大阪市大レーザー・原子核合同ミーティング

原子間相互作用、散乱チャンネル、フェッシュバッハ共鳴

堀越宗一

2021/06/28

クォーク系(素粒子物理)ハドロン系(ハドロン物理)興味
実験や計算が非常に難しい量子系
を冷却原子実験で解き明かしたい

中性子星(宇宙物理)

電子-正孔系(固体物理)

核子系(原子核物理)中性子系(原子核物理)電子系(固体物理)
冷却原子実験
量子シミュレーション

科学技術
AMO実験物理学

原子・分子分光
相互作用制御光源開発

実験の現状(2020/2/17に搬入)(現状)(レーザー冷却光源)(真空チャンバー)(制御・観測システム)(レーザー冷却)(2021/6/15) 𝑁𝑁 = 1.0 × 108 , 𝑇𝑇 = 0.94 mK

蒸発冷却で量子の世界へ

蒸発冷却

レーザー光による冷却原子の閉じ込め

𝑇𝑇~100nK

平均粒子間距離 : 𝑑𝑑~100nm
ド・ブロイ長 : 𝜆𝜆~100nm

光トラップの準備光トラップの準備

HP-ODT

LP-ODT冷却原子系の豊富な自由度
相互作用（散乱長）の制御

温度の制御(𝑇𝑇)

密度の制御、密度分布(𝑛𝑛(𝐫𝐫))

散乱長： 𝑎𝑎(𝐵𝐵)フェッシュバッハ共鳴(6Li)
70mm

1.7mm

a>0a<0

トラップ中の密度分布
500

非中心力の制御832 磁場[Gauss]次元の制御

２次元シートポテンシャル

周期、格子ポテンシャル

Spielman, Physics Today 72, 1, 38 (2019)

スピン成分の制御

双極子（テンソル）力の制御

↑スピン
↓スピン

K. Hueck, Phys. Rev. Lett. 120, 060402 (2018)

I. Bloch Nature Physics 1, 23–30 (2005)

Pfau, Physics Today 72, 1, 38 (2019)

6Li原子の内部構造

6Li atoms2s↑↓↑ ↓↑ 1see↓↑ ↓↓ ↓↓↑↓↑↑ ↑eP-orbit：𝐿𝐿 = 1

微細構造(LS結合)

Electron spin：𝑆𝑆 = 1/2

超微細構造(JI結合)

Nuclear spin：𝐼𝐼 = 1Fermion

S-orbit：𝐿𝐿 = 0

磁場中の6Li原子6Li atoms in magnetic field

�𝑚𝑚𝐽𝐽 , 𝑚𝑚𝐼𝐼 �

Lowest three hyperfine states

二原子分子：Born-Oppenheimer近似 (ℏ = 𝑚𝑚𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 = 1)
𝑁𝑁

111
N電子二原子核系： 𝐻𝐻 = − 2𝑚𝑚 ∇2 𝒓𝒓𝐴𝐴 − 2𝑚𝑚 ∇2 𝒓𝒓𝐵𝐵 − 2 � ∇2 𝒓𝒓𝑖𝑖 + 𝑉𝑉 𝒓𝒓𝐴𝐴 , 𝒓𝒓𝐵𝐵 , 𝒙𝒙 = 𝒓𝒓1 , 𝒓𝒓2 , … , 𝒓𝒓𝑁𝑁
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝑖𝑖=1

原子核の運動エネルギー

電子の運動エネルギー

解きたいS.E. ： 𝐻𝐻Ψ 𝒓𝒓𝐴𝐴 , 𝒓𝒓𝐵𝐵 , 𝒙𝒙 = 𝐸𝐸Ψ 𝒓𝒓𝐴𝐴 , 𝒓𝒓𝐵𝐵 , 𝒙𝒙•••

静電ポテンシャル𝑛𝑛𝑖𝑖=1𝑖𝑖,𝑗𝑗=1111𝐻𝐻 = − ∇2 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 − � ∇2 𝒓𝒓𝑖𝑖 −� ∇𝑖𝑖 ⋅ ∇𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑟𝑟, 𝒙𝒙 ≡ 𝐻𝐻𝑛𝑛 + 𝐻𝐻𝑒𝑒
2𝜇𝜇22 𝑚𝑚𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝐵𝐵
電子の位置に依らない

相対論的効果は解けない

𝐻𝐻𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0
並進運動の分離し重心系で考える二つの原子核を(𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙)を用いて一体化
𝑁𝑁+ 𝐻𝐻𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝒓𝒓𝐴𝐴 , 𝒓𝒓𝐵𝐵 , 𝒙𝒙 = 𝒓𝒓1 , 𝒓𝒓2 , … , 𝒓𝒓𝑁𝑁

核間距離と電子の位置に依存

Born-Oppenheimer近似 ： Ψ 𝒓𝒓𝐴𝐴 , 𝒓𝒓𝐵𝐵 , 𝒙𝒙 = 𝜓𝜓𝑛𝑛 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 𝜓𝜓𝑒𝑒 (𝑟𝑟, 𝒙𝒙)

妥協して解きたいS.E. ： 𝐻𝐻𝑛𝑛 + 𝐻𝐻𝑒𝑒 𝜓𝜓𝑛𝑛 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙 = 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑛𝑛 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙𝑚𝑚𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒

𝒓𝒓1𝑚𝑚𝐴𝐴𝑚𝑚𝑒𝑒

𝑟𝑟1𝑚𝑚𝐴𝐴𝒓𝒓𝐴𝐴𝑚𝑚𝐵𝐵𝜃𝜃𝜙𝜙𝑟𝑟𝒓𝒓𝐵𝐵

二原子分子：Born-Oppenheimer近似 (ℏ = 𝑚𝑚𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 = 1)
1 2
1 1 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝐑𝐑22+𝑟𝑟
さらに、 𝐻𝐻𝑛𝑛 = − ∇ 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 = −2𝜇𝜇2𝜇𝜇 𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2𝜇𝜇𝑟𝑟 2より原子核の波動関数を半径方向と角度方向で変数分離する
1Λ𝜓𝜓𝑛𝑛 (𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀(𝜃𝜃, 𝜙𝜙)
𝑁𝑁𝑟𝑟

ここで原子核の回転は電子軌道と結合するために𝑅𝑅は良い量子数ではない。
いい量子数は、電子軌道の分子軸への射影Λ、分子の全軌道角運動量𝑁𝑁とその量子化軸への射影𝑀𝑀𝑁𝑁 である。
Λ𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀(𝜃𝜃, 𝜙𝜙)はΛ, 𝑁𝑁, 𝑀𝑀𝑁𝑁 を満たす原子核の回転状態を意味している。
𝑁𝑁
これより以下のような近似波動関数を考える
1𝑟𝑟Λ𝜃𝜃, 𝜙𝜙 ⋅ 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙
Born-Oppenheimer波動関数 ： Ψ 𝒓𝒓𝐴𝐴 , 𝒓𝒓𝐵𝐵 , 𝒙𝒙 = 𝜓𝜓𝑛𝑛 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙 = 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝑁𝑁

これを代入してBorn-Oppenheimer近似すると、妥協して解きたいたい1次元S.E.は以下のものになる
1 𝑑𝑑 2 𝑁𝑁 𝑁𝑁 + 1−++ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (𝑟𝑟) 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 = 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟
2𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑟𝑟 22𝜇𝜇𝑟𝑟 2

ここで、 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑟𝑟 は核間距離𝑟𝑟が固定されている時の電子の固有状態であり、ポテンシャルエネルギー曲線と呼ぶ。
𝐻𝐻𝑒𝑒 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙 = 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑟𝑟 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙メモ：近似の中身−1 1 𝜕𝜕𝜕𝜕𝐑𝐑211ΛΛ2𝑟𝑟++ 𝐻𝐻𝑒𝑒𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙 ⋅ 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙 = 𝐸𝐸 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙 ⋅ 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟, 𝒙𝒙
22𝑁𝑁𝑁𝑁2𝜇𝜇 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2𝜇𝜇𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝑟𝑟−左から𝜓𝜓𝑒𝑒∗ 𝑟𝑟, 𝒙𝒙 を作用させ電子座標で積分

11 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜓𝜓𝑒𝑒 2𝑟𝑟 22𝜇𝜇𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜓𝜓𝑒𝑒 +𝜓𝜓𝑒𝑒 𝐑𝐑2 𝜓𝜓𝑒𝑒11ΛΛ+ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (𝑟𝑟) 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙 = 𝐸𝐸 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙2𝑁𝑁
𝑁𝑁2𝜇𝜇𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑟𝑟

原子核の𝑟𝑟方向の運動は電子系に影響を与えないと近似： 𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜓𝜓𝑒𝑒 = 𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⟨𝜓𝜓𝑒𝑒 |𝜓𝜓𝑒𝑒 ⟩1 1 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜓𝜓𝑒𝑒 𝐑𝐑2 𝜓𝜓𝑒𝑒11ΛΛ2−𝑟𝑟++𝐸𝐸(𝑟𝑟)
𝜓𝜓𝑟𝑟
⋅𝜓𝜓
𝜃𝜃,
𝜙𝜙=𝐸𝐸𝜓𝜓 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙𝑒𝑒
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑁𝑁,𝑀𝑀𝑁𝑁𝑁𝑁
2𝜇𝜇 𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
2𝜇𝜇𝑟𝑟 2𝑟𝑟
𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑣𝑣−1 𝜕𝜕𝜕𝜕1 𝜕𝜕𝜕𝜕（一般的にこれがBO近似）

1 𝑑𝑑2𝜓𝜓𝑒𝑒 𝐑𝐑2 𝜓𝜓𝑒𝑒ΛΛ++ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (𝑟𝑟) 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙 = 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙𝑁𝑁𝑁𝑁
2𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑 22𝜇𝜇𝑟𝑟 2−分子の全軌道角運動量：𝑵𝑵 = 𝑹𝑹 + 𝑳𝑳

1 𝑑𝑑2
𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑵𝑵2 − 2𝑵𝑵 ⋅ 𝑳𝑳 + 𝑳𝑳2 𝜓𝜓𝑒𝑒ΛΛ++ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (𝑟𝑟) 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙 = 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 ⋅ 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙𝑁𝑁𝑁𝑁
2𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑟𝑟 22𝜇𝜇𝑟𝑟 2Λ∗ΛΛ
左から𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝜃𝜃, 𝜙𝜙 を作用させ角度方向で積分、 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀𝑵𝑵2 𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀= 𝑁𝑁 𝑁𝑁 + 1𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑳𝑳2 𝜓𝜓𝑒𝑒 の成分は𝐸𝐸𝑒𝑒 (𝑟𝑟)に含めてしまう。(𝑳𝑳2 は軸対称な分子にとっていい量子数を与えない)ΛΛ𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀⟨𝜓𝜓𝑒𝑒 𝑵𝑵 ⋅ 𝑳𝑳 𝜓𝜓𝑒𝑒 ⟩𝜓𝜓𝑁𝑁,𝑀𝑀の寄与は無視する（これもBO近似）
𝑁𝑁𝑁𝑁

1 𝑑𝑑2 𝑁𝑁(𝑁𝑁 + 1)−++ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (𝑟𝑟) 𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟 = 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑟𝑟
2𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑟𝑟 22𝜇𝜇𝑟𝑟 2

同種アルカリ原子間（ここではLi原子間）の相互作用（分子ポテンシャル）
40×103エネルギー [cm-1]

3020

第一電子励起状態

2S+2P10

基底状態

0-10

5101520

核間距離 [a0]

2530

2S+2S

35

[Jasik and Sienkiewicz,
Chemical Physics 323 (2006) 563–573]基底状態
電子雲が重なり始める距離e+ee+e-e+

エネルギー [cm-1]e-5000

電子スピントリプレット0-5000-10000

超微細相互作用e+

誘起双極子ー誘起双極子相互作用e-交換相互作用

クーロン相互作用

10000

ee+

2S+2S

101520核間距離 [a0]e+ee+e+電子スピンシングレット

5e-𝑉𝑉(𝑅𝑅) = −253035𝐶𝐶6𝑅𝑅6e-[Jasik and Sienkiewicz,
Chemical Physics 323 (2006) 563–573]基底状態
電子雲が重なり始める距離
10000
100

エネルギー [cm-1]

1cm−1 ~1.4K

電子スピントリプレット

0𝐷𝐷~344cm−1 ~480K-100-200

5000

拡大

10個の振動状態-300-400-500

50

𝑅𝑅𝑒𝑒 ~7.8𝑎𝑎0
1015202530mK以下の冷却原子にとってトリプ
レットポテンシャルも十分に深いポテンシャル

352S+2S

電子スピンシングレット-5000

𝐷𝐷~8612cm−1 ~1200K-10000

𝑅𝑅𝑒𝑒 ~5.0𝑎𝑎038個の振動状態

5101520

核間距離 [a0]253035[Jasik and Sienkiewicz,
Chemical Physics 323 (2006) 563–573]

励起状態
超微細相互作用

微細相互作用

共鳴双極子相互作用

30交換相互作用

クーロン相互作用

40x10 3共鳴双極子相互作用

2𝐶𝐶3𝑅𝑅 3𝐶𝐶3+ 3𝑅𝑅
𝐶𝐶3− 3𝑅𝑅
2𝐶𝐶3− 3𝑅𝑅+202S+2P
10Dashevskaya, Canadian Journal of Physics 47.12 (1969): 1237-1248.

QEDの効果と高次の項を考慮
05101520253035𝑉𝑉dd Λ, 𝜈𝜈; 𝑅𝑅 = 𝑓𝑓ret Λ; 𝑅𝑅

𝐶𝐶3 Λ, 𝜈𝜈
𝐶𝐶6 Λ, 𝜈𝜈
𝐶𝐶8 Λ, 𝜈𝜈+++⋯𝑅𝑅 3𝑅𝑅 6𝑅𝑅 8Dispersion coefficients (atomic unit)
3 +Σu ,1 +
Σu ,
1
Πg ,
3
Πg ,

4𝑎𝑎0

C6

C8-11.002125

2076.19

99110411.002125

2076.192741375.501062

1407.20

48566.9-5.501062

1407.20103053Long-range potential : 𝑉𝑉 𝑅𝑅 = −Interpolation region=2C3

Li-Yan Tang, Zong-Chao Yan, Ting-Yun Shi, and James F. Babb
Phys. Rev. A 79, 062712 (2009)

Monika Musiał and Stanisław A. Kucharski,J. Chem. Theory Comput. 2014, 10, 3, 1200–1211.

LeRoy radius𝑟𝑟𝑐𝑐 = 22𝑠𝑠 𝑟𝑟 2 2𝑠𝑠 +

1 +
Σg
3 +
Σg3Πu1Πu2𝑝𝑝 𝑟𝑟 2 2𝑝𝑝

17.47 + 27.06 𝑎𝑎0 = 18.76𝑎𝑎0

Σ𝑓𝑓ret(𝑟𝑟) = cosΠ𝑓𝑓ret𝑟𝑟 = cos𝐶𝐶3 ⋅𝑓𝑓ret (𝑟𝑟)𝑟𝑟 3𝐶𝐶𝐶𝐶− 66 − 88𝑟𝑟

𝑟𝑟

2𝜋𝜋𝑟𝑟
2𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋𝜋𝜋+sin𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆2𝜋𝜋𝑟𝑟
2𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋𝜋𝜋+
sin−𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆
𝜆𝜆

2cos

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜆𝜆共鳴双極子相互作用

微細相互作用

微細相互作用𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝐽𝐽=1/29𝑅𝑅 3 Δ

共鳴双極子相互作用+,g,u

S：全電子スピン
Λ：電子軌道の分子軸への射影（Λ=1, 2, 3 → Σ, Π, Δ）
g,u：電子の原点対称性+,-：分子軸を通る面での電軌道の面対称性

𝑌𝑌 =2S+1Λ

Δ = 𝐸𝐸𝐽𝐽=3/2 − 𝐸𝐸𝐽𝐽=1/2

𝑋𝑋 =𝐶𝐶39𝑅𝑅 3 Δ

Ωg,u+,Je=L+S：電子の全角運動量
Ω： Jeの分子軸への射影
g,u：電子の原点対称性+,-：分子軸を通る面での全電子波動関数の面対称性※核スピンまで含めるともう少し複雑

同種アルカリ原子間（ここではLi原子）の相互作用（分子ポテンシャル）

残念ながら第一原理計算で全ての相互作用を含む計算は実現できていない。精度も不十分。
例えば左図のポテンシャルを種に、摂動的に相互作用を加えて計算し、実験データに合うように微調整するのが主な手法
𝐻𝐻 = 𝐻𝐻Diag + 𝐻𝐻SO + 𝐻𝐻R + 𝐻𝐻HF + 𝐻𝐻B

フェッシュバッハ共鳴のToy model
結合２チャンネルモデル

𝑑𝑑 2− 2 + 𝑉𝑉𝑆𝑆 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟
ΔΔ

𝑑𝑑 2− 2 + 𝑉𝑉𝑇𝑇 𝑟𝑟 + 𝐵𝐵𝑑𝑑𝑟𝑟

𝜓𝜓𝑆𝑆 𝑟𝑟𝜓𝜓 𝑇𝑇 𝑟𝑟

= 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑆𝑆 𝑟𝑟𝜓𝜓 𝑇𝑇 𝑟𝑟

𝑉𝑉𝑆𝑆 𝑟𝑟𝐵𝐵

𝑉𝑉𝑇𝑇 𝑟𝑟

詳細は、Duine and Stoof, Physics Reports 396.3 (2004): 115-195.

6Liの電子基底状態の場合基底状態の6Li原子の電子スピンと核スピン1

𝑠𝑠 = , 𝑖𝑖 = 12

磁場中の超微細構造は�𝑚𝑚𝑠𝑠 , 𝑚𝑚𝑖𝑖 �基底で、高磁場中

11|1⟩ = sin 𝜃𝜃+ � , 0� − cos 𝜃𝜃+ �− , 1�
221→ |1⟩ = − �− , 1�
21|3⟩ = �− , −1�
21→ |3⟩ = �− , −1�
21→ |2⟩ = − �− , 0�211|2⟩ = sin 𝜃𝜃− � , −1� − cos 𝜃𝜃− �− , 0�2211|4⟩ = cos 𝜃𝜃− � , −1� + sin 𝜃𝜃− �− , 0�
221→ |4⟩ = � , −1�
21|6⟩ = � , 1�21→ |6⟩ = � , 1�21→ |5⟩ = � , 0�
211|5⟩ = cos 𝜃𝜃+ � , 0� + sin 𝜃𝜃+ �− , 1�
22sin 𝜃𝜃± =1

1 + 𝑍𝑍 ± + 𝑅𝑅± 2 /2𝜇𝜇𝑛𝑛 + 2𝜇𝜇𝑒𝑒 𝐵𝐵 1
𝑍𝑍 =±𝑎𝑎ℎ𝑓𝑓
2±cos 𝜃𝜃± =𝑅𝑅± =6×5=30個のs波散乱チャンネル

1 − sin2 𝜃𝜃±𝑍𝑍 ± 2 + 2

ゼロ磁場：𝐵𝐵 = 0では、高磁場：𝐵𝐵 ≫𝑎𝑎ℎ𝑓𝑓,𝜇𝜇𝑒𝑒

では、

sin 𝜃𝜃+ = cos 𝜃𝜃− =sin 𝜃𝜃± = 0,1,3

cos 𝜃𝜃± = 1

cos 𝜃𝜃+ = sin 𝜃𝜃− =23高磁場中�𝑚𝑚𝑠𝑠 , 𝑚𝑚𝑖𝑖 �基底

1|1⟩ = − �− , 1�
21|2⟩ = − �− , 0�
21|3⟩ = �− , −1�
21|4⟩ = � , −1�
2
1|5⟩ = � , 0�
21|6⟩ = � , 1�2

高磁場中での|1⟩ ↔ |2⟩|1⟩ ↔ |3⟩|2⟩ ↔ |3⟩の散乱を考える

量子化軸方向の全角運動量
1粒子の場合2粒子の場合𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑚𝑚𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑚𝑚𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑓𝑓1 + 𝑚𝑚𝑓𝑓2 = 𝑚𝑚𝑠𝑠1 + 𝑚𝑚𝑖𝑖1 + 𝑚𝑚𝑠𝑠2 + 𝑚𝑚𝑖𝑖2𝑚𝑚𝐹𝐹,|1⟩ = 1/2𝑚𝑚𝐹𝐹,|2⟩ = −1/2𝑚𝑚𝐹𝐹,|3⟩ = −3/2𝑚𝑚𝐹𝐹,|4⟩ = −1/2𝑚𝑚𝐹𝐹,|5⟩ = 1/2𝑚𝑚𝐹𝐹,|6⟩ = 3/2𝑚𝑚𝐹𝐹,{12}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{13}⟩ = −1𝑚𝑚𝐹𝐹,{14}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{15}⟩ = 1𝑚𝑚𝐹𝐹,{16}⟩ = 2𝑚𝑚𝐹𝐹,{23}⟩ = −2𝑚𝑚𝐹𝐹,{24}⟩ = −1𝑚𝑚𝐹𝐹,{25}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{26}⟩ = 1𝑚𝑚𝐹𝐹,{34}⟩ = −2𝑚𝑚𝐹𝐹,{35}⟩ = −1𝑚𝑚𝐹𝐹,{36}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{45}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{46}⟩ = 1𝑚𝑚𝐹𝐹,{56}⟩ = 2同じ𝑚𝑚𝐹𝐹 で整理𝑚𝑚𝐹𝐹,{12}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{14}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{25}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{36}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{45}⟩ = 0𝑚𝑚𝐹𝐹,{13}⟩ = −1𝑚𝑚𝐹𝐹,{24}⟩ = −1𝑚𝑚𝐹𝐹,{35}⟩ = −1𝑚𝑚𝐹𝐹,{23}⟩ = −2𝑚𝑚𝐹𝐹,{34}⟩ = −2𝑚𝑚𝐹𝐹,{15}⟩ = 1𝑚𝑚𝐹𝐹,{26}⟩ = 1𝑚𝑚𝐹𝐹,{46}⟩ = 1𝑚𝑚𝐹𝐹,{16}⟩ = 2𝑚𝑚𝐹𝐹,{56}⟩ = 2|1⟩ ↔ |2⟩

結合5チャンネル|1⟩ ↔ |3⟩

結合3チャンネル|2⟩ ↔ |3⟩

結合2チャンネル

Ab initio calculation by M. Lysebo and L. Veseth

Phys. Rev. A 79, 062704 (2009)
実際に解く問題

２原子ハミルトニアン： 𝐻𝐻 = −S.E. ：1 2∇ + 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒 𝒓𝒓, 𝒙𝒙 + 𝐻𝐻ℎ𝑓𝑓 𝒓𝒓, 𝒙𝒙 + 𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆 𝒓𝒓, 𝒙𝒙 + 𝐻𝐻𝑍𝑍 𝒓𝒓, 𝒙𝒙 + 𝐻𝐻𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝒓𝒓, 𝒙𝒙2𝜇𝜇𝐻𝐻Ψ 𝒓𝒓, 𝒙𝒙 = 𝐸𝐸Ψ 𝒓𝒓, 𝒙𝒙２原子波動関数： 𝛹𝛹 𝒓𝒓, 𝒙𝒙 = �𝑏𝑏1
𝜓𝜓 𝑟𝑟 𝜙𝜙𝑏𝑏 (𝒓𝒓, 𝒙𝒙)𝑟𝑟 𝑏𝑏

基底２原子波動関数

左から𝜙𝜙𝑎𝑎∗ (𝒓𝒓, 𝒙𝒙)を作用させて内部状態の変数で積分

1 𝑑𝑑2 𝜓𝜓𝑎𝑎 𝑟𝑟
𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎 + 1ℎ𝑓𝑓
𝑍𝑍𝑒𝑒𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟−+𝜓𝜓𝑎𝑎 𝑟𝑟 + � 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎
𝜓𝜓𝑏𝑏 𝑟𝑟 = 𝐸𝐸𝜓𝜓𝑎𝑎 𝑟𝑟
222𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑟𝑟
2𝜇𝜇𝑟𝑟

これを解きたい𝑏𝑏

境界条件：𝜓𝜓𝑎𝑎 0 = 01
� 𝜙𝜙𝑏𝑏 𝒓𝒓, 𝒙𝒙
𝑗𝑗𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑏𝑏 𝑟𝑟 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑔𝑔𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑏𝑏 𝑟𝑟 𝐾𝐾𝑏𝑏𝑏𝑏
𝜓𝜓𝑎𝑎 𝑟𝑟
𝑟𝑟→∞𝑘𝑘𝑏𝑏𝑏𝑏反応行列

散乱行列、位相シフト、散乱長： 𝑆𝑆 =𝑘𝑘𝑏𝑏 ≡2𝜇𝜇(𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝑏𝑏 )𝐼𝐼 + 𝑖𝑖𝐾𝐾00
tan 𝛿𝛿𝑙𝑙=0 𝑘𝑘tan 𝛿𝛿𝑙𝑙=1 𝑘𝑘, 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎 = exp(2𝑖𝑖𝛿𝛿𝑙𝑙 ) , 𝑎𝑎𝑠𝑠 = −lim
, 𝑉𝑉𝑝𝑝 = −lim
𝑘𝑘→0𝑘𝑘→0
𝐼𝐼 − 𝑖𝑖𝐾𝐾00
𝑘𝑘𝑘𝑘 3

Ab initio calculation by M. Lysebo and L. Veseth

Phys. Rev. A 79, 062704 (2009)
短距離と長距離の良い基底

1. Long-range basis: FF-coupled states
Total atomic angular momentum : 𝐅𝐅𝑎𝑎 = 𝐅𝐅1 + 𝐅𝐅2𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑀𝑀𝐹𝐹𝑎𝑎 =�

𝑀𝑀𝐹𝐹1 ,𝑀𝑀𝐹𝐹2𝐹𝐹1 𝑀𝑀𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 𝑀𝑀𝐹𝐹2 𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑀𝑀𝐹𝐹𝑎𝑎 𝐹𝐹1 𝑀𝑀𝐹𝐹1 |𝐹𝐹2 𝑀𝑀𝐹𝐹2 ⟩Total angular momentum : 𝐅𝐅 = 𝐅𝐅a + 𝐥𝐥

relative motion of the two atoms

𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑀𝑀𝐹𝐹 = � 𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑀𝑀𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑀𝑀𝐹𝐹 𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑀𝑀𝐹𝐹𝑎𝑎 |𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 ⟩𝑀𝑀𝐹𝐹𝑎𝑎 ,𝑚𝑚𝑙𝑙

2. Short-range basis: Molecular Hund’s case (a) states𝑞𝑞Λ𝑆𝑆ΣΩ𝐼𝐼1 Ω𝐼𝐼2 𝐹𝐹Ω𝐹𝐹 𝑀𝑀𝐹𝐹 = 𝑞𝑞Λ𝑆𝑆Σ |Ω𝐼𝐼1 Ω𝐼𝐼2 ⟩|𝐹𝐹Ω𝐹𝐹 𝑀𝑀𝐹𝐹 ⟩Ω𝐹𝐹 = Σ + Λ + Ω𝐼𝐼1 + Ω𝐼𝐼2

Ab initio calculation by M. Lysebo and L. Veseth

Phys. Rev. A 79, 062704 (2009)

実際の計算は全ての距離において短距離基底で計算

基底間のユニタリー変換

Ab initio calculation by M. Lysebo and L. Veseth

Phys. Rev. A 79, 062704 (2009)