ランダムポテンシャル中の拡散過程
福島

竜輝*1

（京都大学理学研究科）

一様な媒質においては熱の伝導は熱方程式 ∂t u = κ∆u に支配される. この方程式の解の存在, 一意性やその性質については古くから多くの研究がなされ, 現在ではよく理解されていると言ってよいだろう. 一方で現実に存在する媒質は必ずしも均質とは限らず, 偶発的な不規則性を含んでいることが多い. そのような状況を実現する一つの方法は, 方程式の係数を確率場（空間パラメータを持つ確率変数の族）にすることである. 例えば拡散係数がランダムな場合:∂t u(t, x) = div(κω (x)∇u(t, x)),(1)

移流項がランダムな場合：∂t u(t, x) = κ∆u(t, x) + hω (x) · ∇u(t, x),(2)

またランダムな湧き出しや吸い込みがある場合：∂t u(t, x) = κ∆u(t, x) + Vω (x)u(t, x)(3)となる. 但し巨視的には一様に近い媒質を考えたいため, 確率場の分布は通常平行移動不変かつエルゴード的であることを仮定する. この内１, ２番目のモデルについては現在まで主に均質化 (homogenization) の観点から研究が行われており, 適
当な条件の下で解の長時間挙動は平均化された定数係数熱方程式の解と同様に振る舞うことが示されている ([21, 20, 17] 参照). 但し均質化が起こることが典型的という訳ではなく, 特に (2) のモデルにおいては非常に奇妙なことも起こりえる.

(離散空間の場合だが, 例えば [27] や [6].)これに対して３番目のポテンシャル項がランダムな場合には, 解が空間中の狭い領域に局在しているという, 通常の熱方程式とは全く異なる長時間挙動が典型的に現れる. 講演者はこの後者のモデルで特にポテンシャルが負の場合について主に研究を行ってきたので, 本稿ではこの場合について周辺の結果や講演者の貢献につ*1 日本学術振興会特別研究員（PD）

いて述べる. なお一般に (3) は放物型 Anderson 模型と呼ばれており, 正のポテン
シャルに対しても詳細に研究されているが, その内容に言及する余裕はないのでGärtner–König による解説記事 [15] を参照されたい. また以下では負のポテンシャ
ルのみを扱うため, 方程式自体を∂t u(t, x) = κ∆u(t, x) − Vω (x)u(t, x)(4)と書き直し Vω (x) ≥ 0 とする.
さて, このとき方程式 (4) の解は (緩い条件の下で) 非負有界な範囲では一意であり, Feynman–Kac 表現

[
{ ∫ t
}]
uω (t, x) = Ex exp −Vω (Bs ) ds0を持つことが知られている. ここで {Bs }s≥0 は −κ∆ を生成作用素とする拡散過程—連続空間なら Brown 運動, 離散空間ならランダムウォーク—とする. この右辺はポテンシャルの高さに比例した速さで死ぬ拡散過程が時刻 t まで生存する確率と解釈できることから, このモデルの研究は trapping problem と呼ばれることもある. いずれにせよ, この表示によって放物型 Anderson 模型を表題のランダムポテ
ンシャル中の拡散過程の問題と見て解析することができるようになるわけである.
また, 上記の “解が局在している” という現象にも, 上の表現の右辺の期待値において主要な貢献をする path の終着点 Bt が局在しているという確率論的解釈を与えることができる. (より確率論的かつ正確に言うと, trapping problem と見なして,生存しているように条件づけた拡散過程は局在するということ.)

1. 背景と略史
上記のような障害物に殺される拡散過程を最初に考えたのは Smoluchowski [28] であり, その動機は化学反応

A+B →B
において局所的な濃度の揺らぎがいわゆる質量作用の法則にどの程度影響を及ぼすかを理解することだったようである. 例えば A 粒子が十分希薄で B 粒子が比較的重い場合に, A 粒子を拡散過程, B 粒子を障害物と考えると局所的には上のような記述が自然である. Smoluchowski 自身が扱った状況はこれとは異なるのでここではその詳細は省略するが, このモデルの一つの背景として化学反応における濃度の揺らぎの影響を理解するという目標があるということは注意しておきたい.

一方別の側面として, −κ∆ + Vω のスペクトル理論との関わりも 1970 年代に

Kac–Luttinger [16] によって指摘された. 具体的には連続空間で Brown 運動の代
わりに Brownian bridge を考えると基本解 pω (t, x, x) の表現が得られ, その平均がいわゆる状態密度∞1 ∑ℓ(dλ) := limδλωk ((−N,N )d ) (dλ)
N →∞ (2N )d
k=1の Laplace 変換になっているということである. ここで λωk (U ) は −κ∆ + Vω の U
における k 番目の Dirichlet 固有値を表す. この関係と Tauber 型定理を用いると,Brown 運動の生存確率の漸近挙動から Hamiltonian −κ∆ + Vω の低エネルギー状態の分布を知ることができることになる.
歴史的には上記の Feynman–Kac 表現に対応する (劣) 拡散過程に関する研究は後者の視点から 1970 年代に活発になったようである. 特に離散空間で各点にBernoulli 確率変数を配置した場合や, 連続空間で Poisson 点過程に従ってポテン
シャルを配置した場合に Fukushima [9], Donsker–Varadhan [7], Pastur [22] 等によって, 媒質について平均を取った E[uω (t, x)] の長時間挙動が議論され, その応用
として Lifshitz [18] が 1965 年に指摘したランダム Schrödinger 作用素の状態密度が基底付近で希薄になる現象が厳密に証明された (Nakao [19] 等).
その後 1990 年代に入って, 今度は trapping problem の立場から粒子の生存確率だけでなく時刻 t まで生き残るように条件づけた時の粒子の挙動にも興味が持たれるようになり, Poisson 及び Bernoulli 媒質の場合に Schmock [26], Sznitman [30],Bolthausen [5], Povel [23] によって条件付き確率P ⊗ P0 ( · | 時刻 t まで生存)のもとでは粒子が原点付近に局在することが示された. 更に Sznitman は媒質を固定した場合についても研究し, [31] で uω (t, x) の長時間挙動を議論したのに続き[32, 35] でP0 ( · | 時刻 t まで生存)のもとでは粒子が原点から遠く離れた小さな領域に局在するという, 上の媒質について平均を取った場合とは対照的な結果を示している.
その後の進展はやや散発的であるが, Albeverio–Bogachev 等による相関を持つ
配置に関する研究 [1, 4], Biskup–König による独立同分布だが Bernoulli とは異なる分布の場合の研究 [3], 講演者と上木氏による格子をランダムに摂動したモデルの研究 [12, 14] などがある.

以下ではモデルが導入された年代の順に, 媒質について平均を取った場合の 主要な結果の概要を解説する. 媒質を固定した場合についても様々な結果があるが, 本
稿では割愛する. 興味のある方は [2, 36, 3, 13] などを参照されたい.

2. Poisson 媒質 (Light tail case)
ランダムポテンシャル Vω として最初に研究されたのは強度 ν > 0 の Poisson 点過
程 (ω =∑i δωi , Pν ) に従ってポテンシャルを配置した

Vω (x) =∑W (x − ωi )iである. 但し W は非負の可積分関数とする. なお Poisson 点過程とは(ν|A|)kexp{−ν|A|}, (Poisson 分布)k!
(2) {Ai }ni=1 が非交叉ならば {ω(Ai )}ni=1 は独立,
(1) Pν (ω(A) = k) =を満たすランダムな点配置で, “完全にランダム” な点配置と考えられている基本的な対象である*2 . Donsker–Varadhan [7] は W が遠方で o(|x|−d−2 ) のように振る
舞うときに, 拡散方程式 (4) の解 (又は粒子の生存確率) の平均が}{dEν [uω (t, 0)] = exp −c1 (d, ν, κ)t d+2 (1 + o(1))

as

t→∞

(5)

なる長時間挙動を持つことを示した. ここで定数 c1 (d, ν, κ) は λ(U ) を U 上の −∆の Dirichlet 最小固有値として

c1 (d, ν, κ) = inf {κλ(U ) + ν|U |}Uと 表 さ れ る.

(6)

こ の 下 限 は Faber–Krahn の 等 周 不 等 式 に よ っ て あ る 半 径 の 球

B(0, R0 (d, ν, κ)) で達成されることが分かるので, 定数の値も求めることができる. また後に [8] で Bernoulli 媒質中のランダムウォークに対しても同じ結果が示されている. 上の (5) において右辺が指数減衰より遥かに遅いことは興味深いが, 実は下からの評価は簡単である. 実際例えば W が台コンパクトの場合には U ⊂ Rd
に対して {ω(t1/(d+2) U ) = 0)} ∩ {B[0,t] ⊂ t1/(d+2) U } が粒子が生存する (ほぼ) 十*2 一番目の条件は二番目に比べて自然でないように見えるかも知れないが, (2) と少しの技術的条件があると (粗っぽく言って) Poisson の少数の法則から (1) が従う.

分条件になっていることからEν [uω (t, 0)] ≥ Pν (ω(t1/(d+2) U ) = 0)P0 (B[0,t] ⊂ t1/(d+2) U )
{
}
d
d+2
= exp −t
(ν|U | + κλ(U ) + o(1))
as t → ∞が分かるので後は右辺を最大にする U をとればよい. ここで P0 (· · · ) は Feynman–

Kac の公式により Dirichlet 条件付き熱方程式の解であり, その漸近挙動は最小固有値で評価できることを使っている. 上からの評価については, 結果から分かるよ
うに最適戦略のみが漸近挙動に貢献していることを示すことになるが, Donsker–

Varadhan は Brown 運動の経験分布に対する大偏差原理を用いていわゆる Laplace
原理のような形でこれを証明した*3 . なおこの結果は Brownian bridge に対しても同じ形で成立し, そのことを用いて Nakao [19] は状態密度が基底状態エネルギー付
近で指数的に希薄になっている現象

log ℓ([0, λ]) ∼ −νκ|B(0, 1)|λ(B(0, 1))d/2 λ−d/2

as

λ→0

(7)

(Lifshitz tail eﬀect) を示した.
さて, Donsker–Varadhan の証明が最適戦略のみが漸近挙動に貢献していることを示す形で実行されたことは, 次のような現象を暗示する：
生存している粒子だけに着目すると, その大多数は最適戦略に従っている.

(言い換えると最適戦略をとった粒子だけが生存できる.)
これは具体的には条件付き確率 Qt ( · ) = P ⊗ P0 ( · | 時刻 t まで生存) のもとでの粒子の挙動を見ることに相当し, Schmock [26](1 次元 Brown 運動), Sznitman [30](2次元 Brown 運動), Bolthausen [5](2 次元ランダムウォーク), Povel [23](3 次元以上の Brown 運動) によって, 以下のように予想よりも強い形で証明された：δ(t) → 0(t → ∞) と可測写像 Dt : Ω → B(0, R0 + δ(t)) が存在して t → ∞ で,()
1
Qt B[0, t] ⊂ t d+2 B (Dt (ω), R0 + δ(t)) → 1.
さらに Sznitman, Povel は t−1/(d+2) B·t2/(d+2) がランダムな中心を持つ球の中に留まるように条件づけられた Brown 運動に法則収束することも示している. 上の結√果は通常の Brown 運動に対する sup0≤s≤t |Bs | = O( t) との対比から局在と見なすことができるが, 通常の意味 (t−1/(d+2) -scaling した process が tight など) よりも強い主張であることから “conﬁnement property” と呼ばれている.
*3 この部分の議論はランダムウォークの場合の方が分かり易い.

要を述べるのでそちらを参照.

第５節でもう少し一般の場合に概このように粒子が狭い領域に局在している状況では, 軌道がその領域を埋め尽くしていると想像するのは自然であり, 実際 2 次元の場合の証明は本質的に上の局在を示した論文に含まれている. (１次元の場合はほとんど自明.) 一方 3 次元以上の場合は異なる議論が必要であり, 自然な被覆時間の評価とあわせて最近講演者が確かめた [10, 11].

3. Poisson 媒質 (Heavy tail case)
Donsker–Varadhan は lower bound の証明においてのみ W (x) = o(|x|−d−2 ) を仮定しているが, 論文の中で「この条件は必要と思われる」と述べている. つまり遠方でより遅く減衰する W に対しては彼らの upper bound は最良ではないということである. これはすぐに Pastur [22] によって以下のような形で確かめられた：W (x) ∼ c0 |x|−α (d < α < d + 2) の場合{}
dEν [uω (t, 0)] = exp −c2 (d, ν)t α (1 + o(1))
d/αc2 (d, ν) = νc0 |B(0, 1)|Γ(α − d)αast → ∞,(8).

この場合の定数 c2 (d, ν) は κ に依存していない. 実際に上の漸近挙動は Brown 運動とは関係ない Eν [exp{−tVω (0)}] のそれと一致することも分かる. 感覚的には太い

tail のせいで Vω ≈ 0 となる領域を作ることが難しくなり, Eν [exp{−t inf B(0,t) Vω }]のようなものが漸近挙動の主要項を支配してしまうということである. Pastur(を含むランダム作用素の研究者達) はここから導かれる状態密度の漸近挙動

log ℓ([0, λ]) ∼αd( )− α−d(( α − d )) α−d
λ
α−d
d
−
ν |B(0, 1)|Γ
d
α
α
c0

as

λ→0

に興味があったため, 量子効果を現す −κ∆ が関与していないという意味で “classi-cal” と呼んだが, それ以上には興味を持たなかったように思われる.
しかしランダムポテンシャルが Brown 運動の挙動にどう影響するかという問題に対しては, 上の結果は主要項からはそれが読み取れないということしか教えない.
そこでより高次の項を見ることが必要になるが, これは最近になって König と講演者によって W (x) = |x|−α ∧ 1 の場合には, 以下のように解決された：

{
}
α+d−2
Eν [uω (t, 0)]= exp −c3 (d, ν, κ)t 2α (1 + o(1))
Eν [exp{−tVω (0)}]ast → ∞,(9){∫c3 (d, ν, κ) =inf

∥φ∥2 =1}κ|∇φ(x)| + Cα |x| φ(x) dx222

ここで (8) の右辺ではなく Eν [exp{−tVω (0)}] で割るのは空間一様な killing を直接表す量で割らないと “正しい剰余項” が捉えられないからである. なおこの証明の過程から, Brown 運動が sup0≤s≤t |Bs | = O(t

α−d+2
4α

) なるスケールで局在していることも分かるのだが, それには少し議論に立ち入る必要があるので, 以下で議論の概要を述べる.

∫∫t
Brown 運動の経験分布を Lt = t−1 0 δBs ds と書くことにすると Vω (x) =W (x − y) ω(dy) と合わせて
[
{ ∫ t
}]
Vω (Bs ) ds
Eν [uω (t, 0)] = Eν ⊗ E0 exp −
0
[
{ ∫ ∫
}]
= Eν ⊗ E0 exp −t
W (x − y) Lt (dx) ω(dy)と書き直すことができる*4 . ここで簡単のため W (x) = |x|−α , ν = 1 として,Poisson 点過程の Laplace 汎関数の表示を用いることにより, (9) の左辺は
[
{ ∫ (
{ ∫
}) }]
−t|y|−α−αE0 exp −e− exp −t |x − y| Lt (dx)
dy
[
{ ∫
(
{ ∫
}) }]
(
)
−t|y|−α−α−α= E0 exp − e
1 − exp −t|y − x| − |y|Lt (dx)dyとなることが分かり, さらにどのような x, y が主に積分値に寄与するかを考えることにより、内側の {· · · } は小さいことが示せるので,∫()|y − x|−α − |y|−α Lt (dx)
)
∫ (
1
′
′′
∼t
(x, W (y)) + (x, W (y)x) Lt (dx).
2(· · · ) ∼ t−α

２行目は Taylor の定理であるが, 第２項まで残したのは第１項が e−t|y|dy で積分すると消えてしまうからである. さらに Fubini の定理, y 積分を実行, Brownian*4 以下 (10) の１行目を得るまでのまでの議論の詳細はそれほど重要ではないので, とばしてよい.

粒子の挙動を知るために重要なことは (9) の右辺が経験分布の関数としてどのように表されるかを知ることである.

scaling (x = rξ) と進めると
( ∫
[
{ ∫
)
}]
1
′′
−t|y|−α(9) の左辺 ∼ E0 exp −t
x, W (y)edy x Lt (dx)
2
[
{
}]
∫
d−2
2
α
∼ E0 exp −t
Cα |x| Lt (dx)
[
{
}]
∫
d−2
2
2
Cα |ξ| Ltr−2 (dξ)
∼ E0 exp −t α r(10)を得る. ここで Donsker–Varadhan の大偏差原理を使えば上は{{∫exp − inf∥φ∥2 =1tr−2

2κ|∇φ(x)| + t

d−2
α

}}
r Cα |x| φ(x) dx222と漸近的に同値になることが分かり, この変分問題が非自明になる r = t

α−d+2
4α

が

Brown 運動が留まるべきスケールであることが分かる. 以上の議論からは, Brown
運動の局在のスケールだけでなく, そのスケールではポテンシャルは (局所的に) 二次関数のように見えているということまで分かる. このことから台コンパクトの場
合と同様にスケーリングした確率過程の挙動を考えれば Ornstein-Uhlenbeck 過程に法則収束することが予想されるが, これについては現在確認を進めているところである.

4. Poisson 媒質の周辺のモデル
連続空間で Poisson 媒質と異なるものを最初に扱ったのは, Sznitman [33] によるPoisson 点過程に有限距離の２点相互作用を付与した Gibbs 型点過程 (Ruelle [25]参照) の場合の研究である. そこでは台コンパクトかつ高さが無限大のポテンシャ
ル*5 のみが扱われているが, 結果としては Poisson 点過程の強度を Gibbs 型点過程の圧力 p で置き換えればよいことが示されている：}{dE[uω (t, 0)] = exp −c1 (d, p)t d+2 (1 + o(1))

ast → ∞.

ただしこの論文では nonoverlapping traps が主な興味の対象だったことと技術的な理由から, 少なくとも局所的には反発的な相互作用だけが考察されている. 特に相互作用が純粋に反発的な場合には p が密度 (=単位体積あたりの平均粒子数) よりも大きくなることが分かるので, Poisson 媒質の場合よりも右辺は速く減衰する.
*5 ポテンシャルの台に触れた Brown 運動は即死するということ.

一方で吸引的な相互作用を持つモデルとして Albeverio–Bogachev [1] は Poissoncluster 過程と呼ばれる対象に上と同様のポテンシャルを付与した場合を研究した.
これは Poisson 点過程の各点 ωi にクラスターと呼ばれるランダムな有限点集合
(i)

{Yj

∈ Rd : 1 ≤ j ≤ N (i) } を配置して得られる点過程で, 作り方から凝集しやすい性質を持っているので吸引的な相互作用を持つモデルと考えられるが, 実際然るべき意味でこの点過程が吸引的であることも示されている. さて, [1] の主結果はPoisson 点過程の強度を用いて{}dE[uω (t, 0)] = exp −c1 (d, ν)t d+2 (1 + o(1))

ast → ∞.

と表せる. これは一見 Poisson 点過程の場合と同じに見えるが, cluster の平均粒子数だけ密度が上がっていることに注意すると同じ密度では減衰が遅くなっている.
上記のような点過程の相関が Brown 運動の生存確率に及ぼす影響については, 物理の文献では古くから問題とされていたが ([1] の文献参照) 数学的には Bogachev
等 [4] により定式化が行われ, 一般にErep [uω (t, 0)] < Enc [uω (t, 0)] < Eatr [uω (t, 0)](左から順に repulsive, non-correlated, attractive) となることがが示された. 但し
この結果からは log E[uω (t, 0)] の主要項が異なることまでは結論できないことには注意すべきである. 従ってこの一般論は, Poisson 点過程との比較に限っても前の二つの結果よりも弱い主張である.
更に log E[uω (t, 0)] の主要項の変化を問題にするならば, Sznitman の扱った

Gibbs 点過程, Poisson cluster 過程ともに t の冪 (trapping 指数と呼ばれる) は変化していないことから, Poisson 点過程と大きくは離れていないと言える.

5. Biskup-König の独立同分布モデル
離散空間 Zd のモデルについては, 第２節で述べたように Bernoulli 媒質の場合はDonsker–Varadhan [8], Antal [2] によって研究されているが, Biskup–König [3]により一般的な独立同分布の場合も考察された. 彼らが扱った範疇で最も代表的で興味深い状況は各点におけるポテンシャルの高さが, ある γ > 0 に対して{}
Pγ (Vω (0) < v) ∼ exp −v −γ /γ

as

v→0

のように振る舞う場合である. このとき Vω (x) はいくらでも 0 に近づき得るがその確率は極めて小さい. その意味で heavy tailed Poissonian potential の場合に似ているようにも見えるが, この場合は主要項は “classical” ではなく

{
}
d+2γ
Eγ [uω (t, 0)] = exp −c4 (d, γ, κ)t d+2+2γ (1 + o(1)){∫
c4 (d, γ, κ) =2

inf

κ|∇φ(x)| + 2φ(x)∥φ∥2 =1(t → ∞)

2γ
1+γ

(11)

}
dx

(12)

d
となることが示されている*6 . 特にこのモデルでは trapping 指数が [ d+2, 1) の間で変化することは, これまでのモデルとは対照的である. また対応して状態密度がlogℓ([0, λ]) ∼d−2(d + 2γ) 2 +γ
(d + 2γ + 2)

c4 (d, γ, κ) 2 +γ+1 λ− 2 −γdd
2 +γ+1d

λ → 0,

asのように振る舞うことも示されている.
この結果の証明は非常に粗っぽく言うと以下のような道筋で行われる. まず簡単な計算 (有限区間の Laplace 原理) で

{
}
γ
γ+1
Eγ [exp{−tVω (0)}] = exp −2t(1 + o(1))
が分かる. これと, ランダムウォークの経験分布 Lt = t−1∫ tVω (Bs ) ds =
0

∑

t→∞

as
∫t
0

δBs ds を用いて

tLt (x)Vω (x)x∈Zdと書けることを使うと,[{Eγ [uω (t, 0)] = Eγ ⊗ E0 exp −t
[
= E0
[

∑

}]
Lt (x)Vω (x)

x∈Zd

∏

]
[
]
Eγ exp {−tLt (x)Vω (x)}

x∈Zd

{

= E0 exp −∑}](tLt (x))γγ+1(1 + o(1))

.

x∈Zd

ここで Donsker–Varadhan の大偏差原理を使えば

{ ∫
}
γ
2
2 1+γ
t κ|∇φ(x)| + 2(tφ(x) )log Eγ [uω (t, 0)] ∼ − infdx∥φ∥2 =1*6 c4 ̸= 0, ∞ でないと (11) は意味を持たないが, この事実は見た目ほど自明ではない.

において φ の冪を 2 よりも大きいものに取り替えると下限は 0 になる.

実際 (12)

1となって, r = t d+2+2γ とおいて φ(x) を r −d/2 φ(x/r) で置き換えれば結論が従う.
ここで述べた結果は γ = 0 ととることで Bernoulli 媒質の場合を含んでいると見なすことができるが, γ > 0 の場合には上の変分問題に関する情報が不足している
ために生存するように条件づけた粒子の挙動についてはよく分かっていない. (最近ミュンヘン工科大学の Schmidt によって minimizer の存在, 一意性及び対称性が示されたが, 条件付き過程の研究にはまだ少し定量的な評価が不足している.)

5. 格子点を揺動したモデル
前節の Biskup–König のモデルは離散空間における Bernoulli 媒質の一般化であったが, 講演者は最近 Poisson 点過程と本質的に異なる連続空間の配置として, 格子
点をランダムに摂動した点配置 (ω =∑q∈Zd δq+ωq , Pθ ) を考察した.

但し各 ωq の分布は独立同分布でPθ (ωq ∈ dx) ∼ exp{−|x|θ }dx as|x| → ∞なるものとする. このモデルを考えた動機は２次元で θ = 2 のときにあるランダムな解析関数の零点集合の近似になっている (Sodin–Tsirelson [29] 参照) ことだったが, 物理的にも Frenkel 欠陥と呼ばれる格子欠陥のモデルを与える自然な対象である. このモデルについては講演者は部分的に上木氏と共同 [12, 14] で以下のような少し弱い漸近挙動を示した*7 ：(1) W が台コンパクトの場合：
log Eθ [uω (t, 0)] ≃


2+θ
− θ
 −t 4+θ (log t) 4+θ

d+2θ/d−t d+2+2θ/d(2) W (x) ≃ |x|−α (α > d + 2) の場合：

2+θ
− θ
 −t 4+θ (log t) 4+θ
log Eθ [uω (t, 0)] ≃d+2θµ/d−t d+2+2θµ/d(d = 2),(d ≥ 3).

(d = 2),(d ≥ 3).

ここで µ = (α − 2)/(α − d).

*7 １次元の場合は W (x) ≃ |x|−3 の場合を除いて定数まで分かるが, 色々な意味で特殊なので省略した. 結果は [14] 参照.

(3) W (x) ≃ |x|−d−2 の場合：
d+θlog Eθ [uω (t, 0)] ≃ −t d+2+θ

(d ≥ 2).

(4) W (x) ∼ c0 |x|−α (d < α < d + 2) の場合
d+θ

log Eθ [uω (t, 0)] ∼ −c5 (d, θ)t α+θ (t → ∞),
∫
( c
)
0
θ
+ |y| dq.
c5 (d, θ) :=infd|q + y|αRd y∈R
但し f (t) ≃ g(t) は 0 < lim inf t→∞ f (t)/g(t) ≤ lim inf t→∞ f (t)/g(t) < ∞ を表すものとする. 特に最後の heavy tail case 以外では Biskup–König のモデルと同様
dに trapping 指数が [ d+2, 1) の範囲で変化する. 実は W (x) ≃ |x|−d−2 の場合以外

は Laplace 原理を経由した証明ができているため, 変分問題の形でならば結果を ∼で書くこともできる. しかしその変分問題の中には時間に依存する部分が残ってし
まい, 例えばその表示から上の結果を読み取ることすら容易ではないため, 上の形を結果として書いているのである.
とはいえ Poisson 媒質の時に見たように, 生存している粒子の挙動を調べるためには変分問題の解を知ることが必要になる. そこで, 以下で (W が台コンパクトの場合に限って) どこまで分かっているかの概要を述べておく. まず Laplace 原理を証明できるということは認めよう. すると下からの評価

Eθ [uω (t, 0)] ≥ Pθ (ω(U ) = 0)P0 (B[0,t] ⊂ U )を最大化するのが変分問題に他ならない. いま U に対する緩い regularity condi-tion のもとで∫log Pθ (ω(U ) = 0) ∼ −θ

d(x, ∂U ) dx

as|U | → ∞U

が成立するという事実*8 を用いると, 上の確率論的最大化問題は

{
{
}}
∫
θ
exp − inf λ(U )t +d(x, ∂U ) dx
U ∈S

Uと解析的な形に書き直すことができる. ここで S = {Rd \ supp Vω }ω∈Ω は U がとりうる形の全体である*9 . さて, ここで仮に上の下限を汎関数が時間を陽に含まな*8 この右辺が非常に irregular な関数であることがこの後で問題になるが, それ以前の Laplace 原理の証明においても Donsker–Varadahn の理論が使えないという障害をもたらした.
*9 これは厳密には正しくなく, 実際には Laplace 原理を証明する過程でもう少し制限されたクラスになっている.

1

いようにスケーリングしようとするなら r(t) ＝ t d+2+θ として U を r(t)U で置き換えればよく, 結果は

t

d+θ
d+2+θ

inf

U ∈Sr(t){}∫θ
λ(U ) +d(x, ∂U ) dx

{

(13)

U

}

となる. ここで Sr(t) = r(t)−1 (Rd \ supp Vω ) ω∈Ω であり, ここに時間への依存が陰に含まれている.
ところが, 実はこの変分問題は t → ∞ で 0 に収束してしまう. その証明は自明とは言えないが, アイデアは単純である. 上で注意した通り時間依存性は Sr(t) にだけ含まれているが, これは t が大きくなるに従ってより複雑な形の U が取れることを意味する. ここで下限の中の第２項の積分は U として多くの小さな穴があいた領域を考えると著しく小さくできることに注意すると, 初めに U を大きくとって λ(U )を小さくし, 次に “Brown 運動からは見えない程度の密度” で小さな (半径 r(t) 程度の) 穴を空けることで λ(U ) を小さく保ったまま第２項の積分も小さくすることができるである.
この事実から分かることは (13) は正しい漸近挙動が見える形にはなっていないということである. 従って異なるスケーリングを考える必要があるが, 正しいス
ケールを見いだすためには∫U d(x, ∂U )θ dx がどこまで小さくなり得るか, 言い換え

ると “Brown 運動からは見えない程度の密度” の上限を知ることが必要である. このような研究は Rauch–Taylor [24] によってなされており, 大雑把に言うと単位体
積あたりに含まれる穴の Newton capacity が定数のオーダーになる密度が臨界であることが示されている. この事実をもとに少し計算すれば,

r(t) = 1
θ
 t 4+θ (log t) 8+2θ

(d = 2), t(d ≥ 3),1
d+2+2θ/dが正しいスケールであることが推測でき, 実際にこのスケールで変換した変分問題

tr

−2

{
inf

U ∈Sr(t)r(t)d+2+θ
λ(U ) +t}∫
θd(x, ∂U ) dx
Uに現れる下限が t → ∞ において 0 からも ∞ からも離れていることが示せる. これが結果の直後に述べた “時間に依存する変分問題” である. 従って例えばこれがt → ∞ である定数に収束することが示せれば, 最初に述べた結果を少し改良することができる. もちろんより重要な問題は, 下限を達成する U がどのような形をしているかということである. これが分かれば生存するように条件づけた粒子がどのような形の領域で生き残っているかを推測することができる. これらはもはや確率論の問題ではなく解析の問題であり, 更にこのように時間に強く依存した変分問題に関する研究はあまり見当たらないが, せめて下限を達成する U が有界であることぐ
らいは確かめておきたいと考えている.

６. 今後の課題
最後にいくつか今後の課題として考えられるものを挙げておく. まず第４, ５節でd扱った Poisson 媒質から離れた例では, いずれも trapping 指数が [ d+2, 1) の間にあった. 特に Biskup–König の結果は独立同分布の高さを持つポテンシャルではその間にしかないことまで言っているので, この範囲に収まらない指数が現れるモデルが存在するかどうかは興味ある問題と思われる. Bogachev 等の結果により, 原理
的に点同士が吸引的な相互作用を持つ点過程か, 少なくともそういう要素を含むものを考えなくてはならないことは分かる. しかし, かなり強い相関を持つものを考えなくてはいけないことが予想され, すぐに例が作れるようなものではなさそうである. ちなみに１次元の場合だけは Poisson 点過程を一般化した renewal process
を用いて (0, 1) 区間の任意の値を trapping 指数に持つ例を作ることができるので,問題は高次元の場合である.
次により古くからある問題として, (定数) ドリフト付きの Brown 運動 Bt + ht を考えるという問題がある. これは物理的には不規則媒質中での輸送現象と関わる重要な問題であるが, 数学的にも Poisson 媒質の場合にはドリフトの強さに応じて相転移が起きることが示されている. 現在分かっているのは, 例えば d ≥ 2 で W が台
コンパクトかつ原点について回転対称な場合にはある hc > 0 が存在して, 生存する
ように条件づけた確率測度のもとで粒子の最長不倒が{sup |Bt + ht|
0≤s≤t

≃t
( d )
= o t d+2

if |h| > hc ,if |h| < hc ,のように振る舞うということである*10 . この内, 特に後者は単に技術的な理由でここまでしかできていないだけで, 例えばドリフトが非常に小さいときにはドリフ

(

1

)

トなしの場合と同じ O t d+2 のオーダーであると思われるが, この問題は [34] 以
来長い間進展がない難問である. なお前者については, t の係数がある変分問題のminimizer の集合 (̸∋ 0) に集中していることは分かっていて, もし minimizer が一*10 実はこれ以前に生存確率の長時間挙動にも相転移が観察されるのだが, 感覚的に分かり易いものではないので省略した.

点ならば大数の法則が言える. 問題はその変分問題がBrown 運動が Poisson 媒質を横切るときの生存確率[{ ∫ HB(y,1)}]= Eν ⊗ E0 exp −Vω (Bs ) ds
0の y → ∞ での減衰レートを測る Lyapunov 指数と呼ばれる明示的でない量で記述されていることであり, 従って上記の確率の挙動を詳しく調べることが解決につながるはずである.

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