格子ゲージ理論での細谷機構による相転移と質量生成
幡中久樹[Hisaki Hatanaka]（韓国高等科学院[KIAS]）/w G. Cossu(KEK), Y. Hosotani (Osaka U), J. Noaki (KEK)Phys.Rev.D89 094509 [arXiv:1309.4198]

1

Introduction•

細谷機構[Hosotani mechanism](1983)•

コンパクト化した余剰次元を回るWilson-loopの真空期待値で対称性を破る(c.f. ヒッグス機構)•

動的な起源：Coleman-Weinberg型の量子補正による••

これまでの研究は主に摂動論の範囲内

応用：素粒子現象論における「ゲージ・ヒッグス統合(gauge-Higgs uniﬁcation)模型」[Manton(1974), Witten(1985), H-Inami-Lim(1998)]•

電弱相転移の場合、ヒッグスの質量が２次発散する問題（ゲージ階層性問題）を解決2014 Sep. 3-5

2

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

Whatʼs HM?

Y. Hosotani, PLB126-309(1983)

有限温度TのSU(Nc)ゲージ理論 ＋ Nf個の基本表現フェルミオ
ン系でのグルーオン（A0）２乗質量（１ループ）
松原形式：虚時間方向を周期1/Tの円にコンパクト化•

ボソン：周期的境界条件•

フェルミオン：反周期的境界条件

空間方向へのコンパクト化を念頭に、
フェルミオンの境界条件を周期的境界条件に質量二乗が負(Tachyonic)→自明な真空は不安定？
→対称性の破れ2014 Sep. 3-5

3

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

新しい真空で、ウイルソンラインはの形を取る。SU(Nc)対称性は破らないが、中心群ZNc対称性を破る
フェルミオンは共変微分中のゲージ場との結合から質量を獲得
熱場的には、フェルミオン境界条件の変化は非零の虚数化学ポテンシャルに対応[Roberge-Weiss, NPB275-734(1986)]
格子ゲージ理論でも多くの先行/関連研究あり
フェルミオンをSU(Nc)随伴表現にした場合は、ウイルソンラインによってSU(Nc)対称性は破れる。
[Higuchi-Parker, Davis-McLachran (1988), Hosotani(1989)]→

格子ゲージ理論ではどう見える？(c.f. Cossu-DʼElia, 2009)2014 Sep. 3-5

4

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

3+1次元SU(3)模型での解析•

３＋１次元でのSU(3)ゲージ理論•

連続理論での１ループ摂動論 v.s. 格子ゲージ理論•

連続理論の作用•境界条件(<Ay>=0のとき)•(本発表ではゲージ場と随伴表現フェルミオンのみ[Nad=2,Nfd=0]、
周期的強化条件[αad=0]の場合を取り上げる•（基本表現フェルミオンの場合、有限温度系＋虚数化学ポテン
シャルに対応）2014 Sep. 3-55

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

相構造•

ゲージ場の真空期待値とウイルソンライン•

SU(3)対称相：A (deconﬁned phase)•SU(2)xU(1)対称性の相：B (split phase)•U(1)xU(1)対称性の相：C (reconﬁned phase)•

格子ゲージ理論では上記の他に「綴じ込め相」Xがある。

•

摂動論の結果(New!)•

格子計算でも似た相構造が示唆されていた（Cossu, DʼElia, 2009）2014 Sep. 3-5

6

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

格子QCDによる解析•

格子数：16^3 x 4•

サイズの小さい方向がコンパクト化した余剰次元に対応••

コンパクト化方向のポリャコフライン＝ウイルソンライン(のTrをとったもの)

Kogut-Suskind fermion•(基本（随伴）表現のフェルミオン数は４（２）の倍数に制限される)•

フェルミオン質量の他に、ゲージ結合定数βも変化させる•

観測量（ゲージ不変 c.f. Elitzuerの定理）•

ポリヤコフライン•

今回はポリヤコフラインの固有値も2014 Sep. 3-5

7

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

e
t
y
s
t
t

1
P8 ¼ 0;P3 ¼ − ;B1 ∶ θH ¼ ð0; π; πÞ;
3
!
"
2
1
1
1
B2 ∶ θ H ¼
π; − π; − π ;P3 ¼ e−πi=3 ;3333

ポリャコフループ[ゲージ場＋随伴表現フェルミオン]
P ¼ 0;
8"!
2 1 1
B3 ∶ θH ¼ − π; π; π ;3 3 31
P3 ¼ eπi=3 ;3格子（密度分布）
摂動論（有効ポテンシャル）
A
A-B
B<P3> (θ1,θ2) <P3> (θ1,θ2)

,
n
(3.6)
P8 ¼ 0:COSSU et al.
PHYSICALREVIEW D 89, 094509 (2014)y
POLYAKOV LOOPS AND THE HOSOTANI MECHANISM ON …
e
In terms of P3 , this configuration seems to be¼
realized in the “split” phase observed in Ref. [24],f
where a system with periodic fermions in the adjointdrepresentation on the lattice is studied. Further)
discussion on the correspondence between the Bgphase and the split phase are presented in Sec. V B 2.
o(iii) Uð1Þ × Uð1Þ symmetric configurationst.
If θ1 , θ2 , and θ3 are different from each other, therem
are two independent massless fields in the diagonal
ð0Þ
lcomponents in Aμ yielding the Uð1Þ × Uð1Þ gaugef2
symmetry. This situation is realized by
"
!
t
2
2
1
θH ¼ 0; π; − π ; P3 ¼ 0; P8 ¼ − : (3.7)
o
3
3
8

B-C

C

θ

f
e
s FIG. 3. Effective potential for the case of Nad ¼ 2 adjoint fermion with periodic boundary condition (αad ¼ 0) for the values1of mad R
in d ¼ 4. They are corresponding to the A phase, the A-B transition point, the B phase, the B-C transition point and the C phase,h respectively. Lower values of V eff are indicated by lighter colors.
hθwhich gives a direct interpretation as the sum of contributions coming from paths wrapping k times in the compact
direction (see also [40]). The sum is dominated by the firstterm (k ¼ 1) for every values of mR (the worst case being
3 mR ¼ 0 where c1 =c2 ¼ 2d ), and it looks like a selfl interaction of the Polyakov loop, respecting the center
Indeed, terms like this appear in various dimen, symmetry.
sionally reduced models with center stabilization terms,
and are known as double-trace deformations (see, e.g.,[41]). In the limit mR → 0 (i.e., c1 → 1), the combined
potential of gluons and adjoint fermions has the minimum
for jP3 j ¼ 0 (a phase with confinement) as we show in thenext section. The opposite limit mR → ∞ corresponds tothe pure gauge case, c1 → 0. We use these observations
later in the discussion on the phase diagram found on thelattice.

2014 Sep. 3-5

PHYSICAL REVIEW D 89, 094509 (2014)

X

X-A

A

A

B

C

minimal numbers of flavors for the standard staggered
formalism for the lattice fermion used in the simulations.
FIG. 14 (color online). Density plots of the Polyakov loop (in the complex plane) and its eigenvalues (in the θ1 =π-θ2 =π plane) are
Therefore, in the following we briefly summarize theshown side-by-side at several β’s. All possible pairs fðθi ; θj Þ; i ≠ jg are included in the plots. Darker colors denote the highest density
behavior of V eff ðθH Þ for ðN fd ; N ad Þ ¼ ð0; 2Þ and (4, 0)
regions.
for d ¼ 4, i.e., R3 × S1 compactification.

対応が不明確な相がある

which forbids such configurations. See the density plot
in Fig. 13, where the eigenvalue triplets of the Polyakov
Let us begin with the case of adjoint fermions under theloop is obtained by random numbers constrained byperiodic boundary condition αad ¼ 0. At one-loop level,
Eq. (5.3). This measure term gives a strong repulsive
V eff ðθH Þ depends on the mass in the product mad R. The
force
for the eigenvalues that must be subtracted to getglobal minimum of V eff ðθH Þ changes position according tothenonperturbative
V eff .
the following pattern:
The results of our investigations are shown in the panelsof Fig. 14. These plots come in couples and each one of
A1;2;3for 0.499 ≤ mad R;
them displays the density plots for the Polyakov loop P3
for 0.421 ≤ mad R ≤ 0.499;
B1;2;3
itself (left) and for the phases ðθ1 ; θ2 Þ of its eigenvalues
1. Adjoint fermions : ðNfd ;Nad Þ ¼ ð0;2Þ

8

the radius of involved neighbors. The final result is aconfiguration where the ultraviolet oscillations of the gauge
field at the level of the lattice spacing are highly suppressed. It is typically used to clear propagator signals, or
obtain information on topological objects. Since we are
only interested in locating the minima of the potential, any
fluctuations of the Polyakov loop induced by the coarseness of the lattice around that minima are not relevant at thislevel. We find that smearing is essential to extract useful
information from the configurations generated. Data for the

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

Haar測度の処理




X





  






(conﬁned)





































A









  










(deconﬁned)


























   B
(split)







































  







C





Haar測度による確率分布(reconﬁned)






























からの寄与を取り除く

Before2014 Sep. 3-5

After
9

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

相構造
22

Confined/Deconfined
Deconfined/Split
Split/Reconfined

20

C

18
6

16
5.75

β

14
12

5.5
0

0.2

0.4

0.6

0.8

B
10
8

A
X

6
0

0.2

0.4

0.6

0.8

ma

ポリャコフラインの感受率のスパイク構造から相転移点を決定
Cossuらの相図とconsisitent、より大きな範囲
2014 Sep. 3-5

10

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

“ヒッグスボソン”Ayの質量•

摂動論→有効ポテンシャルの曲率から求まる（tree levelではゼロ）•

格子計算→ポリヤコフラインの固有値分布から読み出せる
2014 Sep. 3-5

11

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

“ヒッグスボソン”の質量(続)

摂動論
4

A

mass2

3

2

A←

C
B3

1













→C

















0

0.3

0.4

0.5

 

0.6
 

mR

 

   








 

 








 Sep.
3-5
2014











12









































 














←格子計算↑















 






研究会「熱場の量子論とその応用」@理研











 















 










 

  



C相









A,B←
















 B8

B相

まとめと展望•

3+1次元のSU(3)ゲージ理論について(1)ゲージ場と随伴表現フェルミオン（バルク質量の効果）(2)ゲージ場と基本表現フェルミオン（境界条件の効果）を１ループ摂動論と格子ゲージ理論で調べた••

摂動論的領域では両者によい対応関係

今後の展開
•

（近い方）両表現フェルミオンの共存した系での解析、correlation
functionによる質量スペクトルの解析•（遠い方）オービフォールド、warped spaceの格子上での実現[カイラルフェルミオン、基本表現ヒッグスetc.]
続きはweb(backup slides)で！

2014 Sep. 3-5

13

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

予備スライド2014 Sep. 3-5

14

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

細谷機構によるゲージ対称性の破れ
Ay: 余剰次元成分

W: アハロノフ＝ボーム(AB)位相
C: 余剰次元空間を回る、
非可縮な閉曲線
G,H: ゲージ群

Wは場の(Kaluza-Klein)質量スペクトルにも影響を与える<Ay>は（摂動論的には）真空期待値周りの有効ポテンシャルからダイナミカルに求まる（Coleman-Weinberg機構）

2014 Sep. 3-5

15

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

細谷機構の応用例•

Wilson-line(AB位相)による、素粒子大統一理論でのゲージ対称性の破れ（Witten, 1985）•

素粒子標準模型を拡張：電弱対称性の破れを本機構で実現•

ヒッグス質量の２次発散問題（ゲージ階層性問題）を解決•

TeVスケールのKK粒子を予言

2014 Sep. 3-5

16→

LHCでの発見を期待

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

有効ポテンシャル

d=D+1 : （余剰次元を含む）時空の次元

2014 Sep. 3-5

17

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

ポリャコフライン

A1,A2,A3: deconﬁned phase

基本表現ポリャコフラインP3

B1,B2,B3:split phase[矢印の向きと大きさで表示]のC (reconﬁned), X (conﬁned)(θ1,θ2)平面でのマップ
2014 Sep. 3-5

18

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研θ2
θ1(Nad,Nf)=(2,0)で随伴表現フェルミオン
の質量を変えたときの
有効ポテンシャル（白い方が低い値）
2014 Sep. 3-5

19

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

2014 Sep. 3-5

20

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

FIG. 8.

Same figure as Fig. 8 but for ma ¼ 0.10.

相転移点を定量的に決定するために、感受率χを基本表
現、随伴表現ポリャコフラインについて計算。
conﬁned deconﬁned splitの境界で感受率にピーク。
split reconﬁnedでの相転移はあまりよく見えていない。
2014 Sep. 3-5

21

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

ゲージ場＋基本表現フェルミオン

A1, A2, A3はもはや同等ではない
Z3対称性の破れ2014 Sep. 3-5

22

研究会「熱場の量子論とその応用」@理研

PHYSICAL REVIEW D 89, 094509 (2014)

COSSU et al.
0.10

β=5.00

Im P3

0.05

0.00

0.2

αfd=0.333π
αfd=0.250π

αfd=0.333π
αfd=0.250π

0.1

αfd=0.667π

αfd=0.1667π
αfd=0.083π

αfd=0.167π0αfd=0.000

αfd=0.667π
αfd=0.750π0αfd=0.000

αfd=0.500π−0.1

αfd/π= 0.667, 0.689, 0.833,
1.000, 1.167, 1.333−0.1
αfd=1.667π

αfd/π=1.667

−0.2
−0.05

0.00

0.05

−0.2
−0.2

0.10

0.083, 0.167, 0.250,

0.1

αfd=1.333π

−0.05

−0.10
−0.10

αfd/π=0.000,

0.333, 0.417, 0.500, 0.583,
0.644, 0.667

αfd=0.583π

αfd=1.333π

αfd=1.667π

β=5.20αfd=0.500π

αfd=0.083π

αfd=0.500π0.2

β=5.15αfd=0.417π

−0.1

0

0.1

0.2

−0.2

−0.1

Re P3

Re P3

0

0.1

0.2

Re P3

FIG. 17 (color online). Distributions of P3 obtained on gauge ensembles with a variation of αfd for β ¼ 5.00 (left), 5.15 (center), and5.20 (right). The degrees of αfd used in the calculation are indicated with the corresponding data. Overall, data points with same degrees
of αfd are indicated by same colors.

[左図]境界条件αfとポリャコフラインP3の偏角θの関係
1.0

β

0.4

deconfined

5.20

deconfined

2/3

0.6

deconfined

5.25

deconfined

2/3

0.8

arg(P3)/π5.30

β=5.10β=5.15β=5.18β=5.20

A1

A3

A2

A1

5.15
0.2

5.10

X confined

0.0
0.0
0.2
2014 Sep. 3-5

0.4

0.6

αfd/π

0.8

1.0

1.2

5.05
−π

23

0
研究会「熱場の量子論とその応用」@理研
−2π/3
−π/3
π/3
2π/3
π

αfd

fd

e colors.

Roberge-Weiss(1986) の結果を再現
deconfined

β

5.20

deconfined

2/3

deconfined

5.25

deconfined5.30

β=5.10β=5.15β=5.18β=5.20

2/3

A1

A3

A2

A1

5.15

X confined

5.10

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

αfd/π

5.05
−π

−2π/3

−π/3

0

αfd

π/3

2π/3

π

Left: argðP3 Þ as a function of αfd with various values of β. Right: Phase diagram of the N fd ¼ 4
Solid lines indicate discontinuity separating the A phase in the period of 2π=3. Dashed lines are theecting the actual data points (red squares) and its copy based on the symmetry and periodicity explained

有限温度（松原形式）
Wilson-line phase : βi

細谷機構/w 境界条件

clearly visible for β ¼ 5.20. In
the data at αfd ¼ 2π=3 is in theding on the initial configuration in
on of the nonanalyticity of θ. For abehavior, in Fig. 18, we plot theon of αfd . As seen in the figure, theuous behavior to a discontinuous
ecomes more evident for increas2014
3-5 thef the peaks ofχ P3 weSep.
can draw
8. We note that our data do not

虚数化学ポテンシャル：μVI. DISCUSSION
In this paper we explored the Hosotani mechanism of
symmetry breaking in the SU(3) gauge theory on the 163 ×
4 lattice. The Polyakov loop, its eigenvalue phases, and thesusceptibility were measured and analyzed in models withperiodic adjoint fermions and with fundamental fermions
研究会「熱場の量子論とその応用」@理研
with general boundary conditions. Amongthe four phases
24
appearing in the SU(3) model with adjoint fermions [24],