2020年度

１ (1)

3

渋谷教育学園渋谷中学校<帰国生受験>算数

くわしい解説すぐる学習会2
43－ 1－ ÷×6.5
375ア
イウエ4320
÷ ＝
7521
20
1
イ ＝ 1－ ＝
21
211
113 13ウ ＝ × 6.5 ＝ × ＝
21
21
242
2
13
28 13
15
5エ＝ 3 － ＝3 － ＝3 ＝3
3
42
42 42
42
14
ア＝

(2) 8％の食塩水を625ｇ作ろうとしたということは，食塩を 625×0.08＝50（ｇ）用意して，水を 625－50＝575（ｇ）用意した，ということです。
水を230ｇこぼしてしまったので，残った水は 575－230＝345（ｇ）です。
345 3
残った水は，もとの水の，＝です。
575 533
食塩も，もとの食塩の重さである50ｇのを使えばよいので，50× ＝30（ｇ）
55を使えばよいことになります。
(3)

ある日の入館者数は，大人が450人で，子どもと大人の人数の比が5：3でした。
この日の子どもの入館者数は，450÷3×5＝750（人）です。
子ども1人の入館料は大人1人の入館料の6割です。
（大人1人の入館料）：（子ども1人の入館料）＝1：0.6＝5：3 です。
そこで，大人1人の入館料を5，子ども1人の入館料を3とします。
大人は450人いるので，入館料の合計は 5×450＝2250，子どもは750人いるので，入館料の合計は 3×750＝2250。
よって，大人と子どもを合わせた入館料の合計は，2250＋2250＝4500 です。
これが1620000円にあたるので，1あたり，1620000÷4500＝360（円）です。
子ども1人の入館料は3にあたるので，360×3＝1080（円）になります。

-1-(4)

商品Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの1個あたりの値段は，55円，66円，77，89円になっています。この4種類の商品の中で，1個だけ仲間はずれを探せと言われたら，どれにしますか？
仲間はずれはＤの89円ですね。Ａ，Ｂ，Ｃは，十の位と一の位の数字が同じになっていますが，Ｄだけは違っています。というより，Ａ，Ｂ，Ｃの1個あたりの値段はすべて11で割り切れますが，Ｄだ
けは11で割り切れませんね。89÷11＝8 あまり 1 ですから，11で割ると1あまります。
もしＤを買わずにＡ，Ｂ，Ｃだけ買ったら，代金の合計も11で割り切れるはずです。
しかし実際の代金は1470円で，1470÷11＝133 あまり 7 ですから，11で割ると7あまります。
もしＤを1個だけ買ったら，11で割ると1あまるはずです。
また，Ｄを2個買ったら，11で割ると2あまるはずです。
いまは11で割ると7あまっているので，Ｄを7個買ったのではないかと予想できますね。
しかし，Ｄを7個買ったと言い切れるわけではないのです。なぜなら，Ｄを18個買った可能性もあるからです。
18÷11＝1 あまり 7 ですから，Ｄを18個買っても，代金の合計を11で割ると7あまることになるからです。
ところがＤを18個買うと，89×18＝1602（円）となり，実際の代金の合計よりも多くなってしまうので，Ｄを18個買ったことはありえません。18個より多く買ったこともありえません。
よって，Ｄを 7 個買ったことに決まります。

-2-(5)

ひもの長さは6ｍなので，右の図のように半径6ｍの半円を描きます。
ア

アは 6－1＝5（ｍ），イは 6－3＝3（ｍ）です。

1ｍ
3ｍ6ｍ
イ
5ｍのひもの部分は，右の図のように180－60＝120（度）の中心角のおうぎ形の弧を描きます。
5ｍ

ウの部分のひもの長さは，5－4＝1（ｍ）です。

120° 1ｍ
3ｍ6ｍ

ウ
3ｍ
1ｍのひもの部分も，右の図のように180－60＝120（度）の中心角のおうぎ形の弧を描きます。
5ｍ120° 1ｍ
3ｍ

6ｍ

1ｍ
3ｍ-3-3ｍのひもの部分も，右の図のように180－60＝120（度）の中心角のおうぎ形の弧を描きます。

5ｍ120° 1ｍ
3ｍ
6ｍ

1ｍ
3ｍ

半径6ｍの半円，半径5ｍで中心角120°，半径1ｍで中心角120°，半径3ｍで中心角120°のおうぎ形の面積の和を求めることになりますから，
1
1
1
6×6×3.14÷2 ＋ 5×5×3.14×＋ 1×1×3.14×＋ 3×3×3.14×3
3
3
1
1
1＝ 6×6÷2 ＋ 5×5×＋ 1×1×＋ 3×3××3.14
33325
1＝ 18 ＋＋＋ 3 ×3.14
33
89＝ ×3.14389 314＝ ×3 10013973＝150
23＝ 93（m2）
150-4-(6)Ａの面積は，8×10＝80（cm2）です。
Ａを下にして水そうの底におくと，水の深さは7.5cmになったそうです。
おもりの水中に入った部分の体積は，80×7.5＝600（cm3）です。

600

7.5

600

7.5

748

8.5

これは，600cm3の石をしずめたときに，水の深さが7.5cmになったことと同じです。

Ｂの面積は，8×11＝88（cm2）です。
Ｂを下にして水そうの底におくと，水の深さは8.5cmになったそうです。
おもりの水中に入った部分の体積は，88×8.5＝748（cm3）です。
これは，748cm3の石をしずめたときに，水の深さが8.5cmになったことと同じです。

8.5

748

Ａが下の場合とＢが下の場合を並べて書くと，右の図のようになります。
8.5
7.5
Ｂが下の場合の方が，石が大き600748いので，そのぶん水面が上がりました。
石が 748－600＝148（cm3）大きいので，8.5－7.5＝1（cm）上がったのですから，この水そうの底面積は，148÷1＝148（cm2）です。
よって水の体積は，148×7.5－600＝510（cm3）です。

600
148-5-

水 7.5また，Ｃの面積は 11×10＝110（cm2）で，Ｂより大きいですから，水の深さは8.5cmより深くなります。
Ｃを底面にしたときのおもりの高さは8cmしかないので，おもりは水の中に全部入ってしまいます。

11cm
8cm

ＣＢＡ
10cm

右の図のようになるわけです。
おもりの体積は 110×8＝880（cm3），水の体積は510cm3なので，合わせて 880＋510＝1390（cm3）です。
底面積は148cm2ですから，水の深さは，1390 695
291390÷148＝＝＝9 （cm）になります。
148
74
74-6-おもり 水 ？
148

２ (1) 右の図のように，1辺が8cmの立方体の食パンがあります。

8cm

食パンの表面は焼かれて茶色になっています。
8cm
8cm

右の図のように64個に切り分けて，右の図のように，ナイフで切った断面すべてにバターをぬりました。

6面すべてにバターがぬられた食パンが，上から2段目に4個，上から3段目に4個ありますから，合計 4＋4＝8（個）あります。
1個の体積は 2×2×2＝8（cm3）ですから，8個の合計は，8×8＝64（cm3）になります。

-7-

(2)

右の図の赤い立方体などが，2面は焼かれているので残り4面にバターがぬられている立体です。

8cm

8cm
8cm

右の図のように，大きい立方体の1つの辺に2個ずつあり，大きい立方体には辺は12本あるので，全部で，2×12＝24（個）あります。
1個の体積は 2×2×2＝8（cm3）ですから，体積の合計は，8×24＝192（cm3）になります。

(3)

バラバラにしたときは，全部で64個になりました。
1個の表面積は，1辺2cmの正方形が6面あるので，2×2×6＝24（cm2）です。
全部で64個あるので，表面積全体は，24×64＝1536（cm2）です。

しかし答えは1536cm2ではありません。
なぜなら，すべての表面にバターをぬったわけではないからです。
バラバラにする前の，大きな立方体の表面は焼かれているのでバターをぬりません。
よってバターをぬらなかった面は，大きな立方体の表面です。
大きな立方体の表面は，1辺8cmの正方形が6面あるので，表面積は 8×8×6＝384（cm2）です。

8cm

8cm
8cm

1536cm2のうち，バターをぬらなかった面は384cm2なので，バターをぬった面は，1536－384＝1152（cm2）になります。

-8-３ (1) 右の表のように，1＋3＝4（通り）あります。

(2)

20円の作り方なら，右の表のように，1＋3＋5＝9（通り）あります。

10円10005円
02101円
0051010円
2111000005円
0210432101円
00510051015201通り
3通り

1通り
3通り

5通り

同じように考えて，30円の作り方なら，1＋3＋5＋7＝16（通り）あります。
40円の作り方なら，1＋3＋5＋7＋9＝25（通り）あります。
50円の作り方は，50円玉を使わない場合は，1＋3＋5＋7＋9＋11＝36（通り）。
50円玉を使う場合は，50円玉1個のみの1通り。
合わせて，36＋1＝37（通り）。
(3)(1)，(2)で，10円と5円と1円だけで10円，20円，30円，40円，50円を作る方法は，次のようになりました。
10円，5円，1円のみを使って10円を作る…1＋3＝4（通り）〃
20円を作る…1＋3＋5＝9（通り）〃
30円を作る…1＋3＋5＋7＝16（通り）〃
40円を作る…1＋3＋5＋7＋9＝25（通り）〃50円を作る…1＋3＋5＋7＋9＋11＝36（通り）
次のように，平方数を利用した方が，計算が簡単になります。
10円，5円，1円のみを使って10円を作る…2×2＝4（通り）〃
20円を作る…3×3＝9（通り）〃
30円を作る…4×4＝16（通り）〃40円を作る…5×5＝25（通り）〃50円を作る…6×6＝36（通り）
このように考えると，たとえば60円なら 7×7＝49（通り），……のようになって，100円なら 11×11＝121（通り），150円なら 16×16＝256（通り），200円なら21×21＝441（通り）になります。

-9-重要なもののみ書くと，10円，5円，1円のみ使って50円を作る…36通り
100円を作る…121通り
150円を作る…256通り
200円を作る…441通り

では，200円を作り方が何通りあるかを，考えていきます。
右の表のようになるので，答えは1014通りになります。

- 10 -100円
21110000050円
残り00円
20円
150円
0100円
40円
350円
2100円
1150円
0200円
合 計

何通り
1通り
1通り
36通り
121通り
1通り
36通り
121通り
256通り
441通り
1014通り４ (1) Ａ（1階）からＢ（2階）までは，17×3＝51（ｍ）あります。
Ｂ（2階）からＣ（3階）までも51ｍ，Ｃ（3階）からＤ（4階）までも51ｍある
ので，ＡからＤまでは，51×(4－1)＝153（ｍ）になります。
1階から4階までだったら，51×(4－1) という式でした。
Ａ（1階）からＬ（12階）だったら，51×(12－1)＝561（ｍ）になります。
この561ｍを，教子さんは8分15秒＝8.25分かかったのですから，教子さんの分速は，561÷8.25＝68（ｍ）になります。
(2)

3である，と問題文に書いてありま4
教子さんの下りる分速は，(1)で求めた通り，分速68ｍです。
3
よって2人の上る速さは，68× ＝51（ｍ／分）です。
4
2人の上る速さは，教子さんの下りる速さの教子さんはＬ（12階）からＣ（3階）までの 51×(12－3)＝459（ｍ）を，分速68ｍで下るので，459÷68＝6.75（分）かかります。
渋男君はＡ（1階）からＣ（3階）までの 51×(3－1)＝102（ｍ）を，分速51ｍで上るので，102÷51＝2（分）かかります。
よって渋男君は，教子さんが出発してから 6.75－2＝4.75分→4分45秒後に出発すればよいことになります。
(3) 渋男君は，Ａ（1階）からＬ（12階）までの 51×(12－1)＝561（ｍ）を，分速51ｍで上るので，561÷51＝11（分）かかりました。
渋男君はＢ（2階）で 5×1＝5（秒）休み，Ｃ（3階）で 5×2＝10（秒）休み，…のように，5×(階数－1) 秒休みますから，最後の休みである11階では，5×(11－1)＝50（秒）休みます。
休んだ時間の合計は，5＋10＋15＋…＋50＝(5＋50)×10÷2＝275（秒）→4分35秒です。
渋男君は，11分上り，上っている間に4分35秒休んだので，上りにかかった時間は，11分＋4分35秒＝15分35秒 です。
教子さんはＬ（12階）からＡ（1階）までの561ｍを，分速68ｍで下りました。
下りにかかった時間は，561÷68＝8.25（分）→8分15秒 です。
1
残りの 15分35秒－8分15秒＝7分20秒→7 分で，教子さんは何ｍの高さまで上3ったかを求める問題です。
教子さんの上りの分速は，渋君と同じく51ｍです。
1
1
7 分で，51×7 ＝374（ｍ）を上ります。
33- 11 -しかし答えは374ｍではありません。なぜなら，教子さんが上った道のりは確かに374ｍですが，この問題では底面から何ｍの高さにいるかを求める問題だからです。
問題文の図を見るとわかる通り，1階から2階までの51ｍを進むと，高さとしては24ｍ高くなります。51ｍ進むと24ｍ高くなるのですから，3で割って，「17ｍ進むと8ｍ高くなる」ということがわかります。
この問題では，教子さんは374ｍ進んだのですから，374÷17＝22（倍）になっています。よって8ｍの22倍の，8×22＝176（ｍ）高い所にいることがわかりました。
(4) (3)でも求めましたが，教子さんはＬ（12階）からＡ（1階）までの561ｍを，分速68ｍで下ったので，下りにかかった時間は，561÷68＝8.25（分）→8分15秒 です。
その8分15秒で，渋男君はどこまで上れたかを求めます。
渋男君は，Ａ（1階）からＢ（2階）までの 17×3＝51（ｍ）を，分速51ｍで上るのですから，51÷51＝1（分）かかります。Ｂ（2階）からＣ（3階）までも1分，Ｃ（3階）からＤ（4階）までも1分，……のように，1階ぶん上がるのに，1分かかります。
また，Ａ（1階）からＢ（2階）に上ったときに5秒休み，Ｂ（2階）からＣ（3階）に上ったときに10秒休み，……と，休む時間は5秒ずつ増えていきます。
たとえばＡ（1階）からＦ（6階）までだと，
Ａ（1階）

1分

Ｂ（2階）
1分
5秒

Ｃ（3階）
1分
10秒

Ｄ（4階）
1分15秒

Ｅ（5階）
1分20秒

Ｆ（6階）
25秒となり，全部で，1×5＝5（分）と，5＋10＋15＋20＋25＝75（秒）かかり，合わせて，5分＋75秒＝6分15秒です。
教子さんは8分15秒かかっているので，渋男君はもう1階ぶん上れそうです。
Ｇ（7階）までだと，さらに 1分＋30秒＝1分30秒かかるので，6分15秒＋1分30秒＝7分45秒 かかります。
教子さんは8分15秒かかっているので，渋男君は，あと 8分15秒－7分45秒＝30秒上ることができます。
渋男君は1階ぶんを1分で上りますが，30秒は1分の半分です。
よって渋男君は，Ｇ（7階）とＨ（8階）の真ん中まで上ることができます。

- 12 -

整理すると，教子さんがＬ（12階）からＡ（1階）までの11階ぶんを下っている
間に，渋男君はＡ（1階）から，Ｇ（7階）とＨ（8階）の真ん中までの6.5階ぶんを上ったことがわかりました。
教子

教子さんがＬから下り，渋男君がＡから上る
ようすを上から見ると，右の図のようになります。

Ｌ

渋男Ａ

教子さんは11階ぶんを下ったので，正三角形のまわりを11周したことと同じです。
渋男君は6.5階ぶんを上ったので，正三角形のまわりを6.5周したことと同じです。
この問題では教子さんも渋男君も動いていますが，渋男君を動かさないで，教子さんだけが 11＋6.5＝17.5（周）したことと同じです。
すると，渋男君はずっとＡに止まっていて，教子さんだけが17.5周するので，教子さんは渋男君と17回出会います。
この図は上から見た図なので，実際には17回も出会っているわけではなく，単に渋男君の真上や真下に教子さんがいるだけです。
本当に出会ったのは1回だけで，出会ったのは回数に入れないと問題に書いてあったので，答えは 17－1＝16（回）になります。

- 13 -