多次元連分数展開と数の同時近似
藤田岳彦
一橋大学商学部

本論説では、 1 次元 2 次元の力学系により近似分数をつくる方法とその収束について調べていく。
とりあげる力学系として、 10 進展開、 1 次元連分数展開、 2 次元連分数展開 (Jacobi-Perron Algo-rithm, Modified Jacobi-Perron Algorithm)、 1 と 2 の問の収束指数を持つ 1 次元力学系など (新しい Example) を選び、具体的に解析をおこなう。勿論、近似分数を作るやり方は、 もう少し一般のある条件を満たす力学系でできるのだが、 とりあげた力学系たちと全く同じ formalism でできるということを注意しておく。

0

Introduction

Example 0.1$x\in[0,1]$,$x_{n}=0.\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}=_{q_{n}}L^{n_{-(=\frac{p_{n}}{10^{n}})}}$$ x=0.\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}\alpha_{n+1}\cdots$(10 進展開) に対しは の近似有理数を与える。すると明らかに、$x$$|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}|$$=$$ 0.0\cdot\cdot ^{0\alpha_{n+1}\alpha_{n+2}}n.\ldots$$\leq$$\frac{1}{10^{n}}=\frac{1}{q_{n}(x)}$が成立する。

まずこれを、力学系を通して議論していこう。

1

1 次元の力学系と近似分数の作り方

Example 0.1 に対して、以下の様な力学系$T$を定義する。

$T:[0,1]\rightarrow[0,1]$$Tx=10x-[10x]$
これより
$10x$

$=$

$[10x]+Tx$

$x$

$=$

$\frac{[10x]}{10}+\frac{Tx}{10}$

$Tx$

$=$

$\frac{[10Tx]}{10}+\frac{T^{2}x}{10}$$T^{2}x$$=$$\frac{[10T^{2}x]}{10}+\frac{T^{3}x}{10}$1代入のくり返しにより
$x$

$=$

$\frac{[10x]}{10}+\frac{[10Tx]}{10^{2}}+\frac{[10T^{2}x]}{10^{3}}+\frac{T^{3_{X}}}{10^{3}}$$=$$\frac{[10x]}{10}+\frac{[10Tx]}{10^{2}}+\cdots+\frac{[10T^{n-1}x]}{10^{n}}+\frac{T^{n}x}{10^{n}}$を得る。ここで$x_{n}\cdot=T^{n_{X}}$として、以上の話を行列を用いて考える。
$x=-x1=\frac{[10x]+Tx}{10}=\frac{[10x]+x_{1}}{10}\ldots(1)$これを次のように変形する。
$\left(\begin{array}{l}1\\x\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{l}l\\x_{1}\end{array}\right)$$=$$\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ll}10 & 0\\{[}10x] & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{1}\end{array}\right)$$=$$\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ll}l0 & 0\\{[}10x_{1}] & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1\\x_{2}\end{array}\right)$

代入をくり返すことにより$\left(\begin{array}{l}l\\x\end{array}\right)$$=$$\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ll}l0 & 0\\{[}l0x] & 1\end{array}\right)\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ll}l0 & 0\\{[}l0x_{1}] & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{2}\end{array}\right)$

$=$

$=$

$\frac{1}{10^{n}}\left(\begin{array}{ll}10 & 0\\{[}10x] & l\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}l0 & 0\\{[}l0x_{1}] & l\end{array}\right)\cdots\left(\begin{array}{ll}10 & 0\\{[}l0x_{n-1}] & l\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{n}\end{array}\right)$を得る。ここで$M(x)$$;=$$M_{n}(x)$

$:=$

$=$

(但し、

$\lambda/l_{0}(x)=\left(\begin{array}{ll}l & 0\\0 & l\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{ll}10 & 0\\{[}l0x] & 1\end{array}\right)$$M(x)M(x_{1})\cdots M(x_{n-1})$$\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x) & q_{n}’(x)\\p_{n}(x) & p_{n}(x)\end{array}\right)$とする。)と定義すると$\left(\begin{array}{l}l\\x\end{array}\right)$$=$$\frac{1}{10^{n}}M_{n}(x)\left(\begin{array}{l}1\\x_{n}\end{array}\right)$$=$$\frac{1}{10^{n}}\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x) & q_{n}’(x)\\p_{n}(x) & p_{n}’(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{n}\end{array}\right)$となる。 よって$1$$=$$\frac{q_{n}(x)+q_{n}’(x)x_{n}}{10^{n}}$

$x$

$=$

$\frac{p_{n}(x)+p_{n}’(.x)x_{n}}{10^{n}}$2より$x=\frac{x}{1}=\frac{p_{n}(x)+p_{n}’(x)x_{n}}{q_{n}(x)+q_{n}’(x)x_{n}}$を得る。 この時近似分数として・をとる。では、 このようにして得た近似分数の誤差はどのく$\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}$

らいだろうか？

誤差の作り方は以下の通りである。
$M_{n+1}(x)=M(x)M_{n}(x_{1})$つまり$\left(\begin{array}{ll}q_{n+1}(x) & q_{n+1}’(x)\\p_{n+1}(x) & p_{n+1}(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}10 & 0\\{[}10x] & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x_{1}) & q_{n}’(x_{l})\\p_{n}(x_{1}) & p_{n}(x_{1})\end{array}\right)$

より、以下の関係式を得る。

(2)$q_{n+1}(x)$$=$$10q_{n}(x_{1})(=10^{n+1})$$p_{n+1}(x)$$=$$[10x]q_{n}(x_{1})+p_{n}(x_{1})\ldots(3)$$\cdots$

式 (1)(2)(3) より$q_{n+1}(x)x-p_{n+1}(x)$$=$$10q_{n}(x_{1})\frac{[10x]+x_{1}}{10}-([10x]q_{n}(x_{1})+p_{n}(x_{1}))$$=$$q_{n}(x_{1})x_{1}-p_{n}(x_{1})$

これより$q_{n}(x)x-p_{n}(x)$$=$$q_{n-}1(x_{1})x_{1}-p_{n-1}(x_{1})$$=$$q_{0}(x_{n})x_{n}-p_{0}(x_{n})$$=$$x_{n}$となる。 ところで(10 進展開)$ x=0.\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}\alpha_{n+1}\cdots$とすると$ q_{n}(x)x-p_{n}(x)=x_{n}=0.\alpha_{n+1}\alpha_{n+2}\cdots$$|q_{n}(x)x-p_{n}(x)|=|x_{n}|\leq 1$

より$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|\leq\frac{1}{q_{n}(x)}$となり、 $q_{n}(x)$ は $q_{n}(x)=10^{n}$ なので、Example 1.1$a_{0},$$a_{1}$$ n\rightarrow\infty$の時$\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}$は$x$に収束する。

(一次元連分数とユークリッドの互除法の射影化)

を $a_{0}>a_{1}$ となる自然数とする。

3

ユークリッドの互除法 :$\left(\begin{array}{l}a_{0}\\a_{1}\end{array}\right)$

これを射影化する$\left(\begin{array}{l}l\\\lrcorner^{a}\\a_{0}\end{array}\right)$$ x=_{a_{0}}^{a}\lrcorner$$\rightarrow\cdot\cdot$$\rightarrow\left(\begin{array}{l}a_{1}\\a_{0}-[_{a_{1}}\Delta^{a}]a_{1}\end{array}\right)$$\rightarrow\left(\begin{array}{l}d\\0\end{array}\right)$(但し、 $d=a_{0}$ と$\Downarrow$$a_{1}$

クを何回公約数もリ繰dッにりド到返の達互す 除とる最法$(\text{大^{}-}n$の最大公約数とする)$\rightarrow\left(\begin{array}{l}l\\\frac{ao}{a_{1}}-[\frac{ao}{a_{1}}]\end{array}\right)$, $0<x<1$ とすると$\left(\begin{array}{l}l\\x\end{array}\right)$$\rightarrow\left(\begin{array}{l}l\\\frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\end{array}\right)$

これをふまえて、以下のような力学系を定義する。
$T:[0,1]\rightarrow[0,1]$$Tx=\frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]$$x_{n};=T^{n_{X}}$とする。 これより$\frac{x}{1}=\frac{1}{[\frac{1}{x}]+Tx}=\frac{1}{[\frac{1}{x}]+x_{1}}\ldots(4)$となり，これを次のように考える。
$=$$\left(\begin{array}{l}l\\x\end{array}\right)$$\frac{1}{[\frac{1}{x}]+x_{1}}\left(\begin{array}{ll}[\frac{1}{x}] & 1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{1}\end{array}\right)$$=$$x\left(\begin{array}{ll}[_{\tilde{x}}^{l}] & 1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1\\x_{l}\end{array}\right)$

ここで$M(x)$$;=$$M_{n}(n)$

$:=$

$=$

$\theta_{n}(x)$$;=$$\left(\begin{array}{ll}[_{\tilde{x}}^{1}] & l\\1 & 0\end{array}\right)$$M(x)M(x_{1})\cdots M(x_{n-1})$$(LB$$\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x) & q_{n}’(x)\\p_{n}(x) & p_{n}’(x)\end{array}\right)$

し$M_{0}(x)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$Y$$xx_{1}\cdots x_{n-1}$

とおくと$\left(\begin{array}{l}l\\x\end{array}\right)$$=$$\theta_{n}(x)M_{n}(x)\left(\begin{array}{l}l\\x_{n}\end{array}\right)$$=$$\theta_{n}(x)\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x) & q_{n}’(x)\\p_{n}(x) & p_{n}’(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{n}\end{array}\right)$

これより
$1$

$=$

$\theta_{n}(x)(q_{n}(x)+q_{n}’(x)x_{n})$

$x$

$=$

$\theta_{n}(x)(p_{n}(x)+p_{n}’(x)x_{n})$

4

とする o

$)$

$)$

となり
$x=\frac{p_{n}(x)+p_{n}’(x)x_{n}}{q_{n}(x)+q_{n}’(x)x_{n}}$を得る。 この時近似分数として、$M_{n+1}(x)=M(x)M_{n}(x_{1})$をとる。 ここで、誤差の評価を行う。

$\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}$より$\left(\begin{array}{l}q_{n+1}(x)\\p_{n+1}(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}[_{x}^{1}] & l\\l & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}q_{n}(x_{1})\\p_{n}(x_{l})\end{array}\right)$となるので$q_{n+1}(x)$$=$$[\frac{1}{x}]q_{n}(x_{1})+p_{n}(x_{1})\ldots(5)$$p_{\Gamma\iota+1}(x)$$=$$q_{n}(x_{1})$. . .(6)を得る。式 (4)(5)(6) より$q_{n+1}(x)x-p_{n+1}(x)$ここで $|-x|<1$

より

、

$=$

$([\frac{1}{x}]q_{n}(x_{1})+p_{n}(x_{1}))\frac{1}{\left\{\begin{array}{l}\sim 1\\x\end{array}\right\}+x_{1}}-q_{n}(x_{1})$$=$$-\frac{1}{\left\{\begin{array}{l}1\\x\end{array}\right\}+x_{1}}(q_{n}(x_{1})x_{1}-p_{n}(x_{1}))$$=$$(-x)(q_{n}(x_{1})x_{1}-p_{n}(x_{1}))$

ExampleO.1 より良い近似を与えることがわかる。

$q_{n}(x)x-p_{n}(x)$$=$$(-x)(q_{n-1}(x_{1})x_{1}-p_{n-1}(x_{1}))$$=$$(-x)(-x_{1})(q_{n-2}(x_{2})x_{2}-p_{n-}2(x_{2}))$$=$$(-x)(-x_{1})\cdots(-x_{n\sim 1})(q_{0}(x_{n})x_{n}-p_{0}(x_{n}))$$=$$(-1)^{n}\theta_{n}(x)x_{n}$となり$|q_{n}(x)x-p_{n}(x)|\leq|\theta_{n}(x)|x_{n}\leq\theta_{n}(x)$

そして

$1$

$=$

$\theta_{n}(x)(q_{n}(x)+q_{n}’(x)x_{n})$$\geq$$\theta_{n}(x)q_{n}(x)$より$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|\leq\frac{\theta_{n}(x)}{q_{n}(x)}\leq\frac{1}{q_{n}(x)}$これより$\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}$は$ n\rightarrow\infty$の時、 exponential にに収束する。 (exponential(指数的) に収束とは$x$ヮ 指数 $=\sup\{\alpha>0.\exists A>0$ , 有限個の を除いて$n$であること。 )5$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|<\frac{A}{q_{n}(x)^{\alpha}}\}>1$

ところで、$r$

進展開と連分数展開のそれぞれの誤差は進展開 :$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|<\frac{A}{q_{n}(x\rangle^{1}}$連分数展開 :$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|<\frac{A}{q_{n}(x)^{2}}$$r$(収束指数 1)(収束指数 2)

また、 $\theta_{n}(x)(=\frac{1}{q_{n}(x)})$ は almost everywhere で以下のような order であることに注意しておく。
$f(x)=\log x$とするとき$\frac{1}{n}\log\theta_{n}.(x)$$\log x+\log x_{1}+\cdots+\log x_{n-1}n$$=$$f(x\rangle+f(Tx)+\cdots+f(T^{n.-1}x)$
$n$

$T$

はエルゴード的なので、バーコフのエルゴード定理が使えて、 $d\mu=\frac{dx}{(1+x)\log 2}$ より$\lim_{n\rightarrow\infty n}-\log\theta_{n}(x)1$$=$$\int_{0}^{1}\frac{\log x}{\log 2}\frac{dx}{1+x}$$=$$-\frac{\pi^{2}}{12}\log 2$

よって2$\theta_{n}(x)$$\sim$$\exp(-\frac{\pi^{2}}{12}\log 2)n$$q_{n}(x)$$\sim$$\exp(\frac{\pi^{2}}{12}\log 2)n$(近似分数の分母の増大度) がわかる

$0$

力学系の収束指数$c>0,$$\delta>0$をとってきて、$B^{\delta.c}=\{x\in[0,1];\exists p,$

条件$|X_{q}^{2}-|<\frac{c}{q^{2+\delta}}$は、$\left|\begin{array}{l}p\\x--\\q\end{array}\right|<\frac{c}{q^{2+\delta}}$とも考えられる。つまり、$|qx-p|<\frac{c}{q^{1+\delta}}$$A_{q}^{\delta.c}=\{x\in[0,1];\exists p,$

は最大

$q$

infinitely
$P$

often

$q\}$

は $qx$ の nearest intger となり$\left|\begin{array}{l}x-\underline{p}\\q\end{array}\right|<\frac{c}{q^{2+q}}\}$

個の区間からなるので$B^{\delta.c}=\lim_{q\rightarrow}\sup_{\infty}A_{q}^{\delta.c}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{q\geq m}^{\infty}A_{q}^{\delta.c}$$|\bigcup_{q\geq m}^{\infty}A_{q}^{\delta.c}|\leq\sum_{q=m}^{\infty}\frac{2c}{q^{1+\delta}}<+\infty$

よって、 ポレルカンテリの補題より$|B\delta$

c $|=$ 0。つまり、$p_{n}(x),$$ q_{n}(x)(n\rightarrow\infty$のとき$q_{n}(x)\rightarrow\infty)$が存在して$\delta>0$

となる

$x$

たちのルベーグ測度は$0$,$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|<\frac{A}{q_{n}(x)^{2+\delta}}$である。 これは、絶対連続な不変測度を持つ 1 次元の力学系の収束指数は、決して 2 より大きくならないことを示している。だが、収束指数が 1 と 2 の間の力学系は存在するので例示してみよう。
6

Example 2.1(収束指数が 1 と 2 の間の力学系の例)$T:[0,1]\rightarrow[0_{\dot{l}}1]$$T(x)=\left\{\begin{array}{l}2x (0\leq x\leq\frac{1}{2})\\\frac{1-x}{x} (\frac{1}{2}<x\leq 1)\end{array}\right.$

ここで$M(x)$$;=$$\theta(x)$

$:=$

ma,x

$M_{n}(x)$$:=$$M(x)M(Tx)\cdots M(T^{n-1}x)$$=$$\theta_{n}(x)$$;=$$\left\{\begin{array}{ll}[Matrix] & (0<x<\frac{1}{2})\\{[}Matrix] & (_{2}^{1}-<x<1)\end{array}\right.$$(\frac{1}{2}, x)$$\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x) & q_{n}’(x)\\p_{n}(x) & p_{n}’(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{n}\end{array}\right)$$\theta(x)\theta(Tx)\cdots\theta(T^{n1}-x)$

とおくと$\left(\begin{array}{l}1\\x\end{array}\right)$$=$$\theta_{n}(x)M_{n}(x)\left(\begin{array}{l}1\\x_{n}\end{array}\right)$$=$$\theta_{n}(x)\left(\begin{array}{ll}q_{n}(x) & q_{n}’(x)\\p_{n}(x) & p_{n}’(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{n}\end{array}\right)$となり$q_{n}(x)x-p_{n}(x)=t_{n}(x)x_{n}$(ただし、 $t(x)$$:=\left\{\begin{array}{ll}1 & (0<x<\frac{1}{2})\\-x & (\frac{1}{2}<x<1)\end{array}\right.$$t_{n}(x)$$:=t(x)t(x_{1})\cdots t(x_{n-1})$

とする。)

よって
$|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}|\leq\frac{t_{n}(x)}{q_{n}(x)}$ところで2 $q_{n}(x)\theta_{n}(x)\geq 1=\theta_{n}(x)(q_{n}(x)+q_{n}(x)x_{n})\geq\theta_{n}(x)q_{n}’(x)$より$\frac{1}{2\theta_{n}(x)}\leq q_{n}(x)\leq\frac{1}{\theta_{n}(x)}$$\frac{1}{n}\log\frac{1}{2}+(-\frac{1}{n}\log\theta_{n}(x))\leq\frac{\log q_{n}(x)}{n}\leq\frac{-\log\theta_{n}(x)}{n}$エルゴード定理より、 (不変測度 $d\mu(x)$ は $d\mu(x)=\frac{\log 2}{1+x}dx$ であることはすぐにわかる : 講演時の田中茂氏による注意)$\varliminf_{n\infty}\frac{1}{n}\log\theta_{n}(x)$

$-1$

$=$

$\int^{1}X,$$=$$\mu([0, \frac{1}{2}])l^{1}og^{-}2+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\log xd\mu(x)$$=$$-A-B$
7$($

ただし、 $A=-\mu([0.1\tilde{2}])\log_{\tilde{2}}^{1}$ ,$B=-\int_{\frac{11}{2}}\log xd_{l^{4}}(x)$, $A$ ., $B>0$ とする。

$)$

$n\infty\lim_{-}\frac{1}{2}\log t_{n}(x)=\int_{0}^{1}\log t(x)d\mu(x)=\int_{1}^{1}\log xd\mu(x)=-B\tilde{2}$$q_{n}(x)\sim e^{(.4+B)n}$$t_{n}(x)\sim e^{-Bn}$$\frac{t_{n}(x)}{q_{n}(x)}\sim\frac{e^{-Bn}}{e^{(}A+B)n}=\frac{1}{e^{(A}+2B)n}=\frac{1}{(e^{(A+B)n})^{\frac{A+2B}{A+B}}}\sim\frac{1}{q_{n}(x)^{\frac{A+2B}{A+B}}}$$1<\frac{A+2B}{A+B}<2$

よって、 この力学系の収束指数は 1 と 2 の間である。つまり、 この力学系は 10 進展開と連分数の間の収束指数を持つ新しい力学系の例である。

3

多次元の連分数

Example 3.1 二次元連分数アルゴリズム (Jacobi $Pe7ron$ : 古典的な 7 ルゴリズム)$a_{0},$$a_{1},$$a_{2}$

を $a_{0}>a_{1:}a_{0}>a_{2}$ となる自然数とする。

ユークリツドの互除法 :$\left(\begin{array}{l}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{array}\right)$$\rightarrow\left(\begin{array}{ll} & a_{1}\\a_{2} & -[\frac{a_{2}}{a_{1}}]a_{1}\\a_{0} & -[\frac{a_{O}}{a_{1}}]a_{1}\end{array}\right)$$\rightarrow\cdots\rightarrow\left(\begin{array}{l}d\\0\\0\end{array}\right)$$(\text{但し、} d=a_{0}, a_{1}, a_{2} \text{の最大公約数とする})$

これを射影化する。

$\left(\begin{array}{l}1\\\lrcorner^{a}\\a_{0}\\\lrcorner a\\ao\end{array}\right)$$x=\frac{a1}{a_{0}},$$\rightarrow\left(\begin{array}{l}l\\\frac{\frac{a2}{a_{1}ao}}{a1}-[\frac{a_{1}a_{0}}{a1}]-[\frac{a2}{}]\end{array}\right)$$y=\frac{a2}{a_{0}}(0<x<1,0<y<1)$ とすると$\left(\begin{array}{l}1\\x\\y\end{array}\right)$$\rightarrow\left(\begin{array}{l}1\\\tilde{x}^{-[_{x}^{A}]}y\\\frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}l\\\{_{x}^{z}\}\\\{\frac{1}{x}\}\end{array}\right)$

これに対する力学系は$T$: $[0,1]\times[0,1]\rightarrow[0,1]\times[0,1]$$T((x, y))=(\{\frac{y}{x}\}, \{\frac{1}{x}\})$$(x_{n}, y_{n}):=T^{n}(x, y)$$x_{1}=\frac{y}{x}-[\frac{y}{x}]$$y_{1}=\frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]$より$\frac{x}{1}=\frac{1}{[\frac{1}{x}]+y_{1}}$. ..(1)$y\tilde{1}=\frac{[\frac{y}{x}]+x_{1}}{1_{\tilde{x}}^{1}]+y_{1}}$8となり、行列を用いて$=$$\left(\begin{array}{l}1\\x\\y\end{array}\right)$$\frac{1}{\left\{\begin{array}{l}1\\\sim\\ x\end{array}\right\}+y_{1}}\left(\begin{array}{lll}[\frac{1}{x}] & 0 & 1\\l & 0 & 0\\{[}\frac{y}{x}] & l & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1\\x_{1}\\y_{1}\end{array}\right)$$=$$x\left(\begin{array}{lll}[\frac{1}{x}] & 0 & l\\1 & 0 & 0\\{[}_{x}^{!}1] & l & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}l\\x_{1}\\y_{1}\end{array}\right)$と変形する。

ここで$M(x, y)$$;=$$M_{n}(x, y)$

$;=$

$=$

$\theta_{n}(x, y)$$;=$$\left(\begin{array}{lll}[\frac{1}{x}] & 0 & 1\\l & 0 & 0\\{[}\frac{y}{x}] & l & 0\end{array}\right)$$M(x, y)M(x_{1}, y_{1})\cdots M(x_{n-1}, y_{n-1})$$\left(\begin{array}{lll}q_{n}(x,y) & q_{n}’(x,y) & q_{n}’’(x,y)\\p_{n}(x,y) & p_{n}’(x,y) & p_{n}’’(x,y)\\r_{n}(x,y) & r_{n}’(x,y) & r_{n}’’(x,y)\end{array}\right)$$(\text{但し}M_{0}(x, y)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\\0 & l & 0\\0 & 0 & l\end{array}\right)$とす$\text{る_{。}})$$xx_{1}\cdots x_{n-1}$

とおくと$\left(\begin{array}{l}l\\x\\y\end{array}\right)=\theta_{n}(x_{:}y)M_{n}(x, y)\left(\begin{array}{l}1\\x_{n}\\y_{n}\end{array}\right)$

これより

となり

$(\frac{p_{n}(x,y)}{q_{n}(x,y)}, \frac{r_{n}(x,y)}{q_{n}(x,y)})$$x=\frac{x}{1}$$=$$\frac{p_{n}(x,y)+p_{n}’(x,y)x_{n}+p_{n}’’(x,y)y_{n}}{q_{n}(x,y)+q_{n}’(x,y)x_{n}+q_{n}’’(,.x,y)y_{n}}$$y=\frac{y}{1}$$=$$\frac{r_{n}(x,y)+r_{n}’(x,y)x_{n}+r_{n}’’(x,y)y_{n}}{q_{n}(x,y)+q_{n}’(x,y)x_{n}+q_{n}’’(x,y)y_{n}}$を ( -step めの)$n$( , y) の同時近似分数という。 また$X$$\left(\begin{array}{l}q_{n+1}(x,y)\\p_{n+1}(x,y)\\r_{n+1}(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}[\frac{1}{x}] & 0 & l\\l & 0 & 0\\{[}_{x}^{A}] & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} & q_{n}(x_{1} & y_{1})\\I & p_{n}(x_{1},y_{1}) & \\ & r_{n}(x_{1} & y_{1})\end{array}\right)$

より、式 (1) を代入して$\left(\begin{array}{ll}q_{n+1}(x & y)x-p_{n+1}(x,y)\\q_{n+1}(x & y)y-r_{n+1}(x,y)\end{array}\right)$$D(x, y)=\left(\begin{array}{ll}0 & -x\\1 & -y\end{array}\right)$

として・

$=$

$(_{(q_{n}(x_{1},y_{1})[\frac{1}{x}]+r_{n}(y_{11}}(q_{n}(x_{1},y_{1})[\frac{1}{x}]+r_{n},y_{1}))\frac{1}{[\frac{1}{x}]+y_{1},(q_{n}(x}-q_{n}(x_{1}, y_{1})x_{1},))\frac{[\frac{y}{x}J+x_{1}(x_{1}}{[\frac{1}{x}]+y_{1}}-,$$=$$\left(\begin{array}{ll}0 & -x\\l & -y\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}q_{n}(x_{1},y_{1})x_{1}-p_{n}(x_{1},y_{1})\\q_{n}(x_{1},y_{1})y_{1}-r_{n}(x_{1},y_{1})\end{array}\right)$$y_{1})[_{x}^{z}]+p_{n}(x_{1_{\dot{v}}}y_{1})))$$D_{n}(x, y)=D(x, y)D(x_{1}, y_{1})\cdots D(x_{n-1}, y_{n-1})$$\left(\begin{array}{l}q_{n}(x,y)x-p_{n}(x,y)\\q_{n}(x,y)y-r_{n}(x,y)\end{array}\right)$

とすると

$=$

$D_{n}(x, y)\left(\begin{array}{ll}q_{0}(x_{n},y_{n})x_{n} & -p_{0}(x_{n},y_{n})\\q_{0}(x_{n},y_{n})y_{n}-r_{0}(x_{n} & y_{n})\end{array}\right)$$=$$D_{n}(x, y)\left(\begin{array}{l}x_{n}\\y_{n}\end{array}\right)$

9$\Vert(_{q_{n}(x_{7}y)y-r_{n}(x,y)}^{q_{n}(x,y)x-p_{n}(x.y)})\Vert$

ただし、$\Vert\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right)\Vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, また$\Vert D_{n}(x.y)\Vert$$\leq$$\Vert D_{n}(x,y)\Vert\Vert(_{y_{\mathfrak{n}}}^{x_{n}}.)\Vert$$\leq$$\sqrt{2}\Vert D_{n}(x, y)\Vert$

は行列のユークリッドノルムとする。

これより収束はすぐにわかるが、この場合不変測度の形が具体的にわからなく、これ以上の評価(例えば指数収束するかどうか調べる) をすることはできないので、不変測度の形が具体的にわかるような力学系を考えたい。

4Perron-Frobenius 作用素と不変測度
Example3.1 の Perron-Frobenius 作用素$\mathcal{L}$は$\mathcal{L}:L_{1}\rightarrow L_{1}$$\mathcal{L}f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sum_{0\leq k_{1},1\underline{<}k_{2},k_{1}\neq 0}f(\frac{1}{k_{2}+y}, \frac{k_{1}+x}{k_{2}+y})\times\frac{1}{(k_{2}+y)^{\circ}} & (x<y \text{のとき} )\\\sum_{0\leq k_{1},1\leq k_{2},k_{1}=0}f(\frac{1}{k_{2}+y}, \frac{k_{1}+x}{k_{2}+y})\times\frac{1}{(k_{2}+y)^{3}} & (y<x \text{のとき} )\end{array}\right.$

また、 $\mathcal{L}f=f,$

ここで、$f\geq 0,$$\int fdx=1$

となる

$f$

は不変測度の密$\mathcal{L}f(\vec{x}):=\sum_{T_{\vec{y}=\tilde{x}}}f(T\vec{y})\frac{1}{|\frac{\partial\vec{x}}{\partial\vec{y}}|}$

度関数であることに注意しておく。
$*1$ 次元連分数の場合の不変測度 $*$$\mathcal{L}f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f(\frac{1}{k+x})\frac{1}{(k+x)^{2}}$となるが、 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ を右辺に代入すると$\mathcal{L}f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{11}{1+\frac{1}{k+x}(k+x)^{2}}$$=$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1+x)(k+x)}$$=$$\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k+x}-\frac{1}{k+1+x})$$=$$\frac{1}{1+x}=f(x)$よって、 $d\mu=\frac{dx}{(\log 2)(1+x)}$ は不変測度。

$\mathcal{L}f=f$

となる

$f$

は、 expanding なら存在することは知られているが、 Jacobi-Perron の場合には具体的な形は分からない。

10

5

Subadditive ergodic theorem と新しい 2 次元連分数

Example 5.1

Modified Jaccobi-Perron Algorithm (不変測度の形が具体的にわかる自然な多次元連分数展開)$a_{0},$$a_{1},$$a_{2}$

を $a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}$ となる自然数とする。

ユークリッドの互除法 :$\left(\begin{array}{l}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{l}a_{1}\\a_{7,\rightarrow}\\a_{0}-[\frac{a.o}{a_{1}}]a_{1}\end{array}\right)$$(\frac{1}{}\frac{al}{a_{0}a0a2})\rightarrow\left(\begin{array}{l}1\\\frac{a2}{a_{l}}\\\frac{ao}{a_{1}}-[\frac{ao}{a_{1}}]\end{array}\right)$$x=\frac{a1}{a_{0}},$$y=\frac{a2}{a_{0}}$

の射影化

を考える。

とすると

$\left(\begin{array}{l}1\\x\\y\end{array}\right)\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}[Matrix]=[Matrix] & (y<x \text{のとき} )\\{[}Matrix]=[Matrix] & (x<y \text{のとき} )\end{array}\right.$

これに対する力学系 $T$ は$T(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}(\frac{y}{x}, \{\frac{1}{x}\}) & (y<x \text{のとき} )\\(\{\frac{1}{y}\}, x)\tilde{y} & (x<y \text{のとき} )\end{array}\right.$$(x_{n}, y_{n}):=T^{n}(x, y)$を考えるのが自然である。
$y.<x$ のとき$x_{1}=\frac{y}{x}$,$y_{1}=\frac{1}{x}-\left\{\begin{array}{l}1\\\\x\end{array}\right\}$より$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{[\frac{1}{x}]+y_{1}}\\y=\frac{x_{1}}{[\frac{1}{x}]+y_{1}}\end{array}\right.$$x<y$ の時も同様にすると$\left(\begin{array}{l}l\\x\\y\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}x[Matrix][Matrix] & (y<x)\\y[Matrix][Matrix] & (x<y)\end{array}\right.$

11

となり

ここで

$M(x, y)$$;=$$\left\{\begin{array}{ll}[Matrix] & (y<x)\\{[}Matrix] & (x<y)\end{array}\right.$$M_{n}(x, y)$$:=$$M(x, y)M(x_{1}, y_{1})\cdots M(1$ ,$=$$\left(\begin{array}{lll}q_{n}(x,y) & q_{n}’(x,y) & q_{n}’’(x,y)\\p_{n}(x.y) & p_{n}’(x,y) & p_{n}’(x,y)\\r_{n}(x,y) & r_{n}’(x,y) & r_{n}^{u}(x_{\dot{l}}y)\end{array}\right)$$\theta(x, y)$$;=$$\max(x, y)$$\theta_{n}(x, y)$$;=$$\theta(x, y)\theta(x_{1}, y_{1})\cdots\theta(x_{n\sim 1}, y_{n\sim 1})$

とおくと$\left(\begin{array}{l}1\\x\\y\end{array}\right)=\theta_{n}(x, y)M_{n}(x, y)\left(\begin{array}{l}1\\x_{n}\\y_{n}\end{array}\right)$

これより$x=\frac{x}{1}=\frac{p_{n}(x,y)+p_{n}’(x,y)x_{n}+p_{n}’’(x,y)y_{n}}{q_{n}(x,y)+q_{n}’(x,y)x_{n}+q_{n}’’(x,y)y_{n}}$$y=\frac{y}{1}=\frac{r_{n}(x,y)+r_{n}’(x,y)x_{n}+r_{n}’’(x,y)y_{n}}{q_{n}(x,y)+q_{n}’(x,y)x_{n}+q_{n}’’(x,y)y_{n}}$を得る。 この時 $(x, y)$ の近似分数として、$(\frac{p_{n}(x,y)}{q_{n}(x,y)}, \frac{r_{n}(x,y)}{q_{n}(x,y)})$をとる。

$\left(\begin{array}{l}q_{n+1}(x,y)x-p_{n+1}(x,y)\\y)y-r_{n+1}(x,y)q_{n+1}(x\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}[Matrix](_{q_{n}(x_{1},\dot{y}_{1})y_{1}}^{q_{n}(x_{1},y_{1})x_{1}}I_{r_{n}(x_{1},y_{1})}^{p_{n}(x_{1},y_{1})}) & (y<x)\\{[}Matrix](_{q_{n}(x_{1},y_{1})-}^{q_{n}(x_{1},y_{1})x_{1}-p_{n}(x_{1},y_{1})}y_{1}r_{n}(x_{1},y_{1})) & (x<y)\end{array}\right.$$D(x, y)=\{\}_{-y0}^{0-x}-x1\left\{\begin{array}{l}(y<x)\\(x<y)\end{array}\right.$$D_{n}(x, y)=D(x, y)D(x_{1}, y_{1})\cdots D(x_{n-1}, y_{n-1})$

とおくと$\left(\begin{array}{l}q_{n}(x,y)x-p_{n}(x,y)\\q_{n}(X_{-}y)y-r_{n}(x,y)\end{array}\right)=D_{n}(x, y)\left(\begin{array}{l}x_{n}\\y_{n}\end{array}\right)$となる。

この場合 invariant measure の形が具体的にわかることが、以下の評価で重要となる。

Perron-Frobenius operator$\mathcal{L}$は、$\mathcal{L}f(x, y)=\sum_{k=1}^{\infty}f(\frac{1}{k+y}.\frac{x}{k+y})\frac{1}{(k+y)^{3}}+\sum_{k=1}^{\infty}f(\frac{y}{k+x}, \frac{1}{k+x})\frac{1}{(k+x)^{3}}$12だから、 $f(x, y)=\frac{2+x+\prime\prime}{(1+x)(1+y)(1+x+y)}$ は$\mathcal{L}$f $=f$.

$f\geq 0$$\int\int$

ここでSubadditive ergodic Theorem 力学系

$T$

:

ﬀdx

を満たし– は不変測度の密度関数となる。

$X\rightarrow X$$dy$はエルゴード的であるとし、$f_{n+m}(x)\leq f_{n}(x)+f_{m}(T^{n}x)$

とする。

このとき
$\lim_{n\rightarrow\infty}-f_{n}(x)=\inf\frac{1}{n}n1\int_{X}f_{n}(x)d\mu$以下のようにこの定理を使う。
$f_{n}(\vec{x})$とおくと$:=\Vert D(\vec{x})D(T\vec{x})\cdots D(T^{n-1}\vec{x})\Vert=\Vert D_{n}(x_{-}.y)\Vert$$f_{n+m}(\vec{x})$

(ただし、

$=$

$\Vert D(\vec{x})D(T\vec{x})\cdots D(T^{\eta.-}1\vec{x})D(T^{n}\vec{x})\cdots D(T^{n+m-1}\vec{x})\Vert$$\leq$$\Vert D(\vec{x})D(T\vec{x})\cdots D(T^{n-}1\vec{x})\Vert\Vert D(T^{n}\vec{x})\cdots D(T^{n+m-1}\vec{x})\Vert$$=$$f_{n}(\vec{x})f_{m}(T^{n}\vec{x})$$\Vert A\Vert:=\max_{\vec{x}}1\frac{A\tilde{x}}{||x\urcorner|}1$とし、 この時$\Vert AB\Vert\leq\Vert A\Vert\Vert B\Vert$となる。)$\log f_{n+m}(\vec{x})\leq\log f_{n}(\vec{x})+\log f_{m}(T^{n}\vec{x})$より、 Subadditive ergodic theorem が使えて$\varliminf_{n\infty n}-log1\Vert D_{n}(x, y)\Vert=\inf_{n}\frac{1}{n}\int\int_{[0,1]\times[0,1]}\log\Vert D_{n}(x, y)\Vert\frac{2+x+y}{(1+x)(1+y)(1+x+y)}dxdy\cdots(*)$

以下、 $(*)$ の定積分 $<0$$(n=2$ の場合$)$がシリンダーの定積分の評価 ([1],[2] 参照) により証明できる。

Theorem ( $1\nu Iodified$ Jacobi-Perron Algorithm の指数収束、つまり収束指数 $>1$ )Lesbesgue. の $(\alpha, \beta)\in[0,1]\times[0,1]$ に対して、$\exists\delta>0$$a.e$$\exists n_{0}=n_{0}(\alpha, \beta)$$\forall n\geq n_{0}$$|x-\frac{p_{n}(x,y)}{q_{n}(x,y)}|$$<$$\frac{1}{q_{n}(x,y)^{1+\delta}}$$|y-\frac{p_{n}(x,y)}{q_{n}(x,y)}|$$<$$\frac{1}{q_{n}(x,y)^{1+\delta}}$

略証: エルゴード定理より$\lim_{n\rightarrow\infty}-n1_{\log q_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}--n1_{\log\theta_{n}}=-\int\int_{[0,1]x[0,1]}\log\theta\frac{2+x+y}{(1+x)(1+y)(1+x+y)}dxdy=c>0$だから$q_{n}\sim e^{nc}$

これと$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\Vert D_{n}\Vert<0$$\Vert(_{y-\frac{}{}}^{x-\frac{p_{n}(x.y)}{p_{n}(x,.y)q_{n}(xy)q_{n}(x.y)}})\Vert\leq\frac{\sqrt{2}||D_{n}\Vert}{q_{n}(x_{\dot{l}}y)}$,13

を合わせれば上の定理が得られる。 (詳しくは [1],[2] を参照)

References[1] Fujita,T., Ito,S., Keane,M., a,nd Ohtsuki,M. On almost everywhere exponential convergence ofthe modified Jacobi-Perron algorithm: a corrected proof. Ergod. Th. & Dynam.Sys. 16, (1996),

1345-1352.
[2] Ito,S., Keane,M., and Ohtsuki,M. Almost everywhere exponential convergence of the modified
Jacobi-Perron algorithm Ergod. Th. & Dynam.Sys. 13, (1993), 319-334.

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