平成27年度

渋谷教育学園渋谷中学校<帰国生受験>算数

くわしい解説すぐる学習会3
１ (1) 3＋ 2＋4× 1.875－ 8 ÷2アイウエオ
ア ＝ 1.875 －373
4
1＝1 － ＝1 ＝188882

イ ＝ 4×ア ＝ 4 × 1

1
3＝ 4× ＝ 622

ウ ＝ 2＋イ ＝ 2＋6 ＝ 8
エ ＝ ウ÷2 ＝ 8÷2 ＝ 4
オ ＝ 3＋エ ＝ 3＋4 ＝ 7(2)行きと帰りの速さの比は，60：240＝1：4 なので，かかる時間の比は逆比になって，4：1 になります。
往復で32分かかったので，行きにかかった時間は，32÷(4＋1)×4＝25.6（分）です。
行きは分速60ｍで，25.6分かかる距離なので，60×25.6＝1536（ｍ）になります。

(3)

面積図を書いてもできますが，水と食塩の重さの比を使って解いた方が簡単です。
10％の食塩水を作ろうとしたとき，全体の10％が食塩ですから，全体の 100－10＝90（％）が水です。
よって，水と食塩の重さの比は，90：10＝9：1 です。
実際には，25％の食塩水ができてしまいました。
全体の25％が食塩ですから，全体の 100－25＝75（％）が水です。
よって，水と食塩の重さの比は，75：25＝3：1 です。

（次のページへ）-1-整理すると，右のような表になります。

水 ：食塩
予定

９ ： １

実際

３ ： １

水 ：食塩

水の量は変わらなかったのでそろえると，右のような表になります。
食塩を，1 だけ入れる予定だったのが，実際は 3 も入れてしまったわけです。

予定

９ ： １

実際

９ ： ３

よって答えは，3 ÷ 1 ＝ 3（倍）になります。
※(4)

水の重さである100ｇを，まったく使わないで問題を解くことができました。
100ｇを使って計算すると，分数が出てきてややこしく（まちがいやすく）なります。
ウ
いもづる算です。面積図を書きましょう。
イ100
ア706102015ウ
右の図の斜線部分の面積は，100×15－610＝890です。
100－20＝80，100－70＝30 ですから，右の図の斜線部分を式にすると，

イ100
ア

80×ア＋30×イ＝890

70

610

2015となります。

（次のページへ）-2-10で割ると，8×ア＋3×イ＝89となります。

ア＝ 0 にすると，イは (89－8×0) ÷3 が割り切れないのでダメです。
ア＝ 1 にすると，イは (89－8×1) ÷3 が割り切れて，27 です。
これで，（ア，イ）＝（1，27）となりました。
ア イ
8：3 の逆比は 3：8 なので，アを 3 ずつプラスして，1 27
イを 8 ずつマイナスしていくと，右の表のようにどんど＋3－84 19ん求めることができます。
7 11103ウ
ところで，面積図において，ア＋イ＋ウ＝15 でした。ということは，（ア，イ）＝（1，27）は，ア＋イ だけで，もう28になってしまうので，ア＋イ＋ウが15になることはありえません。
ありえるのは，（ア，イ）＝（10，3）のときのみで，20そのときウは，15－(10＋3)＝2 です。

イ100
ア70

610

15
これで，20円のえんぴつは10本，70円の色えんぴつは3本，100円のボールペンは2本であることがわかり，この問題は色えんぴつの本数を求める問題ですから，答えは 3 本になります。
(5)

下に降ろす線分図を書くと，右の図のようになります。

ア600円

200×2＝400（円）…ウ2山
300＋400＝700（円）…イ2山
700÷2＝350（円）…イ1山
350×3＝1050（円）…イ3山600＋1050＝1650（円）…ア3山
1650÷3＝550（円）…ア1山
550×4＝2200（円）…ア4山

ア

ア

イ

300円

アイイ

ウ

ウ200円

よって，最初に持っていたお金は 2200 円になります。

-3-

(6)

まず，すべての位の数を足すと 7 になるようなパターンを探し出しましょう。
0 1 6 パターン，0 2 5 パターン，0 3 4 パターン，1 2 4 パターンの 4 パターンが考えられます。
0 1 6 パターンのとき，偶数にするためには一の位は 0 か 6 ですから，０，６ の 2 種類が考えられます。
０ のときは，160，610 の 2 個で，６ のときは，106 の 1 個だけなので，合計 3 個です。
0 2 5 パターンのとき，偶数にするためには一の位は 0 か 2 ですから，０，２ の 2 種類が考えられます。
０ のときは，250，520 の 2 個で，２ のときは，502 の 1 個だけなので，合計 3 個です。
0 3 4 パターンのとき，偶数にするためには一の位は 0 か 4 ですから，０，４ の 2 種類が考えられます。
０ のときは，340，430 の 2 個で，４ のときは，304 の 1 個だけなので，合計 3 個です。
1 2 4 パターンのとき，偶数にするためには一の位は 2 か 4 ですから，２，４ の 2 種類が考えられます。
２ のときは，142，412 の 2 個で，４ のときも，124，214 の 2 個なので，合計 4 個です。
全部で，3×3＋4＝13（通り）できることになります。

-4-

２ 1人目はすべての整数のスイッチを押します。つまり，1の倍数のスイッチを押すという意味です。
2人目は2の倍数のスイッチを押します。
3人目は3の倍数のスイッチを押します。
このようにして，30人目が30の倍数のスイッチを押し終わるまで，続けるわけです。
たとえば，15という番号の場合，どのようにスイッチが押されるかを考えてみましょう。
15の約数は，1と3と5と15の4個ありますから，1の倍数，3の倍数，5の倍数，15の倍数のときに，スイッチが押されます。
全部で4回押されるので，はじめは×でしたが，1の倍数のときに〇になり，3の倍数のときに×になり，5の倍数のときに〇になり，15の倍数のときに×になります。
このようにして，偶数回スイッチが押されると×になり，奇数回スイッチが押されると〇になります。
つまり，約数が偶数個ある整数の場合は×に，約数が奇数個ある整数の場合は〇になることがわかります。
(1)

3の約数は，1と3の2個ですから，偶数個あるので×になります。
9の約数は，1と3と9の3個ですから，奇数個あるので〇です。
14の約数は，1と2と7と14の4個ですから，偶数個あるので×になります。

(2)

4の約数は，1と2と4の3個ですから，スイッチも 3 回押されます。
24の約数は，1と2と3と4と6と8と12と24の8個ですから，スイッチも 8 回押されます。

(3)

ライトがついているということは，スイッチが奇数回押されたことになります。
スイッチが奇数回押されたのですから，約数が奇数個ある整数です。
平方数が，約数が奇数個ある整数ですから，この問題は 1 から 30 までの中に，平方数が何個あるかを求めればよいことになります。
1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，5×5＝25 があてはまります。
（6×6＝36は，30よりも大きいのでダメです。）
よって答えは，1＋4＋9＋16＋25＝55 になります。

-5-

エ

３ (1) 見やすくするために，線を少し離して書いたのが，右の図です。
ア，イ，ウ，エの半円の直径は，それぞれ 3 cm , 6 cm ,9 cm , 12 cmですから，アの長さを①とすると，イは②，ウは③，エは④となり，合計は，①＋②＋③＋④＝⑩となるので，アの長さの 10 倍になります。
アは直径が 3 cmの半円ですから，3 ×3.14÷2×10＝15×3.14＝ 47.1（cm）になります。
アの弧の長さ(2)イア
ウ

10倍だから下の図の半円ア，イ，ウ，エは，直径がそれぞれ 3 cm , 6 cm , 9 cm , 12 cmの半円であるとすると，直径の比は，3：6：9：12＝1：2：3：4 です。
面積の比は，(1×1)：(2×2)：(3×3)：(4×4)＝1：4：9：16 です。

1ア

4
イ

169ウエ
ク

右の図のオの面積を 1 とすると，カの面積は 4 にあたり，キの面積は，9－1＝8 にあたり，クの面積は，16－4＝12 にあたります。

カオ

よって，の面積は，オ＋ク＝1＋12＝13，の面積は，カ＋キ＝4＋8＝12 にあたるので，答えは 13：12 になります。
(3)

右の図の太線をつけた 2 つの三角形は，どちらも底辺が 3 cmで，ななめの辺が 6 cmになっているので，正三角形の半分の形をしています。
よって，右の図の○の角度は 60 度，×の角度は30 度になります。

キ××○○（次のページへ）-6-

右の図のように移動させます。

すると，かげをつけた部分の面積は，「太線のおうぎ形－ア 2 個＋イ＋ウ」になります。
「太線のおうぎ形」は，6×6×3.14÷6＝6×3.14，「ア 2 個」は，3×3×3.14÷6×2＝3×3.14，「イ」は，3×3×3.14÷12＝0.75×3.14，イ
ア
ウ

30度だから「ウ」は，1.5×1.5×3.14÷2＝1.125×3.14 となるので，半径は3cmの半分かげをつけた部分の面積は，(6－3＋0.75＋1.125)×3.14＝4.875×3.14＝15.3075（cm2）になります。

-7-ア４ (1) （イ）の外側の部分に水が入ってから，（イ）の部分に水が入ります。
円柱の底面の半径は10cmで，15cmの深さまで水が入ったのですから，10×10×3.14×15＝4710（cm3）の水が入りました。
1 分間に 360 cm3ずつ水を入れるのですか1
ら，4710÷360＝13 （分）→ 13 分5秒後に，（イ）がいっぱいになります。
12(2)

右の図のような状態になったときに，（イ）に水が入り始めます。
入れた水の量は，(1)で求めた 4710 cm3よりも，（イ）の体積ぶんだけ少ないのですから，4710－10×10×15＝3210（cm3）です。
1 分間に 360 cm3ずつ水を入れるのですから，
113210÷360＝8 （分）→ 8 分55秒後に，（イ）に水が入り始め12ます。

(3)

（イ）
(2)で，（イ）に水が入り始めたのは 8 分 55 秒後であることがわかりました。
（ウ）（イ）に水が入り始めてからは，右の図の★の部分に水が入っていって，9 分 14 秒後に（ウ）に水が入り始めます。
★
よって，★の部分に水が入っていた時間は，9 分 14 秒－ 8 分 55 秒
＝19（秒間）です。
19
1 分間に 360 cm3ずつ水を入れるのですから，★の部分には，360× ＝114（cm3）60の水が入りました。

（ウ）の底面は正方形なので，その一辺を□cmとし，（ウ）の高さを△cmとすると，★の部分の体積は，(10×10－□×□)×△＝114 と表すことができます。
底面積

高さ□も△も整数ですから，あとは□に 1 から 9 までの数をあてはめていって，△が整数になるものだけが正解，という解き方になります。
□＝1のとき，10×10－□×□ ＝99 で，114÷99 は割り切れないので，×です。
□＝2〃＝96114÷96〃□＝3〃＝91114÷91〃□＝4〃＝84114÷84〃□＝5〃＝75114÷75〃□＝6〃＝64114÷64〃□＝7〃＝51114÷51〃□＝8〃＝36114÷36〃□＝9〃＝19114÷19 ＝6 ですから，△は6です。
よって，（ウ）の直方体の底面の正方形の1辺は 9 cmで，高さは 6 cmになります。

-8-