特集／現代数学はいかに使われているか [幾何編]

実証的トポロジー科学:新しいパラダイム

丹田聡・坪田雅功

1. はじめに
そもそもトポロジーとは「ちぎったり貼ったりせずに構造を連続変形したときの不変的性質を探る」学問として数学の幾何学分野で生まれ、20 世紀前半から曲がった時空を表す一般相対性理論や場の量子論などの基礎物理分野において自然な形で利用されてきた．20 世紀後半にはいり、トポロジカルな 2 重螺旋構造をもつ DNA や液晶・超伝導

図1

トポロジー理工学の概念図

体におけるトポロジカル欠陥の発見に伴い、物性分野においても応用されるようになってきた．現

2. トポロジーと物性

在では熱相転移や量子相転移などの臨界現象を扱う複雑系分野や、システムとしての関係性を重ん

これまで物性におけるトポロジーの問題はじる生命科学、カーボンナノチューブ、各種ネット（１）ある秩序場のトポロジー的に非自明な古ワーク、量子情報科学とも密接な関係があること

典的配位、例えば、結晶中の点、線、面欠陥、第が明らかになってきている．それはまさにトポロ二種超伝導の渦糸や 3 He 超流動体・87 Rb ボース・

ジーが「局所的な性質（部分）と大局的な性質（全アインシュタイン凝縮中の量子渦などのトポロジ体）の相関を解明する」という極めて一般的な科カル欠陥が存在する場合、ホモトピー論を使った学的手法の確立を目的とした学問であるため、単欠陥の分類、欠陥の安定性、また秩序パラメータに数学や物理学に留まらず、自然科学・社会科学・そのものの分類を議論すること1)

先端工学分野に対して、幅広く適用可能な新しい（２）運動量空間におけるトポロジカルな特異アプローチ手法として注目されている (図１)．今点（最近流行の Dirac 型フェルミ点）が織り成す量

回は特に実験屋からみた実証的なトポロジー結晶

子異常2)3) 4) 、スペクトラルフロー5) が現れること

学・トポロジー物性物理学ひいてはもっと広げて（３）ベリー位相のように、あるパラメータ空トポロジー科学の可能性に焦点をあてのべてみる．

間で断熱的にパラメータを動かしたときに波動関数の位相がその辿る経路に依存しトポロジカルに変化しその結果、偏光性などの物理量変化が現れる現象などがあった6) 7) ．

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系の大域的な実空間トポロジーが物性そのものに果たして直接影響を与えるものなのか、またそれがトポロジカル欠陥、秩序パラメータの安定性、波動関数空間、運動量空間、配位空間のトポロジーの問題とどのように関わってくるのかに、関心が集まってきている．例えば、メビウス帯のような裏と表の区別ができない系にイジングスピンをおいたり、クーパーペア、電荷密度波、P 波超伝導体およびグラファイトシートで実現されていると考えられている２成分電子系をおくと一体どうな

図 2 トポロジカル結晶と生成機構：(a) リング結晶, (b) メビウス結晶, (c) ８の字結晶るのであろうか？8)9)10)11)12)
トポロジーという概念は系の大域的な性質を取あるのである. さらに、金属−絶縁体転移、超伝り扱うものである. メビウスの帯という空間は、導-絶縁体転移、超流動-絶縁体転移などのトポロ

局所的な曲率が例えば円筒面で近似できるとしてジカル量子数が変わる量子相転移もあり9)13) 実にも、円筒は両側性があり向き付け可能であるが、興味深い、物性物理と幾何学の深い対応があり奥メビウスの帯は単側性であり向き付け不能な曲面深さを感じる.

である．明らかに円筒面とはトポロジー的に峻別され、それらは数学的にはトポロジカル不変量の値が異なることとして表現される. そして摂動

3. トポロジカル結晶的な微視的変形とは無関係にトポロジカル不変量

そのような背景のもと, トポロジカルに非自明なを保とうとするトポロジー安定性があり、その安実空間構造をもつ結晶体を作成することに成功し定性が物性としても現れてくることがある. 例えたのでそれを報告議論したい. 化学気相輸送法にば、SQUID (Superconducting quantum inter-より擬１次元伝導体の一種である NbSe3 、TaSe3

ference devices: 超伝導量子干渉計) やジョセフソのリング結晶、８の字結晶、メビウス結晶をそれン電圧計や量子ホール素子のようなデバイスは、ぞれ作成した．その結晶成長機構は Se の液滴の周理想的な形からはかなりずれている適当な形をしりを表面張力により NbSe3 ファイバー結晶がはりていても非常に精確に測定がなされる. つまりつき一周してくっつくことがわかった. これによ

SQUID やジョセフソン電圧計を多少変形しても、りリング結晶になることがわかった. さらにメビ

数学的に Winding 数で表される磁束の量子化に

ウス、８の字結晶は、結晶の内的性質と断面形状対応するとびとびの値は変わらないし、縦と横のにより捻られながら結晶成長することにより作成電極の長さが違う形状をした量子ホール素子におできることがわかった. 本稿は主にトポロジカルける量子ホールコンダクタンス（Chern 数で表さ結晶の成長機構と CDW (Charge density waves:れる13)）のとびとびの値は変わらない. Winding数、Chern 数ともにこれらはトポロジカル不変量であり、この数学的剛性ゆえに物理系における不2電荷密度波）のトポロジカル効果を中心に行いたい14) .
遷移金属トリカルコゲナイド物質 MX3 は１次変定数（h/e, e /h）の係数が整数値として物性に元性の強い物質群である．通常結晶は非常に細長現れてくるのである. それはこれらのデバイスがいリボン状・ホイスカー状をした断面（数 µm ×トポロジカル量子数を使っているからである. ト1µm）長さ数 mm に成長し，その結晶構造は中心ポロジカル量子数は角運動量のような対称性にもに金属原子をもつ 6 つのカルコゲン原子からなるとづく通常の量子数よりもっともっと強い剛性が三角柱を基本単位としている．同系の MX2 も同2様に三角柱を基本単位にもつが MX2 ではそれらが横につながってグラファイトと同様に 2 次元的に配列するのに対して MX3 では三角柱チェイン
どうしが並行に積み重なる構造を形成している．
このような結晶構造の特徴から MX2 では 2 次元性が MX3 では 1 次元的な性質を示すことが期待され多くの低次元研究における典型的物質としての不動の位置を占めている．代表的な MX3 は異図 3 ホップリンク結晶．

方性の強い超伝導 TaSe3 ，パイエルス転移を示す

TaS3 ，CDW 転移を示す NbSe3 とさまざまな物性を示す．このように低次元系に特有な一連の物性を示す MX3 系はその「良質単結晶の存在」により，ヨーロッパを中心に流行に左右されない形でしっかり根を下ろした研究が行われている15) ．
我々は，次の４種類のトポロジカル物質を発見している．いずれも電子線回折と X 線回折から単相の NbSe3 、TaSe3 の単結晶であることがわかった．
（１）リング結晶：トポロジー的にはリング (円筒) と見なされるが，実際の形状は多彩である．図2(a) のように外形 1〜90µm の細いものが典型例
であるが，円盤や円柱型も存在する．
（２）メビウス結晶：現在まで数個しか得られていないものの確かに存在していることが図 2(b)により示されている．3 次元空間に埋めこめられた唯一の向き付け不能なループ結晶の例として特に重要である．
（３）8 の字結晶：このタイプの結晶は，円周に2π のひねりがあるものとして特徴付けることができる．数字の 8 の字を形作る事が多い (図 2(c))．
周長の平均は 480µm であり，リング結晶 (280µm)の約 2 倍である．ツウィスト数でいうと 2π である．このように縁 (2 本の枠線) を持つリボンから作られる閉じたループは，数学の分野では ”リボン−ノット”として取り扱われる．上記の 3 タイプもその分類に従ったものである．
（４）ホップリンク結晶: この結晶はこれまでの結晶学の分類に収まらない結晶である．ただ埋め込み多様体で分類できる可能性がある (図 3)16) ．
これらのループ結晶を FIB（収束イオンビーム）の程度を見積もった．その結果，細いループは弾性的に直線形状へと回復する一方，厚み約 1µm を境にして，太いものはそのままの形状を保つことが判明した．これは，リング結晶が幅約 1µm 単位で，繊維状の完全結晶によるリングと見なせることを意味する．リング結晶が持つ離散的回転対称性は，単なる単結晶を切り出して作製したリングには無いものである．
（切り出し，加工リング結晶では離散的並進対称性しかない．
）結晶学の表現をとるならば，リング結晶は結晶欠陥によって記述することも可能である．ただし，結晶に普通見られる線欠陥 (ディスロケーション) では無く，液晶に特有であると思われていた回位 (ディスクリネーション) を導入しなければならない． リング
結晶はその中心に一本のくさび型回位線 (大きさは+2π) を持つ結晶だと言える．メビウス 8 の字
結晶はくさび形に加え，π あるいは 2π のねじれ型回位を持つ．別の見方をすれば結晶全体がディスクリネーションになっている結晶といえる18) 19) ．
次に、我々の研究室で合成されたリング，メビウス，8 の字結晶の成長機構について論じる．テンプレート型のトポロジカル結晶成長である．リング結晶に関しては，NbSe3 ホイスカー (ひげ結晶と呼ばれる細長い結晶) のような繊維状の物質が何かに巻きついて成長することで形成できる．

Nb(ニオブ) と Se(セレン) の気相反応中にそのような状況が起こることを発見した．通常，この種の結晶作成法では，沸点の低いセレンが反応容器中を蒸発凝集しながら循環し，反応によって生じた NbSe3 分子を一箇所に集めて結晶化させることを用いて切断することで17) ，曲げ変形による塑性
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写真のように，液滴に巻きつくループとなる．液ればそのような力は働かず結晶を曲げていった場

滴が蒸発すると，ループだけが残り得る．次に 8合捩れは起こらない．もし有限であれば曲がりとの字結晶に関しては，周長がリングのおよそ倍でともに捩れることになる．単斜晶であるから必ずあることから Se 液滴を 2 周回った後に両端が結合捩れる方向に力が働く．この場合は勿論結晶断面することで形成されると考えられる． 液滴に 2 回が矩形でなくても何でもよい．いずれにしてもこ巻き付けるだけで 2π のひねりを持つ 8 の字を作の 2 種類の効果により NbSe3 の曲げは常にひねれるのは少し不思議だが，テープとはさみを用意りを伴っていると思われる．一周巻き付けたとこして実際にやってみれば明らかであろう．数学的ろでちょうど π のひねりが生じていた場合，メビには，テープの縁の線に着目し，2 本の線同士の絡ウスの結晶ができあがる．ひねりの大きさは場合み合いの数を lk(リンキング数) と定義するとき，により異なる．例えばホイスカーが太すぎるとね

W r ＋ T w ＝ lk

じれの弾性エネルギーが大きいため，ひねりは無20)21)22)．Wr(ライジング数)視できる程度になるだろう．メビウス結晶の生成は 1 回巻き付けるごとに 1，Tw(ツイスト数) はがリング 8 の字より希少であるのは，曲げ変形と2π のひねりに対して 1 の整数である．球体に 2 回ひねり変形の偶然の一致に依存する部分があるた

巻きつけたものは Wr=2，Tw=0，lk=2 であるのめと思われる．他にも液体 Se の球の回転も考えらに対して，図 2(c) に写っている 8 の字に関してはれるが，まだ観測してはいない．これまでに見つWr=1，Tw=1，lk=2 となっている．つまりトポかったトポロジカル物質を，次の 3 種類に分類しロジー不変量である lk に注目すると，どちらも数た．ひねり無し π ひねり (メビウスの輪)π ひねり学的には同じものである．物理的には，同じトポの 3 つで，巻きつきの過程で生じたひねりによっロジークラスに属する形状のうち，曲げによる弾て分類する．各タイプごとに，ホイスカーが液滴性エネルギーが最小のものが選択されるはずであにどのように巻きつけば形成できるかを図 2 にまる．観察された lk=2 の結晶は 8 の字型が多いことめた．の関係式が成立するとから，どこかで（例えば Se の球が蒸発するときに）ライジング-ツイスト変換がおこると考えられる．メビウス結晶に関しては，次のメカニズムが4. トポロジカル物性わかった．図 2(b) のように，Se 球面を NbSe3 が次に電気的測定に移る．実際の系におけるトポ這う際，曲がりながらツウィストが入ることが明

ロジーの変化が物性に影響を及ぼし、トポロジカらかになった．表面張力で NbSe3 が曲がっていく

ルな効果がでるかどうかは非常に重要な問題であのであるが，その際，結晶断面が矩形であるとラる．理論的には，CDW の AB 効果25) や，AC 効

ンダウ，ハーモンの弾性体論によれば捻られるの果26) が予言されているがいまだ決着はみていない．

である23)24) ．この場合勿論どちらに捻られるかは

なぜなら結晶を加工することで CDW リングを作対称性の破れと同じでどちらにもなりうる．このるのは現在の技術では不可能だからである．TaS3

結晶が捩れを伴いやすいもう一つの理由は単斜晶のリング結晶では CDW リングが自己形成するた（P1/m2）であることが掲げられる．つまり，単め、まさに理想的な CDW 干渉系になっている．こ

斜晶系においてはフックの法則を拡張した弾性体のリングに関して AB 効果がおきるかどうか確か論を結晶学に適用した場合，歪と応力の間のコンめた．磁場をかけ電気抵抗を測ったところ、h/2e

プライアンス行列のシェアの項に非対角項が存在の周期で振動しているのがわかった（図 4）27) ．こ

42I (pA)2001−200100
B (mGauss)

2000 1 2 3 4S
Φ0Power Spectrum (a.u.)

40 T = 5.1 K
V = 300 mV0

図 4 TaS3 リング結晶における CDW の AB 効
果、横軸は磁場であり明らかに周期が観測される．周期 ϕ0 はパワースペクトルからh/2e であり CDW のソリトン励起（電荷2e) 由来の干渉と考えられる.

こで現れる 2e という電荷はソリトン励起に起因するものと考えられる．余分に追加された CDWの波面（位相ひずみ）が干渉を起こすというモデ

図 5 CDW ディスロケーションループモデル．波は結晶中に生じている CDW を表している．
ソリトンとしてディスロケーション（ループ状）に囲まれた余分な波面が励起している．

ルを図 5 に示す．CDW の干渉はこれまでにフランスのモンソウのグループが重イオンを NbSe3 短である．他に電子的なトポロジカルな効果はある冊結晶に貫通させそのスライディング状態で ABのかないのかは急務な課題である．結晶学的にも干渉効果28) をみているが解釈がまちまちである．

メビウス結晶の最適な形はどういったものか，今リング周りの準粒子が AAS 効果のように干渉し後の課題でもある30) ．ナノテクノロジーの急先鋒ているとみるのが妥当である．

であるナノチューブの作製メカニズムがまだはっ

一方、NbSe3 のリング結晶に直流と交流を同時きりしていない現状を考えると同じ 2 次元層状化に印加することでシャピロステップを観測した29) ．

合物，さらに可塑性のある 1 次元化合物によるこ

CDW リングではメインのシャピロピークに加えのようなトポロジカル結晶の成長メカニズムが明てサイドにビートピークが現れた．この共鳴条件らかになったことは創成の指導原理を与えたといのずれは、CDW が循環して流れるという効果をう意味においても，新しい物性をひきだす場を与考慮しなければ説明がつかない．我々のデータは理えたという意味において非常に重要である．これ

想的な CDW リング系における実験のため，CDWらは物理学，数学，化学，生物学，鉱物学分野をそのものの干渉を見ている可能性もあり重要な知巻き込む可能性もあり多くの人がこの分野に参入見を与えている．室温でも CDW は形成されるたすることを望んでおります (図 1 参照)．

め、トポロジカル結晶を用いた CDW の AB 効果

物性だけでなく、宇宙の大域的トポロジー構造や CDW 還流の発見は、室温フレーリッヒ超伝導がビッグバン後に現れる素粒子の種類を決める可や新しい量子干渉デバイスの実現の可能性も示唆

能性も示唆されており系の大域的トポロジーが宇しており多様な分野への発展が期待できる．

宙物理分野にも確実に重要な位置を築きつつある．
宇宙では大域的トポロジーは変えられないので実5. 実証的トポロジー科学

験はできないが、物性系は実験ができるという点で優れている31) ．実験室系を使って宇宙を語る日もまだこれらの系に関する実験は始まったばかり
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近いと考える．(Cosmology in Laboratory: ヨーロッパではこの研究が始まっている．)
最後に，本研究を遂行するのに，多くの支援を受けました．実験では、常田琢氏，松浦徹氏, 豊
島剛司氏, 稲垣克彦氏，山谷和彦氏，故三本木孝氏，市村晃一氏，川本温子氏，岡島吉俊氏,

塩原正人氏、安塚周麿氏，砂川一郎氏にお世話になりました．それから、広島大学の畠中憲之氏，秋田大学の林正彦氏，奈良教育大の松山豊樹氏，立命館大学の倉辻比呂志氏、南カルフォニア大の故真木和実氏、日本大学の山中氏、京大の吉川研一氏、NEC の飯島澄雄氏，白河英樹氏，東京大学の青木秀夫氏，MIT の Jackiw 氏、Bristol 大学のBerry 卿、ヘルシンキ工科大低温物理研の Volovik氏，Hakonen 氏，Paalanen 所長をはじめ多くの方々に議論して頂きました．この場を借りて謝辞とします．
参考文献
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（たんだ・さとし，北海道大学大学院工学研究科応用物理学専攻,
トポロジー理工学の創成 COE）
（つぼた・まさかつ，北海道大学大学院工学研究科応用物理学専
攻, 日本学術振興会特別研究員）