平成12年12月19目
生保数理………1

生保数理（問題）
問題1．

（50点）

（I）次の（1）から（5）までの多聞について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを選んで、所定の解答用紙の指定欄にその記号を記入せよ。
（1）元金1000万円を、年払元利均等返済方式（年利率4．00％、返済期間30年）で返済していた。15年経過時点で、年利率のみ3．00％に変更した場合、年払返済金額が軽減される。
この年払返済金額の軽減額に最も近いものは次のうちどれか。必要ならば次の数値を使用すること@／んトα・…1・・／÷〕O一α・l1・…
（金額単位：円）側 39・600 1B）39．620 1C）39．640 1D）39，660 側 39．680
1F）39・700 （G〕39，720 （H〕39．740 1工139．760 1J139，780
3（2）死力μ工がμ工：＿90＿エ

10⑬0＜エ＜90）を満たすとき40ρ40の値に最も近い240＿x

ものは次のうちどれか。

｛A）
い…

0，030）｛B）

0，055

0，035G）

0，060

（C）

0，040

｛H）

O．065｛D）

O．045｛工）

0，070

｛E）

0，050

｛J〕

O．075

（3）30歳の人が当初の30年間は保険金1、その後の保険金はO．5となる年払終身払込の終身保険（保険金年末支払）に加入した。30年経過時の平準純保険料式責任準備金。。γの値に最も近いものは次のうちどれか。必要ならば次の数値を使用すること。

ん＝0・1041■…α3801∂・・宮17233｛・12・085・㌔＝ゴ15・051｛A）

0．10｛B）

O．11

｛C〕

｛F）

0．15

（G〕

O．16

（H〕

O．12
0．17｛D〕
｛工〕

0．13
O．18

｛E〕
（J〕

0．14
O，19（4）X歳加入保険期間〃年年払全期払込養老保険（保険金額1保険金年末支払）において・チルメル割合αの10年チルメノレ式責任準備金、吋覧1が＝1で、弓覧］＝Oになるという。予定利率1＝2．00％，α：α02，2xδ工＝万．＝δ工、7．＝13のとき、ρ工の値に最も近いものは次のうちどれか。

（A〕

例

0・971

0・976

1B〕

O・972

1C）

0，973

（D）

0，974

1G〕

O．977

側O．9781I）

O．979

一19一（E）

O．975

1J〕O．980

生保数理一…・・2（5）年齢・性別などが同じ4人の被保険者（x），（x），（x），（x）について、期始払年金を支払11う。生存者が4人のときは各人に年金年額＿、また、3人のときは各人に年金年額＿、さらに、22，311
人のときは各人に年金年額一、最後に、1人のときは年金年額一を支払う。この年金の現価44に等しい式は次のうちどれか。

δ工十δ血｛B〕

∂皿十δ醐

｛C〕

δ

十a（D）

δ工手δ㎜

（E）

δ工十δ㎜ぽ〕δ十δlG）

δ工十δ血十δ㎜（H〕

δ皿十δ㎜十δ㎜1工）

（J）

d（A）

＋δδ

十δ

十δ十δ

（1I）次の空欄に当てはまる最も適当な数値、記号または算式を所定の解答用紙の指定欄に記久し、その計算過程を指定欄に明示せよ。
計算過程の記入のない答案は採点の対象とはならない。

π歳加入保険期間30年年払全期払込で、被保険者が満期時に生存している場合に保険金1を支払う生存保険を考える。保険期間申に被保険者が死亡した場合は、その年度末に既払込営業保険料の50％を返還する。予定利率は年6．00％とし、予定事業費率は以下のとおりとする。

予定新契約費予定集金経費
予定維持費

初回保険料収入の際に、営業保険料1に対し0．5
第2回以後第5国までの保険料収入の際に、営業保険料1に対しO．1
第6回以後第10回までの保険料収入の際に、営業保険料1に対し0．05
保険料収入の際に、営業保険料1に対し0．03
毎年始に生存保険金額1に対しO．001
満期時に生存保険金額1に対し0．002

収支相等の原則により年払営業保険料バの式はPま＝一となる。

あ工、ゴ螂6427・δ工、ガγ765041・毛ガ14260724ベガ舳2595・（軌パ15＆713971のとき、年払営業保険料バの値は［重コ（小数点以下第7位を四捨五入して、小数点以下第6位までを求めよ。）となる。

一20一

生保数理…・・一3

間題2．

（14点）

次の空欄に当てはまる最も適当な数値、記号または算式を所定の解答用紙の指定欄に記入せよ。
ある団体の構成員は、原因ノ，万，Cにより、団体から脱退していくものとする。

各脱退はそれぞれ独立に発生し、脱退の発生は一年を通じて一様に起こるものとする。
x歳における各脱退原因による一年間の絶対脱退率をgざ，ぱ，g9とし、脱退力をμゴ，μタ，μξとする。

（1）エ歳の人がエ十C歳（0≦C≦1）になるまでの絶対脱退率丘gさは、．次のように書ける。

、σざ・炸団）・厘コゐ
一方、題意より、、。ざ一圃、。夕であるから、榊一匹コ）・回加国コ・はとなる。この両辺をごで微分して整理すると、μ二丘は絶対脱退率gさを用いて、か舟と書けることがわかる。砥、，μ二、についても同様である。

（2）x歳における原因ノによる脱退率φを、脱退力を用いて表すと以下のようになる。
・i一工…／一工（）必！回励

この式に（1）の結果を代入して整理すると、絶対脱退率σざ，gざ，gξ．を用いて、9i＝五厘コ・（［重コ）（［亘コ）加［二二璽二二コと書けることがわかる。

一21一生保数理…

間題3．

・・4（14点）

次の空欄に当てはまる最も適当な数値、記号または算式を所定の解答用紙の指定欄に記入せよ。ただし、①〜⑨については一つの記号を記入すること。一つの記号とは例えばδ工，8δ工などをいδ

い、δ工．δγやユなどは不可とする。一つの記号以外を記入した解答は採点の対象とならない。
δ工

2名の被保険者（x）ひ）のどちらか遅い死亡の発生した年度末に保険金1を支払う最終生存者連生終身保険を考える。この保険は年払終身払込とし、2名の被保険者がともに生存している場合に限り保険料の払込が行われる。いま、査定の結果、（X）ひ）ともに終身にわたって死亡指数が標準体よりεだけ高いとして、特別保険料（払込期間はη年）を徴収することとなった。
ここで、予定事業費率は次のとおりとする。

予定新契約費：初回保険料収入の際に、保険金額1に対しα

予定維持費：（a）各年度始に被保険者が共存している場合、保険金額1に対しハ（b）各年度始に被保険者がどちらか1名だけ生存している場合、保険金額1に対しγ。

また、（x）ひ）の死亡率に対応する年金現価は、標準体に対する年金現価（δ工，δ、等）の左肩にεを添えて（ミδ、，海、等）表わすものとする。

標準体に対する営業保険料を先、（xル）の死亡率に対応する特別保険料をj令とすると、収支相等の原則により次の2式が成り立つ。

今真コーサα・γ、匝コ・γ、・（［重コ・匝コ）

馬匹コ・今回一邊ゲα・γ、口頭・γ、・（口頭・［頭）この2つの関係式より、

牡一1 ̀万・一・、、匝・篶．（回十回）1一合．回

m頭

一

国コ

1・サα・γ、［置・γ、（匝コ・国コ）1匝
一し万・α1篶匝コ・、、（国コ・回）1匹［種［頭一22一生保数理・……・・5

ここで。バ口頭一唾を用いて上式を整理すると・馬中の予定新契約三および予定維持費は、予定事業費率および年金現価を用いてそれぞれ次のとおり表すことがで純
なお、ここでは平準純保険料式の責任準備金の積立を前提としているため・馬中に占める予定新契約費、予定維持費は一定である。

（予定新契約費）⑩（予定維持費）⑩一23一

生保数理・……・・6

間題4、次の空欄に当てはまる（22点）
つの記号を所定の解答用紙の指定欄に記入せよ。一つの記号とは例え＾ば狐。，．Jζなどをいい、ΣM二。。や丁毒丁などは不可とする。一つの記号以外を記入した解答は
仁1

ユ十1

採点の対象とならない。

就業者であるx歳の被保険者が、年払終身払込終身保険（死亡保険金額1保険金年末支払）に加入し、次の2つの特約を付加した。
特約名

保険料払込免除特約

給付内容
被保険者がγ歳に到達する前に就業不能になれば、それ以後の保険料払込を免除する。

保険金分割目1j払特約被保険者が就業不能にな紙その年度末から死亡保険金の土を脾問支払う

ゐ（乃≧2）。その後の死亡時に未払いの保険金があれば、その年度末に残額を一時に支払う。

ただし、就業不能状態からの回復はないものとし、主契約、特約ともに予定事業費率は考慮しない。

（1）主契約の年払平準純保険料を尺とすると、保険料払込免除特約の一時払純保険料は、尾・o㌘州となる。ここで、o㌘州は、「x歳の就業者が就業不能となった年度末から生存中支払われる年金の現価」から「γ歳以降に就業不能となった者に支払われる年金の現価」を除いたものに等しいから、

固

押＝回一亙．囮
w二一D二・区亟

回＝で脇

岬一D二・匝］，囮＝

回固を用いて右辺を変形すると、回』）坦＿ノ）＿M二、一M卜Dζ・圃4帖）＝

回

γ十・工

回

＝匝1＋ヅ・・匝Σ・囮1

回・匝］と書ける。

一24川

生保数理………7（2）保険金分割前払特約の一時払純保険料を求める。
まず被保険者がx＋ 歳とx＋ 十1歳の間で就業不能となる場合を考える。このときエ十 十1歳における第1回の支払額については、本来ならば死亡の時点で支払われる額の現価土・匝コを、ゐ一x＋c＋1歳の時点で一にして支払うから、その時点において乃1万（回回回一回）＝1個羅1．団の損失があることになる。第2回以後第ゐ回までの支払額についても、それを早めて支払ったための損失額は同様に計算されるので，それら全部をπ十川蔵の時点の値にして加えた金額、
すなわち回・か・回・回rξ壼 圃二1．ξ間
は、x＋庁歳で就業不能となった者へ保険金を前払支払するための損失額の値である。
この損失額に対してその発生確率とΨ 十1を掛けて、cについて和をとればこの特約の 時払純保険料が得られ、それは婁悪梱県鵜）となる。

（3）糾C歳で就業不能となった者に対する、その直後の保険年度末における平準純保険料式責任準備金を考える。

ただし、主契約の責任準備金は、就業者と就業不能者とを区別せずに計算するのが一般的な方法であるが、ここでは、両者を区別して考えるものとする。また、保険料払込免除特約の責任準備金は糾。＋1歳における払込免除を行う直前の値とし、保険金分割前払特約の責任準備金は糾f＋1歳における分割前払を行う直前の値とする。
それぞれの責任準備金は以下のとおりである。

主契約

匝ト足

保険料払込免除特約

尺・回保険金分割前払特約

@1回

回・回

ξ間

これらを合計すると、回

1回

囮十r募圃＝一回

一25一回

回十1

回

看国

生保数理一…・・8｛＝1一＝1一回か旺ξ圃ん

回トlrΣ回脂1一十（・・量圃）㌍1となることがわかる。

以上

一26一

生保数理（解答）
問題

1．

（I）

設問番号

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

解答欄

FJE＾

D

解答は上の表のとおりであり、以下に各設間の解答方法を略記す乱
二党隆 生命保険数学（上）28頁〜30頁 および 第1章練習問題（3）の（5）番を参照（ユ）・・@・・・・・・・・・・・…

（F）

当初の返済額は、
10，OOO，000＿j

10，OOO，OOO・・珂（40％）

。。

1一γ

O．04

＝＝10，000，000x
1I一一〇．3083187＝578．301
15年経過時点の借入金残高は、当初の返済額・1司（…）一 E鍔・・固（…）
1＿ソユ5＝10，OOO，OOO・ 。。
1一ソ王
1−O．30831872＝10，OOO，000x
1−O．3083187
二＝6，429，774軽減されたあとの返済額は、
6，429，774＿

O．03−6，429，774・。
α元1（ユO％）
1．α4119．6。・
目538，600
よって、年払返済金額の軽減額は、
578，301−538，600＝39，701円【別解】

15年経過時点の借入金残高を求める際に次のような方法もある。

一27一

8一5一且1且O，000，000・｛（川）σ珂螢、。。。。。。。、岬）15い5・司）一σ・・）

51司α珂

一昌10，000，OOO・ユ○珂
1一ゾエ5＝10・000，000・。。

1一ソ（2）二党隆
・・・…

生命保険数学（上）第2章■・・・・・・・…

μ

一…

練習問題

（1）の（12）番を参照

（J）

d1Og

＝一、

幽より

1・・ら・1（9ま…、十2，1竺、）批

三31og（90イ）一10Iog（240−x）十1oμ（ノは定数）…ノ．（90一・）3■（240−x）m（90−80）3

よって仰ρ柵一生一（240−80）m＝旦、α。。。。

J柵（90−40）34汕

（240−40）珊（3）二党隆

生命保険数学（上）第5章

・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

練習問題（1）の（18）番を参照（E）

収支相等の原則から、年払平準純保険料をPとすると、P・δ。。・4、万1・州，。、去I・ノ。。

1、、心十5〜・・ノ・・δ30

ここで・a−1一ん一1−O・104一。．。5，993。。8。一一・①
あ30

17．233ノ。。珂斗州。。，汗1一α0519932687・1∫051・α2174493128
また・δ釦・δ。。、珂・ソ30…ρ…ク・・より・

一28一

峠〜・030 G1千172著書051−1・・・・・・・・…
ノ。も、π1・ノ。。、カノ・・省一α0368949065・・一であるから、O．0368949065

P巨寺O．5x0．180554406

x0，380＝O．00413162．．、．．．

17，233

したがって、30γ＝O・5・ノ6ザp・δ60＝O・5×O・380−O・00413162x王2・085キO・14【別解1】

4＝珂・α・・レ鳴、司）30γ＝O．5．ノ60−P．あ60

ここで、P＝」一M・・一W・・。17脳Dガ1Z085

30＝303D30

D30メ、。M・・■M・・。O・104D㎝一0380

30司

あ。。

D・・。15，051より、D。。

D・・。O．104−O．380。λ182

D。。

12085

したがって、。乞、、x，38．1・・^1…一1・…畿／・…1…x、、。、5、、、、、、箏．．

17，233【別解2】

前言己の解法のなかの式①において

6＝

1一■4

あノ30刷

o−

畠

1−0．380とするとき＝O．0513032685

12，085o＝1−6xδ1、。

π＝60

一一1−0．0513032685x15，051＝O．2278345058…・…

30・30「ク・・一δ。。、河1γ233−15，051

ノ・・詞1＝Ψ・・ρ・・＝δ、。＝・・…

二α1805544063

林π1・ノ・・。汀rノ・・｛・α0472800995川であるから、

P．O・0472800♀95＋α5xO・180554406・0・380＝O．00473426・・・…

17，233
したがって、

30γ＝α5・ノ60−P・あ一 Bo＝α5・α380−0．00473426・12，085≒α13

一29一

以上の結果から、（D）も正解とした。

（4）三鷲．．午竺幣学（下13頁〜8頁および第8章練習問題（秤参照〆・屹1一γ．一α・α州一1吃・伺α．伽
川日

川＾1・…

α川＾1

乃；10，11のとき＿．．

α＿α＿川1■刈

題意より・o…ミ洞α・坤一・かつ・・α、珂・あ、司・…
o〃日
したがって、δo＿舳1＿十〇。04xあカ十1川一11

α・…

一＝13……………・………・・…①となる。
二十阯，I

一方、

クκバ1抑xρ1・あ、。、高I＝13。δ

肘1・一＝＝i1

δ工五1＝1＋ツ・ρカ・δ、十、す1・65

12．22
x1．02
1台

これらを①式に代入して、み＝。12
ソXρ工．．．、

J5

肺1例

γX＾

なので

ρ■：O．9588【別解】

初年度の純保険料を名とすると・略］・砂⑫・j）・公・み峨］
ここで・鳩】・硝」・であるから・
ム＝1一％4一月・⑫十f）

十／去柵ξ〕〜）
・・一^占11篭α・・1砦ト・・＝O．9588（5）三野．．竺空鰐学（下）第12章練習問題（2）の（舳9ン（20）審などを参照（1）4人生存している場合の年金現価
2δ、、工、（2）3人が生存している場合の年金現何一30一。C。

δ、エエー。C。

あ工〃，（3）2人が生存している場合の年金現価05・（。C。・δエエー。C。・。C。・クエエ、十。C。・δ、、、、）（4）

1人が生存している場合の年金現価O．25・（。C。・δ工一。C、・。C。・あ、工十。0。・。C。・クエ、、一。C。・δ、、、）

求める年金現価は上記（1）、（2）、（3）、（4）の計となるので、整理すると
■（n）

あ十δ

＾■

二党隆となる。

生命保険数学（下）第7章練習問題（2）番を参照

咋α5．Pψ）妄、何十ノ、，知十・讐．｛α・冊（δ工、ザδ、、r）・α05・（6、、ガδ、，三1）1＋O．03・P＊・δ一十〇．O01・あ一十〇．O02・」⊥〃301

パー〃301

1．OOZ4」」十〇．00功■＝30Iα9・あム、何一α・5δ
1．0024（答）①α9・δ〃301

したがって＿■＝301

バα・5δエサ・＾ψ）切」」十0．O01壷．＿
工＝30I
■＝301

何一α・5ク

何一α05δ

；rα4一αψ）細ここで仙斗δ廟㌔・伽）㌧何一㌔詞一÷鴫一州南（二見隆著生命保険数学上巻第4章練習問題（3）の（1）番を参照）を代入してi＝O．06，
δカ、司＝4・456427・ク、珂・7765041・亭工、珂・14260724・（肋）、珂＝158．713971を代入するとバ＝0仙33560＿．
（答）②

0．013356

一31一α、詞＝13412595・

問題2・二党隆

生命保険数学（上）第3章脱退残存表86頁〜90頁を参照
、

■

設間番号
①，一一．

1

一一1■■一解答■．

V工②！μ州③．c④4・X工⑤メf⑥！．

■月
cﾊ肘。十μ。。。十μ工。。

⑦4μ州

⑧1一〜㌘

⑨1−C・g；．

⑩9ζ・一吉・gζ

⑧と⑨とは逆、すなわち⑧1＿c．g＝．

⑨切ξ．・古・9ξ．・9ξ．

1イ・g㌘も正解

x歳の人がx刊歳（O≦C≦1）になるまでの絶対脱退率、gさは、次のように書ける。
、・ざ・∫；φ一。σハμi、。必一方、題意より、、gζ＝・gざであるから、∫1φ一。・チ．）・μ1、。加1・〆となる。この両辺を1で微分すると、φ一，9ζ）・μζ、、・9ゴ

ノ．

4、、・

爆、．

1一〜工と書けることがわか乱μ二、，μ二、についても同様である。

（2）元歳における原因ノによる脱退率φを脱退力を用いて表すと、次のとおりとなる。

φイ1…←／l（μ九・μ二・μ県）・・1μ玄、・

一32一この式に（1）の結果を代入して整理すると、絶対脱退率gざ，gざ，g二を用いて、φ・／1斗工／ト害；ざ・ト島・、．三二；ざ／叫、劣・・／l…l1・・1一…ゴ）・1・・！刈ざ）・1・・！一・・州、か・∫；Φ一げ）Φ一げ）Φ一げ）、号、ζ・〃■・＝∫二g二．・⑫r〜タ．〉φ一r・9ξ．）〃

・ψ・o・一芸似切二）・去・ψ・・吋と書けることがわかる。

一33一

問題3．特別保険料については二党隆
予定事業費については二党隆
股間

解答

ﾔ号
①hカ｝

②

切舳
ﾜたは

●・設問

ﾔ号

⑥

ﾜたは

解答

ﾔ号
⑨〜⑩

÷十音／

⑪

孝司ト小寺紅・刈xα＿ﾅ

8αル⑦

ﾜたは鼇jVεあ一〃眈1④

設問

ε切小ル
黶Z

解答εδエフﾅ

ﾜたは生命保険数学（下）2頁〜4頁を参照⑤ｿ一⑧

生命保険数学（上）159頁を参照

⑧

〃

αソ

②と③とは逆、すなわち②σソ■、または一αη③、I、鰍はα寿でも正解。

⑥と⑦とは逆、すなわち⑥εαソ1、または一ε㌦⑦侶α工I、または㌦募でも正解。
与・あ工、・｝α・篶・クエン・γ。（α工1、・αソ峠）

片久、．・ザ屯、・εサα・パ㌦・小ル・ε1ル）

1島十・い・州｛・小町1．
1島・ε、1仏・α・η・ε1州・小パ㌦ル）1η1司

÷・いα・篶・〜・山・1ル）1・ε芦η

（予定新契約費）・工〃1

熄¥判（予定維持費）

一34一

／乃壱・η㌔羊ル〕十缶・η舟㌣着り考，．／（・〜へ）十馬刈

1ここで8・。1ノ・白α、■エ・E・エ・8・ツー2・ε・エツ・8δ工・εδツー2・王δ工、，

α小十α〃Iエ＝αエ十〇ツー2xo工γ＝δ兆十ち一2x∂、｝より］

ぺ、．／（垣へ・㍉）一音紅刈（注）解答にあたって支障はないが、出題時の問題文の一部に、指定テキストと相違する表記があったため・指定テキストと同じ表記に改めて記載比（復帰年金をδ工1、と表記していたものをαエ1ツと改めて記載した。）なお、採点にあたっては、指定テキストの表記であっても、問題文どおりの表記（⑧〜⑨左エッ）であっても正解とした。

一35一

問題4．保険料払込免除特約については二見隆生命保険数学（下）166頁を参照

保険金分割前払特約については設問番号

解答

同じく168頁〜170頁を参照

設問番号

解答」

ｿ工c）

}一カー ｻ

（b）

DA伐）

（C）

D二（1）

（d）

ｿア

（m）

ゲ■

（n）

i（a）

o（e）

（り励。一（S）

oi（t）

¥ー〃。

ノエ十十1

クエ十解答D二事

ρ二i、が．工十（u）

a

十1記1

ノー洲十bl（V）

十1wi

（O）

｡十ノ（9）

設問番号十1

io一（P）

D二、、、がン

（q）

が■十十5

が工（r）

炉カ十十5

J：γ一月一功Φ）（i）（S）と（t）とは逆、すなわち（S）ρニニ．

・（t）Dニニでも正解。

（1）の補足説明o（ミ1戸Dαエ＝iαエ

Dγ一一D例α誠フ

カM蜷一D由・がW前一D嗣・夕である｛で・α二一㌻川・呼工ハr亜一D。（ミ＝局＿エ

αγyツ

D㌘を用いて右辺を変形すると、、M．ユーjV蜷十D並がIDニン川（．

M♂・・二⊥）ソ

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一36一か｝

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