1991年12月け日
婁史学2．

数

学

2．

．

1

（問題）

（解答に当り，必要であれば末尾の数表を用いよ血〕

1・次の谷間の「1に入る答のみを・服の解答n1紙に記入せよ・
いl

Xヨは区間［0，9］上の一・・様分布にしたがう録集団からの標本変量とする。

X一．
Xi1，≦・≦xlいを対応する順序統…一1

川いト・川

121

（30点〕

。i一・量とし、その標本節睡目をRとするとき、

リ1・1一「1である。

次の確率密度関数を持つ母集団からのn個の標本変騒X1．X，．

ハー〕 ¥川川HJ一μ〕川
ここに、一〇〇〈μ＜oo．

X．を考える．
（Jl≧μ〕（∫〈μ〕o〉Oとする。

μ一共に未知とするとき一の最尤推定量は□である。
131

母数θを持っ母集団からの統計最Xは次の確率密度関数にしたがう。

…一h：1∴〉王，

ここに、kは定数である，Jj〉O．9の区間を棄却域として、仮説Hパθ＝1が検定されるとき、第1種の誤りの起こる確率はLj］である。
また・対立仮説が・1：θ一・の場合に・第・稲の誤りの起こる確率は「亘］である．
｛答は四捨五入して小数第2位まで求めよ。〕

141

2つの正規母集団を考える．，つの母集団から標本数10の標本を取り出したところ、標本分散は一6であった．もう1つの母集団から標本数9の標本を独り出したとき、標本分敬が少なくとも□より大きければ・つの母集団の分散は同じでないと言える。

｛与えられた数表に基づき有意水準5％の両側検定により，答は四檎五入して小数第〕立まで求めよ．〕

i51

Jlは条件付確率密度関数∫は■θト1／θ（0≦J1≦θ〕を崎つ母集団からの標本とする．θの確率密度関数はξ1θ11θe二rρ1一θ〕（θ〉O〕であることが分かっている。

このとき周辺確率密度関数川十［五丁ま㍑に基づくθのベイズ推定1値は・薬誤差1／111舳いll・1…一激ﾆ1川11出・1θ1川の値は［亘］。

2．

正規分布の分敬の帰無仮説H．lo㌧o。，の有意水準5％の片側検定において，帰無仮説で仮足した分散。。，が真の分散の4分のユ以下であるときに、この婦無仮説1一しが確率99％以。トで棄却されるためには標本数は最低いくつ必要か．ここに、平均、分倣は未知とする。

120点〕

一8一数学2．
3．

X一．

X

X＝、2

は平均、分散が未知の正規母集団からの標本変量とするとき、次の間に答えよ．

い1標本変量分散

Σ （Xi−Xドは分敵の最北椎定量であることを示せ。
■

S，1
n1ヨ1

Σ ｛XドX〕，は分敬の不偏推定量であることを示せ．
■

121Sリ＝125点〕

n−1ト1
4．

平均μ、分散。，の値が未知のとき、正規母集団Nlμ．o＝1からの大きさnの標本値1．…

．

。を用いて、母平均についての婦無仮説H。：μ一u。を有意水準￡で検定したい。

対立仮説をH11μ≠μ。とするとき、尤度比検定を用いてt検定を導け．

125点）｛解答に当り、必要であれば以下の数表を用いよ．〕
数表

111XがF分布にしたがうとき、P｛X≧几〕＝O．025となる孔を求める表
f・は分母の自由度、f・は分子の自由度

89

10441
4I0

4ヨ640司430396『85可78ヨ71

几＝F・1リlO．025〕とも書く，121Xが冗，分布にしたがうとき、P（X≧兀〕＝εとなる孔を求める表
nは自由度
兀＝X2，1￡1とも書く．
、＼＼ε

㌔

O．9，

o．95

0，05o，ol

5．23

7．26

25．o

30．6

5．81

7．06

26．3

32．O

6．41

8．67

27．6

33．4

7．Ol

9．ヨ9！8．9

3ヰ．8

7．63

lO．12

30．136．28．26

lo．目5

31．4

37．6、．

n151617181920

一9一数学2解答例
工．

（1）各X！の確率密度関数／（z）は題意より0≦エ≦王で1／五，その他でOである。
一般に、Rの確率密度関数g（r）は，！（エ）を用いて次のように表わせる。
・（・）一…ll。（1二二一〕舳）31（州）・／（・切〕）伽1〕

列1→（・・）3・（1・1）・（1〃エω一2，731、ト7）

附）十・・（・）加11・（7言371；4）介一・・^、隼、、隼、／一（、、、荒、5）（2〕尤度関数L（π1，…，π日；μ，σ）は次のように表わされる。

・（・1・…・軌；μ・1）一三皇・（エ1；μ・1）一1｝…／一（き・川）／1／μ，σをそれぞれ一。o＜μく。・，σ＞0の範囲で動かしてLを最大にするσを求める。

∂L＿。＿I・τ一＝一・σ …p｛一（Σ炉ημ）／σ｝

oσ

停1＋σ一日・（Σ；z一・μ）／σ2…p｛一（Σπ＝1一・μ）／σ｝−1＝σ中2…pl一（Σ；・1一・μ）／σ／（Σ炉・μ一・σ）＝O
1昌1を解いてσ＝（Σ旧1／π）一μ

i＝1
∂L
＿、＿1・
また，T一＝nσ・exp｛一（Σzr〃μ）／σ｝＞0なので，Lはμについて単調にoμ増加する。一方プ（H；μ，σ）の定義域を考えれば，μ≦zl，…，z吊であるからμはmin（功，…，Z。）以上には大きくとれない。Lはμ：min（エ1，…，エ間）で極大とたる。

また，Σ幼一πμ＞nσでは∂L／∂σ〉0，Σ境一nμ＜nσでは∂L／∂σく0である
I＝1目1ので1の最尤推定量は1一C二亙である。国1正解とした。
（3）l1舳炉［筈11−1・（1・1）一1よ旧・1

一10一！（z）＝（θ十1）工θ

第1種の誤りとは〃。が正しいとき（θ＝1），〃。を正しくないと判定することだから，エ〉o．9の区間を棄却域とすると，その確率はll、舳工一11、・加国
第2種の誤りとは対立仮説が正しいとき（θ＝4），μoを正しいとする誤りであるから，その確率は1；9／（工）加119・ん一。・・・…⇒国（4〕

等分散の検定を行なうので，2つの正規母集団をM（μ工，σ，2），M（μ，，σツ2）とし，標本を（エ1，…，伽），01，…，ツ目）として不偏分散比を考える。

・2一姓・1一・）2−1・，∫フ2一合紅ヲ）2

より標本数10の不偏分散は10・∫、2／（10−！）＝160／9

また，標本数9の不偏分散は9・∫，2／（9−1）＝（9∫，2）／8数表が片一側有意水準2．5％のF分布で与えられていること，∫ツを大きくして考えることから不偏分散比の分子は標本数9の方を用いる。
即ち，不偏分散比｛9（∫，2）／8｝／（160／9）＝（81・∫ツ2）／1280が，戸38（O．025）＝4、王0より大なるときに，2つの分散は同じでないと言える。
∫ツ2・（81／1280）＞4．10∫，2＞64，790⇒図（5）zとθの結合密度関数をg（エ，θ）とおくと，O≦エ≦θ、θ＞Oで9（z，θ）：ξ（θ）・∫（エ1θ）＝θ・e一
プ（エ）一1二・（・・1）〃一［一・θ1；｛／（θlユ＝e工一θz）二g（z，θ）〃（z）＝eθ／e／θ＝e一である。

亙（ll・）一1二1・／（llク昨1二1・（1−ll・（一（1二・1二・工一θ・1一巫
なお，

O＜limθe一θ＝limξ｝

θ＜lim・珊θ十θ2／2＋…〜1＋θ／2

一11一組。を用いた。

2．

一般に平均が未知のとき，真の分散をσ12，標本数を〃，標本変量分散を∫2とおくと，仮説〃。：σ2＝σ02は（ns2）／σ02＞X2一1（O．05）のとき有意水準5％で棄却される。題意はσ02≦σ12／4という見当外れの仮説Hoは標本数が増えれば棄却できる筈だが，第2種の誤りの確率1％未満で棄却するには最低いくつの標本を集めれば良いかを求める問題である。
即ち戸｛（ns2）／σ02＞X2、＿一（O．05）1σ2＝σ12｝≧O．99一①となるような最小のnを求めればよい。
ここで，σ12＝Kσ02（K≧4）とすると，戸／（。。2）／σ一2≧Z2一1（O．99）｝＝O．99＝戸／（・・2）／σ。2≧KX2、一1（0．99）｝

であるから，Z2日＿1（0．05）≦K〆九一（O．99）一②となるようなK，ηを求めれば，確率99％以上で①が満たされる。ところで②式はK＝4で成立すれば全てのK≧4で成り立つから，K＝4で考えれば十分である。
即ちX2、＿1（O．05）＜4×2＿1（O．99）を満たす最小のπを求めればよい。

Xl。（0．05）＝28．9＞4Z1目（0．99）＝4・7．O1＝28．04
Xl。（0．05）＝30．1＞㍑1目（O．99）＝4・7．63＝30．52であるからη一1は最低19である。従って標本数は最低20必要である。

3．（1〕

尤度関数L（μ，σ2）は次の式で表わされる。

・（μ。12）一／2，1σ。）m…（島含（い）2）
これを最犬とするμとσ2を求めるために対数をとって偏微分して得た次の連立方
程式を解く。

舌・・ム（！・12）一番／一仏・11し点（・一1）2／刈、（ら、）1。・・（μ・12）一、（ら。）／一知・112一点（・一μ）2／一。

一171・μ十7碧XFO・・蒜・。（12）。碧（・一μ）2一・①より

一12一・・@、A

1司

一μ＝一ΣX1≡Xn・・FlB③を②に代入して整理すると
σ2ユ白（・、一文）・一・n・④

l＝1

また

∂2一。bgL（μ，σ2）＝一・／σ2＜0，0μ∂（等・）・…（！・12）一、（…1）。・2（…1），き（・一天）…

であるので。③，④で与えられる極値は最大値を示す。従って題意は示された。
（2〕∫2＝／（Xr天）2＋…十（X一天）2／／。

＝／（XlL2X1天十天2）十…十（X，2−2X反十天2）／／、＝（XI2＋…十X，2）／π一天2であるから
亙∫2：（亙X12＋…十亙X，2）／η一亙天2

ところで亙（文2）…舳十…・ん）・・／2一嬉・1・拓（蜥）霊（脳2＋…十亙X，2）／・2＋。（。一1）μ2／η2（∵亙X＝μ，X，Xjは独立だから亙（XXj）＝亙X五X∫二μ2）

亙∫2＝（蝋2＋…十跳，2）（卜1）／・2一。（。一1）μ・／。・
雌2＝／η／（・一1）／亙∫2＝（亙X12＋…十五X．2）／n−nμ2／n＝｛（EX12一μ2）十…十（亙X2一μ2）｝／n二σ2（I一．亙XFμだから（亙X〜一μ2）＝σ2）

従って題意は示された。

4．

尤度関数ん（エ1，…

｛μ・12 j一（、、σ。） …（点（月一μ）つ

一13一

のμ，σ・の最尤推定量は本年問題・（1〕よりμ一；，σ・一曼（エ、一；）・であるから

π一目1㍗・1（孔…｛1・σ2）一eX；1ヂ［か一・）丁／2
重た，μ一μ。のときのσ・の最尤推定量はσ2J自（炉μ。）2であるから
n一＝1暇・1（孔…｛1・σ2）一eX；1＝1糾茗（舳）2r／2
従って，尤度比λはrn盆XL／一、簑、一［1倉（舳）2／・／碧（・一；）2／r／2○と表わせるから，戸（λ≦λol〃。）≦εとなるλoに対し，標本値による尤度比λがλ≦λoを満たせば〃。は棄却される。
λ≦λo⇔パ／2≦λo／2⇔λo．2／＾≦λ一2／であるからC＝λo．2／＾とおくと，棄却域λ≦λoは、秦郵域／碧（舳）2／／／自（工r；）2／・・→と同値である。

①武の左辺の分子はΣ（エrμo）2＝Σ（幼一；）2＋n（；一μo）2と変形できるから
旧1

旧1①式はπ（；一州自（・1一；）2／・・一1と変形できる。従って更に次のように変形できる。
棄却域1（＾）2・（・一1）／／自（工1一；）2／・（σ一1）・（1−1）一②

ここでσ＝｛（；一μo）∫7｝／σ，γ2＝Σ（XミーX）2／σ2とおくと，肋の下で天の平均は＝1μo，分散はσ2／πである。よってσは〃（O，1）に従う。

また，一般にγ2は自由度n−1のX2分布に従い，X（従ってのと互いに独立である。

f＝σポ「／ノ「7とおくと，

一工4一・一1π（天一州后／／［着（・r天）21I／L③となり，仁は自由度n−1のステ且一デソトのf分布に従う。

②武の左辺は③式のfを2乗したものだから②式の棄却域は棄却域〜≧（C−1）・（昨1）と同値になる。

従って，t分布により

ε戸（1オ」≧to）＝εorρ（τ≧亡。）＝一2となるfoを定めておけば棄却域はltl≧オ。で与えられ，t検定が導かれた。

一15一