ISSN 1881−6134

鳥 取 大 学数 学 教 育研究
Tottori Journal for Research in Mathematics Education

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

分数の大小関係の指導改善に関する研究−有理数の稠密性に着目して−

前田静香, 山中法子, 溝口達也
Sizuka Maeda, Noriko Yamanaka & Tatsuya Mizoguchi

vol.19, no.5
Jun. 2016

鳥取大学 数学教育学研究室

分数の大小関係の指導改善に関する研究－有理数の稠密性に着目して－
倉敷市立箭田小学校
前田 静香
福山市立久松台小学校 山中 法子
鳥取大学
溝口 達也
１．はじめに分数の学習指導に関する研究は，これまでに数多く行われている。まず，分数に付与される様々な意味については広く研究されている。分数の概念１）は，操作分数から量分数へ，そして有理数としての分数として形成される（岩崎・橋本，1990）が，演算との関係では分数の意味はどれも重要であるといえる（中家，1996）。また，宮下（1991）は “生活の中に現れる分数”は量に関する“倍”ないし“比”であり，数計算においては算法の＜形式＞のみに依存しているが，分数指導において量の援用は都合的であり，分数の指導には理論的な欠落があることを指摘している。長谷川（1997，2000，2003）は，児童が量分数と操作分数を混同していることから，分数概念の指導について様々な示唆を述べている。つまり，この他にも様々な研究がなされているにも関わらず，分数の加法において分母同士を足すといった誤りや，分数の除法においては除数をひっくり返して被除数にかければよいなどの形
式のみの理解がなされていることが依然現状の課題として挙げられる。
これまでの研究では，演算可能性に重きが置かれていると指摘されるが，当該学年での分数の指導における課題のみならず，それ以前の学習である小学校第 3
学年における有理数の概念の指導２）の際に課題があるのではないかと考えた。そこで着目したのが，数の「順序性」である。数について考える際，「演算可能性」のみならず「順序性」についても議論がなされるべきであり，その指導方法について検討することが求められると考えた。この観点から先行研究を概観すると，「順序性」に関する研究は数少なく，中でも教材ベースでの指導改善を意図した研究はなされてきていないことが明らかになった（cf. Mcintosh, et al.,1992； Teppo，
et al.,2014）。数の順序性にそれほど議論が及ばなかった一因として，教科書での扱いは「A と B ではどちらが大きいですか」という程度の記述に終始しており，特段に問題視されるほどのことでもなかったからであろうと考えられる。しかし，数学的にみると，数の順序性と演算可能性は独立して考えられるものではなく，数の順序性，つまり有理数の稠密性の認識は，極めて重要であると認められる。そこで，本研究では， 小学校第 3 学年において，有理数の稠密性に着目した分数の大小関係の指導改善について，実践的な研究を行うことを目的とする。ここで「実践的」であるとは，分数の大小関係の授業実践を行うことを通して，本研究における主張の妥当性を検証することを意味し，有理数の稠密性の考えを用いた実践を行うことで，指導上の課題点及び，学習者にとっての困難さを分析することが可能になると考える。
２．有理数の稠密性に関する概念指導の必要性
算数・数学の学習において，大小比較は数と計算領域だけでなく，量と測定領域においても行われる。数は順序構造と演算可能性を有している。上述の通り，
これまで演算可能性については広く議論され，指導法
へとつながる研究が行われてきたが，順序構造をもとにした研究はあまり行われてきていない。両者がともに議論されなければならないのは言うまでもない。
有理数において，数 A と数 B の大小関係を決定する
上で，A＜C＜B となる数 C が存在する。これが有理数の稠密性である。さらに，有理数（及び実数）は，全順序構造を有しているため，各々の数に対応する点を数直線上に取ることができる。数 A と数 B を数直線上に取ったとき，2 点の間に数 C を認めることができるのである。
例えば２７８と３２６を比較する場合，十進位取り記数法に基づいて，一の位や十の位ではなく，百の位が比較されればよいという指導がなされる場合が一般的であろう。しかし，この考えがないままにこのような大小比較の指導が行われると，なぜ，百の位から比較するのかという比べ方についての議論は十分になされないことが予想される３）。それは，学習場面において，比較をする多くの場合には２数の比較が行われるためである。先述したように，有理数において，数 A と数
B の大小関係を決定する上で，A＜C＜B となる数C が存在することが，指導上触れられていないことが原因である。また，長さなどの比較の際にも同等のことが起きているのである４）。
このことから，少なくとも大小比較を行う場合にこれまであまり重要視されていなかった有理数の稠密性に着目することで，単に大きさを比べるという指導から，「大きさの比べ方」について学習者自身が思考する活動が設定される指導へと視点を転換することができると考える。
３．授業設計
３．１ 問題解決学習 ―授業の形式と構造―
授業での様相は個々の教室で異なるものである。本稿で行う授業設計は，問題解決学習を意図したものであり，図１のような形式と構造を有する固有の授業観，および授業モデルに基づいて設計されるものである。
（溝口，2010；Mizoguchi,2013）〔図１〕
３．２ 「パターンの科学としての数学観」を用いた
活動の設定
（１）
「パターンの科学としての数学観」を用いるときの留意点「なぜ，その活動をするのか」という問いは，授業を考えたときに大変重要な視点である。本研究では，自力解決および練り上げで行う活動が，数学的な本質に迫る適切なものであるかを判断する材料として，パターンの科学としての数学観を用いる。
（前田，2012）
数学をパターンの科学として捉え，算数・数学教育に用いているドイツの Wittmann(1995,2005)は有名である。Wittmann の本質的学習環境は授業をデザインするという点では大変優れたものである。また，学習者の思考力や観察力，数学的なセンスを高めるためには大変魅力的なものである。しかしながら，その考えが日本の算数・数学教育において普段の授業に広く取り入れられることがなかなかないのは，パターンの科学としての数学観でもって，どのように学習者が数
学的な知識を構成するのかということが議論されていないためであると考えられる。これは Wittmann がこのことを考慮していないということではなく，本質的学習環境として我々が目にするものの本質を理解しなければならないということである。Wittmann の研究から，パターンを取り入れた授業などが提案されている研究を概観すると，およそ次のような特徴が見て取れる。
Wittmann の本質的学習環境を表面的に見ると，同じような状況が繰り返される場面を設定し，教師が掴ませたい形式化されたものにあてはめられる状況を作
り出せば，そのパターンが数学的な根拠になるというものである。しかし，これは単に，可視化されたものがあたかも同じ形式になる状況がそこにあるだけであり，決してパターンを科学しているとは言えない状況である。Wittmann もこの状況からどんなパターンが見えるかを問うことをしているが，それを使って新たなパターンを生み出すことができるかを主に問うているのではないかと考える。なぜならば，新しいパターンが生み出せるということは，対象の構造を理解し，探究することができているとみなすことができるからである。
本稿では，以上のことを鑑み，パターンの科学としての数学観を用いて活動を設定する場合，問題を提示する段階では，はじめに対象となるパターンを提示す
るが，自力解決において，教師側からパターンを提示
して探究させるということは行わないこととする。
（２）操作的活動からよみ取る活動へパターンの探究を行うというときに，特に小学校段階の学習者にとっては操作的活動が大変重要になってくる。それは，証明という手立てをもたない学習者にとっての説明の根拠になりうる活動であるためである（溝口，2012）。そのため，問題提示の場面では，その問題がもつパターンに，数学的な価値があることや数学的知識を構成することが可能かどうかが重要になる。
つまり，学習者が探究活動する価値のあるパターンがそこに存在していることが必要なのである。
さらに，操作的活動から得られたものを，次の段階の活動では，操作的活動から離れ，その構造を探究し，検証することが必要である。つまり，操作的活動からよみ取る活動へとつなげていくことが必要である。たとえば，同値な分数を見つける活動を行うことを例に考えてみる。一般的に教科書で同値な分数を見つけるために例示されるのは，あらかじめ分割されたテープ
図やリットルますである。それを指定されただけ色を塗り，その大きさが等しいことから，2 数が同値である
２と認めるのである。しかし，この活動では，確かに４と１

１

様々な形の４を見つける活動を通して，分数は，あるも１が同じ大きさを表していることは分かっても，２から

２
２

４．授業実践
４．１．授業展開
第 3 章に基づいて，単元計画を作成した。
(1)本時までの学習内容
本時は，指導計画上，実践①では第６時，実践②では第５時に位置づけられている。児童は，これまでに，１を作り出すことはできない。換言すれば，形式的に２のを 1 と見たときに，それを等しく分けた幾つ分を表していることについて学習した。
（図２）

４

２

＝ と書くことはできても，その理由を説明できない
４

状況を生み出してしまうということである。テープ図などに色を塗りたしかめることを操作的活動とみなす
ならば，従来の指導方法では，そこで活動が終わってしまい，表出したもののみしかよみ取ることはできな
いといえる。
そこで，テープを折るという作業を取り入れて，同じ課題の解決に当たるとどうであろうか。後述する本研究における実践において，あるテープ（１）を半分１にすることで，学習者は２を作る。その折ったテープを
１

〔図２〕
１

１

さらに半分に折ってみると，４が現れる。ここで「もう既習事項である２，４だけではなく，テープを折った

一回半分に折ったらどうなるかな。
」と問うと，多くのり，整数値と同じように考えたりすることで他の分数も作れそうだと予想した。この予想を検証するため，
実際にテープを折る活動を行った。この活動を通して，児童は，分母が２の累乗の分数は作ることができ，数として存在する５）ことを認めた。一方，分母が奇数の場合は，テープを折ることが難しく，また，テープの長さの関係上，計算でも割り切れないという課題を抱えた。しかし，児童は，具体的な操作で正確に分数を作ることができないが，必ずその数は存在するはずだという考えをもった。それは，分数を作りだす活動の中で，分数は１を等分することによって作り出される

１

学習者が「６」と答えた。学習者には，「2-4-6」という数の配列が見えていて，操作そのものへの着目はされていないためである。しかし，実際はさらに半分にす
１

ると， ができる。そのときになって初めて，学習者は
８

自分の操作を反省的に見ることができる。すると半分にするという操作は，二等分すること，つまり，等分されたものをさらに二倍の数に等分することだということが読み取れれば，次に来る数は６ではなく８であると導くことができる。さらに同じ考えを用いれば，それに続く数は 16，32，64…と続くと，もはや操作をしなくても導くことができる。
以上のように，操作的活動は当該する課題の状況を可視化させることができ，また検証においても役割を果たす。さらに，操作的活動で得られたことを探究することで，その構造をよみ取り，数学的な表現へとつなげていくことが可能になるのである。

１１ものであると了解しているからである。また，３，７な
どの分数を考える中で，割り切れない数の大きさを分１ １

数では３，７と表記できるというよさにも気が付くこと
ができた。
（図３）

〔図３〕
このように，本時までに，分数の意味や必要性について学習してきた。
さらに，分数が量を表すことや数としての表現形式
であることをテープと数直線を併用することで理解を深めてきた。
（図４，図５）〔図４〕

田６）と山中７）が勤務校において使用する教科書が異なっている。また，実践①は小数について未習であり，
実践②は小数について既習となっている。
本単元では，次の４点を念頭に置いて，両実践が行われた。
ⅰ）分数を操作的活動によって作り出すこと。
ⅱ）量を表す分数としてみる場合はテープ（図）の線の間に分数を書くこと。
ⅲ）数の表現形式として分数をみる場合は，テープ（図）の線の上もしくは，数直線上に表すこと。
ⅳ）作り出した分数を基に，表現が違っても同値の分数が存在することなどの意味の拡張，有理数は数直線上に表すことができ，大小関係が存在することなど，一般化を志向したよみ取る活動を設定すること。
４．２ 授業実践の実際
４．２．１ 指導案の作成の意図【資料Ⅲ】に示される指導案は大きく 3 つの様相を確認する目的で作成されている。1 つ目は本研究の目的である，有理数の稠密性を基にして授業の展開が可能であるか，さらには学習者の数学的知識の構成に有効であるかを検証する目的である。これは，主に「問題場面をつかむ」場面で確認される。２つ目は，問題を解決する様相について，操作的活動からよみ取る活動へと変容できるかを検証する目的である。本研究では，児童の活動を「期待される活動」８）とし，解決に水準を設けることで，その様相を確認する。最後に，我々が期待することに対して，学習者がどのような解決を用い，思考したのか，また理解をしているかを検証する目的がある。これは，「練り上げ・適用問題」の活動を通して確認する。
加えて，分数の大小関係の決定を有理数の稠密性を志向した支援を手がかりに解決するなかで，学習者がどのような困難さを感じるのか，また分数の概念理解に寄与できるのかを検証する。
４．２．２ 実践①（実施日：2014.12.15）【資料Ⅲ】の指導案による授業実践を行った。実践の結果，学習者にとって，本時最も驚きをもって解決
１

３

４

４

されたことは，「 と の間には，いくらでも分数があ〔図５〕る」ということである。それぞれの【期待される活動】の様相を基に，見ていく。
【期待される活動 A】には，これまでの一般的な分（２）指導計画【資料Ⅰ】，【資料Ⅱ】にあるように，授業実践者の前

数の大小関係の学習同様に，そもそも と４はどちらが１４３大きいのかを問う活動も設定している。これは導入場
３

面で操作的活動を行った結果明らかに の方が大きい
４

ことが学習者に了解されるのだが，それを単位分数のいくつ分ととらえて解決させたいというねらいがある。
（図６）

〔図８〕

〔図６〕
学習者には，分数の大小関係を不等号を用いて形式化する活動を重視させた。それは，分数が有理数の表
現形式であるためである。結果，【期待される活動 B】にあるように，学習者は，間にある数を見つけ，形式
１

２

３化し，４ < ４ < ４と分子に順序性を持たせることで，

〔図９〕
1

2

3

3

4

5

１

３

とを見取り，8，8，8も と４の間にある分数であると４認めることができた。
（図 10）

分母をそろえて分子を比較し，大小関係を決定することができると結論付けることができた。
（図７，８）【期待される活動 C】では，操作によって「８分１３の」という分数を作り， と４の間にある分数を見つ４ける活動を行った。(図９)〔図 10〕〔図７〕

6

学習者は，活動から4と8，また4と8が同値であるこ指導案には特別には載せていないが，我々は学習者に【期待される活動 N】を設定していた。テープを１ると言って，その様子を見せてくれた。それが（図13）９）である。

３

折らなくても， と４の間にある分数を作り出すこと４ができるかというものである。これは，まさしく，操作的活動からよみ取る活動へと学習者が変容したことを示すものである。
多くの児童は，テープに線を書き加えたり，あるいはテープを折ったりすることを通して，「８分の」の次にくる分数は「１６分の」にちがいないという考えを検証していた。一方，図１１に示される学習者は，間の数を見つけることに関して，計算によって次々と算出していく活動を行った。
「１６分の」という分数が検証できた後は，
「３２
１

３

分の」
，
「６４分の」という分数が と４の間にあると４いうことを，確信をもって答えることができた。なぜならば，この児童は活動Ｃを経て，同値な分数を作り
１

〔図１１〕

３

出すための方法を心得ていた。そのため <C<４にな
４

るようにするためには，分母と分子を常に２の累乗倍したものを両端として，その間の分数が存在すると考２えたためである。その中でも， を２の累乗倍したも４のは必ず存在するということも強く主張していた。
１

３

学習者はこれらの活動から，「４と４の間には，いくらでも分数がある」という結論に至ったのである。分
母の数が大きくなっても，分子に着目すれば大小比較が可能であることや，合わせて，その 2 数間にいくつ同分母の分数が存在するかについても考えることが可能であった。
４．２．３ 実践①の考察
実践の結果，有理数の稠密性を志向することについて，教材そのものに対する課題は見受けられなかった。逆に，この実践後に行った分数のたし算・ひき算
では我々が想定していた以上に，学習者が分数の意味
について理解を深めていることが明らかになった。それは，(図 12)にあるような活動から見て取れる。
学習者は，分数のたし算において，分子同士を足してもよいのは，分母が同じであるからだということを主張していた。分母同士を足してしまうと，分数の大きさが変化するので，足すことができないからである。しかし，学習者は分母が違っても足せる分数があ

〔図１２〕

〔図１３〕

本時の大小関係の学習で，学習者は自ら分数を作り出し，さらにその分数から新しい分数を作り出すことができるという結論に至った。それは，同値な分数を認めると同時に，その間にいくつもの分数が存在していることを認めることができたと換言できる。結果として，通分はおろか，同値な分数について学習していない学習者でも，限られた場合の異分母分数の演算が可能になったのである。
これらは，大きな示唆を含んでいるが，本時の活動が次年度以降の学習の先取りを行うものではないた
め，紹介に留めることとする。
実践した結果，授業の進行上，次のような学習者の解決への困難さが明らかになった。
（課題１）比べ方を考えることについて教師が問題提示の場面で「テープがなくても説明できるか」という発問をした結果，教師の直接比較をしなくても比べられるかという意図ではなく，テープを用いてはいけないという様に学習者がとらえてしまい，
活動に取り掛かりづらい学習者が見受けられた。
（課題２）まとめを行うタイミング
本時では，自力解決 C を超え，16，32，64，…と分母が大きくなった場合の解決を行った学習者がいた。
本時の本来の目的である，大小比較の方法について考えることではなく，自力解決 N の様相に興味をもちす
ぎてしまった点は考慮すべきことであると考える。そのため，学習者の思考が細切れになったり，思考が停止したりしないタイミングで大小関係の決定についてのまとめを行うことが必要である。
（課題３）自力解決 B から C への支援
自力解決 B まではほぼすべての学習者が解決でき，C へ活動を高める場面で，「より特殊な支援」１０）である。
(1) 課題１の克服に向けた指導の実際
課題１は，問題提示の際の「テープがなくても，分数の大きさを比べることができるか」という発問により，テープを折るという「具体的操作」をしてはいけないと解釈する児童がいたことであった。そこで，実２性である。実践①では，「４ の他に分数はないだろう

が必要であったと考える。
「４ の他にはないかな」と
１

２

４

５

問うのではなく，より具体的に，「 ４と４ の間に分数３はないだろうか」と問うことで，８，８，８の存在を見つけやすくなるのではないかと考える。
４．２．４ 実践②（実践日：2015.1.15）とその課
題
実践②では，実践①での課題を踏まえ，その課題の克服を目指した授業を行った。なお，4.3 で挙げた課題
は，いずれも教材解釈の本質的な課題ではなく，子どもたちにより誤解なく教師の意図を伝えるための改善

３

践②では，４の方が大きいと考えた理由を説明しよう」と問うことで，児童はテープを折るという操作による結果としての根拠だけではなく，「単位分数の幾つ分」の考え方を用いて説明することができていた。
(2) 課題２の克服に向けた指導の実際
課題２は，本時のまとめを最後にしたことにより，そのタイミングが児童の思考の流れに沿っていないということであった。実践②では，練り上げにおいて，期待される活動Ａについて議論した結果として，本時のまとめの文章を黒板に記録するよう変更した。その結果，児童の思考の流れに沿っていた分，児童の言葉でまとめることができた。期待される活動Ｃにおいても，同様のことが認められるが，活動の難易度としては高いので，練り上げでは，期待される活動 C をみる
ときに，期待される活動 A で明らかになったことがこ
こでも当てはまるのか，検証することとした。
(3) 課題３の克服に向けた指導の実際
課題３は，期待される活動Ｂから期待される活動Ｃ
１

３への支援の必要性についてであった。つまり，４と４２３の間にある分数において，４ を見つける活動から８，４５，８を見つける活動へと変容するための支援の必要

８２か」という支援であったが，実践②では，この支援に
１

２

４

４

加え，児童の実態に応じて１１），「 ，と の間に分数はないだろうか」という「より特殊な支援」も行った。この結果，テープを折ったら分数をさらに作ることができたという今までの学習を想起し，テープを折る活動を通して，分母の異なる分数を見つけ始める児童が見られた。また，数直線で考えた児童は，分母が3 や 10 の時でも，間に入る分数があると図で説明をすることができていた。

１

３

一方，新たな課題も見つかった。
「４と４の間にある分数」の「間」という言葉の意味を「２数の中間１値」と捉える児童がいたことである。そのため，２と４などの数が 2 数の間の分数として見つかった後，

８
３

５，８も同様にみなしてもよいと考えるまでに支援が８必要であった。
語「間」の子どもたちの理解については，本研究とは直接的に関連するものではないが，他の学習場面においても同様の様相を示すであろうことが予想される
ことから，今後の課題としておく。
４．３ 授業実践の反省的考察
本研究では，研究の目的に基づき，単元計画の作成，本時案の作成，授業実践を行った。その結果，有理数の稠密性に着目して指導を行うことは教育的価値をもっており，学習者の数学的知識の構成にも有意義であると認められる。特に，従来行われてきた，分数の大きさを分母に合わせて分割されたテープ図を塗ることによって分数を学習するものと違い，学習者が自ら分数を作り出すという，学習の担い手としての活動が充実している。結果として，学習者は操作的な活動を通して様々な分数に触れ，操作的活動から得られた事柄を基に，分数を作り出すこと，つまり，操作的活動からよみ取る活動へと活動内容を変容させることができることが示された。
５ 終わりに有理数の稠密性を基に設計された授業を通して問題解決を行った児童は，間の数を見つける活動を行うことによって，大小比較の方法だけでなく，分数の意味理解も深めたと評価されると考える。あくまで個のクラスでの様相であるため，学習者および学習集団によっての多少の差は認められるところであろうが，有理数の稠密性に着目して指導を行うことの意義は十分に認められる。
今後の課題としては，分数だけでなく，他の単元においても，本研究と同様に有理数の稠密性を基にした開発的な指導改善が可能であると考えられることか
ら，これらについても，カリキュラムの一貫性という観点から研究開発を行うことが要請される。

注
１）本研究では，「分数」を概念として表現されるものではないという立場をとっている。ただし，先行研究においては，「分数概念」と表記されているため，そのまま引用したものである。
２）本研究では，特に分数の大小関係に焦点を当てて論述しているが，これは，分数の大小関係についてだ
けでなく，有理数全体について考慮した上でのものである。そのため，分数は有理数における，数の表現
形式の一部と捉えている。そのため，有理数の概念の一つとして，大小関係が決定できることを，指導することを示している。
３）整数の大小関係の決定では，大きな位から比べてみるという指導が一般的である。しかし，有理数の稠密性を基にすると，数直線の目盛りとして位を見ることができると考える。例として挙げると，次のような数直線を用いることができる。
（問）357 と 316 はどちらが大きいか。
316

350

357

数直線上に表すと，316 と 357 の間には様々に点が取れるが，今回は 350 とする。316 と 357 を比較しようとするとき，対象とするのは，十の位である。それは，二数間に取られる点の百の位が同値で，大小関係の決定には，十の位が必要だからである。つまり，間に取られる数は 320 でも 330 でもいいのだが，我々が着目しているのは，十の位だということである。
４）長さや面積の比較の際にも，２つのものを直接比較し，任意単位で測定し，普遍単位での測定と通常学習が行われる。しかし，任意単位が現れる場面でよくあるのは２つのものが物理的に比較できない状況にあることが多く挙げられる。
「直接比較」や「間接比較」は大小間の《順序性》を決定する認識である。しかし，ここでは対象間の順序のみが決定されることを目的とし，個々の対象の≪大きさ≫それ自体を直接の目的とはしていない。特に「直接比較」では，この点は明白である。一方，「間接比較」においては，２つの対象Ａ，Ｂの(当該の量についての)順序を決定するにあたり，媒介Ｃを用い，Ａ＜Ｃ＜Ｂを決定する過程において，|Ａ − Ｃ|と|Ｂ − Ｃ|の差同士の比較が問題とされる。ここにいたって初めて，Ａ，Ｂ，Ｃの≪大きさ≫それ自体が決定される必然性が生じる。

「任意単位による測定」は，《大きさ》を数によって表現することが課題となり，それぞれの場面でその単位が選択される。しかしそれでは不都合が生じる
ため，「普遍単位による測定」が必要となるのである。
５）表現形式として，分数が数直線上にプロットすることが可能であることから，「順序構造」と「演算可能性」を認め，数として存在すると認めることができる。
６）実践①の授業は，共著者の一人である前田が実施した。前田は，２．で示した本研究の基盤としての固有の授業観，および授業モデル〔図１〕に精通している。
７）実践②の授業は，共著者の一人である山中が実施した。山中は，２．で示した本研究の基盤としての固有の授業観，および授業モデル〔図１〕に精通している。
８）期待される活動とは，学習者がどのような活動を行うか予想するものではない。本時において，学習者が行うことが望ましいと指導者が設定する活動
であり，それらの活動は文脈上に位置づけられ，活動内容がより高次なものへと変容するように規定されるものである。
９）図 13 は児童の発言を基に，前田が板書の補助を行った結果である。
１０）通常，支援と呼ばれるものは，当該の問題解決に直接的に有効なものを指す。しかし，本研究では，支援を「より一般的な支援」と「より特殊な支援」とに区別してとらえている。
「より特殊な支援」とは，児童・生徒の活動を変容させる上で，有効であるが，当該の問題解決を直接的に変容させるものであり，その後の問題解決場面においては，必ずしも機能するものではない可能性が高い。一方
で，「より一般的な支援」とは，その日の問題解決
以外にも有効であり，従って，そのような支援が幾度となく施された児童・生徒は，次第に問題解決において，自身がそのように活動してくれることを期待するものである。（cf. 溝口，2010； Mizoguchi,2013）
１１）「より特殊な支援」は学習者の活動を促進（変容）させることに有効である。しかし，その前に「より一般な支援」をしたいと考える。注１０）に詳述したが，「より特殊な支援」を行うことで，学習者の解決の糸口は的確に与えられる。しかしながら，それが毎時間となると，一つ一つが独立した様相を呈した授業となってしまう。連続した学びとして実現できる可能性を有するためには，「より一般的な支援」の比率を増やしていくことが大切である。そのため，まず「より一般的な支援」を行うが，それで活動が変容しない場合に，「より特殊な
支援」を行うことが必要となる。これは，一時間の学習だけでなく，単元間，学年間を通して行われるべきである。
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溝口達也 (2012).『「論証指導」の基盤としての「説明の指導」：研究ノート』. 鳥取大学数学教育研究,

15(3), 1-9.
中家 覚 (1996). 『小学校児童の分数の理解について―分数の加減に関する題材を用いてー』. 日本
数学教育学会誌, 78(8), 223-227.

A research on improvement of the teaching on deciding
the size of fractions:
Based on the concept of the dense nature of the rational number

Shizuka MAEDA
Yata Elementary School, Kurashiki City

Noriko YAMANAKA
Hisamatudai Elementary School, Fukuyama City

Tatsuya MIZOGUCHI
Tottori University
Abstract
There are many research works on the teaching of the fraction, however, in
actual classroom situations, the problem of teaching only formal aspects of thefraction is pointed out as ever. As a background of this problem, the notion of order(especially, dense order) is not discussed enough as the notion of operation of thefraction in each grade. Therefore, this research aims to improve practically theteaching of decision of the size of fractions in grade 3 by focusin g of the dense natureof the rational number.
In this paper, firstly, we argue the dense nature of the rational number and insist
on the importance of the teaching of this concept. Our research is accomplishedpractically, so the lesson model as problem solving and the perspective of
mathematics as the science of patterns are suggested then. Based on them, two samelessons are implemented in the different classrooms in turn. Especially, the second
lesson is intended to overcome the instructional problems of the first one.
In conclusion, students can find new number (fraction) by themselves through theactivities in which they seek for new fraction between the given fractions. In otherwords, they can shift from the manipulative stage to interpreting stage. By theseevidences, the suggested instruction is appreciated for teaching not only theprocedure to decide the size of fractions but also the deep understanding of themeaning of fraction.

【資料Ⅰ】実践①指導計画（小数は未習）
時

１

２

３

評価の観点
関 考 技 知学習内容

本時のめあてはしたの長さの表し

長さを測り取るに方を考え，単位分数について理解する。

は，どのように分数を作ればよいか ◎考えよう。

長さの表し方を通して，単位分数のいくつ分という分数の表し方を知る。

分数を使って，長さを表す方法を考えよう。

かさの表し方を通して，単位分数のいくつ分という分数の表し分数を使って，かさを表す方法を考えよう。

テープを折って作った分数で○５

はしたの長さを測り，どう表○ せばよいか考え，興味をもって取り組むことができる。
（観察・ノート）○

分数の意味と表し方が理解できる（観察・ノート）

長さと同様に分数でかさを表すことができる。
１
１０等分， をもとに，考え

○

１０

方を知る。

４

評価規準（方法）

ることができる。
（ノート・発言）数としての分数の意
味を知り，１との関係

分数も数のなかまか調べよう。また，を理解する。

１と同じ分数について調べよう。

数直線上に分数を表わしたり，数直線上の点を分数で表す。

分数が表す量と大きさの違いを説明しよう。

分数を数として捉えることができる。また，分母と分子が○◎ ○○ 同じ分数は１であることを理解している。
（観察・ノート）
数直線上に分数を表したり，読み取ったりできる。また，量として扱う分数と，数とし○て扱う分数の違いについて考えることができる。
（観察・ノート・発言）

分数の大小関係・相等関係を考える。

分数の大きさの比べ方を考え，説明しよう。

同分母分数の加減計
算の仕方を考え，計算

分数のたし算・ひき算の仕方を考７をする。

え，説明しよう。

８

分数の習熟を確かなものにする。

分数の学習の復習
をしよう。

９

単元テスト

(

６
本
時

同分母分数の大小比較の仕方を理解している。
（観察・ノー○ト）◎)
同分母分数のたし算・ひき算を，単位分数をもとにして，◎ ○○整数と同じように考え，説明することができる。
（ノート・
発言）
８割以上の問題を正確に解くことができる。
○（ノート，プリント）

【資料Ⅱ】実践②指導計画（小数について学習済み）
時

１

２

３

４

学習内容
（ページ数）

本時のめあて身の回りのもので，分分けた大 きさ の表

けた大きさをとらえる。

し方を考えよう。

単位量に満たないあまりの大きさの表し方を考える。

分数の表 し方 を考えよう。

１より小さいかさを分数で表す。

１ｍや１ Ｌよ り小
さい長さ やか さの

１と同じ大きさを分数
で表す。

評価の観点
関 考 技 知分けた大きさの表し方に興○味を持ち，取り組もうとしている。（観察，発言）10 等分した目盛りで表せない１より小さい大きさの表し方を考えることができる。（観察）○

分数は単位分数のいくつ分で表せることに気づいてい○

表し方を考えよう。

る。（観察）

テープの 長さ を調べよう。

分母と分子が同じ分数は１であることを理解してい５

分数の大小関係を考える。１より大きい数を分数の大 きさ の比べ方を考え，説明し(分数で表す。

よう。

分母が 10 の分数と小数の関係を考える。

分数と小 数の 関係について調べよう。

○

○

)

７

８

（真分数）＋（真分数） 分数のた し算 の仕＝（真分数）の計算の 方を考え，説明しよ仕方を考える。
う。
（真分数）－（真分数） 分数のひ き算 の仕＝（真分数）の計算の 方を考え，説明しよ仕方を考える。

う。

る。
（観察・ノート）
同分母分数の大小比較の仕方を理解している。単位分

本
時

６

評価規準（方法）○○○

数のいくつ分で考えると，１より大きい分数がつくれることを理解している。
（ノート）
小数第一位の小数は，分母が 10 の分数で表せることを理解している。
同分母分数のたし算を，単位分数をもとにして，整数と同じように考え，説明することができる。

○

同分母分数のひき算を，単位分数をもとにして，整数○と同じように考え，説明することができる。

９

分数の習熟を確かなものにする。

１ｍのテープを使って，分数ものさしをつ
10
くり，いろいろなものの長さをはかる。

11 単元テスト・小テスト

分数の学 習の 復習をしよう。
分数もの さし を作り，いろいろなもの○の長さをはかろう。

○○

７割以上の問題を正確に解くことができる。
（ノート，プリント）
身の回りのものを，分数ものさしを使ってはかろうとしている。（観察）【資料Ⅲ】学習指導案

めあて

単位分数の幾つ分かで分数の大小を比べたり，テープを折って２数の間に入る分数を探したりすることを通して，分数の大小・相当関係の比べ方を考えることができる。
学習活動と内容

指導上の留意点

評価規準(評価方法)

1．問題場面をつかむ。
１

３・分数の大きさのくらべ方に焦点をあてるた

４

４

め，２つの分数のどちらが大きいかは，操○このテープで， や を作ることができますか。
・できる。(実際にテープを使って作る)
１

３

４

４

作活動を通して最初に明確にさせておく。

○ と を比べると，どちらが大きいですか。
３・ が大きいと判断した理由(大小の比べ方)
４３・ の方が大きいです。
４については，ここでは触れない。

テープがなくても分数の大きさを比べることができるか考えてみよう。また，２つの分数の間に入る分数を探しましょう。
2．課題を知る。

分数の大きさのくらべ方を考え，説明しよう。
3．分数の大きさのくらべ方や，2 つの分数の間（数学的な・【期待される活動 A】への支援に入る分数を探す。
【期待される活動 A】

どんなくらべ方をしたか説明してみよう。

考え方）
○単位分数
の幾つ

①テープを折って大小比較する。
②単位分数の幾つ分と考えて大小比較する。

・直接比較だけではなく，単位分数の幾つ分で考えられるようにさせる。

③分子の大きさで大小比較する。

分，2 数
の間の分
数を見つ

・【期待される活動 B】への支援【期待される活動Ｂ】
２①テープや図を分けたりして，間に が入
４

を通し
１

３

４

４

と の間には，どんな分数が入るだろう。

て，分数
の大小関

ることを見つける。
②単位分数の幾つ分と考えて，整数値を用

ける活動

２

係・相当

４

関係の比

・操作の結果として， を見つける。

いて２が間に入ることを見つける。

べ方につ【期待される活動Ｃ】【期待される活動 C】への支援①テープや図の目盛の間に線を入れること

２

で，間の分数を見つける。

４②テープをさらに半分に折っていき，分母を８にしたときの間に入る分数を見つける。

することのほかには，分数はないだろうか。

ができる。

・意図的に分数を作りだし，大小を比較する。 （ノート，発言）

4．分数の大きさのくらべ方について話し合う。
○分数の大きさの比べ方には，
どんな方法があり

いて説明・具体物，図，数直線を関連させながら，考ましたか。

えをまとめていく。

・【期待される活動 A】

・不等号を使って，大小関係を表すようにさせる。
・単位分数が幾つ分かで大小比較ができることを押さえる。

○大きさが違うということは，間に数が入るとい・2 つの数が同じ大きさでないならば，それうことですね。どんな数が入るか説明しましょらの間には数が存在することを想起させう。

る。

・【期待される活動Ｂ】

・テープを折るという操作の結果，
２

2 数の間の数である に気づかせる。
４○他にも間にある分数はありますか。
・【期待される活動Ｃ】

・テープを折るという操作を通して，意図的
３ ４に ， のような分母の異なる分数を見つけさ８ ８せる。
5．本時のまとめ分母が等しい分数の時は，分数の大小は分子の大きさで比べることができる。
6．適用問題をとく。
・適用問題の数値に「１」を用いることで，
２

５

７

７

・ ，１，

を小さい順にかきましょう。

「分母が等しい分数」という条件を満たすことができるかみとる手段とする。

２・ ，と１の間に入る分数をかきましょう。
５

7．学習の振り返りを書く。

鳥取大学数学教育研究

ISSN 1881−6134

Site URL：http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

編集委員
矢部敏昭

鳥取大学数学教育学研究室

tsyabe@rstu.jp

溝口達也

鳥取大学数学教育学研究室

mizoguci@rstu.jp（投稿原稿の内容に応じて，外部編集委員を招聘することがあります）

投稿規定❖ 本誌は，次の稿を対象とします。
• 鳥取大学数学教育学研究室において作成された卒業論文・修士論文，またはその抜粋・要約・抄録• 算数・数学教育に係わる，理論的，実践的研究論文／報告• 鳥取大学，および鳥取県内で行われた算数・数学教育に係わる各種講演の記録• その他，算数・数学教育に係わる各種の情報提供❖ 投稿は，どなたでもできます。投稿された原稿は，編集委員による審査を経て，採択が決定された後，随時オンライン上に公開されます。
❖ 投稿は，編集委員まで，e-mailの添付書類として下さい。その際，ファイル形式は，PDFとします。
❖ 投稿書式は，バックナンバー（vol.9 以降）を参照して下さい。

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