日本ソーシャルデータサイエンス論文誌
第 5 巻 第 1 号（2021 年 3 月）

K 値を用いた COVID-19 の感染状況のマクロ解析
中野 貴志†1
概要：新型コロナウイルスとの戦いにおいて，人的および経済的損失を最小限に抑えるために，COVID-19 感染拡大の変化を迅速に検出し，正確に将来を予測する方法を確立することが極めて重要である．本稿では，感染拡大率を示す新たな指標として K 値を導入し，それを用いたマクロ解析により，日本における COVID-19 の感染拡大および収束の特徴を浮き彫りにする．本研究が，新たな感染の波に対する効果的な対策を考える際の一助となれば幸いである．
なお，本論文は，同名のタイトルで日本応用物理学会の特別 WEB コラム「新型コロナウイルス禍に学ぶ応用物理」で発表した記事に第 2 波以降に得られた知見を含めるために加筆修正したものである．
キーワード：新型コロナウイルス，データ活用，モデル分析

領域（0.25 < 𝐾 < 0.9）でほぼ直線的に推移する．このとき，

1. K 値の導入a

𝐾 値の 傾き𝐾′ と減 衰定 数𝑘 の間に は，近 似的に 𝑘 = 1 +COVID-19 の累計感染者数 𝑁(𝑡)が指数関数的に推移す

2.88𝐾′の関係が成り立つ [2] ．

ると考えよう．ただし，純指数関数的な増加が永遠に続く𝐴(𝑑) の一定減衰は，当初は仮定として導入されたが，そことはありえず，一つの流行は，さまざまな理由によりどの後多くの国や地域の解析により，観測事実として確立しこかで頭打ちになる．あるいは状況の変化によって感染のつつある．
累計感染者数の時間発展が一定減衰に従うとき，再拡大もあり得る．このような時間依存性をあらわに取り実データの解析と将来の予測の手順は以下のとおりである．

入 れ る た め ， 𝐴(𝑡) を 微 分 可 能 な 関 数 と し て ， 𝑁(𝑡) =𝑡′′

𝑁0 𝑒 ∫0 𝐴(𝑡 )𝑑𝑡 と表す．我々が知りたいのは𝐴(𝑡)の時間依存性であるので， 𝑁(𝑡)の対数の微分をとればよい．値域を１以下に制限するため，分母のとり方に工夫はあるが，時間の単位を経過日数（𝑑）とし，微分 COVID-19 の感染拡大の典型的なタイムスケールである 7 日で差分に置き換えたものが𝐾値である [1]．

𝐾(𝑑) =

1. まず累計感染者数𝑁(𝑑)の推移から𝐾(𝑑)を求める．
2. 𝐾 が直線的に変化している領域をフィットして傾き𝐾′を求め，その値から𝑘を計算する．
3. 漸化式を用いて将来の𝑁(𝑑)を予測する．日々の新規感染者数は𝑁(𝑑) − 𝑁(𝑑 − 1)で与えられる．

3. K 値解析による施策の評価

𝑁(𝑑) − 𝑁(𝑑 − 7)𝑁(𝑑 − 7)=1−𝑁(𝑑)𝑁(𝑑)この導入からもわかるように𝐾値自体にモデル性はなく，感染拡大率に対する単なる速度計である．𝐾が一定の値をとるとき， 𝑁(𝑑)は純指数関数的に増加する．例えば，𝐾 =0.5ならば，累計感染者数は 1 週間に 2 倍のペースで増加を続けることになる．

2. 一定減衰仮定
世界に先行して感染が拡大した中国の累計感染者数で

図１ フランスにおける𝐾値の推移

求めた K 値の推移を観察すると，経過日数の関数として一定の傾きで直線的に推移していることがわかった．これは𝐾値を用いることにより，感染者数推移の予測，感染再拡指数係数が一定の割合で減衰していることを示唆する．そ大の兆候の検知などに加えて，施策の評価が可能になる．

こで，𝐴(𝑑)が 1 より小さい公比𝑘で，施策が感染収束スピードに顕著な影響を与えた例として，
図１に示すのが，フランスの𝐾値の推移である．感染拡大初𝐴(𝑑) = 𝐴0 𝑘 𝑑−1 𝑑期では，傾き𝐾′が－0.015/𝑑であったが，3 月上旬のロックダウンの効果が現れ始めた 3 月下旬には−0.026/𝑑となり，のように減衰すると仮定すると𝐾値はその値域の大部分の†1

大阪大学（連絡先：nakano@rcnp.osaka-u.ac.jp）ⓒ2021 Japan Social Data Science Society

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ロックダウンにより感染収束スピードが増加したことが分には他の多くのアジア諸国と同様，強い自然減の傾向があかる．4 月下旬以降も一定減衰仮定の下で求めた予想線にることもわかる．時期的に効果があった可能性がある 3 密

沿って𝐾値が推移しており，長期間にわたって一定の感染回避についても，単なる密集は感染拡大や収束の遅延を招収束スピードが維持されていることがわかる．このロックかない可能性が高い．図 3 に示すように人口密度上位 7 都

ダウンによる不連続な𝐾′の変化は，ドイツ，英国，イタリ府県とそれ以外の府県の𝑲値の推移に差はなく，感染の波アなど多くのヨーロッパ諸国で共通に見られる現象である．の高さは感染拡大初期の感染者数でおおよそ決まっていた

また，程度の差こそあれ，対策を講じる前の感染初期でもことが分かる．

自然減の傾向にあること，つまり，傾き𝐾′が負であることも各国に共通する．

4. クラスター対策について
COVID-19 という潜伏期間が長く，無症状の感染者からも伝染する非常にやっかいな敵と戦うには適切な対策をタイムリーに打つことが重要である．英国での感染拡大初期に集団免疫の形成という悪手を打ったばかりに医療崩壊の危機を招いたのは記憶に新しい．一方，隣国の韓国や台湾
では徹底した検査と追跡による感染者と感染予備軍の同定と隔離という手を打って，𝐾 ′ = −0.052/d（台湾），𝐾′ =－0.082/d（韓国）という驚異的なスピードで感染を封じ込めた．
日本に新たな感染の波が到来したとき，どのような対策が効果的であろうか？

そのヒントとなる事例が大阪にある．図 4 は，大阪における 2021 年 3 月の𝐾値の推移である．
図 2 日本における𝐾値の推移

大阪では市内の４カ所のライブハウスでクラスター感染が起こったが，ライブハウス側の協力を得て店名を公表し，一方，日本における𝐾値の推移は極めて安定しており，図 2

イベント参加者の特定，追跡，陽性者の隔離を行ったことに示すように，ヨーロッパのいくつかの国で見られたようにより，急速に感染収束に持ち込んだ．3 月初旬から中旬

な社会活動の制限などの施策による感染収束速度の増加はにかけての感染収束期の𝐾′の値は－0.066/𝑑である．ちなみ見られない．4 月 3 日から 24 日にかけては，傾きが−0.028/𝑑に３月下旬から４月初旬にかけての𝐾値を見ると0.5に張の直線でよく近似され，それ以降も𝑘 = 0.92の場合の線にり付いているように見える．これは１週間で倍増のペース沿って推移している．大阪府から提供されたデータによるであるが，収束に持ち込んだ中国・武漢発の第 1 波と欧米と，陽性確定日と推定感染日の間には約 2 週間のタイムラ

由来の第 2 波を分離しなかったことに起因する人為的な見グがあるため，3 月中旬以降に実施された施策や対策は感かけの現象である．

染収束スピードの変化にほとんど寄与しなかったことがわかる．また，𝐾′の絶対値がロックダウン後のヨーロッパ諸国よりも大きいことから，日本での COVID-19 の感染拡大

図４

図 3 日本の人口密度上位７都府県とそれ以外の府県の𝐾値と累計感染者数の推移ⓒ2021 Japan Social Data Science Society

大阪府における武漢発第１波による𝐾値の推移

5. 第 2 波以降の感染流行状況の特徴について
第 1 波では，武漢発の流行が完全に収まる前に欧米発の感14

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染拡大が起こったが，後者が前者に比べ規模が桁違いに大響から脱した後，2 月下旬までは一定の減衰率でベースラ

きく，また後者が始まった時期が全国でほぼ同時だったた

インに近づく一つの波でデータが再現可能である．2 月下め，全国的に同期する一つの波として取り扱うことができ

旬から 3 月上旬にかけて発生した新たな感染拡大は，減衰た．第 2 波以降については，流行の開始時期や強度に見ら率が今までと変わらないと仮定すると 4 月上旬にピークをれる大きな地域差とピークを過ぎても感染が完全に収束せ迎える．感染日から陽性報告日までの約 2 週間のタイムラ

ず一定数の新規感染者が定常的に発生する状況が続くこと

グを考慮すると，2 月 28 日の緊急事態宣言の解除が感染拡（ベースラインの存在）が特徴である．図 5 と図 6 に大阪大を引き起こした可能性は低い．より感染力が強いとされと東京の新規感染者推移を一定減衰仮定の下，ベースライている変異株の影響については，現時点では判断できない．

ンの自由度を加えて解析した結果を示す．東京都のデータ

感染力が強くなると自然減の傾向が弱まり，当然のことなからは，第 2 波の発生源であり，他の地域とは極めて異ながら感染者数は増加するが，感染力の増大に伴う減衰率のる流行推移を示す新宿区のデータを除いた．

低下（𝑘が 1 に近づくこと）はピーク時期の遅延に，より明確に反映される．今後の流行状況の推移を注視したい．

図5

大阪府における第 2 波による新規感染者数の推移
図7

大阪府における第 3 波による新規感染者数の推移．
（緑色の線は直近波を構成する 2 つの部分波の成分である）6. むすび
𝐾値の推移を紐解くと，日本では COVID-19 感染が当初から欧米よりは大きな一定の減衰率で収束に向かったことがわかる．緊急事態宣言に伴う社会活動の制限や自粛は，経済や教育に対する影響が甚大な割には効果が見えない．
因果関係と相関関係の区別を科学的なエビデンスに基づいて行い，焦点を絞った真に効果的な施策を実施することにより，感染拡大防止と経済活動のバランスを取る必要があ
図6

東京都における第 2 波による新規感染者数の推移（感染拡大の発生源であり特異な流行推移を示す新宿区のデータは省いた）るだろう．検査体制が強化された第２波以降に顕著になった一定のベースラインの存在を考慮すると，ゼロコロナを実現することは，たとえ多大の経済的損失を覚悟しても，

図 5 と図 6 を比較すると明らかなように，3 つの部分波の達成が困難であると推定される．人の命を守るという原点

相対的な強度の関係は大阪と東京で大きく異なり，発生時に立ち戻れば，今後も発生が続くと予想される大規模なク期についても最初の 2 つの部分波については東京が先行しラスター感染が病院や福祉施設で起こらないようにする工ていることがわかる．またベースラインについても東京と夫や対策が必要であろう．

大阪の人口比の1.6で基準化しても東京の方が約 2 倍高い．

参考文献

ベースラインの高さは地域差が大きく，東京を含む首都圏で高く，大阪を含む関西圏で低いという傾向が第 3 波においても観測されている．
最後に大阪府の第 3 波の新規感染者数推移を図 7 に示す．
大量の自主検査による正月明けの新規感染者数の突出の影ⓒ2021 Japan Social Data Science Society[1] Nakano, T. and Ikeda, Y.: “Novel Indicator to Ascertain the Status
and Trend of COVID-19 Spread: Modeling Study,’’ Journal of
Medical Internet Research, Vol. 22, No. 11, e20144 (2020).
[2] Akiyama, Y.: private communications,
http://www.bi.cs.titech.ac.jp/COVID-19/The_K_indicator_epidemic_model_follows_the_Gompertz_curve.html

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