平成17年12月26目
数学・・・…1

数学（問題）
解答にあたっての注意事項

・問題1から問題3を通じて、必要であれば8ぺ一ジ以降の（付表）に記載された数値を用いること。
・解答が数値となる場合は、整数となる場合を除き、既約分数、または小数点以下第5位を四捨五入した小数点以下第4位までの小数とすること。ただし、問題文において別に指示するものを除く。
・解答が数式となる場合は、できるだけ整理された形で表記すること。

・円周率はπ、自然対数の底はeと表記し、数値に置き換えないこと。

・問題2、問題3は汎用の解答用紙に問題番号を記入の上解答すること。解答に至る式または過程は解答用紙に残すこと。

問題1．次の各問の空欄に入る解答を、解答用紙の所定の欄に記入せよ。

（5点・12＝60点）（1）赤、青、黄の3色のランプが1つずつある。常に、そのうち1つのランプだけが点灯
しているものとする。また、どのランプも点灯するとその三秒後に消え、消えると同時
1に残る2つのランプのうちどちらか一方が、それぞれ確率一でランダムに点灯するもの2とする。今、赤い色のランプが点灯しているとすると、n秒後に赤い色のランプが点灯！1鵬（・）1、二111。
（2）ある正規母集団（母平均は未知）から以下の8個の標本を無作為に抽出した。
3．1

3．6

1．9

2，8

2．6

3．1

2．1

4．0

ここで、

！（α，ろ）…「母分散の信頼係数0％の信頼区間の幅」一「母分散の信頼係数ろ％の信頼区間の幅」

l11111、！（l1，ll）一1（11，11日111。
（r信頼係数」はr信頼度」とも言う。信頼区間の「幅」はr長さ」とも言う。）

一1一

平成17年12月26目

数学……2（3）時系列モデル｛∫、｝が以下を満たすとき、時点C一んと時点Cの自己共分散C0ツ（科．此，斗）

1、二111．l！！、1勤11111111。
∫o＝0∫・軋．1・μ・勾（1・1，2，3，…）

ここで、μは。によらない定数、εは平均0、分散σ2の同一の分布に従う互いに独立な確率変数（4）X1とX2を、同一の確率密度関数！（κ）＝e■エ（定義域は、x＞0）に従う互いに独立な確率変数とするとき、以下のとおりとなる。

γ＝X1−X2・・

V」スω・［亙］（一。。くγ一の確率密度関数は、の確率密度関数は・

石（・）一［亙］（・・0）（5）ある計算アルゴリズムでは、変数の個数κと計算時間yとの間に以下の関係があることがわかった。

個数
x
計算時間y

1

10

100

1．000

10，000

7．4

8．0

9，1

11．5

14．1

明らかに線形回帰分析では良く当てはまりそうもない。そこで、説明変数xを適当に変換し、変換後の説明変数ノと被説明変数γの回帰式を最小二乗法により推定する。ここで、xの変換として、x＝7ogloxとメ＝石の2つを考えるが、そのいずれが優れているかを、決定係数を用い、回帰式γ＝α十〃のいずれが良く当てはまっているかで判定する。判定の結果、優れているほうの変換による回帰式y＝o＋〃の○は［互］、ろは［亙コ、決定係数は［重二］である。

一2一

平成17年12月26日

数学……3（6）あるデパートではある種のカブトムシを大量に販売しているが、その価格は日々変化する。員々のカブトムシ1匹の価格（以下、単に「価格」という）の前目比は、10％上昇、5％下落のいずれかをとる互いに独立な確率変数であり、その発生確率は10％上昇が60％、5％下落が40％である。本目の価格が1，000円であるとき、n日後の価格が2，000円以上となる確率が90％以上となることが保証されるのは、n≧［二二二コであるときである。ただし、nは十分に大きいものとして考えること。（整数で解答せよ。）（7）ある企業の社員の翌日（1日後）の出社・病欠を予測するモデルを考える。社員の翌日の出社・病欠は、本目および前日の出社・病欠にのみ依存しているものとし、本目および前日の出社・病欠と、翌日の出社・病欠の関係は、以下のとおりである。
（i）前日、本日ともに出社した社員が、翌日出社する確率は0．98（並）前日は病欠したが本目は出社した社員が、翌日出社する確率はα（並）前日は出社したが本目は病欠した社員が、翌日出社する確率は0．8（泣）前日、本目ともに病欠した社員が、翌日出社する確率はβ
ここで、・前日も本目も病欠した社員が、翌々目（2日後）も病欠である確率が0，29
・前日は出社したが本目は病欠の社員が、翌々日（2日後）出社する確率が0，836であるとすると、α：［二Φ二］、β＝［二重二］となる。（0くα，β＜1）

一3一

平成17年12月26日

数学……4（8）ある企業の毎月の弔慰金支払額は、平均2，000万円、標準偏差750万円の正規分布に従う
ものとする。その企業は、弔慰金支払い集中に備えて、月間の弔慰金支払額が2，500万円を超えた場合に、以下の（i）と（i）のいずれか小さい金額を保険金として保険金杜から受け取る契約を結ぶこととした。
（i）2，500万円を超える部分の金額の1．1倍（i）2，000方円を超える部分の全額

この契約からの保険金杜の1年間の利益（＝「累積保険料」一「累積保険金支払額」、

事業費や利息は考慮しないこととする）の期待値が200万円となるように、企業が保険

111111111111（11）l／l1！−／1／ll11！二11／11
単位を四捨五入して万円単位とせよ）となる。シミュレーションは、工0，1】区間の一様分布として次の確率変数を用い、累積密度関数の逆関数を用いる方法で実施すること。
（小なる確率変数は、少額の支払額に対応するものとせよ。）
O．916

0．442

0．778

0．424

0．058

0．859

0．516

0．632

0．024

0．098

0．992

0，398

（注）本間の趣旨は、シミュレーション方法を理解しているかどうかを単純に闘うものである。上記の乱数は、万円単位の保険料を求めるには充分な個数であるとはいえないものの、問題の便宜上、少数としているものであり、精度にはこだわらず、単純にシミュレーションを行って保険料を求めよ。（正規分布の理論値計算や、シミュレーション上の分散減少の工夫等を行う必要はない。）（9）あるホームヘージヘの1時間あたりのアクセス数は、平均15のポアソン分布に従うものとする。このとき、α時間あたりのアクセス数は①平均の分布に従う。また、アクセスの間隔をτ時間とすると、rは②平均の分布に従う。最新のアクセスが今から3分前にあったことが判明しているとすると、今から5分以内にアクセスがある確率は［亙］である。

一4一

平成17年12月26日

数学……5

（
（10）下図のような半径1の半円周ノB上に点P、点ρを無作為に選ぶ。このとき、円の中
心0と点P、点ρからなる扇型P09の面積∫は確率変数となるが、∫の確率密度関数は、

州・［二／・…多／孤ノ（11）確率過程紅30｝が標準ブラウン運動に従うものとする。

ll！l，11111水、・111・l11、二11／。
注：ブラウン運動はガウス過程とも呼ばれる。標準ブラウン運動はウィーナー過程とも呼ばれる。

1（12）成功確率＿の試行を繰り返し行い（異なる回の試行が成功するかどうかは互いに独立

3とする）、成功するごとに、つぼに玉を1個入れるというゲームを行う。3個の玉が入った状況でっぽに玉を入れると玉があふれ、つぼに入った玉は3個に戻る仕組みになっている。っぼからあふれた玉の個数を得点とすると、ゲーム終了時の得点の期待値は［二二］である。ただし、つぼに玉が入っていない状況から始め、試行が通算で3回失敗したときに、このゲームは終了するものとする。

一5一

平成17年12月26目

数学……6

問題2．X1，X2を確率変数Xからの標本とし、Xの確率密度関数が、未知の母数θを含む、／卦／・…ξ／州＝一／紗／ξ…1／0（その他）

で与えられるとする。このとき、次の問いに解答せよ。
（1）統計量∫＝q．（刈十X2）、（10点・2＝20点）

r＝C2・M㎞（刈，X2）がともにθの不偏推定量となるように、定数C1およびC2を定めよ。
（2）（1）で定めたθの不偏推定量∫、rのどちらがより有効かを示せ。

一6一

平成17年12月26目

数学……7
問題3．成功するとそれぞれ点数1，2，3を加算する3種類のゲームがある。各々のゲー

1 1 1
ムの成功確率はそれぞれ＿、＿、＿であり、失敗の場合は加算点をOとする。今、開始
2

3

6

時の持ち点を0とし、3種類のゲームのうち1種類をランダムに選び（どの種類のゲー
1。

ムを選ぶかは、各々一の確率とする）、そのゲームを行い、成功すれば持ち点にゲームこ3とに上記で定めた点数を加算し、あらかじめ定めた目標点n（n＞0）にちょうど到達した場合のみ終了、そうでなければ、次のゲームを選ぶところから繰り返す。ゲームに成功した場合であっても、上記で定めた点数を加算した結果、目標点mを上回る場合は加算点を0とする。目標点nへの到達までのゲームの実施回数（加算点がOとなった回を含む）を確率変数xとし、その期待値を到x】とあらわす。このとき、次の問いに解答せよ。

（5点×4＝20点）（1）亙匡1を求めよ。
（2）到X21を求めよ。

（3）到X3］を求めよ。

（4）4×4】を求めよ。
ヒント：珂XO］，亙匡】，珂X2］，珂X3】，…

は数列とみなすことができる。

以

一7一

上

平成17年12月26目
数学……8

（付表）
I．標準正規分布表
P（・・0．25ト0．4013、

上側ε点〃（ε）→ε（ε）から確率εを求める表
＝O

‡呈I

‡＝2

事＝3

‡・・4

‡昔5

｝＝6

0．O｝

0．5000O．49600．49200．4880O．4840O．4801

O．47610．1‡

O．46020．4562

O．4522

O．4483

O．44430．44040．43640．2

0．4207

O．4168

O．4129

O．40900．4052

O．4013

O．39740．3‡

O．3821

O．3783

O．37450．37070．3669O．36320，4ホ

O．3446

O．3409O．3372

O．3336

O．33000．3264O．5‡

0．30850．3050O．30150．2981

O．29460．6

0．2743

O．2709O．2676

0．2643

O．2611

0．7‡

O．2420O．2389O．2358O．2327

O．22960．8‡

O．21190．2090O．2061

O．20330．9

O．1841

O．1814

O．17881．0

0．1587

O．15621．1

0．1357

I．2‡

事＝7

‡＝8

‡＝9

O．4721

0．4681

O．4641

O．4325

O．4286

O．42470．3936

0．38970．3859O．3594

O．3557

O．3520O．34830．3228

O．3192

O．3156

O．312I

O．2912

O．28770．28430．2810O．2776

O．25780．2546

O．2514

O．24830124510．22660．2236

O．2206

O．21770．2148O．20050．1977

O．19490．19220．1894

O．1867

O．1762

O．1736

O．17−1

O．1685

O．1660O．1635

O．1611

O．1539O．1515

O．1492

O．14690．1446

O．1423O．14010．1379O．1335

O．1314

O．1292O−12710．1251

O．12300．12100．1190O．l

O．1151

O．1131

O，11120．10930．1075O．10560．1038O．1020O．1003

O．0985

1．3｝

O．0968

O．0951

O．0934

O．0918O．0901

O．0885

O．08690．08530．0838O．08231．4

0．0808

O．0793

O．07780．0764

O．07490．0735

O．0721

O．0708

O．06940．0681

1．5‡

O．06680．06550．06430．0630O．0618O．0606

0．0594

O．0582

O．0571

O．05591．6竈

O．0548

O．0537

O．0526

0．0516

O．0505

O．0495

O．0485

O．0475

O．04650．0455

1．7｝

O．0446

0．04360．0427

O．0418O．0409O．0401

O．03920．03840．03750103671．8ヰ

O．0359O．0351

O．03440．03360．0329O．0322

O．0314O．0307

O．0301

O．02941．9

0．0287

O．02810．0274

O．0268O．02620．0256

O．02500．0244

O．0239O．0233

2．O，O．02280．02220．0217

O．02120．0207O．0202

O．0197

O．01920．0188O．01832．1‡

0．0179

O．01740．01700．0166

O．0162

O．0158O．0154

O．0150O．0146

O．01432．2‡

0．0139

O．0136

O．0132

O．0129

O．01250．01220．0119

O．0116

O．0113

0．O11O

2．3中

O．01070．0104O．01020．00990．0096

O．0094

O．00910．00890．0087

O．0084

2．4事

O．0082

O．00800．00780．0075

O．0073

O．00710．0069O．0068O．0066

O．00642．5ヰ

O．0062

O．0060O．0059O．0057O．00550．0054O．0052O．0051

O．0049O．00482．6‡

0．0047

O．0045

O．00440．00430．0041

O．0040O．0039O．0038O．0037

O．00362．7‡

0．0035

O．0034

O．0033

O．0032

O．0031

O．0030O．0029O．0028O．0027

O，00262．8‡

O．00260．0025

O．00240．00230．00230．0022010021

O．00210．00200．00192．90．0019O．0018O．OO18O．0017

O．OO16O．0016

OlOOI5

0．OO15O．00140．0014

一8一

I70

平成17年12月26目
数学……9

P（・・1．9600）＝0．025

確率εから上側ε点mε を求める表
呈0

｝＝1

｝畠2

‡日3

．＝4

‡＝5

事＝6

＝7

‡＝8

＝9

0．00｝

oo

3．09022．87822．74782．65212．57582．51212．45732．40892．36560．O1‡

2．32632．29042．25712．22622．19732．17012．14442．12012．09692．07490．02‡

2．05372．03352．01411．9954

1．9774I．96001．9431

1．92681．9110

L8957

ε→

（ε）

0．03‡

1．88081．86631．8522

1．83841．82501．81191．7991

1．7866

I．7744

1．76240．04‡

1．75071．7392

L7279

I．71691．70601．69541．68491．67471．66461．65460．05‡

1．64491．6352

I．62581．6164

1．6072

1．5982

1．58931．5805

I．57181．56320，06

1．55481．5464

1．53821．5301

1．52201，51411．5063

1．49851．49091．48330．07

1．47581．4684

1，461一1．45381．44661．43951．43251．4255

1．4187

I．41180．08事

1，4051

1．3984

1．39171．3852

1．37871．37221．36581．3595

亘．3532

1．34690．09‡

1．34081．3346

1．32851．32251．31651．31061．30471．29881．29301．28730．10

1．28161．27591．2702

1．2646

1．2591

1．2536

1．2481

1．2426

一．23721．23190．11‡

1．22651．2212

1．21601．21071．20551．2004

1．1952

1．19011．18501．18000．12‡

1．17501．17001．16501．1601

1．15521．15031．14551．14071．13591．13110．13‡

1．1264

1．12王7

1．11701．1123

1．10771．1031

1．0985

1．09391．08931．08480．14筆

1．08031．07581．0714

1．06691．0625

1．0581

1．05371．04941．04501．04070．15｝

1．03641．0322

1．02791．02371．01941．0152

1．O11O

1．00691．0027

O．99860．16‡

0．9945

O．9904

O．9863

O．9822

O．9782

0．97410．9701

O．9661

0．9621

0．9581

0．17‡

O．95420．95020．94630．9424

O．93850．9346

O．93070．92690．9230O．91920．18‡

0．91540．9116

O．9078O．90400．90020．89650．8927

O．88900．88530．88160．19

0．87790．8742O．8705

O．8669O．8633

O．8596

O．8560O．85240．84880．84520．20事

O．8416

O．8381

O．8345

O，8310O．8274

O，8239O．8204

O．8169O．8134

O．80990．21｝

O，80640．8030O．79950．7961

O．7926

0．78920．7858

O．7824

O．7790O．77560．22

0．77220．7688O．7655

O．7621

O．75880．7554

O．7521

O．7488O．7454

O．7421

0．23‡

O，73880．7356

O．73230．7290O．7257

O，7225

O．7192

O．7160O．7128

O．70950．24o

0．7063

O．7031

O．6999O．6967

O．69350．69030．6871

O．6840O．6808

O．67760．25

0．67450．6713

O．6682

O．6651

O．6620O．65880．6557

O．65260．6495

O．64ω

O．26

0．64330．6403

O．6372

0．6341

O．6311

O．6280O．6250O．6219O．6189O16I58O．27‡

0．6128O．6098O．6068

O．6038O．6008

O．59780．5948

O．59180．58880158580．28

O．58280．5799O．57690．57400．5710O．56810．5651

O．5622

O．5592

O．55630153880．29

O．5534

O．5505

O．54760．5446

O．5417

O．53590．5330O．5302

O．52730．30

O．5244

O．52150．51870．5158O，5129O．51010．50720．5044

O．5015

O．49870．31

O．49590．49300．4902

0．48740．4845

O，48170．47890．4761014733O．47050．32‡

O．4677014649O．4621

O．45930．4565

O．45380．45100．4482O，4454

O．44270．33‡

O．43990．43720．43440．4316

O．4289O．42610．4234

O．4207

O．4179O．41520．34

0．41250．40970．4070O．4043

O．4016

0．39890．3961

O．39340．3907

O．38800．35，

O．38530．3826

0．37990．3772

O．37450．37190．3692

O．3665

O．36380．36110．36ヰ

O．35850．3558

O．3531O．3505

O．34780．3451

O．3425

O．3398013372

O．33450．37‡

O．3319O．3292

O．3266

0．32390．3213

O，3186

0．31600．3134

O．31070．30810．38ヰ

0．30550．3029O．3002

O．2976

O．2950O，29240．28980．2871

O．2845

O．28190．39，

0．2793

O．2767

O．2741

O．2715

O．26890．26630．26370．2611

O，2585

O．25590．40‡

O．2533

O．2508O．2482

O．24560．2430O，24040．23780．2353O．23270，230I

O．41

0．2275O，2250O．2224

O．21980．2173

O．2147

O．21210．2096

O，2070O．20450．42．

O．2019

O．1993

O．1968

O．19420．1917

O．1891

O．18660．18400．1815

O．17890．43

0．1764

O．1738

O．1713

O．16870．16620．16370，1611

O．1586

O．15600．15350．44‡

0．15IO

0．1484

O．14590．14340．1408O．13830．1358O．1332

O．13070．12820．45．

0．1257

O．1231O．1206

O．11810．1156

O．1130O．1105

O．1080O，1055

O．10300．46事

O，1004

O．0979O．0954

O．0929O．09040108780．08530．0828O．08030107780．47

O．0753

O．0728O．07020．06770．06520．06270．06020．0577

O．05520．05270．48

0．05020．0476

O．0451

O．04260．0401

O．0376

0，03510．0326

O．0301

O．02760．49‡

0．0251

O．0226

O．0201

O．0175

O．0150O．01250．01000．00750．0050O．0025一9一

平成17年12月26目
数学……10■．自由度ψのX2分布の上側ε点 ・κ多（・）
ψ＼ε

O．995

O．990

0，975

0．950

0．900

O．1OO

O．050

O．025

0．010

1

O．00000．0002

0．OO1O

0．0039

O．01582．70553．84155．02396．63497．879420．01000，020正O．0506

O．10260．21074．60525．99157．37789，2103

10．5966

3

0．0717

O．1148O．21580．3518

O．58446．25147．81479．348411．3449

12．8382

4O．20700．2971

0．48440．71071．0636

7．77949．4877

11．1433

i3．2767

14．8603

5

O．41170．5543

O．8312

1．14551．61039．236411．0705

12．8325

15．0863

16．7496

6

O．6757

O．8721

1．2373

1．63542．2041

1O．6446

12．5916

14．4494

16．8119

I8．5476

7

O．9893

I．23901．68992．16732．8331I2．0170

14．0671

16．012818．4753

20．27778

1．3444

1．64652．17972．73263．489513．3616

15．5073

17．5345

20．090221．955091．73492．08792．70043．3251

4．168214．6837

16．9190

19．0228

21．6660

23．589410

2．15592．5582

3．24703．94034．865215．9872

18．3070

20．4832

23．209325．1882112．6032

3．05353．81574．57485．577817．2750

19．6751

2I．9200

24．7250

26．756812

3．07383．57064．40385．22606．303818．549321．0261

23．3367

26．2170

28．2995

13

3．56504，10695．00885．89197．041519．811922．3620

24．7356

27．6882

29．8195

14

4．07474．66045．62876．5706

7．789521．0641

23．6848

26．1189

29．141231．3193154．60095．22936．26217．26098．546822．3071

24．9958

27．4884

30．5779

32．801316

5．14225．8122

6．90777．96169．312223．5418

26．2962

28．845431．999934．2672175．6972

6．40787．56428．6718lO．0852

24．7690

27．587130．191033．408735．718518

6．26487．01498．23079．390510．8649

25．989428．869331．5264

34．805337．1565196．84407．63278．9065

1O．1170

11．650927．2036

30．1435

32．8523

36．Ig0938．582320

7．43388．26049．590810．850812．4426

28．4120

31．4104

34．169637．5662

39．996821

8．03378．8972

10．2829

11．5913

13．239629．6151

32．6706

35．4789

38．932241．401122

8．64279．542510．9823

12．3380

I4．0415

30．8133

33．924436．780740．289442．795723

9．260410．1957

11．6886

13．0905

14．8480

32．0069

35．1725

38．0756

4I．6384

44．181324

9．886210．856412．401213．8484

15．6587

33．1962

36．4150

39．364142．9798

45．558525

10．5197

11．5240

13．1197

14．611416．473434．381637．652540．646544．314146．927926

11．160212、一981

13．8439

15．3792

17．291935．5632

38．8851

41．9232

45．641748．289927lI．807612．8785

14．5734

16．1514

18，113936．741240．1133

43．194546．962949．644928

12．4613

13．5ω7

亘5．3079

16．9279

I8．9392

37．9159

41．337144．4608

48．2782

50．9934

29

13．王21114．2565

16．0471

17．7084

19．767739．0875

42．5570

45．722349．587952．335630

13．7867

14．9535

16．7908

I8．4927

20．5992

40．2560

43．7730

46．9792

50．892253．672031

14．4578

15．6555

17．5387

19．2806

21．4336

41．421744．9853

48．2319

52．191455．002732

15．1340

16．362218．2908

20．071922．2706

42．584746．1943

49．480453．4858

56．328133

15．8153

17．0735

19．0467

20．8665

23．110243．7452

47．399950．725154．7755

57．648434

16．501317．7891

19．8063

21．664323．952344．9032

48．602451．9660

56．060958．963949．8018

53．2033

57．342160．27480．005

35

17．191818．5089

20．569422．4650

24．7967

46．058836

17．8867

19．2327

21．3359

23．2686

25．6433

47．212250．998554．4373

58．6192

61．581237

18．5858

19．960222．1056

24．0749

26．492148．3634

52．192355．6680

59．892562．883338

19．2889

20．691422．8785

24．8839

27．3430

49．5126

53．3835

56．8955

61．162164．181439

19．9959

21．4262

23．6543

25．695428．1958

50．6598

54．572258．120162．428165．475640

20．70652211643

24．4330

26．509329．0505

5一．805155．758559．34三763．690766．766050

27．990729．7067

32．3574

34．7643

37．6886

63．167167．5048

71．420276．1539

79．4900

60

35．5345

37．4849

40．481743．1880

46．4589

74．3970

79．081983．2977

88．3794

91．951770

43．2752

45，4u748．7576

51．739355．328985．5270

90．53！295．0232

100．4252

104．214980

51．171953．5401

57．1532

60．391564．2778

96．5782

101．8795

106．6286

112．3288

I16．321190

59．1963

6一．754165．6466

69．1260

73．2911107．5650

113．1453

1I8．1359

124．1163

128．2989

Ioo

67．3276

70．0649

74．221977．9295

82．3581118．4980

124．3421

129．5612

135．8067

I40．1695

一10一

平成17年12月26目
数学・…・・11

皿．分母の自由度m、分子の自由度nのF分布の上側ε点珂（ε）

ε土0．100

吻＼〃
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1O

8．526

9．000

9．I62

9．243

9，293

9．326

9．349

9．367

9．38I

9．392

3

5．538

5，462

5．391

5．343

5．309

5．285

5．266

5．252

5．240

5．230

4

4．545

4．325

4．191

4．107

4．051

4．010

3．979

3．955

3．936

3．920

5

4．060

3．780

3．619

3．520

3．453

3．405

3．368

3．339

3．316

3．297

6

3．776

3，463

3．289

3．181

3．108

3．055

3．014

2．983

2．958

2，937

7

3．589

3．257

3．074

2．96I

2．883

2．827

2．785

2．752

2．725

2．703

8

3．458

3，113

2．924

2．806

2．726

2．668

2．624

2．589

2．561

2．538

2．693

2．611

2．551

2．505

2．469

2．440

2．416

2．414

2．377

2．347

2．323

9
10

3．360
3．285

3．006

2．813

2．924

2．728

2．605

2．522

2，461

ε＝O．050

m＼〃

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1O

2

18．5128

19．0000

19．1643

19．2468

19．2964

19．3295

19．3532

19．371019．3848

19．39593

10．1280

9，5521

9．2766

9．11729．01358．94068．88678．84528．81238．78554

7．70866．94436．59146．3882

6，2561

6．1631

6．0942

6．04105．99885．964456．60795．7861

5140955．19225．05034．95034．87594．81834．7725

4，7351

65．98745．14334．75714．53374．38744．2839412067

4．14684．09904．060075．59144．73744．34684．12033．97153．86603．78703．72573．67673．63658

5．31774．45904．0662

3．83793．68753．58063．50053．4381

3．3881

3．3472

95．11744．25653．8625

3．6331

3．48173．37383．29273．2296

3．17893．137310

4．9646

4．10283．70833．47803．32583．21723．13553．07173．02042．9782ε＝O．025

m＼

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1O

2

38．5063

39．OOOO

39．1655

39．2484

39．2982

39．3315

39．3552

39．3730

39．3869

39．3980317．4434

16．0441

15．4392

15．1O1O

14．8848

14．7347

14．6244

14．539914．4731

14．41899．60459．36459．19739．07418．97968．90478．84394

12．2179

10．64919．97925

1O．0070

8．4336

7．7636

7．38797．1464

6．9777

6．8531

6．7572

6，6811

6．6192

68．8131

7．25996．59886．2272

5．98765．81985．69555．59965．52345．461378．07276．54155．88985．52265．28525．11864．99494．89934．82324．761187．57096．05955．41605．05264．8173

4．65−74．52864．43334．35724．295197．20935．71475．07814．71814．48444．3197

4，19704．10204．02603．9639106．93675．45644．82564．4683

4．23614．0721

3．94983．85493．77903．7168ε＝O1O10

m＼〃

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

98．5025

99．OOOO

99．1662

99．249499．299399．3326

99．3564

99．374299．388199．3992

3

34，116230．8165

29．4567

28．709928．2371

27．910727．671727．4892

27．3452

27．2287

4

2L197718．0000

16．694415．9770

15．5219

15．2069

14．9758

14．7989

14．6591

14．54595

16．2582

I3．2739

12．0600

11．3919

10．9670

IO．6723

1O．4555

lO．2893

lO．1578

1O．05106

13．7450

1O．92489．77959．14838．74598．46618．26008．lO177．97617．8741

7

12．24649．54668．45137．84667．4604

7．1914

6．99286−84006．71886．62015．81438

11．25868．6491

7．59107．0061

6．63186．3707

6．17766．02895．9106

9

10．56148．0215

6．99196．4221

6．05695．80185．61295，46715．35115．256510

1O．04437．55946．5523

5．99435．63635．38585．2001

5．05674．94244．8491

ε＝O．O05
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

I98．5013

199．OOOO

199，16ω

I99．2497

199．2996

199．3330

199．3568

199．3746

199．3885

199．3996

3

55．552049．799347．4672

46．194645．391644．8385

側．434144．1256

43．8824

43．68584

31．3328

26．2843

24．2591

23．1545

22．4564

21．9746

21．621721．3520

21．1391

20．96675

22．784818．3138

16．5298

15．5561

14．9396

14．5133

14．2004

13．961013．7716

I3．61826

18．6350

14．5441

12．9166

12．0275

11．4637

11．0730

10．7859

lO．5658

1013915

1O．2500

7

16．2356

12．4040

1O．8824

10．0505

9．5221

9．15538．88548．67818．51388．38038

14．6882

il．0424

9．59658．80518．30187．95207．6941

7．49597．33867．2106

9

13．6136

10．1067

8，7171

7．95597．47127．13396．88496．69336．5411

6．4172

1012．82659．42708．08077．34286．87246．5446613025

6．11595．96765．8467m＼n

一11一

平成17年12月26目
数学……12

1V．自由度Ψのr分布の上側ε点．Cφ（ε）

V．常用対数表

ψ＼ε

0．100

O．050

O．025

κ

0910工

6

I，43981．94322．4469I．1

0104147

1．41491．89462．3646

1．2

O．07928

1．39681．85952．30601．3

O．11399I，38301．83312．2622

1．4

O，146110

1．3722

1．81252．22811．5

0．176111

1．3634

1．79592．20101．6

O．204112

1．3562

1．78232．17881．7

O．230413

1．35021．77092．16041．8

0．255314

1．34501．76132．1448

1．9

O．278815

1．34061．75312．13142．0

O．301016

1．33681．74592．11992．5

O．3979171．3334

I．7396

2．1098

3．O

O．477118

1．3304

1．73412．10093．5

O．544119

1．32771．72912．09304．0

0．602120

1．32531．72472．08604．5

0．653221

1．32321．72072．0796

5．O

O．699022

1．3212

1．71712．07395．5

O．740423

1．31951．71392．06876，O

0．778224

1．31781．71092．06396．5

O，812925

1．31631170812．05957．0

0．84517，50．8751

8．O

O．9031

8．5

O，92949．0

0．9542

9．5

O．9777

一12一

解答例（数学）
問題1．

（1）赤、青、黄の3色のランプが1つずつある。常に、そのうち1つのランプだけが点灯しているものとする。また、どのランプも点灯するとその1秒後に消え、消えると同時に残る2つのランプのうちどち
1
らか一方が、それぞれ確率一でランダムに点灯するものとする。今、赤い色のランプが点灯していると
2

111、・1111／111！l111111・鮒1、コl11。
（解答）ξげ・去

た秒経過時に赤色のランプが点灯しているとするとκ十1秒経過時に赤色のランプが点灯している確率は0、κ秒経過時に赤色のランプが点灯していないとすると、κ十1秒経過時に赤色のランプが点灯している確率は⊥である。従って、か1）・土Φ一ρ㈹2

仏・肌・・う2

変形する1・加）十抑一1／これを・繰1返し用いる1・朴1一介斗1／・甘／ルー・ト1〕…一千去月一1／ρ⑫）・1な帆朴ξ／一夫ト1←・帆・・）（2）ある正規母集団（母平均は未知）から以下の8個の標本を無作為に抽出した。
3，1

3．6

1．9

2．8

2．6

3．1

2．I

4．O

ここで、

！（σ，ろ）…「母分散の信頼係数α％の信頼区間の幅」一「母分散の信頼係数ろ％の信頼区間の幅」

l11111，／（ll，ll）イ（ll，11）1コl11。
（r信頼係数」はr信頼度」とも言う。信頼区間のr幅」はr長さ」とも言う。）（解答）0．6077

一3．1＋3，6＋1．9＋2．8＋2．6＋3．1＋2．1斗4．0

標本平均は、X＝

8＝2，9…一仏一アアた＝1＝（王1−Z9戸・（3．6−Z9ア・⑫．9−Z9ア・（Z8−Z9ト（Z6−Z9ア・（3．1−Z9ア・（Z1−Z9ア・（40−Z9戸
＝3．52

一綱柵一

求E杓トれ一一区間の幅を求めると下表のとおりである。

一13一

竺2

信頼係数

3．52

3．52

イ1一者〕

峠〕

イ1一言〕

3，52

3．52

sつ一羽

99％

O．O05

O．989320．2777

3．558071

O．173590

3．384482

95％

0．025

1．689916．0128

2．082963

O．219824

1．863139

80％

O．100

2．833112．0170

工、242455

0．292918

0．949537

この表より、！（99，95）一！（95，80）二（3−384482一．863139）イ．863139−0−949537），0．6077（3）時系列モデル｛剛が以下を満たすとき、時点ゴー〃と時点の自己共分散Cov（斗．あ，斗）は、□である。ただし、時差みは正の整数とする。

∫o＝0∫、・∫、．1・μ・ε、（ll，2，3，・・り

ここで、μはμこよらない虚数、θ。！坪塚0、分教σ2の周一の分捌こ約互い仁滋立な腫率変敷（解答）セー乃）σ2

斗・μ・∫。．けザ2μ・∫、．。・（句．1・ε、）一…・（l1）μ・島・（射ε。・…杓．1・ε、）：ψ令∫。・（卯・。・…・ε、．けε、）・ψ・（句・ε。・…・・、．1・勾）．・．万国、トψC・屯．此，島）・酌．ゲ⑫一乃）μ胸一ψ）1・伽1。・…・今．比．、・1、．此）（句・ε、・…・句．ゐ．1・句．危・句．免、、・…・句、、・勾】一鉢、）・1＋・）σ・

仁1（≠〃ならば、ε、とε、は互いに独立であり、Co如、，ε、）：珂句．ε〃］＝0となることを用いた。）（4）X1とX2を、同一の確率密度関数！（x）＝e吋（定義域は、x＞O）に従う互いに独立な確率変数とするとき、以下のとおりとなる。

γ＝XrX2の確率密度関数は、

ハし）＝［＝亜ニコ（一〇〇＜y＜oO）

・・五の確率密度鰍は、篶（。）一［重コ（。。・）

X2
。一1・l
l
（解答）①＿②
2（・・1ア
Xl，X2の同時（確率）密度関数を！（Xl，X2）とすると、∫←1，π2）＝／（巧）ゾ←2）：ゼ手工・①変数変換ψ1＝（巧，X2）→←，γ）

を考える。（γ二Xr叉2）

ψIの定義域はxl＞O，x2＞0、γ2＞0
従って、値域は、x1〉0かつγくxl

かつx2鉋xryだから

ツ＜x1（右図の塗り潰した部分）
∂工1

∂工1

∂工1

（巧，γ）の同時密度関数を！3（x1，γ）とすると、ノ・

∂y

＝

11

＝一1

∂κ。

∂工。O−1

∂π1

∂y

−14一

∫。（巧，y）・・†工・1ノド・γ一2巧・1−11・・y2x1

定義域はψ1の値域に同じγの周辺分布を計算するには、yの正負で場合分けが必要となる。

y≧0の場合ル）一濶ｾ町外ザ吋÷l1＋宇ト

γ＜0の場合ル）宮い舳・∬ハ的イ柚・イー÷llイー／一士〕〕・芸。一1・1

従って、スし）＝一2②変数変換物価・）・（・・巧）を考え1＋ξ〕
物の定義域は均＞O，x2＞0

値域もz＞0，x2＞0∂元1∂Z（z，X2）の同時密度関数を！4（Z，X2）とすると、J＝∂工2∂Z∫、（・，・、）・・一工11叩1・・一π・I巧・・、一・、・・一（利巧

∂工1

∂X2

π2

二

0
＝工2

∂π2

＿互

∂X2

z

（…，・。・・）

糾∬ル山一∬巧へ一［呼畑1111・∬へ
一⑫一・｝、ア［紬1111＋、戸⑫一1｝、ア（5）ある計算アルゴリズムでは、変数の個数Xと計算時間yとの間に以下の関係があることがわかった。

個数

x

計算時間γ

7．4

10

100

1，OOO

10，000

8．0

9．1

11．5

14．1

明らかに線形回帰分析では良く当てはまりそうもない。そこで、説明変数xを適当に変換し、変換後の説明変数メと被説明変数yの回帰式を最小二乗法により推定する。ここで、πの変換として、

x㌧

o罰。xとx㌧ムの2つを考えるが、そのいずれが優れているかを、決定係数を用い、回帰式

y＝α十〃のいずれが良く当てはまっているかで判定する。判定の結果、優れているほうの変換による回帰式γ；α十ろ〆の。は［互コ、ろは［亙ニコ、決定係数は［亙コである。
（解答）①o＝6．64②ろ＝1．69③R2＝0．9325

一15一

教科書「モデリング」の1．16非線形回帰（1−14ぺ一ジ）から出題した。
一般に、線形回帰式γ二σ十ろπの係数σ、わば以下のとおり。

μ芦y＝岩十峠
1，2{丁アーアーデ

ここ㍑・←一寸・7一デ・バトマー7・万一マ・丁

伽・Sη
3ゴsノ

係数αは、序，7）がγ・舳上にあることから、α一ろ．マー7

ここで、㌦2は「最小二乗法によって推定した回帰式が、観測値にどれぐらい良く当てはまっているのかを測る尺度」であり「決定係数」と呼ぶ。決定係数は0以上1以下。1ならば、すべての（み，ル）が回帰式（直線）上にあることになり、決定係数が1に近いほど、回帰式が良く当てはまっていることになる。今、メ＝ogIoXとおき、γ＝α十わ〆
パ

y

1

0

7．4

10

1

8．O

Ioo

2

9．1

1，000

3

11．5

10，000

4

14．1

平均

2

10．02

x

ト土・

よy

2

2

0．00

O

54．76

8．00

1

64．00

18．20

4

82．81

34．50

9

132．2556．40

16

198．8123．42

6106526・一23・42−2・1002−169

け一げ
0冨γ一ろxの形にして最小二乗法でαとろの値を求める。

・一・2＝I0．02＿一．69x2：6．64

決定係数次2＝鳴：一∬ γ｛研一剛｛アーげ｝

次に、メ＝ムとおき、γ＝α十ムxx（23．42−2・1α02ア

106，526−I0−022＝O．9325

6−22の形にして最小二乗法でσとろの値を求める。

パ

γ

1

1．00007，410

3．1623

1oo

10．0000

1，㎝

31．6228

10，000

平均

πy

2

。2

7−4000

1

54，76

＆O

25．2982

10

砕。o

9，1

91．0000

100

82．81

11．5

363．6619

1，O00

13λ25

1oo，oooo

1411410．0000

10，000198．8129．157010．02

379．4720

222Z20106．526

ト生メリー379472−291570・1α02目α。。。。
（ノ）2一げα＝γ＿わx・・…一・・1・・2＝1α02＿0．06364x29．1570＝8．1644

決定係数・・一かかメγ

師4720−2州70・

α02ア／研一剛／アーげ／←・…一・・1…2）1・・…一1α・・2）
よって、前者のほうが良く当てはまっている。

一16一＝0．9072

（6）あるデパートではある種のカブトムシを大量に販売しているが、その価格は日々変化する。日々のカブトムシ1匹の価格（以下、単に「価格」という）の前目比は、10％上昇、5％下落のいずれかをとる

互いに独立な確率変数であり、その発生確率は10％上昇が60％、5％下落が40％である。本目の価格
が1，000円であるとき、n日後の価格が2，000円以上となる確率が90％以上となることが保証される

11、・1コlll！l111．ll！、・111111／！11！l1111！。（11で解答せよ。）（解答）34①n日後の価格が2，O00円以上となるのは、n日中m目以上価格上昇（前日対比）の日がなくてはならない。このmを求める。（mはnに依存する。）
1．1m・O．95π一＝2m・7・g1．1・（・一m）・1・gα95＝7・g2。，㎏・一・・⑫・…一1）、…1・一・・（・・…一1）、。。。。1．、。。。。。。

1・gl．1−Z・g95・1

α0414一（α9777−1）②n日後の価格の下側10％点を求める。（確率はnに依存する。）

榊1価格上昇（前1対比）する鰍1ふ伽）妙・1〜一肌・刊
K−O．6nnが十分大きい前提において・減1ま近似的に標準正規分布巾）に従う・
従一て・l^憶・叫1・

下側10％点〃は、〃＝o．6〃＿〃（o．1阿畠◎．6n＿O．6279石③①と②が一致するnを求め・る。
α3501一。十47253＝α6。一α6279石

α2499。。一47253＝α6279万（α2499・・一47253トα62792・

α0625・。2−2756・n＋2Z3285＝0
n＝10．6984，33．3996

以上から、n≧34（7）ある企業の杜貫の翌日（1日後）の出社・病欠を予測するモデルを考える。社員の翌日の出社・病欠
は、本目および前日の出社・病欠にのみ依存しているものとし、本目および前日の出社・病欠と、翌冒の出社・病欠の関係は、以下のとおりである。

（i）前日、本同ともに出社した杜貴が、翌日出社する確率はα98（五）前日は病欠したが本目は出社した社員が、翌日出社する確率はα（iii）前日は出社したが本目は病欠した社員が、翌日出社する確率はO．8（iv）前日、本目ともに病欠した社員が、翌日出社する確率はβ
ここで、・前日も本日も病欠した社員が、翌々貝（2日後）も病欠である確率がO．29
・前日は出社したが本目は病欠の社員が、翌々目（2日後）出社する確率が0，836−17一であるとすると、α：［二亟コ、β＝［二重二コとなる。（0くα，β＜1）（解答）①0．92②0．5（i）〜（iV）の状態をそれぞれ状態ノ1〜ノ4とすると、確率推移行列は以下のとおりである。
∫1

／2

／3

／4

α9820．02。α8α98。α020．02．0．2／10．9800，020
ノ、ノ、α。1．α。 ノ、α・・αα・⑫一α）α・・αα・Φ一α）1。。β。1．βψβ⑫一β）β⑫一α）Φ一β）2行列ノの（㍑）成分は、前日、本目の状態がノκであるときに、本日、翌日の状態が力となる確率。

すると、行列メ2の（〃）成分は、前日、本日の状態がノ危であるときに、翌日、翌々目の状態が力となる
確率となる。

ここで条件の1つめから、ノ2の（4，3）（4，4）成分の合計が0，29、言い換えれば、（4，1）（4，2）成分の合
言十が0．71。条件の2つ目からノ2の（3，1）（3，2）成分の合言十が0，836となるので／鮒楓16変形すll・／、、出続：ll116、、、／、、、⑫、㌫げ：線6、上式を下式に代入す1！、・一・…1・1・・…
変形すると、（β一〇．5Xβ一．136）＝0
これを、β（1＋α一β）＝0−71だから、β＝0．5に代入すると、α＝0．92（8）ある企業の毎月の弔慰金支払額は、平均2，000万円、標準偏差750万円の正規分布に従うものとする。その企業は、弔慰金支払い集中に備えて、月間の弔慰金支払額が2，500万円を超えた場合に、以下の（i）と（i）のいずれか小さい金額を保険金として保険金杜から受け取る契約を結ぶこととした。
（i）2，500万円を超える部分の金額の1．1倍（五）2，000万円を超える部分の全額

この契約からの保険金杜の1年間の利益（＝「累積保険料」一「累積保険金支払額」、事業費や利息は考慮しないこととする）の期待値が200万円となるように、企業が保険金杜に支払う毎月の保険料（定額）をシミュレーションで求めると［二二二コ万円（千円単位を四捨五入して万円単位とせよ）となる。
シミュレーションは、［0，1］区間の一様分布として次の確率変数を用い、累積密度関数の逆関数を用いる方法で実施すること。（小なる確率変数は、少額の支払額に対応するものとせよ。）
O．916

0．442

0．778

0．424

0．058

0．859

0．516

0．632

0．024

0．098

0．992

0，398

（注）本間の趣旨は、シミュレーション方法を理解しているかどうかを単純に問うものである。上記の乱数は、万円単位の保険料を求めるには充分な個数であるとはいえないものの、問題の便宜上、少数としているものであり、精度にはこだわらず、単純にシミュレーションを行って保険料を求めよ。（正規分布の理論値計算や、シミュレーション上の分散減少の工夫等を行う必要はない。）（解答）220万円

この企業の毎月の弔慰金支払額を表す確率変数をxとすると、xは正規分布に従うので、

X＝2，O00万十750万xZ（Zは標準正規分布）とおける。
また、保険金杜からこの企業に支払われる保険金額を表す確率変数をx

一18一

とすると、

σ

Z＝〆

X

X

0．916

1．37873033．99

587，39X＝M剣0，M肋（1．1・（X−2，500万），X−2000万））

0．442−0．1459

1890．57

0．00

X＝M加（0，M肋（1．1・（750万xZ＿500万），750万xZ））

0．778

0．76552574．09

81，50

0．424

−0．1917

1856．2501058−1．5718

821．16

0，00
0．00

0．859

1．07582806．88

337，570．516

0．04012030．09

0．632

0．33722252．87

0．024−1．9774

516．970．098−1．2930

1030．23

0，00
0−00
0，00
0．00

0．992

24089

3806．69

1437，36

0．398−O．2585

1806．100．00
2443．82

合計

24425．89である。Zを逆関数法で求める。
シミュレーションによる1年間の支払額は2，ψ3，82万円となる。毎月の保険料をPとすると、1年間で200万の利益
2443．82＋200

がターゲットなので、P＝12

二22030（9）あるホームヘージヘの1時間あたりのアクセス数は、平均15のポアソン分布に従うものとする。このとき、α時間あたりのアクセス数は1平均

τ時間とすると、rは2平均のの分布に従う。また、アクセスの間隔を分布に従う。最新のアクセスが今から3分前にあったことが判明しているとすると、今から5分以内にアクセスがある確率は［重ニコである。

（解答）①平均I5αのポアソン分布

1②平均一の指数分布
15

5
一一
③1−e4

帆時間あたりのアクセス数は、平均15αのポアソン分布に従う（ポアソン分布の再生性）。

従って、Xをα時間あたりのアクセス数を表す確率変数とするとき、

榊一1）・⑫5α）1竿（削…）

これを、κとαの関数と考え、G（κα）と表記する。

rをアクセスの間隔を表す確率変数とするとき、〃。昨≦C）は、t時間あたりのアクセス数が1以上となる確率に等しい。
従って、〃。ろ（r≦C）竈1−GC0，リ：1一ゼー5

1
これは、確率変数の分布関数であるから、確率変数rは、平均一の指数分布に従う。
15
F（C）＝〃。わrr≦りコ1＿ゼ15丘3求める確率は、r≧一
60

と置く。

8

の条件のもとで、r≦一60となる確率であるから、（（I0）下図のような半径1の半円周ノ3上に点P、点ρを無作為に選ぶ。このとき、円の中心0と点P，

l11！／1111111111111111／11，111111111，1（・）・コ／・・∫／舌〕孤

一19一

ノ

0

β

（解答）去（π一・・）

π

P
ρ

∫
γ

x
0

β

半円の中心を0として、一40P、ノ0ρの角度を表す確率変数をそれぞれX、γとおくと（すなわち、〃0P＝X、〃0ρ3γ）、点P、ρは半円周扮上に無作為に選ばれるので、X、γはともに区間（O，π）上の一様分布に従う。

扇型・・9の面積を∫とすると、∫、、．1・．lX一γ1＝1
0〈x＜π、0＜y＜π2πだから、一π＜γ一y＜π120≦トyl・ππ
0≦8〈一2確率変数∫の分布関数F（3）を求める。
0≦∫＜王

なるJ一を定め、確率変数∫カミ、∫≦∫となる（x，γ）は、一2∫＜トγ〈2∫を満たす。

2
これを変形すると、x−2∫〈y＜糾23となり、これを満たす←，γ）の領域は、下の塗りつぶした部分。

この面積は、π2＿（π＿2s）2＝4バ＿482

なので、

∫

外4噤^・・∫・ξ〕
ゾ（・）一紡≡83変形して、

げ一2s

π

π

炸払・∫）／・・∫・多）一20一

（ll）確率過程馳3が標準ブラウン運動に従うものとする。

このとき、条件付確率化・01ム・O1は、［コとなる。
注：ブラウン運動はガウス過程とも呼ばれる。標準ブラウン運動はウィーナー過程とも呼ばれる。

3
（解答）一

4
標準ブラウン運動については、教科書「モデリング」の3−10参照のこと。
紅、｝は標準ブラウン運動であるから、互いに独立で標準正規分布（平均0、分散1）に従う確率変数

ろとZ2を用いて、X1＝ろX。＝ZI＋Z。
と表すことができる。

牝・・1・1・・1一価…1・1・・1一雅・＞ 巨m1＞0刃

一呼・也＜o）等粋I＜1ろ駆（・i胸に分解）
第1駄

ﾄ一・巨…1・士（岬1互いに叫ば標準正規分布に従1。）

第2項は、也・・）柳1・・）・昨・1・1・1棚、1犯・・）純・・刃、⊥、影、く。］、土．土鉋土

PZI＞0（ろとZ2は同じ分布に従う…

2

PZ1＞0

2

224

対称性。ろとZ2は互いに独立。Z2は標準正規分布に従う。）

従って・小…1・1・・1・圭÷云A（別解）

ろとZ、を直交させた二次元標準正規分布を考える。

1
P（ノ）＝P（3）＝P仁）＝P（D）宮一8
求める確率は、戸（＾3・C）一P（ノ）・P（3）・P（C）一3P（ル3・C・D）■P（ノ）・P（3）・P（C）・P（Dゾ41（12）成功確率＿の試行を繰り返し行い（異なる回の試行が成功するかどうかは互いに独立とする）、成3
功するごとに、つぼに玉をI個入れるというゲームを行う。3個の玉が入った状況でつぼに玉を入れると玉があふれ、つぼに入った玉は3個に戻る仕組みになっている。つぽからあふれた玉の個数を得点とすると、ゲーム終了時の得点の期待値は［二二コである。ただし、つぼに玉が入っていない状
況から始め、試行が通算で3回失敗したときに、このゲームは終了するものとする。

一21一一

（擦幣） 29一宴7ヒ！ま01790

162
オリジナル・アイデアは野球の問題「打率．333（すべて内野安打）の打者をそろえたチームの1イニングの得点の期待値を求めよ（四死球、盗塁、2以上の進塁等はないものとする）」であった。イメージが掴みやすいので、このオリジナル・アイデアに基づいて解答を書く。

方針として、ヒット数の期待値を求め、これを修正して得点の期待値を求める。

3アウトになるまでのヒット数を確率変数Xとする。
確率関数を、P（x昌た）＝／（κ）とする。

アウト数0の間のヒットの数を確率変数巧、アウト数1の間のヒットの数を確率変数ろ、アウト数2の間のヒットの数を確率変数るとする。x＝巧十ち十ろ

巧，ろ，ろは同じ分布に従う。

伽）一1・伽・）・／ザ戦・・）・／l／3・一な帆
刺÷甘・／去γ・…亡一1・去3

刺一砥十ろ・ろ1一刺・刺・亙臨1一・・刺一・・L三…ビツト数の期待値
2o．
3
従って、Σ（た・！（危））＝一k．o

2（4．5打数1．5安打で、．333となる）

2

一方、求める得点の期待値は、
淡一・）・∫㈱・呈（此・／㈹一・三ル・∫（・）。・／⑰）。！（・）一三一・。・／（・）。・ル∫￠）

属一制・⑫）・／ξ／3

正一〇

2

州・／l〕／去x訂・多グ⑫）一／1／／去ゴ／訂・芸

これらを代入すると、求める期待値は、
oo

@

3

Σ苞（ト3）・プ（尼）ト

κ宮3
問題2．

8

16

十十

16

十

292781＿243＋144＋96＋32

畠

162

29

：一÷01790

I62

Xl，X2を確率変数Xからの標本とし、Xの確率密度関数が、未知の母数θを含む、／卦

州＝ S一／紗0／・・κ・ξ〕／ξ／・・1〕（そ舳）で与えられるとする。このとき、次の問いに解答せよ。

（I）統計量∫二Cパ（XけX2）、

r＝C2・M加（Xl，X2）がともにθの不偏推定量となるように、定数

ClおよびC2を定めよ。
（2）（1）で定めたθの不偏推定量∫、rのどちらがより有効かを示せ。

一22一

（解答）

xの分布関数は、
（・・0）

0
2
竺

／・…ξ／

θ2
−1・ト

4x

2x2

θ

θ2

／ξ…1）
（・・θ）

1
xの平均は、
θ

刺・爪か・∬／／l／−／素〉・トθ・［祭1：・［212釜；ll・ll・／・・洲11−ll／−12（1）瑚一來ピ（XI・X。）1・C1欲11・班。11・2Cl・万1斗Cピθ
∫がθの不偏推定量であるためには、CFlでなくてはならない。
次に、σ＝M斌Xl，X2）とおくとき、σ0の分布関数凡（又）は、（北く0）

巧、、、／訂／・…ξ／／−1㍗／2／ξ／・・1〕←・θ）

変形すると、

0

（・・O）

祭

／・…ξ〕

巧（・）＝

・2112言・1／ξ…l／
1
従って、σ

（カ・θ）

の確率密度関数ん（x）は、

等・
洲＝

／・・刈

揩R4筆2・箒1／ξ…l／
（その勉）

一23一

σの平均は、刺十伽
θ・∬

l14ゐ斗∬

l14−4簑3・4祭2音〕血2・∬

茅4ゐ・∬一4113・4112等〕幽2

・［害11・［

奈4・箏41211
2・外1・1・等1刈一言1・ξ1−1〕・語1
則・C、刷一里C、・θ
60

60

τがθの不偏推定量であるためには、C2＝一でなくてはならない。
37

（2）

咽の算出
θ

州：／払・∬／舌／・・一／糾
2

9

一［小害一差11一÷1・・／l1・一1・／−／l1・一科壬1
2

洞・枢、・X，1…咽・・五レ・1一・1班｝・ユθ・一⊥θ・・⊥θ・

12

桐の算出

地・1＋・・舳θ・r115出・∬

茅54祭4・4113812〕菰

・∬1奈5幽十∬4茅4・4113812ト

・［；1；ll・［害・

祭4割1

一24一

2

12

一ξ12・／一芸12・1・12一ξ12〕一／一品12・ξ12−l12〕・高12

杵榊・附則・帥レト財ト馴静側叶紗
101
1以上から、γ因＝一θ2＜一θ2＝γ庫】なので、τがより有効

1369

12

間題3．成功するとそれぞれ点数1，2，3を加算する3種類のゲームがある。各々のゲームの成功確率は

l 1 1
それぞれ＿、一、＿であり、失敗の場合は加算点を0とする。今、開始時の持ち点を0とし、3種類の

2

3

6

1
ゲームのうち1種類をランダムに選び（どの種類のゲームを選ぶかは、各々＿の確率とする）、そのゲ3一ムを行い、成功すれば持ち点にゲームごとに上記で定めた点数を加算し、あらかじめ定めた目標点n（n＞O）にちょうど到達した場合のみ終了、そうでなければ、次のゲームを選ぶところから繰り返す。

ゲームに成功した場合であっても、上記で定めた点数を加算した結果、目標点nを上回る場合は加算点を0とする。目標点への到達までのゲームの実施回数（加算点が0となった回を含む）を確率変数Xとし、その期待値を域x1とあらわす。このとき、次の問いに解答せよ。

（1）到x1】を求めよ。
（2）万圧X2】を求めよ。
（3）亙圧X3］を求めよ。

（4）珂X4】を求めよ。
ヒント：封XO1，可Xl】，万［X2】，万k31，…

は数列とみなすことができる。

（解答）

ヒントより、亙匡。】，万kl】，珂X2】，域X3】，…を数列とみなし、その漸化式を作る。

加算点が目標点を上回る場合を除げば、1回のゲームで3点加算となる確率

1 l 1
一x一一＝一2点加算となる確率

1 1 1
一x一：一
3 3 9

1点加算となる確率

1 1 1
一X一＝一
3 2 6

点が加算されない確率

1

3

6

18

1 1
18 9

6

2
3

従って、疋≧3であれば、
万k此】＝1＋三万は止】十⊥万ぼ、．、】十⊥万k、．、］十五五はム．、】

3

6

9

・・・…

①

18

（ある時点の「到達までのゲームの実施回数の期待値」は、1回後における「到達までのゲームの実施
一25川

回数の期待値」に1を加えたものに等しい。ここ．で、耳Xol＝0）
ト三では、①において、封X正．2】及び封Xκ．31を到XJに、
ト2では、①において、亙［X生．3】を域X比1に置き換えればよい。従って、

班11−1・三班、1・⊥班。1−1。三班、1666班、1−1・．皇班21＋⊥班、1・土班。1−1・旦班、1。⊥班、1
18

6

9

I8

②より、⊥亙［X、】＝1

6

従って、可X、ト6．

6③より、三五k，1二1＋土・6＝2
18

従って、亙k，1＝三三

6

・・・…

@

②

・・・…

@

③

．．

i1）の解答．．・・ i2）の解答

5①にκ＝3を代入し、ユ万圧X，1＝1＋⊥・亜十土・6＋⊥・O＝竺

3

659

18

15

従って、万k、］＝坐
5・・・… @（3）の解答①にト4を代入し、五万［X、】＝1＋土・坐十⊥・36＋1．6＝坐
3

6

5

9

5

18

30

従って、班、1一皿
10．

・・ i4）の解答

以

一26一上