塑性・クリープ分離破面解析法の開発と弾・塑性・クリープ FEA の精度検証への応用
秋田大学大学院 理工学研究科 物質科学専攻 材料理工学コース
教授 大口 健一
（平成 29 年度 一般研究開発助成 AF-2017017）
キーワード：塑性，クリープ，疲労，破面解析，フラクタル次元

１．研究の目的と背景

ひずみ解析を実施したところ，き裂が開口する引張側にお低サイクル疲労寿命の予測には，非弾性ひずみ振幅
in

いて，Fast-Slow では塑性ひずみが蓄積し，Slow-Fast で(Δ ) を用いた Coffin-Manson 型の寿命予測式が広く用はクリープひずみが蓄積することが判明した 2)．また，いられている．一方，はんだのような粘塑性材料では，寿Fast-Slow の破面では塑性変形に由来するストライエー

in

命予測のパラメータに非弾性ひずみ振幅 (Δ ) をそのまションが，Slow-Fast の破面ではクリープ変形に由来するま用いるのではなく，それを塑性成分 (Δ ) p とクリープ成

顕著な凹凸が認められ，この解析結果が妥当であることをc分 (Δ ) に分けて用いる寿命予測式を使用した方が予測確認することができた 3)．これらのことは，疲労破面性状精度は高いことが知られている．繰返し粘塑性変形によると負荷中に生じた塑性・クリープひずみ量の対応関係を明低サイクル疲労の発生が予想される機械部品の設計では，らかにすれば，負荷で生じた塑性ひずみとクリープひずみ

弾・塑性・クリープ FEA を実行することが多い．この場合，の構成比 ε p / ε c の推定が，破面観察により可能になること

非弾性ひずみ εin は塑性成分 ε p とクリープ成分 ε c に分けを示唆している．そして，これを可能とするには，まず，て算出されるため，塑性・クリープ分離型の寿命予測式の破面性状を定量化する方法を確立する必要がある．

使用が可能となり，寿命予測精度の向上が期待される．しそこで本研究では，Fast-Slow と Slow-Fast での疲労試

かし，その精度を保証するには，εin 中の ε p と ε c の構成比

験で破断した SAC はんだ試験片の破面性状をフラクタル次ε p / ε c が適切であることが必須となる．

元で定量化することを試みた．すなわち，Fast-Slow と弾・塑性・クリープ FEA のある計算ステップ終点での応e

Slow-Fast による疲労破面の 3 次元凹凸状態を表すコンター

力 σi1 は， σi 1  D :{εie +Δε  (Δε p  Δε c )} のように求められる（ D e ：弾性テンソル， εie ：計算ステップ始点での弾pc

図を複数の条件について作成し，各図のフラクタル次元を求性ひずみ， Δε ：全ひずみ増分， Δε ， Δε ：計算ステッ

価すると共に，各破面に対応する塑性・クリープひずみ解析

プで算出された塑性ひずみ増分，クリープひずみ増分）．

結果とフラクタル次元の相関関係について検討した．

めた．そして，それらの値を比較して破面性状の複雑さを評

通常，機械部品の FEA を実行する前には，その解析精度を担保するために引張試験や繰返し負荷試験などの FEA を２．実験方法および破面解析方法実行し，そこで得た応力－ひずみ曲線が実験と一致するこ

2・1とを確認する．しかし，上記の式からわかるように，ここ本研究で疲労破面を観察した試験片は，外径 8mm，標点での応力の一致は，算出した非弾性ひずみ増分

部長さ 18mm の円柱状の試験部をもつ SAC はんだ試験片でΔε in =Δε p  Δε c の大きさが妥当であることを示すものである 1～3)．破面を得た疲労試験は，前述の Fast-Slow とinpc試験片および観察方法あり，Δε 中の Δε と Δε の構成比が妥当であることを示

Slow-Fast の引張・圧縮繰返し負荷によるものであり，すすものではない．したがって，塑性・クリープ分離型の寿べて室温で実施した．その負荷条件を表 1 に示す．

命予測式を用いた高精度の低サイクル疲労寿命予測を可

表 1 中の tt と tc は，それぞれ，引張りと圧縮に要する時能とするには，弾・塑性・クリープ FEA で算出された εin 中間である．試験番号 1-2，3-4，5-6，7-8 の各ペアは，周の ε p と ε c の構成比 ε p / ε c が妥当であることを確認する

期とひずみ振幅が同一で tt と tc を入替えた負荷条件の組合ための何らかの手段が必要となる．

わせとなっている．すなわち，各ペアは，tt が tc よりも短報告者は，瞬間的負荷とひずみ保持を繰返す階段負荷にい Fast-Slow と，tt が tc よりも長い Slow-Fast の組合わせより，繰返し負荷で生じる非弾性ひずみの発達挙動を塑性となっている．また，表 1 の Nf は，各負荷条件での疲労ひずみとクリープひずみに分離して解析する方法を提案

寿命であり，これらを上述のペアで比較すると，いずれもしている 1)．そして，この方法を Sn-3.0Ag-0.5Cu（SAC）

Slow-Fast の方が短寿命となることがわかる．

はんだの引張・圧縮繰返し負荷による疲労試験での非弾性疲労破面の観察には，デジタルマイクロスコープ

ひずみ解析に適用している 2)，3)．その中で，周期とひずみ（OLYMPUS DSX-500）を用いた．この顕微鏡が有する 3D

振幅が同一で引張側と圧縮側のひずみ速度を入れ替えた，フォーカス機能を用いて，破面の凹凸状態を表す 3D 画像

Fast-Slow と Slow-Fast の各負荷について塑性・クリープとコンター図を作成した．

疲労試験の負荷条件

 (%)

tt / stc / sNf

1±0.2555035562±0.2550516203±0.25101003708

4±0.251001014455±1.004403686±1.00404967±1.0044002608±1.00400448aNo.

a

表1a2・2

図1a正方形による曲線の被覆例

破面解析方法図形の複雑さをとらえることができるフラクタル次元 4)を用いて，金属やコンクリートの破断面の特徴を定量化しようとする研究がこれまでに行われている 5～8)．これらの研究では，フラクタル次元を求める際に，様々な方法が用いられているが，一般的には，ボックスカウンティング法を用いることが多い．破断面の断面プロファイルのような，(a) 解析対象の曲面(b) 曲面の高さコンター図

曲線のフラクタル次元をボックスカウンティング法で求める際には，曲線を 1 辺の長さ a の正方形で被覆して，被覆に要した正方形の個数を数える．そして，この被覆と計数を a の値を変えて複数回実施する．その例として，秋田県の輪郭を被覆した結果を図 1 に示す．図 1 では，灰色の0～6364～127

128～191

192～255(c) 階調範囲毎の 2 値化によるボックスカウンティング

正方形で輪郭線を被覆している．
曲線の被覆に要した 1 辺 a の正方形の数を N(a)としたと

図2

曲面のボックスカウンティングの例

き，N(a)と a の間に以下の関係が確認できたとする．

N (a)  Ca  D(ii) (i)の正方形画像から，図 2(b)のように高さを 256(1)階調のグレースケールで表したコンター図を作成する．スケール(高さ)ラベルの最小値は 0，最大値

ここで C と D は正の定数である．式(1)が成立するとき，は元の正方形画像の 1 辺の長さ l とする．すなわち，D が当該曲線のフラクタル次元に相当する．すなわち，両コンター図の 1 階調を l/256 の高さに設定する．

対数プロットした N(a)と a の関係が直線で表されるとき，その傾きを-1 で除せば，フラクタル次元 D を算出するこ(iii)1 辺の長さ l /2n(n は 1～8 の整数)の立方体によるとができる．曲線のフラクタル次元 D は 1≦D＜2 の値を曲面の被覆を，n の値を順に変えて実行するために，とり，その値が大きいほど形状が複雑ということになる．

n の値に対応する閾値を用いて，(ii)のコンター図

本研究の疲労破面のフラクタル次元解析にも，ボックスを 2 値化する．図 2(c)に n=2 での処理例を示す．

カウンティング法を採用した．ただし，破面の断面プロフ

n=2 での階調範囲分けは，図 2（a）の外枠が立方ァイルの解析ではなく，破面を曲面として解析した．した体を構成しているとみなせば，一辺の長さ l=256 のがって，解析で得られるフラクタル次元 D は，2≦D＜3

立方体を高さ方向に 4 分割したことを意味する．の値をとる．このようなフラクタル次元をボックスカウン(iv) (iii)で用意した 2 値化像を，階調(高さ)範囲毎にティング法で算出するには，1 辺 a の立方体で曲面を被覆

1 辺 a=l/2n の正方形で覆い，黒色部分を含む正方する必要がある．本研究では，図 2 のように行うボックス形の数を数える．図 2(c)では，灰色の正方形の数カウンティングを，1 辺 a の立方体による曲面の被覆とみを数えることになる．

なした．その具体的な方法は，以下の通りである．
(i)

図 2(a)のような曲面図を作成することが可能な，高さ情報を含む正方形画像を用意する．本研究では，疲労破壊過程前半に生じた破面において，高さ情報を含む 1mm×1mm の領域の写真を撮影した．

(v)(iv)で階調(高さ)範囲毎に数えた正方形の数を合計して，曲面を覆うのに必要な立方体の数とする．

(vi) n の値を 1～8 まで順に変えて，(iii)～(v)の作業を繰返す．

以上の(iii)～(vi)の作業は，画像処理ソフトウェア
ImageJ を使用するマクロを作成して実施した．

ペアで比較した結果である．図 3～6 は，それぞれ，試験番号 1-2，3-4，5-6，7-8 のペアでの比較である．また，試験番号毎に示す 3 つの図は，左から破面写真，破面の鳥

３．実験結果および考察
3・1瞰図，およびボックスカウンティングによるフラクタル次元算出用のグラフである．すべてのフラクタル次元算出用

疲労破面のフラクタル次元

図 3～6 は，疲労破面の形態とフラクタル次元を，周期グラフにおいて，図中のフラクタル次元 D は，2≦D＜3とひずみ振幅が等しい Fast-Slow と Slow-Fast の試験条件の値となっている．このことから，前章で述べたボックス

Fast-SlowΔε = ±0.25%
tt = 5stc = 50s

5Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.127

210110200μm

010-210-110Box size, a / mm010(a) 試験番号 1 (Fast-Slow)
Slow-FastΔε = ±0.25%
tt = 50stc = 5s

5Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.144210110200μm

010-210-110Box size, a / mm

010(b) 試験番号 2 (Slow-Fast)
図3

Fast-Slow と Slow-Fast での破面形態とフラクタル次元（試験番号 1 と 2 の比較）
Fast-SlowΔε = ±0.25%
tt = 10stc = 100s

5

Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.111

210110200μm

010-210(a) 試験番号 3 (Fast-Slow)-110Box size, a / mm

Slow-FastΔε = ±0.25%
tt = 100s
tc = 10s

510

Number of Boxes, N(a)010410310

D = 2.112

210110200μm

010-210-110Box size, a / mm(b) 試験番号 4 (Slow-Fast)
図4Fast-Slow と Slow-Fast での破面形態とフラクタル次元（試験番号 3 と 4 の比較）

010

カウンティング法により，疲労破面が曲面としてフラクタある．図 7 において，図 3～6 中に示した D の値と共に各試験条件ペアで D を比較すると，大きな差は認められなル次元解析されたことがわかる．
図 3～6 の各図に示したフラクタル次元 D を，Fast-Slowい．しかし，いずれのペアでも，Slow-Fast の方が高い値と Slow－Fast で比較した結果を図 7 に示す．図 7 中の点となっており，Fast-Slow よりも Slow-Fast の破面の方が線は，試験条件ペア毎の比較を容易にするための補助線で複雑な形状を有していることになる．
Fast-SlowΔε = ±1.0%tt = 4stc = 40s

5

Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.106

210110200μm

010-210-110Box size, a / mm010(a) 試験番号 5 (Fast-Slow)
Slow-FastΔε = ±1.0%
tt = 40stc = 4s

5

Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.113

210110200μm

010-210-110Box size, a / mm010(b) 試験番号 6 (Slow-Fast)
図5Fast-Slow と Slow-Fast での破面形態とフラクタル次元（試験番号 5 と 6 の比較）
Fast-SlowΔε = ±1.0%
tt = 4s
tc = 400s

5Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.084

210110200μm

010-210-110Box size, a / mm010(a) 試験番号 7 (Fast-Slow)
Slow-FastΔε = ±1.0%
tt = 400s
tc = 4s

5

Number of Boxes, N(a)10410310D = 2.133

210110200μm

010-210-110Box size, a / mm(b) 試験番号 8 (Slow-Fast)
図6Fast-Slow と Slow-Fast での破面形態とフラクタル次元（試験番号 7 と 8 の比較）

010

: Fast-Slow

2.15
2.12.052

図7: Slow-Fast
Fractal Dimension, D

Fractal Dimension, D

2.15

123456Test Number

72.0508604040

20200.5

11.5
cr

Creep Strain Amplitude, Δε (%)

図 10Fast-Slow と Slow-Fast でのフラクタル次元の比較

60 Sn-3.0Ag-0.5Cu|r| = 0.142

2.1

フラクタル次元とクリープひずみ振幅 Δεcr の関係

0-20-40-0.5

00.5
Strain, (%)-20

1-64020200-20-40

Nf = 44
Sn-3.0Ag-0.5Cuat 295K-0.5

00.5
Strain, (%)1(a) 応力-ひずみ関係
図9-202Strain, ε (%)

60

Time periodperiod (tensiles sTime(tensile side)side) = 4400
Time periodperiod (compressiveTime(compressive side)side) = 400
4s s-1

2.1

4D  2.60  102 Δ pl  2.13
2.05
060.5

1

1.5
pl

Plastic Strain Amplitude, Δε (%)

図 11

フラクタル次元と塑性ひずみ振幅 Δεpl の関係

試験条件 7（Fast-Slow）での応力-ひずみ関係とひずみ解析結果

40-60-4|r| = 0.755

Sn-3.0Ag-0.5Cu
tt = 4 s, tc = 400 s
at 295K(b) ひずみ解析結果

Stress, σ / MPa

Stress, / MPa60: Creep strain: Plastic strain-60(a) 応力-ひずみ関係
図8Δεpl: Creep strain: Plastic strain

Sn-3.0Ag-0.5Cu
tt = 400 s, tc = 4 s
at 295KΔεpl0

Δεcr-20-40

2.15
Fractal Dimension, D-1

Δεcr0-40

Nf = 260
Time periodperiod (tensileTime(tensile side)side) == 44 ss
Time periodperiod (compressiveTime(compressive side)side) == 400
400 ss-60

2.15
Fractal Dimension, D

Stress, σ / MPa

Stress, / MPa

at 295K-60-6-4-202Strain, ε (%)

42.1

D  1.09  102 (Δ pl / Δ cr )  2.13
2.0506(b) ひずみ解析結果|r| = 0.713

12pl3cr

Ratio Δε / Δε図 12

フラクタル次元と Δεpl / Δεcr の関係

試験条件 8（Slow-Fast）での応力-ひずみ関係とひずみ解析結果

塑性・クリープひずみとフラクタル次元の関係

ープひずみの発達挙動も反対の傾向を示す．すなわち，図報告者は，緒言で述べたように，Fast-Slow と Slow-Fast

8(b) と図 9(b)からわかるように，Fast-Slow（図 8(b)）

による繰返し負荷で SAC はんだに生じる塑性ひずみとクでの塑性ひずみとクリープひずみの発達方向は，それぞれ，リープひずみの発達挙動を，階段負荷試験を実施して解析引張側と圧縮側であるのに対し，Slow-Fast（図 9(b)）でしている．その解析例として，表 1 の試験番号７と 8 の負はその逆となっている．

3・2荷における解析結果を，図 8 と 9 にそれぞれ示す．各図で，表 1 で示した通り，Fast-Slow と Slow-Fast による SAC(a)は解析対象とした 5 サイクル分の応力-ひずみ曲線，はんだの疲労寿命は，ひずみ振幅と周期が同一でも(b)はその解析結果である．図 8(a)から，Fast-Slow によSlow-Fast の方が短寿命となる．SAC はんだの変形が示する応力-ひずみ曲線は，引張側の応力レベルが圧縮側よりひずみ速度依存性は，非弾性ひずみ中のクリープひずみ成も高い非対称のループ形状となることがわかる．一方， 図分に支配されるため，疲労寿命が示すひずみ速度依存性も8(a)の引張側と圧縮側の速度を入れ替えた，Slow-Fast 条クリープひずみに関連している可能性がある．このことか

件による図 9(a)の応力-ひずみ曲線は，圧縮側の応力レベ

ら報告者は，疲労き裂が開口する引張側で生じるクリープルが引張側よりも高いループ形状となっている．このようひずみと疲労寿命の相関関係を調査した 2)，3)．そこでは，に，ヒステリシスループ形状が上下を入れ替えたようにな

5 サイクル目の引張側で生じたクリープひずみに相当す

る Fast-Slow と Slow-Fast の条件では，塑性ひずみとクリる，図 8(b)と図 9(b)で Δεcr と表すクリープひずみ振幅と疲労寿命の関係を調査した．その結果，Δεcr は疲労寿命と(1) 破面を 1 辺 a の立方体で曲面を被覆するボックスカ高い相関を示し，SAC はんだの疲労寿命評価用パラメータウンティング法により，疲労破面を曲面として扱うとして，極めて有用であることが判明した．

フラクタル次元解析を実行することができた．

本研究では，Δεcr は，疲労破面のフラクタル次元とも相(2) ひずみ振幅と周期が等しい Fast-Slow と Slow-Fast

関を示す可能性があると考え，図 7 に示したすべてのフラによる SAC はんだの疲労破面では，Slow-Fast によるクタル次元と，それぞれに対応するクリープひずみ Δεcrの関係を調査した．その結果を図 10 に示す．図 10 中に示
すように，フラクタル次元 D と Δεcr の相関係数の大きさ|r|は 0.142 と小さく，ほとんど相関はみられない．したがって，Slow-Fast のフラクタル次元が Fast-Slow よりも高い値を示すことに対して，クリープ変形が寄与する度合いは小さいと考えられる．そこで次に，このことに対する塑性変形の影響について調査することとした．
図 11 は，5 サイクル目の引張側で生じた塑性ひずみである塑性ひずみ振幅 Δεpl（図 8(b),図 9(b)参照）とフラク破面の方が高いフラクタル次元 D をもつ．ただし，その差は小さい．
(3) Fast-Slow と Slow-Fast での引張・圧縮繰返し負荷による SAC はんだの疲労破面のフラクタル次元 D は，負荷 5 サイクル目の引張側で生じるクリープひずみ
Δεcr とは，ほとんど相関を示さない．これに対し，同じ 5 サイクル目引張側で生じる塑性ひずみ Δεpl および Δεpl と Δεcr の比 Δεpl /Δεcr とは，強い相関を示し，これらの値が増加すると D の値は減少する．

タル次元 D の関係である．図 11 に示すように，これらの(4) 結論(3)のフラクタル次元 D と Δεpl /Δεcr の関係式は，間には|r|=0.755 と強い相関がみられ，その関係は次式で表

疲労破面観察による弾・塑性・クリープ FEA の精度される．

検証に活用できる可能性がある．しかし，上記関係

D  2.60  102 Δ pl  2.13

式は疲労破面の観察領域によって成立しないことも(2)

図 11 と式(2)より，塑性ひずみ振幅 Δεpl が増加するとフラ考えられるため，観察領域の大きさとフラクタル次元との関連を今後詳しく調査する必要がある．

クタル次元 D が減少することがわかる．また，図 12 は Dと Δεpl/Δεcr の比の関係であるが，図 10 でクリープひずみ
振幅 Δεcr とフラクタル次元 D の間にほとんど相関がみられなかったこともあり，Δεpl/Δεcr と D の間にも|r|=0.713での相関がみられる．そして，その関係は次式で表される．

謝辞

本研究は，公益財団法人天田財団の平成 29 年度一般研究開発助成の援助を受けて実施しました．ここに深く感謝の意を表します．また，本研究の遂行に際しては，秋田県産業技術センター研究員の黒沢憲吾氏，秋田大学大学院理D  1.09  102 (Δ pl / Δ cr )  2.13(3)図 12 と式(3)より，Δεpl/Δεcr も Δεpl と同様に，その値が増工学研究科助教の福地孝平氏，秋田大学卒業生の古舘一徳氏にご尽力いただきました．心より感謝申し上げます．

加すると D が減少することがわかる．
式(2)と(3)は，疲労き裂の進展に対して塑性変形が関与する度合いが増すと，破面性状の複雑さが小さくなることを示唆している．さらに，式(3)は，破面のフラクタル次元を評価することにより，繰返し負荷で生じる非弾性ひずみ中の塑性ひずみとクリープひずみの構成比が把握できる可能性も示唆している．すなわち，緒言で述べた疲労破面観察による弾・塑性・クリープ FEA の精度の検証が可能になることを示唆している．ただし，式(2)と(3)は，破面の観察領域の大きさによっては，成立しないことも起こり得る．したがって，今後は，破面観察領域の大きさとフラクタル次元との関連についても調査していく必要がある．

４．結 言
本研究では，Fast-Slow と Slow-Fast の引張・圧縮繰返し負荷による SAC はんだ疲労破面のフラクタル次元を負荷条件毎に求め，各条件に対応する塑性・クリープひずみ解析結果とフラクタル次元の相関関係について検討した．
その結果，以下の結論を得た．

参考文献
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