2023 年度

修⼠論⽂

ILC 陽電⼦源の設計およびキャプチャーライナック
におけるビームローディング補償の研究

広島⼤学⼤学院先進理⼯系科学研究所
量⼦物質科学プログラム
M226322 ⽥地野浩希
指導教員

栗⽊雅夫教授2024 年３⽉
1

要旨
国際リニアコライダー(International Linear Collider, ILC)は重⼼系エネルギー
250GeV から 1TeV の電⼦・陽電⼦衝突型線形加速器である。ILC での陽電⼦⽣成⽅法として電⼦ビームを⾦属標的に照射し、制動放射と対⽣成反応を起こす
ことで陽電⼦を発⽣させる電⼦ドライブ⽅式が採⽤される予定である。線形加速器である ILC では、ビームの再利⽤ができないため、従来のリングコライダ
ーと⽐べ⼤量の電⼦・陽電⼦が必要になる。そのため標的へのビーム照射による陽電⼦⽣成を⾏う電⼦ドライブ⽅式の場合、標的の熱的な破壊が危惧されている。よって標的破壊を防ぐために、⼊射電⼦数に対する捕獲陽電⼦数を⾼める必要がある。キャプチャーライナックは⽣成直後の陽電⼦を加速可能な RF バケツに捕捉するセクションであるが、ビームによる減速場（ビームローディング）が発⽣し、それが集群に影響する。本研究では、シミュレーションによりキャプチャーライナックを模擬し粒⼦トラッキングを⾏うことで、実際にビームが作り出すビームローディング電流を計算しその影響について調べた。また⼊⼒ RF の位相変調によるビームローディングの補償についても検討を⾏い、ビームロー
ディング電流が約 2.0[A]、⼊⼒パワー22.5MW において平均の加速勾配が約
8.0[MV/m]となった。さらに陽電⼦源全体のパラメータについても最適化を⾏
い、陽電⼦捕獲率を求めた。全体最適化により得られた陽電⼦捕獲率は 1.20 となり、この時に標的に発⽣する熱的な負荷は破壊限界よりも低くなったため、標的破壊を起こさずに陽電⼦源の運⽤が可能であるという⾒通しがたった。

2

⽬次
要旨 ....................................................................................................................... 2
第１章

序論......................................................................................................... 5

第2章

国際リニアコライダー ........................................................................... 6

2.1

ILC の概要 ................................................................................................ 6

2.2

陽電⼦の⽣成⽅法 ..................................................................................... 72.2.1

電⼦ドライブ⽅式 .............................................................................. 8

2.2.2

アンジュレータ⽅式........................................................................... 92.2.3

コンプトン⽅式 ................................................................................ 10

第３章

ILC 陽電⼦源 ........................................................................................ 123.1

基本設計.................................................................................................. 12

3.2

電⼦ドライバーリニアック .................................................................... 13

3.2.1

パルスの時間構造 ............................................................................ 13

3.3

ターゲット .............................................................................................. 15

3.4

AMD (Adiabatic Matching Device) ....................................................... 15

3.5

キャプチャーライナック ........................................................................ 17

3.5.1

APS 空洞 .......................................................................................... 17

3.5.2

減速キャプチャー⽅式 ..................................................................... 18

3.6

シケイン.................................................................................................. 19

3.7

ブースター .............................................................................................. 22

3.8

ECS (Energy Compression System) ....................................................... 23

3.9

DR アクセプタンス・陽電⼦捕獲率 ...................................................... 24

第4章

ビームローディングとその補償 .......................................................... 27

4.1

概略 ......................................................................................................... 27

4.2

単セルモデル .......................................................................................... 27

4.2.1

単セルモデルによる空洞電圧計算................................................... 27

4.2.2

ビームローディング電流の計算 ...................................................... 30

4.3

ビームローディング補償 ........................................................................ 32

4.3.1

on-crest の時のビームローディング補償 ........................................ 32

4.3.2

off-crest の時のビームローディング補償 ........................................ 33

3

4.4

多セルモデル .......................................................................................... 35

4.4.1 レギュラーセル .................................................................................. 35
4.4.2 カプラーセル ..................................................................................... 41
4.4.3 等価回路モデルによる過渡的ビームローディング補償 ................... 42
4.5

シミュレーションによるビームローディング計算 .............................. 47

4.5.1

GPT による粒⼦トラッキング ........................................................ 47

4.5.2

計算⼿法 ........................................................................................... 50

4.5.3

結果 .................................................................................................. 52

第5章

陽電⼦捕獲率計算シミュレーション ................................................... 58

5.1

シミュレーション概要............................................................................ 58

5.2

仮パラメータ決定 ................................................................................... 59

5.2.1

キャプチャーライナック RF 位相、シケイン偏向⾓ ...................... 59

5.2.2

シケイン四重極磁⽯......................................................................... 63

5.2.3

ブースター位相 ................................................................................ 65

5.3

パラメータ最適化 ................................................................................... 67

5.3.1

キャプチャーライナックの RF 初期位相𝜙0[𝑟𝑎𝑑] ........................... 67

5.3.2

シケイン偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑] ..................................................................... 67

5.3.3

シケイン四重極磁⽯の K 値 ............................................................. 68

5.3.4

ECS の𝑅56, 𝑅65 ................................................................................ 69

5.3.5

ブースターの RF 位相 z[m] ............................................................. 70

5.3.6

縦⽅向の DR アクセプタンス中⼼................................................... 71

5.3.7

陽電⼦捕獲率の評価......................................................................... 73

第6章

まとめ ................................................................................................... 74

謝辞 ..................................................................................................................... 75
参考⽂献 .............................................................................................................. 76

4

第１章

序論

国際リニアコライダー(International Linear Collider, ILC)は重⼼系エネルギ
ー250GeV~1TeV の電⼦・陽電⼦衝突型の線形加速器であり、現在岩⼿県の北上⼭地を建設候補地として、その実現に向けた準備が進んでいる。ILC はヒッグ
ス粒⼦やトップクォークの⼤量⽣成、超対称性粒⼦を含む未知の素粒⼦の発⾒などにより、これまでの標準理論を超える新しい物理の発⾒が期待されており、国際将来加速器委員会(International Committee for Future Accelerator)の主導のもと、アジア、欧州、⽶国などの世界各地の研究機関の協⼒のもとで推進されている⾼エネルギー物理学の国際プロジェクトである。信頼性の⾼い ILC での陽電⼦⽣成⽅法の⼀つとして、電⼦ドライブ⽅式が検討されている。電⼦ドライ
ブ⽅式とは⾼エネルギー電⼦ビームを⾦属標的に照射することにより、⾦属標的内で対⽣成反応を起こして陽電⼦を⽣成する⽅式であり、これまでに多くの加速器において使⽤され、技術的に成熟した⽅式である。線形加速器によるコラ
イダーである ILC は衝突に使⽤したビームの再利⽤ができず、衝突実験を継続するためには絶えず電⼦・陽電⼦を供給する必要があり、従来の周回軌道による
リングコライダーに⽐べ⼤量の電⼦・陽電⼦が必要となる。そのため陽電⼦⽣成に⽤いる⾦属標的の⾼熱負荷による破壊が危惧される。標的破壊を防ぐためには⽣成した陽電⼦を効率よく捕獲し、⼊射電⼦数あたりの捕獲陽電⼦数を⾼め、標的の負荷を軽減させる必要がある。標的直後に配置されたキャプチャーライ
ナックは、位相空間内に⼤きく広がった⽣成直後の陽電⼦を、加速可能な RF バ
ケツ内に捕獲し加速するセクションであり、そこでの集群の結果が陽電⼦捕獲率に⼤きく影響を及ぼす。しかし空洞内ではビームによる減速場（ビームローディング）が発⽣し、空洞電圧の変動が⽣じる。本研究ではその減速場の効果を補償し、安定した陽電⼦の捕獲を、⼊⼒ RF の位相および振幅の変調により実現する⽅法について検討した。さらにキャプチャーライナックにおけるビームロー
ディング電流を粒⼦トラッキングから計算し、また位相変調をかけた場合の空洞の加速勾配を数値的に求めることで、ビームローディングおよびそれによる陽電⼦捕獲率への影響を評価した。また陽電⼦源全体パラメータの最適化を⾏
い、陽電⼦捕獲率を求め、標的負荷から⽣成可能な陽電⼦量を⾒積もる。

5

第2章
2.1

国際リニアコライダー

ILC の概要

ILC の⽬的は電⼦・陽電⼦衝突によるヒッグス粒⼦やトップクォークの詳細研究、超対称性粒⼦やダークマターなどの未発⾒の粒⼦を発⾒することである。
そのためには重⼼系エネルギーにして 250GeV から 1000GeV=1TeV での電⼦・陽電⼦衝突が必要である。これまで周回軌道によるリング型の電⼦・陽電⼦コラ
イダーが建設されてきたが、⽬標としているこの⾼い重⼼系エネルギーを円形加速器で実現することは不可能である。その理由は円形加速器ではシンクロト
ロン放射によるエネルギー損失が⾮常に⼤きくなり、加速に莫⼤な電⼒が必要となるからである。シンクロトロン放射によるエネルギー損失𝐸./00 は𝑒 3 𝛽8 𝛾 :𝐸./00 =
3𝜀6 𝜌2.1と表せる。ここで𝑒は電⼦の素電荷、𝜀6 は真空の誘電率、𝛽はローレンツ𝛽で電⼦の速度を光速で規格化したもの、γはローレンツγで電⼦の全エネルギーを静⽌エネルギーで規格化したもの、𝜌はビーム軌道の曲率半径である。式(2.1)が⽰す
ように、エネルギー損失はビームエネルギーの 4 乗に⽐例して⼤きくなってい
くので、ビームエネルギーがある値を超えるとシンクロトロン放射によるエネ
ルギー損失が加速エネルギーよりも⼤きくなる。そのためそれ以上の加速は不可能となる。曲率半径𝜌を⼤きくすれば、エネルギー損失は⼩さくなるがエネル
ギーの４乗に⽐例して⼤きくすると周⻑が⾮常に⼤きく超巨⼤な加速器施設となり、建設費⽤や使⽤電⼒のコストの問題から現実的とは⾔えない。これまでに実現された円形加速器による最⼤の重⼼系エネルギーは CERN の LEP(Large
Electron Positron Collider)で観測された 209GeV であり、それを超えるためには原理的にシンクロトロン放射を無視することができる線形加速器によるコラ
イダー=リニアコライダーが最適である。1980 年代から⽇本、アメリカ、ドイツをはじめとした世界各国の国や機関がリニアコライダーの建設を計画してきた。そして ICFA(International Committee for Future Accelerator,世界の素粒⼦
物理学の研究施設の連合体)の主導のもと、2004 年にこれらの計画は⼀本化され国際プロジェクトとして計画がスタートしたのが、ILC(International Linear
Collider)計画である。

6

図 2.1ILC の模式図[1].電⼦および陽電⼦は線形の超伝導加速器により加速され中央で衝突する.

リニアコライダーではシンクロトロン放射によるエネルギー損失がない⼀⽅で、特有のいくつかの課題が存在している。その⼀つがリニアコライダーではビームの再利⽤が不可能であり、⼀度衝突に使⽤したビームを再び衝突に使⽤できない点である。リングコライダーの場合⼀度⽣成したビームは⼀つの軌道を繰り返し周回するため、電⼦・陽電⼦衝突や残留ガスとの散乱により損失した粒⼦を供給するだけでいいのだが、リニアコライダーの場合衝突に必要なビームと供給するビームが等しく、必要なビーム電流は⼆桁から三桁程度⼤きくなってしまう。そのため陽電⼦⽣成標的に照射する電⼦ビームの強度を強くする必要がある。これまでの陽電⼦源の⽣成捕獲率を⼤きく向上させない限り、標的の熱的な破壊現象が起きてしまう。それを防ぐため、これまでの陽電⼦の捕獲光学系
を根本的に⾒直し、効率よく陽電⼦を捕獲する必要がある。

2.2

陽電⼦の⽣成⽅法

陽電⼦とは電⼦の反物質で、正の電荷を持つがそのほかの物理的性質はほぼ
全て電⼦と同じ粒⼦である。現在の世界では物質と反物質の対称性が破れているため光電効果によって得られる電⼦とは違い、陽電⼦は光電効果によって得ることはできない。陽電⼦を⽣成するためには主に⼆つの⽅法が挙げられる。
⼀つ⽬の⽅法は𝛽 @ 崩壊を利⽤した⽅法である。𝛽 @ 崩壊とは陽⼦が放射性原⼦核

7

内で、陽電⼦・中性⼦・ニュートリノに崩壊する反応である。陽⼦シンクロトロ
ンなどから出た陽⼦ビームを標的に衝突させることで⼈⼯的に⽣成した放射性物質からこの反応を引き起こすことが可能である。しかし⾼周波加速を⾏うには、発⽣する陽電⼦はパルス状である⽅が都合はいいのだが、𝛽 @ 崩壊は純粋な確率的反応であり時間的に連続して陽電⼦が発⽣してしまうため制御が困難である。そのため加速器⽤陽電⼦源には⼆つ⽬の⽅法である対⽣成反応による陽電⼦⽣成を⽤いる。対⽣成反応とは⾼エネルギーのγ線が原⼦核と運動量を交換し、電⼦と陽電⼦を⽣成する反応である。電⼦と陽電⼦の静⽌質量エネルギーはどちらとも0.511𝑀𝑒𝑉なので電⼦対⽣成反応を起こすための最低のγ線のエネルギーは1.022𝑀𝑒𝑉が必要である。さらに10𝑀𝑒𝑉以下の低いエネルギーでは光電効果やコンプトン散乱、レイリー散乱などの反応が⽀配的となってしまうため対⽣成反応を効率的に引き起こすためには10𝑀𝑒𝑉以上のエネルギーのγ線が必要である。対⽣成反応に必要な⾼いエネルギーのγ線を発⽣させる⽅法として三つの⽅法が挙げられるため今からその⽅法について説明していく。

2.2.1

電⼦ドライブ⽅式

⼀つ⽬の⽅式は電⼦ドライブ⽅式である。電⼦ドライブ⽅式とは数 GeV 程度の電⼦ビームを⾼密度の⾦属標的に照射することで制動放射を⽣じさせる⽅式である。制動放射とは物質に⾼エネルギー電⼦が⼊射したとき、物質内の電磁場により電⼦が減速され電⼦の周りの電場がγ線として放出される現象である。
制動放射により発⽣したγ線は物質内ですぐに対⽣成反応を起こし電⼦と陽電⼦が⽣成する。発⽣した電⼦により再び制動放射が起こり、γ線が発⽣し対⽣成反応が起こる。⾼エネルギーの電⼦ビームを照射すると⼀連の反応が連鎖的に⽣じ、結果的に⼤量の電⼦・陽電⼦・γ線が⽣じる。この⼀連の反応を電磁シャワーと⾔う。ほかの⼆つの⽅式に⽐べ技術的な要求が低いため、従来の陽電⼦源の全てにこの⽅式が採⽤されている。

8

図 2.2電磁シャワーの模式図.標的内で物質の電磁場により軌道を曲げられた電⼦が制動放射により、γ線を発⽣させる.発⽣したγ線は対⽣成反応により電⼦と陽電⼦に分かれる.これらの反応が連鎖的に起こることによって、電⼦・陽電⼦が⼤量に⽣成さ
れる.

2.2.2

アンジュレータ⽅式

図 2.3

アンジュレータ⽅式の模式図.周期的な磁場に電⼦を⼊射して蛇⾏させることにより、放射光を発⽣させる.

⼆つ⽬の⽅法はアンジュレータ⽅式である。この⽅式は 100GeV 以上の⾼エネルギー電⼦ビームをアンジュレータに通過させることで、シンクロトロン放射を起こしγ線を発⽣させるものである。アンジュレータとは電⼦ビームに直交した向きの異なる磁場が周期的に交互に配置されたデバイスで、その周期的な磁場で⼊射した電⼦を蛇⾏させることにより、波⻑の揃ったコヒーレントな放射光を発⽣させる装置である。基本構成はアンジュレータ、⽣成標的、陽電⼦

9捕獲セクションからなる。アンジュレータによって⽣成されるγ線のエネルギーは10𝑀𝑒𝑉程度なので発⽣する電⼦・陽電⼦のエネルギーは5𝑀𝑒𝑉以下となる。荷電粒⼦は物質中で制動放射によりさらにγ線を発⽣させることができるが、そのエネルギーは5𝑀𝑒𝑉以下となり効率的に対⽣成反応を起こすことはできない。つまりγ線からは典型的には⼀組の電⼦・陽電⼦対しか発⽣しない。実際の捕捉効率を考えると、γ線の量を必要な陽電⼦に⽐べて⼆桁ほど⼤きくする必要がある。必要な陽電⼦を確保するには、アンジュレータの⻑さを伸ばし⼀つの電⼦が放射するγ線数を増やしたり、通過させる電⼦数を増やしたりする必要がある。
またそもそもγ線の発⽣に 100GeV を超える⾼エネルギーの電⼦ビームが必要
であり、かなり⼤規模な施設が必要となる。

2.2.3

コンプトン⽅式

図 2.4

コンプトン⽅式の模式図.電⼦ビームとレーザー光のコンプトン散乱によりγ線を発⽣させる.

三つ⽬の⽅式はコンプトン⽅式である。コンプトン⽅式とは電⼦ビームとレーザー光のコンプトン散乱からγ線を得る⽅式である。通常のコンプトン散乱とは異なり運動量をもつ電⼦ビームとレーザー光による逆コンプトン散乱を⽤いたもので、1eV 程のレーザー光⼦(波⻑1𝜇𝑚)と数 GeV の電⼦による反応から
数 10MeV のγ線を得られる。このようにして得られたγ線を⾦属標的に照射することで対⽣成反応を起こし、陽電⼦を得ることができる。アンジュレータ⽅式
においては電⼦ビームに 100GeV 以上のビームエネルギーが要求されたが、コンプトン⽅式では数 GeV のエネルギーで充分であり、⽐較的低いエネルギーか10

ら⾼エネルギーのγ線を⽣成することが可能である。またレーザーを円偏光させることでγ線も円偏光状態となるためスピン編極した陽電⼦を得ることができる。⼀⽅でγ線の⽣成数を増やすためには電⼦の個数とレーザー光⼦の個数を増やす必要があり、⼤量の陽電⼦を⽣成するためには⾮常に強いパワーのレーザーが必要となる。

11

第３章
3.1

ILC 陽電⼦源

基本設計

ILC 陽電⼦源はアンジュレータ⽅式も検討されているが、現時点では従来の陽電⼦源にも多く採⽤され技術的に成熟している電⼦ドライブ⽅式が技術的なバックアップとして採⽤される予定である。本研究は電⼦ドライブ⽅式陽電⼦
源の性能の向上を⽬的としている。図 3.1 は ILC 陽電⼦源の全体図を⽰したものである。電⼦ドライバーライナック、⾦属標的、AMD、キャプチャーライナ
ック、シケイン、ブースターライナック、ECS、DR（ダンピングリング）の各セクションにより構成されている。はじめに電⼦銃によって⽣成された電⼦ビームは、電⼦線形加速器によって 3GeV まで加速され、⾦属標的に照射される。
発⽣した陽電⼦は磁気収束効果を持った AMD(Adiabatic Matching Device)によって横⽅向運動量を抑制された後、キャプチャーライナックによって RF バケツに捕捉され、加速可能な状態となる。その後シケインセクションにより電⼦の除去やビームの z ⽅向広がりの収束が⾏われ、ブースターセクションにて 5GeVまで加速される。エネルギーを⾼められた陽電⼦ビームはエネルギー幅を抑制する ECS(Energy Compression System)を通過し、DR(Damping Ring)へと輸送される。各セクションについての詳細の説明を以下で⾏う。

図 3.1

ILC 電⼦ドライブ⽅式の陽電⼦源の概要図[2].標的に電⼦ビームが照射されることにより陽電⼦が発⽣し、キャプチャーライナックにて加速可能な領域まで捕捉される。シケインにて z ⽅向の広がりを抑えられた後、ブースターで 5GeV まで加速され、最終的に ECS にてエネルギー広がりを DR アクセプタンス内に収められる.

12

3.2

電⼦ドライバーリニアック

電⼦銃は継続的に電⼦ビームを供給する装置であり、加速器の最上流部に位置しているため加速器の中でも重要な構成要素の⼀つである。⼀般的に使⽤される電⼦銃は⾼温に加熱した陰極（カソード）からの熱電⼦放出を利⽤した DC
電⼦銃である。しかし ILC では時間構造の制御の容易さから、光電陰極型 RF 電
⼦銃を⽤いる。光電陰極型 RF 電⼦銃とは⾼周波空洞内に設置したフォトカソー
ド（光陰極）を利⽤し、レーザー励起により光電⼦を発⽣させる装置で、⽣成したビームは光電⼦が広がらないようにすぐさま空洞内の⾼電場で加速される。
RF 電⼦銃の特徴としてはレーザーの時間構造により発⽣するビーム構造をコ
ントロールできることや、熱電⼦銃のように低エネルギー状態でのドリフトが存在しないため、空間電荷効果によるエミッタンスの増⼤が抑えられ、低エミッ
タンスの電⼦ビームを獲得できることなどが挙げられる。ILC 陽電⼦源では2.6GHz の S-band の RF 電⼦銃によって電⼦が⽣成され、カソードには𝐶𝑠𝑇𝑒あるいは𝐶𝑠𝐾𝑆𝑏が⽤いられる予定である。また加速には 3m の S-band(2.6GHz)の
進⾏波加速管が使⽤され、これにより電⼦ビームのエネルギーは 3GeV まで⾼
められる。

3.2.1

パルスの時間構造

電⼦ドライブ陽電⼦源では以下のようなパルス構造によって陽電⼦を⽣成す
る。

図 3.2

主加速器のパルスの時間構造.１パルス 1300 バンチのパルスを 5Hz で運転する.またバンチの間隔は 550nsec である。

13

図 3.3 陽電⼦源のパルスの時間構造.33 バンチ×2 を 1 パルスとして、このパルスを300Hz で 20 回繰り返す.

主加速器では図 3.2 の通り、1300 バンチで 1 パルスのパルスを 5Hz で運転される。バンチ間隔は 550ns、パルス間隔は 200ms である。しかし 1300 バンチを⼀度に⽣成すると⾦属標的への負荷が⼤きくなってしまうので、それを 20 回に分けて⽣成する。1 パルスあたり 66 バンチが含まれており、そのパルスを 300H
で 20 回繰り返すことで 1300 バンチを⽣成している(図 3.3)。パルス間隔は 3.3msである。陽電⼦源のパルス内にも構造があり、33 バンチからなるミニトレイン
2 つで構成されており、そのトレインの間隔を 80ns、バンチ間隔を 6.15ns としている。以下、断らない限りこの 66 バンチからなる 1 パルスの陽電⼦の⽣成について検討を進める。

図 3.4

電⼦ビームの時間構造[3].33×2 を 1 パルスとして、バンチ間隔を 6.15ns、トレインの間隔を 80ns とする.

14

3.3

ターゲット

⾦属標的へのビーム照射による対⽣成反応から陽電⼦を得るため、標的に⽤いられる⾦属には重⾦属が使⽤される。その中で⼀般的に使⽤される⾦属は⼊⼿性、加⼯性、耐熱性などの観点からタンタル(Ta),タングステン(W),レニウム(Re)などが⽤いられている。先にも述べたように線形加速器の⾦属標的には熱的負荷への耐久性が求められる。よって ILC では最も⾼い負荷で陽電⼦⽣成に使⽤された実績を持つ W-Re 合⾦が採⽤されている。W-Re 合⾦とはタングス
テン(W)に 26%のレニウム(Re)を混ぜたものであり、1990 年代に世界初の線型加速器として建設されたスタンフォード線形加速器センター(SLAC)で実際に使⽤されたものである。破壊限界は 70J/g とされているが、SLAC ではその半分の 35J/g で数年間運転された。また標的の厚さに関しても議論がなされている[4]。電磁シャワーにより標的内で粒⼦数を増やしていくと、⼀つあたりの粒⼦のエネルギーは減少していく。するとある地点で対⽣成反応は⽌まり、粒⼦の増加は飽和していく。また⽣成された粒⼦は標的物質により、捉えられたり散乱したりして失われてしまう。この⼆つの現象により、電磁シャワーにより得られる粒⼦数の最⼤値は放射⻑によって決定する。放射⻑とは物質中を電⼦がエネル
ギーを失いながら通過する際に、初期エネルギーの 1/e に減少するまでの距離を密度で規格化したものである。放射⻑によって決まるこの最⼤値を Shower
Max と呼び次のように与えられる。
𝑇LMN = 1.0 ln

𝐸6
−1
𝜖6

3.1

ここで𝑇LMN は放射⻑で測った Shower Max の位置、𝐸6 は⼊射電⼦のエネルギー、
𝜖6 は Critical Energy と呼ばれるパラメータを表す。この式より Shower Max の位置は⼊射電⼦のエネルギーの対数的な変化により決まることがわかる。そのためビームのエネルギーによって最適な厚さが異なる。実際にはシミュレーシ
ョンを⾏い最適な厚みを決定するが、3GeV のビームでの最適な標的厚さは16mm である[7]。

3.4

AMD (Adiabatic Matching Device)

電磁シャワー現象により⽣成した電⼦・陽電⼦は多重散乱の結果、ビームの進⾏
⽅向と垂直な⽅向（横⽅向）の運動量が⼤きくなってしまう。この状態でドリフ

15

トさせるとビーム径が発散するため加速が困難になる。そのためできるだけ速やかに⽣成した粒⼦を収束させ、横⽅向運動量を抑制する必要があるのでここ
で AMD を使⽤する。AMD は標的から下流に向けて減衰するビーム軸に並⾏な磁場を⽣成するもので、この磁場を受け粒⼦の螺旋運動は断熱的に変化する[5]。
この運動の断熱不変量は𝑝T 𝑑𝑝T =
T

𝜋𝑝V3
𝑒𝐵

3.2

となり、この量は保存される。式(3.2)より
3
𝑝V 𝑧 3 𝑝V6
=
𝐵 𝑧
𝑒𝐵

3.3

という関係が成り⽴つ。これより横⽅向運動量𝑝V (𝑧)と軌道半径𝜌(𝑧)が以下のように決まる。
𝑝V 𝑧 =

𝜌 𝑧 =

𝐵 𝑧
𝑝
𝐵T V6
1

𝑒 𝐵 𝑧 𝐵T

𝑝V6

3.4

3.5

式(3.4),(3.5)より粒⼦が進み、𝐵 𝑧 が減少すると軌道半径は広がっていく。しかし横⽅向運動量は減少するため軌道半径の増⼤が抑制される。また縦⽅向の運動量が⼤きすぎると、横⽅向の回転に対して磁場が急激に変化してしまうため、断熱運動ではなくなる。断熱運動を⾏うための縦⽅向の条件は
𝑝𝑧 < 0.5

𝑒𝐵T
𝜇

3.6

となる。
AMD の磁場分布は FC(Flux Concentrator)と呼ばれるデバイスによって実現される[2]。FC にはいくつかのタイプが存在するが、ILC では⼆導体 FC が採⽤される。図 3.5 の左図は FC の横断図、右図は FC 下流から上流を⾒た図を表している。FC 上部には第⼀導体と呼ばれる螺旋状の導体、下部には円筒状にくり抜かれた第⼆導体が置かれている。第⼀導体にパルス電流を流すことで内部に磁場が発⽣し、第⼆導体には磁場に誘起された誘導電流(⾚⽮印)が発⽣する。この誘導電流は円錐の空洞内部を回るように流れ、上流部の内径が細い場所では磁束密度が⾼く、下流部の内径が太い場所では磁束密度が⼩さくなる。

16

図 3.5

⼆導体 FC の断⾯図.左図が横断図、右図が下流⽅向から上流⽅向を⾒た様⼦.

第⼀導体にパルス電流を流すことで、内部に磁場が発⽣し、それにより第⼆導体内部に電流が誘起される.円錐形をとっているので、上流部と下流部で磁束密度が変化する.

3.5

キャプチャーライナック

3.5.1

APS 空洞本研究で使⽤したキャプチャーライナックの加速空洞には先⾏研究[8]にて設計された APS 空洞を⽤いた。APS 空洞とはπ/2 モードの定在波加速空洞のことであり、電場の⽴つセル→「加速セル」と電場の⽴たないセル→「結合セル」が交互に配置された構造を持つ。π/2 モードとは隣り合うセルの位相差がπ/2 の加速空洞のことで、群速度が最⼤で安定性が⾼い空洞である。また加速セルのセル⻑を⻑く、結合セルのセル⻑を短く取っているため、加速効率が⾼いという特徴がある。以下に Super fish にて計算された各セルの図とパラメータを表記す
る。

図 3.6

APS 空洞の(a)加速セル、(b)結合セルを⽰した図.ピンク⾊の⽮印は電場の向きを表している

17

加速セル

結合セル

セル⻑[m]

0.093

0.022

アパーチャー半径[mm]3030周波数[MHz]

1300

1300

𝑟0 [MOhm/m]

5.86×10^

1.91×10^

壁損失パワー[W]2.19×108

7.39×10a^

Q値

2.47×10:

9.06×10b(R/Q)[Ohm]1.41×103

2.96×10^

表 3.1

加速セルおよび結合セルのパラメータ

3.5.2

減速キャプチャー⽅式

⽣成直後の陽電⼦は AMD により横⽅向運動量がある程度収束されてはいるが、まだその広がりは⼤きく、z ⽅向のローレンツβは有意に１より⼩さい。加速に⽤いるのは後述する APS 空洞で、β=1 に最適化された形状である。よって
RF の位相速度に対し遅れをとってしまうため、粒⼦の位相は徐々にずれてしまう。この現象を Phase Slip と呼ぶ。本研究では減速キャプチャー⽅式を⽤いる。
減速キャプチャー⽅式とは Phase Slip を利⽤し、陽電⼦を RF バケツに捕捉する⽅法である。本⽅式では、陽電⼦バンチを RF の減速位相に乗せる。すると
Phase Slip によってバンチは徐々に加速位相へと移動していく。加速位相に乗った粒⼦は徐々に加速され、ローレンツβが１に近づいていくため、Phase Slip は
⼩さくなり、ある加速位相に固定される。これにより陽電⼦バンチは加速位相にとどまることができる。電⼦と陽電⼦の電荷は逆であるため、陽電⼦の減速位相は電⼦にとって加速位相に相当する。加速位相に乗せられた電⼦のうち z ⽅向のβが 1 に近いものはそこに留まるが、それ以外の電⼦は Phase Slip により減速位相へと落ち込む。⼀旦減速位相に落ち込んだ電⼦は再び Phase Slip により、後ろの波の加速位相へと移動するが、その過程における加減速によりβが 1 に近づくことはないので、継続的に Phase Slip を⽣じ RF バケツに捕捉されることはない。減速キャプチャー⽅式によりバンチを捕捉した場合、陽電⼦は RF 位
相空間において広がりを持って捕捉される。ビーム中⼼の RF 位相空間における位置をビーム位相として定義する。陽電⼦捕捉においては、ビーム位相は必ずしもクレスト位相(𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1)にはない。Phase Slip を起こした陽電⼦が持つビーム18位相の関係を⽰したのが図 3.7 である。初めに減速位相に乗せられた陽電⼦はPhase Slip により徐々に移動し、加速位相に留まる。その時のビーム位相∆φは粒⼦の持つ位相φghML と RF 位相φij との差によって決定する。

図 3.7 粒⼦の Phase Slip を表した図.粒⼦は最終的に RF 位相𝜑ij に対して off-crest の状態に留まり、位相差Δφを持つ.

3.6

シケイン

キャプチャーライナックを通過した後、陽電⼦はシケインセクションを通過する。図 3.8 にその概要図を⽰す。シケインは四つのベンディングマグネットと、
６つの Q マグネットで構成されている。Q マグネットは⼆つの Focusing マグ
ネットと⼀つの Defocusing マグネットの、合わせて 3 つで 1 組の構成となっている。それをベンディングマグネットの⼊り⼝と出⼝に配置することで横⽅向の広がりを抑えている。べンディングマグネットの⻑さが 1.0m、1 個⽬と 2 個⽬の間、3 個⽬と 4 個⽬の間の⻑さが 0.5m、2 個⽬と 3 個⽬の間の⻑さが 1.0m、
そして Q マグネットとその間の⻑さを全て 0.2m としている。

図 3.8

シケインの概要図.⻩⾊の⻑⽅形はベンディングマグネット、緑の⻑⽅形は Q

マグネットを表す.それぞれの⻑さを図に⽰しておりべンディングマグネットの⻑さを𝐿n としている。
シケインの主な⽬的は⼆つある。⼀つは不要な電⼦を取り除くことである。電⼦

19が残っている場合、加速に余分なエネルギーが必要となったり、ビームローディ
ングによる減速場が多く発⽣したりするため、加速器への負荷を低減するためにも電⼦の除去が必要となる。ベンディングマグネットの偏向⾓は陽電⼦に合わせて調整するため、電荷が逆の電⼦は⼀つ⽬の偏向磁⽯を通過後に除去される仕組みになっている。図 3.9 はベンディングマグネットを通過するビームの軌道を表している。

図 3.9

BM を通過する時の電⼦・陽電⼦の軌道を表した模式図.⻘⽮印は電⼦の軌

道、⾚⽮印は陽電⼦の軌道をしめす.⼀つ⽬のべンディングマグネット通過後に電⼦は陽電⼦と逆側に曲げられ、除去される.

⼆つ⽬の⽬的はバンチの z ⽅向の広がりを抑制することである。ベンディング
マグネットを通過する粒⼦の軌道は粒⼦の持つエネルギーによって異なる。陽
電⼦のエネルギーを𝑃、磁場を𝐵、電荷を𝑒、曲率半径を𝜌とおいて、その関係を式で表すと以下のようになる。
𝜌=

𝑃
𝑒𝐵

3.7

式(3.7)から粒⼦のエネルギーが⾼いほど曲率半径も⼤きく、エネルギーが⼩さいほど曲率半径が⼩さくなることがわかる。つまりエネルギーが⾼いと通過す
る軌道が短くなるため、バンチの前⽅に移動し、エネルギーが低いと通過する軌
道が⻑くなるためバンチの後⽅に移動することになる。この効果を momentum
compaction と呼ぶ。図 3.10 はエネルギーの違う粒⼦がべンディングマグネット

20

を通過する時の軌道の違いを表している。ここで⾼いエネルギーの曲率半径をρ^ 、低いエネルギーの曲率半径をρ3 とした。図 3.10 から曲率半径が短いと軌道が⻑く、⻑いとその分軌道も短くなることがわかる。

図 3.10エネルギーの違う粒⼦が偏向電磁⽯を通過する際の軌道の違いを表した図.

⾼いエネルギーの曲率半径をρ^ 、低いエネルギーの曲率半径をρ3 とした.曲率半径が⼤きいと軌道が短くその粒⼦は前⽅に移動する.

momentum compaction とは dispersion による軌道のずれから⽣まれる、軌道⻑
変化のことである[6]。ここで dispersion とは粒⼦の基準軌道からずれた粒⼦の軌道と、基準軌道とのずれ∆𝑋を表すものであり、基準軌道の粒⼦の運動量𝑝と、ずれた粒⼦の運動量∆𝑝を使い、∆𝑋 = 𝜂∆𝑝𝑝3.8と表すことができる。dispersion 𝜂により中⼼軌道が変化すると軌道⻑も変化し、その変化率を momentum compaction により表すことができる。𝑅bt によってmomentum compaction の効果を⽰すと、
∆𝑠
∆𝑝
= 𝑅bt
𝑠
𝑝

3.9

1
𝑠

3.10

𝑅bt =

21

𝜂
𝑑𝑠
𝜌

となる。式(3.10)はビーム経路における積分を⽰す。また偏向磁⽯のパラメータを使って𝑅bt を表すと
2
𝑅bt = 2𝜃 3 𝐿 + 𝐿n3

3.11と書くことができる。ここで𝜃は偏向⾓、𝐿はベンディングマグネット間の距離、
𝐿n はベンディングマグネットの⻑さのことである。

3.7

ブースター

ブースターライナックは陽電⼦を 5GeV まで加速する装置である。ブースター
は L-band と S-band の進⾏波加速管と、収束のための Q マグネット(Quadrupole
magnet)によって構成されている。ブースターはラティスと呼ばれる加速管と Q
マグネットを周期的に配置した構造を単位としている。図 3.11 にその概要図を
表 3.2 にそのブースターの構成をまとめた。

図 3.11

ブースターの概要図、⽔⾊の⻑⽅形は加速管、緑の⻑⽅形は QM を表す.

ラティスの

ラティスの

⼊⼝の

出⼝の

ラティスの

種類

数

エネルギー

エネルギー

⻑さ(m)

(MeV)

（MeV）

全⻑(m)

4Q+1L

14

232

492

3.8

53.2

4Q+2L

29

962

1454

6.0

174

4Q+4L

18

1194

2648

10.4

187.2

4Q+4S

26

2690

5338

10.4

270.4

合計

87

5078

9933

30.6

684.8

表 3.2

ブースターの構成[5].例えば 4Q+1L はラティスが 4 台の Q と 1 本の L-band

加速管からなっていることを⽰す.

ビームは加速されると、断熱減衰の効果によりエネルギーの− 1 2乗でビームの⼤きさが減少していく。そのためブースターの⼊り⼝ではアパーチャーの⼤き22

い L-band 加速管、出⼝付近ではアパーチャーは⼩さいが、加速効率の⾼い Sband 加速管を使⽤している。また上流では Q の密度を⾼くしてベータ関数を⼩さくして、下流では Q の密度を落としてベータ関数を⼤きくしている。それぞれのアパーチャー半径は、L-band で 17mm,S-band で 10mm である。

3.8

ECS (Energy Compression System)

ブースターを通過した陽電⼦ビームは RF カーブに沿ったエネルギー分布を取る。ブースター直後に ECS を配置することで、ビームのエネルギー広がりを抑制し、陽電⼦捕獲率の向上を図る。ECS はシケイン軌道と L-band の進⾏波加速
空洞から構成されており、また収束のための Q を含む。シケインのべンディン
グマグネットの⻑さ𝐿n は 2m、ベンディングマグネット間の⻑さ𝐿は 3.05m である。全体の概要図および加速空洞のパラメータを以下に⽰す。

図 3.12ECS の概要図.3 つのシケイン、4 つの QM 対、4 本の加速空洞からなる.

パラメータ

数値

単位

周波数

1300

MHz

アパーチャー半径

17

mm

⻑さ

3.0

m

表 3.3

ECS 加速空洞のスペック.

ECS を通ることにより、シケインによる momentum compaction の効果𝑅bt 、加速空洞によるエネルギー変調の効果𝑅tb を受け、バンチのエネルギー広がりが抑えられる。ここで ECS のビーム輸送を位相空間ベクトル(𝑧, 𝛿)に対する⾏列演算によって表す。ECS ⼊り⼝での位相空間を(𝑧^ , 𝛿^ )、出⼝での位相空間を(𝑧3 , 𝛿3 )
とすると、
𝑧3
1 𝑅bt
𝛿3 = 0 1

1
𝑅tb

0
1

𝑧^
1
𝛿^ = 𝑅tb

23

𝑅bt
𝑅tb 𝑅bt + 1

𝑧^
𝛿^

3.12

となる。ここで𝑅tb は以下のように表す。
𝑅tb = −

𝑉6 𝜔
𝐸𝑐

3.13

𝑉6 は加速空洞の電圧、𝜔は⾓周波数、𝐸はバンチの平均エネルギー、𝑐は光速を表す。ここでの𝑅tb と式(3.11)で⽰した𝑅bt の値は、それぞれ⼀つあたりの加速空洞とシケインの効果を⽰している。よって ECS の場合シケインが 3 つ、加速空洞
が 4 本あるのでそれぞれの個数をかけた数値が正しい値となる。
また式(3.14)の整合条件を満たすときバンチは 90 度回転し、エネルギー広がり
は最⼩となる。
𝑅bt ×𝑅tb + 1 = 0

3.14

エネルギー広がり最⼩となるときの位相空間は以下のように表すことができる。
𝑧^ + 𝑅bt 𝛿^
𝑧3
𝑧^
𝛿3 =
−
𝑅bt

3.15

よって整合条件を満たすときのエネルギー広がりはバンチ⻑と𝑅bt の⽐によって決まる。

図 3.13

ECS を通過する時の位相空間分布の動きを表した図。縦軸はエネルギー、横軸は位置 z を表す。まずシケインを通ると、momentum compaction により➀のようにバンチが時計回りに傾く。次に➁のように加速空洞内で RF 電場のゼロクロスにバンチを置くことで、③のようにエネルギー広がりは⼩さくなる

3.9

DR アクセプタンス・陽電⼦捕獲率

ECS を通過し、位相空間が整えられたビームは最終的に DR(Damping Ring)へと輸送される。DR に⼊射された粒⼦は進⾏⽅向および横⽅向に振動しながら⼀定の軌道の周りを周回するような運動をする。DR を周回したのちにビームはまたメインライナックに送られるため、バンチが DR 内を安定して周回するダイ24

ナミックアパーチャー内にある必要がある。ダイナミックアパーチャーとはバンチが安定的に蓄積される位相区間領域のことで、ダイナミックアパーチャーから外れた陽電⼦は DR を周回中に失われてしまう。DR 内のダイナミックアパ
ーチャーは進⾏⽅向と横⽅向にそれぞれ存在しており、それは以下のような条件である[5]。
3
z 3
𝛿
+
<1
0.035
0.0075

3.16

𝛾×𝐴N + 𝛾×𝐴z < 0.07

3.17

ここで(𝑧, 𝛿)は進⾏⽅向の位相空間でその中⼼は DR の RF 空洞のゼロ位相と周回エネルギーにより定義される。𝛾はローレンツ因⼦、𝐴N 、𝐴z はアクションと呼ばれる数値で位相空間中⼼からの距離を表している。アクションは Twiss
parameter（αN , 𝛼z , 𝛽N , 𝛽z , 𝛾N , 𝛾z )を⽤いて以下のように表すことができる。
𝐴N = 𝛾N 𝑥 3 + 2𝛼N 𝑥𝑥 + 𝛽N 𝑥 3

3.18

𝐴z = 𝛾z 𝑦 3 + 2𝛼z 𝑦𝑦 + 𝛽z 𝑦 3

3.19

ここで𝑥, 𝑦はそれぞれ軌道⻑で微分したものを⽰している。本研究では発⽣した
陽電⼦の中で、ECS を通過し DR アクセプタンスを満たしたものを捕獲陽電⼦数とした。そして陽電⼦捕獲率𝜂を捕獲陽電⼦数𝑁h € を⼊射電⼦数𝑁h • で割ったものと定義する。
𝜂=

𝑁h €
𝑁h •

3.20

必要な陽電⼦数と、陽電⼦捕獲率から標的に⼊射する電⼦数が決定される。標的への熱負荷は電⼦数に⽐例することから、破壊限界に相当する熱負荷から、電⼦数の許容値等が決定される。標的への熱負荷は PEDD(Peak Energy Deposition
Density)、ビームが標的に与える質量あたりのエネルギー密度で評価する。ILC
で⽤いられる 3GeV の電⼦ビームの 1nC あたりの PEDD は 8.0[J/g]と求められている。ILC では 1 バンチあたり衝突点において 3.2nC の電荷が必要である
が、DR では余裕度 50%を含めて必要なバンチ電荷は 4.8nC である。陽電⼦捕:.‚獲率を⽤いて、必要な⼊射電⼦数は [nC]となる。よってこの時の PEDD は
ƒ

8‚.:
ƒ

[J/g]である。本研究で使⽤する⾦属標的 W-Re 標的の破壊限界は 70[J/g]とされているが、SLC で実際に運⽤され導かれた運⽤可能な値は 35[J/g]なので

25

[7]その値を仮定すると
38.4
< 35
𝜂

3.21

となるため、満たすべき陽電⼦捕獲率は1.1 < 𝜂3.22となる。すなわち 1.1 を超える陽電⼦捕獲率𝜂を実現すれば、⼗分な安全率を含めて安定した陽電⼦⽣成が可能となる。

26

第4章
4.1

ビームローディングとその補償概略

本⽅式では陽電⼦を 1 パルスあたり 66 バンチの時間構造で⽣成する。そのため、ビームローディングによる電圧変動が⽣じ、その補償は安定した陽電⼦⽣成のために必須である。ここでは安定的な陽電⼦⽣成のためのビームローディン
グの補償について、その⽅法について説明する。はじめにキャプチャーライナック内に発⽣するビームローディングの効果について調べるため、シミュレーシ
ョンによる粒⼦トラッキングを⾏い、そこから加速空洞内に発⽣するビームローディング電流を求めた。シミュレーションにおいては、標的での陽電⼦⽣成に
GEANT4、空洞内のトラッキングには GPT(General Particle Tracer)というソフトを⽤いた。GEANT4 はモンテカルロ法を使い、物質中の軌道をシミュレーシ
ョンするものであり、また GPT は電磁場中の荷電粒⼦のダイナミクスを再現することができる、主に加速器やビームラインの設計に⽤いられるシミュレーションツールである。これらによって求められた粒⼦分布から重⼼位相を計算することで、個々の粒⼦が重⼼位相に作り出すビームローディング電流を計算した。また減速キャプチャー⽅式により捕捉されたバンチは、オフクレストの状態となる。したがってビームローディングの補償を⾏うためには、位相変調による補償が必要である。本研究では求めた位相およびビーム電流から位相変調量を計算し、それを使って加速勾配を計算することで位相変調の効果を含んだ空洞
電場を求めた。さらにビーム電流はバンチの集群の様⼦や粒⼦数によって変化し、ビーム電流が変わると空洞電場にも影響してしまう。そこで今回はイタレー
ション(繰り返し計算)を⾏うことでより正確なビームローディング電流および空洞電場を導出した。

4.2

単セルモデル

4.2.1

単セルモデルによる空洞電圧計算

空洞内をビームが通過することにより引き起こされる現象をビームローディ
ングと呼ぶ。RF 空洞内をビームが通過すると、このビームローディングの効果
により空洞内の電磁場が変化する。したがって空洞内電圧を考える際には空洞

27

への RF ⼊⼒による電圧とビームが引き起こすビーム電圧の⼆つを考える必要がある。ここで複数の加速空洞を⼀つの空洞に置き換えた単セルモデルによって、ビームローディングによる影響を考える[2]。空洞内のパワーのやり取りを表した図が以下の図になる。

図 4.1

定在波加速空洞の単セルモデル.𝑊は空洞に蓄積されるエネルギー、𝑉は空洞の電圧、𝑃T… は外部からの⼊⼒パワー、𝑃† は反射パワー、𝑉T… は導波管の電圧、𝐼はビーム電流を表す.

はじめにビームローディングがない状態の空洞のエネルギーのやり取りを⽅程式で表すと、𝑑𝑊= 𝑃T… − 𝑃† − 𝑃6𝑑𝑡4.1と表すことが出来る。パワーと電圧の関係式は空洞のコンダクタンス𝐺を⽤いると以下のようになる。
3
𝑃T… = 𝛽𝐺𝑉T…

4.2

𝑃† = 𝛽𝐺 𝑉T… − 𝑉 3

4.3

𝑃 = 𝐺𝑉 3

4.4

ここで𝛽はカップリング𝛽と呼び、空洞内部と外部の結合度を表すものである。
ここで蓄積エネルギー𝑊を Q 値を⽤いて表すと、
𝑑𝑊 𝑄6 𝑑𝑃 𝑄6
𝑑𝑉
=
=
2𝐺𝑉
𝑑𝑡
𝜔 𝑑𝑡
𝜔
𝑑𝑡

4.5

という式になる。Q 値とは空洞の性能を表す値で、空洞に蓄積されたエネルギ
ーがどのくらいのスピードで減衰して消費されるかを⽰している。これらを微分⽅程式に代⼊すると、
𝑄6
𝑑𝑉
3
2𝐺𝑉
= 𝛽𝐺𝑉T…
− 𝛽𝐺 𝑉T… − 𝑉 3 − 𝐺𝑉 3
𝜔
𝑑𝑡
28

4.6

となり、𝜏 =3Œ•
Ž(^@•)

とおいて整理すると
𝜏

𝑑𝑉
2𝛽
=
𝑉 −𝑉
𝑑𝑡 1 + 𝛽 T…

4.7となるので、t=0 で RF ⼊⼒を開始しその時の𝑉(0) = 0という初期条件を⽤いるとこの⽅程式の解は、
𝑉 𝑡 =

V
2𝛽
𝑉T… 1 − 𝑒 a•
1+𝛽

4.8

という形になる。ここでコンダクタンス𝐺は空洞のパラメータを使い
𝐺=

1
𝑅
𝑄
𝑄 6

=

1
𝑟0 𝐿

4.9

という形で⽰せるので、式(4.2),(4.9)を使って𝑉T… を書き直すと𝑉T… =𝑃T… 𝑟0 𝐿𝛽4.10となる。ここで𝐿は空洞の⻑さ、𝑟0 は単位⻑さあたりのシャントインピーダンスのことである。シャントインピーダンスとは加速電場と消費電⼒の⽐を表したものであり、これによって空洞に⽴つ加速電場が決定する。よって式(4.7)は
𝑉 𝑡 =V
2 𝛽𝑃T… 𝑟0 𝐿
1 − 𝑒 a•1+𝛽4.11という形になる。ここでτは時定数を表し、RF ⼊⼒を開始すると時定数τで指数関数的にある値に漸近していく。次にビームが誘起する電圧について考える。微
分⽅程式は
𝑄6
𝑑𝑉
2𝐺𝑉
= −𝛽𝐺 𝑉T… − 𝑉 3 − 𝐺𝑉 3 − 𝐼𝑉
𝜔
𝑑𝑡

4.12

となるので整理すると
𝜏𝑑𝑉
𝐼= −𝑉 −
𝑑𝑡(1 + 𝛽)𝐺

4.13となり、これを式(4.7)と同様に解いていくと、
𝑉 𝑡 =

VaV’
𝑟0 𝐿
𝐼 1 − 𝑒a •
1+𝛽

29

4.14

⼊⼒パワーとビーム電圧によって誘起される空洞電圧は式(4.11)と式(4.14)の重ね合わせによって表現することができるので、
𝑉 𝑡 =

VaV’
V
2 𝛽𝑃T… 𝑟0 𝐿
𝑟0 𝐿
1 − 𝑒 a• −𝐼 1 − 𝑒a •
1+𝛽
1+𝛽

4.15

と書くことができる。式(4.15)の通り、⼆つの項は同じ時定数を持った指数関数であることがわかる。したがって⼆つの項の振幅が同じであれば、電圧は時間に依存せず⼀定となる。この結果はビームと RF が同相の場合である。ビームがRF に対して位相差θを持っている場合は
𝑉 𝑡 =

VaV’
V
2 𝛽𝑃T… 𝑟0 𝐿
𝑟0 𝐿
1 − 𝑒 a• −𝐼 1 − 𝑒 a • 𝑒 T”
1+𝛽
1+𝛽

4.16

と表すことができる。

4.2.2

ビームローディング電流の計算

全体のビームローディング電流は図 4.2 のように個々の粒⼦が作るビームローディングの波の重ね合わせとなるため、位相を考慮する必要がある。

図 4.2

粒⼦が作りだすビームローディングの重ね合わせの概念図.

ビームの位相という概念を理解するために、⼀つの粒⼦が作り出すビームロー
ディング電流を求める[2]。単粒⼦の電流はローレンツ𝛽• 、デルタ関数、を⽤いて以下のように書くことができる
𝐼 = 𝛽• 𝑐𝑞𝛿 𝛽• 𝑐𝑡

4.17

この電流がもたらす空洞電圧𝑉の変化は
𝑑𝑉
𝑟𝐿𝜔
1
=−
𝛽• 𝑐𝑞𝛿 𝛽• 𝑐𝑡 − 𝑉
𝑑𝑡2𝑄𝜏となる。𝜂 =

†•Ž
3Œ

4.18

と置いて、式を整理すると
𝑑𝑉1= −𝜂𝛽• 𝑐𝑞𝛿 𝛽• 𝑐𝑡 − 𝑉
𝑑𝑡
𝜏
30

4.19

となるので、この式の両辺を微⼩区間±εの範囲で積分しε → 0の極限を取ると𝑉 𝑡 = +0 − 𝑉 𝑡 = −0 = −𝜂𝑞4.20という式になる。ここで粒⼦の通過する前は電圧がないとすると𝑉 𝑡 = −0 = 0となるので階段関数𝑢(𝑡)を使うと、
𝑉 𝑡 = −𝜂𝑞𝑢 𝑡

4.21と表すことができる。また𝑡 > 0の場合の式(4.19)の⼀般解は、定数 C を使いV

𝑉 𝑡 = 𝐶𝑒 a•

4.22となるので式(4.21)から
V

𝑉 𝑡 = −𝜂𝑞𝑢 𝑡 𝑒 a•4.23と書くことができる。実際にこの式は振幅を表しているのでここに振動項を加えると、以下のようになる。
V

𝑉 𝑡 = −𝜂𝑞𝑢 𝑡 𝑒 a• 𝑒 TŽV

4.24

これは粒⼦が通過したと同時にある電圧が誘起され、その電圧が⾓振動数ωで振動しながら時定数τで減少していくことを⽰している。さらに粒⼦が複数存在している場合は、
VaVœ−𝜂𝑞T 𝑢 𝑡 − 𝑡T 𝑒 a • 𝑒 TŽ VaVœ

𝑉 𝑡 =

4.25

T

と表すことができる。粒⼦がとある時間𝑡T で通過すると、そこで電圧が誘起されまた振動しながら減少していく。よって複数の粒⼦がある場合、減衰振動する波の重ね合わせが全体の電圧ということになる。階段関数を省略し、粒⼦が全て通過し終わった場合の電圧は、V

𝑉 𝑡 = 𝑉n• 𝑒 a• 𝑒 T ŽV@”4.26となる。これは式(4.25)を三⾓関数で表したものである。この電圧は式(4.25)と
等しいので
VaVœ

V

−𝜂𝑞T 𝑒 a • 𝑒 aTŽVœ = −𝑉n• 𝑒 a• 𝑒 T”

4.27

T

この電圧が与える電流がビームローディング電流となるので、𝑉n• =
と

31

†•žŸ
^@•

を使う

𝑞 Vœ T ŽVa”
𝑒• 𝑒
𝜏

𝐼n =

4.28

となり、また𝜃を重⼼位相として粒⼦の重⼼位相に対する位相𝜙 = 𝜔𝑡 − 𝜃と定義
Vし、 œ ~０としてビームローディング電流を表すと
•

𝐼n =
T

𝑞T T¡
𝑒
𝜏

4.29

となる。よって重⼼位相に対して𝑞T 𝑒 T¡ が重なり合った量がビームローディング
電流𝐼n であることがわかる。またビームの時間的な分布が異なっていたり、粒⼦の電荷が異なっていたりしたとしても、式(4.29)のように⼀つの複素数として表すことができる。

4.3

ビームローディング補償

4.3.1

on-crest の時のビームローディング補償

on-crest の状態の時の空洞電圧は式(4.15)で表すことができる。RF による電圧とビームによる電圧は同じ時定数で変化する。したがって RF による電圧変化
量とビームによる電圧変化量が等しくなれば、補償を⾏うことが可能である。
𝑉ij =3 •¢œ£ †¤ •^@•、𝑉ghML =†¤ •^@•𝐼とおいてその時の条件を⽰すと、
VaV’V

𝑉ij 𝑒 a• = 𝑉ghML 𝑒 a •4.30となり、この条件の時のビーム⼊⼒開始の時間𝑡g は
𝑡g = 𝜏 ln

𝑉ij
𝑉ghML

4.31

となる。したがってビーム⼊⼒開始の時間𝑡g は RF 電圧とビーム電圧の漸近値、および時定数から求めることができる。𝑡g のタイミングでビーム⼊⼒を開始する
ことで、ビームローディングの補償が可能である。以下に on-crest の時にビー
ムローディングの補償を⾏った場合の、空洞電圧の時間変化を複素平⾯上に表す。図 4.3 において、𝑉ij , 𝑉ghML は RF とビームの電圧の漸近値、𝑉¥ (𝑡)は空洞電圧、𝑉ij (𝑡), 𝑉ghML (𝑡)は時間 t における RF 電圧とビーム電圧である。(a)ビーム⼊⼒開始前は𝑉¥ (𝑡) = 𝑉ij 𝑡 となり、𝑉¥ (𝑡)は𝑉ij に漸近していく。(b) 時間𝑡g のタイ32

ミングでビーム⼊⼒を開始すると𝑉ghML (𝑡)は時定数τで𝑉ghML に漸近する。ここで𝑉ij 𝑡 の変化量と𝑉ghML (𝑡)の変化量は等しく、また逆側の⽅向に変化していく
ため、𝑉¥ (𝑡)は常に変化せず⼀定の値を取り続ける。(c)⼗分時間が経ち定常状態となると RF 電圧とビーム電圧は漸近値を取り、空洞電圧は定常値となる。oncrest の場合以上のような⽅法で補償が可能である。
(a)𝑡 < 𝑡g(b)𝑡 > 𝑡g(c)𝑡 > 𝑡g

図 4.3

空洞電圧の過渡的な変化を複素平⾯上に表したもの.𝑉ij , 𝑉ghML は RF とビームの電圧の漸近値、𝑉¥ (𝑡)は空洞電圧、𝑉ij (𝑡), 𝑉ghML (𝑡)は時間 t における RF とビーム電圧である.(a)にビーム⼊⼒開始前、(b)(c)にビーム⼊⼒開始後の電圧を表す.

4.3.2

off-crest の時のビームローディング補償

off-crest の状態の時の空洞電圧は式(4.16)で表される。この時ビーム電圧はビーム位相θを持つため、虚数成分が発⽣し、on-crest の場合の⽅法では補償は不可能である。したがって off-crest の場合はビーム⼊⼒開始とともに、RF 電圧に位相変調かけることで補償を⾏う。位相変調をかけた場合の電圧の過渡的な変化を図 4.4 に⽰す。ここで位相変調量をφとし、位相変調をかけた時の RF 電圧の漸近値を𝑉ij 𝑒 T¦ としている。(a)ビーム⼊⼒開始前は on-crest の場合と同様に

33

𝑉¥ (𝑡) = 𝑉ij 𝑡 となり、𝑉¥ (𝑡)は𝑉ij に漸近していく。(b)ビーム⼊⼒を開始すると𝑉ij (𝑡)は位相θを持って、𝑉ghML へと漸近していく。このタイミングで RF に位相変調をかける。位相変調後の RF 電圧𝑉ij (𝑡)は点線に沿うような形で、漸近値
𝑉ij 𝑒 T¦ に向かって増加していく。この時の𝑉ij (𝑡)の実数成分、虚数成分の増加量
は𝑉ghML (𝑡)の実数成分、虚数成分の増加量と常に等しくなるため、全体の空洞電圧𝑉¥ (𝑡)は常に⼀定にすることができる。よって off-crest の場合、位相変調による補償が可能である。

(b)𝑡 > 𝑡g(a)𝑡 < 𝑡g(c)𝑡 > 𝑡g

図 4.4位相変調を施した場合の空洞電圧の過渡的な変化を複素平⾯上に表したもの.𝑉ij はビーム⼊⼒前の𝑅𝐹の漸近値、𝑉𝑏𝑒𝑎𝑚 はビームの電圧の漸近値、位相変調をかけた時の RF の漸近値は𝑉ij 𝑒 T¦ , 𝑉𝑐 (𝑡)は空洞電圧𝑉ij (𝑡), 𝑉ghML (𝑡)は時間 t における RF とビーム電圧である.(a)にビーム⼊⼒開始前、(b)(c)にビーム⼊⼒開始後の電圧を表す.

34

4.4

多セルモデル

前節では連結したセルを⼀つの⼤きなセルとしてみなして計算したが、今節は等価回路モデルを⽤いて多セルモデルにおける空洞内の電圧の過渡的な変化を⽰す。APS 空洞においてパワーの⼊⼒は、中央のカプラーセルに導波管をつなぎ⾏っており、それ以外のセルはレギュラーセルと呼ばれる。よってレギュラー
セルには隣り合ったセルからの RF の伝搬により電場が励起するので多セルの場合に電圧を計算する際はセル同⼠の相互作⽤を含める必要がある。多セルにおける電圧の過渡的な変化を等価回路モデルにより計算した[11]。

4.4.1 レギュラーセル
図 4.5 はレギュラーセルの等価回路モデルであり、電磁場の共振を集中回路に表したものである。このモデルの中に空洞の共振、空洞の表⾯抵抗、ビームローディング電流、隣のセルとの結合を⽰している。𝑛はセルの番号を表していて、n 番⽬のセルに⽣じる電圧を𝑣… 、n 番⽬のセルのインダクタンス、キャパシタン
ス、コンダクタンスをそれぞれ𝐿… , 𝐶… , 𝐺… とおいている。インダクタンスは電磁誘導により発⽣する起電⼒を求める際の⽐例定数、キャパシタンスは回路内に蓄えられる電荷の量、コンダクタンスは回路における電流の流れやすさを表している。また𝑖…M , 𝑖…g , 𝑖…« はそれぞれの回路素⼦に流れる電流を⽰し、n 番⽬のセルの電流源に流れるビームローディング電流は𝑖…T…¬ としている。

図 4.5

レギュラーセルの等価回路モデル.

この等価回路モデルによって導出された回路⽅程式を⽤いて空洞の電圧を求めていく。回路⽅程式は以下のようになる。
𝑖…T…¬ + 𝑖…M + 𝑖…¥ + 𝑖…« + 𝑖…g = 0𝑖…¥ = 𝐶…
35

𝑑𝑣…
𝑑𝑡

4.32
4.33

𝑖…« = 𝐺… 𝑣…

4.34

g
M
𝑑𝑖…M
𝑑𝑖…a^
𝑑𝑖…g
𝑑𝑖…@^
+𝑀
= 2𝐿…
+𝑀
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

4.35

𝑀…a^,… = 𝑘 4𝐿…a^ 𝐿… , 𝑀…,…@^ = 𝑘 4𝐿… 𝐿…@^

4.36

𝑣… = 2𝐿…

M:相互インダクタンスk:結合度

各回路素⼦のパラメータを空洞のパラメータを⽤いて表すと、以下のような形になる。

インダクタンス

キャパシタンス

𝑅
𝑄 …
𝐿… =
𝜔¥h..

𝐶… =

コンダクタンス 𝐺… =ここでω¯°±± ,𝑄6… ,

i
Œ …

1
𝜔¥h..

𝑅
𝑄 …

1
𝑅
𝑄
𝑄 … 6…

4.37

4.38

4.39

はそれぞれ空洞の共振周波数、Q 値、シャントインピーダンスを表しており、それらを回路パラメータで表すと共振周波数 𝜔¥h.. =𝑄値

シャントインピーダンス

𝑄/… =
𝑅
=
𝑄 …

1
𝐿… 𝐶…

𝜔¥h.. 𝐶…
𝐺…
𝐿…
1
= 𝜔¥h.. 𝐿… =𝐶…
𝜔¥h.. 𝐶…

4.40
4.40

4.41

となる。ここでインダクターに流れる総電流は、以下のように定義される。
𝑖…• = 𝑖…M + 𝑖…g

36

4.42

また電圧と電流を次のように規格化すると、

𝑣… =𝐶… 𝑣… =𝑣…
𝜔¥h.. 𝑅 𝑄
…
𝑅

𝚤… =

𝐿… 𝑖… =

𝑄 …

𝜔¥h..

𝑖…

4.43

4.44

という式になるので規格化された回路⽅程式は以下のようになる。
𝚤…T…¬ + 𝚤…• + 𝚤…³ + 𝚤…« = 0

4.45

𝚤…• = 𝚤…M + 𝚤…g

4.46

1 𝑑𝑣…
𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.47

𝚤…³ =

𝚤…« = 𝐺…

𝐿…
𝐺…
1
𝑣… =
𝑣… =
𝑣
𝐶…
𝜔¥h.. 𝐶…
𝑄6… …
𝑅

𝚤…T…¬ =

𝐿… 𝑖… =𝑄 … T…¬
𝑖…

𝜔¥h..

g
M
1
1 𝑑𝚤…M
1 𝑑𝚤…a^1 𝑑𝚤…g1 𝑑𝚤…@^𝑣 =+𝑘=+𝑘
2 … 𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.48

4.49

4.50

式(4.50)より
g
1
1 𝑑𝚤…M
1 𝑑𝚤…a^𝑣 =+𝑘
2 … 𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.51

M
1
1 𝑑𝚤…g1 𝑑𝚤…@^𝑣 =+𝑘
2 … 𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.52

37

として辺々の和を取ると、
gM
1 𝑑𝚤…M
1 𝑑𝚤…g1 𝑑𝚤…a^1 𝑑𝚤…@^
𝑣… =
+
+𝑘
+𝑘
𝜔¥h.. 𝑑𝑡 𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.53

式(4.46)より
gM𝑑 •1 𝑑𝚤…g1 𝑑𝚤…a^1 𝑑𝚤…@^g𝑣… =𝚤 − 𝚤… ++𝑘+𝑘𝜔¥h.. 𝑑𝑡 …
𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

1gM
1 𝑑𝚤…•
1 𝑑𝚤…a^1 𝑑𝚤…@^𝑣… =+𝑘+𝑘𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.54
4.55

式(4.51)において𝑛 → 𝑛 + 1,式(4.52)において𝑛 → 𝑛 − 1とすると
M
1
1 𝑑𝚤…@^
1 𝑑𝚤…g𝑣=+𝑘
2 …@^ 𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.56

g
1
1 𝑑𝚤…a^1 𝑑𝚤…M𝑣=+𝑘
2 …a^ 𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.57

^

¬·’
£•¸

Ž´µ¶¶

¬V

となるのでこの⼆式を⽤いて式(4.55)から
𝑣… =

^

¬·¹
£€¸

Ž´µ¶¶

¬V

と

を消去すると

1 𝑑𝚤…•
1
1 𝑑𝚤…M1
1 𝑑𝚤…g+ 𝑘 𝑣…a^ − 𝑘+ 𝑘 𝑣…@^ − 𝑘𝜔¥h.. 𝑑𝑡2
𝜔¥h.. 𝑑𝑡2
𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.58となるので𝑘 ≪ 1より𝑘 3 の項を無視すると
1
1 𝑑𝚤…•
𝑣… − 𝑘 𝑣…a^ + 𝑣…@^ =2𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.59

式(4.45)を式(4.59)に代⼊すると
1
1 𝑑𝑣… − 𝑘 𝑣…a^ + 𝑣…@^ =−𝚤…T…¬ − 𝚤…³ − 𝚤…«
2𝜔¥h.. 𝑑𝑡

4.60

1 𝑑𝚤…³1 𝑑 3 𝑣…
= 3
𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑑𝑡 3

4.61

1 𝑑𝚤…«
1
𝑑𝑣…
=
𝜔¥h.. 𝑑𝑡𝜔¥h.. 𝑄6… 𝑑𝑡

4.62

式(4.47)より

式(4.48)よりとなるので、式(4.60)は
1 𝑑 3 𝑣…
1
𝑑𝑣…
1
1 𝑑𝚤…T…¬++ 𝑣… = 𝑘 𝑣…a^ + 𝑣…@^ −3
𝑑𝑡 3𝜔¥h.. 𝑄6… 𝑑𝑡
2𝜔¥h.. 𝑑𝑡
𝜔¥h..

38

4.63

となり、n 番⽬のセルにおける電圧の微分⽅程式を得ることができた。次に電圧と電流を振動項と振幅項に分ける。

ここで 𝑣 » ≡

¬½
¬”

=

¬V ¬½
¬” ¬V

=

^ ¬½
Ž ¬V

𝑣 𝑡 = 𝑉 𝑡 𝑒 TŽV

4.64

𝚤 𝑡 = 𝐼 𝑡 𝑒 TŽV4.65と定義して式(4.64)の⼀回微分、⼆回微分をそれぞれ表すと、𝑣 » 𝑡 = 𝑉 » 𝑡 + 𝑖𝑉 𝑡𝑒 TŽV𝑣 »» 𝑡 = 𝑉 »» 𝑡 + 2𝑖𝑉 » 𝑡 − 𝑉 𝑡

4.66
𝑒 TŽV

4.67

電流に関しても微分を⾏い式(4.63)に代⼊すると»»𝑉… + 2𝑖 +3
1 𝜔¥h..
1 𝜔¥h.. 𝜔¥h..
»
𝑉… + 𝑖+ 3 − 1 𝑉…
𝑄6… 𝜔
𝑄/… 𝜔
𝜔

3
1 𝜔¥h..
= 𝑘 3 𝑉…a^ + 𝑉…@^
2 𝜔−𝜔¥h.. T…¬ »
𝐼… + 𝑖𝐼…T…¬
𝜔

4.68となる。ここでω:RF の周波数、ω¥h.. :セルの共振周波数と表している。ω¥h.. ≈ 𝜔
より近似を⾏うと、
3𝜔¥h..
𝜔¥h.. − 𝜔
−1=2
= 2𝛿…
3
𝜔
𝜔

4.69

と表すことができるので式(4.68)は»»𝑉… + 2𝑖 +1
1
1»
𝑉… + 𝑖− 2𝛿… 𝑉… = 𝑘 𝑉…a^ + 𝑉…@^
𝑄6…
𝑄/…
2

»

− 𝐼…T…¬ − 𝑖𝐼…T…¬ 4.70となり、電圧と電流の振幅のみを取り出した微分⽅程式を表すことができた。微分⽅程式を解くために有限差分近似を⽤いる。有限差分近似とはとある関数f(𝑥)の微分の定義式¬À¬N ÁÂÃ

= lim

Æ→6À M@Æ aÀ(Æ)Æ

において h を有限と置き、近似を⾏うものである[8]。初めに𝑉… (𝜃)の関数において、独⽴変数𝜃を離散化して格⼦点を作る。隣り合う格⼦点の幅を∆𝜃とし、m 番⽬の格⼦点の時の電圧を𝑉…L (𝜃)とする。
関数𝑉…L (𝜃)の微分をその周りの格⼦点での関数𝑉…La^ (𝜃), 𝑉…L@^ (𝜃)を⽤いて近似する。

39

図 4.6

有限差分近似の概念図.独⽴変数𝜃を離散化して格⼦点を作る. 隣り合う格⼦点の幅を∆𝜃とし、m 番⽬の格⼦点の時の電圧を𝑉…L (𝜃)とする.
𝜃 = 𝜃L の点の周りで𝑉…La^ (𝜃), 𝑉…L@^ (𝜃)をテイラー展開する。
𝑑𝑉… (𝜃)1𝑑 3 𝑉… (𝜃)+ 𝜃L@^ − 𝜃L 3𝑑𝜃 ”Â”
2𝑑𝜃 3 ”Â”

𝑉…L@^ 𝜃 = 𝑉…L 𝜃 + 𝜃L@^ − 𝜃LÇ

= 𝑉…L 𝜃 + ∆𝜃

Ç

3

𝑑𝑉… 𝜃
𝑑𝜃

+
”Â”Ç

1
𝑑 𝑉… 𝜃
∆𝜃 3
2
𝑑𝜃 3

4.71
”Â”Ç

𝑑𝑉… (𝜃)1𝑑 3 𝑉… (𝜃)+ 𝜃La^ − 𝜃L 3𝑑𝜃 ”Â”
2𝑑𝜃 3 ”Â”

𝑉…La^ 𝜃 = 𝑉…L 𝜃 + 𝜃La^ − 𝜃LÇ

= 𝑉…L 𝜃 − ∆𝜃

𝑑𝑉… 𝜃
𝑑𝜃

Ç

3

+
”Â”Ç

1
𝑑 𝑉… 𝜃
∆𝜃 3
2
𝑑𝜃 3

4.72
”Â”Ç

式(4.71)、式(4.72)の差を取ると
𝑑𝑉… 𝜃
𝑑𝜃

𝑉…L@^ 𝜃 − 𝑉…La^ 𝜃
2∆𝜃

4.73

𝑉…L@^ 𝜃 + 𝑉…La^ 𝜃 − 2𝑉…L 𝜃
∆𝜃 3

4.74

=
”Â”Ç

和を取ると、
𝑑 3 𝑉… 𝜃
𝑑𝜃 3

=
”Â”Ç

40

となる。これらの式を式(4.70)に代⼊して整理すると

𝑉…L@^ = 𝑎^

𝑎3

𝑎8

𝑎:

L
𝑉…a^
𝑉…L
L
𝑉…@^
𝑉…La^

+ 𝑏^

𝑏3

𝑏8

−𝐼…La^ T…¬−𝐼…L T…¬−𝐼…L@^ T…¬

1
𝑘
2
𝑎^ =
1
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄
∆𝜃
6…

1
2∆𝜃
𝑏^ =
1
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄
∆𝜃
6…

2
1
−𝑖
+ 2𝛿…
𝑄6…
∆𝜃 3
𝑎3 =
1
1
1
+
(2𝑖 +
)
𝑄6…
∆𝜃 3 2∆𝜃

𝑏^ =

1
𝑘
2
𝑎8 =
1
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄
∆𝜃
6…

1
2∆𝜃
𝑏^ =
1
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄
∆𝜃
6…

4.75

−

𝑖
1
1
1
+
(2𝑖 +
)
𝑄6…
∆𝜃 3 2∆𝜃

1
1
1
2𝑖 +
−
2∆𝜃
𝑄6…
∆𝜃 3
𝑎: =
1
1
1
+
2𝑖 +
𝑄6…
∆𝜃 3 2∆𝜃

4.76という式を求めることができる。この式を全ての空洞に適⽤すると空洞電圧の時間発展を計算することができる。

4.4.2

カプラーセルカプラーセルには導波管が繋がっているため導波管を表す回路素⼦𝑖È , 𝑖…É を追加した等価回路モデルとなる。𝑖È は RF の電流、𝑖…É は導波管のコンダクタンスを表し、回路⽅程式は以下のようになる。
𝑖È − 𝑖…T…¬ = 𝑖…M + 𝑖…¥ + 𝑖…« + 𝑖…É + 𝑖…g

4.77

𝑖…É = 𝛽𝐺… 𝑣…

4.78

41

図 4.7

カプラーセルの等価回路モデル

レギュラーセルと同様に計算すると

𝑉…L@^ = 𝑎^

𝑎3

𝑎8

𝑎:

L
𝑉…a^
𝑉…L
L
𝑉…@^
𝑉…La^

𝐼ÈLa^ − 𝐼…La^ T…¬
+ 𝑏^

𝑏3

𝑏8

𝐼ÈL − 𝐼…L T…¬

4.79

𝐼ÈL@^ − 𝐼…L@^ T…¬

1
2∆𝜃

1
𝑘
2
𝑎^ =
1+𝛽
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄6…
∆𝜃

𝑏^ =

1+𝛽
2
−𝑖
+ 2𝛿…
𝑄6…
∆𝜃 3
𝑎3 =
1+𝛽
1
1
+
(2𝑖 +
)
𝑄6…
∆𝜃 3 2∆𝜃

𝑏^ =

1
𝑘
2
𝑎8 =
1+𝛽
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄6…
∆𝜃

1
2∆𝜃
𝑏^ =
1+𝛽
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄6…
∆𝜃

−

1+𝛽
1
1
+
(2𝑖 +
)
3
2∆𝜃
𝑄6…
∆𝜃
𝑖
1+𝛽
1
1
+
(2𝑖 +
)
𝑄6…
∆𝜃 3 2∆𝜃

1+𝛽
1
1
2𝑖 +
−
2∆𝜃
𝑄6…
∆𝜃 3
𝑎: =
1+𝛽
1
1
+
2𝑖 +
𝑄6…
∆𝜃 3 2∆𝜃

4.80

式(4.76)、式(4.80)を使いセルごとの電圧を求め、求めた電圧の和を格⼦点ごとに取ることで、その時間に発⽣する空洞全体の電圧を求めることができる。

4.4.3 等価回路モデルによる過渡的ビームローディング補償

42

A P S 空洞において実際にビームローディング補償を⾏う場合は、導波管からカプラーセルに位相変調をかけた RF を⼊⼒することで補償を可能にする。ここ
でビーム⼊⼒前(t < t Ë )の RF 電流を𝐼ij 、位相変調をかけたビーム⼊⼒後(t > t Ë )»の電流を𝐼ijとして、導波管から⼊⼒する電流の時間変化を表すと,𝐼
𝐼 = { ij»𝐼ij𝑡 < 𝑡g𝑡 > 𝑡g4.81となる。これは RF の⼊⼒を切り替えた場合、カプラーセルに流れ込む電流が瞬間的に切り替わることを表している。しかし実際にカプラーセルに送り込まれる電流は階段関数で変化するわけではない。実際の⼤パワーの RF は発信機で⽣成した⼩振幅の RF 信号をクライストロンと呼ばれる共振構造を有した三極真空管によって増幅した後、導波管を通じて加速管に送り込まれる。⼤パワーのRF に位相変調をかけることは困難なので位相変調は発信機からの⼩振幅の信号に対して⾏う。クライストロンは共振構造を持っているため実際に加速管に送り込まれる RF の位相変調は、クライストロンの時定数τだけ遅れることとなる。クライストロンの空洞への⼊⼒電圧を𝑉T… 、空洞電圧を𝑉とすると、
τ𝑑𝑉= −𝑉 + 𝛼𝑉T… (𝛼: 定数)
𝑑𝑡

4.82

となる。この式の⼀般解は
𝑉 𝑡 = 𝐵𝑒𝑥𝑝 −𝑡+ 𝛼𝑉T… (𝐵: 定数)
𝜏

4.83

»
ここで位相変調をかけた電流𝐼ij
をクライストロンに送り込むとすると、その時の条件は𝑡 > 𝑡g , 𝑉 𝑡g = 0, 𝛼𝑉T… = 𝐴» 𝑢(𝑡 − 𝑡g )となる。この時𝐴» は送り込まれる電圧の値、𝑢(𝑡 − 𝑡g )は階段関数を表している。この条件を⼀般解に当てはめると
VaV’

𝑉 𝑡 = 𝐴» 1 − 𝑒 a •4.84となる。これは電圧がビーム⼊⼒開始とともに、時定数τで振幅𝐴» に漸近していくことを表している。さらにクライストロンの場合ビーム⼊⼒前の RF 電流𝐼ij
により発⽣する電圧に関しても考慮が必要である。式(4.81)の場合、ビーム⼊⼒»
開始とともに瞬時に𝐼ij から𝐼ijへと切り替わっているが、切り替わった後も𝐼ij に誘起した電圧は 0 にはなっておらず、時定数τで減衰していく。したがって𝐼ij によるクライストロンの変動も計算を⾏う。まず𝑡 < 𝑡g の時の条件は𝑉 0 =0, 𝛼𝑉T… = 𝐴(1 − 𝑢 𝑡 − 𝑡g )(A:送り込まれる電圧)となるので空洞電圧は

43

V

𝑉 𝑡 = 𝐴 1 − 𝑒 a•

4.85
Î’

となる。次に𝑡 > 𝑡g の時の条件は𝑉 𝑡g = 𝐴 1 − 𝑒 a Ï , 𝛼𝑉T… = 𝐴(1 − 𝑢 𝑡 − 𝑡g )となるので𝑉V’ = 𝑉 𝑡g とおくと、
VaV’

𝑉 𝑡 = 𝑉V’ 𝑒 a •4.86という解になる。これは𝑡g になった瞬間から𝑉V’ の⼤きさを持つ電圧が時定数τで減衰していくことを表している。よって式(4.84),式(4.85),式(4.86)より導波管内部の電圧は𝑡 < 𝑡g𝑡 > 𝑡gV

𝑉 𝑡 = 𝐴 1 − 𝑒 a•
VaV’

4.87
VaV’

𝑉 𝑡 = 𝑉V’ 𝑒 a • + 𝐴» 1 − 𝑒 a •4.88という形になる。RF 電流𝐼ij が流れてから⼗分に時間がたったとして、空洞に流れる電流を表すと、
𝐼=𝐼ij
𝑡 < 𝑡gVaV’
VaV’»
𝐼ij 𝑒 a • + 𝐼ij
1 − 𝑒a •𝑡 > 𝑡g

4.89

となる。
»
また位相変調をかける時間𝑡g は、電流𝐼ij を⼊⼒した時の空洞電圧が、電流𝐼ij
を⼊れた時の定常電圧𝑉¥ に達する時間としている。この時間を𝑡g とすると、電流を切り替えた場合でも電圧の増加量を 0 にすることができる。求められた時間
𝑡g =1.3525(μs)となった。
(a)

図 4.8

(b)

»
縦軸:空洞電圧[MV]、横軸:時間[µ𝑠].(a) 𝐼ij ⼊⼒の結果(b) 𝐼ij
⼊⼒の結果

44

以降式(4.81)と式(4.89)の場合でビームローディング補償の⽐較を⾏う。計算の際に使⽤した空洞パラメータおよび計算パラメータを表 6.1 に⽰す。
周波数[MHz]

1300

𝑘

0

𝑄6

2.47×10:𝑅

1.41×103

𝑄 [𝑂ℎ𝑚]
𝛿…

0

∆𝜃

0.82

𝑃T… [𝑀𝑊]

2.05

𝑖…T…¬ [𝐴]1.00

表 4.1 空洞および計算パラメータ. 𝑄6 および 𝑅 𝑄 は加速セルの値.RF と空洞の周波数を合わせ𝛿… =0 としている.

表 4.1 で⽰したように空洞に流れるビームローディング電流は 1A として、補償を⾏った。結果は以下の通りである。

45

図 4.9位相変調を加えた時の空洞電圧の過渡的な変化.➀は階段関数で RF 電流が変化する場合、➁がクライストロンの影響を含んだ場合の結果.上図:実数成分、下図;虚数成分を表す.縦軸:空洞電圧[MV]、横軸:時間[µ𝑠].

➀の場合位相変調による補償ができており、ビームによる虚数成分がしっかりと打ち消されていることができている。⼀⽅で➁の場合共振構造を持ったクライストロンの影響を受け、位相変調が遅れ虚数成分が発⽣していることがわかる。範囲を拡⼤した➁虚数成分の結果を図 4.10 に⽰す。最⼤で約 0.15MV の虚数成分が発⽣しており、成分が０になるまで約 5μs の時間がかかっていること
がわかる。

46

図 4.10➁の式の時の虚数成分

4.5

シミュレーションによるビームローディング計算

4.5.1

GPT による粒⼦トラッキング

GEANT4 を使い電⼦ビームによる陽電⼦⽣成をシミュレートした後、標的出⼝からキャプチャーライナック出⼝までの粒⼦トラッキングを、GPT を⽤いて⾏う。Geant4 によるシミュレーションにおいてのビームのエネルギーは 3GeV、RMS を 2mm と設定し、⼊射電⼦数を 1000 個と設定した。その時に発⽣した電⼦は 9822 個、陽電⼦は 7292 個となった。図 4.11 に⽣成直後のビームの横⽅向の密度分布を⽰す。

図 4.11

⽣成直後のビームの横⽅向の密度分布.縦軸:y[m],横軸:x[m]47また横⽅向の実空間における分布を図 4.12 に⽰す。結果からターゲットから出た粒⼦は横⽅向に 0.002m ほどのところにピークが存在していることがわかる。

図 4.12

横⽅向の実空間(r ⽅向)におけるヒストグラム.縦軸:粒⼦数,横軸:r ⽅向[m]⾦属標的直後の AMD の配置やビームパイプまでの距離は以下のような設計になっている。まず標的から AMD までの距離は 0.001m、AMD の⻑さは 0.1m、AMD からビームパイプまでの距離は 0.114m、ビームパイプ⼊⼝から加速空洞⼊⼝までは 0.115m となっている。加速空洞は 36 本で構成されており、⼀本あたり加速セルが 11 セル、結合セルが 10 セルの計 21 セルで構成されている。ソレノイドは加速空洞を囲むような形で、キャプチャーライナック出⼝まで繋がっており、これによりビームの横⽅向の広がりを抑える役割を果たしている。ソレノイド磁場は 0.5[T]としており、AMD 出⼝での磁場と滑らかに繋がるように設定している。

図 4.13

ターゲットから空洞⼊⼝までの概要図.

48

実際にトラッキングした結果は以下のようになる。

49

図 4.14

GPT による粒⼦トラッキングの結果.キャプチャーライナック⼊⼝付近の

t=5nsec の分布から t=50nsec、t=100nsec、t=198nsec の順で表⽰している.⾚丸で囲んだ場所に陽電⼦が存在し、緑丸で囲んだ場所に電⼦が多く存在する.

図 4.14 の縦軸はローレンツγ、横軸は標的からの距離 z[m]を表している。四つの図はライナック⼊⼝から出⼝までの粒⼦分布の動きを順番に⽰しており、⼀つ⽬の t=5nsec の図がライナック⼊⼝、四つ⽬の t=198nsec の図がライナック
出⼝の粒⼦分布を表している。まず電⼦と陽電⼦が⼀様に混じったバンチは、
t=5nsec の図のように陽電⼦の減速位相に置かれる。少し時間が経つと、陽電⼦
は phase slip を起こして加速位相へと移動する。t=50nsec の図の⾚丸で囲まれた部分はその陽電⼦バンチを⽰している。⼀⽅電⼦は⼀つの位相にとどまることが出来ず、散らばってしまう。t=100nsec の図の緑丸で囲われた部分は電⼦が存在している部分を表しており、この図からはじめに置かれた加速位相（陽電⼦にとっては減速位相）にとどまり陽電⼦の前⽅にテール状になって位置している電⼦と、そこから後⽅の位相に流れ散らばっている電⼦の２種類が存在していることがわかる。ライナック出⼝（t=198 の図）になると陽電⼦はしっかりと捕捉され、また加速によってエネルギーも増加していることがわかる。

4.5.2

計算⼿法

本研究では GPT により求めた 1nsec ごとの粒⼦分布から時間ごとの重⼼位相を計算し、粒⼦が重⼼位相に作り出すビームローディング電流を求めた。キャプチャーライナック加速空洞には、電荷の異なる電⼦と陽電⼦が混在している

50

ため、簡単のためそれぞれに重⼼位相とビーム電流を計算した。さらに全体のビーム電流は電⼦と陽電⼦のビーム電流のベクトル和を計算することによって導出した。以下に計算⼿法について述べる。
l

重⼼位相
重⼼位相は粒⼦の RF に対する位相𝜙T を計算し実数成分と虚数成分を求めそれぞれの和から逆正接関数(arctan)を計算することで導出した。
𝑞
cos 𝜙T
Δ𝑡𝑞
𝐼𝑚𝐼TÓ = sin 𝜙T
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑟𝑜𝑛Δ𝑡
𝐼𝑚𝐼TÓ𝜃Ó = tana^
𝑅𝑒𝐼TÓ
𝑅𝑒𝐼TÓ =𝑞cos 𝜙TΔ𝑡𝑞𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 𝐼𝑚𝐼Th = Δ𝑡 sin 𝜙T
𝐼𝑚𝐼Th
𝜃h = tana^
𝑅𝑒𝐼Th
𝑅𝑒𝐼Th =

4.90

ここで、Δ𝑡はバンチ幅、𝜙T は各粒⼦の RF に対する位相を表している。
lビームローディング電流求められた重⼼位相に対して各粒⼦が作り出す電流は実数成分と虚数成分にわけ以下の式を使い求められる。
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑟𝑜𝑛

𝑅𝑒𝐼Ó =𝐼𝑚𝐼Ó =

𝑞cos ∅T − 𝜃Ó∆𝑡𝑞sin ∅T − 𝜃Ó∆𝑡𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛

𝑅𝑒𝐼h =𝐼𝑚𝐼h =

𝑞cos ∅T − 𝜃h∆𝑡𝑞sin ∅T − 𝜃h
∆𝑡

4.91

ここで∅T は各粒⼦の RF に対する位相、𝜃h 、𝜃Ó は電⼦・陽電⼦それぞれの重⼼位相である。電⼦・陽電⼦それぞれの電流からベクトル和を計算することで全体の粒⼦が作り出すビームローディング電流を求められる。
𝐼V/V = 𝐼Ó exp 𝑖𝜃Ó + 𝐼h exp 𝑖𝜃h4.92

ここで𝐼Ó , 𝐼h はそれぞれの実数成分と虚数成分から計算した電⼦・陽電⼦の電流の振幅を⽰す。
l

空洞電場
さらに計算した位相およびビーム電流を使って、定常状態における各加速管の空洞電場を導出した。以下に位相変調をかけた時の単セルモデルによる空洞
電場の式を⽰す。
𝐸¥M½TVz =1 2 𝛽𝑃T… 𝑟0 𝐿 T¦
𝑟0 𝐿𝐼 T”
𝑒 −
𝑒
𝐿
1+𝛽
1+𝛽

4.93

ここで𝐿はセル⻑、𝛽はカップリングベータ、𝑟0 はシャントインピーダンス、φはRF にかける位相変調量を表している。本研究では先⾏研究[8]で設定されたパ51

ラメータを使⽤した。
𝛽

5

𝑟0

52.7[𝑀𝑜ℎ𝑚 𝑚]

𝑃T…

22.5 11 [𝑀𝑊]𝐿

0.115[m]表 4.2 空洞電場計算において使⽤したパラメータ.
式(4.93)を実数成分と虚数成分にわけて書くと、𝑅𝑒𝐸¥M½TVz = 𝐸ij 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝐸ghML 𝑐𝑜𝑠𝜃

4.94

𝐼𝑚𝐸¥M½TVz = 𝐸ij 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝐸ghML 𝑠𝑖𝑛𝜃4.95となる。ここで簡単のために𝐸ij ＝^ 3 •¢œ£ †¤ •^ † •ž
, 𝐸ghML = ¤ とおいた。この時位
•
^@•
• ^@•

相変調量φは式(4.95)で⽰された虚数成分が 0 になるときの値、つまりビームの虚数成分を打ち消す⽅向で決まるので以下のように表すことができる。
φ = sina^ (

𝐸ghML
𝑠𝑖𝑛𝜃)
𝐸ij

4.96

4.5.3 結果
まず式(4.90)により求めた重⼼位相の結果について述べる。図 4.15 はキャプ
チャーライナック下流部(t=198nsec)における粒⼦を複素平⾯状に表した図になっており、縦軸:虚数成分、横軸:実数成分としている。また左図は陽電⼦、右
図は電⼦のプロットである。図に描かれた⻘の点がこの時間の重⼼位相を表していて、陽電⼦がθÓ = −0.107[𝑟𝑎𝑑]、電⼦がθh = 0.803[𝑟𝑎𝑑]という結果になった。
さらに図 4.16 には重⼼位相の時間推移を表している。陽電⼦が⾚のプロット、電⼦が緑のプロットである。電⼦・陽電⼦ともに 30nsec ほどで重⼼位相が安定していることがわかる。陽電⼦に関しては減速キャプチャーにより捕捉された粒⼦が加速位相に留まっているため位相の変動はほとんどなくなる。また電⼦に関しても電⼦にとっての加速位相にとどまるため位相は安定する。

52

図 4.15

t=198nsec の時の重⼼位相を表す図.縦軸に粒⼦の虚数成分、横軸に実数成分を取り各粒⼦の実数、虚数成分を複素平⾯状に表したもの.左:陽電⼦,右:電⼦.
centerphase2

positronelectron

1.5

Phase[rad]

1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2

0

50

100

150

200

time[nsec]

図 4.16電⼦・陽電⼦それぞれの重⼼位相の時間変化を表したもの.⾚プロット:陽電⼦、緑プロット:電⼦

次に求められた重⼼位相に粒⼦が作り出すビームローディング電流を計算した。図 4.17はビームローディング電流の時間推移を⽰した図であり、(a)が陽電⼦の結果、(b)が電⼦の結果である。また実数成分をピンク、虚数成分を⻘のプロットで⽰している。陽電⼦の実数成分は重⼼位相が安定し出した 30[nsec]ほどから、約 1.2~1.3[A]ほどに落ち着いている。また電⼦の実数成分ははじめ約 1.6[A]ほどの⼤きさから徐々に減少して0.9~1.0[A]ほどに落ち着いている。電⼦の場合 AMD を通過したのちはじめに電⼦にとっての加速位相に置かれるため、上流部で⼤きな減速場を誘起しその後減少していくよ
うな推移が⾒られる。

53

図 4.17ビーム電流の実数成分、虚数成分の時間変化を⽰し、縦軸は電流 I[A]、横軸

は 時間[nsec]を表している。(a)の図は陽電⼦、(b)の図は電⼦の結果である。粒⼦の重⼼位相を基準に計算しているので、虚数成分は電⼦・陽電⼦ともに 0 になっている。

図 4.18 が全体のビーム電流の実数成分と虚数成分を⽰したものである。実数成分は初め 0[A]ほどであるが、徐々に増加し始め約 15[nsec]ほどで 2.0[A]ほどに落ち着いていることがわかる。これは粒⼦の位相が減速位相から phase slip した
後、加速位相に留まることで位相が安定したことによるものと考えられる。また虚数成分は最終的に約 0.5[A]になった。

54

Itotal
2

I[A]

1.5

1

0.5

0

ReItotal
ImItotal
0

50

100

150

200

time[nsec]

図 4.18粒⼦全体のビーム電流の実数成分、虚数成分の時間変化を⽰し、縦軸は電流

I[A]、横軸は時間[nsec]を表している。実数成分は約 2.0[A]、虚数成分は 0.5[A]ほどに落ち着いている。

次にビーム位相θ、位相変調量φ、空洞電場𝐸¥M½TVz の加速管ごとの結果を図 4.19に⽰す。 (a)ビームの RF に対する位相、(b)位相変調量φ、(c)空洞電場を加速管ごとに⽰したものである。横軸は加速管の本数、縦軸は(a)ビーム位相θ[rad]、(b)位相変調量φ[rad]、(c)空洞電場𝐸¥M½TVz [MV/m]を⽰す。空洞電場の結果を⾒ると、上流部では⾼い電場を記録しているが、ビームローディング電流が増えると同時にビーム電場が増え、空洞電場が減少していることがわかる。またバンチの位相が安定すると、空洞電場の値も安定し 5~6[MV/m]ほどに落ち着いている。
Theta[rad]0.8

Theta[rad]

0.7

(a)

Theta[rad]

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

5

10

15

20
cavity[n]

55

25

30

35

Phi[rad]0.8

Phi[rad]0.7(b)Phi[rad]

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

5

10

15

20

25

30

35

cavity[n]Ecavity18

Ecavity

16

(c)

14

E[MV/m]

12
10
8
6
4
2
0

0

5

10

15

20

25

30

35

cavity[n]図 4.19(a):ビーム位相、(b):位相変調量φ、(c)空洞電場の加速管ごとの値

最後にイタレーションの結果を以下に⽰す。イタレーションの⽅法として、適当なビーム電流から決定した加速勾配によりシミュレーションを⾏い、粒⼦分布を求めそこからビームローディング電流を計算し加速勾配を求める。そして求められた加速勾配からシミュレーションを⾏う。この⼿順を 10 回⾏うことで、
適切なビームローディングを求める。以下にイタレーション 1 回⽬から 10 回⽬
までのビームローディング電流および空洞電場の結果を⽰す。

56

beamloadingI
beamloadingI

beamloadingI
2

2.2

2.1

2.1

1.9

1.9

I[A]

I[A]

1

iteration 1
iteration 2
iteration 3
iteration 4
iteration 5
iteration 6
iteration 7
iteration 8
iteration 9
iteration 10

2

2

1.5
I[A]

2.2

1.8

1.8
1.7

1.7

0.5

1.6

1.6
0

0

5

10

15

20

25

30

1.5

35

1.5

0

0

5

5

10

10

time[nsec]

図 4.20

15

20

25

time[nsec]
20
25

15

30

30

35

35

time[nsec]

加速管ごとのビームローディング電流。左図に縦軸の範囲[0:2.2]、右図に縦軸の範囲[1.5:2.2]の結果を載せる。イタレーションごとの結果を⾊ごとに⽰し、その凡例を図右側に表す。
EﬁeldbeamloadingI

Eﬁeld
18

2.2

8

16
7

10
8
6
4

2

6

I[A]

12

EField[MV/m]EField[MV/m]

14

5

1.9
1.8
1.7
1.6

4

2
0

iteration 1
iteration 2
iteration 3
iteration 4
iteration 5
iteration 6
iteration 7
iteration 8
iteration 9
iteration 10

2.1

1.5

0

5

10

15

20

25

30

35

3

0

5

Cavity

図 4.21

0

10

5

10

15

15

20

20time[nsec]
25

25

30

30

35

35

Cavity加速管ごとの空洞電場。左図に縦軸の範囲[0:18]、右図に縦軸の範囲[3:8]の結果を載せる。凡例は図 4.20 と同様である。

電流、電場の値ともにイタレーション 1 回⽬から 4 回⽬までの結果を⽐べると、結果が振動していることがわかるが、それ以降は結果が安定していることがわかった。以上の⽅法でビームローディング電流をイタレーションにより求めることができた。イタレーション 10 回⽬の結果から、平均のビーム電流は約 2.0[A]と な り 、 平 均 の 空 洞 電 場 は 約 5.3[MV/m] と な っ た 。 RF に よ る 電 場 は 約
23.0[MV/m]であるため、ビームローディングによって引き起こされる電場は約
17.7[MV/m]となることがわかった。

57

第5章

陽電⼦捕獲率計算シミュレーショ

ン
5.1

シミュレーション概要

本研究では陽電⼦源全体のシミュレーションにより、陽電⼦捕獲率を求め、最適パラメータを導出した。標的からキャプチャーライナックまでのシミュレー
ションは第４章で記した⽅法で、ビームローディング電流および位相変調の効
果を含めた加速勾配を⽤いた粒⼦トラッキングを⾏った。イタレーションは 5
回⾏い、その結果求められた 5 回⽬の粒⼦分布を使⽤して、シケイン以降のシ
ミュレーションを⾏った。シケインから ECS 出⼝までのシミュレーションには
SAD(Strategic Accelerator Design)というソフトを⽤いた。SAD は加速器設計に特化したソフトウェアであり、ビームラインを通過する粒⼦の再現を短時間で⾏うことができる。SAD 上にシケインから ECS までの構成を模擬し、ECS 出
⼝にて⽣き残った陽電⼦の中で、DR アクセプタンスを満たした陽電⼦を捕獲陽電⼦としてカウントした。最適化を⾏ったパラメータは、キャプチャーライナッ
クにおける RF の初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]、シケイン偏向⾓θ[𝑟𝑎𝑑]、シケイン Q マグネ
ットの K（収束⼒）、ブースターRF 位相𝑧[𝑚]、ECS の𝑅bt および𝑅tb 、DR アクセ
プタンス中⼼𝛿/ÀÀ およびz/ÀÀ の 8 つである。そのためパラメータの数が多くそれらは互いに影響を及ぼしあうので、正確な最適化を⾏うために、はじめに陽電⼦
捕獲率以外の指標を使ってある程度の最適化を⾏った後、そこで決定した物を仮パラメータと定め、その周りの範囲でまた陽電⼦捕獲率を指標にシミュレー
ションを⾏った。さらに第 4 章の結果からビームローディングの影響が⼤きく、加速勾配が減少していることを受け、カップリングβの変更も⾏なった。カップ
リングβとは空洞内部と外部との消費パワーの⽐を表すものであり、結合度を⽰すものである。図 5.1 にカップリングβと空洞電場との関係を⽰す。図 5.1 からカップリングβの増加とともに、平均電場も増加していることがわかる。式(4.93)よりビーム電場は1 1 + 𝛽に⽐例するため、𝛽が⼤きくなるほど、ビーム電場は減少する。しかし RF 電場も 𝛽 1 + 𝛽に⽐例するので、ビーム電場ほどではないが、𝛽が⼤きくなるほど減少する。そのためビームローディングの影響が⼩さい上流部では、𝛽が⼤きいほど空洞電場が⼩さくなっていることわかる。よ58

って、平均電場が⼤きく初段の電場も確保できる𝑐β = 9を採⽤した。

図 5.1

βごとの空洞電場. 縦軸:空洞電場[MV/m]、横軸:z[m]. βごとのデータをプ

ロットしておりその凡例を図右上に載せた.

またビームのエネルギーをさらに⼤きくするために、キャプチャーライナックの加速管の本数を 36 本から 40 本に変更しシミュレーションを⾏った。

5.2

仮パラメータ決定

5.2.1

キャプチャーライナック RF 位相、シケイン偏向⾓

キャプチャーライナックの⼀本⽬の加速管⼊⼝での RF 位相𝜑[𝑟𝑎𝑑]は
𝜑 = −𝜔

0.33
+ 𝜙6
𝑐

5.1

という形になる。ここで 0.33 は標的出⼝から空洞⼊り⼝までの距離を表し、
𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]は RF の初期位相を表す。減速キャプチャー⽅式を⽤いた集群⽅法を使⽤しているので、この初期位相𝜙6 がバンチの集群および陽電⼦捕獲率に⼤きく影響する。よって AMD を通過した陽電⼦をより多く集群する初期位相を⾒つけるために、位相を変化させながら標的からブースター上流部までのシミュレ
ーションを⾏った。さらにそれぞれの位相においてシケイン偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑]の最適

59

化を⾏い、最適値を⾒つけた。

60

図 5.2初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]ごとのシケイン偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑]とブースター4Q1L 出⼝の陽電⼦数の関係.縦軸: ブースター4Q1L 出⼝の陽電⼦数、横軸: 𝜃[𝑟𝑎𝑑].RF の𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]はそれぞれのグラフの上部に記載している

図 5.2 は縦軸に陽電⼦数、横軸にシケイン偏向⾓をとったものであり、それぞれの RF 初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]の時の結果を載せている。陽電⼦数はブースター上流部
である 4Q1L 出⼝において⽣き残った粒⼦数を記録した。これによりそれぞれの位相において最⼤の陽電⼦数を取る偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑]がわかったので、その結果を以下に⽰す。
初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑]

陽電⼦数

0.4

0.25

1614

0.5

0.21

1622

0.55

0.22

1612

0.6

0.20

1572

0.65

0.21

1499

0.7

0.22

1428

0.8

0.24

1389

表 5.1

最⼤の陽電⼦数を取る𝜙6 と偏向⾓𝜃の関係

ここから適切な初期位相を選択する。表 5.1 の結果を使って、その条件の時のシ
ケイン出⼝におけるバンチの z ⽅向広がりを RMS によって評価する。z ⽅向の広がりが⼤きいと、ブースターを通過した際にエネルギー広がりが⼤きくなり、

61

DR アクセプタンスを外れてしまうためである。またバンチは図 5.3,5.4 で⽰したように z の負の⽅向にテール上に伸びており、そういった粒⼦は DR アクセ
プタンスを満たさないので全体の RMS を計算してもあまり意味がない。よって全体平均から±2σの範囲で RMS を計算した。

図 5.3

シケイン出⼝におけるバンチの位相空間分布.

図 5.4

z ⽅向の広がりをヒストグラムで表したもの.負の⽅向に粒⼦分布が広がっていることがわかる.

図 5.3,5.4 は𝜙6 = 0.6の時のバンチの位相空間分布および、z ⽅向広がりのヒス
トグラムを表している。計算した RMS の結果を以下に⽰す。

62

表 5.2

𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]RMS

0.4

0.01670.5

0.01390.55

0.01250.6

0.01130.65

0.01390.7

0.01520.8

0.0201初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]と RMS の関係

表 5.2 より𝜙6 = 0.6[𝑟𝑎𝑑]の時に、RMS が最⼩となりシケイン通過後のバンチのz ⽅向広がりのばらつきが⼀番⼩さくなっていることがわかった。よって仮パラメータとして初期位相𝜙6 = 0.6[𝑟𝑎𝑑]、シケイン偏向⾓𝜃 = 0.20[𝑟𝑎𝑑]と決定した。

5.2.2

シケイン四重極磁⽯

四重極磁⽯の収束（Focus）の場合の転送⾏列を表すと[9]、
𝑀Œj =

cos

1

𝑘𝑙

− 𝑘 sin𝑘𝑙

sin 𝑘𝑙𝑘
cos 𝑘𝑙5.2となり、また発散(Defocus)の場合は
𝑀Œß =

cos ℎ

1

𝑘𝑙

− 𝑘 sin ℎ

sin ℎ 𝑘𝑙𝑘cos ℎ 𝑘𝑙𝑘𝑙

5.3という式になる。ここで𝑘 = (𝐵6 𝑎) 𝐵𝜌 であり、𝑎はボア系、𝐵6 はポール上での磁束密度、𝐵は磁束密度、𝜌は磁場中を荷電粒⼦が進む場合の曲率半径、𝑙は四重極磁⽯の磁極の⻑さを表す。ここで四重極磁⽯の厚みが焦点距離よりも⼗分に⼩さいとした薄レンズ(Thin lens)近似を使って𝑀Œj ,を⽰すと以下のようになる。
𝑀Œj =

1
−𝐾

0
1

5.4

ここで𝐾 = 𝑘𝑙とおいており、焦点距離 f の逆数を表すものである。𝑀Œß の場合は𝐾の符号は逆になる。また図 5.5 のように距離𝐿^ の⾃由空間と、幅𝑙の四重極磁⽯(Focus)、距離𝐿3 の⾃由空間で構成されたとある地点𝑆^ から𝑆3 までの間をビーム63

が通過する時、⼆点間の転送⾏列は、
𝑀=

1 𝐿3
0 1

1
−𝑘

0
1

1 𝐿^
0 1

5.5

となる。したがって、四重極磁⽯が連なっている場合その全体の転送⾏列はそれぞれの転送⾏列の線形で表すことができる。

図 5.5

ドリフトスペースと四重極磁⽯

SAD の場合、四重極磁⽯⼀つ⼀つの𝐾の値を調整することができるので、𝐾の値を変更しながら、四重極磁⽯の最適化を⾏った。指標はブースター4Q1L 出⼝の陽電⼦数としており、より⾼い粒⼦数を確保できたものを仮パラメータとする。
また図 5.6 のように、シケイン前半、後半ともに四重極磁⽯は 3 つで 1 組の形になっており、QF と QD の数の⽐は 2:1 になっている。そのため全体の収束⼒を等しくするために磁⽯⼀つにおける𝐾の値の⽐を𝑄𝐹: 𝑄𝐷 = 1: 2とした。また前半の QF 同⼠の𝐾の値、後半 QF 同⼠の𝐾の値は同じにしている。

図 5.6

シケインの概要図. K の値を前半 QF、前半 QD、後半 QF、後半 QD の四つに分け、QF と QD の K 値の⽐を 2:1 として計算した.
シミュレーションの結果は以下のようになった。

64

図 5.7四重極磁⽯の K 値と陽電⼦数の関係.縦軸:ブースター4Q1L 出⼝の陽電⼦数、

横軸:前半 QF の K 値.後半の K 値は⾊によって分けており、その判例を図右上に⽰した

図 5.7 は縦軸に陽電⼦数、横軸に前半 QF の K の値を⽰したものであり、後半
Q の K の値は凡例に載せている。この結果から陽電⼦数最⼤となる時の K の値を⾒つけることができたので、それを表 5.3 に⽰す。
前半 QF

前半 QF

後半 QF

後半 QD

陽電⼦数

0.4

0.8

0.6

1.2

1587

表 5.3

四重極磁⽯ K 値と陽電⼦数の関係

5.2.3

ブースター位相

シケインを通過したバンチがブースターを通過すると RF カーブに沿った形になる。そのため RF のクレストをバンチのどこに置くかによって、バンチの形
状は変化しバンチのエネルギー広がりが変化する。DR アクセプタンスのエネル
ギー広がりの範囲は±0.75%となっているため、エネルギー広がりが⼤きいと、
陽電⼦捕獲率は減少してしまう。位相空間分布を図 5.7 に⽰す。

65

図 5.8

各セクション通過後の位相空間分布.((a)シケイン、(b)ブースター、(c)ECS)
加速中⼼が⿊丸は z=-0.003m,⾚丸は z=0.0025m においたときを⽰す。

図 5.8 に⽰したように加速中⼼の位置を変えると、位相空間分布が変化していることがわかる。以下にブースター加速中⼼と陽電⼦捕獲率の関係を⽰す。結果
は加速中⼼ z＝-0.004m の時に陽電⼦捕獲率が最⼤となった。

図 5.9

陽電⼦捕獲率と加速中⼼の関係. 縦軸:陽電⼦捕獲率、横軸:加速中⼼ z[m]

66

5.3

パラメータ最適化

仮パラメータの周囲で各パラメータに摂動を与え、より⾼い陽電⼦捕獲率を与えるパラメータを最適パラメータとして決定した。5.1 で述べたように全部で8 つのパラメータの最適化を⾏った。以下にそれらの結果を⽰す。

5.3.1

キャプチャーライナックの RF 初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑]図 5.10 がキャプチャーライナックの RF 初期位相𝜙6 [𝑟𝑎𝑑] に対する陽電⼦捕獲率を表したものである。𝜙6 = 0.55[𝑟𝑎𝑑]で最⼤値 1.19 を占めている。隣の点との差は 0.04 なので、統計誤差に⽐べて有意に⼤きい。

図 5.10

𝜙6 と陽電⼦捕獲率の関係.縦軸: 陽電⼦捕獲率、横軸: 𝜙6 [rad]5.3.2

シケイン偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑]図 5.11 はシケイン偏向⾓𝜃[𝑟𝑎𝑑]に対する陽電⼦捕獲率を表したものである。
𝜃 = 0.19 𝑟𝑎𝑑 の時に最⼤値 1.19 を占めている。隣との点との差は 0.03 となり、統計誤差に⽐べて有意に⼤きい。

67

図 5.11

シケイン偏向⾓𝜃と陽電⼦捕獲率の関係.縦軸: 陽電⼦捕獲率、横軸: 𝜃 [rad]5.3.3

シケイン四重極磁⽯の K 値

シケイン四重極磁⽯の K の値は仮パラメータと同じように𝑄𝐹: 𝑄𝐷 = 1: 2として、K 値を変化させた。横軸に前半 QF の K 値を取り、後半 QFQD の K 値は凡例のとおりである。図 5.12 に K 値に対する陽電⼦捕獲率を表す。前半
QF=0.5,QD=1.0、後半 QF=0.65,QD=1.3 の時に最⼤値 1.20 を占めている。隣の点との差は 0.04 となり統計誤差に⽐べて有意に⼤きい。

図 5.12

K 値と陽電⼦捕獲率の関係.縦軸:陽電⼦捕獲率、横軸:前半 QF の K 値

68

5.3.4

ECS の𝑅bt , 𝑅tb

ECS の 𝑅bt , 𝑅tb の 最 適 化 は 先 ⾏ 研 究 [3] で ⾏ わ れ た 結 果 を ⽤ い て 、 𝑅bt =0.96, 𝑅tb = −1.04を仮パラメータとしてその周りの範囲で最適化を⾏った。式(3.14)より整合条件を満たすことで、陽電⼦捕獲率が増加するということがわかっているのでその整合条件を満たす場合の𝑅bt , 𝑅tb を使った。また𝑅bt , 𝑅tb の変数はそれぞれ ECS シケイン偏向⾓𝜃â³ã [𝑟𝑎𝑑]と加速空洞電圧 V[MV/m]とした。以下に結果を⽰す。図 5.13 は横軸: 𝑅bt でとっているが、それぞれの𝑅tb は整合条件を満たしている。𝑅bt = 0.96, 𝑅tb = −1.04の時に、最⼤値 1.20 を占めている。隣の点との差は 0.01 なので、統計誤差に⽐べて有意に⼤きい

図 5.13R56 と陽電⼦捕獲率の関係.縦軸: 陽電⼦捕獲率、横軸:R56

最適値は粒⼦分布の形状などにも影響し整合条件とずれる場合があるため、
𝑅bt = 0.96で固定し𝑅tb を動かしながら、陽電⼦捕獲率の変化を確認した。図 5.14に結果を⽰す。𝑅bt = 0.96, 𝑅tb = −1.04で最⼤値 1.20 を占めている。隣の点との差は 0.03 なので、統計誤差に⽐べて有意に⼤きい。

69

図 5.14R65 と陽電⼦捕獲率の関係.縦軸: 陽電⼦捕獲率、横軸:R65.R56=0.96 として

いる

5.3.5

ブースターの RF 位相 z[m]図 5.15 はブースターの RF の加速中⼼の位置 z[m]に対する陽電⼦捕獲率を表したものである。z＝-0.003[m]の時、最⼤値 1.20 を占めている。

図 5.15

加速中⼼の位置 z[m]と陽電⼦捕獲率の関係.縦軸:陽電⼦捕獲率、横軸:加速中

⼼の位置 z[m]70

5.3.6

縦⽅向の DR アクセプタンス中⼼

縦⽅向の DR アクセプタンスの中⼼位置は、エネルギーを 5[GeV]、𝑧/ÀÀ をバ
ンチの平均位置に合わせている。しかし DR では RF による捕捉を⾏うため、RF の位相を変えることで𝑧/ÀÀ の変更が可能である。またエネルギーに関しても
DR に設定する基準エネルギーを変化させることにより、変更することができる

図 5.16

ECS 出⼝の位相空間分布.緑の円は縦⽅向の DR アクセプタンスを表し、その円の中⼼位置はエネルギー5[GeV]、z はバンチの平均位置[m]としている。

アクセプタンスの中⼼位置を変更しながら陽電⼦捕獲率を測定することで、中⼼位置の合わせ込みを⾏う。エネルギーの範囲は −0.005 < 𝛿/ÀÀ < 0.005 、𝑧/ÀÀの範囲は−0.02 < 𝑧/ÀÀ < 0.02とし、ステップサイズは∆𝛿→0.001、∆𝑧/ÀÀ →0.01 とした。ここで縦軸はδ =âaâM½hâM½hという式で表されるので、𝐸𝑎𝑣𝑒 = 5000[𝑀𝑒𝑣]から

基準エネルギーを±5[𝑀𝑒𝑉]動かすとδ = ±0.001動くことになるブースターのRF 位相-0.003[m]の時の結果を図 5.17 に載せる。よりδ中⼼=0.001, 𝑧/ÀÀ =0 の時に陽電⼦捕獲率は最⼤となり、その時の陽電⼦捕獲率=1.20 となった。

71

図 5.17ブースターRF 位相=-0.003[m]の時に、アクセプタンス中⼼を動かした時の陽電⼦捕獲率.横軸: 𝛿/ÀÀ 、縦軸: 陽電⼦捕獲率として、⾊分けにより𝑧/ÀÀ を⽰し、その凡例を図右上に表記する.

この⽅式を使い全てのブースター位相でアクセプタンス中⼼の合わせ込みを⾏う。図 5.18 がその結果を載せたグラフとなっており、それぞれの位相で最⼤となった時の陽電⼦捕獲率をプロットした。

図 5.18アクセプタンス中⼼の合わせ込みを⾏った際のブースター位相と陽電⼦捕獲率の関係.横軸:加速中⼼位置 z[m]、縦軸: 陽電⼦捕獲率72

図 5.15 の結果と⽐べると、特に 0<z<0.005 の範囲において陽電⼦捕獲率が増加していることがわかるが、そこまでの⼤きな増加は⾒られなかった。これはブースター位相 z がずれていることにより横⽅向のアクセプタンスから外れた粒⼦が多く存在しており、縦⽅向のアクセプタンスの合わせ込みをしても、捕獲陽電⼦数が増えなかったと考えられる。よって図 5.18 より z=-0.003[m]の時に陽電⼦捕獲率が最⼤となることがわかった。

5.3.7 陽電⼦捕獲率の評価
表 5.3 にそれぞれのパラメータの最適値とその条件の時の陽電⼦捕獲率を記述する。
キャプチャーライナックの初期位相𝜑6 [rad]0.55

シケイン偏向⾓𝜃[rad]0.19

前半 K 値[QF,QD][0.5,1.0]

後半 K 値[QF,QD][0.65,1.3]

ブースター加速中⼼の位置 z[m]-0.003アクセプタンス中⼼[𝛿/ÀÀ , 𝑧/ÀÀ ][0.001,0]

ECS 𝑅bt

0.96

ECS 𝑅tb-1.04

陽電⼦捕獲率

1.20

表 5.3

各パラメータの最適値とその条件の時の陽電⼦捕獲率

陽電⼦捕獲率=1.20 の時の PEDD は 32[J/g]となる。これは SLAC で使われた
W-Re 標的の安全基準を下回る数値である。このため熱負荷による標的破壊を起こすことなく、陽電⼦⽣成が可能であることがわかった。

73

第6章

まとめ

ILC は重⼼系エネルギー250GeV~1TeV の電⼦・陽電⼦衝突型の線形加速器
によるコライダー＝リニアコライダーである。その⽬標はヒッグス粒⼦やトッ
プクォークの⼤量⽣成による詳細研究、超対称性粒⼦を含む未知の素粒⼦を発⾒することにあり、標準理論を超える新しい物理の発⾒が期待されている。リニ
アコライダーはシンクロトロン放射によるエネルギーロスが発⽣しないため、
リングコライダーでは不可能な⾼い重⼼系エネルギーを実現することができる
が、衝突実験に必要な電⼦・陽電⼦の量は桁違いに多くなり、その実源が課題の⼀つである。本研究は電⼦源電⼦ドライブ⽅式による IL C 陽電⼦源の設計研究である。標的の熱的破壊を起こさずに、必要な陽電⼦を⽣成するために、⼊射電⼦数あたりの捕獲陽電⼦を⾼める必要がある。そのため、⼤⼝径の APS 空洞をキャプチャーライナックに導⼊するなど、根本的な設計の⾒直しを⾏った。キャプチャーライナック（定在波空洞）における位相を含んだビームローディングについて多セルによる詳細な定式化を⾏い、数値計算による精密な評価を⾏った。
このモデルをもとに、⾼い精度で実際の加速器で⽣じるビームローディングを含んだ加速電場の再現を⾏い、⾼い信頼度で陽電⼦捕獲率を求めた。また、シス
テム全体のビーム光学の最適化、特に ECS による DR アクセプタンスへの合わ
せ込みを⾏い、陽電⼦捕獲率にして 1.20 を超える値を実現した。これにより標的の PEDD の値は 32[J/g]となった。この値は標的物質である W-Re の安全基準である 35[J/g]を下回る値であり、IL C 陽電⼦源が必要な陽電⼦ビームを安定して⽣成可能であることを、⾼い精度で確認することができた。これにより、IL
C 実現の技術的な課題の⼀つであった陽電⼦⽣成について、技術的な⾒通しを得ることができた。

74謝辞
本研究を⾏うにあたり、指導教員の栗⽊雅夫教授には研究内容や論⽂の書き⽅などに関して多岐に渡りご指導いただきました。⾼橋徹教授や榎本嘉範准教授
をはじめ ILC 陽電⼦源グループの皆様には、シミュレーションに使⽤するデー
タを提供していただき、研究内容に関してもアドバイスをいただきました。また加速器研究室の Liptak Zachary John 助教授や同研究室の皆様には研究以外にも⼤変お世話になりました。この場を借りて皆様に深く感謝いたします。

75

参考⽂献
[1] ILC Technical Design Report, KEK Report 2013-1(2013)[2] M.Kuriki, “電⼦陽電⼦⼊射器“, OHO (2021)[3] H.Tajino, “ILC 国際リニアコライダー電⼦ドライブ陽電⼦源のキャプチャー
ライナックにおける等価回路モデルによるビームローディング補償の研究”, 令
和三年度広島⼤学卒業論⽂[4] M.Kuriki,”粒⼦源の設計と現状”, OHO (2006)[5] H.Nagoshi, “電⼦ビーム駆動⽅式 ILC 陽電⼦源の研究”, 平成三⼗年度広島⼤学修⼠論⽂[6] K.Harada, “円形加速器の概略と単粒⼦⼒学の基礎”, OHO (2008)[7] Y.Seimiya et al, “Positron capture simulation for the ILC electron-driven
positron capture”,Prog.Theor.Exp.Phys(2015)[8] S.Konno, “Alternate Periodic Structure 空洞による ILC 陽電⼦源の研究”, 令
和三年度広島⼤学修⼠論⽂[9] M.Fukuda, “エミッタンス測定”, OHO (2020)[10] K.Kubo, “ILC 加速器”OHO (2021)[11] T.Shintake, “Analysis of the transient response in the periodic structure
based on a coupled-resonator model”, in Frontiers of accelerator technology(1996)[12] S.Konno, “電⼦ビーム駆動式 ILC 陽電⼦源におけるキャプチャーライナッ
クの空洞の設計と陽電⼦捕獲率の評価”, 令和元年広島⼤学卒業論⽂76