4章

三角形と四角形

三角形と四角形

4章●学習の要点●1

定義☞P 93〜

ことばの意味をはっきりと述べたものを定義という。例えば，「二等辺三角形」の定義は，「2辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
」となる。

2

二等辺三角形の性質☞P 93〜

４ 章

二等辺三角形で，長さの等しい 2 辺の間の角を頂角，頂角に向かい合う辺を底辺，底辺の両端の角を底角という。
⑴

二等辺三角形の 2 つの底角は等しい。

⑵

二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に 2 等分する。

3

二等辺三角形になるための条件☞P 93〜三角形の 2 角が等しければ，その三角形は等しい 2 角を底角とする二等辺三角形である。

4

逆と反例

☞P 96〜

ある事柄の仮定と結論を入れかえたものを，その事柄の逆という。ある事柄が成り立たない例を反例という。正しい事柄の逆はいつでも正しいとは限らない。

5

直角三角形の合同条件☞P 104〜

2 つの直角三角形は，次の条件のうち，どちらかが成り立てば合同である。
⑴

6

斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
平行四辺形☞P 110〜⑵

斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい。

※四角形の向かい合う辺を対辺，向かい合う角を対角という。

〔定義〕 2 組の対辺がそれぞれ平行である四角形を平行四辺形という。
〔性質〕 ⑴⑶

2 組の対辺はそれぞれ等しい。

7⑵

2 組の対角はそれぞれ等しい。

対角線はそれぞれの中点で交わる。

平行四辺形になるための条件☞P 113〜

四角形は，次の条件のうち，どれかが成り立てば平行四辺形である。
⑴

2 組の対辺がそれぞれ平行である。（定義）⑵

2 組の対辺がそれぞれ等しい。

⑶

2 組の対角がそれぞれ等しい。

⑷

対角線がそれぞれの中点で交わる。

⑸

1 組の対辺が平行でその長さが等しい。

8

特別な平行四辺形☞P 117〜⑴

4 つの角が等しい四角形を長方形という。長方形の対角線は等しい。

⑵

4 つの辺が等しい四角形をひし形という。ひし形の対角線は垂直に交わる。

⑶

4 つの角が等しく，4 つの辺が等しい四角形を正方形という。
正方形は，長方形とひし形の両方の性質をもっている。

9

平行線と面積⑴⑵☞P 122〜

底辺を共有し，底辺に平行な直線上に頂点をもつ 2 つの三角形の面積は等しい。
ABC と

DEF の面積が等しいとき， ABC＝

DEF と書く。

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11 二等辺三角形
学習の基本
定義

二等辺三角形▼練習問題 扌 P 102

53 二等辺三角形の性質

2 辺が等しい三角形を二等辺三角形という。

問題 「二等辺三角形の底角は等しい。
」このことを下のように証明した。

下線部をうめよ。

解

頂角の二等分線をひき，三角形の合同を利用して証明する。
AB＝AC である ABC で，頂角∠A の二等分線をひき，底辺 BC との交点を D とする。

と

において，
＝

AD は∠A の二等分線だから，∠

……③

＝∠

……②

①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，∠B＝∠C
答

ABD と

４ 章

仮定から，AB＝AC……①，共通な辺だから，≡

終

ACD，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，△ABD≡△ACD

234「二等辺三角形の頂角の二等分線は，□底辺を垂直に 2 等分する。」■

このことを証明せよ。ただし，
AB＝AC である

ABC で，頂角∠Aの二等分線をひき，底辺 BC との交点
を D とする。

とにおいて，仮定から，AB＝AC…①，

は共通…②，

AD は∠A の二等分線だから，＝…③①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，≡

合同な図形の対応する辺の長さと角の大きさは等しいから，BD＝

…④，
…⑤

∠ADB＝
一方，∠ADB＋＝180°…⑥⑤，⑥より，∠ADB＝∠ADC＝°…⑦④，⑦より，二等辺三角形の頂角の二等分線
は，底辺を垂直に 2 等分する。

235「 2 角が等しい三角形の 2 辺は等しい。」□■

このことを証明せよ。ただし，∠B＝∠C である ABC で，∠A の二等分線をひき，辺 BC との交点を D とする。

と終において，仮定より，∠B＝∠C…①，AD は∠A の二等分線だから，…②＝①，②と三角形の内角の和が180°だから，
また，

＝

…③

は共通

…④

②，③，④より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，≡

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，
＝

終

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三角形と四角形

学習の基本⑴

54 二等辺三角形の角二等辺三角形の性質①

二等辺三角形の底角は等しい。
（図 1 ）②

二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に 2 等分する。（図 2 ）

⑵

図

図

底角

正三角形の性質
①

図

頂角

底辺

正三角形の 3 つの角は等しい。（図 3 ）次の図で，同じ印をつけた辺の長さが等しいとき，∠x の大きさを求めよ。

問題

⑴

⑵

⑶
80°
x

x
65°
解

x

⑴二等辺三角形の底角は等しいから，∠x＝65°⑵∠x＝（180°−80°）÷2＝50°⑶正三角形の 1 つの角は 60° だから，∠x＝180°−60°＝120°

答

⑴ 65°

⑵

⑶ 120°

50°

236 次の図で，AB＝AC であるとき，∠x の大きさを求めよ。
□⑴
■

□⑵
■

A

□⑶
■

A
74°
x
B

64°

C

x

B

C

□⑷

□⑸
■

□⑹
52°

□⑺
■

□⑻

□⑼

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237 次の図で，長さの等しい線分を答えよ。
□⑴
■

□⑵

□⑶
■

□⑷

□⑸
■

□⑹

学習の基本

二等辺三角形55 正三角形

定義

3 辺が等しい三角形を正三角形という。

定理

正三角形には，次の性質がある。

A⑴ 正三角形の 3 つの内角は等しく，すべて60°である。
⑵

3 つの内角が等しい三角形は正三角形である。

⑴が成り立つことの証明

BC⑵が成り立つことの証明

ABC が正三角形であるとき，ABC において，∠A＝∠B＝∠C

AB＝BC より，∠A＝∠Cであるとき，

BC＝CA より，∠B＝∠A∠A＝∠Bより，CA＝BC

よって，∠A＝∠B＝∠C∠B＝∠Cより，AB＝CA

三角形の内角の和は180°だから，よって，AB＝BC＝CA だから，

∠A＝∠B＝∠C＝180°÷3＝60°

ABC は正三角形である。

終終〔注〕 正三角形は二等辺三角形の特別な場合であり，二等辺三角形の性質をすべてもっている。

238 次の図で， ABC は正三角形である。∠x の大きさを求めよ。
□⑴
■

□⑵

ADEは正三角形

A

A

78°

45°

B

C

D

B

¬™m
A

D

35°

¬
B

E

x

x

□⑶
■

C

m

x
C

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三角形と四角形

学習の基本

56 逆と反例①

ある事柄の仮定と結論を入れかえたものを，その事柄の逆という。

②

ある事柄が成り立たない例を反例という。正しい事柄の逆はいつでも正しいとは限らない。

③

正しくないことを示すには，反例（具体例）を 1 つ示せばよい。
次の事柄の逆をいえ。また，それが正しいかどうかもいえ。さらに，逆が正しくないときは，問題

反例を 1 つ示せ。
⑴⑵
解

自然数 a，b で，a も b も奇数ならば，ab は奇数である。
ABC≡ DEF ならば，BC＝EF である。
⑴この事柄の仮定は，a も b も奇数，結論は，ab は奇数である。
⑵この事柄の仮定は，

答

ABC≡ DEF，結論は，BC＝EF である。

⑴

自然数 a，b で，ab が奇数ならば，a も b も奇数である。…正しい。

⑵

BC＝EF ならば，ABC≡ DEF である。…正しくない。

反例…下の図のような場合である。
A

B

D

C E

（BC＝EF であるが，AB合同な三角形かどうかを調べるには，合同条件が成り立つかを調べ
ればよい。

F

DE なので，ABC≡ DEF ではない。）

239 次の事柄の逆をいえ。また，それが正しいかどうかもいえ。さらに，逆が正しくないときは，反例を 1 つ示せ。

□⑴■

自然数 a，b について，a も b も偶数ならば，ab は偶数である。

□⑵ x≧10 ならば，x＞8 である。

□⑶

2 つの数 a，b で，a も b も正の数ならば，ab＞0 である。

□⑷

ABC≡

DEF ならば，∠A＝∠D である。

□⑸■

ABC で，∠A＋∠B＝90° ならば，∠C＝90° である。

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学習の基本
問題

二等辺三角形

57 二等辺三角形と証明

右の図のように，AB＝AC である二等辺三角形 ABC の辺 AB 上に点 D を，辺 AC 上に点 E を，BD＝CE となるようにとる。このとき，
BCD≡
解CBE であることを下のように証明した。下線部をうめよ。

AB＝AC より，∠ABC＝∠ACB であることを利用して，BCD≡ CBE であることを導く。
と

において，

共通な辺だから，BC＝CB

……①

仮定から，

……②

＝

ABC は AB＝AC の二等辺三角形だから，∠

……③

＝∠

①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
≡
答

BCD と

終

CBE，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，△BCD≡△CBE

240 下の図のように，AB＝AC である二等辺三角形 ABC の辺 AB，AC の中点をそれぞれ D ，E とする。このとき，∠AEB＝∠ADC であることを証明したい。

と

において，

仮定から，

……①

＝

点 E ，D はそれぞれ辺 AC，AB の中点
だから，

＝

……②

また，

は共通

……③

①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，≡合同な図形の対応する角の大きさは等し
いから，
□⑴
■

どの 2 つの三角形の合同をいえばよいか。

□⑵■

このことを証明せよ。

＝

終241 右の図のように，PQ＝PR である二等辺三角形 PQR の辺 PQ，□
PR の中点をそれぞれ M ，N とする。このとき， PMR≡ PNQ
であることを証明せよ。

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三角形と四角形242 下 の 図 の よ う な，AB＝AC■□
で あ る 二 等 辺 三 角 形 ABC で，∠B，∠C の二等分線をそれぞれ BE，CD とする。このとき，
BE＝CD であることを証明せ
よ。

BCE と

CBD において，共通な辺だから，…①＝

ABC は，AC＝AB の二等辺三角形だ
から，
…②

＝

また，BE，CD はそれぞれ∠B，∠C の二等分線だから，…③＝①，②，③より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，≡合同な図形の対応する辺の長さは等しい
から，

＝

終

243 右の図のような，PQ＝PR である二等辺三角形 PQR で，□∠Q，∠R の二等分線をそれぞれ QN，RM とする。このとき，
MQ＝NR であることを証明せよ。

244 右の図の ABC は AB＝AC の二等辺三角形である。辺 BC 上□に BD＝CE となる 2 点 D ，E をとるとき，AD＝AE であることを証明せよ。

245 右の図は，AD™BC の台形 ABCD で，∠CAB＝∠CBA である。
■□
対角線 AC 上に AD＝CE となるように点 E をとるとき，CD＝BEであることを証明せよ。

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246 下の図で，AC と DB の交点を E
■
□
とする。

このとき，AB＝DC，AC＝DB な
らば，

EBC は二等辺三角形であることを証明せよ。

と二等辺三角形において，仮定から，AB＝…①，AC＝

共通な辺だから，

＝

…②，

…③

①，②，③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，≡合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，
＝
すなわち，

＝

よって，2 つの角が等しいから， EBC は二等辺三角形である。

終247 右の図のように，AB＝AC である二等辺三角形 ABC の辺 AB 上□に点 D ，辺 AC 上に点 E を，BD＝CE となるようにとる。線分 BE とCD の交点を P とするとき，

PBC は二等辺三角形であることを証明せよ。

248 下の図のように， ABC の∠BAC■□の二等分線が辺 BC と交わる点を D とし，D を通り辺 BA に平行な直線が辺
AC と交わる点を E とすると， ADE
は二等辺三角形であることを証明せよ。

AD は∠BAC の二等分線だから，……①＝

BA™DE より，平行線の錯角は等しいから，……②＝①，②より，＝

よって，2 つの角が等しいから， ADE は二等辺三角形である。

終249 右の図のように，AD™BC である台形 ABCD の辺 AB 上に，□

BC＝BE となるように点 E をとり，線分 CE の延長と辺 DA の延長の交点を F とする。このとき，AE＝AF であることを証明せよ。

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三角形と四角形

学習の基本
問題

58 正三角形の性質の利用

右の図で，

このとき，

ABC， CDE はともに正三角形である。
BCE であることを下のように証明ACD≡した。下線部をうめよ。
解

2 つの正三角形の 3 辺はそれぞれ等しく，正三角形の 1つの内角は60°であることを利用する。
と
ABC，

において，

CDE は正三角形だから，
……①，

＝

……②

＝

正三角形の 1 つの内角は60°だから，∠＝60°＋∠BCD③，④より，∠……③，∠

がそれぞれ等しいから，

≡
ACD と

……④

……⑤

＝∠

①，②，⑤より，

答＝∠BCD＋60°

終BCE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACD，∠BCE，∠ACD＝∠BCE，2 組の辺とその間の角，ACD≡

BCE

250 右の図で， ABC， ADE はともに正三角形である。
□

このとき，

ABD≡

ACE

であることを証明せよ。

251 右の図で， ABC と ADE はともに正三角形である。
□■

このとき，BD＝CE であることを証明せよ。
と

において，

ABC， ADE は正三角形だから，
……①，

＝

＝

……②

正三角形の 1 つの内角は60°だから，＝60°−∠DAC…③，③，④より，＝①，②，⑤より，＝60°−∠DAC…④……⑤
がそれぞれ等しいから，≡合同な図形の対応する＝の長さは等しいから，

終

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二等辺三角形252 右の図で， ABC と BED はともに正三角形である。
□■

このとき，AD＝CE であることを証明せよ。

253 右の図は，ABC の辺 AB を 1 辺とする正三角形 ABD と，辺AC を 1 辺とする正三角形 ACE を，

ABC の外側に作ったものである。このとき，次の問いに答えよ。
□⑴ ∠ABE＝∠ADC であることを証明せよ。
■
と
ABD，

において，

ACE は正三角形だから，
……①，

＝

……②

＝

正三角形の 1 つの内角は60°だから，＝∠BAC＋60°……③＝60°＋∠BAC

……④

＝

……⑤

③，④より，①，②，⑤より，がそれぞれ等しいから，≡

合同な図形の対応するの大きさは等しいから，

＝

□⑵

終

右上の図のように，線分 BE と DC の交点を F とする。このとき，∠BFC＝120° であることを次のように証明した。
この証明を完成せよ。
⑴より，∠ABF＝だから，∠BFC＝∠DBF＋∠BDF＝∠DBA＋＋∠BDF＝∠DBA＋＋∠BDF＝∠DBA＋
よって，∠BFC＝60°＋
＝

°
°

終

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三角形と四角形

練習問題

11

二等辺三角形254 次の問いに答えよ。
□⑴■

右の図で，AB＝AC，AD＝CD であるとき，∠BCD の大きさ

A

を求めよ。

50°

D
B

□⑵

C

右の図で，四角形 ABCD は正方形，△EBC は正三角形である。 A∠AED の大きさを求めよ。

D
E

B

C

255 頂角が ∠A＝36° の二等辺三角形 ABC において，∠B の二等分線が辺 AC と交わる点を D とする。このとき，次の問いに答えよ。

□⑴ ∠BCD，∠CBD，∠BDC の大きさはそれぞれ何度か。
■□⑵

辺 BC と長さが等しい線分をすべて答えよ。

256 次の事柄の逆をいえ。また，それが正しいかどうかもいえ。さらに，逆が正しくないときは，反例を 1 つ示せ。

□⑴

a も b も自然数ならば，a＋b は自然数である。

□⑵■

ABC で，AB＝AC ならば，∠B＝∠C である。

□⑶■

ABC≡△DEF ならば，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F□⑷

ABC≡ DEF ならば， ABC とDEF の面積は等しい。

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二等辺三角形

257 右の図で， ABC は AB＝AC の二等辺三角形である。
□
いま，∠ACD の二等分線と，頂点 A を通り辺 BC に平行な直線との交点を E とすると，AB＝AE であることを証明せよ。

258 右の図のような，AB＝AC の二等辺三角形で，∠ABC□の二等分線が辺 AC と交わる点を D とし，辺 BC の延長上に点 E を CE＝CD となるようにとる。
このとき， DBE は二等辺三角形であることを証明せよ。

259 右の図のように，正三角形 ABC の辺 AB 上に点 D をとり，正三角形 BDE を作る。このとき，AE＝CD となる。これについて，

次の問いに答えよ。
□⑴■

これを証明するには，どの三角形とどの三角形の合同をいえ
ばよいか。

□⑵
■

このことを証明せよ。

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三角形と四角形

4 章の確認問題
341 二等辺三角形の性質 右の図のように，AB＝AC である二■□等辺三角形 ABC の底辺 BC の中点を M とし，辺 AB，AC 上に
AD＝AE となるようにそれぞれ点 D ，E をとる。このとき，
MD＝ME であることを証明せよ。

342 直角三角形の合同条件 右の図のように， ABC の∠A の二■□等分線と辺 BC との交点を D とし，D から辺 AB，AC にそれぞれ
垂線 DE，DF をひく。このとき，DE＝DF であることを証明せよ。

343 平行四辺形の性質 右の図の ABCD で，AE⊥BD，■□∠DBC＝23°，∠BCD＝120° のとき，∠BAE の大きさを求めよ。

344 平行四辺形になるための条件 右の図のように， ABCD の□■対角線の交点を O とし，対角線 AC，BD 上にそれぞれ AE＝CF，

BG＝DH となる点 E ，F ，G ，H をとる。
このとき，四角形 EGFH は平行四辺形であることを証明せよ。

345 特別な平行四辺形 次の⑴ 〜⑹ は，それぞれどんな四角形になるか。
□⑴ AB＝BC である ABCD■□⑶ AC＝BD，AC⊥BD である■□⑸ ∠ABD＝∠CBD である
■

ABCD

ABCD

□⑵

AC＝BD である ABCD□⑷

∠A＝∠B である ABCD□⑹

∠A＝90°，AB＝BC である ABCD

346 平行線と面積 右の図のように， ABCD の辺 BC 上に点 E を■□とり，辺 AB の延長と線分 DE の延長との交点を F とする。この
とき，

ABE＝ EFC であることを証明せよ。

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三角形と四角形4 章の応用問題★

347 ∠C＝90° の直角二等辺三角形 ABC の∠B の二等分線と辺 AC□との交点を D とするとき，BC＋CD＝AB であることを証明せよ。

★

348 右の図のように，正方形 ABCD の内部に点 P をとり，

A

DQ

線分 CP を 1 辺とする正方形 CPQR を，辺 PQ と辺P

CD が交わるように作る。また，辺 PQ と線分 DR のS

交点を S とする。

R

次の問いに答えよ。
□⑴□⑵

BPC≡ DRC であることを証明せよ。
BC＝8 cm，CP＝5 cm， BPC の面積が 18 cm2 のとき，

B

C

DPQ の面積を求めよ。

349 右の図の四角形 ABCD は長方形で，四角形 ACEF は正方F形である。また，点 F から辺 AD に垂線 FG をひく。次の問Eいに答えよ。
□⑴

ABC≡

AGF であることを証明せよ。

GA□⑵ AB＝4 cm，BC＝10 cm のとき，四角形 FGDE の面積を
求めよ。
★
★

350 右の図のように，同じ幅の紙テープが重なってできる四角★

351 座標平面上に，4 点 A（0，4），B（−2，0），C（9，0），D（6，4）

D

B

C

□
形 ABCD はひし形になることを証明せよ。

y□を頂点とする台形 ABCD がある。また，直線 y＝ax＋8 と辺 AD，BC との交点をそれぞれ P，Q とする。

8

y=ax+8AP

D

面積の比が，台形 ABQP：台形 PQCD＝2：1 のとき，aの値を求めよ。ただし，a≦−

8
とする。
9

B

O

Q

C

x

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kai_1

kai_2

kai_3

4章

すく先生

kai_4

kai_6

kai_5

三角形と四角形

先生：「2辺が等しい三角形は二等辺三角形である」ことは定義なので，そのまま受け入れるとして，二等辺三角形の性質である「2つの底角は等しい」ことや「頂角の二等分線は底辺を

tasuku_1

tasuku_0

する」ことについて，なぜそれが成り立つのかＡを考えてみることにしましょう。
かどかい：小学校では二等辺三角形の紙を半分に折ったとき，それがぴったり重なるから
2つの角の大きさが等しいと考えたと思います。

まどか：「三角形の内角の和が 180° になること」もそうだったけど，実験的に得られた
結果は，たまたまそうなっただけかもしれないから，どんな二等辺三角形でもそれが成り立つことを証明しないとダメということですよね，先生。

madoka_1

madoka_2

madoka_6
madoka_5
先 madoka_4
生：さすが，まどかさん。言いたいことをズバリ言われてしまった！

madoka_3

まさしくその通りです。では，次のような問題を考えてみましょう。
い問題１

底角が等しいことを，次の㋐～㋓の図をかいて証明することにした。

まどか

すく先生

doka_4kai_4㋐～㋓のそれぞれの図について，証明が可能か不可能かを答えよ。

kai_2㋐ kai_3

madoka_1

madoka_2

kai_1

かAB＝AC である二等辺三角形 ABC において，∠B＝∠C であること，すなわち2つの

B

kai_4

㋑ kai_5

madoka_3

madoka_4

AC
M
辺BCの中点をMとし,線分AMをひく｡

A

kai_6

madoka_5

B

C
D^Aの二等分線をひき,辺BCとの交点をDとする｡

いか

madoka_6
kai_2

madoka_5
kai_1

㋓

A

madoka_6

B
C
H
頂点Aから辺BCに垂線をひき，辺BCとの交点をH
とする｡

A

B
C
P
辺BCの中点をPとし,P を通る辺BCの垂線をひく｡

い：証明させるのではなく，証明できるかどうかを聞くなんて面白い問題だ。
合同な図形の対応する角の大きさが等しいことから，∠B＝∠C を示せばいいtasuku_1

tasuku_0㋒から，㋐だと，

ABM≡

まどか：
㋐の場合は
kai_3
kai_4

Ｂ

あなた：㋑の場合は

Ｃ

つまり，㋐は証明

たすく先生

よって，㋑は証明
かい：㋒はどうかな？

がそれぞれ等しいから，
kai_6

ABM≡

ACM がいえるわ。

がそれぞれ等しいから，

ABD≡

ACD がいえるよね。

kai_5

ア
イ

ACM を証明できればいいんだよね。

よね。
だよ。

図からは，AB＝AC，AH が共通，∠AHB＝∠AHC＝90° であることがわかるけど，これは三角形の合同条件にあてはまらないんじゃないかな。90° の角は2組の辺の間にある角じゃないし。
kai_6

kai_5

tasuku_0

まどか：でも㋒は，直角三角形の

Ｄがそれぞれ等しいから，

ABH≡

ACH

といえるんじゃないかしら。だから，㋒は証明可能だと思うのだけど。

先tasuku_1

生：ちょっと待って下さい。そもそも「Ｄがそれぞれ等しい2つの直角三角形は合同である」といえるのは，なぜですか？
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4章

かい：例えば，∠ACB＝∠PRQ＝90°，

A

P

CQ

R

三角形と四角形A(P)AB＝PQ，AC＝PR である2つの直角三角形について，

ABC≡

PQR で

あることを示すには，右のように2つBの三角形をくっつけた図をかいて…。

どか
どか

B

Q

C(R)

まどか：AB＝AQ より∠ABC＝∠AQR，残りの角についても ∠BAC＝∠QAC となるから，「1組の辺とその両端の角」か「2組の辺とその間の角」という合同条件
を使えば…。あっ，AB＝PQ より ∠ABC＝∠PQR の部分はダメですね。

adoka_2

madoka_3

madoka_1
madoka_1

madoka_2
madoka_2

madoka_5
あなた：「madoka_4

madoka_6
Ｄがそれぞれ等しい2つの直角三角形は合同である」ことの根拠とし

madoka_6
madoka_4て，madoka_5「二等辺三角形の2つの底角が等しい」ことを使ってしまっているから，㋒madoka_6
madoka_4
madoka_5

madoka_3
madoka_3

は証明

先

い
い

ということになるよ。

ウ

生：そうですね。証明すべき事柄から導かれる内容を先に使ってしまうのはよくないですね。さて，㋓はどうでしょう。

かい：㋓は BP＝CP，AP が共通で，90° の角が2組の辺の間にあるから，「2組の辺とその間の角」の合同条件がいえるんじゃないかな？

kai_2

kai_3

どか

kai_1
kai_1

先

kai_4

kai_2
kai_2

kai_3
kai_3

生：これは少し難しいのですが…。底辺BC の垂直二等分線が頂角 A を通ることは，
kai_6

kai_5

kai_4
kai_4

明らかなのでしょうか。
kai_6
kai_5

kai_6

kai_5

まどか：ちゃんと通りますよ。
「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を

す

Ａ

る」
という性質があるって習いましたもの。

すく先生
すく先生

madoka_1

先madoka_2

madoka_3

生：ところで，その性質は，どうやって導いたのですか。

madoka_4それは，㋑の図で
madoka_5
まどか：

madoka_6
ABD≡

ACD であることを証明して…。あっ，これも結論から導かれることを使ってしまう誤りになるんですね。
先い

生：そうです。結果からいえば，底辺 BC の垂直二等分線は確かに頂角 A を通ります。しかしながら，その根拠は㋑の図から導かれる「二等辺三角形の頂角のtasuku_1
tasuku_0
tasuku_0

kai_1

Ａ

Ａ

する」ことの逆，つまり「二等辺三角形の底辺をする直線は頂角 A の二等分線である」ことです。これらが両方とも成り立つことを前提としない限り，㋓の図で考えるのはおかしいですね。
kai_2

すく先生

二等分線は底辺をtasuku_1
tasuku_1

kai_3

問題２

kai_4

それでは，次の問題も考えてみてください。
kai_6
kai_5

∠B＝∠C である ABC において，AB＝AC であること，すなわち ABC が二等辺三角形であることを，次の㋔～㋗の図をかいて証明することにした。
㋔～㋗それぞれの図について，証明が可能か不可能かを答えよ。
㋔

tasuku_0

A

㋕

A

㋖

A

㋗

A

tasuku_1

BC
M
辺BCの中点をMとし,線分AMをひく｡

B
C
D^Aの二等分線をひき,辺BCとの交点をDとする｡

B
C
H
頂点Aから辺BCに垂線をひき，辺BCとの交点をH
とする｡

B
C
P
辺BCの中点をPとし,P を通る辺BCの垂線
をひく｡

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madoka_1

madoka_2

4章

かmadoka_3

madoka_4

madoka_6

madoka_5

三角形と四角形いまどか：まず，㋔は三角形の合同条件がいえないから，証明
かい：㋕は ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD で2組の角が等しいから，残りの角について，∠ADB＝∠ADC がいえるね。AD は共通だから，いことがいえて，

kai_1

だわ。

エ

ABD≡

がそれぞれ等し

Ｅ

ACD だ。よって，㋕は証明

オ

だよ。

あなた：
㋖の図を使って証明をきちんと書いてみると，次のようになるね。
kai_6
kai_3
kai_4
kai_5

kai_2

証明を完成させよう！
［証明］ 右の図のように，頂点 A から辺 BC に垂線を

たすく先生

A

ひき，辺 BC との交点を H とする。
ABH と ACH において，B

tasuku_1

tasuku_0

まどか

madoka_1

どか

C

H

すなわち，

madoka_2

madoka_3

ABC は AB＝AC の二等辺三角形である。よって，㋖は可能だ。

まどか：㋗は，やはり 問題１ の㋓と同様の理由でダメね。これは証明不可能だわ。
先

madoka_1

madoka_2

生：そうですね。問題文で「二等辺三角形の性質やその逆を使ってもよい」と認めらか

いれていなければ，㋗を使って証明することは避けるべきですね。

madoka_3

madoka_4

madoka_5

madoka_6

考えてみよう！ 会話を読んで，次の問いに答えよう。
①

い

②

Ａ

kai_2

オ

〜

に
「可能」
または
「不可能」
いずれかの言葉をあてはめよう。
Ｅにあてはまる性質や合同条件を書こう。

kai_1

kai_2

kai_3

に続きを書いて，証明を完成させよう。

③
kai_1

〜

ア

kai_3

kai_4

kai_6

kai_5

たすく先生

＜たすく先生の数学力向上ポイント＞

すく先生

・示したい事柄（結論）から導かれる事柄を使って証明を書くのは誤りになってしまう。どの事柄が仮定として使えるのかに注意。
・性質や定理をただ覚えるだけだと，それぞれの関連性がわからない。その性質や定理がどんな事柄から導かれるのかを意識して，日頃から学習に臨むこと。

tasuku_0

tasuku_1

tasuku_0

tasuku_1

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4章

三角形と四角形◆昔は大変だった「底角が等しいこと」の証明
紀元前300年頃の数学者ユークリッドは，著書
『原論』
の中で，
「二等

A

辺三角形の2つの底角が等しい」ことを次の流れで証明しています。
・AB＝AC である二等辺三角形 ABC の辺 AB ，AC の延長線上に，

B

BD＝CE となるような点 D ，E をそれぞれとる。
・

ABE≡

ACD，

CBE≡ BCD であることを順に示す。

C

D

E

・∠ABC ＝∠ACB を示す。
なぜ，このような面倒な方法をとっているのかというと，『原論』ではそれまでにわかったことのみを使って証明を行う姿勢を徹底していたためです。この時点では，「 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件しか登場しておらず，「3組の辺がそれぞれ等しい」「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という合同条件や，中点および角の二等分線などの作図方法もまだ登場していませんでした。さあ，みなさんも上の流れで「∠ABC＝∠ACB」を証明してみましょう。
まずは，ABE≡ ACD，CBE≡

BCD となることについて，証明を書いてみてください。
証明を完成させよう！

ABE と ACD において，［証明❶］

ABE≡ ACD， CBE≡BCD が証

［証明❷］

CBE と

BCD において，合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，明できたら「∠ABC＝∠ACB」となること

ABE≡

ACD より，∠ABE＝∠を右のように示せば終わりです。

CBE≡

BCD より，∠

現代では簡単に証明できることでも，初イ

ここで，∠ABC＝∠ABE−∠

ア

＝∠BCD
イ

……①
……②

，

期の頃はとても苦労していました。すでに∠ACB＝∠

整理された数学を学べるみなさんは，何百①，②より，∠ABC＝∠ACB

年もの歴史的な議論の積み重ね・くふうをしたがって，AB＝AC ならば，∠ABC＝∠ACB で短期間で学べるということですね。

ある。

ア−∠BCD だから，

終

考えてみよう！ 上の説明を読んで，次の問いに答えよう。
❶，❷に続きを書いて，証明を完成させよう。

①

ただし，使う合同条件は，「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」のみとします。
②

ア

，

イ

にあてはまる角を答えよう。
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