昭和58年度（問題）61・死亡率が1，000であった工・O00人からなる集団において，3人がある1年間で死亡しれ死亡の発生がポアソン分布にしたがっているものとして，死亡率が改善されたと結論できるか，育意水準5％で検定せよ。

（注）e』i2．72。晶質基準として純度98％以上の原料の購入を望んでいる会社が、抜取検査として，納入日ッ、トから10個の標本を抽出してその純度を調べ，この平均が98−8％以上なら，そのロットを合格させている。
11〕純度の平均値が99％である回ットの合格する確率を求めよ。
12〕純度の平均値が品質基準に達しない回ットの合格する確率を求めよ。

ただし．一つのロットを構成する各原料の純度の標準偏差は。＝0．6％であることがわかっているものとする。

また，解答にあたっては次の正規分布表を用いよ。
ε凹

a｛占，O．250」59O．674

1．OO

0，150，lOl．036

1282

O．050．0250．0228

1．6451．960

2．O0

0．Ol

O．0050．001350．0010．00003

2．326

2．576

3．O00

3，094，OO

旦．OOO人を性別と色盲か否かについて調べたところ，表1の分割表を得た。色盲の道伝に関する毛デルによれば，それらの確率は表2々ようになるはずである。表1のデータは表2の確率分布に合っていると考えてよいか。ただし，表2で9＝1一カであって，σ（0＜9＜1）は色音の過伝子の比率を表わしている。

ここで，z；（O，05）三5．99，z…（O−05）土7．81、π…（O．05）＝9．49とする。

表ユ表2
女

正常
色川ユ41一盲

カ／2

カン2＋〃

σ／2

qン2

4．正規分布N（μ，oi）・のμの推定に分布を用いて作った90％信頼区間の長さが，oより小さくなる確率が0．95より大であるためには、どの位の大きさの標本が必要か。

必要があれば次の数値を用いよ。
ユ。

i．

（O，05）

6．3王

2，922，35五（O．05）

3，84

5，99

7，81

9．49

工1．1

ユ2，614．ユ

15．5

工6，918．3王112131415

一617

i81920L80

1．78．

（O．05）王、（O．05）

二9．7

2．工3

L77

2ユ．0

2．Oユ

1，76

22，4

ユ．94

1，75

23，7

1，89

1．75

25，026，31，96

I．74

27，61．83

1．73

28，9I．81

i．73

30，11．72

31．4

5．非負の区間〔0，oo）で定義されている確率変数Xが，連続な確率密度関数／（κ）をもち，すべての舌＝ダに対して次の2条件
は〕P（X〉）〉O｛2〕

P（X≦f＋lX〉）二P（X≦μ）

をみたすときは，Xは指数分布にしたがうことを証明せ幻逆に，Xが指数分布にしたがうときは，上の2条件をみたすことを証明せよ。

一142一

昭和58年度（解答例）

1．n＝1，0C0の集団の死亡率Pについて，

P＝

6
一1．000

対立仮説：P＜61，000

帰無仮説の検定を有意水準5％で行う。
今，m人の集団の死亡率を力とするとき，死亡の発生がポアソン分布に従っている
ことから，この集団の死亡者数は平均ψのポアソン分布に従う（ポアソン分布の再生性）。

従って，この集団の死亡者数を表わす確率変数をXとするとき，

舳・lll一幼）一ゑぺ1）を満す最大の尾を唐として，0≦π≦后・…一（・）がこの検定の棄却域となる（逆に，π〉冶

であれば採択域に入る）。

后＝3，n三1，000，力＝6 を用いて，1，000

ゑグ÷一グ・・（H・等・午）≒2．7一へ61≒O．157〉0．05

即ち，后＝3は（＊）を満す最大の唐を超えている。
よって，仮説は棄却できないから，死亡率が改善されたとは有意水準5％で結論できない。

（注工）二項分布で直接計算することも出来るが，ψが小さいので，正規分布で近似ずることは好ましくない。

（注2）主グ記1（・同が自鍍φ一・（冶・1）の。㌧分布によって表わされること

4！

一王43一

を用いて，死亡者数々（三3）に対して，自由度φ＝2（々十ユ）＝8の！．
分布の上側5％点z2出、I〕（O．05）が2帥（＝12）を超えていればHoを採択としても良いが，この間ではZ2出、1）（O．05）土15．5の値は与えられていない。

21納入ロットの原料の純度をμ，標準偏差をσとすれば，納入ロットから且O個の標本を抽出したとき，その純度の標本変量平均ア＝量五（xゴは各原料の純度）は正規Hユ02
分布・（μ・舌）に従うと考えてよい。

従って，純度μからn＝10の標本をとったとき，このロットの合格する確率は，

帥…

｡・㌻）一①となり，σ＝X一μが正規分布M（O，1）に従うことから，①式のカッコ内右辺⊥万98−8一μ⊥万ωを計算して正規分布表から確率を求めればよい。

μ＝99％の合格する確率㍗㌻利＞州＝1−P戸（σ＞1，054）

一②

ここでP、（σ〉1，054）を直線近似で求めれば，

1，054−1，036×（010−015）
1，282−1，036戸、（σ＞王054）宝015＋≒1011463②式≒1−0．1463！O．8537
純度の平均値が99％であるロットの合格する確率はほぼ85−4％｛2〕μ＜98％の合格する確率

一王44一で＞㌢バ〉サ）

一③

ここで，μ〈98％より98−8一μ〉98−8−98であること、m（ε）に対して確率εが単調減少であることを用いた。

今で・㌢）州〉4州
く月ア（σ〉4）＝一④0．00003

舳り ﾄ〉宥）舳
従って，品質基準に達しないロットの合格する確率は0，003％未満で，ほぼO％と考えてよい。
3、実際のデータ（表三）がモデル（表2）に合っているかを調べるのであるから適合度の検定となるが，適合度の検定に用いる理論期待値を求めなければならない。
そこで，まず力（およびq）の推定量彦（およびξ）を最尤法を用いて求め乱尤度関数吋ゾ（芸・物アw（分σヨ1一ヵを用いて
∂Iogム

956

∂カ＝50ク

1一力5142ク

1912−3482カ十1520〆
カ（1一カ）（2一カ）よって，彦＝O．91294，＝O∂土0．08706

これより，442，514，38，6に対する理論期待値は各々，÷舳い（筈・外・…1＾9＾2n一＝43．53，

2σ

勿一二3．792一王45一（o＜力く1）

ここで，n＝442＋514＋38＋6＝1000。
次に，∬o：表1のデータは表2の確率分布に合っている。
として，表1の実現値と上言己理論期待値を用いて〆＿検定を行う。なお，自由度は，理論期待値を求めるときユつの母数ヵを推定しているので，4＿1＿1＝2となる。
（実現値一理論期待値）2
〆＝Σ
理論期待値
（442−456．47）2＝（514−496．2！）2
十456．47（38−43．53）2
十496．2143，53（6−3．79）2
十3，79−309＜599＝Z三（005）
即ち，表1のデータは表2の理論分布に矛盾するものではない。
4．

正規分布M（μ，σ2）からの標本をX，（2＝王，2，アーμ，n）とするとき，は⊥万＿ユ一V（0，1）に従う。ここで，X士一ΣX…。

n』1刊

2 Σ（X1−X）2n3
1
また，了＝2は自由度φ＝n一王のノー分布に従う。
oσし帆 a／戸高÷触φ一一ト分布となる。

よ^鳥・1−1（・…）／一・・

より，μの90％信頼区間はオー分布を用いて（天一川・・）÷・ア・島一1（…）万≒）

この信頼区間の長ざしは，L＝2ボ1（O05）∫戸となる。

題意より，このムがσより小さくなる確率が・0，95より大であるから，

一！46一小十κ／・川・）÷・→①

オ・一1（0．05），∫ともに正だから，

2①一・・｛・（ち一1（…））2、÷、く・｝一・件・、（￡1証、））。／・…
2
ここで，椛芸②は前記のとおり自由度φ＝n−1のκ2一分布に従うから，②式を満すσためには，n（m−1）

。（島．、（。。。））・〉ん1（O05）③であればよい。

与えられた表よりn＝2，3，・…・・，20を計算すれば，③式の左辺，右辺について，左辺＜右辺左辺＞右辺（n＝2，3，……，19）（勿＝20）となり，n＝20で③式が初めて成立。
よって，標本数は20以上必要である。
5．

｛1〕P（X＞彦）＞O12〕戸（Xく什〆lX〉オ）三ρ（X≦〆）⇔

xは指数分布に従う。

〔証明〕

（⇒）

G（サ）。＝P（X＞広）とする。

ωよりG（サ）〉0121の左辺（オ≧0）戸（X＞ま，X≦オ十〆）P（Xく汁〆lX＞サ）＝P（X〉チ）戸（＜X≦左十庄）戸（X＞オ）戸（X＞オ）一P（X〉オ十〆）ヨ

ρ（X〉C）

一147一①

G（オ）一G（汁〆）G（≠）
121の右辺P（X≦去）ヨ1−P（X〉〆）

記1−G（〆」）
G（よって，）一G（よ十〆）＝1−G（〆）

G（オ）

これを整理して，G（汁〆）＝G（オ）・G（〆）（C，〆≧0）

一②

ここで・（1）一・（・・1）一1一・（・・1）十∫1ル）あより・・（・）一1一閨轣i・）・工一1②より，
G（オ十〆）一G（彦）limf仁。O〆

G（去）・G（〆）一G（三1imμOG（≠ヨ王im）〆）一1G（オ）㌧十〇まG（〆）一1＝G（ま）1王m、十〇
オ＝G（サ）σ（O）
よって，G（才）ヨG（ま）・σ（0）ここで，〆≧OよりG

一④（O）は右側微分係数

さて③より舳一 ?^1＋（工刈1一∫（ま）であるから

σ（O）＝一∫（0）となり，／（エ）は連続な確率密度関数だからλ＝／（O）とすると，λ≧0。
④よりσ（云）＝一λG（）（λ≧O，f≧O）

σ（云）

これより

一⑤一宝一λG（オ）山148一1．9G（≠）＝一λf＋cG（オ），グ⑤より・〆＝Ce一o（O）ヨ1より，C，1となるから

G（）：eλ∫（広）呂一σ（C）＝λe（λ≧O，左≧O）（λ≧0，ま≧O）

これは指数分布の確率密度関数に他ならない。
（台）．

∫（π）1λe（λ≧O，チ≧O）とすると，／一ρ（・・1）イ〃…，冊1｛・一［一・一口．

］：｝

・・

P（X〉オ）一P（X〉左十〆）戸（xく什〆lx〉f）＝戸（x〉左）一｛θλ（一彦÷ヰ〕（③より）（上記イ．より）

一〃e一⑥＝1−eP（X≦〆）＝1一戸（X一＞左11−e■⑥，⑦より）（上記イ．より）一⑦

ρ（Xく汁〆lX＞サ），戸（X≦〆）（証明終）一149一