〔問〕

昭 和 38 年 度

(問題)

午前の部

.
1 経験死亡率伊を算出するとき Kは通常次の式を使用する。
た Yし，

2 D

A・・・・・・・・年始現在契約高B・・・・・・・・年末現在契約高9宇 一 一 一 一 一 一 一 一A
B
D+ +D・・・・・・・・当年度内死亡契約高との式を証明せよ。

2. 終身保険の純保険料式保険料;債立金がlV:
x:=.005 ， lVX +12.006 であるとき

V X を求めよ。

ただし，保険金は期末払とする 93. 次のよう左保有契約 K対する責任準備金を今まで全期テ Jレメル式で積んでいたものを，
19 63年度末にないて 10年チルメノレ式で積むと，全期テルメル式よりいか程積増しとなるか。 1万円未満は四捨五入せよ。
契約年度，‑

952年産

63年度末保有契約高10億1953131954

16195520

ただし，契約はすべて全期払 20年満期養老保険(年払)，テルメル歩合は対千 25円，加入年齢は 30歳，契約の始期は年央とし，必要あれば生命年金現価に 2 いては別紙 ax :n
衰を利用してよい。

‑14‑

午前の部(3)の 別 紙

2.8803

1.95982.88131.96002.88201.00001.96032.88271.00001.96052.88303.76934.6206.
4384
51.00001.96062.8833五7698

4.6212.
4389
51.00001.96062.8834.
7697
34.6209

1.00001.96072.88343.76961.00001.96052.88291.00001.96031.00001.96011.00007.8351

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7.5853&2661

7.62448.31067.65478.34496.95497.6762

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6.22395.
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6.22246.97477.69598.38734.62035.4367

6.21996.
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8.3801

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6.96437.68228.
3
7日D

2.88233.76704.61585.42956.
2095

6.95697.67298.35862.88143.76524.6126.
4248
56.20306.94868.3465

1.95972.8802

五7628

4.60885.
4195

6.1961

6.93991.00001.95922.87893.76054.6052.
4144
56.18946.931676627.
7.65217.64218.32241.00001.95882.87783.75844.6020

5.
4
0.
9
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6.18366.9243

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1.00001.95852.87703.75694.59965.4065

6.1791

6.91887.6268R3046

1.00001.95832.87633.75554.59735.40346.
1750

6.91387.6209R2979

1.00001.95802.87553.7541

6.17146.90942.87483.75285.3981

6.1685

6.
9
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5
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1.00001.95762.87443.75214.59235.3967

6.16666.90387.61597.61197.6095

R2922

1.95774.59524.59345.40051.00001.00001.95752.87413.75164.59165.3957

6.16556.90257.6日828.28381.00001.95732.87383.75114.59105.39506.16476.9017.6073
78.28281.00001.95732.87373.75094.59085.39486.16466.90161.0日 001.95732.87363.75094.59085.39506.16496.90197.6072
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9日237.6077

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456

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169

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13.57713.5601 Z 6 7 1 1引 1113.53813.512
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1.
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13.36313.31513.26010.532

11.042

13.2009.970110.50311.00813.13513.
D62

1日.96910.43310.92712.9838.7505虫3292

9.8765

10.39310.88012.89610.829I2.802日目

10.4709.9106一9.9416

9.3580崎一

9.3840一8.7960
8.
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12.583

10.638 1

12.461

10.56312.329

〔問〕

︐︑dJ

B+︑ft

3.

pP+Z

司PPωwxい一 M

立口百R=の後午

上記の近似式に沿いて，布辺の第 2項の意床を説明せよ。

2.

竹

aJl:豆一二三ーを証明せんただし， p z詮 Px+も伊 z+z

五

30歳の男子が一時に 100万円を支払い， 2年目以降毎年 5万円ずつの保険料を払込

む終身保険 K加入したとする。乙の保険の額面金額( 1万円未満四捨五入)を求むロ
ただし，保険金は期末払で，次のものを仮定する。
新契約費

対千30円

維 持 費対千5円

集

2年目以降の保険料に対し 3 %金費

予定利率
α304%

= 19.7765‑19ー昭 和 38年 度

(解答)

午前の部
1 もし， 1年間 K増加も減少もをかったとすると，年間の死亡は A・9とまる。ととろが死亡以外の減少(増加)が年閣を通じてA‑ B‑ Dだけあったりであるがら，年間 K量
生J等に減少(増加〉したとすると近似的 K

÷(A‑B‑D)伊だけが年聞の死亡 DvC含まれて来在い。従って

A・9 ‑ ÷ ( A ‑ B ‑ D〉 戸 D
これを解いて一口υ

一D
D一+A
一2一+‑一nrを得るo(1. .:511W~)
年始からの経過 t 0時点での契約高を f('h死力を μ 也とすると年度内死亡契約高 Dは

D=j;f(t)μt dtで示される。 いき，死力は年度内一定で μ，また契約高は直線的に変化する，す左わち，f()=αt‑トbと仮定すると上の式は次のよう Kなる。
七〈〈D=J 1f(も)μtc
l七=J 1(G肝 心 μ d七=μ(す十品〉
しかるに ，f(O)=A， f(1)=B であるから，また‑f;ρd七

p=e

α=B‑A， b=Ae一μ:!
'g‑=1‑e‑μ = μ ‑ 2+1;
3 +0(μ")6I

一方S‑2Dμ2μa

舟=一A
一一=一一一I
一 =μμ 一一+ー+0(μ4)+一B一+一心241I I

2~20 ーSμ3μs
460(μ~) = 一 戸 +O(μ4‑ )12-~=一一一+ナ左わち，~は F の 2 次 C鱒艮小まで正しい近似値であ þ ，またその 5 次む縛艮小の誤差は， μ一手を伊の近似値として使ったときの誤差の÷である。との意味で，わざわざ分数の形 K表示する意味がある。

α.

2.

l

Vx=1ーで手ヱLalVX +I

α . α ‑= 一 τ三;‑2VX

2一一一三土L

αX+I ' α X

玄であるととから，

αX+22 •・四』ーー・ーーーーーー・ーー‑X

αz
αX+JαX+2
1一一一一 一一一一αz
α +1玄

1‑(1‑1Vx) (1‑1VX+J)
1ー(1ー.005)(1ー.006)
1‑. 995x.994.01097

3. 1) 平準純保険料率を P，平準純保険料式資任準備金をも V とし，テルメル歩合を αとすると，全期チルメル式責任準備金率 tv(会事、よび 10年チルメル式責任準備金(10)率色 V¥ /(いずれも保険年度末〉の算式は次のとか bである。
，~\色V四αtV ‑(10、 JtV一一一U， X
ヨ1α(~ Vー τ了一一一αx+も:nττ1αx+も・ πττ1

ただしtく 10のとき|ゆ x~ï可1

しV

ただし， t孟 10のとき

2) 事業年度末責任準備金のうちイ)

保険料積立金率の差額ム tV は‑2
1ー

+iV，(t‑:.
.
.I V(10)ぃ0)，v(台 + ;v@D

ム tV =

2ー2α 包:x.
+t‑
1:n ‑存 η十 ax+色:五二百五叶t̲I:
10‑珂 l十ax+t:;
oコ1、ax ・ 而ax :~l2、〆

ただし， 七<10一α 2τ η+ αx+色:i‑=‑‑tlαx+七 一n二 宇αx 宝1
ただし， tミ 10A式である。・

未経過保険料率の差額をムtP(七キ 1) とすると

T α T

ムー

P=
iす (P+・ナ一一〉一一 (P+τ ァー〉

ただし，2~ 七 <10P‑
÷ 〈P+tE)

ただし，

七二三 10

ただし，2;;?
;七く 10J L α x:而

2 α x司ただし， 七二三 103) 保険料積立金の差額の計算

.

契約!
+‑
U

α30十 t:‑20ττ1α七・τ百てす130+

年度55545352

し一α30・ 刊 =13.577(A式の括弧の中〉第一項(j) 第二項(ii)

89.
4668

.
19567

ヲ

8.8497.
10000

108.2072

11ス5380

αS
O・7万1= 8.2821

(j)
一(ji)

ム

V

.
1349080.35700

0.99208 0.012401.
1256310.12074.
113557 0.
014195.
115970.
115970 0.014496.
105898.
1058986.8398‑22ーS

契約年度

ム

s;

v( 対 億 )

V万円

55

20億円

12万4円
.
01

ぷ
r

54

16

14.
195

2

53

13144.964.
5

5210132.
37

3.7

言
十59

802

司.
12ど」

7~..r.

4) 未経過保険料の差額の計算

内/一﹃

0.047088

一 ‑xA.

7﹁uRJVノ0nunuxα一2一司

一一α一2一一α5) 結 論α、λι〆門/‑α(‑..
一 τァ 一 一 ー
2¥ as0 了了布α 3 0 :をす1 ノnu︐守一角

=G075654ττ1α30 ・nui

一一山

ただし. 1

上の計算から 10年チルメルに変更した場合の責任準備金の積増額は
牙q万円万円795・・o + 日2 キ 7960 ーである。

午後の部
(m)

1.PZ ・11=pz・
τ ，+X+ Yとする。但し，との場合

Xは年の途中で死亡が起きた場合以後の端数期間に支払われ左い保険料に対応する部分
Yは一年間 m固に分割して支払われるための利息の損失 K対する部分，とすると，‑23ー年の途中で死亡した場合，支払われ左い保険料は
mー 2n(m)‑1 h(m)x ー吉17mーーーー『ーーー『ーーー~mJ[ :わら1"'1』

Ii¥7・.・・圃ーmJ[・一宮、の平均値であるから，m‑1 引い)1J[玄2mとなり，

ζ れに対する保険料は

m‑1 T"¥(ロPxJ.
:Iil. 亘 ‑2m=Xと在る o
また遅れて支払われる保険料に対する利息の損失はよ 七(1‑vτ)= {1ー (1‑d)‑;}宇 ‑ d の近似式を使えば昔
m
第 1期i
司

第 2矧間

1ω( 1ーパ〉

ELE‑ユ‑d・4).
司m1ff

2 p(m)・一(1‑vτ)‑=‑ムどと守つ 4・‑p(:):
司
7ff匁であるから合計

m‑1 .~ ~ .
，.
.
.
，(皿‑一ー一一‑ d • P¥‑'.̲= Y2mX引となる。従「てい)p z ・司 = Pz ・nJ + X十 Y

=P :Iil+牛lpi):司(p~ 百十 d) と左.þ ， 砲 第 2項の意
J[:Lm

味は，年の途中死亡に対する都分と，利息の部分との合計である乙とがわかった。

‑24‑

Z

22 Px +v3 I Px +V
Px+V・・・・・・αx++V PXPX+l PX+Z+・・・・・・・・vpX VZPXPX+lSS VPX+(VpX)2 +(VpX)3 +…
‑…・・・

= Vpx

(PX 詮 PX+も)1‑VP X
PXPX

一 一(1+i)‑Px~X+ i

故にPzαz三五~x+iである。

五 保 険 金 を Sとすると収入の現価は100 + 5向。

支出の現価は8(A30 + • 03+. 005向 。 )+ .15α'30(単位万円)であるから，

8‑= ̲ 100+4s5α30
Aso+.03+.005α30
1o0+4.
8
5 (a30‑ 1).30)+.03+.005α30(1‑da100+4β5(α30‑1).
103ー (d一.005)α31)

1o0+ 4s5x18.7765

一一.
103‑.03346x19.7765
Y円

RU

一一41 66一86一
20一8︐
一9一5

一一答

519万円

‑25ー

(α30=1 虫~:~:)
d =.03846