『余弦定理は、どの角を使うと都合がよい？』
問１△ ABC において、 AC  6 、 B  120 、 C  45 のとき、 BC の長さを求めよ。

中学校の内容で、または高等学校の内容で、どのように解きますか？

４ページ目の【解法３】で示したように、
この問は、点Ａから直線ＢＣに垂線を下ろすという補助線を図形外部に引けば簡単に解けます。しかし、ここでは、正弦定理や余弦定理を用いた解法について考えることにします。

正弦定理や余弦定理を用いた解法△ＡＢＣの内角の和は 180°より、∠ＢＡＣ＝ 180   120   45 ＝15°
【解法４】正弦定理を利用して、
6BC

sin 120
sin 15
sin 15 

6 24

sin 15 

6 2が分からない場合は、4より

 BC  3 2 

6加法定理より、 sin 15  sin (45  30)  sin 45 cos 30  cos 45 sin 30
cos 15 【解法５】正弦定理を利用して、6AB
 AB  2 6sin 120sin 45
ここで、余弦定理を利用して、

BC   3 2  6

 cos 15 

6 2が分かるぐらいなら、46 2も分かると思うので、4【解法５】で解くぐらいなら、【解法４】で解くはずです。
よって、この【解法５】で解くことは、極めて珍しいことであると考えます。
sin 15 

BC2  62  (2 6 ) 2  2・6・2 6 ・cos15
 24  12 3と導けます。

6 2424  12 3  24  2 108  18  6  3 2  6BC  0 より BC  3 2  61/6

【解法６】正弦定理を利用して、6AB
 AB  2 6sin 120sin 45
ここで、余弦定理を利用して、
6 2  BC 2  (2 6 ) 2  2・BC・2 6 ・cos 120BC  0 より

これを解いて BC   6  3 2BC  3 2  6【解法７】正弦定理を利用して、6AB
 AB  2 6sin 120sin 45
ここで、余弦定理を利用して、(2 6 ) 2  BC 2  6 2  2・BC・6・cos 45

これを解いて BC  3 2  6

BAC ＜ BCA より、 BC ＜ AB
BC  2 6 よりBC  3 2  6 は不適。

∵ 3 2  6  2 6  3 2  6  18  6  0

よって、 BC  3 2  6
ここで、【解法６】も【解法７】も、余弦定理を利用していますが、120°を使った【解法６】は、BC   6  3 2 から『 BC  0 より』という簡単な説明で、 BC   6  3 2 が不適であることを説明しているのに対し、45°を使った【解法７】は、三角形の辺と角の大小関係を利用して、やや難しい説明で、 BC  3 2  6 が不適であることを説明しています。
120°を使ったときに簡単な説明で解の吟味ができたのは、偶然でしょうか？

ＡＣ＝ b ，ＡＢ＝ c ，Ａ，Ｂ，Ｃは与えられている、または求めていて、ＢＣ＝ a を求める。
ただし、次の①～④の条件付きである。
① △ＡＢＣは直角三角形でもなく二等辺三角形でもない。
② Ａは、15°，75°，105°のいずれか。
③ Ｂ，Ｃは、30°，45°，60°，120°，135°のいずれか。
④ 15°や 75°や 105°の三角比を使わない。
このとき、余弦定理 a 2  b 2  c 2  2bc cos Ａ は、②と④より利用できません。
そこで、余弦定理 b 2  c 2  a 2  2ca cos B と、余弦定理 c 2  a 2  b 2  2ab cos C のどちらを利用すれば、解（ a ）の吟味をする際、「辺の長さは正なので」という簡単な説明ですむでしょうか?

結論

Ｂ ＞ Ｃ のときは、 余弦定理 b 2  c 2  a 2  2ca cos B を利用し、Ｂ ＜ Ｃ のときは、 余弦定理 c 2  a 2  b 2  2ab cos C を利用すれば簡単な説明ですみます。

角の大きい方で余弦定理を利用すると、解の吟味の際、なぜ、「辺の長さは正」という簡単な説明ですむのでしょうか？
考えてみてください。
2/6

ヒント○○b 2  c 2  a 2  2ca cosＢ より

a 2  2 (c cosＢ) a  (c 2  b 2 )  0

解の公式よりa  c cosＢ 

 0

B＞Cb

 c(c cosＢ) 2  (c 2  b 2 )公式や定理について深く考え、新しい発見をしてみませんか？

平成20年度 愛媛県総合教育センタ－の研究紀要「算数・数学における知識・技能を活用する力を育てる教材の研究－小・中・高等学校の縦断的な「つまずき」要因の分類を通して－ 」の ２(2)オ にも掲載している内容と一部重複しますが、 問１ の補足説明をします。

問１△ ABC において、 AC  6 、 B  120 、 C  45 のとき、 BC の長さを求めよ。

【 図Ⅰ 】

中学校の内容で、または高等学校の内容で、どのように解きますか？

3/6

問１ を、 補助線を引いて考える解法△ＡＢＣの内角の和は 180°より、∠ＢＡＣ＝ 180   120   45 ＝15°

【解法１】点Ｂから直線ＡＣに垂線を下ろし、交点をＨとする。また、∠ＡＢＩ＝15°となるように、辺ＡＣ上に点Ｉをとる。
ＢＣ＝ x とおくと、∠ＢＣＨ＝45°からＢＨ＝ＣＨ＝2x2∠ＢＩＨ＝ 15  15 ＝30°から
ＩＨ＝ 3 ＢＨ＝ 3 

26x＝x
22

∠ＢＡＩ＝∠ＡＢＩ＝15°からＡＩ＝ＢＩ
ＡＣ＝ＡＩ＋ＩＨ＋ＣＨ＝６より、 2 x 
これを解いて、 x  3 2  62x＝ 2 x
2，ＢＩ＝２ＢＨ＝ 2 

よって、ＡＩ＝ 2 x62x
x  622

よって、ＢＣ＝ 3 2  6

この解法は、高等学校の学習内容。

（補助線ＢＩを引く発想は難しい!?）【解法２】点Ｃから直線ＡＢに垂線を下ろし、交点をＨとする。また、∠ＡＣＩ＝15°となるように、辺ＡＢ上に点Ｉをとる。
ＢＣ＝ x とおくと、∠ＣＢＨ＝60°から
ＢＨ＝

1x2，ＣＨ＝3x2∠ＣＩＨ＝ 15  15 ＝30°から
ＩＨ＝ 3 ＣＨ＝ 3 

33x＝ x22，ＣＩ＝２ＣＨ＝ 2 ∠ＣＡＩ＝∠ＡＣＩ＝15°からＡＩ＝ＣＩ
ＡＨ＝ＡＩ＋ＩＨ＝ 3 x ＋3x＝ 3x2

よって、ＡＩ＝ 3 x

3x22∠ＡＨＣ=90°なので

2 3 3 x  62
 3 x  x   2 2 

よって、 x 2  24  12 3

これを解いて、 x   3 2  6x  0 より

よって、ＢＣ＝ 3 2  6x  3 2 6

この解法は、高等学校の学習内容。

（補助線ＣＩを引く発想は難しい!?）【解法３】点Ａから直線ＢＣに垂線を下ろし、交点をＨとする。
∠ＡＨＢ=90°，∠ＨＣＡ=45°なので ∠ＨＡＣ=45°
AC  6 から、ＡＨ＝ＣＨ＝ 6 

1＝ 3 22

また、∠ＨＢＡ= 180  120 =60°，∠ＡＨＢ=90°なのでＢＨ＝

13×ＡＨ＝1

3 2 

63

したがって、ＢＣ=ＣＨ－ＢＨ＝ 3 2  6
この解法は、中学校の学習内容。

4/6（1 本の補助線で簡単に解けます！）

【解法３】のような補助線の引き方をすれば、瞬間的に解けます！（美しい！感動！）
しかし、△ＡＢＣを【図Ⅰ】のようにかいた場合、【解法１】のＢＨのように、補助線を図形内部に引こうとする傾向があり、その後、どのように解けばよいか、わかりにくいようです。
なぜ、補助線を図形内部に引こうとするのか？
その理由の一つとして、「図形外部への補助線も考えられる」という意識が不足していると考えられます。
さらに、図形外部への補助線のなかでも、【解法３】のような補助線（ＢＨとＡＨ）は、『』型の図形外部補助線なので、補助線の引き方がさらに難しいようです。
そこで、△ＡＢＣを下の【 図Ⅱ 】のようにかくと、【 図Ⅱ 】『』型の図形外部補助線なので、【 図Ⅰ 】よりは補助線が引きやすくなるようです。

【 図Ⅰ 】の補助線『【 図Ⅱ 】の補助線』型の図形外部補助線『』型の図形外部補助線

これは、「垂線を下ろす」という言葉に含まれる、上から下に向かって垂線を引くイメージが強く、『 』型の図形外部補助線のように左下から右上に向かって垂線を「下ろす」というのは、心理的に反している行為のためではないかと考えられます。

5/6

参考問２△ ABC において、 AB  2 6 、 AC  6 、 B  120 、 C  45 のとき、 BC の長さを求めよ。

問２ は、 問１ に AB  2 6 という条件を追加した条件過多の問題です。
中学校の内容で、または高等学校の内容で、どのように解きますか？

問２ を、 補助線を引いて考える解法【解法１】点Ｂから直線ＡＣに垂線を下ろし、交点をＨとする。
ＢＨ＝ x とおくと、ＣＨ＝ x 、ＢＣ  2 x∠ＡＨＢ=90°なので

x 2  (6  x ) 2  ( 2 6 ) 2

これを解いて、 x  3  3
ところで、∠ＨＡＢ= 180  120  45 ＝15°、∠ＨＢＡ= 180  90  15 ＝75°
よって、∠ＨＡＢ＜∠ＨＢＡなので、ＢＨ＜ＡＨ…①x  3  3 のとき、ＢＨ＝ 3  3 、ＡＨ＝ 6  (3  3 )  3  3 となるので、①からx  3  3 は不適。よって、 x  3  3



したがって、ＢＣ  2 x  2 3  3  3 2  6
この解法は、高等学校の内容。

中学校の内容なら、 x  3  3 まで解けます。

【解法２】点Ｃから直線ＡＢに垂線を下ろし、交点をＨとする。
ＢＨ＝ x とおくと、ＣＨ＝ 3 x 、ＢＣ  2 x

2 6  x   3 x  62

∠ＡＨＣ=90°なのでこれを解いて、 x   6  3 22x  0 より

22x

 6 3 22

したがって、ＢＣ  2 x  2   6  3 2  3 2  62

この解法は、高等学校の内容。

中学校の内容で、 x   6  3 2 は難しい!?
2【解法３】
問１の【解法３】と同じ解法。

この解法は、中学校の内容。（1 本の補助線で簡単に解けます！）
美しい！感動！

6/6