既習の知識及び技能を活用する力を育成する高等学校数学科の指導―知識及び技能を体系的に整理することを通して―
長期研究員

鈴 木謙太朗

《研究の要旨》
本研究は，高等学校数学科において，既習の知識及び技能を活用する力を育成することを目指したものである。
活用する力を育成するためには数学的活動を充実させることが重要であるため，特に，事象を数学化したり解決過程を振り返ったりする過程の遂行に向け，知識及び技能を体系的に整理することとした。その結果，生徒が主体的，協働的に学習過程を遂行する姿が見られ，体系的に整理した知識及び技能を活用し問題を解決することができた。

Ⅰ研究の趣旨の知識及び技能とを関連付けて捉えられるようにする。

高等学校学習指導要領解説数学編では，ＰＩＳＡ2015

これらを踏まえて，獲得した知識及び技能と既習の知識数学的リテラシーについて，トップレベルの国や地域に及び技能とを合わせて体系的に整理し，知識及び技能を比べて上位層の割合が低いことが課題として挙げられ，次の問題解決に生きるものとして習得できるようにする

数学の知識及び技能を活用する力を育成する必要性が示ことで，本主題に迫ることとする。

唆された。その課題解決に向け，小中高と一貫して，算※１

数・数学科の目標の中で，数学的活動 ※１ を通して数学的

数学的活動とは，事象を数理的に捉え，数学の問題を見いだし，問題を自立的，協働的に解決する過程を遂行することである。
※２ 既習事項とは，既に生徒が獲得した知識及び技能，見方・考え方，学習・生活経験等とする（平成23年度 福島県教育センター 研究紀要）。に考える資質・能力を育成すると明示された。また，数学的活動として捉える学習過程も図で明示された（ 図Ⅱ研究の概要１）。この図が示す学習過程のサイクル化と充実が，数学

１

研究仮説

的な見方・考え方を豊かにし，数学的に考える資質・能高等学校数学科の指導において，以下の手立てを講じ力の育成につながること，つまり，数学の知識及び技能れば，既習の知識及び技能を活用する力を育成することを活用する力の育成につながることも示されている。

ができるだろう。
【手立て１】単元の学習に生きる既習事項の確認【手立て２】獲得した知識及び技能と既習の知識及び技能の関連付け【手立て３】知識及び技能の体系的な整理
２

研究の内容

(1)【手立て１】単元の学習に生きる既習事項の確認
数学の事象を数学化する過程において，本単元や本時図１の学習に生きる既習事項を生徒から引き出す。本単元や数学的活動として捉える学習過程のイメージ

これまでの自身の指導を振り返ると，問題を解決して本時の数学の事象につながる復習問題に取り組ませた

結果を得る過程を重視していたため，問題演習を中心とり，数学の事象の与え方を工夫したりすることで，既習した指導に偏ってしまっていた。そのため，事象を数学事項における数学的な見方・考え方の働かせ方を想起さ化したり，解決過程を振り返って体系化したりする過程せ，既習事項を確認する。

を十分に遂行できていなかった。このことから，自身の(2)【手立て２】獲得した知識及び技能と既習の知識及喫緊の課題は，体系的に整理することにより，知識及びび技能の関連付け

技能を次の問題解決に生きるものとして習得させること解決過程を振り返る過程において，獲得した知識及びであると明らかになった。

技能と既習の知識及び技能とを関連付けて捉える場面をそこで，本研究では，数学的活動の充実に向け，知識設定する。その際，獲得した知識及び技能と既習の知識及び技能を体系的に整理することに焦点を当てる。まず，及び技能との類似点や相違点を明らかにし，「 学びのダイ

事象を数学化する過程の充実に向け，単元の学習に生きアグラム」 ※３ （以下，「学びのＤＧ」）にまとめさせる。

る既習事項 ※２ を明確にする。次に，解決過程を振り返る※３ 「学びのダイアグラム」とは，獲得した知識及び技能とそれに関連する既習の知識及び技能をまとめるための，本研究独自のワークシートである。小単元ごとに１枚の紙面にまとめ，学習内容を一目で振り返ることができる。

過程の充実に向け，新たに獲得した知識及び技能と既習- 64 -

(3)【手立て３】知識及び技能の体系的な整理

図２で確認した既習事項と第８時で獲得する知識及び知識及び技能が次の問題解決に生きるものとして習得

技能がつながる場面である。ここでは，三次方程式を一されるよう，獲得した知識及び技能と既習の知識及び技次方程式や二次方程式にさらに関連付けることをねら能とを合わせて体系的に整理する場面を設定する。体系

い，解決過程を振り返る場面を設定した。まず，三次方的に整理するとは，条件を変えたり適用範囲を広げたり

程式はなぜ解くことができたのかを問うと，生徒からはすることで，知識及び技能を新たに捉え直すことである。

「因数分解したから」という意見が出された。次に，因体系的な整理が促されるよう，【手立て１】で確認する既数分解することでなぜ解決できたかを踏まえ，三次方程習事項の選択や，【手立て２】でのまとめ方を工夫する。

式を解くことについ３て「学びのＤＧ」にま研究の実際
対 象 生 徒２年次生17名（１学級）

とめさせると，図３の授業実践Ⅰ

数学Ⅱ「いろいろな式」（13時間）ようになった。二次方授業実践Ⅱ

数学Ⅱ「図形と方程式」（13時間）

程式が因数分解によ(1) 授業実践Ⅰ

数学Ⅱ「いろいろな式」って一次方程式に帰① 【手立て１】について着できた図２との類単元の導入では，高次方程式の解決に生きる既習事項

似点を見いだし，三次を確認する。ここで生徒から引き出したい既習事項は，方程式は一次方程式二つである。一つは，二次方程式を解くことに関する知や二次方程式に帰着

識及び技能，もう一つは，二次方程式は因数分解するこ

すると関連付けることができた。とで一次方程式に帰着することができるという数学的な

図３

方程式の関連付け

その後，第９時で複二次方程式を解くことについて学見方・考え方である。

習すると，図３と同様に，「一次方程式や二次方程式に帰これらを引き出す着できる」とまとめることができた。高次方程式を解くため，「 二次方程式をことについて，体系的に整理する上での重要な気付きを活用して解くことの得ることができた。

できる復習問題」に③ 【手立て３】について取り組ませた。生徒

第12時では，高次方程式を解くことについて，体系的が得た解決結果とそに整理する場面を設定する。三次方程式や複二次方程式の過程を振り返り，を解くことは，前時までの適用範囲を広げることである。

既習事項を図２のよ図２

その際，一次方程式や二次方程式に帰着するという数学既習事項の確認うにまとめた。この図は，【手立て２】でまとめる「学び的な見方・考え方を働かせながら整理することができた。のＤＧ」のイメージを共有するものであり，同時に，既さらに，方程式の次数をさらに変化させ，四次方程式へ習事項を一目で確認できるものである。と適用範囲を広げて，知識及び技能を新たに捉え直すこ

3

2

第８時の導入では，「三次方程式 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 11𝑥𝑥 − 6 =とができた生徒もいた（図４）。

0」（数学の事象）の提示の際，生徒は，図２を確認しながら「解の公式は知らない」，「因数分解すれば解ける」という意見を出した。このことから，単元の導入で確認した既習事項が，数学の事象を数学化する際に生かされていることがうかがえる。ここで，出された意見に基づき，「 𝑥𝑥 = 2 を解にもつ三次方程式 𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 − 6 = 0を因数分解によって解こう」という問題（数学的に表現した問題）の解決に進むことができた。
② 【手立て２】について【手立て １ 】 に よ り ， 𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 − 6 が ( 𝑥𝑥 − 2 )( 𝑥𝑥の二次式 ) と い う 形 に 変 形 で き る と 気 付 い た 生 徒 は ，( 𝑥𝑥 − 2 )( 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 ) と因数分解し，三次方程式を一次方程式や二次方程式に帰着させて解くことができた。

図４- 65 -高次方程式を解くことの体系的な整理

(2) 授業実践Ⅱ

数学Ⅱ「図形と方程式」

せた。これらを踏まえて，円と直線の共有点の個数を判① 【手立て１】について別することについて，「学びのＤＧ」にまとめさせると，第８時の導入では，円と直線の位置関係の考察に生き生徒Ａは図７-左のようにまとめた。記述を見ると，共有る既習事項を確認する。ここで生徒から引き出したい既点 の 個 数 と 判 別 式 𝐷𝐷 の 符 号 を 関 連 付 け て ま と め て い る

習事項は，図形の位置関係が共有点の個数によって分類ことが分かる。解決過程と二次方程式の解の判別に関する既習事項との類似点を見いだし，判別式 𝐷𝐷 の符号と関できるという数学的な見方・考え方である。これは，円と直線の位置関係についての知識及び技能を体系的に整連付けてまとめることができた。

理する上で，重要である。

この後，本時で獲得した知識及び技能を確かめるため，これを引き出すた

直線の方程式を変えめ，図形描写アプリた問題に取り組ませを用いて，円と直線た。生徒Ａの解答をを電子黒板に提示

見ると，判別式 𝐷𝐷 のし，直線の位置を動符号を用いて問題をかしたり円の半径の解決している（図７長さを変化させたり-右）。円と直線の共した（数学の事象）。

図５

有点の個数と判別式

数学の事象の数学化

𝐷𝐷 の 符 号 と を 関 連

生徒は，その変化を観察する中で，共有点の個数に着目して図５のように円と直線の位置関係を分類した。数学

付けて捉えることがの事象の与え方を工夫することで，既習事項を引き出すできたことがうかがえる。

ことができた。

③ 【手立て３】について
22

ここで，図５の分類に基づき，「円 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 と直線

図７ 共有点の個数と判別式の関連付け

授業の終わりに，円と直線の位置関係について体系的2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 5 = 0 の位置関係を求めよう」という問題（数学に整理する場面を設定する。本時で解決した問題の結果的に表現した問題）の解決に進むことができた。

は，円と直線の共有点の個数が一つという条件であった。

② 【手立て２】について

生徒たちは，この条件を変化させ，判別式 𝐷𝐷 の符号によ

生徒は，個人で主体的に，あるいはグループで協働的る判別の方法や，円の中心と直線の距離 𝑑𝑑 と円の半径 𝑟𝑟に問題の解決に向かった。本時では，連立方程式によっの大小の比較による判別の方法について，適用範囲を広て共有点の座標を求める方法（図６-左）と，円の中心かげた。その結果，多くの生徒が図８のように体系的に整ら直線までの距離と円の半径の大小の比較によって求め理してまとめることができた。授業の導入で三つに分類る方法（図６-右）の二つの解答が得られた。

した円と直線の位置関係に基づいて，知識及び技能を新たに捉え直すことができた。

図６問題の解決過程と結果【手立て１】により確認した既習事項と第８時で獲得する知識及び技能がつながる場面である。ここでは，円と直線の共有点の個数と，二次方程式の判別式 𝐷𝐷 の符号と

図８

円と直線の位置関係の体系的な整理が関連付けられるようにすることをねらい，連立方程式による解決過程を振り返る場面を設定した。まず，教師

Ⅲ研究のまとめと生徒の対話を通して，共有点の個数さえ分かれば解決

１

研究の検証できることを確認した。次に，共有点の個数は解決過程(1) 授業の様子から授業実践Ⅱの第10時では，単元で獲得した知識及び技のどの時点で判断できるかを問い，二次方程式に着目さ- 66 -

能を活用して解くこ

テスト実施の直前に学習した単元に関する内容である。とのできるいくつか

図13は，事後テストの中で出題した「ある円に外接すの問題に取り組ませる円と内接する円の半径を求める問題」に対する生徒Ｂた。図９は，その授業の解答である。この生徒は，授業で，二円の位置関係にで「ある直線に接すついて図14のように体系的に整理した生徒である。二円
図９ 知識及び技能を活用している場面の中心間の距離と半径の和・差との大小を比較し，解決問題」に取り組む生徒と教師の対話である。体系的に整することができている。体系的に整理した知識及び技能理した円と直線の位置関係を振り返りながら，問題で問を活用し，問題を解決することができた事例である。

る円の半径を求めるわれている条件に基づき，解決することができている。
単元導入時，生徒は提示された問題に対して教師の支援を図13待つだけであった

知識及び技能を活用して解決した問題が，実践が進むにつ

生徒Ｂは，授業でれて主体的，協働的扱った問題と異なに解決に向かう姿がるパターンの問題見られるようになっ

図10において，事前テス活用する力の向上

トではすべて誤答であったが，事後テストでは10問中６た。体系的に整理することに焦点を当て，充実した数学問が正答であった。実践を通して，知識及び技能を活用的活動を繰り返すことで，数学的な見方・考え方が豊かになり，知識及び技能を活用する力が向上した（図10）。
実践の前後に，質問紙調査を実施した。
図11は，「問題解決する，クラス全体の結果を比較した。正答率は，事前テストで10.7％，事後テストで23.1％と12.4ポイントの増加が見られた。効果量ｄ ※ ４ を調べたところ，中程度の効に，もっている知識果が認められた。また，このような問題を１問でも解決などを活用しているできた生徒は，事前テストで５名であったが，事後テス
図11

活用している実感の変化

法）の回答を，肯定群と否定群に分けて集計した結果である。肯定群が35.8ポイント増加したことから，問題解決の際，知識などを活用している実感をもつ生徒が増加していると分かる。体系的に整理することで知識及び技能が明確化し，活用しながら主体的，協働的に問題解決に向かうことができた結果と考えることができる。
また，「 知識などをトで９名に増加した。これらより，クラス全体としても，知識及び技能を活用する力が育成されたと考える。
※４

効果量ｄ＝0.59。効果量ｄについては慣例に倣い，0.2≦ｄ＜0.5が効果量小，0.5≦ｄ＜0.8が効果量中，0.8≦ｄが効果量大とする。

２

成果と課題

(1) 研究の成果
知識及び技能を体系的に整理することに焦点を当て，事象を数学化したり解決過程を振り返ったりする過程に手立てを講じ，数学的活動のサイクル化と充実を図った

体系的に整理するこことによって，生徒が主体的，協働的に学習過程を遂行とについてどう思うする姿が見られるようになった。また，体系的に整理しか」という質問（自由記述式）に対し，する力を向上させることができたと考える。
また，授業で扱った問題と異なるパターンの問題に対(2) 質問紙調査からか」という質問（４件

図14 二円の位置関係の体系的な整理た知識及び技能を活用して問題を解決することができ，図12 体系的に整理することへの生徒の意見

図12のような回答が得られた。知識及び技能を体系的に既習の知識及び技能を活用する力の向上が見られた。
(2) 研究の課題

整理することで，次の問題解決に生きるものとして習得

協力校には，知識及び技能を体系的に整理することができる可能性を示唆する肯定的な意見が見られた。一方苦手であり，活用する力の向上が見られない生徒もいた。

で，体系的に整理することができず，活用する力の向上

このような生徒は，問題演習中心の指導に慣れ，暗記ににつなげられていないという否定的な意見も見られ，本よって知識及び技能を身に付けようとする意識が強いも研究の課題も示唆された。のと考える。学びの変革は一朝一夕には成し得ないが，(3) 評価テストから個別最適化された学びを視野に入れ，授業づくりや単元実践の前後に評価テストを実施した。双方とも，評価づくりを工夫する必要がある。
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