数学1（問題）平成6年I2月20日

1．11111コl／l1111，111111111／ll。

（35点）（1）A，Bの2人が、A，B，B，A，A．B，B，A，A，……の順に1つのサイコロを投げ、最初にIの目を出した方を勝ちとする。但し引き分けはなく、どちらかが勝つまでゲームを続けるものとする。

このときAの勝つ確率は［二二二コである。
（2）確率変数XとYの同時確率密度関数がf叶^；十y：llllい≦y≦）であるとき、確率変数Z三X＋Yの確率密度関数h（z）はO
（z＜O）

h（z）＝
O（z〉2）（3）確率変数X，Yは互いに独立で、ともに平均1のポアソン分布に従う。

このとき、PlX・Y≦3｝＝□である。

（4）XとYは独立な確率変数でいずれも標準正規分布 N（0，1）（分布関数F（x）．確率密度関数f（x）とする。）に従う。このときP lY≧X l X≧11をF（旦）を用いて表わすとJ二二二二二コとなる。
（5）確率変数Xは次の幾何分布に従う。

P｛X＝x｝；P（1−P）■

このとき・期待値（x＝O，1，2，…

E（Σλt）＝［二二二二コであ乱）（λは定数。）

肚1o2

ある銘柄のある時点における株価をS・とし、その時点からi日後の株価をS
今、log（Si／Sト1），（i≧1）は互いに独立で同じ正規分布（1）Xi＝1og（SI／Si＿I），

iN（μ，（i≧O）とする。
σ雷）に従うとする。

（i≧1）と置いたとき、Y日一ΣXIの積率母関数を求めよ。
i−1（2）n日間の株価変動率Z、±S。／Soの平均および分散を求めよ。

3．ある図書館の所有する本の1冊当たりのぺ一ジ数は確率変数（20点）

N＝X＋1で表わされ、それぞれの本について独立であるとする。（ここにXは平均λのポアソン分布に従う確率変数とする。）また、どの本についても、1ぺ一ジ中の誤植の数は・本のぺ一ジ数にはよらず、各へ一ジ毎に独立に平均μのポアソン分布に従っているとす乱
A君がこの図書館から無作為にm冊の本を借りた時、次の間に答えよ。なお図書館は無限に本を所有するものと考えて良い。

（1）m冊中、1個も誤植のない本の冊数の期待値と分散を求めふ（2）A君が誤楢を見つける確率は，本のべ一ジ数にはよらずどの誤植1個についてもpであるとし、それぞれ独立であるとする。m冊中、A言が言呉植を1個も見つけることのない本の冊数の期待値と分散を求めよ。 （20点）
o4．半径1の半円OABがある。いま半円周A B上でそれぞれ無作為に点P，Qをとるとき、確率変数X＝PQ（弦PQの長さ）の（1）平均および（2）分散を求めお〔ヒノト〕

sln！

θ＝（1−cos2θ）／2

＾o田

（25点）

一1一数学1

解答1．

（1）初めにAが1の目を出せばAの勝ち。もし1が出なければBの番になり、1を出せばBの勝ち、出なければ再びBの妻となるが、この時Bの置かれている状況はゲーム開始時のAと同一である。引き分けはないためA，Bそれぞれの勝つ確率の和は1である。Aの勝っ確率をpとすると、

・の勝つ確率は1（1・1・）であるから

・・1（1・1・）一1・一日］（・）・（・）一

轤?i…一・）・・より

O≦y二＝z−x≦1となるのは z−1≦x≦zのときであるから
z＜0，z〉2 のときは h（z）＝0・…1のとき・（・）一轤撃?i…一・）・・一∫1…
一⊂三コ

1・…めとき・（・）一轤撃?i…一・）・・一∫1、、…
，（3）PP2z−z2｛Xま0｝＝e一一1 1l（X＝1）かっ（Y≦3）1宝1e一（e一（1＋1＋一十一））
2 6e I（e 1（1＋1））2
e−1
P l（X；3）かつ（Y≦1）1宮（e．1（1＋1））2
1 1
P l（X≧4）かつ（Y＝O）｝＝（1−e一（1＋1＋ ＋））e．12 64
求める確率はこの合計であるから、 2e−L←一e−2である。
3Pl（X二2）かっ（Y≦1）1＝

一2一

（4）P
P

P｛Y≧XlX≧11＝｛（Y≧X）∩（X≧1）｝

PlX≧11｛X≧11＝1−F（1）轤P・（・）∫lf（・）・…

・1（…）∩（・・1）1一一∫1．f（・）（1一・（・））・・

一∫lf（・）・・一∫lf（・）・（・）・・

里1−F（1）一12（1−F（1）2）／よりヅ1：∵ll［；（∵！l！∵）f（x）dx〕＝

12（1−F（1））2よってP（5）12｛Y≧XlX≧1｝堂■

Σλt望1＋λ十λ2＋…

（1−F（1））

十λ■カ、ら＾，oE（Σλ＾）宮ΣP（1−P）■（1＋λ十λ2＋…十λ■）一，0■；O1ΣP（1−p）■・1■一〇＋ΣP（．1−P）■・λ＾1I＋ΣP（1−P）■・λ2＋…

■＝2＝工十（1−p）
1一λ・λ十（1−p）2・λ2＋…

1（1−P）（ただし収束はlllく1土pのと一一3一2．Xが正規分布N（μ，σ2）に従うとき、Xの積率母関数は

2（1）1・（1）一・1・θ・〕イ1着∵・｛姜；萎〕・・
σ2θ2）2＝eXP（μθ十またX．Yが互いに独立な確率変数でそれぞれの積率母関数をφxφマY（θ）としたとき、X＋Yの積率母関数はφ■（θ）φY（θ）、（θ）であるから、；ΣXiの積率母関数は
i，1σ2

φY、（θ）＝E（exP（θY．））二exP（n（μθ十一θ2））2（2）Z■宝S口 呈So

Sl．
×So

＝eXP（109（一×SoS2 ×Sl
S1×S2×SlS■

S皿＿I・×S、））S而＿1＝exP（ΣXi）呈exP（Y呵）
1目1E（Z皿）＝E（exp（Y、））＝φY而（1）＝＝eXP（n（μ十E（Z皿2）＝E（exp（2Y。））σ2））2宮φ丁皿（2）＝exP（n（2μ斗2σ2））V（Z、）＝E（Z．2）一E（Z、）2＝exp（n（2μ一ト2σ2））一exp（n（2＝exP（n（2μ十σ2））

一4一μ十σ2））（exP（nσ2）一1）

3． （1）1ぺ一ジ中に三個も誤植の無い確率・はe1。ぺ一ジ数nの本の場合1冊中に1個も誤植の無い確率は（e． ）簡王e u。よってこの図書館から無作為に1冊の本を取り出したときその中に1個も誤植の無い確率πはπ＝ΣplXヨnle■，1u雪ΣPlN＝n−11e一■自I由岨

λo＝三。・｛N＝・｝・小1，凹＝〜。・＾、1・宮e一λ一四三（λe一山）n＝eμeλe一出。剛

宝eλλ（田川田n！

μ十λe．出m冊中、1個も誤植の無い本の冊数は二項分布1b（k；m，π）1（k＝0，1，2、…，m）にしたがうと考えられるから、その平均は

me

λ一μ十λe1me一λ一μ十λe一山（1一一e一λ一μ十λe

分散はμ）（2）q呈1−pとおく。1ぺ一ジ中に誤植がk個あったとき、A君が誤植を1個も見つけない確率は田ΣP11ぺ一ジ中の誤植の数＝klk，o固一＝ Σ二e■出 μ−ok！

、

qqセ雪e1e出。二e一出P

以降は（1）でμの代わりにμpとして同様に考えればよい。したがって、期待値は分散はme1λ μP＋λeI
me一λ一μP＋λe引（1−e一トμP＋λe一 ）一5一4．∠POB＝θユ、∠QOB，θ2はそれぞれ一様分布U（0，π）に従うから確率変数 θ＝1θ1一θ。1の密度関数をf（t） （O≦t≦π）とすると、0≦∀s≦πに対してAO
轤撃?it）・t一・ll・・1一・1一・・ll−1…1B

一・l1ド・・1・・lI・・1一ノ。・（1・1・）・11・1・θ2＝θ1＋S
θ2＝θ 一S

θ2
ここでθ一．θ。の同時密度関数g（θ一．θ2）は19（θ1θ2）＝π（0≦θ1≦1）2π（0≦θ2≦1）
Sであるから∫6 f（t）dt＝π2一（π一S）2π2o2πs−s2π21f（t）＝π2S

πθ一（2π一2t）

θX二pQ，2sin・／・〕一2であるから

轣F・・i・lf（1）・1−1。∫：（1−1）・1・1・1−1．／［一・1…

一（卜・1…

l1：ll。（・1一［・・i・8（π一2）π2一6一1：・∫：・…
；1：）

；・1）／

また・1・・〕一轣F・・1・・；f（1）・1一。∫：（1−1）・1・・1・1−1。∫：（1−1）（1一…1）・1−1。∫1（1＋1…1＋1…1）・1−1，（［11一；21・1・1・1・1・l1：・∫：・i・1・1）
宮1，（12一・）＝2一8

π2

V〔X〕宮E〔X2〕一E〔X〕2
一・一72

P…8（1；2）ザ
256＝2一π 。十π 。

256。
π一7一