(問〕

昭 和 46 年 度

(問題)

午前の部
1.

ある傷害給付特約を付加した被保険者 10，000人中， 2D人が当該給付支給対象者に なったとして，との特約 K係わる保険事故発生率について，信頼係数阿弥の近似信頼区間を求めよ。

鈎2.

J詰

7Fdt=0475

標準体の被保険者 10.000人中の災害死亡者数を 12人，標準下体の被保険者 2，000人中の災害死亡者数を 8人としたとき，災害死亡率陀ついてとれら両グループの間陀差異あ Dと判断してよいか。有意水準 5%で検定せよ。

鈎3.

1.の注陀同じ。

n個の 2進乱数

O '1 O2' ・・・・・・ ，o九をと b1

x= 0， O1O2..・・ー‑‑ sn (九と長けばo・または 1， ν=1......n)n が十分大きいとき 2 進数 X は 0 と 1 との間 vc :j:，~~て近似的 κ一様分布をするととを証明せよ。

午後の部
4.

終日運転しているパスがある。任意のパスを 0番目のパスとする。
X~ をあるパスの停留所vc ~-1 番目のパスが到着してから品番目のパスが到着するまでの時間間隔を表わす確率変数とし，いずれも平均値 α‑1の指数分布陀従って:j:，...
t，かっ，互に独立であるとする。
ある時刻

制tv
cとのバス停 K到着した客の平均待時間を求めよ。
(α♂ )n‑1‑axx汁・・・・ +X の確率密度は g.
，̲.
(X)=α (n‑1 )! eT
九九叶‑83‑♂

>0)である。

(問〕
次の 5， 6のいずれかの問題の一つを選択して解答せよ。
5.

悦 X m行列 A1，悦x.fb行列 A2， m次列ベクトノレ B，悦次行ベクトノレ 01，.fb次行ベクトノレ O2が与えられ，かっ，IA 1キ O で G2‑01(A1)‑11

A2 く 0 とし，さら K との時(A~ ， A ，， )X=B 、事‑}を満たす m+品次列ベクトル Xのうち (01，O2) xを最大在らしめる
X詮 o‑

X.
Xが 存 在 し て そ の 解 が (0I)であったとする o ただし，

今

X1 は 悦 次 列 ベ ク ト ル

Bがム B (余 D大きく左い値)だけ変化した時(1) 上記の解 Xoは， (A1)‑1(ム B )だけ変化するととを示せ。
，O， )Xの最大値を求めよ。
(2) との時の (O.
l' .，
26.

次の様ま支払行列で示されるグームがある。

フレ'ヤA

フレーヤ ‑B

プレーヤ ‑Aのもつ戦略を P，Q.

戦略RS

それぞれの戦略のとられるべき確率を P.9'

Pα11α12.
.
.
.
;Bのもつ戦略を R. S
プレーヤ .

Q

α21α22それぞれの戦略のとられるべき確率を r， Sーーー時‑‑'‑‑‑ーー一一一一一一回ーーιー ‑とする時，(1) 最適戦略 K対応する

P，9'. r， S を求めよ。

(2) とのグームの値を求めよ。

‑84‑

昭 和 46年 度

(解答)

午前の部

xtを P (Xi=1)=p， P (Xi=O )=1‑p在る二点分布 K従う確率変数としたとき，パ)

仇 (1‑p)/九 は 近 似 的 VCN(O， 1)VC従うとみてよい。(支=2;Xi(支 ‑p)/不等式。
‑1.96く〈支 ‑ p ) / v p (1 ‑p)/nく1.96を解いて去の項を無視すると
支ー 1.96V'宝 (1目支 )/nく P く 支 +1.96";云 (1ー玄 )/n在る近似信頼区間が得られる。支= 20/10，000 とb けば，解0.00115 < p く 0.00285を得る。

2.

両グループの間K差異ましと仮定すれば，(ホー品百 )/jネ。

品(一品"0(1‑zE ) / 2 m +1)/10，000

は，近似的 VC， N ( 0， 1)VC従う統計量の一つの実現値とみ在してよいから，との値が1.96を越えれば仮説を捨て差異あ Dと判断してよい。上式の計算結果は1.932と在るので仮説は捨てられず，従って差異あタとはいえまい。

o.

3.

o̲

on

唱 ' lX
今一十 一‑::‑ +・・・・・・+ ー22 ι 2oくαくF三五 1 まる任意の α， sをとるとき， αく X豆 Fとまる確率はPr { α く X 孟 ß}= ー~2‑o.

ò~oxα{ く す + 手 + ・ ・ ・ ・ + → 豆 Fを満足する (Ol' •2九)の個数)‑85一

=会 x{ an

2く凶 2(i~る整数 N の数}n=
古 x ((2ソョ‑(2品川)2=会 x{(内 +01)ー( na+O2)}
2‑1く (}
1 く 1~ ‑1<(}2く 1(OA‑0，，)=(s‑α ) + 1 n

ど2よってn→ ∞ の と きPr {α<X豆 s}→と左 1:>，(s‑α)

nが充分大きいとき X は ( 0， 1 )で一様分布する。

午後の部
4.

待ち時間をP (Wt卓三♂

Wt 'Sn=X1+・・・・+ x九と~~ (。

= P (t<S1~玉 ♂ +t)+P(V，pf.~ 2， t>VY2 0，S必‑1 = Y，t‑ yく ら 三 三=x+t‑y)iん

f 一e〆‑(1刊(いω川s
何山叫+μ川t)
斗+2 g
九必ムい2‑(ω州3'匂ρ川y)パ{〆e‑1((いι刈t‑叫‑
1'=2.0今 一。

= 1‑e‑as (‑Jg (y)+F1(y) + ・・・・・・ =α)
とれよ1:> Wt は X~ と同じ指数分布 K 従うととがわかる。よって E (Wt) =α‑15.

x
題意よ b， (A1'A2)(。
) = B， lA11 0 であるから，キo(A )‑1 が存在して
1

X = (A )叶o1B。

よって， OX=C1x =01(A1)‑1B (元の最大値)‑86一ととで， BをB+6BVCしたとき，
A2)X2B+ム B{(A1，X ミ o①)②)

在る条件下 K和いて，CXを最大まらしめる Xが，xx=(x!)，ただし， X1は悦次列ベクトル
X は E 次列ベクトノレ
2

C，であったとする。とのとき，上記と同様V=B+6.Bよ b

A1X1 + A2X2X• = (A.
‑1(B +6.B )ー (A)‑1A X
，‑‑1)
よって，

cX の最大値は，C.X.+CnXn= C.
A.
)‑1(B+ム B
1(，‑‑1'‑ )+(c， • ，‑2‑c (A)‑1A)X
ところが，シンプレックス判定基準 KよfJ C2，，‑C.
(A.
)‑1‑A‑
1'‑‑1'‑
2く o， か つ 条 件 ② よ b

X 之 O であるから
2

X.

X.

c(nl)~C(yl) ，

ただし， X 2
キ o‑‑2

よってx2= 0

したがって，求める Xはx

x* = (~1) ，X = (A )‑1 (B +6B) = X + (A )‑1 6.Bo
111である。
な:j:，.
，.
， X*が条件①，②を満たすととはあきらか。

6.

支払行列がサドル点を持つ場合(1)と持たまい場合 (2)VC分けて考える。
(1)何れかの行又は列の組がその他の行又は列を支配する場合④ /a1α12¥⑤¥/町内2¥@α11ミ α12¥@να11豆町 2¥

十v
ll v
ll )(八11 八" )(¥α21α22/)(しα21α22/¥α21孟 α22/‑87 ‑しα2
1孟 α22/の場合

(2) そうで左い場合:行も列も互にその他の行，列を支配しまい場合 K分けて考察する。
(1) αi
i注 α日 } と す る と ， 戦 略 Qは，戦略 P
VC支配される。
α包孟 α22
明 、

日

従って Player A は戦略 Pを用い J Plaァer B は min(α11'α12)v
c対応する
R か S を用いゐ結局(P，R又は s )が戦略の組として定ま 9，グームの値は minα11'α12) で ある。との場合勿論‑o=0p=1}の純粋戦略とまるoT又は 8=1又は o，ゲ又は 8 =0又は 1'.

その他の場合(⑤，@，⑥ )V
Cついても全〈同様である。
(2) (1)以外の場合，
1(11r+α12s=α21"・+a22 s司}をといて7・+ 8 = 1(α+α)γ=(α12一α‑22ー α(γ 帰 び ゅ う 法 )キO(α11 +α22α12ー α22 )・=7α2‑α2‑12α1+.
α
1‑ α‑21‑22一α‑12

三 T二さ10三(ソ帰びゅう法)

α司42一辺竹一計

αα一一一+αα一αs=

全〈同様K してー αα22ーα‑21p=α1+'α‑α1ー α‑
21‑22‑12ν=円︐﹄グームの{直αL

2‑n川川‑内αα一一一+αα α一︑o‑=α‑αα21α‑22~12 ‑1α1‑α+1‑22‑12α ーα
1‑21auno