2019/10/23
JCOSSAR2019，日本学術会議

津波波高・浸水深のマクロ空間相関特性

福谷 陽1、中村孝明2 、静間俊郎2
1関東学院大学理工学部土木学系
2株式会社篠塚研究所
1

研究の背景◼ 複数の建築物を対象とした確率論的災害リスク評価（ポートフォリオリスク評価）において，被害の確率分布に影響を与えるという点で，建築物間の被害相関を考慮することが重要である．
◼ 建築物間の地震動の相関については，距離減衰式にて評価される地震動が相対距離に応じた相関を持つとして評価することが多い．

強震動予測（電力中央研究所・地球工学研究所ホームページより、抜粋して一部修正）

工業団地の鳥観図2

研究の目的
一方，確率論的津波リスク評価の場合，同様に，津波波高や津波浸水深の相対距離に応じた相関を考慮することが重要と考えられるが，このような津波波高・浸水深のマクロ的な空間相関特性を評価した研究事例がない．
そこで本研究では，線形・非線形長波方程式を用いた津波数値計算や東北津波の事例解析により，2点間の相対距離に応じた津波波高，および，津波浸水深の空間的な相関係数（ 𝝆𝑹𝒊𝒋 ）を評価することを目的とした．

津波ハザードの相関を考慮した、建物ポートフォリオの津波被害評価に適用することを想定

3

地震被害の相関評価
２つの建築物の耐力ならびに作用地震動の確率変数を𝐶1 、𝐶2 、𝑅1 、𝑅2 とおく。
𝐶1 と𝐶2 は独立だが、 𝑅1 と𝑅2 は一定の相関を持つものとする。
性能関数として以下の関係を得る。
𝐶𝑖
𝐹𝑖 =
𝑅𝑖

ln(𝐹𝑖 ) = ln(𝐶𝑖 ) − ln(𝑅𝑖 ), 𝑖 = 1~2ln(𝐹𝑖 )の共分散を求めると、最終的に、 ln(𝑅𝑖 )の共分散と同一になるため、以下の関係を得る。
𝑐𝑜𝑣(𝑙𝑛𝐹1 , 𝑙𝑛𝐹2 ) = 𝑐𝑜𝑣(𝑙𝑛𝑅1 , 𝑙𝑛𝑅2 )これより、被害の相関係数𝜌𝐹12 を求めると以下になる。
𝜌𝐹12 =𝑐𝑜𝑣(𝑙𝑛𝐹1 ,𝑙𝑛𝐹2 )𝑣𝑎𝑟(𝑙𝑛𝐹1 )∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑙𝑛𝐹2 )=𝑐𝑜𝑣(𝑙𝑛𝑅1 ,𝑙𝑛𝑅2 )𝑣𝑎𝑟(𝑙𝑛𝐹1 )∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑙𝑛𝐹2 )4
中村（2008）：相関を考慮した建物群の地震損失確率関数の評価，日本建築学会構造系論文集，73(623), 49-56. を参照に記載

地震被害の相関評価
ここで、作用地震動R1、R2を完全相関とすれば、
ζ𝑅1 ζ𝑅2
ζ𝐶𝑖 :建物耐力(i)の対数標準偏差𝜌𝐹12 =
ζ𝑅𝑖 :作用地震動(i)の対数標準偏差ζ2𝐶1 + ζ2𝑅1 ∙ ζ2𝐶2 + ζ2𝑅222
作用地震動の対数の相関係数を𝜌𝑅12 とし、複合偏差ζ を使えば、𝜌𝐹12 =

𝜌𝑅12 ∙ ζ𝑅1 ζ𝑅2
ζ2

ζ :複合偏差（= ζ𝐶𝑖 + ζ𝑅𝑖 )𝜌𝑅𝑖𝑗 :i,j地点間の作用地震動の対数の相関係数

𝜌𝐹𝑖𝑗 :i,j建物間の地震被害の対数の相関係数
4■地震動評価の対数標準偏差 ζ𝑅1 , ζ𝑅2→ 距離減衰式の誤差より、0.5程度（安中ら,1997）■複合偏差 ζ→ 被害事例の統計解析より、0.6～0.7（林ら,1997; 中村ら,1999;村尾ら,2000など）を利用すれば、𝜌𝐹𝑖𝑗 = 0.51 ∙ 𝜌𝑅𝑖𝑗

作用地震動の相関係数を評価し、相関を考慮した地震被害の相関係数を計算する

中村（2008）：相関を考慮した建物群の地震損失確率関数の評価，日本建築学会構造系論文集，73(623), 49-56. を参照に記載

地震動の相関評価
被害の相関係数の式（既出）より、
ζ𝑅𝑖 ζ𝑅𝑗𝜌𝐹𝑖𝑗 = 2ζ両辺の対数をとれば、𝑙𝑛(𝜌𝐹𝑖𝑗 ) + 𝑙𝑛(ζ2 ) = 𝑙𝑛(ζ𝑅𝑖 ) + 𝑙𝑛(ζ𝑅𝑗 )左辺は既知であり、連立方程式を解けば、右辺の作用地震動(i)の対数標準偏差、および、建物耐力(i)の対数標準偏差が計算できる。

中村（2008）：相関を考慮した建物群の地震損失確率関数の評価，日本建築学会構造系論文集，73(623), 49-56. を参照に記載

地震動の相関評価◼ 糸井(2001)は、震源特性による地震動空間相関特性を、統計的グリーン関数法を用いた評価によって確かめた。
◼ その中で、2 点間距離と地震動の相関係数の関係を指数関数でモデル化し，相関距離（相関係数が1/e になる距離）を18.0km と求めている。

糸井（2001）：地震動強さのマクロ空間相関を用いた地震動予測に関する数値研究，JCOSSAR2011

地震動の相関評価◼ Wang and Takada (2005)では、作用地震動の相関係数𝜌𝑅𝑖𝑗 をサイト間の相対距離を変数とした指数関数として表現
𝜌𝑅𝑖𝑗 = exp(−ℎ𝑖𝑗 /α）
𝜌𝑅𝑖𝑗 = exp(−ℎ𝑖𝑗 /31.0）

宮城県北部地震𝜌𝑅𝑖𝑗 = exp(−ℎ𝑖𝑗 /21.5）

宮城県沖地震𝜌𝑅𝑖𝑗 = exp(−ℎ𝑖𝑗 /39.7）

新潟県中越地震𝜌𝑅𝑖𝑗 = exp(−ℎ𝑖𝑗 /22.4）

十勝沖地震

Wang and Takada （2005）：Macro-spatial correlation model of seismic ground motions，ICOSSAR2005

8津波波高の空間相関評価（外洋域）◼ 水深1000mの仮想海域に断層長さ250km，幅100kmの巨大仮想断層（すべり量10m, 走行90°, 傾斜角15°, すべり角90°, 深さ1km）を配置し，初期水位を計算し，線形長波方程式を解いて津波波高を評価した．
津波数値計算条件

支配方程式

2次元線形長波方程式
𝜕𝜂 𝜕𝑀 𝜕𝑁++=0
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑀
𝜕𝜂
+ 𝑔𝐷
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝜂
+ 𝑔𝐷
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑦

数値積分法

Staggered-leap frog法

初期条件

断層パラメータからOkada(1985)の式で評価した初期水位

境界条件

開放条件

座標系

平面直角座標メッシュサイズ(ΔxΔy)

500 m

計算時間

3時間

1000 km1000 km250 km
100 km巨大断層津波波高の空間相関評価（外洋域）

Tsunami wave height (m)Correlation coefficient ρ◼ 500mの各格子で最大波高を評価し、最大波高の相関を距離の関数として示した。
10.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.10ρ = exp(-d/512000)
R² = 0.9871

0100

200300Distance (km)400500◼ 断層走行の90°方向に最大津波波高の高い領域が表れており，地震に伴う津波の指向性が見て取れる．
◼ 2点間の距離が離れるにつれて，相関係数が減少する傾向が見られる◼ 100 km程度離れても相関係数は0.8以上と高い値を示した．
◼ 指数関数による推定で，相関係数が1/eになる相関距離は約512kmと大きく，地震動の震源特性による相関距離と比較すると1桁大きい値であった．これは，底面摩擦等により波高が減衰する要因が無いためである．

津波浸水深の空間相関評価（遡上域）◼ 次に，東北地方太平洋沖地震津波での浸水域および浸水深（100m格子）の情報を用いて，内陸における津波浸水深の空間相関を評価する．

Correlation coefficient ρ

仙台市

石巻市

気仙沼市

（国土交通省：復興支援調査アーカイブ, 2012. http://fukkou.csis.u-tokyo.ac.jp/より）

10.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0Sendai◼ 1 kmの距離での相関係数は，0.58（仙台），Kesennuma
0.44（石巻），0.34（気仙沼）となった．
◼ 沖合での評価結果（線形領域）と比較すると，相関距離に応じた相関係数の減少度合いが非常に大きい．
◼ 陸上での津波は，摩擦抵抗の影響を大きく受
2000
3000
4000
5000
けて浸水深が早く減衰することに関係している．
Distance (m)Ishinomaki

01000

津波浸水深の相関係数

津波浸水深の空間相関評価（遡上域）

Correlation coefficient ρ

津波浸水深の相関係数
10.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0SendaiIshinomaki
Kesennuma

01000

2000 3000
Distance (m)40005000◼ リアス部の気仙沼での結果は，平野部の仙台・石巻での結果と比較すると，相関係数の減少が早い．これは，リアス部は平野部と比較すると地形が複雑であり，2点間の浸水深の相関が急速に減少するためである．
◼ 津波浸水深の空間相関に対しては，地震動の空間相関評価で用いられる指数関数による推定では良い決定係数が得られなかった．

津波浸水深の空間相関評価（遡上域）◼ 東北地方太平洋沖地震津波の浸水域および浸水深は100mメッシュであるため情報が粗い．
◼ より詳細に津波浸水深の空間相関を評価するため，逗子市を対象として，相模トラフ巨大地震（Mw 8.6）の断層モデルを用いて，最小10 mの格子を用いて非線形長波方程式により津波数値計算を実施した．
逗子市

10m90m相模トラフ巨大地震（Mw 8.6）のすべり量(m)30m

数値計算の計算領域（30m/10m）

270m
数値計算の計算領域（270m/90m）

津波浸水深の空間相関評価（遡上域）◼ 東北地方太平洋沖地震津波の浸水域および浸水深は100mメッシュであるため情報が粗い．
◼ より詳細に津波浸水深の空間相関を評価するため，逗子市を対象として，相模トラフ巨大地震（Mw 8.6）の断層モデルを用いて，最小10 mの格子を用いて非線形長波方程式により津波数値計算を実施した．
津波数値計算条件
２次元非線形長波方程式
𝜕𝜂 𝜕𝑀 𝜕𝑁++=0𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦支配方程式

𝜕𝑀 𝜕 𝑀2
𝜕 𝑀𝑁
𝜕𝜂 𝑔𝑛2+++ 𝑔𝐷+
𝑀 𝑀2 + 𝑁 2 = 0
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝐷
𝜕𝑦 𝐷
𝜕𝑥 𝐷 7ൗ3
𝜕𝑁 𝜕 𝑀𝑁
𝜕 𝑁2
𝜕𝜂 𝑔𝑛2+++ 𝑔𝐷+𝑁 𝑀2 + 𝑁 2 = 0
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝐷
𝜕𝑦 𝐷
𝜕𝑦 𝐷 7ൗ3

数値積分法

Staggered-leap frog法

初期条件

断層パラメータからOkada(1985)の式で評価した初期水位

境界条件

開放条件

座標系

平面直角座標IX系

メッシュサイズ(ΔxΔy)

T.P. +0.9 m（神奈川県津波想定設定潮位）

計算時間

270 m → 90 m → 30 m → 10 m

津波浸水深の空間相関評価（遡上域）

Inundation
height (m)Correlation coefficient ρ◼ 10mの各格子で最大浸水深を評価し、その相関を距離の関数として示した。
（津波数値計算の結果は、逗子市のハザードマップとほぼ一致）◼ 1kmの距離での相関係数は0.37程度である．逗子市は，相模湾の東側に位置し陸上地形が複雑なため，気仙沼地域と同程度の相関係数の値を示したと考えられる．
◼ 同様に、指数関数による推定では良い決定係数が得られなかったため、今後、
津波浸水深の相関を表現する適切な関数を検討
10.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0ρ = exp(-x/137)
R² = 0.7369

0

逗子市の津波数値計算結果

500

1000 1500
Distance (m)2000

津波浸水深の相関係数

2500

まとめ

◼ 2点間の相対距離に応じた津波波高，および，津波浸水深の空間的な相関係数を評価◼ 2点間の距離が離れるにつれて，相関係数が減少する傾向◼ 津波波高（外洋）の相関距離は約512 kmと大きく，地震動の震源特性による相関距離と比較すると1桁大きい値◼ 津波浸水深（陸上）の1 kmの距離での相関係数は0.37程度．
逗子市は，相模湾の東側に位置し陸上地形が複雑なため，気仙沼地域と同程度の相関係数の値を示したと考えられる．
◼ 今後，津波浸水深のマクロ空間相関について，想定断層，海底地形，陸上地形等の違いによる変動の可能性，および，それらを踏まえた津波浸水深の空間相関の妥当な評価式，さらには，相関を考慮した津波リスク評価等について検討していく

ご清聴ありがとうございました。

16