年金数理（問題）驚醒三里等

1・次のω〜14はでiこついて・それぞれ5つの選択肢の中から正しいものを選んで所定の解答用紙にその記号を記入せよ。（1間4点、合計16意）
ω

加入年齢方式を採用して、、る、ある年金制度が給付を一律（1＋α）倍とする制度変更を行った。変更の効果は過去勤務期間に遡及するものとし、標準保険料率も（1＋α）倍とするとした場合の変更後の宋償却過去勤務債務は次のうちどれか。

ただし、U：制度変更前の未償却過去勤務債務残高、F：制度変更時の年金資産、とする。

（A）（1＋α）・U＋F（B）（1＋α）・U−F（D）（1＋α）．U＋α．F（E）（1＋α）・（U＋F）②（C）（1＋α）・U＋（1一α）Fある年金制度のある年度に関して次のことがわかっている。この制度のこの年度における利差損益以外の義損益は次のうちどれか。

・年初の責任準備金

1，000

・年初の年金資産

1，000・年間保険料（期切払い）・年間総付（期末払い）100

・年来の責任準備金

1，200・年末の年金資産・実際利回り・予定利回り

年4．5％（A）34の差損（B）58の差損

200

1，154

年5．5％

一（C）34の差益（D）58の差益（E）46の差損

131年金給付が年4回期末払いで、かつ死亡した場合には、死亡した日の属する月まで給付が支払われる場合の年金現価率の近似式を計算基数を用いて表すと次のうちどれか。
（A）（1／D。）・［N。一（7／12）・D。十（I／8）・M。］（B）（1／D、）・［N（C）（1／D、）・［N（D）（1／D資）・［N。一（5／8）・D。十（1／8）・M。］（E）（1／D。）・［N資一（5／8）・D。十（1／6）・M。］

ω一（7／12）・D、十（1／4）・M］

一（7／12）・D、十（1／6）・M、］

ある年金制度の初期過去勤務債務額Uoを、初期被保険者数がL。人、予定利率が年5．0％の前握で、以下の4とおりの方法で償却する。償却が早く完了するものから順番に並べたとき、正しいものはどれか。

ただし・被保険者数は前年比4％づつ増加し・後発債務の発生はなく、年1回期初に償却を行い、未償却過去勤務債務は予定利醐こより増加する。また・ことわりのない隈り・期初の未償却過去勤務債務額（当年度分の償却前）が、その年度の償却予定額を下回った場合は、期初の未償却過去勤務債務額を償却して、償却が完了するものとする。

I

毎年Uoの20％相当額

1I

毎期初現在未償却過去勤務債務額（当年度分の償却前）の80％相当額。ただし、期初現在未償却過去勤務債務額（当年度分の償却前）がU。の（1／lO）を下回った場合は、その額を償却し、償却完了とする。

㎜（UolVX0・14）÷Loを一人あたり年間償却額とし・毎期初の被保険考人数分の償却を行う。

毎年U．X（1／6司）相当額。

（A）I→1V→I1→m（B）I→IV→皿→n（C）n→I→IV→㎜

一30一（D）11→lV→I→皿（E）I→I→IV→皿平成5年12月22目
年金数理…一・・2

2．次の空欄に当てはまる適当な算式を所定の解答用紙に記入せよ。
ω（1欄8点・合ヨ十24点）

生存脱退と死亡脱退との多重脱退残存表を考える。
一丁一：残存数、

p、｛T】：残存率、

ハ：死亡生残表による生存数、
このとき、定義より

d、

w一＝j、

d川〕、d、〕：生存および死亡脱退数、，、q。

〕：生存および死亡脱退率q。：死亡率・q、

w1，d、コω＝L｛Tl・q。

x歳の生存脱退者のうち（x＋1）歳までに死亡する人数をd。

・・一・qノ，ゾとするとﾘ［］・・舳

ここで、死亡が1年を通じて一様に分布すると仮定すると

m■が得舳

・・一・…［］ル…であるから・多重脱退残存表よ1死亡率を求める方法は・

m1

・

121Tr㎝bridgeのモデル（定年退職者に年1回期切払い即時支総開始終身年金を支給。以下、この試験の8。以降において同様の制度内容とする）の年金制度において、個人平準保険料方式の財政運営を考え糺制度発足時の被保険者（退職者を含む）については、給付に要する費用には繊度発足以前の期間を含め、被保険者期間は・制度発足時から退職時までの期間をい㌔
この場合、制度発足時にX歳（X。≦XくX，）の被保険者の保険料率は

ﾅll・第1年度の保険料総額1■・一1す11

1…

xド1

ICI＝Σj・lP、十（TF＋TC）

である。また、第n年度の保険料総額を1C。とすると

I＝H．

m］・叩・［■1…

・掌・・…［，で狐炸糺
ここ1こ叩は、加入年齢方式の場合の標準保険料率であり、nの増加に伴いI（注）計算1こあたって必要な場合には、以下の記号を使用するこ』

X。：
X。：
XO

：となる。

（以下・この試験の8・以降においても同様とす糺）

加入年齢
定年年齢
生i字最終年齢

j、：定常状態におけるX歳の加入者（および年金受給者）の人数

B

年金給付額

1C。→ECP ： 標準保険料率
C ： 年間保険料
F ： 積立金
なお、P，C，Fは財政方式により異なるため、どの財政方式によるものであるかを識別するために・それぞれの財政方式の英語の頭文字をとり・次のようにあらわすこととす孔個人平準保険料方式
加入年齢方式：：

1P、 ■C、目P， 8C，一F
EF

畿灘養価積立方式：1ポポ言
皿31一平成5年12月22目
年金螂望………3
8．一r㎝bridg6のモデルの下で、x歳（x。≦xくx。）の被保険者1人あたりの積立傘V。がV、＝五一二五LDx・x。一x．

Dxax，

で表わされる財政方式が単位積立方式であることをX歳の被保険者の保険料を求めることによって示せ。

（20点）

4・ある企業が・I・㎝b・id・θのモデルに基づく給付を行う年金制度を発足させた。この企業の脱退残存表によるx歳の残存率P・（X・≦X〈X。）は、Px．〈Px．十1〈…・・…一くPx，一1であるとする。

加入年齢方式に基づく責任準備金を保険料の支払回数に応じて次のとおり定義する。

ア．年1回期切払とした場合（VU，）
イ．年2回期切払とした場合（V＝2，）
ここで、X．は最低年齢、標準保険料算出のための加入年齢はX．意とし、脱退（死亡を含む）は年度を通じて一様1こ発生するものとする。

以上の前提のもとで次の各設間に答えよ。

（20煮）

ω

年2回期切払とした場合の標準保険料EPt2，を求めよ。

②

責任準備金（V③

V｛1，とV）を求めよ。

2，との問には、V｛Ij≧V｛2、汰る関係があることを示せ。

5．Tr㎝bridgeのモデルに洲、て、財政方式を加入年齢方式とした場合に以下の設問に答えよ。（20点）
ω榎準保険料率日P、年間保険料圧Cを求めよ。
②年齢X歳の被保険者（X。斗1≦XくX、）に対する責任準備金を将来法により求めよ。
⑧12〕の責任準備金は標準者1人あたりのx歳時における標準保険料の元利合計に等しいことを示せ。

ω成熟状態における積立金叩を求め、極限方程式日C＋d・叩＝Bの成立を確認せよ。
（退職時年金現価積立方式において極限方程式が成立することを用いてもよい）

上32一

年金数理

1998年12月22日

解答例

1．

問題

ω12〕

13〕

14〕

記号

（D）

（A）

（E）

（B）

正解は上記のとおりであるが、以下に解法を略記する。

ω

この年金制度が給与比例制の制度であるとしても一般性を失わないため、給与比例制の制度として考える。

制度変更前の給付現価をS・標準保険料率をP、給与現価をGとすると・Uは次のよ
うにかける。

U；S−P・G−F
変更後の過去勤務債務をWとすると、Wは次のようにかける。

W＝（1＋α）・S一〔（1＋α）・P〕・G−F
これより

W＝S−P・G−F＋α・（S−P・G）＝
したがって、

U＋α○（U＋F）＝（1＋α）・U＋α・F（D）が正しい。

12〕この年金制度のこの年度の期初の差損益繰越額は、責任準備金と年金資産が同額であることから・0であ乱したがって・期末の差損益額が、この年度における差損益である。

当年度の差損益＝

年末の責任準備金

一

年末の年金資産＝1，200−

＝

46

1，154

一…・・差損

このうち、利差は題意より

利差＝（1，000＋200）×（5．5％

これらより、利差損益以外の差損益は46一4．5％）＝12…一・・利差損−・……・・差損

したがって、（A）が正しい。

一33一12＝34

⑧

まず、年m回分割の各期末生存者に支払う分割払年金の現価はWoo1houseの公式より

1ご十（菩・…・岩・…得d呈・・……・・）
1oo

㎜一1

≒一（ΣD州十一・D。）
D。 。。12㎜m＝4を代入して
1 oo
35
与式＝万丁（…手D洲十百・D。）「＝iT（N。一百・D。）
一方、死亡者に対する給付現価は、・
o04U2〕 ＝E＝土一ΣΣ｛告（コ州1・用・1・一』出・t・j一・i・1・）
t−O

』一12．
十万（』出・：・・一・1バ・一2州1・1−ll・1・）・嘉（・…・用・1…舳・舳）い州・1・
ここ・で（X＋t，X＋t†1）の死亡は一様に発生すると考えれば・与式の（1）内は全て1

而（』叶・一4州・i）＝万d州となるので

一2工00＝E＝1。㌧t□O1400

j−it■0Σ品d出（Σ・州パ・）≒24㌧、Σd肘ぺ4・・川・・M。

＝一一I■一●ID．
6

これらより、求める現価率は各々の合計であり、

1r（Nド百14〕

5D・十百1−M・）と鮒したがって・（E）が正しへ

IからIVの各償却方法での償却完了年度は以下のとおり。ちなみに（）内の小数は各年度期初の未償却過去勤務債務額（当年度分の償却前）の概数である。
I．6年（1，000，O．840，O．672，O．496，0，310，O．116）
l1．9年（1．OOO，O．735，O．540，0，397，O．292，0，215，0，158，O．116，O．085）
皿．8年（1．OOO，0，903，0，795，O．676，0，544，0，400，O．241，O．067）

一34一

IV．7年（1，000，O．877，0，748，0，613，O．471，O．321，0，165）以上より、償却が早く完了する順番憾、I→IV→㎜→Iである。
したがって、（B）が正しい。

2．ω

解番号
①

教科書9頁、10頁からの出題

・・1・〕・（1−i1：1）②

且L・d、川1Q③（d④答〕十d、ゾ）・。1・〕・（い〕一夫・・1・1）

12）

解番号
⑤

答

教科書55頁からの出
題

D、、．a。、

X。一1⑥

Σ2。・Ip。一。。一X＝X。十n−Ix。十n−2⑦Σ＾

X＝XoX。一1⑧

Σ4。・（Ip。一口。1−Ep）
X＝X。十n−1

8．x歳の被保険者1人あたりの保険料をPxとする。Trowbridgeのモデルでは、定年退職時のみに給付があるからFaCk1erの公式を用いれば次の式が成り立つ。

（・・…）・（1・i）・…1・』す：1ここにiは予定利軌

これから、ハ。lP・＝v・・lru■v・｛1〕

一35一1

ここにリ＝πT。

題意1こ基づきV。・V。・1を書き換えてω式に代入すると

ｨ≒、ト書1：、・a・・千十1・・一美音。・静・a・・…xｨ≒、㍉、．脊：、、／。、）．。・aパ1：斗1・1一蓑脊。督・a・・…xI≒、モ・・号1・・百バ麦青。督・a・・…xP。

1 ．且坐．葛、、x。一x． Dx

これは、単位積立方式の一人あたりの保険料である。

4．ω

D。。I。。二』。1。。・〃十I／2とすると、仮定より

・1・・（1D。＝D。十Dsp・）・川1・・・…（1姜p…1・・）。I。。とする。また、この企業のx歳の被保険者数をL。とする。

Xr−1
目pU1＝D。、・a。、／ΣD，

X−Xo・pl・㌧D、、．a、、／x童

百、X■Xo12〕給付現価Sは、保険料の支払回数によらない。
・・一1D。、．葛、、

S＝ΣLx・x．x．

Dx

年1回払の場合の人数（給与）現価をG｛1〕、年2回払の場合をG
Xr−l

Gu㌧ΣlL
X■Xo

Xr−1

Xr−1

・（ΣDy）／Dx｝
リlX

Xr−1−

G〔2〕＝ΣlL・（ΣDy）／Dx1

従って、VU，、V2〕は、それぞれ、次のとおりである。

X−Xo2〕とすると｝・XVll〕。。一・。・〕．。ll〕。隻1。となる。

．・…a・・

x．x．

Dx
Xr−1

X

一1

X□X8

ツ■X

−P二1〕・ΣlL、・（ΣDy）／Dx｝

一36一

x・一1

V｛2〕＝S−p：2一・G｛2〕＝ΣL。・

Dx、．ax，。．。。

Dx
Xr一一一P

Xr−1一2〕・Σ｛L。・（ΣDy）／Dx｝

X，X813〕

ツ□X

12〕より

・・一一 G裏1・ぺ（・…aバ…：・凄・・）く・・l

Vl・1．xｶ1｛L ．（D、、．a、、一・pl・1．x室百。）／D．l
X■Xo・X

従ってVU〕≧V｛2〕を示すためには・任意のx（x、くx≦x、一1）に対して上記2式の（）内を比較し、D、、．a、、一pll〕．x隻1D。≧D、、・葛、、一・pl・1・x呈百。
ソ■X

7■X

Xr．1

Xr

一ツーX

リーX

すなわち8Pu，・ΣDy≦EP｛2〕・ΣDyを示すことができれぱよい。
1・・薫・・。、、．葛、ノ：薫・・凄・・二●

1．1・1．x三。、。、、．葛、、／室百、x三。、
ソーX｝■XoXr−iツーXoΣDy＝＝（ソ・X

Xr−1

Σ二DyΨ一X）○（Xr■1

ΣDy〃・Xo）

・（＊）

Xr一一

ΣDyy1X

百X

ここで、『、（X。……X≦X。一1）について考えてみる

粉・Dx吉〜・・…・Dx吉〜x（o1／2（十P・）」1・（1芸p・）・ll・・

仮定より・p。はxについて単調増加であるから（Dx／Dx）もxについて単調増加となる。一般に、abl b2
一く一く・

a1＞0，
・…

a2

b1＋b2＋・・
a1＋a2＋・・

bI＞0b。

@く一

a0・・・・（i＝1．・・ …

n）でであれば¥bn く b2＋・… 十bn く・¥a皿a2＋・… 十an−37一b皿 が言える。
…く一aoX一IXr−1

ツーXo

ΣDyソーXΣDyXr■lXr一一

従ってツ■X8≦（X。＜X≦X、一1）

ΣDy 一XΣDy

よって（＊）≦1を示すことができたため

Vt1〕≧V｛2〕が言えた。

5．

Xr■1
ω騨保険料率直P＝（Dx、・ax、）／ΣDx

X■Xo

保険料額

Xr−1

EC＝EP・Σ＾X●X812〕年齢x歳の被保険者一人当りの責任準備金は。、。・…a・」・。．x隻1・・
Dx

。一。

Dx

（3〕②よりD・・着手・一…婁暑1斗（・1着a・今・。）
直p

x『一1＝D。

x・一1（、書。D・一、凄D・）

居p x一一＝D。．、書、D・・目・・÷・熱・・（1・i）・一
これは標準者一人当りのX歳時における標準保険料の元利合計に等しい。

14〕成熟状態での極限方程式における積立金EFは以下のとおりである。

x。一Ix一一Xω目F＝Σ4。・（・p・ΣD・）十Σ4。．葛。
x−xo＋1x『・一＝．慕、！・また（Ep〃■xoDxx一一DyxIx．

、慧。D、）・（TC・TF）

EC＋d・直F・目・・器・・…1熱・・（…烹暑1）・（・・…）1

一38一

・目・（；婁・…薫！・・、黒暑1）…（T・・T・）

ここで・薫！・・妻1書1・・薫、、ξ1い（1・i）x−y
二d．x童2x童1＾．（1＋i）x一・一X8

X一十I＝d．x賞2ユ。．x童1・（1・i）x−y
□Xo

X一リ十1

i・・一・（1．i）1（1・i）X・†1−11＝1＋iΨ。X．
Σ＾．x童．
1』。（1．i）・ド・一1−x三13．

ylXo

一Xo

また・p。（D、、．a、、）／x隻1D。

lXo。。・・．4、、．a、、／X隻14リ・。1

リーX6。リリ、、．葛、、／x童㌧、・（1・i）X・■ザ1であるから、

ソ■Xo
1C＋d．・F。・p．xｶ1』リ・（1・i）x・■ザ1＋d・（・C＋・F）

舳．．
＝リ・3x、・ax、

＝o・TC

＋d．

十d・（TC＋TF）（TC＋TF）＝TC＋d・TF＝B．．退職時年金現価積立方式において極限方程式が成立することより。
．

D

目C＋d・EF＝Bとなり、加入年齢方式において極限方程式が成立する。

一39一

出題のねらいと採点してのコメント
1．ω

過去勤務期間に遡及しての制度変更を行った場合の影響について間う問題であり、正解した者が多かった。

12〕年金制度の年度決算状況を間う基本的な問題である。正解した者が多かった。
13〕特殊な条件の付された分割払い年金現価を間う問題である。死亡者への給付を正しく見積もることができれば正解できる。

14〕年金制度の過去勤務債務償却方法を理論にしたがって、実際に計算できるかを見る問題である。

2．ω

死亡と生存脱退の多重脱退残存表に関する基礎的理解を求める問題である。

12〕Trowbridgeモデルでの財政運営のうち、個人平準保険料方式と加入年齢方式の関連を間う問題である。なお、出題の算式に未定義の記号を用いた部分があり、この部分の採点にあたっては、別途配慮した。

3．

Tr㎝bridgeモデルでの責任準備金の意味と、Facklerの公式を理解して、応用できるかを間う問題である。

4．

Trowbridgeモデルでの責任準備金について、保険料分割払いの前提で評価した場合の影響を間う問題である。分割払いは、保険料の年間額は年1回払いより大きくなるものの・責任準備金は下回ることを示すよう求めたが・正解者は少なかった。

5．

Tr㎝bridgeモデルでの財政運営のうち、加入年齢方式に関する基本知識を間う問題である。正解者は多かった。

一40一