大日

1章

多項式

単元

4覚えよう！

1いんすう

多項式をいくつかの因数の積として表すことを，その多項式を因数分解するという。

2教科書

因数分解⑴
3

P.26〜33

因数分解の公式⑴

x2+4x+3=(x+1)(x+3)
因数 因数

⑵

共通な因数……mx+my=m(x+y)⑷⑶

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+2ax+a2=(x+a)2
x2-2ax+a2=(x-a)2

x2-a2=(x+a)(x-a)

チェック1 共通因数
次の式を因数分解しなさい。

例題

2x2+4x⑴=2x*x+2x*2=2x(x+2)⑵ ay-4by+3cy=y*a+y*(-4b)+y*3c

共通因数は 2x=y(a-4b+3c)
yをくくり出す

2x をくくり出す
確認問題１⑴ ab+ac

次の式を因数分解しなさい。
⑵
〔〕

〔〕

⑷ a b-abc

共通因数はy2am+bm

2ac+6bc⑶〔〕〔〕⑸ 3xy+5xz-2x〔〕〔〕⑹ 2ax+4bx-6x

チェック2 因数分解の公式⑴次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+9x+20⑴

和が +9⑵ x2-5x+6

積が +20

和が -5+4 と +5x +9x+20=(x+4)(x+5)
2

確認問題２〔⑷ x2-7x+6〔x2+4x-45〔
26

和が +2-2 と -3⑵ x2+6x+8〕

〕

〕

〔

⑸ x2-10x+16〔⑻ x2-5x-14〔

積が -35-5 と +7x +2x-35=(x-5)(x+7)
2

次の式を因数分解しなさい。

⑴ x2+3x+2⑺積が +6x -5x+6=(x-2)(x-3)
2x2+2x-35⑶

⑶〕
⑹〕
⑼〕

x2+10x+21〔〕〔〕〔〕x2+2x-15x2-8x-9

大日

1章

多項式

チェック3 因数分解の公式⑵次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+6x+9⑴=x +2*3*x+32=a -2*4*a+42=(x+3)22=(a-4)2(●+▲)2 の形にする

確認問題３a2-8a+16⑵⑶ 25x2-10x+1=(5x) -2*1*5x+122=(5x-1)2

次の式を因数分解しなさい。

⑴ x +2x+1⑵ x2-4x+42〔〕⑷ x +14x+49
2〔〕⑸ x -12x+36⑺ x +8xy+16y⑻〔〕9a +6a+12〕〔〕〔〕⑹ a -18a+81⑼ 4a -12a+92〔〕〔2〔〕

25x を1つの文字とみる⑶ a2-6a+92〔22〕チェック4 因数分解の公式⑶次の式を因数分解しなさい。

例題x2-9⑴⑵ 4x2-25y2=x2-32=(2x)2-(5y)2=(x+3)(x-3)

2x=●，5y=▲と考える=(2x+5y)(2x-5y)(●+▲)(●-▲)の形にする
確認問題４⑴ x -4

次の式を因数分解しなさい。

⑵ x2-162⑷ x -81〔〕

2〔⑸ 4a -9b2〔⑶ a2-49〕〔〕2⑹〔25x -36y2〕〕2〔〕

チェック5 いろいろな因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題⑴

ax2+3ax-10a=a(x2+3x-10)=a(x-2)(x+5)

共通な因数aをくくり出す(⑵ (x+2)y+(x+2))内を因数分解する

x+2=M とすると，(x+2)y+(x+2)=My+M=M(y+1)=(x+2)(y+1)
確認問題５

次の式を因数分解しなさい。

⑴ 2x2+14x+24〔Mをもとにもどす⑵ 4ax2-24ax+36a〕〔⑶〕(a-b)x-(a-b)y〔〕
27大日

1章

多項式

単元

教科書

因数分解⑵／式の利用

5P.34〜39

覚えよう！

1

式による証明の基本⑴

式による証明では，条件を式に表し，それを結論にあった形に変形する。
偶数は 2n，奇数は 2n+1 または 2n-1(nは整数)
ぐうすう

⑵

き すう

aの倍数であることの証明は，式が「a*(整数)」の形で表せることを示せばよい。

⑶

チェック1 計算の工夫
次の式を工夫して計算しなさい。

例題⑵ 202*5.8-102*5.8

522-482⑴=(202-102)*5.8=(52+48)(52-48)=100*4=(20+10)(20-10)*5.8=400
確認問題１=30*10*5.8=1740

次の式を工夫して計算しなさい。

⑴ 65 -352
2〔⑶ 25 *4.5-15 *4.5
2⑵

1272-1232⑷

14 Ð-6 Ð〕

2〔2〔〕

〔〕2〕

チェック2 式の値因数分解を利用して，次の式の値を求めなさい。

例題⑴

x=13 のとき，x2+14x+49⑵ x=12，y=28 のとき，x2+2xy+y2••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑴x2+14x+49=(x+7)2 と因数分解し，⑵x2+2xy+y2=(x+y)2 と因数分解し，x=13 を代入すると，

x=12，y=28 を代入すると，(13+7) =202(12+28)2=402

2=400=1600
答

確認問題２⑵1600

因数分解を利用して，次の式の値を求めなさい。

⑴ x=5 のとき，x2+10x+25⑵〔⑶ x=46，y=16 のとき，x -2xy+y2〕

2〔28400⑴

x=43 のとき，x2-6x+9〔⑷ x=4.75，y=1.25 のとき，x -y2〕

〔〕2〕

大日1章

多項式

チェック3 式による証明
例題

連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。このことを証明しなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••整数nを使って連続する2つの奇数を 2n-1，2n+1 と表し，問題に沿って計算する。

解

(証明)

連続する2つの奇数を 2n-1，2n+1 とすると，(2n-1)(2n+1)+1=4n2=(2n)2nは整数だから，2n は偶数である。
よって，連続する2つの奇数の積に1を加えると偶数の2乗になる。
確認問題３「連続する2つの奇数では，大きいほうの奇数の平方から小さいほうの奇数の平方をひいた差は8の倍数になる」ことを，次のように証明した。〔〕にあてはまる式を書きなさい。

（証明） 連続する2つの奇数を小さい順に〔ア(2n+1) 〔イ〕=4n +4n+1-(〔ウ2〕，2n+1 とすると，〕)

2=4n +4n+1-4n +〔エ22=〔オ〕〕

nは整数だから，8n は8の倍数である。

よって，連続する2つの奇数では，大きいほうの奇数の平方から小さいほうの奇数の平方をひいた差は8の倍数になる。

チェック4 図形の性質の証明
例題

1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。

この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

小さい正方形の面積，大きい正方形の面積，図の点線で囲まれた正方形の1辺の長さ¾を，それぞれpやaを使って表す。

(証明)

S=(p+2a)2-p2=p2+4ap+4a2-p2=4ap+4a2ap……①

道の真ん中を通る正方形の1辺の長さは p+a であるから，¾=4(p+a)

両辺にaをかけると，a¾=a*4(p+a)=4ap+4a2 ……②①，②から，S=a¾
確認問題４

縦の長さがp，横の長さがqの長方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表されることを次のように証明した。〔(証明) S=(p+2a)(q+2a)-〔ア〕にあてはまるものを答えなさい。
〕=2ap+2aq+4a2

道の真ん中を通る長方形の縦の長さは〔イ横の長さは〔ウ両辺にaをかけると，a¾=a(〔エpqa¾……①〕，〕であるから，¾=2(p+a)+2(q+a)=2p+2q+4a〕)=2ap+2aq+4a2……②①，②から，S=a¾29大日

1章

多項式

練
単元４
1

1 共通因数⑴ x -xy〕

2 因数分解の公式⑴ x +6x+5〕

x -10x+24〕⑺ x2+2x-48〔⑷ x -2x+1〔〕⑺ x +22x+121〔⑷ 49x -4〔

5 いろいろな因数分解30⑸ a -14a+49〔⑻ 16x +8x+1〕〔〕〔⑸ 4x -9y2〕〕⑸ 4x2-16y2
〔

〔〕

〔〕

t2+18t+81⑹

x -12xy+36y

〔2〕

2〔〕

〔〕

〔〕

⑼ 9x -30x+25⑶

9x2-16⑹64x -25y〕〕⑵ 4x2+20x+24〔〕

x2-15xy+54y2〕

次の式を因数分解しなさい。

〕〔

22〔〕⑶〕〕

2〕⑵ x2-121

2〔x -3x-70

次の式を因数分解しなさい。

2⑷ 2ax2-2ax-84a〔〕

2〔

〔

⑹

⑼

2〔

3x -9x-12⑻ a2-6ab-16b2a2-8a+7〕

22⑴

〔⑶〕

⑵ x2+8x+16〕12〔

次の式を因数分解しなさい。

〔

単元４5⑸ a -a-20〕

2⑴ x -36〔

12x y-xyz-4xy2〕

2〔

4 因数分解の公式⑹⑵ x2+9x+8〔

単元４4〔〔

次の式を因数分解しなさい。

2⑴ x2+4x+4〕2〕

23 因数分解の公式

4a b-16ab +12ab2

その⑶ 2xyz-8yz2〔⑸

〔

単元４3題

⑵ ax+3ay⑷ 3ax-9bx+15cx⑷問

次の式を因数分解しなさい。

2〔

単元４2習

22〔〕

⑶ 3x2-24x+48〕
⑹〕

〔〕

〔〕

9a2b-4bc2

大日

1章

練
単元５
1

1 計算の工夫⑴ 85 -152⑵〔〕

22 式の値⑴

x=14 のとき，x2-8x+16⑶x=38，y=22 のとき，x +2xy+y〔〕〔〕x=84 のとき，x2+12x+36⑷

x=6.5，y=4 のとき，4x -9y〔2〕〕

2〔〕

3 式による証明 「連続する2つの整数で，大きいほうの整数の平方から2つの整数の和をひいた差は，小さいほうの整数の平方に等しい」ことを，次のように証明した。
（証明） 連続する2つの整数を小さい順にn，｛n+()｝=アにあてはまる式を書きなさい。とすると，-(2n+1)ア〔〕イ〔〕

よって，連続する2つの整数で，大きいほうの整数の平方から2ウ〔〕

つの整数の和をひいた差は，小さいほうの整数の平方に等しい。

エ〔〕

オ〔〕

イ

単元５4〔2⑵〕22372-272⑷ 26 *5-16 *5

次の式の値を求めなさい。

2その〕

〔

単元５3題

2〔
単元５2問

次の式を工夫して計算しなさい。

2⑶ 25 *3.5-15 *3.52習

多項式

4 図形の性質の証明

ウ=エオ

¾

右の図のように，線分 AB の中点をＯとし，半径 OA の円をかく。さらに，AC=a となる点Ｃを OA 上にとり，半径 OC の円をかく。

OC の長さをr，点Ｏを中心として，AC の中点を通る円の周の長さを ¾ ，影の部分の面積を S とするとき， S =a¾ となることを証明しなさい。

ACar OB31

大日

1章

多項式

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 18x2-27xy+9x〔⑷⑵ x2+7x+12〕44a2- a+39〕⑺ 3x y+33xy+72y2

8x2-72〔〕〔⑶ 6.55 *8-3.45 *8⑵

112-122+132⑷

93 +2*93*7+7〕

2〔〕

2〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

(x-y) -20(x-y)+100〕⑴ 5.9*357+5.9*643〕2⑼〔2 次の式を工夫して計算しなさい。

2単元５22〔⑹ (x+y)2-36〕⑻ (2x-1) -(x+6)
2〔単元５1〕

1x2-5xy-36y2⑶

〔⑸〔

その

23 次の式の値を求めなさい。

⑴ x=32 のとき，x2+16x-36⑵ x=5，y=10 のとき，16x +24xy+9y2

2⑶ x=17，y=12 のとき，x y-5xy-14y2

単元５3

4 連続する2つの偶数で，大きいほうの偶数の2乗から小さいほうの偶数の2乗をひいた差は，4の倍数になる。このことを証明しなさい。

32

大日

1章

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 24x2+16xy〔⑸〔〕⑺ x +6xy+9y2

2〔〕

t1
9 64
2(x+y) -12(x+y)+32〕⑴ 3.752-1.252⑶

913 -26*913+13〔⑵

552*3.14-452*3.14⑷

25 -24 +23 -21〕

2〔22〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

⑼ (a-b)x-(b-a)

22 次の式を工夫して計算しなさい。

2〕〔

21x2+ x+3
9⑹〔〕2⑶ a2b-4b〔⑻〔
単元５1⑵ 5x2+10x-120〕⑷ 4x2-25y2その多項式22〕

3 次の問いに答えなさい。

⑴ x2+y2=(x+y)2-2xy となることを利用して，x+y=4，xy=-2 のときの，x2+y2 の値を求めなさい。

単元５4⑵x+y=-1，xy=-6 のとき，x +y の値を求めなさい。

⑶

x+y=-6，xy=1 のとき，(x-y) の値を求めなさい。

2〔〕

〔〕

〔〕

224 1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついてい¾る。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを¾とするとき，S=a¾ となることを証明しなさい。

pa33