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助成番号 150108
研 究 成 果 報 告 書（国立情報学研究所の民間助成研究成果概要データベース・登録原稿）
研究テーマ（和文） ＡＢ

K3 曲面の周期に付随する特殊関数とその数論への応用

研究テーマ（欧文） ＡＺ

Special functions concerned with K3 surfaces and its applications to numbertheory

研究氏
代表名
者

ｶﾀｶﾅ ＣＣ姓）ナガノ名）アツヒラ

研究期間 Ｂ

２０１５ ～ ２０１７

漢字 ＣＢ

永野

中行

報告年度 ＹR

２０１７

Atsuhira

研究機関名

東京大学

ﾛｰﾏ字 ＣＺ Nagano

研究代表者 ＣＤ
所属機関・職名

年

年

東京大学大学院数理科学研究科・日本学術振興会特別研究員 PD

概要 ＥＡ (600 字～800 字程度にまとめてください。)

本研究者は K3 曲面の周期写像と多変数超幾何方程式の関係を研究し、逆周期写像の特殊値による代数体の類体の構成方法を与えた。
19 世紀の楕円曲線の研究で、楕円曲線の周期(即ち楕円積分)・ガウスの超幾何微分方程式・楕円モジュラー関数・類体の構成が一体となった結果が与えられている。 これは現在の数論・代数幾何学・関数論の発展にきわめて大きな影響を与えている。
K３曲面は楕円曲線の自然な拡張とみなせる。本研究者はクラインの正二十面体不変式で自然にパラメトライズされた K３曲面族に注目し、トレリ型定理を経由して周期写像の逆写像を構成し、それが判別式最小の 2 変数ヒルベルト・モジュラー関数となることを示した。また、周期を解に持つ多変数超幾何微分方程式を明示的に書き出した。そのシュヴァルツ写像の性質を精密に考察し、逆周期写像をテータ関数で表示した。更にこのテータ関数を用いて志村曲線・志村多様体の標準モデルを与えた。 これより標準モデルの CM 点における特殊値が CM 体の不分岐類体を生成することが示される。 また、類体のガロア群の構造を決定した。
すると、この類体は絶対類体(不分岐最大アーベル拡大)ではないとわかり、絶対類体の構成という新しい問題が生じた。本研究者はガウス超幾何方程式による絶対類体の構成方法を与えた(千葉大,志賀弘典氏との共著)。ここではある種の数論的三角群の保型関数がガウス超幾何方程式の逆シュヴァルツ写像で与えられ、その特殊値が CM 体の絶対類体を生成する。
研究結果は本報告書中の論文で公表されている。また、東大・北大・早大・大阪市大・白馬、ロンドン・シェフィールド・ブリストル(英)、カーン(仏)などで開催された国際研究会・ワークショップ・セミナー
での本研究者の口頭発表は本結果を含む。
本研究の結果と手法は、トーリック超曲面のミラー対称性と保型形式の研究(東大,植田一石氏,橋本健治氏との共同研究計画)、更に実 3 次元双曲空間上の保型形式の研究(英国シェフィールド大,H.Sengun 氏との共同研究計画)に繋がっている。

キーワード ＦＡ

K3 曲面

モジュラー関数

超幾何関数（以下は記入しないでください。）
助成財団ｺｰﾄﾞ ＴＡ

研究課題番号 ＡＡ

研究機関番号 ＡＣ

シート番号- 1 -類体発表文献（この研究を発表した雑誌・図書について記入してください。）
論文標題ＧＢ

Icosahedral invariants and a construction of class fields via periods of K3
surfaces

著者名 ＧＡ

Atsuhira Nagano

雑誌名 ＧＣ

ページ ＧＦ～発行年 ＧＥ

雑誌

The Ramanujan Journal
巻号 ＧＤ

印刷中

論文標題ＧＢ

Icosahedral invariants and Shimura curves

著者名 ＧＡ

Atsuhira Nagano

雑誌名 ＧＣ

Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux

ページ ＧＦ603～635

発行年 ＧＥ

2

雑誌

論文標題ＧＢ

01

7

巻号 ＧＤ

29 (2)To the Hilbert class field from the hypergeometric modular function

雑誌

著者名 ＧＡ
ページ ＧＦ

A.Nagano, H.Shiga 雑誌名 ＧＣ
408～430

発行年 ＧＥ

Journal of Number Theory
2016

巻号 ＧＤ

165

著者名 ＨＡ
図書

書名 ＨＣ
出版者 ＨＢ発行年 ＨＤ

総ﾍﾟｰｼﾞ ＨＥ

発行年 ＨＤ

総ﾍﾟｰｼﾞ ＨＥ

著者名 ＨＡ
図書

書名 ＨＣ
出版者 ＨＢ

欧文概要 ＥＺIn this research project, the researcher studied periods for K3 surfaces parametrized byKlein’s icosahedral invariants. The period mapping for our K3 surfaces is controlled by a
hypergeometric differential equation. The inverse period mapping is expressed by thetafunctions. The researcher gave canonical models of Shimura curves and Shimura varieties interms of these theta functions. Thus, the researcher proved that the special values of theinverse period mapping at CM-points generate unramified class fields of CM-fields. The resultsof this project give natural analogues of classical Kronecker’s Jugendtraum concerned withelliptic curves, elliptic modular functions and Gauss hypergeometric differential equations.
However, the above results give a new problem, since the corresponding class fields are notabsolute class fields (maximal unramified abelian extensions). To obtain absolute class fields,
the researcher gave a construction of absolute class fields via the Gauss hypergeometricequations (joint work with H. Shiga, Chiba). Namely, it was proved that special values ofautomorphic functions given by the inverse Schwarz mappings for Gauss hypergeometric equationsof certain type generate absolute class fields of CM-fields.
The results in this project are published in the above papers. Also, they were presented atconferences, workshops or seminars in Tokyo, Sapporo, Osaka, Hakuba, London, Sheffield, Bristoland Caen, etc.
The results and methods in this project lead to a new project for modular forms and toric
hypersurfaces (with K. Ueda and K. Hashimoto, Tokyo). Also, they lead a new project for modularforms on real 3-dimenional hyperbolic spaces (with H. Sengun, Sheffield).

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