1991年12月一8日
保険数学2……

保険数学2

（問題）

1．次の｛1〕から（5）までについて・それそれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ選んで、所定の解答用紙にその記号〔｛A〕から（E〕のうちいずれか一つ。〕を百己入せよ。

｛40点〕｛工）死亡解約脱退残存表における藏存者が互、＝a−b京で表され、解約率q＝が死亡率q．の4倍であるとすると、絶対．

互。一k Ib
亘。一k，b

死亡率はq。＝I一となる。このときのk 1 kは次のっちとれか。

1・）／lll：1：：1・〕／：11：1：1・〕／lllll：：1・〕／lll：1；（・〕／lll：1；1（2〕ある年舳における養老保険｛保険金額I、保険金期末払〕の一時払営業保険周はO．38337、また年払全期払込の営業保険料はO．02368である。但し、予定事案資は、

一薪契約資

維持資
集金時払年払保険金の25％。

保険金の25％。

保険金の2％o保険金の3％。

資なし年払営業保険料の3％とする。このとき予定利率は次のうちどれ1こ最も近いか。
｛A）

4％

｛B〕

4，5％

｛C〕

5％｛D）

5．5％

｛E〕

6％

（3〕終身払込終身保険｛保険金額i、保険金期未払〕に30歳で加入し、5年経過時点で解約返戻金・Wに基づいて払済終身保険に変更するとき、変更後の保険金額に最も近いものは次のうちどれか。
但し、。W出、V日一〇〇エ510−t工。

｛t≦1O）．

。V，は純保険料式責任準備金とし、払済然身保険の予定事業費は、保険金1iこ対し毎年0．O02とする。また、i＝O．055．P｛A〕O．08（B〕O．H｛C）O．1｛＝O．㏄6078．5V｛D〕0．主？

＝O．0305とする。
｛E｝O．20x｛4〕坦一週ポ（1一一〕．O≦五≦ωのときる一は次のうちどれか。
ωl｛A〕一（ω一x〕3｝■

1（B〕一｛ω一x〕
22｛C〕一｛ω一x〕
3

3｛D〕一｛ω一x〕
4

4｛E〕一（ω一x〕
5（5〕D、白6602，506．D■！43．06ヨ．M■！680，008．M，、、＝653，447．A＾縦！O．21561．
●Iであるとき、A＾固は次のうちどれに最も近いか。
（A〕0．OO14工（B〕0．00262｛C）O．00379｛D〕O．00402

一23一（E〕O．00697

A二川吉0．03611

1

保険数学2・・

2．x歳加入n年済期擁老保険｛保険金額1、保険金無兼払、n〉1）について、予定利率iに基づく年払純保険料をP、、■、
箆t保険年度末における沌保険料式責任準備金を・V■縦、チルメル歩合αに対する全期チルメル式責任準備金を、V；，司で表すものとする。いま、予定利率i（ジ＞i）に基づく年払鈍保険料をP二、司、第t保険年度末滝保険料式責任準備金を。V一＝正で表し、△V。士。V。川一。V二≡祠、△P士P。川一P一；司として次の閥に答えよ。

i、一i、D（20点）、，｛1川ユ1・I■ ｱユ（・V川トP川〕r，L△F1・旧11・t・・一1〕を示也
ここに、D。。、．巷…いr口は予定利率ilこ基づくものとする。

△Vt（2）・△V」1△V一α、ユ；≧・、，、．．叩U≦t≦nII）を示し・さらに言、、．□・、、、ならば・

tV…蜆≧8V；；司（1≦t≦η一リとなることを証明せよ。但し、予定死亡率は単調増加とし、このとき養老傑険の第t保険年度末滝保険料式責任準備金がtに関して単調増加となることを用いてよい。

3．瓦歳加入η年滅期養老保険（保険金額1・一i

ﾛ険金期末払、保険料年払、n〉1）について、予定利率iに対し、実際利率であるとき、次の各闘に答えよ。

｛20点〕｛1〕各保険年度末に予定利率iに基づく責任準備金を積み立てるとき、第t保険年度の剰余R、を求めよ。（R、は第t保険年度始生存者1人あたりの剰余とする。〕但し、第t−1保険年度までの剰余は分配済であるとし、第t保険年度の剰余に影響しないものとする。
｛2）＾一1V＾＝司＝

種1−P、観十利一・R、を示せ。

（3）。Vパ日＝A二い≡r■一P。＝司・ボ＾：rη一トΣ二｛パ〕

ここに・A一川ill・自二一1石η・刊．はi・、一1p。、ピR。、、

い＝1．2、…・，η一！〕を示せ。に基づくものとする。また、実際死亡率は予定死亡率に従い、死亡以外での脱退はないものとし、予定事業庚は考えないこととする。

4・次の給付を行う保険料全期払込の親子連生保険（保険金即職払）の年払平準鈍保険料および純保険科式責任準備金を求めよ。なお、契約年齢は子供x歳、親y歳とし、保険期間はη年とする。

｛20点〕（工〕減期までの生存の場合①子供・親とも生存したときは保険金Sを支払う。
②子供のみ生存したときは保険金1．5Sを支払う。
（2）満期までの死亡の場合
t①子供が第t保険年度に死亡したときは死亡給付金一・Sを支払い、保険契約は消滅する。
n②親が死亡したときは以後の保険料の払込を免除するとともに、以後子供が生存する限り契約応当日ごとにO．1Sを潰期の工年前まで支払う。

一24一

2

保険数学2（解答例）
1、

設問番号

（2〕

（ユ）

解答欄

BA

（3）

（4）

（5）

CCB

正解は上表のとおりであるが，以下に各設間の解法を略記する。
（！〕…

（B）

題意よりωユ：王エgエ山＝〜エ・4gエ＝4∂エであるので，

j工一主工十1j工十F王エーdユー帖＝王工一5ムφえ∂ユニ．

55＝一（し＝o一虹）

54と．ω工＝一5

幸6．

9工＝山uエO．2らし一〇．6と＝エェーO．4ら＝1 上エー0．4わ工千一丁（2〕…くA）

題意より

A工：司十0，025＋0．0026工、司＝O．38337

ん、詞十0，025＋0，003ん＝司（1−0．03）6工＝司＝O．02368

これらを解いて，ん、司＝17，450，ん：司＝0．32347

トト．

・・

1一ん＝司』』でメ」司＝1一∂αエ河よりd＝6工、司＝003877

I．．
．一dエ：一：0040

1−6（3〕・…（C）

ヨH7＝5τ！30−01

0ユ5×10−5IO＝O6ユ十ミ
6王0305−0・・

0075＝00230！一y工．
であるから，
P工十6

芦ユ＝一一d，。γエ＝1一一よりαエ十，＝；工

1−0．0305
035二：16655また，ん5＝！一あ35＝0！3173
0．055
01006078一←王．055
盲W

払済終身保険金額＝＝0．0230

ん5＋O．0026350．13173＋0．O02×16．655

一25一＝0139

（4）（C〕@1。（守）2
1
加（、．工）。／。（ω刊・出

1一一1。ψ工加1。

ぺ子）
一（、土、）。卜去（ω†1）311■五一夫（ω一五）。一工中一エテ）

1工一1。ψ水1。

加、．工r（ω†t）出ザ青）一、と工［一夫（ω†・）211一工一夫（ω一エ）。

2e一＝2ε工一身〃＝一（ω一工）

3（5〕・・（B）

ん1・司一二一肌パ肌ユ司一・舳・一・・・…一・・・・・…1・・1

硝

66021506＝＝O．0026ユ6…
2（ユ）再帰公式により，（。γ司十ρエ：司）（1＋｛）＝戸工十三・、十1γ工：司十g工十さ…①（・1／二＝司十戸二司）（1＋｛）＝声，十王・、十1γ二＝莉十9工十，…②①一②として△1p＝1pエ＝司一戸二司，△γ，＝、γ，司rγ二回と置けば（△γ一十△戸）（1＋｛）一（三γ二河十一p二司）（｛一｛）＝＝声工十、△γ，十1

すなわち，0エ十用△γ。十r0、十。△γ，＝△一ρ0工十，」刊（まγ二司十戸二司）0工十、I＋f

この式の士に順次f＋1，t＋2，…，η一1を代入して辺々加えると，△γ日＝Oにより，−D工。

日I■一珂．1△γ，＝△戸ΣDユ。、」刊Σ（、γ二司十戸二司）D工。、

剖1＋え5引△γ・＝言婁肌司十戸二司）書葺：一△戸・工・同（2〕（1〕の結果より，1≦‡≦n−1で∠1γさゴーf。，、，司「十工1■一1v工、丘＿〜。、，召（・γ一26一十戸）D工十r△戸③

∠γト1

ゴーゴ

＝；工十，一＝司1＋｛1・掘一一Σ（、γ十戸＝H）D工十、一△戸④

M工十！一1−M工十が成り立つ。（、γ二粛，月二＝司をそれぞれ、γ・，戸・と略記した。5③一④を作れば，
∠γ！
○工十三岡

∠1γさ＿1
ゴーf1
α工十，＿亘司．1＋！ （〜工十1−v1十蜆）（v工十H−v工十・）・／（」V工十、＿，一〃ユ十列）

Σ

π一1（、γ一←戸）

D工十、

j；1一（篶何一！馬、量、・γ

十肌・／となるが右辺の中括弧内は，
月■1（jVエ十，＿1−jVエ十、）Σ］（、γ令戸）

0エ十、一（jVエ十！一jVエ十＝1掘一1）

Σコ（、γ十戸）

Dエ十、

f＝！

一（M工十一一M工十制）（！＿lV

一1＝D！十！＿1Σ

十戸）D工十；＿1（、γ＾一1十戸）D工十、一Σ0工十、（HV＝十P）D工十H

j＝！

日一1＝D・・1一蟹（・1／≧O（．．、γ∠1γ！

r−1Yの単調増加性より士≦5≦η一1で。「／∠1γ！＿1

よって≧6！十、、同∠1γI）D工・・6工十H：司≧HV）（1≦t≦n−1）が示された。

α次に，≧一を用いると，1≦t≦π一1たる任意の芭について，6！十I、司6工＝司∠1γ。
6工十一、司α≧一が成り立つ。

6工：司α
ところが，・γ二：司＝・γrガτ一・6エ十1、同であるので，与条件のもとで，○工：引α〃二＝司一〃二、万二△γ，一r・6エ十！、高≧O
α：＝司．γ二司≧！γ（1≦亡≦n−1）

f＝司（1≦‡≦π一1）（1〕再帰公式により，（Hγエ：績十一P。、票）（1＋｛）＝戸エ十！一ピ〃エ＝司十伽十。一1

またゆえに（Hγ銅十月期）（1＋｛）＝芦エ十H・。γエ莉十gエ十H＋凡

凡＝（Hγエ＝司辛戸エ＝司）（ポー｛）（2〕（、＿1γ胡十月エ＝司）（1＋ゴ）・・（、一1γ。＝司一ト戸淑）｛（ユ十1）十（ポー1）｝：1＋R制

一27一、。一〃工詞＝一戸ユ＝万十リ＝リ

一戸工：司十リ（1＋R）

R／3）与弐は（2〕からt＝η一1で成り立つことが示されている。ゆえに士十1のとき成立するとしてfのとき成立することを示せばよい。
亡十！で成立するから，・十1γ工1司＝〃工÷・十11司一戸工1司6

祀一t−1 ）㌧、一声工十、十ドR、十且十、エ÷！十1＝高十Σ（リよ＝1
辺々にリー加十。を乗じて

リ

日一！一1
ﾋ川・1・1γ上1司＝小・1・ん・1・l1司一戸。：司・小・ピ6二。ミ十1＝市十Σ（リー）j＋㌧、女、。、・沢、。、、，

s昌I＝（A工十！1高一り・g工十・）rD工1司（6㌧十王：同一1）十Σ（ひ）占・、一声工十、・R、十rリ・尺三十］占＝旦∴ん用：同一戸・1司6洲1n＋Σ（リ）ミ・H戸。十ミ・尺。。＝リ」（れ，。パ、。1γ切十9、、、十灰．、、）イ三＝司f＝1＝几＝司〔∵・γ工1司十ρ工：司＝リ（声工十パ＝十1γ珊十9工十、十R，十I）〕ゆえに士のとき成立することが示された。
4．保険料を戸とすると，⑦収入の現価戸・6軸＝司⑤（1）の給付の現価∫・ノ・庇・引声、十1．5∫・♂・戸工（1一珂声，）：∫（1．5♂・。声工一〇、5・蜆・、芦ユ・珂声ツ）．

＝∫（1．5λ工夫一〇、5んツ＝去）◎工 一（2）の①の給付の現価∫・一（∫λ）二＝司η

θ（2）の②の給付の現価O．1∫・oツーエ：；司＝0．1∫（6工＝司一6エッ、司）収支相等の原則により，⑦＝◎十◎十θ

すなわち・戸去／！・・ん1−1…んぶ・÷（／ス）1州（・珊一・洲）／

次に，．第f保険年度末責任準備金を親子とも生存の場合、γ，親が死亡の場合，ウとすると，・一∫／1・・ん…山一…ん舳｛・去（士十1）い（上背十川十I．．十n盤・一1

一28一

・1・1（・旧一・州内／一戸・・州同一∫［！．1＾…．・他州占・去／（／万）よ同・1・弘肩／・・．1（三編一6舳同）1一戸・；州柵引戸一∫［1．・＾｛・÷／（1ス）烏・1・弘証・・1・編1
以一29一上