1991年12月1宮日
保険数学1・・…・1

保険数学1（問題）1．次の｛1〕から（10）までについて、それぞれ五つの遍択肢の中から正しい答を一つ運んで・所定の解答用紙にその記号〔｛A〕から（E〕のうちいずれか一つ。〕をヨ己入せよ。

｛50点）（1）額面1、年利率7％｛利息年1回期末払〕、5年後の額遺となる公社㍍について・購入時の帳購価格を年8％の利回りとなるように定めた。この帳簿価格を毎年8％の利回りが実現するよう、年度朱に評価益を言十上していくとすると・第1
年度の評価益に最も近いものは次のうちどれか。必要なら、パ＝O．7129高6｛年利率7％）、刊…＝O−6島0583｛年利率8％〕を用いよ。
｛A〕O．006302｛B〕O．006806（C〕O．007350｛D〕O．007938｛E）O−008573（2）ある定常入口の社会で、出生率（総人口比〕が1．25％、死亡歓が25，OOO人であり、歳以上の人口が総人口の50％を占め、その4一歳以上の人pの平均死亡率が2．40％であるとき、次のIからIVまでの結累を導いたという。
1．総人口は200万人である．

皿．この社会の平均寿命は80歳である。

皿．41歳の人口は24．OOO人である。

皿．40歳以一下で死亡する人の平均年喩は15歳である。

これらIからwまでのうち正しいものだけを連ぶと、次のうちどれになるか。

（A〕皿・皿・W（3）μ。＝2（B）I・皿・1V

1のとき、21一風）5（C）I・n・m

4781｛E〕一23（C）一（B）一9｛E〕I・口・lIl・㎜すべて5pnの債は次のうちどれか。

3（＾〕一（D）I・u・㎜（D）一一2（4）μ、士A＋H買（A．Hは定数）と表されるとき、・p・は次のうちどの形で表されるカ㌔但し・目・bは五・tによらない定数とする。
｛A）

｛5〕

a＾b｛B）

atb〔■〕tatb＾（D〕

atbHいt1（E〕

atb■a■十A。

（D〕

身、一トA＾｛E）刊a（C）

Σ皿0、．1−q、・s司を求めよ。

｛A〕自、（B〕a｛C〕（6）次の式のうちで正しくないものはどれか。但し、Pは保険金期末払の年払純保険料を表すものとする。
a＾a＾観（A〕P…一 ﾑ（E）｛B｝P・！・＝山一昌、，祠一昔。而［口P＾iヨ 1

自パi｛C）P、＝

1

1→一a＾一d｛D）P司

一1（7〕P、＝O．Oi682．自、＝18，165．q、＝O．00771のとき、A。。一の値に最も近いものは次のうちどれか。
｛A）O．31226（B〕O．3工230｛C）O．31234（D）O．31238

一16一｛E｝O．31242＝l自、一司一d保険数学1・｛8）x歳の人がn年後に生存している場合パ，生存していない場合Oの債をとる確率変数の平均値はA、、＾であるが、この確率変数の分散は次のうちどれか。
｛A）刊、・■p＾（B）、・、q、（C）o＾｛。p＾ジ｛D〕

皿h｛、q、ジ｛E）山＾・、p・、q。

｛9〕正整数t．m．η｛tくmくηとする）に対し、
1−A。、・！i＝i＝A＾＾＝i＝1−A。岬＝A＾。・＝i＝i−A。川＝備1が成立しているとき、・・V、川の値は次のうちどれか。

14

13｛A〕一｛10）工2（B〕一23｛C〕一。V、川＝O．6324．、V＾、司＝O．0452、畠（D〕一34｛E）一，■皿6．3185としたとき、一Vj：言〕の億に最も近いものは次のうちどれか。

l〕
ここに、 〔l。V、用は、死亡保険金を各分割期間の期末に支払う養老保険の第t保険年度未責任準備金を表す。

（A）O．6329｛B）O．6336｛C）O．6343｛D〕O．6350｛E〕O．6357

2．x歳加入n年清朝で、被保険者が死亡したとき、その保険年度末から清朝まで（清潮時を含む。〕、毎年1の確定年金を支払う保険を考える。この保険について、次の間に答えよ。

（1〕この保険の給付現価．

｛25点）

Σガ・。pパq。、ピa同はa司一aパ日1こ等しいことを示せ。

｛2）この保険において、保険期間中に被保険者が生存している限り年払平準保険料を徴収する場合、彼保険者生存中の沌保険料式責任準備金は次の関係式が成り立っているときは負値となることを示せ。

an・P．！、nくa宮。、一r1．

自，＝iヨ。P呈、

ここに、tは経過年数とし、P二川は定期保険（保険金額1、保険金期未払）の年払純像険料とする。

3．x歳加入で死亡保険金1を保険年度末に支払う終身保険において、保険料払込期間をn年とする。保険料払込期間内に死亡した場合は既払清保険料もあわせて支払うものとする。また、保険料払込終了時に生存している場合は既払腕保険料を生存給付金として支払うものとする。

（第n保険年度末に支払う。〕この保険について、次の問に答えよ。

｛25点〕o）年払平準鈍保険料を求めよ。
（2〕tくnのとき・第t保険年度乗純保険料式責任準備金を過去法と将来法により求め、それらが一致することを示せ。

一17一2

保険数学1

（解答例）

1．

設問番号

（1〕（2川3川4〕（5〕（6）

解答欄B

DDDC

（8）（9〕o①

（7）

BDEBE

正解は上表のとおりであるが、以下に各設間の解法を囲多言己する。
（1）・・iB）簿価＝ゾ÷0．07硯（利率は8％で評価）

・I−v5
O．08＝リ。＋O．07×

第ユ年度の評価益＝簿価×0，08−O．07＝♂×O．08＋（エーゲ）xO．07−0．07＝ゾxO．01±：≡O．006806
（2〕

・・iD〕

上。
τ口

咄生率1．25％」より一＝010125．

．τo＝80王。

「死亡数25，O00人」よりjo＝25，OOO

ττo「41歳以上の人口が総人口の50％」より一＝O．5．．．ア

土41r41歳以上の人口の平均死亡率が2．40％」より一＝0，024

τ41．

＝O．5τo．Z41二0，024τ41

1．τo＝80x25，000＝2，000，OOO（正）。

τo亙．召。＝一＝80（正）jo囲、τ4FO，5τo＝1，000，000，j4I＝O．024τ4ド24，OOO（正）

M
（3）
・・

τo−7，41−41〜4I王。−j41＝16，000＝16（誤）工，000iD）

繁一一μ工舳・し一一1μ地一夫1。・（1・1一・用・・（・は定数）

一18一

これより1工＝是正ゆえ，戸，＝』：12ト（洲）し∫高∫冨 62
45炉π＝百＝百（4）…

（D〕

し一…Hμ利一…H（・・舳工）
i十号工…）一・一ル・

一…

一ん

o＝e @

（5〕…

。工・俳・ol。・とおくとφエ＝＝α汐崩十〜

〆〆e・旦

5＝e

竹2（C〕

Σり㌃一〕9ぺ∫司＝Σ♂・蘂一11伽（1＋；高）＝Σ；♂
π＝1

日＝1

＿119工十Σ掘一一9ユ・o司＝I売品1（命＝刎二〇とする）
1ω■ユ（王工十 一一し十、）α属＝λ工十一Σ］

し旧1

ここでΣ（王エ十制一1一三片。）o司竈Σ｛エエ十、一〇高一，十。（蛎一の｝二Σ♂王工十＝1＾＝一＝1るからΣ♂・吊＿119工・s嗣＝A，十α工■＝1く6〕…（B）

ん
ρ工い）ん＝沁。一〇ユより見＝丁：o一丁（正）
α工
（B〕

α工

ハエ、司＝此工、ザ。，＝河より戸工、司≡リー。ユ＝n（誤）○工＝司（c〕

ん

1〇工o1ノ」＝1−d6！より・P＝＝∵：Tr−6二1＋o工

1（D）ん＝司＝ユーあ工、弓より戸桐＝r−d（正）α！：司（・〕ん去＝6工、祠一6，：弓より戸，去＝o痢1（正）○工同一ユ9一d（正）であ（7〕…

（D〕

ん＝肱一0・0！682・18，165≒O−30554，H一∂一！一⊥十戸工≒0．96177

6工
んこ1（声一ん・1・・工）よ／ん・1一、．。1。、、、（辮一・…1）一・・1…

18）…（亘）Xをこの確率変数とすると。一般にγα7（X）：E（X2）一｛E（X）｝2より
γ〃（X）二／1声エ・（の2＋蜆9工・O・／一（＝リ＝リク、・リ1）2

2制・掘声工・（正一日声工）

2H
．π声工

蜆9工

（9〕…（B〕

公式ん＝莉：ユー北エ＝司を利用すれば，題意により
此・一局：66ユ：司一此・。：同＝北工十、＝同一助工、届、同

これよ16一掃私ゆえにκ1−16二1戸・古（ユO鉋…

（E〕

（上〕．

后一11砧γ工1＋・1裏．fγ土1よ1（12〕．

lll！γ一司：06324＋瓦・6318。・00452−06357
2．（1）給付現価をAとすると，
一，，

A二浄ψ一

π一Iび・工・ピ帰一財（1一・何一i州内

1≦亡≦n一ユで。同＝ひ十吻司（姻＝Oとする）により，冊一1I

A＝ヨ瓦（D一・帰4州一D1・！・1・司）I＝万；｛（り工α司一〇工十ro工十10司）
十（D州α高一り工。rD工。。・司）十…
十（D：十・一2α引一〇工十。＿1−D工十十（D工十一10i1−D工十＿，例））｝

一20一

1
…
：一（D工。司一Σ］D工十！十1）
○ユ

＝α司峠。

0工：亮1

（2〕保険料を戸，第広保険年度末責任準備金を三1／とすると，α司一〇工1司戸＝とユ：司

1γ＝o同一〇工十，、同一戸6工十！、同である。
ところで，ん：司＝山工：司一〇工＝弓より戸主＝司＝リー垣

6工＝扁

堕＝卜月二司6王：司同様に0工十：同＝ひ一戸工‡，衛6工十。、同であるから，〃一；1・伺（；ニニ…：＝：1薫二・…＝＝）＝・一冊（。三葉・な同一焦一戸1司）

これは0岡十戸工‡，岡＜五十戸三司のときは負値となる。
6工十、、同＝6工＝詞3．（1〕求める保険料を芦エとすると，次式が成立する。
戸工・6工、司＝λ三十戸工（ω二、。十η・ρ工・λ工夫

ん、仏
一p工＝
6工1「（〃）土1ガη・ん去篶一 工・掘一（見一尺工・パ・ 仏・・）一η D…
（2），γ工尺を過去法，、γ工戸を将来法の責任準備金とすると，γ工1一ムρ工佃D一戸工・（ω1司D工、ん司○工十。

o工十一〇工十。

：戸工、lVビ札・r（尺ゲ見十r亡工十・）Mダ〃五十・○ユ十。
κρ一ん・片言（亡十s）貯舳

D工。，
I・以ん・！山一戸一・1工・帰一貯十九帆十「仏打）十R麦…見十

一2工一

十一t肌十日冊n差ヂ、V工十！一、Vユ十■一戸工○州一戸工（尺舛rR一・バη

仏・1＋川工・・）十沁・パ（v1・ドv一・日）。M工・！

D工十！

り工十！となる。そこで、辺々差引すると，，γ工・＿，γ工戸＝ρ工．v

工・バ｛礼一R工・日■・M工・・〕．ηD…

D工十1〃工D工十tとなるので，（1）で求めた芦エをこれに代入する。
，γ工虎＿童γ工戸＝仏D工十！

仏＝o、γ工月：，γ工ρD工十一

以上

一22一