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第39回地盤工学研究発表会（新 潟）2004 年 7 月

K - 07差分法による杭打ちの一次元波動方程式解析法の開発（その 1:検証解析）
差分法

杭打ち波動方程式

金沢大学
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○脇坂誉志
松本樹典
小嶋英治、桑山晋一

１．はじめに 杭の動的載荷試験に伴う杭中の波動現象の解析法として、周面摩擦を考慮した一次元波動方程式の差分法による解析プログラムを開発した。
２．解析手法 本研究では前進差分で周面摩擦を陽に考慮した一次元波動方程式(1)を解いた。ここで w は杭の変位、tは時刻、c は伝播速度、x は距離、τ は周面摩擦、ρ は杭の密度そして r は杭の半径を表わす。差分法を用いることで、杭材料の非線形性も考慮することができる。周面摩擦および杭先端地盤モデルを図 1 と図 2 に示す。両モデルとも変位に依存するバネと速度に依存するダッシュポットを有しており、地盤の降伏はスライダーによってモデル化されている。これらのモデルを用いることで、バネ定数、逸散減衰定数および付加質量を地盤パラメータ（せん断剛性 G、ポアソン比ν、密度ρs）と杭半径 r から決定することができる。周面摩擦に関しては式(2)より、杭先端地盤モデルに関しては式(3)より決定する 2) 3)。ここで Vs は地盤のせん断波速度である。
Pile node

dashpot cv(viscous)slider τ

dashpot cr(radiation)

Lumpedmass Mb

Spring kb

Dashpot cbr1
Soil far from pile (fixed)

図 1 周面摩擦モデル 1)(1)

Dashpot cbr2

Slider qb

Soil adjacent to pilespring ks2∂2w
122 ∂ wc=+ Hτ , H = −22ρr∂t∂xPile node

図 2 杭先端地盤モデル 1)

ks =G
2.75G, cr =Vs
2π r

kb =4G
3.4 G, cb =π r (1 −ν )π (1 −ν ) Vs

M b = 16r 30.1 −ν 4
ρs
1 −ν

(2)

(3)

2Stress (MN/m )2Stress (MN/m )201510500

123Time (ms)

図 3 載荷応力4520
t = 2 ms

100-10-200

t = 4 ms

計算値(t = 2 ms )計算値(t = 4 ms )理論値(t = 2 ms )理論値(t = 4 ms )2468
Pile distance (m)10

図 4 杭中の応力分布の時間変化

Pile displacement (mm)３．検証解析
3.1 解析条件 本報告では一様断面杭として、長さ 10 m、杭径 400 mm、ヤング率 3.0×107 kN/m2、伝播速度 5000 m/s、密度 1.2 ton/m3、質量 1.51 ton の杭を解析対象とした。そして、開発したプログラムの有用性を、理論解および 1 自由度系の振動解との比較によって検証した。
3.2 検証結果
a.理論解との比較 周面摩擦を考慮しない一次元波動方程式には理論解が存在するため、この方程式を差分法で解き、計算値と理論値を比較した。ただし杭先端境界条件は自由とした。図 3 が杭頭への載荷応力である。図 4 が杭中の応力を時間ごとに計算値と理論値で示したものである。伝播速度は 5000 m/s であるため、t = 2 ms で応力波は杭先端に達し、杭先端自由であるため杭先端で引張り応力に変わり、t = 4 ms で杭を一往復する。図 4 より、計算値と理論値がほぼ一致しているのがわかる。また図 5 は杭中央の変位の時間的変化であり、この結果においても理論値と計算値が非常に良く一致した。なお、図には示さないが杭先端固定の場合においても理論値と計算値が非常に良く一致した。

10計算値
理論値

864200x=5m246Time (ms)810

図 5 杭変位の時間変化

b.理論解が存在しない場合の検証(周面摩擦のみを考慮) 周面摩擦を考慮した一次元波動方程式には理論解が存在しない。
よって図 6 に示す 1 質点系モデルを基に、計算結果を 1 自由度系の振動解と比較検証した。地盤定数決定の際、便宜上式(2)には基づかず、バネ定数 ks = 2.0×103 kN/m3、また減衰定数 cr = 5.0 kN・s/m3 とした。載荷応力は図 3 と同じである。
減衰が無い場合の検証結果を図 7 に示す。計算値は振動解とほぼ一致した。ここで、計算値に見られる凹凸は杭中を伝播する波動現象によるものである。また、減衰を考慮した時の検証結果を図 8 に示す。この結果においても、計算値は振動解に良く一致している。
Development of finite-difference analysis method for wave propagation in pile (Part 1: Verification of the proposed method)
Takashi Wakisaka, Tatsunori Matsumoto (Kanazawa University), Eiji Kojima, Shinichi Kuwayama (Geotop Corp.)- 1557 -Mh = 1.51 ton

Cr = 62.8 kN・s/m
Ks = 2.51×104 kN/m

9630-3-6-90

Pile disp. (mm)cr に杭周面積を乗じたもの

Pile disp. (mm)Ks および Cr はそれぞれ ks と

x=5m

計算値

2060x=5m6

ピーク値の減衰振動解

30計算値
減衰振動解-3１自由度の振動解

40980 100050Time (ms)

図 6 １質点系モデル

図7100150200Time (ms)変位の時間変化(減衰無)図8変位の時間変化(減衰有)４．本解析で用いた地盤モデルの特性 図 1 および図 2 に示した各地盤モデルの検証として、この地盤モデルが有するバネおよびダッシュポットを順番に考慮していき、それぞれの結果を比較した。杭の条件は本文 3.1 で述べた解析条件と同じである。地盤定数を決定する際、地盤モデルの特性をより分かり易く図に示すため、式(2)および(3)には基づかず、τs =5.0 kN/m2、ks = 2.0×103 kN/m3、cr = 1.5 kN・s/m3 とした。ここで動的な周面摩擦τd の算定式として、式(4)を用いることが多い 4)。式(4)において、τs は静的な周面摩擦力、Δv は杭と地盤の速度差、そして v0 は reference velocity であり、v0 =1 m/s である。またα およびβ は地盤によって変化する値であり、β は 0.2、α に関しては砂地盤で 0.1、粘土地盤では1.0 の値をとる 5)6)。ここではα を 0.1 に設定した。図 9 に示した周面摩擦力の動員過程では、地盤降伏前の周面摩擦力は静的なバネによる応力と動的なダッシュポットによる応力の和で表わされている。また、地盤降伏後においても静的なスライダーによる応力および粘性による応力で周面摩擦力が表わされている。図 10 は、バネ、逸散減衰および粘性減衰を考慮した場合の杭と地盤の変位の時間変化である。地盤降伏後に杭と地盤の挙動は独立しており、最終的な両者の変位差が杭の沈下量となる。同様に杭先端地盤モデルの検証結果を図 11 に示す。ここで用いた地盤定数は qb = 300 kN/m2、kb =5.0×104 kN/m3、cbr1 = cbr2 = 24 kN・s/m3、Mb = 0.03 ton である。図 11 においても図 9 と同じように、減衰定数を考慮することで杭先端応力の増加が見られる。cbr2 を考慮した場合は付加質量による杭先端応力の増加が見られる。以上のように開発したプログラムでは周面摩擦モデルおよび杭先端地盤モデルを正確に表現することができている。
β ∆v    (4) v0  τ d = τ s 1 + α 20ks
ks, crks, cr, α, β x = 5 m

051015Pile disp. (mm)
図 9 周面摩擦力の動員過程
５．結論

2015杭中央変位
杭中央位置の地盤変位

1050050

100150500
400
300
200
1000-100-200-300

σb (kPa)6420-2-4Displacement (mm)

τ (kPa)0200102030Pile tip disp. (mm)Time (ms)
図 10 杭および地盤の変位の時間変化

kbkb, cbr1kb, cbr1, cbr2

図 11

杭先端応力の動員過程

以上の結果より、新たに開発したプログラム(KWAVEFD)の有用性が確かめられた。

参考文献
1) Randolph MF & Deeks AJ(1992): Dynamic and static soil models for axial pile response. Proceeding of the 4th Internatinal
Conference on Application of Stress Wave Theory to Piles: 3-14.
2) Novak M, Nogami T, Aboul-Ella F(1978): Dynamic soil reactions for plane strain case. Jour. of Mechanical Eng. Div., ASCE;
104(EM4): 953-959.
3) Deeks AJ & Randolph MF(1995): A simple model for inelastic footing response to transient roadong. International Journal for
Numerical and Analytical Methods in Geomecanics, 19: 307-329
4) Gibson G & Coyle H.M(1968): Soil damping constant related to common soil properties in sands and clays. Report No. 125-1,
Texas Transport Institute, Texas A & M University.
5) Heerema E.P(1979): Relationships between wall friction, displacemen, velocity and horizontal stress in clay and in sand for piledriveability analysis. Ground Engineering, 12(1).
6) Litkouhi S & Poskitt T.J(1980): Damping constant for pile driveability calculations. Geotechnique, 30(1): 77-86.

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