考えを修正しながら問題解決に向かう生徒を育成する高等学校数学科の授業―「思考マップ」を活用した解決過程の可視化を通して―
長期研究員

春 山正 樹《研究の要旨》
本研究では，高等学校数学科の授業において，知識の活用や思考力が求められる問題に対し，考えを修正しながら問題解決に向かう生徒の育成を目指した。そこで，様々な解決方法をもつ課題を提示し，生徒同士の対話による解決の場を設定した。また，問題解決過程を可視化することで，生徒が問題解決過程で用いた考えを自覚できるように授業の工夫を行った。その結果，自分の考えを修正して問題解決に向かう生徒の姿が見られた。

Ⅰ

研究の趣旨

【手立て２】互いの考えとつまずきを共有する対話活動【手立て３】「思考マップ」による問題解決過程の振り返

次期高等学校学習指導要領の数学科の目標には，「数り学のよさを認識し積極的に数学を活用する態度，粘り強く考え数学的論拠に基づいて判断しようとする態度，問２

研究の内容

題解決の過程を振り返って考察を深めたり，評価・改善(1)【手立て１】様々な解決方法を考えさせる課題の工したりしようとする態度や創造性の基礎を養う」と記さ夫れている。また，同解説数学編理数編には，高等学校に単元同士のつながりや教科横断の視点を取り入れた

おける数学教育の意義として，「 問題がすぐには解けなく課題を提示し，単元終末時に解決させる。これにより，ても粘り強く考え続けることで，いくつかの知識の理解が深まることや新たな事実を発見することもあり得るだ

生徒は単元の学習内容を活用しながら，直感を働かせたり，推論を働かせたりすることで，様々な解決方法を考えることができる。

ろう」と記されている。

(2)【手立て２】互いの考えとつまずきを共有する対話研究協力校では，外部模試や大学入試のように，知識活動の活用や思考力を必要とする問題が出題されると，途中問題解決の過程でもった問題解決への様々な考えとで諦めてしまう生徒が見られる。実際の授業場面でも，つまずきを，生徒同士に共有させる。これによって，生解決過程でつまずいたとき，別の解決方法を考えること徒は一人では気付くことのできなかった，別の解決方法ができず，教師の解説に頼る生徒が見られる。これまでや，つまずきの解決方法を見付け，考えを修正しながらの自分の授業を振り返ってみると，例題や練習問題の解問題解決に進むことができる。

説をする講義型の授業が多かった。そのため，生徒は問(3)【手立て３】「思考マップ」による問題解決過程の振り返り

題解決過程のどこでつまずいたのか振り返り，つまずきの解決に向けて考えを修正することができなかった。また，どのようにしたらそのつまずきを解決できるのか，し，問題解決過た。以上のことが，問題解決でつまずいたときに自分の程を可視化す考えを修正することができない要因と考えられる。

る （ 図 １ ）。 な

そこで本研究では，問題解決の過程において，生徒同士の対話活動や解決過程の振り返りを通して，考えを修正しながら，問題解決できる生徒の育成を目指した。

研究の概要

１

研究仮説

お，本研究では「思考マップ」
を「問題解決に必要な手順や，図１ ｢思考マップ｣のイメージ

問題解決過程の生徒の思考・判断などの考えを可視化した図」と定義した。
「思考マップ」に問題解決過程の考え

高等学校数学科の授業において，以下の手立てを講じを記述することで，生徒はどこにつまずきがあったのか，れば，考えを修正しながら問題解決に向かう生徒を育成することができるだろう。

生 徒 は ，「 思 考マップ」を作成

生徒同士で問題解決の方法を共有する時間が不足していⅡ

問題解決後，どのようにしてつまずきを解決できたのか，考えの修正を行った箇所を自覚することができる。

【手立て１】様々な解決方法を考えさせる課題の工夫- 68 -

３ませた。単利方式と複利方式の違いを全体で共有した後，研究の実際
理系 84 名（２学級）

自力解決の時間を確保した。生徒は「どのようにすれば，対 象 学 年第２学年

授業実践Ⅰ

数学Ⅱ ｢指数関数｣（６時間）

返済総額を求めることができるか」を考察するために，授業実践Ⅱ

数学 B ｢等差数列と等比数列｣（６時間）「地道に計算する」「 等比数列の和の公式を利用する」「返済総額をグラフに表す」など，様々な解決方法を選択し，(1)【手立て１】について取り組んだ。

授業実践Ⅰ，授業実践Ⅱにおいて，単元終末時に以下(2)【手立て２】についての課題を提示した。
①

授業実践Ⅰ，授業実践Ⅱにおいて，単元終末の課題解

授業実践Ⅰ（数学Ⅱ「指数関数」）
数学と理科を横断し，｢太陽の明るさ（等級）を求める｣

決時に対話の場を設定した。
①という課題を設定した（図２）。

授業実践Ⅰ（数学Ⅱ「指数関数」）
実践Ⅰの課題では，太陽の絶対等級を求めるために，どのような式を立てればよいかにつまずく生徒が多く見られた。その後，グループで対話させ，つま図４

対話活動の様子

ずきの解決を図った(図４)。生徒は「指数関数を含む方程式を立てる」ことで問題を解決できそうだという，つまずきの解決方法に気付くことができた。
②
図２

実践Ⅰで提示した単元終末の課題

授業実践Ⅱ（数学Ｂ「等差数列と等比数列」）
実践Ⅱでは，グループは固定せず生徒同士自由に対話

実践Ⅰでは,６時目に単元終末の課題へ取り組ませた。

させた。図５は，生徒Ａと生徒Ｂの対話の様子である。

「星の等級変化は指数関数とみなす」ことを全体で共有

生徒Ｂは各金融機関の返済期間が異なるため，どのようし，取り組ませた。生徒は「星よりも太陽の方が明るいに比較すればよいのかわからずにつまずいていたが，生のか」「 明るさが距離の２乗に反比例するとはどういうこ徒Ａとの対話を通し，返済期間を20年にそろえることで，とだろう」など，解決に向け様々な考えを働かせ，取り比較できそうだということに気付いた場面である。

組んでいた。
②（生徒Ａと生徒Ｂの生徒の会話）
生徒Ａ：(Ｃ銀行の１年間で払うお金は)35万よりは確実に上で，多分40万ずつ払っていけば、確実に払っていける。30万だと足りていないんだよ。30年で払い切るようにすればいいだけなんだけど。20年で払い切ると仮定した場合だと（Ｃ銀行は）払い切れない。
それだけ見ても（30万で払い切れる）こっち（Ｂ銀行）の方がよさそうじゃない。
生徒Ｂ：あーそうか。それをみて、私も計算してみるね。
生徒Ａ：私もそろそろ奨学金Ａに移るね。
生徒Ｂ：ここのｎはどうすればいいの。
生徒Ａ：私は(ｎは)全部20年で統一した。条件そろえないと面倒くさいから。
生徒Ｂ：ｎって全部20でいいの…。あーなるほどね。私も20年で統一しよう。
生徒Ａ：これだと，ｎが20以下で計算できちゃう。
生徒Ｂ：うそでしょ。
生徒Ａ：ここで20を入れちゃうと440（万）だけど，払い切れちゃうから、これを20年で割ってみると，ここから，年間19万くらいかな、多分。

授業実践Ⅱ（数学Ｂ「等差数列と等比数列」）
ある金融機関で，大学生活に必要な経費を借りるという設定で作成した課題である（図３）。

図５

対話活動の様子

生徒Ｂは生徒Ａとの対話を通し，「ｎは すべて20年と設定してよい」と，つまずきを解決し，問題解決に進むことができていた。
図３

実践Ⅱで提示した単元終末の課題

他の生徒の授業後の感想にも，｢どこでつまずいてい実践Ⅱでは，５，６時目に，単元終末の課題へ取り組たか理解できた」「分からない ところを聞いて解決 でき- 69 -た」などの記述が見られた。このことから対話活動を通という問題の「思考マップ」である。この生徒は，「５のして，生徒がつまずきに気付き，そのつまずきを解決で倍数ではない自然数を並べた数列は，等差数列ではないきたことが分かる（図６）。

から計算できない」というつまずきを，「１から100までの和から５の倍数の和を引くことで解決できる」という別の解決方法を選択して解決したことを可視化した。毎時間でつまずきの図６

対話活動に関する生徒の記述

記述を意識させた(3)【手立て３】について

結果，単元終末の①

課題解決時の「思授業実践Ⅰ（数学Ⅱ「指数関数」）
実践Ⅰでは，毎時間「思考マップ」を作成した。実践考マップ」におい

初めの段階では，解決手順の記述しかできない生徒が多ても，つまずきや，かったが，単元終末時の「思考マップ」には，解決の手つまずきの解決の順だけでなく，考えの記述が見られた(図７)。

記述が見られた(図10）。

図10 つまずきの可視化（単元末の課題）

Ⅲ

研究のまとめ１

研究の考察・検証(1) 質問紙調査より① 【手立て１】について単元終末時に提示した課題について，実践Ⅱ後に質問紙調査(４件法)を実施した。集計
表において否定群（１，２）と肯定群
図７

単元終末時の思考マップ（実践Ⅰ）（３，４）に分類

図11

単元末の課題について実践後に実施した意識調査には，｢どう考えたか，振りすると，どの項目返りができた｣「自分の頭の中を整理することができた」

に対しても，７割｢言葉にすると，考えが深まった｣など，問題解決過程の以上の生徒が肯考えを客観的に振り返ることができた生徒の記述が見ら定的に回答をしれた(図８）。一方ている。このこと

で，つまずきや，から，生徒は単元つまずきの解決終末の課題を解決するために，意欲的に，粘り強く取り方法を「思考マッ

図12 【手だて１】による変容組もうとしていたことがうかがえる(図11)。また，実践
図８プ」に記述してい生徒の記述

Ⅱ前後の質問紙調査において｢問題が解けた後，別の解きる生徒はほとんど見られなかった。

方を考えるか｣という項目で，肯定群の割合が42.4％から②71.2％に増加していることから，単元末の課題の別の解授業実践Ⅱ（数学Ｂ「等差数列と等比数列」）
実践Ⅱでは，解決過程だけでなく，意図的につまずきも記述させた。図

決方法を考えながら解こうとしていたこともうかがえる(図12)。

９は第２時に生徒

以上より，単元終末の課題が，生徒に様々な解決方法が作成した「１かを考えさせる有効な手立てであったと考えられる。

ら 100 ま で の 自 然② 【手立て２】について

数の中で，５の倍

実践Ⅱ前後の質問紙調査（４件法）において，｢単元終数ではない自然数

末の課題を解く中で話し合う活動は役立ったか｣の項目の総和を求めよ」

図９

つまずきの可視化(第２時)の平均値は，実践前が 3.81，実践後が 3.96 となり，0.15- 70 -の上昇が見られた。また，「単元終末の課題を解く中で，以上より，「思考マップ」は，問題解決過程の考えや，対話活動がどのように役に立ったか」を実践Ⅱ後に記述

どこで考えの修正を行ったかを振り返る有効な手立てでさせた。その結果，周りの生徒との対話により，つまずあると考えられる。

きの解決方法や別の考えを知ることができたという趣旨「そろえる」という考えの記述が，77 人中 51 人に見られた(図 13)。このことか
ら，問題解決の過程において，互いの考えやつまずきを共有する場を設定することは，生徒が考えを修正しながら，問題解決へ進むことにおいて有効な手立てであると考えられる。

図13「話し合う活動」に関する生徒の記述③ 【手立て３】について
実践Ⅱ後の質問紙調査(４件法)

図15

において，
「『思考実践Ⅱ単元終末の課題「思考マップ」マップ』の作成によって，つまずきに気付くことができたか｣｢つまずきに気付いた後で，さらに問題
図16

解決に進むことができたか｣の２

図14

クロス集計結果

２

生徒の「思考マップ」

研究の成果と課題項目でクロス集計を行った(図14)。２項目間の相関係数(1) 研究の成果(ｒ)を算出した結果，ｒ＝0.74と強い正の相関が見られ①

単元終末の課題を設定し，対話を通して解決したこた。このことから，「思考マップ」を作成することは，つとで，生徒は様々な解決方法や，つまずきの解決方法まずきがどこにあったかに気付き，考えを修正して問題を考える大切さに気付くことができた。

解決に進む上で有効であると考えられる。

② 「思考マップ」で問題解決過程を可視化することで，(2) 生徒の「思考マップ」より生徒はどこで考えを修正したかを自覚できた。生徒自図15は図14の両方の質問項目に対し，肯定的に解答し身に，問題解決過程を振り返らせる時間を，授業の中た生徒が，実践Ⅱの単元終末の課題解決時に作成した「思に設定していくことが大切であると分かった。

考マップ」である。この生徒は，４つの金融機関の返済(2) 研究の課題総額を求め比較するよりも，返済期間と１年間で返済す①

単元終末時の課題において，他の単元の知識や技能る金額をそろえて，20年後のローン残高を計算した方がを活用した解決方法を引き出すこと ができなかった。

簡単に比較できそうだと，考えを修正したことを振り返今後も，他教科や，他の単元とのつながりをより一層っている。実際に，この生徒は，各金融機関の20年後の意識した教材づくりを進めていきたい。

ローン残高を求める計算式を｢思考マップ｣に記述してい②｢思考マップ」によって，考えの修正を自覚できた生る。このことから，この生徒は，どこで考えを修正した徒がいた一方で，つまずきの気付きに役立たなかったのかを自覚できたと捉えることができる。と考えた生徒も多かった。これは，問題解決後に「思また，この生徒の「思考マップ」には，等比数列の和考マップ」を作成したため，生徒はどこにつまずきがを活用して，複利方式であるＢ銀行，Ｃ銀行，奨学金Ａあったのか振り返ることができなかったからと考えのｎ年後のローン残高を求めることができたことがわかられる。今後は問題解決途中の作成を視野に入れ，研る記述が見られた(図16)。このことから，この生徒は問究を継続していきたい。

題解決過程の考えを振り返ることができたと考えられる。

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