展望論文

典単調性による多変量保険リスクの評価
小暮厚之
2004年1！月22日投稿

2005年2月21日受理
概要
最近ヨーロッパのアクチェアリアル・サイエンスの研究者を中心にr共単調性」（COmOnOtOniCity）という新たなリスク管理の概念が提唱されている．共単調性とは，ポートフォリオにおける各個別リスクが同一方向へ変動するリスクを意味する．」見すると，共単調性は「強すぎる」概念であり，保険やファイナンスにおいては限定された役割しか果たさないように思われるかもしれな
い．しかし，共単調性の理論を用いると，従属性を明示的にモデル化することなく，個別リスクの総和に対する有用な「上限」と「下限」を求めることができる．共単調性は，その非現実的な装いにもかかわらず，多変量リスクを評価し，管理する有効な手段を与える．本稿では，Kaas
a1［2000］やDhaeneeteta1f2002a，2002b］らの論文に基づいて，共単調性の理論と応用について展望する．

キーワード：

1

多変量保険リスク，共単調性，共単調和，凸順序，アジアソ・オプション

はじめに

非線形的な従属性のモデリングの標準的手法は，コピュラを用いて各個別リスクの周辺分布を結びつ

保険ポートフォリオのように多変量のリスクを考けるアプローチである非11最近では，コピュラは保えるとき，各個別リスクの周辺分布だけでなく，それ険リスクのみならず，信用リスクのモデリングにおらの間の従属関係を規定する必要がある．最も簡単

いても盛んに用いられるようになってきたヰ2．しかでしばしば有効なアプローチは独立性を仮定するこ

し，このコピュラ・アプローチには，いかなるコピュとである．しかし，例えば，同一グループに対する保ラ関数を選択すべきかという困難な問題が伴う．コ

険契約のように何らかの共通リスク要因が存在する

ピュラ関数を選択することは，結局のところ同時分

ようなケースでは，独立性の仮定は実態から乖離し布の推定を行うことに他ならない．しかし，同時分ており，卜一タルなリスクを過小に評価してしまう

布の次元の増大とともに，有効な推定に必要とされ恐れがある、

るデータの大きさは加速度的に増していく非3．同時

より現実的と思われるアプローチは個別リスク間分布に関する事前情報やそれを推定すべきデータがの相関係数を計算することであろう、しかし，相関十分でない場合，コピュラ関数の選択はアドホック

係数は線形的な従属性しか捕捉することができない．

保険リスクで扱う損失分布や寿命分布の間に存在す

刈保険数瑚への応用は，例えばFreos

る非線形的な従属性を把握するためには，同時分布

参照されたい‡2CreditMetrics［19971はその代表的な例である・また，全体の知識が必要となってくる．

andVa1dez（ユ998）を2006年度から適用が開始される新BIS娩制においては信用リスクだけでなく才ペレーショナル・リスクを含む統合的なリスク管理においても，コピュラに基づくr先進的‡慶勝義塾大学総合政策学割｛〒252−8520神余川県藤沢i／了遠藤5322mai11kogure＠sfc．keio．目。Jp．

手法」によるリスク書1．鐘化が捉噌されている．

柵統計学では，そのような箏突を「次元の呪い」と1■乎ぶ．

リスクと保険7

保険ポートフォリオ全体に共通の影響を与えるかもにならざるをえないであろう．

本稿では，共単調性という新たな視点からの多変量保険リスク管理の理論を展望する．共単調性は，完しれない、そのような共通リスク・ファクターをγとし，全相関を一般化した概念である．実際の個別リスク

X｛＝Z｛γ（乞＝1，2，…，η）

が共単調関係にあるケースは少なく，そのような理となる場合を想定しよう一世し｛Z｛｝は互いに独立な論の有用性は極めて限定されるように思われるかも

非負値確率変数であり，またγに対しても独立に分しれない、しかし，共単調性の理論を用いると，従属

布すると仮定する一この場合，X｛とベテという2つ性を明示的にモデル化することなく，個別リスクのの保険支払いの共分散は総和に対する有用な上限と下限を求めることができ

Cov（X｛，平ゴ）＝E［Z｛lE［ろlVar（γ），

（3）

｛≠ゴ

る．従属性に関する事前情報やそれを推測するデー
タに乏しい状況において，直面するリスクを管理しとなり、正の相関関係が生じる．また分散は評価する有用な手段を与える．

Var（X｛）二Var（易）E［γ21＋Var（γ）（珂Z1）2

以下，本稿では，2節でリスク・プーリング（大数の法則）では対処できない従属性について注意し，3
節で共単調性の概念を導入する．4節以降では，共単と表せるから，共通ファクターγが存在する場合の一契約当たりのリスクは、／8＼

調性によっていかに非独立な確率変数の和のリスク

VaIを評価するかに関する基本的な考え方と手法を説明

1／Σ二1三Ll

ｯ＝八

Var（Z｛ハ＿、、、り1

η

ゾ［γ1

・（＃帆1）帥

する．いくつかの重要な定理を与えるが，証明はスケッチ程度に留める．最後に，8節において，共単調性の重要な応用であるアジアソ・オプションの評価と計算される．分かりやすいように，各z｛の平均と問題を取り上げるI

分散が等しい2

E［Z｛］＝μ，

保険リスクと従厨性
η個の保険契約からなる保険ポートフォリオを考Var（Z｛）＝σ2，

づ＝1，2，．．．、η

の場合を考えるとW（ξ）イ・外｛（γ）

える．その第｛番目の保険の満期時点における不確
実な保険支払い額をX｛（≧O）と表すとき，この保険

ポートフォリオはη変量ベクトル

X≡（X・X・…X几）となる．この式の右辺第1項はリスク・プーリングに（1）

よって減少していく保険リスクを表す．第2項はγに起因する非保険リスクを表す、保険契約数ηをいによって表される．この保険ポートフォリオの支払くら増やしても第2項の非保険リスクは低減しない．

い総額は以下では，共単調性によって，このような従属性の

3≡ΣX・

（2）

価する基本的な考え方を説明する．特に断らない限である・しばしば｛X｛｝は互いに独立に同一の分布

り，各確率変数の分布はすべて連続型であり，そのに従うと仮定する．このとき，ηを増加させること分布関数は厳密な意味で単調増加であると仮定する．

によって…契約当たりのリスク

この仮定により，多くの結果の導出が簡単となる．

（与）一半

8

ある非独立な確率変数の和で表現されるリスクを評

｛＝1

3

共単調性

はゼロに近づく．いわゆるリスク・プーリングによ

共単調性とはCOmOnOtOniCityに充てた邦語でるリスク低減効果である．実際には，個別リスクはある一それは文字通り共通の（COmmOn）単調性

互いに独立ではないかも知れない．例えば損害保険（monOtOniCity）であり，同一方向へ変動するリス

であれば地震や台風のような自然災害リスク，生命クを意味する．別の言い方をすれば，それはリスク・保険であればインフレや金利のような経済リスクがプーリングによってヘッジできないリスクを表す．

共単調性による多変量保険リスクの評価

3．1

共単調性とは何か
o．9

この節ではη＝2のケースを取り上げ，共単調性@0．宕

とは何かを説明する・乞＝1，2に対して・Fx、（・）を@○フ

X｛の分布関数，軌を［o，！］上の一様分布に従う確率@o．6

変数とするときX。旦々（開），X。旦｝σ。）と表せる1ここで，竺は分布の意味での等号を表す．

もしもσ1とひ2が独立ならば，X！とX2も独立となる一対極的に，もしもひ1＝σ2ならば

0

1

@

皇

3

σ

−

5

0

X。旦々（F。、（X。））

図！：周辺分布が対数正規分布である共単調同時分布となる。Fx、とF量は単調増加であるから，x2との相関係数

X1は一方が増加（減少）すれば他方も増加（減少）以下の4節で示す定理2から，一般にするいう単調関係になる．

最も分かりやすい例として，X1とX2が同時正規

ρ（X・，X・）≦ρ（吋（σ），〜（σ））（4）

分布に従うケースを考える．x｛の周辺分布の平均をμ｛，分散をσ言とし，⑩を標準正規分布の分布関数とであることが証明できる．従って，特にX1とX2がするとき，独立である場合を考えれば，々（伽）一μ・十σ1Φ…1（・）0＜…111−1，2と表せるからρ（吋（σ），々（σ））≧Oとなる．すなわち共単調関係ならば常に相関係数は

X｛皇μ、十σ、蛮一1（仏），1−1，2

正である．しかし，上で見たように，周辺分布が対数正規分布の場合には，2つの資産間の関係が非線形となる一もしもσ1＝σ2ならばな共単調関係であれば，相関係数がゼロに近い値を

3＝X1＋X2取ることもありうる、旦μ、十μ。十（σ1＋σ，）Φ一1（ひ1）

3．2

コピュラと共単調性

共単調性は，コピュラの特別な場合である．コピュ

一・（μ・・μ・ヨ（σ・・σ・）2）ラ関数とは，一般に2つの一様確率変数σ1とひ2のとなる一このケースは，相関係数が1であるからX1

同時分布関数とX2は正の直線関係にあり，明らかに共単調関係
0（u1，吻）≡Pr（σ1≦仙1，ひ2≦u2），のケースである．

より興味深い例として，X1とX2が対数正規分布
に従う場合のことをいう。コピュラ関数を用いると，X1とX2の同時分布関数は

1・gX。〜W（O，1），1・gX。〜W（O，σ2）を取り上げる．このとき，Embrechts，McNei1anddStraumann（2001）で証明されたように，Xl＝｝ひ）とX・竺吋σ）の相関係数は
ρ（々（ひ），吋（ひ））一O＜uユ，u2＜1

eσ一1

雨戸

Fx1，x2（π1，π2）＝0（Fx1（π1），Fx，（π2））と表せる．従って，周辺分布が所与ならば，同時分布はコピュラ関数によって完全に特定化できる．x1とX2が共単調の場合は，コピュラは0（仙1，u2）＝Pr（ひ≦仙1，σ≦u2）＝Pr（σ≦min（t↓1・，u2））＝min（仙1，皿2）となる．図1で示されているように．σが大きくなるとき，この相関係数の値はゼロに近づく．

となる．

リスクと保険9よく知られているように，し）かなるコピュラ関数も4非独立な確率変数の和の評価

max（吻十u2−1，0）≦0（u1，皿2）≦min（仙1，吻）

共単調性理論の有用性は，従属性をモデル化するという関係（Frechet−Ho冊ingの不等式）を満たす．

ことなく，個別リスクの総和に対するr上限」とr下

コピュラ関数として共単調性を選択することは，限」を求めることができる点にある．本節では，凸j順｛σ1≦仙1｝と｛σ2≦u2｝という2つのイベント

序によるリスクの順序付けを説明し，共単調性の理が同時に起きる確率が最も大きくなる状況を想定し論に基づいて，r上限」を導く1ていることになる．

4，1

3．3

共単調性の例

凸順序

Xを保険リスクを表す確率変数とするとき，任意

ここでは保険とファイナンスの分野で共単調性がの定数dに対して成立する例をあけておく．
3，3．1

X−d；（X−d）十一（X−d）＿＝（X−d）十一（d−X）十

年金

歳の人（

）に対する年金を考える・この年金の毎年の受取額をα円とし，Tを（π）の余命時間をと表せる・（x−d）十は分布の上福であり，その期待値表す確率変数とする．連続リスクフリーレートをδ，

ErrX＿㎡、」」1＝グr1＿F，C，Mπ∫｛．｝を指示関数とすると，この年金の現在価値は
n

n

し

一」

ノd

川

8≡Σ・■δ｛∫｛・。1｝α一Σxl

はXの上方リスクを表す・（∂一X）十は分布の下裾｛＝1であり，その期待値｛＝1と表せる。但し，X｛≡e一δ｛∫｛T〉｛｝αであり・［（・一・）一一

η≡「ω一π1−1ｪ舳伽はXの下方リスクを表す．＃4とする・ここで，ωは生命表の最終年齢であり，「・1は天井関数とする。このとき，｛X｛｝は共単調関係に
ある．

3．3．2

定義：凸順序2つのリスクX，γは，任意の定数dに対してE［（X−d）十1≦E［（γ一d）十1

オプション

危険資産（例えば配当支払いのない株式）の1年後の株価をλとする、任意の定数dに対して，2つのかつEl（d−X）十1≦珂（d一γ）斗1

確率変数X1とX2を
X1≡（λ一d）十，X2≡（λ一d）＿＝（d一λ）十が成立するならば，「γはxより凸順序の意味で大きい」といいと定義する．ここで，（λ＿d）十と（λ＿d）＿はそれX≦㎝γ

ぞれA−dの正部分と負部分である・このとき，X1
は危険資産に対する行使価格dのコールオプションと記す．

のペイオフ，X2は行使価格dのプットオプションのペイオフを表す、原資産とコールオプションを同時に保有するポートフォリオ｛λ，X。｝

は共単調である．また，原資産とコールオプション，

凸順序x≦。皿γはE［x］＝E［｝1

かつ，任意の非減少な凹関数uに対してE［伽（一X）］≧E［仙（一γ）1

プットオプションの売りのポートフォリオ｛λ，X1，一X2｝
も共単調である．

10

共単調性による多変量保険リスクの評価

ヰ4Xを将来の保険支払金額とするとき，（X−d）十はdを
リチンションとするストップロス再保険の支払額を表し、E［（X−d）十1はその保険料，すなわちストップロス・プレ
ミアムを表す．

が成立するこ」とと同値である．uは危険回避的な主が成立する．この両辺の期待値を取ると，次の定理

体の効用関数を表すから，X≦。皿γはすべての危

を得る＝

定理1

険回避的な投資家がγよりXを好むことを意味す
る＊5．

4．2

共単調和8cの裾確率は共単調和

E［（8c−d）・1一ΣE［（Xl一州（8）（1）の形のη変量のポートフォリオを考える。ひ

｛＝1を［O，1］上の一様分布とし，と与えられる

Xf≡々（σ）ト1，2，…，η）

この結果は，Σ；二1K｛＝dとなる任意の｛K1｝に対とおくとき，η次元確率ベクトルX。をして成立するr一（XfX5…

X兵）

（5）
肌

と定義するlE［（トd）・1≦ΣE［（XrK・）・1（9）XcのサポートDは，次の性質を満

｛＝1

たす：
「V≡（μ1，吻，…

，μ、、），Z≡（Z1，Z2，…

，Zη）をDに属する任意の2点とする・このとき，挑＜zlとなる｛が存在すれば，すべての1≦ゴ≦ηに対してと比較すべきである．

4．4

3の上限

共単調和3cは凸順序の意味で8の上限である1
定理2

肌≦乞｛が成立する．」

この性質が成立する集合を共単調集合という．一3≦。皿8C

般に，ある確率ベクトルのサポートが共単調であれ
ば，その確率ベクトルを共単調であると定義する．

これを示すために・任意のdに対して・凶を（7）の共単調確率ベクトルX。の和
肌ように定めると刊

トΣXf一Σ々（σ）

｛士1

（6）

8−d一Σ（xrd・）≦Σ（xにdl）・｛士1

を（1）の共単調和（comonotonic｛＝1の確率分布は，個別リスク｛X｛｝の周辺分布のみに依

となるから

存する．

4．3

｛＝1

s／lm）という、3c（・一共単調和の裾確率齒早i凡一刈、一書（凡一札

任意の定数dに対して
41≡町｝（〜（d））（7）

が成立する．この式の両辺の期待値を取ると
仰E［（8−d）・1≦ΣE［（xr｝一E［（ザd）。1と定義すると｛＝ユΣd1dとなり，定理2が得られる．

｛＝1となる．また，点｛d4｝はX。のサポートに属することが証明できる．従って（H㌧一

定理2は，個別リスク間の同時分布が不明であったり，仮に分かっていたとしても複雑な場合には，3iξ・H）十の代わりにyの分布を考えることによって，8のリ
スクを上から抑えることができるということを意味する．

η一Σ（何一㎡1）。

｛＝1

4．5

凸順序と分散定理2から，‡5ファイナンスの月＝1譜では，一Xは一γに第2次確率1灼優越
（昌㏄ond−ordeエstocha呂tic

dominance）と■呼ぶ一

Var（8）≦Var（）

リスクと保険11

が示される．また

5

共単調和の確率分布

Var（8o）一Var（8）一1ブ附一t）・1一・［（・一1）・l1此X｛の周辺分布からその和8の分布を計算することは，仮に個別リスクx｛が独立であっても，必ずしが成立する幸6から，もしもVar（y）＝Var（8）ならば，任意の士に対しても容易ではない．しかし，共単調和伊の分布は比較的簡単に導出できる：
5．1

到（8c一）十1＝E［（3−f）十1逆分布関数

yの逆分布関数は以下のように与えられる：

定理3となる、この式の両辺をtに関して微分すればF伊（t）＝F8（士），共単調和8Cの逆分布関数は一〇〇＜亡＜oon

F長1（ρ）一ΣFル），O・ρ・・（1O）を得る、すなわち，分散が等しければ，5cの分布は8の分布に一致する．
4．6｛＝1と与えられる．

例＝支払備金将来時点｛1，2，一．。，帆｝において｛α1，α2、．．一、α丁王｝

なぜならば

n

円の支払義務が生ずるとしよう一期間［0，壱］の割引

・（・・）≡Σヴ（仙）ファクターをη｛とすれば，それらの現在価値は｛＝1という関数を考えると：

3一Σ榊

F酢（π）；Pr（9（〜フ）≦皿）＝Pr（σ≦9■！（））：9I1（）｛＝ユとなる．8は，将来の損失に対する支払備金と解釈であり，この逆写像を考えれば，（10）が得られるかできる．ここで，α｛は正の定数であるがU｛は金利らである．

変動などと連動して変化する確率変数であるとする．

5．2

このとき，8も確率変数となるが，そのリスクは共単

リスク測度

代表的なリスク尺度として，バリューアットリスク

調和によって抑えられる．いま吻≡・■（｝、十巧十．

．十州，1＝1，2，…，ηと仮定する一ここで，例えば，｛篶｝は互いに独立Qρ［x1≡Fマ1（ρ）とテイル・バリューアットリスク

・W・1一p舳一・［・1・・軌（・）1に同一分布w（μ，σ2）に従うものとする・このときX｛≡ω，α、は平均がE［X，1＝α、♂（Iμ十｛1／2）σ2），分散がvar（x｛）＝α言ε2（μ十（ユ／2）σ2）［♂σ2−11の対数正規を考えてみよう．定理3より明らかにnn几Qρ［8「＝Σ々二（ρ）＝ΣQp［x㌻1＝ΣQ、一x｛1分布に従う．3．1節と同様にしてFル）一α。1一｛μ0σψΦ一工（ユ■・〕｛士1が成立する．Dhaene，Vandu冊e1，Tang，Goovaerts，
冊

8c一Σ｝σ）一Σαll一ψ十σψΦ一ψ〕
｛＝1

となる．

中6Dhaene，Donuit，Goovaerts，Kaa昌，Vyncke12002a］の（9）式を参照されたい

12n
TV・R、固一ΣTV・R、［X11｛＝1が示される．従って

｛＝1

｛士！

となる．同様に，＝α〆μ・σ凶Φ一1（ρ）

兀せ＝1

共単調性による多変量保険リスクの評価

Kaas，Vyncke三2003］は，この性質がより一般にdis−tOrtiOn

meaSureん一一｣（1一・（1一舳））伽・∫oo

9（1−Fx（皿））伽に対して成立することを示している・ここで・g（・）はdistortionfunctionと呼ばれる，9（O）；0，

6．且

条件付け

9（1）＝

ある確率変数Aに対して，A＝λを所与としたと1となる［O，1］上で定義される非減少関数である．例

きの各X｛の条件付周辺分布Fx、一入（．）が分かっていえば，テイル・バリューアットリスクTVaRp［Xlのると仮定する．A＝λを所与としたときの8の条

場合，件付き分布を表す確率変数を81λとし，その共単調・（π）一…（1三、＝1），・・π・1

和を
ΣF対、（ひ）｛＝1

である一この場合のように，gが凸関数の場合にはと表す．ただし，F列λ（。）は，Fx。■λ（一）の逆関数であρ9（3）≦ρ9（3o）り，σはAと独立に分布する［O，1］上の」様確率変であることが示される．従って，数とする．いま仰TV・R。［81≦ΣTV・R、［X11皿8阯≡Σ町、「、（σ）

｛＝1

｛＝1

が成立する．

と定義するとき，定理2から，任意の凸関数Uに対

5．3

して

分布関数

E［η（3）一Aこ刈≦E［η（8仙）1A＝λ］

定理3より・共単調和の分布関数＾イ皿）は
ΣF7（〜（π））＝π，一・・＜・＜・。

が成立する．

ここで，両辺のAに関する期待値を取

ると，

｛＝1

E［U（8）1≦E［〃（3皿）1によってインプリシットに与えられる．

例えば，各X｛の周辺分布がワイブル分布

舳一1一岬［一（素）ト・・となる・明らかに・E181＝E［3他1であるから，3仙は凸1煩序の意味で3の上限となる．すなわち
8≦。皿8仙と与えられる場合を考える．ここで，φ｛＞O，7｛＞Oはパラメータである．その逆分布関数はψ）一生・（11、ゾが成立する．さらに，へ（皿）一E［P・（x・≦・lA）1−E［｝。（σ）≦・1

一・・（㌦（σ）・皿）と与えられる．従って，共単調和yの逆分布関数は｝（・）一ﾌ小・（11、）ドより，F対A（σ）の周辺分布はX｛の周辺分布に一致する．従って13u≦㎝yとなる一もしも7｛＝7ならば

叶（ξ伽）卜・（11、）ドが成立する．

以上の結果は次の定理にまとめられる：

定理4
8仙は8の上限としてyを改善する．

となるから，8f1はパラメータがΣ；㌧1φ｛，7のワイ

8≦。皿8皿≦。皿80

ブル分布に従う．

8皿の改善の程度を見るには，3及び研の分散

6

上限の改善
個別リスクの周辺分布だけでなく，同時分布に関して追加的な知識が与えられれば，共単調和よりシャープな上限が導出可能である．

と比較すればよい．もしもAが3と独立ならば，
Var（3仙）＝Var（3c）となり改善はゼロである。逆に，Aの条件付で3が共単調ならば
Var（司A＝λ）＝Var（3仙1A＝λ）

リスクと保険13

6．2．2が成立するから
Var（8）＝E［Var（31A）］十Var（E［（8IA）］）＝E［Var（3伽IA）ユ十Var（E〔（8山A）］）

対数正規分布

巧と場を互いに独立に標準正規分布に従うリス
クとするとき＝Var（8仙）

X、＝ε篶，X。｛十篶となり，最大限の改善が実現される．

として，8＝X1＋X2の分布を考える．このとき

6．2

例：正規分布と対数正規分布

簡単な例で8伽を説明する．
6．2．1と表せる．また，A＝X1＋αX2とすると，

正規分布

巧と篶を互いに独立な標準正規確率変数とし，

X1＝γ1，X2＝篶十篶
とする．

Xf一｝σ）竺・z，Xξ一町σ）皇ε棚

このとき・ト｝ぴ）皇岬（、÷が・・÷・）・1川・（σ）皇叫÷茅・・鳥・）が成立する．

8＝Xユ十X2

6．3

例：支払備金4．6節の支払備金の例を再び考えよう．

の分布を考える．

冊

Xf一｝ひ）皇・，A≡ΣβlX・Xξ＝巧二（ひ）竺凶Zと表せる．ここで，σは一様分布，zは標準正規分布｛＝1とすると，A＝λを与えたときの一Σ二＝ユXゴの条件に従う．また，任意の定数αに対してA＝巧十α巧付分布はとすると，（巧，篶、A）は3変量正規分布（蔓）一・［（1），（1；、∴）1｛

一Σ刈A一λゴ＝1

一年一／ω〃（嵩），（・一／1）出）
に従う一ここで，N㎜（μ，Σ）は，平均ベクトルがμ，分散共分散行列がΣのm変量TF規分布を表す
従って，Aを条件付としたときのX1＝巧とX2＝

となる．

ここで

…（Σ1一｛・）ρ（1）≡≡

巧十篶の同時分布は…（Σ1一。・1）…（・）

（妻1）・

従って
一・［、十が（。⊥、）・，1＋、・（ア1（1T㌃）・）1となる．

｝／）一岬／一μ一！／）㎡（嵜）・衛σψΦ■1（ρ）／

このとき，

d ！
lαl
Xr＝Fマll・（σ）一1。、・A・口Zが示される。ここで，γをσと独立に［o，1］上の一様分布に従う確率変数とすれば

・1一・マ1一・（σ）十名・・鳥・Φ一・（γ）一一E工A］

河でありとなる．従って1＋α十1α（1一α）lCov（Xr，X芽）＝｝σ）旦α・…／一μ一ρ1σψΦI

1＋α2・「不σψΦ■ユ（σ）／となる．従って，α＜Oまたはα＞1のとき，8と8uの分布は一致する．

14

共単調性による多変量保険リスクの評価

（γ）

と表せる．

6．4

8伽の分布とストップロス

一般に

A＝λの条件付で考えるとき，8仙は8の共単調

Var（E［X｛lA1）≦Var（X｛）

和である．従って，その逆分布関数と分布関数はであるから，X8とは異なり，Xま≡E［X｛iA］の周辺分

帆F｝一、、λ（ρ）一Σ｝。、、（ρ）10くρ・1｛＝1

布はx｛の周辺分布に一致しない点に注意されたい．
7．2

冊

Σ写、「、、、（F∫皿1・一川一・，刊・・く・。

例：正規分布と対数正規分布

簡単な例で3！を説明する．
7．2．1

｛＝1

により与えられる、この結果，Aの周辺分布を八（λ）

正規分布

6．2．1節の例を再び考える．このときとすると，8皿の分布関数は

11＋αX｛；1。、・A，X圭一1。。・A

ゾ〜1・→（皿）州であったからストップロス・プレミアムはゾ叩一・）・1・一利舳
により計算できる．

7㎞（・1）一1÷W・1）一（1半
1＋α

Cov（X｛，X；）＝

玉十α2Iとなる、従って非独立な確率変数の和の下限（2＋α）2
V・・（8ユ）r。、・

リスク評価のためには，8の上限だけでなく下限を求める必要もある．この節では，凸順序の意味の7．2．2

下限を導出する、

7．1

対数正規分布6．2．2節の例を再び考える．

条件付期待値3に対して，その条件付期待値

8と計算される、≡卵1A1一ΣE囚Al
｛士1

このとき

・1一・［州一刈1＋が・・、（1÷。）／一・1一・固・1一寸÷茅・・l1干1！；／を考える．当然E［31一冊，V・・（8王）≦V・・（8）

となる．

7．3

となる．ジェンセンの不等式を用いれば任意の凸関

例：支払備金6．3節の支払備金の例を再び考えよう．

数〃に対して

前と同様に

n

A一Σβ山
確（Sj）＝ω（E−8，A］）≦E［確（8）1A］

が成立する．ここで，Aに関する両辺の期待値を取れば｛＝1とすると，各｛＝1，2，…

，ηに対してXま＝E［X｛lA］

E［小）1≦E［州1
一α1…

となる1以上の結果は次のように述べられる1^一μ1山ρ1σ冊1（γ）

・（・／・）（・一ρ1｛））σ刈定理5sは凸順序の意味で8の下限である：
8≦、皿8が示される1従って

8」ΣXl
｛＝ユ

リスクと保険15

は共単調和となり，4節一6節の結果が適用できる．例

に従う場合を考えよう・ここで・B（士）は標準ブラウ

えば，3！のストップロス・プレミアムはン運動とする。このとき，（12）を求めることは，対数・［（・一・用一

ﾌ・［（・・巾（・）））一正規分布に従う確率変数の和の期待値を取ることに帰着する．よく知られているように，対数正規分布に従う確率変数の和は，たとえ各確率変数が互いにと計算される．

独立であっても，解析的表現を得ることはできない、

8

アジアソ・オプションの評価

8．2

この節では，これまでに述べたきた共単調性の理論を用いて，アジアソ・オプションの解析的な評価を行う．通常のオプションが満期時点の原資産価格を対象とするのに対して，アジアソ・オプションは，満期時点及びそれ以前の複数時点の原資産価格の算術平均値を対象とする．よく知られているように，原資産価格が幾何ブラウン運動に従う場合であっても，上限満期時点がT一乞，行使価格が瓦の通常のコール
価格の無裁定価格を0（κ，T−1）≡ゼδ（T■｛）EQ［（λ（下一）一Kl）。1と表すと，定理1及び定理2より，共単調による上限は＿δT

アジアソ・オプションの無裁定価格の解析解は導出できない．以下では，共単調性の理論に基づいて，アn−1∵・Ψ一・）。1一Σω凧・一1）｛＝Oと与えられる．ここで，吻≡ε一δ｛であり，d｛はジアソ・オプションの無裁定価格の上限と下限を求（7）で与えられるものとする・このとき（g）より

める．

Σ資

8．1

アジアソ・オプション

K｛；Kとなる任意の｛K｛｝に対して

皿一1ある危険資産（例えば配当支払いのない株式）を考える。この資産の時点士価格をλ（士）とする．現時点

利一1

Σψ（好一1）≦Σω・0（凡ト1）（1・）
｛＝O

｛＝O

が成立する．

をOとするとき，満期時点下（〉O）において（14）の右辺はO時点で満期時点がT一｛，行使価

伸一

i1書λ（・一1）一κ）、格がK｛のη個のコールオプションをε■δ／η単位購

入し時点下まで保有するというスーぺ一・ヘッジ戦
／肌一1

＼

、ン■つ十

（11）

を支払うオプションをアジアソ・オプションという．
ここで，x｛≡バ（τ＿4），d…ηKとする。いま任意

略＊7のペイオフを表す．従って，（12）は，通常のコー

ル・オプションの組み合わせによってアジアソ・オプ

ションのヘッジを行おうとする場合，共単調和による権利行使価格の選択（7）が，最も低いコストを与えることを示している．

の亡＞Oに対して具体的な上限の値を求めるために，例えば，λ（士）EQ［e一δ正λ（古）］＝λ（O），

t≧Oが幾何ブラウン運動（13）に従うとしよう、このととなる確率測度Qが一意に存在するものとする．こき，よく知られたブラック＝ショールズのオプショ

こで、δは連続複利リスクフリーレートである．このン公式から共単調による上限はとき，ペイオフが（11）であるアジアソ・オプション

帆一1λ呉0）Σ｛（σ月一Φ一・（〜（η・）））の無裁定価格は｛＝oλ0（O）＝・一δTEQ［κ（T）1（12）

によって与えられる．しかし，その解析解を求める−e一δTK（1一＾イηK））（15）と計算される．

ことは一般には不可能である．例えば，λ（亡）が（ブラック＝ショールズ・モデルが前提とする）幾何ブラウン運動dλ（士）＝μλ（士）読十σ■4（f）〃3（亡）16

共単調性による多変量保険リスクの評価（13）‡7スーパー・ヘッジ戦略（昌uperhedging）は，満期時点のペイオフを既存の資産で完全には複製できない場合に，満期時点のペイオフを保証するような投資戦略のことである．
その概説については。例えば，Baxter（1998〕を参照された
い．

8．3

表11アジアソ・オプションの価格評価の比較下限

λ（士）が幾何ブラウン運動（13）に従うと仮定して，（12）の下限を求める。Q測度の下で，Sの分布は

行使価格

下限

モンテカルロ法

上限80

20．812220．8055

20．8268（0．0441）

利一18一λ（・）Σ・｛δ一σ2州τ一｛）十σ町田｛）90

11．4929｛＝1（O．0410）と与えられる．Aを

100

4．50634．47114．7221（O．0289）n−1・≡Σ・（δ一州TIj）・（ト1）1101．1516j＝／

1．31341．1458（0．0150）

120

とすると
8

11．601711．5160

0．19150．25030．1945（O．0059）

二Eρ［81A］

一1

一λ（・）Σ・（δ■（州洋一・）てT一｛）十岬一1炉Φ一

注意：（）内は標準偏差

（σ〕

｛＝o

と与えられる・このように，81も共単調和となるた
め，7節の結果が適用可能となり，（12）の下限
Tユー1
半Σ・一1・Φ［咋9終わりに
本論文では共単調性という多変量リスク評価のた

何一Φ一・（〜（η・））1｛＝ユ

めの新たな概念を概観した．ここで述べたような理論的発展を背景にして，様々な共単調性の応用研究

ーゼδTK（1一〜（ηK））（16）

が現在進行中のようである．例えばDhaeneeta1−20041においては伝統的なマーコビッツ流に代わるが得られる一ただし，rT一はポートフォリオ最適化問題が扱われている．また，＿Cov（B（T一｛），A）

「T＿｛＝

珂

であり，F∫、（れκ）は帆一1

ΣF叩、」、一・］（〜（州）一ηK｛士1A1brecher［20041では原資産価格がLevy過程に従う
場合のアジアソオプションの評価問題が述べられている．さらに，Dee1str盆，Liinev

andVanmae1e120041

では，バスケット・オプションヘの応用が議論されている．現時点での応用はモデリング段階に止まっているが，今後は実証研究へと応用範囲も広がっていにより与えられるものとする．

くであろう．既に標準ツールとなりつつ感のあるコ

8．4

ピュラやEVT（極値理論）に加え，共単調性の考え斐支｛直侍｝

共単調和アプローチの具体的なパフォーマンスを見るために，Dhaeneetal（2002b）からの数値例を掲

げておく一表1は，λ（O）＝／00，T＝60日，n＝30日，εδ一1＝0．09，σ＝O．3としたときの，アジアソ・オプションの上限（15）と下限（16）とモンテカルロ

法によるシミュレーション結果との比較である．シ
ミュレーションは5000本のサンプルパスに基づき，分散減少法が使われた．行使価格が80円と100円の方が保険やファイナンスのリスク管理の現場に登場する時も近いかもしれない．

謝辞
本稿の作成にあたり，査読者から貴重なコメントを頂きました．ここに感謝致します．

参考文献

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回っている．また，行使価格が80円と90円の場合

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AbstractIntherecent1iterature，thenewdeviceThe

comonotonicity

for

the

portfo1io

toward

and

to

seem

conceptofofits

va1uatingofthecomono辻。nicity

management

main1ybysame

a1imitedro1e

conceptrisk，Thesuch，the

has

the

a

may

sound

of士he

too

strongthesumuse阯upper

an購。werthedependence

among

paper

as

or丘nance．However，using

obtainpresent

advancedindividua1risks

comononicity

comonotonicity

been

scho1ars．

among

actuaria1scienceappearance，themu1tivaI・iate

ofthe

in

can

Europeanco−mo∀ement

withou七modehng

unrea1istic

the

the

direction．As

comononicity，one

ind−ividua1risks

spi士e

of士he

represents

the

p1ay

ofthe

risk

concept

thewi11provide

surveysthebounds

an

for

the

individua1risks．Ine舐ective

theory

and

means

of

app1ications

comonotonicity

リスクと保険19