平成言年12月20日
窒宜幸一2．

数

学2、1（35点）σ＝）の標準偏差σを推定する。

平均μが既知の正規母集団N（μ．

大きさnの標本変量を（X。．X包 ，
C．

（問題）

・・次の谷間の［コに入る答のみを・所定の解答舳に記入出（1）．

・、X，）とするとき、。

統計量丁二一ΣlXl一μl
n 一一1（Cは定数）とする。

ここで・・一 m］のとき・・はσの不偏推服と帆（2）

大きさNの有限母集団から非復元描出した大きさn（nくN）の標本変量を（X一，X，．一・一．X。）とするとき、・1。・1（i・j）の榊鰍ρは［コで狐（3）N組の榎本（xl．yI）．

（x一，yi），………．

（x。．v。）に対して、yのxに対する回帰直線（最小2桑直線）を、標本平均x．y、榎本標準偏差σ，，σ，および標本相関係数ρを用いて表すと・一（4）m二］・・［コ。

互いに異なるn枚のカードを復元抽出する。各カードを引く確率が等しく1／nであるとする。4回目に初めて前回までに引いたヵ一1のいずれかと同じヵ一1を引いたとき・・の蹴推定値は［コで狐^・（1）βプe｝（・〉O）で表される分布に従っているとき、この母集団からn個の標本値（x。，

X，，…・…

（5）

母集団が密度関数f（x；α、一一（α〉0，β〉0）（x≦O）．X。）が得られだとすると・βの航推定値は［］で狐ただし・σは脇と仏

2同様の現境下で、等面積の7枚の畑に大麦を栽培した。肥料の潰度を7段階に分けて与えたところそれぞれの畑で・次のような収横高を得た。肥料の濃度と収聴高との間に相関関係がない（相関係数ρ里O）といえるか。有意水準O．05で検定せよ。
料濃度

穫高Y

381726202322

必要あれば次の数値を用いよ。
分布値
ノ自由度φ（O．025）

ノ（O．050）！

（O．950）ノ（0，975）

42．776

2．132

11、王4

9．49

O．711

O．484

52，571

2．O呈5

12．83

11．07

11145

01831

62．

7

1．943

M．45

12．59

1．635

1．237

7

2，365

1．895

16．O1

14．07

2．17

u（O．025），1，960、u（O．050）＝1．645

一9一

1．690

（20点）

平成5年12月20日
数〔学2．

．

．

、

23、次の問に答えよ。

（1）（O．1）上の一様分布に従う母集団から大きさnの標本を取り出したとき、標本中の最大値と最小値の差をZとする。確率変数Zの確率密度関数g（z）を求めよ。
（2）

大きさ65の標本の最大値と最小値の間に、母集団の95％以上が含まれる確率を求めよ。

（25点）
4．次の間に答えよ。

（1）

自由度nのプ分布の積率母関数はM（θ）±（1−2θ）■2である。この関数を用いて、自由度nのパ分布の平均および分散を求めよ。
（2） 正規母集団N（μ．σ，）からの標本変量をX。，X。．・・一…．X。とするとき

E［（kS2一σ，），］を最小にするkの櫨を求めよ。

ただし、S2三Σ（XI一μ）一／nとする。
11

一10一（20点）

数学21．

解答例
P（Xlμ）ドは・（・）確率変数・が・（1・σ・）に従111・・一自由度1のズ分布に従い、Yの確率密度関数はf（・）十y舳e∵：1：lX一μ1≡σ／■rより

・（1・一11）一σ・（用一ヅ≒∫。・…ザ・…一・…
一ヅ会［一・・一・・1。イ・・π1C皿C

l−1n

よってE（T）里一ΣE（lXI一μ1）白一nゾ所σ呈ヅπCσ≡σn・一団（2）母集団の各要素をa

Xl＝a．，Xl，a・，…・・一，a・とし、母平均、母分散をμ，σ2とす乱！a。

（s≠t）となる確率は、
1

P（XI・＝a、，X』＝a一）≡H（a．一μ）（a一一μ）一μ）］＝Σ

E［（Xl一μ）（X1N

N（N−1）

・1

≡

＝

（川

（a．一μ）｛Σ

、一一1〈a．一μ）一（a．一μ）｝

一一1。

Σ二（a．一μ）2＝一N（N−1）一一1
H

N（N−1）

同Σ二−1

N（N−1）

1NN

一一1σ2
N−1

Σ（a，一μ）＝O，一Σ（a、一μ）2昌σ2）・1−E［（X− 撃戟iX一μ）］一［ヨ（3）求める回帰直線をy＝ax＋bとすると、a，bはS（a，b）＝Σ H｛y、一（ax一・一トb）｝2を最小にする値である。

一1．

．

∂S

∂a∂S∂bN；一2】菱一1｛y一一（axI＋b）｝

HxI昌0＝一2ΣlyI一（ax■十b）1＝0I

1−11一

@H

H

H

ΣxIy■聖aΣxI2＋bΣx一一一11I

H

l・・①

I−1

H

N

1・1

I．1

Σyl＝aΣx・十bΣ1

I−1②より。

……

A。

Σy．一aΣxll一，I■lb＝N
これを①に代入して整理すると
Ha昌HH

ΣyNΣxIyI一ΣxII■1I−1

Cov（x，．一1Hy）NNΣXI2一（ΣXI）2
一一1

σ、21−1一F］
NN

ΣyI−aΣXl
1−1I・］b昌≡N（4）4回目に初めて同じカードを引く確率f（n）はnf（n）昌一・
n＝3n（n−1）n−2・n（n−2）

n3，fn−1（n）＝31（2n−3）n3．＿n（n≧3）

一（n−1）（n−2）3n・｝n6−3（n2−6n＋6）
n4

従って・n＝3＋ヅTのときf（n）は最大となる。（．

題意よりn≧2）

ここでnは整数であり、f（4）＝O．28125，f（5）＝O．288であるので、n些［…コで最大となる。
（5）
1（Xl・X2・（β）＝＝■＝I・X・）の確率密度関数をβの尤度関数1（β）とおいてf（X一；α，β）

1■11．

3（nx一）
r｛o， （α）βH l■11091（β）；一n109r1（α）一nα109β．

1

皿十（α一1）Σ1ogxI一一ΣxI
一1一12一皿

一1exp（一一Σx■）β 1−1β工∂∂β109

11nα（β）昌一

而十一Σx■＝Oβ2■一1β

これを解いて求めるβの最尤推定値は

含÷書・
2一円

母相関係数をρとして・対立仮説

帰無仮説

Hl：ρ≠0に対して、Ho：ρ＝0を検定する。
11

標本平均E（X）＝一ΣX．昌4，E（Y）；一ΣYi昌17nn
1

標本分散S（X）2望一Σ（X．一X）2＝4，n1S（Y）2呈一Σ

（YI−Y）2＝61．14

n1

標本共分散Cov（X，Y）＝一Σ（X一一X）（Yi−Y）空12．857143
従って、標本相関係数nr（X，Y）はr（X，Y）＝
帰無仮説

Cov（X，Y）
S（X）S（Y）

望08221321

H。：ρ＝Oのもとで、nを標本数とすると統書十量ヅπr

T＝1／一丁＝下アは、自由度n−2のt分布に従う。

いま、n昌7，r＝O．8221321だから、Tの実現値は、
ヅ下τ・O．8221321
T＝

ヅF『㎜丁ア＝3．2291475＞2，571里t。（O．025）

よって・Hoは棄却される。肥料濃度と収穫高との間に関係がないとはいえない。

3．

（1）最小値をX、，最大値をX。とすると、これらの同時確率密度関数F（x1，x而）は一・・而）¥）！（xドx1）∵lll∴1）

ここで、Y＝X1，Z昌X、一X1，これらの同時確率密度関数をG（y，z）とする。
X。≡Y．X。呂Y＋Zより、

よって

∂X1

∂X1∂X。

∂y∂Z

∂y11，

∂（X1，X。）∂（y，Z）

宮1

一13一

匝O，昌1，∂X∂Z

昌1

従って、y≧0，z≧O．y＋z≦1のとき∂（X王，X。）
G（y，z）＝F（x1，x．）∂（y， Z）

nl＝（x（n−2）！

一x1）面一2・1＝n（n−1）znI2
それ以外のとき、G（y，z）≡O
Zの確率密度関数g（Z）は、O≦z≦1のとき
轣f1
・（・）一・（一・）・・一…一・（・一・）パ・（ト・）zく0，z＞1のとき（2）

g（z）呂O

Prob（z≧O．95）

一∫∴、・・・・・・…（・一・）・・一・・・…
よって求める確率は84．2％である。
4．

（1）MM（θ）＝n（1−2θ）一0／2−1（θ）冨n（n＋2）（1−2θ）一n／2−2

平均E（X）＝M （0）≡n
分散V（X）！E（X2）一［E（X）］2昌M＝nσ2（0）］2（n＋2）一n2≡2n。 （XI一μ）2（2）Σ
＝I−1（O）一［MnS2は自由度nのパ分布に従う確率変数であるから、
σ 2

自由度nのパ分布の平均はn、分散は2nであることより、
E（nS2）＝n ． ．E（S2）宗σ2σ2nS2n2S4nS2n2）昌E（）一［E（）］2≡一E（S4）一n2昌2nσ・σ4
σ2
σ42＋nV（．

．E（S4）＝σ4nE［（kS2一σ2）2］＝k2E（S4）一2kσ2E（S2）一トσ42＋n＝k2σ4−2kσ4＋σ4nよって、k昌nn＋2のときE［（kS2一σ2）2］は最小となる。

一14一