1990年12月19日
保険数学1I…．一1

保険数学1（問題）

1．次の（1〕から（1冊）までについて、それぞれ五つの選択肢の中から正しいものを一つ選んで、所定の解答用紙にその記号HA〕からlE〕のうちいずれか一つ。〕を記入せよ。

．

（50点〕

（1）元金1を投資して利殖する船・年後の利力を町如1・は定数〕として・・が増大するにしたがって終価はe莇に近づくものとするとき、t≡100の終価に最も近いものは次のうちどれか。

工A〕e4・oω〕e3・o｛C，e3・2｛D工e2I■｛E〕e2．4（2〕30年間の年1回期始払確定年金を考える。最初の10年間は年金額1、次の10年間は年金額1．5、最後の10年間は年金額2とするとき、年金開始から30年後の年金終価に最も近いものは次のうちどれか。但し、i；0・05とし・必腰ならO＋iジ。
；1．62889を用いよ。

lA〕91

｛B，92

（3〕μ、宮x｛C〕93

｛D〕94

｛E〕95

，のとき、p、に等しいものは次のうちどれか．

a■X㈹a…事，r・〕、…茄，一・〕1島・121・l11三筆妾；ゾ田、睾、・

14〕xからx＋1まで死亡が一隼間を通じて一様に発生するとき、冒、、¶・⊥」lδδq、・口1なる．1の口1等！いものは次の1ちどれか。

vd

vd

vd

dv

vd

㈹万一τ一Bけ・万一C〕万・■万｛D〕万■万一E）τ・十τ｛5〕n年満期養老保険（保険金即時払、保険金1〕において死亡保険金は利力δ（一定〕で満期時まで据置くものとする，死力をμ（一定〕とするとき、満期時における受取額の平均値（期待働に等しいものは次のうちどれか・㈹μe芸幸1e仙1・〕δe一＾…幸芸e一山0（・〕δe岩e仙1・1δe芸≡差e一一0例μ携0（6〕終身保険1保険金期未払、保険金1〕の終身払込年払鈍保険料をP・とす孔今・この予定利率とx歳からの予定死亡率にによれば、最初のm年間は3P・、その後の終身間はO．5P・を年払純保険料として払い込むことができるという。
このとき、m年短期払込年払純保険科・P量に等しいものは、次のうちどれか。
｛A〕

4．OP．

｛B−4．5P、（7〕i；0，055，D・・；19622，N
｛Ai

3．5

工B〕

｛C〕

5．0P、

｛D〕

5．5P．

＝336587，S舳＝50167蝸のとき、

3．O

｛C｝

4．1

｛D〕

l

4．4I

lE，A〕

6．0P，の値に最も近いものは次のうちζれか・｛E工4．7（・〕・・年満期で、鮎徽年度の死醐寸として、知徽鞭縮騨備金・V・の合1＋額をその鰍年度末に支払う徽を考える。年払鈍保険料百・＝0，025、・V、＝0．2845、・V・；0．32州、i＝0，055とすると、q．Mの値に最も近いものは次のうちどれか。
｛A−O．00966

B〕0．00969−C〕0．00972−D〕0100975−15一｛E〕O．00978

｛果険萎史彗圭1・・（9〕終身保険｛保険金期末払・保険金1〕について、

lV、＝0，005および1V、、1＝O．006のとき、・V，の値に最も近いものは次のうちどれか。
｛A〕

O，009

｛B，

0，010

｛C〕

O．01I

lD〕

0，012

工E〕

O．013

110〕A川！吊司、・V・1句および乞・川向を、契約時からt年を経過した時点での、それぞれ残りn−t年間におけるある保険取引の現価を表わす確率変数（保険取引の発生確率は、q。＾、1Iq，＾、。一q量。、、……、．．。．1■q，、。、皿．。p，、、で与えられん）の平均値とみることができる。このときそれぞれの確率変数の分散を。㍉A、、・、同〕、o2山、，日1、およびo31a、＾、F司〕で表わすものとすると、次のうち正しいものはどれか。
lA〕o2｛A、＾＝同｝≡d■202峰

い同，｛B〕o2｛山，，司〕＝（d昌、、、、同1−202−A、、、、同〕一C〕o2｛〃■；日ジ｛1−A■！司，2呈。2｛A■＾！同，｛D〕o2一、V、，d＝o2−A、。、、同1一｛P，、司〕2・o2崎、．。、同，lE〕d2・o2｛y、，司〕昌｛｛P，、司〕3＋d2｝・ol｛A、、t、同工

2・m1正整蜘が与えられているとき、第t保険年度O≦t≦n〕の死亡には保険金看司をその年度末に支払い、n年後の生存には保険金旨祠を支払うn年満期の保険において、一時払純保険料は、

iポA川司一A・1司〕と表わされることを証明せよ。ここにA州は予定利率1による養老保険の一時払純保険料率で、d＝ 1 とし、A、司一十iは他の予定利率による養老保険の一時払鈍保険料率である。

3

（25点〕

x歳加入・n年治期・保険料全期払込で、次の①から③の給付を行う保険を考える。
①災害による死亡には、その死亡時に保険金1．5を支払う。

②災害以外による死亡には、その死亡時に保険金一t を支払う。
ntは死亡時までの経過年数で年末清の端敏は切上げる。〕③満期まで生存したときは、満期保険金1を支払う．

この保険について、次の間に答えよ。但し、予定災害死亡率qは年齢によらず一定とする．

t1〕年払平準鈍保険料を求めよ。
12〕将来法および過去法による純保険料式責任準備金をそれぞれ求め、それらが一致することを証明せよ．

一16一125点〕…2

保険数学1

（解答例）

設問番号

解答棚

（ユ）

㈲

（2）

lD〕

（3）

（D）

（4）

ぴ）

（5）

（A）

（6）

（C）

（7）

㈲

（8）

㈲

（9）

（C〕

o①（C〕

1．

正解は上表のとおりであるが、以下問題を再掲するとともに解法を略記する。

2（1）元金1を投資して利殖する場合，t年後の禾肋を（左は定数）として，f5（1斗虹）2

理が増大するにしたがって終価はe25に近づくものとするとき，t＝100の終価に最も近いものは次のうちどれか。
い）。

（B）εlC）。ユ21D）。舳1E）・加（答）（B）∫一…（1；1利il15（、も、）。必）（題意より）

一…

^ξ［一夫・1点、1；1一…

P嘉（11ム、）1一…

い・・（嘉）一・器（題意より）

工O

走呈一

99

舳瑚

^5缶（1、、±、。。）／
99

3艶O コ．60コ2f57：em99≒θ

99
3．6

幸e一17川（2）30年間の年1回期始払確定年金を考える。最初の1O年間は年金額1，次の10年間は年金額ユ．5，最後の10年間は年金額2とするとき，年金開始から30年後の年金終価に最も近いものは次のうちどれか。ただし。トO．05とし，必撃なら（1＋｛）Io＝1．
62889を用いよ。
｛A）

91

（B）

（答）

（D〕

92

（c〕

93

（D）

94

（E〕

95

求める終煽＝舶（1＋｛）20＋1．5∫洞（1＋ゴ）10斗23祠』州（1＋一）Iし1｝［1（1・！）・1・・1・（1・1）…1

一105（1 D6 P189一王）・1（1・・…）・・1・・1・・・・…1（題意よ1）＝93．722829（3）μ戸工2のとき、ルに等しいものは次のうちどれか。

o一工μ）0− P…圭1）2㈲、．ぼ，）。1・）1。．ぼ1），ド（・〕／1篶／一1・）。告（答）（D）

ルー…／−llμ刈

一…

一…

^−ll＋Iμ利^−1＋I古川（題意より）

P［去・・（1−t2）ll＋l／
一…

一／0李圭1）2ド

一／1篶1ド一18一

ωエからエ十1まで死亡が一年間を通じて一様に発生するとき，

乙1・1−1切［コと帆この［］こ等しいものは次の1ちどれヵ㌔リい）

d
δ2

δ

リ
a（B） 十δ

v

6

δ2

δ（C）

δ2｛D）

6

リ

δδ2｛E）

リ
δ2

十d

δ

（答）ω

乙¶一11伽一11ノ（1一州一11ノ（1一ポ伽）・（題意より）

一時11一価1［昔11−1細／一／1・1）一ψ1＋［（、。叢）・lll
一÷一÷・如1書・リ毒1／一芸芸・伽（芸多、）（5）η年満期養老保険（保険金即時払，保険金1）において死亡保険金は利力δ（一定）で満期時まで据置くものとする。死力をμ（一定）とするとき，満期時における受取額の平均値（期待値）に等しいものは茨のうちどれか。
Cへ〕μe・十δ〆μ｛B）

δe−5峠μグ岬 （C）

μ十δ（D）

δe川一μグ6H
δ一μδe1しμe6

μ十δμε（δ一■）■
（亘）

μ十δ

（答）（A）

求める平均値一1；仏・μ・・5同科仏一1；1グll

1μ・・｛同・・グ1；一刈；1州糾・1
一19一

δ一μ

：μ・一（μ。δ）［・■舳11・・一川

一苦（・一州㌧1）・・一μ・μe

十δe一岬
μ十δ

（6）終身保険（保険金期末払，保険金1）の終身払込年払純保険料を戸，とする。今、この予定利率とエ歳からの予定死亡率によれば，最初の榊年間は3ρ、その後の終身悶はO．5」ρ・を年払純保険料として払い込むことができるという．

このとき。例年短期払込牢払純保険料㎜凡に等しいものは，次のうちどれか。
ω4．O戸・（答）（B）4．5凡（c）5．0ρ，（D〕5．5ρ，（E）6．O戸、（C）

戸工・あ＝3戸∫・6工：計O．5戸ユ㌦．一6、＝2．5戸ム1司十0．5戸，・6、これより，0．5戸工・6、＝2．5戸，・6ユ、司．・．6工、汗坦6，2，5ん 芦ム 2．5ノ声r一＝一＝一戸ユ＝5戸工〜．詞6ユ河O．5
ωゴ＝O．055，030＝19622。〃30二336587，∫30麩5016716のとき，（〃）3皿の値に最も近いものは次のうちどれか。
（A）

3．5（B）

3．8（c）

4．ユ（D〕

4．4｛E〕

4．7（答）（B）（地01）・＝瓦＝瓦（C・十2C・1＋…）

1＝瓦｛・r0・1＋2（l・rDl・）十…ll＝瓦（リ∫・・■∫・1）：＝瓦（リ＆十M的一∫釦）一1．1。。（51工1墓6・・・・…一・1・・1・）＝3，824…

（1〕・畔満期で・第幟年度の死亡給付として，缶と保険年度末責任準備金．ラーの合計額をその保険年度末に支払う保険を考える。年払純保険料戸，巨O．025，〃、＝O．28

45，5Vエ＝0．3241一＝0−055とすると，g州の値に最も近いものは次のうちどれか。

一20一

｛A）

O∋〕

O．00966

O．00969（c）（D）

O．00972

0100975．（E）

O．00978（答）（B）（1レえ）（用）一（去刈伽・F（1一価・1）正より（0．2845＋0，025）x1，055一（0．25＋0．3241）g一十0．3265225−0．57419エ十＝＝O．3241（1一仏十4）＝＝O．3241−0．3241qj＋4

伽十F0．00969（9）終身保険（保険金期末支払，保険金1）について，1γエ＝0，005および1γ・十1＝0，006のとき、2Vエの値に最も近いものは次のうちどれか。
C斗）

O．009

（B〕

0，010｛c）

01011

（D）

0，012

（E）

0．O13

（答）（C）○工十1〃。＝1一〒
口∫

より

0工十2

0j＋1

ロエ十2

○工o∫

o工十1

2γ工＝1一一＝1＝1一（工rγユ）（1rγ州）＝1一（1−O．005）（1−0，006）＝O．01097
0①ん十、：同，，γエ：制および6，十ピ回を，契約時からf年を経過した時点での，それぞれ残りトt年間における保険取引の現価を表す確率変数（保険取引の発生確率は，
伽十1，11伽十〜21伽十，・…・・，日十11加判，一φ州で与えられる。）の平均値とみることができる。このときそれぞれの確率変数の分散をσ2（4、↓，：→，σ2（，1！。＝→，およびσ2（6工十，二→で表すものとすると．次のうち正しいものはどれか。
い）σ2（ん。，：→＝ガ2σ2（6，。、＝→（月）σ2（，y、：づ＝（此。，：向一2σ2（ん。，：詞）（C）σ2（，γ，＝か（トん：→2＝σ2（ん。．：→（D）σ2（、γ、：→＝σ！（ん。，：扁→一（戸工：→2・σ2（6，。、二→（E）62・σ2（、γ、：→＝｛（戸。：→2＋ゴ2｝・σ2（λ、。，：向（答）lC〕，一一
σ2 i，γ，：→呈Σ（・！一戸、：湖2、一I19，。，十（リ同一戸，：霜→2、一、戸、。

一＝1
古一一』，

一21一一（，γ、、がリL戸・：φ戸（字十1）・・一守〃ユ市（守十1）ん・fn字■ f
λ，十ピ局＝Σ！・♂、＿119＾、十〃＿，芦ユ半、＝l12（ん・ピ斗1言12㌔・1・一・汁12伽■り日一仏）一（パー・・1白2

以上より12 iルH争・1）2σ2（ん・ピ→
よってσ2（，γ、：功（1一ん：づ2＝σ2（ん十，＝旬

なお（A〕はσ2（ん十，、→＝62σ2（；，十，：→なら正しい。
（B）はσ2（，γ，：9＝（66、：→一2σ2（ノ」十，、→なら正しい．

（D），（E）は明らかに誤り

2．6砺F1＋ひ…十〃一1
1一が冊1一ひ冊

1−u6であるので，一時払保険料は
パ＝岬∫6司十リ2119工6羽十…十♂、＿lI9，6神♂，戸工6耐＝去／岬∫（11掘）十リ2119。（1一リ2冊）十…十リ㌃一119。（111祠）十〜工（1一州｝

12掘＝フ［｛リ伽十リ11伽十…十へ一119工十＾芦ユ｝
一1リm＋1g、十リ伽十I，lI9工十…十・州〕。一1I9，十リ州〕。声工｝コ

1

宝フ（ん1市工：→となり，ここに〃，＝同州g、十・2である。これは，リ冊州1I9，十…十リ州〕。一．■9，斗リ州〕。声，＝リ閉十Iすなわちポ：・（1＋f）川十I−1を予定利率とする養老保険の一時払保険料である。

一22一

3．（ユ〕求める保険料を戸とする。

t
第￠保険年度の死亡については一支払5。ただし災害による死亡の場合にはさら
πfに1．5一一をカロえて支払う。また満期保険金は1であるので
π

戸肝為一1・舌・婁D宏一㌧与・（1・一元）・智間・11】111＝一（∫ス）二．：計1．5凶㌔ユ：司一一りV（∫6），＝証λ工刷ππ従って⊥戸＝I5リ・〆十π6

111（π）二㌃・V（∫・）工奇十戸，去司

一1・1去・・べ，わ／瓦■瓦十1一肌十L妙一∫・十11九十…｛／（2）第f保険年度未将来法責任準備金を，γP過去法責任準備金を，γ尺とする。
（将来法）〆一1ム章1缶・去・凸圭．皆川1・一会）・室1＋戸。州一士1舌、童、δ用一1・÷恥州一1・1…補，・州一1
一仰（責凸章．D用一1＋去目肌・1・1−1）十D一・十戸札宏5｛士／帆苧・・）・月バ戸・・字一圭）
一株（ル十青札十掘）・∫工十ド∫｛÷｛舳去肌一一・｛）一f）九十日1・・｛／〈㌧十一一く㌧十蜆戸

D工十一士11・1去肌ギ側・見十「瓦十字ギ汎十日一リ去沖斗「＆十・十貴札ゲ札十・・山・十戸札宏十＾一23一

（過去法）〜]｛州／端デ・去・岩宅1き1刈1・一会）／一戸M ]三∫十」土11・・柵工一札・一み∫ヂ∫㌣一）・灰ゼ見英一

州

州1（一致の証明）

・Pr・㌧ 噤^1・1古肌一・・…涙∫i瓦・二i肌・日
一リ去ゲ∫ヂ∫∫十貴I洲｛十D一・間／戸云午什

これにll〕の戸を代入すれば，1！Prγ月＝0従って，γ戸＝，γ月

以上

一24一