〔問〕

昭 和 45年 度

(問題)

午前の部
1.

被保険者の群団 A， Bはそれぞれ 1万 人 か ら ま っ て い て 年 聞 の 死 亡 者 数 は 各 々 90人，

11 0人だった。 A と Bの死亡率 Kは有意水準 5 %で差があるといえるか。

J961J4，

注1.

【.‑‑y27r....…「…， υao

注2. 死亡率が未知であるから死亡者数の分散も未知であるが，適当忙推定したものを正しい値と仮定してよい。

2.

ある事象 Eが生起してから次K生起するまでの時間 Tが指数分布

F(♂
)=1‑ e‑}.Xをするとき，事象 Eが一定時間内 K生起する回数 Nはポアッソン分布をするととを示せ。

3.

政見分布の平均値戸が判っているとき，分散 σ2の最尤推定量を求めよ。

午後の部
4.

xl' X2 ・・・・X'" を独立在確率変数とし，それらの平均値は m(対 日 )，分散は σ2(既知)とする o nは十分大きいものとして，次の聞に答えよ o
ただし，d九z =‑' :Ex.
九n"i=1とせよ o‑77‑

(問〕(1)信頼度を 99%以上として，平均値 mの区間推定を，テェピ γ 三フの不等式を用いて行え。(注 1参 照 )(2) 同じととをガットマンの不等式を用いて行え。〈注 2参 照 )(3) 同じととを，z叫が(中心極限定理K もとづき〉ガウス分布 K従うと見ました上で行え。

ただし，︐Fa. dnU

1一四

注1. チミE ピγ ェフの不等式:

をー

P{I人‑"‑niIくと σ}逗 1(~>O )注2. ガットマンの不等式:

孟え+σ2n‑‑I

p {(zァ m)2、仲."fI，，22(~2_1) ) ・とと(t( 8ι=ーι E(X"‑':"Z ) であるがn i=1

1n 〈n‑1)j 〉 l‑52nが大きいととから

fI，'82宇 E(8ち=竺二1 σ 2 会よびnn宇 n‑1 まる条件を用いてよろしい。

5.

弓寺式
♂

+3y+4z 三五 6

2x+Y +3z孟 4.
5を満足するよ~;三 O.

y;
三 0， z孟 0 の 5ちI

X+y+z を最大 V
亡するよt'， y， Z のf
直を求めよ。(図解Vてよる方法 Kよって求めても差し支えまい。)‑ 78ー昭 和 45 年 度

(解答)

午前の部
群団 A，B の死亡率を各々 ~1' ~2 とし，帰無仮説を HO: ~1=~2 とする。
E 。が正しいとき， A，B各群団の死亡者数を各々確率変数 X1'X2 とナれば1 X 1‑ X2の分布は，平均値 0 ，分散 2N~(1-~) の正規分布で近似できる。ただし，

N=10，000，~=Ø1 =O'2 とする。

90+110ととで，~の推定値を~ = 10.
‑0O.O.~ 2 = 0.
01とすれば，標準偏差 σの推定値をV2x10，000x0.01 x0.99 =γ存 否 持 14とするととができるo
そとで， 有意水準 5・%で両側検定を行えば， H。の棄却域は，
X1‑ X2' >1
4x1.96ξ27で，，90‑110 ，=20であるから，仮説 E。は棄却できまい。従って，死亡率忙差があると結論するととはできまい。

2.

CEが生起する確率は A d.tと考えてよい。
微 少 時 間 ム t 内V
0o:p(0く T孟 d.t)F(ムt)‑F(0)=1 ‑ e4・ムt(.
. .‑ A・ム t.(‑)ム t)+一一"?で一一+' ， 2+.
.
.
.}
一 1‑~l 1.
，1")

ト ムt+ o(d.t)

Cn回生起する確率をろ(n)とすると，次式が成立する。
よって， Eが一定時間 t内 V
P +ζ込t.
(n+1)=P.
(n)oA・ム t+P.(n+1)・(1‑A・ム t)t.
んeESA‑79‑)(.L.dt P (n+1)=A‑P(n)‑A‑P(n+1)

Atpt(o)=e‑

一方，(2)pjo)=P(T〉 t〉=1‑P(T孟 t)=1‑I)(t1‑〈1‑e‑zt)=e‑M2)の初期条件の下で(1)在る線型常微分方程式を解いて得た弔仇)がポアッソン分
従つ'で， (‑aaeJ'ι‑n‑

一一対︐rlfp一.︐.
42u︐︑3一An︐︐︑‑

布 K従うととを示せばよい oとを〈とJ‑九一(n+1)!

一︐.
b︐︑4一An‑g︐︑r︑︑A一一e)*
1L P 〈n+1)=L (Atdt‑zt(AtT+1‑Ite "7".A.(n+1)!
τ‑At(AtJn)=一一ァア2)を満足するととも明らかであるか=‑e は(1)を満足する。また， (よって~ pn:九') ・t・A1.¥ (At.
:.
.
.
.
e が所要 C解である占従って，Jt)=ー ー で .
ら，解の一意性 Kよ t pn:伸としたときポアッソン分布 K従う。

3.

昭和 39年度の数学 E問題 3(j)の解答参照。

午後の部
4.

先づ"'E (Xi)= m
E (ZJ==τ~
1
1.
九.
.
.
.
2
X.
V(Z，)=~:V(すと )=~~V( 尺) =三一i=1

日i=1 nである。
︐ee︑︑・)‑‑A

1-~=0.99
ιととするため K と =10 として

テェピ γ ェフの耳噂式を Z九 K応用すると~80.，‑

P(n)は t を一定

く字;}訂ーキ=‑0.99

P{ IZn一ml

故f[mは確率 0.99以上で10σ10σ+ーτ
‑也、/n 一一施、/nZ 一一τ =ーさ三 m 三二 Zと左る o，更に S2与 σ2， nと 干 n‑1 としてえにガツマン不等式を応用すると(2) 同じ( ~= 10P{(zy)24(1+向 ) }>0.994を
1
1'1+V"玄烹亨亨よ bも大きい， とれに対ナる近似数として用いて mは確率 0.99以上でZ

4 σ 4 σ
一一三二 m三二 zl/n 一 一 π ‑Vn+一一=とまる。
(3) Z九を正規化して
Z‑mν
σ万"C0， 1)忙従うと見てよいからとすると， とれは N
Z ‑m49A‑d古万l孟2.
4)=マ主 f‑‑‑eV n V L 2.
6P (I正dx = 0.99ー

故f[mは確率 0.99 でM7
竹三二 m ζ2.
6σz +‑=‑n~/nとまる。

)
tA
(5.

x+3y+4z 話 6(2) 2x+Y +3z 三 4.
5x + y + z =え， x/}.=α， y/}.=s， z/}.=r とb ぐと

α+ s + r =‑'"
‑
8
1‑'‑

A， α， s，rを2)を書使って(1)， (き直すと，(1)，夕日・ーーーーーーー‑ーーーーー

8A(α+3s+4r)孟 6(2)'X(2αトーs+3r)孟 4.5
以下，図 Kよって解(，5!
tR454点(α +3s+4r，2α +s+3rうは，
ム'P1P2P3の内部長よび境界上の点を表わす。

oQ

2 3 4 5 6 7 8 91
0 1
1 12

従って，点(A(α+3β +4r， A(2α+s+3r))
は，ム P1P2P3を原点から放射上 K
ず の 内 部b よび境界上の点を表
A 倍だけ比例拡大(または縮少)した相似三角形ム p~p~
1 2‑3わナ(上図参照〉。とのム P1P% の点 P' の縦横各座標設~/~ P (6.4.
5) のそれよはれまいととから

Y は，長方形 O，QPR の内部または境界上 K存在し左ければまら左い。との条件を満足し，QPRの外側で接するようにすればよ左がら Aを最大 Kする Kは，ム P1P;p; を長方形 o) P' の座標を P~ 一致させるい。本問題ではこり接点は図の Pと左!J(とのとき，{= 3，よう K定めれば所要の解が得られる。図よ!JPは線分 piPLの中点であるから ， r.= 0，a=s=すとなる。とれよ!J， Z=O，x=y=.
15 を得る。
答

x=y=.
15， Z=O‑ 82ー