2020/11/12
第67回海岸工学講演会 第１会場（論文番号50）

津波荷重評価に用いる水深係数のモード分解
による空間的不確実性評価
福谷 陽1 ・森口周二2 ・寺田賢二郎2・鴫原良典3
1 関東学院大学理工学部
2 東北大学災害科学国際研究所
3 防衛大学校システム工学群
1

研究背景
◼

◼

東日本大震災直後の2011年、国土交通省は「東日本大震災における津波による建築物被害を踏まえた津波避難ビル等の構造上の要件に係る暫定指針」として，津波避難ビル等の構造上の要件を整理
当該指針では，建築物に作用する津波荷重のうち，津波波圧は，朝倉ら(2000)の研究に基づき，設計用浸水深の3倍に相当する静水圧を基本とするが，防潮堤等の遮蔽物の有無や，海岸および河川からの距離に応じて，その倍率を低減可能．
津波襲来方向

水深係数aの設定例

𝑝𝑧 = 𝜌𝑔 𝒂ℎ − 𝑧

𝑝𝑧 : 構造設計用の進行方向の津波波圧(kN/m2)
𝜌: 水の密度(kg/m3)
𝑔: 重力加速度(m/s2)ℎ: 設計用浸水深(m)z: 地盤面からの高さ(0 < z < ah) (m)a: 水深係数2

研究背景◼

しかしながら，津波は海岸および河川から直線的に襲来するとは限らず，津波が生じる方向にある遮蔽物や，海岸および河川からの直線距離に基づく水深係数低減の妥当性には疑問が残る．
これまで建築物に作用する津波波圧や水深係数に関わる水理模型実験や数値解
析は数多く行われてきた（例えば，青木ら(2014)，濱本ら(2017) ）ものの，水深係数の空間分布やその確率的変動（不確実性）について，数値解析を用いて定量評価したものはない．

◼

一方、陸域の津波ハザード（浸水深や流速）の考え得る頻度分布を計算するには、多大な計算負荷がかかる。

◼

確率論的津波ハザード評価の研究として、例えば、以下がある。
➢ 多数の津波計算（土木学会(2002), Løvholt et al. (2012) etc.)➢ ロジックツリーアプローチ（Annaka et al. (2006), 土木学会(2011, 2016), 福谷ら(2014)、原子力規制庁(2015)、地震調査研究推進本部(2020) etc.）➢ ランダムフェーズモデル（Goda et al. (2014), 安田ら（2016） etc. ）➢ KL展開法（LeVeque et al. (2016), Sepulveda et al. (2017) etc.)

何れも、数百～数千ケース程度の地震断層を想定するため、多大な計算負荷
3

研究目的【研究目的】
建築物の津波荷重を評価するための水深係数aについて，最大規模の地震による津波を想定し，津波数値解析とモード分解（特異値分解）の手法を用いることで，計算負荷を抑えつつ、その２次元空間分布や不確実性を評価する。

研究の流れ
想定津波波源i（地震）Okadaの式
非線形長波方程式
津波浸水深hi ・流速vi

式(2)・式(3)フルード数Fri・水深係数ai
固有直交分解水深係数の固有モードaj
モード合成
水深係数の不確実性評価
4

対象地震（想定津波波源）◼ 首都圏に多大な影響を及ぼすと想定されている「相模トラフ沿いの海溝型地震（西側モデル）」（Mw8.7）とした．
◼ 断層パラメータが非公表なので、地震調査研究推進本部の津波レシピを参考に断層 全 体 の Mw8.7 を 満 足 さ せ る よ う に ， 超 大 滑 り 域 （ 23.5m) ， 大 滑 り 域(11.7m)，背景領域(1.94m)の3段階滑りをもつ断層を作成

25km
相模トラフ巨大地震の発生領域（内閣府資料より抜粋）

相模トラフ沿いの海溝型地震（西側モデ5ル）のすべり量分布(m)津波数値計算◼ 断層パラメータから、Okada(1985)の式を用いて津波の初期水位を求め，下記の条件で地震発生から3時間分の津波数値計算を行った．
津波数値計算条件
２次元非線形長波方程式
支配方程式（東北大学TUNAMIN2モデル）

=𝑔𝑔𝑔𝑔

=
=

数値積分法

Staggered-leap frog法

初期条件

断層パラメータからOkada(1985)の式で評価した初期水位

境界条件

開放条件

座標系

平面直角座標IX系

潮位設定

T.P. +0.9 m（神奈川県津波想定設定潮位）

メッシュサイズ(ΔxΔy

270 m → 90 m → 30 m → 10 m

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フルード数Fr → 水深係数aの評価◼ 相模湾沿岸のある都市を対象に、最大浸水深と最大流速の数値計算結果から、水深係数aの平面分布を評価(a)
最大浸水深(m)(b)
最大流速(m/s)

相模湾

相模湾

二級河川
1 km

水深係数a

Mw 8.7
Depth ±0 km

二級河川
1 km

津波荷重指針(2015)に記載されている、幅の小さな構造物を対象とした以下の式
で、フルード数、および、水深係数aを評価

フルード数 𝐹𝑟 =𝑣

水深係数 𝑎 = 1

𝐹𝑟 2𝑔ℎ( < 𝐹𝑟 < 2)7

地震断層の不確実性◼ 不確実性として、断層のすべり量（Mw 8.7±0.1）と断層深さ(+2km, ±0km,-1km)の変化を考慮 → ３×３＝９ケースの津波数値計算を実施

Mw 8.8Depth ±0 km

Mw 8.8Depth +2 km

Mw 8.7
Depth -1 km

Mw 8.7
Depth ±0 km

Mw 8.7
Depth +2 km

Mw 8.6
Depth -1 km

Mw 8.6
Depth ±0 km

Mw 8.6
Depth +2 km

水深係数a

Mw 8.8Depth -1 km

8水深係数分布の固有モード抽出（特異値分解）◼ 浸水深の空間分布（行方向）と解析ケース（列方向）のデータ行列𝑿を作成

𝒙𝟏𝟏

𝑿=𝒙𝒎𝟏

… 𝒙𝟏𝒏
⋱
… 𝒙𝒎𝒏m次元（空間メッシュ数）= 301×401 =120701

n次元（解析ケース数）= 9◼ データ行列Xを特異値分解して、固有モード抽出

𝑿 = 𝑼𝜮𝑽𝒕
左特異ベクトルU（分散共分散行列𝑿ｔ 𝑿の基底）|𝑼 = 𝒖𝟏||⋯ 𝒖𝒏|

右特異ベクトルV（内積𝑿𝑿ｔ の基底）

特異値ー𝜆1𝜮=⋱𝜆𝑛𝒗𝟏⋮
𝑽=ー 𝒗𝒏ーー◼ 分散共分散行列𝑿ｔ 𝑿との関係から，浸水データのメッシュ間の空間相関に関する情報は，左特異ベクトル𝑼と特異値𝜮に集約
9抽出された固有モード（左特異ベクトル𝒖𝑘 ）◼ 同符号のメッシュ間で正の相関，異符号のメッシュ間で負の相関を表現している．
左特異ベクトル𝑼を構成する𝒖𝑗 ( j = 1, …, 9)の空間分布（空間モード）

Mode 1(𝒖1 )Mode 2(𝒖 )Mode 3(𝒖 )Mode 4(𝒖 )Mode 5(𝒖 )Mode 6(𝒖 )Mode 7(𝒖 )Mode 8(𝒖 )Mode 9(𝒖 )※正値を赤色，負値を青色で示している．
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固有モードの合成◼ ある解析ケース𝑗 の浸水深データ𝒙𝑗 は、以下で表される。

𝑿 = 𝑼𝜮𝑽𝒕|
𝑿 = 𝒙1|… |… 𝒙𝑗… |𝑛𝒙𝑗 = ෍

𝑘=1|
= 𝒖1|

… |
… 𝒖𝑗
… |𝑛𝑇𝒖𝑘 (𝜆𝑘 𝑣𝑘𝑗
൯=෍𝑘=1𝝀1⋮…
⋱ ⋮… 𝝀𝑗― 𝒗1⋮⋮― 𝒗𝑗― 𝑇⋮―𝑛𝜆𝑘 𝑣𝑗𝑘 𝒖𝑘 = ෍

𝑘=1

𝛼𝑗𝑘 𝒖𝑘𝛼𝑗𝑘 ：モード𝑘に対する第𝑗ケースの係数
n ：解析ケース数（n=9）◼ あるケースのデータベクトル𝒙𝑗 は左特異ベクトル𝒖𝑘 と係数𝛼𝑗𝑘 の線形和で表すことが可能◼ 左特異ベクトル𝒖𝑘 を保持し、係数𝛼𝑗𝑘 を、断層パラメータの不確実性を考慮したモンテカ
ルロ計算で与えることで，水深係数のサンプルベクトル𝒙𝑗 を合成
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各モードに対応する応答曲面
𝑗𝑘

第1モード
(b)

(a)(b)

定の手法によりその分布を推定した．

係数𝛼𝑗𝑘

観測値 と予測値 の()津
津波数値計算結果()

Gaussian Kernel（ガウシアンカーネル）(𝒙 − 𝒙 ) (𝒙 − 𝒙 )𝒙 𝒙 =(−)
観測値 と予測値 の同時分布( (a))()
𝒎 ( ) ()

観測値与えられたも従う条件付き分布 | （

ベイズ理論

観測値
与えられたもとでの予測値従う条件付き分布 | （事後分布）
|
𝒎 =
𝑽 =

(𝒎 𝑽 )) ((− () 1)(第5モード(b)

係数𝛼𝑗𝑘

モード値

(a)
◼ 係数𝛼 は，ガウス過程を用いたベイズ推) 1 (|𝒎 =𝑽 =(𝒎 𝑽 )) ((− (津波数値計算結果

൯(a)第1モード，(b)第5モードに対する係数𝛼𝑗𝑘 の推定例．曲面が平均値𝒎 を表す．赤点が津12波数値計算の結果．

すべり量と断層深さのばらつきの設定

変数

すべり量の倍率

S [倍]

断層深さ

D [km]

平均1.000.00

標準偏差

分布形状ばらつきの根拠

0.35

原子力土木委員会津波評価部会(2011)によれば、断層面対数正規 積の同じ既往地震を考慮する
分布とMwは±0.1程度、ばらつくと示唆。このときすべり量の変動幅は70～140%程度となる。

2.0

首都直下地震防災・減災特別プロジェクト(2012)のフィリピン
正規分布 海プレート上端の深さを評価した研究成果から数km程度の標準偏差があると判断

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水深係数の平面分布のサンプル◼ 入力パラメータ（すべり量、断層深さ）の確率分布を入力値として係数𝛼𝑗𝑘 を推定、各モードの線形和から空間相関を考慮した水深係数分布のサンプルを多数生成◼ 数値解析と同様な水深係数の空間分布が生成出来ている（別途、今回の数値解析(n=9)の結果をほぼ完全に再現できることを確認）
Sample1

Sample2

Sample3

Sample4

Sample5

Sample614水深係数の不確実性評価
N = 10,000

水深係数a の平均値
(a)

(b)

C
平均値:1.13

頻度ABC

標準偏差:0.12

水深係数a

B

平均値:1.43

平均値:1.30

標準偏差:0.33

標準偏差:0.26

水深係数a

頻度頻度

(c)

A

水深係数a15水深係数の不確実性評価◼ (a)の平均値は，Mw8.7の標準ケース，(b)の水深係数の領域が最大となる結果は，Mw8.8のケースの平面分布と類似◼ (b)に対する標準偏差の分布を見ると，水深係数が1.5から2.0前後と比較的高い沿岸部の地域では，標準偏差は0.1前後であり，水深係数のばらつきが比較的小さい．
◼ 水深係数はおよそ1 km程度で0.5程度減少する傾向
海岸線からの距離に対する水深係数aと標準偏差の分布(b) 最大値(c)

水深係数a(a)(a) 平均値

海岸線からの直線距離 (m)→ 水深係数の平面分布やその不確実性を、計算負荷を抑えて評価できた

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まとめ
本研究で得られた結論を次に示す．
(1) データ行列の特異値分解により得られた空間モードと入力パラメータの確率分布を用いて，計算負荷を大幅に軽減し、水深係数の平面分布を多数生成し，その不確実性を評価した．
(2) 今回の事例では，水深係数の標準偏差は大きい地域で0.6前後となり，また，おおよそ1 km程度で0.5程度減少する傾向のあることが分かった．
建築物の荷重評価に使用される水深係数は，国交省指針を用いることで容易に評価可能であるが，その値には不確実性が伴う．地区のまちづくり計画等に際しては，本研究で示す水深係数の空間分布の確率推定を行い，どの程度であれば許容可能かを関係者で議論し，津波避難施設等の荷重評価を行う必要性があると考えられる．
なお，本来の確率論的津波ハザード評価では，考え得る多数の津波波源を設定する必要があるため，多数の津波波源（不均質すべり波源を含む）を用いた解析を今後検討中である。

ご清聴ありがとうございました。

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