日本建築学会・情報システム技術委員会
第 37 回情報・システム・利用・技術シンポジウム 2014

擬似焼きなまし法を用いた膜曲面の極小曲面探索法
西村○山中
キーワード：膜構造極小曲面

１．序

大域的最適解

督＊1
郁美＊2

擬似焼きなまし法を得ない。Hinata, Shimasaki and Kiyono は多価の境界値

膜材料は応力緩和する材料であり、縦糸と横糸の初期問題となる Plateau 問題を有限要素法で解く方法を提示

張力の比率が異なる場合でも、時間経過で張力比が等しし、自由境界問題として、回転懸垂曲面、Wiener-Douglas１）くなる傾向がある 。また恒久膜構造の形状は、膜面に問題の解析結果を示している４）。(4)式の解法に降下法でしわが生じにくくする観点から、初期張力が均一になるある一般化ニュートン法を用いている。鈴木と半谷は、形状が望ましい。以上の理由から、膜構造の設計の初期曲面の座標(x,y,z)を等温直交座標変換し、調和方程式の解段階では、等張力曲面（膜面の全ての位置において、面として一変数に縮約できることを示し、その変数を膜要

内せん断応力が零、主応力が等しい引張応力となる曲面）

素の初期曲面で定義される方向余弦方向の移動距離とす

２）る解析法を提案した５）。この手法による回転懸垂曲面、を原型曲面としてきた 。
重力を無視した理想状態では、等張力曲面は極小曲面

Wiener-Douglas 問題、HP 曲面の形状解析結果は、解析解になることが知られている２）。極小曲面とは、閉曲線にや他の解析結果と良く対応している。石原、八木、萩原、張られる曲面の中で表面積が極小となる曲面であり、平大森は、極小曲面の解析に複数の変分汎関数を線形結合均曲率が零の曲面でもある。極小曲面を解析的に表現しした複合変分汎関数を定義し、この関数を構成している

たのは Lagrange, Euler, Meusnier ら数学者であり、曲面パラメータを制御することで原問題の解の計算過程で遭z=f(x,y)が極小曲面となる条件は遇する特異点を回避できる手法を提案している６）。内包

1  f  f  2 f f f  1  f  f  02yxxxyxy2xyy(1)３）であることを示した 。ここに
f
f
2 f
2 f
2 ffx , fy , f xx  2 , f yy  2 , f xy xyx
yxyWiener-Douglas 問題を解き、異なる 3 つの極小曲面を得ている。また極小曲面の安定性、平均曲率が零のときに(2)また、次式の面積汎関数 S を停留する条件

S    1  f x2  f y2 dxdy  0

体積と要素面積を付帯条件とした汎関数を用いて、極小曲面が得られることも示している。
面積最小の極小曲面を求める問題は、大域的最適解を求める最適化問題となる。線形化増分解析で膜面積が停(3)留する極小曲面を求める場合、初期形状の設定によっては、局所最適解としての極小曲面が得られ、必ずしも最として表すことができる。有限要素で曲面を離散化し、小面積曲面が得られるとは限らない。この原因は非線形(1)～(3)式から次式の変位 u に関する非線形連立方程式

問題特有の初期値依存性である。近年、工学の分野ではが得られる。

初期値依存性の強い非線形最適化問題の解法として、遺G(u) S0u(4)与えられた境界に張られる極小曲面の性質を調べる

伝的アルゴリズム、セル-オートマトン、擬似焼きなまし法に代表される発見的手法(Heuristic Method)が応用されている７）。例えば三井、登坂は解の候補を複数設ける多問題は Plateau 問題と呼ばれ、数学分野で研究されてきた。 点探索の一つである遺伝的アルゴリズムを用いて、極小小磯は Plateau 問題に関する主要な研究成果を紹介して曲面を探索している ８）。文献 8)の解析結果に関して、複いる３）。例えば 1930 年に J. Douglas と T. Radó は与えら数の極小曲面が存在しているか、また面積最小の形状がれた閉曲線に張られる極小曲面が存在することを証明し、 得られているかは明確に述べられていない。
(1),(3)式の解の存在を保証した。また、解の唯一性は一

本論文では、発見的手法で解の候補を 1 つ設ける単点般に成立せず、極小解の個数が有限であるか否かは自明探索である擬似焼きなまし法を適用した面積最小の極小でない。この根本的な理由は、Plateau 問題の非線形性に曲面を探索するアルゴリズムを提示する。また、数値解由来する。

析を通して提示したアルゴリズムの有効性を検証する。

任意の境界条件に対して、(4)式の解を解析的に求めることは不可能であり、模型実験や数値的方法によらざる論文 R17２．擬似焼きなまし法７）－ 85 －

擬似焼きなまし法（Simulated Annealing）は、加熱したQ が(5)式を満たすとき、解を更新する。

金属の冷却過程を模擬した手法で、[状態生成]→[状態変化]→[徐冷]の 3 段階の基本プロセスで解を探索する。こ1 Q  eET q, q：0～1.0 の乱数(5)の手法の特徴は、解探索に確率的ゆらぎを導入し、そのここに T は正の変数で、加熱後の温度に対応する。温度ゆらぎを温度と呼ばれる変数で制御することで、局所最T が高いときは置換確率 Q が高い値となり、E>0 でも適解への収束を回避し、大域的最適解を求める点にある。

解が更新され易い。E>0 ,Q > q の条件から設計変数が更

図 1 に擬似焼きなまし法の概念図を示す。

新されるプロセスが、図 1 の破線矢印が示す大域的最適状態生成では近傍に解の候補（設計変数の値）を無作解までの極大値を越えるための戦略である。ここまでの為に設定する。本論で設計変数は膜面の座標である。次解探索プロセスを設計変数の広い範囲で実施する目的で、の状態変化の過程では、設定した設計変数の評価を行う。

同一温度で設定した探索回数まで繰り返す。

図 1 に示す A1, A2 の点に初期値を設定した最小化問題の広範囲まで解の探索を行った後、変数の移動を次第に場合、降下法を用いると最寄りの極小解（図 1 中の B1,B2）落ち着かせ、大域的最適解への収束を図る。この過程はが得られる。大域的最適解（最小解、図 1 の点 D）を得基本プロセスの徐冷に相当し、温度を低下させて置換確るためには、何らかの方法で D に至るまでの極大点（図率を低くする。擬似焼きなまし法は、無限回の状態変化1 中の C1,C2）を越える必要がある。擬似焼きなまし法でにより大域的最適解が得られることが保証されている。

は、最小解までの極大点を乗り越えるために以下の方策

無限回の更新は現実的でないため、温度 T の管理方法とを講じる。設計変数の評価（E：本論では膜面積の変化

して、(6a)式の対数型アニーリングと(6b)式の指数型アニ量）が良ければ(E<0)、設定した値を暫定解として更新ーリングが用いられている。対数型アニーリングは指数する。一方、設定値の評価が悪くとも(E>0)、置換確率型アニーリングと比較して温度低下が緩慢であり、最適化に時間を要する。本論では(6b)式の指数型アニーリン

Case: Q  qC1グを採用した。ここに  は温度更新係数と呼ばれる制御

C2A1パラメータであり、0.8≦の値が用いられている。
(6a,b)
Tn1＝Tn / logn, Tn1＝Tn

A2

大域的最適解への収束の判定は、温度が零と見なせる
B1

B2
局所最適解

D局所最適解まで低下し、且つ座標を指定した回数まで更新しても面積が小さくなることがない場合、収束したと判断し、計大域的最適解

図1

算を終了する。図 2 に擬似焼きなまし法を用いた極小曲擬似焼きなまし法の概念

面の探索アルゴリズム９） を示す。

初期座標 x0、初期温度 T0、移動距離、同一温度での解の探索回数 nmax、温度更新係数を設定

３．極小曲面の数値解析

近傍解 x’をランダムに設定

めに、代表的な極小曲面の数値解析例題を示す。
No

膜 面 積 の 変 化 量  で解の更新を判断

置換確率
Q＝e(－ E/T) > q

E＞0

＜0

解の探索回数 n > nmax

回転懸垂曲面

回転懸垂曲面（Catenoid）とは、懸垂線をある軸回りに回転してできる回転曲面である。この曲面は 2 つの円したときにできる極小曲面であり、安定解と不安定解が存在する。安定解のときが面積最小、不安定解のときにNo面積が極大となる。
解の探索

Yes

３．１を、円の半径に対して 1.325487 倍以下の距離に平行配置
Yes

座標 x’に更新

2 章で述べた探索アルゴリズムの有効性を検証するた

解析対象の形状と解析制御パラメータを図 3 に示す。
解析モデルは文献 5)に倣い、初期形状を円周方向に 24

温度を Tk+1＝Tk で更新分割、高さ方向に 10 分割し、三角形要素でモデル化した。
温度 T が零とみなせる

NoYes
No
計算の終了条件（面積の収束）
Endを満たしたかYes
図 2 擬似焼きなまし法による極小曲面の探索アルゴリズム９）

論文 R17

初期形状は円筒（図 4(a)）と不安定解近傍の r=0.3 とする回転懸垂曲面（図 4(b)）の 2 種類である。なお、解析領域は x-y 平面では対称条件として 1/4 のみ、z 方向は対称条件を与えず 0≦z≦L=1.0 とする。初期形状の設定に依存せず、面積最小曲面（大域最適解）に収束することを確認する。各節点は x-y 平面内で半径方向にのみ移動－ 86 －し、z 方向には移動しないとする。

ラメータは初期温度 T0、温度更新係数、移動距離、探3.1.1

索回数 nmax の 4 つである。パラメータの設定を表 1 に示

初期形状が安定解近傍の円筒の場合

図 5 に収束形状を示す。初期形状が安定解近傍にある１０）場合の数値解(Num.)は厳密解と良く対応している。

す。”basis”は図 3 に示した解析制御パラメータを意味する。本論中の収束判定の更新回数は 50 回とした。

次に図 3 に示した解析制御パラメータを基準とし、パ

図 6 は収束時の y=0 の断面である。初期温度 T0 と温度ラメータの設定が解析結果に及ぼす影響を検討する。パ

更新係数 η の大きさは、温度低下を管理するパラメータである。A1,A2,B1,B2 の設定値では basis より早く温度が低下するが、図 6(a),(b)より収束形状に大きな違いは見らz

解析制御パラメータれない。図 6(c)より移動距離αが大きいと収束が悪く、・初期温度：T0 ＝10000 ℃

L=1.0

結果に誤差が生じやすい。移動距離は最適化に大きく影・温度更新係数： η ＝0.99

r (z = L/2)y・移動距離： =0.001響する。図 6(d)より探索回数 nmax が少ないと、z=L/2 の・繰返し回数： n max = 30 回位置で誤差が生じやすい。
3.1.2

xR=1.0
図 3 回転懸垂曲面と解析制御パラメータ

初期形状が不安定解近傍の場合

次に初期形状が安定解から離れ、不安定解近傍にある
図 4(b)の場合の解析結果を示す。解析制御パラメータの設定を表 2 に示す。Animax はアニーリングの回数を意味する。Animax =2 の F は一度温度がほぼ零となり形状が収束した後、再度アニーリングを行っている。図 7 に収束時の y=0 の断面形状を示す。basis の制御では、不安定解の近くに初期形状を設定しても、大域的最適解に収束し(a) 安定解近傍(円筒)図4（b）不安定解近傍(r=0.3)

この問題では大域的最適解を得るために探索回数 nmax は1.030 回で十分であったと考えられる。探索回数を 10 回と0.8zした E では不安定解と安定解とのほぼ中間の位置で収束0.6

厳密解Ref.10した。解の探索を十分行えないパラメータの設定である

0.4

Num.

G では、不安定解に収束してしまう。探索回数が 10 回で0.2x0.00.80(a) 全体形状
図5表1basis
EF
G

0.90

0.95

1.00

α0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.1
0.05
0.001
0.001ていても安定解へ収束し得た。図 8 は表面積の推移である。矢印の位置で再アニーリングを開始した F は、より形状変化と表面積を示す。図 8 中に示した▼は図 9 に示

解析制御パラメータ（初期形状：図 4(a)）η0.990.99
0.990.97
0.95
0.99
0.99
0.990.99

あるが再アニーリングを実施した F は、初期形状が離れ表面積が小さい形状を探索している。図 9 に設定 F での収束形状（初期形状：図 4(a)）

basis
A1A
A2B1B
B2C1C
C2D1DD2
表20.85(b) y=0 の断面

T010000
2000
500
10000
10000
10000
10000
10000
10000ている。探索回数を 10 回とした制御 E との比較から、

初期形状

nmax
30303030303030155

解析制御パラメータ（初期形状：図 4(b)）
T0ηα

nmax

Animax

10000
10000
10000
2000

0.99
0.99
0.99
0.95

0.001
0.001
0.001
0.01

30
1010
5

1121

した各図の step である。温度が高い 1200, 2700 step では(5)式に示す置換確率が高く、表面積が増加する形状も許容するため、不規則な形状を示す。
以上の回転懸垂曲面に対する極小曲面の探索解析の結果から、擬似焼きなまし法を用いて面積最小の極小曲面形状が得られることを確認した。
３．２Wiener-Douglas 問題

この問題は平行な 2 つの円とその一部を垂線で繋いだ境界に張られる極小曲面を求める問題であり、図 10 に示す=5, L/R＝1.5 のとき、極小曲面が 3 個（2 つの安定解と 1 つの不安定解）生じることから解の多峰性をもつ問題である。文献 5)同様に解析モデルは円周方向に 20分割、高さ方向は 10 分割とした。解析領域は x-y 平面の1/2 で、z 方向は対称条件を与えていない。初期形状は図11 に示す円筒状の形である。設定した解析制御パラメー
タを表 3 に示す。なお、文献 5)との比較のために各節点の移動は文献 5)の図 11 に示す x-y 平面内での方向余弦方

論文 R17－ 87 －向のみとした。と文献 5)の H=0.274 の間の値にある。表面積は Case-1

解析結果を図 12 に示す。Case-1 では安定解 1（局所最で 7.074、Case-2 で 7.07 とわずかに安定解 2 の面積が小適解）に捕捉されてしまったが、再アニーリングを 2 回さくなる。文献 4)の結果は 7.026 である。以上の結果か行った Case-2 では局所最適解である安定解 1 を脱出し、ら、本解析結果は文献 4), 5)と良く対応した値が得られてかつ安定解 1 と安定解 2 の間に存在する不安定解を越えいる。なお本手法は、面積汎関数の停留という極小曲面て最小面積の安定解 2 の近傍に収束した。図 13 は Case-1,の条件を支配方程式とする合目的な解法ではなく、ランCase-2 の収束形状である。個々の収束形状は文献 5)の安ダムに節点を移動させ、曲面（多角形の集合体として近定解形状と酷似している。また、本解析結果の鞍点の座似）の面積がより小さくなる形状を探索する試行錯誤型

標（x=0.866 からの距離）は安定解 1 で H=1.228 であり、の解法である。文献 5)の解析結果との差は、(a)極小曲面文献 4）と文献 5）の数値解 H=1.243 よりやや小さい。

方程式を解いていない、(b)解析領域を z 方向に対称条件

一方の安定解 2 では H=0.266 であり、文献 4)で H=0.262を設けていないためと考えられる。

1.01.0zz0.80.80.60.6

basis

basis
B1A10.40.4

A20.2

B20.2xx0.00.80

0.85

0.900.95

1.00

0.00.800.85
0.900.95(b) 温度更新係数による影響(a) 初期温度による影響
1.01.00

1.0zz0.80.80.60.6

basis

basis

C10.4

D1x0.2

D20.4

C20.2

x0.0-10-50510

15200.00.80

0.85
0.90
0.95(d) 探索回数による影響(c) 移動距離による影響
図6

パラメータの設定による収束形状の差（y=0 の断面1.00初期形状：円筒）

5.0

1.0

Area
Area/4

z0.8

初期形状

0.6

安定解
Ref.10不安定解
Ref.10
basis

basis

4.0

3.00.42.0EE
F0.2

再アニーリング

GxG0.0

F1.0

Step

0.0

0.0

0.2

0.4

0.60.8図 7 パラメータの設定による収束形状の差（y=0 の断面 初期形状：不安定解近傍）

論文 R171.00500

図81000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

パラメータの設定による表面積の推移（初期形状：不安定解近傍）－ 88 －４．結論
本論では、解探索に確率的ゆらぎを導入した擬似焼きなまし法を用いて膜曲面の極小曲面を探索するアルゴリズムを提示した。同一境界に対して異なる極小曲面を張る回転懸垂曲面と Wiener-Douglas 問題の極小曲面解析を実施し、以下の事項を確認した。
安定解 1
Area = 7.074

安定解 2Area = 7.07
図 13

収束形状

[1] 初期温度、温度更新係数、変数の移動距離、探索回
Step 0Area = 1.701数という解析制御パラメータを適切に設定すること

Step 1200
Area = 2.518

で、大域的最適解である最小面積の曲面形状が得られる。
[2] 解探索の回数が不十分な場合でも、再アニーリングにより最小面積曲面が得られる場合があることを例証した。

Step 1600
Area = 1.818[3] 擬似焼きなまし法を適用した本アルゴリズムは、極Step 2700
Area = 2.568

小曲面を探索するという初期値依存性の高い問題に対しても有効である。
謝辞
本論中の解析に協力していただいた金沢工業大学建築学科卒業生 小西康司氏に感謝の意を表します。

Step 3500
Area = 1.696
図9Step 3755
Area = 1.493

設定 F のときの形状変化と表面積（初期形状：不安定解近傍）
zH
L=1.5yx



R=1.0

図 10
表3解析モデル

図 11

初期形状

解析制御パラメータ（初期形状：図 11）

Case-1

T0

η

αnmax

Animax1000000.995

0.002550

10.995

0.005

50

3

1 回目:40000
Case-2

2 回目:20000
3 回目:200

1.5

z
1.2
安定解1 Ref.50.9

安定解2 Ref.5
Case-10.6

Case-20.3［参考文献］
1） 石井一夫：膜構造の形状解析の思い, 社団法人 日本膜構造協会, 膜構造技術ニュース, No.3, p.11, 2005.2.
2） 大森博司：設計用原型曲面の形態解析, 生産研究, 47 巻, 1号, pp.18-19, 1995.1.
3） 小磯深 幸：プ ラト ー問題 と最近 の発 展 , 数 学セミ ナー ,pp.37-43, 2010.1.
4） Hinata, M., Shimasaki, M. and Kiyono, T.: Numerical Solutionof Plateau’s Problem by a Finite Element Method,Mathematics of Computation, Vol., No.125, pp.45-60, 1974.1.
5） 鈴木俊夫, 半谷裕彦：極小曲面の変数低減による有限要素
解 析 , 日 本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 , 第 425 号 ,pp.111-120, 1991.7.
6） 石原競, 八木孝憲, 萩原伸幸, 大森博司：極小曲面解析による膜構造の形状解析 複合変分関数を用いて , 日本建築学会構造系論文集, 第 469 号, pp.61-70, 1995.3.
7） 三井和男, 大崎純, 大森博司, 田川浩, 本間俊雄：発見的最適化手法による構造のフォルムとシステム 3. シミュ
レーテッドアニーリング, コロナ社, pp.69-94, 2004.7.
8） 三井和男, 登坂宣好：遺伝的アルゴリズムの空間構造形態解析へ の応用 , 日本 建築学 会構 造系論 文集 , 第 484 号 ,pp.75-83, 1996.6.
9） 西村督：シミュレーテッドアニーリングを用いた極小曲面
探 索 法 , 日 本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集 , B-1 分 冊 ,pp.805-806, 2012.9.
10） 大森博司, 萩原伸幸, 松井徹哉, 松岡理：有限要素法による極小曲面の数値解析, 膜構造研究論文集, pp.1-10, 1988.
＊1＊2x金沢工業大学建築学科 教授 博士（学術）金沢工業大学大学院 工学研究科博士前期課程

0-1-0.8-0.6-0.4-0.2

図 12

論文 R1700.2

0.40.60.8

y=0 の断面－ 89 －A Method for Finding Minimal Surfaces of Membranes
Using Simulated Annealing
Toku NISHIMURA＊1○Ikumi YAMANAKA＊2
Keywords : Membrane Structure, Minimal Surface, Global Optimal Solution, Simulated Annealing

In membrane structure design, generally uniform stress surfaces are recommended as the design prototype surface.
Neglecting gravity, Minimal surfaces are equivalent to the uniform stress surfaces. The surfaces are whose surface area areminimum among surfaces which spans a given boundary closed curves. Their average curvatures are equal to zero.
The problem, which examines properties of minimal surfaces, is called Plateau problem. The Plateau problem has highly
non-linearity. Therefore we cannot solve the problem analytically to arbitrary boundary conditions. In practice, it needs to getapproximated solution by a numerical method. The plateau problem usually implies the multi-valued boundary-value problem.
We have to give care to initial value dependence. Especially using the decent method, we often encounter local optimal solutions.
To avoid the local optimum solutions and to find global optimal solution, we utilize simulated annealing. This method is astochastic local search and the one of heuristic method.
In this paper, we propose a computational method to find minimal surfaces using simulated annealing. The essentialfeatures of proposed method and numerical results are shown as follows:(1)

This method is not mathematically purposive but based on trial and error at random.

(2)

As long as giving control parameters, such as initial temperature, the update coefficient of temperature, movement ofsolution and number of iteration, appropriately, it is possible to find minimal surfaces.
(3)

It is shown that if the number of searching is not adequate, re-annealing may lead to the minimal surface.

(4)

The application of simulated annealing is effective in the problems with initial value dependence.

(5)

The representative numerical examples, such as catenoid and Wiener- Douglas problem (Courant’s example), show

the effectiveness of the proposed method.

＊1＊2

Professor, Department of Architecture, Kanazawa Institute of Technology, Ph. D.

Graduate Student, Graduate School of Engineering, Kanazawa Institute of Technology

論文 R17－ 90 －