田召f口62年1月12日

数学

I

（問題）

i．あるさいころをユ20回股げたところ次のような紬粟を得た。このとき，各目が出現する確率は等しいといえる・か検定せよ。有意水準をO．05とする。

出現した目

123456

計

出現した回数

15232117

且133120（注）X丘10・05〕＝l1・07

2．分散1の正規母集団州m，1〕の平均傭に関する仮説㎜＝へを検定するのに，大きさηの標本Xl，・…X皿を抽出し，「m。一1・O−5≦mt冊Xまたは柵岬X≦m。＿O．5なら仮説をすてる」という検定法を，有意水準O．05以下で用いるためには，標本の大きさηをどのように定めたらよいか。
（在在）

皿｛O．30〕＝O．524，1パO．35〕＝O．記85

峨…らと一一一一…一して P（糾7…
標準偏差σの不偏推定量であることを証明せよ。

loo
4．正規母集団から抽出された大きさ〃土100の標本から五＝2．7およびΣ1エに王〕㌧225を得たとき，仮』1説〃。1μ。＝3，σ；＝2・5を尤度比検定法を用いて有意水準。・01で検定せよ。
（注）X・lO・905〕＝O・Ol，X・lO・O05〕＝m・OO，l119．O．9＝一〇一10536

5．

2つの状態1，2をもつマルコフ連鎖｛X。；π≧o｝がある。その推移確率はρ11＝肋≡P，肺＝舳＝田1oくpく工，p＋q＝1〕であるとす糺初期分布がPlX・＝一〕＝o，列X・三2〕三β（α十β＝1〕の場合，ω時点ηでの絶対確率川Xπ＝ゴ〕O＝1，2〕を書十算せよ。121また，この場合の極限分布を求めよ。

一61一

（角軍答修』）

菱文書まII1．

i（i＝1，2，…，6）の目が出現する確率をpiとし、

帰無仮説

1

Ho：pi＝一（i＝ユ，2，…，6）

6
ユ
対立仮説 H1：pi＝一（i＝1，2，…，6）でない6を有意水準O．05で検定する。
度数（fi）

確率（Pi）

fドnPi（fi−nPi）2（fi−nPi）2／nPi

ユ15

ユ／6

一525

ユ．25

223

ユ／6

3

9O．45

32ユ

1／6一11O．05

417

1／6

一39◎．45

5

ユ1

1／6

一98ユ

4．05

633

ユ／6

ユ3

169

8．45

計

ユ2◎

1O294

ユ4．70

目の数（i）

6（ただしn＝Σfi：120）
i＝16（fi−nPi）2x2＝Σ

H

州

は自由度6−1＝5のx2分布に従っており、その実現値（上記表より得られた値）κ2＝14．70をx2分布の上側5黒点x2戸（◎．05）と比較すると
x25（O．05）：

1ユ．07であるので、帰無仮説Hoぱ棄却さ＜14．70れる。

従って、各目の出現確率は等しいとはいえない。

山62一

2．正規母集団N（m，1）の平均値mを叩。としたときの「mo＋O．5≦minX・ 、または㎜xXi≦mo−O．5」iiの確率はP（mo＋O．5≦㎜inXiまたは㎜axXi≦mo−O．5）
ii＝P（mo＋O．5≦∀X、または∀X、≦mo−O．5）
一（一（氏轣G刈．、；㎞）㌦）・・（去∫1二〇氏逑

、・荊・・）・・（去∫1二5・㌣・氏逑

一・・（5；（川）㌦）・、・へ）・と表される。ここで
α一v∫：、・荊・・とおき、u（α）＝O．5を満たすαを求める。u（O．30）＝O．524，u（O．35）＝O．385であるので、直線補間により
O．30−O．35

α＝x（O．5−O．385）十〇．35＝・O．3090，524−O．385が得られる。

題意より
2αn＝2x（O．309）n≦O．05

すなわち（O．309）n≦O．025を満たす整数nを求めればよい。
n＝2のとき（O．309）2：O．095〉O．025
n＝3のとき（O．309）3＝O．030〉O．025
n＝4のとき（O．309）4＝O．◎09くO．025であるので、求めるnはn≧4である。
従って、標本の欠ききnを4以上に定めたらよい。

一63一3．標本X1，…，X。は互いに独立で、かっ同一の正規分布に従うから、

1．

Z＝一Σ（Xi−X）22 i1一σは自由度n−1のx2分布に従う。Zの確率密度関数は1Z（一）（n2F（（n−1）／2）

工）／2．工e−z／2（z〉O）

2f（z）＝○くz≦O）であるから、nσ

S＝一Σ（Xi−X）2：一πnH

石「とおくと、Sの期待値E〔S］ぱσ
E［S］＝E［一π］

σ・＝1−E〔π］斤斤
一÷∫二石2、、、≒ユ、、2）（÷）く一・へ

一2石果、、／2、∫丁（÷）一・へ
一価、≒、、／2、∫二〃一1・一・…
（y＝z／2とキうく）

一幕、ラ2）∫二・一・一・由＝

棚σF（n／2）r（（n−1）／2）となる。これを変形することにより・箒浩ノ丁嵩（・r・）1一σが得られ、不偏推定量であることが証明されれ⊥64一

4．正規母集団N（μ，σ2）に関する
仮説Ho：μ＝μ．o（＝3），σ2＝σ02（＝2．5）

に対する尤度比λは。

ユi11

∫27σo

1口1λ：

ユeXP（（X、一μO）2）2σ02。
nμ，σ 2 i＝1

11eXP（一一（X、一μ）2）
恢σ2σ2n1i31

伍σ1eXP（一■（Xi一μ）2）は㎜axである。πμ2σ2：μ：x1。

σ2＝δ2＝一Σ（Xr支）2n i＝1のとき最大となるので、λは1（λ＝砺σo1（）neXP（ユ。

Σ（X、一μ0）2）2σ02i昌1ユ。

）neXP（i一Σ（X、一書）2）

恢62a2H

a1 ．
n＝（一）neXP（ Σ（X、一μ0）2＋）σo2σ02i＝i2と変形される。

一21ogλ（底ばe。以下同じ。）は、漸近的に自由度2のx2分布に従うので、一21ogλの値を求め、x22（◎．O05）、x22（◎．995）との比較を行う。

ー2109λ＝一2n1o9＝一n109a

ユn＋
Σ（XrμO）2−n2 −1σo σoa2 1÷σ02n
Σ（Xi一μO）2−nσO 2 i＝t一65一ところで、

1 ，225∂2＝一Σ（x、一支）2＝ ＝2．25，σ02＝2．5n H1OOnn

Σ（Xi一μO）2＝Σ（Xド麦）2＋n（支一μO）2i，ii＝1＝225＋100x（2．7−3）2＝234であるから

2，25

1＋x234−10◎
2．5 2．5−2且。gλ＝一1◎Ox1og＝一100x（一〇．10536）十93．6−100＝4，136となりx22（O．995）＝O．01〈4．工36〈ユO．60＝x22（O．O05）

が成り立つ。

、従って、仮説Hoは棄却できない。

5．題意より、推移確率行列Mは・一（；；）と表せる。いまajくn）＝P（X。＝j），（j＝1，2）とおくと、・〜（一）・（α・1）・・一（α・1）（；；）nここで、Mの固有ベクトルを求める。一Mの固有方程式

lM一λEl：P一λqqp一λ＝（P一λ）2−q2＝（P−q一λ）（1一λ）：◎

より、Mの園有値λ：1，p1が得られる。

一66一λ＝1に対応する固有ベクトルの一つとしてt（1，1）

が、またλ＝p−qに対応する固有ベクトルの一つとしてt（1，一1）が得られる。固有ベクトルから成る行列・一（t二）とTの逆行列・一・（1㍑）により、行列Mは対角化され・一…一（1、二、）となるので、n個
T−1MnT＝（T■工MT）（T−1MT）……（T−iMT）＝（T−lMT）n一（1、二）。）が成り立つ。この関係式より
・・一・（1、二、）、）・一ユ一（ll：二：；二；llガ1：；：；二；llll）が得られる。従って、（a工（n），a2ω）＝（α，β）Mn
一t i12二：1二111；二1111：）一…・……（i）が成り立つ。

一67一

（1）時点nでの絶対確率P（X。＝j）（j＝1，2）はP（Xn＝j）＝aj（n）であるから、式（i）より

1：妻1：ll：ll：llllll：；1；lll：／・・…一…（ii）となる。

（2）式（ii）において、p−q＝2p−1で、O〈lp−q1〈1であるから、P（X。＝j）（j＝1，2）の極限分布1i㎜P（X。＝j）はn→oo
1im P（Xn＝1）：1／2
n→◎o
1i㎜P（Xn：2）＝ユ／2n→o◎となる。

一68一