70 ─第 2 章／図形と方程式
例題 12 連立不等式の表す領域② （和集合）
不等式（x＋y−2）（2x−y−4）＜0 の表す領域を図示せよ．
与えられた不等式が成り立つことは，

解x＋y−2＞02x−y−4＜0…①

または¥x＋y−2＜02x−y−4＞02≈-¥-4=0A…②2

よって，求める領域は，①の表す領域 A と②の表す領域 B の和B-4集合 A∪B で，右図の斜線部分である．ただし，境界線を含まな≈2Oが成り立つことと同値である．

≈+¥-2=0い．

26 次の不等式の表す領域を図示せよ．
⑴ （x＋y＋1）（x−y＋3）＞0⑵ （x−y−5）（x＋2y−2）≦0⑶ （x＋y−6）（y−x 2）＜0⑷ （x＋y−4）（x 2＋y 2−16）≧0例題 13 領域と最大・最小x，y が次の4つの不等式を満たすとき，下の問いに答えよ．
x≧0，y≧0，x＋2y≦8，3x＋2y≦12⑴4つの不等式の表す領域を D とする．D を図示せよ．

⑵

x＋y の最大値および最小値を求めよ．

解

⑴

¥6

2直線 x＋2y＝8，3x＋2y＝12 の交点の座標は，この2式を連立方程式として解いて，（2，3）

3≈+2¥=124(2,3)≈+2¥=8

よって，領域 D は，4 点（0，0），（4，0），（2，3），（0，4）
を頂点とする四角形の周および内部で，右図の斜線部分である．ただし，境界線を含む．
⑵

x＋y＝k …①とおくと，これは傾きが −1，y 切片がkのD≈O63≈+2¥=125

右図から，k の値は，直線①が点（2，3）を通るとき最大となり，原点 O を通るとき最小となる．

8¥直線を表す．この直線①が領域 D と共有点をもつようなkの値の最大値と最小値を求めればよい．

44(2,3)≈+2¥=8kD≈

よって，x＋y は，x＝2，y＝3 のとき，最大値5O

x＝0，y＝0 のとき，最小値04 58≈+¥=0 ①≈+¥=5k27 x，y が次の4つの不等式を満たすとき，下の問いに答えよ．
x≧0，y≧0，2x＋y≦10，2x＋3y≦18⑴

4つの不等式の表す領域を D とする．D を図示せよ．

⑵

x＋y の最大値および最小値を求めよ．

●ポイント
①

AB＞0②

直線が境界となる領域における最大値，最小値を調べるときは，直線の交点に着目する．

A＞0，B＞0 または A＜0，B＜00042-0075̲1̲高校リード数学2̲本冊̲InD20.indd 70

AB＜0A＞0，B＜0 または A＜0，B＞02022/08/23 18:27

軌跡と領域─ 71

328 x，y が次の3つの不等式を満たすとき，下の問いに答えよ．
x＋y≦3，x−2y≦0，2x−y≧−6⑴3つの不等式の表す領域を D とする．D を図示せよ．

⑵

y−x の最大値および最小値を求めよ．

29 x ＋y ≦5 のとき，x＋2y の最大値および最小値とそのときの x，y の値を求めよ．
2230 y≧x −2x＋1 のとき，2x−y の最大値とそのときの x，y の値を求めよ．
2

例題 14

線形計画法

ある工場で，製品 A，B をそれぞれ1トンずつ作るのに必要な原料 a，b の量は右表のとおりである．ただし，原料 a，b は1日に，それぞれ8トン，9 トンまでしか使えないものとする．このとき，製品 A と B の1日あたりの合計生産量の最大値を求めよ．
解原料 a

原料 b

製品A

2 トン

1 トン

製品B

1 トン

3 トン

製品 A，B をそれぞれ x トン，y トン作るとすると，条件から，
x≧0，y≧0，2x＋y≦8，x＋3y≦9
また，A と B の合計生産量は x＋y（トン）である．
そこで，上の4つの不等式の表す領域を D とするとき，D における x＋y の最大値を求めればよい．

¥2≈+¥=88

領域 D は右図の斜線部分である．ただし，境界線を含む．

≈+¥=55x＋y＝k とおくと，この直線が点（3，2）を通るときkの値は最大になる．

3(3,2)k D
O k

4≈+3¥=959≈

材料 a

材料 b

商品A

3 kg

5 kg

商品B

4 kg

2 kg

成分 a成分 b価格

薬品A

3 mg

1 mg

5円

薬品B

2 mg

3 mg

10円

よって，x＝3，y＝2 のとき，x＋y の最大値 5ゆえに，求める最大値は5トン31 ある商店で，商品 A，B をそれぞれ1kg ずつ作るのに必要な材料 a，b の量は右表のとおりである．ただし，材料 a，b は1日に，それぞれ26kg，20kg までしか使えないものとする．このとき，商品 A，B の1日あたりの合計作成量の最大値を求めよ．

32 2種類の薬品 A，B がある．それぞれの1g について，成分 a，b の含有量と価格は，それぞれ右表のとおりである．成分aを 24mg 以上，成分bを 15mg 以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，薬品 A，B をそれぞれ何g買えばよいか．
●ポイント①

円や放物線が境界となる領域における最大値，最小値を調べるときは，判別式を使う．

②

いくつかの1次不等式で与えられる領域のもとで，1 次式の最大，最小を考える問題を，線形計画法の問題という．

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72 ─第 2 章／図形と方程式
例題 15 絶対値を含む不等式の領域
次の不等式の表す領域を図示せよ．
⑴|2x−y＋1|＞3

解⑴⑵

2x−y＋1＜−3 または 3＜2x−y＋1|x|＋|y|≦1⑵x≧0，y≧0 のとき，x＋y≦1

2x−y＋1＜−3 より，y＞2x＋4

x≧0，y＜0 のとき，x−y≦13＜2x−y＋1 より，y＜2x−2x＜0，y≧0 のとき，−x＋y≦1

よって，求める領域は，下図の斜線部

x＜0，y＜0 のとき，−x−y≦1分である．ただし，境界線を含まない．

よって，求める領域は，下図の斜線部分である．ただし，境界線を含む．

¥≈+¥=1 ¥¥=2≈-24-≈+¥=111O-1

≈-2 O

1-1-2

≈-¥=1¥=2≈+433 次の不等式の表す領域を図示せよ．

-≈-¥=1⑴y≧|2x−6|⑵|x−y＋1|＜2⑶|x ＋y −5|≦4⑷|x−2|＋|y＋1|＞32≈2

例題 16 領域と証明
x ＋y 2≦2 ならば x＋y≧−2 であることを証明せよ．
2不等式 x 2＋y 2≦2 の表す領域を P，不等式 x＋y≧−2 の表す領域を Q とする．

解P は円 x 2＋y 2＝2 の周および内部，Q は直線 x＋y＝−2 およびその上側の部分である．
|2|
原点 O と直線 x＋y＝−2 の距離は， 2 2 ＝ 2 となり，こ1 ＋1れは円 x 2＋y 2＝2 の半径に等しいから，直線 x＋y＝−2 は円x 2＋y 2＝2 の接線である．
したがって，P，Q は右図のようになり，P⊂Q である．

¥≈+¥=-2- 22≈2+¥2=2P-2O-22

≈

- 2Q

よって，x 2＋y 2≦2 ならば x＋y≧−2 である．

34 x ＋y ＜4 ならば x＋y＜2 2 であることを証明せよ．
2235 x ＋y ≦x ならば x ＋y ≦1 であることを証明せよ．
2222

●ポイント
①

2つの条件 p，q について，p，q を満たすもの全体の集合をそれぞれ P，Q とすると，次のことが成り立つ．
「p ⇒ q が真である｣

0042-0075̲1̲高校リード数学2̲本冊̲InD20.indd 72

P⊂Q

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混合問題─ 73

A

1 点 A（3，0）を通り，直線 y＝−2 に接する円の中心 P の軌跡を求めよ．
2 直線 x−2y＋1＝0 と点 A（4，−3）がある．点 Q がこの直線上を動くとき，線分 AQ を 3：5 に内分する点 P の軌跡を求めよ．

3 円 x ＋y −8x−8y＋16＝0 と直線 y＝kx が異なる2点 A，B で交わるとき，弦 AB の中点 P の軌
22跡を求めよ．

4 次の不等式の表す領域を図示せよ．
⑴

y＞

2x−53⑶ （x＋y＋1）（x 2＋y 2−4）＜0⑵x 2＋y≦2，y＋x＞0，y−x＜0⑷xy≦15 次の図の斜線部分は，どのような不等式で表されるか．ただし，境界線を含まない．
⑴

⑵

¥3

¥
32-3O3≈≈O

26-2-3B

6 u，v が u ＋v ＝4 を満たすとき，点（u＋v，uv）の軌跡を求めよ．
227 定数kの値が変化するとき，2 直線 kx−y＋5k＝0，x＋ky−5＝0 の交点 P の軌跡を求めよ．
8 次の不等式の表す領域を図示せよ．
⑴

xy（x 2−y 2（x） 2＋y 2−4）＜0⑵x 2＋y 2−2|x−1|−2|y＋1|≦0

9 2次方程式 x −2ax＋b＝0 が0より大きく2より小さい異なる2つの実数解をもつとき，2点（a，b）の存在する領域を ab 平面上に図示せよ．

10 x，y が3つの不等式 x＋y≧2，x＋2y≦6，4x＋y≦17 を満たすとき，x ＋y の最大値および最小22値を求めよ．

■ヒント

6
8

u＋v＝x，uv＝y とおく．u，v が存在する点（x，y）の範囲に注意する．
⑴

境界線をこえるごとに，不等式の左辺の符号が変わっていくことに着目する．

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74 ─第 2 章／図形と方程式

A
1

2点 A（−3，5），B（2，−4）に対して，次の点の座標を求めよ．
⑴

線分 AB を 2：3 に内分する点 C，外分する点 D⑵

直線 2x−y＋6＝0 に関して点 A と対称な点 A'

2

3点 A（1，6），B（−3，4），C（5，2）を頂点とする⑴

3

外心の座標を求めよ．

⑵

ABC について，次の問いに答えよ．
面積を求めよ．

次の3直線が1点で交わるとき，定数 m の値を求めよ．
x＋2y＋m＝0，x＋3y＋1＝0，2x＋my＋m−9＝04

2直線 2x−y−2＝0，3x−2y−1＝0 の交点を通り，次の条件を満たす直線の方程式を求めよ．
⑴

5

点（2，5）を通る．
次の⑵直線 y＝3x に垂直である．にあてはまる数を求めよ．

原点 O から直線 x＋y−2＝0 までの距離は㋐である．したがって，円 x 2＋y 2＝1 の円周上の点から直線 x＋y−2＝0 までの距離の最小値は㋑である．

6次の円の方程式を求めよ．
⑴

中心が直線 x−3y−4＝0 上にあって，2 点（1，4），（−3，2）を通る円⑵

2円 x 2＋y 2−2y−2＝0，x 2＋y 2＋4x−4y−3＝0 の共有点と点（2，1）を通る円

7

次の直線の方程式を求めよ．
⑴

2
円（x＋1）2＋（y−2）＝13 上の点（−3，5）における接線⑵点（5，2）を通り，円 x 2＋y 2−6x＋8y＋17＝0 に接する直線8

円 x 2＋y 2＝9 と2点 A（1，5），B（−4，1）がある．点 Q がこの円上を動くとき， ABQ の重心 Pの軌跡を求めよ．

9

2つの放物線 y＝x 2 …①，y＝−x 2−2ax＋a−4 …②について，次の問いに答えよ．
⑴

定数aの値が変化するとき，放物線②の頂点 P の軌跡を求めよ．

⑵

2つの放物線①，②が異なる2点 A，B で交わるとき，線分 AB の中点 M の軌跡を求めよ．

10 円（x−a）＋y ＝5 と直線 y＝2x＋b が異なる2点で交わるような点（a，b）の存在する領域を ab
22平面上に図示せよ．

11 連立不等式⑴

x 2＋y 2−6x−2y≦0
x＋2y−4≧0

D を図示せよ．

0042-0075̲1̲高校リード数学2̲本冊̲InD20.indd 74⑵の表す領域を D とする．次の問いに答えよ．
D における x＋3y の最大値および最小値を求めよ．

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章末問題─ 75

B
1

次の⑴にあてはまる数を求めよ．

2直線（a−2）x＋ay＋2＝0，x＋（a−2）
y＋1＝0 が平行（一致する場合を除く）となるとき，であり，垂直となるとき，a＝㋑である．

直線（4a−3）y＝（3a−1）
x−1 は必ず点（㋐， ㋑a＝⑵㋐

通らないためには，a≧2㋒）を通る．また，この直線が第2象限をでなければならない．

次の問いに答えよ．
⑴

3点 O（0，0），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）を頂点とする

OAB の面積は，1| x y −x 2y 1 | と表され2 1 2ることを示せ．
⑵

放物線 y＝−x 2＋8x−18 と点 P（2，4）がある．点 Q をこの放物線上にとるとき，OPQ の面積の最小値と，そのときの Q の座標を求めよ．

32円 x 2＋y 2＝4 …①，（x−5）2＋y 2＝9 …②の両方に接する直線の方程式を求めよ．

42円 x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x−2y＝0 の交点を通り，直線 2x＋y−6＝0 から切り取る弦の長さが6となるような円の方程式を求めよ．

5

放物線 y＝x 2 …①と直線 y＝ax＋b …②について，次の問いに答えよ．
⑴①と②が異なる2点 P，Q で交わり，かつ P，Q の x 座標の差が2となるための a，b についての条件を求めよ．
⑵

点 P，Q における①の接線をそれぞれ l，m とし，l と m の交点を R とする．a，b が⑴で求めた条件を満たしながら変化するとき，点 R の軌跡を求めよ．

6

直線 l：y＝ax＋2 と2円 C：x 2＋y 2＝1，C'：x 2＋y 2＝2 がある．次の問いに答えよ．
⑴

l が C' に接するときの定数aの値を求めよ．

⑵

l が C と共有点をもたず，C' と異なる2点 A，B で交わるような定数aの値の範囲を定めよ．

⑶⑵のとき，C' の弦 AB の中点 P の軌跡を求めよ．
x 2＋y 2−2x−2y−3≦07

連立不等式

8

次の領域を図示せよ．

9（x 2−1）（y 2−1）≧0の表す領域を D とするとき，D の面積を求めよ．

⑴

2a がどんな実数であっても，放物線 y＝（x−a）＋a2 が通らない領域⑵

2
a が1以下のすべての実数を動くとき，円（x−a）2＋（y＋a）＝a2＋4 が動く領域

次のにあてはまる数を求めよ．

X＝3x＋2y，Y＝2x＋y のとき，x＝−X＋㋐Y，y＝2X＋Y である．また，x，y が2つ㋑の不等式 4x＋3y≧5，9x＋5y≦6 を満たすとき，（3x＋2y）＋（2x＋y）の最小値は20042-0075̲1̲高校リード数学2̲本冊̲InD20.indd 752㋒である．

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