芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)

種数 0 サーフェスのヤコビアンフリーな変形シミュレーション
吉良 俊亮 1)

中山 雅紀 2) (正会員)

1) 慶應義塾大学 大学院理工学研究科

藤代 一成 2) (正会員)
2) 慶應義塾大学 理工学部

Jacobian-free Deformation of Genus-0 Surfaces
Shunsuke Kira1)

Masanori Nakayama2)

Issei Fujishiro2)

1) Graduate School of Science and Technology, Keio University
2) Faculty of Science and Technology, Keio University{shunsuke.kira, nakayama, fuji} ＠ fj.ics.keio.ac.jp

概要

CG におけるオブジェクトの変形は，物質の多様な性質を表現するうえで，欠かすことのできない要素である．近年，映像作品の高精細化から，変形にもより高精細なものが求められるようになった．一般的な変形シミュレーション手法として，メッシュを用いた手法が挙げられるが，計算時間が多くかかることから，リアルタイム性を重視する場合，衝撃が加わった際にオブジェクト表面が波打つ様子などの細やかな変形表現は描画されない．一方，リアルタイム性を重視した変形シミュレーション手法として，変位マッピングを用いたアプローチが知られているが，この手法は二次元平面上に適用することを想定しているため，テクスチャ空間と実空間との間に非線形な関係が存在するオブジェクト表面に適用すると，ヤコビ行列を用いた座標変換による歪みを変形に生じさせてしまう．そこで，本論文では，射影によりテクスチャに格納した実空間座標を用いて計算することで，テクスチャ空間と実空間との間の歪みを解消した，変位マッピングによるヤコビアンフリーな変形シミュレーションを，種数 0 の任意オブジェクト表面において実現する手法を提案する．
キーワード：変形，波動シミュレーション，変位マッピング，キューブマップ

Abstract
Deformation plays an essential role in expressing various properties of materials. In recent years, as video works havebecome increasingly high-deﬁnition, higher-deﬁnition deformation has also come to be required. One of the most common
deformation simulation methods is mesh-based. However, due to the large amount of computation time, real-time
applications cannot render detailed deformation such as the rippling of the object’s surface. On the other hand, anapproach using displacement mapping is known as a deformation simulation method that realizes real-time performance.
However, this method is designed to be applied to a two-dimensional plane, and hence, when applied to an object surface
which has a nonlinear relationship between the texture space and the real space, the deformation will be distorted by
Jacobian to translate the coordinates. In this paper, we propose a novel method to simulate Jacobian-free deformationof arbitrary genus-0 surfaces by displacement mapping, which uses the real space coordinates to eliminate the distortion
between the texture space and the real space.
Keywords: Deformation, wave simulation, displacement mapping, cube mapping.

– 146 –

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本論文は 6 つの章から構成され，次章では，本論文に1 序論関連する研究を紹介する．3 章では，提案手法の概要とCG におけるオブジェクトの変形は，現実世界の物質具体的な処理について説明する．4 章では，本手法の実の多様な性質を表現するうえで，欠かすことのできない行結果を示し，先行報告 [1] と比較する．5 章では，他の要素である．近年の映像作品の高精細化から，変形のシシミュレーション手法との利害得失を考察する．6 章でミュレーションにもまた，より高精細なものが求められは，本研究の結論を述べ，今後の課題に言及する．

るようになった．
一般的な変形シミュレーション手法として，メッシュ

2 関連研究を用いた手法が挙げられる．しかし，この手法は，連続オブジェクトの変形シミュレーション手法に関する関体力学に基づく支配方程式を数値的に解く必要があり，連研究を挙げ，本論文の位置づけを明確にする．

計算時間が多くかかる．そのため，リアルタイム性が重2.1視される場合，衝撃が加わった際にオブジェクト表面が波打つ様子などの細やかな変形表現は描画されないこと

連続体力学に基づいた手法

物理的に正確な変形シミュレーション手法として，連続体力学に基づいた手法が知られている．

が多い．

Terzopulous ら [16] は，有限要素法（FEM）を CG に一方，リアルタイム性を重視した変形シミュレーショおける変形シミュレーションに導入し，連続体力学にン手法として，変位マッピングを用いたアプローチが知基づいてオブジェクトを変形する手法を提案している．

られており，実際に海面の表現 [17] 等によく用いられMartin ら [8] は，FEM を用いた変形シミュレーションる．しかし，この手法は二次元平面上に適用することをに，ユーザが設定した変形例に基づく弾性ポテンシャル想定しているため，テクスチャ空間と実空間との間に非を導入し，FEM による変形シミュレーションに監督可線形な関係が存在するオブジェクト表面に適用する場合能性を追加した．Sulsky ら [15] は，粒子法を用いた変には，ヤコビ行列による座標変換を行う必要があり，変形シミュレーション手法である Material Point Method

形に歪みが生じてしまう．

（MPM）を提案している．MPM では，各粒子が連続体

そこで，本論文では，一般的に環境マッピングに用いられるキューブマップ [5] を変位マッピングに転用する力学に基づいて動作するため，変形に加え，物体の断裂や結合などの物理現象もシミュレーションできる．

ことで，テクスチャ上に対応するオブジェクト表面の実連続体力学に基づいた手法は，物理的にきわめて正確空間座標をキューブからの射影によって取得し，格納しであり，解像度の大きい変形もシミュレーション可能でた実空間座標によりヤコビ行列を用いず変形シミュレーあるが，計算時間が多くかかることから，リアルタイムションを計算する手法を新たに提案する．等角球体マッ性を重視したアプリケーションには適さない．

ピングを導入し，種数 0，すなわち穴が開いていない任意

2.2

オブジェクト表面で，テクスチャ上に対応するオブジェクト表面の実空間座標を格納できる．それにより，オブ連続体力学に基づかない手法

前節の手法に対し，計算時間を削減するため，連続体力学に基づかない手法が提案されている．

ジェクト表面で，歪みを解消した変形シミュレーション

Müller ら [11] は，FEM による計算は物理的には正を実現する．本手法を用いて，オブジェクト表面上で波しいが，計算時間が多くかかることを問題視し，位置情面の伝播シミュレーションを行った結果を図 1 に示す．

報に基づき，拘束条件を満たす方向に位置を更新するこ

歪みなく波面が伝播している様子が確認できる．とで最終的な位置を決定する Position-Based Dynamics

本研究の最終目標は，変位マッピングを用いて，任意（PBD）を提案している．Bouaziz ら [3] は，PBD におのオブジェクト表面に，そのオブジェクトの特性に応じける拘束条件を FEM に基づいて概算することで，物理た変形を付与することである．先行報告 [1] では，波面的正確性を高めた手法を提案している．Müller ら [10]の伝播シミュレーションを CPU を用いて実行していたは，変形の対象となるメッシュを，より解像度の低いメッが，本論文では，GPU を用いてシミュレーションを並シュで覆い，解像度の低いメッシュに対する変形結果を列計算し，処理を一層高速化した．

対象となるメッシュに適用する手法を提案している．

– 147 –

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図 1: 提案手法による波面の伝播シミュレーション実行例．画像は左から右に時系列順に並んでおり，球がオブジェクトに衝突した場所から波が拡がっていく様子が確認できる．映像は添付ビデオを参照．

上記の手法 [11][3][10] は，少ない計算量で変形をシ

2.3

変位マッピングを用いた手法

ミュレーションできるが，オブジェクト表面が波打つよ

変位マッピングは，本来オブジェクトの表面に凹凸をうな微細な変形をシミュレーションする際には，過剰なつけるために用いられる手法であるが，テクスチャ上でコストがかかってしまう．の変形シミュレーション結果をオブジェクト表面に与え提案手法と同じく，オブジェクト表面の変形に特化しる手法が提案されている．

た手法も存在する．Goes ら [6] は，弾性力学の解析解にSchäfer ら [13] は，物理シミュレーションによって決基づいて，オブジェクト表面における波面や衝撃の伝播定された位置に，ユーザが設定した変形を変位マッピンをリアルタイムに計算する手法を提案しており，本論文グを用いて付与する手法を提案している．Nykl ら [12]で提案する手法に最も近いものの一つである．Goes らは，テクスチャ空間上でオブジェクトの衝突を計算し，の手法 [6] は近似的な精度ではあるが，任意の種数をもユーザが設定した変形を付与する手法を提案している．

つメッシュにも安定して伝播計算を行うことができる反

また，変位マッピングを用いた手法は海面の表現 [17] に面，空間変形手法であるため，オブジェクト表面の 3 次もよく用いられる．

元的形状を考慮した変形を付与できない点がデメリット

変位マッピングを用いた手法は，テクスチャ空間上でとして挙げられる．それに対し，表面変形手法である提シミュレーションを行うことで，メッシュを用いた手法

案手法は，種数に制限はあるが，パラメータを調整すると比較して，小さな計算コストで変形を計算することがことでメッシュの形状やその表面下組織に依存した変形できる．しかし，二次元平面にマッピングすることを想結果を与えることができる．例えば，人の顔に波面を伝定しているため，テクスチャ空間と実空間との間に非線播させる場合，骨が表面付近に存在する箇所とそうでな形な関係が存在するオブジェクト表面に適用すると，変い箇所では，波の伝播しやすさが異なる．また，鼻や耳形に歪みが生じてしまう．提案手法では，テクスチャ空といった箇所では波が反射する．Goes らの手法ではそ間における二次元座標ではなく，オブジェクト表面の実ういった物理的特性を変形に反映させることができない

空間座標を用いて変形を計算することで，この歪みを補が，提案手法ではパラメータの設定により，波の伝播し正する．

やすさや境界条件を自由に設定できるため，オブジェク

2.4

流体シミュレーションを行う手法

ト表面の 3 次元形状やその特性に合わせて変形を付与で変形シミュレーションではないものの，オブジェクトきる．さらに，提案手法は変位マッピングを用いるため，表面上で流体シミュレーションを行う手法は，テクス既存のレンダリングパイプラインへの組込みも，Goesチャ上で流体シミュレーションを計算する本手法と関連らの手法より容易である．

性が強い．

– 148 –

芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)(a) 理想的な波の形状

図 2: 種数 0 のオブジェクト表面に等角球体マッピングを施した結果．種数 0 の任意オブジェクト表面を単位球にマッピングしている．

(b) 実際の波の形状

図 3: テクスチャの粗密によって波面が歪んでしまう場
合の概略図．(a) のような形状の波が理想であるが，テクスチャの粗密が存在することで波面の速度が変化し，(b) のように波面が歪み，意図しない形状になってしま
Stam ら [14] は，Catmull-Clack 表面をパラメータ化う．

手法として用い，二次元平面上での流体シミュレーション結果を，オブジェクト表面に対して適用する手法を提案している．Catmull-Clack 表面はオブジェクト表面を3.1

立方体の設定正方領域に分割するパラメータ化手法で，任意の種数のオブジェクトの重心が中心座標となる立方体を実空間オブジェクト表面に対して適用できることがメリットで上に設定し，テクスチャアトラスにおける正方領域を立あるが，正方領域の境界で歪みが生じてしまうほか，オ方体の各面に対応付ける．

ブジェクト表面の三次元的形状を考慮できない点がデテクスチャ空間上で変形をシミュレーションするにメリットである．Hill ら [7] は，極座標をパラメータ化

あたり，各テクセルで隣接セルの情報を参照する必要が手法として用い，球面上で高品質な流体シミュレーショある．しかし，複数のテクスチャによって覆われたオブンを行う手法を提案している．しかし，この手法は球面ジェクトでは，テクセル間の隣接関係が不連続かつ複雑以外のオブジェクト表面上に適用した場合，テクスチャであるため，手動による隣接関係の設定が困難であった．

座標とオブジェクト表面上の実空間座標との間の歪みか

そこで，本手法ではキューブマップ [5] を用いる．キュー

ら，シミュレーション結果にも歪みが生じる．提案手法

ブマップでは，立方体の各面に対応するテクスチャアト

では，キューブマップをパラメータ化手法として用い，ラスを定義するため，波動の伝播に必要なテクセル間の射影により実空間座標を取得することで，実空間座標を隣接関係を，設定が容易な立方体の面同士の隣接関係に用いた流体シミュレーションをテクスチャ上で行う．

置き換えることができる．

3.2

3 手法

等角球体マッピング

等角球体マッピング [4] を用いて，オブジェクトを単提案手法の手順を以下に述べる．本手法は，一般的に位球に変換する．オブジェクトに等角球体マッピングを環境マッピングに用いられるキューブマップを変位マッ施した結果を図 2 に示す．等角球体マッピングは，ポリピングに転用することで，立方体からの射影によりテクゴンの形状を保ったまま単位球に変換することができる

スチャ空間にオブジェクト表面の実空間座標を格納し，ため，種数 0 の任意オブジェクト表面に対し，本手法をテクスチャ上で実空間座標を用いた変形シミュレーショ適用することができる．

ンを計算する．先行報告 [1] では，波面の伝播シミュレー

3.3

実空間座標の取得ションを CPU を用いて実行していたが，本論文では，テクスチャ空間で計算を行った変形をオブジェクト

GPU を用いてシミュレーションを並列計算し，処理の表面に適用するにあたり，一般的にテクスチャ空間と実さらなる高速化を実現する．

空間との間に非線形な関係が存在する．この場合，ヤコ– 149 –芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)を満たす実数 u，v を用いて，次式によって示される：T (u, v) = (1 − u − v)v0 + uv1 + uv2
ここで，v0 ，v1 ，v2 は交差するポリゴンの各頂点の三次元座標である．等角球体マッピングは，ポリゴンの形状を保ったままオブジェクト表面を単位球に変換するため，単位球の頂点座標を，元のオブジェクト表面の頂点座標に置き換えて計算することで，対応する元のオブジェクト表面の座標を求めることができる．これにより，各テクセルに対応するオブジェクト表面の実空間座標を格納する．

3.4

テクスチャ座標の設定

テクスチャ空間での計算結果を変位マッピングとして
図 4: 実空間座標の取得方法．等角球体マッピング後の付与するため，キューブマップを用いて作成したテクス単位球へ，立方体に対応付けた各テクセルの中心座標

チャアトラスに対応するテクスチャ座標を，本手法を適から光線を射出することで，各テクセルに対応するオブ用するオブジェクト表面の各頂点に設定する必要があ

ジェクト表面の実空間座標を取得する．

る．そこで，前節と同様のアルゴリズムを用い，立方体の中心座標から等角球体マッピング後の単位球の各頂点に向かって光線を飛ばし，立方体の各面との交点座標をビ行列による座標変換が必要なため，変位マッピングに求め，その結果からテクスチャ座標を計算する．このとよってオブジェクト表面に付与した変形にも歪みが生じき，オブジェクトに元々設定されているテクスチャ座標てしまう．波面の歪みの例を図 3 に示す．テクスチャ空は保存されることに注意してほしい．

間と実空間との間の非線形な関係から，オブジェクト表

3.5

波面の伝播面上でテクスチャの疎密性に差が生じてしまい，波面に本手法では，テクスチャ空間上での計算式を変更する

歪みが現れてしまう．歪みを考慮して変形を作成するこことで，オブジェクト表面で発生するさまざまな変形をともできるが，作成者に負担を強いてしまう．この歪みシミュレーションすることができる．本論文では，変形を自動で補正するには，各テクセルに対応するオブジェの一例として，有限体積法による波面の伝播シミュレー

クト表面の実空間座標を格納し，実空間座標を用いて変ション [2] を計算する．

形シミュレーションを計算する必要がある．しかし，テ本手法では，各テクセルに格納した実空間座標とそのクセルごとに対応する実空間の座標を設定することは，周辺テクセルの実空間座標を二次元平面に近似し，有限従来の手法では困難であった．

体積法を用いて波面の伝播をテクセルごとに計算する．

そこで，本手法ではキューブマップを用いることにし前フレームにおける，自身とその周辺セルが保持する高た．本手法における実空間座標取得の概要を図 4 に示

さ情報を用いて，各フレームにおけるセルの高さを計算す．立方体の中心座標から，立方体に設定された各テクすることができる．

セルへと光線を射出し，等角球体マッピング後の単位球との交点座標を求める．交差判定には Tomas Möller

時刻 t = tn における各セルの波の加速度 an は，次式のように計算できる：のアルゴリズム [9] を用い，交差するポリゴンを全探索

an = (d/s)2する．
単位球との交点座標 T (u, v) は，u ≥ 0, v ≥ 0, u + v ≥ 0∑(in − hn ) − ζvn

ここで，n はシミュレーション中のステップの項番，dは注目セルと周辺セル間の距離，s は波の伝播速度，hnは注目セルの高さ，in は周辺セルの高さ，ζ は減衰係数，– 150 –芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)

図 5: 種数 0 の複雑なオブジェクト表面における波面の伝播シミュレーション実行例．画像は左から右に時系列順に並んでおり，波面がモデル表面を均一に伝播していく様子が確認できる．映像は添付ビデオを参照．

vn は注目セルにおける速度である．セル間の距離の計できる．GPU に送信した計算結果は，次フレームの計算には，各セルに格納された，対応するオブジェクト表算に利用される．

面の実空間座標を用いた．実空間座標を用いて波面の伝播シミュレーションを計算することで，テクスチャ空間4 結果と実空間との間の歪みを補正した．

実装環境として，CPU: Intel Core i7-8700K 3.70 GHz,各パラメータを変更することで，波を変化させること

RAM: 16.0 GB, GPU: NVIDIA GeForce GTX 1070 Tiができる．減衰係数を変更することにより，波がどのくを用い，Unity 2018.4.19f1 上で実装を行った．

らい長く滞在するかを設定することができ，減衰係数を4.1

波面の伝播大きくすれば，波は速やかに減衰する．波の伝播速度を本手法を用い，各セルにおける波の伝播速度を一様に0 にすることで，波が伝播しない領域を設けることもで設定し，種数 0 のオブジェクト表面における波面の伝播きる．また，これらのパラメータはテクセルごとに設定

シミュレーションを行った結果を図 1 に示す．立方体かすることができるため，オブジェクトの特性，例えば顔ら射影した際，交点が一位に定まらないオブジェクトのの皮膚下の骨格や筋肉分布などをシミュレーションに反表面上でも，不自然な波面の歪みや折れが発生すること映させることができる．さらに，波の発生フレームや個なく，波面が伝播している様子が確認できる．

数を自由に設定することができ，他のオブジェクトとのまた，より複雑なオブジェクト表面における歪みのな衝突タイミングに合わせてユーザが自由に波を発生させ

い波面の伝播を図 5 に示す．ここでは，50 × 50 × 6ることができる．また，ユーザは波に任意の初期形状を画素のテクスチャを用い，21,338 枚のポリゴンをもつオ与えることができ，任意形状の凹凸を好きな位置に与えブジェクト表面に適用した結果，フレームレートは約 32ることも可能である．

fps となり，描画の前段階である実空間座標の取得にか計算結果の付与

かった時間は 2 分 57 秒であった．本手法では，テクス3.6

各セルにおける計算結果を GPU に送信し，そのテクチャの解像度を自由に設定することができ，解像度に応スチャを頂点シェーダにおいて，オブジェクト表面に変じて変形の解像度と計算時間を変更することができる．

位マップとして付与する．

波の初期値は，ユーザがオブジェクト表面の任意の地本手法では，変位マッピング用のテクスチャ座標のほ点に，任意の強さで設定することができる．また，計算か，一般的なテクスチャマッピングに用いるテクスチャ時間を増やすことなく，複数の波を同時に発生させるこ

座標を別に送信することができ，他のテクスチャによるとも可能である．シミュレーションの実行中にいつでもオブジェクトの色付けや波の伝播領域設定を行うことがシミュレーションの停止，実行結果のリセットを行うこ– 151 –

芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)(a) 提案手法による歪み補正を行わなかった場合(b) 提案手法による歪み補正を行った場合

図 6: 単純なオブジェクト表面に提案手法を適用した場合における補正効果の比較．(a) では波面の歪みが発生しているが，(b) では発生していないことが確認できる．映像は添付ビデオを参照．とができ，カメラの視点を操作することで，波面の様子も，テクスチャの粗密により伝播速度に歪みが生じてしを多角的に確認できる．

まうため，波が伝播する過程で波面が歪んでしまう．

4.2

歪みの補正

また，本手法によって歪みを補正した場合と，補正し提案手法と同じくキューブマップによるパラメータ化なかった場合のフレームレートはともに約 32 fps となっを行い，実空間座標を用いずにテクスチャ空間におけるた．描画の前段階で，実空間座標の取得と距離計算を距離値を用いて計算したシミュレーション結果を図 6(a)行っているため，本手法を用いない場合と比較しても，に示す．実空間座標を用いない場合，オブジェクト上の本手法の計算時間は変化しないことが確認できた．歪み

波面に歪みが発生しているが，図 (b) では，歪みが発生を補正した場合，前段階の実空間座標の取得と距離計算していないことが確認できる．さらにそれらの歪みの拡にかかった時間は 2 分 13 秒となった．前段階の計算

大図を図 7 に示す．キューブマップでは，テクスチャアで得られた値はオブジェクトごとに固有のものであるた

トラスが立方体の各面に分割されており，各面の境界でめ，初回の描画以降は，前段階の計算を省略することがテクスチャの連続性が崩れる．それにより，波面の伝播できる．の連続性が崩れ，波面に歪みが生じてしまう．また，テ4.3

波の伝播領域設定

クスチャ座標を用いて波面の伝播計算を行っているた

本手法では，変位マッピング用のテクスチャのほかに，め，テクスチャ座標と実空間座標との間の歪みが波面に一般的なテクスチャと波面の伝播領域を設定するためのも反映され，徐々に歪みが発生する．

テクスチャ，減衰テクスチャを付与することができる．

キューブマップは，立方体の各面の境界でテクスチャ座標の連続性が途切れるため，波面の歪みが発生するの

図 1 で用いたテクスチャを図 8 に示す．図 1 では，目の部分は波が伝播しにくいように設定されている．

は当然といえる．しかし，テクスチャ座標の連続性が保たれる球面座標などのパラメータ化手法を用いた場合– 152 –

芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)(a) 歪んだ波の形状(a) 色付けに用いたテクスチャ(b) 補正された波の形状(b) 減衰テクスチャ

図 7: 図 6 の左から 2 枚目の画像における波の歪みの拡図 8: 図 1 のオブジェクトに用いているテクスチャ．(a)

大図．(b) と比較し，(a) では，波に不自然な歪みが発生でオブジェクトに色を付け，(b) で波の伝播領域を指定しているのが確認できる．

している．黒い領域では波が伝播しにくい．

4.4

う．また，リメッシュ自体に複雑な処理が必要という点

計算時間の比較

本手法は，波面の伝播シミュレーションに用いられるもデメリットとして挙げられる．それに対し，提案手法

テクスチャの解像度と，シミュレーション結果を適用すでは，テクスチャの解像度を変更することで，オブジェるオブジェクトのポリゴン数に計算時間が依存すると考

クトの形状を保ったまま容易にシミュレーションの精度えられる．そこで，波面の伝播シミュレーション計算にを変更できる点，そして，変位マッピングを用いている

CPU を用いた先行報告 [1] の手法のフレームレートを表ため，既存のレンダリングパイプラインに組み込みやす1(a) に，GPU を用いた本論文の手法のフレームレートい点がメリットである．また，種数 1 以上のオブジェクを表 1(b) に示す．先行報告 [1] と比較し，本論文では，ト表面に適用可能なパラメータ化手法を本手法に合わせ計算時間のテクスチャ解像度への依存度が小さくなってることで，本手法の適用範囲を拡張することができるとおり，GPU による並列計算の効果が確認できる．また，考えている．

オブジェクトのポリゴン数は両者ともに依存度がきわめて小さく，本手法はオブジェクトのポリゴン数によらず

6 結論と今後の課題
本論文では，キューブマップを変位マッピングに転用適用可能なことが確認できる．

することにより，テクスチャ空間の座標ではなく実空間5 考察座標を用いることで，テクスチャ空間と実空間の間の歪提案手法では，シミュレーションの適用対象となるオみを補正した変形シミュレーションを実現する手法を提ブジェクト表面に，種数の制限が存在する．任意種数の案した．等角球体マッピングを本手法に組み込むことにサーフェス上で変形シミュレーションを行う手法は存より，通常は立方体から射影できない種数 0 の任意のオ在しており，FEM を用いた手法がよく知られている．

ブジェクト表面でも，軽微な計算コストで波面の伝播シ

FEM を用いた手法の多くは，提案手法とは異なり，オミュレーションが可能であることを確認した．
本手法について，今後取り組むべき課題を以下に提示

ブジェクト表面の頂点単位で変形シミュレーションを計算する．シミュレーションの精度を変更したい場合，リする．

メッシュによってメッシュの大まかな形状を保ったまま

6.1

内部構造を考慮した変形シミュレーション

頂点数を変更するが，オブジェクト表面の形状が変化し本手法では，波の伝播領域を指定する減衰テクスチャてしまう．これにより，頂点の三次元座標が変更され，を用いることによって，オブジェクト表面の部位ごと元のオブジェクト上でそのままシミュレーションしたに波の大きさを設定することができる．このテクスチャ場合と比べてシミュレーション結果に差が生まれてしまを，オブジェクトの物質特性に合わせて作成することに– 153 –

芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)

表 1: 提案手法と先行報告 [1] の手法間の計算時間の比較(a) 先行報告 [1] におけるフレームレート（fps）ポリゴン数

2,696

5,680

10,65221,308

20 × 20 × 672.8

71.7

72.0

72.4

28 × 28 × 6

71.3

69.9

69.6

70.4

40 × 40 × 6

62.1

62.7

62.3

61.4

56 × 56 × 6

33.6

33.2

34.0

34.2

テクセル数

(b) 提案手法におけるフレームレート（fps）

ポリゴン数

2,696

5,680

10,65221,308

20 × 20 × 6

72.5

72.4

72.2

72.4

28 × 28 × 6

72.0

72.1

71.8

72.0

40 × 40 × 6

71.0

70.4

70.1

70.9

56 × 56 × 6

63.7

64.9

64.4

64.1

テクセル数

より，オブジェクトの内部構造まで考慮した波面の伝播

任意オブジェクトへの拡張

6.4

シミュレーションを行うことができると考えている．現

本手法は，種数が 1 以上のオブジェクトの表面には適在は，減衰テクスチャの作成は利用者の手で行っている用できないことが課題として挙げられる．本手法を任意が，CT データなどからオブジェクトの内部構造を読みのオブジェクト表面に適用するため，トポロジーの自由取り，内部構造を考慮した減衰テクスチャを自動生成す度を上げたオブジェクト表面に対するパラメータ化手法ることを考えている．の導入と，そのパラメータ化手法に対応したテクスチャ

6.2

オブジェクト同士の衝突への実装アトラスの構築を検討する必要がある．

本手法は Unity 上で実装しているため，他のオブジェクトとその移動を自由に設定し，衝突のタイミングで波謝辞面が発生するように設定できる．それをさらに拡張し，オブジェクト同士の衝突に合わせて波面を自動生成するように実装することで，本手法の汎用性をより高めることができる．その際，複数オブジェクトに本手法を同時に適用することで，オブジェクト同士の相互変形を表現

本研究の一部は，科研費基盤研究 (A)17H00737 および 21H04916 の支援により実施された．

参考文献[1] 吉良 俊亮, 中山 雅紀, 藤代 一成: “種数 0 のサーすることができるようになる．

フェスにおけるヤコビアンフリーな変形シミュレー

多様な変形表現の実装

ション”, 芸術科学会 NICOGRAPH 2021 予稿集,6.3

本手法では，有限体積法を用いた波面の伝播をシミュレーションすることができる．しかし，テクスチャ上でPages F-2:1–F-2:8, 2021.
[2] 酒井 幸市: OpenGL + GLSL による物理ベース CG

計算手法を変形することにより，オブジェクトの特性にアニメーション 2, 株式会社工学社, 2012.

合わせた，より多様な変形を容易に実装することができ[3] Soﬁen Bouaziz, Sebastian Martin, Tiantian Liu,る．より汎用的な手法であることを示すため，様々な変Ladislav Kavan, and Mark Pauly: “Projective形手法を，本手法上で実装する必要がある．

dynamics: Fusing constraint projections for fastsimulation,” ACM Transactions on Graphics, Vol-– 154 –芸術科学会論文誌 Vol. 21, No. 3, pp. 146 – 156 (2022)

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吉良 俊亮2020 年慶 應 義 塾大 学 理 工学部 情報 工 学 科 卒 業 ．2022 年 慶 應 義 塾
大学大学院理工学研究科修士課程修了．大学院では，軽量な変形シミュレーションの研究開発に従事．

中山 雅紀（正会員）

2002 年慶 應 義 塾大 学 理 工学部 卒
業．2004 年慶應義塾大学大学院理工学研究科修士課程修了．修士（工学）．2010 年同大学院博士課程単位取得退学．現在情報工学科藤代研究室研究員兼日蓮宗玉泉山安国院住職．フォトリアルレンダリン
グ，球面幾何に基づくモデリングや情報処理，球面ディスプレイ，ステレオグラム，3D 人体計測，等の研究開発に従事．情報処理学会，画像電子学会，他会員．

藤代 一成（正会員）
東京大学，筑波大学，お茶の水女子大学，東北大学を経て，2009 年
より慶應義塾大学理工学部情報工学科教授．1988 年理学博士（東京大学）．CG・可視化や知的環境メディアに関する研究に従事．第 16回 CG Japan Award 受賞．本会では副会長，評議員，NICOGRAPH International アドバイザリ委員等を歴任．日本工学会，情報処理学会フェロー，画像電子学会名誉会員，IEEE，ACM シニア会員．

IEEE Visualization Academy 会員．現在，日本学術会議連携会員，可視化情報学会会長，情報処理学会 CGVI研究会主査．

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