2020 年度
年金数理･･････1

年金数理（問題）
この年金数理の問題において特に説明がない限り、次のとおりとする。
・ 「被保険者」とは、在職中の者をいう。
・ 「年金受給権者」とは、年金受給中の者および受給待期中の者をいう。
・ 「加入年齢方式」とは、「特定年齢方式」のことをいう。
・ 「責任準備金」とは、給付現価から標準保険料収入現価を控除した額をいう。
・ 「未積立債務」とは、責任準備金から積立金を控除した額をいう。
・ 「Trowbridge モデルの年金制度」とは、定年退職者のみに対し、定年退職時より単位年金額の終身年金を年１回期初に支払う年金制度をいい、保険料の払い込みは年１回期初払いとする。
なお、「Trowbridge モデルの年金制度」は必ずしも定常人口を仮定するものではない。
問題１．次の（１）～（８）について、各問の指示に従い解答用紙の所定の欄にマークしなさい。
各５点（計４０点）（１）𝑥𝑥歳の被保険者数が次のとおり表される定常人口に達した年金制度において、新規加入者は𝑎𝑎歳のみで加入するものとし、脱退時平均年齢は42歳とする。
𝑙𝑙𝑥𝑥 = 3𝑎𝑎 − 𝑥𝑥(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3𝑎𝑎)

あるときから新規加入者数が定常人口に達したときの新規加入者数の𝑏𝑏(0 < 𝑏𝑏 < 1)倍になったとする。新規加入者数が減少し始めてから𝑎𝑎年後の平均年齢が、新規加入者数が減少し始める前の平均
年齢より5歳上昇したとき、𝑏𝑏として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
(Ａ) 0.30(Ｆ) 0.35(Ｂ) 0.31(Ｇ) 0.36(Ｃ) 0.32(Ｈ) 0.37(Ｄ) 0.33(Ｉ) 0.38(Ｅ) 0.34(Ｊ) 0.39

2020 年度
年金数理･･････2（２）𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶を脱退事由とする三重脱退残存表がある。各脱退はそれぞれ独立にかつ1年を通じて一様に発生する。また三重脱退残存表から得られる𝑥𝑥歳の在職中の被保険者の脱退事由𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶による予定脱退率をそれぞれ𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 , 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 とする。一方、脱退事由が𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶それぞれ単独の場合の、各々単独の脱退残∗∗∗存表から得られる𝑥𝑥歳の在職中の被保険者の予定脱退率をそれぞれ𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 , 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 とする。
∗∗∗

このとき、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 − (𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 )を表す算式として最も適当なものを選択肢の中から１つ選びなさい。

(Ａ)
(Ｂ)
(Ｃ)
(Ｄ)
(Ｅ)
(Ｆ)
(Ｇ)
(Ｈ)
(Ｉ)
(Ｊ)

1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
𝐶𝐶∗
𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � + 3 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
3 𝑥𝑥 𝑥𝑥
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
𝐶𝐶∗
𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � + 3 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
𝐶𝐶∗
𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � + 2 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
𝐶𝐶∗𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶∗

1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
𝐶𝐶∗
𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � − 3 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
3 𝑥𝑥 𝑥𝑥
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
𝐶𝐶∗
𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � − 3 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
𝐶𝐶∗
𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � − 2 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗
𝐶𝐶∗𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗ 𝐶𝐶∗
�𝑞𝑞 𝑞𝑞 + 𝑞𝑞𝐴𝐴
𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 � − 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶∗

2020 年度
年金数理･･････3（３）次の（A）、（B）の年金の60歳時点の現価が一致しているとする。
(A) 60歳支給開始の年6回期末払い20年保証期間付終身年金（ただし、年金額は年額1とし、保証期間終了後に死亡した場合は死亡した日の属する月まで年金を支給する。）(B) 60歳支給開始の年6回期末払い10年確定年金（ただし、𝑡𝑡 年目の年金額の年額は 𝐾𝐾 × 𝑡𝑡 とする。）
このとき、𝐾𝐾 の値として最も近いものを選択肢の中から1つ選びなさい。なお、必要であれば次の諸数

値および基数表を使用しなさい。
＜諸数値＞

𝑣𝑣 = 0.98039 、𝑣𝑣 10 = 0.82035 、𝑣𝑣 20 = 0.67297 、𝑣𝑣 1/6 = 0.99671＜基数表＞
年齢(𝑥𝑥)
60
80

𝐷𝐷𝑥𝑥

38,634
19,435

𝑁𝑁𝑥𝑥

776,332
181,448

𝑆𝑆𝑥𝑥

10,501,012
1,251,768

𝐶𝐶𝑥𝑥̅

210
737

�𝑥𝑥
𝑀𝑀

23,64516,035（Ａ）0.37（Ｂ）0.39（Ｃ）0.41（Ｄ）0.43（Ｅ）0.45（Ｆ）0.47（Ｇ）0.49（Ｈ）0.51（Ｉ）0.53（Ｊ）0.55

2020 年度
年金数理･･････4（４）ある年度の期初における責任準備金が1,000、積立金が700である年金制度がある。当該年度において実際の運用利回りが年度を通して一様に年率マイナス10%となり利差損が発生したものの、その他は予定どおりに推移した結果、期末の未積立債務は340となった。その年度の保険料（年１回期央払い）のうち標準保険料は80、特別保険料は60、給付は年１回期末払いとすると、当該年金制度の予定利率は 𝑎𝑎 . 𝑏𝑏 %となる。空欄𝑎𝑎および𝑏𝑏にそれぞれ当てはまる数字を解答欄にマークしなさい。

なお、計算結果は%単位で小数点以下第２位を四捨五入して求めるものとし、計算結果が1%未満となる場合は 𝑎𝑎 に 0 をマークしなさい。

2020 年度
年金数理･･････5（５）次の(Ａ)から(Ｅ)までの記載のうち、下線部の内容が誤っているものをすべて選びなさい。なお、
誤っているものがない場合は(Ｆ)をマークしなさい。また、各記号の意味は次のとおりとする。
𝑆𝑆 𝑝𝑝 ：年金受給権者の給付現価、𝑆𝑆 𝑎𝑎 ：在職中の被保険者の給付現価、

𝑎𝑎
𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃：在職中の被保険者の過去の加入期間に対応する給付現価、𝐺𝐺 𝑎𝑎 ：在職中の被保険者の給与現価、
𝑃𝑃
𝑇𝑇

𝑈𝑈

𝐶𝐶 ：賦課方式の保険料、𝐶𝐶 ：退職時年金現価積立方式の保険料、
𝐶𝐶 ：単位積立方式の保険料、𝐼𝐼𝐼𝐼

𝐶𝐶 ：加入時積立方式の保険料、𝑖𝑖：予定利率、𝑑𝑑 =𝑖𝑖

1 + 𝑖𝑖𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑇𝑇𝑎𝑎(Ａ)Trowbridge モデルの年金制度で定常状態のとき、𝑆𝑆 = ( 𝐶𝐶 − 𝐶𝐶 )/ 𝑖𝑖が成立する。

𝑈𝑈
𝑃𝑃
𝑎𝑎
𝑝𝑝
(Ｂ)Trowbridge モデルの年金制度で定常状態のとき、𝑆𝑆 + 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃 = ( 𝐶𝐶 − 𝐶𝐶 )/ 𝑑𝑑が成立する。

(Ｃ)保険料は各年度の給与の一定割合、年金給付の額は最終（退職時）給与の一定割合として定める年金制度を考える。この年金制度は定年退職者に対してのみ給付があり、財政方式は加入年齢方式とし、給与指数を𝑏𝑏𝑥𝑥𝐴𝐴 とした場合の加入年齢𝑥𝑥𝑒𝑒 歳による標準保険料率を𝑃𝑃𝑥𝑥𝐴𝐴𝑒𝑒 、給与指数を𝑏𝑏𝑥𝑥𝐵𝐵 とした

場合の加入年齢𝑥𝑥𝑒𝑒 歳による標準保険料率を𝑃𝑃𝑥𝑥𝐵𝐵𝑒𝑒 とする。このとき、𝑥𝑥𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥𝑇𝑇 ≤ 𝑥𝑥𝑟𝑟 なる𝑥𝑥𝑇𝑇 が存在し𝑏𝑏𝑥𝑥𝐴𝐴 、
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝑏𝑏𝑥𝑥𝐵𝐵 について以下の＜関係式＞を満たすとき、𝑃𝑃𝑥𝑥𝑒𝑒 < 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑒𝑒 となる。なお、給与指数以外の計算基礎率

は𝑃𝑃𝑥𝑥𝐴𝐴𝑒𝑒 および𝑃𝑃𝑥𝑥𝐵𝐵𝑒𝑒 の算定において同一であるとし、定年までの残存者は存在するものとする。
＜関係式＞

𝐴𝐴
(𝑥𝑥𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 1)𝑏𝑏𝑥𝑥𝐴𝐴 < 𝑏𝑏𝑥𝑥+1

𝑏𝑏𝑥𝑥𝐴𝐴 < 𝑏𝑏𝑥𝑥𝐵𝐵

𝑏𝑏𝑥𝑥𝐵𝐵 = 𝑏𝑏𝑥𝑥𝐴𝐴𝑟𝑟(𝑥𝑥𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 1)

(𝑥𝑥𝑇𝑇 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥𝑟𝑟 )(Ｄ)（平均給与月額）×（加入月数）× 𝛼𝛼 （𝛼𝛼は定数）を年金額として生存を条件に𝑥𝑥𝑟𝑟 歳から支給を開始する年金制度を考える。この年金制度の財政方式が開放基金方式の場合、財政再計算において予定脱退率および給与指数を変更しても後発過去勤務債務は発生しない。なお、予定脱退率および給与指数以外の計算基礎率は財政再計算前後で同一であるとする。
(Ｅ)ある年金制度の財政方式は加入年齢方式であり、財政再計算において加入年齢以外の計算基礎率は変わらなかったが、加入年齢だけが𝑥𝑥𝑁𝑁 から𝑥𝑥𝑁𝑁′ に変動し、標準保険料率は𝑃𝑃𝑥𝑥𝑁𝑁 から𝑃𝑃𝑥𝑥𝑁𝑁′ へと変動し𝑎𝑎
た。このとき過去勤務債務の増加額は�𝑃𝑃𝑥𝑥𝑁𝑁 − 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑁𝑁′ � × 𝐺𝐺 となる。

2020 年度
年金数理･･････6（６）2つの年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵の統合を考える。このとき、「財政方式を加入年齢方式とした場合の統合初年
度の標準保険料と特別保険料の合計額」÷「財政方式を開放基金方式とした場合の統合初年度の標準
保険料と特別保険料の合計額」の値として最も近いものを選択肢の中から1つ選びなさい。
なお、いずれの財政方式の場合も未積立債務を10年間で均等に償却するものとし、特別保険料は給与比例で、償却期間中の給与合計は計算基準日の額から変動しないものとして算定するものとする。統合後の年金制度は、年金制度𝐵𝐵の給付設計と同一とし、予定利率、予定脱退率および予定昇給率は見直さないものとする。受給権者の給付水準は変更しない。加入年齢および定年年齢は統合前と統合後で同一とする。
また、計算の過程において、保険料率は％単位で小数点以下第2位を四捨五入したものを使用することとし、保険料の額は小数点以下第1位を四捨五入したものを使用することとする。
年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵の概要および諸数値は次のとおりとし、必要であれば、𝑎𝑎̈ �����
10| = 8.97087を使用しなさい。

＜年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵の概要＞
・年金制度𝐴𝐴は退職時給与の 𝛼𝛼 倍を年金として支払う制度である・年金制度𝐵𝐵は退職時給与の 2𝛼𝛼 倍を年金として支払う制度である・年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵の予定脱退率および予定昇給率は同一のものを使用している・年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵ともに未積立債務はない
・年金制度𝐴𝐴の財政方式は加入年齢方式、年金制度𝐵𝐵の財政方式は開放基金方式である・保険料、給付はともに年１回期初払いである・保険料は標準保険料および特別保険料ともに給与比例である
＜諸数値＞
項目
𝑖𝑖

年金制度𝐵𝐵

2.5%

2.5%

予定利率

𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑆𝑆 𝑃𝑃

被保険者の給与合計
年金受給権者の給付現価

𝑎𝑎
𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃

在職中の被保険者の過去の加入期間に対応する給付現価𝑆𝑆

𝑓𝑓

将来加入が見込まれる被保険者の給付現価

𝑓𝑓

将来加入が見込まれる被保険者の給与現価

𝑎𝑎
𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹

𝐺𝐺
𝐺𝐺
𝐹𝐹

年金制度𝐴𝐴𝑎𝑎

在職中の被保険者の将来の加入期間に対応する給付現価

1,220

1,122

1,500

2,400

1,000
2,500
3,000

在職中の被保険者の給与現価

4,000
6,000

20,00016,000

3,000

3,918

30,000積立金

1,500

30,000（Ａ）0.90（Ｂ）0.95（Ｃ）1.00（Ｄ）1.05（Ｅ）1.10（Ｆ）1.15（Ｇ）1.20（Ｈ）1.25（Ｉ）1.30（Ｊ）1.35

2020 年度
年金数理･･････7（７）𝑋𝑋 年度末に定常状態に達している年金制度において、𝑋𝑋 + 1年度以降の積立金の運用利回りが予定
利率どおり推移しなかったため、𝑋𝑋 + 2年度以降は各年度において「前年度末の未積立債務の10%」を特別保険料として払い込むことにした。その結果、𝑋𝑋 + 𝑎𝑎

𝑏𝑏 年度末の積立金が𝑋𝑋年度末の積立金の80%を初めて下回った。空欄 𝑎𝑎 および 𝑏𝑏 に当てはまる数字を解答欄にマークしなさい。なお、計算結果が10未満となる場合は 𝑎𝑎 に 0 をマークしなさい。また、計算の前提は次のとおりとする。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・保険料および給付は年１回期初払い・積立金の運用利回りが予定利率どおり推移しなかったこと以外は、計算基礎率どおり推移したものとする
・𝑋𝑋+2𝑛𝑛 − 1年度の積立金の運用利回りはマイナス5.0%、𝑋𝑋+2𝑛𝑛年度の積立金の運用利回りはプラス
5.0%（ 𝑛𝑛 は自然数）

・予定利率は2.0%2020 年度
年金数理･･････8（８）脱退・昇給・保険料の払い込み・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制
度の標準保険料率として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提を次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・標準保険料は被保険者の給与に対する一定割合として設定する・加入年齢から定年年齢までの期間は40年とする・給付は加入期間が 20年以上で脱退した場合に支払うものとし、中途退職による脱退時には脱退時給与を3倍した金額を脱退時に一時金として支給し、定年退職による脱退時には脱退時給与を3倍した
金額を年金額として脱退時から10年確定年金を支給する・利力 𝛿𝛿 は 𝛿𝛿 = 0.02とする

・年齢 𝑥𝑥 歳における脱退力 𝜇𝜇𝑥𝑥 は𝜇𝜇𝑥𝑥 = 0.06（年齢に依らず一定）とする
・年齢 𝑥𝑥 歳における給与指数を𝑏𝑏𝑥𝑥 とする

・年齢 𝑥𝑥 歳における昇給力 𝜆𝜆𝑥𝑥 は𝜆𝜆𝑥𝑥 =𝑑𝑑(log 𝑏𝑏𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑= 0.03（年齢に依らず一定）とする＜諸数値＞
𝑒𝑒 0.2 = 1.2214、𝑒𝑒 0.4 = 1.4918、𝑒𝑒 0.6 = 1.8221、𝑒𝑒 0.8 = 2.2255、𝑒𝑒 = 2.7183(Ａ) 0.06(Ｆ) 0.31(Ｂ) 0.11(Ｇ) 0.36(Ｃ) 0.16(Ｈ) 0.41(Ｄ) 0.21(Ｉ) 0.46(Ｅ) 0.26(Ｊ) 0.51

2020 年度
年金数理･･････9

余白ページ

2020 年度
年金数理･･････10
問題２．次の（１）～（４）について、各問の指示に従い解答用紙の所定の欄にマークしなさい。
各７点（計２８点）（１）定年退職者に対して、退職した翌年度から「加入年数×1」を年金額とする10年保証期間付終身年金（年１回期初払い）を支給する年金制度を考える。このとき、次の①および②の各問に答えなさい。なお、計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の年１回期初払い確定年金現価率および基数表の数値を用いなさい。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・加入年齢は50歳、定年年齢は60歳
・新規加入、保険料の払い込みは年１回期初に発生し、その順は「新規加入→保険料の払い込み」とする
・保険料の払い込みは50歳から「定年年齢−1」歳まで発生する・死亡による脱退は年１回期央、定年退職による脱退は年１回期末に発生する・定年退職以外に生存退職は発生しない・期初に「定年年齢−1」歳の被保険者は、期央の死亡による退職と期末の定年年齢到達により脱退
する
・予定利率は2.0%＜年１回期初払い確定年金現価率＞
𝑛𝑛

𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛�|

10

9.16

5

4.81

＜基数表＞
年齢(𝑥𝑥)
50
55
60
65
70
75

𝐷𝐷𝑥𝑥

𝑁𝑁𝑥𝑥

37.15

870.01

27.43

544.38

31.97
23.46
20.00
16.98

694.90415.37305.16211.35

2020 年度
年金数理･･････11①

この年金制度の計算の前提において定まる標準保険料率を𝑃𝑃、計算の前提のうち定年年齢を65歳に変更したときの標準保険料率を𝑃𝑃′とする。𝑃𝑃� に最も近いものを選択肢の中から1つ選びなさ𝑃𝑃′い。
(Ａ) 1.07(Ｂ) 1.09(Ｆ) 1.17②(Ｇ) 1.19(Ｃ) 1.11(Ｈ) 1.21(Ｄ) 1.13(Ｉ) 1.23(Ｅ) 1.15(Ｊ) 1.25

制度変更を行い、各制度における標準保険料率𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 , 𝑃𝑃3 を算定する。𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 、𝑃𝑃2 = 1.44𝑃𝑃3 を満たすとき、𝛽𝛽の値として最も近いものを選択肢の中から1つ選びなさい。なお、制度変更（計算の前提の変更）の内容は次のとおりとする。
＜制度変更（計算の前提の変更）の内容＞
項番
1

制度変更（計算の前提の変更）の内容
・定年年齢を65歳に変更

標準保険料率𝑃𝑃1

・年金額を20に変更
・年金額を1.035 × 𝛼𝛼に変更

・年金の支給開始年齢を65歳に変更

2※定年年齢は60歳のままとし、60歳～64歳で死亡した
場合には、定年退職から5年後より、遺族に10年確定

𝑃𝑃2

年金を支給するものとする
・定年年齢を65歳に変更
3・保証期間を5年に変更
・保証期間中の年金額を𝛽𝛽、保証期間終了後の年金額を𝛼𝛼(Ａ) 18(Ｆ) 23に変更(Ｂ) 19(Ｇ) 24(Ｃ) 20(Ｈ) 25(Ｄ) 21(Ｉ) 26

𝑃𝑃3(Ｅ) 22(Ｊ) 27

2020 年度
年金数理･･････12（２）ある企業は𝑋𝑋年度初に、定年退職者に対し退職時に一時金 100 を支払う制度を発足させることにした。このとき、次の①～③の各問に答えなさい。なお、計算の前提および諸数値は次のとおりとする。
＜計算の前提＞
・財政方式は個人平準保険料方式を採用
・定年年齢は 60 歳
・新規加入、保険料の払い込みは年１回期初に発生し、その順は「新規加入→保険料の払い込み」とする
・𝑋𝑋 + 1年度以降、毎年、50 歳の被保険者 200 人が新規加入する・保険料の払い込みは 50 歳から 59 歳まで発生する・中途退職（加入中の死亡を含む）による脱退は年１回期央、定年退職による脱退は年１回期末に発生する
・期初に 59 歳の被保険者は、期央の中途退職（加入中の死亡を含む）と期末の定年年齢到達により脱退する
・期初に 𝑥𝑥 歳である被保険者の中途退職（加入中の死亡を含む）による予定脱退率は・発足時に既に退職している者への給付は行わない
・制度発足時の積立金は 0・予定利率は 2.5%
・発足後は計算基礎率どおりに推移するものとする＜諸数値＞
年齢(𝑥𝑥)

制度発足時

人数現価

被保険者数

給付現価

50

200

7.043739.059952

05.973245.5970

51

190

53

170

55

150

57

130

59

110

54
56
58

0
0

0

6.52085.39744.78914.14273.45142.70591.89431.000042.143649.4862
53.8936
58.9236
64.7108
71.430779.3179

88.6918※給付現価および人数現価は被保険者 1 人あたりの数値である。

1

70−𝑥𝑥

である

2020 年度
年金数理･･････13① 𝑋𝑋 + 2年度に払い込む保険料の総額として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
(Ａ)

9,200

(Ｆ) 10,200

(Ｂ)

9,400

(Ｇ) 10,400

(Ｃ)

9,600

(Ｈ) 10,600

(Ｄ)

9,800

(Ｉ) 10,800(Ｅ) 10,000(Ｊ) 11,000② 𝑋𝑋 + 4年度初（新規加入発生前）に財政方式を加入年齢方式に変更する場合を考える。加入年齢方式における加入年齢を 50 歳としたとき、財政方式を変更することにより発生する未積立債務として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
(Ａ) 2,800(Ｆ) 3,800(Ｂ) 3,000(Ｇ) 4,000(Ｃ) 3,200(Ｈ) 4,200(Ｄ) 3,400(Ｉ) 4,400(Ｅ) 3,600(Ｊ) 4,600③ 次の２つの場合を考える。
Ⅰ．𝑋𝑋 + 4年度初（新規加入発生前）に財政方式を加入年齢方式（加入年齢を 50 歳とする）に変
更し、財政方式を変更することにより発生する未積立債務を一括で払い込みした場合

Ⅱ．𝑋𝑋 + 4年度初（新規加入発生前）以降も個人平準保険料方式のまま変更しなかった場合

このとき、ⅠとⅡの積立金が等しくなる時期はX + 𝑎𝑎

𝑏𝑏 年度期初（新規加入発生後・保険料払い込み後）である。空欄 𝑎𝑎 および 𝑏𝑏 に当てはまる数字を解答欄にマークしなさい。なお、計算結果
が 10 未満となる場合は 𝑎𝑎 に 0 をマークしなさい。

2020 年度
年金数理･･････14（３）Trowbridge モデルの年金制度について、次の①～③の各問に答えなさい。
なお、本問では以下のとおり記号を定義する。
𝑥𝑥𝑒𝑒 ：加入年齢
𝑥𝑥𝑟𝑟 ：定年年齢

𝜔𝜔：生存最終年齢

𝑖𝑖(𝑖𝑖 > 0)：予定利率（𝑣𝑣 =1

1 + 𝑖𝑖、𝑑𝑑 = 1 − 𝑣𝑣）

𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟 ：𝑥𝑥𝑟𝑟 歳における期末払い終身年金現価率

𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟 ：𝑥𝑥𝑟𝑟 歳における略算平均余命とし、以下の算式で表される
𝜔𝜔−𝑥𝑥𝑟𝑟

𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟 = �
𝑡𝑡=1

𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟+𝑡𝑡
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟① ある年金制度は定常人口にある被保険者集団に対し、事前積立方式により運営され、定常状態になっているものとする。この制度において、𝑋𝑋年度から保険料をそれまでの𝛼𝛼(𝛼𝛼 > 1)倍に変更し、𝑛𝑛(𝑛𝑛 > 0)年間その保険料を継続することにより積立金を増やしていくこととした。そして、その上で𝑋𝑋 + 𝑛𝑛年度以降は完全積立方式により運営され、定常状態になるようにしたい。
このとき
𝛼𝛼 =

𝑏𝑏

𝑎𝑎

−

𝑐𝑐

となる。𝑎𝑎、𝑏𝑏、𝑐𝑐として最も適切なものをそれぞれ選択肢の中から一つずつ選びなさい。なお、解答にあたり同じ選択肢を複数回選択してもよい。
② ある年金制度は定常人口にある被保険者集団に対し、加入時積立方式により運営され、定常状態になっているものとする。この制度において、𝑋𝑋年度から保険料をそれまでの𝛼𝛼(𝛼𝛼 < 1)倍に変更

し、𝑛𝑛(𝑛𝑛 > 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 )年間その保険料を継続することにより積立金を減らしていくこととした。そして、その上で𝑋𝑋 + 𝑛𝑛年度以降は単位積立方式により運営され、定常状態になるようにしたい。
このとき
𝛼𝛼 =

𝑏𝑏

𝑎𝑎

−

∙ �1 −

𝑐𝑐

𝑑𝑑

∙ �
𝑔𝑔

𝑒𝑒

∙

−

ℎ

𝑓𝑓

�

�

となる。𝑑𝑑、𝑒𝑒、𝑓𝑓、𝑔𝑔、ℎとして最も適切なものをそれぞれ選択肢の中から一つずつ選びなさい。
なお、解答にあたり同じ選択肢を複数回選択してもよい。
（𝑔𝑔とℎの解答は順不同）③ ある年金制度は定常人口にある被保険者集団に対し、加入時積立方式により運営され、定常状態になっているものとする。この制度において、𝑋𝑋年度から𝑛𝑛(𝑛𝑛 > 0)年間の保険料を0とし、積立金を減らしていくこととした。そして、その上で𝑋𝑋 + 𝑛𝑛 − 1年度中に積立金を枯渇させることとする。
このとき

𝑛𝑛 = �

𝑖𝑖+ log �

𝑗𝑗

𝑘𝑘

�∙

log�

1

𝑙𝑙

�

�

となる。𝑖𝑖、𝑗𝑗、𝑘𝑘、𝑙𝑙として最も適切なものをそれぞれ選択肢の中から一つずつ選びなさい。
（⌈𝑥𝑥⌉は𝑥𝑥以上の最小の整数を表す。）なお、解答にあたり同じ選択肢を複数回選択してもよい。

2020 年度
年金数理･･････15
［選択肢］
(Ａ) 1

(Ｅ) (1 + 𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒−1(Ｉ) 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒−1(Ｍ) 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｑ) 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟(Ｂ) 𝑑𝑑(Ｆ) (1 + 𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒+1(Ｊ) 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｎ) 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 + 1(Ｒ) 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟 + 1(Ｃ) 1 + 𝑖𝑖
(Ｇ) 𝑣𝑣 𝑛𝑛(Ｋ) 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒+1(Ｏ) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟
(Ｓ)

(𝑇𝑇)
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｄ) (1 + 𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｈ) 𝑣𝑣 𝑛𝑛+1

(Ｌ) 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 − 1(Ｐ) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟 + 1(Ｔ) 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟

2020 年度
年金数理･･････16（４）加入期間が3年以上の中途退職者および定年退職者に対し、年度末に「脱退時給与×支給率」の額の一時金を支給する制度の𝑋𝑋年度財政決算を行った。𝑋𝑋年度では計算基礎率どおり推移しなかったことから損益が発生した。なお、計算の前提および損益の発生要因は次のとおりとする。このとき、次の①および②の各問に答えなさい。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・予定利率は2%・標準保険料は給与に比例し標準保険料率は 3%であり、特別保険料は𝑋𝑋 − 3年度初時点の未積立債務を𝑋𝑋 − 3年度初から10年で元利均等償却（定額）を行うよう設定している・新規加入、保険料の払い込みは年１回期初に発生し、その順は「新規加入→保険料の払い込み」とする
・給付は年１回期末払いで、𝑋𝑋年度の給付額は 2,000千円

・脱退と昇給は年１回期末に発生し、その順は「脱退→昇給」とする
・期初積立金は33,000千円（保険料払い込み前）・期初責任準備金は35,000千円（新規加入者の加入前）・期初給与総額は80,000千円（新規加入者の加入前）
・𝑋𝑋年度初（新規加入者の加入前）において、積立金の額と、責任準備金から特別保険料収入現価を控除した額は等しい＜損益の発生要因＞
・利差：予定利率が2%であるのに対し、実際の運用利回りは5%であった
・新規加入者：予定加入年齢を25歳としているが、年度初に年齢30歳で新規に4名加入した
なお、当該加入者の加入時給与は1名あたり150千円、期初責任準備金率（給与1円あたりの責任準備金）は0.1であった・昇給差：全加入者一律に、年度末の実際の昇給後給与が予定の昇給後給与の1.1倍であった※上記以外の要因による損益は発生していない① 𝑋𝑋年度の保険料総額として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
(Ａ) 2,670千円(Ｆ) 2,720千円(Ｂ) 2,680千円(Ｇ) 2,730千円(Ｃ) 2,690千円(Ｈ) 2,740千円(Ｄ) 2,700千円(Ｉ) 2,750千円(Ｅ) 2,710千円(Ｊ) 2,760千円

2020 年度
年金数理･･････17② 発生した損益の合計額として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算過程において、損失は正値、利益は負値として扱いなさい。
(Ａ) 2,610千円(Ｆ) 2,660千円(Ｂ) 2,620千円(Ｇ) 2,670千円(Ｃ) 2,630千円(Ｈ) 2,680千円(Ｄ) 2,640千円(Ｉ) 2,690千円(Ｅ) 2,650千円(Ｊ) 2,700千円

2020 年度
年金数理･･････18
問題３．キャッシュバランス制度の年金制度について考察を行う。制度内容、記号および計算の前提を
次のとおりとするとき、次の（１）および（２）の①～㉖について、最も適切なものをそれぞれの選
択肢の中から 1 つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。ただし、⑤と⑥、⑦と⑧、⑱と⑲、⑳と㉑の解答は順不同とする。なお、解答にあたり同じ選択肢を複数回選択してもよい。
（１６点）＜制度内容＞
項目

内容

加入時期

年 1 回期初加入

給付内容＜中途退職による脱退の場合＞加入時から脱退時までの毎期初の給与に、脱退時までは年利率 𝑖𝑖1 、脱退時から 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳ま

では年利率 𝑖𝑖2 で複利で付利した額の合計額を、 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳到達時に一時金として支給する。
＜定年退職による脱退の場合＞加入時から脱退時までの毎期初の給与に、脱退時までは年利率 𝑖𝑖1 で複利で付利した額の合計額を、年利率 𝑖𝑖3 の年 1 回期初払い 𝑛𝑛 年確定年金現価率で除した額を、年金とし脱退時期て 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳から年 1 回期初払いで生死に関わらず 𝑛𝑛 年間支給する。

中途退職による脱退は年 1 回期末、定年退職による脱退は年 1 回期末に発生する。

つまり、期初に 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 1 歳の被保険者は、期末の中途退職と期末の定年年齢到達により脱退する。なお、加入中の死亡者は発生しないものとする。

財政方式

加入年齢方式保険料

年 1 回期初に「期初時点の加入者の給与総額×標準保険料率 𝐸𝐸𝑃𝑃」を払い込む。

＜記号＞
・𝑥𝑥𝑒𝑒 ：加入年齢、𝑥𝑥𝑟𝑟 ：定年年齢(年金支給開始年齢)

・𝑏𝑏𝑥𝑥 ：給与指数、𝐵𝐵𝑥𝑥 ：𝑥𝑥 歳の被保険者の 1 人あたりの給与

・𝑖𝑖：予定利率、 𝑣𝑣 =1
、 𝑎𝑎̈ ���𝑛𝑛| (𝑖𝑖)：利率 𝑖𝑖 の年 1 回期初払い 𝑛𝑛 年確定年金現価率
1+𝑖𝑖＜計算の前提＞
・計算基数(𝐷𝐷𝑥𝑥 、𝐶𝐶𝑥𝑥 )は 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳未満において期末の生存脱退のみを考慮したものである。

・𝑥𝑥𝑟𝑟 歳未満の死亡は一切考慮しないものとする。

・期初の保険料の払い込み等が発生する順は「昇給→新規加入者の加入→保険料の払い込みおよび給与の付与」とし、期末の給付の支払い等の発生する順は「年利率 𝑖𝑖1 および年利率 𝑖𝑖2 での付利→中途退職による脱退および一時金の支払い→定年退職による脱退」とする。

2020 年度
年金数理･･････19（１）𝑥𝑥𝑒𝑒 歳で加入した被保険者が給与指数どおりに昇給した場合の 𝑥𝑥 歳時点の給付現価および給与現価について考える。

当該被保険者が期初に 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ≦ 𝑦𝑦 ≦ 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 1) 歳である年度に中途退職により脱退した場合に 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳

時点で支払われる一時金の額は
①

×

②

×

④

と表すことができる。また、定年退職により脱退した場合に 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳から支払われる年金の額は③と表すことができる。したがって、𝑥𝑥 歳の被保険者 1 人あたりの期初（新規加入者加入後、保険料払い込み前）における給付現価を 𝑆𝑆𝑥𝑥 、給与現価を 𝐺𝐺𝑥𝑥 とすると𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝑆𝑆𝑥𝑥 = � �

×�

⑤

𝑦𝑦=𝑥𝑥

①

×

②

�×

⑥

�+

⑦

×�

③

×

⑪

�+

⑫

×

⑬

�

④

�×

⑧

と表すことができる。
ここで、𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖 であるとすると、𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

1
𝑆𝑆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥× � � ��𝑣𝑣 × 𝑙𝑙𝑥𝑥=
𝐺𝐺𝑥𝑥 =

1× �𝑙𝑙𝑥𝑥 ×
𝐷𝐷𝑥𝑥
1
×
𝐷𝐷𝑥𝑥

−

⑨

𝑦𝑦=𝑥𝑥

⑭

+

⑮

⑩

�×

�

⑯

である。したがって、当該年金制度の標準保険料率 𝐸𝐸𝑃𝑃 は、 𝐸𝐸𝑃𝑃 =𝑆𝑆𝑥𝑥𝑒𝑒=
𝐺𝐺𝑥𝑥𝑒𝑒⑰となる。

［①、③、⑪、⑬の選択肢］

(Ａ)

(Ｄ)

𝑦𝑦

𝐵𝐵𝑥𝑥
�
𝑏𝑏
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡(Ｂ)

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥
�𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝐵𝐵𝑥𝑥
�𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑦𝑦−𝑡𝑡
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑦𝑦𝐵𝐵𝑥𝑥
�𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑡𝑡
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒

(Ｊ)

𝐵𝐵𝑥𝑥
�
𝑏𝑏
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｅ)

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1�

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑦𝑦

(Ｃ)

(Ｈ)

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝐵𝐵𝑥𝑥
�𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝑦𝑦�𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｆ)

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｇ)

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑥𝑥𝑟𝑟 −1�

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒

(Ｉ)

𝑦𝑦

�

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑡𝑡+1
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

2020 年度
年金数理･･････20［②、④、⑤、⑥、⑦、⑧の選択肢］
(Ａ)
(Ｅ)
(Ｉ)

𝑣𝑣 𝑦𝑦

(Ｂ)

𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖)(Ｊ)(1 + 𝑖𝑖2 )𝑦𝑦(Ｆ)

𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1(Ｃ)

𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖3 )(Ｋ)(1 + 𝑖𝑖2 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1(Ｇ)(1 + 𝑖𝑖)𝑦𝑦
1
𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖)

𝐶𝐶𝑦𝑦
𝐷𝐷𝑥𝑥

(Ｄ)
(Ｈ)
(Ｌ)

(1 + 𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−11
𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖3 )𝐷𝐷𝑥𝑥𝑟𝑟𝐷𝐷𝑥𝑥［⑨、⑩、⑫、⑭、⑮、⑯、⑰の選択肢］
(Ａ)

(Ｅ)

(Ｉ)

1

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝑙𝑙
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦
𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝐵𝐵𝑥𝑥
�𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

(Ｂ)

(Ｆ)

(Ｊ)

𝑡𝑡=𝑥𝑥+1

𝑙𝑙𝑦𝑦

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝑙𝑙
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑟𝑟
𝑥𝑥

𝐵𝐵𝑥𝑥
�
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡

(Ｃ)

(Ｇ)

𝑙𝑙𝑦𝑦+1𝑥𝑥

�

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒(Ｋ)

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟 −1(Ｄ)𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝐵𝐵𝑥𝑥
�
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｈ)

𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

�
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｌ)

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1�

𝑡𝑡=𝑥𝑥+1

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡（２）ある年金制度がある期初に本問のキャッシュバランス制度へ変更する場合について考える。
制度変更の直前に昇給があり、制度変更の直後に新規加入者が加入するものとし、制度変更時点
で 𝑥𝑥 歳である被保険者の変更後の給付内容は次のとおりとする。
＜中途退職による脱退の場合＞

次の（ⅰ）（ⅱ）の額の合計額（以下、「支給開始時仮想個人勘定残高（変更時保証付き）」という。）を𝑥𝑥𝑟𝑟 歳到達時に一時金として支給する。

（ⅰ）制度変更時保証額（𝐴𝐴𝑥𝑥 ）を、制度変更時から脱退時までは年利率 𝑖𝑖1 、脱退時から 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳ま
では年利率 𝑖𝑖2 で複利で付利した額（ⅱ）制度変更時から脱退時までの毎期初の給与に、脱退時までは年利率 𝑖𝑖1 、脱退時から 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳
までは年利率 𝑖𝑖2 で複利で付利した額の合計額＜定年退職による脱退の場合＞定年退職による脱退の場合の支給開始時仮想個人勘定残高（変更時保証付き）を、年利率 𝑖𝑖3 の

年 1 回期初払い 𝑛𝑛 年確定年金現価率で除した額を、年金として 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳から年 1 回期初払いで生死に関わらず 𝑛𝑛 年間支払う。

（１）と同様に、制度変更時点で 𝑥𝑥 歳である被保険者 1 人あたりの制度変更時点での変更後の給付現価を 𝑆𝑆𝑥𝑥 、給与現価を 𝐺𝐺𝑥𝑥 とすると2020 年度
年金数理･･････21

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝑆𝑆𝑥𝑥 = � �

×�

⑤

𝑦𝑦=𝑥𝑥

+

+

⑱

⑦

と表すことができる。

×�

�×

⑲

⑳

+

ここで、𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖 であるとすると、𝑆𝑆𝑥𝑥 =

1
×
𝐷𝐷𝑥𝑥

㉒

+

㉓

、𝐺𝐺𝑥𝑥 =

1
×
𝐷𝐷𝑥𝑥

②

×

�

⑥

㉑

�×

㉔

である。

×

④

⑧

変更後の年金制度における標準保険料率 𝐸𝐸𝑃𝑃 は、（１）より 𝐸𝐸𝑃𝑃 =⑰であるので、制度変更時

点で 𝑥𝑥 歳である被保険者 1 人あたりの制度変更時点での変更後の責任準備金は𝑉𝑉𝑥𝑥 =㉕となる。
以上より、制度変更前の制度が定常状態であったとすると、各被保険者について制度変更に伴う剰余および不足が発生しないようにするためには、𝐴𝐴𝑥𝑥 を㉖とすればよいことが分かる。

［⑱、⑲、⑳、㉑、㉒、㉓、㉔、㉕の選択肢］
(Ａ) 0

(Ｂ)

(Ｄ) 𝐴𝐴𝑥𝑥 (1 + 𝑖𝑖1
𝑦𝑦)𝑦𝑦−𝑥𝑥+1(Ｇ) � 𝐴𝐴𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｊ)

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝐵𝐵𝑥𝑥
�𝑏𝑏𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡)𝑦𝑦−𝑡𝑡+1

(Ｅ)

(Ｈ)

(Ｍ)

𝐵𝐵𝑥𝑥
�
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐴𝐴𝑥𝑥 (1 + 𝑖𝑖1
𝑥𝑥𝑟𝑟 −1(Ｃ))𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥� 𝐴𝐴𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｋ)

𝑦𝑦

)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡

𝐵𝐵𝑥𝑥
� 𝑏𝑏𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑡𝑡+1
𝑏𝑏𝑥𝑥

(Ｆ)

(Ｎ)

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝐵𝐵𝑥𝑥
�
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝑡𝑡=𝑥𝑥

𝐴𝐴𝑥𝑥 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑦𝑦� 𝐴𝐴𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑡𝑡
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｉ)

𝑦𝑦

�
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｌ)

𝑡𝑡=𝑥𝑥

𝑡𝑡=𝑥𝑥
𝑥𝑥

𝐴𝐴𝑥𝑥

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

�
𝑡𝑡=𝑥𝑥

(Ｏ)

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1�

𝑡𝑡=𝑥𝑥+1

𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡［㉖の選択肢］(Ａ) 変更前の制度における責任準備金(Ｂ) 変更前の制度における責任準備金を定年年齢まで予定利率で複利で付利した額(Ｃ) 変更前の制度における給付現価(Ｄ) 変更前の制度における給付現価を定年年齢まで予定利率で複利で付利した額(Ｅ) 02020 年度
年金数理･･････22
問題４．年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵 は定年退職者に対して退職した翌年度から「加入年数×1」の年金額の 10 年確
定年金（年１回期初払い）を支給し、中途退職者には給付を行わない。この年金制度の計算の前提
および諸数値を次のとおりとするとき、次の（１）～（３）について、各問の指示に従い解答用紙の所定の欄にマークしなさい。
（１６点）＜計算の前提（財政再計算前）＞
・年金制度𝐴𝐴の財政方式は加入年齢方式、年金制度𝐵𝐵の財政方式は開放基金方式とする

・加入年齢は 45 歳、定年年齢は 60 歳

・𝑋𝑋年度末の時点で年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵ともに定常人口であり、財政上の過不足はなく、特別保険料の払い込みもない

・𝑋𝑋年度以前の「毎年の実際の新規加入者数」、「毎年の新規加入者数の見込み」はともに𝑙𝑙0 人である・予定脱退率（加入中の死亡を含む）はすべての年齢で 3.0％

・新規加入、保険料の払い込みは年１回期初に発生し、その順は「新規加入→保険料の払い込み」とする
・中途退職（加入中の死亡を含む）による脱退は年１回期央、定年退職による脱退は年１回期末に発生する
・期初に 59 歳の被保険者は、期央の中途退職（加入中の死亡を含む）と期末の定年年齢到達により脱退する
・予定利率は 2.5％
＜年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵 共通の諸数値（𝑋𝑋年度末（定年退職者脱退後かつ財政再計算前））＞
486.008 𝑙𝑙0

年金受給権者の給付現価524.700 𝑙𝑙0

在職中の被保険者の過去の加入期間に対応する給付現価

471.509 𝑙𝑙0

在職中の被保険者の将来の加入期間に対応する給付現価

2,412.280 𝑙𝑙0

将来の被保険者の給付現価

71.222 𝑙𝑙0

在職中の被保険者の人数現価

430.001 𝑙𝑙0

将来の被保険者の人数現価

11.225 𝑙𝑙0

被保険者数

15
𝑎𝑎̈ 10= 0.63325、0.9720 = 0.54379、�
����| = 8.97087、0.97

1

1.025

15

�

= 0.69047、�

1

1.025

�

20

= 0.61027

2020 年度
年金数理･･････23（１）𝑋𝑋年度末に年金制度𝐴𝐴の財政再計算を行い、次の＜計算の前提（財政再計算による変更点）＞のと
おり変更した。＜計算の前提（財政再計算による変更点）＞に記載のない計算の前提については財政再計算前と同一とする。このとき、財政再計算後の被保険者１人あたりの標準保険料は制度𝐴𝐴全体の責任準備金は②、１人あたりの特別保険料は

③

①

、年金

である。このとき、空欄①～③に最も近いものをそれぞれの選択肢の中から１つ選びなさい。なお、解答に至る計算過程においては、
端数処理前の数値を用いること。また、③の解答にあたっては次の＜特別保険料の計算の前提＞を使用しなさい。
＜計算の前提（財政再計算による変更点）＞
・加入年齢は 40 歳とする
・40 歳から 44 歳までの予定脱退率（加入中の死亡を含む）についてはすべての年齢で 3.0％とする

・𝑋𝑋 + 1年度以降の新規加入者数の見込みは0.5 𝑙𝑙0 人とする＜特別保険料の計算の前提＞

・𝑋𝑋 + 1年度から３年間、年１回期初払い・特別保険料払い込み時の被保険者数の見込みおよび償却期間中の被保険者数の増減を見込んで、償却期間を通じて被保険者１人あたりの特別保険料が同額となるように設定する［①の選択肢］(Ａ) 4.720(Ｆ) 4.820(Ｂ) 4.740(Ｃ) 4.760(Ｄ) 4.780(Ｅ) 4.800(Ｂ) 1,142 𝑙𝑙0(Ｃ) 1,145 𝑙𝑙0(Ｄ) 1,148 𝑙𝑙0(Ｅ) 1,151 𝑙𝑙0(Ｂ) 1.610(Ｃ) 1.640(Ｄ) 1.670(Ｅ) 1.700(Ｇ) 4.840(Ｈ) 4.860(Ｉ) 4.880(Ｊ) 4.900［②の選択肢］(Ａ) 1,139 𝑙𝑙0(Ｆ) 1,154 𝑙𝑙0［③の選択肢］(Ａ) 0.000(Ｆ) 1.730(Ｇ) 1,157 𝑙𝑙0(Ｇ) 1.760(Ｈ) 1,160 𝑙𝑙0(Ｈ) 1.790(Ｉ) 1,163 𝑙𝑙0(Ｉ) 1.820(Ｊ) 1,166 𝑙𝑙0(Ｊ) 1.850

2020 年度
年金数理･･････24（２）𝑋𝑋年度末に年金制度𝐵𝐵の財政再計算を行い、（１）の＜計算の前提（財政再計算による変更点）＞のとおり変更した。（１）の＜計算の前提（財政再計算による変更点）＞に記載のない計算の前提については財政再計算前と同一とする。このとき、財政再計算後の被保険者１人あたりの標準保険料は①、年金制度𝐵𝐵全体の責任準備金は②、１人あたりの特別保険料は③である。このとき、空欄①～③に最も近いものをそれぞれの選択肢の中から１つ選びなさい。なお、解答に至る計算過程
においては、端数処理前の数値を用いること。また、③の解答にあたっては（１）の＜特別保険料の計算の前提＞を使用しなさい。
［①の選択肢］(Ａ) 5.000(Ｆ) 5.150(Ｂ) 5.030(Ｃ) 5.060(Ｄ) 5.090(Ｅ) 5.120(Ｂ) 1,005 𝑙𝑙0(Ｃ) 1,008 𝑙𝑙0(Ｄ) 1,011 𝑙𝑙0(Ｅ) 1,014 𝑙𝑙0(Ｂ) 0.005(Ｃ) 0.010(Ｄ) 0.015(Ｅ) 0.020(Ｇ) 5.180(Ｈ) 5.210(Ｉ) 5.240(Ｊ) 5.270［②の選択肢］(Ａ) 1,002 𝑙𝑙0(Ｆ) 1,017 𝑙𝑙0［③の選択肢］(Ａ) 0.000(Ｆ) 0.025(Ｇ) 1,020 𝑙𝑙0(Ｇ) 0.030(Ｈ) 1,023 𝑙𝑙0(Ｈ) 0.035(Ｉ) 1,026 𝑙𝑙0(Ｉ) 0.040(Ｊ) 1,029 𝑙𝑙0(Ｊ) 0.045

2020 年度
年金数理･･････25（３）（１）および（２）で算出した財政再計算後の標準保険料および特別保険料を𝑋𝑋 + 1年度から適用することとする。また、年金制度𝐴𝐴、𝐵𝐵 ともに、𝑋𝑋 + 1年度の期初に 40 歳の被保険者が0.4 𝑙𝑙0 人、45歳の被保険者が0.3 𝑙𝑙0 人加入した。新規加入が見込みと異なったこと以外は計算基礎率どおり推移

したとき、𝑋𝑋 + 1年度末の年金制度𝐴𝐴の積立金は度𝐵𝐵の積立金は③①、年金制度𝐵𝐵の責任準備金は、年金制度𝐴𝐴の責任準備金は

④

②

、年金制

となった。このとき、空欄①～④に最も近いものをそれぞれの選択肢の中から１つ選びなさい。なお、１人あたりの標準保険料および特別保険料は（１）①③および（２）①③の解答の過程で算定した端数処理前の値を使用しなさい。
［①の選択肢］(Ａ) 1,072 𝑙𝑙0(Ｆ) 1,087 𝑙𝑙0［②の選択肢］(Ａ) 1,128 𝑙𝑙0(Ｆ) 1,143 𝑙𝑙0［③の選択肢］(Ａ)

994 𝑙𝑙0(Ｆ) 1,004 𝑙𝑙0［④の選択肢］(Ａ)

994 𝑙𝑙0(Ｆ) 1,004 𝑙𝑙0(Ｂ) 1,075 𝑙𝑙0(Ｃ) 1,078 𝑙𝑙0(Ｄ) 1,081 𝑙𝑙0(Ｅ) 1,084 𝑙𝑙0(Ｂ) 1,131 𝑙𝑙0(Ｃ) 1,134 𝑙𝑙0(Ｄ) 1,137 𝑙𝑙0(Ｅ) 1,140 𝑙𝑙0998 𝑙𝑙0(Ｄ) 1,000 𝑙𝑙0(Ｅ) 1,002 𝑙𝑙0

998 𝑙𝑙0(Ｄ) 1,000 𝑙𝑙0(Ｅ) 1,002 𝑙𝑙0(Ｇ) 1,090 𝑙𝑙0(Ｇ) 1,146 𝑙𝑙0(Ｂ)(Ｈ) 1,149 𝑙𝑙0996 𝑙𝑙0(Ｃ)

996 𝑙𝑙0(Ｃ)(Ｇ) 1,006 𝑙𝑙0(Ｂ)(Ｈ) 1,093 𝑙𝑙0(Ｇ) 1,006 𝑙𝑙0(Ｈ) 1,008 𝑙𝑙0(Ｈ) 1,008 𝑙𝑙0(Ｉ) 1,096 𝑙𝑙0(Ｉ) 1,152 𝑙𝑙0(Ｉ) 1,010 𝑙𝑙0(Ｉ) 1,010 𝑙𝑙0(Ｊ) 1,099 𝑙𝑙0(Ｊ) 1,155 𝑙𝑙0(Ｊ) 1,012 𝑙𝑙0(Ｊ) 1,012 𝑙𝑙0

以上2020 年度
年金数理･･････26

年金数理（解答例）

問題１．
（１）
脱退時平均年齢は次のとおりとなる。
3𝑎𝑎
1
3𝑎𝑎
�3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2 𝑥𝑥 2 �∫𝑎𝑎 (3𝑎𝑎 − 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎 += 𝑎𝑎 += 2𝑎𝑎 = 42
𝑙𝑙𝑎𝑎
2𝑎𝑎
2𝑎𝑎

よって、𝑎𝑎 = 21

また、新規加入者数の変更前の平均年齢は次のとおりとなる。

3 2 1 3 3𝑎𝑎
3𝑎𝑎
3𝑎𝑎
2
𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ��∫𝑎𝑎 𝑥𝑥 ∙ 𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫𝑎𝑎 (3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑
5
3
2
𝑎𝑎
=
=
3𝑎𝑎 = 3 𝑎𝑎 = 35
3𝑎𝑎
3𝑎𝑎
1
∫𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
∫𝑎𝑎 (3𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
�3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2 𝑥𝑥 2 �𝑎𝑎

次に、新規加入者数の変更後の平均年齢は次のとおりとなる。
2𝑎𝑎𝑏𝑏 ∙ ∫𝑎𝑎

2𝑎𝑎

𝑏𝑏 ∙ ∫𝑎𝑎

3𝑎𝑎

𝑥𝑥 ∙ 𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫2𝑎𝑎 𝑥𝑥 ∙ 𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
3𝑎𝑎

𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫2𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

したがって、𝑏𝑏 = 0.31034 …

よって、解答は(Ｂ)=2𝑎𝑎𝑏𝑏 ∙ ∫𝑎𝑎

2𝑎𝑎

𝑏𝑏 ∙ ∫𝑎𝑎

3𝑎𝑎(3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫2𝑎𝑎 (3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑
3𝑎𝑎(3𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫2𝑎𝑎 (3𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝑎𝑎
3𝑎𝑎
1
1
3
3
𝑏𝑏 ∙ � 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 � + � 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 �
3
3
2
2
𝑎𝑎
2𝑎𝑎
=
2𝑎𝑎
1 2
1 2 3𝑎𝑎𝑏𝑏 ∙ �3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 � + �3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 �
2
2
𝑎𝑎
2𝑎𝑎

=

13𝑏𝑏 + 7∙ 𝑎𝑎 = 40
9𝑏𝑏 + 3

2020 年度
年金数理･･････27
（２）
𝑡𝑡

𝐴𝐴
𝑑𝑑𝑑𝑑である。
𝑥𝑥歳の 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ （ただし、0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1）は脱退力𝜇𝜇𝑥𝑥𝐴𝐴 を使って表すと、 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ = ∫0 �1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ �𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑠𝑠

また、脱退の発生は一様に起こると仮定していることから、 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ = 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ となる。したがって、
𝑡𝑡𝐴𝐴
𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ = ∫0 �1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ �𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑑𝑑 である。

𝐴𝐴
𝐴𝐴となるため、𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑡𝑡=
両辺を𝑡𝑡で微分すると、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ = �1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ �𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑡𝑡
𝐵𝐵同様にして、𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑡𝑡=

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵∗

1−𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵∗

𝑞𝑞 𝐶𝐶∗

𝐶𝐶、𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑡𝑡= 𝑥𝑥 𝐶𝐶∗ と表せる。
1−𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗

1−𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗

𝑥𝑥

一方、𝑥𝑥歳の𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 を脱退力を使って表すと、
1

𝑡𝑡

𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶 )
+ 𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑠𝑠+ 𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 = � exp �− � (𝜇𝜇𝑥𝑥+𝑠𝑠
0

0

0

0

1

𝑡𝑡

= � exp �− � �
1

∗

∗

∗

∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵
𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶
𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴
𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴
+
+
�
𝑑𝑑𝑑𝑑�
∗
∗
∗
∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴
1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵
1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴
1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶
∗

∗

∗

𝑡𝑡

= � exp ��log�1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 � + log�1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 � + log�1 − 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 ��0 �
0∗
𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴∗𝐵𝐵∗
𝐶𝐶 ∗= � �1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥 ��1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥 ��1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥 �∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴
0

1

∗

1

∗

∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗= 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 � �1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 ��1 − 𝑡𝑡𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 � 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

1 ∗ ∗
1
∗
∗
∗
= 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 �1 − �𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 � + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 �
32
1 ∗ ∗ ∗
1∗∗∗∗∗
= 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 − �𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 � + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶
32
1 ∗ ∗ ∗
1∗∗∗∗∗
↔ 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 = �𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 � − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 ⋯ (ⅰ)
3
2

同様に、

1 ∗ ∗ ∗
1 𝐴𝐴∗ 𝐵𝐵∗∗∗�𝑞𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 � − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 ⋯ (ⅱ)
32
1 ∗ ∗ ∗
1∗∗∗∗∗
𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 = �𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 � − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 ⋯ (ⅲ)
32∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 =上記より(ⅰ)から(ⅲ)を足し合わせ整理すると、
∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵∗ + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶∗ − (𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 ) = 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶
よって、解答は(Ｊ)∗2020 年度
年金数理･･････28（別解）生存率𝑝𝑝𝑥𝑥 は𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 を用いて、𝑝𝑝𝑥𝑥 = 1 − (𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 )

∗

∗

∗

と表すことができる。一方で、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 、𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 を用いて、∗∗∗𝑝𝑝𝑥𝑥 = �1 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 ��1 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 ��1 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 �
∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

= 1 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶∗と表すことができる。そのため、

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴∗ + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵∗ + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶∗ − (𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 ) = 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑥𝑥𝐶𝐶∗

よって、解答は(Ｊ)（３）（A）の年金の 60 歳時点の現価は
(6)

𝑎𝑎20
����| +

1
7
1
� �
�𝑁𝑁80 − 𝐷𝐷80 + 𝑀𝑀
𝐷𝐷60
12
8 80

である。

ここで、第 1 項は
(6)

𝑎𝑎20
����| ==

1 1⁄6 1 − 𝑣𝑣 20
𝑣𝑣
6
1 − 𝑣𝑣 1⁄6

1
1 − 0.67297
× 0.99671 ×
6
1 − 0.99671= 16.51236 …

また、第 2 項は

⋯ (ⅰ)

7
1
1
7
1
1
� �=
�𝑁𝑁 − 𝐷𝐷 + 𝑀𝑀
× �181,448 −× 19,435 + × 16,035�
𝐷𝐷60 80 12 80 8 80
38,63412
8= 4.45502 …

∙∙∙ (ⅱ)

したがって、（A）の年金の 60 歳時点の現価は (ⅰ) + (ⅱ) = 20.96738 …である。

一方、（B）の年金の 60 歳時点の現価は
𝐾𝐾 ×1× ��𝑣𝑣 1/6 + 𝑣𝑣 2/6 +∙∙∙ +𝑣𝑣� + 2𝑣𝑣�𝑣𝑣 1/6 + 𝑣𝑣 2/6 +∙∙∙ +𝑣𝑣� +∙∙∙ 10𝑣𝑣 9 �𝑣𝑣 1/6 + 𝑣𝑣 2/6 +∙∙∙ +𝑣𝑣��
6

1
1 − 𝑣𝑣= 𝐾𝐾 × × 𝑣𝑣 1⁄6× (1 + 2𝑣𝑣 +∙∙∙ +10𝑣𝑣 9 )6
1 − 𝑣𝑣 1⁄61
𝑣𝑣 1⁄6
1 − 𝑣𝑣 10= 𝐾𝐾 × ××�− 10𝑣𝑣 10 �
1 − 𝑣𝑣
6 1 − 𝑣𝑣 1⁄6

1
0.99671
1 − 0.82035= 𝐾𝐾 × ××�
− 10 × 0.82035�
6 1 − 0.99671
1 − 0.98039= 𝐾𝐾 × 48.35317 …

2020 年度
年金数理･･････29である。
（A）の年金の 60 歳時点の現価と（B）の年金の 60 歳時点の現価が一致しているので、𝐾𝐾 = 0.43362 … である。

よって、解答は(Ｄ)� の項を省略したものを近似式としている。
（注）教科書では、終身部分の年金現価率で𝑀𝑀
この場合、解答は次のとおりとなる。

1717�𝑁𝑁80 − 𝐷𝐷80 � =× �181,448 −× 19,435�
𝐷𝐷60
1238,63412= 4.40314 …

∙∙∙ (ⅱ)′

したがって、（A）の年金の 60 歳時点の現価は (ⅰ) + (ⅱ)′ = 20.91550 … である。

（A）の年金の 60 歳時点の現価と（B）の年金の 60 歳時点の現価が一致しているので、𝐾𝐾 = 0.43255 … である。

（４）
期初の責任準備金を𝑉𝑉0 、積立金を𝐹𝐹0 、標準保険料を𝑃𝑃0 、特別保険料を𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 、予定利率を𝑖𝑖、実際の運用

利回りを𝑗𝑗、期末の責任準備金を𝑉𝑉1 、積立金を𝐹𝐹1 、給付額を𝐵𝐵とすると、
𝑉𝑉0 × (1 + 𝑖𝑖) + 𝑃𝑃0 × (1 + 𝑖𝑖)0.5 − 𝐵𝐵 = 𝑉𝑉1

𝐹𝐹0 × (1 + 𝑗𝑗) + (𝑃𝑃0 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ) × (1 + 𝑗𝑗)0.5 − 𝐵𝐵 = 𝐹𝐹1となる。ここで、両辺を引いて、与えられた数値を代入（𝑉𝑉1 − 𝐹𝐹1 = 340に注意）し式を整理すると、1,000(1 + 𝑖𝑖) + 80(1 + 𝑖𝑖)0.5 − 1,102.815661 … = 0となるので、この２次方程式をとくと(1 + 𝑖𝑖)0.5 = 1.010911 …

したがって、(1 + 𝑖𝑖) = 1.021942 …、すなわち𝑖𝑖 = 2.1942 … %となる。

よって、解答は𝑎𝑎 = 2、𝑏𝑏 = 2（５）(Ａ) 正しい（教科書 P.73）(Ｂ) 正しい（教科書 P.73）(Ｃ) 正しい（教科書 P.188～P.189）(Ｄ) 正しい（教科書 P.192～P.193）(Ｅ) 正しい（教科書 P.193～P.194）
よって、解答は(Ｆ)2020 年度
年金数理･･････30（６）
統合後の財政方式を加入年齢方式とした場合の標準保険料率を 𝐸𝐸𝑃𝑃 、開放基金方式とした場合の標準保険料率を 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑃𝑃とする。

統合後の年金制度における諸数値は次のとおり。
項目

統合後の年金制度

𝐿𝐿𝐿𝐿

2,342

𝑃𝑃

2,500

𝑎𝑎
𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑓𝑓

9,000

𝑆𝑆

𝑎𝑎
𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑆𝑆

𝐺𝐺
𝐺𝐺
𝐹𝐹

𝑎𝑎

𝑓𝑓

5,400
12,00036,00060,0006,918

財政方式を加入年齢方式とした場合の標準保険料率は 𝐸𝐸𝑃𝑃 = 𝑆𝑆 𝑓𝑓 ⁄𝐺𝐺 𝑓𝑓 = 12,000⁄60,000 = 20.0% である。
𝑎𝑎
𝑎𝑎
+ 𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 − 𝐸𝐸𝑃𝑃 × �𝐺𝐺 𝑎𝑎 + 𝐺𝐺 𝑓𝑓 � = 9,700 であり、未積立債務は、責任準備金は、 𝑆𝑆 𝑝𝑝 + 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃

9,700 − 6,918 = 2,782 である。したがって特別保険料率は、
2,782⁄(8.97087 × 2,342) = 0.1324 … ≒ 13.2% である。

よって財政方式を加入年齢方式とした場合の統合初年度の標準保険料の額は、20.0% × 2,342 = 468.4 ≒ 468 、特別保険料の額は、 13.2% × 2,342 = 309.144 ≒ 309 であるので合計額は 777 である。

一方、財政方式を開放基金方式とした場合の標準保険料率は、
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑎𝑎+ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 ���𝐺𝐺 𝑎𝑎 + 𝐺𝐺 𝑓𝑓 � = (9,000 + 12,000)⁄(36,000 + 60,000) = 0.21875 ≒ 21.9% である。
𝑃𝑃 = �𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹

𝑎𝑎𝑎𝑎
責任準備金は、 𝑆𝑆 𝑝𝑝 + 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃+ 𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 − 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑃𝑃 × �𝐺𝐺 𝑎𝑎 + 𝐺𝐺 𝑓𝑓 � = 7,876 であり、未積立債務は、

7,876 − 6,918 = 958 である。したがって特別保険料率は、958⁄(8.97087 × 2,342) = 0.0455 … ≒ 4.6% である。

よって財政方式を開放基金方式とした場合の統合初年度の標準保険料の額は、21.9% × 2,342 = 512.898 ≒ 513 、特別保険料の額は 4.6% × 2,342 = 107.732 ≒ 108 であるので合計額
は 621 である。

したがって、求める数値は 777 ÷ 621 = 1.25120 … である。

よって、解答は(Ｈ)2020 年度
年金数理･･････31（７）
𝑋𝑋 + 𝑡𝑡 年度初の積立金を 𝐹𝐹𝑡𝑡 、𝑋𝑋 + 𝑡𝑡 年度の運用利回りを 𝑗𝑗𝑡𝑡 、𝑋𝑋 年度の給付を 𝐵𝐵 、𝑋𝑋 年度の標準保険料
を 𝐶𝐶 、予定利率を 𝑖𝑖 とする。𝑋𝑋 年度末で定常状態であるため、

𝐹𝐹1 = (𝐹𝐹1 + 𝐶𝐶 − 𝐵𝐵)(1 + 𝑖𝑖)

𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 =𝑖𝑖
𝐹𝐹
1 + 𝑖𝑖 1である。与えられた条件より、𝐹𝐹𝑚𝑚 （𝑚𝑚は自然数）について、以下の関係式が成立する。
𝐹𝐹𝑚𝑚+1 = ( 𝐹𝐹𝑚𝑚 + 𝐶𝐶 + 0.1(𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹𝑚𝑚 ) − 𝐵𝐵)(1 + 𝑗𝑗𝑚𝑚 )ここで、𝑚𝑚 = 2𝑛𝑛（𝑛𝑛は自然数）の場合、 𝐹𝐹2𝑛𝑛 < 𝐹𝐹1 のもとでは
𝐹𝐹2𝑛𝑛+1 = ( 𝐹𝐹2𝑛𝑛 + 𝐶𝐶 + 0.1(𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹2𝑛𝑛 ) − 𝐵𝐵) × 1.05
= 0.945 𝐹𝐹2𝑛𝑛 + �0.1 −> 0.945 𝐹𝐹2𝑛𝑛 + �0.1 −0.02
� 𝐹𝐹 × 1.05
1.02 10.02
� 𝐹𝐹 × 1.05 > 𝐹𝐹2𝑛𝑛
1.02 2𝑛𝑛が成り立つので、𝑋𝑋 + 2𝑛𝑛年度は積立金が増加することが分かる。したがって、𝑋𝑋 + 2𝑛𝑛年度に題意を満たすことがないことが分かるため、𝑚𝑚 = 2𝑛𝑛 − 1（𝑛𝑛は自然数）の場合についてのみ考える。
𝐹𝐹2𝑛𝑛+2 = ( 𝐹𝐹2𝑛𝑛+1 + 𝐶𝐶 + 0.1(𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹2𝑛𝑛+1 ) − 𝐵𝐵) × 0.95
= 0.855 𝐹𝐹2𝑛𝑛+1 + �0.1 −0.02
� 𝐹𝐹 × 0.95
1.02 1= 0.855( 𝐹𝐹2𝑛𝑛 + 𝐶𝐶 + 0.1(𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹2𝑛𝑛 ) − 𝐵𝐵) × 1.05 + �0.1 −= 0.807975 𝐹𝐹2𝑛𝑛 + 0.855 × 1.05 �0.1 −= 0.807975 𝐹𝐹2𝑛𝑛 + 1.84775 × �0.1 −0.02
� 𝐹𝐹 × 0.95
1.02 1

0.02
0.02
� 𝐹𝐹1 + 0.95 �0.1 −
� 𝐹𝐹
1.02
1.02 10.02
� 𝐹𝐹
1.02 1𝐹𝐹2𝑛𝑛 = 0.807975𝑛𝑛−1 (𝐹𝐹2 − 0.773569 … × 𝐹𝐹1 ) + 0.773569 … × 𝐹𝐹1

…(ⅰ)

また、

𝐹𝐹2 = (𝐹𝐹1 + 𝐶𝐶 − 𝐵𝐵)(1 − 0.05) = 0.931372 … × 𝐹𝐹1…(ⅱ)

である。求める値は𝐹𝐹2𝑛𝑛 < 0.80𝐹𝐹1 …(ⅲ)

を満たす最小の2𝑛𝑛 − 1である。(ⅲ)に(ⅰ) (ⅱ)を代入して解くと𝑛𝑛 ≥ 10となるので、求める値は19である。

よって、解答は 𝑎𝑎 = 1、𝑏𝑏 = 9

2020 年度
年金数理･･････32（８）𝑥𝑥𝑒𝑒 ：加入年齢

𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏 ：𝑥𝑥𝑒𝑒 歳で加入した被保険者の𝜏𝜏年経過した時点における残存者数とすると、

𝑣𝑣 𝜏𝜏 = exp(−𝛿𝛿𝛿𝛿) = exp (−0.02𝜏𝜏)
𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏

𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏 = 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 exp(− �𝜇𝜇𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑) = 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 exp(−0.06𝜏𝜏)

𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒+𝜏𝜏 = 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒 exp(�𝜆𝜆𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑) = 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒 exp(0.03𝜏𝜏)

𝑥𝑥𝑒𝑒

𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏

𝑥𝑥𝑒𝑒となる。また、連続払の10年確定年金の年金現価率𝑎𝑎�10|����� は𝑎𝑎�10|
����� =

1 − exp(−10𝛿𝛿)= 50(1 − exp(−0.2))𝛿𝛿となる。求める標準保険料率 𝐸𝐸𝑃𝑃は
𝐸𝐸

𝑃𝑃 =

40

� 3𝜇𝜇𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏 𝑣𝑣 𝜏𝜏 ∙20

𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒+𝜏𝜏 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏𝑙𝑙𝑥𝑥 +40 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒+40
𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3 ∙ 𝑣𝑣 40 ∙ 𝑒𝑒
∙ 𝑎𝑎�10|�����
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒
40

� 𝑣𝑣 𝜏𝜏 ∙0𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒+𝜏𝜏 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒 +𝜏𝜏
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑒𝑒

40∫20 0.18 ∙ exp(−0.02𝜏𝜏) ∙ exp(−0.06𝜏𝜏) ∙ exp(0.03𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3 ∙ exp(−0.8) ∙ exp(−2.4) ∙ exp(1.2) ∙ 𝑎𝑎�10|
�����
=
40
∫0 exp(−0.02𝜏𝜏) ∙ exp(−0.06𝜏𝜏) ∙ exp(0.03𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑
40
∫ 0.18 ∙ exp (−0.05𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 150 ∙ exp(−2.0) ∙ (1 − exp(−0.2))= 20
40∫0 exp (−0.05𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑=

0.18�exp (−1.0) − exp (−2.0)� + 7.5 ∙ exp(−2.0) ∙ (1 − exp(−0.2))
1 − exp (−2.0)= 0.2611 …

よって、解答は(Ｅ)2020 年度
年金数理･･････33
問題２．
（１）
①
標準保険料率𝑃𝑃は
𝑃𝑃 =10 × �𝐷𝐷60 ∙ 𝑎𝑎̈ 10
����| + 𝑁𝑁70 �= 17.08745 …
𝑁𝑁50 − 𝑁𝑁60

定年年齢を65歳に変更した場合の標準保険料率𝑃𝑃′は𝑃𝑃′ =15 × �𝐷𝐷65 ∙ 𝑎𝑎̈ ����10| + 𝑁𝑁75 �= 14.06311 …
𝑁𝑁50 − 𝑁𝑁65

したがって、𝑃𝑃� = 1.21505 …
𝑃𝑃′
よって、解答は(Ｈ)②

それぞれの標準保険料率は、
𝑃𝑃1 =
𝑃𝑃2 =
𝑃𝑃3 =

20 × �𝐷𝐷65 ∙ 𝑎𝑎̈ ����10| + 𝑁𝑁75 �= 18.75081 …
𝑁𝑁50 − 𝑁𝑁65
1.035 × 𝛼𝛼 × �𝐷𝐷60 ∙ 𝑣𝑣 5 ∙ 𝑎𝑎̈ ����10| + 𝑁𝑁75 �
𝑁𝑁50 − 𝑁𝑁60
𝛽𝛽 × 𝐷𝐷65 ∙ 𝑎𝑎̈ 5�| + 𝛼𝛼𝑁𝑁70
𝑁𝑁50 − 𝑁𝑁65

𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 、𝑃𝑃2 = 1.44𝑃𝑃3 を満たすことから、𝛽𝛽 = 20.01 …

よって、解答は(Ｃ)2020 年度
年金数理･･････34（２）①
制度発足時𝑥𝑥歳の被保険者1人あたりの保険料を 𝐼𝐼𝑃𝑃𝑥𝑥 、𝑥𝑥歳の被保険者1人あたりの人数現価を𝐺𝐺𝑥𝑥 、𝑥𝑥歳の被保険者1人あたりの給付現価を𝑆𝑆𝑥𝑥 と表すと、 𝐼𝐼𝑃𝑃𝑥𝑥 = 𝑆𝑆𝑥𝑥 / 𝐺𝐺𝑥𝑥 であるので、
𝐼𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼

𝐼𝐼

𝑃𝑃50 = 5.5454、

𝐼𝐼

𝑃𝑃54 = 11.2534 、𝐼𝐼

𝑃𝑃58 = 41.8719 、

となる。

𝐼𝐼

𝑃𝑃51 = 6.4629、𝐼𝐼

𝑃𝑃55 = 14.2235、
𝑃𝑃59 = 88.6918

𝑃𝑃52 = 7.6336、𝑃𝑃56 = 18.7491、

𝐼𝐼
𝐼𝐼

𝑃𝑃53 =9.1685、

𝑃𝑃57 = 26.3981、

したがって、制度加入時 𝑥𝑥 歳、保険料払い込み時 𝑦𝑦 歳の被保険者数を 𝑙𝑙𝑥𝑥,𝑦𝑦 と表すと、𝑋𝑋 + 2 年度の保険料の総額は
52

�

𝑤𝑤=50

𝐼𝐼

59

𝑃𝑃50 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 + �

𝑤𝑤=53

𝐼𝐼

𝑃𝑃𝑤𝑤−2 𝑙𝑙𝑤𝑤−2,𝑤𝑤= (200 + 190 + 180) × 5.5454 + 170 × 6.4629 + 150 × 9.1685 + 130 × 14.2235 + 110 × 26.3981= 10,387.692

よって、解答は(Ｇ)②
𝑋𝑋 + 𝑡𝑡年度期初（新規加入者加入前・保険料払込前）の個人平準保険料方式の責任準備金を 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑡𝑡 、
𝑋𝑋 + 𝑡𝑡年度期初（新規加入者加入前・保険料払込前）の加入年齢方式の責任準備金を 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑉𝑉𝑡𝑡 、

𝑋𝑋 + 𝑡𝑡年度期初（新規加入者加入前・保険料払込前）の積立金を𝐹𝐹𝑡𝑡 、加入年齢方式による被保険者1人あたりの保険料を 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑃𝑃 と表すと、求める値は 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑉𝑉4 − 𝐹𝐹4 となる。
𝐼𝐼

54

59

54

𝑤𝑤=51
54

𝑤𝑤=55
59

𝑤𝑤=51
54

𝑉𝑉4 = � 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 + � 𝑙𝑙𝑤𝑤−4,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 − � �

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑉𝑉4 = � 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 + � 𝑙𝑙𝑤𝑤−4,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 − � �
𝑤𝑤=51

𝑤𝑤=55

𝐼𝐼

𝑤𝑤=51

59

𝑃𝑃50 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 + �
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑤𝑤=55

𝐼𝐼

𝑃𝑃𝑤𝑤−4 𝑙𝑙𝑤𝑤−4,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 �59

𝑃𝑃 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 + � 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑃𝑃 𝑙𝑙𝑤𝑤−4,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 � ⋯ (ⅱ)
𝑤𝑤=55

発足後は計算基礎率どおりに推移していることから
𝐹𝐹4 = 𝐼𝐼𝑉𝑉4

⋯ (ⅲ)

𝑃𝑃

⋯ (ⅳ)

また、加入年齢方式における加入年齢を 50 歳としていることから
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸= 𝐼𝐼𝑃𝑃50が分かる。(ⅰ)～(ⅳ)を用いると𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸59

𝑉𝑉4 − 𝐹𝐹4 = �

𝑤𝑤=55

𝐼𝐼

59

𝑃𝑃𝑤𝑤−4 𝑙𝑙𝑤𝑤−4,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 − �

𝑤𝑤=55

𝐼𝐼

𝑃𝑃50 𝑙𝑙𝑤𝑤−4,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤

= (6.4629 − 5.5454) × 150 × 4.1427 + (9.1685 − 5.5454) × 130 × 2.7059+ (14.2235 − 5.5454) × 110 × 1.0000= 2,799.2171052

よって、解答は(Ａ)⋯ (ⅰ)

2020 年度
年金数理･･････35③
Ⅰの方法を選択した場合、未積立債務を一括で払い込みした直後に積立金が加入年齢方式の責任準備金と等しくなる。
一方、Ⅱの方法を選択した場合、②(ⅲ)のとおり、積立金は個人平準保険料方式の責任準備金と等しい。
すなわち、題意は「ⅠとⅡの責任準備金が等しくなる時期」と同じである。②(ⅳ)を用いると

𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐼𝐼

𝑉𝑉𝑡𝑡 =

𝑉𝑉𝑡𝑡 =

50+𝑡𝑡

59

50+𝑡𝑡

𝑤𝑤=51
59

𝑤𝑤=51+𝑡𝑡
59
𝐼𝐼

𝑤𝑤=51

⎧
⎪ � 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 + � 𝑙𝑙𝑤𝑤−𝑡𝑡,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 − � �⎨⎪ � 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 − � 𝑃𝑃50 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤
⎩ 𝑤𝑤=51
𝑤𝑤=51

50+𝑡𝑡

59

50+𝑡𝑡

𝑤𝑤=51
59

𝑤𝑤=51+𝑡𝑡
59

𝑤𝑤=51

⎧
⎪ � 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 + � 𝑙𝑙𝑤𝑤−𝑡𝑡,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 − � �⎨⎪ � 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 − � 𝐼𝐼𝑃𝑃50 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤
⎩ 𝑤𝑤=51
𝑤𝑤=51

𝐼𝐼

𝐼𝐼

59

𝑃𝑃50 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 + �

𝑤𝑤=51+𝑡𝑡

59

𝑃𝑃50 𝑙𝑙50,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 + �

𝑤𝑤=51+𝑡𝑡

𝐼𝐼

𝐼𝐼

𝑃𝑃50 𝑙𝑙𝑤𝑤−𝑡𝑡,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 �(𝑡𝑡 ≤ 8)(𝑡𝑡 ≥ 9)𝑃𝑃𝑤𝑤−𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑤𝑤−𝑡𝑡,𝑤𝑤 𝐺𝐺𝑤𝑤 �(𝑡𝑡 ≤ 8)(𝑡𝑡 ≥ 9)であることから、𝑋𝑋 + 8年度の保険料の払い込みをした直後に加入年齢方式の責任準備金と個人平準保険料方式の責任準備金が等しくなることが分かる。
よって、解答は 𝑎𝑎 = 0、𝑏𝑏 = 8

2020 年度
年金数理･･････36（３）定常状態における保険料を𝐶𝐶(𝐶𝐶 > 0)、給付を𝐵𝐵、積立金を𝐹𝐹とすると、以下の極限方程式を満たす。

𝐶𝐶 + 𝑑𝑑 ∙ 𝐹𝐹 = 𝐵𝐵

𝑋𝑋年度から保険料を𝛼𝛼倍(𝛼𝛼 ≥ 0)とした場合の𝑋𝑋 + 𝑡𝑡 − 1年度末の積立金を𝐹𝐹𝑡𝑡 とすると、1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑛𝑛において以下の漸化式が成立する。
𝐹𝐹𝑡𝑡 = (𝐹𝐹𝑡𝑡−1 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝐵𝐵)(1 + 𝑖𝑖)
この漸化式を解くと、𝑣𝑣 𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡 − 𝑣𝑣 𝑡𝑡−1 𝐹𝐹𝑡𝑡−1 = (𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝐵𝐵)𝑣𝑣 𝑡𝑡−1
𝑛𝑛

𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑛𝑛 − 𝐹𝐹0 = (𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝐵𝐵) � 𝑣𝑣 𝑡𝑡−1
𝑡𝑡=1

𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑛𝑛 − 𝐹𝐹 = (𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝐵𝐵) �

1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛
�
𝑑𝑑

𝐵𝐵
𝑛𝑛
𝐶𝐶 + 𝑑𝑑𝑣𝑣 ∙ 𝐹𝐹𝑛𝑛
𝛼𝛼 =1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛
1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝐶𝐶
ここで、𝑋𝑋 + 𝑛𝑛年度以降は保険料が𝐶𝐶 ′ 、給付が𝐵𝐵、積立金が𝐹𝐹𝑛𝑛 で定常状態にあるとすると、以下の極1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛 ∙限方程式を満たす。
𝐶𝐶 ′ + 𝑑𝑑 ∙ 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝐵𝐵

このとき、𝛼𝛼は以下のようにあらわすことができる。
𝛼𝛼 =

①

1
𝐶𝐶 ′
𝑛𝑛
∙
�1
−
𝑣𝑣
∙
�
1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛
𝐶𝐶

⋯ (ⅰ)

式(ⅰ)に𝐶𝐶 ′ = 0を代入すると、
𝛼𝛼 =1
1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛

よって、解答は 𝑎𝑎:(Ａ)、𝑏𝑏:(Ａ)、𝑐𝑐:(Ｇ)②𝑈𝑈

𝐶𝐶 ：単位積立方式の保険料、 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶 ：加入時積立方式の保険料

とすると、
𝑈𝑈

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝐼𝐼

𝐶𝐶

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑥𝑥𝑟𝑟 −1
𝐷𝐷𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟
𝑙𝑙𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟 𝑣𝑣 ∙ (1 − 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒 )1(𝑇𝑇)= � 𝑙𝑙𝑥𝑥 ∙∙��=�� � 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥 = � 𝑟𝑟
�∙𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒
𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒
𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒
1 − 𝑣𝑣𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐷𝐷𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟
(𝑇𝑇)
= 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒 ∙ � 𝑟𝑟
� = 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒
𝐷𝐷𝑥𝑥𝑒𝑒式(ⅰ)に𝐶𝐶 ′ = 𝑈𝑈𝐶𝐶 、𝐶𝐶 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶 を代入すると、2020 年度
年金数理･･････37

α==𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟 𝑣𝑣 ∙ (1 − 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒 )
1
1
𝑛𝑛
∙
�1
−
𝑣𝑣
∙
�
�∙
∙
�
𝑛𝑛
1 − 𝑣𝑣
𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒
1 − 𝑣𝑣𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒
𝑣𝑣 𝑛𝑛+1 ∙ {(1 + 𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒 − 1}1
∙ �1 −
�𝑛𝑛𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 )1 − 𝑣𝑣

よって、解答は 𝑑𝑑:(Ｈ)、𝑒𝑒:(Ｄ)、𝑓𝑓:(Ａ)、𝑔𝑔:(Ｂ)、ℎ:(Ｍ)（𝑔𝑔とℎは順不同）③

式(ⅰ)に𝛼𝛼 = 0、𝐶𝐶 ′ = 𝐵𝐵、𝐶𝐶 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶 を代入すると、
0=1
𝐵𝐵∙ �1 − 𝑣𝑣 𝑛𝑛 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 �𝑛𝑛
1 − 𝑣𝑣𝐶𝐶𝜔𝜔

1 + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟
𝐵𝐵
1(1 + 𝑖𝑖) = 𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑙𝑙𝑥𝑥 ∙= (1 + 𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥𝑒𝑒 ∙
𝑥𝑥
−𝑥𝑥
𝑟𝑟
𝑒𝑒
1 + 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟
𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥𝑟𝑟 ∙ 𝑣𝑣
𝐶𝐶
𝑛𝑛

𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑟𝑟

1 + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟
1𝑛𝑛 = �𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 + log ��∙�
1 + 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟 log(1 + 𝑖𝑖)

よって、解答は 𝑖𝑖:(Ｍ)、𝑗𝑗:(Ｐ)、 𝑘𝑘:(Ｒ)、 𝑙𝑙:(Ｃ)2020 年度
年金数理･･････38（４）①
標準保険料は、給与総額 × 標準保険料率 = (80,000 + 150 × 4)千円 × 0.03
特別保険料は、= 2,418 千円

特別保険料収入現価 ÷ �10－3�年確定年金現価率 = 2,000 ÷ 6.601430 …
= 302.964619 …
≒ 303 千円
したがって、保険料総額は2,418 + 303 = 2,721 千円となる。

よって、解答は(Ｆ)②
損益は当年度に発生した不足金・剰余金に等しく、期初において積立金の額と、責任準備金から特別保険料収入現価を控除した額は等しいことから、損益は期末における責任準備金−特別保険料収入現価−積立金と等しくなる。期末における責任準備金𝑉𝑉1 は、𝑉𝑉0 を期初責任準備金�新規加入者の加入前�、

𝑉𝑉 ′ を新規加入者の期初責任準備金、𝐶𝐶1 を標準保険料、𝑖𝑖を予定利率、𝐵𝐵を給付額、𝛼𝛼を昇給の予定と実際の乖離率とすると、

𝑉𝑉1 = {(𝑉𝑉0 + 𝑉𝑉 ′ + 𝐶𝐶1 )(1 + 𝑖𝑖) − 𝐵𝐵} × 𝛼𝛼

= {(35,000 + 60 + 2,418) × 1.02 − 2,000} × 1.1= 39,850.316

期末における特別保険料収入現価𝑃𝑃𝑃𝑃𝐿𝐿1 は、𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃0 を期初特別保険料収入現価、𝐶𝐶2 を特別保険料とすると、

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃1 = (𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃0 − 𝐶𝐶2 )(1 + 𝑖𝑖)= (2,000 − 303) × 1.02

= 1,730.94

期末における積立金𝐹𝐹1 は、𝐹𝐹0 を期初積立金、𝑗𝑗を実際の運用利回りとすると、

𝐹𝐹1 = (𝐹𝐹0 + 𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 )(1 + 𝑗𝑗) − 𝐵𝐵

= (33,000 + 2,418 + 303) × 1.05 − 2,000= 35,507.05

したがって、損益は𝑉𝑉1 −𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃1 = 39,850.316 − 35,507.05 − 1,730.94となる。

= 2,612.326

よって、解答は(Ａ)2020 年度
年金数理･･････39
問題３．
（１）𝑥𝑥𝑒𝑒 歳で加入した被保険者が給与指数どおりに昇給した場合の 𝑥𝑥 歳時点の給付現価および給与現価について考える。

当該被保険者が期初に 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ≦ 𝑦𝑦 ≦ 𝑥𝑥𝑟𝑟 − 1) 歳である年度に中途退職により脱退した場合に 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳時点
で支払われる一時金の額は𝑦𝑦�

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑡𝑡+1 × (1 + 𝑖𝑖2 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡と表すことができる。また、定年退職により脱退した場合に 𝑥𝑥𝑟𝑟 歳から支払われる年金の額は𝑥𝑥𝑟𝑟 −1�

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥
1𝑏𝑏𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡 ×𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖3 )と表すことができる。したがって、𝑥𝑥 歳の被保険者 1 人あたりの期初（新規加入者加入後、保険料払
い込み前）における給付現価を 𝑆𝑆𝑥𝑥 、給与現価を 𝐺𝐺𝑥𝑥 とすると𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑦𝑦𝑦𝑦=𝑥𝑥

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒

𝐶𝐶𝑦𝑦
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑆𝑆𝑥𝑥 = � � × �
𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑡𝑡+1 × (1 + 𝑖𝑖2 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1 × 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1 �𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡と表すことができる。

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝐷𝐷𝑥𝑥
𝐵𝐵𝑥𝑥
1
𝑏𝑏𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡 ×× 𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|
+ 𝑟𝑟 × ���� (𝑖𝑖)
𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖3 )
𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒

ここで、𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖 であるとすると、𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑦𝑦𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑦𝑦=𝑥𝑥

𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒

𝐵𝐵𝑥𝑥
1
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑆𝑆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥× � � ��𝑙𝑙𝑦𝑦 − 𝑙𝑙𝑦𝑦+1 � × �
𝑏𝑏𝑡𝑡 𝑣𝑣 𝑡𝑡 � + 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑟𝑟 × �
𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡 �
𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝑣𝑣 × 𝑙𝑙𝑥𝑥
𝑥𝑥

𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑡𝑡=𝑥𝑥𝑒𝑒𝑡𝑡=𝑥𝑥+1

1
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝐵𝐵𝑥𝑥
=
× �𝑙𝑙𝑥𝑥 × �
𝑏𝑏 𝑣𝑣 𝑡𝑡 + �
𝑏𝑏 𝐷𝐷 �𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

1
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝐺𝐺𝑥𝑥 =× �
𝑏𝑏 𝐷𝐷
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑡𝑡=𝑥𝑥

である。したがって、当該年金制度の標準保険料率 𝐸𝐸𝑃𝑃 は、 𝐸𝐸𝑃𝑃 =𝑆𝑆𝑥𝑥𝑒𝑒= 1 となる。
𝐺𝐺𝑥𝑥𝑒𝑒2020 年度
年金数理･･････40（２）（１）と同様にして、制度変更時点で 𝑥𝑥 歳である被保険者 1 人あたりの制度変更時点での変更後の給付現価を 𝑆𝑆𝑥𝑥 、給与現価を 𝐺𝐺𝑥𝑥 とすると𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝑦𝑦

𝑦𝑦=𝑥𝑥

𝑡𝑡=𝑥𝑥

𝐶𝐶𝑦𝑦
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑆𝑆𝑥𝑥 = � � × �𝐴𝐴𝑥𝑥 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑥𝑥+1 + � 𝑏𝑏𝑡𝑡 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑦𝑦−𝑡𝑡+1 � × (1 + 𝑖𝑖2 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1 × 𝑣𝑣 𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑦𝑦−1 �
𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝐷𝐷𝑥𝑥
𝐵𝐵𝑥𝑥
1
𝑏𝑏 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑡𝑡 � ×× 𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|
+ 𝑟𝑟 × �𝐴𝐴𝑥𝑥 (1 + 𝑖𝑖1 )𝑥𝑥𝑟𝑟−𝑥𝑥 + �
��� (𝑖𝑖)
𝐷𝐷𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛|��� (𝑖𝑖3 )
𝑡𝑡=𝑥𝑥と表すことができる。

ここで、𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖 であるとすると、𝑥𝑥𝑟𝑟 −1𝑥𝑥𝑟𝑟 −1

𝑡𝑡=𝑥𝑥

𝑡𝑡=𝑥𝑥

1
𝐵𝐵𝑥𝑥
1
𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑆𝑆𝑥𝑥 =× �
𝑏𝑏 𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝑥𝑥 、𝐺𝐺𝑥𝑥 =× �
𝑏𝑏 𝐷𝐷 である。
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝐷𝐷𝑥𝑥
𝐷𝐷𝑥𝑥

変更後の年金制度における標準保険料率 𝐸𝐸𝑃𝑃 は、（１）より 𝐸𝐸𝑃𝑃 = 1であるので、制度変更時点で 𝑥𝑥 歳である被保険者 1 人あたりの制度変更時点での変更後の責任準備金は𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑥𝑥となる。

以上より、制度変更前の制度が定常状態であったとすると、各被保険者について制度変更に伴う剰余および不足が発生しないようにするためには、𝐴𝐴𝑥𝑥 を変更前の制度における責任準備金とすればよいことが分かる。
よって、解答は①(Ｉ)、②(Ｆ)、③(Ｊ)、④(Ｈ)、⑤(Ｋ)、⑥(Ｂ)、⑦(Ｌ)、⑧(Ｉ)、⑨(Ｂ)、⑩(Ｃ)、⑪(Ｃ)、⑫(Ｄ)、⑬(Ｄ)、⑭(Ｇ)、⑮(Ｌ)、⑯(Ｋ)、⑰(Ａ)、⑱(Ｄ)、⑲(Ｋ)、⑳(Ｅ)、㉑(Ｌ)、㉒(Ｎ)、㉓(Ｂ)、㉔(Ｎ)、㉕(Ｂ)、㉖(Ａ)
ただし⑤と⑥、⑦と⑧、⑱と⑲、⑳と㉑は順不同。

2020 年度
年金数理･･････41
問題４．
𝑥𝑥歳で𝑙𝑙0 人加入した集団が定常状態に到達したときにおける、年度末（定年退職者脱退後）の年金受給
𝑝𝑝𝑎𝑎
権者の給付現価を 𝑥𝑥𝑆𝑆 、在職中の被保険者の将来の加入期間に対応する給付現価を 𝑥𝑥𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹、在職中の被𝑎𝑎
保険者の過去の加入期間に対応する給付現価を 𝑥𝑥𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃、在職中の被保険者の給付現価を 𝑥𝑥𝑆𝑆 𝑎𝑎 、将来加入𝑓𝑓が見込まれる被保険者の給付現価を 𝑥𝑥𝑆𝑆 、在職中の被保険者の人数現価を 𝑥𝑥𝐺𝐺 𝑎𝑎 、将来加入が見込まれ
𝑓𝑓

る被保険者の人数現価を 𝑥𝑥𝐺𝐺 とする。

（１）①
年金制度𝐴𝐴の財政再計算後の 1 人あたりの標準保険料を 𝐸𝐸𝑃𝑃′とすると、
40 𝑓𝑓

𝑆𝑆 =

40

1 + 𝑖𝑖𝐷𝐷60∙ 𝑙𝑙0 ∙
∙ 20 ∙ 𝑎𝑎̈ 10
����| = 2,441.190 𝑙𝑙0
𝐷𝐷40
𝑖𝑖

であるので
𝐸𝐸

59

44

𝑦𝑦=40

𝑦𝑦=40

𝐷𝐷𝑦𝑦
𝐷𝐷𝑦𝑦
1 + 𝑖𝑖
𝐷𝐷45 45 𝑓𝑓 1 + 𝑖𝑖
∙ 𝑙𝑙0 ∙ �=
∙ 𝐺𝐺 +∙ 𝑙𝑙0 ∙ �
= 510.518 𝑙𝑙0
𝐺𝐺 =𝐷𝐷40 𝐷𝐷40
𝐷𝐷40
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑓𝑓

40 𝑓𝑓

𝑃𝑃′ = 40

𝑆𝑆

𝐺𝐺

= 4.78179

𝑓𝑓

よって、解答は(Ｄ)②

財政再計算後の責任準備金 𝐸𝐸𝑉𝑉 ′ は𝑝𝑝

𝑉𝑉 = 45𝑆𝑆 + 45𝑆𝑆 𝑎𝑎 − 𝐸𝐸𝑃𝑃′ 45𝐺𝐺 𝑎𝑎 = 1,141.648 𝑙𝑙0

𝐸𝐸 ′

よって、解答は(Ｂ)③

財政再計算前の標準保険料 𝐸𝐸𝑃𝑃は
𝐸𝐸

45 𝑓𝑓

𝑃𝑃 = 45

𝑆𝑆

𝐺𝐺

𝑓𝑓

= 5.60994

したがって、財政再計算前の責任準備金 𝐸𝐸𝑉𝑉 は
𝐸𝐸

𝑉𝑉

𝑝𝑝

= 45𝑆𝑆 + 45𝑆𝑆 𝑎𝑎 − 𝐸𝐸𝑃𝑃 45𝐺𝐺 𝑎𝑎 = 1,082.666 𝑙𝑙0であり、財政再計算で発生する未積立債務は𝐸𝐸 ′𝑉𝑉 − 𝐸𝐸𝑉𝑉= 1,141.648 𝑙𝑙0 − 1,082.666 𝑙𝑙0 = 58.982 𝑙𝑙0

ここで、特別保険料算出のために各年度の特別保険料払い込み時の被保険者数を算出する。𝑋𝑋 + 𝑡𝑡年度の特別保険料払い込み時の被保険者数を𝐿𝐿𝑋𝑋+𝑡𝑡 とすると、中途脱退者数は期初の被保険者数× 0.03、定
年退職者数は𝑙𝑙0 × 0.9715 = 0.63325 𝑙𝑙0 であるので、

𝐿𝐿𝑋𝑋+1 = 11.225 𝑙𝑙0 + 0.5 𝑙𝑙0 = 11.725 𝑙𝑙0

2020 年度
年金数理･･････42
𝐿𝐿𝑋𝑋+2 = 𝐿𝐿𝑋𝑋+1 × 0.97 − 0.63325 𝑙𝑙0 + 0.5𝑙𝑙0 = 11.240 𝑙𝑙0
𝐿𝐿𝑋𝑋+3 = 𝐿𝐿𝑋𝑋+2 × 0.97 − 0.63325 𝑙𝑙0 + 0.5𝑙𝑙0 = 10.770 𝑙𝑙0

以上より、１人あたり特別保険料は58.982 𝑙𝑙0= 1.79048 …
11.240 𝑙𝑙0 10.770 𝑙𝑙011.725 𝑙𝑙0 ++1.025
1.0252
よって、解答は(Ｈ)（２）①
年金制度𝐵𝐵 の財政再計算後の被保険者１人あたりの保険料 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑃𝑃′ は、新規加入者数の見込みが0.5 𝑙𝑙0 に減少することに注意すると𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂

𝑃𝑃′ =

𝑓𝑓

𝑎𝑎
0.5 40𝑆𝑆 + 45𝑆𝑆𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑓𝑓

0.5 40𝐺𝐺 + 45𝐺𝐺 𝑎𝑎

よって、解答は(Ｇ)= 5.18286②
財政再計算後の責任準備金 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑉𝑉 ′ は𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ′𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑉𝑉 = 45𝑆𝑆 + 45𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃= 1,010.708 𝑙𝑙0

よって、解答は(Ｄ)③

財政再計算前の責任準備金を 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑉𝑉 とすると、 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑉𝑉 ′ = 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑉𝑉 であり財政再計算で未積立債務は発生しないので、１人あたり特別保険料は0
よって、解答は(Ａ)（３）①
𝑋𝑋 + 1年度の給付額は、年金受給者が全員45歳で加入し定年退職した人であることに注意すると

𝑙𝑙0 × 0.9715 × 10 × 15 = 94.988 𝑙𝑙0

したがって年金制度𝐴𝐴の𝑋𝑋 + 1年度末の積立金は{1,082.666 𝑙𝑙0 + (11.225 𝑙𝑙0 + 0.7 𝑙𝑙0 )(4.78179 + 1.79048) − 94.988 𝑙𝑙0 } × 1.025 = 1,092.704 𝑙𝑙0
よって、解答は(Ｈ)2020 年度
年金数理･･････43②
40歳で加入し、年度末に41歳である被保険者１人あたりの給付現価 40,41𝑠𝑠 𝑎𝑎 は40,41 𝑎𝑎

𝑠𝑠 =

𝐷𝐷60
∙ 20 ∙ 𝑎𝑎̈ 10
����| = 62.918
𝐷𝐷41

45歳で加入し、年度末に46歳である被保険者１人あたりの給付現価 45,46𝑠𝑠 𝑎𝑎 は45,46 𝑎𝑎

𝑠𝑠 =

𝐷𝐷60
∙ 15 ∙ 𝑎𝑎̈ ����10| = 62.172
𝐷𝐷46

年度末に41歳である被保険者１人あたりの人数現価 41𝑔𝑔𝑎𝑎 は
41 𝑎𝑎

59

𝑔𝑔 = �

𝑦𝑦=41

𝐷𝐷𝑦𝑦= 12.101
𝐷𝐷41

年度末に46歳である被保険者１人あたりの人数現価 46𝑔𝑔𝑎𝑎 は
46 𝑎𝑎

59

𝑔𝑔 = �

𝑦𝑦=46

𝐷𝐷𝑦𝑦= 10.026
𝐷𝐷46

𝑋𝑋年度末（財政再計算後）の責任準備金と𝑋𝑋 + 1年度末の責任準備金の相違点が、年金制度に加入して1年である被保険者に関する責任準備金のみであることに留意すると、年金制度𝐴𝐴の𝑋𝑋 + 1年度末の責
任準備金は
45 𝑝𝑝

𝑆𝑆 + 45𝑆𝑆 𝑎𝑎 − 0.97 𝑙𝑙0 45,46𝑠𝑠 𝑎𝑎 + 0.4 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 40,41𝑠𝑠 𝑎𝑎 + 0.3 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 45,46𝑠𝑠 𝑎𝑎− 𝐸𝐸𝑃𝑃′ � 45𝐺𝐺 𝑎𝑎 − 0.97 𝑙𝑙0 46𝑔𝑔𝑎𝑎 + 0.4 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 41𝑔𝑔𝑎𝑎 + 0.3 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 46𝑔𝑔𝑎𝑎 � = 1,133.947 𝑙𝑙0

よって、解答は(Ｃ)③

年金制度𝐵𝐵の𝑋𝑋 + 1年度末の積立金は{1,010.708 𝑙𝑙0 + (11.225 𝑙𝑙0 + 0.7 𝑙𝑙0 ) ∙ 5.18286 − 94.988 𝑙𝑙0 } × 1.025 = 1,001.964 𝑙𝑙0
よって、解答は(Ｅ)④
𝑋𝑋年度末（財政再計算後）の責任準備金と𝑋𝑋 + 1年度末の責任準備金の相違点が、年金制度に加入して1年である被保険者に関する責任準備金のみであることに留意すると、年金制度𝐵𝐵 の𝑋𝑋 + 1年度末の責

任準備金は
45 𝑝𝑝

𝑓𝑓

𝑆𝑆 + 45𝑆𝑆 𝑎𝑎 + 0.5 40𝑆𝑆 − 0.97 𝑙𝑙0 45,46𝑠𝑠 𝑎𝑎 + 0.4 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 40,41𝑠𝑠 𝑎𝑎 + 0.3 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 45,46𝑠𝑠 𝑎𝑎
𝑓𝑓− 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑃𝑃′ � 45𝐺𝐺 𝑎𝑎 + 0.5 40𝐺𝐺 − 0.97 𝑙𝑙0 46𝑔𝑔𝑎𝑎 + 0.4 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 41𝑔𝑔𝑎𝑎 + 0.3 ∙ 0.97 𝑙𝑙0 46𝑔𝑔𝑎𝑎 �= 1,003.853 𝑙𝑙0

よって、解答は(Ｆ)以上2020 年度
年金数理･･････44
問題番号

正答

問題１．

（１）

(Ｂ)

５点

（４０点）

（２）

(Ｊ)

５点

（３）

(Ｄ)

５点

22

完答で５点

(Ｆ)

５点

(Ｈ)

５点

19

完答で５点

(Ｅ)

５点

①

(Ｈ)

４点

②

(Ｃ)

３点

①

(Ｇ)

４点

②

(Ａ)

２点

③𝑎𝑎𝑎𝑎

08

完答で１点

𝑎𝑎

(Ａ)

完答で４点

𝑐𝑐

(Ｇ)

𝑎𝑎𝑎𝑎

（４）
（５）
（６）

𝑎𝑎𝑎𝑎

（７）
（８）
問題２．

（１）

（２８点）
（２）

（３）

①

②

③

（４）

問題３．
（１６点）

（１）

①

配点

𝑏𝑏

(Ａ)

𝑑𝑑

(Ｈ)

完答で２点

𝑒𝑒

(Ｄ)

𝑓𝑓

(Ａ)

𝑔𝑔とℎは順不同

𝑔𝑔

(Ｂ)

ℎ

(Ｍ)

𝑖𝑖

(Ｍ)

𝑗𝑗

(Ｐ)

𝑘𝑘

(Ｒ)

𝑙𝑙

(Ｃ)

完答で１点

(Ｆ)

４点

②

(Ａ)

３点

①

(Ｉ)

１点

②

(Ｆ)

１点

③

(Ｊ)

１点

④

(Ｈ)

１点

⑤

(Ｋ)

完答で１点

⑥

(Ｂ)

順不同

⑦

(Ｌ)

完答で１点

⑧

(Ｉ)

順不同

2020 年度
年金数理･･････45

（２）

問題４．

（１）

（１６点）

（２）

（３）

⑨

(Ｂ)

⑩

(Ｃ)

⑪

(Ｃ)

１点

⑫

(Ｄ)

完答で１点

⑬

(Ｄ)

⑭

(Ｇ)

⑮

(Ｌ)

⑯

(Ｋ)

１点

⑰

(Ａ)

１点

⑱

(Ｄ)

完答で１点

⑲

(Ｋ)

⑱と⑲、⑳と㉑はそれぞれ順不同

⑳

(Ｅ)

㉑

(Ｌ)

㉒

(Ｎ)

㉓

(Ｂ)

㉔

(Ｎ)

１点

㉕

(Ｂ)

完答で１点

㉖

(Ａ)

①

(Ｄ)

３点

②

(Ｂ)

３点

③

(Ｈ)

１点

①

(Ｇ)

２点

②

(Ｄ)

２点

③

(Ａ)

１点

①

(Ｈ)

１点

②

(Ｃ)

１点

③

(Ｅ)

１点

④

(Ｆ)

１点

完答で１点

完答で１点

完答で１点