物理 (1)問. 下図のように、質量𝑚1の質点 A と質量𝑚2の質点 B が、長さ𝑙の質量の無視できる細い剛体棒でつながれている。質点 A は水平な𝑥軸上のみを滑らかに運動でき、質点 B は𝑥𝑦平面内で運動するものとする。鉛直下方に一定の重力加速度𝑔が作用しているとする。この系の状態を、下図のように質点 A の𝑥軸の座標𝑥、および剛体棒が鉛直下方となす角度𝜃（ラジアン）で表すことにする。時間を𝑡とする。以下の問に答えよ。
(a) 質点 A および質点 B それぞれについて、𝑥軸方向と𝑦軸方向の速度を、𝑥と𝜃およびそれらの時間微分𝑥̇ と𝜃̇のうち必要なものを用いて表せ。
(b) ラグランジアン𝐿を書け。
(c) 𝑥と𝜃に対するラグランジュの運動方程式はどのようになるか。
(d) 循環座標を書け。また循環座標の存在によって生じる保存量を𝑥、𝑥̇ 、𝜃、𝜃̇のうち必要なものを用いて表せ。
以下、|𝜃| ≪ 1とし、2 次以上の微小量は無視せよ。
(e) 変数𝑥を消去して𝜃についての微分方程式を導け。
(f) 𝑚1 ≫ 𝑚2であるとき、質点 A および質点 B はそれぞれどのような運動をするか説明せよ。
(g) 𝑚1と𝑚2について(f)の条件がみたされない一般の場合に、初期条件を𝑡 = 0で𝑥 = 0、
𝑥̇ = 𝑣0 、𝜃 = 𝜃0、𝜃̇ = 0として、運動方程式の解を求めよ（𝑣0 > 0、0 < 𝜃0 ≪ 1とする）。
また、系の重心の𝑥座標を𝑥G とするとき、𝑥 − 𝑥G および𝜃の時間変化を図示せよ。

物 理（２）
問 1. 外界との間に物質の出入りがない閉じた系について、以下の問に答えよ。

(a) 系の微小な変化過程（無限小過程）において、内部エネルギーの変化 dU を、外界から系に与えられた熱 d′ Q および外界から系に与えられた仕事 d′ W を用いて表せ。
(b) 熱力学第二法則の一般的な表現として、次の不等式が成り立つ。
d′ Q
≤ dS
Text
ただし、Text は外界の温度、S は系のエントロピーであり、等号は可逆過程のときに成り立つ。この不等式を用いて一般の断熱変化は S を増大させる向きに進み、平衡状態で S が最大となることを説明せよ。
問 2. 定積熱容量が CV,A および CV,B で、初期状態で温度 T0,A および T0,B の 2 つの系 A と系 B を接触させる。ただし、この系全体は孤立系であり、定積熱容量は温度によらない定数とする。系 A と系 B の体積はいずれも変化せず、両者の間では熱のやりとりのみ行う場合、以下の問に答えよ。

(a) 平衡状態に達したときの系 A と系 B の温度が等しいことを、系全体のエントロピー S が極値をとることから示せ。
(b) 平衡状態に達したときの温度を求めよ。
問 3. 互いに区別のつく N 個の独立な粒子からなる系がある。それぞれの粒子は −ϵ または +ϵ の 2 つのエネルギー状態のいずれかをとるものとする。ただし、ϵ > 0 である。この系の全エネルギーを E 、エントロ
ピーを S 、温度を T とするとき、以下の問に答えよ。なお、ボルツマン定数は kB とする。

(a) −ϵ のエネルギー状態にある粒子数を N− 個、+ϵ のエネルギー状態にある粒子数を N+ 個とすると
き、系のエントロピーが、{()()}
N−N++ N+ loge
S = −kB N− loge
NNとなることを示せ。ただし、N 、N− 、および N+ は十分大きく、n! ≈ (n/e)n (e は自然対数の底、n は十分大きな自然数) の近似を適用してよい。

(b) この系の自由エネルギー F (≡ E − T S) を、T 、N 、ϵ、kB を用いて表せ。
(c) この系の全エネルギー E は、

ϵ− ϵe kB T − e kB T
E = −N ϵ ϵ− ϵe kB T + e kB Tとなることを示せ。

(d) この系の比熱が、高温極限と低温極限のいずれの場合も 0 に漸近することを示せ。また、それぞれの場合において、その物理的理由を考察せよ。

物 理（３） 本問では MKSA 単位系を用いる。
問 1. 誘電率 ε、質量密度 ρd の誘電体からなる液体上に、半径 a で、液体よりも小さな質量密度ρc の導体球に電荷 Q を与えて静かに置いたところ、球の中心が誘電体表面と一致する高さまで沈んで静止した（図１）。液体上方の空気は希薄で質量密度は無視でき、誘電率は真空の誘電率 ε0 であるとする。

(a) 液体と空気の境界面において、その上下の電場 E は面に平行である。境界面上の空気側と液体側の電場の大きさをそれぞれ E (0) 、E (1) としたとき、これらの間に成り立つ関係を求めよ。

(b) 導体球の表面における面電荷密度の分布を求めよ。
(c) 導体球全体が鉛直方向に受ける静電気力を求めよ。
(d) 静電気力と重力、浮力を考慮した力の釣り合いから、導体球の質量密度 ρc を求めよ。
ここで重力加速度を g とする。
なおマクスウェル応力テンソルはデカルト座標系 (x, y, z) を用いて

Txx
Tyx
Tzx

TxyTyyTzy 
Ex Dx − 12 E · DTxz
Tyz  = 
Ey Dx
Tzz
Ez Dx

Ex Dy
Ey Dy − 12 E · DEz Dy


Ex Dz

Ey Dz
1Ez Dz − 2 E · Dと書ける。ここで E = (Ex , Ey , Ez ), D = (Dx , Dy , Dz ) はそれぞれ電場ベクトルと電束密度ベクトルである。

※次のページにも問題があるので注意すること問 2. 電荷 q を持った小さい粒子が一定の速度 v で光速と比べて十分ゆっくりと運動している（図２）。粒子の運動方向上に中心を持ち、それに垂直で、空間的に固定された円形のループ Cを考える。いまループ上の一点を P とする。ある時刻に、点 P の粒子からの距離が r、運動方向からの角度が θ であった。

(a) このとき、ループ C を横切る電束 Φe を求めよ。ただし電束は電束密度ベクトル D∫を、ループ C によって囲まれる任意の曲面 S 上で面積分して、Φe = S D · dS と与えられる。

(b) 点 P での磁束密度ベクトル B の大きさと向きを求めよ。
(c) 電荷粒子外の全空間で積分した磁場のエネルギーは粒子の運動エネルギーの何倍であるか答えよ。ただし、粒子外の空間において磁束密度ベクトルは上問 (b) の結果を用いて与えられるものとし、そこでの透磁率を µ0 とする。また粒子は微小な半径 a の球とし、その質量を m とする。

物 理（４）質量 m、固有角振動数 ω をもつ 1 次元調和振動子の量子力学的運動について考える。
問 1. 1 次元調和振動子のハミルトニアン H は、座標 x と運動量演算子 p = −iℏける。

dを用いて次のように書dxp21+ mω 2 x2 .
(1)2m 2)
(1このとき，エネルギー固有値 En は ℏω n +と与えられる。n は 0 または正の整数であり、ℏ はプラ2ンク定数
h を 2π で割ったものである。また、固有値 En の固有状態を ψn で表す。それぞれの固有状態∫H=は|ψn |2 dx = 1 のように規格化され、x の実関数であるとする。さらに、下降演算子 a、上昇演算子a† 、数演算子 N はそれぞれ以下のように定義される。
√√mωpmωp†√a=x+i,a =x − i√,2ℏ2ℏ
2ℏmω
2ℏmω
()
1(a) 関係式 H = ℏω N +を示せ。
2N = a† a.

(2)(b) 交換関係 [a, N ] ≡ aN − N a = a および [a† , N ] = −a† を示せ。
(c) ψn は演算子 N の固有状態でもあり、固有値は n である。2 つ状態 aψn と a† ψn も N の固有状態で固有値はそれぞれ n − 1 と n + 1 であることを示せ。ただし、状態 aψn に対しては n ≥ 1 とする。
(d) 一般に演算子 f のエネルギー表示での行列要素は 2 つのエネルギー固有状態 ψm と ψn を用いて∫∗⟨m|f |n⟩ = ψmf ψn dx(3)と表される。このとき、演算子 a と a† のエネルギー表示での行列要素 ⟨m|a|n⟩、⟨m|a† |n⟩ において√⟨n−1|a|n⟩ = ⟨n|a† |n−1⟩ = ± n(n ≥ 1)(4)であり、かつ、上記以外の行列要素は 0 であることを示せ。必要ならば、a と a† が互いにエルミート共役であることを用いてもよい。
⟨⟩⟨⟩(e) 各固有状態の x2 の期待値 n|x2 |n を求めよ。さらに、 n|p2 |n も求めて、不等式⟨ 2 ⟩1/2 ⟨ 2 ⟩1/2n|x |nn|p |n≥ ℏ/2 が成り立つことを示せ。
問 2. 次に、問 1 の調和振動子にポテンシャル V (x) = αx3 + βx4 を追加した非調和振動子を考える。実の定係数 α と β の大きさが十分に小さく、ポテンシャル V を摂動とみなすことができるものとする。このとき、V によるエネルギー En の変化は α と β について 1 次の精度で ⟨n|V |n⟩ と与えられる。この行列要素を計算し、1 次精度のエネルギー変化を求めよ。

天文学専攻物理学 2

物理 (3) 問題訂正
問 2 (b) 問題文に追加「ただし、点Ｐでの透磁率をμ０ とする。」