ISSN 1881−6134

鳥 取 大 学 数学 教育 研究
Tottori Journal for Research in Mathematics Education

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

小学校における数感覚を育む研究

山根三佳

Mika Yamane

vol.16, no.2
Feb. 2014

鳥取大学 数学教育学研究室

目次
第 1 章：本研究の目的と方法
1.1 本研究の動機
1.2 本研究の目的
1.3 本研究の方法

3
4
5
5

第 2 章：「数感覚」に関する先行研究の分析
2.1 「数感覚」について
2.2 数感覚を考えるための枠組みの検討
2.2.1 Reys 等が枠組みを考案した背景
2.2.2 Reys 等の枠組みについて

8
9
10
10
11

第 3 章：スタンダード 2000 の分析
3.1 NCTM とは
3.2 スタンダード 2000 について
3.3 Reys 等の枠組みを基にしたスタンダード 2000 分析

17
18
18
20

第 4 章：学習指導要領の分析
4.1 小学校学習指導要領 算数編
4.2 学習指導要領分析
4.3 分析結果への考察

42
43
43
50

第 5 章：数感覚育成のための指導プログラム案
5.1 数感覚指導の現状
5.2 ベンチマークについて
5.3 指導プログラムの提案～ベンチマークの使用に着目して～

55
56
56

第 6 章：本研究の結論と残された課題

66

1

61

6.1
6.2

67
67

本研究の結論
残された課題68

引用及び参考文献2

第1章
本研究の目的と方法

1.1
1.2
1.3

本研究の動機
本研究の目的
本研究の方法本章では、本研究の目的・方法について述べる。
1.1 では、本研究のテーマ設定に至った背景を述べる。1.2
では、本研究の目的を述べる。1.3 では、本研究の目的を実現するための方法を述べる。

3

第1章

本研究の目的と方法

1.1 本研究の動機
筆者は大学時代、学生ボランティアとして地域の子ども達に勉強を教えるボランティア活動を行っていた。ボランティ
ア活動を行っていくうちに、(1)(2)のような気になる子どもが居た。
(1)小学５年生の女の子
わり算をする際、商をどんな数にすればよいのかが分からない。
例：①72÷31 ②125÷43
etc…（除数が１ケタの時にはできることが多い）(2) 小学５年生の女の子
かけ算をする際、解の値が明らかに違っていても気づかない。
例：①32×45＝144 ②400×12＝480
筆者はボランティア活動中に、(1)、(2)のような子どもが何人も居ることに気づいた。そのような子ども達を見て、商を決められない子や、解の合理性が判断できない子ども達は、数感覚が十分に養われていないのではないか、と考えた。
学生ボランティアの活動では、上記のような子どもに練習問題を多く解かせることで、問題を解くことができるようにさせようと奮闘する場面が多いように感じた。しかし、このような指導で本当に子ども達の数感覚が育まれるのか、と疑問に感じた。
また筆者は、練習問題を一生懸命解く子ども達を観察し、子どもの負担をできるだけ少なくしたいと強く感じた。そのため、ただやみくもに練習問題を解かせるのではなく、計画的に無駄なく数感覚を育むためにはどのようにしたらよいのだろうか、と考えるようになった。そこで、どのように数感覚を育めばよいか、ということを検討していきたいと考えた。
4

1.2 本研究の目的
現在日本の算数教育では、数感覚を育む明示的なカリキュ
ラムはない。そのため、教育現場では問題が解けない子どもに対して手探りで指導をしていかなければならならず、計画性がない指導となってしまう。そのような指導では、数感覚を育む保障をすることができない、と筆者は考える。指導方
法・内容によっては子どもの負担を増やすだけになってしまう場合もあり、場合によっては逆効果となることも考えられる。そのようなことにならないようにするためにも計画性のある指導を可能にする必要がある。
そこで本研究においては、数感覚を育むためのプログラムを提案することを目的とする。

1.3 本研究の方法
本 研 究 を 進 め て い く 内 に 、 Alistair McIntosh(1992) 、
Barbara J. Reys (1992)、Robert E. Reys (1992)が数感覚を考えるための枠組みを考案したことが分かった。
（ 以下、Reys
等が考案した枠組みとし、第 2 章に詳しく述べる。）
米国の NCTM はスタンダード 2000 の中で、数感覚を育もうとしている。しかし、ただ読んだだけでは、各学年帯でどのように数感覚が養われているか読み取ることができ ない。
そこで、Reys 等の枠組みを用いて、NCTM が出版した『Principles and Standards for School Mathematics』（以下、スタンダード 2000 とする）に記載されている数感覚の内容を分析することによって、NCTM がどのように数感覚を育もうとしているか、について分析する。Reys 等が枠組みを考案した約 8 年後に NCTM はスタンダード 2000 を提唱した。分析していくと NCTM は、どの構成要素をどの学年帯で指導するか、ということを考えながらスタンダードを作成したことが考えられた。NCTM がどのように数感覚を育成しようとしているか、ということを明らかにし、プログ
5

ラム作りの参考にする。
その後、スタンダード 2000 分析と同様の分析方法によって、日本の学習指導要領を分析する。このような方法により、日本でどのように数感覚を育んでいこうとしているか、またその良い点・問題点を明らかにする。これは、次のような理由による。日本の学習指導要領のみを分析していても、日本の指導についての良い点や問題点は見えてこない。そのため、このようにすることによって、日本の数感覚指導の現状を明らかにし、問題点を挙げ改善するためのプログラムを提案していく。

6

＜本論文の章構成＞
第 1 章：本研究の目的と方法
本研究の目的と方法を述べる。

第 2 章：「数感覚」に関する先行研究の分析
研究テーマである「数感覚」に関する先行研究について述べる。

第 3 章：スタンダード
2000 の分析
スタンダード 2000 を分析することによって、米国でどのように数感覚を育もうとしているか明らかにする。

第 4 章：学習指導要領の分析
第 4 章で提案した新枠組みを用いて、日本の学習指導要領の分析を行い、日本でどのよ
うに数感覚を育んでいるか明らかにする。

第 5 章：数感覚育成のための指導プログラムの提案
数感覚を育むプログラムを提案する。

第 6 章：本研究の結論と残された課題
本研究の結論と残された課題を述べる。

7

第2章「数感覚」に関する先行研究の分析

2.1
2.2

「数感覚」について
数感覚を考えるための枠組みの検討

本章では、研究テーマである「数感覚」に関する先行研究の分析について述べる。
2.1 では、「数感覚」について述べる。2.1 により数感覚とはどのようなものなのか、ということを述べた上で、2.2 では、『A Proposed Framework for Examining Basic Number
Sense』(Alistair McIntosh, Barbara J. Reys, Robert E.
Reys,1992)を基に、Reys 等が考案した数感覚を考えるための枠組みについて検討していく。

8

第2章

「数感覚」に関する先行研究の分析

2.1 「数感覚」について「数感覚」について Reys 等によると、「Like common sense, number sense is an elusive term
which has stimulated discussions among mathematics
educators, including classroom teachers, curriculum
writers and researchers（一般的な感覚のように、数感覚は
担任教師やカリキュラムの作成者や研究者を含めた数学教
育者の議論を活気づけている分かりにくい用語である。）」（McIntosh 等,1992,p3）
Reys 等が言う通り、数感覚について多くの数学教育者が長年議論している。議論に終止符が打たれないほど、数感覚とはどういうものであるか、と決めることは難しいと筆者は考える。しかし、数感覚の重要性はずっと前から言われており、Reys 等も「数感覚は、学習者が暗算や筆算、見積もり、電卓の使用などの様々な計算方法を選択したり、発達させたりする際の基礎となる重要な事柄である」（伊藤，1995，p27）としている。
数感覚を育む必要性はあるが、数感覚がどのようなものか
明確には分かっていない現状があり、目の前に居る子どもたちに数感覚をどのように育めばよいか分からず、現在の数感覚指導は、その場しのぎの計画性のないものとなっていることが多いように感じる。銀島氏は、「数感覚に関する抽象的な議論を展開するよりも、数感覚の育成を促すような条件や指導法を議論することの方が、はるかに有益である」（銀島,1994,p198）としている。
このことに筆者も同意であり、数感覚とはどのようなもの
か、ということを議論するよりも、どのように数感覚を育成
するか考え、また数感覚を育成するためのプログラム作りを行うべきである、と筆者は考えた。プログラム作りをするにあたって、まずは、数感覚指導の現状を明らかにすることが必要である。筆者は、Reys 等の先行研究『A Proposed
Framework for Examining Basic Number Sense』、特に“数感覚を考えるための枠組み”を本研究のベースとし、現在日9本の算数教育においてどのように数感覚が育成されようとしているのか、について明らかにしようと考えた。そこで、
本研究は、Reys 等の先行研究をベースに進めていく。

2.2 数感覚を考えるための枠組みについて
2.2.1 Reys 等が枠組みを考案した背景
本研究では、Reys 等が考案した枠組みを使用するため、ここから Reys 等の枠組みとはどのようなものであるか、ということについて示す。ここでは、まず Reys 等が枠組みを考案した背景について述べ、2.2.2 で Reys 等の枠組みについて示す。
“number sense（数感覚）”について、1989 年に NCTM 1（National Council of Teachers of Mathematics：全米数学教師協議会）はスタンダードに示した。1989 年スタンダードによると、「Number sense is an intuition about numbersthat is drawn from all the varied meanings of number.（数感覚とは、数に関する様々な意味すべてから引き出される、数についての直観である）」とされた。また数感覚は、以下の 5 つの構成要素から成るとされた。
【1】Developing number meanings―数の意味を育てる【2】Exploring number relationships with manipulatives―具体物を用いて数の関係を探求すること【3】Understanding the relative magnitudes of numbers―数の相対的な大きさを認識すること【4】Developing intuitions about the relative effect ofoperating on numbers―数に関する演算の相対的な効果についての直観を育てる【5】Developing referents for measures of common objects
1

NCTM については、第 3 章で詳しく述べる。
10and situations in their environment―子どもの身の回りにある日常的な対象や場面での測定値に関する指示対象を育てる
Reys 等によると、1989 年に NCTM によって示された“number sense”は、シンプルで魅力的なものであり、素晴らしかったが、これ、という解釈ができなかったため、異なった解釈ができた。そのため、Reys 等はさまざまな人々によって基本的な数感覚の構成要素として合意されたものを明確化し、そして体系化することによって、相互に関係付けを行った。さらに、『A Proposed Framework for
Examining Basic Number Sense』（McIntosh 等,1992,p3）の中で数感覚について記述し、数感覚について考えるための枠組みを発表した。

2.2.2 Reys 等の枠組みについて上述したように Reys 等の枠組みは、『A Proposed
Framework for Examining Basic Number Sense』において
1992 年に発表された。考案された枠組みは、次のページに示す。

11

1. 数に関する知 1.1 数の規則性に対するセンス

識と，数をう
まく扱うこ

1.1.1

位取り

1.1.2

数の種類間の関係

1.1.3

同じ種類の中で，また異なる種類の中で，数を順序づけること

と
1.2.1

図的表記／記号表記

1.2.2

等しい値（分解／合成を含む）

1.2.3

ベンチマークとの比較

1.3 数の相対的な大きさ

1.3.1

物理的な参照物と比較することと絶対的な大きさに

1.3.2

数学的な参照物と比較すること

1.4.1

数学的なシステム

1.4.2

個人的なシステム

2.1.1

整数の演算

2.1.2

分数の演算／小数の演算

2.2.1

可換性

2.2.2

結合性

2.2.3

分配性

2.2.4

単位元

2.2.5

逆元

2.3.1

加法／乗法

2.3 演算間の関係につ

2.3.2

減法／除法

いての理解

2.3.3

加法／減法

2.3.4

乗法／除法

3.1.1

正確な値のデータかまたは近似値の1.2 数の多様な表象

数感覚は，情報の伝達，処理，対するセンス

解釈の手段と

1.4 ベンチマークシス

しての数や量テム

的方法を用いる傾向及び能力であり，数が有用で，数学が確実な規則性

2.

演算に関する
知識と，演算を

2.1 演算の効果についての理解

うまく扱うこと

2.2 数学的な性質についての理解を有する（従って有益である）という予想に帰する．

3. 計算を伴う状 3.1 問題の文脈と必要
況に数や演算な計算との関係をに関する知識理解することデータかということが分かる
3.1.2と，数や演算解が正確な値になるかまたは近似値になるかということが分かるをうまく扱う 3.2 多様なストラテ
ことを適用すジーが存在するこ

ること

との認識

3.3 効率のよい表象や

3.2.1

ストラテジーを考え出し，工夫する
能力

3.2.2

異なるストラテジーを適用する能力

3.2.3

効率のよい数を選択する能力

3.3.1

様々な方法（暗算，電卓，筆算）方法を利用する傾向をうまく扱うこと3.3.2

効率のよい数を選んでうまく扱うこと

3.4 感覚的にデータや

3.4.1

データの合理性が分かる

結果の吟味する徴

3.4.2

計算の合理性が分かる

候

12

Reys 等の枠組みについて、Reys 等は『小学校算数実践指導全集 第 2 巻 豊かな数感覚を育てる数の指導』と『AProposed Framework for Examining Basic Number Sense』の中で説明している。これらを基に Reys 等の枠組みについて示す。Reys 等の枠組みについて銀島氏が『子どもの数感覚を記述するための観点』で記述しているため、銀島氏の記
述にも触れながら Reys 等の枠組みについて述べる。
Reys 等の枠組みは、いくつかの構成要素が含まれており、それぞれの構成要素は相互に連結しており、構成要素は・数概念（number concepts）
・数を伴った演算（operations with number）
・数と演算の適用（applications of number and operation）という 3 つの分野に分けられている。よい数感覚をもっている人は、数や演算、生じた結果について考え、反省する。この反省的思考は、あるときそしてまた別のときに主要な構成
要素をいくつかまたはすべて含んでいる。枠組みの中のいく
つかの構成要素は、高次の数感覚を持っている児童の中に最も明らかに現れるものとしてここに記述されている。
ベンチマーク…数の大小を判断するために、社会一般的なか
つ個人的な参照システムを使用すること。
演算の効果…2 つかそれ以上の数に対する演算（たし算、ひき算、かけ算、わり算）の意味と効果について理解すること。
相対的な大きさ…他の数に関連した場合の数の大小に関するセンス。ベンチマークも含まれる。
合理性…得られた解決が場面の状況に矛盾していないかどうかを判断するための注意力と能力。
多様な表現…数や式の様々な同値の形式を見きわめ、かつま
たは使用する理解と能力。

13

Reys 等の枠組みについて銀島氏は、『子どもの数感覚を記述するための観点』（銀島,1994）において述べている。銀島によると、「「1 および 2 で扱われている数と演算は、数感覚の対象となる事柄であり、3 はそれらの対象を活用する場面、あるいは問題場面であると言える。さらに、1 で述べられている「数をうまく扱うこと」や 2 で述べられている「演算をうまく扱うこと」という事柄は、単に数や演算をうまく扱うというよりむしろ、それらを活用する場面、あるいは問題場
面において何が目的なのか、といった事柄と深く関連しながら、その状況や目的に適切な方法で、「うまく扱うこと」が重要である。」」としている。
つまり、1（数に関する知識と、数をうまく扱うこと）及び 2（演算に関する知識と、演算をうまく扱うこと）に関する事項について十分に理解し、適用することができるようになることを基盤として、3（計算を伴う状況に、数や演算に関する知識と、数や演算をうまく扱うことを適用すること）
が成り立っている、と言える。
Reys 等は枠組みについての説明の中で、「It would be futile to delineate all possible componentsof number sense as number sense should grow and expand
thoughout secondary school and beyond（中学校やそれ以降に育てたり広げたりする数感覚として可能性のある全ての数感覚の構成要素を記述することは無駄である。）」（McIntosh 等,1992,p5）としている。このことより筆者は、Reys らの枠組みは中学校より前の学年を対象として作られたものであると考えた。
Reys 等は、各分野を細分化して示している。銀島氏（1994）の言葉を借りるなら、各分野から下位カテゴリーが導かれている。筆者は、細分化されていることで、つまずきを感じている児童が居た際に、どこにつまずきがあるか判断しやすくなり、支援を考える際の一助となるだろう、と考えた。例えば、第 1 章で述べた、わり算をする際、商をどんな数にすればよいのかが分からない児童に対しては、1 の領域（数に関する知識と、数をうまく扱うこと）の 1.3（数の相対的な大
きさと絶対的な大きさに対するセンス）でつまずきがあると14

考えられ、さらに 1.3.1（物理的な参照物と比較すること）
か 1.3.2（数学的な参照物と比較すること）どちらにつまず
きがあるか把握することによって、つまずきを無くす支援を教師が考えることができる。
また、この構成要素を用いてスタンダードや学習指導要領を検討することによって、NCTM や日本がどのように数感覚を育もうとしているか、分析できると考える。次章では、スタンダード 2000 の分析について述べる。

15

第 2 章の要約
本研究では、日本の数感覚指導の現状を明らかにし、問題点を挙げ改善するためのプログラムを提案していくことが目的である。そこで、第 2 章では、まず本研究テーマである
数感覚について Reys 等の考えを基に記述した。そして、研究のベースとなる数感覚について考えるための枠組みについて銀島氏の考えも踏まえつつ述べた。
本章では、数感覚はどういうものであるか、ということを議論するよりも、どのように数感覚を育成するか考え、また数感覚を育成するためのプログラム作りを行うべきである、という筆者の考えを述べた。
どのように数感覚を育成するか考えるには、現在の日本の数感覚指導を知ることが不可欠である。そこで、Reys 等の枠組みを用いて日本の数感覚指導の現状について明らかにしていくため、Reys 等の枠組みを研究のベースとすることとした。Reys 等の枠組み内の構成要素は、・数概念（number concepts）
・数を伴った演算（operations with number）
・数と演算の適用（applications of number and operation）という 3 つの分野に分けられている。それぞれの分野ごとに下位カテゴリーが導かれており、細分化されている。また、Reys 等の枠組みは、中学校までの学年を対象として作られたことも分かった。このことを踏まえ、次章ではスタンダー
ド 2000 の分析を Reys 等の枠組みを用いながら行っていく。

16

第3章
スタンダード 2000 の分析

3.1
3.2
3.3

NCTM とはスタンダード 2000 についてReys 等の枠組みを基にしたスタンダード 2000 分析

NCTM は Reys 等の枠組みを基に数感覚を育むためのスタンダード 2000 を提唱したと考えられる。
本章では、NCTM が 2000 年に提唱したスタンダードについて分析することによって、Reys 等の枠組みの分析をしていく。
3.1 ではスタンダードを提唱した NCTM について述べる。
3.2 では、スタンダード 2000 について述べる。3.3 では、Reys
等の枠組みを基にしたスタンダード 2000 分析について述べ
る。

17

第3章

スタンダード 2000 の分析

本研究の目的は、日本の数感覚指導の現状を明らかにし、問題点を挙げ改善するためのプログラムを提案していくことである。日本の数感覚指導の現状を明らかにする際、学習指導要領だけではなく、スタンダード 2000 も分析し比較・検討することによって日本の数感覚指導の良い点・問題点を明らかとしていく。そこでまずはこの章では、スタンダード
2000 について分析していく。

3.1 NCTM とはスタンダード 2000 について述べる前に、スタンダードを出版した NCTM について述べたい。NCTM とは、National
Council of Teachers of Mathematics（全米数学教師協議会）のことであり、ナショナル・カリキュラムがない米国において 2、1989 年に『Curriculum and Evaluation Standards for
School Mathematics 』 を 出 版 し た 。 そ の 後 、 1991 年 に『Professional Standard for School Mathematics』、1995
年に『Assessment Standard for School Mathematics』、
2000 年 に 『 Principles and Standards for School
Mathematics』（スタンダード 2000）を出版した。本研究では、スタンダード 2000 を基に、各検討を行っていく。次の節にスタンダード 2000 についての詳しい説明を述べる。

3.2 スタンダード 2000 について
スタンダード 2000 は、5 つの内容スタンダード（TheContent Standards）と 5 つのプロセススタンダード（TheProcess Standards）に分かれている。筆者はまず、スタン
ダード 2000 においてどのスタンダードに数感覚について述
2

米国は、州ごとに独自の教育を進めているため、ナショナル・カリキュラムがない。そのため、州ごとの学力差の開きや、学習の時期が大幅に異なり転校生が居た場合対応できなくなる、というようなことが起こる。そこで、NCTM
は、スタンダードを出版し、学年帯ごとにすべきことを定めた。
18

べられているか検討した。すると、幼稚園就園前から 12 年
生（高校 3 年生）の基準が示されているチャプター内にある“Number and Operation”の項目の中に、「Central to thisStandard is the development of number sense（このスタン
ダードの中心は、数感覚を育てることである）」という記述がされていた。このことから、“Number and Operation”のスタンダードを分析することによって、NCTM がどのように数感覚を育もうとしているか、ということの認識の一助となると考えた。そこで今回は、“Number and Operations”
についてみていく。
・Number and Operations
・Algebra・Geometry
・Measurement
・Data Analysis and Probability
・Problem Solving
・Reasoning and Proof
・Communication
・Connections
・Representation

内容スタンダード

プロセススタンダード

スタンダード 2000 についての形式について説明する。まず、各スタンダードについて、幼稚園就園前から 12 学年（高校3 年生）を見通した学校の算数・数学の基準が示されている。
その後、幼稚園就園前から 2 年生、3 年生から 5 年生、6 年
生から 8 年生（中学 2 年生）、9 年生（中学 3 年生）から 12
年生（高校 3 年生）の学年帯ごとのスタンダードが記されている。 3
米国の学制は、elementary school と junior high school と high school の 3
つに分けられている。elementary school が 6 年間であり、日本の幼稚園から小学 5 年生までに該当する。junior high school が 3 年間であり、日本の小学 6
年生から中学 2 年生までが該当する。high school が 4 年間であり、日本の中学 3 年生から高校 3 年生が該当する。
319

幼稚園就園前から 12 年生を見通した学校の算数・数学の各スタンダード内に幼稚園就園前から 12 年生まで見通した
目標設定がされている。例えば、“ Number and Operations”のスタンダードでは、以下のようになっている。
（NCTM,2000,p32）
Instructional programs from prekindergarten though
grade 12 should enable all students to ―・understand numbers, ways of representing numbers,
relationships among numbers, and number systems;
・understand meanings of operations and how they relate
to one another;・ compute fluently and make reasonable estimates.

そして、学年帯ごとに目標に即した期待されること（expectations）が明示されている。
つまり、幼稚園就園前から 12 年生まで見通した基準の中に、目標設定がされており、その目標に即して学年帯ごとに期待されること（expectations）が記されている。

3.3 Reys 等の枠組みを基にしたスタンダード 2000 分析
前の節で、“Number and Operation”のスタンダードを分析する必要性について述べた。 “Number and Operation”のスタンダードでは、全ての生徒に以下に示す 3 つのことを可能にさせるべきである、としている。本研究では、後々の分析で扱うため、①から③と番号をつけたが、これらの番号は水準を示すものではない。

20

期待されること（expectations）①Understand numbers, ways of representing numbers,
relationships among numbers, and number systems―数と数の表し方や数の関係、記数法を理解すること② Understand meanings of operations and how they
relate to one another―演算の意味や演算同士がどのように関係しているか理解すること③Compute fluently and make reasonable estimates―流暢に計算し、妥当な見積もりをすること

前節でも述べたが、それぞれの設定された目標おいて、学
年帯ごとに期待されることが述べられている。
本節では、第 1 章で述べたように、Reys 等が考案した枠組みを用いて、スタンダード 2000 についての分析を行う。
そうすることによって、Reys 等の枠組み内にある構成要素が実際にスタンダード 2000 ではどのように育まれようとしているのか、ということを明らかにする。ただし、第 2 章で述べたように Reys らの枠組みは中学校より前の学年を対象として作られたものと考えられるため、対応表は 6－8 年生までとした。分析をしたものは、以下の次ページから示す。
資料の□（四角）は Reys 等の構成要素にあてはまらなかったものである。

21

学 全ての子どもがすべき
年 こと
帯

幼
稚
園
就
園
前
か
ら
２
年
生

訳

Reys ら
の数感
覚を考
える上
での構
成要素

①
•count with
understanding andrecognize "how many"in sets of objects①
・具体物の集合（sets of 1.3.1
objects）で、「 いくつか」を理解し、認識しながら数える。

•use multiple models
to develop initial
understandings ofplace value and thebase-ten number
system・基礎的な位取りの理解や 10 進位取り記数法の理解を育てるために、複数のモデルを使
う。

1.1.1
1.3.1

•develop
understanding of therelative position andmagnitude of whole
numbers and of
ordinal and cardinal
numbers and theirconnections

・全数と順序数と集合数の相対的な位置と大きさやそれらのつながりの理解を育てる。

1.1.2•develop a sense ofwhole numbers andrepresent and use
them in flexible ways,
including relating,

・全数のセンスを発達させ、数の関係や合成・分解を含む柔軟性のある方法で表し使
う。

1.2.2

22

composing, anddecomposing numbers•connect number
words and numerals
to the quantities they
represent, using
various physicalmodels andrepresentations

・ナンバーワードと基数を表された量や使ったさまざまなモデルと表されたものにつなぐ。

•understand andrepresent commonlyused fractions, suchas 1/4, 1/3, and 1/2②•understand various
meanings of additionand subtraction ofwhole numbers andthe relationshipbetween the two
operations

・１/4 や１/3 や 1/2 のような一般的に使われている分数を理解し、表す。
②
・全数のたし算とひき 2.1.1
算のさまざまな意味や 2.1.2
2 つの演算の関係を理 2.3.3
解する。

•understand theeffects of adding andsubtracting whole
numbers

・全数をたすこと、ひくことの効果を理解す
る。

2.1.1
2.1.2

•understandsituations that entail

・物の等しいグループ
化や、等しくわけたり

2.3.4

23

1.2.1
1.3.1

年３
生年
生
か
ら
５

multiplication anddivision, such as
equal groupings ofobjects and sharing
equally③•develop and use
strategies forwhole-number
computations, with afocus on addition andsubtraction

するようなかけ算とわり算を伴う場面を理解する。

・develop fluency withbasic number
combinations for
addition andsubtraction

・たし算とひき算における初歩的な数の組み合わせを用いる流暢さ
を育てる。

3.2.1
3.3.2

•use a variety ofmethods and tools tocompute, including
objects, mental
computation,
estimation, paper andpencil, andcalculators①•understand theplace-value structureof the base-ten

・具体物や暗算、見積
もり、筆記、電卓を含
む、さまざまな方法やツールを使う。

3.2.2
3.3.1

③
・たし算とひき算に焦点をあてた全数のたし
算とひき算のストラテ
ジーを育てたり使った
りする。

3.2.1
3.2.2

①
・10 進位取りの構造を 1.1.1
理解し、全数と小数を 1.1.2

24

年 number system and生
be able to represent
and compare whole
numbers anddecimals

表し比較することができる。

•recognize equivalent
representations forthe same number andgenerate them bydecomposing andcomposing numbers

・同じ数に関しての同等の表現に気づき、分解・合成によってそれらをつくる。

•develop
understanding of
fractions as parts ofunit wholes, as partsof a collection, as
locations on numberlines, and as divisionsof whole numbers・ユニット全体の一部
としてや、集合の一部としてまたは数直線上の位置や全数の分割としてとしての分数の理解を育てる。

•use models,benchmarks, andequivalent forms tojudge the size offractions

・分数の大きさを判断するために、モデルやベンチマーク，同等の形式を使う。

1.2.3
1.3.1
1.3.2

•recognize andgenerate equivalent
forms of commonly

・一般的に使われている分数、小数、百分率の同等の構造に気づ

1.2.2

25

1.2.2

used fractions,decimals, andpercents

き、作り出す。

•explore numbers lessthan 0 by extending
the number line andthrough familiar
applications

・数直線を伸ばし、よ 1.2.3
く知っているアプリケ 1.3.2ーションを通じて 0 以 1.4.1
下の数を探求する。

•describe classes ofnumbers according tocharacteristics suchas the nature of theirfactors.
②•understand various
meanings ofmultiplication anddivision・数の要因の性質のような特性によるナンバークラスについて記述する。

•understand theeffects of multiplying
and dividing whole
numbers・全数をかけたりわったりする効果を理解す
る。

2.1.1
2.1.2

•identify and use
relationships between
operations, such as
division as theinverse of・問題を解くために、
わり算はかけ算と性質が逆であるというような演算間の関係を確認
し、使う。

2.3.4

②
・かけ算とわり算の様々な意味を理解させ
る。

26

2.3.4

multiplication, tosolve problems•understand and use
properties ofoperations, such as
the distributivity ofmultiplication overaddition.
③•develop fluency withbasic number
combinations for
multiplication anddivisionand use these
combinations tomentally compute
related problems,such as 30 × 50

・たし算によるかけ算の分配性のような演算の特性を理解し使う。

•develop fluency inadding, subtracting,multiplying, anddividing whole
numbers

・全数のたすこと、ひくこと、かけること、わることにおける流暢さを育てる。

•develop and use
strategies to estimate
the results ofwhole-number

・全数の計算結果の見積もりや、そのような結果の合理性の判断をするために、ストラテ

2.2.3
2.3.1

③
・かけ算やわり算につ 3.2.1
いての基礎的な数の組 3.3.2
み合わせを用いた流暢さを育て、30×50 のよ
うな問題に関した暗算をするためにそれらの組み合わせを使う。

27

3.2.1
3.4.1
3.4.2

computations and tojudge thereasonableness ofsuch results

ジーを育て、使う。

•develop and use
strategies to estimate
computations
involving fractions
and decimals insituations relevant to
students' experience

・子どもたちの経験に関連した場面内の分数や小数を含む計算を見積もるために、ストラ
テジーを育て使う。

3.2.1•use visual models,benchmarks, andequivalent forms to
add and subtractcommonly usedfractions anddecimals

・分数小数に共通してたしたりひいたりするために、視覚的モデル
やベンチマーク、同等の形式を使う。

1.2.1
1.2.2
1.3.1
1.4.1
1.4.2

•select appropriate
methods and tools forcomputing with whole
numbers from among
mental computation,
estimation,
calculators, andpaper and pencil
according to thecontext and nature of・全数の計算において計算の文脈や特質に応じて暗算、見積もり、電卓、筆記の中から適切な方法やツールを選
び、選んだ方法やツー
ルを使う。

3.1.1
3.1.2
3.3.1

28

the computation anduse the selected
method or tools.
①•work flexibly withfractions, decimals,
and percents to solve
problems

６
年
生
か
ら
８
年
生 •compare and order
fractions, decimals,
and percentsefficiently and findtheir approximate
locations on a number
line①
・問題を解くために、分数や小数や百分率を柔軟に活用する。

・分数や小数や百分率を効率的に比較し、順
序づけ、数直線上のおおよその位置を見つける。

•develop meaning for ・100 を超え、1 未満
percents greater than の割合の意味を育てる。
100 and less than 1•understand and use
ratios andproportions torepresent
quantitative
relationships

・量的な関係を表現するために比率や割合を理解し、使う。

•develop anunderstanding of

・大きい数の理解を育て、指数の厳正な計算
29

1.2.2
3.3.2

1.1.2
1.1.3
1.2.3

large numbers andrecognize andappropriately use
exponential,
scientific, andcalculator notation

表記を適切に使う。

•use factors,
multiples, prime
factorization, andrelatively prime
numbers to solve
problems

・問題解決のために、係数や倍数、素因数分解、互いに素な数を使う。

•develop meaning forintegers andrepresent andcompare quantities
with them.
②•understand themeaning and effects
of arithmetic
operations withfractions, decimals,
and integers

・整数の意味を発達させ、それらを用いて量を表し比較する。

②
・分数や小数や整数を用いた算術演算の意味や効果を理解する。

2.1.1
2.1.2

•use the associativeand commutative
properties of addition
and multiplication

・整数や分数，小数を用いた簡単な計算になるように、たし算とかけ算の結合性と可換性

2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1

30

and the distributive
property ofmultiplication overaddition to simplify
computations withintegers, fractions,and decimalsの性質やたし算によるかけ算の分配則を使
う。

3.2.1
3.2.3

•understand and use
the inverse
relationships ofaddition andsubtraction,
multiplication anddivision, andsquaring and finding
square roots tosimplify
computations andsolve problems.
③•select appropriate
methods and tools forcomputing withfractions anddecimals from among
mental computation,
estimation,
calculators orcomputers, and paper
and pencil, depending

・簡単な計算にし、問題を解決するために、
たし算とひき算やかけ算とわり算、二乗と平方根を見つけるような逆の関係を理解し、使
う。

2.3.3
2.3.4

③
・分数や小数の計算において、場面に応じて暗算、見積もり、電卓
かパソコン、筆記の中から適当な方法やツールを選び、選んだ方法
やツールを適用する。

31

3.1.1

on the situation, andapply the selected
methods•develop and analyze
algorithms forcomputing withfractions, decimals,
and integers anddevelop fluency intheir use

・分数、小数、整数を 3.1.2
用いた計算のアルゴリ 3.3.1
ズムを開発・分析をし、それらの使用の流暢さを育てる。

•develop and use
strategies to estimate
the results ofrational-number
computations andjudge thereasonableness of theresults

・有理数の計算結果を見積もるためにストラ
テジーを育て、使い、結果の合理性を判断する。

•develop, analyze,
and explain methods
for solving problems
involving proportions,such as scaling andfinding equivalentratios.

・同等の比をスケーリングし発見するような割合を含む問題を解くための方法を育て分析し説明する。

32

3.4.2

表を検討してみると、6 年生から 8 年生において Reys 等の枠組みに挙げられている構成要素にあてはまらないことを示す□（四角）が多かった。このことからも、Reys らの枠組みは中学校より前の学年を対象として作られたものと考えられる。
今回の分析結果について、期待されることと学年帯別にReys 等のどの構成要素が育てられているか、について以下にまとめた。下線が引いてある構成要素については、NCTMの①～③と Reys 等の構成要素の 1～3 が対応していないものである。また、今回は Reys 等の枠組み内にある構成要素がどのように指導されようとしているのか、ということについて分析していくため、Reys 等の枠組み内にある構成要素にあてはまらないもの（□で示したもの）については、扱わないものとする。

33

学 年帯〈 期待 され るこ と 〉

幼稚園就園
3 年生から 5
前から 2 年生 年生①
数と数の表し1.1.1
方や数の関係、 1.1.2
記数法を理解
1.2.1
すること
1.2.2
1.3.1

②
演算の意味や演算同士がどのように関係
しているか理
解すること

2.1.1
2.1.2
2.3.3
2.3.4

③
流暢に計算し、 3.2.1
妥当な見積も3.2.2
りをすること
3.3.1
3.3.2

34

6 年生から 8
年生

1.1.1
1.1.2
1.2.2
1.2.3
1.3.1
1.3.2
1.4.1

1.1.2
1.1.3
1.2.2
1.2.3
3.3.2

2.1.1
2.1.2
2.2.3
2.3.1
2.3.4

2.1.1
2.1.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1
2.3.3
2.3.4
3.2.1
3.2.3

1.2.1
1.2.2
1.3.1
1.4.1
1.4.2
3.1.1
3.1.2
3.2.1
3.3.1
3.3.2
3.4.1
3.4.2

3.1.1
3.1.2
3.3.1
3.4.2

この対応表を検討してみると、全ての学年帯に共通してReys 等の１の分野（数に関する知識と、数をうまく扱うこと）の下位カテゴリーが NCTM の①（数と数の表し方や数の関係、記数法を理解すること）に集中しており、2（演算に関する知識と、演算をうまく扱うこと）
・3（計算を伴う状
況に数や演算に関する知識と、数や演算をうまく扱うことを適用すること）の下位カテゴリーもそれぞれ②（演算の意味
や演算同士がどのように関係しているか理解すること）・③（流暢に計算し、妥当な見積もりをすること）に集中している。
また、NCTM が“Number and Operation”のスタンダー
ドの中で挙げている①数と数の表し方や数の関係、記数法を理解すること、②演算の意味や演算同士がどのように関係しているか理解すること、③流暢に計算し、妥当な見積もりをすることはそれぞれ数概念、数を伴った演算、数と演算の適用という Reys 等の３つの分野に対応している。このことから、NCTM は Reys 等の枠組みを参考にしながらスタンダードを作った、と考えられる。
筆者は、対応表を検討していく内に、構成要素によって指導する期間が違うのではないか、と考えた。しかし、この表では、どの構成要素がどの学年帯で指導されようとしているか、ということが分かりにくい。
そこで、次のページに構成要素がどの学年帯で期待されることとして挙げられていたか、ということをグラフ化した。
グラフはあくまでどの学年帯で扱われているか、ということについての結果を表すために作成したため、前の表で下線部とした領域が異なっているものに関しても、当該学年帯で挙げられているもの、とした。
グラフの説明をする。横軸が Reys 等の枠組み内の構成要
素を示しており、縦軸は学年帯を示している。学年帯ごとに色を分けており、

35

幼稚園から 2 年生：黄色
3 年生から 5 年生まで：緑色
6 年生から 8 年生まで：紺色
当該学年帯に各構成要素が含まれていない：灰色
と示す。

36

37

学
年
帯

構成要素

このグラフを分析してみると、ある構成要素は全ての学年
帯で扱っており、またある構成要素は 1 つの学年帯しか扱っていなかった。さらに、2.2.4（単位元）、2.2.5（逆元）、2.3.2（減法/除法）についてはどの学年帯にも期待されることとして挙げられてはいなかった。
上のグラフは、構成要素を示す数字しかあげられていない
ため、どの学年帯で何を指導するか分かりにくい。そこで、どの学年帯で何を示すか次ページの表にまとめた。
表の説明をする。学年帯ごとに色を変えどの学年帯内に構成要素があるか分かりやすくした。また、黄色で示したもの
は、学年帯をまたいで指導されているものを示している。

38

1.1.3

同じ種類の中で、また異なる種類の

６
年
生
か
ら
８
年
生

中で、数を順序づ

2.2.3

分配性

けること

加法／乗法

2.2.1

2.3.1

可換性

3.1.1

正確な値の

2.2.2

結合性

データかまた

3.2.3

効率のよいストラは近似値のデテジーを選択するータかという

2.1.1

整数の演算

能力

ことが分かる2.1.2

分数の演算／

3.1.2

数の種類間
の関係

1.2.2

等しい値
（分解／合
成を含む）

解が正確な

小数の演算

値になるかま

2.3.4

乗法／除法

1.3.2 数学的な参照物

たは近似値に3.2.1

ストラテジーと比較することなるかというを考え出し、工ことが分かる夫する能力

1.4.1 数学的なシステム
３
年
生
か
ら
５
年
生

1.1.2

1.4.2 個人的なシステム

3.4.2

計算の合理
性が分かる

3.4.1 データの合理性が

3.3.1

さまざまな方法（暗算、電卓、筆算）をうまく

分かる

扱うこと
1.1.1

位取り

1.2.1

図的表記／
記号表記

1.3.1

物理的な参
照物と比較すること

3.2.2 異なるストラテジーを適用する能力

3.3.2

効率のよい
数を選択する

幼
稚
園
就
園
か
ら
２
年
生

能力

39

この表から、NCTM は、各構成要素を同じように育てよ
うとはしていないことが分かる。また筆者は、全ての構成要
素をどの学年帯で指導しよう、という風に考えたのではなく、各構成要素をどれくらいの期間で指導するかということと、どの学年帯で指導するかということを考えたのではないか、と考える。
以上のことを踏まえると、NCTM は Reys 等の枠組みを参考にし、指導する期間も考慮しながら、修正・補足しながらスタンダード 2000 を作成したと考えられる。
上述したことを、指導プログラムを作成する際に参考にしたい。

40

第 3 章の要約
第 3 章では、NCTM について述べた後スタンダード 2000についての分析について述べた。スタンダード 2000 には、
5 つの内容スタンダードと 5 つのプロセススタンダードがある。その中でも、“Number and Operation”のスタンダードの中に「このスタンダードの中心は、数感覚を育てることである」という記述がされていた。このことから、“Number
and Operation”のスタンダードを分析することによって、
NCTM がどのように数感覚を育もうとしているか、ということの認識の一助となると考えた。そこで今回は、“Numberand Operations”についてみていく。“Number andOperation”のスタンダードの分析をすると、NCTM は、各構成要素を同じように育てようとはしていないことが分かる。また、全ての構成要素をどの学年帯で指導しよう、という風に考えたのではなく、各構成要素をどれくらいの期間で指導するかということと、どの学年帯で指導するかということを考えたのではないか、と考える。
本章の分析を踏まえると、NCTM は Reys 等の枠組みを参考にし、指導する期間も考慮しながら、修正・補足しながらスタンダード 2000 を作成したと考えられる。

41

第4章
学習指導要領の分析

4.1 小学校学習指導要領
4.2 学習指導要領分析
4.3 分析結果への考察

算数編

本章では、スタンダード 2000 と学習指導要領の比較・分
析を通して、日本での数感覚指導の現状について述べたい。
4.1 では、学習指導要領について述べる。4.2 では、学習指導要領の分析について述べる。4.3 では、分析結果への考察を述べる。

42

第4章

学習指導要領の分析

4.1 小学校学習指導要領 算数編
現在、平成 20 年度版の『学習指導要領 算数編』では、
まず、以下のような算数科の目標が示してある。
算数的活動を通して、数量や図形についての基礎的・基本的な知識及び技能を身に付け、日常の事象について見通しを も ち筋 道を 立て て 考え 、表 現す る 能力 を育 てる と ともに、算数的活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き、進んで生活や学習に活用しようとする態度を育てる。
また、各学年ごとには算数科の目標を達成するための目標と内容がそれぞれ示してある。内容は、4 つの領域「A 数と計算」、「量と測定」、「C 図形」及び「D 数量関係」に分けられて記載されている。各学年ごとに示されている目標は、これら 4 つの領域に対応した学年目標が示されている。
「A 数と計算」の領域のねらいに、「この領域では、整数、小数及び分数の意味や表し方について理解できるようにし、数についての感覚を豊かにする」とある。また、低学年の「A数と計算」の目標において「数についての感覚を豊かにする」
ことが明記してある。このことから、学習指導要領では「A数と計算」の領域で数感覚を育もうとしていることを読み取ることができる。そのため、本研究では領域「A 数と計算」の分析を行う。

4.2 学習指導要領分析
前節でも述べたが、本研究は、数感覚について分析するため「A 数と計算」の内容領域について分析する。分析するのは第 3 章で分析した NCTM 同様、各学年の目標の部分である。筆者は、NCTM の分析と同様にすることによって、良い点・問題点を見つけることができると考える。比較する際、目標を文ごとに区切った。このようにすることによって、比43較的長い目標を一文一文どの構成要素にあてはまるか検討することができる。そのため、どの文がどの構成要素に対応しているかが分かりやすくなる。また、目標だけでは、どの構成要素か判断することが難しかったため、参考として内容の概観も挙げた。以下の表が分析結果である。
ここでは、各学年の分析結果のみを載せる。また、Reys 等の構成要素にあてはまらないものを□（四角）とした。
学 目標
年

１ ・具体物を用いた活動
年などを通して、数に生
ついての感覚を豊かにする。
・数の意味や表し方について 理解できるようにするとと もに、加法及び減法の意味について理解し、それらの計算の仕方を考え、用いることができるようにする。
２ ・具体物を用いた活動
年などを通して、数に生
ついての感覚を豊かにする。

内容の概観（上が数、 Reys 等
下が計算）
の 数 感
覚 を 考
え る 上
で の 構
成要素
2 位数
簡単な 3 位数
1 位数の加法及びその逆の減法
・1.2.1
簡単な 2 位数などの加
1.2.2
法及び減法
2.1.1
2.3.3
3.2.1

4 位数
（1 万までの数）
十進位取り記数法

44

・数の意味や表し方についての理解を深めるとともに、加法及び減法についての理解を深め、用いることができるようにする。
・また、乗法の意味について理解し、その計算の仕方を考え、用いることができるようにする。
３ ・加法及び減法を適切年に用いることができ
生るようにするとともに、乗法についての理解を深め、適切に用いることができるようにする。
・また、除法の意味について理解し、その計算の仕方を考え、用いることができるようにする。
・さらに、小数及び分数の意味や表し方について理解できるよ
うにする。

簡単な分数

・1.1.11.2.1
1.2.2
2 位数の加法及びその
2.1.1
逆の減法
2.3.3
簡単な 3 位数の加法及
び減法
乗法九九

・2.1.1
3.2.1

簡単な 2 位数と 1 位数の乗法
万の単位
・2.1.1（1 億までの数）
小数
ଵ

（ の位）
ଵ଴

分数
整数の加法及び減法（3 位数や 4 位数）

・2.1.13.2.1

整数の乗法（2 位数や 3 位数など）
整数の除法
・1.2.1（除数と商が 1 位数）
1.2.2
2.1.2
簡単な整数の除法

45

（除数が 1 位数で商が2 位数）（簡単な暗算）そろばんによる計算

４ ・除法についての理解
年を深め、適切に用い生ることができるようにする。

簡単な小数、分数の加法及び減法
億、兆の単位・2.1.1概数
小数・また、小数及び分数の意味や表し方についての理解を深め、
小数及び分数についての加法及び減法の意味を理解し、それらの計算の仕方を考え、用いることができるようにする。

・1.2.1分数
1.2.2（真分数、仮分数、帯
2.1.2
分数）
2.3.3
整数の除法
3.2.1
（除数が 1 位数や 2 位
数で被除数が 2 位数
や 3 位数）計算の結果の見積もり

・さらに、概数について理解し、目的に応じて用いることができるようにする。

・3.1.1（簡単な暗算）3.1.2
3.2.3
整数の計算の能力の定3.4.2
着そろばんによる計算

46

小数の加法及び減法
乗数や除数が整数の場
合の小数の乗法及び除法

５ ・整数の性質について
年の理解を深める。
生
・また、小数の乗法及び除法や分数の加法及び減法の意味についての理解を深め、それらの計算の仕方を考え、用いることができるようにする。

同分母の分数の加法及
び減法
偶数、奇数
約数、倍数
（最大公約数、最小公 ・2.1.2
倍数）
3.2.1
（素数）
乗法や除数が小数の場
合の乗法及び除法
異分母の分数の加法及び減法
乗数や除数が整数の場
合の分数の乗法及び除法

６ ・分数の乗法及び除法 （逆数）・2.1.2
年の意味についての理 乗数や除法が分数の場
3.2.1
生解を深め、それらの 合の乗法及び除法
計算の仕方を考え、用いることができる 小数や分数の計算の能ようにする。
力の定着
47

今回の分析結果について、学年別に Reys 等のどの構成要
素が育てられているか、について以下にまとめた。また、今回は Reys 等の枠組み内にある構成要素がどのように指導されようとしているのか、ということについて分析していくた
め、Reys 等の枠組み内にある構成要素にあてはまらないもの（□で示したもの）については、扱わないものとする。
1 年生
1.2.1
1.2.2
2.1.1
2.3.3
3.2.1

2 年生
1.1.1
1.2.1
1.2.2
2.1.1
2.3.3
3.2.1

3 年生
1.2.1
1.2.2
2.1.1
2.1.2
3.2.1

4 年生
1.2.1
1.2.2
2.1.1
2.1.2
2.3.3
3.1.1
3.1.2
3.2.1
3.2.3
3.4.2

5 年生
2.1.2
3.2.1

6 年生
2.1.2
3.2.1

上の表を基にスタンダード分析同様、学年ごとにどの構成要素を指導しているか、を示すグラフにまとめた。グラフの説明をする。
横軸が Reys 等の枠組み内の構成要素を示しており、縦軸は学年を示している。学年ごとに色を分けており、
1 年生：赤色
2 年生：黄色
3 年生：緑色
4 年生：紺色
5 年生：水色
6 年生：紫色
当該学年に各構成要素が含まれていない：灰色
と示す。
48

49

学
年

構成要素

4.3 分析結果への考察
まず、分析から分かることとして挙げられることは、スタンダード 2000 に比べて、Reys 等の構成要素が少ないことである。挙げられていない構成要素は、以下 30 項目中 19 項目
であった。
1.1.2
1.1.3
1.2.3
1.3.1
1.3.2
1.4.1
1.4.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.3.1
2.3.2
2.3.4
3.2.2
3.3.1
3.3.2
3.4.1

数の種類間の関係
同じ種類の中で、また異なる種類の中で、数を順序づけること
ベンチマークとの比較
物理的な参照物と比較すること
数学的な参照物と比較すること
数学的なシステム
個人的なシステム
可換性
結合性
分配性
単位元
逆元
加法／減法
減法／除法
乗法／除法
異なるストラテジーを適用する能力
様々な方法
効率のよい数を選択する能力
データの合理性が分かる

50

取り上げられていないものの中で、筆者が注目したことは、1.3（数の相対的な大きさと絶対的な大きさに対するセンス）、
1.4（ベンチマークシステム）、2.2（数学的な性質についての理解）3.3（効率のよい表象や方法を利用する傾向）の全ての下位カテゴリーが学習指導要領では、目標の中に含まれていないことである。
また、今回もグラフは、構成要素を示す数字しかあげられていないため、どの学年帯で何を指導するか分かりにくい。
そこで、どの学年帯で何を示すか次ページの表にまとめた。
表の説明をする。学年帯ごとに色を変えどの学年帯内に構成要素があるか分かりやすくした。また、黄色で示したもの
は、学年帯をまたいで指導されているものを示している。

51

６
年
生

５
年
生

2.1.2

3.2.1

分数の演算

ストラ

／小数の演

テジー

算

を考え
出し、工
夫する
能力

3.1.1 正確な値のデー
タか、または近似値のデータかということが分かる
3.1.2 解が正確な値にな４年
生

るかまたは近似値

2.3.3
加法／減法
1.2.1

になるかというこ

図的表記／

とが分かる

記号表記

3.2.3 効率の良い数を選

1.2.2

択する能力

等 し い 値

3.4.2 計算の合理性が分

（分解／合

かる

成を含む）
2.1.1

３
年
生

整数の演算

1.1.1 位取り
２
年
生

１
年
生

2.3.3
加法／減法

2.3.3
加法／減法

52

どの構成要素がどの学年で指導されているか、という図を見ると、日本はやはり演算の指導に重きが置かれていることがうかがえる。また、スタンダード 2000 の表と比較すると、学年をまたいでの指導があまりされていない。例えば、構成
要素 1.1.1 の位取りに焦点を当ててみると、日本では二年生でしか指導されていないが、スタンダード 2000 では幼稚園から 2 年生と 3 年生から 5 年生という学年帯をまたいで指導していた。
次章では、こういった点に着目しながら、指導プログラムの提案を行う。

53

第 4 章の要約
第 4 章では、学習指導要領について述べた後学習指導要領についての分析について述べた。
算数科の内容は、4 つの領域「A 数と計算」、「量と測定」、「C 図形」及び「D 数量関係」に分けられて記載されている。
その中でも、「A 数と計算」の領域のねらいの中に、「この領域では、整数、小数及び分数の意味や表し方について理解できるようにし、数についての感覚を豊かにする」とある。また、低学年の「A 数と計算」の目標において「数についての感覚を豊かにする」ことが明記してある。このことから、「A数と計算」の領域を分析することによって学習指導要領ではどのように数感覚を育もうとしているか、ということの認識の一助となると考えた。そこで今回は、領域「A 数と計算」の分析を行う。
領域「A 数と計算」を分析していくと、スタンダード 2000に比べて、Reys 等の構成要素が明らかに少なかった。筆者
は、1.3（数の相対的な大きさと絶対的な大きさに対するセンス）、1.4（ベンチマークシステム）、2.2（数学的な性質についての理解）、3.3（効率のよい表象や方法を利用する傾向）の全ての下位カテゴリーが学習指導要領では、目標の中に含まれていないことに注目した。また、挙げられている構成要
素においても、学年をまたいでの指導があまりされていなか
った。

54

第5章
数感覚育成のための指導プログラム案

5.1 数感覚指導の現状
5.2 ベンチマークについて
5.3 指導プログラム案の提案～ベンチマークの使用に着目して～本節では、数感覚育成のための指導プログラム案を提案する。
5.1 では、4 章の分析結果から見えてくる数感覚指導の現状についてふれる。5.2 では、ベンチマークについて述べる。
5.3 では、ベンチマークを用いた指導プログラム案を提案す
る。

55

第5章

数感覚育成のための指導プログラム案

5.1 数感覚指導の現状
前節の分析から読み取ることのできる日本の数感覚を育む指導の現状を明らかにする。現在の日本では、Reys 等の枠組み内にある構成要素のうち、1.3（数の相対的な大きさと絶対的な大きさに対するセンス）、1.4（ベンチマークシス
テム）、2.2（数学的な性質についての理解）3.3（効率のよい表象や方法を利用する傾向）の全ての下位カテゴリーが学習指導要領の目標の中に含まれていない。今回筆者は 1.4 のベンチマークシステムに注目した。

5.2 ベンチマークについて
ベンチマークについて Reys 等は『小学校算数実践指導全集 第 2 巻 豊かな数感覚を育てる数の指導』の中で、ベンチマークについて、以下のように記述している。
ベンチマーク…数の大小を判断するために、社会一般的かつ個人的な参照システムを使用すること。
また、『A Proposed Framework for Examining Basic
Number Sense』の中でより詳しくベンチマークについて記載しているため、まとめる。
コンパスがナビゲーションのための貴重なツールを提供しているように、数的なベンチマークは数について考えるために不可欠な内面的参照対象を提供している。数的なベンチ
マークは、一般的に 20 の累乗、10 の累乗の倍数、または
1/2 または 50％などの中間点のようなものである。
ベンチマークは、しばしば答えの大きさを判断するか、数を概数であらわすために使用されるため、それは内面の過程がより容易になる。例としては、二つの２桁の数の合計は200 よりも小さくなる、0.98 は 1 に近い、や 4／9 は 1／2よりわずかに小さいことに気づくことである。ベンチマーク
56

はおそらく個人の特性や出会いからもまた発達していく。例
えば、50kg の人は別の人の重量を推定する際にこの情報を使用することができる。同様に、出席が 50000 人である野球の試合に出席した子は、後で他の人ごみの大きさを判定するための指示対象としてこれを使用することができる。
筆者は上記からベンチマークは、数の大小を判断する際に使われる重要なものであると考えた。ベンチマークは見積もりをする際や出てきた答えの合理性を判断する際に役立つものであると考えられることから、ベンチマーク指導は重要なものである、と考えられる。
しかし、現在の日本の数感覚指導において、ベンチマーク
指導はあまりされてない。筆者は数感覚を考える際に、日本でもっともっとベンチマーク指導をしてもいいのではないか、と考える。
ベンチマークについての研究は日本ではあまりされておらず、ベンチマークの具体例はあまり示されていない。そこ
で、次ページにベンチマークとその使用例を以下に挙げる。

57

ベンチマーク
数 1の大き
さ 半分を表すものの （50％,1/2 等）
指
標
と
な
る
も
の

100+100＝200
10 の累乗（10×10＝100,
10×10×10＝1000…）

10 の倍数（10,20,30…）
四則演算で 10 の累乗になるもの（5+5＝10 等）
58

使用例
分数や小数の大きさを考える際に、1 より大きいか、小さいか判断する時の指標となる。
50%は、割合を含む問題を解く際に使う。例えば、「1000 円のセーターの 2
割引の値段」を求める問題を解く際に使用すること
で、50％の 500 円よりは高くなる、と見積もりをする
ことができる。
1/2 は、分数の計算をする際に使う。例えば、3/8+2/5の計算をする際に、どちらとも 1/2 よりも小さいた
め、答えが 1 より小さくな
る、と見積もりをすることができる。
二桁の数のたし算の答えは 200 以下になる。
計算の見積もりをする際に使う。10×100＝1000 であるから、10×99 の答え
は 1000 よりも小さくなる。
数の大きさを判断する指標となる。（42 は 40 よりも少し大きい。）
計算問題を解く際に使う。
例えば、4+4 の計算をする

角
度

か
さ

長
さ
距
離

際、5+5=10 なので、答えは 10 より大きくなる、と見積もりをすることができる。
単位分数
分数の大きさを考える際（1/2,1/3,1/4…）に使用する。
60 度
角度を求める問題を解く（正三角形の 1 つの角度） 際、図形を見ながらだいた
90 度
いの角度を予測する。
（直角）
200mL（cc）
量を考える際の指標とな（計量カップ 1 杯分）る。例えば、400mL という量が問題文に出てきた
500mL（500mL ペットボトル） 際に使用することによって、500mL ペットボトル
1000mL（牛乳パック）よりも少し少ないということが分かる。
長さを認識する際に使用10cm（はがきの横の長さ）する。ある児童の身長が150cm あった時、自分より15cm（はがきの縦の長さ）
高い人を見て、160cm 位で個人の身長（cm）
あると認識することができる。
1m（両手を伸ばした長さ）10m（ジャンプ台の高さ）25m（プールの長さ）
50m（50m 走）59100m（100m 走）400m
（陸上競技場のトラック 1
周分）
40km（フルマラソンの距離）
重さの認識をする際に使重 1g
さ （1 円玉の重さ）
う。

個
数
本
数

時
間

面
積

30kg
（米袋）
個人の体重（kg）
10t（大型の 10t トラック 1 台分）
5本（片手の指の本数）
10 本（両手の指の本数）
10 個（卵 1 パック）
12 本（1 ダース）
3分（カップラーメンが出来
る時間）
10 秒
（50m を走る時間）
100m×100m（野球ドームの面積）60数を認識する際に使う。

時間を認識する際に使う。

1ha の大きさがどれくらいか考える際に使う。

人 40 人数 （1 クラスの人数）

人数を認識する際に使う。
集団を見て、クラスの人数よりも多いので、40 人以上である、と見積もることができる。

使用例からもベンチマークを用いることで、児童は見積もりを行ったり、数の大小を比較したりすることができることが考えられる。今回はベンチマークを具体的に挙げたが、次にベンチマークを用いた指導プログラム案を提案する。

5.3

指導プログラムの提案～ベンチマークの使用に着目して～
第 1 章「本研究の動機」でも触れたが、筆者は以下のような児童を見る中で、数感覚を育成するプログラム作りを行いたい、と考えた。
(1)小学５年生の女の子
わり算をする際、商をどんな数にすればよいのかが分からない。
例：①72÷31 ②125÷43
etc…（除数が１ケタの時にはできることが多い）(2) 小学５年生の女の子
かけ算をする際、解の値が明らかに違っていても気づかない。
例：①32×45＝144 ②400×12＝480

児童は 4 年生の「概数」の内容で“見積もる”ということ
や“おおよその数”を学習する。しかし、上記のような児童
は、見積もることを概数の単元の中だけでしか使うことがで61

きていないように感じられる。やはり数感覚は、ある単元だ
けで指導するだけでは、児童が定着し活用するようになるには難しいと筆者は考える。数感覚は日々の学習を通じて培うものであるということ、また NCTM が学年帯を越えて多くの構成要素を指導していたように、数感覚は学年を越えて指導する必要があることをここで強調したい。
今回は、前章でも触れた数感覚の中でもベンチマーク指導
をもっと日本の算数教育で行ってもいいのではないか、という筆者の考えから、ベンチマーク指導を取り入れた数感覚指導プログラムを提案したい。上記したように数感覚指導は、
日々の学習で行いたい。
しかしベンチマーク指導は、1 年生から取り入れることは難しいと考える。NCTM のスタンダード 2000 も 3 年生から5 年生の学年帯にベンチマーク指導を行っている。このことから、今回は 4 年生の「概数」の学習が終わった後に日々の学習にベンチマークを使用し見積もりを行うように児童が思えるような指導を考え、概数の学習と日々の学習とをつなぐ「架け橋」としたい。
見積もりは本来、見積もりをする目的を明確なものにしなければならないため、見積もりの学習は文章題がほとんどのように感じる。検討した啓林館の教科書も、文章題の中で見積もりを扱う問題ばかりであった。しかし今回は、日常の計算の中でベンチマークを用いた見積もりを児童に行わせたい、と考えているため、計算問題を解く際にベンチマークを用いて見積もる、という場面を設定した。
次のページに筆者が考えた指導プログラムを示す。問題を提示した後、ベンチマークの使用例を挙げる。

62

見積もりを使ってみよう！（１）
答えはどれになるかな？
①781＋595＝
ア 976
イ 1376
ウ 11176○○○②13×42＝
ア 546○

イ 5460○ウ 54600○（１）では、整数の計算についての見積もり指導である。
①は、3 桁＋3 桁の計算は、2000 よりも小さい、というベンチマークを使い、また 500＋500＝1000 というベンチマー
クを使うことによって、答えが 1000 よりも大きく 2000 よイ である。
りも小さいということが分かる。よって、答えは○②は、10×40＝400、というベンチマークを使用し、問題
アではこれよりも少し大きくなると分かる。よって、答えは○ある。
見積もりを使ってみよう！（２）
答えはどれになるかな？一番近いものを選ぼう！
①12/15+5/6
ア2
イ5
ウ 18
エ 20
○
○
○
○
②0.35+0.49
ア1
○

イ2
○

ウ 10
○

エ 11
○

（２）では、分数と小数のたし算についての見積もりの指導である。
①は、12/15 と 5/6 は 1/2 よりも大きく 1 よりも小さいため、1/2+1/2＝1 というベンチマークを使って一番近い答えは
ア である。
○②は、0.35 と 0.49 はどちらとも 0.5 よりも小さい。
0.5+0.5＝1 というベンチマークを用いて考えると一番近い
ア である。
答えは○63

この指導プログラムの最後に、教師が「日々の計算でも、答えがどれくらいになるかまず考えて計算しよう！そうす
ると自信をもって答えを出すことができるよ。」という風に伝える。そして日常的にベンチマークを使用し見積もりをすることによって、児童はすぐにとまではいかないがベンチマークを用いた見積もりを行うようになるのではないか、と考える。

64

第 5 章の要約
数感覚指導の現状として、ベンチマーク指導を日本がほとんど行っていないことが分かった。筆者は数感覚の中でもベンチマーク指導をもっと日本の算数教育で行ってもいいのではないか、と筆者は考える。そこで、第 5 章ではベンチマ
ークについてまずどのようなものか Reys 等の考えを基に述べた。
ベンチマーク…数の大小を判断するために、社会一般的
かつ個人的な参照システムを使用すること。

その後、ベンチマーク例を使用例とともに挙げ、これらを用いた見積もりを促す指導プログラムについて述べた。
見積もりを使ってみよう！（１）
答えはどれになるかな？
①781＋595＝
ア 976
イ 1376
ウ 11176○○○②13×42＝
ア 546○

イ 5460○ウ 54600○

見積もりを使ってみよう！（２）
答えはどれになるかな？一番近いものを選ぼう！
①12/15+5/6
ア2
イ5
ウ 18
エ 20
○
○
○
○
②0.35+0.49
ア1
○

イ2
○

ウ 10
○

エ 11
○

今回挙げた指導プログラムを用いることによって、「概数」の内容の中で学習した“見積もり”について児童が日々の学習の中でベンチマークを活用し答えの見積もりを行うようになる、と筆者は考える。
65

第6章
本研究の結論と残された課題

6.1
6.2

本研究の結論
残された課題本章では、本研究の結論と課題を述べる。
6.1 では、研究によって得られた成果とその意義について述べる。また、6.2 では本研究において残された課題を述べ
る。

66

第6章

本研究の結論と残された課題

6.1 本研究の結論
先行研究を基に、数感覚とはどのようなものであるか、ということを議論するよりも、どのように数感覚を育成するか考え、また数感覚を育成するためのプログラム作りを行うべきである、と筆者は考えた。
そこで、プログラム作りを行うためスタンダード 2000 と学習指導要領を Reys 等の枠組みを用いて比較した。その結果、NCTM と比べて日本の数感覚指導は、Reys 等の構成要
素が少なかった。
本研究では、Reys 等の構成要素の中で日本では行われていないものの中からベンチマーク指導に着目した。ベンチマークを用いることによって見積もりを行うように促すプロ
グラム作りを行った。

6.2 残された課題
今回、ベンチマークを指導する際のプログラム案について述べた。しかし、この指導プログラム案が有効であるか、ということはまだ検討していない。そこで今後の課題として、
この指導プログラム案の有効性を検討することが挙げられる。また、今後は、どのようなベンチマークを児童に学習させるか、ということについても検討していかなければならな
い。さらに、Reys 等の構成要素の中で日本において指導されようとしていないものをどうするか、ということも考えなくてはならない。以上のことを今後の課題とする。

67

引用及び参考文献
・銀島文(1994)．『子どもの数感覚を記述するための観点』．
数学教育論文発表会論文集 27．pp.197-202
・NCTM(1989)．『Curriculum and Evaluation Standards
for School Mathematics』
・能田伸彦ほか(1997)．『21 世紀への学校数学の創造 米国
NCTM による「学校数学におけるカリキュラムと評価のスタンダード」』・Alistair McIntosh ほか(1992)．『A Proposed Frameworkfor Examining Basic Number Sense』
・伊藤説朗編(1998)．
『小学校算数実践指導全集 第 2 巻 豊
かな数感覚を育てる数の指導』．日本教育図書センター
・NCTM(2000)．『Principles and Standards for School
Mathematics』
・文部科学省(2008)．『小学校学習指導要領解説
東洋館出版
・啓林館(2012).『 わくわく説』

算数 4 下

68

指導書

算数編』．

第2部

詳

謝辞
本研究を進めるにあたり、これまで多くの方々にご指導い
ただいたこと深く感謝いたします。
特に指導教官である溝口達也先生には、大変丁寧なご指導をしていただきました。研究の方向性が分からなくなり進まなくなった際にも、親身になって共に考えてくださいました。
知識も経験もない私に具体例をいくつも用いながら分かり
やすく指導・助言して下さったため、本研究を進めることができました。そしてなにより、数感覚という私にとって大変興味深い研究ができたこと、大変感謝しています。
研究室の先輩である、玉木義一さん、吾郷将樹さん、岡友
章さん、岸川友飛さん、また溝口研究室 OB である早田透さんには、研究を進めていく際、多忙の中でも相談に快く乗って下さり、一緒になって考えて下さいました。また、事務的なことに関しても的確にアドバイスをして下さったり、真剣に考えて下さったりしたことに深く感謝しています。
同級生である、下釆瑞季さん、松岡涼さん、宮崎諒平さん、
横田真照さんには、研究仲間として日ごろから研究に関する悩みを共有し、励ましあいながら研究を進めることができたことに感謝申し上げます。また後輩である、坂元里佳子さん、白枝果歩さん、若林直広さんには夏合宿の準備を含め、さまざまな面で支えていただいたことに感謝しています。
このような多くの方の協力や支えがあってこそ、多くのことが学べ、本研究が完成することとなりました。学ばせていただいたことを今後に生かしていきたいと考えています。心から感謝申し上げます。
平成 26 年 1 月
山根三佳

69

鳥取大学数学教育研究

ISSN 1881−6134

Site URL：http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

編集委員
矢部敏昭

鳥取大学数学教育学研究室

tsyabe@rstu.jp

溝口達也

鳥取大学数学教育学研究室

mizoguci@rstu.jp（投稿原稿の内容に応じて，外部編集委員を招聘することがあります）

投稿規定❖ 本誌は，次の稿を対象とします。
• 鳥取大学数学教育学研究室において作成された卒業論文・修士論文，またはその抜粋・要約・抄録• 算数・数学教育に係わる，理論的，実践的研究論文／報告• 鳥取大学，および鳥取県内で行われた算数・数学教育に係わる各種講演の記録• その他，算数・数学教育に係わる各種の情報提供❖ 投稿は，どなたでもできます。投稿された原稿は，編集委員による審査を経て，採択が決定された後，随時オンライン上に公開されます。
❖ 投稿は，編集委員まで，e-mailの添付書類として下さい。その際，ファイル形式は，PDFとします。
❖ 投稿書式は，バックナンバー（vol.9 以降）を参照して下さい。

鳥取大学数学教育学研究室〒 680-8551 鳥取市湖山町南 4-101
TEI & FAX 0857-31-5101（溝口）http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/