1 次元力学系と Cantor 集合
森真Oct. 1997

目次

1.8 一般の場合への拡張

31

2 Cantor 集合
32
2.1 piecewise linear 変換から導かれる Cantor 集合．
．
．
．
．
．32

2.1.1
2:1.2

発見的議論

. . . . . . . . . . .

32

理論的考察

. . . . . .

41
43. . . . . . . .
. . . . . . . . .

2.2 連分数展開から導かれる Cantor 集合3

関数解析の補足

有界変動関数

3.1.
3.2 nuclear operators. . . .
3.3 Banach 空間上の spectral decomposltion .
3.4 Mazur の定理，Kakutani-Yosida の定理 .
-.

4 エルゴード理諭からの補足
4.1 Spectral Theory. .
参考文献

. . .

49
49

49
50
52
53
53
55

始め [ここのノートは 1996 年夏に津田塾大学で行われたシンポジウムにおける講義をまとめたものです．1 章の始めに Perron-Frobenius operator のス
ペクトルとエルゴード理論との関係について，容易に手にはいる summaryがないと思われたので概要をまとめてみました．その後で，1 次元力学

系について，Perron-Frobenius operator の固有値を generating functionと renewal equation を用いて解く方法について述べました．2 章ではその理論を 1 次元の Cantor 集合上の力学系に適用してみました．また，3章，4 章には，このノートで用いた関数解析とエルゴード理論について若干の補足をしておきました．参考文献は，この分野を学びたい人の参考になるように，このノートの範囲よりも広くまとめてみましたが，著者の浅学のため落ちているものも多いと思います．最後に，このノートの原稿を丁寧に読んで適切なアドバイスをいただいた原祐子さんに感謝をこの場を借りて表したいと思います．

2

1章

1 次元変換と $P-F$ operator
単純な例

1.1

を考えよう．傾きは黄金数である．以下，記号の簡略化のため，この節ではと表すことにする．この場合，$F(x)=\frac{1+ts}{2}x$$(mod 1)$$\beta$$=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$区間 $[0,1]$ は二つの区間 $[0,1/\beta]$ と $(1/\beta, 1]$ に分かれ，各区間上で $F$ は単調増加である．

$[0,1]$ の分割を，をアルファベットと呼び，とおく．このとき，任意の $x\in[O, 1]$ の点の$F$ による軌道 $\{x, F(x), F^{2}(x), \cdots\}$
を考えよう．ここで$\mathcal{A}=\{0,1\}$$\langle 0\rangle=[0,1/\beta],$$\langle 1\rangle=(1/\beta, 1]$$F^{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}x & n=0\\F^{n-1}(F(x)) & otherwise\end{array}\right.$

$F$ の
は，

$n$

$F(x)$ の
回反復であって，$n$乗ではない．この軌道の通る区間の記号を並べると，0 と 1 の無限列ができる．こうして得られる点列全体$F$ (l) $=$ l/の閉包 を考えれば，に注意すれば， は $\{0,1\}^{N}$ の閉集合で，$\Sigma$$\Sigma$$\beta$0 の後には$O$と 1 両方が続き得るが，1 の後には 0 のみしかこない点列全体と一致することは容易にわかるであろう．さらに，この$\Sigma$の元と $[0,1]$の点とは，$ x=\frac{a_{1}}{\beta}+\frac{a_{2}}{\beta^{2}}+\cdots$

によって，可算個の点を除いて 1 対 1 に対応することも容易にわかるであろう．上に左への shiftを考えると，これは位相的な力学系となる．この shift が区間 $[0,1]$ 上の変換$\Sigma$$\theta a_{1}a_{2}\cdots=a_{2}a_{3}\cdots$$(x=\frac{a_{1}}{\beta}+\frac{a_{2}}{\beta^{2}}+\cdots)$$ F(x)=\frac{a_{2}}{\beta}+\frac{a_{3}}{\beta^{2}}+\cdots$に対応することを考慮にいれれば，shift の性質を調べれば，[0,1] 上に $F$を考えた力学系の性質が導けることは想像に難くない．これは，線形代

3

1. 1 次元変換と $P-F$ operator4

図 1.1. $F(x)=\beta x$$(mod 1)$数を用いると容易に定式化できる．まず，$M=\left(\begin{array}{ll}l & l\\l & 0\end{array}\right)$

とおく．ここで，$(1, 0)$$(0,0)$ 成分，$(0,1)$ 成分，の成分は通常の行列の表現とは異なり，
成分 $M_{0,0}=M_{0,1}=M_{1,0}=1$ で，(1, 1) 成分 $M_{1,1}=0$ を表しているこ$M$とに注意しよう．このとき$\Sigma=\{a_{1}a_{2}\cdots:a_{i}\in\{0,1\}, M_{a_{i},ai+1}=1\}$$M$ はその成と特徴付けられる．この $M$ を stmcture matrix と呼ぷ．今，分が非負で，さらに irreducible かつ aperiodic であることに注意しよう．
のすべての成分が正とできる (今の場合
すなわち，ある が存在しては $k=2)$ . ここで，線形代数の Perron-Frobenius の定理を思い出せば，$M^{k}$$k$$M$の最大固有値は正の実数で，対応する固有ベクトルとして，すべての成分が正のものを選ぶことができることがわかる．実際，上の $M$ の最大固有値は傾き
さ

$ 1/\beta$,$\beta$であって，その固有ベクトルとして第 1 成分に区間

第 2 成分に区間く$ 1\rangle$の長さ$1/\beta^{2}$を用いて，$\langle 0\rangle$$u=\left(\begin{array}{l}l/\beta\\ 1/\beta^{2}\end{array}\right)$

の長

と選ぶ

$M$ は対称行列なので，ことができる．同様に左固有ベクトルも考えると，$v=(1/\beta, l/\beta^{2})$である．
$\Sigma$

上に Markov

測度を，$u=\left(\begin{array}{l}u_{0}\\u_{1}\end{array}\right)$,$v=(v_{0}, v_{1})$1.2. 記号の説明

5

と表して

初期確率

$\pi_{i}=\frac{u_{l}v_{2}}{\sum_{j^{uv}}jj}$

推移確率$p_{i,j}=\frac{M_{i,j}u_{j}}{\beta u_{i}}$とおくと，これは 上に shift 不変な確率測度を導く．今の場合，具体的$\Sigma$には$\pi_{0}=\frac{\beta^{2}}{1+\beta^{2}}$$\pi_{1}=\neg 1+\beta 1$$Po.o=\frac{1}{\beta}$$p_{0,1}=\beta^{\neg}1$$p_{1,0}=1$$p_{1,1}=0$を得る．これは，[0,1] 上に$\rho(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{4+2\sqrt{5}}{s+\sqrt{5}} & x\in\langle O\rangle\\\frac{3}{5}\yen_{+5}^{5} & x\in\langle 1\rangle\end{array}\right.$

を密度関数とする Lebesgue 測度に絶対連続な不変確率測度に対応する．

記号の説明

1.2

この節で，これから用いる記号などをまとめておこう．アルファベッとは，有限集合で以下ではじて使い分ける． は記号の無限列全体
ト$\{a,b, \ldots\}$$\mathcal{A}$とか $\{0,1,\ldots\}$ などを目的に応$\mathcal{A}^{N}$$\Sigma$ついて不変$(a_{i}\in \mathcal{A})$$(\theta^{-1}\Sigma\supset\Sigma)$の閉部分集合で，左 shift$\theta$にであるものを表す．記号の有限列 $w=a_{1}\cdots a_{n}$を word と呼び，$|w|=n$ で word の長さを表す．後で定義する

word に対応する区間の長さ (Lebesgue 測度) とは異なることを注意してと $w=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ について
おく．
$\alpha=a_{1}a_{2}\cdots$$\alpha[i]=w[i]=a_{i}$$(i\geq 1)$$\alpha[i,j]=w[i,j]=a_{S}\cdots a_{j}$$(1\leq i\leq j)$$\theta\alpha=a_{2}a_{3}\cdots$$\theta w=a_{2}\cdots a_{n}$$1\leq i,j\leq n$ とする．と定める．いうまでもないが word については，
上に通常の筒集合から導かれる -algebra と shift を考えたものを (位相$\Sigma$$\theta$$\sigma$

的 記号力学系という．
$)$

区間 $[0,1]$ 上の変換を $F$ とする．このとき，アルファベット$\mathcal{A}$と，それが存在して， は各く$F$ を piecewlise monotone
単調なとき，
であるという．更に，任意のに対応して [0,1] の区間による分割$\{\langle a\rangle\}$a$F$$\epsilon \mathcal{A}$$ a\rangle$

上で$a\in \mathcal{A}$1. 1 次元変換と P- operator

6

$F$

が
について，端点を除いてとく の像が分割の$F$ を Markov,
上で F’ が定数であるとまた各元の和で表されるとき，への制限がそのlinearき，piecewiseであるという．各上で， のという．
閉包にまで， 関数として拡張できるとき，piecewise$F(\langle a\rangle)$$\bigcup_{i}\langle b_{i}\rangle(b_{i}\in \mathcal{A})$$ a\rangle$$\langle a\rangle$$F$$\langle a\rangle$$\langle a\rangle$$C^{r}$$C^{r}$

をについて， の展開
を
$x\in[0,1]$
定義する．
の展開全体の閉包ととることで，$x\in[0,1]$$x$$F^{n}(x)\in\langle a_{n+1}^{x}\rangle(n\geq 0)$$ a_{1}^{x}a_{2}^{x}\cdots$$,$$\Sigma$$F$$[0,1]$

で上の変換に伴う力学系と 上の記号力学系とを結び付けることができる．実際，$\Sigma$である．ここ頃
で， 上には区間から生成される通常の -algebra を考える．両側無限列をみたで任意の について，
の元．
．
．a-l
すもの全体を の natural extension と呼ぶ．

$x$

の展開が

$\alpha$$=a_{1}^{x}$

a2x$\cdots$$F(x)$ の展開は
なら，$[0,1]$$\theta\alpha$$=$$ a_{3}^{x}\cdot\cdot$$\mathcal{B}$$\sigma$$\mathcal{A}^{Z}$$ a_{i}a_{i+1}\cdots\in\Sigma$$i$$ a_{0}a_{l}\cdots$$\Sigma$word $w=a_{1}\cdots a_{n}$ に対して， に対応する区間を$w$$\langle w\rangle=\bigcap_{i=1}^{n}F^{-i+1}\langle a_{i}\rangle$

で定義する．

のときに， は admissible であると呼び，admissible
で表す．empty word は，とおいて，が上で単調増加
な
の符号
sgn
word
とみなす．admissibleは，,なら , 減少ならーと定める．また点 $x\in[0,1]$ について，$wx$ で$w$$\langle w\rangle\neq\emptyset$

な word 全体を$\mathcal{W}$$w$$ F(y)\in\langle a_{2}\rangle$$)$$F^{|w|}$$w$$\langle w\rangle$$ y\in\langle a_{1}\rangle$$+$

ば$\epsilon\in \mathcal{W}$$\langle\epsilon\rangle=[0,1]$$\epsilon$.

$\cdots$,$F^{n-1}(y)\in\langle a_{n})$かつ $F^{n}(y)=x$ となる点 y(もしあれを表すことにする．更に， が piecewise linear ならば，$F$

$F|_{\langle a\rangle}=F^{a}$は $R$ 上の lto 1, onto な変換とみなせるので，$F^{w}=F^{a_{n}}\cdots F^{a_{1}}(w=$$a_{1}\cdots a_{n})$も同様に考えることができて，逆写像を定義できる．このときには，$wx=(F^{w})^{-1_{X}}$るとき，$wx$ が

$r$

ついでに，
$||$

として，必ず定義できる．この $wx$ が$\langle w\rangle$に属す存在する』 と呼ぶことにする．
$||$

で$L^{1}$

ノルム，$||$$||_{\infty}$

で$L^{\infty}$

ノルム，$v(\cdot)$

で全変動を表す (全変動については 3.1 節を参照).

1.3

Perron-Frobenius operator

piecewise linear Markov な変換については，$\mathcal{A}x\mathcal{A}$structure matrix

によって， 内の記号力学系として表せることは明らかであろう．ま$\mathcal{A}^{N}$

た 1.1 節の議論は structure matrix が irreducible aperiodic な piecewise

linear Markov な変換 $F$ の場合にも適用できて，structure matrix の最大固有値に対応する左右の固有ベクトルから不変確率測度を構成できる．これからの議論はその一般化とみなすこともできる．
$F$ は単位区間 $[0,1]$ 上の変換 $F$ を考える．
attractive orbit をもってい1.3. Perron-Frobenius operator7

ないとする．このとき Lebesgue 測度に絶対連続な不変確率測度を具体的に求め，そのエルゴード的性質を調べるには，次の Perron-Frobenius$f\in L^{1}$ について
operatorは強力な武器となる．
$P:L^{1}\rightarrow L^{1}$$\int Pf(x)g(x)dx=\int f(x)g(F(x))dx$$(g\in L^{\infty})$と定義する．これは積分の変数変換を行えぱ，$Pf(x)=\sum_{y:F(\text{の}=x}f(y)|F’(y)|^{-1}$を意味する．Perron-Frobenius operator$P:L^{1}\rightarrow L^{1}$の基本的な性質として次のものがある．

(1) contracting,(2) positive,$||Pf||\leq||f||$$f\geq 0$.

$\Rightarrow Pf\geq 0$$\int Pf(x)dx=\int f(x)$ (動(3) 保測，(4) $P\rho=\rho,$(5)$P_{\mathfrak{n}}$を$F^{n}$$\rho\geq 0,$$\int\rho$

欲 r $=1$ ならば$\rho$

は不変測度の密度関数になる．

に対応する Perron-Frobenius operator とすれば $P_{n}=P^{n}$をみたす．

証明．(1) は$||Pf||$$=$$\leq$$=$$\int|Pf(x)|dx$$\int\sum_{y:F(y)=x}|f(y)||F’(y)|^{-1}dx$$\int|f(y)|dy=||f||$で得られる．(2) は明らか．(3) は積分変数の変換であって，$\int Pf(x)dx=\int\sum_{y:F(y)=x}f(y)|F’(y)|^{-1}dx$より，ここで を新たに
$y$る．(4) は$g\in L^{\infty}$$x$と置き直せぱ$|F’(y)|^{\sim 1}$

が Jacobian になっていについて，$\int g(x)\rho(x)dx=\int g(x)P\rho(x)dx=\int g(F(x))\rho(x)dx$

1. 1 次元変換と P- operator

8$F$より明らか．(5) は$P^{\mathfrak{n}}f(x)=\sum_{y:F^{n}(y)=x}f(y)|(F^{n})’(y)|^{-1}$を示せばよいが，これも明らか．

以下では，とくに断らない限り Perron-Frobenius operator $P$ はその定義域を有界変動関数全体 $BV$ に制限することにする．有界変動関数全体 $BV$

上のノルムなどについては，3.1 節を参照されたい．制限をする理由は 1.6
節で述べることにする．
$F$ を
定義 1.1 $\xi>0$ をみたすとき，
expanding と呼ぶ．ここで$\xi=\lim_{n\rightarrow}\inf_{\infty}ess\inf-x\in In1_{\log}|F^{n\prime}(x)|$である．を lower Lyapunov exponent と呼ぶ．ここで$\xi$$ess\inf_{\in}f(x)=\inf${ : 集合 $\{x;f(x)<a\}$ の Lebesgue 測度が正}$a$である．expanding の定義には幾つかあるが，この定義はそのなかでも条件の厳しいものの 1 つである．例えば ess inf と lim inf の順序を取り替
えて$ess\inf\lim\inf_{\infty}-x\in n1_{\log}|F^{n\prime}(x)|>0$の場合に expanding と定義すれば，カオスで有名 ([28]) な quadratic map$F(x)=ax(1-x)$ でも Lebesgue 測度に絶対連続な不変測度をもつ場合でもexpanding になりえるが，我々の定義では quadratic map は $F’(1/2)=0$$\xi=0$ になってしまい，すべての場合に expanding ではない．以なので，下の議論ではこの制限を緩めることは困難であり，開きなおれば，このことが quadratic map の研究がいかに困難であるかを示しているように思われる ([15]).

1.4

固有値 1, 不変確率測度の存在

以下，不変測度とは Lebesgue 測度に絶対連続なもののみを考える．
定理 1.1 (Lasota-Yorke[24]) $F$ が piecewise$C^{2}$かつ expanding ならば不変確率測度 が存在し，それは有界変動関数である．
$\mu$1.4. 固有値 1, 不変確率測度の存在

9

図 1.2. Thaler の例

そのほかに，Z. Kowalski[21], S. Wong[55], M. Rychlik[45], G. Keller[18]などによって，expanding かつ piecewise $C^{1+e}(e>0)$ もしくは類似の条件のもとで不変確率測度が存在することが示されている．
反対に M. Thaler([51],[52]) によって，$IF’|=1$ をみたす点がたった 1 つ

存在するときに不変確率測度の存在しない例が与えられている．具体的には$F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1-x} 0\leq x<\frac{1}{2}\\2x-1 \frac{1}{2}\leq x\leq 1\end{array}\right.$

である．この例では $F’(O)=1$ かつすべての $x>0$ について $F’(x)>1$
をみたす．この例では，その全体の測度が無限大になってしまう $\sigma-finite$

不変測度は存在する．
これの piecewise linear 版については，Y. Takahashi[48],[49], [50],
M. Mori[35] などでも研究されている．
もう 1 つの例は P. Gora and B. Schmitt[8] に expanding で piecewise
だが，不変測度が存在しない例が与えられている．この例は Cantor$C^{1}$

集合の構成と似ていて興味深いものである．

前にも述べたように，expanding の定義は緩めることができるかもしプラス何れないが，expanding かつ piecewise $C^{1+e}(\epsilon>0)$ もしくはらかの条件が必要であることは本質的であると思われる．
$C^{1}$

1. 1 次元変換と P- operator

10

$F$

Lasota-Yorke の定理は，証明の outline だけ示すことにする．基本的には を不変確率測度$\rho$$\mu$の密度関数とするとき，$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}P^{k}f\rightarrow\rho\in BV$を示すことである．このとき $f\in BV$ について $v(f)\leq\alpha||f||+\beta v(f)$ をみたすような $>0.0<\beta<1$ が存在することを示す．ここで $v(f)$ は$f$$\alpha$の全変動である．これは，Ionesm Tulcea and Marinescu の定理 3.1 の(iii)([ll]) の条件と似ていることに注意する．このとき，$\lim_{n\rightarrow}\sup_{\infty}v(P^{n}f)\leq\alpha(1-\beta)^{-1}||f||$が成立するので，$\{P^{n}f\}$の定理 3.2 よりは$L^{1}$

で relatively compact,$\{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}P^{k}f\}$

も relatively compact

したがって Mazur$BV$ はになる．

$L^{1}$

で dense であることにも注意して，これで Kakutani-Yosida の定理 3.3 を$\{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n\sim 1}P^{k}f\}$に用いれば極限の存在と $BV$ に属することが示せるというわけである．なお，ここで用いた定理については 3 章に述べてある．

1.5

単位円上の固有値

まず始めに

$f$

が $P$ の固有値

$e$

ゆの固有関数とすると，凶は $P$ の固有値

1 の固有関数であることに注意する．なぜなら$|f|=|e^{i\phi}f|=|Pf|\leq P|f|$$\int|f|dx=\int P|f|dx$$Uf(x)=f(F(x))$ で定義される unitary
このことを見ると単位円上では，operator と関係があることがわかるであろう (4.1 節を参照せよ). unitaryの上で考えるので，
operator は不変確率測度 をもった力学系$(I, \mathcal{B},\mu,F)$$\mu$

をもとに考えてみる．ここまで，-algebra は明示して来なかったが，問題はなかったであろう．

それに合わせて Perron-Frobenius operator も$\mu$$\mathcal{B}$$\sigma$

この節以外では，意識する必要はないので用いない．
$\mu$の密度関数を とおく． を$P_{\mu}$$\rho$$\int P_{\mu}f(x)g(x)d\mu=\int f(x)g(F(x))d\mu$で定義する．明らかに (x)$\rho$$ P\mu$ノ (x) $=P(\rho f)(x)$ が成り立つ．unitary oerator $Uf(x)=f(F(x))(f\in L^{1})$ との関係を調べよう．
(1) $P(Ug\cdot f)=g\cdot Pfae$ .
$\int P(Ug\cdot f)(x)h(x)dx=\int Ug(x)f(x)h(F(x))dx$$=\int f(x)g\cdot h(F(x))dx=\int Pf(x)g\cdot h(x)dx$$P$ -1.5. 単位円上の固有値(2) $P_{\mu}Uf=f$

11$a.e.\mu$$\int P_{\mu}Uf(x)g(x)d\mu=\int Uf(x)g(F(x))d\mu$$=\int f\cdot g(F(x))d\mu=\int f(x)g(x)d\mu$(3)$U^{n}P_{\mu}^{n}f=E_{\mu}[f|\mathcal{B}_{n}],$$(\mathcal{B}_{n}=F^{-n}\mathcal{B})$. ここで，$E_{\mu}[f|\mathcal{B}_{n}]$は条件付き平均である．
$A\in \mathcal{B}_{n}$について$\int_{A}U^{n}P_{\mu}^{n}f(x)d\mu=\int_{A}P_{\mu}^{n}f(F^{n}(x))d\mu$$=\int f(F^{n}(x))1_{A}(F^{n}(x))d\mu=\int f(x)1_{A}(x)d\mu$$=\int_{A}E_{\mu}[f|\mathcal{B}_{n}]d\mu$が成り立つ．一方$\{x;U^{n}P_{\mu}^{n}f(x)>a\}=\{x;P_{\mu}^{n}f(F^{n}(x))>a\}$$=\{x:\sum_{y:F^{n}(y)=F^{n}(x\rangle}f(y)|F^{n\prime}(y)|^{\sim 1}>a\}$$=F^{-n}\{x:\sum_{y:F^{n}(y)\simeq x}f(y)|F^{n\prime}(y)|^{\sim 1}>a\}\in \mathcal{B}_{n}$ゆえに$U^{n}P_{\mu}^{n}f$は$\mathcal{B}_{n}$可測． で考えると，$L_{\mu}^{2}$$U^{n}P_{\mu}^{n}$は$F^{n}L_{\mu}^{2}$への pro-jaetion である．
(4) 次の 3 条件は同値である．

(a) $Uf=e^{i\phi}f$(b) $P_{\mu}f=e^{-i\phi}f$(c) $ P(f\rho)=e^{-i\phi}f\rho$

証明．(b),(c) の同値は定義から従う．(a) が成り立つならば $f=$
$P_{\mu}Uf=e^{i\phi}P_{\mu}f$ より (b)が従う．逆に (b) ならば，Doob の定理によって$e^{-ln\phi}U^{n}f=U^{n}P_{\mu}^{n}f=E[f|\mathcal{B}_{n}]\rightarrow\exists\tilde{f}$$Uf=e^{i\phi}f$ (両辺にもう 1 つ
より，

$U$

をかける) が成立する．さらに$\int|\tilde{f}-f|d\mu=\int|f-e^{\sim in\phi}U^{n}f|d\mu\rightarrow 0$

より $\tilde{f}=f$ が成り立つ．

1. 1 次元変換と P- operator

12

$F$

(5)

$\mu$

が maximal(すべての不変確率測度は に絶対連続) ならば，単位
$\mu$

円上

$P_{\mu}$の固有値と $P$ の固有値は一致する．

の固有関数ならば，f が $P$ の固有関数になる．
一方 が の固有値の固有関数なら， は の固有値 1 の固$|f(x)|dx$ は不変測度，は maximal であることを仮有関数なので，$f$が$P_{\mu}$

の固有値

$f$

$e^{-i\phi}$$\rho$$e^{-i\phi}$

$P$

$|f|$

$P$

$\mu$

$\{|f|=0\}\supset\{\rho=0\}$ である．ゆえに定したから，$f\rho^{-1}$

は定義で

きる．

[4] と [5] を見ると，単位円上に固有値が 1 のみで，固有値 1 力 (simple なら$F$ は weakly $m\ddot{m}ng$ば，定理 4.3 により，であることがわかる．したがって定理 1.2 (Bowen[4]) $F$ を $[0,1]$ 上の expanding, piecewise$C^{2}$

変換とする． を Lebesgue 測度に絶対連続な不変測度とし，力学系 $([0,1], \mu, F)$$\mu$

が weakly mixing ならば，その natural extension は Bernoulli である．

によって，その natural extension は，Bernoulli であることがわかる．
定理 1.3 単位円上の $P$ の固有値は $2\pi x$ 有理数かつ固有関数は有界変動である．

より詳しく述べると，ある $N$ と(1) $F(L_{i})=L_{i+1}$(2)$(L_{i}, F^{N}, \mu_{i})$となる$L_{1},$$\ldots,L_{N}$が存在して$(L_{N+1}=L_{1})$は miing, ただし i $=\mu|_{L_{j}}xN$$\mu$([54],[41])を$E(\phi)$$L^{1}$

での固有値$e^{i\phi}$の固有空間とする．固有値全体は単位円上で群になる．このことを用いれば，ある$p$が存在して，$\{0\leq\phi<2\pi:E(\phi)\neq\emptyset\}=\{2n\pi/p:0\leq n\leq p-1\}$$BV$ がであることがわかる．さらに，

分列$\{n_{i}\}$が存在して，$e^{i\phi n:}\rightarrow 1$$L^{1}$

で dense なこと，およびある部

より，固有値 1 のときと同様に$P^{ni}f$はrelatively compact かつ $\lim\sup v(P^{n:}f)\leq\frac{\alpha}{1-\beta}||f||$ がでて，固有関数が有界変動であることが従う．

1.6

単位円内の固有値

この節では $P$ を$L^{1}$

上の operator または $BV$ 上の operator とみて，その性質を調べる．まず $Perron-Frobenius$ operator $P$ を$L^{1}$

で考えてみる．

1.6. 単位円内の固有値13定理 1.4 (Keller[20]) $P$ をは$P$$L^{1}$

上の operator とみると，任意の$\lambda$$(|\lambda|<1)$の無限重の固有値である．

証明．

$Q_{\lambda}=\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^{k}U^{k}(I-UP_{\mu})$$P_{\mu}Q_{\lambda}$

とおく． :$Q_{\lambda}$$L^{1}(\mu)\rightarrow L^{1}(\mu)$$=$$\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^{k}P_{\mu}U^{k}(I-UP_{\mu})$$=$$\lambda\sum_{k=1}-$$=$$\lambda Q_{\lambda}$$(P_{\mu}U=I\rangle$

ゆえに$Q_{\lambda}^{2}$$Q_{\lambda}f=f$$=$$\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^{k}U^{k}(I-UP_{\mu})Q_{\lambda}$$=$$\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^{k}U^{k}Q_{\lambda}-\sum_{k\simeq 0}^{\infty}\lambda^{k}U^{k+1}\lambda Q_{\lambda}$$=$$Q_{\lambda}$

ならば，$P_{\mu}f=P_{\mu}Q_{\lambda}f=\lambda Q_{\lambda}f=\lambda f$は固有値 への$\lambda$$L^{1}$である．したがって，

での projection である．

$Q_{\lambda}\not\equiv O$$Q_{\lambda}$

を示せばよい．

$Q_{\lambda}^{\langle n)}=\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{k}U^{k}(I-UP_{\mu})$

とおく．

補題 1.1 ( の構成) $\exists f\in BV$ s.t.
$f$

さらに

$\exists\delta>0$$\rho$

証明．寡簿(x)$<\delta$$Q_{\lambda}^{(n)}f\neq Q_{\lambda}^{(n+1)}f,$$||Q_{\lambda}^{(n)}f||_{\infty}<\infty$$f(x)=0$ である．
ならば，$0^{U^{n}L_{\mu}^{2}\subset BV}$

は有限次元 ( $U$ の不変関数全体)( $U$ 」 は$UL_{\mu}^{2}$

への

$\mu$

projection) である．この部分はエルゴード性を意味する．ゆえに$L_{\mu}^{2}$.

かつ $BV$ は$L_{\mu}^{2}$で denseより，ある $g\in BV$ が存在して，$ UL_{\mu}^{2}\neq$$UP_{\mu}g\neq g$

を

みたす．
ある

分大きな

をみたす区間の有限和でが存在して，各 は .
$f_{k}\in BV,$ $+$をみたす．ここで $f_{k}=g1_{F}-1j_{k}$ とおくと，ならば$f_{k}(x)=0$ をみについて，$J_{k}$$\{J_{k}\}$$\mu(J_{k})\rightarrow 1$$k$$\rho(x)<\frac{1}{k}$$\rho IJ_{k}$$\geq\frac{1}{k}$$UP_{\mu}f_{k}\neq f_{k},$たす．として十分大きな の五を選ぶと，
$k$

$f$

$\lambda^{n}U^{n}(I-UP_{\mu})f=0$$Q_{\lambda}^{(n)}f=Q_{\lambda}^{(n+1)}f$ならば，すなわち $(I-UP_{\mu})f\in Ker(U^{n})$ となり，仮定よ$U$ は
り $UP_{\mu}f\neq f$ であり，
onto であるから矛盾である．さらに$||Q_{\lambda}^{(n)}f||_{\infty}=||\sum_{k=0}^{\infty}U^{k}(I-UP_{\mu})f||_{\infty}<\infty$1. 1 次元変換と P- operator

14

$F$

は明らかであるので証明が終わる．

補題 1.2 $|\lambda|<1$ とする．ある$f\in L^{\infty}$

が存在して

$f$

は固有値 の固有関$\lambda$

数である．

証明． を
$n$

$|\lambda^{n}|<_{\tilde{2}}1$$Q_{\lambda}f$となるように選ぶ．は上の補題のものとする．
$f$

$=$

$\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^{k}U^{k}(I-UP_{\mu})f$$=$$\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n-1}-$$=$$\sum_{j=0}^{\infty}\lambda^{nj}U^{nj}Q_{\lambda}^{(n)}f$

ここで上の $i\geq 1$ の部分は$||\sum_{j=1}^{\infty}\lambda^{nj}U^{nj}Q_{\lambda}^{(n)}f||_{\infty}$$\leq$$\sum_{j=1}^{\infty}(|\lambda|^{n})^{j}||Q_{\lambda}^{(n)}f||_{\infty}$$<$$||Q_{\lambda}^{(n)}f||_{\infty}$

をみたす．ゆえに

これで$ 2||Q_{\lambda}^{(n)}||_{\infty}<\infty$$||Q_{\lambda}f||_{\infty}$$<$$||Q_{\lambda}f||_{\infty}$$\geq$$||Q_{\lambda}^{(n)}||_{\infty}-||\sum_{j=1}^{\infty}\lambda^{nj}U^{nj}Q_{\lambda}^{(n)}f||_{\infty}$

$>$

$0$

$Q_{\lambda}\not\equiv 0$が示せた．

$P_{\mu}Q_{\lambda}f=\lambda Q_{\lambda}f$より$Q_{\lambda}f$が$P_{\mu}$の固有関数である．

$P$ を $BV$ に制$P$ を $BV$ に制限する理由は明らかになったと思うが，これで，限しても期待する程やさしいものではないことがつぎの補題よりわかる．

$Q_{\lambda}f\in BV$ である．ここで $h(F)$ は $F$ の
補題 1.3 $|\lambda|<e^{-h(F)}$ ならば，topological entropy$h(F)=\lim-1$ log(長さ$n-\infty n$

である．

$n$

の word の個数)

1.6. 単位円内の固有値

15$P_{\mu}:BV\rightarrow BV$$ v(f\sim UP_{\mu}f)<\infty$ .
ゆえにラフに言証明．
であるから，えば$v(Q_{\lambda}f)$$\leq$$\sum_{k=0}^{\infty}|\lambda|^{k}v(U^{k}(f-UP_{\mu}f))$$\leq$$\sum_{k=0}^{\infty}|\lambda|^{k}v(f-UP_{\mu}f)x$

長さ

$k$

の word の個数

この補題によって $P$ を $BV$ に制限 (これを，特に断らない限り $P$ と書くことにした) しても，内部がべったりと固有値であるような円が存在することがわかったので，compact でないことが証明された．しかし，つぎの定理がある．

定理 1.5 (Rychlik[44]) $P$ を $BV$ に制限すると，その essential spectrum

radius は$e^{-\xi}$に等しい．

すなわち，任意の$|\lambda|>r$ をみたす spectmm は有限個について，しか無く，すべて有限次元の固有空間をもつ固有値である．詳しくは 3.3$r>e^{\sim\xi}$節を参照されたい．

以上により残念ながら，Perron-Frobenius operator は compact でないので，もちろん nuclear(3.2 節参照) でない．したがって，Fredholm
deteminant を定義することはできないが $RueUe-Artin$-Mazur の zeta
関数$\zeta(z)=\exp\{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}\sum_{p:F^{n}(p)=p}|F^{n\prime}(p)|^{-1}\rangle$

は本質的に Redholm determinant とみなせるこを考えると，このの 点 が $P$ の固有とを後で証明する．つまり，zeta 関数の特具点$1/\zeta(z)$$(1/\zeta(z)$

$0$

$)$

値の逆数になることを示す．しかし，expanding な写像についても上の右辺は収束半径が 1 なので，Perron-Robenius operator $P$ の固有値を求めるには，これが半径 1 の円の外側にまで meromorphic に拡張できることを$P$ を示さねばならない．ところで，定理 1.4 により，上で考えると，単位円内はすべて固有値である．逆数を考えると，zeta 関数がこの Fredholm
determinant の逆数だとすると，meromorphic に拡張できるはずがない．
$L^{1}$

実は zeta 関数は $BV$ に制限した $P$ の Fredholm deteminat の逆数になることがわかる．この場合には，補題 1.3 を考えると，meromorophic な拡
張は topological entropy の逆数の半径をもつ円にまでしか意味を持たないことが想像できるであろう．

1. 1 次元変換と P- operator

16

$F$

図 1.3.

1.7

piecewise linear transformation

この節では，前節の最後に述べた一般的な結果のイメージを作るために piecewise linear transformation のあるクラスを考えてみよう ([32],[33]

参照).

1.7.1

generating function

やさしい例から始めよう．
$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}x/\eta_{a} & 0\leq x<\eta_{a}\\(x-\eta_{a})/\eta_{b} & \eta_{a}\leq x\leq 1\end{array}\right.$

かつ $1-\eta_{a}=\eta_{a}\eta_{b}$ とする．つまり $\lim_{x\uparrow 1}F(x)=\eta_{a}$ をみたす．アルファ

ベットを $\mathcal{A}=\{a, b\}$ ,$\beta$

対応する区間をくが黄金数のときの倹変換 $F(x)=\beta x$$a\rangle=[0,\eta_{a}),\langle b\rangle=[\eta_{a}, 1]$$(mod 1)$& ,$X$

このもっとも単純な例である．

ともあれ，$g\in L^{\infty}$

とおく．

について，generating function$s_{g}^{\langle a\text{》}}(z)$$=$$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int 1_{a}(x)g(F^{n}(x))dx$$s_{g}^{\langle b\text{》}}(z)$$=$$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int 1_{b}(x)g(F^{n}(x))dx$

1.7. piecewise linear transformation$s_{g}(z)$17$\left(\begin{array}{l}s_{g}^{\langle a\rangle}(z)\\s_{g}^{\langle b\rangle}(z)\end{array}\right)$$=$を定義する．ここで 1。などは$\langle a)$の定義関数を表す．さらに行列$\Phi(z)=\left(\begin{array}{ll}z\eta_{a} & z\eta_{a}\\z\eta_{b} & 0\end{array}\right)$

とおく．Perron-Robenius operator を用いると，例えば$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int P^{n}1_{a}(x)g(x)dx$

は形式的に表せば，$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)=\int[(I-zP)^{-1}1_{a}](x)g(x)dx$

である．したがって， の固有値は$P$$s_{g}^{\langle a\text{》}}(z)$などの特異点の逆数になっていることが想像される．このことをきちんと調べてみよう．

$P1_{a}(x)$$=$$\sum_{y:F(y)=x}1_{a}(y)|F’(y)|^{\sim 1}$$=$$P1_{b}(x)$に注意すると，$\sum_{n\simeq 0}^{\infty}$$=$$\eta_{a}$$\left\{\begin{array}{ll}\eta_{b} & if x\in\langle a\rangle\\ 0 & otherwise\end{array}\right.$

を $n=0$ のところと$\sum_{n\simeq 1}^{\infty}$にわけて $F(\langle a\rangle)=[O, 1]$を用いると$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)$$=$$\int 1_{a}(x)g(x)dx+\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\int 1_{a}(x)g(F^{n}(x))dx$$=$$\int 1_{a}(x)g(x)dx+\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\int P1_{a}(x)g(F^{n-1}(x))dx$$=$$\int_{(a\rangle}g(x)dx+\eta_{a}\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\int g(F^{n-1}(x))dx$$=$$\int_{a\rangle}g(x)dx+z\eta_{a}\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int g(F^{n}(x))dx$$=$$\int_{a\rangle}g(x)dx+z\eta_{a}(s_{g}^{\langle a\rangle}(z)+s_{g}^{\langle b\text{》}}(z))$

同様に，$ F(\langle b\rangle)=\langle a\rangle$$s_{g}^{(b\rangle}(z)$

$=$

を用いると

$\int 1_{b}(x)g(x)dx+\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\int 1_{b}(x)g(F^{n}(x))dx$

1. 1 次元変換と P- operator

18

$F$

$=$

$\int_{\langle b\rangle}g(x)dx+\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\int P1_{b}(x)g(F^{n\sim 1}(x))dx$$=$$\int_{\langle b\rangle}g(x)dx+\eta_{b}\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\eta_{b}\int_{a\rangle}g(F^{n-1}(x))dx$$=$$\int_{\langle b\rangle}g(x)dx+z\eta_{b}s_{g}^{\langle a\rangle}(z)$となることから$s_{g}(z)=(_{\int_{\langle b\rangle}g(x)dx}^{\int_{(a\rangle}g(x)dx})+\Phi(z)s_{g}(z)$を得る．つまり$s_{g}(z)=(I-\Phi(z))^{-1}(_{\int_{\langle b\rangle}g(x)dx}^{\int_{\langle a\rangle}g(x)dx})$が成り立つ．この構成は renew(再生) できない $n=0$ を切り離し，残りを renew した形であるので，これを Markov 過程の言葉を借りて renewal$1-\eta_{a}-\eta_{a}\eta_{b}=0$ を用いて，こ$(I-\Phi(z))^{-1}$ を求め，
equation と呼ぶ．
れを解けば
$s_{g}(z)$$=$$\frac{1}{(1-z)(1-(\eta_{a}\sim 1)z)}\left(\begin{array}{lll}l & & z\eta_{a}\\z\frac{1-\eta_{a}}{\eta_{l}} & 1 & z\eta_{a}^{}\end{array}\right)(_{\int_{\langle b\rangle}g(x)dx}^{\int_{\langle a\rangle}g(x)dx})$を得る．さらに$\rho(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{(2-\eta_{a})\eta_{a}} & x\in\langle a\rangle\\\frac{1}{2-\eta_{a}} & x\in\langle b\rangle\end{array}\right.$と定義すると，$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)$

$=$

$=$

$\frac{\int_{\langle a\rangle}gdx+z\eta_{a}\int_{\langle b\rangle}gdx}{(1-z)(1-(\eta_{a}-1)z)}$$\frac{\eta_{a}\int g(x)\rho(x)dx}{1-z}+\frac{(1-\eta_{a})\int_{\langle a\rangle}gdx-\eta_{a}\int_{\langle b\rangle}gdx}{(1-(\eta_{a}-1)z)(2-\eta_{a})}$および$s_{g}^{\langle b\rangle}(z)=\frac{(1-\eta_{a})\int g(x)\rho(x)dx}{1-z}+\frac{-\frac{1-\eta_{a}}{\eta_{a}}\int_{\langle a\rangle}gd_{X+(-}2\eta_{a})\int_{\langle b\rangle}gdx}{(1-(\eta_{a}\sim 1)z)(2-\eta_{a})}$$z=1$ とを得る．このことから，$\eta$$-1$ が $P$。

の固有値らしいということが想像できる．固有値 1 は 1 位の特異点だから，きっと $P$ の固有値 1 も simple
で，その他に単位円上には固有値はなさそうだから，weakly mbdng な力
学系が構成できるであろう．

1.7. piecewise linear transformation$\int\rho(x)dx=1$19に注意して，で密度関数 の確率測度を表す．このと$\mu$$\rho$き，明らかに は不変確率測度になる．
$\mu$

さらに，

$s_{g}(z)$の定義に戻って， の係数を比較すれば$z^{n}$$\int 1_{a}(x)g(F^{n}(x))dx=\eta_{a}\int gd\mu+C_{a}(\eta$。 $-1)^{n}$$\int 1_{b}(x)g(F^{n}(x))dx=(1-\eta_{a})\int gd\mu+C_{b}(\eta_{a}-1)^{n}$を得る．ここで$C_{a}$$=$$C_{b}$$=$$\frac{(1-\eta_{a})\int_{\langle a\rangle}gdx-\eta_{a}\int_{(b\text{》}}gdx}{2-\eta_{a}}$$\frac{-\frac{1-\eta}{\eta_{a}}\int_{(a\rangle}gdx+(2-\eta_{a})\int_{\langle b\rangle}gdx}{2\sim\eta_{a}}$である．例えば la(x)g(Fn(x))$\int$$dx$

は$ n\rightarrow\infty$

で a $\int gd\mu$ に収束し，その$\eta$

速度は $(\eta_{a}-1)^{n}$ の指数的であることがわかる．さらに，$(\eta$$-1)$ は負だから，。

振動しながら極限に近づくことがわかる．ここで，の Lebesgue 測度はに注意しよう． 般に word $w=a_{1}\cdots a_{m}$$\langle a)$$\eta_{a},$の Lebesgue 測度は$1-\eta_{a}$$\langle b\rangle$については$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int 1_{w}(x)g(F^{n}(x))dx$$=\sum_{n=0}^{m\sim 1}z^{n}\int 1_{w}(x)g(F^{n}(x))dx+\sum_{n_{\overline{\sim}}m}^{\infty}z^{n}\int 1_{w}(x)g(F^{n}(x))dx$$=\sum_{n--0}^{m\sim 1}z^{n}\int 1_{w}(x)g(F^{n}(x))dx$$+\left\{\begin{array}{ll}z^{m}\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{\alpha_{m}}(s_{g}^{\langle a\rangle}(z)+s_{g}^{\langle b\rangle}(z)) & if a_{m}=a\\z^{m}\eta_{a_{1}} \cdots \eta\text{。} ms_{g}^{\langle a\rangle}(z) & 1f a_{m}=b\end{array}\right.$

を得る．
$\chi_{g}^{w}(z)$$=$$\sum_{n\overline{\sim}0}^{m-1}z^{n}\int 1_{w}(x)g(F^{n}(x))dx$$\Phi^{w}(z)$$=$$\left\{\begin{array}{ll}(z^{m}\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{a_{m}}, z^{m}\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{a},,.)& if a_{m}=a\\(z^{m}\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{a_{m}},0) & if a_{m}=b\end{array}\right.$

とおいて，一般に $f=\sum_{w}C_{w}1_{w}$ と表すと，形式的に$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int f(x)g(F^{n}(x))dx$

$=$

$=$

$\sum_{w}C_{w}\sum_{n\simeq 0}^{\infty}z^{n}\int 1_{w}(x)g(F^{n}(x))dx$$\sum_{w}C_{w}\chi_{g}^{w}(z)+\sum_{w}C_{w}\Phi_{w}(z)s_{g}(z)$20

1. 1 次元変換と P- operator$F$を得る．ここで $f\in BV$ ならば，任意の $0<r<1$ について$\sum r^{n}\infty\sum|C_{w}|<\infty$$n=1$$|w|=n$をみたす分解を作ることができることに注意しよう．このことから，任意の $\epsilon>O$ について

$ Lebes\langle w\rangle$$\leq$$\eta_{w}=\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{a_{n}}$$\leq$

が成り立つ．ここで Lebes で集合$J$$|\sum_{w}C_{w}\chi_{g}^{w}(z)|$$|\sum_{w}\Phi^{w}(z)$

の各要素

$|$

$J$

$Ce^{-(\xi-\epsilon)n}$$Ce^{-(\xi-)n}$の Lebesgue

測度を表した．以上より，$=$$|\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{|w|=n}|C_{w}|\chi_{g}^{w}(z)|$$\leq$$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{|w|=n}\sum_{m=0}^{n\sim 1}|z|^{m}||g||Ce^{-\langle\xi-\epsilon)n}$$\leq$$\sum_{n\simeq 1}^{\infty}\sum_{|w|=n}|C_{w}||z|^{n}Ce^{\sim(\xi-e)n}$

で
および w
の各要素
である．したがってはと$z=1/(\eta_{a}-1)$$z=1$は解析的であることがわかる．一方に特異点をもつ．したがって n o $z^{n}\int f(x)g(F^{n}(x))$ 面は $|z|\geq 1$ に$|z|<e^{\xi}$$\sum_{w}C_{w}\chi_{g}^{w}(z)$$\sum$$\Phi^{w}(z)$$s_{g}(z)$$\sum$$\infty\simeq$$|z|<e^{\xi}$ でこの 2 つの特異点のみ (もし，meromorphic に拡張できて，
1 $-\eta_{a}>e^{-\xi}$ ならば) を持つことがわかった．

前と同様に$z^{n}$の係数を比較することで$\int f(x)g(F^{n}(x))dx$$\left\{\begin{array}{ll}\sum_{w}C_{w}\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{a},,.

$\rightarrow$\int gd\mu & a_{m}=a\\\sum_{w}C_{w}\eta_{a_{1}}\cdots\eta_{a_{m}}\eta_{a}\int gd\mu & a_{m}=b\end{array}\right.$$\int fdx\int gd\mu$

$=$

または
の絶対値の大きい方であるを得て，収束のオーダーはよりことがわかった．そこで について可積分な を考えると，$(\eta_{a}-1)$

$f$

$\mu$

$\int f(x)g(F^{n}(x))d\mu$$e^{\sim\xi}$$=$$\rightarrow$$f\cdot\rho\in L^{1}$$\int f\cdot\rho(x)g(F^{n}(x))dx$$\int f\cdot\rho dx\int gd\mu=\int fd\mu\int gd\mu$が出て，力学系が mbdng であることが示せた．収束のオーダーも考慮に$f\in BV$ ならば，次の図のように収束していくことがわかる．
入れると，

1.7. piecewise linear transformation

21

図 1.4. decay

この収束のオーダー，この場合には$(\eta$$-1)$ は，

decay rate of correlation。

と呼ばれる．
$\Phi(z)$は．この力学系の structure matrix$M=\left(\begin{array}{ll}l & l\\l & 0\end{array}\right)$に重みをつけたものであることに注意しよう．トレース tr $M=1$ だが，これは $(a,a)$ 成
分に，つまり，不動点$0$に対応している．

$M^{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & l\\l & l\end{array}\right)$

スは 3 である．これはずつと
期点$a\rightarrow b\rightarrow a$$a$にいる不動点と a からが $M^{2}$ の $(a, a)$ 成分に，

$b\rightarrow a\rightarrow b$$b$なので，トレーにいって戻る 2 周となる 2 周期点が $(b, b)$

成分に現れたわけである．このように，structure matrk のトレースは，

周期軌道の数を表していることがわかる．同様に，$\Phi^{n}(z)$期$n$のトレースは周の周期軌道に対応するので，これを用いると，Ruelle-Artin-Mazurの zeta 関数について$\zeta(z)$$=$$\propto p[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}\sum_{F*(p)=p}|F^{n\prime}(p)^{-1}|]$$=$$\exp[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}tr\Phi^{n}(z)]$$=$$\exp[-trlog(I-\Phi(z))]$$=$$(\det(I-\Phi(z))^{-1}$を導けた．このことは zeta 関数の特異点の逆数が Perron-Frobenius operator $P$ の固有値であることを示していて，zeta 関数の逆数が nuclear
作用素における Fredholm determinant の役割を果たすことを示している
このことからを Fredholm matrix, $\det(I-\Phi(z))$ を Fredholm
determinant と呼ぶことにする．
$\Phi(z)$22

1. 1 次元変換と P- operator$F$

図 1.5.

$\beta$-transformation

符号付き力学系

1.7.2

前の節の方法は $F$ が一般の Markov の場合にも拡張可能である．これをもっと一般化しよう．再び，つぎの例で考えることにする．
例 1.1 (generalized) $\beta-expansion$ . $(1<\eta_{a}+\eta_{b}\leq 2)$$\mathcal{A}$$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)$,$=$$\{a, b\}$$\langle a\rangle$$=$$[0,\eta_{a})$$F(x)$$=$$\left\{\begin{array}{ll}\eta_{a^{X}} & x\in\langle a\rangle\\\eta_{b}(x-\eta_{a}) & x\in\langle b\rangle\end{array}\right.$,$\langle b\rangle=[\eta_{\text{。}}, 1]$,

は前と同じだが，図 1.5 のような場合にはとおき，さらになので，$ F(\langle b\rangle)\subset\langle a\rangle$$J_{1}=F(\langle b\rangle)$$ F(J_{1})\supset\langle a\rangle$

なので，$ J_{2}=F(J_{1})\cap(b\rangle$とおくと$s_{g}^{\langle b\rangle}(z)=\int 1_{\langle b\rangle}(x)g(x)dx+\eta_{b}zs_{g}^{J_{1}}(z)$$=\int 1_{\langle b\text{》}}(x)g(x)dx+\eta_{b}z(\int 1_{J_{1}}(x)g(x)dx+\eta_{a}(s_{g}^{\langle a\rangle}(z)+s_{g}^{J_{2}}(z))$

を得る．以下同様に，$J_{n}=\left\{\begin{array}{ll}F(J_{n\sim 1}) & if F(J_{n\sim 1})\subset\langle a\rangle\\ F(J_{n-1})\cap\langle b\rangle & if F(J_{n-1})\supset\langle a\rangle\end{array}\right.$

23

1.7. piecewise linear transformationとおき，$\phi(n)=\left\{\begin{array}{ll}0 & if F(J_{n-1})\subset\langle a\rangle\\\prod_{k=1}^{n}\eta_{a_{\iota}^{1}}.

& if F(J_{n\sim 1})\supset(a\rangle\end{array}\right.$とおけば，$s_{g}^{\langle b\rangle}(z)=\chi_{g}^{b}(z)+\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\phi(n)s_{g}^{\langle a\rangle}(z)$を得る．ここでみたす$\mathcal{A}$$ a_{1}^{1}a_{2}^{1}\cdots$

は$1$の展開，すなわち，$\lim_{x\uparrow 1}F^{n}(x)\in\langle a_{n+1}^{1}\rangle$

をの列とする．このとき. $\int_{n}g$ ゐ$\chi_{g}^{b}(z)=\sum_{n\simeq 0}^{\infty}z^{\pi}\prod_{k=1}^{n}\eta_{a_{\iota}^{1}}$である．ただし$ J_{0}=\langle b\rangle$

である．

$\chi_{g}^{b}(z)$と $\Phi(z)_{b,a}$ は同 $<e^{\xi}$ で解析的であることに注意しよう．前と同様に$\Phi(z)=\left(\begin{array}{ll}z\eta_{a} & z\eta_{a}\\\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\phi(n) & 0\end{array}\right)$とおけば$s_{9}(z)=(I-\Phi(z))^{-1}\chi_{g}(z)$という renewal equationが得られる．ここで g(z)$\chi$$=\left(\begin{array}{lll}\int_{a} & g & dx\\\chi_{g}^{b}(z) & & \end{array}\right)$

である．

これを用いれば力学系が mbdng なこと，さらに$\lim_{z\uparrow 1}(1-z)(I-\Phi(z))^{-1}(^{\int_{\langle a\rangle}gdx}\chi_{g}^{b}(1))=\left(\begin{array}{l}\eta_{a}\int gd\mu\\(1-\eta_{a})\int gd\mu\end{array}\right)$

であることを見れば Lebesgue 測度に絶対連続な不変確率測度の密度関$F^{n}(1)$ が数を計算することが可能である．当然だが，ある について，のどれかに等しくなるような Markov 型のときには，上のよの各成分がうに無限回 renewal を繰り返さずに途中で打ちきって，
$n$

$0,$

$1$

$\eta_{a},$$\Phi(z)$多項式になるようにとれる．この場合には，不変確率測度の密度関数は，$F^{n-1}(1)$ で不連続な階段関数になることは明らかであろう．
$F(1),$$\eta_{a},$$\ldots,$

さらに$\zeta(z)=\frac{1}{\det(I-\Phi(z))}$をみたすことも同様に証明できるが，これにはあまり本質的ではない少し込み入った議論が必要であるので省略する．
$\beta$変換や unimodal linear 変換のように 1 つの端点を除いては Markov 型

である場合には上のように，renewal equation が構成できる．もちろん，

1. 1 次元変換と P- operator

24

$F$

図 1.6. general piecewise linear transfomation

unimodal linear 変換のように傾きが負の場合には注意が必要ではある．
の renewal equation を
しかし，一般の場合には図 1.6 のように，区間作ろうと思うと 2 つの区間みと が現れ，それを renewal するとそれぞれに 2 つ，合計 4 つの区間が出現して，となってどんどん区間が増えて$\langle a\rangle$$J_{2}$

いってしまい，これでは上のように意味のある (係数の収束半径力 Sl を越えるような)

renewal equation を作ることは不可能であることが想像に難くない．そこでく の両端点をそれぞれ と で表すことにしよう．図では と は，同じ点だが， に属すると見るか， に属する$a^{+}$$a^{-}$$ a\rangle$$a^{+}$$b^{-}$$\langle a\rangle$$\langle b\rangle$と見るかによって異なる点と見なすことにする． と$a^{-}$$ a_{1}^{-}a_{2}^{-}\cdots$

and$ a_{1}^{+}a_{2}^{+}\cdots$$a^{+}$

を記号の無限列と同一視する．ここで$\lim_{x1a^{-}}F^{n}(x)\in\langle a_{\overline{n}}\rangle$,$\lim_{x\uparrow a+}F^{n}(x)\in\langle a_{n}^{+}\rangle$

つまり，各

ある．

$a^{+}$$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)$$a^{+}$

または$a^{-}$に$\langle a\rangle$

内の点から収束するときの，展開の極限での renewal equation

がうまく構成できなかったのは， との 2 つの端点を同時に追おうとしたからなので，$s_{g}^{\langle a\rangle}(z)=s_{g}^{a^{+}}(z)+s_{g}^{a^{-}}(z)$$a^{\sim}$

25

1.7. piecewise linear transformationと$s_{g}^{a’}(z)$が $a^{\sigma}(\sigma=+, -)$のみによるように分解できればよい．これには$\delta[L]=\left\{\begin{array}{l}1 if L is true\\0 otherwise\end{array}\right.$

とおいて $x_{0},x_{1}(x_{0}<x_{1})$ について

(1.1)$\{\delta[x>x_{0}]-1/2\}+\{\delta[x<x_{1}]-1/2\}=1_{(xo,x_{1})}(x)$という当たり前の式が決め手になる．こうして前と同様に$s_{g}(z)=(s_{g}^{a’}(z))_{a\in A,\sigma\in\{+,\sim\}}$

とおいて，通常の記号力学系を用いた場合に比べて次元が倍になるが，renewal equation を$s_{g}(z)=(I-\Phi(z))^{-1}\chi_{g}(z)$のように作ろうというわけである．これさえできれば，不変確率測度の密度関数や，力学系が mbdng であることや，decay rate of correlation や，zeta 関数などが (z) の性質からまったく前と同様に導けるはずである．
$\Phi$

一般に点 $x\in[O, 1]$ の展開$\alpha=$ala.. にも符号を付けて考えよう．

$\alpha^{+}$$2^{\cdot}$

は， に左から近づく の展開の極限というわけである．それぞれを記
$x$

$y$

号の符号付きの無限列と見たり，[0,1] 上の点と見たり適当に使い分けることにするが，混乱はないであろう．このようにして得られる符号つき,の無限列の力学系を符号つき記号力学系と呼ぶ ([33] 参照).
一とおいて，符号付き無限列 について$\epsilon(\alpha^{+})=+$$\epsilon(\alpha^{-})=$$\delta$$s_{g}^{\tilde{\alpha}}(z)=\int dxg(x)\sum_{w\in W}z^{|w|}|F^{w\prime}(wx)|^{\sim 1}$$x\{\delta[wx<_{\epsilon(\tilde{\alpha})}\tilde{\alpha}|-1/2\}\delta[w[1]=\tilde{\alpha}[1],$ $(\theta w)x$$\chi_{g}(\tilde{\alpha})=\int\iota(\tilde{\alpha})$exists,$\chi_{g}^{\tilde{\alpha}}(z)=\left\{\begin{array}{ll}\chi_{g}(\tilde{\alpha}) & \{\theta\tilde{\alpha}\}\in\tilde{\mathcal{A}},\\\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}F^{n\prime}(\tilde{\alpha})^{-1}\chi_{g}(\theta^{n}\tilde{\alpha}) & otherwise\end{array}\right.$$\phi(\tilde{\alpha},\tilde{v})=\epsilon(\tilde{\alpha})\{\delta[\tilde{v}\leq\theta\tilde{\alpha}]-1/2\}$$\Phi(z)_{\tilde{u},\tilde{v}}=\left\{\begin{array}{ll}z\phi(\tilde{u},\tilde{v}) & \{\theta\tilde{u}\}\in\tilde{A}\\\sum_{n=0}^{\infty}z^{n+1}F^{n\prime}(\tilde{u})^{-1}\phi(\theta^{n}\tilde{u},\tilde{v}) & otherwise\end{array}\right.$$]$

1. 1 次元変換と P- operator

26

$F$

とおくと，renewal equation が作れる．ここで$x<_{\sigma}y=\left\{\begin{array}{l}x<y if\sigma=+\\x>y if \sigma=-\end{array}\right.$を表す．まず，2 点 (または，記号の無限列) $0\leq\alpha<\beta\leq 1$ で，その展
開の 1 番目が一致している，つまり同じ記号に対応する区間に属しているとして，$s_{g}^{\alpha^{-}}(z)+s_{g}^{\beta^{+}}(z)$$=$$s_{g}^{(\alpha.’\beta\rangle}(z)$$=$$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int 1_{(\alpha,\beta)}(x)g(F^{n}(x))dx$(1.2)

をみたすことを示そう．式 (1.1) に注意して$s_{g}^{\alpha^{-}}(z)+s_{g}^{\beta^{+}}(z)=\int dxg(x)\sum_{w\in W}z^{|w|}|F^{nv’}(wx)|^{-1}$$x1_{(\alpha,\beta\rangle}(wx)\delta[w[1]=a[1],$ $(\theta w)x$

$wx\in(\alpha,\beta)$ でなければ，被積分関数はを得る．

$w[1]=\alpha[1]=\beta[1]$exists
$0$

(1.3)

$]$

だが，その場合には

かつ $(\theta w)x$ は存在しなければならないので，上の式(1.3) は，
$s_{g}^{\alpha^{-}}(z)+s_{g}^{\beta^{+}}(z)=\int dxg(x)\sum_{w\in W}z^{|w|}|F^{|w|^{l}}(wx)|^{-1}1_{(\alpha,\beta)}(wx)$となる．ここで $wx$ を新たに$x$ととって，積分の変数変換を行えば，Ja-

cobian はになるので，式 (1.2) を得る．
例で renewal equation の作り方を説明しよう．
$|F^{|w|’}(wx)|^{\sim 1}$

例 1.2 $\beta\rightarrow xpansion$.
$ F(x)=x/\eta$$(mod 1)$を考えよう．図 1.2 のように左側を区間 0 , 右側を区間 1 と表そう．簡単のため，傾きは一定とする．とくに $1>\eta\geq 1/2$ について考える$\langle$$\langle$$\rangle$$\rangle$$ 1/\eta$

が，一般の $<1/2$ の場合や，傾きが区間毎に変わる場合への拡張はすぐにできる．renewal equation を作るために追いかける必要のある点は$\eta$

を除いては，その像が端点になるので単純である．例として , つまり点 を考えよう．word に関する和を empty
を $w$ と置き換える．
word とそれ以外に分け，empty word 以外は$0^{-},$ $0^{+},$ $1^{-},$ $1^{+}$の 4 つだが$o^{-}$$1^{+}$$0$$\theta w$$s_{g}^{0^{\sim}}(z)=\int dxg(x)\sum_{w\in W}z^{|w|}|F^{wl}(wx)|^{-1}$1.7. piecewise linear transformation
図 1.7.

$\beta$27-transformation$x\{\delta[wx<_{\sim}0^{\sim}]-1/2\}\delta[w[1]=0^{-}[1],$ $(\theta w)x$

exists$]$$=\int dxg(x)\{\delta[x>0^{-}]-1/2\}$$+\int dxg(x)\sum_{w\in W,W\neq},$$z^{|w|}|F^{w’}(wx)|^{-1}$$x\{\delta[wx>0^{\sim}]-1/2\}\delta[w[1]=0,$ $(\theta w)x$

exists$]$$=1/2\int gdx+(z\eta/2)\int dxg(x)\sum_{w\in W}z^{|w|}|F^{w’}(wx)|^{\sim 1}$$=\chi_{g}^{0^{-}}(z)+(z\eta/2)(s_{g}^{0^{\sim}}(z)+s_{g}^{0^{+}}(z)+s_{g}^{1^{\sim}}(z)+s_{9}^{1^{+}}(z))$となる．

$\theta 0^{-}=0^{\sim}$に注意しよう．次に$1^{+}$

を考えよう．

$s_{g}^{\iota^{+}}(z)=\int dxg(x)\{\delta[x<1^{+}]-1/2\}$$+\int dxg(x)\sum_{w\in W,W\neq\epsilon}z^{|w|}|F^{w^{J}}(wx)|^{\sim 1}$$x\{\delta[wx<1^{+}]-1/2\}\delta[w[1]=1,$ $(\theta w)x$

exists$]$$=1/2\int gdx+(z\eta)\int dxg(x)\sum_{w\in W}z^{|w|}|F^{w’}(wx)|^{\sim 1}$[$x\{\delta[wx<\theta(1^{+})]-1/2\}\delta$ $wx$

exists](1.4)

1. 1 次元変換と P- operator

28

$F$

となる．ここで，例えば (1 ) が区間$\theta$$+$

点は $\{\delta[wx<\theta(1^{+})]-1/2\}=-1/2$$\langle 0\rangle$$w[1]=1$ をみたすに属すれば，

で，$s_{g}^{F(1\rangle^{\sim}}(z)=-s_{g}^{F(1)^{+}}(z)$であることに注意すると，$(1.4)=\frac{1}{2}\int gdx+\frac{z\eta}{2}(s_{g}^{0^{\sim}}(z)-s_{g}^{0^{+}}(z)-s_{g}^{1^{-}}(z)-s_{g}^{1^{+}}(z))+(z\eta)s_{g}^{F(1)^{+}}(z)$となる．次に$s_{g}^{F(1\rangle^{+}}(z)$を展開して，これを続けると renewal equation が得られる．具体的には$0^{\sim}$$0^{+}$$1^{-}$$1^{+}$$\Phi(z/\eta)=0^{+}0^{\sim}1^{+}1^{\sim}\left(\begin{array}{llllll}z/2 & & z/2 & z/2 & z/2 & \\z/2 & & z/2 & z/2 & z/2 & \\z/2 & & z/2 & z/2 & z/2 & \\z/(2(1- & z)) & a(z) & a(z) & -z/(2(l & z))\end{array}\right)$$a(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\{1^{+}[n+1]\sim 1/2\}z^{n}$となる．このとき$\det(I-\Phi(z/\eta))=1-\sum_{n=1}^{\infty}1^{+}[n]z^{n}$さらに，不変確率測度の密度関数は$\rho(x)=C^{-1}\sum_{n\simeq 0}^{\infty}\eta^{n}\delta[x<1^{+}[n+1, \infty)]$となる．

例 1.3 unimodal linear transfomation.

$\beta$-expansion と同じようにする

ために， と 1 をひつくり返して図 1.8 のような変換を考える．傾きの絶$O$対値が等しい場合を考えよう．
$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x/\eta+1 & 0\leq x<\eta\\ x/\eta-1 & \eta\leq x\leq 1\end{array}\right.$

ここで $1>\eta\geq 1/2$ をみたす．注意しなければいけないのは，例えば，$ F(1)\in\langle 0\rangle$とすると，区間 $[0, F(1)]$ の像は $[F^{2}(1), 1]$ と順序がひつくり返ることである．そこに注意さえすれば，-expansion と同様に renewal$\beta$equation が作れる．

$\Phi(z/\eta)=\left(\begin{array}{llll}z/2 & z/2 & z/2 & z/2\\z/2 & z/2 & z/2 & z/2\\z/2 & z/2 & z/2 & z/2\\b(z) & c(z) & c(z) & -b(z)\end{array}\right)$

1.7. piecewise linear transformation29

図 1.8. さかさまの unimodal linear transformation

ここで$b(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\{\delta[sgn1^{+}[1, n-1]=+]\sim 1/2\}z^{n}$$c(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\{\delta[sgn1^{+}[1,n-1]=+$$+\delta[sgn1^{+}[1,n-1]=\sim$

and,and $1^{+}[n|=1]$$1^{+}[n|=0]^{1}-_{\tilde{2}}\}z^{n}$である (sgn の定義については，1.2 節を参照せよ).

このとき$\det(I-\Phi(z/\eta))=1-\sum_{n=1}^{\infty}sgn1^{+}[1,n-1]z^{n}$不変確率測度の密度関数は$\rho(x)=\frac{1}{C}\sum_{\mathfrak{n}\simeq 0}^{\infty}\eta^{n}\delta[x<1^{+}[n+1,\infty)]sgn1^{+}[1,n]$となる．

例 1.4 Linear $mod$ .
$0^{-}$と$1^{+}$$1$transfomation. この場合には，点の 2 つを追いかけねばならない．
$F(x)=x/\eta+r$$(mod 1)$

$0$

と

$1$

,

つまり

1. 1 次元変換と P- operator

30

$F$

図 1.9. linear mod.l transformation

ここで $0<r<1$ である．このとき $1>\eta\geq 1/2$ について$\Phi(z/\eta)=\left(\begin{array}{llll}z/(2(l-z)) & d(z) & d(z) & z/(2(l-z))\\z/2 & z/2 & z/2 & z/2\\z/2 & z/2 & z/2 & z/2\\z/(2(lz)) & e(z) & e(z) & z/(2(lz))\end{array}\right)$$d(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma[0^{-}[n+1]=0|z^{n}$,$e(z)=\sum_{n\simeq 1}^{\infty}\sigma[1^{+}[n+1]=1]z^{n}$$\det(I-\Phi(z/\eta))=\frac{1}{(1-z)}\{1-\sum_{n=1}^{\infty}(1^{+}[n]-0^{\sim}[n])z^{n}\}$である．不変確率測度の密度関数は$\rho(x)=\frac{1}{C}\sum_{n=0}^{\infty}\eta^{n}\{\delta[x<1^{+}[n+1, \infty)]-\delta[x<0^{-}[n+1, \infty)]\}$

で与えられる．

1.8. 一般の場合への拡張

1.8

31

一般の場合への拡張

上の議論を piecewise$C^{2}$

な $F$ に適用するには，word の端点を直線で結ぶ近似では，その記号力学系を変えてしまうこともある．この近似は$L^{1}$

での Perron-Frobenius operator の近似にはなっているが $BV$ での近似になっていない．こういう理由で一般の piecewise C2 変換についてはさらにアイディアが必要である．そこで，区間上の力学系を考察しているという視点を捨てて，記号力学系の上に potential 関数を考えるいう統計力学的視点にたとう．区間 $[0,1]$ 上の変換 に対応する記号力学系を で表す．
$x\in[O, 1]$ の展開について，その potential を $\log|F’(x)|$ と考$F$$\Sigma$$ a_{1}^{x}a_{2}^{x}\cdots\in\Sigma$

えれば piecewise$C^{2}$

変換 $F$ については，この potential は無限個の果に依存することになるが，これを有限座標のみによる potential log $|F_{N}’(x)|$で近似することが可能である ([34] 参照).

この $F_{N}$ に対応する区間上の力学系は構成できるとは限らないが，piecewise linear 変換に関する今までの理論を適用することは可能である．このことを用いれば，一般のpiecewise 変換に対応する Fredholm matrix は無限次元行列で与えられ，さらに zeta 関数は，その行列式 (Fredholm determinant) の逆数として，より正確にいえば， に対応する有限次元の Fredholm matrix のを formal
行列式の逆数の極限として求められることがわかる．このの両
piecewise linear 変換と呼ぶことにしよう．具体的には，$C^{2}$$F_{N}$$F_{N}$$\langle a_{1}^{x}\cdots a_{N}^{x}\rangle$$F_{N}’(x)$ または記号力学形の上で端点を $b_{N^{C}N}$ とすると，$F_{N}’(a_{1}^{x}a_{2}^{x}\cdots)$は，容易に想像がつくように平均傾き(Cc )–bFN(b –) で与えればよい．これ以上
$F$

$N$

$\kappa N$の議論は技術的なことであると思うので割愛する。 同様の議論が全く別の方法で Hofbauer and Keller[10], そして Milnor and Thurston[30] の方法を拡張して．Baladi and Ruelle[2] などによって行われている．

2章

Cantor 集合
2.1

piecewise linear 変換から導かれる Can-

tor 集合
2.1.1

発見的議論

普通の Cantor 集合は $F(x)=3x$$(mod 1)$ の中央の [1/3, 2/3] の $F$の反復による逆像を除くことで得られる．すなわち，[0,1] から，はじめに区間 [1/3, 2/3] を除き，つぎにその区間の $F$ による逆像を除き，続けて更にその逆像を取り除きと繰り返すことで得られる．一般に，区間から区間への expanding な piaeewise monotone な写像において，その単調な区間の一部を考え，その逆像を次々に取り除くことで，さまざまな Cantor
集合が得られる．これらを写像 $F$ によって得られる Cantor 集合と呼ぷことにする．通常は，本質的には同じであるが，上の議論とは異なり $F$ の逆写像たち (縮小写像になる) の不変集合として Cantor 集合をとらえる

場合が多いようである．
興味があるのは，このような Cantor 集合の測度が になる場合である．その場合，Cantor 集合の大きさは Hausdorﬀ 次元で測る．Hausdorﬀ$0$$C$ を長さ$C\subset[0,1]$ を考えよう．
$>0$ 以下の次元の定義から始めよう．
$\alpha>0$を -被覆と呼んで，高々可算個の区間で覆う被覆伍}$\delta$$\delta$$(\bigcup_{i}I_{i}\supset C)$について$l_{\alpha}(C,\delta)=$$inf\sum_{i}|I_{i}|^{\alpha}$

とおく．ここで$|I_{1}|$は区間$I_{i}$の長さを，inf は -被覆全体についてとるも$\delta$

2.1. piecewise linear 変換から導かれる Cantor 集合33

図 2.1. mid 3 Cantor 集合をつくる写像のとする．

$\delta\downarrow 0$のとき，$l_{\alpha}(C, \delta)$

は単調減少だから，$l_{\alpha}(C)=1\dot{m}l_{\alpha}(C, \delta)$$\delta\rightarrow 0$は存在する．また，明らかに$l_{\alpha}(C)$は について単調に減少である．
$\alpha$補題 2.1 $\alpha>0$ で $ l_{\alpha}(C)<\infty$ とする．このとき，任意の’$\alpha$$>\alpha$につい$l_{\alpha’}(C)=0$ である．て，証明．

$\{I_{i}\}$を $\sum_{i}|I_{i}|^{\alpha}<l_{\alpha}(C)+1$ を満足する$\delta$

肢覆とする．このとき，$l_{\alpha^{l}}(C)\leq\sum_{i}|I_{1}|^{\alpha’}\leq\delta^{\alpha’\sim\alpha}\sum_{:}|I_{1}|^{\alpha}\leq\delta^{\alpha’-\alpha}(l_{\alpha}(C)+1)$をみたす．ここで$\delta\downarrow$$l_{\alpha’}(C)=0$ が示される．
0 ととれば，

この補題から，ある o$\alpha$$\alpha<\alpha_{0}$では $ l_{\alpha}(C)=\infty$

では $l_{\alpha}(C)=0$ , またが存在して，であることがわかる．この o を $C$ の Hausdorﬀ$\geq 0$$C\subset[0,1]$ と次元と呼ぷ．

えると， は$\alpha>\alpha_{0}$$\alpha$$\alpha>O$を固定して，$D\subset C$について$l_{\alpha}(D)$を考上の外測度になっていることに注意しよう．したがって，
ならば，l 。は $C$ 上に -algebra を構成して，測度になる．この測度を Hausdoi 測度と呼び，で表そう．もちろん， 。(C) が$l_{\alpha}$$C$$ 0<l_{\alpha_{\text{。}}}(C)<\infty$$\sigma$$\alpha$

$\nu$

$0$

だったり

$\infty$$l_{\alpha}$$C$ が写のときには Hausdorﬀ 測度は無意味なものになる．

34

2. Cantor 集合$F$ は $C$ 上の変換と見なせるの
像 $F$ によって得られた Cantor 集合ならば，で，Hausdorﬀ 測度に絶対連続な不変確率測度を見つけて，そのエルゴー
ド性を調べるというのはおもしろいテーマであることはわかるであろう．
$(mod 1)$ によって得られる Cantor 集合について，その$F(x)=3x$

Hausdorﬀ 次元を考えてみよう．ラフな議論をすると，長さ $\delta=(1/3)^{n}$ の区間で覆うには$2^{n}$

個必要だから，$l_{\alpha}(C, (1/3)^{n})=2^{n}(1/3)^{n\alpha}=\exp[n(\log 2-\alpha\log 3)]$をみたすはずである．したがって，この値が界値は$\alpha$$0$にも$\infty$にもならない臨であるはずで，これが Cantor 集合の Hausdo イ$=\log 2/\log 3$次元になるはずである．答えはまさにその通りだが，定義によると任意の覆い方について inf を取らなければならないわけだから，今の議論ではHausdoi 次元 0 $\leq\log 2/\log 3$ のみが言えたことになる．
一般的な piecewise linear Mar 化 transfomation について考えてみ$\alpha$$v$

よう．まず，ラフな議論をしよう．
例 2.1 Bemoulli cases.

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}x/\eta_{a} & x\in[0, \eta_{a})\\(x\sim\eta_{a})/\eta_{b} & x\in[\eta_{a}, \eta_{a}+\eta_{b})\\(X^{-}\eta_{a}-\eta_{b})/\eta_{c} & x\in[\eta_{a}+\eta_{b}, 1]\end{array}\right.$

ここで $0<\eta_{a},\eta_{b},\eta_{c}<1$ かつ a $+\eta$b $+\eta$c $=1$ を考えてみよう．アルファ$\eta$

ベットは $\mathcal{A}=\{a, b, c\}$ として，$\langle a\rangle$$=$$[0,\eta_{a})$$\langle b\rangle$$=$$[\eta_{a},\eta_{a}+\eta_{b})$$\langle c\rangle$$=$$[\eta_{a}+\eta_{b}, 1]$

とおく．Cantor 集合は$C=\{x\in[O,$

$1]$

:

$a_{i}^{x}\in\{a,$ $c\}$

for all

$i\}$

は の
つまり，
のみを展開にもつ点全体とする．ここで$F$$\eta_{a}=\eta_{b}=\eta_{c}=1/3$ のときが普通の Cantor 集合でによる展開を表す．
$a,c\in \mathcal{A}$$ a_{1}^{x}a_{2}^{x}\cdots$$0\leq\alpha\leq 1$ について
ある．

a

$c$

$\Phi_{\alpha}(z)=ca\left(\begin{array}{ll}z\eta_{a}^{\alpha} & z\eta_{a}^{\alpha}\\z\eta_{c}^{\alpha} & z\eta_{c}^{\alpha}\end{array}\right)$$x$2.1. piecewise linear 変換から導かれる Cantor 集合35

図 2.2. Bemoulli case-Fredholm matrix と呼ぼう．これは と だけ考えたときの $F$ のFredholm matrix の各成分を 乗したものである．
ラフな議論をするので長さの等しい単語に対応する区間で C を覆ってみよう．第一近似は区間く とによる被覆である．これはを$a$$\alpha$$c$$\alpha$$ a\rangle$$(1,1)\left(\begin{array}{l}\eta_{a}^{\alpha}\\\eta_{c}^{\alpha}\end{array}\right)$:$\langle c\rangle$$\eta$と表せる．第 2 近似は$\langle aa\rangle$, ac},$\langle$$\langle ca\rangle$$+\eta_{c}^{\alpha}=$, cc) による被覆なので$\langle$$(\eta_{a}\eta_{a})^{\alpha}+(\eta_{a}\eta_{c})^{\alpha}+(\eta_{c}\eta_{a})^{\alpha}+(\eta_{c}\eta_{c})^{\alpha}=(1,1)\Phi_{\alpha}(1)\left(\begin{array}{l}\eta_{a}^{\alpha}\\\eta_{c}^{\alpha}\end{array}\right)$と表せる．一般に，第

$n$

近似は長さ

$n$

の単語全体による被覆なので(2.1)$(1, 1)\Phi_{a}(1)^{n\sim 1}\left(\begin{array}{l}\eta_{a}^{\alpha}\\\eta_{c}^{\alpha}\end{array}\right)$を得る．このことから，$\Phi_{\alpha}(1)$のすべての固有値の絶対値が 1 以下なら，

式 (2.1) は収束し，1 つでも固有値の絶対値が 1 より大きいなら発散する．

したがって，Hausdoi 次元は $\det(I-\Phi_{\alpha}(1))=0$ をみたす最大の ということになるはずである．これはなので，一意的な解 0 をもつことがわかる $(0<\alpha_{0}<1)$ . 前にも注意したが，今の場合，長さの等
しい word でしか覆っていないので，正確には Hausdorﬀ 次元は 0 以下で$\alpha$$\eta$:$+\eta_{c}^{\alpha}=1$$\alpha$$\alpha$あることを示したにすぎない．

36

2. Cantor 集合だから，単語$\eta_{a}^{\alpha_{0}}+\eta_{c}^{\alpha_{(}}=1$$w=a_{1}\cdots a_{n}(a_{i}\in \mathcal{A}_{1})$について，そのHausdorﬀ 測度は$\nu(\langle w\rangle)=\eta_{a_{1}}^{\alpha_{0}}\cdots\eta_{a_{n}}^{\alpha_{0}}$$\nu(C)=1$ になることが予想される．
であろう．この場合，generating function$s_{g}^{J}(z)$$=$$s_{g}^{J}(z, \alpha_{0}:F)$$=$$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int 1_{J}(x)g(F^{n}(x))d\nu$を考えよう．そして$s_{g}(z)$$=$$\chi_{g}$$=$$(_{s_{g}^{\langle c\rangle}(z)}^{s_{g}^{\langle a\rangle}(z)})$$\chi_{g}(F)=(_{\int_{\langle c\rangle}g(x)d\nu}^{\int_{\langle a\rangle}g(x)d\nu})$

とおいて，renewal equation を作ると，$s_{g}(z)=\chi_{g}+\Phi_{\alpha,)}(z)s_{g}(\approx)$となるのは前と同じである．したがって，$s_{g}(z)$より，$\langle a\rangle$$=$$(I-\Phi_{\alpha_{0}}(z))^{-1}\chi_{g}$$=$$\frac{1}{1-z}\left(\begin{array}{ll}1-z\eta_{c}^{\alpha o} & z\eta_{a}^{\alpha_{0}}\\z\eta_{c}^{\alpha_{0}} & zl-\eta_{a}^{\alpha_{(}}\end{array}\right)\chi_{g}$について$ s_{g}^{\langle a\rangle}(z)=\int_{a\rangle}g(x)d\nu+\frac{z}{1-z}\nu(\langle a\rangle)\int gd\nu$$n\geq 1$ についてが成り立ち，$\int 1_{\langle a\rangle}(x)g(F^{n}(x))d\nu=\nu(\langle a\rangle)\int gd\nu$を得る． についても同様の式が得られることは明らかである．以上か
ら，この例の場合には，Hausdorﬀ 測度が不変確率測度で，Cantor 集合上の力学系は Bernoulli であることがわかる．
この Cantor 集合上の力学系と同型なもう 1 つの変換 $G:[0,1]\rightarrow[0,1]$$\langle C\rangle$$G(x)=\left\{\begin{array}{ll}x/\eta_{a}^{\alpha_{0}} & x\in[0, \eta_{a}^{\alpha_{O}})\\(x-\eta_{a}^{\alpha_{0}})/\eta_{c}^{\alpha_{()}} & x\in[\eta_{a}^{\alpha_{O}}, 1]\end{array}\right.$

2.1. piecewise linear 変換から導かれる Cantor 集合37

図 2.3.

$\mathcal{A}(G)=\{a, c\},$を構成しておこう．

く．

$\Phi_{\alpha_{0}}(1)$$\langle a\rangle=[0, \eta_{a}^{\alpha 0}),$の固有値 1 の固有ベクトルは$\left(\begin{array}{l}\eta_{\text{。}}^{\alpha_{0}}\\\eta_{c}^{\alpha_{0}}\end{array}\right)$$\langle c\rangle=[\eta_{a}^{\alpha_{t)}}, 1)$だから．

$\langle a\rangle$ととお$\langle c\rangle$の長さは固有ベクトルに対応して選んだことに注意しておこう．このときgenerating function を$s_{g}^{\langle a\rangle}(z:G)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\int 1_{(a\rangle}(x)g(G^{n}(x))dx$として，$s_{g}(z:G)=(_{s_{g}^{(c\rangle}(z:G)}^{s_{9}^{\langle a\rangle}(z:G)})$とおけば，$\chi_{g}(G)=(_{\int_{\langle c\rangle}g(x)dx}^{\int_{(a\rangle}g(x)dx})$と定義することで，renewal equation$s_{g}(z:G)=(I-\Phi_{\alpha_{0}}(z))^{-1}\chi_{g}(G)$を得る．この $G$ に関する Fredholm matrix が $F$ の -Fredholm matrix に等しくなっている．この場合，Lebesgue 測度が不変確率測度になること$\alpha$は明らかである．そしてこの 2 つの力学系が同型なことは記号力学系が等しいことから明らかである．

38

2. Cantor 集合
図 2.4. Markov case

普通の Cantor 集合の場合には a $=\eta_{b}=\eta_{c}=1/3$ で，$\Phi_{\alpha}(z)=$$\eta$.

$\left(\begin{array}{ll}l & l\\1 & l\end{array}\right)$$\simeq 3$$\log 2/\log 3$だから，Hausdorﬀ

次元は $2(1/3)^{\alpha_{0}}=1$$G(x)=2x$を得る．さらに，をみたし，$\alpha_{0}=$$(mod 1)$ である．

例 2.2 piecewise linear Markov cases. 上の例と同じように$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}x/\eta_{a} & x\in[0,\eta_{a}) ,\\(x-\eta_{a})/\eta_{b} & x\in[\eta_{a}, \eta_{a}+\eta_{b})\\(x\sim\eta_{a}-\eta_{b})/\eta_{c} & x\in[\eta_{a}+\eta_{b}, 1]\end{array}\right.$を考えるが，$0<\eta_{a},\eta_{b},\eta_{c}<1$

かつ$\eta_{a}<(1-\eta_{a^{-}}\eta_{b})/\eta_{c}<\eta_{a}+\eta_{b}$とする．記号は前の例と同じものを用いる．前の例と異なる点は$\langle a\rangle$を含むが， とは交わらないことである．
$\langle c)$

おく，これらは$\langle a\rangle$$\lambda_{a}=\eta_{a},$と$\langle c\rangle$$\langle c\rangle$の像は$\lambda_{c}=1-\eta_{a}-\eta_{b}$とのそれぞれの長さである．この場合，a-Fredholm

matrix を$a$$c$$\Phi_{\alpha}(z)=ca\left(\begin{array}{ll}z\eta_{a}^{\alpha} & z\eta_{a}^{\alpha}\\z\eta_{c}^{\alpha} & 0\end{array}\right)$

2.1. piecewise linear 変換から導かれる Cantor 集合とおけば，長さ$n$39による被覆は$(1, 1\rangle\Phi_{\alpha}(1)^{n-1}\left(\begin{array}{l}\lambda_{a}^{\alpha}\\\lambda_{c}^{\alpha}\end{array}\right)$

であることは前の例と同じである．したがって，Cantor 集合 $C$ の Haus

dorﬀ 次元は$\det(I-\Phi_{\alpha}(1))=0$$-$の解になるはずである．したがって，$\eta_{a}^{\alpha_{0}}+(\eta_{a}\eta_{c})^{\alpha_{0}}=1$を$\alpha$o はみたす．

$\lambda_{a}=\eta_{a}^{\alpha_{0}}$と固有値 1 の固有ベクトルはで，その固有ベクトルは$\lambda_{c}=(\eta_{a}\eta_{c})^{\alpha_{0_{=1-}}}\eta_{a}^{\alpha_{0}}$$\left(\begin{array}{l}\lambda_{a}\\\lambda_{c}\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{l}\eta_{a}^{\alpha_{0}}\\\sim l\end{array}\right)$とおくと，になり，もう 1 つの固有値は$\Phi_{\alpha 0}(1)$の$(\eta_{a}^{\alpha 0}-1)$

である．

$\left(\begin{array}{l}\lambda_{a}^{\alpha_{0}}\\\lambda_{c}^{\alpha_{0}}\end{array}\right)=C_{1}\left(\begin{array}{l}\lambda_{a}\\\lambda_{c}\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{l}\eta_{a}^{\alpha_{O}}\\-l\end{array}\right)$と表すと．
$C_{1}+C_{2}=1$$(1-\eta_{a^{-}}\eta_{c})^{\alpha_{0}}=C_{1}(1-\eta_{a})^{\alpha_{0}}-C_{2}$をみたさなければならないので，$C_{1}$$=$$\frac{(1-\eta_{a}-\eta_{c})^{\alpha_{0}}+1}{(1-\eta_{a})^{\alpha_{0}}+1}$$C_{2}$$=$$\frac{(1-\eta-a)^{\alpha_{0}}-(1-\eta-a-\eta_{c})^{\alpha 0}}{(1-\eta_{a})^{\alpha_{0}}+1}$を得る．このことは $0<C_{1}<1$ を表している．
単語 $w=a_{1}\cdots a_{n},$ $(a_{i}\in\{a,c\})$ について，Hausdorﬀ 測度は$\nu(\langle w\rangle)$

$=$

$=$

$\lim_{m\rightarrow\infty}\eta_{a_{1}}^{\alpha 0}\cdots\eta_{a_{\mathfrak{n}- t}}^{\alpha_{0}}v(a_{n})\Phi_{\alpha 0}(1)^{m}\left(\begin{array}{l}\lambda_{a}^{\alpha}\\\lambda_{c}^{\alpha\text{。}}\end{array}\right)$$C_{1}\eta_{a_{1}}^{\alpha_{0}}$$\cdots$$\eta_{a_{*- 1}}^{\alpha 0}\lambda_{a}$

,

(2.2)

$0<$
となる．ここで $v(a)=(1,0),$ $v(c)=(0,1)$ である．したがって，$\nu(C)=C_{1}<1$ をみたすであろう．generating function は$s_{9}(z)$$=$$(I-\Phi_{\alpha_{0}}(z))^{\sim 1}\chi_{g}$$=$$\frac{1}{1-\eta_{a}^{\alpha 0_{Z-}}(\eta_{a}\eta_{c})^{\alpha 0}z^{2}}\left(\begin{array}{ll}1 & z\eta_{a}^{\alpha o}\\z\eta_{c}^{\alpha_{0}} & zl-\eta_{a}^{\alpha_{O}}\end{array}\right)\chi_{g}$2. Cantor 集合

40だから，$s_{g}(z)$$=$$\frac{1}{(1-z)(1-(1-\eta_{a}^{\alpha 0})z)}$$\int_{\langle\alpha\rangle}gd\nu+\eta_{a}^{\alpha 0_{Z}}\int_{(c\rangle}gd\nu$$x(_{\eta_{c}^{\alpha 0_{Z\int_{\langle a\rangle}-}}}gd\nu+(1\eta_{a}^{\alpha_{0}}z)\int_{\langle c\rangle}gd\nu)$$=$$\frac{1}{1-z}[\frac{1}{(2-\eta_{a}^{\alpha 0})\eta_{a}^{\alpha_{O}}}\int_{\text{。}\rangle}gd\nu+\frac{1}{2-\eta_{0}^{\alpha 0}}\int_{c\rangle}gd\nu]$(2.3)$x\left(\begin{array}{lll} & & \eta_{\alpha}^{\alpha o}+smallorder\\l & & +smallorder\eta_{a}^{\alpha_{O}}\end{array}\right)$

を得る．
$ x\in\langle c\rangle x\in\langle a\rangle$$\frac{d\mu}{d\nu}(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1_{c\prime}}{C_{1}(2-\eta_{\epsilon}^{0})\eta^{0}}\\\frac{1}{C_{1}(2-\eta_{o}^{(})}\end{array}\right.$とおくと，式 (2.2) により，$\langle w\rangle\subset\langle a\rangle$$\mu(F^{-1}(\langle w)))$$=$$\mu(\langle aw\rangle)+\mu(\langle\alpha v\rangle)$$=$$\frac{1}{C_{1}}[\frac{1}{(2-\eta_{a}^{\alpha 0})\eta_{a}^{\alpha_{(}}}\nu(\langle aw\rangle)+\frac{1}{2-\eta_{a}^{\alpha_{0}}}\nu(\langle cw\rangle)]$$=$$\frac{1}{C_{1}}[(\frac{1}{(2-\eta_{a}^{\alpha_{O}})\eta_{a}^{\alpha 0}}\eta_{a}^{\alpha_{t}\prime}+\frac{1}{2-\eta_{a}^{\alpha_{0}}}\eta_{c}^{\alpha_{0}})\nu(\langle w\rangle)]$$\mu(\langle w\rangle)$

を得る．

$\langle w\rangle\subset\langle c\rangle$についても$\mu(F^{-1}(\langle w\rangle))$$=$$\mu(\langle aw\rangle)$$=$$\frac{1}{C_{1}}\frac{1}{(2-\eta_{a}^{\alpha_{0}})\eta_{a}^{\alpha_{O}}}\nu(\langle aw\rangle)$$=$$\frac{1}{C_{1}}\frac{1}{(2-\eta_{a}^{\alpha_{0}})}\nu(\langle w\rangle)$$=$$\mu(\langle w\rangle)$を得る．さらに$\mu(\langle a\rangle)+\mu(\langle c\rangle)$$=$$\frac{1}{(2-\eta_{a}^{\alpha_{O}})\eta_{a}^{\alpha_{O}}}\eta_{a}^{\alpha_{0}}+\frac{1}{2-\eta_{a}^{\alpha u}}(1-\eta_{a}^{\alpha 0})$$=$1を得るので，が に絶対連続な不変確率測度であることがわかった．式
$\mu$

$\nu$

(2.3) により，$\int 1_{(a\text{》}}(x)g(F^{n}(x))d\nu-\nu(\langle a\rangle)\int gd\mu\sim(1-\eta_{a}^{\alpha_{0}})^{n}$2.1. piecewise linear 変換から導かれる Cantor 集合41

図 2.5.

と指数的に収束することもわかる．もちろん同様の式は C についても成り立つ．したがって，力学系が mbdng であることが示せた．また，ある
自然なクラスの関数については daeay rate of correlation が$1-\eta_{a}^{\alpha 0}$に等しいことも示唆している．
また $G:[0,1]\rightarrow[0,1]$ を構成しよう．symbol$\langle a\rangle$と$\langle c\rangle$

れぞれ a

の長さを

$\lambda$$\Phi\alpha$$c$に対応する区間o(1) の固有値 1 の固有ベクトルに対応させて，そおよび c$\lambda$$=\eta_{a}^{\alpha 0}$と$a$$=1-\eta_{a}^{\alpha_{0}}$ととる．傾きはそれぞれ ;$\alpha O$$\eta$と取るわけだが，最初の Bernoulli の例と異なって，とに注意しよう．この場合にも，generating function は$G(1)=\eta_{a}^{\alpha 0}$,$\eta_{c}^{-\alpha 0}$になるこ$s_{g}(z:G)=(I-\Phi_{\alpha_{0}}(z))^{-1}\chi_{g}(G)$をみたす．これから得られる Lebesgue 測度に絶対連続な不変確率測度はMarkov になることは明らかであろう．

2.1.2

理論的考察

では，今までの議論をきちんと証明してみよう ([17] 参照). Markov でない場合にも，符号つき記号力学系を用いれば拡張できるのだが，細かい議$F$ :は piecewise linear論が必要になるので省略する．以下，,
Markov 型の変換で，その alphabet を とする．つまり，$[0,1]\rightarrow[0,1]$$\mathcal{A}$$\bigcup_{a\in A}\langle a\rangle=[0,1]$

2. Cantor 集合

42$a\neq b$について$\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\emptyset$, かつ$ F(\langle a\rangle)\cap\langle b\rangle\neq\emptyset$とする．ここで，7 は集合 の閉包を表す．
$J$$\eta_{\alpha}^{-1}$,$\langle a\rangle$

ならば，$\overline{F(\langle a\rangle)}\supset\langle b\rangle$

上の $F$ の傾きの絶対値を

傾きが正なら sgn $a=+$ , 負なら sgn $a=-1$ などと表すのは前の通りである．この alphabet $A$ のうち一部を取り去って，それを通らない列全体で Cantor 集合を作る．すなわち，を考え，$\mathcal{A}_{1}\subset \mathcal{A}$$C=\{x\in[0,1]:a_{i}^{x}\in \mathcal{A}_{1}$for all

$i\}$

$F$ は
とおく． 上で，irreducible を仮定する．すなわち，任意の$\mathcal{A}_{1}$$a\in \mathcal{A}_{1}$について，ある が存在して，をみたすとする．この集合に関するcyFredholmの作り方はこれ以上述べるのはCantormatrixのかわりにやめよう．記号力学系上で，と取るだけである．示した$k$$\overline{F^{k}\langle a\rangle}\supset\bigcup_{b\epsilon A_{1}}(b\rangle$$\eta$$\eta_{a}$い定理は:定理 2.1$\alpha_{0}$を$\Phi\alpha$:(1) が最大固有値 1 をもつ最大の とする．このとき$\alpha$$\alpha$0

は $C$ の Hausdorﬀ 次元である．
$|0,1]$ 上のこの定理を証明するために，別の Hausdorﬀ 次元を考えよう．

確率測度 について，$\mu$$\mu_{\alpha}(C, \delta)=\inf\sum_{i}\mu(\langle v_{i}\rangle)^{\alpha}$

とおく．ここで inf は ( vi)
被覆に関する inf で，今までの$\langle$

$)$

$\mu$

$<\delta$をみたす words の集合$l_{\alpha}(C, \delta)$$\{v_{i}\}$による $C$ のとは，長さを測るかわりに

$\mu$

によ

る測度を用い，区間による被覆のかわりに word による被覆を用いている

ところが異なる．また，今までのラフな議論とは word の長さが一定でなくて良い点が異なる．これについて$\mu_{\alpha}(C)=1\dot{m}\mu_{\alpha}(C, \delta)\delta\rightarrow 0$

とおいて，これが収束する inf, または発散する $\sup$ を $\dim_{\mu}(C)$ と表そう．定義から が Lebesgue 測度なら $\dim$ Lebes (C) は Hausdorﬀ 次元以上であることは明らかである．ここで，区間を上手に word で覆えば，容易$\mu$につぎの補題が従う．
補題 2.2 $C$ の Hausdorﬀ 次元は $\dim_{Lebes}(C)$ に等しい．
ここで次の定理を用いよう．
定理 2.2 (Billingsley 定理 14.1[3]) 確率測度$\mu_{1},$ $\mu_{2}$について，$C\subset\{x:\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log\mu_{1}(\langle a^{x}[1,n]\rangle)}{\log\mu_{2}(\langle a^{x}[1,n]\rangle)}=\alpha\}$2.2. 連分数展開から導かれる Cantor 集合
が，ある

43

について成り立つとする．このとき，$ 0\leq\alpha\leq\infty$$\dim_{\mu:}(C)=\alpha\dim_{\mu_{1}}(C)$が成り立つ．ここで$a^{x}[1, n]$は，の展開の始めの長さ前に作った $G:[0,1]\rightarrow[0,1]$ が役に立つ． を$\alpha_{0}$最大の$\alpha$とする．

$\Phi_{\alpha_{0}}(1)$

$n$

$x$

$\Phi_{\alpha}(1)$の word である．

が固有値 1 をもつが非負の成分をもつ行列であることに注意しよう．正成分をもつ行列の Perron-Frobenius の定理によって，最大固有値
は非負 (仮定よりこれが 1 に等しい) で，成分が非負な固有ベクトルが選べる．成分の和が 1 になる固有ベクトルを選んで，symbol $a(a\in A_{1})$ に対応する区間の長さを，対応する固有ベクトルの成分とする． を$a$の順序に並べ，その上での傾きの絶対値を$a\in \mathcal{A}$: として考えれば，$\alpha O$$\eta$$\Phi_{\alpha_{O}}(z)$を Fredholm matrix としてもつ写像 $G$ が得られる．混乱を避けるために，
この $G$ の作用する [0,1] を $I_{G},$$F$の作用する [0,1] を$I_{F}$$F$ を $C$と書こう．

に制限したものと $G$ は同じ記号力学系をもつことから， 上の Lebesgue$I_{G}$

測度を$I_{F}$に induce したものを $\mu G$ と書こう． で$\mu_{F}$$I_{F}$

上の Lebesgue 測度を表す．このとき，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log\mu_{F}(\langle a^{x}[1,n]\rangle)}{\log\mu G(\langle a^{x}[1,n]\rangle)}=\frac{1}{\alpha_{0}}$$\mu_{G}(C)=1$ より，がすべての $x\in C$ について成り立つ．

$\dim_{Lebes}(C)=\alpha_{0}\dim_{\mu_{2}}(C)=\alpha_{0}$を得て証明が終わる．

2.2

連分数展開から導かれる Cantor 集合

この節では連分数展開において，記号 1 と 2 のみが現れる数全体のHaussdoi 次元を計算してみよう．これには変換 $F(x)=1/x$ $(mod 1)$を考えれば良い．この変換は Markov であるが，piecewise hnear でないため，今までの仮定をみたさない．区間上の力学系においては，符号つき記号力学系と formal piecewise linear 変換による近似によって，一般のpiecewise
変換にも議論が拡張できたが，Cantor 集合を考える際には，技術的な理由によって，piecewise hnear でない場合には Markov の場合にのみ拡張ができている ([40]). 仮定を述べよう．有限集合 に対し，区$C^{2}$$\mathcal{A}$

間 $[0,1]$ の分割(1)$\{\langle a\rangle\}_{a\in A}$$\bigcup_{a\in A}\langle a\rangle=[0,1]$,

2. Cantor 集合

44(2)$\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\emptyset$

if $a\neq b$ .

が存在し， の部分集合$\mathcal{A}$$\mathcal{A}_{1}\subset \mathcal{A}$について，$\bigcup_{a\in A_{1}}\langle a\rangle$

から $[0,1]$ への変

換 $F$ で(1)$\langle a\rangle$

上で $F$ は単調で，その閉包にまで単調に $C^{1+\gamma}(\gamma>0)$ 関数として拡張できる (piecewiseについて$C^{1+\gamma}$

).

ならば，

(2)

$a,$

(3)

$\xi=\lim_{n\rightarrow}\inf_{\infty}-1_{ess\inf_{nx\in I}\log}|F^{n\prime}(x)|>0$$b\in \mathcal{A}_{1}$(4) 任意の$a,$$b\in \mathcal{A}_{1}$$ F(\langle a\rangle)\cap\langle b\rangle\neq\emptyset$について，ある$n$$\overline{F(\langle a\rangle)}\supset\langle b\rangle$(Markov).

(expanding),が存在して，$\overline{F^{n}(\langle a\rangle)}\supset\langle b\rangle$(ir-reducible).

とする．ここで，上の仮定から$\xi 0=\log$

歌 $s\inf_{\in}|F’(x)|>0$

が従うことに注意する．我々の考えたい集合は$C=\{x\in I:F^{n}(x)\in\bigcup_{a\in A_{1}}\langle a\rangle, \forall n\geq 0\}$である．

$\mathcal{A}_{1}=\{1,2\},$$\langle 1\rangle=[1/2,1],\langle 2\rangle=[1/3,1/2)$

とおくことで，連分数展開において，記号 1 と 2 のみをもつ点全体の集合は，上の仮定をみ$X\in\langle w\rangle(|w|=m)$ について，変換 $F$ をもっともたすことに注意しよう．

傾きの緩い場合$F_{m}^{1}$と急な場合$F_{m}^{+}$とで近似する．

$+essinf_{y\in\langle w\rangle}|F’(y)|$$F_{m}^{+’}(X)$$=$$F_{m}^{+’}(w)=\{$$-essinf_{y\in(w\rangle}|F’(y)|$$F_{\overline{m}}’(X)$$=$

if $F’(X)>0$
if $F’(X)<0$$+ess\sup_{y\in\langle w)}|F’(y)|$if $F’(X)>0$$-ess\sup_{y\in\langle w\rangle}|F’(y)|$if $F’(X)<0$$F_{\overline{m}}’(w)=\{$$n-1$$(F_{m}^{\tau})^{n\prime}(X)$$=$$(\tau\in\{+, -\})$$\prod_{=0}F_{m}^{\tau\prime}(F^{i}(X))$

で定義する．これらの変換は [0,1] 上に実現できるとは限らないので，
formal piecewise linear 変換と呼ばれ，1 次元の 変換のエルゴード性の研究に用いた (1.8 節). これらを用いて，Cantor 集合の次元を上下から$C^{2}$

評価する．今まで同様に$s_{g,\alpha}^{w}(z)$などを定義すると$s_{g,\alpha}^{w}(z:F)\leq s_{g,\alpha}^{\epsilon}(z:F)$,$ s_{g,\alpha}^{w}(z:F_{1}^{-})\leq s_{g,\alpha}^{w}(z:F_{2}^{-})\leq\cdots$$\leq s_{g,\alpha}^{w}(z:F)\leq\cdots\leq s_{g,\alpha}^{w}(z:F_{2}^{+})\leq s_{g,\alpha}^{w}(z:F_{1}^{+})$

2.2. 連分数展開から導かれる Cantor 集合

45

をみたすことは明らかである．したがって，$1\geq\alpha_{1}^{+}\geq\alpha_{2}^{+}\geq\cdots\geq\alpha_{0}\geq\cdots\geq\alpha_{2}^{-}\geq\alpha_{1}^{-}\geq 0$であることがわかる．ここで， は$\alpha_{m}^{\tau}$て $z=1$ が特異点となる最小の$\alpha$$s_{9^{\alpha}}^{w}(z:F_{m}^{\tau})$がある $g\in L^{\infty}$ についとする．また， は $F$ の対応する値で$\alpha_{0}$ある．

我々の考察中の変換は piecewise linear でないため，有限次元の Fred-holm matrix は考えられないが，fomal piecewise linear 変換ての -Fredholm matrix を
matrix をについ$F_{m}^{\tau}$$\mathcal{W}_{m}x\mathcal{W}_{m}$$\alpha$$\Phi_{\alpha}(z:F_{m}^{\tau})_{u,v}=\left\{\begin{array}{ll}z|F_{m}^{\tau}(u)’|^{\sim\alpha} & if\overline{F(\langle u\rangle)}\supset\langle v\rangle,\\0 & otherwise\end{array}\right.$

とおく．また，-zeta function を$\alpha$$\zeta_{\alpha}(z:F)$$=$$\exp[\sum_{\mathfrak{n}=\iota}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}\sum_{y\in C:y=F^{n}(y)}|F^{n\prime}(y)|^{-\alpha}]$$\zeta_{\alpha}(z:F_{m}^{\tau})$$=$$\exp[\sum_{\mathfrak{n}=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}\sum_{y\in C:y=F^{n}(y)}|(F_{m}^{\tau})^{n^{J}}(y)|^{\sim\alpha}]$によって定義する．このとき，十分小さな$\det(I-\Phi_{\alpha}(z:F_{m}^{\tau}))$は$\zeta_{\alpha}(z:F)$

$|z|$

について，

$\zeta_{\alpha}(z:F_{m}^{\tau})=$に収束することが示せる．このことを用いると，つぎの補題が従う．
補題 2.3$\alpha$:は単調減少に，; は単調増加に 0 に収束する．
$\alpha$$\alpha$前と同様に $[0,1]$ 上に Cantor 集合上の変換 $F$ と同じ記号力学系をもつ変$e_{m}^{\tau}=(e_{m}^{f}(w))_{w\in w_{n}}$ を
換 $G$ を構成しよう．

$\Phi_{\alpha_{m}^{f}}(1:F_{m}^{f})$の固有値 1 の固有ベクトルで，その和が 1 に等しいものとする．この固有ベクトルを用い$[0,1]$ 上の変換
で，て，piecewise linear 変換の場合に考察したように，$G_{m}^{\tau}$

Fredholm matrix$\Phi_{\alpha_{m}^{f}}(z:F_{m}^{\tau})$をもつものを構成できる．この写像$G_{m}^{\tau}$と上の補題を用いることで，適当な部分列を選ぶことにより，極限として，Cantor 集合上の写像 $F$ と同じ記号力学系をもつ $[0,1]$ 上の写像 $G$ を構成できる．この構成は技術的なだけなので詳細は省略する．更にこの $G$ は$G’(x)=\left\{\begin{array}{l}+|F’(\phi(x))|^{\alpha_{0}} if F’(\phi(x))>0,\\-|F’(\phi(x))|^{\alpha_{0}} if F’(\phi(x))<0\end{array}\right.$

が$L^{1}$の意味でみたし，つぎの補題が成立する．

2. Cantor 集合46
補題 2.4 $\alpha_{0}>0$ とする．このとき，あるは universally bounded$\gamma’$’$\gamma$$>0$ が存在して，$1/G’(x)$-variation である．ここで，が universally$f$bounded $1\succ variation$ であるとは，$var_{p}(f)=\sup_{0\leq xo<\cdots<x_{n}\leq 1}(\sum_{-}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|^{p})^{1/p}<\infty$

をみたすことである．
$C$ の以上の議論から，
Hausdorﬀ 次元を計算しよう．前と同様に， を$[0,1]$ 上の Lebesgue
測度， を $G$ の作用している $[0,1]$ 上の Lebesgue 測$x\in C$ について
度を記号力学系の対応により induce した測度とすると，$\mu_{1}$$\mu_{2}$$\frac{\log\mu_{1}(\langle a^{x}[1,n]\rangle)}{\log\mu_{2}(\langle a^{x}[1,n]\rangle)}=\frac{\log(Lebes(\langle a^{x}[1,n]\rangle_{F}))}{\log(Lebes(\langle a^{x}[1,n]\rangle_{G})}$は$1/\alpha_{0}$に収束する．そこで $Bd$hngsley の定理 2.2 によって，$\dim_{\mu_{t}}(C)=\alpha_{0}\dim_{\mu_{2}}(C)=\alpha_{0}\dim$Lebes $([0,1])=\alpha_{0}$であることがわかる．まとめれば，定理 2.3 $C$ の Hausdorﬀ 次元は$\alpha$o である．

不変測度を構成しよう．補題 2.4 により，1/ $G$ ’ は universally bounded$G$ は [18] の Theorem 3.5 の仮定をみた
variation である．このことから，$\gamma’\sim$

す．したがって，Lebesgue 測度に絶対連続な不変確率測度 が存在し，力学系 $([0,1], \mu_{G}, G)$ が weakly mixing であることが従う． を $C$ 上に
induce したものを で表そう．
$\mu G$$\mu_{G}$$\mu F$補題 2.5 $G$ の作用する $[0,1]$ の Lebesgue 測度を induce した測度 2 は，$\mu$$\alpha_{0}$-conformal 測度である．ここで，が$\mu$$\alpha_{0}$-confomal とは，$\mu(F(A))=\int_{A}|F’(x)|^{\alpha 0}d\mu$

がすべての$A\subset\langle a\rangle(a\in \mathcal{A}_{1})$について成り立つことである．

証明．Lebesgue 測度は $G$ について，l-conformal 測度であり，また$|G’(x)|=|F’(y)|^{\alpha_{O}}$

よる

$x$

が成り立つ．ここで，はその
$y$

$G$

$F$ に
にょる展開が，の展開と一致する点である．

定理 2.4$\mu_{F}$は $\alpha_{0}=confoma1$ 測度

力学系 $(C, \mu_{F}, F)$ は weakly$\mu_{2}$と絶対連続な不変確率測度であり，-iinng である．

$m\dot{\infty}$

2.2. 連分数展開から導かれる Cantor 集合

47

conformal 測度と Hausdorﬀ 測度の間の関係について，述べておこう．
定義 2.1 (1) Cantor 集合 $C$ が Darboux property をもつとは，$ F(\langle a\rangle\cap$$C)=F(\langle a\rangle)\cap C$

(2)

$F$

をみたすことである．

が Misiurewicz condition をみたすとは，$\{q\}_{i\simeq 0}^{N}$は$\langle a\rangle(a\in \mathcal{A}_{1})$の端点を表すとき，$i-1\bigcup_{-}^{N}\{\lim_{x\uparrow c}F^{j}(x):j\geq 1\}\cup\bigcup_{i=0}^{N-1}(\lim_{x\downarrow c}F^{j}(x):j\geq 1\}$がある$\epsilon$$>0$ について，
$
ハN$

-l

$N$

$\cup(C;, C_{\dot{2}}+\epsilon)\cup\cup(c_{i}-\epsilon, \text{儒} )$

$i=0$

$i=1$

と交わりをもたないことである．
我々が考察中の $C$ が Dalboux property をみたし，さらに $F$ が Misiurewicz

condition をみたすことは明らかである．したがって，[9] の Theorem 6$\nu=c\mu_{2}$ をみたす．したがって，によって，ある定数 $c\neq 0$ が存在して，定理 2.5 Hausdorﬀ 測度$\nu$は，その全体の測度は$0$でも，無限大でもない．さらに， は に絶対連続な不変確率測度であり，力学系 $(C,\mu_{F}, F)$$\mu_{F}$$\nu$

は wealdy mixing である．

最後に例として，連分数展開において，記号 1 と 2 のみが現れる集合のHausdoi 次元を求めてみよう．この写像は本質的に $[1/(1+\sqrt{3}), -1+\sqrt{3}]$からそれ自身への写像とみなせる．
$[1/(1+\sqrt{3}), (1+\sqrt{3})/(3+2\sqrt{3})]$ ,$[1/\sqrt{}, -1+\sqrt{3}]$$\{0,1,2\}$ ,をそれぞれ区間$\mathcal{A}_{1}=\{0,2\},$$\langle 0\rangle,$$((1+\sqrt{3})/(3+2\sqrt{3}), 1/\sqrt{})$ ,(1), (2) と表すことにする．

$\mathcal{A}=$$I=[1/(1+\sqrt{}),$ $-1+\sqrt{3}|$ ,$F(x)=\left\{\begin{array}{l}1/x-2 if x\in\langle 0\rangle,\\1/x-1 if x\in\langle 2\rangle\end{array}\right.$とおくと，求めたい Cantor 集合は$C=\{x\in I:r(x)\not\in\langle 1\rangle\}$と表せる．これを formal piecewise linear 変換で近似することにより，コンピュータを用いて，その Hausdorﬀ 次元を計算するとつぎのようになる．

48

2. Cantor 集合$\sqrt{1+3}^{1}$$\neq_{3+23}^{13}$$\tau_{3}^{\iota}$minimum

approximation$-1+\sqrt{}$manmum$1$$0.4599714039$$0.6429535391$$2$$0.5066200906$$0.5573891372$$3$$0.5239108226$$0.5395066173$$4$$0.528895873377809917692$$0.533552187854664990041$$5$$0.530600797037892992251$$0.532010237643201833751$

以上から，Hausdorﬀ 次元はおおむね第 5 近似の平均 0.531305517
であることが予測される．

$\cdots$3章

関数解析の補足
この節の内容は NDunford, J.T. Schwartz[7],T. Kato[16] によっている．

有界変動関数3.1

定義 3.1 $f:[O, 1]\rightarrow R$ が有界変動関数とは，ある定数 $K>0$ が存在して，任， の有限分割 $0=x_{0}<x_{1}<\cdots<a_{n}=1$ について$\epsilon$

n.-Ol f(xi 1)$\sum|$$|$$\simeq$$+$$-$$f(x_{i})|<K$ が成り立つ関数のことである．すべての分割に関する上の量

の上限を

$f$

の全変動と呼び$\tilde{v}(f)$で表す．

これが有界変動関数の一般的定義だが，我々は測度$O$を無視したいと考

えているので，この有界変動関数の定義を少し変えることにする．有界変動関数を$L^{1}$の元と見なし，$f\in L^{1}$の全変動を$v(f)=\inf\{\tilde{v}(\tilde{f});f=f a.e.\}$とおき，有界変動関数全体を$BV=\{f\in L^{1}:v(f)<\infty\}$と定義する．有界変動関数全体 $BV$ 上のノルムを全変動 $+$ Ll ノルム，または max{全変動，$L^{1}$

ノルム} を考える．これらはノルムになり，同じ位相$BV$ は Banach 空間になる．
を導き，

3.2

nuclear operators

我々の考察する Perron-Frobenius operator はその定義域を有界変動関数にとっても，ある円板内の点はすべて固有値であるから，コンパク

3. 関数解析の補足

50

トではない．したがって nuclear ではないのだが，Fredholm deteminantという概念を用いるので，この節で，定義だけ振り返ることにする．
$K$ を $X$ から $X$ への線形写像とする．ある列
定義 3.2 $X$ を Banach 空間，$f_{n}^{*}\in x*,$$x_{n}\in X$と数列$\{c_{n}\}$が存在して，$\sup_{n}||f_{n}^{*}||,$ $\sup_{n}||x_{n}||,$$\sum_{n}|c_{n}|<\infty$

かつ$Kx=\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{n\simeq 1}^{m}c_{n}(x, f_{n}^{*})x_{n}$$K$ を nuclear operator または trace class であると呼ぶ．
が成立するとき，$x*$$X$
ここで， は の dual space を表す．

nuclear operator$Kx=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(x, f_{n}^{*})x_{n}$は，$\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{p}<\infty$がある$0\leq p<2/3$ で成り立つときには，この形の表現が一意的であることがわかる．この場合には $K$ のトレースを$tr(K)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(x_{n}, f_{n}^{*})$

で定義でき，またその Fredholm determinant$\det(I-zK)=\exp(-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}tr(K^{n}))$が $|z|<1/\lim\sup_{n\rightarrow\infty}(tr(K^{n}))^{1/n}$ で定義できる．この Fredholm deter-

minat は entire function であることがわかり，さらに i を多重度もこめ$\lambda$

た $K$ の固有値とすると$\det(I-zK)=\prod_{i}(1-z\lambda_{i})$が成立し，とくに$tr(K)=\sum_{i}\lambda_{i}$が成り立つ．

3.3

Banach 空間上の spectral decomposition

Banach 空間での一般論としては，次の定理があげられる．

3.3. Banach 空間上の spectral decomposition51

定理 3.1 (Ionescu Tulcea and Marinescu[ll]) $E$ を norm

$|$

$|$

をも

$B$ を $E$が与えられBanach 空間，の部分集合で，その上に norm
$F:B\rightarrow
B$
た Banach 空間とする．線形写像
が有界 $(||F||<\infty)$ とする．

つ$||\cdot||$(1) $x_{n}\in B$ , ある定数 $C$ について $||x_{n}||<C$ , かつある $x\in B$ について $\lim_{n\rightarrow\infty}|x_{n}-x|=0$ が成立するならば，
国 $|<C$ をみたす．
$|$$||F^{n}||<H$ .
(2) ある $H$ が存在して，$x\in B$ について $||Fx||\leq r||x||+R|x|$(3) ある $R$ と $0<r<1$ が存在して，が成立する．
$F(P)$ は $E$ で compact である．
(4) $B$ の中で有界な $P\subset B$ について，

ならば，有限個の絶対値 1 の固有値

$c_{1},$ $c_{2},$$\ldots$,%が存在して$F^{n}=\sum_{i=1}^{\rho}(1/c_{\dot{s}}^{n})F_{i}+S^{n}$と表せる．ここで瓦は定義域 B. 値域が有限次元の $B$ の部分空間である$S$ は定義域 $B$ ,値域 $B$ の有界線形作用素で有界線形作用素，$F_{i}^{2}=F_{i},$$F_{i}F_{j}=0(i\neq j),$$F_{{\$}}S=SF_{i}=0$

かつある $M,$ $h>0$ について$||S^{n}||\leq M/(1-h)^{n}$が成り立つ．

つまり，ある条件をみたせば有限個の単位円上の固有値とそれから離れたスペクトルに分解できることをこの定理は示している．

Perron- Frobenius operator $P$ は Ionescu Tulcea and Marinescu の定理 3.1 を $E=L^{1},$ $B=BV$ として適用することができる．さらに，この定理と類似のタイプとして，quasi-compact operator の分解定理がある．
これは有限個の固有値を除いては spectrum はある円の内側にあるというものである．

定義 3.3 $F$ を Banach 空間 $X$ 上の線形作用素とする．このとき $F$ が quasi-

compact であるとは，ある$k$と compact operator $K:X\rightarrow X$ が存在して$\Vert P^{k}-K\Vert<r(F)^{k}$が成り立つことである．ここで $r(F)$ は $F$ の spectrum 半径である．
$r\kappa=\lim_{n\rightarrow\infty}(\inf\{\Vert P^{\mathfrak{n}}-K\Vert:K$と定義する．

は compact operator $\})^{1/n}$

3. 関数解析の補足

52

有界線形作用素の non-essential spectrum とは isolated spectrum で range $(P-$$\lambda I)$

が有限次元であることである．この補は closed, $\cup 0Ker(P-$集合を essential spectrum とよび，その全体を $ess(P)$ で表す．
$r_{ess}=\sup\{|\lambda|:\lambda\in ess(P)\}$が成り立つ ([42]).
と定義すると，
Dunford-Schwartz VIII 定理 8.2([7]) および TKato III 定理 6.5 ([16])によれば，について，より大きな絶対値を持つ spectmm は固有$rK=r_{e\mathcal{S}S}$$ r>r\kappa$

値で有限個$\lambda$

1,

. ..,

$r$

$\lambda_{N}$しかない．すなわち，$P=\sum\lambda_{i}(E_{i}+N_{i})+Q$.

$N$ $=(P-\lambda I)E_{i}$ は nilpotent,と表せる．ここで E:は固有空間への射影．

$r(Q)<rE_{i}E_{j}=0(i\neq j),$ $E_{i}N_{i}=N_{i}E_{i}=N_{i},$ $E_{i}Q=QE_{i}=0$ をみ

たす．

3.4

Mazur の定理，Kakutani-Yosida の定理$A\subset X$

が compact ならば，その$\text{列_{}\tilde{n}}^{1}\sum_{k--0}^{n\sim 1}P^{k}$が有界とする．このとき定理 3.2 (Mazur) $X:Banach$ space,linear convex hull も compact である．
定理 3.3 ( $K$ akutani-Yosida)$\tilde{n}^{\sum_{k--0}^{n-1}P^{k}}1$$0$が strong operator norm で収束する必要十分条件は-nl

が fundamental set に属する$f$について成り立ち，かつ$ P^{n}f\rightarrow$$\{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}P^{k}f\}$が fundamental set について weakly sequentially compact であることである．ここで fundamental set とは，その hnear span の閉包が全体になるもののことである．

4章

エルゴード理論からの補足
この節の内容は十時東生 [53] に詳しくのっている．

4.1

Spectral Theory$F$ のエルゴード
ある空間の上に $F$ から導かれる線形作用素を考えて，問題を線形作用素のスペクトル問題に置き換えるというのが，我々の取った方法である．この方法で古典的なものは力学系 $([0,1],\mu, F)$ にともなうisometry$Uf(x)=f(F(x))$
を$L^{p}$

上で考える方法である．
$||Uf||_{p}^{p}$$=$$\int|Uf(x)|^{p}d\mu=\int|f(F(x))|^{p}d\mu$$=$$\int|f(x)|^{p}d\mu=||f||_{p}^{p}$( の不変性)$\mu$によって $U$ が isometry になる，とくに内積$(Uf, Ug)$

によって$L^{2}$$=$$\int Uf(x)\overline{Ug(x)}d\mu=\int f(F(x))\overline{g(F(x))}d\mu$$=$$\int f(x)\overline{g(x)}d\mu=(f, g)$$U$ は unitary 変換になり spectrum の一般論を用で考えれば，

いることができる．
$U$

は positive operator である，すなわち任意の $x\in[0,1]$ について

$f(x)\geq 0$

ならば，任意の$x$について $Uf(x)\geq 0$ が成り立つ． における unitary 変換の spectrum 分解 $U=\int_{0}^{1}e^{2\pi i\phi}dE(\phi)$$L^{2}$

を考えよう．ここ4. エルゴード理論からの補足

54

で， は単位の分解である．まず定数関数が unitary operator の固有値 1 の固有関数であることは明らかである． の固有値 1 の固有空間を$E(\phi)$

$U$

$U$

みれば，力学系のエルゴード性がただちにしたがう．
定理 4.1 力学系 $([0,1], \mu, F)$ がエルゴード的であることの必要十分条件

は，対応する unitary operator $U$ の固有値 1 が単純であることである．
定理 4.2 力学系 $([0,1], \mu, F)$ に対応する unitary operator を $U$ で表す．
$(i)f$
このとき．
を単位円上の固有値に対応する固有関数とすると， は
固有値 1 の固有関数である．(ii) 固有値 1 が単純であるとすると，単位円$|f|$上の固有値は群を成す．
定理 4.3 変換 $F$ に対応する unitary operator が 1 を simple eigenvalue としてもつとき，$L^{2}\backslash C([0,1])$

で連続スペクトルのみを持つことが weakly

mixing である必要十分条件である．
$C([O, 1])$ で [0,1] 上の定数関数全体を表す，また，
ここで，$\cdot$定義 4.1 力学系 $([0,1], \mu, F)$ が weakly mbdng であるとは，任意の可測集合 $A,$ $B$ について$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}|\mu(A\cap F^{-k}(B))-\mu(A)\mu(B)|=0$

をみたすことである．

言葉の綾からもわかるように，mixing(strongly mixing)$\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A\cap F^{-n}(B))=\mu(A)\mu(B)$ならば，wealdy mixing である．

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