2020 年度前期 機械工学概論と機械工学概論 I 期末テスト問題（2020 年 9 月 7 8 日 1 限 203 号教室）
以下の設問に解答してください．解答の順番は自由です．解答用紙は 3 枚提出してください．
1．
2．

図 1 の目盛り上に記入した値を読み取ると，2×0.666 がいくつになるか説明してください．
平地にて停止した車重 700kg の車を 20 馬力一定で時速 100 ㎞まで加速する時の所要時間を求めてくださ
い．馬力の単位は PS で，1PS は概ね 75×9.80665 W です．

3．

回転軸が，トルク T N･m で，一秒間に n 回転するとき，仕事率を SI 単位で求めてください．
（トルクは，力のモーメントと同じ意味で，回転方向にかかる力の大きさとその作用点と回転中心の距離の積です．
）
絶対値が図 1 の斜線部の面積と同じで，負の値を示す S が得られるように，空欄をうめて完成させた式(1)4.

を回答用紙に記述してください．式(1)を完成させる段階で，逆関数は使いませんし，w=F(z)も具体的な関数は指定していません．
5.

素材が均質で断面積が一定の棒があり，その棒の端を回転中心とする場合，棒の長さを 2 倍にすると慣性モーメントが何倍になるか，求めてください．慣性モーメントは，質量 dm の回転中心からの距離を r として，r2dm を全体に積分することで求められます．
式(2)(3)の関係を利用するオイラー法を参考に，表１において x=3.5 の dy/dx を算出してください．
鉛直な y 軸上を滑らずに回転しながら下降する円形の物体について，回転する角度をθ，半径を r とし，円周上の点 P(xP, yP)の原点 O に対する位置が式(4)で表される．角θを時間 t の関数，αおよび半径 r を定数として，原点 O に対する点 P の運動の加速度を計算してください．
8． 式(5)の微分方程式と表 2 を基に角加速度 α0，角速度 ω1 と次の角度までの時間 t0 を計算する式を作成して6．
7．

ください．表 2 の背景が白い欄は数値が既知もしくは初期値として与えられると仮定し，時間 t は式(6)の関係があるとする．その他，臨機応変に計算してください．

w
w=F(z)

F(z2)01.0
図１ 目盛り

表12.0
F(z1)

オイラー法を参考に dy/dx を計算する問題のための数値
x12346y126432

S = z1(0,0)
図2z2z の関数 w と積分= −

(1)
(2)

𝑥1 = 𝑥0 + ℎ
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑑𝑦𝑑𝑥(3)𝑥P𝑟cos𝜃(𝑦 ) = ()+(−𝑟𝜃Psin𝜃

𝐷(𝜑)𝑡𝜑=𝑖 =

表2−sin𝜃 𝑟sin𝛼)()cos𝜃 𝑟cos𝛼(4)𝑑2𝜑𝑑𝜑 2𝑑𝜑=𝐴(𝜑)() + 𝐵(𝜑)+ 𝐶(𝜑)2𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡−(z(5)2𝑑𝜑𝑑𝜑𝑑2𝜑)+ √( )+ 2( 2)(𝜑− 𝜑𝜑=𝑖 )𝑑𝑡 𝜑=𝑖𝑑𝑡 𝜑=𝑖𝑑𝑡 𝜑=𝑖 𝜑=𝑖+1(6)𝑑2𝜑( 2)𝑑𝑡 𝜑=𝑖

微分方程式で表された運動方程式に関係する係数や計算条件
𝑑𝜑

角度 φ

係数 D(φ)係数 A(φ)係数 B(φ)係数 C(φ)

角速度

φ0
φ1
φ2D0
D1
D2A0
A1
A2B0
B1
B2C0
C1
C2

ω0
ω1(未知)
ω2(未知)𝑑𝑡𝑑2𝜑

角加速度 𝑑𝑡 2

次の角度までの時間

α0(未知)
α1(未知)
Α2(未知)t0(未知)t1(未知)t2(未知)Moodle 上での答案返却を予定．異議申し立てを 9 月 9 日 10~13 時と 15～17 時まで受け付ける予定です．

配点と解答例問1

問4

2×0.666=1.332 だが，目盛りは 0.1 が最小なので，

𝐹(𝑧1 )

𝑆=∫

0.032 を切り捨てて，2×0.666=1.3 とする．

𝑧𝑑𝑤 = − ∫𝐹(𝑧2 )⚫

（12 点）⚫

注：2×0.666≒1.3 と記述してはならない．

問2⚫

𝐹(𝑧2 )𝑧𝑑𝑤

𝐹(𝑧1 )（20 点）

問5

加速度 a，速度 v, 静止した位置からの距離 x，発進

長さＬの棒の端を回転中心とする慣性モーメントしてからの時間 t，仕事率 P，力 F，車重 m に式（1）IL は，回転中心をｒ=0 とし，積分範囲を 0 からＬ-(4)の関係がある．式(1)-(4)を整理すると式(5)が得らまでとして，式(1)で表される．このとき，棒の断れる．

面積と密度をそれぞれ S，ρとすると，dm は式（2）で表される．また長さ 2L の同様の棒の端をa=v/t(1)

回転中心とする場合は，慣性モーメント I2L が式

x=at2/2(2)（3）で示される．以上から式（4）により，某のP=Fx/t(3)

長さを 2 倍にすると，棒の慣性モーメントは 8 倍

F=ma(4)になる．

t =（mv2/2）/ P(5)式(5)と与えられた条件から，所要時間 18.4 秒が得られる．

𝐼𝐿 = ∫0 𝑟 2 𝑑𝑚

𝐿

(1)𝑑𝑚 = 𝜌𝑆𝑑𝑟

(2)

2𝐿
𝐼2𝐿 = ∫0 𝑟 2 𝑑𝑚
𝐼2𝐿 (2𝑙)3=(𝐿)3𝐼𝐿(3)(8)⚫

以上を適切に説明する（6 点）⚫

計算式への数値の代入を最後にする（2 点）⚫

適切な単位に変換して数値を代入し，求めた数値⚫

式(1)(2)の作成(6 点)に適切な単位をつける（2 点）⚫

式(3)で適切に積分範囲を定める．(6 点)⚫

適切な（今回は 3 ケタ以下）の値で求める（2 点）⚫

8 倍になる旨の結論を導くを得る．(2 点)⚫

計算を誤らない（1 点）=8問６問3式(2)(3)を整理すると式(6-1)が得られる．

力を F，移動距離を L，時間を t として，

FL
P=t(1)

dyy − y1= 0dx
x0 − x1(6-1)

ここで 3 と 4 の間に 3.5 があり，式(6-1)より x がここで回転中心からの力の作用点までの距離を r

3 から 4 の間の変化の割合を x=3．
5 における dy/dxとしたとき，とする．よって表 1 と式(6-1)からTr(2)L = 2rnt(3)

F=式(1) (2)(3)を T について整理し，式(4)を得る．
𝑃 = 2𝜋𝑛𝑇以上より，2πn T W を得る（10 点）

𝑑𝑦 3 − 4== −1𝑑𝑥 4 − 3(6-2)

以上より，x=3.5 において dy/dx=-1 である．

(4)
⚫

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑦 −𝑦0

= 1𝑥1 −𝑥0を得る．(10 点)

⚫

傾きの数値解を得る．(1 点)𝑡0 =問7−𝜑0 +√𝜑0 2 +2a0 (𝜑1 −𝜑0 )a0𝜔1 = 𝜔0 + 𝛼0 𝑡0

位置を時間 t で 2 階微分したものが加速度になる．
𝑑 𝑥p𝑑𝑟(𝑦 ) = ()−𝑟𝜃p𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑cos 𝜃+(𝑑𝑡𝑑sin 𝜃𝑑𝑡𝑑(− sin 𝜃)𝑟 sin 𝛼𝑑𝑡)()𝑑𝑟cos 𝛼
cos 𝜃𝑑𝑡𝑑cos 𝜃+(sin 𝜃− sin 𝜃 𝑑𝑡 (𝑟 sin 𝛼))(𝑑)cos 𝜃(𝑟 cos 𝛼)𝑑𝑡

0𝑑𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑟 sin 𝛼𝑑𝜃 ) −()()−𝑟𝑑𝑡 −cos 𝜃 sin 𝜃 𝑟 cos 𝛼𝑑𝑡
この式を更に時間 t で微分する．
0𝑑 2 𝑥p𝑑2 𝜃)=(()−𝑟 2𝑑𝑡 2 𝑦p𝑑𝑡
2𝑑 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑟 sin 𝛼− 2()()
𝑑𝑡 −cos 𝜃 sin 𝜃 𝑟 cos 𝛼=(𝑑𝜃 2 cos 𝜃−( ) (sin 𝜃𝑑𝑡− sin 𝜃 𝑟 sin 𝛼)()𝑟 cos 𝛼cos 𝜃以上の計算で示される d 2  xP  が点 P の加速度であ2dt  yP る．
位置ベクトルを時間で 2 階微分すると加速度が⚫

得られる旨の説明をする(3 点)⚫

速度の計算結果を得る（1 点）．なお微分の計算が終わっていない解答の場合は，計算結果を得たとはみなさない．

⚫

加速度の計算結果を得る(1 点)．

問8式(5)から式(8-1)が得られる．

𝑑2𝜑
1𝑑𝜑 2𝑑𝜑={𝐴(𝜑)() + 𝐵(𝜑)+ 𝐶(𝜑)}
2𝑑𝑡
𝐷(𝜑)
𝑑𝑡𝑑𝑡
(8-1)
表の値を用いて角加速度α0 は式(8-2)で表される．
角度 φ0 から φ1 までの所要時間が式(6)で与えられており，t1 は式(8-3)で表される．角度φ1 における
角速度ω1 は式(8-4)で与えられる．
𝛼0 =1𝐷0(𝐴0 𝜔0 2 + 𝐵0 𝜔0 + 𝐶0 )

(8-2)

⚫

式(8-2)を得る．
（12 点）⚫

式(8-3)を得る． (1 点)⚫

式(8-4)を示す．(2 点)

(8-3)
(8-4)