数学（全 問必Ⅰ答）

第１問 （配点 ２０）〔!〕 k を定数として，x についての不等式!# x ＜ k − x ＜"x ＋!

………………………… を考える。

不等式 k − x ＜"x ＋! を解くと

x＞

k−アイであり，不等式 !# x ＜ k − x を解くと

x＜ウエ＋ !#オkである。
よって，不等式  を満たす x が存在するような k の値の範囲は

k＜カ＋キ!#である。

………………………… （数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ４ ―（２７０４―４）

数学Ⅰ
p，q は p ＜ q を 満 た す 実 数 と す る。x の 値 の 範 囲 p ＜ x ＜ q に 対 し，

q − p をその範囲の幅ということにする。

 が成り立つとき，不等式  を満たす x の値の範囲 の 幅 が!"より!

大きくなるような k の値の範囲はk＜

クケ−コ!"である。

（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ５ ―（２７０４―５）

数学Ⅰ〔#〕

全体集合 U を

U ＝｛!，"，#，$，%，&，'，(，)，*｝とし，U の部分集合 A，B を

A ＝｛!，$，(，*｝，

B ＝｛#，$，&，(，)｝とする。U の部分集合 X に対して，X の補集合を X で表す。

このときA ∩ B＝!
#

サ，

シ，ス

"
$である。ただし，

サ＜シ＜スとする。

U の部分集合 C を

C ＝｛"，%，&，(，)｝とする。このとき，集合 C に C の要素を一つ付け加えた，あるいは，集合C から C の要素を一つ取り除いた集合を D とする。

●●A ∩ B ⊂ D であるとき，D は，セD ∩ B ⊂ A ∩ B であるとき，D は，集合である。
ソ集合である。
（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ６ ―（２７０４―６）

数学Ⅰ
セ，ソの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

集合 C に+を付け加えた"

集合 C に-を付け加えた#

集合 C に.を付け加えた$

集合 C に1を付け加えた%

集合 C に4を付け加えた&

集合 C から,を取り除いた'

集合 C から/を取り除いた(集合 C から0を取り除いた)

集合 C から2を取り除いた*

集合 C から3を取り除いた

x，y は x ＞+，y ＞+を満たす実数とする。このとき，次のことが成り立つ。

「 x ＋ y ＜,」は，「 x ＜,かつ y ＜,」であるためのタ。

「（ x ＋ y ）xy ＜-」は，「 x ＜,かつ y ＜,」であるためのチ●●タ，チ。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

必要条件であるが，十分条件ではない"十分条件であるが，必要条件ではない#

必要十分条件である$

必要条件でも十分条件でもない― ７ ―（２７０４―７）

数学Ⅰ

第２問 （配点 ３０）〔$〕 &辺の長さが a，b，c である三角形が存在するための条件は，三つの不等式
a ＜ b ＋ c，b ＜ c ＋ a，c ＜ a ＋ b が同時に成り立つことである。
このことから，&辺の長さが&x，x ＋'，３０−%x である三角形が存在するための x のとり得る値の範囲は，

ア＜x＜

ウ

る。この三角形が二等辺三角形になるのは，x ＝ある。ただし，
x＝x＝エウ

キクはウ＜エであることがわか，エのときでとする。の と き，こ の 二 等 辺 三 角 形 はのとき，この二等辺三角形は! ケイカオ

で あ る。ま た，であり，その外接円の半径である。

コオ!

，カ

鋭角三角形の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）"直角三角形#鈍角三角形（数学Ⅰ第２問は１０ページに続く。）― ８ ―（２７０４―８）

数学Ⅰ〔"〕 %ABC において BC ＝!であるとする。sin ∠ABC と sin ∠ACB に関する条件が与えられたときの %ABC の辺，角，面積について考察する。

sin ∠ABC ＝sin ∠ABC ＝

１５!
であるとき，cos ∠ABC ＝±#サである。
シ１５１５!
!
，sin ∠ACB ＝であるとする。
#$&

このとき，AC ＝'

こ の 条 件 を 満 た す 三 角 形 は 二 つ あ り，そ の 中 で 面 積 が 大 き い 方 のス%ABC においては，AB ＝AB である。

セである。
ソ
（数学Ⅰ第２問は次ページに続く。）― １０ ―（２７０４―１０）

数学Ⅰ
sin ∠ABC ＝&sin ∠ACB を満たす 'ABC のうち，面積 S が最大となる

ものを求めよう。
sin ∠ABC ＝&sin ∠ACB と BC ＝%によりタcos ∠ABC ＝−AB２

チ&ABである。'ABC の面積 S について調べるために，S２ を考える。AB２ ＝ x と
おくとツ

S２ ＝−

ナx２ ＋テトx−ニ%１６と表すことができる。したがって，S２ が最大となるのは x ＝

き，すな わ ち AB ＝! ノヌのとネの と き で あ る。S ＞$よ り，こ の と き にハ
面積 S も最大となる。
ま た，面 積 S が 最 大 と な る 'ABC に お い て，∠ABC は∠ACB はヒ!

フ，鋭フ角ヒで，である。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）"

直角― １１ ―#鈍角（２７０４―１１）

数学Ⅰ

第３問 （配点 ３０）〔"〕

$a，b を実数とする。#次不等式
x２ ＋ ax ＋ b ＞!

………………………… の解がすべての実数となるための必要十分条件を，次の二つの方針で考えよう。
方針!
#次関数 y ＝ x２ ＋ ax ＋ b の最小値に着目する。

y ＝ x２ ＋ ax ＋ b の最小値は

アイ
ウaエ＋ b である。よって，の解がすべての実数となるための必要十分条件は
アイウaエ＋b!

オである。
方針"#次方程式 x２ ＋ ax ＋ b ＝!に解の公式を適用したときの根号の中に着目する。

x２ ＋ ax ＋ b ＝!に解の公式を適用すると，

x＝−a±!
aカ−

キb#となる。よって， の解がすべての実数となるための必要十分条件は
aカ−

キbク!

である。

（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １２ ―（２７０４―１２）

数学Ⅰ
オ!

,，クの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

"

＝＜#＞

$

≦

%

≧c を実数とする。(次不等式 − x２ ＋ cx −*＜&の解がすべての実数となるための必要十分条件は
ケコ＜c＜

サである。

+,x ＝'は(次不等式２０２４x２ ＋２０２３x −２０２２＞&をシ。

また，x ＝'
はこの(次不等式を(シ，ス!

満たす"

x ＝ −(，−)'')，−'，−，&，，'，，(の う ち，((((ス。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
満たさない(次不等式２０２４x２ ＋２０２３x −２０２２＞&を満たすものはる。

セ

個あ（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １３ ―（２７０４―１３）

数学Ⅰ〔"〕 高校!年生の太郎さんと花子さんのクラスでは，文化祭でやきそば屋を出店することになった。二人は!皿あたりの価格をいくらにするかを検討するためにアンケート調査を行い，!皿あたりの価格と売り上げ数の関係について次の表のように予測した。

!皿あたりの価格（円）
売り上げ数

１００

１５０２００２５０３００（皿） １２５０

７５０

４５０

２５０５０

この結果から太郎さんと花子さんは，!皿あたりの価格が１００円以上３００円以下の範囲で，予測される利益（以下，利益）の最大値について考えることにした。

太郎：価格を横軸，売り上げ数を縦軸にとって散布図をかいてみたよ。
花子：散布図の点の並びは，!次関数のグラフのようには見えないね。
"次関数のグラフみたいに見えるよ。
太郎：価格が１００，２００，３００のときの点を通る"次関数のグラフをかくと，図!のように価格が１５０，２５０のときの点もそのグラフの近くにあるよ。
花子：現実には，もっと複雑な関係なのだろうけど，!次関数と"次関数で比べると，"次関数で考えた方がよいような気がするね。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １４ ―（２７０４―１４）

数学Ⅰ
y2000
1500
1000
500
0050

100150図200250300x!

"次関数y ＝ ax２ ＋ bx ＋ c………………………… のグラフは，#点（１００，１２５０），（２００，４５０），（３００，５０）を通るとする。このとき，b ＝ソタチである。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １５ ―（２７０４―１５）

数学Ⅰ
二人は，!皿あたりの価格 x と売り上げ数 y の関係が  を満たしたときの，１００≦ x ≦３００での利益の最大値 M について考えることにした。
!皿あたりの材料費は８０円であり，材料費以外にかかる費用は５０００円である。よって，x −８０と売り上げ数の積から，５０００を引いたものが利益となる。
このとき，売り上げ数を  の右辺の"次式とすると，利益は x の次式となる。一方で，売り上げ数として  の右辺の代わりに x のツテ次式を使えば，利益は x の"次式となる。

太郎：利益がツ次式だと，今の私たちの知識では最大値 M を正確に求めることができないね。
花子： の右辺の代わりにテ次式を使えば利益は"次式になるから，最大値を求められるよ。
太郎：現実の問題を考えるときには正確な答えが出せないことも多いから，自分の知識の範囲内で工夫しておおよその値を出すことには価値があると思うよ。
花子：考えているのが利益だから， の右辺の代わりの式は売り上げ数を少なく見積もった式を考えると手堅いね。
太郎：少なく見積もるということは，その関数のグラフは  のグラフより，下の方にあるということだね。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １６ ―（２７０４―１６）

数学Ⅰ!次関数

y ＝−#x ＋１１６０………………………… を考える。このとき， と  のグラフの位置関係は次の図"のようになっている。

y①20001500②10005000050100150
図200250300x" の右辺の代わりに  の右辺を使うと，売り上げ数を少なく見積もることになる。売り上げ数を  の右辺としたときの利益 z はz ＝−トx２ ＋ナニヌネ

x −９７８００で与えられる。z が最大となる x を p とおくと，p ＝ ノハヒ
最大値は３９１００である。

であり，z の（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １７ ―（２７０４―１７）

数学Ⅰ
太郎：売り上げ数を少なく見積もった式は，各 x について値が  より小さければよいので，色々な式が考えられるね。
花子：それらの式を  の右辺の代わりに使ったときの利益の最大値と， の右辺から計算される利益の最大値 M との関係はどうなるのかな。

!次関数

y ＝−#x ＋１９６８………………………… を考える。売り上げ数を  の右辺としたときの利益は x ＝１６３のときに最大となり，最大値は５０１１２となる。
また，〜 のグラフの位置関係は次の図"のようになっている。

y①2000③1500
1000②5000050100150
図200"― １８ ―250300x（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）（２７０４―１８）

数学Ⅰ
売り上げ数を  の右辺としたときの利益の記述として，次の!〜'のうち，正しいものは

フ，ヘフとヘである。の解答群（解答の順序は問わない。）!

利益の最大値 M は３９１００である。

"

利益の最大値 M は５０１１２である。

#

利益の最大値 M は$x ＝１６３とすれば，利益は少なくとも５０１１２以上となる。

%x ＝ p とすれば，利益は少なくとも３９１００以上となる。

&

x ＝１６３のときに利益は最大値 M をとる。

'

x ＝ p のときに利益は最大値 M をとる。

３９１００＋５０１１２である。
(（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １９ ―（２７０４―１９）

数学Ⅰ!次関数

y ＝−#x ＋１８６０………………………… を考える。１００≦ x ≦３００において，売り上げ数を  の右辺としたときの利益は x ＝１９５のときに最大となり，最大値は７４３５０となる。
また，〜 のグラフの位置関係は次の図"のようになっている。

y①2000
③1500
1000

②④500
0050100150
図200"― ２０ ―250300x（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）（２７０４―２０）

数学Ⅰ
売り上げ数を  の右辺としたときの利益の最大値 M についての記述として，次の!〜%のうち，正しいものはホホである。の解答群!

利益の最大値 M は５０１１２より小さい。

"

利益の最大値 M は５０１１２である。

#

利益の最大値 M は５０１１２より大きく７４３５０より小さい。

$

利益の最大値 M は７４３５０である。

%

利益の最大値 M は７４３５０より大きい。

― ２１ ―（２７０４―２１）

数学Ⅰ

第４問 （配点 ２０）〔(〕 花子さんの通う学校では，生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった。投票結果に関心がある花子さんは，身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い，各回答が賛成ならば(，反対ならば'と表すことにした。このようにして作成される n 人分のデータをx１，x２，…，x n と表す。ただし，賛成と反対以外の回答はないものとする。
例えば，１０人について調べた結果が'，(，(，(，'，(，(，(，(，(であったならば，x１ ＝'，x２ ＝(，…，x１０ ＝(となる。この場合，データの値の総和は+であり，平均値は)である。
*

デ ー タ の 値 の 総 和 x１ ＋ x ２ ＋ … ＋ x n は

x＝x１ ＋ x２ ＋ … ＋ x nはnア，

イイアと 一 致 し，平 均 値と一致する。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

賛成の人の数"

反対の人の数#賛成の人の数から反対の人の数を引いた値$

n 人中における賛成の人の割合%

n 人中における反対の人の割合&

賛成の人の数の値
反対の人の数（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２２ ―（２７０４―２２）

数学Ⅰ


花子さんは，)と*だけからなるデータの平均値と分散について考えてみることにした。
mである。また，分散を s２nm ＝ x１ ＋ x２ ＋ … ＋ x n とおくと，平均値はで表す。

-s２ は，)と*の個数に着目すると

s２ ＝

*!
n #

ウ２.*− m 0＋/1n２".)− m 0＝/1
n $エオと表すことができる。

ウ，エの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）"m# （n − m）

$mnm0.
% /*−&n 1n+'m+(n−m+!

オnの解答群２!

m２n２m0.
" /*−n 1#m（n − m）
n２$m（*− m）
n２%m（n − m）
+n２&n２−,mn ＋,m２n２'n２−+mn ＋+m２+n２（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２３ ―（２７０４―２３）

数学Ⅰ,n ＝２５とする。m の値によって分散 s２ の値がどのように変わるかを調べ る。s２ が 最 小 と な る の は，m の 値 がカた，s２ が最大となるのは，m の値がのときのみである。

カ，キ

キの と き の み で あ る。まの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

+" １２&+または２５) １３または１４# １３' １２または１３$ １４% ２５

( １２または１４* １２または１３または１４（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２４ ―（２７０４―２４）

数学Ⅰ〔(〕 変量 x，y の相関係数について考える。

変量 x，y の値の組



（ x１，y１），（ x２，y２），…，（ x２５，y２５）をデータ Z とする。図'は Z の散布図であり，Z から図'の点 A の表す値の組を除いた２４個の値の組からなるデータを Z′とする。図(は Z′の散布図である。

1015A10yy5505101505x
図'10x

データ Z の散布図

図(データ Z′の散布図

データ Z の x と y の相関係数を計算すると０．
８となる。データ Z′の x とy の相関係数はおよそ

ク!

クである。

については，最も適当なものを，次の!〜&のうちから一つ選べ。
−０．
８

"

−０．
６

# ０．
０

$ ０．
５% ０．
７& ０．
９

（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２５ ―（２７０４―２５）

数学Ⅰ
変量 x，y の値の組

（−"，−"）， （−"，"）， （"，−"）， （"，"）

をデータ W とする。データ W の x と y の相関係数は!である。データ Wに，新たに"個の値の組を加えたときの相関係数について調べる。なお，必要に応じて，後に示す表"の計算表を用いて考えてもよい。

a を実数とする。データ W に（#a，#a ）を加えたデータを W′とする。
W′の x の 平 均 値 x はケ，W′の x と y の 共 分 散 s xy はコとなる。ただし，x と y の共分散とは，x の偏差と y の偏差の積の平均値である。
W′の x と y の標準偏差を，それぞれ s x，s y とする。積 s x s y はサとな る。ま た 相 関 係 数 が０．
９５以 上 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 はs xy ≧０．
９５s x s y である。これより，相関係数が０．
９５以上となるような a の値の範囲はシである。

表"xy−"−"−"""−"""#a#ax−x

計算表y−y（x − x）
（y − y）（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２６ ―（２７０４―２６）

数学Ⅰケ!の解答群

'コ"

!

+a

#+a ＋*$a

*a２ ＋

*
a $+%

a＋

*+の解答群*a２ "サ*+*a２ ＋#+a２ % ２０a２の解答群

!

*a２ ＋

１６
*a＋++"*a２ ＋(#*a２ ＋*+$)a２ ＋シ)
+の解答群

!

−

９５９５!
!
≦a≦
*
*"a≦−

９５９５!
!
，
≦a
*
*#

−

９５９５!
!
≦a≦
++$a≦−

９５９５!
!
，
≦a++%

−&a≦−)!
１９+≦a≦)!
１９+― ２７ ―)!
１９+，)!
１９+≦a（２７０４―２７）