はじめに
現在の社会インフラにコンピュータは必要不可欠な機器です。毎日の生活の中で私たちが利用している個人用コンピュータ，いわゆるパーソナルコンピュータの利用方法は時代とともに変化してきましたが，大きな変化がこれまでにいくつかありました。
ひとつはおよそ 40 年前の 1979 年（昭和 54 年）に発売された表計算ソフトウェア，VisiCalc（ビジカルク）です。このソフトウェアは Apple 社の Apple II で動作するもので，ダニエル・ブ
リックリンとボブ・フランクストンの二人が開発しました。ダニエル・ブリックリンはソフトウェ
アの概念を中心に，ボブ・フランクストンは実際のプログラミングを中心に開発を行いました。
ダニエル・ブリックリンはマサチューセッツ工科大学でコンピュータについて勉強し，会社に勤めた後にハーバード大学のビジネススクールで学びました。ビジネススクールではケースメ
ソッドと呼ばれる会社の経営方法のシミュレーションを行い，利益を上げるために必要な原価計算を行う課題が数多くあります。この膨大な計算を行う際に電卓を繰り返し利用するのではなく，数値を変更するだけですべての再計算を行うソフトウェアの必要性を感じたのです。そして，彼は友人のマサチューセッツ工科大学の当時学生であったボブ・フランクストンとともにビジカルクを開発しました。発売後，このソフトは 2 年間で 20 万本以上を売り上げるという大成功を収めました。
大成功の理由は以下のとおりです。電卓利用では数値と演算記号を入力して，式を計算させ出力結果を紙に記載し，さらに必要な計算を続けます。必要に応じ再計算や式を変更して必要な答えを求めます。一方，表計算ソフトウェアはコンピュータ上で動作し，数値と式を記憶して利用者と対話しながら動作します。Apple II は家庭用 TV に接続して，40 文字 25 行の表示や，図形を表示させることが可能で，入力データや式を表示しながら計算結果も表示することができました。計算に利用するデータはワープロのように簡単に再利用できます。すなわち条件を変えて様々なシミュレーションを簡単に実行することが可能です。そして，ビジカルクを利用したいがためにハードウェアを購入するという，ビジネスソフトウェアの重要性が認められた最初のソフトウェアとなりました。その後，同様な機能をもつロータス・デベロップメント社のLotus1-2-3 やマイクロソフト社の Multiplan や Excel が市場に発表されました。
もうひとつの大きなことは，今から 22 年前の 1995 年に発売された OS（オペレーティングシステム）の Windows95 です。この OS にはインターネットへの接続や利用に必要なソフトがほとんど含まれていたため，
インターネット利用者の爆発的な増加に貢献したといわれています。

iそれまでコンピュータは単独でワープロや表計算ソフトのビジネスアプリケーション利用やゲームソフト利用をするのが一般的で，ネットワーク利用は電話回線経由のパソコン通信程度でした。それがコンピュータをインターネットに接続し，Internet Explorer と呼ばれるブラウザを利用してデータを閲覧するようになり，ネットサーフィンという言葉が生まれました。ブラウザは文字データだけではなく音楽，写真や映像などの様々なメディアを扱うことができました。さらにデータを閲覧するだけでなく，ブログを作成したりホームページサーバを立ち上げた
りして，自ら情報発信することも簡単にできました。当初，インターネット世界として閉じていたものが，現実社会と相互に影響を与える関係になり，さらに一体化しているといってもよい状
況になりました。そして，現在では携帯電話をはじめ様々な機器がインターネットに接続される
IoT (Internet of Things) 時代となり，様々なデジタルデータがネットワーク上で転送されています。さらに今後，自動運転や AI (Artificial Intelligence) 技術と第 5 世代の高速なデータ通信が利用できる時代がまもなく現実のことになりそうです。
最初の変化であった表計算ソフトの利用が広まる際には，会計事務所の仕事を奪い，経理関係の会社が倒産するのではないかとの噂が流れたこともありましたが，実際にそのようなことは起こりませんでした。現在の AI も多くの仕事を人間から奪うという考えもありますが，表計算ソフトと同じように仕事の手段や考え方を変えるツールと考えるべきでしょう。ただし，ツールである表計算ソフトや AI の結果を鵜呑みにするのは大変危険で，データ処理の手法や基本的な考え方をきちんと押さえておかないと誤った結果に振り回されることになります。この本ではデータの分析や統計・確率の考え方について基礎的な説明を行うとともに，現在広く利用されている表計算ソフトである Excel を活用する方法について説明します。膨大なデータの中から意味のある情報を引き出す方法の参考になれば幸いです。さらにその情報を自分の知識とし，AI や情報機器をはじめとする各種ツールを活用できる知恵を身につけてください。
最後に共立出版株式会社編集制作部の吉村修司氏には企画から編集校正までお世話になりました。また，表紙や図表などは岡田明子女史の手を煩わせ，祝 竜 平 氏にはデザインや DTP 作業
日馬和などで多大なる協力を頂きました。ここに記して感謝いたします。
2017 年 12 月
著者

本書で使用する Excel データファイルは下記よりダウンロードできます。ご活用ください。
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail /9784320113336

ii

目 次

第

1章

1.1

統計・確率・検定

統計解析の基礎11

1.1.1 データの収集と解析の流れ ……………………………………………………………………………… 1
1.1.2 データの性質 ……………………………………………………………………………………………… 1

1.2 基本統計量

2

1.3 確率6

1.3.1 二項分布 …………………………………………………………………………………………………… 7
1.3.2 正規分布 …………………………………………………………………………………………………… 8

1.4 検定とは

11

1.4.1 検定手法 ………………………………………………………………………………………………… 11

第

コラム 1

表計算ソフトの歴史

12

2章

基本操作

13

Excel の起動，保存，終了

13

2.1

2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4

Excel の起動 …………………………………………………………………………………………… 13
保存 ……………………………………………………………………………………………………… 15
パスワードを利用した保護 …………………………………………………………………………… 15
Excel の終了 …………………………………………………………………………………………… 16

2.2 データの入力方法
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5

セルの表示形式 ………………………………………………………………………………………… 17
データの入力，編集，削除 …………………………………………………………………………… 19
連続したデータを入力する（オートフィル）…………………………………………………………… 20
並べ替え ………………………………………………………………………………………………… 20

2.3 表の作成
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4

16

セルの選択方法 ………………………………………………………………………………………… 1622

罫線を引く ……………………………………………………………………………………………… 22
セルの背景に色をつける ……………………………………………………………………………… 24
セルの書式設定を変更する …………………………………………………………………………… 25
セルの配置を変更する ………………………………………………………………………………… 25

2.4 計算方法

26

2.4.1 計算式を入力する（四則演算）………………………………………………………………………… 26
2.4.2 基本の計算（合計，平均，最大値，最小値）………………………………………………………… 26
コラム 2

2 つのセル指定方法

30

iii

目次

第

3章

3.1

関数

31

関数の基礎

31

3.1.1 計算のしかた …………………………………………………………………………………………… 31
3.1.2 関数の表し方 …………………………………………………………………………………………… 32
3.1.3 引数 ……………………………………………………………………………………………………… 32

3.2 関数の利用法

33

3.2.1 関数の入力方法 ………………………………………………………………………………………… 33
3.2.2 セル参照 ………………………………………………………………………………………………… 36

3.3 日付と時間

38

3.3.1 日付の取り扱い ………………………………………………………………………………………… 38
3.3.2 時間の取り扱い ………………………………………………………………………………………… 39

3.4 エラー値

40

3.4.1 エラー値の種類と意味 ………………………………………………………………………………… 40
3.4.2 エラー値の対処法 ……………………………………………………………………………………… 40

3.5 主要関数

第財務

40 ／ 論理41 ／ 文字列操作

統計

49 ／ 互換性

52 ／ その他

4章

4.1

40
42 ／ 日付・時刻

43 ／ 検索・行列

45 ／ 数学

47 ／

53

クロス集計

57

クロス集計とは57

4.2 関数を用いたクロス集計

58

4.2.1 関数を用いた単純集計 ………………………………………………………………………………… 58
4.2.2 関数を用いたクロス集計 ……………………………………………………………………………… 59

4.3 ピボットテーブルを用いたクロス集計
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5

61

ピボットテーブルの新規作成 ………………………………………………………………………… 61
ピボットテーブルへのフィールドの配置 ……………………………………………………………… 62
ピボットテーブルのスタイル変更 ……………………………………………………………………… 64
ピボットテーブルのデータ編集 ……………………………………………………………………… 65
ピボットテーブルによるグラフ作成 …………………………………………………………………… 69

参考 1 日本の統計データを知るサイト「政府統計の総合窓口」

72

5章

73

第

5.1

グラフ作成の基礎

グラフの種類と要素

73

5.1.1 グラフの種類 …………………………………………………………………………………………… 73
5.1.2 グラフの要素 …………………………………………………………………………………………… 75

5.2 グラフの作成方法

76

5.2.1 グラフの挿入 …………………………………………………………………………………………… 76
5.2.2 グラフの編集 …………………………………………………………………………………………… 77
5.2.3 グラフの移動 …………………………………………………………………………………………… 81

iv

目次

5.3 グラフの書式変更
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5

82

縦軸の目盛範囲（最小値と最大値）と表示単位を変更する【軸の書式設定】…………………… 82
縦軸ラベルを縦書きにする【軸ラベルの書式設定】………………………………………………… 84
グラフ要素の間隔を変更する【データ系列の書式設定】…………………………………………… 85
横軸ラベルの表示間隔を変更する【軸の書式設定】………………………………………………… 86
グラフの色を変更する ………………………………………………………………………………… 87

5.4 複合グラフの作成方法

89

6章

91

第

6.1

分析ツールを用いた統計解析

分析ツールの設定

6.2 基本統計量

91
92

6.2.1 基本統計量と関数の関係 ……………………………………………………………………………… 92
6.2.2 分析ツールを用いた基本統計量の求め方 …………………………………………………………… 93

6.3 ヒストグラム

95

6.3.1 度数分布とヒストグラム ……………………………………………………………………………… 95
6.3.2 分析ツールを用いた度数分布表とヒストグラムの作成 ……………………………………………… 96

6.4

t 検定

101

6.4.1 データ取り込み ……………………………………………………………………………………… 101
6.4.2

t 検定統計量計算 …………………………………………………………………………………… 101

6.4.3 分析ツールの利用 …………………………………………………………………………………… 102
参考 2 データカタログサイト

第7章

データベース

104

105

7.1

データベースとは

105

7.2

オートフィルターを用いたデータ抽出

105

7.3

関数を用いたデータ抽出

1077.3.1 1 つの検索キーを用いたデータ抽出 (VLOOKUP 関数 ) ……………………………………… 107
7.3.2 2 つの検索キーを用いたデータ抽出 (INDEX 関数，MATCH 関数 ) ………………………… 108

第

8章

8.1

マクロ

マクロの基礎

111
111

8.1.1 マクロとは ……………………………………………………………………………………………… 111
8.1.2 マクロファイル ………………………………………………………………………………………… 111
8.1.3 マクロ利用環境の設定 …………………………………………………………………………………112

8.2 マクロの記録による作成
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4

113

マクロの記録 ……………………………………………………………………………………………113
マクロの確認 ……………………………………………………………………………………………114
マクロの実行 ……………………………………………………………………………………………115
マクロの削除 ……………………………………………………………………………………………116v

目次

8.3 VBA によるマクロの作成

116

8.3.1 Microsoft Visual Basic for Applications の起動と設定 ………………………………………117
8.3.2 VBA によるマクロの入力 ………………………………………………………………………………119

8.4 マクロを利用したオリジナル関数の作成

1228.4.1 オリジナル関数の定義 ……………………………………………………………………………… 122
8.4.2 オリジナル関数の実行 ……………………………………………………………………………… 123
コラム 3

第

数値の罠

9章

9.1

シミュレーション

シミュレーションとは

9.2 定期積立

124

125
125
125

9.2.1 定期積立ワークシート作成 ………………………………………………………………………… 125
9.2.2 定期積立シミュレーション ………………………………………………………………………… 126
9.2.3 関数とゴールシークを用いた定期積立シミュレーション ………………………………………… 126

9.3 車の購入
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4

128

車購入ローンワークシート作成 …………………………………………………………………… 128
車購入ローンシミュレーション……………………………………………………………………… 129
FV 関数を用いた車購入ローンシミュレーション ………………………………………………… 129
PMT 関数を用いた車購入ローンシミュレーション ……………………………………………… 130

9.4 奨学金の返済

131

9.4.1 奨学金返済ワークシート作成 ……………………………………………………………………… 131
9.4.2 返済シミュレーション ……………………………………………………………………………… 132

9.5 住宅購入

133

9.5.1 住宅購入ワークシート作成 ………………………………………………………………………… 133
9.5.2 住宅購入シミュレーション ………………………………………………………………………… 134

9.6 生涯賃金の推定
9.6.1
9.6.2
9.6.3
9.6.4

国家公務員モデル給与からの賃金推定 …………………………………………………………… 136
厚生労働省の賃金構造基本統計調査からの賃金推定 …………………………………………… 137
発展課題 ……………………………………………………………………………………………… 138

9.7 ライフシミュレーション
9.7.1
9.7.2
9.7.3
9.7.4
9.7.5
9.7.6
9.7.7
9.7.8

vi

139

可処分所得の推定 …………………………………………………………………………………… 140
所得の推定 …………………………………………………………………………………………… 140
社会保障費の推定 ………………………………………………………………………………………141
税金の推定 ………………………………………………………………………………………………141
前提条件とイベントの設定 ………………………………………………………………………… 142
支出の推定 …………………………………………………………………………………………… 144
貯蓄残高 ……………………………………………………………………………………………… 144
キャッシュフローの推定 …………………………………………………………………………… 144

確認問題解答索引

134

長野県職員モデル給与からの賃金推定 …………………………………………………………… 134149………………………………………………………………………………………………………… 159

第

1

章

統 計・確率・検定

1.1 統計解析の基礎
コンピュータやネットワーク環境の進展に伴い，私たちは気軽にデータや情報を手にすることができるようになりました。
「情報」や「データ」などの言葉は，時として同じような意味合いで使われることがあります。しかし，「データ」は様々な数値の集まりを指します。つまり多くの場合，データは貴重なものではありますが，それだけでは意味をもちません。例えば英語の試験で 80 点を取ったとします。
これもデータの 1 つではありますが，これだけでは 80 点が良い点数なのか，悪い点数なのかが判断できません。しかし，例えば学年全体の点数を集めて平均点を出したり，偏差値を求めたりすれば，私た
ちは 80 点を客観的に判断することができます。このときに集められたデータ群は「統計」として様々な解析が可能になります。統計解析を行えば，データから様々な「情報」が読み取れます。私たちは世の中にあふれる「データ」を統計的に活用することによって，様々な「情報」を得ることができるのです。

1.1.1 データの収集と解析の流れ
データは何らかの目的のもとに集められた情報です。データの収集は目的に応じて，データを取得する対象（相手）や取得方法（測定方法）を選択する必要があります。例えば，若者向け自動車の販売戦
略に関するデータを得るために，20 ～ 30 歳代の免許保有者を対象にアンケート調査を実施したり，
駅前広場の再開発のために，乗降客数調査や駅周辺店舗のヒアリング調査を実施したりするのです。
このようにして得られたデータは，データの性質や使用目的に応じて様々な解析を行います。この
解析は，様々な項目（変量）を総合的に解析するという意味で「多変量解析」とも呼ばれます。
「多変量解析」と聞くと，専門的でとても難しいイメージを抱く人も多いかと思いますが，実は多変量解析は身近な統計分析です。特別な処理機器や専用の分析ソフトがなくても，手軽に本格的な解析が可能です。
本テキストでは，表計算ソフトとして知られているマイクロソフト社の「Excel」を活用した統計解析
検定を紹介します。

1.1.2 データの性質
データには，種類や形式によって異なる性質があります。性質に応じた解析の選択が必要ですから，
まずはデータの性質を把握しておきましょう。
まず，データの種類には「定量データ」と「定性データ」の 2 種類があります。
「定量データ」は数量として比較することが可能なデータを示し，例えば交通量（台），所要時間（分），料金（円）などが該当します。一方の「定性データ」は数量として表せないデータを示し，例えば性別，職業，好きな果物の順位，
満足度などがあります。

1

第

1章

統計・確率・検定「定量データ」と「定性データ」には，それぞれデータの形式に応じて，「比例尺度」，「間隔尺度」，「名義尺度」，「順序尺度」があります。

（１）比例尺度
四則演算が可能な数値を扱う定量データ。0 やマイナスを含めて，数値の大小に意味があります。

例：身長（cm），体重（kg），降水量（mm），得点（点）（２）間隔尺度
数量的な大小関係を比較する定量データ。データの取り扱いは任意に設定した一定の間隔で測ります。

例：顧客満足度（非常に満足，満足，やや不満，不満）（３）名義尺度
次の例のようにコード化された数値で表す定性データ。

例：性別（男性＝ 1，女性＝ 2），海外旅行経験（有＝ 1，無＝ 0）（４）順序尺度順序を示す数値を扱う定性データ。数値なのでデータ間の大小関係を比較できますが，四則演算においては差を除いて意味をもたないので注意しましょう。

例：学年 1 位，お客様満足度第 1 位

種類

形式
比例尺度

定量データ
間隔尺度
データ
名義尺度
定性データ
順序尺度

▶▶図1.1

データの種類

自分でアンケート調査などを実施してデータを得る場合には，設問を検討する際にこのようなデー
タの性質の違いも考慮する必要があります。
Excel でデータを扱う際には，基本的には調査で得られた値をそのままセルに入力すれば，データベース機能を用いて分類，整理することができます。さらに Excel では，関数やマクロなどの機能を用
いて統計解析し，グラフ機能を用いて視覚化することができます。本章では統計や検定の基礎を学習
し，次章以降で Excel を用いた解析を身につけましょう。

1.2 基本統計量
データのもつ基本的性質を数値で表現したものを「基本統計量」といいます。
「基本統計量」は大別す
ると「代表値」と「散布度」の 2 つの概念に分けることができます。

2

基本統計量1.2「代表値」はデータを代表する値で，
「平均値」
，
「中央値」
，
「最頻値」
，
「最大値」
，
「最小値」などがあります。一方「散布度」はデータのばらつきを示す値で，「分散」，「標準偏差」，「四分位範囲」などがあります。

平 均 値
中 央 値
代表値

最 頻 値
最 大 値
最 小 値

基本統計量

分
散布度

散

標準偏差
四分位範囲

▶▶図1.2

基本統計量の概念（１）平均値
平均値はすべてのデータの合計をデータ数で除した数です。テストの平均点などのように，最もなじみのある代表値だといえるでしょう。
平均値は統計では一般的に次式のように定義されます。

X の平均

1
X= n

平均

データ数 n で割ります

∑X
i =1

∑

データ部 Xi の合計

i
データ部 Xi は1からn 個まであります

n 合計を母数で割った数

s = 1 平 均 値（ X i - X ）
n i=1
2

分散

50％

▶▶図1.3n2

標準偏差s = s250％

平均値の概念（２）中央値
中央値はデータを小さい順（または大きい順）に並べ替えたときに，中央（真ん中）にある値を指します。ただし，データ数が偶数の場合は，中央に近い 2 つの値の単純平均とします。平均値と中央値は似ており，明確な使い分けはありませんが，データに外れ値（他の値と比べて突出して異なる値）が含まれる場合は，中央値の方が誤差の少ない結果が得られます。
（コラム 3「数値の罠」（p.124）も参照してください。）

3

第1章

統計・確率・検定値
並べた時の中央

1

2

3

1

3

2

1

中央値
▶▶図1.4

中央値の概念最小値（３）最頻値
データ群の中で最も頻繁に出現する値を指します。平均値や中央値のようにデータの特徴を表す代表値ですが，一番多く出現する値は 1 つとは限らないため，最頻値も 1 つとは限りません。

最大値

また，データに同じ値がない場合には，値をいくつかの区分に分けたヒストグラムを作成し，区間ごとの頻度を求めるのが一般的です。
一番多く出てきた数一番多い区間

最頻値

平均値

値

50％

▶▶図1.5

1 2 3 1
最頻値の概念

3

2

50％

1

中 央値

（４）最大値
データ群の中で最も大きな値を指します。
最 小値
一番大きい

最 大値
▶▶図1.6値

最大値の概念（５）最小値
データ群の中で最も小さな値を指します。
1 2 3 1 3 2

1

中 央値
一番小さい

1

中央値
最 小値
▶▶図1.7最小値
最小値の概念

最 大値

▶

4

最大値

2

3

1

3

2

1

基本統計量1.2

確認問題 1-1
次のデータについて，平均値，中央値，最頻値，最大値，最小値を答えなさい。
英語

解答

A さん

4

平均値

B さん

4

中央値

C さん

3

最頻値

D さん

2

最大値

E さん

5

最小値

▶

n

∑

1
平均
X= n
Xi
分散はデータが平均からどの程度離れているかを表す数値です。
分散は，それぞれの値から平均値▶
を引いた変数（偏差）を 2 乗した値の合計値から平均をとったものです。
i =1

（６）分散

∑
n

2
1
s=
n i=1（ X i X ）2

分散

データ数 n で割ります▶▶図1.8

偏差2乗にします標準偏差s = s2偏差の2乗の合計

分散の式（７）標準偏差
標準偏差はデータの散らばり方を表す数値の 1 つで，分散の正の平方根です。平均からの偏差の大小を表しますから，値が 0 に近いほどばらつきがないといえます。標準偏差は単位が元のデータと同じなので，意味がわかりやすいでしょう。

）
2

標 準 偏差s = s2▶▶図1.9分散の平方根

標準偏差の式（８）四分位範囲
1

四分位範囲はデータを昇順（小さい順）に並べたときに，小さい方から 4 の値を第 1 四分位値，大き1い方から 4 の値を第 3 四分位値といいます。第 2 四分位値は中央値と同じです。

5

第

1章

統計・確率・検定

四分位値の求め方としては，まずデータを並べ替えてから半分にして中央値を求めます。次に前半部分の中央値（第 1 四分位値），後半部分の中央値（第 3 四分位値）を求めるとわかりやすいでしょう。

小

大

中央値

第1四分位値▶▶図1.10

第3四分位値

四分位範囲の概念

確認問題 1-2
次のデータについて，解答欄にある基本統計量を求めなさい。
ID

データ①平均との差①の 2 乗

1

151

2

132

3

147

4

129

5

135

平均

6

120

分散

7

137

標準偏差

8

115

中央値

9

120

第 1 四分位値

10134

第 3 四分位値

解答

1.3 確率確率はある事象（状況）が確かに起こる率（割合）のことです。
これまで学習した確率は数学的確率の考え方が中心で，同様に確からしいという条件でサイコロやコインを投げたときのある事象が起こる割合について議論することが多かったと思います。これ以外の確率として，寿命や天候，機器の故障が起こるような，確率を頻度で定義する統計的確率の考え方があります。ここでは統計的確率を中心に説明します。
ある事象が起こる確率を () と表記することにします。例えば，サイコロを振ったときに出る目を1とします。通常のサイコロでは出る目は同様に確からしいので確率は 6 で， (6

1)= 6 と表せます。▶

確率

ここで

を確率変数と呼びます。サイコロの場合，

1.3

は 1,▶2,▶3,▶4,▶5,▶6 の 6 種類の固定された値を取り，離散型確率変数と呼ばれます。
一方，ある日の最高気温や雨が降るかどうかの予想やダーツをマトの中心に向かって投げたときに実際に刺さった位置のずれを考えたとき，確率変数

は連続な値を取るので，連続型確率変数と呼びます。
連続型確率変数の場合， () は単一の値にならず，確率密度関数と呼ばれる式で表すことになります。確率密度関数としてよく知られているものは二項分布や正規分布などがあります。

1.3.1 二項分布
コインを投げる場合を考えます。表が出たら T とし，裏が出たら F とします。このように 2 種類の離散型確率変数を示す場合をベルヌーイ試行と呼ばれます。
例えば，4 回コインを投げた場合の事象表は表 1.1 のようになります。
すべて裏

1 回表

2 回表

3 回表

すべて表

FFFF

TFFF

TTFF

TTTF

TTTT

FTFF

TFTF

TTFT

FFTF

TFFT

TFTT

FFFT

FTTF

FTTT

FTFT
FFTT
1 通り
▶▶表 1.1

4 通り

6 通り

4 通り

1 通り

コインを4 回投げたときの目（二項分布の例）

1 回コインを投げたときに表が出る確率を とし，出ない確率を とします。ここで =1 − と書くことができます。コインの場合は =1= 2 となります。1 回も表が出ない確率は 1 通りで(0)=1 ×

11 3
1=1 × ( 2 ) =0.0625 で，1 回だけ表が出る場合は 4 通りあるので (1)=4 × × 3 =4 × 2 × ( 2 )1 2
1 2=0.25，2 回表が出る場合は 6 通りで (2)=6 × 2 × 2 =6 ×( 2 ) ×( 2 ) =0.375，3 回表が出る場合
1 3 1
は 4 通りで (3)=4 × 3 × =4 ×( 2 ) × 2 =0.25 で，4 回表が出る場合は 1 通りで (4)=1 × 4=1
1 4
×( 2 ) =0.0625 となります。この ( ) は 4 回コインを投げたとき表の出る回数を としたときの確44率です。また，これら 5 つの確率を合計すると 1 になります。

次にサイコロを 4 回投げ，5 の目が何回出るかを考えます。このとき 5 が出たら T，出なかったら Fとすれば，先ほどのコインと同じ事象表で表せます。
た だ し， 確 率 は 異 な り

1

=6，

1

5

=1 − 6 = 6 と な り ま す。同 様 に 5 が 出 る 回 数 をと す る と▶

55 3
1(0) = 1 ×
= 1 × ( 6 ) = 0.4823， (1) = 4 × × 3=4 × 6 × ( 6 ) =0.3858， (2)=6 × 2▶
1 2
5 2
1 3
5
× 2 = 6× ( 6 ) × ( 6 ) = 0.1157， (3)=4 × 3 × =4 × ( 6 ) × 6 =0.0154， (4)=1 × 4 =▶
1 4
1 ×( 6 ) =0.0008 となります。
4

4

このような分布を二項分布と呼びます。これらをグラフで表すと図 1.11 と図 1.12 になります。この関数を確率質量関数または確率多角形と呼びます。またが になる確率を式で表すと▶

7

第

1章

統計・確率・検定となります。

s

s

0.4

0.4
0.3

0.3
0.2

0.2
0.1

0.1
0

0

▶▶図1.11

1

0

2

3

4
：表の出る数1
2
0
コインを投げたときの確率多角形

3

1

3

4
：表の出る数

0.6
0.5
0.6
0.4
0.5
0.3
0.4
0.2
0.3
0.1
0.2
0
0.1
0

0

2

4
： の目が出る数

1

0

2

3

4
： の目が出る数▶▶図1.12

サイコロを4 回投げたときの確率多角形（a）1.3.2 正規分布（a）

実験データやテスト結果などは通常，正規分布に従うことが知られています。
この分布は平均値 ，標準偏差 を用いて次の式で表すことができます。
（b）

s
8

s

（b）
（c）
（c）

0
0.1
0

0

1

2

3

4
：表の出る数

0

1

2

3

確率

1.3

4
： の目が出る数

図 1.13は平均が ，標準偏差が（a）0.4,（b）1,（c）2.25 の正規分布です。図からわかるように左右0.6対称で，標準偏差が小さいほど分布（幅）が狭くなります。
0.5
0.4

（a）

0.3
0.2

（b）

0.1
0

0

1

2

3

4

（c）
： の目が出る数（a）▶▶図1.13異なる標準偏差の正規分布

（b）

（a）
（b）

（c）

実際のデータは完全に正規分布に従うわけではなく，ずれが生じます。これを表す指標として歪度と尖度があります。

（１）歪度

（c）
歪度はデータ分布の非対称性を表す指標です。Excelの関数では SKEW で求めることができます。
歪度が 0 の場合（a）は完全対称です。
プラスの値の場合（b）は右側に歪んでいる，すなわち左側にピークがあり右側にテール（すそ）を引いている分布となります。
またマイナスの値の場合（c）は左側に歪んでいる，すなわち右側にピークがあり左側にテールを引いている分布となります。

（b）

（b）

（a）

（c）

（a）
（c）

▶▶図1.14異なる歪度の分布99.72%
（b）
9

第

1章

統計・確率・検定

（b）

（a）

（２）尖度

（c）

（c）

尖度はデータ分布の外れ値を表す指標です。Excel の関数では KURT で求めることができます。
尖度が 0 の場合（a）は正規分布です。
プラスの値の場合（b）は正規分布よりトップが高く，尖っている分布となります。
またマイナスの値の場合（c）は正規分布よりトップが低くく，なだらかな分布となります。

（b）

（a）

（c）

（b）

（a）
（c）

（b）
▶▶図1.15異なる尖度の分布99.72%

また，平均値から標準偏差を引いた値（ − ）から，平均値に標準偏差を足した値（（a）
値が含まれる確率はその面積合計となり 0.6826▶
（68.26%）となります。

+ ）の範囲に，さらに平均値から標準偏差の 2 倍の範囲（ ± 2 ）に値が含まれる確率は95.44% に，標準偏差の 3（c）倍の範囲（ ± 3 ）に値が含まれる確率は 99.72% になります。

68.26%
したがって，正規分布に従うデータが標準偏差の2 倍の範囲から外れる確率は 4.56% になります。

これを利用して，ある仮説が正しいかどうかを調べることを検定といいます。

99.72%
95.44%

68.26%

95.44%▶▶図1.1610正規分布の確率