修士論文

光会合された分子の誘導ラマン
断熱遷移

指導教員

井上 慎 准教授

平成２１年２月
東京大学大学院 工学系研究科 物理工学専攻

76525 林 正泰

目次
第1章
1.1
1.2
1.3

序論
研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本研究の意義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5
6

第 2 章 理論的背景
2.1 電磁誘起透明化 (EIT : Electromagnetically Induced Transparency) .
2.2 誘導ラマン断熱過程 (STIRAP : STImulated Adiabatic Passage) . .
2.2.1 3 準位系の定常解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bright-Dark 基底による STIRAP の記述 . . . . . . . . . . .
2.2.3 ラビ周波数の時間変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 STIRAP の効率の解析解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 実験で必要となる条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8
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19
20

第 3 章 実験装置及び光源の開発
3.1 半導体レーザー光源の開発 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Transfer Cavity の製作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 外部共振器型半導体レーザーの製作 . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 電流 feedback による発振線幅の狭窄化 . . . . . . . . . . . .
3.1.4 中心周波数の安定化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 真空系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 LabView による装置の制御 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 冷却分子のイオン化検出系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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44

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化
4.1 実験の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 87 Rb : D1Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 実験の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化 (EIT) の実験 . . . . . . . . . . .
4.2.1 実験手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 実験結果とその考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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47
47
49
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50
51

1

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)
5.1 実験の動機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 実験の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 光会合による分子の生成と検出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 光会合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 C-MOT(compressed MOT) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 生成された分子の検出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 光会合の最適化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Depletion spectroscopy による周波数選定 . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 depletion spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 周波数選定 ： v”=90、v”=91 . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 STIRAP レーザーの強度を時間変化させる . . . . . . . . . .
5.5 41 K87 Rb 分子の STIRAP 実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 STIRAP の実験結果とその考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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第 6 章 研究のまとめと展望

71

付 録 A 自然幅
A.1 電磁場の複素振幅表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 一次元ランダムウォーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 自然幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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73
74
76

参考文献

77

謝辞

82

2

第1章
1.1

序論

研究の背景

1960 年のレーザー発振以来、レーザーはさまざまな科学技術に革命をもたらした。それは、近年のノーベル賞の歴史を見てもわかることである。1964 年のレー
ザー、メーザーの発明 (C.H. Townes, N.G. Basov, A.M. Prokhorov)、1966 年の光ポンピング法の発明 (A. Kastler)、1971 年のホログラフィーの発明 (G. Denes)、
1981 年のレーザー分光学の開発 (A.L Schawlow,N. Bloembergen)、1989 年のラムゼー共鳴法の開発、およびその水素メーザーや原子時計への応用 (N.F.Ramsey)、
イオントラップの開発 (H.G. Dehmelt, W. Paul)、1997 年のレーザー冷却の開発(S. Chu, C. Cohen-Tannoudji, W.D. Phillips)、1999 年のフェムト秒分光学の創始 (A.H. Zewail)、2001 年の希薄原子気体のボース-アインシュタイン凝縮の実現(E.A. Cornell, W. Ketterle, C.E. Wieman)、2005 年の光コヒーレンスの量子理論(R.J. Glauber)、光周波数コムの開発 (J.L. Hall, T.W. Hansch)、2002 年の生体高分子の同定および構造解析のための手法の開発 (レーザーによるたんぱく質のイオン化)(J.B. Fenn, K.Tanaka)、と多くのがノーベル賞を受賞している。
レーザーは周波数、時間、空間、エネルギーなどにおいて優れた制御を可能とする装置である。そのなかで多くの種類のレーザーが開発され、性能も著しく向上した。
レーザーの技術が向上すると、レーザーをもちいて希薄原子気体を冷却する研究が行われるようになった [1]。1982 年には、対抗するレーザーを入射させ輻射圧を利用することで、Na 原子線の減速が達成された [2]。1987 年には、多くの原子気体を冷却、捕獲する磁気光学トラップという手法が開発された [3]。これらの技術により、真空槽に閉じこめた原子気体を 100 μ K 以下に冷却することが可能になった。これらの功績により、1997 年にレーザー冷却の開発という理由で S. Chu,
C. Cohen-Tannoudji, W.D. Phillips らがノーベル物理学賞を受賞した。しかしまだこの温度領域では、原子気体を縮退させることができなかった。そこで、磁気トラップ中に閉じ込められた原子気体を、蒸発冷却という手法をもちいてさらに冷却することで、反跳温度以下の温度が達成された [4]、[5]。そして、この蒸発冷却という手法をもちいて 1995 年に JIRA と MIT のグループが独立にアルカリ原子
気体 (Rb,Na) のボース・アインシュタイン凝縮に成功した [6]、[7]。そして 1999 年にはフェルミ縮退が実現された [8]。これら成功により、縮退領域の研究が可能になった。たとえば、固体中の電子系でしかみられなかった現象が冷却気体系で見3

第 1 章 序論られるようになった [9–12]。また、固体中では見られない現象も多く観測されている [13–16]。この希薄原子気体のボース-アインシュタイン凝縮の実現という功績により、2001 年に E.A. Cornell, W. Ketterle, C.E. Wieman らがノーベル物理学賞を受賞した。このように、極低温気体系では急速に研究が行われている。その中で我々は、電気双極子を起源とする異方的かつ長距離な相互作用をもつ極性分子に注目している。このような極低温極性分子では、量子磁性 [17]、結晶化 [18]、量子計算 [19]、超固体 [20] などの実現が期待されている。
このような現象を観測するためには縮退領域まで温度を冷やす必要がある。またその分子は電気双極子を起源とする大きな異方的、長距離相互作用をもつ必要があり、そのために振動基底状態の分子が求められる。しかしレーザー冷却は閉
じた系で行う必要があるが、分子の内部状態は多数存在するためその適応が非常に困難となっている。そのために他のさまざまな冷却手法が試みられている。
まず、分子を冷やす手法として直接法がある。これは常温の振動基底の分子を直接冷やす方法であり、主につぎの二つの手法があげられる。一つ目は Stark decelerataion と呼ばれる方法で、電場勾配を利用することで用意した分子線の運動エネ
ルギーを減速させ、温度を下げることが可能である。この方法で 15 ND3 を冷却することが試みられたが、冷却後の温度は 1mK 程度となっており縮退領域には程遠
い [21]。二つ目は Buﬀer gas cooling と呼ばれる手法であり、冷却媒質としてよく知られている He がもちいられている。He は分子間力が小さいのでクラスター形成の原因となる非弾性衝突がほとんどない。したがって Buﬀer gas cooling は一般的にどのような物質でも冷却可能な手法である。しかし、例えばこの手法で CaH
分子の冷却が試みられたが、冷却後の温度は 400 mK 程度となっており、この手法においても縮退領域での実験が困難になっている [22]
間接法では、レーザー冷却で 2 種の原子気体を冷やしたあとに会合して、極低温分子気体を生成する。これも主に二つの手法があげられる。一つ目は、冷えた
2 種の原子集団に適当な周波数の光を入射し光会合を行い、電子的基底状態に浅く束縛された分子 (−10 cm−1 ) を生成する手法である [23]、[24]。しかしこの手法
では、実励起をともなうため自然放出を介し加熱が起こる。さらに、分子は多数の準位が存在しそのなかで自然放出を利用した分子生成を行っているため、準位選択性に乏しい。二つ目は、レーザー冷却と蒸発冷却により 2 種の原子気体を縮退領域まで冷却し、その後 Feshbach 共鳴 [25]、[26] をもちいて分子を生成し、誘導ラマン断熱過程 [27] という手法により、Feshbach 分子を振動基底状態に遷移させる方法が考えられる。なぜなら、まず Feshbach 共鳴をもちいることでほぼ 100％の効率で浅く束縛された分子 (〜-200 kHz) を生成ができる [28]。この Feshbach
分子は、原子状態からと比べて、分子の励起準位と空間的波動関数の重なりが大きいので、励起準位の選定によっては低強度で光学遷移可能である。したがって、
誘導ラマン断熱遷移という三準位系の光学遷移が使用でき、さらにこの手法もほぼ 100 ％の効率で状態遷移可能であるので、効率よく振動基底状態の分子を生成することができると考えられる。なお、最近、比較的位相空間密度の高い原子集4

第 1 章 序論
団を用いて、上記の方法により極低温極性分子の作成が実現された [29]。
上記の理由により我々は、41 K と 87 Rb を Feshbach 共鳴により分子にして、誘導
ラマン断熱遷移をもちいて振動基底状態に遷移させる方法を選んだ。
ここで誘導ラマン断熱遷移と他の手法をくらべて、その有用性を確かめておく。
ここで、どの方法も三準位系 (始状態=Feschbach 分子、中間状態=ある適当な励
起状態、終状態=振動基底状態) をもちいた光学遷移であることを明記しておく。
一つ目は、SEP(Stimulated Emission Pumping) と呼ばれる手法である。この方法では、まずはじめに始状態と中間状態の周波数に対応するレーザーを入射し、始状態の分子を励起状態に遷移させる。その後、中間状態と終状態を結ぶレーザーを入射し、励起状態にある分子を終状態に遷移させる。しかし、この手法では直接励起させる方法をとっているので、最高で 25 ％程度しか移行させることができない。さらに、ラビ周波数を励起準位の自然幅より十分大きくすることが必要で、パルスレーザーのような高強度レーザーを使わなければいけない。しかし、パル
スレーザーは周波数線幅が大きいため準位選択性に乏しく、また高強度ということから高真空中の真空槽に入射することさえ困難である。また実励起を伴うため、加熱の効果もある。
二つ目は、誘導ラマン遷移によるラビ振動という手法がある。この手法では、一光子離調をつけて実励起をなくし、二つのレーザーを π パルス入射することで、状態遷移させる方法である。しかし、この手法でも、ラビ周波数を励起準位の自然幅より十分大きくすることが必要である。これらに比べて、誘導ラマン断熱遷移
は励起準位の自然幅程度のラビ周波数でも 100 ％状態遷移可能な手法である。さらに実励起もなく、準位選択性もよく、実験的な時間制御についても困難がほとんどないことが知られている。
しかし、この手法をもちいるにはまず、始状態と終状態にたいし励起準位の遷移強度が大きい準位を選定する必要がある。これは、井上研究室の先行研究で達成された。また二つのレーザーの相対線幅が十分細い必要があり、これが今回の研究の焦点となる。以下の節で本研究の意義について述べる。

1.2

本研究の意義本研究の意義は、誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP) が冷却分子にたいして有用かどうかを実証したことにある。我々が目標としているのは、Feshbach 分子を振動
基底分子に移行することであり、そのためには STIRAP が必要である。STIRAPは第二章で後述するように、二つのレーザーの相対線幅が十分細い (〜30 kHz) 必要がある。しかし、始状態と終状態のエネルギーが〜120 THz と大きく離れているために、ひとつのレーザーをふたつに分けて AOM で周波数差をつける手法 (〜200 MHz) や、フォトダイオードをもちいた Beat Lock という手法 (〜10 GHz) では相対線幅を細くすることは困難である。

5

第 1 章 序論
そこで我々は、Transfer Cavity をもちいてふたつのレーザーのそれぞれの線幅を細くすることで相対線幅を狭窄化する手法を選んだ。Transfer Cavity をもちいることで、ミラーの反射率帯域がゆるす任意の周波数でレーザーを Lock することが可能となり、さらにレーザーの線幅を細くすることもできる。しかしそのためには、Cavity 自体が安定である必要があり、まず我々はその安定化を試みた。そして、その安定化された Transfer Cavity にたいしてレーザーを lock し、線幅を細くし、二つのレーザーの相対線幅が 42 kHz になることを確認した。
STIRAP では Dark State が重要な役割を果たす。したがって STIRAP を行う前に、まずその Dark State を比較的容易に観測できる、Rb の電磁誘起透明化 (Electromagnetically Induced Transparency) の実験を試みた。この EIT の観測により、相対線幅を細くするシステムがうまく働いていることが確認できた。
その後、線幅が細くなったふたつのレーザーをもちいて冷却分子で STIRAP を実証する実験を試みた。
実験でもちいる分子は、比較的容易に生成することができる光会合された分子である。X1 Σ+ の v”=91 を始状態、v”=90 を終状態、中間状態を Ω+ = 0 とした。
これらの状態を、生成される分子の多さと遷移の強さで選んだ。
STIRAP の実験の結果、我々は分子の振動準位の状態遷移に成功したことを確認し、冷却分子において STIRAP は有用な手法であることを実証した。
また、片方のレーザーの周波数を掃引しながら STIRAP を行うことで、いくつかのピークを確認することができた。これは、分子の超微細構造分裂だと考えられる。今回もちいた浅く束縛された分子では、このようなエネルギー構造はまだ観測されたことがなく、STIRAP という手法によりこの領域での超精密分光の道が開けたといえる。

1.3

本論文の構成第 2 章では、主に STIRAP 実験で必要となる条件を導く。STIRAP では相対線幅が存在することでデコヒーレンス起こり、そのために効率が減少する。そこで、
まずレーザーの自然幅に関する議論を行う。実験では Dark State を観測するために、EIT の実験も行う。したがってつぎに、EIT により生じる Dark State に関する議論を行い、実験で観測できる透明化の幅を理論的に導出する。そして最後に
STIRAP について議論し、状態遷移の効率の式をもとめる。
第 3 章では、発振線幅の狭い光源の準備と実験装置について説明する。前述した
ように、我々はまず安定な Transfer Cavity を製作したが、その手順や得られた条件などを説明する。その後、安定化した Cavity をもちいてレーザーの周波数線幅を狭窄化し、さらに中心周波数のドリフトもおさえたことについて説明する。そして、EIT と STIRAP を行った実験装置について説明する。
第 4 章では、EIT の実験について説明する。冷却 87 Rb 原子気体の超微細構造準位間で EIT を観測した。

6

第 1 章 序論
第 5 章では、光会合された 41 K87 Rb 分子に STIRAP の実験について説明する。
実験でえられたデータから、状態遷移の効率をもとめ、STIRAP が状態遷移に有効であることを示す。また実験では、効率が状態遷移させる時間に大きく依存していることが観測されたので、そのことについても考察する。
第 6 章では、本研究のまとめと今後の展望について説明する。

7

第2章

理論的背景

本章では誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP : STImulated Adiabatic Passage) による状態遷移の移行効率の表式をもとめる。それをもちいて STIRAP の実験に必要な条件をだす。
実際の実験では、STIRAP の前に電磁誘起透明化 (EIT : Electromagnetically
Induced Transparency) の実験を行い、STIRAP の実験には欠かせない Dark Stateという状態が生成できることを確認した。ここではその EIT の理論的背景について説明する。
そして最後に、STIRAP の理論的背景を述べ、実験に必要な条件をもとめる。

2.1

電磁誘起透明化 (EIT : Electromagnetically In-

duced Transparency)
ここでは電磁誘起透明化について説明する [40]、[35]。図 2.1 に示すように、理想的な 3 準位について計算し、透明化の周波数幅の Control 光ラビ周波数依存性について考察する。導かれたものは実験と比べられる。理論と同じ挙動が実験でも現れれば、それは Dark State の出現を意味する。

8

第 2 章 理論的背景|a>䂴
Ec(t) = Eccos(䃨䠿t)Ep(t) = Epcos(䃨pt)

Control
Probe

|c>
|b>

図 2.1: EIT の 3 準位モデル
ここで、|a >、|c > に入射する光を Control 光、|a >、|b > に入射する光を Probe
光と定義する。Probe 光は非常に弱いことを仮定する。このときこの 3 準位系のハ
ミルトニアンは、次のようになる。


Haa Hab Hac
H =  Hba Hbb Hbc 
Hca Hcb Hcc~ωa−℘ab Ep (t) −℘ac Ec (t)= −℘ba Ep (t)~ωb0−℘ca Ec (t)
0
~ωc

(2.1)

(2.2)

ここで ℘ab = ℘ba = e < a|x|b >、℘ac = ℘ca = e < a|x|c > である。ここで、密度行列を導入する。密度行列は次のようにあらわされる。

9

第 2 章 理論的背景

ρ = |Ψ >< Ψ|
(2.3)
(
)(
)
= Ca (t)|a > +Cb (t)|b > +Cc (t)|c > Ca ∗ (t) < a| + Cb ∗ (t) < b| + Cc ∗ (t) < c|
(2.4)


|Ca (t)|2
Ca (t)Cb ∗ (t) Ca (t)Cc ∗ (t)


(2.5)
= Cb (t)Ca ∗ (t)|Cb (t)|2
Cb (t)Cc ∗ (t) 2
Cc (t)Ca ∗ (t) Cc (t)Cb ∗ (t)|Cc (t)|ρaa ρab ρac


(2.6)
=  ρba ρbb ρbc 
ρca ρcb ρcc
またこの密度行列は、次の方程式にしたがって時間発展する。

i1ρ̇ = − [H, ρ] − {Γ, ρ}
~
2
1∑
i∑
(Hik ρkj − ρik Hkj )(Γik ρkj + ρik Γkj )↔ ρ˙ij = −
~ k
2 k

(2.7)
(2.8)

Γ は対応する準位間の decay rate である。
式 (2.2) を密度行列の時間発展の式 (2.8) に代入することで、ρab 、ρcb 、ρac にた
いする時間発展の微分方程式が得られる。
ρ˙ab = −(iωab + γ1 )ρab − i+i℘ab Ep (t)(ρaa − ρbb )~℘ac Ec (t)
ρcb
~

(2.9)

℘ab Ep (t)℘ac Ec (t)ρca + iρab~~
℘ac Ec (t)ρ˙ac = −(iωac + γ2 )ρac − i(ρaa − ρcc )~℘ab Ep (t)ρbc+i~ρ˙cb = −(iωcb + γ3 )ρcb − i(2.10)(2.11)

ωab は |a > −|b > 間のエネルギー、ωcb は |c > −|b > 間のエネルギー、ωac
は |a > −|c > 間のエネルギーである。また、γ1 , γ2 , γ3 はそれぞれ |a > −|b >、|c > −|b >、|a > −|c > 間の自然幅の半幅である。ここで、
eiωp t + e−iωp t2eiωc t + e−iωc t
Ec (t) = cos(ωt) =2

Ep (t) = cos(ωt) =(2.12)(2.13)
10

第 2 章 理論的背景
を式 (2.9)、(2.10)、(2.11) に代入して、ω の 2 倍で振動する項を無視する近似、
回転波近似を行うと、次のようになる。

ρ˙ab = −(iωab + γ1 )ρab −i ℘ab Ep (t) −ωp te(ρaa − ρbb)
2~

i ℘ac Ec (t) −ωc t
e
ρcb
2
~
i ℘ac Ec (t) −ωc ti ℘ab Ep (t) −iωp t
e
ρca +
e
ρab
ρ˙cb = −(iωcb + γ3 )ρcb −2~
2~i ℘ac Ec (t) −ωc tρ˙ac = −(iωac + γ2 )ρac −e(ρaa − ρcc )2~
i ℘ab Ep (t) −iωp t
+
e
ρbc
2
~
+

(2.14)(2.15)(2.16)EIT で重要となるのは Probe 光に関する項である。Probe 光での吸収や分散は
ρab で決まる。ここで、Probe 光が十分弱いと仮定して、ρab の一次摂動の解を求める。ただし、強い光である Control 光については正確に取り扱うとする。初期状態として、population は |b > にあるとする。すると、0 次については次のように
なる。
(0)

(0)
(0)
ρbb = 1, ρ(0)aa = ρcc = ρca(2.17)

この初期状態を式 (2.14)、(2.15)、(2.16) に代入することで一次摂動の解を出す。
またここで、

ρab = ρ˜ab e−iωp t(2.18)

ρcb = ρ˜cb e−i(ω)(2.19)

も式 (2.14)、(2.15)、(2.16) に代入することで、次の結果が得られる。

i ℘ab Epiρ˜˙ab = −(γ1 + i∆)ρ˜ab ++ Ωc ρ˜cb
2 ~2iρ˜˙cb = −(γ3 + i∆)ρ˜cb + Ωc ρ˜ab2

(2.20)(2.21)℘ac Ecである。また我々は、ωc = ωac を仮定してい~る。これを行列の形で表現すると、
ここで、∆ = ωab −p 、Ωc =Ṙ = −MR + A(2.22)
11

第 2 章 理論的背景
ここで、R, M, A は、





( )
i
i ℘ab Ep
Ω
ρ
˜
γ
+
i∆
−
1
c
cb
ρ˜ab
−


2
R=
,M =  i
,A =  2 ~ ρ˜cb
0− Ωc ρ˜ab γ3 + i∆ρ˜cb
2(2.23)である。したがって、この微分方程式の解は次のようになる。

∫ t
R(t) =′e−M(t−t ) Adt′

(2.24)∞−1=M A(2.25)

これを整理すると ρ˜ab は、ρ˜ab =i℘ab Ep (γ3 + i∆)2~(γ1 + i∆)(γ3 + i∆) + Ω2c /4(2.26)

単位体積中の原子の数を N 、ε0 を真空の誘電率とすると、分極率は P = 2N ε0 ℘ba ρabと書ける。また関係式 χ = ε0PEp により、感受率が計算できる。感受率の虚数部分
χ′′ が吸収に関係している項であり、それは次のようになる。

(

)
(
)
P
2N ℘ba ρabχ = Im
= Im
εEp
εEp
(
)
ηi
2
2
≃ Im
(γ3 + i∆)[(Ωc /4 − ∆ ) − i∆γ1 ]Zη= [γ3 (Ω2c /4 − ∆2 ) + ∆2 γ1 ]Z′′

(2.27)(2.28)(2.29)ab |ここで、η = N |℘、Z = (Ω2 /4 − ∆2 )2 + ∆2 γ 2 である。また、式 (2.28) でε0 ~Ω2c /4 >> γ1 γ3 、γ1 >> γ3 を仮定した。
この感受率は次の図 2.3 のように振る舞う。Control 光がないときはもちろんロー
レンチアン型の吸収が起こるだけだが、Control 光があるときは吸収の真ん中で吸収がなくなることがわかる。これが電磁誘起透明化という現象である。
212

第 2 章 理論的背景䣰䣱䣴䣯䣣䣮䣫䣼䣧䣦䢢䣵䣷䣵䣥䣧䣲䣶䣫䣤䣫䣮䣫䣶䣻䢢䢪䪼䢩䢩䢫䢢

䢳䢰䢲
䢲䢰䢺
䢲䢰䢸
䢲䢰䢶
䢲䢰䢴
䢲䢰䢲

䢯䢵

䢯䢴

䢯䢳

䢲

䢳

䢴

䢵

䪊䢱䪨

図 2.2: 感受率 χ′′η
ここで χ′′ の最大値は Ωc = ∆ で γ1であり、これが 1/2 になる ∆ が EIT の半値半幅である。半値全幅を ΓEIT ≡ 2∆ と定義する。したがって、EIT の半値全幅は
つぎのようになる。

ηη
[γ3 (Ω2c /4 − ∆2 ) + ∆2 γ1 ] =
Z
2γ1
4
2
2
2
4
↔ ∆ − ∆ (2Ωc /4 + γ1 ) + Ωc /16 = 0√√↔ ΓEIT = 2γ1 [2s + 1 − 4s + 1]1/2
χ′′1/2 =(2.30)(2.31)(2.32)

ここで、s = Ω2c /4γ1 とした。ここで、control 光のラビ周波数が小さい極限とs >> 1 と大きい極限 s << 1 について半値全幅がどのように振舞うかを見てみよう。
s >> 1 については、

ΓEIT ≈ Ωc − γ1(2.33)

s << 1 については、

ΓEIT ≈ Ω2c /2γ1(2.34)

13

第 2 章 理論的背景となる。つまり、強度が弱い極限だと、幅はラビ周波数の二乗で立ち上がり、強い極限だとラビ周波数に比例するようになる。この振る舞いが実験で確認されれば、電磁誘起透明化が生じていて、光を吸収しない透明化の状態、Dark State が構築されている証拠となる。
また、共鳴から少しだけ一光子離調がつくと、EIT の形が非対称になることが知られている。一光子離調も考慮した理論式 [42] によると、EIT の形は以下の図のようになる。

䣰䣱䣴䣯䣣䣮䣫䣼䣧䣦䢢䢢䣵䣷䣵䣥䣧䣲䣶䣫䣤䣫䣮䣫䣶䣻䢢䢪䪼䢩䢩䢫

䢳䢰䢲
䢲䢰䢺
䢲䢰䢸
䢲䢰䢶
䢲䢰䢴
䢲䢰䢲
䢯䢴

䢯䢳

䢲

䢳

䢴

䪊䢱䪨

図 2.3: 感受率 χ′′ : 一光子離調が 1.5MHz の場合

2.2

誘導ラマン断熱過程 (STIRAP : STImulated Adi-

abatic Passage)
この節では、位相ノイズを含めた STIRAP の移行効率について考察し、実験で必要となる条件をもとめる [27]、[36]。

2.2.1

3 準位系の定常解

まず初めに、3 準位の定常解について考える図 2.4。

14

第 2 章 理論的背景

|2>
䂴

䃈p
䃈s

|1>
|3>

図 2.4: STIRAP の 3 準位モデル：定常解
初期状態を |1 >、中間状態を |2 >、終状態を |3 > とする。|1 > −|2 > にあたる
光を Pump 光と定義し、そのラビ周波数を Ωp とする。また |3 > −|2 > にあたる
光を Stokes 光と定義し、そのラビ周波数を Ωs とする。二つのレーザーの二光子離調は 0 とし、一光子離調を ∆ とする。すると回転波近似後のハミルトニアンはつ
ぎのように表現できる。


0 Ωp 0~
H = Ωp 2∆ Ωs 20 Ωs 0(2.35)と書けることがわかる。いま系は定常状態にあるとし、2 光子の離調 が 0 である場合を考えると、時間に依存しないシュレディンガー方程式の 3 つの固有値は

)
(
√
1
2
2
2
ω+ =
Ωp + ∆ + Ωp + Ωs2

(2.36)

ω0 = 0(2.37)

ω− =

(

1
Ωp −
2

)

√
∆2 + Ω2p + Ω2s(2.38)である。ここで Θ、Φ および Ω0 を

15

第 2 章 理論的背景Ωptan Θ =Ω
√ s
Ω0 = Ω2p + Ω2stan 2Φ =(2.39)(2.40)Ω0∆(2.41)と定義すると、(2.3) の各固有値に対応する固有状態は光がないときの基底を用いて|a+ ⟩ = sin Θ sin Φ|1⟩ + cos Θ sin Φ|3⟩

(2.42)|a0 ⟩ = cos Θ|1⟩ − sin Θ|3⟩

(2.43)|a− ⟩ = sin Θ cos Φ|1⟩ − sin Φ|2⟩ + cos Θ cos Φ|3⟩

(2.44)と表される。|a0 > という状態は光を感じない状態だとわかる。|1 >, |3 > の前についている係数は、式 (2.39) を見てわかるようにラビ周波数 Ωp と Ωs の比のようなものである。はじめに Ωp を 0 に、Ωs を有限の値にすることで、|1 > にしかし、実際には励起準位の自然幅の影響のせいで、断熱的にゆっくりと STIRAPを行わないといけない。またレーザーの位相ノイズの存在により、二つのレーザーのコヒーレンスが失われる前に STIRAP を終えなくてはいけない。以下では、励起準位の自然幅とレーザーの位相ノイズの効果を定量的に扱うために、時間依存する 3 準位系のモデルを導入する。

2.2.2

Bright-Dark 基底による STIRAP の記述

図 2.5 のような 3 準位系を考える。

16

第 2 章 理論的背景

|2>

䂴
䃓

䃈p
䃈s
|1>
|3>

図 2.5: STIRAP の 3 準位モデル：時間依存
初期状態を |1 >、中間状態を |2 >、終状態を |3 > とする。|1 > −|2 > にあたる光を Pump 光と定義し、そのラビ周波数を Ωp とし、光の周波数は励起状態と共鳴であるとする。|3 > −|2 > にあたる光を Stokes 光と定義し、そのラビ周波数をΩs とし、光の周波数は励起準位に対して δ だけ離れているとする。
入射するレーザーの電場は、つぎのように表現できる。

Ep (t) = Ep (t) cos(ωp t + θp (t))(2.45)

Es (t) = Es (t) cos(ωs t + θs (t))(2.46)

θp (t), θs (t) は位相ノイズである。レーザーの自然幅の議論で明らかになったように、２つのレーザーのコヒーレンスは次のように減衰する。
√< Ep(−) (t)Es(+) (t) > = − < np >< ns >ei(νp −νs ) < ei(θs −θp ) >√= − < np >< ns >ei(νp −νs ) e−(Dp +Ds )t(2.47)(2.48)

ここで、Ds 、Dp は各々のレーザーの線幅の半幅である。
さて、ここでこの 3 準位系の時間発展を記述しよう。基底の取り方は |1 >, |2 >, |3 > とする。回転波近似を行ったあとのシュレディンガー方程式は次のようになる。

17

第 2 章 理論的背景

d
C(t) = −iW(t)C(t)dt
C1 (t)

C(t) = C2 (t)C3 (t)
−δ + 2θ̇p (t)Ωp (t)
01W(t) =  Ωp (t)−2∆ − iγΩs (t) 20Ωs (t)
δ + 2θ̇s (t)(2.49)(2.50)(2.51)

ここでこれらの基底を”bright-dark”と呼ばれる基底に変換する。そのユニタリー変換は次のようになる。



 


Φb (t)sin Θ(t) 0 cos Θ(t)
ψ1 (t)

 


1
0
Φ2 (t) =  0 ψ2 (t)Φd (t)cos Θ(t) 0 − sin Θ(t)
ψ3 (t)tan Θ(t) = Ωp (t)/Ωs (t)(2.52)(2.53)

したがってこの基底での波動関数は、

Ψ(t) = Cb (t)Ψb (t) + C2 (t)Ψ2 (t) + Cd (t)Ψd (t)(2.54)となる。
また、解くべきシュレディンガー方程式は次のように表現できる。

d (BD)
C(t) = −iW(BD) (t)C(BD) (t)dtCb (t)

C(BD) (t) = C2 (t)Cd (t)(2.55)(2.56)

1
W(BD) (t) = ×22θ̇s (t) cos2 Θ + 2θ̇p (t) sin2 Θ + δ cos 2ΘΩrms
2iΘ̇ − (θ̇s (t) − θ̇p (t) + δ) sin 2ΘΩrms−2∆ − iΓ022−2iΘ̇ − (θ̇s (t) − θ̇p (t) + δ) sin 2Θ
02θ̇s (t) sin Θ + 2θ̇p (t) cos Θ − δ cos 2Θ(2.57)
18

第 2 章 理論的背景√
ここで Ωrms = Ωp (t)2 + Ωs (t)2 で、Γ は励起準位の自然幅である。この行列
W(BD) (t) をみると、右上と左下の対角要素があることで、実励起が起こることがわかる。Θ̇(t) は光の強度を速く動かしてしまうことで現れる項で、そのために系を保つように断熱的に光の強度の操作をしなくてはいけない。また、θ̇s (t) − θ̇p (t)は二つのレーザーの周波数揺らぎの差を表すもので、これがあることである程度
時間が経過するとコヒーレンスが失われるため、速く STIRAP を終えなくてはいけない。我々が実験で用いる系は分子の準位で、実励起が起こると目的外の他の準位に自然放出を介して遷移していまうので、上記の項を小さくして極力実励起を抑えたい。
以下では、解析解を導出するために、時間変化するラビ周波数のモデル関数を
導入する。

2.2.3

ラビ周波数の時間変化

STIRAP では Stokes と Pump のラビ周波数を変えることで状態遷移させる。
Stokes と Pump の pulse の時間変化の関数は同じとするが、時間差 td をつけるとする。
Ωs (t) = Ω0 f (t)(2.58)Ωp (t) = Ω0 f (t − td )(2.59)

一つ目のモデル関数は、cos 型である。

 ()

cos π t-τ < t < τ2τ
f (t) =

0
それ以外のとき(2.60)

二つ目は gaussian 型である。

( ( ))
t 2
f (t) = exp −τ(2.61)[36] によると、時間差 td の最適な時間は cos 型では td = τ で、gaussian 型では
td = 0.9τ である。今回行う計算では、計算の簡便さから cos 型を選ぶことにする。

2.2.4

STIRAP の効率の解析解

ここでは STIRAP の効率の解析解について説明する [36]。仮定するのは、

19

第 2 章 理論的背景Ωrms (t)τ >> 1,
Γτ >> 1,

tbegin < t < tend
tbegin < t < tend

(2.62)(2.63)∆=0(2.64)

θs − θp = 0(2.65)である。この仮定のもとで式 (2.56) を解くと、STIRAP の移行効率 P (0) は、

(

P

(0)

Γπ 2 δ 2 Γτ= exp − 2 −
Ω0 τ
2Ω20

)
(2.66)

exp の肩の第一項は、断熱条件を表していて、速く系を動かすことで Dark Stateがくずれて実励起が起こり、状態遷移を効率よく行えなくなることを示している。
第二項は、2 光子離調が 0 のときは一番透明度が大きくなるので実励起がなくなり効率よく状態遷移を行えるが、それ以外のときは透明化の効率が低くなるので実励起する確率が大きくなり、移行効率が悪くなる、ということを示している。まだここでは、位相ノイズ、つまり線幅の効果がない。式 (2.48) によると、２つのレーザーのコヒーレンスは e−(Ds +Dp )t で失われる。定性的に考えると、STIRAP の
Dark State も２つのレーザーのコヒーレンスと同じ時間で減衰し、そのために移行効率もその時間で減衰するはずである。したがって、線幅の影響を含めた効率 Pは、()
Γπ 2 δ 2 ΓτP = exp − 2 −− (Ds + Dp )τ
Ω0 τ
2Ω20

(2.67)である。実際、解析的にも同じものを導出できる [36]。

2.2.5

実験で必要となる条件

本研究の STIRAP では、始状態を X1 Σ+ の v”=91 に、中間状態をΩ=0+ に、終状態を X1 Σ+ の v”=90 にする。励起準位の自然放出レート Γ は 2π × 10 MHz である。Feshbach 分子から振動基底状態に移行させるときの中間状態もこの程度であることが知られている。また、Ω0 については、Pascal Naidon 氏 (上田 ERATO
研究員) の計算により、我々が用意できるレーザーのパワー 10 mW では、少なくとも 2π × 10 MHz 程度取れることがわかっている。この計算結果は、Feshbach 分子から振動基底状態に移行させるときのラビ周波数のことを示しているが、今回使う準位ではより大きな遷移強度を確保できるので、より効率的に状態遷移させることができる。δ = 0 として、上記条件で、効率が 80 パーセント程度になる条

20

第 2 章 理論的背景
件を求めると、２つのレーザーの相対線幅 2(Ds + Dp ) が、2π × 30 kHz 以下でな
くてはいけないという結果が得られる。したがって、我々は効率よく目的の準位へ遷移させるために、相対線幅が 2π × 30 kHz 程度になるように光源の準備を行う。

21

第3章

実験装置及び光源の開発

本章では、実験装置と光源の開発について述べる。まず初めに発振線幅の細い半導体レーザー光源の開発について説明する。作られた半導体レーザーは発振線幅が 30kHz 以下になった。この線幅は STIRAP の実験で必要とされる線幅 (30kHz))程度である。次に実験装置について説明する。真空系では、入射するレーザー、原子源となる dispenser、Ionpump などの配置について説明する。そのあと実験で使う光学系について述べる。主に光会合レーザーの安定化、Transfer Cavity の安定化、STIRAP 用レーザーの安定化について説明する。レーザー冷却に関する光学系については [37] を参照されたい。

3.1

半導体レーザー光源の開発

この節では発振線幅の狭い光源の開発について述べる。第 2 章で述べたように、
STIRAP で必要とされる線幅は 30kHz 程度である。我々が行おうとしている STIRAP は、二つの準位の周波数差が 120THz と非常に大きい。したがって、Beat lockなどによる方法で二本のレーザーの相対線幅を狭窄化することは困難である。そこ
で我々は Transfer Cavity をもちいて、STIRAP に使う二つのレーザーの線幅を小さくすることで、相対線幅を小さくする方法を試みた。STIRAP に使うレーザーの 1 つは Ti:S レーザー (目標の実験では Dye レーザー) であり、この線幅は初めから 15kHz 程度と小さい。もう 1 つのレーザーについては、安価で、電流制御が可能であり、実験に必要な強度が得られる半導体レーザーを選んだ。我々は半導体レーザーの速い応答速度を生かして、後述するような sideband 法による Cavity への lock や、電流 feedback で線幅を小さくする実験を行った。その結果、30kHz 以
下の線幅の半導体レーザーを得た [38]。

3.1.1Transfer Cavity の製作

我々は STIRAP を高効率で行うために、二つのレーザーの相対線幅を 30kHz 程
度に狭窄化することが必要である。通常レーザーの周波数を安定化するには、原子の準位を使うことが多い。なぜなら原子の準位の絶対周波数は外場がないときには常に一定であり、それが変わることがないからである。しかし我々が使うレー

22

第 3 章 実験装置及び光源の開発
ザーの周波数付近には原子の準位がない。そこで我々は、Transfer Cavity を用いた方法により、600nm〜900nm の範囲でレーザーを安定化することにした。

Cavity による共鳴現象
Cavity（共振器）とは、ミラーの反射する面を対向させて固定させたものである。ミラーの反射する面と反対側の面は完全透過するものとする。対向するミラー間の距離を L、エネルギー反射率を R、入射する周波数をν、入射する光の強度を I0 とすると、

I=

Imax

(3.1)

2L
1 + (2F inesse/π)2 sin2 (ω )cという透過信号が得られる。ここで、Imax =

I0(1 − R)2(3.2)

である。Finesse は後述するように、共振器内の光子の反射回数を表すものである。この式によると、次で表現される FSR の周波数間隔で共振器の共鳴が存在す
ることがわかる。

F SR =

c
2L

(3.3)

これを見ると、共振器長 L を安定化させれば各共鳴の周波数的位置が定まる。これによりさまざまな周波数の光にたいして lock による周波数安定化が可能なる。
このことが、Transfer と呼ばれるゆえんである。詳しくは次節で述べる。
またここで Finesse というものを次の式で定義する。

F inesse =

πR1/2
1−R

(3.4)

これは共振器内の光子寿命を表すものである。この Finesse を用いると、共振器の共鳴の幅を次のように表現できる。

∆νF W HM =F SR
F inesse

(3.5)

23

第 3 章 実験装置及び光源の開発製作する Cavity の性質

STIRAP の実験をする際には、できるだけ周波数的に安定な Cavity が必要とされる。そのために Rb 原子による分光をして、ミラーに付けた PZT に feedback
信号を返すことによって周波数安定化する。はじめから Cavity ができるだけ安定なほうが feedback が容易になるため、我々は Cavity をバイトンゴムを介して vacuum
chamber に入れることにした。真空中に入れる理由は熱的に断熱するためであり、バイトンゴムを介するのは熱的かつ振動を防ぐためである。また同時に、我々はミラーの間の距離をできるだけ安定にするため、ミラー間をスーパーインバーという素材で作ることにした。スーパーインバーの熱膨張係数は∆L= 10−7 K −1
L

(3.6)

である。次のような条件から Cavity の長さ L は 10cm とした。
安定さから共振器は可能なかぎり短いのがよい。これは L の上限を決める。
sideband 法でロックできる程度 (± 800 MHz) よりも FSR が小さいのがよい。
つまり L は大きいほうがロックをしやすくてよい。これは L の下限を決める。
この二つの条件と Cavity の形による安定度や実用面から考慮して、L=10cm、直径を 4.5cm にした。FSR は 1.5 GHz になる。sideband lock では、FSR の半分の帯域 (750 MH) があればよい。これは半導体レーザーの電流変調の帯域内 (800MHz) なので sideband lock 可能である。
上記の熱膨張係数から、熱による効果を見積もって見る。0.1K だけ共振器の温度が変わるとすると、共振器は 1 nm 膨張する。そのときの FSR の変化量は 15Hz程度である。今回の STIRAP では、二つの下準位は 120 GHz 程度離れていて、これは FSR80 本分であるので二つのレーザーは 1.2 kHz の相対周波数の shift しかない。前章で示したように二つのレーザーの相対周波数は 30kHz 程度あればよいので、今回の実験に関しては熱による効果はほとんどないと考えてよい。しかし、Feshbach 分子から振動基底分子を生成するときには、二つの下準位の周波数差は 120 THz 程度なので、0.1 K の熱の shift による二つのレーザーの相対周波数 shift は 1.2 MHz 程度となる。この場合には、さらなる温度調節をしたり、原子を reference にして Cavity の共振器長を安定化したり、また ULE というある温度でさらに熱膨張係数が小さい物質で Cavity を作るなどして、二つのレーザーの絶対周波数を安定化する必要がある。
また、Cavity 製作には高反射率のミラーが必要である。ミラーの反射率が大きい
ほど Cavity の共鳴線幅は細くなり、lock するときのエラーシグナルが鋭くて S/Nがよくなる。香取研究室の実験結果を参考にさせてもらい、広帯域 (600 nm〜
900 nm) で反射率が 99.9 ％程度であるものを選んだ。測定によりこの共鳴線幅は500kHz であった。先行研究 [38] では共鳴線幅が 1 MHz の Cavity にたいし、レー24

第 3 章 実験装置及び光源の開発
ザーの線幅を 30kHz 程度に狭窄化できたので、今回の 500 kHz という共鳴線幅は十分に SN がとれると期待できる。しかし、今回使ったミラーはロスも大きかった。ロスがないときは反射や透過のスペクトルは 100 ％であるのに対し、今回のミラーで作った Cavity の反射のスペクトルは観測したところ 23 ％程度であった。
PZT については、円筒状で、できるだけ薄く (薄いほど周波数応答性がよい)、
500 V 程度で 1FSR をカバーするという条件で選んだ。この PZT は株式会社富士
セラミックス製のものでその Pb(Zr・Ti)O3 系・ソフト材の C-8 である。形状は、厚さ 2 mm、外径 30 mm、内径 10 mm である。等価圧電係数は 627 × 10−12 m/V
であり、電圧を V、等価圧電係数 d とおくと、電圧に対する PZT の膨張 ∆L はお
およそ次の式で表される。

∆L = dV(3.7)

これによると、795 nm の光に対し 650 V 程度で 1FSR をカバーすることができる。

Transfer Cavity の作図
図 3.1 はスーパーインバーを加工するための作図である。

3

45

10

3

Φ8

Φ 10

Φ 3.5 & M4 タップ ×３
図 3.1: Super Inver Cavity の作図
図は円筒状のスーパーインバーを横からと、筒の平面を見たものになっている。
円筒軸上に穴を開けていて、ここが光が通る光軸となる。円筒の側面にも穴を開けてあるがこれは真空を引いたとき中の空気も引けるようにするためである。平
面側はミラーなどでふさがった状態になるので、この通気穴がないと中に空気が残ってしまい、バーチャルリークを起こしイオンポンプが作動範囲外となってしまう。また、空気穴が光が通る穴よりも 2mm 小さく設計されているのは、同じ程度の穴を空けてしまうと、加工の際にエアポケットを作ってしまう可能性があるからである。左の円筒平面の上のほうに溝が描かれてある。これがないと、円筒25

第 3 章 実験装置及び光源の開発
状 PZT の電極が平面側にあるために、インバーと PZT の電極が接してしまい電
極をカプトンコートワイヤ (高真空、高電圧用) によって取り出してこられないためである。
図 3.2 は PZT、ミラー、バイトンゴム、アルミ製の接着具を示していてまた、図3.3 は接着具のみの作図である。

9.6
3.3

PZT

10

入射光
䝞䜲䝖䞁䝂䝮

5

26.4
31

接着具

3.3
11.2
16.2

ミラー

図 3.2: PZT、ミラー、バイトンゴム、接着具の作図

ネジの通し穴

Φ31

19

45

Φ4.3 120°
Φ10

Φ26.4

光の通し穴

外側

内側

接着具
図 3.3: 接着具の作図
アルミ製の接着具でバイトンゴム、ミラー、PZT を覆うようにふたをして、アルミの接着具のネジの通し穴からネジを通し、スーパーインバーにあけられたタッ
プでネジを締め、固定する。順番は、スーパーインバー側から PZT、ミラー、バ26

第 3 章 実験装置及び光源の開発
イトンゴムである。蓋をされたミラーと、アルミの接着具の間に密閉された空間ができるので、接着具の側面にも穴を空けておく。
図 3.4 は２つのインバーを vacuum chamber にコンパクトに入れるための台具を示している。

Chamberの筒

バイトンゴムInvar を乗せる
台具

25.2
4.76
8.43
11.79
17.73

除振、断熱用の

4

18.72
14.57
11.52
7.39

97.4

6.03

82.91
76.88
53.49
29.42

3

46.7

Invar

65.19
71.12
74.48
78.15

Chamber挿入時に使う
リード用のネジ棒

図 3.4: 2 台のスーパーインバー Cavity と台具

Cavity はバイトンゴムにより台具と断熱されて、さらに台具もバイトンゴムを介し chamber と断熱されている。バイトンゴムは同時に振動除去の効果もある。
台具はアルミ製で比重が小さい物質であるが、それに比べてスーパーインバーは高い比重をもっているので、重量的には安定である。
Transfer Cavity の製作
Transfer Cavity に使われているスーパーインバーは、加工が非常に難しい。金属加工のしやすさにおいて、材料の性質としては次の 3 要素が重要である。
1. 硬さ
2. 粘着性3. 熱伝導率27

第 3 章 実験装置及び光源の開発
インバーは硬い、粘度がある、熱伝導率が悪いと加工しにくい要素をすべて満たしている。特に熱伝導率が悪いことにより、加工に使う刃が焼きついてしまいやすい。そのために、油を使って絶えず、冷却かつ潤滑を行わなければいけなかった。もちろん、ネジ切りでタップをあける際も、進んだり戻ったりし、かつ油を加えつつ慎重にゆっくりと行うことが重要であった。１度ネジを切ってしまったが、その際は放電加工機を使い、ネジ穴に残ったネジの部分だけを焼くことができた。
そして加工の最後の仕上げには、研磨剤 (ピカール) を用いて表面の細かい凹凸をなくした。なぜなら細かい凹凸はエアポケットを作りやすく、vacuum chamber に挿入したときにリークが問題になるからである。

Transfer Cavity の組み立てと vacuum chamber への挿入
すべての製作が終わった後、vacuum chamber に Transfer Cavity を挿入した (図3.5)。光学定盤上で場所を取らないように、Ion pump(8l/s) や Angle valve は chamber の上に取り付けた。また振動対策のために、図のように chamber をネジ棒で担ぐようにして、そのネジ棒の下に防振用のゴムを敷いた。

Angle valve

385.7
70
38
100

105

55

210
289.2

図 3.5: Vacuum chamber
また実際に使った部品と Chamber の完成図を以下に載せる。ここで作った Cavity
を Transfer Cavity 2 とする。

28

10

86.2

19.8 19.8

108.09

47.09

55

M6

137.3

38
70

70
38

10

45

10

152.4
101.6
97.4

10

70

70

77.3

231.7

170

133

206

64

8l/s
Ionpump第 3 章 実験装置及び光源の開発

図 3.6: Transfer Cavity 2 製作に用いた部品。左上から右にかけては、Cavity を乗せる台具、Cavity の本体となる Invar の筒、カプトンコートワイヤーを半田付けした後の円環型 PZT を示す。左下から右にかけては、接着具を押さえるネジ、電極線（カプトンコートワイヤー）のコネクタ、Chamber を支えるネジ棒を示す。

29

第 3 章 実験装置及び光源の開発

図 3.7: Transfer Cavity 2 が入っている Vacuum Chamber の全体図

3.1.2

外部共振器型半導体レーザーの製作

もちいる外部共振器型半導体レーザーは Littrow 型とよばれる配置である。LDから出射された光は、回折格子によって回折され一部 LD のほうに戻ってくる。これが外部共振ととばれるゆえんであり、これにより LD の線幅と発振閾値が小さくなる。回折格子の裏側には PZT が接着されており、PZT に印加される電圧を変えることにより共振器の長さを変えて発振周波数を制御できる。また後に配置されている金属ミラーは、LD から出射される光の光軸が変わってもそれが変化しない
ように幾何学的に補正する役割がある。
次に LD の配線について説明する。ここで使われている Bais T と呼ばれる方法
により、低周波数と高周波数を同時に制御することが可能である (図 3.8)。

30

第 3 章 実験装置及び光源の開発

Lock circuit
AC
DC

1䃛F

䣋䣰䣶䣧䣰䣵䣫䣶䣻䢢䢪䣣䣴䣤䢰䢢䣷䣰䣫䣶䣵䢫

AC

100䃛H

䢳䢰䢲
䢲䢰䢺
䢲䢰䢸
䢲䢰䢶
䢲䢰䢴

LD
Current
Modulation

Current
Source

䢲

䢷䢲

䢳䢲䢲
䣏䣊䣼

䢳䢷䢲

䢴䢲䢲

Current modulation 䛻䜘䜛
SidebandⓎ⏕

図 3.8: 左は LD の Bias-T による配線で、右は Current Modulation による sidebandの発生の例である。
なぜなら、コイルは高周波数成分、コンデンサーは低周波成分をカットするよ
うなインピーダンスを持っているからである (各々i ω L、1/i ω C)。低周波数側には LD を駆動するための電流源を配置する。高周波側には sideband を発生させるための Function Generator と後述する電流 feedback の回路が設置される。

3.1.3

電流 feedback による発振線幅の狭窄化

この節ではまず、Function Generator によって sideband 周波数成分を発生させその発生効率を計測した実験について説明する。そして、その sideband 周波数成分をもちいて、電流 feedback により Transfer Cavity に lock し、LD の発振線幅を狭窄した。そのときの線幅を計測した結果を示す。

31

第 3 章 実験装置及び光源の開発

sideband 周波数成分の発生と発生効率の計測
Function Generator でコンデンサーを介して LD の電極に Modulation 電流を印加すると、sideband 周波数成分が発生する。電流源を介した Current Modulationを行わない理由は、電流源は周波数応答速度が遅くて Modulation がかけられないのと、そもそも電流源にはノイズがあり、それを取り除くためにローパスフィル
タを入れなくてはいけないからである。前述した Bias-T を使うのも、このためである。その典型的なものを図 3.8 に示してある。強度が小さい sideband 周波数成分を、発振線幅狭窄化 feedback lock にもちいて、中央の carrier 成分を実験になどに使う。以下の図 3.9 は sideband の発生効率の周波数応答性を示している。このように〜800MHz の高周波まで Gain を得るには、配線を全て同軸ケーブルにすることが重要であった。

䢵䢲

䢵䢷
䢵䢲

䣵䣫䣦䣧䣤䣣䣰䣦䢢䢱䢢䣥䣣䣴䣴䣫䣧䣴䢢凘䣵䣫䣦䣧䣤䣣䣰䣦䢢䢱䢢䣥䣣䣴䣴䣫䣧䣴䢢凘

䢴䢷

䢴䢲

䢳䢷

䢳䢲

䢷

䢴䢷
䢴䢲
䢳䢷
䢳䢲
䢷
䢲

䢲
䢲

䢴䢲䢲

䢶䢲䢲

䢸䢲䢲

䢲

䢺䢲䢲

䢴䢲䢲

䢶䢲䢲

䢸䢲䢲

䢺䢲䢲

䣵䣫䣦䣧䣤䣣䣰䣦䢢䣨䣴䣧䣳䣷䣧䣰䣥䣻䢢䢪䣏䣊䣼䢫䣵䣫䣦䣧䣤䣣䣰䣦䢢䣨䣴䣧䣳䣷䣧䣰䣥䣻䢢䢪䣏䣊䣼䢫

1st LD for Transfer Cavity lock2nd LD for STIRAP䢳䢲䢲䢲

図 3.9: sideband の発生効率の周波数応答性 : 左側が Transfer Cavity を lock する
ための LD で右側が実験レーザーである。

32

第 3 章 実験装置及び光源の開発
発振線幅の狭窄化と線幅の計測
我々は発振線幅を狭窄化するために、sideband 周波数成分を用いて Transfer Cavity に LD を lock することにした。
LD に lock する方法を説明する。Cavity から反射した sideband 光を photodiodeで検出する。そして共鳴を観測し、その共鳴信号を FM-sideband 法をもちいて微分信号にし、それをエラーシグナルとして lock 回路にいれる。lock 回路の重要な役割は、高周波の領域 (kHz〜MHz) まで feedback の gain を増幅することである。
feedback の信号は Bias-T を通り、LD に返される。また、低周波数 (〜kHz 以下)については PZT による feedback を行う。この feedback についても、エラーシグ
ナルを分けて同じ回路で行っている。以下に lock 回路を載せる (図 3.10)。

Error In

5p

300

2

Monitor Out
1

+15V

3

50

300

OP470(1)Error Bias
10k
10k

47k
2
2
6

47k

GND 300

Current Feedback On/Off
6

3
AD829

12k

5

3
OP27

15p

10k

100n

490

Current Gain

Current Feedback

2
6

GND

5k

GND

51

350p

1k

100n

3
AD829

LD

5

-15V

100p

GND

GND
GND

PZT Feedback On/Off
PZT Gain

22n

10k

10k
10k

10k

4
5

10k

8
Polarity

13

10

14

10k

6

OUT to PZT

100

3OP470(4)
GND
+15V

OP27
GND
GND
200k

10k
PZT Bias
10k

2

12

OP470(3)OP470(2)
GND

10k

9

7

GND

2
6

200k

DIODE

10k

3
OP27

10k

100n

GND
-15V

10k

10k

Ramp In

SW1-1

GND

図 3.10: 発振線幅を狭窄化するための lock 回路
この方法により、LD の周波数ノイズを抑えることができ発振線幅を小さくする
ことができる。それを確認することと、さらに線幅を狭くするために回路の Gainを調整するためには線幅を観測することが不可欠である。以下は線幅を観測するためのシステムと得られた線幅の図である (図 3.11)。

33

第 3 章 実験装置及び光源の開発

AOM
M

LD

80MHz

䢹

FWHM = 3.4kHz

⮬ᕫ㐜ᘏ
Fiber

10km

䃚/2

䣄䣧䣣䣶䢢䣒䣱䣹䣧䣴䢢䢪䢬䢳䢲䣠䢯䢳䢶䢫䢢䣙

䢸
䢷
䢶
䢵
䢴

䃚/4

䢳
䢯䢴䢲

䃚/2

䢯䢳䢲

䢲

䢳䢲

䢴䢲

䣄䣧䣣䣶䢢䣨䣴䣧䣳䣷䣧䣰䣥䣻䢢䢪䣭䣊䣼䢫Spectrum analyzer
Beat signal

図 3.11: 線幅の観測 : 左が線幅観測の光学系であり右が観測された線幅である。
図 3.11 の線幅観測には自己遅延という手法を用いている。例えばここで、レーザーを 2 本に分け、その片方を AOM で回折させたあともう 1 つの光と混ぜ合わせるとする。その光の Beat を photodiode を用いスペアナで見たとしても、AOM で回折した周波数のところに細いピークが見られるだけで、線幅自体は観測できない。これは細い線幅のレーザーは非常にコヒーレンスがよく、多少時間遅延された光でも元の光を同じように振動する。もとの光からどれだけの距離を伝播させて時間遅延をさせればコヒーレンスが失われるかというのは、コヒーレンス長 LC
で決まる。

LC = CτC = C/∆ν

(3.8)

C は光速、τ C はコヒーレンス時間、∆ν はレーザーの線幅である。これはレーザーの線幅が小さければ小さいほど、コヒーレンスがよいので長い時間、距離を伝播させなければいけないことを示している。STIRAP で用いる線幅は 30kHz 程度なので、我々はそれに対応する 10km の Fiber を使って遅延させることにした。な34

第 3 章 実験装置及び光源の開発
おここで AOM をもちいている理由は、ある程度二つの光に周波数差がないと、スペアナで Beat を観測したときに、信号が低周波成分に埋もれてしまうからである。
得られた線幅は 3.5kHz で、これは 2 つのローレンチアン関数の畳み込み積分で表されているものなので、レーザーの線幅は 1.75kHz である。しかし実際は、用いている Fiber が 30kHz までしか観測できないものなので、線幅は〜30kHz 以下である。我々が得たかった相対線幅は 30kHz 程度であったので、おおよそ当初の目的は達成されたと考えられる。

3.1.4

中心周波数の安定化

ここまでで、sideband 法をもちいて発振線幅の狭窄化 (〜30kHz 以下) に成功した。次は Transfer Cavity を安定化することで実験レーザーの周波数の中心周波数も安定化する。安定化は次のように行った (図 3.12)。

Frequency stabilization system
Reference
Rb 5P3/2
STIRAPSTIRAPRb Gas Cell

Transfer Cavity
ECDL
AOM

…
1.5GHz

ECDL

Ti:S

䃨
Cavity Rb 5P3/2

AOM feedback䃨Cavity STIRAP

図 3.12: 中心周波数の安定化システム : 右側の LD は Transfer Cavity を安定化す
ることが目的である。左は実験レーザーで、Transfer Cavity 用いて周波数安定化
しながら実験に使われる。
右側の LD は Transfer Cavity を安定化することのに使われる。まず sideband に
よって Cavity に LD を安定化し線幅を細くする。その後 carrier 周波数成分で Rb

35

第 3 章 実験装置及び光源の開発の D2 に対し Transfer Cavity を lock する。ロックにもちいたのは Cavity の PZT
で、ロック回路は LD をロックするものと同じタイプのものを用いた。これによって長期の周波数ドリフトを抑えた Cavity ができ、実験レーザーの中心周波数を安定化することが可能になった。
左は実験レーザーで、Transfer Cavity 用いて周波数安定化しながら実験に使われる。左の LD の方は右の LD とまったく同じ sideband 法を用いて安定化される。ただし、右の LD と異なるのは、すでに Cavity 自体も安定化されているので、sidenand法で lock したときには線幅の狭窄化と中心周波数の安定化が同時になされることである。Ti:S レーザーはもともと線幅が 15 kHz 程度と細いので、必要になるのは絶対周波数のドリフトを抑えることだけである。使われている Ti:S レーザーに
feedback を返すことが難しいので、我々は AOM に feedback をし、周波数ドリフ
トを抑え、中心周波数を安定化することにした。
これらの 2 台のレーザーの光を混ぜ合わせて Beat を観測したところ、相対線幅が 42 kHz であることが確かめられた。これは我々が目指していた相対線幅程度である。これで、STIRAP に使うための周波数安定化されたレーザーが 2 本そろったことになる。

3.2

実験装置

3.2.1

真空系

レーザー冷却は back ground との衝突をさけるため超高真空の中で行われる。
今回実験で使われた vacuum chamber の真空度は 5 × 10−10 Torr である。この真空度は磁気光学トラップという手法で K と Rb 原子気体を冷却、捕獲するのに十分な値である。図 3.13 に vacuum chamber の概略図と入射するレーザーなどの配置を示す。MOT 光を入射する大きな窓には波長帯域 600nm〜900nm の無反射コー
ト (Anti Reﬂection Coat) が施されている。レーザー冷却に使われる MOT [37] 光
は、K,Rb にたいしては各々cooling と repumping の計 4 本のレーザーが 3 次元的に 6 方向から chamber 内に入射される (紙面に垂直方向に入射される光は、図に示されていない)。pulse レーザーと Photoassociation レーザー (or EIT レーザー) は
対向して入射される。STIRAP レーザー (or EIT レーザー) と、STIRAP の実験のとき終状態の分子をあらかじめ無くしておくための cleaning レーザーも対向して入射される。後述するように、EIT を行うには二つの光を混ぜて同光軸かつ同偏光にすることが重要である。しかし、EIT の実験では NPBS といって同偏光の光を混ぜ合わせるための光学素子がなかったので、二つのレーザーに少し角度を付けて、別の窓から入射している。図には、Channeltron と MCP が示されている。
後述するように、これらはイオンを検出するための装置である。本実験では MCPを用いる (主に Channeltron を使ったが STIRAP の信号がでる前に channeltron は故障した)。Dispenser は K と Rb の原子源となるものであり、電流を流すことで K

36

第 3 章 実験装置及び光源の開発と Rb が化学的反応を起こしまた熱により chamber 内に放出される。

K : 2KCl+Ca → 2K+CaCl2
Rb : Rb2 CrO4 と還元剤 St101(Zr 84 ％、Al 16 パーセント) の混合物を加熱

E2 vacuum chamber
Cleaning laser
MOT
lasersPulse laser
MOT
lasersChanneltron

Ion pump

K,Rb Dispensers

Multi Channel Plate
(MCP)

MOT
lasersMOT
lasersSTIRAP lasers
PA laseroror
EIT lasers
control laser for EITorProbe laser
for Absorption Imaging

図 3.13: E2 vacuum chamber

MOT コイルはアンチヘルムホルツ型をしている。2 つのコイルの中心が 0
磁場で、各方向に磁場の勾配がついている。磁場の勾配については、光学定盤に垂直の方向は 9.3G/cm で、水平の方向は 4.7 G/cm である。

3.2.2

光学系

本論文の実験で使われる光学系を図 3.16、図 3.17、図 3.18 に示す。
図 3.16 は光会合のためのレーザー (DFB レーザー) を安定化するための光学系である。DFB レーザーは安定化された Transfer Cavity 1 [39] に lock される。その Transfer Cavity 1 を安定化するために、まずは reference となる LD の周波数を37

第 3 章 実験装置及び光源の開発
安定化する。LD は、Rb の Cooling の光に対して PLL 法をもちいて周波数 lock される。その後、安定化された LD をもちいて Transfer Cavity 1 からの反射スペク
トルを観測し、Transfer Cavity 1 の PZT に feedback 信号を返すことで安定化する。そして安定化された Tranfer Cavity 1 に DFB レーザーを入射し、その反射ス
ペクトルを観測する。その feedback 信号を DFB レーザーを駆動する電流源に返し
周波数安定化する。安定化された DFB レーザーは、光会合に使われる。Transfer
Cavity 1 の写真を以下に載せる。

図 3.14: Transfer Cavity 1
図 3.17 は Transfer Cavity 2 を安定化するための光学系である。これが今回製作した Cavity である。Cavity を安定化するためのレーザーの線幅はあらかじめ細いほうがよく、そのためにまず初めに SN のよい Cavity の反射スペクトルをもちいて線幅を細くしたあと、Rb の吸収を見て Cavity を安定化する。前述したように、まず Function Generator をもちいて LD に sideband 周波数成分を起こす。こうして得られた sideband 周波数成分をつかい、Cavity の反射スペクトルを観測して LD を lock する。carrier 周波数については、Rb の D2Line にたいし飽和吸収分
光を行いその feedback 信号を Cavity の PZT に返し、Cavity を安定化する。今回38

第 3 章 実験装置及び光源の開発の実験では、Cavity の PZT の周波数 lock が外れると、Cavity の共鳴線がもとの周波数に戻ってこないということが起こった。これはおそらくミラーと接着具の間にあるバイトンのヒステリシスが原因だと考えられる。このことから、今回の実験では Cavity の安定化は行わなかった。そのかわりに実験中は、Rb の D2Line
を reference にして Cavity の共鳴線の shift を観測し、その shift を戻すように PZTの電圧を調整した。Transfer Cavity の写真を以下に載せる。Chamber の中に２つ挿入されているのが Transfer Cavity 2 である。現在は左側の Cavity のみを使っている。

図 3.15: Transfer Cavity 2
図 3.18 は STIRAP で用いる二本のレーザーを安定化するための光学系である。
二つのレーザーは上記で説明した、Transfer Cavity 2 に安定化される。まず初めにLD の周波数安定化について説明する。前述したように、LD は Function Generator
を用いて sideband を立てた。その周波数成分の光を用いて、Transfer Cavity に lockをして安定化した。carrier 周波数成分に関しては、slave で光強度を増幅し AOMを通った後、chamber 中の極低温気体に入射される。Ti:S については、Cavity lockの光、STIRAP の光、STIRAP の際遷移先となる v”=90 をあらかじめなくしてお39

第 3 章 実験装置及び光源の開発
くのに使う cleaning の光の 3 つに分けた。Ti:S を Cavity に lock する際は、photo
diode で得られた信号を Ti:S の後の AOM に feedback して安定化した。LD との相対線幅については、STIRAP 用と相対線幅観測用で光を PBS によって分けて、高速の photodiode で測る。v”=90 の population を cleaning するのに使うレーザー
は、実験レーザーと同じ周波数になるように AOM を組んである。実験で周波数を掃引するときは、Cavity の前の AOM を用いる。その AOM が掃引されること
で周波数が Cavity の共鳴からずれてしまうが、それは Ti:S のすぐ後の AOM への
feedback によって補正される。これによって Cavity に行く光の周波数はずれないで、STIRAP に使われる光と cleaning の光の周波数が掃引されることになる。

40

第 3 章 実験装置及び光源の開発

PA lock system䈜Transfer Cavity 1

Lockcircuit

PZT
Lock

P

Power
stabilization

AOM

EOM

Slave
Center freq.
stabilization
LockcircuitP

DFB

Beat Lock

P

PHigh speed PD

to PA

P

STIRAP lasers to wavemeter
Low speed PD
To Lock the Cavity
MirrorP䈜䃚/4 waveplate
䃚/2 waveplate
Rb Cooling
Spherical lenslaser
Cylindrical lensBeam sampler
Beat freq. monitor
PBS
P

Prism pair
Freq. monitor

Fiber

Rb Gas Cell

P

Isolator

Beat Lock

EOM

ECDL
Ref. freq.

PLL

図 3.16: 光会合レーザー安定化の光学系

41

第 3 章 実験装置及び光源の開発

Transfer Cavity lock system (1st LD)

Lock
Lock
circuit

ECDL
Saturated absorption
Spectroscopy
to lock the Cavity

Rb Gas CellP

Lock
circuitsidewayss-waveEOMP
To oscilloscope

AOM

P

䈜
Current, PZT feedback
to narrow the LD’s linewidth

PZTPTransfer Cavity 2

To spectrum analyzeer
in order to observe Beat

図 3.17: Transfer Cavity 安定化の光学系

4210km fiber䈜第 3 章 実験装置及び光源の開発

STIRAP laser system
To Chamber
for cleaning

AOM
EOM

AOM

AOM

Lock
circuitLD laserAOM
to observe BeatLockcircuit
P

P

Ti:S
laser

P

EOM

To Chamber
for experiment

AOM

Slave

Transfer Cavity 2

図 3.18: STIRAP 用レーザー安定化の光学系

43

to wavemeter第 3 章 実験装置及び光源の開発

表 3.1: YAG レーザー
波長
最大エネルギー
パルス幅
線幅
ジッター
エネルギー安定性
強度安定性

3.2.3

532nm
425mJ
3〜5ns
1cm−1
± 5ns
± 3.5 ％
±5％

LabView による装置の制御今回行われた実験では、主に LabView プログラムを用いてデジタル的またはアナログ的に各装置を制御した。この LabView code は向山博士 (現上田 ERATO
研究員) が開発したものである。このプログラムは、100µs の時間間隔で装置を制御可能である。

3.2.4

冷却分子のイオン化検出系

MOT 中で生成される極低温原子気体や第 5 章で説明する光会合法によって生成される分子は、pulse レーザーによってイオン化され、MCP(Multi channel plate)によって検出される。検出に使われる pulse レーザーは、532nmYAG レーザーを励起光として色素 (Continium) に入射することで波長可変にしたものである (ローダミン 640)。
この pulse レーザーでイオン化させた分子は、MCP の高電圧-2kV(ground はchamber) にひきつけられ MCP の壁に衝突する。このとき複数の 2 次電子が放出される。これらの二次電子群は出力側にひきつけられながら、ふたたび内壁に衝突し二次電子を放出する。このようにして、イオン化された原子は多数の電子に変換され抵抗を介し電圧として検出される。-2kV ではひとつの channel に 1 つの分子が入射したときのゲインは 7 × 106 程度である。検出電圧は次の式で表される。C は検出板間の容量であり、460pF である。

V = Q/C(3.9)

その後この電圧は、ローパスによりノイズを取り除かれ、amp によりさらに増幅されてオシロスコープにより検出される。しかし、実際の Ion Counts を観測す
るときは得られる信号の積分値 (電圧×時間) を見る。先行研究 [43] から、次のような式が成り立つ。

44

第 3 章 実験装置及び光源の開発

S = GN QR(3.10)

ここで S は積分値、G は Amp のゲイン、N は Channeltron に入射した原子分子の数、Q は (入射したイオンの電荷) × (Channeltron のゲイン〜107 )、R は Channeltron のアノードからアース間の抵抗である。この式からおおよその数を見積もることができる。
図 3.19 はイオン化検出の典型的なグラフである。

㻿㼕㼓㼚㼍㼘㻌㼇㼍㼞㼎㻚㻌㼁㼚㼕㼠㼟㼉

㻜㻚㻞

㻜㻚㻝

㻷㻗

㻷㻾㼎㻗

㻾㼎㻞㻗

㻾㼎㻗
㻜

㻙㻜㻚㻝
㻜

㻝㻜

㻞㻜
㻟㻜
㼀㻻㻲㻌㼀㼕㼙㼑㻌㼇㼡㼟㼉㻠㻜㻡㻜

図 3.19: イオン化検出 : 0µs 付近に見られる信号はパルスレーザーの光によるものである。Pulse レーザーが入射してから K,Rb,KRb,Rb2 の順に検出される。
検出される原子や分子は、電場中を飛行することにより質量 m にごとに分離される。印加されている電場 E が空間的に一様ならば、距離 l の飛行時間 t(TOF)tT OFは次の式で表現される。

√
tT OF =

2ml
eE

(3.11)

我々はこの式を用いて原子または分子種を判別している。例えば-2kV では表 3.2のようになった。K2 についてはいままで検出されていない。

45

第 3 章 実験装置及び光源の開発

表 3.2: 粒子種別の TOF

K
Rb
KRb
Rb2

22 µs
32 µs
39 µs
46 µs

46

第4章

極低温 87Rb 原子の電磁誘起透
明化

この章では、極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化 (Electromagnetically Induced
Transparency;EIT[34]) について述べる。STIRAP では、光を吸収しない状態、Dark
State を作ることが重要である。STIRAP の実験の前に、まずは比較的容易に Dark
State を構築できる Rb 冷却原子気体の EIT の実験を行うことにした。ここまでで発振線幅の狭い光源が準備できたので、それを用いて 87 Rb の EIT の実験を行う。
そして実験で得られたデータに基づき、EIT の透過率や透明線幅の磁場、偏光、
control 光の強度依存性について考察を行う。

4.1

実験の概要

まず実験に使う装置について説明する。次に実験のタイムテーブルや概念図などを用いて実験の概要を示す。

4.1.1

87

Rb : D1Line

今回の EIT 実験で使う準位は、87 Rb の D1Line[35] である (図 4.1)。

47

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

F’=2

305 MHz814 MHz 䃿=5.75 MHz

509 MHzF’=1

377.107463 THz

F=2
2.563 GHz6.834 GHz
4.271 GHzF=1

図 4.1: Rb D1Line : EIT では下準位の F=1,2 と上準位の F’=2 が使われる。
下準位は F=2 と F=1 で 6.834GHz 離れている。上準位は F’=1 と F’=2 で 814MHz離れている。D1Line は励起準位の間隔が広く他の準位の影響を受けにくい。また後述するように、ある条件の下で閉じた系を作ることができるので、EIT の実験に適した準位である。典型的な EIT では 2 つの基底状態と 1 つの励起状態が必要であるが、それぞれ基底状態については F=2、F=１を、励起状態については F’=2を使う。F=2 → F’=2 に対応する光を control 光 (Ti:S) に、F=1 → F’=2 に対応する光は probe 光 (sideband lock された LD) にした。さらに、閉じた系で実験を行うために、入射される 2 つのレーザーの偏光を同じ方向の円偏光にした (図 4.2)。

48

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

87Rb D1 line

Cir cular ly polar ized light

L inear ly polar ized light

F’ =2

F’ =2

Ti:S(Contr ol)

vs

F=2

F=2
L D(pr obe )

F=1

F=1

Closed system

Open systemI deal 3levels system

図 4.2: EIT 偏光

4.1.2

実験の概要

実験のセットアップを図 4.3 に示す。

L D laser (probe)fr om Tr ansfer Cavity table

M OT laser
䃚/2

F

㻵

PD

87Rb M OT

䡚1mKF

Photo detector

䃚/2

Ti:S laser (control)
Fiber from Tr ansfer Cavity table㻵

EI T
F : fiber
PD : Photo detecter

oscilloscope

図 4.3: EIT のセットアップ49

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

Rb は定常 MOT によって捕獲、冷却され、その典型的な密度は 1010 cm−3 で数
は 5 × 108 、温度は 1mK である。EIT を閉じた系にするため、MOT 光は実験の直前に切った。Repump 光が切れた後、100 μ s 程度 Cooling の光を原子に照射することで、原子を F=2 から F=1 に遷移させた。MOT コイルも同時に切ったが、後述するように MOT コイルを切ってから 10 ms 後に EIT を行ったほうが条件がよ
くなり透過度が増えることがわかった。その後、〜800 μ m に集光された control
光と probe 光を Rb-MOT に対し同時に入射し、probe 光の周波数を AOM を用いて 32 MHz を 200 μ s かけて掃引した。そのときの probe 光の強度変化を photodetector を用いて観測した。
874.2

極低温 87Rb 原子の電磁誘起透明化 (EIT) の実験

まず初めに実験の手順について説明する。実験では、残留磁場による透過率への影響、透明線幅の control 光強度依存性を観測した。最後にその結果、考察を報
告する。

4.2.1

実験手順

以下に EIT の実験に至るまでの手順について説明する。特に重要となるのは、2つのレーザーの周波数を選定することである。
まず初めに、F=1 の準位にある MOT を初期状態として準備する。その後、原子の吹き飛ばしを観測しながら LD の周波数を F=1 から F’=2 に合わせる (粗調)。
そして Cavity の共鳴線にたいし LD を sideband lock して発振線幅を狭窄する。
次に TI:S レーザーの周波数を合わせる。LD との Beat signal を観測し、その周波数差が F=1 と F=2 の周波数差と同じ 6.834682GHz になるように Ti:S の周波数を合わせる。これで Ti:S の周波数は、F=2 から F’=2 に粗調される。その後、Cavity の共鳴線にたいし Ti:S を AOM による feedback で周波数安定化する。

1 光子離調についてはまだ粗調を行っただけなので、微調を行う必要がある。
そのために、周波数 lock が外れないように Cavity の PZT を電圧を掃引して (下準位間のエネルギー差が比較的小さいため、相対周波数はほぼ維持される)LD による原子の吸収が一番強くなるように調整し、共鳴の中心に周波数を合わせる。
以下の表 4.1 に実験の条件をまとめる図 4.1、図 4.4。

50

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

表 4.1: EIT 実験の条件

Control power
0.8 〜 21.6 mW/cm−2
Probe power
97.3 μ W/cm−2
Control rabi frequency
2 π × 1.35 〜 2 π × 7.33 MHz
Probe rabi frequency
2 π × 0.164 MHz
Relative angle
2.86 degree
Laser polarization
circular polarized light
Probe scan range and speed± 16MHz/200 μ s

䢶䣺䢳䢲

䢯䢸

䣦䣄䣯

䢵

䢴

䢳

䢲
䢯䢶䢲䢲

䢯䢴䢲䢲

䢲

䢴䢲䢲

䢶䢲䢲

䣄䣧䣣䣶䢢䣨䣴䣧䣳䢰䢢䢯䢸䢰䢺䢵䢶䢸䢺䢴䣉䣊䣼䢢䢢䢪䣭䣊䣼䢫

図 4.4: EIT レーザーの Beat signal4.2.2

実験結果とその考察

まず初めに透過度の磁場依存性を観測した図 4.5 を示す。

51

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

EIT after 500us TOF
1.2
1transmission

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

10

15

20

10

15

20

probe laser detuning(M Hz)

EIT after 3.7ms TOF
1.2
1

tr ansmission

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5

0

5

probe laser detuning (M Hz)

EIT after 10ms TOF
1.2
1

tr ansmission

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5

0

5

probe laser detuning (M Hz)

図 4.5: 透過度の磁場依存性それぞれ MOT 光と磁場を切ってから 500 μ s、3.7 ms、10 ms 後に EIT 実験を行ったものである。図の中央付近に現れている信号が EIT の現象である。これらの図を見ると、磁場を切ってから時間が短いほうが透明度が小さいことがわかる。
これは、残留磁場の振動があることで副磁気準位がゼーマン効果により振動し、結52

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化
果的に 3 準位系の 2 光子離調が振動することになり、透明度が減少することを示している。残留磁場の振動とは、急に磁場を切ることでステンレスでできている
chamber に誘導電流が発生することでおきる現象である。実際さまざまな時間で透明度を観測すると、透明度が振動しながら上昇し約 10 ms 後に飽和するのがわかった。したがって、残留振動磁場がなくなる 10 ms 以後から EIT の実験をするのがよい。
次に MOT 光と磁場を切ってから 10 ms 後に、Probe 光を 190 nW に固定し Control 光をそれぞれ 4 μ W、10.6 μ W、16 μ W、23 μ W、40 μ W、116 μ W に
して EIT を行った (図 4.6、図 4.7)。

53

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

EIT with control 4μW
1.2

Transmssion

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

10

15

20

10

15

20

probe laser detuning(MHz)EIT with control 10.6μW
1.2Transmission

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5
0
5
probe laser detuning(MHz)EIT with control 16μW
1.2
1
Tr ansmission

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5
0
5
probe laser detuning(MHz)図 4.6: EIT : それぞれ Control 光が 4 μ W、10.6 μ W、16 μ W のときに得られたデータである。

54

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

EIT with control 23uW
1.2

Transmission

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

10

15

20

10

15

20

probe laser detuning(MHz)EIT with control 40䃛W
1.2
1Transmission

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5
0
5
probe laser detunig(MHz)EIT with control 118䃛W
1.2
1

Tr ansmission

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-20

-15

-10

-5
0
5
Probe laser detuning (MHz)図 4.7: EIT : それぞれ Control 光が 23 μ W、40 μ W、116 μ W のときに得られたデータである55

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化図をみてわかるように、吸収の幅よりも十分に細くかつ、透明度も高い信号を得ることができたので、本章の実験の目的であった光を吸収しない状態、Dark Stateの構築に成功したといえる。
EIT の実験では、一般的には Probe の光は原子の状態を変えないような非常に弱い (1pW 以下 [36]) 状況で行うのが好ましい。しかしこの実験では、Photodiodeで観測する S/N をよくするためにかなり高めの条件で行っている。そのためにControl の光がない場合には、10 μ s 程度で F=1 にある原子が F=2 に Pumping
され、Probe の光が透明化されてしまった。Probe の光よりも十分強い Control の光がある場合は、今度は F=1 への Pumping が多くなり、Probe 光で F=1 の吸収を見るときには常に大きな OD が得られた。また実験時間は、上限をその時間ス
ケールではノイズが小さなることを基準に、下限は EIT が起こりコヒーレントな状態ができる時間 (1/Ω Control ) よりも十分大きいことを基準に 200 μ s に設定した。この結果の解析ではまず、引き算により自然放出光と Control 光とバックグラ
ウンドの光を取り除いた。しかしまだ、Probe の光として使っているのは LD なので sideband が生じていて、この光が EIT の信号に対するオフセットになっている。
そこで、Cavity の共鳴の光を観測して、Function Generator を切って sideband があるときの carrier 成分は 116 mV で、sideband があるときは 96 mV であったので、sideband があるときのその光が占める強度の割合が 100 × 20/116=17 ％とわ
かり、それをオフセットして取り除いた。
また実験では 1 光子離調が 0 よりも、1 MHz 程度離れていあるほうが透明度がよくなることが確認された。この現象は、1 光子離調が小さいときには実励起を生じる原子の割合が大きくなることで透明化を生じる割合が小さくなり、離調があるときには実励起の割合が少なくなる効果と考えられる。最大となる透明度については、離調がついて実励起の割合が少なくなることで透明度の割合が上がることと、離調がついて 2 光子ラビ周波数が取れなくなり透明度が下がることの兼ね合いで決まると考えられる。 また図 4.6 の Control 光が 16µW のときには透明化の信号が非対称になるのが観測された。これは二つのレーザーの 1 光子離調が有限であると起こる現象で、第二章で示したように理論上でもこのようになることが確認されている。
次に、観測された EIT の幅をラビ周波数に対してプロットした図 4.8 を示す。

56

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化

5)zHM( htdiw TIE

4

3

2

1

0

2

4

6

8

Rabi frequency of control light (MHz)図 4.8: EIT の周波数半値全幅のラビ周波数依存性 : Control 光を 4 μ W、10.6 μW、16 μ W、23 μ W、40 μ W、116 μ W で実験したものをダブルガウシアン
で ﬁt した。そして周波数半値全幅を求めて、それをプロットしてある。
ラビ周波数は Control 光のものであり、そのラビ周波数の計算の際には、3 準位系を形成している各々の準位の遷移強度の平均をとっている。定性的に考えると、EIT の幅は AC シュタルク効果で分裂する幅、つまりラビ周波数程度の幅だとす
ると結果もそのオーダーになっていることがわかる。第二章の理論によると、理想的な 3 準位系での EIT の χ′′ の半値全幅は次の式のように表される。

ΓEIT =√(
2γ1Ω2c /2γ12 + 1 −

)1/2

√

Ω2c /γ12 + 1(4.1)

ﬁtting はこの関数で行った。この式はは χ′′ の半値全幅を表しているが、実験で対応する幅はガウシアンで ﬁtting したときの 1/e の全幅である。図のエラーはガウ
シアン ﬁtting したときの標準偏差である。Ωc は Control 光のラビ周波数で、γ1 はD1Line の励起準位の自然幅の半分で 5.75/2 MHz である。Ω ≪ γでは、FWHM
はΩの 2 乗で立ち上がり、Ω ≫ γ 領域では FWHM はΩに比例する。これは EITの特徴のひとつであり、Ωの 2 乗で立ち上がる様子が、実験結果から見てわかる。
57

第 4 章 極低温 87 Rb 原子の電磁誘起透明化
以上の結果より、Dark State を形成し EIT を観測することができたと言える。
したがって、我々が構築した相対線幅を狭窄化するシステムは適切に働いていると考えられるので、これで STIRAP の実験の準備が整ったことになる。

58

第 5 章 41K87Rb 分子の誘導ラマン断
熱遷移 (STIRAP)
我々は、C-MOT(compressed MOT) 中の 41 K と 87 Rb を光会合 (Photo Association) させることで振動準位 v”=91 の 41 K87 Rb 分子を生成し、STIRAP によって、v”=90 に遷移させることに成功した。 本章では、まず実験の動機について述べる。次に実験の概要を説明する。その後、節 5.2 で光会合により v”=91 の分子を生成させる実験の詳細について説明する。節 5.3 では 2 本のレーザーの相対線幅の狭窄化、節 5.4 では v”=91 と v”=90 の周波数選定について述べ、最後に STIRAPの実験とその結果について述べる。

5.1

実験の動機

我々は将来的に、振動基底状態の極低温極性 KRb 分子を生成したい。そのためには、Feshbach 分子から STIRAP をもちいて振動基底状態に状態遷移させる方法が有力とされている。なぜなら、まず Feshbach 共鳴をもちいることで原子気体を高効率で分子にすることができる。束縛状態になることで、分子の励起準位との遷移強度があがり、STIRAP という高効率の光学遷移を使うことが可能になるからである。本研究は上記の目的のために、STIRAP による、極低温 KRb 分子の状態遷移を実証することである。用意する極低温 KRb 分子は、容易に生成することができ、かつ遷移強度のとれる光会合された X1 Σ+ の振動準位 v”=91 分子である。遷移先の準位は比較的遷移強度の強い v”=90 を選んだ。

5.2

実験の概要

STIRAP の実験で用いる内部状態、実験のセットアップ、time procedure をそれぞれ図 5.1、図 5.2、図 5.3 に示す。
今回我々は光会合で生成された KRb 分子に対して STIRAP を用い、励起準位をΩ=0+ として振動状態 X1 Σ+ の v”=91 から X1 Σ+ の v”=90 へ遷移することに成功した。用意する極低温 KRb 分子は、容易に生成することができ、かつ遷移強度のとれる光会合された X1 Σ+ の振動準位 v”=91、回転準位 J=2 の分子である。遷移先の準位は比較的遷移強度の強い v”=90、J=2 を選んだ。まずはじめに59

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

L D (probe) and Ti:S (contr ol)
fr om Cavity? table(cf. p??)F

41K 87Rb C-M OT laser

604nm
Pulse laser

䃚/4

Ti:S (cleaning )fr om ??

㻵

F
41

+ +
+

87

K Rb
C-M OT䡚100uK

Channeltr on-2kV

PA laserfr om TA (cf. p??)㻵F : Fiber
PD : Photo detecter
PA : Photo association
C-M OT : compr essed M OTTOF 䡚39us
Amp
??dB
K Rb+
Pulse laser
oscilloscope

図 5.1: STIRAP 実験のセットアップ
同時磁気光学トラップされた K、Rb 原子集団に対し、光会合レーザーを入射することで v”=91 の KRb 分子を生成した。STITAP に用いるレーザーの相対周波数安定化するために、高真空中の共振器を用いて周波数安定化を行った。そして励起準位をΩ=0+ 、J=3 として、v”=91 の分子から励起するレーザーの周波数を固定したまま、エネルギー的に 4.4cm＾− 1 離れた v”=90 へと落とすレーザーの周波数を掃引することで STIRAP を行い、２光子共鳴条件において v”=90 の分子の数が増加することを確認した。

5.3

光会合による分子の生成と検出

5.3.1

光会合

近接する２つの原子に共鳴条件をみたす周波数に光を入射すると、原子はその光を吸収し光会合 (photo association) をし、電子的励起分子 (a bound, electronically
excited molecule) を形成する。励起状態に生成された分子は自然放出を介し、一部は２つの原子の状態に戻り、一部は電子的基底状態分子を形成する。 レーザー冷却させた原子気体は、ドップラー広がりが励起準位の自然幅 (〜2 π× 10MHz)より小さいため、常温の原子気体に比べ効率的に光会合が可能で、かつ光会合でもちいる励起準位を高分解能で分光可能なサンプルである。 我々が光会合でも60

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

Pulse Ionization

䃈=0+
K(42S1/2) + Rb(52P1/2)

PA䠄⮬↛ᨺฟ䛷ศᏊ䜢స䜛䠅

Pump 4 mW

K(42S1/2) + Rb(52S1/2)

Stokes 4 mW
W

-12.6 cm-1

- 4.46 cm-1
V䇿=91

V䇿=90

図 5.2: STIRAP で用いる準位の構造
ちいるのは K(42 S1/2 )+Rb(52 P1/2 ) を起源とする分子ポテンシャルであり、その中のΩ=0+ 、J=1 である。

5.3.2

C-MOT(compressed MOT)

光会合によって分子を生成するには、温度は低く、密度は高い必要がある。実際
我々は、定常 MOT のように温度が高く密度が低い気体に対しては、41 K87 Rb 分子を生成することができなかった。Connecticut や Yale のグループは Dark-MOT を用いて光会合を行っているが、我々は、それと同程度の温度、密度、数が得られる
C-MOT という手法を得ていたので、C-MOT で光会合を行うことにした。C-MOTとは、時間的に磁場勾配を大きくし密度を高め、光の強度を下げ、離調をとることで冷却する手法である。C-MOT で得られた温度、密度、数を以下の表に示す。

5.3.3

生成された分子の検出

我々は、C-MOT の途中から最後にかけて光会合レーザーを入射し分子を生成させた。生成された分子は、励起準位を介し 2 光子イオン化される。その後イオンは、負の高電圧 (〜2kV) により channeltron にひきつけられて、電圧に変換され

61

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

Repump oﬀ → Cooling oﬀ (F=1に溜まる)
CMOT
PA
9ms
ν ‘’=90 Cleaning

10ms

STIRAP

Stokes
Pump

〜3us

Pulse
Detection

9Hzで繰り返し

図 5.3: STIRAP 実験のタイムテーブルてオシロスコープにより観測される。第 3 章で述べたように、41 K87 Rb 分子と同時に、41 K、87 Rb 原子もイオン化されるが, 電場中を飛行させることにより各々の粒子を質量によって時間分解できる。時間分解された 41 K87 Rb 分子の時間部分だ
けを積分値に直してデータとして取った。 光会合レーザーの周波数を lock して、
pulse レーザーの周波数を掃引すると、基底状態の振動準位に生成された分子を観測することができた。STIRAP で初期状態として用いる状態はもっとも生成効率のよかった v”=91、J=2、終状態はその次に生成効率のよかった v”=90、J=2 にした。
表 5.1: 41 K、87 Rb の C-MOT

41
87

K
Rb

温度 (μ K)10040

密度 (cm−3 )1011
5 × 1011

62

数
108
5 × 1011

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

5.3.4

光会合の最適化

光会合の生成効率は、温度が低く、密度が高い C-MOT が終わる時間帯がよいと考えられる。よって光会合レーザーはその時間帯付近に照射するのがよい。
C-MOT の途中から最後までの 9 ms の照射で光会合が最高になるのを観測した。
その後、理想的な 3 準位系にするために、光会合レーザーを切った。光会合の実
験的な性質については、付録に記載する。

5.4

Depletion spectroscopy による周波数選定

ここまでで、光会合の効率を最適化し、v”=91(始状態) と v”=90(終状態) に生成された分子を検出するところまでできた。 次にすることは、STIRAP で使う 2 本のレーザーの周波数を選定し、安定化させることである。まずはじめに、
depletion spectroscopy について述べる。その後に、v”=91 に照射するレーザーの周波数選定について述べ、最後に v”=90 に対する周波数選定について述べる。

5.4.1

depletion spectroscopy

原子気体の分光の場合は、自然放出や吸収の観測という方法で分光を行っている。しかし、C-MOT 中において光会合で生成された分子気体は数が少なく、また分子は一般的に光学遷移強度が弱いため上記の方法は用いることができない。 そこで我々は、pulse レーザーを用いて光会合分子をイオン化して、channeltron を用いて検出する方法を取っている。 ただ、pulse レーザーは線幅が広い (〜1.5GHz)
ために、超分解能の分光 (〜MHz) を行うことができない。そこで我々は、depletion
spectroscopy という分光を行った [24]。depletion spectroscopy では、検出する pulse
レーザーの周波数は population を観測したい準位に対応する周波数にあわせておく。その後線幅の細い cw レーザーを入射して、その周波数を掃引する。励起準位に cw レーザーの周波数が近づいてくると、基底状態にある分子は原子の吸収と同じように励起を起こす。ここで重要なのは、分子は多くの振動回転準位を持っているので、励起された分子は自然放出を介し別の振動回転準位に遷移し、もとの基底状態の population が減少することである。もちろん、pulse レーザーで観測しているのは、もとの基底状態にある分子の数なので、その減少を電圧として観測することができる。 このように、線幅の細い cw レーザーの周波数を掃引することで分子が減少するのを観測する分光法を、depletion spectroscopy という。分解能は理想的には cw レーザーの線幅で決まる。depletion spectroscopy で得られる
signal の線幅、ラビ周波数については付録で議論する。

63

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

周波数選定

5.4.2

：

v”=90、v”=91

v”=90、v”=91 と励起準位 0+ 間の周波数の選定を行う。原子の準位 K4S1/2 +Rb5S1/2
から励起準位の周波数は光会合の実験から 12570.15cm−1 とわかった。あと必要なのは、v”=90 の束縛エネルギーである。それは理論計算から得られたものと、実験で得られたものと比較すると、よい一致を確認できた。
ただし、この実験では pulse レーザーを用いているので、STIRAP で必要とされるほど精度よく周波数の選定ができていない。また使っている波長計の精度 (〜0.01 cm−1 ) が STIRAP の実験で必要とされる精度 (0.001cm−1 ) よりも低いので、
波長計を見ながら精度よく周波数選定を行うことができない。
よって、実際に使う準位について精度よく周波数選定するために、前節で説明した depletion spectroscopy を用いて周波数選定を行った。
まずは v”=90 の周波数選定について述べる。C-MOT と光会合の間中、Ti:S レー
ザーを depletion レーザーとして入射しておく。ビーム径は 500 μ m で強さは 10
μ W であった。分子の生成から検出までを 9Hz の繰り返しで行っているが、その繰り返しの間、Ti:S レーザーの周波数を 10 MHz/s で掃引した。その結果を図 5.4に示す。このようにして分子の減少を観測しながら周波数を選定を行い、その直後 Ti:S レーザーの周波数を共振器にロックした。この方法での周波数選定の精度
は約 30 MHz 程度である。
䢴䢶䢴䢴䣋䣱䣰䢢䣅䣱䣷䣰䣶䣵䢢䢪䣣䢰䣷䢫

䢴䢲
䢳䢺
䢳䢸
䢳䢶
䢳䢴
䢳䢲
䢺
䢳䢴䢷䢺䢹䢰䢳䢷䢹 䢳䢴䢷䢺䢹䢰䢳䢸䢲 䢳䢴䢷䢺䢹䢰䢳䢸䢵 䢳䢴䢷䢺䢹䢰䢳䢸䢸 䢳䢴䢷䢺䢹䢰䢳䢸䢻 䢳䢴䢷䢺䢹䢰䢳䢹䢴䣆䣧䣲䣮䣧䣶䣫䣱䣰䢢䣮䣣䣵䣧䣴䢢䣹䣣䣸䣧䣰䣷䣯䣤䣧䣴䢢䢪䣥䣯䣠䢯䢳䢫
図 5.4: Depletion spectroscopy : v”=9064

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)
次に v”=91 の周波数選定について述べる。この準位に対して使うレーザーは第３章で述べた外部共振器型半導体レーザーである。ビーム径は 500 μ m で強さは 20 μ
W であった。周波数の選定は基本的には上記と同じ手法だが、ここでは depletion
を行うときの周波数掃引を Function Generator を用いた sideband sweep で行った。典型的な信号は図 5.4 と同じような信号になった。このようにして sidebandの周波数を 150MHz に確定した。そして sideband の周波数を共振器にロックする
ことで実験で用いるキャリア周波数を安定化した。このとき sideband を発生させるために LD に印加した強度は 6dBm だった。
ここで、使った Transfer Cavity 2 の性質について述べておく。実験で使うレーザーとは別に、sideband を立てた外部共振器型半導体レーザーを用意した。
このレーザーを用いて、キャリア周波数成分をもちいて Rb の飽和吸収分光を行い、sideband 周波数成分をもちいて共振器の安定度を観測した。その結果、Rb のD2Line(780nm) に対し 10 分で 10MHz 程度ぶん共振器が収縮するのがわかった。
もちろん共振器を原子にたいし安定化すればよいのだが、実際には何かの拍子に安定化のロックがはずれると共振器がもとの長さに戻らない問題があった。したがって実験では周波数を選定した後、共振器を安定化せず、共振器の長さがずれないようにその変動を確認しなければいけない。そのために、約 10 分毎に手動でPZT の電圧を設定しなおして、Transfer Cavity 2 の共振器長が Rb の D2 線にたい
し〜1MHz 以内に保つように実験を行った。

5.4.3

STIRAP レーザーの強度を時間変化させる

STIRAP では 2 本のレーザーを適切に時間変化させることで高効率の遷移が可能である。本実験では AOM に入射する周波数の強度を変えることでレーザーの強度を時間変化させた。その結果を図 5.6 に示す。

65

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

䣎䣣䣵䣧䣴䢢䣒䣱䣹䣧䣴䢢䢪䣣䢰䣷䢫

䢶䢲

䢵䢲

䢴䢲

䢳䢲

䢲
䢲䢰䢲

䢲䢰䢴

䢲䢰䢶

䢲䢰䢸

䢲䢰䢺

䢳䢰䢲

䢳䢰䢴

䣕䣖䣋䣔䣃䣒䢢䣖䣫䣯䣧䢢䢪䪱䣵䢫

図 5.5: STIRAP pulse ; typical data

5.5

41

K87Rb 分子の STIRAP 実験

ここまでで、光会合によって v”=91 に分子を生成すること、STIRAP で用いる遷移の周波数を選定すること、2 本のレーザーの相対周波数を安定化 (50kHz) する
こと、2 本のレーザーを時間的に強度変化させることまでできた。あとは v”=91の分子にたいし 2 本の周波数安定化させたレーザーを入射し、STIRAP をおこな
い v”=90 の分子を検出するだけである。
以下に STIRAP の実験の手順を説明する。

pulse レーザーの周波数を掃引し、v”=90 と v”=91 の分子を検出するための周波数を決める。
pulse レーザーの周波数を v”=90 に合わせる。Ti:S レーザーの周波数を掃引
し depletion spectroscopy を行い、v”=90 ⇔Ω=0+ の共鳴に周波数をあわせて共振器にロックし安定化する。これよりあとは常に共振器の長さを確認しておく。
PBS で分けておいた Ti:S レーザー 200mW を chamber の別ポートから入射し、光会合で生成された v”=90 の分子を cleaning によってなくす。これをするこ
66

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)とは STIRAP の S/N の向上につながる。

pulse レーザーの周波数を v”=91 に合わせる。LD の sideband の周波数を掃引し depletion spectroscopy を行い、v”=91 ⇔Ω=0+ の共鳴に周波数をあわせて共振器にロックし安定化する。
ふたたび pulse レーザーの周波数を v”=90 に合わせる。そして励起準位をΩ
=0+として、v”=91 の分子から励起するレーザーの周波数を固定したまま、v”=90へと落とすレーザーの周波数を掃引することで STIRAP を行い、v”=90 の分子をイオン化検出する。
以下に実験の条件をまとめておく。
表 5.2: STIRAP 実験の条件

Stokes power
Pump power
Cleaning power
Stokes wavenumber
Pump wavenumber
Stokes scan range
Max Ioncounts (v”=91)
Max Ioncounts (v”=90)
two photon detuning

5.6

128mW/cm−2
128mW/cm−2
40W/cm−2
12587.16 cm−1
12582.70−1± 40MHz〜15(± 2)〜6(± 2)〜30kHzSTIRAP の実験結果とその考察

図 5.6 が STIRAP の実験結果である。

67

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

1.5

Ion Counts (a. u.)

1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Detuning of Stokes light (MHz)図 5.6: STIRAP 3 μ s pulse ： 縦軸は v”=90 分子のイオンカウントである。横軸
は、depletion で選定した周波数を基準とした detuning を示している。
この図では 18MHz 付近に信号見られるのが、Pump もしくは Stokes レーザーを切ったときにはピークはなくなった。したがってこの信号は、2 光子遷移の結果起きているものであることがわかった。
ここで簡単に、STRAP の遷移効率を見積もってみる。光会合でもちいる準位がJ=1 であので、v”=91 の J=0 と J=2 に分子が生成される。分子をイオン化するための pulse レーザーの線幅が大きいので、イオンカウントはそれらの準位の全ての分子を観測している。depletion の観測結果から J=2 にほとんどの分子が生成されている。また v”=91 の超微細構造は 4 つに分裂していて、光会合で生成される数がそれらの磁気副準位構造に等分配されると仮定する。もっとも縮退が多い F=3 のSTIRAP を行っているとすると、他の副磁気準位にできる分子：F=3 にできる分子は、9：7 となる。また、MCP の観測結果から得られる積分値が分子の数に比例す
ると仮定する。以上の仮定より遷移する前の F=3 のイオンカウントは、v”=91 の68

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)
イオンカウントは〜15 であるので 15*7/16=6.6 程度である。観測結果についてはガウシアンで ﬁtting した結果、STIRAP で得られた信号のピーク値は 0.52 であった。したがって効率は少なくとも 100 × 0.52/6.6=8.5 ％と見積もられる。
また、理論式から効率を求める方法があり、このことについて以下で説明する。
下の図は pulse 時間を変えて IonCounts を測定した実験結果である。

0.50

0.45

)u.a( stnuoC noI

0.40

0.35

0.30

0.25

0.20
2

4

6

8

10

STIRAP pulse time (us)図 5.7: STIRAP で得られた IonCount の pulse 時間依存 : pulse 時間の短い領域の信号の減少は断熱条件の破れの効果である。pulse 時間の長い領域の信号の減少はレーザーの相対線幅の揺れによる影響である。
時間が 10us の時にはピークがなくなり、時間が 5us から 2us にかけてはピークが成長し、1.5us にはピークがほとんどなくなった。pulse 時間の短い領域の信号の減少は断熱条件の破れの効果である。pulse 時間の長い領域の信号の減少はレー
ザーの相対線幅の揺れによる影響である。この振る舞いは、第 2 章で得られた理論式と一致する。
この結果の ﬁtting は、第二章でも示した次の式で行った。

69

第 5 章 41 K87 Rb 分子の誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP)

表 5.3: STIRAP の効率に関する ﬁtting の結果

A
Ω/2π
D/2π
Γ/π

1.16513.4546 MHz
50.155 kHz
12 MHz (ﬁx)

(

)
π2Γ D
IonCounts = A exp − 2 − t
Ωt
2

(5.1)

A は効率が 100 ％の IonCounts のときの最大値である。各々Γ は励起準位の自然√
幅、Ω は二光子の有効ラビ周波数 Ω2S + Ω2P 、t は STIRAP の pulse 時間、D は二つのレーザーの相対線幅である。ﬁt した結果は表 5.3 のようになった。
ﬁtting の結果、最大値の A の値がわかった。したがって、今回の状態遷移の効率は最高で 44 ％程度である。
このことは、SEP(Stimulated Emission Pumping) といった方法で得られる効率
25 ％よりも十分大きな効率の状態遷移に成功していることを示している。したがって我々は極低温極性分子の高効率状態遷移の実証ができたと言える。
また 2 μ s(または 3 μ、1.5 μ s) のときはいくつかのピークが観測できた。これは v”=91 と v=90 の微細構造分裂を表していると考える。この実験は 10 分間
Stokes の周波数を AOM で掃引して行っており、その際 Cavity の共鳴は数 MHz 程度ドリフトしている。したがって正確な値はわからないが、得られたデータから読み取るとこの二つのピークの間隔は 14MHz 程度であった。
この結果は通常は困難とされる、基底状態の振動準位が非常に大きい領域での微細構造の分光が、可能になったことも示している。

70

第6章

研究のまとめと展望

本研究では、Feshbach 分子を振動基底準位に移行する STIRAP でもちいる光を安定化する技術を確立した。また本研究は、光会合により生成された分子に対す
る STIRAP の実証に成功し、STIRAP を利用した超微細構造の精密分光の可能性を開いた。
まず我々は、STIRAP を行うために 2 本のレーザーの相対線幅を必要な 30kHz 程
度まで狭窄化することにした。そこで、Transfer Cavity を製作し、Rb の飽和吸収分光をもちいて Transfer Cavity を安定化した。その安定化された Transfer Cavity
に対し、実験で使う LD と Ti:S レーザーを安定化し、その相対線幅を 30kHz にして、かつ中心周波数のドリフトを抑えることに成功した。
その後、これまでに用意した 2 本のレーザーにより、レーザー冷却された Rb 原子の 3 つの内部状態を用いて EIT を観測に成功した。この結果は、EIT と同じ物
理的背景にある STIRAP に対しても、用意した 2 本のレーザーを用い得ることを示している。
そして最後に我々は、光会合により生成した基底状態 X1 Σ + の振動量子数v”=91、J=2 にある KRb 分子を v”=90、J=2 へと移行する STIRAP を行った。
Raman 遷移の中間状態として光会合に用いたΩ=0+ 、J=3 の準位を用いることで、基底状態との間に十分な遷移強度がとれるようにした。このような条件で、v”=90からの周波数を掃引しながら v”=90 の分子数を観測すると、ある特定の周波数において 1MHz 程度の幅で分子数が増加する様子が観察された。理論式で ﬁtting を行うことで効率を見積もり、44 ％程度で状態遷移ができているとわかった。また、条件によっては、いくつかのピークが観測できた。これは基底状態の超微細構造を表していると考えられる。
Feshbach 分子から振動基底状態の分子を高効率で生成したい。効率を上げるには主に以下の要素が考えられる。

1.Stokes、Pump の強度を上げる。
2.Stokes、Pump の線幅を小さくし、2 光子離調を小さくする。
3.STIRAP の Pulse shape とその時間を最適化する。
4.1 光子離調の最適化
71

1. については、強度をあげることで dark resonance での原子の透明度があがり、また断熱条件を緩やかにすることで、STIRAP 中の実励起を減らす効果がある。2.
については、相対線幅を減らすことでデコヒーレンスの効果を減らすことができる。なぜならそのことは、断熱条件を満たす範囲内ではレーザーの相対線幅はコ
ヒーレンスを保っていなくてはいけないということからわかる。また光の相対線幅を減らすことで、dark resonance のピークからできるだけずれないようにする効果がある。ただし、有効ラビ周波数が十分取れている際、つまり

δtwo photon =√√2Ω/ Γτ ≫ δ(6.1)

を満たすならば、2 光子離調が効率にたいし無視できる。3. については第 2 章で述べたように、pulse の形によって効率が最大となる pulse delay の時間が異なる。最大の効率を与えるのは gaussian であることが示されている。現在用いている pulse は、ﬁtting の結果、理論で考えられているどの形 ([25],[38],[39]) にも似ていなく理論と比べられないので、pulse delay の最適化時間は実験的に決めるのがよい。もしくは、pulse の形を理論にあわせて、delay 時間の最適化を行うのがよい。また JILA の実験では pulse の形は arctan の形をしているので、この形で試すこともあげられる。4. について説明する。単純に考えると有効ラビ周波数は 1 光
子離調を小さくするほど大きくなり離調が 0 のところで効率が最大になると考えられる。しかし離調が 0 のところでは実励起による効果も大きくなるので (おそらく実励起する分子の割合が増える)、一般的には離調が 0 のところで効率が最大にならないと考えられる。実際、第 4 章の EIT の実験では離調が離れたところのほうが、dark resonance の幅は小さいが透明度があがっていることが確認された。したがって、実験的には ∆ を変えると効率が最大になるところがどこかで観測させるはずだが、それは離調が 0 ではない可能性があり、最大になる離調を実験的に探す必要がある。
以上により、我々は Feshbach 分子から振動基底へと移行するのに使う STIRAPの技術を確立したと言える。今後は、移行効率を高める技術とさらに中心周波数を安定化する技術を確立し、振動基底の分子を生成する準備を行う予定である。また、基底状態の振動準位が高い分子に対する精密分光の可能性が開かれたので、この探求に関しても関心がある。

72

付 録A

自然幅

STIRAP の移行効率はレーザーの自然幅に大きく依存している。、ここではまず自然幅の考察を行い [40]、これを相対線幅について拡張しデコヒーレンスの時間依存をもとめて、STIRAP の効率に線幅の効果を取り入れる。

A.1

電磁場の複素振幅表示

レーザーの自然幅はレーザー場の位相の揺らぎから生じる。レーザー場の位相
揺らぎの効果を調べるために、次のようにレーザー場を電磁場を複素振幅をもちいて表現する (図 A.1)。

㻵㼙

l
θ
<n>

㻾㼑

図 A.1: 電磁場の複素振幅表示

E

(+)

(t) =

√

(
)
< n > exp iθ(t) − iν0 t

73

(A.1)

< n > は周波数 ν0 の平均光子数である。ここでは強い光を使っているとして、
振幅揺らぎを無視するものとする (< n(t) >=< n >)。θ(t) が位相揺らぎを表している。この位相揺らぎは励起準位の自然放出から生じるので、ランダムな過程である。振幅の揺らぎは無視すると仮定しているので、図 A.2 のように位相揺らぎ
は軌道方向 l に沿った一次元ランダムウォークである。

A.2

一次元ランダムウォーク

位相揺らぎの一次元ランダムウォークについて考える。まずは離散的な一次元モデルから考える (図 A.2)。

N+

N-

㻸

m

図 A.2: 一次元ランダムウォーク

ランダムウォークの 1 ステップを L とし、前進と後退の確率を 1/2 とする。また
前進回数と後退回数をそれぞれ N+ 、N− とする。m は m = N+ − N− と定義する。
ここで N 回のランダムウォークを考える。N 回のランダムウォーク後に、位置m にいる確率は次のように表される。

√
P (m, N ) ≈

(
)
1
m2
exp −
πN
N

(A.2)

ただし、N>>m>>1 である。
N 回の移動による移動距離 l と、それに要する時間は、

74

x = mL(A.3)

t = Nτ

(A.4)

である。ここで τ は 1 ステップに要する時間である。このとき、時刻 t に l ∼ l +dlの間にいる確率は、

P (l, t) = √

1
πt/τ

(
exp

l2
− 2
L t/τ

)
(A.5)

ここでは l は離散量なので、l/L → l と書き直して連続量にする。また我々の系と対応させるため、ステップ数 t/τ を Γt とする。Γ は自然放出レートを表す。この自然放出はもちろんランダムな過程である。そうすると P (l, t) は、

(
)
1
l2
P (l, t) = √
exp −
Γt
πΓt
√
となる。l = < n >θ なので、時刻 t に ∼ θ + dθ にいる確率は、<n>
P (θ, t) = √
exp
πΓt

(

θ2 < n >
−
Γt

(A.6)

)
(A.7)

となる。さらに、このようなランダムな過程の確率分布は、次のような拡散方程式に従う。

∂P
∂ 2P
=D 2
∂t
∂θ

(A.8)

D は拡散係数である。この方程式に A.7 を代入することで、D =まる。Γ = 4 < n > D として A.7 に代入すると、

(
)
θ2
1
exp −
P (θ, t) = √
4Dt
4πDt

Γ
と定
4<n>

(A.9)

以下では、この確率密度をもちいて自然幅を導出する。

75

A.3

自然幅

次に、2 次の相関関数 < E (−) (t)E (+) (t + τ ) > を考える。式 (A.1) をもちいると相関関数は次のようになる。

< E (−) (t)E (+) (t + τ ) >=< n > e−iντ < eiθ >(A.10)

また、式 (A.9) から、∫iθ< e >=

P (θ)eiθ dθ = e−Dτ

(A.11)

したがって 2 次の相関関数は、< E (−) (t)E (+) (t + τ ) >=< n > e−iντ −Dτ

(A.12)

我々が興味があるのは、実験で測定可能なパワースペクトルである。これは 2 次の相関関数をフーリエ変換することで得られ、次のようになる。

∫ ∞1
S(ν) = Re< E (−) (t)E (+) (t + τ ) > eiντ dτ
π
0
D
<n>
=
π (ν − ν0 )2 + D2

(A.13)(A.14)

これは ν = ν0 を中心として分布するローレンチアン関数であり、半値全幅
FWHM は次のようになる。

νF W HM = 2D

(A.15)

これがレーザーの自然幅 (または線幅) である。自然放出を起源とするランダムな位相ノイズが、レーザーの周波数線幅 2D をつくっていることがわかった。
(−)(+)
またここで、２つの光の相対的な線幅の相関関数 < E1 (t)E2 (t) > について(−)(+)
も考える。E1 (t) と E2 (t) を、)−iθ1 (t) + iν1 t
(
)
√
(+)
E2 (t) = < n2 > exp iθ2 (t) − iν2 t√(−)
E1 (t) = < n1 > exp

(

(−)

(+)

とおくと、相関関数 < E1 (t)E2 (t) > は、

76

(A.16)(A.17)

√(−)(+)< E1 (t)E2 (t) > = − < n1 >< n2 >ei(ν1 −ν2 ) < ei(θ2 −θ1 ) >√= − < n1 >< n2 >ei(ν1 −ν2 ) e−(D2 +D1 )t(A.18)(A.19)

これは、２つの光のコヒーレンスが、各々の線幅の和の逆数で減衰することを示している。

77

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Takahito Tanimura, Akira Furusawa, and Mikio Kozuma.,”Ultraslow Propagation of Squeezed Vacuum Pulses with Electromagnetically Induced Transparency”, Phys.Rev.Lett. 99, 153602 (2007)80

[35] H.Lee, Y.Rostovtsev, C.J. Bednar, A.Javan, ”From laser-induced line narrowing to electromagnetically induced transparency: closed system analysis”,
Appl.Phys.B 76, 33-39 (2003)[36] L.P. Yatsenko, V.I . Romanenko, B.W. Shore, K.Bergmann,”Stimulated Raman adiabatic passage with partially coherent laser ﬁelds”, Phys.Rev.A 65,
043409 (2002)[37] K. Aikawa ”Preparation of ultracold atomic sources towards ground statepolar molecules”[38] シュツゥットガルト大学の大学院生の Markus Farkenau 氏との共同研究[39] ハーバード大学からの留学生の Bartholomew Horn 氏との共同研究[40] Marlan O. Scully and M. Suhail Zubairy: Quantum optics: Cambridge University Press (1997)[41] P. Meystre: ”Atom Optics(邦訳 : 原子光学)” (シュプリンがー・フェアラー
ク東京, 2003)[42] K.-J. Boller, A. Imamoglu, and S.E. Harris, ”Observation of Electromagnetically Induced Transparency”, Phys.Rev.Lett. 66, 2593 (1991)[43] Y. Tanooka, ”卒業論文 冷却原子のイオン化検出”81謝辞
本論文は 2008 年度東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻井上研究室において修士課程に在籍中に行った研究をまとめたものです。本研究の遂行にあたって、多くの方のご指導、ご協力をいただきました。ここに深く御礼申し上げます。
指導教員である井上慎准教授には、２年間という短い間でしたが常に熱心なご指導をいただきました。非常に興味深い研究テーマと恵まれた研究環境を与えて頂き、実験に没頭することができました。また、先生の物理に対する鋭い洞察や、複雑な物事の本質を見抜き明快に説明する姿は、今後の人生においても非常に参考になりました。心よりお礼申し上げます。
ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクト総括である東京大学大学院理学系研
究科物理学専攻の上田正仁教授には、研究に関する多くの意見、アドバイスを頂きました。また、ERATO meeting での私の拙い英語や不明瞭な説明のしかたに対しても、熱心にご指導いただいたことには大変感謝しております。
電気通信大学特任助教の岸本哲夫博士には、斬新で有益なアドバイスを数多く頂いただけでなく、時には楽しい企画をしてくれたり、またいろいろ相談にのってくださいました。大変感謝しています。
小林淳助教とは実験グループが異なったのですが、わからないことがあると親密になって議論に付き合ってくださいました。また、一心不乱に実験に集中する氏の姿に、非常に刺激を受けました。
赤松大輔博士には、物理の奥深さ、実験手法、研究者としての心構え、徹夜の仕方やプライベートにいたるまで様々なことを懇切丁寧に御指導いただきました。
私が実験器具を壊してしまったかもしれないときも、一緒に神社に行きお参りしてくださったことは忘れられません。まだまだ書きたいことがありますが、ここで筆を止めます。
博士課程の相川清隆氏には鋭い物理的洞察、仕事の速さ、豊富な知識にはただただ驚かされるばかりでした。また、本論文の執筆にあたり、非常に丁寧に指導してくださいました。おかげで形にすることができました。
同輩の野田開氏からは、私が持ち合わせていないスキルや確固とした心構えなどから多くの刺激を受けました。夜遅く、時には日をまたいでまで実験や論文執筆に頑張れたのも氏の励ましがあったからです。
修士 1 年の藤掛陽輔氏には、たわいもない話から物理に関する議論などさまざ
まな場面で楽しませてもらいました。また、氏の明瞭なロジックの立て方には刺82

激を受けました。
同じく修士 1 年の山陸芳之氏とは実験グループは違えどお互い励ましあい、よく深夜や徹夜明けの食事をともにしました。思えば、実験が成功した日の朝も氏とともに某丼チェーン店に繰り出しました。
本論文の実験にあたり、現システム量子工学科大橋研究室所属の田野岡祐介氏が作ったイオン化検出プログラム（田野岡プログラム）は非常に役立ちました。現
在は改良を加え、田野岡・赤松プログラムに名を変えています。
4 年生の大島淳氏はいつも元気に満ち溢れていて、その一部をもらっていた気がします。同じ陸上出身者として、話に花が咲きました。
同じく 4 年生の森圭輔氏とは本論文の実験をともにし議論をかわしました。氏の鋭い指摘にはいつも身が引き締まる重いでした。おかげで有意義な時間を過ごせました。
Markus Falkenau (現 シュツゥットガルト大学) 氏とは、2008 年の７月から 10月の間、共同研究し非常に有益な結果が得られました。また、氏の提案がなければ我々は富士山に登っていなかったでしょう。
Bartholomew Horn(現 スタンフォード大学) 氏とは、2007 年の 3ヶ月間、共同
研究し、氏の製作した Transfer Cavity は現在も使われています。
ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクト不確定性制御グループリーダーの東京工業大学の上妻幹旺准教授には、非常に有益なアドバイスを頂きました。また
その物理に対する熱意には刺激を受けました。
同グループの武井宣幸博士（現 分子科学研究所助教）には、物理に関する質問に答えていただいたり、またいろいろ相談にのってくれました。氏が残していった抱き枕は、博士〜卒業論文を書く者にとってのオアシスになっています。
同グループの竹内誠博士には、物理のことはもちろん、研究生活の過ごし方についてまで教えていただきました。
同グループの土井弘大氏（現 京都大学高橋研究室）には、その向上心に刺激を受けました。
ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクト強相関量子制御グループリーダーである向山敬博士には、電気回路など実験に有用なアドバイスを頂きました。
同グループの堀越宗一博士のその強気な姿勢は大いに刺激になりました。また、実験に対する飽くなき姿勢はもちろん、プライベートも充実させるという姿勢は見習うところだと思います。
同グループの五神研究室博士課程 3 年の稲田安寿氏とは机を並べてお互いに論文を執筆しました。氏も博士論文執筆で忙しい中、私の論文執筆を手伝って下さったことに感謝します。
同グループの上田研究室博士課程 1 年の中島秀太氏の洞察や物事をまとめる力
は研究生活において非常に参考になりました。
Pascal Naidon 博士には、理論的研究からさまざまな有益な情報をいただきました。一緒に富士山に登ったことも記憶に新しいです。

83Swarupananda Pradhan 博士、Zhang Peng 博士には ERATOmeeting などで有益な情報を頂きました。
ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクトの山口敦史博士（現 金沢工業大学
教授）は ERATO meeting の発表の際に非常に有益な指摘をしてくださいました。
榎本陽一博士には ERATO meeting やキーワードセミナーでの議論だけでなく、事務的なことについてもいろいろお世話になりました。
佐藤敏彦氏には事務的なことに関してお世話になりました。2008 年の忘年会で氏とともに飲み交わした紹興酒の味は一生忘れません。
塩田美奈子氏には事務的なことに関してお世話になりました。また、ERATO メ
ンバーにたいしてくださったチョコレートのことは忘れられません。
国府田愛氏には事務的なことに関してお世話になりました。ERATO メンバー
に対して行っている英語の勉強会にひょんなことから 1 回だけ参加させていただ
きましたが、そのときの私の拙い英語にも優しく接してくださったことは忘れられません。
本研究は，皆様の暖かいご指導，ご協力の上に成り立っております．ご指導，ご協力くださいました皆様やここに書ききれなかった方々に、改めて深く感謝の意を表します．

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