2023 年度

高校 帰国生入試問題

数学（60 分）<注意>

1．開始のチャイムがなるまで，この冊子を開いてはいけません。
2．問題は 2 ページから 11 ページに印刷されています。
3．解答用紙は 2 枚あります。
4．受験番号と氏名は解答用紙の定められたところに記入しなさい。
5．解答はすべて解答用紙の定められたところに記入しなさい。
6．答の√の中はできるだけ簡単にしなさい。

7．円周率はπを用いなさい。

受 験 番 号

試験問題は次のページから始まります。

－1－

次の問いに答えなさい。

（1）（x√3） （） （ ）を計算しなさい。

）√ 3 －√ 2 － 1）－（2）（√ 3 ＋ √ 2 ＋1（11－ √ 2を計算しなさい。

{{{{{{132y2xy2 ÷ － －3 √3√6 x23÷

5（3） a（2b－1）2 － a（1－ 2b） を因数分解しなさい。

－2－⎭⎜⎜⎬⎜⎜⎫（4） 連立方程式

1－x ＝2x＋y1＋y ＝4x＋yを解きなさい。

（5） 2 次方程式 3（ x ＋ 4）2 ＝2（ x － 3（）x ＋ 9）－（ x ＋10（）x －10） を解きなさい。

（6） 放物線 y ＝ x2 上に点 A（­2 , 4 ），点P（ t , t 2 ）がある。原点を O とするとき，となるような t の値を求めなさい。
∠ OAP ＝ 90 °－3－

（7） 図の∠ x の大きさを求めなさい。ただし，円周上の点は円周を 8 等分した点とする。

x（8） 図のように，底面の半径が 1，母線の長さが √ 5 の円錐に円柱が内接している。円柱の底面の半径と高さが等しいとき，円柱の体積を求めなさい。
ただし，円周率はπとする。

－4－60（ x＞0 ）
，直線 y = 2 x － 6，2 点 A（－2 , 6 ），xB（ － 2 , － 2 ）がある。また，点 C を直線 y = 2 x－ 6 上に，点 D を曲線60y = （ x ＞ 0 ）上にとる。
x（9） 図のように，曲線 y =yA

BOx（ア） 4 点 A，B，C，D を頂点とする四角形が平行四辺形となるとき，点 Cの座標をすべて求めなさい。ただし，点 C の x 座標は正とする。

（イ） 原点 O を通る直線ℓが，平行四辺形 ABCD の面積を 2 等分するとき，直線ℓの式を求めなさい。ただし，点 C の y 座標は点 D の y 座標より小さいものとする。

－5－

（10）自然数 n と m ≦ n を満たす自然数 m に対して，n より小さい（m ­ 1 ）個の自然数 n ­ 1 ，n ­ 2 ，……，n ­（m ­ 1 ）と，n より大きい（m ­ 1 ）個の自然数 n ＋ 1 ，n ＋ 2 ，……，n ＋（m ­ 1 ）および自然数 n をすべてかけたものを＜ n , m ＞と定める。
＜n , m＞ =｛ n ＋（m ­ 1 ）｝× … ×（n ＋ 1 ）× n ×（n ­ 1 ）× … ×｛ n ­（m ­ 1 ）｝（ア） ＜ 5 , 3 ＞を求めなさい。

（イ） ＜ n , 2 ＞ = 168n を満たす自然数 n を求めなさい。

（ウ） n ≧ 2 とするとき，次のにあてはまる n の式を求めなさい。

（＜ n＋ 2 , n ＞ + ＜ n＋ 1 , n ＞ =－6－）× ＜ n＋1 , n －1 ＞

2

以下の文章を読み，なさい。ただし，イア～サにあてはまる数または式を求めについては，展開しなくてもよい。

数学科の Math 先生と生徒の太郎くんが n 次方程式の解の公式について話をしている。

Math : 2 次方程式 ax2 ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解の公式は知っていますよね？
太 郎 : もちろん！ x ＝－ b ＋ √ b2 － 4acです！
2aMath : その通りです。
太 郎 : 公式なので頑張って暗記しました。

Math : それでは，1 次方程式 ax ＋ b ＝ 0 の解の公式は知っていますか？
太 郎 : 1 次方程式の解の公式！？

解の公式は 2 次方程式だけしか知りません…。公式なんて使わなくても式変形すれば解けるので。

Math : あえて公式として表現すると，1 次方程式 ax ＋ b ＝ 0 の解の公式はbx ＝ ­ a となります。左辺の b を移項してから両辺を a で割れば得られますよね。2 次方程式についても，式変形により解の公式が得られます。
太 郎 : 2 次方程式の段階で公式を導くのは難しかったので，3 次方程式や4 次方程式の解の公式を導くのは大変な作業のような気がします。
Math : その通りです。ちなみに，3 次方程式と 4 次方程式については解の公式が存在しますが，5 次以上の方程式については解の公式は存在しません。
太 郎 : 5 次以上だと存在しないのですか。存在しないことが証明されているなんて…数学のマジカルパワーには圧倒されます。
気を失いそう…。

Math : しっかりしてください。気を取り直して，3 次方程式と 4 次方程式については解の公式が存在する，つまり式変形により解けるので，まずは 4 次方程式の解の公式に挑戦しませんか？

－7－

太 郎 : 3 次ではなく 4 次なのですね！難しい方がやる気が出ます！！
ぜひ教えて下さい。

Math : それでは 4 次方程式 ax4 ＋ b x3 ＋ c x2 ＋ d x ＋ e ＝ 0 を式変形により解いてみましょう。
まずは両辺をa で割り，x4 ＋ px3 ＋ qx2 ＋ r x ＋ s ＝ 0 …① の形にします。
b
ここで，p, q, r, s については p ＝ a のように置き換えています。
（q, r, s についても同様，以下省略）
次に，x ＝ y －太 郎 : なぜ x ＝ y －1p とおいて，①に代入します。
4

1p とおくのでしょうか？
4

Math : この置き換えにより①の y3 の項を消去することができるのです。
次の展開式を確認して下さい。

）＝y － py ＋ 8 p y － 16 p y ＋ 256 p（1331p y－px ＝ y － p ）＝y － p y ＋（ 441664x4 ＝ y －1p4443312 2134333223太 郎 : なるほど。これらを①に代入すると…確かに y3 の項が消えますね。

Math : この置き換えにより得られる 4 次方程式を y4 ＋ k y2 ＋ l y ＋ m ＝ 0とし，さらに移項して y4 ＝－k y2 － l y － m を得ます。続けて，この式の両辺に 2n y2 ＋ n2 を加え，次のように左辺は因数分解し，右辺はy について整理します。
y4 ＋ 2 n y2 ＋ n2 ＝－k y2－ l y－ m ＋ 2n y2 ＋ n2（ ア ）＝（2n－ k）y －l y ＋ n －m222…②太 郎 : 左辺が 2 乗の形になったので，右辺も 2 乗の形になれば A2 ＝ B 2 となるので解けそうですね！

－8－Math : 鋭いですね。これから行う式変形の肝となるアイデアです。②の右辺に注目しましょう。
y の 2 次方程式（2 n－k）
y2－l y ＋ n2－ m ＝ 0 …③を解の公式を用いて解くと，y ＝l＋√ イ※イについては，展開しなくてもよい

2（2n － k）となりますが，特にイ＝ 0 …④のとき③はただ 1 つの解をもつので，次のように因数分解できます。
（2n－ k）
y2－ l y ＋ n2－ m ＝（αy ＋β）2太 郎 : なるほど。解の公式の「ルートの中身」が 0 のとき 2 乗の形に因数分解できるのですね。

Math : ちなみに，2 次方程式 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 に対して，）を「判別式」といいます。
b2－4ac（解の公式の「ルートの中身」
太 郎 : （判別式）＝ 0 となる n の値を求めることがポイントなんですね。

Math : その通りです。④は n の 3 次方程式ですから，解の公式等により解くことができます。
それではいよいよ最終局面です。④を満たす n の値を②に代入し，次のように式変形を行います。

）＝（αy＋β）（（ ア ）－（αy＋β）＝0） ア －αy －β）＝0（ ア ＋αy ＋β（ア2⑤より ，2 つの 2 次方程式

222ア＋αy ＋β＝ 0 ， ア…⑤－αy－β＝0が得られますね。
太 郎 : 2 次方程式は簡単に解けます！ 2 次方程式が 2 つ得られるので，それぞれ解けば 4 つの解が得られます！

－9－

Math : 流れは理解できたようですね。それでは，
4 次方程式 x4 ＋ 4x3 －12x2 － 29x ＋ 6 ＝ 0 を解いてみましょう。
太 郎: x＝y－とおいて代入すると…

ウy － 18y ＋3y ＋ 20 ＝ 0 となります。
42

Math : その通りです。
太 郎 : 続けて，移項して両辺に 2ny2 ＋ n2 を加えればいいのでy4 ＋ 2 n y2 ＋ n2 ＝ 18 y2 － 3 y － 20 ＋ 2 n y2 ＋ n2

（ ア ）＝（2n＋18）y －3y ＋n －20
22…⑥2となります。

Math : その調子ですよ。次は⑥の右辺について，（判別式）＝ 0 となる n の値を求めればよいのですが，3 次方程式が関わってくるので少し手9助けします。
（判別式）＝ 0 となる n の値を 1 つ求めると n ＝－ です。
2
これを⑥に代入して下さい。
太 郎 : 代入すると…ホントだ！右辺も 2 乗の形になりました！あとは移項して因数分解すれば解けそうです！
ちょっと時間を下さい……できました！因数分解すると） y － カ y － キ ）＝ 0
（ y ＋ エ y－ オ （22となります。

Math : あとは 2 次方程式を 2 つ解けばいいので簡単ですね。
太 郎 : y の値を求めてから x ＝ y －ウに代入すればいいので，－コ＋x ＝－ク， ケ，2－ 10 －√ サです！

Math : お疲れ様でした。残るは 3 次方程式の解の公式ですね。
太 郎 : 4 次方程式の解の公式をマスターした私には簡単過ぎるかもしれません。

Math : ふふふ。十分難しいので覚悟して下さい。
太 郎 : え？？そうなんですか！！？聞いてないよー！！！
＜学びは続く＞－ 11 －