木材利用研究論文報告集16, 17-22, 2017. 12

積分計算とシミュレーションによる木橋の破壊確率
平沢
1 正会員

秀之 1・荒木函館高専教授2 正会員

昇吾 2・千葉拓也 3

社会基盤工学科（〒042-8501 函館市戸倉町 14 番 1 号）
E-mail:hide@hakodate-ct.ac.jp

服部エンジニア(株)（〒420-0053 静岡市葵区弥勒 2-2-12）
E-mail:s-araki@hattori-eng.co.jp

3 千葉大学工学部都市環境システム学科 3 年 （〒263-8522 千葉県千葉市稲毛区弥生町 1-33）

木材は生物材料であるため，鋼材と比較して強度のばらつきが大きい．木材を橋梁の主要材料として使用するとき，その耐荷力は材料強度のばらつきを十分考慮する必要がある．一方，橋梁に作用する活荷重もばらつきを有する．従来の橋梁設計においては，両者のばらつきを許容応力度に含めた許容応力度法が用いられてきた．この方法は計算が簡便である利点があるが，橋梁の性能や安全性の程度を明確に示すことが困難であり，要求性能を満足するかを照査する性能照査型設計法には不向きな方法である．本研究は，橋梁の性能の一つである破壊確率に着目し，材料強度のばらつき，荷重のばらつきを考慮して関数で表示し，それらの 2 重積分を実行することにより破壊確率を算出した．得られた結果及び算出過程は，破壊確率を考慮する設計法への基礎資料を与える．

Key Words: failure probabilty, timber bridge, Gumbel distribution, double integral, simulation

1. はじめに主桁には集成材を用いるものとする．主桁は等断面とし，支間中央断面が曲げ破壊，すなわち集成材の曲げ強度に橋梁を性能照査型設計法で設計する場合，要求性能を達した状態(限界状態)になる確率を求める．確率を算定満たすことの検証方法として破壊確率に基づく信頼性設するために設定する不確定要因は，輪荷重と集成材の材計法を用いることが望ましい1)．この方法によれば，目料強度の2つとする．これらはそれぞれ平均値と標準偏標とする性能を数値で規定し，不等式で照査式を与え，差で表現できるものとする．それぞれの不確定要因から，性能を満足する部材断面を求めることが理論的には可能

支間中央断面での作用曲げモーメントと抵抗曲げモーメである．しかし，実際に橋梁を設計しようとすると，ントの分布を関数で与え，積分計算の実行により破壊確

種々の数値の取り扱いや計算そのものの難しさに直面し， 率を算定する．
設計の困難さが露呈する．限界状態設計法は，部分安全

ここで得られた破壊確率が妥当かを確かめるために，係数を用いて計算を容易にさせる方法であり，信頼性設

数値シミュレーション3)によって得た破壊確率と比較す計法のレベルⅠに該当する．計算方法が簡便である反面， る．作用曲げモーメントと抵抗曲げモーメントの分布を破壊確率(限界状態に達する確率)の精度は低くなる．一

再現させる十分な数の乱数を生成し，破壊状態となる乱方，レベルⅢは，破壊確率を直接算出する手法で，破壊数の組み合わせ数をカウントすることにより破壊確率を確率の精度が高いが，不確定要因の確率分布形が既知で得る．

ある必要があることと，計算に積分を伴うため，一般には容易に破壊確率を得ることが困難である2)．

2. 破壊確率の計算式

構造設計が仕様規定型から性能照査型へ進む際，照査フォーマットとして厳密さを重視するなら，レベルⅢの方法を採用することが望ましい．そこで，本研究では木橋梁に負荷される活荷重は，軽車両から大型車両まで橋の設計において未だ採用されていないレベルⅢ信頼性

重量にばらつきがあるため，活荷重による主桁断面の曲設計法を用い，厳密な破壊確率の算定を試みる．計算対げモーメントにもばらつきがある．一方，集成材の抵抗象とする木橋は，RC床版を有する単純非合成桁橋とし， 曲げモーメントにもばらつきがある．ここでは，荷重と17木材利用研究論文報告集16, 17-22, 2017. 12

耐力fR(x)耐力fR(x)
荷重効果
fS(y)

確率密度

確率密度

荷重効果
fS(y)

Ox dx
曲げモーメントOx, y(a) Rの微小領域 dxを上回る S の領域x dx
曲げモーメントx, y(b) Rの微小領域 dx を下回る Sの領域

耐力fR(x)耐力fR(x)

確率密度

荷重効果fS(y)確率密度

荷重効果fS(y)Oy dy
曲げモーメントx, yO(c) S の微小領域 dyを下回る Rの領域

y dy
曲げモーメントx, y(d) S の微小領域 dyを上回る Rの領域
図-1 荷重効果・耐力分布

してばらつきを有する輪荷重(T荷重)＋衝撃，ばらつき下回る荷重効果の領域が斜線部である．したがって，灰を有しない死荷重を採用し，これらの荷重から得られる曲げモーメント(作用曲げモーメント)を，荷重効果Sと色部の面積＝dx fR ( x )と斜線部の面積   x f S ( y)dy とのする．また，主桁の強度として，集成材の曲げ強度から積は，任意の x に対して破壊しない確率を表す．この場定まる曲げモーメント(抵抗曲げモーメント)を，耐力R合，破壊確率は次式で表される．とする．図-1に荷重効果と耐力の分布関数 fS( y ) , fR( x ) のxp  1   f R ( x)  f S ( y)dy dx

概略を示す．

(1b)

図-1(a)は，ある耐力x(灰色部)に対し，それを上回る荷重効果の領域が斜線で表されている．破壊が生じるの同様にして，図-1(c)及び(d)より，主桁の破壊確率は式(1c), (1d)でも表すことができ，これら 4 つの式で同一のは S > R の場合と定義すると，耐力がある x のとき，荷重効果 y がそれを超える場合が破壊である．したがって， 結果を得ることができる。


灰色部の面積＝dx fR ( x )と斜線部の面積  x f S ( y)dy との積は，任意の x に対する破壊確率を表す．この x の定分で与えられる．
yp  1   f S ( y) y f R ( x)dx dy

義域を[∞, ∞]とすると，主桁の破壊確率は次式の2重積

p   f R ( x) x f S ( y)dy dx

p   f S ( y)  f R ( x)dx dy

(1c)
(1d)

本研究では，破壊確率の計算を解析的な積分計算で行(1a)うため、計算の便を考えて、式(1a)の方法を採用することとする。

一方，図-1(b)は，ある耐力 x(灰色部)に対し，それを18木材利用研究論文報告集16, 17-22, 2017. 126200
5000
1750
TG1

G2850

600

160600

表-1 構造諸元、材料・荷重に関する定数TG33@1500=4500

材料・単位体積重量 [kN/m3]

構造諸元 [m]支間長5.000

主桁E105-F300

8.000

全幅員6.200

床版

RC24.500

有効幅員5.000

舗装

アスファルト22.500

床版厚0.160

桁幅0.220

舗装厚0.050

桁高0.272G4

主桁[m]集成材 (曲げ強度は正規分布と仮定)

850

曲げ強度の平均値 [N/mm2]

39.00

曲げ強度の標準偏差 [N/mm2]

5.85

1.0
影響線面積=1.5m

表-2 死荷重曲げモーメントの算定

図-2 集成材桁橋断面図

3. 計算対象とする木橋
破壊確率の計算対象とする木橋は，図-2のような断面形状を有するRC床版単純非合成集成材桁橋とする．主アスファルト舗装 [kN/m]

1.6875

RC 床版 [kN/m]

5.8800主桁 [kN/m]

0.4787

合計(G2に作用する死荷重) [kN/m] Wd =8.04620.04

桁材料として，強度等級がE105-F300の集成材を使用す

負←→正る．集成材の曲げ強度は正規分布をなすと仮定し4)，平均値，標準偏差をそれぞれ，39.00[N/mm2]，5.85[N/mm2]

実測値

0.03
グンベル分布とする5)．これらの定数6)およびその他の構造諸元をまと0.02

めて表-1に示す．

0.01

4. 荷重効果

-17.5
-7.5
2.5
12.5
22.5
32.5
42.5
52.5
62.5
72.5
82.5
92.5
102.5
112.5
122.5
132.5
142.5

0.00

(1) 死荷重
主桁，床版，アスファルト舗装の単位体積重量から，輪荷重[kN]

主桁G2の支間中央断面に作用する荷重Wdを，荷重分配

図-3 輪荷重分布

影響線を利用して算出する．その結果を表-2に示す．死している点が実際と異なっている．ここでは，参考文献
8)に基づき活荷重の分布関数としてグンベル関数を採用

荷重Wd による支間中央断面の曲げモーメントMd は次式の通りとなる．ここで，Lは支間長である．

Md 

Wd L2= 25.1444 [kNm]
8する．
(3) 作用曲げモーメント(2)

支間長 L の桁の支間中央断面に輪荷重 P が作用したときの支間中央断面曲げモーメントM l は次式により求め(2) 活荷重られる．

活荷重は参考文献 7)に記載された小山跨道橋の測定結

Ml 果を利用する．測定データは軸重であるため，これを輪荷重に換算し，ヒストグラムで表すと図-3 のようになる．グラフの全面積が 1 となるように縦軸を補正していPL4(3)また，衝撃による曲げモーメントMi は次式により求る．

められる．ここで，衝撃係数 i は表-3の値を用いる．

実測データから輪荷重の平均値と標準偏差は表-3 の通りとなった．図-3 にはこれらの平均値と標準偏差とMi = i × Mlなるグンベル分布も表している．グンベル分布は実測値に非常に良くフィットしているが，負の領域にまで分布

19(4)木材利用研究論文報告集16, 17-22, 2017. 12

表-3 活荷重(輪荷重)表-5 抵抗曲げモーメントの算定

輪荷重の平均値 [kN]

23.917

輪荷重の標準偏差 [kN]

集成材の曲げ強度

19.028衝撃係数 i

主桁の抵抗
曲げモーメント0.36

平均値[N/mm2] =39.00

標準偏差[N/mm2] =5.85

平均値R [kNm] =105.80標準偏差R [kNm] =15.87

表-4 作用曲げモーメントの算定
死荷重曲げモーメント M d [kNm] =25.144活荷重曲げモーメントの平均値 M l [kNm] =面積の合計が1)に反するため，Md < x < ∞ の領域におけ

29.896活荷重曲げモーメントの標準偏差Ml [kNm] =る面積が1となるよう調整するための係数である．c は

23.785

衝撃による曲げモーメント M i [kNm] =式(8)より求める．

10.763

MS = Md+ (Ml+Mi) の平均値S [kNm] =65.803

MS = Md+ (Ml+Mi) の標準偏差S [kNm] =32.348c1a ( x b)ae a ( xb) e edx
25.144= 1.0637(8)


よって，作用曲げモーメントMS はこれらをすべて合計した次式により求められる．

以上により作用曲げモーメントの分布 fS(x) が定まる．
これを図示すると，図-4の●の曲線となる．

MS = Md + ( Ml + Mi )

(5)

5. 耐力

輪荷重Pの平均値と標準偏差から式(5)を利用して作用
曲げモーメントM S の平均値Sと標準偏差S を求めると，
表-4の通りとなる．

桁幅 b，桁高 h の長方形断面を有する桁に作用する曲げモーメント M と縁応力の関係は次式の通りである．

作用曲げモーメントをグンベル分布で近似させると，式(6)の f S (x)で表される．パラメーターa, bは式(7)により得られる．ここで，= 0.5772… (オイラー数)である．

f S ( x)  caea( xb) e eaS 6

a( xb)= 0.0396 , b   S 
a



(6)

= 51.245

M h bh 3  2 12∴M モーメントを得る．計算結果を表-5に示す．この抵抗曲げモーメントを正規分布で近似させると式(10)のfR (x)で表される．

Md)の面積を除くと，確率密度関数の性質( x 軸との間のf R ( x) 0.030
fR (x)(9)

ここで，に集成材の曲げ強度4) を代入して，抵抗曲げ(7a, b)

また，パラメーター c は，輪荷重が負となる領域 ( x <fS (x)fS(x)
fR (x)
fR(x)

0.025

bh 2
61 R 2e( x  R )22 R 2(10)式(10)の曲線を図-4 の▲の曲線で示す．

0.020
0.015

6. 破壊確率fS (x)

0.010

本研究で対象とする木橋は，図-2 のような 4 主桁橋で，各主桁間での荷重分配は図中の影響線で示すように 1-00.005
0.000-500法(簡易法)によるものとする．したがって，主桁直上に載荷される荷重は，他の主桁に分配されないと仮定する．
50100150200250

もし，荷重により直下の主桁が破壊した場合，その荷重曲げモーメント[kNm]は上記の仮定により橋梁全体で抵抗することができない。

図-4 主桁の荷重効果分布 fS(x)と耐力分布 fR(x)よって，ここでは１本の主桁の破壊が橋梁全体の破壊と20木材利用研究論文報告集16, 17-22, 2017. 12

見なすこととする。すなわち，1 本の主桁において，S >R を満たす確率(式(1)で計算される確率)を橋梁の破壊確

表-6 数値積分率とする。
(1) 積分計算による破壊確率の算定式(1)に式(6)と式(10)を代入して計算を行う．ここで，xの積分区間は[∞, ∞]ではなく，活荷重が0のときの作用曲げモーメント( = Md )から，すなわち [Md, ∞]とする．
Mdp a ( y b )
cae  a ( y b) e edy dxxf R ( x)  a ( x b )

 a ( y b )   M f R ( x)  ce ex  dxd M f R ( x)c 1  e ed

シンプソンの公式

640.13526733

0.13551904

1280.13526753

0.13526760

2560.13526759

0.13526762

512

0.13526761

0.13526762

1024

0.13526762

0.13526762

2048

0.13526762

0.13526762

荷重効果S

1000

dx

耐力R

800( xR )2 2 a ( x b )1
  M e 2 R c 1  e edxd R 2




台形公式

1200



度数



計算結果(破壊確率)

分割数n (偶数)

600
400

(11)

200

61830
42546678901021141261381501621741861982100

これ以上は解析的に積分実行が困難であるため，数値積分を行うこととする．式中の定数は式(7), (8)及び表-4,支間中央曲げモーメント[kNm]

図-5 シミュレーションによる Sと Rの分布

5 の値を用いる．数値積分には台形公式とシンプソンの公式を使用した．計算結果を表-6 に示す．分割数を増加させると両公式の結果はほぼ一致し，破壊確率は p ≒表-7 シミュレーション結果

0.135 となった．

荷重効果 S発生回数(除外した数を削除)

9365(2) シミュレーションによる破壊確率の算定

耐力 R発生回数

10000

総組み合わせ数(計算回数)

93,650,000

ョンを実施した．グンベル分布をなす乱数を10000個生

S > R(破壊) の回数12,441,722成して，輪荷重Pとした．その輪荷重から式(5)を用いて，破壊確率 p

破壊確率算定の別解として，乱数によるシミュレーシ

0.13285

作用曲げモーメント(荷重効果S)を算出した．また正規分布をなす乱数を10000個生成して，集成材の曲げ強度(式(9)の )とした．その曲げ強度から抵抗曲げモーメン

7. おわりにト(耐力R)を算出した．
図-5は得られたSとRをヒストグラムにまとめたもので活荷重と材料強度を，平均値と標準偏差で表すことのある．図-4とほぼ同様の分布形状をなしている．Sにつできる分布関数で与え，積分を実行して木橋の破壊確率

いては，負の値を生成させた場合を除くため，10000個の計算を試みた．荷重分布に用いたグンベル分布は被積より少ない9365個を採用することとした(表-7参照)．破

分関数が既知であるため，2重積分を1重積分にすること

壊確率は，SとRの値を比較しS > Rとなる組み合わせのができたが，その先は解析的に求まらないため，数値積個数を総組み合わせ数で除した値となる．ここで，総組分により算出した．破壊確率はシミュレーションからもみ合わせ数は，Sの個数(9365)×Rの個数(10000)＝得ることができ，両者の値は非常に良く一致した．

93,650,000となる．

活荷重の分布関数としてグンベル分布を採用したが，得られた破壊確率は，表-7のように0.13285となった．

その定義域が負の領域を含んでいるため，パラメーター乱数発生パターンを変化させて同様に破壊確率を求める

cを用いる補正を行った．シミュレーション結果と良くと，0.1356，0.1342等となり，積分により求めた0.1353(表一致したことから，この補正法が妥当であったと考えら-6参照)に非常に近い値となった．

れる．

21

木材利用研究論文報告集16, 17-22, 2017. 12

本研究では，主桁断面を 220×272 [mm] の 1 ケースに限定して破壊確率の算定を試みた．その結果，破壊確率が p ≒ 0.135 となり，現実の橋梁断面として当然採用す

4)べきものではない計算結果が得られた．将来的に性能照5)査型設計が本格化した際，あらかじめ示される要求性能
6)(破壊確率またはそれに類する指標)を満たすよう断面が決められることとなる．本研究は，性能照査型設計法に7)おける照査フォーマットの一手法として提案できる．
8)

参考文献
1)
2)
3)

国土交通省：土木・建築にかかる設計の基本，2002.
星谷勝，石井清：構造物の信頼性設計法，鹿島出版会，1986.
齊藤貴信, 平沢秀之：木橋の破壊確率シミュレーシ

ョン, 土木学会北海道支部論文報告集第 63 号, A-31,
2007.
町田篤彦，関博，薄木征三，増田陳紀，姫野賢治，
渡辺邦夫：土木材料学，オーム社，2011.
日本建築学会：木質構造限界状態設計指針(案), 丸善，
2003.
日本道路協会：道路橋示方書・同解説 Ⅰ共通編，丸善，2012.
玉越隆史，中洲啓太，石尾真理：道路橋の設計自動車荷重に関する試験調査報告書－全国活荷重実態調査－,国土技術政策総合研究所資料, No.295, 2006.
土木学会鋼構造委員会木橋技術小委員会：木橋技術の手引き 2005, 土木学会, 2005.
(2017. 8. 31 受付)

FAILURE PROBABILITY FOR A TIMBER BRIDGEBY INTEGRATION AND SIMULATION
Hideyuki HIRASAWA, Shogo ARAKI and Takuya CHIBA
There is much unevenness in strength of timber compared with steel material. The load carrying capacityof timber bridge has to include the effect of this unevenness if the timber is used as essential members.
On the other hand, live loads on the bridge also vary. In the bridge design as usual, allowable stress design method is adopted where the margin for unevenness is in the allowable stress. However, this method
is not good for the performance-based design of bridge because it cannot explain clearly how the safety ofthe bridge is. This study takes notice of the failure probability which is one of bridge performance. Two
distribution functions are assumed and the integral calculation using these functions is executed to obtainthe failure probability. The result is compared with the value from numerical simulation.

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