DMRG 線形応答理論と post-DMRG 法：

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Tamm-Dancoff 近似による強相関系励起状態計算への応用(プリンストン大学 1，ゲント大学 2) ○中谷直輝 1，Sebastian Wouters2，Garnet K.-L. Chan1

DMRG linear response theory and post-DMRG theory:
Tamm-Dancoff approximation for the excited state problem in strongly correlated systems(Princeton University1, Ghent University2) Naoki Nakatani1, Sebastian Wouters2, and Garnet K.-L. Chan1【諸言】密度行列繰込み群(DMRG)[1]は、多体波動関H[i ] A ni  ESAni数を効率よく記述できる新しい方法論として注目され、ここで H[i]はサイト i 以外からの寄与が繰込まれた有強相関系のスピン状態や電子状態を計算する上で非常効 Hamiltonian である。DMRG 法はこの式に用いて行に有効なツールとして用いられている。

列 An を反復的に最適化するための手法である。

DMRG 法はさまざまな強相関系の基底状態を研究するために用いられている一方で、励起状態への応用同様に、時間依存の変分原理を適用することで、MPS波動関数に対する運動方程式が得られる[4]。

例は少ない。これは励起状態を求める際、状態平均密iS [t i ]度から繰込み行列を計算するため(SA-DMRG)、変分条件が決まらないことや、各状態に有効な繰込み基底が減少することによって必要な繰込み次元が大きくなる

次に、繰込み行列 An の時間変化を 0 次の行列要素からの調和振動で展開することを考え、Atni  Xni eit  Yni *eitなどの問題があるためである。
本研究では、時間依存の DMRG 方程式から線形応答理論を用いて励起状態を効率的に計算するための手法を開発し、強相関系の励起状態計算への応用を行った。
また、Hartree-Fock 法との相似性から DMRG 波動関数

A tni H [ti ] A tnit

これを運動方程式に代入して 1 次までの項で近似すると RPA 方程式が得られる[3, 5]。

 H *WW  X 
0  X S   ω * * H  Y 
 0  S  Y を参照波動関数とする post-DMRG 法への展開についここで、行列要素 H、W は RPA における有効ハミルて概説する。

トニアン、S は重なり行列で、それぞれ M2k×M2k の【DMRG 線形応答理論】DMRG 波動関数はサイトと呼行列である。また、状態ベクトル X、Y は An の 1 次変

ばれる局所的な Fock 空間の基底に独立な行列の積に化の集合であり、M2k の次元を持つ。本研究では、簡よって与えられ、行列積状態(MPS)と呼ばれる[2]。

単のため RPA 方程式の実部 H、 X のみを考える0   A n1  A ni  A nk n1  nk{n}(Tamm-Dancoff 近似)。
この方程式の解は M2k×M2k の行列を対角化するこ

ここで、k はサイトの数、ni はサイト i における局所とで得られ、その固有値は励起エネルギーを与える。

Fock 空間の基底、An は n に独立な M×M の行列であ

このような巨大次元の行列の対角化には Davidson のる。MPS 波動関数はサイトに独立な平均場近似を与え部分対角化アルゴリズムが有効である。本研究では、ており、変分原理を適用することで導かれる方程式は、部分空間の有効ハミルトニアンを DMRG の sweep アル粒子 の運動に 対する平 均場近似 の結果与 えられるゴリズムにより計算することで、基底状態と同じくHartree-Fock(HF)方程式と相似的な特徴を持つことがO(M3k3+M2k4)のコストで計算するアルゴリズムの開発知られている[3]。

を行った。

【post-DMRG 法】MPS 波動関数がサイトに関する平均場近似であることは述べたが、ここでは、サイト間の相関効果を後から取り込むことを考える。これにより
MPS の 1 次元格子の entanglement を効率良く改善する新たな理論の構築ができると考えられ、より小さな繰込み次元で高精度な波動関数を得ることができるよう

T able 1. Energy errors for lowest 3 excited states of C16 H18from converged calc. DMRG M = 1000 (in mH)

DMRG-TDAstateM = 25501001502001X Ag

0.7

0.1

0.0

0.00.021 A g

18.4

6.4

1.4

0.9

0.7

113.4

4.3

0.8

0.50.3

1 Buになると期待される。
DMRG の繰込み行列 An は、左側の繰込み基底{l}とサイトに独立な Fock 空間の基底{n}の積空間から右側の繰込み基底{r}への射影を与える。ここで、{r}の補空間への射影を Bn として、サイトに関する励起演算子
B+を、0 次の繰込み行列 An を Bn へと変化させるように定義する。

8SA-DMRGstateM = 2550100150200

X1 A g

17.4

2.2

0.6

0.2

0.1

12 Ag

73.0

10.8

1.6

0.5

0.2

11 Bu

64.2

9.4

1.4

0.5

0.2

T able 2. Energy errors of low-lying states for Hubbard model(L = 8, U/t = 10) from FCI (in mH)

Bˆ i 0   A n1 B ni  A nk n1  nk{n}このような励起演算子を用いることで、MPS 波動関数を参照する多体相関理論を容易に導出することができる。例えば、CISD や CCSD 波動関数は次のような形で与えられる[5]。

1CISD    Ci Bˆ i   Dij Bˆ i Bˆ j  02CCSD  e1 
 Ci Bˆ i   Dij Bˆ i Bˆ j2

0【応用】C16H18 の励起状態について SA-DMRG とDMRG-TDA による π-valence CI (16e, 32o)/cc-pVDZ の計算結果を Table 1 に示す。

SN

TDA M = 3 TDA M = 9 CISD M = 304

104.2

0.50.3

1/2584.90.8

2.414117.8

1.53.4

1/25120.7

9.37.2以上の結果から、DMRG 波動関数を参照波動関数とする post-DMRG 法が多体相関理論の新たな展開として非常に期待できると考えられる。
今後は、DMRG-CISD や DMRG-CCSD を行うための実用的なアルゴリズムの開発と分子系への応用を目指す予定である。

繰込み次元 M が小さい範囲では DMRG-TDA の方が良い結果を与えている。しかし、M が大きい範囲ではSA-DMRG の方が良い結果を与えており、DMRG-TDA【参考文献】[1] S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992)[2] U. Schollwöck, Ann. Phys. 326, 96 (2011)の M に対するエネルギーの収束が遅いことが分かる。
これは、DMRG-TDA では 2 サイト以上の相関を取り[3] J. M. Kinder, C. C. Ralph, G. K.-L. Chan, Adv. Chem.
Phys. in press (2013)

込むことが出来ないためであると考えられる。一方で[4] J. Haegeman, J. I. Cirac, T. J. Osborne, I. Pizorn, H.

2 サイト以上の相関を取り込むことで M を小さく抑え

Verschelde, F. Verstraete, Phys. Rev. Lett. 107, 070601

つつ、エネルギーを高精度に計算できる可能性も示唆(2011)される。
Table 2 には Hubbard モデルを用いた DMRG-TDA とDMRG-CISD のテスト計算の結果を示す。この結果から 2 サイトの相関を取り込むことによって TDA と比較して結果が劇的に改善していることが分かる。

[5] S. Wouters, N. Nakatani, G. K.-L. Chan, Phys. Rev. B.
in press (2013)