〔問〕

昭和 46年 度

(問題)

午前の部
1.

死因 R
VCよる死亡者Kは死亡保険金 1を支払い，他の死因による死亡者 Kは，死亡給付金として既払保険料を支払い，満期まで生存した者 Kは満期保険金 1を支払う%年満期の保険の年払保険料を求めよ。とこ VC，死 因 Rの発生率は年齢K関係まく一定率 γ とし，保険金 bよび死亡給付金は期末払とする。また，付加保険料は，新契約費 b よび維持費は保険金 1VC対しそれぞれ α ， sとし，集金費は営業保険料 1VC対し Tとする。

2.

Lids七oneの定理の判別調数の値が，定数 Oであるとき， p=p'+0〆 と ま る と と を示せ。

3.

二重脱退残存表を作成するの K際し，各年齢別の二つの脱退事由による総脱退率と，一万の脱退事由 Kよる絶対脱退率が既知であるものとするo との二重脱退残存表を完成せよ。

午後の部
4.

有附ム込終身保険陀長ける充足保険料式責任準備金の算式を導入せよ O
又，普通終身保険の場合，充足保・険料式責任準備金はチルメル式責任準備金と同形陀なるζ とを示せ。

5.

A氏は財産 sを遺して死亡した。その遺言 Kよれば，同氏の妻(y)の生存中は sょD 得
られる収入はすべて妻 K与え，妻が死亡すれば，その時点にないて以下の条件によ b財産 Sを分割することと在っていた。

即ち，(1) A氏の 息子 (α)長よび(b)が共 K生存すれば (α)恥よび(b)で等分する。
J‑85ー

〔問〕
(2) 息子のいずれかが妻よ b先 K死亡した場合 Kは，妻の死亡時 K生存している彼等の子供がとれを得る o
いま，(α)は子供 5人 (α1 )、，(α2，)(α3)を持ち，(b)は 2人の子供 (b1)，(b2 )を持っているo また，妻の死亡時に生存する上記の条件陀よる財産の受取権を有する者は，全員で財産を等分して受け取るものとし，(α)なよび(b)V
Lは新たに子供が生まれることは左いものとするo(α)の受取額の英勝値(子供の分は除< )を，第 1死 亡 K関する条件付迅続払保険給付現Z;ab 在ど)を用いて表わせ。

価(例えば6.

従業員 1，000人のある会社が，死亡共済制度を始める陀あたって支払不能 Kをちいらまいため，予定死亡数を超える死亡者が発生した場合 Kは超過死亡 K対する共済給付金K相当する金額を受けとるようま保険契約を締結するとととした。との契約の保険料を共済掛金 K付加するとととしたときの割増率を計算せよ。言権 K あたっては次のととを仮定せよ。

(1) 掛金率 b よび保険料率の計算の基礎とする予定死亡率は 3f3ゐとする。

(2) 予定利率 bよび予定経費率は考慮、しまレ、(3) 死亡以外の中途退職はまい。
(4) 共開含付金はすべて同一金額とする。
1000 •(5) 0.997

宇~~ ~ ̲9990.997

干~ ~ ~ ̲9980.997

宇‑86‑0.050

昭 和 46年 度

(解答〉

午前の部
九一1。

2 D s u ‑ T旬
死因 RVLよる死亡者 K対する給付の現価は，

Ds:
E(t+1)P'(C̲.~ ‑D̲
.・.
. T旬)

他の死因による死亡者 K 対する給付の現価は~

午+X.
j.
.tDX
Dx+n

満期まで生存した者 K対する給付の現価は，Ds

従って，純保設料 Pは
九‑1

叫‑1:
E Dx+t" rψ+ :E (t+1)P'{C̲..‑‑D̲̲.
x.
+tx+t ・ ゲ 旬 ) + Dx+。

p= OD昌，f(工 A)lαw.nl・hτ1}+ Es・ 司 ー ゲ ψ(工ぶ)x・E

rv十一α{x. nl(1)一方，営業保険料 p'は子{p 十万~+ß}(2)

pr=t‑x:司(1)， (2)よ .
!
?
pを消去すると p':が求められる。

p'=

2.

+sαx:司 +α(1‑r)弘:司ー{(工 A)1:司‑vr(工・'a)x:司)
7bES+ア ψα x:司変更後の言ー￨算基礎K基づく記号 Kは を 付 す る も の と す る 。
判別函数が定数であるから，今，関係式

tvr==tV(0豆 t豆五 n)である。

V +p)(t(1+i)

t+1V+O‑t (1‑t+1V(tvr+y)(1+4F)=t+1vr+tft(1‑t+1vf)‑87‑VC:;j;"いて，辺々相減じて，次式を得る。

〆( +P') (1+i') (tv+P)(1+4)=(vr‑V)+p;(1‑t vF)
ーt+1.

t+1‑O't(1‑t+1V )両辺VC(ρP)(1+i')+ 伊 t (1‑ t+1V )を加えて<tV'+p')(1+子)+ (~ V+P )(i'‑i)+?
f:
1‑ tt+1V'‑ t+1V)t(，.
t++11V) = (〆(t‑fft)(1‑t+1V)+(tV+P)(1+i')+?
f't( 1‑ t+1V')+V )ー(〆+p')(1+i')<tv+p)(i'‑i)ー(ど一九)(1一 山 V)= (山 V'‑ t+1‑gJt(t+1vr‑t+1V)+(tV+P)(1+V)= p't(t+1V'‑ ~ +1V)ー(〆‑tV)(1+i')

一(P'‑p)(1+i')=c
一 (P'‑p)= cv'
すなわち， P= p' +c〆

3.

である。

二つの脱退原因を(1)，. (2)で表わし，相対脱退率 vrtlダッシュを付するものとする。即ち，
絶対脱退率

相対脱退率バ)'バ)'ff~)バ)で表わすものとする。

題 意 K よって，

̲，.
.
，(1)
'ょ (2)'ffx = ff'x 十 g.
‑'x(1)によ司て求められる〈と g.-~) ( 又 は 必 こ ζ では(1)式よ >l(2)'̲~(1)'?
f':' = ff'x 一伊￡‑88ーdiとする)減知である。

を求め，とれを(1)'

月，，(1)̲

7Ts" x1(2)

̲.
J.
.OS2)
'
2/(XK代入する。

︑︑︐︐︐︐ハリ￡

..

(FFSE

ζ れよF︐︐︑
一
2
1・3t(伊一一F(;)
rDF(;)Fを求めれば，一φρr a一12一川九一↑一ーす

1‑a一 119一一一月y一4laZ(3)

とれと(1)式から

丹(1)‑O‑(2)'ø-~x.
.~ ~ n‑'1)
1
人'x(4)

τ‑(3)，(4)(tCよって求まる相対脱退率 K よ!J，脱退残存表を作成すればよい。

午後の部
4，新契約費

保険金 1(tC
対し

α1F

1s'

保食料払込中維持費{保険料払済後充足保設料 1(tC
対し集金費Tとする。

m年払込年払充足保主主料
a.

a7
耳

PZ

は，

As+α+(戸+rmP:)αx:石1+β (αx一αx:羽 ) = mps ・九:石1

P‑
m x.

Ax+α+s瓦3 ・司 +s'(弘一三 x:司 )一一‑(1‑r) ぷz・万1‑89ーよD一方，充足保険料式責任準備金は. (保換金支払の現価)+(将来支出事業費の現価)ー(収入充足保険料の現価)であるから，t豆 m の 場 合

日=ヘ+t+(F+rm〈)μ:戸 lザ(弘 +tーに+t:ロ )‑mp九 +t:m‑tl
四・・= Ax+t+sαx+t年 司 +P'( α x+t 一九+t:~司)ー (1-T)JS 九+t 不司=As+t+βα'x+t:m‑lt+s'
え!
c+tー し t日 ) ーι
:1+s'(託Aa+α +Pz古az:田)二× αx+t:
一一『lm‑tαr'

日s一 洞

A一 sA+ u 九一

守αa‑m× αX+J;.
~ .一ーコ }m‑ i 'Z;;

一日ρυ'+一一日日v
t>悦 の 場 合7v;=AS+t+Frk+tととで .m→ ∞ と す れ ば
atVXx

αx+t
V ー α一一一一tt xαx

とれはチノレメル式責任準備金と同形である。

5. (1)

妻の死亡時Kα •b共K生存する確率はP.
.
fPa • tPh =7fy+t' tPy" a.oY• {y+t ・t~al/~90 ー(2)(j) 妻の死亡時 v
cbがすで K死亡し， b1，b2 が共陀生存している確率は:
tP/
1.O'川
y~y+ r;.

tPa(1‑..P，，)・.
P" '.
.
pr;‑a・r‑D‑;r.
‑D.
‑
1‑2=O'
匂 +t'tP・/
1 aoh.h ‑O'匂 +t'tP・/
1 a・h.h • h2

2j(i)妻の死亡時 v
cbがすで K死亡し， brb2のいずれかが生存している確率は，
tPy・
92+t.tPa(1‑tPb)(1‑tpb1)tpb2+tPy・
O'y+t• tPa(1‑ tPh)

X tP (1‑tP )hh2

O'y+t• tP y・
a‑h十円 +t・tPy・
a九一 2O'y+t'tPy・
a，h'h

12

一(伊 y+t・tPy・z・
b‑b+fPy+t.tPy・a・b・b2‑29y+t・tPy・
a，hoh h )12EE''El・l‑‑l︑︐︐︑vcb， bl' b2が共K死亡している確率は，妻の死亡時

tPy・3LY+t.tPa (1‑tpb)(1‑tpb1)(1‑tpb2)

O'y+t・tPya一 (SLF+tpyab+SLy+t Pyah+SLy+t PyaA2)‑o)‑o‑.hh.hy+t・tPya‑12+(伊y+t・tPyahh.+ O'y+t・tPya.hh"+ y+t'Pya.h.h"‑212J‑川(1)の場合 Kは す 8，(2)(j)の場合は ÷ s，(引 (ii)の 場 合 は す 8I (2)(jjDの場合は Sを受け取る。
従って， (α)の受取額の期待値は

す向 αb+÷siZJabb‑ZJa‑12J‑‑
1 2+すs{(ZJabT+玉Jab2‑2ZJab b )一(玉 Yja.hh.+A ah，h.
.‑ 2A Yahh.h")}12+ 8{玉Ja一(玉jah+玉JabT十五 ;ab2)+(ZJabb1十五 Jabb2+ZJab b)‑
12= 8t
A.
1.h.+
A1.
.
王
1エ8.1
L"lA
‑‑1
Yaーよ2(¥.
ti. YaT .
ti.y'ah.+T .
ti.y'ah^ ー‑ .
Yahh.一‑五.
8.Ya.hh^ ))2+÷(ZJab1b2一五 JabV2)} である O‑91ーす6.

保険金額を 1として再保険料 JPRE を計算すると，
JPRE= ~二三4(~)Ø-r(1- Ø-) 一(ト 3 )T={ ~ (~)〆( 1ー伊)….r‑ ~T二三o

3二三 γ2:0(~)〆 (1- Ø-) … .γ}‑3{ ~ (~)〆( 1‑o‑)r ~ト二三o .

32:r
二三γ‑‑ ~o={n.

ド…

(!)〆 (1‑O‑) .r}‑3{1‑̲~_ (~)〆( 1‑O‑)トゲ}
三二 三二o5二三 γ二三o •、(:)
〆 (1‑O‑) r}
3T(ご)‑o( 1ー伊)ド ・(3ーγ)r~T

2二三 T二三o .

00X 999 2‑o‑)+2X1，000・o‑(1‑‑o) +..0~~ ~ .
‑.
"‑o(1‑‑o) 2
23 (1九九ー50 .~~~~，，/ 3 ， 501，000
1，000. 1，000

九ー

21，000‑，，， 3 ，2" 50
2 .
‑'1，000'1，000=
ト 3 X一一一一+2.000X一一一‑=‑
X一一一一+一一一一 X(一一一) X一一一一0.675

割増前元受保険料 P は nO‑=3 であるから，割増率はJPRE/J
P= 0.675/
令 辛 口.225‑92‑