平成5年12月20目

数学

1

（問題）

・．次の各問の［］に入る答のみを・所定の解答用紙に紀久せれ（35点）

非負の整数値を取り平均がmの離散的確率変数Xのなかで、P（X≧M）を最大とする確率変数の分散（1）・（・）は［］である一…は正の撒で・…）（2）

a，b，cはそれぞれ（0．1）上の一様分布に従う互いに独立な確率変数とする。このとき、方程式

・・・・・…一・が実根をもつ確率は［二］であ孔ある会社の内線電話における1通話あたりの回線使用料Yは、通話時間Xによって次のように定まって（3）いる。

・一／、：llll：1㌃1；、三、，2，、…）（aは正の定数）

確率変数Xが、平均λ川］（λ〉O）の指数分布に従うとき、

・［・1一［］・・［・1王［］で狐（4）X，Yが独立な確率変数で、ともに正規分布N（0．

Uσ宣）に従うとき、

X一十Y，の確率密度関数は、f（。）十］：1；：：でll。
（5）

X．

Yは、ともに平均がα一一（α＞O）の指数分布に従う独立な磯率変数とする。これらの和・一…に対して・・一・が与えられたときの・の条件付分布の密度鰍は［］であ札2ある保険会社が1年間に新規に獲得する期間1年の保険契約の件数は平均r（r〉0）のポアソン分布に従っている。それぞれの契約は1年ごとに確率p（Oくp＜1）でそれぞれ独立に更新されていく。ただし、更新時以外での契約の消滅はないものとする。

この会社が保険を発売してから十分な時間がたっているとき、この会社の保有する契約の件数の分布を求めよ。

（20点）
3

確率変数Nは平均λ（λ〉O）のポアソン分布に従う。確率変数Yを次のとおり定義するとき・E（Y）を求めよ。

・一d≒∫。。・……（一・…）dx（20点）4．次の問に答えよ。

（1）

長ざしの線分を無作為に3分割する。得られた3つの線分を3辺とする三角形ができる確率を求めよ。

（2）

長ざしの線分を無作為に2分割し、長い方を更に無作為に2分割する。得られた3つの線分を3辺とする三角形ができる確率を求めよ。

（25点）

一1一

数学1
1．

解答例

（1）m＝E（X）＝ΣkP（X＝k）≧ΣkP（X昌k）
一・0
一・M
①

≧MΣP（X≡k）＝MP（X≧M）

②

一・M

m
P（X≧M）≦一…・・・…③
M

よって

M−1
さて①で等号が成り立つく≡〉ΣkP（X昌k）＝Ot−o〈＝〉P（X；k）＝0
また②で等号が成り立っ〈＝〉一一Σ

十1（k−M）P（X＝k）＝0〈≡〉P（X＝k）＝O

よって③で等号をとるにはしたがって（k＝1，2，…，M−1）

P（X1k）呈O（k≡M＋1，M斗2，……）（k≠0・M）

P（X＝0）十P（X＝M）＝1m10・P（X＝O）十M・P（X＝M） よりP（X＝O）1（M−m）／M ，P（X≡M），m／M

この確率分布を持っXがP（X≧M）を最大とする。

Xの分散は、V（X）堂（O−m）2P（X＝0）十（M−m）2P（X＝M）
昌m2！

（2）ax2＋bx＋c筥Oは（M−m）／M＋（M−m）2m／M（M−m）mb2−4ac≧Oのときに実根をもつ。

あるbについて、これは右図の斜線の部分となるから、bを固定した場合に上式が実根をもつ条件付確率は、

a1

この面積であらわせ、∫∵4・…

∫、1、、ll・・

一子・÷［1㎎・1㌔，、、b2b2b2

b2b2¥一I−10g（一）｝≡一444

呈＿一一42bP．9（一）

02

これを、bについて（O，1）で積分した結果が解である。

∫1．

b2b2b（一一一109一）db
422
一2一b24

1

十；11一［長1・・去11・∫1景・・

十一÷1㎎÷・［、．；；113＋2＋61092

5＋61092

36（3）Yの積率母関数f（θ）はf（θ）昌E［e0Y］＝P［0＜X≦1］E［elO＜X≦1］

十5二P［n＜X≦n＋1］E［eln＜X≦n＋1］■■1＝P［0〈X≦1］E［1］十ΣP［n＜X≦n＋1］E［eo 1
一∫ll・一一…書・…∫1＋ 1・一・…
空1−e一ユ十Σee−h（1−e一■■1＝（1一ピf．．

凹）Σe川1，Io

一ユ，＝0］）

1−e一1−eo・一一二（1一・■ユ） ．
、・・ ＾E ［Y］＝f（O）＝（1一・ 一・）・1−e■＾（θ）望a・e 一ユ（1＋ポト〕）（1−e−1）ポ（θ）昌（1一ピ 一ユ）3a2e一』（1＋ゼユ）
AE［Y2］＝f（O）＝（1−e一ユ）2a2
e−1． ．V［Y］＝E［Y2］一E［Y］2＝（1−e−1）2（4）X，Yが独立であるから、結合密度関数f（x・y）はX・Yの各密度関数の積でf（x，；、rπy）＝fπ1（x）

fΨ（y）

x21exp（一x2＋y2）。xP（一 2σ2 ）…、「而；12πσ2y2P（一 2σ2 ）2σ2

U＝X2＋Y2の分布関数をF（u）、密度関数をf（u）とすると、

一3一n≦Oのとき

F（u）≡O，f（u）＝On＞Oのとき
F（u）＝P（u≦u）≡p（X2＋Y2≦u）、μ≦uf（…）・…

一21σ，∫∫…（一．x；；；2）・…
X2＋y2≦u
X＝rCoSθ，y＝rSinθと極座標変換して・（・）一21σ，∫∫…（一2；1）・…lr≦ヅ下一21、，∫二…・（一2；1）…∫1一・1ll、，［一σ・…（一2；1）1丁u）

昌1−exP（一・・f（u）＝F一・一一2σ21exP （一2σ2（u）＝u ）2σ2

ｩ下三］：二11：（5）X，Yの密度関数をそれぞれf（x），g（y）とする。

Sの密度関数h（s）は、S昌sに対して、

・（・）一∫。f（・）・（・一）・・
一∫。1・一一1・一t・一・〕・・一1…一・Xの条件付分布の密度関数f（xls）はO＜x〈sのとき、f（。I。）一f（・）・（・一・）一α・■Hα・1〔I■！」⊥h（s）．

Df（xls）＝／†α2se−o・（0＜x＜s）（x≦0，一4一x≧s）s

2．新規契約の件数をX。とおくとX。は平均rのポアソン分布に従っている。
1回更新された件数をXlとおくと、更新卒はpでそれぞれの契約は独立であるから、
L er

・一P（X1昌x）＝Σ

r一。C，P■一■ t！
蜆 e−1r−昌Σ．

一■

tl

一fe

一十■
ru

＝Σ

肚一〇x！kt，P■（1−P）一一！

Xl（t−X）！
p■（1−p）■（ただし、k＝t−x）

le一「r■P■■些r一（1−P）一Σlx＿（1−P）卜■lト。

e■「（rP）■le一『口≡le一〇一口〕

一X

k（rP）■

平均rpのポアソン分布

X！

2回更新された件数をX。とおくと、P（X2≡x）昌ΣP（X1＝t）。C，P■（1−p）一一■一i■一e−n（rp）l

一＝Σt，

■

e−n

吐一〇

x＝Σ：（rp）い！
le一リ

k（rP）■P■x！

e一（rP2）■
Xp■（ただし、・Σ（rp）

ト。

k（1−P）一le■口｛1−o〕（rp2）■
・…

xe一

ｽ均rp2のポアソン分布l（rpo）■

・平均rp0のポアソン分布と仮定するとX！

P（X。

1＝x）

≡Σ二P（X。＝t）

lC，P■（1−P）一一■

一一■

一＝Σe一

一一・o（rp■）一t1

t！Xl（t−X）le■＝Σ

k昌t−x）le一リ

P（X、里x）昌（1−p）一l≡＝p一（1−P）一II

tlXl（主一X・）1P■（1−P）一一■（rPo）一十■P■（1−P）資x！k！

一5一（ただし、k＝t−x）

＝≡e一e■リ（rpn）■P■・x

一一〇X

1e一l（rpo＋1）■

十1

Σ

eIp

（rP，）一（1−P）一k！

、｛1一回，l（rPo＋1）■

平均rp川のポアソン分布x1
従って、X。は平均rpnのポアソン分布に従う。
十分に時間が経った後の保有契約件数をXとおくとX国Xo＋X1＋X2＋………
ポアソン分布の再生性によりXもまたポアソン分布に従い、その平均値はr＋rp＋rp2＋・・…1…1r／（1−p）
3．

1掘一となる。

辜jズヅ1、…（÷・・1おlnが奇数のときI。昌Onが偶数（昌2m）のとき
1一一逑

・・㌻1、…（÷・・一∫二・一・ヅ1、…（一÷）・・

十一・（一÷2、…（÷1二・∫ 間一；（2m−1） I2。。＿2．

1（2m−1）x2冊一2

ゾ2π

X 2

exP（一一）dx
2

DI2…呂（2m−1） （2m−3）………3・1・1
よって、Yは値O，1，1・3、………、1・3・……・（2m−1）、……
をとる確率変数でP（Y宮1・3・……・（2m−1））＝P（N当2m−1）
P（Y昌0）≡ΣP（N≡2k） となる。

（m昌1，2，・…

止一〇

従って、E（Y）＝Σ1・3・・一・（2m−1）P（N＝2m−1）…一1一6一λ加一1＝圭1・3・……・（2m−1）e■一…一1呂Σe■ユ…一1一ヨΣe一＾λ加一12・4・・・・…．（2m−2）

λ2n■1

面一12■一1一（λ2／2）藺

昌Σλe■コ・．1（2m−1）（m−1）

11（m−1）！
λ2λ2221λ。一1．xP（一）＝λ・XP（一一λ）

4．

（1）

①

線分［O．L］上の分割点の座標をそれぞれx，yとする。

Xくyのとき3つの線分の長さは各々x，y−x，L−yとなる。

三角形ができる条件は x＋y−x＞L−y ∴y＞L／2x＋L−y〉y−x ． ．yくL／2＋xy−x＋L−y〉x ． ．xくL／2
X≧yのとき、X，yの対称性より

x＞I／2，yLLL一2x＜L／2＋y，Cy＜L／2BL2AOOL／2XL（x，y）は四角形OABC上で一様分布するから求める確率は』繊一半上一十（2）最初の分割でできた短い線分の長さをxとすると・xは［O・L／2］上で一様分布する。また、2回目の分割でできた線分の一方の長さをyとすると、yは［0，L−x］上で一様分布する。3本目の線分の長さはL−x−yである。
三角形のできる条件はx＋y〉L−x−y ． ．y〉L／2−xx＋L−x−y＞y ． 。y＜L／2y＋L−x−y〉x∴x＜L／2

一7一すなわち、下図の三角形の範囲である。

yX
従って、求める確率は、

÷∫1／2∫lll．、、圭、

L−x 二tとして・…

??／2Ll、・・
一一・∫1／211t・t

L一・∫、1，（÷一）・t

一・［1㎎Hl，1，＝2（lo92−1／2）

空1094−1

一8一