2021年度
１ (1) 1 ÷

豊島岡女子学園中学校<第3回>算数

1111＋ ＋ ＋
2
3
57－

＝1 ÷

105
70
4230＋＋＋210 210
210 210

＝1 ÷

247
11－
210
13＝210
11－24713＝210
209－
247
247

＝1247

(2)

くわしい解説すぐる学習会

1113－

1113

48 から 62 までに，整数は 62－48＋1＝ 15（個）あります。

この 15 個の整数の和は，(はじめ＋おわり)×個数÷ 2 ＝ ( 48＋62 ) ×15÷2＝ 825です。
825 を 7 で割ると，825÷7＝ 117 あまり 6 ですから，答えは 6 です。

(3)

1 けたの数は，□の中に 1か 2 が入るので，2 個あります。
2 けたの数は，□□のそれぞれの□の中に 1 か 2 が入るので，2×2＝ 4（個）あります。
3 けたの数は，□□□のそれぞれの□の中に 1 か 2 が入るので，2×2×2＝ 8（個）あります。
4 けたの数は，□□□□のそれぞれの□の中に 1 か 2 が入るので，2×2×2×2＝16（個）あります。
1 けたから 4 けたまでの合計の個数は，2＋4＋8＋16＝ 30（個）です。
小さい方から 33 番目の数は，5 けたの数の，小さい方から 33－30＝ 3（番目）になります。
5 けたの数を小さい方から 3 個書くと，11111，11112，11121 となりますから，答えは 11121 です。

-1-バ ス(4) 問題の内容を表にすると，右の表のような割合になります。
アのところの人数を求めることになります。

〇×計

511イウ

電〇車×1713計

ア1122577182＝ ，イは－ ＝ ，アは＋ ＝です。
33311 33
33723182
よって，全体のを求めることになります。
231
ウは 1－全体の人数は 231 で割り切れるような人数でなければなりませんから，231 の倍数です。
全体の人数は 200 人以上 250 人以下ですから，231 の倍数であるのは 231 人のみです。
よって，通学にバスを利用しない生徒は，231×-2-82＝ 82（人）です。
231

２ (1) 下のようなビーカー図を書いて解いていきましょう。
0ｇエ

ウ

イ

100ｇ ＋100ｇ ＋100ｇ ＝

ア0％

Ａ

Ｂ6％

3.8％

アは，100＋100＋100＝ 300（ｇ）です。
イは，ア×0.038＝ 300×0.038＝ 11.4（ｇ）です。
ウは，100×0.06＝ 6（ｇ）です。
エは，イ－ウ－0＝ 11.4－6－0＝ 5.4（ｇ）です。
よってＡの濃度は，5.4÷100＝ 0.054 → 5.4 ％です。

(2)

1 年後，父は弟の 3 倍になったのですから，そのときの弟を①才，父を③才とします。

8 年後は 1 年後から 8－1＝ 7（年）たっていますから，弟は（①＋ 7 ）才，父は（③＋ 7 ）才になっています。
また，兄は弟よりも 4 才上なので，（①＋7）＋4＝①＋11（才）です。
8 年後に父は兄の 2 倍になっているのですから，（③＋7）才は，（①＋11）才の2 倍ということになります。
( ①＋ 11 ) ×2＝ ③＋7 ですから，②＋22＝③＋7 となり，22－7＝15（才）が，③－②＝①にあたります。
1 年後の父の年令を③にしましたから，1 年後の父の年令が，15×3＝45（才）です。
父の今の年令は，45－1＝ 44（才）です。

-3-(3)

まず，ア「Ａ＋Ｂ」，イ「Ａ＋Ｃ」，ウ「Ａ＋Ｄ」，エ「Ｂ＋Ｃ」，オ「Ｂ＋Ｄ」，
カ「Ｃ＋Ｄ」の大きさをくらべましょう。
アとイをくらべると，Ｂ＜Ｃ なので，Ａ＋Ｂ＜Ａ＋Ｃです。よってア＜イです。
イとウをくらべると，Ｃ＜Ｄ なので，Ａ＋Ｃ＜Ａ＋Ｄです。よってイ＜ウです。
ウとエは微妙です。
もし，Ａ＝1，Ｂ＝2，Ｃ＝3，Ｄ＝10だったら，Ａ＋Ｄ＝11，Ｂ＋Ｃ＝5となり，ウの方が大きくなります。
もし，Ａ＝1，Ｂ＝8，Ｃ＝9，Ｄ＝10だったら，Ａ＋Ｄ＝11，Ｂ＋Ｃ＝17となり，エの方が大きくなります。
もし，Ａ＝7，Ｂ＝8，Ｃ＝9，Ｄ＝10だったら，Ａ＋Ｄ＝17，Ｂ＋Ｃ＝17となり，ウとエは同じ値になります。
つまり，ウとエは，ＡからＤがどんな数かによって，ウが大きくなったり，エが大きくなったり，あるいはウとエが等しくなったりします。
エとオをくらべると，Ｃ＜Ｄ なので，Ｂ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄです。よってエ＜オです。
オとカをくらべると，Ｂ＜Ｃ なので，Ｂ＋Ｄ＜Ｃ＋Ｄです。よってオ＜カです。
以上のことから，ア＜イ＜ウ，エ＜オ＜カ となり，ウとエはどちらが大きいか（または等しいか）わからない，ということになりました。
問題には，アからカまでのうち 2 つが等しくなったと書いてありました。
等しくなるものがあるとすれば，ウとエです。
つまり，「Ａ＋Ｄ」と，「Ｂ＋Ｃ」が等しいことがわかりました。
右の表のようになったことがわかりました。
知りたいのはＡです。
アとイの和は，Ａ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ 102 となり，しかもエにより，Ｂ＋Ｃ＝ 62 です。
「Ａ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ」から「Ｂ＋Ｃ」を取り去るとＡ＋Ａが残り，それが 102－62＝ 40 ですから，Ａは，40÷2＝ 20 になります。

-4-アイウエオカ

Ａ＋Ｂ＝ 47
Ａ＋Ｃ＝ 55
Ａ＋Ｄ＝ 62
Ｂ＋Ｃ＝ 62
Ｂ＋Ｄ＝ 69
Ｃ＋Ｄ＝ 77

(4)三角形ＨＦＧと三角形ＨＢＣは相似です。
底辺の比は，ＦＧ：ＢＣ＝ 1：4 です。

ＨＡＥ Ｆ

Ｇ1Ｄ1ＦＧ＝ 1，ＢＣ＝ 4 にします。

4Ｉ

三角形ＨＦＧと三角形ＨＢＣの高さの比も1：4 です。

Ｂ

43Ｃ

三角形ＨＦＧの高さを 1，三角形ＨＢＣの高さを 4 にします。
平行四辺形ＡＢＣＤの高さは，4－1＝ 3 です。
三角形ＡＢＩの面積を求めるには，まず三角形ＡＢＣの面積を求め，ＡＩ：ＩＣに分けます。
三角形ＡＢＣの面積は，4×3÷2＝ 6 です。
ＡＩ：ＩＣ＝ＡＦ：ＢＣ＝ 2：4＝ 1：2 ですから，三角形ＡＢＩの面積は，6÷ ( 1＋2 ) ×1＝ 2 です。
三角形ＨＦＧの面積は，1×1÷2＝ 0.5 ですから，三角形ＡＢＩの面積：三角形ＨＦＧの面積＝ 2：0.5＝ 4：1 です。

-5-３ (1) ＡとＤを開くと，2 時間 30 分＝ 150 分で空になります。
ＡとＣとＤを開くと，1 時間 15 分＝ 75 分で空になります。
ＡとＤを開いた場合と，ＡとＣとＤを開いた場合の，かかった時間の比は150：75＝ 2：1 なので，速さの比は逆比になって，1：2 です。
よって，ＡとＤを開いた場合の 1 分あたりを①，ＡとＣとＤを開いた場合の 1 分あたりを②とすることができます。
Ａからは毎分 3 Ｌずつ水が入り，Ｃからは毎分 2 Ｌずつ水が出ていくので，
ＡとＤを開いた場合は，（Ｄ－ 3 ）Ｌずつ水がへり，ＡとＣとＤを開いた場合は，（Ｄ＋2－3）＝（Ｄ－ 1 ）Ｌずつ水がへります。
Ｄ－ 3 ＝①，Ｄ－ 1 ＝② という 2 つの式ができます。
この2つの式のちがいは，3－1＝2（Ｌ）で，それが ②－①＝①にあたります。
①あたり 2Ｌなので，「Ｄ－ 3 ＝①」の式は，「Ｄ－ 3 ＝ 2 」となり，Ｄ＝ 5 です。
よって，ＡとＤを開いた場合は，5－3＝ 2（Ｌ）ずつ水がへり，150 分で水そうは空になったのですから，水そうの容積は，2×150＝ 300（Ｌ）です。

-6-

(2)

(1)で，水そうの容積は 300Ｌであることがわかり，Ｄからは毎分 5Ｌずつ水がへることがわかりました。
また，Ａからは毎分 3Ｌずつ水が入り，Ｂからは毎分 6Ｌずつ水がへり，Ｃからは毎分 2Ｌずつ水がへることがわかっています。
(2)では，満水の状態から，次のように操作したことがわかっています。
ＡとＤだけ開いた 10 分間で，水は毎分 5－3＝ 2（Ｌ）ずつ，2×10＝ 20（Ｌ）へります。
残り 300－20＝ 280（Ｌ）を，48－10＝ 38（分）でへらしたのですから，右の表のようになります。

水そう 300Ｌ
Ａ 毎分 3Ｌ入れる
Ｂ 毎分 6Ｌへる
Ｃ 毎分 2Ｌへる
Ｄ 毎分 5Ｌへる

まずＡとＢとＤを開く
次にＡとＤだけ開く
その 10 分後にＣとＤだけ開く
全部で 48 分で空になったＡとＢとＤを開く
ＣとＤだけ開く
全部で 38 分で 280Ｌへる

もう，つるかめ算であることはわかっていますね？
ＡとＢとＤを開くと，毎分 6＋5－3＝ 8（Ｌ）ずつへります。
ＣとＤだけ開くと，毎分 2＋5＝ 7（Ｌ）ずつへります。
38 分で 280Ｌへるのですから，右のような面積図になります。

8280

738

点線部分の面積は，8×38－280＝ 24 で，点線部分のたての長さは 8－7＝ 1 ですから，点線部分の横の長さは，24÷1＝ 24 です。
よって，ＡとＢとＤを開いたのは 38－24＝ 14（分間）であることがわかり，Ｂを開いていた時間は，この時間のみですから，答えも 14 分間です。

-7-４ (1) 第 1 行には，「奇数の平方数」か，「奇数の平方数＋ 1 」がならんでいます。
11×11＋1＝ 122 ですから，122は「奇数の平方数＋ 1 」です。
このときＢはＡの 1 つ右なので，「次の奇数の平方数」です。
Ｂは，13×13＝ 169 です。
ＣはＡの 1 つ下なのでＡより 1 大きくなり，122＋1＝ 123 です。
ＤはＣの 1 つ右なので，Ｂの 1 つ下になり，Ｂより 1 小さくなり，169－1＝ 168です。
よってＸは，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝ 122＋169＋123＋168＝ 582です。

(2)

第 1 行には，「奇数の平方数」か，「奇数の平方数＋ 1 」がならんでいます。
もしＡが「奇数の平方数」なら，Ａが 9 の場合は

Ａ9108112526，Ａが 25 の場合はのように，2427Ａ＋1のようになっています。
Ａ－1Ａ＋2

この 4 つの数の合計は，Ａ＋ ( Ａ＋1 ) ＋ ( Ａ－ 1 ) ＋ ( Ａ＋ 2 ) ＝ Ａ×4＋2 となります。
よって，Ａ×4＋2＝2710 となり，2710－2＝2708が，677は「奇数の平方数」ではないのでダメです。

-8-2708÷4＝677 となりますよって，Ａは「奇数の平方数＋ 1 」です。
29Ａが 2 の場合は

1025

1124，Ａが 10 の場合は38のように，奇数の平方数＋1 次の奇数の平方数となっています。
上の数より1 大きい

上の数より1 小さい

上の段の 2 個をＡ，Ｂとすると，下の段の 2 個は「Ａ＋1」，「Ｂ－1」となるので，上の段の 2 個の和と，下の段の 2 個の和は等しくなります。
全部で 2710 ですから，上の段の 2 個の合計は，2710÷2＝ 1355です。
したがって，「奇数の平方数＋ 1 」と「次の奇数の平方数」の和が 1355 ですから，「奇数の平方数」と「次の奇数の平方数」の和は，1355－1＝ 1354 です。
ところで，「奇数の平方数」と「次の奇数の平方数」と，「その間の偶数の平方数」には，あるきまりがあります。
「奇数の平方数」と「次の奇数の平方数」の平均＝「その間の偶数の平方数＋ 1 」となっています。
たとえば，「 3×3＝ 9 」と，「 5×5＝ 25 」の平均は，( 9＋25 ) ÷2＝ 17で，その間の，「 4×4＝ 16 」よりも 1 大きいです。
同じように，「 5×5＝ 25 」と，「 7×7＝ 49」の平均は，( 25＋49 ) ÷2＝ 37で，その間の，「 6×6＝36 」よりも 1 大きいです。
この問題の場合は，「奇数の平方数」と「次の奇数の平方数」の和は 1354 なので，平均は，1354÷2＝ 677 です。
よって，「その間の偶数の平方数＋ 1 」が 677 なので，「その間の偶数の平方数」
は，677－1＝ 676です。
676＝ 26×26 ですから，「奇数の平方数」は，25×25＝ 625 となり，Ａは「奇数の平方数＋ 1 」ですから，625＋1＝ 626 になります。

-9-

５ (1) Ｐが往復してＡにもどってくる間に，ＰはＱと1 回だけ出会っています。

Ａ

Ｂ

⑫Ｐ
3秒後

出会ったとき，Ｑは 1.5 秒間その場で止まります。
止まったぶん，Ｑの方が 1.5 秒おくれるのですが，1.5 秒おくれても，Ｑの方が 3 秒早くＡに着きました。

Ｑ⑧
1.5秒
止まる

もし，Ｑが 1.5 秒間止まらなかったら，もっと早くＱがＡに着くことになり，ＱはＰよりも 3＋1.5＝ 4.5（秒）早く着くことになります。
ところで，ＰはＡＢ間を往復し，Ｑは，片道だけ進みました。
よって，ＰとＱの進んだ道のりの比は，2：1 です。
ＰとＱの速さの比は，12：8＝ 3：2 です。
よってＰとＱがかかった時間の比は，「かかった時間＝道のり÷速さ」ですから，
21( 2÷3 )：( 1÷2 ) ＝ ： ＝ 4：3 です。
3
2かかった時間の差は 4.5 秒ですから，4－3＝ 1 あたり 4.5 秒です。
4 にあたるのは，4.5×4＝ 18（秒）です。
ＰがＡＢ間を往復するのに，18 秒かかることがわかりました。
片道は，18÷2＝9（秒）かかります。
Ｐは毎秒 12 cmの速さですから，ＡＢ間の距離は，12×9＝ 108（cm）です。

- 10 -

(2)(1)で，ＡＢ間の距離が 108 cmであることがわかりました。
また，ＰがＡＢ間を往復するのに 18 秒かかることもわかりました。

Ｐが往復したのは，ＱがＡ地点にはじめて着いてから 3 秒後なので，ＱがＡに着いたときには，ＰはＡまであと 3 秒で進む距離である，12×3＝36（cm）が残っています。
15秒後スタートしてから 18－3＝ 15（秒後）のようすは，右の図のようになります。
この状態になるまでに，ＰとＱは 1 回重なっています。

Ａ

108cm

Ｂ

⑫Ｐ
36cm

⑧Ｑ

この図の状態の 36÷(12＋8)＝ 1.8（秒後）に，ＰとＱは出会います。これが，2 回目の重なりですね。
1.8 秒でＱは 8×1.8＝ 14.4（cm）進みます。
16.8秒後Ａ

スタートしてから 15＋1.8＝ 16.8（秒後）に，右の図のようになることがわかりました。

108cm

ＢＰＱ

ここでＱは 1.5 秒間止まります。

14.4cm

Ｑが止まっている間にＰは，12×1.5＝ 18（cm）動きます。
18.3秒後

ＰはＡを折り返して，18－14.4＝ 3.6（cm）のところにいます。これが，スタートしてから，16.8＋1.5＝ 18.3（秒後）です。

Ａ

108cm

3.6cm

ＢＰ

Ｑ

ＰはＱの，14.4－3.6＝ 10.8（cm）後ろにいます。

14.4cm10.8÷(12－8)＝ 2.7（秒後）に追いつきます。

21秒後
Ａ

追いつくのはスタートしてから 18.3＋2.7＝21（秒後）で，追いついた地点はＡから，3.6＋12×2.7＝ 36（cm）の地点です。
これが，3 回目の重なりになります。

- 11 -108cm

Ｐ
Ｑ
36cm

Ｂ

(3)

ＰとＱが 3 回目に重なって以降の動きを下の図に書きました。
ＰとＱがＢ地点に初めて同時に着くのは，63 秒後になります。
28.8秒後22.5秒後
ＡＡ

Ｂ

108cm

Ｂ

108cm
18cm
ＰＰ
Ｑ
36cm 18cm

Ｑ

36cm
54cm

50.4cm30.3秒後Ａ

40.2秒後
Ｂ

108cm

ＡＢ
39.6cm

108cm

18cm
ＰＰ

ＱＱ
86.4cm21.6cm

50.4cm21.6cmＢ

51.6秒後108cm
Ａ18cm
28.8cmＢ

41.7秒後Ａ

21.6cm

108cm
18cm
ＰＰ

57.6cm50.4cmＱ

Ｑ
50.4cm53.1秒後108cm

Ａ
10.8cmＰＱ

Ｂ

Ａ
10.8cm57.6cm

63秒後
108cm

Ｂ

Ｐ
Ｑ

18cm

28.8cm28.8cm- 12 -

６ (1) 立体(あ)は，立方体の頂点を 4 回切り落とすＤＣことによってできる三角すいです。
切り落とした頂点は，Ａ，Ｃ，Ｆ，Ｈです。
（Ｈを切り落としたことに気づきにくいので，注意しましょう。）

Ａ

Ｂ
Ｎ
Ｋ

Ｍ
ＬＨ

Ｇ
Ｒ
Ｑ
Ｐ

Ｅ

Ｆ
Ｄ

たとえば頂点Ａを切り落とすというのは，右の図のしゃ線をつけた三角すいＥ－ＡＢＤを切り落とす，という意味です。

ＣＡ

Ｂ
Ｎ

三角すいＥ－ＡＢＤの体積は，12×12÷2×12÷3＝ 288（cm3）です。

Ｋ

Ｍ
Ｌ
Ｈ

立体(あ)の体積は，立方体の体積－切り落とした三角すい×4＝ 12×12×12－288×4＝ 576（cm3）です。

ＧＲ
ＱＰ

Ｅ

Ｆ
Ｄ

立体(あ)を，Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎを通る平面で切り分けると，まったく同じ立体が 2 つできますから，点Ｑをふくむ立体(い)は立体(あ)の半分の体積になり，576÷2＝ 288（cm3）です。
Ｄ

Ｂ
Ｎ
Ｋ

Ｍ
Ｌ
Ｎ

Ｂ
Ｎ
Ｋ

Ｋ

Ｍ

Ｍ

Ｌ

Ｌ
Ｒ

Ｒ

Ｇ
Ｑ

Ｑ

Ｐ

Ｐ

Ｅ

Ｅ- 13 -Ｇ

Ｄ(2) 立体(い)を，もし，Ｋ，Ｌ，Ｐではなく，Ｋ，Ｌ，Ｑで切り分けたとしたら，右の図のしゃ線部分になり，立体(あ)の各辺の長さ1を にした立体になります。
2Ｂ
ＮＫ

11111にすると，体積は× × ＝22228になり，立体(あ)の体積は(1)で求めた通り 576 cm3ですから，しゃ線部分の立体の体積は，1576× ＝ 72（cm3）です。
8
長さをＭ
ＬＧＲＱ

Ｐ
Ｅ
Ｄ

点Ｐは点Ｅと点Ｑのまん中の点ですから，Ｋ，Ｌ，Ｐで切り分けると，Ｋ，Ｌ，Ｑで切り分けたときの半分の体積になり，72÷2＝ 36（cm3）です。

Ｂ
ＮＫ

Ｍ，Ｎ，Ｒで切り分けた立体の体積も，まったく同じなので 36 cm3 です。

Ｍ
ＬＧ
Ｒ
Ｑ
Ｐ

Ｅ
Ｄ

立体(い)の体積は，(1)で求めた通り 288 cm3 です。
Ｋ，Ｌ，Ｐで切り分けた体積は 36 cm3，Ｍ，Ｎ，Ｒで切り分けた体積も 36 cm3 ですから，立体(う)の体積は，288－36×2＝ 216（cm3）です。

Ｎ

Ｂ

Ｋ

Ｍ
Ｌ
Ｇ
Ｒ
Ｑ

Ｅ- 14 -Ｐ

Ｎ(3) (2)で求めた立体(う)は右の図のような形をしていて，その体積は 216 cm3 です。

Ｋ

Ｍ
Ｌ
Ｒ
Ｑ
Ｐ

この立体をＸ，Ｙ，Ｚを通る平面で切り分けると，下の図のようになります。
ＮＫ

Ｎ

ＫＭ

ＲＹ

Ｚ

ＬＸ
ＹＺ

ＬＸ

Ｍ

ＺＸ

ＲＹ

Ｑ

Ｑ

Ｐ

Ｐ

立体(う)の底面をＸＰＬとすると，切り分けたときの点Ｑをふくむ立体の底面は1111ＸＰＹとなり，長さが になっているので，面積は× ＝になります。
22241
高さはＬＭ＝ＹＺなので同じですから，体積も になり，点Ｑをふくむ立体の43
体積は，216÷4＝ 54（cm ）になります。

- 15 -