卒業論文「混合ボース気体の共振器増幅光トラップに向けた単一モード DPSS レーザーの開発」

指導教員

井上

慎

准教授

平成 22 年 2 月提出

東京大学 工学部 物理工学科

03-080523
03-080542

齋藤

裕介

福岡

健太

3

目次

第1章

1.1

1.2

1.3
第2章

2.1

2.2

第3章

3.1

3.2

3.3

序章

15

歴史的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1

レーザーの発明とレーザー技術の発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2

レーザーの原子冷却への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3

BEC (Bose-Einstein Condensation、ボース・アインシュタイン凝縮) の実現 . . . . . . . . . . 16

研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1

共振器増幅光トラップの製作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2

単一モード DPSS レーザーの製作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21原理

23

DPSS レーザー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1

DPSS レーザーの基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Side-Pump と End-Pump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3

DPSS レーザーにおける熱的効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.4

ガウシアンビーム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.5

ABCD 行列とビームパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.6

共振器 (Cavity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.7

レーザー発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Cavity Trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1

2 準位系の原子と光の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2

光トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.3共振器増幅光トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

DPSS レーザーの実験

65

Pump 用半導体レーザーの設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1

Pump LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.2

Pump 光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.1.3

結晶について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

マルチモード発振. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1

DPSS laser の cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.2

マルチモード発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.3

熱レンズ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

シングルモード発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

目次

4

3.4

第4章

4.1

4.2

3.3.1

1 方向発振について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.2

シングルモード発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.3

出力パワー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

レーザーの安定化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4.1

モードホップの低減に向けて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4.2

レーザーの安定性の評価. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Cavity Trap の実験

91

Cavity の Lock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1

微分信号 (Error Signal) の観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.2

PZT によるフィードバック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.3

PZT と AOM によるフィードバック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1.4

Cavity Lock を利用した DPSS レーザーの線幅の見積もり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Cavity Trap に向けて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.1

石英ガラスとミラーの各パラメータの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.2

Enhancement Factor の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.3

Trap パラメータの算出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2.4

DPSS レーザーの強度ノイズの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

第5章

まとめと今後の展望

131

付録 A

理論的な補足133

A.1

light shift の導出について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.2

heating rate について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A.3

cavity 内の光子の寿命について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3.1 Enhancement factor の直観的な理解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.4

離散フーリエ変換 (DFT , Discrete Fourier Transform) とパワースペクトル・パワースペクトル密度の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A.5
付録 B

B.1

緩和振動 (Relaxation Oscillation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
各装置の設計図

145

温調（温度調節器）の設計図. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.1.1 各温調の設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
B.1.2 PID 制御
B.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

PZT Driver（ピエゾドライバー）の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
B.2.1 三角波発生回路の動作原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

B.3

AOM Driver の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B.3.1 AOM Driver の機能の説明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.4

PD (Photodiode) の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.5

高速 PD (Photodiode) の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

B.6

EOM 共振回路の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.7

Cavity Lock Circuit の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

B.8

Reference Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5
B.8.1 Reference Cavity の作製手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
付録 C

DPSS レーザーのアライメント方法

171

C.1

発振の仕方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.2

戻し光について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

C.3

パワーの最適化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

付録 D

光ファイバーにおける位相ノイズの除去

177

D.1

光ファイバーにおける位相ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

D.2

位相ノイズ除去の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

D.3

実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

D.4

実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

D.5

PLL (Phase Lock Loop) の設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

参考文献

189

7

図目次

1.1

レーザー冷却 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2

レーザー冷却 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Fermion の分布の温度変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Boson の分布の温度変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5

井上研の磁気トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1

Nd:YVO4 DPSS レーザーの基本原理 − 4 準位レーザー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2

Side-Pump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

End-Pump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4

熱レンズ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5

領域 V

2.6

Pump 光の結晶端面での光強度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7

ビーム半径 w(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8

曲率半径 R(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9

光線ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10

Bow-tie Cavity 中のビーム形状 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11

Bow-tie Cavity 中のビーム形状 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.12

Bow-tie Cavity 中のビーム形状 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.13

共振器中の定在波

2.14

周波数コム (Comb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.15

共振器の線幅 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.16

共振器の線幅 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.17

周波数モードの空間モード依存性 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.18

周波数モードの空間モード依存性 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.19

共焦点共振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.20

共焦点共振器の周波数モード

2.21

共焦点共振器中の光路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.22

レーザー発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.23

周波数モードにおけるシングルモード発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.24

空間モードにおけるシングルモード発振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.25

Spatial Hole-Burning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.26

2 準位系の光と原子の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.27

アインシュタインの A 係数,B 係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

図目次

8
2.28

sin2 (δt/2)(t=20)
δ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.29

ローレンツモデル. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.30

K の基底状態の light shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.31

Rb の基底状態の light shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.32

cavitytrap における cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.33

cavity 内の定在波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.34

Enhancement factor のロス依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.35

cavitylock の系の概略図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.36

error signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.37

透過光強度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1

LD1 の波長の温度依存性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2

LD2 の波長の温度依存性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3

Pump LD の温調の仕方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4

Pump LD の写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5

LD1 の出力パワーの電流依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6

LD2 の出力パワーの電流依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7

Pump 光のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8

結晶ホルダー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.9

結晶ホルダーの写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.10

Bow-tie-cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.111064HR,808AR ミラーの 1064nm の光に対する反射率

3.121064HR ミラーの反射率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.131064 90 ％反射ミラーの反射率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.14

マルチモード時の出力パワーの電流依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.15

周波数モード（マルチ） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.16

熱レンズの焦点距離と結晶の吸収パワーの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.17

熱レンズの焦点距離と結晶の吸収パワーの逆数との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.18

retro reﬂection の方法のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.19

アイソレータの方法のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.20

injection 無しの時の周波数モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.21

retro reﬂection の時の周波数モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.22

アイソレータの時の周波数モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.23

ビーム半径の位置依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.24

アイリス無しの空間モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.25

アイリス有りの空間モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.26

DPSS laser の光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.27

DPSS laser の光学系の写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.28

シングルモード時の発振パワー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.29

モードホップの起きる仕組み

3.30

囲いの写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.31

cavity のロックの観察のための光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9
3.32

温調を一切行わない場合のロックの様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.33

温調を行っている場合のロックの様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.34

Pump 光照射時に温調を切った場合のロックの様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.35

エタロン及び cavity の台の温度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.36

タイムスパン 3 分における温度ドリフトの様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1

微分信号 (Error Signal) の観測 − 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2

微分信号の観測結果 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3

微分信号の観測結果 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4

EOM に入力する RF の周波数による微分信号の形状の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5

PZT によるフィードバック − 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6

PZT によるフィードバック − Lock 前 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7

PZT によるフィードバック − Lock 時：Gain が小さいとき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.8

PZT によるフィードバック − Lock 時：Gain を大きくしたとき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.9

PZT によるフィードバック − 発振（〜7.5kHz）：さらに Gain を大きくしたとき . . . . . . . . . . . 96

4.10

PZT と AOM によるフィードバック − 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.11

PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain ゼロ：Lock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.12

PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain ゼロ：発振（〜7.5kHz） . . . . . . . . . . . . 98

4.13

PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain を大きくしたとき：Lock . . . . . . . . . . . . 99

4.14

PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain をさらに大きくしたとき：発振（〜250kHz） . 99

4.15

反射率 99% の 2 枚のミラーで構成される Fabry-Perot 共振器によって得られる微分信号 . . . . . . . . 100

4.16線幅の見積もり − FSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.17線幅の見積もり − 微分信号の傾き

4.18

Monitor 信号の変動とそのヒストグラム − PZT のみで Lock したとき . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.19

Monitor 信号の変動とそのヒストグラム − PZT と AOM で Lock したとき . . . . . . . . . . . . . . 102

4.20

Cavity Trap − 実際の実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.21

石英ガラスの反射率の測定 − 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.22

物質界面における光の反射・透過 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.23

石英ガラスの反射率の測定 − 測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.24

石英ガラスの吸収の測定 − 実験系

4.25

ミラーの反射率の測定 − 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.26

Cavity とのモードマッチングのためのレンズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.27

Cavity に共鳴するビーム形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.28

レンズ入射前のレーザー光のビーム形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.29

レンズ入射前のレーザー光のビーム形状 − 測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.30

レンズ前後の光のビーム半径

4.31

Cavity とのモードマッチングのためのレンズの各パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.32

Enhancement Factor の測定 − 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.33

Enhancement Factor の測定 − 写真 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.34

Enhancement Factor の測定 − 写真 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.35

Enhancement Factor の測定 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.36

Enhancement Factor の測定 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

図目次

10
4.37

Enhancement Factor A の往復のロス L に対する変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.38

不完全なモードマッチング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.39

モードマッチングの改善 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.40

Cavity 中の定在波（色の濃い部分ほど光強度が大きい） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.41

レーザーを入れたとき (Sampling : 5kHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.42

レーザーを入れたとき (Sampling : 5MHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.43

レーザーを切ったとき (Sampling : 5kHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.44

レーザーを切ったとき (Sampling : 5MHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.45

強度ノイズの測定 1 − 0.5〜1kHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.46

強度ノイズの測定 1 − 1〜1.5MHz

4.47

強度ノイズの測定 2 − 0.5〜1kHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.48

強度ノイズの測定 2 − 1〜1.5MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.49

ノイズ周波数の Pump パワー依存性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.50

Soutput /Spump の周波数依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.51

Pump 光の強度ノイズの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.52

Pump LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.53

Pump LD1 の時間波形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.54

Pump LD2 の時間波形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.55

Pump LD1 の強度ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.56

Pump LD2 の強度ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.57

DPSS レーザーの強度ノイズの実測値と計算値の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.58

高速 PD の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.59

Output (Sampling : 5MHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.60

Background (Sampling : 5MHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.61

高速 PD を用いた強度ノイズの測定 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.62

高速 PD を用いた強度ノイズの測定 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.1

41

A.1

light shift

A.2

4 準位レーザー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.3

反転分布の定常値 ∆ns の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.4

光子数の定常値 nsp の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.5

時刻 0 から急に Pump 光を照射したときに生じる緩和振動

A.6

Soutput (ω)/Spump (ω) の周波数依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

B.1

温調 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.2

温調の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B.3

バイポーラトランジスタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B.4

温調のケースの設計図（TAKACHI MB-5） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

B.5

PZT Driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B.6

ピエゾドライバーモジュール (MATSUSADA Precision Inc. HPZT-0.15PB) . . . . . . . . . . . . . 151

B.7

三角波発生回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

K,87 Rb 混合ボース気体の共振器増幅光トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

11
B.8

PZT Driver のケースの設計図（TAKACHI YM-200） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

B.9

三角波発生回路の動作原理 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

B.10

三角波発生回路の動作原理 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

B.11

AOM Driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

B.12

AOM Driver の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

B.13

AOM Driver のケースの設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

B.14

AOM Driver の接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.15

PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.16

PD の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.17

高速 PD

B.18

高速 PD の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B.19

高速 PD のケースの設計図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

B.20

EOM 共振回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.21

EOM 共振回路の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.22

Cavity Lock Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

B.23

Cavity Lock Circuit の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

B.24

Cavity Lock Circuit のケースの設計図（TAKACHI MB-5 / TAKACHI MB-2） . . . . . . . . . . . 167

B.25

Reference Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.26

Reference Cavity の作製手順 1 − ホルダーの製作例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.27

Reference Cavity の作製手順 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.28

Reference Cavity の作製手順 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.29

Reference Cavity の作製手順 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.30

Reference Cavity の作製手順 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B.31

Reference Cavity の作製手順 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

C.1

Pump 光のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.2

DPSS cavity のアライメント (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

C.3

DPSS cavity のアライメント (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

C.4

DPSS cavity のアライメント (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

C.5

DPSS cavity のアライメント (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

C.6

DPSS cavity のアライメント (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

C.7

DPSS cavity のアライメント (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

C.8

DPSS cavity のアライメント (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

C.9

DPSS cavity のアライメント (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

C.10

戻し光のアライメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

D.1

光ファイバーにおける位相ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

D.2

位相ノイズ除去の概要 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

D.3

位相ノイズ除去の概要 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

D.4

位相ノイズ除去の概要 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

D.5

PLL の大まかな原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

D.6

位相ノイズ除去 − 実際の実験系の全体図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

12

図目次

D.7

位相ノイズ除去 − 実際の光学系の全体写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

D.8

実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

D.9

PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

D.10

PLL の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

D.11

PLL のケースの設計図 (TAKACHI YM-200) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13

表目次

2.1

1.0% ドープ Nd:YVO4 結晶の諸性質 [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

ABCD 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3

Rb の遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4

K の遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1

微分信号 (Error Signal) の観測 − 主な実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2

PZT と AOM によるフィードバック − 新たに加えた主な実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3

石英ガラスの反射率の測定 − 使用した Power Meter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4

石英ガラスの吸収の測定 − 測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5

ミラーの反射率の測定 − 測定結果

B.1

各温調の設定（上記以外はデフォルトの設定値） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

D.1

位相ノイズ除去 − 主な実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

15

第1章

序章
1.1 歴史的背景
1.1.1 レーザーの発明とレーザー技術の発展
20 世紀初頭の量子論の誕生・発展は科学技術に大きな進歩をもたらした。その中でもレーザーの発明は量子論がもたらした 20 世紀最大の発明の一つにも挙げられ、現在ではレーザーの応用は様々な分野に広がっている。レーザーの発明は、1954 年に C. H. Towns がアンモニアを用いた Maser (Microwave Ampliﬁcation by Stimulated Emissionof Radiation) の発振に成功したことに端を発する [1]。その後 C. H. Towns と A. L. Schawlow がマイクロ波でな
く光によっても同様の発振が得られる可能性を示唆し、1960 年に T. H. Maiman がルビーを用いて世界初の Laser(Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation) を実現した [1]。C. H. Towns の他 N. G. Basov , A.
M. Prokhorov は 1964 年に「Maser、Laser の発明における基礎的研究」によりノーベル賞を受賞している [2]。
1960 年のルビーレーザーの発明を皮切りに、1960 年代には気体レーザー、半導体レーザー、固体レーザーなどの様々なレーザーが発明された。その後には新しいレーザーの開発に加え、高出力化・狭帯化・パルス発振（Q-Switch、モード同期）・高調波発生など新たなレーザー技術が次々と開発され、現在でもレーザー分野は急速に発展を続けている。

1.1.2 レーザーの原子冷却への応用
レーザー技術の発展とともにレーザーは様々な分野に応用されるようになり、1970 年代からはレーザーを利用した原子冷却の研究が始まった。レーザーには一般に「高エネルギー」「熱い」というようなイメージがあり、レーザーを利用して原子を冷却できるということは一見不思議なことに思われる。しかし、レーザー光は単色性に優れる（周波数線幅が非常に狭い）・位相が揃っている（コヒーレントである）・指向性が良い・エネルギー密度が高いなどの特徴を備えたエントロピーの非常に小さい光であり、これをうまく利用することで原子系のエントロピーを下げ、原子の冷却が可能となる。原子から放出（自然放出）される光は位相や方向がランダムなエントロピーの大きい光であり、原子がレー
ザー光を吸収し自然放出によって光を放出するという過程を考えれば、電磁場のエントロピーはこの過程で増加する。
よって、図 1.1 のように原子の共鳴周波数 ωA よりも小さい周波数 ωL のレーザー光を原子系に照射することによって、原子はエネルギー ~ωL の光を吸収してそれよりもエネルギーの大きい ~ωA の光を放出することになり、原子のエネル
ギーはその差の分だけ減少する。そして、原子系のエントロピーの現象と電磁場のエントロピーの増加が釣り合うようになるまで、原子の冷却が起こる [3]。

第 1 章 序章

16

Laser

Atom

ω

ωL

ωA

図 1.1

レーザー冷却 1

上で見た過程をもう少し詳しく、ミクロに考えてみる。図 1.2 のように、原子の共鳴周波数 ω0 に比べわずかに周波数の小さいレーザー光を原子系に照射すると、ドップラーシフトによりレーザー光に対向する方向に運動する原子のみがその光を吸収して励起状態となり、このとき運動量保存則から原子は減速する ((i)→(ii)) 。光を吸収した原子が自然放出によって光を放出し基底状態に戻る際、放出する光の方向は (iii) のようにランダムであり、反跳によって受け取る運動量は平均して 0 と考えることができる。よって、この 1 サイクルによって原子は減速、つまり冷却されていることがわかる。このようなレーザー光を 3 次元的に x, y, z 軸の正負の方向から同時に照射することで、原子は全ての方向に対して減速され、原子の冷却が実現できる。

ω (＜ω0)

(i)

(ii)
(iii)
図 1.2

レーザー冷却 2以上が最初に考案されたレーザーによる原子冷却法の概要であり、レーザー冷却あるいはドップラー冷却と呼ばれる。レーザー冷却は 1985 年にベル研究所の S. Chu によって最初に実現され、その際には Na 原子集団を v 240µK にまで冷却することに成功している [4]。その後、磁気光学トラップ [5] や偏光冷却 [6] などのトラップ・冷却技術が開発され、原子冷却の技術は飛躍的に向上した。1997 年には S. Chu の他 C. Cohen-Tannoudji , W. D. Phillips が「レーザーによる原子の冷却・トラップ手法の開発」によってノーベル賞を受賞している [2]。

1.1.3 BEC (Bose-Einstein Condensation、ボース・アインシュタイン凝縮) の実現
1.1.2 節で見た原子冷却技術の発展によって、1990 年代には原子を数 µK という極低温にまで冷却することが可能となった。それでは、原子を極低温に冷やすとどのようなことが起こるのだろうか？量子論によれば物質は粒子性と波動性を持っており、極低温では物質の波としての性質が顕著に現れてくる。エネルギー等分配則と不確定性原理より、温度 T における原子の波動関数の広がり ∆x は1
 (∆p)2= kB T2m2
∆x · ∆p v ~1.1 歴史的背景

17∴ ∆x v √

~
mkB T

(1.1)

程度と見積ることができ、これを熱的ド・ブロイ長と呼ぶ。式 (1.1) より、温度 T が小さいほど原子の波としての広がりが大きくなっていくことがわかる。多数の原子が高密度に存在している状態では、温度を下げていくとやがて各原子の波動関数が重なり合うようになり、それぞれの原子の区別が付かなくなる。このような領域では粒子の統計的性質が重要となり、原子が Boson であるか Fermion であるかによって全く異なる振る舞いを示す。
そこで、最初に Fermion について考えてみる。Fermion とは電子に代表されるようなスピンが半奇数となる量子力学的粒子であり、複数の同種粒子が同じ状態をとることはできないという特徴を持つ（Pauli の排他律）。Fermion の分布の温度変化を簡単に図示すると図 1.3 のようになる。Pauli の排他律から、温度 T = 0 のときの分布は最低エネル
ギー状態から順に 1 つ 1 つの状態に粒子を詰めていった分布になり、このときの 1 番上の状態のエネルギーがフェル
ミエネルギー EF となる。高温では、粒子の分布は古典分布（ボルツマン分布）に近づいていく。

E

〜kBT

EF

T:大

T=0
図 1.3 Fermion の分布の温度変化

次に、Boson について考えてみる。Boson とは光子などのスピンが整数となる量子力学的粒子を指し、Fermion とは異なり複数の同種粒子が同じ状態をとることができる。Boson の分布の温度変化を簡単に図示すると図 1.4 のようになり、高温では Fermion と同様には古典分布（ボルツマン分布）となる。一方、低温では Boson は Fermion と全く異なる振る舞いを示す。Boson では複数の同種粒子が同じ状態をとることができることから、温度を下げていくと多くの粒子が基底状態になろうとする。しかしこの変化は連続的ではなく、ある転移温度 Tc を境に突如としてマクロな数の粒子が基底状態をとるようになる*1 。このように T < Tc で多くの粒子が基底状態をとる現象を BEC (Bose-Einstein

Condensation、ボース・アインシュタイン凝縮) と呼ぶ。液体ヘリウムの超流動転移などは、ヘリウムが BEC の状態に転移して起こるものと考えられている。また、図 1.3 で Fermion の分布の温度変化について見たが、実は Fermion
も低温において 2 つの粒子が対（クーパー対）を成して Boson となり、BEC と同様の状態に転移する。これを BCS(Bardeen-Cooper-Schrieﬀer) 転移と呼び、この理論（BCS 理論）によって電子における超伝導転移現象が説明されている。
*1 こ の 転 移 温 度 Tc

は 、例 え ば 以 下 の よ う に し て 求 め!!
る こ と が で き る 。系 の 全 粒 子 数 N は 、状 態 密 度 を D(ε)、分 布 関 数 を f (ε)

1
f (ε) = exp{(ε−µ)/k

B T }±1+−::

FermionBosonとしたとき、

N =Z ∞D(ε)f (ε)dε0

によって与えられることが多いが、この式では実はエネルギー ε = 0 の基底状態にある粒子数が計数されていない。基底状態にある粒子数が全粒子数に対しミクロな数である場合は、この式によって全粒子数が求めることができる。一方、BEC のように基底状態にマクロな数の粒子が存在する場合、
Z∞N >D(ε)f (ε)dε0となり、この式の左辺と右辺の差が基底状態にある粒子数を表す。そこで、上式を温度について書き直せば T < Tc という形が導かれ、このTc が BEC 転移温度を表す。なお、この転移温度 Tc は、式 (1.1) の原子の広がりと平均原子間距離 (V /N )1/3 (V ：体積) が同程度になる
温度に相当する。

第 1 章 序章

18E

T < Tc

T=0

T > Tc

T:大

図 1.4 Boson の分布の温度変化

1980 年代以降の急速なレーザー冷却技術の発展に伴い、原子気体で BEC を実現する動きが活発になり、1995 年の6 月には JILA の E. A. Cornell と C. E. Wieman のグループが Rb 原子で [8]、9 月には MIT の W. Ketterle のグ
ループが Na 原子で [9] 相次いで BEC の生成に成功した。彼らは従来のレーザー冷却技術に加え、エネルギーの高い原子のみを選択的に捨てることで冷却を行う蒸発冷却という技術を利用することで、BEC を達成した。2001 年に E.

A. Cornell , W. Ketterle , C. E. Wieman の 3 人は「希薄アルカリ原子気体における BEC の実現と BEC の性質の基礎的研究」によってノーベル賞を受賞した [2]。

BEC の実現後、冷却原子系は理論を検証する上での理想的なシュミレーション系として、様々な成果を挙げてきた。
また、原子波干渉計や時間標準、量子情報など原子冷却技術の応用に対する研究も進んでいる。原子冷却技術自体も、レーザー技術の発展とともに新たな技術が次々と開発され、現在では原子ガスの密度や温度、内部状態、相互作用などのあらゆる自由度を制御できる段階にまで至っている。

1.2 研究の目的
1.2.1 共振器増幅光トラップの製作
井上研究室の研究目標は、極低温の極性分子を製作することである。極性を持たない原子同士の相互作用は、原子同士の衝突によるものであり、原子間距離が小さい時のみにしか働かない。また、衝突による相互作用は等方的である。
一方、極性分子は電気双極子モーメントを持つため、双極子-双極子相互作用を行う。そのため、相互作用は長距離的になり、さらに異方性を持つ。このような相互作用をする系の振る舞いはまだ解明されておらず、物理的に非常に魅力的な系である。
目標の実現のためには分子を冷却しなければならないが、分子を冷却する方法として、2 つの方法が考えられる。1つは常温の分子を直接冷やす方法であり、Stark decelerataion[10],buﬀer gas cooling[11] といった方法があるが、冷却温度は 1mK〜100mK のオーダーであり、量子性が現われてくるような領域に達しない。もう 1 つの方法として、2種類の原子を極低温にまで冷却した後、それらを結合させて分子にするという手法がある。井上研究室ではこちらの手法をとっている。後者の手法では、まず 41 K と 87 Rb の原子を極低温まで冷却する必要がある。そのために井上研究室
では、• レーザーの輻射圧と磁場によるエネルギーシフトを組み合わせた MOT(magneto-optical trap)[5]• 磁場によるエネルギーシフトを利用したトラップ手法である磁気トラップ [12]
• 光による双極子力を利用した光トラップ [13]• エネルギーの高い原子を選択的にトラップから除外することによって温度を下げる蒸発冷却 [14]といった手法を組み合わせて原子を 1µK 以下の極低温まで冷却している。
ここで磁気トラップは、100mK といった深いポテンシャルを用意することが可能であり、有用なトラップ手法であ1.2 研究の目的

19

図 1.5 井上研の磁気トラップる。しかしその反面、磁場を作るためにコイルを用いる必要があり、装置が大がかりになってしまい、オプティカルア
クセスが悪くなるという欠点がある。よって、磁気トラップを用いないで原子の冷却を行うということを考えた時、実験系をシンプルに作ることが出来る。そのため、極性分子の電気双極子を誘起するための電場をかけるのが容易になる
等のメリットがある。また、磁気トラップから光トラップへ移行する際のロスがなくなることや、蒸発冷却の時間が短くて済むというメリットがある。そこで、我々は磁気トラップを用いずに光トラップのみで Rb 原子と K 原子を極低温まで冷却するための研究を始めた。
光と原子の相互作用によって電気双極子が誘起され、その電気双極子と光電場の相互作用によって原子は光の強度に比例したポテンシャルを感じる。このポテンシャルを利用して原子をトラップする手法を光トラップと言う。一般に光トラップでは多数の原子をトラップすることが難しい。原子を冷却する際には、まず MOT で冷却とトラップを行い、その後光トラップに移す。トラップ出来る原子数を増やすためにはレーザーのビームウェストを大きくし、かつ必要なトラップの深さを満たすハイパワーのレーザーが必要となる。光トラップにおいては、使用するレーザーのパワーが大きいほど、トラップの体積が大きくて深いトラップが得られ、トラップ出来る原子数が増える。
ところが、利用できるパワーにも限界があり、そのためトラップ可能な原子数も制限されてしまっている。このように、レーザーのパワーによって原子数が制限されてしまう点が、光トラップを用いるデメリットである。例えば、12Wの CO2 レーザーを用いた M. S. Chapman らの実験 [15] では 2×106 個の Rb 原子をトラップしているが、これは一般的な磁気トラップを用いた実験に比べて 2 桁以上原子数が少なくなってしまっている。
そこで我々は、近年考案された共振器増幅光トラップ [16](Cavity Trap) という優れた手法を用いることを考えた。
レーザーを共振器に入射すると、共鳴の条件下では共振器の内部で光が数百回も往復することで光強度が増幅され、定在波の腹の位置での光の強度は入射レーザーの数百倍となる。この増幅された光を用いてトラップを行うのが共振器増
幅光トラップであり、我々の求める高いパワーでの光トラップが可能となる。*2*2 我々の計画では、共振器によって増幅された 4000W のパワーのレーザー光（波長 1.064µm）を 400µm の領域に集めて、Rb,K それぞれに対して 2mK 程度のポテンシャルを得ることを目標にしている。前述の光トラップの実験に比べてパワーが 400 倍程度となるので、より多くの原子をトラップ出来ることが期待される。

第 1 章 序章

20

本研究における目的を達成するためには、共振器増幅光トラップを行う上で、安定でハイパワーな入射レーザー、そして高い増幅率を持つ共振器が必要となる。また、実験のためには共振器が光に共鳴している状態に保つ必要がある。
これらの要求に答えるレーザーの製作および共振器の設計が本論文の内容である。
必要となるハイパワーの入射レーザーの選択の議論については次節で述べる。

1.2.2 単一モード DPSS レーザーの製作前節で見たように、我々は共振器増幅光トラップ (Cavity Trap) の実現を目指すが、そのためには出力 10W クラスのレーザーが必要となる。その選択肢としては、DPSS レーザー（Diode-Pumped Solid State Laser、半導体励起固体レーザー）とファイバーレーザーの 2 つが挙げられる。これらのレーザーは製品としても販売されており、それらを購入するということも考えられる。しかし、これらの製品を購入し使用中に故障した場合、自分たちで直すことは難し
いため修理に出す必要があり、そのために実験が数ヶ月間ストップしてしまう恐れがある。したがって、レーザーを製品として購入することはリスクが大きく、できればレーザーを自作することが望ましい。レーザーを自作することで壊れた際にも自分たちで修理することができ、1 度得たノウハウから、再びレーザーを自作する際にも比較的短時間で製作することができる。また、製作にかかる費用も製品を購入する場合より安く済む場合が多い。そこで、本論文では共振器増幅光トラップのためのレーザーの自作を目指し、製作するレーザーとして、我々は DPSS レーザーを選択した。

DPSS レーザーの製作においては、上田マクロ量子制御プロジェクトの強相関量子制御グループである電気通信大
学 向山敬准教授、堀越宗一博士、中島秀太氏の研究を参考にした。向山グループは Li 原子の cavity trap のために

injection を行わずに 10W のシングルモード発振が可能な DPSS レーザーを製作しており、我々は Rb,K を同時にトラップすることを目的に同様のレーザーを製作した。*3

DPSS レーザーを製作するにあたり、そのスペックとしては以下のようなことが求められる。

1. 出力：〜10W






 2. CW（Continuous Wave、連続波発振）レーザーである
3. 単一モードである
4. モードホップしない
5. 周波数、強度が安定である
1 は、前節で見たように今回十分な体積（ビームウエストでのビーム半径〜400µm）に対して〜1.5mK の深さのTrap を作ることが求められ、そのためには 100 倍程度の共振器増幅とともに、レーザーの出力として 10W 程度の高出力が得られることが望ましい。

2 の CW はレーザーの発振方式を表し、それと対称的な方式はパルス発振である。今回のような共振器増幅光トラッ
プでは、共振器中を何回も往復する光が互いに強め合うことで光強度が増幅されるため、連続波発振であること、つまり CW レーザーであることが必要である。

3 は共振器増幅光トラップの効率に関わる。マルチモードのレーザー光を共振器に入射した場合、共振器に共鳴するのはそのうちの一部のモードだけであるため、共振器増幅されるのはその一部のモードのみであり十分な効率が得られない。一方、単一モードならばレーザー光のほぼ全てが共振器増幅に寄与するため、単一モードであることが求められる。

4 はレーザーの安定性に求められる条件である。モードホップしている間は基本的に共振器の Lock（共振器をレーザー光に共鳴した状態に保つこと）をかけることができず、実験が中断されてしまう。特に、自動計測のような一連の*3 向山グループは [18] のポスター発表を参考にして、DPSS レーザーを製作している。

1.3 本論文の構成

21

実験手順の間はモードホップしないことが望ましい。例えば、1 回の実験が 10 秒弱で終わるとして、その実験を 100
回繰り返して自動計測を行うとすれば 15 分間程度はモードホップしない安定なレーザーを作らなければならない。

5 は 4 とも関わる条件であり、レーザーの周波数、強度がともに安定していることが求められる。周波数については、共振器増幅するためにレーザーの線幅が共振器の線幅に比べ十分小さい必要がある [17]。具体的には、共振器の FSR
が 250MHz（共振器長 600mm）、Finesse が 300 程度*4 とすれば、共振器の線幅は 1MHz 程度となり、レーザーの線
幅としてはこれより十分小さい 100kHz 以下程度の線幅が要求される。次に強度については、Trap 周波数の 2 倍の周波数帯域*5 でのレーザーの強度ノイズが原子の Heating を引き起こし、原子のロスにつながる [16] [17]。よって、この帯域においてレーザーの強度ノイズが小さいことも要求される。
以上が今回製作する DPSS レーザーに求められる主なスペックである。さらに、今回我々はシンプルな構成で DPSS
レーザーを製作することを目指した。上の 4、5 のようなレーザーの周波数の安定化、つまり共振器長の安定化には

PZT（ピエゾ）によるフィードバック制御が用いられることが多いが、この場合レーザー本体とは別に安定な Reference
Cavity や Lock 回路などの様々な装置が必要となり、装置全体が複雑になってしまう。そこで今回製作した DPSS
レーザーでは、エレクトロニクスによる動的な共振器長の安定化を省き、レーザー本体をできるだけシンプルに構成している。

1.3 本論文の構成
本論文は、以下のような構成になっている。

• 2 章では DPSS レーザーおよび共振器増幅光トラップの原理について説明する。DPSS レーザーについては、前半は DPSS レーザーの作成において必要な知識を説明し、後半はレーザー一般において必要な知識を説明している。共振器増幅光トラップ (Cavity Trap) に関しては、光と原子の相互作用から光トラップについて説明し、その後で Cavity Trap について説明している。

• 3 章では DPSS レーザーの製作についての説明及び製作した DPSS レーザーの評価について述べる。
• 4 章では共振器増幅光トラップの実験系の説明及び実験結果を述べる。cavity のロックについてと、Enhancement factor の測定がメインとなる。
• 5 章では、まとめと今後の展望について述べる。

*4 このとき Enhancement Factor A の理論値は A w 100 となる。
*5 共振器増幅光トラップにおいては axial 方向と radial 方向の Trap 周波数 faxial , fradial が考えられ、2faxial は 1〜2MHz オーダーの帯域、

2fradial は 0.1〜1kHz オーダーの帯域となる。

23

第2章

原理
2.1 DPSS レーザー
2.1 節では DPSS レーザーを作成する上で必要となる知識について説明する。前半は、特に今回作成した DPSS レー
ザーに特化した内容であり、
・2.1.1DPSS レーザーの基本原理

・2.1.2Side-Pump と End-Pump

・2.1.3

DPSS レーザーにおける熱的効果という構成となっている。後半は、DPSS レーザーに限らずレーザー一般において必要となる知識に関する内容であり、・2.1.4

ガウシアンビーム・2.1.5ABCD 行列とビームパラメータ

・2.1.6共振器 (Cavity)

・2.1.7

レーザー発振という構成になっている。

2.1.1 DPSS レーザーの基本原理*1 DPSS レーザーとは”Diode-Pumped Solid-State laser”の略で、日本語では「半導体励起固体レーザー」と呼ばれる。ここではレーザー媒質として、今回の実験で実際に用いた Nd:YVO4 結晶を例に挙げて説明する。

Nd:YVO4 DPSS レーザーの動作原理は、図 2.1 で表されるような 4 準位レーザーとして説明することができる。
YVO4 結晶に不純物として Nd3+ イオンを導入すると、図 2.1 の (i)→(ii) の遷移に対応した 808nm の帯域で強い吸収をもつようになる。準位 (ii) に励起された Nd3+ イオンは、その後 (ii)→(iii)→(iv)→(i) という経路を経て再び準位(i) に戻る。ここで、準位 (ii) と (iv) は寿命が短く、短時間で (ii)→(iii)、(iv)→(i) と遷移するが、準位 (iii) は寿命が長く、これがレーザー発振における上準位として働くことができ、(iii)→(iv) の遷移において 1064nm の光を放出する。
よって、共振器中で Nd:YVO4 結晶に 808nm の Pump 光を照射することで反転分布が形成され、1064nm の光が増幅されてレーザー発振を起こすことができる。
固体レーザーはレーザー媒質が固体であるため、活性イオンが高密度で含まれ、高出力が期待できる。固体レーザーの Pump 光源には、一般にフラッシュランプ、アークランプ、半導体レーザーなどが用いられるが、最近では高パワー化、小型化、高効率化などの目的から半導体レーザーがよく用いられ、これが今回の実験で製作した DPSS レーザーである。
*1 この節での説明は、主に [26] を参考にしている。

第 2 章 原理

24
(ii)
(iii)
Pump

Output

808 nm1064 nm(iv)(i)

図 2.1 Nd:YVO4 DPSS レーザーの基本原理 − 4 準位レーザー

なお、活性イオンとして Nd3+ イオンを含む代表的なレーザー媒質としては、Nd:YVO4 の他に Nd:YAG、Nd:YLF、

Nd:GdVO4 などが挙げられる。今回 Nd:YVO4 を選んだ理由としては、808nm における吸収線幅が広いこと、誘導放出断面積*2 が大きいこと、直線偏光が得られることなどが挙げられる。Nd:YVO4 の短所としては熱伝導率が小さいことが挙げられ、これは熱による結晶の破損につながりうる。しかし、これは 2.1.3 節でも見るように、温調（温度調節器）によって温度の制御を行うことやドープ量の小さい結晶を用いることで解決している。

2.1.2 Side-Pump と End-Pump*3 DPSS レーザーにおける Pump 光の照射方法には、主に図 2.2、2.3 で表されるように、結晶側面に照射する

Side-Pump と結晶端面に照射する End-Pump の 2 種類の方法がある（ここでは結晶の形状として、図 2.2、2.3 のような直方体を考えた。今回の実験でも 4.0mm × 4.0mm × 10.0mm の直方体の結晶を用いている）。
Pump
〜 4mm
励起部分

Output〜 4mm〜 10mm
図 2.2 Side-Pump

Pump

〜 4mm
励起部分

Output〜 10mm〜 4mm
図 2.3 End-Pump

図 2.2 の Side-Pump の場合、Pump 光の照射が比較的簡単で、Pump 光源としてフラッシュランプやアークランプ*2 誘導放出断面積は誘導放出の起こしやすさを表す指標であり、この値が大きいほど誘導放出が起こりやすい、つまりエネルギーをレーザーとして取り出しやすいことを表す。
*3 この節での説明は、主に [21] を参考にしている。

2.1 DPSS レーザー25を使用する場合によく用いられる。しかし、この方法では図 2.2 からもわかるように、Pump 光によって励起される部
分とレーザー発振の起こる部分との重なりが小さく、低効率である、発熱が大きい、などの問題がある。また、TEM00
モードに比べ、ビーム半径がより大きい高次モードのガウシアンビームが生じやすいという問題もある（ガウシアン
ビームについては 2.1.4 節で説明する）。
一方、図 2.3 の End-Pump の場合、Pump 光によって励起される部分とレーザー発振の起こる部分との重なりが大きく、高効率が望める。また、照射部分での Pump 光のビーム半径が小さければ TEM00 モードの割合も大きくなり、
高品質なレーザー発振が得られやすい。End-Pump の場合の欠点としては、Pump 光を透過し Output 光を反射する
ような特殊なミラーが必要であったり、Pump 光としてレーザー光のような指向性や収束性のある性質の良い光が必要であることなどが挙げられるが、それらの条件が揃えば End-Pump の方がより良い方法であると言える。
したがって、今回の実験では End-Pump による DPSS レーザー（Diode-End-Pumped Solid-State laser ともいう）
を製作した。

2.1.3 DPSS レーザーにおける熱的効果
結晶の加熱*4 2.1.1 節の図 2.1 で見たように、Nd:YVO DPSS レーザーでは 808nm の Pump 光を吸収して 1064nm のレー
4

ザー光を出力する。つまり、808nm Pump の Nd:YVO4 DPSS レーザーのエネルギー変換効率の上限は

hνoutput
λpump
808
=
=
' 0.76hνpumpλoutput
1064

(2.1)

となることがわかる。そして、図 2.1 で表される 1 サイクルにおいて、Pump 光の Photon と出力光の Photon のエネ
ルギー差に相当するエネルギー h(νpump − νoutput ) のほとんどは最終的に熱として放出され、これを Quantum Defectと呼ぶ。
実際には、Quantum Defect 以外にもエネルギー変換効率を下げる様々な要因がある。図 2.1 の 4 準位系は簡略化されたモデルで、実際の準位構造はずっと複雑である。そのため、例えば図 2.1 で考えていなかった他の準位に対してPump 光の吸収が起こり、そこから基底状態に緩和する際に放出されるエネルギーが最終的に熱となる場合や、図 2.1の準位 (ii) からの緩和が別の経路で起こり、Pump エネルギーが最終的に全て熱となってしまう場合などが生じうる。
これらの熱が蓄積されるとレーザー媒質の破損につながるため、特に高出力レーザーにおいては、レーザー媒質の冷却が重要となる。また、レーザーの出力パワーやモード、波長などの安定化のためにはレーザー媒質の温度を一定に保つ必要があり、その場合単なる冷却だけでは不十分で、ペルチェを用いた温調によるレーザー媒質の温度の安定化が必要となる。
また、808nm の Pump 光の吸収は活性イオンである Nd3+ イオンによって起こるので、Nd:YVO4 の 808nm における吸収係数 αp は Nd3+ イオンのドープ量に比例する。例えば、1.0% ドープの Nd:YVO4 においては αp = 31.4cm−1となり、これは 1mm 以下でほぼ全ての Pump 光が吸収されることを意味する。つまり、吸収係数が大きいと上で見たような Pump 光による結晶の加熱が局所的に起こるようになり、結晶の破損につながる。よって、結晶の吸収係数つ
まりドープ量は小さい値である必要があり、今回の実験では 0.3% ドープの Nd:YVO4 結晶を用いる。
熱レンズ効果レーザー媒質である Nd:YVO4 結晶中には、前節で説明した加熱効果によって温度勾配が生じる。結晶中に温度勾配が生じると屈折率にも空間勾配が生じ、この屈折率勾配によって結晶がレンズのように働く。これを熱レンズ効果という。今回作成した DPSS レーザーでは、この結晶の熱レンズ効果を利用して共振器を組んでいる。

*4 以下の説明は、主に [20] , [21] を参考にしている。

第 2 章 原理

26

そこで、End-pump DPSS レーザーにおける熱レンズ効果について考えてみる。簡単のため、レーザー媒質として
図 2.4 のような円筒形の結晶を考え、円筒座標系を設定する。そして、結晶側面の温度を一定に保った状態で −z 方向から結晶端面の中心に Pump 光を照射している場合を考える。なお、ここでの議論は主に [23] を参考にした。

l
Pump

a
z
0

r
図 2.4

↑側面：一定温度

熱レンズ効果定常状態において、結晶中の熱流を h(r, z)、単位体積・単位時間あたりに発生する熱量を Q(r, z) とすると、以下のような連続の式が成り立つ。

∇ · h(r, z) = Q(r, z)(2.2)

また、熱流 h(r, z) は結晶の熱伝導率 Kc を用いて

h(r, z) = −Kc ∇T (r, z)(2.3)と表される。今、Pump 光のエネルギーのうち γ (0 < γ < 1) だけが熱に変換されるとすれば、単位体積・単位時間あたりに発生する熱量 Q(r, z) は結晶の Pump 光の波長での吸収係数を αp 、Pump 光の単位面積あたりの入射光強度を

Ip (r) として、

Q(r, z) = αp γIp (r)e−αp z(2.4)と表される。よって、式 (2.2) と式 (2.4) から Q(r, z) を消去する。

∇ · h(r, z) = αp γIp (r)e−αp z(2.5)

ここで、z 方向の熱流は無視できるものとし、対称性から r 方向のみの熱流 h(r, z) = h(r, z)êr を考える。そして、図2.5 のような領域 V について式 (2.5) の両辺を積分し、ガウスの定理を用いると

図 2.5 領域 V

∫

−αp z

Ip (r0 )2πr0 dr0
∫ r
−αp z
h(r, z)2πr∆z = αp γe· 2π∆zr0 Ip (r0 )dr00∫αp γe−αp z r 0
r Ip (r0 )dr0
∴ h(r, z) =r0

∇ · h(r, z)dV = αp γe
V

∫ r

∆z

0

(2.6)

2.1 DPSS レーザー27が得られる。
次に、位置 r と中心 r = 0 との温度差 ∆T (r, z) = T (0, z) − T (r, z) を定義すると、式 (2.6) を式 (2.3) に代入し、その r 方向成分について考えれば（h(r, z) = h(r, z)êr と考えていたので）、

αp γe−αp zr∫ r∂T (r, z)∂r0∴ ∆T (r, z) = T (0, z) − T (r, z)∫ r∂T (r0 , z) 0
=−
dr
∂r0
0
∫ 0
∫
αp γe−αp z r dr0 r 00=
r Ip (r00 )dr00
0
Kc
0 r
0
∫
αp γe−αp z r s(r0 ) 0
dr
=
Kc
r0
(
)
∫ r0
0
0
0
s(r) ≡
r Ip (r )dr とした
r0 Ip (r0 )dr0 = −Kc

(2.7)

0

となる。また、位置 r と中心 r = 0 で結晶を通ったそれぞれの光の間に生じる位相差 ∆φ(r) = φ(0) − φ(r) を定義す
ると、∆φ(r) は∆φ(r) =
=

2π
λ
2π
λ

∫ l
∆n(r, z)dz0∫ l
∆T (r, z)
0

dn
dz
dT

(n：結晶の屈折率)(2.8)と表すことができる。よって、式 (2.7) を式 (2.8) に代入すれば、∫∫ r
2πγ(dn/dT ) ls(r0 ) 0−αp z∆φ(r) =
dr
αp e
dz
Kc λ
r0
0
∫ r0 0)2πγ(dn/dT ) (s(r ) 0=1 − e−αp l
dr
Kc λ
r0
0

(2.9)

が得られる。[27] によれば、位置 r を通る光に対する熱レンズの焦点距離 fth (r) はfth (r) =2πr
λ {d∆φ(r)/dr}(2.10)

で与えられるので、式 (2.9)、(2.10) より今の場合の fth (r) は

Kc r 2fth (r) =γ(dn/dT )s(r){11 − e−αp l}(2.11)となる。Pump 光強度がガウシアンビームのように中心 r = 0 で特に強い場合は、r = 0 での焦点距離 fth (0) を考えればよく、式 (2.11) で r → 0 とすれば、

{
lim

r→0

s(r)
r2

{

}
= lim

r→0

1
r2

∫ r

0

0

r Ip (r )dr0}= Ip (0)0Kc∴ fth (0) =Ip (0)γ(dn/dT ){1
1 − e−αp l}となる。
一方、Pump 光として結晶端面で図 2.6 のような矩形状の光強度分布をもつ光を仮定すると、(2.12)

第 2 章 原理

28

Ip (r)Ip (r)

wp
図 2.6

{

wp

r

Pump 光の結晶端面での光強度分布

}

{

}
∫ r
1
0
0
r
I
(0)dr
p
r→0
r→0 r 2 0
}
{
1 1 2
·
r
I
(0)
= lim
p
r→0 r 2 2
1
= Ip (0)
2
{
}
1
2Kc
∴ fth (0) =Ip (0)γ(dn/dT ) 1 − e−αp l
lim

s(r)
r2

= lim

(2.13)となり、また Ip (0) は全 Pump パワー Pp を用いて

Ip (0) =Ppπwp2(2.14)と表せる。よって、式 (2.13)、(2.14) より結晶に生じる熱レンズの焦点距離 fth は

fth = fth (0){}2πKc wp2
1=
Pp γ(dn/dT ) 1 − e−αp l=2πKc wp2
Pa (dn/dT )(())
Pa = Pp γ 1 − e−αp l ：結晶に吸収される Pump パワー(2.15)

で与えられることがわかる。今回の実験における結晶端面での Pump 光の光強度分布は、光ファイバー端面での光強度分布とほぼ同じ形状となっており、図 2.6 のような矩形状の光強度分布で近似することができる。
この熱レンズの焦点距離 fth が実際どのくらいの値になるのか、具体的に計算してみる。1.0% ドープ Nd:YVO4 結晶の諸性質は表 2.1 のようになる [28]。ここで、Nd:YVO4 は 1 軸性結晶であり表 2.1 の各値に記された a , c は、a が常光方向に対する値、c が異常光方向に対する値を示す。今回の実験では a-cut と呼ばれる 1 つの a 軸に対して垂直に切断された結晶（図 2.4 において、1 つの a 軸が z 軸方向）を用いており、偏光方向が c 軸に平行なレーザー発振が得られる。

2.1 DPSS レーザー

29

熱膨張率

βa = 4.43 × 10−6 /K , βc = 11.37 × 10−6 /K

熱伝導率

Kc·a = 5.10W/(m · K) , Kc·c = 5.23W/(m · K)

熱光学係数

dna /dT = 8.5 × 10−6 /K , dnc /dT = 2.9 × 10−6 /K

吸収係数

αp = 31.4cm−1 (@808nm)

Gain 幅

0.96nm (@1064nm)

レーザー発振における偏光方向

c 軸に平行

表 2.1 1.0% ドープ Nd:YVO4 結晶の諸性質 [28]そこで、式 (2.15) において例えばKc = 5.17W/(m · K) (Kc·a と Kc·c はほぼ等しく、2 つの平均を使用)
wp = 500µm
Pa = 25W

dn/dT = 2.9 × 10−6 /K (c 軸方向の値を使用)(2.16)とすれば、焦点距離 fth は

fth = 112mm(2.17)となる。なお、式 (2.15) は簡単化されたモデルから得られる焦点距離であり、出力されるレーザー光などについては考慮しておらず、実際の焦点距離は式 (2.15) から得られる結果より大きくなる（3.2 節参照）。しかし、fth が Pump
パワーに反比例するというような関係は、実験結果においても見られる。
温度変化による周波数ドリフトとモードホップ

DPSS レーザーにおける熱的効果としては、他に温度変化によって起こる周波数ドリフトとモードホップの問題が挙げられる。共振器やエタロン、また共振器中の空気などでは、温度変化によって熱膨張や屈折率の変化が起きる。これは 2.1.6、2.1.7 節などで見るように共振器長、つまり共振器の FSR の変動を引き起こし、周波数ドリフトやモード
ホップが生じてしまう。
そこで、これらを防ぐためには共振器長を安定化しなければならない。共振器長を安定化する方法としては PZT（ピエゾ）によるフィードバックが考えられるが、この場合安定な Reference Cavity や Lock 回路などのエレクトロニク
スによる制御が必要となり、装置が複雑になってしまう。そこで、今回作製する DPSS レーザーでは、温調によって装置の温度を一定に保つことで共振器長の安定化を行うことを試みた。なお、共振器長を変化させる要因としては他に振動も考えられるが、これは DPSS レーザーを除震台に乗せ Optics の高さを低くすることで解決する。
ここでは紹介にとどめ、具体的な安定化の方法は 3.4 節で説明する。

第 2 章 原理

30

2.1.4 ガウシアンビーム
ここでは、一方向に伝搬する近軸の光を表すガウシアンビームの性質について考える。レーザー光のビーム形状に関する性質は、ガウシアンビームによってよく表すことができる。
一様媒質中のマクスウェル方程式

∇·D =0
∇·B =0∂B∇×E =−



∂t


∂D
∇×H =

∂t



D = εE
B = µH




1
c

 √ =
(n：媒質の屈折率)εµn(2.18)

より、電場 E について

∇2 E −

n2 ∂ 2 E=0c2 ∂t2(2.19)という波動方程式が得られる。ここで E(r, t) = E(r, t)ê とすることで、電場をスカラー E(r, t) として扱い、さらに単色の電場 E(r, t) = E(r)e−iωt を考えることで、式 (2.19) は()
n2 ω 2k2 = 2c∇2 E(r) + k 2 E(r) = 0(2.20)というヘルムホルツ方程式となる。そして、一方向（z 方向）に伝搬する近軸の光ikz E(r) = E0 (r)e
∂E0
∂E0
∂ 2 E0λ |E0 | , λ
2
∂z
∂z
∂z

(2.21)(2.22)

を仮定すると、}∂2∂2 {E(r) = 2 E0 (r)eikz
2
∂z
∂z
)
(
∂E0
∂ 2 E02+ 2ik− k E0 eikz
=
∂z 2
∂z
(
)
∂E0
2
' 2ik
− k E0 eikz∂z2π
式 (2.22) と k =
から

λ

∂E0
∂ 2 E0∂E0 k|E0 | ,
 k

∂z
∂z 2
∂z

(2.23)







なので。
であることから、式 (2.20) より近軸における波動方程式として∂E0∇2T E0 + 2ik
=0
∂z

(
∇2T =

∂2
∂2
+
∂x2
∂y 2

)
(2.24)

が得られる。この解は

w0
Hl
Elm (r) = E0
w(z)

(√

2x
w(z)

)

(√
Hm

2y
w(z)

)

[ 2
{ ( 2
)
}]
x + y2x + y2exp −−i k+ z − (l + m + 1)η(z)(2.25)w(z)2R(z)

2.1 DPSS レーザー31
(l, m = 0, 1, 2, · · · )となり、これを TEMlm モード (TEM : Transverse ElectroMagnetic) のガウシアンビームと呼ぶ。ここで、

√

( )2


z


1
+
w(z)
=
w
0


z

R



2
2


 R(z) = z + zR
z ( )


z

 η(z) = arctan


zR




2

πw
n

0
 zR =(レイリー長)λ(2.26)(2.27)(2.28)(2.29)であり、Hn (x) は n 次のエルミート多項式を表す。式 (2.25) で、特に l = m = 0 とした TEM00 モードのガウシアン
ビーム

[ 2
{ ( 2
)
}]
w0
x + y2x + y2E00 (r) = E0
exp −
−i k
+ z − η(z)
w(z)
w(z)2
R(z)

(2.30)

は基本ガウシアンビームとも呼ばれ、その強度分布はガウス分布となり、性質の良い光としてレーザー光学の分野では重要視される。実際の光は、式 (2.25) において l, m の値が異なる様々なモードの重ね合わせ状態となっており（空間モードあるいは横モードがマルチモードであるという。l, m の値が異なるモードどうしは干渉しない）、これによってビームの空間形状が決定される。光がほぼ TEM00 モードのみから成る場合は、空間モード（横モード）がシングル
モードであるという。

図 2.7 ビーム半径 w(z)

図 2.8 曲率半径 R(z)式 (2.26) の w(z) はガウシアンビームのビーム半径を表し、図 2.7 のように z  zR で z に対し 2 次関数的に、z  zR で z に対し直線的に変化する。w(z) が最小値 w0 をとる位置はビームウエストと呼ばれ、この位置で z の原点
z = 0 が定義される。また、式 (2.26) より z  zR でのガウシアンビームの広がり角 θ はおよそ
θ = arctan

w0
λ
w(z)
'
=
z
zR
πw0 n

(2.31)となることがわかる。なお、実効的なビーム半径は式 (2.25) のエルミート多項式にも依存し、一般に l, m が大きいほど大きくなる。

第 2 章 原理

32
式 (2.27) の R(z) はガウシアンビームの曲率半径を表し、図 2.8 のように変化する。つまり、

z  zR










 z = zRz  zR








: R(z) → ∞（ビームウエストの周辺では、ガウシアンビームはほぼ平行光とみなせる）: R(zR ) = 2zR（z = zR で、曲率半径は最小となる）: R(z)'z(

遠方では、ガウシアンビームはビームウエストに置かれた点光源から放射される球面波とみなせる)となることがわかる。
式 (2.28) の η(z) はガウシアンビームの位相に関わる要素である。
式 (2.29) のレイリー長 zR は、以上よりガウシアンビームを特徴付ける重要な値であることがわかり、ガウシアン
ビームは z  zR で平面波のように、z  zR で球面波のように振る舞う。

2.1.5 ABCD 行列とビームパラメータ
ここでは、光線追跡によく用いられる ABCD 行列法について説明する。ABCD 行列法では、図 2.9 のような光軸からの距離 y と光軸との成す角 γ を要素とする光線ベクトル

(

y
γ

)
(近軸 sin γ ' γ を仮定)

図 2.9

(2.32)

光線ベクトルを考える。そして、光線ベクトルがある光学要素を通過した後

(

y0
γ0

)

(
=

A
C

B
D

)(

y
γ

)
(2.33)と変化したとき、この光線ベクトルの写像を表す行列を ABCD 行列と呼ぶ。ABCD 行列は、表 2.2 のように様々な光学要素に対して定義することができ、これによって光線の追跡が可能となる。ここで表 2.2 からわかるように、曲率半
径 r の球面ミラーは焦点距離 f = 2r のレンズと同じ機能（光を収束させる機能）を持っている。このような集光素子
は、共振器を組む上で重要な要素となる。

ABCD 行列はガウシアンビームの伝播に対しても応用することができる。そのために、まずビームパラメータq ≡ z + izR(zR ：レイリー長)(2.34)

を定義する。この逆数を考えると、式 (2.26)〜(2.29) より

z
1
zR
= 2
2 − i z2 + z2
qz + zR
R
λ
1
−i
=
R(z)
πnw(z)2(2.35)

2.1 DPSS レーザー

33(
均一な媒質中での長さ l の伝播

焦点距離 f のレンズ(

屈折率 n1 , n2 の媒質の界面（平面）（曲率半径 r の球面）

)

l

0 1

(

屈折率 n1 , n2 の媒質の界面

1

(

1

0

− f1

1

1

0

0

n1
n2

)

)

1

0

n2 −n1 1
·r
n2

n1
n2

(
曲率半径 r の球面ミラー

表 2.2

1

0

− 2r

1

)

)

ABCD 行列となり、この形で用いられることが多い。このビームパラメータを用いると、光がある ABCD 行列で表される光学要
素を通過する前のビームパラメータを q 、通過した後のビームパラメータを q 0 としたとき、

q0 =

Aq + B
Cq + D(2.36)という関係（ABCD 則）が成り立つ。

2.1.6 共振器 (Cavity)
共振器内のビーム形状
ここでは 2.1.4、2.1.5 節で得られた知識をもとに、共振器内に存在するガウシアンビームのビーム形状について考える。共振器とはミラーによって光を有限領域に閉じ込めるもので、そこでは共振器を 1 周したときにビームパラメータが元と同じになるような共振器特有のモードが選択される。
ここでは、例として図 2.10 のような焦点距離 f のレンズ 1 枚を含み、平面ミラー 4 枚からなる 1 周の共振器長 l の

Bow-tie Cavity について考える。なお、この Bow-tie Cavity は今回制作する DPSS レーザーの Cavity をモデル化したもので、レンズとして 2.1.3 節で説明した Nd:YVO4 結晶の熱レンズ効果を利用している。

第 2 章 原理

34f
１周の共振器長 l

図 2.10 Bow-tie Cavity 中のビーム形状 1

まず、図 2.10 の Bow-tie Cavity を簡単化して考えるために、図 2.11 を考える。平面ミラーの機能は光の進行方向を変えるだけで、ABCD 行列で考えれば平面ミラーは単位行列に相当し、光は直進するものとして扱える。よって、図2.11 の (i) の Bow-tie Cavity は図 2.11 の (ii) のようにレンズが周期 l で直線上に並んだものと等価となる。ここで、2.1.5 節で見たように焦点距離 f のレンズは曲率半径 r = 2f の球面ミラーと等価であるため、図 2.11 の (ii) はさらに
図 2.11 の (iii) のように平面ミラーと球面ミラー 1 枚ずつからなる Fabry-Perot 共振器（2 枚の対向したミラーで構成される共振器）に置き換えて考えることができる。このような Fabry-Perot 共振器中では、それぞれのミラー上でミラーと同じ曲率半径を持つビームのみが安定に存在する。つまり、図 2.11 の (iii) の共振器中に安定して存在する光のモードは、対称性から平面ミラー上で焦点（ビームウエスト）を持ち、球面ミラーの位置で曲率半径が 2f となるようなガウシアンビームである。よって、式 (2.27) から

f
１周の共振器長 l

(i)

l

l

l

(ii)
f

f

f

f

l/2

(iii)
r = 2f
図 2.11 Bow-tie Cavity 中のビーム形状 22f = R(l/2) =2(l/2)2 + zR
l/2

2.1 DPSS レーザー

35
2
∴ zR
=

l
(4f − l)4(2.37)

2という条件が得られる。zR> 0 であることから、

l < 4f(2.38)という条件が必要となり、式 (2.38) が成り立たないと光が共振器に共鳴しない。レーザーにおいては、共振器が式(2.38) を満たさないとレーザー発振が起こらない。式 (2.29)、(2.37) から( 2 )2
l
πw0 n
2
zR
=
= (4f − l)λ4{
∴ w0 =

} 41
lλ2
(4f
−
l)
4π 2 n2(2.39)となり、これが共振器中の焦点でのビーム半径を表す。図 2.11 の (i) で見れば、共振器中でレンズ（結晶）と対称な位置、つまりレンズ（結晶）から距離 l/2 の位置でのビーム半径を表す。また、結晶端面でのビーム半径は式 (2.26) より√(

w(l/2) = w0

1+

√

(
w02 +

=
√
=

v
u
u
=u
t

πn

l
2zR

)2

lλ
2πw0 n)2

2f lλ√l(4f − l)
λ
√ (

πn

1
f

1
1
l − 4f(2.40))となる。これは結晶端面での Pump 光と Output 光の重なりの大きさに関わる重要な値であり（2.1.2 節参照）
、1 周の共振器長 l が増加するとともに w(l/2) も増加する。
ここまで見てきたことは、2.1.4 節で得られたガウシアンビームの基本式から導かれた。以下では、同様のことを

2.1.5 節の ABCD 行列とビームパラメータを用いて考えてみる。図 2.12 の矢印のように、レンズの直後から共振器を1 周したときの ABCD 行列は

f
１周の共振器長 l

図 2.12 Bow-tie Cavity 中のビーム形状 3

(

A
C

B
D

)

(
=

1
0

l
1

)(

1
− f1

0
1

(

)
=

1 − fl− f1

l1)(2.41)と表される。共振器を 1 周したときにビームパラメータが元と同じになる条件（self-consistent 条件）は、式 (2.36)
より

q=

Aq + B
Cq + D第 2 章 原理

36
( )2
1
1
∴B
+ (A − D) − C = 0qq(2.42)となる。ここで、光が共振器中で安定して存在するためには、ビーム半径が発散しないという条件も必要となり、式λ(2.35) から 1q = R1 − i πnw
2 であるので、

( )
1
6= 0
q
⇐⇒ 式 (2.42) の左辺の判別式 < 0

ビーム半径が発散しない ⇐⇒ Im(2.43)

よって、式 (2.41)、(2.42)、(2.43) より

0 > (A − D)2 + 4BC= (A + D)2 − 4 (∵ AD − BC = 1 なので)
(
)2
l
−4
= 2−
f
(
)
l l
−4
=
f f

(2.44)

これは0 < l < 4f

(2.45)となり、式 (2.38) と同様の条件が得られる。次に、式 (2.42) を解くと、式 (2.41) より

( )2
1
l 1
1
l
− · + =0
q
f q
f
√
( )
l

f
1
∴ =
q

−i

4l
f −

l
f

2

(2.46)2l1λとなる。これを 1q = R− i πnw
2 と比較すれば、

√
λ
1
=
2
πnw
2l
v
u
u
∴w=u
t

πn

4l
−
f

( )2
l
f

λ
√ (

)

1
f

1
1
l − 4f(2.47)

が得られる。ビームパラメータ q はレンズ直後のビームパラメータを考えていたので、式 (2.47) の w はレンズ直後のビーム半径を表し、これは式 (2.40) と同じ結果となる。

2.1 DPSS レーザー

37

周波数モード（縦モード）と空間モード（横モード）
共振器中では特定の周波数モードと空間モード（ガウシアンビームにおいて、l, m = 0, 1, 2, · · · によって決まる

TEMlm モード）が許され、それぞれ縦モード、横モードとも呼ばれる。そして特にレーザー発振において、周波数モードでは 1 つの周波数のみが、空間モードでは TEM00 モードのみが許される場合をそれぞれシングルモードであるといい、そうでない場合をマルチモードであるという。

Laser
↑
(i)共鳴
図 2.13↑(ii)非共鳴

共振器中の定在波

まず、周波数モードについて考える。共振器中では共振器に共鳴する周波数が許され、これは共振器 (Linear Cavity)
中で定在波ができることに対応する。つまり、図 2.13 のように一方のミラーを固定してレーザー光を入射し、共振器中に生じるべき定在波を考えたとき、もう一方のミラーが (i) のように定在波の節の位置にあるときは光が共振器に共鳴し、もう一方のミラーが (ii) のように定在波の節の位置にないときは光が共振器に共鳴しない。よって、光が共振器に共鳴するときnl = N λ


n
 l

 λ
N

(2.48)
: 共振器中の媒質の屈折率
: 1 周の共振器長: レーザー光: 整数が成り立つ。なお、光が共振器に共鳴するためには、必ずしも共振器中に定在波ができる必要はない。定在波は 2 つの対向する進行波が重なることで生じるが、Bow-tie Cavity のような回転方向が存在する共振器 (Ring Cavity) では 1方向の進行波のみが存在しうる。実際、今回作成した DPSS レーザーでは、Bow-tie Cavity を用いて 1 方向の光のみで発振している（2.1.7 節、3.3 節参照）。しかし、共振器に光が共鳴したり、共振器中で光を増幅しレーザー発振を起こすためには、共振器中を回る光の位相が揃っている必要があり、式 (2.48) と同じ条件が必要となる。
式 (2.48) では共鳴条件を波長で考えていたが、これを周波数で考えると次のようになる。

f=

c
c
=N
= N · FSR
λnl(2.49)

ここで、FSR(Free Spectral Range) は

FSR = (光が共振器を 1 周する時間)−1
光速 c=
共振器 1 周分の光路長 nl(2.50)

であり、共振器の性質を表す重要な値の一つである。式 (2.49) より、共振器に共鳴する光の周波数は図 2.14 のように
間隔 FSR で周期的に存在することがわかる。これが共振器中で許される周波数モードであり、図 2.14 のような共鳴を表す間隔 FSR の周期的なピークは周波数コム (Comb) と呼ばれる。

第 2 章 原理

38(i)共鳴 (ii)非共鳴
↓
↓

Laser
Cavityf0

FSR
図 2.14周波数コム (Comb)

共振器にレーザー光を入射しその透過光を観測すると、図 2.14 と同様な櫛（くし）状の周期的なピークが観測される。しかし、そのピークは δ 関数ではなく、有限の幅を持つ。そこで、この線幅を評価するために、図 2.15 のようなエネルギー反射率 R1 , R2 の 2 枚のミラーからなる 1 周のエネルギーロス L、1 周の共振器長 l の Fabry-Perot 共振器を考える。この共振器に図 2.15 のように光電場 Ei で表される光を入射すると、透過光の光電場 Et は

l/2
Ei

Et
L

R1

R2

図 2.15 共振器の線幅 1

Et =

√
|

1

φ

1 − R2 (1 − L) 4 ei 2
{z
+

√
|

√

1 − R1 Ei}

共振器を 0 周

1 − R2{√}
φ√
1
R1 R2 (1 − L)eiφ (1 − L) 4 ei 2 1 − R1 Ei{z}共振器を 1 周

}2
{√
φ√
1
+ 1 − R2
R1 R2 (1 − L)eiφ (1 − L) 4 ei 2 1 − R1 Ei + · · ·
|
{z
}
√

共振器を 2 周

=

√

)
(
nl
ω
nl
=
φ ≡ 2π = 2πf
λ
c
FSR

1
4

iφ
2

(1 − R1 )(1 − R2 )(1 − L) e


∞ {√
}j
∑

R1 R2 (1 − L)eiφ  Ei
j=0

√
φ
1
(1 − R1 )(1 − R2 )(1 − L) 4 ei 2√=
Ei
1 − R1 R2 (1 − L)eiφ(2.51)

2.1 DPSS レーザー39となる。よって、透過光の光強度 It は、入射光の光強度を Ii とすれば

It = ε0 chEt∗ Et i

( h·i：時間平均 )√(1 − R1 )(1 − R2 ) 1 − L}{} ε0 chEi∗ Ei i
={
√
√
−iφ
iφ
1 − R1 R2 (1 − L)e
1 − R1 R2 (1 − L)e√(1 − R1 )(1 − R2 ) 1 − L√=
Ii
1 + R1 R2 (1 − L) − 2 R1 R2 (1 − L) cos φ(2.52)と表される。例えば R1 = R2 = 0.99, L = 0.001 としたとき、It /Ii のグラフを描くと図 2.16 のようになり、周波数において間隔 FSR ごとに有限の幅を持つピークが現れる。

FWHM

図 2.16 共振器の線幅 2そこで、図 2.16 に見られるようなピークの FWHM（Full Width Half Maximum、半値全幅）を式 (2.52) から求めてみる。式 (2.52) より、It /Ii が最大値の 1/2 の値をとるときの φ を φ 1 とすれば、
2

1
1
1
·
=
2
2
2 1 + Z − 2Z
1 + Z − 2Z cos φ 12
cos φ 12 = 1 −(Z ≡√R1 R2 (1 − L))(1 − Z)22Z{(1 − Z)2∴ φ 12 = 2πN ± arccos 1 −2Z}(N ：整数)(2.53)となる。よって、It /Ii が最大値の 1/2 の値をとるときの入射光の周波数 f 1 は、φ = 2πf /FSR より
2{}(1 − Z)2
FSR
f 12 = N · FSR ±arccos 1 −2π2Z(2.54)

第 2 章 原理

40となり、FWHM はFWHM ={}
FSR(1 − Z)2
arccos 1 −π2Z(2.55)と求まる。FSR と FWHM から、Q 値に対応する Finesse という値を計算することができ、これはFinesse ≡

FSR
FWHM

(2.56)

で定義される。一般に、Finesse が大きいほど良い共振器とされる。今の場合、Finesse は式 (2.54) より

Finesse =

π
π
{
}=
{
}
√
(1−Z)2(1− R1 R2 (1−L))2
arccos 1 − 2Z√
arccos 1 −2で表される。特に、Z w 1 のときはという近似式が成り立つため、√(2.57)

R1 R2 (1−L)}{
1−Z(1 − Z)2w √arccos 1 −2ZZ(2.58)

R1 R2 (1 − L) w 1 のとき式 (2.57) は1

π {R1 R2 (1 − L)} 4√
Finesse w
1 − R1 R2 (1 − L)

(2.59)と近似でき、この形で用いられることが多い。また、Z . 1 のとき別の近似式として{}(1 − Z)2
arccos 1 −w − ln Z
2Z(2.60)π√
R1 R2 (1 − L)

(2.61)という式もあり、式 (2.57) はFinesse w −lnと近似することもできる。
次に、空間モードについて考える。周波数モードについて考えた際は空間モードを考慮していなかったが、実はこれは厳密な議論ではない。ガウシアンビームの共鳴条件は、式 (2.25) の位相成分

θlm (z) = kz − (l + m + 1)η(z)(2.62)

に対して考えるべきであり、図 2.17 のようなミラー間の距離が d (z2 − z1 = d) であるような Fabry-Perot 共振器を考えた場合、共鳴条件は

d

z1

z2

z

図 2.17 周波数モードの空間モード依存性 1

θlm (z2 ) − θlm (z1 ) = N π(N ：整数)∴ kd − (l + m + 1) {η(z2 ) − η(z1 )} = N π(2.63)

2.1 DPSS レーザー41となる（共振器を半周したときの共鳴条件を考えている）。よって、式 (2.63) より共振器の共鳴条件は l + m の値に依存することがわかる。これを周波数で見ると、図 2.18 のように 1FSR 内に空間モードに依存した様々な共鳴ピークが
現れる。

f

0

FSR
図 2.18 周波数モードの空間モード依存性 2

次に、式 (2.63) の共鳴条件を図 2.19 のような共焦点共振器（曲率半径 r の 2 枚のミラーを間隔 r で置いた共振器）について考えてみる。図 2.19 の共焦点共振器においてレイリー長 zR は zR = 2r となるので、式 (2.63) の共鳴条件は

d=r

r

r

z1 = - r/2

z2 = r/2

図 2.19z

共焦点共振器


(
)
−r/2

 η(z1 ) = arctan r/2 = − π4( ) η(z2 ) = arctan r/2 = πr/24kd − (l + m + 1)

π
= Nπ
2
k = (2N + l + m + 1)

∴f =

π
2d

kc
2πn

c
= (2N + l + m + 1)
|
{z
} 4nd

(2.64)

整数となる。したがって、図 2.19 のような共焦点共振器の周波数モードは図 2.20 のようになり、図 2.18 で見られたたくc
間隔で縮退することがわかる。これは、図 2.21 のように共焦点共振器中の実効的な光路がさんの周波数モードが 4ndc
1 周 4d の Bow-tie Cavity 型となり、実効的な FSR が FSR = 4ndとなっているものとして理解できる。共焦点共振器は図 2.20 のように簡単なスペクトル構造を持つため、レーザーの周波数モードの観測などに適しており、今回の実験の中で作成した Reference Cavity（付録 B.8 参照）も共焦点共振器で構成されている。

第 2 章 原理

42

d

0

f
FSR = c / 4nd
図 2.20

図 2.21 共焦点共振器中の光路共焦点共振器の周波数モード

2.1.7 レーザー発振
ここではレーザー発振の原理について軽く触れ、マルチモード発振やシングルモード発振、周波数ドリフト、モード
ホップなどについて説明する。
レーザー発振は正のフィードバックによって生じる発振現象として理解できる。同様のわかりやすい発振現象として、ハウリングが挙げられる。マイクで拾った信号をアンプで増幅してスピーカーから出力する場合を考えると、ス
ピーカーから出力された音を再びマイクが拾うという信号のループできる。そして、この信号のループにおいてマイクとスピーカーとの距離によりある特定の周波数で位相が強め合い（正のフィードバック）、このループの利得が十分大きいと発振が起こって、スピーカーから「キーン」という大きな音が発生する。この現象をハウリングという。
レーザー発振においても、基本的には同様のことが起こっている。レーザー媒質として、図 2.22 のような 2 準位系を持つ物質を考える。この物質に、準位間のエネルギー差 E2 − E1 に対応した光を照射すると、図 2.22 の (i) のように光の吸収が起こり、電子が励起準位へ励起される。その後励起準位の寿命程度の時間が経過すると、電子は図 2.22の (ii) のように再び基底準位に戻り、その際 E2 − E1 のエネルギーを持つ光を放出する。これを自然放出といい、その際光はランダムな方向に放出される。一方、電子が励起準位にあるときに E2 − E1 のエネルギーを持つ光が入射されると、この場合も電子は図 2.22 の (iii) のように光を放出して基底準位に戻る。しかし、この際に放出される光は自然放出と異なり、入射光とエネルギー・位相・進行方向の等しい光となり、この現象を誘導放出という。

E1

E1

E1

E2

E2

E2

(i) 吸収(ii) 自然放出
図 2.22(iii) 誘導放出

レーザー発振レーザー発振においては以上の 3 つの現象が重要となる。特に (iii) の誘導放出によって放出されるコヒーレントな
光をうまく利用することで、正のフィードバックが実現され、自然放出によって放出された種光を増幅して発振させることが可能となる。つまり、レーザー媒質を共振器内に置くことで、2.1.6 節で説明したような共振器に共鳴するモードにおいて正のフィードバックが起こり、レーザー発振を起こすことができる。「Laser」は「Light Ampliﬁcation by

Stimulated Emission of Radiation（誘導放出による光の増幅）」の略であり、これはまさに上のレーザー発振の原理を表している。なお、実際にレーザー発振を起こすためには、励起準位にある電子数の方が基底準位の電子数より多い

2.1 DPSS レーザー43

反転分布状態（負温度状態とも呼ばれる）に保つ必要がある。そこで、実際は励起準位として寿命の長い準位を選び、Pump 光を照射し続けることなどによって電子を励起し、反転分布状態を保っている。
レーザーを上で説明したように共振器とレーザー媒質のみで構成すると、通常は 2.1.6 節で説明したような共振器に共鳴する複数の周波数モード・空間モードで同時にレーザー発振が起こる。これをマルチモード発振と呼ぶ。しかし、マルチモード発振は複数の周波数成分を含むことや集光性が悪いことなどからあまり好まれず、本論文においてもCavity Trap に用いる DPSS レーザーは単一モード（シングルモード）発振であることが必要不可欠である。シング
ルモード発振は、一般に各モード間で利得に差を持たせることで実現される。各モード間で利得に差があると、利得の大きなモードで選択的に発振が起こる。
周波数モードにおけるシングルモード発振は、Etalon を利用して行われることが多く、今回作製する DPSS レー
ザーでも Etalon を用いている。Etalon は、通常両端面に反射コーティングの施されたガラス板で構成され、共振器長の小さい（FSR の大きい）Fabry-Perot 共振器として機能することから、Fabry-Perot Etalon とも呼ばれる。Etalonを利用することで、共振器の各周波数モードの利得は図 2.23 のように Etalon の Gain Curve に応じた差を持つようになる。さらに、レーザー媒質である結晶などの Gain Curve も各モードの利得に関わり、最終的にシングルモードでの発振が可能となる。

Laser Medium
EtalonCavity↑このモードで発振

0

図 2.23f

周波数モードにおけるシングルモード発振

空間モードにおけるシングルモード発振には、Iris などの Spatial Filter がよく利用される。Iris によって、図 2.24のようにレーザーの光路上に絞りを設けることができる。2.1.4 節で見たように、ガウシアンビームの実効的なビー
ム半径は高次のモードになるほど大きくなるので、Iris を置くことにより高次のモードに対するロスを大きくできる。
よって、最も利得の大きな TEM00 モードでシングルモード発振することができる。

Iris

Laser

図 2.24 空間モードにおけるシングルモード発振

レーザー発振に関わるモードとしては、周波数モードと空間モードの他に発振方向と偏光方向が考えられる。
そこで、次に発振方向について考える。特に Bow-tie Cavity のような Ring Cavity においては、周波数モードと空間モードが等しい 2 つの発振方向が存在し、この 2 つのモードの利得が等しいと両者の間で競合が起こってしまう。そこで Ring Cavity においては、外部から 1 つの発振方向に対応した共振器に共鳴する光を注入すること（Injection と呼ぶ）によって、その発振方向の利得をもう 1 つの発振方向より大きくすることができる。今回の実験においても、発第 2 章 原理

44

振された光の一部を取り出し、Isolator を用いて 1 方向の光のみを再び共振器中に光を注入しており、これも一種のInjection と考えることができる。Injection 以外の方法としては、共振器中に直接 Isolator を置き共振器内の光を 1 方向に制限することによっても、発振方向を選択することができる。
偏光方向の選択に関しては、偏光フィルターなどによって各偏光方向間に利得の差を持たせ、直線偏光で発振させることが考えられる。今回の実験では、Nd:YVO4 結晶が一軸性結晶であることからそれ自体が偏光フィルターとして働き、特別な処置をすることなく直線偏光が得られる。これは Nd:YVO4 結晶を用いる上での大きな利点の一つでもある。
次に、周波数ドリフトとモードホップについて説明する。ここでは、レーザーがシングルモード発振している状況を考える。レーザーの発振周波数が連続的に変化する場合、これを周波数ドリフトと呼び、一方レーザーの発振周波数が不連続に跳ぶ場合、これをモードホップと呼ぶ（周波数モード以外に対して使われることもある）。
レーザー発振の際に温度変化が起きると、熱膨張によって共振器長が変わったり Etalon や空気の屈折率が変化して、共振器や Etalon の FSR がわずかに変化する。その間最も大きな利得を持つモードが変わらなければ、この FSR の変化は発振周波数の連続的変化として現れる。これが周波数ドリフトである。また、振動による共振器長の変動などによっても発振周波数の揺れが起こる。
一方図 2.23 からもわかるように、共振器や Etalon の FSR が変化することで各モードの利得が変化し、最も利得の大きなモードが別のモードに移ることがある。このとき、発振周波数は不連続に跳びモードホップが起きる。以上のような周波数ドリフトやモードホップを防ぐためには、共振器長の安定化が必要となる。
また、モードホップは反転分布の減少によっても起こることがあり、これを Hole-Burning という。例えば、Linear

Cavity を考えると Linear Cavity 中では定在波ができる。レーザー媒質中でも図 2.25 のように定在波ができ、定在波の腹の部分では光強度が強くなる。光強度の強い場所では誘導放出が強く起こるため、その位置ではレーザー発振とともに反転分布が減少していく。したがって、反転分布が減少することでこのモードの利得が減少し、他のモードの方が大きな利得を持つようになるとそのモードに発振が移る。これはレーザー媒質中で空間的に穴が空いているようである
ことから Spatial Hole-Burning と呼ばれ、モードホップの 1 つの要因となる。Spatial Hole-Burning は定在波ができることによって起こるが、Ring Cavity を用いることで発振方向を制限し、定在波が生じることを防ぐことができる。

Laser Medium

光強度が大きい ⇒ 反転分布減少
図 2.25 Spatial Hole-Burning2.2 Cavity Trap

45

2.2 Cavity Trap
本節では、共振器増幅光トラップ製作のために必要な知識を述べる。2 準位系の原子と光の相互作用を考えた後、光トラップについて説明し、最後に共振器増幅光トラップについて説明する。

2.2.1 2 準位系の原子と光の相互作用
2 準位系の原子と光の相互作用について考える。以下の議論は [37] を参考にしている。

2 , g 2 , E2

!Z

!Z 0

E 2  E1

1 , g1 , E1
図 2.26 2 準位系の光と原子の相互作用

図 2.26 の様な 2 準位系の原子と、周波数 ω の振動電場の相互作用を考える。ここで、g1 , g2 はそれぞれの準位の縮退度である。

2 準位系の原子の波動関数 Ψ は、以下のシュレーディンガー方程式に従う。
i~

∂Ψ
= HΨ
∂t

(2.65)

ここで、ハミルトニアン H が時間変化しない項 H0 と時間変化する項 H1 (t) の和で書けるとすると、固有関数は以下の様に書ける。

iEn t

Ψn (r, t) = ψn (r)e− ~H0 ψn (r) = En ψn (r)(2.66)(2.67)

ここでは 2 準位系を考えるので、n = 1, 2 である。よって、時刻 t における波動関数は

Ψ(r, t) = c1 (t)ψ1 (r)e−iE1 t/~ + c2 ψ2 (r)e−iE2 t/~−iω1 t= c1 |1ie−iω2 t+ c2 |2ie(2.68)(2.69)となる。ただし、En = ~ωn (n = 1, 2) であり、また規格化の条件から|c1 |2 + |c2 |2 = 1である。

(2.70)

第 2 章 原理

46

ここで、半古典論的に原子と振動電場 E = E 0 cos(ωt) との相互作用を考える。このような振動電場が存在する時、相互作用のハミルトニアンはH1 (t) = µ · E 0 cos(ωt)(2.71)と書ける。µ は電場によって誘起された電気双極子である。*5 ここで、r は原子核の中心から見た電子の座標である。この時、式 (2.69) を式 (2.65) に代入し、左から h1|, h2| を演算させると以下の 2 式が得られる。

ic˙1 = Ωcos(ωt)e−iω0 t c2

(2.72)

ic˙2 = Ω∗ cos(ωt)eiω0 t c1

(2.73)

ここで、ω0 = (E2 − E1 )/~ は準位の共鳴周波数である。また、Ω はラビ周波数と呼ばれ、

h1|µ · E 0 |2i∫ ~1=ψ1∗ (r)µ · E 0 ψ2 (r)dr~Ω≡(2.74)と定義される。
ここで、電場の振幅は原子の波動関数に対しておおよそ均一であると仮定して、|E 0 | を外に出すと、ラビ周波数は次のように書ける。

Ω=

h1|µ · e0 |2i|E 0 |~(2.75)

ここで、e0 は電場の向きの単位ベクトルである。
式（2.72）、式 (2.73) を変形し、ω0 + ω で振動する項を無視すると、*6

Ω iδt
e c2
2
∗
Ω −iδtic˙2 =ec1
2
ic˙1 =(2.76)(2.77)となる。ここで離調 δ を δ ≡ ω − ω0 と定義した。
この連立微分方程式を初期条件 c1 (t = 0) = 1, c2 (t = 0) = 0 の下で解くと、

(
)
Ω2
Wt
2
|c2 (t)| = 2 sin
W
2
(
)
2
Ω
Wt
|c1 (t)|2 = 1 − 2 sin2W22

(2.78)(2.79)となる。ここで、W 2 = Ω2 + δ 2 であり、W は章動周波数と呼ばれている。
以上から、2 準位系の原子と振動電場の相互作用により、原子は 2π/W の周期で吸収 ⇔ 放出を繰り返していることが分かる。*7 この時の |2i → |1i の遷移は誘導放出と呼ばれる。 共鳴時は、振動の周期はラビ周波数となる。
アインシュタインの A 係数
引き続き、図 2.26, 図 2.27 の様な 2 準位系の原子と光の相互作用を考える。電磁波のエネルギー密度を ρ(ω) とした時、*5 相互作用のハミルトニアンは、本来ならば多重極展開によって電気双極子の項、磁気双極子の項、電気 4 重極子の項、…の和で表わされる。

ここでは原子の大きさに比べて十分波長が大きいとする長波長近似を用いて電気双極子の項のみを扱い、4 重極子以上の項は考えない。また
磁気的な相互作用はは電気的な相互作用よりも小さいと考え、これらの項も無視する。（電気双極子近似）*6 ω + ω0 で振動する速い項は、原子と光が相互作用する時間のスケールで考えると、平均して 0 になる。そのため ω + ω0 の振動項は無視できる。これを回転波近似と言う。
*7 Rabi 振動と呼ばれる。

2.2 Cavity Trap

47

2 , g 2 , E2
B21

B12

A21

1 , g1 , E1
図 2.27

アインシュタインの A 係数,B 係数

各準位の原子数 N1 , N2 について次のレート方程式が成り立つ。

dN2= N1 B12 ρ(ω0 ) − N2 B21 ρ(ω0 ) − N2 A21
dt
dN2
dN1
=−
dt
dt

(2.80)(2.81)式 (2.80) の右辺はそれぞれ光子の吸収、誘導放出、自然放出によるものである。式 (2.81) は考えている系が 2 準位系であるので、N1 + N2 が一定であることを表している。
ここで、レート方程式を N2 について解いてやるとN2 (t) = N2 (0)exp(−A21 t)(2.82)となる。これから、A21 は上準位の寿命の逆数であることが分かる。
ここで、エネルギー密度 ρ(ω) は Plank の黒体輻射の式で与えられるので、

ρ(ω) =

~ω 3
1
(
)
2
3
π c exp ~ω − 1(2.83)kB Tと書ける。熱平衡状態では、式 (2.80) の左辺は 0 になるので、

ρ(ω0 ) =

1
A21
1 B12
B21 N
−1
N B
2

(2.84)

21となる。また、熱平衡状態では各準位の原子数はボルツマン分布に従うので、準位の縮退度も考慮に入れると

(
)
N1
~ω
N2
=
exp −
g2
g1
kB T

(2.85)となる。
式 (2.83), 式 (2.84), 式 (2.85) から、

~ω03
B21
π 2 c3g2
B12 = B21g1
A21 =(2.86)(2.87)

第 2 章 原理

48と、アインシュタインの A 係数、B 係数の間の関係式が導出できた。

次節で A21 を使いたいため、A21 の導出を行いたい。そのために、式 (2.78) を用いる。原子と相互作用をする光が弱い（Ω/δ  1）場合を考えると、式 (2.78) は|c2 (t)|2 ∼

Ω2
sin2
δ2

(

)
δ
t
2

(2.88)と近似できる。
ここで、電気双極子モーメントの行列要素をµ12 ≡ h1|µ|2i(2.89)と定義する。式（2.75) から、
2µ12 E0 (ω)
hcos2 θi~|µ12 E0 (ω)|2=
3~2|Ω|2 =(2.90)という関係式が得られる。ここで θ は電気双極子モーメントと電場のなす角であり、hcos2 θi = 1/3 を用いた。
また、光のエネルギー密度 ρ はρ(ω)dω =

0 2
E (ω)
2 0

(2.91)

で与えられる。また入射光の周波数は ±∆ω 程度の幅を持っていると考えられ、光と原子の相互作用を考える上ではこの幅の分の効果を足し合わせる必要がある。よって式（2.88）、式（2.91）から|c2 (t)|2 ∼となる。ここで、t → ∞ で|µ12 |2
30 ~2∫ ω0 +∆ωω0 −∆ω

sin2 (δt/2)dω
δ2(2.92)

sin2 (δt/2)
はデルタ関数となる。図 2.28 には t = 20 の時の関数の形を載せた。このこδ2㪈㪉㪇㫒㫊㫀㫅㩿㱐㫋㪆㪉㪀㪆㱐㫔㪵㪉

㪈㪇㪇
㪏㪇
㪍㪇
㪋㪇
㪉㪇
㪇
㪄㪉

㪄㪈

㪇
㱐㪆㱜㪲㫉㪸㪻㪴

㪈

図 2.28sin2 (δt/2)(t=20)
δ2㪉とから、被積分関数の ρ(ω) を定数 ρ(ω0 ) として積分の外に出すことが出来る。また、x = δt/2 の変数変換を行うと式（2.92）は|c2 (t)|2 ∼2|µ12 |2t× ρ(ω0 )2
30 ~2∫ ∆ωt/2

sin2 xdx
2−∆ωt/2 x(2.93)

2.2 Cavity Trap49となる。ここで、|x| > ∆ωt/2 の領域において、被積分関数の値はほとんど 0 であるので、積分範囲を [−∞, ∞] に拡張できる。積分公式∫ ∞sin2 xdx = π2−∞ xを用いて、式（2.93）は|c2 (t)|2 ∼2|µ12 |2πt× ρ(ω0 )30 ~22(2.94)(2.95)と書ける。よって、原子と光の相互作用による |1i → |2i の遷移確率は

R12 =π|µ12 |2d|c2 (t)|2=ρ(ω0 )
dt
30 ~2(2.96)となる。これは B12 ρ(ω) と等しいので、アインシュタインの B 係数は次のように書ける。

π|µ12 |2
30 ~2(2.97)

g1 π|µ12 |2
g2 30 ~2(2.98)

g1 ω03|µ12 |23g2 0 ~πc3(2.99)

B12 =
また、式 (2.87), 式 (2.86) より

B21 =

A21 =

となり、アインシュタインの A 係数と µ12 の間の関係を導出出来た。

第 2 章 原理

50

2.2.2 光トラップ
ここでは光トラップの仕組みと、実験において要求される条件について述べる。ここでの議論は、[13] を参考にしている。
光トラップ (Optical dipole trap) は、レーザー光によって双極子ポテンシャルを誘起し、原子をトラップするトラップ手法である。原子をトラップする際には、レーザー光のパワーと波長、ビームウェストを適切に選んでやらねばならない。
光トラップの原理
電場 E が存在するとき、分極率 α を持つ原子には p = αE の双極子モーメントが誘起される。分局率 α は複素数で表現され、電場の周波数に依存する。この時、電場と双極子モーメントの相互作用エネルギー U は

∫ E
U =−
0

1
p · E 0 dE 0 = − αE 22(2.100)で与えられる。ただし、E = |E| である。
ここで、光強度 I は以下のように定義される。

I(r, t) ≡ 0 chRe[E(r, t)]2 iT(2.101)

0 は真空の誘電率であり、h iT は時間 T に渡る平均を取ることを表している。
Re[E] =

E + E∗
2(2.102)と書けるので、式 (2.101) は

0 ch[E(r, t) + E ∗ (r, t)]2 iT
4)0 c ( 2hE (r, t)iT + hE ∗2 (r, t)iT + 2hE(r, t)E ∗ (r, t)iT
=
4
0 c
=
h|E(r, t)|2 iT
2

I(r, t) =(2.103)となる。
式 (2.100) と式 (2.103) から、ポテンシャルエネルギーは以下のように書ける。

U =−1
Re[α]I20 c(2.104)

よって、分極率 α の形が分かればポテンシャルエネルギーの記述が出来る。そこで、図 2.29 の様なローレンツモデ
ルにおける電子の運動方程式を考える。
運動方程式は、ẍ + Γω ẋ + ω02 x = −

eE(t)
me

(2.105)と書ける。ここで、me は電子の質量、E(t) = E0 e−iωt である。解として、x(t) = x0 e−iωt の形を仮定し式 (2.105) に代入すると、以下の解が得られる。

x(t) =−eE0
e−iωtme (ω02 − ω 2 − iωΓω )(2.106)

Γω は放射によるエネルギーロスによる古典的な減衰率であるので、Γω =e2 ω 26π0 me c3(2.107)

2.2 Cavity Trap51

me ࿕᦭ᝄേᢙ

Z0

E (t )

E 0 e  iZ t䋫x

図 2.29ローレンツモデルと書ける。p = −ex = αE であることと、式 (2.106) から、分極率 α は

α=

e2
1
2
2
me ω0 − ω − iωΓω

(2.108)ω2と書ける。ここで、共鳴における減衰率 Γ ≡ ω02 Γω を導入すると、式 (2.108) は

α = 6π0 c3

Γ/ω02
ω02 − ω 2 − i (ω 3 /ω02 ) Γ(2.109)となる。
ローレンツモデルで古典的に扱ったが、半古典論的に考えると、古典的な輻射場と、2 準位系の原子との相互作用によって分極率は計算される。この時の結果は古典論の結果に等しいが、減衰率 Γ は遷移の自然幅Γ=ω3|µ12 |23π0 ~c3(2.110)に置き換えられる。すると、式 (2.104) から、双極子ポテンシャル U は

U (r) = −

3πc2
2ω03

(

Γ
Γ
+
ω0 − ω ω0 + ωと書ける。ここで、離調 δ ≡ ω − ω0 が、|δ|  ω0 の時、(U (r) =)
I(r)(2.111)) 内の第 2 項は無視できるため、

3πc2 Γ
I(r)2ω03 δ

(2.112)となる。*8
ここで、入射電場として、z 方向に進むガウシアンビームを考えると、式 (2.30) から

(
)
w02
2r2
I(r) = I0 2 exp − 2
w (z)
w (z)

(2.113)となる。ここで、r 2 = x2 + y 2 であり、ビームの中心からの距離を表す。また、I0 = 02c E02 と定義した。ビームのトー
タルのパワーは、P =I0 πw022(2.114)*8 大雑把な議論では、ポテンシャルは式（2.112) で与えられると考えて良いが、正確な値が必要な場合は式（2.111）を用いなければならない。

第 2 章 原理

52と書けるので、式 (2.113) と式 (2.114) から、電場強度は次式で表わされる。

I(r, z) =

(
)
2P
2r2
exp
−
πw02
w2 (z)(2.115)

従って、ポテンシャルエネルギーは()
2r2
U (r) = U0 exp − 2
w (z)
Γ
2P
3c2
× × 2
U0 =
3
2ω0
δ
w (z)

(2.116)(2.117)となり、ポテンシャルを深くするためには入射光のパワー P を大きくする、またビームウェスト w0 を小さくすることが必要であることが分かる。また、ポテンシャルが最大の位置では、ポテンシャルは式（2.117）の U0 で与えられ、|U0 | をトラップの深さと定義する。
ここで、r = 0, z = 0 の近傍で I(r, z) を展開すると、{
U (r, z) ∼ −U0

1−2

(

r

)2

ωradial

(
−

z
zR

)2 }
(2.118)と調和ポテンシャルで近似できる。これから、トラップ周波数を√
ωradial =√ωaxial =4U0
mw02(radial direction)(2.119)2U0
2mzR(axial direction)(2.120)と定義しておく。*9
ポテンシャルを深くしようとする際にビームウェストを小さくすると、原子をトラップできる体積が小さくなり、結果としてトラップできる原子数が限られてしまう。そのため、ビームウェストについては別に考える必要がある。
ビームウェストが小さい場合は、MOT で冷却した原子集団とビームとの重なりが小さくなるため、トラップ出来な
い原子が多くなってしまう。そのため、ビームウェストは MOT のサイズに対して重なりが十分となるような大きさを選ばなければならない。我々は cavity trap の中心部のビームウェストとして 400µm を選択したが、これは MOT の典型的なサイズ 500µm(半径）に対して重なりが十分であると考えたからである。
トラップした際の原子数の定量的な見積もりをすることは難しく、また実験条件にも左右されてしまうため、ここでは定量的な取扱いは省略する。
また、原子を光トラップでトラップする際にもう一点重要になるのが散乱レート Rscat である。散乱レートは、原子と光子が 1 秒間に何回相互作用するかを示すものであり、散乱レートが大きい時、原子は加熱されてしまう。そのため、トラップする時は散乱レートを十分小さく、かつトラップの深さが大きくなるような光の波長を選ぶべきである。

heating rate について
古典振動子が電場中で吸収する単位時間当たりのエネルギーは、

Pabs =< ṗE >= 2ωIm(p̃Ẽ ∗ ) =ωIm(α)I0 c(2.121)*9 このトラップ周波数の定義は、自由空間でフォーカスさせた光によるトラップで用いられる。そのため定在波が立っている場合のトラップ周

波数は異なった定義となる。定在波が立つ場合については節 4.2.3 を参照のこと。

2.2 Cavity Trap

53で与えられる。原子の吸収するエネルギーは、~ω の光を吸収 ⇔ 自然放出するサイクルによるものだと考えられるので、散乱レート Rscat は

Rscat (r) =

Pabs
1
=
Im(α)I(r)~ω~0 c(2.122)と書ける。ここで、式 (2.109) を用いると、散乱レートは

Rscat (r) =

3πc2
2~ω03

(

ω
ω0

)3 (

Γ
Γ
+
ω0 − ω ω0 + ωとなる。回転波近似を行うと、

3πc2
Rscat (r) =
2~ω03

)2
I(r)

( )2
Γ
I(r)
δ

(2.123)(2.124)となる。
式 (2.112) と式 (2.124) から、散乱レートと双極子ポテンシャルの関係は

Rscat =

ΓU~δ(2.125)で与えられる。

heating は、原子の自然放出の向きがランダムであることと、相互作用する回数の揺らぎがあることに起因し、反跳エネルギー Erecoil で記述できる。Erecoil は、原子が光子を吸収または放出した時の運動エネルギーの変化であり、Erecoil =(~k)2~2 ω 2=2M
2M c2(2.126)と書ける。ただし、M は原子の質量である。Erecoil は、温度に換算すると Trecoil = 2Erecoil /kB となる。
つまり、heating の原因となる揺らぎによって、原子は光子との相互作用 1 回あたり、2Erecoil のエネルギーを得る。
原子と光が単位時間当たりに相互作用する回数は散乱レート Rscat で与えられるので、heating rate として単位時間あたりの温度変化 η ≡ ∆T /∆t は

η ∼ Trecoil Rscat(2.127)と書ける。*10 これから、加熱なく原子をトラップするには、Rscat を小さくし、U0 を大きくしなければならない。こ
こで、

I
δ
I
Rscat ∝ 2
δU0 ∝(2.128)(2.129)の関係があるので、δ を大きくし、I も大きくしてやれば良いことが分かる。つまり、原子の共鳴*11 から十分に遠く、かつハイパワーなレーザーが必要となる。そのため、我々はレーザーの発振波長として 1064nm を選択した。
実験では 100µK 程度の温度の原子をトラップするが、そのためには光トラップのポテンシャルとしてその 10 倍の1mK 程度の深さが必要となる。1064nm のレーザーで 1mK のトラップを作った時の散乱レートは、*12
Rb :Rscat = 21.8

[Hz]

K:

Rscat = 19.4

[Hz]

*10 もう少し正確な議論は A.2 で行った。
*11 Rb,K に対しては 795nm,780nm,770nm,766nm の波長*12 この計算には、実際の実験でのパラメータ（パワー 4000W, ビームウェスト 400µm）を用いた。

第 2 章 原理

54となり、十分に小さい。heating rate は

Rb :
K:

η = 2.1 [µK/s]
η = 3.9 [µK/s]となり、加熱は原子の温度（〜100µK）より十分小さいことが分かる。よって、我々の考えている 1064nm のレーザーで加熱なしにトラップすることが可能である。
ポテンシャル深さの計算
これまでは理想的な 2 準位系の原子と光との相互作用を扱ってきた。その 1 つの帰結として、光トラップのポテン
シャルの深さは式（2.117）で与えられるということを見てきた。
式（2.117) は、原子と光の相互作用を考える上で、光電場を摂動として扱った場合の基底状態と励起状態のエネル
ギーのシフト（light shift あるいは a.c.Stark shift と言う）を考えることでも導出出来る。*13
ここで、一般に原子は 2 準位しか持たないというわけではなく、様々な準位を持つ。よって、光トラップのポテン
シャルの深さを正確に計算するには、他の遷移による寄与を足し合わせなければならない。
その際、多準位系の原子のポテンシャルの深さを計算する上で必要なのは、各準位の自然幅ではなく、遷移モーメン
ト µ12 = h1|µ|2i である。
アインシュタインの A 係数は実験から測定されているため、A 係数を用いた式を使用する。
式（2.99）より、|µ12 |2 =3g2 0 ~πc3 A21
g1
ω03(2.130)となるので、この式と式（2.110), 式 (2.111) から

c2 P Ag2
U0 = 2 3
w0 ω0 g1(

1
1−
ω − ω0ω + ω0)(2.131)となる。
式（2.131）は 2 準位系での結果であるが、実際の原子は複数の励起状態を持つ。よって、正確に light shift を計算するためには全ての遷移による light shift を足し合わせることが必要となる。K と Rb に対する基底状態の light shiftの計算結果を図 2.30、図 2.31 に示す。この時、レーザーのパワーは 4000W、ビームウェストは 400µm で計算している。レーザーのパワーは、次の節 2.2.3 で議論する様に cavity で増幅したものである。計算に用いた値は以下の表 2.3,
表 2.4 の通りである。[38][39]
この表に記載されているものよりもエネルギーが上の励起状態の寄与は、波長がより短いこと、また A 係数が小さいことから、表中の遷移による寄与より無視できるほど小さくなるため無視した。

*13 この導出は A.1 で行っている。

2.2 Cavity Trap55
遷移共鳴波長 [nm]A 係数 [s−1 ]5S1/2 ⇔ 5P3/2

780.2405

37550000

5S1/2 ⇔ 5P1/2

794.9783

35920000

5S1/2 ⇔ 6P3/2

420.2972

3664000

5S1/2 ⇔ 6P1/2

421.6706

2456000

5S1/2 ⇔ 7P3/2

358.807

1226000

5S1/2 ⇔ 7P1/2

359.2593

7266005S1/2 ⇔ 8P3/2

334.9655

5835005S1/2 ⇔ 8P1/2

335.0809

3233005S1/2 ⇔ 9P3/2

322.7976

3296005S1/2 ⇔ 9P1/2

322.9153

173200

表 2.3 Rb の遷移

遷移

共鳴波長 [nm]A 係数 [s−1 ]4S1/2 ⇔ 4P3/2

766.4911

38270000

4S1/2 ⇔ 4P1/2

769.8974

38020000

4S1/2 ⇔ 5P3/2

404.4142

1225000

4S1/2 ⇔ 5P1/2

404.7213

1226000

4S1/2 ⇔ 6P3/2

344.6372

1687004S1/2 ⇔ 6P1/2

344.7375

169000

表 2.4 K の遷移

図 2.30、図 2.31 から、それぞれ 1064nm におけるポテンシャルの深さは

URb = 2.4

[mK]

(2.132)

UK = 2.2[mK](2.133)であることが分かる。MOT によって冷却された原子の典型的な温度は 100µK であり、トラップにはその 10 倍程度の 1mK のポテンシャルが必要となる。よって本実験において、ポテンシャルに対する条件は十分満たされている。

第 2 章 原理

56㪉㪇㫃㫀㪾㪿㫋䇭㫊㪿㫀㪽㫋㪲㫄㪢㪴

㪈㪌
㪈㪇
㪌
㪇
㪄㪌
㪄㪈㪇
㪄㪈㪌
㪄㪉㪇
㪍㪇㪇

㪏㪇㪇

㪈㪇㪇㪇
㪈㪉㪇㪇
ᵄ㐳㪲㫅㫄㪴

㪈㪋㪇㪇㪈㪍㪇㪇

図 2.30 K の基底状態の light shift㪉㪇㪈㪌㫃㫀㪾㪿㫋㩷㫊㪿㫀㪽㫋㪲㫄㪢㪴

㪈㪇
㪌
㪇
㪄㪌
㪄㪈㪇
㪄㪈㪌
㪄㪉㪇
㪍㪇㪇

㪎㪇㪇

㪏㪇㪇

㪐㪇㪇

㪈㪇㪇㪇

㪈㪈㪇㪇
ᵄ㐳㪲㫅㫄㪴

㪈㪉㪇㪇㪈㪊㪇㪇

図 2.31 Rb の基底状態の light shift

㪈㪋㪇㪇

㪈㪌㪇㪇

㪈㪍㪇㪇

2.2 Cavity Trap

57

2.2.3 共振器増幅光トラップ
共振器増幅光トラップについて説明する。ここでの議論は [17] を参考にしている。

Cavity Trap の仕組みと Enhancement factor
共振器増幅光トラップ（以下、cavity trap と書く）は、光トラップに用いるレーザー光を共振器によって増幅することにより、深いポテンシャルを作ることが出来るトラップ手法である。

"
E in

E cavity

E ref

R1 ,T1R2z
図 2.32 cavitytrap における cavity

入射光の電場を~ in (r, t) = Ein~e × ei(ωt−k・r)E(2.134)とする。ここで ~e は電場の向きの単位ベクトルである。すると、入射光の電場強度 Iin は

Iin =0 c 2E
2 in(2.135)と書ける。
この入射光の電場は、距離 z の空間を通過することによって、

δ(z) ≡

ωzc(2.136)だけ位相が変わる。ただし、z = 0 の位置に入射側のミラーを置くとする。

cavity が共鳴する場合、すなわち光が 1 周した時に位相が変わらない場合は、
e−2iδ(l) = 1 ⇔ δ(l) = nπとなる。ここで、cavity 長を l とした。

(n = 0, 1, 2, · · · )(2.137)

第 2 章 原理

58

cavity のミラーのエネルギー反射率をそれぞれ R1 ,R2 、エネルギー透過率をそれぞれ T1 ,T2 とし、cavity を 1 周した際のエネルギーのロスを L とする。すると、共鳴時の cavity 内の電場は以下の様に書ける。

Ecavity (z) =√−iδ(z)

T1 e(1 − L)

1/8

Ein ×

{∞
∑ (√

√ √ )n1 − L R1 R2

}

n=0

−

√

√
T1 (1 − L)3/8 R2 eiδ(z) Ein ×√= Ein ×{∞∑ (√√ √ )n1 − L R1 R2}

n=0( −iδ(z))√
T1 (1 − L)e− (1 − L)1/4 R2 eiδ(z)√√ √1 − 1 − L R1 R2
1/8(2.138)

級数第 1 項は R1 によって反射された（図 2.32 において）右向きの光で、級数第 2 項は R2 によって反射された左向きの光である。*14 ここで、ロスは石英ガラス*15 で起きると考えている。
よって、共鳴時の cavity 内の電場強度は、

Icavity (z) = Iin T1 (1 − L)

1/4 1 +√√
1 − LR2 − 2(1 − L)1/4 R2 cos(δ(2z))√
1 + (1 − L)R1 R2 − 2 (1 − L)R1 R2(2.139)となる。*16 と書ける。ロス無し、R1 = 0.99, R2 = 0.999, δ(l) = 5π とした時の定在波の様子は、図 2.33 に示すように

㪠㪆㪠㪇

なる。

㪈
㪇㪅㪐
㪇㪅㪏
㪇㪅㪎
㪇㪅㪍
㪇㪅㪌
㪇㪅㪋
㪇㪅㪊
㪇㪅㪉
㪇㪅㪈
㪇
㪇

㪇㪅㪉

㪇㪅㪋

㪇㪅㪍

㪇㪅㪏

㪈

㫑㪆㫃

図 2.33 cavity 内の定在波

max
よって、cavity 内の最大の電場強度 Icavity
は、z = (2m + 1)/2n × l(m = 0, 1, 2, · · · , n − 1) の位置の強度であり、以下の式 (2.140) のように書ける。

(√

T1 (1 − L)1/4 1 + (1 − L)1/4
max√
Icavity= Iin(1 − (1 − L)R1 R2 )2R2)2(2.140)cavity による電場強度の増幅率 Enhancement factor A を以下のように定義すると、
max
Icavity≡ 4AIin(2.141)*14 第 2 項の符合がマイナスなのは、ミラーによって位相が π ずれているからである。
*15 ガラスセルについては、節 4.2.1 を参照のこと。実際の実験系では、cavity 内に真空チャンバーを置き、入射面に石英ガラスを取り付けている。実験系は図 4.20 を参照のこと。
*16 正確には、実際に cavity trap を行う真空チャンバー内のみを考えていることになる。

2.2 Cavity Trap

59

A は次のように書ける。
(√ )2T1 (1 − L)1/4 1 + (1 − L)1/4 R2√A=
4(1 − (1 − L)R1 R2 )2(2.142)式 (2.141) の 4 は cavity 内に定在波が立つことに起因する。この式から、Enhancement factor は cavity のミラー
*18の反射率及びロスに依存することが分かる。*17 具体的な Enhancement factor のロス依存性は図 2.34 のようになる。

式 (2.142) より、A は R2 の増加関数であるため、R2 は大きいほど良い。また、R1 については R2 = 1,∂A/∂R1 = 0の時、R1 = 1 − L となることから、A が最大となるのは R1 = 1 − L の時である。また、R2 = 1, R1 = 1 − L の時、Lは小さいと考えてA=(1 − L)1/4 (1 + (1 − L)1/4 )2
1
∼
4L
L

(2.143)となる。つまり、A ≤ 1/L となり、A の最大値はロスによって決まっていることが分かる。よって、Enhancement

factor A を大きく取りたい場合は、cavity 内のロスを小さくする必要がある。
本実験では、cavity の内側にガラスセルが存在するので、ガラスの端面反射及び吸収がロスとなる。ロスについての詳細な議論は、4.2.1 で行う。

㪊㪌㪇
㪊㪇㪇
㪉㪌㪇
㪘

㪉㪇㪇
㪈㪌㪇
㪈㪇㪇
㪌㪇
㪇
㪇

㪇㪅㪌

㪈
ᓔᓳ䈱䊨䉴㪲㩼㪴

㪈㪅㪌㪉

図 2.34 Enhancement factor のロス依存性

cavity への入射パワーが 8.5W *19 、Enhancement factor が 55 の時に、87 Rb, 41 K に対してポテンシャル深さが1mK 以上となる。冷却の温度〜100µK の 10 倍程度あれば深さとしては十分であるので、Enhancement factor は 55程度あれば良いことになる。この時、往復のロスは 1.6 ％程度である。

*17 式（2.142）は、[35] による Enhancement factor の式と一見異なるように見えるが、これはロスの導入の仕方が異なるためであり、両方とも等しい結果を与える。
*18 この時、R1 = 0.99, R2 = 0.999 として計算した。
*19 今回製作した DPSS レーザーを cavity へ入射した時の最大のパワーが 8.5W である。

第 2 章 原理

60

Pound-Drever-Hall 法
レーザー光を cavity で増幅するためには、cavity 長をレーザーが共鳴する条件にロックする必要がある。本節では、cavity のロック方法について簡単に説明する。
cavity が共鳴条件にある時、入射光は cavity 内を往復するが、共鳴から外れた場合は cavity 内を往復できないため、
cavity からの反射光が強くなる。よって、cavity からの反射光をモニターして、cavity のピエゾで cavity 長にフィードバックをかければ cavity のロックが可能となる。
ただし、反射光は共鳴の時に最小となる。そのため、共鳴にロックする場合は反射光をそのまま使うにはフィード
バックに不都合である。そのため、我々は Pound-Drever-Hall 法 [41] と呼ばれる手法を用いて反射光の信号の微分（差分）を取ることで、共鳴時に 0 を通過する信号を作り、フィードバックに用いた。以下でその詳細を説明する。
まずは前節で cavity 内の電場を考えたのと同じように、図 2.32 における cavity からの反射光の電場 Eref を考える。
電場の位置依存性は今は興味無いので、電場の振幅のみを考えることにする。すると Eref は
∞ (√
)n
∑
√
√
−2iδl
Eref = R1 Ein + T1 (− (1 − L)R2 )eEin(1 − L)R1 R2 e−2iδl

=

(
√

√

R1 −

−2iδl

T1 (1 − L)R2 e√
1 − (1 − L)R1 R2 e−2iδl

)

n=0

Ein

(2.144)と書ける。ただし、δl = δ(l) である。ここで、Eref ≡ F (ω)Ein と定義すると、√F (ω) = R1 −√
T1 (1 − L)R2 e−2iδl√
1 − (1 − L)R1 R2 e−2iδl(2.145)

となる。

laser

EOM

(b)

cavity

(c)

PZT

(d )
(f)

PD

(e)

(a )

Oscillator

(a )

LPF
mixer

図 2.35 cavitylock の系の概略図

図 2.35 は、ロックの系の概略図であり、赤色の矢印は光を、青色の矢印は電気信号を表す。EOM(Electro Optic

Modulator) は、レーザーの周波数に Oscillator の発振周波数の sideband を作る。Oscillator の発振周波数は 15MHzである。また、PD(Photo Detector) は B.5 にある高速のフォトダイオードを使用した。
ここで順に図中の (a)〜(f) に示す電場あるいは電位を見ていくことにする。

2.2 Cavity Trap

61(a) まず、図中 (a) の Oscillator は、発振周波数 ω1 の電気信号を出力している。
Va = Va0 sinω1 t(2.146)(b) 次に (b) はレーザー光であり、レーザーの発振周波数 ω0 で電場が振動している。
Eb = Ec0 eiω0 t(2.147)(c) (c) の光は、EOM によって位相変調がかけられた光である。この時電場は
Ec = Ec0 ei(ω0 t+βsinω1 t)(2.148)となる。これは、以下の近似を行うことができる。

Ec ; Ec0 (J0 (β) + 2iJ1 (β)sinω1 t) eiω0 t; Ec0 (1 + iβsinω1 t) e()β iω1 t−iω1 t= Ec0 1 + (e−e) eiω0 t
2(2.149)iω0 t(2.150)

ここで Jn はベッセル関数である。式（2.150）は、β  1 として、ベッセル関数において β の 2 乗以上の項を*20 よって以後、(c) の電場は式 (2.150) で与えられるとする。
無視した場合の近似式である。

(d) (d) の光は cavity からの反射光であり、式 (2.144) より
Ed = F (ω)Ec()ββ= Eb0 F (ω0 )eiω0 t + F (ω0 + ω1 )ei(ω0 +ω1 )t − F (ω0 − ω1 )ei(ω0 −ω1 )t2
2(2.151)である。

(e) フォトダイオードの電圧は、フォトダイオードに当たった光のパワーに比例する。ω0 , ω1 が一定だとすると、電圧は以下のように書ける。

Ve ∝ Ed∗ Ed= βEd0 (Re [F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )] cosω1 t)+ βEd0 (Im [F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )] sinω1 t)(2.152)−2iω1 t+ Const + (· · · )e(f) mixer の後の電圧は Va × Ve であり、その後 Low Pass Filter を通る時に振動する項はカットされる。すなわち
式 (2.152) において、定数項と 2ω1 で振動する項は Low Pass Filter でカットされる。よって、LPF 後の信号は Va × （Ve の ω1 の振動項）で計算され、

Vf ∝

βEd0
(Im [F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )])2(2.153)となる。この Vf を error signal と言い、ピエゾにフィードバックして cavity をロックする際に用いる。図 2.36に error signal の様子を示す。*21 また、図 2.37 に cavity からの透過光の強度の計算結果を示す。*22 共鳴の位置で微分信号が 0 を横切ることを見てとれる。

P∞

“ ”2n

β
d
J0 (β), J1 (β) = − dβ221*
ミラーの反射率はともに 99 ％として計算している。

*20 J0 (β) =n 1n=0 (−1) n!

*22 EOM による sideband の強度（すなわち β の値）は 1/4 として計算している。実際にオシロスコープで強度分布を観察したところ、

sideband は見えないほど小さい。

第 2 章 原理

62

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図 2.36 error signal

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図 2.37 透過光強度

ここで、|ω1 /F SR|  1 の時を考える。実際の実験においても、F SR = 250M Hz, ω1 = 15M Hz なので、この場

2.2 Cavity Trap

63

合に当てはまる。この時、

F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )()
F (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 ) − F (ω0 − ω1 )∗= ω1 F (ω0 )+ F (ω0 )
ω1
ω1
(
)
∗
dF (ω0 )dF (ω0 )∼ ω1 F (ω0 )+ F ∗ (ω0 )
dω
dω
2
d|F |
= ω1
dω ω=ω0(2.154)となり、error signal は反射光の強度の周波数微分を取ったものに相当することが分かる。cavity に共鳴するのは図2.36 の中心の、微分信号が 0 となる点であり、位相を正の方向に動かした時に微分信号が正から負に横切る位置でcavity 長を固定すれば良い。このロックのための回路は B.7 に記載している。
ノイズについてcavity trap を行う上で、無視できないのがレーザーのノイズである。レーザーのノイズはトラップ中で加熱を引き起こすからである。加熱に関係するレーザーのノイズは、レーザーの強度ノイズと周波数ノイズである。この 2 つについて順に見ていくことにする。

1. まずはレーザーの強度ノイズについて考える。詳細は [40] に記述があるので、ここでは主に結果を述べるに留める。1 次元の調和振動子ポテンシャルを考えると、トラップ周波数 ωx として、揺らぎ  を考慮するとポテン
シャルは1
M ωx2 [1 + (t)]x22U=(2.155)と書ける。離調が十分大きい光トラップでは、 はレーザーの強度揺らぎとなる。摂動ハミルトニアンとして、
式 (2.155) を用いると、以下の式が成り立つ。*23hE˙x i = γx hEx i(2.156)1= π 2 fx2 Sk (2fx )tx(2.157)

ここで、fx = ωx /2π とすると、γx はγx ≡と書ける。ただし、S(ω) は片側のパワースペクトルで、

2
Sk (ω) ≡π∫ ∞dτ cos(ωτ )h(t)(t + τ )i

(2.158)0で定義されている。パワースペクトルの全範囲における積分値は∫ ∞dωS(ω) = h2 (t)i

(2.159)0と、揺らぎの 2 乗平均で与えられる。
ここで式 (2.156) を見ると、原子のエネルギーが指数関数的に増加することが分かり、エネルギーが e 倍になる
時間が tx となることが分かる。
式 (2.157) から、cavity trap 中ではトラップ周波数の 2 倍の強度ノイズが加熱につながることが分かる。
大雑把な見積もりとして、原子を 1 秒程度トラップする際には、taxial = 1, tradial = 1 とすると
*23 ノイズについての本節の議論において、E は電場ではなく原子のエネルギーを表す。

第 2 章 原理

64

Sk (2faxial ) ≤ 1 × 10−13 [Hz−1 ] = −130 [dB/Hz](2.160)Sk (2fradial ) ≤ 3 × 10−9 [Hz−1 ] = −85 [dB/Hz](2.161)*24となる。

2. 次に周波数ノイズについて考える。周波数の揺らぎの指標として、レーザーの線幅があげられる。ここではレー
ザー光のデコヒーレンスによる影響を考える。
レーザーの線幅を ∆f とすると、レーザーがコヒーレンスを保てる長さは

∆l =

c
∆f

(2.162)

∆t =

1
∆f

(2.163)であり、コヒーレンスを保てる時間はである。
これは、∆l 以上の光路を通過した光と元の光では干渉が起きないことを意味する。cavity trap では cavity 内に定在波を立ててパワーを増強しているので、光が cavity 内に居る間は光が干渉してくれないと困るわけである。入射光は cavity に入った後、平均して

lc =

lF
π

(2.164)の光路を進む*25 ので、コヒーレンス長はそれよりも長くなければならない。よって求められる条件は

∆l ≥

lF
π

(2.165)

∆f ≤

πc
lF

(2.166)であり、これを線幅に置き換えるととなる。
我々の cavity では F ∼ 300,l = 0.6 [m] であるので、要求される線幅は ∆f ≤ 5.2 [MHz] となる。
これは cavity 内に光子の存在する平均の時間を扱った議論であり、もう少し正確に考えると、コヒーレンス時
間 ∆t が経過した時の cavity 内の光子数 Ncavity は

Ncavity = N0 e−∆t/τ = N0 e−1/(∆f τ )(2.167)となる。これから、∆f = 5.2M Hz の場合はコヒーレンス時間が経過した時にも 36 ％の光子が cavity 内に残っている。これが ∆f が 1MHz の場合は cavity 内に残っている光子は 0.5 ％である。よって、線幅は 1MHz 以下
ならば十分である。

*24 入射パワー 10W、A=100、ビームウェスト 400µm の時の K に対する条件である。Rb は K よりもトラップ周波数が小さいので、式（2.160）, 式（2.161）の条件を満たせば良い。
*25 この導出の詳細は補遺 A.3 に記載した。

65

第3章

DPSS レーザーの実験
本章では、DPSS レーザーの製作と、その性能の評価について述べる。DPSS レーザーの製作において、上田マクロ量子制御プロジェクトの強相関量子制御グループである向山グループの製作した DPSS レーザーを参考にした。

3.1 Pump 用半導体レーザーの設計
3.1.1 Pump LD
DPSS レーザー用の Pump LD には COHERENT 社製の FAP600, 中心波長が 808nm 付近の LD 2 台 (ファイバー
カップリングタイプ) を用いた。Pump LD のレーザー光の波長は温度に依存するため、それぞれ別々に温調を行っている。温調については B.1 を参照されたい。
波長は分光器 (Ocean Optics HR4000) で測定し、LD1 は 35.5 ℃で、LD2 は 28.7 ℃でそれぞれ波長が 808nm になることを確認した。以後の結果は全て、LD1 は 35.5 ℃で、LD2 は 28.7 ℃で温調された PumpLD を用いている。

Pump LD の温調は、図 3.3 の様に行っている。白金抵抗は LD の側面に取り付けてある。LD とペルチェの間には銅板を挟み、グラファイトシートで熱接触を良くしている。水冷は、PID 制御の低温バスサーキュレーター (M ＆ S

Instruments Inc. の NESLAB RTE7) で水温 25.00(±0.01) ℃に制御したものを用いている。*1
尚、水冷装置は当初、ON/OFF 制御の物 (±1.5 ℃) を用いていたが、節 3.4 で議論する温度ドリフトの原因となるため、PID 制御のものを用いた。

Nd:YVO4 の吸収スペクトルの半値幅は 1nm 程度であり、LD の温度制御幅としては
LD1:7 ℃
LD2:3 ℃の範囲内に収まっていれば良いことが分かる。そのため、現在の温調の性能（0.1 ℃）であれば十分である。

*1 放熱板は、各部が熱接触するために押さえつける役割を果たしているだけであり、放熱板である必要はない。

第3章

66

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図 3.1 LD1 の波長の温度依存性㪏㪇㪐㫐㩷㪔㩷㪇㪅㪋㩷㫏㩷㪂㩷㪎㪐㪌㪅㪐ᵄ㐳㩿㫅㫄㪀

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図 3.2 LD2 の波長の温度依存性

DPSS レーザーの実験

3.1 Pump 用半導体レーザーの設計

67

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Pump LD

図 3.3 Pump LD の温調の仕方

図 3.4

Pump LD の写真

第3章

68

DPSS レーザーの実験

3.1.2 Pump 光
それぞれの Pump LD のパワーは図 3.5, 図 3.6 に示す通りである。Pump LD の電源はシグマ光機製の SLD0635 を使用しており、2 台の LD を直列につないで電流を流している。

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図 3.5 LD1 の出力パワーの電流依存性㪊㪇㪧㫆㫎㪼㫉㪲㪮㪴

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図 3.6 LD2 の出力パワーの電流依存性

Pump 光は図 3.7 に示すようにファイバーを通った後、2 枚のレンズによって絞られる。この時、焦点の（つまり結晶の）位置のビーム半径は 0.46mm である。尚、ビーム半径は Pump 電流を変えた時もほとんど変化が見られなかった。（3 ％未満）

3.1 Pump 用半導体レーザーの設計

69

図 3.7 Pump 光のセットアップ

3.1.3 結晶について

Nd : YVO 4

㌃

䊕䊦䉼䉢

᳓಄䊒䊧䊷䊃(㌃䋩Side view

Top view

図 3.8

結晶ホルダー

結晶には、PHOTOP 社の 0.3 ％ドープ Nd:YVO4 (4 × 4 × 10mm) を使用した。結晶にはハイパワーの Pump 光が当たるので、温調をしないと高温になり、結晶が割れてしまう。そこで、Pump LD と同様に、ペルチェ素子を用いて

第3章

70

図 3.9

DPSS レーザーの実験

結晶ホルダーの写真

結晶を 30.0 ℃に温調している。*2 結晶ホルダーは銅製で、光を遮らないように設計してある。（図 3.8）結晶と銅の間は、熱接触を良くするためにインジウムシートを挟んである。
水冷は Pump LD のものを直列につないでいる。尚、結晶ホルダーと cavity の台を熱的に絶縁する目的で、両者の間に 10mm の厚さのアクリル板を敷いている。

*2 温調をしているため、我々の使用で結晶が割れたことはまだ無い。

3.2 マルチモード発振

71

3.2 マルチモード発振
3.2.1 DPSS laser の cavity
DPSS laser の cavity について説明する。DPSS laser の cavity には、Bow-tie 型の cavity（図 3.10）を用いる。リ
ニア cavity を用いることが出来ない理由は、リニア cavity の場合は内部に定在波が立ってしまうため、結晶内の電場が一様でなくなるからである。このため laser はマルチモード発振をしてしまう。*3 我々の必要とするのは、ハイパワーのシングルモードレーザーであり、Bow-tie-cavity で発振を 1 方向に制限すれば、シングルモード発振が可能となる。

(a) 808AR

1064HR(a) 808AR

Nd:YVO41064HRPumpశ(b) 1064HR

Pumpశ

䉝䉟䊥䉴

䉣䉺䊨䊮

(c) 1064 90%R

図 3.10 Bow-tie-cavity

図 3.10 中の (a) のミラーは、波長 808nm の光に対しては透過するが、波長 1064nm の光に対しては高い反射率を持
つミラーである。また、(b) のミラーは波長 1064nm の光に対して高い反射率を持ち、(c) のミラーは波長 1064nm の*4 cavity のミラーの反射率はビームの入射角に依存するため、実際は上記とは異なる光に対して 90 ％の反射率を持つ。

可能性がある。よって、cavity に使用するミラーの反射率の角度依存性を測定した。以下に、ミラーの 1064nm の光に対する透過率の実測値から求めた反射率を図 3.11, 図 3.12, 図 3.13 記す。反射率は、ミラーの吸収を無視して、(1透過率) として算出している。

*3 節 2.1.7 に詳しい議論がある。
*4 (b),(c) のミラーは角度を変えられるように LINOS 社製のミラーマウント（LM1）を使用し、(a) のミラーは THORLABS 社製のミラーホルダー（LMR05/M）を使用している。

第3章

72

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図 3.11 1064HR,808AR ミラーの 1064nm の光に対する反射率㪈㪇㪇㪅㪇㪇
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図 3.12 1064HR ミラーの反射率㪐㪉㪐㪈෻኿₸㩿㩼㪀

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図 3.13 1064 90 ％反射ミラーの反射率

DPSS レーザーの実験

3.2 マルチモード発振

73cavity 長は 380mm である。cavity 長 L は cavity の安定条件 L < 4f （f は熱レンズの焦点距離）を満たすことが求められる。この条件内にあればレーザーは発振する。

cavity 長が短いと• 安定条件を満たし易い• 振動に対して安定• FSR が大きくなり、温度変化に強くなるというメリットと、• laser の線幅が大きくなる• 結晶の位置でのビームの重なりが悪くなり、エネルギーの変換効率が落ちるというデメリットが存在する。今回はモードホップをしにくい安定なレーザーが必要であるので、cavity 長は短くとった。380mm というのは、現在のセットアップで可能な限り短くした長さである。

3.2.2 マルチモード発振
DPSS laser をハイパワーで出力するには図 3.10 のセットアップだけでは不十分である。図 3.10 のセットアップ
では、時計回りと反時計回りの 2 通りの方向のモードが立ちうるからである。発振を 1 方向に限定するためには、ミラーを用いた方法（retro reﬂection）とアイソレータを用いた方法が考えられる。それらの詳細については 3.3.1 で述べる。エタロン・アイリスを入れずにマルチモードで発振させた時のパワーは図 3.14 の通りである。この時は retro㪦㫌㫋㫇㫌㫋㩷㪧㫆㫎㪼㫉㪲㪮㪴reﬂection の方法を用いた。Pump 電流が 9.5A の時に、発振を確認した。

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図 3.14㪈㪌㪧㫌㫄㫇㩷㪚㫌㫉㫉㪼㫅㫋㪲㪘㪴㪉㪇

マルチモード時の出力パワーの電流依存性

㪉㪌

第3章

74

DPSS レーザーの実験

この時の周波数モードを reference cavity*5 で調べると図 3.15 のようになる。CH1 はピエゾへの印加電圧、CH2 はFSR

図 3.15 周波数モード（マルチ）reference cavity の透過光を当てたフォトダイオードの電圧である。小さなピークが立っており、マルチモードである
ことが分かる。2 つの大きいピークが reference cavity の共鳴であり、reference cavity の FSR は 1.5GHz である。
発振波長は 10.0A で Pump した時、1064.42 ± 0.01nm である。また、発振したレーザーの偏光方向は結晶の軸で決まっており、本実験においては紙面に平行な向きである。

3.2.3 熱レンズ効果
熱レンズの焦点距離は、cavity 長を決める上でも重要である。そのため、熱レンズの焦点距離の測定を行った。熱レ
ンズの焦点距離は、式（2.15）から分かるように結晶が吸収したパワーに反比例する。よって、Pump パワーを上げていけば、cavity の安定条件 L < 4f を満たさなくなる。この時、Pump 電流と発振パワーの間の比例関係が崩れるはずである。このことから、熱レンズの焦点距離を測定することができる。*6
結果は図 3.16 に示す様になる。結晶の吸収パワーは、Pump パワーから出力パワーを差し引いたものとしている。このグラフから、cavity 長が 380mm である時、cavity の安定条件 L < 4f を十分に満たしていることが分かる。図 3.17は横軸に吸収パワーの逆数を取ったものだが、このグラフが比例関係を示していることは熱レンズの焦点距離が吸収パ
ワーに反比例するという理論に一致する。
図 3.17 から、吸収パワーが 25W の時（2.1.3 節中の「熱レンズ効果」内で計算したものと同じ条件）、焦点距離は230mm となる。これは、2.1.3 節中で計算したものより大きいが、これは式 (2.15) が簡略化されたモデルから得られたものであるためと考えられる。

*5 reference cavity については B.8 に記述がある。
*6 焦点距離の計測のために、測定ごとに cavity を組みなおして、電流と発振パワーを測定した。

3.2 マルチモード発振

75

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図 3.16

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図 3.17 熱レンズの焦点距離と結晶の吸収パワーの逆数との関係

第3章

76

DPSS レーザーの実験

3.3 シングルモード発振
3.3.1 1 方向発振について
前節でも少し述べたが、安定でハイパワーのレーザーを得るためには DPSS の cavity 内のモードを 1 方向に限定しなければならない。そのために、出力されたレーザー光の一部を cavity に戻すという方法を我々は採用した。このことによって、レーザーの発振方向に向かうモードが支配的になり、1 方向発振が可能となる。その具体的なセットアップは、図 3.18 に示す様な retro reﬂection の方法*7 と、図 3.19 に示すようなアイソレータを用いた方法の 2 通りがある。cavity 部分は図 3.10 と同じである。

808AR
1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR1064 90%R

1064HR䉝䉟䊥䉴䉣䉺䊨䊮

図 3.18 retro reflection の方法のセットアップ*7 ミラーによる 1 方向発振を行っている例として、[24] や [25] が挙げられる。

3.3 シングルモード発振

77

808AR
1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR1064 90%R

1064HR䉝䉟䊥䉴㱗/2ᵄ㐳᧼

䉣䉺䊨䊮䉝䉟䉸䊧䊷䉺

図 3.19 アイソレータの方法のセットアップ

retro reﬂection mirror を用いた方法は、90 ％ミラーを透過した逆方向の光をミラーで打ち返し、順方向の光にするというものである。このミラーによる反射によって、順方向の光が増し、順方向が支配的なモードとなる。

retro reﬂection mirror を用いた方法は、高価なアイソレータを使わないという点、そしてアイソレータの様に捨てるパワーが無いため、より大きい出力が得られるという利点がある。しかし、この方法では必ず複数の周波数モードが立ってしまい、シングルモードにすることが出来なかった。その理由は未だよく分かっていない。
アイソレータを用いた方法は、アイソレータを通すことによって順方向の光の一部を cavity に返している。この時、逆方向の光はほとんど返らない。そのため、順方向の光のみが増し、順方向が支配的なモードとなる。アイソレータを用いた方法では、シングルモード発振が可能であるので、我々はこの方式を採用した。
それぞれの周波数モードを図 3.20〜図 3.22 に示す。CH1 はピエゾへの印加電圧、CH2 は refelence cavity の透過
光、CH3 は 1064HR のミラーからの逆方向のモードの洩れ光、CH4 は 1064HR のミラーからの順方向のモードの洩れ光である。
図 3.20 は光を戻していない、すなわち両方向のモードが競合している状態である。図 3.21 は retro reﬂection の方法を用いた場合で、マルチモードになっているのが見て取れる。図 3.22 はアイソレータを用いた場合で、シングルモー
ド発振をしていることが分かる。尚、これらの結果は全て、次節で述べる様にエタロンとアイリスを入れた時の結果で
ある。

第3章

78

図 3.20injection 無しの時の周波数モード

図 3.21 retro reflection の時の周波数モード

図 3.22 アイソレータの時の周波数モード

DPSS レーザーの実験

3.3 シングルモード発振

793.3.2 シングルモード発振
bow-tie-cavity による両方向のマルチモード発振を、出力光の一部をアイソレータを通した後 cavity に戻すことによって一方向のマルチモード発振にすることが可能となる。更に、シングルモードで発振するためには、cavity 内にア
イリスとエタロン*8 を入れることが必要である。

DPSS レーザーの発振周波数は、結晶のゲイン幅,cavity の共鳴周波数, エタロンの共鳴周波数で決定される。
Nd:YVO4 のゲイン幅は 260GHz である。cavity 長が 380mm であるので FSR は 790MHz であり、ゲイン幅に対して小さい（1/325）ため、モードが 1 つに選ばれにくいためマルチモードになる。エタロンには厚み 3mm、屈折率 1.45の石英板を用いており、FSR は 34GHz である。このため、cavity 内にエタロンを挿入すると、cavity の FSR はエタ
ロンの FSR の 1/43 となり、エタロン無しの場合に比べて 1 つのモードが選ばれやすくなる。
アイリスは空間モードを一つに選択するために用いられる。本実験では径が可変のものを使用している。径が可変なものを使う理由として、アライメントが楽なことが挙げられる。
エタロンとアイリスは cavity 内の図 3.19 に示される位置に置いた。エタロンは FSR を大きくするために置くものなので、位置依存性は無い。アイリスはレーザーのビーム径が最少となる位置、すなわち焦点に置く必要がある。焦点は cavity 内において、結晶と対称な位置に存在する。ところで、計算で求められるビーム半径*9 は図 3.23 の様になる
ため、少なくとも cavity の 1064AR-1064HR ミラー間においてはビーム半径はほとんど変わらない。そのため、アイリスはその間の適当な場所に置けば良い。

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図 3.23 ビーム半径の位置依存性

アイリスによって空間モードを一つに絞ることが出来た。図 3.24 がアイリス無しの空間モード、図 3.25 がアイリス有りの空間モードを CCD カメラで撮影したものであり、アイリスによってシングルモードとなっていることが分かる。*10*8 エタロンにはコーティング無しの石英ガラスを用いた。
*9 熱レンズの焦点距離 f は 230mm として計算した。
*10 この時の Pump 電流は 26A である。

第3章

80

図 3.24 アイリス無しの空間モード

DPSS レーザーの実験

図 3.25 アイリス有りの空間モード

以上から、bow-tie-cavity にエタロンとアイリスを入れ、アイソレータで出力光の一部を cavity に返すことでシングルモード発振が可能となることが分かった。しかし、このセットアップのままではモードホップが頻繁に起きてしまうという問題が残っている。

3.3.3 出力パワー
実際に用いる DPSS laser の光学系は、図 3.26 に示す通りである。レーザーの出力後に通常アイソレータを挿入するが、本実験ではアイソレータを図 3.26 の様に中に組み込むことによって、使用するアイソレータの数を 1 つで済ませている。アイソレータへの入射光の偏光の問題は、アイソレータの入射光側の PBS を最適化することで解決してい
る。*11

808AR
1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR䉝䉟䉸䊧䊷䉺

1064HR䉝䉟䊥䉴䉣䉺䊨䊮㱗/2ᵄ㐳᧼

1064 90%R
㱗/2ᵄ㐳᧼

Power Meter

図 3.26 DPSS laser の光学系

シングルモードでの出力パワーは図 3.28 に示した。これは、アライメントを最適化した状態で図 3.26 中のパワー*11 アイソレータは、ファラデー効果によって偏光を 45°回転させるということを行っている。入射口と出射口に PBS がついており、順方向の光は透過するが逆方向の光は PBS で反射される。通常は簡単のためアイソレータの前に λ/2 波長板と PBS を挿入するが、ここではセット
アップの都合上、アイソレータの入射側の PBS を回転させて DPSS レーザーの出力光が透過するように調整している。

3.3 シングルモード発振

81

図 3.27DPSS laser の光学系の写真

メーターで測定したものである。グラフから分かるように、シングルモードで最大 11.5W 程度の出力のレーザーを製作することが出来た。*12
実験当初、ドープ量が大きい結晶では、加熱が局所的に起きるため結晶の破損が起きる恐れがあり、0.3 ％ドープの結晶を用いていた。本論文の実験結果は 0.3 ％ドープの結晶を用いたものである。後に 0.5 ％ドープの結晶で発振を行ったところ、結晶が破損することなく、かつパワーも 0.3 ％ドープのものより大きくなるということを確認出来た。

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図 3.28 シングルモード時の発振パワー*12 Pomp 電流を 27A 以上に上げた時はマルチモードで発振した。

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第3章

82

DPSS レーザーの実験

3.4 レーザーの安定化
3.4.1 モードホップの低減に向けて
前節までで、シングルモードのハイパワーレーザーは製作出来たが、未だモードホップが頻繁に起きるという問題が残っている。cavity trap を行う上で、モードホップが起きてしまうと cavity のロックが外れてしまい、原子をトラップ出来なくなってしまう。そこで、原子をトラップする際にはモードホップが起きないという安定性が DPSS laser には求められる。
擾乱によって、エタロンの共鳴周波数と、cavity の共鳴周波数に変化が生じる。この 2 つの共鳴周波数の相対的な差が cavity の FSR1 つ分に相当したとき、モードは 1 つ隣のものが選択され、モードホップが起きる。*13

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Cavity䈱FSR䈮䉋䉍ㆬᛯ䈘䉏䉎䊝䊷䊄

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図 3.29 モードホップの起きる仕組み

モードホップ、すなわち共鳴周波数の変化の原因として考えられるのは、

1. 台の振動
2. 風
3. 温度変化による cavity 長の変化
4. 温度変化による屈折率の変化の 4 つである。

*13 モード選択に関するもう少し正確な図は図 2.23 を参照のこと。図 3.29 は、共鳴周波数が相対的にずれた場合は別のモードが選択されるということを示している。

3.4 レーザーの安定化

83

1. 台の振動に関しては、セットアップを除振台に乗せることで解決できる。加えて、ミラーを固定しているロッド
等の振動の影響を減らすために、レーザーの高さを出来るだけ低くし、台からの高さを 47mm にしている。また、ミラーマウントは安定な LEES 社製のものを使用している。

2. 風に関しては、相当影響を受けることが分かっている。cavity が裸の状態の時は、1 秒もしないうちにモード
ホップが起こる。また、声などの音に対して非常に敏感である。そこで、cavity を囲うことで、モードホップが1 分程度起きないというレベルの安定性を確保した。囲いは周囲との断熱も考えて 10mm のアクリル製で、隙間はゴムのチューブを挟み、ネジで止めている。（囲いの写真は図 3.30 に示した。）この囲いによって、周囲との空気の出入りはほぼ無いものと考えて良い。尚、囲いと cavity 用台の間には除振のためのゴムを敷き、定盤と囲いの間にもゴムを敷いている。

図 3.30 囲いの写真

3. 熱膨張による寄与は、cavity を支えるアルミの台の膨張と、エタロン（石英）の厚さの変化の 2 つが考えられdlる。それぞれの熱（線）膨張率 α ≡ 1l dT
は、• アルミ:α = 2.3 × 10−5 [K−1 ]• 石英:α = 5.1 × 10−7 [K−1 ]
*14
である。

4. 屈折率による寄与は、エタロンの屈折率の変化と、空気の屈折率の変化の 2 つが考えられる。それぞれの屈折率dnは、の温度変化率 β ≡ dT

• 石英:β ∼ 1 × 10−5 [K−1 ]• 空気:β ∼ 1 × 10−6 [K−1 ]
*15
である。

*14 アルミニウムに関しては [32] を、石英に関しては [33] を参考にした。
*15 石英に関しては [33] を参考に、おおよその値で算出している。空気に関しては [34] を参考にした。

第3章

84

DPSS レーザーの実験

ここで、3,4 から温度変化による cavity 長の変化を考える。

cavity 内を光が 1 周する距離は、cavity 長とエタロンの長さの和
l 0 = nair lC + nE lE(3.1)

で表される。ここで、C=cavity,E=etalon を表す。cavity やエタロンの共鳴周波数は式（2.49）で表わされるので、整数 N が選ばれているときの共鳴周波数 f の温度変化を考えることが出来る。これから、温度変化による cavity の共鳴
周波数の変化 ∆fC は以下の式 (3.2) のようにかける。ここで、cavity 長における空気の屈折率 nair の温度変化の寄与は小さいため、無視した。また、簡単のため nair = 1 を代入した。

(
{
)
}
∆fC
1 dlC
dlE
dnE
=− 0
∆TC + nE
+ lE
∆TE
f
l
dT
dT
dT
1
= − 0 {αC lC ∆TC + (nE αE + βE ) lE ∆TE }
l

(3.2)

また、温度変化によるエタロンの共鳴周波数の変化 ∆fE は以下の式 (3.3) のように書ける。

∆fE
=−
f

(

1 dnE
1 dlE
+
nE dT
lE dT
(
)
βE
=−
+ αE ∆TE
nE

)
∆TE
(3.3)

ここで、モードホップが起きないための条件は、共鳴周波数の相対的な差が DPSS cavity の FSR を超えないこと|∆fC − ∆fE |
FSR
<
f
f

(3.4)

である。それぞれ実際に用いる値を代入して、モードホップが起きない条件を計算すると、|2.3∆TC − ∆TE | < 0.28

(3.5)

となる。
よって、モードホップが起きないためにエタロンと cavity の台を温調をすることを考えた。温調の精度を ±T0 [K]とすると、式（3.5）から⇔

3.3T0 < 0.28
T0 < 0.085 [K](3.6)の精度の温調であればモードホップが起きないであろうと考えられる。
温調はこれまでと同様の B.1 のものを使用した。これまでの温調はペルチェに電流を流して冷却制御をしてきたが、この温調は台に 2Ω, エタロンに 10Ω の抵抗を取り付け、これらに電流を流してヒーターとして加熱制御を行った。
以上、モードホップの原因となる 4 点に対して対策を施して、モードホップの様子を観察したところ、台の温度が上がり続けるという状態に陥った。そのため、モードホップは少なくならなかった。これは、ビームの一部がアイリスに当たり、アイリスが発熱していたためと考えられた。*16 そこで、アイリスと台の熱接触を良くすることで、アイリスと台を同時に温調する形で台の温度を一定に保った。具体的には、アイリスと台を接続していたステンレスホルダーを銅のジグに変更した。*17*16 シングルモード発振時は、マルチモードでの発振に比べてパワーが落ちるが、その差のパワーは主にアイリス等の発熱に変わっていると考えられる。そのため、系の中の発熱は数 W 程度あると考えられる。
*17 この時、Pump 電流は 20.0A で行っている。

3.4 レーザーの安定化

85

3.4.2 レーザーの安定性の評価
図 3.31 における系を用いて cavity をレーザーにロックさせ、この時のピエゾの電圧をデジタルマルチメーター（KEITHLEY 2100）で測定した。*18 測定は 1 秒に 1 回行った。ロックし続けている時は、ピエゾの電圧は短期的には変わらないが、ロックが外れた場合はピエゾの電圧が一瞬で変化する。ロックが外れた際には再度（別の）共鳴にロックがかかる。この結果から、どの程度の時間 cavity をロックし続けることが出来るかを知ることが出来る。*19 ピエゾの電圧のドリフトは共鳴周波数のドリフトに相当するため、ピエゾの電圧から温度ドリフトの様子も同時に知ることが出来る。
尚、この測定の際にロックしている reference cavity の FSR は 750MHz であり、ピエゾの電圧に換算すると 3.3Vである。DPSS cavity の FSR は 790MHz であり、別のモードに移った際に、それが DPSS レーザーのモードホップ
なのか、または reference cavity の別のモードに移っただけなのかを判別することが難しいという問題が本測定系には
ある。

EOM

DPSS laser

㱗/4ᵄ㐳᧼PD

PZT
Reference cavity
PD
Cavity lock circuit

図 3.31 cavity のロックの観察のための光学系*18 cavity のロックについては、この後の節 4.1 を参照されたい。
*19 モードホップが起きればロックが外れるため、間接的にモードホップの頻度を観察したことになる。

第3章

86

DPSS レーザーの実験

図 3.32 に、対策として除振台＋囲いのみを用いた場合のロックの様子を示す。測定時間は 2 時間である。系の中に発熱源があるため cavity 長が常に大きくなる方向にドリフトが起きていることが分かる。ドリフトの速度が速いため、頻繁にモードホップが起きていることが見て取れる。

図 3.32 温調を一切行わない場合のロックの様子

次に、cavity の台とエタロンの温調を行った場合のロックの様子を図 3.33 に示す。測定時間は 2 時間である。温調図 3.33

温調を行っている場合のロックの様子

3.4 レーザーの安定化

87を行わない場合に比べて温度ドリフトがゆっくりになっていることが分かる。しかし、モードホップは依然として起きていることが見て取れる。温度ドリフトが時間とともにゆっくりになっているのは、系が熱平衡状態に近付いていることを表している。ここで、製作した系が大きいために平衡に達するまで非常に長い時間を要し、温調によるモードホップの低減は不十分である。
そこで、Pump 光を照射する直前まで温調を行い、照射した際に温調を切るということを試みた。その結果が図 3.34である。測定時間は 3 時間である。この結果から、開始から 20 分程度待つと 2 時間以上モードホップが起きていない
ことが分かる。ここで、一見 [1:00,1:40,2:50] といった点でモードが変わっているように見えるのは、温度ドリフトによって共鳴がピエゾでフィードバック出来る範囲から外れてしまったため、reference cavity の別のモードに移ってしまったためであり、DPSS レーザーのモードホップではないと考えられる。

図 3.34 Pump 光照射時に温調を切った場合のロックの様子

これから、レーザーをつける前まで温調を行い、つけた後に温調を切ることにより非常に安定なレーザーが得られることが分かった。その際に重要なのが、レーザー照射前に行う温調の温度である。温調の温度を変えて測定した結果、この温度はレーザーをつけた状態で達する系の熱平衡状態の温度近傍であるべきであり、この温度から離れるほど安定になるまで時間を要することが分かった。これから、系をあらかじめ熱平衡状態に近い状態に置いておくことによって、つけてから時間を置くことなく系は熱平衡状態に非常に近い状態となる。この際、冷却の方が加熱に比べて速く起きるため、初期温度としては熱平衡状態の時の温度より 1∼2 ℃程度上に設定しておくと、安定になるまでの時間が短くなる。温度変化の様子は図 3.35 に示す。

第3章

88

DPSS レーザーの実験

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᷷ᐲ䋨㷄䋩

㪊㪌
䉣䉺䊨䊮
บ

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㪊㪊
㪊㪉
㪊㪈
㪇㪑㪇㪇㪑㪇㪇

㪇㪑㪊㪇㪑㪇㪇

図 3.35㪈㪑㪇㪇㪑㪇㪇
㐿ᆎ䈎䉌䈱ᤨ㑆㪈㪑㪊㪇㪑㪇㪇

㪉㪑㪇㪇㪑㪇㪇

エタロン及び cavity の台の温度

また、温度ドリフトは存在するが、温調を行わない場合はエタロンに関しても cavity の台に関しても温度ドリフトの方向は同じであるので、共鳴周波数の相対的なズレは十分小さいため、式（3.5）を満たし、モードホップが起きないと考えられる。
以上から、事前に系を適切な温度にしておくことにより、開始後 30 分程度の時間をおけば非常に安定な系を作り出すことが可能であると言える。
ここで、レーザーをつけている際に温調を行うことによってモードホップが十分に改善しないことについての考察を行う。温調は系の変化に対して熱平衡状態を保ち続けるためのものであり、温調によってモードホップが改善するはずである。

図 3.36 タイムスパン 3 分における温度ドリフトの様子

3.4 レーザーの安定化

89

ここで図 3.36 を見ると、温調時は温度ドリフトに関して、レーザーをつけている時の温度ドリフトにはノイズが乗っていることが分かる。これは、精度が ±0.1 ℃の温調を用いた場合でも、式（3.6) を満たしている ±0.02 ℃の温調を用いた場合でも変わらなかった。その原因の詳細は不明であるが、温調によって生じる局所的な熱勾配が系を不安定にしているのではないかと考えている。これによって、レーザーをつけている最中に温調を行う場合には系はあまり安定にはならず、逆にレーザーをつけている最中は温調を行わない場合の方が安定となっている。
これまでの議論から、我々の製作した DPSS レーザーはハイパワーかつシングルモードであり、適切な初期条件を与えてやることによってモードホップのほとんど起きない非常に安定なレーザーとなった。cavity のロックがほとんど外れることがないため、cavity trap の実験に使用するにあたって十分に安定なレーザーを製作することが出来たと言える。
尚、製作した DPSS レーザーのパラメータとして、線幅を測定する必要があるが、これは節 4.1.1 で議論しているのでここでは省略する。

91

第4章

Cavity Trap の実験
4 章では、実際に混合ボース気体の共振器増幅光トラップ（Cavity Trap）を実現するために行った予備実験について説明する。内容は
・4.1

Cavity の Lock・4.2

Cavity Trap に向けてとなっている。なお、以下で使われる Cavity という言葉は、基本的に DPSS レーザーの Cavity ではなく、DPSS レー
ザーの外側に作られた Cavity Trap のための Cavity を意味する。

4.1 Cavity の Lock
Cavity Trap を行う際には、Cavity を常に入射するレーザー光に共鳴した状態に保っておく必要がある。しかし、Cavity を構成するミラーの位置は周囲の音や台の振動、気温の変化などの影響を受けて変動し、Cavity 長が変化してしまう。また、レーザー自身の周波数ドリフトによっても Cavity の共振条件は変わってしまう。そこで、Cavity を常に共鳴状態に保つためには Cavity 長やレーザーの周波数を動的に制御する必要があり、ここでは Cavity を共鳴状態に保つことを Cavity の Lock と呼ぶ。Cavity の Lock は、2.2.3 節で説明した Pound-Drever-Hall 法（PDH 法）によって行う。なお、4.1.4 節ではこの Cavity Lock を利用して DPSS レーザーの線幅の見積もりを行っている。ここで行った Lock 方法、特にフィードバック回路については [35] を参考にしている。

4.1.1 微分信号 (Error Signal) の観測
ここでは実際に Cavity の Lock を行う前に、PDH 法によるフィードバックを行う上で重要となる微分信号（Error

Signal とも呼ばれる）の観測を行う。実験系は図 4.1 のようになる（青で示された CH はオシロスコープのチャンネルを表す）。また、用いた主な実験装置は表 4.1 のようになる。Cavity のミラーに取り付けられた PZT（ピエゾ）に三角
波状の電圧をかけ、Cavity 長つまり Cavity の FSR を変化させることで微分信号を観測している。

第 4 章 Cavity Trap の実験

92
EOM

Linos PM 25(Electro-Optic Modulator)(Crystal : KD*P , Wavelength(nm) : 400-1100)

Cavity

自作 Reference Cavity（付録 B.8 参照）

PD (Photodiode)

自作（付録 B.4 参照）

高速 PD (Photodiode)

自作（付録 B.5 参照）

PZT Driver（ピエゾドライバー）

自作（付録 B.2 参照）

Function Generator

Tektronix AFG3022

表 4.1 微分信号 (Error Signal) の観測 − 主な実験装置

CH1
三角波 (40Hz)PZT Driver

PZT

f=200mm

PBS

CH2
PD

Reference Cavity

λ/4

f=60mm

高速PD
(DC)
(AC)

PBS

CH4

EOM
λ/2

λ/2

DPSS

LPF

CH3

〜 (12.04MHz)

Function Generator

図 4.1

微分信号 (Error Signal) の観測 − 実験系

オシロスコープによる観測結果は図 4.2、4.3 のようになった。CH3 が得られた微分信号であり、Oﬀset を調整することで Cavity の共鳴点で電圧が 0V となり、PZT によって Cavity 長を振ったときに共鳴点の両側で電圧の符号が変わる信号が得られることがわかる。よって、この信号を PZT あるいは AOM に返すことで、フィードバックにより Cavity の Lock を実現することができると考えられる。Cavity の Finesse が小さいとき、つまり Cavity の線幅がEOM による変調周波数に比べ十分小さくないとき、微分信号の形が崩れうまくフィードバックを行えない恐れがあるが、得られた微分信号は強度も十分あり、フィードバックを行う上で必要な条件を備えていると言える。

4.1 Cavity の Lock

図 4.2

93

微分信号の観測結果 1

図 4.3

微分信号の観測結果 2

なお、微分信号の形状は EOM に入力する RF (Radio Frequency) の周波数によって変わる。微分信号の形状は、

2.2.3 節で見たように一般に RF の位相によって変化し、ここで見られた微分信号の形状の変化は、EOM に取り付けられた共振回路（付録 B.6 参照）によって起こる位相遅れの周波数依存性に起因するものと考えられる。図 4.4 は、実際に RF の周波数を 12.0MHz , 12.1MHz , 12.2MHz , · · · , 12.8MHz と変えたときの微分信号の形状の変化を表す。
例えば、12.3MHz のように中心の共鳴点で微分信号の傾きが小さいような場合は、Cavity の Lock がかけにくい。

12.0MHz

12.1MHz

12.2MHz

12.3MHz

12.4MHz

12.5MHz

12.6MHz

12.7MHz

図 4.4

EOM に入力する RF の周波数による微分信号の形状の変化

第 4 章 Cavity Trap の実験

944.1.2 PZT によるフィードバック
ここでは、節 4.1.1 で得られた微分信号を用いて Cavity のミラーに取り付けられた PZT を動かすことで、Cavityの Lock を行った。実験系は図 4.5 のようになり、フィードバックを行う回路として自作の Cavity Lock Circuit（付
録 B.7 参照）を使用した。PZT によるフィードバックでは、PZT の周波数特性から低周波での安定化しか行えない。
PZT Driver

PZT
CH2

PD

Reference Cavity

f=200mmPBS
λ/4

f=60mm

高速PD
(DC)
(AC)

CH4

CH3
PBS

CH1

EOM
λ/2

λ/2

Error
POWER Signal

DPSS

IN

AOM
Lock
Feedback ON

Monitor

PD

PZT

OUT

IN

OUT

PD

Triangular Wave

OUT

OFF

LPF
ON

〜 (12.04MHz)

Function Generator

OFF

OffsetGain Threshold Amplitude Offset Polarity

Cavity Lock Circuit

図 4.5

PZT によるフィードバック − 実験系

図 4.6 PZT によるフィードバック − Lock 前

実験結果は図 4.6〜4.9 のようになった。図 4.6 は Cavity Lock Circuit の Lock スイッチを OFF にした Lock 前の状態を表し、この状態ではフィードバック信号を PZT に返さず、PZT を三角波で振って各信号をスキャンしている。

4.1 Cavity の Lock95

CH3 は微分信号を増幅し Oﬀset を加えた後の Monitor 信号であり、Lock 前にはこの信号の Oﬀset が 0V となるように調整する。
図 4.7、4.8 は Cavity Lock Circuit の Lock スイッチを ON にして Lock がかかった状態を表す。Cavity 透過光を観測している PD の電圧値が PD Threshold で設定した電圧値を超えると、フィードバック信号を PZT に返し自動的に Lock がかかる仕組みになっている。Polarity スイッチはフィードバック信号の符号を変えるもので、これによってフィードバックが Cavity の共鳴点に対して正帰還になるか負帰還になるかが決まる。Cavity の共鳴点に対して正のフィードバックとなるときは、EOM によって生じた Sideband に Lock してしまうか、あるいは Lock がかからない状態となるが、図 4.7、4.8 では Cavity の共鳴点に対して負のフィードバックとなっており、Cavity が共鳴状態に保たれている（透過光強度を表す CH2 の信号がほぼ最大の状態で保たれている）。
図 4.7 は Gain が小さいとき、つまり PZT に返すフィードバック信号が弱いときである。このときは、Cavity の透過光強度を表す CH2 の信号を見ればわかるように、100Hz 程度のノイズが見られる。

図 4.7 PZT によるフィードバック − Lock 時：Gain が小さいとき

図 4.8 は図 4.7 の状態から Gain を大きくしたときである。このときの Gain の大きさが PZT で安定に Lock でき
る限界であり、これ以上 Gain を上げると図 4.9 で見るように発振が起こってしまう。図 4.8 では、図 4.7 で見られた100Hz 程度のノイズが改善され、透過光強度がほぼ一定となっていることがわかる。

図 4.8 PZT によるフィードバック − Lock 時：Gain を大きくしたとき

図 4.9 は図 4.8 の状態からさらに Gain を大きくしたときであり、7.5kHz 程度の発振が観測された（CH2 の信号が振動していないが、これは透過光強度が大きく PD が飽和してしまったためである）。これは、低周波では負のフィー

第 4 章 Cavity Trap の実験

96

ドバックがかかっている状態でも、高周波では位相の遅れからある周波数においてフィードバックループを 1 周したときにフィードバック信号が強め合って正のフィードバックとなり、Gain が十分大きくなったために発振が起こったと考えられる。なお、図 4.9 の発振が起こっているときは PZT の振動により Cavity から音が聞こえた。これは、スピーカーと同じ原理で PZT の振動が空気中に伝わったためだと考えられる（低周波で音が聞こえるためには比較的大きな振幅が必要だが、高周波では小さな振幅でも音が聞こえる）。

図 4.9

PZT によるフィードバック − 発振（〜7.5kHz）：さらに Gain を大きくしたとき4.1 Cavity の Lock97

4.1.3 PZT と AOM によるフィードバック
ここでは、さらに図 4.10 のように AOM を加えて実験を行った。AOM によるフィードバックを加えることで、PZT
では除去しきれなかった高周波のノイズを除去することができると期待される。なお、ここで新たに加えた主な実験装
置は表 4.2 のようになる。
高速PD
(DC)
(AC)

DC 〜7VCH4
PZT DriverCH2

f=60mmVCO CON VCO CON
AOM(DC) (DC + Feedback)Feedback

PZT
f=200mm

PBS

IN

λ/4

Reference Cavity

IN

OUT

AOM Feedback Gain
ON / OFF

PolarityPD

VCO

AOM Feedback Box

RF Amp.
AOM
CH3
PBS

CH1

EOM
λ/2

λ/2

f=400mm
Error
POWER Signal

DPSS

IN

AOM
Lock
Feedback ON

Monitor

PD

PZT

OUT

IN

OUT

PD

Triangular Wave

OUT

OFF

LPF
ON

〜 (12.04MHz)

Function Generator

OFF

OffsetGain Threshold Amplitude Offset Polarity

Cavity Lock Circuit

図 4.10 PZT と AOM によるフィードバック − 実験系

AOM

Crystal Technology, Inc. AOMO 3110-197(Acousto-Optic Modulator)(Crystal : TeO2 , Center Frequency : 110MHz)

RF Amp.

Mini-Circuits ZHL-1-2W

VCO (Voltage-Controlled Oscillator)

Mini-Circuits ZOS-150+

表 4.2 PZT と AOM によるフィードバック − 新たに加えた主な実験装置

実験結果は図 4.11〜4.14 のようになった。まず、図 4.11 は AOM の Gain をゼロにした状態、つまり AOM のフィードバックを切った状態で PZT のみで Lock した様子を表す。このときの PZT の Gain は発振する直前の値となっている。前節の結果に比べ不安定になっているように思われるが、DPSS レーザーの PUMP 電流の値などの実験
条件を変えており、その影響であると考えられる。また、このときの CH3 の Monitor 信号の振れ幅は peak-to-peak
で 96mV 程度であった。

第 4 章 Cavity Trap の実験

98

図 4.11 PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain ゼロ：Lock

次に図 4.12 では、PZT の Gain を少し上げ発振させた。このときの発振の周波数は、前節と同様に 7.5kHz 程度であった。

図 4.12PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain ゼロ：発振（〜7.5kHz）

そして、AOM の Gain をだんだん大きくしていくと図 4.13 のように発振が止まり、安定に Cavity を Lock することができた。これは、AOM による高周波のフィードバックにより PZT の発振が抑えられ、同時に高周波のノイズまで除去することができたためだと考えられる。実際、図 4.11 の PZT のみで Lock していたときに比べ、透過光強度の揺れがずっと小さくなっていることがわかる。また、このときの CH3 の Monitor 信号の振れ幅は peak-to-peak で48mV（図 4.13 の CH3 は 100mV レンジである）であり、PZT のみで Lock しているときの半分となっている。

4.1 Cavity の Lock99

図 4.13 PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain を大きくしたとき：Lock

図 4.14 は図 4.13 の状態から AOM の Gain をさらに大きくした状態である。このとき再び発振が見られたが、その発振周波数は約 250kHz であり PZT のみでの発振周波数より大きいものであった。これは、AOM のフィードバック
ループにおける発振と考えられる。つまり、AOM のフィードバックループにおける 1 周したときの時間遅れは PZTのフィードバックループに比べ小さく、AOM の Gain を上げたことで PZT のときよりも周波数の大きな発振が起こったと考えられる。

図 4.14 PZT と AOM によるフィードバック − AOM の Gain をさらに大きくしたとき：発振（〜250kHz）

第 4 章 Cavity Trap の実験

100

4.1.4 Cavity Lock を利用した DPSS レーザーの線幅の見積もり製作した DPSS レーザーのパラメータとして、線幅を測定する必要がある。線幅の測定方法はいくつか知られているものがある。


 1. Reference Cavity にカップルさせ、透過光の線幅を測定する。
2. 自己遅延法
 3. 同じレーザー 2 台を用いて Beat をとる。

1 の Reference Cavity にカップルさせる方法であるが、これは線幅の広いレーザーの場合にしか適用出来ない。何故ならば、Cavity の線幅の方がレーザーの線幅より大きい場合、測定結果は Cavity の線幅になってしまうからである。線幅の狭い Cavity を作れば測定可能であるが、それは困難である。

2 の自己遅延法も、線幅の広いレーザーの場合にしか適用出来ない。これは線幅の細いレーザーを自己遅延させるためには長いファイバーが必要となるからである。

3 の方法では、細い線幅のレーザーでも可能であるが、DPSS レーザーをもう 1 台作る必要があるので難しい。
そこで我々は、以下で説明するような Reference Cavity の透過光と微分信号を用いて線幅の見積もりを行うという方法を取った。なお、これはあくまでも見積もりであって、正確な測定ではない。

図 4.15 反射率 99% の 2 枚のミラーで構成される Fabry-Perot 共振器によって得られる微分信号

2.2.3 節で見たように、Pound-Drever-Hall 法によって図 4.15 のような微分信号が得られることが導かれる。ここで、図 4.15 の横軸は φ/2π = f0 /FSR（f0 はレーザーの周波数）であり、4.1.1 節では PZT によって共振器長を振ることで FSR を変化させ、微分信号を観測していた。そして、4.1.2 節ではこの微分信号が 0 となるように PZT にかける電圧を制御し、Cavity の Lock を行っていた。
一方図 4.15 の横軸が φ/2π = f0 /FSR であることから、レーザーの周波数が変化することによっても微分信号の値

4.1 Cavity の Lock101は変動することがわかる。レーザーの周波数は一般にその線幅程度の周波数で変動し、その周波数は PZT で制御できる周波数より大きい。よって、PZT によって Cavity の Lock を行っている場合でも、レーザーの周波数の変動によって微分信号の値が揺れる。微分信号の値は、PZT で制御できない範囲に対してはレーザーの周波数の揺れ以外の要因
によって変動する恐れもあるが、それらの影響が十分小さいと考えれば Lock 時の微分信号の変動からレーザーの線幅を見積もることができる。
そこで、以下では Cavity Lock 前後での微分信号の情報から、今回作製した DPSS レーザーの線幅を見積もってみる。ここでは、微分信号の代わりに Cavity Lock Circuit の Monitor 信号を用いる。また、実験系は 4.1.3 節の図 4.10と同じであり、最初 AOM のフィードバックは切ってある。

1.37MHz/V⇔⇔

FSR = 750MHz

23.9V/ms

23.0ms

図 4.16線幅の見積もり − FSR

図 4.17線幅の見積もり − 微分信号の傾き

図 4.16、4.17 は Lock 前の各信号のスキャンを行っているときのオシロスコープ画面であり、CH3 が Monitor 信号を表す。図 4.16 より、Reference Cavity の FSR = 750MHz はオシロスコープ画面上で 23.0ms に対応していることがわかる。また図 4.17 より、Monitor 信号の共鳴点近傍での傾き*1 は 23.9V/ms となり、これは FSR = 750MHz が23.0ms に対応していたことから 1.37MHz/V に対応する。よってこれより、Cavity を Lock したときの Monitor 信号

100

Frequency

Monitor Voltage (mV)の電圧値の変動からレーザー周波数の変動が見積もれる。

0

-100
-40

-30

-20

-10

0

Time (ms)

10

20

30

40

900
800
700
600
500
400
300
200
100
0

FWHM = 71mV

-50

0

50

Monitor Voltage (mV)

図 4.18 Monitor 信号の変動とそのヒストグラム − PZT のみで Lock したとき

図 4.18 は PZT のみで Cavity を Lock したときの Monitor 信号の変動の様子を表し、左が Monitor 信号の電圧値の時間変化、右がそれをヒストグラムで表したものである。測定の際のオシロスコープの解像度が低かったため、図 4.18
左では電圧値が 10 点程度で離散的に表されている。また、図 4.18 右の赤で示された曲線は、得られたヒストグラムを*1 Lock したときの Monitor 信号は後で見るように ±100mV 以内に収まっているので、この範囲での傾きを測った。

第 4 章 Cavity Trap の実験

102ガウス分布 ae−bx （x : Monitor Voltage）でフィッティングしたものである。よって、これより Monitor 信号の電圧2値の変動は FWHM = 71mV 程度で分布していることがわかる。この Monitor 信号の FWHM がまさにレーザーの線幅に対応していると考えられるので、先ほどの微分信号の傾き 1.37MHz/V から、レーザーの線幅は1.37MHz/V × 71mV = 0.0973MHz w 100kHz(4.1)

程度と見積もられる。
次に、4.1.3 節のように PZT と AOM の両方を用いて Cavity を Lock した場合を考えてみる。図 4.19 は AOM を

FWHM = 35mV

100
300

Frequency

Monitor Voltage (mV)

加えて Cavity を Lock したときについて、図 4.18 と同様に Monitor 信号の電圧値をグラフにしたものである。

0

200
100

-100
-10

0

10

Time (ms)

0

-50

0

50

Monitor Voltage (mV)

図 4.19 Monitor 信号の変動とそのヒストグラム − PZT と AOM で Lock したとき

図 4.19 を図 4.18 と比較すればわかるように、AOM を加えたことによって Monitor 信号の電圧値の変動が減少している。AOM はレーザーの周波数を微調することによってフィードバックしており、図 4.19 の結果は AOM によって実質的にレーザーの線幅が細くなっていることを意味する。図 4.19 のフィッティングから、Monitor 信号の電圧値の変動は FWHM = 35mV 程度で分布していることがわかるので、このときのレーザーの実質的な線幅は1.37MHz/V × 35mV = 0.0480MHz w 50kHz(4.2)

程度と見積もられる。

Cavity Trap における Enhancement Factor は 100 程度を目指しており、このとき Cavity の Finesse は 300 程度となる。Cavity の FSR は 250MHz（共振器長 600mm）であることから、Cavity の線幅は 1MHz 程度となる。上で見た DPSS レーザーの線幅および AOM を用いて細くなった線幅はこれより 1 桁以上小さいため、Cavity Trap を行う
上で十分細い線幅が得られていると言える。

4.2 Cavity Trap に向けて

103

4.2 Cavity Trap に向けて
4.2 節では、実際に混合ボース気体の共振器増幅光トラップ（Cavity Trap）を行う際に必要な Trap 深さが得られることを、同様の系を組んで確認する。実際の Cavity Trap の大まかな実験系は図 4.20 のようになるが、現在真空チャンバーは別の実験で使用中であり使うことはできない。また、Cavity を組むための図 4.20 の 2 枚の球面ミラーはまだ入荷されていない。そこで、ここでは実際に使うと同じ反射率を持つ別のミラー 2 枚、および真空チャンバーのBrewster Window の代わりとなる石英ガラス 2 枚を用いて実験を行う。
600mm

BrewsterWindow

BrewsterWindowChamber
R1 = 99%
r = 1000mm

R2 = 99.9%
r = 1000mm
150mm

250mm

150mm

図 4.20 Cavity Trap − 実際の実験系

Cavity Trap における Trap の深さは、2.2.2 節で見たように Cavity 内の電場強度に比例する。よって、深い Trap を得るためには、高出力レーザーを用いるとともに Cavity の Enhancement Factor A を大きくすることが必要となる。

Enhancement Factor A の値は、2.2.3 節で見たように主にミラーの反射率と石英ガラスでのロスによって決まるので、
4.2.1 節ではそれらのパラメータを得るための測定を行う。そして、4.2.2 節では実際に Cavity を組んで Enhancement
Factor A の測定を行い、4.2.3 節で Cavity Trap におけるポテンシャルの深さと Trap 周波数を算出する。最後に、得られた Trap 周波数をもとに 4.2.4 節で DPSS レーザーの強度ノイズの評価を行う。

4.2.1 石英ガラスとミラーの各パラメータの測定
石英ガラスの反射率の測定
実際に Cavity Trap を行う際には、真空チャンバー内の原子に対して Trap を行わなければならないが、真空チャンバーの内側に Cavity を組むことは現実的に難しく、Cavity を真空チャンバーの外側に組む必要がある。そこで、Cavity の Enhancement Factor A を大きくするためには、図 4.20 のように真空チャンバーにガラス窓を取り付け、そこでのロスを最小に抑える必要がある。これを実現するために、ガラス窓として石英ガラスによる Brewster Windowを取り付け、レーザー光を石英ガラスに対し Brewster 角で入射させる。石英ガラス以外の選択肢としては、パイレッ
クスガラスや BK7 などの他のガラスや AR コートを施したガラスなどを用いることが考えられるが、いずれも最低でも 1% 程度の反射ロスが生じてしまう [35]。
そこで、石英ガラスによる Brewster Window を実現するために、ここではまず石英ガラスの Brewster 角周辺での反射率を測定する。実験系は図 4.21 のようになり、Power Meter（表 4.3 参照）によって測定した石英ガラスの透過
光パワー*2 と反射光パワーから反射率を求めた。また、石英ガラスとして実際の Brewster Window と同じ厚さ 3mmの石英板を用いて測定を行った。
*2 石英ガラスの Brewster 角周辺での反射率は非常に小さく、測定の精度内では透過光パワーは入射光パワーと等しいと考えてよい。

第 4 章 Cavity Trap の実験

104
λ/2

Silica Glass

PBS

DPSS

2θ

Power Meter(High Power)

Power Meter(Low Power)
図 4.21 石英ガラスの反射率の測定 − 実験系

Power Meter(Sensor 部)

THORLABS S314C(High Power 用)(Meter 部)

THORLABS PM100A

Power Meter(Sensor 部)

THORLABS S121B(Low Power 用)(Meter 部)

THORLABS PM30

表 4.3

石英ガラスの反射率の測定 − 使用した Power Meter

測定結果は図 4.23 のようになり、石英ガラスの反射率は最低で 0.01% 以下まで下げることができた。ここで、図4.23 の赤い曲線は理論曲線を表す。図 4.22 のような物質界面における p 偏光の光のエネルギー反射率 Rp の理論式は
p

s
n1

αα

β

n2

図 4.22 物質界面における光の反射・透過{Rp =tan(α − β)tan(α + β)}2(n1 sin α = n2 sin β)(4.3)

で表される。今の場合、石英ガラスの両面で 2 回反射が起こるため、図 4.23 の反射率の理論曲線は式 (4.3) の 2 倍として計算されている (n空気 = 1、n石英ガラス = 1.45 として計算した)。
図 4.23 から、石英ガラスの反射率は理論式とほぼ同じ値が得られていることがわかる。

4.2 Cavity Trap に向けて

105

図 4.23

石英ガラスの反射率の測定 − 測定結果

石英ガラスの吸収の測定
ここでは、石英ガラスの吸収を測定する。実験系は図 4.24 のようになり、レーザー光として低出力の商用 DPSS
レーザーを使用した。

DPSS

λ/2

PBS

f = 300mm

Silica Glass(Brewster Angle)(Low Power ,Commercial)

Power Meter(Low Power)

図 4.24 石英ガラスの吸収の測定 − 実験系

Power Meter は光の当たる場所や角度によって表示されるパワーが微妙に変わってしまう。そこで、図 4.24 のように石英ガラス 2 枚を八の字型に入れることで、石英ガラスの有無による光のパスのずれの影響を小さくした。また、ここで使用した DPSS レーザーのパワーは比較的安定しているものの、時間が経つと変化してしまう。そのため、まず石英ガラスがあるときの測定を行い、その後すぐ石英ガラスを外し石英ガラスがないときの測定を行った。なお、石英ガラスは入射光に対し Brewster 角で置かれており、そのときの端面での反射は測定精度以下（0.001mW 未満）であったので、ここでは無視している。
石英ガラス（2 枚）があるときとないときでのパワーの測定結果は表 4.4 のようになった。

第 4 章 Cavity Trap の実験

106
1

2

3

4

石英ガラス（2 枚）あり

2.978mW

2.981mW

2.973mW

2.982mW

石英ガラス（2 枚）なし

2.979mW

2.983mW

2.977mW

2.987mW

石英ガラスの吸収の測定 − 測定結果

表 4.4

これより、石英ガラス 1 枚での吸収は 0.05 ± 0.03% 程度となる。これは実際には反射によるロスも含まれた値であるが、それでも非常に小さく、ほとんど測定不能なレベルにあると言える。
ミラーの反射率の測定
実際の Cavity Trap の実験では、{

入射側：反射率 R1 = 99%
透過側：反射率 R2 = 99.9%, 曲率半径 r = 1000mm, 曲率半径 r = 1000mmの 2 枚のミラーを用いて Cavity を構成するが、この 2 枚のミラーはまだ入荷されていない。そこで、今回は同じ反射率を持つ{

入射側：反射率 R1 = 99%
透過側：反射率 R2 = 99.9%, 曲率半径 r1 = 100mm, 曲率半径 r2 = 400mmの 2 枚のミラーを用いて実験を行う。
ここでは、上の 2 枚のミラーの反射率の確認を行う。実験系は図 4.25 のようになり、PD の電圧値を Digital

Multimeter の「KEITHLEY 2100」を介してパソコンに取り込み、1 分程度の測定の平均をとることで光パワーの測定を行った。

DPSS

λ/2

f = 300mm

PBS

Mirror→ Digital Multimeter(Low Power ,Commercial)

PD

PD
↓
Digital Multimeter
図 4.25 ミラーの反射率の測定 − 実験系

図 4.25 の実験系において、ミラーがない状態で入射光パワー Pi を、またミラーを置いた状態で反射光パワー Pr と透過光パワー Pt を測定した。この測定から、ミラーの反射率は Pr /Pi（反射光から）と 1 − Pt /Pi（透過光から）の 2
つの方法で計算することができる。各ミラーの反射率の測定結果は表 4.5 のようになった。
ミラー 1（入射側）

ミラー 2（透過側）

反射光から

99.1%

99.78%

透過光から

99.2%

99.92%

表 4.5

ミラーの反射率の測定 − 測定結果

ここで、反射光から計算した値は入射光パワーと反射光パワーの差に対し、レーザーパワーの揺れや PD への光の当たり方の違いによる測定値のずれの影響などが無視できないくらい大きく、比較的誤差の大きい値であると言える（少なくとも ±0.1% 程度）。

4.2 Cavity Trap に向けて

107

一方、透過光から計算した値は入射光パワーに比べ透過光パワーがずっと小さく、上のような誤差の影響は無視できる。しかし、この場合はミラーを構成するガラス部分での吸収や反射面の裏面でのロスを考慮しておらず、反射率は実際よりわずかに大きい値として計算されてしまっていると考えられる。
以上から、各ミラーの反射率を精度よく測定することはできなかったものの、それぞれスペック通りミラー 1 はほぼ99%、ミラー 2 はほぼ 99.9% の反射率を持つことがわかる。そこで、以降に実験において計算の際にミラーの反射率が必要な場合は、ミラー 1 の反射率 R1 = 99%、ミラー 2 の反射率 R2 = 99.9% として計算する。

第 4 章 Cavity Trap の実験

1084.2.2 Enhancement Factor の測定
ここでは、図 4.20 のような実際の Cavity Trap の実験系を、4.2.1 節で各パラメータの測定を行ったミラー 2 枚と石英ガラス 2 枚を用いて再現し、Enhancement Factor の測定を行う。

Cavity とのモードマッチングのためのレンズ
2.1.6 節で見たように、Cavity に共鳴する光はその Cavity に特有のビーム形状となっており、それと異なるビー
ム形状を持つ光を Cavity に入射しても一部しか共鳴しない（Coupling 効率が悪い）。そこで、入射光の Cavity への

Coupling 効率を上げるためには、光路にレンズを挿入してレーザーのビーム形状を Cavity に共鳴するものに変換する必要がある。これをモードマッチングと呼ぶ。ここでは、このモードマッチングのためのレンズの位置と焦点距離を求める。

Enhancement Factor の測定の際の大まかな実験系は、4.1.3 節の PZT と AOM によるフィードバックのときの図4.10 と同様となる。そこでは AOM の効率を上げるため、図 4.26 のように AOM の前に焦点距離 f = 400mm のレンズを入れ、AOM の位置で焦点を持たせている。一方、後で見るようにモードマッチングのためには Cavity 中でも焦点を持たせなければならず、図 4.26 のように AOM と Cavity の間にレンズを挿入する必要がある。以下では、このレンズの位置を表す距離 a, b とレンズの焦点距離 f を求める。

CavityfAOM

f=400mmab

図 4.26 Cavity とのモードマッチングのためのレンズ

まず、Cavity に共鳴するビーム形状を求める。Enhancement Factor の測定の際は、Cavity として 4.2.1 節で反射率を測定した{

入射側：反射率 R1 = 99%
透過側：反射率 R2 = 99.9%, 曲率半径 r1 = 100mm, 曲率半径 r2 = 400mmの 2 枚のミラーを使用し、それぞれ別のミラーホルダーに取り付けた状態で実験を行う。Cavity に共鳴する光は各ミ
ラー上でミラーと同じ曲率半径を持つので、図 4.27 のように Cavity の（片道の）共振器長を d として焦点の位置を 0とする座標軸を設定すれば、式 (2.27) より

z-d

0

z

d
R1 = 99%
r1 = 100mm

R2 = 99.9%
r2 = 400mm

図 4.27 Cavity に共鳴するビーム形状

4.2 Cavity Trap に向けて109
2z 2 + zR
= 400
 R(z) =z
22 R(z − d) = (z − d) + zR = −100
z−d

(4.4)

が成り立つ。ここで、図 4.27 のような曲率半径の異なる 2 枚の球面ミラーを用いた Fabry-Perot 共振器における共鳴
条件は

(
)(
)
d
d
0< 1−
1−
<1
r1
r2

(d：片道の共振器長)(4.5)となることが知られている。これより、今の場合 d < 100mm を満たさなければならないが、この条件にぎりぎりの場
合は一般に共鳴しにくく不安定であり、好ましくない。一方、Enhancement Factor の測定の際は Cavity 内に石英ガラスを Brewster 角で 2 枚入れる必要があるため、ある程度の共振器長が必要となる。そこで、共振器長を d = 85mm
として式 (4.4) を解けば、


 z = 3.86mm
zR = 39.1mm√
 w0 = λzR = 0.115mm
π（Cavity に共鳴するビーム形状：レンズ後）(4.6)(λ = 1064nm)が得られる。これが、レンズ後のビーム形状を表すパラメータである。なお、Brewster 角で光が入射するように置いた 2 枚の石英ガラスによって実質的な共振器長は 3.3mm ほど増加する。よって、共振器長 d = 85mm とした上の計算と同じ条件にするためには、Cavity のミラー間距離を 82mm 程度にする必要がある。
次に、AOM で焦点を持ったレンズ入射前のレーザー光のビーム形状を求める。図 4.28 のように AOM からの距離を z とし、複数の位置 z でのビーム半径 w をビームプロファイラを用いて測定すると、図 4.29 のようになった。赤で示された線は、測定結果を式 (2.26) のCavityAOM

f=400mmz
図 4.28 レンズ入射前のレーザー光のビーム形状√
w(z) = w0
でフィッティングしたものである。

(
1+

z
zR

√

)2
=

(
w02 +

λz
πw0

)2
(4.7)

第 4 章 Cavity Trap の実験

110

図 4.29 レンズ入射前のレーザー光のビーム形状 − 測定結果

よって、このフィッティング結果よりレンズ前のビーム形状を表すパラメータとして、{

w0 = 0.210mm
πw2
zR = λ 0 = 130mm(λ = 1064nm)（レンズ入射前のレーザー光のビーム形状：レンズ前）(4.8)

が得られる。
以上より、レンズ前後でのビーム形状に関する情報が得られた。そこで、AOM から Cavity 中の焦点（透過側ミラーとほぼ同じ位置）までの距離を 1300mm（図 4.26 で a + b = 1300mm）として、レンズ前後の光のビーム半径を描くと図 4.30 のようになる。
図 4.30 より z = 840mm の位置でそれぞれのビーム半径が等しくなることがわかり、ここがレンズを置く位置である。つまり、図 4.26 の a, b の値は{

a = 840mm
b = 460mm(4.9)となる。次に、レンズ前後の光のレンズの位置での曲率半径をそれぞれ ã, b̃ とすれば、式 (2.27) より

{

2

2

+500
= 860mmã = 12801280
2

2

+39.1
= 463mmb̃ = 370 370(4.10)となる。よって、レンズの焦点距離 f はレンズの公式より

1 1
1
= +
f
ã b̃
∴ f = 300mm(4.11)

4.2 Cavity Trap に向けて

111

図 4.30 レンズ前後の光のビーム半径となる。なお、これはレンズの焦点距離 f として切りの良い値が得られるよう、いくつかの a + b の値に対して計算し得られた結果である。
以上より、Cavity とのモードマッチングのためのレンズの各パラメータ a = 840mm
b = 460mm

f = 300mm(4.12)が得られた。

82mm

f = 300mm
AOM

Cavityf=400mm

a = 840mm

b = 460mm

図 4.31 Cavity とのモードマッチングのためのレンズの各パラメータ

第 4 章 Cavity Trap の実験

112

Enhancement Factor の測定
ここでは、Enhancement Factor の実測を行う。実験系は図 4.32 のようになり、4.1.3 節の PZT と AOM による
フィードバックのときの図 4.10 と同様に各装置の配線を行う。

f=300mm
PBS

R1 = 99%
r1 = 100mm

Silica Glass

高速PD

λ/2

R2 = 99.9%
r2 = 400mm

CavityPower Meter(Low Power)

PZT
PBS
f=100mmisolator
PD

λ/2

AOM

PBS
λ/2

EOM
λ/2

f=400mm

DPSS
図 4.32 Enhancement Factor の測定 − 実験系

なお、この測定の際には 4.1 節の実験のときに比べ Cavity の Lock がかかりにくかった。これは Cavity の違いのためである。4.1 節では自作 Reference Cavity を用いていたが、これはミラーどうしがガラス管によってしっかり固定されており、また共焦点共振器であるため透過光のピークや微分信号の波形がきれいで、Lock がしやすい状況となっていた。一方、今回の測定では 2 枚のミラーが別々のミラーホルダーに取り付けられているため振動に弱く、図 4.34 のように 2 つのミラーホルダーどうしをつなぐように上に物を置いたりしてもなかなか改善しなかった。また、共焦点共振器でなかったため透過光にたくさんのピークが見られ、微分信号が隣り合うピークのものと重なってしまってしまう部分もあり Lock がかけにくい状況となっていた。
次に、Enhancement Factor の測定方法について説明する。Cavity 内に配置した 2 枚の石英ガラスは入射光に対しBrewster 角で置かれているが、反射率は完全に 0% とはならず端面での反射光が Cavity 外にわずかに漏れる。そこ
で、この反射光強度を図 4.32 のように Power Meter で測定することで、Enhancement Factor の大きさを見積もることができる。

4.2 Cavity Trap に向けて

113

図 4.33 Enhancement Factor の測定 − 写真 1

図 4.34 Enhancement Factor の測定 − 写真 2

ここでは、図 4.35、4.36 のように反射光：P2（Lock時）

反射光：P3

入射光：P1

入射光：P1

Silica Glass

Silica Glass

図 4.35 Enhancement Factor の測定 1


 P1
P2

P3

図 4.36

Enhancement Factor の測定 2: 入射光パワー: Cavity を Lock しているときの反射光パワー: Cavity のミラーを外したときの反射光パワー(4.13)の各パワーを測定することで Enhancement Factor を求めた。図 4.36 から、石英ガラスの反射率 R は

R=

P3
P1

(4.14)となる。Cavity 内の定在波を形成する 2 つの進行波のうちの一方の光パワーを Pcavity と定義すれば、Enhancement

Factor A は Pcavity = AP1 と表されるので、A は図 4.35 より
A=

P2 /R
P2
Pcavity
=
=
P1
P1
P3

(4.15)となり、これより A が求められる。

P1 , P2 , P3 の実際の測定結果は
 P1 = 2.74W
P2 = 9.1mW
P3 = 0.100mW（Pump LD の電流 : 20.0A で測定を行った）(4.16)となった。よって、式 (4.15) より Enhancement Factor A の測定値は

A = 91程度となる。

(4.17)

第 4 章 Cavity Trap の実験

114
一方、2.2.3 節より Enhancement Factor A の理論値は(√ )2(1 − R1 )(1 − L)1/4 1 + (1 − L)1/4 R2
A=
(
)2
√
4 1 − (1 − L)R1 R2


R1
 R2
L

(4.18)

: 入射側ミラーのエネルギー反射率: 透過側ミラーのエネルギー反射率 : 共振器の往復のロスで表される。そこで、R1 = 99%, R2 = 99.9% として、L を横軸にとったときの A の理論値をプロットすると図 4.37のようになる。4.2.1 節より、1 枚の石英ガラスでのロスは 0.05% 程度であったので、往復のロス L は L w 0.2% 程度となり、理論上は A = 230 程度の Enhancement Factor が得られるはずである。

図 4.37 Enhancement Factor A の往復のロス L に対する変化

Enhancement Factor の測定値がそれより小さくなった理由としては、Cavity のモードマッチングが不完全であったことが考えられる。実際、Cavity の入射側ミラーの反射光を見てみると入射光より大きく、モードマッチングが不十分であったことが確かめられた。図 4.38 はオシロスコープのスキャン信号であり、CH2 が Cavity の透過光強度を表す PD の信号である。これを見ればわかるように、モードマッチングが不完全であるために 1FSR 内に複数のピークが見られ、共振器増幅はそのうちの 1 つのモードに対してしか行われなかったために、Enhancement Factor が理論値よりも小さくなってしまったと考えられる。
そこで、実際の Enhancement Factor を見積もってみる。図 4.38 において Enhancement Factor の測定の際に Lock
したモードは、矢印で示された最大のピーク値を持つモードであり、このモードのパワーは全体のモードのうちの約25% を占めていた。これは、図 4.38 の測定データからレーザーを切ったときの Background を引いたスペクトルを求4.2 Cavity Trap に向けて

115

このモードにLock

FSR

図 4.38

不完全なモードマッチング

め、1FSR でのスペクトルの積分値に占める Lock したモードの割合を計算することで求めた。石英ガラスの反射光の測定において、Lock 時の反射光パワー P2 は上の 1 つのモードの反射光を観測していたのに対し、ミラーを外したときの反射光パワー P3 は全モードの反射光を観測していた。よって、実際の Enhancement Factor A0 は

A0 w

P2
w 360
0.25P3(4.19)

程度と計算される。この A0 は理論値よりも大きい値であるが、これは理論値の計算に用いていたミラーの反射率や石英ガラスでのロスの測定誤差のためであり、実際はさらに大きな Enhancement Factor が得られる条件となっていたと考えられる。
上で見たように、図 4.38 ではモードマッチングが不十分であったので、再びアラインメントをし直しモードマッチ
ング効率の向上を図った。ここでは、モードマッチングのためのレンズを焦点距離 f = 200mm のものに変え、レンズ
や Cavity のミラーの位置を調節してアラインメントを行った。その結果、図 4.39 程度までモードマッチングを改善することができ、このときのモードマッチング効率は約 65% であった。

このモードにLock

FSR

図 4.39 モードマッチングの改善

このときの Enhancement Factor A の値を前と同様に測定すると

 P1 = 3.4W
P2 = 115mW

P3 = 1.24mW

第 4 章 Cavity Trap の実験

116
∴A=

P2
= 92.7P3(4.20)となり、前とあまり変わらなかった。P2 , P3 の値が大きいことから、石英ガラスの角度が悪く、石英ガラスでの反射ロ
スが大きかったためではないかと考えられる。

4.2 Cavity Trap に向けて

117

4.2.3 Trap パラメータの算出
ここでは、Cavity Trap のポテンシャルの深さと、Trap 中での原子の振動の周波数を表す Trap 周波数を、得られた測定結果から算出する。なお前節までの測定結果から、以下では Enhancement Factor

入射光パワー
ビームウエストでのビーム半径: A = 90
: P0 = 8.0W
: w0 = 400µmとして計算している。P0 = 8.0W は EOM や AOM、Isolator などでのレーザーパワーのロスを考慮したものである。
また、w0 = 400µm は図 4.20 のような実際の Cavity Trap の実験系で Cavity を組んだときの値である。

2.2.2 節で見たように、Optical Dipole Trap 中の準位 0 にある原子は)∑ ~|Ωk0 |2 (
1
1
+
U =−
4
ωk0 − ω ωk0 + ω
k


Ωk0
: 準位 0 と準位 k 間におけるラビ周波数 ωk0 /2π : 準位 0 と準位 k 間の共鳴周波数
ω/2π : 光の周波数)∑ gk πc2 Ak0 (
1
1
=−
·
+
I
3
g0
2ωk0
ωk0 − ω ωk0 + ωkgi : 準位 i の縮退度
 Ak0 : 準位 0 と準位 k 間での自然放出レート。アインシュタインの A 係数 I
: 単位面積あたりの光強度
= −αI
(
α=

∑ gk
k

g0

·

πc2 Ak0
3
2ωk0

(

1
1
+
ωk0 − ω ωk0 + ω(4.21)))としたというポテンシャルを感じる。ここで、基底状態の 41 K,87 Rb に対する α の値は 2.2.2 節の Light Shift の計算結果より、λ = 1064nm において{K (4S1/2 ) : αK = 1.86 × 10−36 m2 s
Rb (5S1/2 ) : αRb = 2.09 × 10−36 m2 s

41
87

(4.22)となる。また、式 (4.21) 中の I は Trap される原子の位置での光強度であり、Cavity Trap 中では I として Cavity 中にできる定在波のビームウエスト位置での光強度を考える。その光強度を I = Icavity とすれば、radial 方向を r 、axial
方向を z としてrz

図 4.40 Cavity 中の定在波（色の濃い部分ほど光強度が大きい）()
2r2
Icavity = 4AI0 exp − 2 cos2 kz
w0(4.23)

第 4 章 Cavity Trap の実験

118と表される。ここで、A は Enhancement Factor であり、今は特に定在波の腹の部分を考えることから 4 がかけられている。また、I0 は共振器増幅されない場合の入射光のビームウエストの中心位置での光強度（光強度の最大値）を表し、全入射光パワーを P0 とすると、I0 は

∫ ∞

P0 =
0

(
)
2r2
πw02
I0 exp − 2 2πrdr =I0
w0
2∴ I0 =

2P0
πw02(4.24)と表すことができる。よって、以上から式 (4.21) のポテンシャルは

(
)
8αAP0
2r2
U =−
exp − 2 cos2 kz
πw02
w
) 0
(
2
2r
= −U0 exp − 2 cos2 kz
w0
)
(
8αAP0
とした
U0 =
πw02

(4.25)(4.26)となり、原子はこのポテンシャルの極小点のまわりに Trap される。
そこで、まずポテンシャルの深さを求める。ポテンシャルの深さは U = 0 に対する U の極小値のエネルギーの深さであり、一般に温度で表される。その温度 T は式 (4.25) から

kB T = U0
∴T =

8αAP0
πkB w02(4.27)と表される。よって、A = 90, P0 = 8.0W, w0 = 400µm とし、α として式 (4.22) の値を用いれば、各原子に対するTrap 温度は

{ 41
87

K
Rb

: TK = 1.6mK: TRb = 1.7mK(4.28)となる。
次に、Trap 周波数を求める。Trap 周波数は Trap 中での原子の振動の周波数を表し、今の場合 radial 方向と axial
方向に対して定義される。各方向に対して、極小点近傍のポテンシャル U を U = 21 mω 2 x2 + constant で近似したときの ω が Trap 周波数 (rad/s) を表すので、各方向の Trap 周波数は式 (4.25) より


)
(
)
(
 Uradial = −U0 exp − 2r22 w −U0 1 − 2r22


w0

(

)

w0

Uaxial = −U0 cos kz w −U0 1 − k z
√
√

4
2
U0
2αAP0



= 2
 ωradial = w
m
w0
πm
0
∴
√
√


8π
2U0
αAP0

 ωaxial = k
=
m
λw0
πm
2

2 2

(4.29)となる。よって、A = 90, P0 = 8.0W, w0 = 400µm とし、α として式 (4.22) の値を用いれば、各原子に対する Trap
周波数が求められ、

{
41

K

:
{

87

となる。

Rb

:

fradial = ωradial /2π = 0.44kHz
faxial = ωaxial /2π = 0.74MHz
fradial = ωradial /2π = 0.32kHz
faxial = ωaxial /2π = 0.54MHz(4.30)

4.2 Cavity Trap に向けて

119

4.2.4 DPSS レーザーの強度ノイズの測定
2.2.3 節で見たように、特に Trap 周波数の 2 倍の周波数帯域でのレーザーの強度ノイズは原子の Heating を引き起
こし、原子のロスにつながる。原子の Heating レート γ は、式 (2.157) より

γ=1
2= π 2 ftrap
S(2ftrap )ttrap(4.31)と表される。ここで、ttrap は原子の Trap 時間であり、S(2ftrap ) は Trap 周波数 ftrap の 2 倍の周波数でのレーザー
光のパワースペクトル密度を表す。4.2.3 節の結果から、41 K,87 Rb のどちらに対しても 2fradial は 0.5〜1kHz 程度、

2faxial は 1〜1.5MHz 程度となることがわかる。よって、式 (4.31) より、S(2ftrap ) =12 t
π 2 ftrap
trap(4.32)であるので、1 秒以上原子を Trap するためにはレーザー光の強度ノイズに対して{∴S(0.5 v 1kHz) ≤ 4.1 × 10−7 /Hz w −64dB/Hz
S(1 v 1.5MHz) ≤ 1.8 × 10−13 /Hz w −127dB/Hz(4.33)という条件が要求される。そこで以下では、今回作製した DPSS レーザーがこの条件を満たしているか確かめる。
まず最初に、パワースペクトル密度 S(f ) がどのようなものであるか確認しておく。2.2.3 節の式 (2.158) より、S(f )は角周波数 ω で表せばS(ω) =2π∫ ∞dτ cos(ωτ )h(t)(t + τ )i

(4.34)

0と、(t) の自己相関関数の（片側）フーリエ変換で定義される。ここで、(t) はレーザーの強度ゆらぎを表し、時刻 t
におけるレーザーパワー P (t) はその平均パワーを P0 としたとき、P (t) = P0 {1 + (t)}(4.35)

で表される。式 (4.34) を書き直せば*3 、∫
2 ∞dτ cos(ωτ )h(t)(t + τ )i
π 0
∫
1 ∞
=
dτ e−iωτ h(t)(t + τ )i (∵ h(t)(t + τ )i は実数の偶関数であるとした)
π −∞

∫ ∞
∫ ∞
∫
1 ∞
˜(ω2 )eiω2 (t+τ ) dω2
˜(ω1 )eiω1 t dω1 ·dτ e−iωτ
=
π −∞
−∞
−∞
( (t) のフーリエ変換を˜(ω) とした)
∫
∫ ∞
∫ ∞
1 ∞
=
dτ
dω1
dω2 ei(ω2 −ω)τ ei(ω1 +ω2 )t h˜(ω1 )˜(ω2 )iπ −∞−∞−∞S(ω) =(4.36)

ここで、自己相関関数 h(t)(t + τ )i は時間 t に依存しない値である。これは h˜(ω1 )˜(ω2 )i が ω1 + ω2 = 0 のときにしか値を持たないこと、つまりh˜(ω1 )˜(ω2 )i = h˜(ω1 )˜(ω2 )i δ(ω1 + ω2 )= h˜
(ω2 )˜(−ω2 )i δ(ω1 + ω2 )= h˜
(ω2 )˜(ω2 )∗ i δ(ω1 + ω2 )(∵ (t) は実関数とした。このとき、˜(−ω) = ˜(ω)∗ )= h|˜
(ω2 )|2 i δ(ω1 + ω2 )*3 以下では、フーリエ変換の方に 1/2π を付け、逆フーリエ変換の方には 1/2π を付けない定義を用いている。

(4.37)

第 4 章 Cavity Trap の実験

120となることを意味する。よって、式 (4.36) は

∫
∫ ∞
∫ ∞
1 ∞
dτ
dω1
dω2 ei(ω2 −ω)τ ei(ω1 +ω2 )t h|˜(ω2 )|2 i δ(ω1 + ω2 )
π −∞
−∞
−∞
∫ ∞
∫
0
1 ∞
dτ
dω 0 ei(ω −ω)τ h|˜
(ω 0 )|2 i
=
π −∞
−∞
∫ ∞
dω 0 δ(ω 0 − ω)h|˜=2
(ω 0 )|2 i
−∞
(
)
∫ ∞
0
1
∵
dτ ei(ω −ω)τ = δ(ω 0 − ω) より
2π −∞S(ω) == 2h|˜(ω)|2 i(4.38)となる。以上は、自己相関関数のフーリエ変換がパワースペクトル密度に等しいというウィーナー・ヒンチンの定理を見たことになる。式 (4.35) の P (t) のフーリエ変換 P̃ (ω) を考えると、ω 6= 0 のとき∫ ∞1
dtP (t)e−iωt
2π −∞
∫
∫
P0 ∞
P0 ∞
=
dt e−iωt +dt (t)e−iωt
2π −∞
2π −∞

P̃ (ω) == P̃ (0)˜(ω)(∵ P0 = P̃ (0) より)(4.39)∴ S(ω) = 2h|˜
(ω)| i2=2h|P̃ (0)˜(ω)|2 ih|P̃ (0)|2 i=2h|P̃ (ω)|2 i
h|P̃ (0)|2 i(4.40)となる。よって、パワースペクトル密度はレーザーパワー P (t) のフーリエ変換を求め、その DC 成分との比をとることで式 (4.39) から求めることができる。なお、以下の実験においてフーリエ変換などはデジタル的に行うことになり、
パワースペクトル密度の求め方などは連続的な場合と多少異なる。しかし、ウィーナー・ヒンチンの定理などは離散的な場合においても同様に成り立つことが知られており、基本的には同じ方法でパワースペクトル密度を求めることができる。詳しい測定方法については付録 A.4 で説明している。
次に、実際に DPSS レーザーの強度ノイズを測定する。そこで、まず Pump LD の電流を 26.0A として、レーザー
光を PD に入れたときと、レーザーを切ったとき (Background) の PD 電圧の時間データをオシロスコープで観測した。ここで、PD の暗電流によるノイズの影響*4 を抑えるため、抵抗を 100Ω に変えた PD（付録 B.4 参照）を使用し、PD に入れるレーザーパワーを大きめにして測定した。また、オシロスコープの解像度を最大にするため、電圧レンジ
を最低の 2mV レンジにして測定を行った。測定結果は図 4.41〜4.44 のようになり、それぞれ 5 回ずつ測定した。なお、図 4.41、4.42 は AC Coupling で測定しており、PD 電圧の DC レベルはともに 2.7V 程度であった。

*4 PD 素子には、光が入っていないときでも大きいときで 10nA 程度の暗電流が流れ、これが 1 つのノイズの要因となる。この影響を少なくするためには、信号として流れる電流の大きさを暗電流に対して大きくすれば良い。

4.2 Cavity Trap に向けて

121

図 4.41 レーザーを入れたとき (Sampling : 5kHz)

図 4.42 レーザーを入れたとき (Sampling : 5MHz)

図 4.43 レーザーを切ったとき (Sampling : 5kHz)

図 4.44 レーザーを切ったとき (Sampling : 5MHz)

図 4.45 強度ノイズの測定 1 − 0.5〜1kHz

図 4.46 強度ノイズの測定 1 − 1〜1.5MHz

第 4 章 Cavity Trap の実験

122

次に、これらのデータをパソコンでフーリエ変換してパワースペクトルを求めた（詳しくは付録 A.4 を参照）。図4.45 は 0.5〜1kHz 帯域を、図 4.46 は 1〜1.5MHz 帯域を含む測定結果であり、それぞれ 5 回の測定の平均を取っている。
図 4.45 の測定結果から、0.5〜1kHz 帯域ではレーザーを入れたときのパワースペクトルの方が切ったときより大きく、低周波領域ではレーザーがある程度のノイズを持っていることがわかる。なお、レーザーを切ったときのBackground ノイズは、主にオシロスコープの解像度の限界によるものであると考えられる。一方図 4.46 の測定結果から、レーザーが約 600kHz のノイズを持っていることがわかる。このノイズについては後で考えるが、1.25MHz 以降の帯域ではレーザーと Background がほぼ同じレベルとなり、この領域におけるレーザーの強度ノイズは測定限界以下であった。
図 4.47、4.48 は、図 4.45、4.46 のレーザーの強度ノイズから Background の強度ノイズを引き、周波数解像度で割ってレーザー自体のパワースペクトル密度を求めたものである（詳しくは付録 A.4 を参照）
。図 4.47、4.48 では 0Hz
でのパワースペクトル密度を 0dB/Hz として規格化してある。また、赤い線は式 (4.32) で ttrap = 1s として、原子を

1 秒 Trap するために必要なパワースペクトル密度のレベルを各周波数で計算したものである。

図 4.47 強度ノイズの測定 2 − 0.5〜1kHz

図 4.48 強度ノイズの測定 2 − 1〜1.5MHz

図 4.47 から 0.5〜1kHz においては、レーザーの強度ノイズが赤い線で示されたレベルを満たしていることがわかる。
図 4.48 の 1〜1.5MHz においては、Background の方がレーザーよりパワースペクトル密度が大きく測定された部分を−200dB/Hz として表示してあり、1.25MHz 以降の領域ではレーザーを入れたときと切ったときの区別がつかず、ほぼ測定限界であったことがわかる。赤い線で示されたレベルはこれ自体が非常に小さい値を示し、測定限界の領域ではこの条件を満たしているか確かめることはできなかった。図 4.48 から、測定限界の領域ではレーザーの強度ノイズ
は原子を 1 秒 Trap するために必要なレベルから 10dB 程度以内に収まっていると言えるので、これから少なくとも100ms 程度は原子を Trap することができると考えられる（式 (4.31) より、Trap 時間はパワースペクトル密度に反比
例するため）。一方、600kHz の位置にあるピークは明らかに大きいことがわかる。このノイズの周波数は（axial 方向の）Trap 周波数より小さいが、ある程度広がりを持っていることから原子の Heating に寄与する可能性があり、除去するべきであると考えられる。

4.2 Cavity Trap に向けて

123

そこで、以下ではこの図 4.48 の 600kHz の位置にあるノイズについて考える。このノイズの周波数は Pump LD の電流の増加とともに大きくなることが観測され（図 4.49 参照）、Pump 光に関連するものではないかと考えられた。しかし、Pump LD の入力電圧を観測すると約 300kHz およびその倍波のノイズ*5 が含まれることが観測されたものの、それらは電流値を変えても周波数が変化することはなかった。よって、Pump LD の電源がこのノイズの直接の原因ではないと思われた。次に、結晶を（前）PHOTOP 社製 0.3% Nd:YVO4 結晶−→ （後）CRYSTECH 社製 0.5% Nd:YVO4 結晶と変えてみたところ、ノイズの周波数は前より 10kHz 程度上昇することが観測され、小さい変化ではあるものの結晶がノイズに関わっていることが予想された。なお、結晶を変えた後に出力パワーを測定したところ、前より大きな出力パワーが得られることが確認された（3.3 節の図 3.28 参照）。これは主に Nd3+ イオンのドープ量の違いによると思われる。ドープ量が多くなると結晶が割れる危険性も上がるが、Pump LD の電流を 27.0A まで上げても結晶が割れる
ことはなかった。
次に、このノイズの周波数変化についてさらに詳しく調べるため、ノイズ周波数の Pump パワーに対する変化を測定した。図 4.49 はその測定結果であり、Iris を閉めた状態と開けた状態で測定を行ったが、どちらもほとんど同じ結√P − Pth に比例するような結果が得られたことがわかる。ここで、P は√Pump パワー、Pth はそのレーザー発振の閾値での値であり、緑の線は実験結果を a P − Pth で Fitting したもので果となった。図 4.49 から、ノイズ周波数がある。なお、この測定は CRYSTECH 社製 0.5% Nd:YVO4 結晶を用いて行った。

図 4.49 ノイズ周波数の Pump パワー依存性

そこで、製品として販売されている DPSS レーザーや DPSS レーザーに関する論文などを調べたところ、このようなノイズは一般的に見られるもので、その原因は緩和振動 (Relaxation Oscillation) と呼ばれるものであることがわ*5 これらのノイズは Pump LD とその電源の間にコイルとコンデンサを用いて作製した LPF (Low-Pass Filter) を入れることで改善した。

しかし、レーザー出力に見られるノイズには変化がなかった。電源ノイズがあるときに Pump 光を観測しても、Pump 光には電源ノイズに由来するノイズが特に見られず、このことからも図 4.48 の 600kHz の位置にあるノイズの原因が電源ノイズではないと推測できる。

第 4 章 Cavity Trap の実験

124

かった。緩和振動とは、レーザー発振の上準位の寿命が共振器内の光子寿命に比べてずっと大きいときに生じる現象であり、多くの固体レーザーや半導体レーザーなどで見られる。緩和振動の生じるメカニズムについては付録 A.5 で説明しており、緩和振動周波数の理論値 fr は式 (A.59)、(A.61) より

√
1
fr =
2π


r = P/Pth

τs
τc

r−1
−
τs τc

(

r
2τs

)2
w

1
2π

√

r−1
τs τc

(4.41)

: Pump パワー P とそのレーザー発振の閾値での値 Pth の比: レーザー発振の上準位の寿命: 共振器内の光子寿命で与えられる。今の場合、レーザー発振の閾値は Pump LD の電流が 11A より少し小さいときであるため、Pump パ
ワーの閾値 Pth は

Pth w 9W

(4.42)

程度となる。また、共振器内の光子寿命 τc については、90% 反射のミラーによるロスのみを考慮すれば、式 (A.46) を用いてτc = −

nl
0.38=−
w 1.2 × 10−8 (s)c ln(1 − L)
3.0 × 108 · ln(0.90)(4.43)と計算される*6 。式 (4.41)〜(4.43) と図 4.49 の Fitting 結果から、レーザー発振の上準位の寿命 τs は

τs w 20µs(4.44)

程度と求められる。τs の値は一般に 100µs のオーダーとなり、式 (4.44) は小さめの値であるが、これは式 (4.43) で90% 反射のミラーによるロスのみしか考慮しなかったことなどによるものと考えられる。しかし、ノイズの周波数帯
域や Pump パワー依存性を見れば、ノイズの原因は緩和振動であると結論付けることができる。
付録 A.5 の式 (A.65) から、Pump 光および出力されるレーザー光の 0Hz を基準としたパワースペクトル密度

Spump (ω), Soutput (ω) には(
Soutput (ω) =

r
τs τc

)2

1
2
(ω 2 − ωr2 ) + ωr2 /T 2

Spump (ω)(4.45)という関係があり、緩和振動周波数における Pump 光の強度ノイズが緩和振動を介して大きく増幅され、出力されるレーザー光に強度ノイズとして乗ることがわかる。Pump LD の電流が 26.0A のときを考えれば、実験結果などから
このとき



 r w 4.5 τs = 20 × 10−6 sτc = 1.2 × 10−8 sωr = 2π × 610kHzT = τs /r w 4.4 × 10−6 s(4.46)(∵ 式 (A.56)、(A.60) より)となり、式 (4.45) から Soutput /Spump の周波数依存性は図 4.50 のようになることが計算される。これより、610kHzの共鳴点では Pump 光の強度ノイズが約 470 倍に増幅されることがわかる。
そこで、Pump LD の電流を 26.0A として実際に Pump 光の強度ノイズを測定したところ、図 4.51 のようになった（Pump 光の 0Hz におけるパワースペクトル密度を 0dB/Hz として規格化している）。図 4.51 から、2.5MHz までの全ての周波数領域で Pump 光の方が Background よりレベルが高く、Pump 光がホワイトノイズ状のノイズを持っていることがわかる。したがって、緩和振動周波数において図 4.51 の Pump 光の強度ノイズが大きく増幅され、出力されるレーザー光に強度ノイズとして乗っているものと考えられる。
*6 図 4.49 の測定より、Iris によるロスはほとんどないものとしてよいと考えられる。

4.2 Cavity Trap に向けて

125

図 4.50Soutput /Spump の周波数依存性

図 4.51 Pump 光の強度ノイズの測定

第 4 章 Cavity Trap の実験

126

なお、図 4.51 では図 4.52 の写真手前の Pump LD2 の強度ノイズを測定した。そこで、Pump LD1 と Pump LD2の強度ノイズを比較するため、それぞれの出力の時間波形を測定した。図 4.53、4.54 はその測定結果であり、どちらも

PD 電圧の DC レベルが 5.0V となるようにして AC Coupling で測定した。図 4.53 が 2mV レンジ、図 4.54 が 5mV
レンジであることから、Pump LD2 の方がずっと大きなノイズを持っていることがわかる。

Pump LD1

Pump LD2
図 4.52 Pump LD

図 4.53 Pump LD1 の時間波形

図 4.54 Pump LD2 の時間波形

図 4.55、4.56 は、2 つの Pump LD のパワースペクトル密度を測定したものである。図 4.55、4.56 では Pump 光の0Hz におけるパワースペクトル密度を 0dB/Hz として規格化しており、このときはそれぞれの Pump LD に対し異なる DC レベルで測定を行ったことから Background レベルがずれている。赤線で示されたパワースペクトル密度はそれぞれの Pump LD のノイズレベルを表しているので、Pump LD2 の方が Pump LD1 より 10dB 程度大きなノイズを持っていることがわかる。以上から、Pump LD はホワイトノイズ状の強度ノイズを持ち、その大きさには個体差があることがわかった。

4.2 Cavity Trap に向けて

127

図 4.55 Pump LD1 の強度ノイズ

図 4.56 Pump LD2 の強度ノイズ

図 4.57 DPSS レーザーの強度ノイズの実測値と計算値の比較

第 4 章 Cavity Trap の実験

128

次に、図 4.50、4.51 から式 (4.45) を用いて DPSS レーザーの強度ノイズを計算してみる。Pump 光の強度ノイズ
としては Pump LD2 のものが支配的であることがわかったので、2 つの Pump LD の出力パワーはほぼ同じことか
ら、実質的な Pump 光の強度ノイズは図 4.51 の半分であると考えてよい。これを考慮して DPSS レーザーの強度ノ
イズを Pump 光の強度ノイズから計算した結果が、図 4.57 の赤線である（Background を引いていない値を用いており、0Hz におけるパワースペクトル密度を 0dB/Hz として規格化している）。図 4.57 の青線は、同じ条件で測定した

DPSS レーザーの強度ノイズの実測値（これも Background を引いていない値を用いており、0Hz におけるパワース
ペクトル密度を 0dB/Hz として規格化している）であり、緑の Background と同じレベルになる前までの周波数領域
では、実測値と計算値がよく一致していることがわかる。よって、これから Pump 光の強度ノイズが実際に緩和振動によって増幅され、出力されるレーザー光に強度ノイズとして乗っていることが確かめられた。
以上から、ノイズが緩和振動によるものであることがわかった。そこで、次にこのノイズを除去する方法を考える。
図 4.55、4.56 などから Pump LD のノイズの大きさには個体差があることがわかったので、ノイズを除去する方法としては、まず始めに Pump LD をノイズの少ないものに交換することが考えられる。図 4.55、4.56 より、Pump LD2のノイズレベルを Pump LD1 と同じレベルに下げることができれば、DPSS レーザーの出力ノイズは 1 桁小さくなる
ことが予想される。しかし、Pump LD は比較的高価な製品であり、できれば現在と同じものを使用することが好ましい。
そこで、今回は電気的に DPSS レーザーの出力パワーを安定化することを考える。電気的安定化の方法としては、
レーザー出力の一部を取り出してモニターし、そのパワーが一定になるように Pump LD の電流や AOM に入力する

RF の振幅を制御する方法が考えられ、そのためには高周波に対応したフィードバック回路を作製する必要がある。
Pump LD の電流を制御する場合には、Bias-Tee と呼ばれる回路を用いて Pump LD 電源の DC 電流にフィードバッ
ク信号を AC 成分として合成する。しかし、電源ノイズが Pump 光にほとんど乗っていなかったことから、この方法ではフィードバックがうまく働かずノイズを除去できない恐れがある。AOM に入力する RF の振幅を制御する場合には、付録 B.3 の AOM ドライバーに組み込まれた回路では帯域が低いため新たにフィードバック回路を作製する必要があるが、こちらの方がより確実な方法であると言える。したがって、我々は AOM を用いたパワーの安定化を目指す。

AOM を用いたパワーの安定化を行うにあたって、フィードバックによるノイズ除去の限界は検出器の S/N 比に依存する。特に今の場合、式 (4.33) より 1 ∼ 1.5MHz において ∼ −127dB/Hz という非常に小さいノイズレベルが求められ、上で用いていた PD では十分な S/N 比が得られないと考えられる。また、実際にノイズ除去が行われていることを確認するためにも、現在より大きな S/N 比が要求される。そこで、以下ではより高精度な付録 B.5 の高速 PD を用いてテストを行う。この高速 PD の回路図は図 4.58 のようになり、高周波成分が大きく増幅されることからより高い S/N 比が得られると考えられる。しかし、この高速 PD は図 4.58 のように HPF (High-Pass Filter) を介して AC
成分と DC 成分が別々に出力される構成となっており、これらを考慮して解析を行う必要がある。
図 4.58 において、初段の AD829 の出力電圧 V （負電圧）は高速 PD に入射する光パワー P に比例する。よって、この V の周波数成分 V (ω) を求めれば、入射光のパワースペクトル密度を得ることができる。DC out からの出力 VDC
は V と等しいので、V (ω) の DC 成分 V (0) はV (0) = hVDC i (= VDC の平均値)(4.47)となる。また、AC out からの出力の周波数成分 VAC (ω) は HPF を通った後 20 倍に増幅された電圧であるので

20
V (ω)
1 + 1/iωRC√2
1 + (1/ωRC)∴ |V (ω)| =|VAC (ω)|
20
VAC (ω) =(4.48)となる。ここで、R = 620Ω , C = 1nF であり、HPF のカットオフ周波数は fc = 1/2πRC w 300kHz となる。よっ4.2 Cavity Trap に向けて

129

図 4.58 高速 PD の回路図て式 (4.47)、(4.48) から、高速 PD の入射光のパワースペクトル密度 S(ω) は|V (ω)|2|V (0)|2

1


2
=
1 + (1/ωRC) |VAC (ω)|2

·

2
400
|hVDC i|S(ω) =(ω = 0)(ω 6= 0)(4.49)と求めることができる。
図 4.59、4.60 は Pump LD の電流を 26.0A として、DPSS レーザーの Output、およびレーザーを切ったときのBackground を高速 PD を用いて観測したものである。CH1 が高速 PD の AC 出力、CH4 が DC 出力である。CH1が 200mV レンジであることから、高周波成分が大きく増幅されていることがわかる。

図 4.59 Output (Sampling : 5MHz)

図 4.60 Background (Sampling : 5MHz)

図 4.61 は、式 (4.49) を用いてパワースペクトル密度（0Hz を 0dB/Hz として規格化している）を求めたものであり、図 4.46 の普通の PD のときの結果を青で示してある。図 4.61 より、高速 PD の方が Background レベルが小さく、1.5MHz 以上のより高周波の領域まで観測できていることがわかる。また、約 1MHz までは高速 PD と普通の PDのスペクトルが重なっていることから、正しい結果が得られていると言える。図 4.62 は、Output から Background第 4 章 Cavity Trap の実験

130を引いたもののパワースペクトル密度（0Hz を 0dB/Hz として規格化しており、Background の方が大きかった部分
を-200dB/Hz として表示してある）を求めたものであり、図 4.48 の普通の PD のときの結果を薄い紫で示してある。
図 4.62 から、高速 PD を用いた場合 1.5MHz 程度までは信号が Background に埋もれることなく測定が行えていることがわかる。しかし、この図から DPSS レーザーの強度ノイズは、1〜1.5MHz において必要なレベルを満たしていな
いことがわかる（図 4.48 では、測定限界であったため必要なレベルを満たしているか確かめることはできなかった）。
したがって、この DPSS レーザーを Cavity Trap に用いるためには、パワーの安定化によって図 4.62 のノイズレベルを下げる必要がある。

図 4.61

高速 PD を用いた強度ノイズの測定 1

図 4.62高速 PD を用いた強度ノイズの測定 2以上から、高速 PD を用いることで、より高い精度でノイズの検出を行えることがわかった。よって、同様の高速

PD を作製することでノイズを除去する上で必要となる S/N 比が得られ、フィードバック回路を自作することで AOMを用いたノイズの除去が可能となると考えられる。これらはまだ行っておらず、今後の課題としたい。

131

第5章

まとめと今後の展望DPSS レーザーの実験では、DPSS レーザーの製作とその評価を行った。Nd:YVO4 結晶を 808nm の Pump 光で
Double End-Pump の方法を用いて Pump し、Bow-tie Cavity にてレーザー発振を行い、1064nm の出力光を確認した。cavity 中にエタロンとアイリスを挿入することで周波数モード、空間モード共にシングルモード発振が可能となり、シングルモードで最大 11W の発振が可能なハイパワーなレーザーを製作することが出来た。また、アクリル製の囲いを製作し、あらかじめ系を温調しておき発振時に温調を切ることにより、1 時間以上モードホップが起きないという安定性を得ることが出来た。よって、本研究で製作した DPSS レーザーは Cavity Trap の実験に使用するための条
件を十分に満たすものである。
本研究で製作した DPSS レーザーは十分安定なものであるが、温度ドリフトは存在するためロックが外れることがある。そのため、更なる安定性を目指すのであれば、cavity の台を熱膨張率の小さい Invar で製作することが考えられる。Invar の熱膨張係数は 10−7 [K−1 ] のオーダーであり、アルミの熱膨張係数 2 × 10−5 [K−1 ] に比べて 2 桁小さい。
そのため、温度変化に対して cavity 長は変化しにくくなるため、温度ドリフトが小さくなり、モードホップも起きにく
くなると考えられる。また、温度変化に強いため、レーザーが安定になるのも現在のものより早くなると考えられる。
その他に考えられることとしては、DPSS の cavity にピエゾをつけて cavity 長を安定化することや、安定な低パ
ワーのレーザーで injection を行うことも考えられる。どちらも装置全体が複雑になってしまうが、外部のレーザーで

injection をする場合は発振波長が可変となるメリットがある。
Cavity Trap の実験では、Cavity Trap に向けた予備実験として主に Cavity の Lock および Enhancement Factorの測定を行った。Cavity の Lock では、PZT と AOM を用いて Cavity を共鳴状態に保つことに成功した。また、

Cavity の Lock を利用して DPSS レーザーのモードホップ頻度や線幅などの評価を行った。Enhancement Factor の測定では、実際と同様の系を組んで A w 90 という値が得られ、Cavity Trap において 41 K,87 Rb ともに 1.5mK 以上の十分なポテンシャル深さが得られることを確認することができた。最後に、得られた Trap 周波数をもとに DPSS
レーザーの強度ノイズの評価を行った。

第 5 章 まとめと今後の展望

132

今後の展望としては、まず実際に 41 K,87 Rb の混合ボース気体に対し共振器増幅光トラップ (Cavity Trap) を行う
ことが第一の目標となる。また、その際今回の実験とは異なり、図 5.1 のように曲率半径が 1000mm の 2 枚のミラーを真空チャンバーを挟んで間隔 600mm 程度で置いて共振器を組む。そのため、振動などの影響で Cavity 長の安定化が難しくなる恐れがあり、ミラーどうしの固定や Lock 回路の改善などによる安定性の向上も 1 つの目標として挙げられる。次に強度ノイズに関することとして、作製した DPSS レーザーには緩和振動に由来する 100kHz オーダーのノイズが含まれていることがわかった。このノイズは原子の Heating に寄与し、原子を１秒 Trap するために必要なレベルを満たしていないことが確認されている。そのため今後の課題として、AOM を用いたフィードバックによりノイズを除去する必要がある。

BrewsterWindowChamber

BrewsterWindow

R1 = 99%
r = 1000mm

R2 = 99.9%
r = 1000mm

87

Rb

41

図 5.1

41

K

K,87 Rb 混合ボース気体の共振器増幅光トラップ

133

付録 A

理論的な補足本論に載せると冗長になると思われることをここに記載する。

A.1 light shift の導出について
式 (2.73) において、c1 , c2 に時間依存性持たせるために、以下のような変数を定義する。

c̃1 = c1 e−iδt/2

(A.1)

iδt/2

c̃2 = c2 e
これを式 (2.65) に代入すると、

i

d
dt

(

となる。解として、

c̃1
c̃2

)

(

(

(A.2)

δ/2 Ω/2Ω/2 −δ/2

=

c̃1
c̃2

)
(A.3)

)
a
e−iλt
(A.4)
b
√
の形を仮定する。解を代入して、固有方程式を解くと、λ = ± δ 2 + Ω2 /2 という固有値が得られる。Ω = 0 という非
c̃1
c̃2

)

)(

(

=

摂動論的な状態の時に固有値が ±δ/2 となり、これは 2 準位系の時間に依存した摂動論における結果から類推すると、準位間のエネルギー差が ~δ である状態に相当する。（図 A.1)

つまり、上準位のエネルギーは E2 で、下準位のエネ

ルギーは E2 + ~ω となり、基底状態に光子のエネルギーが足されたものに相当する。
離調が |δ|  Ω の状況を考えると、固有値 λ は

(
λ∼±

δ
Ω2
+
2
4δ

)
(A.5)

となる。
これから、摂動によるエネルギー差は、

∆E =

Ω2
4δ

(A.6)

となり、2 準位系の原子のエネルギーはそれぞれ

~Ω2
4δ
~Ω2
(0)
E2 = E2 +4δ(0)

E1 = E1 −(A.7)と書けることが分かる。この、電場の 2 次摂動を考慮に入れた時のエネルギーのシフトのことを light shift あるいはa.c.Stark shift と言い、その大きさは | ~Ω
4δ | で表わされる。これから分かることは、離調が負の時（red detune）は基2

付録 A 理論的な補足

134

E

E2

!G

Light shift

E1  ! Z៨േ䉕⠨ᘦ䈚䈢႐ว៨േ䉕⠨ᘦ䈚䈭䈇႐ว

図 A.1 light shift

底状態のエネルギーが下がるということである。この効果が、節 2.2.2 における双極子ポテンシャルに相当する。よって双極子ポテンシャル U は

U=

~Ω2
4δ

(A.8)

と書け、ポテンシャルの深さを知るためには、ラビ周波数 Ω が記述出来れば良いことが分かる。
節 2.2.1 の議論により導出した、ラビ周波数とアインシュタインの A 係数の関係から light shift は以下の式で記述出来る。

c2 P Ag2
U= 2 3w0 ω0 g1(

1
1−
ω − ω0ω + ω0

)
(A.9)

ここで、
（ ）内についてであるが、離調 δ の代わりに回転波近似を用いない形を使った。よって、式（2.131) と同じ式が導出出来た。

A.2 heating rate について節 2.2.2 で heating rate を導出したが、正確さに欠ける議論であったため、ここでもう少しきちんと導出を行う。
式（2.126）までの議論は節 2.2.2 と同じである。ここで 1 秒あたりに起こる相互作用の回数は、散乱レートの時間平均 R̄scat で与えられる。すると、heating のパワー Pheat は、

Pheat = 2Erecoil R̄scat = kB Trecoil R̄scat(A.10)と書ける。また、Pheat は運動エネルギーの時間平均 Ē を用いてPheat = Ē˙

(A.11)とも書ける。
ここで、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの比を κ ≡ Ēpotential /Ēkinetic と定義すると、熱平衡状態では、エネルギー等分配則により、Ēkinetic = 3kB T /2 と書ける。そこで、原子の平均のエネルギー Ē は次のように書ける。

Ē = Ēkinetic + Ēpotential =3(1 + κ)kB T
2(A.12)

A.3 cavity 内の光子の寿命について

135

ビリアル定理より、ポテンシャル

U (x, y, z) = U0 + a1 xn1 + a2 y n2 + a3 z n3
に対しては

2
κ=
3

(

1
1
1
+
+
n1
n2
n3

(A.13))(A.14)という関係が成り立つ。実際のトラップでは、調和振動子ポテンシャルとなるため n1 = n2 = n3 = 2 のため、κ = 1となる。式（A.10）、式（A.12）を用いると、heating rate として、次式が与えられる。

η=

1
Trecoil R̄scat3(A.15)

散乱レートの平均を求めるために、式 (2.125) の関係を使うことを考える。原子が感じるポテンシャルの平均は、式(A.13) からŪ = U0 + ha1 xn1 + a2 y n2 + a3 z n3 i = U0 + Ēpotential
3= U0 + κĒkinetic = U0 + kB T
2

(A.16)となり、式 (2.125) の関係を用いて散乱レートはΓR̄scat =
~δ

(
)
3κ
U0 +
kB T
2

(A.17)となる。以上の議論によって heating レートを導出出来るが、ここでトラップの深さ U0 は原子の運動エネルギー∼ kB T より十分大きいと考えてよく、式 (A.17) の括弧内の第 2 項を無視する。
すると、heating rate η ≡ dT /dt はη=1ΓTrecoil
|U0 |
3
~|δ|

(A.18)となる。

1064nm のレーザーで 1mK のトラップを作った時の散乱レートは、
Rb :Rscat = 21.8

[Hz]

K:

Rscat = 19.4

[Hz]

Rb :

η = 0.7 [µK/s]

K:

η = 1.3 [µK/s]

であり、heating rate はとなる。節 2.2.2 の議論と比較すると、heating rate が 1/3 になっているという違いがあるが、大雑把な議論では節2.2.2 のもので十分である。

A.3 cavity 内の光子の寿命について
節 2.2.3 における cavity 内の光子の寿命の導出はここで簡単に行う。
式 (2.57)、式 (2.58) から、Finesse= F とすると

√
π Z
F ∼
1−Z
である。

(A.19)

付録 A 理論的な補足

136

cavity 内への透過光強度を I とする。レーザーを切った後 t 秒後の強度 I(t) を考えると、I(t) は 1 周前の強度によって書くことができる。cavity を 1 周するのに要する時間を ∆tl = 2l/c とすると、I(t) = I(t − ∆t) × (1 − L)R1 R2 = I(t − ∆t)Z 2(A.20)と書ける。
ここで、1 周前との強度の差を計算すると、∆I = I(t) − I(t − ∆t)= −I(t − δt)(1 − Z 2 )= −I(t − δt)(1 − (1 − )2 ) = −I(t − ∆t)(1 − (1 − 2 + 2 ))∼ −I(t − δt)2 = −2I(t − ∆t)(1 − Z)

(A.21)となる。式の途中で、 = 1 − Z ( 1) を用いた。

1 周に要する時間 ∆tl は小さいと考えると、
dI∆I−2I(t)(1 − Z) c
∼
=
dt
∆tl
Z2
2l
c
∼ −(1 − Z) I(t)2l(A.22)*1 この微分方程式を解くと、強度はとなる。

I(t) = I0 e−t/τ

(A.23)lc(1 − Z)

(A.24)となり、τ は

τ≡で定義される、光子が cavity 内に存在できる寿命である。
ここで、式 (A.19) から、

lF
l
)
=− (
√
c(1 − Z)cπ (π/2F ) − 1 + (π/2F )2([(])
1 1( π )
π )3
l F
+ +
+O
=
c π
2 4 2F
2F
lF
∼
cπ

τ=

(A.25)と書ける。
光子が cavity 内にいる平均の時間 T̄ は

∫ ∞ −t/τtedt=τT̄ = ∫0∞ −t/τedt
0(A.26)であるので、光子が cavity 内を進む平均距離 lc は

lc = cT̄ =と書ける。

*1 Z ∼ 1 とした。

lF
π

(A.27)

A.3 cavity 内の光子の寿命について

137

A.3.1 Enhancement factor の直観的な理解
レーザー光が cavity 内を何度往復するかを考えてみる。往復する回数が N 回であるとすると、N は A.3 の議論から、

N=

lc
cτ
1
=
=
2l
2l
2(1 − Z)

(A.28)となる。よって、cavity 内のある点を光子を 2N 回通ることになる。
ここで、cavity trap のロスを十分小さいとし、また cavity のミラーの反射率が等しくともに R と書けると仮定する。すると、式（2.142）から√√(1 − R)(1 + R2 )2(1 + R)2A∼=
4(1 − R)24(1 − R)
1∼
1−R

(A.29)となる。
ここで、式（A.28）, 式（A.29) から A = 2N であることが分かる。これから、Enhancement factor A はその点を光子が通った回数と考えることができる。
よって、かなり大雑把な見積もりではあるが、Enhancement factor は cavity 内で光子が往復した回数と考えることができ、これは直観的な理解に一致する。

付録 A 理論的な補足

138

A.4 離散フーリエ変換 (DFT , Discrete Fourier Transform) とパワースペクトル・
パワースペクトル密度の測定
ここでは 4.2.4 節の DPSS レーザーの強度ノイズの測定に関連して、離散フーリエ変換とパワースペクトル・パワー
スペクトル密度の測定方法について説明する。
時間間隔 ∆t で測定した N 個の測定値 x(n∆t) (n = 0, 1, 2, · · · , N − 1) は、その離散フーリエ変換 X(k∆f ) と


N −1

1 ∑


x(n∆t) e−2πi(k∆f )(n∆t) （離散フーリエ変換）
X(k∆f
)
=


N
n=0

(A.30)

N
−1
∑




X(k∆f ) e2πi(k∆f )(n∆t) （逆離散フーリエ変換）
 x(n∆t) =
k=0





規格化係数 1/N は逆フーリエ変換の方に付く場合や、フーリエ変換と逆√ フーリエ変換の両方に 1/ N が付く場合などいくつかの定義があるが、  ここでは上のようにフーリエ変換の方に 1/N を付ける定義を用いた。こ の場合、X(0) は x(n∆t) (n = 0, 1, 2, · · · , N − 1) の平均値となる。
という関係にある。ここで、周波数間隔 ∆f は

1
1
=
N ∆t
測定時間

∆f =

(A.31)である。また、サンプリング定理より分析可能な周波数の上限 fn （ナイキスト周波数）は

fn =

N
1
サンプリング周波数
∆f =
=
2
2∆t
2

(A.32)となり、それ以外の周波数におけるスペクトルは 0 ≤ f ≤ fn の部分のスペクトルの折り返しとなる。つまり、X(k∆f )において k = 0, 1, 2, · · · , N
2 が意味を持つ値となる。

4.2.4 節では Excel の高速フーリエ変換 (FFT , Fast Fourier Transform) の機能を用いて、測定データの離散フーリエ変換を求めた。なお、高速フーリエ変換とは N が 2 の整数乗であるときに離散フーリエ変換を高速に行うことのできるアルゴリズムである。
次に、パワースペクトルとパワースペクトル密度について説明する。式 (A.30) より、
N −1

N −1

∑
1 ∑
2
2
|x(n∆t)| =|X(k∆f )|N n=0（パーセバルの定理）(A.33)

k=0

が成り立つ。ここで、式 (A.33) の左辺は信号のパワーに相当することから、

P (k∆f ) = |X(k∆f )|2(A.34)

は周波数 k∆f におけるパワーを表すと考えることができ、これをパワースペクトルと呼ぶ。しかし、このパワースペ
クトル P (k∆f ) は実際には周波数幅 ∆f 内のパワーに相当し、周波数間隔 ∆f が変わると P (k∆f ) の値も変わってしまうため、分析が困難となる。そこで、パワースペクトル P (k∆f ) を単位周波数で規格化したS(k∆f ) =|X(k∆f )|P (k∆f )
=
∆f
∆f

2

(A.35)が用いられることも多く、これをパワースペクトル密度と呼ぶ。なお、式 (A.33) を書き直せば
N −1

N −1

N −1

∑
∑ |X(k∆f )|1 ∑2
S(k∆f )∆f∆f =|x(n∆t)| ∆t =N ∆t n=0
∆f
k=0

2

k=0

(A.36)

A.4 離散フーリエ変換 (DFT , Discrete Fourier Transform) とパワースペクトル・パワースペクトル密度の測定139となり、左辺が信号のパワーであることから、S(k∆f ) が実際に単位周波数あたりのパワーに相当していることがわかる。
パワースペクトルやパワースペクトル密度はダイナミックレンジが大きく、通常 dB 単位で表される。dB とは基準値との比を常用対数で表したもので、今の場合}{
P (k∆f ) PdB (k∆f ) = 10 log10
P0}{
S(k∆f ) SdB (k∆f ) = 10 log10
S0(A.37)のように表される。P0 , S0 はそれぞれの基準値である。dB 単位では、値が 10 倍あるいは 1/10 になれば、それぞれ+10dB, −10dB となって表される。
以下では、4.2.4 節のパワースペクトル・パワースペクトル密度の具体的な測定方法について記す。

1. レーザーを入れたときの PD 電圧の時間データ xL+BG (n∆t) と、レーザーを切ったとき (Background) の PD
電圧の時間データ xBG (n∆t) を測定する。

2. Excel でそれぞれの離散フーリエ変換 XL+BG (k∆f ) と XBG (k∆f ) を求める。
（分析ツール → フーリエ解析。複素数で計算されるが、式 (A.30) とは異なり N で割られていない）

3. XL+BG (k∆f ) と XBG (k∆f ) の絶対値 |XL+BG (k∆f )| と |XBG (k∆f )| を求める。
（Excel 関数：imabs() を使用）

4. それぞれについて、各周波数における複数回の測定での平均 h|XL+BG (k∆f )|i、h|XBG (k∆f )|i を計算する。
5. 必要な場合は、Background のノイズを除いたスペクトルh|XL (k∆f )|i = h|XL+BG (k∆f )|i − h|XBG (k∆f )|i(A.38)を求める。

6. パワースペクトルを dB 表示で求める場合は、以下のように計算する。
{}
h|X∼ (k∆f )|i2P∼ (k∆f ) = 10 log10
P0(A.39)

なお 4.2.4 節では、基準値を P0 = 1V2 とした。

7. パワースペクトル密度を dB 表示で求める場合は、以下のように計算する。
{}
h|X∼ (k∆f )|i2 /∆fS∼ (k∆f ) = 10 log10
S0(A.40)な お 4.2.4 節 で は 、多 く の 場 合 0Hz に お け る パ ワ ー ス ペ ク ト ル 密 度 が 0dB/Hz と な る よ う に 、S0 = h|X∼ (0)|i2 /∆f として規格化している。

付録 A 理論的な補足

140

A.5 緩和振動 (Relaxation Oscillation)*2 ここでは、4.2.4 節で見られたノイズの原因として考えられる緩和振動 (Relaxation Oscillation) について説明

する。

n2
2
Pump

Outputωn1

1

図 A.2 4 準位レーザー

レーザーとして、図 A.2 のような 4 準位レーザーを考え、そのレーザー発振における下準位と上準位をそれぞれ 1, 2とする。それぞれの準位の分布数を n1 , n2 とすれば、

 dn
1

= − γ1 (n1 − n01 ) + An2 + Bu(ω)(n2 − n1 )


|{z}

|
{z
}
|
{z
}
dt

他準位への緩和

自然放出

誘導放出・吸収dn2= − γ2 (n2 − n02 ) − An2 − Bu(ω)(n2 − n1 )


|{z}
|
{z
}
|
{z
}
 dt
他準位への緩和

自然放出(A.41)

誘導放出・吸収が成り立つ。ここで、

γ1 , γ2
 0 0
 n1 , n2: 準位 1, 2 から他準位への緩和レート: （角周波数ω の）入射光がないときの準位 1, 2 の分布。Pump 光によって



A, B



u(ω)

: 準位 1, 2 間におけるアインシュタインの A 係数、B 係数: レーザー媒質の位置における角周波数ω の光のエネルギー密度

与えられるエネルギーによって決まる。

(A.42)

である。式 (A.41) より、自然放出を無視すれば反転分布を表す ∆n = n2 − n1 が

(

d∆n
1
= − (∆n − ∆n0 ) − 2Bu(ω)∆ndtτs∆n0 = n02 − n01 。∆n0 は Pump パワーに比例する(A.43))という微分方程式を満たすことがわかる。ここで、γ1 w γ2 = 1/τs と近似した。τs は上準位の寿命である。また、レー
ザー媒質の位置における単位体積あたりの光子数を np とすると、u(ω) は np に比例するので Bu(ω) = B0 n（p B0：定数）と書ける。よって、式 (A.43) は光子数 np を用いて

1d∆n
= − (∆n − ∆n0 ) − 2B0 np ∆ndtτs(A.44)と書ける。
次に光子数について考えると、光子数 np は

dnp
=
dt

1
− np
τc
| {z
}
共振器内でのロス*2 ここでの説明は、主に [26] を参考にしている。

+ B0 np ∆n| {z }
誘導放出・吸収(A.45)

A.5 緩和振動 (Relaxation Oscillation)141という微分方程式を満たす。ここで、τc は共振器内の光子寿命を表す。1 周の共振器長 l の共振器において、ミラーや吸収などによる 1 周のロスを L とすると、付録 A.3 の式 (A.25) より光子寿命 τc は

nl · Finesse
2cπ
nl
w−
(∵ 式 (2.61) より)
c ln(1 − L)nlw
(L w 0 のとき)
cL

τc =

(A.46)(A.47)と書ける。
式 (A.44)、(A.45) を改めて書けば、


1
d∆n


= − (∆n − ∆n0 ) − 2B0 np ∆n

dt
τs
dnp
1



= − np + B0 np ∆ndt
τc(A.48)(A.49)という連立微分方程式が得られたことになる。そこで、まず時間変化が 0 の定常状態を考える。式 (A.49) で 左辺 = 0
とすれば

∆ns =

1
(= ∆nth )B0 τc(A.50)が得られ、これはレーザー発振に必要な反転分布の閾値に対応する。また、これと式 (A.48) より定常状態での np は

nsp =

1
2B0 τs

(

)
∆n0
−1
∆nth

(A.51)となる。入射光がないときの反転分布 ∆n0 は、Pump 光によるエネルギー供給値に比例して増加する。そこで、∆n0に対する反転分布と光子数の定常値 ∆ns , nsp の変化を図示すると図 A.3、A.4 のようになり、∆nth を境にレーザー発振が起こる。

図 A.3

反転分布の定常値 ∆ns の変化

図 A.4

光子数の定常値 nsp の変化

次に、Pump 光の揺れなどにより ∆n0 が ∆n0 + δ∆n0 (t) と時間的に変動している場合を考える。この場合、式(A.48)、(A.49) で{∆n = ∆ns + δ∆n(t)np = nsp + δnp (t)(A.52)とすれば、δ が付された値は微小なものとしてその積を 0 と考え、

1d(δ∆n)= − (δ∆n − δ∆n0 ) − 2B0 (nsp δ∆n + ∆ns δnp )

dt
τs


 d(δnp ) = B0 nsp δ∆ndt(A.53)(A.54)

付録 A 理論的な補足142が得られる。式 (A.54) の両辺を t で微分すれば、

d2 (δnp )d(δ∆n)= B0 nsp
2dt
dt
B0 nsp=−(δ∆n − δ∆n0 ) − 2B02 nsp (nsp δ∆n + ∆ns δnp )τs(∵ 式 (A.53) より)()
B0 nsp1d(δnp )=−
+ 2B0 nsp
− 2B02 nsp ∆ns δnp +
δ∆n0
τs
dt
τs
(∵ 式 (A.54) より))(
B0 nsp1 ∆n0 d(δnp )
1
∆n0
=− ·
−
− 1 δnp +δ∆n0τs ∆nth dt
τs τc ∆nthτs(∵ 式 (A.50)、(A.51) より)
2
B0 nspd (δnp )1 d(δnp )
2
∴
+
+
Ω
δn
=
δ∆n0
p
dt2
T dt
τs

(A.55)となる。ここで、


1 ∆n0
1


 T = τ · ∆ns
( th 0)1∆n Ω2 =−1τs τc ∆nth

(A.56)(A.57)とした。一般に、多くの固体レーザーや半導体レーザーは上準位の寿命 τs が共振器内の光子寿命 τc よりずっと大きくなる。つまり、(0 <)1/4T 2 < Ω2 となるので、式 (A.55) の基本解 (右辺 = 0 の場合の 2 つの独立な解) は


) }
{(
√

1
1


+ i Ω2 −
t
exp
−



2T
4T 2
{(
) }
√


1
1

2
 exp
−
−i Ω −
t


2T
4T 2

(A.58)となり、光子数は時間とともに振動することがわかる。これを緩和振動 (Relaxation Oscillation) という。式 (A.58)
より、緩和振動周波数 fr は

1
fr =
2π

√

1
4T 2
√
) (
(
)2
∆n0
1
∆n0
1
1
−1 −
·
=
2π τs τc ∆nth2τs ∆nth
√
(
)2
r
1
r−1
−
=
2π
τs τc
2τs
Ω2 −

(A.59)と表される。ここで、r は

r=

∆n0
P
=
∆nth
Pth

(A.60)であり、Pump パワー P とそのレーザー発振の閾値での値 Pth の比を表す。固体レーザーなどのように τs  τc となる場合、式 (A.59) の緩和振動周波数 fr は

fr w

1
2π

√

r−1
τs τc

(A.61)と近似できる。多くの DPSS レーザーにおいて、緩和振動周波数は 100kHz〜1MHz 程度となることが知られている[31]。

A.5 緩和振動 (Relaxation Oscillation)

図 A.5

143

時刻 0 から急に Pump 光を照射したときに生じる緩和振動

図 A.5 は、例えば時刻 0 から急に Pump 光を照射したときに生じる緩和振動の様子を表す（各パラメータを適当に選んでグラフを描いた）。時刻 0 以降に Pump パワーのゆらぎが全くなければ、図 A.5 のように振動は減衰していくが、実際には Pump パワーは常にゆらいでいるため、緩和振動は完全になくなることはなくわずかに残り、パワース
ペクトル上にピークとなって現れる。
そこで、式 (A.55) の両辺をフーリエ変換して緩和振動の周波数応答を調べる。δ∆n0 (t) , δnp (t) のフーリエ変換を0˜ (ω) , δn
˜ p (ω) とすれば、それぞれ δ∆n
{

}
B ns
1
2
˜ p (ω) = 0 p δ∆n
˜ 0 (ω)(iω) + (iω) + Ω δn
T
τs
2

∴

˜ p (ω)˜ 0 (ω)δn1
1∆n0 δ∆n=···nsp
τs τc Ω2 − ω 2 + iω/T ∆nth∆n0(∵ 式 (A.50) より)

˜ 0 (ω)˜ p (ω)
1
r
δ∆n
δn
√
·
=
nsp
τs τc
∆n0
(Ω2 − ω 2 )2 + ω 2 /T 2(∵ 式 (A.60) より)

˜ 0 (ω)
1
r
δ∆n
· √{
=
(
)}2
(
)
τs τc
∆n0
+ T12 Ω2 − 4T1 2
ω 2 − Ω2 − 2T1 2w

˜ 0 (ω)
r
1
δ∆n
·√
τs τc
∆n0
2
(ω 2 − ωr2 ) + ωr2 /T 2

(A.62)（ ∵ Ω2  1/T 2 とした。また、ωr ≡ 2πfr ）w

˜ 0 (ω)1δ∆nr·√
2ωr τs τc∆n02(ω − ωr ) + 1/4T 2（ω w ωr のとき）

(A.63)

付録 A 理論的な補足

144

図 A.6

Soutput (ω)/Spump (ω) の周波数依存性が得られる。ここで、Pump 光および出力されるレーザー光の 0Hz を基準としたパワースペクトル密度をそれぞれSpump (ω), Soutput (ω) とすれば、 Spump (ω) = Soutput (ω) =˜ 0 (ω) 2
δ∆n∆n0(A.64)˜ p (ω) 2
δnnspであるので、式 (A.62)、(A.63) をパワースペクトル密度について書き直せば(Soutput (ω) w
(
w

r
τs τc

)2

r
2ωr τs τc

1

Spump (ω)
2
(ω 2 − ωr2 ) + ωr2 /T 2)212

(ω − ωr ) + 1/4T 2

Spump (ω)(A.65)（ω w ωr のとき）

(A.66)となる。これより、Pump 光のパワースペクトル密度 Spump (ω) から出力レーザー光のパワースペクトル密度

Soutput (ω) への拡大率を表す Soutput (ω)/Spump (ω) は図 A.6 のようになり、ω = ωr でピークを持ちその半値全幅が1/T となることがわかる。また、ω = ωr のピーク位置では()2
rT
Spump (ωr )ωr τs τcτs
Spump (ωr ) (∵ 式 (A.56)、(A.61) より)w(r − 1)τc

Soutput (ωr ) wとなる。

(A.67)

145

付録 B

各装置の設計図
ここでは、実験に用いるために作製した装置（主にエレクトロニクス）の設計図を紹介する。なお、ここで示された設計図の一部には実際に実験で作製したものと異なる部分もあるが、それは装置の改善を考慮したものである。

B.1 温調（温度調節器）の設計図
ここで作製する温調（温度調節器）は対象の温度を一定に制御するものであり、その機能は主に Omron E5CN-C2Tが行っている。今回の実験では図 B.1 のように 5 台の温調を使用した。各温調の設定は B.1.1 を参照。

図 B.1

温調

Omron E5CN-C2T は基本的には PID 制御を行っており、測温体の入力と設定温度をもとに、制御出力として出力する電流値を変化させている。ここでは測温体として、100Ω 白金測温抵抗体 (Pt100) を使用している。白金測温抵抗
体は白金の抵抗値の温度変化を利用した測温体であり、その温度変化が直線的で経時変化が少ないことから、良質な測温体として利用される。また、制御出力としてここでは、冷却制御の場合はペルチェ素子を、加熱制御の場合はヒーター（抵抗）を使用している。ペルチェ素子とは、電流を流すとそれと同時に熱流も生じる素子であり、今回の実験ではこのペルチェ素子を用いて熱を水冷に逃がすことで冷却制御を行っている。

付録 B

146

各装置の設計図

図 B.2 温調の回路図

図 B.2 はここで作製する温調の回路図である。2SD1407A はバイポーラトランジスタである。バイポーラトラン
ジスタは図 B.3 のようにベース (B)・コレクタ (C)・エミッタ (E) の 3 つの端子を持ち、その機能はベースに流れ込
む電流の h 倍（h：数十〜数百）の電流をコレクタからエミッタに流すというものである。つまり、図 B.3 において

iE = hiB となり、この機能を果たすためにはベース電圧をエミッタ電圧より 0.6〜0.7V 程度高く保つ必要がある。
2SD1407A の場合、温度にもよるが h は 100 程度となる。

C
B
iB

iE
E

図 B.3

バイポーラトランジスタ

図 B.2 の中の赤と青で示された電流ミラー回路とダーリントン接続は、バイポーラトランジスタの機能を利用した回路である。赤で示された電流ミラー回路では、左右の 2 つのバイポーラトランジスタに同じ電流 (iE ) が流れる。また、
青で示されたダーリントン接続は h2 の電流増幅率を持つバイポーラトランジスタとして働く。したがって、図 B.2 の回路は、基本的に Omron E5CN-C2T が出力する電流を h 倍程度に増幅してペルチェ素子（あるいはヒーター）に流す機能を果たしている。Omron E5CN-C2T が出力する電流の大きさは図 B.2 の 300Ω 抵抗の抵抗値を変えることで調節できる。また、図 B.2 の 1Ω 抵抗は使用中に大きく発熱するので、25W 程度の耐熱性のものを用いる。
ペルチェ素子（あるいは抵抗）と 100Ω 白金測温抵抗体 (Pt100) は D-Sub 9 pin ケーブルを用いて接続しており、そのコネクタ端子は 4 : Peltier module +（または抵抗）
5 : Peltier module −（または抵抗）
6, 7 : 100Ω白金抵抗 (Pt100)としている。
図 B.4 は温調のケースの設計図であり、ケースには TAKACHI MB-5 を用いている。スイッチング電源 SVS12SA
はサイズが大きくケースに入りきらないので、図 B.1 のようにケースの外に設置している。ケース裏面には、スイッチ

B.1 温調（温度調節器）の設計図

147

ング電源につなぐケーブルを通すための穴（図 B.4 の Cables）が空けられている。また、図 B.2 の回路図において右下の 2SD1407A と 1Ω 抵抗（耐熱性）は使用中に大きく発熱するので、熱を逃がすために図 B.4 のように放熱板に取り付ける*1 。なお、このとき放熱板は空気の流れに合わせ、溝が縦向きになるように設置する。

*1 この際、熱伝導を良くするため放熱板と各素子の間にシリコーングリスを塗る。

付録 B

148

図 B.4

温調のケースの設計図（TAKACHI MB-5）

各装置の設計図

B.1 温調（温度調節器）の設計図

149

B.1.1 各温調の設定
ここでは、各温調の設定を示す。表 B.1 が各温調の設定であり、記載されていない項目には基本的にデフォルトの設定値を使用している。「初期設定レベル」と「調整レベル」の設定方法などは Omron E5CN-C2T の取扱説明書を参照。

入力

出力

設定温度

LD1

LD2

結晶ホルダー台

エタロン100Ω 白金抵抗100Ω 白金抵抗100Ω 白金抵抗100Ω 白金抵抗100Ω 白金抵抗(Pt100)(Pt100)(Pt100)(Pt100)(Pt100)

ペルチェ

ペルチェ

ペルチェ

ヒーター

ヒーター

(2Ω 抵抗)(10Ω 抵抗)34.0 ℃

37.5 ℃

35.5 ℃

28.7 ℃

30.0 ℃「初期設定レベル」

LD1

LD2

結晶ホルダー

台

エタロン

入力種別

Pt100

Pt100

Pt100

Pt100

Pt100

(iN-t)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

温度単位

℃

℃

℃

℃

℃

(d-U)

(C)

(C)

(C)

(C)

(C)

PID/OnOﬀ

PID

PID

PID

PID

PID

(CNtL)

(Pid)

(Pid)

(Pid)

(Pid)

(Pid)

標準/加熱冷却

標準制御

標準制御

標準制御

標準制御

標準制御

(S-HC)(StNd)(StNd)(StNd)(StNd)(StNd)

正/逆動作

正動作

正動作

正動作

逆動作

逆動作

(oREV)(oR-d)(oR-d)(oR-d)(oR-R)(oR-R)

リニア電流出力種別

0-20mA

0-20mA

0-20mA

0-20mA

0-20mA(oI-t)(0-20)(0-20)(0-20)(0-20)(0-20)「調整レベル」

LD1

LD2

結晶ホルダー台エタロン

比例帯 (P)

0.7

0.7

0.7

5.0

6.0

積分時間 (i)

6

6

6

5

10

微分時間 (d)

1

1

5

20

0

表 B.1

各温調の設定（上記以外はデフォルトの設定値）

付録 B

150

各装置の設計図

B.1.2 PID 制御
ここでは、フィードバック制御の一種である PID 制御について簡単に説明する。

PID 制御における入力と出力を以下のように表す。ここで x0 は目標値であり、x(t) が x0 になるように、つまり∆x(t) が 0 になるように出力 y(t) を制御する。y0 は、一般に x(t) = x0 の状態を維持するために必要な出力である。

入力（制御対称） : ∆x(t) = x(t) − x0


|{z}

目標値
(B.1)
出力（制御出力） : y(t) = ∆y(t) − y0


|{z}

Oﬀset

PID 制御では、出力 y(t) を以下のように ∆x(t) に比例する値 (Proportional) とその積分値 (Integral) 、微分値
(Diﬀerential) によって表す。
∫ td∆x(t)∆y(t) = Kp ∆x(t) + Ki
∆x(t0 )dt0 + Kd
dt
0
{
}
∫ t
1
d∆x(t)= Kp ∆x(t) +∆x(t0 )dt0 + Td
Ti 0
dt

(B.2)
(B.3)

式 (B.2) をラプラス変換で表すと{∆Y (s) =

Kp +

}
Ki
+ Kd s δX(s)
s

(B.4)

となる。
式 (B.2) の第 1 項のみの場合は最も簡単なフィードバック制御であり、比例動作（P 動作）と呼ばれる。比例動作では適切な Kp や Polarity を設定することによって x(t) を目標値 x0 に近づけることができる。しかし、比例動作での出力 y(t) は ∆x(t) によって一意に決まるが、周囲の環境などによって x(t) = x0 に保つための Oﬀset 出力 y0 などは異なる場合が多い。そのため、周囲の環境が変わると定常状態では x(t) = x0 とならなくなってしまう。
そこで、式 (B.2) の第 2 項のように ∆x(t) の積分値を利用する。これによって実質的に y0 を周囲の環境に合わせて動的に変えることができ、また x(t) が目標値 x0 から離れている場合には、より早く x(t) を x0 に近づけることができる。このような ∆x(t) の積分値を出力する動作を積分動作（I 動作）という。式 (B.3) の Ti は積分時間と呼ばれ、これが小さいほど目標値に到達する時間が早くなるが、Ti が小さすぎると振動などにつながり不安定になる。
一方、この積分動作は外乱などによる急激な変化の制御には向かない。そこで、そのようなときには式 (B.2) の第 3項のように、∆x(t) の微分値を利用した微分動作（D 動作）が用いられる。これによって急激な変化に対しても応答できるようになる。式 (B.3) の Td は微分時間と呼ばれ、これが大きいほど変化に対する応答が速くなるが、Td が大きす
ぎると振動などにつながり不安定になる。

B.2 PZT Driver（ピエゾドライバー）の設計図

151

B.2 PZT Driver（ピエゾドライバー）の設計図
ピエゾ（PZT）とは電圧をかけることで伸縮する素子であり、変位は電圧によって高精度に制御できるものの、その動作には一般に高電圧が必要となる。ここで作製する PZT Driver は、主に PZT を動かすために電圧を増幅するためのものである。PZT の変位を三角波で振れると便利なことが多いことから、この PZT Driver には三角波を発生する機能が付けられている。今回の実験では、Cavity の共振器長を PZT で制御するために PZT Driver を用いている。

図 B.5 PZT Driver

図 B.6 は電圧を増幅するピエゾドライバーモジュールの配線であり、MATSUSADA Precision Inc. の HPZT-

0.15PB を使用している。電源電圧の +12V は、スイッチング電源 VTM23WA の +15V を三端子レギュレータ 7812
によって降圧して用いている。

図 B.6 ピエゾドライバーモジュール (MATSUSADA Precision Inc. HPZT-0.15PB)

図 B.7 は三角波発生回路であり、その周波数は 137Hz である（三角波発生回路の動作原理は B.2.1 で説明する）。可変抵抗によって Amplitude と Oﬀset の調節することができる。また、TL084 は４つのオペアンプを 1 つのパッケージにしたものであり、その電源にはスイッチング電源 VTM23WA の ±15V を用いる。

付録 B

152

図 B.7

三角波発生回路

図 B.8 は PZT Driver のケースの設計図である。ケースには TAKACHI YM-200 を用いている。

各装置の設計図

B.2 PZT Driver（ピエゾドライバー）の設計図

図 B.8 PZT Driver のケースの設計図（TAKACHI YM-200）

153

付録 B

154

各装置の設計図

B.2.1 三角波発生回路の動作原理
ここでは、三角波発生回路の動作原理について説明する。
V1
+15V
0V

t

t0

-15V

C
1

V2

V1
R1
2

V3

V2

0V

t0

t

R2
R3
V3

図 B.9 三角波発生回路の動作原理 1

0V

t

t0

図 B.10三角波発生回路の動作原理 2

図 B.9 において、オペアンプ 1 はシュミット回路と呼ばれる。正帰還となっていることから、出力電圧 V1 はわずかなノイズなどによって電源投入後すぐに飽和する。ここでは、t = 0 で V1 = +15V に飽和したものとする（このときV3 > 0V）。
オペアンプ 2 は積分回路となっており、その出力電圧 V2 はコンデンサの初期電荷を 0 として

V2 = −

V1
t
R1 C

(B.5)

となる。ここまでの V1 , V2 の振る舞いは図 B.10 の 0 < t < t0 のようになる。
次に、V1 が −15V に飽和するときを考える。これは、図 B.9 において V3 が 0V を横切るときである。この時刻をt = t0 とすれば、式 (B.5) より
V 3 = V2 +R3
(V1 − V2 ) = 0
R2 + R3

V1
t0 = 0
R1 C( )R3∴ t0 = R1 C
R2

R3 V1 − R2

(B.6)

となる。なお、R2 > R3 とならないと V3 が 0V を横切る前に V2 が飽和してしまうので、R2 > R3 という条件が必要となる。

B.2 PZT Driver（ピエゾドライバー）の設計図

155

t = t0 で V2 の電圧値が折り返し、以降同様にして図 B.10 のように V2 の電圧値が変化し、三角波が出力される。t0は図 B.10 より三角波の 1/4 周期 に相当するので、三角波の周波数 f は

f=

1
4R1 C

(

R2
R3

)
(B.7)

と表されることがわかる。今回作製した図 B.7 の三角波発生回路の場合、周波数 f は

f = 137Hz
となる。

(B.8)

付録 B

156

各装置の設計図

B.3 AOM Driver の設計図
AOM Driver は AOM (Acousto-Optic Modulator) を使用する際に用いる装置であり、主に AOM に入力する RF(Radio Frequency) の周波数と振幅を制御する機能が組み込まれている（B.3.1 参照）。

図 B.11 AOM Driver

図 B.12 は AOM Driver の回路図であり、オペアンプの電源には全てスイッチング電源 VTM23WA の ±15V を用いている。
また、図 B.13 は AOM Driver のケースの設計図である。ケースには TAKACHI のラックパネルを用いている。

B.3 AOM Driver の設計図

157

図 B.12 AOM Driver の回路図

付録 B

158

図 B.13 AOM Driver のケースの設計図

各装置の設計図

B.3 AOM Driver の設計図

159

B.3.1 AOM Driver の機能の説明
Mixer
VCO outCON

VCO OUTAOM
RF Amp.

Mixer out
図 B.14AOM Driver の接続

Frequency
まず、AOM に入力する RF の周波数 (Frequency) を制御する機能について説明する。なお、ここでは AOM に入力する RF として、VCO (Voltage-Controlled Oscillator) の出力を利用することを想定している。

VCO の出力周波数は VCO の Control 入力に入力される DC 電圧によって決まる。AOM Driver の VCO out 端子
がこの DC 電圧を出力するための端子であり、これを図 B.14 のように VCO の CON 端子につなぐ。Freq. ext./int.
スイッチを int. に入れているときは、Freq. 可変抵抗つまみで電圧を調整することができる。一方 Freq. ext./int. ス
イッチを ext. に入れているときは、外部機器によって VCO の出力周波数を制御できる。このときは、Freq. in に入力される電圧の 3 倍の電圧が VCO out 端子に出力される。

Amplitude
次に、AOM に入力する RF の振幅 (Amplitude) を制御する機能について説明する。このときは、Mixer out 端子から出力される DC 電圧を用いる。VCO の出力とこの DC 電圧を図 B.14 のようにミキサーで掛け合わせることで、ミキサーから出力される RF の振幅を DC 電圧によって制御することができる。なお、AOM を機能させるためには RF
信号を十分なパワーに増幅する必要があり、ミキサーの後には図 B.14 のように RF Amp. を介して AOM をつなぐ。
アナログスイッチ MAX319 の論理入力である TTL は、AOM に入力する RF の ON / OFF を操作するものである。OFF のときは Mixer out 端子が 0V となるため、AOM には RF が入力されず回折が起こらない。TTL ext./int.
スイッチを ext. に入れているときは、TTL in 端子につないだ外部機器の TTL 信号を用いることができる。TTL

ext./int. スイッチを int. に入れているときは、TTL ON/OFF スイッチによって AOM に入力する RF の ON / OFFを操作する。

Amplitude の調節方法は Amp. ext./int. スイッチと Manual/Lock スイッチによって切り替えられる。Amplitude
を外部機器によって操作したい場合は、Amp. ext./int. スイッチを ext. に入れ Amp. in に制御電圧を入力する。

Amplitude を手動で操作したい場合は、Amp. ext./int. スイッチを int. に、Manual/Lock スイッチを Manual に入れる。このときは、Amp. 可変抵抗つまみで Amplitude を調節できる。また、PD でモニターしている光強度が一定になるように Amplitude を自動制御することもできる。このときは、Amp. ext./int. スイッチを int. に、Manual/Lock
スイッチを Lock に入れ、Lock したいときに Lock ON/OFF スイッチを ON にすれば、PD の電圧信号が Set Levelに合うように自動制御される。

付録 B

160

各装置の設計図

B.4 PD (Photodiode) の設計図
ここで作製する PD (Photodiode) は高速な用途には向かないが、光検出器として十分な性能を備えており、簡単な構成であることから今回の実験では様々な場面でこの PD を利用した。

図 B.15PD

図 B.16 はここで作製する PD (Photodiode) の回路図であり、PD 素子に 9V 電池で逆電圧をかけて使用している。

PD 素子には浜松ホトニクスの S6967 を使用しており、50pF 程度の端子間容量を持つ。PD 素子には光パワーに比例した電流が流れ、抵抗の抵抗値によって BNC に出力される電圧値を変えることができる。なお、出力の飽和電圧は電池の電圧値によって決まる。

図 B.16 PD の回路図

B.5 高速 PD (Photodiode) の設計図

161

B.5 高速 PD (Photodiode) の設計図
高速 PD (Photodiode) は高速の測定に対応した PD であり、基本的な動作原理は付録 B.4 の PD と同様である。

図 B.17 高速 PD

図 B.18 は高速 PD の回路図である。TL081 を介して出力される DC 出力と、HPF (High-Pass Filter , fc w 300kHz)
を通して DC 成分を除去した AC 出力を得ることができる。高速応答の PD 素子として浜松ホトニクスの S5971 を使用しており、この端子間容量は 3pF 程度である。また、OP アンプの電源には、ノイズを防ぐために KIKUSUI の直流電源 PMM25-1TR からの ±15V を使用している。なお、初段の AD829 に接続された 3pF と 10pF のコンデンサは発振防止のためである。

付録 B

162

各装置の設計図

図 B.18 高速 PD の回路図

図 B.19 は高速 PD のケースの設計図である。ケースには TAKACHI の防水・防塵アルミダイキャストボックスを用いている。

B.5 高速 PD (Photodiode) の設計図

163

図 B.19高速 PD のケースの設計図

付録 B

164

各装置の設計図

B.6 EOM 共振回路の設計図
EOM 共振回路は EOM (Electro-Optic Modulator) の結晶にかける RF の電圧を増幅し、効率良く光の変調を行うための回路である。なお、EOM の結晶は電圧をかけるとその電圧に比例して屈折率が変化するポッケルス効果を示
し、電圧として RF をかけることでレーザー光の中心周波数の周りにサイドバンドを持たせることができる。これは2.2.3 節で見たように、Pound-Drever-Hall 効果において微分信号 (Error Signal) を際に重要な役割を持つ。

図 B.20 EOM 共振回路

図 B.21 は EOM 共振回路の回路図である。今回の実験で使用する EOM (Linos PM 25) は 30pF 程度の電気容量を持っている。よって、図 B.21 の EOM 共振回路は実質的に RF out に〜30pF のコンデンサがつながれた LC 共振回路となり、共振周波数〜12MHz のまわりで RF の電圧を大きく増幅することができる。なお、このコンデンサにかかる電圧が結晶にかかる電圧に相当する。

図 B.21 EOM 共振回路の回路図

B.7 Cavity Lock Circuit の設計図

165

B.7 Cavity Lock Circuit の設計図
Cavity Lock Circuit は 2.2.3 節で見た Ponud-Drever-Hall 法によって Cavity をレーザー光に共鳴した状態に保つための主要回路であり、その基本的な機能は共鳴時に自動的に Lock をかけて PZT の電圧を保持し、入力された微分信
号 (Error Signal) をアンプして出力に加算するというものである。2.2.3 節で見たように、Cavity の Lock を行うためには Cavity の FSR（つまり Cavity の共振器長）あるいはレーザーの周波数を制御すればよい。そこで、この Cavity

Lock Circuit では PZT の他に AOM に対してもフィードバック信号を出力できるようになっている。詳しい使用方法などについては 4.1 節を参照。なお、この回路は主に [35] を参考にして作製した。

図 B.22

Cavity Lock Circuit

図 B.23 は Cavity Lock Circuit の回路図である。図 B.23 において、上段の回路によって微分信号が得られる。この部分は Mini-Circuits 社の製品を利用し、BNC ケーブルに直接つないで作った。利用した製品は

: ZSC-2-1+
 Power Splitter
Mixer: ZAD-1H+
LPF (Low-Pass Filter) : BLP-1.9+である。また、図 B.23 の中段はメインの Lock 回路で、PZT による Cavity Lock はこの回路のみで行うことができる（PZT OUT の信号を PZT Driver に通し、増幅して用いる）。下段は AOM によるフィードバックも行う際に用いる回路で、VCO CON (DC) IN 端子の入力には付録 B.3 の AOM Driver の VCO out 端子から出力される DC 電圧を用いた。なお、この下段の回路は「AOM Feedback Box」として別のケースに作った。用いたケースは{Cavity Lock Circuit : TAKACHI MB-5
AOM Feedback Box : TAKACHI MB-2であり、図 B.24 には Cavity Lock Circuit のケースの設計図が示されている。
これらの回路の電源には、ノイズを防ぐために KIKUSUI の直流電源 PMM25-1TR からの ±15V を使用している。OP アンプの電源は基本的に ±15V だが、コンパレータ部の OP27E の電源には ±5V を用いる。これは LF398、

MAX319 の論理入力の耐圧による制限のためである。また、積分回路の中の MAX319 は Lock : ON のときのみ積分
回路を作動させるためのもので、Lock : OFF のときは積分回路からは 0V が出力される。

付録 B

166

各装置の設計図Mini-Circuits社製品を使用

BNC Cable

三角波発生回路(f = 8Hz)

コンパレータCavity Lock Circuit

アンプ /
オフセット

積分回路

BNC Cable

Polarity

AOM Feedback Box
High-Pass Filter(fc = 340Hz)
Polarity

図 B.23 Cavity Lock Circuit の回路図

B.7 Cavity Lock Circuit の設計図

図 B.24 Cavity Lock Circuit のケースの設計図（TAKACHI MB-5 / TAKACHI MB-2）

167

付録 B

168

各装置の設計図

B.8 Reference Cavity
今回作製した Reference Cavity の構成は、反射率 99%、曲率半径 100mm の 2 枚の球面ミラーを用いた共焦点共振器となっており、その FSR は 750MHz である。ミラーどうしは図 B.25 のように筒状の PZT とガラス管を介して接合されており、PZT によって共振器長を振ることでレーザーの周波数モードをスキャンすることができる。なお、

PZT には株式会社 富士セラミックス製のものを用いている。

図 B.25

Reference Cavity

B.8.1 Reference Cavity の作製手順
以下では、Reference Cavity の作製方法について説明する。

1. ホルダーを製作し、ホルダーの BNC 端子と PZT をつなぐコードをハンダ付けする。ここで、PZT には高電圧をかけるため、BNC 端子はホルダーと絶縁されたものを用いる。
K2R?NĻ0

ʣ7,3kk

ʣ/2kkK2R?NĻ/

図 B.26 Reference Cavity の作製手順 1 − ホルダーの製作例

2. 図 B.27 のように 1 つのミラーと PZT を、もう 1 つのミラーとガラス管をそれぞれ Torr Seal を用いて接着する。3 以降ではガラス管の一部を PZT の中に挿入して、ミラー間距離を調節しながら共焦点となる位置を探し、

B.8 Reference Cavity

169

最後に PZT とガラス管を接着する。
Torr Seal

Torr Seal

15mm

13mm
Glass Tube

15mm

15mm
PZT R = 99%
r = 100mm

R = 99%r = 100mm

図 B.27 Reference Cavity の作製手順 2

3. 入射光に対して奥側（透過側）のミラーから位置合わせをする。ここでは、そのミラーをガラス管と接着した方のミラーとする。1 で作製したホルダーにガラス管部分を取り付けておき、レーザー光がミラーの中心に当たるようにした後、反射光が入射光と重なるように調整する。なお、既に完成した Cavity が他にある場合、3 以降
ではその Cavity を用いてレーザーがシングルモード発振していることを確認しておくとよい。

Holder

図 B.28 Reference Cavity の作製手順 3

4. 次に、入射光に対して手前側（入射側）のミラーの位置合わせをする。PZT と接着したミラーを Al マウン
ト*2 に装着し、微調ステージに載せたミラーホルダーに取り付ける。3 で調整したミラーからほぼ 100mm の位置にミラーが来るように PZT と接着したミラーを置き、その反射光が入射光と重なるように調整する。また、

Cavity 後の透過光が 2 つ見える場合（図 B.29 の緑の場合）は、これが 1 つになるように各ミラーを微調する。
100mm

Al Mount(+ Stage)

図 B.29 Reference Cavity の作製手順 45. レーザーの周波数を振れる場合は、レーザーの周波数を三角波で振っておく*3 。レーザーの周波数を振れない場
合は、ミラーホルダーに図 B.30 のように小さい PZT を取り付け、共振器長を三角波で振っておく。
*2 ない場合は作製する。外径 25.4mm (1 inch)、内径 15mm。
*3 AOM の Double Pass によってレーザー周波数を振ろうと試みたが、振れる周波数幅が小さくうまくいかなかった。最低でも 1FSR 以上の範囲で周波数あるいは共振器長を振る必要がある。

付録 B

170

各装置の設計図

図 B.30 Reference Cavity の作製手順 5

6. Cavity の透過光を PD で観測しながら微調ステージのマイクロメーターによって共振器長を振り、共焦点となる位置を探す。共焦点では、複数の共鳴ピークが縮退してピーク強度が大きくなり、線幅も細くなる。共焦点の位置が見つかったら、共振器長やミラーの角度を微調して共鳴ピークが細く左右対称になるように調整する。反1
FSR 程度）が得ら
射率 99% のミラーを使用していることから、最大で 300 程度の Finesse（つまり線幅が 300れるはずである。

PD

PD
TriangularWave

図 B.31 Reference Cavity の作製手順 6

Triangular
Wave

171

付録 C

DPSS レーザーのアライメント方法
C.1 発振の仕方
DPSS レーザーを発振させるために行うアライメントについて順を追って説明する。
• Pump 光のアライメント

fiber

Nd:YVO4
f=50

f=75

f=75

f=50

図 C.1 Pump 光のセットアップ

1. 図 C.1 において、ファイバーから出た Pump 光が結晶に当たるようにファイバーを置く。
2. f=50mm のレンズ*1 を、光が平行光となるような位置に置く。
3. f=75mm のレンズを、光が結晶の端面で焦点を結ぶ位置に置く。
4. f=50mm のレンズの位置を微調し、Pump 光を当てた時に見られる結晶の発光が結晶の中心に来るように調節する。

• DPSS cavity のアライメント
DPSS cavity のアライメントには、市販の緑色のレーザーポインタを使用した。（図 C.2）写真にはアイリスとエタロンが入っているが、発振させる時はアイリスとエタロンは無い方が良い。

1. 図 C.3 において、(1) のミラーによる反射光が (2) のミラーの中心に当たるように (1) のミラーを合わせる。
*1 このレンズは、高さ方向と水平方向（光に垂直）の位置を微調できるようなレンズホルダーに入れてある。

付録 C DPSS レーザーのアライメント方法

172

丫
丶
䷵
丶
东
䷣
丱
䷾

図 C.2 DPSS cavity のアライメント (0)2. 図 C.5 において、(2) のミラーによる反射光が結晶の中心に当たり、かつ (3) のミラーの中心に当たるように (2) のミラーを合わせる。

3. 図 C.7 において、(3) のミラーによる反射光が (4) のミラーの中心に当たるように (3) のミラーを合わせる。
4. 図 C.8 において、(4) のミラーの透過光と反射光が（2 点で）重なるように (4) のミラーを調節する。
5. Pump 光を結晶に当てて、(1) または (4) のミラーを微調整する。ここでモードが合えば発振する。*2
6. 5 で発振しない場合は 1 に戻る。

*2 4 までで、1 周してもパスが変わらない状態におおよそなっていると考えられるので、微調整するのはどちらのミラーでも良い。発振しうるミラーの角度の範囲はかなり小さいので、根気よくやる必要がある。

C.1 発振の仕方

(3)

173

808AR
1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR䊚䊤䊷䋨2䋩
(2)

䊚䊤䊷䋨3䋩

(4)

䊚䊤䊷䋨4䋩

䊚䊤䊷䋨䋱䋩

(1) 1064HR
図 C.3

(3)

1064 90%R

DPSS cavity のアライメント (1)808AR1064HR

Nd:YVO4

図 C.4

808AR
1064HRDPSS cavity のアライメント (1)䊚䊤䊷䋨1䋩

(2)

䊚䊤䊷䋨3䋩
⚿᥏䊚䊤䊷䋨2䋩

(4)

䊚䊤䊷䋨4䋩
(1) 1064HR

図 C.5

1064 90%R

DPSS cavity のアライメント (2)

図 C.6

DPSS cavity のアライメント (2)付録 C DPSS レーザーのアライメント方法

174

(3)

808AR
1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR(2)(4)(1) 1064HR

1064 90%R

図 C.7 DPSS cavity のアライメント (3)808AR1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR(3)(2)

䊚䊤䊷䋨4䋩

(4)(1) 1064HR

図 C.8

1064 90%R

DPSS cavity のアライメント (4)図 C.9

DPSS cavity のアライメント (4)C.2 戻し光について

175

C.2 戻し光について
図 C.10 において、まずは両方向の光のパスがおおよそ一致するように矢印のミラー 2 枚を置く。次に、フォトダイ
オードの信号を見て発振方向のパワーを最大化する。PD1 は逆方向を、PD2 は順方向の洩れ光を見ており、PD2 の電圧が最大になる様に矢印のミラー 2 枚を微調整してやれば 1 方向発振が可能となる。

808AR
1064HR

Nd:YVO4

808AR
1064HR

PD1
1064HR1064 90%R

2
PDѣẦẴἱἻὊ

図 C.10

戻し光のアライメント

C.3 パワーの最適化
Pump 光が結晶の中心に当たっていることを確認して、DPSS cavity のミラー 2 枚 (ミラー 1 と 4）を微調整する。
この時、出力パワーをパワーメータで測定し、最大となる位置を見つける。ここで、Pump 光の f=50mm のレンズを微調整することでパワーが上がることがある。

Pump 光のアライメントが最適な場合は出力パワーは大きくなるが、Pump 光のアライメントが最適でない場合は出力パワーが落ちる。*3 その場合は f=75 のレンズがきちんと結晶の位置で焦点を結んでいるかを確認した上で、f=50のレンズを Pump 光のビーム方向に動かし、発振パワーが最大となる位置を見つける必要がある。

*3 十分なパワーが出ない時は、まず Pump 光のアライメントを疑ってみるべきである。

177

付録 D

光ファイバーにおける位相ノイズの除去
この実験は今年度の夏学期に行ったものであり、主に [42] を参考にしている。本論文とは直接関わりのない内容だ
が、将来の参考のため付録としてここに記載する。

D.1 光ファイバーにおける位相ノイズ
光ファイバーによる光の伝送の際には、光ファイバーに対する圧力・曲げなどの影響（音や風などに起因する）で、位相ノイズが伴う。例えば図 D.1 のように、光ファイバーに入射する前の光の電場の時間変化が cos(Ωt) と表されたとすると、光ファイバーを通った後の光の電場の時間変化は cos(Ωt + Φf ) となって位相ノイズ Φf が乗り、この Φf が時間変化するために時間とともに光の周波数が揺れてしまう。これを周波数スペクトルで見ると、図 D.1 のように光ファイバー通過後のバンド幅が最大で〜kHz 程度広がってしまう。
Optical Fiber

Laser

Amplitude

Amplitude

位相ノイズ（時間変化）

Frequency

図 D.1

〜kHz
Frequency

光ファイバーにおける位相ノイズ

しかし、このような位相ノイズは光の周波数に比べてずっと小さく、通常ほとんど問題にはならない。位相ノイズが問題になるのは、主に{

1. 光を用いた実験で、高い周波数精度が必要な場合（周波数標準など）
2. 特に位相が重要となる場合（干渉計など）である。井上研究室で極低温極性分子を作成する際に用いる STIRAP（誘導断熱ラマン遷移）という方法では、用いるレーザー光のバンド幅が狭いことが必要不可欠であり（上記の 1 の場合に相当する）、位相ノイズが問題となる可能性がある。

付録 D 光ファイバーにおける位相ノイズの除去

178

D.2 位相ノイズ除去の概要

Optical Fiber

Laser

Beam Splitter

図 D.2 位相ノイズ除去の概要 1

今回行った位相ノイズ除去の方法の基本原理は、次のようになる。図 D.2 のように光ファイバーを 1 往復した光は、
片道の場合の 2 倍の摂動（→ 位相ノイズ）を受けると考えられる。ここで、光ファイバーでの伝送において、位相ノイズに関わる非線形的な影響は十分小さいものと考えている。よって、光ファイバーを 1 往復した光を光ファイバー入射
前の光と比較することで、位相ノイズ Φf を知ることができる。そして最後に、フィードバックによりこの位相ノイズを除去する。
図 D.3 は今回行った実験の大まかな概念図を示している。点線で表された部分は、位相ノイズ除去の精度を確かめるためのパスである。また、cos v は光、電気信号の時間変化する成分を表している。
cos(2Δt+2Φf)Φc = Φf , f/2

PD1

cos(Δt+Φc)cos{(Ω-Δ)t -Φc}

NPBS

AOM1

Laser
852.3nmcosΩtcos{(Ω+Δ)t -Φc+2Φf}NPBS
cos{(Ω-Δ)t -Φc}

Ω：〜100THz
Δ：80MHzΦf：位相ノイズ（時間変化）

Polarization-maintaining
Optical FiberΦc：Φf をキャンセルcosΔtcos{(Ω-Δ)t -Φc+Φf}cosΩtcos(Ωt -Φc+Φf)cos{(Ω-Δ)t -Φc+Φf}
AOM2

PD2

cos(Δt+Φc -Φf)NPBScos{(Ω+Δ)t -Φc+Φf}

Beam Splitter

図 D.3 位相ノイズ除去の概要 2

図 D.3 のように、レーザーから出力された cos Ωt という光は AOM1 によって cos[(Ω − ∆)t − Φc ] という光に変換される。ここで、Φc は位相ノイズ Φf を打ち消すための位相成分であり、また ∆ として 80MHz を用いた。この光は偏波面保持光ファイバー (Polarization-maintaining Optical Fiber)*1 を通ることで位相ノイズ Φf が乗り、AOM2*1 普通のシングルモード光ファイバーでは偏光方向によって異なる位相ノイズが乗る恐れがあるので、ここでは偏波面保持光ファイバーを用いている。

D.2 位相ノイズ除去の概要

179を経て最終的に cos(Ωt − Φc + Φf )（Beam Splitter 後）という光となる。これが位相ノイズを除去したい光であり、

Φc = Φf とできれば位相ノイズが除去され元のレーザー光と同じ光が伝送されることがわかる。
Beam Splitter で打ち返された光は再び AOM2、偏波面保持光ファイバーを通って cos[(Ω + ∆)t − Φc + 2Φf ]という光となる。そして PD1 では、光ファイバー入射前の光 cos[(Ω − ∆)t − Φc ] と光ファイバーを往復した光cos[(Ω + ∆)t − Φc + 2Φf ] の Beat 信号 cos(2∆t + 2Φf ) が観測されることとなる。よって、この Beat 信号の周波数と位相をそれぞれ 1/2 にして AOM1 に返すことができれば、位相ノイズの除去が実現されることがわかる。
この周波数と位相をそれぞれ 1/2 にする機能は Divider という電気装置によって実現される。しかし、PD1 で得られる信号は小さくノイズも含まれているので、この信号をそのまま Divider に通してもうまく位相ノイズの除去は行えない。そこで、図 D.4 のように Divider の前に PLL(Phase Lock Loop) と VCO を通すことで、PD1 からの信号をき
れいな正弦波に整形して Divider に入力する。
cos(2Δt+2Φf)cos(Δt+Φc)

VCO INPD1

REFERENCE
IN

PLL

VCO
OUT

CON

VCO

Divider

OUT

AOM1

cos(2Δt+2Φc)c = Φf

図 D.4 位相ノイズ除去の概要 3

ここで、PLL とは VCO の（周波数と）位相を Reference IN に入力された信号に合わせる装置であり、その大まかな原理は図 D.5 のように表される。 図 D.5 の赤で囲まれた部分が PLL であり、まず Reference と VCO の信号
が Mixer によってかけ合わされる。Reference の信号を cos(2∆t + 2Φf )、VCO の信号を cos(2∆t + 2Φc ) とすれば、Mixer から出力される信号は

cos(2Δt+2Φf)

PLL

LPF
Mixer

CON

VCO

OUT

cos(2Δt+2Φc)cos(4Δt+2Φf+2Φc) cos[2(Φf -Φc)]+cos[2(Φf -Φc)](+Offset)

図 D.5 PLL の大まかな原理

cos(2∆t + 2Φf ) cos(2∆t + 2Φc ) = cos(4∆t + 2Φf + 2Φc ) + cos[2(Φf − Φc )](D.1)となる。そして、これを LPF (Low-Pass Filter。Loop Filter とも呼ばれる) に通すことで DC 成分である cos[2(Φf −Φc )] という信号が出力される（実際は VCO の周波数を ∆/2π に保つために Oﬀset が加えられている）。cos x は x = 0
で極大となるため Φf = Φc とすることはできないが、例えば x = π2 では cos x = 0 となりそのまわりで cos x の符号が変わるので、このような点で負のフィードバックとなれば Φf − Φc = π4 となって、Φf を Φc に対し一定に保つことができる。これが PLL の大まかな原理である。実際は、まず VCO の周波数を Reference の周波数に合わせなければならないが、PLL にはその性質上、位相の Lock とともにこのような周波数の Lock 機能も備えられている。そのため、図 D.3 の ∆ で表される周波数は、AOM2 の信号源である Oscillator の周波数によって決まることとなる。今回の実験では、AD9901 というデジタル IC を用いて PLL を作製した（D.5 参照）。
以上が、今回行った位相ノイズ除去の方法の概要となる。次に、図 D.3 に点線で表された位相ノイズ除去の精度を確かめるためのパスについて考える。
点線のパスの PD2 では、レーザーから出力された光ファイバーを通る前の cos Ωt という光と、光ファイバーを

付録 D 光ファイバーにおける位相ノイズの除去

180

通った後の AOM2 の 0 次光である cos[(Ω − ∆)t − Φc + Φf ] という光の Beat 信号が観測される。この Beat 信号は

cos[∆t + Φc − Φf ] となり、この周波数スペクトルを観測すると、Oscillator（AOM2 に入力する cos ∆t の信号源）の
線幅が十分細ければ、位相ノイズ除去が行われている場合 (Φc = Φf ) には 80MHz の位置に Oscillator と同程度の線
幅の細いピークが観測され、位相ノイズ除去が行われていない場合 (Φc = 0) にはそのピークが位相ノイズによって広がることが予想される。つまり、2 つの光の Beat をとることによって位相ノイズを 80MHz 帯域に落として分析することができる。以上が、位相ノイズ除去の精度を確かめるための方法の概要である。

D.3 実験装置
実際の実験系とその全体写真は図 D.7、D.6 のようになる。基本的には前節で示された概念図と同じであり、電気機器の配線については上下に緑の枠で囲って示してある。ここでは位相ノイズの除去を行った光を実際に利用してはいな
いが、利用する場合は図 D.6 の光学系に緑で示したように NPBS によって光を取り出せばよい。なお、位相ノイズ除去の精度を確かめる際には PD2 で観測された 80MHz 帯域の Beat 信号を用いるが、ここでは図 D.6 の左下に示されるように、さらに 80MHz から 1kHz 程度周波数のずれた信号との Beat をとることで、位相ノイズを 1kHz 帯域まで落として観測している。
また、表 D.1 には用いた主な実験装置が示されている。
自作 ECDL (External Cavity Diode Laser、[43] 参照)

Laser

研究室内にあったものを借用

AOM1 / AOM2

Crystal Technology, Inc. AOMO 3080-125(Acousto-Optic Modulator)(Crystal : TeO2 , Center Frequency : 80MHz)

AOM ドライバー

自作（付録 B.3 参照）

PD1 / PD2

自作（付録 B.5 参照）(Photodiode、高速)研究室内にあったものを借用

RF Amp.

Mini-Circuits ZFL-2500VH+ (PD1 の後)
Mini-Circuits ZHL-1-2W (AOM1 / AOM2 の前)

PLL (Phase Lock Loop)

自作（D.5 参照）

VCO (Voltage-Controlled Oscillator)

Mini-Circuits ZOS-300+

Divider

RF Bay, Inc. FPS-2-12

Oscillator (80MHz)

Digital Signal Technology, Inc. DPLO-80M

Mixer

Mini-Circuits ZAD-1H+
表 D.1

位相ノイズ除去 − 主な実験装置

D.3 実験装置

181

cos(2Δt+2Φf)cos(Δt+Φc)

VCO IN

PD1
RF Amp.

REFERENCE
IN

PLL

CON

VCO

AOM1

852.3nmNPBS

Divider

OUT

AOM1

cos(2Δt+2Φc)Φc = Φf

cosΩt

Laser

VCO
OUT

RF Amp.

Iris

０ order
１ orderNPBScos{(Ω-Δ)t -Φc}f = 50mmcos{(Ω-Δ)t -Φc}cos(Δt+Φc)cos{(Ω+Δ)t -Φc+2Φf}

f = 1000mm

PD1cos{(Ω-Δ)t -Φc}cos{(Ω+Δ)t -Φc+2Φf}
Couplercos(Δt+Φc -Φf)

f/2 , Φc = Φfcos(2Δt+2Φf)PD2cos{(Ω-Δ)t -Φc+Φf}

cosΔt

cosΩt

f = 50mm
f = 300mm

AOM2cos{(Ω-Δ)t -Φc+Φf}

NPBS

０ order
１ order

NPBS

PBS

cos(Ωt -Φc+Φf)
300mm

cos{(Ω+Δ)t -Φc+Φf}

Couplerf = 1000mmcos{(Ω-Δ)t -Φc+Φf}cos(Ωt -Φc+Φf)

Ω：〜100THz
Δ：80MHzΦf：位相ノイズ（時間変化）

Polarization-maintaining Optical FiberΦc：Φf をキャンセル

cos(Δt+Φc -Φf)
PD2

Mixer

cos(δt+Φc -Φf)
Oscilloscopecos(Δ+δ)t
Function
Generator

cosΔtOscillator(80MHz)δ〜1kHz

図 D.6 位相ノイズ除去 − 実際の実験系の全体図

AOM2
RF Amp.

付録 D 光ファイバーにおける位相ノイズの除去

182

図 D.7

位相ノイズ除去 − 実際の光学系の全体写真

D.4 実験結果

183

D.4 実験結果
実験結果は図 D.8 のようになる。グラフは PD2 での Beat 信号を 1kHz 帯域まで落として Oscilloscope で観測した周波数スペクトルであり、それぞれ複数回測定を行って平均を取ったものである。

(i) は Lock 時の周波数スペクトルを表し、光ファイバーに軽く手を触れた状態で測定した。(iv) の Oscillator の周波数に対応した 1319.3Hz の位置に鋭いピークが見られることがわかる。(i) は (iv) に比べわずかにピークの位置がずれているが、このずれは 1 解像度（〜2.5Hz）に相当しており、同じ周波数と考えられる。線幅も両方解像度程度かそれ以下であり、十分小さいといえる。また、1180Hz 付近にも鋭いピークが見られるが、これは (iii) に見られるようなバックグラウンドのノイズである。

(ii) は (i) と同様に光ファイバーに軽く手を触れた状態で、Lock を OFF にして測定した周波数スペクトルである。
(i) で見られた 1319.3Hz の位置の鋭いピークが 100Hz 程度の幅で広がっていることがわかる。これが光ファイバーの周波数ノイズであり、Lock したことにより (ii)→(i) のように位相ノイズが除去されていることがわかる。

(iii) はバックグラウンドの周波数スペクトルを表し、PD2 に何も光を入れない状態で測定した。1180Hz（と 1510Hz）の位置にピークが見られるが、これは PD2 に何も光を入れない状態で観測されたので、周りの電気機器からのノイズなどに起因するものと考えられる。

(iv) は図 D.6 の左下の配線において、PD2 を Oscillator に置き換えて測定した Oscillator に対応する周波数スペクトルである。

(v)〜(viii) は Lock を切り、様々な条件で位相ノイズを測定したグラフである。
(v) は光ファイバーに対し何もしない状態で測定した周波数スペクトルである。このときは Oscillator と同じ位置に鋭いピークが見られ、位相ノイズはほとんど観測されなかった。光ファイバーに音や風などが当たることがなければ、
位相ノイズは実用上ほとんど問題にならないと言える。

(vi) は強い振動の影響を調べるため、光ファイバーを軽く叩いて揺らし続けたときの周波数スペクトルである。このときは位相ノイズによって線幅がグラフの範囲以上に広がり、ピークは見られなかった。

(vii) は風の影響を調べるため、ノートをあおいで光ファイバーに風を当てたときの周波数スペクトルである。ピー
クは見られるものの、位相ノイズによって線幅が広がっていることがわかる。

(viii) は音の影響を調べるため、光ファイバーに向かって声を出したときの周波数スペクトルである。このとき線幅の広がりはほとんど見られなかったが、ピーク周波数が 10Hz 程度ずれて観測された。この理由はよくわからないが、

Oscillator の周波数ドリフトなど音以外の影響も考えられる。

付録 D 光ファイバーにおける位相ノイズの除去

184

1319.3Hz-60-60(i) Lock時
光ファイバーには軽く触れているだけ

-65
-70

-70
-75

-80

-80

-85

-85

-70

-65
-70
-75

-80

-80

Amplitude (dB)

-75

-85

-60
-65
-70

-85

-65

-75

-80

-80

-85

-85

-60

-60

-65

-65

-70

-75

-80

-80

-85

-85

900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

Frequency (Hz)

1,500

1,600

(viii) Unlock時
光ファイバーに向かって声を出したとき-70(iv) Oscillator-75(vii) Unlock時
ノートをあおいで
光ファイバーに風を当てたとき

-60

-70

(iii) Background-75(vi) Unlock時
光ファイバーを軽く叩いて揺らしたとき-60(ii) Unlock時
光ファイバーには軽く触れているだけ-65(v) Unlock時
何もしないとき

-65

-75

-60

Amplitude (dB)

1319.3Hz

1,700

図 D.8

900

実験結果

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

Frequency (Hz)

1,500

1,600

1,700

D.5 PLL (Phase Lock Loop) の設計図

185

D.5 PLL (Phase Lock Loop) の設計図
ここでは、本実験の主要回路の 1 つである PLL (Phase Lock Loop) の設計図を示す。

図 D.9 PLL

図 D.10 は PLL の回路図であり、その大まかな原理は D.2 で説明されている。AD9901 はデジタルの IC であるた
め、Reference および VCO の入力はコンパレータ AD96685 によって矩形波に変換されている。また、PLL の電源にはノイズを防ぐために、 KIKUSUI の直流電源 PMM25-1TR からの ±15V を使用している。

Loop Filter
図 D.10

PLL の回路図

186

付録 D 光ファイバーにおける位相ノイズの除去

図 D.11 は PLL のケースの設計図である。ケースには TAKACHI YM-200 を用いている。

図 D.11 PLL のケースの設計図 (TAKACHI YM-200)

187

謝辞
本論文は東京大学 工学部 物理工学科 2009 年度卒業論文として書かれたものです。私達が今回の卒業研究を行うにあたって、井上研究室をはじめとする多くの方々の御指導・御協力をいただきました。最後に、お世話になった方々にお礼の言葉を述べることで、本論文の結びとしたいと思います。
指導教員である井上慎准教授には、このようなやりがいのある研究テーマと恵まれた研究環境を与えて頂き, 大変感謝しております。先生の話す物理は直観的で非常に明瞭なもので、研究者とはかくあるべきかと感銘を受けたことを思い出します。実験室やセミナー等で物理により深く接していくにつれ、物理がますます興味深いものとなっていきました。そんな中、常日頃から物理について考えを巡らせ、幅広い知識と深い考察で答えを導き出していく先生の姿は非常に印象深く残っております。先生の下で過ごしたこの 1 年の経験は、人生における貴重な財産になったと思います。未熟な私達をご指導頂いたことを心より御礼申し上げます。
井上研究室 小林淳助教とは本実験のほとんどの時間を共に過ごし、大変お世話になりました。理論から実験、工作に至るまでの小林助教の幅広い知識や豊富な経験には、毎回驚かされました。私達の未熟さ故の失敗も多々ありましたが、こうして卒業論文を出すことができるのも小林助教の熱心な御指導のおかげです。大変感謝しております。
電気通信大学 岸本哲夫准教授には、ミーティング等で的確な助言を頂きました。私達にも気さくに接して頂き、非常にためになるお話を聞くことができ、大変参考になりました。ご多忙の中、私達の卒業研究まで気にかけて頂いたことをここに深く感謝申し上げます。
また、本研究は特に上田マクロ量子制御プロジェクト 強相関量子制御グループの電気通信大学 向山敬准教授、堀越宗一博士、中島秀太氏の多大な御尽力の上に成り立っています。本研究では、先行研究として 3 氏の開発した DPSS
レーザーを非常に参考にしており、3 氏の御協力なくして本研究は考えられませんでした。ここに深く感謝申し上げます。
電気通信大学 向山敬准教授には、主にグループミーティングを通じてご指導頂きました。的確なアドバイスをして頂き、感謝しております。また、定盤やミラー、reference cavity 等々をお借りしましたことをここで改めて御礼申し上げます。お陰様で、研究を進展させることが出来ました。
堀越宗一博士には、今回 DPSS レーザーを作製する上での様々な情報を提供していただきました。堀越博士からいただいた情報がなければ、本研究は到底成り立ちませんでした。ここに改めて感謝申し上げます。また、グループミー
ティングにおける堀越博士の豊富な知識や冷静に物事を見抜く姿勢は、本研究においても良い刺激となりました。

D2 の中島秀太氏にも、今回 DPSS レーザーを作製する上で非常に有益な情報を提供していただきました。右も左も分からない様な状態でスタートした中、どうにか作り上げることが出来たのは中島氏のご助力のお陰でした。厚く御礼申し上げます。
井上研究室の福原武博士には、配属直後から様々なことを教えて頂きました。鋭く本質を見抜いて議論をされる姿
は、私達の良き目標でありました。福原氏の様な実験にかける並々ならぬ情熱を私達も持てるよう努力したいと思って

188

付録 D 謝辞

おります。この 1 年お世話になりましたことを感謝申し上げます。

D2 の相川清隆氏には電気回路を中心に様々なことを教えていただき、非常に感謝しております。相川氏の幅広い知
識や鋭い洞察力、熱心に研究に取り組む姿勢にはいつも感心させられ、今後の研究生活の上での大きな参考となりました。

M2 の藤掛陽輔氏には井上研究室配属当初から様々な面で大変お世話になりました。藤掛氏のおかげで、井上研究室
では充実した日々を過ごすことができました。また勉強面でも、藤掛氏の物理に対する深い理解と向学心、そして非常にわかりやすい説明からはたくさんのことを学ばせていただきました。

M2 の山陸芳之氏には光トラップについて等、様々なことを教えて頂きました。真摯に実験を行う姿勢は見習うべきものでした。ブルガリアを飲みつつ遅くまで修論を執筆されている山陸氏を見て、自分もやらねばと発奮し、卒論を書ききることが出来ました。

M1 の大麻浩平氏は私達に適切なアドバイスを下さり、大変お世話になりました。いい加減な気持ちが無かったとは言えない工作に対して、正確さを心がけるようになったのは大麻氏の工作の丁寧さを目の当たりにしてからでした。

M1 の加藤宏平氏は、いつも気さくに話してくださり、また工作などでもお世話になりました。加藤氏はいつも夜遅くまで実験をしており、その研究熱心さ・勤勉さには驚かされました。
上田マクロ量子制御プロジェクトの研究総括である東京大学 上田正仁教授にはグループミーティングで貴重なご指導を頂きました。英語でのプレゼンをするにあたっての準備に関する助言は非常に参考になるものでした。
上田マクロ量子制御プロジェクト 不確定性制御グループの東京工業大学 上妻幹旺准教授、衛藤雄二郎博士、野口篤史氏にも同プロジェクトを通じて大変お世話になりました。
上妻幹旺准教授には主にグループミーティングを通じて御指導いただきました。上妻准教授の説明は英語でもとてもわかりやすく、本研究においても有益なアドバイスをいただくことができました。
東京工業大学 上妻研究室の衛藤雄二郎博士は気さくに接して下さり、様々なことを学ばせて頂きました。普通なら話す機会も無い様な人とも物理を通してつながることが出来るのは素晴らしいことだというお言葉には感銘を受けました。
東京工業大学 上妻研究室 M1 の野口篤史氏は、1 学年差とは思えないほど物理に対する深い理解・知識・熱意を持っており、良い刺激を得ることができました。これからの研究でも、野口篤史氏を見習い精進していきたいと思います。
上田マクロ量子制御プロジェクト事務局の技術参事 榎本陽一氏、事務参事 佐藤敏彦氏、事務員 松本直子氏、事務員
国府田愛氏のお陰で私達は円滑に実験を行うことが出来ました。ここに御礼申し上げます。また、榎本氏にはセミナーにご参加頂き、氏の鋭いご質問は非常に参考になるものでした。
最後に、ここに書くことができなかった方々も含め、本研究を支援してくださった多くの方々に改めてお礼申し上げます。本研究が少しでも多くの方々の役に立つことを願っております。

189

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