平成†年12月19日

数学1（問題）
1

次の各問の［二二二コに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。

（35点）（1）表の出る確率がpの硬貨をn回続けて投げるとき、表の出る回数が偶数である確率をa．とする。

このとき2a。一1を、nとpを用いて表わすと［二二二コである。
（2）2つの数が区間〔0，1〕の中で、ランダムに独立して選ばれた。小さい方の数がaより小さいと言う条件のlll・ll／1111・llll／111コ111．ll！、l／a11111。
（3）種類の異なるm組のイアリングがある。十分に混ぜたあと、その2m個の中からn個抜き出したとき、左右のイアリングがそろっている組数の期待値は［二二二コである。

（4）1個のさいころを振りっづけ、最初に1の自が出たときの回数をα、2回目に1の目が出たときの回数をβとす乱このとき・函数f（x）＝αe一

一・一が（一。。・。。）上の確率密度函数となる確率は□である。

（5）右図の直角二角形の領域D上で一様分布する2次元確率変数（X，Y）

11／l，11111二111．

to●■2、宝くじに000000から999999までの数が書かれている。これを1枚購入するとき以下の問に答えよ。
（20点）（1）購入したくじの各桁の数値を初めから・X！、X・．X・．X・．X・．Xo．とする。X，の確率母函数を求めよ。

（2）X1＋X里十X。の確率母函数g（s）を求めよ。
（3）g（s）におけるsτの係数は何を表しているか。

（4）g（s）g（s■，）を求めよ。
（5）最初の3桁の和が最後の3桁の和と等しくなる数の書かれた券の得られる確率を求めよ。

3，A，Bの2人がそれぞれn枚・N−n枚（N〉n）のコインを持っている。この2人がゲームを行い、1回のゲーム毎に負けたほうが勝った方にコインを1枚渡すものとし、どちらかのコインが0になったとき、ゲームは終了するものとする。A，Bが1回のゲームで勝っ確率をそれぞれp，q（p，qは定数でp＋q…1）とするとき、Aのコインが0になる確率α。を求めよ。
・（20点）
4．次の間に答えよ。
（1）Xl（i＝L 2、…、n）が独立で、いずれも同一の指数分布^λe→一（x〉0）

（25点）

（λ＞O）

・（・）一0に従うとき、S＝Xl＋X・十（x≦0）
十X，の確率密度函数を求めよ。

（2）ある会社のある係に溜まっている未決裁書類の数Nは幾何分布

・1・一・1＋（十プ（・一・・1・…うに従い、1通の書類を決裁するのに要する時間は、平均30分の指数分布に従うものとする。このとき、書類が届いてから決裁に着手するまでの平均待ち時間を求めよ。

一1一数学1

解答1．

（1）この事象はn−1回目までに偶数回表が出た後n回目に裏が出るか、奇数回表が出たあとn回目に表が出た場合に起こるから、

an＝（1−P）a而＿1＋P（1−a，＿1）
1a■一一芒（1−2P）
2ao土1

12

＝（1−2P）■

2a。一1＝（n≧O），1（a記＿1一一）
2・一（1−2P）n（2）X，Yを区間〔O，1〕で一様分布する確率変数とする。

P｛suP（x，y）＞alinf（x，y）＜a｝
P｛（suP（x，y）〉a）∩（inf（x，y）〈a）｝

1

P｛inf（x， y）＜al1右図のA∪Cl

P1右図のAUBUC12a（1−a）
1一（1−a）2

麟1111 11111111111c111111111111

2a（1−a）

aaa（2−a）
2（1−a）

2−a（3）・i− ^l：lllたn個の中にi番目の組がある場合とする。

（1≦i≦㎡）（2普二：）

E（Xi）＝n（n−1）（2買）

E（X1 十…十X。）＝2m（2m−1）m・n（n−1）2m（2m−1）

一2一n（n−1）2（2m−1）

1
1

（4）まず、函数f（x）＝αe一β■π1が（一。。，。。）上の確率密度函数となるための条件を求める。

1イlf（・）・・寸1ビー・・一∫ll・目・…∫1パ…

一÷卜・1．1一÷［・■1」1
よって・函数f（x）＝αeリI・Iが（一。。，。。）上の確率密度函数となそための条件は、β＝2αである。

従って、求める確率は、

ΣP腕；ここにP。は最初の（k−1）回は1以外の冒一

山1Ik回目に1、次の（k−1）回は1以外の目、2k回目に1の目がでる確率であり、・ビ（；）ト1・1・（÷ブ■・十一÷・（ll）H

よって、求める確率は、

乏・一ξ十・（青ジー㌧十・、一±一田36（5）x

Yの同・（・）一hア・）十1：lll；；1逅l・f（…）舳一÷∫1・1・∫lUポ〕

一÷∫（・一12）・・一÷（÷一1三）一÷o

E（X2）＝ ??・2d・∫lUポ」÷∫1（・L÷）d・一÷（十一1三）一十一a2

V（X）1E（X）2−E（X2）工一一一18
bb2

同様にして、E（Y）＝一、V（Y）＝一3
18
E（XY）ぺ、∫1・d・∫1｛，ポ」…∫1・（1■÷）d・一÷∫1（・一・÷・÷）・・

一3一一÷（十一÷…十）一11
ab

abab

Cov（X，Y）＝E（XY）一E（X）E（Y）＝一一一＝一一一12936
相関係数1一ab

ｼ36一［］

2．

（1）各桁の数値をXI．X。．X3．X．X5．Xo．とすると、Xiは独立であり、一様に分布している確率変数で、その確率分布はk二0，1，…，9に対してPlX11kl＝0，1である。したがって、Xlの確率母函数はPI（s）＝01（1＋s＋＋s，）三一王
101−S loである。
1−s（2）独立な離散的確率変数の和の確率母函数は、おのおのの確率母函数の積となる

1から・Xl＋X・十Xlの確率母函数は・（・）一（1−s1o）3

噤i1．、）1（3）g（s）におけるs『の係数は初めの3桁の和がrである確率である。
（4）9（s）9（s■）三1（1−Slo）罰噤i1一、）1（工一S

1冊）3（1．、一）・

11（1−sI皿）o
1O． s2τ （1−s）o（5）g（s）g（s−1）におけるs0の係数が求める確率となる。
ところで、（1一・1・）岨一1一 i1）・一・（；）・一・…

（1一・）㌧1・（1）・・（1）……
したがって、S刊の係数は十（（㌘）一（1）（㌘）・（：）（∵））一1．l1111（一■一4一13813
250000＝0．055252

3．Aがn枚のコインを持っている時にAのコインがOになる確率をα面一 ﾆすると、この事象ははじめのゲームにAが勝ってからAのコインがOになる確率と、Aが負けてからAのコインがOになる確率の和だから、

α、＝Pα、斗1＋qα、＿1（1≦n≦a＋b−1）

P（α、斗1一α而）＝q（α日一α皿＿1）（1・バ1・）一1（1・一1一，）一（1）2（1・一ド1・一・）一一（書ゾ（11一パ［一I
従って、α日＝α。十Σ（α資・1一α・）＾，0

一1・十（11一… ｫ1（1ゾq ≠1つまりp≠ 1P2のとき、1一（書ヅαH三αo＋（α1一αo）

I− qP

ここで、α皿＝1、α刊＝Oより、
αH＝α皿十（α11七ゾ一α0）

1一1一（α1一αo）三一P1一（1ジ1一（；）皿
α皿＝1−qq皿（、＿、、利一日）

1一（1ゾq ≠1つまりp≠P

ガーqH

1 のとき、2α。＝αo＋（αI一αo）n、α。＝1、α凹
O＝αH＝αo＋（α1一α皿）N

α．土1一 nN

N−nN＝

Oより、

（α■一αo）三一一5一1N4．

（1）S＝Xl＋X2＋…十X、の確率密度函数をf簡X1の確率密度函数

f1（y）＝λe■い（x）とする。

（y〉0）

XI一トX。の確率密度函数： f・（・）一 轣A1（・）fl（・一・）・・

イ1・一一1・一川一・1・・o−1・

̲・一・…一1…一ユ・（…）
oX1＋X2＋X罰の確率密度函数：f刮（・）一｢・（・）fl（・一・）・・
一∫112・・一リ・一一・・一1語∫1・・一ユ…

一パ・一1211一罰・｝・（・・1）以上により、Xl＋X。十…十X皿の確率密度函数をλ而¥∴、∴（y＞o）一1f而（・）と仮定する。

①が成立するとしたとき、X一十X2＋…十X、、1の確率密度函数を求めると
f皿（・）一｢・（・）fl（・一・）・・
一∫1（、全1）一スー1・一ユリ・一一・・（、1∵；、∫1スー1・一…一（、1∵；，＝λn＋1yne■＾■（y〉O）

e一！

y■

nn1
これは①においてnをn＋1に置き換えたものに等しい。
また。①はn土1のときも成立する。よって、S＝XI＋X。十… 十X日の確率密度函数は、

λn一十∴1≦∴（s〉0）一6一

〔別解〕Xiの積率母函数m（t）を求める。
・（t）一・（・一）一轣D｝t・f（・）・・一∫1・t・ゾ・・

一1グ・川・・一、全、［・い一・十、全t↓o

一（1一十ジ1（t・1）
X一，X2、…，X．が独立であるから、S＝X1＋X2＋…十X皿の積率母函数
m皿（t）は・・（・）一1・（t）い一 i1一十）■m
一方、次の密度函数に従う分布（F一分布）

λ x11−lf（・）｡；（n）の積率母函数m・・e一コ■（x＞0，（その他）λ〉O）（t）はit）一・（・一）一h・・f（・）・・

一∫1・一、岩）スー1・一一…一∫1｛・い1・…・・ここで、t＜λに珂して（λ一t）x＝s〉0と置換して1dx竺 λ一t…（t）一dsAべ）∫咄（、…、ツー1ゼλ士、・・o

一、（n）ギ．、）・∫1・・一■・一…

一（、壬、）㌧（1一十ド∫1・記一1・■・・一・（・）よって、S＝Xl＋X2＋…十X、の積率母函数がF一分布の積率母函数に等しい
ことにより、SはF一分布に従う。

したがって、S＝Xl＋X・十…十X．の確率密度函数は、

f・（・）一（・1∵、∴（s〉o）

一7一

（2）書類1通の決裁時間の分布は平均1／2時間の指数分布だから、k通の書類が全て決裁されるまでの時間の確率分布は（1）より、2止
9（x）＝x＾Il e−2■ （x〉0）に従う。
（k−1）！

1ヅだから・

また・決裁前に・通の書類がたま一でいる確率は十（1通の書類が届いセから決裁に着手するまでの時間Xの確率分布は・（・）一，十（1ヅ（、．1；、＿3＿2，冊X

一一10TeΣ（H）！
一三1

3・．

−2■

3（3x／2）t−1＝T1川一／2（・＞o）（e8
冊−2■ee 3■／2h−lXΣ、ま1（k−1）！

＝e■）

よって、着手するまでの平均時間E（X）は、・（・）一

轤P㌻・（・）・・一÷∫1㌻・一・・…一÷・・
3
2

＝一

@（時間）

一8一