平成13年12月26日
生保数理・・……

生保数理（問題）
問題1．

（42点）

次の（1）から（6）までの谷間について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを選んで、指定の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。
（1）あ。。：21のとき、（∫α）。。の値に最も近いものは次のうちどれか。

（＾）294（F）（B）315399（1）・一（G）

420（C）336（H）441（O）357（E）378（1）（J）

462483^1一芸丁（・・兀・ω）・1・・のとき・κ二に等しいものは次のうちど帆

1（＾）＿α一1（F）

α一1（C）⊥

α十1

α十1

α1

α（B）＿（C） α斗1

1丁（H）

（D）∴
（1）

α十1

＿α一1（E）

α一（」）

α十1

α

α一1（3）死亡解約脱退残存表におけるx歳の残存者がJ工＝ノー1000・xで表され、解約率g二がJ一た1とな死亡率g工の9倍であるとすると・x歳における絶対死亡率はg；＝1一工工一κ。
る。このとき北1，κ。は次のうちどれか。死亡・解約はそれぞれ独立に発生し、一年を通じて一様に発生するものとする。

（＾）々・510，κ、＝490 （B）ゲ520，κ、・480 （C）々・530，ん、・470（D）ゲ540，ん、・460 （E）々・550，κ、羅450 （F）馬・560，た、・440（G）ゲ570，ん。＝430（H）ゲ580，κ。：420（1）ゲ590，κ。＝410（J）々：600，κ、＝400（4）ある集団が原因ノ，B，Cによって減少していく3重脱退残存表を考える。
ここで各脱退はそれぞれ独立に発生し、一年を通じて一様に発生するものとする。
、＝10，OoO，のとき、gエ（＾）O．025（F）O．037

工、、＝8，OOO，中央脱退率m工■＝O．10，中央脱退率例工。＝O，07の値に最も近いものは次のうちどれか。

（B）O．027（C）0，040（C）O．030（H）O．042

一24一（D）O．032（1）O．045（E）0，035（J）0．0471生保数理…一・・2（5）死力が年齢に関係なく。．iで、7工＝7，233のと色利力δの値に最も近いものは次のうちとれか。
（A）

0．O14（B）

O．017

（C）

（F）

0，029（C）

O．032

（H）

（6）死力μ工＝1O．020
O．035（D）

0，023（E）

O．026（■）

O．038（J）

O．041（O≦λ＜80）のとき、20940，島の値に最も近いものは次のうちどれか。

80−x（＾） 1 一2（F） 1＿（B）（C）

71＿31＿（C）
4891

一（H） 1一（D）＿
5

11（E）＿1＿1（」）＿

工O

1工（1）

6

問題2。

（8点）

次の①〜④に当てはまる最も適切な数値を、計算過程を簡潔に示すとともに、指定の解答用紙の所定欄に、①〜③は整数、④は小数点第2位で記入せよ。必要ならば①〜③については小数点第1位を四捨五入し、④は小数点第3位を四捨五入のうえ、記入せよ。なお、計算過程の記入のない答案は採点の対象とはならない。

J㌘

30

1，i40，000

31

1，135，000

32

1，130．595

ゴ㌘

ゴエ

4

1．200

4，000

a止，。ρ；。

9二9王）

O．1

O．1

250

9㌘

850

0．003

O．0008（＊）就業不能者が回復して就業者集団に復帰することはないことを前提とする。

一25一生保数理………3

問題3．

（21点）

次の（1）から（3）までの谷間について最も適当な数値を、計算過程を簡潔に示すとともに、小数点以下第4位を四捨五入して小数点以下第3位で、指定の解答用紙の所定欄に記入せよ。なお、計算過程の記入のない答案は採点の対象とはならない。

（1）契約年齢45歳年払終身払込保険金年末支払の終身保険（保険期間を通じて保険金額1）について45〜64歳の純保険料をP、とするとき、65歳以降についての純保険料はP。となる。この保険の65歳以降の保険金額をO．75に引下げ、保険期間を通じて純保険料を一定としたとき、その純保険料はP1になる。また、この65歳時点の平準純保険料式責任準備金は元の保険の純保険料式責任準備金と同じ値となる。この時、65歳時点の純保険料式責任準備金の値を求めよ。なお、必要ならば、ノ、、＝o．103，
ノ価＝O．284，δ。。＝12，112，δ。。＝9，668，δ、、、珂＝10，360を使用すること。

（2）尺、豆1＝α25137・ゴ＝α05・孔・3＝α2のとき・・γ、、三一一・K、；1の値を求めム（3）契約年齢30歳保険期間30年年払全期払込で次の（ア）および（イ）の給付を行う保険の営業保険料の値を求めよ。
（ア）保険期間中の死亡に対してはその保険年度末全期チルメル式責任準備金を年度末に支払う。（各年度末の全期チルメル式責任準備金は正である。）（イ）満期まで生存したときは保険金1を支払う。

ただし、付加保険料は新契約費のみで契約時に保険金額1に対してO．02とし、チルメル割合は新契約費に等しいものとし、予定利率は1．5％とする。
なお、必要ならば、v30二〇．639762を使用すること。

一26一

生保数理………4（14点）

間題4．

以下の空欄の①〜⑭に当てはまる数値、記号または式を指定の解答用紙の所定欄に記入せよ。

ただし、③、④、および⑨から⑫については、1つの数値または記号で答え、それ以外は最も簡潔な式で答えること。また、（生命）年金現価の記号を用いるときは期始払の記号を用いること。なお、番号の異なる空欄に異なる数値、記号または式が入る、とは限らなし）
ので留意すること。

（1）（A）契約年齢x歳年払全期払込〃年満期養老保険（保険金額1保険金年末支払）の第。
保険年度末責任準備金を、げ（B）（A）と同じ条件で死亡保険金を満期日に支払う契約の第サ保険年度末責任準備金を、げ（C）毎年一定額を払い込む。年満期定期積金（保険金額1）の第f年度末の積立金を、ビとするとき、、に＝αlX、げ十わlX，ほの形に表せるという。これを次のように示す。

κ・回■

回．．

回

．．

1．ソH・｝十回・｝一（回一回）・。イ

・（回）・、K五・（回）・、ぼ（2）（1）の（B）の契約で被保険者が死亡したときに、死亡直後の契約応当日から満期直前の契約応当日まで年金年額〃の確定年金を死亡保険金のほかに支払うとした。このとき、第1保険年度末責任準備金、κ十周は、げ十㌧o．X、κ十わ。X、げの形に表せるという。これを次のように示す。

匝コ
純保険料をP川とすると、PT＋R＝回回

匝コより、

匝コ

回一国］

匝コ

匝コ、げ㌧四コ・μ・（回コー回）一（・、κ…（国コ

回一［調十〃X…

）・㌦，η・㌦司）・（回）・、ビ・（回）・〃
回

一27一

生保数理………5

問題5．

（15点）

次の空欄に当てはまる記号または算式を指定の解答用紙の所定欄に記入せよ。

ただし、解答にあたっては、適切な数値および問題文中の記号ならびに文末の【語群】（7ぺ一ジを参照）中の記号のみを用い、Σ記号や∫記号は用いないこと。

契約年齢子供κ歳・親y歳死亡保険金年末支払保険期間〃年保険料は年払全期払込で、親と子の共存期間中に払い込まれるものとし、次の（a）から（d）の給付を行う親子連生保険を考える。また、予定死亡率は親子とも同一の生命表によるものとし、予定事業費は考慮しないものとする。

（a）子供が〃年後まで生存した場合は、満期保険金∫五を支払う。

（b）子供が保険期間中に死亡した場合は、死亡保険金としてその死亡時までの既払込保険料相当額（（C）で親の死亡の場合に払込を免除された部分を含む）を支払い、契約は消滅する。
（C）親が死亡した場合は死亡保険金∫Pを支払い、その後の保険料の払込を免除する。

（d）親の死亡した年度の年度末から第〃保険年度末まで、子供の生存を条件として年額Rの年金を支払う。

（1）保険料をPとすると、支出の現価は［互］十P［亜ニコとなり・収入の現価はP［亙］となるので・収支相等の原貝．』から、、、［目となる。
［璽］一［璽］（2）親子とも生存の場合の平準純保険料式責任準備金を、γ、子供のみ生存の場合の平準純保険料式責任準備金を，戸とすると、それぞれ次のようになる。

ただし、責任準備金を計算する時点（c）での支払いについては、死亡保険金は支払われたものと考え、満期保険金と年金はまだ支払われていない状態にあるとして計算を行う。

γに関して将来法で考えたとき、将来支出の現価として、給付事由（a）（b）については［璽コ・給付事由（・）（1）につ／・ては［璽］となり・将来収入の現価として・・［重コとなる。
一28一

生保数理……・

6

したがって・。γ・［璽コ・［璽］一・［璽］
同様に、、戸に関しては、将来支出の現価として、給付事由（a）（b）については［璽］子供のみ生存することから・給付軸（1）については［＠］となる。
したがって・、戸・［璽］・［更］（3）責任準備金の再帰式を以下のようにして導く。ただし、O≦c≦η＿1とする。

まず・、γの算式の［二1至二］・［亙コおよびP［亙］は次のように変形でき乱［璽コ・［璽］・1ρ工十、（［璽コ）一・一……一・……・…（1）［璽］一［璽］・［聖コ（［璽コ）・［璽］［璽］……………（・）・［璽］・・ヰ［聖コ［璽］……一…一・一…・一…一………・・（皿）（I）式と（n）式の左辺と右辺それぞれを足し、そこから（皿）式の左辺と右辺のそれぞれを引くと、左辺は、γとなり、右辺は、右辺・［璽］・［璽］一・w工十、（［璽コ）・［聖コ（［璽］一［璽］）

・［璽］［璽］・［璽］・［亜ユ・・［璽コ（［重コ・［聖コー［璽］）
十［璽］（［璽］・［璽］）
したがって、次の再帰式が得られる。

、用・［璽］・［聖コ・［聖コ、十。γ・［璽］、、ア

一29一

生保数理………7
【語群】

v

f

凡み。

一1

ρ洲

ρ洲。1

孔

9洲一1

9州9州。1

巧

ρ州一1

ρ州

み判・1

幻

9州一1

9州

g州・1

孔

9工。｝一・，叶・鮎，州ω。1，。舳

9工呈9王。卜・，｛19州ん

9州・1，｛・δユ、司6エ、、．、＝司あ、十、、司あ、、、、1、司δ工、司δ工、、．、、雨あ五十、、祠あ工、、十、、司あ、、司あ、、、凹1、司㍉、、、司δ、、、十1、司δ、、司δ、、、．、、岡δ、十、、嗣あ、十、十、、同ノ1・1司ノ1洲一11司ノ1州：司ノ1州・l1司ノ1工1司ノノノ1

ノ1州一11司ノ1

ノi州・11司ノ1o目

ノ1c・ト1：司凾P司B1司

1肘卜1；■司ノ1工・1：司ノ1

ノB1司1州・l1司

1p・舳■司δ工、、司∂工、、．。ツ、、、1、詞

δ工十、，。、、、司∂、、、十1。、、、、、岡α桐

α洲一1レ・一・＝司α・・伽＝司α洲・1一州：司α小＝司○州一11洲一1＝司○州I洲：司○州・11州1＝調（M）1、司（M）工4．、、司（〃）工1、、司（M）五十1、、、司（〃）1＝司（〃）、占．、、司（M）ツ｝、、司（M）ノベ、、、司ノ1

ノ1州一1，州一rτ司ノ1@洲，州1司ノ1@洲・1，y・舳r司ノ1@η1司ノノノ@舳司1州一1．州一1：高司

1州，〃・1：同

1州・1，州・1：戸司以上一30一

生保数理（解答）
問題1、設問番号

（1）

（2）

解答欄

CC

（3）（4）

E（5）」

（6）

E

解答は上の表のとおりであり、以下に各設問の解答方法を略記する。
（1）二党隆 生命保険数学（上）25頁第1章練習問題（2）の（6）番が類似問題
・（C）

孔二1〃，（Jα）田＝1〃＝1〃十1μ2
δ。。＝（1＋ゴ）方＝21よりゴ＝O．05、（7α）。・1〃・1μ十1〃2・1／O．05・（1／0．05）2＝420（別解）あ＝o＋1より、α；∂＿1＝21＿1羅20（∫・）。。＝α。。十吻固十ひ2・。。十…

一α。。い・ソ2・…）＝α

1・一一軸1一ソ＝α・δ＝20．21＝420（2）二党隆

生命保険数学（上）第2章

練習問題（1）の（12）番を参照（C）、＝．…／よりん＝舳・／1一ガ
ゐ血ω一x

心げ⊂g・・（、三、γ「■（ω言デジr。

書言α

したがってμ工eエ＝一α十1（別解）

一31一

吋

二、r、、

ニサ／・、／・一芸〕

・古い十伽・★「w…子デ↑・妄言㌘・κ二一・よ1ん1工・差／書言〕…、子、（3）二党隆

生命保険数学（上）g9頁第3章練習問題（4）番を参照

・（E）

w工＝工g二＝J工9g坦＝9a工であるから、J工、、＝Jエイエーw工：

工一10a工J一

よって、3工＝エ

五十1＝100（．

工＝ノー1000x）10．w：900，

∂

9工＝w

100

工

：

J一二土エ

一450

エ

2（4）二党隆J

コ1工エ−550＿450

生命保険数学（上）第3章

92頁からg4頁などを参照

・（J）

十J
Z工＝ユエ十・9．000

2m／

aエノ

＝＝工．

Z工g，000

同様に、d工

a工■

一6．工

＝1900

c＝630

パ：6＿パ＿dc＝2000＿900＿630＝470
』；

五工

d五月

9工＝J工
（5）二党隆470＝10，000
一＝0047

生命保険数学（上）第4章

113頁などを参照（1）

炉・・／−／μ／・…（一α・）1伽抑｛払11・、1．111
一32一11亙

7，233

δ＝＿一〇．1＝工（6）二党隆

01＝0038255

生命保険数学（下）第12章

g2頁から96頁などを参照（E）^ル・〕一…／一∬8。土．互・つ・・一…

・一・／11・・⑫・…1）1；1一一・／㎞・／8㌻llつ／80−x一80−x
したがって、g工・・m80一π…ぺ舳1バ会・31デ・、÷、吋古・一「外1（別解）解答は、（50）の死亡に着1ヨした式で、別解として（40）の死亡に着．目して解くことができる。
。。・。。品一r、伽、。ψ舳・、ト、・、舳・一r、ρ。。・、ρ。。・μ仙、・、ト、・、帖、・・峠…三言C8妾言11デ8。．1。．、、。㌔・・戦1・・1去。［…一1・ll1−6（参考）20940，島の表記について

2．gω，品の表記は英米の主要な千キストでは：を使用して。。g。。：島となっている。また、絶版となっているが，守田「保険数学」も米英の主要なテキストと同じ表現となっている。
しかし、二党隆「生命保険数学」では20g仰．島と表現されている（例：（下）256頁など）ことから，テキストの表記に準じた。

一33一

問題2二見隆生命保険数学（上）第5章練習問題（！）

jj （①630：g二〇1
1
二言十一も。）一0．1x（4，000＋1，200x＿）＝460
2②荷＝Jξf（14）番（18）番などを参照

2gξf＝1，135，O00x0，003＝3，405

ぱ1＝J㌘一ぺ血一j工よりら1＝Jξf一劣f−J簑：1，135，O00−3，405−1，130，595＝1，O00③砥＝Z品一a孟十ら。＝4，000−460＋1，200＝4，740

並114、＝911・（1二十一も、）・O．1・（4，740＋1，000・一）・524
221；二・1ボ砥・ら1・4，740−524・1，OOO・5，216④ρ；。・・一。1。・；H幸x虹ρ；、一・一。1、より1品、、；。一、二。。、1、一〜；1一?B（・一、二、）■；1■lll・・；・一⑫曇一1；1・小・；・

鳩

1品、．い；1・・1。一ポ1島・φ。）・。1，2ρ30−

1島

一4000■4000×010（4000−4000・01）・01＝08。
4000（別解）

1二一a二・1二、1・ρ二・1−9二

一1、、一1，111＋、ll、

ジプ プ
I… プ
皿」P工＝一X×Xエ＝エρ工Xρ工十1×・・・…

エ十一

工初一1jXρ五十〃・仁一・1）・⑫一。1、、）・．．．．．．．．．・』1、、）

したカミって、ρ1。・ρ1。・ρ1、二（1−91。）・（1−4、）・（1−O．1）・（1−O．1）・O．81

一34一

問題3．
（1）。。1あ。。・あポ∂。。、珂＝12・112−10・360・1・752

収支相等の原則からへ。＝4、、＝酬×Pl＋201645×P2
したがって、O．103昌10，360×Pl＋1，752×P。…①

20κ5＝O，75×45一β×δ65

また、20κ5＝ノ65＿ち×δ65

したがって、20γ45＝O．75×0，284−9，668名また、20η5＝O．284−9，668ろ0071＋9668しろ→・・・・・・・…昨ろ②
9，668①及び②の連立方程式を解くと、巧＝O．007441681
よって、20η5：O．75×0，284−O．007441681×9，668＝0．1410538≒O．141

1（2）（ろ：司十・γ工＝引）（1＋j）＝1∴・γ工：引：高ろ＝l1＝0・701011（ζ、司・・γ工：引）（1・｛）一9冊・・ρ〃…γ、、引・・γ工：；I・O・473210

・・γ工：ザ・γ工＝引・0・227801≒O・228（別解）δ、一あ、一・㌧1■・｝1一麦1二一H1−l13：．I）＿あ＿一1
工十3・21
δ工、引

1．．
1
1
ここで・尺1： E、司一dより α∬・ワ、引・・＝、2，1，7＋…

1，05

1
また・・工・・刃・1町・・一1・。。。／1
02H76ユ90

よって、

1．76190−1γ 一γ＿＝4工・頭3州 3．34460（3）年払営業保険料をP＝02278：0228、年払純保険料をPとするとP＝P＋αあ。。、珂
であるから・全期チルメル式責任準備金を、Vとすると・次の式が成り立つ。

一35一＝3．34460

P㌧α＝岬30

1V＋ψ30

すなわち、PP

1V・P十、V＝岬30＋、・、十1V＋ψ30＋、・、十1V＿α＝ソ・ユV十、V＝ゾ、、1V（1≦t≦29）…①（1≦t≦29）…②②の両辺に一を乗じたものt＝1〜29と①を合計すると29P・Σγ。o30

一α＝戸。。V＝戸P・＝γ十α＝0027066…0027
δ一301

（参考）

P

≒0，027がわかると、α＝0．02であるからP
したがって

更にPP

一α＞o＿α＝ソ．1V＞0、十、V＝γ、十1V＞0であるため、問題文の指示にあるr各年度末の全期チルメル式責任準備金は正である」ことがわかる。

解答を行う際の支障が生ずることのないようこの指示文を記載した。

一36一

問題4．

設問番号

解答別解／廿〆一①ガ／÷／血③

δ＿工1川I④1②⑤ジ⑥ジ／÷／記1一〆⑦⑨

δ＿＾1⑩あ＿工1＾1①あ＿卜⑫

δ＿＿洲：N．1

⑱

1一幽i

■
一1（1＋i）⑭工舳一 ■
δ：一一δ、、司一一㌧ゾx

斗、・X

α洲司（1．、1）X1一〆■あ一工1掘1

1一〆δ、一I・（1イ）一（1一〆）・」
δ一・γ㌧ツπ・舳■δ一舳1＝〆×、V麦十δ＿刈（1一〆）x，V：

一37一^÷〕・
1−／、1，／πプ⑧、V乏＝一／÷／掘．
一卜土土a

（2）PT＋R＝

掘ソ
十〃x
6ユ、司δ＿一δ＿一I
δ工、司であるから、（下記「参考」を参照）

ゾδ7rδ工＝；〃1五：；1κR・｛・・㌔一δ＿司）一（δ、・μ・δ；VT＋〃×比（・、V二・かδ＿・一・・｛（1一γ一・あ I＿一）
δ一用＝掘I1）・㌦月工：月1あ＝一I1）一（1イ）・」舳■1一・∂工＝司・，・…（1＋ウ。（κ一κ）

一／1・岬）〕×V・。〔・（1＋j）〕×V・
川

｛

川（参考）

δ＿＿あ＿の表記について
・1
工：・1
守田氏：保険数学（下巻R74）には次のように書かれている。絶版となっているため少し長く引用する。参考にされたい。
§4．復帰年金の拡張

年1回払の復帰年金の公式α、I、：αエ＿α砂で、（x）およびし）に対し、2生命以上の組合せまたは、生命と確定期間の組合せを代入して、この公式を使用することができる。
へ1王＝o。■oにおいて、記号sおよびzはいずれも単生命であってよいし、確定期間または、2生命の組合せても良い。さらに、単生命または2生命以上の確定期間の組合せとしてもよい。たたし、年金が1年2回以上支払われ、かつ、確定期間を含む場合には実用公式にすぎないことを注意しておく。たとえば、〃期間経過後に（x）に対し毎年払の年金が給付されるとす
れば、

o一 l12＝o 工 −o ∬1一 1

ところが、年金が年m回払ならば公式はつぎのようになるが、これは年金の価に対する実用公式としてのみ使用される。

一38一

〔1〕

（〃〕

α皿1：エ＝αエ〔㎜〕

一〇
一エ：皿1

十・ち；1｛・ち；1／今／／：o一α工

一川1

十m−1Dκ十2mD

これは据置年金に対する普通の公式

青刈今ド号；／と同じものになる。

（x）の死亡に始まり、かつ、その年金が現在からn年以上は続かない年金の現価は、
0 ■1π1一＝α一一α一1
工1皿1

なお・同様の記述はA1istairNei1ILifeContingencies

mVerSionaryannuitieSにもある。

一39一のp278

8．7

Sp㏄ia1andcontingent

問題5．

設問

解答ﾔ号

∫五・ノ1＋∫p．ノ1＋R．o

①

あ＿・川1

一右…い｛・叫馬∫厄

④

∫p・ノ

⑤

・十R．o

工・1．州1司州1工・1：同

一あ工、、。十、、司

⑥

一R・あ⑦

洲：祠

一（1・1）・P・ソ・9工、、⑧∫垣（C＋1）・P．γ、（1＿ρ工、、）も可判由・P・同・仙、、司・鮒ふ正司1

一∫p・ソ・9工、、．正、⑩

一⑪ソ・（1−9工十、）・仁一〜、）等も可γ．ρ。・パρ州

∫p・ノ

1＋R．α

用・1．州・1：司⑬

ソIρ洲．9州⑭

R・あ⑮

小：司一③⑫工y1司（M）1、刃②⑨工1司別解｝・！・11州・1：司γ・（1一孔、、）・⑫ツ、、、）等も可

洲・1：司一P・δ舳1、ア・舳；司一（1）年払保険料をPとすると、支出の現価は匝園①・・囮副②とな1・収入の現価は一40一

・匡］③となるので、∫亙．ノL＋∫p．ノ1＿十R．o
〃1
〃1・1
刈・1司

収支相等の原則から、P＝①となる。

［③一匹，②

親子とも生存の場合の平準純保険料式責任準備金を、1／、子供のみ生存の場合の平準純保険料式責任準備金を、17とすると、それぞれ次のようになる。

ただし、責任準備金を計算する時点（f）での支払いについては、死亡保険金は支払われたものと考え、満期保険金と年金はまだ支払われていない状態にあるとして計算を行う。

、γに関して将来法で考えたとき、将来支出の現価として、給付事由（a）（b）については∫垣。ノ

1＋P．

舳同・4、、司・（砧｝＝同⑤給付事帥）（d）については∫p・ノ五、、山＝司・…、、、iユ十、、司となり・将来収入の現価として・匡園⑥と脇したがって、

γ・∫亙・4、点・P・④・lP・4、、司・（4L、司加…〜、司⑤一・園⑥

同様に、、γに関しては、将来支出の現価として、給付事由（a）（b）について

∫児．ノ

1＋P．

用1司・4、：司・（域｝、司④

子供のみ生存することから・給付事帥）について1ま区裏1≡□⑦と鰍したがって、

γ＝∫五．ノ・

1＋P．

・4、＝同十（M）工㍉：司④・

淵：司C≡≡□⑦（3）責任準備金の再帰式を以下のようにして導く。ただし、O≦C≦〃一とする。

まず、γの算式の∫厄。ノ 1＋P・1
州：同・4、、同十（〃）、‡＝同④・ポ・惧洞舳州⑤および・一司⑥11次のように変形でき乱一41一∫五・ノエ十、、白十P−4、、司十（M）ふ同 ④・1・・〜⑧・一区｝⑨〕∫p．ノ五十1，州：同＋R・α∫十生十⑤：司・1・・1・馬⑩・仏ρ…⑪ ^l・馬判司…＿、㎞、岡⑫／・lM州⑬ C互⑭・匡裏目⑥…lM州⑪一］⑮
最初の2式の両辺を足し、そこから3番目の式の両辺を引くと、左辺は！となり、右辺は、⑧⑩右辺・⑫・1）・P…9工、、・∫㌦・9工十、，正、・ソん／㌦、由・小・）仙司ψ工畑⑨／

一⑪・lM州⑬ l五⑬

したがって、次の再帰式が得られる。

⑧⑩⑪⑯ 一、γ・P・⑫・1）・P…9工十、・∫p・γ・9工十、，、㌔、・γ・ρ工、ジρ、十、・、十1γ・γ・ρ工十、・9ツ十、・、十、γ以上

一42一