昭和53年度（問題）1．ある年齢群（エ）の国勢調査の人口をπ（エ）o，n年後の国勢調査の人口をπ（π）。として，次の各々の場合のm年闘の平均人口を求めよ。

ωn年間，毎年一定数の人口が増加する場合

121n年間，毎年一定率の人口が増加する場合
2．死亡率伽及ぴ解約率（m）。カ崎えられたとき，死亡解約脱退残存表における死亡脱退確率g二及び解約脱退確率（m），を求めよ。ただし，死亡，解約は一年を通じて一様に分布するものとする。
3．次式を証明せよ。
一｛1，＿1＿＿λ！≒μiσ■十一（oi＿1一σ外1）21・〕乙一m（麦11τ1札1）

π歳加入m年満期で，被保険者が死亡したとき，その保険年度末から満期まで，毎4．

年1の確定年金を支払う保険がある。
ω全期払込年払平準純保険料は，次の式で表わせることを証明せよ。

麦、（午〆■千去）12〕責任準備金の再帰方程式を用いて，チ年経過時の将来法による保険料払込中の純保険料式責任準備金を求めよ。

5．予定新契約費を保険金のα，予定維持費を保険金の7，予定集金費を営業保険料のβとする全期払込m年満期養老保険（保険金期末払）の責任準備金を々年チルメル式（チルメル割合α）で積み立てる。

この場合の各保険年度の新契約費を記せ。ただし，保険年度末責任準備金が負値となる年度の新契約費は，保険年度末責任準備金を0とし，その分断契約費を減ずるものとする。

一1ユ5一

昭和53年度（解答例）
1．国勢調査の人口をπoとし，サ年後の人口をπ1とする。n年後の人口は一π，とする。
ω

毎年一定数の人口が増加するから，

π＝π0＋一（π日一πO）n
従って，n年間の平均人口は，次のとおりである。

÷∫1η・一÷∫1｛耐÷（n）／か一÷｛∫二M・㌣∫1㍑1｝

一÷／1・…芸（n）／

12＝πO＋一（π簡一πO）

12土一（π0＋π，）121毎年一定率の人口が増加するから，π＝r百・πoπ制

ここに，rはn年間の増加率でr＝一である。
πo

従って，加年間の平均人口は，次のとおりである。

一116一÷∫1πn・1一÷∫lllπ｛÷／1箒、〕1πo二一10g

rn （r−1）＝ r1 πOl09ア

2．死亡解約脱退残存表の残存数，解約脱退数，死亡脱退数をそれぞれ，で表わすと，

6二
1 、パー仏

σ，三、は〕

2（m）、＝

吻1∫二一一6二12〕

2である。

ωより

4二＝（12〕より

1二一一〃二）4，・………………・・……13〕
21
妬＝（Z二一一6二）（m）、
2……………・…・・14〕

14〕式を13〕式に代入して，∂二一〜パ÷（1二一÷6二）（〃）・4・1，4二σパ万1 二σ・（〃）・十丁κσ・（m）・

一1ユ7一二，〃二，ム従って，／二σ・｛1一÷（〃）工｝

6二1

1

1一一91（ω7）、
4

同様に131式を14〕式に代入して〃二を求めると，

ω二一！二（鮒〕バ÷（二一÷m二）σ・（m・）エ〜二（〃・）・（1一÷σ・）

11一一σ■（〃7），
4

σ工

6二4二：

κ

o1一÷（〃）工｝
工

1一一9！（m7）■4（m）・（ユー÷9・）
ω二（仰）工＝

ﾈ＝

工

1一一σ■（ωγ）■
43．は〕

dπ

6

ゐ

aπr砂㌧力〃（・・あ一宮∫ン（差ψ・）〃一ユ18一辜塔ﾕ∫〃）

一∫こ州加一μ州）・｛∵午㍉ル（μ・一州）｝＝μ！σ■一ノし（∵五一∫二・〃，・五一∫こ㍑㎞・・づaσ。

ノし＝μ≒μσ■一ゐ

1 ＿σ■十一（ ■＿，一σ2十1）争≒÷（み1一㌃1）｝｛1・1ト∫1〜州・一十∬れ舳・〃
十∫こ〜 ム。H一！州。12！州一；∫ン

J叶Hん

・1一v∫ン

一ユ19一1（・4州。1μん
一雄

十≒一．
2

㌣テ〜十一）

一÷（ラ＝∫ン

一÷（ラニ三1、ラ三デ6ト

力・剛ラ三1∫ソノラ三11（・・五一∫ンゆ・〃一∫こパ11）カ・ら，＿＿1＿＿メし≒μ！o■十一（o■＿I一σ叶1）
2

従って，ル五・÷（五一・瓦・1）一÷（1：一1−1・乙・1）

1・瓦一÷（妻11｢一1＋瓦リー・カ万！1）・一一÷／（力11一1）瓦…十（1一カ。）瓦H｝

一÷（麦11瓦1＋伽ゐ1）

A1、，（麦il 瓦一・1＋σ五・1）
1・一4．1！〕求める保険料を戸，給付理価をλとする。

一ユ20一dc）

テ＝61）

1・一1

λ，一Σ6回Ci、。
D。

一〇（…帰一1苦」1…チI

1卜11一〆一わ C州ｰ＝一Dパー。

）

1 肝1〆・。
1 卜1Ci＋ｰｰC、。
一一二一
D．1−o〃
D三回わ

1 1・一1ｰC、。。
＝一・一あD。 ・o

旦

1皿．1

Σ〆十I（〃D州一〇州、1）｛D。同｛∵α・・刊州仙イ｛1（ん・rん州）一σ・ルゾ広州｝

111

1i〃ゲM州）一一一（〆0。一D。州）
昌一一
〃D。
o。

｛∵薯1・パ肌一仏…Σ1（・一ルゾ・十1九州）一ψ。一D川｝：↓4＝司一↓（〃Lλ、、去）一（λ1ザ仏チ用■ん缶一智）

一ユ21山

従って，卜、デ司一、±司（宇〆…ん去）12〕保険料戸を払込中の，責任準備金の再帰方程式は，〃力、。，・、。1γ、：，γ，十戸1σ〃，・6n

この両辺に〆十τ！肘、を乗ずると，〆十『十リ，、、、ピ，、〃，㍉川z，、，（，γ、十P）1川十I6、。、・6司

0■、、、ピ，、1γ■岩D叶、・，γ、十D、十，月一C，十、・6高

この両辺をτヨからn−1まで加えると，

尻一1

＾一・I

日一I

τ＝f

τ冒r3

Σ（D，、，、ジ、、1γ，一D、、、・，γ、）二ΣD，十、月一ΣC，。、・6n・・

同の左辺

一同

1D〃パ日γ■一D〃ピ（二一 c州．κ．

、＾レニ＝0）

また，11〕と同様にして，

1

日一1

1

炉11一〆一■ΣC，、、・6高＝Σo，、 τ11
D州内

C，十。

〃＾一I一。土／半一ユ22一

日一1昌≒山山1）／

1

〃！十わ

1＝一わ

一〃1十，

＿⊥〃

4

○州

1
氏C・

1＝η一一（〆■D・・rD用D州

Lノ，、：★1）

従って，同氏は，一〜lK一肌ヅ舳一ル判（λ会同

月、二〃、三5．

、n〆

L■4、、0イ■

迪ﾃ）

、☆

一戸み十

わ

：司

この保険の営業保険料をP二：司，純保険料をP、：祠とすると，・1ザ且≒（＾1・。…頼打）であり，チルメル歩合αとすると初年度の純保険料ρ出は，

舳一九司一（α一。…司）一（1一β）・1司一・一（α十、…刀。…刀）となる。このP瑞と初年度の死亡保険金の現価砂・σ、との大小により初年度責荏準備金の正負となる。題意より保険年度末責任準備金が負値の時はこれをOとするのでP，1、〕可と〃・σ、の大小により分けて考える。

一ユ23一ωP％≧〃・σ、（即ち，保険年度末責任準備金≧0）のとき，

α

初年度新契約費

α十6，、因α
み：司次年度〜治年度新契約費

αん。月α々一ト1年度以降新契約費

121P鳥＜・・9、

α

6、、需6、、司（即ち，保険年度末責任準備金＜0となり，のとき，初年度新契約費（1一β）P二、司一r一〃・9、（＾証、三，1・ψでも刈次年度〜！年度新契約費

十1年度新契約費（i一β）」P二、司一アー。・σ，十卜1（工rβ）P二：売一一アー砂・9，｝一リ・ハ1γエニヨ！十2年度〜々年度新契約費α々十1年度以降新契約費α

あ＝；16工＝売1一エ24一αん：司これを0とする）

ただし，ここにノは，チルメル歩合αのとき〃二、司く0で、1γニミ7≧0となる！であり，バ！二、7は〜年度末の名年チルメル式責任準備金である。

一125一