平成17年度名古屋大学大学院工学研究科計算理工学専攻博士課程（前期課程）入学試験問題

基礎部門以下の注意をよく読みなさい．
1. 試験開始の合図があるまでは，この問題冊子を開いてはならない．
2. 問題は基礎数学（線形代数），基礎数学（微積分），応用数学，離散数学，力学の５問があるが，その中から次の通り４問に解答すること．
(1) 基礎数学（線形代数）および基礎数学（微積分） の２問はともに必ず解答すること．
(2) 応用数学，離散数学，力学の３問の中から２問を選択して解答すること．それら３問すべてに解答した場合は無効となるので注意せよ．
3. 答案用紙は，予備１枚を含めて合計５枚ある．
(1) 各問ごとに１枚ずつ答案用紙を用いよ．
(2) 選択した問題の分野名（基礎数学（線形代数），基礎数学（微積分），応用数学，離散数学，力学のいずれか）を指定欄に記入せよ．(3) 予備の答案用紙を下書き用紙として使用してよい．

4. 答案用紙には氏名を記入してはならない．
5. 問題用紙，答案用紙（予備を含む）はすべて回収するので，持ち帰らないこと．

線形代数平面上に n 個の点 (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn) が与えられており，i ≠ j のとき xi ≠ xj が成り立つとする。このとき，命題これら n 個の点を通る n –1 次関数 y = an –1 xn –1 + … + a1 x + a0 がただ１つ存在する。

が成り立つ。この命題について，次の問に答えよ。
(1) 関数 y = an –1 xn –1 + … + a1 x + a0 が (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn) を通るという条件を，a0, a1, … , an –1 に関する連立一次方程式として表せ。
(2) n = 2 の場合に問(1)の連立一次方程式を解け。
以下では， n × n 行列 Vn を⎛1⎜⎜1⎜V n = ⎜1
⎜M⎜⎝12x1
x2x3Mx12x22x3Mxnxn2KKLOLn −1x1 ⎞⎟n −1x2 ⎟n −1 ⎟x3 ⎟M ⎟n −1 ⎟xn ⎠と定義する。
(3) det V3 を求めよ。
(4) 問(3)の結果を使い，n = 3 の場合に命題が成り立つことを証明せよ。
(5) det V4 を求め，それを用いて n = 4 の場合に命題が成り立つことを証明せよ。
（ヒント： det V4 において第 i 列から第 i – 1 列の x1 倍を引くという操作を i = 4, 3, 2 の順に施せ。）基礎数学（微積分）1． 次の極限を求めよ。

x 2 − 1 + cos 2 xx →0x4(1) lim(2) lim ( a n + b n )1/ n

n →∞ただし， a > b > 0 とする。

1/ n

⎛ m n⎞(3) lim ⎜ ∑ ak ⎟n →∞⎝ k =1⎠ただし， ak ≥ 0 とする。

2． 次の不定積分を計算せよ。ただし，log は自然対数を表すとする。
(1) ∫ e x sin x dx(2) ∫ sin(log x) dx3． ∫∫ ArctanD⎧⎪2yx2x ⎫⎪dxdy を求めよ。 ただし，D は D = ⎨( x, y ) 1 ≤+ y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ ⎬ で表x42 ⎭⎪⎩⎪される領域とする。

応用数学I. 以下の問に答えよ．
1) 線形微分方程式dyd2 y+ cy = 0 (a, b, c は定数)+ bx2dxdxは変数変換 x = et によりつぎの定数係数の線形微分方程式になることを示せ．
ax2ad2 ydy+ (b − a) + cy = 0.
dt2dt2) 上のことを用いて方程式x2dyd2 y− y = (log x)2+xdx2dx

を解け．

II. 3 次元ベクトル場 A が A = (x − 2y, y − 2z, z − 2x) で与えられているとする．6 つの平面x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1 によって囲まれた立方体を V ，その表面を S とする．
1) 面積分SA · n dS をその定義に従って計算せよ．ただし，n は S の外向き単位法線ベクトルを表す．

2) 体積分VdivA dV を求めよ．

離散数学N 個の複素数データ fa(0) a(1) : : : a(N ;1)g に対し，次の式で定義される fc(0) c(1) : : : c(N ;1)g;1を fa(j )gNj =0 の離散フーリエ変換と呼ぶ。
c(k) =

NX;1j =02ijka(j ) exp ;N(k = 0 1 : : : N ; 1)

(1)ただし，i は虚数単位を表す。いま，N = 2p（ p は 1 以上の整数）とするとき，この離散フーリエ変換を高速に計算するアルゴ リズムを次の手順により設計せよ。

;1 を計算するときの計算量を求めよ。ただし，複素数の四則演(1) 定義式をそのまま用いて fc(k)gNk=0算はすべて１演算と数え，exp(;2ijk=N ) は数表により与えられていると仮定してその計算量は考慮しないとする。また，計算量は N に関するオーダー（ O(N 3 ) など ）のみを答えればよい。
以下では，q = 0 1 : : : p に対し，2p;qXq (j k) = 2q の複素数配列 Xq (j k) を次のように定義する。
2q ;1

X

2imk; 2qk = 0 1 : : : 2q ; 1)a(2p;q m + j ) exp

m=0(j = 0 1 : : : 2p;q ; 1(2)この配列の値を X0 (j k ) から始めて X1 (j k ) X2 (j k ) : : : Xp (j k ) と順に計算していくことにより，離散フーリエ変換を計算するアルゴ リズムを考える。

(2) X0(j 0) = a(j )（ j = 0 1 : : : N ; 1 ）および Xp (0 k) = c(k)（ k = 0 1 : : : N ; 1 ）が成り立つことを示せ。

(3) Xq+1(j k) は Xq (j k) から次の式により計算できることを示せ。

2ik; 2q+1k = 0 1 : : : 2q+1 ; 1)Xq+1(j k) = Xq (j k) + Xq (j + 2p;q;1 k) exp(j = 0 1 : : : 2p;q;1 ; 1ただし，0(3) q  p ; 1 とし，右辺において k が 2q 以上となった場合は，mod 2q で考えるとする。

(4) 小問 2)，3) の結果を使って fa(j )gNj =0;1 の離散フーリエ変換を求めるアルゴ リズムを書け。なお，アルゴ リズムの記述には適当なプログラミング言語を用いてもよい。

(5) 小問 4) のアルゴ リズムの計算量を求めよ。なお，計算量を求めるに当たっての条件は小問 1) と同様とする。

力学細長い剛体棒（密度 ρ ，長さ l ，軸方向に垂直な断面積 A ）が，図１に示すように，ピンと紐（ひも）により鉛直軸 OO′ に角度 θ で取り付けられ，一定の角速度 ω で回転している．紐は水平面内にある．重力加速度を g とし，剛体棒の軸方向に沿ってピンから測った長さを ξ として，次の問に答えよ．ただし，剛体棒はピン継手部で鉛直面内に滑らかに回転でき，密度 ρ は一定であるとする．なお，紐の質量は無視できるとする．1) 剛体棒の体積要素 Ad ξ （図中のハッチング部分）に作用する重力と遠心力は，どのように表されるか．
2) 紐に生ずる張力 T およびピンに作用する力の水平成分 Px と鉛直成分 Py を，断面積 A が一定の場合に求めよ．
3) 断面積 A が剛体棒の軸方向に変化する場合，紐の張力 T およびピンに作用する力の水平成l分 Px と鉛直成分 Py はどのように表されるか．ただし， ∫ Aξ k d ξ （ k = 0,1, 2, 3, K ）を計算す0llる必要が生じた場合には， ∫ Aξ k d ξ = I k と置くものとする．（例： ∫ Aξ 2 d ξ = I 2 ）00OωθピンO′
図１平成17年度名古屋大学大学院工学研究科計算理工学専攻博士課程（前期課程）入学試験問題

専門部門以下の注意をよく読みなさい．
1. 試験開始の合図があるまでは，この問題冊子を開いてはならない．
2. 答案用紙は，予備１枚を含めて合計２枚ある．
予備の答案用紙を下書き用紙として使用してよい．
4. 答案用紙には氏名を記入してはならない．
5. 問題用紙，答案用紙（予備を含む）はすべて回収するので，持ち帰らないこと．

小論文以下の２問から１問を選択して解答せよ．
１．

近年，ソースコードを公開しないパッケージソフトウェアに対して，Linux のようなソースコードを公開するオープンソースの動きが盛んである．これについて，以下の問いに答えよ．

(1) オープンソースの長所と短所をできるだけ多様な側面から論ぜよ．
(2) オープンソースの流れは今後どのように変遷していくと考えられるか，上記長所・短所をふまえて論ぜよ．

２．

現在，多くの企業の開発現場では，実機実験を計算機シミュレーションで代替することで，製品開発に要する時間と経費を削減する試みが進められている．計算機シミュレーションは確かに厳しい開発競争に勝つ有効な手段を提供するが，一方でシミュレーションでは予期されなかった状況において不具合を引き起こす危険をはらんでいる．製品の使用者の生命に関わるような故障は大きな社会問題を引き起こしかねない．計算機シミュレーションについて，以下の問いに答えよ．

(1) 計算機シミュレーションの利用は今後どのようになっていくと考えますか？
(2) もし，あなたが計算機シミュレーションに関わる研究開発に従事するとしたら，どのようなことがやりたいですか？なお，いずれの問題を選択した場合においても論理展開力を重視して採点するので，そのことに留意して論述せよ．