(問〕

昭 和 45年 度

(問題)

午前の部
1.

次を証明せよ oA‑ZZ

D‑‑bS a s

M‑ZSaD(a)A;zN&t̲DH. ぷ(b)α;z2.

:rxxaaDs

3つの死亡表の死力の間 V
C 6ん =3PJ=2PJ 左る関係があるとき，次式が成 b立
っととを証明せよ oPt3.

置す=5tPs‑3tpjhPJf

X 歳加入 n年満期全期年払の一般化された養老保険があって，第 t年度死亡率?よび満期対する保険金額(期末払)は，それぞれ Sx+t

金よび S

九x+，

かっ，‑，.
，vを t年度末責任準備金として，t三'V
C対しては五t

0三玉

V三玉tVt'が成 b立っとする。との保険契約の責任準備金は，利率が増加するとき，どのよう左影響を受けるか。

‑75‑

K

〔問〕
午後の部
4題中 3題を選んで解答せよ o4.

加入年齢♂歳，保険期間 η 年，保険金即時払養老備検(全期年払)v
c，死亡時 K既払込
保険料の/i1倍，満期時 KJ
22倍の返還を追加するととを考えたときの営業保険料を求めょ。との場合，純保険料 P と 営 業 保 険 料 円 の 関 係 式 は5.

死因 ivc よる死力(i) ...J..

=...J...~)lC.l!-/>o I ~_ 1 ~コム
pF=tfの形式とする。
1，，(‑i)Px か，その死因か消滅したときの死力 P~'"7̲"，"l:r:/T'，"l:r:‑4‑.

x)が死因 iv
cよって死亡したときは 1+/i，るとき，被保険者 (の G倍であるとす

それ以外の死因 Kよって死亡したときは 1左る保険金を即時に支払う n年定期保険の年払純保険料を求めよ。

6.

初年度定期式責任準備金 K ついて，終身払込終身保険〈側換金期末払〉を ~Uvc 次の間 K

答えよ o との場合，営業保険料は，α ・0・7一方式で算出されているものとする。

(a) 新契約費の限度 a台よび責任準備金の算式を求めよ。
a)の責任準備金の算式を用いて，第 1保険年度会よび(b) 加入年齢 z歳の群団忙関して， (第 2保険年度の利源分析(三利源〉を算式で示せ。との場合，との群団の保険金額は第 1保険年度始 80，第 1保険年度末 81'第 2保険年度末 82で表わし，死亡以外の消滅は左いものとし，第 1保険年度争よび第 2保険年度の事業費，利息配当金収入は'̲.‑'
工r b よび Eとする。
E'.
.
‑2' r
2l' ‑ 1，'ス

定年退職者 K終身年金を給付する年金制度の加入者集団 Kついて，定常状態を仮定する

vcよる保険料は，加入年齢方式 Kよる標準保険料 K収束とき，綜合保険料方式c.閉鎖型 )するととを証明せよ o‑76ー昭和 45年 度

(解答〉

午前の部
.
1 (a) 被保設者が廃疾体として死亡する条件で，その年度末 K側換金を支払うよむ歳の健康体者

K対する側換金額 1の一時払純保険料の算式であるから，

。
。

A
7=。
至VH1

パ九cx
コ
O':
:
Evt+1 むしーに Ir;
at=O

vx+t+1 diix+t:
Ee.
・ VH 1V e.
̲VxXx

It O'xaa

A‑SZ

D‑ZSM

・'b‑zzaDaこと vr，

MZZ=x

宗 v + +1 diix tD~~xVXaaVXDzze.
ttx:r:

Ax+tt=0e.

aax。
。

Z Ut + 1 p ;(b) 現在♂歳の健康者が廃疾とまってから生存している間支払われる年金の年金現価であるから，。
。

α;z=Ztyzt
Pzt=0=2utr;:t‑z;z・λt=0~Ye.

aase.
日‑Ut dV .
e:∞ Vx+t i~ .̲ VX

L:

t=Ox十四tL JJ

凶‑77ーD‑ZS‑zaαHN.
'b‑za

一D aaa<x>ととV<:，

N7=Ztyz+t・2;:
tt=2.

~V<:mん = りt
J 在る関係があるときは

ィ私tPxx.
.
.• (1lI.
)=

da 1lI.

_[t mPCPx)1lI.= (e勺 叩 ) =eーf.
.
ら〆

̲
.
l.t〆 d$dS'=e U x+， = (e‑u=• d$勺 計叶S得)

P:)

(ttP
ム…
.(π)
まる関係が成立する。
従って，与えられた条件から次の等式が成 b立つ。

tpsa=tpJ
tpms=td
一方， tP.
蕊 x は，次のように変型される otPx
百 =3tPx ‑ 3 tPxx

+tPxxxPJtPxxす =5tps‑3tpj+t3.

責任準備金の漸化式を考える。
(tV+p)(1+i)= ~x+ t" Sx+ t+ 1 + P x+t . t+1V‑78ー一一・・・・①ととVL:Pはとの保険の全却払込年払保険料とする。
かつ ' 九 V

Sお十11‑nV=O=i'‑i とする。(以下ムの使い方は増加させ増加させた利率を γ とし，かっ，ムた利率 Kよる関数から前の芳u率 Kよる同じ関数を減ずる記号とする。)

i'VL:よる漸化式は(tvr+PF)(1+if)=sbs+t ・Sx+t+1+ Px+t• t+
1V' .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
②②‑①を作ると，(1+i') ム (tV+p)+(t V + P ) ム~ = Px+t • ム t+1V(1+i')ム tV+(1+tF)ム P + (tV+p)ム

Px+t・ム t+1v ・・・・・・・・(1+i')ム P

tVL:関して Cons七(tV+P)ム i

ム i>し を よ び 条 件 か ら tVL:関する増加関数ととで ， R
t=(1+i')ム P +(tV+P)ム iとj;‑.(とRtは増加関数と左 b③式は
(1+i')ム tv+Rt= ps+t ・ム t+1V

とまる oととでi) Rt> 0 とすると
V> 0(1"+i')
ム OV+RO= Px・ム 1(・.・ム oV= 0RO >0)(1+i')ム 1V+R1=ps+1・ム 2V> O

V> 0(・.・ム 1R1 〉 O)

以 下 同 様 に し て ム 九V > O

これは矛盾

Rt は常 K正では左い。

ii) Rt く 0 とするとi)と同様 K し て ム nV く O と在るからRt は常 K負では左い。

故VL:， Rtは増加関数である事を考えると，はじめ負で次 K正とまる。

。
.

n・R
三二 R2三二 ・・・・・・
三二 Rtnさ
即ち， [[t‑‑0=‑R‑1三一一一一二口三二 R

.
0‑79ー

三 ・・・・三玉 R③

ととろで，。注 (1+i')
6oV +ROPx・ ム 1V

( 6 V=00R。
三三 0)

0孟 C
1+i')ム 1V +R1

p叶 1・AF(上式，R 三五日〉
1

以下同様 K して・ム')ム tov +R.
口三三 (1+i=r1)
tx t+ 00VtO+1

方V R ̲1;;P0ミ. ‑ n
X+九 一 1 ・6 n.

0;
三Px+n.
‑2C1+i')ム ド 1V=(1+i')ム ト 2V

ム ト 1v‑R←2(ム V=oR九 一(上式，R r 2三1孟 0)

以下同様K して

p ・.d.
日二三 rxV‑Rη.LtO+1tO+1

ζ~x+1

Vto

以上を整理して，いすす1の場合 K長いても
ムV三玉 0tt. e.

r
玉 tVtv 三即ち，責任準備金は利率の増加 K従って減少する。

C別解〕
0~~V
長(百三土三)=言 (d十t+1‑Tx+γ十L‑)=(t+1ー で ) vx+Ts守色︒
一仰。
D.D土L(手立)=乏:(rt)=(tー τ)V‑ ず
Ix+Tx+T表(PEEfE)=￡(主;0̲'1"8..
s+t ‑x +D
x+九 '8x+旬、.

‑1=VDo九一

Dxx.8

DZ+九・s{~ (t+ 1)‑=+tna+t+nn z +九}

xt=0x

コ符

九n‑1 D
九‑1 DS+tDθ / ‑1Da+t、 θpx+t+pv‑1
一方 γ ( p~一一)=-・ z 一一 +P-U 12tご とー・D
Otj1t=ODS/θV t=O Dx
t=O 九
t=0a‑80ーo)

. n‑1 D

pv‑1 :
E ~立x

t= 0，;

θP n‑1 Dx +t

ν・s+v

̲.
‑1 ( n 1/";:
'1 Cx+即ち一一.:E一一一 =v‑'{:E(:Eθv /‑:
:
'0 Dx
t"::
O¥
:
‑:'tx
"'!
"v x
"'!
"v
Dx+n・s+1D 、一+DEx"'!
"
nn x"'!"n̲p :
E一三一)
九ーEν
=tDx

Da /a︑a︐︐一D
DS
一+Jb

S︐卜︐︐

一24

p+.n‑1
D1= V‑ 1:: C~V +P ) ~土土
t=0x・gととろで長 CtV)=長(三 1 J + ν + 1+ts+n‑P21三)合~n‑1 Cー 九.8

D‑1丸一

1DC.8D.8x+ ~+ Cn‑t)‑=+π x+= v‑'{Eν1‑t)‑=+vl:.
.
.
.C，‑+，，
D=t

乱x+tx+t‑1 DoPDν=tx+t

再x+t=tx+tt︐︐‑ t︐︑
ν+一+宏一SDD一PV乙ν=t‑1 D

ずこ +Pν:Eずこn‑ 1‑vお・:E]ずと ‑ P~ Cν‑t)

J耳DX

D=v‑1(:E "VD ど +P:Eずとー{:E̲CtV+P)
n‑1

ν=tn‑1 D

n‑1

ν=tt=Ox+tx+tすこ};:;):ED ../D

t=O x十xI ︐/︑+Z
DnMJM︐

吋一24/J+S
DEnνJ一Z︐︐︑+一+一S
Z
D
D一+P︐︑︑

rv/11K︑︐rzhU

一一D

t‑1‑1ZL+ν/勺x+t1n‑1九ー

ν=t"=0‑:E CνV+p)ずと(:EDx+ν/:E̲Dx+JJ=ux+t〈ととで 1 ‑ E Dx+ /三 Dx+ 一ミ 0' 0一ζ V一豆 V云ν

であるから

π‑1九:ED逗 v‑ CCV+p)1，ν0.
ux +t‑81‑II~..Lπ‑1:E D

ν=0云V¥)/‑1:
E Dx+νてー(1‑ :‑ν1x十M

zDx+vー (tV+P)v=~x+tL:D(‑;ゴ))
L:D ̲x‑t‑v

4.

一収 入 の 現 価 = P・αx.九l

支出の現価 =ζ:司 +~1 ・ P'( 工 Z〉 J: 司 +A2rzpr 九九

P+αP'=一一ーであるととに注意して，収入現価=支出現価から1‑b

P=( 1-b)ζ: 羽 +α{~1 (工 Zh: 司 +~2nnEJ(1-b) 弘:司一 {~1 (工 A)l:司 +A
2nπ Ex }=p/A ̲̲ +α .ax. 制

x.制(1‑b)え:司一{~1 (工玄〉 J:司 +~2 n人 )5.

題意の給付現価をzr・司とすると，〉+ベ::}
dtz
j: =futtPJP2t(1+A司‑82ーSEE︐

午後の部

︐︑

換言すれば，矛!障が上昇すれば tVは減少する。

+一+s‑a一D

a V 二三日
θV t

よって

D同一nu

一一'
咽 a L ‑ 4 t n u

S+Drzh+D

E︽︐aUA

一D

一+1一S︐︐.
︑

P+v

U一一fz γ2hν =0

=futt凡(九+t+り:L〉dt

f2.r
九 ̲.
.
(i)
v~ .tPx

人=AJ: 司十勺ととろで，oμ (‑i) であるから
I x+t+pc 一川

μ一+tP~:t ー

Ao ̲̲aA1 一+一一一一 A1~_x;似1+0 x;nlA1x.川Ao 一ー̲a(1十一一一) p ~~.."...

P1 ̲

1+0x.叫 id. A︑︑.︐︐

(︐6.

J

川

新契約費の限度P
1 を初年度純側君主料，下2 を次年度以降純保険料とする。
売はその年度の自然保闘であるから

αZx

sx+l

S
一+N一 s一NN

一x

caDaps一一αM0xDx

Nx

Nx+lMx+1Nx+10一3DSPX+1

責任準備金の算式
Vx

Ax+t、，‑ p̲αZNZ
一N一+2PDZ

α一一o::.
月 司 、 、 、"、 "= P一 αP+‑=ニーーα=一二二x+t‑83ー=As+t一(売+友 )ax+t

A‑ P
αx+tx+1 x+t(2) 第 1保険年度
C。ず(1+i)ー (80‑ 81) =九九一 (80‑ 81)

死差損益

8

利差損益

r'‑ 8O{/x，.
q .V • i

費差損益

80(α+一一一ー +s+P'• r)‑ E:xα‑α，、αa

第 2保険年度

ス

死差損益

81Px+1(1+i)ー (81‑ 82) ‑82(Ax+2‑Px+1 αx+2 )

利差損益

了 ‑8P

費差損益81• i

2 ‑ 1 x+1

(与三笠+3+P;T)一円αs

昭 和 40年度問ヲ参照のとと o‑84ー