トンネル法を用いた極小曲面探索法○刀根西村
キーワード：膜構造

極小曲面

多峰性 大域的最適解

一将 ＊1
督 ＊2

トンネル法

１．序
膜材料はクリープ、応力緩和しやすい材料である。初Initial value

期張力導入時に膜面の張力分布が不均一の場合、最も歪エネルギーレベルが低く、均一の等張力状態へ移行しようとする性質がある。その結果、しわやたるみが生じ、ポンディングや膜の破壊原因となる。以上の理由から初

Local optimalsolution

期形状は膜応力分布が等張力となる等張力曲面が望まし
Global optimal solution

い。等張力曲面は膜面の歪エネルギーが最小の状態のとき、曲面の面積が最小の極小曲面になることが知られてLocal optimalsolution

いる 1)。与えられた境界に張られる極小曲面を求める問

Figure1 Initial independence on nonlinear problem
with multimodality

題（Plateau 問題）は多峰性を有する非線形問題となる。

を最小化する数値解析上の戦略が必要である。初期値依極小曲面を求める数値解析は面積が低下する形状座標を存性の強い非線形最適化問題の解法として解探索の候補逐次計算で求め、面積が減少する座標が近傍に存在しなをランダムに設定し、評価関数から優位な候補値を採用い形状を探す最適化過程となる。

する確率的探索を導入した発見的手法が応用されている。

極小曲面を求める数値解析的研究は多く報告されて例えば三井ら 6)は解の候補を複数設ける多点探索の一ついる。Hinata ら 2)は Plateau 問題に対して膜面積を表す一である遺伝的アルゴリズムを用いて極小曲面を探索して価関数の停留条件を満たす解を一般化ニュートン法で求いる。西村ら 7)は単点探索の擬似焼きなまし法を極小曲める方法を示し、Wiener-Douglas 問題の解析結果を示し面探索に適用し、Wiener-Douglas 問題の最小面積曲面をている。文献 2 の解析結果では複数の極小解が存在する求めている。

3)は極小曲形状パラメータの範囲を示している。石原ら

既往の研究では確率的探索と対極に位置する確定的探面解析に複数の変分汎関数を線形結合した複合変分汎関索によって面積最小の極小曲面を求める手法が確立され数を定義し、関数を構成するパラメータを制御することているとは言い難い。本論文では多峰性関数の確定的最で、求解過程で遭遇する特異点を回避できる手法を提案

適化手法であるトンネル法を用いて最小面積の極小曲面している。この手法を用いて内包体積と要素面積を付帯を探索する数値解析手法を提示する。

条件とした汎関数を用いて、Wiener-Douglas 問題の異なる 3 つの極小曲面を得ている。Tsuchiya4)は面積関数とエ２．トンネル法 8)

ネルギー関数を最小にする 2 つの極小曲面解析法を提示

Levy らによって提唱されたトンネル法は連続変数をしている。求解に relaxation 法を用い、Wiener-Douglas対象とする関数最小化法で、極小または極大点を多く有問題をはじめと様々な極小曲面解析を示している。以上する連続関数の大域的最小（最大）点を効率的に探索すの数値解析法は膜面を三角形、または四角形の 1 次要素る解法である。トンネル法は以下に示す極小化ステップでモデル化されている。要素の分割数は解の精度に大きとトンネルステップの 2 つのステップの繰り返しにより、く影響するため、多くの要素分割数が必要となる。この大域的最適解を求める方法である。

問題を解消するために藤田ら 5)は陽な関数表現が可能な[1]極小化ステップ：評価関数に対して任意に与えられたパラメータ表現による極小曲面解析法を提案している。

初期値 x10 から出発して近傍での極小解 x1*を局所探索である初期形状から得られた極小曲面は必ずしも最小求める。局所探索では関数変化が指定値になるように変面積曲面（大域的最適解）が得られるとは限らず、面積数 x を線形化増分解析で求める。本論で示す膜面の極小極小（局所最適解）の場合もある。この原因は多蜂性を曲面解析では評価関数は面積を表す面積関数 S(x)、変数有する非線形問題の初期値依存性に依る(Fig.1)。面積最x は膜面の自由節点の座標である。このとき、その基礎小曲面を求めるためには局所最適解に捕捉されずに面積式は次式で示される。

論文 R44－ 200 －S ( x )  S ( x10 )  S  S ( x10 ) Sx  S ( x10 )  ax (1)x x  x0x10 は初期形状に対応する座標であり、逐次計算時は増分ステップの初期値となる。a は面積関数の勾配ベクトル

Minimizing
stepf (x)Tunneling step

Minimizing
step

Initial value:
0x1であり自由度数を n とすると n 次の行ベクトル、x は節x点変位である。式(1)の最小二乗解は



x 

MinimalSolution: x1*

SS ( x )  S ( x10 )  a  S
x x  x0(2)Tunneling stepT(x)TunnelingFunction

T ( x) と書ける。S は面積増分であり、a -は次式で示される。
a aT(Case : a  0 ), a   0 (Case : a  0 )aaT

Initial value: x20

f ( x )  f ( x* )( x  x ) ( x  x )* T

*x(3a,b)x1a-は最小二乗解を得るための演算子であり、a が行列の場*x20Figure 2 Tunneling Scheme

合、Moore-Penrose の一般逆行列となる。aT は a の転置を意味する。式(2)の逐次計算で極小解が得られたときは式

なお極小化ステップからトンネルステップへ移行す(3b)の勾配ベクトルが a=0 のときである。

る際、極小解から近傍の値にずらす。各座標は x = x*+dx[2]トンネルステップ：本論では極小化ステップで得た極とし dx=r×rand（rand:-1.0~1.0 の一様乱数）、r(>0)は座標小解 x*から式(4)のトンネル関数 T を定義する。

をずらす大きさを規定する解析パラメータである。

T ( x) [1], [2]を繰り返しトンネルステップで S(xk+10)≦S(xk*)

S ( x )   S ( x* ), 0  1

( x  x ) ( x  x )
* T



*(4)

を満足する次の出発値 xk+10 が見つからないと判断されたとき探索を終了し、一つ前の極小化ステップで得た xk*

分子の は T ≦ 0 となる x を求めるための解析制御パラを大域的最適解とする。トンネル法のスキームの模式図メータである。分母の累乗の数  は極の強さを表す。後を Fig.2 に示す。3 つの解析制御パラメータ , λ, r の設定述する式(5)を満たす解法として Levy ら 8)が提案した解は、各 1 パラメータのみ変化させ、5 回以上の同一計算法では極小解 x = xk*（k 番目の極小解）でトンネル関数で過半以上の同じ結果が得られたことを確認し決定した。

が T = 0 となることを避け、探索に必要な降下特性を得るために分母が零となる極の概念を導入している。

３．極小曲面の探索式(4)を線形近似した次式が極小面積以下となる条件

T ( x )  T ( x 0 )  T  T ( x 0 ) Tx  0x x  x 0(5)

ここに x0 は各増分ステップでの初期値であり、

T
 b1  b2
x x  x 0b1 a* TkWiener-Douglas 問題は平行な 2 つの円弧を垂線で繋いを求める問題である 2),3),4)。
解析モデルは Fig.3 に示す円筒状で円周方向に対して*0kに 20 分割、高さ方向に 10 分割し、半径 R=1.0、高さ L=1.5、円弧の角度 =5  /6 とする。この境界形状のとき、2 つの

x 0  x1* ,, xn 0  xn* 1 1

( x  x ) ( x  x )* T(7)

*0S ( x 0 )   S ( xk* )0Wiener-Douglas 問題

1/2 モデルとした。初期形状を三角形で構成し円周方向kb2  2

３．１だ閉曲線を固定境界とし、この境界に張られる極小曲面(6)( x  x ) ( x  x )0２で述べた探索アルゴリズムの妥当性を検証するために代表的な極小曲面の数値解析を行う。

S(x)≦S(x*)を満足するまで繰り返し解く。

(8)極小解と 1 つの極大解が存在することが知られている 2)。
解析制御パラメータを Table.1 に示す。解析制御パラメー
タの設定値は Table.1 の =0.97, =1.0, r=0.01 を採用する。

kb1, b2 は n 次の行ベクトルである。式(5)の最小二乗解は極小化ステップ中の式(2)の指定面積増分∆S は現在の面式(2)と同様に次式で示される。

積 S に対して-S/2000 とする。

x  (b1  b2 )  T ( x0 )(9)

Fig.4 は膜面積の変化である。点 A の初期形状から式(2)を解くと、点 B(437step)で aTa が 1.0e-5 以下に減少した

求解後、座標を x= x0+x で更新し、S(x)≦S(x*)を満足すため、式(3b)に該当するとして極小曲面が得られたと判るまでトンネルステップを繰り返す。S(x20)≦S(x1*)を満断した。その面積は 3.52622 である。続いて点 C(438step)足する x20 が次の極小化ステップの初期値となる。に示す近傍の形状に変化させた。以降面積は 500step 近論文 R44－ 201 －くまで変動しながら増加する傾向が見られる。Fig.5 にトのときの断面形状である。鞍点の x 座標がほぼ零であり、ンネルステップ(438-763step)における式(4)のトンネル関この形状は極大解に対応する形状 3)であるため、トンネ数 T の変化を示す。初期値は点 C で 17.8774 であり、そルステップで極大解を通過していることが確認される。の後の関数値はわずかに変動を繰り返しながら漸近的に解析制御パラメータに関して、=0.97, λ=1.0, r=0.01 を減少する。点 D(763step)で面積が S=3.51674 となり点 B基準とし、パラメータの設定が解析結果に及ぼす影響をの極小解の面積以下となったため、極小化ステップに切検討する。Fig.7 はトンネル関数の目標面積に対する比 り替える。その後面積は単調に減少し、点 E(1582step)でをパラメータとしたときの面積変化である。 =0.95 の場

aTa<1.0e-6 となり 2 つ目の極小曲面に達したと判断した。

合、S(x)≦S(x*)を満たす膜面は見いだせなかった。 =0.99

このときの面積は 3.50707 である。の場合、S(x)≦S(x*)を満たしトンネルステップを終了し、Fig.6 に点 B, D, E のときの Fig.3 に示す対称面上(y=0)

極小化ステップに移行したが、その後に極小解は得られの断面形状を示す。B, E の極小曲面の鞍点(z=0)の x 座標なかった。2000step での面積は 3.52244 である。トンネを図中に記す。文献 2 での鞍点の x 座標と極小解での面ル法で一般に用いられている =1.0 の場合は、トンネル積を Table.2 に示す。Table.2 中の記号(C)および(F)は文献ステップで点 B の極小曲面の形状を保ったままである。

2 で示された円柱座標系および自由境界プログラムで得Fig.8 に 2000step 時の膜形状を示す。𝛼=0.95 の膜面は鞍られた結果を意味する。本解析結果は文献 2 と比較して点が x=0 に近づいている。Fig.9 は式(4)の極の強さ λ をパ鞍点が負側に位置するが、最初の極小曲面からトンネルラメータとした結果である。λ=0.5<1.0 の場合、膜面は点ステップを経て更に面積が小さい点 E の極小曲面への移B の極小解に捕捉されてしまう。λ>1.5 の場合、Fig.9 と動を確認することができる。点 E での膜曲面は文献 2 のFig.10 よりトンネルステップを終えていない。Fig.11 は最小面積曲面と対応する。Fig.6 中の緑の実線は No.595

トンネルステップ開始時に各節点を移動させる座標ベク
Table 1 Analysis Parameters

zPlane of symmetry

in Eq.(4)
in Eq.(4)

1.00

0.99

0.97

0.95

2.0

1.5

1.0

0.50

0.25

r

0.5

0.2

0.1

0.01

0.001

y0.90

R=1.0

L=1.5x500 step
S= 3.60647

450 step
S= 3.60647

56 Figure 3 Boundary ShapeS
Minimizing Step Tunneling Step
4.0
B : 437 step
S= 3.52622

Minimizing Step

A3.9

E :1582 step
S= 3.507073.83.7
A : Initial
S= 3.91579

D : 763 step
S= 3.51674

3.6B
3.50200

400

DC

600

800

E

Figure 4 The History of Area of Membrane ( =0.97, =1.0, r=0.01)
zT(x)
100

C10step

1400

450

500

550

600

650

700

750

x＝-0.4181

800

0.1
0.01

D0.001-1

Figure 5 Tunneling Function

論文 R44step

1000 1200 1400 1600

-0.8

-0.6

-0.4

1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-0.2
0B
DE
No.595x＝0.5740

0.20.40.60.81xFigure 6 Surface Section (y=0)－ 202 －トルの振幅を意味する r をパラメータとした結果である。 が得られることを確認するために極大解近傍に初期形状
r=0.001=R/1000 の場合、移動量が小さく、最初の極小解を設け、トンネルステップから開始する。初期面積 177.8、に捕捉される。r=0.1=R/10 の場合、トンネルステップを境界形状は半径 5 の円、境界間 6 である。解析制御パラ終えているが次の極小化ステップで極小解は得られず、メータは =0.97, =1.0, r=1.0 とした。

垂直境界線付近に三角形要素が密集する形状に収束する。

解析結果は Fig.13 の面積変化より 164 step でトンネル面積は 3.51502 と最小面積の 3.50707 より大きい値が得ステップを終え、極小化ステップで得られた収束形状のられた。r=0.5=R/2 の場合、点 B の極小解の形状から発面積は 300 step で 176.2 である。面積の解析解は 175.0

散するように形状探索してしまう。

であり解析解と良く対応している。最終の収束形状で不３．２

規則な要素配置となる理由はトンネルステップ終了時の回転懸垂曲面

回転懸垂曲面は平行な同一円を固定境界として境界要素配置が乱れているためと考えられる。

間に張られる極小曲面である。境界間の距離が境界円の以上よりトンネル法を用いた極小曲面探索法を検討

半径に対して 1.325487 倍以下のとき、極小解と極大解がし、適切な解析制御パラメータを設定することで最小面存在する。初期形状から離れた極小解（最小面積曲面）積の極小曲面が得られることを示した。

Table 2: x-coordinate of Saddle Point on Minimal Surfaces and the area
Point Bx-coordinate-0.3900(C)-0.3946(F)-0.4181

Ref.[2]PresentS
4.0

4.0

0.97
0.953.9Point EArea
3.53272(C)3.53310(F)3.52622x-coordinate
0.6117(C)0.6036(F)0.5740S4.0
0.97
0.99

3.9

3.8

3.8

3.7

3.7

3.7

3.6

3.6

3.6

3.5

3.5
500

1000

1500

2000

0.97
1.0

3.5
0500

1000

1500

(b) =0.99

step(a) =0.95

S

3.9

3.8

0Area
3.50847(C)3.51284(F)3.50707

02000

500

step

1000

1500

(c) =1.02000

step

Figure 7 The History of Area of Membrane (=0.95, 0.99, 1.0, =1.0, r=0.01)(a) =0.95

4.0(b) =0.99
Figure 8 Surface Shape at 2000 step

S4.0
1.0(c) =1.0
SS

4.0

3.9

3.9

3.8

3.8

3.8

3.7

3.7

3.6

3.6

3.5

3.5

3.9

0.500500

1000(a) =0.51500

2000

step

1.0
2.0

3.7

1.0
1.503.6
3.50500

1000

1500

(b) =1.5

2000

step

0500

1000

(c) =2.01500

2000

step

Figure 9 The History of Area of Membrane ( =0.97, =0.5, 1.5, 2.0, r=0.01)(a) =0.5(b) =1.5(c) =2.0

Figure 10 Surface Shape at 2000 step

論文 R44－ 203 －4.0SSS

4.0
r=0.01
r=0.001

3.9

4.0
r=0.01
r=0.1

3.9

3.8

3.8

3.7

3.7

3.7

3.6

3.6

3.6

3.5

3.50500

1000

1500

3.502000

500

1000

step

(a) r=0.001

r=0.01
r=0.5

3.9

3.8

1500

2000

0500

step

(b) r=0.1

1000

1500

(c) r=0.5

2000

step

Figure 11 The History of Area of Membrane ( =0.97, =1.0, r=0.001, 0.1, 0.5)(a) r=0.001(c) r=0.5(b) r=0.1
Figure 12 Surface Shape at 2000 stepSTunneling Step

Minimizing Step

320300100 Step 280

164 Step260240220200
Initial 180160300 Step050100150200250300 step

Figure 13 The History of Area of Membrane in Catenoid (=0.97, =1.0, r=1.0)
４．結論
本論文では多峰性関数の確定的最適化手法であるトンネル法を適用した最小面積の極小曲面を探索する数値解析手法を提示した。同一境界に対して異なる極小曲面を張る Wiener-Douglas 問題と回転懸垂曲面の極小曲面解析を実施し、以下の事項を確認した[1] 解析制御パラメータをトンネル関数の目標面積と極の強さ、極小解からの移動量とし、各パラメータを適切に設定することで、局所探索とトンネルステップを繰り返して最小面積の極小曲面が得られる。
[2] 目標面積よりわずかに小さい面積をトンネル関数に用いるとトンネルステップを脱しやすい。
[3] 極の強さと極小解からの移動量は解探索に非常に敏感であり、設定に注意を要す。
本手法は固定境界以外にケーブル等の不伸長移動境界に対しても極小化ステップで適合条件を追加すれば適2） Hinata, M., Shimasaki, M. and Kiyono, T.: Numerical Solutionof Plateau’s Problem by a Finite Element Method,
Mathematics of Computation, Vol.28, No.125, pp.45-60,
1974.1.
3） 石原競, 八木孝憲, 萩原伸幸, 大森博司：極小曲面解析による膜構造の形状解析 複合変分関数を用いて, 日本建築学会構造系論文集, 第 469 号, pp.61-70, 1995.3.
4） Tsutiya, T.: On Two Methods for Approximating Minimal
Surfaces in Parametric Form, Mathematics of Computation,
Vol.46, No.174, pp.517-529, 1986.
5） 藤田慎之輔, 寒野喜博, 大崎純：パラメトリック曲面として記述された極小曲面の形態創生手法, 日本建築学会構造系論文集, 第 82 巻, 第 738 号 pp.1299-1307, 2017.8.
6） 三井和男, 登坂宣好：遺伝的アルゴリズムの空間構造形態解析への応用, 日本建築学会構造系論文集, 第 484 号,pp.75-83, 1996.6.
7） 西村督, 山中郁美：擬似焼きなまし法を用いた膜曲面の極小曲面探索法, 第 37 回情報・システム・利用・技術シンポジウム論文集（論文）, pp.85-90, 2014.12.
8）例えば 長祥隆：工学問題を解決する応可能である。

［参考文献］
1） 大森博司：設計用原型曲面の形態解析, 生産研究, 47 巻, 1号, pp.18-19, 1995.1.

論文 R44

適応化・知能化・最適化法, 技報堂, pp.176-184, 1996.10.

＊1＊2

金沢工業大学大学院 工学研究科博士前期課程
金沢工業大学建築学科 教授 博士（学術）－ 204 －

Minimal Surface Search Method Using Tunnel Method○Kazumasa TONE＊1
Toku NISHIMURA＊2
Keywords : Membrane Structure, Minimal Surface, Multimodality, Global Optimization, Tunnel Method

Membrane structures, constructed by light-weight and processed woven fabric material, is one example oftensile structures. Creep and stress relaxation occurs easily in membrane materials. If the distribution of tensilestress on the membrane surface is unbalanced during introduction of initial tensile stress, there is a tendency that thestress distribution transits to lowest energy level and uniform. As the result, pondi ng and tear of membranes occur
due to wrinkling and sag. Above the mentioned, initial surface, everywhere uniformly stressed in all direction, isdesirable.
It is known that the uniform stress surface implies the least strain energy surface and corresponds to minimal
area surface. The problem, which studies minimal surfaces spanned in boundaries, is called Plateau problem. The
problem is generally multimodal non-linear problem with some extremums. The sequential computation to minimize
the surface area yields the coordinates of surfaces to prescribed reducing area. This process leads into anoptimization to minimize the surface area. Searching at any initial surface s, the obtained minimal surface may be a
local optimal solution and not be always global optimal solution. A numerical strategy is necessary not to capture
local minimal solutions and to obtain the least area surface.
Solving the problems with some minimal surfaces by linearized incremental analysis, depending on initial
surface, the obtained minimal surface is not necessarily global optimal solution what is called least area surface. It iscaused by initial independence on nonlinear problem with multimodality. As the solution of high initial independent
optimal problem, recently heuristic methods such as generic algorithm, cellular automaton, simulated annealing, etc.,
are applied in engineering fields. Nishimura and Yamanaka are proposed a membrane shape analysis applying
simulated annealing. The numerical results show that the global optimal solution can be found on Catenoid andCourant problem.
Tunnel method has been utilized for the global optimization in multimodal problems; nevertheless, it has notbeen applied for minimal surface analysis. In this paper, we examine the numerical method to find out minimal area
surfaces using tunnel method. Control parameters are the rate to target surface area, the intensity of pole in tunneling
function and the norm of the coordinate vector to shift each node at the beginning of the tunneling step . It isillustrated in Courant problem and Catenoid that setting relevant control parameters, the minimal surface with least
area can be found.

＊1＊2

Graduate Student, Graduate School of Engineering, Kanazawa Institute of Technology
Professor, Department of Architecture, Kanazawa Institute of Technology, Ph. D.

論文 R44－ 205 －