ファジー推論によるデータ依存型処理の実現
Realization of Data Dependent Processing by using Fuzzy Technique
木村 誠聡
Tomoaki Kimura

あらまし
画像を利用したり視覚的に理解し易い画像を得るために前処理といわれる画質の改善や変換が必要である．この前処理と呼ばれる画像処理は線形フィルタを用いた処理が一般的であるが，画像信号は非定常性の強い信号であり，線形フィルタでは局所毎の信号の性質に対応ができず，その処理結果は好ましいものとはならない．そこで，画像の局所毎の性質に応じたフィルタ処理や複数の処理を組合せ局所毎にその度合いを変化させるような処理が必要となる．本稿では画像の局所的な性質をファジー推論を用いて推定し，その結果をフィルタの係数や形態に反映させることができるデータ依存型処理について述べる．

1

はじめに目的に応じた単数，または複数の局所情報を必要とする．この局所情報の多くはいわゆる統計量に基づくも画像信号を計算機を用いてディジタル的に処理を行のが多く，その局所情報自体に不確かさが含まれるこう画像処理は，信号の品質管理，再現性，システム実現とになる．この不確かさをもつ複数の局所情報を統合技術の点から多くの利点があげられる．現在では工業することで信号の局所的な性質を知り，フィルタ係数，的な利用のみならず，画像をディジタル化して処理をまたは処理形態を制御することを可能とするため，曖することは必要な手段として定着している [1], [2]．画昧な情報から制御則等の結果を導くことが可能なファ像処理には非常に多種多様なことが含まれているが，ジー制御則（ファジー推論）を用い，信号の局所的な工業的に画像を利用する場合や視覚的に理解しやすい性質を推定し，その結果をフィルタ係数または形態に画像を得るために，画質の改善や変換が事前に必要で反映させるデータ依存型処理がある [6], [7]．本稿ではある [3]{[5]．この画質の改善や変換などを試みる処理

ファジー推論によるデータ依存型処理を復元，エッジは一般的に前処理と呼ばれ，劣化画像の復元，強調，検出，強調等の前処理に適用した処理方法について述

輪郭抽出（エッジ抽出），解像度変換等がその処理にべ，その有効性を示す．

属している [3]．この前処理と呼ばれる画像処理は線形フィルタを用いた処理が一般的であり，画像信号に対し一律的な処理（シフト不変型処理，または，固定係数型処理）で，かつ，単機能な処理が施されている [2]．

2ファジー推論を用いたデータ依存型処理

しかしながら，一般的な画像信号は非定常性の強い信号であり，シフト不変型の線形処理では局所毎の信号

一般的に雑音が重畳した画像の復元にはシフト不変の性質に対応ができず，その処理結果は好ましいものな線形フィルタ処理である低域通過フィルタを基本とになるとは限らなず，さらに雑音が重畳された信号にする平均値フィルタやウィナーフィルタ等が用いられ対し強調やエッジ検出等の前処理を行うことは，雑音る．しかしながら，画像信号は平坦な信号だけでなく，の影響が残るため実質的に不可能である，といった問

細部信号やエッジ信号のような非定常性が強い信号が題点が挙げられる．そこで，前者の問題点に対しては，混在しており，シフト不変な線形フィルタ処理では信画像の局所毎の性質に応じたフィルタ処理が要求され，号の局所毎の変化に対応できず，細部信号やエッジ信後者の問題点に対しては，雑音の影響を抑制し，かつ，号を劣化させてしまう．そこで，信号の局所毎の変化強調やエッジ検出を局所毎にその度合いを変化させてに対応したフィルタ係数を与え，細部信号やエッジ信行う処理が要求されることになる．

号を保存する方法としてデータ依存型フィルタがある

画像信号の局所的な性質を正確に知るためには処理[6], [7]．

図1

ファジー集合 ñ()

データ依存型フィルタは式 (1) によって与えられる.

y(i; j) =NX

NX

W (k; l) Åx(i + k; j + l)

NX

k=Ä N l=ÄN

N
X

(1)
W (k; l)

図2

ファジールールとファジー集合

文献 [10] とは異なり複数の情報をファジールールによって多重化することで，種々の前処理を可能とした方法がある [11]．この方法は，処理点と近傍領域に注目

k=Ä N l=Ä N

ここで N は局所情報の窓の大きさであり，x() は入力し，処理点と近傍領域のすべての画素の濃淡レベルま信号を，W () は処理点毎に適応的に決定されるフィル

たは差分値をファジー集合の入力値として扱い，それタ係数である．局所情報は処理点とその近傍領域の状らの情報をもとに近傍領域内の各画素との関係をファ態を知るためのものであるが，例えば処理点とその近ジー推論を用いて推測し，その結果として処理点に対傍領域の差分が小さければ平坦であり，差分が大きけれする画素値を決定している．その出力は式 (3) の様にばエッジまたは細部であるという感覚的な表現が多く，与えられ，ファジー推論のルールは図 2によって求めクリスプ的に場合分けすることは困難であろう．よっられる．このとき，ファジールールの前件部は各々のて，局所情報自体に不確かさが含まれるため，その不差分情報であり，後件部は出力値となっている．

確かさを持つ単数，または複数の局所情報から制御量，つまりフィルタ係数を決定することが必要となる．
この不確かさを持つ情報にファジー集合 [8], [9] を適用した荷重平均値フィルタがある [10]．具体的には処理点信号とその周りの局所信号との差分を用い，処理点信号の値に近い信号ほど重要視するというものであy(n) =(3)ここで，x() は処理点，qは係数であり，図 2にある差分情報 dk;l は式 (4) によって与えられる．
d(k; l) = x(i; j) Ä x(i + k; j + l)(4)

文献 [11] の方法は，図 2におけるファジールールの結り，その出力は式 (2) のように与えられる．
NXy(i; j) = x(i; j) + q Åw(i; j)

果（後件部）の設定や係数 qの設定によって，低域通過フィルタや高域通過フィルタ等に対応させることが可ñ(xnÄ k ; xn ) ÅxnÄ kNXk=Ä N(2)
ñ(xnÄ k ; xn )k=Ä N

ここで，ñ() はファジー集合であり，処理点と差分が０能である．しかしながら，近傍領域内の各画素の関係をファジー推論を用いてルールを作っているため，高性能化のために近傍領域の数を増やすに従いファジールールの数が増加する等の問題点が存在する．のときの適合度を１，差分が大きくなるほど適合度が文献 [10] および文献 [11] では差分情報のみを用いて小さくなるような非線形関数である（図 1）． なお，文データ依存型フィルタを実現している．そこでより高献 [10] では，その非線形関数をステップ毎に区切り階性能なデータ依存型フィルタ処理を実現するために複段状に近似することで簡易的に適合度を導出可能とし数の情報を用いる方法がある [12]．この方法はインパている．しかしながら，単数のファジー集合のみを用

ルス性雑音の有無の判断を 2 つの情報（入力値とメジいているため，高性能な処理は望めない．

アン値の差の情報と入力点に関する孤立性の情報）か

らファジー推論を用いて推定し，雑音重畳画像からイ性がより高く，かつ，雑音を効果的に除去することがンパルス性雑音のみを除去する方法である．具体的に可能である．

は 2 つの情報を各々 2 つのファジー集合で定義することで，4 つのファジールールを式 (5) で与え，最終的にファジー推論を用いた複数処理の統合

3

式 (6) によって出力を与えている．
if jxn Ä mn j is S and jpn j is S then ñ is L・ファジーを用いたエッジ抽出処理

if jxn Ä mn j is S and jpn j is L then ñ is S

シフト不変型処理を用いて複数の処理を行う場合，

if jxn Ä mn j is L and jpn j is S then ñ is S

直列的に処理が行なわれる．例えば，雑音が重畳して

if jxn Ä mn j is L and jpn j is L then ñ is S (5)いる画像からエッジを検出する場合，そのままエッジ検出を行うと雑音とエッジが分離できず，良好なエッジ画像を得ることができない．よって，最初に雑音除

yn = mn + ñ[xn ](xn Ä mn )(6)

ここで mn は近傍領域のメジアン値であり，pn は式 (7)で与えられるインパルス情報である．
pn =

NX

NX

i=Ä N j=Ä N

去処理を行い，その後にエッジ処理を行う必要がある．
しかしながら，最初の雑音除去処理によって画像が劣化し，高周波数情報が失われてしまう．よって，その次のエッジ検出処理では良好なエッジを得ることがで

jx(i; j) Ä x(n)j(7)

きない．このような場合，雑音とエッジ抽出を関連付けて同時に処理することが必要である．

これらの異なる 2 つの情報を関連付けることによってこの要求を満足させるために，複数の処理をファジー

近傍領域内にインパルス性雑音が在ると推定された場推論によって統合し，処理点の状況によって適切な処

合には，メジアン値を与え，近傍領域内にインパルス理を選ぶ方法が提案されている [15]{[17]．

性雑音が無いと推定された場合には処理点信号値与え一例としてインパルス性雑音が重畳した画像から雑ている．つまり，複数の情報によって雑音の有無を判音の除去とエッジ抽出を同時に行う方法について述べ断し，適切な係数を与えることを可能としている．

る [16]．この方法は複数の異なる情報から信号の性質をさらにより高性能なデータ依存型フィルタを実現す推定することで，エッジとインパルス性雑音を分離可るために複数の局所情報を用い，27 のファジールール能としており，微分処理で求めたエッジに対して複数を設定した方法がある [13]．これらの局所情報はそれの情報をファジーで関連づけ，インパルス性雑音の影

ぞれ差分情報，距離情報，形状情報の 3 つである．差響がもっとも小さいエッジを選択する処理を行ってい分情報 e() は処理点近傍領域内における突発的な性質る．具体的には処理点と近傍領域のデータを大きさ順変化，非定常性を検知し，値が小さいほど処理点と同に並び替え，最大値付近のデータと最小値付近のデーじ性質のデータであることを示す．距離情報 d() は処タの差であるエッジ抽出情報と近傍領域内におけるイ理点と近傍領域内の距離に基づく量であり，値が小さンパルス性雑音の検知を可能とするインパルス性雑音いほど処理点に近いデータであることを示す．形状情情報の２つの情報を用い，インパルス性雑音情報の影

報 K() は処理点近傍領域がエッジ部・細部，または平響の少ないエッジ抽出情報を重要視するという方法で坦部の何れかであることをを示す．エッジ部・細部である．エッジ抽出情報は式 (9) で与えられ，文献 [16] である場合には差分情報および距離情報に基づいた処理

は m，n の組合わせとして 4 つ設定されている（図を行い，平坦部であるならば，平均値フィルタで処理3）．

をするように制御する．この方法によって，より高性能なデータ依存型フィルタが実現可能である．

E(i; j) = P(kÄ m) (i; j) Ä P(1+n) (i; j)(8)以上の様に，ファジーを用いたこれらの方法は従来

ただし，k + 1 > n + mのシフト不変型の線形処理に比べ，その都度信号の性インパルス性雑音情報は式 (9) で与えられ，それぞれ質にフィルタや係数を変化させるため，原信号の保存は最大値付近に存在する雑音の存在の程度と最小値に図3

エッジ情報とインパルス性雑音情報

図4

存在する雑音の程度を示す．

ファジー集合Imax (i; j) = P(k) (i; j) Ä P(kÄ m) (i; j)
Imin (i; j) = P(1+n) (i; j) Ä P(1) (i; j)(9)

式 (10) は N Ç N の近傍領域において，式 (9) を用いて設定した 4 組のエッジ情報からインパルス性雑音の影響が少ない情報を選択するためのファジールールである．

(a)sobel オペレータ

if E1 is L & Imax is S & Imin is S then y = E1if E2 is L & Imax is S & Imin is L then y = E2
if E3 is L & Imax is L & Imin is S then y = E3
if E4 is L & Imax is L & Imin is L then y = E4
else y = 0(10)

ここで S と L はそれぞれ Small と Large を示すファ(b)Median+Edge

ジー集合である．4 つの if-then ルールは画像の近傍領域内にエッジが存在したときのルールであり，近傍領

図5(c)Fuzzy edge

雑音が重畳した画像のエッジ抽出処理例

域内にエッジが無いと判断された場合には else ルールが適用される．入力画像からエッジの抽出を行う推論
結果 y(i; j) は式 (11) で示す非ファジー化手続きによっるエッジ抽出処理とメジアンフィルタ処理＋エッジ抽て求められる [18]．

出処理と合わせて図 5に示す．文献 [16] の方法はメジアy(i; j) =4
X
r=1

ンフィルタ＋エッジ抽出と同程度にの雑音を排除しながらも，細部信号部分では細かいエッジが抽出されて

ñr (i; j)Er (i; j)
4
X

(11)
ñr (i; j)r=1

おり，従来法と比べて優れた性能を示していることがわかる．
従来の方法は雑音除去，エッジ抽出と２つの処理をこの方法では式 (9)，(9) におけるそれぞれの情報に対直列的に行うことを必要としたが，エッジ情報とインするファジー集合を図 4のように定義している． これ

パルス情報の２つの異なる情報をファジー推論によっらのファジー集合のパラメータを適切な値にチューニて関連付けることで，2 つの独立な処理である雑音除去ングすることで，良好なエッジ抽出画像を得ることがとエッジ抽出を 1 つの処理に統合することが可能であ可能である．文献 [16] では，適切なパラメータの値とることがわかる．同様に文献 [15], [17] においてもファして ã = 0，å = 255，Ia = 8，Ib = 112 と設定してジー推論を用いることで複数の処理を関連付けることおり，このときの画像処理例を sobel オペレータによを可能としている．

図7

表1
図64

考慮する信号パターン

aÄb

ファジー推論を用いた未知の信号の推定

Small
Large+ (P S)- (N S)+ (P L)- (N L)

ファジー集合提案法を実現するルールテーブル
cÄd
Small
Large+ (P S)- (N S)+ (P L)- (N L)b+cb+cbÄ
ï
22b+cb+c+ï22b+cb+cc
Äï
22b+cb+c+ï22

一般的な画像の拡大は標本化関数に基づく補間が主に用いられている．これらの補間法はある意味シフト不変型な処理と言える．そして，これらの補間法では拡大時に生ずる高周波数成分はまったく考慮されていないため，拡大にともなって画像にボケが生ずることになる．そこで，補間点の前後の各 2 点間の差分情報

ñr = minfñAp (a Ä b); ñBq (c Ä d)g(14)で与えられる．ここでñAp ()，ñBq () は Ap ，Bq の各々とその符号を用いて，補間すべき点とその近傍との関の差分情報に対する関数であり，a Ä b，c Ä d に対して係を推定し，エッジや細部の信号を与えることを可能ている．

図 7 に示すように符号を考慮したファジー集合を与えとした処理が提案されている [19]．この方法は高周波成

これらをまとめたルールテーブルが表 1である． 2分を含む補間すべき信号のパターンを予め考慮し，複つの局所情報の大きさと符号により，補間点の近傍が数の局所信号から補間点とその近傍がどのパターンに4 つのどのパターンに当てはまるかを推定し，適切な属するかを推定することで適切な補間値を与えるとい補間値が決定される．

う方法である．このとき考慮すべきパターンは図 6に

文献 [19] ではファジー集合の最適なパラメータ値と示すように山型，谷型，線形，エッジの 4 パターンでして ã = 0，å = 50 と設定している．図 8はガウシアあり，2 つの差分情報によりファジールールが式 (13)ンフィルタ後に 14 に縮小した画像から各手法によってのように与えられる．

元のサイズに戻した結果の一部である． 文献 [19] の方法は拡大後もエッジや細部信号が保存されていること

if (a Ä b) is Ap and (c Ä d) isBq
then f is wr(12)がわかる．図 9は 12 縮小画像の拡大後の水平方向の断面の一部であり，これらの信号はすべて補間によって与(P = 1; ::; P; q = 1; :::; Q; r = 1; :::; P ÅQ)

えられたものである． これから文献 [19] の方法のみがこのとき補間値 f は非ファジー化手続き [18] により山型谷型信号のパターンを保存していることがわかる．

XpÅq

ファジー推論を介して複数の局所情報を関連付けるñr wr

f = r=1
pÅqX
r=1(13)
ñr

ことによっては，従来の方法では保存できない信号のパターンを推定し，その結果適切な補間値を与えることが可能であることがわかる．

いる [14]{[17], [19]．そして，ファジー推論を用いた処理は本稿に示したものにとどまらず，多くの信号処理に対して適用が可能であるあることを最後に述べておく．

文献(a) 線形補間(b) 3 次畳込み補間
図8

図95(c) Fuzzy 補間

拡大処理結果画像 (一部抜粋)

拡大処理画像の水平断面

まとめ
本稿ではファジー推論を介したデータ依存型処理について，復元, エッジ抽出，拡大処理の例を示すこと
で，その実現方法と有効性について述べた．従来のシフト不変型の線形処理の問題点は局所毎の信号の性質によって係数や処理を変化させることができず，その処理結果は好ましいものにはならない点である．本稿ではファジー推論を介すことで信号の性質を曖昧な局所情報の組合せで表現可能とし，信号の性質に応じた適切な係数や処理等を決定することが可能であることを示した．
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