〔問〕

昭 和 45年 度

(問題)

午前の部
1.

よ〈きったーそろいのカード( 52枚)から a七 randomV'
C1枚のカードを抜き出しそれをまた戻すというととを繰 b返して 6枚のカードを抜き出したとき，それらの中Kすべてのスーツ(クラブ，ダイヤ，ハートなよびスペードの 4種〉が少〈とも 1枚づっ含まれている確率を求めよ oY2.

右図の正方形でB(1.1)(1)ム O A C内N(2) ム A B C内Q(3) 五百上V'
C a七 random ~各 1 点をと .b. それぞれ P ， Q" Rとする。

。

MA 0.0)X

P から X軸 K会ろした垂線の足を M ， Q，から Y軸 Vてお・ろした垂線の足を Nとするとき，ム MNRの面積の平均値を求めよ。

3.

湖 K全体で N尾の魚がいる。との湖でとった n尾の魚 K赤印をつけて放してやる。しばら尾得られる確
くの聞をないてまた同じ数の魚をとったとき，その中 K赤印のあるものが 100
率はい〈らか。またとの確率を最大托する N の値はいくらか。ただし，との間魚の増も滅も左いものとしn孟 100 とする。

午後の部

4
.

兎 x匹と狐 y匹がいる o
狐は，兎を食って増殖し，その瞬間増殖数(増殖数の時間 K関する徴係数)は兎と狐の数の積♂ YV'C比例するものとし(比'W[庭数は c )，瞬間死士数(死亡数の時間忙関する徴係数〉

‑74‑

〔問〕
は狐の数 yVc:比例するものとする(比例定数は d )。
兎の数の瞬間増殖数は ， xvc:比例し(比例定数は α)，瞬間死亡数は♂

yvて比例するもの(比例定数は b)と仮定する。

(1) 兎と狐の数の変化は，次の 4つの段階の周期過程をとるととを証明せよ。
兎が多数いる o 狐の数は増加して兎の数は減少しはじめる。

ii 兎の数が x♂OVC:まで減少すると(狐の食物は不十分に左.!i)狐の数は減少しはじめる oiii

狐の数が y=y。まで減少すると兎の数は増加しはじめる。

狐は減少しつづける。

iv 兎の数が x =♂。までもどると狐は再び増加しはじめる o そして y=y。まで増加するo(2) ♂0' y。をそれぞれ α， b， c， dで表わせ。
(3) 兎と狐のそれぞれの一周期を通じての平均数を求めよ。

ただし，モデルの設定上，♂， yは整数以外の実数をもと b得るものとするロ5.

次のようを差分方程式がある ou(♂ +2)+
α u(♂ +1)+bu(♂)=0い(1) u )=ρ x ( ρキ o)と長いて，(bキ o)ρの値を求めよ o(2) ρの値を ρl' P2 とし， 01， O2 を任意定数とナれば，上記差分方程式の一般解は次の式で与えられるととを証明せよ oρ
1 キ ρ2のときは時 )=01ρ?+024

ρ2のときは+02時 )=(01♂)P~

P1‑75‑

昭 和 45年 度

(解答)

午前の部
事象 Aをすべてのスーツが加コれるとと，事象 Bを少〈とも一つのスーツが現われ左いとととすれば，BAユly exclusive であるから，である。 しかも， Bと Aは mu七ua
P ( AO r B )=P(A)+P(B)=1P(A)= 1‑ P(B)である oととで，事象 B を，
B1 クラブが全然現われ左い。
B2 ダイヤが全然現われ左い。
B ハートが全然現われ左い。
5B4 スペードが全然現われ左い。

K分解すると 9
B=B1UB2UB3UB4である。
すると，明らか K次の関係が成 b立つ。
P(B)==P ( B1U B2U B3'J B4)=:EP(Bi) ‑:EP(Bi，B
EP(B，B'B
必i'‑j/+•:，，‑ii'‑ij‑.
n)/i)~ ~‑:EP (Bi' Bj' B.&，B.
e)

J(有E財日法定理〉〈ととに Z訴 は す べ て の 相 異 在 る ん j，~，eの 組 合 せ に つ い て の 合 計 「るととを示す。

(~)す()
6ーは)け)
6+(おけ)6ー(1)X 0P(B)=3640

3206341024=一三一ーも+‑j;一一一 ξ0.619
P(A)4‑=1‑ O.619=0.381

答

0.381

‑76‑

2.

P， Q
"Rはいずれも与えられた範囲内で一様 K分布するからMの X座標Nの Y座標，

R の X座標の確率分布は面積比及び線分比 Kよ bそれぞれP(円台)=す{1一(1‑x)2}/
す=23‑J=f(2 2x)dー

1 つ♂

rY

2dy
P (Ny豆 y〉= 7 Y / 7 = y = J 2 y・P (Rx三z/五 z)=y2
戸 =z=f1・dz.五百五 = f f f ム MNR(♂. Y. z)・(2ー 2♂)・ 2y・1・dxdydz={{〈1÷(1‑zy‑(1一心 (1‑z)ー(1ー か }4Y(1‑x)dxdydz
5 ω

一一3.

N尾の魚の中から n尾をと b出す組合せは(!)
通 bある。

また「との n尾の中 VC100尾の赤印のついた魚がある」というととは，湖全体で n尾rいる赤印のついた魚の中から 100尾 と そ の 残 TN ‑ n尾の赤印のつか左い魚の中から n‑ 100尾を(合わせて n尾〉選びだす。」というととであるからその組合せは~~() 通 bである。
1 0)・(仁 1 0(N)は従って求める確率 P)(1~O)(~ 二 1 ~ 0w(:)

P (N‑1 )nU

NT‑77ーN(N)は単調減少函数。
n2 く 100N左る整数 Nについては P1(N)は単調増加函数oη2>100N左る整数 NVCついては P2 一f¥ー
1‑P(N‑1 〉=1ー (N 2n+101)N(N‑n)LP(N)n一一一P(N)︒=n一︑︑ノ二P(N)‑P(N‑1 )=P(N)(1ー左る超幾何分布である o従って P(N)の値が最大陀在る Nの値は
明

2n2ーが整数の時は
100
明ー

2明‑2N=(ιー〕.
.100、1」が'v整 数 で 左 い 時
は00，.
.
0‑，...LI:..~'

n2N =一一ーと一一一一 1100100.~ ‑n2n2n2てする値として N = (一一一)， (一一一)+1一一ーが整数で左い時は P(N)を最大 V
100‑100100〈注〕が考えられるが両者を比較してみるとム )= ~2-100( 吋) + 1)

P ((ど )+1 )‑p(((N‑nY100‑'くη2

従って， N =(一一一〕の時 P(N)は最大値をとる o
100

午後の部
4.

解法は，どの様~方法でもよい。ととでは解析的左手法まで求めてい左いが，→5 解析的を解を記すと次のとな 90d♂
(1) 題意陀よ 9 ‑‑:‑:‑= ω ‑μy=. ♂ (α~ by) ・・・・・ 7・・・・・・・・・・

dtdy

一dt

cxy‑dy=y(cx‑d) ・・・・・・・・・・・・・・・・①②

両式からでも♂ o， yoが求まるカうことでは軌跡陀対応する方程式を求めてみる o①，②よ b
③b

積分して

dx

川町一

♂一一YI一JVJ一一C一αy 一♂

匂‑Jx︐￠ 7仏α‑ bJi dy一cx一一dx

αlogy‑ by‑+dlogog‑
ftx‑cx= l

三二.Y:.= ‑ft ..'...'..
…
.
...・・・・ ④e eCX

Dy‑78‑

Idx

̲...̲~.. dyo:t..よひ一一‑‑‑ dt

均衡点(一一、dto を解いて得た (xy))は点(0，日)と E (汁)である o~ )のみ忙着目。

今題意十てよ.!?X(t)>0， y(t)>0 であるので E (一三，C' hEの近〈の軌跡の状態をみる o+dydtαiρ
7d一c

一一τノy=v+u一lとお、くとCtdτ ￠ れ一山

d¥+一 Id一dU♂

す)ω (v+とれ等の方程式の一次の部分はbddtCdv̲ αC引d一が，]J;Udt芯μ7三竺与⑤271即ち.ニ一芸与一 α• dt2即ちU = A

出発時tで運動は周期的である osin (V(i([ t+Ie)

0を U = 0 と:t.
.<とU = A sin (v'a([t)

v =B cos (y'(i([ t)U2'ー~~. 2V‑ー
司園・ ー
マー 岨匝
・ー・・2 'A'=:竺竺

B2~T'l

即ち第 1次近似では軌跡は楕円であ.!? 運 動 の 周 期 は 一 芸 で あ る 。
vα afwp 泊四(2)は♂ y ~て関し対称的ま性格(グラフは必ずしも対称形では左い〉。

一方忙ついての一般性は他方陀ついても成立つ。
dfい)=王士のグラフの形態を求めると
e・『す‑c)f同f1x}= ((~ ̲， c)2̲f"t:)= cf'(x}= 0をと〈とdx'ーーーC手J収)

f"(与)=ーを2f(手)く。

fl即ち， ♂=手で極大値をと.!?， 次のよう左グラ‑79‑フ~左 9 ，夫々の値は最大値をのぞいて 2 度づっとられている o(例)524d5c=fい)=とす

6d78ヲ

3e~ 四

従って ， yを或る可能左値陀固定すれば 2つの♂の f直が存在し，可能左 x の値忙対して2つの♂の値が存在する。

従って，単純左閉曲線を得る。

5415225456d78

又， yは最大値と最小値を x ー で と 9，同様忙して♂は最大値と最小値を y=};
Cでとる。

〈例)

三こ.
‑.
1二 =.st (α =4ecxe旬 、 c‑80ーb=2，)
d3I

又，式@よ.!Jy~ 与に従って三乏を
h '‑，.
‑‑‑ dt <.
.
.
.

よって軌跡の上半分 i，ii区域では♂は減少するが下半分 i，iv区域で・は増加する o(2) 上 記(1)よりxodY~coαb(3) 平均値 x，Y を求める。運動は周期的であるから一周期 Tで平均をとる o
先づ式①ょ bUJ7ραμ一JM1一zfす坐・t = Jr(α ‑bY)dtdt dTlogx(T)一 logx(o) = αT‑ bfY dt= α T‑ bTY♂

(T)= ♂ (0)よ b

α ‑ by = 0y
全〈同様忙してαbd♂

‑ 81ー=ーー
C

〔別解〕
♂

dc

Y2E

αx1

円4引
・山

Y=J;

町
岨N
IY3adhC

Y 干の時の♂〉ーの♂の値を引と金((前記グラフの例よ b♂ = 与 ょ b

上記の様陀♂=十0玲22}地立つ存在するロ)

y=?を両軸とし，区間を1， l， m， N1
1:分けて (x， Y)の変化を考察ナる。
先づ初期値(町αl'一)から出発し，b

Yが増加して行〈とx， Yは共陀正F当分の間 cx‑‑d>0 ， α ‑ by< 日dyd♂
巌密忙はY(cx‑d) く 0x (α ‑by)よb即ち Z は減少を続ける。

μT

2αω ー.
三乙 であ!?，マイナスの値から
d之=
ι
22dx
α ‑bY)x (d♂

増 加 し て フ ラ バ 左 ! ? (手，~ )附し凸左カーフと在るが本間はカーブの形態まで求めてい左い D‑82ーEdy♂=てーに在るとっ一ーoでありCLxc.
;との時点の yの値を y
1 とお、〈。
C♂

‑dく Oyの増加はとどまる D♂が更に減少を続けて行くとdyよb 寸 ー >0by く O

α‑α.X

即ち， y も減少を続ける。
muyd♂

マK左ると一一ρdyo であ.!?， x の減少はとどまる oyがとの時点より更 K減少を続けて行ぐと c♂ ‑dく Oとの時点の Z の値を引と:t~ (0dyα‑ by> 0 よ bーγ一< 0CL♂

即ち，♂も増加を続ける。

Wdy 一♂ = ー に 在 る と 寸 一 一 日 で あ 9， yの減少はとどまる。
c
CLXx がとの時点よ b更に増加を続けて行〈ととの時点の y の値を y2 と:t~ (0α‑by>o よ 9cx‑d>ody‑;ー>0α.
x

即ちyも増加を続ける。

yd♂
ーに左ると一一dYoと左 ，b/:; ♂の増加はとどまる。
V'‑-~との時点の♂の値を♂i と:t~ (と，前記グラフよ.!? x = 〆11即ち，αdb)の回 b忙周期運動を<.!?かえす。

(♂ J y )は点 (5. (1) u(♂)=ρzを原式J;(f(u(x))= u(♂ +2 )+α u(♂ +1)+bu
材陀代入するとf(ρ ) = ρ + α ρρ♂ キ O よ bx+1， ̲x

̲x ~̲2+bρ=ρ(ρι+αρ +b)ρ2+αρ +b=o(2) 次の i
JiiJ を証明すればよい。
けとの解μ(♂)が f(♂
)= 0 の解であるとと

‑83‑

キす

む+S12ρ︑︑︐ノL司32Gρ

ρ01‑JJキ(ρ︒

X01f (ρ1) + 02f (ρJ〉=01・0+02・0=0。ρ ρ 2 の時
f[(01+02♂ )ρ1XJ = 01f (ρρ+C2f(♂ととでt)=f(♂ ρ

従ってx+2(x+2) ρ + α (♂ +1)ρ‑.，+ bxρ
1=♂

ρ1 は等根であるから

XXρ1) = 02f( ♂ ρ1 )f(ρ13〉+(2ρ1+α)ρ x+12ρ1+α=0

ρ1=‑ff( ♂ ρ~) =0 よ.T f [(01+02♂〉 ρf〕=ojj
J 解の一意性の証明として任意 VLu(O)，u(1) を与え得るととを示す。

(2)が一意的に定ま.T，以下帰納的に μ(司が定まる o )(との場合 uuわ)= 01+ O2oρ1 キ ρ2の時u(1) = 01
ρ1+ O2ρ2u(o)= α， U(1)=β と会〈とα =01+ O2βとれを01，O2V
Lついてと〈と，8‑ρ αO.= ーρ1キ ρ2 であるから
αρ.‑，8内.ρρ201ρ1+c2ρ20̲ーと求められるロρρ2

従って，任意 Kα ， ，8を与える時，上式よ.t01，02 を決めれば

μ(口)=01+02=αu(1)=01ρ1+02
ρ2 βとま.T，上記条件を満たす。

。ρ ρ 2の時
C1=α全〈同様忙してu(o)=α U(1)=ββ = (α+02)ρ1‑84ーと金〈と等根の条件

α2=4bで bキ Oよb αキ 0 従って，・ ρ，‑1え=え02= α +O2aキ O2‑α従って，任意の α， ftを与えた時，上式よ.T01 02 を定めるとu(1)= βu(o)=αとまって上記条件を満たす。

oxが整数値でまい場合は， x = (x)+α と金いて，上記と同様 K任意の u(a}，u(α+1)を与え得るととが示される。

C別 解 〕(1) ρ2+αρ +b=O の根を ρ1'ρ2 とすると根と係数との関係から

ρ1+ρ2‑ー αρ1ρ2 = bf(U(♂
，)) = u(♂+2)
ー (ρ1+ρ2)U(♂+1)+ρ 1P2 u(.
♂
)= (u(♂+2)ー ρ1U (♂+1))ー ρ2 (u(♂+1)ー ρ1U (♂))

u(♂ +1)ー ρ1u(~ =V{X) と:1;，..(と，原式はv(♂+1)ー ρ2v{劫 =0♂=(♂

)+αとb ぐと( ()はガクス言E号)上式を漸化的陀といてV(x}=ρ 戸 x‑1 )=ρ;v(♂ ー 2)=・ ・・=ρia〕 v(吋o= v(α)/p;となぐと制 =ρfs〕 .cρ;=cρis〕+αoρ;(2) 従ってu(叶1)ー ρ1 仰~ = 0ρ;をとけばよいロ〔サ‑♂ )‑1+α)+0ρ2u((x)+α)=ρ1U ((=ρ1(ρ 1U (ω‑2+α)+0ρfa〕ー 2+11)+0ρJ
小川‑85‑

以下漸化的tてといて

u((x)+α)=ρ1〔s〕u(司+0ρ;(ρ1C山+ρ (x)ー 2ρ2++ρis〕‑1〉ρ1キ ρ2の場合(3)の a(x)，，(x)ρ2ρa(x) ..1̲¥ ，u((x)+α) =ρ"'‑ u(α)+0ρ?
ιρ2ρ1.
.
J= (u(α)‑O ρ2 〉dfs〕 + C
ρ2ρρ2ρu( α~ ‑OρH¥

向ρ2ー ρ1O.ρ.‑ 1・IK左るように 0 ，O をo

定めれば，

I

1

ρ2ー ρ102ノu(♂ =01ρ x +0 ρ;
2(3)の bρ=ρ2の場合u(ω+α)=ρ (x)桝 +0(心 ρ:ρ (x)‑1‑(乏生l O(り 1 /')(x)+atρa上ρ ) .~ 1u(α) . 0(x)一τ一 + 一 一 一 =0.+0，.
. ((♂ )+α)ρiρ即ちO=''/) ，02

ρ:ρfa〕，Lu(α)

ー一一一一一ーと長けばρ 111 ρ aP1ι(x)= (01+O2 X ) ρ?

‑86ー2