1 次元波動方程式

2 階線形偏微分方程式の例として 1 次元波動方程式を扱います。
2 階線形偏微分方程式の一般的な話はしていません。

力学の「波動方程式」で導出しているように、振動している 1 次元の弦の時間 t、点 x での変位 u(x, t) は2∂2u2∂ u−v=0∂t2∂x2(t > 0)という偏微分方程式に従い、これは 1 次元波動方程式と呼ばれます。2 変数ですが、x を空間座標、t を時間とするので 1 次元と呼ばれます (時間なので t > 0 にしている)。v は弦の張力 T と弦の密度 ρ によって

√T>0ρv=となっています。このような 1 次元波動方程式について見ていきます。

2 階微分方程式なので、t = 0 での u と ∂u/∂t の条件が必要になります。これらは初期条件で、偏微分方程式なので値でなく関数によってu(x, 0) = f (x) ,∂u|x=0 = g(x)∂tのように与えます。そして、例えば弦の運動とした場合、弦の両端がどうなっているかに対応する条件も必要になります。弦の長さは L とし、弦の両端 (x = 0, x = L) が壁に固定されているなら、両端で弦の変位は 0 なのでu(0, t) = u(L, t) = 0という条件になります。このような位置に対する u(x, t) の条件は境界条件 (boundary condition) と呼ばれます。
初期条件と境界条件の下で波動方程式を解くことは、初期境界値問題と言います。また、弦の長さが無限大なら両端の影響は無視できると考えて、初期条件だけを使ったりします。
境界条件を無視するために −∞ < x < ∞ での 1 次元波動方程式を扱います。これは弦の長さを無限大に取った場合に対応し、境界条件は出てきません。初期条件は

u(x, 0) = f (x) ,∂u|t=0 = g(x)∂tと与えます。
まずは、1 階のときと同じように変数を変換します。変数は

α = a1 x + a2 t , β = b1 x + b2 tとし、u(x, t) = w(α, β) とします。ai , bi (i = 1, 2) は定数です。この変換で偏微分は∂α ∂u ∂β ∂u∂w∂w∂u=+= a1+ b1∂x∂x ∂α ∂x ∂β∂α∂β1(1)

2 回行えば

∂2u
∂ ∂u
∂ ∂u∂
∂ ∂u∂
∂ ∂u
= a1+ b1
= a1 (a1+ b1 )+ b1 (a1+ b1 )2∂x∂x ∂α∂x ∂β∂α∂β ∂α∂α∂β ∂β= a21∂2w∂2w∂2w+ 2a1 b1+ b21 22∂α∂β∂α∂β最後に u(x, y) を w(α, β) に置き換えてます。同様に∂u∂w∂w= a2+ b2∂t∂α∂β22∂2u
∂2w
2∂ w
2∂ w
=a+2ab+b2222∂t2
∂α2
∂β∂α
∂β 2

これらから波動方程式は

0 = a22

∂2w
∂2w
∂2w
∂2w
∂2w
∂2w
+ 2a2 b2+ b22 2 − v 2 (a21 2 + 2a1 b1+ b21 2 )
2
∂α
∂β∂α
∂β
∂α
∂β∂α
∂β

= (a22 − v 2 a21 )=A2∂2w∂2w
222 2 ∂ w
+2(ab−vab)+(b−vb)
221121∂α2∂β∂α
∂β 2

∂2w
∂2w
∂2w+ 2B+C 22∂α∂β∂α∂βここでの a1 , a2 , b1 , b2 はヤコビアンが∂(α, β)=∂(x, t)

∂α∂x
∂β∂x

∂α∂t
∂β∂t

=

∂α ∂β
∂α ∂β
−
= a1 b2 − a2 b1 ̸= 0∂x ∂t∂t ∂x(2)となっていれば任意に選べます。なので、式が簡単になるように選びます。
そのために係数 A, B, C の関係を出します。微分演算子が 2 次方程式の形をしているので、判別式 B 2 − AC を計算してみると

B 2 − AC = (a2 b2 − v 2 a1 b1 )2 − (a22 − v 2 a21 )(b22 − v 2 b12 )= a22 b22 + v 4 a21 b21 − 2v 2 a1 a2 b1 b2 − (a22 b22 + v 4 a21 b21 − v 2 a21 b22 − v 2 a22 b21 )= − 2v 2 a1 a2 b1 b2 + v 2 a21 b22 + v 2 a22 b21= v 2 (a1 b2 − a2 b1 )2
これから B 2 − AC ≥ 0 が分かり、さらにヤコビアンから B 2 − AC ̸= 0 が要求されているので、B 2 − AC > 0 であればいいです。よって、A, B, C の内どれか 1 つは 0 になるように選べます。

B 2 − AC > 0 から、A, C が消えて、B が消えないように ai , bi を選びます。なので2A = a22 − v 2 a21 = 0 , C = b22 − v 2 b21 = 0 , B = a2 b2 − v 2 a1 b1 ̸= 0となるようにします。A, C を変形させて

a22b222−v=0,− v2 = 0a21b21
A, C から a1 , b1 が 0 だと a2 , b2 も 0 になり、B = 0 になってしまうので、a1 , b1 ̸= 0 です。これらは単純に
a2b2= ±v ,= ±v
a1b1
ここで、a1 , b1 = 1 と選び、a2 = v, b2 = −v とすれば

A = C = 0 , B = a2 b2 − v 2 a1 b1 = −2v 2 ̸= 0と出来ます。というわけで、波動方程式は変換

α = x + vt , β = x − vtによって∂2w=0∂β∂αとなります。これに対して、w1 , w2 を解とし、w1 + w2 を入れれば線形性から∂2∂2∂2(w1 + w2 ) =w1 +w2 = 0
∂β∂α
∂β∂α
∂β∂αとなるので、w1 + w2 も解です。そして、

0=∂2∂2∂ ∂w1
∂ ∂w2
w1 +w2 =+∂β∂α
∂β∂α
∂β ∂α
∂α ∂β

なので

∂w1
∂w2=0,=0∂α∂β
1 階偏微分方程式なので、w1 , w2 の一般解は任意関数 G(α), F (β) によって

w1 = G(α) , w2 = F (β)

3となります。
よって、w(α, β) の一般解はw(α, β) = G(α) + F (β)となり (2 階偏微分方程式なので任意関数は 2 個)、x, t に戻せばu(x, t) = F (x − vt) + G(x + vt)となり、これが 1 次元波動方程式の一般解となります。
任意関数 F, G を初期条件 (1) から決定します。t = 0 でu(x, 0) = F (x) + G(x)なので、初期条件から

f (x) = F (x) + G(x)t で偏微分して t = 0 にすれば、初期条件から∂u(x, t)∂F (ξ− )∂G(ξ+ )
= −v+vt=0t=0∂t∂ξ−∂ξ+ t=0
1g(x) = − F ′ (x) + G′ (x)v

(F ′ (ξ− ) =(ξ± = x ± vt)∂F (ξ− )∂G(ξ+ ) ), G′ (ξ+ ) =∂ξ−∂ξ+F ′ (x) − G′ (x) が g(x)/v になればいいので、x 積分から
1F (x) = C −2v∫ x0

1ds g(s) , G(x) = C +2v∫ xds g(s)0と出来ます。C は定数です。初期条件を合わせれば

1
1F (x) = f (x) −22v

∫ x011ds g(s) − C , G(x) = f (x) +22v

∫ xds g(s) + C0

変数をつけかえて11F (x − vt) = f (x − vt) −22v

∫ x−vt011ds g(s) − C , G(x + vt) = f (x + vt) +22v

よって、初期条件によって u(x, t) はu(x, t) =f (x − vt) + f (x + vt)
1+22v4∫ x+vtds g(s)x−vt∫ x+vtds g(s) + C0図 1: 左は依存領域、右は影響領域と求まります。これは今の初期条件 (1) におけるダランベール (d’Alembert) の公式と呼ばれます。証明は省きま
すが、1 次元波動方程式と初期条件 (1) による初期値問題に対する一意的な解になっています (初期条件を与えれば解は決まる)。
第一項は x − vt, x + vt での初期条件 f 、第二項は x − vt から x + vt での初期条件 g に依存しています。このため、u(x, t) は区間 [x − vt, x + vt] での初期条件に依存していることになり、この区間を点 (x, t) の依存領域 (domainof dependence) と呼びます。
解の性質を見ていきます。そのために波動方程式の特性曲線を与えます。「1 階線形偏微分方程式」での移送方
程式で触れたように、波動方程式は∂u∂u+v=0∂t∂x(3a)∂u∂u−v=0∂t∂x(3b)と分解でき、これらの 1 階偏微分方程式の特性曲線は x ± vt = C です (C は定数)。F, G は (3a),(3b) での解で、x ± vt は波動方程式の特性曲線になります。なので f の変数と積分範囲は特性曲線になっています。特性曲線の定義については最後に触れます。
特性曲線を決めるために、x = x0 , t = t0 の地点 (x0 , t0 ) を取りu(x0 , t0 ) = F (x0 − vt0 ) + G(x0 + vt0 )とします。このときの特性曲線の式は x ± vt = x0 ± vt0 で与えられるので、特性曲線は xt 平面で11±t = − x + (x0 ± vt0 )vvとなる直線です。よって、x − vt は (x0 − vt0 , 0) と (x0 , t0 ) を結ぶ直線、x + vt は (x0 + vt0 , 0) と (x0 , t0 ) を結ぶ直線となり、特性曲線と x 軸は(x0 , t0 ) , (x0 − vt0 , 0) , (x0 + vt0 , 0)による三角形を作ります。三角形の x 軸部分は依存領域です (図 1 の左の太線)。
依存領域を逆向きに見ると、初期条件が解に影響する領域が分かります。まず、点 (x0 , t0 ) の依存領域を作り、その中の (x0 , 0) を見ます。次に別の点 (x0 + a, t0 ) (0 < a < vt0 ) での依存領域を作ると、これはまだ (x0 , 0) を含んでいます (図 2)。このように (x0 , t0 ) から右の点での依存領域を作っていくと、(x0 + vt0 , t0 ) を過ぎた点からの依存領域は (x0 , 0) を含まなくなります。つまり、(x0 , 0) を通る特性曲線 x − vt = x0 を超えた点での解には (x0 , 0)での初期条件 (初期値) が影響しなくなります。(x0 − a, t0 ) (0 < |a| < vt0 ) と動かした場合も同様で、(x0 , 0) を通5

図2る特性曲線 x + vt = x0 を超えた点での依存領域は (x0 , 0) を含まないので、(x0 , 0) での初期条件は影響しなくなります。
このように、ある点 (x0 , 0) を通る特性曲線による V 字の内側での点 (x, t) の解は、(x0 , 0) での初期条件の影響を受け、外側での解は影響を受けません。V 字の内側のことを影響領域 (domain of influence) と言います（図 1の右）。
これは別の見方もできます。特性曲線の傾きは 1/v となっているので、影響領域（V 字の内側）に入るためにはv より小さい必要があり、v より大きければ影響領域の外になります。これは、v を速度とすれば、初期条件 (初期値) の情報は速度 v を超えて伝達しないということです。例えば、点 (x0 , 0) から遠く離れた点 (x, t) (影響領域の外の点。特性曲線の傾きを超えるほど t に対して x が大きい点) の解に (x0 , 0) の初期値が影響しないのは、時間 t の間に (x, t) に着かない速度 v でしか伝達しないからと言えます (例えば弦を弾いた影響が瞬時に遠方に伝わらない)。
「1 階線形偏微分方程式」で触れたように F (x − vt) は特性曲線上で定数です。特性曲線を x − vt = x0 − vt0 とすれば定数は F (x0 − vt0 ) で、x は x = vt + x0 − vt0 に従って動いています。つまり、特性曲線において F (x − vt)は同じ値を持って速度 v で x の正の方向に動きます (t > 0)。G(x + vt) でも同様で、特性曲線において同じ値G(x0 + vt0 ) を持って速度 v で x の負の方向に動きます。簡単に言えば、F (x − vt) は前方に進み、G(x + vt) は後方に進みます。この性質のために、特性曲線に沿って速度 v で現象 (例えば弦では振動) が伝達すると言われます。
影響領域の話から、v は初期値が伝達する最大速度です。
ただし、u = F + G なので実際の振る舞いは F と G の和になります。例えば、点 (x0 , t0 ) は、(x0 − vt0 , 0) からの特性曲線 x − vt = x0 − vt0 と、(x0 + vt0 , 0) からの特性曲線 x + vt = x0 + vt0 が交わる点です。なので、点(x0 , t0 ) での u(x0 , t0 ) は特性曲線上の前方に進む解と後方に進む解の和 F (x0 − vt0 ) + G(x0 + vt0 ) となります (重ね合わせ)。
最後に、2 階線形偏微分方程式での特性曲線の定義を与えておきます。一般的にせずに 1 次元波動方程式で行います。後のために波動方程式を

a11∂2u∂2u+ a22 2 = 02∂x∂t(a11 = −v 2 , a22 = 1)と書きます。変数の変換に戻って、(x, t) を (α1 (x, t), α2 (x, t)) と変換することにします。偏微分は∂u∂α1 ∂u∂α2 ∂u=+∂x∂x ∂α1∂x ∂α22 回行うと
∂ ∂α1 ∂u∂α2 ∂u∂α1 ∂ ∂u∂α2 ∂ ∂u∂ 2 α1 ∂u∂ 2 α2 ∂u∂2u=(+)=+++22∂x∂x ∂x ∂α1∂x ∂α2∂x ∂x ∂α1∂x ∂x ∂α2∂x ∂α1∂x2 ∂α2
第一項は6∂α1 ∂ ∂u∂α1 ∂α1 ∂∂α2 ∂ ∂u
∂α1 2 ∂ 2 u ∂α1 ∂α2 ∂ 2 u+=(+)=()∂x ∂x ∂α1∂x ∂x ∂α1∂x ∂α2 ∂α1∂x ∂α12∂x ∂x ∂α2 ∂α1第二項も同様で∂α2 ∂ ∂u∂α2 2 ∂ 2 u ∂α2 ∂α1 ∂ 2 u=()+∂x ∂x ∂α2∂x ∂α22∂x ∂x ∂α1 ∂α2よって∂2u∂α1 2 ∂ 2 u ∂α1 ∂α2 ∂ 2 u∂α2 2 ∂ 2 u ∂α2 ∂α1 ∂ 2 u++=()+()∂x2∂x ∂α12∂x ∂x ∂α2 ∂α1∂x ∂α22∂x ∂x ∂α1 ∂α2+=∂ 2 α1 ∂u∂ 2 α2 ∂u+2∂x ∂α1∂x2 ∂α22∑∂αi ∂αj2∑∂2w∂ 2 αi ∂w+∂x ∂x ∂αi ∂αj∂x2 ∂αii,j=1i=1

最後に u(x, t) を w(α1 , α2 ) に変えています。t 微分でも同じなので波動方程式は2∑∂αi ∂αj222∑∑∑∂2w∂ 2 αi ∂w∂αi ∂αj ∂ 2 w∂ 2 αi ∂w+)
+a(+)=022∂x ∂x ∂αi ∂αj∂x2 ∂αi∂t ∂t ∂αi ∂αj∂t2 ∂αii,j=1i=1i,j=1i=1

a11 (x, t を x1 , x2 (x1 = x, x2 = t) と書くことにして

2∑
∂αi
i,j=1

∂x1=a11222∑∑∂αj ∂ 2 w
∂αi ∂αj ∂ 2 w∂ 2 αi ∂w ∑∂ 2 αi ∂w+a22+a11+a222∂x1 ∂αi ∂αj i,j=1∂x2 ∂x2 ∂αi ∂αj∂x1 ∂αi i=1∂x22 ∂αii=1222 ∑2∑∑∑∂αi ∂αj ∂ 2 w∂ 2 αi ∂w(akk)+akk∂xk ∂xk ∂αi ∂αj∂x2k ∂αii,j=1i=1k=1k=1とまとめます。
変数変換 αi は x1 , x2 の 1 次までを含む線形変換として、第二項は消します。上で見たように残る第一項では∂2w∂α1 ∂α2の項が残るようにします。そのためには2∑k=1∑∂α1 ∂α1∂α2 ∂α2=0,=0akk∂xk ∂xk∂xk ∂xk2akk

k=1となればいいです。ここで、α1 , α2 がある曲線を表す式になっているとすれば、2 次元の曲線 C(x1 , x2 ) = 0 に対する法線ベクトル7nk = (∂C ∂C,)
∂x1 ∂x2と同じ形を含んでいることが分かります。なので、α1 , α2 が何かの曲線を表しているとし、その法線ベクトル (曲線に直交するベクトル) を

ηk =

∂α1
∂α2, ξk =∂xk∂xkとすれば、
2∑akk ηk ηk = 0 ,k=12∑akk ξk ξk = 0(4)k=1

展開して書けば− v2∂α1 ∂α1∂α1 ∂α1+=0∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2− v2∂α2 ∂α2∂α2 ∂α2+=0∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2

このとき α1 = x1 + vx2 , α2 = x1 − vx2 はこれらを満たし、上で与えた特性曲線となります。この (4) が 2 変数の 2 階線形偏微分方程式での特性曲線の定義です。このように、特性曲線は、偏微分方程式の係数 aij と曲線の法線ベクトルの関係式によって与えられます。
今は ∂ 2 x/∂x1 ∂x2 の項がいないために akk となっていますが、そういった項がいるなら a12 のような係数がいるので、特性曲線の定義は
2∑

aij ηi ηj = 0 ,i,j=12∑

aij ξi ξj = 0i,j=1となります。細かく言うと、ある曲線が点 P でこの関係を満たすときその曲線は点 P で特性的 (characteristic) と言い、曲線上の各点で特性的であるなら特性曲線と呼ばれます。0 でないときは非特性的 (non-characteristic) と呼ばれます。この定義は n 個の変数の場合 (i = 1, . . . , n) にそのまま一般化されます。2 変数では曲線でしたが、3変数では曲面になり特性曲面と呼ばれます。

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