物理 (1)問. 下図のように、質量 m1 の質点 1 と質量 m2 の質点 2 がそれぞれ長さ l の糸でつながれている。点O で糸は固定されており、質点の運動は紙面の平面内に限られるとする。図中に示したように角度 θ1と θ2 をとるとき、この系の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、鉛直下方に重力加速度 g が作用しているものとし、運動によって糸はたるまないものとする。

(a) 与えられた変数を用いて、この系の運動エネルギー T 、位置エネルギー U とラグランジアン L を書け。
以下、|θ1 | ≪ 1、|θ2 | ≪ 1 とする。

(b) オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、θ1 と θ2 の満たす線形微分方程式を求めよ。
(c) 質点 1、2 の質量比を µ = m2 /m1 とするとき、この系の固有振動数を求めよ。
(d) (c) で求めた固有振動数の µ ≪ 1 と µ ≫ 1 における極限値をそれぞれ求め、どうしてそのような値をとるのかを物理的に説明せよ。
(e) 固有振動数を µ の関係として図示せよ。
(f ) µ = 1 のとき、各固有モードにおける質点 1、2 の運動の振幅の比を求め、各固有モードの振動の様子を図示せよ。

Olm1

θ1lg
θ2

図m2物理（２）問１. ファン・デル・ワールスの状態方程式(p+a )(V − b) = RT
V2に従う 1 モルの気体を考える。p、V 、T はそれぞれ気体の圧力、体積、（絶対）温度であり、R は気体定数である。また a と b は正の定数である。以下の問いに答えよ。

(1) (∂T /∂V )E を、p、T 、cV 、(∂p/∂T )V を用いて表せ。ここで、E は気体の内部エネルギー、cV は定積モル比熱である。

(2) 内部エネルギー E を温度 T と体積 V の関数とするとき、内部エネルギー E(T, V ) を cV と積分定数 Cを含む形で表せ。ここで、cV は温度 T に依存しないとする。

(3) この気体を真空中へ断熱的に自由膨張させ、体積を V1 から V2 にした。それに伴い気体の温度は T1 から T2 に変化した。温度の差 ∆T = T2 − T1 を求めよ。

(4) 温度 T と体積 V の関数としてエントロピー S(T, V ) を求めよ。また、体積 V1 から V2 への断熱的自由膨張に伴いエントロピーが S1 から S2 に変化した。∆S = S2 − S1 を求めよ。

(5) 理想気体の断熱的自由膨張におけるエントロピーの変化 ∆S を求め、その正負を理由も含めて論ぜよ。
問２. 温度 T の熱浴と熱的・拡散的に接している粒子系の大きな分配関数 Z をZ=∞∑∑∑exp β (µ − ϵj ) nj 

N =0 n1 +n2 +···=Njで定義する。N は系に含まれる粒子数、nj はエネルギー準位 ϵj を占める粒子の数、µ は粒子の化学ポテン
シャル、β = 1/kB T 、kB はボルツマン定数である。
いま系が二つのエネルギー準位 ϵ1 と ϵ2 のみ持っているものとし、また n1 と n2 は 0 か 1 の値のみを取る
として以下の問いに答えよ。

(1) エネルギー準位 ϵ1 と ϵ2 とも空になっているか、あるいは、どちらかの準位のみが１個の粒子によって占められているものとするとき（a）大きな分配関数 Z を求めよ。
（b）系を占めている粒子の数の平均値 N̄ を求めよ。
（c）エネルギー準位 ϵ1 を占めている粒子の数の平均値 n̄(ϵ1 ) を求めよ。

(2) エネルギー準位 ϵ1 と ϵ2 とも空になっているか、どちらかの準位のみが１個の粒子によって占められているか、あるいは、二つの準位ともそれぞれ１個の粒子によって占められているものとするとき、（a）大きな分配関数 Z を求めよ。
（b）エネルギー準位 ϵ1 を占める粒子の数の平均値 n̄(ϵ1 ) を求めよ。
（c）βµ ≫ 1 のとき、n̄(ϵ1 ) は ϵ1 の関数としてどのように振る舞うか、その概略図をかけ。
（d）βµ ≫ 1 のとき、系を占めている粒子の数の平均値 N̄ を、（i）ϵ1 < µ かつ ϵ2 < µ、（ii）ϵ1 < µ かつ ϵ2 > µ、（iii）ϵ1 > µ かつ ϵ2 > µ の三つの場合についてそれぞれ求めよ。

物 理（３）問１. z ≤ 0 の領域に誘電率 ϵ の誘電体がある。z > 0 の領域は真空で、真空の誘電率は ϵ0 とする。
誘電体の表面から高さ d の z 軸上の点 (座標 (0, 0, d), d > 0) を点 P とする。

(a) 点 P に電荷 q を持つ点電荷を置いた。誘電体内外の静電ポテンシャル Φ(r) を求めよ。
(b) 点電荷に働く力の大きさと向きを求めよ。
(c) 誘電体表面に現れた分極電荷の電荷面密度 σ と分極電荷の総和を求めよ。
(d) 点電荷の代わりに点 P に電気双極子モーメント p = p (sin θ ex + cos θ ez ) を持つ電気双極子を置いた。ここで、ex 、ez は、それぞれ、x 方向、z 方向の基底ベクトルであり、θ は z 軸と p のなす角である。電気双極子に働くトルクを求めよ。
問２. y 方向を向いた一様な磁場 B = B ey の中で、座標原点を中心とした半径 a の円形コイルをz 軸を軸として反時計周りに一定の角速度 ω で回転させた。ここで、ey は y 方向の基底ベクトルである。時刻 t = 0 で円形コイルは xz 平面上にあるものとする。(図１参照) ただし、一様な磁場 B は変化せず、コイルの作る磁場は無視できるものとする。真空の透磁率は µ0とする。

(a) コイルに生じる誘導起電力を求めよ。
(b) コイルの抵抗を R とするとき、ジュール熱によるエネルギー損失率を求めよ。
(c) コイルの回転角速度 ω を一定に保つために必要なトルクを求めよ。
(d) (c) で求めたトルクによる仕事率を求めよ。また、(b) で求めたジュール熱によるエネルギー損失率と比較し、物理的に何が言えるか答えよ。

zω

y

ωt

y!x
!x



!

!

図１: 俯瞰図 (左)、z 軸正の方向から見た図 (右)物理（４）
問. 質量 m の粒子の波動関数 ψ(x, t) が、以下の 1 次元シュレーディンガー方程式を満たすものとする。
()
h̄2 d2h̄2∂ψ(x, t)=−+ Λδ(x) ψ(x, t)(1)ih̄
∂t2m dx2m
ここで h はプランク定数で h̄ = h/2π 、δ(x) はディラックのデルタ関数、Λ は定数である。

(1) ψ(x, t) = e−iωt ϕ(x) として ϕ(x) が以下の条件を満たすことを示せ。
[]dϕ(+ϵ) dϕ(−ϵ)
lim−= 2Λϕ(0)ϵ→0dxdx(2)

ここで ϵ は正の量とする。

(2) ここでは、Λ > 0 とする。波数 k の自由粒子が x の負の領域から正の方向に入射した。
この粒子のポテンシャルによる原点での散乱を考える。
(a) 入射波の波動関数 ψ(x, t) を求めよ。波動関数の振幅は 1 とせよ。
答えは k を用いた形で表せ。また k と ω の関係式を答えよ。
(b) 散乱波解を求めよ。ただし、解は次で定義される θ を用いてまとめよ。
cos θ = √Λk 2 + Λ2,sin θ = √kk 2 + Λ2(c) 反射率および透過率を求めよ。
(d) 図 1 は、ある時刻における入射波の波動関数の実部を示している。Λ = k とし、反射波と透過波の波動関数の実部の概略図を描け。解答欄にこの図を写して描きその中に答えを描け。

0.5‒0.50.5x‒0.5

図 1:(e) Λ ≫ k の極限で t = 0, x = 0 での反射波の位相を k/Λ の一次までで求めよ。
(3) 次に、Λ < 0 とする。束縛状態を表す規格化された状態関数 ϕ(x) とそのエネルギー固有値を求めよ。