はじめに

 1 対 1 対応の演習シリーズは，入試問題からとランク分けします．この基準で本書と，本書の基本的あるいは典型的だけど重要な意味を持って後に位置する月刊大学への数学の増刊号

いて，得るところが大きいものを精選し，その問

数学Ⅲスタンダード演習（Ⅲスタと略す）

題を通して

新数学演習（新数演と略す）

入試の標準問題を確実に解ける力をつけてもらおうというねらいで作った本です．
さらに，難関校レベルの問題を解く際の足固めをするのに最適な本になることを目指しました．

順に 5 月増刊（4 月末日発売予定），10 月増刊（9 月末日発売予定）のレベルを示すと，次のようになります．（濃い網目の問題を主に採用）

数Ⅲの範囲が入試で課されるのは，ほぼ理系に限られますから，本シリーズとしては，やや難し目の問題も一部採用し，その問題を通して是非とも身につけてもらいたいやや発展的な手法なども紹介しました．
また，数Ⅲの範囲は広いので，本シリーズでは数Ⅲを微積分編と曲線・複素数編の 2 分冊にしました．微積分の分野でも，いろいろな関数

さて，本書は，入試の標準問題を確実に解けるや，やや応用的なもの（区分求積法を使う問題な力を，問題を精選してできるだけ少ない題数（本ど）と総合的な問題は，曲線・複素数編のい書で取り上げた例題は 75 題です）で身につくよ

ろいろな 関数・曲線
，数Ⅲ総合問題に掲載しうに心がけ，そのレベルまで，効率よく到達してもらうことました．
問題のレベルについて，もう少し具体的に述べましょう．水準以上の大学で出題される 10 題を易しいものから順に 1，2，3，…，10 として，1〜5 の問題……A（基本）
6〜7 の問題…… B （標準）を目標に編集しました．
本書を活用して，数Ⅲの微積分の入試への足固めをしていってください．
皆さんの目標達成に本書がお役に立てれば幸いです．

8〜9 の問題…… C （発展）
10 の問題……… D （難問）1

01_１対１対応_数学Ⅲ_前付_2K.mcd

Page 1

14/02/03 12:54

v6.10

本書の構成と利用法
坪田三千雄

本書のタイトルにある¾ 1 対 1 対応¿の意味から説明しましょう．

けました（大きなタイトル／細かないて，今度は演習題だけを解いてみタイトル の形式です）．なお，問題るようにすれば，一層確実な力がつくでしょう．

まず例題（四角で囲ってある問題）のテーマを明確にするため原題を変によって，例題のテーマにおいて必えたものがありますが，特に断って要になる知識や手法を確認してもらいない場合もあります．

演習題の解答：

解答の最初に各います．その上で，例題と同じテー解答の前文として，そのページの問題のランクなどを表の形で明記しマで 1 対 1 に対応した演習題によっテーマに関する重要手法や解法などました（ランク分けについては前て，その知識，手法を問題で適用でをコンパクトにまとめました．前文

ページを見てください）．その表にきる程に身についたかどうかを確認を読むことで，一題の例題を通しては A* ， B* ◦ と い う よ う に * や ◦しつつ，一歩一歩前進してもらおう得られる理解が鮮明になります．入マークもつけてあります．これは，ということです．この例題と演習題，試直前期にこの部分を一通り読み直解答を完成するまでの受験生にとっさらに各分野の要点の整理（ 2 〜 4

すと，よい復習になるでしょう．ての目標時間であって，* は 1 つページ）などについて，以下，もう少し詳しく説明します．
要点の整理：

その分野の問題を解答は，試験場で適用できる，ごにつき 10 分，◦ は 5 分です．たとえく自然なものを採用し，計算は一部ば B * ◦ の問題は，標準問題であっの単純計算を除いては，ほとんど省て， 15 分以内で解答して欲しいと略せずに目で追える程度に詳しくしいう意味です．

解くために必要な定義，用語，定理，ました．また解答の右側には，傍注必須事項などをコンパクトにまとめ（⇦ ではじまる説明）で，解答の補ま し た．入 試 と の 小 さ く は な い

足や，使った定理・公式等の説明を書き切れなかった重要手法や，ややギャップを埋めるために，一部，教行いました．どの部分についての説発展的な問題に対する解法などを 1

科書にない事柄についても述べてい明かはっきりさせるため，原則とし〜 2 ページで解説したものです．

ますが，ぜひとも覚えておきたい事て，解答の該当部分にアンダーライ柄のみに限定しました．

ン（）を引きました（容易に分かるような場合は省略しました）．
例題：

ミニ講座：

コラム：

例題の前文で詳しくその分野に関連する話題の紹介です．

原則として，基本〜標準
演習題：の入試問題の中から例題と同じテーマの問本書で使う記号など：

上記で，・これからも出題される典型問題題を選びました．例題よりは少し難

問題の難易や目標時間で使う記号の・一度は解いておきたい必須問題

し目ですが，例題の解答や解説，傍説明をしました．それ以外では，・幅広い応用がきく汎用問題

注等をじっくりと読みこなせば，解⇨ 注は初心者のための， 注はすべ・合否への影響が大きい決定問題いていけるはずです．最初はうまくての人のための，➡ 注は意欲的な人の 75 題を精選しました（出典のないかなくても，焦らずにじっくりとのための注意事項です． は関連すいものは新作問題，あるいは入試問

考えるようにしてください．また横る事項の補足説明などです．また，題を大幅に改題した問題）．そして，の枠囲みをヒントにしてください．

∴

ゆえにどのようなテーマかがはっきり分か

そして，例題の解答や解説を頼り∵

なぜならばるように，一題ごとにタイトルをつに解いた問題については，時間をお2

01_１対１対応_数学Ⅲ_前付_2K.mcd

Page 2

14/02/03 12:54

v6.10

01_１対１対応_数学Ⅲ_前付_2K.mcd

Page 314/02/03 12:54

v6.10

02_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 114/02/03 12:55v6.10

極限要点の整理
1．数列の極限
1・1

定義

数列  a  において，n を大きくするにつれ，a の値が一定値 α に限りなく近づくならば，数列  a  はα に収束するといい，α を数列  a  の極限値という．
数列  a  が α に収束することを

lim a=α， lim b= β ならば α≦ β



2・4

はさみうちの原理

数列  a ，  b ，  c  において，b≦a≦c（n=1，2，3，⋯）が成り立ち（b<a<c でもよい），

lim a=αlim b= lim c=αa → α（n → ∞）lim a=αa  α2・5などと書く．
数列が収束しないとき，その数列は発散するという．
収束発散

追い出しの原理

数列  a ，  b  において，b≦a（n=1，2，3，⋯）…… lim a=αかつ lim b=∞

正の無限大に発散 …… lim a=∞ならば， lim a=∞

負の無限大に発散 …… lim a=−∞

3．等比数列の極限

振動
3・12．数列の極限に関する基本定理
2・1

等比数列の収束条件とその極限

初項 a，公比 r の等比数列  ar   が収束するための条件は，数列の極限

a=0 または −1<r ≦1

lim a=α  lim  a−α  =0 b=a−α とおくと lim b=0
2・2ならば，数列  a  も収束して

n → ∞ のとき a → α である．（なお，☞ 次頁の例題（））

演算と極限であり，
lim ar =または −1<r <1 )
 0a (( a=0r =1 )数列  a ，  b  が収束して，4．無限級数の和

lim a=α， lim b= β4・1ならば，lim ( a±b ) =α± β（複号同順）

数列 a ，a ，⋯，a ，⋯⋯lim ka=kα（k は定数）a+a+⋯+a+⋯⋯

lim ab=αβを無限級数といい，記号 ∑ a で表す．

lima

2・3=のすべての項を形式的に順に + で結んだ b

無限級数

α（ただし，b0，β0）β大小関係と極限

実際には，無限個の項を加えることは不可能なので，無限級数の和を次のように定義する．
4・2a≦b（n=1，2，3，⋯）が成り立ち（a<b でもよい），数列  a ，  b  が収束して無限級数の和






無限級数 ∑ a において，部分和 S= ∑ a の作る

6

02_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 214/02/03 12:55

v6.10

6．無限等比級数

数列  S  が S に収束するとき，無限級数 ∑ a は収束するといい，S をこの無限級数の和という．このと6・1無限等比級数の和S= ∑ ar =a⋅き， ∑ a=S と表す．
1−r ( r 1 ) であるから
1−r

無限等比級数 ∑ ar  は，a=0 または −1<r <1

する，あるいは和をもたないという．

の場合に限り収束し，その和 S は
a=0 のとき S=0

無限級数では，勝手にカッコをつけられない−1<r <1 のとき S=無限級数の和は部分和の極限である．公式が存在す
る無限等比級数以外では，部分和 S を計算し，極限値 lim S を求めるのが基本方針である．

a1−r

このとき，無限級数に勝手にカッコをつけたりする

121212+⋅+⋯=100
100100 

ことは禁物である．例えば，
1+ ( −1 ) +1+ ( −1 ) +1⋯⋯

 1+ ( −1 )  +  1+ ( −1 )  +⋯⋯㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
②とカッコをつけると a=1+ ( −1 ) と考えていることになり，全く別物になってしまう．実際，①ではS=0（n：偶数），S=1（n：奇数）であるから， lim S は存在せず，この級数は発散する．
一方②では，つねに S=0 で， lim S=0 と収束する．
の問題を考えてみよう．
例題

次の命題の各々について，正しいか誤っているかを判定し，誤っているものには反例をあげよ．
（） lim b=0 ならば，いて b0 であれば，abは収束する．


発散するならば，  b  は発散する．

3a≦b（n=1，2，3，⋯）ならば S≦T

5・2無限級数が収束するための必要条件


無限級数 ∑ a が収束するならば，lim a=0 である．
（） a ，a ，⋯，a の平均を b とする．  a  が∑ ka=kS（k は定数）

この定理の逆は成立しない．
∑ a= β とすると，

（） lim a=0 ならば， ∑ a は収束する．

（） 無限等比数列  a  が収束すれば，無限等比 いて a<b であれば， lim a< lim bは発散する．

（）  a ， b  がともに収束し，すべての n につ∑ ( a±b ) =S±T（複号同順）

ab 

在し，それらが有限の値で等しい．

［証明］412=3399（） lim ( a−b ) =0 ならば，lim a ，lim b が存とする．このとき，

2=7．正誤判定

無限級数 ∑ a ， ∑ b がそれぞれ S，T に収束する

111−100（）  a ， b  がともに収束し，すべての n につ無限級数の基本定理
1

極限では，直感が通用しない場合がしばしばある．次5．無限級数の和に関する定理
初項㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
①

では a= ( −1 ) であるが，

 = 1−公比 （例） 上を使って循環小数を分数に直せる．例えば
0.12 =

5・1

数列  S  が発散するとき，無限級数 ∑ a は発散

4・3





級数 ∑ a は収束する．
（） すべての n について 0<a<1 であれば，
lim a a ⋯a=0（大阪教育大など）

a= ∑ a− ∑ a → β− β=0 ( n → ∞ )7

02_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 3

14/02/03 12:55v6.10

きちんと答案にするには，今近似した t  で分母分子2100を割れば，ともに 1 に収束し，1/1 で解決です．

ミニ講座・12と 100 は 26 桁違う

また，a>b>1 なら，a +b ≒a  です．これは  → 0 から分かります．

bb=aa［この章を一通り終えたあと読んで下さい］

2．無限小の場合0∞の形がよく出てきます．
や極限の計算では，0∞無限小（0 に限りなく近い）にも大小があります．x も x  も x → 0 のとき 0 に収束するから同じじゃないか

このような場合，無限大（小）の大きさの感覚を持っておとひとくくりにはできません．たとえば ( 10  ) とくと，見通しよく計算することができます．ここでは，( 10  ) は，どちらも 0 のようなものですが，なんとx → ∞ のとき，∞ に発散する f ( x )，g ( x ) について，10  ( =100 億 ) 倍違う !

limg(x)

 f ( x )がうんと小さいので，x ≪ x ，x + x ≒ x  です．

=1 のとき f ( x ) ≒g ( x )多項式関数に限りません．

g(x)=0 のとき f ( x ) ≫g ( x ) f ( x )limlimと表すことにします．x → 0 のとき 0 に収束する f ( x )，e −1log ( 1+ x )=1，lim=1xx
も利用できます．x → 0 のとき sin x≒ x だから，1．無限大どうしの比較
x が十分大きいとき，x  と x ではもちろん x  のほうが大きいのですが，どれくらい大きいのでしょうか．
それには，両者の比をとって調べます．
x
= x  だから，x に対して x  は，x=100 のとき 1x万倍，x=10000 のとき 1 億倍，… となり非常に大きく，逆に x は x  に比べると塵と化してしまいます．よって，x≪ x ，x + x≒ x  と見なして構いません．
次の 2 つの極限は有名です．
x
log x=0， lim=0


 a
 xlim( a>1 ，k>0 )a から見た x ，x からみた log x は，無視できるほど小さい

1sin x1−cos x
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
㌀
①=1，lim=2x
x

limg ( x ) についても，≒，≫ を上の意味で用います．

x  を x ( ≒0 ) 倍した x  のほうという感覚が大切です．
≫ x ≫log x

5 sin ( sin x  )sin x 5xx
sin 5 x= ，≒≒≒  =133xxsin x
sin 3 xx⋅ xx
また，①により，x → 0 のとき，cos x は 1−1 x2とみなせる ( cos x−1≒− x /2 ) ので，

 1− 2 x  −  1− 2 ( 3 x )  =41

cos x−cos 3 x≒x

1xという計算で，極限値の目星がつきます．

3．無限級数で表すと
lim

sin x− xはどうでしょうか．分子≒ x− x=0 とx

見なしては，0の形のままで失敗です．
0a
次の結果が知られています（マクローリン展開といいと，大きさを変えて書いてもいいくらい差があるのです． ます．☞ p.66）．
つまり，指数関数 ≫ 多項式関数 ≫ 対数関数 というxxx
+−+⋯
sin x= x−
わけで，2 ≫ x  です．x=100 のときが表題の場合です．
3!
5!
7!
2  と 100  では，2  のほうが遥かに大きいことにピンと来るようにしたいものです．
さて，次の極限（∞/∞ の形）は，もう簡単ですね．
例

limt  1+t   t + ( 1+分母の 1+t  ) log t=xxx+−+⋯2!
4!
6!

これによると，sin x− x=−x
x
+−⋯⋯
6120

なので，x → 0 のとき≒ ( 1+t ) log t ≒t log t で，これは t =t ⋅tに比べるとほとんど 0．よって，分母≒t  で，分子≒t ⋅tとから，

cos x=1−x
11sin x− x−⋯⋯→−=− +66120xt
=1 が極限値です．
t902_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 514/02/03 12:55

v6.10

1 分数形， などの極限

次の極限値を求めよ．
5 x + x +3 x +3 x−2（） lim（国士舘大・理工）x
1
 1+2 x − 1+ x−
2
 x（） lim（摂南大・工）（） lim (  x +3 x + x )（関西大・理工系）



一番強い項でくくる

例えば，n→∞ のときの2n −10nの極限値を求めてみよう．多項式どうn +n 

しでは，強さは次数で決まり，2n −10n≒2n ，n +n ≒n ．よって，答えは 2 と分かる．
答案にするには，
一番強い項n  でくくって，2− ( 10/n  )2n −10nn   2− ( 10/n  ) }→2 と== 1+ ( 1/n )n +nn  1+ ( 1/n ) }する．n  で約分する前は ∞/∞ の不定形であるが， 約分 することで不定形から脱出できる．
分子の有理化（）は， } を分子と見ると 0/0 の不定形である．分子を有理化すると， 約分ができて，不定形から脱出できるようになる．（）は ∞−∞ の不定形で，分数式ではないが，分母=1 の分数式と考えて，分子を有理化することがポイントとなる．の極限は， t →+∞ に直す
X <0 のとき  X  =−X（マイナスを忘れx→−∞ のときの がち）なので，x→−∞ の形の極限は間違いやすい．そこで，x=−t とおいて，t →∞ に直そう．

一番強い項x  でくくる．分
母・分子の 3 x−2，x +3 が極限に影響しない塵（ちり）である
ことがはっきりする．左では，分⇦ 母・分子を x  でくくった後， x で約分したが，慣れてくれば，はじめから約分して，くくるという操作を省略するのもよい．

⇦ 分子・分母に次式を掛けた．
x
 1+2 x + 1+ x−2解 答





1x
（઄）   1+2 x − 1+ x−2x=

13+ xx
32x  1+  − xxx  5+5 x + x +3=（ઃ）
x +3 x−2

=





( 1+2 x ) − 1+ x−x2x2x   1+2 x + 1+ x−x
+2 x− x − x 1+2 x− 1+ x +4x
x   1+2 x + 1+ x−
2

31+ x
x
5+0+0
=5=
3
2  1+0−0
1+  − x
x
5+=x
1−41
x   2
 1+2 x +1+ x−2

⇦ 分子を有理化し，x  で約分することで，不定形から脱出．

（અ） x=−t とおくと，x→−∞ のとき t →∞ であり，

 x +3 x + x==−3t t −3t +t t −3t −t
1=−



=

( t −3t ) −t 

 t −3t +t

33
 −23
 1− +1t⇦  t −3t =



t−32

−4


932から，答えの見当をつけることができる．
≒t −1 演習題 ( 解答は p.24 )次の極限値を求めよ．
( n+1 )+ ( n+2 )+⋯+ ( 2n )

1 +2 +⋯+n （） lim（福岡大・理，医，工）（） lim x (  x +6 x+10 + x+3 )（駒大・医療健康科学）

（） まず（ ）を有理化する．

1002_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 614/02/03 12:55

v6.10

2 r n ( n→∞ ) の極限
2 −3 を求めよ．
4 +2 （） lim（東京電機大・理工／改題）r −3 を求めよ．
 r +3（） r を正の定数とするとき， lim（弘前大・理工）一番強い項でくくる
前問では多項式の極限を考えたが，今度は等比数列  r   の極限を考えよう．
これは，∞ ( r >1 )，1 ( r =1 )，0 (  r  <1 )，±1 で振動 ( r =−1 )，±∞ で振動 ( r <−1 )となる．等比数列どうしの場合，  a   と  b   について，  a  >  b  ならlimb a

= lim a  =0  ∵  a  <1  であるから，b は a に比べれば塵のようなものである．
bbちりまた，（）のように指数に 2n，n タイプが混在しているときは，n にそろえ 2 =2 ⋅2=2⋅4  のようにする．すると（）で一番強い項は，2  と 4  であるから，4  でくくる変形を行う．
（）では，r と 3 の大小で強い項が変わるので，この大小で場合分けをする．

解 答（ઃ）

2 −3 
2⋅4 −3⋅3 = 
4 +24 +4⋅2 
332−3
4  
4 
2−0=2==
1−022
4 1+41+44 4 4  2−3

⇦ 3 =3⋅3  であるから，3  と3  の強さは同じ．

（઄） 0<r <3 のとき，分母・分子を 3  でくくって，r −3 =r +3  13  r3  −3  = 13  r3  −33  r3  + 13   r3  + 133





r =3 のとき，

0−3=−910+3r −3 
3 −3 
1−9=−2= =3+1r +3 
3 +3 

⇦ 分母・分子を 3  で割った．

r >3 のとき，分母・分子を r  でくくって，r





−3r +3      13 3 
1−3−3rrrr
1==1 3 1 3   r
r 1+1+r rr rr

2 演習題 ( 解答は p.24 )（） 実数 x に対して， lim

2− x 

 1− x− xを求めよ．

（近畿大・理工／一部）

x − x （） 0 でない実数 x について，極限値 limを求めよ． （武蔵工大・工）x + x 

どれが一番強い項で，どれが塵のようなものなのかを意識しよう．

1102_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 714/02/03 12:55

v6.10

極限
演習題の解答解 （ઃ）  x  <1，すなわち −1<x<1 のとき，

22−02− x =1−x1− x− x   1− x−0x=1 のとき，

2− x 
2−1=−1=1−1−11− x− x x=−1 のとき，
1…A*
4…B* ◦
7…B**
10…A**
13…B***

2…A**
5…A* ◦
8…B**
11…B**
14…B**

3…B**
6…B* ◦B*
9…B** ◦12…B* ◦B**







（） 分子= ∑ k = ∑ k − ∑ k  と考える．

1



（） x=−t とおき，（( n+1 )+ ( n+2 )+⋯+ ( 2n )
1 +2 +⋯+n 

解 （ઃ）=）を有理化する．

 1 +2 +⋯+ ( 2n )  − ( 1 +2 +⋯+n  )1 +2 +⋯+n 

2 ( 2n+1 ) ( 4n+1 ) − ( n+1 ) ( 2n+1 )=( n+1 ) ( 2n+1 )［分母・分子を n  で割って］

=→1n  4+ n  −  1+ n   2+ n 11 1+ n   2+ n 11 x  >1，すなわち x<−1 または 1<x のとき，
2−1
12− x x 0−1
=
=
x
1− x
1− x− x  0− x−xx （઄） A=x − x とおく．
x + x （x0 のとき，  x  >  x     x  >1

 x  <1，すなわち −1<x<1 のとき ( x0 )，10− x =−x
 0+1x=1 のとき，A=1−1=01+1x=−1 のとき，①により，A=−1+1=01+1

 x  >1，すなわち x<−1 または 1<x のとき，A の分母・分子を x  で割って，
A=x−0x− x =x1+ x   1+03（） ここでは，まず lim（઄） x=−t とおくと，x→−∞ のとき t →∞ であり=−t   t −6t +10 − ( t −3 ) =−t ⋅=−t ⋅=−( t −6t +10 ) − ( t −3 )

 t −6t +10 + ( t −3 )sin 4 xsin 2 xsin 2 x+sin 4 x⋅4⋅2+4x2xx=
sin 5 xsin 3 xsin 3 x+sin 5 x⋅5⋅3+5x3xx

 t −6t +10 + ( t −3 )11( t →∞ )
→−
2
1063
1− +  +1−ttt（）  x  と  x の大小で場合分けする．

11−cos θ= を用意2θ

解 （ઃ） 分母・分子を x で割ると，1（）  x  と 1 の大小で場合分けする．

 しておく．（）（）でもこれを使うことにする．

2+4

 3+5（઄）
2x − x ㌀㌀㌀㌀①x +1

よって，A 2⋅2⋅4−1⋅2=7 ( n→∞ )1⋅2x (  x +6 x+10 + x+3 )1x  x >1   x  >1 に注意して場合分けする）

A の分母・分子に x  を掛けて，A=11⋅2n ( 2n+1 ) ( 4n+1 ) − n ( n+1 ) ( 2n+1 )
66=
1n ( n+1 ) ( 2n+1 )62 2+12− x 2−1==
31+1+11− x− x =341−cos θ( 1−cos θ ) ( 1+cos θ )=θθ  ( 1+cos θ )= θ  ⋅ 1+cos θ → 2 ( θ →0 )sinθ11であるから，与式の分母・分子を x  で割って，24

02_１対１対応_数学Ⅲ_極限_6K.mcd

Page 20

14/02/03 12:55

v6.10