2019年度

渋谷教育学園渋谷中学校<帰国生受験>算数

くわしい解説すぐる学習会1
15１ (1) 3 2 － 2 4 － 0.625×3 ÷1 6ア
イウエ
ア ＝ 0.625×3＝1.875
1173
イ ＝ 2 － 1.875 ＝ 2 － 1 ＝4488352ウ＝ ÷1 ＝816
7
123エ＝ 3 － ＝32714(2)

1÷27 ＝ 0.0370370 ……となりますから，「037」の 3 個 1 セットがくり返されます。
2019÷3＝673 ですから，673 セットあります。
1 セットの和は 0＋3＋7＝10 で，それが 673 セットあるのですから，全部で，10×673 ＝ 6730 になります。

(3)

Ａの重さは，36÷0.144＝250（ｇ）です。
Ｂの濃さは，30÷250＝0.12 ですから，12％です。
Ａは14.4％で，Ｂは12％ですから，Ａの方が濃いです。
よってＡに水を加えて，Ｂと同じ濃さである12％にすることになります。
Ａに水を加えても，食塩の量は変わらず36ｇです。
濃さが12％になったときのＡの食塩水の重さは，36÷0.12＝300（ｇ）です。

Ａはもともと250ｇだったのですから，300－250＝50（ｇ）の水を加えればよいことになります。

(4)

右の図のアは，180－164＝16（度）です。
よってイも16度です。
ウは，180－(16＋40)＝124（度）です。

イウエ

エとオは，どちらも長方形の角ですから90度です。

164°

よって あ は，360－(124＋90＋90)＝56（度）になります。

-1-ア40°オ
あ(5)右のような面積図を書きましょう。

エウイ
ア

986415020エウ

右の図の斜線部分を切り取ります。
斜線部分の面積は，4×20＝80 です。
斜線部分を切り取った残りの面積は，150－80＝70 です。

イア

986415020

切り取った残りは，右の図のようになります。
式にすると，2×イ＋4×ウ＋5×エ＝70 …（※）になります。

エウ
イ247059 のカードの枚数をできるだけ多く選ぶということは，エをできるだけ大きくすることと同じです。
エを14にすると，5×エ＝70 となり，イもウも0にしなければならなくなります。
しかし，選ばない数字のカードがないようにするのですから，0ではいけません。
エを13にすると，5×エ＝65 となり，イもウも0にしてはいけないので1にすると，（※）の左辺は71になってしまうのでダメです。
エを12にすると，5×エ＝60 となり，70－60＝10 ですから，2×イ＋4×ウ＝10 になります。
この式にあてはまる（イ，ウ，エ）は，（1，2，12）と（3，1，12）です。
ア，イ，ウ，エ合わせて20ですから，（イ，ウ，エ）が（1，2，12）のときのアは，20－(1＋2＋12)＝5 です。
（イ，ウ，エ）が（3，1，12）のときのアは，20－(3＋1＋12)＝4 です。
よって求める（ア，イ，ウ，エ）の組は，（5，1，2，12）と（4，3，1，12）です。

-2-(6)

渋男君は1時間＝60分，学君は2時間＝120分かかるので，マラソン大会のスタートからゴールまでの道のりを，60と120の最小公倍数である120ｍに決めます。
渋男君の分速は，120÷60＝2（ｍ），学君の分速は，120÷120＝1（ｍ）です。
午前10時のときの「学君の位置からゴールまでの道のり」は，「渋男君の位置からゴールまでの道のり」の3倍だったそうですから，「学君の位置からゴールまでの道のり」を③，「渋男君の位置からゴールまでの道のり」を①にします。
スタート
ゴール
10時
すると，右の図のようになります。
渋男①
学10時 ③

ところで，渋男君の分速は2ｍ，学君の分速は1ｍですから，2人の速さの比は2：1です。
よって，スタートしてから午前10時までの2人が進んだ道のりを 2 と 1 にすると，右の図のようになります。

スタート
渋男

ゴール
10時
①2

学
③

1 10時

スタート
右の図の「ここ」の部分を見ると，2 － 1 ＝ 1 が，③－①＝②であることがわかります。
1 が②にあたるので， 2 は，④にあたります。

渋男

ゴール
10時
①2
学
1 10時

③

「ここ」
右の図のようになり，スタートからゴールまでは，④＋①＝⑤ です。
渋男君はスタートからゴールまで60分かかるので，⑤を60分かかることになります。
①あたり，60÷5＝12（分）かかるので，④は12×4＝48（分）かかります。

スタート
渋男

ゴール
10時
①④

学
② 10時

③

渋男君は，スタートしてから48分かかって午前10時になったのですから，午前10時－48分＝午前9時12分にスタートしたことになります。

-3-

２ (1) 万の位の選び方は，1から7までの7個の数字から選ぶので，7通りです。
万千百十一
千の位は，万の位で使った数字以外の6個の数字から選ぶので，6通りです。
同様にして，百の位は5通り，十の位は4通り，一の位は3通りですから，全部で，7×6×5×4×3＝2520（通り）になります。
(2)

1，2，3，4，5，6，7の7個の数字から，削除する2個を選べばオシマイです。
なぜなら，たとえば2と5を削除する数字として選ぶとします。
すると，残った数字は1，3，4，6，7ですが，並べ方は決まっています。
左から大きい順に並べるので，「76431」と決まります。
よって，7個の数字から，削除するどの2個を選ぶか，という問題になります。
7個中2個を選ぶということですから，(7×6)÷(2×1)＝21（通り）になります。

(3)

この問題は(2)と違って，1，2，3，4，5，6，7の7個の数字から，削除する2個を選べばオシマイというわけではありません。
なぜなら，たとえば(2)と同様に2と5を削除する数字として選んだとします。
すると，残った数字は1，3，4，6，7ですが，並べ方は決まってはいません。というのは，並べ方はいろいろあるからです。
5けたの数を「ＡＢＣＤＥ」とすると，真ん中のＣは最も大きい数なので7です。
これで「ＡＢ７ＤＥ」となりましたが，ＢとＤをどのような数にするかによって場合分けしましょう。
Ｂ＝6，Ｃ＝4 とすると，「Ａ６７４Ｅ」となり，残った1と3は，ＡとＥに入れるか，またはＥとＡに入れるかの，2通りになります。
Ｂ＝4，Ｃ＝6 の場合も，2通りあります。
Ｂ＝6，Ｃ＝3 とすると，「Ａ６７３Ｅ」となり，残った1と4は，ＥとＡに入れる1通りしかありません。
Ｂ＝3，Ｃ＝6 の場合も，1と4をＡとＥに入れる1通りしかありません。
以上のことから，2と5を削除する数字として選んだ場合は，2＋2＋1＋1＝6（通り）あります。
7個の数字から，削除する2個を選ぶ方法は，(2)と同じく21通りあり，それぞれに対して，並べる方法は6通りずつあるので，全部で 6×21＝126（通り）になります。

-4-

３ (1)(2)

点Ｑは大円のまわりを動きます。
大円の半径は10cmなので，大円の円周は，10×2×3＝60（cm）です。
（円周率が3であることに注意しましょう。）
点Ｑは毎秒2.5cmなので，1周するのに 60÷2.5＝24（秒）かかります。
点Ｑと同じようにして，点Ｐは1周するのに何秒かかるかを求めましょう。
点Ｐは小円のまわりを動きます。
小円の半径は6cmなので，小円の円周は，6×2×3＝36（cm）です。
点Ｐは毎秒2cmなので，1周するのに 36÷2＝18（秒）かかります。
点Ｐは1周するのに18秒，点Ｑは1周するのに24秒かかることがわかりました。
1周は360度であることを利用して，点Ｐと点Ｑが1秒あたりに動く角度を求めましょう。
点Ｐは1周するのに18秒かかるので，1秒あたり 360÷18＝20（度）動きます。
点Ｑは1周するのに24秒かかるので，1秒あたり 360÷24＝15（度）動きます。
点Ｐは点Ｑよりも，1秒あたり 20－15＝5（度）多く動くことがわかりました。
角 あ の大きさが初めて145度になるのは，145÷5＝29（秒後）になります。

(3)

右の図のように，ＯＰとＯＱのつくる角が直角になったときに，三角形ＯＰＱの面積は 10×6÷2＝30(cm2)になります。
(2)でわかった通り，点Ｐは点Ｑよりも，1秒あたり5度多く動きます。

Ｐ6cm
Ｏ10cm

はじめて直角になるのは，90÷5＝18（秒後）です。
2回目に直角になるのは，ＰとＱが270度はなれたときです。このとき小さい方の角は 360－270＝90（度）になるからです。
よって，270÷5＝54（秒後）になります。

-5-Ｑ

(4)

右の図のように，ＯＰとＯＱのつくる角が30度になったときに，三角形ＯＰＱの底辺は10cmで，高さは右の図の点線の部分です。
点線の部分の長さを求めるために，
Ｐ6cm
ア のように取り出すと，この三角形は30°Ｐ6cm30°Ｏ10cm

ＱＯ
正三角形の半分なので，アの長さは 6÷2＝3（cm）。
よって三角形ＯＰＱの面積は，10×3÷2＝15（cm2）になり，ＯＫです。
したがって，三角形ＯＰＱの面積がはじめて15cm2になるのは， あ がはじめて30度になるときです。
(2)でわかった通り，点Ｐは点Ｑよりも，1秒あたり5度多く動きます。
よって答えは，30÷5＝6（秒後）になります。

-6-

Ａ

４ (1) 正方形の1辺の長さを求めることができないと，(1)から(3)まですべて失うので注意しましょう。
35cm

三角形ＡＢＣの高さと底辺の比は，28：21＝4：3 です。
よって三角形ＡＤＦ（右の図の★の三角形）の高さと底辺の比も，4：3 です。
Ｂ

★

28cm

ＤＦ

Ｅ21cm

ＣＡ

よって，右の図のように高さを④，底辺を③とします。
④35cm
ＤＢ③ＦＣ

Ｅ21cm

Ａ

正方形のたてと横の長さは同じなので，右の図のようにＦＣの長さも③にすることができます。
35cm

ＡＣの長さは ④＋③＝⑦ となり，これが28cmなので，①あたり，28÷7＝4（cm）になります。
正方形の1辺は③ですから，4×3＝12（cm）です。
ＡＦの長さは④ですから，4×4＝16（cm）です。
ＢＥの長さは，21－③＝21－12＝9（cm）です。

ＤＢ

共通

共通

共通-7-③

Ｆ28cm

ＣＥ
21cm

Ａ16cm
Ｄ 12cm Ｆ28cm

35cm

12cm
Ｂ9cm

よって体積の比は，(12×12×3.14×16÷3)：(12×12×3.14×9÷3)＝16：9 になります。
共通④③

右の図のようになります。
三角形ＡＤＦをＡＦのまわりに回転してできる円すいは，底面の半径が12cm，高さが16cmですから，(12×12×3.14×16÷3) で求められます。
三角形ＢＥＤをＢＥのまわりに（ＤＥではないことに注意しましょう)回転してできる円すいは，底面の半径が12cm，高さが9cmですから，(12×12×3.14×9÷3) で求められます。

28cm

Ｅ21cm

Ｃ(2)

Ａ(1)によって，右の図のように長さがわかっています。

16cm
28cm
12cm
ＤＦ

35cm

12cm
Ｂ9cm
ＣＥ
21cm

Ａ(2)では，右の図のかげの部分の面積を求めます。
右の図の●と○の角度の和は 180－90＝90（度）ですから，16cm
Ｄ ● 12cm Ｆ28cm

35cm
○

Ｂ

12cm
9cm
ＣＥ
21cm
Ａ

かげになっている四分円を右の図のように切って，白いおうぎ形の部分に移動させると，16cm
Ｄ ● 12cm Ｆ28cm
●35cm

○ ○

Ｂ

12cm

9cm

ＣＥ21cmＡ

右の図のように，半円と，三角形ＡＢＣから正方形を引いた形になります。

16cm
28cm
12cm
Ｄ●
Ｆ

35cm

半円の半径は12cm，正方形の1辺も12cmですから，かげの部分の面積は，12×12×3.14÷2 ＋ 21×28÷2 － 12×12半円＝＝226.08＋2376.08（cm ）三角形ＡＢＣ294

正方形－144となります。

-8-○Ｂ

9cm
Ｅ
21cm

12cm
ＣＧ(3)

右の図のＧＨの長さを求める問題です。

Ａ
35cm
12cm

Ｈ28cm

ＤＦ

Ｅ
21cm

ＣＢ

Ｇ
右の図のように，辺ＢＣと平行な直線を点Ａから引いて，辺ＧＨとの交点をＩとします。そして太線の平行四辺形の面積について考えます。
Ｉ
アの長さは辺ＡＢと同じなので35cmです。
イの長さは円の半径なので12cmです。

ア

平行四辺形の底辺をアとすると，高さはイにあたるので，平行四辺形の面積は，35×12＝420(cm2)になります。
次に平行四辺形の底辺をＩＡとすると，Ｈ高さは辺ＡＣになるので28cmです。

Ａ35cm
イ12cm
ＤＥ21cm

Ｂ15cm

Ｉ35cm-9-Ａ35cm
12cm
ＤＨＣ

ウ

ウの長さは，35×15÷21＝25（cm）です。
よってＧＨの長さは，25＋35＝60（cm）になります。

28cm

Ｇ

よって，ＩＡ×28＝420 となり，ＩＡ＝420÷28＝15（cm）です。
右の図の，斜線をつけた2つの三角形は相似です。
よって，ウ：35＝15：21 です。

ＦＢ

Ｅ21cm

Ｆ28cm

Ｃ