機械数学 I（2016 年度後期）期末テスト問題（2017 年 2 月 13 日１限 工学部講義棟 203 号教室）
以下の設問に解答してください．ただし問 7A と問 7B は，評価に 1 問だけ反映します．解答は設問の番号順でなくても構いません．解答用紙は 3 枚提出してください．各解答用紙の右上に名前と学籍番号を明記し，片面のみ記入してください．裏面の解答は無効とします．
1． y = ax と y = ae それぞれの dy dx を求めてください．x と y は変数で，a と n は 0 以外の定数です．
n2．

x

式(1)(2)の関係を利用するオイラー法を参考に，表１において x=5.0 の dy/dx を算出してください．

表 1 オイラー法を参考に dy/dx を計算する問題のための数値
x0.0
2.0
4.0
y0.0
4.0
16.0

6.00
36.0

8.00
65.0(1)x1 = x0 + h
y1 = y 0 + h

3．

dydx

(2)

図１のように扇形の断面の物体が，水平な x 軸上を滑らずに転がる．扇形の弧の半径を r，円弧上のどこからも距離が r になる点 C の座標を(xC, yC)とする．円弧上の点 P(xP, yP)の位置が式(3)で表され，xC＝0 の時に y 軸と線分 CP のなす角がαとするとき，角θを時間 t の関数，αおよび半径 r を定数として，原点 O に対する点 P の運動の加速度を計算してください．
⎛ xP ⎞ ⎛ r sin θ ⎞ ⎛ cos θ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ − ⎜⎜⎝ yP ⎠ ⎝ r ⎠ ⎝ sin θ4．

− sin θ ⎞⎛ r sin α ⎞⎟⎜⎟cos θ ⎟⎠⎜⎝ r cos(− α )⎟⎠(3)

トルク 50.9 N･m で 1 分当たり 1280 回転する回転軸の出力を SI 単位で求めてください．トルクは，力のモーメントと同じ意味で，回転方向にかかる力にその作用点と回転中心の距離を乗じたものです．

5． 絶対値が図 2 の斜線部の面積と同じで負の値を示す S が得られるように，空欄をうめて完成させた式(4)を回答用紙に記述してください．なお，逆関数は使わず，y=F(x)も具体的な関数は指定していません．

S= ∫= − ∫(4)

6． 最小メモリが 1mm の一般的な物差しを用いて表す際に，8.0cm を 9 等分した長さと，8.0cm を 9 等分して 10 倍した長さが，それぞれいくつにすべきか説明してください．
7A． 底辺の長さが X の直角三角形において，高さを Y，重心の y 座標を yG とする．この時 yG =Y/3 になることを，分割した微小要素のモーメントについて言及して説明してください．
7B． 断面積 S と密度ρが均一で，長さが L の棒があったとして，棒の端から距離 L/3 の点を回転中心とする場合の慣性モーメントを求めてください．慣性モーメントは，質量 dm の回転中心からの距離を rとして，r2dm を全体に積分することで求められます．

ηθη

yC

y=F(x)

F(x2)

ξCαξ

αPO

yy

F(x1)

PxO

図 1 転がる扇形の断面の物体

x(0,0)x1x2x

図 2 x の関数 y と積分答案の返却および評価の異議申し立ての日程は機械棟 1 階の掲示板で通知します．

解答例

P=１．としたとき，

Tr

(2)

L = 2πrnt

(3)

F=２．
式(1)(2)を整理すると式(2-1)が得られる．
dy y0 − y1
=dx x0 − x1

(1)

ここで回転中心からの力の作用点までの距離を rdydy= anx n −1 ，(2)= ae xdxdx

(1)

FLt

(2-1)

式(1)に式(2)(3)を代入する

1⎛T ⎞P = ⎜ ⎟(2πrnt )rt⎝ ⎠ここで 4 と 6 の平均が 5 であり，式(2-1)より x が 4= 2πnTから 6 の間の変化の割合を x=5 における dy/dx と(4)式(4)に n=1280/60, T=50.9 を代入する．

する．よってdy 36 − 16== 10dx
6−4P=6823W(2-2)=6.82kW

以上より，x=5 において dy/dx=10 である．

以上より，6.82kW である．

3．

5．

位置を時間 t で 2 階微分したものが加速度になる．

⎛d⎜ cos θ− ⎜ dt⎜ d sin θ⎜⎝ dt=rd(− sin θ )⎞⎟⎛ r sin α ⎞dt⎟⎜⎟⎟⎜dcos θ ⎟⎟⎝ r cos(− α )⎠dt⎠⎛ d⎞− sin θ ⎞⎜ dt (r sin α ) ⎟⎟⎟⎜cos θ ⎟⎠⎜ d {r cos(− α )}⎟⎜⎟⎝ dt⎠dθ ⎛ cos θ ⎞ dθ ⎛ sin θ⎜⎜⎟ +dt ⎜⎝ 0 ⎟⎠dt ⎜⎝ − cos θcos θ ⎞⎛ r sin α ⎞⎟⎜⎟sin θ ⎟⎠⎜⎝ r cos(− α )⎟⎠この式を更に時間 t で微分する．
dd 2θ ⎛ cos θ ⎞dθ ⎛⎜ cos θ ⎞⎟d 2 ⎛ xP ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = r⎜⎜⎟⎟ + r
dt
dt ⎜⎜ 0 ⎟⎟dt 2 ⎝ 0 ⎠dt 2 ⎝ yP ⎠⎝⎠+F ( x1 )F ( x2 )d ⎛ xP ⎞ d ⎛ r sin θ ⎞⎜ ⎟= ⎜⎟dt ⎜⎝ yP ⎟⎠ dt ⎜⎝ r ⎟⎠⎛ cos θ− ⎜⎜⎝ sin θS=∫d 2θ ⎛ sin θ⎜⎜
dt 2 ⎝ − cos θcos θ ⎞⎛ r sin α ⎞⎟⎜⎟sin θ ⎟⎠⎜⎝ r cos(− α )⎟⎠2− sin θ ⎞⎛ r sin α ⎞⎟⎟⎜cos θ ⎟⎠⎜⎝ r cos(− α )⎟⎠⎛ dθ ⎞ ⎛ cos θ+⎜⎟ ⎜⎜⎝ dt ⎠ ⎝ sin θ以上の計算で示される

d 2 ⎛ xP ⎞⎜⎜ ⎟⎟ が点 P の加速度であdt 2 ⎝ yP ⎠xdy = − ∫F ( x2 )F ( x1 )xdy6．
80mm を 9 等分すると 80÷9＝8.9 が得られる．
1mm が最小目盛りであるから，9mm となる．また 8.0cm を 10 倍して 9 等分した長さは，ミリメー
トル単位で考えると 80×10÷9＝89 となる．よって 89mm である．
7A．
x 軸上に長さ Y の底辺を配置した三角形において，重心の y 座標を yG として x 軸周りのモーメントの釣り合いを考えると，問題文の条件から式(7A-1)を得る．なお密度と厚みと加速度を一定として適当な記号を与えた．

ρ aty G

XY=2Y⎧

⎛Xy ⎞ ⎫

∫0 y ⎨⎩ ρ at ⎜⎝ X − Y ⎟⎠ ⎬⎭ dy(7A-1)

この式を Y≠0 として整理すると yG =Y/3 を得る．

る．
7B．
4．

長さＬの棒の端から 3 分の 1 の点を回転中心とす

力を F，移動距離を L，時間を t として，る慣性モーメント Ic は，回転中心をｒ=0 とし，積分範囲を-L/3 から 2Ｌ/3 までとして，式(7B-1)で表せる．

それぞれの評価項目は，以下の確認事項に対応しIC =2L3 r 2 dm
L−3∫ている．
(7B-1)
・説明する意識がある

またこのとき，棒の断面積と密度がそれぞれ S，ρであるから，

dm = ρ Sdr(7B-2)

式(7B-1) (7B-2)より
I C = ρS∫

9・d{ f (x ) ⋅ g (x )}dxd⎧d⎫g (x ) ができる
= ⎨ f (x )⎬ ⋅ g (x ) + f (x ) ⋅dxdx⎩⎭2L
3 r 2 dr−L3

ρ Sl 3=・dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)の計算ができる

・尋ねられたことに応答している(7B-3)

問420 点
ただし，説明が適切になされていなければ 5 点を原以上より，与えられた条件による棒の慣性モーメン
トはρ Sl 39である．

点した．さらに以下の項目で各 2.5 点の減点項目を設けた．
・回転数を 1 秒当たりに直す
・有効数字を妥当な方法で示す

配点と解説

・四捨五入を繰り返さない

問1

・数値を正しく計算する

各3点・出力を kW または W で回答する

さすがにこれが正解できない人はいないと思いますが，念のための確認です．

問題の意図としては，「単位や次元を適切に取り扱う」「有効数字を適切に示す」ということを確認することである．また有効数字を有効桁数で丸める

問2

際に，「≒」を使用した場合も減点対象である．

式(2-1)の記述：2.5 点式(2-2)の記述：2.5 点

問520 点dy/dx が「x の変化量に対する y の変化の割合」

積分が何をしているのか認識できていることをであることを認識できていることを確認するため確認する問題である．授業の時から述べているようの設問です．そのため，問題の式(1)(2)に数値を代に，適当に計算し易い数式と積分範囲を仮定して計入してから h を消去する方法は不可とする．

算したら，自身の解答の妥当性が確認ができる．

問3問6

時間で２階微分したものが加速度である旨の記

配点は，前半を 9mm もしくは 0.9cm と導くこと

述：3 点が 12 点，80×10÷9 から 89mm を導くことが 8速度の計算ができている：3 点点である．≒に≠のニュアンスがあることを理解で加速度の計算ができている：3 点

きていない解答は不可とした．

設問に対して適切に応答している：１点出題の意図は，有効数字の桁数について考えてもらうことである．最も小さい目盛りが 1mm 刻みなのにそれよりも小さな単位で記述する者は許されな
いし，80mm の 10 倍が 900mm になるのも困ります．
問720 点
ただし主要な数式を導く過程を適切に説明していない場合は，50%減点した．
出題の意図としては，積分を用いて現象等を適切に表現し，かつ自身の思考を記録に残せることである．
問 7A は思考力を測る問題である．設問に記載のyG =Y/3 を得るためには，底辺が x＝0 である必要がある．そのため解答中で図もしくは記述によって底辺が x＝0 であることを示すか，問題の不備を指摘しなければならない．
問 7B では，解答例で r=0 を回転中心とする旨の記述があるように，数式における回転中心の扱いに関する説明が必要である．記述でなくても，図で構わない．
なお式（E7-1）やそれに相当する説明の記述無しに，式（E7-2)のみ記述されている場合は，減点した．実際の計算で式(E7-2)を使うことに何の問題も無いが，説明は説明と割り切るべきで，考え方を記録し示すことが大事である．計算結果が同じであるなら式（E7-1）を示すべきである．

IC = ρSl
2 r 2 drl
−2∫(E7-1)l

I C = 2 ρ S ∫ 2 r 2 dr0(E7-2)

試験全体を通して，些細な数値の入力ミスが答案だ
けで明らかになる場合，適切に考え方の記録や説明がなされていたと判断できるため，減点しない場合もある．
シラバスからの変更
授業の成績評価は，期末試験の点数 100%で評価します．また D 評価の学生に再試を実施します．