平成29年度
1－2１ (1) 15÷

吉祥女子中学校<第3回>算数

÷51－16 3

くわしい解説すぐる学習会＝27ウイ
ア

ア ＝ 15÷27 ＝
イ＝
ウ＝(2)

59518＋ ＝
93
98
55× ＝
916 18152＝ － ＝2
18 9
1
5×1.2－ ×0.125×6.4＝
660.75＋
ウ

ア
イ

11132
2×0.125×6.4 ＝ × × ＝
668
515
52
29
イ＝ ＋ ＝
615 302929629ウ ＝ ÷ 1.2 ＝ ÷ ＝30
30
536
29
29
3
1＝ －0.75 ＝ － ＝36
36
4
18
ア＝(3)

何年たっても，年齢の差は変わりません。
母 子 差
4 年前の母と子の年齢の比は 9：1 で，差は 9－1＝ 8，4 年前 9 ： 18
現在の母と子の年齢の比は 5：1 で，差は 5－1＝ 4 です。
現 在 5 ：14
差を（ 8 と 4 の最小公倍数である）8 にすると，右の1028
表のようになります。
4 年前と現在では，年齢は 4 歳ちがいます。それが，10－9＝ 1 にあたりますから，現在の母は 4×10＝ 40（歳）です。

-1-

(4) Ａがゴールしたとき（つまりＡが 100 ｍ走ったとき），Ｂは 94 ｍのところを走っていたのですから，ＡとＢの速さの比は，100：94＝ 50：47 です。
Ｂがゴールしたとき（つまりＢが 100 ｍ走ったとき），Ｃは 95 ｍのところを走っていたのですから，ＢとＣの速さの比は，100：95＝ 20：19 です。
Ａ・Ｂ・Ｃの速さの比は，1000：940：893 になります。
よって，Ａがゴールしたとき，Ａは 1000 の 10 分の 1 である 100 ｍを走ったので，Ｃも 893 の 10 分の 1 である 89.3 ｍのところを走っていることになります。

ＡＢＣ
50 ： 47
20 ： 19
1000 ： 940 ： 893(5) Ｂに移した水の体積は，56×54×66 (cm3) です。Ａの底面積は 64×81 (cm2) ですから，Ａの水の深さは (56×54×66)÷(64×81)＝ 38.5 (cm) 低くなります。
はじめのＡの水の深さは 42 cmだったので，42－38.5＝ 3.5 (cm) だけ残っています。
(6)5 ｍ間かくで植えると，最後の間かくだけ 1 ｍになります。
最後の間かくも 5 ｍにして植えるためには，池の長さが 5－1＝ 4（ｍ）足りないわけです。
また，7 ｍ間かくで植えると，木がちょうど 10 本ぶん少なくなります。
7 ｍ間かくにして植えるためには，池の長さが 7×10＝ 70（ｍ）足りないわけです。
5 ｍ間かくで植えるには池の長さが 4 ｍ足りず，7 ｍ間かくで植えるには池の長さが 70 ｍ足りないのですから，間かくの数は，(70－4)÷(7－5)＝ 33（個）です。
よって池のまわりの長さは，5×33－4＝ 161（ｍ）です。
（7×33－70＝161 としてもＯＫです。）
ア(7) 正六角形を右の図のように分けると，正三角形 6 個になります。
よってアとイの長さの比は，1：2 になります。

イ

1
右の図の斜線部分の 2 つの三角形はクロス形になっているので，ウ：エも 1：2，オ：カも 1：2 になります。

ウオ

カエ
2-2-右の図の斜線部分の面積は 28 cm2なので，コの面積は28÷2＝ 14（cm2）です。
クとケの面積は，14÷2＝ 7（cm2）で，キの面積は7÷2＝ 3.5（cm2）です。

ク1 キ 1ケ2 コ 2

よって，キ・ク・ケ・コの面積の和は，3.5＋7×2＋14＝ 31.5（cm2）になり，これが正六角形の面積の半分なので，正六角形の面積は，31.5×2＝ 63（cm2）になります。

２ (1) 4 の倍数は，下 2 けたが 4 の倍数になっています。
百の位，十の位，一の位が小さい順に連続している 3 けたの数は，123，234，345，456，567，678，789 の 7 個ありますが，この中で下 2 けたが 4 の倍数になっているのは「 456 」だけです。
よって，Ａは 456 になります。
(2)

9 の倍数は，各位の和が 9 の倍数になっています。
百の位，十の位，一の位が小さい順に連続している 3 けたの数は，123，234，345，456，567，678，789 の 7 個ありますが，この中で各位の和が 9 の倍数になっているのは，234 と 567 の 2 個だけです。
よって，Ａは 234，567 になります。

(3)

36 は 4 と 9 の最小公倍数ですから，36 の倍数は 4 の倍数でもあり 9 の倍数でもあります。
Ｂとして考えられる数のうち，まず 4 の倍数になっているような数を見つけていきましょう。
4 の倍数は，下 2 けたが 4 の倍数になっています。
連続しているような下 2 けたは，12，23，34，45，56，67，78，89 です。
この中で 4 の倍数になっているのは，12 と 56 のみです。
下 2 けたが 12 になっているような数は，12 しかありません。ところが 12 は 9の倍数ではないので，条件に合いません。
下 2 けたが 56 になっているような数は，56，456，3456，23456，123456 です。
それぞれの各位の和を計算すると，次のようになります。
56 … 5＋6＝ 11456 … 4＋5＋6＝ 153456 … 3＋4＋5＋6＝ 1823456 … 2＋3＋4＋5＋6＝ 20
123456 … 1＋2＋3＋4＋5＋6＝ 21
各位の和が 9 の倍数になっているのは，3456 のみです。
よって 3456 は，4 の倍数でも 9 の倍数でもありますから 36 の倍数になり条件に合い，答えは 3456 になります。

-3-

３ (1) 右のような面積図を書いて，解いていきます。
右の図のイの面積は，(28－10)×2＝36 です。
アの面積も 36 になるので，はじめにいた男の子の人数にあたるウは，36÷(10－7)＝ 12（人）になります。

イア

281072ウ(2)加わった 3 人はそれぞれカードを 3 枚，4 枚，5 枚持っていたのですから，3 人の平均は，(3＋4＋5)÷3＝ 4（枚）です。
よって，右のような面積図になります。
右の図のイの面積は，(14－4)×3＝ 30 です。
アの面積も 30 になるので，はじめにいた女の子の人数にあたるウは，30÷(16－14)＝ 15（人）になります。

アイ

161443ウ(3)

はじめにいた女の子の人数は，(2)で求めた通り 15 人です。
また，はじめにいた女の子の枚数の平均は 16 枚ですから，枚数の合計は，16×15＝ 240（枚）です。
はじめにいた女の子たちが持っていたカードの枚数は，どの子も 11 枚以上 20 枚以下でした。
20 枚持っている人の人数をなるべく多くすると，20 枚持っている人の合計枚数も多くなります。
枚数の合計は 240 枚と決まっていますから，20 枚持っている人の合計枚数を多くするためには，20 枚持っていない人の合計枚数を少なくすべきです。そのためには 20 枚持っていない人は，可能性としてもっとも少ない枚数である，11 枚だけ持っていることにします。
結局，11 枚持っている人と 20 枚持っている人が合わせて 15 人いて，枚数の合計が 240 枚である，という「つるかめ算」になります。
エウ
面積図を書くと，右の図のようになります。
ア
アの面積は 20×15－240＝ 60 で，イは 20－11＝ 9 です。
イ
ウは 60÷9＝ 6.6 … となり，エは 15－6.6 … ＝ 8. 4 … と20なりますから，20 枚持っているもっとも多い人数は，8 人11240になります。
15-4-４ (1) ボタンを 1 回押すと，電車Ａは 1 個先の駅に停車し，電車Ｂは 3 個先の駅に停車するのですから，ボタン 1 回あたり，3－1＝ 2（個）ずつはなれていきます。
1 まわりには 18 個の駅がありますから，18÷2＝ 9（回）ボタンを押すと，同じ駅に停車することができます。
(2)

ボタンを 1 回押すと，電車Ａは 1 個先の駅に停車し，電車Ｃは 4 個先の駅に停車するのですから，ボタン 1 回あたり，4－1＝ 3（個）ずつはなれていきます。
1 まわりには 18 個の駅がありますから，18÷3＝ 6（回）ボタンを押すと，同じ駅に停車することができます。

(3)

ボタンを 1 回押すと，電車Ｂは 3 個先の駅に停車し，電車Ｃは 4 個先の駅に停車するのですから，ボタン 1 回あたり，4－3＝ 1（個）ずつはなれていきます。
1 まわりには 18 個の駅がありますから，18÷1＝ 18（回）ボタンを押すと，同じ駅に停車することができます。

(4)

ボタンを 1 回押すと，電車Ｂは 3 個先の駅に停車し，電車Ｄは反対方向に 1 個先の駅に停車するのですから，ボタン 1 回あたり，3＋1＝ 4（個）ずつはなれていきます。
1 まわりには 18 個の駅があります。18÷4 は割り切れないので，ＢとＤが 1 まわりで同じ駅に停車することはありません。
2 まわりすると，18×2＝ 36（個）の駅がありますから，ボタンを 36÷4＝ 9（回）押すと，同じ駅に停車することができます。

(5)

電車Ｂは 18 番にいて時計回りに進み，電車Ｄは 14 番にいて反時計まわりに進むのですから，はじめに 2 つの電車は 14 駅ぶんはなれていたことになります。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｂは 3 個先の駅に停車し，電車Ｄは反対方向に 1 個先の駅に停車するのですから，ボタン 1 回あたり，3＋1＝ 4（個）ずつはなれていきます。
14÷4 は割り切れないので，ＢとＤがはじめて出会うのは駅と駅の間です。
もう 1 まわりすると，14＋18＝ 32（個）の駅がありますから，ボタンを 32÷4＝8（回）押すと，同じ駅に停車することができます。

(6)

ボタンを 1 回押すと，電車Ｃは時計回りに回って 4 個先の駅に停車します。
ボタンを 17 回押すと，電車Ｃは時計回りに回って 4×17＝ 68（個）先の駅に停車します。
1 まわりには 18 個の駅があります。
68÷18＝ 3 あまり 14 ですから，電車Ｃは 3 まわりして，あと 14 個先である，14番の駅に停車することになります。
よって，電車Ｄもボタンを 17 の回押したことによって，14番の駅に停車したことになります。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｄは反時計まわりに 1 個先の駅に停車するのですから，-5-ボタンを 17 回押すと，反時計回りに17個先の駅に停車することになります。
1 まわりには 18 個の駅がありますから，反時計回りに 17 個先の駅というのは，時計回りに 1 個先の駅ということと同じです。
つまり，ボタンを 17 回押すと，電車Ｄは時計回りに 1 個先の駅である 14 番の駅に停車したことになりますから，電車Ｄをはじめに置いたのは，13 番の駅です。
(7)電車Ａは時計回りに進む電車で，電車Ｅは反時計回りに進む電車です。
ボタンを 1 回押すと，電車Ａは 1 個先の駅に停車します。

ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 2 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋2)＝6（回）で同じ駅に停車することになり，問題に合いません。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 3 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋3)
は割り切れないので，1 まわりで同じ駅に停車することはありません。
2 まわりすると，18×2÷(1＋3)＝ 9（回）で同じ駅に停車することになり，問題に合いません。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 4 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋4)
は割り切れないので，1 まわりで同じ駅に停車することはありません。
2 まわりの場合も，18×2÷(1＋4) は割り切れないのでダメです。
3 まわりの場合も，18×3÷(1＋4) は割り切れないのでダメです。
4 まわりの場合も，18×4÷(1＋4) は割り切れないのでダメです。
5 まわりの場合は，18×5÷(1＋4)＝18（回）で同じ駅に停車することになり，ＯＫです。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 5 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋5)＝3（回）で同じ駅に停車することになり，問題に合いません。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 6 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋6)
は割り切れないので，1 まわりで同じ駅に停車することはありません。
2 まわりの場合も，18×2÷(1＋6) は割り切れないのでダメです。
3 まわりの場合も，18×3÷(1＋6) は割り切れないのでダメです。
4 まわりの場合も，18×4÷(1＋6) は割り切れないのでダメです。
5 まわりの場合も，18×5÷(1＋6) は割り切れないのでダメです。
6 まわりの場合も，18×6÷(1＋6) は割り切れないのでダメです。
7 まわりの場合は，18×7÷(1＋6)＝18（回）で同じ駅に停車することになり，ＯＫです。

-6-ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 7 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋7)
は割り切れないので，1 まわりで同じ駅に停車することはありません。
2 まわりの場合も，18×2÷(1＋7) は割り切れないのでダメです。
3 まわりの場合も，18×3÷(1＋7) は割り切れないのでダメです。
4 まわりすると，18×4÷(1＋7)＝ 9（回）で同じ駅に停車することになり，問題に合いません。
ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 8 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋8)＝2（回）で同じ駅に停車することになり，問題に合いません。

ボタンを 1 回押すと，電車Ｅが 9 個先の駅に停車する電車だとすると，18÷(1＋9)
は割り切れないので，1 まわりして同じ駅に停車することはありません。
2 まわりの場合も，18×2÷(1＋9) は割り切れないのでダメです。
3 まわりの場合も，18×3÷(1＋9) は割り切れないのでダメです。
4 まわりの場合も，18×4÷(1＋9) は割り切れないのでダメです。
5 まわりすると，18×5÷(1＋9)＝ 9（回）で同じ駅に停車することになり，問題に合いません。
以上のことから，問題に合うのは，4，6 だけです。
（ 18 と互いに素である数を求める解き方もあります。）

５ (1) 平行四辺形の面積は，「底辺×高さ」で求められます。
平行四辺形の底辺を あ とすると，高さは い です。面積は「 あ × い 」で求めることができます。
また，平行四辺形の底辺を う とすると，高さは え です。面積は「 う × え 」で求めることができます。
よって，「 あ × い ＝ う × え 」となります。
(1)の問題では， あ が 8 cm， う が 6 cm， え が 4 cmですから，「 8 × い ＝ 6×4 」となるので， い ＝ 6×4÷8＝ 3（cm）になります。
Ｘの体積は，底面の半径が い で，高さが あ である円柱と同じです。
よってＸの体積は，「 い × い ×3.14× あ 」 となります。
Ｘの体積は 628 cm3ですから， 「 い × い × あ 」 は 628÷3.14＝ 200 になります。
① い は 5 cmですから，あ は 200÷5÷5＝ 8 です。
よって あ × い は 8×5＝ 40 になり，(1)で 「 あ × い ＝ う × え 」 であることがわかっていますから， う × え も 40 になります。
② (1)で 「 あ × い ＝ う × え 」 であることがわかっていて， う × え が 50 なのですから， あ × い も 50 です。
ところで， 「 い × い × あ 」 は 200 ですから，い は 200÷50＝ 4 になります。

(2)-7-(3)①

立体Ｙは円すいです。
円すいの側面積は，「母線×底面の半径×3.14」で求めることができます。
Ｙの母線は辺ＢＣですから う です。
底面の半径は い です。
よってＹの側面積は，う × い × 3.14＝4×2×3.14＝ 25.12（cm3）になります。
② 立体Ｘの体積は，「 い × い ×3.14× あ 」 で求めることができます。
いま，Ｘの体積は 188.4 cm3で，い は 2 cmですから，あ は 188.4÷3.14÷2÷2＝ 15です。
(1)で 「 あ × い ＝ う × え 」 がわかっているので， え は，15×2÷4＝ 7.5 です。
(3) 立体Ｘの体積は，「 い × い ×3.14× あ 」 で求めることができます。
いま，Ｘの体積は 37.68 cm3ですから，「 い × い × あ 」 ＝37.68÷3.14＝12 です。
また，立体Ｙの側面積は(2)①でわかった通り，「 う × い ×3.14 」 で求めることができます。
いま，Ｙの側面積は 12.56 cm2ですから， 「 う × い 」 ＝12.56÷3.14＝ 4 です。
この問題では， え を求めることになっています。
(1)でわかった通り， 「 あ × い ＝ う × え 」 ですから，え ＝あ ×い÷ う ＝あ ×いう＝あ × い× いう ×い＝12÷4＝ 3 になります。

(4) 立体Ｙの側面積は(2)①でわかった通り，「 う × い ×3.14 」 で求めることができます。
いま，Ｙの側面積は 94.2 cm2ですから，「 う × い 」 ＝94.2÷3.14＝ 30 です。
この問題では，立体Ｘの体積を求めることになっています。
立体Ｘの体積は， 「 い × い ×3.14× あ 」 で求めることができます。
(1)でわかった 「 あ × い ＝ う × え 」 も利用して，い × い ×3.14× あ＝ い × あ × い ×3.14＝ い × う × え ×3.14（順番を変えただけ）（あ × い ＝ う × え ）＝ 30×6×3.14( う × い ＝30， え ＝6 )＝ 565.2（cm ）3-8-