統合的・発展的に考察する力を育成する算数科・数学科授業の在り方（第一年次）
－関数（変化と関係）領域における「系統表」を活用した単元・授業デザインを通して－

長期研究員 佐藤 翔英
長期研究員 齋藤 真実
長期研究員 門馬 弘一
《研究の要旨》
本研究は，算数科・数学科における，統合的・発展的に考察する力の育成を目指した。子供が既習の学びと新たな学びを結び付けられるような単元を構成するために，小中高の算数科・数学科の系統性を明確にするための「系統表」を作成した。授業では，算数・数学の問題発見・解決の過程で，統合的・発展的な考察につながる視点や考え方を働かせることを重視する局面を明確にした。その結果，子供が既習の学びを基にして新たな知識や概念を見いだしたり，新たな学びから既習の学びを捉え直したりする姿が見られ，統合的・発展的に考察する子供が増えた。

Ⅰ 研究の趣旨 

ける統合的・発展的に考察する力が求められる問題の本

学習指導要領解説算数編・数学編では，育成を目指す

県正答率が％であり，すべての問題の中で最も低か資質・能力である思考力，判断力，表現力等の一つに「統った。この力の育成が，小学校段階の課題であることが合的・発展的に考察する力」が示されている。算数科・明らかになった。また，中学校では，令和４年度同調査

数学科は学習内容の系統性が強い教科であるため，統合における，１次関数の変化の割合を表から求める問題の的・発展的に考察することで，数学を創り出すことがで

本県正答率が全国よりポイント下回った。関数の特徴

きる。また，資質・能力を育成するためには，数学的なを見いだし考察する際に，１次関数の関係を表，式，グ

見方・考え方を働かせた数学的活動を通して学習を展開

ラフなどを関連付けながら統合的・発展的に考えていく

することと示されている。そこで，統合的・発展的に考ような授業改善が求められている。さらに，国際数学・察する力を育成するためには，数学的活動として捉える

理科教育動向調査（ＴＩＭＳＳ）では，算数・数学

※１

（以下，

の楽しさや有用性に対する肯定的な生徒の割合が，小学学習サイクル）における六つの局面で，統合的・発展的校から中学校にかけて低下する傾向にある。統合的・発な考察につながる視点や考え方（以下，「 統合・発展の芽」）

展的に考察することが，算数・数学の楽しさや有用性にを単元全体で働かせることが，重要だと考える。

つながるものと捉えると，学習内容がより高度になる高

算数・数学の問題発見・解決の過程（図１）

等学校では，統合的・発展的に考察する力がさらに求め

られると推察できる。



以上のことから，本研究では，「統合的・発展的に考察

する力」を「既習のものと新しく生み出したものに関連性を見いだしてまとめたり，考察の範囲を広げたりして，



数学を創造する力」と定義し，その育成を目指す（図２）。
そして，統合的・発展的に考えることができるように単図１ 算数・数学の問題発見・解決の過程のイメージ 

元・授業をデザインし，統合的・発展的に考察する力を

これまでの自身の指導を振り返ると，統合的・発展的育成するための授業の在り方に迫る。

に考察する子供の具体的な姿を捉えることに難しさを感

本研究は，算数科と数学科の円滑な接続の視点から，じていた。原因として，既習の学習内容や数学的な見方・領域構成が見直された小学校「変化と関係」領域，中学考え方などのこれまでの学びから，数学をどのように創校・高等学校「関数」領域に絞り進める。

り出していくのかを十分に把握できていなかったこと，※１「事象を数理的に捉え，数学の問題を見いだし，問題を自立的，協働的に解決し，解決過程を振り返って概念を形成したり体系化したりする過程」といった算数・数学の問題発見・解決の過程（平成年月中央教育審議会答申）。以下のＡ１～Ｄ２が六つの局面とされている。Ａ１「日常生活や社会の問題を数理的に捉える局面」，
Ａ２「数学の事象における問題を数学的に捉える局面」， Ｂ「数学を活用した問題解決に向けて，構想・見通しを立てる局面」，Ｃ「焦点化した問題を解決する局面」， Ｄ１「解決過程を振り返り，得られた結果を意味付けたり，活用したりする局面」， Ｄ２「解決過程を振り返るなどして概念を形成したり，体系化したりする局面」 

また，教師が一方的に問題や見通しを提示し，子供に問題解決させていたため，学習サイクルを子供が自立的に遂行できていなかったことが考えられる。
小学校では，平成年度全国学力・学習状況調査にお- 28 -
 図２「統合的・発展的に考察する力」の定義 Ⅱ 研究仮説

る表，式，グラフという三つの数学的表現に焦点化して作成する。そうすることで，引き出したい「統合・発展の芽」が明確になり，学習サイクルで重視すべき局面が見えてくる。作成時に重視したことは，三つの数学的表
現の特徴を明記したこと，本領域で引き出したい「統合・発展の芽」を印（ ）で可視化したこと，小中高で指導する際の留意点を明記したことである。

関数（変化と関係）領域において，以下の手立てを講

じながら単元・授業デザインをすれば，子供の統合的・



発展的に考察する力を育成することができるであろう。

【手立て１】学びをつなげる統合的・発展的な考えに関わる「系統表」の作成

【手立て２】「系統表」を活用した単元・授業デザイン① 子供の学びのつながりを踏まえた単元構成

② 重視する局面を明確にした授業計画







Ⅲ 研究の内容と実際 

本研究では，関数（変化と関係）領域において，小中

高で以下の手立てを講じる。



１【手立て１】学びをつなげる統合的・発展的な考えに



関わる「系統表」の作成



まず，学習指導要領を基に，小中高の内容のつながり

が見える「関数（変化と関係）領域における系統表」
（図



３）と，
「統合・発展の芽」のつながりが見える「『統合・

発展の芽』系統表」（図４）を作成する。


図４「統合・発展の芽」系統表 







二つの系統表から，学びのつながりが見えたため，単

元を通して統合的・発展的に新たな関数の特徴を見いだ



し考察していく子供の姿が捉えることができ，単元構成

を考える際に活用しやすくなった。また，「統合・発展の芽」のつながりやそれを引き出すための子供の問いや発問が示されているため，重視すべき局面がイメージでき，



授業計画を考える際に活用しやすくなった。

２【手立て２】｢系統表｣を活用した単元・授業デザイン 子供の学びのつながりを踏まえた単元構成

 図３ 関数（変化と関係）領域における系統表 

図３から分かった学びのつながりを基に，子供の実態「関数（変化と関係）領域における系統表」は，資質・に合わせて単元を構成する。統合的・発展的に考察する

能力の思考力，判断力，表現力等のつながりに焦点化しためには，子供が学習サイクルを振り返ることが必要でて作成する。そうすることで，子供がどの学びを基に，ある。そのため，数時間単位のまとまり（以下，小単元）

どのように数学を創っていくかを，つまり，統合的・発で学習サイクルを振り返り，学びを捉え直す時間を設定

展的に考察する子供の姿を，教師が広い視野で捉えるこする。また，これまでの学びを想起したり，小単元の中とができる。作成時に重視したことは，小中高の学びので「統合・発展の芽」を繰り返し働かせたりすることがつながりを可視化したこと，「統合・発展の芽」を引き出できるようにする。そうすることで，単元を通して統合すための子供の問いや教師の発問を示したことである。

的・発展的に考察する力を育成できるようにする。

「『統合・発展の芽』系統表」は，本領域の考察に用い

まず，図３を基に，本領域で目指す「統合的・発展的- 29 -

に考察する姿」を考え，四つに分類した（図５）。

中学校では，小学校で学習した比例の関係について，負

の数まで適用範囲を広げて捉え直す。また，高等学校では，中学校で学習した２乗に比例する関数について，一

般の２次関数へと広げて捉え直す。また，考察の範囲を広げて解決した過程を振り返ることで，共通点や相違点

図５ 子供が統合的・発展的に考察する姿 が見えてくることもある。そのため，「エ考察の範囲を広げて考える姿」を，目指す四つめの姿とした。実際の単

元構成については，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵの小中高における実践と

考察で述べる。

※２ 関数の考えによる問題解決とは，二つの数量に着目し，関係を表現し，その関係を活用して問題解決することである。  重視する局面を明確にした授業計画



図３，図４から分かる「統合・発展の芽」や，それを

引き出すための子供の問いや教師の発問を基に，「統合・

発展の芽」を引き出し働かせる局面，つまり，重視する
図６ 単元デザインと系統表のつながり 

局面を明確にする。そして，単元全体で，「統合・発展の一つめの姿について，既習を基に見通しを立てること芽」を繰り返し働かせることができるようにする。そうが図６ア①から，既習の学習と比較して考察することがすることで，学習サイクルを振り返る時に，六つの局面

図６ア②から分かる。新たな関数関係を見いだそうとすで働かせた「統合・発展の芽」を手掛かりに，統合的・るとき，着目した二つの数量の関係を表で表現したとい

発展的に考察できるようにする。実際の授業計画についう既習の経験を振り返り，解決の見通しを立てていくよては，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵの小中高における実践と考察で述べる。 

うな学習サイクル，そして，新たな関数関係を見いだしたとき，既習の関数関係と比較して考察していくようなⅣ 小学校における実践と考察 

学習サイクルが想像できる。そのため，「ア既習の学習と研究対象 第５学年名（１学級）

関連性を見いだす姿」を，目指す一つめの姿とした。

授業実践「単位量あたりの大きさ」（時間）

二つめの姿について，図６イ①から，小中高における研究対象 第６学年名（１学級）

三つの数学的表現の扱いの違いが分かる。小学校では，

授業実践「比例と反比例」（時間）

三つの数学的表現の用い方を学習する。中学校では，三

本稿では，６年生での実践を述べる。

つの数学的表現を関連付けて考察する。高等学校では，

１ 児童の実態

式とグラフの関係を多面的に考察する。これらの違いか

 ７月に行った評価テストより，新たな問題を見いだす

ら，三つの数学的表現を独立しているものとして捉えたことができるが，解決方法の見通しをもつことに課題が過程を振り返り，関連付けていくような学習サイクルが見られた。新たな問題が既習の学習とどのようにつなが想像できる。そのため，「イ数学的表現の関連性を見いだっていて，どのように学習サイクルを遂行していけばよす姿」を，目指す二つめの姿とした。

いのかが分からないためであると考える。そのため，本三つめの姿について，図６ウ①から，一貫して関数関単元では，学習問題の分かっていることと分からないこ

係にある二つの数量に着目することが分かる。このこととを明確にしながら学習を進めていきたい。そうするこにとで，既習の学習を手掛かりにして解決方法の見通しをも関わっており，小中高で問題解決の方法が共通していもって自ら学習サイクルを遂行でき，統合的・発展的にることが分かる。このことから，未知の問題場面に出合考察することができると考えた。

ったとき，関数の考えによる問題解決の方法を用いて解２ 求める統合的・発展的に考察する姿

は，図６ウ②の関数の考えによる問題解決の方法※２

決した過程を振り返り，解決方法の共通点を見いだすよ

本単元では，「ア既習の学習と関連性を見いだす姿」とうな学習サイクルが想像できる。そのため，「ウ問題解決「ウ問題解決の方法の共通点を見いだす姿」を述べる。

の方法の共通点を見いだす姿」を，目指す三つめの姿とアは，比例の意味を統合する姿である。具体的には，５年生までの比例の意味である，「一方が２倍，３倍，…

した。
四つめの姿について，関数の学びをつなげるためにになると，それに伴ってもう一方も２倍，３倍，…になは，常に考察の範囲を広げて考える必要がある。例えば，る」ことを基に，数の範囲を広げ， 𝑥𝑥 が小数倍，分数倍- 30 -

になるときの 𝑦𝑦 の変化を考察することで，「𝑥𝑥 が□倍に視する局面を設定した（図７）。小中高で共通している「統なると， 𝑦𝑦 が□倍になる」と統合する姿である。ウは，合・発展の芽」と重視する局面について述べる。１時目

関数の考えによる問題解決をする姿である。具体的には，で引き出したい「二つの数量に着目」という「統合・発ある問題を解決しようとするとき，初めに二つの数量に展の芽」は，図４の一部を拡着目し，次に二つの数量の関係を表現し，最後にその関大した図８を見ると，小学係を活用して問題解決する姿である。

校４年から働かせているこ

図４から，中学校では負の数まで数の範囲を広げ，比とが分かる。またこれは，中例を捉え直すことが分かる。そのため，数の範囲を整数

高になると，「関数関係に着倍から小数倍，分数倍へ広げ，比例の意味を統合してい目」という「統合・発展の芽」

く過程が重要であると考えた。また，関数の考えによるとして働かせることにな

問題解決をすることは，扱う関数関係や数学的表現の扱る。つまり，領域や単元を貫いに違いがあるが，小中高で共通した解決方法であるこいている芽であることが分とが分かる。そのため，二つの数量に着目し，表現し，かる。さらに，この芽を学習活用するという問題解決の過程を意識できるようにする

サイクルにおけるＡ１の局ことが重要であると考えた。

面で働かせることで，日常の事象を数学的に表現した問

３ 研究の実際 

題にすることができる。すなわち，学習サイクルを遂行 初めに，上記の統合的・発展的に考察する姿を目指すするためには，Ａ１の局面で「二つの数量に着目」といために，単元を四つの小単元で捉えた（図７）。

う「統合・発展の芽」を働かせることが重要になる。こ

れらを踏まえ，１時目のＡ１の局面を「〇」で示した。



また，「〇」のうち，子供の実態を踏まえ，本時で特に重視する「統合・発展の芽」とそれを引き出したり働かせたりする局面を「◎」で示した。



以下，小単元１と３について述べる。また，本文中の

〈 〉は，図４から分かる「統合・発展の芽」を表す。



小単元１では，関数の考えによる問題解決で働かせる〈二つの数量に着目〉と，比例の意味を統合するために

働かせる〈数の範囲を広げる〉を引き出す。１時目は，

図７「比例と反比例」の単元・授業デザイン 
図６ウ②を基に，関数の考えによる問題解決の過程

Ａ１の局面で，〈二つの数量に着目〉を引き出しながら，に沿って，小中高共通の三つの小単元に分け構成した。

５年生で学習した比例の考えを想起する〈既習を基に考小単元１では，「既習の学習と結び付けながら，二つの数

える〉ことを目指した。導入場面で二つの数量に着目す

量の関係の理解を深める」こと，小単元２では，「関数をることができるように，着目させたい二つの数量を隠し

表，式，グラフで表現する方法やそれらの相互関係を考た動画を視聴した（図９）。

える」こと，小単元３では，「関数の考えによる問題解決

をする」ことを位置付けた。



小学校では，小単元１で，比例の意味を統合するため

に，既習の学習を基に，二つの数量の関係に着目し，整

数倍から小数倍，分数倍へ数の範囲を広げて考える。小

単元２で，着目した二つの数量の関係を調べるために，



表や式，グラフで表現する方法を理解する。小単元３で，

問題解決の方法の共通点を見いだすために，実際に関数の考えによる問題解決をする。さらに小学校は，反比例



の学習も含んでいるため，小単元４で比例と比較しなが

ら反比例の意味を捉えていくようにした。



次に，図４から引き出したい「統合・発展の芽」を読み取り，どの局面で引き出したり働かせたりするか，重図９ 二つの数量を隠した動画の一部  図〈二つの数量に着目〉を引き出したやり取り 
図の下線部のように，動画から分かることを問うこ- 31 -

5

さに着目する姿〈二つの数量に着目〉が見られた。その

見 通 し を も っ た 。 そ し て ，  … を 3 と 表 現 し 直 し ，後，FP水がたまるまでにかかる時間を求めるために，

返りシートには，「 整数でも小数でも分数もできた」や「□とで，関係がありそうな二つの数量である時間と水の高5

3 × 3 = 5 で 𝑥𝑥 の値を求めることができた。３時目の振り倍ができる」と，比例の意味を「 𝑥𝑥 が□倍になると， 𝑦𝑦

着目した時間と水の高さを手掛かりに，変化の様子を表も□倍になる」と統合した記述があった。

で表現した。児童は変化の特徴に着目し，時間が２倍，３倍，…になると，水の高さが２倍，３倍，…になって次に ，小 単 元 ３に ついいること，つまり，５年生の比例の考えを想起して〈既て述べる。小単元３では，習を基に考える〉問題解決することができた。

図の「統合・発展の芽」

２，３時目では，Ｂの局面で，〈数の範囲を広げる〉とを手掛かりに 学習サイク〈表の間に着目〉を引き出し，繰り返し働かせながら，ルを遂行すること，つま比例の意味を統合していくことを目指した。

り，自ら関数の考えによ

２時目は，比例の意味を，「 𝑥𝑥 が倍，倍などになる問題解決をすることを

ると， 𝑦𝑦 も倍，倍などになる」のように，整数倍目指した。そのため，９時目のＣの局面で〈比例とみなから小数倍へと広げる〈数の範囲を広げる〉ことを目指す〉と，Ｄ１の局面で解決結果を〈元の事象に戻す〉をした。導入部分で，１分間に４FPずつプールに水を入れ引き出す。そうすることで，時目でこれまで働かせてる場面を提示し，FP水がたまるまでの時間を求めた。

きた〈二つの数量に着目〉，〈表の横や縦に着目〉，〈場面解決に困っている児童がいたため，「何が分からないの」

を変える〉も手掛かりに，自ら関数の考えによる問題解と問うと，「７分でFP，８分でFP水がたまることは分決をすることができると考えた。９時目では，写真用紙

かるけど，ちょうどFPたまる時間は求めることができ枚の重さがJ以内かを求める問題に取り組んだ。

ない」と分からないことを表出することができた。児童問題文から，枚数と重さの〈二つの数量に着目〉し，代は，１分間で４FP水がたまったという分かること〈二つ表の児童が写真用紙の束の重さを電子ばかりを用いて測の数量に着目〉を手掛かりに，比例定した。そして，枚数と重さの関係を調べるために，二の考え〈既習を基に考える〉や小学

つの数量の関係を表で表現し，〈表の横や縦に着目〉して４年で引き出した〈表の間に着目〉関係を見いだそうとした（図）。

を働かせて，分で２FPたまるこ

とを見いだして解決した（図）。



学習サイクルを振り返ると， 𝑥𝑥 が倍になると， 𝑦𝑦 が倍になっ

ていること〈数の範囲を広げる〉に

気付く姿が見られた。
〈数の範囲を広げる〉を引き出した

ことで，比例の意味を広げることができた姿である。



３時目は，比例の意

味を，「 𝑥𝑥 が 2 倍，3 倍，

1倍，…になる」のよう11…になると，𝑦𝑦 も 2 倍，
1

3

に，分数倍へと広げる〈数の範囲を広げる〉 図〈比例とみなす〉を引き出したやり取り 

ことを目指した。図①は，８からが倍になって全体共有の場では，図Ｃ５の「おしい」という発言いるため，2 × 1.5 で 𝑥𝑥 の値を求める〈既習を基に考える〉

から，〈比例とみなす〉ことで，比例の考えを用いて問題ことができた。しかし，図②は，からが…倍解決できることを共有した。その後，写真用紙の重さをになるため，正確な 𝑥𝑥 の値を求めることができない。
「何

測定するときは誤差が生じてしまうことを共有したことが分からないの」と問うと，「3 × 1.66 …をどのように計で，〈元の事象に戻す〉を引き出すことができた。

算すればよいのか分からない」と分からないことを表出時目は，問題場面を変えて〈場面を変える〉，写真用することができた。児童は，２時目の〈数の範囲を広げ

紙１枚はラミネートできるかという問題に取り組んだ。

る〉を手掛かりに，「分数倍でもできそう」と解決方法のPPの厚さならラミネートできることを伝えると，「写- 32 -

真用紙１枚の厚さは何PPなのかな」とつぶやく児童が見られた。
「 何と何に注目したの」と事実を問い返すことで，実践後は，「 𝑥𝑥 が１増えると， 𝑦𝑦 は１減る」と解答した。
〈既習を基に考える〉を働かせたことで，倍関係のみに

枚数と厚さに着目〈二つの数量に着目〉する姿が見られ着目するのではなく，間の関係である増加量にも着目すた。その後，写真用紙１枚は定規で測定できないため，るなど，これまで働かせた「統合・発展の芽」で表を考

枚や枚の束の厚さを測定するという方法の見通しを察し，変化の特徴を見いだすことができたと考える。

共有し，各グループで測定した。すると児童は，枚数と 振り返りシートより

厚さの関係を表で表現し，変化の特徴に着目〈表の横に「統合・発展の芽」を視点に，児童が毎時間記入した振着目〉して関係を見いだそうとした。９時目同様，厳密

り返りシートの分析を行った。
〈数を変える〉，〈条件を変にみると比例の関係ではないことに気付くが，枚数が４える〉，〈場面を変える〉に焦点を絞ると，数や場面の「変倍になると，厚さが倍になっていて「おしい」というえ方」を具体的に記述した数は，約％であった（図）。

こと〈比例とみなす〉，写真用紙の厚さを測定すると誤差が生じること〈元の事象に戻す〉に気付き，自ら比例の

関係とみなして問題解決する姿が見られた。これは，こ

れまで働かせた「統合・発展の芽」を手掛かりに，自ら



関数の考えによる問題解決をする姿である。時目の振

り返りシートには，「 𝑥𝑥 と 𝑦𝑦 」や「表」，「昨日使った比例

つまり，〈数を変える〉，〈場面を変える〉という「統合・とみなして考えるってことが今日も使えた」という記述

発展の芽」を働かせようとしても，どのように働かせれがあり，９時目までに働かせた「統合・発展の芽」を基ばよいのかが分からない児童が半数程度いたことになに，自ら関数の考えによる問題解決をする姿が見取れた。

る。
〈条件を変える〉は，どのように条件を変えることが４ 研究の考察

できるかを繰り返し共有したこと，条件を変えることで 評価テストより

新たな問題をつくれるというよさに気付いたことが影響 平成年度全国学力・学習状況調査小学校算数大問３

し，具体的に記入できた児童が多かったと考える。これを参考に，統合的・発展的に考察する力を測定する問題

らから，「統合・発展の芽」を働かせるためには，どのよを作成し，実践前と実践後に評価テストを実施した。学

うに数や条件，場面を変えるか，つまり，「統合・発展の年平均が，実践前が点であったのに対し，実践後が芽」を実際に働かせる場が必要であると考える（図）。

点であった。ｔ検定の結果，学年平均点，有意に上昇した（ｐ＜）。

 また，時目に行った問題演習で，各問題を解決する

ために働かせた「統合・発展の芽」をすべて記述するよ

うに指示した。そして，記述された「統合・発展の芽」

の数と統合的・発展的に考察する力の相関について分析

５ 成果と課題

すると，正の相関※３が確認できた。このことから，学習

図「統合・発展の芽」を働かせている記述

 研究の成果

サイクルの六つの局面で，「統合・発展の芽」を引き出し，二つの系統表を基に単元・授業デザインをしたこと繰り返し働かせることが，「統合・発展の芽」を意識する

で，引き出したい「統合・発展の芽」を明確にすること

ことにつながり，児童の統合的・発展的に考察する力をができた。そして，単元全体で「統合・発展の芽」を引高めるために有効であったと考える。

き出し，繰り返し働かせたことで，既習の学びと新たな※３ 相関係数ｒ＝。相関係数の目安として，〜：やや正の相関，〜：正の相関，〜：強い正の相関とした。

学びのつながりを意識することができ，統合的・発展的 レディネステストよりに考察する力の育成につながった。また，「統合・発展の

 第４，５学年「伴って変わる二つの数量」に関するレ芽」を引き出し，繰り返し働かせたことは，第６学年「比ディネステストを作成し，実践前と実践後に評価テスト

例と反比例」の既習となる内容の定着にもつながった。

を実施した。学年平均が，実践前が点であったのに 今後の課題

対し，実践後が点であった。ｔ検定の結果，学年平「統合・発展の芽」を引き出すことができたが，自ら働均点，有意に上昇した（ｐ＜）。解答を分析する

かせることができない児童が見られた。そのため，「 統合・と，和が一定である二つの数量の関係を問う問題につい発展の芽」を働かせた過程を振り返る場を，単元の中にて，実践前は，「比例の関係ではない」と解答した児童が，設定したい。どのように働かせて問題解決したか，また，- 33 -

働かせなかった場合，問題解決できたのかなどを振り返以下，小単元１と小単元２について述べる。

ることで，「統合・発展の芽」の働かせ方や働かせることのよさを共有することができ，児童が統合的・発展的に考察することができるだろう。







Ⅴ 中学校における実践と考察



研究対象 第２学年9名（３学級）



授業実践「１次関数」（14時間）



１ 生徒の実態



発問に対する反応は活発で，中には数多く発言する生徒がいる。一方で，課題解決に向けて見通しをもったり，



既習の学習と関連性を見いだして試行錯誤したりするこ

小単元１では，単元を貫く「統合・発展の芽」を引きとに課題がある。実践前に実施したレディネステストの出した。１時目は，Ａ１の局面で，〈二つの数量に着目〉

結果では，比例の表，式，グラフそれぞれの特徴を知っし，比例を想起させた。そして，Ｄ２の局面で問題の〈条ていても，それらを関連付けた理解が不十分であった。

件を変える〉ことで，比例と１次関数，さらには小単元

よって，数学的表現の関連性を見いだす学習サイクルを２で表，式，グラフを関連付ける着眼点となる〈一定の遂行させたい。また，１次関数の学習の基となる比例の割合〉や〈もとの量〉を引き出した（図）。

学習を想起したり，１次関数の学習を踏まえて比例を振り返ったりする場を設定する必要がある。その際，教師

と生徒，生徒同士の対話を通して，既習と関連付けた問

いを引き出し，解決の見通しをもたせるなど，生徒自身

が自力で学習サイクルを遂行できるようにしたい。



２ 求める統合的・発展的に考察する姿

図「１次関数」の単元・授業デザイン



系統表から，表，式，グラフを相互に関連付けて考察することが，その後の関数の学習の基盤となることや，式の定数に着目する見方が高等学校につながることが分

かる。さらに生徒の実態を踏まえ，本単元では特に，「ア２時目は，Ｄ２の局面で〈条件を変え〉，関数関係を立既習の学習と関連性を見いだす姿」，「イ数学的表現の関式し，１次関数の式の特徴を考えさせた。段階的に問題連性を見いだす姿」を目指す。具体的には「比例の学習の条件を変えることで，既習と新たな問題の共通点が明を基にして，１次関数として捉えられる二つの数量の変らかになった。さらに，式の意味や形の共通点を見いだ化や対応の特徴を，日常の事象や，表，式，グラフを相し，自分の言葉でまとめることができた（図）。

互に関連付けて考察する姿」である。１次関数の特徴を，

日常の事象や，表，式，グラフという三つの数学的表現で説明できるようにすることが，１次関数の理解を深め

ることにつながると考えた。



３ 研究の実際

上記の姿を目指すために，単元を三つの小単元で捉 図 Ｄ２の局面での問題の条件を変える過程

え，小学校と同様に，重視する局面を設定した（図）。
小単元１では，比例の学習を想起しながら，単元を通これは，教師が一方的に１次関数の定義を与えるのでして働かせる「統合・発展の芽」である〈比例をもとにはなく，生徒自らが１次関数の意味を見いだした姿であする〉，〈 𝑎𝑎 ， 𝑏𝑏 に着目〉を引き出す。小単元２では，そる。また，振り返りでは，「水が減る問題や温度の問題がの芽を繰り返し働かせながら，１次関数における表，式，つくれそう」といった次時にグラフの相互関係を統合的・発展的に考察する。小単元

つながる考えを記述するな

３では，それらを活用して，日常の事象における問題をど， 連続して学習サイクルを解決し，問題解決の方法の共通点を見いだす。

回す姿が見られた（図）。
- 34 -

図 生徒の振り返り ３時目には，この振り返りを基にＤ２の局面で〈場面を変えて〉問題をつくり，関数関係を式に表した。段階

的に場面を変え立式する過程で，一定の割合で変化する



様子は，単位量あたりの変化量として表現でき，式の 𝑎𝑎

になることに気付いた（図）。生徒は１次関数の式の求め方を「はじめの量と１あたりに注目し， 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 の

常の事象と式を関連付ける際に働かせる〈 𝑎𝑎 ， 𝑏𝑏 に着目〉図〈視点を変える〉による学習サイクルの連続

𝑎𝑎 と 𝑏𝑏 を考える」とまとめることができた。これは，日が表れた姿である。


時目から時目までは，９時目を基にして，Ｄ２の

局面で〈条件を変える〉ことで，既習と関連する問いをもたせた。終わりにそれらの問題解決の過程を振り返り，



１次関数の式を求めるのに必要な条件や求める方法を統合し，それを基に新たな問題をつくる姿を目指した。例

えば，時目では，切片が読み取れないグラフを提示し，



既習の問題との違いを問うことで，生徒は前時の学習を図 Ｄ２の局面で問題の場面を変える過程

振り返り，「 切片が読み取れないグラフはどのようにすれ

小単元２では，小単元１で引き出した〈比例と同じよば式を求められるのか」という問いをもった。Ａ２の局

うに〉，〈比例と比べる〉を働かせて１次関数の特徴を表，

面では，〈既習と比べる〉ことで，切片以外の点が読み取式，グラフのそれぞれで捉えた。さらに，小単元１で引れることに気付き，問題をつくった。Ｂの局面では，〈既き出した〈 𝑎𝑎 ， 𝑏𝑏 に着目〉を働かせて，それらの表現の習と比べる〉ことで解決の見通しをもち，Ｃの局面で〈表関連性を見いださせることを目指した。そのため，Ｄ２

現を変え〉ながら問題を解決する姿が見られた。時目の局面で〈視点を変える〉，〈条件を変える〉を働かせても同様に問題の〈条件を変える〉ことで学習サイクルが学習サイクルを連続させ，統合的・発展的に考察できる

連続し，生徒自らサイクルを回す姿が見られた（図）。

よう授業デザインを行った。



８時目，９時目では，Ｄ２の局面で〈視点を変える〉



ことで，既習の表現と関連した問いをもたせた。８時目

には，まず，これまで着目してきた 𝑎𝑎 と 𝑏𝑏 をそれぞれ生徒に色分けさせ，矢印で関連付けさせた（図）。



















図〈条件を変える〉による学習サイクルの連続図 表，式，グラフの関連付け

時目の「通る２点から１次関数の式を求める問題」

次に，「表から式はつくれるか」と問い，三つの数学的の解決場面では，連立方程式を用いて形式的に処理をす表現の間でできるようになったことを，「表から式」のよる方法以外に，グラフをかいて切片と傾きを読み取る方

うな視点で整理させた。すると，「次は，式からグラフを法，表による表現から変化の割合を求め，代入の考えをかけるのではないか」という問いが生まれた。生徒は３用いる方法，増加量の考えを用いて表の 𝑥𝑥 の変域を０ま

時目から７時目までの学習を振り返り，〈 𝑎𝑎 ， 𝑏𝑏 に着目〉し，〈表現を変え〉考えることで，切片を基に通る１点をで拡張し切片を読み取る方法など，既習と関連付けた多様な解決方法が見られた（図）。

とり，変化の割合を基にグラフの傾きを考え，直線をひ時目には，９時目から時目までを振り返り，「表，くことで問題を解決した。９時目にも同様にして，Ｄ２式，グラフの表現を使った二つの条件が必要で，その条の局面で〈視点を変える〉ことで，「式からグラフをかけ件から 𝑎𝑎 と 𝑏𝑏 を求めればよい」と，１次関数の式を求めるのではないか」という問いを生み，考察の範囲を広げ，統合的・発展的に考察する姿が見られた（図）。

るのに必要な条件や求める方法を統合し，これを基に新たな問題をつくることができた。

- 35 -

 グラフくる姿が見られた。また，生徒Ｂ，Ｃ，Ｄのように，表，表式，グラフの三つの数学的表現を言い換えて，これまでの条件をさらに発展させた新たな問題を生み出す姿も見

表



られた。









代入








図 既習と関連付けた多様な解決方法

４ 研究の考察 評価テストより 過去の全国学力・学習状況調査から，日常の事象や，



表，式，グラフという三つの数学的表現の相互関係を問図「統合・発展の芽」を働かせ生徒が作成した問題

う１次関数の問題を抜粋し，実践後に評価テストとしてまた，作問した問題数ごとの生徒数の割合は，１問実施した。すべての問題で全国平均を上回る正答率であ％，２問％，３問％であった。作問数が少った（図）。このことから，統合的・発展的に考察するない生徒の問題を見ると，既習問題の条件の数値のみを力が高まったと考える。 

変えた問題が％を占めていた。一方，作問数が３問







（％） 

の生徒を見ると，既習問題を基に，表，式，グラフによる表現を変えた生徒が％であった。表，式，グラフの表現の相互変換が柔軟にできる生徒ほど，新たな問題をつくることができるという傾向が明らかになった。本
単元における日常の事象や，表，式，グラフという三つ



の数学的表現の相互関係を問いでつなぐ単元構成が，数図 事後テストの正答率



学を創造する力を育成することにつながったと考える。

 レディネステストより

５ 成果と課題

比例の学習に関するレディネステストを作成し，実践 研究の成果

の前後に実施した。結果を比較すると，多くの問題の正 系統表から生徒の学びにつながる既習内容が明確にな

答率が上昇した。特に，比例の関係の式に関する問題のったため，生徒の実態に応じて，「統合・発展の芽」を確

正答率が大きく上昇した（図）。この要因は，生徒が単実に引き出すことができた。そして，生徒が，表，式，元を通して繰り返し〈比例と同じように〉，〈比例と比べグラフの三つの数学的表現に関連性を見いだすような単る〉といった「統合・発展の芽」を働かせながら学習サ

元構成が，生徒自ら学習サイクルを回し，統合的・発展

イクルを回したことであると推察される。
「統合・発展の的に考察する姿につながった。さらに，単元を通して「統芽」を繰り返し働かせる単元構想が，生徒自ら既習の知合・発展の芽」を何度も働かせたことで，既習と新たな識同士を何度も関連付けながら学び，深く理解すること

学びの関連付けが繰り返し行われ，既習を深く理解するにつながったと考える。

ことにつながった。

 今後の課題

 問題の条件を変える際に，何となく変化の割合や切片の数値を変えるなど，目的をもって「統合・発展の芽」

を働かせる生徒は少なかった。一方で，「統合・発展の芽」

図 実践前・実践後のレディネスの変化を働かせ，既習の学習と関連付け学習サイクルを回そうとしたことで，数値を変えることをきっかけにして，帰 生徒が作成した問題より
1

 小単元２の終末に，１次関数𝑦𝑦 = 3 𝑥𝑥 + 2 が答えになる

納的に考察することにつながった。このことから，生徒

問題の作成に取り組ませ，作成した問題の分析を行ったが目的意識をもって学習サイクルを回し，統合的・発展（図）。多くの生徒について，生徒Ａのように，既習を的に考察できるよう，「統合・発展の芽」を働かせること

振り返りながら，少しずつ既習の条件を変えて問題をつのよさを共有する場を設定する必要がある。
- 36 -

Ⅵ 高等学校における実践と考察 

有し，単元を貫く問いをもたせる。小単元２では，引き研究対象 第１学年1名（１学級）

出した「統合・発展の芽」を繰り返し働かせながら，２

授業実践「２次関数」（1時間）

次関数における式とグラフとの関係について，統合的・

１ 生徒の実態

発展的に考察する姿を目指す。小単元３では，小単元１

 一定の手順に従って数学的に処理する姿は見られるの２次関数の導入で行った日常の事象の問題解決を，こが，目的や問いをもったり，数学のよさを感じたりしてれまでの「統合・発展の芽」を手掛かりにし，グラフを授業に臨んでいる生徒は少ない。レディネステストの結活用して，関数の考えによる問題解決を行う。

果では，関数を表，式，グラフで表現すること，それら

以下，小単元２について述べる。小単元２では，二つを相互に関連付けて統合的・発展的に考察する力が不十の姿を目指した。一つめは，既習の 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 の式やグラフ分であった。そのため，既習内容を発展的に考察できるを発展的に考察し，小単元１で想起した表，式，グラフようにするため，生徒が分かっていることと分からないの表現方法における〈表の対応関係に着目〉，〈グラフのことを整理し，問いを生み出す場を設定する必要がある。

点に着目〉，〈既習と比べる〉を働かせ，一般の２次関数

そうすることで，生徒自身が学習サイクルを回し，統合の式とグラフとの関係やグラフの特徴を考察する姿であ的・発展的に考察することができると考えた。

る。二つめは，グラフの特徴を捉えるために引き出した２ 求める統合的・発展的に考察する姿
本単元では，特に，「イ数学的表現の関連性を見いだす〈頂点の移動に着目〉を働かせ，グラフをかくために 𝑦𝑦 =姿」，具体的には，「新たに見いだした２次関数のグラフの２次関数を包括的に扱えるように統合する姿である。

𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 + 𝑞𝑞 の形に変形することである。これは，一般
４時目は，Ｂの局面で， 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 2 を表とグラフの表現の特徴や式とグラフとの関係について，表，式，グラフを相互に関連付けて，既習の 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 との共通点や相違方法により想起させた。３時目の２次関数の導入で扱っ

系統表を見ると，中学校段階から，関数の特徴を表，た 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 のグラフと比較したことにより，２次関数の特徴を式とグラフで捉えるための〈グラフの位置

式，グラフを相互に関連付けて考察してきていることがに着目〉，〈グラフの形に着目〉，〈式とグラフの関係に着読み取れる。そのため，関数の式とグラフとの関係に焦目〉，〈数を変える〉を引き出すことができた（図）。

点に着目し考察する姿」を目指した。

点が絞られていく高等学校の内容でも，表，式，グラフ

を相互に関連付けて考察することが大切であり，２次関

数の理解を深めることにつながると考えた。



３ 研究の実際

 上記の姿を目指すために，中学校と同様に，単元を三

つの小単元で捉え，重視する局面を設定した（図）。













 図「統合・発展の芽」を引き出したやり取り

５時目は，𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 を基に，式の形を 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑞𝑞 へ〈条

件を変える〉ときのグラフについて考察した。Ｃの局面で， 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 2 + 5 について，表とグラフで表現し， 𝑦𝑦 =「 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 2−2𝑥𝑥 2 のグラフと重なることを確認した後に，

のグラフをどう移動したものか」と問うた。すると， 𝑦𝑦 =−2𝑥𝑥 2 のグラフ上の〈点の移動に着目〉し，複数の点を 𝑦𝑦

図「２次関数」の単元・授業デザイン

軸方向に５だけ平行移動させて説明する姿が見られた。

小単元１では，２次関数の学習に必要な表，式，グラさらに，「 ほかにどんな移動が考えられるかな」と問うと，

フの表現方法を想起するため，比例関係にある日常の事
象の問題解決を行い，「統合・発展の芽」を引き出す。そ〈式とグラフの関係に着目〉し， 𝑞𝑞 の値を負の数に変えして，２次関数と既習の１次関数とを比較し，２次関数で考察する姿が見られた（図）。



のグラフの特徴や 𝑦𝑦 の値の最大値は何になるのかという問いを引き出すことで，２次関数を学ぶ意義や目的を共て， 𝑦𝑦 軸の負の方向への平行移動を， 𝑞𝑞 とグラフの関係

６時目は，５時目の学習を振り返り， 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 を基に，式の形を 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 へ〈条件を変える〉ときのグラフ- 37 -

について考察した。𝑦𝑦 = −2(𝑥𝑥 − 1)2 について，表とグラフ〈点の移動に着目〉を引き出し，平方完成の目的とそので表現した後に，５時目で引き出した「統合・発展の芽」

方法を見いださせた（図）。

を働かせて，グラフ上の〈点の移動に着目〉し，複数の

点 を 𝑥𝑥 軸 方 向 に １ だ け 移 動 さ せ て 説 明 す る 姿 が 見 ら れ

の数に変えて， 𝑥𝑥 軸の負の方向への平行移動を 𝑝𝑝 とグラた。さらに，〈式とグラフの関係に着目〉し， 𝑝𝑝 の値を負フの関係で考察する姿も見られた。









 図「統合・発展の芽」を引き出したやり取り

９時目は，２次関数のグラフをかくために，８時目に



引き出された「統合・発展の芽」を自ら働かせて，平方

完成して頂点の座標を求める姿が見られた。時目は，



Ｄ２の局面で，𝑥𝑥 2 の係数が１のときの平方完成で働かせた〈式の形に着目〉を手掛かりに， 𝑥𝑥 2 の係数が１以外の

場合へと考察の範囲を広げ ていた。 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 11

の平方完成では，生徒Ｂのように，〈 𝑥𝑥 の係数に着目〉し，

 図「統合・発展の芽」を引き出したやり取り
2

７時目は，Ｂの局面で，「 𝑦𝑦 = −2(𝑥𝑥 − 2) + 8 のグラフ

𝑥𝑥 の 係 数 の 半 分

は座標平面のどこに表れるか」と発問し予想させた。その２乗を加えてれにより，グラフの特徴について考察する際，式とグラ引いている生徒

フを関連付けて，これまで働かせてきた「統合・発展のがほとんどであ芽」を手掛かりにし，〈頂点の移動に着目〉する姿が見らった（図）。そこで，「何に困っているの」と問うと，2れた。また， 𝑦𝑦 = −2(𝑥𝑥 − 2) + 8 のグラフは， 𝑦𝑦 = −2(𝑥𝑥 −「括弧の２乗にできない」という気付きが生まれた。生ると類推する姿が見られた（図）。

が１ならば９時目と同じように平方完成ができることを

2

2) のグラフを 𝑦𝑦 軸方向へ８だけ平行移動したものであ図 生徒Ｂの平方完成の考え

〈頂点に着目〉し， 𝑥𝑥 2 の係数
徒は，〈 𝑥𝑥 2 の係数に着目〉，

手掛かりに，定数項以外の項を 𝑥𝑥 2 の係数でくくり出したことで，考察の範囲を広げた場合の平方完成の方法を見

いだす姿が見られた。時目の２次関数のグラフをかく

学習課題では，Ｂ，Ｃの局面で，〈頂点に着目〉，〈式の形

 図「統合・発展の芽」を引き出したやり取り

に着目〉を何度も引き出した。そうしたことにより，Ｄ

また，グラフをかく自力

２の局面で，これまでの学習サイクルを振り返り， 𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑎𝑎 2 ，𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 𝑞𝑞，𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 ，𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 の場合解決の場面で，生徒Ａはにおいても 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 + 𝑞𝑞 の形に対応させて捉えるこ〈点の移動に着目〉し，
𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 2 のグラフ上の点とで，頂点の座標を求め，グラフをかくことができるとを 𝑥𝑥 軸 方 向 に ２ だ け 平 行

いう処理の方法をまとめようと，統合的・発展的に考察

2

移動させ， 𝑦𝑦 = −2(𝑥𝑥 − 2)する姿が見られた（図）。

のグラフをかいた後に，その グ ラ フ 上 の 点 を 𝑦𝑦 軸 方

向に８だけ平行移動させ，



グラフをかくことができた（図）。つまり，既習図  生徒Ａの考え

の学習を振り返り，「統合・発展の芽」を手掛かりに，新

た な ２ 次 関 数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 + 𝑞𝑞 の 式 と グ ラ フ と の 関 係

𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 3) + 2 を展開した式 ，つまり 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 11や，グラフの特徴を見いだすことができた。８時目は，2

2のグラフをかくために，Ｂの局面で，〈式の形に着目〉，- 38 -

図 学習サイクルと「統合・発展の芽」

４ 研究の考察

イクルを繰り返し遂行したからだと考えられる。つまり，

 評価テストより

統合的・発展的に考察することが，中学校の学びを捉え

平成年度全国学力・学習状況調査中学校数学Ｂ大問直し，レディネスを高めることにつながったと推察でき

２を参考に，数と式の領域における統合的・発展的に考る。なお，評価テストの統合的・発展的に考察する力と察する力を測定する問題を作成した。実践の前後に評価

レディネステストの既習の定着力には，強い相関 ※４ も確認できた。

テストを実施した（図）。
※４ 相関係数ｒ＝。相関係数の目安として，～：やや正の相関，～：正の相関，～：強い正の相関とした。



５ 成果と課題

 研究の成果



系統表を活用した単元・授業デザインにより，引き出

したい「統合・発展の芽」を学習サイクルの局面へ位置付けることができた。そうすることで，中学校で学んだ



関数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 と一般の２次関数とのつながりが明確にな


図
統合的・発展的に考察する力の個別推移 ｎ＝９ り，単元や授業の導入で想起させる必要な既習や本時の結果は，学級平均がポイント上昇し，W検定の結ねらい，学習課題を整理することにつながった。そのこ

果，有意差が見られた ｐ＜ 。このことから，関数領とが，目的をもって学習に向かい，生徒自身が「統合・域で育まれた統合的・発展的に考察する力が，他領域で発展の芽」を手掛かりに学習サイクルを回し，統合的・汎用性のあるものとして発揮されたと考える。さらに，発展的に考察する姿につながったと考える。また，意図二つの事象に共通している性質を問う問題において，生的に既習を想起させ，学習サイクルを何度も回す中で，徒Ｃの記述のように，結論のみの表現から，その前提と「統合・発展の芽」を意識させたことが，既習の学びを

結論を明確にした表現へと変容した生徒の割合がポ

捉え直すことやレディネスを高めることに有効であっイント上昇した（図）。これは，二つの事象の前提であた。

る〈連続する数の個数に着目〉し，連続する奇数個の自 今後の課題

然数という共通点を見いだし，統合的・発展的に考察し これまでの学習を振り返り，問題の条件を変えて，事たからであると考える。

象を考察する姿が見られた。一方で，条件の変え方が「数を変える」だけにとどまっていた。このことから，新たな問いを生み出すことや新たな問題を考えることなど，



発展的に考える場や生徒の考えを表出させる場を，単元の中に位置付ける必要がある。


図 生徒Ｃの記述の変容 レディネステストよりⅦ 成果と課題

中学校までの関数の学習に関するレディネステスト

１ 研究の成果



二つの系統表により，統合的・発展的に考察する姿やを作成し，実践の前後に実施した（図）。


働かせる「統合・発展の芽」のつながりが明確になった。



そのため，重視した局面で「統合・発展の芽」を引き出

し，繰り返し働かせることができた。これらのことから，



子供の統合的・発展的に考察する力を育成できた。また，



既習となる内容の定着にもつながった。

２ 今後の課題「統合・発展の芽」を，子供が自ら働かせることに課題図 既習の定着力の個別推移（ｎ＝）

があった。これは，「統合・発展の芽」の働かせ方が分か

結果は，学級平均がポイント上昇し，W検定の結らなかったことが原因だと考えられる。そのため，「 統合・果，有意差が見られた ｐ＜ 。これは，一般の２次関発展の芽」をどのように働かせて問題解決したか，つま

2数を，関数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 と関連付けて，統合的・発展的に考察するときに，表，式，グラフを相互に関連付ける学習サ

り，解決過程を振り返り，「統合・発展の芽」を働かせる
目的を共有する場を設定する必要があると考える。
- 39 -