コンクリート工学年次論文集，Vol.29，No.3，2007

論文

全体降伏機構を呈する鉄筋コンクリートフレーム構造の強度劣化と終局限界
長江拓也*1・林静雄*2・中島正愛*3

要旨：地震時における建物の真の終局限界とは，部材が強度劣化を開始した後のリダンダンシーまでを含めた崩壊限界と定義される。本研究では，部材強度劣化を組み込んだ構造モデルに対する地震応答解析により崩壊限界を考察する。地震ハザードを定義する地震強さによって地震動群を基準化する膨大な数の解析結果をもとに確率表現評価を導いていく。
キーワード：フレーム構造，地震応答解析，強度劣化，崩壊，確率，エネルギー
1. はじめに開始以降の耐震性能を，強度劣化モデルを組み

建物の地震時における安全限界は，部材が強込んだ地震応答解析から確率論的に考える。そ度劣化を開始する変形角に基づき定義されるこのうえで，非強度劣化モデルを用いつつも，エとが多い。一方，真の終局限界，すなわち崩壊ネルギー消費能力比に従い強度劣化性状を反映

限界は，その後の強度劣化性状と地震応答性状する実用性の高い手順を提案する。また，異なとの関係から発現されるリダンダンシーに帰する強度劣化性状が崩壊年間超過度数（逆数は再るものである。

現期間）に与える影響を大局的に表現できるフ

現在，建物に対する耐震設計は，いかにそのォーマットとして，崩壊ハザードマップを示す。

諸性能を表現するかという命題のもとにあるが，米国 PEER 1)はサイトの地震ハザードに基づく確率論的性能評価2), 3), 4)

2. 解析方針と概要

を社会一般が理解しやす

本論解析では，全体降伏が保証された理想的い表現の一つとして掲げている。本研究においなフレーム構造を対象とし，ヒンジの強度劣化ては，鉄筋コンクリート造建物の部材強度劣化特性が同一建物内で等しいと仮定することによ6000

Threshold point 0.015 rad 0.03 rad
No deterioration

6000

4000

6000

6000

5 @ 3000

Slope of
Deterioration

0.085 rad 0.1 rad
End point

Locations of hinges

6000

Two-dimensional frame model (6-story structure)
MStoryMy

5Fig. 2

6Table 1

46000

3Mc

Modeled portion(Unit: mm)

Fig. 120.35Kf1
Kf1

11000

Rotational spring of beam

0Case

IDRy1θ

Test result8) and skeletons00.0050.01

IDR at which stories yield

Modeling of frame structure*1 防災科学技術研究所 兵庫耐震工学研究センター*2 東京工業大学 建築物理研究センター

S-0015-0085
S-0030-010
S-Non

研究員

Analyzed structures

Members' deterioration
Numberof
Threshold point End pointstories
(rad)
(rad)
6660.015
0.030-0.0850.10-

博士(工学) （正会員）

教授 工博 （正会員）*3 防災科学技術研究所 兵庫耐震工学研究センター センター長（京都大学 防災研究所 教授）Ph. D.

-1021-

り，検討項目を簡素化する。

ド Mw は 6.5 から 6.9，サイト震源間距離 R は 13

2. 1 基本概要

km から 40 km である。これらは，米国カリフォ

Fig. 1 に 6 階建て鉄筋コンクリート造フレーム

ルニア州における硬い地盤のサイト（NEHRP 地構造 4) を示す。これを 1 階柱脚および梁端に非盤タイプ D，183 m/sec <Vs<366 m/sec または線形回転ばねを配す 2 次元フレームモデルに置

15<N<50，Vs：せん断波速度，N：標準貫入試験換する。メカニズム形式は全体降伏に限定し，1による N 値）10) において記録された。

階柱脚以外の柱強度は無限大とする。両端ヒン

地震動の強さを表すパラメータ IM (Intensity

ジに至る梁の変形は材端ばねに集約し，曲げ降Measure)としては，地表面最大加速度 PGA（Peak

伏時における割線剛性を初期剛性の 0.35 倍6)とGround Acceleration）を採用し，日本建築学会にする。回転ばねの曲げ降伏強度は逆三角形の外よる荷重指針 11) に基づいて，地震ハザードであ力分布に基づく静的解析において，すべてのヒる年間超過度数 λPGA(x)を(1)式により表現するンジが同時に降伏するよう決定する。降伏時ベ（年間超過度数の逆数は再現期間）。

ースシヤ係数 Cby は終局強度型設計指針 5) 等をλPGA ( x) = k0 ⋅ x − k

参考に 0.25 とする。降伏時層間変形角は 0.004 -(1)0.006 rad 程度である。曲げ降伏後から強度劣化

PGA の単位は g で，k0 は 0.000527，k は 1.85 4)。

開始以前の剛性は初期剛性の 0.001 倍とする。非PGA において 0.5 g で基準化された地震動群に線形履歴特性は武田モデル 7) により表現する。

対する加速度応答スペクトルを Fig. 3 に示す。

モデルの弾性 1 次固有周期は 0.70 秒である。
内部減衰は瞬間剛性比例型とし，減衰定数を弾2.5

性 1 次固有周期に対して 5%とする。P-∆ 効果は2.0

幾何剛性マトリックスによって組み込む。

1.5

2. 2 部材の強度劣化とモデル化

1.0Fig. 2 に示す実験結果8)を参照しつつ，強度劣0.5化開始時変形角 Rthreshold－強度 0 時変形角 Rend の00.01

組み合わせを 0.015 rad-0.085 rad もしくは 0.03
rad-0.10 rad とする直線負勾配の等しい骨格曲線

Ground motions scaled at PGA of 0.5 g

Sa (g)

0.1

110Period (sec)Fig. 3 Ground motions used for response analyses

を設定し，Rthreshold の影響をみる。同一建物において梁端と 1 階柱脚の限界変形角の組み合わせ
Rthreshold-Rend は等しいものとする。非強度劣化モデルとともに解析諸元を Table 1 に示す。

4. 地震応答解析結果と確率論的評価
4. 1 崩壊キャパシティ
Fig. 4 は必要な資料の組み合わせから本評価

解析においては，梁の負剛性をそのまま剛性手順を概念的に表す。縦軸は PGA，左横軸は年マトリックスに用いる。接続する柱は弾性であ間超過度数 λPGA ，中央横軸は応答工学量 EDPり，当該自由度の剛性の合計（剛性マトリック（Engineering Demand Parameter）である最大層間スの対角項）は 0 よりも大きい。

変形角 IDRmax（Maximum Interstory Drift Ratio）を示している。中央の PGA-IDRmax 関係は，部材の強度劣化開始時層間変形角 IDRthreshold（柱は弾

3. 地震ハザードと地震動
地震応答解析には，地震の不確定性を反映す性でほぼ梁部材変形角 R に一致するので，以降，るために 40 個の地震動を用いる。マグニチュー

IDR に統一する）を超えて勾配が低下していき，

ドが大きくサイトから震源までの距離が近い内最終的には変形が発散的に大きくなる。この直陸型の地震動群 9) で，モーメントマグニチュー

前の PGA を崩壊限界に対応する崩壊キャパシテ-1022-

PGA (g)55

Representative hysteresis
4

λPGA(x)=Fragility curves
by Eq. (3)0.000527x-1.85
3Fcollapse
2Collapse capacities
PGAcollapse

110-1

10-2

10-3

10-4

10-5

00.01

0.02

0.03

λPGA

Fig. 4

Fthreshold

PGAthreshold

Thresholds of deterioration

00

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0IDRmax (rad)1F(x)

Concept of probabilistic methodology (out of results of S-0015-0085)

ィ PGAcollapse と定義する。強度劣化の開始に対すなる地震レベルの離散的な解析結果をなめらかるキャパシティ PGAthreshold は線形補間により求に近似していることがわかる。
Fig. 5 には，PGAcollapse と PGAthreshold の 50 パーめる。限界時 PGA は，左側の地震ハザードにおいて年間超過度数λ に置換される。

センタイル PGA50collapse，PGA50threshold，および対PGAcollapse および PGAthreshold は，地震動の不確応するδPGAeq を比較している。非強度劣化モデル

定性を反映する 40 個の地震動に対応し，ばらつS-Non についても，S-0015-0085 と S-003-010 のきが生じる。これらは PGA 軸に対するフラジリ

IDRend 0.085 rad，0.10 rad に対応する PGA をティカーブとして下式によって表現する。

PGAthreshold と同様に整理し（PGA50_0085，PGA50_010[Fcollapse ( x) = P PGAcollapse ≤ x](2)およびδPGAeq），比較対象とする。

50 パーセンタイルについては，強度劣化開始

ここに，Fcollapse(x)は，PGA が x のときのフラジ

時 PGA50threshold よ り も 崩 壊 キ ャ パ シ テ ィリィ（PGAcollapse が x 以下の確率）。

PGA50collapse のほうが大きくなるが，劣化開始時

PGAcollapse の分布は対数正規分布によって評価する2), 3), 4),12)。正規分布の累積分布関数Φ による(3)式では自然対数の中央値 50 パーセンタイル
ln(PGA50collapse)とパーセンタイルに基づく等価対変形角の小さい S-0015-0085 においてその傾向が顕著である。結果，S-0015-0085 と S-003-010
PGA50 (g)2.5数標準偏差δPGAeq を用いる。

 ln ( x) − ln ( PGA50collapse ) 
Fcollapse ( x) = ΦδPGAeq


Threshold of deterioration (PGA50threshold)
Collapse capacity (PGA50collapse)
Nondeteriorating system’s limit (IDRmax of 0.085 or 0.10 rad)2.0
1.5(3)

1.0
0.50δPGAeq は自然対数の 50 パーセンタイルと 16 パーδPGAeq

センタイルもしくは 84 パーセンタイルの差を標0.60.70.5

準偏差相当値とし，これらの平均値を採用する。

0.4

δ PGAeq =ln ( PGA84collapse ) − ln ( PGA16collapse )20.3(4)0.20.1

Fig. 4 の右側に，解析結果のプロットと対数正0規分布を仮定することにより得られるフラジリ
ティカーブを示している。対数正規分布が，異Fig. 5-1023-S-0015-0085
S-003-010
S-0015-0085
S-003-010
S-Non (IDRmax of 010)
S-Non (IDRmax of 0085)

Probabilistic parameters defining fragility
curves of collapse capacity

の PGA50collapse における差は小さく，PGA50_0085 とり，最終的に PGA50collapse に対応する点に達する。

PGA50_010 の関係に近い。すなわち，強度劣化に一方，Fig. 7 の E50all においては，強度劣化の開伴う崩壊限界と強度劣化開始時を基準とする設始に対応する PGA を超えた後も，S-0015-0085

計限界では，評価の相対関係まで異なる。と S-003-010 は非強度劣化の S-Non と同一線上を

δPGAeq においては，強度劣化のない IDRthreshold

とおり，その線上において PGA50collapse に至る。

0.015 rad，0.03 rad と S-Non における 0.085 rad，

以上は，変形が崩壊直前に逸散するのに対して，0.10 rad を参照すると，層間変形角とともに大きエネルギーの場合は崩壊まで強度劣化に関わらくなる傾向にあり，この範囲で 2 倍程度になる。

ず等しい量が消費されることを意味している。

強度劣化を組み込んだ場合の崩壊キャパシティ

PGAcollapse に対するδPGAeq は，S-Non の PGA50_0085，

5. 非強度劣化モデルによる簡易評価手順

PGA50_010（S-0015-0085，S-003-010 の IDRend 時）

5. 1 エネルギーに着目するフラジリティ評価に対するδPGAeq と同程度になっている。

非強度劣化の S-Non における PGA50_0085 ，

4. 2 応答工学量曲線

PGA50_010（S-0015-0085，S-003-010 の IDRend 時）

応答工学量 EDP のうち，最大層間変形 角に対応するエネルギー消費をあわせて，各限界IDRmax，およびヒンジにおける総履歴消費エネル時のエネルギー消費 E50all を比較したのが Fig. 8

ギーEall を対象に，同一地震強さに対する 50 パである。S-0015-0085 と S-003-010 の PGA50collapse

ーセンタイル値 IDR50max，E50all を結び，EDP 曲に対応するエネルギー消費は， IDRthreshold 時のエ3), 4)。ここでは，値が小さいものか

ネルギー消費と S-Non における IDRend 時のエネら順に並べて 20 番目と 21 番目の平均値を 50 パルギー消費のちょうど中間になっている。この線として表す4)

解釈として，Fig. 9 に部材レベルの強度劣化と非ーセンタイルとする 。
Fig. 6 の IDR50max においては，強度劣化の開始強度劣化の関係を示している。左上は一方向のにより S-0015-0085，S-003-010 の値が大きくな

部材骨格曲線を表しているが，示される面積を履歴エネルギーとみれば，骨格曲線の強度 0 時

PGA (g)2.5までに消費するエネルギーは，強度劣化のない

IDRmax = 0.10 rad S-Non
IDRmax = 0.085 rad S-Non

2.0

骨格が同変形角までに消費するエネルギーと強Collapse capacity S-003-010

度劣化開始時までに消費するエネルギーの平均

1.5

Collapse capacity S-0015-0085
1.0となる。つまり，本解析では同一建物内の部材

Threshold of deterioration S-003-010

強度劣化特性を統一したこともあり，この関係

Threshold of deterioration S-0015-0085

0.5が Fig. 8 における地震応答特性にそのまま現れ
000.02

0.04

0.06

0.08

たといえる。本条件を大きく外れる場合の評価

0.10

IDRmax (rad)Fig. 6は今後の課題としつつも，非強度劣化モデルの50 percentile curves of IDRmax

PGA (g)Eall (kN*m)

2.5IDRmax = 0.10 rad S-Non
IDRmax = 0.085 rad S-Non

2.05040

Collapse capacity S-003-010

1.530Collapse capacity S-0015-0085
Threshold of deterioration S-003-010

1.0Threshold of deterioration S-0015-0085

0.5201000010203040

50

Eall (kN*m)

Fig. 7

Threshold of deterioration
Collapse capacity
Non-deteriorating system’s limit (IDRmax of 0.085 or 0.10 rad)50 percentile curves of and Eall

Fig. 8-1024-S-0015-0085
S-003-010
S-0015-0085
S-003-010
S-Non (IDRmax of 010)
S-Non (IDRmax of 0085)

Total energy dissipation of limit statesΜNondeteriorating member at R of EndThreshold

A3
A1A2

δ PGA eq = e ⋅ IDRmax f

Ecollapse =A1+ A2+ A3
Both members at R of Threshold

REthreshold =A1

PGA50collapse

地震ハザードλPGA と崩壊フラジリティ Fcollapse

Deteriorating member at R of End
Ecollapse = (Eend + Ethreshold)/2

Eall
E50all_end

Assuming that this equation is realized
in dynamic system responses…

(E50all_end + E50all_threshold)/2を (8) 式に基づき積分することにより，地震動によるばらつきを反映した平均年間超過度数（Mean Annual Frequency）λMAFcollapse が求められ

Nondeteriorating system’s δPGAeq can be adopted.
Fcollapse by Eq (3)る。(1)式により定義される地震ハザードと対数
Collapse hazard

正規分布により定義されるフラジリティから，

PGA

Fig. 9(7)

5. 2 崩壊ハザード（平均年間超過度数）

Nondeteriorating energy 50 percentile curve

E50all_threshold

した最小 2 乗法より e, f は 1.36, 0.350 となる。

Deteriorating member at R of End

A3End

PGA

Eend =A1+ 2A2+ 2A3

A2のうち IDR max =0.015, 0.03, 0.085, 0.10 rad を参照(8)式は(9)式として表される 13)。

Simple assessment for collapse capacity

解析結果を用意しておき，エネルギー比に基づいて崩壊キャパティを評価できれば，想定しうる強度劣化特性に対する大局的な崩壊ハザード

λ MAFcollapse =∞∫ F0collapse ( x ) dλPGA( x )

(8)

12(9)

λMAFcollapse = k0 PGA50collapse− k exp( k 2δ PGAeq 2 )評価が容易になる。このような観点から，以下(6) 式， (7) 式を (9) 式に代入し， δPGAeq についてに Fcollapse を評価する手順を提案する。

IDRmax に IDRend を用いれば（Fig. 5 参照），下にまず，PGA に対する IDR50max 曲線および E50allまとめられる式により，λMAFcollapse（崩壊ハザー曲線を(5)式により近似し，PGA50collapse を(6)式にド）を評価することができる。

展開する。

λMAFcollapse =IDR50 max = a ⋅ PGAb ， E50all = c ⋅ PGAd

(5)

1

 E50all_collapse  d
PGA50collapse = c1

 E50all_threshold + E50all_end  d

= 
2c



(6)

ak

ただし，a, b, c, d, e, f は，非強度劣化モデルに対する解析により定義される。

1d  d IDRend  b  d  1   IDRthresold  b=  
 +a
 2  −dd  d  1   IDRthresold  b  IDRend  b  k0    + a a  
 2 (10) 
1f× exp( k 2 (eIDRend ) 2 )2

本解析結果を対象に，(10)式を用いて，強度劣  

化開始時 IDRthreshold と強度 0 時 IDRend を 0.01 radから 0.10 rad の範囲で組み合わせた崩壊ハザー

E50all_collapse は PGA50collapse に対応するエネルギー

ドを Fig. 10 のようにマップフォーマットで表示

消費 50 パーセンタイル。E50all_threshold およびする。マップ中 IDRend 軸に沿うλMAFcollapse の変化

E50all_end は，非強度劣化モデルにおける IDRthreshold，から，強度 0 時変形角（強度劣化性状）が崩壊

IDRend 時のエネルギー消費 50 パーセンタイル。

ハザードに寄与する度合いの大きさがわかる。

S-Non の解析結果のうち，0.01 rad ≤ IDR50max

例として，S-003-010 のλMAFcollapse は 3.06*10-4（再≤ 0.10 rad に対応する PGA 範囲を参照して，最現期間 2920 年）であるが，この IDRend を 0.10 rad

小 2 乗法を適用した結果，a, b, c, d は 0.0260, 1.50,から半分の 0.05 rad に移動させればλMAFcollapse は21.3, 0.975 となる。

4.63*10-4 （再現期間 2160 年）となり，0.03 rad

また，δPGAeq を下式により表し，Fig. 5 の結果で直ちに強度が 0 になる（IDRthreshold =IDRend）と-1025-

すれば 5.79*10-4 （再現期間 1726 年）と，その参考文献

差は再現期間にして 1000 年以上にも及ぶ。

1) C. A. Cornell and H. Krawinkler: Progress andPGA

Challenges in Seismic Performance Assessment,PGA

λPGA =0.000527PGA-1.85

PGA
IDR50 =0.0260PGA1.50

λPGA

λMAFcollapse

IDR50

E50 =21.3PGA0.975

http://peer.berkeley.edu/news/2000spring/performance.html
δPGAeq2) N. Shome, C. A. Cornell: Earthquakes, Records,-3

2.0*102.00E-03

0.350
δPGAeq=1.36IDRIDR-3
1.80E-03
1.8*10and Nonlinear Responses, Earthquake Spectra, 14 (3),469-500, 1998

-3
1.60E-03
1.6*103) L. F. Ibarra, H. Krawinkler: Global Collapse of-3
1.40E-03
1.4*10-3

Deteriorating MDOF Systems, 13th WCEE, Paper

1.20E-03
1.2*10-3
1.00E-03
1.0*10No. 116, 2004

-4
8.00E-04
8.0*104) 長江拓也，吹田啓一郎，中島正愛：層降伏す-4

6.0*106.00E-04-4
4.0*104.00E-04

0.1

0.09

0.07

IDRend (rad)

0.08

0.05

0.06

0.03

0.04

0.01

0.02

-4
2.00E-04
2.0*100.00E+00
0PEER Newsletter Vol.3, No.2, Spring 2000

End point

Fig. 100.01
0.02
S90.03
S70.04
S5 0.05
0.06
S30.070.08
S1 0.09 IDRthreshold (rad)0.1

Threshold point

る鉄筋コンクリート造ピロティ建物の耐震性能－確率論的評価を通して－，日本建築学会構造系論文集，No. 610，pp. 123-130，2006. 125) 鉄筋コンクリート造建物の終局強度型設計指針・同解説，日本建築学会，1990

Map of mean annual frequencies

6) Building Code Requirements for StructuralConcrete (318-99) and Commentary (318R-99), ACI

6. まとめCommittee 318, 1999

鉄筋コンクリートフレーム構造に関して；(1)

部材強度劣化からもたらされる崩壊キャパ

シティを定義し，地震強さに対するフラジリテ
地震応答工学量を最大層間変形角，エネルギー消費において整理し，部材強度劣化の影響(2)に基づき，非強度劣化とした場合の応答評価を用いつつ，崩壊ハザード（平均年間超過

8) 鉄筋コンクリート終局強度設計に関する資料，
9) R. Medina: Seismic Demands for
Nondeteriorating Frame Structures and Their
Dependence on Ground Motions, Ph. D. thesis,度数）を評価する手順を導き，定式化した。

(4)

ASCE, ST12, pp. 2557-2573, 1970
日本建築学会，1987

を明らかにした。

(3)

Reinforced Concrete Response to Simulated
Earthquakes, Journal of the Structure Division,

ィとして表現した。

(2)7) T. Takeda, M. A. Sozen, N. N. Nielsen:

強度劣化性状を反映するハザード表現として，強度劣化開始時層間変形角，および強度 0時層間変形角を組み合わせた，崩壊ハザードマ

Stanford University, 2003
10) Federal Emergency Management Agency:Prestandard and Commentary for The Seismic
Rehabilitation of Buildings (FEMA356/2000)

ップフォーマットを提示した。

11) 建築物荷重指針・同解説，日本建築学会，1993
12) E. Miranda, H. Aslani: Probabilistic Response

謝辞

本研究においてはスタンフォード大学 Helmut

Krawinkler 教授からご助言をいただきました。
本研究は東京工業大学建築物理研究センター
全国共同研究の一環として行われたものです。
ここに記して感謝の意を表します。

Assessment for Building-Specific Loss Estimation,
PEER Report 2004/03, September, 200313) F. Jalayer: Direct Probabilistic Seismic Analysis;
Implementing Non-linear Dynamic Assessments, Ph.
D. thesis, Stanford University, 2003

-1026-