〔問〕(問題)

昭 和 40 年 度
午前の部.
1，は独立な確率変数で，それぞれ平椀 ffi，分散 σ: ，6;，Xl' X2'…・・， X‑…，σjをもっとする oa1+a2+・・・・・・ +αAキ Oなる定数 α1 'az:'.
.
.
.'.
， αAに対して‑ G1X1十 a X2+・・・・・・ + a" X"

Z ‑2a1十 a2+.
.....十 a.
pとしたとき，zの平城と分散を求めよ。また，との分散は a1σ:=G2σ;=‑en‑‑= G A d となるような αl' a2，… ー ， αA に対して動、となることを示せo2.

離，故的な確率蒙激 Xl' X2 および Xa の同時確率密度を次の式で定義する。

p{(X X J X )=c0， O)} = P{(Xl' X X3)=(0，0，1， 1)}
l'2 3
2'X )=(1，O， O)}= 士. 1)} = P{(Xl' X2= p {(X1 X2'X3)=(1， 1' ' 3
このとき X1と X2， X2と X3' X~ と X 1 はそれぞれたがいに独立である治、X 1，X2' X 3 はたがいに独立ではないことを証明せよ。
3.

いま，ねずみ〈前々月以前に出生〉が 2匹いる。毎月 2匹のねずみから 12匹の割合で子
陶 2生まれ，新しく生まれたねずみは，翌々月から子供を生むものとする。ねずみは死なないとすればAヵ月後には何匹となるか。これを求める算式をつ〈れ。

午後の部

4.

確率変数 X の分布関数を F~吟とする ó F{X‑)=すを満足する点m z m eをこの分布の中央値と呼ぶ。点 Cのまわりの一次の?依す積率 E(IX‑Cl)は， C=meのとき最小であるととを，EXの分布が連続型のときについて証明せよ。

密度関数が C， m を定数としてfめC(C:>0 )…
‑m)
C +Cx‑‑ 33ー

〔問〕
によって与えられる分布関数をコー ν一分布という。
いま，針がその中点 Pのまわりを水平に回転するようになっているとし，この水平面上に Pを通らない商事ぷが固定されているとする。針がとまったとき，それを延長した直線カヲとpからぷに下した垂線の足 Oを尿点として測ったぷ上の Aの座標を Xと交わる点をAとし， .

する。針のとまる位置は回転の角度に関して一様であるとして，確率変数 Xはコ‑i/一分布に従うことを証明せんまたこの場合，平均値を求めよ。

‑34‑

昭和 40 年 度

(解答)

午前の部
1.

求める Zの平均値を E(z)，分散を σヤ)とする。
題意より

E(x1)= E(x2)=・・・・・・=E(xk)= m2，2̲2.
.
.
.
.
.
.
， σ (玄 k)= σh である。
σ(X1)=σ1'σ(x2)=σ2 ，
平均値は

a x +α X̲+・・・・・・+αx‑k !
L)E令)=E(_l~2--2'

α1+α2+・・・・・・ +ak

E(a1X1)+E(α2X2)十・・・・・・+E(akXk)

a1+ a2十・・・・・・ +ak
a1E(x1)+α2E(ヌ 2)+・・・・・・ +akE(x )ka1十 a2+・・・・・・ + ak
a1m+α 2m+w.
.
.
.
.
+akm
α1+α2+・・・・・・十 ak= m

分散はσ2(← σ2(~lX 1 +α2 X 2+ …… +αk X ~)=σ2Cα1 x1+ a2玄 2+…
・+九九〉。
1 a2+十・・・・・・+ a(at+a2+・・・・・・ +α'k)kσ¥a1x1)+σ2(GzX2〉+・・・・・・ +σ 2
(a x )kk(α1+ α2十・・・・・・ +Gh〉2("; X1，X2"…
， Xkは独立だから〉

a;σ2〈Xl〉+α;62(X2〉+… ・・+a;σ2(Xk)(
α 1 + a +・・・・・ +Gh)22‑ 35ー2.
̲2̲2
G σL+α2 σ;+・・・・・・
十 αk σvk(a.+a2+・・・・ +Gh〉22， •.
~次に，今求めた分散 σ(z)か，

̲2
̲2
̲2
G1σ1zG2σ2 ・・・・・・ αhσh なる α1'
α2'.
.
.
.，akに対して最小となることを示そうロ
それには，2σ2a2 σ2+G2σ:+・・・・・・+Gk"kσ2(吟=ーと‑ L ‑ J一一ーー)(α1+… … +a+a2k.
.
.
.
.
， a について偏徴分した結果を 0と置いて，を，それぞれ αl' aZ .
k'

2 {a iσ: 〈 G1+ ゲ・+九〉ー (αfσ 〉… +4σ~)~= 0'(z)= 一 時万a σ)(αa+・・・・ +a1+ 2k-2{ZZ2σ;汁・・・+匂〉ー (Gfσ:+ ・… +44。
庁斗」
竺竺~=O，‑¥a〉

Gθ 2‑・・・・・ +αk)3(α1+α2+・}
2{%〈(α1十円+・…+ヤー (α?σ:+・… +α;u;〉
2σ(z)
=万吉了)
〈α1+α2+・・・・ +ak
免

応

一一一一̲
ことに量 G 十 a・・・・・ +α2 +・‑.
kキ Oであるから，上式より
I.
=
α σ =
α σ =aσ ̲.‑岨・ .
k"kσ2
α2σ2+G2σ~+ ・. .
ー‑・ +a:k kV

α1+…・ +αh+a22(Z)は最小になるじのとき， σ2.

先ず X
1と X2とがたがいに独立であることを証明する。
，O〉}+P{(XI，xfXJ=
P{X1=o，xz=0}=P{(XI，xuXJ=(0.o(0)}= 士 +0=土，0，1
全く同様に

Xt=1，X2
P{X1=o，X2=1}=士， P{X1
1X2=1}= 士=.
=0}= 士 ， P{
しかるに，‑36‑

P{X1=0}=P{(X1J X2' X3)=(0，0，O)}十P{(X"1 X2'X3)=(0，0，1)}，X2，X3)=(O，1， 0)}+P{(X1，X2，X3)=(O，1， 1)}+P{(X1= 士 + 0十日十を=す「全く同様にP{X1=1}=す， P{X2=u}=会，P{X2=1}=を故に

P{X1=it X =k}= P{X1= i}P{X2= k}，i= 1，2. k= 1，22
すなわち XIと XZ とはたがいに独立である。

，

全く同様に X2と X3 xsと X，はそれぞれたがいに独立である。

X ，X
次に， X，' 2 s はたがいに独立でないことを証明する。
p{X =OX )(Xl，0. X2，X3=0}= P{=0，の}=士' 3 = (0I
' X2
しカ亙るに

p{X =0}P{X =O}P{X =o} =(告) 3 = +132
故にP{X1=o，X2=o，xszD}キ P{X1=O} P{X2=o} P{X3=0}. X ，X̲
これは X，tlたがいに独立でないととを示している，
3，)ft

3. t月後(tと2 )におけるねずみの数を U(t)とすると題意により，U(t)=U( t‑1 )+ 6U(t‑2)U(o)=2U(1)=2+ 6 x2 = 14ζ の定差方程式の特殊解は 3tまたは〈ー 2)tである。

U(t)=pt. とおくと
̲‑l̲‑2Pt Pt
6Pt=0‑ 37ーp2̲P̲'6=口(P‑3) (P+2)=0
P=3 or‑2
したがって→投解は，t
U(t)=cl・3 十 c2(ー 2)tである。初期条件から
U(0)=Cl+C2=2， U(1)=5C1ー 2C2=14188・. CL= τ ，C2=ーτ人、ーTTI18 t 8rt 2r 7 t+2 r ，"t+2U(t)=τ3 ー ォ ト 2) τ(3 ー(ー勾)，.
，"'¥"7午後の部

4.

確率密皮肉数を f(坊とすればE(IX‑CI)=J !
X‑:cIj(X)向‑00+̲I(x‑C)f~) 山= f (C‑x)f(x)dx
また me は中央値であるから/mef伊)dx= f∞ f伊) ω = ~‑c沿

故にJnec>me のとき

E(IX‑cI)=.
1 e(cー♂ )jヤ)d +fc(c )f(x)dx+J (~ーc)f(x) dx
♂

一世

ce

山+2.
1 (c= f‑‑‑ (ffie‑X+C‑me)f(:c)ー♂ )f(x) dx+ f Cx‑me+me‑c)j(x)d♂

C+2.
1(c.:‑.x)l(x) dx= E(IX‑me1)︑lJH凶Z︐JJい‑∞fmebJJMW︐r'p‑mn.

∞・fk+ー‑ 38C=E(IX‑meI)+2f (c‑x)j(x) ぬ~ ECIX‑me1)
また，

C 〈 me のときも同様である。

従って， c=me のときに最小となる。

針の位置は PからJtに下した垂線 POとのなす角⑨によって定まる。
⑨は

hX

lk;tilla‑‑LOP¥λ ⑨ 一︑

5.

‑f
Fか ら 号 ま で の 範 囲 を 動 く 値 をとる確率変数であり，仮定によりこれは一1，様分布をしているーx=♂によっ
1，上の点 X はOからの距離 oて定まるo ただし O の右側を正，左側を負とする。この場合， Xもまた距離 a の値をとる確率変数である。いま ，O P = aとすれば，

X α tan③⑨は(‑f子， p で一様分布をしているから，ーすく Oく 与 な る Oにつき1r

P(ー子〈⑨三五 (J) =o+4Lーπ= p (ー∞ < X三五 a tan (J)すなわち t Xの分布函数をF{X)とすれば，

号戸r

F(a tan (J)= (0+両辺を微分すれば

αj(αtan (J) sec2 (Jが得られる。よって

a tan (J1/πx とおけば

a αj(x)= す ・ 崎
一 α +x ‑勾となる。よって Xはコ ‑ i /一分布に従っている。

‑ 39‑

次に平均値を求めるに，∞ax∞

f xf(x)d必 = f す・今今 dx‑ ∞ ー ∞
a‑十 x=乏 lim

0̲(均 ca2+α2)‑log(a2+fJ2)JO:‑too. 0ー~- 00となり，これは不定である。従って平均値は存在しな.し、
ただし，上の積かをコ‑:‑7/ーの主値の意味でとるならば，すなわちf xf(x)向‑00α1im

f xff{x:)dx

αー今 00 ー αとするなら，この値は明かに Oに等しい。

‑40ー