〔問〕

昭 和 40 年 度(問題)

午前 の 部
変数 x にdui(t= 1，2，.
.
.
.
.
.
， n 〉の値を与えたとき，そのおのおのに対応する独立な観測値 ytに対する確率変数 Ytの構造式が，母数 α，ιをもって

Yt= ast+4F+ei '〈t=12，・・・・・ ・.
， n)
e2の正規分布 Nで表わされるとする。ここで et はたがいに独立で，平均値 0，分散 σ2

くし ti) に従うも のとする oa，~干の最尤推定量を求めF また，これらが不偏推定量でJあることを示せ。

Z

分散が未知の正規母集団の平場車検定の方法を論ぜよ。

午後 の 部
3.

ある湖水から nI
D!の魚をとり?目印をつけて湖水にはなし，しばらくたって 1匹ずつ捕えてはもとにもどし;印のついた魚がえられるまで続ける占これに要した巨激(最後の回は計.
.
ー.
.
.
.X を算に入れない〉を Xとする。このようなことをm回〈り返して X 1 ，X2.，IRえたとする。これをもとにして湖水の魚の総数を最尤推定法により推定せよ。ただし， この調査中に湖水の魚の生滅はないものとする。
2)， (3)の 5問のうち，いずれか 1問に答えよ。
次の(t). (4︑.︐︐e a︐︐.
・・

次の双対をなす問題 I，lIにおいて，それぞれの可餓を(〈，バ，……，〈〉および (uLu〉 … ， 心 と し た 場 合 ，o0

C.X~+C ♂ +・・・・ +c_x~.
6‑.U~+ .6- AU~ +・・・・+.6‑ u0n‑n =‑1が成り立てば，とれらは最適解であることを証明せん
問題 I 制約条件

al1 X 1十 α12X 2 十・・・・・・+ aIndenzζ .
6‑1'+a 22 X 2+・…・・+ α 2 nX n 手.6‑2'

α 21X 1‑28ー〔問〕
α mlX 1+XamzX 2+・・・・・・ + α mn S n g 4 m ':
5.
三0，.
'.
...，九主主 0とよ 0， X 2t

1のとき ， C 1X 1+CZX 2 +・・・・・・+ CnXn の最大値を求めること。
問題1I rolJ約条件
α lI u l +a21 u 2 +…・・・ +am1 U m ミ C 1 '・・・・・・+
α12 U 1 + α 2 2 U 2+

am2 u m主 C2U̲+・・・・・・ + amnUm二三‑ cnα nu + a ̲2n 2U と 0， U 2とよ 0，・・…・， Um主 0のとき， ‑8:.U. +.s.2.
.
U2+・・・・・+.
s.m̲ Um の最小値を求めること。
.・A(2) m台の自動運転をしている機械の作業状態を考える。これらの機械はときどき故障を起とすので T人の修理工を常時配置しておく。樹寧を起こした機械は 1人制彦理工によって修理されるものとし，修理工の手が空いている限り，直ちに修理が開始される。
修理にかかっている機械が，その修理の終るまでに要する時間は指数分布に従うとし，その平均値をすとする。
また機械が故障を起こす過程はパラメータ ‑Aのポア'.)":/過程をなすとする。
修理を待ら合わせ中の故障機械台数の確率分布を求めよ。

(3) 既知の正激 C~こ対しf r2p(x)dx= c‑ocを満足する密度関数 p(X)のうちで，エシトロビー最大のものを求めよ。

‑29ー昭 和 40 年 度(解答)

午前 の 部
et=Yt‑Gatt‑4は N(O，σ2) に従うので，尤度関数は

Nn[')
L(α ，.
s.
) = (21σ‑n exp{ーすぞ1〈Yt一αxi~.ß. )2 }2 ・ogL( a，必 〉を最大にすれば良いからしたがつもこれを最大にするには lologL(αJ.
6‑)

Z。aa。 =す 6‑=Z̲?

(J ・at〈yt‑Gat‑4〉 = 08logL( ，. s . ) 噌 吟〈Yt‑Gat‑4 〉= 0.
s.

/¥，i F = Y ‑ 8・3ESGa，.s.の最先滋主定量としてY一z一''Wz一一一心一一一ニ
何s:

この連立方程式を解いて，を得るロまた E市 =a.x+必

E~海=

だから

E(xi‑+x)(axi+' .ß.;~ax~ .ß.)Z (at‑s〉2"+.
s.‑a:
ifE
8
り=α$a，.
s.
，となり .li，~は不偏推定量であるoZ

尤度比検定を行なうとよし、題意の母集団は正規であるから，確率密度函数はぬ1 (♂ ‑m)2exp { 一 向2‑}/ 2 π σ zf(x，m，σ勺r;:;‑である。 m は平均値，、(J2 ほ分散である。

標本の数を nとすると，尤度はnL(m，σ2〉= R f〈Xt，m，62)‑30ーJ (Xi一 叶= ( 去 ) exp {一二J
11/2 π σ 2 σ i=1ゐ~ ̲". _L'~

2•/ ¥ 〆¥2である。そこで mとゲとの最尤推定当直 m と σ とを求めてみると， L(m，σ2)を最大にするには，均 L(m， σ2)を駄にすればよいから
ol.
ogL(m，σ2)

ぞ1(Xt‑m〉

omσ2。

。 σZ
早一一う+ことーン。
nlogL(m， 2)(X.:‑m)σ2o2 σ 2(}.の 2つの式から
n‑m(22X，一、Z CX.::-X)~・ 三

nnー:‑27xi である。
・を得る。 XH

ロl=mo とm を固定して L(moさらにx︐︑m︑r'nZ‑‑J+d σ2σn一‑nL

一一dlogL (mo'σ2)σ2)の 最 尤 推 定 値 匂 を求めてみると，2σ4。

を解いてA勾nσ¥=十1: (X:‑ m^γ' 引を得る。
したがって，尤度比八はσ σ一︒
m m一︒
L一L

一一八n(玄 ‑ mn ) 2 、ー子={1+ nJ".
Zl〈Xi一玄)2

十ユ三 }‑7..

{1n‑I‑31ー的ここで，TzJr
νn‑1(玄‑ m ，さらに ι ム》〈.‑Vである。
。
ni‑;lx)n0'"‑̲.

きて平均億円を尤度比により検定するというのは，有意jJ<準 εに対して

Pr. { 八 < A}=εな る 』 を 定 ゐ 標 本 (x1'......，xn)に対する八が八く』であるか否かに従い，棄却あるし怯受容することである。(?婚式より
2

八〈えキ多 T >(ti-1)( えn~ 1)
2で， Tは 自 由 度 刊 の t ‑分布であるから， t0.
.=(n‑1)(An ‑1)とおけば，t‑分布表から eに対応する toの{直が求まる。
はTに点 (x・・・. x̲)、 t。なら受容したがって， mon.，1，…
•.
.n を代入したとき T 豆

T>to なら棄却である。

午後の部
3.

Xが従う分布法則は，魚の総数を Nとすれ品

ヱf(x;N)= (1一三土)
X L・・・・・・・・・・・・・・・・…・NN(1)今大きさ m の標本 ( X1，X 2，..…・， xm ) ζ
1 対し尤度軍撤L(N)=f(x1 ;N)・f(x2 jN)…...f(♂ m;N)を考える。これは ( X1，x ，.
.
，・・・， X m ) を固定すれば Nの函数と考えられる。この2/ ヘ 、 . / ¥功。を最大にする N=Nが存在したとき NをNの最尤推定量という。とれは次の方程式の根として求められる。

elogL(N)
8N~Z

= 01i
=
l j(xi;N)'ef( i;N) = 0 ・・・…・・・・・・・・・・・・♂

aN‑32ー(2)

M
一nIXn Nqy一︑arJ︐︑
J‑w

伊rt+rEzt

一︑n1NN一ー2nIaN

一がjCx;N)nIoj(♂ ;N)

xη入づN

fk

一一1xh一N

3一一一N一円
一N免一υ︒
円
一fk
JJ(1)より、rnt=ーーでァ iー ム Cx+1 )‑1 J・・・・・・・・・・・・一二土 N
N(3)(3)を(2)に代入

aj(x.:;N)mZ

̲z，̲̲̲

aNf(勺 ;N)N，n.

m、= 一一一一{ーーム CEx...+m)‑m}=oー
こよ N i=1.
1Nn，m

/¥

ー犬 (]J x.:+m )‑ m = 0

C Nは L仰を最大にする Nの値〉

N i=1
人n.

ノ、

mn.+̲̲4 X.:N1司m i::l4.(1)A(m× n〉=〈 a.
.
〉， U〈1× m 〉=(Ul，uf....， um，〉~J

C(1xn)=(c1，C2'・・・・・・，CD)'，B(mx1)= (.
o‑1¥ とすれば，IX ̲ ¥I.
o‑2 I
1 ‑2 I

X(nx 1)= jX1¥t・・、・・・'z
4¥4ノXn/mA X孟 B，Xミ 0のとき

C Xの最大化問題 Eは U A
ミC，

U主 0のときU sの最小化の問題となる。

問題 IはX，Uを可能解とすれば，

cx孟CUA) X=U(AX)手 U BOO
したがって， C X = UOsミ cX， U B = CX0 孟 U s だから，‑33ーuo，xoはそれぞれ最適解となる。
(2) いま ， n台の機械利下業をしていない此態をEB で表わす( 1<n:S;:m)。

この状態では T台の機械利彦理にかかっており，残りの (n‑r)台は修理を待っているわけである q(t， t+h)の間での状態の変化を考えると(i) En̲1→ En の確率は (m‑n+1)台の中から 1台の甜寧の生ずる確率だから(m‑n+1)
え h+ o(h)，(ij) En → En の確率は1ー{(m‑n)え +(n，r)μ}h+o(h}【同 r)。 →min (同 γ 〉i) En+l En の確率は 1台の機械の修理が終了する確率だから(n+1，r)μ h+o(h) となる。

hにおける状態を比厳して，つぎの関係式が得られる。
したがって tと t+.
pn〈t+h〉=〈 m‑n+1〉式 h Pn̲t(t)+ (1ー{(m‑n)え+ (n，r)μ}h)Pn(t)+(叶 1，r)μh Pn+l(t)+o(h)ここに PR(tM時間 tにおいて En の状態が起っている確率を表わすものとする a
したがって， t~ で定常状態になっていると考え，そのときに Ea の起こる確率をPn とすれば，上の関係から{(m‑n)え +(n，r)μ}Pn‑"(m‑‑‑n+1)式 Pn̲1+(n+1，r)μPn+l・・・・(1)となるが，とくに n=Oのときは、 E̲l という状態はないから
m 式Poμ P1 .
.
.
.
.
.
.
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)となり，したがって，Pn

一一←)Dm(m，.
;1)・・・・ (1n‑n+1) ~'J ，'̲P0n，m(m‑1)
・・・・ (m‑n+1) .1.nPn

γn‑γ，rそ会)
DP0(n孟 γ 〉¥(n>γ 〉

‑34一¥¥mとなる。ここに lJ Pn=1 なるように Po を定める。
n=O(待ち合わせが起こるのはn>γのときで，そのときの待ち合わせ台数は( n‑r)台である。したがって平均待ち合わせ台数はmm v = Z (n‑p〉Pa~rとなる。〉(3)(変分法〉変分法によれば

fpj(♂ p)dx

n個の付帯条件
C 0nst.

J(j=1.
2，・・・・， n)のもとにJ = f!(x，p) dxの極値(停留値〉を求めたいという場合，ラグラ y V'ュの乗係数え l' A2' ・・・・， dnを用いて

F= f一え 1f}
l ー え 28
‑2 ー・・・・ー An g‑nとおき，8F‑
一
一o8pを付帯条件〈および境界条件〉のもとて解けばよし、とのとき，。
f 。
一
一
一2FJ品

孟P‑ .
.
.
.
.

が負(または正)なら応j
ミめる{直は極対直(または極小値〉になる。
(解〉

いまエ Y トロピーを Jと書〈と，∞1

一∞p(x)

J=f 内)log‑‑. dxとなる。ここで対数は自手紙す数を用いる o‑35‑このとき，付帯条件は

f X 2P(x)dx = c• ..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
..
.
.
.
.
..
.
.
、.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
・・(1)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…....…一・・・・・・

(2)

および
00

f p(x)ぬ‑00となるから，ラグラシジュの乗係数を A，P.としてい)均お ‑Ax pCx)‑
p.p(X)
2とおき，

8F‑ =‑1.‑1ogp(吟ーぇ J‑p = 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (3)8pを解けばよいことになる。
式(3)より直ちに

e‑1‑‑tl e‑lX2pCx)2)に代入するとこれを条件 (00• ̲̲2e‑'‑
1‑" f e‑ 4A.

dx

帽〈到Dとなるー従って Aは正数でなければならなし、
一方，正規分布に関する公式
今︐at‑2

一二ご f e、ー∞/2πdt = 1に対し，積分変数変換

atAUV
ト AR

一つ'‑れ γ=いいをす
施

Aζ e‑

1X2dx = 1‑36‑'‑

と怠るととiJlt.ら

p(x)=

〆子 e‑

l%となる。これは平均値 0の正規分布にほかならない。

) は分散 Cの正規分布であることになる o
よって条件(1)により . pいく匂一げとの場合，式(8)の内容からとなるので，エシトロビー Jは2x一日p~)= yfiτeのとき最大となることが判る。

‑37ー