数学
1．

2

（問題）

次の谷間の［二］に入る答のみを、縦の解答用紙に記入せよ一必要ならば、末尾に示す数値を用いよ．

｛谷間5点，計50点〕

l11次のデータはある試験片の硬度エと引張り強さyの測定倣である、このデータを回帰分析により解析して，・のエに対する回帰式を求めると・一［］エ・□である．

設丑止ト旺圧旺丹田
121大きさnの有限母集団から非復元抽出で選んだ大きさn−1の標本変量の平均をXとするとき．

又の分散・1・ト［＿］・σ一である。
｛3，fl−H｛kガ〕工』

百度重匿宙塵≡肩日数．｛0≦工≦且，k〉一1）｛その他）をもつ母集団からn個の榎木X1．X，、Xヨ．・・［1てある。
1川）一114〕確率密度関数をもつ母集団かちn個の僚木X。が得られたとき，kの最北惟定量は（・一如・工…

石一一如，α〉0〕

｛その他〕

〇

X1，X呈．Xヨ、…

X。が得られたとき、σの最尤推定量は［1である一151ある町での候補者Aの支持率を信頼痩99％で誤差は1％以内になるように推定するには、およそ［■人以上の駄をとれぱよい。
16〕29人の子どもを任意抽出し，1日あたりのテレビの視聴塒固を調査した結果、視聴時間の平均は司・6時間，標準偏差は2．7時間であった。このとき．1日あたりの平均視聴塒問の信頼係数95・の鰍醐は「］てある。ただし母集団は正規分布に従っているものとする．

1ト様分布1（r〕」

1ﾑに従う母集団において．統計量｛0≦工≦θθ〉0）（その池）
T＝αm品π｛X1．X呈．…

．X［，が母数θの不偏推定量であるためには．α一［一一］で洲れぱならない。
18j正規分布 N｛μ一．σ子〕
正規分布 N lμ呈．σ萎）に従う母集団からの標本変量をXI（｛ 1，2，…、n，）、に従う母集団からの標本変量をYIい＝1，2、…，n。）とし．

Xiい一1，2，n一〕とY．い一1，2．…，n。）がたがいに独立とするとき．

X＝圭一二X⊥i，lnl

S千＝圭二⊥ム」＿二二Xユニ． ln，ト。等一ト・1一、享」午叩とすると、

n，S子｛n，一・1〕σ〒

統計量一一一・n2S窒｛n2−1〕σ喜は・自雌［「■・）［■1分相こ従う．．

一8一

191正規分布

N｛μ，25）に従う母集団から大きさn＝9の標本を抽出し、仮説 H口：μ＝lO．対立仮説 Hl：μ＝12 を有意水準5％で検定したい．その際，検出力が最大になるように棄却域を定めるとすれ1ま，棄却域は「二］てある。

いω上記1・〕て定めた縦に別ナる1献の〕舳〕は「1てある．

2．

ある電気部品の寿命の分布が．確率密度関数

二L．I毒l1川H（工〉0）。

｛そ舳の指数分布に従う母集団から、N個のサンプルを取り出して周時に試験をはじめ．その寿命時間カ｛

小さいものから胴にn個（n≦N）測定して．測定値

Xl．X・．一・・．X．

｛Xl≦X2≦…≦X．）を得たとする．

l1〕μの最北維定量

βを求めよ。

12〕カはμの不備推定量であることを示せ。
3．

｛25点〕

周E集団カ｛、著書奉呈宅寄j童関数⊥。一言〜：μ〕一1μ。の指教分布に従うとき，n個の標本
μ≠μ口（工〉0〕｛その他〕

工1．工呈．…、エ．、を用いて仮説〃＝〃Oを，対立仮説に対して検定する．

l1〕μ。が模本平均憂に等しくないとき、尤度比λを求めよ。

12〕有意水準εの棄却域を求めよ．

ただし、平均値2の指数分布を母集団とするn個の優本の和は．自由度2nのパ分布に従うことは証明なしに用いてよい．

｛25点〕

数表：

優準正規分布Nlu，llの．上側ε点u｛ε〕

u｛O．O05ト2，58u｛O．010ト2．33u（O．498トO．O05
u｛0．4州＝0．OlO

自由度nの分布の上側ε点i．1ε1れlo．no日

一3，355オ宮10．0口引＝3，250㍍lO．02引 ＝2，306
れlO．02引 ＝2，262

I口10．00；〕＝3，169オ1口；口．02引＝2，228lo．oo引

＝2，763lO．02日＝2．o司8

u1日一02引＝1，961」（0，490トO．025

u｛O．O；01＝1．64
u｛0−3引＝O．ヨ9

u（O．480〕＝O．05口u｛O．363，＝口．35

flo，oo引

＝2，7566

lo．02引ul口．3引＝口．35

ul口．3591＝O，36

オヨ。lO．005〕＝2，750〜

lO．02列u（O。川＝O，33

u｛O．356ト0．37

れlO．Oリu（O．352，＝0．38

れu｛〇一3引＝O．2君

u｛O，348；。＝O．39〜1口ω．Ol〕

亡2．8％
ゴ2，821＝2，764

6．lo．o引u（O．ヨ8ヨ＝O．31

6一。lO．O引＝2，045＝2，042＝1，850＝1，833＝1，812u｛O．州＝O．25

u｛O．34；トO、｛Oω．ol；，lo．o引2010．ロリ＝2．46？

。日1日．口引

土1．7口1

れ，lO．Oll士2．｛62。目1o．o引

lO．Ol〕＝2．457コロlO．O引＝1，699＝1．697

一9一

数学2（解答例）

1．

（1）

＿π一70

u一■5r・v＝y−33とすると，

至＝5亘十70

一5・喬十11−11．1ll

Vu2V2

一3一49i612一3一191331

一3一294665

31

一1一2一4265

34

一1111一170

36O

3O

9o70

35

O2o

4o

80

36

2

34

9680

33

204

9D85

37

349161285

35

32

94685

36

33999合計

2964

77

55

yu55

2955

3255

工u

V

y：▽一ト33

一晶十11−ll．1l求める回帰式麦，（y一フ）＝β（κ一τ）とすると，＾Σ川y 1η
β＝」」LT−1一一Σω1−n云

Σ二uV

一n五マー京・士＝1l一Jx・＝0168

丁写・一y工・凹（2）母平均を0としても一搬性を失わない。母集団から〜以外のN−1個が選ぱれたとする。
NΣ〜一㌫

l1ll，1L＝一⊥N−1N−1舳州一合）■。11，沙・（・）一斥ヨ…
（0）尤度方程式は嵜正1・・＃（…）エ1一・である。
ndk

茗1研1引k＋1）πドO
書岳1・・1・十1）十考如1・・工i一・

由十考1ゆ1一・k業

一1一、n

ΣlogX

i！1

一10一

（4）

α≧m舳ユエ1．工2、…

．工、だから，：。）一↓≦尤鰯馴1α）＝π用1＝1m舳1×1．X2．・・）一mimlπ1．π。，・・．㏄、）
αm己一．X．1−minlX1．X2．・・

工1、工2．．．

．X。〕．κn■mIn工1．元2一．

．工。

が欄。

（5）母集団の支持率をp、標本の支持率を声とする。標本数nが大きい場合，信頼度99％でpの信頼区圃は，（倉一・ll111〕円F酊貧十・lll・1〕甲／ここで，uω．005〕は標準正規分布の上方O．005点。

・1．lll〕∫酊甲一111となるよう1こ・を定めれぱよへ
倉（1一書）は，倉＝O．5のとき最大値をとるので，・一舳1〕・・l1・・刈1トー（6）優本の大きさをn（＝29），標本変量平均をX，標本変量分散をnとおく。また母平均をμとする。

統計量

丁竺

一X二辺一一 は，自由度φ鶯n−1S／∫下＝丁のオー分柵こ従う、

州萎〕を，自由度φのト分布の上側多点とすれば，

・1一岬・・一抹・れ剛一1−1
変形すると，

・1・一岬古・μ・・月参〕右1−1−1
X＝4．6，S＝2．7，n＝29

μの信頼鴎，6。。lO．0251世2，048を代入して，

B］を得る。

（7）Tがθの不偏推定量となるためには，E（T）＝θとなるようにαを定めればよい。

m亜｛X1，X2，，X、）の碓鞘密度関数は，n−1・（参）・去であるから，
θn−1・（・）一五川（書）・私＝α一冊丁．
n θ

したがって，

S2＝⊥圭（X、一X）2

一一一ユ1一＝1n（8）の口分布に航自由度（9）H口：μ＝m ，H・：μ＝12において，10＜12であるから，検出力を最大にするためには右側検定を行うことになる。このとき，Hoの棄却域を｛C，oo） ｛Cは定数）としたとき，題意より，P（X＞Clμ＝10）＝O．05

・1：μ一1・紐しいという条件のもとで1ま、Xlポ醐分布・（ll，亭）に従うことから，
上式を変形して，・（5湯・5淵1μ一昨江・1

これを満たすためには，

C−10＝u lO．O引 （＝優準正規分布の上側5％点＝1．64）5／河でなければならない。これをCについて解いて，C＝12，733…

1紙（10）一方，検出力は，P（X≦Clμ＝12）で表される。H1：μ士12が正しいという条件のもとでは，Xは・l11，㌻）に従うから，上式を変形して，検出力は，・15篇・5篇1μ一11）
C＝12．74を代入すると，

・（5篇・1州1μ一11）

一∫1ジふふ一1一・・榊卜1−ll11一口ulO．4ωは，数表から補外で求める。

一12一

2．

κ一工2

一一一πn

トー十一H一…一七＝＝二一一■0

残り（N−n）個（1）N個のサンプルのうち，κ1．κ・．…一エ、がそれぞれ1つ。（N−n）個はFくπ，θ）を分布関数とするとき，尤度関数

κ、以上。

・（θ）rη出πr叩一Hπ1。θ川工・1θ）ll工。1θ）l1一・1π。舳
一一π缶・・十去1合1・（・一・）エ。）1品1…1θ）一一針去・1春1＋（・一・）エ。）

尤度方餓晶舳1θ）一0を解いて，
θ一十（春1＋（・1）工。）

μ嚇搬量力一夫（考・1＋（・1）・。）（2）0≦π1≦κ20≦エ2≦z3，一一一一，0≦ω．．1≦エ．，0≦κ．〈ooだカ、ら，舳十・ト1・・仏五㌦1＋1書川・一・）π・）・沽πか・1＋士（私十（・1）π・）ly1＝

工■十（N−1）工1k
yk＝Σ冗．十（N−k）エkl＝Iy、＝Σκi＋（N−n）㏄。
iとおく。

1・・パ・…勢1＋（・一・一1）エ・・1）一1事i・1・一・）刈＝エ山十1＋（N−k−1）πHl一｛N−k）κ吐＝｛N−k）｛πk＋I一π山）

yk＋1≧y』←→工k＋1≧κkだカ、ら，N∂ ∂ 一．∂
1
13＝1
工2 一一
jCn＝0 0 0・一一一一 0
N−10 0・一一一一 0
1N−20・一一一一 01

1

1y1≦y2≦…≦y、十1≦y．

一一一一一一1N！

N−n＋1

一nて川）十・ψ・r1・ ｛・・小・帝…（十）n−1
一五粉岬1一が）｛・・日

一五ホ州1＋）…

1・〕十み竹）」llスー■←・付）…
n−1

一五十・叩（一が）…
一五・岬（十）…一μ側（1・用・；を繰り返す）

一一一一一一一一ユ3一カはμの不偏推定量である。

0．，諸艘仮説

Ho：μ＝μo，

n出ぺμ0）λ＝。

m舳n出パμ）
1＝1

対立仮説

H1：μ≠μo

μ己・舳P一二L圭κ、＝出ヰ』．

として検定する。尤度比λは，n一μ己ne岬一一元㎜亜μ■nexp
Σπi〃出．
μ 1，1㎜邑稟μ一ne岬
炉舳n一κ

μ岳1・・1ガ・・岬1青ト岳1一・1・・μ一料一一号・抑こ舳となる舳，μ一・1。・一州一0≦1λ≦1

μ一・・岬1一対が駄になる職μオのと邑

ｼ一・・（云同一宏）

だから，尤度比検定の棄却域は片側で0≦λ〈en Kn となる。
（K〈e−1、有意水準をεとする）

棄却嚇・・亮・卵1子）・・
ここで，y＝冗e一！

π0（エ≧0）1y0／eは，

oo1＼0だから，棄却域はO≦三L〈K、＜1μo1〈K。〈しμ0
エは平均化刎鐵分布に従うとするとき，岳は平均・の撤分布をする・

問題文より，2nX は自由度2nのz・分布に従う．
μ口・1一如：。1トε1〕を満たす

τ〈・・一如二（ε・）εI＋ε2＝εε1、ε。について

2トεとのときH。を棄却すればよい。

至〉nただし，ここでは2 高ﾌ両脇靖わ醐域を取るとして鰍を。。μ S一貴と、。ψとして帆一ユ4一