〔問〕

昭 和 50年 度

(問題)

午前の部
11. 生存函数 S伊)=一一一 (100‑X)(0孟 z豆 100)が与えられたとき，次の各値を100求めよ。
(2)μx ，(1) tPx '(3)232吋次式を証明せよ o(1)2L‑U(TE)z

一一(2)一 二 ニ = ー (1α )x
山 山JdoCLL，

3. 保険期間九年の全期払の定期保険で，初年度の純保険料を p ，第 t年度の純保険料をPt=Pt‑l (1+αt‑l )のように，毎年保険料が at(t=1， 2， ……， π ‑1)だけ増加する。一方，第 1年度の死亡 K対して年度末 K1を支払 L、，第 t年度の死亡 K対して，第 t
年度末 ~St=St-l (l+，Bt‑l)のよう K毎年保険金が ，Btだけ増加する。

以上のような場合の初年度純保険料 P1 を求める算式を導け。

午後の部
4. 次式を証明せよ o(1) A1:相n1‑ v nPx ‑ 0αx:有 1(2) Ax

1 ‑0αx(3)Ax:1ir= 1‑ 0αx:守口‑109ー

〔間〕
5. 次の()を埋めよ D(m)=α(4mE) 14∞一(1) a+MXx ‑Dx
♂+tdt

1Dx。
(LmU)手.α(m)十 一1
一 Ax 一(2) αx2m(G7E
74‑
1‑‑'‑
α m+一一一(3) gx2m一 十(4)(5)。
(m)= ‑b‑1.
.
.S∞ (x、1) 十 n~xfo

Dx m t=l甘a(坤= α一 一m‑ oα
33 2∞ー

Mx+t dt+6. t年前 V'
Cx歳で契約した保険金額 1の終身保険をx +丸歳で満期忙なる養老保険 K変 更 する。この場合の，以後の払込保険料の算式は，(1) Px:石1十4V

叩 ・ιT、‑ .
.
V・ 川

αx+t:n=‑司となるが，，ゅ司ι(2)Px+t:有 士 百 一 . .

4V̲
心 暗αx+t況士司(1)，l2)を言葉によって説明し，かつ， (1)と(2)が等しいことを証明せよ。

‑110ー昭 和 50年 度(解答){100ー(♂十 t)}/100む(100 ‑ x)/100

1 dl.x(2) μ申=一ーー・一一一=
曲I.x dx

100‑x(3)ん=ーJ l +tdt.
(.
.
x 0100dt

1‑

一一a
一F十一 z￡一丸山1)
1. (⁝一午前の部

100 ‑ x1

一一一一一・←一一一一(100‑x)
100‑x dx 100=」2LfloodlOO‑(x+tLdt♂

100

100‑xJ‑0
司自100‑x

2=ーよー;((10O‑x)t‑土100-x....'~~~‑‑/‑2t J~ ‑ ‑ 土 (100‑x)

2.

む =J
∞vttp
a;dt であるから，∞，da̲dVt +丸 山
(1) ‑=....=:A一一.

dirdi屯L高∞=JT7tFzdt=イ(̲tvt+1) tPxdtdηt==t‑VJ
勾 tv tPxdt=‑V(Ia)♂

d ...'∞
da~d ∞長(2) 一ーニ=一‑[ V +p̲dt =一‑j" e‑dt +p~dt
Vdodo屯 ， ， ‑x

do‑‑'or‑.x∞ d(J.‑dt=f
二二一一#孔 dt
~
do‑
r' x
=J‑te‑dt tPxdt

t tpxdt=‑f∞ te‑d=j' tVttpx dt=一(1α)x‑111ー

3. Pt= Pt‑1(1+αt‑1)=Pt‑2(1+αt‑2)(1十 αt‑l)=…

= P1(1+α 。)(1十 α1)……(1+α t‑1)。

(ここ Kα =0)3t‑1)=8t‑1(1+(3t‑2)(1+(3t‑1)=……
8t= 8t‑1(1十(= 81(1+(30)(1十戸 1)…… (1+(3t‑1)(ここ1fC(30=0)

である o

収入の現価を A，給付の現価を Bとおくと，A = P1α X:
l1+ P2 111αz十・・・・・・+ P
九九ー1
11αx，

= P1α x:τ+ P1(1+α 。)(1十 α1)111aX +P1(1+α。)(1+α 1)(1+a)211'd♂
2

十……+P1(1十α。)(1+α1)……(1十α丸一 1)九ー 111aX
nー 1= P1I; ν11a♂ (1+α 。)(1+α1)(1+α2)……(1+αν)n‑1 n=P1 I;ぞと (l+ao)(l十 円 )(1+α2)……(1十 九 )ν=0Ux

Cx+九ー 1C̲‑"‑‑.
C
B= 81二 乏 +82 ~~土1. + 83 こ笠土主+…… + 8
九DZ'x‑ Dx‑x

(ここ 1f
C81= 1とする。)

F= 主 +(1+(30)(1+ん ) ~~土1.+ (1+(30)(1+ん)(1十 ん ) 与 北 十
D‑x'x

~xて
ト1

十 (1リ 0)(1+，81)(1+ん)…… (1+ ん ‑1)c‑x
1n‑1=三‑I; CX +ν ( 1 +，80)(1+ん )(1+ん)……(1+ ん )1.)♂

ν=0Anu官rZ rzh戸A唱 n u

従って， P1C♂ +ν(1+，80)(1+ん )(1+(32)…・(1+ (311)DX+ν(1+α 。)(1+α1)(1+α2)…
・・(1+αν)

‑112‑

午後の部

，=.
r vttPxμ:x+t c1t4. (1) 五1・ 有町一・九‑0A九t~..J. . f ，
1 c
1L ・1 1t{". Vt~x土!.(一一一一一一一主主三 ) c
JoLx 、 ん+t c1t・包c1L̲̲，. 1t("V Vt ‑‑‑X;‑Z; c
L~Joc
1ts

= ̲ ̲1=‑J‑iwtt t〕;‑ruttogUん+tc1t}
叶.
.
.
.
.
x

1‑ V九 nPx‑ oαx:司(2) Ax((1)と同様 K )=(∞ Vt tP.
‑r:μx+tc
1t~oー‑futt
ザ Jん +t=ーム{vt ん +tJプ、luuc1t}tZ

1 ‑ o αxn πPx
司十 v
A;+(3) 玉x:司= (1 ‑ V九九aπPx ‑ o x:司) +v nPx=1‑sE4E:司二三札」‑.mm t=l ‑1)
5. ((2)μx/12nl(3)三) 又は会Ax
古川 1十(4) (D‑M )計会(5)o/12nl‑113‑((llKより)

6.(i) (1)章式 Kついて

この契約は，変更時において責任準備金 tVx を所有する o もし当初から九年満期養老保険 K加入していたとすれば，純保険料 Px:司が払い込まれ，現時点で責任準備金1・を払い続けるとすれば，責任準tvz:π1 を所有するはずである o 従って，今後も Px:π備金が t
πI‑tvsだけ不足することとなる。この不足額を残存期間で均等 K償還しVx:て行くのがこの方法である D(2) 式について
現在 Z 十 t才の人が π‑t年満期の養老保険 K加入したときの純保険料は P♂ +t:古士司である o 然、る K， この契約は責任準備金 tVxを所有しているので，その額を残存期間で均等 K控除したものがこの方法である o)i(P‑r・τ1十山・叶

fV ・ 視 ‑ fV'x・別(Ax+t:n
士司 ‑ Px:司 'ax+t:克士司) ‑ tVx

E.
.
.
.
:.
A=Px:切 1+I'Y'Z;α♂ +t:五士司

α♂ +t:五ご司

A'x+t:子戸τ=pd:7n+‑P，F:
τ1ー&.
(，.
"，.
・・αx+t:n=τ
14V̲̲
Px+t:n士 司 一‑114ー

αx+t:百±司・tVx

αx+t:石士司