Proc. London Math. Soc. (3) 101 (2010) 1–26

! 2010 London Mathematical SocietyC

doi:10.1112/plms/pdp054

Mesures de transcendance et aspects quantitatifs de la méthodede Thue–Siegel–Roth–Schmidt
Boris Adamczewski et Yann Bugeaud
Abstract
A proof of the transcendence of a real number ξ based on the Thue–Siegel–Roth–Schmidt method
involves generally a sequence (αn )n!1 of algebraic numbers of bounded degree or a sequence(xn )n!1 of integer r-tuples. In the present paper, we show how such a proof can produce atranscendence measure for ξ, if one is able to quantify the growth of the heights of the algebraic
numbers αn or of the points xn . Our method rests on the quantitative Schmidt subspace theorem.
We further give several applications, including to certain normal numbers and to the extremal
numbers introduced by Roy.

RésuméUne démonstration de la transcendance d’un nombre réel ξ fondée sur la méthode de Thue–
Siegel–Roth–Schmidt fait généralement intervenir une suite (αn )n!1 de nombres algébriques dedegrés bornés ou bien une suite (xn )n!1 de r-uplets d’entiers. Dans cet article, nous montronscomment une telle démonstration peut produire une mesure de transcendance de ξ, pour peu quel’on sache quantifier la croissance des hauteurs des nombres algébriques αn ou des points xn . Laméthode développée repose sur l’utilisation d’énoncés quantitatifs du théorème du sous-espacede Schmidt. Nous appliquons ensuite cette nouvelle approche à certains nombres normaux, ainsiqu’aux nombres extrémaux de Roy.

1. Introduction
Une démonstration de l’irrationalité d’un nombre réel ξ faisant appel à l’approximation
diophantienne met généralement en évidence une suite (pn /qn )n!1 de nombres rationnels
distincts qui converge vers ξ, à savoir telle que
0 < |qn ξ − pn | < δn ,

(1.1)

où (δn )n!1 est une suite de nombres réels positifs tendant vers 0. Lorsque l’on est capablede contrôler à la fois la croissance de la suite (qn )n!1 et la vitesse de convergence de la suite(δn )n!1 , la démonstration produit en fait une mesure d’irrationalité de ξ, dans le sens où elle
permet de construire d’une manière non triviale une fonction Ψ prenant des valeurs positives
et telle que!
!
!
!
!ξ − p ! > Ψ(q),!
q!
pour tout nombre rationnel p/q. Cela découle d’une méthode élémentaire fondée sur l’utilisationd’inégalités triangulaires, laquelle, dans le cas particulier où il existe δ > 0 tel que δn < qn−δet où
log qn+1
lim sup< +∞,(1.2)
n→+∞ log qn
Received 15 September 2008; revised 16 June 2009; published online 4 January 2010.
2000 Mathematics Subject Classification 11J82.
Le premier auteur remercie l’ANR pour son soutien à travers le projet DyCoNum–JCJC06 134288.

2

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

entraı̂ne que l’exposant d’irrationalité µ(ξ) de ξ est fini. Rappelons que µ(ξ) désigne lesupremum des nombres réels w tels que l’inégalité!
!
!
!
!ξ − p ! < q −w!
q!

possède une infinité de solutions rationnelles p/q. Cette technique permet par exemple
de majorer l’exposant d’irrationalité de ζ(2) et ζ(3) (voir [21]). Notons cependant quel’approche élémentaire à laquelle nous venons de faire allusion garantit également le contrôlede l’approximation de ξ par des nombres algébriques dès lors que leur degré est strictement
inférieur à 1 + δ.
De façon similaire, une démonstration de la transcendance d’un nombre réel ξ fondée
sur la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt fait intervenir une suite (αn )n!1 de nombresalgébriques de degrés bornés ou bien une suite (xn )n!1 de r-uplets d’entiers. Dans le présent
article, nous nous intéressons à une généralisation de la problématique précédente en nous
demandant si une telle démonstration produit nécessairement une mesure de transcendance deξ, pour peu que l’on sache quantifier la croissance des hauteurs des nombres algébriques αn ou
des points xn .
Le premier (et à notre connaissance le seul) résultat dans cette direction, établi en 1964
par Baker [10] et énoncé dans la partie 2, donne une mesure de transcendance explicite
de tout nombre réel ξ pour lequel il existe δ > 1 et une suite (pn /qn )n!1 de rationnels
distincts vérifiant qn ! 1, (1.2) et (1.1) avec δn " qn−δ . Le point de départ de notre approche
est une nouvelle démonstration de ce résultat (présentée dans la partie 3), beaucoup plus
simple que la démonstration originale, et qui a l’avantage de se prêter sans trop de difficultés techniques à des généralisations p-adiques et multidimensionnelles. Notre nouvelleméthode repose sur l’utilisation d’énoncés quantitatifs issus de la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt, que nous rappelons dans la partie 6. Dans cette direction, les théorèmes 3.1, 4.1
et 4.2, ainsi que le corollaire 4.3, apportent une réponse essentiellement positive à la questionposée ci-dessus. Nous présentons également quelques applications de ces résultats généraux
dans la partie 5. Nous montrons tout d’abord comment l’extension p-adique du théorème de
Baker permet d’obtenir des mesures de transcendance de nombres normaux construits parChampernowne [15], Davenport et Erdős [16], et par Bailey et Crandall [9]. Nous obtenons
ensuite, comme conséquence d’une extension multidimensionnelle du théorème de Baker, unemesure de transcendance des nombres extrémaux récemment définis par Roy [33, 34]. Lesdémonstrations des résultats de la partie 4 figurent dans la partie 8 et utilisent des lemmes
auxiliaires rassemblés dans la partie 7. Nous concluons cette article par une courte partie
consacrée à d’autres applications de notre méthode générale.

2. Les théorèmes de Roth et de Baker
Dans cette partie, nous rappelons le théorème de Roth, ainsi que le théorème de Baker qui sertde point de départ à notre étude. Ce résultat de Baker est en quelque sorte le prototype desrésultats théoriques que nous énonçons dans la partie 4.
En 1955, Roth [32] établit que, comme presque tous les nombres réels, les nombres réels
irrationnels algébriques ont un exposant d’irrationalité égal à 2.
Théorème R [32]. Soient ξ un nombre réel et ε un nombre réel strictement positif.
Supposons qu’il existe une suite infinie (pn /qn )n!1 de rationnels ordonnés de sorte que
2 " q1 < q2 < . . . , et tels que, pour tout n ! 1,
!
!
!
1
pn !!
< 2+ε .
0 < !!ξ −!
qn
qnMESURES DE TRANSCENDANCE

3

Alors, ξ est un nombre transcendant.
En 1964, Baker obtint une conclusion plus précise que la simple transcendance de ξ, pourvu
que la suite infinie de ses très bonnes approximations rationnelles soit, en un certain sens, dense.
Avant d’énoncer son théorème, nous rappelons les classifications des nombres réels définies par
Mahler [25] en 1932 et par Koksma en 1939 [22]. Soient d ! 1 un entier et ξ un nombre réel.
On note wd (ξ) le supremum des nombres réels w pour lesquels les inégalités
0 < |P (ξ)| " H(P )−wsont vérifiées par une infinité de polynômes P (X) à coefficients entiers, de degré majoré par d.
Ici, H(P ) désigne la hauteur naı̈ve de P (X), c’est-à-dire le maximum des valeurs absolues deses coefficients. On note wd∗ (ξ) le supremum des nombres réels w∗ pour lesquels les inégalités∗

0 < |ξ − α| " H(α)−w −1
sont vérifiées par une infinité de nombres algébriques α de degré majoré par d. Ici, H(α) désignela hauteur de α, c’est-à-dire la hauteur de son polynôme minimal sur Z.
Posant alors w(ξ) = lim supd→+∞ (wd (ξ)/d), nous disons, suivant Mahler, que ξ est un
A-nombreT -nombre
U -nombresi w(ξ) = 0;

S-nombre si 0 < w(ξ) < ∞;si w(ξ) = ∞ et wd (ξ) < ∞ pour tout entier d ! 1;
si w(ξ) = ∞ et wd (ξ) = ∞ pour un entier d ! 1.

En utilisant les exposants wd∗ au lieu de wd , Koksma définit de manière analogue les S ∗ -,T ∗ - et U ∗ -nombres et établit que ces trois classes coı̈ncident avec les S-, T - et U -nombres,
respectivement. Cela résulte du Lemme 7.1 ci-après, qui implique également que wd (ξ) est
infini si, et seulement si, wd∗ (ξ) est infini. Une propriété essentielle de la classification de Mahler
est que deux nombres transcendants appartenant à des classes différentes sont algébriquementindépendants. Les A-nombres sont exactement les nombres algébriques. Au sens de la mesurede Lebesgue, presque tous les nombres réels sont des S-nombres. Les nombres de Liouville,qui sont par définition les nombres ξ vérifiant w1 (ξ) = +∞ (observons que w1 (ξ) = µ(ξ) − 1),
sont des exemples de U -nombres, mais la confirmation de l’existence des T -nombres demeura
un problème ouvert durant une quarantaine d’années, jusqu’à sa résolution par Schmidt [36,37]. Davantage de résultats sur les fonctions wd et wd∗ se trouvent dans la monographie [12].
Notons dès à présent que l’ensemble des U -nombres ξ se subdivise en une infinité dénombrable
de sous-classes selon le plus petit entier d pour lequel wd (ξ) est infini.
Définition 2.1. Soit & ! 1 un entier. Un nombre réel ξ est un U# -nombre si, et seulementsi, w#∗ (ξ) est infini et wd∗ (ξ) est fini pour d = 1, . . . , & − 1.
L’ensemble des U1 -nombres est exactement l’ensemble des nombres de Liouville.
Obtenir une mesure de transcendance d’un nombre réel ξ consiste à majorer wd (ξ) (ou wd∗ (ξ),
ce qui revient au même en vertu du lemme 7.1). Les énoncés suivant font apparaı̂tre wd∗ (ξ) car
leurs démonstrations conduisent plus naturellement à une majoration de cet exposant.
Avec les notations ci-dessus, le résultat de Baker s’énonce ainsi.
Théorème B [10]. Soient ξ un nombre réel et ε un nombre réel strictement positif.
Supposons qu’il existe une suite infinie (pn /qn )n!1 de rationnels écrits sous forme irréductible,

4

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

ordonnés de sorte que 2 " q1 < q2 < . . . , et tels que, pour tout n ! 1,
!
!
!
1
pn !!
!
< 2+ε .
0 < !ξ −!
qn
qn

Si en outre la condition

lim supn→+∞log qn+1< +∞log qn(2.1)

est vérifiée, alors il existe un nombre réel c, ne dépendant que de ξ et de ε, tel que
wd∗ (ξ) " exp exp{cd2 },(2.2)

pour tout entier d ! 1. En particulier, ξ est ou bien un S-nombre, ou bien un T -nombre.
Ce résultat répond pour l’essentiel de façon positive à la question posée dans la partie 1,
dans le cas particulier où la transcendance d’un nombre réel se démontre à l’aide du théorèmede Roth. Ainsi, lorsque δ est strictement supérieur à 1 dans l’exemple donné au début de lapartie 1, le théorème de Baker permet, pour tout entier d, de contrôler l’approximation de ξ
par des nombres algébriques de degré au plus d, alors que l’approche élémentaire fondée surl’utilisation d’inégalités triangulaires permet seulement de le faire pour les entiers d strictement
inférieurs à 1 + δ.
Les nombres rationnels pn /qn qui apparaissent dans les l’énoncé du théorème B sont supposésécrits sous forme irréductible. Cette hypothèse, superflue dans le cas du théorème R, se révèle icinécessaire. Précisément, si elle est omise, alors la condition (2.1) entraı̂ne que ξ est un nombrede Liouville, ou un S-nombre, ou un T -nombre. Des explications complémentaires figurent audébut de la partie 8.

3. Démonstration simplifiée d’une extension p-adique du théorème de Baker
Nous donnons dans cette partie une démonstration à la fois simple et concise d’une extension
p-adique du théorème de Baker, qui illustre bien l’idée de la nouvelle approche présentée danscet article. Rappelons que la preuve que Baker a donnée de son théorème est plutôt longue(une quinzaine de pages) et technique. Elle reprend pas à pas la démonstration de Roth, en yincorporant une idée nouvelle. Notre démonstration repose sur une application nouvelle de laversion quantitative du théorème de Roth obtenue par Evertse et Locher et rappelée dans lapartie 6 (théorème EL).
En 1957, Ridout [31] étendit le théorème R en incluant des valuations p-adiques. Dans toutela suite, pour tout nombre premier & et tout nombre rationnel x, on pose |x|# := &−u , où u est
l’exposant de & dans la décomposition de x en produit de facteurs premiers. En outre, on pose|0|# = 0. Avec ces notations, le résultat principal de [31] s’énonce comme suit.
Théorème Ri [31]. Soient ξ un nombre réel, ε un nombre réel strictement positif et S un
ensemble fini de nombres premiers distincts. Supposons qu’il existe une suite infinie (pn /qn )n!1
de rationnels ordonnés de sorte que 2 " q1 < q2 < . . . , et tels que, pour tout n ! 1,
!
"#
$ !
!
1
pn !!
<
|pn |# · |qn |# · !!ξ −.
0<
qn ! q 2+ε#∈SnAlors, ξ est un nombre transcendant.

Notre premier résultat est une généralisation commune des théorèmes B et Ri, qui améliore
en particulier la mesure de transcendance donnée par le théorème B.

5

MESURES DE TRANSCENDANCEThéorème 3.1. Soient ξ un nombre réel, ε un nombre réel strictement positif et S un
ensemble fini de nombres premiers distincts. Supposons qu’il existe une suite infinie (pn /qn )n!1
de rationnels écrits sous forme irréductible, ordonnés de sorte que 2 " q1 < q2 < . . . , et telsque, pour tout n ! 1,
!
"#
$ !
!
1
pn !!
!
< 2+ε .
0<|pn |# · |qn |# · !ξ −
(3.1)
!
qn
qn
#∈S
Si en outre la condition

log qn+1< +∞log qnn→+∞

lim supest vérifiée, alors il existe un nombre réel c, ne dépendant que de ξ, de ε et du cardinal de S,
tel quewd∗ (ξ) " (2d)c log log 3d ,pour tout entier d ! 1. En particulier, ξ est soit un S-nombre, soit un T -nombre.
Nous allons à présent montrer comment le théorème 3.1 se déduit facilement du théorème
EL. Ce dernier donne, pour un nombre algébrique ξ, une majoration du nombre de grandes
solutions de l’inégalité (3.1) uniquement en fonction de son degré, de ε et du cardinal de S.
Démonstration du théorème 3.1. Considérons un nombre réel irrationnel ξ satisfaisant aux
hypothèses du théorème 3.1. Il existe alors un ensemble fini S de nombres premiers, des nombresréels ε, c et une infinité de nombres rationnels pn /qn écrits sous forme irréductible vérifiant
0 < ε< 1/5, c > 1,
!
"#
$ !
!
1
pn !!
!
< 2+ε/20<|pn |# · |qn |# · !ξ −
!
qn
2qn
#∈S

et

qn < qn+1 " qnc(n ! 1).

(3.2)

Soient d un entier strictement positif et α un nombre réel algébrique de degré d. Soit j tel
que
√
(3.3)
qj−1 " d + 1 H(α) < qj .
On suppose que H(α) est choisi suffisamment grand de sorte que les inégalitésH(α) > 48/ε ,qj > 4c (d + 1)c

et

j!2

(3.4)

soient simultanément satisfaites. Observons que si α est le rationnel p/q, où q ! 1, alors H(α) !
q et il découle de (3.3) que qj > q ; en particulier, α $= pj+h /qj+h pour tout entier positif h.
Définissons le nombre réel χ par|ξ − α| = H(α)−χ .

Nous supposons χ > 1 et majorons χ en fonction de d.
v< H(α)χ . Pour
Posons v = 2 + ε/2. Soit T le plus grand nombre entier pour lequel 2qj+T
tout entier h = 1, . . . , T , les inégalités11" v|ξ − α| = H(α)−χ < v
2qj+T
2qj+h
entraı̂nent

!
! !
!
!
!
!
! !
!
!
!
!α − pj+h ! " !ξ − pj+h ! + |ξ − α| " !ξ − pj+h ! + 1!
!
qj+h ! !
qj+h !
qj+h ! 2q v

j+h

,

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BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

et donc"##∈S|pj+h |# · |qj+h |#

! "#
!
$ !
$ !
!
!
!
pj+h !!
!ξ − pj+h ! + 1
"
|p
|
·
|q
|
· !!α −
·
j+h
#
j+h
#
v
!
!
qj+h
qj+h ! 2qj+h

Par conséquent, l’inégalité

#∈S

"

"#

#∈S

1

v
qj+h

.

!
$ !
!
1
p !!
!
|p|# · |q|# · !α − ! < v
qq

possède au moins T solutions rationnelles irréductibles p/q avec q > qj , et, d’après (3.3)
et (3.4), le théorème EL, appliqué avec ε/2 au lieu de ε, entraı̂ne la majoration
%
&
(3.5)
T < e8s+31 ε−s−5 log(6d) · log 2ε−1 log(6d) ,où s est le cardinal de S.
Cependant, comme χ > 1, notre choix de T et les inégalités (3.2), (3.3) et (3.4) impliquent&%T +1χ/(2c)v
χ−1/2 χ χ/c2qjvc! 2qj+T
qj ! 2qj,+1 ! H(α) ! (d + 1)
et doncχ " 2vcT +2 .

(3.6)

Les inégalités (3.5) et (3.6) assurent alors l’existence d’une constante c , ne dépendant que de
ξ, de ε et du cardinal de S, telle que&"wd∗ (ξ) " (2d)c log log 3d ,ce qui termine la démonstration. En particulier, nous avons établi que ξ est ou bien un Snombre, ou bien un T -nombre.
Le fait que nous obtenons une meilleure mesure de transcendance que dans le théorème de
Baker est une conséquence de résultats récents sur le lemme de Roth qui sont au cœur dela démonstration du théorème EL. Cependant, la clef de notre démonstration est l’existenced’une majoration du nombre de grandes solutions de (3.1) ne dépendant que du degré de ξ, deε et du cardinal de S. Lorsque S est réduit à l’ensemble vide, une telle majoration fut pour lapremière fois soulignée par Mignotte [29], mais elle découle facilement de la démonstration de
Davenport et Roth [17]. En particulier, en remplaçant dans la démonstration du théorème 3.1
le théorème EL par un énoncé correspondant implicite dans [17], nettement antérieur à l’article
de Baker [10], nous obtenons, tout comme Baker, une mesure de transcendance donnée par(2.2). En utilisant le résultat de Mignotte [29], nous établissons la mesure de transcendancewd∗ (ξ) " exp exp{c log 2d}(d ! 1),où c est un entier positif.
Outre sa simplicité, la démonstration ci-dessus possède un autre avantage sur celle de Baker :elle se généralise sans trop de difficultés techniques à des situations où la transcendance dunombre ξ est établie non pas au moyen du théorème de Ridout, mais à l’aide du théorème dusous-espace de Schmidt, comme l’illustrent les résultats de la partie 4.
La démonstration du théorème 3.1 est également très flexible et permet d’associer une mesurede transcendance à tout nombre dont on sait démontrer la transcendance à l’aide du théorèmede Roth (ou de Ridout). Supposons en effet qu’il existe un nombre réel ε et une infinité denombres rationnels pn /qn écrits sous forme irréductible vérifiant 0 < ε< 1 et!
!
!
!
!ξ − pn ! < 1 .
!
qn ! 2q 2+εnMESURES DE TRANSCENDANCE

7

Considérons une fonction strictement croissante ϕ à valeurs entières et telle que
qn < qn+1 " ϕ(qn ),n ! 1.

Soit d ! 1 un entier et soit α un nombre algébrique réel. Soit Ψ la fonction définie sur Z!1 paravec

Ψ(x) = %1& ,3
ϕ◦T (x)'(T = 2 · 107 ε−3 (log ε−1 )2 (log 4d) (log log 4d) + 2

et où ϕ◦T désigne la T -ième itérée de la fonction ϕ. En adaptant la démonstration ci-dessus et
en utilisant l’estimation (6.3), on obtient sans difficulté que|ξ − α| > Ψ(H(α)),

si H(α) est suffisamment grand. Bien sûr, cette mesure de transcendance est d’autant moins
fine que ϕ croı̂t rapidement.

4. Extensions multidimensionnelles du théorème de Baker et applications
Après quelques rappels, nous présentons dans cette partie trois généralisations multidimensionnelles du théorème B.
Le théorème de Roth a été généralisé dans de nombreuses directions. La plupart des résultats
connus relèvent du théorème du sous-espace établi en 1972 par Schmidt [38], ou plus exactement
de sa généralisation aux corps de nombres incluant des valeurs absolues p-adiques. Nous
rappelons ci-dessous deux énoncés importants démontrés en 1970 par Schmidt [35], qui sontdes cas particuliers du théorème du sous-espace.
Le premier résultat concerne l’approximation rationnelle simultanée des puissances d’unnombre réel. Rappelons que %x% désigne la distance du nombre réel x à l’entier le plus proche.
Théorème S1 [35]. Soient r ! 1 un entier et ξ un nombre réel qui n’est pas algébriquede degré inférieur ou égal à r. Supposons qu’il existe ε > 0 et une suite strictement croissanted’entiers (qn )n!1 tels que%qn ξ% ·% qn ξ 2 % · . . . · %qn ξ r % <

1

,
qn1+ε

pour tout entier n ! 1. Alors, le nombre réel ξ est transcendant.
Le second énoncé est une généralisation du théorème de Roth au cas de l’approximation d’unnombre réel par des nombres algébriques de degré borné.
Théorème S2 [35]. Soient ξ un nombre réel, r ! 1 un entier et (αn )n!1 une suite denombres algébriques distincts de degré au plus r. Supposons qu’il existe ε > 0 tel que|ξ − αn | <1,
H(αn )r+1+ε

pour tout entier n ! 1. Alors, le nombre ξ est transcendant.
Le théorème de Roth correspond au cas r = 1 des théorèmes S1 et S2.
Nous précisons tout d’abord la conclusion du théorème S1 lorsque la suite d’approximations
rationnelles est suffisamment dense.

8

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUDThéorème 4.1. Soient r ! 1 un entier et ξ un nombre réel qui n’est pas algébrique dedegré inférieur ou égal à r. Supposons qu’il existe ε > 0 et une suite strictement croissanted’entiers (qn )n!1 tels que%qn ξ% ·% qn ξ 2 % · . . . · %qn ξ r % <

1

,
qn1+ε

pour tout entier n ! 1. Supposons de plus que
log qn+1< +∞.
n→+∞ log qn

lim sup(4.1)

Alors, soit ξ est un U# -nombre pour un certain entier & " r, soit il existe une constante cindépendante de d telle quewd∗ (ξ) " exp{c(log 3d)2 (log log 3d)}pour tout entier d ! 1. En particulier, dans le dernier cas, ξ est ou bien un S-nombre, ou bien
un T -nombre.
Le résultat suivant affine un autre énoncé classique qui découle du théorème du sous-espace(voir par exemple [39, Chapter VI, Corollary 1E]). Rappelons qu’un polynôme à coefficients
entiers est dit primitif si ses coefficients ne sont pas tous multiples d’un même nombre premier.
Théorème 4.2. Soient ξ un nombre réel, r ! 1 un entier et (Pn )n!1 une suite de polynômesà coefficients entiers et de degré au plus r. Supposons que ξ n’est pas algébrique de degré
inférieur ou égal à r et qu’il existe ε > 0 tel que
1
0 < |Pn (ξ)| <,H(Pn )r+ε
pour tout entier n ! 1. Supposons de plus quelog H(Pn+1 )< +∞,n→+∞ log H(Pn )lim supet que la hauteur de Pn (X) tende vers l’infini avec n. Alors ξ est ou bien un U# -nombre pourun certain entier & " r, ou bien un S-nombre, ou bien un T -nombre. En outre, si les polynômes
Pn (X), n ! 1, sont primitifs et irréductibles, ou bien s’il existe un nombre réel w tel que|Pn (ξ)| > H(Pn )−w

pour n ! 1,

alors il existe une constante c indépendante de d telle quewd∗ (ξ) " exp{c(log 3d)r (log log 3d)r }pour tout entier d ! 1. Dans ce cas, ξ est ou bien un S-nombre, ou bien un T -nombre.
Le corollaire suivant précise le théorème S2 lorsque la suite d’approximations (αn )n!1 est
suffisamment dense. Il s’agit d’une conséquence immédiate du théorème 4.2, lorsque ce dernier
est appliqué à la suite des polynômes minimaux des nombres algébriques αn .
Corollaire 4.3. Soient ξ un nombre réel, r ! 1 un entier et (αn )n!1 une suite de nombresalgébriques distincts de degré au plus égal à r. Supposons qu’il existe ε > 0 tel que1|ξ − αn | <,(4.2)
H(αn )r+1+ε

MESURES DE TRANSCENDANCE

9pour tout entier n ! 1. Supposons de plus quelog H(αn+1 )< +∞.
n→+∞ log H(αn )lim sup(4.3)

Alors, il existe une constante c indépendante de d telle quewd∗ (ξ) " exp{c(log 3d)r (log log 3d)r }pour tout entier d ! 1. En particulier, ξ est soit un S-nombre, soit un T -nombre.
Le corollaire 4.3 généralise le théorème B à l’approximation par des nombres algébriques dedegré borné.

5. Applications
Dans cette partie, nous donnons dans un premier temps quelques applications du théorème 3.1
à l’étude de nombres normaux, notamment ceux construits par Champernowne [15], Davenport
et Erdős [16] et plus récemment par Bailey et Crandall [9]. Nous utilisons ensuite les résultats
de la partie 4 pour obtenir des mesures de transcendance pour les nombres extrémaux introduits
par Roy [33, 34].
5.1. Nombres normaux et classification de Mahler
Soit b ! 2 un entier. Un nombre réel ξ est dit normal en base b si, pour tout entier k, chaque
bloc de k chiffres apparaı̂t dans le développement en base b de ξ avec une fréquence égale à
1/bk . Borel [11] établit en 1909 que presque tout nombre (au sens de la mesure de Lebesgue)
est normal en toute base entière ; toutefois, à ce jour, nous ne connaissons aucun exemple
naturel de tel nombre. Les nombres Ω de Chaitin, qui sont définis comme (( les probabilitésd’arrêt des machines de Turing universelles à programmes autodélimités ))(voir [14]), sont biendes exemples explicites de nombres normaux en toute base entière, mais leur définition nous
semble interdire le qualificatif d’(( exemple naturel )). En 1933, Champernowne [15] montra quele nombre
ζ10,X = 0.123 456 789 101 112 131 4 . . . ,dont la suite des chiffres décimaux est la concaténation de la suite formée de tous les entiersclassés par ordre croissant, est normal en base 10. Quatre années plus tard, Mahler [26] montra
que ζ10,X est transcendant mais n’est pas un nombre de Liouville, puis il généralisa ce résultat
de la façon suivante.
Soit P (X) un polynôme non constant tel que P (n) est un entier strictement positif pour
tout n ! 1. Soit b ! 2 un entier. Pour tout entier positif x, notons (x)b la suite des chiffres
de x écrit en base b. Ainsi, (x)b est un mot fini sur l’alphabet {0, 1, . . . , b − 1}. Considérons lenombre réelζb,P (X) = 0.(P (1))b (P (2))b . . .
en base b. Mahler [27] établit que ζb,P (X) est transcendant, et n’est pas un nombre deLiouville. En outre, le résultat de Champernowne fut généralisé en 1952 aux nombres réels
ζb,P (X) par Davenport et Erdős [16]. Ainsi, nous disposons d’une famille de nombres normaux,transcendants, et qui ne sont pas des nombres de Liouville.
Par la suite, Baker [10] raffina le résultat de Mahler [26] en montrant que ζ10,X n’est pas un
U -nombre. Sous certaines hypothèses additionnelles sur b et sur le degré de P (X), la méthodede Baker entraı̂ne que ζb,P (X) n’est pas un U -nombre, mais elle ne permet pas de traiter le cas

10

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUDde tous les nombres de cette forme. Le théorème 3.1 entraı̂ne que ces hypothèses additionnellessont superflues.
Théorème 5.1. Pour tout entier b ! 2 et tout polynôme P (X) comme ci-dessus, le nombre
réel ζb,P (X) est normal en base b, et c’est soit un S-nombre, soit un T -nombre.
Par la suite, Mahler [28] établit la transcendance d’une autre classe de nombres réels,
qui inclut les ζb,X . Le théorème 3.1 entraı̂ne que ces nombres ne sont pas des U -nombres.
Il s’applique également aux nombres) 1
ξb,c,d =,ck bdkk!1√
définis pour tous entiers b, c, d avec b ! 2, c ! 2, d > c et pgcd(b, c) = 1. Bailey et Crandall[9] ont démontré que ξb,c,d est normal en base b. Il découle du théorème Ri que ξb,c,d est
transcendant, et le théorème 3.1 implique le résultat plus précis suivant.
√Théorème 5.2. Soient b, c, d des entiers tels que b ! 2, c ! 2, d > c et pgcd(b, c) = 1.
Alors, le nombre réel ξb,c,d est normal en base b et c’est soit un S-nombre, soit un T -nombre.
Les démonstrations qui conduisent à la transcendance des nombres figurant dans lesthéorèmes 5.1 et 5.2 mettent clairement en évidence des suites de nombres rationnels vérifiant
les hypothèses du théorème 3.1. Nous ne donnons donc pas le détail des démonstrations de ces
deux théorèmes.
5.2. Exposants d’approximation diophantienne, nombres extrémaux de Roy, et classificationde Mahler
Suivant les notations de Bugeaud et Laurent [13], pour tout entier d ! 1 et pour tout nombre
réel ξ, on désigne par ŵd (ξ) le supremum des nombres réels w tels que, pour tout réel X
suffisamment grand, les inégalités
0 < |xd ξ d + . . . + x1 ξ + x0 | " X −w ,max |xm | " X,

0"m"dont une solution en entiers x0 , . . . , xd . Le lecteur est invité à consulter [13] pour un survol desrésultats connus sur les fonctions ŵd . Mentionnons cependant que ŵ1 (ξ) = 1 pour tout nombre
irrationnel ξ et que ŵd (ξ) ! d si ξ n’est pas algébrique de degré au plus égal à d. Roy [33,34] fut le premier à prouver l’existence de nombres réels ξ vérifiant ŵ2 (ξ) > 2 ; toutefois, nous
ignorons s’il existe un entier d ! 3 et un nombre réel ξ tels que ŵd (ξ) > d. Le résultat suivant,qui est une conséquence facile du théorème 4.2, contribue à situer un tel nombre ξ dans laclassification de Mahler.
Théorème 5.3. Soient d un entier et ξ un nombre réel tels que ŵd (ξ) > d. Alors, ξ est ou
bien un U# -nombre pour un certain & " d, ou bien un S-nombre, ou bien un T -nombre.
Au vu de l’article de Laurent [23], il semble difficile d’améliorer la conclusion de ce théorème,et en particulier d’exclure le fait que ξ puisse être un U -nombre.
D’autres exposants d’approximation uniforme sont définis dans [13], à savoir les exposantsŵd∗ et λ̂d . Si un nombre réel ξ vérifie ŵd∗ (ξ) > d ou bien λ̂d (ξ) > 1/d, alors il vérifie en particulierŵd (ξ) > d, et le théorème 5.3 s’applique.

11

MESURES DE TRANSCENDANCEEn 2003, Roy [33, 34] a démontré que la mesure d’approximation simultanée pour un nombre
réel ξ (qui n’est ni rationnel, ni quadratique) et son carré établie par Davenport et Schmidt [18]ne peut être améliorée. Les nombres ξ pour lesquels cette mesure est optimalesont appelés,√selon sa terminologie, les nombres extrémaux. Ils vérifient ŵ2 (ξ) = (3 + 5)/2 > 2 et forment
un ensemble infini dénombrable.
Définition 5.4. Un nombre réel irrationnel ξ qui n’est pas quadratique est un nombre
extrémal s’il existe une constante c > 0 telle que, pour tout X ! 1, les inégalités
0 < x0 " X,√√|x0 ξ − x1 | " cX −( 5−1)/2 , |x0 ξ 2 − x2 | " cX −( 5−1)/2

admettent une solution en entiers x0 , x1 , x2 .

Roy a observé que, comme conséquence du théorème du sous-espace, les nombres extrémauxsont transcendants. Plus précisément, le théorème 5.4.2 de [34] montre qu’à tout nombre
extrémal ξ est associée une suite de nombres quadratiques (αn )n!1 vérifiant (4.2) et (4.3).
Ainsi, le corollaire 4.3 s’applique et nous permet d’établir une mesure de transcendance de ξ.
Théorème 5.5. Pour tout nombre extrémal ξ et tout entier d ! 1, il existe une constantec indépendante de d telle que
wd (ξ) " exp{c(log 3d)2 (log log 3d)2 }.
En particulier, ξ est soit un S-nombre, soit un T -nombre.
Ajoutons que Roy [34] a également établi une mesure d’irrationalité fine des nombres
extrémaux qui implique que leur exposant d’irrationalité est égal à 2. Plus précisément, étantdonné un nombre extrémal ξ, il existe des constantes c > 0 et t ! 0, ne dépendant que de ξ,
telles que
!
!
!
!
c
!ξ − p ! >
,
!
!
2
q
q (1 + log q)tpour tout nombre rationnel p/q.
Par la suite, Bugeaud et Laurent [13] ont complété les travaux de Roy, en calculant explicitement certains exposants d’approximation diophantienne associés aux fractions continues
sturmiennes caractéristiques, dont nous rappelons la définition ci-dessous.
Soient (sk )k!1 une suite d’entiers strictement positifs et {a, b} un alphabet à deux lettres.
On désigne par {a, b}∗ le monoı̈de des mots sur {a, b} et on définit inductivement une suite demots (mk )k!0 de {a, b}∗ par les formules
m0 = b,s

m1 = bs1 −1 a et mk+1 = mkk+1 mk−1 (k ! 1).

Cette suite converge (pour la topologie produit des topologies discrètes) dans le complété
{a, b}∗ ∪ {a, b}N vers le mot infini
mϕ := lim mk = bs1 −1 a · · · ,k→∞qui est communément appelé mot sturmien caractéristique d’angle (ou de (( pente )))ϕ := [0, s1 , s2 , s3 , . . .]construit sur l’alphabet {a, b}.
Le nombre réel ξ(√5−1)/2 = [0, m(√5−1)/2 ], dont les quotients partiels sont 0, puis les lettres
du mot infini m(√5−1)/2 , est un nombre extrémal [33], et donc transcendant. Plus généralement,

12

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

Allouche, Davison, Queffélec et Zamboni [8] ont démontré que, pour tout nombre irrationnel
ϕ appartenant à l’intervalle [0, 1], le nombre ξϕ est transcendant.
L’étude menée dans la partie 6 de [13] montre que ŵ2 (ξϕ ) > 2 et w2 (ξϕ ) < +∞ lorsque lasuite (sk )k!1 est bornée, tandis que w2 (ξϕ ) est infini lorsque cette suite n’est pas bornée. Le
théorème 4.4 implique donc le résultat suivant.
Théorème 5.6. Avec les notations ci-dessous, si a et b sont des entiers positifs et distincts,
alors le nombre ξϕ est ou bien un S-nombre, ou bien un T -nombre si la suite (sk )k!1 est bornée,et c’est un U2 -nombre dans le cas contraire.
Dans [5], nous présentons une autre démonstration du théorème 5.6, comme cas particulier
d’un résultat général établissant des mesures de transcendance pour certaines familles defractions continues.
6. Le théorème du sous-espace quantitatif
Le théorème de Roth est ineffectif, dans le sens où, étant donnés ε > 0 et un nombre réelalgébrique irrationnel ξ, on ne dispose d’aucune majoration explicite du dénominateur dessolutions de l’inégalité
!
!
!
1
p !!
!
0 < !ξ − ! < 2+ε .
(6.1)
q
q

Néanmoins, il est possible de majorer le nombre de solutions de (6.1), ainsi que le firent
Davenport et Roth [17] en 1955. Par la suite, leur résultat fut considérablement amélioré àplusieurs reprises. À ce jour, les meilleures majorations figurent dans les articles d’Evertse [19]et de Locher [24]. Le Theorem 2 de [24] entraı̂ne (6.2), tandis que (6.3) est une conséquence
de l’estimation établie par Evertse à la fin du paragraphe 6 de [19].
Théorème EL. Soient d ! 1 un entier et ξ un nombre algébrique réel de degré d et dehauteur H vérifiant 0 < ξ < 1. Soient S un ensemble fini de s nombres premiers distincts et ε
un nombre réel vérifiant 0 < ε " 1/5. L’inégalité
!
$ !
"#
!
1
p!
|p|# · |q|# · !!ξ − !! < 2+ε
0<
q
q
#∈S

possède au plus%&
e7s+26 ε−s−5 log(6d) · log ε−1 log(6d)(6.2)

solutions rationnelles p/q (sous forme irréductible) telles que q ! max{4outre, si S est vide, alors (6.2) peut être remplacé par
2 · 107 ε−3 (log ε−1 )2 (log 4d) (log log 4d).

4/ε√

, d + 1 H}. En(6.3)

À l’exception du théorème 3.1, les principaux résultats du présent article reposent sur
une version quantitative du théorème du sous-espace, le théorème ES ci-dessous, que nous
extrayons d’un article d’Evertse et Schlickewei [20]. Avant d’énoncer ce résultat, nous rappelons
la définition de la hauteur d’un élément de Zm et celle d’une forme linéaire à coefficientsalgébriques.
Soient m ! 2 un entier et x = (x1 , . . . , xm ) un élément de Zm . La hauteur du point x est
définie parH(x) = max{|x1 |, . . . , |xm |}.

13

MESURES DE TRANSCENDANCE

Rappelons que le vecteur x est primitif si ses coordonnées n’ont pas de diviseur premier encommun.
Soient α1 , . . . , αm des éléments d’un même corps de nombres K de degré d. Si v est une place
finie de K au-dessus du nombre premier &, on note | · |v la valeur absolue qui coı̈ncide avec | · |#sur Q et on pose dv = [Kv : Q# ]/[K : Q], où Kv est le complété de K à la place v. Si v est une
place infinie de K, on pose dv = 1/[K : Q] si v est une place réelle, et dv = 2/[K : Q] sinon.
La hauteur de la forme linéaire L(x) = α1 x1 + . . . + αm xm , notée H(L), est définie par##
H(L) =(max{|α1 |v , . . . , |αm |v })dv ·(|α1 |2v + . . . + |αm |2v )dv /2 ,(6.4)
v∈M0 (K)v∈M∞ (K)où M0 (K) et M∞ (K) désignent respectivement l’ensemble des places finies et infinies de K.
Le théorème ES est une conséquence du Theorem 3.1 d’Evertse et Schlickewei [20].
Théorème ES. Soit m ! 2 un entier. Soit L1 , . . . , Lm un système linéairement indépendant de formes linéaires en m variables et à coefficients algébriques réels et soit d le degré ducorps de nombres engendré par leurs coefficients. On suppose en outre quedet(L1 , . . . , Lm ) = ±1.
Soit H un majorant de la hauteur des formes linéaires L1 , . . . , Lm . Soit ε un nombre réelvérifiant 0 < ε< 1. Alors, l’ensemble des vecteurs x = (x1 , . . . , xm ) primitifs appartenant à
Zm qui sont solutions de l’inégalité
m
#

i=1

|Li,∞ (x)| < H(x)−εet vérifient
H(x) > max{m4m/ε , H}
se trouve dans une union finie d’au plus
2(6m)2m 23(m+10) ε−2m−4 (log 4d) (log log 4d)(6.5)

sous-espaces propres de Qm .
La qualité des mesures de transcendance que nous obtenons dans nos différents théorèmesdépend étroitement de la qualité de la dépendance en d dans (6.2), (6.3) et (6.5). De ce pointde vue, le théorème EL est très satisfaisant, dans la mesure où le Theorem 4 de Mueller etSchmidt [30] entraı̂ne qu’il est optimal au facteur (log log 4d) près.
Dans la suite, nous aurons besoin de majorer la hauteur de certaines formes linéaires enfonction de la hauteur (naı̈ve) de leurs coefficients. Dans ce but, nous rappelons ici une
majoration très grossière, mais qui s’avère amplement suffisante.
Conservons les notations de la définition de hauteur donnée en (6.4). Observons que
H(L) "

m##v∈M0 (K) i=1
m
#
d/2

"m

" md/2(max{|αi |v , 1})dv ·#i=1 v∈M0 (K)∪M∞ (K)m#

exp{dh(αi )},i=1#

mdv /2v∈M∞ (K)(max{|αi |v , 1})dv

m
#

i=1

(max{|αi |v , 1})dv

14

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUDoù h désigne la hauteur logarithmique de Weil (voir l’ouvrage de Waldschmidt [41, p. 75]). Le
Lemma 3.11 de cet ouvrage entraı̂ne alors que
H(L) " md/2 (d + 1)m/2m#

H(αi ).

(6.6)

i=1

Nous utiliserons également dans la suite la majoration de hauteur suivante. Soient α un nombre
algébrique de degré d et k ! 2 un entier. Couplé au fait que h(αk ) = kh(α), le Lemma 3.11 de[41] implique que
H(αk ) " (d + 1)k/2 2d H(α)k .

(6.7)

7. Résultats auxiliaires
Le lemme ci-dessous entraı̂ne que les classifications de Mahler et Koksma, définies dans la partie
2, sont équivalentes. L’inégalité de gauche de (7.1) est un résultat de Wirsing [40], tandis quecelle de droite est banale [12, Proposition 3.2].
Lemme 7.1. Soit d ! 1 un entier. Pour tout nombre réel irrationnel ξ on awd (ξ) + 1" wd∗ (ξ) " wd (ξ).
2
En particulier, wd (ξ) est fini si, et seulement si, wd∗ (ξ) est fini.

(7.1)

La version suivante de l’inégalité de Liouville découle du Corollary A.2 et du Theorem A.1
de [12].
Lemme 7.2. Soient α et β deux nombres algébriques distincts, de degré m et n,
respectivement. Soit P (X) un polynôme de degré n à coefficients entiers tel que P (α) $= 0.
Il existe alors une constante c(m, n), ne dépendant que de m et n, telle que|α − β| ! c(m, n) 2−m−n H(α)−n H(β)−m ,et|P (α)| ! c(m, n) H(α)−n H(P )−m+1 .

Le choix c(m, n) = (m + 1)−n−1 (n + 1)−m−1 convient.

Le lemme 7.3 montre que si l’on dispose d’une suite (( dense )) de polynômes de degré au plus
r prenant des petites valeurs au point ξ, alors le nombre réel ξ ne peut pas être trop bien
approché par des nombres algébriques de degré au plus r.
Lemme 7.3. Soit r ! 1 un entier. Soient ξ un nombre réel et (Pn (X))n!1 une suite depolynômes à coefficients entiers, deux à deux distincts, et de degré au plus r. Supposons qu’il
existe un nombre réel s > 1 tel que|Pn (ξ)| < H(Pn )−r ,n ! 1,etH(Pn−1 ) " H(Pn ) < H(Pn−1 )s ,n ! 1.

15

MESURES DE TRANSCENDANCE

Supposons en outre que l’une des conditions suivantes est satisfaite:(i) les polynômes Pn (X), n ! 1, sont irréductibles et primitifs ;(ii) il existe w > 0 tel que |Pn (ξ)| > H(Pn )−w pour tout n.
Alors, wr (ξ) est fini.
La démonstration du lemme montre qu’il reste vrai sous des hypothèses plus faibles que (i)ou (ii). Toutefois, sa conclusion est fausse si les polynômes P*
n (X) ont de nombreuses racines
en commun, comme l’illustre l’exemple suivant. Posons ξ = n!1 10−n! et, pour tout entier
N ! 15, considérons le polynôme
QN (X) = 10N ! X −On vérifie facilement que|QN (ξ)| ' 10−N ·N !

et

N
)

10N !−n! .

n=1

H(QN ) ' 10N ! ,où la notation A ' B signifie qu’il existe des constantes numériques absolues c1 et c2 strictement
positives telles que c1 A " B " c2 A. Pour tous entiers j ! 0 et N ! 15, posons Pj,N (X) =(10j X + 1)QN (X) et observons que
H(Pj,N ) ' 10j+N !

et|Pj,N (ξ)| ' 10j−N ·N ! ' H(Pj,N )−(N ·N !−j)/(j+N !) .

En particulier, pour j " N · N !/5, on obtient |Pj,N (ξ)| < H(Pj,N )−3 et H(Pj,N ) " 10(1+N/5)N ! .
Comme H(QN +1 ) ' 10(N +1)! , on peut facilement extraire une sous-suite de polynômes de lasuite (Pj,N (X))j!0,N !1 vérifiant les hypothèses (à l’exception de (i) ou (ii)) du lemme 7.3 avecr = 2 et s = 6. Cependant, ξ est un nombre de Liouville.
Démonstration du lemme 7.3. Dans ce qui suit, les constantes sous-entendues dans ( et) ne dépendent que de r. Soit α un nombre algébrique réel de degré au plus égal à r et dehauteur au moins égale à H(P1 ). Soit nα le plus petit entier tel que
H(Pnα ) ! 2 (r + 1)2(r+1) H(α)r .

(7.2)

H(α) ) H(Pnα )1/(rs) .

(7.3)|Pnα (α)| ! (r + 1)−2(r+1) H(α)−r H(Pnα )−r+1 ! 2H(Pnα )−r > 2|Pnα (ξ)|,(7.4)

On a en particulier nα ! 2 etSupposons dans un premier temps que Pnα (α) n’est pas nul. Le lemme 7.2 et (7.2) entraı̂nent
alors queet le théorème des accroissements finis impliqued’où|ξ − α| · H(Pnα ) ) |Pnα (ξ) − Pnα (α)| ! |Pnα (α)|/2,2|ξ − α| )| Pnα (α)| · H(Pnα )−1 ) H(α)−r H(Pnα )−r ) H(α)−r−r s ,(7.5)

par (7.3) et (7.4).
Si Pnα (α) est non nul pour tout nombre algébrique réel α de degré au plus égal à r et dehauteur au moins égale à H(P1 ), et tel est le cas si la condition (i) est satisfaite, alors la finitudede wr (ξ) découle de (7.5) et du lemme 7.1.
Si la condition (ii) est satisfaite mais que la condition (i) ne l’est pas, alors il existe unou plusieurs nombres algébriques réels α de degré au plus égal à r et de hauteur au moinségale à H(P1 ) tels que Pnα (α) = 0. Dans ce dernier cas, l’hypothèse (ii) et le théorème des

16

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

accroissements finis entraı̂nent, pour un tel nombre α, la minoration|ξ − α| · H(Pnα ) ) |Pnα (ξ) − Pnα (α)| = |Pnα (ξ)| ) H(Pnα )−w ,et donc|ξ − α| ) H(α)−rs(w+1) ,(7.6)

par (7.3). Les minorations (7.5) et (7.6) et le lemme 7.1 impliquent alors la finitude de wr (ξ).
Ceci achève la démonstration du lemme.
Rappelons que la hauteur d’un vecteur de Zn est le maximum des valeurs absolues deces coefficients et que la hauteur d’un hyperplan de Qn déquation y1 x1 + . . . + yn xn = 0,où y1 , . . . , yn sont des entiers non tous nuls et sans diviseur premier commun, est égale au
maximum des valeurs absolues de y1 , . . . , yn .
Étant donnés des vecteurs x1 , . . . , xn de Zn , on note rang(x1 , . . . , xn ) la dimension du Qespace vectoriel engendré par ces vecteurs.
Lemme 7.4. Soient n et N deux entiers tels que N > n, et p1 , p2 , . . . , pN des vecteurs non
nuls de Zn tels que
H(p1 ) " H(p2 ) " . . . " H(pN )etrang(p1 , p2 , . . . , pN ) < n.
Alors, il existe des entiers j et l avec j ! 1, j + l − 1 " N et l ! N/n, et tels que les points
pj , pj+1 , . . . , pj+l−1 appartiennent à un même hyperplan H de Qn vérifiant
H(H) " n!H(pj )n .
Pour démontrer le lemme 7.4, nous avons besoin du résultat suivant, dont nous omettons ladémonstration.
Lemme 7.5. Soient r et n deux entiers tels que r < n. Supposons qu’il existe des vecteurslinéairement indépendants p1 , p2 , . . . , pr appartenant à Zn et tels que H(p1 ) " H(p2 ) " . . . "H(pr ). Alors, il existe un hyperplan H de Qn contenant ces points entiers et tel que
H(H) " r! H(pr )r .
Démonstration du lemme 7.4. Posons b = *N/n+. La fonction f qui, à un entier k =1, . . . , n, associe le rang sur Q de la famille de vecteurs {p1 , p2 , . . . , pkb } est croissante età valeurs entières, comprises entre 1 et n − 1. Il existe donc un entier k tel que 1 " k " n − 1
et f (k) = f (k + 1), donc tel querang(p1 , p2 , . . . , pkb ) = rang(p1 , p2 , . . . , p(k+1)b ) =: r < n.
Il existe ainsi des entiers 1 " i1 " . . . " ir " kb tels que les vecteurs pi1 , . . . , pir forment une
famille génératrice de la famille {p1 , p2 , . . . , p(k+1)b }. D’autre part, la suite (H(pij ))1"j"r étant
par hypothèse croissante, le lemme 7.5 implique que les vecteurs pi1 , pi2 , . . . , pir appartiennentà un même hyperplan H de Qn dont la hauteur est majorée par r!H(pir )r . Il suffit alors deposer j = ir et l = b + 1 pour obtenir le résultat souhaité.

MESURES DE TRANSCENDANCE

17

8. Démonstrations des théorèmes 4.1 et 4.2
Avant de démontrer les théorèmes 4.1 et 4.2, nous discutons brièvement une remarque qui suit
l’énoncé du théorème B. Nous conservons les hypothèses de ce théorème, à ceci près que nous
ne supposons plus les rationnels pn /qn écrits sous forme irréductible. Pour n ! 1, notons dn leplus grand diviseur commun à pn et qn . Alors,!
!
!
pn /dn !!
11< 2+ε = 2+ε
0 < !!ξ −,!
qn /dnqd(q /d )2+ε
n

n

n

n

et deux situations distinctes peuvent se produire. Ou bien, pour tout nombre réel w, il existe
n tel que dn > (qn /dn )w , et alors ξ est un nombre de Liouville. Ou bien il existe un nombre
réel κ tel que dn < (qn /dn )κ pour tout n ! 1. Dans ce cas, il existe une suite (nj )j!1 d’entiers
positifs strictement croissante telle quelog(qnj+1 /dnj+1 )< +∞,log(qnj /dnj )j→+∞lim supet nous sommes ramenés au théorème B.
L’inégalité ci-dessus se justifie de la manière suivante. Quitte au besoin à extraire une soussuite de la suite (pn /qn )n!1 , on peut supposer que qn+1 ! qn2 pour tout n ! 1. Soient n et j desjentiers strictement positifs tels que qn+j /dn+j = qn /dn . De l’inégalité qn+j ! qn2 , on déduit" $ 2j
j
qn
qn
qn+j
d2n
=
!
·
,
dn
dn+j
dn+j
dn
j

d’où dn+j ! (qn+j /dn+j )2 −1 et la majoration 2j " κ + 1. Les nombres rationnels pn /qn et
pn+j /qn+j sont donc différents si j est assez grand.
Notre stratégie est la suivante. Nous généralisons la démonstration du théorème 3.1 afin decontrôler la qualité de l’approximation des nombres réels, vérifiant les hypothèses du théorème
4.1 ou celles du théorème 4.2, par des nombres algébriques de degré au moins r + 1.
À cet effet, il est commode de définir de nouveaux exposants d’approximation diophantienne,à savoir les fonctions wdex , où l’exposant ex signifie que l’on se restreint à l’approximation pardes nombres algébriques de degré exactement égal à d. Pour alléger la notation, nous omettons
le symbole ∗ qui fait habituellement référence à la classification de Koksma.
Démonstration du théorème 4.1. Nous conservons les notations de l’énoncé du théorème
4.1 et supposons que 0 < ξ < 1. Soit α un nombre algébrique réel de degré d > r de hauteur
suffisamment grande. On suppose en outre ε < 1/2 etH(α) > (r + 1)8(r+1)/ε .

(8.1)

Notons tout d’abord que l’inégalité (4.1) permet, quitte à extraire une sous-suite de la suite(qn )n!1 , de supposer qu’il existe un nombre entier C indépendant de d tel que
2 log qn < log qn+1 < C log qn ,(8.2)

pour tout entier n ! 1.
Définissons le nombre réel χ par|ξ − α| = H(α)−χ .

Notons n0 l’entier déterminé par les inégalitésqn0 " H(α) < qn0 +1 .

(8.3)

Notons M0 le plus petit entier pair au moins égal à 2 tel que
M0 /2

qn2 0

> max{H(αk X0 − Xk ), 1 " k " r}.

(8.4)

18

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

On suppose que χ excède log(1/%ξ%), ce qui implique d’après (8.1) que 0 < α< 1. On suppose
en outre que(8.5)
χ >C M0 (2 + ε).
Cela ne cause aucune perte de généralité puisque, d’après (6.6) et (6.7), il existe une constante
cr , ne dépendant que de r, telle que
M0 < cr log d.
Soit M le plus grand entier pair tel que,
qnχ0 > qn2+ε
0 +M
de sorte queχ " C M +2 (2 + ε).

(8.6)

Les inégalités (8.2) et (8.5) assurent que M est au moins égal à M0 .
Nous allons majorer M en fonction de d et ainsi, compte tenu de (8.6), majorer χ en fonctionde d.
Pour tous entiers j = 1, . . . , M et k = 1, . . . , r, on obtientk(|ξ| + 1)
%qn0 +j αk % " %qn0 +j ξ k % + %qn0 +j (ξ k − αk )% " %qn0 +j ξ k % +
qn1+ε
0 +j
+
,
4k
" max 2%qn0 +j ξ k %, 1+ε,
qn0 +jd’où, d’après (8.1) et (8.3),%qn0 +j α% ·% qn0 +j α2 % · . . . · %qn0 +j αr % <max{2r+1 , 4r}
2r+1
1= 1+ε < 1+ε/2 .
1+εqn0 +jqn0 +j
qn +j

(8.7)

0

Étant donné un entier n, il existe des entiers pk,n , 1 " k " r vérifiant %qn αk % = |qn αk − pk,n |,et donc!
!
! k pk,n !
!α −! < 1 , 1 " k " r.
(8.8)!
qn ! qn
Considérons les formes linéaires
L0 (X0 , X1 , . . . , Xr ) = X0

et
Lk (X0 , X1 , . . . , Xr ) = αk X0 − Xkpour k = 1, . . . , r.

Pour n ! 1, posons pn := (qn , p1,n , p2,n , . . . , pr,n ). Le raisonnement tenu au début de cettepartie montre qu’ou bien wr (ξ) = +∞, ou bien, quitte à extraire une sous-suite de la suite(qn )n!1 et à modifier la constante C de (8.2), tous les vecteurs pn sont primitifs. Nous nousplaçons désormais sous cette dernière hypothèse.
D’après (8.8) et le fait que 0 < α< 1, on peut choisir H(α) suffisamment grande pour que
H(pn ) = qn

(8.9)

pour n ! n0 . L’inégalité (8.2) implique alors que la suite (H(pn ))n!n0 est strictement
croissante. Posons N1 := {pn , n0 + M/2 " n " n0 + M } et notons M1 le cardinal de N1 . Ainsi,
M1 ! M/2.

De (8.7) et (8.9) découle l’inégalité
r
#

k=0

|Lk (pn )| < H(pn )−ε/2 .

(8.10)

19

MESURES DE TRANSCENDANCE

Comme M est au moins égal à M0 , nous déduisons de (8.4) que
qn0 +M/2 > max{H(Lk ), 0 " k " r}.
Ainsi, H(pn ) > max{H(Lk ) : 0 " k " r} pour tout n ∈ N1 , et nous pouvons donc appliquer lethéorème ES avec m = r + 1. Notons T le majorant du nombre de sous-espaces donné par lethéorème ES et posons t := *M1 /T +. D’après (8.1) et le théorème ES, il existe une constantecr,ε > 1, ne dépendant que de r et ε, et telle que
T < cr,ε (log 3d) (log log 3d).

(8.11)

Le principe des tiroirs assure l’existence d’un sous-espace propre de Qr+1 contenant au moins
t points de N1 . Cela signifie qu’il existe un vecteur non nul y := (y0 , y1 , . . . , yr ) ∈ Zr+1 et un
ensemble d’entiers N2 ⊂ N1 , de cardinal t, tels que
y0 qn + y1 p1,n + . . . + yr pr,n = 0,(8.12)

pour tout n ∈ N2 . Notons i1 < i2 < . . . < it les éléments de N2 une fois ordonnés.
Si t " r + 1, on obtient M < 2(r + 2)T , ce qui termine la démonstration d’après (8.11). Nous
supposons donc dans la suite que t > r + 1. D’après (8.12), le rang de la famille {pih , 1 " h " t}est strictement inférieur à r + 1. Comme t > r + 1, le lemme 7.4 implique l’existence d’entiers
j1 < . . . < jl appartenant à N2 et vérifiant*M1 /T +
t
=
,
r+1
r+1
et d’un vecteur primitif non nul y& := (y0& , y1& , . . . , yr& ) ∈ Zr+1 tel que
l!

(8.13)

y0& qn + y1& p1,n + . . . + yr& pr,n = 0,(8.14)

pour tout n ∈ N3 := {jh , 1 " h " l}, et vérifiant

H(y& ) " (r + 1)!H(pj1 )r+1 = (r + 1)!qjr+1.
(8.15)
1*r
Considérons à présent le polynôme P (X) := k=0 yk& X k . D’après (8.1), (8.8), (8.14) et(8.15), il vient pour tout n ∈ N3
! r
"
$!
r+1
!) &
qjr+2
pk,n !! r(r + 1)! qj1
1"|P (α)| = !!
yk α k −
<
.
qn !
qn
qn
k=1

En particulier, comme jl appartient à N3 , on obtient|P (α)| "

qjr+2
1
.
qjl

(8.16)Par hypothèse, le degré de α est strictement supérieur à r, donc le nombre réel P (α) n’est pasnul, et le lemme 7.2, (8.2), (8.3) et (8.15) impliquent alors que|P (α)| ) H(α)−r H(P )−d+1 = H(α)−r H(y& )−d+1−(r+1)(d−1)) H(α)−r qj1−d(r+1)) qj1.

(8.17)Il découle alors des inégalités (8.2), (8.16) et (8.17) qu’il existe une constante B indépendantede d et telle quel " B log d.
Puis en utilisant (8.10), (8.11) et (8.13), il vientM < c(log 3d)2 (log log 3d),où c := 2((r + 1)B + 1)cr,ε ne dépend pas de d. D’après l’inégalité (8.6), ceci entraı̂ne quewdex (ξ) " exp{c& (log 3d)2 (log log 3d)},

20

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUDoù c& , et c&& ci-dessous, sont des constantes indépendantes de d.
Nous pouvons à présent conclure cette démonstration. Ou bien wr∗ (ξ) est fini, et nous
obtenons d’après l’inégalité précédente la mesure de transcendancewd∗ (ξ) " exp{c&& (log 3d)2 (log log 3d)}(d ! 1),ou bien wr∗ (ξ) est infini, et alors il existe un entier & vérifiant 1 " & " r tel que ξ est un
U# -nombre.
Avant d’aborder la démonstration du théorème 4.2, nous établissons une proposition
auxiliaire.
Proposition 8.1. Soient M et r deux entiers strictement positifs, α0 , α1 , . . . , αr desnombres algébriques réels linéairementindépendants sur Q. Notons L0 la forme linéaire définie*rpar L0 (X0 , X1 , . . . , Xr ) := j=0 αj Xj et soit d ! 2 un majorant de [Q(α0 , α1 , . . . , αr ) : Q].
Supposons qu’il existe une suite de vecteurs primitifs (xn )1"n"M appartenant à Zr+1 et desnombres réels a > 1 et ε > 0 tels que :(i) H(x1 ) > H(L0 ) et H(x1 ) > H(αj ), 0 " j " r,(ii) log H(xn+1 ) > a log H(xn ), 1 " n " M − 1,(iii) |L0 (xn )| < H(xn )−r−ε , 1 " n " M.
Alors il existe une constante C ne dépendant que des paramètres r, ε et a telle que
M < C(log 3d)r (log log 3d)r .
Démonstration de la proposition 8.1. Nous allons raisonner par récurrence sur l’entier r.
Pour r = 1, il s’agit d’une conséquence immédiate du théorème EL.
Soit r ! 2 un entier tel que la conclusion de la proposition 8.1 est vraie pour k = 1, . . . , r − 1.
Soient α0 , α1 , . . . , αr des nombres algébriques qui vérifient les hypothèses de la proposition 8.1.
Pour tout entier n = 1, . . . , M , posons xn := (x0,n , x1,n , . . . , xr,n ). Nous supposonségalement, ce qui ne cause aucune perte de généralité, queH(x1 ) > 4d ((r + 1)!)2 .

(8.18)

Considérons à présent les formes linéaires
Lk (X0 , X1 , . . . , Xr ) := Xkpour k = 1, . . . , r.

Posons N1 := {xn , 1 " n " M }. D’après (iii), il vient
r
#

k=0

|Lk (xn )| < H(xn )−εpour tout n ∈ N1 . De plus, les conditions (i) et (ii) impliquent que H(xn ) > H(Lk ), pourk = 0, . . . , r et n ∈ N1 .
Nous pouvons donc appliquer le théorème ES. Notons T le majorant du nombre de sousespaces donné par ce théorème et posons m := *M/T +. Il existe une constante cr,ε ne dépendantque de r et ε et telle que
T < cr,ε (log 3d) (log log 3d).

(8.19)

Le principe des tiroirs assure alors l’existence d’un sous-espace propre de Qr+1 contenant au
moins m points de N1 . Cela signifie qu’il existe un vecteur non nul y := (y0 , y1 , . . . , yr ) ∈ Zr+1

MESURES DE TRANSCENDANCE

et un ensemble d’entiers N2 ⊂ N1 , de cardinal m, tel que

y0 x0,n + y1 x1,n + . . . + yr xr,n = 0,21

(8.20)

pour tout n ∈ N2 . Notons i1 < i2 < . . . < im les éléments de N2 une fois ordonnés.
Si m " r + 1, on obtient M < (r + 2)T , ce qui termine la démonstration d’après (8.19). Nous
supposons donc dans la suite m > r + 1. D’après (8.20), le rang de la famille {xih , 1 " h " m}est strictement inférieur à r + 1. Comme m > r + 1, le lemme 7.4 implique l’existence d’unentier s et d’éléments j1 < j2 < . . . < js de N2 tels ques!

*M/T +
m
=
,
r+1
r+1

et d’un vecteur non nul z := (z0 , z1 , . . . , zr ) ∈ Zr+1 tel que

z0 x0,n + z1 x1,n + . . . + zr xr,n = 0,(8.21)(8.22)

pour tout n ∈ N3 := {jh , 1 " h " s}, et vérifiant
D’après (8.18), il vient

max{|zk |, 0 " k " r} " (r + 1)! H(xj1 )r+1 .
max{|zk |, 0 " k " r} < H(xj1 )r+2 .

(8.23)

Nous supposons dans la suite que

s>2+2| log(a − 1)|log(4(r + 4)rd)
+2
.
log a
log a

(8.24)

En effet, dans le cas contraire, l’inégalité (8.21) implique *M/T + " (r + 1)s et donc M <((r + 1)s + 1)T , ce qui termine la démonstration d’après (8.19) et (8.24).
Sans restriction, on peut supposer que zr n’est pas nul. Pour j = 0, . . . , r − 1, posons αj& :=zj αr − zr αj . Introduisons à présent l’ensemble d’entiers N4 ⊂ N3 défini par N4 := {jh , *s/2+ "h " s}. Notons k1 < k2 < . . . < kt les éléments de N4 une fois ordonnés, et observons quet ! s/2.

(8.25)

Pour n ∈ N4 , posons x&n := (x0,n , . . . , xr−1,n ) ∈ Zr et*choisissons x&&n un vecteur primitif
r−1
colinéaire à x&n . Notons également L& (X0 , . . . , Xr−1 ) := j=0 αj& Xj .
&&Nous allons montrer que les nombres algébrique α0 , . . . , αr−1vérifient les hypothèses de la&&proposition avec ε = 1/2 et a = (1 + a)/2 et la suite de vecteurs x&&k1 , x&&k2 , . . . x&&kt . L’hypothèsede récurrence nous permettra alors de majorer t, puis M , comme souhaité.
Vérifions tout d’abord que la condition (i) est satisfaite. Un rapide calcul montre que%&dH(zj αr − zr αj ) " 4 max{|zi |, 0 " i " r}2 H(αr )H(αj ) ,et donc, en utilisant (8.18) et (8.23), on obtientH(αj& ) < 4d H(xj1 )2(r+2)+2d < H(xj1 )2(r+3)d ,(8.26)

pour tout entier j = 0, . . . , r − 1.
On déduit alors de (6.6) et (8.18) que
H(L& ) < rd/2 (d + 1)r/2 H(xj1 )2(r+3)rd < H(xj1 )2(r+4)rd .

(8.27)

Soit n ∈ N4 . Si rien ne garantit que le vecteur x&n est primitif, (8.22) et (8.23) entraı̂nent quele plus grand diviseur commun aux coordonnées de x&n n’excède pas H(xj1 )r+2 . Ainsi,H(x&&n ) !

H(x&n ).
H(xj1 )r+2

(8.28)

22

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

Notons également que
H(xn ) < H(xj1 )r+3 H(x&n ).

(8.29)

En effet, comme zr n’est pas nul, il découle de (8.22), (8.23) et (8.18) que!
!
! z0 x0,n + . . . + zr−1 xr−1,n !
!
|xr,n | = !!
!
zr
< rH(xj1 )r+2 max{|x0,n |, . . . , |xr−1,n |}< H(xj1 )r+3 H(x&n ).

D’après (8.28) et (8.29), il vientH(x&&n ) !

H(xn ).
H(xj1 )2r+5(8.30)

Puisque k1 ∈ N4 et k1 ! j,s/2- , (8.24) implique que

H(xk1 ) ! H(xj1 )4(r+4)rd ,et donc, en combinant (8.26), (8.27) et (8.30),.
&
H(x&&k1 ) > max H(L& ), H(α0& ), H(α1& ), . . . , H(αr−1) ,(8.31)

ce qui montre que la condition (i) est bien vérifiée.
Montrons à présent que la suite de vecteurs x&&k1 , x&&k2 , . . . , x&&kt vérifie la condition (ii) de laproposition avec a& = (1 + a)/2 > 1. Pour n = 1, . . . , t − 1, (8.30) et le fait que H(x&&n ) " H(xn )impliquent que
H(xkn+1 )H(xkn )a>2r+5H(xj1 )
H(xj1 )2r+5
H(xkn )(a−1)/2! H(x&&kn )(1+a)/2 ·H(xj1 )2r+5
H(xj$s/2% )(a−1)/2! H(x&&kn )(1+a)/2 ·.
H(xj1 )2r+5

H(x&&kn+1 ) !

En utilisant (8.24), on obtient ainsilog H(x&&kn+1 ) >1+a· log H(x&&kn ),2

1 " n " t − 1,

(8.32)

comme annoncé.
Montrons enfin que la suite de vecteurs x&&k1 , x&&k2 , . . . , x&&kt vérifie la condition (iii) de laproposition avec ε& := 1/2. Soit n ∈ N4 . D’après (8.22), on a&|x0,n α0& + . . . + xr−1,n αr−1
| = |zr | · |x0,n α0 + . . . + xr,n αr |.

Ainsi les inégalités (8.23) et le fait que par hypothèse |L0 (xn )| < H(xn )−r−ε impliquent que!
!
&!x0,n α0& + . . . + xr−1,n αr−1
! < H(xj )r+2 H(xn )−r−ε .
1Comme H(x&&n ) " H(xn ), il vient
!
! %
&
&
!x0,n α0& + . . . + xr−1,n αr−1
! < H(xj1 )r+2 H(xn )−1/2−ε H(x&&n )−(r−1)−1/2 .
Puisque n appartient N4 , on a n ! *s/2+ et donc$s/2%

H(xn )1/2 > H(xj1 )(1/2)aOn déduit alors de (8.24) que

H(xn )1/2 > H(xj1 )r+2 ,.

(8.33)

MESURES DE TRANSCENDANCE

ce qui, d’après (8.33), donne!
!
&! < H(x&&n )−(r−1)−1/2 .
!x0,n α0& + . . . + xr−1,n αr−1

23

Ainsi, on obtient bien

|L& (x&&kn )| < H(x&&kn )−(r−1)−1/2 ,1 " n " t,(8.34)

comme souhaité.
On vérifie de plus aisément que les αj& , 0 " j " r − 1, sont des nombres algébriques réels&) : Q] " d.
linéairement indépendants sur Q et que [Q(α0& , . . . , αr−1&&&&
D’après (8.31), (8.32) et (8.34), les vecteurs xk1 , xk2 , . . . , x&&kt satisfont aux hypothèses de lapropostion avec les paramètres r& := r − 1, ε& := 1/2 et a& := (1 + a)/2. L’hypothèse de récurrence assure donc l’existence d’une constante A, ne dépendant que des paramètres r et a, tellequet < A(log 3d)r−1 (log log 3d)r−1 .
Les inégalités (8.19), (8.21) et (8.25) donnent alors la majoration souhaitée pour M , à savoir
M < C(log 3d)r (log log 3d)r ,où C := (2(r + 1)A + 1)cr,ε . Cela termine cette démonstration.
Nous pouvons à présent démontrer le théorème 4.2.
Démonstration du théorème 4.2. Elle découle de la proposition 8.1 et du lemme 7.3. Nousconservons les notations de l’énoncé du théorème 4.2. Comme précédemment, on peut supposer
que H(P1 ) excède 3 et qu’il existe un entier C tel que
2 log H(Pn ) < log H(Pn+1 ) < C log H(Pn ),(8.35)

pour tout entier n ! 1.
Soit α un nombre algébrique réel de degré d > r et de hauteur suffisamment grande pourgarantir que
H(α) ! H(P1 )et

H(α)ε/2 > 2r(r + 1)(|ξ| + 1).

(8.36)

Définissons le nombre réel χ par
Notons n0 l’unique entier tel que|ξ − α| = H(α)−χ .

H(Pn0 ) " H(α) < H(Pn0 +1 ).

(8.37)

Notons M0 le plus petit entier pair au moins égal à 2 vérifiant
H(Pn0 )2

M0 /2

> max{H(α), . . . , H(αr ), H(L)},(8.38)où L est la forme linéaire L(X0 , X1 , . . . , Xr ) := X0 + αX1 + . . . + αr Xr .
Les inégalités (6.6), (6.7), (8.35) et (8.37) assurent l’existence d’une constante cr , nedépendant que de r, telle que M0 < cr log d. Nous pouvons donc supposer sans perte degénéralité que χ vérifieχ > (r + 1 + ε)C M0 .
(8.39)
Nous allons majorer χ en fonction de d.
Soit M le plus grand entier pair tel que H(Pn0 )χ > H(Pn0 +M )r+1+ε . L’hypothèse (8.39) et
les inégalités (8.35) impliquent que M est au moins égal à M0 , et donc, par (8.35) et (8.38), il
vient(8.40)
H(Pn0 +M/2 ) > max{H(α), . . . , H(αr ), H(L)}.

24

BORIS ADAMCZEWSKI ET YANN BUGEAUD

On déduit de (8.36) et (8.37) que|Pn0 +j (α)| " |Pn0 +j (α) − Pn0 +j (ξ)| + |Pn0 +j (ξ)|" (r + 1)rH(Pn0 +j )(|ξ| + 1)|α − ξ| + |Pn0 +j (ξ)|" H(Pn0 +j )−r−ε/2 ,(8.41)

pour j = 1, . . . , M .
Pour n ! 1, notons
Pn0 +n (X) := x0,n0 +n + x1,n0 +n X + . . . + xr,n0 +n X r .
Lorsque le degré m du polynôme Pn0 +n (X) est strictement inférieur à r, on pose simplement
xm+1,n0 +n = . . . = xr,n0 +n = 0, ce qui ne change rien dans la suite. Pour n ! 1, posons
xn := (x0,n0 +M/2+n , x1,n0 +M/2+n , . . . , xr,n0 +M/2+n ) ∈ Zr+1 .

Le raisonnement tenu au début de cette partie montre qu’ou bien wr (ξ) = +∞ (et dans ce
cas ξ est un U# -nombre pour un certain entier & vérifiant 1 " & " r), ou bien, quitte à extraire
une sous-suite de la suite (Pn )n!1 et à modifier la constante C de (8.35), tous les xn sontprimitifs. Nous nous plaçons désormais sous cette hypothèse.
Les inégalités (8.35), (8.40) et (8.41) montrent que nous pouvons appliquer la proposition
8.1, laquelle conduit à
M/2 < c(log 3d)r (log log 3d)r ,où la constante c ne dépend que de r et de ε. La majoration souhaitée pour χ découle alors de(8.35) et de la définition de M , qui entraı̂nent que
χ " C M +2 (r + 1 + ε).
Au vu du lemme 7.3, ceci conduit à la mesure de transcendance annoncée et termine ladémonstration du théorème 4.2.

9. Remarques finalesRécemment, nous avons utilisé une version p-adique du théorème du sous-espace pourdémontrer la transcendance de nombres réels dont le développement dans une base entièreest assez régulier (voir [2, 7]). En particulier, nous avons démontré que les nombres réels
irrationnels dont le développement dans une base entière peut être engendré par un automate
fini sont transcendants. La méthode introduite dans cet article est suffisamment souple pourpermettre d’établir des mesures de transcendance pour ce type de nombres. Cela fait l’objet
de l’article [6].
Une autre utilisation récente du théorème du sous-espace en transcendance concerne lesfractions continues (voir par exemple [1, 3, 4]). La méthode du présent article s’appliqueégalement dans ce cas. Elle permet d’obtenir des mesures de transcendance pour certainesclasses de fractions continues quasi-périodiques ou quasi-symétriques. Ainsi, dans [5], nous
donnons des mesures de transcendance pour les fractions continues de Thue–Morse, les fractions
continues sturmiennes et les fractions continues de Maillet–Baker. Le théorème 5.6 est un cas
particulier de ces résultats.
Remerciements. Nous sommes très reconnaissants envers l’arbitre pour sa lecture attentive
et ses nombreuses remarques pertinentes. Nous remercions Michel Waldschmidt d’avoir attiré
notre attention sur la question traitée dans cet article suite à un exposé du second auteur auGroupe d’Étude sur les Problèmes Diophantiens de l’Institut Mathématique de Jussieu.

MESURES DE TRANSCENDANCE

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Boris Adamczewski
CNRS, Université de Lyon
Université Lyon 1
Institut Camille Jordan
43 boulevard du 11 novembre 1918
69622 Villeurbanne cedex
FranceBoris·Adamczewski@math·univ-lyon1·fr

Yann Bugeaud
Université de Strasbourg
Mathématiques
7, rue René Descartes
67084 Strasbourg cedex
Francebugeaud@math·u-strasbg·fr