平成5年12月21日

保険数学1……1

保険数学1（問題）1

次の（1）から（9）までについて、それぞれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ選んで、所定の解答用紙にその記号〔（A）から（E）のうちいずれか一つ。〕を記入せよ。（1O）については解答用紙に○またはxを記入せよ。

（50点）（1）言η＝3言πのとき、利力δ（δキO）の値に最も近いのは次のうちどれか。
但し、必要ならば皿。g，2≒O．693、刀。g．3≒11099を用いよ。

（A）0．0347（B）010406（2）死亡率が．q、＝七（0）O．0550（D）O．0693（E）O．1099（0≦七≦ω一x）で与えられている。

ω一Xる。。＝30のとき、。。Iεi。の値に最も近いのは次のうちどれか。

（A）17（B）18（C）19（D）20（E）21ab（3）6戸a−bx（a，bはO＜b＜1＜aを満たす定数、0≦x≦T）のとき、ム≡皿。（1−Tx）一と表される。このときkは次のうちどれか。
（A）

11＋b（B）

1−b（C）

1＋b1−b1（D）一bb（E）一1（4）A，＝O．18615，A，・1＝0，194ユ1，P、＝・0．01089のとき、q，の値に最も近いのは次のうちどれか。

（A）O．00155（B）0．00158（C）0．00161（D）0．00164（E）O．OO167（5）加入年齢40歳で、以下の終身保険（死亡保険金即時払）を考える。

一時払純保険料100万円が払い込まれ、20年後に被保険者が生存していれば、その時点で生存保険金100万円を支払い、それ以降の死亡保険金を100万円だけ減じるものとする。

当初の20年間の死亡保険金の値に最も近いのは次のうちどれか。但し、必要ならば次の計算基数を用いよ。
D

二13，757，D（A）400万円＝4，7ユ6，N＝235，121，N60＝59，384，M（B）420万円（C）440万円＝2，624，M白。昌1，935（D）460万円（E）480万円（6）D．o＝ユ5，865，D。ミ＝u，661、註コ。＝π二7．6975，a。。：旧＝4．4347、。V。㌔、π＝O．0010のとき、P．o＝古の値に最も近いのは次のうちどれか。
（A）O，0700（B）O．0702（C）0．0704

一！5一（D）O．0706（E）O，0708

保険数学1・・一2（7）30歳加入で死亡保険金1を保険年度末に支払う終身保険において、年払平準純保険料Pヨ。は被保険者が生存する限り、各保険年度始に払い込まれるものとする。以下の関係があるときPヨ。の値に最も近いのは次のうちとれか。
HV30＝O．8xl＝Vコロ、リ＝0．9、皿、＝50−x（A）O．02（B）0．05（40≦x≦50）（C）O．10（D）O．15（E）O．18（8）人口が男女ともに定常状態の2国家X，Yについて、出生数および平均寿命が次のようだ状況にある。
国家X：〔男子

ム＝3，200人、る。＝72歳〕〔女子

国家Y：〔男子j。＝4，O00人、る。＝45歳〕〔女子

ム＝1，500人、る。＝80歳〕

刀口＝・4，500人、る。：48歳〕

この2国家が新たな1国家に統合される場合、出生率・死亡率が統合前のままとすると、統合後の国家の男女間の平均寿命の関係について正しく述べているのは次のうちどれか。

（A）男が1歳長い（B）男女同じ（C）女が2歳長い（D）女が4．5歳長い（E）女が5歳長い（9）定常状態に達したある団体の椎成員数は100，000人であり、加入者はすべて20歳で入会し、60歳にたればすべて退会するものとする。但し、60歳未満では死亡以外の中途脱退はないものとする。毎年の死亡者数が400人で、死亡時の平均年齢が50歳のとき、毎年の60歳の退会者数に最も近いのは次のうちどれか。
（A）2，100人（B）2，200人（C）2，300人（D）2，400人（E）2，500人（10）x歳加入の終身保険（死亡保険金1を保険年度末に支払う。保険料は年払で終身払込）の第七保険年度末
純保険料式責任準備金、V、を表す算式（ア）、（イ）、（ウ）について、正しいものは○、誤っているものは×をそれぞれの解答欄に記入せよ。

（1）一・・一11 宦i／）…一・…／1p着1〕（1）…一P着1〒1−2．x歳加入の終身保険（死亡保険金1を保険年度末に支払う。）において、保険料の払込期間を2n年とする。
。

P，、㍗V，はそれぞれ年払平準純保険料、第t保険年度末純保険料式責任準備金とする。一方、年払純保険料を第n保険年度までP、第n＋1保険年度から第2n保険年度まで2P払い込むとした場合の第t保険年度
末純保険料式責任準備金を・Vとする。このとき、次の（1）および（2）を証明せよ。（解答用紙に記入せよ。）（25点）（1）P＜！。P、＜1．5P（2）、V＜≡、皿V、（O＜t＜2n）

一16一

保険数学1・・…・3

3．x歳加入、保険期間n年、保険料年払（全期払）の次の給付を行う保険を考える。

（i）満期まで生存したとき、S（S＞1）を支払う。
（ii）第t保険年度に死亡したときの死亡保険金は、max（1、、V）とし、第t保険年度末に支払う。

但し、、Vは、第t保険年度末純保険料式責任準備金とし、、V＜、・lV（t＝O・……・n−1）とする。

今、ある整数r（0≦r≦n−1）について、，V≦王＜，。lVが成り立っているとすると（S−1）・窒、＝■≦§nが成り立つことの証明を、以下の間の手順で行う。

（25点）（1）次の（A）〜（E）について、適当な算式を入れよ。（解答用紙に算式を記入せよ。）但し、（C）、（E）については、計算基数（D、、C、、N，、M呈等）を用いず、必要ならばP圭＝■、P，＝÷を用いて解答せよ。

この保険の年払平準純保険料をPとすると、次の①、②の再帰式が成立する。
，V＋P＝（A）（t＝0，1、……、r−1）・…………・一・・……………・・・……………・…①、V＋P＝（B）（t＝r，r＋1、……、n一王）・・…一・一・・・・……………・……………・・②①式により，Vを求めると、、V＝（C）②式により、Vを求めると、、V＝（D）…・……・・・・・・・……・・…・・・・・・・…………………………・③

一一…一・………………・・…………・・……＿．．…・・④③式、④式よりPを消去して、Vについて解けば、工V＝（E）…・……一…………・一…・⑤．V＝（E）≦1より、次の式が得られる。
リH・S−1≦直■11・p、、■・一一……・…一……・・・・・・・………・…・・……………………一・・………・……⑥（2）⑥式より（S−1）・直、＝r≦菖一1が成り立つことを示せ。（解答用紙に記入せよ。）

一17一

保険数学1

（解答例）

1．

（1）

（2）

（3）

設閉番号

解答欄

（D）

（B）

（C）

（4）

（5）

（E）

（6）

（A）

（B）

（7）

（C）

（8）

（A）

（B）

．i1三解は．1二表のとおりであるが、以下に各設間の解法を略記する。

（1）…

（D）

一 e一曲一1S吊＝より
δe2。

一1三3（e1．5−1）（eloo−2〕（eIoδ一1）＝0eloo，1〔eloδ）2−3e10δ十2，0側1，ちδ＝0）は不適ゆえ

elo

三21

δ＝一209．2≒0．0693
10（2）

…

（B）

【P■＝1一・q■＝ω一工一tω一エ

イ㍉臥・t一ω1王∫；I工（ω十t）・t一ω1工1一夫（ω一1−t）・1二一ωデ

e50三30

ω一50より

2

臼30

ω＝110

m−e■1nP工・e工川より

40−eIoヨ

11O−10−40
x30＝18110−10（3）PIo・e齪＝・（C）

基と一∫1出・t一∫1去・（ム・害一一ん一・豊）・t

一∫純一為，・d簑tLん1・割・t
一∫糾・（一ムベ1＾川・1一ム・1小丹・舳一舟・1…・t
筥μ工・e■一1

一18一（10）

（9）
（了）

（イ）

（ウ）

O××この両辺にe工三ローbエを代入して一b1μ工・（o−bエ）一1μ工昌

1−bo−bκい。…。1一∫；1叶い・・1一∫；ま≡畠・ll一ム・…1㌣舳一・t）〕ll一ム・…岸…字1−2。・

1−bi1一音π）丁〔別解〕・。・ぺ一∫1舳一∫1・。・（1÷ゾ此一・小・（一青）Φ

←一1一音1とおけぱト去此）一・。・1号・1三111−b㌍1）一方ζ一1一・1よ1；榊ゆえ
2。・α

1−b叶b．｛k，1）これをといてk1T
（4）

…

（E）

1p，dん一1一・帆て一・よりd＝瓦（1一んリ＝□より、、P工｛トAJ，
A工一P工（1−A2
また001089（ト018615，一・・・…
018615−001089（1−018615）（1＋｛）A、1叱十p工・A工、一＝〜（1−A工。1〕十A工‡1（∵①＝1−pエ）より（川〕A1−A川」04999x018615−019411−000167
qj＝

（5）

1−A工、、…

1−019411（B）

一時払純保険料をA、当初20年間の死亡保険金をS・加入年齢をx歳とすると・
D工、20

A＝A・一十S・M工一M工。20

D工

S，A

D工

Mエ。20

十｛S−A）・一一（Dエー塾舳十Mエ伽）

D工

、＝40

A＝1，00α000

M工S，1・00α000（13757

4・716＋1・935」418万円

2，624

山19一と勾えられた基数を代入すると

（6）

（A）

a工川、司1V工、司三一V二、司十一V工｛冒1一δ工、吊峠町÷・ ̀卜」剛晶・吋・州）
1−o 梏h｛・（缶・の｛同）1一・α・一1αt一・を代入して

J一山列・（設・叶剛i一1一4．4347 一0．0010
7．6975

P・十15865≒α0700x 7．6975−4．4347
11．661

（7）

…

（C）

W帰式より

1−V。。十Po．Eリ・q．1＋リ・P．1・12V3．

ここで久呈50一五

これとIIV。。10．8xより81p。一ヨーq．1三一I．V3肺ト0．999を上式に代入して

18I2V30＋P3010．9x一十0．9x−x−2V30

0．8x

99P3。ヨ0．1（8）…

（A）

総人口丁。＝。・e。より統合後の平均寿命は3，200x72＋4，000x45 ＝57 女子：

男子．

1，500x80＋4，500x48

3，200＋4，000

1，500＋4．500

よって（A）が正しい。

（9）

・・（B）

この舳のκ歳の楴成鰍をム人とし凡一r舳とすると①総相成員数はTバT。。＝100，000②毎年の死亡者数は2ガ2。。＝400

一20一＝56

T20−T60−40・460③死亡1時の平均年齢は20＋＝502。バ 60

100，000−40・毎年の退会者数は4。。であるが①、②を③に代入して20＋60
ヨ50

400

これより

2oo＝2，200

（10）…
（ア）

（ア）○（イ）x（ウ）×

6工．一lV、1A工．．一P、・δ、，11｛1−d・δエ．δ一Pエ・δ工．F1一｛Pエ十d）δエ，F1一一a工

1＋o、、一三1よりi1しい。
1斗σ、（／）＾ド用｛（1一己云千十〜（1一島）よ舳（ウ）｛P工、1−P■）

一V工讐Aユ，rP工・oエ．F｛P工，rP工）・o川＝p工、一十dより誤り。

2．収支相等の原則より（1）

NゲNエ、。
P・Nエ、。一Nエ、加十2P・D．

M工

＝一Dエ

Dエ

また，、p工1

P＝M，2nP工N工十N、、何一2N、、2n

Nエ十N工．．、一2N、．2，Mユ

NエーN工、2，N工、n−N工、2n

一＝，1＋PN工一N■、2， N工一Nエ、2n

ここでNエ、。一Nエ、2．

0〈NエーN工，2，Dエ⊥。十D。、。、1＋…

＝Dエ十Dエ、1＋…

十Dエ、2。．I十Dエ、2、。1Dエ、。十D。、。、■十…

く

2（Dエ、。十Dエ、。．■十…

十Dエ、2、．1

十Dエ，2。一■〕105

トル・レ（1一α…、・一1）〕
よって

2．p工

1〈一く1．5、P．Pく2．P。く1．5P（2）①0＜t〈nのとき、過去法によりそれぞれの責任準備金を求めるとN。一N工、l…nV、＝2，P、・

D、，・

N工一N。、t，V＝P・D。，l

M工一M工、1
一Dよ、l

M工一Mエ，ユ

一 D工，l

NゼN工、．

2｛VエーlVE（2・pエーP）．

D〉0｛（1）より工・一一21一㎞巳〉R

NドN川〉0・D工川〉0）②n≦tく2nのとき、将来法により、それぞれの責任準備金を求めると
N■、ドN。、2。

子nV工呈A工、一一2而p、・

D工、一N■、rlV＝A工、1−2P・N工，2，D、、一N工、「N州・D工、一2−V、一．V王（2P−2，p工〕・（∵ωより〉O

2，P、く1．5Pく2P，N工．rN〃。〉0，D、、一〉0〕

3．

（1）
（A）

（B）

リ・1．1V

1扁｛P■P二＝η）（C）（D）リn■τ・S一δ同・P

1・lon一（E）

・S一δ同・P二、→

1＋δ同・p工省

正解は上表のとおりであるが以下解法を略記する。
ユV＋P＝〃・q。、一十〃・P工、ピ1，lV

1V＋P＝・

D工、一・川ｴ十

1・州−V＋P已一（C工、一十D工，t，■・一，lV）｛t三〇．1．…．r−1）より

D工川

t・lV

莇
・①

……

D工、一tV＋Pヨリ・叱、一・一、1V＋o・P工、1・一、lV

一V＋P＝リ・．，IV｛t＝r，r＋1、…、n−1〕より
・②

・・・…

①よりD工，一・一V−D工、1，1・一一■V＋D工川・．P−C川

t＝0．1．…、r−1について加えると

ト■
F−1
D工・oV−D工、、・、V＋P・ΣD工、FΣC工、tト。

oV＝0ト。

一22一よりNゴN工、、。V，P・MゴMエヰ，D工．。

1＝P・D川DM。一Mエ、。
一・ D川

NエーN。，。

NエーNエ、τ

1

1＝一（P−P二r〕
p工、十・・③

NエーN■、。

②の両辺にリ1■「を乗じてトr〃I一「・一V＋ひ・P三が」【4I・一ヰ□V

1−r．．． リ ・lV一が一川・1，lV＋〃
一一r ・P＝0

t三r，r＋1．…．n−1についてカllえるとパ、V一〃n．「・．V＋δn・P＝0、。V旦Sより

・V＝リH・S一δπ1・P・・・…

…

③より

P＝P二＝r＋P、、÷・、Vこれを④に代人し雑則すればノτV一

1…④・ωn「・S−nn・P上司）…⑤

1＋δn・p、｛

1．｛リn一「 S■δ同 P二、司）≦1 P二、r＋．P工、十P工、rを用いて整理すれば

1＋δ同・P、、÷

〃n1「・S−1≦δ同・P工新………………・・……………・・・…一A工＝Fl

1−d・a工＝i1（2）P、子F一言
δ工、nδ。＝Flを⑥式に代人して

δ高リnI「・S−1≦一・（1−d・δ工＝r〕

δ工＝1．I

B〃n0「・S・δ工、r一δ工＝司≦δ同一d・δ岡・δ、、iδ∫＝司・｛リn吋・S一｛I−d・δ司〕1≦δ高司

1−dδ向㍉Hを代入して
δ工＝〒1・（S−D・リn」「≦δ司．｛S−1）・δ工、司≦（1＋｛）n一「・δ司（1＋｛）n⊥丁・δn，§岡より（S−1〕・δ、＝r≦ξ売＝司一23一………・一・…………・一・⑥