平成19年12月25日
数学・・…

1

数学（問題）〔問題1から問題3を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いよ。〕

問題1．次の各問の空欄に入る解答を、それぞれの選択肢の中から一つ選んで解答用紙の所定の欄にマークを記入せよ。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
（60点）（1）ある製品を生産する機械が3台あり、それをX，γ，Zとする。X，γ，Zの各機
械から生産される製品のうちそれぞれ5％，4％，2％の割合で不良品が含まれることが経験的に知られており、また、製品が不良品であるとき、それがX，γ，Zの各機
5 3 5
械から生産されたものである確率はそれぞれ＿，＿，＿であるとする。このとき、Z
16 8 16は全体の［二］％を生産する。

レ）15

（3）20

（C）

25

（D）30

（五）35

（F）40

（G）

45

（H）50

x
（2）確率変数X，γが互いに独立に標準正規分布M（O，1）に従うとき、確率変数σ＝＿のγ
確率密度関数は、

【
ア（〃）昌

■

である。

（ノ）1

（3）2

（C）1。。一1（D）1。。・

（亙）『

（F）后

（G）π（1・・｝）（H）π（1・・2）（∫）π正（∫）π汀

一1一平成19年12月25日
数学・・…

2

（3）離散的確率変数X，γの確率分布をそれぞれ、

1（・）一（1ヅ（・一州・・（・）一・・（1プ（ψ・l1帆
このとき、xの積率母関数Mx（θ），γの積率母関数Mγ（θ）はそれぞれ、］Mx（θ）＿、（eく2），

2、θ、Mγ（θ）＝

「11

、

3−e

（e＜3）

である。

また、X，γが互いに独立であるとき、X＋γの原点のまわりの2次の積率は、万（（・・γ）2）一■］孤

（ノ）÷

（B）

e

θ

（C）

牢θ

（D）

eθ＿2

牛

（五）2

25
（∫）一
4

（〃）竺
4

（F）

11

（H）

（G）

丁

エ

2

（J）

2＿eθ

（K）

12

（M）

15

（0）

2＿e2θ

（工）

（P）

e

2θ

18

（4）確率変数XI，X2，＿が互いに独立にそれぞれ標準正規分布M（0，1）に従うとき、中心極限定理よ／・が十分大きければぺ・・・・…べが・・占以下1な1確率11
最も近いものは□である。

（ノ）O．1587（3）0．3085（C）

O．4013（D）0．4207（万）O．5793（F）0．5987（G）

0．6915（H）O．8413

山2一平成19年12月25日
数学・・…

3

（5）長さαの線分〃上に任意の2点X，γをとる。線分Xγの長さかだ以下である確
111−llll／、l111コlll．！／！、！ll，l1舳111
3に選ばれるのも同様に確からしいように独立に選ばれるものとする。

（ノ）ξ

（・）着

（・）舌

（・）｝

（五）』叫（・）」斗（・）』斗（・）泌む賦（6）2種類の品物X，γが入っている箱がある。

X，γを合わせた品物の個数は100個で、（R）Xの個数75個、γの個数25個（S）Xの個数25個、γの個数75個のいずれかであることは間違いないが、どちらが正しいかは不明である。
「帰無仮説〃。：（S）が正しい」．を、非復元抽出によって無作為に8個の品物を取り出して検定することにした。

取り出した8個の品物のうち、Xが3個以上入っていた場合はHoを棄却することとす
ると、第1種の誤りのおこる確率に最も近いものは［亜コである。また、第2種の誤りのおこる確率に最も近いものは［蔓］である。

（ノ）0．00423（3）0．00708（C）0．01582（D）O．05513（Z）O．09005（F）O．14490（G）0．18010（∬）0．25771（∫）O．32146（∫）O．37998（7）箱の中に、1，2，3，…，11なる番号のついた札が1枚ずつ、合計11枚入っている。この箱から非復元抽出によって無作為に3枚の札を取り出したときに得られる番号の和の分散は［＝］である。

（ノ）三

（・）型

3

3

（五）20

（F）24

（C）

8

80
（G）一
3

一3一

（D）10

（H）30

平成19年12月25日
数学・・…

4

（8）一様分布σ（O，わ）からの大きさ〃の標本について、パラメータわの最尤推定量をγとする。このとき、αγがわの不偏推定量となるような定数αは□である。

（ノ）1

（3）2

（亙）卜1

（・）

（C）・

十1

（・）2

η

（9）3種類のデータx1三，x2

（D）2・

■1

（H）

2〃十1

η

，y三について、5個の観測値（x11，x21，ハ）、（x12，x22，γ2）、（X13，X23，γ3）、（X14，X24，y4）、（X15，γ25，y5）が与えられている。

ここで、

5

5

5

5

恥一7・

Σ・l1−5・Σ・ゴ5・Σ・1−30・
5

5

恥一7・Σ・アー206

5

・抑ゴ5・

5

Σ舳一34・

5

Σ舳一36
であった。

最小二乗法を用いてy！α十β1Xi＋β2×2で線形回帰した場合、
α、β、、β、の推定値はそれぞれ

（ノ）1

［Φ］

（3）2

（亙）5

@

（∫）

一3

（戸）6
（J）一4

、

［亘］

、

［璽］である。

（C）3

（D）

4

（G）一1

（H）

一2

（K）一5

一4一

（工）・一6

平成19年12月25日
数学・・…

5

（10）次は時系列解析に関する記述である。（①、②については、イ、口の命題が正しくなるような語句を、③については、数値をそれぞれ選択するものとする。）
イ・ρ次の自己回帰モデルノ沢（ρ）の特性方程式φ（x）＝1一（伽十ψ、x2＋…十ψ、〆）＝0の解の絶対値がすべて1［Φ］とき、ノ沢（ρ）は定常性を持つ。
口・g次の移動平均モデルMZ（g）の特性方程式θ（x）一一（θ、x＋θ、x2＋…十θ、x9）＝0の解の絶対値がすべて1［亘］とき、M∠（g）は反転可能である。
ハ・識別可能であるMλ（1）モデルX＝θo＋ε、一θ、ε、．、の分散γoおよび自己共分散γ1が26
それぞれγ。＝一・γ、＝1として与えられるとき・θ、；［更］であ乱
5
（λ）

より大きい

（3）

より小さい

（C）

（亙）

に等しい

（F）

＿1

（G）1

（H）O

（∫）一王

（K）王

（工）・

（∫）一・

（D）

以下である

5

5

（11）

以上である

壷Rには赤球が1個、青球が2個入っており、壷Sには赤球が2個、青球が1個入っている。ここで、それぞれの壷から球を無作為に1個取り出し交換する試行を繰
り返すことを考える。

n回の試行の直後の壷Rの赤球の個数を表す確率変数をXとする。
〃

このとき、王聖咋・）｛］、腔・（4一・）一一
である。

（ノ）

1一
20

（・）ユ
18

（万）⊥

（・）王

18

（G）土

（・）王

9

4

（H）土

（∫）

9

20

一5一

（五）王
3

王
2

（J）

三
9

平成19年12月25日
数学・・…

6

（12）確率密度関数g（x）および定数。を用いて、確率密度関数が∫（兀）である分布の確率変数を棄却法で生成したい。∫（x）および8（x）をそれぞれ、

ア（・）一6（4・一7γ2・2・3）

8（x）；1（0…

！）（0・xく！）とする。

∫（X）に従う確率変数を求めるための繰り返し回数を最小にするような定数Cは［］である。

（ノ）3

（B）

28

（C）

（F）

32

（D）

（G）

11
3

9

一6一

10
3

9

9

31
／五）一
9

29

（H）

34
9

平成！9年！2月25日
数学・・…

7

間題2．同種の機械がη機あり、各機械の稼働期問は互いに独立かつ同一の確率密度関数
グ（C）＝oゼf（C＞O，αは正の定数）に従うものとす乱（1）ではα＝002・（2）ではα＝1とするとき、以下の各問の空欄に入る解答をそれぞれの選択肢の中から一つ選んで解答用紙の所定の欄にマークを記入せよ。

なお、稼働期間とは、機械を新品の状態から稼働させたとき、稼働を開始してから完全に稼働を停止するまでの期問をいい、各機械は、稼働期間中は停止することなく稼働し続けるものとする。
（20点）（1）この機械を新品の状態から1機だけ稼働させる場合を考える。稼働期間の単位を月数とした場合、この機械の生産者は、機械の保証期問を□互］月月とすれば、この機械が保証期間を超えて稼働する確率を80％とすることができる。

また、保証期間を［Φ］ヵ月とした場合、この機械が保証期間を超えて稼働したことを条件として、稼働開始から保証期間の2倍の期間を超えて稼働する確率は［更］％である。なお、e−oI22；0．8とする。

〔①、②の選択肢〕

（ノ）7

（3）10

（C）11

（D）18

（亙）22

（F）40

（G）55

（H）68

（∫）73

（∫）80

（2）この機械をすべて新品の状態からn機同時に稼働させる場合を考える。〃機のうち、最初にある機械が完全に稼働を停止するまでの期問を確率変数x、すべての機械が完〃全に稼働を停止するまでの期間を確率変数Kで表すとき、x の確率密度関数8（f）およびKの確率密度関数ゐ（τ）はそれぞれ

8（f）一［璽］（1・0）
ゐ（1）一［璽］（1・0）と表すことができる。

次に、x、γの平均値について考える。
π〃xの平均値については確率密度関数から直接計算することができ、
〃

五（x

）一［更］

となる。

一7一

平成19年12月25日
数学…

．・・8

一方、4については次のように考える。
今、〃機のうち、最初にある機械が完全に稼働を停止するまでの期間をZl、そこから2番目の機械が完全に稼働を停止するまでの期間をZ。、一般にト1番目の機械が完全に稼働を停止してからf番目の機械が完全に稼働を停止するまでの期間をZとすると、γはすべての機械が完全に稼働を停止するまでの期間であることから、
η；Z・十Z・・

十4一

掘ｰZj

と表すことができる。

ここで、この機械が稼働開始から一定期間gを超えて稼働する確率と、稼働開始から一定期間8を超えて稼働したことを条件として、稼働開始から期間2gを超えて稼働する確率との関係に着目し、この関係を一躍化して考えれば、Z三の分布を求めることができる。

したがって、γの平均値は、これを利用すると、
掘町）一［璽］となることがわかる。

〔③〜⑥の選択肢〕

1

〃

（ノ）

Σ素

（B）

一〃

（C）T

（D）・・一f（1一・つ月

（0）

（H）

〃e］f（1一七

（Z）

〃e一

（P）

e−f（1−e一

η凹

（五）

Σ 2

（F）

・2
一

（∫）

計

1

枕ゼ〃

）

．1

（1−e■

）

〃

（J）

1

Σ戸

（K）三
η

（M）

ne

一〃

（M）

2

1

（0）。。一・

η

一8一

）

一1

平成19年12月25日
数学・・…

9

問題3．不良率が力（Oくρく1）である母集甲から大きさ〃の標本を取り出したところ、κ個の不良品が入っていたという。このとき、不良率ρを信頼係数1＿εで区間推定する方法について、以下の各問の空欄に入る解答をそれぞれの選択肢の中から一つ選んで解答用紙の所定の欄にマークを記入せよ。

なお、不良率とは、良品および不良品よりなる無限母集団からの標本が不良晶である確率のことをいう。

（20点）（1）〃が大きいときの不良率ρ（0くρく1）を区間推定する方法

た

不良率ρの推定量♪をヵ＝＿とする。κ≧5のとき、戸は近似的に、正規分布nM（匝］，回）に従ってい乱ゆえに、統計量σ；は標準正規分布M（0，1）に従って分布する。
ここで、標準正規分布の上側ε点を〃（ε）とすると、
P（一〃（ε／2）くσく〃（ε／2））31一εであるから、このPの括弧内の式について、ρを用いて書き直すと

回1（l／・）・回＜ρ〈回・・（l／・）・回を得る。

次に、この不等式の両側に出てくるρをその推定値2でおきかえることにより、信頼係数1一εのρの信頼区間として、

匡］一・（1／・）・回＜ρ＜団・・（1／・）・回を得る。

〔①〜⑥の選択肢〕

（ノ）ρ

（B）戸

（C）

プρ

（亙）ρ（1一ρ）（F）ρ（1＋ρ）（0）戸（1■戸）（D）戸・ρ
（〃）戸（1＋戸）（1）戸（1）浮（・）π（1）洋一9一

平成19年12月25日
数学・・」・・10（2）〃が小さいときの不良率ρ（Oくρく1）を区間推定する方法

j番目の標本が不良品のときに1、良品のときに0となる確率変数をXとおくとすると、不良率ρの最尤推定量φは、た回一生である。
〃
ところで、〃個の標本中の不良品の個数を表す確率変数Xl＋X2＋．

十X堀は二項分布に従うことが知られているから、・（月一二）・・（匝］一・）・・（匝］・・一肌）・／二）ρ㎜（・一ρ）州となる。したがって、信頼係数1＿εのρの信頼区間を求めるには、V・（・一パーε／l…（・）・（用）一・（1・舳）・ﾉ、／l）・（・一1）㌧／・…（1）

戦（1））一・（1・・W・となるん1（ρ），ん2（ρ）を求めなければならない。

自由度（m，n）のF分布に従う確率変数をF㌘とおくと、二項分布とF分布との関係から、喜／τ）グ（・一ρ）H一・（ぺ｛・ここで・〃崇、））…（・）＝2（た十1），m二＝2（〃一た）であ乱

また、、喜／τ）グ（・ず一・（ぺ｛・、窄、））であるので、〃｛に2（た十1）、m二に2（〃＿た）を代入し、た十1をκとおき直すと、

川グ（・一1）同一・（㍗く、澤、））一・（・／㍗・㍗）

ここで・・、一回・・、一回である。
〔⑦〜⑨の選択肢〕
（ノ）た

（3）2た

（C）

（五）2（η一κ）（F）2（・一た・1）（0）一10一

2（た・1）
上

Σx1

（D）2肋
1

（H）万Σx1

平成19年12月25日
数学・・…

11

F㌶2が自由度（n、，n、）のF分布に従うとき、1ノ孔㌘は、自由度（〃1，〃2）のF分布に従うから、

P（1／F・。（1ツ）
・。（1一ρ）㌘≧）＝P（FZ ≧
）
η1ρ

n1ρ

よって、

婁（τ）〆（・一ρ）…一・（㍗・㍗二ρ））…（・）

自由度（m，〃）のF分布の上側ε点をF㌘（ε）とすると（・）・（・）から・（1），（・）から、

青、）・回一・（1・舳）一1／・

・（1一ρ）一団⇔・（1・舳、（ρ））一1／・
1ρ

となる。

以上から、ん1（ρ）＜戸く乃2（ρ）より、信頼係数1＿εのρの信頼区間として＜ρ＜

回を導くことができる。

〔⑩〜⑮の選択肢〕
（B）

（ノ）

（D）

〃

（C）

（F）

η2（ε／2）：2（ε／2）

（∫）

柵；

（ム）

・〃（ε／2）・・1（0）・1㍗（ε／2）・・、

F裏

（0）

F㌶1（ε／2）

（H）

F

（∫）

・。F

（ε／2）・・、

（K）

・、FZ

（〃）

ψ

（ε／2）・・1

（M）

巾

：

三

1

（ε／2）

（五）

2

〃

2

（ε／2）・・。

12（ε／2）

（ε／2）

，
（P）

・。F，12（ε／2）・・。

（ρ）

ψ

12（ε／2）・・1

一11一

（R）

仏12（ε／2）・・1

平成19年12月25日

数学…

（付表）
I．標準正規分布表

12

作・O．25）：O．4013∫、

上側ε点m（ε）から確率εを求める表〃（ε）→ε

宕呈O

‡＝1

＊＝2

ヰ＝3

‡＝4

‡＝5

‡＝6

‡＝7

‡＝8

‡二g

O．O幸

O，50000．4960O．4920014880O．4840O．4801

O．4761

O．4721

0．46810．4641

0．1事

O．4602

O．45620．4522

O．4483

O．4443O．44040．4364

O．4325

O．4286

O．42470．2

0．4207

O．41680．4129

O．4090O．4052

O．4013O，3974

O．3936

O．3897

O．38590．3‡

0．3821

O．3783

O．3745

O．3707

O．3669O．3632

O．35940．3557

O．3520O，3483

O．34460．3409O．3372

O．3336

O．3264

O．32280．3192

O．31560．3121O．3050O．30150．29810．2946

O．2912

O．2877

O．2843

O．2810O．2776

0．4＊
し

■

■

O．5申

■

一1

山

■

…

■

■

O．3300

1

■

■

0．6‡

O．2743

O．27090．2676012643

O，2611

O．2578O．2546

O．2514

O．2483

O．2451

0．7‡

O．2420O．2389O．23580．2327

O．22960．2266

O．2236

O．2206

O，2177

O．21480．8ヰ

O．2119〇一20900．2061

O．20330．2005

O．1977

O．1949

O．1922

O．1894

O．1867

0．9‡

O．1841

O．1814

O．1788O．1762

O．1736

O．171一0．1685011660O．1635

O．1611

110‡

O．1587

O．1562

O．1539O．1515

O．1492

O．1469O，1446

O．1423011401

O．呈379一．1‡

0．1357

O．13350．一314

O．1292

O．1271O．125一O．12300．12100．1190O．11701．2中O．1151

O．1131

O．1112

O．1093

O．1075O．1056

O．10380．1020O．1003

O．0985

1．3＊

O．0968

O，0951

O．0934

O．0918O．0901

O．0885

O，0869O．0853

O．0838O．0823

1．4＊

O．0808

O．07930．0778O．0764

O．0749O．07350．0721

O．0708

O．0694

O．0681

1．5＊

O．0668

O．06550．0643

O．0630O．06180．0606

O，05940．0582

O．057一O．05591．6‡

O．0548

O．0537

O．0526

O．0516

O，0505

O．04950．04850．04750．04650．0455

1．7章

O．0446

O．04360．0427

O．0418O．0409O．0401

O．0392

O．03840．0375

O．0367

1．8‡

O，03590．0351

O．0344

O，0336

O．0329O．0322

O．03140．0307

O．0301

O．0294

1．9＊

O．0287

O．028一O．0274

O．0268O．0262

O．0256

O．0250O．0244

O．02392．O‡

0．0228O．02220．0217

O．0212

O．0207O．0202

O．0197

O．0192

O．0188O．0183

2．1ヰ

O．0179

O．0174

O．0170O，0166

O．01620101580．0154

O．01500．0146

O．01432．2‡

O．0139

O．0136

O．01320．0129

O．0125

O．0122

O．O1190．0116

0．O113

O．O1102．3‡

O．0107O．0−04010102

O．0099O．0096

O．00940．00910．0089O．0087

O．0084

2．4‡

O，0082

O．0080O．0078O．0075

O，0073

O．00710．0069O．0068O．0066

2．5‡

O．0062出
O．0060010059O．00570100550．0054O．00510．0049O．00482，6‡O．0047

O．0045

O．00440．0043

O．0041

O．0040O．0039O．0038O．0037

O．00362．7‡

0．0035010034

O．00330．0032

O．0031

O．00300．0029O．0028O，0027

O．00262．8‡

O．0026

O．0025

O，0024

O．0023

O．0023

O．0022

O．0021

O．00210．00200．00192．9中O．0019O．OO18O．0018O．OO17O．0016O．0016

O．OO15

O．OO15O．0014

O．OO141『013085I

一

」

…

o

』

一

』

L

u

止

■

■

『

I

…

■

■

L

川

一

一

一

』

0

■

■

…

〇

止

■

■

0

1

一

」

一

一12一

皿

皿

I

O．0052■IoO，0233I

O．0064⊥皿川…

平成19年12月25日
数学…

13

P（・・1．9600）一〇．025

確率εから上側ε点m（ε）を求める表
‡＝O

‡＝1

まヨ2

‡宣3

ヰ＝4

‡三5

‡＝6

‡：7

‡＝8

‡三g

O，00‡

oo

3．09022．87822．74782．65212．57582．51212．45732．40892．3656O．O1申2．32632．29042．25712．22622．19732．17012．14442．12012．09692．07491．9954

1．97741．96001，943I

1．92681．9110一．89571．7624ε→ω（ε）

O．02‡

2．05372．0335

2．O14I

0．03ホ

1．88081．86631．8522

1．83841．82501．8119l．7991

1．78661．7744O．04‡

1．75071．7392

1．7279王．7］691167471．66461．6546

O．05‡

一．64491．6352

1．6258

一．6164

一、58931．5805

一．57181．56320．06‡

1．55481．5464

1．5382115301111縦1．68491．5063

1．4985一．49091．4833O．07‡

1．47581．4684

1．46111．45381．43251．4255

1．4187

1．4H8

O．08‡

一．4051

1．3984

1．39171．3852

1．37871．37221．36581．35951．3532

1．3469O．09‡

1．34081．3346

1．3285L3225

1．3165一．3106113047一．29301．2873

O．一〇‡

1．28161．27591．2702

1．2646

1．2591

一．2536

1．2481

O．11‡

1122651．2212

1．21601．21071．20551．2004

1．1952

O．12‡

1．17501．一7001．16501．1601

一．15521．15031．14550．13‡

1．12641．1217

1．11701．1123

1．10771．1031

1．0985O．14‡

1．08031．07581．0714

1．06691．0625

1．0581

1．05370．15‡

1．03641．0322

1．0279L0237

1．O−941．0152

1．O11O

O．16

0．99450．99040．98630．98220．9782

0．97410．9701

1，298；
12988
12426
1．242111901
1．1901
1，140
11407
10939
1．093110494
1．049110069
1．0061
O．966二09661

1．23721．23191．18501．18001．13591．13111．08931．08481．04501．04071．0027

0，9986

0，962−

0．9581

O．92300．91920．88530．8816

0．84880184520．81340．80990．77900．77560．74540．74210．71280．70950．68080．67760122‡

0．77220．76880．76550．7621017588O．23‡

0．73880．73560．73230．72900．7257

O．7225

O．7192O．24‡

0．70630．70310．6999O．6967

O．69350．6903

O．687109269
O．926101889108890
08524
O．852108169
O．816107824
0．782107488
O．7481
0，716（07160
06840
O．684iO．25ヰ

0．6745

O．67130．6682∩｛1
0．6651ｿ
つ∩
0．6620∩ ｛皿20．6588∩κ｛｛70，6557016526n ｛つ10．64950．64640．26キ

0．64330．64030．63720，634I

0．63110．62800．62500．62190．61890．6158O．27‡

0．61280．60980．6068

O，60380．60080．59780．59480．59180．58880．5858O．28‡

0．58280．57990．57690．57400．57100．56810．56510．56220．55920．5563

O．29‡

0155340．55050．54760．5446

0．54170．53880．53590．53300．5302

0．5273O．30ヰ

0．52440，52−50．51870．51580．51290．51010．50720．50440．50150．4987O．31ヰ

0．49590．49300．4902

0．48740．48450．48−70．47890．47610．47330．47050．17‡

0．95420．95020．94630．9424

O，93850．9346

O．9307O．18‡

0191540．91160．90780．9040O．90020．8965

O．8927O．19‡

0．87790．87420．87050．8669O．8633

O．8596

O，85600120‡

0．84160．83810．8345

O．83100．8274

O．8239O．82040．80300179950．7961

0．7926

O．78920．78580．7554

O．7521O．21‡

0．8064

し

■

■

1

1

■

O．32‡

0．46770．46490，462亘

0．45930．45650．45380．45100．44820．44540．4427O．33‡

0．43990．43720．43440．4316

0．42890．42610．42340．42070．41790．4152

O．34＊

0．4I250．40970140700．40430．4016

0．39890．3961

0．39340．39070．3880O．35‡

0．38530．3826

0．37990．37720，37450．37190．36920．36650，36380．3611O．36＊

0．35850．35580．35310．35050．34780．3451

0．34250．33980．3372

0．33450．37‡

0．33190．32920．3266

0．32390．32130．3186

0．31600．31340．31070．3081O．38

0．30550．30290．30020．2976

0．29500．29240．28980．28710．28450．2819

O．39幸

0．27930．27670．27410．27150．26890．26630．26370．26110．25850．2559O．40‡

0．25330．25080．24820．24560．24300．24040．23780．23530．23270．2301

O．4I‡

0．22750．22500．22240．21980．21730．21470．21210．20960．20700．2045O，42‡0．20190．19930．19680．19420．19170．一8910．18660．18400．18150．1789O．43幸

0．17640．17380．17130．16870．16620．16370．16110．1586

0．15600．1535O．44‡

0．15100．14840．14590．14340．14080．13830．13580．13320．13070．1282O．45‡

0，12570．1231

0．一2060．1181

0．

O，l

105

O．1080O．1055

O．1030O．46‡

0．10040109790．09540．0929O．

0．08530．08280．08030．0778O．47‡

0．07530．07280．07020．0677

O，06520．06270．06020．05770．05520．0527O，48‡

0．05020．04760．0451

0．04260．04010．03760．03510．03260，030−

0．0276O．49‡

0．0251

0．02260102010．01750．01500．O1250．OlOO

0．O075

O．O0500．0025一13一

平成19年12月25日

数学…
■．自粛度ψのX2分布の上側ε点

14

朴）

ψ＼ε

O．995

01990

0．975

0．950

0．900

O．100

0．050

0．025

0．010

0．O05

1

00000

00002

00010

00039

00158≡

2．70553．84155．02396．63497．8794

2

O．OlOO

O．02010．05060．10260．21074．60525．99157．37789．2103

10．5966

3

0．07170．11480．21580．35180．5844

6．25−47．81479．348411．3449

12．83827．77949．4877

11．一433

13．2767−4．8603

4

O．20700．2971

0．48440．71071．0636

50．41170．5543018312

1．14551．61039．236411．0705

12．8325

15．0863

16．7496

60．67570．8721

1．2373

1．63542．2041

IO，6446

12．5916

14．4494

16．811918．5476

7

O．9893

1．23901．68992．16732．83311210170

14．0671

16．012818．4753

20．27778

1．3444

1．64652．17972．73263．489513．3616

15．5073

17．5345

20．090221．95509一．73492．08792．70043．325141168214．6837

16．9190

19．0228

21．6660

■

lO

I

■

旧

］

＾

■

■

■

…

I

…

23．5894
一■

■o

■

一

u

■一

■一一皿

一

⊥

一

2．15592．5582

3．24703．94034．865215．9872

18．3070

20．4832

23．209325．1882

26．7568

2．6032

3．0535

3．8−574．57485．57781712750

19．6751

21．9200

24．7250

3．07383．57064．40385．22606．303818．549321．0261

23．3367

26．2−70

28．2995

13

3．56504，10695，00885．89197．041519．811922．3620

24．7356

27．6882

29．8195

14

4．07474．66045．62876．5706

7．789521．0641

23．6848

26．一189

29．一412一54．60095．22936．26217．26098．546822．3071

24．9958

27．4884

30．5779

23．5418

26．2962

28．8454

l

■

…

■

12

l

■

…

■

■

■

一

31．3193L

32．801316

5．14225．8122

6．9077

7．96−69．312217

5．6972

6．40プ87．56428．671810．0852

24．7690

27．587130．191033．408735．718518

6ミ26487．01498．23079．390510．8649

25．989428．869331．5264

34．8053

37．一565196．84407．63278．906510．1170

11．650927．2036

30．一435

32．8523

36．190938．582320

7．43388．26049．5908O．850812．4426

28．4120

31．4104

34．169637．5−662

39．996821

8．03378．8972

10．2829

一一．59−3

13．239629．6151

32．6706

3514789

38．932241．4011228164279．542510．9823

12．3380

14．0415

30．8133

33．92443617807401289442．795723

9．260410．1957

11．6886

13．0905

14．8480

32．0069

35．1725

38．0756

41．6384

44．181324

9．886210．856412．401213．8484−5．6587

33．1962

36．4150

39．364142．9798

45．5585

25

lO．5197

11．5240

13．1197

14．61−4

16．473434．38−6

37．652540．6465

44，314−46．927926

11．160212．1981

13．8439

15．3792

17．291935．5632

38．8851

41．9232

45．641748．2899271118076

12．8785

14．5734

16．151418．113936．741240．1133

43．194546．962949．644928

12．46131315647

15．3079

1619279

18．9392

37．9159

4一．337144．4608

48．2782

50．9934

I

3I．99993412672■29

13．121114．2565

16．0471

17．7084−9．767739．0875

42．5570

45．722349．587952．335630

13．7867

14．9535

16．7908

I8．4927

20．5992

40．2560

43．7730

46．9792

50．892253．672031

一4．4578

15．6555

17．5387

19．2806

21．4336411421744．9853

48．2319

52．191455．002732

15．1340

16．362218．2908

20．071922．2706

42．584746．1943

49．480453．4858

56，328133

15．8153

1710735

I9．0467

20．8665

23．110243．7452

47．399950．7251一

54．7755

571648434

16．501317．7891

19．8063

21．664323．952344．9032

48．602451．9660

56．060958．963935

17．1918

I8．5089

20．569422．4650

24．7967

46．0588

49，80−8

53．2033

57．342160．274836

17．8867

19．2327

21．3359

23．2686

25．6433

47・2122．5019985

54．4373

58．6192

61・581237

18．5858

19．960222．1056

24．0749261492一48．3634

521192355．6680

59．892562．883338

19．2889201691422．8785

・24．8839

27．3430

49．5126

53．3835

56．8955

61．162164．181439

I9．9959

21．42622316543

25．695428．1958

58．120162．428165．475640

20．7065

22．1643

24．4330

26．509329．050551．805155．758559．341763．690766．766050

27．9907…

29．7067

32．3574

34．7643

37．6886

63．167167．5048

71．420276．一53950．6598
一…

I

54．5722一□皿79．4900

60

35．5345

37．4849

40．481743．1880

46．4589

74．3970

79．081983．2977

88．3794

91．951770

43．2752

45．441748．7576

51．739355．328985．5270

90．531295．0232

100．4252

104．214980

51．171953．5401

57．1532

60．391564．2778

96．5782−O一．8795

106．6286

112．3288

116，321190

59．1963

61．754165．6466

69，1260

73．291110715650

1131−453

118．1359

124．1163

128．2989

IOO

67．3276

70．0649

74．221977．9295

82．3581118．4980

124．3421

129．5612

13518067

140．1695

旧

⊥

川！4一

平成19年12月25日
数学…
㎜二．分母の自由度n、ε＝O．lOO
1
〃＼m
2
8．526

分子の自由度mのF分布の上側ε点：η

15

（ε）

2

3

4

5

6

7

8

9

lO

9，OOO

9，162

9．243

9．293

9．326

9．349

9．367

91381

9．392
5．230

3

5．538

5．462

4

4．545

4．325

5

4．060

3．780

5．391
4，191u

5．343

5．309

5．285

5．266

5．252

5．240

4．l07

4，051

4．OlO

3，979

3．955

3．936

53

3，405

3．368

3．339

3．316

3．297

3．一08

3．055

3，O14

2．983

2．958

2．937

3．619

．

o

L

1

6

3，776

3．463

3．289

3．181

7

3．589

3．257

3．074

2．961

2．883

2．827

2．785

21752

2．725

2，703

8

3．458

3．l13

2．924

2．806

2．726

2．668

2．624

2．589

2．561

2．538

3．O06

2．813

2．693

2．611

2．505

2，469

2．605

■ 2．522

9
lO

一

』

1

■

■

皿

■

」

3．285

Q．924

ε＝O．050
η＼m2
18．5128

2

3

4

5

6

7

19．0000

19．1643

19．2468

19．2964

19．3295

2，728

皿

山

1

」

I

2．440

」

2．416

I

■

2．414

1

0

一

■

一

2．377

2，347

2．323

19．3532

19．371019．3848

19．39598．7855

2．461

1O

3

10．1280

9．5521

9．27669111729．01358．94068．88678．84528．8123

4

7．70866．94436．59146．38826．2561

6．1631

6．0942

6．04105．998856．60795．78615．40955．19225．05034．95034．87594．81834．77255．9644…一一「一一一一一一⊥LL

4．7351

65．98745．14334．75714．53374．38744．28394．2067

4．14684．09904．060075．59144．73744．34684．12033．97153．86603．78703．72573．67673．6365．

8

5．31774．45904．0662

3．83793．68753．58063．50053．4381

3．3881

3．3472

95．11744．25653．8625

3，6331

3．48173．37383．29273．2296

3．17893．1373−O

4．9646

4．10283．70833．47803．3258

3．2−72

3、五3553．07173．02042．9782

2

3

4

5

6

7

8

9

39．0000

39．1655

39．2484

39．2982

39．3315

39．3552

39．3730

39．3869，

39．3980

15．1O1O

玉4．8848

14．7347

14．6244

14．539914．4731

14．4189

9．19739．07418．97968．9047

6．9777

6．8531

6．7572ε＝0．0251
η＼m238．50633

17．4434

16，0441

15．43924

12．2179

1O．64919．97925

1O．0070

8．4336

7．7636

1←慨1

I

■

」

…

o

■

■

u

■

『

6．6192i

4．76114．3572≡4．2951

6．6811

6

8，8131

7．25996．59886．2272

5．98765．81985．69555．59965．52348．07276．54155．88985．52265．28525．11864．99494．89934．823287．57096．05955．41605．05264，8王734．65174．52864．43339

7．20935．0781■製」．

4．48444．3197

4．19704．1020106．93675．7147I
5．45644．82564．468314．2361

4

1

■

一

一

■

I

8．8439…一一一⊥ ¥11一

■

7

』

10

！

5．4613

一1糾｛；ll；I

4．0721

3．94983．8549

5

6

7

8

9

lO
99．3992

ε＝O．OlO
一2

3

2

98．5025

99．0000

99．言662

99．249499．299399．3326

99．3564

99．374299．38813

34．116230．8165

29．4567

28．709928．2371

27．910727．671727．4892

21．197718．0000

16．694415．9770

15．52191512069

股雌；〃＼例

14．9758

14．79895

16．2582

13．2739

12．0600

11．3919

10．9670

1O．6723

1O．4555

lO．2893

1O．1578lO．05106

13．7450

一0．92489．77959．14838．74598．46618．26008．10177．9761

j 7．8741

712．24649．54668．45137．84667．4604

7．1914

6．99286．84006．71886．62018ll．25868．6491

7．59107．0061

6．63186．3707

6．17766．02895．91065．81439lO．56148．02156199196．4221

6．05695．80185．61295．46715．35115．2565

4」

」

L

一

10

1

…

」

一

皿

ユ

一

■

」

■

L

■

i010443ε＝ O．O05
1
〃＼椛

4］

」

7．55946．5523

5．9943

2

3

4

一…

1

■

■

⊥

一

1

■I

■

■

■

一

一

L

■

1

一

』

皿

…

■

■

一

L

■

■

u

0

一

■

」

山

一

5．63635．38585．2001

5．05674．94244．8491

5

6

7

8

9

lO

2

198．50亘3

199．OOOO

199．1664

199．2497

199．2996

199．3330

199．3568

199．3746

199．3885

199．3996

3

55．552049．799347．4672

46．194645．391644．8385

44，434144．1256

43．8824

43．6858

31．3328

26．2843

24．2591

231堕」．224564

21．621721．3520

21．1391

18．3138

16．5298

15．5561114．9396

14．5133

14．2004

13．961013．7716

13．6182
lO．2500

■

一

』

」

』

…

一I

22．7848

6

18．6350

14．5441

12．9166

12．0275

11．4637

11．0730

lO．7859

10．5658

1O．39157

16．2356

1214040

lO．8824

10．0505

9．5221

9．15538．8854

8，67818．5138814．6882

ll．0424

9．59658．80518．30187．95207．6941

7．49597．33866．69336．5411≡

7．4712

913．6136

lO．10678．7171

7．95591012．82659．42708．0807

ラ3428｝7カ一15一20．9667…

』56．88497．1339一■6．5446

一

一

一

一

一■

一

■

■

L

−

I

6．3025■17121066．4172■■■

6．1王598．3803I

5．9676一■一■

5．8467

平成19年12月25日

数学…

1V．自由度ψのC分布の上側ε点
ψ＼ε

Cψ（ε）

O．100

O．050

O．025

3．0777

6．313812．70622

1．88562．92004．30273

1．63772．3534

3．18244

1．53322．13182．77645

1．4759

2．OI502．5706

6

一．43981．94322．446971141491．89462．36468

1．39681．85952．306091．38301．83312．2622

一

1O

1．3722u1．8125I

2．22811．36341179592．201012

1．3562

1．78232．1788131．35021．77092．160414113450一．76132．144815

1．3406L7531

2．131416

1．3368

一．74592．1199言7

1．3334

1．7396

2．1098

1．33U4

17341

21009

1．32771．72912．09301．32531．72472．08601132321．72072．07961．3212

1．7−712．07391．31951．71392．06871．31781．71092．06391．31631．70812．0595

1

l

＾

一16一

16

数学（解答例）

問題1（1）

取り出した1個がX，γ，Zの各機械から生産されたものであるという事象をそれぞれ記号X，γ，Zで表すこととし、この取り出したものが不良品であるという事象を五とすれ
ば、題意よりP（万1X）；O．05，P（五一γ）＝0．04，P（石1Z）＝O．02
である。

ここで、X，γ，Zがそれぞれ全体のκ，ツ，1−x一γの割合を生産するとすれば、Bayesの定理より、

P（x■五）＝

P（x）P（五Ix）

P（X）P（万1X）十P（γ）P（万1γ）十P（Z）P（万1Z）

0，05x
O．05x＋0．04γ十〇．02（1−x−y）

三
16

P（γ1万）一町）P（五一y）

P（X）P（万1X）十P07）P（万1γ）十P（Z）P（万1Z）

O．04y
O．05x＋O．04ツ十0，02（1＿x＿γ）

三8
すなわち、連立方程式｛

13x＿2y＝29x＿26y＝＿6を得る。これを解くと、（x，y）＝（O．2，O．3）となることから、Zは全体の50％を生産する。

よって、解答は

（H）

一17山

（2）

x
〃＝一，γ＝yとおけば、この変換は〃平面（X軸をのぞく）を〃平面に移す1対1の変換であyる。これを、x，yについて解けば、
X＝〃1／

y＝ソ
∂（x，y）となるから、＝1ノ∂（〃，ソ）

また、確率変数X，γが互いに独立に標準正規分布M（0，1）に従うから、X，γの結合確率密度
関数は
1

2
2
一〔ツ

ん（X，y）＝一e2肪xである。ゆえに確率変数σ＝一、γ＝γの結合確率密度関数は、

γ、。，、、、、、、∂（x，y）

〃ψ・り＝〃い・〃

1一、」、一…1コ1・・山コ）＝∂（〃，v）

1レ1じ

加

これにより・9の確率密度関数を求めれば・
。。

1

固

1
一一リ2（1＋阯！）

ア（・）一∫固ん（剛伽一。π∫。。／l・2伽÷パー㌦一÷［。÷∴。、（。1ハを得る。（σはCauchy分布に従うことがわかった。）

よって、解答は①（ノ）、②（H）

一18一

（3）

確率変数xの積率母関数は次のとおり。
〃x（θ）一Σ∫（x）・・舳

上＝1

工一ミ（去）・〆乎）e一（・θく2）
2＿eθ

確率変数X，γが互いに独立であるとき・X＋γの積率母関数Mx＋γ（θ）は・X，γそ

れぞれの積率母関数の積に等しくなる。
ルfx＋γ（θ）＝ルrx（θ）・〃y（θ）
ルflx、γ（θ）＝ルグx（θ）・ルfγ（θ）十ルfx（θ）・ルグγ（θ）

〃，1x＋γ（θ）；ルf11x（θ）・〃γ（θ）十2〃1x（θ）・Mlγ（θ）十Mx（θ）・〃，1γ（θ）

ここで、・x，γの積率母関数を用いると、
2eθ

2e2θ十4eθルflX（θ）＝・〃1，X（θ）＝（2一・θ）2（2一・θ）366θ
M1γ（θ）＝

6e2θ十！8eθ・

ルf，，γ（θ）＝（3一・θ）2（3一・θ）3

3〃。（0）＝1・〃。（O）；2・〃，。（0）＝6・Mγ（0）＝1・M1γ（0）＝一・〃，γ（0）！32
したがって、X＋γの原点のまわりの2次の積率は次のようにして求められる。
五（（X・γ）2）一〃1、、、（0）昌〃11。（0）・〃γ（0）十2M，。（0）・〃，γ（0）十M。（0）・〃11γ（O）

3＝6・1＋2・2・＿十1・3

2＝15
よって、解答は①（万）②（∫）③（M）

一19一

（4）

確率変数X

（ト1，2，…）が標準正規分布M（O，1）に従うことから・

亙（Xア）一吹X、一〇）2）一亙（（X三一亙（X、））2け（X三）一1

。。4

工2

1

一一

亙（外LXπe2伽

一千古1、・ぴ古∴
一3万（Xj2）；3
γ（X7）一石（X戸）イ（X7）2−3−1−2

また、x1，x2，＿が互いに独立であることから、
亙（X，2・X，2・…・X

2）一五（X，2）・E（X，2）・…・E（X2）一・γ（X，2・X，2・…・X，2）一γ（X，2）・γ（X，2）・…・γ（X，2）一2・
2

x

2
＋，r

したがって、中心極限定理よりηが十分大きければ、

1

＋…

2

十，r

石

2 一〃

はM（0，1）に従うため、付表の数値を使用すると、求める確率は次のとおりとなる。

イ・f・・1…

1・1・占）十f＋x㌦十x二一η・去）
一・一・／Xf＋㌣外；1＿0．3085
記0．6915

よって、解答は

（o）

一20一

・1・・）

（5）

線分〃上にノを原点として座標を入れ、それぞれの点の座標をノ（0），3（α），X（γ），γ（γ）とする。このとき、与えられた条件は次の不等式で表される。
トーyl・たこれは〃座標で、傾きが1の2直線で挟まれた下図の斜線の領域である。ここで、線分〃上にX，γの2点を選ぶことは、〃平面上において1点（λ，y）を選ぶことと同じである。
x，γがどこに選ばれるのも同様に確からしいことから、下図の正方形で、斜線部分に点が現れる確率は、この部分と全正方形の面積の比となる。すなわち
α2一（・一た）21

02

3

これからん、』吐か得られるカ、たく。だから尼＝』吐

よって、解答は（五）

ん

ん

o

一21一

x

（6）

第1種の誤り：Hoが真であるにも関わらず、Hoを棄却する誤り
第2種の誤り：Hoが偽であるにも関わらず、∬oを採択する誤り

Hoが真である場合、Xの個数が25個、γの個数が75個である。
従って、第1種の誤りのおこる確率は、・（取り出された・が・個以上1・の個数が・・個，・の個数が・・個）＝1−P（取り出されたXが2個以下1Xの個数が25個，Yの個数が75個）㎜、一m一十一㎜一
＝1一

／1㌘）

（

ざ〕

／1㌘〕

／l）㍑鳥㍊㍑黒・／：）詩烹㍊豊鵜＝！一・／l）品慌㍊鳥差昌1＿0．68193401＝0．31806598．

一匹亟目

よって、最も近いものを選ぶと、①の解答は同様にして、第2種の誤りのおこる確率は、

p映り出されたXが2個以下1Xの個数が75個，Yの個数が25個）．m、にm，m／1㌘）／1ざ）

／1㌘）

一22一

∫

一／：〕篇慕箒11鴛㍑・（1）詩慕箒…黒㍑

・（1）蒜苦詩維詩＝O．00284052

一回匝重］

よって、最も近いものを選ぶと、②の解答は

ノ（7）

母集団πを、箱の中の11枚の札の番号11，2，3，…，11｝からなる有限母集団とする。

このような有限母集団πから非復元抽出によって無作為に抽出したn＝3の標本（x、，x、，x、）について、γ（x、十x、十x、）を求めるのが本問の目的である。

【解法1】

まず、母集団πの母平均および母分散を求めると、
1＋2＋3＋…

母平均μ＝

十11

11

＝6

母分散σ2
一⊥長・一・）・・（・一・）・・…

・（u一・）・／」←・・……

1！

11…2 j一6㌧・Oとなる。

＿

次に、Z＝X1＋X2＋X3，X！
一

一五（x）嘗μ・γ（x）＝

2

3

＋x

3とすると、

M−nσつ
一である。

M−1
（ここで、Mx＋x

1〃

母集団の総数、〃標本数。

M一η
を有限修正係数という。）
M−1

一、
一
一 M一・σ2
ここで、Z＝3Xであることから、γ（Z）＝γ（3X）昌9γ（X）＝9・・一が導かれる。
M−1
ここにM＝11，n＝3、σ2＝10を代入して計算すると、
γ（Z）＝9 11＿310一＝24となる。

11＿1

3

よって、解答は

F

一23一

η

【解法2】1

P（Xドκ）＝一（1≦κ≦M）である。これより、

M

1M
M＋1
亙（X1）下Σト・。

万（ぺ）一分十（M＋昔2M＋1）（M＋1）9M＋1）
がそれぞれ得られる。これを用いて、

2伸一町2）一世（・）1一（M＋1）9W＋1）／Mま1／一（M＋｛讐I1）…①が導かれる。

また、オ≠ブとして、

W）一ﾉ赤・）一・（→一1レーさll

一。（→．。）／（M（｛十1ザ（M＋昔2W＋1）／・料）1・（…）一・（…1）／（W＋1）（・パーM一・）」M＋1）（H）（・M。・）一（M＋1）（3M＋2）12（M−1）12（M−1）12が得られる。これより、

C・ソ（Xj・X∫）一五（X三X∫）一亙（X

＝

M＋1

12

…

）五（X∫）一

（W＋1 潤GM＋2）／（M；1）12②が導かれる。

γ（X、・X、・X、）一γ（X、）・γ（X、）・γ（X、）・2／C・γ（X、，X、）・C・ソ（X、，X、）・C・γ（X、，X1）／

であるが、ここに、①と②を代入して変型することにより、（M＋1）（M−1）M＋！、（M＋1）（M423）．．．③4が導かれる。

一24一

この③にM＝11を代入して計算すると、
17（X1＋X2＋X3）＝

よって、解答は12・8＝24となる。
4F（8）一様分布σ（0，わ）の確率密度関数は、

1∫（・、；わ）一一（O・・、・わ，f−1，2，…，η）

わよって、尤度関数ム（わ）は、

掘

1ψ）Ψ（ψ）下
尤度方程式土1。。・一・は解を持たないので、定義に基づいて工（わ）が最大となるよう鮎∂わを考える。らが小さいほどz（わ）は大きくなるが、わば与えられた標本値x、，x、，…，x

大値以上である。よってmaX（X、，X、，，X、）が最尤推定値となり、最尤推定量

γ一m・・（X、，X、，…，X、）となる。

ア（x）の分布関数をF（x）とすると、

外）一王

（O…わ）

わ
またγの分布関数をG（γ）（O≦y≦わ）とすると、
G（y）一p（γ・y）一P（x1・・y，x、・γ，…，x・y）一｛F（y）／H

よってγの確率密度関数g（γ）（0≦γ≦わ）は、

〃一1

ト1

・（・）一州一・・附一・ル）一・・ i去）1η1掘・亙（αγ）一α五（γ）一αエゾ・（・貞1−1｝lb
一一出1。一一

の最

1，1

一25一

万（αγ）＝わのとき、αγがわの不偏推定量となる。

五（αγ）一α

・わ一わを解くと、α一

十1

η十1

よって

〃

日田のll・一1は1の不偏推定量1な1。

よって、解答は

F（9）

最小二乗法による回帰係数は、誤差の二乗和である下式ρを最小にするものとして推定される。

5

ρ一 ｰ／ツ1一＠・β・・lj・β…1）／2∂ρ ∂g ∂ρ
これは、一≡一＝＝0なる場合であるから、∂α∂β、∂β。

次の連立方程式の解が求める推定値∂・β1・β。とな乱

∂ρ

5

∂ρ

5

∂ρ

5

、、一一2 ｰ／ハー＠・β1W…）／−0

万＝一2Σ・・ミ｛・三一⑫十β1・1j・β…土）／−O

π＝一2Σ・・三｛・j一＠十β・・i55・β…j）／−05

Σlj−5∂・β1Σ・・j・峰・j5Σ舳一∂Σ・l1・β・Σぺ・β・Σ・11・・

5
Σ舳一∂Σ・・j・β・Σ・…j・β・Σぺ与えられた数値を代入すると、＾＾｛
30−5∂十5β、十5β。
＾

＾

＾

＾

34−5∂十7β1＋5β。
36−5∂十5β1＋7β。

一26一これらを解くと、∂＝1、β1＝2、β2国3。

よって解答は①ノ

②3

③

C

（10）
イ．ρ次の自己回帰モデルノ沢（ρ）の特性方程式φ（x）＝1一（伽十φ、x2＋…十φ、xρ）＝0の解の絶対値がすべて1匡画とき・ノ沢（ρ）は定常性を持エ
ロ・g次の移動平均モデルMλ（g）の特性方程式θ（x）＝1一（θ、x＋θ、／十…十θ、〆）昌0の解の絶対値がすべて1匡画とき、Mノ（g）は反転可能である。
ハ．分散γoおよび自己共分散γ1は、
γo＝五（（X一θ。）2）＝五（（ε、一θ、ε、．、）2）＝亙（εア十θfε二1）＝σ2（1＋θ、2）γ1＝五（（X一θO）（巧．1一θO））1＝五（（ε、一θ1ε、、、）（ε、、1一θ、ε、一2））＝五（一θ1ε二1）；σ2（一θ1）と表せることから、θ1は次の連立方程式を解けば求められる。
｛

26
γo＝一＝σ2 i1＋θf）

5γ、；1；σ2 i一θ、）

この連立方程式はθ1の二次方程式であるため、これを解くと

1

1

5

5

（θ、，σ2）＝（一一，5），（一5，一）として2つの解が得られる。
ここで、識別可能性の仮定より、Mノ（1）の特性方程式
θ（x）＝1一θ1x；0の解の絶対値が1以上という条件を用いれば、1／θ1≧1、つまり、

・H1肱
よって、解答は①（ノ）②（ノ）③（∫）

一27山＿1≦θ≦1であり、
1．

（11）

m回目の試行直後の赤球の個数がト1，m＋1回目の試行の直後の赤球の個数がフー1となる確率を％とする時、f行∫列を的とする行列Qは確率推移行列となる。
（mによらない。）（肌≧1，j，ブ＝1，2，3，4）；lll／
題意より、Q＝l｝

ここで、〃回目の試行由後の壷Rの赤球の個数を表す確率変数をXとすると、Xはマル〃コブ連鎖となり、極限分布
1im（P（X掘＝0），一P（X、＝1），P（X＝2），P（X、＝3））〃一÷団が存在する。これをπとすると、πQ＝πとなる。この式を解くと、π＝1im（P（X掘＝O），P（X掘＝1），P（X掘＝2），P（X

＝3））

π→団

＝

20

1
9
9
1
（一，一，一，一）
20

20

20

したがって、1imP（X掘；O）＝
一

■・

oo

よって、解答は」①一（ノ）1imP（X掘＝1）＝
刊■

、②（H）

一28一

oo

〃

（12）

本間の出題意図は、棄却法によってある確率密度関数に従う確率変数xを生成する際の繰り返し回数を最小にする定数Cを求めることであった。
与えた確率密度関数ア（κ）が定義域の一部において負値となり、確率密度関数の要件を満たしておらず、問題の前提として適切でなかった点について深くお詫びするとともに、以下では教科書「モデリング」の該当部分（P4・6〜P4−9）を引用して、出題において意図していた事項を説明する。

【棄却法による解法の手順】

確率密度関数が8である分布の確率変数を生成する手段を持っているとする。一方、確率密度関数が∫である分布の確率琴数を生成した／・とする。この際、工が有界である（すな9わち、適当な定数、に対して皿。、危、、〃ならば次の手順により。を用／・て∫に9（γ）

従う確率変数xを求めることができる。
手順1：確率密度関数がgである確率変数γを生成する。
手順2：（0，1）上の一様分布に従う確率変数σを生成する。

手順3

ア（y）

σ≦

Cg（y）

ならば、X昌γとする。そうでないならば手順1に戻る。

手順3でXの値を確率P｛σ≦

∫（y）

！

・g（y）

・

｝；＿で得ることになるので、上記の繰り返しの回数

1
は定数Cの取り方に依存し、＿を大きくすれば、すなわちCを小さくすれば、繰り返しの回C数は少なくなる。

ゆえに、最小の。を求めればよい。

【教科書P4・7の例題の確率密度関数を前提とした解答】

棄却法を使用し次の確率密度関数アを持つ確率変数xを生成する。
グ（・）一20工（1一・）3，0くγく1

この確率変数は、区間（0，1）上で定義されているので、

8（x）＝1，0くxく1を用いた棄却法を考える。

ア（x）一・・、（・一、）・

8（x）

鳩／一・・い小11

一29一

1一て ﾖの11壬／制一・1な／・1ε；は最大値を1孔1の1 宦E・（1）（1け1な猟1の青が1粁舳1（叩）1
滴たす最小のCである。

135

以上より、求めるCは一となる。
64

一30一

問題2
（1）

①稼働期問を確率変数丁とし、保証期間を8ヵ月とすれば、この機械が保証期間を超えて稼働するためには、稼働期間が保証期間を超えることが必要である。すなわち、P（τ・・）寸ア（f）〃

一五〆

十・吋
！e■血g

＝0．8

したがって、

1ogO．8

9＝

α
一〇．22

O．02
＝！1

よって、解答は（C）求める確率は次の条件付確率となる。
。（γ、。。一τ、。）、咋・2・・τ・・）

P（T・8）
P（r・2g）
一P（τ・9）
e一切
一〇9

e

＝e o8
−O．02買11

目e

−O．22

＝e

昌0．8

よって、解答は

（∫）

一31一

（2）

③各機械の稼働期間を確率変数4，r。，…，ηとする。X堀は最初にある機械が完全に稼働を停止するまでの期間を表す確率変数であることから、
X掘一＝min（巧，r2，…，r）と表すことができる。
ここで、min（4，ら，．．．，4）＞C⇔4＞C，4〉C，＿，㍗＞Cに注意すると、η（た＝1，2，＿，n）

は互いに独立であることから、P（X≦C）11−P（X＞f）

一！−p｛mi・（4，r、，…，τ

）・1／−1一布・1，r、・1，…，4・1）；1−P（4＞C）P（巧＞f）…P（η〉f）；1一仁（㍗＞C）｝；1一（e・γ宮1＿ε一

したがって、xの確率密度関数8（f）は、

8（f）；五（1一。一・）〃＝η・■

よって、解答は

（f・0）

（M）

γはすべての機械が完全に稼働を停止するまでの期間を表す確率変数であることから、

Hγ ＝maX（巧，r。，…，η）と表すことができる。
ここで・maX（η，r2，…，r）≦τ⇔4≦C，τ2≦f，・

は互いに独立であることから、
成・1）一P｛m・・（4，ち，…，4）・・／；P（η≦c，ち≦c，…，η≦τ）

一P（4・1）P（τ、・1）…砲・1）〃
一（介刈
3（1−e−1γ

一32一・・

C㌃≦fに注意すると、η（た＝1，2，…，〃）

したがって、㌃の確率密度関数ゐ（c）は、ん（・）一μ一州
一m一・ ｩ一・寸

よって、解答は

（・・O）

（H）

⑤x、の平均値は、xの確率密度関数g（f）を用いて、次のとおり計算できる。

五（X皿）＝∫C8（C）；∫；〃・

一ト・吋・∫・｝〃

一［十1。
1
〃

よって、解答は一iF）⑥〃機のうち・最初にある機械が完全に稼働を停止するまでの期間をZ1・そこから2番目の機械が完全に稼働を停止するまでの期間をZ2、一般にト1番目の機械が完全に稼働を停止してからj番目の機械が完全に稼働を停止するまでの期間をZとすると、γはす〃べての機械が完全に稼働を停止するまでの期間であることから、〃
4一一Zl・Z・・．．．・4一ΣZ1と表すことができる。

ここで、①および②から、この機械が稼働開始から一定期間8を超えて稼働する確率
P（r＞8）と、稼働開始から一定期間gを超えて稼働したことを条件として、稼働開始から期問28を超えて稼働する確率P（r＞281r＞8）は同一であることが得られている。
この関係を、この機械が稼働開始から」定期間g1を超えて稼働する確率P（η＞81）と、稼働開始から一定期間g2を超えて稼働したことを条件として、稼働開始から期間
g三十g2を超えて稼働する確率P（η＞g1＋82一η＞82）との関係として一般化して考えると、これらの確率も、次のとおり同一であることが示される。

一33一

・（η・・1）一∬（1）〃

寸〆批
一［一・吋
＝e一物

。（η、、、十、、一η、、、）、栴・・・・…η…）
ア（τ正・8、）P（r此・81・9、）■P（丁止・9、）一口（91＋92〕

e

■口8！

e

−ogl

！e

つまり、この機械が将来どれだけ稼働するかは、過去にどれだけ稼働してきたかということには無関係であり、しかもそれは、稼働を開始してから将来どれだけ稼働するかということと同じことを意味していることがわかる。
このことから、Z三は〃＿j＋1機の機械をすべて新品の状態から同時に稼働させた場合に、最初にある機械が完全に稼働を停止するまでの期間と同視することができ、すなわち、各ZはX皿、三、1＝min（4，r2，…，㍗．j，1）と同じ分布に従うことがわかる。

したがって、Kの平均値は、これを利用すると、次のとおり計算できる。

卿一五 i列一1（ポ）日；Σ五（㌃・1）

一Σ

1
．、十1

掘1
一Σ7

よって、解答は

（∫）

一34一

問題3
（1）nが大きいときの不良率ρ（Oくρく1）を区間推定する方法

及不良率ρの推定量戸を戸＝＿とする。ん≧5のとき、戸は近似的に正規分布ηM（ρ，ρ（1■ρ））に従っている。

〃
ゆえに、統計量σ＝ρ一ρ

㍗

は標準正規分布M（O，1）に従って分布する。
ここで、標準正規分布の上側ε点を〃（ε）とすると、
P（一〃（εノ2）くσく〃（ε／2））＝1一εであるから、このPの括弧内の式について、ρを用いて書き直すと

1一・（ε／・1浮・小（ε／・／pを得る。

次に、この不等式の両側に出てくるρをその推定値戸でおきかえることにより、信頼係
数1一εのρの信頼区間として、

1一・（ε／・／浮く小（ε／・1仔を得る。

よって、解答は、①（ノ）、②（五）、③（C）、④（∫）、⑤（万）、⑥（K）一35一

（2）nが小さいときの不良率ρ（0くρく1）を区間推定する方法

f番目の標本が不良品のときに1、良品のときにOとなる確率変数をXjとおくとすると、
1掘た不良率ρの最尤推定量戸は・戸㌃Σxi−7であ孔ところで、n個の標本中の不良品の個数を表す確率変数Xl＋X2＋．．

十X

は二項分

布に従うことが知られているから、・（力一・）一・（÷紅一・）・・（弘一肌）・／二）ρ凧（・一バ）となる。したがって、信頼係数1＿εのρの信頼区間を求めるには、､（1）・（・一1トε／・…⑫）

榊1））一・（岬））・

似（1））一・（1・叱（1））・λ、／l）・（・一1ゾーε／・…（1）となる仏（ρ），ゐ2（ρ）を求めなければならない。

自由度（m，η）のF分布に従う確率変数をF掘刷とおくと、二項分布とF分布との関係から、倉／τ）〆（・一バー・（昨㌍、））…（・）ここで、〃二＝2（κ十1），〃二＝2（〃＿た）である。
また、川・（・一バー・斗）・（・一バ巾く

青f、））であるので・〃｛に2（た十！）・〃二に2（η一κ）を代入すると、

川グ（・ず・・（榊一2（1宗））
ここで、κ十1をκとおき直すと、川・（・ず一・（巧㌦）く2矢讐；ρ）
・P（㍗くm1ρ ）＝P（1／㍗・〃。（1ソ）

ここで、〃1＝2（〃＿た十1），
よって、解答は、

n2；2たである。

⑦（H）、⑧（F）、⑨（3）一36一

η。（1一ρ））n1ρ

F莇；2が自由度（〃、，〃、）のF分布に従うとき、1／F・。（1一ρ）

P（1／F㌘・㌘は、自由度（〃1，〃。）のF分布に従うから、・。（1一ρ））＝P（F、；1・

1ρ

）

1ρ

よって、

婁／1）・（・ソγ→一（㍗・m2号1ρ））…（・）

自由度（m，〃）のF分布の上側ε点をF㌘（ε）とすると（α），（・）から、

n2ρ一剛ε／・）⇔・（た・肋、（ρ））一ε／・・1（1一ρ）（わ）・（3）から・〃。（1一ρ）

イ

二（ε／2）⇔P（κ・・ん。（ρ））一ε／2

η1ρ
となる。

以上から、ゐ1（ρ）く2ぐみ2（ρ）より、信頼係数1＿εのρの信頼区間として

・、
・、FZ

ψ2
くρく

（ε／2）・・。

ψ

（ε／2）
・

；1（ε／2）・・1を導くことができる。
よって、解答は、⑩（万）、⑪（0）、⑫（D）、⑬（K）、⑭（∫）、曲（M一37一）