1992年12月16日

数学

2

数学2．．．1（問題）〔解答に当り 必要であれば末尾の数表を用いよ。〕
1．次の客間の［二二二コに入る答のみを、所定の解答用紙に…己入せよ．

い1

〔35点〕

確率分布が／1κ＝ゆ〕＝ヵ｛1一一ρ〕！ ｛エ＝p．1．2．
0〈ρ〈1〕で与えられている母集団からの大きさnの標本を（ 1．
． 。〕とするとき、この標本より求めたρの最北椎定値は［二二二］である。

121

平均μ．分散。2を持っ母集団から、2N−1個の標本変量Xl，X・．…

．X州一・をとったとき．

。。。（支・、、童！1・。）一［］である．

1目

箱の・芦に24個の玉が入っている，Hパ繭箇20個．緑4個、H11黄色4個．緑20個の13〕どちらかである．復元抽出法で3個玉を取り出し、第1種の誤りの確率10％以下でHoを検定する。次の3つの棄却1域を定める方法のうち、最良と思われる方法の第・種の誤りの確率は〔である．
方法11少なくとも1個が緑．

方∫法3：3個とも緑。

r1」という札が1枚． r2」という札が2枚．…
． τN」という札がN枚の有限母集団から、。個の標本を取るとき札の値の標本平均の分散は［ニコである。

14〕

151

方法2：2個以上が緑．

母集団の確率密度関数が一様分布

一十11∴1∴口〉い・舳にしたがうとき、n個の標1本変量｛Xl．…
〈〈口の最北椎定量をα＝o〔Xl．…

．X、〕によって母数αを推定する．

．X、〕とすれば、これはαの不偏な推定量ではないが、［ニコ・♂は。の不納定量である．
2×1．X。．…

リlY・Σ・iX．X，は互いに独立でいずれも母平均θの不偏推定量とする．

がθの不偏推定量であるために必要な・1・・一…の条件を求めよ・

121各X、の分散が母分散・・であるとする，Y！Σ・｛がθの不舳触であるとき、V（Y〕を最小とする（al．…
．a，〕およびV｛Y〕の最小健を求めよ．
｛20点〕
3

生まれたばかりの実験動物15匹中、8匹には飼料Aを与え、残りの7匹には飼料Bを与えて生育した．一定鰯間を経た後に体重を計ったら、前者は46．O，46．2，47．1，45．0，48．7，47，6，46．8，48．6であり、後者は48．6．，49．0，47．5，51．0，50．3，49．0．49．7であった，鰯料の違いによる影響があると言って良いか否かを有意水準O．01で検定せよ，
1標本は正規母集団からのものと考えてよい。〕（25点〕

一7一数学2．．．2
4Xl，X・、撒を。，としまた…

．X，をある働集団からの標本変量とする血その母集団の母平均をμ．母分各X．を正規化したX．．＝．＿． XI＋…
僚本変量平均X＝十X．

Xi一μ0の積率母関数をφけ1とおく，｝η「｛X一μ〕を正規化してY．＝とおく．

nO

リlY■の積率母関数をφ■土1とするとき、φ■tlをφけ1で表わせ．
12〕n−ooのとき、φ。け1の極限を求めよ．
131相当多数の者が受験したある数学の試験の平均点がm．標準層差がSであった場合を例として121の結果を言葉で説㎎せよ。

〔20点〕（解答に当り、必要であれば以下の数表を固いよ。〕
敏表

111XがF分布にしたがうとき、P〔X≧λ）＝0．05となる孔を求める表
flは分母の自由度、f・は分子の自由度

1二Fll10−O引とも書く、∴■、二、一二、一二、、二，司二、64．39｛．28司．2I｛．I54．l073，973、島73．79ヨ．丁ヨ3．58
83，693．…83，503．4｛3．ヨ9
93． 8；．373，293．！ヨコ．1812〕Xが士分布にしたがうとき、P〔X≧孔〕＝Eとなる九を求める表
nは自由度＼．εn56789101112131415几＝t■ε，とも書く．
0．O05〕．丁073，499；．3553，250〕．169〕，106
3．O青5

3．い2
2．977
2．947

一8一数学2解答例
1．（1）尤度関数L（p）は次式で表わされる。
L（p）＝pn（1−p〕f1（1−p）f呈・・…

（1−p）工＾両辺の対数を取って舳・）一価・（、幸、小・・（i一・）4ogL（p）の極値を求める。
d409L｛P）

dP
d24ogL（p）

η＝P1・Σκ，＝0

1−PHm1よりnd。・＝■戻一（1一。）・、〜、工1＜0（PEΣ篶〉0）i圭1

従って①のpは最大値を与える。

（・）・（、‡．・i）一・（1旨I・j）一・μ・1（、‡、・i）（1菖1・j）／一・1（・1・・・・…）（・。・・。。I・…・・洲．．）1

一・1・・巾…）茗、‡1・（・刈一・（・1中（・・舳・茗、‡、・（・｛）・（・j）＝σ2＋μ2＋（N−1）μ2＋N（N−1）μ2Eσ2＋N2μ2・・（、茗・戊・j）一・1（、幸、・）（1茸1・j）／一・（茗・i）一・（1斗1・j）

一1・…1・一1・1）（・1）一（3）第一種の誤りの確率をα，第2種の誤りの確率をβとする。
1一・／少な／共1個緑1剛・1一・1・個共黄色1・上1一（碧）3一α・・1方法1l1

β一・／・個共黄色1・Il一（差）3・α…

?P㍍I．1に絡㌫1叶多α一・1・個共緑風1一（差）3≒α…

方法3
β一・1少な／共1個黄色1・1／−1−1・個共緑1・Il＋（碧）3≒α・・1一9一

αが10％以下は方法2と方法3，そのうちβの小さいのは方法2なので3つのうち最良なのは方法2である。

求め1答は／一目（・・…等小数・位まで正い1れば正解！1り（4）母平均は三十2x2（｛固）十…十NxN（個）＿2・N（N＋1〕（2N＋1）＝
N（N＋1）・6
1＋2＋…十N2N＋1

母分散1・は12＋22x2 ｻ、）1身2州個〕一（2N3＋1）2

言｛ｴ（、糾、1書｝2一（2N3＋1）㌧N2まN4N2＋まN＋1N2＋1豊一2
N（N＋1）

標本平均の分散σ…一害、、1，1÷N一・2缶2べ半一時
2（5）一10≧maX（エ1．…，π、）一min（エ■．…．エ、〕である。

尤度関数〜〕一（÷）n・（。、、（工．，工、）≒。、、（工、．．．，叫））nとなるから
倉ゴmaX（五一，…，工、）一min（工1．…．工。）
E（倉）＝E｛maxは］，…，エ、）｝一E｛min（エ■．…。コ＝。）｝

ここで，・、が1／。の一様分布のとき…（エ．。…，エ、〕の密度関係は1（舌）n■1・÷

又・i・（工、…，エ、）の密度関数は1（1一言）nI1÷

舳一∫；峠血一∫；㎜（α子）n一一・叶・÷1；一／げ・午ゾ〕；

・∫；（α1手）n・1／＋・一げ｛0泰斗1〕；÷・

従一て高・倉は・の不偏推定量！帆

2．

（1）E（Y）＝θとなる

ol・…，o・の条件を求めればよい

E｛Y）＝α、亙（X、）十…十〇、E（X、）＝olθ十…十〇。θ（∵E（Xi）＝θ〕＝（α＝十…

十0、）θ

従って，求める条件はα、十…十〇、＝1一①

一10一（2）V（Y）＝α芋VlX、〕十…十α毛V（X、）（一．一呈α子σ2＋…十α、σ2（．．I

各Xiは互いに独立）

V｛Xi）＝σ2）＝（o子十…十αξ）σ2一②

Yがθの不偏推定量であるときV（Y）の最小値を求めるには①の条件の下で②を最小にすればよい。

ところで名1・一名（1i一÷）2・÷l11・・・・…一1）一③1σ2③式より。l＝…呈。、：一のとき，②は最小分散一を持つ。
η［別解1］VlY）二αFσ2＋η＋oξσ2④①の条件で下で，④を最小にする。ラグランジェ乗数法で9（0」，…，α、λ）≡α芒σ2＋…

寺0言σ2＋λ（1−01一…

一0、）gを各変数で偏微分してgの極値を求める。

璽一2。、σ・一λ一〇λ一2∂olη／σ呈λ1ol＝研ヨ7⑤∂9一：2o。σ…一λ＝0∂α。

∂9一＝1一α1一…1。＝0を解くと∂λλ1

α衙＝一＝一2σ呈 π

ところで④式は下に凸であるから⑤の。l．…．α、は④の最小値を与える。

σ2⑤を④に代入して最小値はV（Y）＝一η

［別解2］コーシー・シュバルツの不等式を使う場合
α1＋…十α、＝1でα千十…十〇言の最小を求めるには各αミ≧Oを仮定して考えてよい。

一11一0ヨコでαi＜0とすると，αi㌧0としてみると。、〉1αilとなるjがある筈だからojの代りに。j＝α」十αiを用い．oiの代りに。｛を用いても①の関係式は満たされる。

このとき
1αj1〈1αjl．0呈1αi1〈1αilだから（o」〕2＋（oi）2〈（αj）2＋（o｛）2従って。｛のうち負のものがあったらそれは②の最小値を与えない。

oi≧0を仮定するとコーシー・シュバルツの不等式から
1品i、幸、1・・1）2・（、幸、12）・（、‡、ぺ）一η・，‡、・〜が成り立ち，等号の成立するのはα1二…＝or一⑥のときである。

1σ2①，⑥より求めた解。l＝…＝α、＝一を②に代入すると最小の分散一を得乱ηη

3．飼料Aの方の標本の平均をエ。，標本分散をS三，標本の数をη。標本変量平均をX。とし飼料Bについて同様にエ。S董，η。，Xoとすると三。一47．O，蔑一1．4375，η。一8，工。ヨ49．3，Sl＝1．1371，叫＝7

飼料Aで育成した動物の体重の母集団はNlμ。，σξ）に従い，飼料Bの母集団はN（μ。，σξ）に従う（題意より）と考えて良いが，まずη。s三H。：σ…＝σ至が成り立つか否かを調べる。

8・1．4375．

7・1．1371．

飼料Aの不偏分散は、。一1＝。一1643・飼料Bの不偏分散・＝1327

η。S三ηボ1
皇は自由度1η。一1，ηド1）の
η占Sb
n占一1

従って不偏分散比の分子は大きい方を取ると，FrF分布に従い

掘 一一 εF。〉F。二一1（万）ならばH。を棄却する。

1，643
問題の数表からεノ2＝0．05とするとFo出エ蕨≒1，238＜F芸（O．05）＝421となりH。は棄却されない。即ちσ2＝σξと考えて良いことが分った。

従って，平均値の差の検定はt検定を用いることとする。
帰無仮説をHl：μ。一μド0；μ。＝μ・とおき，対立仮説をH・：μ。≒μ・とする。

X。一X占

丁再再・（土・士）は自由度η口十ηb1・1・t・。・・。一・（音）ならば・1を棄却帆

一12一2のf一分布に従い47．0−49．3

標本から1T卜2．2161≒3，638×14等111111371（÷・÷）α633

一方，1一α・1とするとき公一α…であるから・数表よりtl・（舌）一・1・（α…）一・・1・1・1・tl・（舌）となり・有意水準…1という低い水準でも・1は棄去11される。即ち飼料の違いによる影響があると言ってよい。

4．

（1）

‡X‡）
φ（t〕＝E（eφ。（t）一・（lt・・）一・（〆■μ〕ノσ）一・1…lt（X■十；・・一・）・÷／l

一・［…／÷（Xテμ・・X亨μ）／l

一・／…（去・r）／・…・・／…（去・1）1一φ・（ふ）（・…llま独立）（2）ところでφ（t）＝1＋E｛X戸）t＋…十ElXヂ）

パ

tn＋…

一1・・（川E（ 撃P2）州が）に品㌫」滋味する

・1・I‡）一・lXデ／一・（・（・i）一μ）

・（・i‡・）一・（・i‡）・1・（・i‡）1・一（÷）2・1・1一μ）・一1φ。（t）一φ・i去）一／1…右1基・・（去。）／n具ψt）刊1・与・1・ち（某）／兀

t2
一剛1・÷1芸・汐烹）／ザー・T

一ユ3一。ド叶｛割とおき対数を取ると此砂土半制噴ピクルの定理より

細・［1・基・殺1一嘉一（音）等11im2o駆＝1imh−oh−ot2・・

d証（h−1）t皇8（t3〕1＋2h＋h・・

3−9（t3）

2十 2価t2＝lim
一一・一 t2汐（t3ゾ2
1＋ ＋2h（3）

Pim

トー1
■P〜…
h→。。のときy→e2h3

φ呵（t）の極限はN（0，1）の積率母関数である。個々の受験者の得点の確率分

σ2布は分らなくても，相当程度受験者が多い場合μ＝m，一里S2としてこの数学nの試験の平均点の確率分布はN（m．S一14一）で近似できるという事を示している。