筑波大学大学院博士課程
システム情報工学研究科修士論文

STFDD 法による橋梁損傷のモード形状変化に及ぼす影響の検知に関する研究

王念祖

システム情報工学研究科
構造エネルギー工学専攻
指導教員 松島

亘志

２０１９年

３月

概

要

本論文は，Short Time Frequency Domain Decomposition(STFDD)法を用い，橋梁を渡る移動中の車両に搭載したセンサーから信号を処理し，橋梁のモード形状を出すことより橋梁損傷を検知する可能性を検討した。比較的に良いモード形状を推定するために、橋梁パラメー
タについて討論した。また、橋梁損傷の程度、位置、および実験車両の重量がモード形状に与える影響について検討した。

目次

第1章
はじめに .................................................................................................................. 1
1.1
研究背景 ································································································· 1
1.1.1 社会環境 ······························································································ 1
1.1.2 移動センシングの必要性 ········································································· 1
1.1.3 移動センシングに関する技術的な課題 ······················································· 1
1.1.4 損傷検知に関する技術的な課題 ································································ 2
1.2
既往の研究 ······························································································ 2
1.2.1 Tap-Scan 法 ························································································· 2
1.2.2 STFDD 法 ···························································································· 3
1.3
本研究の目的・損傷検知性能の確認 ····························································· 3
第2章
手法 ......................................................................................................................... 3
2.1
STFDD 法の概要 ······················································································ 3
第3章
数値実験の概要 ....................................................................................................... 43.1
数値実験の基礎理論 ·················································································· 4
3.1.1 車両―橋梁の相互作用に基づいた有限要素モデリング ·································· 4
3.1.2 橋梁モード形状とは ··············································································· 5
3.1.3 FDD 法 ································································································ 5
3.1.4 STFDD 法の補正手順 ············································································· 6
3.2
入力パラメータとシナリオ ········································································· 7
3.2.1 橋梁健全時のモード形状 ········································································· 7
3.2.2 路面凹凸なし ························································································ 93.2.3 路面凹凸あり ······················································································ 11
3.2.4 損傷時凹凸なし ··················································································· 18
3.2.5 損傷時凹凸あり ··················································································· 19
3.2.6 車両重さによるモード形状の変化 ··························································· 21
3.3
結果と考察 ···························································································· 23
第4章
まとめ ................................................................................................................... 23
謝辞 ........................................................................................................................................ 24
参考文献 ................................................................................................................................. 24i

図目次
図 1 ............................................................................................................................... 4
図 2 ................................................................................................................................... 7
図 3 ................................................................................................................................... 8
図 4 ................................................................................................................................... 9
図 5 ................................................................................................................................. 10
図 6 ................................................................................................................................. 11
図 7 ................................................................................................................................. 12
図 8 ................................................................................................................................. 13
図 9 ................................................................................................................................. 14
図 10 ............................................................................................................................... 14
図 11 ............................................................................................................................... 15
図 12 ............................................................................................................................... 16
図 13 ............................................................................................................................... 17
図 14 ............................................................................................................................... 17
図 15 ............................................................................................................................... 18
図 16 ............................................................................................................................... 19
図 17 ............................................................................................................................... 20
図 18 ............................................................................................................................... 20
図 19 ............................................................................................................................... 22
図 20 ............................................................................................................................... 22

表目次
表 3-1

表の例 ............................................................................................................... 8

ii

第1章
1.1

はじめに
研究背景

現在，橋梁の老朽化点検は主に目視点検により行われている。しかし，老朽化橋梁の増加している一方，技術者の育成が間に合わない状況である。したがって，一般化された橋梁の健全性を合理的に評価する指標が求められている。

1.1.1 社会環境
前述したように，橋梁の老朽化に伴い，点検コストの増加が地方財政の負担になっている。その上，既定されたマニュアルが少ないため，点検工事の発注においても，
具体的にどのように点検を行うのか問題となっている。したがって，だれでも同じ精度で点検できる方法が求められている。計測した橋梁の振動データに基づく点検手法
は一つの選択肢である。ただし，振動データの分析手法はまだ開発途上の技術である
ため，実用化が課題である。

1.1.2 移動センシングの必要性
橋梁の動的特性は橋梁損傷分析の基礎となるが，その取り方が橋梁にセンサーを搭載し計測する伝統的な直接方法と，センサーを車両に搭載し車両の振動データから橋梁の動的特性を推定する間接方法 2 種類がある。伝統的な直接方法は現場で測量設備を設置する必要があるため，時間や金銭，人手などがかかり，高コストで不便である。
それに対し，橋梁の動的特性の伝達者として橋梁上を移動する車両を使用する間接方法が提出された[1][2]。
間接方法では，橋梁の振動データが，移動する車両の振動データを処理することにより抽出される。ここでは，車両と橋梁の相互作用することより，車両が加振機と受信機 2 つの機能を果たしている。直接方法と比べ，必要な設備や設置の時間，現場の専門家などに対する需要が少なく，より高い経済性，効率性及び移動できることによる便利性を示した。

1.1.3 移動センシングに関する技術的な課題
間接方法の条件として，車両の振動データの中には高度的な橋梁振動応答が含まれる必要となるが，この方法の実現可能性は実際に Lin と Yang らの高速道路橋梁実験
により確認された[3]。また，J.Q. Bu[4]らが提案した車両応答から橋梁状態を評価す
1

る方法を提案し，Yang ら[5]は Empirical Mode Decomposition(EMD)法を用い，その方法を改善した。それより，橋梁応答対車両応答の比率が大きくなるほど，抽出された橋梁の振動データの精度が高くなることが検証された。
ただし，Chang らは路面凹凸が車両応答の結果に与える影響が実際に無視できないと示した[6]。McGetrick らの研究により[7]，路面凹凸が車両に与える影響は車両の速度とともに上昇し，橋梁の振動を隠してしまうため，測定時の速度は低ければより高い精度が得られる。そして，橋梁の減衰変化が実験車両より効率的に観察できると示した。それに対しし，改造された実験車両を用い，橋梁の固有振動数と減衰率を検知する可能性を検討するために，Kim ら[8]と Yang ら[9]が実験した。その中で，路面凹凸の影響を最小化するために Yang らは連結された 2 台の車両を利用した。車両応答から橋梁の減衰率を推定するためにはいくつかの手法が提案された[10][11][12]。しかし，これらの手法では，常に有効であるというわけではない。ただし，J.Keenahan らが車両振動データの減算というアイデアを提案し，それより得られた結果を用い，橋梁の減衰変化を検出した[13]。

1.1.4 損傷検知に関する技術的な課題
近年，移動車両の振動応答信号から橋梁の固有振動数を検知し，およびその結果の精度を向上する課題に対し，何人かの研究者が幾つかの方法を提案した[1][2][11][12]。
その上に，車両振動と用いた間接手法により，橋梁の減衰率を検知するいくつかの研究が進められたが[10][13]，橋梁のモード形状を推定する研究はまだ多くない。橋梁に亀裂の損傷がある場合，モード形状では損傷点に不連続性が生じると，研究より示され[14][15]，さらにモード形状が橋梁のモデル更新では重要なツールとして利用できる[16]。なので，橋梁のモード形状は橋梁の振動調査で非常に重要な指標の一つで
ある。

1.2

既往の研究
1.2.1 Tap-Scan 法向志海らが構造物へのタッピング実験をベースにした損傷検知方法を開発した[21]。具体的なやり方としては、まず、センサーを装備したタッピング装置を構造物の表面上の位置ごとで叩きスキャン操作を行う。装置の加速度と構造物凹凸及び叩く力などの関係が決められた近似式で表す。得られた加速度信号を時間段階ごとで変換処置を行い、スペクトログラムを作成する。また、事前に設定した叩きのカバーする周波数帯域と対応するスペクトルエン
2ベロープを、スペクトログラムで切り取り、それをスペクトルで記録し、2 つごとで MAC 値を計算しマトリクスを作成する。それより、ある行の値を基準としたら、構造物位置に関する
モーダル保証基準値(Modal Assurance Criterion-MAC)曲線が得られ、構造物の損傷位置と損傷程度は曲線の傾斜が現れる位置とそれの傾斜度で判断できる。ただし、この方法の再現性可能性が検討されている一方、叩きのカバーする周波数帯域の変化が結果に与える影響や、高精度の結果を得るために各構造物の属性に対し周波数帯域の決める方法はまだ研究されていない。

1.2.2 STFDD 法Brincker らが，直接計測した橋梁の振動データを用い，橋梁特性パラメータを推定する Frequency Domain Decomposition (FDD)法を提案した[17]。前述したように，橋梁の測定は不便性があるため，この FDD 法に基づき，A.Malekjafarian は車両応答を用いる Short Time Frequency Domain Decomposition(STFDD)法を提案した[18]。この手法は橋梁をセグメントに分かれ、各セグメントに FDD 法を適用し、得られた局所的なモード形状を組み合わせ、橋梁全体のモード形状を作成した。

1.3

本研究の目的・損傷検知性能の確認

前述したように，車両振動応答を用い橋梁モード形状を推定する STFDD 法は提案された。ただし，橋梁が損傷した時にモード形状へ与える影響が実際に見られるかど
うか，またその影響の反映程度はまだ検討されていない。本研究は，STFDD 法を用い，橋梁の損傷からもたらすモード形状の変化及び車両や橋梁などの実験条件の変化によりもたらす影響を検討する。

第2章
2.1

手法
STFDD 法の概要

1.2.2 で述べたように、STFDD 法は，離散的な短い時間間隔で 2 つの車軸に設置されたセンサーから測定した信号を基づき，FDD 法を適用する。この手法は具体的に 2つの部分がある。まず，橋梁を一定的な長さの複数のセグメントに分かれて定義し，車両を走行させ，それらのセグメントに対し多段階的の計測を行う。前後 2 つの車軸で計測した車両応答を時間履歴で，段階ごとで FDD 法を用い解析する。結果として，各セグメントの局所モード形状が得られる。次に，全体のモード形状を構築するために，これらの局所モード形状に補正手順を行う。このように，マルティプルのステップからシステムモード形状が得られる。ここでは，システムモード形状をブリッジモ
3

ード形状の近似とみなしている。著者が方法の有効性と性能を検証するために，有限要素法(Finite Elemen-FE)を基づき Vehicle Bridge Interaction (VBI)法を用いた。そして，路面凹凸の影響を減少するために，実験車両以外の車両の通過による加振および後続車両の振動応答との減算と、2 つの手法を利用した。この検証方法は前後車軸にそれぞれ 1 つだけのセンサーを装置したため，構造的に複数のセンサーを設置する必要がある従来のモーダル実験より効率的である。そして、複雑さを減らすために実験速度を一定値にすることが勧められるが、実験特性により、車両が走行するセグメントに対応する時間帯が分れば推定ができるため、速度を必ず一定にする制限もない。

第3章
3.1

数値実験の概要
数値実験の基礎理論

3.1.1 車両―橋梁の相互作用に基づいた有限要素モデリング
数値分析用の車両と橋梁のモデルは図 2 のように、Keenahan らが使用した有限要素法に基づく VBI システム[13]を利用し作成する。

図 1

橋梁モデルは有限要素法を使用し、長さが L の単純支持梁スパン橋にモデル化した。ここ
で、橋梁の節点を 100(節点当たり 2 自由度)とし、単位長さ当たりの質量 m，弾性係数 E，断面 2 次モーメント I が一定とする。ここで、橋梁の運動方程式は橋梁が移動する車両から受けら力を考慮し、次式で表す。
𝑴𝒃 𝒚̈ 𝒃 + 𝑪𝒃 𝒚̇ 𝒃 + 𝑲𝒃 𝒚𝒃 = 𝑭(1)
ただし、ここで𝒚̈ 𝒃 、𝒚̇ 𝒃 及び𝒚𝒃 は橋梁要素ごとの加速度、速度、および変位のベクトルであり、
𝑴𝒃 ，𝑪𝒃 ，𝑲𝒃 はそれぞれ橋梁の質量、減衰、剛性のマトリクスとなる。𝑭は橋梁と車両の相互作用する力である。そして、実際の橋梁内部では構造により複雑なメカニズムになる可能性があるが、ここで考慮する橋梁は単純構造であり、減衰比は低く考えられ、粘性減衰として使用される。したがって、𝑪𝒃 は次式で表す。

𝑪𝒃 = 𝜶𝑴𝒃 + 𝜷𝑲𝒃4(2)ここで𝜶と𝜷はともに定数である。
車両モデルは、クォーターカーを接続せず、単純化された 2 軸車両として使用される。各クォーターカーは図示のように、質量𝒎𝒄 の車体と質量𝒎𝒂 の軸がばね定数𝒌𝒃 、
減衰定数𝑪𝒂 のばねで繋いで構成れている。その中で、それぞれのクォーターカーには
車体の変位𝒚𝒄 と軸の変位𝒚𝒂 に対応した 2 つの自由度を持っている。そして、車軸と路面の間ではばね定数𝒌𝒂 のタイヤで接続されている。車両モデルの運動方程式は車両に作用する力と車両のモーメントを考慮し、次式で表す。

𝑴𝒗 𝒚̈ 𝒗 + 𝑪𝒗 𝒚̇ 𝒗 + 𝑲𝒗 𝒚𝒗 = 𝑭(3)

ただし、𝒚̈ 𝒗 、𝒚̇ 𝒗 及び𝒚𝒗 は車両節点ごとの加速度、速度、および変位のベクトルであり、𝑴𝒗 ，𝑪𝒗 ，𝑲𝒗 はそれぞれ車両の質量、減衰、剛性のマトリクスとなる。
車両―橋梁の VBI システムは MATLAB を通じ実行する。式(1)と(3)を合わせ、VBI
システムの運動方程式は次式で表す。
(4)

𝑴𝒔 𝒖̈ + 𝑪𝒔 𝒖̇ + 𝑲𝒔 𝒖 = 𝑭
𝑇

ただし、𝒖は車両変位と橋梁変位のベクトル{𝒚𝒗 , 𝒚𝒃 } であり、𝑴𝒗 ，𝑪𝒗 ，𝑲𝒗 はそれぞれシステムの質量、減衰、剛性のマトリクスとなる。

3.1.2 橋梁モード形状とは一般に構造物は連続体であり，無限のモードをもつ。ある固有値における振動は，決まった形をしており，モード形状という。周波数の低い方から 1，2，3…次モード
でと呼ばれる。式で表すと[𝑴−1 𝑲] = 𝑼𝜮𝑼𝑇

(5)

ここで，𝜮は固有振動角数マトリクス，𝑼はモード形状マトリクスである。実際の場
合，この式で理論解を求めることは難しく，ここでは FDD 法より，振動分析からモード形状を推定する。

3.1.3 FDD 法
橋梁の多点計測で得られる周波数応答関数行列𝑯(𝝎)は，交通荷重𝑭(𝝎)及び橋梁
応答𝒀(𝝎)を用いて5

𝒀(𝝎) = 𝑯(𝝎)𝑭(𝝎)(6)である。𝒀(𝝎)のクロスパワースペクトル𝑮𝒚𝒚 (𝝎)ペクトルは

𝑮𝒚𝒚 (𝝎) = 𝑯(𝝎)𝑭(𝝎)𝑭𝑯 (𝝎)𝑯𝑯 (𝝎)= 𝑯(𝝎)𝑮𝑭𝑭 (𝝎)𝑯𝑯 (𝝎)(7)と表せる。𝒀(𝝎)が未知であるため，𝑮𝒚𝒚 (𝝎)も未知である。パワー平均が周波数と加振点によらず一定であると仮定すると，式𝒇𝟐
𝑮𝑭𝑭 (𝝎) = [ ⋮
𝟎

⋯
⋱
⋯

𝟎
⋮]
𝒇𝟐

(8)

が得られる。長江ら[19]の次式により

𝑮𝒚𝒚 = 𝒇𝟐 𝑯(𝝎)𝑯𝑯 (𝝎)𝑵𝝓𝒓 𝝓𝑯𝝓∗𝒓 𝝓𝑻𝒓𝝓𝒓 𝝓𝑯
𝝓∗𝒓 𝝓𝑻𝒓𝒓𝒓= 𝒇 ∑(+++)
𝒋𝝎 − 𝝀𝒓 𝒋𝝎 − 𝝀∗𝒓 −𝒋𝝎 − 𝝀𝒓 −𝒋𝝎 − 𝝀𝒓∗
𝟐

𝒓=𝟏

(9)
+
𝑮𝑭𝑭
が𝑭𝑹𝑭と同様のモーダルパラメータに関する情報を持っていることが示された。
+ ( )そして、その正の遅延成分𝑮𝒚𝒚
𝝎 は次の式になる。
𝑵𝝓𝒓 𝝓𝑯
𝝓∗𝒓 𝝓𝑻𝒓𝝓𝒓 𝝓𝑯
𝝓∗𝒓 𝝓𝑻𝒓𝒓𝒓+ ( )𝟐𝑮𝑭𝑭 𝝎 = 𝒇 ∑ (+++)
𝒋𝝎 − 𝝀𝒓 𝒋𝝎 − 𝝀𝒓∗ −𝒋𝝎 − 𝝀𝒓 −𝒋𝝎 − 𝝀𝒓∗
𝒓=𝟏
(10)
+ ( )
ここでは、Brincker ら[20]の方法に従い，𝑮𝒚𝒚𝝎 に SVD 法を適用しモード形状を

求める。
+ ( )
𝑯
𝑮𝑭𝑭
𝝎 = 𝑼𝒊 𝑺+
𝒊 𝑼𝒊

(11)

̂ からなる。また，𝑺+ は特
𝑼𝒊 はユニタリ行列で，各モード形状ベクトル𝝓𝒓 の推定値𝝓𝒊𝒓
異値を対角成分に持つ対角行列である。

3.1.4 STFDD 法の補正手順
図 1 により、車軸間隔は𝑺 = 𝑳/𝒏であり，ブリッジは𝒏個のセグメントに分割され6ている。各段階で、振動数及びそれと対応する局所モード形状を表す𝒚̈ 𝒋𝒋 と𝝋𝒋𝒋 は得られる。補正比率は共通セグメントについて得られたローカルモード形状要素に基づき定義でき，異なるステージからのローカルモード形状ベクトル間の関係が確立できる。
橋梁の各セグメントからの測定信号がそのセグメントのブリッジの動的挙動を表すことである。

𝜱𝟏 = 𝝋𝟏𝟏(12)

𝜱𝟐 = 𝝋𝟏𝟐(13)

𝜱𝟑 = 𝝋𝟐𝟑 𝝋𝜱𝟐𝟐𝟐𝜱𝜱𝒋+𝟏 = 𝝋𝒋,𝒋+𝟏 𝝋 𝒋

𝒋,𝒋

(14)
(15)

図 2

3.2

入力パラメータとシナリオ前述した VBI 法を利用し、MATLAB でシミュレーションを行う。ただし、ここで車両の速度は 2m/s、解析時間刻みは dt=0.001s とする。

3.2.1 橋梁健全時のモード形状
まず、単純支持梁スパン橋が健全である時に、有限要素法より橋梁のモード形状を7推定する。このただし、橋梁と車両の各特性パラメータは A.Malekjafarian が使ったデータで[18]、それぞれ表 3-1 と表 3-2 で示される。
表 3-1 橋梁特性パラメータ

Properties
LengthMass per unit
Flexural rigidity
Frequency of mode1
Frequency of mode2

Symbol
L
m
EI
f2
f1

Unit
m
kg/m
Nm^3
Hz
Hz

Value
86
3×10^3
1.56×10^10
5.65
22.62

表 3-2 車両特性パラメータ

Properties
Car body mass
Axle mass
Suspension stiffness
Suspension damping
Tyre stiffness
Body bounce frequency
Axle hop frequency

Symbol
mc
ma
kc
cc
ka
ωc
ωa

Unit
kg
kg
N/m
N s/m
N/m
Hz
Hz

Value
9300
350
4×105
10×103
1.75×106
0.94
12.48

有限要素法より推定された橋梁の 1、2 次モード形状は図 3 となる。

図 38

3.2.2 路面凹凸なし
車両が橋梁を通過する時の運動曲線は図 4 に示される。ここで、黒色の実線と点線は車両の前後車体、赤色の実線と点線は車両の前後軸、青色の実線は橋梁中点、とそれぞれの変位を表している。STFDD 法により、橋梁を 2 軸車両の軸間距離で 10 等分し、応答から推定された各段階の SVD 図は図 5 となり、ピークから得られる特異値に対応する振動数は各セグ
メントの固有振動数となる。橋梁固有振動数から推定された各セグメントのモード形状に補正手順を行い、組み合わせた橋梁のモード形状は図 6 のようになる。

図 4

1

2

9

3

4

5

6

7

8

図 5

10

図 6

表 3-1 から分かるように、橋梁の 1、2 次固有振動数がそれぞれ 5.65Hz、22.62Hz である。
その 2 つの値と比べ、図 5 の段階 2 から段階 8 まで、ピーク値が対応する振動数が一致していると言える。ただし段階 1 と段階 9 でずれが生じたのは、端の境界条件が主要な原因と考えられる。
モード形状の比較指標とし、推定されたモード形状𝜱𝑺𝑻𝑭𝑫𝑫 と有限要素法で得られたモード形状𝜱𝑭𝑬 の MAC 値を利用する。MAC 値は次式で定義され(t は行列の転置)、主に曲線の相似度を評価する重要な指標としてよく利用されている。

𝑴𝑨𝑪 =|𝜱𝒕𝑺𝑻𝑭𝑫𝑫 𝜱𝑭𝑬 |𝟐|𝜱𝒕𝑺𝑻𝑭𝑫𝑫 𝜱𝑺𝑻𝑭𝑫𝑫 ||𝜱𝒕𝑭𝑬 𝜱𝑭𝑬 |(16)𝒊

上式で計算した 1 次モード形状の MAC 値は 0.9967 となり、かなり高度な一致性が見られる。ただし、2 次モード形状の結果は相似とも言えないのである。

3.2.3 路面凹凸あり
次に、STFDD 法を橋梁の凹凸状況を考慮しながら実行する。路面凹凸状況は ISO 標準での A クラスに従いランダムに作成された。車両運動曲線は図 7 で示される。SVD 図と推定された橋梁モード形状はそれぞれ図 8、図 9 で表す。

11

図 7

12

図 8

13

図 9

図 4 と図 7 を比較すると、車両の振動状況は凹凸のないほうより大幅に揺れている。そして、各段階で得られた SVD 図から、ピーク値が対応する振動数は橋梁振動数でなく、車両の軸振動数 12.48Hz と近似している。MAC 値を計算する必要もなく、推定されたモード形状は
路面凹凸からかなりの影響を受けていることがわかる。

路 面 凹 凸 の 影 響 を 除 去 す る 一 つ の 手 法 と し 、 一 つ の 方 法 は Yang ら [9] とJ.Keenahan ら[13]が提出した軸振動応答の引き算方法がある。この方法は、軸の振動応答を利用するのではなく、同じ路面と通過した軸の振動応答を引き算し、その結果をソースデータとして利用する。ここでは、この手法を利用し STFDD 法を実行する。ただし、それに応じ、車両モデルにもう 1 つの軸を追加する必要がある(図 9)。

図 10

14

この手法より、車両 3 つの軸の運動曲線、SVD 図及び推定された橋梁モード形状はそれぞれ
図 9、図 10、図 11 で表す。

図 11

15

図 12

16

図 13

橋梁の 1、2 次固有振動数と比べ、図 10 でピーク値が対応する振動数がほぼ一致していると言える。同じように、段階 1 と段階 9 でずれが生じたのは、端の境界条件が主要な原因と考えられる。モード形状は 2 軸のほうよりかなり精度よくなったと見える。それに対し、推定値と有限要素法の値で MAC を計算すると、0.9401 となる。ただし、2 次モード形状は相似と言えない。
セグメントの数を減らしたらモード形状の滑らかさが影響されるが、理論的に、セグメン
ト長さが増えれば各段階のデータ数が増え、それに従い FDD 法の精度も向上すると思われる。ここで車両軸間距離に対応するセグメント長さを変え、シミュレーションの最適なセグ
メント数を検討する。
セグメント数 6、5 の場合、モード形状は図 12 となり、MAC 値はそれぞれ 1 次で 0.9976、2 次で 0.9683 と 1 次で 0.9157、2 次で 0.8256 となる。MAC 値比較すると、セグメントの最適長さが 2.5m、数が 6 となる。

図 14

17

3.2.4 損傷時凹凸なし
健全状態を持つ橋梁に対し、STFDD 法の実現可能性を検討したが、次は損傷状態について討論する。ただし、損傷としては、橋梁の 100 個の要素の中で、ある要素の断面 2 次モーメ
ント EI を比率的に減らすこととする。また、橋梁パラメータの変動により、固有振動数は新たに計算する必要がある。そのため、ここで橋梁のモード形状は新たな固有振動数で推定するのではなく、全振動数に対しモード形状をそれぞれ推定する。それらのモード形と有限要素法のモード形状の MAC 値を計算し、一番高い値に対応するモード形状は橋梁モード形状と見なし、そしてその振動数と新たに計算された固有振動数と比較し検討する。
まず、凹凸を考慮しなく、番号 20、40、60、80 の要素の EI を 10％、50％で減らし、モード形状を推定した。結果はそれぞれ図 13,14 で示す。MAC 値と推定された固有振動数は表
3-3、表 3-4 でまとめる。

図 15
表 3-3 凹凸ない状態で 0.1 損傷に対応する MAC 値

Position
MAC of model 1
Frequency of model 1
MAC of model 2

20/1000.99945.33330.954640/1000.99925.33330.969018

60/1000.99925.33330.970280/1000.99945.33330.9571

Frequency of model 2
22.6666
22.6666
22.6666
22.6666
図 13 から見ると、この条件で損傷がモード形状に与える影響は微小だと考えられる。

図 16

表 3-4 凹凸ない状態で 0.5 損傷に対応する MAC 値

Position
MAC of model 1
Frequency of model 1
MAC of model 2
Frequency of model 2

20/1000.999940/1000.98845.33330.958722.6666

0.362660/1000.98755.33330.957022.6666

80/1000.99990.0969

図 13 と表 3-4 から見ると、損傷が両端に寄るほど、2 モード形状に与える影響が大きくなる。

3.2.5 損傷時凹凸あり
また、凹凸を考慮しながら、番号 20、40、60、80 の要素の EI に同じ操作を行い、結果はそれぞれ図 15、16 で示す。MAC 値と推定された固有振動数は表 3-5、表 3-6 でまとめる。

19

図 17

図 18

20

表 3-5 凹凸ある状態で 0.1 損傷に対応する MAC 値

Position
MAC of model 1
Frequency of model 1
MAC of model 2
Frequency of model 2

20/1000.99105.33330.792422.6666

40/1000.99105.33330.811222.6666

60/1000.99105.33330.816522.6666

80/1000.99105.33330.806822.6666

表 3-6 凹凸ある状態で 0.5 損傷に対応する MAC 値

Position
MAC of model 1
Frequency of model 1
MAC of model 2
Frequency of model 2

20/1000.99055.33330.141940/1000.99425.33330.961022.6666

60/1000.99495.33330.959822.6666

80/1000.99455.33330.2596

図 15 と表 3-5 の結果から見ると、軽度な損傷では 1 次モード形状がほぼ変わらないが、2次モードに少量な変化をもたらし、相似度を評価する MAC 値も 20％程度減少した。
ただし、損傷位置が変わったとしても、変化量があまり変わらないのである。
また、図 16 と表 3-6 の結果からみると、重度な損傷では 1 次モード形状と 1 次 MAC 値に軽微な影響を与えるが、2 次モード形状へ与える影響は凹凸ない場合と同じく、両端に寄るほどかなり大きくなる。

3.2.6 車両重さによるモード形状の変化
最後に、車両の重さを 0.2、0.5、2、5 に変化し、番号 20、40 の要素の EI を 0.1 の損傷を行い、結果は図 17(20 番)、18(40 番)で示す。MAC 値と推定された固有振動数は表 3-6(20 番)、
表 3-7(40 番)でまとめる。

21

図 19

図 20
表 3-7 凹凸ある状態で 0.1 損傷に対応する 20 番要素の MAC 値

Magnification
MAC of model 1
Frequency of model 1
MAC of model 2
Frequency of model 2

0.2
0.99445.33330.962622.6666

0.5
0.98935.33330.960122.6666
22

2
0.9984

5
0.99860.80050.0805

表 3-8 凹凸ある状態で 0.1 損傷に対応する 40 番要素の MAC 値

Magnification
MAC of model 1
Frequency of model 1
MAC of model 2
Frequency of model 2

0.2
0.99455.33330.96290.5
0.98945.33330.960522.66662
0.99805.33330.82505
0.99865.33330.1830

結果からみると、車両の重量が増えれば、推定された 2 モード形状が損傷による変化が大きくなるが、ある限界を超えると、結果の精度が減るので、その重量の限界はどのように決めるのか、それについて検討する必要がある。

3.3

結果と考察

結果として、橋梁損傷が橋梁の 1 次モード形状も影響するが、主に橋梁 2 次モード形状に変化をもたらす。また、橋梁の損傷程度が大きくなるほど、そして両端に寄るほど、2 次モー
ド形状の変化が大きくなる。加振機の機能を有する車両は、理論的に重量が大きくなれば、結果がより良い精度で得られるが、実際にはその限界があり、そしてその限界の決め方について検討する必要がある。

第4章

まとめ

本研究は，Short Time Frequency Domain Decomposition(STFDD)法を用い，橋梁を渡る移動中の車両に搭載したセンサーから信号を処理し，橋梁のモード形状を出すことより橋梁損傷を検知する可能性を検討した。比較的に良いモード形状を推定するために、橋梁パラメー
タについて討論した。また、橋梁損傷の程度、位置、および実験車両の重量がモード形状に与える影響について検討した。

23

謝辞
本研究を進めるにあたり、指導教員を担当してくださいました松島亘志教授に深く感謝いたします。また、本研究を進めるにあたり、ゼミ等で、ご指導いただきました山本亨輔先生に心より感謝いたします。亀田敏弘教授にはゼミなどでご指導をいただきまして、深く感謝いたします。研究活動を続ける上で、様々な助言を頂いた高橋悠太氏と山本研究室の皆様、
および地盤研究室の皆様、家族に感謝の意を表します。

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