平成5年12月21日
保険数学2・…・・1

保険数学2（問題）1

次の（1）から（5）までについて、それぞれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ選んで、所定の解答用紙にその記号〔（A）から（E）のうちいずれか一つ。〕を記入せよ。

（40点）（1）死因iによる死力μ＝二］が、死因i以外の死因による死力μ二一〇のC倍であるとする場合、被保険者（x）が死因iによって死亡したときは3、それ以外の死因によって死亡したときは1を郷時に支払う全期払込n年定期保険の年払純保険料は次のうちどれに等しいか。

（・）（1…凧司（・）中1＝司（・）帯下1＝司（・）可司十（・）Tl＝証冊（2）x歳加入年払全期払込n年満期養老保険（保険金額1、保険金年末払）において、第1保険年度末の全期チルメル式責任準備金がOとなるようにチルメル割合αを決めたところα＝0，030となった。p、＝O．998
昼、：司＝王2，000のとき、予定利率は次のうちどれに最も近いか。

（A）5−1％（B）5．3％（C）5．5％（D）5．7％（E）5，9％（3）x歳加入年払全期払込n年満期養老保険（保険金額1、保険金年末払）において、経過20年で延長保険に変更する場合、変更後の生存保険金額は次のうちどれに最も近いか。
但し、P。＝司＝O．01431A、。呈。＝｛＝O．5466皇。V、＝干O．4838

i＝5．5％n＞20とする。

また、解約控除と付加保険料は考慮しないものとする。
（A）O．72（4）。。q…FO．4（A）O．33（B）0．74。。q隻。＝O−5（C）O．76（D）O．78。。q隻，，＝O−2のとき、（B）O−35（C）0．37（E）0．80。。ql，，の値に最も近いのは次のうちどれか。

（D）0．39（E）O．41（5）死亡表がゴムバーツの法則に従っており、μ、＝0．2×1106■のとき、T，1。＝，、をXヨ。＝。、で表せば次のうちどれに最も近いか。
（A）O−41A30＝コ！

（B）0．43A3コ＝ヨ2（C）0．45五ヨ。：ヨ王一24一（D）O．47I、。＝ヨ，（E）0．49瓦，。、，、

保険数学2……2

2．確率変数丁は確率密度関数f（七）＝，p、μ，。、に従う。

死力μ、。、二μ＝O．08、利力δ＝O，02のとき次の問に答えよ。

（1）豆司の平均値E〔百（20点）の値を求めよ。

（2）砧の分散V〔葛司の値を求めよ。
（3）百司＞百，となる確率P（互羽＞τ、）の値を求めよ。

3x歳加入年払全期払込n年定期保険（保険金額1、保険金年末払）において、予定死亡率q，をqるとき、q，とqq、に変更す、の間に，p，十t−q，十、＝ミ日一Pミ＝司（1＋1）

1一川Vミ＝¶なる関係が成り立つならば、、V

但し・Pl1日〕Vll

三：¶＝、V二、司（0≦t≦n）となることを示せ。

nはそれぞれ予定死亡率q、による年払純保険料、純保険料式責任準備金とし、iは予定利率とする。

（20点）

4。死亡・就業不能脱退残存表が与えられるとき、次の間に答えよ。

（20点）（1）30歳における次の①〜④の値を右表の数値を用いて求めよ。

但し、小数点第7位を四捨五入し、小数点第6位まで求めよ。

X：

29歳

d：

i、

〃i

d二199，i97人

79人

26人

139入

2人

30歳

99，092人

82人

28人

163人

2人

31歳

98，982人

86人

30人

189人

2人

①q…言‡

②qヨ㌔
③qヨ㌔

④q；1
但し、q；ポは30歳の就業者の絶対死亡率とする。
（2）q＝二］を就業者が1年以内に就業不能になる確率とする。25，i＝K、K、十1（1−q、）一K，（1−q二）q｛1（1−K、）（1一夫q二）となることを示せ。

d、
但し、q、＝一とする。
ム

一25一、なる関係があるとき

保険数学2（解答例）
1．

設問番号
解答欄

（1）
（B）

（2）

（3）

（4）

（5）

（D）

（E）

（B）

（D）

正解は．．1二表のとおりであるが、以下に各設間の解答方法を略記する。

（1）…

（B）

題意より

μツ＝Cμ一n

また、μ！i＋μ㌻

1μ工より

Cμ！」一μ工
1＋C

給棚価は舳（舳・μ！川t−／出（・μlll・μ州）・t＋卸1

従一て求める年払純保険料は伴回司

（2）

（D）

α
一V貝、宝A工川i1一｛P工、i＋一〕δ工、1，n＝0
δ売

より

1一（㌦In一舳1一（点・一点・・）肝。篇1・エガ1・・P、・。、河よりα一リP10州1久、正1

従って予定利率εはドP■α工司1号0057（α十1〕（δ工、司一1〕

（3）

（E）

生存保険金額をS
1

また、P州巳一一d
δ工＝司とすると

2oV工、司一A工！20、誕

S㌧
A工、。。、由6工伽、禰。。V工司＝1
…

．δ、、司

＿1一！oV、、司δ。．20：面一P、、司十d

仏前1一・（旨制一㎞由・・・…

一26一よりS（4）会0．7966（B）

1q島，1∫ぎ（1−iP凹）｛1−iP，）tP工μ、川dt＝1一日qムー山q↓十〇qム，

砧，一舳工ρ告μ工川dト∫沁（0・0。一2P、。）μ川dt㍉qL・地一2山2。略，十地，＝2一。qL一。d，＝2一（1一．曲）一11一。凶）1

一曲・三τ（砧十地■一ω！0・35（5）…（D）
μ工＝BC工とおく
AL＝∫8リ■oπμ、、一dt＝∫言ひlo珊BC川dt

C工1。工、。・舳・・B｛C工十α）Ctdt■・・…∫市πμ州dt
1

一＝A珊
1＋C凹．■
C日1，06π130リヨ32

2

一より一A呈。、32≒0．47A30，3。

1一が（1）E壬。司エ＝∫言。mp工μ工、一dt，∫ぎeI川μdt

δ

一抑止・仙1・ト青（士一、1δ）
三1μ十δエ10．08＋0．02

三10E工。引〕＝王0（2）Vエα司〕＝Eエ。知一Eエロη〕2

岬一・1

一2義；十リ2↑1一夫11一州・舳・・〕）

E：カト〃、P工μ工．、dt一∫言。一州μdt一μμ十δ
E〔リπ〕

μμ十2δ＝∫εリ別。、μ工、一dt＝∫言e0い跡Hμdt＝一27一12μμ22500

E㈱1ア（1一μ。δ十μ。。δト￠。舳、。δ一。1。、。1。一。

V500l口r〕1

3200−100＝（3）ロエ＝∫言。mp工μ工、一dt

より

P｛口羽〉o工）ヨp｛口司〉E工。司〕）＝P（σ〒1〉10）

一・（1号・1・）一・（t・一209｛チ0δ））

一∫二珀・二岬1・工μ川・t一∫1，三哲。二型・一・1μ・1｛d出㎎一一・・■Od1

一一＝e。

＝l1−10δ）5＝（0．8）㌧0．4096

P｛oη〉σエ）三0．4096

3、責任準備金の禰帰式より

lV二＝司十P三、司一肌ペリp工、、・．、、V二司…・・一……・……・……・・…①lV②一①（lV上：目1V土1司）十｛P

ここで1V二＝司一1V二＝正（△V）1，Pとおくと二1司一P二1司〕㍉（q㌧べ阯刊）十リP

二司一P三、司＝△P，q王：司一ひ（P（△V）1＋△P1〃△q川｛1一一．lV二、司）十リPD州・lllV

工川ヨリp

ユ、r叱、F△〜、一。・1＋△q工一tル1V二、司工、パ△V）t，l工、一を両辺に掛けると川｛△V）一十DI工川△Pミ〃△q工、lD工、一（I−t，1V二、、）十D工、1，1｛△V）一、lt三〇，1．2．…，t−1とおき辺々加えると
Dト1■｛△V，o＋△PΣDトI
エ川EリΣ△q工、＾Dト。

l△V）。＝0工、＾（1一川V二：。）十D洲（△V）一

ト。

また、題意の条例より

△叱、F

△P

（1＋一）

｛1−1，1V二司〕
一一1t−1△P△P黒D㌧一島（1一、，．。二、）（川D㌧・・（h・lV上・）十DI川1△V）tD㌧、一（△V）一三0

従ってtV

二、司rV二、司一28一

エペいIV上、■②上、丁叩エヰ。・，、．V土：司p工，1＝p．、、け△叱、一（△V）一十△P巳リ△q川十リpI川・いlVD二≡司十P一二司一〃qd竃島
14鴉一一ゴ30
282

4．（1）①q竃島㌧

d豊。
12昔。＋一ゴ30
2210．011299
1163＋一x28
2②qも。＝12

d盲冨十一｛30qち。

③q呈。＝2組

12

ヨ0．000828

199，092一一x28
2121282＋一x28x−2177＝0．000829
g9．0922177
三0．000002
g9，092−1ユ。qも。一・28・一④q盲も＝2鴇

12（2）ゴ、＝2｛、I−2三十d茱＝2｛、1−2三十2誓q二十一｛工q二2皇、1一｛工三聖｛1−q二）1

1一一吐2。一エー肌一州1−q二）

q工一■一 好（1一夫吐）分母分子を4工で割り
2｛、12里、一4工、1

一＝一一＝K工、111一ω
2ユ．I 2工

2■

一、L

q工一2㌘

4雲

一二1一一11−Kエを代入すると
工

2工

K工・1｛1一叱）一K工（1−q二）

11一・工）（1一夫吐）一29一