平成17年12月27日
生保数理………1

生保数理 （問題）問題1．次の（1）から（8）までの谷間について解答用紙の所定の欄に記入せよ。（48点）（1）

保険給付現価を表すノ、＝【、ノ五＝≒および（M）二＝刀はいずれも、給付の現価を確率変数と見て、発生確率｛g工，、ig五，・…，．、ρ工，用ρ五｝を用いて計算された平均値として、確率論的に表示することができる。いま、同様に、生命年金現価（〃）、司も確率論的に表示し、それぞれの発生確率の係数を比較すると、次の関係式を作ることができる。

（〃）工。一匹コ・［蔓］・〜・［璽］・（M）1。・［重コ・〃五｛
このとき、①〜④には、ゴを用いたどのような式が当てはまるか。最も適当な記号を選べ。
（A）

一

1
3

（B）

1一

（F）

一一

1
a

（G）

一一

（2）

1一ゴ

32

1

ゴ2

1−3

（C）

（H）

♂
1−a
a

（D）

（1−a）2
a2

くE）

32

1−a一一
a2

（1一♂）2a2（I）ある年齢γ歳において、生存確率、ρ工と死力μ、、、の間に、、ρ、μ工十、＝o，e（J）（o≠O，ゐ≠o，o≦C≦2）

が成り立つとき、1年以内に（x＋1）歳の者がx歳の者に先立って死亡する確率を表す式は次のうちどれか。最も適当な記号を選べ。
・・＾（2ろ・凸十2・・L・・2㌧2わ一・）（A）

2（ろ2・αわ一〃）・・止（2ろ・ム・2・・＾一・・2ム・2わ一α）（C）

2（わ2＋αト・め・・乃（2ろ・凸一2・・凸・α・2か一2わ十・）（E）

2（わ2＋αト・ゐ・b）

・・｛（2ろ・止一2・・乃…肋一2わ一α）（G）

2（わ㌧・わ十・わ・＾）・・ゐ（2わ・｛・2・・b一・・2あ一乃・・）（I）

2（わ2一・わ・・わ4）

α・｛（2わ・L2α・凸…2ムー2わ一α）（B）

2（わ2・・わ一・ゐ4）

α・b（2わ・凸・2・・㌧・・2｛一2わ・α）（D）

2（わ2＋・わ一・わ・＾）α・＾（2わ・止・2・・ムーα・2ムー2わ一・）（F）
2（わ2一・ろ十・わ・＾）・・｛（2わ・＾・2・・｛一・・2b・2トα）（H）2（ろ2一αわ十・め・・＾（2わ・㌧2・・＾…2｝一2ゐ・・）（J）
2（わ2一・わ・・わ・凸）一27一

平成17年12月27目
生保数理………2（3）40歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間20年の養老保険において、チルメル割合がαである全期チルメル式責任準備金を積み立てたところ、第1保険年度末の責任準備金が0となった。この保険の年払営業保険料の値に最も近いもの
は次のうちどれか。最も適当な記号を選べ。

ただし、予定新契約費は保険金額比例でチルメル割合αに等しいものとし、予定集金費は保険料払込のつど営業保険料の3％、予定維持費は毎年度始に保険金額の3％。を徴収す
るものとする。必要であれば、∂、。＝珂＝15，585、ト2．5％、ρ。o＝O．998を用いよ。
（A）

0．0452（B）

0．0454（C）

0．0456（F）

0．0462（G）

0．0464（H）

0．0466（4）

死亡解約脱退残存表における残存者数が∫工＝（D）

0．0458（E）（工）

0．0468（J）

0．04600．0470。一肌（o≦、≦し，。≠O）で表わされ、かα
つ各年齢における解約率g二が死亡率g工の4倍という関係にあるとすると、絶対死亡率は、
・
五一κlo
9工＝1
3五一κ。0と表される。κ1とκ。に当てはまる数値を解答せよ。

（5）x歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間η年の養老保険において、予定死亡率をすべての年齢についてg工からグ、に変更して平準純保険料式責任準備金を計算したとき・孔に基づく責任準備金1㌦とクエに基づく責任準備金

γ

川に

は、
κ＝【一1γ工＝η（0≦1≦・≦・一2）という関係が成り立っていたとする。このとき、グ、十、＿g五十、を表す式は次のうちどれか。最も適当な記号を選べ（O≦f≦ト1とし、κは定数とする）。

（A）

（E）

κ
α工・l1；司たα∫・1−1司（B）（F）α工、、．。＝r司（C）δ工。1＝司κo、十、十1＝司たδ。。ト1＝司

κ
（I）

κ

（G）

た

・、、、、。二司κ（J）δ、十、凹、＝着同

一28一

（D）

た

δ工、，十1＝7司（H）κ

δ、十、、、＝司平成17年12月27目
生保数理………3（6）

次の（A）〜（E）を値が大きい順に解答せよ。

例：（A）6％、くB）5％、（C）4％、（D）3％、（E）2％の場合、解答用紙にはlA）→（B）→（C）→（D）→固と記入する。

（A）転化回数I2回、年1．5％の名称利率における実利率（B）以下の条件での、ハーディの公式を用いた総資産利回り

年始総資産71，028億円
年末総資産78，490億円
利息および配当金収入1，130億円（C）δ珂＝25．0158、∫珂＝36．5387のときの年利（D）永久年金現価α。。＝67．1141のときの年利（E）金融機関で借りた金額を10年間で減債基金（湖を積み立てて返済する場合の借入金利率。ただし、減債基金の積立利率は2．50％、実質的な借入金利率を0．72％とし、借入金利息の返済と減債基金の積み立ては年1回その年末に行われる。
必要であれば、s寄。％〕＝11．2034，o新2％）＝9．6151を用いよ。

（注）減債基金とは元金の返済をせずにその期の利息のみを返済する一方、元金返済のため」定
額を別に積み立てたときの積立金のことをいう。

（7）以下の死亡・就業不能脱退残存表が与えられるとき、（A）から（G）までのうち、3番目に大きいものの記号を選び、その値（小数点以下第7位を四捨五入して小数点第6位まで答えよ）
とともに解答せよ。

4

ぺ

x

7㌘

45

96，330

276

77

756

13

97，086289

4695，977

308

85

820

15

96，797323

47

95，584

344

94

890

17

96，474

361

∂㌘

工

7工

（A）億（B）κ（C）9！いD）9名（E）91、（F）9いG）砿

一29一

a工

平成17年12月27日
生保数理・……・・4（8）

一般的に生命表には大きく分けて以下の2つがある。

匝憂コ国民全体について生存・死亡の状況を一定期間観察して作成される
生命表［壷］特定された範囲の生命保険加入者の全体につ／て生存・死亡の状況を一定期間観察して作成される生命表
さらに、①には大きく分けて以下の4つがある。

［壷］契約後の一定期間を除外して年醐1」に死亡率を算出して示す生命表

ヨ除外期間を謝ナずに契約直後の期間も観察1こ加えて作成される生命表［壷］契約直後について各年臨こ死亡率を算出して示す生命表［壷］契約時の医的選択による死亡率減少の効果が消滅した死亡率を算出して示す生命表（ア）上記①〜④に当てはまる適切な語句は次のうちどれか。最も適当な記号を選べ。

（A）標準生命表（B）最終表（C）裁断表（D）経験表（E）簡易生命表（F）統合表（G）終局表（H）分断表（I）選択表（J）完全表（イ）①が下表のとおりとなっている。55歳加入、保険料一時払、保険金額1、保険期間3年の定期保険について、④を用いた場合の一時払純保険料の値に最も近いものは次のうちどれか。最も適当な記号を選べ。なお、医的選択による死亡率減少の効果は3年で消滅するものとし、予定利率は考慮しないものとする。
〔x〕

50

伽／

9／工〕十1

91・〕十2

伽十3

x＋3

2．76％o3，53％o4．30％o5，07％o

53

51

3．33

4．10

4．87

5．64

52
53
54
55
56
57

3．90

4．67

5．44

6．30

4，47

5．24

6．10

7，03

5．04

5．90

6．83

7．81

5．70

6．63

7．61

8，64

6．43

7．41

8．44

9．51

7．21

8．24

9．31

10．22

54
55
56
57
58
59
60

（A）

0．01701（B）

O．01934（C）

0．01994（D）

0．02114（F）

0．02242（G）

0．02529（H）

O．02655（I）

0．02690

一30一

（］≡］）

0．02228（J）

0．02837

平成17年12月27目
生保数理………5
問題2．40歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間20年の養老保険において、以下の（1）（2）の時点で延長保険に変更する場合、変更時点からの延長期間をr、変更後の生存保険金額を∫とするとき、それぞれの場合について例≦r＜m＋1（年）を満たす整数mおよび∫（小数点以下第5位を四捨五入して小数点第4位まで答えよ）を解答用紙の所定の欄に記入せよ。必要であれば（付表）に記載された数値を用いよ。

10−C （C≦10、、γは加入後経過C年の平準純
ここで加入後経過C年の解約返戻金、豚＝、グ＿002

10
保険料式責任準備金）とし、延長保険変更後の予定維持費は毎年度始に死亡保険金額の1％。、
生存保険金額の1％・を徴収するものとする。（12点）（1）加入後経過2年（C＝2）（2）加入後経過7年（C＝7）

問題3．次の各問の指示にしたがって、各解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ。
必要であれば（付表）に記載された数値を用いよ。（12点）

x歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険期間一〃年の逓増定期保険があり、保険金額は、被保険者が第1保険年度に死亡する場合は1、第2保険年度に死亡する
場合は2、以下同様に毎年1ずつ増加する。この保険の年払純保険料をβとする。そのβを（1）

計算基数を用いて表わすと、□

β1二I①および②に当てはまる簡潔な算式を示せ。

x歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険期間n年の逓減定期保険があり、保険金額は、被保険者が第1保険年度に死亡する場合はn、第2保険年度に死亡する
場合はη＿1、以下同様に毎年1ずつ減少し、第n年度に死亡する場合1となる。この保険（2）の年払純保険料をちとする。そのちを計算基数を用いて表わすと、
ろ＝［③および④に当てはまる簡潔な算式を示せ。
（3）③＝53，932、④＝1，081，891，M五＿M五十円＝5，737、炉25年とするとき、βの値を解答せよ（小数点以下第6位を四捨五入して小数点第5位まで答えよ）。
（4） （1）で示した保険の第C年度末平準純保険料式責任準備金を計算基数を用いて示せ。必要であれば、βを用いよ。
（5）x二40歳、η＝10年とするとき、（1）で示した保険の平準純保険料式責任準備金が最大となるのは第［＝コ年度末である。［二］に当てはまる整数を解答せよ。

一31一

平成17年12月27目
生保数理………6
間題4．以下の①〜⑬に当てはまる最も適当な語句または1つの記号（例：㍗＝司）を解答用紙の所定の欄に記入せよ。なお、①〜⑬については、番号が同じである空欄に同じ語句または同じ1つの記号が入るものとする。（13点）

x歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間η年の養老保険において、責任準備金をチルメル期間m年、チルメル割合αのチルメル式で積み立てるとき、保険料が平準純保険料式で責任準備金を積み立てる場合と同様に、［Φ］呆険料と［蔓］保険料に分解できることを証明する。

まず、第1年度の純保険料をβ、第2年度以降第m年度までの純保険料をちとすると、
1≦∫≦mの場合、チルメル式責任準備金は沽」o−1ろ・匝］・㌃画一国］）1と表される。

け十 }である沁廿匝一㍗・ 回I± 回 （ア）2≦∫≦mのとき・これを変形し・州＝【一尺パ回一} 匝叩匝］十γ．匝］．国コ｛（1＋・．匝］

回ト≡コ（1＋1回］．国ユとし、これを（ア）の両辺にツ・［亜］を乗じたものから引くと、v

付件いとなり・ろ㍉・匝］（1一

回十±十・

伸・（ソ・鳩L

回

（イ）

．1件

となるが、右辺の第1項は［Φ］保険料、第2項は［蔓］保険料を表していることがわかる。

Hのときについても（イ）式にお／て｝笥」一gであることから・

ゾ回

鵬］十α＝い匝十±αとなにでけ・十 x］■αを帥と・／ヤ±一r

回1一命）刈箒】が得られ、このときも右辺の第1項は［Φ］呆険料、第2項は［蔓］呆険料を表している。

一32一

平成17年12月27日
生保数理…・…・・7
間題5．次の各問の指示にしたがって、各解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ（（2）は汎用の解
答用紙に問題番号を記入して使用すること）。（15点）
X歳の死力がμ。＝ノ十地x（ノ，3，cは定数で、ノ，B＞0，o＞1）と表されるものとする。

（1）

次のとおり、3人の被保険者（x）、（y）、（z）を対象とする、保険料連続払終身払込、保険金

即時払、保険金額1の連生終身保険を2種類考える。
（a）3人のうちいずれかが最初に死んだときに保険金を支払い、保険契約は消滅する。
（b）3人のうちいずれかが最初に死んだときに保険契約は消滅するが、保険金は（x）が最初に死んだ場合にのみ支払う。（y）または（z）が最初に死んだ場合には保険金は支払わ・ない。

（b）の純保険料P（乃〕を、（a）の純保険料〆〕の1次式で表すと、

P（わ）＝

XP同十

①および②に当てはまる簡潔な算式を示せ。
（2）②＝0の場合に、次の（ア）および（イ）が成り立つことを証明せよ。

（ア）共存確率について、、ρ、、＝、ρ、工となる（つまり、yとZの均等年齢はγ）（イ）連続払の連生終身年金の年金現価について、δ一≧δ一となる
エツ山

∫∫工

以

一33一

上

平成17年12月27目
生保数理………8

（付表）

計算基数表

【問題2、問題3共通】

x
40

D工

53，536

1，557，511

41

52，663

42
43

凡

工

仏

C。

札

29，699，249

82

30，522

1，l18，705

1，503，975

28，I41，738

89

30，4401，088，183

51，796

1，451，312

26，637，763

96

30，351

1，057，743

50，935

1，399，516

25，186，451

104

30，255

1，027，392

44

50，077

1，348，581

23，786，935

113

30，151

997，137

45

49，224

1，298，504

22，438，354

122

30，038966，986

46

48，375

1，249，280

21，139，850

130

29，916

936，948

47

47，5301，200，905

19，890，570

139

29，786

907，032

48

46，6891，153，375

18，689，665

148

29，647877，24649

45，852

1，106，686

17，536，290

157

29，499847，599

29，342

818，100

50

45，0171，060，834

16，429，604

168

51

44，183

1，015，817

15，368，770

181

29，17478875852

43，350971，634

14，352，953

195

28，993

759，584

53

42，514928，284

13，381，319

212

28，798730，591

54

41，673885，770

12，453，035

232

28，586

701，79355

40，826

844，097

11，567，265

253

28，354

673，20756

39，969803，271

10，723，168

277

28，101

644，85357

39，l02

763，302

9，919，897

301

27，824

616，752

27，523588，92858

38，223

724，200

9，156，595

325

59

37，333685，977

8，432，395

350

27，198561，40560

36，431

648，6447，746，418

367

26，848534，207

一34一

生保数理（解答例）
問題1．

（1）

①

②

（D）

（2）

（A）

（3）

（工）

（4）

ん。

κ。

0．6

（F）

④

（H）

0．4

（D）

（5）

（B）

（6）

（7）

③

（工）

→（A）
（F）

記号

（ア）

→（C）

①

（D）

→（D）

0．002872

値

②

→（E）

③

（C）

（工）

④

（G）

（8）
（イ）

（D）

（1）現価率ソを用いて、それぞれの保険給付現価、生命年金現価を確率論的に表示する。
ノエ司一ソ戦・へ■9一・一・ゾ・。一・lg工・ゾ・必ノエ身一〇・g工・O榊・……・O・。一・1gバ・必（〃）1司一γ・9工・2へIg工・……杣へ一・I肘O戦（〃）上司一0戦・へ■9工・……・（γ・2γ2・…・（・一1）ゾー）・。一119兀・（叶2ソ2・…・（・一1）ゾー

一35一・〃）・。見（∫・）北、司の第順（1一・，・，…，・，…）の係数を∫、として・これを計算すると、∫、一ソ・2・2＋…十（C−1）γ

一

ソ∫、一

・（1−1）・

γ2・…・（1−2）〆一（1一γ）∫、一叶γ2・…・

γ

一

一（f−1）γソ（1−1ノー1）、■
一（C−1）γ

1一ツ∫．γ（1一γI）（C−1）〆昌1−a

1！111・1−a1一グ

1丘f（・一γ）・・一、a・〆■プ十ア9717一γ一7となる。

ここで、この式の第2項および第3項に現れるγと〃fについては、先述の保険給付現価を組み合わせた算式の第C項（C□1，2，…，〃，〃斗1）の係数として表すことができる。

（∫丘の式の第2項に現れる〆について）
2

ソX孔十ソX・1孔十一．…．仰×π一・Ig工十y
州g工・ソ2・、Ig工・……・〆・皿．、lg工・ソ一戦・ソ2・・lg工・…・…〆・、一、ρ工仰

・

舳1

X皿ρ工
ρ五一（1一ソ）・〆・皿ρ工

・皿ρ工一（・一ひ）・（O・g工・O・、■・工・……・O・、．、Ig工仰・日ρ工）

8ノエ司一（1一γ）×ノエ身⇒よってソ丘は・什（・一ソ）・ノエ身の第順（1一・，・，…，・，…）の係数として表せる（1∫、の式の第3項に現れる〃

について）

W工・2ソ2・、一9王・……・が・．、Ig工・（舳1）ソ肘

州9工・2ソ2・、Ig工・……・〃・．、ρ、・O・・ソ戦・2γ2・・lg工・……・〃・皿ρ工

ρ工・（舳1）・・〆・届ρ工・。一・一9ユ・O・、ρ工・（舳1）γ・（O・g工・O・ユ．9工・……・O・．、lgエ・〆・、ρエ），（M）二刀十（〃千1）ソ×ノエ身⇒よって・fは・（M）1司・（…）1・4身の第1項（1一ム・，…，・，…）の係数として表せる

一36一

また、∫、の式の第1項はCによらない定数項となっているが、』1xg工十1×、■g工十……十1x、．1■g工十1×掘ρ工であるから、
1−6

1．a

1■c＝

1−a

d・一6・Xgl＋が×仏十1■d

十7X1−1191㍉・X・ρ1と表すことができ、発生確率｛g工，、一g五，…・，、．1−g工，ρ工｝を用いて、この定数の平均値を計算しても、やはり同じ定数となる。

従って、確率変数∫、（C■1，2，…，m，n＋1）に対して、第1項、第2項および第3項の項別に発生確率｛g工，1−g工，…・，、．1−g工，、ρ工｝を用いて平均値を計算して、最後にその和をとることにより、

1＿d 1＿6
1（伽・。・。・（什（1叫）刈）一7（（M）1引・（・・1）γ・ノエ身）

一1≠1チ如一｝（〃）1月・γ一（姜十1）γ々
1−a

1−a

1

1■a

1

一。・。・什7（M）1司一TMエ万という関係式を作ることができる。

解答：①・・（D）②・・（I）③・・（F）④・・（H〕

一37一

（・）舳÷一α・・であるか！・・見・一（刊（1は定数）・一〇を代入すると、κ・旦一一1、・．トー三一1、ρ五一1・旦一三。1・

わ

わ

わ

わ

従って、求める確率は、

α

∫二仏ル

α

b

1＋一一一e㎞μr∫1〃ナ・㎞ψ・∫11、争．三ノα州・わわ、、∴ノ∫1（峠刊・・一1、だ三ノ［1叶一判1
わ

わ

わ

わ

一1、だ三ノ（去＾討一素ぺ差・券）一αノ（㌣ξ壬畜1チー。）
わ

わ

解答：（A）［参考1コ

なお、参考までに、1年以内にκ歳の者が（x＋1）歳の者に先立って死亡する確率は、

∫二山仏・

α
o 斗1）
1＋一＿一eb（ψ・∫1〃ヂ・〃・一∫1，f三f三ノ・・〃わわ・1、旦1王ノ生中令）・1、三1王、ト素・一判。
わ

わ

わ

わ

一、、旦1王ノ（㍑ノ令一1系・芸）一α（
わ

わ

一38一

寿1；点チー％）また、1年後に兀歳の者も（x＋1）歳の者も共に生存している確率は・

川中・・

撃戟E㌔、、三1王、・（・・着刊・（・竹）わ

あ1、三1王ノ・（・・言・1：1・÷・←一1
わ

多ノ）

わ

2わ2＋4αわ十2α2＿2αわe2b＿2α2e2b＋202e3b＿2αわeb＿2α2eb

2（あ2・・トαわ・b）

問題のr1年以内に〜死亡する」事象とこれら2つの事象は互いに排反であり、かつ、そのいずれかが起こりえることから、3つの確率の和は、1になるはずである。
実際に計算してみると、
α・b

i％・b・2mb一α・2b一％一・）・（％・b・3α・㌧m3㌧％一2・）2（わ2・必一αわ・b）

十2（わ2・肋一αわ・b）

2あ2−1−4αあ十202＿2oわe2b＿202e2b＋2α2e3b＿2αわeb＿2α2eb
・1・

2（わ2・肋一・わ・b）

1
2（あ2・肋一助・b）｛（2αあ・2b・2α2・2㌧α2・3b−2αあ・b一α2・b）・（2・あ・㌧3・2・㌧・2・3㌧2肋一2α2）・（％2・4必・2α2−2・わ・2b−2α2・2b・2・2・3b一助・b一カ2・b）｝．・（わ2・・あ一）認。

2（わ2・必一価b）と、確率の和が1であることが確認できる。

［参考2コ

問題の「1年以内に（x＋1）歳の者がκ歳の者に先立って死亡する」事象は、つぎの2つの事
象に分解することができる。

事象A：「1年以内に（x＋1）歳の者は死亡するが、κ歳の者は1年後に生存している」
事象B：「1年以内にκ歳の者も（x＋1）歳の者も死亡し、その順番が（x＋1）歳の者の方が先」

一39一

この2つの事象の確率を計算すると、（事象Aの確率）〃馬け∫1半・㎞吋〃・㎞・
十州一〃・［戸1。令一・）
2mb（・b−1）（わ・α一mb）
2（わ2・肋一αわ・b）（事象Bの確率）∫1州・〜吋〃（｝㍑・イ肌・（叶）比べ箒十寺／年刊
02 ?

一、、旦i三ノ∫1←・・外。（。l1妻11。）卜刈。
わ

わ

一2書1〃）（十・士へ．

士）

αeb（一・ml．m・㌧。）

2（わ2・αわ一αわ・あ）

事象Aと事象Bは排反であるため、上記の2つの確率を合計すると選択肢｛A〕の算式と一致するはずであり、実際に計算することにより確認することができる。

2mb i・b−1）⑫十1−mb）。
2（わ2・肋一・わ・ム）・・b（一ル、・。。、・㌧、）

2（わ2・励一αら・b）

b−2び、蓑．、わノ）（・（ノー・）（1・卜1ノ）一・1ノ・・戸・・）
m b・（必・㌧・m・一・m・㌧必一・α・・m・一・ml・α・…α）
2（わ2・肋一・わ・b）

mb

・（％。㌧・、、㌧、、・・．必．、）

2（わ2・肋一αわ・b）

一40一

（3）第1保険年度末の全期チルメル式責任準備金がゼロとなる場合、α昌く、、：司＿ηエとなる。

求める年払営業保険料を〆・予定集金費率をβ・予定維持費率を7とすると・収支相等の原則より、
P．・δ工、1・ノエ：η・α打・δエニポβ・P‡・δ工、司が成り立つ。

1㌦て刈、司■d

ここでo工・＝1＋Ψ・、、．

1

P㌃㍉十1工、、、司a−W
‡、、

P

．、

o一・司を用し

．．

o・司十β

Ψ工

P

ると

，．．

．．

α工…一〜㌔工、丁・〜…工司十β

α工・

P

・、、

o・・

ψ工
．1−6α工：・十1工、r・a・η・…工・
．

．P≡

（1一β）

δ兀：η

これより数値を代入して、（1／1．02つ・0．998

1一（O．025／1．02g・15，585＋
・

P＿P＝0．0467704

一（0，025／1．02ガG／1．02gC−O．99③十0．O03・15，585

15，585＿1（L＿O．Og・15，585＝⇒

よって選択肢の中で最も近い値は「（I）o．0468」となる。

解答：（工）

一41一

（4）w比＝J工g二＝Z工・4g兀＝幼、であるから、

1、、1−1工一・五一・五一1、一・工一・・工一五一・・丑となり、・工一い一1、三

5
4

5

6

したがって、w兀昌4∂工＝一αとなり、これをg二＝ 工 に代入すると、
5
〃
z＿二五
工 2

α
3
−
z一一α
・ A．ユ．三、＝1一5
工 5
A．三、となることから

3

■

25

工

2

た・T0・6・た・丁04と狐9バ

5
解答：κ1＝0．6、κ2≡O．4（5）将来法の考え方で平準純保険料式責任準備金を表すと、
κ：1＝ノエ、丘二；司一く、ポエ、、、；司であり、これは次のように変形できる。

δκ1−1一（㌃・a）α五十同一1チ河・：1
今・O≦1≦・≦・一・において・κ、1一！
クエ、、、司δ

ユニ日が成り立っていることから・

工、、、司

一，

クエ、1

（O≦・≦・）

δ工＝■

となり、
．1

．．1

・．，

α工1㌦同α兀・・司一＿＿

δ工＝1δ工、、、司δ工、。、司

＿

・・一

＿

㌦、司

δ、、、：司＿C（Cは定数）と表すことができる。
δ1（ただし・…一・の時は舳一
δ工十η一・となるためこの場合は除外し、。≦

一・である）．、、1

この中の続いている2項について、。一が一・司一αあ洲。1＝高司…司、1州ん1司（。。、。卜、）ク、、工、司

1＋肌・戸工十、、1、司であることから、
c（1＋ψ川δ舳・＝司）一1・ψ

川ク、、三、、、司一1・ψ

cγ（ρ〃一グ川）δ工、，、1＝高司＝1−c−42一用・6工、、、、＝司1−C工、、＝クエ、、＿g五、丘であるから、＿＝たとすれば、

ρ工、、＿ρ

cソ

た
9■十五一仏十 ＝
δ工、、、、、■可

解答：（D）（・）（・）実利率一12i・・0音5）一・一・・・・…

2x1，130（B）ハーディの公式より、総資産利回り＝O．015230・
71，028＋78，490＿1，130（C）勺一δ何一1−25・0158−1−24・0158∫ゴ3司・1−36・5387・1−37・5387

1

1

α珂

旬

＝f

より

1

1

24．0158

37．5387

年利一＿＝O．015000・

1

．

1

（D）α固＝一＝67．1141である。よって、年利一一
j＝O．014899・

67．1141（E）借入金利率f％で借りた金額をτとすると・毎年の返済額は1

τ・けτ・（、、。、）術
これが、o，72％による元利均等返済方法による毎年の返済額と等しいことから、
r・1（O．72％）．

＝T・1斗r・α珂

したがってト1（2．50％）

切

1

1

＝

1

1

＝0．014744

・針2％）岬％）9・615111・2034

解答：（B）→（A）→（C）→（D）→（E）

一43一

a芸

（7）（A〕9三；一7一

（B）

g45

276

一0・0028651

Z。。

g6，330

。。・
＝

6芸 ＝

276

＿O．0028662

ゴ。。

77

2

2

Z器一一96，330一一（・〕必一一・・一
Z

77

a

276

＿こ二生＿

45

ミ砥

、α0。。。。。。

96，330＿＿

2

2

13

（D）

945＝1扁一＝一昌O・0171957…
J。。 756

（1≡＝）

g45＝

砥 ． ＿ 13
1ゑ。虹…。エ2（F）＿O．0163624

21
1
6二ξ・一f。。91，276ト・77・O．0163624
．
2
2
g45＝
一

ぼ

。、aエー職1．13−756・0．0163624（G）g45＝＝O．0028716

g6，330

Z芸

96，330O．OOOO065

大きい順に並べると、（D），（E〕，（F），（B），（A〕，（C），（G）ゆえに3番目に大きいのは（F）のg二5である。値は小数第7位を四捨五入し小数第6位まで求めてO．002872となる。

解答：（F）、O．002872（8）（ア）①・・（D）②・・（c）③・・（I）④・・（G）（イ）一時払純保険料＝6．30％・十（1−6．30％・）x7．03％・
十⇒（1＿6．30％o）

×（1＿7．03％o）

x7．81％o＝0．020991

よって選択肢の中で最も近い値は「（D）O．02114」となる。
解答：（D）

一44一

問題2．

（1）

m

16

∫

0

（2）

m

13

∫

0．3035（1）経過2年目の責任準備金を求めるとM。。一M。。十D。。Mω一M。。斗D。。M。。一M。。
。γ一

D。。

M。バM。。

30，351−26，848＋36．431

D。。

30，522−26，848＋36．431

51．796

1，451，312−648．644

1，557，511＿648．644

51，796

O．0871722．．．

ゆえに解約返戻金は
2〃7＝O．087172−0．02・

10−2
10

＿O．071172

ここで、延長期間κ年延長定期保険の保険料を月（た）とすると

巧（18）；㌔十αO01＿

30，351−26，848

十0，001・

51．796

M。。一M。。

M。。一M。。

o・・ボ。、、十α001
L451，312−648，644。、2＝O．0831274…

51，796より2W＜4（18）となる。
よって生存保険金額は∫＝Oとなる。
次に名（17），0．075649より・2W＜月（17）さらに月（16）＝O．068637より・2W＞月（16）よって巧（16）＜2W＜月（17）より、延長期間rは16＜r＜17を満たす期間となる。

mはm≦r＜m＋1を満たす整数であるため、m＝16が求められる。
解答：m＝16、∫

一45一0

（2）経過7年目の責任準備金を求めると、トMボ

・・十D・・・・．M・十D・．M・・一M・・

D。。

M。パM。。

29，786−26，848＋36．431

D。。

30，522−26，848＋36．431

47．5301，200，905−648，644

1，557，511＿648，644

47，530＝O．3155844．、．

ゆえに解約返戻金は10−7 ＝O．309584

7〃7；0．315584−O．02・

10

ここで、延長期間κ年延長定期保険の保険料をち（κ）とするとち（・・）一へ司・α・…㌦司令千60・α・…札云÷60＝

29，786＿26，848

47，530五，200，905＿648，644

十〇〇01・

47，530＝O．0734328・・

ゆえに、W＞4（13）となるからτ＝13となり求めるmも13となる。
ここで、求める生存保険金額を∫とすると、、・一へ司一1…佃、1・・・…㌣60−1・…㌣60■41

生十〇．001M・・一M・・＋O．O01・あ

471司

47：司

D

D47

47

29，786＿26．848

0．309584
47．53036．43147．530＋O．001・

1，200，905＿648．644

0．O01

47，530＝O．303495…
1，200ブ905＿648，644
47，530

よって、小数第5位を四捨五入し小数第4位まで求めてO．3035となる。

解答：m：13、∫＝0．3035

一46一

問題3．

①

R−R−mM五

五十〃

②

M−wx

兀十η

③

〃M−R＋R工

工十1

④

M−Mx

x＋〃

x＋〃

（1）

工十〃十1

（2）

（3）

0．08802
R−R一〃M＋cM17；洲舳

（4）

（5）

j引

D

用

x＋c

w−Mx＋f

兀十

x＋」巧・
Dx＋f

6

（1）x歳の被保険者が、第1保険年度に死亡する場合は保険金1を、第2保険年度に死亡する場合は保険金2を、以下同様に死亡に対する保険金（期末払）が毎年1ずつ増加する
逓増定期保険の年払純保険料を4とする。その月を計算基数を用いて表わすと
月＝

R−R
工

工

M

一〃〃

舳

一〃
■十

舳

工

兀十

一

解答：①沢一沢
工十 ．

一mM、②M−M
工工十（2）x歳の被保険者が、第1保険年度に死亡する場合は保険金mを、第2保険年度に死亡する場合は保険金m＿1を、以下同様に死亡に対する保険金（期末払）が毎年1ずつ減少

し・第n年度で1となる逓減定期保険の年払純保険料をちとす乱そのちを計算基数を用いて表わすと〃M工一（R工、1−R工、掘、五）

ち＝
エ

M−M
エ十π
解答：③〃五一R工、、十R尤、、、、・④M五一M工、

一47一

（3）nM工一R北、1＋Rよ、蜆、1二53，932・M五一M工、、＝1，081，891・〃工一〃工、、，5，737，

R−R〃＝25より、月＝
五

工

■十π

26（M五一M工、

−nルf

舳

M・一M

M

舳＝

−26・M

工

舳

工

）一（25M工一R、、1＋R工、

＋R

エ・1

＿R

M−M
』＝十〃

舳。1

、、）26・5，737−53，932

M五一W、、

1，08L891

昌O．0880218．．．

よって、小数第6位を四捨五入しノ』・数第5位まで求めて0．08802となる。

なお、月十ろ≡（〃十1）・片工11の関係から解答を求めることも可能である。

解答：O．08802（4）求める責任準備金をκ、1とすると
R

−R

・㌦一川

一〃ルf

・トエM

舳D舳

ハr

工十」月

五十

工十

（5）与えられた前提から巧・㌦バO・045037

−jV

五十着舳

0．01447となり、．・・㌦何一〇・045419…・・伽一0・041808…と・

経過6年時点で責任準備金が最大となる。

解答：6

間題4．

①

危険

②

貯蓄

③

λ川：司

④

㌦、司

⑤

㌦司

⑥

㌔司

⑦

ノエ・1−11高司

⑧

㌦4司

⑨

㌦、蠣司

⑪

9川一1

①

ρ川一1

⑫

ρ工

⑬

孔

一48一

問題5．
（1）まず、契約加入時の給付現価を求める。
（a）の給付現価はλ であり、（b）の給付現価は、次のとおりとなる。
エツ2ん一∫。〜・μμ…ゐ一∫。・sル（C舳）必工
一へ・、五十1、十、。∫こ1∫ル（・・舳…ツ杣…舳）ゐ

一

工

c
蜆
工μ・、工、、。、、・∫。γsル（μ…十μ…十μ・ぺ3ノ）ゐ

工

＿
C
一
一ノ・αエツ、・工、、（4、。一3ノ

C
＝

c工

＋C

＋C

ノ

十

＿

民ア。）

一2c五十。ツ十。zC干十Cγ十Czψ

＿ノ・α

C工十Cγ十Czη2

従って、両辺を7 で除して、次の1次式を得る。
エツz
①
P（b）＝

②

c■

×P（o）十C五十Cフ十C2

一2c工斗。ツ十。zλ

C工十Cγ十Cz（2）（ア）②＝0のときには、その分子が0であることから、2c㌧cy＋czとなる。
a

ここで、∠，B，Cを用いて、ρXを表すと、μX＝一一10gZX，ノ十3CXより、
泌

3CX＋1Ogκ （1ogたは積分定数）であるから、1097X＝＿ノX

10gC
一∠x一一 ∬

zx＝加

b帥

Z

と表すことができ、一ノ（x＋f）．一〇月

加

10gC

、ρ、・ムーらκ、一M一扇〃一ノ1一一れ㌧・）

月、斗1W

眉一舳一一（｛♂V−1）
従って、，ρ、、＝，ρ、・、ρ、＝e 10躯

と鰍

一2ルーが（・
＝e b映

一1）
＝（

よ）2＝。p〃となる。

即ち・f年後の（y）と（z）の共存確率、ρツ、は・2人の同一年齢者（（x）と（x））のf年後の共存確率、ρユエに等しくなる（つまり、γとzの均等年齢はκとなる）ことが示される。

一49一

（イ）証明すべき関係式の左右両辺を生存確率を用いて表すと、次のとおりとなる。

㌃一∫。ソ㌧㌃a・一∫。〜〃〃。1ρ。ン1ん一fρツ〃エツψ

7務一 轣B〜新加∫。ソf（31ρ北一31ん帆〃・
ここで、（ア）で示された結果を用いつつ、辺々を引き算すると、㌃一π霊一∫。〜〃・1ρジ・ρ一一2〃2。ρ一）〃一∫。γ「（1一・ρ工）（1ρ〃・一21ρ工）〃一∫。〆（・・ρ北）（。ρツ㍉ρ。一・π）〃

一∫。γf（・一。ρ兀）（π一π）2〃となり、互＿≧π＿
工γ王≧0が示される。（等号はκ＝y昌zのときにのみ成立）

工ユエ

一50一