A classiﬁcation of Bott towers
石田 裕昭(大阪市立大学)

1 はじめに本稿では, Bott tower と呼ばれる CP 1 束の列の (smooth category における) 分類を与える. また, [2] の概説を行う.
定義 1.1. (高さ n の) Bott tower とは, 次のような CP 1 束の列
ππn−1ππn21Bn −→Bn−1 −→ · · · −→B1 −→B0 = {a point},(1)

ただし各 ﬁbration πi : Bi → Bi−1 は, 複素直線束の 2 つのホイットニー和に分解するような階数 2 の複素ベnクトル束の射影化であるときを言う. (高さ n の) Bott tower (1) を, B• = ({Bi }ni=0 , {πi }i=1 ) と書くことにする. Bott tower に表れる各多様体 Bi を, Bott manifold と呼ぶ.
例 1.2. B1 は 2 次元複素ベクトル空間 C2 の射影化であるから, 複素射影直線 CP 1 に他ならない. CP 1 上の階数 2 の複素ベクトル束 η は, (topological には) その第一チャーン類 c1 (η) で特徴づけられる. η の射影化の全空間は, c1 (η) ≡ 0 mod 2 であるとき CP 1 × CP 1 と微分同相, c1 (η) ̸≡ 0 mod 2 であるとき, CP 2 #CP 2と微分同相になることが知られている.
複素 3 次元 (実 6 次元) の Bott manifold に関しては, 次の定理が成り立つことが知られている:
定理 1.3 ([1]). 複素 3 次元の Bott manifold B3 , B3′ に対して, それらが微分同相になる必要十分条件は, それぞれの整係数コホモロジー環が同型になることである.
一般次元の Bott manifold に対しては, 次が予想されている:問題 1.4 (Cohomological rigidity problem for Bott manifolds). Bott manifold たちは, その整係数コホモロジー環で分類される.
この問題に取り組む前段階として, Bott tower の分類を試みるのが本稿の目的である. Bott tower の定義において, 各 ﬁbration は複素ベクトル束の射影化であったが, 正則構造を加味すれば, 各 Bi は複素多様体になり, 各 ﬁbration は正則写像になる. しかし, 問題としたいのは, 次の同型の下での分類である:
n′′ n′ n定義 1.5. 2 つの高さ n の Bott tower B• = ({Bi }ni=0 , {πi }i=1 ) と B• = ({Bi }i=0 , {πi }i=1 ) が同型であるとは, 次の図式

Bnπn/ Bn−1 πn−1 / . . .

φnBn′′πnπ2/ B1π2′/ B1′φn−1′/ Bn−1π1/ B0π1′/ B0′ .

φ1′πn−1/ ...

φ0を可換にするような微分同相の collection φ• = {φi : Bi → Bi′ }ni=0 が存在することを云う.
例 1.6. 上の例 1.2 で見たように, B1 ∼= CP 1 であり,

{CP 1 × CP 1B2 ∼=CP 2 #CP 2

if c1 (η) ≡ 0 mod 2,
if c1 (η) ̸≡ 0 mod 2.

であった. 実は, 階数 2 の CP 1 上の複素ベクトル束 η, η ′ に対して, CP 1 -束としてP (η) ∼= P (η ′ ) ⇐⇒ c1 (η) ≡ c1 (η ′ ) mod 2となる.

2 Bott tower のフィルター付きコホモロジー
B• = ({Bi }ni=0 , {πi }ni=1 ) を Bott tower とする. 各 ﬁbration πi : Bi → Bi−1 は, Bi−1 上の 2 つの直線束x∈∈ξ, ξ ′ のホイットニー和の射影化であった. 従って, 次のような大域切断が存在する:⊕Bi−1 −→ P (ξ ξ ′ )= Bi7−→E(ξ)x⊂ E(ξ⊕ ′ξ ),ここで, ベクトル束 η に対して E(η) でその全空間, E(η)x で x 上のファイバーを表す. 特に, 各 ﬁbration πiの誘導するコホモロジー環の間の準同型 πi∗ : H ∗ (Bi−1 ) → H ∗ (Bi ) は単射である. この πi∗ : H ∗ (Bi−1 ) →H ∗ (Bi ) を通じて, H ∗ (Bi−1 ) は H ∗ (Bi ) の部分環と思うことができる.
n∗
定義 2.1. Bott tower B• = ({Bi }ni=0 , {πi }i=1 ) に対して, フィルター付き次数付き環 F• H (B• ) を{H ∗ (Bn )Fi H (B• ) :=∗∗πn∗ ◦ πn−1
◦ · · · ◦ πj+1
(H ∗ (Bj ))∗for n ≥ i,for 0 ≥ i ≥ n − 1と定める. このフィルター付き次数付き環 F• H ∗ (B• ) を Bott tower B• の フィルター付きコホモロジーと呼ぶことにする. ここで, コホモロジー環はすべて整係数を考える.
フィルター付きコホモロジーは, Bott tower たちの不変量である. 実際, Bott tower の間の同型写像は, それぞれのフィルター付きコホモロジーの間の同型写像を導くことが容易に確かめられる.

3 主定理とその証明の概略
次が主定理である:

定理 3.1. B• , B•′ を Bott tower とする. それぞれのフィルター付きコホモロジーの間の任意の同型写像

Φ• : F• H ∗ (B•′ ) → F• H ∗ (B• ) に対して, Bott tower の間の同型写像 φ• : B• → B•′ であって, φ∗• = Φ• となるものが存在する.
特に, Bott tower たちは, それぞれのフィルター付きコホモロジーで分類される.
これを示すために, 定理の特別な場合を考える. Bk を Bott manifold, η, η ′ を Bk 上の階数 2 の複素ベクトル束であって, 直線束に分解するものとする. このとき, 次の 3 つの補題を得る:
補題 3.2. 任意の Bk 上の直線束 ξ に対して, 束としてP (η) ∼= P (η ⊗ ξ).
補題 3.3. P (η) および P (η ′ ) のコホモロジーが H ∗ (Bk )-algebra として同型であることと, ある直線束 ξ が存在してc(η) = c(η ′ ⊗ ξ)となることは同値である.
補題 3.4. η と η ′ が同型であることと, c(η) = c(η ′ ) は同値である.
これらの系として, 次が得られる:
系 3.5. 束として P (η) と P (η ′ ) が同型になることと, それぞれのコホモロジー H ∗ (P (η)), H ∗ (P (η ′ )) がH ∗ (Bk )-algebra として同型になることは同値である.
さらに, η にエルミート計量を考えれば, 次が得られる:
補題 3.6. H ∗ (P (η)) の H ∗ (Bk )-algebra としての自己同型群は位数 2 であって, 次の束の自己同型から誘導ℓ∈

P (η) −→ P (η)∈される:

7−→ℓ⊥ ,

ここで ℓ⊥ は ℓ の (与えられたエルミート計量に関する) 直交補空間を表す.
系 3.5 および補題 3.6 より, 次が得られる:
定理 3.7. H ∗ (Bk )-algebra としての任意の同型写像 Φ : H ∗ (P (η ′ )) → H ∗ (P (η)) に対して, 束の同型写像

φ : P (η) → P (η ′ ) であって, その誘導する準同型 φ∗ が Φ と一致するものが存在する.
最後に, 定理 3.7 を高さに関する帰納法に適用すれば, 定理 3.1 を得ることができる.

参考文献[1] S. Choi, M. Masuda and D. Suh, Topological classiﬁcation of Generalized Bott towers, Trans. Amer.
Math. Soc. 362 (2010), 1097–1112.
[2] H. Ishida, (Filtered) cohomological regidity of Bott towers, preprint, arXiv:math.AT/1006.4932.