䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣎䢳䢯䢲䢵

慣性誘発度メジャー：
リーマン距離からの多関節リーチングの観測○関本昌紘 (立命館大学) 有本 卓 (立命館大学/理研)
Boris I. Prilutsky(ジョージア工科大学) 伊坂忠夫 (立命館大学) 川村貞夫 (立命館大学)

An Inertia-Induced Measure: Observation of Human Reachingfrom the Viewpoint of a Riemannian Distance*Masahiro SEKIMOTO (Ritsumeikan Univ.), Suguru ARIMOTO (Ritsumeikan Univ./RIKEN), Boris I. PRILUTSKY (Georgia Institute of Technology), Tadao ISAKA(Ritsumeikan Univ.), and Sadao KAWAMURA (Ritsumeikan Univ.)
Abstract— This paper aims at investigating dynamic characteristics of human reaching from the viewpointof Riemannian distance. In order to evaluate the amount of inertia-induced movement of a multi-joint arm,
an inertia-induced measure is applied. The inertia-induced measure illustrates the analysis result that thesmooth reaching tends to be closer to the inertia-induced movement than the clumsy reaching. From thisobservation, it is suggested that humans use their own inertia properties eﬃciently in smooth reaching.
Key Words: Inertia-induced movement, Motion analysis, Human reaching, Riemannian distance1.

はじめに人間やロボットは，回転関節とリンクが連なった多関節構造をなすが，速い動作時には，多関節構造ゆえのリンク間相互作用効果が顕著に現れる．質点系の慣性効果は広く知られているのに対し，多関節系の慣性誘発力（慣性，遠心，コリオリ力）の効果への力学的・数学的洞察は十分ではない．これに関し，最近，多関節系の慣性誘発運動が，リーマン距離によって特徴付けられることが報告されている [1]．
機械系のモデル化，解析，制御におけるリーマン幾何学の重要性は，1978 年に出版された Arnold の書籍 [2]の中で，指摘されている．最近では，Bullo and Lewis [3]が，リーマン幾何学における，多関節系の運動方程式の取り扱い方を示している．また，Arimoto [4] は，Bulloand Lewis のアプローチとは異なり，手先拘束のないn 自由度ロボットにおいて，その取り得る姿勢全体の集合が，ロボットの慣性行列に基づくリーマン計量の入ったリーマン多様体とみなせることを見出した．これを出発点に，ロボティクスにリーマン幾何学を用いた議論を展開している．その一つに，リーマン幾何の性質を利用し，受動性に基づく制御則が適用された冗長多関節運動の新しい安定性解析手法が提案されている [5]．さらに，この安定性解析は，ホロノミック拘束もしくはパフィアンな非ホロノミック拘束を通して，環境もしくは物体と物理的な接触を伴う場合に拡張された．その他，リーマン多様体の 2 点を結ぶ測地線は，局所座標近傍において，制御無しに動くロボットのオイラー・ラグランジュ方程式の解軌道と一致することが示されている [1]．
ロボットの運動制御とは別に，多関節系の運動は，運動生理学，特に，人間の動作解析の中で扱われている．
人間の熟練リーチングに現れる代表的な特徴に，直線➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛

1xd = (xd, yd)T
2810cm3 y7q246Tx = (x, y)

5q1 xO
Fig.1 Planar movement of a human upper arm

手先軌道，ベル型手先速度プロファイルがある [6]．この他にも人間動作に関する膨大な観測結果があるものの，その多くは幾何学的な性質に関するもので，動力学的な性質を示したものは少ない．
本報告では，リーマン距離の観点から，すなわち，多関節系の慣性誘発運動への力学的洞察から，リーチングの動力学特性を調べる．特に，人間は慣性誘発力をどのように扱っているか，多関節系の慣性誘発運動の度合いを測る「慣性誘発度メジャー」を用いて解析する．慣性誘発度メジャーは，「慣性運動メジャー」として文献 [7] で紹介されたものと同じだが，その力学原理・扱える運動のクラスについて，十分な議論はされていない．そこで，本報告では，それらを明らかにする．慣性誘発度メジャーからは，滑らかなリーチングでの中盤運動が慣性誘発運動に近くなるといった興味深い解析結果を得た．この結果から，滑らかなリーチングでは，人間は自身の慣性を効果的に利用していることを示唆する．

䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣎䢳䢯䢲䢵2.

リーマン距離と多関節系の慣性誘発運動

Fig.1 に示すような，n 個の回転関節とリンクが連なる多関節系を考える．まず，この多関節系のある姿勢をp で表し，その取り得る姿勢全体の集合を M で表す．このとき，実際に存在する多関節系が扱われる限り，集合M は，コンパクトなハウスドルフ空間となる．一方，関節角度 qi ∈ (−π, π] (i = 1, . . . , n) を用いれば，n 個の実数の組 (q1 , . . . , qn ) の取り得る全体の集合は，ベクトル空間 Rn（配位空間とも呼ばれる）をなす．対象とする多関節系において，Rn の各点は，M の各姿勢と一対一に対応付けでき，M の各点は Rn の開集合と同相な近傍を持つので，M は n 次元位相多様体とみなせる．また，
M の開集合 U は Rn の開集合 Ω と同相なので，U と同相写像 (a homeomorphism) ϕ : U → Ω の組 (U, ϕ)，つまり，M の座標近傍 (a chart) が定義できる．任意の i, jで Ui ∩Uj ̸= ∅ となる座標近傍 (Ui , ϕi )，(Uj , ϕj ) について，この座標近傍の族 (Ui , ϕi ) が M の被覆となり，さらに，その座標変換 ϕj ◦ ϕ−1: ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj )iが C ∞ 級微分同相写像となるので，M は C ∞ 級微分可能多様体とみなせる [4]．
次に，微分可能多様体 M の点 p の接ベクトルを定義するために，任意の ε > 0 をとり，区間 I = (−ε, ε) から M への写像 c : I → M によって，点 c(0) = p を通る曲線 c(t) を考える．ここで，c(t) は，多関節系の姿勢の移り変わり（軌道 (an orbit)）を表す（ここで，tは助変数として用いており，時間変数を意味しない）．
このような二つの曲線 c と c̄ について，点 p のまわりの座標近傍 (U, ϕ) をとり，二つの曲線の間の関係 ∼ を，c ∼ c̄ ⇐⇒d(ϕ ◦ c̄)d(ϕ ◦ c)(0) =(0)dtdt(1)

により定義すると，これは同値関係 (equivalence relation) となる．この同値類は M の p における接ベクト
ル，この接ベクトル全体の集合は M の p における接空間 Tp M と定義される．このとき，同値関係は座標近傍(U, ϕ) の選び方に依らない [8, 9]．また，Tp M は，Rnと同相の実ベクトル空間の構造をとる．
微分可能多様体 M の p のまわりの座標近傍 (U, ϕ) では，Tp M の基底 (∂/∂qi )(i = 1, . . . , n) が定まる．そこで，二つの接ベクトル u, v ∈ Tp M を導入する．u, v はそnn∑∑れぞれ，u =ui (∂/∂qi )p ，v =v i (∂/∂qi )p と一i=1i=1

意的に表せることが知られている．このとき，M 上に，Tp M の元の長さを与える写像 gp : Tp M × Tp M → Rを，C ∞ 級関数

gp (u, v) =n∑

gij (p)ui v j∫ b∫ b√
gc(t) (ċ(t), ċ(t)) dt
L(c) = ∥ċ(t)∥dt =aで定義する．ここで，(gij ) は，n × n の正定対称行列である．すると，この gp は M 上のリーマン計量となり，M はリーマン多様体（さらに，連結リーマン多様体 (a connected Riemannian manifold)）とみなせる．
連結リーマン多様体では，多様体上の 2 点は滑らかな曲線で結ぶことができ，その曲線の長さを測ることができる．それゆえ，M 内の C ∞ 級曲線 c(t)(a ≤ t ≤ b)(3)aにより与えられる．さらに，p, p′ ∈ M に対して，c(a) =p, c(b) = p′ を満たす曲線全体のうち，L(c) の下限

d(p, p′ ) = inf L(c(t))(4)

は，リーマン距離 (a Riemannian distance) と言われる．式 (3) および式 (4) について，α と β を正の定数として，助変数 t を s = αt + β に置き換えても，その値は変わらない（文献 [8, 9] 参照）．それゆえ，リーマン
距離は，p と p′ のみによって決まる．
さらに，c(a) = p, c(b) = p′ において，リーマン距離にあたる曲線 c(t) は，M の座標近傍 (U, ϕ) における局
所座標 ϕ(c(t)) = (q1 (t), · · · , qn (t)) を用いて，二階の微分方程式q̈k (t) +n∑Γkij (c(t))q̇i (t)q̇j (t) = 0(5)i,j=1より求めることができる．ここで，k = 1, · · · , n であり，
Γkij はクリストッフェルの記号 (Christoﬀel symbols) と呼ばれ，行列 (gkh ) の逆行列を (g kh ) とすれば，1Γkij =2m∑
h=1(gkh∂gih∂gjh∂gij+−∂qj∂qi∂qh)(6)で表される．特に，式 (5) を満足する曲線 c(t) は測地線 (a geodesic)，この微分方程式は測地線の方程式 (ageodesic equation) と呼ばれる．
一方，解析力学では，多関節系のラグランジュの運動方程式は，{H(q(t))q̈(t) +}1Ḣ(q(t)) + S(q(t), q̇(t)) q̇(t) = u(t) (7)2と記述される [10]．ここで，q(t) = (q1 (t), . . . , qn (t))T
は 関 節 角 度 ベ ク ト ル ，H(q(t)) は 慣 性 行 列 ，S(q(t), q̇(t))q̇(t) は 遠 心・コ リ オ リ 力 を 含 む 項 ，S(q(t), q̇(t)) は歪対称行列，u(t) は関節での制御入力トルクである．H(q(t)) の成分 hij は定数もしく関節変数の正弦関数からなるため，H(q(t)) は C ∞ 級微分可能，かつ，正定対称な行列である．
そこで，式 (2) のリーマン計量において，多関節系の慣性行列 hij を gij に選ぶ. このとき，上述のように，M 上の p は，q ∈ Rn と一対一に対応づけられるので，{(2)i,j=1➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛に対して，その長さ L(c) は，H−1(q)}n∑1Ḣ(q) + S(q, q̇) q̇ =Γkij (c)q̇i q̇j (8)2i,j=1を満足し（文献 [10, 11] を参照），測地線の方程式 (式(5)) の左辺は，H −1 を掛けた多関節系のダイナミクス(式 (7)) の左辺と一致する．それゆえ，u = 0 とした多関節系のダイナミクスは，測地線の方程式と一致す
る [11]．つまり，力学的には，リーマン計量の gij に慣性行列を選ぶと，測地線 c(t) は，制御入力無しに q(a) = p䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣎䢳䢯䢲䢵から q(b) = p′ へ向かう運動，すなわち，多関節系の慣性誘発運動（慣性，遠心，コリオリ力による運動）を意味する．そして，リーマン距離は，姿勢 p(= q(a)) から別の姿勢 p′ (= q(b)) への運動全体の中で式 (3) を最小にするもので，多関節系の慣性誘発運動に対応する．

3.

慣性誘発度メジャー

多関節系の慣性行列により構成されるリーマン計量の与えられた，リーマン多様体での長さ (式 (3)) は，多関節系の慣性誘発運動に関係する（前章参照）．具体的には，ダイナミクスが式 (7) によって記述される多関節系の二姿勢 (p(= q(a)) と p′ (= q(b))) 間の運動において，その運動が慣性誘発運動（式 (5) より得られる測地線）に近いとき，その運動を式 (3) により測った長さは，対応するリーマン距離に近くなる．逆に，運動が慣性誘発運動から遠いほど，その運動の長さは，リーマン距離より長くなる．二姿勢 (p と p′ ) 間の運動全体について，リーマン距離は距離の公理系を満たすため，どの運動の長さもリーマン距離と同じか，それよりは長くなる．それゆえ，式 (3) の長さと式 (4) のリーマン距離は，多関節系の慣性誘発運動の度合いを見積もるために利用できる．
しかし，実際の多関節系（ロボットや人間）のダイナミクスは，式 (7) の理想的なものとは異なり，粘弾性特性，クーロン摩擦，重力などの影響を含む．すな
わち，実際の多関節系の運動方程式は，}{1Ḣ(q) + S(q, q̇) q̇ + C q̇
H(q)q̈ +2+K∆q + f c + g(q) = u (9)のように表される．ここで，C q̇ は関節粘性，K∆q は関節弾性，f c はクーロン摩擦，g(q) は重力の影響を表す．このような場合でも，慣性誘発運動の度合いは見積もれる．
今，式 (9) による運動において，制御は行わず (u =0)，外力（人の手）によって多関節系が動かされたときの，ある時間区間 t ∈ [a, b] の運動に着目する．このとき，関節角度と関節角速度は，取得できるものとする．この運動の長さは，式 (3)，もしくは，∫ b√q̇(t)T H(q(t))q̇(t) dt

L=(10)aより求まる．一方，対応するリーマン距離は，両端の時刻での姿勢 (q(a) と q(b))，式 (5)，式 (10) から求まる．より詳細には，リーマン距離は，測地線の方程式を二つの境界条件 q(a) と q(b) のもとで解き，得られた測地線を式 (10) へ適用することで得られる．この長さとリーマン距離を比較することで，対象の運動の慣性誘発度を見積もれる．しかし，こうして見積もられた運動は，慣性誘発運動からほど遠いと判断されるはずである．その理由は，実際の運動では，慣性誘発力以外の力が，多関節系に作用しているからである．別の例として，慣性誘発力を除いた力が相殺される制御
入力トルク

u = C q̇ + K∆q + f c + g(q)➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛(11)が多関節系に適用された場合を考える．このときも，先ほどと同様の手順により，ある時間区間の運動の長さと対応するリーマン距離が求まる．実際，対象の運動は慣性誘発運動となり，見積もられた運動の長さは，理想的には，リーマン距離と一致する．これは，質点系の運動における，外力がゼロの場合と，外力の和がゼロの場合の運動の類似性からも，明らかである．これらのことから，慣性誘発力以外の力が作用するときも，
式 (7) において，その力と同等の力が制御入力 u により加えられていると考えれば，同様に扱える．
これまでの議論を踏まえ，リーマン距離の力学的な性質に基づき，多関節系の慣性誘発度を見積もる「慣性誘発度メジャー」を提案する．今，多関節運動のある時間区間 t ∈ [a, b] の運動に着目する．その両端時刻での姿勢を q(a)，q(b) として，慣性誘発度メジャーを，

R = L − d(q(a), q(b))(12)

により定義する．ここに，L は式 (10) による長さ，d(q(a), q(b)) は q(a) と q(b) の間のリーマン距離である．このメジャーでは，対象の運動が，慣性誘発運動のときに R = 0 を示す．逆に，慣性誘発運動から遠くなるほど，R は大きな正の値となる．また，時間区間t ∈ [a, b] は，任意に設定できる．一つの運動の運動中の慣性誘発度に関心があるときは比較的小さな時間区間を，また，運動全体の慣性誘発度に関心があるときは運動の開始時と終了時を区間に選べばよい．

4.

リーチングにおける慣性誘発度の観測

人間のリーチング動作に慣性誘発度メジャーを適用し，その中に現れる動力学特徴を観測した．実験では，リーチング実験装置 Kinarm (BKIN Technologies, Canada)を用い（Kinarm の詳細は，文献 [12] を参照），Fig.1に示すように，水平平面内のリーチングを観測した．被験者には，予め，右手人差し指で，被験者の正面にあるスクリーン上にランダムに現れる８個のターゲットの一つに，早く正確に到達するように指示してある．ターゲットは，初期手先位置から 10[cm] 離れた円上にランダムに配置され，その大きさは直径 1[cm] の円とした（Fig.1 参照）．ランダムに現れる 8 つのターゲットへのリーチングを 1 試行として，全部で 20 試行が行われた．運動中の肩と肘の角度と角速度は，Kinarm に備わるエンコーダから計測された．
得られた関節角度，角速度情報を用いて，慣性誘発度メジャーによる運動の見積もりを，以下の手順に従い，おこなった．まず，得られた 160 回分の実験データから一つを取り出し，その運動データの運動時間に応じて，データを 30 分割する．次に，30 分割されたそれぞれの区間について，式 (10) による運動の長さとリーマン距離を，3 章で述べた手順に従い，算出する．最後に，それぞれの区間で，導出された長さとリーマン距離を式 (12) に代入し，その区間での慣性誘発メジャーの値を求める．こうして，それそれの試行について，慣性誘発度メジャーのプロファイルを得た．運動の長さ・リーマン距離の計算に必要となる，人間の腕の慣性行列，すなわち，リンク慣性とリンク質量は，文献 [13]の推定値を用いた．

䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣎䢳䢯䢲䢵Goalれる．

Joint angles q [deg]y-component [cm]90545352515049Start

48
1314151617181920q280

5.

7060

q150
40300210.2

0.4

X-component [cm](a) Endpoint trajectory

10.8

1-5x 100.9
0.8-100.70.6-20R

Solution dq [deg/s]

1q100.8(b) Angles

.

100.6

Time [s].
q-30

0.50.420.30.2-400.1-5000.20.40.6

0.80010.20.40.6Time [s]Time [s](c) Angular velocities(d) Measure proﬁleFig.2 Experimental results of clumsy reaching
Goal
Joint angles q [deg]90

y-component [cm]

5453
52
51
5049Start

48
14151617181920x-component [cm]

q2

80

60

q1

50
40

0.2

.

10.7

-20

0.6

-30.
q

0.5
0.4
0.3

20.2

-60
-70

-5x 10

0.8

-10

-50

0.8

0.9

q1

-400.6(b) Angles

RAngular velocities dq [deg/s](a) Endpoint trajectory

00.4

Time [s]20100.1

00.2

0.40.60.8

多関節系の慣性誘発度を測定する「慣性誘発度メジャー」を紹介し，その力学原理を示すとともに，メジャーを用いて，人間のリーチングの動力学特性を解析した．
慣性誘発度メジャーは，多関節運動の動力学的特性の一つである，慣性誘発効果の解析を可能にする．運動
が，主に慣性誘発力によって支配される多関節運動であれば，重力下や外力の影響下であっても，それらの効果を含めて，運動の慣性誘発の度合いを解析できる．
そこで，慣性誘発メジャーによる他の運動（たとえば，歩行動作）の解析を今後の課題とする．
[謝辞] 本研究は科研費 若手研究 (B) (20760175) の支援を受けた．また，Linda Harley 氏，Gregory Philips
氏 (ジョージア工科大学) にはデータ取得に関する多大な貢献を，和田隆広氏 (香川大学工学部) には有益な助言を頂いた．

7030021

おわりに

000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

Time [s]Time [s](c) Angular velocities(d) Measure proﬁle0.8

Fig.3 Experimental results of smooth reachingFig.2 と Fig.3 は，この実験における典型的な二つの結果である．どちらの結果もターゲット 2 に関する結果で，Fig.2 は 13 試行目，Fig.3 は 18 試行目の結果となる．それぞれの図は，手先軌道，関節角度，関節角速度，慣性誘発度メジャーのプロファイルを示している．Fig.2 では，運動がターゲット近傍でぎこちなくなっているのに対して，Fig.3 では，最終的にターゲットへ到達していないものの，スムーズな運動となっている．本稿での関心は，リーチングそのもののパフォーマンスよりはむしろ，リーチングにおける慣性誘発度の観測にある．そのため，タスクの失敗は，本稿では問題としない．慣性誘発度メジャーのプロファイルでは，運動の初期と終盤で，値が大きくなる傾向がみられる．
3 章で述べたように，R の値は，観測された運動が慣性誘発運動に近いときに小さく，遠いときに大きくなる．
実験結果における R の大きな値は，被験者が自身の腕を動かし始めたこと，止めたときに現れている．特に，ぎこちない運動では，被験者は運動終盤で，ターゲットへ到達しようと，手先軌道の修正を試みている．慣
性誘発度メジャーは，この振る舞いを，Fig.2(d) で大きな山として表している．一方，運動中盤では，R は比較的小さくなっている．特にこの傾向は，滑らかなリーチングにおいて顕著に現れている．これらの結果
から，素早いリーチングでは，人間は自身の慣性特性を考慮し，効果的にそれらを使っていることが示唆さ➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛[1] M. Sekimoto, S. Arimoto, S. Kawamura, and J.-H.
Bae, “Skilled-motion plannings of multi-body systems
based upon Riemannian distance,” Proc. of the 2008
IEEE Int. Conf. on Rob. and Autom. (ICRA2008),
pp. 1233–1238, Pasadena, CA, May 19-23 2008.
[2] V. I. Arnold, (Trs.) K. Vogtmann and A. Weinstein, Mathematical methods of classical mechanics,Springer-Verlag, New York, 1989.
[3] F. Bullo and A. D. Lewis, Geometric Control of Mechanical Systems: Modeling, Analysis, And Design
For Simple Mechanical Control Systems, Springer,
New York, 2000.
[4] S. Arimoto, “Modelling and control of multi-bodymechanical systems Part I: A Riemannian geometry
approach,” International Journal of Factory Automation, Robotics and Soft Computing, 2009, (in press).
[5] S. Arimoto, M. Yoshida, M. Sekimoto, and K. Tahara,“A Riemannian-geometry approach for control ofrobotic systems under constraints,” SICE Journalof Control, Measurement, and System Integration,
Vol. 2, No. 2, pp. 107–116, Mar. 2009.
[6] P. Morasso, “Spatial control of arm movements,” Exp.
Brain Research, Vol. 42, No. 2, pp. 223–227, 1981.
[7] 関本昌紘, 有本卓, 川村貞夫, “リーマン距離に基づく慣性運動メジャー”, 第 9 回計測自動制御学会システ
ムインテグレーション部門講演会 (SI2008) 予稿集, pp.
1199–1200 (3H3–5), 長良川国際会議場, Dec. 5-7 2008.
[8] J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer, Berlin, 2002.
[9] S. Gallot, D. Hulin, and J. Lafontaine, RiemannianGeometory, Springer, Berlin, Germany, 2004.
[10] S. Arimoto, Control Theory of Non-linear Mechanical Systems: A Passivity-based and Circuit-theoretic
Approach, Oxford Univ. Press, Oxford, UK, 1996.
[11] S. Arimoto, M. Yoshida, M. Sekimoto, andK. Tahara, “A Riemannian-geometry approach formodeling and control of dynamics of object manipulation under constraints,” Journal of Robotics, Vol.
2009, p. 892801, 2009, (doi:10.1155/2009/892801).
[12] S. H. Scott, “Apparatus for measuring and perturbing shoulder and elbow joint positions and torques
during reaching,” Journal of Neuroscience Methods,Vol. 89, No. 2, pp. 119–127, 1999.
[13] V. M. Zatsiorsky, Kinetics of Human Motion, HumanKinetics, Champaign, IL, 2002.