平成28年度
１ (1) 5 14 －吉祥女子中学校<第3回>算数

2＋0.55 ÷ 1 5 ＝ 2イア

ア＝51
1－2＝34
4

イ＝312
91
×1 ＝
45
20

＝(2)

291
91 11－ 0.55 ＝ － ＝ 420
20 20

1
÷
7－27
÷ 1.75＋3 × ＝ 6
3
11エ
ウ
イ
ア
766
＝
11766
45
イ＝ －3＝7745
45
745
ウ ＝ × 1.75 ＝ × ＝
77
4
4
145
4
エ＝2 ÷ ＝74
21
4
2
6＝ ＋ ＝
21
3
7
ア＝6÷

-1-

くわしい解説すぐる学習会(3)「 4 で割ると 2 あまる」のですから，あと 2 よけいにあれば，2 あまるのではなく
2＋2＝ 4 あまることになり，「 4 で割り切れる」ことになります。
つまり，「 4 で割ると 2 あまる」のというのは，「あと 2 あれば，4 で割り切れる」と考えることができます。
また，「 7 で割ると 5 あまる」のですから，あと 2 よけいにあれば，5 あまるのではなく 5＋2＝ 7 あまることになり，「 7 で割り切れる」ことになります。
つまり，「 7 で割ると 5 あまる」というのは，「あと 2 あれば，7 で割り切れる」と考えることができます。
よって，「あと 2 あれば 4 で割り切れる」し，「あと 2 あれば 7 で割り切れる」となり，「あと 2 あれば，4 でも 7 でも割り切れる」ということになります。
4 と 7 の最小公倍数は 28 なので，「あと 2 あれば，28 の倍数になる」という数を求めることになります。
100÷28＝ 3 あまり 16 ですから，28 の 3 倍はまだ 2 けたで，28 の 4 倍が 3 けたになり，28×4＝112 です。
よって，「あと 2 あれば 112 になる」数を求めることになります。
答えは 112－2＝ 110 です。

(4)

りんご 4 個＋みかん 2 個＋メロン 1 個＝ 1820円 … （ア）りんご 5 個＋みかん 3 個＋メロン 1 個＝ 2000円 … （イ）
求めるべき「りんご 2 個＋メロン 1 個」には，みかんの代金はふくまれていませんから，（ア）と（イ）の式から みかんを消去します。
（ア）の中にはみかんは 2 個，（イ）の中にはみかんは 3 個ふくまれているので，みかんの個数を（ 3 と 2 の最小公倍数である）6 個にします。
6 個にするということは，（ア）の式は 3 倍，（イ）の式は 2 倍することになります。
りんご 12 個＋みかん 6 個＋メロン 3 個＝ 5460円 … （ア）× 3りんご 10 個＋みかん 6 個＋メロン 2 個＝ 4000円 … （イ）× 22 つの式をくらべると，「（ア）× 3 」の式の方が，りんごが 12－10＝ 2（個）多く，メロンは 3－2＝ 1（個）多く，代金は 5460－4000＝ 1460（円）高いことがわかります。
よって，りんご 2 個とメロン 1 個を買うと，1460 円になることがわかりました。

-2-(5)

1 時のとき，長針と短針の間の角は 30 度です。
長針が短針よりも30度よけいに回れば長針と短針が重なり，さらに長針よりも 90度よけいに回れば，長針と短針のつくる角が90度になります。
よって，長針が短針よりも 30＋90＝120（度）よけいに回ればよいことになります。
ところで， 1 分間に長針は 6 度，短針は 0.5 度進みますから，長針は短針よりも6－0.5＝ 5.5（度）よけいに回ります。
120 240
9したがって，120÷5.5 ＝＝＝ 21 （分後）になります。
5.511119921 分後というのは，21 分と 分後のことです。
111199540
1分を秒に直すと， ×60 ＝＝49 （秒）です。
111111111
よって 21 分 49 秒後になりますから，アは 21，イは 49， ウは 1 になります。
11(6)きちんと整理して解いていきましょう。
Ａ，Ｂ，Ｃの 3 人は合わせて 1770ｇのお米を持っています。3 人の間でやりとりをしても，3 人の合計は 1770ｇのまま変わりません。

まず，Ａが持っていたお米の 2 割をＢにあげました。
12 割＝ 0.2 ＝ ですから，Ａが持ってい5たお米を⑤にすると，①をあげたことになり，Ａは④が残ります。
このとき，Ｂのお米は 586ｇになりました。
次に，Ｃが持っていたお米の 15 ％をＢにあげました。
315 ％＝ 0.15 ＝ ですから，Ｃが持って20いたお米を 20 にすると， 3 をあげたことなり，Ｃは 17 が残ります。
このとき，Ｂのお米は 670ｇになりました。
3 あたり 670－586＝ 84（ｇ）ですから， 1 あたり 84÷3＝ 28（ｇ）です。

-3-Ａ

Ｂ

Ｃ

合計
1770

ＡＢ

Ｃ

1770

⑤－ ①④Ａ＋ ①586Ｂ

1770

Ｃ

合計
1770

⑤－ ①＋ ①④586＋④

合計

670

320－ 31770

17177020 にあたるのは，28×20＝ 560（ｇ）です。
よって右の図の★は，1770－(586＋560)＝ 624（ｇ）になり，これが④にあたるので，①あたり 624÷4＝ 156（ｇ）です。
Ｂは，はじめに持っていたお米に①をもらった結果 586ｇになったのですから，はじめにＢが持っていたお米は，586－156＝ 430（ｇ）になります。

ＡＢＣ1770⑤－ ①＋ ①④ ★

586＋④合計

670

320 560－ 31770

171770(6) ＡＢは底面の直径ですから，ＡＢによって底面は 2 等分されています。
図２を見ると，2 等分されているときの中心角が80°ですから，側面の中心角は，80×2＝160（度）です。
160
444＝ ですから，底面の半径は母線＝ 7.2 cmの になり，7.2× ＝ 3.2（cm）に360
999なります。

-4-２ (1) 右の表のような，3 個ずつの段にします。
1 段目の最後の数は 2，
2 段目の最後の数は 4，
3 段目の最後の数は 6，
4 段目の最後の数は 8，……………………………

1 段目 … 1，1，2，2 段目 … 3，3，4，3 段目 … 5，5，6，4 段目 … 7，7，8，というように，□段目の最後の数は，□の 2 倍になっています。
1 段に 3 個ずつ数があるのですから，21 番目の数は，21÷3＝ 7（段目）の，最後の数です。
□段目なら，最後の数は□の 2 倍なのですから，7 段目の最後の数は，7×2＝14になります。
また，1 段に 3 個ずつ数があるのですから，60 番目の数は，60÷3＝ 20（段目）の，最後の数です。
□段目なら，最後の数は□の 2 倍なのですから，20 段目の最後の数は，20×2＝40 になります。
(2) 1 段に 3 個ずつ数があるのですから，170 番目の数は，170÷3＝ 56 あまり 2 により，56 段と，あと 2 個目の数です。
つまり，170 番目の数は，56 段の次である，57 段目の真ん中の数になります。
□段目の最後の数は□の 2 倍になっていました。
たとえば 4 段目なら，最後の数は 4×2＝8 になっていて，真ん中の数は，その 8 よりも 1 小さい 7 になっています。

1 段目 … 1，1，2，
2 段目 … 3，3，4，
3 段目 … 5，5，6，
4 段目 … 7，7，8，同じように考えて，57 段目の最後の数は，57×2＝ 114ですから，57 段目の真ん中の数は，114－1＝ 113 になります。
(3)

それぞれの段の和を求めると，右の表のようにな和ります。
1 段目 … 1，1，2， 4
和は，6 ずつ増える等差数列になっています。
2 段目 … 3，3，4， 10
3 段目 … 5，5，6， 16
170 番目の数は，57 段目の真ん中の数でした。
4 段目 … 7，7，8， 22
57 段目の 3 つの数の和は，はじめの数＋増える数×(Ｎ－1)＝4＋6×(57－1)＝340
よって，1段目から57段目までのすべての合計は，(はじめ＋おわり)×Ｎ÷2＝(4＋340)×57÷2＝9804
ところで，求めたかったのは，57段目の真ん中の数までの和でした。
よって，57段目の最後の数である 57×2＝114を取りのぞくことになるので，9804－114＝9690 になります。

-5-

３ (1)① 右の図のように，Ａと輪がくっついていない場合は，Ａの中心と輪の中心との距離は，それほど大きくはありません。

右の図のように，Ａと輪がくっついてる場合に，Ａの中心と輪の中心との距離が，もっとも大きくなります。

Ａの半径を 1 とすると，輪の半径は 3 倍なので 3 になります。
Ａの中心と輪の中心との距離は 3－1＝2 になるので，Ａの半径の 2÷1＝ 2（倍）になります。
②213

たとえば，輪が右の図のアからイまで動くと，
アイ

輪が通過した部分は，右の図の斜線部分のようになります。
アイ

輪が動けるところをすべて動くと，右の図の斜線部分のようになります。

Ａの半径を 1 とすると，輪の半径は 3 ですから右の図のようになり，斜線部分の半径である？の長さは，3＋3－1＝ 5 になります。
よって斜線部分の面積は，5×5×3.14－1×1×3.14＝ 24×3.14 になります。
Ａの面積は 1×1×3.14＝1×3.14 ですから，斜線部分の面積はＡの面積の，(24×3.14)÷(1×1×3.14)＝24÷1＝ 24（倍）になります。

-6-1？

33(2)(1)と同じように考えます。
Ａの半径を 1 とすると，Ａの面積は 1×1×3.14＝1×3.14で，輪が通過した部分の面積（右の図の斜線部分）はＡの面積の 80 倍です。
よって斜線部分の面積は，(1×3.14)×80＝ 80×3.14？
です。
ア全体の円の面積は，Ａの部分もふくまれるので，ア80×3.14＋1×3.14＝ 81×3.14 です。
81＝9×9 ですから，全体の円の面積は 9×9×3.14 となり，右の図の？の長さは 9 になります。
よって，右の図のアの長さは，(1＋9)÷2＝ 5 です。
したがって，輪の半径は 5 でＡの半径は 1 ですから，輪の半径はＡの半径の5÷1＝ 5（倍）になります。

Ｐ４ (1) Ｐ，Ｑ，Ｒを結んでできる三角形の面積は 192 km2で，三角形の底辺はＱＲですから 24 kmです。
よって三角形の高さであるＳＰは，192×2÷24＝ 16（km）です。
ＱＳは 24－12＝ 12（km），ＳＰは 16 kmですから，ＱＳ：ＳＰ＝12：16＝ 3：4です。

12020192ＱＳ24Ｒ12Ｐ(2)(1)で，ＳＰの距離は 16 kmであることがわかりました。
三角形ＰＱＲの三辺の長さの比は，ＱＳ：ＳＰ：ＰＱ＝12：16：20＝ 3：4：5 になっています。

20Ｑ201612Ｓ
2412Ｒ

Ｐ
右の図の斜線部分の三角形も，三辺の比は 3：4：5 に④なります。
⑤202016右の図の④の長さは 20÷2＝ 10 (km)なので，①あたり，③ Ｔ10÷4＝ 2.5（km）です。
ＱＲ
ＴＰの長さは⑤にあたるので，2.5×5＝ 12.5（km）に12 Ｓ 12なります。
24-7-

(3) (2)と同様に，右の図の斜線部分の三角形も，三辺の比は 3：4：5 になります。

⑤Ｐ④20Ｑ

また，★と☆の三角形は合同です。
なぜなら，辺ＱＴが共通の直角三角形で，けた 2 つの角は同じ大きさだからです。

1612Ｓ
24⑤Ｐ印をつ④20Ｑ③ Ｔ★
☆
12 Ｓ 1224

ＴＰは⑤にあたるので，2×5＝ 10（km）になります。 Ｑ(4)

1620

③ Ｔ
③12ＲＳ24Ｒ12Ｐ(3) 右の図のかげをつけた三角形は，三辺の比が 3：4：5なので，斜線部分の三角形の三辺の比も 3：4：5 です。
④が 12 kmですから，①あたり 12÷4＝ 3（km）です。
③は，3×3＝ 9（km）です。
よってＴＰは，16－9＝ 7（km）です。

20Ｐ

④20Ｒ

1216⑤
よって，ＳＴの長さは③にあたります。
ＳＰの長さは，③＋⑤＝⑧ にあたり，それが 16 kmですから，①あたり，16÷8＝ 2（km）です。

20③ ＴＴ20⑤ 20③ 16Ｑ12Ｓ
24④12Ｒ

Ａ案では，ＴＰは 12.5 kmでしたから，ＳＴは 16－12.5＝ 3.5（km）です。
差は，12.5－3.5＝ 9（km）です。
Ｂ案では，ＴＰは 10 kmでしたから，ＳＴは 16－10＝ 6（km）です。
差は，10－6＝ 4（km）です。
Ｃ案では，ＴＰは 7 kmでしたから，ＳＴは 16－7＝ 9（km）です。
差は，9－7＝ 2（km）です。

差が小さい順に並べると，Ｃ案の 2 km，Ｂ案の 4 km，Ａ案の 9 kmとなり，Ｃ→Ｂ→Ａとなるので，答えは カ です。

-8-４ (1) Ａ町からＢ町までの 36 kmを上るのに 3 時間かかるのですから，上りの時速は，36÷3＝ 12（km）です。
同じ 36 kmを下るのに 2 時間かかるのですから，下りの時速は，36÷2＝ 18（km）です。
よって川の流れの時速は，(18－12)÷2＝ 3（km）になります。
3Ｂ(2) ＰはＡ町からＢ町まで上るのに，問題に書いてある通り 3 時間かかりＱます。
36 km
ＱはＢ町からＡ町まで進むときは荷物を積まないので，静水上なら時Ｐ
速 21 kmで進みます。
Ａ
川の速さは (1) で求めた通り時速 301.5kmなので，ＱがＢ町からＡ町まで下る速さは，時速 21＋3＝ 24（km）です。
ＱはＢ町からＡ町までの 36 kmを下るのに，36÷24＝ 1.5（時間）かかります。
2 つの船がはじめてすれちがうのは，右のグラフのアの点のときです。
右のグラフの斜線部分はクロス形になっていて，イ：ウ＝ 3：1.5＝ 2：1で，イ＋ウは 36 kmです。
よって，はじめてすれちがう点は，Ａから 36÷(2＋1)×1＝ 12（km）の地点です。

3Ｂイ
Ｑ36 km

ＡＰ
ウ0ア

1.5

3(3) Ｑは 1.5 時間後にＡに到着していて，Ｂ
そこで 1 時間とまっているのですから，Ａを出発するのは 1.5＋1＝ 2.5（時間後）です。
Ｑ
36km
ＰがはじめてＢ町に着いたのは 3 時間後です。
Ｐ
このときに，ＱはＡ町から 7.2 kmはな7.2 kmＡれていたのですから，Ｑは 3－2.5＝ 0.5
01.5 2.5（時間）で 7.2 kmを上ったことになります。
Ｑの上りの速さは，時速 7.2÷0.5＝ 14.4（km）です。
Ｑは，Ａ町からＢ町までの 36 kmを，36÷14.4＝ 2.5（時間）→ 2 時間 30 分 かかることになります。

-9-(4) ＰはＢ町で 30 分＝ 0.5 時間 とまるので，Ｂ町を出発するのは 3＋0.5＝ 3.5（時間後）です。
ＰはＢ町からＡ町までを，問題に書いてある通り 2 時間で進むので，Ａ町にもどってくるのは 3.5＋2＝ 5.5（時間後）です。
ＰはＡ町で 0.5 時間とまるので，ふたたびＡ町を出発するのは，5.5＋0.5＝ 6（時間後）です。

3.553

Ｂ6Ｑ36 km

ＰＡ01.52.5

5.5

ＱがＡ町を出発するのは 2.5 時間後でした。
(3) でわかった通り，ＱはＡからＢまで 2.5 時間かかるので，Ｂ町に着くのは2.5＋2.5＝ 5（時間後）です。
ＱはＢ町で 1 時間とまるので，ふたたびＢ町を出発するのは，5＋1＝ 6（時間後）です。
ＰがＡ町をふたたび出発するのは 6 時間後で，ＱがＢ町をふたたび出発するのも 6 時間後ですから， ア の答えは 6 になります。
3.5
よって 6 時間を 1 セットとして，1 セッ
トの中で 2 回，右のグラフの「イ・ウ」の状態と，「エ・オ」の状態のようにすれちがいます。

53Ｂ6エイ36 km

Ｑオ
6 回目のすれちがいは，「エ・オ」のＰウ状態になり，このときのエの距離は，Ａウの距離と同じです。
0
1.5 2.5（クロス形がさかさまになっている5.5だけだからです。）
よってエの距離は，(2)で求めた 12 kmになります。
求めたいのはオの距離ですから， イ の答えは 36－12＝ 24（km）になります。

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