2022/11/10
第69回海岸工学講演会 第2会場

1

浸水分布のモード分解による確率論的津波浸水評価の効率化
福谷 陽1 ・安田 誠宏2 ・山中亮一３
1 関東学院大学理工学部土木学系
2 関西大学環境都市工学部都市システム工学科

3 徳島大学環境防災研究センター

研究背景

2

◼ 構造物の設計（例えば、レベル1に対応する防潮堤設計）や、原子力・損害保険分野における災害リスク評価等のためには、最大クラスのハザード評価だけではなく、各種不確実性を考慮した確率論的津波ハザード評価(PTHA)を実施することが重要◼ 陸域の津波ハザード（浸水深や流速）の考え得る頻度分布を計算するには、多大な計算負荷がかかる。
【確率論的津波ハザード評価の既往研究例】➢ 多数の津波計算（土木学会(2002), Løvholt et al. (2012) etc.)➢ ロジックツリーアプローチ（Annaka et al. (2006), 土木学会(2011, 2016), 杉野ら(2014)、
Fukutani et al. (2015)、地震調査研究推進本部(2020) etc.）➢ ランダムフェーズモデル(Goda et al. (2014), 安田ら（2016）, Miyashita et al.（2020)）➢ KL展開法（LeVeque et al. (2016), Sepulveda et al. (2017) etc.)

何れも、数百～数千ケース程度の地震断層を想定するため、多大な計算負荷が掛かる※想定断層、潮位、陸域の各種構造物などの状況が変化すれば、再計算する必要が出てくる可能性もある

研究目的
津波浸水深の不確定性に特に大きな影響を及ぼす，波源の滑り分布のランダム性と津波襲来時の防潮堤高さの不確定性を考慮し，確率論的津波浸水評価を効率化する手法を提案することを目的とした．

1. ランダムな津波波源の滑り分布（Goda et al., 2016）の計算数を、浸水分布のモード分解の結果を考慮して，削減する．

2. 削減した津波波源の滑り分布を用いて浸水計算し，防潮堤高さの不確定性を考慮した確率論的浸水評価を実施する．

3

研究目的
津波浸水深の不確定性に特に大きな影響を及ぼす，波源の滑り分布のランダム性と津波襲来時の防潮堤高さの不確定性を考慮し，確率論的津波浸水評価を効率化する手法を提案することを目的とした．

1. ランダムな津波波源の滑り分布（Goda et al., 2016）の計算
数を、浸水分布のモード分解の結果を考慮して，削減する．

2. 削減した津波波源の滑り分布を用いて浸水計算し，防潮堤高さの不確定性を考慮した確率論的浸水評価を実施する．

4

ランダムな津波波源を用いた浸水計算

5◼ 南海トラフ巨大地震断層の滑り分布をランダムに配置した津波波源（Goda et al., 2016）◼ モーメントマグニチュード9.0, 8.8, 8.6, 8.4, 8.2, 8.0の6ケース，各100個の断層を生成して，非線形長波理論により対象地域の浸水深分布を得る．
Mw8.6

Mw8.6

Mw9.0

Mw9.0

非線形長波理論例）南海トラフ巨大地震の多様なすべり分布（Goda et al., 2016）例）対応する評価対象地域の浸水深分布

非線形長波方程式の計算条件と計算領域6◼ 断層パラメータから、Okada(1985)の式を用いて津波の初期水位を求め，下記の条件で地震発生から3時間分の津波数値計算を行った．
２次元非線形長波方程式
支配方程式

Elevation (m)（東北大学TUNAMIN2モデル）

Domain 3 (90m)

Domain 2 (270m)

The Pacific Ocean
数値積分法

Staggered-leap frog法

境界条件

開放条件

座標系

平面直角座標IX系

潮位設定

T.P.
T.P+0.92. +0.9 mm（徳島県津波想定設定潮位）（神奈川県津波想定設定潮位）

メッシュサイズ(ΔxΔy

270 m → 90 m → 30 m → 10 m

BA
Domain 4 (30m)
Domain 5 (10m)

(b)

15 km
Domain 3 (90m)

Elevation (m)断層パラメータからOkada(1985)の式で評価した初期水位

Domain 1 (810m)

Elevation (m)初期条件

150 km(a)

(c)

500 m
Domain 5 (10m)浸水分布の固有モード抽出（特異値分解）◼ 浸水深の空間分布（行方向）と解析ケース（列方向）のデータ行列𝑿を作成し標準化

𝒙𝟏𝟏𝐗
𝒙𝒎𝟏

… 𝒙𝟏𝒏
⋱
… 𝒙𝒎𝒏

m次元（空間メッシュ数）
標準化= 200×250= 50,000

𝐗𝟎

𝐗 − 𝜇𝐺 𝐇
𝜎𝐺𝜇𝐺 ：解析ケース（列方向）の平均値
𝜎𝐺 ：解析ケース（列方向）の標準偏差n次元（解析ケース数）◼ データ行列𝐗 𝟎 を特異値分解 (Singular Value Decomposition)して、固有モード抽出
𝐗 𝟎 𝐔𝚺𝐕 𝐭
左特異ベクトルU（分散共分散行列𝑿ｔ 𝑿の基底）

𝐔|
𝒖𝟏||
⋯ 𝒖𝒏|

7

右特異ベクトルV（内積𝑿𝑿ｔ の基底）

特異値ー𝜆1𝚺⋱𝜆𝑛𝐕𝒗𝟏⋮
ー 𝒗𝒏ーー◼ 分散共分散行列𝐗 𝟎 𝐭 𝐗 𝟎 との関係から，浸水データのメッシュ間の空間相関に関する情報は，左特異ベクトル𝑼と特異値𝜮に集約
7抽出された固有モード（左特異ベクトル𝒖𝑘 ）◼ 同符号のメッシュ間で正の相関，異符号のメッシュ間で負の相関を表現している．

(a) Mode 1 ( )(b) Mode 2 ( )(c) Mode 3 ( )(d) Mode 4 ( )(e) Mode 5 ( )(f) Mode 6 ( )8新たな津波浸水分布のサンプル生成9◼ 𝐗 𝟎 の右特異ベクトル𝐕を別のベクトル𝐖に置き換える操作により、浸水深の空間相関（𝐔𝚺）を保持しつつ、新たな多数の津波浸水分布のサンプル𝐘を生成可能

𝐗𝟎

𝐔𝚺𝐕 𝐭

ベクトル置換𝐘𝟎

𝐔𝚺𝐖 𝐓

標準化を戻す

𝐘𝜇𝐺 𝐇

𝜎𝐺 𝐘𝟎

■ベクトル𝐖を，確率場のシミュレーションの効率化を目的として提案された統計的拘束条件法により生成(Yamazaki and Shinozuka et al., 1990).
■統計的拘束条件法は，余弦関数の周期性と選点直交性を利用して系統的にサンプリングを行い，少ないサンプル数で所与の分散共分散行列を厳密に満足するように工夫された手法

𝐖𝑤𝑖𝑗
4𝐽 𝑓 , 𝜔𝑘2𝑓𝑁𝑓

෍ cos(𝜔𝑘 𝑖𝜓𝑘 )/ 𝐽 (𝑖1, … , 𝑗

1, … , 𝐽)𝑚=1𝜋𝑘
𝑁𝑘𝑚−1 𝐽𝑗

Where 𝑓 = number of cosines to be added, 𝜓𝑘 = random phase angle uniformly distributed
between 0 and 2π, 𝜔𝑘 = the k th circular frequency.

行列𝑾が満たす条件

10𝑿𝟎 と 𝒀𝟎 のメッシュ間の分散共分散行列が等しくなる条件（能島ら, 2018）

𝐖T𝐖
𝑆𝐈

𝑆: 発生させる浸水深分布のサンプル数:元の浸水深分布の個数
𝐈 ∶ × の単位行列
能島暢呂，久世益充，LE QUANG DUC (2018) シナリオ地震動予測地図の特異値分解によるモード分解と地震動分布のシミュレーション, 日本地震工学会論文集，第１８巻，第２号

ランダムな波源数を変化させた場合の浸水深の平均値

11◼ 元のランダム波源の数を50個，20個，10個と変更して同様な解析を行い、津波浸水分布𝐘多数生成
元の波源の結果
Original means (N= 100)N=100Sample means (N= 50)
N=50

Sample means N=20
(N = 20)

Sample means (N= 10)
N=10(c)

(d)

(a’)

(b’)

(c’)

(d’)

Mw8.4
Mw 8.4

Mw9.0
Mw 9.0(b)Tsunami inundation depth (m)(a)

ランダムな波源数を変化させた場合の浸水深の平均値

12◼ 元の浸水深との平均値に差が無いとした場合の帰無仮説によるウェルチのt検定の結果（p値）

N=50(a)N=20(b)N=10(c)P - value

N＝２０の場合、帰無仮説が棄却できない領域が多い（元の浸水深の平均値との乖離が小さい）

各地点の浸水深の比較
N=100

Mw 8.4
Mw8.4

A地点
（沿岸部）

Mw 9.0
Mw9.0

Originals (N = 100)

N=50

Mote-Carlo samples (N = 50)

N=20

Monte-Carlo Samples (N = 20)

N=1013Monte-Carlo Samples (N = 10)

(a)

(b)

(c)

(d)

(a’)

(b’)

(c’)

(d’)

断層数２０個（N=20）から得られた浸水深分布の空間相関を
N=100
N=50
N=20
N=10
評価すれば、元の断層数１００個の結果を十分再現可能と判断
(a)
(b)
(c)
(d)

(a’)
Mw 8.4
Mw8.4

B地点（内陸部）Mote-Carlo samples (N = 50)

Monte-Carlo Samples (N = 20)

Monte-Carlo Samples (N = 10)

Mw 9.0
Mw9.0

Originals (N = 100)

(b’)

(c’)

(d’)

研究目的
津波浸水深の不確定性に特に大きな影響を及ぼす，波源の滑り分布のランダム性と津波襲来時の防潮堤高さの不確定性を考慮し，確率論的津波浸水評価を効率化する手法を提案することを目的とした．

1. ランダムな津波波源の滑り分布（Goda et al., 2016）の計算数を、浸水分布のモード分解の結果を考慮して，削減する．

2. 削減した津波波源の滑り分布を用いて浸水計算し，防潮堤高さの不確定性を考慮した確率論的浸水評価を実施する．

14

防潮堤の設定

15◼ 対象地域の沿岸に10mの防潮堤を想定し，各Mw・20個の波源に対する浸水分布を計算◼ 各ケースで，10m，および，5mの高さの防潮堤，防潮堤なしを想定した浸水分布を計算（合計で20×3=60ケース）．防潮堤は沿岸部の標高を変更することで簡易的に設定(a) No dike(b) 5m heightdikeDike(c) 10m heightdike

防潮堤の設置による浸水深分布の変化。赤色の線が防潮堤の位置を意味する。
(a)防潮堤を設置しない場合、(b)5mの防潮堤を設置する場合、(c)10mの防潮堤を設置する場合．

Tsunami inundation depth (m)Dike固有モードの合成

16◼ ある解析ケース𝑗 の浸水深データ𝒙𝑗 は、以下で表されるため，あるケースのデータベクトル
𝒙𝑗 は左特異ベクトル𝒖𝑘 と係数𝛼𝑗𝑘 の線形和で表すことが可能

𝐗𝟎

𝐔𝚺𝐕 𝐭𝑛𝒙𝑗

෍
𝑘=1𝑇𝒖𝑘 (𝜆𝑘 𝑣𝑘𝑗
൯𝑛෍
𝑘=1𝑛𝜆𝑘 𝑣𝑗𝑘 𝒖𝑘

෍𝑘=1

𝛼𝑗𝑘 𝒖𝑘𝛼𝑗𝑘 ：モード𝑘に対する第𝑗ケースの係数n ：解析ケース数◼ 左特異ベクトル𝒖𝑘 を保持し、係数𝛼𝑗𝑘 を、各パラメータに確率分布を考えて、モンテカルロ計算することで，浸水深のサンプル𝒙𝑗 を合成

各モードに対応する係数𝛼𝑗𝑘 の応答曲面◼ 係数𝛼𝑗𝑘 はガウス過程を用いたベイズ推定の手法によりその分布を推定（ガウス過程回帰）

17(a) Mode 1(b) Mode 2(c) Mod(d)(b) Mode 24(e)ModeMode35(c)(f) Mod

観測値 と予測値 の同時分布
( , )
( , )
,
( , )
( , )
ベイズ理論

与えられたもとでの予測値
観測値(a) Mode 1
従う条件付き分布 | （事後分布）|𝒎(𝒎 , )( , ) ( , ) 1− ( , ),( , ) 1 ( ,Gaussian Kernel（ガウシアンカーネル）(𝒙𝑖 − 𝒙 ) (𝒙𝑖 − 𝒙 )𝒙𝑖 , 𝒙(−)𝜎൯第１モードから第３モードに対する係数𝛼𝑗𝑘 の推定例．
曲面が平均値𝒎 ．
赤点が津波数値計算から観測値 と予測値 の同時分布得られた係数𝛼𝑗𝑘 ．

,( , )( , )( ,( ,))

防潮堤高さの確率密度18◼ 地震動や液状化，津波による防潮堤破壊の不確定性を考慮するため，防潮堤の高さに確率密度を与えて評価◼ 防潮堤の高さ0m~10mまでの確率密度を設定
10mに確率密度の重きを置いた設定（粘り強い堤防）

1.0

Probability density

Probability density

防潮堤の高さを等確率で設定
0.8

0.6
0.4
0.20.01 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dike height (m)1.00.80.60.40.20.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dike height (m)※左図と比較して，右図は「粘り強い堤防」が設置されていることを想定して評価することを意味する．

確率論的津波遡上評価

19

浸水深が1m以上になる確率の平面分布◼ ランダムな津波波源と堤防の破堤確率を考慮し、計算コストを抑えた確率論的津波遡上評価を実施することができた

50年

今後50年確率堤防（等確率）

今後50年確率
粘り強い堤防今後10年確率堤防（等確率）

今後10年確率
粘り強い堤防Inundation probability (%)◼ 想定する南海トラフ巨大地震の発生確率として，発生確率が非定常なBPT分布を適用◼ 1年毎に地震の発生可否を判定し，今後50年、および、10年分の計算を1000セット行うモンテカ
ルロシミュレーションを実施し，確率論的に津波浸水分布を評価

まとめ20◼ 今回の研究対象領域では，津波浸水分布のモード分解をすることで，浸水計算をする際に必要なランダムな津波波源の数を，5分の1まで低減し，確率論的津波浸水評価の計算コストを大幅に減らすことができた．

◼ 断層滑り分布の不確定性に加え，防潮堤破壊の不確定性を確率密度で与えることで，最終的に確率論的津波浸水分布を評価した．
【Preprint】Yo Fukutani, Tomohiro Yasuda, Ryoichi Yamanaka (2022) Efficient probabilistic tsunami
inundation prediction considering random tsunami sources and failure probability of seawalls, Stochastic
Environmental Research and Risk Assessment, https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-1782522/v1.

ご清聴ありがとうございました。