1数学

1（問題）次の谷間の［コに入る答のみを、所定の解答用紙に11入せよ．
l11

箱の中

2卵12月I6日
数学］．．．1｛。。，点〕

こ赤玉1；、青玉、白玉が合計32個入っている．今、箱の中の赤玉、育玉、白玉の敏を二τ。ツ、星とするとき・、無作為に取り出された2個の玉が同一亀である確率が最低となるように1・、ツ、・を定めた場合．その確率は［ニコである．

｛2，Bl・B・・B・は互いに排反な事象でB・B，UB，UB，とする。事象＾に対して・（・i〕・…
が成り立つとき、P｛Al131

1・1・1ト・・1鰍〕、（1−1．・．。、。。。く⊥〕B〕三［二二コである。

3

確率変数Xを区間［O・2冗】上の一一様分布とするとき，確率変数…
141

1・・の確率密度鮒は、ハψト［コ1−1。Ψく1〕である．

確率変数X1．X2．X］が独立で、共に区間［0、工］」二の一様分布にしたがうとき、
Xい X・・X・のうち最も大きな樋を半纏とする円の面積の期待憾は［二二コである．

｛51Xは非負の整数値をとる確率変．数で．

①0＜ρ…P（X＝O）〈1②P（X＝k＋n」lX≧k〕三P〔XEn〕．｛n雪O．1．2．…：k・O．1，2．…〕を満たすとき，・（・一・〕をρを用いて表わすと□1…．1，。．＿〕となる．
2．

確率変数X．Yは互いに独立でそれぞれ次の確率密度関数を持つものとする．

一ポ（÷）llll；

・一・いρ（÷）：ll：；
一・1は正の脳1する11・（÷・1）を求め去・
｛20点〕

3一

確率変数X

〔1・1．2．3．一・〕は全て平均兀の指数分布にしたがい、確率変数Nは平均μのホァソン分布にしたがう。N．XI．X。、…

は互いに独立とするとき、次の1〕．12川ご答よ．

l11S・＝X・十…
十X・の分布関数を求めよ．ただし．N＝0のときS、呂0とする．
121S の期待値を求めよ。
（25，煮〕
4一

表の出る確率ヵの硬貨をれ回続けて投げるとき． 表が2回続けては出ない確率をq．とする．
リlq■こ関する漸化式を求めよ．

3
7｛21ヵが一のとき、q。をηの関数として求めよ．
（20、点〕

一1一

数学1解答例
1、（1）

z＝32一代十ツ）であるから，取り出された2個の玉が同一色である確率は，π個から2個の場合か，ツ個から2個の場合か，z個から2個の場合の排反事象の和の確率である。これをP（κ，ツ）で表わすと，
工C2＋ソC呈十32．工．ソC2P（κ，ツ）＝32C2
κ（κ一1）十ツ（ツー1）十（32一κ一ツ）（31一κ一ツ）32x31
ここで，Pは，ツ）を0≦π≦32，0≦ツ≦32での連続関数とみなして極値を求める。
∂P＿κ一1＋π一（31一五ーツ）一（32一五ーツ）

一一∂π∂P2五十4ツー64

砂32x31

一＝ @を解いて，

豊

32×31＝04五十2ツー64
32×31＝01κとツは対象〕

64・
作ツ三τ＝10．6で極値を取る事が分る。

塑4∂2p 4∂、・E32x31＞α研＝32，31〉O・であるからこれは最小値を与える。
ところで，題意からふツ、Zは整数であり，κ≦ツ≦Zとしても一般性を失わない。

従って，P（石ツ）を最小とする組合せは次の2通りのどちらかである。
】一〇x9＋2x11x10（エ．ツ，z）＝（10．11，11〕でP（τツ，z）＝32x31（エ，ツ，z）＝（10，10，12）でP（κ，ツ，z）＝従一て求める確率は旧（2）

312
32x31

3105工＝一32x31
16

P（A，B1）＝3qP（B丘），P（AnB2）＝3qP（B2），P（A，B3）＝3qP（B呂〕

P（A．B）＝P（A．B1）十P（A．B2〕十P（A．B3）＝3q｛P（B1〕十P（B2）十P（B3）｝＝3qP（B〕
・（・1・）一p

ｮ｛（3）Y＝曲XとなるXは0≦X≦2πで2つあり，Xの密度関数は10≦κ≦2πで房だから，一1〈ツ〈1でYの密度関係は変数変換により

一2一P・憶1寸1・1ふ1−1・1。★1■・・（4）

確率変数Yを
Y＝max（X］，XムX乱）とし，Yの分布関数をF（ツ）とすると，｛i）0≦ツ≦1のとき，F（ツ）呂p｛max（XI．Xz

X乱）≦ツ｝＝P｛Xl≦ツ，X2≦ツ，X3≦ツ｝＝P（X1≦ツ）P（X2≦ツ）P（X3≦ツ）星ツ3（ii）ツ〈0のときF（ツ）ヨ0（血）ツ〉1のとき

F（ツ）＝1（∵X1，XヵX3は独立）

従って，求める期待値は∫1η・㍗・1一∫1ηW・・1一・π∫1舳一目（5）

問題文の②式でザ0とおくとP｛X＝削X≧角）＝P｛X＝0）＝P．・．P（X＝々）二p・P（X≧々）③式で（々＝O，1．2，…）一③

ト1とするとP｛X＝1）＝p・P｛X≧1）三p・｛1−P（X−0）｝＝p・（1−p）③式で々＝2とするとP（X＝2）＝p・P（X≧2）出p・｛1−P｛X二0）一P（X＝1）｝＝p・｛1−p−p（1−p）｝＝p・（1−p）2

一般にPlX豊島）＝p（1−p）苗とするとき
P（X＝々十1）＝p・P（X≧々十1）＝p｛1−p−p（1−p〕一…一p・（1−p）k｝

左＝P・｛1一ΣP（1−P）i｝
ト。
一・・l1一・（1iギ片／一・・（1一・）川従って・（・十日一（・一川・）一3一

P（X〉0，Y〉0）＝1だから・（等・1）一・1…〕、、工y
一∫；舌・・一∵貴・・㍉曲

工事y2
一∫；舌・・斗・」列1曲
2

2

一∫；舌・■・口・・一万砒｛斜線部Y≧X｝

皿十β コ＝2
一∫；舌・・一万一丁血

一［芋・島・・一等

3．

（1）X1＋

等1；二島＋X。の確率密度関数をf。（エ）とおくと

1 一土
f1（κ）＝一eλ（工〉0）λf∴∫：川）㌔（川＝÷・一÷∫ldt＝÷・I千

一般にlf・（エ）＝λ．此（〆■1ノ（κ一1）ノ）eλ（コ＝〉0）（κ〉0）とすると，

川一片、、讐、、・・皿÷・÷・．㍉t
一十・・■㍗、、竺≒、、・t÷着・・I千1工〉O）

従って数学的帰納法によりf止（工）三1λ丑一・0
そこでκH一土λ（工〉0）・e｛κ一1）！

（工≦0）

X］十…十X此の分布関数をFパェ）とおくと舳）巾・）・t★・｛、÷1）、・・一λ・t廿（、t；1）ブ・一■；・ト・、片、ぴ一…一｛・t一4一一土〆一1λH

1ト1）∫

1

eλ λ＾■2
一 ・片一2κ

工一工・e工1κ一2）！

E

ﾂ・T・∫1÷・一丁・t・一

一1一・一丁 F㍊（子プ次にS。の分布関数をG（κ）とおくとG（∬）＝P（SN≦∬）＝ΣP（N＝κ，SN≦κ〕巴ΣP（N＝ん＝，X」十… 十X吐≦x）＾＝o

片＝o＝ΣP〈N＝κ）Fハエ）
此＝o（i）κく0のときGは）＝O（五）エ≧OのときG（π）一二ΣP（N＝κ）Fパκ）

冊1o＝P（N30，SN≦エ）十ΣP｛N＝κ）Fパェ）
曲 此…1片μ 万F川＝P｛N握αS・＝0）十2、・一μ○μ止 万Flω＝P（N協O）十此ξ、・一出

一グμ・ゑ・一山・岩・［1一・一千㍊（子プ1（・）・（・・）一∫；π舳）一∫；中一・省・舳〕

一汁・省∫；κ舳）

血丘＝比ξ．θ一μ 万E（Xl＋．．．十X・）血止
μ 万士吐〜，・皿

左一1μλκ＝λμ〜、θ一μ．（κ一1）1＝λμ41（1）η回のうち表が2回続けては出ない事象は次の2つの排反事象の和事象である。
（i）η回目表が出てかつη一1回目裏が出てかつグ2回目迄表が2回続けては出ない。

（i）η回目裏が出てかつη一1回目迄表が2回続けては出ない。

一5一（i）の確率．．

p・（1−p）q、．。

㈹の確率

Dq、二p・（1−P）・q。．2＋｛1−P）・q、．］（1−p〕・qn．I

（η≧2）

3
412（2）（1）の差分方程式にP＝7を代入すると，q。＝7q。一1＋面q。一里
この差分方程式をq、一〇q、皿1＝b（q、．1一αq、．・〕の形に変形する（α．b）を求めると

4
α十b＝一，ob
712E一一4926よりα〈bとしてα，bを求めると。＝一一b＝一77

qn−oqn．一二b（qn．1−oqn．2）

当b2（q。．2一αq、．3）＝bn−1（q］一〇qo）＝bn−1（1一α）（qo＝q1＝1）

一一一一一→）

同様にq。一bq、．1＝on11（q3−bq。）＝on一（1−b〕①一②（b−o）q、．Fbn■111−o）一αn一（1−b）…一1言∴1（1一・）・・一■一（1一・）・・一11

11一 ｺナ1手）／（♀叶早）！刊廿古甘
なお，確率の意味からqr

ql＝1だが，上記式はη＝O．η＝1でも成立ち，η≧0で成立する。

一6一