2020 年度
数学･･････1

数学（問題）〔問題１から問題３を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。
〕
問題１．次の（１）～（１２）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
各５点（計６０点）（１）白玉9個と赤玉1個が入った箱 A と、白玉と赤玉が5個ずつ入った箱 B がある。いま、以下のルール1およびルール2に従って、いずれか一方の箱から玉を１つ取り出し、色を確認したあとに玉を元に戻す試行を繰り返し行う。このとき、赤玉を 4 回取り出すまでに行った抽出回数の期待値である。なお、箱 A、箱 B ともに、入っている玉を取り出す確率は互いに等しいも

は
のとする。

ルール1：1回目の抽出は箱 A から行う。
ルール2：𝑖 + 1回目（𝑖 ≥ 1）の抽出は、𝑖 回目の抽出で取り出した玉が白玉の場合は箱 A から、赤玉の場合は箱 B から行う。

（Ａ） 28.0（Ｂ） 28.5（Ｃ） 29.0（Ｄ） 29.5（Ｅ） 30.0（Ｆ） 30.5（Ｇ） 31.0（Ｈ） 31.5（Ｉ） 32.0（Ｊ） 32.5（２）区間 (0.5,6.5) 上の一様分布に従う確率変数を𝑋とし、𝑋 の小数点以下第１位を四捨五入して整数にしたものを確率変数 𝑌 とする。
このとき、 𝑌 の平均 𝐸[𝑌] =𝑋, 𝑌 の共分散𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] =

①

35

（Ａ）

36
35

（Ｆ）

6

③

35

（Ｂ）

24
91

（Ｇ）

12

、分散𝑉[𝑌] =

②

であり、

である。

（Ｃ）

（Ｈ）

7
4
35
3

35

（Ｄ）

12
49

（Ｉ）

4

（Ｅ）

（Ｊ）

7
2
91
6

2020 年度
数学･･････2（３）確率変数 𝑋、 𝑌 は互いに独立で、それぞれ平均2𝜆，1

3𝜆(𝜆 > 0) の指数分布に従うとき確率変数

𝑋

𝑍 = 𝑒𝑌 の確率密度関数は①
𝑓(𝑧) =②{

0(𝑧 > 1)(𝑧 ≤ 1)

である。
[①の選択肢］（Ａ）1（Ｂ）𝑒 𝑧（Ｃ）𝑒 −𝑧（Ｄ）1.5𝜆2 𝑒 −𝑧（Ｅ）1.5（Ｆ）1.5𝑒 𝑧（Ｇ）1.5𝑒 −𝑧（Ｈ）6𝜆2（Ｉ）6𝜆2 𝑒 𝑧（Ｊ）6𝜆2 𝑒 −𝑧[②の選択肢］（Ａ）𝑧(1.5𝑒 𝑧 + 1)2（Ｂ）(1.5𝑒 𝑧 + 1)2（Ｃ）𝑧(6𝜆2 𝑒 𝑧 + 1)2（Ｄ）(6𝜆2 𝑒 𝑧 + 1)2（Ｅ）𝑧(log 𝑧 + 1.5)2（Ｆ）(log 𝑧 + 1.5)2（Ｇ）𝑧(log 𝑧 + 6𝜆2 )2（Ｈ）(log 𝑧 + 6𝜆2 )2（Ｉ）(1.5𝑧 + 1)2（Ｊ）(6𝜆2 𝑧 + 1)2

2020 年度
数学･･････3（４）区間 (0, 1) から無作為に実数を抽出する試行を考える。
（ア）個々の実数について、小数点以下第１位を四捨五入した場合の値と小数点以下第１位を七捨八入した場合の値の差の期待値に最も近い値は②①であり、値の差の分散に最も近い値はである。

（イ）900個の実数を抽出し、その合計をとることを考える。個々の実数について小数点以下第１位を四捨五入してから合計する場合と、小数点以下第１位を七捨八入してから合計する場合を比較し、合計の差の絶対値が𝛼を超えない確率が0.85以上となるような最小の整数𝛼を中心極限定理を用いて求めると、𝛼に最も近い値は

③

である。

[①、②の選択肢］（Ａ）0.21（Ｂ）0.24（Ｃ）0.27（Ｄ）0.30（Ｅ）0.33（Ｆ）0.36（Ｇ）0.39（Ｈ）0.42（Ｉ）0.45（Ｊ）0.48（Ａ）245（Ｂ）250（Ｃ）255（Ｄ）260（Ｅ）265（Ｆ）270（Ｇ）275（Ｈ）280（Ｉ）285（Ｊ）290[③の選択肢］

2020 年度
数学･･････4（５）パラメータ 𝛼 > 0 , 0 < 𝑝 < 1 の負の二項分布
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝛼+𝑘−1 𝛼) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑘𝑘( 𝑘 = 0,1,2, ⋯ )に従う母集団から次の標本値を得た。モーメント法によりパラメータ 𝛼 、𝑝 を推定すると、 𝛼 に最も近い数値は①2,であり、 𝑝 に最も近い数値は
8,

3,

12,

16,

26,

②
12,

である。
14,

1,

6

[①の選択肢］（Ａ）1.7（Ｂ）1.8（Ｃ）1.9（Ｄ）2.0（Ｅ）2.1（Ｆ）2.2（Ｇ）2.3（Ｈ）2.4（Ｉ）2.5（Ｊ）2.6（Ａ）0.17（Ｂ）0.18（Ｃ）0.19（Ｄ）0.20（Ｅ）0.21（Ｆ）0.22（Ｇ）0.23（Ｈ）0.24（Ｉ）0.25（Ｊ）0.26[②の選択肢］（６）正規母集団 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) の母平均 𝜇 を信頼係数 95% で区間推定したとき、信頼区間の幅が 1.5𝜎 より小さくなる確率が 95% 以上であるための最小の標本数はである。

ただし、母分散 𝜎 2 は未知とする。

（Ａ）10

（Ｂ）11

（Ｃ）12

（Ｄ）13

（Ｅ）14

（Ｆ）15

（Ｇ）16

（Ｈ）17

（Ｉ）18

（Ｊ）19

2020 年度
数学･･････5（７）互いに独立な 2 つの正規母集団 𝑁(𝜇𝑋 , 43) 、𝑁(𝜇𝑌 , 392) がある。正規母集団 𝑁(𝜇𝑋 , 43) からの大きさ 𝑛 の標本を 𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛 とし、その標本平均を 𝑋̅ とする。また、正規母集団 𝑁(𝜇𝑌 , 392) からの大きさ 𝑛 の標本を 𝑌1 , 𝑌2 , ⋯ , 𝑌𝑛 とし、その標本平均を 𝑌̅ とする。
いま、帰無仮説 𝐻0 ∶ 𝜇𝑌 = 𝜇𝑋 を対立仮説 𝐻1 ∶ 𝜇𝑌 = 𝜇𝑋 + 5 に対して検定する。棄却域 𝑊 は、ある定
数 𝑐 を用いて 𝑊 = { 𝑌̅ − 𝑋̅ > 𝑐 } で与えられるとする。第１種の誤りの起こる確率が 0.05 、第２種の誤りの起こる確率が 0.15 であるとき、標本の大きさ 𝑛 に最も近い数値は

である。

（Ａ）87

（Ｂ）100（Ｃ）112（Ｄ）125（Ｅ）137（Ｆ）150（Ｇ）162（Ｈ）175（Ｉ）187（Ｊ）200（８）ある生産ラインにおける工業製品の重量は正規分布 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) に従うものとする。機械の老朽化等により重量が過大となっていないかについて、帰無仮説 𝐻0 ∶ 𝜇 = 𝜇0 を対立仮説 𝐻1 ∶ 𝜇 > 𝜇0 に対して、有意水準 5% で検定する。平均が 𝜇0 より 10% 以上増加したとき、これを検出できる確率が 99%以上であるためには、標本の大きさを以上とすればよい。

ただし、標準偏差は 𝜎 = 0.143𝜇0 とする。

（Ａ）30

（Ｂ）31

（Ｃ）32

（Ｄ）33

（Ｅ）34

（Ｆ）35

（Ｇ）36

（Ｈ）37

（Ｉ）38

（Ｊ）39

2020 年度
数学･･････6（９）(𝑥, 𝑦)のデータが下表のとおり与えられている。係数ダミーを用いて𝑡が偶数の場合と奇数の場合
で係数𝛽を変えた回帰式 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥 を推定する。
このとき、𝛼に最も近い数値は②①

であり、𝑡が奇数の場合はである。また、𝛽に最も近い数値は、𝑡が偶数の場合は
③

である。

𝑡

1

2

3

4

𝑦

21

18

15

22

𝑥

2

－1

－2

1

［①の選択肢］（Ａ） 16（Ｂ） 17（Ｃ） 18（Ｄ） 19（Ｅ） 20（Ｆ） 21（Ｇ） 22（Ｈ） 23（Ｉ） 24（Ｊ） 25（Ａ）0.50（Ｂ）0.75（Ｃ）1.00（Ｄ）1.25（Ｅ）1.50（Ｆ）1.75（Ｇ）2.00（Ｈ）2.25（Ｉ）2.50（Ｊ）2.75［②、③の選択肢］

2020 年度
数学･･････7（１０）定常𝐴𝑅(2)モデル
𝑌𝑡 = 1.5 + 0.9𝑌𝑡−1 − 0.14𝑌𝑡−2 + 𝜀𝑡 (𝐸[𝜀𝑡 ] = 0, 𝑉[𝜀𝑡 ] = 0.6)を𝑀𝐴(∞)モデル(𝑌𝑡 = 𝜉0 + 𝜀𝑡 + 𝜉1 𝜀𝑡−1 + 𝜉2 𝜀𝑡−2 + 𝜉3 𝜀𝑡−3 … )として表現したとき、
𝜉0 =

①

𝜉𝑖 =

1
②

③

(

𝑖+1

−

④

𝑖+1

) (𝑖 = 1,2,3, … )である。
さらに上記のモデルについて、条件付分散𝑉[𝑌𝑡+5 |𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 , … , 𝜀𝑡 , 𝜀𝑡−1, …]（時刻𝑡までの時系列データが与えられている場合における𝑌𝑡+5 の分散）に最も近い値は

⑤

である。

[①の選択肢］（Ａ）6.00（Ｂ）6.25（Ｃ）6.50（Ｄ）6.75（Ｅ）7.00（Ｆ）7.25（Ｇ）7.50（Ｈ）7.75（Ｉ）8.00（Ｊ）8.25[②、③、④の選択肢］（Ａ）0.1（Ｂ）0.2（Ｃ）0.3（Ｄ）0.4（Ｅ）0.5（Ｆ）0.6（Ｇ）0.7（Ｈ）0.8（Ｉ）0.9（Ｊ）1.0（Ａ）1.48（Ｂ）1.52（Ｃ）1.56（Ｄ）1.60（Ｅ）1.64（Ｆ）1.68（Ｇ）1.72（Ｈ）1.76（Ｉ）1.80（Ｊ）1.84[⑤の選択肢］

2020 年度
数学･･････8（１１）ある四角形𝐴𝐵𝐶𝐷は各頂点が互いに線でつながれている。点𝑃が無作為に選んだいずれかの頂点から出発し、以下のルールに従って頂点間を移動するものとする。
・ルール①：頂点𝐴または頂点𝐵にいる場合、点𝑃は移動せずにその頂点にとどまる。
・ルール②：頂点𝐶にいる場合、1分後に次の確率で移動する。
1

頂点𝐶から𝐴へ…

3

1

1

6

2

、 頂点𝐶から𝐵へ… 、 頂点𝐶にとどまる…

・ルール③：頂点𝐷にいる場合、1分後に次の確率で移動する。
頂点𝐷から𝐴へ…

4

15、頂点𝐷から𝐵へ…

1

2、頂点𝐷にとどまる…

15

3

・ルール④：頂点𝐶と頂点𝐷の間を移動することはできない。
ア）3分後に観察したところ、頂点𝐵に点𝑃が位置していた。このとき、最初に点𝑃が位置していた頂点が𝐶であった確率に最も近い値は

①

である。

イ）十分な時間をおいて観察したところ、頂点𝐴に点𝑃が位置していた。このとき、最初に点𝑃が位置していた頂点が𝐶であった確率に最も近い値は

②

である。

【ヒント】
4行4列の行列𝑋について左上の2行2列の行列が単位行列𝐸、右上の2行2列の行列が零行列𝑂である、
𝐸
すなわち、𝑋 = (
𝑈

𝐸
𝑂
𝑂
)
)（𝑅, 𝑈は2行2列の行列）と表される場合、𝑋 𝑛 = ((𝐸− 𝑅 𝑛 )(𝐸 − 𝑅)−1 𝑈 𝑅 𝑛
𝑅となる。
[①の選択肢］（Ａ）0.098（Ｂ）0.116（Ｃ）0.141（Ｄ）0.174（Ｅ）0.204（Ｆ）0.272（Ｇ）0.292（Ｈ）0.323（Ｉ）0.427（Ｊ）0.668（Ａ）0.079（Ｂ）0.132（Ｃ）0.200（Ｄ）0.270（Ｅ）0.324（Ｆ）0.333（Ｇ）0.395（Ｈ）0.405（Ｉ）0.667（Ｊ）0.800[②の選択肢］

2020 年度
数学･･････9
1（１２）∫0 (𝑥 + 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 を、区間 (0, 1) 上の 32 個の一様乱数𝑈1 , 𝑈2 , ⋯ , 𝑈32を用いてモンテカルロシミュ
レーションしたときの誤差の分散に最も近い値は①である。また、負の相関法により、

𝑈1 , 𝑈2 , ⋯ , 𝑈16 , 1 − 𝑈1 , 1 − 𝑈2 , ⋯ , 1 − 𝑈16 を用いてモンテカルロシミュレーションしたときの誤差の分散に最も近い値は②である。なお、必要であれば、𝑒 = 2.718 を用いてよい。

［①の選択肢］（Ａ）0.050（Ｂ）0.055（Ｃ）0.060（Ｄ）0.065（Ｅ）0.070（Ｆ）0.075（Ｇ）0.080（Ｈ）0.085（Ｉ）0.090（Ｊ）0.095（Ａ）0.001（Ｂ）0.002（Ｃ）0.003（Ｄ）0.004（Ｅ）0.005（Ｆ）0.006（Ｇ）0.007（Ｈ）0.008（Ｉ）0.009（Ｊ）0.010［②の選択肢］

2020 年度
数学･･････10

問題２．次の（１）～（３）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から 1 つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択しても
よい。
（２０点）
クイズを全問正解するまで解答する試行を考える。このクイズについては次のことが分かっている。
・クイズは第1問から順に第𝑁問まで出題される。(𝑁 ≥ 2)・各問題には𝑀個の選択肢が用意されており、このうち1つを選んで解答する。(𝑀 ≥ 2)
なお、𝑀個のうち正解はただ1つであり、その他の選択肢は不正解である。
・解答すると自動的に採点され、正解の場合は次の問題が出題される。
ただし、不正解の場合は第1問が出題される。（つまり、不正解の場合は第1問から再度解答する。）
・一度解答した問題についてはその正解を知ることができる。
また、第1問から再度解答する場合でも各問題は変更されず、毎回同じ問題が出題される。
なお、このクイズに第1問から解答することを「挑戦」と表現することとする。
（１）𝐴さんはこのクイズに次の戦略で挑むこととした。
＜𝐴さんの戦略＞
・どの問題も解答回数に関わらず𝑀個の選択肢のうち1つを無作為に選び解答する。
このとき、𝐴さんが全問正解するまでに要した挑戦の回数を表す確率変数を𝑋𝐴 とし、𝑋𝐴 の期待値、分散を求めたい。
まず、𝑘 = 1,2, ⋯とし、𝑋𝐴 = 𝑘となる確率𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘)を求める。
𝑋𝐴 = 1となる確率を考えると、𝑃(𝑋𝐴 = 1) =①である。
また、𝑋𝐴 = 2となるのは、1回目の挑戦で全問正解せず、2回目の挑戦で初めて全問正解する場合であるから、𝑃(𝑋𝐴 = 2) =
となる。

② ×

③

（②と③の解答は順不同）

2020 年度
数学･･････11

同様に考えると、𝑋𝐴 = 𝑘となる確率は、𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘) = ( ④ )

⑤

×

⑥

と表せる。
以上より、𝑋𝐴 の期待値𝐸[𝑋𝐴 ]および分散𝑉[𝑋𝐴 ]は、
𝐸[𝑋𝐴 ] =⑦、𝑉[𝑋𝐴 ] =⑧となる。
（２）𝐵さんはこのクイズに次の戦略で挑むこととした。
＜𝐵さんの戦略＞
・初めて解答する問題については、𝑀個の選択肢のうち1つを無作為に選び解答する。
・解答したことのある問題については、必ず正解を選び解答する。
このとき、𝐵さんが全問正解するまでに要した挑戦の回数を表す確率変数を𝑋𝐵 とし、𝑋𝐵 の期待値を求めたい。
まず、𝑘 = 1,2, ⋯とし、𝑋𝐵 = 𝑘となる確率𝑃(𝑋𝐵 = 𝑘)を求める。
初めに、𝑃(𝑋𝐵 = 𝑘) > 0となる𝑘の範囲を考えると、𝐵さんの戦略から1 ≤ 𝑘 ≤⑨となることが分かる。
また、定義より、𝑋𝐵 = 1となる確率は𝑋𝐴 = 1となる確率に等しいことから、①

𝑃(𝑋𝐵 = 1) =となる。
次に、2 ≤ 𝑘 ≤⑨の場合を考える。

ここで、確率変数𝑍𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘)を次のとおり定義する。
・𝑖回目の挑戦において第𝑛問目で不正解となった場合、𝑍𝑖 = 𝑛 (𝑖 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁)
・𝑖回目の挑戦において全問正解した場合、𝑍𝑖 = 𝑁 + 1
このとき、例えば、4回目の挑戦で第5問に不正解となった場合は𝑍4 = 5となり、6回目の挑戦で全問正解した場合は𝑍6 = 𝑁 + 1となる。

2020 年度
数学･･････12

さて、𝑋𝐵 の定義より、𝑋𝐵 = 𝑘となるのは「𝐵さんがこのクイズに、1回目から(𝑘 − 1)回目までの挑戦ではいずれも全問正解せず、𝑘回目の挑戦で初めて全問正解する場合」である。
よって、まずは、
𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 (𝑠 = 1,2, ⋯ , 𝑘 − 1) (1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑁)となる確率を考える。
まず、1回目の挑戦で第𝑛1 問に不正解となる確率は、⑪⑩

𝑃(𝑍1 = 𝑛1 ) = (

)

×

⑫

と表せる。
次に、2 ≤ 𝑠 ≤ 𝑘 − 1 (𝑘 ≥ 3)のとき、𝑃(𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 |𝑍𝑠−1 = 𝑛𝑠−1 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) = (

⑬

⑭

)

×

⑮

と表せる。
よって、𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 (𝑠 = 1,2, ⋯ , 𝑘 − 1) (1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑁)となる確率は、𝑃(𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 , 𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) =

⑯
⑰

となる。
以上より、
𝑃(𝑋𝐵 = 𝑘) =

⑱

×

⑲
⑳

と表せる。
これより、𝑋𝐵 の期待値𝐸[𝑋𝐵 ]は、
𝐸[𝑋𝐵 ] =となる。

㉑(1 ≤ 𝑘 ≤⑨ )(2 ≤ 𝑘 ≤⑨ )2020 年度
数学･･････13（３）𝐶さんはこのクイズに次の戦略で挑むこととした。
＜𝐶さんの戦略＞
・初めて解答する問題については、𝑀個の選択肢のうち1つを無作為に選び解答する。
・解答したことのある問題については、第1問から第𝑁0 問までは必ず正解を選び解答し、第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までは解答回数に関わらず𝑀個の選択肢のうち1つを無作為に選び解答する。(1 ≤ 𝑁0 ≤ 𝑁 − 1)
このとき、𝐶さんが全問正解するまでに要した挑戦の回数を表す確率変数を𝑋𝐶 とし、𝑋𝐶 = 𝑘となる確率を𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘)を求めたい。(𝑘 = 1,2, ⋯ )まず、定義より、𝑋𝐶 = 1となる確率は𝑋𝐴 = 1となる確率に等しいことから、𝑃(𝑋𝐶 = 1) =①である。
次に、𝑋𝐶 = 2となる確率を考える。
1回目の挑戦で間違えた問題番号に着目すると、𝑃(𝑋𝐶 = 2) =㉒ ×{ ㉓ + ㉔ }となる。
よって、𝑘 > 2の場合についても同様に考えると、𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘)は、
1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁0 + 1の場合、
𝑘−1

𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘) = ∑ { ㉕ × ㉖ × ㉗ } （㉖と㉗の解答は順不同）
𝑗=0

また、𝑘 > 𝑁0 + 1の場合、𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘) =となる。

㉘ × ㉙ × ㉚ （㉙と㉚の解答は順不同）

2020 年度
数学･･････14［①～④、⑥、⑩、⑫、⑬、⑮の選択肢］
（Ａ）0

（Ｅ）

（Ｂ）1

（Ｆ）

𝑀𝑁−1
(𝑀−1)𝑁（Ｉ）

𝑀𝑁（Ｍ）1 −(𝑀−1)𝑁−1
𝑀𝑁−1

𝑀𝑁−1

𝑀−1

（Ｊ）

𝑀𝑁−1

1
𝑀𝑁

𝑀−1

（Ｈ）

𝑀𝑁

（Ｋ）1 −

𝑀（Ｎ）1 −

1（Ｇ）（Ｏ）1 −1（Ｄ）

𝑀(𝑀−1)𝑁−1

𝑀−1

1

（Ｃ）

1
𝑀𝑁−1
𝑀−1
𝑀𝑁

𝑀𝑁

（Ｌ）1 −（Ｐ）1 −

𝑀−1
𝑀𝑁−1(𝑀−1)𝑁𝑀𝑁［⑤、⑨の選択肢］（Ａ）𝑘 − 2（Ｂ）𝑘 − 1（Ｃ）𝑘（Ｄ）𝑘 + 1（Ｅ）𝑁 − 𝑘 − 1（Ｆ）𝑁 − 𝑘（Ｇ）𝑁 − 𝑘 + 1（Ｈ）𝑁 + 𝑘 − 1（Ｉ）𝑁 − 1（Ｊ）𝑁（Ｋ）𝑁 + 1（Ｌ）𝑁 2 − 1（Ｍ）𝑁 2（Ｎ）𝑁 2 + 1（Ｏ）𝑁(𝑁 − 1)（Ｐ）𝑁(𝑁 + 1)

（Ａ）𝑀𝑁−1 − 1（Ｂ）𝑀𝑁−1（Ｃ）𝑀𝑁 − 1

（Ｄ）𝑀𝑁

（Ｅ）𝑀𝑁 + 1

（Ｆ）2𝑀𝑁（Ｇ）𝑀2𝑁（Ｈ）2𝑀2𝑁 − 𝑀𝑁（Ｉ）2𝑀2𝑁 + 𝑀𝑁（Ｊ）𝑀2𝑁 − 1（Ｋ）𝑀2𝑁 + 1（Ｌ）𝑀2𝑁 − 𝑀𝑁［⑦、⑧の選択肢］

2020 年度
数学･･････15［⑪、⑭の選択肢］（Ａ）𝑛1 − 2（Ｂ）𝑛1 − 1

（Ｃ）𝑛1

（Ｄ）𝑛1 + 1

（Ｅ）𝑁 − 𝑛1（Ｆ）𝑁 − 𝑛1 + 1（Ｇ）𝑁𝑛1 − 1（Ｈ）𝑁𝑛1（Ｉ）𝑛𝑠 −𝑛𝑠−1 − 1（Ｊ）𝑛𝑠 −𝑛𝑠−1（Ｋ）𝑛𝑠（Ｌ）𝑛𝑠 − 1（Ｍ）𝑛𝑠−1（Ｎ）𝑛𝑠−1 − 1（Ｏ）𝑛𝑠−1 − 𝑛1（Ｐ）𝑛𝑠 − 𝑛1［⑯、⑰、⑲、⑳の選択肢］（Ａ）1（Ｂ）(𝑀 − 1)𝑛𝑘−1 −1（Ｃ）(𝑀 − 1)𝑛𝑘−1（Ｄ）(𝑀 − 1)𝑘−1（Ｅ）(𝑀 − 1)𝑘（Ｆ）(𝑀 − 1)𝑁−1（Ｇ）(𝑀 − 1)𝑁（Ｈ）𝑀𝑛𝑘−1 −1（Ｉ）𝑀𝑛𝑘−1（Ｊ）𝑀𝑘−1（Ｋ）𝑀𝑘（Ｌ）𝑀𝑁−1（Ｍ）𝑀𝑁（Ｎ）𝑀𝑛𝑘−1 − 1（Ｏ）𝑀𝑘 − 1

（Ｐ）𝑀𝑁 − 1［⑱の選択肢］

𝑁−1
)
𝑘−1

（Ｂ）(

𝑁−1
)
𝑘

（Ｃ）(

𝑁−1
)
𝑘+1

（Ｄ）(

𝑁
)
𝑘−1

𝑁
𝑘

（Ｆ）(

𝑁
)
𝑘+1

（Ｇ）(

𝑁+1
)
𝑘−1

（Ｈ）(

𝑁+1
)
𝑘

（Ａ）(

（Ｅ）( )［㉑の選択肢］（Ａ）𝑀𝑁（Ｅ）𝑁 + 1 −（Ｂ）𝑀𝑁 − 1𝑁𝑀（Ｆ）𝑁 + 1 +（Ｃ）𝑁 − 1 −𝑁𝑀（Ｇ）𝑁 −𝑁
𝑀

𝑁
𝑀（Ｄ）𝑁 − 1 +（Ｈ）𝑁 +𝑁
𝑀

𝑁
𝑀

2020 年度
数学･･････16［㉒、㉔、㉘の選択肢］（Ａ）

1（Ｅ）1 −1（Ｂ）
1（Ｆ）1 −

𝑀𝑁

1

（Ｃ）

𝑀𝑁0

𝑀𝑁

1

（Ｇ）1 −

𝑀𝑁0

1

（Ｄ）

𝑀𝑁−𝑁0

𝑀𝑁−𝑁0 −11
𝑀𝑁−𝑁0

（Ｈ）1 −

1
𝑀𝑁−𝑁0 −1［㉓の選択肢］（Ａ）𝑁(𝑀 − 1)

（Ｂ）𝑁𝑀（Ｃ）𝑁𝑀 − 1

（Ｄ）𝑀𝑁−1（Ｅ）𝑀𝑁 − 1

（Ｆ）𝑀𝑁

（Ｇ）𝑁0 (𝑀 − 1)

（Ｈ）𝑁0 𝑀

（Ｉ）𝑁0 𝑀 − 1（Ｊ）𝑀𝑁0 −1（Ｋ）𝑀𝑁0 − 1（Ｌ）𝑀𝑁0［㉕の選択肢］

𝑁 − 𝑁0
)
𝑗

（Ｂ）(

𝑁0
)
𝑗

（Ｆ）(

（Ａ）(

（Ｅ）(

𝑁 − 𝑁0
)
𝑗+1

（Ｃ）(

𝑁0
)
𝑗+1

（Ｇ）(

𝑁 − 𝑁0 + 1)
𝑗+1

𝑁 − 𝑁0 + 1
)
𝑗

（Ｄ）(

𝑁0 + 1)𝑗（Ｈ）(

𝑁0 + 1)
𝑗+1［㉖、㉗の選択肢］(𝑀−1)𝑗（Ａ）(𝑀−1)𝑘−𝑗−1

（Ｂ）

𝑀𝑁

(𝑀−1)𝑗（Ｄ）（Ｊ）(1 −

𝑀𝑁
(𝑀−1)𝑗+1

（Ｅ）

𝑀𝑁−𝑁0

（Ｇ）(1 −

（Ｃ）

1
𝑀𝑁

)

1

𝑗

)
𝑀𝑁−𝑁0

𝑀𝑁−𝑁0

（Ｈ）(1 −𝑗（Ｆ）

（Ｋ）(1 −

1
𝑀𝑁

)

1

𝑗+1

𝑘−𝑗−1

)
𝑀𝑁−𝑁0

(𝑀−1)𝑘−𝑗
𝑀𝑁(𝑀−1)𝑘−𝑗
𝑀𝑁−𝑁0（Ｉ）(1 −

（Ｌ）(1 −

𝑘−𝑗

1
𝑀𝑁

)

1

𝑘−𝑗

)
𝑀𝑁−𝑁0

2020 年度
数学･･････17［㉙、㉚の選択肢］(𝑀−1)𝑘−𝑁0 −1（Ａ）(𝑀−1)𝑘−𝑁0（Ｂ）

𝑀𝑁(𝑀−1)𝑁0（Ｄ）（Ｇ）(1 −

（Ｊ）(1 −

𝑀𝑁

（Ｅ）(1 −

𝑀𝑁
1
𝑀𝑁−𝑁0
1

)

𝑁0 −1

𝑘−𝑁0

)
𝑀𝑁−𝑁0 +1

（Ｃ）

（Ｈ）(1 −

（Ｋ）(1 −

𝑘−𝑁0 −1

1

)
𝑀𝑁−𝑁0
1
𝑀𝑁−𝑁0
1

𝑁0

)

𝑁0 −1

)
𝑀𝑁−𝑁0 +1

(𝑀−1)𝑁0 −1
𝑀𝑁（Ｆ）(1 −

（Ｉ）(1 −

（Ｌ）(1 −

1

𝑘−𝑁0

)
𝑀𝑁−𝑁0
1

𝑀𝑁−𝑁0 +1
1

𝑘−𝑁0 −1)

𝑁0)
𝑀𝑁−𝑁0 +1

2020 年度
数学･･････18問題３．互いに独立な２つの正規母集団からの標本値を用いて、尤度比検定法により両者の母分散が等しいことを検定したい。このとき、次の（１）～（３）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から１つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。また、空欄のうち㉖および㉗については、最も近い値を選択しなさい。
（２０点）
注：以下の各問において、次のとおり記号を定義する。
𝜇𝑥 、𝜇𝑦：２つの正規母集団の母平均

𝜎𝑥2 、𝜎𝑦2：２つの正規母集団の母分散

𝑥𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑥 )：正規母集団𝑁(𝜇𝑥 , 𝜎𝑥2 )からの標本値

𝑦𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑦 )：正規母集団𝑁(𝜇𝑦 , 𝜎𝑦2 )からの標本値
𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

1
1
：𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖 、𝑦̅ =
∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑥
𝑛𝑦

𝑥̅ 、𝑦̅

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

1
1
：𝑠𝑥 = √ ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 、𝑠𝑦 = √ ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2𝑛𝑥𝑛𝑦

𝑠𝑥 、𝑠𝑦（１）帰無仮説𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 を対立仮説𝐻1 : 𝜎𝑥2 ≠ 𝜎𝑦2 に対して検定するために、まず帰無仮説と対立仮説の両仮説における母数𝜇𝑥 、𝜇𝑦 、𝜎𝑥2 、𝜎𝑦2 の最尤推定値を求める。
標本値として𝑥𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑥 )と𝑦𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑦 )を用いる場合、尤度関数𝑙は、母数𝜇𝑥 、𝜇𝑦 、𝜎𝑥2 、𝜎𝑦2をパラメータとして、
𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = (

𝑛𝑥
2

①

)

②

(

𝑛𝑦
2

)

𝑛𝑥

2

1
×exp {− 2 ∑ (𝑥𝑖 −
2𝜎𝑥

③

𝑖=1

𝑛𝑦

1
) − 2 ∑ (𝑦𝑖 −
2𝜎𝑦

2

④

) }

𝑖=1

で表されるので、帰無仮説𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 (= 𝜎 2 )のもとでの母数𝜇𝑥 、𝜇𝑦 、𝜎 2 の最尤推定値は、それぞれ、𝜇̂ 𝑥 =⑤、𝜇̂ 𝑦 =⑥

𝑛𝑥

1
𝜎̂ 2 ={∑ (𝑥𝑖 −𝑛𝑥 + 𝑛𝑦

、
2

⑦

𝑖=1

𝑛𝑦

2

⑧

) + ∑ (𝑦𝑖 −

) }

𝑖=1

である。
同様に、対立仮説𝐻1 : 𝜎𝑥2 ≠ 𝜎𝑦2 のもとでの母数𝜇𝑥 、𝜇𝑦 、𝜎𝑥2 、𝜎𝑦2 の最尤推定値は、
𝜇̃𝑥 =
である。

⑨

、𝜇̃𝑦 =⑩、𝜎̃𝑥2 =⑪

、𝜎̃𝑦2 =⑫

2020 年度
数学･･････19（２）次に、（１）の結果をもとに、尤度比検定法を用いて検定するときの棄却域を求める。
棄却域𝑅𝑘 は、尤度比𝜆を用いて、
𝑅𝑘 = {(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑥 , 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛𝑦 ) ; 𝜆 ≤ 𝑘} （𝑘は0 < 𝑘 < 1をみたす定数）
によって与えられる。ここで、尤度比𝜆は（１）の尤度関数𝑙および最尤推定値を用いて、⑬λ=⑭である。これを𝜎̂ 2 、𝜎̃𝑥2 および𝜎̃𝑦2 で表すと、
⑮
λ=
⑯
となる。
さらに、
（１）で求めた最尤推定値を代入し、𝑡 =
1
=(
𝜆

𝑛𝑥
2

⑰

)

(

⑱

𝑛𝑥 𝑠𝑥2
2
𝑛𝑦 𝑠𝑦

𝑛𝑦
2

)

(> 0)とおくと、
⑲

(

𝑛𝑥
2

)

(

𝑛𝑦
2

⑳

)

と表せる。
右辺を𝜑(𝑡) (𝑡 > 0)とし、これを用いて尤度比𝜆の挙動を考察すると、𝜆は、0 < 𝑡 <㉑

で単調増加、𝑡 >㉑

で単調減少である。

ま た、𝑡 =㉑

で の𝜆 の 値と𝑡 → +0お よび𝑡 → ∞の 場 合の挙 動も 考慮す ると 、 𝜑(𝑎1 ) =1
𝜑(𝑎2 ) = 𝑘をみたす0 < 𝑎1 = 𝑎1 (𝑘) <㉑

および𝑎2 = 𝑎2 (𝑘) >

㉑

に対して、

𝜆 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑡 ≤ 𝑎1 (𝑘) または 𝑡 ≥ 𝑎2 (𝑘)が成り立つ。
さらに、𝑓 =

𝑛𝑥 𝑠𝑥2 ⁄(𝑛𝑥 −1)
2 ⁄(𝑛 −1)
𝑛𝑦 𝑠𝑦
𝑦

𝑛𝑦 −1

𝑛𝑦 −1

𝑛𝑦 −1

𝑥

𝑥

𝑥

= 𝑛 −1 𝑡とすると、𝐾1 (𝑘) = 𝑛 −1 𝑎1 (𝑘)および𝐾2 (𝑘) = 𝑛 −1 𝑎2 (𝑘)に対して
𝜆 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑓 ≤ 𝐾1 (𝑘) または 𝑓 ≥ 𝐾2 (𝑘)となるから、
𝑅𝑘 = {(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑥 , 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛𝑦 ) ; 𝑓 ≤ 𝐾1 (𝑘) または 𝑓 ≥ 𝐾2 (𝑘)}である。

2020 年度
数学･･････20
一方、統計値𝑓を実現する統計量𝐹は、𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 のもとで、ある特定の𝐹分布に従うことが知られているから、有意水準𝜀の両側検定を行うには、㉒

𝑓≤

または 𝑓 ≥㉓

1
) = 𝑃( ≥𝐹㉔のときに𝐻0を棄却すればよい。
なお、𝐹分布表を用いて検定する場合は、㉒

𝑃 (𝐹 ≤)であることを用いて、
𝑓 ≥ 1 ならば 𝑓 ≥㉓1
1≥ 1 ならば ≥𝑓𝑓㉔のいずれかの場合に𝐻0 を棄却する。
（３）あるグループを X 班と Y 班に分けて同じ問題で試験を行ったところ、X 班 10 名、Y 班 8 名の各生徒の得点は以下のようになった。
生徒 No.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X班

59

80

67

71

67

81

65

66

82

62

Y班

71

93

60

63

74

59

48

68

－

－

得点のバラツキについて X、Y 両班に差があるといえるかを、X、Y の両班における各生徒の得点がいずれも正規分布に従うものとして、有意水準0.05で検定したい。
いま、X、Y 両班における各生徒の得点が、それぞれ正規分布𝑁(𝜇𝑥 , 𝜎𝑥2 )、𝑁(𝜇𝑦 , 𝜎𝑦2 )に従うものとし、帰無仮説𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 を対立仮説𝐻1 : 𝜎𝑥2 ≠ 𝜎𝑦2 に対して検定する。

1

このとき、
（２）で定めた統計値𝑓または のうち、1以上となるものは

𝑓㉖である。一方、㉗であり、𝐻0は㉕㉘㉕であり、その値は≥ 1の場合に𝐻0 を棄却するための条件は
される。

㉕

≥

2020 年度
数学･･････21［①、②の選択肢］
（Ａ）

1

2

（Ｂ）

𝜋
1

（Ｅ）

√2𝜋𝜎𝑥

1

（Ｃ）

𝜋
1

（Ｆ）

√2𝜋𝜎𝑦

√2𝜋

1

（Ｇ）

1

（Ｄ）

2𝜋

1

（Ｈ）

2𝜋𝜎𝑦2

2𝜋𝜎𝑥2

［③、④の選択肢］
（Ａ）𝜇𝑥

（Ｂ）𝜇𝑦

（Ｅ）𝜇𝑥 + 𝜇𝑦（Ｆ）

𝑛𝑥 𝜇𝑥 +𝑛𝑦 𝜇𝑦（Ｉ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦𝜇𝑥 +𝜇𝑦2
𝑛𝑦 𝜇𝑥 +𝑛𝑥 𝜇𝑦（Ｊ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦（Ｃ）2𝜇𝑥（Ｄ）2𝜇𝑦（Ｇ）√𝜇𝑥 ∙ 𝜇𝑦（Ｈ）2√𝜇𝑥 ∙ 𝜇𝑦

𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑥

𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑦

𝑥

（Ｋ） 𝜇𝑥 + 𝜇𝑦𝑛𝑛（Ｌ） 𝜇𝑥 + 𝜇𝑦𝑛𝑛（Ｃ）2𝑥̅

（Ｄ）2𝑦̅

（Ｇ）√𝑥̅ ∙ 𝑦̅（Ｈ）2√𝑥̅ ∙ 𝑦̅［⑤～⑩の選択肢］
（Ａ）𝑥̅

（Ｂ）𝑦̅

（Ｅ）𝑥̅ + 𝑦̅（Ｆ）

𝑛𝑥 𝑥̅ +𝑛𝑦 𝑦̅（Ｉ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦𝑥̅ +𝑦̅
2𝑛𝑦 𝑥̅ +𝑛𝑥 𝑦̅（Ｊ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦

𝑛𝑦

（Ｋ）

𝑛𝑥

𝑛

𝑥̅ + 𝑛𝑥 𝑦̅

𝑛𝑥

（Ｌ）

𝑛𝑦

𝑦

𝑛𝑦

𝑥̅ + 𝑛 𝑦̅𝑥［⑪、⑫の選択肢］（Ｃ）𝑠𝑥2

（Ｂ）𝑠𝑦

（Ａ）𝑠𝑥
𝑛𝑥 𝑠𝑥2

（Ｅ）√

𝑛𝑥 −1
2
𝑛𝑥 𝑠𝑥2 +𝑛𝑦 𝑠𝑦（Ｉ）√

𝑛𝑥 +𝑛𝑦 −2

2
𝑛𝑦 𝑠𝑦

（Ｆ）√

𝑛𝑦 −1
2
𝑛𝑥 𝑠𝑥2 +𝑛𝑦 𝑠𝑦（Ｊ）√

𝑛𝑥 +𝑛𝑦𝑛𝑥 𝑠𝑥2

（Ｇ）

𝑛𝑥 −1
2
𝑛𝑥 𝑠𝑥2 +𝑛𝑦 𝑠𝑦（Ｋ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦 −2（Ｄ）𝑠𝑦2
2
𝑛𝑦 𝑠𝑦

（Ｈ）

𝑛𝑦 −1
2
𝑛𝑥 𝑠𝑥2 +𝑛𝑦 𝑠𝑦（Ｌ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦2020 年度
数学･･････22［⑬、⑭の選択肢］（Ａ）𝑙(𝜇̂ 𝑥 , 𝜇̃𝑦 , 𝜎̂ 2 , 𝜎̃𝑦2 )（Ｂ）𝑙(𝜇̃𝑥 , 𝜇̂ 𝑦 , 𝜎̃𝑥2 , 𝜎̂ 2 )（Ｃ）𝑙(𝜇̂ 𝑥 , 𝜇̂ 𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 )（Ｄ）𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎̂ 2 , 𝜎̂ 2 )（Ｅ）𝑙(𝜇̂ 𝑥 , 𝜇̂ 𝑦 , 𝜎̂ 2 , 𝜎̂ 2 )（Ｆ）𝑙(𝜇̃𝑥 , 𝜇̃𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 )（Ｇ）𝑙(𝜇̃𝑥 , 𝜇̃𝑦 , 𝜎 2 , 𝜎 2 )（Ｈ）𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎̃𝑥2 , 𝜎̃𝑦2 )（Ｉ）𝑙(𝜇̃𝑥 , 𝜇̃𝑦 , 𝜎̃𝑥2 , 𝜎̃𝑦2 )（Ａ）𝜎̂ 2（Ｂ）𝜎̃𝑥2 𝜎̃𝑦2（Ｃ）𝜎̃𝑥2 + 𝜎̃𝑦2（Ｄ）𝜎̂ 2 𝜎̃𝑥2 𝜎̃𝑦2（Ｅ）𝜎̂ 2 + 𝜎̃𝑥2 + 𝜎̃𝑦2（Ｆ）(𝜎̂ 2 )［⑮、⑯の選択肢］

𝑛𝑥 𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑦

（Ｇ）(𝜎̂ 2 ) 4（Ｈ）(𝜎̃𝑥2 ) 2 (𝜎̃𝑦2 ) 2（Ｊ）(𝜎̂ 2 )𝑛𝑥+𝑛𝑦（Ｋ）(𝜎̃𝑥2 + 𝜎̃𝑦2 )𝑛𝑥 +𝑛𝑦（Ｍ）(𝜎̂ 2 𝜎̃𝑥2 𝜎̃𝑦2 )𝑛𝑥 +𝑛𝑦2𝑛𝑦𝑛𝑥 +𝑛𝑦（Ｎ）(𝜎̂ 2 + 𝜎̃𝑥2 + 𝜎̃𝑦2 )（Ｌ）(𝜎̃𝑥2 )𝑛𝑥 (𝜎̃𝑦2 )𝑛𝑥 +𝑛𝑦［⑰、⑱、㉑の選択肢］
（Ａ）𝑛𝑥

（Ｅ）

（Ｂ）𝑛𝑥 + 1

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑛𝑦

（Ｉ）

𝑛𝑦

（Ｊ）

𝑛𝑥

（Ｍ）𝑛𝑥 + 𝑛𝑦

（Ｑ）(𝑛𝑥 𝑛𝑦 )

𝑛𝑥

（Ｆ）

𝑛𝑦

2

𝑛𝑥

+1

（Ｋ）

𝑛𝑥

𝑦

𝑛𝑥 +𝑛𝑦

𝑛𝑦

（Ｓ）(

𝑛𝑦 2
𝑛𝑥

)

𝑛𝑦

（Ｌ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦（Ｏ）(𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 )

𝑛𝑥

（Ｈ）

𝑛𝑥 +𝑛𝑦2)𝑛（Ｄ）𝑛𝑦 + 1

𝑛𝑥（Ｇ）

（Ｎ）𝑛𝑥 2 + 𝑛𝑦 2

（Ｒ）(

（Ｃ）𝑛𝑦

+1

𝑛𝑦

𝑛𝑥

（Ｉ）(𝜎̃𝑥2 ) 2 + (𝜎̃𝑦2 ) 2

𝑛𝑥 +𝑛𝑦2（Ｐ）𝑛𝑥 𝑛𝑦

+1+1

2020 年度
数学･･････23［⑲、⑳の選択肢］（Ａ）𝑡（Ｂ）𝑡 2（Ｅ）𝑡 2 + 𝑡 + 1

（Ｆ）

1

1

（Ｉ） 2 + 1（Ｄ）𝑡 2 + 1（Ｃ）𝑡 + 1

11（Ｈ） + 1

（Ｇ） 2

𝑡

𝑡

1

1

𝑡

𝑡

𝑡

（Ｊ） 2 + + 1

𝑡［㉒の選択肢］𝜀𝑛（Ａ）𝐹𝑛𝑦𝑥 (1 − 2)𝑛 −2𝜀（Ｅ）𝐹𝑛𝑦𝑥−2 (1 − )
2

𝑛 +2

𝜀

（Ｉ）𝐹𝑛𝑦𝑥+2 (1 − )
2

𝑛

𝜀

𝑛 −1

（Ｄ）𝐹𝑛𝑥𝑦−1 (1 − 2)𝜀（Ｈ）𝐹𝑛𝑥𝑦+1 (1 − )（Ｃ）𝐹𝑛𝑦𝑥−1 (1 − 2)

𝑛 −2

𝜀

𝑥

2

（Ｇ）𝐹𝑛𝑦𝑥+1 (1 − )

𝑛 +2

𝜀

（Ｆ）𝐹𝑛 𝑦−2 (1 − )

𝑛 +1

𝑛 −1

𝜀

（Ｂ）𝐹𝑛𝑥𝑦 (1 − 2)

2

𝑛 +1

（Ｊ）𝐹𝑛𝑥𝑦+2 (1 − 2)𝑛𝑛 +1 𝜀（Ｈ）𝐹𝑛𝑥𝑦+1 (2)𝜀（Ｃ）𝐹𝑛𝑦𝑥−1 (2)𝑛 −2 𝜀（Ｆ）𝐹𝑛𝑥𝑦−2 (2)𝑛 −2 𝜀（Ｇ）𝐹𝑛𝑦𝑥+1 (2)𝑛 +2 𝜀（Ｊ）𝐹𝑛𝑥𝑦+2 (2)（Ｉ）𝐹𝑛𝑦𝑥+2 (2)𝑛 +2 𝜀［㉕の選択肢］（Ａ）𝑓（Ｄ）𝐹𝑛𝑥𝑦−1 (2)（Ｂ）𝐹𝑛𝑥𝑦 (2)（Ｅ）𝐹𝑛𝑦𝑥−2 (2)

1

（Ｂ）

𝑓

𝑛 −1 𝜀𝑛 −1 𝜀𝜀𝑛𝜀

2［㉓、㉔の選択肢］（Ａ）𝐹𝑛𝑦𝑥 (2)𝜀𝑛 +1 𝜀2020 年度
数学･･････24［㉖の選択肢］（Ａ）1.7949（Ｂ）1.9185（Ｃ）2.0267（Ｄ）2.1594（Ｅ）2.2648（Ｆ）2.3691（Ｇ）2.4944（Ｈ）2.5967（Ｉ）2.7028（Ｊ）2.8273（Ｋ）2.9402（Ｌ）3.0537（Ａ）3.6767（Ｂ）3.8549（Ｃ）3.9121（Ｄ）4.1970（Ｅ）4.2951（Ｆ）4.6517（Ｇ）4.8232（Ｈ）4.9927（Ｉ）5.0736（Ｊ）5.2879（Ｋ）5.3209（Ｌ）5.5996［㉗の選択肢］［㉘の選択肢］
（Ａ）採択

（Ｂ）棄却

2020 年度
数学･････25(付表)
Ⅰ.標準正規分布表

P(x  0.25) = 0.4013

上側ε 点 u (ε ) から確率εを求める表u (ε )→ε

*=0

*=1

*=2

*=3

*=4

*=5

*=6

*=7

*=8

*=9

0.0*

0.50000.49600.49200.48800.48400.48010.47610.4721

0.46810.46410.1*

0.46020.45620.45220.44830.44430.44040.43640.43250.42860.42470.2*

0.42070.41680.41290.40900.40520.40130.3974

0.3936

0.38970.38590.3*

0.38210.37830.37450.37070.36690.36320.35940.35570.35200.34830.4*

0.34460.34090.33720.33360.33000.32640.32280.31920.31560.31210.5*

0.30850.30500.30150.29810.2946

0.29120.28770.28430.28100.27760.6*

0.27430.27090.2676

0.26430.26110.25780.25460.25140.24830.24510.7*

0.24200.23890.23580.23270.22960.22660.22360.22060.21770.21480.8*

0.21190.20900.20610.20330.20050.19770.19490.19220.18940.18670.9*

0.18410.18140.17880.17620.17360.17110.16850.16600.16350.16111.0*

0.15870.15620.15390.15150.14920.14690.14460.14230.14010.13791.1*

0.13570.13350.13140.12920.12710.12510.12300.12100.11900.11701.2*

0.1151

0.11310.11120.10930.10750.10560.10380.10200.1003

0.09851.3*

0.09680.0951

0.09340.09180.09010.08850.08690.08530.08380.08231.4*

0.08080.07930.07780.07640.07490.07350.07210.07080.06940.06811.5*

0.06680.06550.06430.06300.06180.0606

0.05940.05820.05710.05591.6*

0.05480.05370.0526

0.05160.05050.04950.04850.04750.04650.04551.7*

0.0446

0.04360.04270.04180.04090.04010.03920.03840.03750.03671.8*

0.03590.03510.03440.03360.03290.03220.03140.03070.03010.02941.9*

0.02870.02810.02740.02680.02620.02560.02500.02440.02390.02332.0*

0.02280.02220.02170.02120.02070.02020.01970.01920.01880.01832.1*

0.01790.01740.01700.01660.01620.01580.01540.01500.01460.01432.2*

0.01390.01360.01320.01290.01250.01220.01190.01160.01130.01102.3*

0.01070.01040.01020.00990.00960.00940.00910.00890.00870.00842.4*

0.00820.00800.00780.00750.00730.00710.00690.00680.00660.00642.5*

0.00620.00600.00590.00570.00550.00540.00520.00510.00490.00482.6*

0.00470.00450.00440.00430.00410.00400.00390.00380.00370.00362.7*

0.00350.00340.00330.00320.00310.00300.00290.00280.00270.00262.8*

0.00260.00250.00240.00230.00230.00220.00210.00210.00200.00192.9*0.00190.00180.00180.00170.00160.00160.00150.00150.00140.0014

2020 年度
数学･････26

P(x  1.9600) = 0.025
確率εから上側ε 点 u (ε) を求める表
ε →u (ε )
0.00*
0.01*
0.02*
0.03*
0.04*
0.05*
0.06*
0.07*
0.08*
0.09*
0.10*
0.11*
0.12*
0.13*
0.14*
0.15*
0.16*
0.17*
0.18*
0.19*
0.20*
0.21*
0.22*
0.23*
0.24*
0.25*
0.26*
0.27*
0.28*
0.29*
0.30*
0.31*
0.32*
0.33*
0.34*
0.35*
0.36*
0.37*
0.38*
0.39*
0.40*
0.41*
0.42*
0.43*
0.44*
0.45*
0.46*
0.47*
0.48*
0.49*

*=0
∞
2.32632.05371.88081.75071.64491.55481.47581.40511.34081.28161.2265
1.17501.12641.0803
1.0364
0.99450.95420.91540.87790.84160.80640.77220.73880.70630.67450.64330.61280.58280.55340.52440.49590.46770.43990.41250.38530.35850.33190.30550.27930.25330.22750.20190.17640.15100.12570.10040.07530.05020.0251*=1
3.09022.29042.0335
1.8663
1.7392
1.6352
1.5464
1.4684
1.3984
1.33461.27591.2212
1.17001.12171.07581.03220.99040.95020.91160.87420.83810.80300.76880.73560.70310.67130.64030.60980.57990.55050.52150.49300.46490.43720.40970.3826
0.35580.32920.30290.27670.25080.22500.19930.17380.14840.1231
0.09790.07280.04760.0226*=2
2.87822.25712.0141
1.8522
1.72791.62581.5382
1.4611
1.39171.32851.2702
1.21601.16501.11701.0714
1.02790.98630.94630.90780.87050.83450.79950.76550.73230.69990.6682
0.63720.60680.57690.54760.51870.4902
0.46210.43440.40700.37990.3531
0.32660.30020.27410.24820.22240.19680.17130.14590.1206
0.09540.07020.04510.0201*=3
2.74782.2262
1.9954
1.8384
1.71691.61641.53011.45381.3852
1.32251.26461.21071.1601
1.1123
1.06691.02370.9822
0.94240.90400.86690.83100.7961
0.76210.72900.69670.66510.63410.60380.57400.54460.51580.48740.45930.43160.40430.37720.35050.32390.2976
0.27150.2456
0.21980.19420.16870.14340.1181
0.09290.06770.04260.0175*=42.6521
2.1973
1.97741.82501.70601.6072
1.52201.4466
1.37871.31651.25911.2055
1.1552
1.10771.06251.01940.97820.93850.90020.86330.82740.79260.75880.72570.69350.66200.63110.60080.57100.54170.51290.48450.45650.42890.40160.37450.34780.32130.29500.26890.24300.21730.19170.16620.14080.11560.09040.06520.04010.0150*=52.57582.17011.96001.81191.6954
1.5982
1.51411.43951.3722
1.3106
1.25361.20041.1503
1.10311.05811.0152
0.97410.9346
0.89650.85960.82390.78920.75540.72250.69030.65880.62800.59780.5681
0.53880.5101
0.48170.45380.4261
0.39890.37190.34510.3186
0.2924
0.26630.24040.21470.18910.16370.13830.11300.08780.06270.03760.0125*=62.51212.1444
1.94311.79911.68491.58931.50631.43251.36581.30471.2481
1.1952
1.1455
1.09851.05371.01100.97010.93070.89270.85600.82040.78580.75210.71920.68710.65570.62500.59480.56510.53590.50720.47890.45100.4234
0.39610.3692
0.34250.31600.28980.26370.23780.21210.18660.16110.13580.11050.08530.06020.03510.0100*=72.45732.1201
1.92681.78661.67471.5805
1.49851.42551.3595
1.29881.24261.19011.1407
1.09391.04941.00690.96610.92690.88900.85240.81690.78240.74880.71600.68400.6526
0.62190.59180.5622
0.53300.50440.47610.44820.42070.39340.36650.33980.31340.28710.26110.23530.20960.18400.15860.13320.10800.08280.05770.03260.0075*=8
2.40892.09691.91101.7744
1.6646
1.57181.49091.41871.3532
1.29301.23721.18501.13591.08931.04501.00270.9621
0.92300.88530.84880.81340.77900.74540.71280.68080.64950.61890.58880.55920.53020.50150.47330.44540.41790.39070.36380.33720.31070.28450.25850.23270.20700.18150.15600.13070.10550.08030.05520.03010.0050*=92.36562.07491.89571.76241.65461.5632
1.4833
1.41181.34691.28731.23191.18001.13111.08481.04070.9986
0.95810.91920.88160.84520.80990.77560.74210.70950.6776
0.64640.61580.58580.55630.52730.49870.47050.44270.41520.38800.36110.33450.30810.28190.25590.23010.20450.17890.15350.12820.10300.07780.05270.02760.0025

2020 年度
数学･････27

Ⅱ.自由度φ のχ2分布の上側ε 点：   ( )
2

φ＼ε

0.990

0.975

0.950

0.900

0.500

0.100

0.050

0.025

0.010

1

0.00020.00100.00390.01580.45492.70553.84155.02396.634920.02010.05060.10260.21071.38634.60525.99157.37789.2103

3

0.11480.21580.35180.58442.36606.25147.81479.348411.344940.2971

0.48440.71071.06363.35677.77949.4877

11.1433

13.276750.55430.8312

1.14551.61034.35159.236411.0705

12.8325

15.086360.8721

1.2373

1.63542.2041

5.348110.6446

12.5916

14.4494

16.81197

1.23901.68992.16732.8331

6.345812.0170

14.0671

16.012818.47538

1.64652.17972.73263.48957.344113.3616

15.5073

17.5345

20.090292.08792.70043.3251

4.16828.342814.6837

16.9190

19.0228

21.6660102.5582

3.24703.94034.86529.341815.9872

18.3070

20.4832

23.209311

3.05353.81574.57485.577810.341017.2750

19.6751

21.9200

24.725012

3.57064.40385.22606.303811.340318.549321.0261

23.3367

26.2170

13

4.10695.00885.89197.041512.3398

19.811922.3620

24.7356

27.6882144.66045.62876.5706

7.789513.339321.0641

23.6848

26.1189

29.141215

5.22936.26217.26098.546814.338922.3071

24.9958

27.4884

30.577916

5.8122

6.90777.96169.312215.3385

23.5418

26.2962

28.845431.9999176.40787.56428.671810.0852

16.3382

24.7690

27.587130.191033.408718

7.01498.23079.390510.8649

17.3379

25.989428.869331.5264

34.805319

7.63278.906510.1170

11.650918.337727.2036

30.1435

32.8523

36.190920

8.26049.590810.850812.4426

19.3374

28.4120

31.4104

34.169637.566221

8.8972

10.2829

11.5913

13.239620.3372

29.6151

32.6706

35.4789

38.9322229.542510.9823

12.3380

14.0415

21.3370

30.8133

33.924436.780740.289423

10.1957

11.6886

13.0905

14.8480

22.3369

32.0069

35.1725

38.0756

41.6384

24

10.856412.401213.8484

15.6587

23.3367

33.1962

36.4150

39.364142.979825

11.5240

13.1197

14.611416.4734

24.3366

34.381637.652540.646544.314126

12.1981

13.8439

15.3792

17.291925.3365

35.5632

38.8851

41.9232

45.641727

12.8785

14.5734

16.151418.1139

26.3363

36.741240.1133

43.194546.962928

13.5647

15.3079

16.9279

18.9392

27.336237.9159

41.337144.4608

48.278229

14.2565

16.0471

17.7084

19.7677

28.3361

39.0875

42.5570

45.722349.587930

14.9535

16.7908

18.4927

20.5992

29.3360

40.2560

43.7730

46.9792

50.892231

15.6555

17.5387

19.2806

21.4336

30.3359

41.421744.9853

48.2319

52.191432

16.362218.2908

20.071922.2706

31.3359

42.584746.1943

49.480453.485833

17.0735

19.0467

20.8665

23.110232.3358

43.7452

47.399950.725154.775534

17.7891

19.8063

21.664323.952333.3357

44.9032

48.602451.9660

56.060935

18.5089

20.569422.4650

24.7967

34.3356

46.0588

49.8018

53.2033

57.342136

19.2327

21.3359

23.2686

25.6433

35.335647.212250.998554.4373

58.619237

19.960222.1056

24.0749

26.492136.3355

48.3634

52.192355.6680

59.892538

20.691422.8785

24.8839

27.3430

37.3355

49.5126

53.3835

56.8955

61.162139

21.4262

23.6543

25.695428.1958

38.335450.6598

54.572258.120162.428140

22.1643

24.4330

26.509329.0505

39.335351.805155.758559.341763.690741

22.9056

25.2145

27.3256

29.9071

40.335352.9485

56.9424

60.5606

64.950142

23.6501

25.9987

28.1440

30.7654

41.335254.090258.1240

61.7768

66.206243

24.3976

26.785428.9647

31.6255

42.3352

55.230259.3035

62.990467.459344

25.1480

27.5746

29.7875

32.487143.3352

56.3685

60.480964.201568.709545

25.901328.3662

30.612333.350444.3351

57.505361.656265.410269.956846

26.6572

29.160131.4390

34.2152

45.3351

58.640562.8296

66.6165

71.201447

27.4158

29.9562

32.267635.081446.3350

59.774364.001167.8206

72.443348

28.1770

30.7545

33.098135.949147.3350

60.9066

65.1708

69.022673.682649

28.9406

31.5549

33.930336.8182

48.335062.0375

66.338670.222474.919550

29.7067

32.3574

34.7643

37.688649.3349

63.167167.5048

71.420276.1539

2020 年度
数学･････28

Ⅲ．分母の自由度n 、 分子の自由度m のF 分布の上側ε点：Fn ( )m

ε ＝ 0.100n＼m12
8.5263
3
5.5383
44.544854.06046
3.77597
3.58948
3.457993.3603103.285029.00005.46244.3246
3.77973.46333.2574
3.11313.00652.92453
9.16185.39084.19093.61953.28883.07412.92382.81292.727749.24345.3426
4.10723.5202
3.18082.96052.80642.69272.6053

59.29265.30924.05063.45303.10752.88332.72642.61062.521669.32555.28474.00973.40453.05462.82742.66832.55092.4606

7
9.34915.2662
3.97903.36793.01452.78492.62412.50532.414089.36685.25173.95493.33932.98302.75162.58932.46942.377299.38055.24003.93573.3163
2.95772.72472.56122.44032.3473109.39165.23043.91993.29742.93692.70252.53802.41632.3226ε ＝ 0.050
n＼m
12
18.51283
10.128047.708656.607965.98747
5.59148
5.317795.117410
4.96462
19.0000
9.5521
6.94435.78615.14334.73744.45904.2565
4.10283
19.16439.27666.59145.40954.75714.34684.0662
3.86253.7083

4
19.2468
9.1172
6.3882
5.19224.53374.1203
3.83793.6331
3.47805
19.29649.01356.25615.05034.38743.97153.68753.48173.32586
19.3295
8.9406
6.16314.95034.28393.86603.58063.37383.2172

719.3532
8.8867
6.09424.87594.2067
3.78703.50053.29273.13558
19.37108.8452
6.04104.8183
4.14683.72573.4381
3.2296
3.0717919.38488.8123
5.99884.77254.09903.67673.3881
3.17893.020410
19.39598.78555.96444.73514.06003.63653.3472
3.1373
2.9782ε ＝ 0.025
n＼m12
38.50633
17.44344
12.21795
10.007068.813178.07278
7.570997.209310
6.93672
39.0000
16.0441
10.6491
8.4336
7.25996.5415
6.05955.71475.45643
39.1655
15.4392
9.9792
7.76366.59885.88985.41605.07814.8256

4
39.2484
15.10109.60457.38796.22725.52265.05264.7181
4.4683

539.2982
14.88489.3645
7.14645.98765.28524.81734.48444.2361

6
39.3315
14.7347
9.1973
6.97775.81985.11864.65174.31974.0721

739.3552
14.62449.0741
6.8531
5.69554.99494.5286
4.19703.9498839.3730
14.5399
8.97966.75725.5996
4.89934.43334.10203.8549939.3869
14.47318.90476.6811
5.52344.82324.35724.02603.77901039.3980
14.4189
8.84396.61925.46134.7611
4.2951
3.96393.7168ε ＝ 0.010
n＼m
12
98.50253
34.11624
21.19775
16.2582613.7450712.24648
11.2586910.561410
10.04432
99.0000
30.8165
18.0000
13.2739
10.92489.54668.64918.02157.55943
99.166229.4567
16.6944
12.0600
9.77958.45137.59106.99196.5523

4
99.249428.7099
15.9770
11.39199.14837.84667.0061
6.4221
5.9943

5
99.299328.2371
15.5219
10.9670
8.74597.4604
6.63186.05695.6363

6
99.3326
27.910715.2069
10.67238.4661
7.19146.37075.80185.3858799.3564
27.671714.9758
10.4555
8.26006.99286.17765.61295.20018
99.374227.4892
14.7989
10.2893
8.10176.84006.02895.4671
5.0567999.388127.3452
14.6591
10.1578
7.9761
6.71885.91065.3511
4.942410
99.3992
27.2287
14.5459
10.05107.87416.62015.81435.25654.8491ε ＝ 0.005
n＼m1
2
198.5013
3
55.55204
31.33285
22.7848
6
18.6350
7
16.23568
14.6882913.613610
12.82652
199.0000
49.799326.2843
18.3138
14.5441
12.4040
11.0424
10.1067
9.42703
199.1664
47.4672
24.2591
16.5298
12.9166
10.8824
9.59658.71718.0807

4
199.2497
46.1946
23.1545
15.5561
12.0275
10.0505
8.8051
7.95597.34285
199.2996
45.391622.4564
14.9396
11.4637
9.52218.30187.4712
6.8724

6
199.3330
44.8385
21.9746
14.5133
11.0730
9.1553
7.95207.13396.5446

7
199.3568
44.4341
21.6217
14.2004
10.78598.8854
7.6941
6.88496.3025

8
199.3746
44.1256
21.3520
13.961010.5658
8.6781
7.49596.6933
6.11599199.3885
43.8824
21.1391
13.7716
10.3915
8.51387.33866.5411
5.9676

10
199.3996
43.6858
20.9667
13.6182
10.2500
8.38037.21066.41725.8467

2020 年度
数学･････29

Ⅳ．自由度φ のt 分布の上側ε点：t ( )Ⅴ．自然対数表

Ⅵ．指数関数表

φ＼ε

0.100

0.050

0.025

x

log x

x

exp(x)

1

3.0777

6.313812.70621.1

0.0953-0.10

0.90482

1.88562.92004.30271.2

0.1823-0.09

0.91393

1.63772.3534

3.18241.3

0.2624-0.08

0.92314

1.53322.13182.77641.4

0.3365-0.07

0.93245

1.47592.01502.57061.5

0.4055-0.06

0.94186

1.43981.94322.44691.6

0.4700-0.05

0.95127

1.41491.89462.36461.7

0.5306-0.04

0.96088

1.39681.85952.30601.8

0.5878-0.03

0.97049

1.38301.83312.26221.9

0.6419-0.02

0.980210

1.3722

1.81252.22812.0

0.6931-0.01

0.990011

1.3634

1.79592.20102.5

0.91630.00

1.000012

1.3562

1.78232.17883.0

1.09860.01

1.010113

1.35021.77092.1604

3.5

1.25280.02

1.020214

1.34501.76132.14484.0

1.38630.03

1.030515

1.34061.75312.13144.5

1.50410.04

1.040816

1.33681.74592.11995.0

1.60940.05

1.051317

1.3334

1.7396

2.10985.5

1.70470.06

1.061818

1.3304

1.73412.10096.0

1.79180.07

1.072519

1.32771.72912.09306.5

1.87180.08

1.083320

1.32531.72472.08607.0

1.94590.09

1.094221

1.32321.72072.07967.5

2.01490.10

1.105222

1.3212

1.71712.07398.0

2.079423

1.31951.71392.06878.5

2.140124

1.31781.71092.06399.0

2.197225

1.31631.70812.05959.5
10.0

2.25132.3026以上2020 年度
数学･･････1

数学（解答例）問題１（１）
𝑋𝑖 (𝑖 ≥ 1)を𝑖 − 1個目の赤玉を抽出した状態から、𝑖個目の赤玉を抽出するまでに行った抽出回数を表す
確率変数とする。
まず、𝐸[𝑋1 ]を求める。
ルール 1 より、1回目は箱Ａから抽出を行うことから、𝐸[𝑋1 ] に関して次の式が成り立つ。
𝐸[𝑋1 ] = 1 +91
𝐸[𝑋1 ] +
×0
10
10

よって、
𝐸[𝑋1 ] = 10
次に、𝐸[𝑋𝑖 ](𝑖 ≥ 2)を求める。
ルール 2 より、赤玉が出た直後の抽出は箱Ｂから行うことに注意すると、𝐸[𝑋𝑖 ] (𝑖 ≥ 2)に関して次式が成り立つ。
𝐸[𝑋𝑖 ] = 1 +555𝐸[𝑋1 ] +×0=1+
× 10 = 6101010

さて、定義より各𝑋𝑖 (𝑖 ≥ 1)は互いに独立であることから、求める期待値は、
4

𝐸[𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 ] = ∑ 𝐸[𝑋𝑖 ] = 10 + 3 × 6 = 28𝑖=1

よって、解答は （Ａ）（２）
𝑌 は 1, 2, 3, 4, 5, 6 の各値を 1/6 ずつの確率でとり得る離散確率変数なので、𝐸[𝑌] =
𝐸[𝑌 2 ] =1+2+3+4+5+6 7=
62

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 91=
6
6

𝑉[𝑌] = 𝐸[𝑌 2 ] − 𝐸[𝑌]2 =また、

91
7 2 35−( ) =
62
12

2020 年度
数学･･････2
6.5

𝑥
7
𝑑𝑥 =
2
0.5 6

𝐸[𝑋] = ∫
6

6

6

𝑘=1

𝑘=1

𝑘+0.5
𝑘
𝑘
𝑘
𝐸[𝑋𝑌] = 𝐸[𝑋 ∙ (𝑋 + 0.5 の整数部分)] = ∑ ∫𝑥 𝑑𝑥 = ∑ [ 𝑥 2 ]
=∑
∙ 2𝑘
12
12
𝑘−0.5
𝑘−0.5 6
𝑘+0.5

𝑘=1

1 1
91
= ∙ ∙ 6 ∙ 7 ∙ 13 =
6 6
6
より、
𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌] =91 7 7 35− × =6 2 2 12

よって、解答は ①（Ｅ） ②（Ｄ） ③（Ｄ）
（３）確率変数𝑋, 𝑌の確率密度関数をそれぞれ𝑓𝑋 (𝑥), 𝑓𝑌 (𝑦)とすると、
𝑓𝑋 (𝑥) =1 −1𝑥
𝑒 2𝜆 (𝑥 > 0)2𝜆𝑓𝑌 (𝑦) = 3𝜆𝑒 −3𝜆𝑦 (𝑦 > 0)となる。
𝑋, 𝑌の結合確率密度関数を𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)とおくと、
3 −( 1 𝑥+3𝜆𝑦)𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥) ∙ 𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑒 2𝜆2𝑥

ここで𝑧 = 𝑒 𝑦 ,𝑤 = 𝑦とおくと、この変換は𝑥𝑦平面の𝑥 > 0, 𝑦 > 0なる部分を𝑧𝑤平面の𝑧 > 1, 𝑤 > 0なる部
分に移す 1 対 1 の変換である。また、𝑥 = 𝑤 log 𝑧 , 𝑦 = 𝑤より、ヤコビアン𝐽を求めると、
𝑤
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝑤
log 𝑧
𝐽=
= |𝑧
| = (> 0)𝜕(𝑧, 𝑤)𝑧01である。
よって、𝑍, 𝑊の結合確率密度関数を𝑓𝑍,𝑊 (𝑧, 𝑤)とすると、
3 −𝑤( 1 log 𝑧+3𝜆)3𝑤 −𝑤( 1 log 𝑧+3𝜆)
2𝜆
2𝜆
|𝐽| =
𝑓𝑍,𝑊 (𝑧, 𝑤) = 𝑒𝑒22𝑧
これより、𝑍の確率密度関数𝑓(𝑧)を求めると、∞∞

𝑓(𝑧) = ∫ 𝑓𝑍,𝑊 (𝑧, 𝑤)𝑑𝑤 = ∫00

3𝑤 −𝑤( 1 log 𝑧+3𝜆)
2𝜆
𝑒
𝑑𝑤
2𝑧

1

いま、𝑤 (2𝜆 log 𝑧 + 3𝜆) = 𝑡とおくと、∞

𝑓(𝑧) = ∫
0
∞

∞
3
𝑡
𝑑𝑡
3
1
𝑒 −𝑡
=
∫
𝑡𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
21
2𝑧 1 log 𝑧 + 3𝜆2𝑧
1log 𝑧 + 3𝜆( log 𝑧 + 3𝜆) 0
2𝜆
2𝜆
2𝜆
∞

ここで、∫0 𝑡 𝑛 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = 𝑛!より、∫0 𝑡𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = 1
であるので、

2020 年度
数学･･････3𝑓(𝑧) =

3
1
6𝜆2
=
2
2𝑧 1
𝑧(log 𝑧 + 6𝜆2 )2(2𝜆 log 𝑧 + 3𝜆)

よって、解答は ① （Ｈ） ② （Ｇ）（別解）
確率変数𝑍の分布関数を𝐹𝑍 (𝑧)とすると、
𝐹𝑍 (𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑌 log 𝑧)∞∞

𝑦 log 𝑧𝑜

1 −1𝑥𝑒 2𝜆 𝑑𝑥) 3𝜆𝑒 −3𝜆𝑦 𝑑𝑦
2𝜆

∞

∞

0

0

= ∫ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑦 log 𝑧)𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (∫
0
∞

0
1

= ∫ (1 − 𝑒 −2𝜆𝑦 log 𝑧 ) 3𝜆𝑒 −3𝜆𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 3𝜆𝑒 −3𝜆𝑦 𝑑𝑦 − ∫ 3𝜆exp {−𝑦 (3𝜆 +
0

=1−

3𝜆
log 𝑧
=
log 𝑧 log 𝑧 + 6𝜆2
3𝜆 +
2𝜆

これより、
𝑓(𝑧) =𝑑𝐹𝑍 (𝑧)
6𝜆2=
𝑑𝑧
𝑧(log 𝑧 + 6𝜆2 )2（４）（ア） 𝑘番目に抽出した実数を𝑎𝑘 とする。
また、端数処理後の数値を四捨五入の場合を𝐴𝑘 (4/5)、七捨八入の場合を𝐴𝑘 (7/8)とする。
0 < 𝑎𝑘 < 0.5のとき、𝐴𝑘 (4/5) = 𝐴𝑘 (7/8) = 0
0.5 ≤ 𝑎𝑘 < 0.8のとき、𝐴𝑘 (4/5) = 1 , 𝐴𝑘 (7/8) = 0
0.8 ≤ 𝑎𝑘 < 1のとき、𝐴𝑘 (4/5) = 𝐴𝑘 (7/8) = 1
である。
ここで、𝑋𝑘 = 𝐴𝑘 (4/5) − 𝐴𝑘 (7/8)とすると、
𝑋𝑘 = {

1 (0.5 ≤ 𝑎𝑘 < 0.8)(𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒)0

無作為に実数𝑎𝑘 を抽出することから、
𝑃(0.5 ≤ 𝑎𝑘 < 0.8) =

3
10

となり、
𝑃(𝑋𝑘 = 1) =3
10

𝑃(𝑋𝑘 = 0) =7
10

したがって、𝐸[𝑋𝑘 ] =

3
7
3
×1+
×0=
= 0.30
10
10
10

log 𝑧
)} 𝑑𝑦
2𝜆

2020 年度
数学･･････4

𝑉[𝑋𝑘 ] = 𝐸[𝑋𝑘 2 ] − 𝐸[𝑋𝑘 ]2 = (

3
7
3 2
21
× 12 +
× 02 ) − ( ) == 0.21
10
10
10
100

（イ）
900

𝑌 = ∑ 𝑋𝑘
𝑘=1とすると、中心極限定理から𝑍=

3
𝑌 − 900 × 1021√900 × √100=

𝑌 − 2703√21~𝑁(0,1)

よって、𝑃(𝑌 < 𝛼) = 𝑃 (𝑌 − 2703√21<

𝛼 − 2703√21) ≥ 0.85

これより、
𝛼 − 2703√21≥ 𝑢(0.15) = 1.0364

これを解いて、𝛼 ≥ 284.248 …
以上より、最小の整数𝛼は285

よって、解答は ① （Ｄ） ② （Ａ） ③ （Ｉ）（５）
パラメータ 𝛼 > 0, 0 < 𝑝 < 1 の負の二項分布に従う確率変数 𝑋 の確率分布は、
𝛼+𝑘−1 𝛼𝑃(𝑋 = 𝑘) = () 𝑝 (1 − 𝑝)𝑘𝑘( 𝑘 = 0,1,2, ⋯ )であるから、𝑋 の期待値 𝐸[𝑋] は、∞

𝐸[𝑋] = ∑ 𝑘 (𝑘=0

𝛼+𝑘−1 𝛼) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑘𝑘∞

1−𝑝𝛼 + 𝑘 − 1 𝛼+1=𝛼∙×∑() 𝑝 (1 − 𝑝)𝑘−1
𝑝
𝑘−1
𝑘=1

1−𝑝
=𝛼∙
𝑝
となる。また、∞

𝛼+𝑘−1 𝛼𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = ∑ 𝑘(𝑘 − 1) () 𝑝 (1 − 𝑝)𝑘
𝑘
𝑘=0

∞

(1 − 𝑝)2
𝛼 + 𝑘 − 1 𝛼+2= 𝛼(𝛼 + 1) ∙×∑(
) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑘−2
𝑝2
𝑘−2
𝑘=2

= 𝛼(𝛼 + 1) ∙(1 − 𝑝)𝑝22

2020 年度
数学･･････5であるから、𝑋 の分散 𝑉[𝑋] は、
𝑉[𝑋] = 𝐸[𝑋 2 ] − 𝐸[𝑋]2 = 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] + 𝐸[𝑋] − 𝐸[𝑋]2= 𝛼(𝛼 + 1) ∙=𝛼∙

(1 − 𝑝)2(1 − 𝑝)2
1−𝑝
2
+
𝛼
∙
−
𝛼
∙
𝑝2
𝑝
𝑝2

1−𝑝
𝑝2

となる。パラメータ 𝛼, 𝑝 の推定値 𝛼̂, 𝑝̂ は、母平均 𝜇 の推定値 𝜇̂ 、母分散 𝜎 2 の推定値 𝜎̂ 2 を用いて、
1 − 𝑝̂= 𝜇̂𝑝̂
1 − 𝑝̂
𝛼̂ ∙ 2 = 𝜎̂ 2
𝑝̂
{
𝛼̂ ∙

より、 𝑝̂ =

𝜇̂
,
𝜎̂ 2

𝛼̂ = 𝜇̂ ∙𝑝̂
1 − 𝑝̂

と表すことができる。ここで、推定値 𝜇̂ 、𝜎̂ 2 は、モーメント法より、
10

1
𝜇̂ =
∑ 𝑥𝑖 = 10
10
𝑖=1

10

1
、 𝜎̂ = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 53
10
2

𝑖=1

であるから、次を得る。
𝛼̂ = 2.325581 ⋯、𝑝̂ = 0.188679 ⋯

よって、解答は ① （Ｇ） ② （Ｃ）（６）
𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛 を正規母集団 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) からの標本とし、標本平均を 𝑋̅ = ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 ⁄𝑛 とおくと、𝑋̅ − 𝜇∑𝑛 (𝑋 − 𝑋̅)2
√ 𝑖=1 𝑖𝑛(𝑛 − 1)は自由度 𝑛 − 1 の 𝑡 -分布に従うので、母平均 𝜇 の信頼係数 95% の信頼区間は、∑𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2∑𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑋̅ − 𝑡𝑛−1 (0.025)√ 𝑖=1< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑡𝑛−1 (0.025)√ 𝑖=1𝑛(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 − 1)となる。よって、信頼区間の幅は、∑𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
2𝑡𝑛−1 (0.025)√ 𝑖=1𝑛(𝑛 − 1)となる。信頼区間の幅が 1.5𝜎 より小さくなる確率が 95% 以上であるので、∑𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 3
𝑃 (2𝑡𝑛−1 (0.025)√ 𝑖=1< 𝜎) ≥ 0.95𝑛(𝑛 − 1)2より、次を満たすような最小の 𝑛 を求めればよい。
∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)29𝑛(𝑛 − 1)𝑃(<) ≥ 0.952𝜎16𝑡𝑛−1 (0.025)2

2020 年度
数学･･････6
ここで、 ∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2⁄𝜎 2 は自由度 𝑛 − 1 の 𝜒 2 -分布に従うので、付表を用いて計算すると、下表の通
りとなる。

𝑛−1

𝜒𝑛−1 2 (0.05)

9𝑛(𝑛 − 1)⁄16𝑡𝑛−1 (0.025)2

13

22.3620

21.934414

23.6848

25.678415

24.9958

29.7169

したがって、求める最小の標本数は 15 となる。
よって、解答は （Ｆ）（７）
標本 𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛 は正規分布 𝑁(𝜇𝑋 , 43) に従い、標本 𝑌1 , 𝑌2 , ⋯ , 𝑌𝑛 は正規分布 𝑁(𝜇𝑌 , 392) に従う。2 つの正規母集団は互いに独立であるので、𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛 と 𝑌1 , 𝑌2 , ⋯ , 𝑌𝑛 は互いに独立である。よって、標本平均の差 𝑌̅ − 𝑋̅ は正規分布 𝑁(𝜇𝑌 − 𝜇𝑋 , 435⁄𝑛) に従う。帰無仮説 𝐻0 の下で標本平均の差 𝑌̅ − 𝑋̅ は正規分
布 𝑁(0, 435⁄𝑛) に従うので、棄却域を 𝑊 = { 𝑌̅ − 𝑋̅ > 𝑐 } とすると、第 1 種の誤りの起こる確率 𝛼 は、
𝛼 = 𝑃((𝑋, 𝑌) ∈ 𝑊|𝐻0) = 𝑃

𝑌̅ − 𝑋̅
√435
( 𝑛

>

𝑐
√435
𝑛 )

= 0.05と表すことができる。よって、標準正規分布の上側 𝜀 点 𝑢(𝜀) を用いて、
𝑐
√435
𝑛

= 𝑢(0.05)となる。また、対立仮説 𝐻1 の下で標本平均の差 𝑌̅ − 𝑋̅ は、正規分布 𝑁(5, 435⁄𝑛) に従うので、第 2 種の誤りの起こる確率 𝛽 は、
𝛽 = 𝑃((𝑋, 𝑌) ∈ 𝑊 𝑐 |𝐻1) = 𝑃

𝑌̅ − 𝑋̅ − 5
√435
(
𝑛

≤

𝑐−5
√435
𝑛 )

と表すことができる。よって、標準正規分布の上側 𝜀 点 𝑢(𝜀) を用いて、
𝑐−5
√435
𝑛

= −𝑢(0.15)となる。よって、
𝑐𝑢(0.05)=𝑐 − 5 −𝑢(0.15)が成り立つので、付表を用いて計算すると、= 0.15

2020 年度
数学･･････7𝑐=

5 × 𝑢(0.05)= 3.067355 ⋯𝑢(0.05) + 𝑢(0.15)𝑛=𝑢(0.05)2
× 435 = 125.095026 ⋯𝑐2となる。したがって、となる。
よって、解答は （Ｄ）（８）
標本 𝑋 の大きさを 𝑛 、標本平均を 𝑋̅ とする。帰無仮説 𝐻0 ∶ 𝜇 = 𝜇0 を対立仮説 𝐻1 ∶ 𝜇 > 𝜇0 に対して、有意水準 5% で検定する。標準正規分布の上側 𝜀 点を 𝑢(𝜀) とすると、棄却域は、𝑋̅ > 𝜇0 + 𝑢(0.05)𝜎√𝑛となる。真の平均を 𝜇0 + 0.1𝜇0 としたとき、これを検出できる確率が 99% 以上であるためには、
1 − 𝑃 (𝑋̅ ≤ 𝜇0 + 𝑢(0.05)

𝜎√𝑛) ≥ 0.99
𝑋̅−(𝜇0 +0.1𝜇0 )となればよい。標本平均 𝑋̅ は正規分布 𝑁( 𝜇0 + 0.1𝜇0 , 𝜎 2 ⁄𝑛) に従うので、𝜎 ⁄√ 𝑛は標準正規分布に従う。よって、𝑋̅ − ( 𝜇0 + 0.1𝜇0 )0.1𝜇0 √𝑛𝑃(≤−
+ 𝑢(0.05)) ≤ 0.01𝜎
𝜎 ⁄ √𝑛を満たすような 𝑛 を求めればよい。すなわち、−

0.1𝜇0√𝑛+ 𝑢(0.05) ≤ −𝑢(0.01)
𝜎となる 𝑛 を求めればよい。𝜎 = 0.143𝜇0 であるから、付表を用いて計算すると、𝑛 ≥ (39.712 × 0.143)2 = 32.248951 ⋯となる。したがって、標本の大きさは 33 以上であればよい。
よって、解答は （Ｄ）（９）
変数𝑑(𝑡)を次のとおり定義する。
𝑑(𝑡) = {1(𝑡 = 偶数)0(𝑡 = 奇数)

この変数𝑑(𝑡)を用いたダミー変数𝑑(𝑡)𝑥を用い、回帰式𝑦 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥 + 𝛽2 (𝑑(𝑡)𝑥)としてパラメータ𝛼, 𝛽1 ,𝛽2 を推定する。

2020 年度
数学･･････8
1 2
0
1 −1 −1𝑋=()
1 −2 0
1 1
1

21
18
𝑌=( )
15
22

とすると、𝛼, 𝛽1 , 𝛽2 の推定値𝛼̂, 𝛽̂1 , 𝛽̂2 は、
𝑇

−1

1 2
0
1 2
0
𝛼̂
1
−1
−1
1
−1
−1
) (
)
( 𝛽̂1 ) = (𝑋 𝑇 𝑋)−1 𝑋 𝑇 𝑌 = (1 −2 01 −2 0
𝛽̂2
1 1
1
1 1
1
(
)
𝑇

1 2
0
21
4 0 0 −1
1 −1 −1
18= (0 10 2) () ( )1 −2 0
15
0 2 2
1 1
1
22
𝑇

1 2
0
21
0
19
1 2 0
1 −1 −1
18= (0 1 −1) () ( ) = (1.5)
1 −2 015
8
0 −1 5
0.5
1 1
1
22
以上より、
𝛼 = 𝛼̂ = 19 , 𝛽 = {𝛽̂1 + 𝛽̂2 = 2
𝛽̂1
= 1.5

(𝑡 = 偶数)(𝑡 = 奇数)

よって、解答は ①（Ｄ） ②（Ｇ） ③（Ｅ）
（１０）
定常𝐴𝑅(𝑝)モデル𝑌𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑌𝑡−1 + 𝜙2 𝑌𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑌𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 において、
𝜙0
1 − 𝜙1 − ⋯ 𝜙𝑝
𝜉1 = 𝜙1
𝜉2 = 𝜙1 𝜉1 + 𝜙2
𝜉3 = 𝜙1 𝜉2 + 𝜙2 𝜉1 + 𝜙3
{
⋮
𝜉0 =

であることから、
𝜉0 =

𝑇

1 2
0
21
1 −1 −118() ( )1 −2 0
15
1 1
1
22

1.5
= 6.25
1 − 0.9 − (−0.14)
𝜉1 = 0.9

𝜉2 = 0.9 × 0.9 − 0.14 = 0.67
いま、𝑝 = 2であることから、𝜙3 = 𝜙4 = 𝜙5 = ⋯ = 0であるので、
𝜉𝑖 = 0.9𝜉𝑖−1 − 0.14𝜉𝑖−2 (𝑖 ≥ 3)
上記の漸化式を変形すると、
𝜉𝑖 − 0.7𝜉𝑖−1 = 0.2(𝜉𝑖−1 − 0.7𝜉𝑖−2 ) = 0.2𝑖−2 (𝜉2 − 0.7𝜉1 ) = 0.2𝑖 ・・（A）
𝜉𝑖 − 0.2𝜉𝑖−1 = 0.7(𝜉𝑖−1 − 0.2𝜉𝑖−2 ) = 0.7𝑖−2 (𝜉2 − 0.2𝜉1 ) = 0.7𝑖 ・・（B）2020 年度
数学･･････9(B) − (A)より、0.5𝜉𝑖−1 = 0.7𝑖 − 0.2𝑖であるので、
𝜉𝑖 =1(0.7𝑖+1 − 0.2𝑖+1 )0.5

これは𝑖 = 1,2でも成立する。
さらに上記の式を利用して、
𝜉3 = 0.477
𝜉4 = 0.3355
𝑉[𝑌𝑡+5 |𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 , … , 𝜀𝑡 , 𝜀𝑡−1, …] = 0.6 × (1 + 0.92 + 0.672 + 0.4772 + 0.33552 ) = 1.5594 …

よって、解答は ① （Ｂ） ② （Ｅ） ③ （Ｇ） ④ （Ｂ） ⑤ （Ｃ）（１１）
点𝑃が頂点𝐴、頂点𝐵、頂点𝐶、頂点𝐷に位置する確率をそれぞれ𝑝A 、𝑝B 、𝑝C 、𝑝D とし、確率ベクトルを(𝑝A , 𝑝B , 𝑝C , 𝑝D )とおく。
このとき、題意より推移行列は次のようになる。
1
0
0
0
1
0
1⁄
1⁄
𝑋 = 1⁄
3
6
2
4⁄
1⁄
15 0
( 15

0
0
0
2⁄
3)

ここで、
------------------------------------------------------------------------------------------【ヒント】
4行4列の行列𝑋について左上の2行2列の行列が単位行列𝐸、右上の2行2列の行列が零行列𝑂である、
𝐸
すなわち、𝑋 = (𝑈𝐸𝑂)（𝑅, 𝑈は2行2列の行列）と表される場合、𝑋 𝑛 = ((𝐸− 𝑅 𝑛 )(𝐸 − 𝑅)−1 𝑈
𝑅

𝑂
)
𝑅𝑛

となる。
------------------------------------------------------------------------------------------を用いて、

1
0

0
0
2
1 𝑛
1
1 𝑛
1 𝑛
𝑋 𝑛 = 3 × {1 − (2) } 3 × {1 − (2) } (2)
4
2 𝑛
1
2 𝑛
× {1 − ( ) }× {1 − ( ) }
0
3
5
3
(5
となる。

0
1

0
0
0
2 𝑛
( )
3 )

2020 年度
数学･･････10
ここから、3分後に頂点𝐵に点𝑃が位置していた場合、最初に点𝑃が頂点𝐶に位置していた確率は
1
1 3
× {1 − ( ) }32= 0.203619 …
3
1
1
1
2 3
0 + 1 + × {1 − ( ) } + × {1 − ( ) }
3
2
3
5
さらに
1
0
0
1
lim 𝑋 𝑛 = 2⁄ 1⁄
3
3
𝑛→∞
4⁄ 1⁄
5
( 5

0 0
0 0
0 0
0 0

)

であることから、十分な時間をおいて観察をしたところ、頂点𝐴に点𝑃が位置していた場合、最初に点𝑃が頂点𝐶に位置していた確率は、
23

2 4
1+0+ +
3 5=

10= 0.27027 …
37

よって、解答は ① （Ｅ） ② （Ｄ）（１２）
𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒 𝑥 とし、𝑈 を区間 (0,1) の一様分布 𝑈(0,1) に従う確率変数とすると、
1

𝐸[𝑔(𝑈)] = ∫ (𝑥 + 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = [{(𝑥 + 1) − 1}𝑒 𝑥 ]10 = 𝑒
0
2

1
2
1
𝑡
𝑡
1
1
𝐸[𝑔(𝑈)2 ] = ∫ (𝑥 + 1)2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = [{( + 1) − ( + 1) + } 𝑒 𝑡 ] = (5𝑒 2 − 1)
2
2
2
2
4
0
0

1
𝑉[𝑔(𝑈)] = 𝐸[𝑔(𝑈)2 ] − 𝐸[𝑔(𝑈)]2 = (𝑒 2 − 1)4であるから、𝑈1 , 𝑈2 , ⋯ , 𝑈32 の 32 個の一様乱数を用いてモンテカルロシミュレーションしたときの誤差
の分散は、
32

1
1
1
(𝑒 2 − 1) = 0.04990253125 … ≒ 0.050
𝑉 [ ∑ 𝑔(𝑈𝑖 )] =𝑉[𝑔(𝑈)] =
32
32
128
𝑖=1

となる。また、1

1

𝐸[𝑔(𝑈)・𝑔(1 − 𝑈)] = ∫ (𝑥 + 1)𝑒 𝑥 (2 − 𝑥)𝑒1−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ (𝑥 + 1)(2 − 𝑥)𝑑𝑥 =00

𝐶𝑜𝑣[𝑔(𝑈), 𝑔(1 − 𝑈)] = 𝐸[𝑔(𝑈)・𝑔(1 − 𝑈)] − 𝐸[𝑔(𝑈)]𝐸[𝑔(1 − 𝑈)] =

13
6

13
𝑒 − 𝑒26より、負の相関法を利用するため、𝑈1 , 𝑈2 , ⋯ , 𝑈16 , 1 − 𝑈1 , 1 − 𝑈2, ⋯ , 1 − 𝑈16を用いてモンテカルロシミュ
レーションしたときの誤差の分散は、
1611(𝑉[𝑔(𝑈)] + 𝐶𝑜𝑣[𝑔(𝑈), 𝑔(1 − 𝑈)])𝑉 [ ∑(𝑔(𝑈𝑖 ) + 𝑔(1 − 𝑈𝑖 ))] =
32
32
𝑖=1

2020 年度
数学･･････11

=

1
3
13
1
(− 𝑒 2 + 𝑒 − )
32
4
6
4

= 0.003073 …
となる。
よって、解答は ①（Ａ） ②（Ｃ）
問題２
（１）
まず、𝑘 = 1,2, ⋯とし、𝑋𝐴 = 𝑘となる確率𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘)を求める。
𝑀個の選択肢のうち1つを無作為に選んで解答する場合、各問題に正解する確率は1⁄𝑀である。
𝑋𝐴 = 1となる確率を考えると、𝑋𝐴 = 1となるのは、1回目の挑戦で𝑁問を全問正解する場合であるから、
1 𝑁
1𝑃(𝑋𝐴 = 1) = ( ) = 𝑁
𝑀
𝑀である。
また、𝑋𝐴 = 2となるのは、1回目の挑戦で全問正解せず、2回目の挑戦で初めて全問正解する場合であ
るから、
1 𝑁
1 𝑁
1 𝑁
1
1
𝑃(𝑋𝐴 = 2) = {1 − 𝑃(𝑋𝐴 = 1)} × ( ) = {1 − ( ) } × ( ) = (1 − 𝑁 ) × 𝑁
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
となる。
同様に考えると、𝑋𝐴 = 𝑘となる確率は、(𝑘 − 1)回目までの挑戦で全問正解せず、𝑘回目の挑戦で全問正解する場合の確率であるから、
1 𝑁
1 𝑁
1 𝑁
1 𝑁
𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘) = {1 − ( ) } × ⋯ × {1 − ( ) } × ( ) = {1 − ( ) }
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
⏟
(𝑘−1)個= (1 −

1 𝑘−1
1
)
× 𝑁
𝑁
𝑀
𝑀

と表せる。
以上より、𝑋𝐴 の期待値𝐸[𝑋𝐴 ]は、∞∞

𝐸[𝑋𝐴 ] = ∑ 𝑘 ⋅ 𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘) = ∑ 𝑘 ⋅ (1 −
𝑘=1

∞

𝑘=1

1
1 𝑘−1
= 𝑁 × ∑ 𝑘 ⋅ (1 − 𝑁 )𝑀𝑀
𝑘=1

ここで、𝛼 = 1 − 1⁄𝑀𝑁 とおくと、

1 𝑘−1 1
)
⋅ 𝑁
𝑀𝑁
𝑀

𝑘−1

1 𝑁
×( )
𝑀

2020 年度
数学･･････12
∞

∞

𝑘=1

𝑘=1

1 𝑘−1
1
∑ 𝑘 ⋅ (1 − 𝑁 )= ∑ 𝑘 ⋅ 𝛼 𝑘−1 =(1 − 𝛼)2𝑀であるから、1⁄(1 − 𝛼)2 = 𝑀2𝑁 より、
𝐸[𝑋𝐴 ] = 𝑀𝑁を得る。
次に、𝑋𝐴 の分散𝑉[𝑋𝐴 ]を求める。
まず、
∞
2

∞
2

𝐸[𝑋𝐴 ] = ∑ 𝑘 ∙ 𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘) = ∑ 𝑘 2 ∙ (1 −
𝑘=1

𝑘=1

∞

1 𝑘−1 1
)
⋅ 𝑁
𝑀𝑁
𝑀

1
1 𝑘−1
= 𝑁 × ∑ 𝑘 2 ⋅ (1 − 𝑁 )
𝑀
𝑀
𝑘=1

である。
ここで、𝛼 = 1 − 1⁄𝑀𝑁 とおくと、∞∞(1 + 𝛼)1 𝑘−1∑ 𝑘 ⋅ (1 − 𝑁 )= ∑ 𝑘 2 ⋅ 𝛼 𝑘−1 =(1 − 𝛼)3
𝑀
2

𝑘=1

𝑘=1

(1 + 𝛼)であるから、⁄(1 − 𝛼)3 = 2𝑀3𝑁 − 𝑀2𝑁 より、
𝐸[𝑋𝐴 2] =1× (2𝑀3𝑁 − 𝑀2𝑁 ) = 2𝑀2𝑁 − 𝑀𝑁
𝑀𝑁

であり、
𝑉[𝑋𝐴 ] = 𝐸[𝑋𝐴 2 ] − {𝐸[𝑋𝐴 ]}2 = 2𝑀2𝑁 − 𝑀𝑁 − (𝑀𝑁 )2 = 𝑀2𝑁 − 𝑀𝑁となる。
よって、解答は ①（Ｇ） ②（Ｎ） ③（Ｇ） ④（Ｎ） ⑤（Ｂ） ⑥（Ｇ） ⑦（Ｄ） ⑧（Ｌ）（②と③は順不同）（２）
まず、𝑘 = 1,2, ⋯とし、𝑋𝐵 = 𝑘となる確率𝑃(𝑋𝐵 = 𝑘)を求める。
初めに、𝑃(𝑋𝐵 = 𝑘) > 0となる𝑘の範囲を考えると、𝐵さんの戦略から、挑戦の回数が最大となるのは、第1問から第𝑁問までの各問題において、初めて解答するときに不正解となる場合である。つまり、1回目の挑戦で第1問に不正解、2回目の挑戦で第2問に不正解、…、𝑁回目の挑戦で第𝑁問目に不正解となり、(𝑁 + 1)回目の挑戦で全問正解する場合であるため、求める𝑘の範囲は、1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 + 1 となることが分かる。

2020 年度
数学･･････13
また、定義より、𝑋𝐵 = 1となる確率は𝑋𝐴 = 1となる確率に等しいことから、𝑃(𝑋𝐵 = 1) =

1
𝑀𝑁

となる。
次に、2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 + 1 の場合を考える。
ここで、確率変数𝑍𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘)を次のとおり定義する。
・𝑖回目の挑戦において第𝑛問目で不正解となった場合、𝑍𝑖 = 𝑛 (𝑖 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁)
・𝑖回目の挑戦において全問正解した場合、𝑍𝑖 = 𝑁 + 1
このとき、例えば、4回目の挑戦で第5問に不正解となった場合は𝑍4 = 5となり、6回目の挑戦で全問正解した場合は𝑍6 = 𝑁 + 1となる。
さて、𝑋𝐵 の定義より、𝑋𝐵 = 𝑘となるのは「𝐵さんがこのクイズに、1回目から(𝑘 − 1)回目までの挑戦ではいずれも全問正解せず、𝑘回目の挑戦で初めて全問正解する場合」である。
よって、まずは、
𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 (𝑠 = 1,2, ⋯ , 𝑘 − 1) (1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑁)となる確率を考える。
まず、1回目の挑戦で第𝑛1 問に不正解となる場合は、以下のように表せる。
・ 第1問から第(𝑛1 − 1)問までは、選択肢の中からンダムに選んで解答して正解する
・ 第𝑛1 問は、選択肢の中からランダムに選んで解答して不正解となる
したがって、その確率は、
1 𝑛1 −1
𝑀−1
𝑃(𝑍1 = 𝑛1 ) = ( )
×(
)
𝑀
𝑀
と表せる。
次に、2 ≤ 𝑠 ≤ 𝑘 − 1 (𝑘 ≥ 3)のとき、𝑍1 = 𝑛1 , ⋯ , 𝑍𝑠−1 = 𝑛𝑠−1 の条件の下、𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 となる場合は、以下のように表せる。
・ 第1問から第𝑛𝑠−1問までの問題は、(𝑠 − 1)回目の挑戦までに少なくとも一度は解答していることから、必ず正解を選ぶ。
・ 第(𝑛𝑠−1 + 1)問から第(𝑛𝑠 − 1)問までの問題は、初めての解答であるため、選択肢の中からランダムに選んで解答して正解する。
・ 第𝑛𝑠 問は、選択肢の中からランダムに選んで解答して不正解となる。
したがって、その確率は、
1 𝑛𝑠 −𝑛𝑠−1 −1
𝑀−1
𝑃(𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 |𝑍𝑠−1 = 𝑛𝑠−1 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) = 1𝑛𝑠−1 × ( )
×(
)
𝑀
𝑀

2020 年度
数学･･････14
1 𝑛𝑠 −𝑛𝑠−1 −1
𝑀−1
=( )
×(
)
𝑀
𝑀
と表せる。
よって、𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 (𝑠 = 1,2, ⋯ , 𝑘 − 1) (1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑁)となる確率は、𝑃(𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 , 𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )= 𝑃(𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) × 𝑃(𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1|𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )= 𝑃(𝑍𝑘−3 = 𝑛𝑘−3 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) × 𝑃(𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2|𝑍𝑘−3 = 𝑛𝑘−3 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )× 𝑃(𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 |𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )⋯𝑘−1

= 𝑃(𝑍1 = 𝑛1 ) × ∏ 𝑃(𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 |𝑍𝑠−1 = 𝑛𝑠−1 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )
𝑠=2
𝑛1 −1

1
=( )
𝑀

𝑘−1

𝑀−1
1 𝑛𝑠 −𝑛𝑠−1 −1 𝑀 − 1
×() × ∏ {( )
⋅(
)}
𝑀
𝑀
𝑀
𝑠=2

𝑀 − 1 𝑘−1
1 𝑛1 −1
1 𝑛2 −𝑛1−1
1 𝑛𝑘−1 −𝑛𝑘−2 −1
=(
)
× ( )
×( )
× ⋯× ( )⏟𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑘−1)個{}𝑀 − 1 𝑘−1
1 𝑛𝑘−1 −(𝑘−1)
=(
)
×( )
𝑀
𝑀
=

(𝑀 − 1)𝑘−1
𝑀𝑛𝑘−1(2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 + 1)となる。
さらに、𝑍1 = 𝑛1 , ⋯ , 𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 の条件の下、𝑍𝑘 = 𝑁 + 1となるのは、(𝑘 − 1)回目の挑戦で第𝑛𝑘−1 問に不正解となった後、𝑘回目の挑戦において全問正解となる場合であり、その確率は、
1 𝑁−𝑛𝑘−1
1 𝑁−𝑛𝑘−1
𝑃(𝑍𝑘 = 𝑁 + 1|𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) = 1𝑛𝑘−1 × ( )
=( )
𝑀
𝑀
である。
したがって、𝑍𝑠 = 𝑛𝑠 (𝑠 = 1,2, ⋯ , 𝑘 − 1) (1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑁)かつ𝑍𝑘 = 𝑁 + 1となる確率は、𝑃(𝑍𝑘 = 𝑁 + 1, 𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 , 𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )= 𝑃(𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 , 𝑍𝑘−2 = 𝑛𝑘−2 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 ) × 𝑃(𝑍𝑘 = 𝑁 + 1|𝑍𝑘−1 = 𝑛𝑘−1 , ⋯ , 𝑍1 = 𝑛1 )=(𝑀 − 1)𝑘−1
1 𝑁−𝑛𝑘−1
×
(
)
𝑀𝑛𝑘−1
𝑀

=

(𝑀 − 1)𝑘−1
𝑀𝑁

2020 年度
数学･･････15である。
以上より、𝑋𝐵 = 𝑘となる場合、1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑁を満たす𝑛𝑠 (𝑠 = 1,2, ⋯ , 𝑘 − 1)の組み合わせの数を考慮して、(𝑀 − 1)𝑘−1
𝑁
𝑃(𝑋𝐵 = 𝑘) = (
)×
𝑘−1
𝑀𝑁

(2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 + 1)と表せる。
なお、これは、𝑘 = 1のときも成り立つ。
これより、𝑌の期待値𝐸[𝑌]は、
𝑁+1

𝑁+1

𝑘=1

𝑘=1

(𝑀 − 1)𝑘−1
𝑁
1
𝑁𝐸[𝑌] = ∑ 𝑘 ⋅ ()⋅= 𝑁 × {∑ 𝑘 ⋅ () ⋅ (𝑀 − 1)𝑘−1 }
𝑁
𝑘−1
𝑀
𝑀
𝑘−1
であるが、ここで、(𝑁 − 1)!
𝑁𝑁!
𝑁−1𝑘×( )=𝑘×=𝑁×=𝑁×()(𝑘 − 1)! (𝑁 − 𝑘)!
𝑘𝑘! (𝑁 − 𝑘)!
𝑘−1であることを利用すると、
𝑁+1

𝑁
∑𝑘⋅(
) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘−1
𝑘−1

𝑘=1

𝑁

𝑁
= ∑(𝑘 + 1) ⋅ ( ) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘
𝑘
𝑘=0
𝑁

𝑁

𝑘=0
𝑁

𝑘=0

𝑁
𝑁
= ∑ {𝑘 ⋅ ( ) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘 } + ∑ {( ) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘 }𝑘𝑘𝑁= ∑ {𝑘 ⋅ ( ) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘 } + {(𝑀 − 1) + 1}𝑁
𝑘
𝑘=1
𝑁

𝑁−1
= ∑ {𝑁 ⋅ () ⋅ (𝑀 − 1)𝑘 } + 𝑀𝑁
𝑘−1
𝑘=1

𝑁

= 𝑁(𝑀 − 1) × ∑ {(
𝑘=1
𝑁−1

𝑁−1
) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘−1 } + 𝑀𝑁
𝑘−1

= 𝑁(𝑀 − 1) × ∑ {(𝑘=0

𝑁−1
) ⋅ (𝑀 − 1)𝑘 } + 𝑀𝑁𝑘

= 𝑁(𝑀 − 1){(𝑀 − 1) + 1}𝑁−1 + 𝑀𝑁
= 𝑁(𝑀 − 1)𝑀𝑁−1 + 𝑀𝑁である。
したがって、𝐸[𝑌] =を得る。

1
𝑁(𝑀 − 1)𝑁× {𝑁(𝑀 − 1)𝑀𝑁−1 + 𝑀𝑁 } =+1=𝑁+1−
𝑀𝑁
𝑀
𝑀2020 年度
数学･･････16

よって、解答は ⑨（Ｋ） ⑩（Ｃ） ⑪（Ｂ） ⑫（Ｊ） ⑬（Ｃ） ⑭（Ｉ） ⑮（Ｊ） ⑯（Ｄ）⑰（Ｉ） ⑱（Ｄ）⑲（Ｄ）⑳（Ｍ） ㉑（Ｅ）（３）
まず、定義より、𝑋𝐶 = 1となる確率は𝑋𝐴 = 1となる確率に等しいことから、𝑃(𝑋𝐶 = 1) =

1
𝑀𝑁

である。
次に、𝑋𝐶 = 2となる確率を考える。1回目の挑戦において「第1問から第𝑁0 問までのいずれかの問題に不正解となる場合」「第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までのいずれかの問題に不正解となる場合」に場合分けして考える。
(i) 1回目の挑戦において第1問から第𝑁0 問までのいずれかの問題に不正解となる場合、𝑋𝐶 = 2となるのは以下のように表せる。
・1回目の挑戦において第1問から第𝑁0 問までのいずれかの問題に不正解となり、2回目の挑戦において第𝑁0 問まですべて正解する
・続けて、2回目の挑戦において第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までの問題にすべて正解する
前者の確率は、（２）において𝑁を𝑁0 に置き換えた場合の確率𝑃(𝑋𝐵 = 2)と等しく、後者の確率は、（１）において𝑁を(𝑁 − 𝑁0 )に置き換えた場合の確率𝑃(𝑋𝐴 = 1)と等しいから、
0(𝑀 − 1)𝑁0111{( ) ×}×{(1−)
× 𝑁−𝑁 } = 𝑁 × 𝑁0 (𝑀 − 1)
𝑁
𝑁−𝑁
0
0
1
𝑀 0
𝑀
𝑀
𝑀

と表せる。
(ii) 1回目の挑戦において第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までのいずれかの問題に不正解となる場合、𝑋𝐶 =2となるのは以下のように表せる。
・1回目の挑戦において第1問から第𝑁0 問までのすべての問題に正解する
・続けて、1回目の挑戦において第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までのいずれかの問題に不正解となり、2回目の挑戦において第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までの問題にすべて正解する（この場合、第1問から第𝑁0 問までの問題は、解答したことのある問題であるため、2回目の挑戦において必ず正解を選び解答することに留意。
）
前者の確率は、（２）において𝑁を𝑁0 に置き換えた場合の確率𝑃(𝑋𝐵 = 1)と等しく、後者の確率は、（１）において𝑁を(𝑁 − 𝑁0 )に置き換えた場合の確率𝑃(𝑋𝐴 = 2)と等しいから、
1(𝑀 − 1)0𝑁01
111{( ) ×}×{(1−)
× 𝑁−𝑁 } = 𝑁 × (1 − 𝑁−𝑁 )
𝑁
𝑁−𝑁
0
0
0
0
0
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀

と表せる。

2020 年度
数学･･････17
以上より、𝑃(𝑋𝐶 = 2) =

1
1
1
1
1
× 𝑁0 (𝑀 − 1) + 𝑁 × (1 − 𝑁−𝑁 ) = 𝑁 × {𝑁0 (𝑀 − 1) + 1 − 𝑁−𝑁 }
𝑁
0
0
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀

となる。
さらに、𝑘 = 1,2, ⋯とし、𝑋𝐶 = 𝑘となる確率𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘)を求めると、
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1として、以下のように表せる。
・第1問から第𝑁0 問までの問題において𝑗回不正解となり(𝑗 + 1)回目の挑戦において第1問から第𝑁0 問までのすべての問題に正解する・第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までの問題において(𝑘 − 1 − 𝑗)回不正解となり、𝑘回目の挑戦において第(𝑁0 + 1)問から第𝑁問までの問題にすべて正解する
前者の確率は、（２）において𝑁を𝑁0 に置き換えた場合の確率𝑃(𝑋𝐵 = 𝑗 + 1)と等しく、後者の確率は、（１）において𝑁を(𝑁 − 𝑁0 )に置き換えた場合の確率𝑃(𝑋𝐴 = 𝑘 − 𝑗)と等しい。
𝑗の取り得る範囲として、𝑗 ≤ 𝑁0 を満たす必要があることに留意すると、
1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁0 + 1の場合、1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1を満たす𝑗について常に𝑗 ≤ 𝑁0 が成り立つことから、
𝑘−1

𝑘−𝑗−1
(𝑀 − 1)𝑗𝑁0
1
1
𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘) = ∑ [{( ) ×
}
×
{(1
−
)
× 𝑁−𝑁 }]
𝑁
𝑁−𝑁
0
0
𝑗
𝑀 0
𝑀
𝑀
𝑗=0

𝑘−1

𝑘−𝑗−1
(𝑀 − 1)𝑗𝑁0
1= ∑ {( ) ×
×
(1
−
)
}
𝑗
𝑀𝑁
𝑀𝑁−𝑁0
𝑗=0

である。
また、𝑘 > 𝑁0 + 1の場合、𝑗の取り得る範囲が1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁0であることから、
𝑁0

𝑘−𝑗−1
(𝑀 − 1)𝑗𝑁0
1
1
𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘) = ∑ [{( ) ×} × {(1 − 𝑁−𝑁 )× 𝑁−𝑁 }]
0
0
𝑗
𝑀𝑁0
𝑀
𝑀
𝑗=0

= (1 −

𝑘−1

1

𝑀

)
𝑁−𝑁
0

𝑁0

−𝑗
𝑁0 (𝑀 − 1)𝑗1× ∑ {( ) ⋅
⋅
(1
−
)
}
𝑗
𝑀𝑁
𝑀𝑁−𝑁0
𝑗=0

ここで、𝛽 = 1 − 1⁄𝑀𝑁−𝑁0 とおくと、
𝑁01
𝑁0𝑀 − 1 𝑗 𝑁 −𝑗
𝑘−1
𝑃(𝑋𝐶 = 𝑘) = 𝑁 × 𝛽× ∑ {( ) ⋅ () ⋅1 0 }
𝑀
𝑗
𝛽
𝑗=0

=

𝑁0
1
𝑀−1
𝑘−1
×
𝛽
×
(
+
1)
𝑀𝑁
𝛽

=

1
× 𝛽 𝑘−𝑁0−1 × (𝑀 − 1 + 𝛽)𝑁0
𝑀𝑁

2020 年度
数学･･････18=

𝑘−𝑁0 −1
𝑁0
1
1
1
×
(1
−
)
×
(𝑀
−
1
+
1
−
)
𝑀𝑁
𝑀𝑁−𝑁0
𝑀𝑁−𝑁0

=

𝑘−𝑁0 −1
𝑁0
1
1
1
×
(1
−
)
×
(𝑀
−
)
𝑀𝑁
𝑀𝑁−𝑁0
𝑀𝑁−𝑁0

=

1

𝑀

× (1 −𝑁−𝑁0

𝑘−𝑁0 −1

1

𝑀

)
𝑁−𝑁

× (1 −

0

𝑁0

1

𝑀

)
𝑁−𝑁 +10と表せる。
よって、解答は ㉒（Ａ） ㉓（Ｇ） ㉔（Ｇ） ㉕（Ｅ） ㉖（Ａ） ㉗（Ｋ） ㉘（Ｃ） ㉙（Ｅ）㉚（Ｌ） （㉖と㉗は順不同、㉙と㉚は順不同）
問題３（１）帰無仮説𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 を対立仮説𝐻1 : 𝜎𝑥2 ≠ 𝜎𝑦2 に対して検定するために、まず帰無仮説と対立仮説の両仮説における母数𝜇𝑥 、𝜇𝑦 、𝜎𝑥2 、𝜎𝑦2 の最尤推定値を求める。
標本値として𝑥𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑥 )と𝑦𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑦 )を用いる場合、尤度関数𝑙は、母数𝜇𝑥 、𝜇𝑦 、𝜎𝑥2 、𝜎𝑦2をパラメータとして、
𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

2
2
1
1
1
1
2
𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = () () exp {− 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 )2 − 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 ) }
2
2
2𝜋𝜎𝑥
2𝜋𝜎𝑦
2𝜎𝑥
2𝜎𝑦

で表される。
帰無仮説𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 (= 𝜎 2 )のもとでは、
𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎 2 , 𝜎 2 )𝑛𝑥 +𝑛𝑦
2

1
=(
)
2𝜋𝜎 2

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

1
2
exp [− 2 {∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 )2 + ∑(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 ) }]2𝜎であり、最尤推定値は、尤度関数𝑙を各パラメータに対して最大ならしめるものであるから、帰無仮説𝐻0のもとでの最尤推定値は、
𝑛𝑥𝜕
1
log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎 2 , 𝜎 2 ) = 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 ) = 0
𝜕𝜇𝑥
𝜎
𝑖=1
𝑛𝑦

𝜕
1
log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎 2 , 𝜎 2 ) = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 ) = 0
𝜕𝜇𝑦
𝜎
𝑖=1

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 1
𝜕
1
2
2
2
∙ 2+
{∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 )2 + ∑(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 ) } = 0
2 log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎 , 𝜎 ) = −22
𝜕𝜎𝜎2(𝜎 2 )
より、
𝑛𝑥

1𝜇̂ 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 = 𝑥̅𝑛𝑥
𝑖=12020 年度
数学･･････19𝑛𝑦

1𝜇̂ 𝑦 =∑ 𝑦𝑖 = 𝑦̅
𝑛𝑦
𝑖=1

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

1
𝜎̂ 2 ={∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 + ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 }𝑛𝑥 + 𝑛𝑦である。
同様に、対立仮説𝐻1 : 𝜎𝑥2 ≠ 𝜎𝑦2 のもとでの最尤推定値は、
𝑛𝑥𝜕
1
log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 ) = 0
𝜕𝜇𝑥
𝜎𝑥
𝑖=1
𝑛𝑦

𝜕
1
log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 ) = 0
𝜕𝜇𝑦
𝜎𝑦
𝑖=1

𝑛𝑥

𝜕
𝑛𝑥 1
1
log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = − ∙ 2 +∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 )2 = 0
2𝜕𝜎𝑥
2 𝜎𝑥 2(𝜎𝑥2 )2
𝑖=1
𝑛𝑦

𝑛𝑦 1
𝜕
1
2
log 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 ) = − ∙ 2 +∑(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 ) = 0
22
𝜕𝜎𝑦
2 𝜎𝑦 2(𝜎 2 )
𝑦

𝑖=1

より、
𝑛𝑥

1
𝜇̃𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 = 𝑥̅
𝑛𝑥
𝑖=1
𝑛𝑦

1
𝜇̃𝑦 =
∑ 𝑦𝑖 = 𝑦̅
𝑛𝑦
𝑖=1

𝑛𝑥

𝜎̃𝑥2 =

1∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 𝑠𝑥2
𝑛𝑥
𝑖=1
𝑛𝑦

1
𝜎̃𝑦2 =∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 = 𝑠𝑦2
𝑛𝑦
𝑖=1

である。
よって、解答は ①（Ｇ） ②（Ｈ） ③（Ａ） ④（Ｂ） ⑤（Ａ） ⑥（Ｂ） ⑦（Ａ） ⑧（Ｂ）⑨（Ａ） ⑩（Ｂ）

⑪（Ｃ）

⑫（Ｄ）

（２）尤度比𝜆は（１）の尤度関数𝑙を用いて、

2020 年度
数学･･････20
max 𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎 2 , 𝜎 2 )𝜇𝑥 ,𝜇𝑦 ,𝜎 2

λ=

max

𝜇𝑥 ,𝜇𝑦 ,𝜎𝑥2 ,𝜎𝑦2𝑙(𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 )で与えられる。したがって、（１）の最尤推定値を用いれば、
𝑙(𝜇̂ 𝑥 , 𝜇̂ 𝑦 , 𝜎̂ 2 , 𝜎̂ 2 )λ=𝑙(𝜇̃𝑥 , 𝜇̃𝑦 , 𝜎̃𝑥2 , 𝜎̃𝑦2 )である。
（１）の最尤推定値の結果を代入すれば、
𝑛𝑥 +𝑛𝑦21𝑙(𝜇̂ 𝑥 , 𝜇̂ 𝑦 , 𝜎̂ 2 , 𝜎̂ 2 ) = ()
2𝜋𝜎̂ 2𝑛𝑥 +𝑛𝑦21=()
2𝜋𝜎̂ 2

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

1
2
exp [− 2 {∑(𝑥𝑖 − 𝜇̂ 𝑥 )2 + ∑(𝑦𝑖 − 𝜇̂ 𝑦 ) }]2𝜎̂exp (−

𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
)
2

𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑖=1

𝑖=1

2
2
1
1
1
1
2
𝑙(𝜇̃𝑥 , 𝜇̃𝑦 , 𝜎̃𝑥2 , 𝜎̃𝑦2 ) = ()()
exp {− 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇̃𝑥 )2 − 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇̃𝑦 ) }2𝜋𝜎̃𝑥22𝜋𝜎̃𝑦22𝜎̃𝑥
2𝜎̃𝑦𝑛𝑥 +𝑛𝑦
2

1
=( )
2𝜋

𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) exp (−
)
𝜎̃𝑥
𝜎̃𝑦
2

であるから、尤度比𝜆は
𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝜆=

(𝜎̃𝑥2 ) 2 (𝜎̃𝑦2 ) 2(𝜎̂ 2 )

𝑛𝑥 +𝑛𝑦2となる。
ここで、𝑠 2 =2𝑛𝑥 𝑠𝑥2 +𝑛𝑦 𝑠𝑦

𝑛𝑥 +𝑛𝑦とすると、𝜎̂ 2 = 𝑠 2 であり、これと𝜎̃𝑥2 = 𝑠𝑥2および𝜎̃𝑦2 = 𝑠𝑦2から
𝑛𝑦𝑛𝑥

𝑠𝑥2 2 𝑠𝑦2 2
𝜆 = ( 2) ( 2)𝑠𝑠となる。さらに、𝑡 =𝑛𝑥 𝑠𝑥2
2
𝑛𝑦 𝑠𝑦

2

𝑠
=
𝑠𝑥2

(> 0)とおくと、

𝑛𝑥 𝑠𝑥2 + 𝑛𝑦 𝑠𝑦2
𝑛𝑥 + 𝑛𝑦⁄𝑠𝑥2 =

𝑠 2 𝑛𝑥 𝑠𝑥2 + 𝑛𝑦 𝑠𝑦2 2
=
⁄𝑠𝑦 =
𝑠𝑦2
𝑛𝑥 + 𝑛𝑦

𝑛𝑦 𝑠𝑦2𝑛𝑥
1
𝑛𝑥 𝑠𝑥2=( + 1)
𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 𝑡

𝑛𝑥 + 𝑛𝑥 ∙𝑛𝑥 𝑠𝑥2+ 𝑛𝑦
𝑛𝑦
𝑛𝑦 𝑠𝑦2(𝑡 + 1)=𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
𝑛𝑥 + 𝑛𝑦

𝑛𝑦 ∙であるから、
𝑛𝑥

𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑦
2
2 1
2
𝑛𝑦
1
𝑛𝑥
=(
) (
) ( + 1) (𝑡 + 1) 2
𝜆𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
𝑛𝑥 + 𝑛𝑦𝑡

2020 年度
数学･･････21と表せる。
𝑡によらない部分を𝐶 = (

𝑛𝑥
2

𝑛𝑥
𝑛𝑥 +𝑛𝑦

)

𝑛𝑦
2

𝑛𝑦

(𝑛 +𝑛 )𝑥𝑦(> 0)とおいて、
𝑛𝑥

𝑛𝑦
2
1
𝜑(𝑡) = 𝐶 ( + 1) (𝑡 + 1) 2
𝑡とし、𝑡 > 0で𝜑(𝑡)の増減を調べる。
𝑛𝑥

−1
𝑛𝑦
2
𝐶 1
(𝑡 + 1) 2 (𝑛𝑦 𝑡 − 𝑛𝑥 )𝜑′(𝑡) = 2 ( + 1)
2𝑡 𝑡であるから、
𝜑(𝑡)は、0 < 𝑡 <𝑛𝑥𝑛𝑦

で単調減少、𝑡 >𝑛𝑥𝑛𝑦

で単調増加である。また、𝜑 (𝑛𝑥𝑛𝑦) = 1、lim 𝜑(𝑡) =𝑡→+0lim 𝜑(𝑡) = ∞である。

𝑡→∞

これにより、尤度比𝜆は、0 < 𝑡 <𝑛𝑥𝑛𝑦

で単調増加、𝑡 >場 合 の 挙 動 も 考 慮 す る と 、 𝜑(𝑎1 ) = 𝜑(𝑎2 ) =𝑛𝑥𝑛𝑦

で単調減少であり、𝑡 → +0および𝑡 → ∞の

1𝑛𝑥
を み た す 0 < 𝑎1 = 𝑎1 (𝑘) <お よ び 𝑎2 =𝑘𝑛𝑦𝑛

𝑎2 (𝑘) > 𝑛𝑥 に対して、𝑦𝜆 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑡 ≤ 𝑎1 (𝑘) または 𝑡 ≥ 𝑎2 (𝑘)が成り立つ。
さらに、𝑓 =

𝑛𝑥 𝑠𝑥2 ⁄(𝑛𝑥 −1)
2 ⁄(𝑛 −1)
𝑛𝑦 𝑠𝑦
𝑦

𝑛𝑦 −1

𝑛𝑦 −1

𝑛𝑦 −1

𝑥

𝑥

𝑥

= 𝑛 −1 𝑡とすると、結局、𝐾1 (𝑘) = 𝑛 −1 𝑎1 (𝑘)および𝐾2 (𝑘) = 𝑛 −1 𝑎2 (𝑘)に対して𝜆 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑓 ≤ 𝐾1 (𝑘) または 𝑓 ≥ 𝐾2 (𝑘)となるから、
𝑅𝑘 = {(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑥 , 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛𝑦 ) ; 𝑓 ≤ 𝐾1 (𝑘) または 𝑓 ≥ 𝐾2 (𝑘)}である。
一方、統計値𝑓を実現する統計量𝐹は、𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 のもとで自由度(𝑛𝑥 − 1, 𝑛𝑦 − 1)の𝐹分布に従うから、
有意水準𝜀の両側検定を行うには、
𝜀𝑛 −1𝑛 −1 𝜀𝑓 ≤ 𝐹𝑛𝑦𝑥−1 (1 − ) または 𝑓 ≥ 𝐹𝑛𝑦𝑥−1 ( )22のときに𝐻0を棄却すればよい。
なお、𝐹分布表を用いて検定する場合、𝐹分布表には上側𝜀点しか示されていないため、𝐹分布に従う
統計量𝐹で
𝜀
1
1
1
𝑛 −1 𝜀𝑛 −1
𝑃 (𝐹 ≤ 𝐹𝑛𝑦𝑥−1 (1 − )) = 𝑃 ( ≥ 𝑛 −1
) = 𝑃 ( ≥ 𝐹𝑛𝑥𝑦−1 ( ))𝜀2𝐹 𝐹 𝑥 (1 − )
𝐹
2
𝑛𝑦 −1
2
となることを用いて、

2020 年度
数学･･････22𝑓=

𝑛𝑥 𝑠𝑥2⁄(𝑛𝑥 − 1)
𝑛 −1 𝜀≥ 1 ならば 𝑓 ≥ 𝐹𝑛𝑦𝑥−1 ( )22𝑛𝑦 𝑠𝑦 ⁄(𝑛𝑦 − 1)

1 𝑛𝑦 𝑠𝑦2⁄(𝑛𝑦 − 1)1
𝑛 −1 𝜀=≥ 1 ならば ≥ 𝐹𝑛𝑥𝑦−1 ( )2𝑓 𝑛𝑥 𝑠𝑥 ⁄(𝑛𝑥 − 1)𝑓2のいずれかの場合に𝐻0 を棄却する。
よって、解答は ⑬（Ｅ） ⑭（Ｉ） ⑮（Ｈ） ⑯（Ｆ） ⑰（Ｇ） ⑱（Ｋ） ⑲（Ｈ） ⑳（Ｃ）㉑（Ｅ） ㉒（Ｃ）

㉓（Ｃ）

㉔（Ｄ）

（３）X、Y 両班における各生徒の得点が、それぞれ正規分布𝑁(𝜇𝑥 , 𝜎𝑥2 )、𝑁(𝜇𝑦 , 𝜎𝑦2 )に従うものとし、帰無仮説𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 を対立仮説𝐻1 : 𝜎𝑥2 ≠ 𝜎𝑦2に対して検定する。
（１）および（２）の記号を用いると、
𝑛𝑥 = 10, 𝑛𝑦 = 8, 𝑥̅ = 70, 𝑦̅ = 67, 𝑠𝑥2 = 61, 𝑠𝑦2 = 154
であるから、
1 𝑛𝑦 𝑠𝑦2⁄(𝑛𝑦 − 1) 8 × 154⁄7=== 2.5967 … < 𝐹97 (0.025) = 4.1970
𝑓 𝑛𝑥 𝑠𝑥2⁄(𝑛𝑥 − 1) 10 × 61⁄9となる。よって、𝐻0は採択され、得点のバラツキについて X、Y 両班に差があるとはいえない。
よって、解答は ㉕（Ｂ）㉖（Ｈ） ㉗（Ｄ）㉘（Ａ）

2020 年度
数学･･････23
問題１
（Ａ）

5点

①

（Ｄ）

2点

①

（Ｅ）

1点

②

（Ｇ）

1点

②

（Ｄ）

2点

③

（Ｅ）

2点

③

（Ｄ）

2点

（１０） ①

（Ｂ）

1点

①

（Ｈ）

完答で 5 点②（Ｅ）

完答で 2 点

②

(Ｇ）

③

（Ｇ）

①

(Ｄ）

2点

④

（Ｂ）

②

（Ａ）

1点

⑤

（Ｃ）

2点

③

（Ｉ）

2点

（１１） ①

（Ｅ）

3点

①

（Ｇ）

2点

②

（Ｄ）

2点

②

（Ｃ）

3点

（１２） ①

（Ａ）

2点

（６）

（Ｆ）

5点

②

（Ｃ）

3点

（７）

（Ｄ）

5点

（８）

（Ｄ）

5点

①

（Ｇ）

1点

⑯

（Ｄ）

完答で 1 点②（Ｎ）

完答で 1 点

⑰

（Ｉ）

③

（Ｇ）

②③は順不同

⑱

（Ｄ）

④

（Ｎ）

完答で 2 点

⑲

（Ｄ）

⑤

（Ｂ）

⑳

（Ｍ）

⑥

（Ｇ）

㉑

（Ｅ）

1点

⑦

（Ｄ）

2点

㉒

（Ａ）

完答で 1 点

⑧

（Ｌ）

2点

㉓

（Ｇ）

⑨

（Ｋ）

1点

㉔

（Ｇ）

⑩

（Ｃ）

完答で 2 点㉕（Ｅ）

完答で 1 点

⑪

（Ｂ）

㉖

（Ａ）

㉖㉗は順不同

⑫

（Ｊ）

㉗

（Ｋ）

⑬

（Ｃ）

㉘

（Ｃ）

完答で 1 点

⑭

（Ｉ）

㉙

（Ｅ）

㉙㉚は順不同

⑮

（Ｊ）

㉚

（Ｌ）

（１）
（２）

（３）
（４）

（５）

（９）

問題２
（１）

（２）

完答で 2 点（２）

（３）

完答で 2 点2020 年度
数学･･････24
問題３
（１）

（２）

①

（Ｇ）

②

完答で 2 点（２）

完答で 1 点

⑮

（Ｈ）

（Ｈ）

⑯

（Ｆ）

③

（Ａ）

⑰

（Ｇ）

④

（Ｂ）

⑱

（Ｋ）

⑤

（Ａ）

⑲

（Ｈ）

⑥

（Ｂ）

⑳

（Ｃ）

⑦

（Ａ）

㉑

（Ｅ）

2点

⑧

（Ｂ）

㉒

（Ｃ）

完答で 1 点

⑨

（Ａ）

㉓

（Ｃ）

⑩

（Ｂ）

㉔

（Ｄ）

1点

⑪

（Ｃ）

㉕

（Ｂ）

完答で 1 点

⑫

（Ｄ）

㉖

（Ｈ）

⑬

（Ｅ）

㉗

（Ｄ）

⑭

（Ｉ）

㉘

（Ａ）

完答で 2 点完答で 2 点完答で 2 点

完答で 1 点完答で 2 点（３）

完答で 2 点

完答で 1 点以上