〔問〕

昭 和 48年 度

(問題〉

午前の部
1. m年払込

n年満期養老保険を，契約後 t年 (t< m)して同一保険金の例年払込 (t<m')‑s‑rn'
年満期養老保険 K変更した。変更後の年払保険料を求めよ。ここ vc，付加保険料は α方式とし，変更時の責任準備金の差額は以後の保険料で調整するものとする。

2. x歳契約

n年満期養老保険の純保険料式台よびテノレメル式責任準備金(保険金年末払)の再帰方程式はつぎのよう K表わせることを証明せよ。

+d )}(2) 1‑ 1+1
V~叫 = U X
+t {( 1‑ tV ~叫)ー( p1~~ +d ) }(1) 1‑ t+1Vx:百 =ux+t { ( 1‑ tVx:芳1 )一( P x:司α乙乙 vcP~~in =pX: 知+マγーであり
凶x:'万1、oV~仏=ー α とする。

3. 死亡表がメーカムの法則 (μ x=A+B • CX )VC従う場合 K
A:
111CXCx‑Cv.
.
.̲ . .
.
.
.
， .AXIl‑ A. .
.v . ...... " • a X1J
CX十 C V " "'1
CX+CV""'1が成り立つことを証明せよ。

午後の部
4 死因 (1)， (収よる死力 μ(;)，μ(~) (μ Xμ(;)
十 バ ) )が既知のとき，絶対死亡率ペ)，d)を求めよ。

5. 保険期間 n年の生命保険契約 K沿 い て 年 度 Kなける死亡保険金を S t，満期保険金を 1とする C 予定死亡率{ qx}なよび{ q二}vcよる全期払平準純保険料をそれぞれ p，P'とした場‑101ー

〔間〕>q~+t (0三五 t<n )であれば P乙P'が成立することを示せ。と乙 K保険金は保合， タx+t険年度末払とし，(O<t<n)S t‑ tV~三 0 ，であるものとする。

6. 標準下体の被保険者(死亡指数 α)VC対し，標準死亡率の養老保険陀辛子ける平準純保険料伊)年間 t/ (t十 1 ) ( t: 正 整 数 保 険 年 度 ) の 削 減 保 険 金 を 支で加入させ，その代り t払う保険契約を締結すれば収支相等するものとした場合，削減期間 tは次式で示されるととを証明せよ。

t説。
‑RT‑哀 鉱 山鉾(P(α)ー P ) ( N伊)‑N n )とと K(α)は死亡指数 α Kよる計算基数と平準純保険料を示すものとする。

‑102‑

(解答)

昭和 48年 度
午前の部

1，変更前の保険種類の第 t年度末の責任準備金を tV とし，求める営業保険料を p〆とすれば，収支相等の原則 Kより次の等式が成立しなければなら左い。

♂
コl十戸 P〆ん+t:mて刀 +rax.判長て刀 +r'ml‑t 1

コax+t:ml 1=玉x+tノ・

tV 十 P・

ax+t:n'‑m
可(ただしr'は払済後の維持費)

上式を P〆について解けば，
P

二+rax+t:五て司 +r〆
ゐ‑t 1a升 t:nて五可 ‑ tV

Ax+t:玄て刀( 1‑s)'
a t:mて日升

Ax+t:五て司 +α 十 rax+t:"inて司 +r
み'‑t 1a yr
トt:nて五寸1‑ s )'ax+t:m' l

コtVtV 十 αー‑m'‑tJ. x+t:?
コ (1‑ s )'ax
‑十t矛てtl

2， 責任準備金の再帰公式は(1) v p叶 t• t+l Vx:司= tVx:万1+ Px:万1 ‑ v q x+t

両辺からむ Px+t を引き，変形すると，+qX+t )‑ tVx:iil ‑ Px:百1v Px+t ( 1‑ t+1Vx:司 )= v (PX+t= v‑ tVx:五1‑PX:万l=(1‑ tVx:ヨ1 )一( Px:
百1十 d )nまたν JX+t

1‑ 1+1Vx:苅
(2)一(α)tV x:司τ7
竺J.Jyr十t+l=UX+t

だから=UX+t {( 1‑ tVx:司 ) 一 ( Px:司 +d ) }一αtV x:司 ー で 了 一
山aX+t汚士司x‑司( α ) αP';':
n1 =Px:司+ーす一一一‑x・万1であるから， (1)より‑103‑+α(1‑s)三x+t矛司( α ) α ' ¥̲ ~.

，. "tT(α)α

1‑ (t+1V~~:万1+τ-- aX+t+1:
0.x+t:n‑刃}
nココ1 )ニ uX+t{{1ーし V¥"'‑1+‑.‑;，‑‑̲.)r"'(...

ux:司Ux:nl(α}α一 ( P~~: 司ーで了一一 + d )) .
・凶x:万1H・.
，①n α:n.

Ux+tー了一一一(五件t ご1] ‑ 1 ) =ーご笠ムで了一一一(己 x+t汚ご1] ‑' 1 )x+t+l

同町五JJw.

x:司α=
τ了一‑ ax+t+1タ 同 ・U

x:五1H・・.
.
.
・ ・‑…
.
.
.
.
・ ・‑……②HH②式を①式 K代入すると，
(α)

α(一.
，n(α)

1‑ t+1V~~:百1 = U x+t { ( 1‑ tV~fA:万1 )一( P~~: 五1 + d ) }
を得る。
(2)
V
Cついては (1)と同様 K しでも解ける。

5.bv=ffUttPzvん +tdt

=fooov t tpxy (A十 BC山 )dt=AffUttPzvdt+fJ〉
OUttPZFBCZ+tdt( 'rOO=A一a +̲.
'"'Xc
̲.L~~ vt tPoy"" ( B cx+t+Bcv+t)dt~v 'cx+v
c‑ xv
Y:'J山cx=AGzp+57τ

予=A a吋'>"" + ̲

400Ut tpzr(h+t+り +t ‑2A) dtcx

cx十 cvcx
cx+cv

ーA~. ，吋

一 一(A吋2吋Aa‑A，>""‑，>"")

CZ ー CF 一acx十 cv 吋…

午後の部
dt4. . ̲..((2)̲
1)xμx μZ 十 μZ 一一一一一一一一一I..

tx dx

他方‑104‑Hd(!)~
p I~~，' 11.(1，)，dz‑Oldz+tμ~+tdd(2)=rtf ，， 11~+t(~). dZ-01tz+tμd
したが勺て，絶対死亡率はパ) ‑ d r ) q一(2)‑d)
一‑一z

一 一 日ん‑jd)tz‑÷d)'zZ

5. St=tV+Kt(Kt ミ o)とする。

責任準備金の再帰公式 Kより P Kついて，)=v ( 1‑qX+t ) t+1V

tV+P‑v qx+t ( '+1V+KVt+1V‑ tV= P‑ v qX+t Kt

両辺vcVtを乗じ

t=O‑‑‑n‑1の総和をとると

vn nV‑OV=P(1十 v +・・…
・nーl+vn‑1 )‑ v~と qX+t vtKt。
V=O， nV=1だから，n‑lVrI+よ qX+t Vt+1 Kt

Pa万1

一方P 〆 K ついて q~+t ニタルト t-åt (at>O) とすれば Pと同様 K して，n‑l+2:q~+t Vt+l Kt

vnP〆a司n‑l+2:(qX+t‑ at )vt+1 Ktvn。司

宝 qx+t V'+l Kt

vn+t=o三夕刊 αt • V Kt
州t=o

α万1

a万1‑105ーn‑lJと=P̲ .
=0qX+t αt v 1+1Kt

a司，tqnX+t αt vt+1 Kt

P‑P'

ミ三日a司:.
Pミ P〆

6. 保険金を削減し左い場合の保険料は.

一(α) 一(α)p(α)̲ M ;'--M~~n +D';
.
+n，r.

(α)

(α) ~T(α)

N';'‑N;‑t‑n
削減する場合の保険料は，

l~ ー (α)
ー (α)
ー(め(α)
一一一乙 tC~+t-1 +M;‑:‑'+
1‑M~+n +D~+nt+1 t=l

p=(α‑) ~T(α)
N;'-N~~n1ー (α)

n(α)

一(α)

ー (α)

一(α)

(α)

，r.

一一一 {R~U'_ R~~l+l ‑(t+1)M件 l+l}+M~~l+l -M;~n +D件 nt+1(α) u(α)
N';'-N;~n辺々差し引くと，一α((α‑)~p'.‑'‑p=Zー (α)ー (a)一一一一 {t+1‑R~aJ_ R~I+l }‑ハ

Nデー-N~n
上式を tvr.ついて解けば，t=一(α) 一(α);'‑R件 l+‑1

百司;
(φめ(φ'‑ (P\~/P)(N(:X‑'‑N~+n)‑106‑