〔問〕(問題)

昭 和 43年 度
午前の部.
1

電球の寿命は指数分布K従うとし，その期待値 α‑1 は未知であるとする。

αー 1 を推定するために 11，個の電球を拍出し，寿命の短いj腕 ~r番目までの値"'~(1) ¥ れ(2) 、、、寸2")を観測する。

・・・・・・X~.\， X") 0 一次結合(1)'"~(2)' ‑‑ ‑ ，Xか+らヰ'2) +…
・ +Ar与)Uを α~1A1 X(l)(l)推定量としたとき，。
‑ru= ~l X，.
， +χ+・・・…X.
， ~ .よ十 x .
~-(1)伝) .
‑‑(γ)J r‑‑(r)が，最良の不偏推定量で，αr.

‑2Var(U)=Tであるととを示せ。

Hint .
確率変数て，
̲， ‑ X，.
.
.
.t ~(1 )'X..t ~(2).
.
.
.
'‑(1)
'.X
ー て(，"'~(r)ァー 1) は，互.い K独立で十‑xの密度関数は， (n‑‑.
fJe.
) α e‑( ーめ at で与えられると体)n(必 +1)とを利用せよ口

2.

平均値えが未知なポアソン分布からの大きさ九の標本の値を‑X: '1とき，n4
ピ2: x.
zn i=1は』の充足推定量である。証明せよ。

‑61ー， X叫 と す る

〔問〕
午後の部
3.

.&水準の一因子実験の際の，平均値が等しいことの帰無仮設む検定 K恥いて統言十量ぞ処z(Xt一文)2I I (Xirー玄五 )2rを用いる理由を説明せよ。
ただし，

N総実験数

~水準の数

32T
: 第 t組第 T番目の実験の確率変数
X
一1‑x.
n. Ir

(ni は 第 t組む実験数〉

げァ I X.
JtrX

N

" r4.

次の 2問中， 1聞を選んで解け。

(i)♂
， yが次の条件を満足する範囲で，関数x 一 3Y 三2♂ +3y の最大値を求めよ。

6(1)::: 82x + 4y :(2)と ‑6x 一 3Y 二x 二三y ミz

(3)

。
。

(ii)一直線上のランダムウオーク Kないて，

(4)

(5)

z(自然数)から出発した質点が夫々 O会よとする。
'VC達する確率を夫々 7fz なよび 1‑ O‑‑び α(自然数 )z

1回の試行で左または右 K1移動する確率を夫々伊または p(p+o‑‑=1， pキ伊〉とするとき，zr‑o1，7fa0z を解けoの条件のもとに7f‑62ー昭 和 43 年 度

(解答)

午前の部
1.

X(1}

=Y1 ' X(2)‑ X(f)= Y2'…・， X(r)‑ X( ‑1)=Yr と金くと ， Hintァ

Kより， Y1 ' Y2' ・・・・， YT は互 L、K独立て・J Y"，の密度関数は，ー(u‑.
4+1)aX(11‑‑~+ 1)αeX.
̲t~}で与えられる。

Y + Y.+・・・・+Y. であるから2必U z h有 ) + ・ … + ArX(r)，= A
Y +A汽 + Y2)+・…+ん (Y1+ Y2+…・+Yr )2(1+・・・・+ 人 YT

= (人+…・十人)Y1+ (A2 +…・+ん )Y2

E(U)= (A1 +・・・・・・+ AT ) E 〈Yt)
+ (A2+・・・・・・+ AT) E(Y2)+・・・・+ えTE 〈YT)

= (A.+・・・・・・+ A̲) 一一 +(A +・・・・+ム)
内

1
1‑α ι+λ・(n‑1 )α(11‑‑r+1)α

Uが不偏推定量であるためには〈λ +・・・・ + A̲)一一一+cム+・・・・+C
ム‑‑‑‑+・・・・n‑1 )α1，αしたがって，‑63一一.(n‑r+1)α

1α+A+・・・・・・AA +・・・・+ .
Jえ+・・・・+ A+1，2T+.
.
.
.
+ n‑r+1T

1，‑ 1・・・・・・・・・・・・・・(1)一方

Var(U)= (11+・・・・十人 )2 Var(Y1).
.
Var(Y2)+・…+A;var(YJ+().
2+ … ・ 十 人 )2.

(九十・・・・ +Ar)2 ‑ 7ーすn‑‑"lX.

+ (A，，+・・・・ + A，〉 2‑‑4

n +・・・・+一一一一+・・・・ +A̲.2，̲
A.

う{〈4aつA +・・・・+ A 2‑ 1 T〉 + … ・r ) +〈2nαつ(n‑r+l)""αι11，‑ 1)1. α(。

+ ( ん 〉 2}
11，.
.
:.
.
‑r+1

Uが最良の不偏推定量である‑ためには， (1)の条件の下でA.+ ・・・・+ l_~ 2~)̲~ft.
'九‑ 1九が，最(J、 K なるよう~+・・・・ + A ̲:l+("2 .

A

1'A ' ・・・・2A"r) + … ・ + ("~- •• ) …・・… (2)1I，‑ T
十Ar を定めればよい。

一般 vt Schwarz の不等式 Kより〈α?+ ・+α ァ)2孟 γ(α2+・・・+〈)がいえるからα+・e・・+αなるとき』主r2?

α +・・・・十 α~三一一rr
等号は， α=α=・・・・ = α =ム な る と き K限る。なんとなれば Lagrangeの2rr‑64ーα1+・・・・ +α r

乗数法 Kよりなる条件の下で，イ+…・4 が極値をとる条件を求めてみると

F

α~+2

α=+・・・・ +α +A (α +・・・・ +α .
‑1)
2rr

aF+A = 02α ょ0ααと b くと

α =α 2 =…・ =α r

十すなわちLでなければならない。

よって(1)なる条件の下で(2泌最小となるため Kはえn1る‑1。
‑r+1

A +・・・・+ A

九一T

A + ・・・・+え‑1=ーでー2Ar。

rT=!
z，‑r+1r

とれら T個の式から容易 K

Aえ =・・・・唱 、=.
‑:ーA2T由r'

1r

n‑r+1r

故Kであることがし、える。

u= (~1) + … ・ + 莞 ) ) ÷ + ヰ ) 笠 子 と な るo
附劇値去をとるようにんを定めたから，‑2Var(切=す αなることは明らかである。

‑65ーT

A
2+・・・・+ A
T一ーん+・・・・+AT2.

x

POisson分布の密度関数はf( X，A) = e

とこで，e‑n..tX!
九一上九方n X の密度関数は e‑M

A一VAえ)f(X1，A )・・・・ f(X処'

円一川

で同時密度関数はAである。

(nA)日である。

(nX)!

f( X1，A )・，耳 A)
・・・ f(X‑n.Aex(nA)n(nX)!

nn.x x.!
.
.
.
.X(nx)

百( nX)となる。とふで九は Aを含まな L。
、

nn.x x. ・・・・ X也

午後の部

F(XJ2 = Z(Xh‑XJ4+ ix;ー リ3.

ー，九T

こり!両辺を iKっき和をとれば

zzx
ii= ZZ (XtTー玄4)2 + Z7btxftr

まずこIn.x~ = Z7bt
(玄4‑3t)2+NXであるから上に代入してII x~~ 2一 一 2 ..
.
.
.
.
:;
‑:
:
2= ZZ (XZT‑Xi〉 + Z7zt(Xi‑X) +NXιが得られる。 とふでE (Xi)= ~i ・ Z 7btst/N=m(X4j‑xt)=(X4j‑st〉ー〈 35一 九 ) を 使 い一‑であるから

︑︐)
‑‑
A︐e

内正bh︑j︑VA

一z九〆︐︑︑z‑z

4
内Thq︐︐︑

X

B

T

ZT
Z
‑zn︐︑一一︐︐x一︐︐︑

X

ZT
24E (XtT‑ft)2=62 で Xi の分散はまた，。
2/niとなるからE (ZZ(Xi7・ー玄i)2)=E(~ I (Xir‑ fi/ )‑ E(~円(玄 i- fi / )22Na ー J262= (N‑/i) a が得られる o)2，Z7zt (玄tー玄他方

玄i‑ m )ー(支I ni ( (:;‑;:，2L‑2m ))，，=N(X‑m )2，
Ifi (七 Xi‑ m ) ‑L

であり，，，2、2 . ̲，=‑;(X‑m)"= (Xi‑fi)'+ (~i-m )L+2(Xi-~i) (~i-m)
であるので2E(支i ‑m)

= E〈
3tt‑st)2+(et‑m)2+2〈九 ‑m)E(玄i‑ ~ i)d2/7h+(St‑m)2である o

したがってE(Ini (玄iー玄)2)=A6 2 + Z7Z4(St‑m)2‑622(品ー 1)62+ZTh〈久̲m )となり， (l)より~'I (X ir ー支t)2 は ~i.
r r‑67ー2)‑・・・・・(2陀関する仮説。知何を問わず (N‑.&)a の不偏推定量であるが， (2)より

Z7h( 玄4 ー玄 )2 はさ

~2 一
一一・・ー
一 S
A なるときに限り(.
fs‑1)'02 の不備推定量となる o すなわち，仮説

S1= S2=・・・・= む = m が真でなければ，統計量

I.九i (玄t 一 玄 )2II (X廿一文 i)2t
レ Tは大きくなる。よってこの統計量をS
1 =・・・・~Ia = m を検定するための統計量 K選ぶ。

.
a''︑・・l''a4.

♂+3Yの値

条件(1)，(2)，(3)，(4) をみたす (x， y)の範囲は，図の斜線部分で 2

はとふで縛艮大をとることができる。したがって最大値は無限大である。

yxy=7+2‑68‑.
4.(ii)

p .ぇ+1 +~. 久‑1 j (O〈 z〈 α )・・・・・・・・・・

題 意 よ り O 'z(1)この差分方程式の特別解として~，，= (予)7.

F〉‑ l ，円‑•が得られる。よってすY'

九 =A'1+B(条件(A)を満たすためにはが(1)の形式的な解とする。

A+B = 1，+B (~/p) =0
記‑﹃ &F︐.

‑aQGEAFa
一F一P一一a︐.

P‑e一P一一一ロu故b'C，

Apucpz‑〆 わぐ 一す〈Yz~zーザ)
4

p ‑ o'

逆に(t陀満たす解が，19'z および五の二つあったとする。

条件件)よ bg.
‑o= 1= lfu'

8レ也

0=&
めじ

でなければならた b。
、
そこで，

rz=丸 一 久
ro=D ，と為、くと，

r=0

次に(1)より順次 VC，

pr2r，

P2rs=rt 〈1‑PF)‑ 69‑(2)

一般K，
故~，

3・%

C: (C :定数)rz10であると否とに拘らず)
YL=T1Ca= 0 なることから J (CZ がrt0r
̲ヲ・・・・ra‑

久=久故に (2)が解である。

~70 ー1