特集／数の不思議—科学を語るためのキーワード/Pisot 数

Pisot 数秋 山茂 樹

1. 読者への挑戦状: べき乗の小数部分の分布

500400

分かりやすい未解決問題は数論ファンを魅了し300てやまない。双子素数、3n + 1 問題、奇数の完全200

数はあるか、オイラー定数は無理数か . . . 。無名100のものも多くある。その一つを紹介しよう。
231 より大きい実数 α を考え、α, α , α , . . . とい

0.20.40.60.81

図 1 h(3/2) i の分布
nう α のべき乗でできる数列の小数部分 hα i がどnのように分布するか考えてみる。例として α = 1.5が M を大きくすると b − a に収束することと定とすると義する。上に述べた 1.5n は一様分布するのだろ

1.51 = 1.5
1.52 = 2.25うか。知る人ぞ知る未解決問題の一つである。ほとんど全ての α > 1 について αn は一様分布することが Koksma により証明されている7) 。しか1.53 = 3.375

し具体的な α で αn が一様分布するものは一つも1.54 = 5.0625

知られていない。なんとも不愉快だが数論ではよ

1.55 = 7.59375

くある状況だ。読者の中から挑戦者が現れるのを待っているのかもしれない。

だから0.5, 0.25, 0.375, 0.0625, 0.59375, . . .となる。最初の 10000 項を計算し [0, 1] 区間を 20等分したときどこに入るかの度数分布を書いてみると図 1 のようになり、かなり均等に散らばっているように見える。
実数列 an が一様分布するとは、小数部分 han iが [0, 1] に均等に散らばること、つまり任意の部
分区間 [a, b] についてa ≤ han i ≤ b となる M 以下の自然数 n の個数M
数理科学

NO. 542, AUGUST 2008

2. 奇妙な数の登場: Pisot 数の定義と例
逆に αn が一様分布しない具体例はあるだろうか。実は、本稿の主人公の Pisot 数とよばれる一連の奇妙な数が存在する。
例として黄金比 α = (1 +√5)/2 = 1.61803 で同じ計算をしてみよう。kxk を x と一番近い整数との距離とすると

kα1 k = 2 − 1.61803 = 0.38197
1

kα2 k = 3 − 2.61803 = 0.38197

1.57368 x8 − x7 − x6 + x2 − 1

kα3 k = 4.23607 − 4 = 0.23607となる。最小と二番目の Pisot 数は Siegel によっkα4 k = 7 − 6.85410 = 0.14590て決定された。最小の θ = 1.32472 は x3 − x − 1kα5 k = 11.09017 − 11 = 0.09017の根だが、他の二根は複素共役で −0.66236 ±のように 0 に近づいていることがわかる。この理由は簡単だ。β = (1 −√5)/2 とおけば α, βは x2 − x − 1 = 0 の二つの根となる。根と係数の関係で α + β = 1, αβ = −1 で αn + β n はn = 1, 2, . . . で常に整数となる。なぜなら基本対0.56228i となり絶対値は 1 より小さい。試しに100 乗は
θ100 = 1630580875001.99999953705 · · ·で確かに整数に近い。

称式 p = α + β と q = αβ で表すと p, q の整数係数の多項式でかけるからだ。ところが |β| < 1n3. 反発力をもつ数: Pisot 数と準結晶nなので β は 0 に近づき結局 α も整数に近づかなければならない。

Pisot 数は少し変わった代数的な対象だが、驚くほど多様な数理科学の諸分野に現れる。その一このアイデアを一般化すると次のような数が考えられる。c0 , c1 , . . . , cn−1 を整数とし α > 1 はxn + cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · + c0 の根、さらに他の根は全て絶対値が 1 より小とする。このよ∗1）

うな性質を満たす方程式の根 α を Pisot 数という。α が Pisot 数ならば黄金比と同じ理由でkαn k → 0 となってしまう。特別な場合として 2以上の整数も Pisot 数である。逆に kαn k → 0 が成り立つのは α > 1 が Pisot 数になる場合に限ると予想されている。

Salem14) は Pisot 数の全体が実軸上で閉集合となるという驚くべき結果を示している。黄金比は Pisot 数の最小の集積点で、これより真に小なPisot 数はリストアップする事ができる2) 。最小の10 個はつの理由は Pisot 数がある種の反発力 (?) をもっていることにある。例として係数が −1, 0, 1 だけからなる黄金比の多項式で表せる数の全体を考えてみよう。α = (1 +√5)/2 として¯¯ an = −1, 0, 1 ¯
S=an αn ¯¯ ` = 0, 1, 2, . . .n=0 X̀とおけば S は実数軸（一次元ユークリッド空間）の中で二つの重要な性質を満たしている。

1. S の隣合う二点間の距離は一定値 R > 0 以下。
2. S の隣合う二点間の距離は一定値 r > 0 以上。
最初の性質を S が実軸で相対稠密であるといい、後の性質を一様離散という。相対稠密かつ一様離散な集合を Delone 集合 という。これらの1.32472 x3 − x − 1
1.38028 x4 − x3 − 1
1.44327 x5 − x4 − x3 + x2 − 1
1.46557 x3 − x2 − 1
1.50159 x6 − x5 − x4 + x2 − 1
1.53416 x5 − x3 − x2 − x − 1
1.54522 x7 − x6 − x5 + x2 − 1
1.56175 x6 − 2x5 + x4 − x2 + x − 1
1.57015 x5 − x4 − x2 − 1*1） Pisot-Vijayaraghavan 数（PV 数) とも呼ばれる。

2

図 2 S のなす Delone 集合

概念は距離空間であれば同じように定義されるが、以下にあつかうのはユークリッド空間の Delone集合である。整数はもちろん一次元ユークリッド空間の Delone 集合であり R = r = 1 ととれる。

S が実軸で相対稠密なのは簡単に分かる。S が一次元ユークリッド空間で一様離散なことを示そう。

S の二点間距離は原子や分子はその物理的制約から一定の距離以A=X̀下に近づくことはできない。Pisot 数の多項式で表される数はこのような状況を数理モデル化する(an − bn )αnのにも適している。

n=0だが、これに対して

B=結晶構造は次元と同数の一次独立な周期（並進X̀対称性）と回転対称性をもち、ユークリッド空間の(an − bn )βn等長変換群のうちコンパクトな基本領域をもつ離n=0散部分群により記述される。このような群は次元を考える。|an − bn | ≤ 2 より等比級数で上から評が定まれば有限種類であり∗2）、二次元では 17 個、価すれば |B| ≤ 2/(1 − |β|) となる。前節同様に三次元では 230 個に分類され結晶学の常識となっ積 AB は α, β の基本対称式 p = α + β, q = αβている。ところが 1984 年に Shechtman 等16) は、の整数係数の多項式になるので、AB は整数になアルミニウムとマンガンの合金を液体状態から急る。従って A 6= 0 ならば |AB| ≥ 1 であり冷した固体の X 線回折像が五角対称の離散的な輝|A| ≥ 1/|B| ≥1 − |β|= 0.19098 > 02

点を示すことを見つけた。下図は最新の物性研究の成果∗3）である。三次元では 2, 3, 4, 6 回で一回転なので二点間距離は一定値より以上。従って一様離散となる。この証明から α が Pisot 数のとき

 X̀


n=0

¯¯ |an | ≤ K, an は整数¯an αn ¯¯ ` = 0, 1, 2, . . .
はいつでも一様離散である。つまり α が Pisot 数ならばP`

n=0 an αnという形の元は、あまり近づくことができない。さらに図 2 をよく観察すると
図 3 のように S の二点間距離は３種類しかない！
（この性質については後述する。）(a) 電子回折像(b) 外形する回転対称性（つまり, 180◦ , 120◦ , 90◦ , 60◦ の回転）以外は並進対称性と両立しない。

bcb a b a bcb a b a a b a bcb a b a bcb

は図 4 のような格子の構造を持っている。さらに

図 3 S は３区間によるタイル張り

点 O に関する五角対称性（72◦ の回転）をもつと歴史的には Pisot 数は調和解析における例外集合として様々な問題に登場してきた。定められた集合上で二つの Fourier 級数の値が一致すればFourier 係数が完全に一致するかどうかを調べる「一意性集合」の問題2) や、|λ| < 1 となる λ を固定しランダムに符号を選んだ時のP∞

n=1 ±λnの分布の問題11) などがその代表である。その根源的な理由は Pisot 数の多項式の形の二点は近づけないので、それで生成される点集合は実軸にランダムに分布できないことにある。
数理科学

NO. 542, AUGUST 2008

簡単に説明してみよう。並進対称性により結晶仮定しよう。点 O にもっとも近い格子点 A を考−→えると格子はベクトル OA の平行移動で不変とな−−→る。従ってこれを 144◦ 回転したベクトル OB で−→ −−→ −−→も不変であり、従って OA + OB = OC でも不変となる。ところが C は A より O に近くなってしまうので A の取り方に矛盾する。
この説明は三次元でも通用し、このような構造*2） Hilbert の第 18 問題。Bieberbach により 1910 年に解かれた。
*3） この驚くべき鮮明な画像は東北大の蔡安邦 (A.P.Tsai) 教授による。本稿での掲載を快諾いただき感謝します。

3

もその右側は非周期的となる。なぜなら S の元のB形から、最小の周期 M > 0 をとれば αM も周CO期となる。よって (α − 1)M も周期となり最小性Aに矛盾してしまう。

Meyer 集合は一般の Delone 集合よりも準結晶を考える枠組みとしてふさわしい。Lagarias8) は

図 4 五角対称の結晶は不可能

X − X が一様離散な Delone 集合と Meyer 集合は三次元結晶ではありえない∗4）。一方で回折像が離散的な輝点を持つのは、その物質が大域的には同一構造のくりかえしを持ち、そのため反射波がは同じ概念であることを示した。準結晶のモデルとして著名な切断射影集合は Meyer 集合の特別な場合である15)8) 。

共鳴していることを示している。これは新しい物質の内部状態の発見であり 準結晶 と名付けられた。
準結晶の数理モデルとして分子の位置を表す点集合を考れば Delone 集合となる。しかし Delone集合であるだけでは、同一構造のくりかえしをもつ事がいえない。どこで切っても金太郎飴というかどこで地図を描いても似たようなものを考えた
い。準結晶発見よりも 10 年以上遡るが Meyer10)は有限集合 F が存在してX −X ⊂X +F

4. 自然を記述する言語：自己相似性と Pisot 数
結晶学は対称性により構造を分類したので、準結晶も対称性が本質的と思われるかもしれない。
だが実際は自己相似性を鍵として構造に切り込む事で興味深い数理モデルが得られる。
世の中を説明するのに人間は「簡単なモデルで複雑な現象を説明する」ことを好む。複雑な現象が複雑な理由で起きているというのでは何も分かっ(1)の成り立つ Delone 集合 X を考えた。これをMeyer 集合という。研究の一つの動機は、調和解析の理論を準結晶のような非周期的な集合で展開たような気がしないからだ。心の問題や不条理の世界は文学の題材になっても自然科学では扱われない。自己相似性はそのような数理モデルの典型だ。たとえば次の図は自分自身の５つの縮小コピーすることにあったものと思われる。Meyer 集合は(1) により F が空集合ならば X が群構造を持つので格子となる。F が一点からなる場合も X は格子を平行移動したものになる。

Meyer 集合ならば (1) により X − X も一様離散となる。半径を決めて任意の点の近くの地図をで出来ている∗5）。そのことだけ知っていれば簡単作ると有限個しかない。特に一次元 Meyer 集合に同じ絵を描ける。にもかかわらず見た感じは複はいつでも図 3 のような有限種類のタイルによる雑で、自然の樹木の絵のような感じがしないでもタイル張りをなす。

ない。人間が感じる「自然の美」の要素の一つは黄金比から作った S は Meyer 集合の例で F =自己相似性かもしれない。

{−3, 0, 3} とすると (1) を満たす。S − S が一様ユークリッド空間の Meyer 集合がこのような自離散になるのは S と同様の Pisot 数の ‘反発力’ の己相似性を持つならば、準結晶の分かりやすいモ証明でもわかる。S は左右対称で、どこで切ってデルとして最適だろう。

*4） 四次元以上では回転不変面が中心以外には格子点を含まな*5） 畑の樹木集合と呼ばれるものの一種で反復写像系のアトラい場合がありこの説明は通用しない。実際に五角対称性を持つ空間群が存在する。

クタの例。植物等の形態を記述する仕組みは文脈自由言語等を用いる形に一般化され L-system12) とよばれている。

4

そのような集合はどのような手順で作り出せる

図 3 の集合 S も自己相似タイル張りとなる。

だろうか。これは空間の準周期的なタイル張りの原点対称で区間の長さは a = 1/α, b = 1/α2 ,問題と考えることができる。有限種類のタイルのc = 1/α3 。原点の右側は ab と abcb の二つの組み合わせで空間を埋め尽くし、拡大細分構造をブロックからなり, 各ブロックを α2 倍すると持っているものを自己相似タイル張りという。拡ab → ab|abcb, abcb → ab|abcb|abcb という置換

大細分構造とは、一つのタイルを拡大すると幾つ操作のくりかえしによる拡大細分構造をもつ:

かのタイルに分割されるという一種の自己相似構造である。次の図で説明しよう。

ab abcb|ab abcb abcb|ab abcb|ab abcb abcb|ab abcb abcb| · · ·拡大率 α2 は二次の Pisot 数である。強い意味の非周期性で有名な Penrose タイリングも拡大率は次のようにα2 の自己相似性を持つ。図のように五角対称性を持つものもある。ただし拡大細分構造は少し複雑で置換操作はタイルの形を完全には保たない5, 18) 。
一般に Pisot 数を用いると同様の置換操作のくりかえしにより非周期的で拡大細分構造を持つタイル張りを作ることができる13)1)19) 。次の図は三次の Pisot 数を拡大率とする Rauzy フラクタルと呼ばれる複素平面のタイル張りである。
４つずつブロックに分けられる。太線だけみれば元のタイル張りの相似拡大となっていて一つのタイルを２倍に相似拡大すると４つのタイルに分かれる。これが拡大細分構造である。ブロックの作り方は一意的だ。この自己相似タイル張りは下図のこの自己相似タイル張りは x3 − x2 − x − 1 の根置換操作をくりかえすことで簡単に作れる。これの Pisot 数 θ = 1.83929 から作ったもので複素根は椅子タイルと呼ばれ、上述の一意性により非周θ0 = −0.41964 − 0.60629i の逆数倍（複素平面の期的となる5) 。対応する点集合は格子の部分集合相似拡大）をすると、各タイルは他の幾つかのタなので面白い Meyer 集合にはならないが拡大率イルに拡大細分される。このタイル張りの３つの２は Pisot 数であることに注意しよう。

タイルの共有点の集合は二次元の Meyer 集合で数理科学

NO. 542, AUGUST 2008

5

それ自身の 1/θ0 倍を含む。
6)

Thurston-Kenyon は二次元の自己相似タイル張りの拡大率は複素 Perron 数でなくてはならないことを示した。ここで複素 Perron 数とは Pisot数を含む概念で、複素共役を除く他根の絶対値がそれより小のものをいう。Rauzy フラクタルでは1/θ0 は複素 Pisot 数となる。
Bombieri-Taylor3) は、どのような Delone 集合の回折像が可算個の輝点を持つかを調べる先駆的な仕事を行った。置換のくりかえしでできる一次元の自己相似 Delone 集合が輝点を示すためには拡大率に Pisot 数が現れなければならないことが示されている。Senechal の平易な解説書15) もある。自己相似性タイル張りから得られる点集合の回折像はいつ輝点を含むのか、いつ純点スペクトルとなるか等は重要な問題で、タイル張り力学系のスペクトル型分類と対応させた研究が進んでいる17)4) 。そこでも Pisot 数またはその拡張が本質的な役割を果たす。
一般には Meyer 集合の回折像は輝点を含むとは限らない。にもかかわらず Lagarias9) は実数

α > 1 について実軸上の Meyer 集合 X が αXを含むならば α は Pisot 数または Salem 数でなくてはならないことを示した。Salem 数は Pisot数の親戚で単位円内だけでなく単位円周上にも根を許したものである。黄金比から作った S は αSを含むので、この結果の具体例となる。さらに Sは純点スペクトルを示し、切断射影集合の例にもなっている。
このように Pisot 数を用いると自己相似タイル張りが構成でき、その逆に自己相似タイル張りの拡大率は本質的に Pisot 数またはその類似しかない。自己相似性の深部には思いがけない Pisot 数が潜んでいるのである。
参考文献
1) P. Arnoux and Sh. Ito. Pisot substitutions andRauzy fractals. Bull. Belg. Math. Soc. Simon
Stevin, Vol. 8, No. 2, pp. 181–207, 2001.
2) M.-J. Bertin, A. Decomps-Guilloux, M. GrandetHugot, M. Pathiaux-Delefosse, and J.-P. Schreiber.

6Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser, 1992.
3) E. Bombieri and J. E. Taylor. Quasicrystals,tilings, and algebraic number theory: some preliminary connections. In Contemp. Math., Vol. 64,
pp. 241–264. Amer. Math. Soc., Providence, RI,1987.
4) N. Pytheas Fogg. Substitutions in dynamics,arithmetics and combinatorics, Vol. 1794 of Lecture Notes in Mathematics.
Springer-Verlag,Berlin, 2002.
5) B. Grünbaum and G. C. Shephard. Tilings andPatterns. W. H. Freeman and Company, NewYork, 1987.
6) R. Kenyon. The construction of self-similar tilings.
Geometric and Funct. Anal., Vol. 6, pp. 471–488,
1996.
7) L. Kuipers and H. Niederreiter. Uniform Distribution of Sequences. J. Wiley and Sons, New York,
1974.
8) J.C. Lagarias. Meyer’s concept of quasicrystal andquasiregular sets. Comm. Math. Phys., Vol. 179,
No. 2, pp. 365–376, 1996.
9) J.C. Lagarias. Geometric models for quasicrystals
I. Delone sets of ﬁnite type. Discrete Comput.
Geom., Vol. 21, No. 2, pp. 161–191, 1999.
10) Y. Meyer. Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
1972.
11) Y. Peres, W. Schlag, and B. Solomyak. Sixty yearsof Bernoulli convolutions. In Fractals geometry
and Stochastics II, Vol. 46 of Progress in Probability, pp. 39–65, 2000.
12) P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer. The algorithmic beauty of plants. The Virtual Laboratory.
Springer-Verlag, New York, 1990.
13) G. Rauzy. Nombres algébriques et substitutions.
Bull. Soc. Math. France, Vol. 110, No. 2, pp. 147–178, 1982.
14) R. Salem. Algebraic numbers and Fourier analysis. D. C. Heath and Co., Boston, Mass., 1963.
15) M. Senechal. Quasicrystals and geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
16) D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, and J. W.
Cahn. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. Phys.
Rev. Lett., Vol. 53, No. 20, pp. 1951–1953, Nov1984.
17) B. Solomyak. Dynamics of self-similar tilings. Ergodic Theory Dynam. Systems, Vol. 17, No. 3, pp.
695–738, 1997.
18) R.A. ダンラップ. 黄金比とフィボナッチ数. 日本評論社, 2003.
19) 秋山茂樹. 記号力学系と数系タイル張り. 数学, No. 4,
pp. 351–365, 2004.
（あきやま・しげき，新潟大学理学部）