昭和57年度（間題）

1．学生1，600人のうち，自宅通学者は755人，非自宅通学者は845人であった。

そのうちでアルハイ

トをするものは，自宅通学者425人，非自宅通学者405人であった。アルバイトをする学生の比率は自宅通学者と非自宅通学者とで差があると考えてよいか。ここに，パ（O．O1）一6・63・Z；（O．O1）一921・パ（O伽〕一H．34，Z…（O．Oユ）＝ユ3．28である。

2．A，B2グループの生徒に同一テストを行った結果，つぎのような結果を得た。
グループ

受験者数

平均分散

Am工＝20κ＝72∫；＝83
B〃，＝25フ＝658；＝工05
A，B両グルーブの平均値問に差があるといえるか，有意水準O．05で検定せれ（注）FlllO．025）

3．支持率の2・45，t岨（O・025）＝2・02

予想が全くつかないA候補につき，その支持率を信頼度99％で誤差が1％以内であるように推定したい。およそどのくらいの数の標本を抽出すればよいか。
また，A候補の支持率が約30％と予想される場合はどうか。
〃｛O．005）

2．58

4．同じ種類の新しい粒一戸を生み出すような粒子を考える。最初，このような粒子がただユつだけあるとする。これを原始世代，すなわち第O世代とする。第〃世代の粒子は互いに独立に第（η十1）世代を作るものとし，また，どの粒子もちょうど后個の新しい申立子を生み出す確率はか（后＝O，且．2；一・）であるとする。第n世代の粒子の数を確率変数X。で表わし，X1の母関数をP（∫）二、暮11〕X，0）け関姿女P、い〕は，

久3＾とするとき，次々とP■同・llp同，．戸、同二ρ（ρ一1川）で求められることを示せ。

12〕μ＝L妙、を！つの粒子の生む次世代の粒子の数の期待値とするとき，X蜆の期待値を求めよ。
＾刊
5．母集団分布が指数分布∫（κ；μ）＝ナe］葦（κ・〉o）にしたがうとき，大きさ〃の標本（κ1，κ呈，……，

壬）により最尤推定量カを求め，その不偏性，有効性，充足性，・一致性を調べよ。

一ユ3正一

昭和57年度（解答例）
1．1，600人の学生を，自宅通学がどうかと

アル・バ

@

イド

アルバイトをしているかどうかという，2ﾊ学

種類の属性A，Bにより2×2分割表を作っ自てみると右表のようになる。

ここで，自宅通学者と非自宅通学者の間するしない

合

計

425人

330人

755人

非自宅

405

440845

合830770

ユ，60C

宅言十でアルバイトをする比率に差があ之かどうかは，次の仮説Hoを検定すれば分る。

Ho：2つの属性AとBは独立である。

従って，分割表による独立性の検定を行うのだが，組度数が十分大きいので，自由度（2一工）×（2−1）＝1の〆分布を用いて検定できる。そこで，2×2分割表の簡便計
算法を用いると，

z2三（425x440−330×405）2×1600755×845×830x770−11．169〉71（O．O1）一6．63であり，HOが棄却される。よって，有意水準ユ％で，アルバイトをする比率は自宅通学者と非自宅通学者の間に差があると言える。
〔1の男1」解〕

この問題を，百分率の差の検定問題として解いてみる。

自宅通学者のアルバイト比率を力1

非自宅通学者のアルバイト比率を加＾一一425−とおくと，それらの実現値力1，加は，それぞれ声1＝乖す，加＝酉405である。

ここで，検定する仮説は冴。：力1＝加であり，nド755，n2＝845とおくとき，1・1−

Iパカ2一カ1（1一力1）n1

十・・（舌）のとき肌を棄却し・

加（1一加）n2

1秘K・（舌）のとき肌を採択すればよへ

一ユ32一そこで1〃1を計算すると，

1〃一O．5629−0．4793〇．0003258＋O．0002953

一・・…μ（O11）一…（幾ζ1：練：）であるので，Hoは有意水準1労で棄却される。

2、

まず等分散性の検定を行う。ここで，A，B両グループの分散をσ三，σ二とき，帰無仮説はHo：σ二＝σ二，対立仮説は亙1：σ三≒σ二とするである。不偏分散比を求めると，・。∫；／（・ソー1）＿25・105／24
ダ。

＝

一n，3隻／（。、一1）＝20x83／19である。ここで，ペフニ：（0，025）＝F｛書（0，025）＝2．451252であるから，■F。＜ダ1；（0，025）となり，Hoは採択される。
そこで，σ2＝σ三・・σ；の推定値は，11∂㌧、工。、，一。（・山113）τ（20×83＋25x105）土g97とおける。

次に，平均値の差についてオ検定を行う。A，B両グループの平均値をμ、，μ。とするとき，帰無仮説はHo：μ工＝μフ，対立仮説はH11μ・≒μツであ孔統計量を計算すると，

1万一刀＿72−65

ト亭一1｛＝2337であり一制，。。ゾ2（O．025）三サ蝸（O．025）＝2−02

より，オ〉f蝸（0，025）

であるので，有意水準5％で，A，B両グループの平均値に差があると言える。

一ユ33一

3．A候補の支持率を力とする。

大きさmの標本をとった場合の標本支持率を戸とすると，nは十分大きいと考えられるので，1は近似的に正規分布小力（÷力））に舳よ一で，雛σ＝力1カ、巧丁は，標準正規分布M（O，1）に従う。

十（1）・、∵・一一一ε
ここで，1一・・1とすると，・（031）一…であるから・十…斗一／
一十ぺ平・け・ぺ叶・一従って，信頼度99％で，、け（1一カ）、力■258〉升、 ど〆肘25㌦

η丁、コである。ここで，簡便法を用い上式の両辺の力を推定値多でおきかえると，一！彦（1一一声）

力1258〉一、、一、・＝彦（1一彦）

く〜→258〉、となる。そこで，誤差を1％以内とするのであるから，

河

2・58〉、≦O・01でなくてはならない。つまり，m≧2582彦（1一多）・・

P1）である。

一工34一

0

支持率の予想が全くつかない場合
12多（正一彦）はトーで最大値をとり，そのときの11〕式の右辺は，2582xO．5x0．5＝16641
よって，約三6，600以上の標本をとればよい。
わ

支持率がO．30と予想される場合

11〕式の右辺に彦＝0．30を代入して2582x0．30x0．70＝王3978．44となるので，約三4，OOOの標本をとればよい。

4．

（1〕確率変数Xで，ある粒子が生み出す粒子の個数を表わすものとすると，題意によりP。（X＝尾）＝伽（后＝O，1，2，一・・）である。また，確率変数γ（n＝O，王，2，……）を次のように定義する。

γ蜆＝X＋X＋・…・・十X

ただしγn＝0とする。

m個
まず，Pl（3）を求める。母関数の定義により，Pl（3）＝ΣP。（xl＝尾）5昆＾，oである。ここで，XIは第O世代（粒子三個）が生み出す第1世代の粒子数を表わしているから，その粒子を生み出す確率分布はXと同じであ乱
よって，Pl（∫）＝Σ戸、（x＝尾）s＾＝Σ外3店＝P（∫）＾，o

次に，P2（∫）

后昌。

を求める。定義により，戸2（∫）＝ΣP、（X2＝尾）∫＾＾昌。

であるが，ここで，一135一P、（XF々）±Σ戸、（XF々，Xl＝プ）∫！o＝Σp、（X。＝尾）ρ。（Xl＝プ）（．

X1とX2は独立）戸。

1Σp、（γゴエ々）戸。（X三ノ）戸。
舳）一正葛｛ゴ汁（γ1一々）片（x一プ）｝・＾

一，暮｛、恥（γ1一尾）吋み（x㍉）＝Σ五（sη）戸。（X＝ノ）ヅ。

一ゴ暮｛亙（∫x）恥x）…厄（lx）｝片（x一プ）（．

各Xは独立）

プ個

一高｛亙（・x）μ（X一ノ）一名｛P（・）｝ゴp・（x㍉）一p（P（1））一P（舳））となり，戸2（3）＝P（P1（S））が言えた。

次に，尾＝nまでP止（∫）＝P（Pムー1（3））牟成り立つとして，尾土n＋1
場合を考える。P。（3）を求めた時と同じ考えで，P十1（∫）＝Σ戸、（X、1＝后）3点＾一〇

一ゑ｛ゑ肌j一々）以x1㍉）｝・尾一ゑ｛ゑ片（γj一尾）・巾（x…）一ゑ｛戸（・）｝j戸凧一ノ）一ユ36一の

三戸制（P（∫））＝P（P＿1（P（5）））＝…＝P（P（…（P（戸（5））…

n個｝＝P（戸（…（P（Pl（∫））…）二戸（戸（…（P（戸2（3））…）ヨ……

｝
m個

仁1個 ｝

三戸（戸掘（3））となり，帰納的に漸化式が示された。

12〕母関数の性質を用いて亙（X制）二p二（1）＝ρであるが，PP（P詞一1（1））P二一一（1）（／）P二一1（1）（1）＝Σ尾加＝μであるから，
占≡o亙（X制）三μ・亙（X刊＿1）がわかる。よって帰納的に，

亙（x）＝μnである。

5．

尤度関数z（μ）を求めると，／（1）小州）一凪（デ）一ナヴ・

1 掘
109〜（μ）＝一nlo9μ一一Σ瑚μ目1

これより，

∂一1㎎
∂μ〃 1十。Σ工F0μ μ H（μ）＝

を解くと，

王

祀

nI4μ三一Σ瑚一五37一よって，μの最尤推定量2は，X1（ト1，2，・一・）をそれぞれ指数分布

1 工／（皿；μ）＝一e■7（皿＞O）に従う確率変数としたとき，
μ1制

一2一一ΣX1−XnI＝1である。

次に，βに関して問題の4つの性質につき調べる。

0．不偏性

職一亙（ア）一亙（÷、ξ・1）一÷‡、肌）一÷・・〔

よって不偏性を持つ。

有効性
これを見るために，次のクラメール・ラオの不等式の両辺を計算してみる。

1γ（力）≧・亙／怯1・・〃；μ）γ〕
左辺は，

γ（2け（÷烹・一）÷‡γ（・I）一令一隻2であり，一方五／け1・・ア（・；1）γト五／け（一1W一チ）γ〕

十亙／／・一！γ〕十一÷2であるから，右辺も∠二となり，不等式の等号が成り立つことが示され，有効推〃定量であることがわかる。

充足性
これについては，

冊1＿⊥差∬、！

＿↓蜆三貝ル；μ）＝71ハー1＝アμx1

一五38一ユここで・9（7；μ）＝Teμユ。；．ん（エ1，エ2，…．皿制）＝1 とおくと，μ．ロルポμ）＝皇（云μ）Xん（工1，工。，…，工）I−1と表わされ，カ（エ1，エ2，…、6）はμに無関係となるので，充足性は満たされている。

一致性
チェビシェフの不等式により，
γ（β）

戸・（1卜亙（β）1〉ε）＜2εである。

一γ（X）。

Pア（縦一亙（x）1〉ε）＜ε

2
P、（1β一μ1＞ξ）＜÷nε
ここでn→。。とすると，右辺は0となるので，2が一致牲を持つことが分る。

一ユ39一