〔問〕

昭 和 38年 度

(問題)

午前の部

.
1.
. (Ox 811+OX+l Sす1+・・・・・・+CX+n̲1 Snl)ー

αx:n:Dx S司

Dx+nSτJJXを証明せよ os司=}; (1+i)Y

ただしY~Iとの恒等式を用いて，養老保険の保険料を次の形に分解せよ由
1:司 + で 了 一 一
Px. 司 = P'xS古 l

乙の場合， P'';':ii1はどんま意味をもつか説明せよ。

2. 年 m回払 ，X 歳契約，完全生命年金V'(，つぎの条件をつけた場合の一時払純保険料を求めよ DC条件〕

給付した年金額が純保険料 K達し左いで死亡する場合 Kは，その差額を死亡直後に支払う。

3.μ) 予定死亡率{伊x}わ)予定利率t

付予定事業費率〈第七保険年度〉 α ( 1一 色 V)+戸( t‑ 1 V +π 〉の 5個の条件から定められる養老保険の営業保険料 πは肘)'予定死亡率やY予定利率{~x+α (1+i)}i‑s(1+i)の条件から決定される純保険料 Pと合致するととを在明せよ。
ただし，保険金は期末払とするロ‑58‑

〔問〕
午 後 の 音F
1. 健康者が廃疾と在って生存している間支払われる年金の現価を aaZ とすると

z.
z.

αa.
zn

Z.Z，.
.
，，1，1，

N""‑N‑ Dxltx;‑n:nx すて&‑z nI
「玄~a.
a.

Dxと在るととを証明せよ。

2 次の年金契約の一時払保険料金よび七年経過の責任準備金を求めよ o

ただL.p 付加保険料は掘置期間中は毎年一時払保険料の ε%苦年金開始後は年金額の S弼とする。
42︑︐ J・・︐︐••

m年経過後被保険者が生存して辛子れば年金支払を開始し， S年￨習は被保険者の生死にかかわらず s その後は被保険者の生存中，年金 iを毎年始 K支払う D(2) 年金開始後 K被保険者が死亡した場合，その次の年金開始日の応当日〈保亘期間中氏死亡したときは保在期間終了直後の応当日)VC ，配偶者が生存してお‘れ 'rf~ その日以後 T 年間配偶者 Kその生存期間中，配偶者年金 Aを 支 払 九‑59‑

昭 和 38年 度*

同一一αU門U

ほ一司

ox+色+一・ロ U

一D

一Z

午前の部

(解答)

VDx+色 ‑ Dx+1+1であるから，n‑ln̲
1*=‑‑.ア E (vDx+t ‑ Dx+ +1 ) 8存司=一一:‑;‑(L:(1+tjt1)DDx 8言 1色=。 、D:x:Snl
屯叫 舎、〆E ・・1一五ーー ーー一ーーすDx S司

8't+il Dx+色 村)C丸也

君・oとする〉‑ Nx+n‑ Snj Dx+n)(Nxαx:ー百1Dx+n。 言1Dxーっ7 一次V
Ln年満期養老保険の年払純保険料中から，満;も探険金 1を待るためり定兵臓金としてとれを積立てるものとすると，その金額は寸土ーであふ第七年度末の ζ の積立金
Sτl8"71の元矛jf
合計は寸丁ニムと左る。従って，第七年度の死亡に際し，とれを保険金の一部 K充。τ1当するとすれば，第七年度の死亡保険金はとれを控除した1‑bである。
u nl

一方，1n‑
l

Dx+nn‑]

Sヲ字引‑=‑‑2: Ox+ +一一
一=一一‑ L: (1ー で ナ ) 0x+ν
Dx
Dx
SDx

Px:司 αx:τ=/
1...~OI' ~o1n‑l S"
芋iI

言1Dx+n+‑2:一τア 申 Cxぃ+一一一
Dx ， ~O

1 n‑..1px:司=一一一一一‑2:也x・
τ D x。
==8n

Dx(J手~) C +11 +‑.
‑.
‑まl

U 百/
18玄l

=p~l;τ1 十てアーυ司

よってとの死亡保険K
対する平準純保険料 が，‑60ーF';~百になって h る。

2. 求める一時払純保険料を，年 m回支払♂才契約の完全生命年金部分と逓減定期繰険部分に分離して考える。

付) 年 m回支払われる♂才契約完全生命年金の現価m‑1α。
(lD)
ーx ‑ αz十一一一一十一一‑ A x2m2m(ロ) 逓減定期保険 d見価
その保険金額は，求める一時払純保険料 Pから始ま t，毎瞬間どとに減少して P年の期尚の終 J
H
1::0v
r:左る。
ζ の部分の現価はノ;P(P一七〉 υz PXμx+t d七
主= p互2・下1ー ( 士 互 )~ :下1= p五x 司 (1+ i)
をー {(tE〉;.司ーよ Ax:下 1}くいりす

2=一一一{(P+ー)(Mx‑ M x+p)ー (Rx‑Rx+p‑PMx十p) }‑ ' ‑ ‑ ' 玄 』一 一 +p)+ P M ‑ Rx+ 凡 打 }=一一{ー (Mx‑Mxx2Dx紛争よびわ)を加えれば，

m‑1

一一 Mx+ーイ Mx‑Mx+p)+ P Mx‑ R x
P =ーー{ Nx‑f‑
J +一一 Dx+一2m2Dx
2m+ R x+P
故VC，NX+l+竿ι D J L Z x +す (Mx‑Mz+p)‑ Rx+ Rx+p
2m2m

P=

Dx ‑ M xととで，m‑1α‑::‑‑一一NX +1 +一一一一‑Dx 十一一‑M...+ー‑ Mv‑‑‑:R".
2m2m2Dx ‑ JY.
rx‑61ー。

Dx‑ Mxと辛子けば， α ， β は p~関係の左い定数である。

従って，p = α + β ( Rx+p ー を Mx+p)乙の式を解いて Pを求めればよい四3. 予定死亡率 {'jx }，予定利率し予定事業費率第七保険年度

α( 1一 色 V)十戸( t̲"lV+π 〉
K よって計算した養老保険の営業保険料を π，純保険料式保険料積立金を色 V とすれば，次の式が成立する o〈色 V+π )(1+i) ー {α(1‑t+1V)十戸(tV+1r)}(1+i)-~ x+七 =Pt+JVx+t・すなわち，

ω〈色 V+π){1+i‑s(1+i)}一{~x+t+α(1 +i‑)}=t+J V{
Px+色ーα(1+i)}・・
ただし
七= 0， 1， 2，・・・・ ， n‑1，。γ=0， nV=1次 K予 定 死 亡 率 { 九 +α (1+i)}，予定利率 i β (1+i)~よって計算した養老保険の純保険料を P，純保険料式保険料積立金を屯 V *とすれば?己主 γ *について次の式が成立する。

(色 V*+P) {1+i一戸 (1+i)}ー{人+色 +α (1+i)}=t+lV*{Px+もー αC1+i)}

・‑(B)
ただし

t=O， 1， 2，・・・・ ，n‑ 1劫( は π，JV，2V，・・・・・・。
γ*=0，nV*=1n̲JVの η 個を変数とする η 個の一次方程式であ 9，但) は P，1 V*，2V *，・.
.
.n ‑1V *の n 簡を変数とする n個の一次方程式である o走会・， πと p， も'vと色v*の係数は一致する。

従って ， n元一次連立方程式仏協)意的に解が求まるならば， (弓も一意的 K解が求ま 9，‑62‑p=π ， tV=tV *とまり，問題は証明されたととに在る。
すなわち，係数によ b作られた行列式 Dが Dキ Oであるととを証明すればよい。

。

1+i‑β(1+i) ー{Px‑α(1+i)}

1+i‑s(1+i) ー{
P:X+l‑a(1+i)}+i)D=￨1刊。

β(11+i‑+i)。
。

0・・0・・.
1+i‑β(1+i) ー{PX+2‑α(1・ト心} o.
ー・・.・・・....

x1+i*。 。
+PX*

1+i* ‑Px幸I
1+i*nunup。

n v *判

1+i* ‑Px+戸=(1+i*)

0・・・・・・・・・・・・ 1+i*
0 ・・・・・・・・・・・・・ ・・・・0e

1+i* ‑Px幸2 ・・・・ー・・・・・・・・・・ 0。 。

1+i*

1+i不fn=(1+i*)n+pき(1+i*)n‑ 1 +P x*P.x 1 ( 1+i*) ‑ 2 +=(1+t*〉ng?‑n キ O
ただし

i*= i‑s(1+i)， p?+t = P Hも ー α(1+i)とし，α?
:司 は 《 pT+もによって博した生命年金現価とする。

また

tー β( 1+ i)キー 1 であるものとする。

午 後 の 音5:a十.
e

1 ♂才の1， x(=ぷn年後の生存者は~z， )人中n年後の生存者はぶま +n 人 で あ れ 廃 疾 者 . o~z， 人中np; .ø~!， 人であるから ;X 才の健康者ぷア人中 1': 年後に生存する数z である oは A~x+ 玖- nP!ぷ :‑63ー

nP~ を健康者が n 年後 K生存する確率とすると従って

ぷ x+n~ np;s!Zan.t"'玄ーー

しかるJZfGv
c sz̲‑ n= .
o̲nPx

α:
GPx

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sx

a

立であるからv

I ̲寸.
.
.Znx，旦̲1α;‑E=Z U也もp:s:s̲ n‑1=一一τナ Z v
iZ;
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2J' U;‑zzo

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一一一一‑a~一、ßαιxτß~ιx ;‑Iilx

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一い一則Ax

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一一・zz‑

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一1一一・zx
一N一・'u‑‑zz一N‑64一•••Enuz

N

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一副・α・zzz‑azx一& Z
D 一D司z

DQ.aPα・‑znu・Z 玄白 & Z

4 一ぷDJuuz

αh:一一山;α一EGαZ

一ぷ

一エ88

一一Dtz 迂NQ. a‑ N竺x
X:玄xTJj
α α D α αxx

N ‑N' ，z x+n‑・叫‑aaD

2. 被保険者及び配偶者の契約年令をそれぞれ x ，yとする。

(1)保険料(司被保険者の年金音扮

α +ναx+m)mEx
100 /(‑'z (1+ーと)ε司" / 〆i:>I

1-~ 久:す1ε ，.

1
一一一一
一
100 αx.m
七と乙lv
c i' = max (m+S ‑1，i)(2) 責任準備金(a) 被保険者の年金部分1) 年金開始前… ーo ε 7 f(1+一αピザα‑. ‑‑)m
̲tEx+t+ 100‑
ax+t. 下 宿100)(， ̲.
‑/‑‑ ‑. ‑~2) 年 金 開 始 後 被 保 険 者 生 存 中δ(1+一一)α100 ‑(.ド‑s)//αx+色3) 年 金 開 始 後 被 保 険 者 死 亡 後合)'aS71(1+乙乙vc S' =max{Sー( t ‑m)，O}(ゆ配偶者の年金部分1 ) 配偶者生存中尉)被保険者生存中

‑65ー一
引

7r++.G︑ー︐ノ++︑

frt+Y
E・'byDム・'LV+IZ

A'b‑nu︑o一nu

ザ中川叩・立ロ

一一Ai

ゆ/¥E‑年∞ Zの者偶配ωn‑'=1}}z.
‑νAx+色:ずい+1Py+t0 i'‑iE川+1〈・ 1+733)×α
ム一三二 γ ，r，"y+i
斗 1:ーす100 ル‑x+t y十 t:mι日Iζζvc

11/，'=max ( 11/"七)i' =max (勿+8‑1，司( 被保険者死亡後年金勝台前…

合〉&HE‑‑

え(1+Ey+t

年金開始後+すむ)α7+l(1も:・言亡宮司

ことに T' は配偶者年金を支払開始してからの経過年数2) 配偶者死亡後。

一一