201011192 NAKAGAMA - 1

模型桁実験による車両応答を用いたモード形状推定法の桁損傷検知への適用性に関する検討
APPLICATION OF MODE SHAPE ESTIMATION EMPLOYED VEHICLERESPONSE TO GIRDER DAMAGE DETECTION IN MODEL EXPERIMENT
中釜裕太

Yuta NAKAGAMA（指導教員

山本 亨輔）

Abstract –A new VRA (Vehicle Response Analysis) method for bridge health assessment has
been proposed. In this method, only by data measured on a passing vehicle, SSM (Spatial SingularMode) is introduced as a bridge mode shape. SSM does not show the good accuracy to the modeshape itself, but it seems to change sensitively due to bridge damage. That mechanism is not clear.
Thus, in this study, its efficiency is statistically examined by a laboratory experiment with model
vehicle and girder. It becomes clear that the statistics of SSM changes due to the girder damage.

ストは必ずしも低くなく、経験豊富な人材も必要とす

1 はじめにるため、全ての橋梁への適用は非現実的である。
一般的に、橋梁の安全性を評価する際には、目視点

国土交通省によれば、日本には2m以上の橋梁が約70検が行われている。目視点検は、技術者の主観的判断・万基ある。これらは建設当時、永久構造物として設計能力により点検精度が左右される。橋梁群が一斉に老されたが、交通荷重増大による疲労の進展や腐食・劣朽化する一方で、熟練技術者が不足する中、技術者の化の進行により、想定外の機能低下が懸念される。適主観によらず、実測値から算出された客観的指標に基切な維持管理システムを構築し、構造上の安全性を確

づく点検手法が求められている。たとえば、超音波・保することが求められる。

マイクロ波・サーモグラフィ・振動加速度[6]-[17]などの米国では、1930年代に橋梁の建設ラッシュが生じたが、これらの橋梁群の更新・維持管理に十分な費用が利用が考えられる。橋梁構造全体の健全性評価においては、振動計測が適当である。

確保できず、1980年代に多くの事故が発生した。代表

従来型の振動計測は、構造物に直接、センサを設置

例として、1983年におけるマイアナス橋 (鋼桁橋) のする。したがって、労力とコスト面に課題が残る。こ

落橋事故[1]が挙げられるが、近年においても、2007年の課題を克服するため、近年、センサを走行車両に搭のI-35W橋 (トラス橋、ミネアポリス) の落橋事故載して間接的に橋梁振動を計測する移動型の簡易点[2][3][4]のように、依然として「荒廃するアメリカ」から検技術が提案されている。こうした移動体による簡易脱却できていない状況にある。日本でも、1960年代の点検は、迅速性に優れ、一橋当たりの費用低減や省力

高度経済成長期に建設された橋梁群が、供用開始から化も期待できる。また、橋梁群の一次スクリーニング

約50年を経過しており、同様の問題が生じる可能性をに利用することで、各橋梁に優先順位を設定し、限ら否定できない。重大事故を未然に防ぐためには、速やれたリソースを集中することも可能となる。本研究でかな現状把握と適切な維持管理が重要となる。

は、このような移動型点検に基づくスクリーニング手

日本では、国と地方公共団体で、維持管理の現状に法の開発を想定する。

差がある[5]。国が直轄する橋梁では、定期点検が実施

移動型点検に関する既往の研究では、車両の振動応され、必要に応じて対策が講じられているが、地方公答を、橋梁の振動特性を伝達する媒体と捉える。橋梁

共団体の管理する橋梁では、現状把握が進んでおらず、の振動指標として、固有振動数・モード形状が一般的

維持管理計画が整備されていない場合もある。この主である。Yangら[18]-[20]は、橋梁の評価指標として固有振原因は、地方の財政問題と技術的蓄積や熟練技術者の動数を取り上げ、車両速度が遅いとき、車両振動の卓不足などに求めることができる。従来型点検手法のコ

越振動数から橋梁の固有振動数を概ね推定できるこ201011192 NAKAGAMA - 2とを示した。Yangら[21]-[23]はEMD法を提案し、推定精も、走行により路面凹凸の影響が車両振動に混入する度を改善している。ただし、路面凹凸などの不確定要ため、車両振動と橋梁振動は大きく異なる。さらに、素が十分に考慮されておらず、損傷検知に十分な推定

車両は橋梁と異なる振動特性を持っており、一体とな精度は得られていない。また、一般に低次の固有振動って振動することはないため、車上計測で得られる振数は損傷による変化が微小であるため、さらに推定精動データには車両振動が強く影響する。そのため、正度を高めるか、高次モードの固有振動数の推定が必要

確な橋梁モード形状は推定できなくなる。

となる。そのため、Yangらの手法は実験的に実証されるには至っていない。

このような場合、従来の研究では推定精度を向上させることが一般的である。しかし、本研究では、推定

そこで、時間周波数分析に着目した研究[24]が行われ精度の向上ではなく、損傷が推定精度を変化させるこている。Nguyen [25][26]や山本ら[27][28]は、ウェーブレッ

とを積極的に利用する。すなわち、重篤な損傷の前後

ト係数が損傷に対して高感度に反応することを示しであっても、モード形状は変化しないと考え、推定モ

た。これは、損傷影響が局所的なため、橋梁損傷検知

ード形状が変化した場合は、損傷により推定精度が変においては空間的な分布を表現した指標が有効であ化したと考える。

ることを示している。ただし、ウェーブレット係数は、
間断なく生じる路面凹凸などの外乱にも高い反応を以下に、モード形状推定法の詳細と、損傷影響を評価するための統計分析について記載する。

示すため、路面凹凸を考慮した場合には適用性が低い。
最も一般的な空間指標は、モード形状[29]-[34]である。
そこで、山本ら[29]は内挿を用いて車両の走行位置を補2.2 モード形状の推定(1) 内挿による移動計測点の補間

正することで、車両振動から橋梁のモード形状を推定

基本的に、モード解析理論で想定される橋梁振動のする手法を提案した。ただし、本手法の推定精度には

計測値は固定点でのものであるのに対して、車両振動限界があり、さらに、損傷前後で橋梁モード形状はほから推定される橋梁振動は車両走行に伴って計測位

とんど変化しないことがわかっている[29]。しかし、同置が時間変化する移動計測点での計測値である。そこ時に、実橋梁における車両走行実験では、損傷前後でで、本研究では基底関数を導入し、移動計測点 𝑥 =推定モード形状が有意に変化することも確認した。し̃(𝑡) での計測値 𝒚
̃ (𝑡) から、仮想した固定計測点 𝑥 =𝒙

たがって、提案手法による推定モード形状は、損傷評

̂ (𝑡𝑠 ) を求める。
𝑥̂1 , 𝑥̂2 での推定値 𝒚𝑘 次のモード形状関数を 𝜙𝑘 (𝑥) 、基準座標を 𝑞𝑘 (𝑡)とおくと、橋梁変位振動は(1)式のように求められる。

価指標への適用性が期待される。ただし、その理論的なメカニズムや適用性については十分に解明されていない。また、実測による検討例が少なく、統計的に妥当性を持っているかどうかも不明である。
そこで、本研究では模型モデルを用いた車両走行実験を実施し、モード形状推定値の橋梁損傷検知への適用性について統計的に検討する。

𝑛𝒚(𝑥、𝑡) = ∑ 𝜙𝑘 (𝑥)𝑞𝑘 (𝑡)

(1)

𝑘=1

ここで、𝑛は考慮する最大モード次数である。(1)式より、移動計測点 𝑥 = 𝑥̃(𝑡) における橋梁変位は𝑛

̃ (𝑡) = ∑ 𝜙𝑘 (𝑥̃(𝑡))𝑞𝑘 (𝑡)
𝒚

(2)

𝑘=1

2 検討方法2.1 検討方法の概要
車両振動分析では、計測位置の時間変化が問題となる。これは、従来の橋梁振動分析が固定計測点を前提としているのに対して、車両振動分析では移動計測点で得られた計測データを分析する必要があるためである。そこで、先ず、基底関数を用いて移動計測点での計測値から固定計測点での振動応答を推定する。ただし、本手法は振動データとして橋梁振動を想定しているが、実際に計測可能なデータは車両振動である点に注意しなければならない。仮に車両が橋梁と一体となって振動するような理想的な状況を考えた場合でと表される。車上計測点数を 𝑛 = 2 としたとき、等しい数の固定計測点 𝑥 = 𝑥̂1 , 𝑥̂2 における 𝑘 次のモード
形状関数を 𝐴̂𝑗𝑘 として以下のように表す。
𝐴̂𝑗𝑘 = 𝜙𝑘 (𝑥̂𝑗 )(𝑗 = 1、2)(3)

つづいて、 𝜙𝑘 (𝑥) を内挿によって離散化する。図-1に内挿の概念図を示す。内挿とは、基底関数により連続関数を補間することである。基底関数 𝑁𝑗 (𝑥) (𝑗 =
1,2, … , 𝑛) を用いて、𝑘 次のモード形状関数 𝜙𝑘 (𝑥) は近似的に次式のように表すことができる。
𝑛𝜙𝑘 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑗𝑘 𝑁𝑗 (𝑥)

(4)

𝑗=1

ここで、基底関数が、𝑁𝑗 (𝑥̂𝑗 ) = 1、かつ、𝑁𝑗 (𝑥̂𝑖 ) = 0（ただし、𝑖 ≠ 𝑗）となる性質を示すとき、𝑎𝑗𝑘 = 𝐴̂𝑗𝑘201011192 NAKAGAMA - 3である。本研究では、基底関数としてラグランジュ関数を用いた。(5)式にラグランジュ関数 𝑁𝑗 (𝑥) を示す。

𝑎1 𝑁1 + 𝑎2 𝑁2

𝑎1

𝑛

𝑎2

𝑛 + 1 𝑛−1𝑥 − 𝑥̂𝑙
𝑁𝑗 (𝑥) = (
)
∏
𝐿
𝑗−𝑙

𝜙(𝑥)

(5)

𝑙=1
(𝑙≠𝑗)

ここで、 𝐿 は橋長である。本研究では橋梁のモード次数を 2 次まで考慮するので、式(5)は直線式になる。いま、仮想する固定計測点を、橋梁を等間隔に 𝑛 等分する点とすると、𝑥̂1 = 𝐿/3, 𝑥̂2 = 2𝐿/3 となる。固定計
測点は、橋梁内のどの点においても仮想できるが、モード形状の直交性を保証しやすいため、橋梁を等間隔に分割する点とする。このとき、近似したモード形状
𝜙𝑘 (𝑥) を行列で表すと、
𝜙1 (𝑥̃1 (𝑡)) 𝜙1 (𝑥̃1 (𝑡))[]𝜙1 (𝑥̃2 (𝑡)) 𝜙1 (𝑥̃2 (𝑡))𝑁 (𝑥̃ (𝑡)) 𝑁2 (𝑥̃1 (𝑡)) 𝐴̂11=[ 1 1][𝑁1 (𝑥̃2 (𝑡)) 𝑁2 (𝑥̃2(𝑡)) 𝐴̂12

𝐴̂21
]
𝐴̂22

(6)

𝑁1 + 𝑁2 = 1
𝑁2

𝑁1

Approximation section
図-1 内挿の概念図
𝑅𝑛×𝑛 ）は特異値を対角成分にもつ対角行列である。

と表せる。移動計測点の座標を代入して得られる基底
̃ (𝑡) とすると、次式行列を 𝐍(𝑡) 、モード形状行列を 𝚽

また、 𝚺 の対角成分を大きなものから順に並べると、
𝐔, 𝚺 および 𝐕 は一意に求められる。
ここで、(14)式のようにデータ行列 𝐌 に特異値分解が得られる。
̃ (𝑡) = 𝐍(𝑡)𝐀̂𝚽を適用したとき、モード形状を正確に推定するために(7)

ここで、(2)式に(7)式を代入すると
̂ 𝒒(𝑡)
̃𝒚(𝑡) = 𝐍(𝑡)𝐀

は、橋梁の各次モード形状の直交性と、各次モードの基準座標の無相関性が同時に満たされる必要がある。

(8)

モード形状は定義により直交性を有するが、橋梁振動
は強制加振力（交通荷重）によって励起されているたとなる。車両後輪が 𝑥̂1 を通過してから（𝑡 = 𝑡1）、前

め、必ずしも無相関性を示すとは限らない。そのため、

輪が 𝑥̂2 を通過するまで（𝑡 = 𝑡𝑚）を内挿の定義領域と特異値分解によって得られた推定モード形状 𝐔 は橋する。(8)式の両辺に 𝐍−1 (𝑡) をかけると、移動計測点
での計測値から固定計測点での推定値を求めることができる。

梁のモード形状を正確に推定できないと考えられる。
一方、特異値分解で得られる推定基準座標 𝐕 T は基準座標に最も近い無相関な行列に限られる。ここで、

̂ 𝒒(𝑡)
̃(𝑡) = 𝐀
𝐍−𝟏 (𝑡)𝒚(9)

基準座標が損傷により局所的にしか変化した場合であっても、𝐕 T は無相関であるという制約から変化しないと予想できる。これにより生じる基準座標の推定(2) 特異値分解
次に、(9)式で求まる固定計測点での推定値を特異値分解し、モード形状を推定する。固定計測点での推定値を 𝑚 列並べた行列を 𝐌(∈ 𝐊 𝑛×𝑚 ) とすると誤差は、モード形状推定値 𝐔 に影響を与えると考えられる。したがって、損傷前後でモード形状の推定精度が変化すると考えられる。そこで、本手法では推定モード形状 𝐔 を損傷指標とする。

̃ (𝑡1 ) ⋯ 𝐍−𝟏 (𝑡𝑚 )𝒚̃ (𝑡𝑚 )]
𝐌 = [ 𝐍 −𝟏 (𝑡1 )𝒚(11)

̂ 𝒒(𝑡1 ) ⋯ 𝐀
̂ 𝒒(𝑡𝑚 )]
𝐌 =[𝐀

(12)

̂𝐐
𝐌=𝐀

(13)

ここまでは、移動計測点での測定値として車両位置
における橋梁振動を考えてきたが、本研究では車両振動を用いることとする。そのため、モード形状の推定
精度は低下するが、損傷指標をモード形状そのものではなく、推定値としているため、このような置き換えとなる。特異値分解は 𝑛 × 𝑚 行列に対して適用可能であるから、(11)式の M に対して特異値分解を適用すると、操作も可能となる。ただし、車両振動には路面凹凸の影響が混入する。路面凹凸は空間周波数特性をもっているため、走行速度が変化すると路面凹凸の影響も変

𝐌 = 𝐔𝚺𝐕 T(14)と分解できる。ここで、𝐔（∈ 𝑅𝑚×𝑚 ）、𝐕（ ∈ 𝑅 𝑚×𝑛 ）は直交行列（ただし、𝐕 T 𝐕 = 𝐈、𝐈：単位行列）、 𝚺（ ∈化する。したがって、検討においては走行速度ばらつ
きによる路面凹凸の影響変化も考慮する必要がある。

201011192 NAKAGAMA - 4
ここで 𝑋̅𝑖 , s𝑖 , 𝑁𝑖 はそれぞれ 𝑖 群の標本平均、標本分

2.3 統計分析
モード形状推定法は理論的なメカニズムが明らか

散、標本数である。また検定統計量 𝑡 は、自由度 𝜈 のにされていない。そこで、本手法の適用性を検討する

t 分布に従う。ただし、𝜈 値が小数の場合、整数部分のために、本研究では実測値に基づく統計的な検討を行

値を自由度の値とする。両側有意確率を 𝑃 = Pr{|𝑇| ≥う。

𝑡0 } とし、有意水準を 𝛼 %とすれば、以下の結論を得る。

(1) 正規性の仮説検定

𝑃 > 𝛼 のとき、帰無仮説は棄却されないある母集団が正規性を有しているのかを検定する

𝑃 ≤ 𝛼 のとき、帰無仮説を棄却する

ために、Jarque-Bera (JB) 検定を行う。まず、帰無仮説
H0 を「ある母集団は正規分布に従う」とする。検定統計量 𝐽𝐵 は以下で定義される。
JB =

𝑁 2 1
{𝑆 + (𝐾 − 3)2 }6
4

母集団が正規分布に従わない場合、t検定などのパラメトリック検定を適用することはできない。このとき、(15)

ここで、𝑁は標本数、𝑆は歪度、𝐾は尖度である。𝜎̂ 2を分散とすると、歪度・尖度はそれぞれ以下の式で表すことができる。

正規性などの前提条件を設けないノンパラメトリッ
クな手法を適用する。2つの母集団の分布の違いを確認するために、本研究ではKolmogorov-Smirnov (KS)検定を行う。母集団におけるヒストグラムの階級番号を 𝑖 とし、𝑙 群の母集団における累積相対度数を 𝑃𝑖𝑙 と𝑁(𝑦𝑖 − 𝑦̅)3
1
𝑆= ∑
𝑁
𝜎̂ 3

(3) 正規性を仮定しない平均値の差の仮説検定(16)する。ここで、検定統計量Dを(20)式で定義する。

𝑖=1

𝐷 = max(|𝑃𝑖𝑗 − 𝑃𝑖𝑘 |) (𝑗 ≠ 𝑘)𝑁(𝑦𝑖 − 𝑦̅)4
1
𝐾= ∑
𝑁
𝜎̂ 4

(20)

(17)
各群のケース数を 𝑛1 , 𝑛2 とすると、検定統計量KS

𝑖=1

帰無仮説のもとでは、統計量 JB は漸近的に自由度は以下の式で定義される。

2 の 𝜒2 分布に従う。片側有意確率を 𝑃 = Pr{𝜒2 ≥𝜒2 0 }とし、有意水準を 𝛼 %とすれば、以下の結論を得る。

KS = 4D2

𝑛1 𝑛2
𝑛1 + 𝑛2(21)

統計量 KS は漸近的に自由度 2 の 𝜒2 分布に従う。

𝑃 > 𝛼 のとき、帰無仮説は棄却されない

片側有意確率を 𝑃 = Pr{𝜒2 ≥ 𝜒2 0 } とし、有意水準を𝑃 ≤ 𝛼 のとき、帰無仮説を棄却する

𝛼 % とすれば、以下の結論を得る。

(2) 正規性を仮定した平均値の差の仮説検定
正規分布に従うという仮定の下で、2 つの母集団の平均値が等しいかどうかをウェルチの t 検定により評𝑃 > 𝛼 のとき、帰無仮説は棄却されない𝑃 ≤ 𝛼 のとき、帰無仮説を棄却する価する。同様の検定方法として t 検定があるが、t 検定
では 2 つの母集団が等分散性であるという前提条件を満たす必要がある。一方、ウェルチの t 検定は汎用性

3 実験概要が高く、等分散性が成り立たない場合でも適用可能である。そのため、本研究ではウェルチの t 検定を用い

3.1 模型桁および模型車両

ることとする。先ず、帰無仮説 H0 を「2 つの母集団の本研究では、統計分析によりモード形状推定法の適平均値は等しい」とする。検定統計量 𝑡 、および自由用性を検討するため、簡易に反復試行のできる模型実

度 𝜈 は以下の式で定義される。

験を行う。本実験で用いた模型桁と模型車両の写真を𝑡=

図-1、図-2に掲載する。

𝑋̅1 − 𝑋̅2
𝑠2 𝑠2
√ 1 + 2
𝑁1 𝑁2

(18)

れており、進行方向から見て右側・中央レールは模型

2

𝜈=

𝑠2 𝑠2
( 1 + 2)
𝑁1 𝑁2

𝑠4
𝑠4
√ 2 1
+ 2 2
𝑁1 (𝑁1 − 1) 𝑁2 (𝑁2 − 1)

模型桁は、両端ピン支承の単純桁で、径間 𝐿 =
5.2 (m)である。模型桁上には、3本のレールが敷設さ車両の走行レールで、左側レールは模擬損傷用のレー(19)ルである。図3に模型桁の側面図と断面図を示す。模型
桁は主桁とアプローチ部で構成されており、主桁通過
後の桁振動は自由振動となる。加速度計はひずみ式の高感度加速度計を用い、桁下4箇所に取り付けられて201011192 NAKAGAMA - 5

加速度計

走行レール

損傷用レール

遮光板

ピン支承

図-3 模型車両

図-2 模型桁

ピン支承

CH2
CH1

CH3

180 180

500

ピン支承

CH4

5200

715

1040

進行方向

アプローチ部

アプローチ部

ワイヤー

60

100

センサー
レール
レール除去部図-4 模型桁の平面図(上図)と側面図(下図)

unit : mm

Displacement

3
2

1
0
-1
-2
0

1000

2000
3000
Position

4000

5000

図-5 模型桁レールの凹凸いる。本研究では非定常性を考慮するため、模型桁にの時間とデータ数、サンプリング周波数𝑓 =500 (Hz)か敷設されたレールは凹凸加工が施されている。図-5に

ら走行速度を推定する。本実験では、モーター角速度

模型桁レールの凹凸を示す。凹凸は実橋梁の路面凹凸を基準としているが、参考のためにモーター角速度にとは厳密には異なるが、周波数特性が一致するように対応する模型車両の走行速度を表-1に示す。

生成されている。一方、模型車両はレール上を一定回数繰り返し走行する。模型車両は上部・下部でワイヤ

3.2 実験手順

ーと連結しており、モーターがワイヤーを巻き取りな模型モデルを用いた走行実験の手順について説明

がら車両を牽引することで走行している。模型車両のする。本実験では、モード形状推定法の損傷検知に対

走行開始位置はアプローチ部であり、アプローチで加する適用性を検討するため、健全時と損傷時で走行実速・減速する。加速度計は模型桁と同様に高感度加速験を行う。走行順としては、健全時での走行実験後、度計を使用しており、前後輪のバネ下・バネ上の計4箇

損傷用レールを除去し、損傷時での走行実験を行う。

所に設置している。なお前輪側部には遮光板が備え付

先ず、モーター角速度を 6.0(rpm (radian per minute))、

けられている (図-2)。遮光板はピン支承外側に設置さ走行回数を 9 回と設定して走行を開始する。模型車両

れたレーザーを通過したデータ情報を測定するため

が指定回数を走行し、走行を停止したら、モーター角に使用される。模型車両がレーザー間を通過するまで

速度を 0.1(rpm)増加させ、同様の実験を行う。健全な2

Acceleration [m/sec ]表-2 模型車両の走行回数
モーター角速度
走行回数(rpm)
IntactDamage6.0~6.499
6.5~7.519
19
7.6~8.099
9.0~9.4
55
9.5~10.599
10.6~11.0
552

Acceleration [m/sec ]201011192 NAKAGAMA - 6
表-1 モーター角速度に対応する走行速度
モーター角速度
走行速度
(rpm)
(m/s)
6.0
0.203
7.0
0.236
8.0
0.271
9.0
0.306
10.0
0.340
11.0
0.374

1
0
-1

Intact0

1

2
3
Position [m](a) 健全時

4

4.8

1
0
-1

Damage0123Position [m](b) 損傷時

44.8

図-6 模型車両の前輪バネ下振動
4

15000
4

2

1
0
0

IntactDamage

10000

2

2

PSD [m /sec ]IntactDamage4

PSD [m /sec ]

3

x 10

10

20
30
40
Frequency [Hz]

50

5000
0
0

10

(a) 模型車両

20
30
40
Frequency [Hz]50(b) 模型桁
図-7 パワースペクトル密度状態において、低速：6.0－8.0 (rpm), 高速：9.0－11.0

とき、模型車両の走行速度は6.0(rpm)である。いま、加(rpm)で走行実験を実施して、レール除去による損傷時

速度応答に対してフーリエ変換を行う。図-7にフーリについても同様の走行実験を実施する。損傷は、2L/3

エ変換により求まる模型車両および模型桁のパワー

地点における長さ2m のレールを外すことで模擬した。

スペクトル密度を示す。図-7(b)より、模型桁の固有振速度範囲を低速と高速で行ったのは、模型車両の速動数は一次, 二次, 三次それぞれ5.57(Hz), 18.6(Hz),度変化によって損傷影響に差異が生じるか検証する

40.1(Hz)であることが確認される。一方で、模型車両のためである。表-2 に各々のモーター角速度での走行回

卓越振動数は4.80(Hz), 14.7(Hz), 33.8(Hz)である。した数を示す。表-2 から分かるように、健全時と損傷時でがって、一次の固有振動数は卓越するものの、二次, 三の走行回数は同回数としている。また、車両応答とし次の固有振動数は外乱の影響により判別できないこて用いる測定値は、アプローチ部を除く主桁での往路とが分かる。

測定値のみである。
4.2 モード形状推定
モード形状推定法の損傷検知への適用性について

4 実験結果検討するため、本研究では、車両振動によって得られる推定値を空間特異モード(SSM)と呼称し、損傷指標

4.1 固有振動数
本節では、損傷による模型車両の卓越振動数の変化
から損傷影響の評価を行う。損傷前後の模型車両前輪
バネ下における加速度応答の一例を図-6に示す。このとする。モード形状推定法は、モード形状を正確に推定する方法ではないが、推定されるモード形状は、損傷によって変化すると推測されるので、損傷検知に有効であると考えられる。ここで、式(11)で表される𝐌の201011192 NAKAGAMA - 7
特異値分解により橋梁のモード形状を推定する。本実験では、車両振動としてバネ下の加速度振動を用い
0.8

0.8
IntactDamageIntactDamage

0.75

A2

A2

0.75

0.7

0.7
(Run speed : Low)

0.65
0.6

0.65

(Run speed : High)

0.7
A1

0.75

0.65
0.6

0.8

0.65

(a) Run speed : Low

0.7
A1

0.75

0.8

(b) Run speed : High図-8 モード形状振幅比

HistogramNormal distribution

0.2

Probability

Probability

0.3

0.1

HistogramNormal distribution

0.2
0.1

IntactIntact
0.75

0.8

0.85

0.9

HistogramNormal distribution

0.2

0
0.7

0.95

Probability

Probability

0
0.7

0.1

0.2

0.75

0.8
0.85
SSMA [rad]

0.9

0.95

0.8

0.85

0.9

0.95

0.8
0.85
SSMA [rad]

0.9

0.95

HistogramNormal distribution

0.1
DamageDamage
0
0.7

0.75

0
0.7

0.75

(a) Run speed : Low(b) Run speed : High
図-9 SSMAの相対度数ヒストグラムと正規分布る。損傷指標としては、一次モード形状に着目する。

きる。それに対し、高速になると損傷前後でのモード

以下、各々のモーター角速度でのモード形状の平均振形状振幅の差が明確に確認できる。これは、走行速度

幅値を𝐴1 , 𝐴2 とする。ここで、𝐴1 , 𝐴2 は模型桁位置の上昇によって、損傷部分に対する感度が高まり、損𝐿/3, 2𝐿/3 地点におけるモード形状振幅値にぞれぞ傷影響が路面凹凸や車体パラメータの変化などの外れ対応する。また、振幅値は 𝐴21 + 𝐴22 = 1 となるよう的影響より大きくなったためと考えられる。

に正規化を行い、 0 ≤ 𝐴1 ≤ 1、0 ≤ 𝐴2 ≤ 1とする。
𝐴1 , 𝐴2 をそれぞれ 𝑥 軸, 𝑦 軸にプロットしたグラフ

4.3 モード形状角度を図-8に示す。青は健全時、赤は損傷時のモード形状

𝐴1 , 𝐴2 のなす角度から求められるモード形状角度

振幅比である。図-8より、損傷前後で全体的に𝐴1が小（SSMA : Spatial Singular Mode Angle）という指標を導さくなり、𝐴2が大きくなっていることが分かる。これ入する。モード形状角度は、原点と (𝐴1 , 𝐴2 ) を結ぶ直は 2𝐿/3 地点におけるレールを取り外したことによっ線と𝑥軸とのなす角度とする。

て、模型桁の2𝐿/3 地点における剛性が低下したため、SSMA の相対度数ヒストグラムと、SSMA の分布を相対的に同地点のモード振幅が大きくなったためで正規分布と仮定した場合の分布曲線を図-9 に示す。なあると考えられる。ただし、低速では必ずしもそのよお、図-8 では、各々のモード形状の平均振幅値をプロうな傾向を示すわけではなく、損傷前後で𝐴1 が大きくットしているが、図-9 でのヒストグラムは、全測定値

なり、 𝐴2 が小さくなる走行速度があることが確認ででの SSMA によって構成している。

201011192 NAKAGAMA - 8
一般に、あるサンプリングデータが正規分布に従っを正規分布と照らし合わせる定性的手法と、仮説検定ているかを判断する場合、ヒストグラムを描いて形状
によって統計的に確認する定量的手法が挙げられる。
表-3 SSMA の統計量と JB 検定の結果
表-4 必要サンプリング数
Low
High
Low
High
IntactDamageIntactDamageIntactDamageIntactDamagemean(×10-1)

8.00

8.06

8.05

8.53

variance (×10-4)

4.79

7.73

4.17

3.96

skewness (×10-3)

3.23

6.31

-9.47

1.68

kurtosis
2.83
3.06
JB
0.371
0.0491
0.831
0.976
Pr(𝜒2 ≥ 𝜒02 )Determination
n.s.
n.s.
n.s.：非有意 / s：有意 (𝛼 = 5%)

3.11
0.0770
0.962
n.s.

3.11
0.0717
0.965
n.s.

0.95

299

149

149

必
要
数

28.46

37.87

17.11

15.42

IntactDamageAverage (Intact)
Average (Damage)

0.95
0.9

SSMA [rad]SSMA [rad]299IntactDamageAverage (Intact)
Average (Damage)

0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
6

標
本
数

0.85
0.8
0.75

6.5
7
7.5
Run speed [rpm](a) Run speed : Low
図-10

0.7
9

8

9.5
10
10.5
Run speed [rpm]11(b) Run speed : HighSSMA の平均値と走行速度の関係

図-9 よりヒストグラムと正規分布の形状を比較する

𝑁

𝑛≥

2

きる。つづいて、仮説検定により SSMA が正規分布に(22)
𝐶𝐼 𝑁 − 1)+12𝑘𝑠2
ここで、 𝑁 は母集団数、 𝑘 は正規分布の棄却限界値、

従っているのか確認する。正規性の検定として Jarque𝐶𝐼 は許容誤差、 𝑠 2 は母分散である。ただし、本実験－Bera (JB)検定を適用する。表-3 に SSMA の統計量とでの母集団数 𝑁 は ∞ である。また、母分散が未知であJB 検定の結果をまとめる。有意水準 𝛼 を 5%としたとるため、不偏分散を母分散として代用する。許容誤差

き、JB 検定の結果より、有意確率 Pr(𝜒2 ≥ 𝜒02 )はすべ

±0.1% (𝐶𝐼 = 0.002) としたときの必要サンプリングての条件において 𝛼 より大きいことが分かる。したが数を表-4 にまとめる。表-4 より、本実験での標本数はって、帰無仮説は棄却されず「SSMA は正規分布に従必要サンプリング数を満たしていることが分かる。よっていないとはいえない」という結論に至る。一般的って、JB 検定において統計学的な有意性があると判に統計データにおいて、サンプルデータ数が少ないケ

断し、以下 SSMA は正規分布に従うと仮定する。以下

ースは有意差なしと判定されやすい。そこで、本検定

SSMA は正規分布に従うとする。

と、健全時・損傷時ともに適合している様子が確認で(おいて必要なサンプリング数を満たしているかどうか検討を行う。いま、SSMA が正規分布に従うと仮定
すると、必要サンプリング数 𝑛 は(22)式で定義される。

4.4

損傷影響の評価201011192 NAKAGAMA - 9(1) SSMA による損傷評価に有意差があるのか検証する。図-10にSSMAと走行速

本項では、SSMAが正規分布に従っているとの前提度との関係を示す。走行回数1回あたりのSSMA値を点に基づいて、t検定により損傷前後でのSSMAの平均値
表-5 ウェルチの t 検定の結果
Low
High
565
295
自由度𝜈
-3.56
-20.5
T
Pr{|T| ≥ 𝑡0 }4.05×10-4
1.66×10-58ss
Determinationn.s.：非有意 / s：有意 (𝛼 = 0.1 %)推定基準座標 𝐕 𝐓の加速度応答ヒストグラム( 𝐕 𝐓 の加速度応答)

STEP.10.15

0Acceleration [m/s 2]

0
-0.05
-0.1

14
Time [s]

16

0.1
0.05
0
4
5
6
7
8
9
Kurtosis of reference coordinates

0.1

12

Probability

2

0.2

0.4

0.3

0.2

0.1

0
-0.1

Acceleration [m/s ]Probability

0.05

ヒストグラム( 𝐕 𝐓 の統計量)

STEP.2

図-11 推定基準座標の統計量ヒストグラムの作成行程
でプロットし、各々の走行速度におけるSSMAの平均えられる。将来、橋梁点検に本手法を適用するにあた

値を折れ線で示す。図-10より、損傷前後でSSMA値がっては、たとえば、路面凹凸の変化による影響を除外

比較的大きくなることが分かる。これは、モード形状する必要がある。

の平均振幅値と同様の関係である。ただし、低速域に(2) 推定基準座標の評価

おける6.5(rpm)－6.9 (rpm)の範囲では、健全時のSSMA

特異値分解による推定基準座標 𝐕 𝐓 は、基準座標 𝐐

値の方が大きい値を示している。これは、この速度範に近い無相関な行列に限定されるため、損傷による変囲において明瞭な差が確認できることや、低速域では化は生じ難いと考えられる。そこで、特異値分解によ

高速域と比較して損傷前後での差が顕著に表れないって補正された推定基準座標 𝐕 𝐓 を損傷前後で比較すことなどから、偶然誤差ではなく特異値分解の推定誤る。本研究では、𝐕 𝐓 の歪度・尖度を評価指標とする。

差が損傷により変化したことによると考えられる。

図-11 に、推定基準座標の変位応答の一例と、変位

ここで、SSMA の統計的に有意な変化をしているか応答の統計量ヒストグラムを作成するまでの行程をどうかを仮説検定により検証する。2 つの母集団の平示す。先ず、STEP.1 において𝐕 𝐓 の加速度応答のヒス均の差を比較する方法として、t 検定とウェルチの t 検

トグラムを作成する。ただし、 𝐕 𝐓 の加速度応答は模定が挙げられるが、本研究ではウェルチの t 検定を用型車両の後輪が 𝐿/3 を通過してから、前輪が 2𝐿/3 をいることとする。表-5 にウェルチの t 検定の結果を示

通過するまでの時間でのみ近似できる推定値である。

す。自由度 𝜈 は小数部分を切り捨た整数値としている。

つづいて、STEP.2 では、 𝐕 𝐓 の加速度ヒストグラムか有意水準 𝛼 を 0.1%としたとき、ウェルチの t 検定の結ら得られる歪度・尖度を各々の走行速度で算出し、統果より、有意確率 Pr{|𝑇| ≥ 𝑡0 } は、低速域・高速域と計量のヒストグラムを作成する。

もに 𝛼 を下回っている。このことから帰無仮説は棄却

図-12 に、推定基準座標より得られた歪度・尖度ヒされ、「2 つの母集団の平均値が等しいとはいえない」

ストグラムと正規分布を仮定した場合の分布曲線をという結論に至る。よって、SSMA は模型桁の損傷前示す。図-12 より、損傷前後でも中央値の変化が表れ

後で統計的に有意に変化しているといえる。

ないことが確認できる。損傷前後での変化を定量的に

ただし、SSMA は損傷影響とともに、路面凹凸や環判断するために仮説検定を行う。先ず、パラメトリッ

境変化などの外的因子による影響も受けていると考ク手法の適用性を検討するために、推定基準座標の歪201011192 NAKAGAMA - 10度・尖度ヒストグラムが正規分布に従っているかどう5%としたとき、有意確率Pr(𝜒2 ≥ 𝜒02 ) は、健全時の尖かを確認する。正規性の検定方法として JB 検定を適度では 𝛼 を下回っているものの、損傷時の尖度、およ用する。表-6 に JB 検定の結果を示す。有意水準 𝛼 を

び歪度では 𝛼 を上回っている。よって、健全時の尖度
0.2

HistogramNormal distribution

Probability

Intact

0.15
0.1
0.05
-0.01

0.2

HistogramNormal distribution-0.005

0

0.005

0.01

0.1
0.05
0
4

0.015

0.1
0.05

5

6

7

8

9

0.2

Damage0.15

0-0.015

HistogramNormal distribution

0.15

Intact0-0.015

Probability

Probability

Probability

0.2

HistogramNormal distribution

0.15
0.1
0.05

Damage-0.01-0.00500.005
0.01
Skewness of reference coordinates

0
4

0.015

5

6
7
8
Kurtosis of reference coordinates

9(a) 歪度表-6 推定基準座標における JB 検定の結果
skewness
Kurtosis
IntactDamageIntactDamage
JB
11.6
26.9
4.94
53.8
0.00299
1.43×10-6
0.08452.04×10-12
Pr(𝜒2 ≥ 𝜒02 )Determination
s
s
n.s.
s
n.s.：非有意 / s：有意 (𝛼 = 5 %)表-7 KS 検定の結果
Skewness
KurtosisKS
3.75
7.14×10-2
0.965
0.153
Pr(𝜒2 ≥ 𝜒02 )Determinationn.s.
n.s
n.s.：非有意 / s：有意 (𝛼 = 5 %)表-8 推定基準座標の歪度・尖度の統計量
Skewness
Kurtosis
IntactDamageIntact Damage
Mean
6.26
6.23
5.03×10-4-4.20×10-4-5
Variance 1.56×10-5
0.305
0.341
1.95×10のみが正規性を有する傾向にあることが分かる。

Kurtosis of reference coordinates(b) 尖度
図-12 推定基準座標の統計量ヒストグラムと正規分布

10IntactDamage

9
8
7
6
5
4

-0.01
0
0.01
Skewness of reference coordinates
図-13 歪度－尖度の相関図

反するが、これは、それぞれの検定方法の依存する代

非正規性の分布に対してはノンパラメトリックな表値が影響しているものと思われる。JB 検定は歪度や手法を適用する。ノンパラメトリック手法は、正規性尖度の変化に強く依存する。そのため、平均値に対すなどの条件を設けない汎用性の高い検定方法である。

る非対称性や外れ値に影響される。一方で、KS 検定は本研究では、損傷前後での変化を判定する方法として、中央値に強く依存する。そのため、平均値が近いと有Kolmogorov-Smirnov (KS)検定を行う。表-7 に KS 検定

意差なしと判定されやすい。図-13 に歪度－尖度の相の結果をまとめる。有意水準 𝛼 を 5%としたとき、有関図を示す。図-13 より、損傷時において分布中央か

意確率 Pr(𝜒2 ≥ 𝜒02 ) は、尖度・歪度で有意水準 𝛼 を下ら大きく外れた値がいくつか存在していることが分回っている。よって、損傷前後での分布に有意差がな

かる。よって、損傷時では外れ値の影響により JB 検

いことが分かる。

定で有意差が生じたと考えられる。この外れ値は、母JB 検定、KS 検定の結果から、尖度は損傷により正規分布に従わなくなる一方で、損傷前後での中央値に変化はないことが分かった。この結果は一見すると相集団である基準座標の正解値が損傷前後で変化した影響であると考えられる。

201011192 NAKAGAMA - 11
表-8 に損傷前後での尖度・歪度の統計量を示す。損ないことを示している。一方で、各次モードの基準座

傷前後で中央値に変化が生じていないことから、KS標そのものには局所的な損傷影響が生じているもの

検定では有意差が生じなかったと考えられる。このこと考えられる。この局所的な影響が偶発的に大きくなとは、推定基準座標が損傷前後でほとんど変化してい

4

0.81

Kurtosis of SSMA

Average of SSMA [rad]

4.5

0.8

0.79
IntactDamage
0.78
0

0.1
0.2
0.3
Variance of run speed [rpm 2]

3.5
3
2.5
2
0

IntactDamage0.1
0.2
0.3
Variance of run speed [rpm 2](a) 平均(b) 尖度
図-14 SSMA の平均・尖度と速度分散の関係

ると、尖度は鋭敏に反応する。そのため、尖度分布のする走行データにばらつきが生じてしまうので、全走分散値は損傷により増加すると考えられる。表-8 によ

行データの中からランダムに選び出した走行データ

ると、確かに尖度分布の分散値は損傷により増加傾向を使用する。本実験では、ランダム試行を 1000 回繰

を示しており、この仮説を裏付けるものである。

り返し、その平均値を使用している。

本研究では、損傷指標として推定モード形状𝐔、推図-14 に速度分散を横軸、SSMA の平均と分散を縦定基準座標𝐕 T に着目した。実験結果より、損傷前後で軸にとったグラフを示す。図-14 (a)に示した SSMA の推定モード形状𝐔は変化が生じる傾向にあることが分

平均値は、速度分散が 0 付近のときと、0.3 より大きかった。一方で、推定基準座標𝐕 T は損傷により中央値

いときに損傷影響が明瞭に確認できる。
一方、
図-14 (b)の変化は生じ難いことが分かった。

に示した SSMA の尖度は、速度分散が 0.1 付近のとき

よって、橋梁の損傷を推定モード形状の変化から検に差異が確認できる。よって平均と尖度では、損傷影知できる可能性が示された。また、路面凹凸の変化な響を確認しやすい速度分散に違いがあると考えられ

ど環境外乱の変化に対しては、損傷に対して感度の低る。

い推定基準座標の統計量を用いることなどが考えられる。

いま、これらの速度分散での走行速度を実車両の走行速度に変換し、実スケールでの検討を行う。実橋梁の 長 さ を 30(m) と し て 想 定 す る と 、 基 準 速 度 は

4.5 速度分散変化
本節では、走行速度のばらつきによる SSMA の損傷
差異について検証する。

4.9(km/h)、
速度分散 0.3(rpm2)のとき 4.3～5.5(km/h)で、速度誤差は±0.6(km/h)である。実橋梁実験で車両を操作するのは人間なので、走行速度にはある程度のばら

まず、基準となる走行速度・回数を決定する。本研つきが生じることを考慮すると、本実験での速度分布

究では、基準となる走行速度を 7.0 (rpm)、走行回数をのときは、損傷検知に対して SSMA の平均値を適用す

19 回とした。車両が基準速度のまま一定の速度で走行ることが望ましいと考えられる。ただし、本実験ではすると仮定すると、速度のばらつきを示す速度分散の速度分布を十分考慮できるほどの測定値が得られな

値は 0 となる。つづいて、走行速度がばらついたと仮かったことから、さらに多くの速度での走行実験を行定し、基準速度からずれた速度における走行回数を増う必要があると考えられる。

やす。ただし、すべての検討において、累計走行回数
は基準走行回数と等しくなるように調整する。同様の手順で、さらに速度分散を大きくしていく。ただし、速度分散が 0 からずれると、各々の走行速度から抽出

201011192 NAKAGAMA - 12
Washington, D.C., NTSB/HAR-08/03, PB2008-

まとめ916203, Notation 7975C

本研究では、模型車両走行実験により、損傷検知に[3]

対するモード形状推定法の適用性について検討した。

井上雅夫, 藤野陽三：米国ミネソタ州での落橋事
故 の 社 会 的 影 響 , 土 木 学 会 論 文 集 Vol.66F,

以下に本実験から得られた知見を記す。

pp.14-26, 2010[4](1) モード形状推定法から推定されたモード形状をの崩壊メカニズムと格点部の損傷評価, 土木学

損傷前後で比較したところ、高速域での顕著な変化が確認された。

笠野英行, 依田照彦：米国ミネアポリス I-35W 橋会論文集, Vol.66A, pp312-323, 2010[5]

稲垣博信, 水野裕介, 藤野陽三, 河村圭：地方自(2) 推定基準座標は損傷によって正規分布に従わな治体における橋梁の維持管理の状況と投資効果くなる傾向にあるが、損傷前後で大きく変化しなに関する調査検討, 土木学会論文集 Vol.66F,

いことが確認できた。したがって、推定基準座標が変化せず、推定モード形状のみ変化する場合にpp.351-359, 2010
[6]

おいて、橋梁損傷と判定できなどの可能性が示された。
(3) 実際の橋梁点検への適用を想定し、車両速度のばらつきを考慮したところ、速度分散が大きいとき、[7]Zhu, X.Q. and Law, S.S.: Wavelet-based
crack identification of bridge beam fromoperational
deflection
timehistory,
International Journal of Solids andStructures, 43, pp.2299-2317, 2006.
Toshinami, T., Kawatani, M. and Kim, C.W. :損傷指標として SSMA の平均値が有効であるこFeasibilityとを確認した。ただし、十分な計測回数を満たし

bridgesていないことから、今後さらに多くの統計データ

vehicle vibrations, Bridge maintenance,の収集が必要である。

safety,investigation

fundamental
managementforidentifying

frequencies
and

from

life-cycle

optimization, IABMAS 2010, pp.317-322,
本研究では、繰り返し実験可能な模型車両走行実験を行い、その実験から得られた多数のデータから統計

2010.
[8]

長江信顕，渡瀬正泰，玉木利裕：相互相関関数

分析を行った。しかし、点検への適用に拡張して考えを用いた実稼働モード解析，構造工学論文集

ると、車両走行回数は限られ、より高度な意思決定を

Vol.57A，pp.232-241，2011.

迫られる。そのため、限られたデータから損傷判断ができるように判別精度を高めることが課題として残る。また、SSMA によって損傷影響を判断するには、[9]

西村昭, 藤井学, 宮本文穂, 加賀山泰一：橋梁の損傷評価における力学的挙動の有効性, 土木学会論文集 I-7, No.380, pp.355-364, 1987

健全時データが必要となる点も課題として挙げられ[10] 古川愛子, 清野純史, 大塚久哲：独立成分分析をる。判別精度を高める手法としては、モード形状推定

用いた起振応答の抽出法と損傷同定問題への適法の理論的メカニズムを明らかにすることや、学習機能を備えた人工知能によって損傷有無の判断を行う
ことなどが考えられ、今後の研究課題として検討予定
である。

参考文献
[1]

NTSB : Highway Accident Report, Collapse of
Suspended Span of Interstate Route 95 Highway
Bridge Over

the Mianus

River, Greenwich,

Connecticut, June 28, 1983, National Transportation
Safety Board, Washington, D.C., NTSB/HAR-84/03,
PB84-916203[2]

NTSB : Highway Accident Report, Collapse of I-35W
Highway Bridge Minneapolis, Minnesota, August 1,
2007,

National

Transportation

SafetyBoard,

用, 応用学論文集, Vol.9, pp.43-54, 2006[11] Kim, C. W., Kawatani, M. and Ozaki, R. :Modal identification of short and medium
span bridges under moving loads, Proc. of
10th ICOSSAR, pp.2446-2452, 2009.
[12] Hearn, G. and Testa, G. R. : Modal analysis
for damage detection in structures, Journalof Structural Engineering, Vol.117, pp.30423063, ASCE, 1991.
[13] Xia, Y., Hao, H., Brownjohn, J. M. W. andXia, P.-Q. : Damage identification of
structures with uncertain frequency andmode shape data, Earthquake Engineeringand Structure Dynamics, Vol.31, pp.10531066, 2003.
[14] 山本亨輔, 伊勢本遼, 大島義信, 金哲佑, 杉浦邦
征：鋼トラス橋の部材破断が橋梁および走行車
両の加速度応答に及ぼす影響, 構造工学論文集,
Vol.58A, pp.180-193, 2012

201011192 NAKAGAMA - 13[15] A.

Gonzalez,

E.J.

Obrien,P.J.

McGetrick:[25] Khoa Viet Nguyen: Mode shapes analysis of cracked

Identification of damping in a bridge using a moving

beam and its application for crack detection, Journal of

instrumented vehicle, Journal of Sound and Vibration,
Vol.331, pp.18-27, 2012

Sound and Vibration, Vol.333, pp.848-872, 2014[26] Khoa Viet Nguyen, Hai Thanh Tran: Multi-cracks[16] 吉岡勉, 伊藤信, 山口宏樹, 松本泰尚：鋼トラス

detection of a beam-like structure based on the on-

橋の斜材振動連成とモード減衰変化を利用した

vehicle vibration signal and wavelet analysis, Journal

構 造健 全度 評価 , 土 木 学 会論 文集 , Vol.66A,
pp.516-534, 2010[17] 貝戸清之, 阿部雅人, 藤野陽三：不確実性に起因する振動特性変化の定量化とその有意性検定手法, 土木学会論文集 I56, pp.399-414, 2001[18] Yang, Y.-B., Lin, C. W. and Yau, J. D. :Extracting bridge frequency from the
dynamic response of a passing vehicle,
Journal of Sound and Vibration, Vol.272,
pp.471-493, 2004.
[19] Yang, Y. B. and Lin, C. W. : Measureing thebridge frequencies from the response of apassing vehicle, Environmental Vibrations,Takemiya ed., 2005.
[20] Ling, C. W. and Yang, Y. B. : Use of a passing
vehicle to scan the fundamental bridge
frequencies: An experimental verification,
Engineering Structures, Vol.27, pp.18651878, 2005.
[21] Y.B. Yang, K.C. Chang: Extracting the bridge
frequencies indirectly from a passing vehicle :Parametric study, Engineering Structure, Vol.31,
pp.2448-2459, 2009[22] Y.B. Yang, K.C. Chang: Extraction of bridge
frequencies from the dynamic response of a passing
vehicle enhanced by the EMD technique, Journal ofof Sound and Vibration, Vol.329, pp.4455-4465, 2010[27] 山本亨輔, 大島義信, 金哲佑, 杉浦邦征：車両応答の時間周波数解析に基づく橋梁の損傷検知法,
構造工学論文集, Vol.57A, pp.637-645, 2011[28] 大島義信, 山本亨輔, 杉浦邦征, 金哲佑：車両応答から推定した橋梁変位に基づく橋梁の損傷同定法, 構造工学論文集, Vol.57A, pp.646-654, 2011[29] 山本亨輔, 大島義信, 金哲佑, 杉浦邦征：車両応答データの特異値分解による橋梁損傷検知技術の提案と検討, 構造工学論文集, Vol.59A, pp.320331, 2013[30] 山本亨輔, 大島義信, 杉浦邦征, 河野広隆：車両
応答に基づく橋梁のモード形状推定法, 土木学会論文集 A1, Vol.67, pp.242-257,2011[31] Yao Zhang, Seng Tjhen Lie, Zhihai Xiang: Damage
detection method based on operating deflection shape
curvature extracted from dynamic response of apassing vehicle, Mechanical Systems and Signal
Processing, Vol.35, pp.238-254, 2013[32] Yao Zhang, Longqi Wang, Zhihai Xiang: Damage
detection by mode shape squares extracted from a
passing vehicle, Journal of Sound and Vibration,
Vol.331, pp.291-307, 2012[33] 高木賢太郎, 長瀬賢二, 早川義一, 川崎督生：独Sound and Vibration, Vol.322, pp.718-739, 2009

立成分分析を用いたモード形状の推定法と故障[23] Y.B. Yang, K.C. Chang, Y.C. Li : Filtering techniques

診断への応用, 日本機械学会論文集 (C 編) , 70

for extracting bridge frequencies from a test vehicle

巻 698 号, pp.2847-2853, 2004[34] 増田新, 曽根彰, 森田伸也：時間周波数解析に基づくモード形状変化の連続モニタリング,
日本機械学会 No.02-53 第 1 回評価・診断に関 す るシ ンポ ジ ウム 講演 論 文集 , pp.66-70,
2002.

moving over the bridge, Engineering Structures,
Vol.48, pp.353-362, 2013[24] Xiang, Z., Dai, X., Zhang, Y. and Lu, Q. : The TapScan Damage Detection Method for Beam Structures,
Advances Interaction & Multiscale Mechanics,
pp.541-553, 2010.

謝辞
山田先生にはゼミでご指導頂いたほか、研究に専念できる環境を与えてくださいました。松島先生にも、ゼミで多くのアドバイスを頂きました。山本先生には論文作成に当たって直接ご指導いただきました。また地盤
研の先輩の皆様には大変お世話になりました。また、実験遂行に当たっては、京都大学の杉浦邦征教授、大島義信准教授に実験設備をご提供頂きました。ありがとうございました。最後に、大学の研究を支えてくれた両親・家族に感謝の意を表します。