実験室スケールの現象をどのようにして天体に応用するか？その合理性と限界は？
THE SCALING OF IMPACT PROCESSESIN PLANETARY SCIENCES
K. A. Holsapple, 1993
神戸大学
M1 原田竣也

クレーター形成実験の問題点
 衝突クレーターは天体表面で普遍的で主要な地質プロセス
 どのような衝突体サイズ，衝突速度，標的強度によって形成されたかを知るには？
 実験的手法• 物質の密度やサイズ，強度を操作できる• その場で直接観察ができる
しかし…

• 衝突速度・サイズや重力などの実際との乖離• 衝突メルトや蒸気の発生を考慮できない速度域
 どうすれば天体スケールへ応用出来るのか？

衝突体サイズで衝突を考える
 物理量のスケールを考えてみる
 衝突体（半径𝑎，速度𝑈，密度𝛿 ）によるクレーター𝜏𝛿𝑎3
形成はサイズスケール𝑎，速度スケール𝑈，𝑎3
時間スケール𝜏，質量スケール𝛿𝑎 による𝑈 これらスケールを無次元化すれば絶対値に縛られない
しかし…

 本来これらは衝突体サイズ程度の空間スケールのみに当てはまる 衝突体サイズよりも大きく成長したクレーター（𝑎の数倍以上）や衝突後の時間スケール（𝜏の数倍以上）では？
 最終クレーター体積に物理量はどう影響するか？
 衝突体サイズとクレーターサイズを結びつける理論が必要

衝突を点源に近似する「衝突点」から「クレーター全体」への橋渡し：点源近似
 衝突過程を点源問題として考える
 衝突点に衝突の総エネルギー・運動量が存在し，それが外側へ時間とともに伝播すると考える
衝突点遠方への力の伝播がわかる

 衝突体と標的に関するに関するパラメーターについて，圧力強度比や密度比をとることで無次元化
 関係式がべき乗則で表せる
 どんなべき・べき乗則に従うか→スケーリング則の決定

近似の方法‐衝撃波の点源近似前 密度ρ0の無限範囲に広がる
理想気体
 初期圧力P1を持つ半径a の球，それ以外の圧力はP0
 衝撃波背後圧力p，衝撃波位置
R，衝撃波圧力Pf は次のような物理量の組み合わせで決まる
𝑝 = 𝑝 𝑟, 𝑡, 𝑎, 𝑃1 , 𝑃0 , 𝜌0 , 𝛾𝑅 = 𝑅 𝑡, 𝑎, 𝑃1 , 𝑃0 , 𝜌0 , 𝛾𝑃f = 𝐹 𝑡, 𝑎, 𝑃1 , 𝑃0 , 𝜌0 , 𝛾

無次元化

理想気体定数:γ時間:t

ρ0, P0aP1r, p

衝撃波面R , Pf

初期エネルギーは4𝜋 𝑃1 3𝐸1 =𝑎3 𝛾−1𝑝𝑟 𝑡 𝑃=𝑓 , , 0
𝑃1𝑎 𝑡1 𝑃1
𝑅𝑡 𝑃0=𝑓,
𝑎𝑡1 𝑃1

時間スケール𝑡1𝑃f𝑡 𝑃0=𝑓,𝑃1𝑡1 𝑃1𝑡1 = 𝑎𝜌0
𝑃1（音速の伝わる時間）

近似の方法‐衝撃波の点源近似
𝑝𝑟 𝑡 𝑃=𝑓 , , 0𝑃1
𝑎 𝑡1 𝑃1𝑅𝑡 𝑃0=𝑓,𝑎𝑡1 𝑃1理想気体定数:γ時間:t

時間スケール𝑡1𝑡1 = 𝑎𝑃f𝑡 𝑃0=𝑓,𝑃1𝑡1 𝑃1

𝜌0𝑃1ρ0, P0P1r, p

衝撃波面R , Pf 𝑃1 ≫ 𝑃0 → 𝑃0 𝑃1 は無視
 r, t は衝突体サイズスケールに比べ大きい
 𝑟 𝑎 , 𝑡 𝑡1 ≫ 1
 点源へ近似：𝑎, 𝑡1 → 0 すなわち 𝑃1 → ∞ このような極限は？
 点源に残っている𝑃1 と𝑎の組み合わせで以下のように極限をとる

lim 𝑃1 𝑎𝛽 → 一定𝑎→0β は正の値

近似の方法‐衝撃波スケーリング則の導出 “lim 𝑃1 𝑎𝛽 → 一定”より，次元解析して各式は𝑎→0𝛽+2

𝑝𝑟 𝑡 𝑃0=𝑓 , ,𝑃1𝑎 𝑡1 𝑃1→

𝑅𝑡 𝑃0=𝑓,
𝑎𝑡1 𝑃1→𝑃f𝑡 𝑃0=𝑓,
𝑃1𝑡1 𝑃1→𝑝 𝑟 𝛽𝑡 𝑟 − 2=𝑓𝑃1 𝑎𝑡1 𝑎2𝑅 𝑡 −2+𝛽= 一定
𝑎 𝑡1
𝑃f 𝑡𝑃1 𝑡12𝛽2+𝛽= 一定

 点源の極限が存在する＝𝑃1 など物理量の値が決定される
 点源近似した場合のスケーリング則の導出
 指数を求める（ここでは𝛽） スケーリング則のべきの決定 この結果は球状爆風の観測結果と合う形となった
 求めたい項目ごとに点源近似しスケーリング則を求める

クレーター体積のスケーリング𝑎 衝突体が標的（表面重力g，強度Y，密度ρ）に衝突するときのクレーター体積V
𝑉 = 𝑓 𝑎, 𝑈, 𝛿 , 𝜌, 𝑌 , 𝑔 これを無次元化してクレーター質量/衝突体質量
クレーター効率= 𝜋𝑉

静水圧と初期動圧の比

 強度支配域なら 𝜌𝑔𝑎 ≪ 𝑌
𝜌𝑉𝑌=𝑓𝑚
𝜌𝑈 2𝑈

𝜌, 𝑌, 𝑔

標的強度と初期動圧の比𝜌𝑉𝑔𝑎 𝑌 𝜌= 𝑓 2, 2,𝑚𝑈 𝜌𝑈 𝛿, 𝑚=4𝜋
𝛿𝑎33

質量密度比

重力支配域なら 𝜌𝑔𝑎 ≫ 𝑌𝜌𝑉𝑔𝑎=𝑓 2𝑚𝑈𝛿

𝑉

点源近似した体積スケーリングの導出
 衝突体に関するある基準𝐶 = 𝑎𝑈𝜇 𝛿 𝜈 を仮定する(Holsapple 1981)
𝜇と𝜈は未知数だが実験的に求められる値

 体積スケーリングは，𝑉 = 𝑓 𝑎𝑈𝜇 𝛿 𝜈 , 𝜌, 𝑌, 𝑔 より次元解析して
𝜌𝑉𝑌
強度支配域：𝑚 𝜌𝑈 2

重力支配域：

𝜌𝑉𝑚

3𝜇23𝜇𝑔𝑎 2+𝜇𝑈2

𝜌 3𝜈−1𝛿𝜌𝛿=𝐹6𝜈−2−𝜇2+𝜇=𝐺𝑔𝑎
𝑈22+𝜇𝜌𝑈 2 2

𝑌22+𝜇𝑔𝑎 −𝑌
𝜌𝑈 2 𝑈 2

𝜌 −𝜈𝛿𝜌
𝛿

2𝜈
2+𝜇 強度支配域では重力項を，重力支配域では強度項を無視（右辺→𝐹 0 , 𝐺 0 より定数）

• 𝑉∝𝑚
𝜌

𝜌𝑈 2𝑌3𝜇2

𝜌 1−3𝜈
𝛿

3𝜇𝑚 𝑔𝑎 −2+𝜇 𝜌…①， 𝑉 ∝𝜌 𝑈2𝛿

 両支配域の体積スケーリングが求められた

2+𝜇−6𝜈2+𝜇…②重力支配域（クレーターサイズ：大）衝突速度

クレーター効率 𝜋𝑉 =𝜌𝑉𝑚

強度支配域
（クレーターサイズ：小）𝑌 ≈ 𝜌𝑔𝑎

𝜋𝑉 スケーリング①3𝜇𝛼=2+𝜇クレーターサイズ

重力スケールサイズ 𝜋2 =𝑔𝑎𝑈2

 式①，②で𝜌~𝛿とおくと，同ターゲットに対して
 強度支配域： クレーター効率𝝅𝑽 は衝突速度のみに依存
 重力支配域：クレーター効率𝝅𝑽 は衝突体サイズのみに依存移行を含む𝜋𝑉 スケーリングの導入
 目的：強度支配域・重力支配域の中間領域も取り扱う 強度－重力支配域の移行を含む経験式
𝜌𝜋𝑉 = 𝐾1 𝜋2𝛿𝜋2 =6𝜈−2−𝜇3𝜇+𝜌𝐾2 𝜋3
𝛿2+𝜇6𝜈−2 23𝜇3𝜇−2+𝜇𝑔𝑎
𝑌，𝜋=，𝐾1 , 𝐾2 は重力，強度に関する定数
3𝑈2
𝜌𝑈 2

 𝐾2 𝜋3 → 𝜋3 として整理すると
𝜌𝜋𝑉 = 𝐾1 𝜋2𝛿13+ 𝜋32+𝜇2−𝛼3𝜇，𝛼 =2+𝜇 強度－重力支配域の移行は𝑌 = 𝜌𝑔𝑎のとき 括弧内の二項が等しい時
 すなわち，𝜋2 =𝑌
𝜌𝑈 22+𝜇2の時に強度－重力支配域の移行

𝜋𝑉 スケーリング－結果の例
重力支配域

クレーター効率 𝜋𝑉 =

𝜌𝑉𝑚

強度支配域

重力スケールサイズ 𝜋2 =𝑔𝑎
𝑈2• 比較的柔らかい岩石への衝突
実験結果• 地球重力において10 km/sで衝突
 衝突体半径が10 km以上で重力支配域
 クレーター体積
4 × 106 m3
 移行領域を求めることができる

クレーターのサイズ－単純クレーターの半径
 天体の小さなおわん型クレーター 実験では𝑅𝑒 ，観測では𝑅𝑟 をよく利用
 一般的な半径に関するスケーリング
𝜋𝑅 =𝛿𝑚13𝜌
𝑅 = 𝐾1 𝜋2𝛿13𝛼+ 𝜋32+𝜇22𝑅𝑟ℎ𝑑𝑒 𝑑𝑟−32𝑅𝑒𝛼−3 重力支配域では𝜋𝑅 = 𝐾1 𝜋2
 乾いた土壌への実験(Schmidt & Housen 1987)から𝑅𝑒 は
𝑅𝑒 = 7.8𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈 0.34
 𝑅𝑟 は実験(Schmidt & Housen 1983)からこの係数の1.3倍となり

𝑅𝑟 = 10.14𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈 0.34
（𝐺は重力に関する項）

サイズスケーリングの適用
 堆積土壌への実験(Schmidt et al. 1986)より，
𝑅𝑒ℎ= 2， ≅ 0.07𝑑𝑒𝑅𝑒 月の観測結果(Pike 1977)より，

 𝑅𝑒2𝑅𝑟ℎ𝑑𝑒 𝑑𝑟2𝑅𝑒𝑅𝑟ℎ= 2.55， = 0.072
𝑑𝑟
𝑅𝑟= 7.8𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈 0.34 を月の値でそれぞれで割って

𝑑𝑟 = 4.0𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈 0.34
ℎ = 0.71𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈 0.34
 月のクレーターの深さ・リム高さが求められる
 半径に関するスケーリング𝝅𝑹 も当てはめられる𝜌, 𝑌, 𝑔
クレーター緩和とともに𝑅𝑟 → 𝑅𝑡 → 𝑅
𝑅𝑡 : 移行半径

クレーター半径 𝜋𝑅 =2𝑅1

 浅く直径が大きなクレーター 単純クレーターからの移行𝛿 3𝑅𝑚

クレーターのサイズ－複雑クレーターの半径𝑔𝑎

重力スケールサイズ 𝜋2 = 𝑈 2

 最終リム半径は𝑅 = 𝑓 𝑅𝑡 , 𝜌, 𝑌, 𝑔 より，無次元化して𝑅
𝜌𝑔𝑅𝑡=𝑓𝑅𝑡𝑌𝑌
 ある移行半径を𝑅∗ で書き換えて，𝑅∗ ∝ より
𝜌𝑔𝛽𝑅
𝑅=𝑅𝑡𝑅∗←𝑅に関するスケーリング

複雑クレーターのスケーリング‐指数の推定
𝑅
𝑅=𝑅𝑡
𝑅∗

クレーター緩和とともに𝑅𝑟 → 𝑅𝑡 → 𝑅
2𝑅𝛽𝜌, 𝑌, 𝑔

 クレーター体積はスランピングを経ても一定
 月のクレーター観測(Croft 1985)：𝛽 = 0.15
 体積一定＋エジェクタブランケットの厚さはエネルギー
スケーリングに従う(Melosh 1989) Holsapple: 体積一定＋実際の観測値から，体積は𝑅の関数として決定できる→ 𝛽 = 0.079

𝑅𝑅= 1.02
𝑅𝑟𝑅∗

0.079

,

𝑅
𝑅
= 1.32𝑅𝑒𝑅∗

0.079

月の複雑クレーターのサイズ
移行前からのクレーター半径の変化割合• Croft (1985):𝛽 = 0.15
• Shoemaker (1962)
Copernicusの𝑅𝑟• Melosh (1989)
Copernicusのモデル
計算， 𝑅𝑟 = 𝑅𝑒
• Grieve and Head (1983)
Manicouaganの𝑅𝑒• Holsapple
0.079
𝑅𝑅= 1.02
𝑅𝑟𝑅∗
𝑅𝑅= 1.32𝑅𝑒
𝑅∗移行によるクレーター半径の変化

0.079

 𝑹𝒓 と𝑹𝒆 を区別できる

月面クレーターサイズ

クレーターリム半径，リム深さ km

単純クレーター

複雑クレーター

8.5• スケーリング則から月の単純－複雑の移行半径は8.5 km
 観測値(Pike 1977)と等しい• 深さについて𝑑
𝑅 0.301= 0.313𝑅∗
𝑅∗

衝突体半径 km

 観測値(Pike 1977)と同等
 月面クレーターにスケーリング則が適用できるスケーリング則と月面クレーター 半径25 kmの衝突体が，25 km/sで月に衝突するとき

 まず深さ72 km，半径141 kmの穴を開ける(𝑑𝑟 = 4.0𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈0.34 ， 𝑅𝑒 = 7.8𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈0.34 ) 移行前のリム半径は150 km(𝑅𝑟 = 10.14𝐺 −0.17 𝑎0.83 𝑈 0.34 ) 重力による緩和で，深さは7.3 km，半径244 kmとなる
𝑑𝑅 0.301𝑅
𝑅 0.079( = 0.313， = 1.32)
𝑅∗
𝑅∗
𝑅𝑒𝑅∗

 最初の深さはとても深いように見えるが，この結果はモデル
 計算(Robby et al. 1987)に似たような値である
 サイズスケーリングから，月面の複雑クレーターの形状を予測

まとめ
 衝突直下の点源に衝突の総エネルギー・運動量が存在すると近似し，スケーリング則を求めた
 衝突に関するパラメーターを無次元化し，どのようなべき乗則に従うかを求めた
 クレーター効率𝜋𝑉 は，強度－重力支配域の移行を含めた関数を求められた（実験結果より）

 月のクレーターの半径や深さは，その観測と実験結果からスケーリング則が求められ，月の実際と比較できた

実験室スケールの現象をどのようにして天体に応用するか？
→ 点源近似を仮定したスケーリング則を適用しパラメーターを調べることで，実験室のデータを応用する
その合理性と限界は？
→ 導いたスケーリング則は実際の観測とも合う
一方，衝突メルト・蒸気などの現象も考慮する必要がある