物理 (1)問 1. 剛体の慣性モーメント I は回転軸からの距離が s の質量要素を dm としたとき、!
I = s2 dmと書ける。

(a) 図 1 のような、密度が一様な剛体球 (質量 M 、半径 a) の、中心を通る回転軸周りの慣性モーメン
ト I を求めよ。
(b) この剛体球が回転軸周りに角速度 ω で回転している時の、回転運動のエネルギーを求めよ。
問 2. 問 1. の剛体球 (A とする) が、図 2 のような内面の粗い固定された中空円筒 (B とする、半径 b、b > a) の中で滑らずに転がる運動を考える。ここで、剛体球 A は中空円筒 B の中心軸に垂直な平面方向にのみ運動するとする。重力加速度を g 、剛体球 A の重心位置の鉛直下方とのなす角を θ、剛体球 A の回転角速度を ω 、剛体球 A にかかる摩擦力を F としたとき、以下の問いに答えよ。ただし、(a) から (e) までは剛体球 A の慣性モーメントを I とせよ。

(a) 剛体球 A の重心の運動に関する運動方程式を書け。
(b) 一般に剛体の回転運動の運動方程式は、角運動量 L、力のモーメント N を使ってdL=Ndtと書ける。剛体球 A の角運動量と、剛体球 A にかかる力のモーメントを与えられた変数で表し、ωの満たす微分方程式を求めよ。
(c) 剛体球 A が滑らないという条件から θ と ω の関係を求め、θ の満たす微分方程式を求めよ。
(d) この系のラグランジアンを書け。
(e) オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、θ の満たす微分方程式を求めよ。
(f ) θ が小さいとき、剛体球 A の重心の運動が単振動となることを示せ。また、問 1.(a) の結果を用いて、その周期を求めよ。
* 次のページにも問題があるので注意すること

回転軸Bsω
θdmAabMgF

図1

図2問 3. 図 2 で、滑らずに転がる剛体 A の形状が異なる場合を考える。(1) 半径 a の球体 (問 2. の場合)、(2) 半径 a の円柱、(3) 外半径 a、内半径 0.9a の中空円筒、の 3 つの場合で、θ が小さいときに重心が行う単振動の周期がもっとも長くなるのはどの場合かを答え、その理由を説明せよ。
ただし、(1)-(3) いずれの場合も、転がる剛体は密度が一定の材質でできているとし、中空円筒 Bの中心軸に垂直な平面方向にのみ運動するとする。また、(2) の円柱および (3) の中空円筒の中心軸と、固定された中空円筒 B の中心軸は平行であるとする。

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ex

1= B0 −
∇4π!

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⎨ V0⎪⎪⎩0V0(x < 0)(0 ≤ x ≤ a)(a < x)

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