1

Memoirs of Osaka Instituteof Technology
Vol.59, No.2(2014) pp.17~46

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察― 数理モデルと Microsoft Excel 活用によるデータ分析 ―*
中西

真悟 **

情報センター(2014 年9 月 30 日受理)
Characteristics and Uncertainties of Mean-Variance Model－ Mathematical Modeling and Data Analysis Using Microsoft Excel －byShingo NAKANISHI
Computing Center

Abstract
We focus on mathematical modeling of mean-variance models in modern portfolio theory for finance.
First, we can review mathematical modeling and these characteristics of mean-variance models. Second, we
can perform data analysis of the top 10 ratings of Sharpe ratios for 20 years from January 1990 to December
2009. These data in the database shown in a paper titled “Development of local database for obtainable dataof stock prices from website and its applications of Mean Variance Model and Capital Asset Pricing Model”
has about 470,000 stock closing prices downloaded from Yahoo! Finance Japan. At the same time, we caninvestigate various characteristics and uncertainties of statistics, time series, and comparisons of botharithmetic mean and logarithmic mean. Furthermore, we can consider the relationship of simultaneous
distributions based on mean-variance models.
キーワード；平均分散モデル，最適ポートフォリオ理論，シャープ・レシオ，資本市場線，同時分布，
高次統計量，時系列解析，Excel統計解析
Keyword； Mean-Variance Model, Optimal Portfolio Theory, Sharpe Ratio, Capital Market Line (CML),
Simultaneous Distribution, High-Order Statistics, Time Series Analysis, Excel Statistical Analysis*

2013 年日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表会で発表(2013 年 3 月 6 日，東京大学)**

発表時は大阪工業大学工学部技術マネジメント学科に所属‐17‐This document is provided by JAXA.

2

中西

1. 緒

論

平均分散モデルは現代ポートフォリオ理論 39) もし
くはアセット・アロケーション 40)の分散投資の観点から最適資産配分 41)による資産運用の中心的役割を果たし，投資意思決定おいて極めて重要なモデルである 39)-41)．また，このため，平均分散モデル 9)-11)は平均分散分析 13)26)，平均分散ポートフォリオ 6)7)，

真悟

うち，茶色実線で描かれるシャープ・レシオの上位
10 証券によるポートフォリオを用いてデータ分析を進める．
以上をもとに，平均分散モデルの理論の整合性や不確実性を再考した後，計量期間のデータ分析で明らかになったことをまとめる．

ポートフォリオ理論 18)39)，ポートフォリオ分析 14)，
ポートフォリオモデル 16)，マルコビッツモデル 8)，
平均分散アプローチ 41)，平均分散法 40)などと多くの名称としても親しまれ用いられている．そこで，複数の証券に投資したときの資産構成をポートフォリ
オと呼び 39)，本研究での投資比率に関する表記は，
ポートフォリオとして表記している．また，手法やモデリングについて基本的には平均分散モデルと表記して，数理モデルのレビューとデータ分析を実施している．
一方で，ビッグデータなどデータ分析の注目度とその活用目的について重要度が増している 29)．本研
究の前報 1)「インターネットに公開される株価情報を利用したデータベースの開発とその活用 -平均分散モデルと資本資産価格モデルへの応用 -」でもYahoo!ファイナンス 4) からデータをダウンロードしてデータベースを構築し 1)，1990 年 1 月から 2009年 12 月までの 20 年間の長期投資 2)や安全資産利子率には長期国債利回り 3)を用いたケーススタディとして平均分散モデルのデータ分析を行っている．
その後，日本銀行の政策変更や東京オリンピック
開催決定とリーマンショック後の悲観的な相場から，楽観的な株価上昇機運が高まっている可能性があるため，直近を含むデータ分析を避け，前報と同図 1 1990 年 1 月から 2009 年 12 月までのシャー
プ・レシオ昇順による国内株式上位 50 証券の平均分散モデルの視覚化 1)
Fig.1 Visualizations of mean-variance models of
the top 50 ratings of securities by ascending orderof Sharpe ratios from January 1990 to December
2009 1)

1.1 本研究の Excel 活用のコンセプト
加えて，本研究の着眼点は，前報 1) と同様にファイナンス教育へのデータベース活用と IT リテラシ
ー と し て の デ ー タ 分 析を容 易 に 行 え る こ と で ある 1)15)-19)36-38)．

期間のデータ分析を行い，より詳細に平均分散モデ
ルの考察を試みている．
このため，下記のとおり
・Excel 活用方法における提案
・平均分散モデルの数理的傾向に関するレビュー
・計量期間中のパフォーマンス評価
・算術平均と対数平均モデルの対比
・計量期間の統計量の分析
・計量期間の時系列の分析
・同時分布としての分析について考察を行っている．また，図 1 に示すとおり活用するデータは，前報 1)のデータベースに含ま

図 2 本研究で Excel 活用概念図
Fig.2 Concept diagram by using Excel in this study

れる東証株価 2153 証券の株価上昇率上位 50 証券の‐18‐This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

3

したがって，図 2 の概念図に示すように効果的に
Excel を利用しながら研究ならびに教育活用を実施している．Excel 関数の使い方の工夫や条件設定のためにスピンボタンと標準関数の VLOOKUP 関数の活用で従来よりも解析や感度分析が効果的に実施できる．具体的には，図 3 と図 4 に示すように条件設定されたデータを画面に再表示し，これに連動する図表が変化することにより，特性値の傾向を調査することができる．また，本研究の研究領域から外れるが，この活用方法は，Excel によるモデルの可視化(たとえば，本学情報センターが開講する科目でサイクロイド，複素数の四則演算のガウス平面上での視覚化，楕円の変形や回転，三角関数や指数関数の変化などを実施)に有効である．ファイナンスの文献では，VBA(Visual Basic Application)や Cell に直接値入

図 3 本研究で活用した Excel 作業画面インターフ
ェイス(その 1)
Fig.3 User interfaces by Excel worksheets in this study(Example 1)

力し分析する例題が多く，ボタンやスピンボタン活用はこれらのコンテンツの可視化にも役立つはずである．
ところで，本研究のスピンボタン活用は石野のア
イデア 38)の拡張である．すなわち，多くのファイナ
ンスの Excel 活用 15-19)36-38) の中でも，石野による「道具としてのファイナンス」38) で取扱う相関係数の大きさと効率的フロンティアの視覚化のためのスピン
ボタン活用実施は，分散投資とリスク低減を可視化できる魅力的な手段である．本研究でもこの方法を積極的に導入して，計量期間の設定などにスピンボ
タンを活用しながら，Excel を一枚のワークシート上にデザインしたユーザインタフェイス(図 3)としてか，もしくは画面分割により多数の図表を同時に描画(図 4)して連動の様子がわかるようにシステムを作成している．作成したシステムのスピンボタンを活用して計量期間を変更したとき，数値によるセルの色の変化や図表の変化は，アニメーションのように動きその特性や影響を容易に確認できる．このよ
うに視覚的かつ効果的に調査できることは大変有益である．
また，本研究では標本数で割る場合の歪度や超過尖度の計算方法や自己共分散について，標準関数の
SUMPRODUCT 関数を活用したユーザ定義の表記法

図 4 本研究で活用した Excel 作業画面インターフ
ェイス(その 2)
Fig.4 User interfaces by Excel worksheets in this study(Example 2)を示している．主として統計解析あるいは時系列解
析と Excel 操作方法に関する文献の調査を試みたが，おそらく Excel の活用においてあまり知られていない表記法だと思われる．このためファイナンスの IT‐19‐This document is provided by JAXA.

4

中西

真悟

リテラシー向上や Excel 統計解析の効果的な活用方
法として本文中に提案している．

2.

により算術平均の収益率を実用することが多いよう

2.1
平均の表記
時点 𝑡𝑡 での証券 𝑖𝑖(= 1, ⋯ , 𝑛𝑛) のネットの資産収益率(騰落率)は𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡 + 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑡 − 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−1 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡 + 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑡=−1
𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−1
𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−1(1)

である 10)12)13)．ここに，𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡 は時点 𝑡𝑡 における 𝑖𝑖 番
目の証券価格，𝐷𝐷𝑖𝑖𝑡 は時点 𝑡𝑡 における 𝑖𝑖 番目の証

券の配当支払い価格である．また，時点 𝑡𝑡 での証券
𝑖𝑖 のグロスの資産収益率は，ネットの資産収益率に1 を加えたものなので，1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 である．式(1)の時点

𝑡𝑡 − 𝑘𝑘 から時点 𝑡𝑡 期までの直近 𝑘𝑘 期間の資産の収益率において配当支払いを考慮しない場合には
1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 (𝑘𝑘)= �1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 ��1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−1 � ⋯ �1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘+1 �
𝑆𝑆𝑖𝑖
𝑆𝑆𝑖𝑖
𝑆𝑆𝑖𝑖
= � 𝑡 � � 𝑡−1 � ⋯ � 𝑡−𝑘+1 �𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−1 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−2
𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−𝑘
𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡=
𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡−𝑘である 12)13)．式(3)と式(4)の値が近い場合には問題がないが，高次の項を無視できない場合には差異が問題となり，式(4)による算出の近似では十分ではない．
一方で，式(3)のような幾何平均を計算することが容易ではないので，複利収益率による計算方法がある．この考え方は近似ではなく資産の収益率のモデル化において重要である．資産の連続複利の収益率の対数(騰落率)は，グロスの資産収益率 (1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 ) の自然対数を用いて𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡 ≡ log�1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 � = log �

(2)

𝑘𝑘−1

= �� �1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 �� − 1

𝑘𝑘−1

(3)

= log �� �1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 ��
𝑘𝑘−1

𝑗𝑗=0

(6)

= � log �1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 �
𝑗𝑗=0

𝑘𝑘−1

= � 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡−𝑗𝑗𝑗=0と和の形式で表すことができる．

𝑗𝑗=0と，幾何平均を用いて表すことができる 12)13)．ファ
イナンスでは，算術平均よりも運用パフォーマンス
においてこの幾何平均を用いることが望ましいとされている．ファンド・マネジャーの評価においても重要である．
しかしながら，一般には式(3)について 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 = 0 近

傍における一次近似式(5)𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡 (𝑘𝑘) = log �1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 (𝑘𝑘)�

産の上昇率を見積もることができる．証券 𝑖𝑖 のこの期間中の資産収益率を単位期間当りのネット資産収益率 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 ) に換算するために
1
𝑘𝑘

𝑆𝑆𝑖𝑖𝑡
�
𝑆𝑆𝑡𝑡𝑖−1と表記できる 10)12)13)．したがって，多期間の連続複利収益率はと表記できる 12)13)．式(2)をもとに基準時点からの資𝜇𝜇̂ 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑖 (𝑘𝑘) = 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )

(4)

𝑗𝑗=0

モデリングのための統計量の表記方法

𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 =𝑘𝑘−1

1𝜇𝜇̂ 𝑖𝑖 (𝑘𝑘) = 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 ) ≈ 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑡 = � 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗𝑘𝑘

ただし，時点 𝑡𝑡 のポートフォリオにおいて投資比率 𝑤𝑤𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛), すなわち投資比率ベクトル
𝐰𝐰 = {𝑤𝑤1 , 𝑤𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑤𝑛𝑛 }T
𝟏𝟏 = {1,1, ⋯ ,1}T
𝟏𝟏T 𝐰𝐰 = 1(7)

もしくは安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の投資比率 𝑤𝑤𝐹𝐹 も投
資に含めて

‐20‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

𝐰𝐰 = {𝑤𝑤1 , 𝑤𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑤𝑛𝑛 }T
𝟏𝟏 = {1,1, ⋯ ,1}T
𝟏𝟏T 𝐰𝐰 + 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 1

言及しない限り対数平均でも 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖 ) を用いることとする．そして，その平均ベクトルを(8)と表記し 7)8)，次節の統計量と併せて平均分散モデルを記述する．

𝑛𝑛

𝑟𝑟𝑃𝑃𝑡 = � 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡 = 𝐰𝐰 T 𝐫𝐫𝑡𝑡
𝑖𝑖=1

∵ 𝐫𝐫𝑡𝑡 = �𝑟𝑟1𝑡 , 𝑟𝑟2𝑡 , ⋯ , 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑡 �

(9)

2.2
高次統計量の表記
本節では，平均だけではなく，本研究で用いる高次の統計量についても表記方法を示す．たとえば，

𝑇𝑇

分散は

は厳密には対数の和ではないことに注意を要する．
この場合，𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 = 0 近傍で対数の一次近似を用いて

𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑡 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 �𝑛𝑛= log �1 + � 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 �

=

𝑖𝑖=

(10)

≅ � 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡

𝐑𝐑 = 𝐑𝐑 𝑡𝑡 = �𝑅𝑅1𝑡 , 𝑅𝑅2𝑡 , ⋯ , 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑡 �𝑇𝑇と表すことができる．本研究では後ほどの 7.2 のデータ分析において式(9)と式(10)についてパフォーマンスの違いを考察している．

𝑘𝑘−1

3

�𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )�
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 ) = 𝐸𝐸 � 𝑡�𝜎𝜎𝑖𝑖3𝑡

(11)

𝑘𝑘−1

𝑘𝑘−1

�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )�
1
�𝑘𝑘
𝜎𝜎𝑖𝑖3𝑡

3

(15)

𝑗𝑗=0

や，超過尖度と表記し，算術平均による証券 𝑖𝑖 の期待資産収益率を1
� 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗
𝑘𝑘

𝑗𝑗=0

=

𝑗𝑗=0

𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 � = 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑡 =2
1� �𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )�
𝑘𝑘

用し，Microsoft Access によるデータベース操作 1)にも都合が良いので，式(14)のように示すこととする．このため，後ほどの 7.3 で示す Excel のユーザ定義関数として歪度したがって，対数平均による証券 𝑖𝑖 の期待資産収益率を
1
𝐸𝐸�𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡 � = 𝑟𝑟̅𝑖𝑖𝑡 = � 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡−𝑗
𝑘𝑘

(14)

𝑘𝑘−1

と表記する．このとき，データ分析では平均も未知のため， 𝑘𝑘 − 1 で割ることが望ましいのだが，共分散や相関係数には 𝑘𝑘 で割る Excel の標準関数を活

𝑖𝑖=1= 𝐰𝐰 T 𝐑𝐑 𝑡𝑡

2= 𝐸𝐸 ��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )� �

𝑟𝑟𝑃𝑃𝑡 = log�1 + 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑡 �

∵

(13)

𝛍𝛍 = 𝐄𝐄(𝐑𝐑) = {𝐸𝐸(𝑅𝑅1 ), ⋯ , 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑛𝑛 )}Tによる資産形成を考え，ポートフォリオの収益率

𝑛𝑛

5

4

�𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 � = 𝐸𝐸 � 𝑡
�−3
𝜎𝜎𝑖𝑖4𝑡(12)

𝑗𝑗=0と表記する 12)13)．ただし，次節以降において平均の表記を用いる場合には，説明を簡略化のため，特に

=

𝑘𝑘−1

1
�
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0

�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )�
𝜎𝜎𝑖𝑖4𝑡

4

(16)

−3

の表記も 𝑘𝑘 で割る方法を採用する 12)13)．ただし，‐21‐This document is provided by JAXA.

6

中西

歪度と超過尖度を推定する Excel の標準関数の定義
式 20)とは異なるのでデータ分析の際に，この場合の差異についても後ほどの 7.3 で改めて考察している．
また，共分散は𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑙𝑙 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 , 𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 �= 𝐸𝐸��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )��𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 )��
= 𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 � − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 )
=

𝑘𝑘−1

真悟

𝜌𝜌𝑖𝑖 (𝑘𝑘) ≡
=
=

(17)

1
� �𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )�
𝑘𝑘

𝛾𝛾𝑖𝑖 (𝑘𝑘)𝛾𝛾𝑖𝑖 (0)𝐸𝐸��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘 )��
2(21)∑𝑇𝑇𝑡𝑡=𝑘𝑘+1�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑇 ��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘 − 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑇 �
2∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑇 �である 12)-14)．ただし，

𝑗𝑗=0

𝑇𝑇

1
𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑇 = � 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡
𝑇𝑇と表記する．式(17)の中で用いた 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 は相関係数であり
𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 , 𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 �=

𝐸𝐸 ��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )� �

(22)

𝑡𝑡=0

である．ここで，自己相関係数の検定として

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 , 𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 �
𝜎𝜎𝑖𝑖𝑡 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑡

�𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )� �𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 )�
= 𝐸𝐸 � 𝑡
�
𝜎𝜎𝑖𝑖𝑡
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑡

𝐻𝐻 : 𝜌𝜌 (𝑘𝑘) = 0
� 0 𝑖𝑖
𝐻𝐻1 : 𝜌𝜌𝑖𝑖 (𝑘𝑘) ≠ 0

(18)

(23)

を考える．すなわち，Ljung -Box 統計量

𝑘𝑘−1

�𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑗 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )� �𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡−𝑗 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑙𝑙𝑡 )�
1
= �
𝑘𝑘
𝜎𝜎𝑖𝑖𝑡
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑡
𝑗𝑗=0

𝑚𝑚

𝑄𝑄𝑖𝑖 𝑚𝑚 ≡ 𝑇𝑇(𝑇𝑇 + 2) �と表記する 12)13)．

𝑘𝑘=1

以上をもとに，収益率の分散共分散行列は𝜌𝜌𝑖𝑖2 (𝑘𝑘)~𝜒𝜒 2 (𝑘𝑘)𝑇𝑇 − 𝑘𝑘(24)を用いて検定する 12)-14)．
𝐕𝐕 = 𝐸𝐸[(𝐑𝐑 − 𝛍𝛍)(𝐑𝐑 − 𝛍𝛍)T ]𝜎𝜎12⎡2= ⎢𝜌𝜌12 𝜎𝜎1 𝜎𝜎2 𝜎𝜎2⋮⋱⎢⎣ 𝜌𝜌1𝑛𝑛 𝜎𝜎1 𝜎𝜎𝑛𝑛 ⋯と表記する 7)8)．

Sym.

⋱𝜌𝜌𝑛𝑛−1𝑛𝑛 𝜎𝜎𝑛𝑛−1 𝜎𝜎𝑛𝑛⎤⎥⎥
𝜎𝜎𝑛𝑛2 ⎦

3.

(19)

3.1
等式制約付きの二次計画法の解法
数理計画法における二次計画法の解法として，下
記のモデル

2.3
時系列統計量の表記と検定
本節では，本研究で用いる時系列に関する統計量の表記方法を示す．𝑘𝑘 次の自己共分散 𝛾𝛾𝑖𝑖 (𝑘𝑘) と自己相関係数 𝜌𝜌𝑖𝑖 (𝑘𝑘) は以下のように表記する．すなわち
𝛾𝛾𝑖𝑖 (𝑘𝑘) ≡ 𝐸𝐸��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 )��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘 )��
𝑇𝑇

1=� �𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡 − 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑇 ��𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡−𝑘 − 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑇 �𝑇𝑇
𝑡𝑡=𝑘𝑘+1

モデリングのための数理計画法による考
え方

(20)

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝐜𝐜 T 𝐰𝐰
2
subeject to 𝐀𝐀𝐀𝐀 = 𝐛𝐛
minimize(25)を考える 20)．このときの Lagrange 関数は1
𝐿𝐿 = 𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝐜𝐜 T 𝐰𝐰 + 𝛌𝛌T (𝐀𝐀𝐀𝐀 − 𝐛𝐛)
2

(26)

‐22‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

7である．式(26)について一階の導関数よりである 32)．ゆえに𝜕𝜕𝜕𝜕= 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝐜𝐜 + 𝐀𝐀T 𝛌𝛌 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝐰𝐰
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝐀𝐀𝐀𝐀 − 𝐛𝐛 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝝀𝝀

もしくは

�𝐕𝐕
𝐀𝐀

である．ゆえに𝐀𝐀T � �𝐰𝐰� = � −𝐜𝐜 �
𝛌𝛌
𝐛𝐛
𝟎𝟎

𝛌𝛌 = −(𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T )−1 (𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 𝐜𝐜 + 𝐛𝐛)
𝐰𝐰 = −𝐕𝐕 −1 (𝐈𝐈 − 𝐀𝐀T (𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T )−1 𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 )𝐜𝐜+ 𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T (𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T )−1 𝐛𝐛

𝛌𝛌 = −(𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T )−1 𝐛𝐛
𝐰𝐰 = 𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T (𝐀𝐀𝐕𝐕 −1 𝐀𝐀T )−1 𝐛𝐛

(27)

(28)

と求まる 20)．また，式(25)と式(30)のモデルに 𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎を追加して空売りを考慮しない場合が，Markowitz
によりモデリングされている 32)．4 章では，本研究の平均分散モデルは，3.1 もしくは 3.2 の解法が基本となり，空売りを認める場合のモデルについて考察している．この解の形式は 4 章の説明において重要
である．

4.

(29)

と求まる 20)．ただし，ここで 𝐈𝐈 は単位行列である．

3.2

等式制約付きの一次項のない二次計画法の解法3.1 では一次項を含む二次計画法としての解法を

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
subeject to 𝐀𝐀𝐀𝐀 = 𝐛𝐛

を参考に
1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
subeject to 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 = 𝜇𝜇𝑃𝑃
𝟏𝟏T 𝐰𝐰 = 1
minimize

(30)

𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝐀𝐀𝐀𝐀 − 𝐛𝐛 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝝀𝝀

(32)

もしくは

�𝐕𝐕
𝐀𝐀

𝐀𝐀T � �𝐰𝐰� = �𝟎𝟎�
𝛌𝛌
𝐛𝐛
𝟎𝟎

minimize(31)である．式(31)について一階の導関数より
𝜕𝜕𝜕𝜕= 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝐀𝐀T 𝛌𝛌 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝐰𝐰

(35)

と表記する 7)-9)21)34)44)．あるいはを考える 20)．このときの Lagrange 関数は1
𝐿𝐿 = 𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝛌𝛌T (𝐀𝐀𝐀𝐀 − 𝐛𝐛)2

株式の空売りを認める平均分散モデル

4.1 安全資産利子率を含まない空売りを認めるポー
トフォリオの平均分散モデル
まず，一般的な解法で表すポートフォリオをポー
トフォリオ P と呼ぶことにする．すなわち，式(30)確認したが，一次項のない場合の下記モデル

minimize

(34)

(33)

subeject to

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰
2𝜇𝜇𝛍𝛍T
� T � 𝐰𝐰 = � 𝑃𝑃 �
1
𝟏𝟏

(36)

と表記することも可能なので，式(36)を用いて考察を進める．ここに， 𝐰𝐰 は 𝑛𝑛 個の証券からなる投資比率ベクトルである． 𝜇𝜇𝑃𝑃 は目標として設定する期待収益率である． 𝟏𝟏 は 𝑛𝑛 個の要素がすべて 1 であるベクトルである．さらに， 𝛍𝛍 は 𝑛𝑛 個の証券の期待収益率のベクトル， 𝐕𝐕 は 𝑛𝑛 個の証券の収益率の分散共分散行列である．このため， 𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕 はポー
トフォリオの収益率の分散， 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 はポ－トフォリ
オ の 期 待 収 益 率 で あ る ． こ の と き ， 式 (36) のLagrange 関数は‐23‐This document is provided by JAXA.

8

中西

𝐿𝐿 =

1 T
𝜇𝜇
𝝁𝝁T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝛌𝛌T �� T � 𝐰𝐰 − � 𝑃𝑃 ��
1
2
𝟏𝟏

(37)

真悟

記述する最小分散ポートフォリオの分散である．

である．この一階の導関数より
𝜕𝜕𝜕𝜕= 𝐕𝐕𝐰𝐰 + [𝝁𝝁 𝟏𝟏]𝛌𝛌 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝐰𝐰
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜇𝜇
𝝁𝝁T
= � T � 𝐰𝐰 − � 𝑃𝑃 � = 𝟎𝟎
1
𝜕𝜕𝝀𝝀
𝟏𝟏

(38)

となる．ゆえに−1𝝁𝝁T𝛌𝛌 = − �� T � 𝐕𝐕 −1 [𝛍𝛍 𝟏𝟏]�
𝟏𝟏
T

−𝟏𝟏

𝝁𝝁 𝐕𝐕 𝛍𝛍 𝛍𝛍T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏= − � T −𝟏𝟏�𝛍𝛍 𝐕𝐕 𝟏𝟏 𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏𝜇𝜇� 𝑃𝑃 �
1−1𝜇𝜇� 𝑃𝑃 �
1(39)−1

𝝁𝝁T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝛍𝛍 𝛍𝛍T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝐰𝐰 = [𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍 𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏] � T −𝟏𝟏�𝛍𝛍 𝐕𝐕 𝟏𝟏 𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏と求まる 34)36)．ここで
𝑎𝑎 = 𝝁𝝁T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝛍𝛍
𝑏𝑏 = 𝝁𝝁T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏T

𝑐𝑐 = 𝟏𝟏 𝐕𝐕

−𝟏𝟏

𝟏𝟏
T

𝜇𝜇
� 𝑃𝑃 �
1

したがって，式(41)の 𝜎𝜎𝑃𝑃2 について平方完成により双曲線 46)(40)

1
�(𝑐𝑐𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑏𝑏)𝐳𝐳µ + (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝜇𝜇𝑃𝑃 )𝐳𝐳1 �𝐷𝐷
1 𝑐𝑐𝜇𝜇 − 𝑏𝑏𝛌𝛌𝑃𝑃 = � 𝑃𝑃
�𝐷𝐷 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑃𝑃=

1(𝑐𝑐𝜇𝜇𝑃𝑃2 − 2𝑏𝑏𝜇𝜇𝑃𝑃 + 𝑎𝑎)
𝐷𝐷

�

√𝐷𝐷
�
𝑐𝑐

2

(42)

る曲線のように描くことができる 7)8)．このとき，水色破線は双曲線の漸近線を示している．ただし，図5 において点 Q が点 C の上方に位置するように算出するためには，𝑏𝑏/𝑐𝑐 > 𝑅𝑅𝐹𝐹 を満たさなければならな
い 8)．このことは，後ほど 7.1 で考察する．

(41)

1 𝑐𝑐
𝑏𝑏 2
+ �𝜇𝜇𝑃𝑃 − �
𝑐𝑐 𝐷𝐷
𝑐𝑐

= σ2𝐶𝐶 +

1 2
� �
√𝑐𝑐

𝑏𝑏 2
�𝜇𝜇𝑃𝑃 − �
𝑐𝑐 = 1−が示され 44)，ポートフォリオの目標とする期待収益率 𝜇𝜇𝑃𝑃 と標準偏差 𝜎𝜎𝑃𝑃 の関係は図 5 の青色実線によ1
�(𝑐𝑐𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑏𝑏)𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍 + (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝜇𝜇𝑃𝑃 )𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏�
𝐷𝐷

𝜎𝜎𝑃𝑃2 = 𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰 =

𝜎𝜎𝑃𝑃2

−𝟏𝟏

とおくとき

=

Fig. 5 Mathematical characteristics ofmean-variance models with shortposition 5)6)8)33)39)42)44)𝝁𝝁 𝐕𝐕 𝛍𝛍 𝛍𝛍T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝐷𝐷 = det � T −𝟏𝟏
� = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2
𝛍𝛍 𝐕𝐕 𝟏𝟏 𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝐰𝐰𝑃𝑃 =

図 5 空売りを認める平均分散モデルの数理的特徴の視覚化 5)6)8)33)39)42)44)𝑐𝑐𝑏𝑏 2�𝜇𝜇𝑃𝑃 − �𝐷𝐷𝑐𝑐

4.2 最小分散ポートフォリオのための平均分散モ
デルの解法
ポートフォリオの中でも分散が最小となるポート
フォリオを本研究では特にポートフォリオ C と呼ぶことにする．図 5 では点 C を意味するポートフォリ
オである．すなわち，式(30)を参考にと導出できる 44)．ただし， det[⋅] は ⋅ の行列式を意味する．このとき， 𝐳𝐳µ = 𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍，𝐳𝐳1 = 𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏 を用

いて式の表記を整理している．また， 𝜎𝜎𝐶𝐶2 は次節で

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
subeject to 𝟏𝟏T 𝐰𝐰 = 1
minimize

(43)

‐24‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

Lagrange 関数はである．このときの Lagrange 関数は1
𝐿𝐿 = 𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝜆𝜆(𝟏𝟏T 𝐰𝐰 − 1)2

91
𝐿𝐿 = 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 − 𝜏𝜏𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰 − 𝜆𝜆(𝟏𝟏T 𝐰𝐰 − 1)
2

(44)

(48)

なので，一階の導関数よりなので，一階の導関数より
𝜕𝜕𝜕𝜕= 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝜆𝜆𝟏𝟏 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝐰𝐰

𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝛍𝛍 − 𝜏𝜏𝐕𝐕𝐰𝐰 − 𝜆𝜆𝟏𝟏 = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝐰𝐰

(45)

𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝟏𝟏T 𝐰𝐰 − 1 = 0
𝜕𝜕𝜕𝜕

(49)

𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝟏𝟏T 𝐰𝐰 − 1 = 0
𝜕𝜕𝜕𝜕である．ゆえにとなる．ゆえに𝜆𝜆𝐺𝐺 =11
λ𝐶𝐶 = − T −1 = −(𝟏𝟏 𝐕𝐕 𝟏𝟏)
𝑐𝑐

𝐰𝐰𝐶𝐶 =

−1

−1

𝐕𝐕 𝟏𝟏
𝐕𝐕 𝟏𝟏 𝐳𝐳1
𝐳𝐳1
=
= = T
T
−1
𝑐𝑐
𝟏𝟏 𝐳𝐳1
𝟏𝟏 𝐕𝐕 𝟏𝟏𝑐𝑐

𝜎𝜎𝐶𝐶2 = 𝐰𝐰𝐶𝐶T 𝐕𝐕𝐰𝐰𝐶𝐶 =𝜇𝜇𝐶𝐶 = 𝛍𝛍T 𝐰𝐰𝐶𝐶 =

1
1
=
T
−1
𝟏𝟏 𝐕𝐕 𝟏𝟏 𝑐𝑐

T

𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏 1
+ (𝑐𝑐𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍 − 𝑏𝑏𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏)
𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑐𝑐
1
= 𝐰𝐰𝐶𝐶 + (𝑐𝑐𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍 − 𝑏𝑏𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏)
𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐰𝐰𝐺𝐺 =(46)−1𝝁𝝁 𝐕𝐕 𝟏𝟏 𝑏𝑏=
𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏 𝑐𝑐

1
𝛍𝛍T 𝐰𝐰 − 𝜏𝜏𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰
2subeject to 𝟏𝟏T 𝐰𝐰 = 1
maximize(47)

である 5)6)22)24)．ここに，目的関数 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 − τ𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕/2
は 2 次型効用関数として定義している．このときの1�𝑐𝑐𝐳𝐳µ − 𝑏𝑏𝐳𝐳1 �𝑐𝑐𝑐𝑐= 𝜎𝜎𝐶𝐶2 +𝐷𝐷 1
� �𝑐𝑐 𝜏𝜏 2

= 𝜇𝜇𝐶𝐶 +

𝐷𝐷 1
� �
𝑐𝑐 𝜏𝜏

𝜇𝜇𝐺𝐺 = 𝛍𝛍T 𝐰𝐰𝐺𝐺 =小にしていることがわかる．

トフォリオをポートフォリオ G と呼ぶことにする．
図 5 では点 G を意味するポートフォリオである．すなわち，式(25)を参考に= 𝐰𝐰𝐶𝐶 +𝜎𝜎𝐺𝐺2 = 𝐰𝐰𝐺𝐺T 𝐕𝐕𝐰𝐰𝐺𝐺 =と 導 出 で き る 12)13)22) ． こ の 式 (46) に ， 式 (41) の𝜇𝜇𝑃𝑃 = 𝑏𝑏⁄𝑐𝑐 を代入すると 𝜎𝜎𝑃𝑃2 = 𝜎𝜎𝐶𝐶2 となり完全に一致することがわかる．また，式(46)から 𝐰𝐰𝐶𝐶 は 𝐳𝐳1 /𝟏𝟏T 𝐳𝐳1の比率を意味していることも理解できる．以上より，
ポートフォリオ C は図 5 の点 C のようにリスクを最4.3 期待効用最大化ポートフォリオの平均分散モデルの解法(リスク調整ポートフォリオ)
Arrow-Pratt 型リスク回避度 𝜏𝜏 22) を考慮した期待効用ポートフォリオを考察する．このときのポー𝑏𝑏 − 𝜏𝜏
𝑐𝑐

1 𝐷𝐷 1+ � �𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝜏𝜏 2

(50)

𝑏𝑏 𝐷𝐷 1+ � �𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝜏𝜏と導出できる 24)．このときポートフォリオ G は，最小分散ポートフォリオ C よりも 1⁄𝜏𝜏 のリスク許容度(リスク回避度の逆数)だけ積極的な投資スタイルを有していることが明らかである．また，一般には最大期待収益率から最小分散ポートフォリオの期待収益率までを効率的フロンティアとして検討するが，図 5 に示す最適成長ポートフォリオ 5)6) (𝜏𝜏 = 1.0の場合)の点 G から最小分散ポートフォリオの点 Cまでの間で投資の意思決定を行うことができること
も図 5 の傾向より改めて確認できる．また，この部
分は効率的フロンティアの一部分を意味しており，投資において有効な投資戦略の決定範囲でもある．
以上より，ポートフォリオ G は期待効用最大となる図 6 の点 G を意味していることがわかる．また，‐25‐
This document is provided by JAXA.

10

中西

期待効用最大化ポートフォリオは図 6 の緑色破線の傾向として図示している．加えてわかりやすいように，細実線で 𝜏𝜏 = 0.1~1.0 までの効率的フロンティ
アを追加している．また，その下部分である非効率的なポートフォリオを図示し，リスク回避度 𝜏𝜏 によ

真悟

𝐿𝐿 =

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝜆𝜆((𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐰𝐰 − (𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 ))2(53)であるので，その一階の導関数より
𝜕𝜕𝜕𝜕= 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝜆𝜆(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏) = 𝟎𝟎
𝜕𝜕𝐰𝐰るポートフォリオの傾向を示している．

𝜕𝜕𝜕𝜕= (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐰𝐰 − (𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 ) = 0
𝜕𝜕𝜕𝜕

(54)

となる．ゆえに， 𝐑𝐑 𝑄𝑄 = 𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏，𝐻𝐻 = 𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄 =𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹 + 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹2 とおくと 7)-9)44)𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹
(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹
= T −1𝐑𝐑 𝑄𝑄 𝐕𝐕 𝐑𝐑 𝑄𝑄

λ𝑃𝑃𝑃𝑃 = −=図 6 リスク回避度による 𝛍𝛍 𝐰𝐰 − 𝜏𝜏𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐕𝐕/2 の傾向TT𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹
𝐻𝐻(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)
𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 =(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄=
𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄=

Fig.6 Characteristics of 𝛍𝛍 𝐰𝐰 − 𝜏𝜏𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐕𝐕/2 byindices of risk aversion
TT

4.4 安全資産利子率を含む空売りを認めるポート
フォリオの平均分散モデル(資本市場線)
安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 を含むポートフォリオをポー
トフォリオ PF と呼ぶことにする．すなわち，式(30)を参考に
1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
subeject to 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 + 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 𝜇𝜇𝑃𝑃
𝟏𝟏T 𝐰𝐰 + 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 1
minimize=と変形できる 9)．式(52)の Lagrange 関数は

𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹 + 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹2(55)(𝛍𝛍 − 𝜇𝜇𝑃𝑃 𝟏𝟏)T 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄
𝐻𝐻2T𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐕𝐕𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )2=(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)

(51)

=

総和なので 1 である．この式(51)について予算制約
より安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の投資比率は 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 1 −𝟏𝟏T 𝐰𝐰 だから，次のように
1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
subeject to (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐰𝐰 = 𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹

(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄=
𝐻𝐻
T𝑤𝑤𝐹𝐹 = 1 − 𝟏𝟏 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃

である 7)9)44)．ここに， 𝟏𝟏T 𝐰𝐰 + 𝑤𝑤𝐹𝐹 は全投資比率のminimize

𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹
𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹 + 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹2=

𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹 + 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹2(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )2
𝐻𝐻
T𝜇𝜇𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛍𝛍 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝑤𝑤𝐹𝐹
= 𝜇𝜇𝑃𝑃=(52)(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )2と導出できる 44)．
こ の 式 (55) に お い て 𝟏𝟏𝑇𝑇 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1 を 満 た すT𝛍𝛍 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝜇𝜇𝑃𝑃 のとき，安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の投資比‐26‐This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)
𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)
𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄= T −1
𝟏𝟏 𝐕𝐕 𝐑𝐑 𝑄𝑄

率 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 0 が成立する．したがって，これを代入す
るとポートフォリオ PF はポートフォリオ P としても完全に一致することが期待できる．
以上より，ポートフォリオ PF は資本市場線(CML;
Capital Market Line)上 8)33)のポートフォリオを意

𝐰𝐰𝑄𝑄 =

𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏
𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹
𝒛𝒛𝑄𝑄= T
𝟏𝟏 𝐳𝐳𝑄𝑄=

味し，図 5 と図 6 の上側の水色実線を意味することがわかる．4.5 では，このうちの接点ポートフォリ
オについて考察する．

=

4.5 安全資産利子率を含む空売りを認める接点ポートフォリオの平均分散モデル(シャープ・レシオ

maximizesubject to(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏) 𝐰𝐰T√𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕

=
=
=

(56)

𝟏𝟏 𝐰𝐰 = 1が最大となるようにモデル化されている．ここで，シャープ・レシオを(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐰𝐰√𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕=𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐰𝐰√𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕

(57)とおき，一階微分して左辺に分母を移項すると
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝐰𝐰
= (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)(𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕) − 𝜃𝜃𝐕𝐕𝐕𝐕 = 0(𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕)3/2=

𝜃𝜃𝑄𝑄 =(58)が得られるり構成される下記の方程式

について解くと2

�𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)�𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄

2

�𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄 �𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐳𝐳𝑄𝑄

2

�𝟏𝟏T 𝐳𝐳𝑄𝑄 �(60)𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹
𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐰𝐰𝑄𝑄
�𝐰𝐰𝑄𝑄T 𝐕𝐕𝐰𝐰𝑄𝑄= �(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)

10)．そこで，式(56)の制約式と式(58)よ𝜃𝜃𝐕𝐕𝐕𝐕 = (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)(𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕)� T
𝟏𝟏 𝐰𝐰 = 1(𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)

𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹 + 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹2=(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹 )2T
𝜇𝜇𝑄𝑄 = 𝛍𝛍 𝐰𝐰𝑄𝑄
𝛍𝛍T 𝐕𝐕 −1 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)= T −1
𝟏𝟏 𝐕𝐕 (𝛍𝛍 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝟏𝟏)
𝛍𝛍T 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄= T −1
𝟏𝟏 𝐕𝐕 𝐑𝐑 𝑄𝑄
𝛍𝛍T 𝐳𝐳𝑄𝑄= T
𝟏𝟏 𝐳𝐳𝑄𝑄

である 10)22)．そして，目的関数はシャープ・レシオ𝜃𝜃 =𝐳𝐳µ − 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝐳𝐳1
𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹

𝜎𝜎𝑄𝑄2 = 𝐰𝐰𝑄𝑄T 𝐕𝐕𝐰𝐰𝑄𝑄

最大化)
ポートフォリオ PF の解を示す式(55)において，安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の投資比率 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 0 となる場
合がある．このことは，ポートフォリオ P とも関係があるはずである．そこで，特にこのポートフォリ
オをポートフォリオ Q と呼ぶことにする．すなわちT

11= �𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄= �𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐳𝐳𝑄𝑄

(59)と導出できる 10)．ただし， 𝐳𝐳𝑄𝑄 = 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄 である．まず，ここで安全資産利子率を 𝑅𝑅𝐹𝐹 → −∞ と仮定すると式(60)から‐27‐
This document is provided by JAXA.

12

中西

𝐳𝐳µ
− 𝐳𝐳1
𝐳𝐳1
𝑅𝑅
lim 𝐰𝐰𝑄𝑄 = lim 𝐹𝐹== 𝐰𝐰𝐂𝐂𝑅𝑅𝐹 →−∞
𝑅𝑅𝐹 →−∞ 𝑏𝑏
𝑐𝑐
− 𝑐𝑐
𝑅𝑅𝐹𝐹

𝑎𝑎 2𝑏𝑏2 − 𝑅𝑅 + 𝑐𝑐
1
𝑅𝑅𝐹𝐹
= = 𝜎𝜎𝐶𝐶2
lim 𝜎𝜎𝑄𝑄2 = lim 2𝐹𝐹
𝑅𝑅𝐹 →−∞
𝑅𝑅𝐹 →−∞ 𝑏𝑏
2𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑐𝑐
−
− 𝑐𝑐 2
𝑅𝑅𝐹𝐹2 𝑅𝑅𝐹𝐹

真悟

もあるため

(61)

�𝜇𝜇𝑄𝑄 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 � (𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )== 𝜃𝜃𝑄𝑄
𝜎𝜎𝑄𝑄
𝜎𝜎𝑃𝑃である．したがって， 𝐰𝐰𝑃𝑃 = 𝐰𝐰𝑄𝑄 = 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 が成立する

た め ， 式 (41) に 一 致 す る と き は 必 ず 式 (60) の𝜇𝜇𝑄𝑄 = 𝜇𝜇𝑃𝑃 = 𝜇𝜇𝑃𝑃𝐹𝐹 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑅𝑅𝐹𝐹 )/(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑅𝑅𝐹𝐹 ) を満たすこと

𝑎𝑎− 𝑏𝑏 𝑏𝑏
𝑅𝑅𝐹𝐹
lim 𝜇𝜇𝑄𝑄 = lim= = 𝜇𝜇𝐶𝐶
𝑅𝑅𝐹 →−∞
𝑅𝑅𝐹 →−∞ 𝑏𝑏− 𝑐𝑐 𝑐𝑐
𝑅𝑅𝐹𝐹

としてポートフォリオ Q はポートフォリオ C に収束する 10)．すなわち，図 5 の安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 をマ
イナス方向に大きく移動すると点 Q が点 C に近づく
様子がイメージできる．
ところで，式(60)と式(55)より， 𝐰𝐰𝑄𝑄 = 𝐰𝐰𝑃𝑃𝑃𝑃 とすがわかる．このため，ポートフォリオ PF はポート
フォリオ Q を通過することがいえる．ゆえに，ポー
トフォリオ Q がマーケット・ポートフォリオとして接点ポートフォリオと呼ばれていることが理解できる．
ところで，ポートフォリオ Q とポートフォリオ Cについて
𝐕𝐕 −1 𝛍𝛍 = 𝐳𝐳µ

るとき

から

(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄
𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄=
T−1
𝟏𝟏 𝐕𝐕 𝐑𝐑 𝑄𝑄
𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄(𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )�𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄
𝟏𝟏T 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄= �𝐑𝐑T𝑄𝑄 𝐕𝐕 −1 𝐑𝐑 𝑄𝑄(62)𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 = 𝜌𝜌𝑃𝑃𝑃𝑃

𝜎𝜎𝑃𝑃(𝜇𝜇 − 𝑅𝑅𝐹𝐹 )𝜎𝜎𝑀𝑀 𝑀𝑀を用いるとき，式(60)のポートフォリオ Q の投資比率 𝐰𝐰𝑄𝑄 と，(46)のポートフォリオ C の投資比率 𝐰𝐰𝐶𝐶
𝐰𝐰𝑃𝑃 =(63)

おけるマーケット・ポートフォリオの平均を 𝜇𝜇𝑀𝑀 とし，標準偏差を 𝜎𝜎𝑀𝑀 とすると

より

(67)

𝐕𝐕 −1 𝟏𝟏 = 𝐳𝐳1

よりとなる．ここで，資本資産評価モデル(CAPM)33) に𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐹𝐹
𝜇𝜇𝑀𝑀 − 𝑅𝑅𝐹𝐹
= 𝜌𝜌𝑃𝑃𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑀𝑀

(66)

(64)

(65)

となる．
これはポートフォリオ P とマーケット M の収益率の相関係数が 𝜌𝜌𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1.0 のときの資本市場
線 8)33) で あ る ． す な わ ち ， リ ス ク の 感 応 度 も
𝛽𝛽 = 𝜌𝜌𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜎𝜎𝑃𝑃 /𝜎𝜎𝑀𝑀 = 1.0 である．このときのシャープ・レシオは，ポートフォリオ P がポートフォリオ Q で𝜇𝜇𝑄𝑄 − 𝜇𝜇𝑃𝑃
𝜇𝜇𝑃𝑃 − 𝜇𝜇𝐶𝐶
𝐰𝐰 +𝐰𝐰
𝜇𝜇𝑄𝑄 − 𝜇𝜇𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝜇𝜇𝑄𝑄 − 𝜇𝜇𝐶𝐶 𝑄𝑄

1= �(𝜇𝜇𝑃𝑃 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏)𝐳𝐳µ + (𝑎𝑎 − 𝜇𝜇𝑃𝑃 𝑏𝑏)𝐳𝐳1 �
𝐷𝐷

(68)

として式(41)のポートフォリオ P の投資比率 𝐰𝐰𝑃𝑃 に一致する 25)26)．したがって，目標とするポートフォ
リオの期待収益率 𝜇𝜇𝑃𝑃 が与えられた状況下で分散を最小にするポートフォリオ P は接点ポートフォリ
オ Q と最小分散ポートフォリオ C の線形結合である
ことがわかる．また，この特徴は前報 1)に掲載される投資比率の視覚化の図の傾向とも良く調和している．
さらに，ポートフォリオの期待収益率 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 がリ
スク回避度 𝜏𝜏 の大きさにより，期待効用ポートフォ
リオの効用関数 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 − τ𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕/2 とともに変化していく様子を破線として図 6 に示す．このとき，横軸はポートフォリオの標準偏差 √𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐕𝐕 を示すため，ポートフォリオ C の標準偏差 σ𝐶𝐶 は，𝜏𝜏 の大きさに関係なく一定で，ポートフォリオ Q の標準偏差
σ𝑄𝑄 についてはポートフォリオ G と連動していることが改めて確認できる．

‐28‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

5.

空売りを認めないポートフォリオの平均分散モデル

本章では，空売りを認めた場合の個々の条件で呼ぶことにしたポートフォリオ X にプライムを付けて，投資比率 𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎 の制約を加えた空売りを認めない場合のポートフォリオをポートフォリオ X’と定義して考察することにする．

5.1 安全資産利子率を含まない空売りを認めない
ポートフォリオの平均分散モデル
一般的なモデルとして取扱った 4.1 のポートフォ
リオ P に 𝑛𝑛 個の証券の投資比率 𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎 を加えたモデルを考える．このポートフォリオをポートフォ
リオ P’と呼ぶことにする．ただし，時点 𝑡𝑡 のポートフォリオにおいて投資比率 𝑤𝑤𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛), すなわ
ち投資比率ベクトル
𝐰𝐰 = {𝑤𝑤1 , 𝑤𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑤𝑛𝑛
𝟏𝟏 = {1,1, ⋯ ,1}T

𝟏𝟏T 𝐰𝐰 = 1
𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎}Tを満たす最適解 𝐰𝐰𝑃𝑃′ を探索する 9)11)43)．本研究では，最適解は Excel の Solver を VBA で操作しながら探索する 1)15)-18)．
5.2 安全資産利子率を含む空売りを認めないポー
トフォリオの平均分散モデル
一般的なモデルとして取扱った 4.4 のポートフォ
リオ PF に 𝑛𝑛 個の証券の投資比率 𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎，安全資
産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の投資比率 𝑤𝑤𝐹𝐹 ≥ 0 を加えたモデルを考える．このポートフォリオをポートフォリオ

PF’と呼ぶことにする．ただし，時点 𝑡𝑡 の証券のポートフォリオにおいて投資比率 𝑤𝑤𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛) である．すなわち，投資比率ベクトル 𝐰𝐰 と安全資産
利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の投資比率 𝑤𝑤𝐹𝐹 も投資に含めて𝐰𝐰 = {𝑤𝑤1 , 𝑤𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑤𝑛𝑛 }T
𝟏𝟏 = {1,1, ⋯ ,1}T

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
subeject to 𝛍𝛍T 𝐰𝐰 = 𝜇𝜇𝑃𝑃
𝟏𝟏T 𝐰𝐰 = 1
𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎(69)を用いてポートフォリオ PF’の最適化問題

minimize(71)∇𝐰𝐰 𝐿𝐿 = 𝐕𝐕𝐰𝐰 + [𝛍𝛍 𝟏𝟏]𝛌𝛌1 − 𝛌𝛌2 = 𝟎𝟎

𝛌𝛌2 ≥ 𝟎𝟎
T𝛌𝛌2 ∇𝛌𝛌2 𝐿𝐿 = 0

1 T
𝐰𝐰 𝐕𝐕𝐰𝐰2
𝛍𝛍T 𝐰𝐰 + 𝑅𝑅𝐹𝐹 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 𝜇𝜇𝑃𝑃
𝟏𝟏T 𝐰𝐰 + 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 1
𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎(74)

𝑤𝑤𝐹𝐹 ≥ 0とおき，KKT 条件(Karush-Kuhn-Tucker 条件)

𝛍𝛍T 𝐰𝐰 − 𝜇𝜇𝑃𝑃
∇𝛌𝛌1 𝐿𝐿 = � T
� = 𝟎𝟎
𝟏𝟏 𝐰𝐰 − 1
∇𝛌𝛌2 𝐿𝐿 = −𝟏𝟏 ≤ 𝟎𝟎

subeject to(70)を考える．ここで最適解を示すために式(70)を1
𝛍𝛍T 𝐰𝐰 − 𝜇𝜇𝑃𝑃
𝐿𝐿 = 𝐰𝐰 T 𝐕𝐕𝐰𝐰 + 𝛌𝛌1T � T
� + 𝛌𝛌T2 (−𝐰𝐰)2
𝟏𝟏 𝐰𝐰 − 1(73)

𝟏𝟏T 𝐰𝐰 + 𝑤𝑤𝐹𝐹 = 1
𝐰𝐰 ≥ 𝟎𝟎
𝑤𝑤𝐹𝐹 ≥ 0を用いて，ポートフォリオ P’の最適化問題

minimize13(72)より最適解を探索する．
以上について図 5 を示したときと同じ条件で数値実験してみると，図 7 に示すように PF’の傾向は安
全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 の点 RF から点 Q’までは CML 上に求まり，点 Q’から点 G’までは空売りのない場合の解と同様に得られる．また，この図 7 に示す破線は，
図 5 と図 6 で示した空売りを認める場合のポートフ
ォリオの傾向である．
ところで，本章までは平均を縦軸に，標準偏差を横軸に説明し，平均分散モデルを取扱ってきたが，実際には 𝑛𝑛 証券の多変量データの挙動を分析している．そこで，次章では多変量のデータ解析を実施するために用いる同時分布を考察する視点で平均分散モデルを取扱う．また，後ほど 7 章ではデータ分‐29‐This document is provided by JAXA.

14

中西

析として，次章の同時分布を用いて，図 5，図 6，
図 7 に得られるポートフォリオの特性について考察
している．

真悟

リオ管理では，解析のために投資比率を 𝐰𝐰 として確定的に取扱うことが一般的である．しかし，実際には投資比率どおりに正確に買い付けることが困難
である．
そこで，特記すべき点として， 𝐑𝐑 ほどバラツキが大きいわけではないが， 𝐰𝐰� も確率変数として本来は取扱われなければならない．すなわち，このことを意識した中で，投資比率の不確実性を想定する
� に関すことは重要である．以下では，投資比率 𝐰𝐰
る機会制約条件モデルを説明する．
6.1

図 7 空売りを認めない平均分散モデルの数理的特徴の視覚化 5)6)
Fig.7 Mathematical characteristics ofmean-variance models without short position 5)6)

6.

ポートフォリオ管理における機会制約条件モ
デル
平均分散モデルのポートフォリオ管理として，
�
𝑅𝑅 = 𝐰𝐰� T 𝐑𝐑 の投資比率 𝐰𝐰
� の期待値 𝐄𝐄(𝐰𝐰�) と分散𝐕𝐕𝐰𝐰� を用いて分析する．
このとき，正規分布の片側確率点を 𝜆𝜆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 とする
とき，等価確定式 28)

同時分布の信頼楕円体を考慮した平均分散モデルの考察𝐑𝐑T �𝐰𝐰� − 𝐄𝐄(𝐰𝐰
�)�
を二乗した

証券のポートフォリオ管理では，平均分散モデルを用いて評価されることが前章まででわかった．一方で，意思決定における不確実性は，機会制約条件
モデル 28)における等価確定式でも取扱うことができる．前者と後者はともに相関係数の大きさを取扱うことが可能であるが，機会制約条件モデルでの相関係数の大きさに関しては，Agnew ら 45)が平均分散モ
デルに適用している．このことを多変量解析としてモデル化するために同時分布の信頼楕円体 47)48)とも融合して考察することは，平均分散モデルの分散投資の視覚化の観点からも重要と考えられる．
そこで，本章では機会制約条件モデルの特徴を鑑みながら，同時分布の信頼楕円体を考慮した平均分散モデルとの関係について考察を実施している．これまでにも平均分散モデルを提案した Markowitz32)も同時分布と平均と標準偏差の幾何学的特性について取扱っている．これに相関係数の大きさの特徴をより詳細に調査することが重要である．
また，一般に空売りを認めない場合のみを考慮した平均分散モデルは 5 章で記述したように表記される．そして，収益率 𝐑𝐑 は確率変数として取扱って

�𝐑𝐑T 𝐕𝐕𝐰𝐰� 𝐑𝐑≥ 𝜆𝜆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

(75)

2

𝜆𝜆2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐑𝐑T 𝐕𝐕𝐰𝐰� 𝐑𝐑 − �𝐑𝐑T �𝐰𝐰� − 𝐄𝐄(𝐰𝐰�)�� ≤ 0(76)

は，平均分散モデルをリターンによる直交座標系で視覚化した傾向として示すことができる．すなわち，
図 8 から図 10 のように相関係数の大きさに応じて不確実性が確認できる．
�2 の相関係
ここで，図 8 では，投資比率 𝑤𝑤
�1 と 𝑤𝑤
数 𝜌𝜌𝑤𝑤�1 𝑤𝑤�2 = 0.9 の場合を取扱っている．図 9 では，
�2 の相関係数 𝜌𝜌𝑤𝑤�1 𝑤𝑤�2 = 0.0 の場
投資比率 𝑤𝑤�1 と 𝑤𝑤合を取扱っている．図 10 では，投資比率 𝑤𝑤
�1 と 𝑤𝑤�2の相関係数 𝜌𝜌𝑤𝑤�1 𝑤𝑤�2 = −0.9 の場合を取扱っている．

このようにそれぞれ相関関係を視覚化できる．図 8
か ら 図 10 で は ， 投 資 比 率 𝑤𝑤
�1 の 変 動 係 数 を
�2 の変動係数を 𝛿𝛿2 = 0.05 と𝛿𝛿1 = 0.05，投資比率 𝑤𝑤
�2 ) = 1 − 𝑤𝑤 の傾向をプロ
して， 𝐸𝐸(𝑤𝑤�1 ) = 𝑤𝑤， E(𝑤𝑤ットし，𝜆𝜆 の倍数を変化させながら複数本の曲線を描いている．

いる．厳密な意味でも平均分散モデルのポートフォ‐30‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

図 8 機会制約条件モデルによる視覚化(𝜌𝜌𝑤𝑤1𝑤𝑤2 = 0.9)

27)

Fig.8 Visualizations of chance-constrained programming
models (𝜌𝜌𝑤𝑤1𝑤𝑤2 = 0.9)15

図 10 機 会 制 約 条 件 モ デ ル に よ る 視 覚 化 27)(𝜌𝜌𝑤𝑤1𝑤𝑤2 = −0.9)
Fig.10 Visualizations of chance-constrained
programming models (𝜌𝜌𝑤𝑤1 𝑤𝑤2 = −0.9)

また，相関係数 𝜌𝜌𝑤𝑤�1 𝑤𝑤�2 の値が図 8 から図 10 と異なる場合でも図 8 から図 10 の傾向からバラツキの様子を予測できる．このように，投資比率間の不確実性として相関関係についても考慮することは重要かもしれない．

6.2 平均分散モデルにおける信頼楕円体
一方で，投資比率を対角行列 𝐖𝐖 = diag[𝑤𝑤𝑖𝑖 ] と置くとき，平均分散モデルのリターンの同時分布上の信頼楕円体はT

� − 𝐖𝐖𝐖𝐖�𝐑𝐑
� �� (𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖)−1 �𝐑𝐑
� − WE�𝐑𝐑
� ��
�𝐑𝐑

(77)

= 𝜆𝜆2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆

図 9 機会制約条件モデルによる視覚化(𝜌𝜌𝑤𝑤1𝑤𝑤2 = 0.0)

27)

Fig.9 Visualizations of chance-constrained programming
models (𝜌𝜌𝑤𝑤1𝑤𝑤2 = 0.0)と記述できる 27)．ここに， 𝜆𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 は正規分布の片側確率点である．
式(77)を用いるとき，機会制約条件モデルと同様の傾向を示しながら，各投資比率における信頼楕円体の振舞いが図 11 から図 13 のように視覚化できる．
このとき，図 11 から図 13 には，確率変数 𝑅𝑅1 の投資比率を 𝑤𝑤，確率変数 𝑅𝑅2 の投資比率を 1 − 𝑤𝑤 として， 𝑤𝑤 を 0.1 から 0.9 まで 0.1 ずつ増加させた傾向をそれぞれ図示している．

‐31‐
This document is provided by JAXA.

16

中西

真悟

図 13
図 11 平均分散モデルの信頼楕円体 27) (𝜌𝜌12 = 0.9)
Fig.11 Confidence ellipsoids of mean-variance models(𝜌𝜌12 = 0.9)

平 均 分 散 モ デ ル の 信 頼 楕 円 体 27) (𝜌𝜌12 =−0.9)
Fig.13 Confidence ellipsoids of mean-variance models(𝜌𝜌12 = −0.9)

ここで，図 11 では，確率変数 𝑅𝑅1 と 𝑅𝑅2 の相関係
数 𝜌𝜌𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 = 0.9 の場合を取扱っている．図 12 では，確率変数 𝑅𝑅1 と 𝑅𝑅2 の相関係数 𝜌𝜌𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 = 0.0 の場

合を取扱っている．図 13 では，確率変数 𝑅𝑅1 と 𝑅𝑅2の相関係数 𝜌𝜌𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 = −0.9 の場合を取扱っている．

このようにそれぞれ相関関係を視覚化できる．また，相関係数 𝜌𝜌𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 の値が図 11 から図 13 と異なる場合
でも図 11 から図 13 の傾向から予測でき，確率変数間の相関係数に対する同時分布の特徴がわかる．
この結果，機会制約条件モデルよりも，投資比率が明確に異なる同時分布の信頼楕円体のパフォーマ
ンスは， 𝐖𝐖𝐕𝐕𝐕𝐕 を考慮している点で，平均分散モ
デルの不確実性を忠実に表現できていることにな
る．

図 12 平均分散モデルの信頼楕円体 27) (𝜌𝜌12 = 0.0)
Fig.12 Confidence ellipsoids of mean-variance models(𝜌𝜌12 = 0.0)

また，再度記述するが，図 11 から図 13 では投資比率が確定的として視覚化されているにもかかわらず，投資比率の不確実性を考慮しなくとも，平均分散モデルのリスク低減効果は相関係数の大きさにより同時分布の信頼楕円の形状の変化として視覚化できる．
これに，図 8 から図 10 の投資比率の不確実性を加えて信頼楕円体の中心座標が揺れるのが現実の投資スタイルではないかと考えられる．

‐32‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

7. データ分析
図 14 は，1990 年 1 月から 2009 年 12 月までの 20 年間に渡る株価上昇率の上位 50 証券を選択後，その中のシャープ・レシオが上位 10 証券である平均分散モデルの効率的フロンティアを図示したものである．
同時に，後頁の付録図 A に計量した 20 年間の期間中，各計量期間を60 か月である5 年間に限定した平均分散モデルの傾向を 1 か月ごとに移動させて比較できるよう視覚化している．

17

同様に，同期間の時系列資産の上昇倍率を視覚化す
ると，図 15 のように図 14 に用いられた 10 証券が，好不況の推移とともに着実に上昇した傾向がわかる．また，図 14 の傾向のように長期間安定的に株価上昇を収めた証券を選定しているため，
図 14 の効率的フロンテ
ィアは，計量期間を 5 年間に限定した効率的フロンテ
ィアとして付録図Aに示す個々の効率的フロンティアと比較しても小さな範囲に収まっていることもわかる．図 15 にはポートフォリオ Q’を赤色実線で，C’を黒色実線で示し，時系列な資産の上昇推移と同時に分散投資によるリスク低減効果も視覚化できている．
さらに，図 14 では空売りの有無に関わらず，ポート
フォリオ C と C’は一致しており，このことは空売りを認めない場合の最小分散ポートフォリオの証券投資比率を示す図 16 と，空売りを認める場合の証券投資比率を示す図17 の縦軸の投資比率35 番からも理解できる．
図 16 では，空売りを認めない場合のポートフォリオ G’

図 14 1990 年 1 月から 2009 年 12 月までの 20 年間の株
価上昇率上位 50 証券中，シャープ・レシオ上位 10 証券の効率的フロンティア
Fig.14 Efficient frontiers of portfolios of the top 10 ratings ofSharpe ratios in the top 50 ratings of expected returns of stock
prices from January 1990 to December 2009

図 15 1990 年 1 月から 2009 年 12 月までの 20 年間の証
券10証券と最小分散ポートフォリオと接点ポートフォリ
オの資産上昇倍率推移図
Fig.15 Assets growth rates of tangency portfolios or minimum
variance portfolios with 10 securities from January 1990 to
December 2009

を縦軸の証券投資比率 1 番に，ポートフォリオ C’を縦軸の投資比率 35 番に示し，その間の期待収益率を等分割し，ポートフォリオ P’の投資比率を示している．図17 では，期待収益率がポートフォリオ G’とポートフ
ォリオ C’の間を図 16 と同じ期待収益率の位置に設定
し，ポートフォリオ P の投資比率を示している．この
図 16 と図 17 から空売りの有無の影響が比較的小さい
ことが付録図 A と比較してもわかる．

図 16 1990 年 1 月から 2009 年 12 月までの 20 年間のポートフォリオ G’からポートフォリオ C’までの投資比率(空売りなし)Fig.16 Investment ratios between portfolios C’ and portfolios G’
for 20 years from January 1990 to December 2009 (without
short position)‐33‐
This document is provided by JAXA.

18

中西

真悟

図 17 1990 年 1 月から 2009 年 12 月までの 20 年間のポ図 18 1995 年 1 月から 2009 年 12 月における直近

ートフォリオ G’とリターンの同じポートフォリオからポートフォリオ C までの投資比率(空売りあり)
Fig.17 Investment ratios between the same returns of portfolios
C’ and portfolios G’ for 20 years from January 1990 to
December 2009 (with short position)

60 か月間のポートフォリオ Q’の投資比率の推移(空売りなし)
Fig.18 Trends in investment ratios of portfolio Q' of the last
60 months from January 1995 to December 2009 (without
short position)

7.1 計量期間 5 年ごとの平均分散モデルの推移
ところで，付録図 A には，1995 年 1 月から 2009 年
12 月までの 15 年間の各時点で直近 5 年間，すなわち60 か月間の計量期間をもとに平均分散モデルのパフ
ォーマン評価のために，それぞれ 4 つの図を示している．具体的には付録図 A の左側から，(a)効率的フロン
ティア，(b)資産上昇倍率の時系列傾向，(c)空売りを認めない場合の投資比率，(d)空売りを認める場合の投資比率の 4 図を 1 か月ごとに時点を移動させて比較のために図示している．(c)と(d)の縦軸の設定は，図 16 と図 17 と同様にそれぞれのポーフォリオ G’とポートフ
ォリオ C’の期待収益率を等分割して示したものであ図 19 1995 年 1 月から 2009 年 12 月における直近 60
か月間のポートフォリオ Q’と同じリターンの投資比

る．
特記すべき点として，この期間中で，計量期間が1990 年 1 月から 1994 年 12 月までのポートフォリオ C’の期待収益率 𝜇𝜇𝐶𝐶 ′ が安全資産利子率 𝑅𝑅𝐹𝐹 より小さい
ために CML の描画が図 7 のように示されていないことが確認できる．

率の推移(空売りあり)
Fig.19 Trends in investment ratios of portfolio returns sameas Q' of the last 60 months from January 1995 to December
2009 (with short position)

ところで，付録図 A において空売りのない場合のポートフォリオ Q’の投資比率が，時系列に対してどのよ
うに変化するかを図示したものが図 18 である．
同様にポートフォリオ Q’と同じ期待収益率 𝜇𝜇𝑄𝑄′ を示すポーンス評価を行うように実施時期を設定すべきだが，取引コスト 23)31)40)のないリバランスをできるだけ多く実施したアクティブ運用の実施結果を計量するために，
1
か月ごとに計量し直しリバランスするアクティブ運用を検討して視覚化している．この条件のもとで，図 18に示す投資比率の変化に従うリバランスを実施し，計トフォリオ P の投資比率の時系列推移を示したものが
図 19 である．

これらは，本来ならば定期的に 1 年後にパフォーマ

量期間の直後の 1 か月後のパフォーマンスを調べたものを図 15 上に緑色破線として描いている．
しかしながら，想定していたパフォーマンスは得られず，ポートフォリオ Q’と同等の結果を最終的に得る‐34‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

ような傾向が得られた．このため，この期間中に計量したデータからはリバランスによるアクティブ運用の計量予測値は優れていたものの，その直後の 1 か月後の計量結果のパフォーマンスからは証明できなかったといえる．このような不確実性を調べるため，7.3 では
統計量について平均分散モデルの計量期間をもとに考察している．その前に，次節では平均の算術方法による違いと平均分散モデルの不確実性について取扱う．
7.2

算術平均と対数平均による平均分散モデルの比較

197.3 統計量と平均分散モデルの比較
今野と鈴木ら 35)は歪度まで考慮するモデルを考察している．そこで，平均分散モデルについて計量期間中に統計量である平均，標準偏差，歪度，超過尖度による影響がどの程度かを調べる．すなわち，図 15 に示すように 20 年間の時間推移の中で経済的なイベントによる影響がいくらか確認できる．このため，本節では60 か月ごとの計量期間の基本統計量への影響を考察する．

本節では，算術平均による平均分散モデルと対数平均による平均分散モデルの実施例を比較する．具体的には，図 20 のように 1995 年 1 月から 2000 年 12 月までの 5 年間の計量期間の両者の効率的フロンティアを描いたものを同時に図示している．
同じ期間の株価から図示したにも関わらず，式(1)による騰落率の算術平均と式(5)による騰落率の対数平均による平均分散モデルを用いたかで両者は別物である．このため，ポートフォリオの計量結果だけを確認するのではなく，計量プロセスの違いも十分に認識して投資の意思決定を行うことが重要である．
また，
図 20 に橙色の破線で示すように算術平均を用いた期待効用ポートフォリオを描いたが，本研究で取扱う対数平均を用いる平均分散モデルとは平均算出の取扱いの違いで対象とする効率的フロンティアが大きく異なることがわかる．

図 21 10 証券とポートフォリオ Q’とポートフォリオ C’の平均の推移Fig.21 Trends in the average of portfolio C', portfolio Q’ and 10
securities
まず，図 21 に示す平均の傾向であるが，図 22 に示す標準偏差よりも値の変化の頻度は大きい．
このため，この傾向が投資比率の時間推移にも影響を及ぼしていることがわかる．したがって，個別の証券の平均の変化の大きさから図 18 と図 19 のように投資比率が安定しないことがわかる．また，図 22 からわかるようにポートフォリオ Q’とポートフォリオ C’の標準偏差は投資対象の 10 証券のそれぞれのバラツキの変化よりも小さく安定している．このことは平均分散モデルを活図 20 算術平均と対数平均のポートフォリオの効率
的フロンティアの対比(計量期間: 1995 年 1 月から 1999
年 12 月までの 60 か月間月次データより年率変換)
Fig.20 Comparisons of efficient frontiers of portfolios oflogarithmic mean and arithmetic mean (Annual rates
converted by monthly data for 60 months from January
1995 to December 1999)

用するために大変重要な特徴である．
ところで，式(15)と式(16)で示した標本数 𝑘𝑘 を意味する 𝑇𝑇 で割る歪度と超過尖度は，Excel の標準関数
SUMPRODUCT を用いたユーザ定義関数として活用しても良いし，もしくは直接 Cell に入力して‐35‐This document is provided by JAXA.

20

中西

歪度 = SUMPRODUCT(
𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱),𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱),𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱))/COUNT(𝐱𝐱)(78)/STDEV. P(𝐱𝐱)^3

超過尖度 = SUMPRODUCT(
𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱),𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱),𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱),

ただし

真悟

Kurt(𝐑𝐑) =𝑇𝑇 2(𝑇𝑇 − 1)(𝑇𝑇 − 2)(𝑇𝑇 − 3)⋅

ただし𝑚𝑚𝑘𝑘 =(79)(𝑇𝑇 + 1)𝑚𝑚4 − 3(𝑇𝑇 − 1)𝑚𝑚22
𝑠𝑠 4

𝑇𝑇

1
�(𝑅𝑅𝑡𝑡 − 𝑅𝑅�𝑡𝑡 )𝑘𝑘
𝑇𝑇
𝑡𝑡=1

𝑇𝑇

𝐱𝐱 − AVERAGE(𝐱𝐱))/COUNT(𝐱𝐱)/STDEV. P(𝐱𝐱)^4 − 31𝑠𝑠𝑘𝑘 = ��(𝑅𝑅𝑡𝑡 − 𝑅𝑅�𝑡𝑡 )2
𝑇𝑇 − 1(82)

𝑡𝑡=1

𝐑𝐑 = {𝑅𝑅1 , ⋯ , 𝑅𝑅𝑛𝑛 }Tなので，式(78)と式(79)と比較すると若干の差異を含ん}T

𝐱𝐱 = {𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑇𝑇 = COUNT(𝐱𝐱)(80)と表記して活用できる．ここで，式(80)の 𝐱𝐱 は，計量する値の配列を意味する．

図 22 10 証券とポートフォリオ Q’とポートフォリオ C’の標準偏差の推移
Fig.22 Trends in the standard deviation of portfolio C', portfolio
Q’ and 10 securities
式(78)と式(79)では，標本数 𝑇𝑇 で割っているが，Excelの標準関数では，歪度と超過尖度はSkew(𝐑𝐑) =

𝑇𝑇 2
𝑚𝑚3
(T − 1)(T − 2) 𝑠𝑠 3

(81)

でいる．ただし，このとき 𝐑𝐑 は騰落率のデータを示
すセル配列である．
これまでの計量期間は 60 か月間なので， 𝑇𝑇 = 60 である．また，歪度と超過尖度に関する式(81)と式(78)の差異は 𝑇𝑇 に依存している．

図 23 10 証券とポートフォリオ Q’とポートフォリオ C’の歪度の推移Fig.23 Trends in the skewness of portfolio C', portfolio Q’ and
10 securities
一方，図 22 の標準偏差，図 23 の歪度，図 24 の超過尖度からは，時系列データの計量期間が重なる期間の影響が明確に表われ，値の変化が連動している様子がわかる．
すなわち，2000 年 5 月から 2005 年 4 月までの間で特定の証券の歪度と超過尖度が大きくなっている．このことと同様に標準偏差でも影響が出ているが，ポートフォリオ
Q’とポートフォリオ C’の標準偏差には，分散投資によるリスク低減効果も示されている．

‐36‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

21

したがって，歪度と超過尖度の分母に標準偏差がある
ため，これらの値の大きさへの影響が明確に表われている．この傾向については，図 23 と図 24 に視覚化された特徴からも再確認できる．

図 26 ユーザ定義と Excel 標準関数の超過尖度の比較
Fig.26 Comparisons of kurtosis of both user definition function
and Excel standard function

図 24 10 証券とポートフォリオ Q’とポートフォリオ C’の超過尖度の推移
Fig.24 Trends in the kurtosis of portfolio C', portfolio Q’ and 10
securities

本節では，計量期間 𝑇𝑇 = 60 の平均分散モデルに対する統計量について調査したが，対数平均を用いる平均分散モデルの平均は，計量期間において証券価格の期首価
格と期末価格による騰落率の算出のために，付録図 A と
図 21 から図 26 までの傾向より投資比率が安定しないことが改めてわかる．また，高次統計量は計量期間を時系列で重複する場合には同じ要因でしばらくの期間，同じ傾向が連動することも理解できる．したがって，統計処理を行う場合には，対象とする計量期間について適切に分割を設定しながら実施することが望ましい．
7.4 時系列傾向と平均分散モデルの考察
7.3 では歪度と超過尖度を含めて同期間を比較する分析を実施した．石島と内田ら 30)は，自己相関の有無に関するモデルを紹介している．そこで，本節では 1995 年 1

図 25 ユーザ定義と Excel 標準関数の歪度の比較
Fig.25 Comparisons of skewness of both user definition
function and Excel standard function
さらに，この計量期間に対する歪度を図 25 にユーザ定

月から 2009 年 12 月までの直近 60 か月間のそれぞれの計量期間の時系列の影響を考察するために自己相関係数を計算する．
たとえば，𝑘𝑘 次の自己共分散は Excel の標準関数
SUMPRODUCT を用いてユーザ定義関数を活用するか，もしくは直接に Cell 入力して義関数と Excel 標準関数として図示している．両者の計算結果はほとんど誤差がない．すなわち，両者の相対誤差は約 2.52%で一定である．これに対して，超過尖度は，
図 26 に示されるように値が大きいほど，ユーザ定義関数と Excel 標準関数の誤差が大きく，場合により相対誤差の取扱いには注意を要する．このため標本数を考慮し，ユーザ定義関数は使用することが望ましい．

𝑘𝑘次の自己共分散 = SUMPRODUCT(
𝐱𝐱1 − AVERAGE(𝐱𝐱),𝐱𝐱 2 − AVERAGE(𝐱𝐱))/COUNT(𝐱𝐱)

(83)

ただし

‐37‐
This document is provided by JAXA.

22

中西

𝐱𝐱 = {𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 }T
𝐱𝐱1 = {𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛−𝑘𝑘 }T
𝐱𝐱 2 = {𝑥𝑥𝑘𝑘+1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 }T

真悟

(84)

である．ここで，𝐱𝐱, 𝐱𝐱1 , 𝐱𝐱 2 は計量に用いられる値のセル配列である．
式(83)と式(84)を用いて，図 27 から図 31 にそれぞれ 1
次自己相関係数から 5 次自己相関係数について計量期間中の傾向を図示している．
図29 ポートフォリオQ’とポートフォリオC’の3次自己相関係数の推移
Fig.29 Trends in third order autocorrelation function of portfolio
C' and portfolio Q’

図27 ポートフォリオQ’とポートフォリオC’の1次自己相関係数の推移
Fig.27 Trends in first order autocorrelation function of portfolio
C' and portfolio Q’
図30 ポートフォリオQ’とポートフォリオC’の4次自己相関係数の推移
Fig.30 Trends in fourth order autocorrelation function of
portfolio C' and portfolio Q’

図28 ポートフォリオQ’とポートフォリオC’の2次自己相関係数の推移
Fig.28 Trends in second order autocorrelation function of
portfolio C' and portfolio Q’
図31 ポートフォリオQ’とポートフォリオC’の5次自己相関係数の推移
Fig.31 Trends in fifth order autocorrelation function of portfolio
C' and portfolio Q’‐38‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

23

また，6 章でも記述したとおり，実際にはこれに投資比率の不確実性を考慮する必要があるかもしれない．
以上から実際の運用には計量期間の直後に，理論値に基づく証券投資比率どおり売買を行うことは難しいことがわかる．このため，当月の高値と安値を参考値に騰落率への影響を考察する．すなわち，高値と安値の騰落率に影響する度合いとして

高値率 − 安値率 = log �

図 32 自己相関係数のコレログラム
Fig.32 Comparisons of correlogram of autocorrelation functions
計算結果と図 27 から図 31 までの傾向より，全体的には 1 次自己相関係数，2 次自己相関係数，3 次自己相関係
数の順に少しずつ減衰している様子がわかる．これに対し，4 次自己相関係数と 5 次自己相関係数は，3 次自己相関係数より大きい結果が得られている可能性がある．

当月高値
�
前月終値

(85)

当月安値
− log ��
前月終値なる指標を定義する．図 33 では，この高値率－安値率と騰落率の時系列を図示している．

そこで，10 証券とポートフォリオ Q’と C’について，
1990 年 1 月から 1994 年 12 月まで，1995 年 1 月から 1999
年 12 月まで，2000 年 1 月から 2004 年 12 月まで，2005
年 1 月 2009 年 12 月までの 5 年ごとに 4 分割し，図 32 に示すようにコレログラム(本来は縦軸と横軸の表示は逆表示)の図示を試みている．
このとき，図 32 では有意となる臨界値 ±0.25 を超える場合には，薄緑色で背景を表示している．また，検定として式(24)の Ljung-Box 統計量 𝑄𝑄5 を算出し，図 32 のコレログラムの下に値の大きさのイメージを黄土色で表示している．個別証券では時系列への影響はそれぞれに確認されているが，図 32 からポートフォリオへの影響は小さくなっていることが確認できる．
7.5 同時分布と平均分散モデルの考察
一方で，平均分散モデルと同時分布もしくは散布図の比較調査も重要である．そこで，付録図 B に示すように1995 年 1 月から 2009 年 12 月までの直近 60 か月間のポ

図 33 高値率と安値率の差異と騰落率の比較
Fig.33 Comparisons of returns and differences of rates of highprices and low prices
図 33 上に図示は実施していないが，個別の 10 証券の傾向も大体同じ傾向である．経済的なイベントの前後の高値と安値の差異が大きくなる傾向があり，翌月内に実ートフォリオ Q’とポートフォリオ C’の同時分布について
1 か月ごとの時間推移を図示している．そして，空売りなしの場合を左図の散布図として記載している．同時に，
右図にはポートフォリオ Q’とポートフォリオ C’が同じ平均の空売りがある場合の散布図の傾向として図示している．
付録図 B の散布図と図 11 の同時分布の傾向は相関係

施するポートフォリオのリバランスがある場合，計画通りに執行できない可能性がある．実際には手数料 31)を含
む取引コスト 23)40)も考慮する必要があり，この不確実性についても見積もることが重要である．
以上，平均分散モデルの不確実性に関して多岐にわたり確認できるのだが，それにもかかわらずにデータ分析

数の値の大きさが近いため，同様の傾向を示すことがわかる．しかし，一方で前節までで考察した統計量の不確
実性や時系列の不確実性について，バラツキの様子がそれぞれの計量期間の特徴として表れていることもわかる．

を通じて分散投資のリスク低減効果を再確認することが
できた．

‐39‐
This document is provided by JAXA.

24

中西

6．結

真悟

10) 批々木規雄，『金融工学と最適化』，朝倉書店，論

本研究では，平均分散モデルの数理モデルの再考と Excel による 1990 年 1 月から 2009 年 12 月までのデータ分析を通じて，その特徴や不確実性の考察を実施した．まず，数理モデルを再考し，最小分散ポートフォリオ，接点ポートフォリオ，最適成長ポー
トフォリオの特徴を再確認できた．そして，同時分布による平均分散モデルの特徴を考察し，不確実性を有するもののリスク低減効果を確認できた．
以上をもとに，計量期間中に得られたデータより，理論とデータの同一の傾向と不確実性について改めて再検証することができた．
謝辞 最後に，本研究の遂行に際し，大阪大学大学院 経済学研究科 大西匡光 教授，大屋幸輔 教授，並びに中央大学大学院 国際会計研究科 石島博 教授から多数の有益な助言を賜ったことを記して感謝の意を表します．また，校閲者からの親切な助言へも謝意を記します．

参考文献
1) 中西真悟，”インターネットに公開される株価情報を利用したデータベースの開発とその活用 平均分散モデルと資本資産価格モデルへの応用

2001.
11) 批々木規雄，田辺隆人，『ポートフォリオ最適化と数理計画法』，朝倉書店，2005.
12) John Y. Campbell, Andrew W. Lo, Archie
Craig

Financial<http://www.boj.or.jp/type/stat/dlong/index.htm>，2010 にアクセス.
4) Yahoo!ファイナンス
<http://finance.Yahoo.co.jp/>, 2010 にアクセス.

5) D. G. Luenberger, Investment Science, Oxford
University Press, 1998.
6) D. G. Luenberger (今野浩，鈴木賢一，批々木規雄 訳)，『金融工学入門』，日本経済新聞社，2002.
7) 田畑吉雄，『金融工学入門』，エコノミスト社，

2001.
8) 田畑吉雄，『リスク測度とポートフォリオ管理』，
朝倉書店，2004.
9) 竹原均，『ポートフォリオの最適化』，朝倉書店，
1997.

Markets,

The

Econometrics

Princetonof

University

Press, 1996.
13) John Y. Campbell, Andrew W. Lo, Archie
Craig Mackinlay (祝迫得夫, 大橋和彦, 中村信
弘, 本多俊毅, 和田賢治 訳)，『ファイナンスのための計量分析』，共立出版，2003.
『計量ファイナンス分析の
14) 小暮厚之，照井伸彦，基礎』，朝倉書店，2001.
15) Simon Benninga, Financial Modeling, The
MIT Press, 3rd Edition, 2008.
16) Simon Benninga, (ファイナンシャル・モデリン
グ研究会 訳)，『ファイナンシャル・モデリン
グ』，清文社，2005.
17) Mary Jackson, Mike Staunton, Advanced
Modelling in Finance using Excel and VBA,
The Wiley Finance Series, 2001.
18) Mary Jackson, Mike Staunton, (山下恵美子,
近藤正拡, 西麻布俊介 訳)，『EXCEL と VBA で学ぶ先端ファイナンスの世界』，パンローリン
グ，2004.

-”，大阪工業大学紀要理工編，Vol. 55, No. 1, pp.
11-24, 2010.
2) バブル高値を抜く 95 社，地方めだつ，日経ヴェ
リタス 2010 年１月 10 日号， 日本経済新聞社，
p.11，2010.
3) 日本銀行統計時系列データ,

Mackinlay,19) Gunter Loeffler, Peter N. Posch, Credit Risk
Modeling using Excel and VBA, The Wiley
Finance Series, 2nd Edition, 2010.

20) Ludwig

B.

Chincarini,

DaehwanKim,

Quantitative Equity Portfolio Management,

McGraw-Hill, 2006.
21) Svetlozer T. Rachev, Stoyan V. Stoyanov,Frank J. Fabozzi, Advanced Stochastic

models, Risk Assessment, and Portfolio
Optimization, John Wiley & Sons, Inc., 2008.

22) Frank J. Fabozzi, Sergio M. Focardi, Petter N.
Kolm, Quantitative Equity Investing, John
Wiley & Sons, Inc., 2010.
23) Frank J. Fabozzi, Harry M. Markowitz,
Equity Valuation and Portfolio Management,
John Wiley & Sons, Inc., 2011.
24) Jean Luc Prigent, Portfolio Optimization and
Performance Analysis, Chapman & Hall/
CRC, 2007.

‐40‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

2525) Richard C. Grinold, Ronald N. Kahn, Active
Portfolio Management, McGraw-Hill, 1995.
26) Richard C. Grinold, Ronald N. Kahn (明治生命
特別勘定運用部，日興証券アセットマネジメン
ト本部訳), 『アクティブ・ポートフォリオ・マ

の構築－』，阿吽社， 2002．
37) 藤林宏，岡村孝，矢野学，『EXCEL で学ぶ証券投資分析 －改訂版－』，金融財政事情研究会，

ネジメント』，東洋経済新報社，1999．
27) 中西真悟，大西匡光，“同時分布の信頼楕円体を考慮した平均・分散モデルの考察”，日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表会アブストラクト集 2013, pp. 184-185, 2013.
28) 石井博昭, 斎藤誠慈, 森田浩，『不確実・不確定

実業出版社，2005.
39) 小林孝雄，芹田敏夫，日本証券アナリスト協会，『新・証券投資論 I』，日本経済新聞出版社，2009.
40) 伊藤敬介，諏訪部貴嗣，荻島誠治，浅野幸弘，
榊原茂樹，日本証券アナリスト協会，『新・証券
投資論 II』，日本経済新聞出版社，2009．

性の数理』，大阪大学出版会, 2004.
29) 河本薫，『会社を変える分析の力』，講談社，2013.
30) 石島博, 内田正樹, “相互相関を考慮した最適なポートフォリオ選択に関する一考察”，京都大学
数理解析研究所, 数理解析研究所講究録, 1736,

pp. 147-160, 2011.
31) 仲川勇二，井垣伸子，伊佐田百合子，疋田光伯，”
離散最適化解法の金融工学への応用 : 年金等の長期運用に役立つ最適化技術の開発を目指して”, オペレーションズ・リサーチ : 経営の科学,
Vol. 56, No. 5, 280-285, 2011.
32) H. M. Markowitz, Portfolio

Selection:
Efficient Diversification of Investments, John

Wiley and Sons, Inc., 1959.
33) W. F. Sharpe, "Capital asset prices: A theory ofmarket equilibrium under conditions of risk,"
Journal of Finance, Vol. 19, pp. 425-442, 1964.
34) 吉田あつし，福地純一郎；平均分散モデルにおける最適ポートフォリオのリスク推定，ジャフィー・ジャーナル，東洋経済新聞社，2003.
35) 今野浩，鈴木賢一，” 平均・分散・歪度モデルについて”，日本オペレーションズ・リサーチ学
会秋季研究発表会アブストラクト集 1993，pp.
242-243, 1993.
36) 大川勉，『コンピュータ金融工学入門 －エクセルとマセマティカによる実践的ポートフォリオ

2001.
38) 石野雄一，『道具としてのファイナンス』，日本

41) 菅原周一，『資産運用の理論と実践』，朝倉書店，
2007．
42) A. D. Roy, "Safety-first and the Holding
Assets," Econometrica, Vol. 20, pp. 431-449,
1952.
43) Ulrich Faigle, W. Kern, Georg Still,

Algorithmic Principles of Mathematical
Programming, Springer, 2002.
44) Chi-fu Huang, Robert H. Litzenberger,
Foundations for Financial Economics,
Elsevier Science Ltd, 1988.
45) Agnew, N. H., Agnew, R. A., Rasmussen, J.

and Smith, K. R., “An application of chanceconstrained
programmingtoportfolio
selection in casualty insurance firm”,
Management Science, Vol. 15, No.10,
pp.B-512-520, 1969.
46) 矢野健太郎，『図形と式』，講談社，1979.
47) Richard A. Johnson, Dean W. Wichern,
Applied Multivariate Statistical Analysis,Longman Higher Education, 2nd Revised
edition, 1987.
48) Richard A. Johnson, Dean W. Wichern, (西田俊夫 訳)，『多変量解析の徹底研究』，現代数学社，1992.

‐41‐
This document is provided by JAXA.

26

中西

真悟

付録図 A 計量期間 60 か月ごとの平均分散モデル(a)効率的フロンティア，(b)資産上昇倍率，(c)投資比率(空売りなし)，(d)投資比率(空売りあり)
Appendix Figures A
Mean-variance models for 60 months(a) Efficient frontiers of mean-variance models for 60 months,(b) Assets growth rates,(c) Investment ratios of portfolios (without short position),(d) Investment ratios of portfolios (with short position)

1990/1-1994/12 a

b

c

d

1991/1-1995/12 a

b

c

d

1992/1-1996/12 a

b

c

d

1993/1-1997/12 a

b

c

d

1994/1-1998/12 a

b

c

d

‐42‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−27

1995/1-1999/12 a

b

c

d

1996/1-2000/12 a

b

c

d

1997/1-2001/12 a

b

c

d

1998/1-2002/12 a

b

c

d

1999/1-2003/12 a

b

c

d

2000/1-2004/12 a

b

c

d

‐43‐
This document is provided by JAXA.

28

中西

真悟

2001/1-2005/12 a

b

c

d

2002/1-2006/12 a

b

c

d

2003/1-2007/12 a

b

c

d

2004/1-2008/12 a

b

c

d

2005/1-2009/12 a

b

c

d

‐44‐
This document is provided by JAXA.

平均分散モデルの特徴と不確実性に関する考察−数理モデルとMicrosoft Excel活用によるデータ分析−

29

付録図 B
同時分布(散布図)による平均分散モデルの比較
Appendix Figures B
Comparisons of mean-variance models by simultaneous distributions (scatter plot diagram)

1990/1-1994/12 空売りなし

空売りあり

1995/1-1999/12 空売りなし

空売りあり

1991/1-1995/12 空売りなし

空売りあり

1996/1-2000/12 空売りなし

空売りあり

1992/1-1996/12 空売りなし

空売りあり

1997/1-2001/12 空売りなし

空売りあり

1993/1-1997/12 空売りなし

空売りあり

1998/1-2002/12 空売りなし

空売りあり

1994/1-1998/12 空売りなし

空売りあり

1999/1-2003/12 空売りなし

空売りあり

‐45‐
This document is provided by JAXA.

30

中西

真悟

2000/1-2004/12 空売りなし

空売りあり

2003/1-2007/12 空売りなし

空売りあり

2001/1-2005/12 空売りなし

空売りあり

2004/1-2008/12 空売りなし

空売りあり

2002/1-2006/12 空売りなし

空売りあり

2005/1-2009/12 空売りなし

空売りあり

‐46‐
This document is provided by JAXA.