線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 1 回（’14 年 10 月 3 日：Keywords · · · ベクトル空間と部分空間）
この授業は、授業毎に以下のようなサイクルで行われる．

· · · ⇒ (A 計算（Ashiba）) ⇒ (B 発表（kokuBan）) ⇒ (C 宿題（Cukudai）) ⇒ (A 計算（Ashiba）) ⇒ · · ·1-1. 階段行列、簡約階段行列、先頭列・・・教科書 P.36,37 を見よ．
1-2. 階段化、簡約化・・・階段行列にすること．簡約階段行列にすること．
1-3. 行の簡約化・・・方程式を簡単にし、方程式を解く．注意することは、連立一次方程式を解くときは列ではなく、必ず行の基本変形をする．
1-4. 列の簡約化・・・線形写像の像を変形する．
・・行列 A（(m, n)-行列）を左から掛けることで、1-5. 線形写像と連立一次方程式・
LA : x 7→ Ax(Cn → Cm )という写像をつくることができる．連立一次方程式 Ax = b を求めることは像が b となる LA の逆像全体を求めることに等しい．

2x1 − 3x2 + x3 = 0
1-6. 連立一次方程式の解き方 例：
・・・x − x + x = 3
123(1) Ax = b の形に直し、行列 A を書き下す。（A は (m, n)-行列）．
 
 x   2 −3 1  1  0  x2  =  
1 −1 1   3
x3(2) (A; b) に行の基本変形を施し簡約階段行列 (B; b′ ) にする．(Bx = b′ の解 x を求めることになる．)
 






  x1   2 −3 1 01 −1 1 31 −1 1 31 0 2 9
1 0 2   9 →  →  →  →   x2  =  
1 −1 1 32 −3 1 00 1 1 60 1 1 60 1 1   6
x3(3) 方程式 Bx = b′ の中で、先頭列の変数を左辺に残したまま、非先頭列の変数を右辺に移項する．

 x1 = −2x3 + 9 x2 = −x3 + 6(4) 右辺の文字を (c1 , c2 , · · · ) などとおく．
（先頭列の変数は ci などの一次式になる．
）
 x1 = −2c1 + 9
 x2 = −c1 + 6(5) 全ての変数を ci の式にまとめる．
x1 = −2c1 + 9, x2 = −c1 + 6, x3 = c1(6) 連立一次方程式の解を、いくつかのベクトルとパラメータ ci の一次結合の形に直す．(Ax = 0の場合、求められるいくつかの解のことを基本解という．)
      x1  −2c1 + 9−2 9      x2  =  −c1 + 6  = c1 −1 + 6     x3c110

1-7. ベクトル空間・・・加法とスカラー倍が定義されている集合で、教科書の定義 6.1 の性質を満たすもの．
1-8. 部分（ベクトル）空間・・・W ⊂ V が V の部分（ベクトル）空間であるとは、W , ∅ かつ、任意の v, w ∈ W, α ∈ C に対して V の加法とスカラー倍を使って、(1) v + w ∈ W かつ (2) α · v ∈ W を満たす集合のこと．
1-9. P(K)・・・K を係数とする多項式全体の集合．P(K)n によって P(K) 内の n 次以下の多項式全体を表す．
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A-1-1. [行列の簡約化]
次の行列に対して行の基本変形をし、簡約階段行列にせよ。
1 −1 6 −3 2 1 1 (a) (b) 1 −3 2 0 
−1 0 −10 −1 −2 1A-1-2. [連立方程式]
次の連立一次方程式を解け。

 x + 2y − z = 2
2x + y + z + w = 8(a) (b)
2x + 3y − z = −1
6x + 2y − w = −2
2x + 3y − 3z = −5(c) −y + z = 3
3x + 2y − 2z = 0———————————————————————————————————————————————

今日の課題.
1. ある集合がベクトル空間であることをどうやって示すのか？
2. 部分ベクトル空間であることはどうやって示すのか？
例：次の集合はベクトル空間および、部分ベクトル空間であるか？
Rn 、Cn 、多項式全体 P(R)、実数数列全体 s(R) = {(xn )|xn ∈ R}、有界数列全体 {(xn ) ∈ s(R)| ∃ M s.t. |xn | < M, ∀ n ∈ N} ⊂ s(R)、P(C)3 ⊂ P(C)....
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B-1-1. [多項式のなすベクトル空間]
次の集合はベクトル空間であることを示せ．

(1) V = C2

(2) V = P(R)3 (高々3 次の R 係数の多項式) 
 x1 
(3) V = |2x−x=0

12

 x2

(4) C (R 上ベクトル空間として)B-1-2. [ベクトル空間でない空間]
次の集合は（通常のベクトルの和とスカラー倍として）ベクトル空間にならないことを示せ。

(1) V = { f (X) ∈ P(R)4 | f (0) = 0, f (1) = 1} 
x
 1 (2) V = |2x−x=1
  1

2

 x2

B-1-3. [さまざまなベクトル空間]
次の集合はベクトル空間になることを示せ．

(1) 有界数列全体．

(2) [0, 1] 上の連続関数全体 C([0, 1])．

B-1-4. [部分（ベクトル）空間]
次の集合は、Cn 、もしくは、C([0, 1]) の部分空間となるか？なる場合は証明を、そうではな
い場合は理由を付してこたえよ．
 x1

2x+x+3x=0123 3(1) W = ∈C|x2 
x−x−x=0123
 x3(2) C([0, 1]) 上の関数 f (x) で、 f (0) = 1 となるもの全体．

B-1-5. [正の実数全体]
教科書 p137 例 6.2 では、R>0（正の実数全体）はベクトル空間にならないと書いてあるが、ある関数を施すことで、実ベクトル空間とみなすことができる．そのとき、実数倍はどのような操作に対応するか？
（Hint: log-、exp-関数を使え．p138 の例題 6.1 参照）
B-1-6. [実数列]
実数列全体について以下の問題にこたえよ．

(1) 実数列全体 s(R) = {(xn ) ∈ RN |xn ∈ R} が自然にベクトル空間となるには、加法、スカラー倍をどのように定義すればよいか？
(2) s(R) の中の部分集合 s(a) を s(a) = {(xn ) ∈ s(R)|x1 = a} とおく．このとき、a の値によって、 s(a) がいつ、 s(R) の部分ベクトル空間となるか？
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C-1-1. [ベクトル空間]
次の集合は C 上のベクトル空間になるか、もしなるなら証明を、そうでないなら、理由を付して説明せよ．
V = { f (X) ∈ P(C)3 || f (1) = f (2) = 0}

C-1-2. [部分ベクトル空間]

 a3 V = C3 の中の部分集合 Wa,b について、Wa,b = x∈
C|Ax=と定義する．このとき、Wa,bb が V の部分ベクトル空間となるのは a, b がどのような場合か？証明せよ．ここで、A は任意の (2, 3)-行列

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