2019 年度 修士学位論文

高輝度電子-陽電子衝突型加速器を用いた
ダークマターの探索
奈良女子大学大学院
物理科学専攻人間文化研究科

高エネルギー物理学研究室

学籍番号18810136
藪内 晶友美令和 2 年 2 月 28 日

概要
本研究では、高エネルギー加速器研究機構 (KEK) で稼働している SuperKEKB 加速
器/Belle II 測定器を用いた Belle II 実験におけるダークフォトンの探索の状況について報告する。ダークフォトンは近年の多くの観測で宇宙に多量に存在すると思われているダー
クマターの一つの候補である。
探索モードは電子・陽電子衝突反応の終状態に１光子のみが生成され、他に何も粒子が観測されない過程 e+ + e− → γ + invisible である。ここで invisible は観測されない粒子を表す。もしこの事象においてある決まった質量の粒子が生成されていれば、光子のエネル
ギー分布または missing 質量分布に特徴的なピーク構造が見られることが期待できる。本論文では、信号事象探索の背景やモチベーションについて説明するとともに、モンテカル
ロシミュレーションによる検出効率、バックグランド、トリガーの評価を行い Belle II 実
験でのダークフォトン・ダークマターの探索感度について議論する。

目次
第 1 章 はじめに
1.1 素粒子標準模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 ダークマター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 宇宙観測によるダークマターの証拠 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 ダークマターとはなにか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3
3
4
7

第 2 章 ダークマターの探索の現状
2.1 WIMP シナリオ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 ダークセクター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 ポータル粒子とポータル相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 ダークフォトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 SIMP シナリオ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 SIMP モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 電子・陽電子衝突型加速器を用いたダークフォトン探索 . . . . . . . . . . .
2.5.1 e+ + e− → γ + A′ (A′ → invisible) 事象 . . . . . . . . . . . . . . . .

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第 3 章 Belle II 実験
3.1 SuperKEKB 加速器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Belle II 測定器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 中央飛跡検出器 (CDC:Central Drift Chamber) . . . . . . . . . . . .
3.2.2 電磁カロリーメーター (ECL:Electromagnetic Calorimeter) . . . . .
3.2.3 µ 粒子・中性 K 中間子検出器 (KLM:KL0 and Muon Detector) . . . .
3.2.4 Belle II トリガーシステム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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27

第 4 章 信号とバックグラウンドのモンテカルロシミュレーション
29
4.1 信号事象の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 バックグラウンド事象の MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
第5章
5.1
5.2
5.3

1 光子生成事象の観測
1 光子生成事象の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
バックグラウンド事象の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e+ + e− → γ + invisible 事象の選別 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 光子・荷電粒子の条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 e+ + e− → γ + invisible 事象の弱い選別 (Loose) . . . . . . . . . . .
5.3.3 e+ + e− → γ + invisible 事象の強い選別 (Tight) . . . . . . . . . . .
1

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45

第 6 章 ダークフォトンの検出感度
486.1 信号の上限値の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 ダークフォトンの検出感度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
第 7 章 まとめ52

付 録 A Gauge Boson Mixing

53

付 録 B 上限値の求め方
56
B.1 ML 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B.2 平均の上限値: Asimov データセット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.3 具体例：バックグランドの量とそのエラーが知られている場合の平均上限値 60
付 録 C 最尤法の式の導出
C.1 式 (B.6) の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 式 (B.9) の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 式 (B.26) の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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参考文献

65

謝辞

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2

第 1 章 はじめに
我々の宇宙に多量に存在すると予想されているダークマターとは何なのか。その謎を解くことは現在の素粒子物理と宇宙物理に課せられた大きな課題である。本論文ではその探求の一つの方法である電子・陽電子加速器を用いたダークマターの探索の試みとそこで予想される検出感度について報告する。

1.1

素粒子標準模型

我々の暮らす地球、宇宙、その全ての物質を構成する最小単位の粒子を素粒子と呼ぶ。
現在知られている素粒子には半整数スピンをもつフェルミオンと、整数スピンをもつゲー
ジボソンとヒッグスボソンが存在する。フェルミオンは物質を構成する素粒子で、強い力の影響を受けるクォークと、強い力の影響を受けないレプトンに分けられる。ゲージボソ
ンは粒子間に働く力を媒介するスピン 1 のゲージボソンと、粒子に質量を与えるスピン 0のヒッグスボソンが存在する。標準模型に含まれている素粒子を図 1.1 に示す。
クオークとレプトンにはそれぞれ３世代６種類の粒子が存在する。素粒子の間には”強い力”、”弱い力”、”電磁気力”、”重力”の 4 つの力が働くことが知られている。このうち、弱い力と電磁気力の統一的な記述に成功しており、これをワインバーグ・サラム理論という。また、強い力を説明する量子色力学 (QCD:Quatum Chromoy Dynamics) は強い相互作用が関与する素粒子現象、特に高いエネルギー領域における素粒子現象を非常に良く記述する。ワインバーグ・サラム理論に QCD を加えたものを”素粒子標準模型”と呼ぶ。標準模型は SU (3)C × SU (2)L × SU (1)Y ゲージ対称性に基づくゲージ理論で、実験結果をよく説明し、物理現象を極めてよく記述する理論として知られている。標準理論の素粒子として長い間未発見であったヒッグス粒子も 2012 年に LHC 実験で発見され、それによって素粒子の標準理論の粒子はすべて確認された。標準理論では自然界に見つかっている 4
つの力のうち、重力相互作用だけはその枠組みから外れてしまっており、統一的に扱える段階には至っていない。

1.2

ダークマター

素粒子物理学の理論ではここ数十年の間、いかに Electroweak のスケール (W ボゾンの質量 100 GeV 程度、O ∼ (100)GeV) を GUT スケール (O(1015 ) GeV) の枠組みで自然に説明するのかを主な指導原理として発展してきた。この課題において活発に議論されたのが、超対称性や余剰次元模型、複合ヒッグス模型などの標準理論を超える新物理であり、これらを検証するための実験・観測がこれまでに実施され、現在も続けられている。しか3

図 1.1: 素粒子の標準理論。１２個のフェルミオンと５個のボソンが存在する。紫色の囲みがク
オーク、緑の囲みがレプトン、赤がゲージボソン、黄色がビッグスボソンである。

しながら、近年の大型ハドロン加速器実験 (LHC) をはじめとする様々な実験においてこ
れら新物理の確かな証拠は見つかっていない。そのような背景のもと近年注目されつつあるのが、”ダークマター”を足掛かりに新物理を解明するという考え方である。ダークマ
ターは宇宙での観測から存在が強く示唆されているが、その詳しい性質は不明で、それに対応するような粒子は素粒子の標準理論の中には存在しない。

1.2.1

宇宙観測によるダークマターの証拠

銀河団および銀河中のダークマター
ダークマターは、1934 年にスイスの天文学者 Fritz Zwiky によってはじめて提唱された[1]。Zwiky はかみのけ座銀河団中の銀河の速度分散は、観測される星・ガスから見積もられる見かけの速度よりも約 100 倍早く、他にも銀河中に質量を持つ物質が必要であると主張した。
その後渦巻銀河の回転速度の測定が進み、回転速度の中心からの距離依存性の調査が水素原子 21cm 線の観測により活発に行われた。図 1.2 は、渦巻き銀河 M33 の回転曲線である。銀河中心を回る円軌道上にある星について、軌道半径 r、軌道速度 v 、銀河中心からの半径 r の球に含まれる質量を M (r) とすると、ケプラーの第三法則は√v(r) =

GM (r)
r

4

(1.1)

√
となり、速度 v は 1/ r に比例し遅くなることが期待される。しかし、予想に反して観測される速度 ｖ は r がどこまで増加しても上昇し続けており、ケプラーの法則から予想される ｖ が r とともに減少するという傾向は全く見えない。これは、見える星の円盤を取り巻く部分に多量の”ダークハロー”が存在するためであると説明されている。

図 1.2: M33 の回転曲線。黒点が M33 の回転曲線、関数により fit を行っている。ドットと破線のラインは halo による成分、短い破線は星の dist による成分、長い破線はガスによる寄与とそれぞれ考慮した時に期待されるダストの速度曲線。観測データ (黒丸) は多量のダークハローを含めたときにのみ説明できる。[2]重力レンズ
図 1.3 は、弾丸銀河団 (bullet cluster IE0657-57) の観測結果である。左図が可視光による観測結果で右図の黄色や赤で示された分布が X 線による観測結果である。両方の図に示された緑の線がハッブル宇宙望遠鏡による弱い重力レンズ効果の解析により得られた質量分布である。この弾丸銀河団は小さな銀河団と大きな銀河団が衝突した後しばらく時間が経過した後の姿であると解釈されている。銀河団の質量中心は高温のガス付近よりも前方にある事が読み取れ、2 つの銀河団が衝突後、重力源の物質のほとんどが相互作用を行
わずに通過したと解釈できる。この通過した物質をダークマターとすれば、ガスよりも反応性が低いダークマターが先行して移動していると解釈でき、この観測結果からもダーク
マターの存在が強く支持される。

5

図 1.3: ２つの銀河団の衝突。(左):可視光望遠鏡マゼランでの観測結果、(右):X 線天文衛星チャ
ンドラで測定したプラズマガス分布のカラー画像。白線は 200kpc の縮尺である。いずれの画像も、緑の線は重力レンズ効果により観測された重力源分布を示す。[3]宇宙マイクロ背景放射 (CMB:Cosmic Microwave Background)
宇宙マイクロ背景放射 (以下 CMB) は、1965 年にペンジャスとウィルソンによって発見された、天球上のあらゆる方角からほぼ等方的に観測されるマイクロ波のことである。
CMB スペクトルは温度 2.725 K の理想的な黒体放射 (プランク分布) で記述できることが知られている。
高温高密度の初期宇宙が膨張し宇宙の温度が下がってくると、原始元素合成によりできた原子核が宇宙空間に存在する自由電子と結合し、中性の原子となる。この過程によって宇宙空間の自由電子が激減する。これを電子の再結合という。電子の再結合後、光子と自由電子の熱平衡が切れると、光子は宇宙空間を直進できるようになる。これは宇宙の晴れ上がりと呼ばれ、この時宇宙を直進してきた光子が現在 CMB として観測されている。
CMB の存在は宇宙のビックバン理論の直接の証拠である。CMB が天球上のあらゆる点 (θ, ϕ) においてほぼ等方というその性質から、ビックバン＋インフレション宇宙理論の支持に繋がっている。
図 1.4 は、ウィルキンソン・マイクロ波異方性探索機 (Wilkinson Microwave Anisotropy
Probe、以下 WMAP) によって 9 年間にわたり測定された CMB に関する図である。CMB
はほぼ等方的であるが、10−4 レベルの温度揺らぎが存在する。左の図は WMAP 全天マップで、温度が少し高い部分が赤色、低い部分が青や黒で示されている。右の図は全天マッ
プの揺らぎの角度スペクトルを表したもので、マップ内の”スポット”の相対温度とスポットのサイズを示している。この曲線の形状には宇宙の歴史に関する豊富な情報が含まれており、多くの宇宙パラメータの高精度な測定が行われた。そのうちの 1 つに、現在の宇宙の組成比がある。その結果を図 1.5 に示す。図から分かるように、CMB の観測結果から、陽子や原子核等バリオンと呼ばれる我々が知っている物質は全宇宙の約 5% にしか満たな
いこと、一方、ダークマターは 23 ∼ 27% とバリオンの 5 倍の量が存在することを示して
いる。

6

(a)

(b)

図 1.4: WMAP 衛星による CMB の観測。(a):WMAP 全天マップにおける CBM のスペクトル。
2.725 ± 200 K のカラー画像で示されている。(b):WMAP 全天マップの揺らぎの角度モーメントスペクトル。WMAP のデータが黒の点、一番良いフィットが赤の線である。３つのピークがきれいに観測され、そのピークの位置や強度に宇宙の曲率や存在する物質の量に関する豊富な情報が含まれている。[4]図 1.5: 宇宙の組成比。(左):WMAP-9 年間の測定データに基づく、(右):人工衛星プランクによる
CMB の測定データに基づく宇宙の組成比の結果。(2018 年更新)

1.2.2

ダークマターとはなにか

このように宇宙観測によってその存在が確立したダークマターだが、その具体的な性質(それが何であり、どのような相互作用をする物質であるかは) ほとんど分かっていない。
ダークマターの問題は現在の素粒子物理および宇宙物理に課せられた大きな課題である。
ダークエネルギーも大きな問題であるがここではそのことには触れない。

7

ダークマターが満たすべき性質としては、以下のようなものが挙げられる。

1. 電気的に中性である。
2. 有限な質量を持ち、非相対論的に運動している。
3. 宇宙の寿命に比べて十分長い寿命を持ち、安定している。
4. 標準理論の粒子とはほとんど相互作用をしない。色電荷 (カラー) は持たず強い相互作用を行わない。弱い力を感じるかは不明である。
これらの特徴を持ったダークマターは、これらの性質故に直接的な観測が難しく、これまでの証拠は重力相互作用が関係する現象に限られている。
このダークマターを説明するために現在多数のシナリオが提案されており、その質量は非常に軽い粒子から小型のブラックホールまで、エネルギースケールにして 1022 eV から1068 eV にも及ぶ (図 1.6 参照)。このような広範囲のエネルギースケールにわたってダークマターを実験的に探ることは現実的ではなくエネルギー領域ごとに異なった手法による研究が進められている。図 1.6 の一番下にそれぞれのエネルギー領域にどのような手法や物理が関係しているかを示した。
次章ではそのいくつかのモデルを紹介し、近年注目されているダークマターの集団であるダークセクター (Hidden Sector とも呼ばれている) について触れる予定である。このダークセクターのシナリオが本探索実験のモチベーションとなっている。

図 1.6: ダークマターの様々なシナリオ (青字) と実験からのヒント (赤字)、および各エネルギー領域に対応する検出技術 (緑字)[6]。

8

第 2 章 ダークマターの探索の現状
2.1

WIMP シナリオ

WIMP(Weakly Interacting Massive Particle：弱く結合する大質量粒子）と呼ばれる粒子がダークマターの有力な候補として 2000 年頃から注目され、多くの大型地下実験および高エネルギー加速器実験で探索が続けられてきた。また、現在も精力的に研究が進められている。ここでははじめに、WIMP シナリオで現在宇宙の存在するダークマターの量25% をどのように説明できるかについて簡単に復習する。
図 2.1 は、ビッグバン宇宙論に基づく宇宙の歴史をまとめたものである。図中の宇宙がはじまって４分後のところに「原子元素の合成」とあるが、これはその時点で、それまで
熱平衡状態にあった陽子と中性子が宇宙膨張により冷えたために結合しはじめ、それにより原子核が形成された時点を示している。この時点で形成される核種の種類は原子核のよく知られた性質 (結合エネルギーと中性子と陽子の質量差、中性子の寿命) を用いて、統計力学の手法で計算することができる。これがガモフが最初に提案した原子核創成のシナリオであり、これにより現在宇宙に存在する軽い原子核 (陽子、重陽子、Li、Be) の存在
比を非常によく説明することが知られている。

図 2.1: ビッグバン宇宙論による宇宙の歴史

WIMP シナリオによるダークマターの存在比の予言は、これと同じ機構がより温度の高い宇宙初期に働いたという仮定に基づいている。その計算では、ダークマター (χ) が対消滅して標準理論の粒子 (f ) が生成される過程
χ + χ̄ → f + f¯
9

(2.1)

が重要である。ここで上付きのバーは反粒子を表す。熱平衡から脱する時刻は、この反応の反応率 (Γ = σχχ · v · n(χ)) と宇宙の膨張率 (H) が等しくなるという条件から決まる。

Γ = σχχ · v · n(χ) = H(2.2)

ここで、σχχ は DM の消滅反応（2.1）の断面積、v は DM の速度、n(χ) は DM の粒子数
密度、H はその時刻 (温度) でのハッブル定数の値である。
WIMP シナリオでは、DM の結合定数を標準理論の電弱相互作用の強さと同じと仮定しているので、T ≪ mχ のとき、
πα2 m2χσχχ = 4 4
(2.3)
cw mZ
で与えられる。ここで、α = 1/137、mχ ：DM の質量、cw ：ワインバーグ角のコサイン、
mZ :：ボソンの質量である。1
DM は重いため、速度は非相対論より
√
2T
,
(2.4)
v=
mχ
また、n(χ) は温度 T のマックスウエル分布で与えられる。一方、時刻 t, 温度 (T ) の時の
ハッブル定数 H(T ) は、宇宙初期が放射優勢を仮定することにより、(
2

H(t) =

12t)2

ργ (t)
=
=
3Mpl2

( √
)
π gef f T 2 2√,
90 Mpl(2.5)

ここで、ργ (t) は時刻 t での放射エネルギー密度、Mpl はプランク質量で重力定数 G とG = 1/(8πMpl2 ) の関係を持つ。また、gef f はその時刻 t での有効自由度でその時刻に存在するフェルミオン (=2*color) とボソン ((=7/8*スピン自由度) によって決まる。
以上を式 (2.2) に代入することにより DM が熱平衡から脱する温度を Tdec が決まり、その時の DM の個数密度(nχ (Tdec ) = gmχ Tdec2π)3/2e−mχ /Tdec(2.6)

が決まる。その後現在までは宇宙の自由膨張のみが影響する。以上を考慮すると、現在のDM の残存量 ΩDM ≡ ρχ /ρc は(2Ωχ h = 0.12mχ /Tdec
23)3/2 √()
geﬀ 35GeV 2
10
mχ

(2.7)

2
H02 = (2.5 · 10−3 eV)4 、T0 は現在の温度 (T0 =となる。ここで、ρc は臨界質量で ρc = 3Mpl
2.73◦ )、h は 100km/sMpc を単位にしたハッブル定数の現在の値で h = 0.7 である。
（詳しい計算はプレプリント [5] を参照。上の式はボルツマンの輸送方程式を用いたより詳しい計算の結果である）。 式 (2.7) は mχ が数十 GeV であれば現在の DM の量を説明できることを示している。
1

この式は mχ < mZ /2 を仮定していることに注意。

10

これまでの結果は、断面積 σχχ として式 (2.3) を用いた場合である。これは mχ < mZ /2の時の断面積である。mχ > mZ /2 の場合で、結合定数も電弱力ではなく任意の結合定数g とすると、平均の積の値 < σχχ v > が< σχχ v >≈g4
1.7 · 10−9=16πm2χ
GeV(2.8)

であれば、観測される DM の量を説明できることを示せる。ここから、結合定数と DMの質量の間には
mχ
g2 =
(2.9)
3.4 TeVの関係が成り立つ。すなわち、g ∼ O(0.5) であれば DM の質量が TeV 領域であることを示している。
このようダークマターが期待される質量領域と超対称性粒子の質量領域が偶然よく一致したことから、「WIMP ミラクル」と呼ばれた。その為当時建設中であった LHC の重要なテーマに取り上げられるとともに、大型の地下実験施設が世界中に多数建設される要因となった。
しかしながら、現在までのところ LHC には新粒子の兆候はみられず、地下実験のこれまでの結果はすべて否定的である。図 2.2 に 2017 年段階の地下ダークマター探索実験で報告されたダークマターと原子核との散乱断面積の上限値を示す。少数の例外的な実験を除いてすべて否定的な結果である。図中で 10 GeV 以下の領域で実験感度が急激に落ちているのは、DM と原子核のとの衝突で反跳される原子核の運動エネルギーが検出器の信号検出限界（約 10 KeV）となるためである。

図 2.2: 大型地下ダークマター探索実験によるダークマターと原子核との散乱断面積の上限値（2017年段階）[10]。

11

SM(標準模型)

Dark Matter

χ

p

g
H

γ

Dark Sector

n
ρ

e−
υe

SMとDS間の結合定数εγPortal

π

結合定数

g SM

πd

?

ρd

結合定数

gD

図 2.3: ダークセクターの概念図

2.2

ダークセクター以上のような背景のもと、ダークマターの物理をより広く見直すことの重要性が認識された。そこで以下のようなダークセクターの枠組みで、ダークマターをより広く探索する
議論が進んでいる。

1. WIMP では一種類の DM しか対象にしていないが、標準理論の粒子が多様であると同じようにダークマターの粒子も多様であると期待される。その多様なダークマ
ターの世界をダークセクター とよび、標準理論の世界と区別する。
2. WIMP のシナリオの説明に述べたように、宇宙に現存する DM の量を説明するには、少なくとも宇宙の初期には DM と標準理論の粒子の間に相互作用が存在しなけ
ればならない。そのような標準理論の粒子とダークセクターとの間の相互作用を媒介する粒子をポータル (入口) 粒子 とよぶ。
3. WIMP の場合には標準粒子との結合定数の大きさを電弱相互作用と同程度としたが、それにはとらわれずに結合定数はフリーパラメータとして扱う。
4. 理論の整合性を保つために、ポータル粒子と標準理論の粒子との間のポータル相互作用はゲージ不変な相互作用のみを対象とする。
5. ポータル粒子は更に軽いダークセクターの粒子 (この粒子は標準理論の粒子とは相互作用しない) に崩壊が可能で、ポータル粒子がダークセクターの粒子の中で必ず一番軽い粒子である必要はない。

12後述するように、これらの可能性を考慮すると TeV 領域だけではなく、GeV や MeV
領域に質量をもつダークマターの探索が重要になることが認識されている。現在その領域の探索計画が加速実験のみでなく、地下実験でも様々な計画が提案されているところで
ある。

2.2.1

ポータル粒子とポータル相互作用

上に述べた４番目の条件は理論的には厳しい条件であり、ここから可能な相互作用は４つのみでベクターポータル、スカラー（ヒッグス）ポータル、ニュートリノポータル、擬スカラーポータルに制限される。以下その４つを簡単に説明する。

ベクターポータル : − 2 cosϵ θw Bµν A′µν
標準理論の U (1)Y ゲージボソンのテンソル場 Bµν とダ―クセクターの U (1)D ダークベ
クターボソンのテンソル場 A′µν が結合し運動項に相互作用が存在する場合である。これを運動項結合 (kinematic coupling) とよぶ。A′µν には、ダークフォトン A′ やダーク Z ′0 が含まれている。
SM

ε
γ ,Z

A'

SM

図 2.4: ベクターポータルのファインマンダイアグラム

スカラーポータル : (µS + λ′ S 2 )|H|2
H が標準理論のヒッグスで、S がダークセクターのポータル粒子である。S にはダークヒッグスやダークスカラーが該当する。

ニュートリノポータル : YN LHN
右巻きニュートリノやステライルニュートリノなどが該当する。YN が結合結合定数。L
は標準理論のレプトン 2 重項、H がヒッグス場、N がダークセクターの右巻きニュート
リノやステライルニュートリノである。

13

S

H

H

µ

λ
S
H

H
H

µυ

S

S

図 2.5: スカラーポータルのファインマンダイアグラム

L
YN

SM gauge boson

N

f a−1

a

H
(1) ニュートリノポータル(2) 擬スカラーポータル

図 2.6: ニュートリノポータルと擬スカラーポータルのファインマンダイアグラム

擬スカラーポータル : faa Fµν F̃ µν
Axion-Like Particles (ALPs) がこれに該当する。a がダークセクターの axion 場、fa が質量のディメンションを持つ結合定数、Fµν , F̃ µν が標準理論の光の強度 (dual) テンソルで
ある。

2.3

ダークフォトン本研究では、ベクターポータルであるダークフォトン (A′ ) に焦点を当てる。ダークフォ
トンはハイパーチャージゲージボソンの運動項を通して混合し、理論全体のゲージ対称性に矛盾することなく標準模型粒子と相互作用することが可能である。ダークフォトンはその質量 MA′ の値によってはより軽いダークマター粒子 χ に崩壊することが可能である。
ダークマター粒子の質量を Mχ とすると、MA′ ≥ 2Mχ の場合、ダークフォトンは A′ → χχのように２つのダークマター粒子に崩壊する。
以下にダークフォトン模型でのダーク U (1)D と標準理論のハイパーチャージ U (1)Y との間の運動項混合の理論を記述する。

14

ダークフォトン模型
まず、ダークセクター側の対称性を満たすゲージボソン U (1)D を考える。この対称性の下で、標準模型粒子は電荷を持たない。
ラグランジアンは以下のように表される [19][20]。

L = LSM + LD .

(2.10)

ここで、LSM は標準理論の SU (3) × SU (2)L × U (1)Y のラグラジアン、LD はダークセク
ターの U (1)D ) ゲージボソンのラグラジアンである。それぞれの運動エネルギーの項と質量項を書き出すと

1 a aµν 1
LSM = − Wµν
W− Bµν B µν + gBµ JYµ + · · · ,
4
4
2
1
εY
m ′
LD = − A′µν A′µν + Bµν A′µν + A A′µ A′µ + gD A′µ JDµ + · · · ,422(2.11)(2.12)となる。ここで、εY は運動項の結合定数である。B は SM のハイパーチャージ U (1)Y 、A′はダーク U (1)D のゲージ場を表し、Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ 、A′µν = ∂µ A′ν − ∂ν A′µ である。また、JY は SM のハイパーチャージカレント、JD はダークカレントである。(2.12) 式の 2
項目は、常に U (1) 対称性を満たす。
この項は標準理論の電弱相互作用の対称性の破れのあと、U (1)D のゲージボソン Ã′ µ を0
ダークフォトンとダーク ZDの混合で表すと、ダークフォトンと標準理論の U (1) ゲージ
ボソンとの結合はεYεYBµν A′µν →(cos θw Fµν − sin θW Zµν ) A′µν
22(2.13)に置き換わる。ここで、Fµν が光子、Zµν が Z 0 のテンソルである。この運動項を対角化
すると、ダークフォトンと SM のフェルミオンの結合は以下の様に近似される。

gA′ f f ≈ −εYm2Z cos θW eQf − m2A′ gYf.
m2Z − m2A′

(2.14)

ここで、(Yf )Qf は SM のフェルミオンの (ハイパー) チャージである。軽い A′ の極限では光子の混合が支配的であり gA′ f f ≈ −εY cos θW で表される。visible なセクターは U (1)Dの元でミリチャージを取得し、Y を関連するパラメータと交換する。
以下、ダークフォトンと標準理論の結合定数として記号ε = εY cos θW(2.15)を用いる。

2.4

SIMP シナリオ

以上、ダークセクターの概観を述べてきたが、これだけでは宇宙に存在するダークマ
ターの残存量を説明する理論 (シナリオ) としては不十分である。

15

図 2.7 に示すように、ダークマターの残存量の説明に関しては、宇宙初期の熱平衡を仮定するシナリオと、それを仮定せず初期条件として考えるシナリオに大きく分けることができる。熱平衡を仮定する理論は、また、ダークマターの持つエントロピーをどのように標準理論の粒子 (SM) に移すかで、大きく２つに分けることができる。一つは WIMP で、その場合には DM から SM への変換は 2 × 2 の散乱である消滅過程 χχ̄ → f f¯ 散乱を通じて行われる。一方、図に示した SIMP と呼ぶシナリオでは、2 → 1 の散乱や DM と SM の
弾性散乱 DM + SM → DM + SM の寄与があると考える。このような場合にはダークセ
クター内の粒子の相互作用の結合定数（gD ) は小さい必要はなく、gD が 1 近く、ないしは
1 より大きい可能性も十分考えられる。この意味でこのシナリオは Storongly Interactive
Massiv Particle (SIMP) と名付けられている [13] [14] [15] 。

図 2.7: ダークマターの様々なシナリオ [16]2.4.1

SIMP モデル

SIMP シナリオでは、ダークサイドの結合定数 gD が標準理論の強い力程度の大きさを持つことが可能である。そのため、ダークセクターにも標準模型同様の QCD のような粒子の共鳴状態が期待できる [14] 。SIMP モデルにおける最も軽いダークマター粒子を πD 、
ダークセクターを構成する粒子を ρD とすると、ρD には励起状態が存在し、また、ρD は
ρD → πD πD のように崩壊することが考えられる。
このシナリオは電子・陽電子衝突で１個の光子のみが生成される反応 (図 2.8)
e+ + e− → γ + invisibleにおいて、確かめることができる。例として、図 2.9 に BelleII 実験環境下での SIMP タ
イプの SU (2)D × U (1)D ゲージボソンの生成断面積の予想図を示す [14] 。この図は非常に断面積が大きく、豊富な構造をもつ質量分布の可能性も実験的にはまだ排除されていないことを示している。
また、図 2.10 の左側の図は、宇宙のダークマターの残存量を説明できるパラメータ領域において、WIMP や SIMP(ELDER:弾性散乱）のシナリオで予想される、結合定数 yD

16図 2.8: e+ + e− → γ + invisible 反応のダイアグラム

図 2.9:√

s = 10 GeV で期待される e+ e− → γ+inv の cross section。4 つのワイルフェルミオンを含めた SU (2)D ×U (1)D ゲージ理論に基づく。mA′ = 12 GeV, mπD = 1 GeV, mρ1 = 4 GeV,
結合定数 ε = 10−2 , αD = 0.1 とする。エネルギー分解能 σEE = 1% である。また、標準模型において考えられるバックグラウンド事象 e+ e− → γνν を緑の破線で示す [14] 。

図 2.10: (左):SIMP シナリオから期待されるダークマターの存在予想領域と実験からの制限 (加速器実験の場合)。(右):同じ SIMP モデルで予想される地下直接探索実験におけるダークマターの予想領域 [15] 。

とダークマターの質量 mχ 平面上の領域を示している。ここで yD はスケールした結合定

17

数で、

yD = ϵγ,2 αD (mA′ /mχ )4(2.16)である。ダークマターの質量 10 MeV から数 GeV の領域の観測が重要である。また、図中の Belle II の感度として示されている点線は過去の予想で、今回それを最新の予想に更新するのが本研究の目的である。
また、図 2.10 の右図には、同じモデルで地下のダークマター探索で予想される領域を原子核との散乱断面積とダークマターの質量平面上に示す。1 GeV 以下のダークマターを地下実験で検出するためにはダークマターと原子中の電子との散乱を用いる事が必要となり、図はそのことを目指す将来の検出器 (シンチレーターや半導体検出器) が SIMP シ
ナリオの予想領域に感度があることを示している。

2.5

電子・陽電子衝突型加速器を用いたダークフォトン探索

2.5.1

e+ + e− → γ + A′ (A′ → invisible) 事象

本研究では、終状態に光子１個のみ観測さｆれる 1 光子生成反応

e+ e− → γ + invisibleを用いて、invisible な粒子としてダークフォトン A′ が生成される反応の探索を行う (図2.11)。
終状態が 1 光子のみでその他に何も生成されない事象を選択することで、測定された光子のエネルギーから、それと一対一に対応した invisible な系の質量 Minv を得ることができる。このとき光子の質量 Eγ と Minv の関係は

)
√ (
2
s
Minv
Eγ =
1−
.
2
s

(2.17)

で与えられる。

e−

γ

ε
γ

A'

e+

図 2.11: e+ e− → γA′ (A′ → invisible) 事象のファインマンダイアグラム

以下、第 3 章で実験に用いた Belle II 測定器の説明、第 4 章で本研究に用いたシミュ
レーションデータ、第 5 章では信号事象の選別、第 6 章では結合定数の上限値について言及し、最後にまとめとして本研究の結果を報告する。

18

第3章

Belle II 実験

Belle II 実験は、茨城県つくば市にある高エネルギー加速器研究機構 (KEK) に建設された、電子・陽電子衝突型加速器 SuperKEKB と Belle II 検出器を用いて行われているル
ミノシティフロンティアの素粒子物理学実験のことである。前身である Belle 実験では、∫
1999 年から 2010 年にわたってデータ収集を行い、積算ルミノシティ L = 1.014 ab−1 のデータを蓄積した。当時稼働した KEKB 加速器は 2001 年以降ルミノシティの世界記録を更新し続け、設計値の 2 倍を超えるルミノシティを達成した。Belle 実験は B 中間子系での CP 対称性の破れを確認し、「小林・益川理論」がクォークの世代混合と CP 対称性の破れに関する記述として正しいことを証明するなど、多くの成果を上げた。一方で、小林・益川理論に基づく CP 対称性の破れだけでは宇宙における物質の残存量を説明できないことも分かってきた。Belle 実験では、統計量の制限から CP 非保存の測定精度は O(0.1)に留まっており、新物理の効果を探索するために十分な O(0.01) の感度を得るためには数十 ab−1 のデータが必要となる。
この Belle 実験の 50 倍の統計量のデータを採集し、より高精度な測定を行うため加速器と測定器をアップグレードしたのが Belle II 実験である。2016 年 2 月から 6 月に、SuperKEKB
加速器単体で電子ビーム、陽電子ビームを周回させる第一期試運転 (Phase1 コミッショニング) が、次いで 2018 年 3 月から 7 月までの期間には Phase2 運転が行われた。Phase2 運転では、崩壊点検出器 (VXD) 以外の検出器を装備した BelleII 測定器を衝突点に設置した状態で、電子・陽電子ビームの衝突を行った。その後、本格的な物理データの取得のために、2019 年 3 月から VXD 二層を含めた Belle II 測定器をフルインストールして物理データを収集する Phase3 運転を行っている。2019 年 12 月にはルミノシティL = 1034 (1/cm2 sec)を記録し、Belle II 実験開始後１年余りで、Belle 実験での最高ルミノシティと同レベルのルミノシティを達成した。Belle 実験の 50 倍の統計量を目指して今後更に強度を上げていくことが予定されている。

3.1

SuperKEKB 加速器

SuperKEKB 加速器は、電子と陽電子を衝突させ、B 中間子と反 B 中間子対を多く生成するために設計された衝突型円形加速器である。そのため、B Factory とも呼ばれる。B
中間子・反 B 中間子対の崩壊事象とともに、標準理論を越えた新物理に感度が高い稀崩壊
事象を探索することを目的としている。SuperKEKB 加速器は、周長約 3 km の電子用リング (HER) と陽電子用リング (LER) ２つのリング型加速器からなる。図 3.1 に SuperKEKB
加速器の外観を示す。
電子は入射器最上流の高周波 (RF) 電子銃で作られた後、LINAC で 7 GeV まで加速さ
れ HER に入射される。一方陽電子は加速された電子を金属標的に照射して作られたあと、
19

図 3.1: SuperKEKB 加速器システムの概観 [21]

LINAC で一旦 1.1 GeV まで加速して取り出され、ダンピングリングを周回させてエミッ
タンスを落とす。そのあと LINAC に戻され 4 GeV まで加速した後、LER に入射される。
このそれぞれのリング内を電子ビームと陽電子ビームは反対向きに周回し、リングが交差する Belle II 測定器内部の衝突点で衝突する。
衝突型加速器の性能は”ルミノシティ”と呼ばれる量によって表される。ルミノシティとは物理事象発生能力を表す指標であり、ルミノシティL に対し生成断面積 σ を持つ反応の事象発生数 N とすると、N = L × σ で与えられる。このように、事象発生数はルミ
ノシティに比例するため、稀な物理現象を探索するには高いルミノシティが必要である。
SuperKEKB 加速器では、よりルミノシティを向上させるために従来の衝突方式 (正面衝突) に変わる新しい衝突方式 (ナノ・ビーム・スキム) を採用している [21][22]。ナノ・ビー
ム・スキム方式の概形を図 3.2 に示す。この方式の特徴は、バンチ同士がぶつかる領域が極端に狭いことである。この方式を用いることで、KEKB 加速器よりも 20 倍のルミノシ
ティを獲得し、更にビーム電流の増量も計上し合わせて 40 倍のルミノシティを達成する計画である。

20

図 3.2: SuperKEKB の衝突方式 (ナノ・ビーム・スキム)。横軸はビームの進行方向を示す。[21]3.2

Belle II 測定器

Belle II 測定器は、SuperKEKB 加速器の衝突点に設置された、高さ、幅、奥行き約 8 mの大型粒子測定器である。測定器はビーム衝突点から見て全立体角 4π の約 90% を覆っている。Belle II 測定器の断面図を図 3.3 に示す。

図 3.3: Belle II 測定器の断面図。Belle II 測定器を形成する構造体は、八角柱を横に倒したような形をしている。ビームパイプ方向 (電子ビームの進行方向) が z 軸、天頂方向が y 軸、水平面でリングの外向きが x 軸の正の方向である。図はｚｘ平面の断面図（トップ view) である。衝突点 (IP:Interaction Point) が原点 (0, 0, 0)。八角柱の周りを覆う円筒形の構造部
をバレル、八角柱に蓋をする xy 平面上の構造部をエンドキャップと呼ぶ。また、電子の進行方向を前方、陽電子の進行方向を後方とする。

電子・陽電子の衝突によって生成・崩壊し検出される主な終状態の粒子は、ハドロンである π 中間子、K 中間子と、レプトンである電子、µ 粒子、及び光子である。Belle II 測21

定器は、生成された粒子を可能な限り検出・識別するために、別々の役割を持った 7 つの検出器サブシステムと、1.5 T の強磁場を形成する超電導ソレノイドコイルから構成されている。7 つの検出器の配置を図 3.4 に示す。

• 粒子の崩壊点の検出
崩壊点検出器 (VXD:VerteX Detector)
ピクセル型検出器 (PXD:PiXel Detector) とシリコンバーテックス検出器 (SVD:
Silicon Vertex Detector) から構成される。

• 荷電粒子の飛跡・運動量およびエネルギー損失の測定
中央飛跡検出器 (CDC:Central Drift Chamber)• 粒子の識別エアロゲル RICH カウンター (ARICH:Aerogel Ring-Imaging Cherenkov detector)
エンドキャップ部分の K 中間子と π 中間子の識別を担う。

TOP カウンター (TOP:Time Of Propagation)
バレル部分の K 中間子と π 中間子の識別を担う。
µ 粒子・中性 K 中間子検出器 (KLM:KL0 and Muon Detector)µ 粒子と中性 K 中間子の識別を担う。
• 電子の識別・光子のエネルギー測定
電磁カロリーメータ (ECL:Electromagnetic CaLorimeter)

Belle II 測定器では、Belle 測定器に比べ検出器の高精度化、粒子識別能力の向上、読み出し回路の高性能化が各検出器で行われている。本節では、本研究の信号事象探索に深く関係する検出器の構造・性能についてまとめる。

22

図 3.4: Belle II 測定器の 3D モデル

3.2.1

中央飛跡検出器 (CDC:Central Drift Chamber)

Belle II の中央飛跡検出器 (CDC) は、半径約 1.1 m の円筒形のガスドリフトチェンバーである。荷電粒子の運動量測定、トリガー信号の送信、また、粒子の崩壊点位置決定や中性粒子識別・分離のための飛跡 (トラック) 情報の採集を担う。
荷電粒子がガス中を通過すると、周りのガス分子をイオン化し、生成された電子が最寄
りの信号読み出し用ワイヤー (センスワイヤー) までドリフトしてワイヤーのごく近傍で
電子雪崩を生成する。ワイヤー近傍で生成されたイオン化ガスが離れる際に出す電気信号を読み出し、荷電粒子を検出する。また、ドリフト時間を測定することでワイヤーと粒子の通過点との距離が分かり、各ワイヤーの情報から共通の接線をひくことで飛跡を決定することが出来る。また、超電導ソレノイド中のため荷電粒子は磁場によって軌道が曲げられ、その曲率半径から運動量の測定を行う。さらに ガス中のエネルギー損失 (dE/dx) を測定して運動量 1 GeV 以下の粒子について粒子識別の情報を与えている。
図 3.5 に CDC の半断面図を示す。検出器内に充填されるガスはヘリウムベースで、クエンチャーガスはエタンを用いた。また、センスワイヤー 14336 本と電場形成のためのフィールドワイヤー 42240 本には、それぞれ直径 30 µm の金メッキタングステンと直径
126 µm アルミニウムを使用している。このようにヘリウムガスを用い物質量を抑えるこ
23

とで、多重散乱による粒子軌道への影響を可能な限り減らすよう設計されている。

図 3.5: CDC の半断面図。実線と点線は、それぞれ z 軸に平行なセンスワイヤーとステレオワイ
ヤーを表す。最内層の 8 本 (赤) はスモールセル部分を表す。1.5 T の磁場を発生する超電導ソレノイドの内側に設置されている。[24]3.2.2

電磁カロリーメーター (ECL:Electromagnetic Calorimeter)

電磁カロリーメータ (ECL) は、光子や電子・陽電子のエネルギー測定と、光子と電子・陽電子の識別を担う、CsI(Tl ) シンチレータを用いた検出器である。

CsI のような重い物質に数十 MeV 以上のエネルギーを持った γ や e+ 、e− が入射すると、γ からの e+ e− 対生成と e+ または e− からの制動放射により電磁シャワーが形成される。これを用いて γ や e+ 、e− のエネルギー測定を行う。また、結晶の位置から粒子の到来方向を測定する。更に、CDC による飛跡の観測の有無から、e+ や e− と中性の γ との識別を行う。
Belle・Belle II 実験では数十 MeV から 10 GeV にわたる広いダイナミックレンジでの高い分解能が要求される。そのため、十分な密度の素材を用いて検出器全体を有感部とし、
電磁シャワーのアクティビティ全体を出力信号の形成に生かす全吸収型のカロリーメータが採用されている。透明な結晶を用いた全吸収型カロリーメータとしては最大級の大きさを誇る。ECL の断面図を 3.6 に示す。

24

図 3.6: ECL の断面図。中央の線がビーム軸を示す (z 軸)。バレル部内筒の半径は 1250 mm で、荷電粒子の飛跡を検出するデバイスの有感領域 17◦ < θ < 150◦ の範囲に発生した粒子が形成した電磁シャワーの全てが検出可能となるようエンドキャップ部の CsI(Tl ) カウン
ターはその外側 12◦ < θ < 157◦ まで配置されている。1.5 T の磁場を発生する超電導ソ
レノイドの内側に設置されている。[25]

前方エンドキャップ部に 1152 本、バレル部 6624 本、後方エンドキャップ部に 960 本の CsI(Tl ) 結晶を使用している。一本の CsI(Tl ) 結晶のサイズは長さが 30 cm、断面が約5.5 × 5.5 cm2 となっている。この長さは 16.1X0 (X0 : 放射長) に対応し、幅はモリエール
半径 (Rm) の 1.5 倍強の値に対応する。ECL のバレル・エンドキャップ部の間には、読み出し用のケーブルを通すために必要な狭い隙間が存在する。(5.2 参照)
個々の CsI 結晶のサイズは 5 cm × 5 cm ですべて衝突点 (IP) の方向を向いたタワー構造となっている。しかし、完全に結晶を IP 方向に向けるのではなく、1.5◦ だけ IP からずれた方向 (θ と ϕ の両方で) を向くように結晶を傾けて、結晶間の隙間（約 200 µm) が直接 IP から見えないように工夫が施されている。

3.2.3µ 粒子・中性 K 中間子検出器 (KLM:KL0 and Muon Detector)

KLM 検出器は、µ 粒子の同定と KL0 の検出を担う検出器で、Belle II 検出器の最外層に設置されている。
超電導ソレノイドを覆う Belle II 構造体は八角柱を横倒しにした形状である。鉄板を十数枚重ねた構造になっており、約 4.4 cm の隙間が格鉄板の間に存在する。この隙間に荷電粒子を検出できる検出器を設置しており、これにより通過した荷電粒子の飛跡を再構成
25

することができる。このサンドイッチ構造が KLM 検出器と呼ばれる。KLM に到達する粒子には、µ 粒子と荷電ハドロン、更に中性 KL0 中間子などがある。µ 粒子は物質中で電離損失を起こすのみでシャワーは発生しない。逆に荷電ハドロンは更に強い相互作用も伴うため多重散乱が大きい。この差を利用して µ 粒子の同定を行う。荷電粒子のエネルギーは KLM よりも内層に位置する検出器による運動量の測定によって決定する。KL0 については、KLM の鉄内でシャワーを起こし、これが検出される。図 3.7 に KLM 検出器の断面図を示す。
Belle II 構造体はバレル部とエンドヨーク部から構成されており、それぞれに KLM 検出器を設置している。バレル KLM は八角柱上の鉄板の構造物に差込む形で設置され、15層構造になっている。Resistiv Plate Counter(RPC) というガスチェンバーを使用しており、15 層のうち内側 2 層にはプラスチックシンチレーターを使用する。エンドキャップ
KLM は、バレル部に蓋をする形で設置される。14 層構造になっており、高いバックグラ
ウンドに対応するためプラスチックシンチレーターを使用している。

図 3.7: KLM の断面図。ビーム衝突点から伸びる斜めの線 (灰) は、Belle II 検出器のアクセプタ
ンスを示す。KLM は ECL と超電導ソレノイドの外側に位置する。[23]263.2.4

Belle II トリガーシステム

検出器の各読み出しチャンネルは担当箇所の情報しか持たないため、物理事象が無い場
合にも独立に読み出し続ける。トリガーは、それら各検出器の情報から物理イベントの発生を効率よく識別し、データの中から物理イベント情報を含むデータのみを有限なデータ
収集システムの容量内に収めることを目的としている。図 3.8 に Belle II のデータ読み出
しサブシステムの概要を示す。
全てのデータは一時的にバッファに最短 4.4 µ 秒間格納される。そのデータが保持されている間に、各検出器の読み出しから (トリガー専用信号線を通じて) 利用できるデータを収集・解析し、物理イベントを感知する。また、物理過程を選別し、それぞれの過程を記録する割合いを調節する。

図 3.8: Belle II の読み出しサブシステムの概要図

トリガーには主に、飛跡トリガーとエネルギートリガーがある。 飛跡トリガーは TOP、
CDC からの飛跡情報と ECL からのバックグラウンド事象情報を用いる。エネルギートリ
ガーは、ECL で信号を検出したカウンター群の総数の情報を用いる。これら２つは独立である。
ビームが衝突すると、全ての入力トリガーの OR を取りイベント発生を決定する。イベ
ントが感知されたら、対応するタイミング信号を近くで探し、ビーム衝突から一定のタイ
ミングでトリガー信号を DAQ に送る。主な入力トリガーを表 3.1 に示す。

27

表 3.1: 主なトリガーの出力ビットをつくる理論演算

Output bit
ﬀf
ﬀo
hie
c4
bha
bhatrk*Event typehadron2 2D tracks
E≥1 GeV
4 clusters
Bhabha*Logicn t2>2
n t2>1 & cdc open45 & !ecl bhae high & !ecl bha
n clus>3
ecl bhaecl bha & n t2>1 & cdc bb

Bhabha イベントは 50 回に 1 回のみ記録する。

表 3.2: 主なトリガーの入力変数とその意味

Name
n t2
cdc open45
ecl bhae highn clus

Detector
CDC

ECL

トリガーレベルで 2 次元トラックと識別された飛跡の数
45◦ の opening angle を持つ事象
トリガーレベルで Bhabha 散乱であると識別された事象
ECL で測定されたエネルギーが 1 GeV 以上
エネルギーが測定された ECL クラスターの数

トリガーシステムによるハドロン過程の検出効率は 100% である。ハドロン過程は荷電粒子数が多く比較的識別が容易である。一方、本研究も含め、Belle II の大きなテーマのひとつであるダークセクター物理は荷電粒子が少なく粒子の持つエネルギーも低いため、トリガーが難しい。ダークマター探索においてトリガーは、重要な役割を担っている。

本研究の対象は終状態に 1 光子のみの e+ e− → γ + invisible 事象で、光子の他に粒子が無いことを保証し、更にその missing energy を精度良く測定するというのが重要な点である。5 章では検出器の影響を考慮した解析方法について検証する。

28

第 4 章 信号とバックグラウンドのモンテ
カルロシミュレーション
本研究の目的は、電子・陽電子衝突反応で光子とダークフォトンが生成される反応 e+ +e− → γ + A′ を探索することである。ダークフォトンは崩壊しないでそのまま検出器をすり抜けるか、ダークセクターのより軽い粒子 χ ２個に崩壊する (A′ → χχ)。この場合も χは信号を検出器に残さない。そのため、観測する事象は終状態に光子が一個でそれ以外に何も粒子が検出されない反応（１光子生成反応)e+ + e− → γ + invisible である。
もし、ダークフォトンやダークマターが生成されていれば、終状態の invisible な系の質
量 (Minv ) の分布にそれに対応する特徴的な構造が見られることが期待される。終状態に１光子のみが存在すること、それ以外の粒子が存在しないことを実験的に保証するのは難しい作業であり、多くのバックグランドの可能性を検討する必要がある。また、ニュート
リノ生成反応 e+ + e− → γν ν̄ は信号と検出器レベルでは区別できないので、Minv の分布の構造で区別することになる。本章では、研究に用いた信号事象とバックグランドのモン
テカルロシミュレーションについて説明する。

4.1

信号事象の生成信号事象 e+ e− → γ + invisble のモンテカルロ (以下 MC:Monte Carlo) サンプルは独自に作成したものを使用した。

SIMP モデルに基づく e+ e− → γA′ の生成断面積は次の式で与えられる。[14]。
()σ e+ e− → γ + inv =
∫
∫
2
3αε2
Minv
2
d cos θ dMinv
×
2
2
s
(Minv
− m2V ) + m2V Γ2ΓV →inv (Minv ) ΓV →e+ e− (Minv ) 8 − 8β + 3β 2 + β 2 cos 2θ
.
Minv
Minv
β sin2 θ(4.1)

2
ここで β は、β = 1 − Minv
/s、s はビームエネルギーの二乗、α は電磁相互作用の結合定数、θ は光子の散乱角、Minv は invisible 系の静止質量 (光子の反跳質量) である。V はベクトルの意味で、ここではダークフォトンを指し、mV はダークフォトンの質量である。
ΓV →inv と ΓV →e+ e− はそれぞれ、ダークフォトンがダークセクター粒子に崩壊する場合と、

29

e+ e− に崩壊する場合の崩壊幅を示す。信号事象の生成断面積 σ は 1/β に依存する。
2
SIMP モデルに依らない一般的なダークフォトンの生成断面積は Minvの中をデルタ関
22
数 δ(Minv − MA′ ) で置き換えることにより、()
σ e+ e− → γ + inv =∫3αε2
8 − 8β + 3β 2 + β 2 cos 2θ
d cos θ,s
β sin2 θ(4.2)

で与えられる。この式で β = 1(Minv = 1)、ε = 1 とすれば e+ e− → γγ の断面積に一致する。
結合定数 ε を 1 とした時の、信号事象の生成断面積 σ を図 4.1 に示す。σ は Minv ∼ 10 GeV付近で急激に大きくなる。また、図 4.2 に示した dσ/dθ 分布を見ると、θ = 0, π 付近で断面積が上昇することが分かる。
信号事象の生成は 0 GeV から 8 GeV までの計 12 点において、決まったダークフォト
ンの質量 MA′ について Minv = MA′ として行った。各質量点における発生事象数は 10,000
イベントずつである。発生角度等事象発生条件の詳細を表 4.1 に示す。生成した 1 光子について、重心系における散乱角 θγ は式 (4.2) より

f (θ) =

8 − 8β + 3β 2 + β 2 cos 2θ
,β sin2 θ(4.3)

に従って [15◦ , 165◦ ] の範囲で発生させ、散乱角 ϕγ は [0◦ , 360◦ ] の範囲で一様に分布させた。図 4.1 は 15◦ < θγ < 165◦ の時の断面積である。粒子生成には basf2[27] release-03-0233 の環境下において ParticleGun generator を使用し、重心系で生成した事象は実験室
系にローレンツ変換する。生成された粒子が検出器の物質中でどのように振る舞うかのシ
ミュレーションには、Belle II 測定器の構造や信号生成過程を詳しく再現したシミュレー
ションプログラム GEANT4 を用いた。
σ(e+e- → γ A') [nb]Production cross section
45

160

Minv
7GeV

40

|cos(θγ *)|<0.966
∈=1

140
120

5GeV

35

3GeV
1GeV

30

100MeV

100
25
80

20

60

15

40

10

20
0
0

5
2

4

6

8

10

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

θ(rad)

Minv [GeV]

図 4.1: Production cross section σ

図 4.2: dσ/dθ distribution30

表 4.1: e+ e− → γ + invisble 事象の生成θγ∗ (度)ϕ∗γ (度)MA′ (GeV)
イベント数
合計

4.2

θ[15◦ , 165◦ ],2 +β 2 cos 2θ
according to θγ = 8−8β+3ββ sin2 θϕ[0◦ , 360◦ ], 一様分布
0, 0.2, 0.5, 1, 1.7, 2.5, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10, 000 for each MA′
120,000

バックグラウンド事象の MC

バックグラウンドの見積もりに使用したプロセスの一覧を表 4.2 に示す。これらの MC
サンプルは Belle II で共同で用いられているもので、MC12 ＋ Phase3 という名称で呼ばれており、Belle II の検出器の構成をよく反映している。表にはビームの衝突エネルギーが Υ(4S) の質量に等しいとき (10.58 GeV) の断面積を示した。
表 4.2: バックグラウンドの見積もりに使用した Phase 3 MC12 サンプル∫

Ldt [fb−1 ]0.16

Physics processe+ e− → e+ e− (γ)

Cross section [nb]300 ± 3e+ e− → γγ(γ)

4.99 ± 0.05

6.47

e+ e− → µ+ µ− (γ)
e+ e− → e+ e− e+ e−
e+ e− → e+ e− µ+ µ−1.14839.7 ± 0.1
18.9 ± 0.1

47.91
5.04
5.29

Criteria
10◦ < θe∗ < 170◦ ,Ee∗ > 0.15 GeV
10◦ < θγ∗ < 170◦ ,Eγ∗ > 0.15 GeV
Wll > 0.5 GeV
Wll > 0.5 GeVGenerator
BABAYAGA.NLO
BABAYAGA.NLO
KKMC
AAFH
AAFH

次章で述べるように、 e+ e− → γγ(γ) 反応がバックグランドとして最も重要である。
e+ e− → e+ e− (γ) 事象についても、この事象は生成断面積がとても大きくバックグラウン
ドとなり得る (5.2 参照)。
本研究で使用した MC12 サンプルは、特に信号事象探索の障害になる事象 (e+ 、e− がビームパイプ方向に飛んで観測されず、1 光子事象のようにみえるなど) を考慮して生成されたものは含まれていない。この事象は以下で説明する信号事象の選択条件により除かれると予想されるが、今後確認が必要である。
生成された粒子が検出器の物質中でどのように振る舞うかのシミュレーションには、シグナルサンプル同様 GEANT4 を用いた。その後、データ解析で用いるのと同様のプログラ
ムで事象の選別と分布の解析を行った。解析の詳細を次章で説明する。

31

第5章

1 光子生成事象の観測

先に述べたように、本研究では、電子・陽電子衝突反応で光子とダークフォトンが生成される反応 e+ + e− → γ + A′ の探索が目的である。終状態のダークフォトン A′ は崩壊しないでそのまま検出器をすり抜ける、あるいは、SIMP シナリオのようにダークセクターのより軽い粒子 χ ２個に崩壊する (A′ → χχ)。いずれの場合にも光子以外の信号を検出器に残さない。そのため、観測する事象は終状態に光子が一個でそれ以外に何も粒子が検出されない反応 (１光子生成反応)

e+ + e− → γ + invisible(5.1)

である。もし、ダークフォトンやダークマターが生成されていれば終状態の invisible の系の質量 (Minv ) にそれに対応する特徴的な構造が見られることが期待される。

5.1

1 光子生成事象の特徴

e+ + e− → γ + invisible 事象の特徴は、• 測定されるのは光子１つのみ• 荷電粒子の飛跡は存在しないという点である。代表的な事象例を図 5.1 に示す。

図 5.1: 1 光子事象のイベントディスプレイ

実験的には１個の光子の信号を観測するだけであるが、それ以外に粒子が発生していな
いことを実験的に保証するのは難しい課題である。粒子を検出する場合には検出効率が90-95% を越えていれば優秀な検出器であるのに対して、粒子が存在しないことを保証する場合には検出効率が 99% でも問題になることがある。また、全ての方向に隙間のない検出器を現実に建設することは非常に難しい。Belle II 測定器は全方向を最大限覆うよう32

にデザインされた検出器であるが、ビーム軸の方向から ±15◦ の領域はカバーされておらず感度が無い。また、信号の読み出しに必要なケーブルの配線等のためにどうしても存在する検出器の隙間の影響をいかに小さくするかが、解析上の課題となる。

5.2

バックグラウンド事象の特徴

探索対象である e+ e− → γ + invisible のバックグラウンドになる主な理由は、イベント
中に２個以上の光子が発生しているにも関らずその光子が検出されなかった場合である。
BelleII 測定器では、以下のような場合、ECL に光子が入射したにも関わらず検出されないことがある。

(1) ECL のバレル部と後方エンドキャップ部の間に 1◦ 程度のケーブルを通すためのギャッ
プがある。
(2) ECL のバレル部と前方エンドキャップ部の間に 1◦ 程度のケーブルを通すためのギャッ
プがある。
(3) バレルの θ = 90◦ 方向に 1 − 1.5 mm の CsI 結晶を保持する構造体が存在し、それが光子に対する不感領域となっている。
(4) CDC の端面には構造を保つためのアルミの板と信号読みだしのためのエレクトロニ
クスが搭載されている。発生した光子がここで吸収されて CsI 結晶に到達しない場
合も光子は未検出となる。
(5) 光子が ECL クリスタルの中で相互作用を起こさなかった場合。これは、約 3 × 10−6の確率で起こる。
光子が ECL 等で未検出となる (1) ∼ (5) に対応する測定器の箇所を図 5.2 に示す。上で述べたこれらの現象は主に QED プロセスが原因となる。特に、e+ e− → e+ e− γ と e+ e− →γγ(γ) の２事象が主なバックグラウンド源である。前者の Bhabha 散乱はビーム中の電子と陽電子の弾性散乱であり、制動放射などにより光子を発生し、更に電子と陽電子が検出器のアクセプタンス外 (ビームパイプ・ECL ギャップなど) に飛んで検出されなかった場
合にバックグラウンドとなる。後者の 2 光子生成事象は、１つの光子を検出できなかった
場合にバックグラウンドになり得る。ダークフォトン探索において、これら QED 由来のバックグラウンドを取り除くことは一番重大な課題である。本研究では、上記２つのバッ
クグラウンド事象を含め、他のバックグラウンドについてもその残存量を定量的に評価した。その結果について以下で報告する。

33

(1)

(3)
(2)

(4)

(4)

図 5.2: ECL のギャップ。1 光子事象のバックグラウンドの主な要因である、(1):青はバレルと後方エンドキャップ間のギャップ、(2):赤はバレルと前方エンドキャップ間のギャップ、(3):紫は θ = 90◦ に位置するバレル部のギャップ、(4):エンドキャップ部を示す。

5.3

e+ + e− → γ + invisible 事象の選別

本節では、信号である e+ e− → γ + inv 事象の選別について述べる。この事象では、ビームの衝突エネルギーにより 1 光子と、ある固有の質量を持ち観測にかからない粒子 A′ の２つが生成されているとの仮定に基づき解析を行う。２体の反応であるので、ダークフォ
トン A′ の質量は missing 質量 Minv として、光子のエネルギー Eγ と式 2.17 のように１対１に対応している。よってこの事象から A′ の質量を測定するには、光子のエネルギーを高精度に測定することが重要である。

5.3.1

光子・荷電粒子の条件

一般に高エネルギー実験のデータ解析では、検出器のデータにより識別された荷電粒子や、電磁カロリーメータで観測される光子の条件を明確にすることが重要である。以下に、荷電粒子と光子の識別に要求した条件を示す。

34

一般的な光子の条件
電磁カロリメータ (ECL) で観測されたクラスター (これを光子とみなす) が、飛跡検出器(CDC) のアクセプタンス内で観測される (0.297 < θγ < 2.62(radians)) こと。また、CDCで検出された荷電粒子が作り出したクラスターでないこと。再構成されるクラスターの最低エネルギーは 20 MeV である。
一般的なよく (間違いなく) 再構成された荷電粒子の条件

1. 飛跡検出器 (CDC) や崩壊点検出器 (SVD) で観測した荷電粒子の螺旋状の飛跡を衝突点へ向けて外挿したとき、ビーム軸と荷電飛跡の外挿との間の xy 平面上での距
離 dr が 0.5cm 以内の範囲にあり (|dr| < 0.5 cm)、かつ、衝突点に対する最接近点のz 座標 dz が ±2 cm 以内にあること (|dz| < 2 cm)。
この条件の目的は、ビームガスや宇宙線からの飛跡を除くこと、及び、π 中間子やK 中間子が CDC の途中で崩壊したときの生成物の飛跡を除くことである。
2. 横方向の運動量 pT が 0.15 GeV よりも大きいこと (|pT | > 0.15 GeV)。
pT が 0.15 GeV 以下の場合、荷電粒子の螺旋運動が CDC の中央付近で旋回し、正しく飛跡を測定できなくなる。この条件の目的は、これらの荷電粒子を除くことである。
3. CDC の、荷電粒子の通過によるヒット点が 1 つ以上あること。
これら全ての条件を満たしたものをよく再構成された荷電粒子として、以降”Good Track”と呼ぶ。
信号 e+ + e− → γ + invisible の事象選別は２段階に分けて行った。はじめに、比較的「弱い選別条件」で信号とバックグランドの様子を観察し、次に「強い選別条件」をつけて、バックグランドをどこまで減らせるかを追求した。

5.3.2

e+ + e− → γ + invisible 事象の弱い選別 (Loose)

QED プロセスによって生じるバックグラウンド事象を出来る限り削減し、より多くの
1 光子事象を取得するために以下のような条件を要求した。以下に各条件の詳細を記す。
(1) 1 光子のプレセレクション
1. 光子が ECL によって検出された角度 θ(極角、Belle II では e− ビームの進行方向を z軸に取っている。) が、実験室系において 20◦ < θγ < 145◦ であること。この条件により ECL にて確実に全エネルギーを測定できるアクセプタンス内の検出光子を選
ぶと共に、ビームパイプ方向 (θ ∼ 0◦ , 180◦ ) に多量に生成される Bhabha 事象由来の光子を減らす効果がある。

35

2. CDC で観測された Good Track の本数が 0 本であること。
3. 事象中の光子に対して、• 1 番高いエネルギーを持つ光子のエネルギー Eγ が 2 GeV 以上であること。
• 2 番目に高いエネルギーを持つ光子のエネルギー Eγ2nd が 0.05 GeV 以下であること。
Eγ , Eγ2nd の条件を課す前のシグナルとバックグラウンド両事象における、1 イベン
ト中で２番目に高いエネルギー Eγ2nd の分布を図 5.3 に示す。信号の Eγ2nd をみると、
Eγ2nd の値は 0 に近い領域に分布している。1 光子の信号事象中に 2 つ目の光子が存在するのはビームバックグラウンドが原因であり、信号事象のうち、この様に 2 光子検出されるのは全体の 5%程度である。また、そのエネルギーのおおよそは 0.05
GeV 以下であることが分かる。
一方、バックグラウンド MC サンプルについてみると、(d) の e+ e− → γγ 事象において Eγ2nd が 3 ∼ 6 GeV のところに多くの事象が分布していることが分かる。これは２個目の光子による信号である。シグナルとバックグラウンド事象それぞれに由来する Eγ2nd の特徴から、Eγ2nd < 0.05 GeV をプレセレクションの条件とした。

各 MA′ に対する信号事象の MC サンプルに対してプレセレクションを施した後の、一番高いエネルギーを持った光子の角度 θγ1st と重心系エネルギー E ∗ 1st
γ についての二次元分∗ 1st
布を図 5.4 に示す。E γ はそれぞれ帯状に分布し、一定の値をとることが分かる。また、∗ 1stMA′ が小さい時 E ∗ 1st
γ は大きく、MA′ が大きい時 E γ は小さくなる。
一方、それぞれのバックグラウンドサンプルに対してプレセレクションを施した後の、一番高いエネルギーを持った光子の角度 θγ1st と重心系エネルギー E ∗ 1st
γ についての二次元◦◦◦◦分布を図 5.5 に示す。エンドキャップ方向 (20 − 35 , 135 − 170 ) に高いエネルギーを持ったバックグラウンド事象が残ることが分かる。これらは断面積の大きい e+ e− → e e (γ)、e+ e− → γγ(γ) と e+ e− → µ+ µ− の寄与が主である。その他のバックグランド過程からの寄与は無視できる。

36

250

488

Mean

0.1098

Std Dev

0.1713

events / (0.05 GeV)

events / (0.05 GeV)6

Eγ 2nd(lab)
Entries

200

150

×10

50

0.5

0.4

0.6

0.8

0
0

1

Eγ 2nd(GeV)

2.473338e+07

Mean

3.132

Std Dev

1.898

1.5

1

0.2

Entries

2

100

0
0

Eγ 2nd(lab)

2.5

1

2

3

4

5

6

lab

7

8

Eγ 2nd(GeV)lab(b) BG:e+ e− → γ γ (γ)(a) Signal:MA′ =4 GeV
events / (0.05 GeV)6×10Eγ 2nd(lab)2.473338e+07

Entries

2.5

Mean

0.105

Std Dev

0.1368

2

1.5

1

0.5

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eγ 2nd(GeV)lab(c) BG:e+ e− → γ γ (γ) 拡大

4.5

5

4012
12
77.24
5.149
45.18
10
0.3511

4.5

10
4

(GeV)

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5

8
4

3.5

6

3

Entries
4101
12
Mean x77.05
Mean y5.126
Std Dev x 45.52
Std Dev y 0.3599
10

4.5

8
4

8

3.5

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

CMS

(GeV)

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

Eγ

Eγ

5

16
4090
75.23
14
5.143
45.15
0.3558
12

CMS

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev yEγθγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

CMS

(GeV)

図 5.3: 信号・バックグラウンド両事象における Eγ2nd 分布。(a) は MA′ = 4 GeV の信号事象について、(b) は e+ e− → γγ(γ) について、1 イベントの中で 2 番目に高いエネルギーをもつ
光子の Eγ2nd をプロットしたもの。(c) は (b) の低いエネルギー領域を拡大した図。信号のEγ2nd をみると、Eγ2nd の値は 0 に近い領域に分布している。これはビームバックグラウン
ドの影響と思われる。バックグラウンド MC サンプルの (d) では 3 ∼ 6 GeV に事象が多く分布している。Eγ2nd < 0.05 GeV のイベントを選択することにより、e+ e− → γγ(γ) 事象由来の BG を減らすことが可能。

3.5

6

3

6

3
4

2.5

2.5

2
1.5
80

100

120

140

θγ

160

180

0

0

(degree)

80

100

120

Eγ

4.5

(GeV)

4125
12
75.79
5.098
45.47
10
0.3413

θγ

160

180

0

(degree)84θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5

12
4075
77.1
5.01
10
45.4
0.3281
8

4

3.5

6

3

2

1.5
60

80

100

120

140

θγ

160

180

(degree)

0

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)labθγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5.5
5

4.5

14
4226
76.34
4.855
12
44.96
0.3361
10

8

3.5
3

2

2

0

4

2.5
2

2

1.5
20

40

60

80

100

lab

(d) MA′ = 1 GeV

80

4

1.5
40

60

6
3
2.5

2

40

4
6

3.5

4
2.5

20

(c) MA′ = 0.5 GeV

4.5

20

0

lab

5.5

CMS

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5

140

Eγ

(GeV)

60

(b) MA′ = 0.2 GeV

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

CMS

40

lab

5.5

2

1.5
20

(GeV)

60

CMS

40

Eγ

20

(a) MA′ = 0 GeV

0

2

2

2
1.5
0

4

2.5

4

2

120

140

θγ

160

(degree)lab(e) MA′ = 1.7 GeV

37

180

0

0

20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

(degree)lab(f ) MA′ = 2.5 GeV

0

10

5

4.5

4

4

(GeV)

14
4343
76.08
4.417
12
43.96
0.29
10

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5.5

CMS

(GeV)

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5

18
4427
75.22
16
4
43.72
14
0.2617Eγ

4.5

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

CMS

5

4276
14
75.97
4.731
44.37
12
0.3282

Eγ

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

Eγ

CMS

(GeV)

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

4.5

12

4

8

10

8
3.5

3.5

8

6

6

3

3.5

3

3
6

2.5

4

2.5

4

2.5
4

2

2

2

1.5
60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

0

(degree)

40

60

80

100

120

lab

Eγ

12

4.5

(GeV)

4468
16
74.68
3.499
14
43.28
0.2149

180

2

0

0

(degree)

20

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5

4438
18
75.12
2.913
16
42.78
0.1548
14

4.5

10

4

8

3.5

80

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)labθγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5.5
5

3066
25
51.31
2.229
26.23
20
0.1132

4.5

12

4

60

(i) MA′ = 5 GeV

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

3.5

40

lab

5.5

CMS

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5

θγ

160

(h) MA′ = 4 GeV

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

140

Eγ

(GeV)

20

(GeV)

40

1.5

CMS

20

(g) MA′ = 3 GeV

CMS

2

1.5

Eγ

0

2

4

15

10
3.5
8
3

6

3

10

3
6

2.5

4

2

2.5

2.5
4

2

0

2
1.5

20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

(degree)

0

0

1.5
20

40

60

80

100

lab

(j) MA′ = 6 GeV

5

2

2
1.5

120

140

θγ

160

180

(degree)lab(k) MA′ = 7 GeV

0

0

20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)lab(l) MA′ = 8 GeV

図 5.4: プレセレクション後の信号事象に対する、一番高いエネルギーを持った光子の角度 θγ1st と重心系エネルギー E ∗ 1st
γ についての二次元分布。MA′ について、それぞれ (a):0 GeV、(b):0.2
GeV、(c):0.5 GeV、(d):1 GeV、(e):1.7 GeV、(f):2.5 GeV、(g):3 GeV、(h):4 GeV、(i):5
GeV、(j):6 GeV、(k):7 GeV、(l):8 GeV に対応する。E ∗ 1st
γ はそれぞれ帯状に分布し、一1st∗定の値をとる。また、MA′ が小さい時 E γ は大きく、MA′ が大きい時 E ∗ 1stγ は小さくな
る。

38

4.5

30

4

25

3.5

(GeV)

Entries
309027
2500
Mean x59.48
Mean y4.243
Std Dev x
45.24
Std Dev y
1.302
2000

5

4.5
4

1500

3.5

20

3

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

CMS

5

3506
40.44
40
3.686
41.35
35
1.346

Eγ

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

Eγ

CMS

(GeV)

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

3

15

2.5

1000

2.5
10

2

500

2
5

1.5

1.5
60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

0

(degree)

40

60

80

100

120

Eγ

4.5

50

4

(GeV)

9420
70
48.3
3.176
40.55
60
1.3

160

180

0

(degree)labθγ (Lab) vs Eγ (MCS)

65

Entries
552
220
Mean x105.4
Mean y2.309
200
Std Dev x 54.45
Std Dev y 0.3669
180

4.5

160

4

140

5.5

CMS

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y5θγ(b) e+ e− → γ γ (γ)θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

140

Eγ

(GeV)

(a) e+ e− → e+ e− (γ)
CMS

20

lab

40
3.5
3
2.5

20

2

10

1.5
20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

(degree)

0

5

40

4.5
4

30

3.5

3

80

2.5

60

2

40
20

0

20

40

60

80

100

120

lab

(c) e+ e− → µ µ (γ)

Entries
105
50
Mean x129.3
Mean y2.445
Std Dev x 37.53
Std Dev y 0.2425

100

1.5

0

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

120
3.5

30

(GeV)

40

CMS

20

Eγ

0

140

θγ

160

180

0

(degree)

3

20

2.5
10

2
1.5
0

20

40

60

80

lab

(d) e+ e− → e+ e− e+ e−

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)lab(e) e+ e− → e+ e− µ µ+ − →図 5.5: プレセレクション後の BG 事象における θγ1st − E ∗ 1stγ 分布。それぞれ (a):e e
e+ e− (γ) (0.17 fb−1 )、(b):e+ e− → γγ(γ) (6.47 fb−1 )、(c):e+ e− → µµ(γ) (47.9 fb−1 )、(d):e+ e− → e+ e− e+ e− (5.04 fb−1 )、(e):e+ e− → e+ e− µµ(10.6 fb−1 ) に対応する。これらの分布から、BG 事象は主に低いエネルギー E ∗ 1stγ を持っており、ビームパイプ方向に多く分布していることが分かる。

(2) Minv の領域別選択条件
信号事象を残しつつバックグラウンド事象をより多く取り除くため、信号事象を Minvの値によって２つの領域に分け、それぞれ別の選別条件を課す。これにより信号検出効率を保ちながらバックグランドを落とすことを試みた。

1. Minv ≤ 6 GeV の場合 (lowM 条件) には、• 光子の角度分布 θγ が 36◦ < θγ < 120◦ を満たす
• 光子の重心系エネルギー Eγ∗ が図 5.6 の赤の実線よりも大きいことを要求する。図 5.6 から分かるように、バックグラウンド事象は比較的低い Eγの領域に、信号事象は高い Eγ の領域に分布することが分かる。よって、この条件
からより多くのバックグラウンド事象を取り除くことが出来る。

2. Minv > 6 GeV の場合 (highM 条件) には、• 光子の角度分布 θγ が 36◦ < θγ < 120◦ を満たす
• 光子の重心系エネルギー Eγ∗ が図 5.6 の赤の破線よりも大きいことを要求する。高い Minv を持つ信号事象ほど Eγ の値は小さいため、Eγ の条件を緩く設定した。

39

4

(GeV)

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
309027
2500
Mean x59.48
Mean y4.243
Std Dev x
45.24
Std Dev y
1.302
2000

5.5

CMS

5

4.5

14
4343
76.08
4.417
12
43.96
0.29
10

5

Eγ

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

Eγ

CMS

(GeV)

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

4.5
4

8

3.5

1500

3.5
6

3

3
4

2.5
2

1.5
20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

0

(degree)

3066
25
51.31
2.229
26.23
20
0.1132

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)labθγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
309027
2500
Mean x59.48
Mean y4.243
Std Dev x
45.24
Std Dev y
1.302
2000

5.5
5

Eγ

Eγ

5

(GeV)

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

CMS

(GeV)

40

(b) BG:e+ e− → γ γ (γ)θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

CMS

20

lab

(a) Signal:MA′ =4 GeV

4.5

4.5

4

15

4

3.5

1500

3.5
10

3

3

2.5

1000

2.5
5

2

500

2

1.5
0

500

2

2

1.5
0

1000

2.5

1.5
20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

0

(degree)

lab

20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)lab(d) BG:e+ e− → γ γ (γ)(c) Signal:MA′ =8 GeV

図 5.6: プレセレクション後の信号・バックグラウンドの θγ1st −E ∗ 1stγ 分布と領域別条件を示す。赤で
1st
1st
∗
示したシグナルサンプルの θγ −E γ 分布について、(a) と (c) はそれぞれ MA′ = 4 GeV、
8 GeV に対応している。青で示したバックグラウンド MC の分布は、(b) と (d) どちらもe+ e− → γ γ (γ) 事象に対応している。２次元分布上の赤い線は Minv ≤ 6 GeV のイベン
トに適応する lowM 条件、赤い破線は Minv > 6 GeV のイベントに適応する highM 条件を示す。

図 5.7 に、Minv 領域別選別条件を課した後の信号事象の検出効率を示す。lowM 条件を使用すると、Minv が７ GeV までの信号を高い効率で検出できる。highM 条件では Minv の値が大きくなるにつれ検出効率が良くなる傾向が見られる。lowM 条件を Minv ≤ 6 GeVのイベントに、highM 条件を Minv > 6 GeV のイベントに使用する。

(3) 2 光子事象ベトー (ギャップイベント選別)
バックグラウンドの主な要因である e+ e− → γ γ (γ) 事象の MC サンプルに対して、
lowM 条件を用いて選別を行った後の θγ1st − E ∗ 1stγ 分布を図 5.8 に示す。図 5.8 をみると、◦
θγ = 60 付近の Eγ が大きい領域に多くの事象が存在する。これは、生成された 2 光子のうち、1 光子が ECL の θ = 60◦ 付近で観測され、もう片方の光子が ECL のバレル-エンド
キャップ間のギャップ (図 5.2-(4)) に飛んで観測されなかった事象が残ったものである。このような事象を取り除く為、更に以下の条件を要求する。

1. 実験室系の光子の θγ1st について、θγ1st > 58◦ かつ 61◦ < θγ1st であること。
2. 重心系での光子のエネルギーについて、E ∗ 1stγ < 4.5 GeV であること。

40

Efficiency

1

1 Photon preselection
0.8

LowM
HighM

0.6

0.4

0.2

0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

MA'(GeV)θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

5.5
5

350
25089
69.07
5.053
300
21.66
0.387
250

Eγ

CMS

(GeV)

図 5.7: シグナルの検出効率。それぞれプレセレクション、lowM、highM 条件に対する信号事象の検出効率を示す。

4.5
4

200

3.5
150
3
100

2.5
2

50

1.5
0

20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)lab◦
図 5.8: Minv 領域別選別 (lowM) を施した後の e+ e− → γ γ (γ) の θγ1st − E ∗ 1stγ 分布。θ = 60 付近の Eγ が大きい領域に構造が存在する。これは、生成された 2 光子のうち、1 光子が ECL
バレル部 (θ = 90◦ ) にあるギャップに飛んで観測されなかった為に 1 光子事象とみなされたものである。ギャップイベント選別では、この事象を取り除く。

図 5.9 に、弱い選別条件 (Loose) を全て適応した後の各バックグラウンドプロセスにつ2の分布を示す。全てのデータは 50 fb−1 に規格いて、残った事象数を足し合わせた Minv
化されている。e+ e− → γ γ (γ) 事象が最も大きなバックグラウンドとなることがわかる。
表 5.1 は、事象選別後に残った事象数をプロセスごとにまとめたものである。また、表 5.22の質量ごとのバックグラウンド事象数を示す。全てのデータは 50 fb−1 に規格化さは Minvれている。

41

Entries / (0.5GeV2)

Recoil mass distribution
3000

ee(γ )γ γ (γ )µµ(γ )
eeee
eeµµ

2500

2000

1500

1000

500

0
− 20

− 10

0

10

20

30

40

50
M2inv(GeV2)(a) lowM cut
Entries / (0.5GeV2)

Recoil mass distribution3500

ee(γ )γ γ (γ )µµ(γ )
eeee
eeµµ

3000

2500

2000

1500

1000

500

0
− 20

0

20

40

60

80

100
M2inv(GeV2)(b) highM cut

Entries/(0.5 GeV2)2 分布。選別後に残ったバックグラウンド事象について、それ
図 5.9: バックグラウンド事象の Minv
2 分布。(a)(b) 共に e+ e− → γ γ (γ)
ぞれ (a):lowM 条件、(b):higjM 条件を用いた時の Minv
事象がほとんどを占める。

Minv2

40
35
30

Entries

658

Mean

36.3

Std Dev

3.303

25
20
15
10
5
0
− 20

0

20

40

60

80

100

Minv2(GeV2)2 分布。この分布からバックグラウンド事象数評価に用図 5.10: 信号事象 (MA′ = 4 GeV) の Minv
2いる Minv range を決定した。

42

表 5.1: 選別条件をそれぞれのバックグラウンドプロセスに適応した後の事象数。バックグラウン
ドのデータは全て 50 fb−1 に規格化した。事象数の誤差は統計誤差である。

Background processe+ e− → e+ e− (γ)
e+ e− → γ γ (γ)
e+ e− → µ µ (γ)
e+ e− → e+ e− e+ e−
e+ e− → e+ e− µ µlowM (×103 )3.3 ± 0.1
45 ± 0.2
0.01 ± 0.003
0.01 ± 0.003
0highM (×103 )14.7 ± 0.1
167 ± 0.4
0.9 ± 0.03
0.03 ± 0.005
02
表 5.10 は MA′ = 4 GeV の時の Minv
分布である。それぞれの信号事象に対してこの分
2
布全体の約 90% の事象数を含む Minv range を選択し、その範囲内のバックグラウンド事
象数評価に使用した。

表 5.2: 信号の検出効率と、全条件を用いて選別し残ったバックグラウンド事象のイベント数を各2 毎に評価したもの。バックグラウンドのデータは全て 50 fb−1 に規格化した。また、
Minv
検出効率の系統誤差は ±10% と仮定した。バックグラウンドの事象数の統計誤差を考慮している。

MA′ [GeV/c2 ]
0.0
0.2
0.5
1.0
1.7
2.5
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0

2
Minv
range [GeV2 /c4 ]-8.0 - 8.0-8.0 - 8.0-6.5 - 10.0
-5.5 - 10.0
-3.0 - 12.5
0.5 - 15.0
2.5 - 17.0
10.5 - 22.5
20.0 - 33.0
31.5 - 41.5
43.5 - 53.0
61.0 - 67.0

Signal eﬃciency ηef f [%]13.2 ± 0.1
13.5 ± 0.1
13.2 ± 0.1
12.9 ± 0.1
12.8 ± 0.1
13.1 ± 0.1
13.7 ± 0.1
12.0 ± 0.1
10.5 ± 0.1
6.3 ± 0.1
16.7 ± 0.2
10.5 ± 0.1

Background events b(×103 )37.5 ± 0.2
37.5 ± 0.2
39.8 ± 0.2
39.8 ± 0.2
41.5 ± 0.2
31.0 ± 0.2
21.5 ± 0.1
6.21 ± 0.08
3.41 ± 0.06
0.90 ± 0.03
27.3 ± 0.2
8.71 ± 0.1

2 番目にエネルギーの高い光子の θ 分布
図 5.11 は、選別後のバックグラウンド事象 (e+ e− → γ γ (γ)) のうち、1 光子の他にエネルギーが 0.05 GeV よりも小さい 2 つ目の光子が存在するイベントの θ2nd の分布である。図 5.11 から分かるように、θ が 140◦ ∼ 150◦ の領域に多く事象が分布している。この角度には飛跡検出器（CDC) の読み出しエレキが搭載されたエンドプレートが存在する。
この方向に飛んだ光子が CDC のエンドプレートでシャワーを起こし、そのエネルギーの43°events / (1 )ほとんどがそこで吸収されるために、この後方に位置するエンドキャップ ECL では、100
MeV 以下のエネルギーしか測定出来ていないと考えられる。また、その反対側である θが ∼ 30◦ の領域には ARICH が設置されている。ARICH によるエネルギーの吸収も考慮する必要がある。
その他バレル方向のフラットな領域に残っているのは、ECL の結晶間の隙間、あるいはエンドキャップとバレル間のギャップを通り抜けた事象と考えられる。これは、Belle II
検出器の最外殻に位置する KLM を用いて減らすことが可能である。

220

θγ 2nd(degree)

200

Entries

5973

180

Mean

103.1

160

Std Dev

49.33

lab

140
120
100
80
60
40
20
0
0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

θγ 2nd(degree)lab

図 5.11: 弱い選別後の e+ e− → γ γ (γ) 事象の θγ 2nd 分布

KLM を用いた解析
電子・陽電子と光子のエネルギーを測定する ECL に加えて、Belle II 検出器の最外殻に位置する KLM も光子の検出に役立つ。信号事象のような 1 光子が KLM のクラスターに入射した場合、重心系・三次元において約 25◦ の広がりを持ったシャワーを形成することが分かっている [28]。クリスタルの間をすり抜ける・バレル部とエンドキャップ部の間を通過するなど、ECL の感度が無い領域が原因で生じるバックグラウンド事象を抑制する
為に、KLM のクラスターについて以下の条件を要求することで選別効率の改善が見込まれる。しかしながら、本研究では Belle II グループ内の解析ソフトウェアの準備が間に合わなかった為、KLM の情報を用いることはできなかった。

KLM の情報を使えるようになれば、KLM にヒットがあった時、その KLM のクラス
ターの位置 (θ, ϕ) が、実験室系において信号粒子の運動量の単位ベクトルと反対側の 25◦のコーンの内部であった場合、そのような事象を除く条件を課すことが可能となる。この条件により、ECL で測定し逃した光子が、シグナルと選別された光子の反対側に飛んだ
場合に生じるバックグラウンド事象を除くことが可能である。

44

5.3.3e+ + e− → γ + invisible 事象の強い選別 (Tight)

以上の条件に加えて、さらにバックグランドを下げ信号の検出感度を上げるために、以下の条件を課し、それを本研究の最終条件とした。

強い２光子事象ベトー (Eγ2nd 選別)
ここまで、信号中の 2 番目に高いエネルギーを持った光子について、プレセレクション
により Eγ2nd > 0.05GeV で選別を行った。lowM 条件、highM 条件を通した後のシグナル
MC サンプル中で、このような２目以降の光子が存在する事象は約 9% 存在する。一方で、選別後のバックグラウンド MC サンプル、特に e+ e− → γ γ (γ) 事象でこのような 2 つ目
以降の光子が存在するイベントは約 90% を占める。
このことから、選別後に残るバックグラウンド事象をより削減するために、Eγ2nd 選別の条件を以下のように厳しく要求する。
・イベント中で 2 番目に高いエネルギーを持った光子ついて、Eγ2nd < 0.02 GeV であること。これは、ECL で光子のクラスターとして再構成される最低のエネルギーが 0.02
GeV であることによる。

(GeV)

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6

5

4.5

5

1733
75.84
10
4.131
27.51
0.9743
8

4.5

4

4

6

3.5

6

3.5

3

3

4

2.5

4

2.5
2

2

2

2

1.5
0

Entries
Mean xMean yStd Dev x
Std Dev y

Eγ

Eγ

8

θγ (Lab) vs Eγ (MCS)

6
5.5

CMS

Entries
642
Mean x69.52
10Mean y5.075
Std Dev x 21.55
Std Dev y 0.3609

5.5

CMS

(GeV)

図 5.12 は、lowM 条件、highM 条件までの選別を施した後に、Eγ2nd 選別を行った e+ e− →γ γ (γ) 事象の θγ1st − E ∗ 1stγ 分布である。2 つ光子が生成されたうちの一方が ECL ギャップを通り抜け観測されず、1 光子事象と見なされたイベントの分布は、弱い選別時と同様に
θγ ∼ 60◦ 付近に見られる。表 5.3 は事象選別後に残った事象数をモードごとにまとめたものである。表 5.1 と比較すると、Eγ2nd 選別の条件により事象数が強い条件を課す前の 10%2に対するバックグラウンド事象
以下に減っていることが分かる。また、表 5.4 は各 Minv
−1
数の評価である。全てのデータは 50 fb に規格化されている。

1.5
20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

0

(degree)lab(a) lowM:e+ e− → γ γ (γ)

20

40

60

80

100

120

140

θγ

160

180

0

(degree)lab(b) highM:e+ e− → γ γ (γ)

図 5.12: Eγ2nd 選別後の e+ e− → γ γ (γ) の θγ1st − E ∗ 1stγ 分布。(a):lowM 条件、(b):highM 条件に対するバックグランド事象の分布。(a)(b) 共に θ = 60◦ 付近に存在する領域は、生成された 2 光子のうち、1 光子が ECL のバレルとエンドキャップの間にあるギャップに飛んで観測されなかった為に 1 光子事象とみなされたものである。この領域の事象は、最終的にはギャップイベント選別で取り除く。

45

表 5.3: Eγ2nd を用いて強い選別を行った後のバックグラウンドの事象数。バックグラウンドのデー
タは全て 50 fb−1 に規格化されている。事象数の誤差は統計誤差を示す。

Background processe+ e− → e+ e− (γ)
e+ e− → γ γ (γ)
e+ e− → µ µ (γ)
e+ e− → e+ e− e+ e−
e+ e− → e+ e− µ µlowM cut (×103 )0.23 ± 0.02
3.4 ± 0.06
000highM cut (×103 )0.46 ± 0.02
12 ± 0.1
0.06 ± 0.01
00

表 5.4: Eγ2nd を用いた選別後のシグナル検出効率とバックグラウンド数。バックグラウンド事象
2 について評価した。バックグラウンドのデータは全て 50 fb−1 にのイベント数を各 Minv
規格化されている。また、検出効率の系統誤差は ±10% と仮定し、バックグラウンドの事象数の誤差は統計誤差を示す。

MA′ [GeV /c2 ]
0.0
0.2
0.5
1.0
1.7
2.5
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0

2
Minv
range [GeV 2 /c4 ]-8.0 - 8.0-7.0 - 8.0-6.5 - 9.0-6.5 - 9.0-3.0 - 12.5
0.0 - 14.0
2.0 - 16.0
10.5 - 22.5
20.0 - 31.5
31.5 - 41.5
44.5 - 53.0
61.0 - 68.0

Signal eﬃciency ηef f [%]12.4 ± 0.1
12.6 ± 0.1
12.1 ± 0.1
12.1 ± 0.1
12.1 ± 0.1
12.3 ± 0.1
12.7 ± 0.1
11.3 ± 0.1
9.4 ± 0.1
6.0 ± 0.1
15.8 ± 0.2
9.7 ± 0.1

Background events b(×103 )2.9 ± 0.05
2.9 ± 0.05
3.0 ± 0.05
3.0 ± 0.05
3.1 ± 0.06
2.6 ± 0.05
1.7 ± 0.04
0.4 ± 0.02
0.2 ± 0.01
0.05 ± 0.01
1.6 ± 0.04
0.3 ± 0.02

図 5.13 は強い選別と弱い選別に対する信号事象の検出効率、図 5.14 は強い選別・弱い
選別をそれぞれ行った場合に期待されるバックグラウンド事象数 b を MA′ の関数で表したものである。強い選別は、弱い選別で残っていたバックグラウンド事象を 1/10 に減らす。また、強い選別を行ったことによる信号検出効率の低下は 1%程度であった。

46

Signal efficiency

0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08

Loose
Tight

0.06
0.04
0.02
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

MA'(GeV)

図 5.13: 弱い選別 (Loose) と強い選別 (Tight) における信号検出効率 ηef f 。MA′ の関数として表されている。強い選別による検出効率の低下は 1%程度である。

b

3

45

× 10

40
35
30
25
20
15
10
5
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

MA' [GeV/c2]

図 5.14: 強い選別・弱い選別をそれぞれ行った場合期待されるバックグラウンド事象数 b を MA′の関数で表したもの。赤の点が強い選別 (Tight) の場合、青い点が弱い選別 (Loose) の場合期待される b を示す。弱い選別に比べ、強い選別では背景事象数は 1/10 に減少する。

47

第 6 章 ダークフォトンの検出感度
本章では、Belle II 実験で期待されるダークフォトンの検出感度について議論する。結果は、予想される信号数の上限値およびダークフォトンの結合定数の上限値として報告する。値はすべて 90%の信頼度である。

6.1

信号の上限値の求め方

Likelihood 法による信号の上限値を導出する方法を付録??にまとめた。この上限値は最2
終的には得られた Minv
分布のフィットにより求める予定であるが、ここでは前章で求めた予想されるバックグランド事象数 b を用いて各ダークフォトンの質量ごとに上限値を求めた。用いた式は付録の式 (B.26) と (B.27) である。すなわち、90%の上限値の平均 Nupは
1.28
Nup = 1.28 · σA = √
(6.1)
σb2
1
+
b
2b2
ここで、b は予想されるバックグランドの数,、σb はバックグランドの系統誤差、今回はσb /b = 0.1 を仮定した。
ここで求めた信号数の上限値 Nup から断面積の上限値 σ up はNup
L · ηef f

σ up =(6.2)

で与えられる。ここで、L はデータのルミノシティ、ηef f は信号の検出効率である。MA′の関数として表した信号の検出効率を図 6.1 に示す。L は 今年の実験で収集予定の 50 fb−1を仮定した。各選択条件での ηef f は表 5.2 と表 5.4 に示している。ここで求めた σ up とダー
クフォトンの結合定数 ε を１とした時のダークフォトンの生成断面積 σA′ (ε = 1)(式 (4.2))との比から、結合定数の 90%の信頼度での上限値 εup を以下のように求めることができる。

√
ε

up

=

σ up
σA′ (ε = 1)

48

(6.3)

Signal efficiency

0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

MA'(GeV)

図 6.1: 全ての選別条件を用いた、信号事象の検出効率の最終結果。強い選別を使用した。MA′ ≤ 6
GeV の事象には lowM 条件を、MA′ > 6 GeV の事象には highM 条件を使用して選別を
行った。

6.2

ダークフォトンの検出感度

Belle II 実験 (50 fb−1 ) における弱い選択条件による結合定数 ε の上限値を表 6.1 に、強い選択条件による結果を表 6.2 に示す。
図 6.2 は結果の上限値を MA′ の関数としてプロットしたものである。 同じ図に Belle
II で収集を予定している全統計 (50 ab−1 ) の場合の達成可能領域も示した。50 fb− 1 の場
合、ε は MA′ =5 GeV のとき 4 × 10−4 、 MA′ = 0.01GeV ∼ 2GeV のとき 10−3 までの感度がある。
また、50 ab− 1 まで収集すると MA′ =5 GeV で 5 × 10−5 まで探索範囲を拡大させることができる。図 2.9 に示したようにこの領域は理論的にも非常に興味深い領域である。
なお、この結果は途中段階のものであり、前章で述べたように今後 KLM 等現在使っていない検出器の情報を使うことによりさらなる向上の余地があることをつけ加えておく。

49

表 6.1: 弱い選別条件による A′ の 90%CL の上限の平均値 Nup と生成断面積 σA′ 。

MA′ [GeV/c2 ]
0.0
0.2
0.5
1.0
1.7
2.5
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0

BG events b(×103 )37.5 ± 3.7
37.5 ± 3.7
39.8 ± 4.0
39.8 ± 4.0
41.5 ± 4.2
31.0 ± 3.1
21.5 ± 2.2
6.21 ± 0.6
3.41 ± 0.3
0.90 ± 0.09
27.3 ± 2.7
8.71 ± 0.9

Nup
248
248
255
255
261
225
188
101
74.7
38.4
211
119

σ up [fb]37.6 ± 0.3
36.7 ± 0.3
38.7 ± 0.3
40.0 ± 0.3
40.7 ± 0.3
34.4 ± 0.3
26.4 ± 0.2
16.8 ± 0.1
14.2 ± 0.1
12.2 ± 0.2
25.3 ± 0.3
22.8 ± 0.2

εup (×10−3 )
2.34
2.32
2.37
2.39
2.39
2.14
1.87
1.38
1.17
0.96
1.19
0.92

表 6.2: 強い選別条件による A′ の 90%CL の上限の平均値 Nup と生成断面積 σA′ 。

MA′ [GeV/c2 ]
0.0
0.2
0.5
1.0
1.7
2.5
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0

BG events b(×103 )2.9 ± 0.3
2.9 ± 0.3
3.0 ± 0.3
3.0 ± 0.3
3.1 ± 0.3
2.6 ± 0.3
1.7 ± 0.2
0.4 ± 0.04
0.2 ± 0.02
0.05 ± 0.005
1.6 ± 0.2
0.3 ± 0.03

50

Nup
68.9
68.9
70.1
70.1
71.3
65.3
52.8
25.6
18.1
9.05
51.2
22.2

σ up [fb]10.9 ± 0.1
10.9 ± 0.1
11.6 ± 0.1
11.6 ± 0.1
11.8 ± 0.1
10.6 ± 0.09
8.31 ± 0.07
4.53 ± 0.04
3.85 ± 0.04
3.02 ± 0.05
6.48 ± 0.08
4.57 ± 0.05

εup (×10−3 )
1.27
1.26
1.30
1.29
1.28
1.19
1.03
0.72
0.61
0.48
0.60
0.41

ε

50 fb-1 Loose
Expected sensitivity Belle II 50 fb-1 Tight−3

10

Expected sensitivity Belle II 50 ab -1 Tight
10− 4

−2

10

−1

10

1

MA' [GeV/c2]

図 6.2: Belle II 実験で収集される 50 fb−1 のデータから期待される、A′ の結合定数 ε の上限値。
青の線は Loose 選別を行った場合、赤の線は Tight 選別を行った結果をそれぞれ表す。また、赤の破線は 50 ab−1 のデータから期待される Tight 選別を用いた上限値を示す。

51

第 7 章 まとめ
本研究では Belle II 実験におけるダークフォトン生成事象 (e+ e− → γ + A′ ) の検出可能性について、モンテカルロシミュレーションを用いて検出効率と予想されるバックグ
ランドを評価した。信号事象の検出効率は、約 10% の値が得られた。また、QED 由来のバックグラウンド事象数を評価したところ、信号事象のバックグラウンドの最たる容易がe+ e− → γ γ (γ) 事象であることが分かった。ECL のギャップに粒子が逃げて観測されない事象や、エンドキャップ部に入射した粒子のエネルギーをいかに精度良く測定するかが重要となることが分かった。

εe+ e− → γ γ (γ) 事象を含めたプロセスから評価したバックグラウンドの事象数から、90%の信頼度で、信号の上限値及びダークフォトンの運動項の結合定数 ε の上限値を 50
fb−1 と 50 ab−1 の場合について広いダークフォトンの質量範囲 (0.01 GeV から GeV) に求めた。結果を図 7.1 に示す。この探索領域は、SIMP シナリオ等で様々なダークマターの理論により探索が期待されている領域である。

50 fb-1 Loose
Expected sensitivity Belle II 50 fb-1 Tight−3

10

Expected sensitivity Belle II 50 ab -1 Tight
10− 4

−2

10

−1

10

1

MA' [GeV/c2]

図 7.1: Belle II 実験で期待される A′ の結合定数 ε の上限値

本研究の事象選別ではカロリメータより外側に位置する測定器 (KLM) の情報を用いた
ベトーの条件を用いることが出来なかった。今後は KLM 等現在使っていない検出器の情報を使うことにより、更に小さい ε の領域にむけて感度を向上させる余地があることをつ
け加えておく。

52

付 録A

Gauge Boson Mixing

ここでは、ダークフォトン模型でのダーク U (1)D とハイパーチャージ U (1)Y の間の運動項混合の理論を記述する。基本の中性ゲージボソンのラグランジアンは以下のように書
かれる。

1
ϵ
1 3 3µν 1µνµνW̃− B̃µν B̃ µν − Ã′ µν Ã′ + B̃µν Ã′ .
L = − W̃µν
4
4
4
2

(A.1)

ここで、ϵ は運動項の結合定数である。B̃ はハイパーチャージ U (1)Y 、Ã′ はダーク U (1)Dのゲージ場を表す。
ワインバーグ角 θW を用いて、電弱対称性が破れた後のゲージ場 (B̃, W3 ) を混合した場を表す。cos θW = cW , sin θW = sW とおくと、
)
) (
)(
(
W̃ 3
Z̃
cW −sW
,
=
(A.2)
B̃
Ã
s W cWとなる。ここで、Ã と Z̃ はそれぞれ標準模型の光子と Z ボソンを表す。この時、Z ボソ
ンの質量が生成され、ラグランジアンは以下のように書ける。

1
1
1
µν
Ãµν Ãµν − Z̃µν Z̃ µν − Ã′ µν Ã′
4
4
4
ϵ
ϵ
µν
′ µν
−
sW Z̃µν Ã + cW Ãµν Ã′
2
2
1 2
1
µ
+
mZ̃ Z̃µ Z̃ µ + m2Ã′ Ã′ µ Ã′ .
2
2

L= −

(A.3)

mZ̃ と mÃ′ は Z ボソンと任意のダークフォトンの質量である。式 (A.3) の 2 行目は運動項、
3 行目は質量項であり、それぞれ Lkin 、Lmass とする。

運動項 Lkin を行列 U を用いて対角化する。

1 0 rϵcW
U =  0 1 −rϵsW  ,
0 0
r

(A.4)

ここで、

(
)−1/2
r = 1 − ϵ2
,

53

(A.5)

である。この時、A と混合していない事がわかる。すなわち A は質量を持たず、標準模型の光子と同一である。Lkin は以下のように対角化される。

1
0 −ϵcW1
1 T µν

Lkin = F̃µν  0(A.6)
1
ϵsW  F̃ µν = − F µν F .
2
4−ϵcW ϵsW1
また、質量項 Lmass は行列 U を用いて、
)
(
)(
2
2
)
m
−rϵs
m
1(
Z
W
Z̃
Z̃
Lmass =
Z, A′ µν−rϵsW m2Z̃ r2 ϵ2 s2W m2Z̃ + r2 m2Ã′
2
A′

,

(A.7)

µν

のように非対角行列で表される。

次に、質量項 Lmass を行列 V を用いて対角化する。
()
cos χ − sin χV =,sin χ cos χ

(A.8)

この時、

−2rϵsW m2Z̃tan 2χ =,(1 − r2 ϵ2 s2W ) m2Z̃ − r2 m2Ã′

(A.9)

である。
フェルミオンのゲージ相互作用を V を用いて記述する。cos χ = cχ , sin χ = sχ とすると、Lint =µeAµ Jemµ+ Zµ [g2 (cχ − rϵsW sχ ) JNµ C + erϵcW sχ Jem]µ+ A′µ [−g2 (sχ + rϵsW cχ ) JNµ C + erϵcW cχ Jem],(A.10)となる。ここで、µ= Qf f γ µ f,
Jem
)
1 (
T3f − Qf s2W f γ µ f,
JNµ C =
cW

である。

54

(A.11)(A.12)ϵ ≪ 1、m2Z̃ ≫ m2Ã′ の極限において、χ は(
χ ≃ −ϵsW

1+

m2Ã′

)

m2Z̃

,

(A.13)となる。この極限では、式 (A.10) はLint ≃µeAµ Jem
]
)
[ (
1 2 2
µ
2
µ
+ Zµ g2 1 − ϵ sW JN C − eϵ sW cW Jem
2
[ (
]
)
)
(
2
m
1
′
µ
+ A′µ g2 ϵsW Ã2 JNµ C + eϵcW 1 − ϵ2 s2W Jem,
mZ̃
2(A.14)のように記述される。m2Z̃ ≫ m2Ã′ の時、neutral current の寄与は電弱相互作用の結合に対して無視できるため、

ϵ

m2Ã′
m2Z̃

≪ ϵ,

(A.15)となる。よって、ダークフォトンの相互作用は以下のように与えられる。
µ
Lint ≃ eϵcW A′µ Jem.

55(A.16)

付 録B

上限値の求め方

未知の粒子を探索するときに実験の感度は非常に重要である。その実験感度を定量的に示すために、高エネルギー実験では、信号が観測されない場合にも、信頼度 90% ある
いは 95% で、観測量の上限値がいくつであったかを報告する。ここでは、事象の係数率、同じ事であるが反応の断面積に対する上限値の求め方について説明する。
具体的には、ある質量の領域に n 個の事象を観測した。期待されるバックグランドの個数が別途知られていてその数が b 個でその不定性が σb であった時、ある与えれた信頼度に対応する信号の上限値を求めることが課題である。
素粒子反応は確率的に起こるので、n 個の事象を観測する確率は、ポアソン分布 P (n|µ)
で与えられる。
µn −µ
P (n|µ) =
e
(B.1)
n!
ここで、µ は平均の個数である。実験で n 個の事象を観測したということを、推定統計学の言葉で言い換えると、元の母集団（自然）から標本サンプルを取り出した観測事象数がn であったということである。統計学の手法を用いると、この観測量 n から、ある与えれてた信頼度 CL = 1 − α で母集団の母数の値 µ （parameter) の領域を推定することができる。
その方法は、大きく普通の統計学の手法である頻度法 (Frequentist 法) とベイズ統計法に分けることができる。ここでは、頻度法の一つである最尤（ゆう）度法（MaximumLikelihood 法）について説明する。 最尤度法は有限のバックグランドが期待される場合に便利な方法である。以下 Maximum likelihood 法を略して ML 法とよぶことにする。

B.1

ML 法

今一般に上限値を求めたいパラメータを µ として、それ以外にモデルはいくつかのパラメータを持っているとする。今回はそれを代表してバックグラウンドの数 b とする。ML法によるパラメータ µ の上限値の決定方法は以下の手順になる。

1. Likelihood 関数 L(x|µ, b) を設定する。ここで、x は観測量のベクトル、µ は求めたい (母集団) のパラメータ ( parameter of interest) である。一方 θ それ以外のパラメータ (nuisannce parameters) でバックグランドの形状等を表すパラメータを示す。
2. Likelihood 関数の比を定義する。
3. その対数をとって仮説とデータとの差を見積もる統計量 (test static)qµ とする。
4. test-statisticqµ の分布関数 f (qµ |µb) を求める。
56

5. 分布関数 f (qµ |µ, b) を ある qµ から上の部分を積分するとその面積が α とになる。この α は p − value(p) と呼ばれることもある (p = α)。したがって 1 − α が (仮定の）信頼度 (CL) となる。CL = 1 − α。
6. 分布関数の累積積分の値と信頼度 1 − α の関係式から、その逆関数を求めることにより、ある与えられた信頼度 (1 − α) に対応するパラメータ µ の上限値 µup を求めことができる.。
母集団における信号数を µ、バックグランド数を b と、バックグランドの誤差を σb としたとき、Likelihood 関数は、以下のように 平均値を (µ + b) とする ポアソン分布関数とバックグランドの誤差を表すガウス分布の積で与えられる。ここで n は観測された信号とバックグランドの事象数の和で、m はバックグランドの事象数である。

()(µ + b)n (−µ+b)1(m − b)2
L(µ, b) =
e
·√
exp
(B.2)
n!
2σb2
2πσb
いま、データから求められる test-stistic の変数として次のような Likelihood の比の対数を定義する。
qµ = −2 lnL(µ, ˆb̂)(B.3)
L(µ̂, b̂)
ここで、分子の µ は仮定した信号の数で任意の値をとることができる。ˆb̂ は、与えられたµ に対して、L を最大化する b の値である。一方、分母の µ̂ と b̂ はここの Likelihood を最大化する µ と b の値 (estimator) である。変数 qµ に付けた下付きの µ は qµ が µ に依存するという意味で、以下 qµ を q(µ) と混在して表記することもある。この定義の重要な点は
ˆb̂ で、個々の µ の値に対して Likelihhod を最大にする b の値を求めることにより、b の系
統誤差の影響を自動的に上限値の結果に反映させることができる。
たとえば式（B.2）の Likelihood 関数に関する µ̂,b̂, ˆb̂ は以下のように与えられる。
µ̂ = n − m(B.4)

b̂ = m√()2
m − µ − σb2m − µ − σb2ˆb̂ =++ mµ + nσb2 − µσb2
2
2

(B.5)
(B.6)

qµ はガウス分布の時の χ2 のような量で次のような性質を持っている。
1. モデル（仮定）とデータの一致の程度を表し、よく一致すれば小さい値で一致が悪いと大きな値になる。
2. qµ は µ が µ̂ に等しいときに最小値 0 をとる (qµ (µ = µ̂) = 0)。
3. q(µ) を µ = µ̂ の周りでテイラー展開すると、以下のように最低点の周りでほぼ 2 次の関数となる。
1 ∂ 2q∂q(µ − µ̂) +(µ − bµ̂)2 + · · ·qµ (µ) = q(µ̂) +∂µ2 ∂µ∂µ)2(√µ − µ̂
+ O(1/ n)
=
σ
57

(B.7)

ここで、q(µ̂) = 0, ∂qµ /∂µ|µ=µ̂ = 0 を用いた。また、分散 σ は1
1 ∂ 2 qµ
∂ 2 log L(µ, b)==−σ22 ∂µ∂µ∂µ∂µ(B.8)

で与えられる。式 B.7 で右辺の高次の項 O の項を無視した場合を漸近形 (assymmetricform) を呼ぶ。これは b ≥ 5 であればいい近似解を与えることが知られている [31]。
式（B.7）の漸近形を用いた場合、qµ の分布関数 f (qµ |µ) は、自由度 1 の χ2 の分布関数で与えられる。これを Wilks, Wald の原理 [29, 30] と呼ぶ。
すなわち、Wilks の定理により、qµ の確率密度関数 (pdf)f (qµ |µ) は

1
1 11δ(qµ ) + √ √ e−qµ /222 2π qµ

f (qµ |µ) =(B.9)

で与えられる。式 B.9 の導出は付録 C.2 を参照のこと。なお、最初の項は上限値を求めることが目的なので下限値を無視していることに対応している。（µ < µ̂ の場合に qµ = 0 とした。).。µ の 信頼度 CL = 1 − α の上限値 µup は式 B.9 の qµ 積分値が α(90%ＣＬでは
α = 0.1)∫+∞

f (qµ |µ)dqµ

α=
up
qµ

(B.10)となる qµ の値 qµup を求め、その qµup に対応する µ の値 µup を式 (B.7) を逆に解くことにより求めればよい。
√µup = µ̂ + qµup · σ(B.11)
いま、累積関数 F (qµ |µ) を

∫ qµ

1
= +
F (qµ |µ) =2−∞と定義すると、F (qµ |µ) は∫ qµ (
01
1 1√ √ e−qµ /22 2π qµ)√
F (qµ |µ) = Φ( qµ )で与えられる。ここで、Φ(x) は累積標準正規関数で次式で与えられる。
∫ x
1 ′,2
Ψ(x) =e− 2 x dx′(B.12)(B.13)(B.14)−∞この Φ(x) を用いると、関係式√
α = 1 − F (qµup ) = 1 − Φ( qµup )が成立する。qµup は Φ の逆関数 Φ−1 を用いて
√ up
qµ = Φ−1 (1 − α)(B.15)(B.16)

より求めることができる.。これを式 (B.11) に代入すると、µup = µ̂ + σΦ−1 (1 − α)(B.17)という最終結果が得られる。たとえば、α = 0.1(0.05) の場合 Φ−1 (1 − α) = 1.28(1.64) である。ここで、σ は式 (B.22) から求めることができる。

58

B.2

平均の上限値: Asimov データセット

式 (B.17）から分かるように上限値 µup は M L の最適値 µ̂ に、信頼度から決まる係数にσ を掛けた値である。しかし、µ̂ は式 (B.17) から分かるように µ̂ = n − m であり、統計的なふらつきの影響を受ける量である。実験の設計で必要な上限値をそのような統計のふらつきを平均した” 平均の上限値”である。ここでは、その 平均の上限値” の求め方について説明する。
平均の上限値を求めるために、仮想的に実験を何度も行ったところ、それぞれの実験の最適値 µ̂ が σ で分布し、その平均値が µ′ であったとする。この仮想的な実験はモンテカ
ルロで実行可能で、それが”Asimov データセット” と呼ばれている1 。
アシモフデータセットは、仮想的実験を何度も繰り返した結果であって、その i 番目の実験の µ の最適値を µ̂i とする。i = 1, · · · , N 回の実験を行ったとすると、その時のLikelihood 関数 LA は(())(µ̂i + b)ni (−(µ̂i +bi ))(mi − b)2N
LA (µ̂i , b) = Πie
· exp
(B.18)ni !
2σb2で与えられる。これが最大値を取る条件は、それの対数を µ̂i で微分したものがゼロという条件∂ log LA
=0
∂ µ̂i
)
N (
∑
ni
−1 =0
µ̂i
i
が成り立つ。したがって µ̂i の平均値 µ′ は、

1 ∑
1 ∑
µ =
µ̂i =
ni
N i
N i
N

N

′

(B.19)と等しい。このアシモフデータセットを用いて、アシモフ test-statistic qµ,A を次のように定義する。
L(µ, ˆb̂)qµ,A = −2 ln(B.20)
L(µ′ , b̂)
分母の µ̂ が µ′ と置き変わっていることに注意。
アシモフデータセットでは µ̂ = µ′ なので、

qµ,A ≈(µ − µ′ )2
σA2で、σA は、

σA = √

1

1
1 ∂ 2 qµ,A
2 ∂µ∂µこの名前は SF 作家 Isaac Asimov からきている [32]。

59(B.21)(B.22)

で与えられる。g 以下、同様の議論を繰り返すことにより、信頼度 1 − α の上限値は、式(B.17) の µ̂ を µ′ で置き換えることにより、

mean[µup ] = µ′ + σA Φ−1 (1 − α)となる。また、それの ±N(B.23)

σ のバンドは、

band[µup ] = µ′ + σA (Φ−1 (1 − α) ± N )(B.24)である。

B.3

具体例：バックグランドの量とそのエラーが知られている場合の平均上限値

Likelihood が式 (B.2) で与えられる場合には、σA は式 (B.22) から
1
=
σA2
=

1 ∂ 2 qµ
∂ 2 log L(µ, ˆb̂)=−2 ∂µ2 A
∂µ2
A
)2 (
( )2
(
) 2
∂ˆb̂
−n
∂ ˆb̂
1 ∂ˆb̂
(m − ˆb̂) ∂ 2ˆb̂
n
1
+
+
1
+
+
−
(B.25)(µ + ˆb̂)2∂µµ + ˆb̂∂µ2 σb2 ∂µσb2 ∂µ2Aで求められる。第 2 項以降は ˆb̂ の µ へに依存性（式 (B.6)）から出てくる項である。式（B.6）において σp2 係数の寄与が小さいとして上の結果を導いた。ˆb̂ の µ 依存性によってb のエラー σb の効果を上限値に取り組むことができていることが分かる。
アシモフデータセットでは n = s + b, m = b, µ = s ととる。今回は信号にどこまで感度があるか知りたいので信号数をゼロ (µ′ = s = 0) とおくことにより σA は
√ (
)
1
1
σb2
=
1−
(B.26)σAbbで与えられる。詳しい計算は付録 C.3 を参照のこと。ここから信頼度 90%の上限の平均値はmean[µup ] = 1.28σA(B.27)となる。これが最終結果である。
この式の応用範囲の下限は、式 (B.7) の高次の項を無視した漸近形の仮定より b ∼ 5 でσ2ある。一方上限は、式 B.26 の平方根の中が正である条件 (1 − bb ) ≫ 0 すなわち √1b ≫ σbbが満たされる範囲となる。たとえば、 σbb = 0.1 であれば、b ≤ 50 である。b の値がより大きい場合には、観測分布の形 signal+ background でフィットする事が必要である。
本実験ではこの式を用いて上限値を計算した。漸近形の式（B.9）が使えないのでコンピュータで数値的に上限値を求める必要がある。

60

付 録C
C.1

最尤法の式の導出

式 (B.6) の導出

この式は式 (B.2) の likelifood 関数の対数の b による偏微分がゼロという条件から導出できる。すなわち、log(L(µ, b) = n log(µ + b) − µ − b − log n! −0=(m − b)22σb2∂ log L(µ, b)
n
m−b
=
−1+
∂b
µ+b
σb2

ここで、通分すると

nσb2 − (µ + b)σb2 + (m − b)(µ + b) = 0(C.1)

が成り立つので、b に関する 2 次方程式

b2 + (µ − m + σb2 )b − mµ + (µ − n)σb2 = 0(C.2)

が得られる。根の公式を用いて、すこし整理すると式 (B.6) が得られる。

C.2

式 (B.9) の導出

Wilks, Wald の原理 [29, 30] により、変数 Z = m−µが平均値 0 分散 1 の標準正規分布
σ
N (0, 1) に従うことが言える。ここでは、この変数 Z の 2 乗 Y = Z 2 が自由度 1 の χ2 分布にとなることを示す。
√
Y = Z 2 の関係により、一つの Y の値の対して 2 つの Z の値 Z = ± Y が対応するので、確率 P には
P (y ≤ Y ≤ y + ∆y) = P (z ≤ Z ≤ z + ∆z) + P (−z − ∆z ≤ Z ≤ −z)(C.3)の関係が成り立つ。いま、Z の確率分布関数 (pdf) を fZ (z), Y の pdf を fY (y) とすると上
の関係は、
∫
∫
∫
y+∆y

y

z+∆z

fY (y ′ )dy ′ =fZ (z ′ )dz ′ +

z

−z

−z−∆z

fZ (z ′ )dz ′と表すことができる。である。ここで右辺の第 2 項で、t = z ′ の変数変換をするとdz ′ = −dtz ′ : −z − ∆ − z → −z =⇒ t : ∆ + z → z
61

(C.4)

より、

∫ −z

′

fZ (z )dz′

∫ z+∆z]=fZ (−t)(−1)(−1)dt(C.5)となる。したがって、式 (C.4) に代入すると関係式∫ y+∆y∫ z+∆z′′fY (y )dy =(fZ (z ′ ) + fZ (−z ′ ))dz ′

(C.6)

−z−∆z

z

y

z

が成り立つ。 ∆y ≈ 0, ∆z ≈ 0 の極限を考えると

fY (y)δy = (fZ (z ′ ) + fZ (−z ′ ))∆z

(C.7)

dz
dy

(C.8)

なので、

fY (y) = (fZ (z ′ ) + fZ (−z ′ ))dz
1
いま y = z 2 なので、 dy= dy1 = 2z
dz

1
√
√
fY (y) = √ (fZ ( y) + fZ (− y))
2 y

(C.9)

が得られる。この式は変数が Y = Z 2 の関係にあるどのような分布関数にも適用できる関係式である。より、
fZ (z) は標準正規ガウス関数
1 z2
fZ (z) = √ e 2(C.10)
2πなので、これを式 (C.9) に代入すると、
y
y
1 1 1
√ √ (e− 2 + e− 2 ))2 y 2πy1= √ √ e− 22π y

fY (y) =(C.11)

が得られる。本文の式 (B.9) は y = qµ の場合に対応している。しかし、本文では上限値を出すために下限の方を無視しているので δ 関数の分が異なっている。詳しくは文献 [31]を参照のこと。

C.3

式 (B.26) の導出

まず式 (B.26) は以下のように導出される。 式 (B.2) の対数をとるとlog L(µ, ˆb̂) = n log(µ + ˆb̂) − µ − ˆb̂ − log n! −(m − ˆb̂)2
2σb2

従って、µ に関する一次微分は ˆb̂ が µ に依存することに注意して()∂ log L(µ, ˆb̂)n∂ˆb̂∂ˆb̂ (m − ˆb̂) ∂ˆb̂
=
1+
−1−
+
∂µ
µ + ˆb̂∂µ∂µσb2 ∂µ62(C.12)(C.13)

と与えられる。これを再度 µ で微分すると式 (B.26) となる。
式 (B.26) の具体的な表式を求めるには式 (B.25) に現れる ˆb̂ の微分を計算する必要がある。その準備のために式 (B.6) の平方根の中を D とおく。その D の µ に対する 1 次と 2 次の微分を求めておく。
()2m − µ − σb2D =+ mµ + nσb2 − µσb22∂D1=(m + µ − σb2 )(C.14)
∂µ
2
1
∂ 2D
=
(C.15)2∂µ
2
これを用いると ˆb̂ の µ に対する 1 次と 2 次の微分は

∂ˆb̂
1
1 ∂D
= − + √∂µ
2 2 D ∂µ2∂ ˆb̂
1 −3/2 ∂D 1 −1/2 ∂ 2 D
=
−
D
+ D
∂µ2
4
∂µ
2
∂µ2

(C.16)(C.17)である。以上の値を アシモフデータの場合について求めるには、n = s + b, m = b, µ = sとおき、さらに s = 0 とする。以上より、(b − σb2 )2(b + σb2 )2+ bσb2 =4
4bb + σb2= (1 + a)
=
2
2

DA =
∴

√
DA

(C.18)

ここで表記を簡単にするために

a≡

σb2
b

(C.19)

とおいた。また、∂Db − σb2b|A == (1 − a)∂µ22なので、ˆb̂ とその 1 次、2 次微分はそれぞれ以下のようになる。
ˆb̂A =
∂ˆb̂
=
∂µ A
≈
∂ 2ˆb̂
=
∂µ2 A
=
≈
≈

b − σb2 b + σb2+=b2
2b/2(1 − a)1
− +2 2 · (b/2)(1 + a)
1 1
− + (1 − a)(1 − a + a2 ) = −a + a2
2 2
(
)−3 (
)2
b
1
1
1 (b(1 + a)
(1 − a) +−422(b/2)(1 + a) 22
(1 − a)1−+
3
2b(1 + a)2b(1 + a)()
1−(1 − 2a + a2 )(1 − 3a + 6a2 ) − (1 − a + a2 )
2b
) 2a
1 (
−
1 − 5a + 6a2 + a2 + 6a2 − 1 + a − a2 ) = (1 − 3a)2bb63(C.20)(C.21)(C.22)(C.23)

以上を式 (B.25) に代入する。まず、アシモフの条件 m = b, n = s + b = b, µ = 0 を代入することにより

)2 (
( )2
(
) 2
n
∂ˆb̂
−n
∂ ˆb̂
1 ∂ˆb̂
(m − ˆb̂) ∂ 2ˆb̂
1
+
+
+
1
+
−
(µ + ˆb̂)2∂µµ + ˆb̂∂µ2 σb2 ∂µσb2 ∂µ2
A
(
)2 (
( )2
) 2
2
∂ˆb̂
−b
(b − b) ∂ ˆb̂
1∂ ˆb̂
1 ∂ˆb̂
1+++1+−(C.24)
=
2
b
∂µ
b
∂µ
ba ∂µ
ab ∂µ2 A

1=
σA2

ここで分かるように、第 2 項と第 4 項の係数はゼロとなる。また、σb2 を ba = σb2 で置き換えたことに注意。結局 ∂ˆb̂∂µ が解ればいいので、式 (C.22) の結果を代入することにより

1
1
1=(1 − a + a2 )2 + (−a + a2 )2
2
σA
b
ba
1
1
≈
(1 − 2a + 2a2 + a − 2a2 ) = (1 − a)
b(
b
)
1
σb2
=
1−
b
b
となり、式 (B.26) が導出できた。

64(C.25)

参考文献[1] F.Zwicky, ”Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln” Helvetica Physica
Acta, 6, 110-127 (1933)[2] E.Corbelli and P.Salucci ”The extended rotation curve and the dark matter halo of
M33” RAS, MNRAS 311, 441 (2000)[3] D.Clowe et al., ”A Direct Empirical Proof of the Existence of Dark Matter” Ast.
Journal 648, (2006) 109[4] Bennett, C.L. et al., ”Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)
Observations” 2013, ApJS., 208, 20B[5] M.Bauer and T.Plehn, Lect. Notes Phys. 959, pp. (2019) doi:10.1007/978-3-03016234-4 [arXiv:1705.01987 [hep-ph]].
[6] M. Battaglieri et al., arXiv:1707.04591 [hep-ph]. 1[7] C. Alcock et al., ApJ 542, 281 (Octtober 2000).
[8] C. Afonso et al., A&A 400, 951 (March 2003).
[9] J. Alexander et al., arXiv:1608.08632 [hep-ph].
[10] M. Schumann, J. Phys. G 46, no. 10, 103003 (2019) doi:10.1088/1361-6471/ab2ea5 [[astro-ph.CO]].
[11] L. Roszkowski, E. M. Sessolo and S. Trojanowski, Rept. Prog. Phys. 81, no. 6, 066201(2018) doi:10.1088/1361-6633/aab913 [arXiv:1707.06277 [hep-ph]].
[12] E. Izaguirre, G. Krnjaic and B. Shuve, Phys. Rev. D 93, no. 6, 063523 (2016)
doi:10.1103/PhysRevD.93.063523 [arXiv:1508.03050 [hep-ph]].
[13] Y. Hochberg, E. Kuflik and H. Murayama, JHEP 1605,
doi:10.1007/JHEP05(2016)090 [arXiv:1512.07917 [hep-ph]].

090 (2016)[14] Y. Hochberg, E. Kuflik and H. Murayama, Phys. Rev. D 97, no. 5, 055030 (2018)
doi:10.1103/PhysRevD.97.055030 [arXiv:1706.05008 [hep-ph]].
12017 年の時点では、15M⊙ 程度までの質量の MACHO がダークマターである仮説は棄却されている。
しかしそれ以上の重いものがダークマターになってる仮説は残っており、(p.99 図 26) こうした重い天体の量の決定には、天文観測での重力マイクロレンズによる観測は意義があるとの見解が共有されている。

65

[15] E. Kuflik, M. Perelstein, N. R. L. Lorier and Y. D. Tsai, JHEP 1708, 078 (2017)
doi:10.1007/JHEP08(2017)078 [arXiv:1706.05381 [hep-ph]].
[16] A. Berlin, N. Blinov, G. Krnjaic, P. Schuster and N. Toro, Phys. Rev. D 99, no. 7,
075001 (2019) doi:10.1103/PhysRevD.99.075001 [arXiv:1807.01730 [hep-ph]].
[17] J. P. Lees et al. [BaBar Collaboration], Phys. Rev. Lett. 119, no. 13, 131804 (2017)
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[18] E. Kou et al. [Belle-II Collaboration], PTEP 2019, no. 12, 123C01 (2019)
doi:10.1093/ptep/ptz106 [arXiv:1808.10567 [hep-ex]].
[19] B. Holdom, Phys. Lett. B 166, 196 (1986).
[20] E. Izaguirre, G. Krnjaic and B. Shuve, Phys. Rev. D 93, no. 6, 063523 (2016)
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[21] SuperKEKB. (Jun 23, 2014). SuperKEKB Design Report, Retrieved December 22,
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03A011 17[23] T.Abe et al.(BelleII
arXiv:1011.0352 (2010)

Collaboration),”BelleII

Technical[24] JAHEP. (2013). Belle II CDC, Retrieved December
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Design25,

Report”

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25,

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[27] T.Kuhr et al.(BelleII Framework Software Group), ”The Belle II Core Software”[28] E.Kou et al., ”The Belle II Physics Book (Draft v1.0)” Prog. Theor. Exp. Phys. 2018,
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66

[31] “Asymptotic formulae for likelihood-based tests of new physics”, G. Cowan, K. Granmer, E. Gross, O. Vitells, Eur. Phys. J. C 71, 1 (2011), arxiv:1007.1727.
[32] “Franchise, in Isaac Asimov: The Complete Stories”, I. Asimov, Vol. 1, Broadway
Books, 1990.
[33] バーバラ・ライデン, ”宇宙論入門” 桐原書店
[34] S.Matsumoto,”Dark
MatterStudy
asaBridgeheadforNew
Physics Exploration” Kavli IPMU News No.45 March 2019 fromhttps://www.ipmu.jp/sites/default/files/imce/news/45 E Feature TeaBreak.pdf[35] 林井 久樹, (November 2019). from https://drive.google.com/file/d/
113x7Rmz1RmXzTYBN0OH9WCtn17tYVd4q/view[36] Takashi
Shimomura,(November2019).
”Dark
Sector”
fromhttps://indico.rcnp.osaka-u.ac.jp/event/1383/contributions/6176/attachments/
5188/6169/FPW2019-shimomura.pdf[37] 加 納 美 佳, (December 2019). ”SuperKEKB 加 速 器 第 二 期 試 験 運 転 に お け る
BelleII 実験電磁カロリメータでの放射線量測定” from http://webhepl.cc.narawu.ac.jp/old HP/thesis/master/2018kano/kanomika mthesis.pdf

67謝辞
本研究に際して、お世話になりました方々にお礼申し上げます。
はじめに、この様な興味深い研究に携わる機会を与えて下さった高エネルギー物理学研
究室の林井先生、宮林先生、下村先生、蜂谷先生に深く感謝致します。丁寧なご指導を頂
きました指導教官の林井先生には、物理の楽しさ、解析手法や論理的思考など今後の人生の糧となるものを沢山お教え頂きました。お忙しい中でも相談に乗って頂き、ここまで研究を進めて来られたのは林井先生の御尽力あってのことです。宮林先生には、研究環境の整備から日々の助言など常に気にかけて頂き、助けて頂きました。下村先生、蜂谷先生にも、本研究とは違った視点からのご指摘、ご指導を頂きました。先生方にはこの場を借りて深くお礼申し上げます。Belle II Collaboration のスタッフ、学生の皆様にも大変お世話になりました。
同期の釜野さん、鈴木さん、藤井さん、港さんには多くの励ましや刺激を頂き、私の研究生活において皆さんは欠かせない存在でありました。心よりお礼申し上げます。
また、有意義な学生生活を送ることができたのは、常に支えてくれた家族の存在があったからです。本当にありがとうございました。
最後に、お世話になった全ての方々に深謝し、謝辞とさせて頂きます。

68