平成18年12月27目
年金数理………1

年金数理（問題）

この年金数理の問題における用語は次の通りとする。

・「Trowbridgeモデルの年金制度」とは、定年退職者のみに対し、定年年齢x、歳時より単位年金額の終身年金を年1回期初に支払う年金制度をいう。
・「被保険者」とは、特に説明がない場合は在職中の者をいう。
・「加入年齢方式」とは、「特定年齢方式」のことをいう。

・噴任準備金」とは、標準保険料および特別保険料を設定している場合においては、給付現価から標準保険料収入現価のみを控除した額をいう。

問題1．次の（1）〜（7）については、それぞれの選択肢から股間の答えとして正しいものを選んでその記号を、また（8）〜（10）については、必要に応じて指示に従った端数処理を行った上で設間の解答のみを、それぞれ解答用紙の所定の欄に記入せよ。

（45点）（1）Trowbridgeモデルの年金制度において、定常状態での各種財政方式における積立金Fを表す式として正しいものはいくつあるか、記号で選べ。

なお、Fの左肩添字は財政方式を表し、r→退職時年金現価積立方式、σ→単位積立方式、z→平準積
立方式、伽→加入時積エ方式、Co→完全積エ方式を表すものとする。
また、∫は給付現価（年金受給権者の給付現価∫P、在職中の被保険者の給付現価ポ、将来加入が見込まれる被保険者の給付現価∫∫を合算したもの）を表し、工Pは財政方式を平準積y方式とした場合の被保険
春一人当たりの保険料とする。

・「F＝∫＿J・∂・∂
工

工

oo

・年 ｹ／ξ弐〕／D着チ〕・恥・ケーｹ咳レか・ザ〕
D∂・伽F＝∫イ（「）・五・巧

工・

D

元

・C煤＝
（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個（E）4個（F）5個

一71一平成18年12月27目
年金数理・……・・2（2）支給開始時点の年金原資を1としたっぎのような2つの年金の支給方法を考える。

①支給期間n年、給付利率をゴとする連続払年金②支給期間n

年、給付利率をゴとする連続払年金

この2つの年金について支給期間中の年金の総額が等しいとき、

（・）旦
m

（・）害

を表す式として正しいものの記号を選べ。

（・）（1・ザー1（・）⑰。グー1

η（・小）芸一1（・）（1・1）÷一1（・）吋Fけ（・）け≡O・ヅ
m−n

n−n

（3）過去勤務債務がない定常状態に達した年金制度がある。被保険者に係る給付について、1年後に一律（1＋α）倍、2年後に更に（1＋α）倍の給付増額を行い、当初の（1＋α）2倍の給付水準に引上げる。給付増額

により過去勤務債務が2回発生する。償却については、1年後、2年後の給付改善時に、その時点における未償却過去勤務債務残高の20％を償却することとする。3年後の時点で、未償却過去勤務債務残高を計算した
ところ、当初の定常状態における責任準備金の10％になった。予定利率を5．o％とする場合、給付改善割合α（0％＜α＜100％）について一番近いものの記号を選べ。
なお、過去勤務債務は給付増額に伴うもの以外発生せず、また、年金受給者はいないとする。

（A）6．20％（B）6．25％（C）6．30％（D）6．35％（E）6．40％（F）6．45％（G）6．50％（H）6．55％（4）ある年金制度では毎年期初に巧歳とx2歳（ただし、xlくx2とする。）で3：2の割合で新規加入があるとし、被保険者集団は既に定常人口になっているとする。また、制度内容はTrowbridgeモデルの年金制度とし、期初の被保険者の総数をz、脱退残存表によるx歳の被保険者数をz工、γ歳の平均脱退率を
1

ム

一＝工．1

8

とする。（x、は定年年齢とする。）

・
Σみ

y＝工

この年金制度を加入年齢方式で運営するとし、標準保険料率を決定するために加入年齢x1歳を用いた場
合、毎年発生する後発の過去勤務債務を表す式として正しいものの記号を選べ。

（。）

・・．札．札■札

3＆、斗2ε工，D工，M巧一M斗（。）・・．凡．凡一札
・・．ム．凡一札

・・．札．札■札

38工、十28工、D工1M工，■札

・・．札．凡■札

2ε工1・3ε工、D工，M工、一札（。）

38工、十2ε工，D巧M工，一M斗（。）・・．ム．凡I札

28元、・3ε工，D工，M工1一札（。）

38工1＋28よ、D工，M巧■札

（。）

（B）

・・．札．札一札

2ε、、・38工、D工、M工呈一M斗（。）・・．札．凡■札

28主、・3ε五、D工、M工、一Mみ
一72一

平成王8年12月27目
年金数理・……・・3（5）ある年金制度は、年度初に保険料Cが払い込まれ、年度初に給付3が支払われ、年度末の積立金がFで定常状態にある。
この制度における積立金Fの水準を下げるため、1年度以降の保険料をαC（ただし、0＜α＜1）とした
場合、年度末の積立金がβF（ただし、αくβ＜1）を下回る年度をC年度とすると、fとして正しいものの記
号を選べ。ただし、予定利率を 、1og（1＋ゴ）＝δとし、記号［G］はGを超えない最大の整数を表すものとす
る。

（・）

（・）

（・）

m去・・μ十砦α）Cl・1

m去・・β宇）Cl・1（・）

m去・・β智芦）Cl・1（・）

m去・・β㍑）Cl・1

m去・・⑰■β）半α）Cl・1（・）［去・・⑫一β畔α）Cl・1
m去・・⑫一β）告ぎ■α）Cl・1

（・）

（・）

m去・・⑰．性きα）Cl・1（6）ある年金制度の初期過去勤務債務は10，000であり、下記の①、②の2つの償却方法を考えた。第8年度末において、①の償却方法による未償却過去勤務債務残高が②のそれと等しくなるとする。このときのαについて一番近いものの記号を選べ。

①1O年の元利均等償却②前年度末の未償部過去勤務債務残高に対する一定割合α（o％＜α＜1oo％）を償却
ただし、保険料の拠出は年1回期切払とする。
なお、予定利率は、5，0％とし、α而■（期末払10年確定年金現価率）は、7．72を使用するものとする。

（A）19．7％（B）19．8％（C）19．9％（D）20．0％（E）20．1％（F）20．2％（G）20．3％（H）20，4％

一73一

平成18年12月27目
年金数理・・……・4（7）ある制度ではX歳の誕生目以降、毎年の誕生目に年金を支給し、年金額は次の算式により決めることとす

るパ以下、x歳の誕生目の時点をx歳時、γ歳の誕生目の時点をγ歳時、などと表現する。）

y歳時に支給する年金額二y歳時の積立金X

1（γ≦y≦ω一1）

1＋・。
ただし、

・eyは生命表（最終年齢ω歳）から算出したy歳時の略算平均余命として、丸・、一剛（・≦γ≦ω一1）zツ・積立金は、X歳時の積立金一1、以降の運用利回りをノとして、

y＋1歳時の積立金＝（y歳時の積立金一y歳時に支給する年金額）×（1一トノ）（X≦y≦ω一2）

さて、ある人が最終年齢まで生存しx歳時からω一1歳時まで年金を受取るとする。この年金について、予定
利率を一（互〉ノ）とした場合のx歳時における年金現価を表す式として正しいものの記号を選べ。なお、αは、予定利率1ゴの、歳時の終身年金現価率（即時支給開始、期切払）とする。
1＋ノz・ヒン／・・。十・C・・片1）
ツ

（・）生

㊤）⊥．生

（。）o㌧

・工

1＋ノ・工

1＋・、

（1・・工）・∂工（E）

1（1・・工）・δ1工

（F）

・工

1＋ノ1＋・工（1・・工）・♂工

（G）

1＋ノ

p）1孔

・工

2＋・工

（8）定常人口にあるA国では平均寿命が70歳である。

1

Z工＝一（ω一X）（O≦x≦ω）であるとき、A国の平均年齢を求めよ。

2（小数点以下第2位を四捨五入し小数点以下第1位まで求めよ。）

一74一

1（1・・工）・∂1工

（H）

1＋ノ

・

2＋・工

工

平成18年12月27目
年金数理・……・・5（9）年金額が「最終給与×加入期間×α」で定められている年金制度がある。ある年度の期末に財政再計算を行ったところ、下記の諸数値が算定され、再計算目に過去勤務債務が残存していたため、再計算目の翌朝

初から一0年で元利均等償却するとして特別保険料率を算定したところ標準保険料率の半分の保険料率となった。また、再計算目の翌朝初から年金額を「最終給与X（変更前の加入期間×α十変更後の加入期間×β）」に変更することとしたところ、過去勤務債務、剰余金とも生じなかった。なお、再計算以前から財政方

式は、加入年齢方式とし、予定利率は3．5％、保険料の拠出および給付は年1回期初に行なうとする。このとき、βはαの何倍であったか求めよ。

（小数点以下第3位を四捨五入し小数点以下第2位まで求めよ。）○再計算時の諸数値
・将来加入が見込まれる被保険者の給付現価：3，000
・将来加入が見込まれる被保険者の給与現価：20，000
・在職中の被保険者の給付現価：3，600（うち、過去の加入期問に対応する給付現価：1，200）

・在職中の被保険者の給与現価：12，500・年金受給権者の給付現価：1，500

・在職中の被保険者の給与合計：600
・期切払玉0年確定年金現価率δ一：8．61

101（10）定常人口にある年金制度において、財政方式に（閉鎖型）総合保険料方式を使用している。この場合、（閉鎖型）総合保険料方式による積立金が、財政方式に加入年齢方式を適用したと仮定した場合の責任準
備金の90％を上回るのは、期初から何年後の保険料拠出の直前か整数で答えよ。
ただし、期初（保険料拠出および給付前）の諸数値は以下のとおりであり、保険料の拠出および給付は年1回期初に発生し、（閉鎖型）総合保険料方式による保険料率は毎年期初に見直すものとする。なお、財政方

式に加入年齢方式を適用したと仮定した場合において、毎年の新規加入に伴う過去勤務債務は発生しないとする。

○期初の諸数値
・在職中の被保険者の給付現価：30，000
・年金受給権者の給付現価：1，000
・在職中の被保険者の給与現価：50，000

・加入年齢方式の標準保険料率：20％・毎年の給付額：3，000・予定利率および積立金の運用利回り：5．O％・積立金：2，ooo

一75一平成18年12月27目
年金数理………6
間題2．次の前提で年金制度を発足する場合、空欄に当てはまる数値を解答用紙の所定欄に記入せよ。
（15点）

○制度内容

加入時期

年I回期初加入

給付内容「給与の一定割合」の年金年額を、定年（60歳）到達者に対して年1回期切払でｶ死に関わらずn年間支給する
昇給時期

年1回期初昇給

脱退時期

年1回期末脱退（死亡による脱退は発生しない）

阡N退職は定年到達時の期初に脱退
保険料の拠出時期

年1回期初拠出（昇給後給与合計×保険料率）

予定利率

3．0％

○被保険者構成（計算基準目時点／上段は人数合計、下段は給与合計）
口入期間

○年

1年

2年

3年

4年

年齢

55歳

100人
2，000，000円

56歳

80人
3，200，000円

57歳

20人

60人

1，200，000円

3，810，000円

58歳

20人

50人

1，600，000円

4，000，000円

59歳

30人
3，000，000円

○現価率等
脱退

給与

ｦ

w数

0年

加入期間別給付現価率

年齢

生存者数

55歳

1，000，000

0．100

1，000

25．87856歳

900，000

0．lll

2．000

11．84657歳

800，000

0．一25

3．000

58歳

700，000

O，143

4．O00

59歳

600，000

0．000

5．000

1年

2年

3年

給与

4年

ｻ価率
10．23814．808
9．151

5．286

11．439
8，079

3．311

10．09971767※給付現価率および給与現価率は給与1に対する率である。

一76一

2，040
9．709

1．000

平成18年12月27目
年金数理………7（1）財政方式として加入年齢方式（加入年齢55歳）を採用した場合

・標準保険料率は［Φ］である。（小数点以下第4位を四捨五入し小数点以下第3位まで求めよ。）
・制度全体の被保険者の責任準備金は［蔓］千円である。
（標準保険料率は①を使用し、解答は百円単位四捨五入で千円単位とせよ。）
・56歳で20人（給与合計3，000，000円）加入が発生したとし、①の標準保険料率を適用した場合、該当者の加入時点での責任準備金は［重コである。（解答欄に記載の正または負のいずれかに○をつけよ。）

・①の標準保険料率を適用し、現在55歳である三00人について基礎率どおりに推移した場合、該当者の1年後の責任準備金は［重コ千円である。（解答は百円単位四捨五入で千円単位とせ兵）（2）財政方式として（閉鎖型）総合保険料方式を採用した場合

・保険料率は［重コである。（小数点以下第4位を四捨五入しノj・数点以下第3位まで求めよ。）

・56歳で20人（給与合計3，o00，000円）加入が発生したとし、⑤の保険料率を適用した場合、該当者の加入時点での責任準備金は［壷］である。（解答欄に記載の正または負のいずれかに○をつけよ。）（3）財政方式として開放基金方式を採用した場合

・開放基金方式では、被保険者数および給与合計が定常人口にあるものと仮定し、以降の脱退および昇給が基礎率どおりに推移するとした場合に、その被保険者数および給与合計が計算基準目時点と同じになるように毎年の新規加入の被保険者数およびその給与を見込むことが一般的である。このように毎年の新規加入の被保険者数およびその給与を見込み、新規加入の被保険者の加入年齢を55歳とした場合、毎年の新規加入の被保険者数は［重コ人、新規加入の被保険者1人あたりの加入時の給与は［重コ円となる。（それぞれ、小数点以下第1位を四捨五入し整数で答えよ。）

・被保険者の過去の加入期間に対応する給付現価が13q158千円であった場合、標準保険料率は［回である。（小数点以下第4位を四捨五入しノ』・数点以下第3位まで求めよ。）

・56歳で20人（給与合計3，000，000円）加入が発生したとし、⑨の標準保険料率を適用した場合、該当者の加入海点での責任準備金は［亜コである。（解答欄に記載の正または負のいずれかに○をつけ兵）

一77一

平成18年12月27目
年金数理………8
間題3，定常状態にある集団が以下の2種類の年金制度を検討している。

（20点）

○制度内容
加入時期

年1回期初加入

給付内容

制度A

制度B

「脱退時給与×α（x）」の年金年額を、「（加入全期間における毎期初の給与

脱退時から年1回期切払で生死に関の平均額（定年到達時は定年時の給わらず〃年間支給する今も含めた平均とする。））×β（γ）」の年金年額を、脱退時から年1回期切払で生死に関わらずn年間支給する
α（x）＝脱退時の期初年齢xに応じた

β（x）：脱退時の期初年齢xに応じた

支給率

支給率

昇給時期

年1回期初昇給

脱退時期

年1回期末脱退（死亡による脱退は発生しない）

定年退職は定年到達時の期初に脱退
保険料の拠出時期

年1回期初拠出（昇給後給与合計×保険料率）

財政方式

加入年齢方式（加入年齢x、歳）

解答にあたり必要であれば以下の記号および計算基数を用いよ。
x、：加入年齢、γ、：定年年齢、1：予定利率、z工：x歳の被保険者数、3工：x歳の1人あたり給与
ろエ：給与指数、δ亮一：利率fの期切払m年確定年金現価率

なお・この問題においては、死亡は一切考慮しないこととし、計算基数D工、C工は生存脱退のみを考えた
場合の期初拠出、期末脱退に対応したものと考えること。また、あ工はxに関して単調増加であるものとする。

（1）制度A、制度Bにおけるそれぞれの標準保険料率々、ぜおよび制度全体の被保険者の責任準備金
プ、γBを求めよ。

（2）制度A、制度Bそれぞれについて、ある昇給時期に一律γのべ一スアップがあった場合に発生する後発
過去勤務債務を求めよ。なお、ここでいうべ一スアップとは、過去の給与には影響せず、将来にわたっての給与が従前の（1＋γ）倍（γ＞0）となるものとする。

（3）被保険者がいつ脱退しても制度A、制度Bの年金年額が等しくなるように支給率α（π）、β（γ）を設定した

場合、（2）で求めた後発過去勤務債務の大小関係を示せ。ただし、結論を導くまでの過程についても解答用紙に記載すること。

一78一平成18年12月27目
年金数理・……・・9問題4．定常状態にある企業の年金制度を考える。（20点）

○制度内容
加入時期

年1回期初加入

給付内容「脱退時の給与×α」の年金年額を、脱退時から年｝回期切払で生死に関わら

ｸ〃年間支給する
昇給時期

年1回期初昇給

脱退時期

年1回期末脱退（死亡による脱退は発生しない）

阡N退職は定年到達時の期初に脱退
保険料の拠出時期

年1回期初拠出

解答にあたり必要であれば以下の記号および計算基数を用いよ。

1

x、：加入年齢、γ、：定年年齢、ゴ：予定利率、v＝一：割引率
1→一ゴ

7工：脱退残存表におけるκ歳の生存者数、♂工：脱退残存表におけるx歳の脱退者数
ろエ：給与指数、δ司：利靭の期切払〃年確定年金現価率

なお、この問題においては、死亡は一切考慮しないこととし、計算基数D工、C五は生存脱退のみを考えた
場合の期初拠出、期末脱退に対応したものと考えること。また、x、歳の給与を1とし、γ歳の給与はx巴歳の給与のろ五倍となると考えること。

（1）現在γ歳（γ。歳加入、x色≦κ≦x、一1、以下同じ）の給与1あたりの給付現価∫工を求めよ。

（2）（1）で求めた給付現価∫工において、将来y歳（x≦γ≦γ、）で脱退したときの給付を、γ。歳からγ歳までの加入期間（以下、「過去加入期間」という）に相当する給付と、γ歳以降脱退時までの加入期間（以下、「将来加入期間」という）に相当する給付に、次のように分ける。

過去加入期間に相当する給付＝脱退時の給付×（x直歳からx歳までの加入期間÷κ。歳から脱退時までの加入期間）

将来加入期間に相当する給付＝脱退時の給付×（x歳から脱退時までの加入期間÷x、歳から脱退時までの加入期間）

このとき、x歳の給与1あたりの過去加入期間に相当する給付現価をP8工、将来加入期間に相当する給付現価をF∫五とすると、∫工＝P∫エ十F∫王となるが、P∫工、F∫工それぞれを求めよ。

一79一

平成18年12月27目
年金数理………lO（3）現在γ歳の給与1あたりの標準保険料を4とし、これをもとに算出した現在γ歳の給与1あたりの責任準
備金がP∫工に等しくなるとする。

このとき、戸∫工、P∫五十1，4の間にファグラーの公式が成り立つが、この式を記せ（答えのみでよい。ただしP∫工、1＝…とすること）。

（4）4を、戸∫工を用いずに表せ。さらに、P∫工＝！（x）x4（ただし、！（x）はxの一次式）の形で表すことができるが、この／（x）を求めよ。

以上

一80一

年金数理（解答例）
問題1．
（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

記号

記号

記号

記号

記号

（D）

（F）

（B）

（C）

（F）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

記号

記号

（G）

（C）

46．7歳

0．26倍

13年

（小数点以下第1位）（小数点以下第2位）

（整数）

（1）

・τ

e：正しい（教科書P61）・σe：正しい（教科書P62）・午誤1・正！／1ふ第・項一・伽e

誤り、正しくは、

ｩ恥ザ〕

F＝∫一∫

∫

D工δ工

一z（τ）・

〜

『『

D

工。

・qF：正しい（教科書P66）
よって、正しい算式は3個…

解答（D）（・）δ一1・。Φ・1）とすると、①の年金額は1δ

＝1og（1＋一o−一≒、、支給期間中の年金の総額は÷Jδ

1−e

α一

1＿ゼπδ

〃l

）とすると、同様に②の支給期間申の年金の総額は n，δ1
、、、

1−e

ここψ）一

?榊・・）1する1・ル）は・の単調減少関数がつ・（・）・・であるから・

題意よ1答、J等、⇔ηδ一州1一⑫・1）公一1…解答（・）
1−e

玉一e

（3）定常状態での責任準備金をγとする。

初回の給付改善及び償却後の未償却過去勤務債務残高P∫z1は、P∫Z1＝γ×αx（1−0．2）

2年後の未償却過去勤務債務残高は、P∫Z1㌧用Z1×1．05

次に2回目の給付改善及び償却後の未償却過去勤務債務残高P∫Z2は、
皿2イ・（1・α）・α・脳1

1・（1−0．2）

一81一3年後の未償却過去勤務債務残高は、P∫Z23年後の未償却過去勤務債務残高用Z2
P∫Z2 ＝0．1xγ＝P∫Z2x1，05

は、責任準備金γの1O％になるので式を整理すると、｛（1＋α）xα斗0．84×α｝x0．84＝0．1

αについて解くと6．25（％）の給付改善となる。…

解答（B）（4）x1歳，x2歳の新規加入の被保険者数をそれぞれ4，ノ2とすると4：ノ2二3：2

4…・・①

ε、十ノ2・εら＝Z・・・…②①、②の連立方程式を4について解くと、

2Z

ノ。＝

38工1＋2ε工，標準保険料率をX一歳の保険料率としているので、新規加入の被保険者による後発過去勤務債務はκ2歳で加入する者の加入時の責任準備金相当額となる。κ2歳の1人あたりの加入時責任準備金をV2とすると
＿

ツ2■

jVみ

M工，一M工、一
D工、M巧■Mみ

新規加入の被保険者による後発過去勤務債務はノ2・V2なので2Z

札M工、一M工、・・38元、寺2ε工，D工、M工、一札

…

解答（C）

（5）題意より、年度初での収支相等を考えると、

C＋F＝3＋γF

すなわち、C＋＝3

1（ただし、v＝一およびa＝1一ソ）
1＋ゴが成立していた。保険料が、αC（ただし、0くαく1）となった後の第C年度末の積立金を耳とすると、
αC＋巧．I＝3＋ソ珂…

（ア）

また、巧＝Fであるから、C＋巧＝3＋ツ巧…（イ）（ア）式より、αC→一巧＝3＋ソ月

・αC＋川＝〃十・24−82一

ツトーαC・γト

ﾏ．1・ツ

外ゾ河

辺々を加え整理すると・δrαC・巧・δ司糾へ同様にして（イ）式より、δ司C＋巧
よって・∂膏（1一α）C一・＝δ目3＋ヅ巧（巧一巧）

ここで珂・μとし・卜Fに注意すると・〃一∂司（1一α）Cく・「μ・司一aであるか／・件1−1∫）1一α）…Wゆえに、（1一β）

両辺に（玉十）ザ寺（1一α）Cヅ＜（1一α）Cを掛けると、（1一β）

十（1一α）Cく（1一α）C（1＋ゴ）C・aF・3より、（1一β）（ポC）・（1一α）C・（1一α）C（1・1）f⑰。、）＞⑫一β）ψ一α）C．・．、＞⊥1。。Φ一β）・・（β一α）・（1一α）C／一て求め／・は・δ（1一α）Cm去1・・C一β㍑…α）Cl・1…解答（・）（6）①の方法の1回の特別保険料をPとするとP一

10，000となる。
1．05x7．72①の方法での第8年度末の未償却過去勤務債務残高は、第9年度初と第10年度初の特別保険料の現1価であるから、（玉十一）Pとなり、1．05②の方法での第8年度末の未償却過去勤務債務残高は、10，000｛ユ．05（1一α）｝8となるから
1・，…｛1・・（1一、）｝・一（1。⊥）。一205．10・000
1，05

1，05

1．05x7．72

よって、｛1．05（1一α）｝8＝0．240856…

4 ＝0．490771…
｛1．05（1川α）｝
2 ＝0．700550…
｛1．05（1一α）｝｛1．05（1一α）｝＝10．836988…

1一α＝0．797132…
α＝0．202867…

≒0，203＝20．3（％）…解答（G）

一83一

（7）y歳時の積立金を巧と表すと、題意より、

ト1^巧一巧・1｛、〕・⑰・1）一巧1≒c・／）

㌦・
σ

σ

ここ叶羊十・半十〜）より、
黷P・鶯／ザ青・⑫・ノ）／＋1王…1・（1・γ

巧一4・

玉 z 1
γ歳時に支給する年金額は外1＋、寸・1＋、・（1・パとなるから・
y

エ

ω一1

1

エ

x歳時における年金現価

炉1

1

1

ω■1

：要。、、ジ1

1「㍉プ＝1・ミ（8）

12

Z工＝一（ω一x）z1

巧1。、、＝新、、市1、ら・⑫・パ

z

∂1

解答（C）

より、

4−r㌧励・r去（ω一（用））加去 ［（一一・）・手1∴（ωデ）2
ω2
今、二。、し⊥一旦一70よって、ω一1。。

Z．

2 2
2

平均年齢、rψη

11小町・士（一一π）加［ω12手11一苦でllか1・

一84川

3

平均年齢．rψ＝阜＝旦、型、466666，4，7歳
η

ω

T

3

3

（9）再計算時の標準保険料率＝3，000÷20，000＝0．15
再計算時の責任準備金＝3，600＋I，500−12，500×O．15＝3，225

再計算時の過去勤務債務＝600×o．15×o．5×8．61＝387．45
再計算時の積立金＝3，225−387．45＝2，837．55

またβ＝kαとすると変更後の標準保険料率＝3，000×k÷20，000＝0．I5kとなるから変更後の責任準備金＝1，200＋2，400k＋1，500−12，500×0，15k＝2，837．55

よって、k＝137．55÷525＝0，262より
k≒0．26…

（解答）（1o）総合保険料方式のもとでは、・一^ぺ十讐・給与合計一・／・！・／

一ト・孔000嵜ボ・給与合計一！…〕・1・剛加入年齢方式のもとでは、責任準備金二（30，000＋1，000−50，000×20％）＝21，000
ここで、定常状態のもとでは、（21，000−3，000＋20％×給与合計）×1．05＝21，000であるので、給与合計二10，ooo

これを①式に代入して整理すると、Z＝0．8ぺ耳．1＋3，360

変形すると、Z−21，00上0榊（Z．r21，000）となり、（Z−21，000）は公比0．84の等比数列。
＝2，000より、Z＞21，000×O．9となる〃を求めると、〃＝13…

一85一

（解答）

問題2．

①

②

2，528

63，231千円

i小数点以下第3位）

@（整数）

⑥

正・

③

④

正・

⑤

5，202千円

3，452

i整数）

i小数点以下第3位）

⑨

⑩

⑦

⑧

90人

19，000円

2，416

i整数）

i整数）

i小数点以下第3位）

正・①標準保険料率：加入年齢の給付現価率÷加入年齢の給与現価率＝25，878一…一10，238＝2．52764…

＝寺2，528②責任準備金＝被保険者の給付現価一被保険者の給与現価×標準保険料率＝Σ（給与×給付現価率）一Σ（給与×給与現価率）×2，528＝236，154，790−68，403，310×2・528＝63，231，222⇒63，231千円③該当者の責任準備金＝3，000，000×111846−3，Ooo，o00×5，286×2，528＝一4，551，024→負④該当者の1年後の給与合計一給与合計・虹。」ム。。。。。。。2・000．90q000一。仰仰ろ。。7。。

1．000

1，000，000

該当者の1年後の責任準備金＝3，600，o00X14，808−3，600，000×5，286×2，528＝5，201，971⇒5，202千円⑤保険料率＝被保険者の給付現価÷被保険者の給与現価
二236，154，790÷68，403，310：3．45238…

＝美3，452⑥該当者の責任準備金＝3，000，000×11．846−3，000，000×5286×3，452＝一19，203，816⇒負⑦教科書P166より、毎年の新規加入の被保険者数

一被保険者合計。土一。。。。1・00q000一。。

59

4，000，000

Σ1元

炉55⑧教科書P167より、毎年の新規加入の被保険者1人あたりの加入時の給与

59う、、・Σ1、
よ＿55：被保険者の平均給与×5g−52，250×

1，000x4，000，000

Σ久・4⑨標準保険料率＝19，o00

1L00qO00■＝55＝（被保険者の将来の加入期間に対応する給付現価十将来加入が見込まれる被保険者の給付現価）÷（被保険者の給与現価十将来加入が見込まれる被保険者の給与現価）＝（236，五54，790一五36，158，O00＋90×19，000×25，878÷3％）

÷（68，403，310＋90×19，000×10，238÷3％）
一2．41582…

＝÷2，416⑩該当者の責任準備金＝3，OOO，000×11，846−3，000，000×5，286×2，416＝一2，774，928→負

一86一

問題3、
（1）

工。一1

ΣC工・ろ工・α（γ）十D工、・わ工、・α（x、）

々一

工＝工

δ亮■

み一1

ΣD工・ろユ
エ＝工記

工r
Σろ、

工

Σわ、
工rl

ΣC工・y㍉
4葛＝工＝工2・β（・）十D工・y＝工

x−x＋1
百

F

・β（x、）『x−x＋1
色

．δ；■

工。一1

ΣD工・あユ
エ＝工畠

斗一1

エテ1

ΣC、・ろツ・α（γ）十D工、・ろ工、・α（x、）

ΣDジろ、

工。一1

プーΣz工・3エ工。一一・δ司一 X・Σz工・3元

γ＝工

D工・ろ兀
エ＝工2

y＝工

D工・ろ工

加工皇

工、．、

y
Σわ。

ΣCツ・z＝孔ユダ1γ㌧Σz工・3エ

y＝工

工r

Σろ、

・β（γ）十P工、・

γ＝孔・β（x、）x−x＋1

γ一x、十1

r

直

δ司

D工・ろ五

エ＝工。

エゲ1

ΣD、・ろ、エゲ1

一ぺ・Σz工・3王

γ＝工

D工・あ工

炉工2

（2）べ一スアップがあっても標準保険料率は変わらない。また、べ一スアップ後の責任準備金プ

γん＝（1＋γ）プ

y
Σろl

元。

Σろ、

工。一1

一ΣC、

エゾ1
グ月 一Σz工・3エ
エ＝工。

ツ＝工

z＝㌔

・β（y）十D工、・

γ一γ、十1γ＝工畠・β（x、）

x−x＋1
r

D工・ろ工

一87一

e

δ亮一

、γB

は

み．、

■r

γ

み．玉

ΣCジ村

十Σ4・久・㍊

Σろツ

Σろ、・β（y）十Dぺ

y■篶十1

ア＝工

・β（κ、）

x−x＋1
F

2

．δ；■

γ

D・ろ
エ
エ

工＝工。

エゲ1

み．、

ΣD、・ろ、

一ぺ・Σz工・3よy＝工工。工。

・（1＋γ）

D工・わ工

よって、制度Aにおける後発過去勤務債務は
γ山一γノ：γ・γλエゲ1
ΣC、・わ、・α（γ）十Dぺわぺα（x、）

み．1

工。一I

ΣD、・う、

エゾ1

一γ｛Σz工・B工γ＝工

・δ。一一

制、

D工・あ工

X・Σz工・3エy＝元｝D工・一 寘Hエ＝工！

同様に、制度Bにおける後発過去勤務債務は
γB

一7B

み．王

ΣC、・H
y一工

＝ξ4

久

み．、

工r
Σろ、

γ
Σわ、

み．、

・β（γ）十Dぺ
γ＝工・β（κ、）
κ一x＋1

γ一x、十1

4．久

〔

δ・1

γ

み一1

ΣD、・ろ、

一ぺ・ΣZ工・3工yE工

・γ

D・ろ
エ
エ

炉工。

（・）被保険者がいつ脱退しても年金年額が等しくなるように支給率α（π）、β（κ）を設定するので、以下の関係が成り立つ。

工
Σろ、①ろ工・α（x）一ツ＝工・β（x）（x。≦x≦x、）

κ一x＋1
色

②々＝ぜ
一88一

②を用いると（γ■」γ∠）一（グ3，一γB）＝
工。

ツ
Σあ、

Σろ、

エド1

ΣCジろ、・α（y）

H

・β（γ）

十D

ダx直十1

γ＝工

γ＝工

わ工・α（x、）・工r・β（γ、）

x一γ十1
『

ε

工。一1

Σz工・3ユ

α一
冊1

D工・ろ工
エ＝工2

ここで、｛｝の分子について①を用いると
工

y

斗．1

Σろ、

Σろ，

ΣC、・ろ、・α（γ）

z＝工

y。工

y−x。斗1

、．、

γ

y。工

『

か、一が、

γ

・β（γ）

斗D

卜1

γ＝工2

@γ＝工

・β（x、）

x−x＋1
ε

兀一1

Σろ、

・β（γ） 十D ・

γ一γ色十1

・

工p

r

Σろ。

一ΣC、・2＝孔y斗・β（x、）

κ一x＋1

Σ4一Σろ。

一ΣC、・z＝ん z三工
戸工
y一γ、÷1み．、

ろぺα（π、）

・β（γ）

み

ノ＝工2

・β（x、）

x−x＋1r

ε

よって、制度Aの後発過去勤務債務のほうが大きい。

一89一

＞0

2

γ

問題4．
（1）題意より、
み一11土宇αδ司一狙州〕（2）現在X歳（X、歳加入、X色≦X≦X、一1）の被保険者が、将来y歳（X≦y≦X、）で脱退した場合、i）x≦y＜x、のとき，過去加入期間はトx。、将来加入期間はy＋1−x五）y＝x、のとき，過去加入期間はx−x、、将来加入期間はx、一xであるから、

帆一 ｳ軌、青≒ξ三三〕…（1）㌻一 ﾑ／払｝芒ミ・叫言〕（3）ファグラーの公式より、導かれる関係式は・工、il工十1p∫工十1・わ工1工（P∫工・4）（1・1）一あ工・工αδ司…（イ）ゆえに、㌦一わξ小小）一チααl／（4）（イ）式に（ア）式を代入すると、㌦㌧、三荒／Σ峠111：・ヅ⇒〕一峰／払、青≒｝州小／ψ㌃

両辺にvよ十1を掛けると、

帆壬絶叫111：十ぺ⇒〕
一ぺ狙㌔、青≒叫■〃一州司一90一

一仏㌔黄111：・峠⇒〕

一α巾・、青≒叫ξ三か帆桝

叶αg、青≒・払、、1．篶・帆、1、叫／

叶小、、と、か、十ト孔・帆、1孔／
ゆえに、

峠／払、、と、・帆、1、〕…（1）
従って、（ア）式および（ウ）式より

p∫工＝（γ一γ、）4
よって、求める！（γ）は、！（x）＝x−x、

以上

一91一