199王年12月191一

年金数理…

年金数理

1（問題）

（各閑120共二）1．次の（互）〜（4）までにっいて、それぞれ5つの選択肢の1−1」からj］三しいものを選んで所定の解答㎜紙にその記号を記入せよ。

（i）定常状態に達した年金制度がある。このll；l1度の年閉の脱退背教は次のうちどれか。ただし、新規カ11人祈は、常に20歳で加入するものとし、定年年齢は60歳、カ11入者の総数はユ600人、脱退者の平均カI1入年数は25年とする。

（A）36（2）1−q玉＝0．

（B）4010（t三0．

（A）O．

40

（C）64

1．2．…

（B）O．

（D）75

（E）80、9）のとき，P、ト5は次のうちどれか。

60（C）0．72（D）O．80

n−1 ・t（0≦tく1，n刈．2．3．…
（3）第n年度の年度姶からt年において（一I）（E）O．81）なる資金収支（j1三の場合収入、負の場合支山）の現佃は次のうちどれか。ただし、利力δは一定とする。
11（A）（一一1−1∫（D）

1＋びδ21（一一δ2びδ21）

1・一一1rびび

δ

び（B）

δ

び

1−1∫び一一）
δ2（E）
1＋ひ

1（C）

（び2び

δ2十一十δ）

δ2び十一）

δδ呈（4）ある年金制度の初期過去勤務債務は1000である。次の①、②の2つの償却方法を考えたとき、5年度末において①の未償却過去勤務償務残高が②のそれと等しくなるようなαはどの範囲にあるか正しいものを選べ。

①6年の元利均等償却②前年度末未償却過去勤務償務残高に対する一定割合αを償却
ただし、償却は年1回年度始でおこなうものとし、後発過去勤務債務は発生しないものとする。

また、予定利率は5．5％とし、α〔書棚（＾）α＜O．292、（B）O．29≦α＜O．30

は4．99553を使用するものとする。

（C）O．30≦α〈O．31（D）O．31≦α〈O．32（I…）O．32≦α

次の［］の中に適当な語句又は算式を1己入せよ。ただし一給付は・ml・・i…のモデル（定年退職者に即時支給開始終身年金を支給）にもとづくものとし、定常人口状態であるとする。

（1）［互］とは搬中の被保険者につ1・て鍋が退職するまでの間に必要な給f寸費用を平準的な保険料として積み立てる財政方式である。今、加入年脇をXける標準保険料率．1

e歳、定年年齢をX

p 1は当初の磁立金をゼロとすればS

1p1三一Gと書ける。

一30一r歳とすれば、この方式での初杯度にお旬…金萎史王理…

ただし2其阯

・一［至］・いパ・五Xr・・1・一E（い［更］）比一I工である。

n年度においては、標準保険料離mP、は、その時の磁立金をiIlF．，とすれば．

P＝Gと書ける。これらの関係から
1一｛（1−L／C）（1＋i）〕

一FS・L・（三I一（1−L／C）（1＋i）

が求めら帆ここでトEいまたBo一・）・［ζ］

洲給付棚であ孔虻1買。

（・）［〔コは制度に新たに加入してくる願靴な被保険者について必要な11服平榊な鰍料により舳し・この保険料を在職巾の被保険者金員に適用する則政方式であ孔この方式における加入年齢Xe歳の標準保険料率を．副Pとすれば
閉・一

m〔］

で、年偽X歳の被保険者（Xe〈X＜Xr，Xrは定年年㈱）に対する責任郎備金田V、は㌦｛］一冊・・汁
冊1p

一・［〔コD。

1＝岨 吹

其・・1噤 貝□□となる。

3．定年退職者に加入朝關1年当り1／（Xr−Xo）の年金を終身給付する制度において、加入生1三輪毎の平準保険料率を適用するものとする。加入年齢X南（Xo≦X≦Xr−1）の平準保険料率をP・とおくと・P・はXにっいて単調増加であることを示せ。ここにX。は最低年齢、X4．定年週職者に対して加入朝關1年当り1／（Xr−X

rは定年年齢とする。

e）の年金を終身給付する綱度がある。

ある企業の人員棚成は定常状態にあるとする。この企業が今から年金制度を実施するものとして次の間に答えよ。
なお・財政方式は開放型総合保険料方式、過去勤碗期間の通算は無く、今後の人員棉成は定常人口のまま推移するものとする。ここにXeは加入年齢、Xrは定年年齢とする。
（1）初年度の保険料の総額を求めよ。
（2）1年後の年金資産は、その時における過去のカロ入期間に対応する給付の現概であることを示せ。
（3）一般に、制度発煙後、各年度の保険渕の総額は、初年度の保険料と同額であることを示せ。

一31一

句三金き文理垂・．・3

5．加入年齢方式を採用している年金制度があるものとする。この制度の内容が次のとおりであるものとして、設問に答えよ。
・給付：作度始にX歳の者がその年度巾に生存のまま脱退した生易合、年度末に年金保険を購入するための一時払保険料相当額Sxを支給する。また死亡した場合は、年度末に遺族へ一時金k・保険料xS・を支給する。

（ただしk≧／とする）：年1回年度始に払い込まれるものとし、過去鋤脇傭務は償却が完了しているものとする。

・蕎十算の基礎等

Xe：加入年齢（XXr

1定年年齢（年度始にXe歳で年度始にのみ加入があるものとする）
r−i歳の者は年度末までに必ず脱退するものとする）

L。
i＝年度始にX歳の現在加1人員数（Xe≦X≦X：予定利率u：現価率［び＝ユ／（1＋i）コq 山㍗，V且股間r一ユ）

1予定死亡率
：予定脱退率：年度始にX歳のカ11入者の年度末買任準術金

ある年度のX歳の脱退者数（死亡を除く）がW・であった（X1年陵始での年齢、Xe≦X≦Xr−1）としてその年度の脱退差益が■（Lパ㌧一W・）（SドV・）とあらわされることを示し、その意味を説明せよ。

一32一

なお、上言己以外の差損益は発生しないものとする。

年金数理（解答例）
1、

問題番号

正（1）

（C）

（2）

（B〕

（3）

（D）

（4〕

（E〕

解

正解は上言己のとおりであるが，以下に解法を略言己する。
（1）

題意より，エ歳の脱退力をμユとすると，／／ll（五一石）い仏・州舳）し／／／／ll｝工・し／胡・・⑭

λ一111｝舳ま・年間の脱退者数に等しい。

工∫（五一工．）しμ工6z
工一／二（・一み）し（一生砦）・工一一／11（五一場）紅一一［（・一山）し1：1・l11肱

．一一（舳）し・l11肱

／二（・一公）｝・十（れ）し一111肱
従って①式は工■∫ω工／λ＝25：
工■∫

馬エ＝1600であるから

1

λ＝1600／25＝164

一33一従って，（C）が正しい。
（2〕

州声4州〃。＝O．1（店0，ユ，…9）より6エ十。：・・O．1xム∴王洲＝（1−O．1×，ル（f＝O，1，…9）
2戸工十1・・し十・〃。十5＝（1−O．1x7）ム／｛（1−0．1x5）j，｝＝O．3／O．5＝O．6
従って，（B）が正しい。
（3〕

毎年期初からt年の資金収支の現価は，・・一；・（1一片・2一・3＋リ4一。5……）比

かっこ内＝Σリ加一Σ02
蜆＝o工
l一♂

＿十I＝oU
1一リ21三十リ
従って，求める現価は，llf・・｝÷出r＋リll…．伽必一1÷

／［一÷・一11・÷ll・一刈

一可／一÷・÷［一÷ぺ／
一可（一青一ぎ。・ま、）＝I＋り（ま。芸一素）
従って，（D）が正しい。

一34一（4）①の場合の未償却過去勤務債務残高は，

1OOO・6手馴鳩洲
（5．5％）

61・・1（5．5％〕

6司（5−5％）＝α引

x1，055より＝1000／（4．99553x1，055）②の場合の未償却過去勤務債務残高は，1000x｛（1一α）

×1，055ダ①，②が等しくなるようなαを求めるためには，1000／（4．99553x1，055）≡1000×｛（1一α）

×1，055｝コをαについて解けばよい。
（1一α）5＝1／（4．99553×1．0556）

α≒0．32020
従って，（E）が正しい。

試験では，関数電卓の使用が禁止されているため，上式に，α一を代入して判定することになる。

2、

問題番号
①

総合保険料方式
工・一1

②

Dπ・6〃

工裂了
油，③苛，④∫」】〕Fn⑤（1＋｛）⑥

加入年齢方式⑦o〃・6π五一1

ΣD工⑧⑨D〃・6〃Dエエ

1ΣDツ

ツ＝即⑩

妙×（1＋｛）一ツ一35一

「年金数理」の教科書（P51〜53，P56〜P62）より出題。

3．解法にあたり，保険料は年1回年度始払と仮定する。
題意より，加入年齢五歳の平準保険料率は，
工r一一／Σ必である。

Pエ＝（エrエ）D工、・と｝＝工今エ。≦エ≦z、一2である任意のπに対して芦エ＜芦エ十1を示すことができれば，題意が証明できたことになる。

〜一見一・｡㌻

言／

J＝工十1｝目ユ＝（工訂京卜一1サ七し工刈
上式の｛｝内をλとすると
工r

1

工r一一〃一1ン＝工十；

ツ＝J＋1

λ＝（エr工一1）ΣDゾ（zr工一1）ΣDゾΣDツツ自エ〃．亘＝（ルー工一1）・D五一Σ必ツ＝工十1〃一一＝Σ（o工一Dン）
ツ昌工十1

Dエは，エについて単調減少であるからDエ＞Dツ

従ってλ〉O〃一1

工r一；

また，D互・6エ、，ΣDエ，ΣDツの各項は正であるから
ツ＝工十1

ツ＝工戸工。rP二〉O∴月エ〈戸川が示せた。

4・z歳の加入者数は，脱退残存表のエエと等しいとしても一般性を失なわないためZヱを使用する。
〃一I（1）L＝Σしとすると保険料率は，（∫∫十∫芦．∫．）／（G∫十G）だから保険料の総額は，一36一

｛（∫∫十。S芸．∫．）／（Gノ牛Go）｝・Lとなる。

ここで∫∫＝上王工．．D7．6／o工．

ゴ〃一1z。一エ ・王ユ・D〃・6〃／Dエ∫声．5．＝Σ

エ＝醐．τr工G／＝⊥厳1D工／D工．
｛炉工。

〃一一工、一1ΣDツ
G ＝Σし｝＝エ である。
工珊
D工

（2）

G∫十Go＝L／6∫∫＝旦℃

6∫声．、．＝⊥（σC一、／℃）

6

故に，年間の保険料を，Cとすると

C＝σC−Iill工．Dπ
ルーz。埠珊α・D■

1年後の年金資産は初年度に給付が発生しないことから（1÷｛）Cとなる。
（1＋！）C＝（1＋一）

1〃一〇〃・6π

Σしルー工。炉〃1D工

一D互・6〃＝工。一工。炉刷Σ t戸十11〃一1工。一z＝工。

＝D〃・6〃

Σj州 D工十1

これは，1年後の加入者および受給者の過去の加入期問に対応する給付現価に等し㌧・。

（3）一般に，開放型総合保険料方式の保険料は，ηを年度とすると（∫∫十∫言、〕十寅、）＿F｛＝）／（ぴ十G∫）である。

今（卜1）年度までの保険料が初年度と同額とする。

一37一

・一■正列制〕＝ΣF（ ）とおく。

ム＝1
ム

ここで・戸（掘）は后年度に支払った保険料と后年度の加入に対応する給付にもとづくn年度期初の積立金残高とする。
仮定より，后年度の保険料は，初年度と同額であるから，（2〕の結果より九十1）が（冶十1）年度における后年度の加入に対応する給付現価であることがわかる。
ム
従って。給付現価の定義より戸（掘〕は，η年度における加入者及び受給者の后年度の加入に対応する給付現価に等しいことがいえる。
故にノ（。）は，n年度のカロ入者及び受給者の過去の加入期間に対応する給付現価である。

よって（制F∫婁．∫（蜆）十寅日〕
ぷ〕二∫芦．∫十㌶．∫（、）∫∫十∫…

〕十∫そ、）一F（、）＝∫∫十∫芦．∫より（∫∫一ト∫…掘）十咳、）一戸（掘））／（Gl十G∫）＝（∫ノ牛∫旨．5）／（G∫十G。）＝（初年度の保険料）
がし・えた。

5・脱退差益を派とすると，Rは脱退以外の基礎率が予定通りであるとした場合の年度末年金資産戸と年度末の責任準備金γを用いてR＝月一γ…①とかける。

ここで，・Pを1人あたりの標準保険料とすると〃一I
ダ＝Σムエ（γ工一1＋戸）（1＋｛）一尾∫エム，9二一㌧∫ユW工＿②

工r−1

〔一〕
γ＝Σ（LヂL地一W工）γエ・・B

ファグラーの公式から（γ工一I＋戸）（用）一志∫，9二一）一∫工9王W）＝（1一。二一）一。二W〕）γ互γ戸（γ工一（4〕（W〕十ρ）（1＋1呈一等高・一∫工伽・・11。一9工①，②，③から

一38一C

ト妻1L［（レ1・戸）（1叶姐・9）一吐一（1一・㌘）一昔）篶1・・⑥

W工（w）

了；＝如（w）

十∠lgエ

として⑤の〔コを④を使って書き替えると（一〕 一∫エ伽（W）⑤の［コの内＝（γエ＿1＋戸）（1＋｛）I冶∫必（4）

lW〕

（W）
∫エ∠q。

（ ）
（W〕
（W）（γユー斗1p）（1＋｛）一肥ユ如一∫工％一（1一如一如一価）

（の1一価

（w〕

一9工

（W） 十∠1％（W）γ，＝一∫工∠1伽二一∠伽 （W〕（∫工一γ工）一（・lw〕一昔）（正一篶）

よって・一O1L（・lW）一昔）（レ㌧）〃一1＝Σ（L地（W〕

一W工）（∫ゲγ工）

ここで，〃一1歳の年度末責任準備金γ〃一は，エ。歳カ目入の場合の定年退職時の給付∫〃＿一に等しい。

〃一2（W）
よって沢二Σ（Lエ伽 一Wエ）（∫エーγエ）＝＝工■（算式の意味の説明）

・年始にエ．歳の者が1名脱退すると，制度は年度末においてγエを積立てるかわりに∫・を支払うこととなる。従って（∫エーγエ）は，脱退者1人が発生した場合に発生する脱退差損益ということができる。

・年金制度は収支相等の原則により，予定通り運営されれば損益は発生しない。これは，脱退に関していえば，年始にz歳の者がし （w〕
gエ 人脱退した場合，脱退差損益はセロということになる。
（W）・従ってLエ・gエ（W）≠Wエの場合，ムコ伽一W工人分だけ①の脱退差損益が発生することになる。よって脱退差益は
7一（W〕
R＝Σ（Lゴ伽 一W』）（∫rγ工）一39一

ここで年始にXプー1歳の場合は，脱退しても定年に達しても同じ給付を受けることになるから，ここからは脱退差益は発生しない。
従って〃一2

尺＝Σ（ムエ・9工（w〕
一W工）（∫工一γ工）である。

一40一