卒業論文要約【ଧ取大学数学教育研究，第 5 号，2003】

関数教材におけるグラフ化の機能に関する研究

杉本享๓

指導教官：矢ശ敏昭

Ⅰ．研究の目的と方法
指導要領では、変化する 2 量を身の回りの事Ⅱ．本論文の構成
第1章

本研究の目的

1−1

研究の動機

しかし、教科書では既に依存関係にあるとさ1−2研究の目的と方法れている 2 量が示され、重要とされている「依第2章存関係を見出すこと」は扱われないように思わ

2−1

順序対と直積集合れる。よって、具体的な事象の中から依存関係

2−2対応・関数・写像・関係にある量を見出すことの指導とその理ӂが不十2−3定義域と値域分であると考えられる。

2−4直積集合の点表示

また、グラフには、2 量の変化やその特徴が2−5

教科書の中の関数概念捉えやすく，身の回りの変化する事象から 2 量第3章間にある依存関係を見出すには，グラフを用い3−1依存関係の抽出るのが適していると考える。

3−2推測の構成

そこで，本研究ではグラフに焦点を当て，そ3−3ӂの存在の確認の機能について考察することにより，関数教材3−4

まとめにおけるグラフ化の機能を明確にすることを目

第4章

象から見出すことが重要とされている。

的とする。

関数の概念

関数教材におけるグラフ化の機能依存関係に着目した生徒の様相

4−1

調査問題の目的と作成

その方法として，まず，関数の概念について4−2調査問題の結果と考察

文献研究を行う。次に数種の実測データをもと4−3まとめに描かれたグラフを観察することを通し，関数

第 5 章

教材におけるグラフ化の機能を明確にしていく。
しかし，もし，生徒にとってグラフの観察から察5−1関係を見出すことが困難である場合，教材にグラフを活用することは困難であると考えられる。

事例考察 1

5−2

事例考察 2~小学校 6 年「割合の‫ٽ‬算」~
5−3

事例考察 3

査問題を作成，実施する。また，その一方で，点対称」~

グラフ化の機能に着目した事例の考察も行うも（1 ページ 40 字のである。

~小学校 4 年「変わり方」~

したがって，生徒がグラフの観察から関係を見出すことは可能であるのかを確認するため，調グラフ化の機能に着目した事例の考~中学校 2 年「線対称・40 行，41 ページ）

Ⅲ．研究の概要

ことはよく行われることである。しかし，グ本論文においてグラフ化の機能として特にラフは関係式の変化を見るのに適しているが，次の 3 点に着目し考察したものである。

正確な数値を読み取ることには適していない。

・依存関係の抽出それにも関わらず，連立方程式をグラフに表・推測の構成すのは，そのӂを知るためではなく，ӂが存・ӂの存在の確認在するかどうかを確認できることや，そのӂ

3.1 依存関係の抽出の個数が分かるということが考えられる。そ図 1 のようにグラフを概括的に捉えることの際には，定義域が実数全体の場合に限られや，グラフを理想化して見ることによって，ず，問題をӂ決するための条件を含めて考えグラフが同じ形，または逆の形をしているこることも出来る。とから関係があるのではないだろうかと考えることが出来る。

下の図 4,5,6 はその考察において用いたグラフであり，図 4 は一次関数と一次関数のグラフ，図 5 は二次関数と一次関数のグラフ，
図 6 は条件付の問題をグラフに表したものである。

!1y

これがグラフ化の機能として 1 つ目に挙げy""

た依存関係の抽出である。

xO

3.2 推測の構成!42 量の間にある関係を利用し，一方の量から他方の量を推測できるだろうと考える。

y!5

O

x!6

これらのグラフにおける交点の有無やその個数を見ることによってӂの存在を確認することが出来る。

y

数学の問題であっても，日常生活の問題でlxO!2

Oあっても，ӂの存在しない問題のӂを求めよ

x!3

うとすることは避けたいと考えるのが一般的であろう。よって，ӂの有無が分かることは同じ形をしているグラフは一方を平行移動問題をӂくときに大きな意味を持つ。したがしたグラフであると見ることができ（図 2 参って，ӂが存在するのか，また，いくつ存在照），逆の形をしたグラフは上下対称なグラするのか，が分かることは重要なことである

フであると見ることが出来る（図 3 参照）。といえる。

このような特徴を利用して一方の量から他方の量を推測していくことが可能である。
これがグラフ化の機能として 2 つ目に挙げこれがグラフ化の機能として 3 つ目に挙げるӂの存在の確認である。
以上の 3 点をグラフ化の機能として指摘する推測の構成である。

る。

3.3 ӂの存在の確認

4 調査問題

方程式をグラフに表すことによって交点のグラフを捉えることによって関係を見出す

座標を求めることや，グラフの特徴を求めることが可能であったとしても，中学校での教材として扱ったとき，生徒にとってグラフをグラフの形を概括的に捉える必要がないグラ

概括的に見ることや，同じ形のグラフであるフの方が関係を見出し易いということも調査から，逆のグラフをしているからということ結果から分かった（図 8 参照）。

から関係を見出すことが出来なければ，教材として活用することは困難であると考えられる。
そこで，中学生にとって 2 量を表すグラフを観察したとき，グラフを概括的に捉えるこ!7とによって，グラフの形が同じである，または，逆であると捉えることは可能か，ということ，そしてそれらの理由から 2 量の間に関係を見出すことは可能か，を確認するために!8

調査問題を作成，実施する。
その考察においては，グラフの形から関係を見出している生徒に着目した。その内容は，

5 事例考察

どのようなグラフが多く選ばれているのかと

また，グラフ化の機能に着目した，小学校いうことに着目した分析と，同じ形をしたグ

4 年「変わり方」，小学校 6 年「割合の‫ٽ‬算」，ラフ，逆の形をしたグラフと捉えている生徒

中学校 2 年「線対称・点対称」の事例考察をのグラフの捉え方に着目した考察の 2 通りを行った。

行う。この 2 通りの考察を通して，生徒にとそれぞれの教材は，一般的にグラフを扱うってグラフを観察することによって調査の目ものではないが，その中でグラフを用いたと的として৓定したことについて確認した。

き，どのような数学的内容が見出せ，また，調査問題において 10 通りのグラフを提示した。これらのグラフを同じ形のグラフ，逆その数学的展開が可能であるかについて考察を行ったものである。の形をしたグラフ，同じ形でも逆の形でもな

例として小学校 4 年「変わり方」をとりあいグラフ，に分໸したが，調査結果は同じ分げる。これは正方形を並べて正方形を作る問໸をしたグラフであっても，多くの生徒が関題である。このとき，大きな正方形の面積は係を見出したグラフもあれば，ほとんどの生y = x 2 と表すことが出来，内側の正方形の面徒が関係を見出せなかったグラフもあった。

積は y =( x Â2)2 と表すことが出来る。二次

このように，グラフによって関係を見出し

関数 y = x 2 から y =( x −2)2 を引くことによやすいグラフと見出し難いグラフに分かれるって一次関数 y =4( x −1)が作られる。これが，生徒にとってグラフを概括的に捉えることは可能であり，また，同じ形をしている，を y = x 2 と y =− ( x −2)2 の和と見ると，直y
線 y =4( x −1)は 2 つまたは，逆の形をしていると見ることで，2の放物線における共通量の間に関係を見出すことは可能であると考の接線となっているえられる。

（図 9 参照）。このよ

その中でも，同じ形のグラフより，逆の形うな場合を特別なことをしているグラフの方が関係を見出し易いこと見ることによってことが分かった（図 7 参照）。さらに，グラフ

れらの間に関係があるの形を概括的に捉える必要があるグラフよりと見ることが出来ると

y =4 ( x #1)

y = x2xO

y = -( x - 2) 2!9考える。

出し易くなったり，見難くなったりすることⅣ．今後のҭ題が考えられるが，その提示の仕方については本研究においてグラフ化の機能として，3つを指摘し，生徒もグラフを用いることによ考えていない。
これらのことが今後のҭ題として残った。って依存関係を見出すことが出来るだろうと考えた。
本研究においての調査問題は，依存関係を見出すことに限定し作成した。そのため，推測やӂの存在については行われていない。したがって，依存関係を見出すことが可能であっても推測が可能であるといえない場合には，依存関係を見出した後の展開が困難になることも考えられる。
また，関係を見出す際に，提示の仕方によって生徒がグラフを観察したとき，関係を見参考文献
・「中学校 学習指導要領 ӂ説 −数学編−」
文ശ省大‫ޥ‬書籍

1999 年 9 月 20 日

・「関数とその指導（中学校編）」
教育会 編明治図書

日本数学1968 年 7 月