平成16年12月27日
年金数理………1
年金数理（問題）
この年金数理の問題における「Trowbridgeモデルの年金制度」とは、定年退職者のみに対し、定年年齢x、歳時より単位年金額の終身年金を年1回期初に支払う年金制度をいう。
また、この年金数理の問題におけるr被保険者」とは、特に説明がない場合は在職中の者をいう。
問題1．次の（1）〜（4）については、それぞれ5つの選択肢から設間の答えとして正しいものを選んでその記号を、
また（5）〜（8）については、必要に応じて指示に従った端数処理を行った上で設間の解答のみを、（9）は指示に従った解答のみを、それぞれ解答用紙の所定の欄に記入せよ。（51点）（1）Trowbridgeモデルの年金制度において、次の①〜⑤のうち正しい算式はいくつあるか正しいものの記号を選べ。なお、x：加入年齢、x：定年年齢、ω：最終年齢、 （「）：x歳の在職中の被保険者『∫

数、z：x歳の年金受給権者数とする。
■∫・一1Dδ∫弍直。lD工①y＝・（zぺ。、十Σ∫二「）み斗）在職中の被保険者の給付現価ωω②∫ρ一Σ∫工柱・Σz工・δ工：年金受給権者の給付現価
工＝五工！工工．1

十1工、、斗一1

ΣDツ③GローΣZ三「）十ソΣ7王「）y！エ仁五苗
1五。∫、。l．．

1④∫ヌ、一一（㌧αべa工・一一Σzニエ〕，D工∂工H）在職中の被保険者の過去のカロ入期間に対する給付現価

x−xr

的在職中の被保険者の人数現価D工Dε炸∫∫D⑤∫∫＝ ﾅぺ〕か：将来加入カミ見込まれる被子鯖の給付現価（A）5つ（B）4つ（2）今、極限方程式（C）3つ（D）2つ（E）1っf

C＋一F＝Bが成立している年金制度がある。
1＋f（j：予定利率、F：積立金、B：給付、C：保険料、給付および保険料は年1回期切払）

第〃年度に特殊な要因により給付が2倍必要となった（第〃十1年度以降はBに戻っている）。また、第η年度を含む以降の年度の実績運用利回りがノ（0＜ノく ）となったため、第〃年度末積立金が当初の水準を下回ることになった。そこで、この積立金を当初の水準に回復させるため、第n＋1年度から（1＋疋）倍（た＞0）の保険料に変更したところ、第〃十C年度末の積立金が当初の水準を回復した。
このτが満たすべき条件として正しいものの記号を選べ。

（。）川。。、（／−1）B一（／一け欣・雌1（。）、。1。。、（／−1）B一（／一舳・雌1＋ノ（ノー一グ）B＋（ノーj＋欣）C＋ノ（ノー一グ）B一（ノーf＋批）C（。）c．1。。1（ゾ1）B一（／＋欣一雌1（。）、。1。。、（／−1）B一（／＋欣一榊1＋ノ（ノーゴーグ）B一（ノーゴー派）C＋ノ（ノートグ）B一（ノーゴ十欣）C（。）、。1。。、（／−1）B一（／一州・榊．1＋ノ（ノー5一グ）B一（ノー一派）C

一79一

平成16年12月27日
年金数理………2（3）定常状態にあった年金制度の第n年度末において剰余金Mが発生した。このため、第〃年度末時点で制度設計を次のように見直すこととした。
・第〃一ト1年度以降の給付を毎年Mずつ引き上げる（給付改善）ことを。回繰り返し、第n＋c年度以降の給付水準を当初の給付より〃・cだけ増額する。
・給付改善の原資は剰余金Mを用い、第〃十1年度以降の保険料は従前と同水準に据え置く。
給付改善を剰余金Mの範囲で実施する場合、上のような給付改善を行うことができる回数。として正しいものの記号を選べ。なお、予定利率はfとし、給付は年1回期末払とする。
（記号レ］は、xを超えない最大の整数を表す。）（ん10g

ゴ2M5〃（1・1）〃

10g10g（。）（1・j）〃

1・・（C）

l10g−1＋j1＋^l（、l1景。〕
・・・・

（D）

^1一（、先／110g−1＋^l（、；紬〕

（E）

10g

1

1
10g
1＋1＋

（4）年金を次のように支払う場合、（x），（y），（z）の3人に支払う年金の現価の合計を表している記号を選べ。

・（X）が生存中は、（y），（Z）のうち少なくとも一方の生存を条件として（X）に年金額ノを支払い、同時に、（y），（Z）のうち生存している者（共存の場合は両者）に年金額3を支払う。
・（X）が死亡後に（y），（Z）が共存している場合、一方に年金額ノ、他方には年金額3をそれぞれ支払う。
・（X）が死亡後に（y），（Z）のどちらか一方だけが生存している場合、その者に年金額ノを支払う。

・年金はいずれも年1回期末払いとする。

（んルペ㌦一α桝）・昨、・グαバ・桝）（・）如・α、・・，一・。）・帥、・α五一α。）（・）如斗・、・9、一αゲα一・。）・牝十い・バαψ）（・）也・・、・ゲαψ）・牝・〜・α。）（E）如、・叱一α。）・帥〃・㌦・・ゲα桝）（5）定常人口：Z五＝α一x（18≦x≦α）のもとにある年金制度において、この年金制度を35歳以上で脱退する者の脱退時年齢の平均が55歳であるとすると、この年金制度の集団の平均年齢は何歳が。（小数点以下第1位を四捨五入して整数で答えよ。）

一80一

平成16年12月27日
年金数理……一3（6）2つの年金制度（AおよびB）が合併することになった。これらの年金制度は、以下の内容となっている。

・Bの被保険者数・給与額は、勤続・年齢別構成比がAと等しく、規模はAの20％である。
・AとBの計算基礎率（予定利率・予定脱退率等）は一致している。

・Bの給付水準はAの2倍、Bの積立金残高はAの20％である。
・Aの未償却の過去勤務債務は、Aの総給付現価のO．5倍であり、Aの特別保険料率は合併直前における総給与がその後一定という前提でn年償却するように算定されている。

今、合併にあたって、Aの給付水準はそのままとし、合併後の特別保険料率が合併前のAにおける特別保険料率の1．1倍以内に収まるようにBの給付水準を一律に引下げることを考えている。
標準保険料率は合併前のAのそれを使用するものとし、合併時の総給与がその後一定という前提でn年償却するように合併後の特別保険料率を算定すると考えた場合に、Bの給付水準を従前の何％以下に引下げたらよいか。なお、A，B、合併後ともに加入年齢方式である。
（パーセント単位で小数点以下第1位を四捨五入）（7）定常人口のもとにある年金制度の第n年度末の財政状況がつぎの状態にある。

将来加入が見込まれる被保険者の給付現価∫∫5，000百万円

在職中の被保険者の将来の加入期問に対する給付現価∫忌7，000百万円

在職中の被保険者の過去の加入期間に対する給付現価∫i∫10，000百万円

年金受給権者の給付現価∫ρ10，000百万円

将来加入が見込まれる被保険者の給与現価

G∫210，000百万円

在職中の被保険者の給与現価

Gσ270，000百万円

積立金
20年確定年金現価率（期切払）

F
仁201
δ
oo15，275百万円

永久年金現価率（期切払）
なお、給付・保険料はいずれも年1回期切払いとする。

12，619．2①定常人口であることを用いて、この年金制度の被保険者の総給与を求めよ。（百万円単位で小数点以下第1位を四捨五入）②第n年度末時点で計算した開放基金方式による標準保険料率、特別保険料率（20年償却）を求めよ。（パーセント単位で小数点以下第2位を匹1捨五入）③第η年度末時点で被保険者の1／2が脱退し被保険者の規模が1／2となったため、標準保険料率と特別保険料率（20年償却）の合計が②と変わらないように今後脱退する被保険者の給付水準（将来期問分・過去期間分）を一律x％引下げることとした。xを求めよ。（パーセント単位で小数点以下第1位を四捨五入）。
＜③の前提＞

・第〃年度末の被保険者の脱退により、人員規模が1／2に縮小したが、被保険者の年齢階層毎の人員構成比は変化しなかった。
・第n年度末の被保険者の脱退に伴う計算基礎率の見直しは行わないが、将来加入が見込まれる被保険者の規模は、人員規模の縮小に伴い従前の1／2の見込みに変更した。
・第η年度末に脱退した被保険者は全員年金受給権者となり、過去の加入期問に対する給付現価を給付原資とした年金給付であった。

一81一

平成16年12月27日
年金数理………4（8）ある年金制度における2004／3末と2005／3末の決算諸数値および2004／4〜2005／3の間の諸数値は、次のとおりである。（予定利率：3．o％）
2005／3未決算における「利差損益」を求めよ。
（小数点以下第1位を四捨五入して万円単位で答えよ。利差損の場合は、金額の前に△を付けよ。）［2004／3未決算時コ

年金受給権者の責任準備金：2，000万円

被保険者の責任準備金：4，000万円
過去勤務債務
1，O00万円［2005／3未決算時コ

年金受給権者の責任準備金：？

被保険者の責任準備金：3，920万円
過去勤務債務
1，050万円［2004／4〜2005／3コ

特別保険料額：140万円．年金給付額 ．200万円

標準保険料額1360万円
一時金給付額：500万円＜前提＞

・2004年度の脱退者は、すべて一時金を選択するものとする。
・2004／3末の年金受給権者は、全員確定年金であり、」時金給付は生じていない。
・保険料は年1回期切払い、給付は年1回期末払いとする。
（9）ある年金制度の初期過去勤務債務額を、以下に示す4通りの償却方法（①〜④）による年1回期切払いの特別保険料で償却することを考えた。
第2年度末での未償却過去勤務債務残高が少ない順に、償却方法の番号を並べよ。
＜前提〉

・この年金制度の被保険者数は増加傾向にあり、各期初の被保険者数は前期初より5％増加する。
・後発過去勤務廣務は（被保険者数の変動に関わらず）利差損によるもののみとし、初期過去勤務債務額の5％が毎年期末に同額発生する。
・①および②の方法における被保険者1人あたりの特別保険料の算定は、被保険者数が発足時から変化しない前提で計算する。
・予定利率は2．5％とし、期切払確定年金現価率（δ万≡）としては以下の数値を使用すること。
o一
@〃1η

α＿1

1．000

6

5．646

2

1．976

76．50832．9278

7．349

43．856

8．170

54．762910η

@〃18．971＜償却方法＞①被保険者1人あたりの特別保険料を設定することにより10年間で元利均等償却する方法②被保険者1人あたりの特別保険料を第1年度1Pとすると，第2年度：2×P．…，第6年
度：6×Pと、階段式に増額する形式により6年間で償却する方法③制度全体として、被保険者数に関わらず一定額の特別保険料を設定することにより8年間で元利均等償却する方法④前年度末未償却過去勤務債務額（第1年度は初期過去勤務債務額）の一定割合15％で償却す
る方法

一82一

平成16年12月27日
年金数理・・…・…5

間題2．次の空欄に当てはまる算式を求め、解答用紙の所定欄に記入せよ。（9点）

支給開始年齢から終身年金を全ての脱退者に給付する制度で、年金額は年金額＝（給与累計）X（年金支給率）となっている年金制度を考える。

3よ：x歳の給与額D二，δ二など：生命表（3二，∂二）に基づく計算基数、年金現価率等

D士．C二w）など：脱退残存表（Z工，4w））に基づく計算基数（C二w）＝v糾14w）には、生存脱退後その年度中に死亡する者を含まないものとする。）

年金支給率を一定値αとし、また、定年年齢x歳（＝年金支給開始年齢）で全員脱退するものとする。

r

給付現価∫の計算式はよ∫＝∫工椰D工十∫五p∫とすると、．峯／＝叶小「1叫よ州D工、．峯／＝吋小「］叫似Dと表される。∫

五州り、∫

五州

∫

J州

工は将来見込まれる年金額のうち、将来加入期間に対応する部分の給付現価を表しておは過去加入期間分の給付現価を表している。

は将来の加入期問の長短に関わらず年金額が確定しており、

㌦巾・ト・

∫

ここで、

＝v

一工z工

x歳の被保険者がx歳まで生存している確率は、x歳までに生存脱退した者がx歳まで生存する確『『傘と、x歳まで加入し続ける確率の和であるから∫ 一工＝ソ『J二となる。これより過去の期間に対応する給付現価（∫
工p∫
饗を受けないことが言える。

一83一）は計算基礎率（予定脱退率、給与指数）の影

平成16年12月27日
年金数理………6
間題3。岱。wbridgeモデルの年金制度がある。財政方式は加入年齢方式、加入年齢はx苫歳、定年年齢はx、歳とする。以下の谷間に答えよ。（20点）（1）標準保険料率4。（年1回期切払い）を定年年齢における年金現価率および計算基数を用いて表せ。

（2）計算基礎率のうち、予定脱退率のみを洗い替える財政再計算を行ったところ、財政再計算前後の予定脱退率に基づく脱退残存表の加入者数に以下の関係があった。

々＝4−m（x−x、）
1ざ一1（一・（・、一・直）十m（・、一・）2x。一x直1ζ1く・1ζ≧0（・、≦…、）、1〜≧0（・、≦…

）ここに、Aは財政再計算前、Bは財政再計算後の言十数を表すものとし、mは定数（肌≧O）とする。

このとき、財政再計算前後の加入年齢方式による標準保険料率々，巧の大小関係を示せ。

（3）財政再計算後の標準保険料率冴が最大となるような定数mの値を求めよ。

一84一

平成16年12月27日
年金数理………7
間題4．定常状態にある企業の年金制度を考える。（20点）《制度内容》

年1回期初加入。

・加入時期「（加入全期間における毎期初の給与の累計額（定年到達時は（定年一・給付内容､）歳までの累計とする。））Xα」の年金年額を、脱退時から年1回期ﾘ払いで生死に関わらずカ年間支給する。
・昇給時期

年1回期初昇給。

・脱退時期

年1回期末脱退（死亡による脱退は発生しない）。

阡N退職は定年到達時の期初に脱退。

「昇給後給与合計X保険料率」を年1回期切払い。

・拠出方法

加入年齢方式（加入年齢x田歳）

・財政方式

必要であれば以下の記号および計算基数を用いよ。

x：加入年齢、x：定年年齢、z卍『∫：x歳の被保険者数、3：x歳の1人あたり給与、五ろ、：給与指数、ゴ1予定利率、δ司：利率ゴの期切払い〃年確定年金現価率

D，C等の計算基数は、生存脱退のみを考えた場合の期初拠出、期末脱退に対応したものと考え工工ること。また、わばxに関して単調増加であるものとする。
工
なお、以下の設問において、責任準備金は期初の昇給直後・カロ入直後・保険料の拠出直前のものと考えること。

（1）標準保険料率および制度全体の被保険者の責任準備金を求めよ。

（2）ある昇給時期に一律βのべ一スアップがあった場合に発生する後発過去勤務債務を求めよ。
なお、ここで言うへ一スアップとは、過去の給与累計には影響せず、将来にわたっての給与が従前の（1＋β）倍（β〉0）となるものとする。

（3）給付内容は上表の「制度内容」と同じ条件で、拠出方法を「昇給後給与合計×保険料率（年1回期切払い）」からr期初被保険者数×保険料率（年1回期切払い）」に変更（すなわち、給与合計に比例した保険料から被保険者数に比例した保険料に変更）した場合、変更後の被保険者の責任準備金と（1）で求めた従前の被保険者の責任準備金の大小関係を示せ。

（注）本間では、当該拠出方法の変更についての可否は問題にしないこととする。

以上

一85一年金数理（解答例）
問題1．

番号

（1）

（2）

（3）

（4）

記号

（A）

（C）

（E）

（E）

番号（5）

（6）

（7）一①

（7）一②37数値

番号歳％

（整数）

（整数）

（7）一③（8）

26

数値等

65

標準：25，000百万円 特別：（9）④＜③＜①＜②（未償却過去勤務債務残高が少ない順）（整数）（1）①〜③教科書P68第3章練習問題3

1．5％（小数1位）（整数）△235万円％

（整数）

2．5％

より算式は全て正しい。

1∫i∫協＿（ソ、γC」∫C）④教科書P66（3−47）式よりa
一方、教科書P61（3−26）式及びP62（3−29）式から・・一い、／・一か・帆なのでx−x
直よ＝工。
1．．

1

∫貝、＝一・（㌧・べa

D工

工・一1

Dよδ工Σ7王「）〔）x−xo工斗D工

これより算式は正しい。

⑤教科書P66（3−46）式より

∫／＝上．

Ca
一方、教科書P65（3−38）式から、C二Z（「〕・Dδ

五D五五F工ﾈので算式は正しい。

以上から①〜⑤は全て正しい。…正解（A）（2）第n＋s年度末の積立金をF とする。
月十∫まず、第n年度の給付が2Bとなったため、第n年度の期末時点での積立金FはF〃＝（1斗ノ）・（F＋C−2B）となる。

次に、第n＋1年度から保険料を（1＋疋）倍にしたため、次の差分方程式を満たす。
F、、、、＝（1＋ノ）・｛F、、十（1＋た）C＿B｝（∫≧O）

今、式の両辺からF。一1＋ノ・β一（1・州を減じて式を整理するとノ

一86一

F

十、十、一F。一（1・ノ）・（F十、一F。）（∫≧O）

従って、F、十、＝（1＋ブ）s・（F、一F。）十F。

ここで、FF、（s≧O）≧FとなるCを解く。

、、一（1・ノ）（f＋ト1・（F月一F。）・F。・F（1。ノ）（1・1）・〇十ノ）F■F…

…・…（・）

F−FHα

ここで、・は・十一・一・という関係式を満たすため・

一1＋／・匝一一）・一・1である。

1＋ゴ
それらのF，F。，F

ゴ

に関する関係式を（＊）の右辺に代入すると、〜）（刈。（／−1）B一（／一！一荻一枇（ノ十グ）B一（ノ十洗）Cとなる。よって、両辺の対数をとることによって条件式が導ける。… 正解（C）（3）給付改善に伴う給付現価の増加が剰余金以下となる必要があるので、次のような不等式が成り立っ必要がある。
1

M≧〃．ソ．δ十蝸．ソ2．δ十＿十㎜．ツ
的的、につレ博くと、、、・・oo．δ資㎜．o．∂：M．
f（1的^1κより、題意の、は1ゴ・・ゴ^1綱10910g1＋ゴ）＝1＋ゴ1となる。

1＋ゴ・正解（E）（4）（ノ・2・）ぺ（用）α工・1・（用）へ1μ・へ．凹
一（ノ・・石）・・工・（用）・（・y2yz・（＾3）・（α工、・α瓶一・α工。）

一αリ、）十刈（α、・α、一・α、苫）一（・工、・α工、一・αエツ、）／

一ノ・（α、・孔一αμ）十万・いα工，・α、一αψ）

・正解（E）（5）

x歳の者（Z工）について、x歳以上（α歳まで）の間に脱退する場合の脱退時平均年齢は

一87一

4一η一（α一x）∫。

x＋（乙一p、φ）

z五一z。と表されるので、題意から、55−35。ろ・一η■（o−35）4ZポZ。

一川一い一・・吋（1−1）φ一（α芋肌∴Z五＝75−xα＝75（18≦x≦75）

したがって、この集団の平均年齢は∫ζψ∬・（・・一・）欣＝（75半36）／3＝37∫ζ林工ζ（・・一・）ゐ⇒解答37歳（6）G：総給与現価、S：総給付現価、F：積立金、P1標準保険料率（添字は各制度を表わす）とすると、問題文の条件は次のように表わせる。
G3＝0．2Gノ、SB＝0．4Sノ、F月＝O．2Fノ、SノーP／x

GノーFメ＝0．5Sノ

合併後の丑の給付水準を合併前の給付水準のα倍とすると、合併後の過去勤務債務は、（Sノ半αS＝B）一P／x（Gノ十G）一（F月十FB）（1＋0．4α）xSノーPノ×1．2Gメー1．2F／

A制度の総給与をBズn年確定年金現価率をaとすると、合併後の制度の総給与は1．2Bノとなる。
．

．合併後の特別保険料率＝｛（1＋0．4α）×S4−Pノ×1．2G■一1．2Fλ｝／｛1．2Bノ×a｝＝｛（O．4α一0．2）×Sノ十1．2（SノーPノ×G一一Fλ）｝／｛1．2B4xa｝＝｛（0．4α一0．2）xSメ÷1．2×O．5Sノ｝／｛1．2Bノ×a｝＝｛（α十1）xSメ｝／｛3B月×a｝

これが合併前のAにおける特別保険料率の1．1倍以内に収まるためには、｛（α十1）×Sノ｝／｛3Bノ×a｝≦1．1×．

．α十1．

．α≦0．65｛0．5Sノ／｛Bλxa｝｝≦1．65⇒解答65％（7）（以下、金額単位は百万円）①被保険者の総給与を〃とすると
Z3＝

Gα十G∫270，000＋210，000＝δ餉＝＝25，O00

19．2⇒解答25000百万円②標準保険料率をPM、特別保険料率を〆∫Lとすると

一88一∫員∫・∫∫P＝

7，000・5，000＝＝＝0025

Gα十G∫270，000＋210，000∫ρ十∫負ドF10，000＋10，000−15，275
戸∫z＝
一＝0．015
25，000．12．6

z3・δ＿〃1⇒解答標準保険料率：2．

5％、特別保険料率：1．5％③被保険者数減少後の各数値はつぎのとおり。
∫∫：2，500∫

G∫＝105，000

三∫＝3，500

G∫I芸∫＝5，000σ＝135，000∫1ρ＝15，000

F＝15，275

Z3＝12，500

給付水準引き下げ後の各数値はつぎのとおり。

^1一念／｝・…／1一念い恵一1・…／1一歩／

ポーλ・…

G

∫＝105，000

G㌧135，000

F＝15，275

工3I∫

ρ＝15，000＝12，500

給付水準引下げ後の保険料率をxを用いて表すと、^1一志／・λ…／1一、1．／
∫p・㌧

芸∫十∫

1・…

∫GM＋G・／＝135，000＋105，000、二附げ、1！・…！・…／1−1誌／−1！…
Z3・∂＿

12，500．12．6

蜆1PM＋PP肌＝PM＋P

肌をxについて解くと、κ＝26⇒解答26％（8）まず、［2004／3未決算時コの年金資産額を求めると、年金資産額［2004／3来コ＝4，000万円十2，000万円一1，000万円＝5，000万円

次に［2005／3未決算時］の年金受給権者の責任準備金を求めるが、年金受給権者が権利を有する年金がすべて確定年金であることと、脱退者がすべて一時金を選択して年金受給権者にならないこと、また、年金受給権者が一時金選択を行わないことから、次の式が成立する。
年金受給権者の責任準備金［2005／3末］＝年金受給権者の責任準備金日2004／3宋コx（1＋3％）一年金給付額ゆえに年金受給権者の責任準備金［2005／3末コ＝2，000万円×（1＋3％）一200万円＝1，860万円
従って、［2005／3未決算時コの年金資産額を求めると、実際年金資産額［2005／3末コ＝3，920万円十1，860万円一1，050万円＝4，730万円
一方、予定利率通りに利息が付与されだとすると、予定年金資産額［2005／3末コ

一89一

＝（5，000万円十360万円十140万円）×（1＋3％）一（500万円十200万円）＝4，965万円

したがって、利差損益＝実際年金資産額一予定年金資産額＝△235万円⇒解答△235万円（9）仮に、当初の被保険者数を10万人、初期過去勤務債務額を100億円とする。
〔①の場合〕

被保険者1人あたりの特別保険料は1OO億円÷10万人÷8，971＝11，147円／人

第1年度末PS
第2年度末P

L干（100億円一11，147x1o万人）×（1＋2．5％）十5億円：96．0743億円
SL＝（96．0743億円一11，147×10．5万人）x（1＋2．5％）十5億円＝91．4792億円〔②の場合〕

6

δ一Pは、P・Σ

一・10万人＝100億円という式を満たす。

昔1（1・2．5％）6一6

上式のうちΣ∂一■ヨ1（1・2．5％）6一月の部分は5・646・／4・762・／3・856・巨・927・⑰．976・1・1，025）今1．0251・1．025／・1．025／・1，025と計算できて、19，354となるため、P：100億円÷10万人÷19，354＝5，167円／人

第1年度末PS

L＝（100億円一5，167x10万人）x（1＋2．5％）十5億円＝102．2038億円

第2年度末PS

L＝（102．2038億円一2x5，167×10．5万人）x（1＋2．5％）斗5億円；98．6369億円〔③の場合〕

1年あたりの特別保険料＝100億円÷7，349＝13．6073億円
第1年度末PS

L＝（100億円一13．6073億円）×（1＋2．5％）斗5億円＝93．5525億円

第2年度末PSL＝（93．5525億円一13．6073億円）×（1＋2．5％）十5億円：86．9438億円〔④の場合〕

第1年度末PS

L＝100億円×（1−15％）×（1＋2．5％）十5億円＝92，125億円

第2年度末PS

L＝92，125億円x（1−15％）×（1＋2．5％）十5億円＝85．2639億円⇒解答④」虹②
問題2．

教科書161頁〜163頁①仏〕②但〕③仏／④但／
婁／・峠／・へ⑤仏／⑥一／到⑦
一90一久

⑧峯／叶／・㌧⑨ll

問題3．

（1）財政方式が加入年齢方式なので、x歳の加入者1人当たりの給付現価を∫、人数現価をGとす
エエ

ると、工…

。．δ

Σ・。

∫＝工・工・五D
エ

G＝y邦
工 Dエ
∫工

D工、・δ工G㌔ ・ΣD，

したがって、加入年齢γ。歳における標準保険料率4。は、4。竈二上策、．、

y巳工。
（2）（i）m＞0の場合

zの関係式をみると、
工4＝々一m（γ一x。）
1〜・1（一・（・、一・。）・m（・、一γ）2からx。一孔よ■

だ＝だ．だ＝zB
よ｛よ工が言える。

また、xくxくγにおいては1〜一1ζ一1く・（・、一γ。）・m（・、一・）2一を二一・（π一・。）／x。一κε…一孔／1一（㌦■汁孔）〕い1・ll）

・一・（・寸三ミ／・・／1でだ＞だ
工となる。

工

これより、が＝がエエ

なので

ポ＝∫B工 が成り立つ。

五工一1

…①
五一1

一方・・、〈・＜x、においてぺ＞ぺなのでΣぺ〉Σぺ
y＝工

一91一ツ＝工芭

．・．G1＞G8
工。

・②

孔

①、②から

斧一み／芸一請・箒・1

よって、巧く冴が成り立つ。

（i）m：Oの場合

4＝4x色≦x≦x、がで成り立つから々＝κ（3）標準保険料率4。が最大となるには、次の算式が最小となる脱退率を求めればよい。
エテ1、 ㌦ ξDγ 、み■1
一＝一＝＝ 工Σγyユ4。 ∫工。 D工、∂工、 δ工、ゾy・上。 ∫工、・、㌧卜士へ・州斗デ〜・…
・、㌧／㌦〜、士〕

久一・〆、刈．上み一・・〆、±一〕

括弧内の各項がρ、，＝ρ工。。1＝…＝ρ五、一1＝玉のとき最小値をとる。

したがって、4は各年齢における脱退率がすべて0のとき最大となる。

よって、m＝0のとき巧は最大値をとる。

問題4．

（1）求めるべき標準保険料率を4、制度全体の被保険者の責任準備金をγとすると

一92川

工。一1五工。一1

ΣC工・Σわ、十DぺΣろ、

久＝けy葦、胤・α・α；1…・・①

ΣD工・あエエ＝五里
み一一工．1y工F−1

ΣC、・Σ4＋へ・Σ4γ一Σz工・久γ吋

榊五一㌔

科五．、■。一一ΣD、・ろ、・α・δ。一一久・Σユエ・3五y弍

D工・わ五工㍉

D五・ろ工（2）べ一スアップがあっても標準保険料率は変わらないため、べ一スアップ後の責任準備金γは
エテー1

み一y

み一1

ΣC、・Σ久十へ・Σ4

プ＝Σz工・3エ

エ三礼

D工・あ工

み一1y■工。一一工。一1み一ΣC、・Σ4＋へ・Σ4み．，ΣDジろ、
十Σ4・久μ 制
目・α・δボβ一々・Σ4・久μ（玉十β）
工㍉
D、・ろエ
エー札
D工・わ工

よって、発生する後発過去勤務債務は

7一γ
エパー工．、＝β｛Σ4・具μ∫叫yよ。一1

ΣC、・Σろ，十DぺΣ4制制

Dよ・ろ工工．，み一1

ΣD、・ろ、・α・δ；■一久・Σ4・久同榊

D工・わ工｝（3）

変更餉制餉標準保険料率、．シ．恥‡・ψ青．、．、．．．．．②
ΣDエエ＝工ここで、変更後の責任準備金をγとし、変更前後の責任準備金について考えると、給付現価が等しいことから

一93一、．1

エゲ1

■。一1

ΣD、

γ一プーΣ㍗・z工y＝エエ㍉

ΣD、・ろ、

一久・z工・3エy＝工D工

D工・ろ工工。一1

ΣD，
尺・z、y＝五D工

五一1

ΣD、・あ、＿ツ＝工埋

ここで、各項の比を①②を用いて整理すると、

久・z工・万五五デ1

五一1

ΣDジわ、

ΣD、y＝上ツ＝ろD、・わ工＿蜘こ、、．。0、ろ．。Oで生。生。．．．。五ならば

α1

α20。

う1＋．十ろ・。ろ・十十ろ・。．．．。生が言える。

α1＋．十α、十αnα2＋0，D・ろy γ＝ろ、はyについて単調増加という前提を用いると、今、D。
工一1

五一1

ΣD、・あ、ΣD、・ろ、

y＝工・@∫ゲー＜y＝∫ΣD、y＝孔工。一1ΣD，（γ＜x≦x−1）｛y討と言える。

よってγ一γ＜Oとなり、r変更前責任準備金」＜r変更後責任準備金」と言える。

一94一

五一一

ΣD、y土工五一1

ΣD、・ろ、戸五