数学11．

（問題）

次の谷間の［一1に入る答のみを．所定の解答用紙に記入せよ。

1各問・点，計舳）l

1口確率変数XI．X。が独立で．パラメータρの同じ幾何分布
P｛X＝i〕＝ρgi（i＝0．1，2，…

＝ワ＝1一ρ〕に従うとき，

・1・・㍉1・1ト・・一・〕一■（k＝0，1，2，…＝3−O，1，2，…，k〕である．

12〕確率密度関数が次の式で・与・えられる分布の積率母関数は，

m｛θ〕＝［］（ここに，1θ1〈α〕∫1切〕一量・一一一■である．

（α〉0・イ〈躰く。。）

13〕サイコロをn回｛n≧2，振って1の目が出る回数をX，6の日が出る回数をYとするとき．共分散・・1・川一［でll一14〕いま．2つの袋A，Bがあり、Aの巾には赤球2個と白球3個、Bの中には赤球1個と白球1個が入っている。A，Bから任意に1球ずつ取り出し交換するという操作を3回行った後．Aの中が赤玉1個と白玉・個となる確率は［二］である．
15〕事象A．Bが独立で， P｛A）＝ρ目

P｛B〕＝ρhで一あるとき，

月1・∩川∪（パ∩・）1一［二］1・1硬貨を・回鮒たとき表の出る回数を・とする■蒼一夫1…1となる鱗を。l1川こするためには、・・□とすれはよい。チェビシェフの不等式を用いて計算せよ．
17〕弗聞の入院件数は平均値λのポアソン分布に従い、入院したときの入院考の年齢が60歳以上である騨はρと仏峨以上で入胴る人力・鯛・人である礫は「二］てある．
（k＝0，1，2，・・・…

〕18〕平均値0・分散1の正規分布に従う確率変数Xのr次の絶対モーメント

EllWlをr関数を用いて表すと［］となる。
191確率変数

Xi（｛＝1．2，3．・・・…）

は互いに独立で共に次の確率密度関数をもつ指数分布に従う，ll一）一1λズ：：：：lY。上皿in｛X1．X，．X＝ヨ．…

X．．〕とする．

このとき、u聖PlY一＞1。宮｛1＋÷〕1−

L二二二］llωXl．X・は共に平均働0．分散1の正規分布に，Yは平均値λ｛λ〉O）のポアソン分布に従っ。X1，X。、Yは．互いに独立とするとき，・一ドinlXIX2）：ζ続〉Y）
により礫鰍・を定帆このとき・・1…

一正一）一■

2．

確率変数

X，Yの同時密度関数が．

出．。H去｛■ビー≦・≦同0．1対≦1）｛それ以外〕であるとき、1口X，Yの周辺密度関数を計算せよ．
｛2，共分散Co｛X，Y〕を求めよ，

1引X，Yの独立性の有焦について考察せよ．
3．

X，Yは磁離変数、PX，lk

はi

X＝k〕＝ワρ山｛25点〕｛0＜ρ＜1．ワ＝工一ρ．k−0．1，2．…のとき，Yは［0．2・］の上の一様分布とする．

rリn≦Y＜n＋ilX＝k）；2〕自然数n。を固定し．k。を1〕｛X＝k．l2■を求めよ．ただし．k，n＝0，1，2．…
≧11口・十1n口≦Y〈n口十1〕をみたす最小の自然数とする．このとき．

を求めよ．

一2一｛25点〕

（解答例）

数学11
I（1）一P｛X、十X2二k）＝Σ：P（X1＝｛，X2＝二k−i）
I＝口L
埋Σ二P（Xl＝｛）P（X2＝k一｛）i＝o−＝okコΣ〃〃k−i＝Σρ2ゲ
三〇レ＝ρ2ゲΣ1＝（k＋1）ρ2gk
i＝口P（X1＋X2二k，X2＝j）＝P（X1＝k−j）P（X2＝j）＝ρ9k一

ρ9・（・、一川I・・。一・）一pX＋¥。担X一2（十：ρ2gkkρ

9一口］
1・）・（θ）十W）ポξ人ご舳・一舳一引∫三舳枕・九二・舳刈廿θ1、・一上［、1、・一引一引θ1、一、1，1−F，（l11・一）（・）・，・は共に・項分杣・（・、去）に従うから。

E（X）一E（Y）一号
1≡：（XY）＝Σ二｛6P（X＝｛，Y＝6）。

一、、黒＿1㍑丁舟（古プ（去）（舌）つ

一止缶U、、累＿1＋巾丁（去）H（去）（5世ゴー1，6二6−1■1会）klとおく）

一旦 ﾊu計濤＿1拙丁（去）畠（古ゾ（舌）kl一且⊥宗u｛多項定理より）Co（X，Y）＝E（XY）一E（X）E（Y）

一町一一号ポL星1
一3一

｛4）全部で赤玉3個，白玉4個で，一Aに5個，Bに2個の玉が入っているのだから，Aの中の赤玉は1，2．3個のいずれか。3次正方行列

Pを、その（｛，6）成分を，1回の交換でAの中の赤玉が｛個から4個になる確率とすると，求める確率は

u1…伽室」

P111111111111」

・一（5）I〕3の（2，1）成分。

一一P｛（A∩Bc）U（Ac∩B）言＝P（A∩Bc）十P（Ac∩B）一P｛A∩Bo∩Ac∩B）＝1〕（A）P｛Bc）一トP（Ao）P（B）一P（φ）＝ρ目（1一ρb）十（1一ρ目）ρb−0（6）

・は・項分布・i・（・，去）に従うので・（苓）一夫，・（誉）一ムチェビシェフの不等式から

・（・l1苓一引・・一・・）・。．さ。。・（苓）一。．

1052×4n
10，052×4n≦0．01（7）年間の入院体故を表わす確率変数を変数をXとする。このとき，仮定より，を解いて・・匝珂
Nとし．60歳以上の人の年間の入院件数を表わす確率・（・一・）一牛・1・一・1・一・）一＾州一バー

ただし，k≦n．となる。

P（X＝k）＝1：…二P（X＝k，Nエn）n；k＝Σ：P（N竺n）P（X＝kn一lN亡n）

一書斗｛州一バkn一一一・■1

一・一・

緒葬I」一』

ｺ・川一一〕一・一・・件

一4一（k＝0，1，2，・・）

（8）川ヤ古・1ハチ〕・1
一為パ岬・ヂ〕・工（孝一・とおけぱ，舳一・・）
一法五1・・ヴ・…

・・

一べ董パ・一…

・号・（午）∫万〈9）・（・．・・）十ω・πイλ・一…π一「一・一・・］

一＾r＝eP（Y、〉r）＝■■I〕（X，＞r）＝le■＾・〕・＝le・〕一・＾i土1・1…舳・缶ト［・卵11・・l1・÷〕〕一・Hl・十十ジ1一・川，㌧・だかψ1・・1㎎は1＋ト□（10）・・一PmiじX1。

。

M1続〉k）
k＝0，1，2，…

とおく。
22P（Zk〉0）士P（X・十X2＞k，X1〉0，X2＞0）

一人．

二、〉、洲去岬・宇〕・一I・一・（エ1＝rCOSθ，π。＝rSinθとおく）

一4〈、く多，市如÷1・…1・千去「・卵1一ゲ〕］㌧払・1一巻1
爪・（…）一書円ト・川・…〕考・消去州一巻1lk

ギ書→戸」 和川・一ポ・〕1
一5一（i＝1，2，…

）2．

y出，・）は11111で去、その他で・
出（1）・川一∫去・・一1工11一・・工・・）

0（それ以外）一出M・：舳ト∫去か∫去伽1−1・1（一1・…）
一1＝−M0（それ以外）

日1

出（・川丈・）一川和・1伽∫工1∫号刈ぬ一I

一匠I−1

一は一∫1÷工11−r＋舳吋1・か・
E（X）＝0，］≡：（Y）箏0（．

被積分関数カ滴鰍だから）C㎝（X，Y）＝E（XY）一E（X）E（Y）＝0く3）XとYが独立であるためには，∀π∀y∫｛工，y）＝∫■工〕∫、工y〕となることが必要十分。ところが，

O≦π≦1，0≦y≦1
例えばで、∫。同My〕二π｛1−y）となり，

冗＝O．2，y＝0．1のとき，∫。ω．2ジ｛■0．1〕＝O．2xO．9＝0．18≠D．5＝∫ω．2，O．Uであるから，

債剛My〕とチ（π，y）カし致しないので，XとYは独立ではない。
なお，これはCo一（X，Y）＝0でもXとYカ独立とならない例である。

一6一3．確率変数

Y、（k士0，1，2，…）を，区間［0，2帖］上の一様分布とする。

nを自然数とするとき、2一は自然数だからn＋1≦2kまたはn≧2一のいづ棚・しかありえない。よって，

1（。十1≦21）・1・・・…十1Hτ（そ舳P（X＝kかっn≦Y〈n＋1）二P（X＝k）・P（n≦Yk〈n＋1）（1）・（…く・・11・一・）一半絆出1（。十1≦2・）

一・（・・・…川一ぼ｛そ舳（2）P（no≦Y〈no一ト1）＝ΣP（X＝k）・P｛n口≦Y一くn口十1）
一＝o

一郭（・一・）女
一、業・（・一・一ρ』■㎞歩一、考。・（・一・一ρ・Iメ珊｛k．＝k−k口）

一・（・一・1）女嵩。1号）㌧・（・｛）女み一方，

P（X＝koかつno≦Yくn口十1）

芒P｛X＝ko）・P（n口≦Y山。＜n口十1）

一・1・一・一女（・1＋1・・㎞だから）

阯から，・1・1・…1＋1）刊・一・1カつ・凶・・…）島・1・一・｛凶・パ1）一般一一1づ

一7一