平成12年12月一9日
年金数理…・・……・1

年金数理（問題）
この年金数理の問題における「Trowbridgeモデルの年金制度」とは、定年退職者のみに対し、定年年齢x、歳時より単位年金額の終身年金を年1回期初に支払う年金制度をいう。

問題1．次の（1）〜（13）について、それぞれ5つの選択肢から、設間の客として正しいものを選んでその記号を解答用紙の所定欄に記入せよ。

（52点）（1）次の算式のうち誤っているものの記号を選べ。

11（A）町ゾδ・丁万I（κ・μ／＋δ）（B）δデδ工・δゲ〜（C）δ、1工・δ工一δ砂（D）δ⊥・δ工・δ、一δ。（E）δ川・δ工・δ、一2・δリ〃Ψ（2）Trowbridgeモデルの年金制度において、財政方式を開放基金方式によるものとすれ

ば、定常状態における積立金0州Fを表す算式は次のうちどれか。ただし、年金受給権者の給付現価を∫Pとし、在職中の被保険者の給付現価yは、過去の加入期間に対応する給付現価∫員、と、将来の加入期間に対応する給付現価嶋に分離されるものとする。
（A）8ρ（B）∫ρ十8島（C）∫P＋∫烏（D）∫P＋y（E）y（3）保険料および給付が全て期初に行われる年金制度で、ある年度の財政が予定どおりに推移し次のとおりであった。この年度の過去勤務債務償却ための特別保険料として最も近い値の記号を選べ。期初年金資産：100、給付：35、期初責任準備金＝169、標準保険料：41、期末責任準備金＝182、資産運用収入＝5。
（A）15（B）16（C）17（D）18（E）19（4）Tmwbr1dgeモデルの年金制度が財政方式は開放型総合保険料方式としており、定常状態に達していた。ある年度に何らかの理由で資産に〃だけの不足をきたしてしまった。翌年度からの保険料率は以前の定常状態を維持するために必要な保険料率に加え、不足を償却する保険料率分の〃／（ぴ十G∫）を上乗せした。ここにぴは在職中の被保険者の人数現価、G∫は将来加入が見込まれる被保険者の人数現価とする。2年後の未償却不足額として正しい算式の記号を選べ。ただし、その2年間の財政は予定どおり推移し、後発過去勤務債務の発生は無かったものとする。選択肢
中の記号1は予定利率（以下、ことわ一らない限り同様）である。
（A）〃・（1・i）2（B）△〃（1・f）2（C）蛆・（1−1）2（D）△F（E）州（H）2（5）利率が4．O％であるとき∫o。。（竹の〃→。oとしたもの。（∫o）軸とも書く）の値として最も近いものの記号を選べ。
（A）500（B）550（C）600（D）650（E）700−48一年金数理……・…・・2（6）ある年金制度において、財政方式は開放基金方式としており、定常人口に達しているある年度宋の財政状態は、積立金がFであり、標準保険料率0W戸による保険料収入0州Cの現価の他に、収入現価としてσ相当の特別保険料を徴収することで、給付現価と収支相等する計画となっていた。この年度末に、すでに年金者となっている者以外の者の給付を一律（1＋α）倍とする変更を行った。変更後の標準保険料率も（1＋α）倍するとした場合の変更後の未償却過去勤務債務として、正しい算式の記号を選べ。ただし、この制度において受給待期者はいないものとし、選択肢中の記号の意味は（2）で説明されているものと同じである。
（A）σ十α・∫芸、（B）（1＋α）．σ十α．F」（C）σ十α．F（D）（1＋α）・σ十α・∫ρ（E）（1＋α）・σ十α・∫島（7）ある年金制度の初期過去勤務債務びを年1回期切払の特別保険料で償却するものとし・①5年間の元利均等償却による方法と、②前年度末未償却過去勤務債務（発足時は初期過去勤務債務）残高の一定割合αをその年度に償却する方法を考えた。①の方法による「第4年度末の未償却過去勤務債務残高」と②の方法によるそれが一致するとした場合、αの近似値と1して、最も近いものの記号を選べ。ただし、後発過去勤務債務は発生しないものとし、予定利率は3．5％で、崎5％）＝4．67308とする。
（A）O，303（B）0，313（C）0，323（D）01333（E）O，343（8）60歳支給開始期切払10年保証終身年金において、支給開始後2年ごとに当初年金額の5％相当額を増額し支給するものとし、保証期間経過後は保証期間の最終年度に支給された年金額の50％を継続して支給することとした場合、この年金の支給開始時点における年金現価率の近似値として、最も近いものの記号を選べ。ただし、予定利率iを5，0％とし、必要な場合には次の数値を参照せよ。D。。＝4，69α5，1M・＝5榊5・M・…L61λ4・δボ＆10782…高一α95238・じm・α6139L（A）11−0（B）11．3（C）l1．6（D）l1．9（E）12．2（9）開放型総合保険料方式を採用していて、極限方程式の成立する状態にある年金制度があるものとする。ある年度で剰余金Rを使い、保険料率の引き下げを行ったとし，た場合、剰余金を使用しなかった場合との保険料の差を表す算式の記号を選べ。
（A）一、R（1一ゴ）（B）一。R（1＋（C））。R（D）．（1＋ゴ）一沢（10）年金資産巧の時刻ゴにおける利力が帖＝4＋（E）プ（1＿）。Rであり、年金資産凡の時刻Cにおける利力がB4＝1＋3・Cであるとする。時刻f＝Oのとき、年金資産グ、と、年金資産凡は等しく、時刻。＝〃のときも等しい場合、ηの値を表す記号を選べ。
（A）1／3（B）1／2（C）1（D）2（E）3一49川

年金数理……・・・…3（ll）ある年金制度において、第〃年度期初に10，000の過去勤務債務残高があったので、償却期間を10年とし、給与に対する一定割合の特別保険料率を定め、年1回期初に償却することとした。予定利率j：5．O％、α薦■＝8・10782・第η年度期初の総給与100，000を用い、小数第5位を切り上げて特別保険料率を決め、第η年度期初から償却を開始した。その後、総給与が毎年4，000ずつ減少したため、総給与が毎年4，000ずつ減少したことによる償却不足以外の年金財政上の後発債務は発生しなかったものの、当初の総給与が変わらない償却計画より過去勤務債務残高は多くなってしまった。第〃十3年度期末における過去勤務債務残高の、当初計画値を上回っている額として最も近いものの記号を選べ。
（A）159（B）234（C）323（D）428（E）5471（12）巧河の近似値を表す正しい算式の記号を選べ。ただし、民≒δトヲとする。
（・）去・（へ司・㌦司）（・）去・・士・（・・㌦司・へ刃）（・）士・1土・（へ司・へ）1（D）δバラ

1D（E）δバラ・す（13）ある年金制度では、利回りのもと定常状態を保っており、保険料の払い込みおよび給付の支払は共に年1回期初に発生するものとして、いわゆる極限方程式が成立していた。ところが、ある年度初の保険料の払い込みおよび給付の支払後から、利回りがiからノ（ノ〈j）に変化し、また、その翌年以降の年度から保険料と給付の双方に対して前年比（1＋た）借（κ＞0）の改定が行われることとなった。このとき、ある年度を第1年度として、第何年度初にこの年金制度は支払不能となるか。支払不能となる年度を第〃年度として、正しい算式の記号を選べ。ただし、記号〈G〉はGを超えない最大の整数を表すものとし・た千ノとす乱㈹寸1芸㌻倒ηぐll；㌣1

吋皆い⑭イ字÷
…十干ジ
一50一

年金数理…・…・…・4

間題2．次の説明文中の空欄に当てはまる記号または算式を解答用紙の所定欄に記入せよ。（13点）

財政方式として開放基金方式を採用する給与比例制の年金制度の場合に、保険料率計算を行った計算基準日における被保険者数および給与総額が定常人口にあるものと仮定し、その被保険者数および給与総額が計算基準日時点と同じとなるように、毎年の新規被保険者数および新規被保険者の給与を見込むものとする。
いま、脱退残存表上のx歳の残存者数を工人、昇給指数算定上の昇給指数をゐ工とし、新規加入年齢をπ。歳、最終年齢をx、歳、x歳の者の将来分の平均被保険者期間をe工＝（、十工、1＋．＿十（1）毎年α・工、．I）〃工とする。

工。（人）の新規被保険者が加入し、基礎率どおりの推移をし、定常人口になっ回だとすれば、その総被保険者数〃（人）はz■一Σ［重コ。

作回

計算基準日時点の被保険者集団の総人数を尤（人）とすると、［重コとなるαは、回匝1α竺雇1コノΣ［壷コ。よって・毎年のπ。歳の新規被保険者数は回・匝コ／Σ［亙コ㌍回

工＝回回

ここで、（Σ匝コ）ノ回は回であり、新規被保険者数＝［重コ／［頭となり、計炸回
算基準日時点の［重コに比例する。

（2）続いて、新規被保険者の給与を考える。（1）と同様に毎年α。

工。（人）の新規被保険者がβ．わ工。（円）の給与で加入し、基礎率どおりの推移をし定常人口になったとすれば、回その給与総額3，（円）は3一Σ（匝コ・口重コ）。

I＝回
計算基準日時点の被保険者集団の給与総額を3（円）とすると、［〕1コとなるβは、β＝回／（α回i此（回回）の結果を代入してβ＝（回晋／（回回晋）

匝］

よって、毎年のx。歳の新規被保険者の給与は（匝コ／回）・（回・Σ回ノΣ回）となり、計算基準日時点の［1回ノ回に比例する。

一51一

仁回炸回

年金数理…・…・…・5

問題3．Trowbndgeモデルの年金制度において、財政方式として平準積皿方式により運営する場合、以下の問に答えよ。ただし、記号の定義は問題1．（2）および（4）と同じとし・添字Zは平準積y方式を示すものとす乱（15点）（1）毎年1人当たり一定の額の保険料を正Pとし、x。歳で新規加入する被保険者について成り立っている収支相等の原則を計算基数を用いて等式に表わせ。さらに、この等式より工Pを求めよ。
（2）また、x、歳で将来に亘って制度に加入してくる者の給付現価∫∫と人数現価G∫のそれぞれを無限等比級数（算式中に計算基数を用いてよい）として表現した上で、
工P＝∫∫／G∫が（1）の工Pと等しくなることを示せ。

（3）定常状態における平準積皿方式の積立金の額は∫P＋y／Pぴとなることを、極限
方程式工C＋a・工F＝Bを変形させて求めよ。ただし、Cは保険料収入、Fは積立金残高、ガ1＿UおよびBは毎年の給付金である。

問題4．保険料を給与の一定割合とし、年金給付として年金額は退職時給与b工（円）と同額の終身年金を定年退職者にのみ支給する制度を考える。ここにx、は定年年齢とし、以下の問に答えよ。（20点）（1）x歳の被保険者1人当たりの給付現価∫工・給与現価G工を・x歳の給与を表すわよ（円）および計算基数、年金現価率を用いて表し、それらを用いて加入年齢をx、歳としたときの加入年齢方式での標準保険料率具を示せ。
（2）集団Aの年齢別給与4（円）と、集団Bの年齢別給与は（円）との関係が4＝α・（x＿x。）十㌧

ぱ昌β・α・（卜x。）十b、ここに（1く。，1くβ）である

とき、集団Aの加入年齢方式での標準保険料率4と、集団Bの加入年齢方式での標準保険料率せとの大小を論せよ。
（3）同様の前提で、集団Bの年齢別給与は（円）のうち、年齢τ歳以上では集団Aの定年年齢の給与わご（円）より大きくなることが判明したので年齢τ歳以上の集団Bの者の給与はわご（円）とすることとし、給付および保険料率を決めることとした。この場合、集団Aの加入年齢方式での標準保険料率4と、集団Bの加入年齢方式での標準保険料率貝との大小を論せよ。

以上（注）問題1．（6）において．出題時点では財政方式を「開放型総合保険料方式」と誤記していたため、それを「開放基金方式」に訂正して問題を掲載し、全ての受験者に配点をした。

一52一

年金数理解答例
問題1．
番号（1）（2）記号A（3）（4）

（5）

（6）

（7）

B

D

DAE

（8）

E

（9）（10）（11）（12）

C

B

E

C

（13）

A

D

問題1、の正答は上記であるが、以下に略解を付す。
（1）教科書P40〜42より、（B）〜（D）は正しい算式であり、（A）の算式はσηの近似式を表しており（A）が誤りである。
（2）教科書P91より、（B）の算式が正しい。
（3）責任準備金の推移は、（169＋41−35）・（1＋j）＝182より、1＝4．0％であることが分かる。この年度の過去勤務債務償却特別保険料をσとして、予定利率4％での資産運用収入が5となることから方程式
5／0．04＝100＋41−35＋σを解くと、σ＝19となるから（E）が正解である。

（4）教科書P92のとおり未償却額は減少しないので（D）が正解である。
（5）〃。。一（1＋1）／12であるから（1＋0．04）／0，042＝650となるので（D）が正解である。

（6）年度末の変更前の貸借対照表はσ二σトFとなっていた。ここに、

0鮒〆＝（∫ρ十y＋∫／）一0州戸・（ぴ斗G∫）である。制度変更後の責任準備金
は0州ジ＝∫ρ十（1＋α）．（y＋∫∫）＿（1＋α）．0州P。（ぴ十G∫）となり、制度変更後の過去勤務債務は、責任準備金額から年金資産額を控除した
び一仰，一・となるので、仰牛歩を代入して・
ぴ＝∫P＋（1＋α）・∫島一F＝σ十α・∫島ここにσユ∫P＋∫三ボFである。したがって（A）が正解である。

（7）①の方法による第4年度末の未償却過去勤務債務はσ／吋5％）である。②のそれは、σ・｛（1一α）・1，035｝4であり、これらが一致するので1（1一α）・1・0351㌧1／叫一5％）・1／4石7308・α21399．

より（1一α）・1，035＝O，6801413…であるから、α＝0．3428＿となり、（E）が正解で一53一ある。

（8）年金額の推移は当初額1．Oで2回の後、2回ずつ1．05，1．10，1−15，1．20となり、保証終了後はO．60となる。求める現価はr保証期問分現何十α6・M、。／D、。」であり、保証期間分現価を計算すると「095δ呵十〇。05の2年間隔逓増現価分」となり、この式の第2項を、年金額が同じ年度分を括って、o2を乗じた数列の和との差を求めることにより、数式で表すと0刀5・（1一・10）025・・＿（1−0）2・（1＋・）

1−0oとなるので、参照値の。および。lOを用いて計算すると1．137435…となる。また、保証後終身部分現価は2．76461…であるから、合計はO．95・8．10782＋1．137435＋2．76461：11．60447…。したがって（C）が正解である。

（9）Pを剰余金を使用しない場合の保険料率、P を剰余金を使用する場合のy＋∫∫十∫ρ＿Fy＋∫∫十∫ρ一F−R
保険料率とすると、P＿、P ＝
だか
G。十G∫
G。十G∫

ら・保険料率の差は・一・R・。・十。／であるバた・ぴ十G∫一川より・

制度全体の保険料は人数を乗じたものであるからz・R

G口十G∫

z・R・a＿Z（10）妬（C）＝4＋
励＝R

a：一沢より（B）が正解である。
1＋。
、 傷（ご）＿1＋3Cより、〜（C）＝C■十4C＋（1／2）C
励

凡（C）＝C、十C＋（3／2）・C2であり、凡（0）＝㌔（0）よりCノ＝C。。

凡（n）＝凡（〃）より、4・n斗（1／2）・n2＝n＋（3／2）・m2

n2−3・m＝0よりm＝3だから（E）が正解である。
（11）特別保険料率はP皿／（δポΣ3）＝10，OOOノ（8．10782・100，OOO）≒O．01233…。したがって、端数処理後の特別保険料率1．24％を用いて、給与が変わらないとした場合の各期末の過去勤務債務残高の推移および実際の給与に基づき償却された場合の過去勤務債務残高実績は、利息を考慮すると下記のとおり。

一54一

実績値

計画値（n年期初PSL・・1O，000）

給与直後PSL 期末PSL

特別保険料

給与

特別保険料

直後PSL 期末PSL

n年度

100000

1，240

8，760

9，198

1OO，O00

1，240

8，760

9，198

n＋1年度

100000

1，240

7，958

8，356

96，0001，190

8，O08・8，408

n＋2年度

100000

1，240

7，116

7，472

92，000

1，141

7，267

7，631

n＋3年度

100000

1，240

6，232

6，543

88，000

1，091

6，539

6，866

この結果、差額は6，866−6，543＝323となり、（C）が正解である。
（12）教科書P32より、（A）が正解である。
（13）（1＋た）／（1＋ノ）＝oと置いて、第m年度始に支払不能になるとすれば、給付B、保険料C、積立金Fの関係から、
F＜（3−C）・（1＋o＋…十〇1−o

変形するとF＜（ポC）

1−o一1）を満たす最小のmを求めればよい。この式をとなり、これを〃について解いてj一ノ十（1＋i）・ん10g
η＝j・（1＋ノ）

1＋た1og1＋ノ十1となるから、（D）が正解である。

問題2教科書P165〜167参照

IJ胆

番号

記号または算式①X0②π、一1③（α・z工）

④z＝z

⑤z

⑥工

⑦z工。

⑧eエ。

⑨β・ろ工

⑪3＝3

⑪⑫⑬

または〃＝ムまたは3＝B3（ろ工・z工）
ろ工。

一55一

問題3I教科書P64，P60参照（1）P．（D工。十D工畠十1＋D工。、。十……十D、．1）二D工、、δみよりPをLPとすれば

D ・δ
Lp：工「工『エテ1ΣD元工E工｛（2）∫∫・ll二）・（…2＋…・バ）・（M年／D工．）イ）…δ。。・（M工、／ρ工，）二（・／a）・ll＝）・（M工、／D汽）・∫巾・・1・〃）・／剛／へ・（・州）・／三小一（〃・シ〃十州午／／／l／・）巾／ノヘ／・㌣（3）工C＋a・工Fコ万より
工F＝（3／C）／a＝（3／a）ノp・（Z／a）貿∫p＋y＋∫∫一Lp・（Go＋G∫）＝∫ρ十y＋∫∫＿工P．Gロノ戸．G／＝∫ρ十y＋∫∫＿LP．G。＿∫∫＝8ρ十y＿乍．G。

ここに、3／aは給付3の永久現価と考えれば過去・現在・将来にわたる全ての者の給付現価となるので、3／a＝∫ρ十∫0＋∫∫であること、および保険料は人数x保険料率であるからムC＝工P．Zと表せ、〃aも人数Zの永久現価と考えれば現在被保険者および将来被保険者の人数現価となることを用いている。

問題4．教科書P156〜P159
エゲ1・

Σ（ろ、・D、）（1）∫工・ろみ・・、・δみ／・ビ・メ㍉

ゐ．D．δ

より・久≒ll㌃㍉

工．ぱ（2）まず、
4β・α・（x−x、）十わ工。

＿o・（x−x直）十ろ工。

Σ（ろ、・D、）（β一1）・ろ工埋＝β一α・（x一π直）十わ工、に関する条件からろB

古はxについて単調増加である。つぎに、

ろ工

一56一y＝五里であるので、α、β寄・隻（着1；寿（壬二1一考；となり・芳が111加．γ斗。

γ弍・であることから工。一1わ・Σげ方・ll…1〆①バた・京が単調減少カ

つDツが単調減少であるか『沙ら、工、一1工、一1Σ（ろf・D、）Σ（ろプ・D、）

y＝工｛工、．、

Σ岬

エ・一1

Σ（ろ3・D、）Σ吋＜y＝工理工、．、

Σあプ

y三礼

工、一より着＜｛テ≡青・②。したがって、

Σ（ろプ・D、）Σ吋ノ弍。

y弍。

戸工・

①、②よりエバ1

ξ（ろ用1・ぺΣ（ろ｛）＜玄∴可＞

∴κ＞々

y±工

（3）年齢τ以上の者の給与ばるζ＝ろζ十、＝ろζ斗2＝……＝ぺ＝ろぐとなり、標準保険料を比較すると工。一1エゲ1旦＝竺ξ（榊、暮（州であり、孔く、＜みでは常に㍗リζΣ（1プ・・、）Σ（い、）ツ弍。

戸工｛〆＜ろBであるから
yy々・⊥・1∴々・41B
尺1B一57一