4章

比例と反比例

単元

18

覚えよう！

1

へんすう

いろいろな値をとる文字のことを変数という。2つの変数

x，yがあって，xの値を決めると，それにともなってyのかんすう

P.124〜1313

yがxの関数で，y=ax(aŒ0)という式で表
ひ れいされるとき，yはxに比例するといい，aを比ていすう

例定数という。

値もただ1つに決まるとき，yはxの関数であるという。
へんいき

2

教科書

比例⑴

変数のとりうる値の範囲を変域といい，不等号>，<やö，ôを使って表す。

4

比例の式を求めるには，y=ax とおき，対応するx，yの値を代入して，aの値を求める。

チェック1 関数

時速 50km の速さで走る自動車がx時間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yはxの関数であるといえますか。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴時速 50km の速さでx時間走るときに進む道のりは，50×x=50x(km)となり，y=50x と表せる。

解⑵xの値を決めると，それにともなってyの値もただ1つに決まるから，yはxの関数であるといえる。
答

確認問題１⑵いえる。

次の問いに答えなさい。

分速 1.5km の速さで走る列車がx分間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

⑴① yをxの式で表しなさい。

②〔⑵⑴ y=50xyはxの関数であるといえますか。

〕

1本 60円の鉛筆をx本買ったときの代金をy円として，次の問いに答えなさい。

① yをxの式で表しなさい。

②

〔

〔〕

yはxの関数であるといえますか。
〔〕〕

チェック2 変域
変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

例題⑴

2より大きい⑵ 2以上7未満••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••・≧，≦…以上，以下(その数をふくむ)⑴ x>2

解2をふくまない。

（0・>，<…より大きい，より小さい，未満(その数をふくまない)

2はその値をふくまないことを表す。

確認問題２⑴）⑵ 2≦x<70

両側の不等号

27（ はその値をふくむことを表す。）
答 ⑴ x>2⑵ 2≦x<7の向きは同じ。

次の問いに答えなさい。

変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。
①5より大きい〔②1以上6以下〕〔③〕

7以上10未満〔〕〔〕〕 yの変域〔〕⑵ 540km の道のりを時速 45km で進むとき，x時間で進む道のりをykm として，次の問いに答えなさい。
① yをxの式で表しなさい。

②

x，yの変域をそれぞれ求めなさい。
xの変域〔

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4章

比例と反比例

チェック3 比例分速 80mで歩く人がx分間に進む道のりをym として，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yがxに比例するとき，その比例定数を答えなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••y=ax という式で表されるとき，yはxに比例し，aの値が比例定数である。 x解y⑴ 1分間に 80m 進むから，x分間に 80x m 進む。よって，y=80x⑵ y=ax の形になるから，yはxに比例し，比例定数は 80 である。
確認問題３00

答

12 3 4 …
80 160 240 320 …
⑴ y=80x⑵80

次の⑴〜⑶について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものにはその比例定数を書き，比例しないものには×を書きなさい。ただし，円周率をπとする。
⑴

正方形の1辺の長さがxcm のとき，周の長さはycm である。
式〔〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

半径がxcm の円の面積はycm2 である。

⑵

一方の対角線が 12cm，もう一方の対角線がxcm のひし形の面積はycm である。
2⑶〕 比例定数〔式〔〕

チェック4 比例の式の求め方

yはxに比例し，x=4 のとき y=12 である。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ x=5 のときのyの値を求めなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解⑴ y=ax に x=4，y=12 を代入すると，12=a×4，a=3⑵ y=3x に x=5 を代入すると，y=3×5=15

確認問題４

よって，y=3x答⑴ y=3x⑵y=15

次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=15 である。
①②yをxの式で表しなさい。

x=-6 のときのyの値を求めなさい。

⑵ yはxに比例し，x=-2 のとき y=6 である。
①

②

③〔〕

〔〕

〔〕

〔〕 x=-4〕〔〕yをxの式で表しなさい。

x=3，x=-4 のときのyの値をそれぞれ求めなさい。

y=15 のときのxの値を求めなさい。

x=3〔

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4章

比例と反比例

単元

19

覚えよう！

1

教科書

比例⑵

P.132〜138
yじく

右の図で，横の数直線をx軸または横軸，縦の数直線をy軸または縦軸，x軸とyざ ひょう

y4軸
32

げんてん

軸を合わせて座標軸，座標軸の交点Ｏを原点という。

2

右の図の点Ｐは，x=2，y=3 に対応している。このとき，これらの値の組み合わせを(2，3)と表し，2を点Ｐのx座標，3を点Ｐのy座標，(2，3)を点Ｐの座標という。また，点ＰをＰ(2，3)と表すこともある。原点Ｏの座標は(0，0)である。
このようにして座標を定めた平面を座標平面という。

-2

比例のグラフ 比例 y=ax(aŒ0)のグラフは，原点を通る直線である。

3a>0 のとき①② a<0 のとき

y増加

増加

x増加

-2 原点

チェック1 座標⑴右の図で，点P，Q，R，Sの座標を答えなさい。

⑵

次の点を，右下の図にかき入れなさい。

QA（2，5），B（-4，2），C（-2，-3），D（3，-5）

4P

2-4 -2 O⑴それぞれの点からx軸，y軸に垂直にひいた直線が，x軸，y軸と交わる点のめ R-22-4もりを読みとる。
Ｐ…x=4，y=3 に対応するから，P(4，3)
Ｑ…x=-2，y=2 に対応するから，Q(-2，2)
Ｓ…x=3，y=-4 に対応するから，S(3，-4)⑵ Ａ…原点から右へ2，上へ5だけ進んだところの点。

B

Ｂ…原点から右へ-4（左へ4），上へ2だけ進んだところの点。
Ｃ…原点から右へ-2（左へ2），上へ-3（下へ3）だけ進んだところの点。
Ｄ…原点から右へ3，上へ-5（下へ5）だけ進んだところの点。

確認問題１

⑴

P(4，3)，Q(-2，2)，R(-5，-1)，S(3，-4)

次の問いに答えなさい。

⑴ 右の図で，点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔ，Ｕの座標を答えなさい。

y5⑵

P-55O
R

U-5A

2-4 -2 O-22x4D

右の図
y次の点を，右の図に5かき入れなさい。

Q4C -4⑵x4SyＲ…x=-5，y=-1 に対応するから，R(-5，-1)

答xy次の問いに答えなさい。

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解x軸
42O（右下がり）（右上がり）

例題

PxO減少Oy座標軸

Ａ(4，2)Tx

Ｂ(-2，5)Ｃ(-1，-4)S

Ｄ(4，-6)Ｅ(0，2)

Ｐ〔〕 Ｑ〔〕Ｒ〔〕 Ｓ〔〕Ｔ〔〕 Ｕ〔〕-5O

5x-5Ｆ(-4，0)

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4章

比例と反比例

チェック2 比例のグラフ⑴y=2x について，次の問いに答えなさい。

例題

x … -3 -2 -1 0

xの値に対応するyの値を求め，右の表の空欄をうめな

⑴

y …

さい。
⑵

123 …
…

y=2x のグラフをかきなさい。
y••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解⑴ y=2x に，x=-3，-2，-1，……，3をそれぞれ代入して，yの値を求める。

5順に，y=2*(-3)=-6，y=2*(-2)=-4，y=2*(-1)=-2，y=2*0=0，y=2*1=2，y=2*2=4，y=2*3=6⑵ 対応するx，yの値を座標とする点（-3，-6），（-2，-4），（-1，-2），-5（0，0），（1，2），（2，4），（3，6）をとり，それらを直線で結ぶ。

x5O

比例のグラフは原点を通る直線だから，原点以外に通る1点を求め，その点と原点を通る直線をひいてもよい。

-5⑴答⑴ y=-x… -4 -3 -2 -1y0

1234xy5…

1x2-5… -6 -4 -202

4…

6-5…

⑴ y

グラフが右の図の直線⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

5••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

グラフ上の原点以外の点を1つ読みとり，その点のx座標，y座標の値を y=ax⑵に代入して，aの値を求める。

⑴グラフは点(1，-4)を通るから，y=ax に x=1，y=-4 を代入して，-4=a*1，a=-4 よって，y=-4x-5答⑴

y=-4x-51
y= x3⑵グラフが右の図の⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

⑶

5-5⑴
〔〕

⑵
〔〕

⑶〔x5O

⑶

⑵ グラフは点(3，1)を通るから，y=ax に x=3，y=1 を代入して，
11
1=a*3，a=よって，y= x3
3⑶ グラフは点(5，-2)を通るから，y=ax に x=5，y=-2 を代入して，
22-2=a*5，a=よって，y=- x55

確認問題３x5O…

チェック3 比例のグラフ⑵
例題

上の図

y…

…

⑵ y=⑵

下の表の空欄をうめて，比例のグラフをかきなさい。

確認問題２

x順に，-6，-4，-2，0，2，4，6〕

y2x5⑴
⑵

O-5y=-5x⑶

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4章

比例と反比例練単元181習問

題

その1 関数 180L の水が入った水そうから毎分 15L ずつ水を出し続けるとき，水を出し始めてからx分後の水そうに残った水の量をyＬとする。次の問いに答えなさい。
⑴

下の表のア〜オにあてはまる数を求めなさい。
x0y18012345アイウエオ

ア〔〕 イ〔〕 ウ〔エ〔〕 オ〔〕

yをxの式で表しなさい。

⑵⑶ x=8 のときのyの値を求めなさい。
⑷ y=30 のときのxの値を求めなさい。
単元1822 変域⑴

変数xの変域は，-1 以上5以下〔③②〔〕〔〕〔〕

変数yの変域は，-5 より大きく -2 未満〔〕

変数xの変域は，-7 以上12未満〔⑵〕

次の問いに答えなさい。

次の変数の変域を，不等号を使って表しなさい。
①④〕

変数yの変域は，-3 より大きく9以下〔〕〕

変数xが下の数直線に示された範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

①-503 比例②5〔
単元1831-50〕

5〔〕

次の⑴〜⑸について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものにはその比例定数を書き，比例しないものには×を書きなさい。
⑴

分速 55m の速さでx分間歩くと，ym 進む。
〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〕 比例定数〔〕式〔〕 比例定数〔〕

式
〔
⑵

⑶

⑷

⑸

正方形の1辺の長さがxcm のとき，面積はycm2 である。
1m が120円のリボンをxm 買うときの代金はy円である。

50g の箱に1個 180g のボールをx個つめたときの全体の重さはyg である。

時計の長針は，x分間でy度回転する。

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4章

練

単元18
3習

問

題

そのなさい。

2 比例の式の求め方〕 比例定数
〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

yはxに比例し，x=4 のとき y=-28 である。次の問いに答えなさい。

⑴ yをxの式で表しなさい。

⑵ x=-6 のときのyの値を求めなさい。

⑶ y=35 のときのxの値を求めなさい。

単元1913 座標⑴

次の問いに答えなさい。

y右の図の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏの座標を答えなさい。

5⑵単元1922底辺がxcm，高さが 18cm の三角形の面積をycm2 とするとき，yをxの式で表し，比例定数を書き

1 比例

式〔

単元184比例と反比例

Ａ〔〕 Ｂ〔〕Ｃ〔〕 Ｏ〔〕B-5Ｅ(0，4)Ｆ(4，0)

Ｇ(3，-1)

4 比例のグラフ⑴ y=3x⑵ y=⑷ y=-3x2x-5Cy

次の比例のグラフをかきなさい。

51x31⑶ y=- x45O

右の図に，次の各点をかき入れなさい。
Ｄ(-6，5)A-5O

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4章

比例と反比例Key プラス
単元1841

1 次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=-18 である。xやyが次の値のとき，それぞれに対応するyやxの値を求めなさい。
① x=-2③②〔y=-20〕④〔x=53y=30〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

yはxに比例し，x=-6 のとき y=-9 である。xやyが次の値のとき，それぞれに対応するyやxの値⑵を求めなさい。
① x=-4〔③ y=-15②

x=14④

3y=4〕

〔
単元193その〕2 右の①〜③は，比例のグラフである。次の問いに答えなさい。
⑴

y①〜③のグラフの式をそれぞれ求めなさい。

⑵

①〔〕

②〔〕

③〔〕

①5②-5O①，②のグラフ上のy座標が3である点の座標をそれぞれ求めなさ

x5③-5い。

①〔〕②〔〕

3 次の問いに答えなさい。
⑴

3点(a，-15)は，比例y= x のグラフ上の点である。aの値を求めなさい。
5〔⑵〕原点(0，0)と点(-2，8)を通る直線がある。点(-20，b)がこの直線上にあるとき，bの値を求めなさい。

〔〕

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4章

Key プラス
単元18
1，2

比例と反比例
その1 右の図の台形 ABCD で，点Ｐは辺 BC 上をＢからＣまで動く。BP の長さ2AD2をxcm，三角形 ABP の面積をycm として，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。

〔⑵ x，yの変域をそれぞれ求め，下のような形で答えなさい。

6 cm〕

BCP9 cmôxô ， ôyô

単元192xの変域〔〕 yの変域〔
32 関数 y=- 2 x のxの変域を -4ôxô2 として，次の問いに答えなさい。
⑴ 変域の部分について，グラフをかきなさい。

⑵ yの変域を求めなさい。

-5〕

y5O

5x-5〔〕
23 右の図で，直線ℓは関数 y= 3 x のグラフ，直線mは関数 y=-2x のグラフであり，点Ｐ，Ｑ，Ｒはそれぞれ直線ℓ上，直線m上，x軸上の点である。
また，PQ はx軸に平行，PR はy軸に平行である。点Ｐのx座標が6であymPQℓるとき，次の問いに答えなさい。ただし，座標の1めもりを1cm とする。
⑴⑵⑶

点Ｐの座標を求めなさい。

ORx〔〕〔〕〔〕点Ｑの座標を求めなさい。

四角形 ORPQ の面積を求めなさい。

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