昭和62年1月12日
数I一…・……・1

数

学

I

（問題）

1．11111］／l11！／1111111111／ll。（1111，l111）
ω

確率変数Xの密度関数が，／同一営11：；1二：：（C1定数，仙3以上の．自然数）で与えられるとき，Cおよび到X〕を肌を用いて表わすと，①C＝□，②珂Xト［二二コである。
12〕円弧上に固定された点Aを端点とする任意の弦AXが111に内接する正三角形の一辺よりも短くなる

111二111．
6組の夫婦の中から3人の委員を選ぶとき，委劇の中に夫婦がいない確率は［二二二コである。

13〕14〕確継数舳一・，・，・1・〕が互いに独立で，正規分布M（μ、・）にしたがうとき，x十ル ￨什ルの分散は［二二］である。
15〕P1川＝O．51P｛■4U別＝0．6で①λ，Bが腓反であるとき，P1例＝［二二コ！l，111111111，1111二③P1川B〕＝04のとき，P1別二□㈲φωは平均μ・分散σ，の確率変数Xの積率母関数とす糺ここで，ψωをψω＝1・gφωで定義すると1・壬州1．一を1，σ・で表わせは各州し一［コ戦ただ！，舳一・の近傍で存存するものとする。

17〕連続型確率変数xの密度関数を∫何とするとき、確率変数γ＝lxlの密度関数。ωは，・1ト／←ll；：二：：18〕⑨

2つの確率変数x，γは、mx＋nγ＝。を満足する。ここに，mln・・は定数で，m〈o、πく。である。

舳11111コlll。

さいころを3回振るとき、出る目の数の合言≒が6になる確率は［二二二コである。

虹⑭

ポアッノン分布P（X＝此〕ヨ。一命（κ＝O．1，2，11111コlll。

一1一〕の①平均は□、②分散は［二二コ，③積数1…

2．成功の確率がパ。くpく1〕のベルヌーイ試行列を考える。第1回から連続した同一緒

ル1〈
58F3…

果が跡れると，つぎはそれまでと異なる結果が現われる。この新しい紬粟が連続して現・われる回数を確率変数X．とするとき，列X〕、ylX〕を求めよ。

（20点）

・2

x＝一55チ〉5．．．

3．Xが正規分布W｛μ，σ，〕にしたがうとき，o≦x≦bの条件のもとでXの平均を，o，b，F同，∫同を使って表わせ。ここに，F同、∫同はそれぞれ川μ，σ2〕の分布関数および密度関数である。

（20点）

4．Xl、．一・x皿はすべて平均μと有限な分微σ一を持つ独立条件のない確率変数列とする。π→ooのとき

招叫ル・であるならば，任意のε・・に対！て…のll・／卜十手1ト十・が成立することをチェビシェフの不書式を∫11いて言正明せよ。

一2一（20点）

数学■（解答例）
1．

（1）∫，㌣（・）…1だから∫，そ・・・…［一・／（・一1）・・

一n1マ…（・一1）・1．

Dc＝n・1．

またEX・r…／・nd・・［・／（2小・2．n1τ
＝c／（n−2）＝（n−1）／（n−2）．

（2）右図より求める確率は2／3．

A（3）余事象は、委員が一組の夫婦と残り10人申一人という組合せだから、その場合の数は6C1・10C1通り。また委員の選び方は12C3通りあるから、求める確率は1−6C1・1oC1／12C3・8／11である。
（4）各Xiが独立でVar（X量）・2だから、Var｛（X1＋X2＋X3−X4）／21｝＝

二｛1Var（X1＋X2＋X3−X4）｝／4｛Var（Xi）十Var（X2）十Var（X3）十Var（X4）｝／4

二2．
（5）P（AUB）・P（A）十P（B）一P（A（B）であるd①A，Bが排反ならO．6・O．5・P（B）一〇．

．

P（B）＝O．1②鳥，Bが独立ならO．6・O．5・P（B）一〇．5・P（B）．

．

P（B）＝O．2．

．

⑧P（AlB）・P（B）＝P（A（B）であるから、P（AlB）＝O．4ならO．6＝O．5＋P（B）一〇．4・P（B）

一3一．

．

P（B）＝1／6．

（6）Ψ（t）＝φΨ（t）・（φ．

Ψ（O）・（φ（（t）／φ（t）（t）φ（t）一φ（t）2）／φ（t）2（O）φ（O）一φ．．φ（O）：1，φ（0）：EX，（O）2）／φ（O）2

φE（X2）一（EX）2・σ2（O）：E（X2））（7）Xの分布関数をF（x）とすると
P｛lXl≦y｝＝P｛一y≦X≦y｝：F（y）イ（一y）だから
g（y）：（F（y）一F（一y））：f（y）吋（一y）．（y≧Oのとき）（8）Y＝一㎜／n・X＋cだからY−1…：Y＝一m／n・X＋c一（一m／n・EX＋c）＝

一皿／n．（X−EX）

ρ（X，Y）：E｛1（X−EX）（Y−EY）｝／｛1Var（X）Var（Y）｝1／2：E｛一m／n・（X−EX〕2｝／｛Var（X）Var（一㎜／n・X＋c）｝1／2＝

一皿／n．Ψar（X）／〔㎜2／n2．｛Var（X）｝2］1／2＝

一1．

（9）出る目の和が6になる場合の数は、次の10通りである。
（1，1，4）（1，4，1）（4，1，1）（3，1，2）（3，2，1）（2，2，2）（1，2，3）（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）

一方、全ての場合の数は63通りあり同様に確からしいと考えられる。
従って、求める確率は10／63・5／108である。
ここに括弧標記は（ユ回目の結果，2回目の結果，3回目の結果）とした。

（10）①Poiss㎝分布の平均はλ②Poisson分布の分散はλ一。o⑧Poiss㎝分布の積率母関数はΣexp（θk）exp（一λ・λk／k！）k：Oo◎・exP（一λ）・Σ1λexP｛exP（θ）｝〕k／k！

k＝O＝exP｛λ（exP（θ）一1）｝

一4一2．α・k｝という事象は、『初めから何回か成功が続き失敗がk回繰返された後成功する』事象と、『初めから何回か失敗が続き成功がk回繰返された後失敗する』事象という二つの擁反事象の和である。
従ってq・1−pとすると、◎ooo◎o◎oP（X・k）・ΣPjqkp＋ΣqjPkq・P2qkΣPj＋q2pkΣqj．
j：1

j＝1

j＝O

j＝O・P2qk／（1−P）・q2pk／（1−q）・P2qk−1・q2pHoo◎o◎◎EX・Σk（p2qk一ユ十q2pk−i）・p2Σkqk−1＋q2Σkpk一ユ
k＝ユk：ユ〔｛ユ／（1−q）｝のマクローリシ展開を微分、｛1／（1−q）｝

k＝1・1／（1−q）2］

・P2／（1−q）2・q2／（1−P）2・2．

次に。。

Var（X）・E（X）2一（EX）2・Σk2（p2qk一十q2pk−1）一4k＝1◎o＝二…：｛k（k−1）十kl｝（p2qk−1・1・q2pk■1）一4

k：1
oo◎o・EX−4＋p2qΣk（k一ユ）・qk■2＋q2pΣk（k−1）・pk■2
k＝2
k：2［｛1／（1−q）｝のマクローリン展開を2回微分、｛ユ／（1−q）｝

・2／（1−q）3］＝2−4＋2p2q／（1−q）3＋2q2p／（1−p）3：2（q／P・1−p／q−1）・2（3p2−3p・1）／｛p（1−p）｝．

3．

P｛X≦xla≦X≦b｝＝P｛a…≡≡X≦x｝／P｛a≦X≦b｝
・｛F（x）一F（a）｝／｛F（b）一F（a）｝…（a≦x≦b）

従って、a≦X≦bの条件のもとでXのもつ密度関数g（xla≦x≦b）はg（xla≦x≦b）・f（x）／｛F（b）一F（a）｝である。

一5一・（・1・・…）か（・1・・…）・・・1・（・）一・（。）1−1伽。）・。…①
ここでf（x）ぱN（μ，σ2）の密度関数だから、σ2・f（x）：〔σ／（2π）i／2・exp｛一（x一μ）2／（2σ2）｝］＝一（x一μ）／｛（2π）i／2・σ｝・exP｛一（x一μ）2／（2σ2）｝：μf（x）一xf（x）の成り立つことが分る。従って、①一㈹一。（、）｝一・・点、・（、）一σ・…（。）／・。
・（F（b）一F（。）1−1・［μF（。）一σ・・f（・）1二・μ一σ2（f（b）一f（a）｝／｛F（b）一F（a）｝．

n4．Var（X1＋…十X。）・ΣVar（Xi）十2ΣCov（Xl，Xj）
i：1
i〈j＝nσ2＋2ΣCov（Xi，Xj）
i〈jE｛（X1＋…

十Xn）／n｝＝（EX1＋…

十EXn）／n＝μVar｛（X1・・…X、）／n｝・｛Var（X、・・…X。）｝／n2

ここでチェビシェフの不等式は、確率変数Xが平均m，分散s2〈・oを持っとき任意のk〉Oに対し
P｛lX−ml〉ks｝≦1／k2が成り立つことを示す。（X1・・…X。）／nにチェヒ洗フの不等式を適用すれば
P｛1（Xl・・…X。）／n一μ1〉k・Var｛（Xエ・・…X。）／n｝1／2｝≦1／k2…①が成立する。kは任意の正数だったから
ε＝kOVar｛（X1＋．．．十Xn）／n｝1／2とおくと、①式は任意の正数εを用いた式に変形されてP｛1（Xビ…・X、）／ザμ1〉ε｝≦Var｛（X1・…・X。）／n｝／ε2

・（σ2／n＋2／n2ΣCov（Xi，Xj）1／ε2→O（n→ooのとき）
i〈j．．

氏ｨ・・のとき仮定より

1／n2Σdov（Xi，Xj）→Oかっ
i〈jσ2〈ooより

σ2／n→O

一6一