第15回統計教育の方法論ワークショップ
2018年７月７日（土） 京都テルサ

生徒の活動を重視した統計的推測の授業実践

広島大学附属中・高等学校
数学科 橋本 三嗣
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実践報告① 「同じ誕生日のペア」（高１）
クラスの中に同じ誕生日のペアがいるという現象がどの程度起こりうるのか、確率から判断する。

② 「平均点と偏差値」（高１）
２つのクラスの数学のテスト結果から、ともに80点の生徒がいることがわかっている。その状況で、80点が平均点と偏差値からどんなことがいえるか検討する。

③ 「マグロとイワシ」（高２）
捕食者（食う）と被食者（食われる）の関係にあるマグロとイワシの個体数について、数理モデル（ロトカ－ヴォルテラの方程式）を利用して数値解析を行う。
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実践①「同じ誕生日のペア」（高１）
人数 選び方 選び方／365
1365
123640.9973
33630.9945
43620.9918
53610.9890
63600.9863
7359
0.98368358
0.98089357
0.978110356
0.975311355
0.972612354
0.969913353
0.967114352
0.964415351
0.961616350
0.958917349
0.956218348
0.953419347
0.950720346
0.947921345
0.945222344
0.942523343
0.939724342
0.937025341
0.934226340
0.931527339
0.928828338
0.926029337
0.9233303360.920531335
0.917832334
0.915133
333
0.912334332
0.909635331
0.906836330
0.904137329
0.901438
328
0.898639327
0.895940326
0.893241325
0.8904

ペアがいない確率 ペアがいる確率

10.99730.99180.9836
0.97290.9595
0.94380.92570.90540.88310.85890.83300.8056
0.77690.74710.71640.68500.65310.62090.5886
0.55630.52430.4927
0.46170.43130.40180.37310.34550.31900.29370.26950.24670.22500.20470.18560.16780.15130.13590.12180.10880.096800.0027
0.00820.01640.02710.04050.05620.0743
0.09460.11690.14110.16700.19440.22310.25290.28360.31500.34690.37910.41140.44370.47570.50730.53830.56870.59820.62690.65450.68100.70630.73050.75330.77500.79530.81440.83220.84870.86410.87820.89120.9032予想→実験→確率の計算→確率の分布を調べる
ペアがいる確率の分布
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
010

20

30

40

（生徒の感想）・人数が増えるにしたがって、確率も増加する。
・グラフから確率が０や１に近いところは確率の変化がなだらかになっている。確率が９割こえると偶然とは言い難いと思います。
3

実践②「平均点と偏差値」（高１）

平均点で評価すると・・・「A組の平均点は70点、B組の平均点は72点であるから、同じ80点
でも、A組の方が平均点が低いため、A組での方が価値がある。」
偏差値で評価すると・・・「80点の偏差値は、A組で55.9（標準偏差16.9）、B組で57.5（標準偏差10.7）となったから、偏差値はB組の方が高いから、平均点のときと結論が逆になる。」
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実践②「平均点と偏差値」（高１）
点数の分布を調べてみよう

A組では上位25％に入らないが、B組では入る
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生徒の感想• 平均点で比べるとクラスの平均値からどれだけ離れているのかがわかり、偏差値で比べるとクラスのどの位置（上位どれぐらい）にいるのかがわかりました。
• グラフの形が山型になっているときは、平均点との差が標準偏差１つ分、２つ分でどの位置にいるのかがわかります。
• エクセルに詳しい人が検定をして「２クラスの平均点には差がない」と言っていましたが、この場合は２クラス全員の点数があるからあまり意味がないと思いました。
6

数理モデリングと数理モデル
数理モデリングとは、「自然現象や社会現象にみられる数量の推移を数学的に表現する方法」である。また、数理モデリングで得られた数式を数理モデルと呼ぶ。
①ネズミの増え方を表現する漸化式
１匹のネズミが１週間あたり３匹の子どもを産むとする。ｎ週間後のネズミの数を {an }とすると、an+1=4an②ウサギの増え方を表現する漸化式
１羽の親ウサギは１ヶ月あたり１羽の子ウサギを産み、子ウサギは１ヶ月で親ウサギに成長するとする。nヶ月後のウサギの数を {an} とすると、an+1=an+an-17

＜授業スライド＞「食う・食われる」を記述する
数理モデル

オオヤマネコ（lynx）

肉食，視覚が鋭い春のユキウサギ（lepus timidus）

草食、かわいい、寂しいと死ぬというのはウソ冬のユキウサギ

サン・ピエール：カナダのローレンス湾に浮かぶフランスの海外準県

食う（捕食者）

食われる（被捕食者）

カナダオオヤマネコはユキウサギを捕食する習性がある

生物の個体数の変動は？

カナダのタイガ地域におけるオオヤマネコとユキウサギの数（タイガ地域：永久凍土の上に成り立つ乾燥した大森林地域）

周期は約１０年

疑問

マグロは、実際にどれだけ減少しているのか？
マグロの個体数減少は、周期的変動の一部ではないのか？

食う（捕食者）

食われる（被捕食者）

マグロはイワシを捕食する習性がある

大前提としてどう数式で表すか？

・捕食者は被食者を捕食して増える。
・被食者はえさを食べ増える（えさは十分な量がある）。
・捕食者、被食者は寿命などにより一定の割合で減少する。

マグロはどのように増えるかイワシを１単位捕食するごとにマグロは１単位増える
食べれば食べるほど増える

マグロがイワシに出会える機会は？

どこにイワシがいるかなぁ？
ＡＢＣ

１２３４５仮想的海ＤＥ

マグロがイワシに出会える機会は？

どこにイワシがいるかなぁ？
Ａ

Ｂ

Ｃ

１２３４５
仮想的海Ｄ

Ｅ

マグロがイワシに出会える機会は？

どこにイワシがいるかなぁ？
ＡＢＣ

ＤＥ

１２３４５
仮想的海

イワシが多いと出会う機会も大マグロがイワシに出会える機会は？
わしも出会いたいなぁ。
どこにイワシがいるかなぁ？
Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

Ｅ

１２３４５
仮想的海

マグロが多いと出会う機会の総数も大

状況Ａ

状況Ｂ

マグロがイワシを食べて増えるとき・イワシが多いほど単位時間あたりの増加量が大きい
・マグロが多いほど単位時間あたりの増加量が大きいと仮定するのが妥当である。
逆に、イワシがマグロに食べられて減るとき・イワシが多いほど単位時間あたりの減少量が大きい
・マグロが多いほど単位時間あたりの減少量が大きいと仮定するのが妥当である。

「食う・食われる」の関係を記述する数理モデル（ロトカーヴォルテラ方程式）

an 1  an  p  an  bn  q  anbn 1  bn  r  bn  s a n bnan：マグロの個体数
bn：イワシの個体数
p：マグロの捕食による増加率
q：マグロの減少率
r：イワシの増加率
s：イワシの被食による減少率

実践③「マグロとイワシ」〔課題〕
マグロの漁獲量が減少していることへの対策として、マグロの稚魚を放流し、マグロの数を増やそうという取り組みがなされています。このことについて、ロトカーヴェルテラ方程式を用いたシミュレーションを分析して自分の意見を述べなさい。また、その意見をもとにしてグループで議論し、グループでの見解をまとめなさい。

2526

数値実験
マグロの初期値
イワシの初期値
マグロの増加に関する係数
マグロの減少に関する係数
イワシの増加に関する係数
イワシの減少に関する係数

a_1
b_1
pqrs5.000
5.000
0.100
0.100
0.1000.100
n1

マグロの初期値
イワシの初期値マグロの増加に関する係数
マグロの減少に関する係数
イワシの増加に関する係数
イワシの減少に関する係数

abpqrsa_nabpqrs②式の入力
・続く緑のセルに式をうちこむ
・うちこんだら”ひっぱる”
・絶対参照に注意

na_n

b_n

1

5.00005.0000a_n5.00007.0000

ロトカ・ヴォルテラ方程式

a_n+1=a_n+p*a_n*b_n-q*a_nb_n+1=b_n+r*b_n-s*a_n*b_n

5.000
5.000
0.100
0.100
0.100
0.100
n
12

b_n

5.000
5.000
0.100
0.100
0.100
0.100

2
マグロの初期値
イワシの初期値
マグロの増加に関する係数
マグロの減少に関する係数
イワシの増加に関する係数
イワシの減少に関する係数①初期値の入力
・緑のセルに初期値を参照する③グラフにする
・a_n，b_nの２列の全データをドラッグして，「挿入」→「グラフ」→「折れ線」
b_n
5.00003.0000

27

数値実験

28

数値実験29

数値実験30

生徒の感想• 実際の場面に数学が利用されていることがわかりました。特に漸化式は有効だと思いました。
• 過去のデータから傾向を読み取ることで、未来を予想することができます。また、予想と現実が違えば何が原因かを調べることができ、新たな発見が生まれる可能性があると思いました。
• 単純化することで、自然現象を説明する法則を見つけたいと思いました。
• 話し合いを通して、自分では思いつかなかったことに気づくことができました。
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（参考）自然現象と数理モデリング

文字を利用して法則性を表現する活動は、表現の方法を学ぶことに留まらず、見方や考え方を育成できる。
グラフから分布を把握することで、現象についての理解が深まる。
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レポート課題 ロジスティック方程式による現象の再現〔課題１〕
下の図は，ロジスティック方程式によく適合した個体数変化を示している，ショウジョウバエの育成実験の結果である。この実験では温度，湿度，餌，空間的条件などの育成条件は一定に保たれている。

• （R.Pearl ,Q.Rev.Boil.,2,532(1927)より）
問１ この実験結果をロジスティック方程式で再現することで、実験のr_0とKの値を求めよ。ただし、単位時間を１日とすること。
問２ 同じ条件下で50匹から育成を始めたとき、200匹に達するには約何日かかると予想されるか。
33☆実験を数理モデルで再現することにどのような価値があるか記述せよ。

レポート課題 ロジスティック方程式による現象の再現〔課題２〕
下の図は２０１４年３月にリベリアで発生したエボラ出血熱の、発生からの約２００日目までの経過日数と感染者数の推移である。
感染者数（人）

5000
4000
3000
2000
10000050100150200250（データはwikipedia“2014年の西アフリカエボラ出血熱流行”より参照した）

問１ この実験結果をロジスティック方程式で再現することで、実験のr_0とKの値を求めよ。ただし、単位時間を１日とすること。
問２ 累積感染者数がどのような推移をたどるか予想し、３００日目の感染者数を求めよ。
問３ エボラ出血熱の感染を、ロジスティック方程式を用いて再現することは適切であるか。ポジティブな側面とネガティブな側面の両面から考えよ。
34

提出されたレポート

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