数 学 科 学 習 指 導 案
日時

令和５年 〇月 〇 日（〇）5 限対象

普通科 ２年１，２，３組 βクラス

場
３９名

所教科書

（男子１５名，女子２４名）
科目

数学Ⅱ

指導者

〇〇教室
高等学校 数学Ⅱ （数研出版）
〇〇 ○○

１ 単元名
第６章 微分法と積分法

２ 指導の立場（１） 教材観
これまで，２次関数や三角関数，指数関数，対数関数では，関数の表す式の代数的な性質に関連させた扱いが多く，またグラフについても満たす点をプロットしていくことにより，その概形をとらえることが中心であった。しかし微分法を学ぶことにより関数の値やグラフの変化の様子を局所的に調べることができるようになり，それによって全体像をとらえることができるようになる。微分法の考え方自体は中学校の傾き（平均変化率）に，極限の考えを加えたもので，単純明快でまさに数学のよさを感じられる題材である。
また，積分法では，積分を微分の逆演算として導入し，その応用として図形の面積を求めることを扱う。これにより，中学校から長く面積に関しては，正方形，長方形，三角形，台形，円といったものの公式しか学ぶことがなかったが，どのような図形でも積分というツールを使って面積を調べることができるようになる。積分の概念は，歴史的には図形の面積や体積を求める求積法として，区分求積法などによって微分法の概念よりもずっと古くから考えられている。そういった歴史的背景についても触れることで，数学の面白さや有用性を感じられる題材ではないかと考える。

（２） 生徒観本クラスは理系のβクラス（３クラス３解体したうちの中位のグレード）である。習熟度と言っても，３９名のクラスであり，成績層は GTZ で A 層から C 層まで幅広い。９月に習熟度を再編成し，１０月には成績を考慮した席替えと班編成をすることで，基礎基本的な事項の振り返りや教員側の発問等に対して，近くの生徒同士で話あったり，意見を共有したりする姿勢が多くみられるようになった。また少しずつ教員の問いかけに対して，反応を返してくれる生徒も増えてきた。しかし，日頃の課題の取り組み等を見ると，積極的に数学を活用しようとする態
度や粘り強く考え数学的論拠に基づいて判断しようとする態度の伸長についてはまだ課題が残る。
授業においても，補助発問をすれば少しずつ手が動くが，問題文から条件を吟味し，解法の方針を立てる力や答えにたどり着くための計算力や粘り強さに欠ける生徒も多い。一方，数名ではあるが発問以上の内容を自分で考えたり，別解を考えたりする生徒もいるため，そういった生徒の考えを上手に引き出しながら今回の問題に取り組み，クラス全体の数学力を向上させたい。

（３） 指導観
今回授業を行うクラスの生徒は，日々の課題で自分の出した答えに対して，批判的な見方や振り返りをすることがない。（例えば， cosµt0 と書いているにも関わらず正の値を平然と答えにしているなど。） そのため，数学の学習過程（図 1）の，D２をベースに授業を組み立てていきたい。
したがって本時は，放物線と直線で囲まれた面積の計算結果から，その面積を決める要素（ x 2 の係数と積分区間の幅）について考える。
1/6 公式は１度導出してしまえば，それ以降¯R £xP®¤£xP¯¤dx を機械的な計算処理として覚え，扱うこ®とになるが，そこに至る背景（なぜ公式化にするのか？ どんないいことがあって公式にしたのか？ など） を生徒自身が理解した上で，公式の導出をしたいと考える。また他の分野や微分法の定数分離でも扱ってはいるが，関数と方程式の操作（行き来）は数学において，とても重要な見方・考え方の１つだと考える。したがって，この１
時間を通して生徒がさらにその見方・考え方を伸長できるように留意しながら授業を展開していきたい。

【図１】

３ 単元の目標(1) 微分・積分についての基本的な概念や原理・法則を体系的に理解するとともに，微分・積分を用いて事象を数学化したり，数学的に解釈したり，数学的に表現・処理したりする技能を身に付ける。
(２) 微分・積分を活用して事象を論理的に考察する力，事象の本質や他の事象との関係を認識し統合的・発展的に考察する力，微分・積分の表現を用いて事象を簡潔・明瞭・的確に表現する力を身に付ける。
(3) 微分・積分について，数学のよさを認識し積極的に数学を活用しようとする態度，粘り強く考え数学的論拠に基づいて判断しようとする態度，問題解決の過程を振り返って評価・改善しようとする態度を身に付ける。

４ 単元の評価規準
知識・技能

思考・判断・表現

主体的に学習に取り組む態度①微分係数や導関数の意味について①関数とその導関数との関係について考①微分・積分やそれに関わる定理・理解し，関数の定数倍，和及び差の察することができる。

公式のよさを認識し，事象の考導関数を求めることができる。

②関数の局所的な変化に着目し，日常②導関数を用いて関数の値の増減やの事象や社会の事象などを数学的に極大・極小を調べることで，グラフの捉え，問題を解決したり，解決の過程を概形がかけることを理解している。

振り返って事象の数学的な特徴や他や公式を導くことやそれらを活用③不定積分及び定積分の意味についの事象との関係を考察したりすることした問題解決において，粘り強くができる。

考え，その過程を振り返って考察て理解し，関数の定数倍，和及び差の不定積分や定積分の値を求めることができる。

察や問題の解決に活用しようとしている。
②微分・積分やそれに関わる定理③微分と積分の関係に着目し，積分の考を深めたり評価・改善したりしよえを用いて直線や関数のグラフで囲まうとしている。

れた図形の面積を求める方法について考察することができる。

５ 指導と評価の計画（積分：１２時間）
時
間

ねらい・学習活動＊接線の方程式

１重点

記
録

備考
（評価規準・評価方法）

知

知：行動観察知・思・態

態：行動観察・曲線上の点における接線と曲線外から引いた接線の違いを理解し，接線の方程式を求めることができるようにする。

＊第１節の演習

２・導関数や微分係数の定義や基本的な微分の計算，接線の方程式について振り返りと演習を行う。

＊関数の極大，極小・関数グラフを活用することで，導関数 f´£x¤ が f£x¤ の増減

３〇

知・思：授業プリント知・思知・思：行動観察知

知：行動観察思思：行動観察を表していることを視覚的に理解できるようにする。
・ f´£x¤ の符号をグラフから判断できるようにする。
・増減表の書き方を説明し，３次関数のグラフの概形をかくことができるようにする。

＊極値をもつ条件

4・極値をもつ条件について，その十分性の確認が必要である
ことを理解することができるようにする。
＊方程式への応用・グラフの共有点の個数が方程式の実数解の個数に一致することを改めて理解させ，グラフから解の個数を判断することが5できるようにする。
・「 yxx 3O3x 2Ox と yxxOa の共有点の個数を求めよ。」
といった問題において方程式の解の個数に帰着できるようにする。

授業プリント知

知：行動観察知

知：行動観察態：行動観察行う。

知・思・態＊不定積分知知：行動観察知

知：行動観察＊不等式への応用

6

・第１章「式と証明」で行う代数的な示し方を確認した上で，グラフによる示し方とその有用性を理解し，簡単な練習問題を解くことができるようにする。
＊関数の最大，最小7・端点と極値の比較を正確に行い最大値，最小値を求めることができる。
＊第２節の復習

８
1・最大最小の問題や解の個数の問題について振り返りと演習を〇知・思：授業プリント

・関数の原始関数を，素早く求めることができるようにする。
・不定積分の意味を理解し，関数の定数倍，和及び差の不定積分の値を求めることができるようにする。

２＊原始関数の決定・原始関数の決定について，２次関数の決定問題などと関連付けて思考することを通して，諸条件の意味を理解し，原始関数を決定することができる。

3＊定積分の定義・数学Ⅲの区分求積法の考えから，定積分の定義を行うことで

思・態〇

思・態：行動観察

定積分の式の見方，考え方を理解できるようにする。

４＊定積分，定積分の性質 1

知

知：行動観察知

知：行動観察・定積分の性質について，具体的な数値で計算することを通して，積分計算の基本的な性質を理解し，必要に応じて利用することができる。

５＊定積分と面積 1・直線や放物線で囲まれた簡単な図形の面積を求めることができるようにする。
・ x 軸の下側にグラフがあるとき，定積分の値が負になること理解できるようにする。

６＊定積分と面積２思＊定積分と面積 3思：行動観察
授業プリント・本時案を参照

7〇知

知：行動観察知・思知・思：行動観察・1/6 公式を導出し，これまで扱った簡単な図形の面積を素早く求めることができる。

8＊定積分と面積 4・３次関数のグラフと x 軸，３次関数のグラフと接線で囲まれた図形の面積を求めることができるようにする。

9＊定積分と面積 5知

知：行動観察知

知：行動観察知・思知・思：行動観察知・思・態

態：行動観察・絶対値を含む関数の定積分において，グラフの概形を正しくかき，積分区間によって場合分けが必要であることを理解できるようにする。

10＊定積分，定積分の性質２・区間固定型の積分方程式の解法を理解できるようにする。
・定積分の値が定数であることを理解できるようにする。

11＊定積分，定積分の性質 3・区間変動型の積分方程式の解法を理解できるようにする。
・ddxx

R f(t)dtxf(x) について，積分した式を適宜かくことで，a丸暗記ではなく，その考え方の本質を理解できるようにする。

1２

＊章末演習
・積分に関する確認の演習と応用問題の演習を行い，面積計算の流れの定着を図る。

〇

知・思：授業プリント

６ 本時案
（１）

教材： 放物線と直線で囲まれた図形の面積における考察（２）

本時の目標（ねらい）
放物線と直線で囲まれた図形の面積を表す式について，具体的な計算や図形的な考察を通して理解することができる。

【思考・判断・表現】（３） 学習過程
学習内容・学習活動
段階
(時間)

ねらい

指導上の留意事項○：教員の指示・発問等

T 教員の手立て

・ 留意点

S：予想される生徒の反応・学習活動◇ 評価規準（評価方法）[課題] 次の放物線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

Metamoji で取り組ませておく。

導入前時の復習

（６分）

＆問題提起

(1) yxx 2 , yxxO2（６分）(２) yxx 2OxP1 , yx2xO1

・積分区間とグラフの上下関係が(3) yxx 2P3x , yx2xP4

わかるグラフをかいているか確認(4) yxx 2P2xO5 , yx3xO1

する。

⇒ （1）のみ板書し，残りは Metamoji で解答を配布し班で確認させる。（２分）〇予習段階で気づいたこと，感じたこと，疑問を Metamoji から確認する。 ⇒ 生徒の反応から授業を展開する。
Ｓ１：４問とも面積が等しくなる。
Ｓ２：（1），（２）が等しいのは分かるが，（1），（２）と（3），（4）が等しくなる理由がわからない。
Ｓ３：積分区間の幅が等しい。
Ｓ４：（１），（２）と（3），（4）はそれぞれ被積分関数が等しい。

学習内容・学習活動
段階
(時間)

ねらい

展開 1

放物線と直（３２分）

線で囲まれた面積が等

指導上の留意事項○：教員の指示・発問等

T 教員の手立て

・ 留意点

S：予想される生徒の反応・学習活動◇ 評価規準（評価方法）[Q1] （上記において，S１がいる想定で）〇面積が等しくなるのはなぜか？

しくなる条件・予習段階で気づきが少ない場合の考察１＜集団検討（２分）＞

は個人検討の時間を入れる。

（被積分関S１：(１)，(２) or (3)，(4)は被積分関数が等しいから。

Ｔ１：（３），（４）が等しい理由は？

数と積分区
間 へ の 着目） （９分）

S２：(１)，(２) or (3)，(4)が等しいのは短冊の高さが等しく積分区間の幅が等しいから。

S3：積分区間の幅が等しいから。

RS４：(1)，(２)の式は P2

Ｔ３：積分区間の幅が等しければ必ず面積は等しくなるか？

£xO1¤£xP2¤dx に

P14R £xP1¤£xP4¤dx になり，(3)，(4)の式は P

1

積分区間の幅が等しく，平行移動すれば重なるから。

S5：わからない。

〇いくつかの班の考えを全体に共有→再度集団検討（２分）をする。

・積分区間の幅などキーワードとなる言葉があれば黒板に書き留める。

放物線と直線で囲まれ〇（1），（２）が2R £Px OxO2¤dx になるが
2

P1

・以下のような（1），（２）の途中式

これは，どんな図形のどの部分の面積を表しているか。

を見せながら考えさせる。の考察２＜個人検討（１分）＞

R «£xO2¤Px ¬dx（方程式＜集団検討（3 分）＞⇔関数の見S1：放物線 yxPx OxO2 と x 軸で囲まれた図形

R «£2xO2¤P£x Ox¤¬dx

S２：放物線 yxx 2PxP2 と x 軸で囲まれた図形

・Ｓ２が多かった場合は下に凸のた面積が等しくなる条件

222P122P1方を深める）（１０分）

放物線で検討していく。

S3：定積分の式を（１），（２）の形に戻して放物線 yxx 2 と直線 yxxO2 で囲まれた図形〇いくつかの班の考えを全体に共有→再度「面積が等しくなるのはなぜか。」について集団検討（２分）する。（※）

学習内容・学習活動段階
(時間)

ねらい

指導上の留意事項○：教員の指示・発問等

T 教員の手立て

・ 留意点

S：予想される生徒の反応・学習活動◇ 評価規準（評価方法）

S1:下図のように変換できて，図形を平行移動すると重なるから。
（１），（２）（3），（4）S２：形が同じで積分区間の幅が等しいから。

・Ｓ２がいれば，発表させて次の展開にそのままつなげる。

S３：わからない。
放物線と直線で囲まれ〇図形を見ると平行移動すれば重なり面積が等しいことがた面積が等わかったが，定積分の式には何か共通点があるか？

しくなる条件の考察２＜集団検討（２分）＞（ x の係数

S１： x 2 の係数が等しい。

2と積分区間の幅への着Ｔ１： x 2 の係数が等しいとはどういうことか？

S２：積分区間の幅が等しい。

目）（８分）→ 放物線の開き具合以外に何が重要となるか？

Ｓ３：わからない。

S２の生徒が増えてきてから以下の展開に進む。
〇積分区間の幅を求めるためには座標が必要で，その[Q1] の ま とめ，獲得した・状況に応じて，教員が誘導しなが座標を求めるためには，因数分解した形で書いておく方が因数分解の形にする理由を理解

見やすいことを生徒とやり取りしながら確認する。

させる。

〇 [Ｑ１]で放物線と直線で囲まれた図形に関してわかったことは何か？

知識の確認
（５分）

S1：被積分関数と積分区間が等しければ，面積が一致する。

S２：面積を考える際に， x 2 の係数と積分区間の幅が重要である。
・これまで解いた問題（練習４１のS3：放物線と x 軸で囲まれる図形に帰着できる。

（１））を振り返らせ，同様のことが成り立つことを確認させる。

学習内容・学習活動
段階
(時間)

ねらい

○：教員の指示・発問等

T 教員の手立て

S：予想される生徒の反応・学習活動◇ 評価規準（評価方法）

S4：共有点の x 座標が分かれば因数分解した形で被積分関数を表現できる。

展開２

放物線と直（７分）

線で囲まれ指導上の留意事項
・ 留意点

・S4 の考え方をここでしっかり押さえる。

[Q２] 放物線 yx2x 2P8xO9 と直線 l で囲まれた図形の面積を表す式を求めよ。

た図形の面積を表す式の考察（７分）＜個人検討（２分）＞
4

Ｔ１：なぜこのように表せるのか？

4◇放物線と直線で囲まれた図形のR 2£xP1¤£xP4¤dx

S1： P

1R £xP1¤£xP4¤dx

S２： P

S3：14R £xP1¤£xP4¤dx
1

面積を表す式について，具体的な計算や図形的な考察を通して理解することができる。 【思・判・表】S4：直線 l を求めて，立式する。
Ｔ４：直線の式を求めないと被積分

S5：わからない。

関数の式がわからないか？
もしくは，計算の結果から〇生徒同士で確認をさせる。（２分）

気付くことはないか？

〇Ｓ１がいれば説明をさせる。
まとめ

本時のまとめ

（5 分）

（５分）

[Q1]，[Q２]でわかったこと，疑問に思ったこと考え方などを自分の言葉でまとめなさい。

〇時間が余る生徒は以下に答えるように指示する。

・振り返りが最優先であること＜パフォーマンステスト＆次回の課題＞を伝える。

放物線 yxax ObxOc £au0¤ と直線 l の交点の2x 座標が ® , ¯ £®t¯¤ であるとき，この放物線と直線で囲まれた図形の面積を表す式を求めよ。