1990年12月18日

数数

学

1X，Y

1・・・…

（問題）

1一次の谷間の［］に入る答のみを・所定の鵬舳こ記入せよ・
は12つの確率変数

学｛50点）［0，1］，［1．2］が互いに独立で，それぞれ上の一様分布に従うとき，・1・…）一［］
121タテ、ヨコそれぞれn（n≧3）のマス目がある．
いま，このマス目の中にm橋の石｛m≦n）を重複せずに美作為に入れてい＜とき，どの列との行をとっても・つ以上の石が入らない礫は［二］である・

13】

CH一，y）＝三一元2←マス目｛bl≦1，1yl≦1，Cは定徴）

1＋y2
O｛それ以外）を同榊率雛醐とする・次元碑蛾1・1・〕があるとき，・一［］
1413つの箱A，B．Cのなかにそれぞれ白玉3個，白1玉2個と赤玉1個．赤玉3個が入っている．3つの箱から1つを選んでそこから玉を1個取り出したところ1赤玉であった．このとき艶んだ箱が・である礫は「1である。
1引互いに独立な確率変徴とするとき，確率変数

Xl，X。．X，一の積率母関識を，それぞれ

Y＝σlXI＋α。X，十帖X，十bφllθ1．φ。1θ1．φ，1引｛α1，〜．α，1bは定数）の積率母鰍は。［二］である。
161確率変数

Xl，X・の結合確率分布が以下のとおり定義されている．

P｛X1＝1，X2＝1i＝P｛Xl＝0，X2＝u＝n｛n−1）
N｛N−1）．

n｛N−n）

P｛Xl＝1，X2＝0，・＝

N｛N−1），

P｛X1＝O，X2＝O，＝

皿｛N−n）
N｛N−1），

lN−n1制一n−11
N｛N−1｝．

このとき，共舳…1・．．X，）一［ニコ．ただし1・一1〉・〉1とする．
17〕籠率変数

Xは，確率密度関識

H3〕＝1π（1＋工2）｛一00〈3〈oo）［］1…
このとき，Y＝X2の確率密度関数
2つの状態0，1をとるマルコフ連鎖）

g（y〕＝01引をもつ．

｛y〈O〕

．

｛X。：n＝O，1，2．・・1がある．その推移確率は，

ρロロ＝1一ρ，ρ01＝ρ、ρ1o＝9，ρlI＝1一σ｛O〈ρ〈1．0〈9〈1．ρ一ト9≠1〕とする。このとき・（・1一・1・・一・，・・一・）一［二］一1一1

数学1・・…219〕確率変数

X

は．次の確率密度関数をもつとする．
2
仔去・・ザ…1手）1｛m≦工く。o〕∫1工）＝｛それ以外）

このとき・平均箇・（・〕一［二］分散・1・）一［＝］2・ll11台の公衆電話の前に．n人の人が並んでいて，1人の通話暗闘は平均2分の指数分布に従っている。いま，n＋1人目の人が列に加わったとして，この人の待ち時間の分布の確率密度関数を n≧1 の場合について求めよ、ただし，各人の通話時間は互いに独立であり，待ち時嗣はn人の通話時間の印とする．
121上記の公衆電話の前に並んでいる人数をNとして，Nが次の分布に従うとする。
2．1｛掘＝011．2，）
3n＋■
新たに、この列に加わった人の待ち時間の分布を求めよ。ただし．Nと通話時間は独立とする。
P｛N巴n）＝125点）

3

右図のように．C1．C亘．Cコのユニットが連結してC2稼働しているシステムがある。このシステムは、C1が故陣すると稼働しな＜なるが，C。．Cヨについては．どち
らか一方が故障しても．C1が故障をしない1眼り稼働するC一C，ことができるという。いま1Ciい＝1，2，3）の寿命を表す解搬・1がそれぞれ平均十の指数分布に従い。互いに独立であるとき．このシステ
ムの平均寿命を求めよ．（λi＞0，｛＝1．2．3，一2一125点）

数学I

1．O〕

（解答例）

・（…1）一 轣轤P回・1州・・
1』＝πy，V＝yとおくと

一〃1綿1・…
一〃↓・…

イ牛・・

■ヨ12〕m個の石の置き方は置く順序も考慮すると，
・1rr

ln（n2一｛）三〇通り

一方，どの列，どの行も複数の石が入らないように置くには置いた石を含亨行，列を除いたマス目に置く必腰があるから最初の石の置き方

n2通り
2第2番目の石の置き方1n−1〕

通り

第｛番目の石の置き方1n一｛十1〕2 通り

つまりm個の石の置き方は m−In ln以上から求める確率は

i三〇一｛〕2

In1I
π lnm…

−i〕2

1［［ln2一引，011〕1一・∫：∫：1言1舳一・・工1（・一州吋1÷、、・・
一・・匡一如］1［・1−1｝…吾・牙一量π・・一一3一ω

ベイズの定理を用いてP〈C1赤）士15〕

p C P C・十。、十、．。十去．量十、、一【Y＝α1×1＋α。X。十α。X，十bの積率母関数

Φ（θ）

Cは

Φ（θ）＝E（eθY）＝E（eθ（＾・H・十岨買・ナ帽x・十b〕）＝E（e舳ん♂舳・♂岨粘eθb）（e舳x1，e〜x篶，♂胞粘は互いに独立）＝E（e舳x）E（e目π・x・）E（eθ岨粕）E（e舳）

争・1｛α1θ｝φ2工α・θ，φ3｛α3θ〕e舳㈲P｛X1＝1，X，＝1…十P｛X、＝1，X、＝0パ
十P｛X1＝0，X2勝1，十P｛X1二0，X2＝0｝＝nn−1＋nN−n＋nN−n＿Xlの周辺分布は，P（XI＝1）＝Pl＋N−nN−n−1 ＝1X一＝1，X。＝11＋Pl

Xl＝1，X。＝01＝丹l

X1＝0，X。＝且1＝冊・（・1−0）一1一・（・1−1）一年X。の周辺分布は，1〕（X。＝1）＝Pl

Xl＝LX。＝11＋P

・（・・一・）一1一・（・・一1）一ΨE（X1）一ポE（X・）一冊 ，E（Xl X2）：1・1・P｛Xl工1，X2＝1三…1・1…ト・1・1・・〕一・1・卜・1・・1一冊一（丹）2一沽。Tl・川・一11一州一111一一4一綱

π∫出）・・

17〕

Yの分布関数G（y）＝（y〉0）

一η（y≦0）y＞0で，Yの密度関数〃・（・）一缶い）・ト2号1π）川一打）11・π（1＋y）行181

P（X1＝01Xo＝0，X2＝0）＝

P（X口＝0，X1＝0，X2＝0）
P（X口羅0、，X2＝0）

P（Xo＝0，Xl＝0，X2＝0）
P〈Xo貨0，X1＝0，X2＝・0）十P（Xo＝0，Xl＝0，X2−0）
P（Xo＝0）・11−p〕2

・11−P〕2

P（Xo＝0）・11−p〕2＋P（X口端0）p

一5一q

㈹・1・）一任仔去・・小粋21・エーズ（卜・）帰去…1一伊21山

十伍帰去…1一決21舳
一卜弔・・小県ジll・・嘉∫ら・・／与）・エロ

一弔令・・昨作・帰去…1一停年工一スト・〕2帰去…1一県21・κ…スト・岬去…1一決21・κ
十・・服去…1一決21・π
一［一（卜・）・帰…1一留2口二・帳・…1一決21・工…β・・十・・
一・・仔・・十σ・…
・（・）一・・（1一苦）

一6一2．ω

n人の通話時間の和の確率密度関数を

l1同一1同一如・（一貴）

手、回とおく。

（π・・）

1。同寸歩岬1一着）・如1一号）加如・1一号）μ今・1・（一号）
舳寸歩岬（一号）・・去・1・（一号）加如・（一号）五㌻〃一歩芽・岬（一号）

孔一1同一んr一岬1一貴）とすると・

舳剛一方み岬（一号）如・（一守）方斗…1一号げ〔舟〆F舟・岬（一号）
ω求める分布の確率密度関数をh（y）とおくと、・（・）一書舟舟…（一号）一如・（一号）書÷叩（号ダーI
一苦・岬（一着）・卵1号）一苦・岬（一苦）（…）

・（・・…）寸（工）伽告仏・（一書）伽冬（1一・岬（一苦））

・（トO）利・一・）一夫
・1…）一夫十名（・一岬1一昔））
・1・一・）一夫3．

このシステムの寿命を表わす確率変数をZとするとき，

Z＝㎜i皿1X1．mxlX2，X3ハP（Z〈T）＝1−P（Z≧工）＝1−P（X．≧κ）P（㎜a亜1×2Xol≧κ）＝1−p（Xl≧π）｛1−P（㎜xlX2×31〈κ）三＝ユーP（XI≧π）｛1−P｛X2〈κ）P（X，＜工）吾
亡1−e■ん一11一（1−e．ん刊（1−e■＾＝1−e一いle．ん：1−e叫e一ん）1一e一｛＾州・〕㍉｛〜十ん，〕1一e−o一十＾3）一十e■｛んt＋λ・十ん3〕1（π＞0）

・（・）十11λ1＋λ・〕・一（1・・1峠1λ1＋λ。〕・一・州・一1λ1・λ、・λ，〕・州舳1・κ11㍉兀十凧川1一7一