ÜBERBLICKMAGNETISMUS

Magnetkugeln – ein 10-Euro-Labor
Preiswerte Neodym-Magnetkugeln eröffnen einen erfrischend einfachen Zugang,um Vielteilchen-Wechselwirkungen zu illustrieren.
Johannes Schönke, Wolfgang Schöpf und Ingo Rehberg

Magnetkugeln sind ein inspirierendes physikalisches
Spielzeug. Mit ihnen kann man nicht nur chemische,physikalische und mathematische Fragestellungenillustrieren, sondern auch der Kreativität auf die
Sprünge helfen. So ist es von der Frage nach dem
magnetischen Grundzustand eines mühevoll zusammengesetzten Würfelpuzzles nur ein kleiner Schritt
bis zur Erfindung von Magnetkupplungen ohne
störende Rastmomente.

Gegen Mittag werden wir an einen schwarzen
Berg kommen … das Schiff wird zerschellen
und jeder Nagel wird sich am Berge befestigen,„denn der erhabene Gott hat dem Magnetgesteine die
Kraft verliehen, das Eisen anzuziehen.“ Die Beschreibung des Magnetbergs aus „Tausendundeine Nacht“
belegt, dass die Menschheit schon seit langem vondieser Spielart einer Dipol-Dipol-Wechselwirkung
fasziniert ist. Dies steht im Einklang mit der durch
Didaktiker vertretenen Ansicht, dass sich der Ferromagnetismus besonders gut für den Sachunterricht
in der Grundschule eignet) – dem möchten wir nicht
widersprechen. Die technische Bedeutung des Magnetismus kann man schließlich kaum überschätzen,
wenn wir uns verdeutlichen, dass ein großer Teil deskollektiven Gedächtnisses der Menschheit magnetischgespeichert und abgerufen wird. Die physikalischen
Eigenschaften der Vielteilchen-Wechselwirkung vonMagneten wurden mit Hilfe der kommerziell massenhaft und preiswert verfügbaren Neodym-Kugeln auchfür spielerische Forschungen zugänglich. In diesem
Artikel wollen wir einige solcher Experimente und das
entsprechende theoretische Modell zusammenfassend
vorstellen.
Neodym-Magnet ist die Kurzbezeichnung für eine
im Sinterverfahren hergestellte Legierung aus Eisen,
Neodym und Bor (Nd2Fe14B), die General Motors und
Sumitomo Special Metal 1982 entwickelt haben unddie seit etwa zwei Jahrzehnten als günstige Massenware
erhältlich ist. Als Dauermagnet ist dieses Material stärker als herkömmliche Magnete aus Eisenlegierungen:
Die Remanenz von 1 bis 1,5 T ist zwar nicht größer
als bei anderen magnetischen Materialien. Aber die
Koerzitivfeldstärke von etwa 106 A/m liegt um zwei bis
vier Größenordnungen über der von Vergleichsmaterialien, sodass sie durch äußere Magnetfelder ihre Stärke
praktisch nicht verlieren können. Die magnetische

Magnetkugeln laden zum Spielen ein und eröffnen einen anschaulichen experimen­
tellen Zugang zur Vielteilchenwechselwirkung.

Wechselwirkung ist deutlich größer als ihr Gewicht: So
zerreißt eine meterlange Kette (Abb. ) nicht unter ihrem
Eigengewicht, und selbst ein aufrecht stehender Kugelturm bleibt bis zu einer gewissen Höhe gerade, bevor
er sich unter seinem Gewicht verbiegt (Abb. ).
Zum spielerischen Aspekt seien zwei Warnungenvorangestellt. Die Haltekraft zwischen zwei Kugeln
skaliert mit dem Quadrat des Durchmessers. Dies
führt dazu, dass das Hantieren mit zentimetergroßen
Kugeln aufgrund der unterschätzten Anziehungskraft
häufig mit schmerzhaften Erfahrungen und blauen
Fingern verbunden ist. Kugeln im Millimeterbereichsind in diesem Sinne zwar harmlos, aber dennoch ineinigen Ländern wegen ihrer Gefährlichkeit für Kleinkinder verboten: Das Verschlucken einzelner Kugeln− welche sich im Verdauungstrakt immer noch gegenseitig anziehen − kann zu lebensgefährlichen Komplikationen im Darm führen.

) http://bit.ly/1RQ1NBS

KOMPAK T
Magnetische Kugeln dienen als günstig verfügbares
Anschauungsmaterial für physikalische Wechselwir­
kungen.
■ Die mathematische Modellierung erfolgt durch dieBeschränkung auf reine Dipol­Dipol­Wechselwirkung.
■ Die Frage nach der stationären Anordnung von acht
Kugeln in den Ecken eines Würfels − einem elemen­taren Baustein dreidimensionaler Strukturen − führt zu
956 Gleichgewichtszuständen.
■ Der Grundzustand des Acht­Kugel­Würfels stellt als
Kontinuum eine magnetische Kupplung dar.
■

© 2016 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 161-/16/00-1

Physik Journal 15 (2016) Nr. 4

3

Dr. Johannes
Schönke, Okinawa
Institute of Scienceand Technology,
Graduate University,
Japan; Dr. Wolfgang
Schöpf, Prof. Dr. Ingo Rehberg, Physi­
kalisches Institut der
Universität Bay­
reuth, 95440 Bay­reuthÜBERBLICKde, einem Paradebeispiel für fraktale Strukturen.) Als
relativ einfaches Beispiel erscheint dagegen der Würfel
(Abb. f), auf den wir im Abschnitt über frustrierte Zustände noch genauer eingehen werden.
Eine besonders hervorhebenswerte Kuriosität ist
das „Y“ (Abb. b), das als elementarer Bestandteil eines
magnetischen Netzwerkes angesehen werden kann.
Die drei Äste sind nicht gleichberechtigt. So sindzwei der Winkel gleich, während der dritte kleiner ist– genauer: 143°, 143°, 74° [1]. Entfernt man den ausgezeichneten Ast, so bleiben die Winkel erhalten. Man
hat dann eine Kette, bei der sich an dieser Gabelung
die Dipolorientierung ändert: Die Verbindungskugel
behält die Orientierung des entfernten Astes, weshalb
die Autoren in [1] von einer „ghost junction“ sprechen.
Die Feldlinien im Bereich dieser Gabelung erinnern
an einen Monopol, und man beobachtet entsprechendauch anziehende und abstoßende, Coulomb-artige
Wechselwirkungen zwischen solchen Objekten, welchean Spin-Eis erinnern [1].
Eine andere Faszination beim Spielen rührt daher,
dass die Magnete aufgrund ihrer gegenseitigen Anziehung Klumpen bilden, die in der Hand ähnlich einem
Knetgummi plastisch verformbar sind. Diese Plastizität
einer Masse aus ein paar hundert Magnetkugeln belegt,dass es für eine gegebene Anzahl von Kugeln eine Vielzahl von stabilen Zuständen gibt – stabil in dem Sinne,
dass die Struktur erhalten bleibt, solange keine äußere
Kraft einwirkt. Sie befindet sich also in einem lokalen
Energieminimum. Es stellt sich nun die Frage:

a
2 cm

b

143°
74°
143°

c

d

e

f

Abb.  Aus den Magnetkugeln entsteht spielerisch eine Vielzahl eindimensionaler(a, b), zweidimensionaler (c, d) und dreidimensionaler Figuren (e, f ).

Warum verleiten die Kugeln überhaupt zum Spielen? Auch Erwachsene stellen rasch fest, dass sich die
Kugeln durch ihre außerordentlich starke Wechselwirkung zu einer Vielzahl von Strukturen zusammensetzen lassen und es eine Fülle von faszinierenden
stabilen geometrischen Anordnungen gibt (Abb. ). Das Was ist eigentlich der Grundzustand?
reicht von einfachen eindimensionalen Ketten überzweidimensionale Ringe, Doppelringe und Hexagone
Diese Frage nach dem absoluten Energieminimum
bis hin zu komplizierten dreidimensionalen Figuren
lässt sich wegen der mit der Teilchenzahl exponentiell
und komplexen Gebilden wie einer Sierpinsky-Pyrami- anwachsenden Komplexität nur für kleine Systeme mit) Weitere schöne Beispiele finden sich unter:
http://bit.ly/1WfZN7b
http://bit.ly/20NIOQ2
http://bit.ly/1Ta4hwy
http://bit.ly/1o66YEi
http://bit.ly/23YICwv

D I P O L- D I P O L- W E C H S E L W I R K U N G U N D W E C H S E L W I R K U N G S E N E R G I EMagnetkugeln wollen wir wie einzelne Punktdi­
pole behandeln, weil das Feld im Außenraum ei­
ner homogen magnetisierten Kugel genau dem
eines Punktdipols im Zentrum der Kugel ent­
spricht [8]. Für N Punkte mit den Dipolmomen­ten m
 i , die mit den paarweisen Abstandsvek­
toren ri, j mit dem Betrag ri, j = | ri, j | irgendwie im
Raum angeordnet sind (Abb. für N = 2), ist die
potentielle Energie aus wechselwirkenden
Dipolen durchμUN = ___
4π

Nm · m r – (m · r )(m · r )∑_______________________
r
i

j



i, j

i


i,j

i<j

i, j

j

i, j

(1)

gegeben [8]. In der Summe gibt es keine dop­
pelte Zählung der Wechselwirkungen. Außer­
dem ist die Nebenbedingung ri,j ≥ d zu erfüllen,
d. h. die Kugeln durchdringen sich nicht, wenn dihr Durchmesser ist.
Sind alle Magnete gleich stark, so ist|m i| = |m j| = m. Definiert man Einheitsvektorenr̂ i, j und m̂i mit ri, j = ri, j r̂ i, j und m
 i = mm̂i und ver­μ mwendet die Wechselwirkungsenergie U = _____

4π d

3

Physik Journal 15 (2016) Nr. 4

für zwei parallele Dipole im Abstand d (zwei Ku­
geln in Kontakt), folgt die dimensionslose Ener­gie pro DipolUN
1__uN = ___
NU = NuN

2
= – __N

m2

N(m̂ · m̂ – (m̂ · r )(m̂ · r̂ )∑____________________.
(r /d)
i

i<j

j

i

i,j

i, j



j

i, j

(2)

Unter der Summe stehen nur noch rein geome­trische Größen. Die Gleichgewichtszustände indiesem 5N­dimensionalen Potentialgebirge sinddurch Punkte mit verschwindendem Gradienten
gegeben – stabile Zustände durch lokale Mini­
ma und der Grundzustand durch das globale
Minimum. Nur für einfache Konfigurationen wie
lineare Kette oder Ring ist der Grundzustandanalytisch berechenbar.
Bei der linearen Kette ist es am günstigsten,wenn alle Dipole in die gleiche Richtung paral­
lel zur Kette zeigen:
Kette

m1

N

∑

1
____
 .
i < j (j – i)()

Bei einem Kreisring sind im Gleichgewichts­zustand alle Dipole in Richtung der Tangente
entlang des Kreises ausgerichtet. Dann gilt:© 2016 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

r1,2

Ring

uN

1

= – __
4 sin (π/N)

N–1

 + cos(2πk/N)∑ ___________. (4)sin (πk/N)

k=1

Im Grenzfall N → ∞ sind die Energien
für Kette und Ring gleich und betragen
Kette
Ring
u ∞ = u ∞ = –2 ζ() ≈ –2,404 mit der
Riemannschen Zetafunktion ζ.

ÜBERBLICK

Abb.  Ab N = 18 (links) sind Doppelringeenergetisch günstiger als einfache Ringe.
Bei hexagonaler Anordnung hängt die

–1,0
–1,2
–1,4
Mittlere magnetische Energie U

vertretbarem Rechenaufwand beantworten: Hätte
Pythagoras die Rechenleistung von tausend heutigen
Supercomputern zur Verfügung gehabt und ein entsprechendes (nicht-statistisches) Programm für uns
gestartet, bestünde die Frucht dieser Rechnung am
heutigen Tage erst aus den Gleichgewichtszuständen
von etwa zwanzig Teilchen (bei ortsfesten Kugeln). Die
Zahl der Gleichgewichtskonfigurationen kennen wir
nicht, man kann aber zeigen, dass sie kleiner als 23 · 20
sein muss [2]. Bei der mathematischen Modellierung
beschränken wir uns auf die Dipol-Dipol-Wechselwirkungen zwischen den Kugeln. Die gesamte potentielle
Energie lässt sich mit Gl. (1) und (2) für jede beliebige
Kugelanzahl und Konfiguration angeben (Infokasten),
wobei die Nebenbedingung zu beachten ist, dass die
Kugeln sich nicht gegenseitig durchdringen. Dieser
Ausdruck muss minimiert werden, wobei man es mit
fünf Variablen pro Magnet zu tun hat: drei Ortskoordinaten für das Dipolzentrum und zwei Winkel für die
Richtung. Für kleine N kann dies teilweise analytischgeschehen, für größere N nur noch numerisch, z. B.
mit Hilfe von Optimierungsprozeduren oder MonteCarlo-Simulationen [3, 4].
Beginnen wir mit dem elementarsten Problem: Zwei
Neodym-Kugeln ziehen sich gegenseitig an und bilden
ein Dimer, die kürzest mögliche Kette (Abb. a). Durch
Anfügen weiterer Kugeln kann man die Kette beliebig
erweitern. Intuitiv ist klar, dass alle Dipole in die gleiche Richtung zeigen, sodass die Energie durch Gl. (3)gegeben ist. Was passiert nun aber, wenn man die
stabile Kette verbiegt? Bis zu einem gewissen Krümmungsradius steigt die Energie an, um dann wieder
abzusinken, bis die Kugeln schließlich einen (stabilen)
Kreisring bilden (Abb. c): Also gibt es eine Energiebarriere zwischen Kette und Ring [1]. Auch für einen
Kreisring ist es möglich, die Gesamtenergie mit Gl. (4)präzise anzugeben, wenn man davon ausgeht, dass die
Dipolrichtung immer tangential zum Kreis ist.
Nun stellt sich heraus, dass bereits ab N = 4 derRing energetisch günstiger ist als die lineare Kette[3]. Die mittleren Grundzustandsenergien lassen sichfür wachsende Kugelanzahl berechnen und für verschiedene Geometrien vergleichen (Abb. ). Geht die
Anzahl der Kugeln N gegen unendlich, nähern sich
die Energien für Kette und Ring an (Infokasten). Da wir
uns im nächsten Abschnitt mit Würfeln beschäftigen
wollen, ist der Vergleich von Quadraten und Würfeln
interessant. Für mehr als hundert Kugeln ist deren
Grundzustandsenergie immer kleiner als die von Ketten und Ringen. Interpoliert man zwischen den dis-

–1,6
–1,8
–2,0
–2,2
–2,404–2,4–2,549–2,6–2,6771

10

100
Anzahl der Kugeln N

Abb.  Für Ketten (grün), Ringe (blau),
Quadrate (orange) und Würfel (rot) erge­
ben sich abhängig von der Kugelanzahl
N verschiedene mittlere magnetische
Energien U. Die diskreten Werte sind zur
Orientierung mit kubischen Spline­Fits

1000

verbunden. Ab N = 4 sind Ringe energe­tisch günstiger als Ketten. Bei mehr als
hundert Kugeln besitzen Quadrate diegeringsten Energien; ab etwa 500 Kugeln
sind es die Würfel. Die Grenzwerte für
N → ∞ sind angegeben.

kreten Kugelanzahlen für Quadrate und Würfel durcheinen kubischen Spline-Fit, so liegen ihre minimalen
Energien abwechselnd unterhalb (gerade Kugelanzahl) und oberhalb (ungerade Kugelanzahl) des Fits,
weil bei einem symmetrischen Aufbau mit ungerader
Kugelanzahl die zentrale Kugel ein verschwindendes
Dipolmoment verhindert. Für große Teilchenzahlen
ist eine dreidimensionale Anordnung günstiger als
eine zweidimensionale – ein Argument, das zum Verständnis der Selbstmontage magnetischer Nanowürfel
wichtig ist [5].
Andererseits ist bereits in zwei Dimensionen die
Frage nach dem Grundzustand sehr facettenreich: So
kann man statt immer größerer Ringe auch Doppelund Mehrfachringe betrachten (Abb. ). Doppelringesind ab N = 18 energetisch günstiger als einfache Ringe
und werden ab N = 29 wiederum von Mehrfachringen
unterboten. Interessant sind die Hexagone mit N = 36
und N = 37: Hier ist es energetisch etwas günstiger, denPlatz in der Mitte freizulassen, da dann das gesamte
magnetische Moment gerade Null ist. Ähnliches giltauch für andere Hexagone, z. B. bei N = 18 oder
N = 168 [3].
Beim Ausweichen in drei Dimensionen zeigt sich,dass bereits ab N = 14 röhrenartige Strukturen (Abb. e),also gestapelte Ringe, energetisch günstiger werden

Energie stark von der Symmetrie ab: Das
magnetische Moment des Hexagons mit
N = 6 ist gerade Null, sodass diese An­

ordnung eine kleinere Energie besitzt als
das Hexagon mit N = , bei dem dermittlere Platz besetzt ist (rechts).

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10000

Physik Journal 15 (2016) Nr. 433ÜBERBLICK) http://bit.ly/1Ub85yj

als einfache Ringe [3]. Die Frage nach dem absoluten
Energieminimum für eine bestimmte Kugelanzahl N
indes wird auch dadurch nicht beantwortet. So sindab N = 767 merkwürdige stabartige Gebilde mit rechteckigem Querschnitt energetisch günstiger als die
Röhren [6]. Andererseits suggeriert die oben erwähnte
plastische Verformbarkeit bereits, dass eine dichteste
Kugelpackung energetisch vorteilhaft sein könnte, undes zeigt sich tatsächlich, dass diese für N > 1300 wiederum die Röhren unterbietet [7].
Wir lassen mit diesen Andeutungen die Frage nacheinem absoluten Energieminimum als offenes Problem
bestehen und wenden uns einem für praktische Anwendungen vielleicht noch relevanteren Themenkreiszu, nämlich der Frage nach der Orientierung von Dipolen in magnetischen Clustern.

Frustrierte Zustände und ...
Zwar ist für N = 8 der Grundzustand durch den Ring
gegeben (Abb. ), aber experimentell lassen sich mit
acht Kugeln bereits verschiedene metastabile Zustände
konstruieren. Einige davon mögen nur aufgrund vonHaftreibung zwischen den Kugeln stabil sein, andere
blieben auch nach dem idealisierten mathematischen
Modell (Infokasten) in ihrer Anordnung. Dies gilt insbesondere für den Würfel mit einer Kugel an jeder Ecke
(Abb. f). Hier haben wir eine etwas reduzierte Fragestellung: Die Positionen der Dipole sind fest vorgegeben,
während ihre Orientierung im Raum frei ist. Für ein
System dieser Größe lässt sich die Frage nach denmöglichen Gleichgewichtszuständen heute mit vertretbarem Rechenaufwand beantworten – im Jahr 2000
hätte sich ein Supercomputer einige Wochen geplagt.
Die 16-dimensionale Energielandschaft des Würfels
enthält 9536 diskrete Gleichgewichtspunkte, die alle
instabil sind und sich in 183 Familien unterschiedlicher
Energie ordnen lassen [2]. Die Mitglieder einer Familiesind identisch bis auf Drehungen und Spiegelungen,welche aus den 48 Elementen der Symmetriegruppe
des Würfels stammen. Außerdem gilt immer die Polaritätssymmetrie: Vertauschen wir bei allen Dipolen
gleichzeitig Nord- und Südpol, ändert sich an deraDiskrete Zustände und Energiefamilien
AnordnungN

S max = 2N

Linie

2

64

8

4

Dreieck



512

48

8

Tetraeder

4

4 096

116

10

Oktaeder6

262 1441 156

4

Würfel816  216

9 56

18

S

F

Bei einer vorgegebenen, regelmäßigen Anordnung ergebensich für N Magnetkugeln maximal Smax diskrete (i. Allg. kom­plexe) Zustände, S reelle Gleichgewichtszustände und F Ener­
giefamilien.

Energie und Stabilität der Konfiguration nichts. Somitkann eine Energiefamilie bis zu 96 Mitglieder haben.
Wenn nun alle diskreten Gleichgewichtsorientierungen im Würfel instabil sind, was ist dann derGrundzustand? Der einzig stabile Zustand stellt eine
extreme Form magnetischer Frustration dar, nämlich
ein Kontinuum eines energetisch unendlich entarteten Gleichgewichts [2]. Somit ist der Dipolwürfel
eine vollkommen glatte magnetische Kupplung. Die
Schwingungsperiode eines gestörten Zustandes derMagnetkugeln divergiert mit Annäherung an die exakte Würfelgeometrie – es handelt sich demnach um
eine Goldstone-Mode. In diesem Kontinuum sind die
Dipole um die jeweilige Volumendiagonale des Würfels drehbar, sofern sie eine bestimmte Symmetrie zueinander einhalten (Abb. a). Bisher ist keine weitere Anordnung von endlich vielen Dipolen mit vollkommen
freier Orientierung bekannt, welche ebenfalls einenstabilen kontinuierlichen Zustand besitzt [2]. Sämtliche
Gleichgewichte des Dipolwürfels lassen sich online interaktiv erkunden.)Wenn der Dipolwürfel schon fast 10 000 diskrete
Gleichgewichtszustände besitzt, können wir davon
ausgehen, dass diese Anzahl bei mehr als acht Dipolen
schnell unüberschaubar wird. In der Tat wächst die
Zahl von möglichen diskreten Zuständen exponentiell
mit der Zahl N der Dipole: Die bis jetzt beste Abschätzung einer oberen Schranke beträgt Smax = 23N [2]. In
regelmäßigen Anordnungen mit bis zu acht Dipolen
ist die Anzahl reeller Gleichgewichtszustände aber wesentlich geringer (Tabelle). Der Grundzustand für N < 8
ist diskret und stellt den einzig stabilen Zustand dar.
Allerdings gibt es im Tetraeder und auch im Oktaeder
Kontinua, die aber alle instabil sind [2].

b... magnetische KupplungenAbb.  Stabmagnete veranschaulichen
die Dipolorientierungen der acht homo­
gen magnetisierten Kugeln auf den Eck­3

punkten des Würfels (a). Kegelzahnräder
führen die gleichen Drehungen aus wie
die Dipole im Grundzustand (b).

Physik Journal 15 (2016) Nr. 4

Ein kontinuierlicher Zustand stellt eine magnetische
Kupplung dar, die Drehmomente mit einer konstanten, nichtfluktuierenden Kraft übertragen kann, wasIngenieure „rastmomentenfrei“ nennen. Rotieren wir
einen der Dipole in der Würfelanordnung, rotieren
alle anderen sieben mit. Der Drehsinn der Dipole im
Würfelkontinuum entspricht genau dem Drehsinn vonacht Kegelzahnrädern an den Ecken des Würfels mit
denselben Rotationsachsen, wobei jedes Zahnrad mit
seinen drei Kantennachbarn verzahnt ist (Abb. b). Die
Frage, ob es noch weitere solche perfekt verzahnten© 2016 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimÜBERBLICKabcAbb.  Zwei interagierende Dipole mit
jeweils fester Rotationsachse lassen sichso anordnen, dass keine freie Rotation

möglich ist, wenn sie aus der Grundzu­
standslage ausgelenkt werden (a). Im tri­
vialen Kontinuum rotieren die Dipole

dann gleichsinnig (b). Eine gegensinnige
Rotation ergibt sich für ein nichttriviales
Kontinuum (c).

magnetischen Kupplungen gibt, ist äquivalent zur
Frage nach weiteren stabilen kontinuierlichen Zuständen. Zwar ist der Würfel bis jetzt die einzig bekannte
endliche Anordnung dieser Art. Wenn man jedoch zusätzlich die Drehachse jedes Dipols vorgibt, können die
Dipole nicht mehr in ihre Gleichgewichtskonfiguration
fallen, sodass sich daraus neue Möglichkeiten ergeben,
magnetische Kupplungen zu erzeugen.
So lässt sich für den Fall zweier interagierender
Dipole eine einparametrige Familie von möglichen
Rotationsachsen angeben, die einen kontinuierlichen
Grundzustand erzeugt [10]. Anhand von drei Beispielen
wollen wir diese fundamentale Eigenschaft näher erläutern: Eine Anordnung mit diskretem Grundzustandbesteht aus zwei Dipolen, deren Rotationsachsen parallel zueinander und orthogonal zur Verbindungslinie
der beiden Dipole sind (Abb. a). Im Grundzustand sinddie Dipole mit gleicher Orientierung entlang der Verbindungslinie ausgerichtet. Dieser Zustand ist diskret
und nicht kontinuierlich – möchten wir einen Dipol
aus seiner Position auslenken, müssen wir Energie
aufwenden. Geben wir ihn aus seiner ausgelenkten Position wieder frei, vollführt das System eine Oszillation
um den Grundzustand. Dabei schwingen die beiden
Dipole gegenphasig zueinander. Für ein triviales Kontinuum sind beide Rotationsachsen koaxial entlang der
Verbindungslinie ausgerichtet, sodass die Dipole im
Grundzustand antiparallel zueinander sind (Abb. b).
Diese Anordnung findet als Magnetrührer Verwendung, besitzt per Konstruktion Rotationssymmetrie
und ist daher eine triviale Realisierung einer rastmomentenfreien Kupplung. Für ein nichttriviales Kontinuum sind die Rotationsachsen wiederum parallel,jedoch nicht koaxial ausgerichtet (Abb. c). Der eingezeichnete Winkel zwischen den Dipolen___und der Verbindungslinie hat den Wert α = arcsin( √1/3 ) ≈ 35,26°[10]. Diese Konfiguration verhält sich dynamisch
wie das triviale Kontinuum, wobei der Drehsinn der
beiden Dipole analog zu zwei ineinander greifenden
Zahnrädern ist: Wird ein Dipol gedreht, rotiert derandere im entgegengesetzten Sinn mit. Diese Anordnung ist neben der trivialen Konfiguration die einzige
Goldstone-Mode mit parallelen Rotationsachsen. Fürdie oben erwähnte einparametrige Familie rastmomen-

tenfreier Kupplungen ist jeder Winkel zwischen den
beiden Rotationsachsen realisierbar, für den gilt:cos θ cos φ – 2 sin θ sin φ = 1. Die Winkel θ und φ sinddie Winkel zwischen der jeweiligen Rotationsachse
und der Verbindungslinie der beiden Dipole [10].
Wollen wir kontinuierliche Systeme mit mehr als
zwei Dipolen konstruieren, besteht die Schwierigkeit
darin, dass die Anwesenheit von weiteren Dipolen die
paarweisen Kontinua meist zerstört. Daher bieten sichim einfachsten Fall Kombinationen von Dipolen mit
jeweils paarweise kontinuierlichem Zustand an. Damit
lässt sich das Getriebe eines kleinen Magnet-Mobils(kurz „MagMob“) realisieren (Abb. a). Die Konstruktion funktioniert nur, wenn das gleichschenklige Dreieck den Winkel 2 α einschließt. In jedem anderen Fall
wäre die Kupplung nicht „glatt“, und es ergäben sichunerwünschte Rastmomente. Zwischen dem Antriebsmagneten in der Mitte und den Radmagneten besteht
ein nichttriviales Kontinuum; dagegen erinnern die
beiden Radmagnete an das triviale Kontinuum. Das
Paar aus Radmagneten befindet sich jedoch nicht im
Grundzustand – dafür müssten die Magnete antiparallel ausgerichtet sein – sondern durch die parallele
Ausrichtung im Zustand maximaler magnetischer
Energie, also in einem vollkommen instabilen Zustand. Das Gesamtsystem mit parallelen Raddipolmomenten ist dennoch stabil, wenn man die Stärke desabAbb.  Eine nichttriviale rastmomenten­
freie Kupplung aus drei Dipolen könnte
ein Auto antreiben (a). Dazu muss fürden Winkel zwischen den Antriebsma­

gneten gelten: 2 α ≈ 0,52°. Außerdem
muss der Antriebsmagnet stärker als die
beiden Radmagnete sein. Daher ist er
etwas größer dargestellt (b).

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Physik Journal 15 (2016) Nr. 43ÜBERBLICK

Antriebsmagneten (also sein Dipolmoment) genügend
erhöht. Werden die Raddipolmomente als gleich angenommen, liefert eine Stabilitätsanalyse ein kritisches
Verhältnis von Antriebsdipolmomentzu einem der____Raddipolmomente von 3 √ 3/4 ≈ 1,299. Oberhalb dieses Wertes ist der gezeigte Zustand stabil. Unterhalb
dieses kritischen Wertes ergibt sich interessanterweise
immer noch ein kontinuierlicher Zustand – und somit
eine rastmomentenfreie Kupplung. Allerdings sind die
Radmagnete dann nicht mehr parallel zueinander, ihre
Rotationsachsen jedoch weiterhin koaxial [10].
Ein „MagMob“ in PKW-Größe ist sicherlich nicht
die beste Anwendung für diese Art von magnetischer
Kupplung, weil es zu starke Magnete benötigt: Für ein
reales Auto mit einem typischen Drehmoment von
100 Nm hätten die Magnetkugeln einen Durchmesser
von etwa 40 cm. Aufgrund der Anfangsgedanken zu
Verletzungen möchten wir mit diesen Magneten nicht
hantieren. Bei miniaturisierten Apparaturen wie inder Mikrofluidik könnten solche magnetischen Kupplungen in Pumpen, Ventilen oder Mixern aber zum
Einsatz kommen. Noch kleinere Anwendungen ergeben sich in der Nanotechnologie [11], wo sogar elektrische Dipole auf molekularer Ebene denkbar wären.
Die Funktion der beschriebenen Systeme hängt nicht
davon ab, dass es sich um magnetische Dipole handelt− sie funktionieren genauso für elektrische Dipole.

Beanspruchung wie ein elastischer Stab: Verbiegt man
die Kette, gibt es aufgrund der Dipol-Dipol-Wechselwirkungen rücktreibende Kräfte, welche die Kette
wieder gerade biegen möchten (Abb. ). Man kann eineeffektive magnetische Biegesteifigkeit einführen underhält ein kollektives elastisches Verhalten von wechselwirkenden Dipolen in der Kette [12].
Als einfachstes Beispiel betrachten wir den Einfluss
der Schwerkraft auf eine vertikale Kette von Dipolkugeln (Abb. a): Unter welchen Bedingungen verbiegt sichder „Stab“ analog zum Knicklastproblem (Abb. b, c)?
Die Antwort beginnt mit zwei aufeinandersitzenden
Kugeln, beide Dipolmomente zeigen vertikal nachoben. Bei perfekter Haftreibung (also ohne Rutschen)
lässt die Schwerkraft die obere Kugel auf der unteren
abrollen, während die rücktreibende magnetische
Kraft die Kugel in ihrer Ausgangsposition zu halten
tendiert. Die Stabilität eines solchen Kugelturms lässt
sich abschätzen [12].
Kugeltürme sind elastisch: Lenkt man den Stab nacheiner Seite aus, führt dies zu Schwingungen um seine
Gleichgewichtslage. Aus der Frequenz der Fundamentalschwingung lässt sich die Stabilität der Anordnung
bestimmen: Geht die Frequenz gegen Null, wird dievertikale Anordnung instabil. Auch andere Anordnungen lassen sich so auf ihre Stabilität testen: Ein Kugelring führt bei Deformation ebenfalls Schwingungenum seine Gleichgewichtslage aus [12].
Ein kurioses Beispiel zur Dynamik zeigt, dass sicheine lange lineare Kette spontan zu einem helikalen
Zylinder aufrollt (Abb. ). Ein solcher Zylinder ist energetisch günstiger als die Kette, sodass die Anordnung
an Energie gewinnt, wenn sich der Zylinder auf Kosten
der Kette vergrößert. Bei großen Teilchenzahlen hängt
die magnetische Energie pro Kugel nicht mehr stark
von der exakten Kugelanzahl ab (Abb. ). Das gleiche giltauch für den Zylinder: Sind erst einmal genügend Lagen vorhanden, bleibt der Energiegewinn pro Teilchen
beim Aufrollen immer etwa gleich. Als Resultat rollt
der Zylinder mit einer konstanten Geschwindigkeit(eventuell nach einem Schubs zum Start) entlang derKette von rechts nach links – eine spielerische Demonstration magnetisch gesteuerter Selbstmontage.

„Elastische“ Deformationen und Dynamik

Vom Spiel zur Anwendung

Die Wechselwirkung magnetischer Kugeln verleiht
den Clustern auch elastische Eigenschaften. So reagierteine lineare Kette von Kugeln auf eine mechanische

In diesem Artikel haben wir die spielerischen Aspekteder Neodym-Kugeln stark in den Vordergrund gestellt,
weil dieses einfach verfügbare Material einen sehrbequemen experimentellen Zugang zur Vielteilchenwechselwirkung im Allgemeinen und zur fundamental
wichtigen Dipol-Dipol-Wechselwirkung im Speziellen
liefert. Über diesen didaktischen Zweck hinaus stellen
die hier andiskutierten magnetischen Kupplungen einnoch weitgehend unbearbeitetes Feld technischer Anwendungsmöglichkeiten dar, dessen größtes Potenzial
wohl im Bereich miniaturisierter Maschinen und dort
beispielsweise in der Mikrofluidik liegt. Zwar gibt es
bereits heute (triviale) magnetische Kupplungen auch

a

b

c

Abb.  Stapelt man die Magnetkugeln übereinander, ist der
Gleichgewichtszustand bis zu einer bestimmten Kugelanzahl
ein vertikaler Turm (a). Abhängig von der Stärke des Dipolmo­
ments neigt sich der Turm bei weiter wachsender Kugelanzahl
immer stärker zur Seite (b, c).

v = const.

Abb.  Aus einer langen Kette von Magnetkugeln rollt sich nach leichtem Anstoßen
spontan ein helikaler Zylinder mit konstanter Geschwindigkeit auf.

3

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auf der eher makroskopischen Skala von Küchenmaschinen, wobei aber eine Weiterentwicklung hin zum
nichttrivial gekoppelten Milchaufschäumer seine Liebhaber wohl am ehesten aufgrund der mathematischen
Schönheit des zugrunde liegenden Antriebs finden
würde.
			 *
Wir bedanken uns bei Klaus Oetter, Stephan Meßlinger und Simeon Völkel, die uns bei der Erstellung vonGrafiken und Fotos unterstützt haben.
    Literatur[1] N. Vandewalle und S. Dorbole, New J. Phys. 16, 013050(2014)[2] J. Schönke, T. M. Schneider und I. Rehberg, Phys. Rev. B 91,
020410 (2015)[3] R. Messina et al., Phys. Rev. E 89, 011202 (2014)[4] R. Messina und I. Stankovic, EPL 110, 46003 (2015)[5] S. M. Taheri et al., PNAS 112, 14484 (2015)[6] R. Messina und I. Stankovic, Phys. Rev. E 91, 057202 (2015)[7] T. Friedrich, I. Rehberg und R. Richter, Phys. Rev. E 91,
057201 (2015)[8] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons,
New York (1998)[9] T. A. Prokopieva et al., Phys. Rev. E 80, 031404 (2009)[10] J. Schönke, Phys. Rev. Appl. 4, 064007 (2015)[11] M. Peplow, Nature 525, 18 (2015)[12] D. Vella et al., Proc. R. Soc. A 470, 20130609 (2014)

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DIE AUTOREN
Johannes Schönke studierte Physik undAstronomie in Jena und promovierte an
der Uni Heidelberg. Sein Interesse umfasst
die Theoretische Mechanik der Kontinua
sowie die Dynamik komplexer Systeme.
Zurzeit arbeitet er am Okinawa Institute of
Science and Technology in Japan. Neben
der Wissenschaft beschäftigt er sich mit unterschiedlichs­
ten Arten von Musik.
Wolfgang Schöpf (FV Dynamik und Statis­
tische Physik, Didaktik der Physik) studier­te Physik und promovierte in Bayreuth.
Nach Stationen in Perth und Townsville(Australien), Maskat im Oman und Mün­
chen beschäftigt er sich an der Uni Bay­
reuth mit der Physik von Flüssigkristallen.
In seiner Freizeit fährt er Rennrad.
Ingo Rehberg (FV Dynamik und Statische Physik) war eini­ge Jahre Mitglied im Vorstandsrat der DPG und erhielt 1998
den Leibniz-Preis der DFG. Er studierte Physik in Kiel. Als
Lehrstuhlinhaber für Experimentalphysik
an der Uni Bayreuth beschäftigt er sich mit
der Dynamik komplexer Fluide. Sein Inte­
resse für die Dipol-Dipol-Wechselwirkung
speist sich aus den magnetischen Suspen­
sionen. In seiner Freizeit frönt er dem Aus­
dauersport.

© 2016 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Physik Journal 15 (2016) Nr. 437