令和 2 年度

卒業論文

リニアコライダーのための超扁平ビーム生成における
x-z エミッタンス交換の特性評価

広島大学理学部物理学科

加速器物理学研究室

B174404 青木秀樹

指導教員・主査

栗木雅夫

副査 高橋徹要旨

リニアコライダーでは, 高いルミノシティを得るために超扁平低エミッタンスビームの生成が必要である. 現在の国際リニアコライダーの計画では, 周長 3km のダンピングリン
グでの放射減衰によって目的のビームを生成するが, これに代わり, エミッタンス交換による方法が検討されていて, 実現すれば大幅な構造の簡略化が可能である. エミッタンス
交換は位相空間の回転操作で, 進行方向に垂直な x-y 平面内で RFBT(Round to Flat BeamTransformation)によってエミッタンスを x-y 非対称に振り分け, y エミッタンスを極小化
し, 過剰となった x 方向のエミッタンスを TLEX(Transverse to Longitudinal EmittanceeXchange) で進行方向 z 押し付けることで, リニアコライダーで要求されるビームを実現できる. RFBT 部に関しては, 実証実験に向けて詳細なシミュレーションが行われている.
本研究では, エミッタンス交換による超扁平ビームの生成を目的として, 特に TLEX について二重極モード空洞を含めた粒子追跡シミュレーションを行い, その特性評価を行った.

1

目次

第 1 章 序論 .............................................................................................................................3
第 2 章 エミッタンス交換 .......................................................................................................5
2.1 RFBT による x-y エミッタンス交換 ...........................................................................5
2.2 EEX による x-z エミッタンス交換 ..............................................................................6
2.3 RF 空洞の thick-lens 近似 ...........................................................................................8
2.4 エミッタンス増大 .....................................................................................................11
第 3 章 シミュレーション .....................................................................................................12
3.1 シミュレーション方法 ..............................................................................................12
3.2 比較の方法 ................................................................................................................12
3.3 パラメータの設定 .....................................................................................................14
第 4 章 結果と議論 ................................................................................................................16
4.1 RF 空洞の特性評価 ...................................................................................................16
4.2 偏向磁石の非線形効果 ..............................................................................................17
4.3 エネルギーチャープの比較 .......................................................................................19
4.4 ILC 規格ビームへの拡張...........................................................................................20
第 5 章 結論 ...........................................................................................................................24
謝辞 ........................................................................................................................................25
参考文献 ................................................................................................................................25

2

第 1 章 序論

粒子加速器は電磁場によって荷電粒子を加速する実験装置であり, 素粒子・原子核物理の実験をはじめ, 放射光による物性研究, 工業利用, 医療分野での診断や放射線治療への応用など, 実に幅広い分野で利用されている.
現在, 加速器の一種であるリニアコライダーを利用して, 次世代の高エネルギー電子-陽電子衝突実験を行い, ヒッグス粒子やトップクォークの大量生成, 未知の素粒子や新物理の発見を目指す国際プロジェクトとして, 国際リニアコライダー(International Linear
Collider, ILC)の建設が検討されている.
コライダーは, 衝突型加速器のことで, 高エネルギーのビームを衝突させ重心系のエネ
ルギーを最大化することで, 非常に高いエネルギーでの物理を探求することができる. 特に, リニアコライダーは線形であるため, 軌道を曲げる際に生じるシンクロトロン放射によるエネルギー損失が無視できる他に, ビーム間の相互作用に強い状態でも安定した衝突が可能である利点があるが, 加速勾配やルミノシティに対する要求が高く, 実現するには高い技術的な要求を実現する必要がある.
ルミノシティは反応レートを反応断面積で規格化したもので, リニアコライダーでは次の式で与えられる.
ℒ=

𝑓𝑛𝑏 𝑁 24𝜋𝜎𝑥 𝜎𝑦ここで, 𝑁はバンチの粒子数, 𝑛𝑏 はパルス内のバンチ数, 𝑓はパルスの繰り返し周波数, 𝜎𝑥 ,𝜎𝑦 はそれぞれ衝突点における x, y 方向のビームサイズである. 𝑁, 𝑛𝑏 , 𝑓はいずれもビーム電流に関係する量である. ルミノシティはコライダーの性能を表す指標であり, できるだけ大きくする必要がある. リニアコライダーでは衝突後のビームはそのまま捨てられるため,
ビーム電流を大きくすると必要な電力も大きくなってしまう. そのため, 分子を大きくすることは得策ではない. その代わり, 分子を小さく, すなわちビームサイズをなるべく小さくすることでルミノシティを大きくする. しかし, 単純な極小ビームではビーム間の望まない相互作用によってエネルギー幅の増大が生じてしまう. これは Beamstrahlung として知られる現象で, そのエネルギーの広がりΔ𝐸は次の式で表されるようにビームサイズの和の二乗の逆数に比例する.
Δ𝐸 ∝1(𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦2 )𝜎𝑧

ここで, 𝜎𝑧 は z 方向のビームサイズである. 𝜎𝑥 ≫ 𝜎𝑦 としてビームを極小化することで, ルミノシティを大きくし, Beamstrahlung を抑制できることがわかる. すなわち, 制限内のビームパワーでビーム相互作用を抑制しつつ, 充分なルミノシティを実現するには, 低エ
ミッタンスの非対称な超扁平ビームが必要である.
3

エミッタンスはビームの性能を表す重要なパラメータであり, 位相空間でのビームの占める体積で定義される. エミッタンスの小さいビームは実空間だけでなく運動量空間でも揃っているため様々な面で扱いやすく, エミッタンスの小さいビームを生成すること, その増大を抑制することは, 特に衝突型の加速器にとっては最も重要な要素と言っても過言ではない.
現在の ILC では, エミッタンス比で約 250 倍の超扁平ビームの生成に周長 3km に及ぶダンピングリングでの放射減衰を利用する方法が計画されているが, それに代わる方法としてエミッタンス交換が提案されている. エミッタンス交換に必要なビームラインは数十メートル程度であり, 実現すれば大幅な構造の簡素化が期待できる.
具体的に ILC の設計では, 衝突点でのビームサイズは𝜎𝑥 = 640nm, 𝜎𝑦 = 5.7nm, エミッタ
ンスは𝜀𝑥 = 10mm−. mrad, 𝜀𝑦 = 0.04mm−. mradの超扁平ビームを衝突に用いる. これをエ
ミッタンス交換で生成するには, まず, 空間電荷効果を抑制するため, 𝜀𝑥,𝑦 = 50mm−. mradと大きなサイズのビームを生成し, RFBT(Round to Flat Beam Transformation)という方法
で進行方向に垂直な x-y 平面内でエミッタンスを非対称に振り分け, y 方向のエミッタンス
を𝜀𝑦 = 0.04mm−. mradまで極小化する. これは衝突点での要求値である. しかしエミッタ
ンスの積は保存されるため, この段階では初期ビームの大きさに対して𝜀𝑦 を極めて小さくす る と , x 方 向 の エ ミ ッ タ ン ス は 𝜀𝑥 = 62500mm−. mradと 過 大 に な る . そ こ で , 次 にTLEX(Transverse to Longitudinal Emittance eXchange)という方法によって, x-z エミッタ
ンスを交換を行い, 過剰な𝜀𝑥 を進行方向のエミッタンス𝜀𝑧 と交換する. 初期ビームの z 方向の エ ミ ッ タ ン ス を 𝜀𝑧 = 10mm−. mrad と し て お け ば , TLEX 通 過 後 の ビ ー ム は 𝜀𝑥 =10mm−. mrad, 𝜀𝑦 = 0.04mm−. mradという最終的な衝突点での要求をみたす. 必然的に𝜀𝑧 は大きなエミッタンスを引き受けるが, z に関する要求値は大きいため問題とならない.
エミッタンス交換による超扁平ビ―ム生成は ILC での実現に向けて KEK-STF での実証実験が計画されている. KEK-STF は KEK の超伝導リニアック試験施設であり, ILC に向けた各種の超伝導加速システムの実験施設である. これに向けたシミュレーションとして,論文[2]では RFBT 部に関して空間電荷効果を含めた詳細なシミュレーションが行われ, その結果として𝜀𝑛𝑥 = 25.59𝜋mm−. mrad, 𝜀𝑛𝑦 = 0.1854𝜋mm−. mrad, エミッタンス比にして159.6 の扁平ビームを生成している. 今後は TLEX 部分と合わせて ILC 規格の超扁平ビー
ムを生成する実証実験を予定していて, TLEX 部での詳細なシミュレーションが必要である.
本研究では, エミッタンス交換による超扁平ビームの生成を目的として, 特に TLEX について二重極モード空洞を含めた粒子追跡シミュレーションを行い, その特性評価を行った. 第 2 章でエミッタンス交換について詳しく説明するとともに, 計算によりビームの運動を線形な力学で扱ったときでも生じてしまうエミッタンス増大の原因を調べ, それを最小にするような条件を示す. 第 3 章ではそれをもとに行ったシミュレーションの概要について説明し, 第 4 章では実際のシミュレーション結果について議論する. 得られた結果からは,
TLEX エミッタンス交換においては偏向磁石部分での非線形の寄与が支配的であるが, 最4適なパラメータを選択することによってその増大は数％に抑えることができることが分かった. しかし, 本研究で設計したビームラインでは, よりエネルギーが高く入射ビームの xz エミッタンス比も大きい ILC 規格でのエミッタンス交換は成功しなかった. これを踏まえてその原因について議論を進め, 第 5 章で結論を述べた.

第 2 章 エミッタンス交換

2.1 RFBT による x-y エミッタンス交換

図 1 リニアコライダーのためのエミッタンス交換による超扁平ビーム生成に必要なビームラ
イン. RFBT で非対称性をつくり, TLEX で余分なエミッタンスを z に押し付ける.

RFBT(Round to Flat Beam Transformation)は進行方向に垂直な x-y 平面内でエミッタン
スを非対称に振り分ける技術で, P.Piot[3]らによって実験的に実証された. 必要なビームラ
インは図 1 に示している. ソレノイド上で粒子を発生させると, 磁場によってビームは角運動量を有する. これはベクトルポテンシャルによる正準運動量であり, ソレノイドの出
口で運動学的な運動量に転化する. こうして発生した x-y 相関は 3 つの四重極磁石で構成される skew 四重極セクションを通過させることで取り除かれる. この過程でエミッタンス
は非対称に振り分けられる. なお, skew 四重極磁石の前でビームの Twiss パラメータが xと y で対称である必要があるため, 加速空洞と skew 四重極磁石の間には調整用の四重極磁石が置かれる. RFBT でのエミッタンス交換の詳しい原理については論文[1]に説明されている.

5

2.2 EEX による x-z エミッタンス交換

x-z エミッタンス交換には図 2 に示すような EEX(Emittance EXchanger)と呼ばれるビー
ムラインを使用する. 2 つの曲げ角の等しい偏向磁石からなる dogleg の間に TM110 モー
ドの RF(高周波)空洞(図 3)を配置したものである. ただしここでも実際には偏向磁石の前に Twiss パラメータを調整するための四重極磁石が必要であり(図 1), その条件については
2.4 で述べる. TM110 モードは図３に示すように単純な加速電場である TM010 モードを並べたもので, 通過するビームに対して横方向のキックを与える. このビームラインによって, dogleg のビーム軌道面と平行な方向(ここでは x とする)のエミッタンス𝜀𝑥 と進行方向のエミッタンス𝜀𝑧 が交換する. すなわち x-z エミッタンス交換が実現する.

図2

TLEX に必要な EEX ビームライン. 偏向磁石を並べた dogleg の間に二重極モードのRF(高周波)空洞を配置する.

図3

TM110 モードの RF 空洞. 加速電場である TM010 を並べたもので,ビームに対して横方向のキックを与える

6これより EEX でのビーム輸送行列によりエミッタンス交換を示していく. ビーム輸送行
列とは, 粒子の位相空間における移動を線形近似し, 特定のビームラインを行列により表示した物である. ビーム輸送行列においては, 複数のビームラインによる輸送は, その積によりあらわされるため便利である. いま, x-z エミッタンス交換において無関係な y 方向は省略し, 4 次元位相空間(𝑥, 𝑥 ′ , 𝑧, 𝛿)を定義する. ここで, 𝑥 ′は x 方向の運動量𝑃𝑥 を進行方向の運動量𝑃𝑧 で規格化したもので, 𝛿は設計エネルギー𝐸からのずれ𝛥𝐸の割合を表す.
図 2 で示したビームラインを設定すると, 相対論的なビームでは dispersion function 𝜂とmomentum compaction factor 𝜉は𝜂 = 𝑆1

𝑠𝑖𝑛 𝜃
2𝐷
1
+
(
− 1)
2
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝐿=𝜉 = 𝑆1

(1)

𝑆1
2𝐷
+
+ 𝑆2
𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜃
2𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝜃+(− 𝜃)
𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃(2)と 定 ま る [4]. dispersion function は エ ネ ル ギ ー の 摂 動 に よ り 生 じ る x 位 置 の 変 化 ,momentum compaction とは, エネルギーの摂動により生じる z 位置の変化を表すパラメー
ターである. これらのパラメーターを用いて dogleg の輸送行列𝑀𝐷 は
1
0
𝑀𝐷 (𝜂, 𝜉, 𝐿) = [
0
0

𝐿
1
𝜂
0

0 𝜂
0 0
]
1 𝜉
0 1

と表される.
偏向空洞の輸送行列を長さを 0 とした thin-lens 近似を適用すると, その輸送行列は
1
0
𝑀𝑐 (𝑘) = [
0
𝑘

0 0
1 𝑘
0 1
0 0

0
0
]
0
1

と表せる. ここで, 𝑘は次のように空洞の周波数𝑓, 偏向空洞のピーク電圧𝑉, 光速 c, およびビームエネルギー𝐸を用いて定義される量である.
𝑘=

2𝜋𝑓ⅇ𝑉
𝑐𝐸

ここから EEX 全体の輸送行列を求めると

7

𝑀𝑇𝐿𝐸𝑋 = 𝑀𝐷 𝑀𝑐 𝑀𝐷 =

0

0

0

0

𝐿
𝐿𝜉
𝜂−
𝜂
𝜂
1
𝜉
−
−
𝜂
𝜂
−

𝜉
𝐿𝜉
𝜂−
𝜂
𝜂
1
𝐿
−
−
𝜂
𝜂
[
−

0

0

0

0

]

と求まる. ただし, ここでは整合条件と呼ばれる次の関係式を導入している.
(3)

1 + 𝜂𝑘 = 0

このビームライン前後での粒子の変数の関係をみてみる. 入射するビームの変数を(𝑥0 , 𝑥0′ , 𝑧0 , 𝛿0 ), 通過後の変数を(𝑥1 , 𝑥1′ , 𝑧1 , 𝛿1 )として例えば x 方向に注目すると
𝐿
𝜉𝐿
𝑥1 = − 𝑧0 + (𝜂 − ) 𝛿0𝜂𝜂1𝜉𝑥1′ = − 𝑧0 − 𝛿0𝜂𝜂と表される. ここから TLEX 通過後の x 位相空間の値は通過前のそれとは無関係に決まり,
通過前の z 方向の変数にのみ依存することがわかる. また, のちに示すシグマ行列を導入した計算によってエミッタンスは入れ替わり,
𝜀𝑧1 = 𝜀𝑥0
𝜀𝑥1 = 𝜀𝑧0(4)となることがわかる.

2.3 RF 空洞の thick-lens 近似

偏向空洞の長さを𝐿𝑐 と有限の長さにしたときの輸送行列を求める. これを thick-lens 近似という. このとき, 空洞の輸送行列は次のように表せる[7].

̂𝑐 =
𝑀

1

𝐿𝑐

0
0

1
0
𝑘𝐿𝑐
2

[ 𝑘

𝑘𝐿𝑐
2
𝑘
1
𝑁𝑘 2 𝐿𝑐

0001 ]̂ 𝑇𝐿𝐸𝑋 を求める
ここで, 𝑁は空洞のセル数や形状で決まる量である. EEX 全体の輸送行列𝑀と8

̂ 𝑇𝐿𝐸𝑋 = 𝑀𝐷 𝑀
̂𝑐 𝑀𝐷
𝑀

=

0

𝑁𝐿𝑐

0

0

−

𝜉
𝐿𝑐 𝜉 + 2𝜉𝐿 − 2𝜂2 + 2𝑁𝐿𝑐 𝜉−𝜂2𝜂
1
𝐿𝑐 + 2𝐿 − 2𝑁𝐿𝑐
−
−
[ 𝜂
2𝜂
−

𝐿𝑐 + 2𝐿 − 2𝑁𝐿𝑐
2𝜂
1
−
𝜂
𝑁𝐿𝑐 𝜉
𝜂2
𝑁𝐿𝑐
𝜂2

−

𝐿𝑐 𝜉 + 2𝜉𝐿 − 2𝜂 2 + 2𝑁𝐿𝑐 𝜉2𝜂𝜉−𝜂𝑁𝐿𝑐 𝜉 2
𝜂2
𝑁𝐿𝑐 𝜉
𝜂2
]

と求まる. ただし, ここでも整合条件(3)を導入している. 𝐿𝑐 = 0とすれば thin-lens 近似での𝑀𝑇𝐿𝐸𝑋 と等しくなることが確認できる.
次に EEX 通過後のエミッタンスを, シグマ行列を導入して実際に計算し, その増大因子について調べる. シグマ行列とは次のように定義される行列である.
⟨𝑥 2 ⟩ ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩ ⟨𝑥𝑧⟩ ⟨𝑥𝛿⟩⟨𝑥 ′ 𝑥⟩ ⟨𝑥 ′ 2 ⟩ ⟨𝑥 ′ 𝑧⟩ ⟨𝑥 ′ 𝛿⟩𝛴=⟨𝑧𝑥⟩ ⟨𝑧𝑥 ′ ⟩ ⟨𝑧 2 ⟩ ⟨𝑧𝛿⟩[ ⟨𝛿𝑥⟩ ⟨𝛿𝑥 ′ ⟩ ⟨𝛿𝑧⟩ ⟨𝛿 2 ⟩ ]初期状態で x-z 位相空間が無相関の時, 1,3 成分や 3,2 成分などはゼロとなるから, 𝛴は次のように書き換えられる.
𝛴
𝛴=[ 𝑥
0

0
]
𝛴𝑧

ここで,
⟨𝑥 2 ⟩ ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩⟨𝑧 2⟩ ⟨𝑧𝛿⟩𝛴𝑥 = [ ′].
2 ] , 𝛴𝑧 = [′⟨𝑥 𝑥⟩ ⟨𝑥 ⟩⟨𝛿𝑧⟩ ⟨𝛿 2 ⟩さらに, ビームの Twiss パラメータを用いればこれは𝛽𝛴𝑥 = 𝜀𝑥 [ 𝑥
−𝛼𝑥

−𝛼𝑥
]
𝛾𝑥

とも表せる. Twiss パラメータはビーム物理ではよく用いられるパラメータで, 位相空間におけるビーム分布を表すパラメーターである. 中心極限定理により, 位相空間内では粒子は多くの場合, 図 4 で表されるように楕円状にガウス分布をするが, その形状を表すのがTwiss パラメーターである.

9図4

Twiss パラメータのビームに対する位相空間での関係

エミッタンスは統計平均を用いれば
𝜀𝑥 = √⟨𝑥 2 ⟩⟨𝑥 ′ 2 ⟩ − ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩2 = √|𝛴𝑥 |と表せるため, シグマ行列の要素を計算することによってエミッタンスを求められる. z についても同様である.
シグマ行列𝛴0 で表される状態にあったビームが輸送行列𝑀によって𝛴1 になったとき, 𝛴1と𝛴0 は以下の関係式で結ばれる.
𝛴1 = 𝑀𝛴0 𝑀𝑇
いま, EEX の前後でこれを適用すれば,
̂ 𝑇𝐿𝐸𝑋 𝛴0 𝑀
̂𝑇𝐿𝐸𝑋
𝛴1 = 𝑀𝑇

さて, ここで̂ 𝑇𝐿𝐸𝑋 | = 1|𝑀が成り立っていることを確認して論文[5]を参考に計算すると EEX 通過後の x エミッタン
ス𝜀𝑥1 , z エミッタンス𝜀𝑧1 は, EEX 通過前の x エミッタンスを𝜀𝑥0 , z エミッタンス𝜀𝑧0 として
𝜀𝑥21 = 𝜀𝑧20 (1 +

𝜀𝑥0 2
𝜆 )
𝜀𝑧0

𝜀𝑧21 = 𝜀𝑥20 (1 +

𝜀𝑧0 2
𝜆 )
𝜀𝑥0

と表せる. ここで, 𝜆2は具体的に次のように入射ビームの x 方向の Twiss パラメータ𝛼𝑥0 ,𝛽𝑥0 および z 方向の Twiss パラメータ𝛼𝑧0 , 𝛽𝑧0 とビームラインの設計で決まるパラメータを用いて表される無次元量である.
𝜆2 = 𝑁 2

𝐿𝑐 2
2(1 + 𝛼𝑥0 2 ) [(𝛽𝑧0 −𝛼𝑧0 𝜉) + 𝜉 2 ]𝜂 2 𝛽𝑥0 𝛽𝑧0(5)

ここで𝐿𝑐 を 0 とすればエミッタンスの増大も 0 となり, thin-lens 近似の結果(4)を導くこ
10

とができた.
ここで定義した𝜆2は, 空洞の輸送行列で長さを考慮したことによるエミッタンス増大の大きさを決める重要なパラメータであり, 次節で詳しく評価する.

2.4 エミッタンス増大

前節では, EEX ビームラインにおいて RF 空洞部分の輸送行列を長さを考慮した thicklens 近似を適用することによって, ビームの力学が線形でもエミッタンスが増大することを示し, その大きさは𝜆2 といいう(5)で表される無次元のパラメータによって決まることを計算により導いた. ここではビームのエミッタンス増大を抑えるための最適な条件ついて検討する.
𝜆2 は, エミッタンス増大の大きさを決めるパラメータで, もう一度かいておくと
𝜆2 = 𝑁 2

𝐿𝑐 2
2(1 + 𝛼𝑥0 2 ) [(𝛽𝑧0 −𝛼𝑧0 𝜉) + 𝜉 2 ]𝜂 2 𝛽𝑥0 𝛽𝑧0

これを最小とする入射ビームの Twiss パラメータを考える. まず, 𝛼𝑥0 に関してはただちに
𝛼𝑥0 = 0とするのがよいことがわかる. 次に, 𝜆2を最小にするのは
𝛽𝑧0 −𝛼𝑧0 𝜉 = 0のときであり, これは
𝛼𝑧0 =

𝛽𝑧0
𝜉

(6)

の関係で書き換えられる. この条件は𝑧 − 𝛿位相空間分布がある傾きを持っていることを示しており, 𝑧 − 𝛿位相空間での相関としてエネルギーチャープ(energy chirp)を次のように定
義する.
ℎ≡−

⟨𝑧0𝛿0 ⟩𝜀𝑧0

これは Twiss パラメータを用いれば
𝛼𝑧0 = ℎ𝛽𝑧0であるため, (6)となるには
ℎ=

1
𝜉

(7)

と求まり, ビームラインの設計で決まる𝜉との関係が得られる.
実際に Twiss パラメーターを調整することは図 4 からもわかるように, 位相空間でビームの傾きを変えることであり, 四重極磁石や加速空洞で調整可能である.

11

第 3 章 シミュレーション

3.1 シミュレーション方法

シミュレーションには C 言語で記述された荷電粒子トラッキングコードである米国
Argonne National Laboratory で開発された ELEGANT[6] (ELEctron Generation ANd
Tracking)を利用した.
まず, RFBT を通過してきたビームを想定し, パラメータを与えて粒子を生成する. ただし, ここでは RFBT セクションの後に調整のための四重極磁石などをはさみ, Twiss パラメ
ータを 2.4 で与えられるように最適化したものとした. 次にそれを読み込み, ELEGANT で作成した目的の TLEX ビームラインを通過させトラッキングを行う. ELEGANT では偏向
磁石や RF 空洞などのエレメントを組み合わせて目的のビームラインを作成することができるため, 各エレメントの設定を変えてトラッキングを行うことで, その結果を比較した.
ビームは荷電粒子のため, 互いの斥力によって発散する. これを空間電荷効果というが,これはローレンツγの二乗に比例して小さくなる. 低エネルギーのビーム発生時にはこの
空間電荷効果の影響を抑えることが重要である. しかし, RFBT 部の加速空洞によってビームのエネルギーが高くなるとその影響はかなり小さく無視できるとして, TLEX 部のシミュ
レーションには空間電荷効果を考慮していない.

3.2 比較の方法

エミッタンス交換を評価する指標として, エミッタンス増大率𝑅を次のように定義する.
𝑅=

𝜀𝑛𝑥1 𝜀𝑛𝑧1
𝜀𝑛𝑥0 𝜀𝑛𝑧0

ここで𝜀𝑛𝑥 , 𝜀𝑛𝑧 は規格化エミッタンスである. エミッタンスは線形力学では原理的に保存する (Liouville の定理)が, 加速などエネルギーの変化で増減してしまう. しかしこれは本質的ではないため, 通常はビームのエネルギーで規格化した値を規格化エミッタンスとして使用する. このエミッタンス増大率はビームの力学を線形に扱ったときには(5)より

𝑅 = √(1 +

𝜀𝑛𝑥0
𝜀𝑛𝑧0
𝜆2 ) (1 +
𝜆2 )
𝜀𝑛𝑧0
𝜀𝑛𝑥0

(8)

とビームラインと入射ビームの設定から求められる. これとシミュレーションから得られ12た値を比較することで理論との比較ができる.
ELEGANT における偏向空洞の設定には, 用途に応じていくつかのオプションがある.
今回使用する TM モード(Transverse Magnetic Mode)では理想的には軸方向の磁場が存在せず, 軸方向の電場から導かれる場によって通過するビームにキックを与えるが, 現実的にはセル間をつなぐ接続部分の影響や通過する粒子によって誘起される Wake 場を原因とした不要なモードの影響で, 動径方向に依存しない一様な力を受ける[8].
そこで, ELEGANT のシミュレーションでは, RFTM110 と呼ばれる空洞の長さを考えずに理想的な TM 分布を与えるものと, RFDF という実際の設計に近い混在モードを再現するものが用意されている. したがって本研究では RF 空洞部分を RFTM110 と RFDF を用
いて, 理論との比較を行う. また, 偏向磁石には sector 型と rectangular 型の磁石がある.
sector 型では図 5 に示すように, 実線であらわした基準粒子は磁極面に端部で垂直に入射
および出射する. rectangular 型の場合は, 図５で点線で示されているように, 磁極面に対してある角度をもって入射, 出射する. 本シミュレーションでは偏向磁石は sector 型を用いた.

図5

sector 型の偏向磁石. 端部はビームの中心軌道に対して垂直になる.rectangular 型では点線で示したように基準粒子と磁極は角度を持つ.

偏向磁石は, 次数を設定することができる. 偏向磁場の次数とは, 偏向磁場が有する収束効果を求める次数で, 本シミュレーションでは一次（線形）, あるいは二次まで計算に含めた. 具体的な比較は以下のようにおこなった.
条件Ⅰ : 偏向磁石は線形, RF 空洞は thin lens 近似 (一次+RFTM110).
条件Ⅱ : 偏向磁石は線形, RF 空洞は thick lens 近似 (一次+RFDF).
条件Ⅲ : 偏向磁石は 2 次, RF 空洞は thin lens 近似 (二次+RFTM110).
条件Ⅳ : 偏向磁石は 2 次, RF 空洞は thick lens 近似 (二次+RFDF).

13

3.3 パラメータの設定

シミュレーションに使用した各パラメーターを示す. はじめに dogleg の設計に関する値を表 1 に示す.

これらのパラメーターを式(1), (2)に代入することにより, 𝜂, 𝜉が決まり, 最適なエネルギー
チャープの値も式(7)より求まる. さらに整合条件(3)より RF 空洞が満たすべき条件が決まる. これらの値を表２にまとめる.

入射ビームとしては 100MeV の電子を想定し, 50000 粒子でトラッキングを行った. エミッタンス比 100 を設定し, 分布は全てガウス分布で与えた. 入射ビームのパラメーターを表
3 にまとめる.

14

ILC のメインライナックの周波数は 1.3GHz であり, 空洞の周波数はこれと同じで 2 セルからなる論文[7]の空洞を参考にした. このように設計した空洞では thick-lens 近似で与える輸送行列(2.3 参照)で𝑁 = 23/128で実験値とよく合うことが示されている. この設定で必要なピーク電圧は 7.98 MV であり, 現実的な値である. これらの値は表 4 にまとめる.

図6

シミュレーションで想定した RF 空洞

以上のパラメーターを用いて, 式(8)によりエミッタンス増大率を求めると 1％未満とな
る. 式(8)では線形力学のみ考慮しているため, シミュレーションによりこの値を超える有意な増大率が求められた場合, 非線形効果によりエミッタンス増大が生じたことがわかる.
15

第 4 章 結果と議論

4.1 RF 空洞による影響評価

こ こ で は 偏 向 磁 石 は 線 形 効 果 の み と し て , RF 空 洞 を 理 想 的 な 電 磁 場 で 与 え る
RFTM110(条件Ⅰ)と実際の空洞を再現する RFDF(条件Ⅱ)とし, シミュレーションを行った. その結果を図 7,および 8 に示す. 図 7 はビームラインに沿ったビームの規格化エミッタ
ンスの変化を示したもので, 条件Ⅰ(a)および条件Ⅱ(b)で設定したビームラインを通過したときの x 規格化エミッタンスと z 規格化エミッタンスの様子である. 図 8 はビームのEEX 通過前後の位相空間分布の変化を示したもので, (a)と(b)は入射ビームの x および z 位
相空間分布, (c)と(d)は条件Ⅰで設定したときの EEX 通過後のビームの x および z 位相空間
分布, (e)と(f)は条件Ⅱで設定した EEX 通過後の x および z 位相空間分布である.
入射ビームの初期エミッタンスは𝜀𝑛𝑥0 = 0.100mm−. mrad, 𝜀𝑛𝑧0 = 0.00100mm−. mradで,
条件Ⅰ,条件Ⅱどちらの場合も EEX 通過後のエミッタンスは𝜀𝑛𝑥1 = 0.00100mm−. mrad,
𝜀𝑛𝑧1 = 0.100mm−. mradとなり, エミッタンス増大率は 1.00 とほぼゼロであった. 適切なチ
ャープを与えたビームに対して理論的に予想される R は 1.0001 でありこの結果と整合している. RF 空洞の thick lens 近似による非線形効果の影響は非常に小さいことが結論付けられる.

図7

EEX 前後での規格化エミッタンスの変化の様子.

ミッタンス増大率は 0.5％以下となった.

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条件Ⅰ(a)条件 Ⅱ(b)のどちらでもエ図8

EEX 前後での位相空間分布の変化の様子.入射ビームの (a)x および(b)z 位相空間分布.

条件Ⅰによる EEX 通過後の（c）x および(d)z 位相空間分布. 条件Ⅱによる EEX 通過後の(e)xおよび(f)z 位相空間分布.

4.2 偏向磁石の非線形効果

次に偏向磁石の収束効果を 2 次まで考慮したシミュレーションを行い, 条件Ⅲと条件Ⅳで結果を比較した. その結果を図 9, および 10 に示す. 図 9 はビームの EEX 通過前後の位
相空間分布の変化を示したもので, (a)と(b)は入射ビームの x および z 位相空間分布, (c)と(d)は条件Ⅲで設定したときの EEX 通過後のビームの x および z 位相空間分布, (e)と(f)は条件Ⅳで設定した EEX 通過後の x および z 位相空間分布である. 図 10 はビームラインに沿ったビームの規格化エミッタンスの変化を示したもので, 条件Ⅲ(a)および条件Ⅳ(b)で設定したビームラインを通過したときの x 規格化エミッタンスと z 規格化エミッタンスの様子である.

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図9

EEX 前後での位相空間分布の変化の様子. 入射ビームの (a)x および(b)z 位相空間分布.

条件Ⅲによる EEX 通過後の（c）x および(d)z 位相空間分布. 条件Ⅳによる EEX 通過後の(e)xおよび(f)z 位相空間分布.

図 10

EEX 前後での規格化エミッタンスの変化の様子. 条件Ⅲ(a)および条件 Ⅳ(b)のどちらでもエミッタンス増大率は 2％程度となった.

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入射ビームの初期エミッタンスは先ほどと同じ𝜀𝑛𝑥0 = 0.100mm−. mrad, 𝜀𝑛𝑧0 =0.00100mm−. mradだが, 条件Ⅲ,条件Ⅳいずれの場合も EEX 通過後のエミッタンスは
𝜀𝑛𝑥1 = 0.00102mm−. mrad, 𝜀𝑛𝑧1 = 0.100mm−. mradとなり, エミッタンス増大率 1.02 と2％程度の増大が認められた.

4.3 エネルギーチャープの比較

次に, 2.4 で導いたエネルギーチャープの妥当性を調べるため, 与えるチャープを変化させてエミッタンス増大率を調べた. エネルギーチャープは RF 空洞の長さを考慮したことによるエミッタンス増大を最小にするものであるから, 条件ⅡとⅣでシミュレーションを実施した. ただし, 𝛽𝑧0 は固定し𝛼𝑧0 = ℎ𝛽𝑧0 の関係を保ったままチャープを変化させたため, これは𝛼𝑧0 を操作したことと同じである. 実際に z 方向の初期ビームの位相空間分布をみると,
図 11 で示すようにエネルギーチャープによって傾きが変化していることがわかる. 図 11の(a), (b), および(c)は各々h=-5, h=0, そして h=5 における z 位相空間分布である.

図 11 エネルギーチャープ h を変化させたときの(a) h=-5, (b) h=0 そして(c) h=5 における z
位相空間分布. エネルギーチャープによってビームの傾きが変わる.

図 12 に示した結果から, 偏向磁石を線形に扱ったとき(条件Ⅱ)のシミュレーションから得られる値は, 理論的に予想されるものとよく一致していることがわかる. さらに偏向磁石の 2 次の項を考慮したとき(条件Ⅳ)もエミッタンス増大率を最小にするエネルギーチャ
ープの値は理論とよく一致していて, このことから最適なエネルギーチャープの値は非線形項を考慮したときも有効であることがわかった.

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図 12 エネルギーチャープを変化させたときのエミッタンス増大率. 横軸はエネルギーチャー
プ h, 縦軸はエミッタンス増大率 R. □は条件Ⅱ, △は条件Ⅳの設定で得られた値で, 曲線は理論値である. 黒く塗られた点は理論的に求めた最適な h での値.

4.4 ILC 規格ビームへの拡張

本研究で設計した EEX ビームラインで, ILC 規格のビームに対してもエミッタンス交換が成功するかを試した. ILC 規格のビームはエミッタンス比を 6250 とし, エネルギーは400MeV を想定した. ビームパラメーターを表 5 にまとめる.

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ビームエネルギーを高くした理由は, ビームの規格化エミッタンスが同じ値でも幾何的なビームの大きさがビームエネルギーを大きくすることで減少するためである. ビームの z
方向の長さ（バンチ長）が大きすぎると, RF により加速を行った場合エネルギー幅が大きなり過ぎてしまうからである. ビームのエネルギーを高くしたことで, 必要な RF 空洞のピーク電圧も高くなる. 同じ設定の空洞では必要なピーク電圧は 30MV を超えてしまい現実的ではないため, 周波数を 3.9GHz へ変更し, 2 セルからなるピーク電圧 10.6MV の空洞を設定した. これらの値は表 6 にまとめる.

4.1 および 4.2 でエミッタンス交換に影響を及ぼすのは主に偏向磁石の非線形効果だとわかったため, 今回は条件Ⅱと条件Ⅳでどちらも実際の空洞を再現する RFDF を使い, 偏向磁石の次数の設定を変更することで比較を行った. シミュレーションの結果は図 13,14 に示す. 図 13 はビームの EEX 通過前後の位相空間分布の変化を示したもので, (a)と(b)は入射ビームの x および z 位相空間分布, (c)と(d)は条件Ⅱで設定したときの EEX 通過後のビー
ムの x および z 位相空間分布, (e)と(f)は条件Ⅳで設定した EEX 通過後の x および z 位相空間分布である. 図 14 はビームラインに沿ったビームの規格化エミッタンスの変化を示したもので, 条件Ⅱ(a)および 条件Ⅳ(b)で設定したビームラインを通過したときの x 規格化エミッタンスと z 規格化エミッタンスの様子である.
入射ビームの初期エミッタンスは𝜀𝑛𝑥0 = 6.25mm−. mrad, 𝜀𝑛𝑧0 = 0.00100mm−. mradで,
条 件 Ⅱ の と き EEX 通 過 後 の エ ミ ッ タ ン ス は 𝜀𝑛𝑥1 = 0.00108mm−. mrad, 𝜀𝑛𝑧1 =6.25mm−. mrad,条件Ⅳのときは EEX 通過後のエミッタンスは𝜀𝑛𝑥1 = 0.00337mm−. mrad,
𝜀𝑛𝑧1 = 6.62mm−. mradとなった.

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図 13

EEX 前後での位相空間分布の変化の様子.入射ビームの (a)x および(b)z 位相空間分布.

条件Ⅱによる EEX 通過後の（c）x および(d)z 位相空間分布. 条件Ⅳによる EEX 通過後の(e)xおよび(f)z 位相空間分布.

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図 14 EEX 前後での規格化エミッタンスの変化の様子. 条件Ⅱ(a)条件 Ⅳ(b)を比較すると RF
空洞通過後の様子が異なることがわかる.

偏向磁石を線形で扱ったとき(条件Ⅱ)はエミッタンス増大は 8％となった. 偏向磁石で非線形項を入れる(条件Ⅳ)とエミッタンス増大率は 357％となった.
偏向磁石の非線形項の影響でエミッタンス増大が生じたと考えられるが, 論文[4]によれ
ば, 偏向磁石での 2 次の影響によるエミッタンス増大𝛥𝜀𝑛 は
𝑙𝑏 2
𝛥𝜀𝑛 ∝ 𝛾𝑎 ( )𝜂(8)で表される. ここで𝛾はビームの相対論的な質量因子, 𝑎は偏向磁石の長さに関係する特性
スケール因子, 𝜂は(1)と同じ dispersion 関数であり, 𝑙𝑏 は電子のバンチ長である. dispersion
は偏向磁石の長さに対して大まかに線形と考えられるから, エネルギーの高いビームに対しては偏向磁石の大きさなど全体のスケールを大きくする必要がある. 本研究で設計した
ビームラインは, ILC 規格のビームを扱うにしては偏向磁石の長さが短すぎたことが考えられる. 図 14 を見てみると, RF 空洞を通過した後のビームの振る舞いが大きく異なることがわかる. これは初期ビームの大きな𝜀𝑥 を z 方向に引き受けたことでバンチ長𝑙𝑏 が大きくなり,(8)で表されるように偏向磁石の非線形効果によりエミッタンスが大きく増大したと考えら
れる.
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第 5 章 結論

本研究ではリニアコライダーでの超扁平ビーム生成を目的に TLEX と呼ばれる x-z エミッタンス交換手法の特性を調べるため, 二重極モードの RF 空洞を含めたビームラインを設計してシミュレーションを行った. 得られた結果からは, TLEX エミッタンス交換においては偏向磁石部分での非線形の寄与が支配的であるが, 最適なパラメータを選択することによってその増大は数％に抑えることができることが分かった. しかし, 本研究で設計したビームラインでは, よりエネルギーが高く入射ビームの x-z エミッタンス比も大きい
ILC 規格でのエミッタンス交換では要求される性能は実現できなかった. その理由は偏向磁石での非線形効果が非常に大きくなったことであり, これは入射ビームの規格が本研究で想定したビームと大きく異なっていたことが影響すると考察できる. よって ILC 規格のビームに適したビームラインの設計が今後の課題である.

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謝辞

本研究を行うにあたって, 指導教員の栗木雅夫教授をはじめ, 加速器物理学研究室の方には大変お世話になりました. 使用したプログラムに関しては, 同じ研究室の先輩である
荒本さんと, ビーム物理研究室の田村さんに非常に多くのご支援をいただきました. この場を借りて感謝申し上げます.

参考文献[1] 栗木雅夫,“位相空間回転によるエミッタンス振り分けとその応用”, 加速器,53Vol.15,
No.3, p108-116(2018)[2] Ryohei Tamura, Masao Kuriki, Hitoshi Hayano, Naoto Yamamoto, Xiuguan Jin, Yuji
Seimiya, “Generation of low emittance flat beam in KEK-STF”, in Proceedings of the 16th
Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan July 31, Kyoto, Japan(2019)[3] Y.-E Sun, P. Piot, A. Johnson, A. H. Lumpkin, T. J. Maxwell, J. Ruan, and R. ThurmanKeup, Phys. Rev. Lett. 105, 234801 (2010)[4] Bruce E. Carlsten, Kip A. Bishofberger, Steven J. Russell, and Nikolai A. Yampolsky, Phys.
Rev. ST Accel. Beams 14, 084403 (2011)[5] M. M. Cornacchia and P. Emma, Phys. Rev. ST Accel. Beams 5, 084001 (2002)[6] M. Borland, ‘‘ELEGANT: A Flexible SDDS-Compliant Code for Accelerator Simulation,’’
Advanced Photon Source LS-287, 2000 (unpublished)[7] P. Piot, Y.-E Sun, J. G. Power, and M. Rihaoui Phys. Rev. ST Accel. Beams 14, 022801(2011)[8] https://ops.aps.anl.gov/manuals/elegant_latest/elegant.html[9] P. Emma, Z. Huang, K.-J. Kim, and P. Piot, Phys. Rev. ST Accel. Beams 9, 100702 (2006)[10] Jinhao et al., AIP Report No. 978-0-7354-0853-1, 2010; A. Johnson, J. Ruan, H. Edwards,
T. Koeth, A. Lumpkin, P. Piot, J. Santucci, Y.-E. Sun, and R. Thurman-Keup, in Proceedingsof the 2010 International Particle Accelerator Conference IPAC10, Kyoto, Japan, 2010 (ICR,
Kyoto, 2010)[11]T. W. Koeth, “An Observation of a Transverse to Longitudinal Emittance Exchange at
the Fermilab A0 Photoinjector”(Doctoral Dissertation), Rutgers University, Piscataway,
NJ.(2009)

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