〔問)昭 和 42年 度

(問題)

午前の部.
1

次の値を言七算せよ。

め P61 =O.05 5， V ~ 60 = O.021 を知って付) P40:2oi=O.0 36 5

p30:苛P600.0202 を知って

10V30:石l

ただし， i=0.
0 4 とする。

死亡数が年聞を通じて均等である場合 Kは2.

p .1+
τと mx は相等しいととを示せ。

♂

債務額 K，債務 K対する剰率は年九債務の期間 nの債務 K対して，減債基金 Kょb債3.

務を返還するとととした。くと~V'e滅債基金とは，元金は元のまま負債として残して b いて，割賦金の中からとの元金の利息を支払い，その夢瀬を別勘定として積立弟j殖して予定I躍させて一時K完済する方法をとる場合の積立金をいう。〕
年限の後 K元金V'eJ
毎年期末V'e1固定額の支出((債務 K対する刺息 )+C滅債基金への積立額))を行う
とき次の各場合VL:iT‑ける支出額を求めよ。

tn 滅債基金の積立の年利率が tのとき付) 被債基金の積立の年刺率が i' のとき
防波債基金の積立の年別率が t年まで

t(，以後は t; のとき

午後の部
4.
切pV )v
v・
え +t (1一 件 1V)+〈u・t+1V‑ tcついて次の各号 K答えよ。との式を導け。

何)右辺の沖 1項，沖 2項はそれぞれ何と呼ばれるかo~)言葉で意味を述べよ。

‑59ー

〔問〕
5.

♂才の夫と y才の妾が次 K示す給付条件の連生年金保険 K入る場合の年払純保険料を求
めんただし，保険料払込期間は n年とし，保険料の払込は両者共存 K限る。

(‑:n 保険料払込期間中の妥死亡(夫生存〕の場合は，既払込純保険料相当額の死亡払戻金を保険年度末 K支払う。
付)保険料払込期間中の夫死亡の場合は妻の生存を条件として毎年の契約応当日 K年金 1を支払う o(9')保険料払込期間満了の場合は，両者いずれか生存を条件として毎年契約応当日 K年金 1を支払う。

6.

側決金 1の養老保険(保険料は年 1回期首払とする)!tC沿いて Thiele の微分方程式;d一
白t+τVー(メlt+'Z" +8) t+τ:V+
メlt+τ=0(0<'r'く 1，t.
整数)を解ぐとと Kよって端数期間 K対する t+νV を求め，とれを使って一般的 Kはt+νv ~予 v

1 ーνt+l V(0 <ν~ 1 )が成立するととを証明せよ。

‑60ー昭 和 42年 度(解答)

午前の部

αz一一一p‑as

め1+v.Jp.
;
z:a.
:rs‑.
:
r:+lPa + dα;
z:

pvg.
‑.
7:+v.
P.
7:・As+1=UFs+UPs.pa+1 ・a.
:r+l〈九+d).v・九 + P+l ( 1ーて与 )
;
Z:a;
Z:

(P.
:r:+d ) V .
g.
‑;z:+ え+1 (1‑P;z:‑d)
V .gP;
z: (1‑ V• g.
‑.
:
r:+P.
:r十 1 ) = P;
Z:+I+d C.
‑;
z:‑ P.
:r+l)

P;Z:+l- d (P叶 l- V • g.-.:r:)pa1‑ V g.
‑.
:
r:+ P.
:
r:+1♂ =60， P
6
1 .055
国V.~60=.021

d=一一一一=.
= • 04038 を代入
1. 04052

P60 = .
.

MHtV ;z::司A.:r: +t:~司一九:司 . a.
:r+t:京 司=(乙+t江 =η ‑ P;
z::司 )a昨 t
:
'i
二
司故K
‑ 61 ー

Vs‑;;‑;'‑
1P40・ヲ司.0365ー .0202‑ P30:王百I

2.

定 義 Kよ b+t1

P 1fd
孔=ーー，一一一一ー
一一 トー
一一ーー
一一一ーーx+す ん + す idt jtz士dzmx

J
1人十t dt

仮定から.
i.ix ‑ tdx
x+t =P+士， mg の定義式 K代入すれば

これをX

μ''dz

叶= 勿x

J?x ーを da3.
(1) 毎年の支出額を Pとすると，題意によ b次の式が成 b立つ。

(P‑Ki )S
玄1 = K
よってp

K

一一+K iu

司.0163

一一一二L 一一一一一一一一一一一一一=一一一一一= .2173
P.
̲.
‑‑;;
‑;
.
，
‑‑ +7:‑zol
1.旦0ι
4. 0 3 6 5 + .0385 .0750

(=子).
.
.
日(2) (1)と同様 K して‑62一くり(P‑Ki) S石K

よってKP一一一一一一+ Kisf)
11.
1(3)

(i勺

t年までの滅信託基金への積立金の終価は(P‑K i) s~~/ C1+i;)(i~ )t+1年以後の減債基金への樹立金の終価は (P‑kt〉SZ二il と在るので次の式が成b立つ。

、
一くて)(P‑Ki)S訂(1+t;γ~)(P‑Ki)S司K

よってKP

一一一一(in...̲1S引 (1+i~ )..-~十(i~)

十Ki

st日

午後の部

4.
問 責 任 準 備 金 K関する再帰公式

CtV+P)(1+i)= O".:z;十 t + P.
:z;+tVt+lを PV'Cついて解けば得られるD付) *1項は危険保険料，沖 2項は蓄積保険料と呼ばれる。
秒)期初 K有する責任準備金 tV 制 昧 V'
Ct+1V V'C積み増しするため Kは，耕刀 K(v・t+IV‑ tV )の金額，即ち蓄Atl
保険料が確保され左ければ左らまい。その上 K
期中死亡者 K保険金 1を期末K支払うため Kは，期末責任準備金 t+1Vとの差額，即ち危険僚会金を保険金とする 1年定期保険の備投料 K相当する金額 U 九 +t C1‑ t+lV)
即ち危険保険料が必要である。即ち，保険料は蓄梢保険料と危険保険料の 2部分 K分解‑63ー

されるととを示している。

5.

c対応する死廿ム戻金の給付現価はケ) vp・(IA 〉xJ:τ1(1)付) 陀対応する保険料払込期間中の年金給付の現価は

a̲
̲‑(2)

y : τ x y河 l(ウ~vc対応する保険料払済後の期聞の年金給付の現価は時￨αs十九 iGY一 品￨ Gsy.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
、.
・・(3)

よってぐ])，付):lo‑'よび(坊の給付現価の総額は(1)+(2)十 (3) である。
一方，収入は両者共存の場合である。よって収入保険料の現価はPx axy; i九

よって，求める年払純保険料(P )は次式で与えられる。

〈αs+kiy〕 ー ( ax:τ1+tisy〉
Paxy:百 一 (IA 〉J:司6.

ゴ…〉

ブ~a:r

一IT(μ +O)dτ
V ‑ e "0 .
.
.t+τ・(Pt+ +δ). t+τV，1 ̲=会(e‑(<μ t+川dTtJ)‑fτ ( μ +O)dT

Le o t + T = e‑aτ .elogJ.
弘τ/，O
t=Vτ・，
Ot+τ/ ，Ot-['(μ~ ，...+O)dτ"‑rを乗じて，忙注意して， Thie1eの微分方程式の両辺 v
ce‑64ー

τ=ντ=1 まで積分すれば，より+τ /人)
μ t+τdr‑= 0luτ Cstuτ(8Jt)tJ]::; +/ν
‑
故 K，端数期聞に対する t+νV は，

1 1I

V= V ‑山ぷω 〉 山 V+J1uω.ωt+τ/ム+ν )Pt+
τ dr‑
ωt+t/

C O<lJ <1)
故 K，また; C0<ν<1K
対して〕

山v‑uM.HIVz‑ul‑ν.{1ー cot+1/.ん+ν)}.t+1Vぞ+/IUτーν‑tt+τ/γ t+ν〕ん +.
cτ drノ(人 +l/孟 ‑U14.{1ーtω )}・ 山 Ve+ )/ん ν dr‑.
長c‑U14Jlt T=‑uIー
へ{1ー Cst+t/ .必ω)}・ 叩 V+U1ー ν・{1ー(必山/必孟
在名、 ， 11田(補 足〉t+ν)}

0， (実際，一般的Kは 三 三 t+IV だから。〉

1 のときは，明らか。

上記解答は，比較的ェ νガントと思われる解答の一例である。左:j:，‑'，微分方程式の解法は，一般の教科書記載の解法を含めて，当然 VC，どれを採ってもさしっかえない。また，端数期間 K 対する

t+ νV の形も，必ずしも上記のみではなく，要する~，徴分方程式を正しく解〈 ζ とKよって求められた形ならば，当然、Kすべて正解である。
以上，念の為。

‑65ー