3

学習の基本問題関数のグラフの利用

いろいろな関数10右のグラフは，ある電話会社のサービスを使い，平日の 8:00～19:00 に市外通話するときの通100

話する2地点間の距離xkm と10円で通話できる時間y秒の関係を表したものである。このとき，60次の問いに答えよ。

40⑴

2地点間の距離が 13 km のとき，10円で通話できるのは何秒か。
⑵

yはxの関数であるといえるか。

⑶

y＝60 のときのxの変域を不等号を使って表せ。

〔注〕 右のようなグラフでは，15はふくまれることを表し，50はふくまれないことを表す。

⑴2地点間の距離が0km をこえて 15 km 以下のときの通話時間は100秒である。

解⑵xの値を決めるとそれに対応するyの値も1つに決まるから，y はxの関数である。
⑶ 10円で60秒通話できるのは，2 地点間の距離が 15 km をこえて 50 km 以下のときである。
⑴ 100秒答⑵

いえる。

⑶ 15<x≦50➡階段状のグラフの読み取り方をマスターしよう。

19 右のグラフは，コンビニエンスストアから同一地域に荷物を送るときの，縦，横，高さの 3辺の長さの和xcm とその料金y円の関係を表したものである。次の問いに答えよ。
⑴

縦，横，高さの3辺の長さの和が 85 cm の荷物を送るときの料金は何円か。
⑵

yはxの関数であるといえるか。

⑶

y＝1270 のときのxの変域を不等号を使って表せ。

20 xを0以上の数とし，x の小数第1位以下を切り捨てた値をyとする。このとき，次の問いに答えよ。

□⑴ x＝4.5 のときのyの値を求めよ。
□⑵ yはxの関数であるといえるか。
□⑶ xの変域が 0≦x≦5 のときのxとyの関係を表すグラフ
をかけ。
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4章

関数 y＝ax2

チェック問題 13関数のグラフの利用

レベル１
★
学 21

右の図で，¬ は y＝ax2（a＞0），m は y＝−x2，n は y＝−9のグ4ラフである。x 軸上に点 P（2，0）をとり，P を通りy軸に平行な直線と ¬，m，n との交点をそれぞれ A，B，C とする。次のとき，a の値を求めよ。
⑴ AB＝7★
学 32⑵

右の図のように，関数 y＝AC＝2CB2 2
x ，y＝x2 のグラフ上に4点 A，B，3

C，D を AD，BC がx軸と，AB，DC がy軸と平行になるようにとる。
次の問いに答えよ。ただし，点Aのx座標は正とする。
⑴

点Aのx座標をtとするとき，点Cの座標をtで表せ。

□⑵

四角形 ABCD が正方形となるとき，点Aの座標を求めよ。

□⑶ AB の長さが CB の長さより9長いとき，点Aの座標を求めよ。

レベル２

3

右の図で，四角形 ABCD は平行四辺形で，3 つの頂点 A，C，Dは関数 y＝x2 のグラフ上にある。点Aのx座標が 2，点Bの座標が(0, 6)（0，6）
であるとき，次の問いに答えよ。
□⑴

直線 AB の式を求めよ。

□⑵

直線 AB と y＝x2 のグラフの交点のうち，点A以外の点をEとする。点Eの座標を求めよ。
★

□⑶

点 C，D の座標をそれぞれ求めよ。

★

□⑷

平行四辺形 ABCD の面積を求めよ。

★

□⑸

原点Oを通り，平行四辺形 ABCD の面積を2等分する直線の式を求めよ。

2

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3チェック問題 23関数のグラフの利用

関数のグラフの利用

レベル１
学 8

1 右の図のように，BC＝3 cm，CD＝4 cm の長方形 ABCD がある。点P は頂点Aを出発し，毎秒1cm の速さで辺 AB，BC 上を頂点Cまで動く。点Qは，点Pと同時に頂点Aを出発し，毎秒 0.5 cm の速さで辺 AD上を頂点Dまで動く。ただし，点Pは頂点Cに，点Qは頂点Dに到達したあとは動かないものとする。2 点 P，Q が同時に頂点Aを出発してからx秒後のAPQ の面積をycm2 とする。次の問いに答えよ。

点Pが辺 AB 上を動くとき，x の変域を求めよ。また ，そのとき□⑴のyをxの式で表せ。
□⑵

点Pが頂点AからCまで動くとき，x とyの関係を表すグラフをかけ。
学 92 下の図のように，台形 PQRS を固定し，長方形 ABCD を，矢印の方向に，点Cが点Rの位置にくるまで毎秒1cm の速さで動かす。点Cが点Qの位置にあるときからx秒後の台形 PQRS と長方形 ABCD の重なった部分の面積をycm2 とする。次の問いに答えよ。

⑴

次の各場合について，y をxの式で表せ。
①②0≦x≦44≦x≦6⑵ xと y の関係をグラフに表せ。
レベル２3

右の図で，点 A ，B は関数 y＝交点である。関数 y＝

1 2x のグラフと直線 y＝x＋12 との2

1 2x のグラフ上の点Aと点Bの間に，2 点 A，2B と異なる点Pをとる。次の問いに答えよ。
□⑴★

点Aを通り，□⑵

OAB の面積を2等分する直線の式を求めよ。

PAB の面積がOAB の面積と等しくなるような点Pの座標を求めよ。ただし，点Pは原点Oとは異なる点とする。
★

□⑶

PAB の面積がOAB の面積の2になるような点Pの座標をすべて求めよ。
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4章

関数 y＝ax24章の確認
1 関数 y＝ax の性質 yはxの2乗に比例する関数で，x＝3 のとき y＝36 である。次の問2いに答えよ。

⑴

yをxの式で表せ。

⑵

この関数のグラフは点（−1，n）を通る。n の値を求めよ。

⑶

xの変域が −2≦ x ≦4 のときのyの変域を求めよ。

⑷

xの値が2から5まで増加するときの変化の割合を求めよ。

⑸

xの値がtから t＋2 まで増加するときの変化の割合が −24 であった。t の値を求めよ。

2 関数 y＝ax のグラフ 右の図は，y がxの2乗に比例す2る関数のグラフである。次の問いに答えよ。
⑴①～③の式を求めよ。

⑵ x 軸について，①と対称なグラフの式を求めよ。

★

⑶②のグラフと1次関数 y＝−

1x＋6 のグラフの交点の座2標を求めよ。

3 関数のグラフと面積 右の図で，直線¬は関数 y＝ax＋b，放物線
mは関数 y＝

3 2x のグラフであり，2 点 A，B で交わっている。2 点
4A，B のx座標はそれぞれ −4，2 である。次の問いに答えよ。
⑴ a，b の値を求めよ。
⑵★

⑶

AOB の面積を求めよ。
放物線m上の点Aから点Oまでの部分にあり，APB＝AOB となるような点Pの座標を求めよ。
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4章

関数 y＝ax24章の応用★

1 2x のグラフと平行四辺形 AOBC21がある。2 点 A，B は関数 y＝ x2 のグラフ上にあり，点Aの x2
座標は −2，点Bのx座標は正で，y 座標は8である。また，点 D

1

右の図のように，関数 y＝はy軸について点Aと対称な点である。次の問いに答えよ。
□⑴

点Dを通り，平行四辺形 AOBC の面積を2等分する直線の式を求めよ。
□⑵

★

2

平行四辺形 AOBC の面積を求めよ。

右の図は，1 辺の長さが4cm の正方形 ABCD である。2 点 P，Q は，この辺上を動く点であり，同時に頂点Aを出発し，P は矢印の向きに毎秒1cm の速さで，Q は矢印の向きに毎秒2cm の速さでそれぞれ進み，出会うまで動いた。出発してからx秒後のAPQ の面積をycm2 とするとき，次の問いに答えよ。
□⑴

出会うのは，出発してから何秒後か。

□⑵点Qが辺 CD 上にあるときのxの変域を求めよ。また，そのときのyをxの式で表せ。
□⑶

点 P，Q が出発してから出会うまでの，x とyの関係を表すグラフをかけ。

★
★

3 右の図のように，直線¬は放物線 y＝ 13 x2 と2点 A，B で交わり，x 軸とは点Cで交わっている。点Bからx軸に垂線をひき，交点をDとする。点Pは線分 AB 上を動き，点Pを通りx軸に垂直な直線が放物線と交わる点をQとする。
2点 A，Bのx座標がそれぞれ −3，6 のとき，次の問いに答えよ。
□⑴□⑵

PQ＝5 となるような点Pのx座標をすべて求めよ。
PCD をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積が 196∏ となるような点Pの x座標を求めよ。
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15:41:074章

関数 y＝ax2

思 考 と 表 現
定義にしたがって説明する問題について学ぼう！

関数 y＝ax2
記述力 UP問

次の⑴，⑵で，y はxの関数か，関数でないか。その理由もふくめて答えなさい。

⑴

半径がxcm である円の面積をycm2 とする。

⑵

周の長さがxcm である長方形の面積をycm2 とする。

解 ［説明］
2⑴ （円の面積）＝（円周率）×（半径）だから，y を x の式で表すと，y＝πx2

x の値を決めれば，それにともなってｙの値も１つに決まるから， y は x の関数である。
※πは定数だから， y は x の２乗に比例する関数である。
⑵① 「ともなって変わる 2 つの変数 x，y があって， xの値を決めるとそれに対応する y の値がただ 1 つに決まるとき，y は x の関数である」というのが，関数の定義。この定義に合っているかどうかで判断しよう。
※ y が x の式で表せて， x に数を代入したときに y の値が 1 つに決まれば，y は xの関数である。

周の長さ（ x の値）が決まっても，長方形の縦と横の長さがわからないから，面積（ y の値）は求められない。

x の値を決めても，それにともなって y の値が１つに定まらないから， y は x の関数でない。

②

定義に合っていないものは関数とはいえない。必要に応じて，定義にあてはまらない具体例も書くとよい。
（＋α参照）『定義に即して説明する問題』
記述のポイント① 「●●である（定義）」とは，どんな条件を満たすことなのかをしっかり理解しておく。
②

なぜ「定義にあてはまる」のか，または「定義にあてはまらない」のかを筋道を立てて説明する。

プラス＋α 例えば「縦 3 cm，横 2 cm の長方形Ａ」と「縦 4 cm，横 1 cm の長方形Ｂ」では，どちらも周の長さは10 cm ですが，面積はＡが 3×2＝6 cm2，Ｂが 4×1＝4 cm2 で異なります。つまり，周の長さだけを決めても面積が 1 つに定まらないので，y は x の関数とはいえません。

上の例を参考に自分で説明を書こう！
類題

記述力 UP

次の⑴，⑵で，y はxの関数か，関数でないか。その理由もふくめて答えなさい。

□⑴

底面の半径がxcm である円柱の体積をycm3 とする。

□⑵

周の長さがxcm である正方形の面積をycm2 とする。

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思考と表現◆思考力を高める問題

関数 y＝ax2

思考力 UP

あるピザ屋では円形のピザを販売している。そのサイズと価格は右のようになっているが，今度，L サイズより大きい「ギ ガ MAX ピ ザ」と い う 直 径サイズSML

直径（cm）

182430価格（円）800

14002200

42 cm の巨大ピザを新発売することになった。
ギガ MAX ピザの価格は何円に設定するのが妥当か考えてみよう。なお，ピザは平坦でサイズによる厚みやトッピング内容の違いはなく，大きいからといって極端な割増しや割引き価格などはないものとする。
問題文の読み方と考え方のコツ与えられたデータをもとに，説得力のある説明を書けるかどうかが問われている。もちろん，直径と価格が比例しているなどと安易に考えてはいけない。仮に 18 cm の 2 倍のサイズの 36 cm サイズがあったとして，その価格が800円の 2 倍の1600円にはならないことはすぐにわかる（30 cm の方が高くなってしまう）。ピザは円形であること，厚みは変わらないから直径が大きくなると面積は増えることなどに注意し，面積と価格の関係を考えてみよう。

数値を使って説得力のある答案を書こう！
問思考力 UP

ギガ MAX ピザの適正価格を次のように考えた。

ア～オにあてはまる式や数を答えなさい。ただし，円周率は∏とし，ピザの価格は100円単位とする。
解 ［説明］
ピザのサイズと面積・価格の関係は，次の表のようになる。
サイズSM

L…

ギガ MAX

直径（cm）

182430…

42

面積（cm ）

81∏

ア

イ

…

ウ

価格
（円）

800

1400

2200…

？

281πcm2で 800円， アcm2で1400円， イ

面積 10πcm2あたりおよそよって，面積ウエcm2で2200円，……だから，円という価格設定になっている。

cm のギガ MAXピザは， オ2円が妥当だと考えられる。
答え

オ円

プラス＋α 直径→半径→面積と求めることで，面積と価格を対応させると，100円未満を切り捨てる前の価格が直径（半径）の 2 乗に比例する関数になっていることがわかります。なお，18 cm→24 cm→30 cm→（36 cm）→（42 cm）と 6 cm ずつサイズアップするたびに「600円→800円→（1000円）→（1200円）と価格が増えるのでは？」と予想できますが，与えられたデータの数が少ないのでやや説得力に欠けます。

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