平成29年度

豊島岡女子学園中学校<第3回>算数

くわしい解説すぐる学習会１ (1) 2.1× 2 － 8 ÷ 2 － 2315 5 3アイウエ

ア＝2127× ＝1035854× ＝15232422ウ ＝イ－ ＝ － ＝33337211エ ＝ア－ウ＝ － ＝5315イ＝(2)

204560が整数となるためには，は 20 の倍数でなければなりません。

が整数となるためには，は 45 の倍数でなければなりません。

が整数となるためには，は 60 の倍数でなければなりません。

よって，は 20 と 45 と 60 の公倍数になります。しかも最も小さい整数を求めるのですから，20 と 45 と 60 の最小公倍数になり，答えは 180 です。
(3)

定価 3900 円の 3 割引きは，3900×(1－0.3) ＝ 2730（円）です。
さらに 2 割引きすると，2730×(1－0.2) ＝ 2184（円）になります。

(4) エンジンが 5 分間停止している間，船は止まっているわけではなく，川の流れの速さで押しもどされます。
川の速さは分速 80 ｍですから，80×5＝ 400（ｍ）押しもどされたことになります。
船の上りの分速は，280－80＝200（ｍ）ですから，エンジンが直ったときに，故障した地点までもどるのに，400÷200＝ 2（分）かかります。
つまり，押し戻された 5 分という時間と，故障した地点までもどる 2 分という時間の，合わせて 5＋2＝ 7（分間）の，ムダな時間があったことになります。

-1-ムダな時間があって，ＡからＢまで 50 分かかったのですから，ムダな時間がなければ，50－7＝43（分間）で上ることができたはずです。
ＡからＢまでは，分速 200 ｍで上って 43 分かかるような距離ですから，200×43＝ 8600（ｍ）になります。

２ (1) 枚数の比が 3：5 なので，Ａの枚数を 3 枚，Ｂの枚数を 5 枚と決めてしまいます。
すると，40×3＋60×5＝420（円）になります。
実際は 5040 円ですから，5040÷420＝ 12（倍）になっています。
よって，シールの枚数は，Ａが 3×12＝ 36（枚），Ｂが 5×12＝ 60（枚）なので，全部で 36＋60＝ 96（枚）になります。
(2)

右のような面積図を書きましょう。とのたての長さの比は，(8－6)：(6－3)＝2：3 ですから，横の長さの比は逆比になって，3：2 です。

86合

よって，合格者の人数は，40÷(3＋2)×3＝ 24（人）になります。

不340(3)

7 回目の操作の結果， 1 になったのですから，6 回目の操作結果は 2 でした。
5 回目の操作の結果は，もし偶数だったとしたら 2 で割った結果 2 になったのですから，4 です。もし奇数だったとしたら，(□＋1)÷2＝2 ですから，□＝3 です。
4 よりも 3 の方が小さいのですから，5 回目の操作の結果は 3 であることにします。

同じように，操作の結果は偶数だったときよりも奇数だったときの方が必ず小さいので，以降は奇数のときだけ考えていくことにします。
4 回目の操作の結果は，(□＋1)÷2＝3 ですから，□＝5 です。
3 回目の操作の結果は，(□＋1)÷2＝5 ですから，□＝9 です。
2 回目の操作の結果は，(□＋1)÷2＝9 ですから，□＝17 です。
1 回目の操作の結果は，(□＋1)÷2＝17 ですから，□＝33 です。
はじめの数は，(□＋1)÷2＝33 ですから，□＝65 になります。

-2-

(4)

ＣＥ：ＥＤ＝ 4：1 ですから，右の図のように高さを決めます。
台形ＡＢＣＤの高さは，1＋4＝5 になるので，台形ＡＢＣＤの面積は，(1＋3)×5÷2＝10 になります。

1cmＡＤＥ

14ＢＦＣ3cm

直線ＥＦは台形ＡＢＣＤの面積を 2 等分しているので，三角形ＥＦＣの面積は，10÷2＝5 になります。
三角形ＥＦＣの底辺をＦＣとすると，高さは 4 ですから，ＦＣ×4÷2＝5 となり，ＦＣ＝5×2÷4＝2.5（cm）になります。
ＢＦの長さは，3－2.5＝0.5（cm）ですから，ＢＦ：ＦＣ＝0.5：2.5＝ 1：5 になりります。

ＨＡアＥ

３ (1) 右の図のア：イは 2：3 で，Ｇは辺ＣＤの真ん中の点ですから，ウ：エ＝ 1：1 です。
辺ＡＢと辺ＣＤは同じ長さです。
よって，ア＋イ＝2＋3＝ 5 と，ウ＋エ＝1＋1＝2を，最小公倍数である 10 にします。

ウＩイＧエＪＢＨ

45Ｉ

Ｇ5ＪＢＣＦオＡＨカＤ45ＥＩ6ＢＧ5ＪＦ ク

キＣＨ 1 Ｄ5Ａ

オとカはそのままで，オ＝5，カ＝1 になり，キとクは 2 倍することになって，キ＝4，ク＝2になるので，右の図のようになります

45Ｅ6Ｂ-3-ＤＥ6また，右の図のオ：カは 5：1 で，キ：クは2：1です。
辺ＡＤと辺ＢＣは同じ長さです。
よって，オ＋カ＝5＋1＝6 と，キ＋ク＝2＋1＝3を，最小公倍数である 6 にします。

ＣＦＡ

アとイは 2 倍することになって，ア＝4，イ＝6になり，ウとエは 5 倍することになって，ウ＝5，エ＝5 になるので，右の図のようになります。

ＤＩ4Ｇ5ＪＦ 2Ｃ

(1)はＥＩ：ＩＪを求める問題です。
ＥＩ：ＩＪ：ＪＦがわかれば，ＥＩ：ＩＪもわかります。
ＥＩ：ＩＪ：ＪＦを求めるために，まず右の図のＥＩ：ＩＦを求め，次にＥＪ：ＪＦを求めます。

Ｈ 1 Ｄ

5Ａ45ＥＩ6Ｇ5ＪＢ

4Ｈ 1 Ｄ5Ａ

ＥＩ：ＩＦを求めるためには，右の図のケのように補助線を引き，

45ケＩＥ
6Ｇ5Ｊ
Ｂ

4Ｆ 245ケＩＥ
6Ｇ5Ｊ
Ｂ

4Ｆ 24Ｅ
65ケＩＧ5ＪＢ

4Ｆ 25Ａ

ぬき出すと右の図のようになり，10：6＝5：ケ ですから，ケ＝3 です。

ＣＨ 1 Ｄ

5Ａ

ケの長さを求めるためには，右の図のようなピラミッド形に注目します。

ＣＨ 1 Ｄ

5Ａ

右の図のようなクロス形によって，ＥＩ：ＩＦがわかります。
ケの長さがわかれば，ＥＩ：ＩＦ＝ケ：ＢＦですから，ＥＩ：ＩＦを求めることができます。

ＣＦ 2ＣＨ4ＥＥ66Ｂ

Ｂ

104Ｅ6Ｈ 1 Ｄ

5Ａ

よって，ＥＩ：ＩＦ＝3：4 になります。

ケ53ＩＧ5Ｊ
Ｂ-4-4Ｆ 2Ｃ次に，ＥＪ：ＪＦを求めます。
まず，右の図の太線のような補助線を引き，

Ｈ 1 Ｄ

5Ａ
45Ｅ
Ｉ

6Ｇ5Ｊ
Ｂ

4Ｈ 1 Ｄ

5Ａ

右の図のようなクロス形に注目します。

ＣＦ 245ＥＩ

6Ｇ5Ｊ
Ｂ
ＥＪ：ＪＦは，右の図の（コ＋サ）：4 になりますから，コとサの長さがわかればＯＫです。
コは辺ＡＤと同じ長さなので 6 です。
あとは，サの長ささえわかれば，ＥＪ：ＪＦが求められることになります。

4Ａ

右の図において，コは 6，サは 1.2 であることがわかりましたから，ＥＪ：ＪＦは，(コ＋サ)：辺ＢＦ＝(6＋1.2)：4＝9：5になります。

5Ｈ 1 Ｄコ

54ＥＩ

6Ｂ4Ｆ 24ＥＨ 1 Ｄコ

5シ

4Ｆ 2Ａ4ＥＢＣ

5Ｈ 1 Ｄ

コ5Ｉ

64Ｇ5Ｆ 2サ

Ｇ
5Ｊ
Ｂ

Ｊ-5-Ｃ

5Ｉ

6サ

Ｇ
5Ｊ

Ａ
サは，右の図のようなクロス形に注目して求めます。
右の図のシの長さは，6－5＝ 1 ですから，シ：ＧＣ＝1：5 です。
よって，サ：辺ＢＣも 1：5 になるので，サ＝(4＋2)÷5＝ 1.2 です。

ＣＦ 2ＣサＥＩ：ＩＦ＝3：4，ＥＪ：ＪＦ＝9：5 となることがわかりました。

4
Ｅ

ＥＩ：ＩＦ＝3：4 の方は 2 倍にして，ＥＩ＝6，ＩＦ＝ 8 です。
ＥＪ：ＪＦ＝9：5 の方はそのままにして，ＥＪ＝9，ＪＦ＝ 5 です。

53Ｉ
9ＥＩ：ＩＦ＝3：4 のとき，ＥＦ＝3＋4＝7 で，6ＥＪ：ＪＦ＝9：5 のとき，ＥＦ＝9＋5＝14 です。
そこで，ＥＦを（7と14の最小公倍数である）14 にします。

ＢＧ
54Ｊ 54Ｆ 2ＣＨ 1 Ｄ5Ａ4Ｅ66Ｉ
9Ｂ

4ＩＪの長さは，ＥＪ－ＥＩ＝9－6＝ 3 になります。 Ａ
4ＩＦ－ＪＦ＝8－5＝ 3 として求めてもＯＫです。
Ｅ58Ｊ 56Ｂ4Ｆ 2Ｈ 1 Ｄ8Ｊ 5Ｆ 25Ｇ5ＣＨ 1 Ｄ5平行四辺形ＡＢＣＤの，底辺を ＢＣ＝ 6 にします。 Ａ
4高さを，（ななめになっていますが）ＤＣ＝ 10 にＥします。
6Ｃ3(2)

5Ｉ6ＢＧ556Ｉ9

よって，ＥＩ：ＩＪ：ＪＦ＝6：3：5 になりますから，ＥＩ：ＩＪ＝6：3＝ 2：1 です。

平行四辺形ＡＢＣＤの面積は，6×10＝60 になります。

Ｈ 1 Ｄ5Ａ3ＪＧ 10554Ｆ 2Ｃ6三角形ＥＢＦは，底辺がＢＦ＝4，高さは（ななめになっていますが）ＥＢ＝6なので，面積は，4×6÷2＝12 になります。

5Ａ4Ｅ
66Ｈ 1 Ｄ5Ｉ3ＪＧ 1055(1)で求めた通り，ＥＩ：ＩＪ：ＪＦ＝Ｂ
4Ｆ 2 Ｃ
6：3：5 ですから，三角形ＢＩＪの面積は，61812÷(6＋3＋5)×3＝になります。
7183よって，三角形ＢＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の， ÷60＝に770なります。

-6-４ (1) 右のような表にして，解いていきましょう。
12 年生の徒歩は，全体の 25 ％＝ ですから，全体を4④とすると，2 年生の徒歩は，①になります。

自転
徒歩 合計
車
１年
２年

①④合計
2 年生では，徒歩が自転車より 5 人多いのですが，逆に言うと，自転車は徒歩より 5 人少ないです。
徒歩を①にしたのですから，自転車は ①－5 です。

自転
徒歩 合計
車
１年
２年 ①－5 ①④合計

自転
徒歩 合計
車

2 年生の合計は，(①－5)＋①＝②－5 になります。
１年

２年 ①－5 ① ②－5④合計

もし 2 年生の合計が，②－5 ではなくて②だったとしたら，全体の合計が④なので， 1 年生の合計は ④－②＝② になります。
実際は 2 年生の合計は ②－5 ですから，1 年生の合計は ②＋5 になります。

自転
徒歩 合計
車
１年

②＋5

２年 ①－5 ① ②－5④

合計

1 年生の合計は②よりも 5 人多く，2 年生の合計は②よりも 5 人少ないのですから，1 年生の合計と 2 年生の合計との差は，5＋5＝ 10（人）になります。

-7-②5

１年
②
２年5

(2)
1 年生では，徒歩は自転車より 25 人多いのですが，逆に言うと，自転車は徒歩より 25 人少ないです。
右のような線分図になります。

自転車を 25 人増やすと，右の図のようになり，1 年生全体の人数は，(②＋5)＋25＝②＋30 になります。

自転車

25

②＋5

徒歩25

自転車
徒歩(②＋30)÷2＝①＋15 ですから，徒歩は①＋15 になり，自転車は徒歩よりも 25 人少ないので，(①＋15)－25＝①－10 になり，右の表のようになります。

②＋30
②＋5

自転
車 徒歩 合計
１年 ①－10①＋15②＋5
２年 ①－5 ① ②－5④

合計

1 年生の自転車は ①－10 で，2 年生の自転車は①－5 ですから，自転車の合計は，(①－10)＋(①－5)＝②－15 になります。

自転
徒歩 合計
車
１年 ①－10①＋15②＋5
２年 ①－5 ① ②－5②－15 が85人ですから，②は，85＋15＝100（人） 合計 ②－15です。

④①あたり，100÷2＝50（人）ですから，全体である④は，50×4＝ 200（人）になります。

-8-５ (1) はじめはすべてのカードが白でした。
さいころを 2 回投げたとき赤になるのは，1 回だけ裏返しされたカードです。
ベン図を書くと，右の図の斜線部分のカードが，赤になるカードです。

1～200
5 の倍数 3 の倍数

イは，5と3の公倍数なので，15の倍数です。
200÷15＝13 あまり 5 ですから，イは 13 枚です。

イア

ウ

200÷5＝40 ですから，ア＋イは 40 枚です。
よってアは，40－13＝27（枚）です。
200÷3＝66 あまり 2 ですから，イ＋ウは 66 枚です。
よってウは，66－13＝53（枚）です。
アは 27 枚，ウは 53 枚ですから，答えは 27＋53＝80（枚）になります。
（2） （1）と同じように解けばよいのですが，2 の倍数と 4 の倍数の関係に注意しましょう。
4 の倍数は必ず 2 の倍数でもあるので，2 の倍数
4 の倍数と 2 の倍数の関係を表すベン図は，4 の倍数右の図のようになります。

さいころを 3 回投げて，1 回だけ裏返しされたカードと，3 回とも裏返しされたカが赤になっているのですから，右の図の斜線部分が，赤になるカードです。

2 の倍数
3 の倍数
4 の倍数
アイウは，( 4 と 3 の最小公倍数である) 12 の倍数の部分なので，200÷12＝16 あまり 8 より，16 枚です。
ウ＋エは，( 2 と 3 の最小公倍数である) 6 の倍数の部分です。
200÷6＝33 あまり 2 により，33 枚になります。
よってエは，33－16＝17（枚）です。
イ＋ウは，4の倍数の部分です。
200÷4＝50（枚）になります。

-9-オウエウは 16 枚でしたから，イは 50－16＝34（枚）です。
ア＋イ＋ウ＋エは，2 の倍数の部分です。
200÷2＝100（枚）になります。
イは 34 枚，ウは 16 枚，エは 17 枚ですから，アは 100－(34＋16＋17)＝33（枚）です。
ウ＋エ＋オは，3 の倍数の部分です。
200÷3＝66 あまり 2 ですから，66 枚です。
ウは 16 枚，エは 17 枚ですから，オは 66－(16＋17)＝ 33（枚）です。
求めたいのは斜線部分で，ア＋ウ＋オ の部分です。
アは 33 枚，ウは 16 枚，オは 33 枚ですから，33＋16＋33＝ 82（枚）になります。
（3） でた目が 1，2，3，4，5，6 の公倍数だったら，3 回とも裏返って，赤になるはずです。
1，2，3，4，5，6 の最小公倍数は 60 ですから，60 の倍数が何枚あるか，という問題になります。
200÷60＝ 3 あまり 20 ですから，答えは 3 枚になります。

６ (1)① 立方体を横から見ると，

ＣＤＡＢ

横ＨＥ

正方形ＢＦＧＣが見え，Ｂの奥にＡ，Ｆの奥にＥ，Ｇの奥にＨ，Ｃの奥にＤがあります。

- 10 -

Ｇ
Ｆ(Ａ )
Ｂ( Ｄ)
ＣＦ(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

折れ線は，Ｅから面ＡＢＣＤの中心（右の図のマルをつけた点）までの直線と，マルをつけた点からＧまでの直線に分けることができます。
マルをつけた点は，横から見ると辺ＢＣの真ん中に見えます。

ＣＤＡ
Ｂ
Ｈ

ＧＥ

Ｆ
(Ａ )
Ｂ

( Ｄ)
Ｃ

Ｆ(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

Ｄ

Ｃ

横から見た図では，ＥはＦの奥，マルをつけた点は辺ＢＣの真ん中ですから，右の図のようになります。

② 平面ＣＤＥＦは，右の図のようになっています。
Ａ

Ｂ
Ｈ

Ｇ

Ｅ

平面ＣＤＥＦと折れ線Ｓの両方にある点は，右の図の点Ｅと，☆の 2 点です。

Ｆ
ＣＤ
Ａ
Ｂ ☆
Ｈ

Ｅ

横から見ると，平面ＣＤＥＦは，右の図のような直線になって見えます。

- 11 -

Ｇ
Ｆ

(Ａ )
Ｂ

( Ｄ)
Ｃ

Ｆ
(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

さらに折れ線Ｓも書くと，右の図のようになります。

(Ａ )
Ｂ

( Ｄ)
Ｃ

Ｆ
(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

(Ａ )
Ｂ

( Ｄ)
Ｃ

平面ＣＤＥＦと折れ線Ｓの両方にある 2 点は，右の図の（Ｅ）と，☆になります。

☆

Ｆ(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

(Ａ )
Ｂ( Ｄ)
Ｃ

（2 つの点を結んでできる直線の長さ）：（直線ＣＥの長さ）は，右の図のア：イと同じです。

イ☆
アア：イを求めるために，右の図のア：ウから求めます。
斜線部分のクロス形に注目すると，ア：ウ＝2：1 です。

Ｆ(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

(Ａ )
Ｂ( Ｄ)
Ｃ

☆
ア

よってア：イは，2：(2＋1)＝2：3 になります。

（2）

図を見やすくするために，右の図のように上の面にごばんの目のような線を引き，黒点を 2 個書いておきます。
辺ＥＦの中点にも黒点をつけておきます。

Ｆ(Ｅ)

Ｇ( Ｈ)

ＤＣＡＢＨＥ- 12 -ウイＧＦ

上から見た図
ＤＣ

正面から見た図ＡＣＤ

右の図の太線のように直線を引けば，上から見た図，Ａ
正面から見た図が，次の図のようになります。

Ｂ
Ｈ

Ｂ

Ｇ

Ｅ

Ａ

Ｂ

Ｅ

Ｆ

Ｆ
Ｃ

Ｄ

右の図の太線のように直線を引けば，上から見た図，正面から見た図が，次の図のようになります。
Ａ

Ｂ

上から見た図ＤＣ

正面から見た図
Ａ

Ｂ

Ｈ

Ｇ

Ｅ

Ａ

Ｂ

Ｅ

Ｆ

Ｆ
Ｃ

Ｄ

同じようにすると，右の図のように 4 本の直線を引けば，上から見た図，正面から見た図が，次の図のようになります。
上から見た図
ＤＣ

Ａ

Ｂ

Ａ
Ｂ
Ｈ

Ｇ

正面から見た図
Ａ

Ｂ

Ｅ

Ｆ

Ｅ

Ｆ

Ｃ

Ｄ

平面ＣＤＥＦも書くと，右の図のようになります。
折れ線と平面ＣＤＥＦとが交わっている点が 3 点あるはずです。
3 点のうち 1 点は辺ＥＦの中点です。

Ａ
Ｂ
ＨＥ- 13 -ＧＦ

4 本の太線のうち，1 本だけ書いたのが，右の図です。

ＣＤＡ
ＢＨＧＥ

Ｆ( Ｄ)
Ｃ

Ｂ

横から見ると，右の図のようになっています。
ウ：エは，(1)と同じく 2：3 です。

エウＦ( Ｅ)

よって，平面ＣＤＥＦと折れ線との両方にある点は，右の図の黒点のような 3 点であることがわかりました。

Ｇ( Ｈ)
ＣＤＡ
Ｂ

3ＨＥ

23Ｇ2ＦＰＣＤ

この問題は，3 つの点を結んでできる三角形の面積（右の図の斜線部分）と，平面ＣＤＥＦの面積の比を求める問題です。
三角形ＰＣＤの面積は平面ＣＤＥＦの面積の半分です。

ＡＢ

3ＨＥ

Ｐ

23Ｇ2Ｆ224× ＝ です。
339142
よって，斜線部分の面積は平面ＣＤＥＦの面積の， × ＝ です。
2992
答えは， ： 1 ＝ 2：9 になります。
9
また，斜線部分の面積は三角形ＰＣＤの面積の，- 14 -