平成30年度

１ (1)渋谷教育学園渋谷中学校<帰国生受験>算数

2－ 2.25－1

くわしい解説すぐる学習会517÷1×0.875
618アイウエア＝2153105－1 ＝2 －1 ＝461212 125173
÷1 ＝121814325
ウ ＝ 2－ ＝14 142525
79エ ＝ × 0.875 ＝ × ＝ 1
1414816
イ＝(2)

18920
1＝だけ食塩が入っていて，Ｂは，全体の＝だけ200 100
240 12食塩が入っています。
919
分数の大きさをくらべるために分子をそろえると，Ａは，Ｂは ＝100
12 108となるので，分母が小さいＡの方が分数としては大きく，Ａの方が濃いことがわかります。
Ａは，全体のよって，Ａに水を加えてうすめることによって，Ｂと同じ濃さにすることになります。
181
水を加えても食塩の量は変わらないので，の分母だけに□を加えて に20012するのですから，181＝となります。
200＋□ 12分子は18が1になっているので18で割っています。
よって，分母も18で割ったら12になるので，12×18＝216になります。
したがって□は，216－200＝16（ｇ）になります。

-1-(3)

右の図のように，アとイの，3 個ずつの点の集まりがあったとします。
アの点の集まりから，イの点の集まりまで行くことは東へ進めばよいのですからＯＫですが，イの点の集まりからアの点の集まりまで行くことは，西へ進むことになりますからダメです。
よって，アの点の集まりからイの点の集まりまで行ってしまったら，もうアにはもどってこれないことになります。

アイＢＡＢ

つまり，右の図の 3 本の太線のうち，どれか 1 本しか通ることはできません。
ＡＢ同じようにして，右の図の 3 本の太線の中でも，どれか 1 本しか通ることができず，ＡＢ

右の図の 3 本の太線の中でも，どれか 1 本しか通ることができません。

ＡＢ

たとえば右の図の太線を通るように進むとすれば，

ＡＢ道の通り方は，右の図のように決まってしまうのです。

Ａ（次のページへ）-2-Ｂ

よって，右の図の 3 本の太線の中から 1 本選び，ＡＢ

右の図の 3 本の太線の中からも 1 本，ＡＢ

右の図の 3 本の太線の中からも 1 本選ぶことになりますから，

Ａ全部で， 3 × 3 × 3 ＝ 27（通り）の行き方があります。
Ｄ(4)なかなかの難問です。
１の問題だからといって，簡単に解けるわけではありません。
右の図のように，点Ｄのところの角をウとします。
〇の角度は，イと同じです。

ウウイＥＡ〇

ＢＣＤ

さらに右の図のように折ったとき，●の角度は48°になることが，問題に書いてありました。

ウイ●〇（次のページへ）-3-ＢＥＣＤ

右の図の★と★は，折る前・折った後なので，同じ角度です。
よって，☆と☆も同じ角度です。

ウウイ☆
★

●〇

☆

★

ＥＢＣ
Ｄ

右の図の太線を見ると，☆の角度はイ＋ウであることがわかります。

ウウイ
☆
★

●〇

☆

★

Ｅ

Ｂ

右の図の太線の三角形に注目します。
〇はイと同じで，●は48°，☆はイ＋ウで，合わせて三角形ですから180°です。よって，
イ＋48＋イ＋ウ＝180
イ＋イ＋ウ＝180－48＝132（度）

ＣＤウウイ
☆
★

●

★
☆
〇
ＥＢ

また，点Ｄのところを見ると，イ＋ウ＋ウ＝90（度）です。
イ＋イ＋ウ＝132度
イ＋ウ＋ウ＝90度
イを求めるために，ウをそろえます。
イ＋イ＋ウ＝132度
イ＋ウ＋ウ＝90度→ イ＋イ＋イ＋イ＋ウ＋ウ＝264度→
イ＋ウ＋ウ＝90度

よって，イ3つぶんが，264－90＝174（度）になるので，イは，174÷3＝58（度）になります。

-4-Ｃ

(5)

立体Ａを作るときに切り取った円すいの高さは，30－20＝10（cm）です。
切り取った円すいの高さは，もとの円10 1すいの高さの＝ですから，体積は，30 31×1×11＝になります。
3×3×3
2710cm

30cm
20cm

Ａ

よって，立体Ａの体積は，もとの円す126いの体積の，1－ ＝です。
2727
また，立体Ｂを作るときに切り取った円すいの高さは，30－5＝25（cm）です。

25cm

切り取った円すいの高さは，もとの円25 5すいの高さの＝ですから，体積は，30 65×5×5125＝になります。
6×6×621630cm5cmＢ

よって，立体Ｂの体積は，もとの円す
12591
いの体積の，1－＝です。
216
21691267
したがって，立体Ｂの体積は，立体Ａの体積の，÷ ＝ （倍）になりま
216
2716す。

-5-(6)売り上げの合計が，予定した売り上げの合計よりも400円少なくなったのは，2日目にＢを80円値引きしたことが原因です。
よって，2日目にＢは 400÷80＝5（個）売ったことになります。
1日目にＢは7個売れているのですから，Ｂの個数は，7＋5＝12（個）です。
Ａ，Ｂ合わせて52個売ったのですから，Ａの個数は，52－12＝40（個）になります。
あとは面積図を利用して解いていきます。
Ａ1個の価格を １ 円とすると，40個で，１ ×40＝ 40 ですから，Ａの売り上げの面積図は，右の図のようになります。

１4040
1日目のＢは，Ａの価格よりも220円高く，7個売れました。
2日目のＢは，Ａの価格よりも 220－80＝140（円）高く，5個売れました。
Ｂのようすを面積図にすると，右の図のようになります。

220１140

１Ａの売り上げは 40 で，Ｂの売り上げの7 52倍でしたから，Ｂの売り上げは 40 ÷2＝20 です。よって，右の図の面積は 20 です。
また，右の図の点線よりも下側の面積は， １ ×(7＋5)＝ 12 ですから，点線よりも上側の面積は， 20 － 12 ＝ 8 です。
8 にあたる面積が，220×7＋140×5＝2240 ですから， 1 あたり，2240÷8＝280（円）です。
Ａ 1 個の価格を 1 にしたのですから，答えも 280 円になります。

-6-２ (1) 単純に計算するだけです。1×2×3×4×5×6×7×8＝40320(2)80 を素因数分解すると，2×2×2×2×5 です。
よって，2 で 4 回以上，5 で 1 回以上割り切れるような数にする必要があります。
4！＝1×2×3×4 では，積の中に 5 がふくまれていないので，5 で 1 回も割れません。
5！＝1×2×3×4×5 では，確かに 5 で 1 回割り切れますが，積の中に入っている 2 は 2 で 1 回割り切れ，4 は 2×2 ですから 2 で 2 回割り切れ，合計 2 で 3 回しか割り切れないので，条件に合いません。
6！＝1×2×3×4×5×6 なら，6 は 2 で 1 回割り切れますから，合計 2 で 4 回割り切れることになり，条件に合います。
よって，答えは 6 になります。

(3)

まず，次のような超簡単な問題から解説します。
問題
10570000000 は，一の位から連続して「0」が何個ならびますか。

単純に一の位から並んでいる０の数をかぞえればよいので，答えは７個になります。
では，次の問題はどうでしょう。
問題10570000000 は，10で何回わり切れますか。
10で1回ずつわっていくと，右はしの0が1個ずつなくなっていくので，7回われば1057となり，それ以上わり切れなくなります。よって，答えは7回です。
つまり，「一の位から連続して0が何個ならびますか。」という問題は，「10で何回わり切れますか。」という問題と，同じことになります。
さて，「10でわる」というのは，10＝2×5 ですから，「2でわって，さらに5でわる。」と同じです。
たとえば，3628800という数が，2で8回わり切れて，5で2回わり切れることがわかっているとします。
次のようなイメージです。
3628800

2で5で…
…

○○○○○○○○○○

（8回）
（2回）

それでは，3628800という数は，「2でわって，さらに5でわる」ということを，何回できるでしょうか。
（次のページへ）-7-実は，2回しかできません。
まず1回目，2でわって5でわると，次のようになります。
3628800

2で5で…
…

×○○○○○○○×○（あと7回）（あと1回）

もう一度，2でわって5でわると，次のようになります。
3628800

2で5で…
…

××○○○○○○××（あと6回）（あと0回）

つまり，いくら2でわることが多く残っていたとしても，もう5でわることは不可能なので，「2でわって，さらに5でわる」ことは，2回しかできません。
ようするに，「2でわって，さらに5でわる」ことは，「2でわり切れる回数」と，「5でわり切れる回数」のうち，少ない回数の方しかできないことになります。
では，127！＝１×２×３×４×……×126×127について，考えてみましょう。

127！が，2で何回われるかは，次にように計算することができます。
127÷2＝63 あまり 1
63÷2＝31 あまり 1
31÷2＝15 あまり 1
15÷2＝ 7 あまり 17÷2＝ 3 あまり 1
3÷2＝ 1 あまり 1
合計，63＋31＋15＋7＋3＋1＝120（回），2でわることができます。
次に，127！が，5で何回われるかを，求めてみましょう。
127÷5＝25 あまり 225÷5＝55÷5＝1
127！は，5で 25＋5＋1＝31（回），わることができます。
結局，127！は2で120回，5で31回，わることができました。
「2でわって，さらに5でわる」ことは，少ない回数の方しかできないので，31回しかできません。
（次のページへ）-8-よって，127！は，一の位から連続して「0」が31個並んでいることがわかりました。
ところで，答えを求めるときに，「2で何回われるか」と，「5で何回われるか」の，両方を計算して，少ない方である「5で何回われるか」の回数の方を答えにしました。
しかし，この問題のような，「１×２×…×Ｎ」の0がならぶ個数を求める問題の場合は，いつも必ず「2でわれる回数」よりも「5でわれる回数」の方が少ないので，「2でわれる回数」を求めることはしなくてＯＫです。
この問題の解き方を整理すると，右の図のようになります。

0が何個ならぶか||
10で何回われるか||
2と5で何回われるか||
5で何回われるか(4)

9！＝1×2×…×9，10！＝1×2×…×9×10，11！＝1×2×…×9×10×11
よって，9！も，10！も，11！も，1×2×…×9が共通しています。
たとえば，3.14×96＋3.14×4を計算するときに，3.14が共通なので，3.14×(96＋4)のようにまとめますね。
同じようにして，9！＋10！＋11！
＝(1×2×…×9)×1＋(1×2×…×9)×10＋(1×2×…×9)×10×11＝(1×2×…×9)×(1＋10＋110)＝(1×2×…×9)×121
よってこの問題は，(1×2×…×9)×121 が，10！＝(1×2×…×9)×10 の，何倍かを求める問題になります。
答えは，121÷10＝12.1（倍）になります。
1※もちろん，12 倍と答えてもマルです。
10-9-

３ (1) 右の図の三角形ＡＣＤの面積は，四角形ＡＢＣＤの面積のＡＦＤ1です。
2ＥＢ

Ｃ
3

右の図の太い線でかこまれた三角形ＤＥＦ
211の面積は，三角形ＡＣＤの面積の， × ＝323です。

Ａ

21 Ｆ

Ｄ
1Ｅ21Ｂ

Ｃ

111よって，三角形ＤＥＦの面積は，四角形ＡＢＣＤの面積の， × ＝になり236ます。
3(2) 問題とは関係のない線やちょう点を取りのぞいたのが，右の図です。

Ａ21 Ｆ

Ｄ
1Ｅ2Ｉ1ＢＣ3Ａ

ＢＩ：ＩＥを求めるために，右の図のようにＥから水平に補助線を引きます。

21 Ｆ

Ｄ
1Ｅ2Ｉ

1Ｂ

Ｃ
3

その補助線の長さは，右の図の太線のようなピラミッド形から，1であることがわかります。

Ａ

21 Ｆ

Ｄ
11Ｅ2ＩＢ- 10 -1Ｃ

3Ａ

21 Ｆ

次に，右の図の斜線部分のようなクロス形を考えます。
ＢＩ：ＩＥ＝3：1 になります。

Ｄ
11Ｅ2Ｉ
Ｂ

Ｃ

33Ａ(3) (2)でＢＩ：ＩＥを求めたので，次にＢＨ：ＨＥを求めます。
問題とは関係のない線やちょう点を取りのぞいたのが，右の図です。

1Ｄ
1Ｅ2Ｈ

1Ｂ

Ｃ
3Ａ

ＢＨ：ＨＥを求めるために，右の図のようにＥから水平に補助線を引きます。

Ｄ
1Ｅ2Ｈ1Ｂ

その補助線の長さは，右の図の太線のようなピラミッド形から，1.5であることがわかります。

Ｃ
3Ａ

Ｄ
11.5Ｅ2ＨＢ

Ｃ
3Ａ

次に，右の図の斜線部分のようなクロス形を考えます。
ＢＨ：ＨＥ＝3：1.5＝2：1 になります。

1Ｄ
11.5Ｅ2ＨＢＣ
3- 11 -1ＦＡ

Ｄ

これで，ＢＩ：ＩＥ＝3：1，ＢＨ：ＨＥ＝2：1 であることがわかりました。
3Ｈ

2Ｉ 11ＢＣＦＡ
ＢＩ：ＩＥ＝3：1 のとき，ＢＥ＝3＋1＝4 です。
ＢＨ：ＨＥ＝2：1 のとき，ＢＥ＝2＋1＝3 です。

Ｄ

４3Ｈ

2Ｂ

Ｉ 1
1Ｆ

ＢＥを，4と3の最小公倍数である12にそろえると，右の図のようになります。

Ｄ

129Ｈ8ＢＥＣ

３Ａ

よって，ＢＨ：ＨＩ＝8：(9－8)＝8：1 になります。

ＥＩ 34ＥＣ

12ＧＡ(2)や(3)と同様にして，ＢＪ：ＪＥを求めます。
問題とは関係のない線やちょう点を取りのぞいたのが，右の図です。

Ｄ(4)

Ｊ

Ｂ

ＥＣＧＡ
ＢＪ：ＪＥを求めるために，右の図のようにＥから水平に補助線を引きます。

1Ｄ
1Ｅ

Ｊ

1Ｂ- 12 -3Ｃ

その補助線の長さは，右の図の太線のようなピラミッド形から，0.5であることがわかります。

1ＧＡ

Ｄ
1Ｅ

Ｊ

0.5

1Ｂ

Ｃ

31ＧＡ
次に，右の図の斜線部分のようなクロス形を考えます。
ＢＪ：ＪＥ＝3：0.5＝6：1 になります。

Ｊ0.5

Ｄ
1Ｅ
1Ｂ

Ｃ

3Ｆ

Ａ
これで，ＢＩ：ＩＥ＝3：1，ＢＪ：ＪＥ＝6：1 であることがわかりました。

Ｇ1ＤＩ 1Ｅ
Ｊ136Ｂ

ＣＡ

ＢＩ：ＩＥ＝3：1 のとき，ＢＥ＝3＋1＝4 です。
ＢＪ：ＪＥ＝6：1 のとき，ＢＥ＝6＋1＝7 です。

ＦＧ４Ｉ 1ＥＪ136Ｂ
Ａ
ＢＥを，4と7の最小公倍数である28にそろえると，右の図のようになります。
ＢＩ：ＩＪ：ＪＥ＝21：(24－21)：4＝21：3：4になります。

- 13 -７ＣＦＧ28Ｉ 7ＥＪ42124Ｂ

Ｄ28ＤＣ

Ｆ

Ａ

右の図の三角形ア，イ，ウの面積の比も，21：3：4 になります。
3 2
イの面積はcm なので，ア＋イ＋ウの83面積は， ÷3×(21＋3＋4)＝3.5 (cm2)です。
8Ｇ21アＤ

3 4 Ｅ
ＪＩイ ウＢＣＡＤ

右の図のように分けて考えると，平行四辺形
ＡＢＣＤの面積は，3.5×4＝14 (cm2)になります。

Ｅ3.5cm2Ｂ- 14 -Ｃ

４ (1) 渋男君の歩幅は45cmです。
渋男君が動く歩道を使わないでＡからＢまで歩くと，112歩で歩くそうです。
よって，ＡからＢまでの長さは，45×112＝5040（cm）です。
教子さんは，ＡからＢまでの5040cmを，動く歩道を使わないで歩くと，126歩で歩くそうです。
よって，教子さんの歩幅は，5040÷126＝40（cm）になります。
(2)(1)で，ＡからＢまでの長さは5040cmであることがわかりました。
その5040ｍを，渋男君が動く歩道を使って歩くと，70歩で35秒かかるそうです。
渋男君の歩幅は45cmですから，70歩は，45×70＝3150（cm）です。

ＡからＢまでの長さは5040cmなのに，渋男君は3150cmだけ進んで，ＡからＢまで歩けました。
残りの 5040－3150＝1890（cm）は，動く歩道が動いてくれたのです。
よって，動く歩道は，35秒で1890cm動くことがわかったので，動く歩道の秒速は，1890÷35＝54（cm）になります。
(3)

教子さんは「動く歩道」を，ＡからＢまで72歩で歩くそうです。
教子さんの歩幅は，(1)で求めた通り40cmです。
よって，教子さんはＡからＢまで，40×72＝2880（cm）を歩いたことになります。
ところで，ＡからＢまでの長さは5040cmです。
ですから，5040cmのうち，教子さんは2880cmぶんを歩き，残りの 5040－2880＝2160（cm）は，動く歩道が動いたことになります。
(2)で求めた通り，動く歩道の秒速は54cmです。
よって，動く歩道は 2160÷54＝40（秒）かかって2160cmを動きました。
動く歩道が動いている間，教子さんも歩いたのですから，教子さんが歩いた時間も，40秒になります。

- 15 -