条件③でのエミッタンス増大率 Rと式(30)から求めた増大率 R を表示する。これよりシミュレーション値と理論値が一部を除きおおよそ一致しているとわかる。一部でシミュレーション値と理論値が26

ずれた原因として、ELEGANT での Dogleg の dispersion などの値と式(3),(4),(5)から計算できる値が異なることが考えられる。条件③は非線形効果を無視した場合ではあるが、thick-lens 効果が支配的にエミッタンス増大を生じさせる場合、数式から予測することができるといえる。もっとも、これらの計算では CSR の効果は含まれエミッタンス増大率 R

(a)

(c)

R_Simulation

R_Theory

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

R_Simulation

1.E+01

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-04𝜎𝑥'0

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-03

1.E-02

1.E-04

1.E-03

1.E-02𝜎z0 [m]R_Simulation

R_Theory

1.E+02

R_Theory

1.E+03(b)

𝜎𝑥0 [m]1.E+03

R_Simulation

エミッタンス増大率 R

1.E+03

エミッタンス増大率R

エミッタンス増大率 Rていないので、現実でのエミッタンス増大率を予測できるかは確認できていない。

R_Theory

1.E+03

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06(d)1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02𝜎𝛿0

図 14 (a)条件③で、𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大率をシミュレーション
値と式(30)の理論値を比較. (b),(c),(d)はそれぞれ𝜎𝑧0 , 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について(a)と同様な
データ表示

4.4 初期パラメータによるエミッタンス増大率の違い
この章では 4.2 章で示した結果の議論を進める。図 5,6,7,8 や図 13 で示したように、どの初期パラメータを変化させるかによってエミッタンス増大率の大きさやそ27

の変化は異なり、エミッタンス増大に支配的な効果もパラメータによって違っていた。まず、4 つのうち 3 つのパラメータでエミッタンス増大に支配的であった thicklens 効果に注目してこれらの違いを考える。
thick-lens 効果によるエミッタンス増大は式(24)より、初期のエミッタンス比𝜌0とエミッタンス増大因子 λ である。まず、λ について式(25)を見やすくするためにビームラインのパラメータについて表 1 の値を代入すると
𝜆2 = 6.6 × 10−3 ×2
4𝛽𝑧0+ 0.026.
𝛽𝑧0 𝛽𝑥0

ここで 𝛼𝑥0 = 𝛼𝑧0 = 0 とする。上式よりエミッタンス増大因子 λ を小さくするには初期ビームの Twiss パラメータ𝛽𝑥0 𝛽𝑧0 を適切に操作すればよい。𝛽𝑥0 , 𝛽𝑧0 は
𝛼𝑥0 = 𝛼𝑧0 = 0 の時、
𝛽𝑥0 =

𝜎𝑥0
,
𝜎𝑥 ′ 0

𝛽𝑧0 =

𝜎𝑧0
,
𝜎𝛿0

の関係が成り立つ。本研究では(𝜎𝑥0 , 𝜎𝑧0 , 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 )を変化させてエミッタンス増大率を調べていたが、この関係式より𝛽𝑥0 , 𝛽𝑧0 を変化させていたともいえる。その結果、エミッタンス増大因子λの値や初期エミッタンス比 ρ0 が変化するので、エミッタンス増大率が初期パラメータによって変化した。ここで横軸に𝜎𝑥0 をとり、その時の 𝜆2の大きさを図 15(a)に示す。𝜎𝑧0 , 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について(a)と同様なデータ表示で図 15(b),(c),(d)に示す。これより𝜎𝑥0 , 𝜎𝛿0 が小さくなるにつれて𝜆2 は単調増加し、𝜎𝑥′0 が小さくなると𝜆2は単調減少し、𝜎𝑧0 を変化させた場合、𝜆2は10−4 が中心の下に凸の関数になることがわかる。この𝜆2が大きいところで thick-lens 効果は大きく、図 13 のエミッタンス増大率 R が大きくなっているところと重なる。
thick-lens 効果は初期ビームパラメータによって大きく変化し(本研究での条件ではエミッタンス増大因子𝜆2 の値は10−5 ~101 をとり得る)、その影響はエミッタン
ス増大に大きな影響を及ぼす。図 13 からエミッタンス増大に関して thick-lens 効果
が非線形効果よりも大きいとわかる。

28

1.E+02

1.E+00

1.E+00λ2

λ2

1.E+02

1.E-02

1.E-02

1.E-04

1.E-06
1.E-06(a)1.E-04

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02σx0 [m]1.E-06
1.E-06(b)

1.E+00

1.E+00λ2

1.E+02λ2

1.E+02

1.E-02(c)

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-03

1.E-02σz0 [m]1.E-02
1.E-04

1.E-04
1.E-06
1.E-06

1.E-05

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02σx'0

1.E-06
1.E-06(d)1.E-05

1.E-04σδ0

図 15 (a) 𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大因子 λ2 の大きさ. (b),(c),(d)はそれ
ぞれ𝜎𝑧0 , 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について(a)と同様なデータ表示

4.5 非線形効果が及ぼす影響
これまでは偏向空洞の厚みによる効果(thick-lens 効果)に注目してエミッタンス
増大率の議論を進めてきた。その結果、thick-lens 効果の方が非線形効果よりも支配的であることが分かった。しかし図 13 の初期のビームパラメータが10−2 付近では R④が R②に近いことから非線形効果の方が大きいことが分かる。これは式(27)から、初期のビームパラメータが大きくなることによって非線形効果が大きく現れていると考えられる。そこで初期のビームパラメータに寄与する
𝑇𝑖11 , 𝑇𝑖22 , 𝑇𝑖55 , 𝑇𝑖66(i=1,2,5,6) の大きさを調べる。例えば𝑇𝑖11 であれば、初期のビームサイズ径によって起こる二次の効果で、𝑇511 は初期のビームサイズよって転送後のバンチ長に影響を及ぼす二次の効果である。ここで横軸に進行方向の距離をとり、29

図 16 の(a),(b),(c),(d)はそれぞれ𝑇𝑖11 , 𝑇𝑖22 , 𝑇𝑖55 , 𝑇𝑖66 (i=1,2,5,6)の大きさを表示する。これより二次の効果は偏向空洞よりも後(s > 1.7 m)に大きくなる傾向が見られる。これは、偏向空洞後のビームパラメータが非線形効果を受けやすいことがわかる。
次に EEX 全体の T の大きさを次式で評価する
6
𝑠𝑢𝑚
𝑇𝑖𝑗𝑗
≡ ∑|𝑇𝑖𝑗𝑗 | .
𝑖=1
𝑠𝑢𝑚
ここで i,j=1,2,5,6 である。この𝑇𝑖𝑗𝑗
は EEX 前のビームパラメータが EEX 後のビ𝑠𝑢𝑚ームパラメータにどの程度の変化を及ぼすかを示す。この𝑇𝑖𝑗𝑗の大きさを表 5 で
𝑠𝑢𝑚
𝑠𝑢𝑚
𝑠𝑢𝑚
𝑠𝑢𝑚
𝑠𝑢𝑚
示す。この表より𝑇𝑖𝑗𝑗の大きさは𝑇2𝑗𝑗> 𝑇5𝑗𝑗> 𝑇1𝑗𝑗> 𝑇6𝑗𝑗である。この関係

より、図 13 において𝜎𝑥′0 と𝜎𝑧0を変化させた場合、初期のビームパラメータが10−3以上で R が比較的大きくなっていることが説明できる。よって、EEX 前のビーム
パラメータによる非線形効果を出来るだけ小さくするには、特に𝜎𝑥′0 と𝜎𝑧0 を大きくしないようにすればよい。

(a)

(b)

(c)

(d)

図 16 (a)EEX における𝑇𝑖11 (i=1,2,5,6)の大きさ(s=0 は 1 つ目の Dogleg 直前).
(b),(c),(d)はそれぞれ𝑇𝑖22 , 𝑇𝑖55 , 𝑇𝑖66 について(a)と同様な表示
30

𝑠𝑢𝑚
表 5 𝑇𝑖𝑗𝑗
の大きさ

パラメータ

𝑠𝑢𝑚
𝑇𝑖𝑗𝑗
の大きさ

𝑠𝑢𝑚
𝑇1𝑗𝑗

3.8

𝑠𝑢𝑚
𝑇2𝑗𝑗

15.2

𝑠𝑢𝑚
𝑇5𝑗𝑗

10.2

𝑠𝑢𝑚
𝑇6𝑗𝑗

2.9

4.6 エネルギーチャープの導入
ここまではエネルギーチャープを持たない初期ビームで計算を行った。2.5 章で示したようにエネルギーチャープによって、thick-lens 効果を小さくする。その結果
エミッタンス増大率を小さくすることができる。まずエネルギーチャープの大きさ
によってビームの z-δ 粒子分布がどのように変化するかを図 17 に示す。この図の(a),(b),(c),(d)はそれぞれ h =0, 0.1, 1.0, 2.0 m-1 の大きさをもつ粒子分布である。この
図よりエネルギーチャープを持っていない場合は粒子分布に傾きはなく、エネルギ
ーチャープが大きくなるにしたがって粒子分布の傾きが増していくとわかる。このようにエネルギーチャープを持つことによって z-δ の粒子分布では傾きができる。
このことは式(27)の定義からもわかる。
次に基準パラメータのビームに加えるエネルギーチャープの大きさを横軸にとり、条件③と条件④におけるエミッタンス増大率を図 18 に示す。この時、初期ビームのパラメータは表 3 の値を用いた。2.5 章より、線形運動の場合は ℎ = −1/𝜉 =6.69 m-1 で最もエミッタンス増大を抑えることができる。図 18 の条件③は非線形効果を無視しているので、上の理論値とほぼ一致するエネルギーチャープの大きさで増大率 R の値は最小となっている。しかし④の条件のように非線形効果がある
場合、R が最小となるエネルギーチャープの大きさは理論値からずれて、図より h= 4.0 m-1 である。これより、本研究では⑤の条件で計算をするときは h=4.0 m-1 とす
る。

31

(a)

(b)

(c)

(d)

図 17 エネルギーチャープによる z-δ粒子分布. エネルギーチャープの大きさは(a)h = 0 m-1 (b)h= 0.1 m-1 (c)h=1.0 m-1 (d)h = 2.0 m-1③

エミッタンス増大率 R

1.08

④

1.06
1.04
1.02
1.00
0.98
0

2

4

6

8

10

Energy chirp [1/m]

図 18 ネルギーチャープの大きさによる基準ビームのエミッタンス増大率を条件③と条件④で比較32

エネルギーチャープを持つことでのもう一つのメリットとして、偏向空洞位置でのビームのバンチ長を小さくすることである。基準パラメータの初期ビームに加えるエネルギーチャープの大きさを横軸にとり、条件③と条件④の場合の偏向空洞位
置でのバンチ長を図 19 に示す。これより条件③,④ともにエネルギーチャープが6.69 m-1 の時に偏向空洞位置でのバンチ長が最小になるとわかる。エネルギーチャープを持つビームが偏向空洞位置でのバンチ長が小さくなるのは、z-δ の粒子分布から説明できる。エネルギーチャーップを持ったビームでは、z-δ の粒子分布は傾きができる。この傾きが１つ目の Dogleg を通過した後のバンチ長を小さくする。
Dogleg 前のエネルギーの低い粒子は Dogleg によって大きく曲がることになり、逆にエネルギーの高い粒子は Dogleg による曲がる角度は小さい。この結果 Dogleg 後の z-δ の粒子分布の傾きは大きくなり、バンチ長は小さくなる。偏向空洞位置でのバンチ長が小さくなることでの利点は、偏向空洞での位相からの影響を小さくする
ことができる。エネルギーチャープは偏向空洞位置でのバンチ長を小さくする方法の 1 つといえる。
次に、⑤の条件で各パラメータを変化させた時のエミッタンス増大率と④の条件の増大率を比較する。ここでエネルギーチャープを持つことでどれだけ R が小さくなるかを次の指標で表す
𝑅𝑎𝑡𝑒(𝑐ℎ𝑖𝑟𝑝) ≡𝑅(𝑐ℎ𝑖𝑟𝑝 = 4.0).
𝑅(𝑐ℎ𝑖𝑟𝑝 = 0.0)

図 20 の(a)に初期ビームサイズ径𝜎𝑥0 を横軸にとり、条件④と条件⑤でのエミッタ
ンス増大率を示す。図の(b),(c),(d)は(a)と同様なデータを𝜎𝑧0, 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について表示する。これよりエミッタンス増大率が小さい(R の値が 1 に近い)時、エネルギー
チャープの有無はあまり効いてこないとわかる。しかし、エミッタンス増大率が大きい(R の値が 1 よりも大きい)時、エネルギーチャープを持った初期ビームの方がR の値は小さくなる。最適なエネルギーチャープを持つ場合には R の大きさは最
大 60%程度小さくなる。

33

空洞位置でのバンチ長 [m]③④1.2E-03
1.0E-038.0E-04
6.0E-04
4.0E-04
2.0E-04
0

5

10

15

Energy chirp [1/m]

図 19 基準パラメータの初期ビームに加えるエネルギーチャープの大きさによる空洞位置でのバンチ長を条件③と④で比較

④

0.8
0.6

1.E+010.4
0.2

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03Rate(chirp)

1.E+020.0
1.E-02④⑤

1.0
1.E+020.8
0.6

1.E+01

0.4
0.2

(c)

1.E-04

1.E-030.8
0.6

1.E+010.4
0.2

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-040.0
1.E-02(d)

𝜎𝑥'0

1.E-030.0
1.E-02𝜎z0 [m]④

1.2

1.E-05

1.E+02Rate(chirp)

1.E+03

1.E+00
1.E-061.0(b)

𝜎𝑥0 [m]Rate(chirp)
1.2⑤

Rate(chirp)

1.E+031.2
1.0

1.E+020.8
0.6

1.E+010.4
0.2

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-030.0
1.E-02𝜎𝛿0

図 20 (a) 𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大率を条件④と条件⑤で比較.
(b),(c),(d)はそれぞれ𝜎𝑧0, 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について(a)と同様なデータ表示
34

Rate(chirp)

1.0⑤

1.E+03Rate(chirp)

1.2

エミッタンス増大率 R

1.E+03(a)

エミッタンス増大率 R

Rate(chirp)

エミッタンス増大率 R⑤

Rate(chirp)

エミッタンス増大率 R④

4.7 最適な初期ビームの条件
ここまで TLEX における初期ビームのパラメータを変化させた時の EEX 後のエ
ミッタンス増大率を調べてきた。偏向空洞の厚さによる効果と非線形効果によってエミッタンスは EEX 前よりも増大して、エミッタンス増大率は大きくなった。特にエミッタンス増大に大きな影響を与えるのは図 13 が示すように、偏向空洞のthick-lens 効果であった。
この章ではできるだけ thick-lens による効果が小さくなるような最適ビームパラ
メータを考察する。
式(24)より thick-lens 効果によるエミッタンス増大の大きさは、
λ2 が大きくなると大きくなることがわかる。よって、エミッタンス増大を抑制するには、なるべく λ2 が小さくする必要がある。式(25)から、𝛽𝑥0はなるべく大きく、𝛼𝑥0 はゼロにするのがよい。式(25)を𝛽𝑧0で偏微分すると
2 ){𝜉 2 (1
2 )
2 }
𝜕𝜆2
𝐿2𝐶 (1 + 𝛼𝑥0+ 𝛼𝑧0− 4𝛽𝑧0=−,𝜕𝛽𝑧064𝜂2 𝛽𝑥0 𝛽𝑧0となるので、𝜆2が極小となる𝛽𝑧0を求めると
𝜉2
𝛽𝑧0 = 2 √1 + 𝛼𝑧0. 式番号 A

初期ビームにエネルギーチャープを加えない場合は 𝛼𝑧0 = 0 より 𝛽𝑧0 = 𝜉/2 が最適となる。最適なエネルギーチャープを与えた場合は 𝛼𝑧0 = 𝛽𝑧0 /𝜉 より、 𝛽𝑧0 =𝜉 が最適となる。つまり Dogleg の momentum compaction (𝜉)の大きさによって、λ2が最小となる𝛽𝑧0が決定する。

4.8 偏向磁石の曲げ角
ここまでは同じビームラインを用いてエミッタンス増大率を計算してきた。エミッタンス増大因子の λ は Dogleg のパラメータにも依存している。そこで偏向磁石の曲げ角を 10 度から 25 度まで 5 度ずつ変更して TLEX のエミッタンス増大率を調べた。その時に Dogleg のパラメータは変わり、式(9)より偏向空洞の k の強さはDogleg の dispersion η によって変わる。これらのパラメータと偏向磁石の曲げ角の関係を表 6 に示す。
35

表 6 曲げ角と装置のパラメータの関係
曲げ角[deg]

|𝜂|

𝜉

k

10

0.215

0.0357

4.66

15

0.332

0.0839

3.02

20

0.462

0.158

2.16

25

0.612

0.268

1.63

上の表より、曲げ角が大きくなると|𝜂|,𝜉は単調に増加し、k は単調に減少する。k が小さくなることは偏向空洞に印加する電圧が小さくなることに相当する。
次に曲げ角とエミッタンス増大率の関係を調べる。図 21(a)、(b)、(c)、(d)に、各々初期ビームサイズ径𝜎𝑥0 𝜎𝑧0, 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 を横軸にとり、条件④で偏向磁石の曲げ角を10 度から 25 度まで変化させた時のエミッタンス増大率を示す。これらの結果より
𝜎𝑥0 , 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 を変化させた時には曲げ角が大きくなるほどエミッタンス増大率は小さくなることがわかる。一方、𝜎𝑧0 を変化させた時には、𝜎𝑧0 が小さい領域では、他のパラメータと同様に曲げ角が大きいほどエミッタンス増大率が小さくなっているが、𝜎𝑧0が大きい領域では、逆に曲げ角が小さいほどエミッタンス増大率が小さくなっている。これらの結果は偏向空洞の thick-lens 効果によるエミッタンス増大因子 λ の変化によって説明できる。表 6 より曲げ角が大きくなると Dogleg の|𝜂|は単調に増加する。式(25)から|𝜂|が大きくなると、λ は小さくなる。これより図 21の(a),(c),(d)が示すように、偏向磁石の曲げ角が大きいほど、エミッタンス増大率は小さくなる。図 21(b)𝜎𝑧0の振る舞いついては、式(番号 A)より、λが最小となる𝛽𝑧0の条件が momentum compaction に依存していることが理由である。𝜎𝑧0 = √𝜀𝛽𝑧0より、𝛽𝑧0 の最適値の変化は𝜎𝑧0 の最適値の変化となる。曲げ角が大きくなると 𝜉 も大きくなるので、エミッタンス増大を最小とする𝜎𝑧0は大きくなる。図 22 に横軸に初期のバンチ長をとり、𝜆2の大きさを示す。これより λ2 が最小となる 𝜎𝑧0 の大きさ
が曲げ角の大きさによって変化し、さらに曲げ角と λ2 の大小関係が、最小値を与える𝜎𝑧0の右側と左側の区間で逆転している。図 21(b)の振る舞いの理由は λ2の依存性として理解できることがわかる。
36

これらの結果をまとめると、曲げ角は大きい方がエミッタンスの増大が抑えられるが、最適となる𝛽𝑧0の大きさも変化する、となる。

10°

15°

20°

エミッタンス増大率 R

エミッタンス増大率 R

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06(a)1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-0220°

エミッタンス増大率 R

1.E+03

1.E+02

1.E+01

1.E+00
1.E-06(c)

1.E-05

1.E-04

1.E+00
1.E-06

1.E-05

1.E-03

1.E-0225°

1.E+01

1.E-04

1.E-03

1.E-02𝜎z0 [m]10°15°

1.E+00
1.E-06

1.E-0520°25°

1.E+03

1.E+02

1.E+01

(d)

𝜎𝑥'0

20°

1.E+0225°

エミッタンス増大率 R

15°

15°

1.E+03(b)

𝜎𝑥0 [m]
10°

10°

25°

1.E+03

1.E-04

1.E-03

1.E-02𝜎𝛿0

図 21 (a) 𝜎𝑥0 を変化させた時のエミッタンス増大率を偏向磁石の曲げ角の大きさで比較. (b),(c),(d)はそれぞれ𝜎𝑧0, 𝜎𝑥′0 , 𝜎𝛿0 について(a)と同様なデータ表示

1.E+01

10°

15°

20°

25°

λ2

1.E+00
1.E-01
1.E-02
1.E-03
1.E-06

1.E-05

1.E-04

初期RMS z37

1.E-03

1.E-02

図 22 偏向磁石の曲げ角による初期バンチ長とエミッタンス増大因子 λ の関係

4.9 RFBT と TLEX の接続
ここからは RFBT を通過してきたビームを TLEX に通過させ、TLEX でのエミッタンスの様子を調べる。想定する RFBT のビームラインと電子ビームは Fermi
National Accelerator Laboratory が提供するデータを参考にする[10]。これらのデータを表 7 に示す。RF 電子銃によって 4 MeV まで加速され電子ビームが加速空洞で 17
MeV まで加速される。カソードから発生するビームの規格化エミッタンスは𝛾𝜀𝑥 =𝛾𝜀𝑦 = 0.8 𝜇𝑚 、RFBT を通過した後のエミッタンスは𝛾𝜀𝑥 = 29 𝜇𝑚,

𝛾𝜀𝑦 =0.059 𝜇𝑚である。RFBT 後のエミッタンス比は𝜀𝑥 /𝜀𝑦 = 490となり y 方向が極小のフラットビームが生成する。この RFBT を通過してきたビームを今まで使用していた TLEX のビームラインに通過させ、EEX 後の x,y,z のエミッタンスの大きさをそれぞれ調べる。
表 7 RFBT のパラメータ
パラメータ

数値

単位

バンチビーム電荷

0.5nC

RMS ビームサイズ

0.8

mm

RMS 規格化エミッタンス

0.8

μm

RF 電子銃のピーク電場

35

MV/m

加速空洞のピーク電場

25

MV/m

カソード上のソレノイド磁場

0.08

T

スキュー四極磁石 1 の磁場勾配-0.082

T/m

スキュー四極磁石 2 の磁場勾配

0.18

T/m

スキュー四極磁石 3 の磁場勾配

-4.1

T/m

ここからのシミュレーションについて、RFBT の加速空洞通過後までを ASTRAで計算し、その後の計算は ELEGANT で行った。まず図 23 の横軸に進行方向の距離をとり、加速空洞直後からスキュー四極磁石の 3 つ目を通過した後までのエミ38

ッタンスの大きさを示す。スキュー四極磁石で x,y 方向のエミッタンスが大きく変化し、スキュー四極磁石の 3 つ目を通過後に y 方向エミッタンスが極小のフラット
ビームが生成することがわかる。このビームラインを通過してきたビームを EEXに入射し、その時のエミッタンス変化を調べる。図 24 の横軸に進行方向の距離をとり、RFBT の加速空洞直後から EEX 出口までのエミッタンスの変化を示す。
RFBT
出口でのエミッタンスの大きさは(𝛾𝜀𝑥 , 𝛾𝜀𝑦 , 𝛾𝜀𝑧 ) = (29, 0.059, 3.7) 𝜇𝑚 であり、EEX 出口での大きさは(𝛾𝜀𝑥 , 𝛾𝜀𝑦 , 𝛾𝜀𝑧 ) = (110, 11, 6600) 𝜇𝑚 である。TLEX でのエ
ミッタンス増大率 R を評価すると、R = 7000 とかなり大きい。また y 方向のエミッ
タンスも TLEX で大きく増大していた。

図 23 加速空洞直後から RFBT 出口までのエミッタンスの変化(s=0 は加速空洞直後)

39

図 24 加速空洞直後から EEX 出口までのエミッタンス変化(s=0 は加速空洞直後)

まずは x,z 方向についてエミッタンスが大きく増大した原因の議論を進める。これまでの議論で分かった TLEX の特性として、エミッタンス増大に大きく影響を及ぼすのは偏向空洞の thick-lens 効果である。そこでエミッタンス増大因子 λ に注目する。これまでのシミュレーションと違うことは EEX 入口でのビームパラメー
タである。これまでのビームでは𝛼𝑥 = 0を想定したビームを生成し、TLEX の特性評価を行っていた。この章では RFBT を通過させた後のビームを EEX に通過させている。このビームでの EEX 入口での Twiss パラメータの大きさは𝛼𝑥 = −5.6 ×
104 であり、式(25)から分かるように𝛼𝑥2 が大きくなるにつれて𝜆2も大きくなる。この𝛼𝑥 が大きく影響していると考え、EEX 入口での𝛼𝑥 が小さくなるように調整する。
そこで RFBT 後に四極磁石を入れて EEX 入口での𝛼𝑥 を小さくして、TLEX でのエ
ミッタンスを調べる。

4.10 調整のための四極磁石
四極磁石のはたらきとしては、位相空間において傾きを変えることでもある。つ
まり Twiss パラメータの𝛼を変化させる。RFBT 後に適切な強さに調整された四極磁石を 2 つ入れて、EEX 入口での𝛼𝑥 を 0 に近づける。この時のビームライン全体の概略図を図 25 に示す。四極磁石の幅は 10 cm、四極磁石間の距離は 50 cm にしている。

図 25 四極磁石を入れた場合のビームライン全体概略図

40

EEX 入口での𝛼𝑥 を 0 に近づけるように四極磁石の磁場の強さを決める必要がある。本研究では四極磁石の磁場の強さを決める時に、滑降シンプレックス法(ネルダー・ミード法とも呼ばれる)という手法を用いて最適な磁場の強さを求める。滑
降シンプレックス法は m 個のパラメータを含む関数を最適化する場合、m 次元空間で(m+1)個の頂点をもつ多角形を変形・移動させながら最適解を探し出す方法である[11]。この方法は比較的安全で確実であるため、よく使われる最適化する手法の一つである。ただし、最初に設定する値によっては本当の最適解とは異なる解を最適解とする場合がある。
この滑降シンプレックス法を用いて四極磁石 1 つ目(QM1)と 2 つ目(QM2)の最適
磁場勾配を求めるとQM1 = 0.085 T/m,
QM2 = 0.073 T/m.
この磁場勾配を持つとき、EEX 入口での𝛼𝑥 は𝛼𝑥 = 6.7 × 10−11 となり、0 に近い値となる。この強さをもった四極磁石を入れた時のエミッタンス変化を図 25 と同様な表示方法で図 26 に示す。EEX 入口でのエミッタンスの大きさは(𝛾𝜀𝑥 , 𝛾𝜀𝑦 , 𝛾𝜀𝑧 ) =(31, 0.11, 6.1) 𝜇𝑚 であり、EEX 出口でのエミッタンスの大きさは(𝛾𝜀𝑥 , 𝛾𝜀𝑦 , 𝛾𝜀𝑧 ) =(9.0, 14, 49) 𝜇𝑚である。TLEX における x,z エミッタンス増大率は R = 2.32 とな
り、
TLEX での x,z のエミッタンス増大は四極磁石を入れる前よりも小さくなった。
よって、4.9 章でのエミッタンス増大は EEX 入口での𝛼𝑥 が大きく影響していたとわかる。しかし、y 方向のエミッタンスは四極磁石を入れた場合においても TLEX
で大きく増大している。TLEX では線形運動の場合、y 方向のパラメータは x,z 方
向のパラメータは依存しない。つまり、線形の場合は y 方向のエミッタンスは増大しないと推測できる。そこで、図 27 に非線形効果を無視した場合のエミッタンス
変化を図 26 と同様な表示方法で示す。この場合の EEX 入口でのエミッタンスの大きさは(𝛾𝜀𝑥 , 𝛾𝜀𝑦 , 𝛾𝜀𝑧 ) = (29, 0.057, 1.7) 𝜇𝑚 であり、EEX 出口でのエミッタンスの大きさは(𝛾𝜀𝑥 , 𝛾𝜀𝑦 , 𝛾𝜀𝑧 ) = (3.1, 0.057, 29) 𝜇𝑚である。y 方向のエミッタンスに注目すると、TLEX においてエミッタンスが増大していない。つまり、TLEX における
y 方向のエミッタンス増大は非線形効果によって生じるといえる。
41

図 26 RFBT 後に QM を二つ入れた場合の加速空洞直後から EEX 出口までのエミッタンス変化(s=0 は加速空洞直後)

図 27 RFBT 後に QM を二つ入れた場合の加速空洞直後から EEX 出口まで、非線形効果を無視したエミッタンス変化(s=0 は加速空洞直後)

42

5. まとめ本研究では位相空間回転によるリニアコライダーのための高ルミノシティビー
ムの生成を念頭に、TLEX と呼ばれる手法により位相空間回転による x-z エミッタ
ンス交換の特性について研究した。TLEX を行うため、EEX と呼ばれるビームラインを設計し、シミュレーションを行い、エミッタンス交換が可能であることを確認した。ビームやビームラインのパラメータを変化させ、x-z エミッタンス交換におけるエミッタンス増大率を評価した。それにより、エミッタンス増大が生じる場合もあるが、適切なパラメータを選ぶことで、エミッタンス増大を起こさずにエミッタンス交換が可能であることがわかった。TLEX でのエミッタンス増大を引き起こす要因として、偏向空洞の thick-lens 効果と偏向磁石の非線形効果があるとわかった。この二つの効果を比べると偏向空洞の thick-lens 効果の方が支配的であることがわかった。またエミッタンス増大を抑えるには、入射ビームの Twiss パラメータ𝜉2
は、𝛽𝑥 はなるべく大きくし、𝛼𝑥 =0 とするのが最適である。また、𝛽𝑧0 = 2 √1 + 𝛼𝑧0とするのが最適である。EEX ビームラインの偏向磁石の曲げ角は、大きいほどエ
ミッタンス増大は小さくなる。一方で、本研究でのシミュレーションではシンクロ
トロン放射による影響は考慮していない。偏向角を大きくするとシンクロトロン放射は一般的には大きくなるので、この効果を評価することは将来的な課題である。
リニアコライダーでの応用を念頭に、RFBT により生成した x-y 非対称ビームに対して、EEX による x-z 交換を行った。EEX の入力前に四重極磁石を置き、𝛼𝑥 = 0とすることで、x-z 交換が期待通りに行えることがわかった。一方で、EEX 通過前
後で、RFBT 通過後に極めて小さくなっている y 方向のエミッタンスに増大が見られた。この原因は磁極の非線形成分であると思われる。抑制のための詳しい研究は今後の課題である。

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謝辞
本研究を行うにあたりビーム物理研究室の方には大変お世話になりました。指導教員の栗木雅夫教授には、研究テーマの決定から卒業論文の作成に⾄るまで本研究に関する全ての面において丁寧にご指導していただきました。ビーム物理研究室の教授の方々、先輩方、そのほかの多くの方々の協力のもと本論文をまとめることができました。この場を借りて深く感謝申し上げます。

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参考文献
[1]M. M. Cornacchia and P. Emma, Phys. Rev. ST Accel. Beams 5, 084001 (2002)[2] P. Emma, Z. Huang, K.-J. Kim, and P. Piot, Phys. Rev. ST Accel. Beams 9, 100702 (2006).
[3] Jinhao et al., AIP Report No. 978-0-7354-0853-1, 2010; A. Johnson, J. Ruan, H. Edwards,
T. Koeth, A. Lumpkin, P. Piot, J. Santucci, Y.-E. Sun, and R. Thurman-Keup, in Proceedingsof the 2010 International Particle Accelerator Conference IPAC10, Kyoto, Japan, 2010 (ICR,
Kyoto, 2010)[4] Y.-E Sun, “Angular-momentum-dominated electron beam and flat-beam generation”(2005)[5]Bruce E. Carlsten, Kip A. Bishofberger, Steven J. Russell, and Nikolai A. Yampolsky,
Phys. Rev. ST Accel. Beams 14, 084403 (2011)[6] M. Borland, ‘‘ELEGANT: A Flexible SDDS-Compliant Code for Accelerator
Simulation,’’ Advanced Photon Source LS-287, 2000 (unpublished)[7] M. Borland, “A Self-Describing File Protocol for Simulation Integration and Shared
Postprocessors,” Proc. 1995 PAC, May 1-5, 1995, Dallas, Texas, pp. 2184-2186 (1996).
[8] ASTRA user manual http://www.desy.de/mpyflo/Astra_dokumentation/[9] D. Carey, The Optics of Charged Particle Beams(Hardwood Academic, New York, 1987),
pp. 21–37,123–143[10] FNPL: input files for beam dynamics simulations
http://nicadd.niu.edu/fnpl/simulations.shtml[11] 井口隆(2018)「最適化とモンテカルロ法」
http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/ComputerScience/0308.pdf (参照2018-12-10)45