3-7 図形と相似① 啓林館
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似な図形 啓 P.122
かくだいしゅくしょう★拡大・ 縮 小 …ある図形の形を変えないで，一定の割合で大きくすることを拡大する，小さくすることを縮小するという。
そうじ★相似な図形…2 つの図形があって，一方の図形を拡大または縮小したものと，他方の図形が合同であるとき，この 2 つの図形は相似であるという。
2BCDE

相似な図形 啓 P.122
空らんをうめなさい。
〇 ある図形の形を変えないで，一定の割合で大きくすることを（ ㋐ ）する，小さくすることを（ ㋑ ）するという。

2 つの図形があって，一方の図形を（ ㋐ ）または（ ㋑ ）したものと，他方の〇図形が合同であるとき，この 2 つの図形は（ ㋒ ）であるという。
㋐3

拡大㋑縮小

㋒

相似

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似な図形の性質 啓 P.123～124★相似な図形…四角形 ABCD と四角形 EFGH が相似であることを，記号∽を使って，次のように表す。
四角形 ABCD∽四角形 EFGH
★相似な多角形の性質
Ⅰ 対応する線分の比は，すべて等しい。
四角形 ABCD∽四角形 EFGH のとき，AB：EF＝BC：FG＝CD：GH＝DA：HE
Ⅱ 対応する角の大きさは，それぞれ等しい。
四角形 ABCD∽四角形 EFGH のとき，∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G ，∠D＝∠H

4
AB

相似な図形の性質 啓 P.123～124
相似な多角形の性質を書なさい。
Ⅰ対応する線分の比は，すべて等しい。

Ⅱ 対応する角の大きさは，それぞれ等しい。

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P2 【3-7 図形と相似① 啓林館】

5ABCDE

相似な図形の性質 啓 P.123～124
相似な多角形の性質を書なさい。
Ⅰ対応する線分の比は，すべて等しい。

Ⅱ対応する角の大きさは，それぞれ等しい。

6ABCDE相似な図形の性質 啓 P.123～124
右の図の 2 つの四角形は相似である。
①2 つの四角形の関係を，記号∽を使って表しなさい。

四角形 ABCD∽四角形 SRQP
② 辺 CD に対応する辺を答えなさい。

辺 QP③ ∠R の大きさを求めなさい。

80°∠R＝∠B＝360°－(70°＋75°＋135°)＝80°7相似な図形の性質 啓 P.123～124

E

次の文章の下線部が正しければ○を，正しくなければ正しい答えに直して，解答欄に記入しなさい。
中心角が等しい 2 つのおうぎ形は，相似であるといえる。

○8ABCDE次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

相似比（１） 啓 P.124～125
そう じ ひ★相似比…相似な 2 つの多角形で，対応する辺の長さの比を相似比という。
★比の性質…a：b＝c：d ならば ad＝bc相似比 啓 P.124～125

9BCDE

空らんをうめなさい。
〇 相似な 2 つの多角形で，対応する辺の長さの比を（〇 a：b＝c：d ならば（ad＝bc相似比）が成り立つ

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）という。

P3 【3-7 図形と相似① 啓林館】

10次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE相似比（２） 啓 P.124～125
右の図で，△ABC∽△DEF のとき，△ABC と△DEF の相似比を求めなさい。
[解き方]

BC：EF＝6：9＝2：3だから，相似比は，2：3[答] 2：3相似比 啓 P.124~125

11ABCDE

右の図で，△ABC∽△DEF のとき，△ABC と△DEF の相似比を求めなさい。

BC：EF＝6：9＝2：3だから，相似比は，2：32：312次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE比の性質を使って辺の長さを求めること（１） 啓 P. 125★比の性質…a：b＝c：d ならば ad＝bc
次の式で x の値を求めなさい。

(1)

x：12＝4：3(2) 5：x＝4：6x×3＝12×4

5×6＝x×4

3x＝48

4x＝30

x＝16x＝ 2 (7.5)

1513ABCDE比の性質を使って辺の長さを求めること 啓 P. 125
次の式で x の値を求めなさい。
①

x：12＝4：3② 5：x＝4：6x×3＝12×4

5×6＝x×4x＝16

4x＝30x＝7.5

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P4 【3-7 図形と相似① 啓林館】

14E

比の性質を使って辺の長さを求めること 啓 P. 125x の値を求めなさい。
5：4＝x：105×10＝4×x，x＝50425(＝12.5)＝215ABCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

比の性質を使って辺の長さを求めること（２） 啓 P. 125
右の図で，△ABC∽△DEF のとき，辺 AC，辺 DE の長さを求めなさい。
[解き方] 図より

x：6＝6：93：y＝6：9

9x＝6×6

6y＝3×99x＝36

6y＝27

9 x 36＝996y 27＝66x＝ 4

y＝92AC＝4cm，DE＝[答]9cm
216

比の性質を使って辺の長さを求めること 啓 P. 125
ABCDE 右の図で，△ABC∽△DEF のとき，辺 AC，辺 DE の長さを求めなさい。

x：6＝6：93：y＝6：99x＝6×6

6 y＝3×99x＝366 y＝279x36＝996 y 27＝66x＝4y＝AC4cm

92DE9cm
2Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P5 【3-7 図形と相似① 啓林館】

17A

比の性質を使って辺の長さを求めること 啓 P. 125
右の図で，△ABC∽△DEF のとき，辺 BC，辺 DF の長さを求めなさい。

x：12 ＝3：4

6：y＝3：4

4x＝12×3

3y＝6×44x＝36

3y＝244x36＝443y 24＝3
3x＝ 9y＝8BC9cm

18BCDEDF8cm比の性質を使って辺の長さを求めること 啓 P. 125

2 つの直角三角形が次のような条件のとき，2 つの直角三角形はどんな関係といえるか。
△ABC∽△DEF である。
相似比が 1 : 1 である。

合同
19次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

三角形の相似条件（１） 啓 P. 126～127
次の三角形を 3 つの方法でかきなさい。

AB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cm，∠B＝90°，∠C＝30°❶ 3 つの辺の長さを❷ 2 つの辺の長さと，❸ 1 つの辺の長さと，使ってかく。

その間の角をその両端の角を使ってかく。

使ってかく。

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P6 【3-7 図形と相似① 啓林館】

三角形の相似条件 啓 P. 126～12720

次の三角形を 3 つの方法でかきなさい。
AB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cm，∠B＝90°，∠C＝30°①

3 つの辺の長さを② 2 つの辺の長さと，使ってかく。

21ABCDE③

1 つの辺の長さと，その間の角をその両端の角を使ってかく。

使ってかく。

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

三角形の相似条件（１） 啓 P. 126～127★三角形の相似条件
2 つの三角形は次の場合に相似である。
Ⅰ

3 組の辺の比がすべて等しいとき
AB：DE＝BC：EF＝CA：FDⅡ

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいとき
AB：DE＝BC：EF，∠B＝∠E

Ⅲ

2 組の角がそれぞれ等しいとき∠B＝∠E，∠C＝∠F

三角形の相似条件 啓 P. 126～12722AB

三角形の相似条件を書きなさい。

3 組の辺の比がすべて等しいとき
2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいとき2 組の角がそれぞれ等しいとき

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P7 【3-7 図形と相似① 啓林館】

三角形の相似条件 啓 P. 126～12723AB

三角形の相似条件を書きなさい。

3 組の辺の比がすべて等しいとき
2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいとき
2 組の角がそれぞれ等しいとき三角形の相似条件 啓 P. 126～127

24
ABCDE

三角形の相似条件を書きなさい。

3 組の辺の比がすべて等しいとき
2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいとき
2 組の角がそれぞれ等しいとき

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P8 【3-7 図形と相似① 啓林館】

25
ABCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

三角形の相似条件（２） 啓 P. 128
次の図で相似な三角形の組を選び，記号を使って答えなさい。またそのとき使った相似条件を答えなさい。

[解き方] △ABC∽△NOM で，

AB：NO＝4.5：3＝3：2，BC：OM＝7.5：5＝3：2，CA:MN＝6：4＝3：2△DEF∽△TUS で，∠DEF＝180－(85＋35)＝60
よって，∠DEF＝∠TUS＝60°，DE：TU＝EF：US＝2：3△GHI∽△RPQ で，∠IGH＝180－(76＋44)＝60
よって，∠IGH＝∠QRP＝60°，∠GIH＝∠RQP＝44°[答] △ABC∽△NOM

3 組の辺の比がすべて等しい。

△DEF∽△TUS

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。

△GHI∽△RPQ2 組の角がそれぞれ等しい。

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P9 【3-7 図形と相似① 啓林館】

三角形の相似条件 啓 P. 128

26
ABCDE

次の図で相似な三角形の組を選び，記号を使って答えなさい。またそのとき使った相似条件を答えなさい。

△ABC∽△NOM で，

AB:NO＝4.5:3＝3:2，BC:OM＝7.5:5＝3:2，CA:MN＝6:4＝3:2△DEF∽△TUS で，∠DEF＝180－(85＋35)＝60△GHI∽△RPQ で，∠IGH＝180－(76＋44)＝60
相似な三角形△ABC∽△NOM

相似条件

3 組の辺の比がすべて等しい

相似な三角形△DEF∽△TUS

相似条件

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい相似な三角形△GHI∽△RPQ

相似条件

2 組の角がそれぞれ等しい
三角形の相似条件 啓 P. 128

27DE

3 辺がそれぞれ 9cm，12cm，18cm の三角形があります。この三角形と相似で，1 辺が 3cm の三角形をかくとき、あとの 2 辺の長さを全て答えなさい。

相似比を 9 : 3＝3 : 1 と考えるとき，相似比を 12 : 3＝4 : 1 と考えるとき，相似比を 18 : 3＝6 : 1 と考えるとき，4cm，6cm2.25cm，4.5cm1.5cm，2cm

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P10 【3-7 図形と相似① 啓林館】

三角形の相似条件 啓 P. 128

28BCDE△ABC と△DEF について，AB＝3cm，BC＝4cm，DE＝4.5cm，EF＝6cm，∠B＝∠E のとき，次の問いに答えなさい。
① △ABC∽△DEF になる理由を述べなさい。

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい② CA＝6cm のとき，FD の長さを答えなさい。
相似比は 4 : 6＝2 : 3 だから，2 : 3＝6 : FD

2×FD＝189cm

FD＝929三角形の相似条件 啓 P. 128

E△ABC と△DEF について AB：DE＝BC：EF＝2：3 である。これにどのような条件を加えると△ABC∽△DEF がいえるか。三角形の相似条件に照らし合わせて説明しなさい。

∠ABC＝∠DEF がいえれば2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，△ABC∽△DEF がいえる。
別解

AC：DF＝2：3 がいえれば3 組の辺の比がすべて等しいので，△ABC∽△DEF がいえる。
30ABCDE次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

三角形の相似条件（３） 啓 P. 128
右の図で相似な三角形を∽を使って表し，使った相似条件を答えなさい。
[解き方]

図の向きを変えて考えよう。

∠ABC＝∠AED＝62°…①∠BAC＝∠EAD（共通）…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しい。
よって，△ABC∽△AED

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P11 【3-7 図形と相似① 啓林館】

三角形の相似条件 啓 P. 128

31
ABCDE

次の図で相似な三角形を∽を使って表し，使った相似条件を答えなさい。C＝∠AED＝62°，
よって，△ABC∽△AED
相似条件は，2 組の角がそれぞれ等しい。
相似な三角形△ABC∽△AED

相似条件

2 組の角がそれぞれ等しい。
三角形の相似条件 啓 P. 128

32
ABCDE

次の図で相似な三角形を∽を使って表し，使った相似条件を答えなさい。

よって，△ABC∽△ACD
相似条件は，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
相似な三角形△ABC∽△ACD

相似条件

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
三角形の相似条件 啓 P. 128

33
ABCDE

次の図で相似な三角形を∽を使って表し，使った相似条件を答えなさい。
∠AOB＝∠DOC（対頂角）
よって，△OAB∽△ODC
相似条件は，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
相似な三角形△OAB∽△ODC

相似条件

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
三角形の相似条件 啓 P. 128

34
E

右の図で∠ACB＝∠ADC＝∠EFB＝90°である。△ABC と相似な三角形をすべて答えなさい。
理由は，∠A＝∠A(共通)，∠ACB＝∠ADC＝90°△ABC∽△CBD
理由は，∠B＝∠B(共通)，∠ACB＝∠CDB＝90°△ABC∽△EBF
理由は，∠B＝∠B(共通)，∠ACB＝∠EFB＝90°
上記の 3 組とも，2 組の角がそれぞれ等しいので，相似となる。
直角三角形の ABC の直角の頂点 C から，斜辺に垂線をおろしたときにできる

2 つの直角三角形ともとの直角三角形 ABC は必ず相似になる。

△ACD，△CBD，△EBF
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P12 【3-7 図形と相似① 啓林館】

35
ABCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

三角形の相似条件と証明（１） 啓 P. 129～131
右の図で△ABC∽△ACD となることを証明するとき，仮定と結論を答えなさい。
[仮定]

AD＝9cm，AC＝12cm，DB＝7cm[結論]△ABC∽△ACD三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131

36
ABCDE

右の図で△ABC∽△ACD となることを証明するとき，仮定と結論を答えなさい。

[仮定]

AD＝9cm，AC＝12cm，DB＝7cm

[結論]
37
ABCDE

△ABC∽△ACD

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

三角形の相似条件と証明（２） 啓 P. 129～131
右の図で△ABC∽△ACD となることを証明しなさい。
[証明] △ABC と△ACD において仮定より，AB：AC＝16：12＝4：3…①AC：AD＝12：9＝4：3…②共通より，∠BAC＝∠CAD…③①，②，③より，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
よって，△ABC∽△ACDCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【3-7 図形と相似① 啓林館】

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～13138
AB

右の図で△ABC∽△ACD となることを証明しなさい。

△ABC と△ACD において
仮定より

AB：AC＝16：12＝4：3 …①
AC：AD＝12：9 ＝4：3 …②共通より，∠BAC＝∠CAD…③①，②，③より，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
よって，△ABC∽△ACD
三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～13139
AB

右の図で△ABC∽△ACD となることを証明しなさい。

△ABC と△ACD において仮定よりAB：AC＝16：12＝4：3 …①
AC：AD＝12：9 ＝4：3 …②共通より∠BAC＝∠CAD…③①，②，③より，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
よって，△ABC∽△ACD

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131

40ABCDE

右の図で△ABC∽△ACD となることを証明しなさい。

△ABC と△ACD において仮定より AB：AC＝16：12＝4：3 …①
AC：AD＝12：9 ＝4：3 …②共通より ∠BAC＝∠CAD…③①，②，③より2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，△ABC∽△ACD

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P14 【3-7 図形と相似① 啓林館】

41

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
ABCDE 右の図で∠ACB＝∠DEB のとき，△ABC∽△DBE となることを証明しなさい。

△ABC と△DBE において，仮定より，∠BCA＝∠BED…①対頂角は等しいから，∠ABC＝∠DBE…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△DBE
42
E

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図の△ABC で点 B，C からそれぞれ AC，AB に垂線 BE，CD を引きその交点を P とする。
このとき△BDP ∽ △CEP であることを証明しなさい。

△BDP と△CEP において仮定より ∠BDP＝∠CEP＝90°…①対頂角は等しいから∠BPD＝∠CPE…②①,②より，2 組の角がそれぞれ等しいから△BDP∽△CEP
43三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131

CDE

右の図の△ABC で辺 AB,辺 AC 上にそれぞれ点 D,E をとる。∠ABC＝∠AED のとき，次の問いに答えなさい。
(1) △ABC∽△AED であることを証明しなさい。

△ABC と△AED において仮定より ∠ABC＝∠AED …①共通な角だから ∠BAC＝∠EAD …②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△AED(2)

AD＝5cm，DB＝3cm，AE＝4cm のとき AC の長さを求めなさい。
対応する辺の比が等しいから， AB : AE＝AC : AD
AB＝AD+DB＝8 AC＝x とおく
8 : 4＝x : 5，4x＝8×5
4x＝40
x＝1010cm

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P15 【3-7 図形と相似① 啓林館】

44
CDE

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図で△ABC∽△DBE となることを証明しなさい。

△ABC と△DBE において，仮定より AB：DB＝7：3.5＝2：1 …①
BC：BE＝5：2.5＝2：1 …②対頂角だから，∠ABC＝∠DBE …③①，②，③より2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABC∽△DBE
45CDE三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131∠A＝90°の△ABC で，Ａから斜辺 BC に垂線 AD をひく。

(1) △ABC∽△DAC となることを証明しなさい。

△ABC と△DAC において仮定より，∠BAC＝∠ADC＝90° …①共通だから，∠ACB＝∠DCA …②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい。よって，△ABC∽△DAC(2)

BC＝27cm，AC＝9cm のとき，DC の長さを求めなさい。
対応する辺の長さの比は等しいので BC：AC＝AC：DC
DC＝x cm とすると，27：9＝9：x ，27×x＝9×9
27x＝81
x＝346
CDE

3cm

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図で△ABC は∠A＝90°の直角三角形である。頂点 A から辺 BC にひいた垂線を AD とするとき，△ABD∽△CAD であることを証明しなさい。

△ABD と△CAD において仮定より， ∠ADB＝∠CDA＝90° …①三角形の内角の和は 180°だから，∠ABD＋∠ACD＝90° …②∠CAD＋∠ACD＝90° …③②，③より∠ABD＝∠CAD…④①，④より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABD∽△CAD

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P16 【3-7 図形と相似① 啓林館】

47
BCDE

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図で△ABD∽△DCB となることを証明しなさい。

△ABD と△BCD において，仮定よりAB：BC＝4：3 …①
BD：CD＝6：4.5＝4：3 …②
DA：DB＝8：6＝4：3…③①，②，③より 3 組の辺の比がすべて等しい
よって，△ABD∽△BCD
48DE

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図について，次の問いに答えなさい。

(1) 相似な三角形を答えなさい。

△ABC∽△DBA(2) (1)を証明しなさい。

△ABC∽△DBA において，仮定から，AB：DB＝6：4＝3：2…①
BC：BA＝9：6＝3：2…②共通だから，∠ABC＝∠DBA…③①，②，③より，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから△ABC∽△DBA(3)

AD＝5cm のとき，CA の長さを求めなさい。
(2)より相似比は，2：3
2：3＝5：CA
2×CA＝157.5cm

CA＝7.549
DE

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131

AD//BC のとき，BO，CO の長さを求めなさい。
AD//BC より 2 つの錯角が等しいから，△AOD∽△COB，相似比は 4：10＝2：55
BO＝7× ＝5(cm)7545
CO＝9× ＝(cm)77BO5cm

CO45cm
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P17 【3-7 図形と相似① 啓林館】

50E

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図で AC//DE ならば△ABC∽△EBD であることを証明しなさい。

△ABC と△EBD において，AC//DE の錯角だから，∠CAB＝∠DEB …①対頂角は等しいから，∠ABC＝∠EBD …②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって△ABC∽△EBD
51
E

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図で△ABC と△ADE は，ともに正三角形である。AC と DE の交点を P とするとき，△ABD∽△AEP であることを証明しなさい。

△ABD と△AEP において正三角形の定理より∠ABD＝∠AEP＝60° …①∠BAC＝∠DAE＝60° …②∠BAD＝∠BAC－∠DAC …③∠EAP＝∠DAE－∠DAC …④②，③，④より∠BAD＝∠EAP …⑤①，⑤より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABD∽△AEP52BCDE三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図の四角形 ABCD で，点 O は AC，BD の交点である。
(1) △OAD∽△OCB とあることを証明しなさい。
O△OAD と△OCB において
OA：OC＝2：5
OD：OB＝3：7.5＝2：5
よって，OA：OC＝OD：OB…①
対頂角は等しいから，∠AOD＝∠COB …②①，②から 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△OAD∽△OCB(2)

AD//BC であるわけを答えなさい。

①から，∠OAD＝∠OCB，錯角が等しいので，AD//BC錯角が等しいから

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P18 【3-7 図形と相似① 啓林館】

53E

三角形の相似条件と証明 啓 P. 129～131
右の図のような△ABC で，∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とし，線分 AD 上に BD＝BE となる点 E をとる。
次の問いに答えなさい。
(1) △ABE∽△ACD であることを証明しなさい。

△ABE と△ACD において仮定より ∠BAE=∠CAD …①△BDE は二等辺三角形だから∠BED=∠BDE ， 180°－∠BED＝∠AEB
180°－∠BDE＝∠ADC
よって∠AEB＝∠ADC …②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABE ∽ △ACD
(2) BD の長さを求めなさい。
△ABE と △ACD の相似比はBE＝x として
BE：CD＝x：4=4：5，5x＝16，x＝54

啓林館 中３

AB：AC＝8：10＝4：5

16cm
516
5

５章 図形と相似

１節 図形と相似

hakken.教材 QR コード

教科書 目次P. 122

QR 1~2P. 123~124

QR 3~7相似比

P. 124~125

QR 8~11比の性質を使って辺の長さを求めること

P. 125

QR 12~18２

P. 126~127

QR 19~24

P. 128

QR 25~34

P. 129~131

QR 35~54

１３

相似な図形

三角形の相似条件
三角形の相似条件と証明

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