昭和57年度（問題）1．つぎのωから115までについては，それぞれ五つの選択肢の中から，正しいものを一っ選んで，所定の解答用紙に，たとえば，四とかlDlのように，記号で記入せよ。

ω

年始，年末の資産をそれぞれA，Bとし，利廻り4が既知であるとき，年度内の収入利息Iを求める

近似式はつぎの式で表わされる。
囚

A！，lB〕

B−A，lC〕

A＋B．
2，2lD〕

4

2一づ（A＋B），

lE〕

づ

2＋（A＋B）

12〕つぎの式に関して，正しいものを，選択肢の中から選べ。

川炉凡1、久・、、、、〃，価〕・1④一座，価〕か・仏
四川とlmが正しい。
働lB〕川と皿1が正しい。

lCHII〕と価〕が正しい。

ωすべて正しい。

1A〕，lB〕，lC〕，lD〕のいずれも正しい事実を述べていない。

13〕つぎの式のうちで，σエの妥当な近似式を与えているのはどれか。
選択肢の中から正しいものを選べ。

三1

δδ

1

川久・万A・（1・万）一nl（…万）（1一万）一皿〕T（叶万）四川以外はすべて妥当である。

lB〕（m以外はすべて妥当である。

lCH㎜以外はすべて妥当である。

lD〕すべて妥当である。

lE〕l1い皿い㎜〕のいずれ・も妥当な近似式を与えていない。

14〕30年満期の保険において，死亡保険金は1，満期保険金は既払込保険料，加入年齢は30歳とする。
最初の王O年聞の年払保険料をP1，つぎの20年間の年払保険料をP星とする。

P。＝々P1のとき々はつぎの式で表わされる。

lAi

lC〕

帆一M。。一P1（Aらド肌一10凪。）lB〕
月（M。一M島。上20瓜。），
ハ430−Moo＋30エ〕oo一一D1

肌r㈲（M㎝一八み。）

1D〕

ハ4如一M的十10j）oo＋20D前ρ1（Mo−M帥）Moo〃皿一〃帥・一B（M30−M㎝）（Mザ脇一八（MrM仙一ユO肌）
肌一M㎝一20D帥
，（M罰一M拮。−30j）。o）

一39一

15〕つぎの式で，〃を表わしているものはどれか。選択肢一の中から正しいものを選べ。
川

1一（凡、一←4）δ，、○州
lIIl l一一，，P州一P。

o，価〕

P，十d

囚1I〕だけが〃、を表わしている。

⑧皿1だけが〃。を表わしている。

lC1価1だけが〃・を表わしている。

lDl

㈲
16〕

lIL

lIL1皿1のいずれも〃・を表わしていない。

囚，㈲，lCl，lDlのいずれも正しい事実を述べていない。
0売は，つぎの式で表わされる。

｛刈α、十0，十α、一0lC〕

0〃十0，・十0一0・。

，

｛B｝

，lD｝

Σが

（0。十0，十0・一0〃一0
力，十カ十〃、一一σ・・十0川力、，、），

lE〕

・Σ砂㍉久

1117〕一一一は，つぎの式で表わされる。
○莉

3司

11

づ

囚ゴ・1・い・｛C〕7・①，丁・＝E〕丁⑧100一κ

35

囚一，吻、19〕のとき，的ク調はつぎの値をとる。

lB〕

46一1C〕

5一，7lDl

6一，8lE〕

7一9は，つきの式で表わされる。

〃ロ。

1μ、＝

囚

∂、μ，一ユ，｛B｝｛D｝

互、（μ，一δ）一ユ，瓦δ一1，値，1◎瓦（μ。十δ）一i、ε、（μ。十δ）十エ

死力が定数μならば，んはつぎの式で表わされる。

δμδ

μμ

囚、一δ一・1、一δ一◎、。δ一Dll一パ｛E〕μ・1ω＝0のとき，（〃）。は，つぎの式で表わされる。

ωe，，㈲身、，lC11＋・、，lD〕識、刊，
1週㈲Σ1力・・6州

あ、の値が0−1だけ増加するとき，．んの値はいくら変化するか。

A，の変化について，一番適切なものをつぎの中から選べ。

ただし，利率は年5％で一定とす孔
囚

約0．0048だけ増加す孔lC〕約0・0050だけ増加す孔㈲㈲約O．0048だけ減少する。

1D〕約α0050だけ減少す孔与えられた情報だけでは，んの変化は判定できない。

一40一

○割、1α，を．1λ、．，E、，。亙、一（1＋ω）．1ん．凡一｛・一λ、．
lE〕

lDlωの式で表わすとつぎのとおりである。

，｛Bi（1＋｛）．亙。一・1λ，，115〕4％，㈲5％，。凡・一一ん

ユ十ゴ（．亙、一一パ、）

只：0，015，戸川＝O．016，力、：O．99884一のとき，
囚｛◎

lC〕

5．5％，lDiの値はつぎのとおりである。

6％，

㈲

6．5％

ク，二〇．5，λ、11＝O．4，1γ，＝0．05のとき戸・の値はつぎのとおりである。
囚

0・36，

一B〕

0・38，｛c〕

0．40，｛D｝

O．42，

恒〕

O・44

2．λ氏は，3社に20年間にわたり，年100万円の率で始まり，連続的に増加し，時点童（O≦±≦20）においては年100＋101万円の率をとる連続支払をしなくてはならないが，C社に同期間にわたり，年α万円の率の連続払込をし，C社にβ社への支払を代行してもらうことにした。年6一％の実利率を仮足し，上記の収支が相い等しくなるαを求めよ。また，この闇に，C社に積立金が発生するが，この積立金が最大に達するのはいつであるか。C社の手数料は考えないものとする。
必要ならば，つぎの数値を用いよ。δ＝O．058，3．

工1．0620＝3，207

あ，，［ D，、．
（C，3［十C、。、鳥十…十C、．，．．3椚）昔一一一

D，5［3〔o、を証明せよ。

この恒等式を用いて，養老保険の保険料をつぎの形に分解せよ。

・1∫引−P量、一＝ρ三、巾十一

このとき，〃河はどんな意味を持つか説明せよ。

4．

ジΣ0州・冷十α・・を変形し，その結果が，何を表わすかを述べよ。
・o

一41一

昭和57年度（解答例）
1．

問題番号

解答欄11）

㈲

12〕

㈹

13〕

lD〕

14〕

lA〕

㈲

lDl

㈲

田

17〕

囚

18〕

lC119〕

lC〕

征⑪lE〕

ωlC〕

ωlBl

113〕

囚ωlC〕

l15〕

lDl

正解は上表のとおりであるが，以下に問題を再掲すると共に，解法を略記する。

11〕年始，年末の資産をそれぞれA，Bとし，利廻り4が既知であるとき，年度内の収入利息Iを求める近似式はつぎの式で表わされる。
囚A，

lBl

B−A，

lC〕

A＋B

づ，2㈲。÷4（…）（解）

利廻りに関するハーディーの公式は，

4≒

2I
A＋B−I

一42一｛D｝

ゴ2−4（…）・

これをIについて解けば，㈲をうる。即ち（A＋B−I）≒2I（2＋）I≒；（A＋B）

1≒2÷4（…）
12）つぎの式に関して，正しいものを，選択肢の中から選べ。
l1〕σ，一∫、力，・μ、、、雄，m

囚

旧と価〕が正しい。

lDlすべて正しい。

㈲

Iσ，一力，，（孤〕

lBHI）と価〕が正しい。

力，一。∫♂μ州・

lCH皿〕と1皿〕が正しい。

囚，㈲，lC〕，lDlのいずれも正しい事実を述べていない。

（解）lI〕の式は正しく，側については，記19。＝

叶。一ム十州

ム＝＝蜆ルー肘］加が正しく，価〕については，掘力，一。

∫8〜・が正しいので，正しいのはに）だけということになり，正解は㈲である。

13〕つぎの式のうちで，3，の妥当な近似式を与えているのはどれか。選択肢の中から正しいものを選べ。

は〕の・÷ん（1・÷）・m（の・去）（1一音）・価）÷（肘÷）囚1I〕以外はすべて妥当である。

lCH皿〕以外はすべて妥当であ乱⑮〕価〕以外はすべて妥当である。

1D〕すべて妥当であ乱㈲川，1刑，価〕のいずれも妥当な近似式を与えていない。
（解）lI），価〕，側はすべて，3、の妥当な近似式なので，正解はlDlである。

完全年金の現価6，は，端数不払年金の現価σ，に，（）生存の最後の期の生布端数期間の支払額の現価を加えたものに等しい。この端数期間に対する支払一43一上額は，各期平均して一とみれば，2．

1−o｛o。十一ん

2……一・・①①の右辺に瓦≒ん（1・÷）を代入すると・l1〕を仏

また，①の右辺にん＝1一δみを代入すると，あ≒肘÷（1−1あ）1
これに，さらに7，≒σ汁一を代入すると，1皿〕をうる。
2

つぎに側であるが，金額ユを利率｛で，（z）の死亡まで投資したとすると，毎年利息｛が支払われ，（π）死亡の年には端数期間に対する利息が支払われる。

この利息の現価は｛6，で，（エ）死亡の際に残る元金1の現価はλ，である。
従って
1＝o■十ん＿。

δ＿が成立するが，これにん＝1一δ∂，を代入すると，σ、＝一σ・，さらにゐ≒1o。半一を代入すると，1皿〕をうる。
214〕30年満期の保険において，死亡保険金は1，満期保険金は既払込保険料，加入牢齢は30歳とする。最初の10年聞の年払保険料を」Pl，つぎの20年間の年払保険料を戸2とする。戸2＝尾P1のとき后はつぎの式で表わされる。

囚〃。。一M一。rPi（M。。一M．r10D。。）

1B〕

Pl（M4ザM60−20D60），

M3r〃60一←3006rρI（M3。一肌。）

1C〕

恒〕

机rM。。

，

㈲

M3rM．o一戸1（M30−M60）

ハ（M3rM6r300oo）

一44一〃。。一〃。r戸1（M・。一M・r1O〜）

M4。一M．r20D60
M3ザ〃。o＋10D竈。＋20D60

戸1（M．rM60），，

（解）題意により，収入の現価は，Pl（M30−M40）十〃1（M4rM60）

支出の現価は，M30−Moo＋（10戸！十20尾Pl）D60

収支相等の原則により，上記両式を等しいと置いて，々について解けば，囚をうる。

15〕つぎの式で，κを表わしているものはどれか。選択肢の中から正しいものを選べ。

｛I〕1一（」P，十十a）6，十，｛皿｝

側1I〕だけがκを表わしている。

σ州
1一一一r． ｛皿口 戸！十rp。

o。

月パa

固1Ilだけが〃・を表わしている。

lC〕皿〕だけが〃。を表わしている。
①1川，価〕，価〕のいずれも〃。を表わしていない。

働囚，⑧，lCl，①1のいずれも正しい事実を述べていない。

（解）lI〕は正しくなく，1一（P、十6）6，。

が正しい。

6州

側も正しくなく，1一〒が正しい。
o■

戸肘r戸。
1皿1も正しくなく，が正しい。

戸川十6

従って，正解は①1である。

16〕oπは，つぎの式で表わされる。
囚

σi＋0フ十α2一ση！，lC〕0η十σ〃斗0．rσ〃。，lB10lDlΣ〆（十σ，十02−0〃一0〃一σ〃十ση2，加十ψツ十ψ、一ψ，フ、），・1同Σ〆ψ，フ、
一1（解）α荻は，（エ），（V），（2）の最終生存者連生年金の現価で，正解は㈲である。

17〕

㈱

11

σ司

3司

｛，は，つきの式で表わされる。

｛Bエロ，

1｛C〕

一，1 一，〃｛D工一45一ゴ一〃

工E，

1一〆

（1＋（工十）L1）

一1（解）o引羅 @， ＝ ，（1＋，）・∫司＝この両氏より 1
σ司μ，＝18〕

13一，5を計算すれば1をうる。正解は囚であ乱のとき，20力30はつぎの値をとる。

100一エ

囚

13司

日14一，工C〕

6（解）ルー・仏

5一，7｛Dj6一，8㈲十・（・・一1）lr

芒Io950−log705＝10g−
75より20加。＝一をうる。正解はlC〕そある。
7砺。

19）一は，つぎの式で表わされる。

ああμ、一1，9あるいは1。・ルー一∬ル〃なので1…炉一r1。。．篭。十サ）

囚

7一lB〕

ω瓦（μパδ）一五，あδ一1，｛C〕

あ（μ■十δ）一1，同あ（μ，十δ）十1（解）晋一音（昔）
一（ま）。（ル廿一瓦廿）

こごれ一r舳より廿一一肌

一・S6一aD。
また，一二一〆んμ■一〆んδあE−D■（μ■十δ）

なので，これらを上式の右辺に代入すれば，lClをうる。

ω

死力が定数μならば，んはつぎの式で表わされる。

｛刈δ，

μ｛Bl

μ一δ，tC〕

μ一δδ，lD〕

μ十δμμ一，δ一μ同｛E〕

Σψ，・3，十μ十δ（解）瓦寸〜舳必
一μr舳1＝μσ一方，ん＝1一δみ
これら両氏よりあを消去すれば，恒〕をうる。
ω＝0のとき，（〃）。は，つぎの式で表わされる。

1刻

e■，

lB〕

3，，

工C〕

1＋e■，｛D〕

Σ3，十o（解）一1

固一（〃）。＝一Σ（叶1）C州山仁0寸ゑ（什1）∬ψ〜打舳〃
ト0なので，この式は一ナゑ（1・1）∬㎞舳｛1岨ｰ（サ半1）ム十＝一ん 一〇

み十よ肘1＋〜外2＋・・
み一1＋e。

一47一，一〇であり，正解はlC〕である。

ω5，の値が0．ユだけ増加するとき，λ，の値はいくら変化するか。λ、の変化について，一番適切なものをつぎの中から選べ。ただし，利率は年5％で一定とする。
囚

約0．0048だけ増加する。

㈲

lC〕約0．0050だけ増加する。

約0．0048だけ減少する。

lD1約0．0050だけ減少する。

lE〕与えられた情報だけでは，んの変化は判定できない。
（解）λ，＝1イあここで，6，が5ニベ変化したときλ，もんに変化したとすると，
ん：1一あ二ん一ん＝一a（6；一あ）一1子，（・1一の）＝一O．05x0．1

1＋O．05＝一〇．00476≒≡一0．0048

即ち，正解は㈲である。
1σ，を間1λ，，，亙，，ゴの式で表わすとつぎのとおりである。

l13〕

1刻

掘亙，一（1＋ξ），1λ，，lB〕（1＋）

亙，一日1λ，，lC〕

制圧，一制1λ，4｛

1・〕凪一 P．一左一・〕1デ（ル・1ん）（解）（1＋）C。＝Dr（1＋（1＋（1＋｛）記1λ、＝）D州に注意して，以下の変形を行なう。

）（C舛責十C什舳1＋・…・・）

D．
D。十、十D叶肘1＋……一（1＋4）（D。十肘：十0舛肘2＋……）
D。

D叶，一ゴ（D叶舳1＋D叶肘2＋・…・・）
o。

一48一1o，＝0叶肘1＋D！十肘2＋……

D．

を上式の右辺に代入して，制亙，二D肘。 に注意して，報1o，について解げば，o。

囚をうる。

ω㈱

戸戸0，015，戸川二0，016，ル＝O．99884のとき，｛の値はつぎのとおりである。
4％，

lB15％，1（解）P。＝一一alC〕

5．5％，

lD工6％，同6．5％……・・・…①め

1P州：一一6ク州……・…・・②

一方，6、＝工十ψ、6、。1…………③①，②をめ，6州について解いて，③に代入すると，
1二1＋ψ，＆十6

1④P〃1＋aここで，ゴの求め方について，二つの方法が考えられる。

1）o＝且

1＋5，a：一を④に代入して，整理すると1＋（1打）戸。十この両辺に1＋ル＝三十（ユ十 ）P州十＝4％，5％，・一・を順次代入して，両辺の値を比ベゴニ5．5％をうる。正解はlC〕である。

二4％のとき

左辺三玉8170504
右辺＝ユ8．6349

左辺＞右辺｛＝5％のとき

左辺ニュ5．96958

右辺＝15．95269
左辺＞右辺一49一

ト5．5％のとき

左辺一14．89587
右辺＝ユ4．89594

左辺＜右辺｛＝6％のとき

左辺＝ユ3．96574
右辺・＝13．97869

左辺く右辺
ト5．5％のとき，左辺一右辺の符号が変り，かつ差が最も小さいので，正解をlC〕とする。

つぎに，

2）6＝11に注意して，④を変形すると，（1一ク。）・LlP，。1＋（工一力，）（P，十I）ル十P，（P，、1＋工）三0

この式に力，，戸、。1，戸、の値を代入すると，（ユー0・99884）σし｛0，016＋（1−0．99884）・（O．015＋ユ）1秒

十0，015（0，016＋1）＝O

この式の〃の係数を計算して0．00116秒2−0．0171774砂十0．01524＝0582−858，87砂十762＝0

この。についての2次方程式を解いて，それから4を求める。
858．87±

858，872−4・58・762○出2×58858．87±560，873．6769

116
858．87±748．91

116
砂：13．86C2また．は0．9479であるが〃≦iより
11＋．

．

10．9479＝0．05496

なので，正解を1◎の5．5％とする。

一50一ω

加＝O．5，λ二：TI＝O．4，κ三0．05のとき戸。の値はっぎのとおりである。

囚

0．36，

固O．38，lC〕

014C，lD〕（解）過去法で

D．

C．

1γ。＝戸パ
0■十］

D，十1

この式より

D川

P■＝C．

1γ■十一D，

D，・・〃・カパκ十λ二：丁1・…・・……①

ら

ここでλ1：ゴτ〃り！一D！十1o。
＝リ（1一加）
λ二：丁■

より

〃三

工一加

これを，①の右辺に代入すると
λ三＝■

トト加

い篶十伽

この式の右辺に，与えられた値を代入して．
0．4
1−O，5jD■芒

05

0．05＋04＝O．42
これよりして，正解はlDjである。

2．金額は万円単位で表わすことにする。

題意により，
砺珂芒100乏何十10（∫6）醐

一5ユー

0．42，

同O．44

（庁）ガ∬O舳
一［」芸］：㌧÷r〃云一20・2怖弼

＝なのでδ

6耐一20戸α互珂＝ユO06何十工O

＿

1一σ20

σ僚土

10

α＝100＋一一δ三100＋

δ10
0．058

1．0620一ユ＝

δδo20

なので

200
1．0620−1200
3，207−1＝100＋172．4旦4−90，62ユ，且8ユ．793

時期まの積立金を∫1とすれば，81が最大額に達するサは6∫，Oから求められる。

dc・

∫1一

閧Pα一（1…1・1）1／1寸〕・1一・l／（α一1・・）∫1｛H・∬1・一1・・1／

ここで∬｛τ一1ギ∬τ・一一・τ一［τe戸11・ド・τチe｝
δ−52一

1−e→
十δ2

なので

・一ｶ一1・・）エヂ・ 10 e｝

α一100
δ

10

α一100〆

10（1 鰹C→ ）／10＋δト74

10十7従って68出10：（α一100）〆十10δδ〆一÷／（α1−ml−1・）用・／

ここで68〃＝0とおくと，（αδ一100δ一ユ0）e

十10＝O

これより10δF109 ユ00δ一←10一αδ・・に一?。・（1α一一100 1）

10一。15．1・・（10．058

0．058

0，058

0．058

18旦・（‡）

7 P1，100・・湖）

1og（1−8．1793xO．058）

109（1−O．47440）

1ogO．52560

x（一0．64321）＝11．09（注）

出題ではユ．0620が3，027と誤っていたが，ここでは訂正しておいた。出題ど

r53一

おりの数値で言十算すると，αとオはそれぞれ，α＝173，746，ト9．62となるが，これも正解とした。なお，対数言十算のできる電卓がないと，広の具体的な数値は求められないが，上記（＊）の段階までサを求めたものも正解とし，受験生には不利とならないように配慮したことをお知らせします。

aC。。H二σD州一rD州に注意すれば
1 Σ（ω州一rD，。 ）∫刀左辺＝D，島H

一★引L善（1・1司）帆・ゑ榊／・（島一・1する）、き司（札一㍑∫｛）ε，＝司D，、，

島

ル

＝右辺
m年満期養老保険の年払純保険料中から，満期保険金1を得るために定期積金としてこれを積み立てるものとすると，その掛金額は1島であり，第f年度末の定期積5η金の積立金の額は島となる。

㍉
よって，第ま年度の死亡に際しては，死亡保険金額且一一の逓減定期保険の保島
5司
険金と定期積金の積立金

島の合言十額1が支払われると考えてもよい。

一方，

伽1・D州掘・州＝τ忍α出十必一士／茗（1一葦）い・茗芸；刈・智一54一ここで，前段の結果を用いると

み司・州十名（1｛）㌫i・等・〜司一、三司・士茗（1一音）㎞・古

この式と，与式をくらべると，戸二司は・第彦年度の死亡保険金額がト島島あるような，死亡保険金年末払の逓減定期保険の平準鈍保険料であることがわかる。

M，十4一σ州・ψ。＝

十1D州

ん十・一ん

一ナ（み州・・ん・・・・…ん冊・1・・……）、呂舳・炉÷｛ん・1・・ん・・（・・1・）十ん・・（用・・が）・・…・・／

一÷（ん・1＋ん・・ピ・み・・讐・）

一昔・÷／用…㌫・・・・・…一（ム・1州・＾・・が・・・…）1

Σ！，十一÷（Σ！，、＝士㍉〆）一÷（舳）∴｛Σα，十川ル十σ2二e，由。

上記の変形の結果よりして，与式事（略算）平均余命を表わしているといえる。

一55一で