2019/07/20
平成30年度共同研究成果報告会

応答曲面を用いた津波リスク評価手法構築のための基礎的検討
福谷 陽1
1関東学院大学理工学部土木学系
災害研内共同研究者：森口周二22計算安全工学研究分野

1

研究背景

対象地点

頻度

◼ 原子力・不動産・保険事業分野における定量的リスク評価や，ハザードの再現レベル推定（例えば、L1・L2レベル津波）等のた
めには、最大クラスの災害リスク評価だけではなく、各種不確実性を考慮した確率論的リスク評価を実施しておくことが重要◼ 確率論的津波リスク評価のためには、まず、当該地点で想定される津波浸水深の頻度分布・確率分布を知る必要がある

津波浸水深（m）

2

研究背景
確率論的に津波波高・津波浸水深（津波ハザード）を評価する手法として、これまで下記等の手法が提案されている。

◼ 断層パラメータを変動させた計算(土木学会(2002), Løvholt et al. (2012) etc.)◼ ロジックツリーモデル（Annaka et al. (2006), 土木学会(2011), Fukutani et al (2015) etc.）
認識論的不確実性をロジックツリー分岐により評価、主に原子力分野で活用◼ ランダムフェーズモデル（Goda et al (2015), 安田ら（2016） etc. ）断層の2次元すべり分布をランダムに生成させて評価→多数の津波数値計算（数千ケース）が必要◼ 極値統計法（信岡ら (2013) etc.）

過去の沿岸波高や痕跡高などのデータを用いて極値統計解析により評価→結果が過去のデータに大きく依存◼ 応答曲面法（小谷・森口・寺田・福谷ら (2016) etc.）

比較的少数の津波数値計算結果（沿岸波高）から応答曲面を生成して確率波高を評価→本研究で検討

3

本研究の目的2017年度後期実施① 津波ハザードに関わる不確実性を，計算負荷を抑え，かつ，確率分布を用いることで柔軟に取り込む応答曲面法を用いて，１つの対象地点での確率津波浸水深、確率被害を評価する。
2018年度実施② 応答曲面法による津波浸水深評価手法を基に、２地点に立地する複数の建築物の確率論的津波リスクを、接合分布関数（コピュラ）を用いて評価する。
4対象地震◼ 本研究では，首都圏に大きな影響を及ぼすと想定されている相模トラフ沿いの地震津波を対象とした．

5内閣府資料より抜粋

相模トラフ沿いで発生するM8クラスの地震◼ 確率論的地震動予測地図（地震調査研究推進本部）のための震源データ（J-SHIS2018）
Region 1

発生確率の重み:0.37

Region 2

Mw: 7.9

Region 50.03

0.11

Mw: 7.9

Region 3

Mw: 8.2

Region 6

Mw: 8.4
Region 90.06

0.01

Mw: 8.5
Region 100.30

Region 4Mw: 8.0

Region 70.01

Mw: 8.50.05

Mw: 8.3

Region 80.02

Mw: 8.60.04

Mw: 8.26

初期水位分布の計算結果◼ 各震源の断層パラメータから、Okada(1985)の式を用いて初期水位分布を計算◼ 初期水位分布を基に、津波数値計算を実施Region1

Region2Region3

Region4

Region5Region6Region7

Region8Region9Region107津波数値計算■ 非線形長波方程式を用いて、初期水位から津波伝播計算を実行
津波数値計算条件

非線形長波方程式

2次元非線形長波方程式
支配方程式 （東北大学TUNAMIN2model)
数値積分法

スタッガード・リープフログ法

境界条件

断層パラメータから
Okada(1985)の式で評価した初期水位
開放条件

座標系

平面直角座標IX系

潮位T.P. +0.9 m（神奈川県津波想定設定潮位）

メッシュサイズ（Δx）

270 m → 90 m →30 m → 10 m

計算時間

3時間

初期条件

東京湾
大磯港

相模湾
三浦

浸水深の計算対象地点

8

応答曲面の構築◼ 不確実性として、モーメントマグニチュード（Mw）と断層深さの変化を考慮◼ 各地震発生領域に対して，Mwは基準ケースと±0.1,±0.2の変化を与えた5ケース，断層深さも基準ケースと+2.0km，+1.0km，-0.5km，−1.0kmの変化を与えた5ケースの計25ケースの津波数値計算を行った．

大磯港
(a)

三浦
(b)

𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f
9H(S,D) : 津波浸水深, S : すべり量の倍率, D : 断層端点の深さ, a,b,c,d,e,f : 回帰係数

各変数のばらつきの設定◼ 採用した応答曲面を基に、各変数のばらつきを考慮したモンテカルロ計算を行う。

𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f
変数

平均

標準偏差

分布形状

ばらつきの根拠

すべり量 S[倍率]1.000.10

原子力土木委員会津波評
価部会によれば、断層面積の同じ既往地震を考慮する正規分布 と±0.1程度であることが示唆。このときすべり量の変動
幅は70～140%程度となる。

断層深さ D[km]0.12（対数平均）0.65（対数標準偏差）

気象庁一元化処理震源リ
対数正規 ストに記載された断層深さ分布の観測誤差のデータを基に作成。
10

大磯港での津波浸水深の頻度分布
Region 1Region 2Mw: 7.9
Ave: 0.84m
Stdv: 0.87m

Region 6Region 3

Mw: 8.2
Ave: 2.30m
Stdv: 2.73m

Region 7Mw: 8.5
Ave: 2.08m
Stdv: 2.26m

Region 4

Mw: 8.0
Ave: 1.16m
Stdv: 1.27m

Ave: 2.31m
Stdv: 2.60m

Mw: 8.3

Mw: 8.6
Ave: 2.29m
Stdv: 2.67m

Mw: 8.4

Ave: 1.20m
Stdv: 1.31m

Region 9Region 8Mw: 8.5

Region 5

Ave: 1.55m
Stdv: 1.93m

Region 10

Mw: 7.9
Ave: 0.77m
Stdv: 0.85m

14Mw: 8.2
Ave: 1.46m
Stdv: 1.59m

相模トラフ全領域の津波浸水深の頻度分布◼ 相模トラフの各地震（10ケース）の発生確率重みに基づいて、どの地震が発生するか一様乱数により決定◼ 発生地震が決まれば、当該地震による津波浸水深の発生確率分布を用いて、津波浸水深を得る。同様に、試行100,000回のモンテカルロ計算を実施することで、相模トラフ全領域の寄与を想定した津波浸水深の頻度分布を得る。

Mw: 7.9
Region 50.03

Mw: 8.2
Region 6

Mw: 8.4

0.110.01

Mw: 8.5
Region 100.040.30

Region 4Mw: 8.0
Region 70.01

Mw: 8.50.05

Histogram of p_h
津波浸水深の頻度分布

Mw: 8.3
Region 80.02

Mw: 8.6

全領域の合計Mw: 7.9

12

Mw: 8.2

100,000回のモンテカルロサンプリング

05000

Region 9Region 315000の重み:
0.370.06

10000

Region 2

頻度Region 1 発生確率

0123

津波浸水深 (m)45

大磯と三浦の浸水深の同時分布

1000 2000

Frequency

1000 2000

領域８での津波数値計算結果（２５ケース）2

津波数値計算結果（２５ケース）13(b)モンテカルロ計算結果（n=10000）

n = 10000

0

大磯での津波浸水深(m)(m) at Oiso
Wave height
sim8_hiratsuka
Hiratsuka

4 0Frequency◼ 大磯と三浦の浸水深を完全独立で乱数発生させた場合（下図の黒丸）

2345

Wave height (m) at Miura

三浦での津波浸水深(m)6 01000 2000

Frequency◼ しかし、大磯と三浦の浸水高には何らかの相関があると考えられる。
13◼ 接合分布関数（コピュラ）を用いて、相関を持った乱数を発生させる。

接合分布関数（コピュラ）とは津波数値計算結果
𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f

順位相関係数（ケンドールのτ）

応答曲面
周辺分布

変量間の依存関係（接合分布関数：コピュラ）

x :津波浸水深（大磯）

周辺分布

同時分布
y :津波浸水深（三浦）応答曲面

𝐻(S,D) = a*S + b*D + c*S*D + d*S*S + e*D*D + f【接合分布関数（コピュラ）を用いる利点】◼ 多変量同時分布の相関構造を、周辺分布と変量間の依存関係に分けて柔軟にモデリングできる◼ 線形ではない相関構造を、順位相関（ケンドールのτ）を用いてモデリングできる代表的なコピュラ（２変量）Gaussian copula
𝐶 𝑢1 , 𝑢2 = 𝜱Σ(Φ−1 𝑢1 , Φ−1 𝑢2 )𝜱Σ(・)：相関行列Σの２変量標準正規分布関数
Φ−1 ・ ：１変量標準正規分布関数の逆関数

t copula

𝐶 𝑢1 , 𝑢2 = 𝒕ν・Σ (𝑡ν−1 𝑢1 , 𝑡ν−1 𝑢2 )𝒕ν・Σ(・)：自由度ν , 相関行列Σの２変量t 分布関数

Gumbel copula𝑡ν−1 ・ ：自由度ν の１変量t 分布関数の逆関数

𝐶𝜃 (𝑢1 , 𝑢2 ) = 𝑒𝑥𝑝 − −𝑙𝑛𝑢1

𝜃+ −𝑙𝑛𝑢2𝜃1Τ𝜃+,𝜃 ≥ 1

Frank copula𝐶𝜃 𝑢1 , 𝑢21
𝑒𝑥𝑝 −𝜃𝑢1 − 1 𝑒𝑥𝑝 −𝜃𝑢2 − 1= − 𝑙𝑛 1 +𝜃𝑒𝑥𝑝 −𝜃 − 1, −∞ < 𝜃 < ∞Clayton copula𝐶𝜃 (𝑢1 , 𝑢2 ) =−1Τ𝜃−𝜃−𝜃𝑢1 + 𝑢2 − 1,𝜃 ≥ −116

領域８での計算結果◼ 領域８の津波数値計算結果から算出された順位相関（0.80）を基に、最適なコピュラを最尤推定

0.6
0.4
0.2

n = 10000

0.0

BIC-46.21-42.79-45.71-36.84-49.11-25.84-48.32-33.36-44.94𝑢AIC-47.43-45.23-46.93-38.06-50.33-27.06-49.54-35.80-47.38T8[,2]
2

Name of copulas
Log-likelihood
Gaussian copula
24.72
t-copula
24.62
Clayton copula
24.46
Gumbel copula
20.03
Frank copula
26.16
rotated Clayton copula
14.53
rotated Gumbel copula
25.77
asymmetric Gumbel copula
19.90
rotated Asymmetric Gumbel copula
25.69

0.8

1.0

◼ AIC/BICが最小のFrank Copulaが最適として採用

0.0

0.2

0.4

𝑢1
T8[,1]

0.6

0.8

1.0

領域８での計算結果◼ Frank Copulaと経験的周辺分布を用いて、津波波高の同時分布を評価
津波数値
(b)
計算結果
ecdf(p8_o)

0.8

0.8

0.6

0.6
0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

𝑢1
T8[,1]

0.6

0.8

1.0

ecdf(p8_h)ecdf(p8_1.0

Frequency
1.0
0.8

0.4(a)(b)2345

Wave height (m) at Miura

6 01000 2000Frequency

(b)

Fn(x)

0.4

周辺分布

0.2

1

1.22

1.4 3

1.6 4 1.8

52.0

Waveheightheight(m)atatOiso
Miura
Wavex (m)0.0n = 10000

00.2

0.42

Fn(x)

0.6

32

n = 10000

0.0

モンテカルロ計算結果

1

津波数値計算結果

0同時分布

sim8_hiratsuka
Hiratsuka(m) at Oiso
Wave height(a)

0.2

0.8

4.5

0.6

4.0

1000 2000

3.5

4 0

Frequency

3.0

Wave height (m)at Miura
x4 0

2.5

32.2(m) at Oiso
Wave height
sim8_hiratsuka
Hiratsuka

2.0

変量間の依存関係（コピュラ）

n = 10000

0.0

0.01.8e heightx (m) at Oiso

1000 2000

1.6

順位相関

𝑢T8[,2]2Fn(x)

周辺分布

1.0

1.0

ecdf(p8_h)

2.2
6 0

2.52000 3.01000

3.5Frequency Wave height (m)x領域８での計算結果◼ 相関を考慮した場合と考慮しない場合の結果比較(b) 相関を考慮しない場合

245

Wave height (m) at Miura(b)234 03

モンテカルロ計算結果

1(m) at Oiso
Wave height
sim8_hiratsuka
Hiratsuka

32
1n = 10000

0n = 100000

sim8_hiratsuka
Hiratsuka(m) at Oiso
Wave height(a)

津波数値計算結果

1000 2000

Frequency

1000 2000
4 0

Frequency(a) 相関を考慮した場合

6 01000 2000

Frequency

2345

Wave height (m) at Miura

6 01000 2000

Frequency各領域の順位相関を用いて最尤推定したコピュラ

各領域で生成された様々なコピュラ

Region 1
Region 2
Region 3
Region 4
Region 5
Region 6
Region 7
Region 8
Region 9
Region 10

Estimated copulas
rotated Gumbel copula
asymmetric Gumbel copula
rotated Gumbel copulaFrank copula
rotated Gumbel copulaFrank copula
Gumbel copulaFrank copula
Gumbel copulaFrank copula

Parameters
20.42
1.00, 5.08, 0.85
4.62
10.54
9.24
22.11
5.68
17.77
2.87
35.76

Kendall's τ
0.95
0.70
0.78
0.68
0.89
0.83
0.820.80
0.65
0.89(a) rotated Gumbel copula for the region 1, (b) asymmetric Gumbel copula for the region 2, (c) rotated Gumbel copula for the region
3, (d) Frank copula for the region 4, (e) rotated Gumbel copula for the region 5, (f) Frank copula for the region 6, (g) Gumbel copulafor the region 7, (h) Frank copula for the region 8, (i) Gumbel copula for the region 9, (j) Frank copula for the region 10

相模トラフ全領域の津波高の同時分布◼ 相模トラフの全領域を対象として、コピュラを用いた相関を考慮したモンテカルロ計算を実施し、津波高の同時分布を評価
400 800

Frequency

5432001234560400 800

Frequency

012345

Wave height (m) at Miura

60400 800

Frequency

800

Wave height (m) at Miura

400(a) 相関を考慮した場合
1.0 0

Frequencyn = 10000(b)1

simall_hiratsuka
Hiratsuka(m) at Oiso
Wave height5432
10(m) at Oiso
Wave heightsimall_hiratsuka
Hiratsuka

n = 10000(a)

モンテカルロ計算結果

6 0400 800
6 0Frequency

津波数値計算結果(b) 相関を考慮しない場合

005

simall_hiratsuka
Hiratsuka(m) at Oiso
Wave height(m) at Oiso
Wave heightsimall_hiratsuka
Hiratsuka

566n = 10000
n = 10000
コピュラを用いて生成した被害確率の同時分布(a)(b)

1234560432400 800

0134560400 800

差

平均値

58.8%

58.8%

0.0%

９５パーセ
ンタイル

66.2%

67.0%

0.9%

９９パーセ
ンタイル

68.9%

69.7%

0.8%

0.2

400

相関あり

最大値

73.5%

76.7%

3.1%

1.0 0

相関無し

0.0n = 10000

0.6

0.8(c)

0.4

at OisoDamage probability
Hiratsuka

2800

0Frequency

1001234◼ 被害関数を用いて、被害確率の同時分布に変換◼ 大磯と三浦に立地する同資産額の鉄骨造建築物を仮定し、２つの建築物の合算被害率を評価◼ 平均被害率では変化ないが、95・99パーセンタイル値で約１％、最大値で約３％の変化
Wave height (m) at Miura
Wave height (m) at Miura
Frequency
Frequency

0.00.20.40.60.8

1.0 0

Damage probability at Miura port

400800Frequency

Simultaneous probability of damage probability.

まとめ◼ 相模トラフ地震を対象として、応答曲面法を用いて津波浸水深の頻度分布を評価した◼ 接合分布関数（コピュラ）を用いて、ある2地点に立地する建築物の被害確率の同時分布を評価し、２つの建築物の被害率の合算値を評価した◼ 無相関での評価よりも、平均被害率では殆ど変化がないが、95・99パーセンタイル値で約１％、最大値で約３％の変化を示した【謝辞】
本研究は、「東北大学災害科学国際研究所リソースを活用した共同研究助成」の支援を得て実施しました。ここに記して謝意を表します。

ご清聴ありがとうございました。

23