平成15年12月25目
年金数理………1
年金数理（問題）
この年金数理の問題におけるrTrowb㎡dgeモデルの年金制度」とは、定年退職者のみに対し・定年年齢x、歳時より単位年金額の終身年金を年1回期初に支払う年金制度をいう。
問題1．次の（1）〜（6）については、それぞれ5つの選択肢から設間の答えとして正しいものを選んでその記号を、また（7）〜（12）については、必要に応じて指示に従った端数処理を行った上で設間の解答のみを、それぞれ解答用紙の所定の欄に記入せよ。（42点）（1）x歳の被保険者数が7ユニ4α一方（α≦x≦3α）、o〉Oで表される定常状態に達した企業年金制度があり、o歳の人が脱退するまでの平均加入年数は24年となっている。ある時点以降、この制度の新規加入者数が半分になってしまった。この時点から。年後の被保険者の平均年齢は、定常状態であったときに比べ何歳上昇したか。最も近い年齢の記号を選べ。ただし、新規加入者はα歳に限り、脱退率には変化がないものとする。

（A）3歳（B）4歳（C）5歳（D）6歳（E）7歳（2）予定利靭において、C年度の年金額がサ（1≦C≦m）である期末払n年確定年金現価率が、年金額1の期末払m年確定年金現価率と等しくなる。この場合のmを予定利率ゴとnで表した正しい式の記号を選べ。

・・い／川・・／ト・1・l／／1川（A）m＝1・・／11ゴ／（B）m＝

叶・1・l／｝／・・／ト・1−l／／1川（C）m＝1・・／11，／（D）m＝・・／卜1−l／／王川（E）m＝

1・・／∴／

1・・／11，／

一51一・・／∴／

平成15年12月25目
年金数理…・・…・2（3）年金額を次のように支払う場合、（x）が受け取る年金の現価を表している記号を選べ。
・（x），（γ），（z）が共に生存している間は、3人とも毎年1／3の年金額を期末に受け取る。

・1人が死亡した場合、残りの2人の生存中は両者が毎年1／2の年金額を期末に受け取る。
・（x），（γ），（z）のいずれか1人が生存している場合は、毎年1の年金額を生存している者が期末に受け取る。

@、・・一）一ξい・）へ・土い一）一ξい・）へ・土い一）1去・一（・）へ一（・）へ・

mワ・1一）一芸・一（・）へ一夫い一）・去1一（4）ある年金制度において、ある一定の条件を満たした年金受給者に対しては、A基金より給付を行い、ほかの年金受給者にはB基金より給付を行うものとする。一方、保険料は平準保険料によりA基金に払い込まれ、また、A基金よりB基金に対しては、B基金からの年金給付のための年金現価相当額を保険料として払い込まれるものとする。被保険者および年金受給者がともに定常状態に達した場合のA，B両基金の期初積立金の比（A基金の積立金／B基金の積立金）として正しいものの記号を選べ。なお、A基金に払い込まれる保険料をP，A基金が支払う年金給付を∫■、B基金に払い込まれる保険料をρ、B基金が支払う年金給付を∫とし、両基金の予定利率は等しく、保険料、年金給付ともに期切払いとする。

（。）∫ズp一ρ（。）∫バP■9（。）∫ズP＋ρ（。）∫バP＋ρ（。）∫ズp∫

一9∫■一ρ

∫月一ρ

∫∠一ρ

∫月一9

（5）Trowbridgeモデルの年金制度において、定常状態での加入時積立方式における積立金Fと、単位積立方式における積立金σFとの差として正しいものの記号を選べ。なお、x、：加入年齢、7元（「）：脱退残存表におけるx歳の在職中の被保険者数とする。

㍗∵チ

（・）

巧一1

（C）Σ7工（「）・（・）氷）÷ミ㍗

x一κ。D、、牝工一工，。l

X、一X，D工（・）Σパ…書三炸工！

（・）三パ｛1デ半
元一工r

工一52一rε￥
工平成15年12月25目
年金数酔……・・3（6）A杜がB杜を吸収合併することになった。それぞれの会社の年金制度は以下の関係がある。
・B杜の規模（被保険者の総人数・総給与）は、A杜のα倍（0＜α＜1）である。

・A杜とB杜は、被保険者の年齢構成、被保険者期間構成および年齢別給与構成が互いに等しい。
（即ち、A杜とB杜は、規模が異なるだけで被保険者の構成割合は互いに等しい。）
・A社およびB杜の年金制度に年金受給者（受給待期者を含む）は存在しない。

・合併後はA杜の基礎率を使用し、引き続き加入年齢方式で財政評価することとなるが、A杜の年金制度の給付内容を継続した場合には、B杜の被保険者に係る責任準備金が合併時のB杜の積立金を下回ることとなるため、合併後の年金制度は合併前のA杜の給付水準の一律（一十β）倍（0＜β）に変更する。

この場合に、合併後の年金制度の過去勤務債務として正しいものの記号を選べ。ただし、合併前の両社の積立金と過去勤務債務は、次のとおりとする。

・積立金・………

A杜：巧、B杜：巧・過去勤務債務…A杜：σ■、B杜：σヵ（A）（α一β）・σ一・（α・β）・巧一馬（C）（α・β）・（σノ・巧）一馬（B）（1・㌃β）・σ、・（α一β）・巧一巧（D）（1・α）・（1・β）・σ、・（α・ψ・β）・巧一馬（E）（1・α・β）・σノ・（α・β）・巧一巧（7）ある年度の年金制度の諸数値が以下のとおりであったとき、この年金制度の予定利率は何％か。小数点以下第2位を四捨五入し第1位まで求めよ。

・期初責任準備金

2，400

・期末責任準備金

2，500

・給付（期末払）

500

・保険料（期切払）

400・利差以外の差損

80・実際運用利回り2．5％

・期末積立金11．960（8）過去勤務債務のない定常状態に達した年金制度がある。期初の被保険者に対し給付水準を前期末の一律1．05倍とする給付改善を3年間毎期初に繰り返す。後発過去勤務債務償却のための特別保険料として給付改善直後の未償却過去勤務債務の1O％を直ちに償却する。予定利率を4．O％とする時、3回目の給付改善を行ったときの償却前での未償却過去勤務債務はいくらか。小数点以下第1位を四捨五入し整数で求めよ。
なお、後発過去勤務債務は、給付改善に伴うもの以外には発生せず、また、年金受給者はいないものとし、当初の責任準備金を一，000とする。

一53一

平成15年12月25目
年金数理・・…・…4（9）年1回期切払60歳支給開始終身年金を、年1回期切払60歳支給開始5年確定年金に変更しようとしている。このとき、60歳以下の各脱退時年齢における年金現価額が等しくなるように年金額を設定するものとする。

ただし、60歳までの据置期間中に年金受給権者が死亡した場合には、死亡の翌朝初から遺族に本人と同額の年金を5年間支給することとする。現在50歳の人の変更後の年金額は、変更前の年金額の何倍になるか。
小数点以下第2位を四捨五入し第1位まで求めよ。ただし、予定利率は310％とし、3．O％の基数表及び現価率表は次のとおりとする。

x50
●

●

D

工

M

21963，427
■

●

●

●

●

●

●

●

●

工

C

436453．828
●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

n9388．923

一M75．520

●

工工■

●

●

●

●

・

●

・

●

・■

・

●

●

・

∂一・1

1．00000

2

1．9708754

19199．434

352823．336

94．5969055．882

32．91347

55

185471018

333623，902

99．4228961．286

43．8286154．7−710

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

…

●

●

●

●

・●

・●

●

●

●

●

●

●

●

5916066．285

263214．459

128．6968524．912

60

1547−1．528

247148．174

136．136

8396．216

6114886．762

2316761646

●

●

65

●

一●

●

■

1●

・・12631．847

●

●

●

●

・

●

●

●

●

145．209●

175556．309

●

●

●

●

●

●

●

174．258

8260．080
●

●

●

●

●

●

●

●

●

7630．502（10）年1回期切払60歳支給開始で10万円を給付する終身年金がある。今、60歳時点の年金現価額を変更せずに、年1回期切払60歳支給開始5年保証期間付終身年金に変更したい。さらに、保証期間中の年金額を現行の1．5倍に変更した場合、保証期間経過後の年金額は何万円になるか。万円単位で小数点以下第2位を四捨五入し第1位まで求めよ。なお、予定利率や計算基数等は、（9）と同じものとする。

t11）生存脱退と死亡脱退を脱退事由とする2重脱退残存表を考える。2重脱退残存表における記号を次のように定義する。

7≦「）：残存者数4w）：生存脱退数a≦）：死亡脱退数g三w）：生存脱退率g三㎡）：死亡脱退率

このとき、φw）は常にO・07，g≦ぎ）は0．O07，x≧50に対してa二4）は一定になるという。この2重脱退残存表の最終年齢は何歳か。小数点以下第1位を四捨五入し整数で求めよ。ただし、必要ならば次の数値を用いよ。
1oglo1，1≒0．04139

Ioglo7≒O．84510

1oglo9．3≒O．96848

一54一

1ogIo9．93≒0．99695

平成15年12月25目
年金数理・・……・5（12）定常人口の下における年金制度（当初積立金：3，O00）において、積立の促進を図るため以下の4つの過去勤務債務の償却方法を考えた。利差損以外の差損益は発生しない前提において、4年目が終了した時点での積立金が多い順に所定の解答用紙に4つの方法を番号で記入せよ。
（前提）

・責任準備金：5，000（予定利率：5，O％）、7，000（予定利率：3．O％）・保険料の払込時期：年1回期切払・給付：毎年500（期末払）・積立金の運用利回り：3．O％

方法

予定利率

過去勤務債務の償却方法

①

3．0％

当初未償却過去勤務債務残高をIO年間元利均等償却する

②

3，O％

前年度未未償却過去勤務債務残高の一定割合15％を償却する

③

5．0％

当初未償却過去勤務債務残高を4年間元利均等償却する

④

5．0％

前年度末未償去腿去勤務債務残高の一定割合35％を償却する

なお、方法②、④の初年度は、当初未償却過去勤務債務残高の一定割合を償却するものとし、年1回期
初払年金現価率は、挫。％）＝8．78611、於肋）＝3．72325とする。

101

41

一55一

平成15年12月25日
年金数理…・・・…6

間題2、次の空欄に当てはまる算式を求め、解答用紙の所定欄に記入せよ。（18点）

財政方式に開放基金方式を採用している場合における標準保険料について考察する。
（前提）

・定年年齢：x、歳・保険料の拠出時期：「給与×保険料率」を年1回期初に拠出・給付の内容：r脱退時給与累計×α」の年1回期初払終身年金を、x、歳より支給
・7工a工｛w）ρ工g工｛w〕D工。工（w〕など：脱退残存表に基づく計算基数等（但し、4（・）には、生存脱退後その年度中に死亡する者を含まないものとし、ら（w）一γエ十・∫エエDかエa工（w〕とする。）

一など：生命表に基づく計算基数、年金現価率等

・わ：x歳の給与■

期初π歳の被保険者の給付現価∫工を、以下のとおり将来および過去の加入期間に分ける。

工〜工∫■

1x歳〜x歳までの過去の加入期間に対応する部分

工〜工、1∫工：x歳〜（π十1）歳までの将来加入期間に対応する部分
工、ト牛∫工：（肘1）歳〜π、歳までの将来加入期間に対応する部分とすると、?jへ［！（一㌦一バー、．

工一工、I∫工＝α・わ工・δ㌧

D工となる。ここで、∫工、，．十工一。・1∫。

一一一

冝jへ［
一56一

平成15年12月25目
年金数理………7m）へ．｝。仏［；）一、．

一一・（?j・㌦・□芸土・仏・㌦となる。これは、仮定として、工〜、、1∫工に相当する額を保険料として払い込めば、この1年間に脱退した場合に必要になる給付現価および（x＋1）歳時における過去勤務期間分の給付現価を賄うことができるということを示している。さらに、集団が定常状態に達していると仮定すれば、必要な保険料は毎年一定で、保険料・一O□・＾と表せる。これは、脱退時における年金受給権のうち、この1年間の加入期間に対応する分の現価相当額を積み立てていることになり、単位積立方式の考え方となっている。

一57一

平成15年12月25日
年金数理………8間題3．Trowbddgeモデルの年金制度において、開放基金方式の1人あたり保険料について考察を行う。
（20点）（1）空欄に当てはまる算式を求め、解答用紙の所定欄に記入せよ。

・単位積立方式におけるx歳の1人の被保険者が1年間に払い込む保険料をσ尺とすると、σ具一ｼ忙］払㌦仏と表される。ここで、x。：新規加入年齢とする。

．、歳の1人の被保険者の将来期間に対応する保険料を年x・一x・峠∂外／（w工一M斗）と定義帆x。一x。
このとき、■具は、σ4を用いて次のように表される。

天一^婁［1］／／／糾…仙式・開放基金方式における1人あたりの保険料0㎜Pは、次のように表される。

舳・一^婁（以／以・回以／以／

仏一小・い酊〜一山㌧／…・・（π）式
・（π）式の分子は、■4を用いて以下のように書ける。

（1）lll−P二／叶肘／叶・（1）1（・）（1）一（1）式お／び（1）式11・一・一^婁刈／／刻！／1こ！1示也（・）・㎜・・σ乏となる最小の年齢を・、（・。・・、・・、一1）、o㎜・・伽なる最小の年齢を小。・・。・

・、一1）とする。このとき、・、、・、を使用した・の範囲に応じて0卵・父・σ尺の大小関係がどのように変化するか示せ。
（注）実際の試験問題には一部に誤植があったため、訂正して掲載している。
なお、採点にあたっては該当部分（（1）④）について受験者全員に配点した。

一58一

平成15年12月25目
年金数理一・……9間題4．定常状態にある企業の年金制度を考える。（20点）《制度内容》
・加入時期

年1回期初加入。

・給付内容「脱退時給与×加入から脱退時までの加入期間」で算定される金額にN利率ノで年金支給開始年齢まで複利で付利した額を原資として、利率〆ﾉ基づく年1回期切払m年確定年金を支給する。
・昇給時期

年1回期初昇給。

・脱退時期

年1回期末脱退。なお、死亡は発生しないものとする。

・拠出時期

年1回期初拠出。（昇給後給与×保険料率）

・財政方式

加入年齢方式（加入年齢x、歳）解答は以下の記号を用いた計算基数、年金現価率等を用いて表現すること。

・γ

＝加入年齢

・π

：定年年齢（年金支給開始年齢）

・ゴ：予定利率（解答では、1÷（1＋ゴ）ニッとして表現すること）

2
F

・わ工

1給与指数（定年時の給与指数は㌧＝㌧．1とする）

・z：x歳の被保険者数・3：x歳の1人当り給与工

工・δ万一：利靭の期切払n年確定年金現価率δ

同1利率〆の期切払〃年確定年金現価率

なお、この問題においては、死亡は一切考慮しないこととし、計算基数（D工、c工等）は、生存脱退のみを考えた場合の期初拠出、期末脱退に対応したものと考えること。

（1）上記の制度内容に基づくx歳の被保険者1人当たりの給付現価（∫工）と給与現価（G工）を求めた上で、標準保険料率具及び制度全体の責任準備金額7を求めよ。

（2）上記の制度内容のうち、給付内容だけが次のように異なる場合について、（1）と同様にx歳の被保険者1人当たりの給付現価（∫工）と給与現価（G工）を求めた上で、標準保険料率与及び制度全体の責任準備金類ゾを求めよ。

・給付内容

脱退時までの毎期初の給与のγ倍（γ＞0：定数）を年利率κで年金支給開（変更後）

始年齢まで複利で付利した額の合計額を原資として、年金支給開始年齢より利率プに基づく年1回期切払n年確定年金を支給する。

（3）κをノと同じ傘とした上で、（1）の給付内容と（2）の給付内容での標準保険料率及び責任準備金額が同額となるためには、ろ工，γ，ノはどのような条件を満たせばよいか求めよ。

一59一

年金数理 （解答例）
問題1．

番号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

記号

（A）

（B）

（E）

（C）

（B）

（D）

問題1．（1）〜（6）の解答選択肢は上のとおりであるが、各問の解説は以下のとおり。

（1）現時点の平均年齢は一rl，yφ11
x＝＝一〇

障、φ6

一方、α年後の平均年齢はア、ル炉∬榊、肋抑φ・伽＿＿111
よって、XLX＝2o一一α＝一〇歳上昇したことになる。

66

1歳加入者の平均加入年数が・・年なので平均加入年数一R砂÷o．α＝18したがって、3歳」二昇した。…正解（A）（・）仏■一〇・ψk■÷州1ヂnチ・・0
1一γ㎜

○而■二．

②

一①一②〃・が一^1廿一ゾ）・1一←・1＋1（・）（1）の受け取1分の現何一v・耶・土い司、）・佃

一み十・1一）・去1一…正解（・）・．o加＝απ一αψ

α伽＝α収一αψ（4）定常状態にあることより、A基金の積立金（巧）については、P＋屯二∫∠十9−60一α殊＝αダαη一〇π十〇桝

B基金の積立金（凡）については、9＋的＝∫〃

これよ1仏キ…麦ρ！槻…正解（・）
エゲ1Dδ

与一1

σ・・ポ・ ﾕタ）・ξ青（5）年＝∫戸十Σ2二『）・与D工

工＝■。十1

D与もD、…一1・・Σl！1）㌃■x．Dム・・正解（。）
榊。l

X、一X．

D、（6）A杜の責任準備金をη、B杜の責任準備金を㌦とする。A杜の過去勤務債務σ■は、給付水準が一律（1＋β）倍されているので、責任準備金も同様に大きくなるので
σ一＝η・（1＋β）一巧一（σパ孔）・（1＋β）一巧

一方、B杜の過去勤務債務σ月は、A杜と同様だが、A杜の規模のα倍も使ってσ、一㌦・（1・β）一4一り・α・（1・β）一4一（σ一・巧）・α・（1・β）弍

よって、σ■十σBを行って整理すると、

σ■十σ＝（I＋α）・（1＋β）・σ■十（α十ψ十β）・巧一馬…正解（D）

番号
数値等

（7）

（8）

5．O％

148

3．2倍i小数第1位）

i整数）

i小数第1位）

（10）

（11）

（12）

7．8万円

83歳

②＞③＞①＞④i小数第1位）

i整数）@（積立金が多い順）

番号
数値等

（9）

問題1．（7）〜（12）の解答は上のとおりであるが、谷間の解説は以下のとおり。

（7）前年度の積立金をFとすると、（F＋400）×1，025−500＝1，960よって、F＝2，000］方、運用収益は、（F＋400）×O．025＝60。従って、当年度不足金は、責任準備金の仲び（2，500−2，400＝100）に対して、資産の伸び（400＋60−5001△40）を控除して、100一（△40）＝140となっている。このうち、80は利差損以外ということなので、140−80＝60が利差損となる。求める予定利率をiとすると、（2，OOO＋400）×（ゴーO．025）＝60

ゴ＝・0．05⇒解答5．0％（8）1年目の期末（2年目期初）の未償却過去勤務債務は、1，000×0．05X（1−0％）×1．04→6．8

一方、責任準備金は、年金受給者は考えないので、給付改善された比率だけ大きくなる。

一6工一よって、2年目期初の給付改善後・償却前での未償却過去勤務債務は、
1，000×1．05×0．05＋46．8㍗99．3。よって、2年目の期末（3年目期初）の未償却過去勤務債務は、99，3×（1−1O％）×1．04＝92．9側8。よって、3年目期初の給付改善後・償却前・未償却過去勤務債務は、1，OOO×

1，05×1．05×0，05＋92．9仏8芒148．0698⇒解答148（9）変更前後で年金現価が等しくなるように年金額を設定すればよいので、変更前年金額を1、変更後の年金額をAとすれば
ム、∠、紅・・一M・・D・）α11

D。。

D．O．∠＝247148174＿（（9388923−8396216＋15471528）×47三710）＝3182・・⇒解答32倍（1O）終身年金の60歳時点の現価率：M60／D60

一方、5年保証期間付終身年金の60歳臨点の現価率は、δ司十W65／D60

この第1項が保証部分、第2項が終身部分なので、保証期間経過後の年金額をAとすると、
10・M・・／D・一15・δ司・ノ・W・・／D・・∴A＝（1O×247148，174／15471，528−15×4．71710）÷（175556，309／15471，528）二7，842・・→解答7．8万円（11）a二w）イ）・9隻w），ald）二1二「）・9隻d）なので、a！w）イ）・g！w）一0．07・1二「），a二4）一a；ぎ）一0，007・1；ざ），（π≧50）

また、螂一11τ）一alw）一ald）より1；r）一11ζLa；8）一a；ξ）一／（1一α07）一α007／・llζ）

蝦、一㎏一α・・）一一α…紅・（1一α・・）・（1一α・・）2・…斗（1一α・・）叶恢）［（1−1・・γ一1・・剖募；ll！・一・Z鍬π＝0なのでこれをmについて解くと。＝1・・1・1／11，1＋1・g1・1・」33039
1oglo0，93

1＿1oglo9．3

したがって、最終年齢は50一ト33＝83歳⇒解答83歳（12）定常人口のため、極限方程式（F＝γ⇒γ・ゴ十C・（1＋f）＝石）により標準保険料を予定利率に応じて算定する。
・予定利率3．O％（①②）：（500＿7，OoO×O．03）÷1．03＝282
・予定利率5．O％（③④）：（500＿5，ooo×O，05）÷1．05＝238

また、当初積立金と給付の4年後の数値は、共通で以下のとおり。（①③で使用）

一62一三．034＿1

・当初積立金…3，000×1，034＝3，377、給付…500×

一2．092

1．03一
次に、それぞれの方法についての保険料から積立金を計算する。
①の方法：10年間元利均等償却年額＝（7，000−3，OOO）÷8．78611＝455．26…455

1．03㌧1

保険料…（282＋455）×1．03x

1．03−1−3，176→積立金3，377−2，092＋3，176＝幽③の方法：4年間元利均等償却年額＝（5，000−3，O00）÷3．72325＝537．17…537

1．03㌧1

保険料…（238＋537）×1．03x

1．03−1−3，340⇒積立金3，377−2，092＋3，340＝雌②の方法：1年後積立金＝（3，000一ト282＋（7，000−3，OOO）×o．15）×1．03−500＝3．498

2年後積立金＝（3，498＋282＋（7，000−3，498）×0，15）×1．03−500＝3．934
3年後積立金＝（3，934＋282＋（7，OoO−3，g34）×O．15）×1．03＿500＝4．316

4年後積立金：（4，316＋282＋（7，000−4，316）×0．15）×1．03−500＝蛆
④の方法：1年後積立金＝（3，OOO＋238＋（5，OOO−3，000）×O．35）×1．03−500＝3．556

2年後積立金＝（3，556＋238＋（5，O00−3，556）×O．35）×1．03−500＝3．928
3年後積立金＝（3，928＋238＋（5，000−3，928）×O．35）×1．03−500＝4．177

4年後積立金＝（4，177＋238＋（5，OO卜4，177）Xo．35）×1．03＿500＝提出

これを、積立金の多い順に並べる。→解答②独≧④
問題2．教科書P168〜P169
番号②①エテ1

工一I

算式番号D，̲。二叫ｰ4狂工④⑤工。一1（w）η工

算式③工Σ4脂工⑥D1F⑭）。二叫7工②③σψ、（・、一・）／（㌃一・。）

問題3．

（1）教科書P109〜1I0

番号
算式①x一π『o番号④⑤算式

γμ欠叱へ）

一63一

（2）教科書P132第6章練習問題7（皿）式に（I）式を代入して整理すると㌃一1

斗一1㌃．、ΣσろD、Σツ着Σσψ、収一へ）／44＋舌γ＝工γ＝工■ゲ1工。一1Σσψ、

斗．1ΣσろD、ソ

一Σy＝工フ寸。

十ゾ

工＝工外一1

ΣD、ｰD、炸㌔（w孔一w、）／D、㌧ツ吉工

aツエ・一（σ々D、十σ馬十1へ、1＋…

十σ与．1D耳．、）／戸十（σ与十、へ、、十…

十㍗、、D耳．、）仰十1

斗…

十σ々．、Dみ．、／γ与一1・←・γ・・…）（σ々D、・σ与十1D孔、、・・…σ烏．、D斗．、y月

一㌣へ／÷・÷←・糾・・叫・㌔〜／÷←・壮、甘・糾・・叫・…・㌔〜／÷け・炉・・…1片÷ト・炉叫・・叫
一σ ^へ÷c＋ツ十γ・十・・う

ツ・㌔、〜、点・γ・γ・…うγ・・…1 ﾕ、、点・｛・…うγ

一σ ̀孔C・ツ・γ2・…）・㌣、、1孔、、仁・γ・ツ2・…）・・…σ工・一1^．、1斗．、⑫・γ・γ2・…）1一Σσψ高γ一工（■）式の分母も同様の式展開で一64一

■ゲ1@1≧；7プ高と狐γ一工斗Il1≧；σ仏1．ソエド1

Σぴ弘よって0卵■γ一 K一11一＝葦一1

Σ2プ高ツ工となることが示せた。

Σら
y＝工（3）教科書P132第6章練習問題8（一部）σ・一 ^κ、．孔D州4であるが・この時久は1の単調減少関数な帆σ尺は・の単調増加関数となる。・・…

①

一方、（I）式より■4は、κ≦y≦x、一1におけるσろの最小値より大きいので、∠4〉ぴ4・・…②（但し、x≦γ＜κ、一1であり、x＝x、一1のとき∠4／4）

ll・㌔一^婁叫／糾／卯へ一町／汁刈
一／咳ぺ刈／／払一

h単生㌢一・巧・一一（

従って、∠4はx。≦π≦x、一1の範囲でxの単調増加関数となる。・・…

．

②）

③

ここで、0㎜Pは（■）式、（皿）式より、■ろの加重平均値であり、また、設問（2）より、σ4の加重平均値でも表されるので、設問のX1，X2歳が存在し、①③の単調関数性と②の大小関係を用いると巧＜Xlである
ことが分かり、結果として以下のことが言える。

・X。≦X＜X2のとき、σ4＜■尺＜0P・X2≦X＜X1のとき、σ具＜0㎜P≦■尺．x1≦x≦兀、一1のとき、0㎜P≦σ具≦ノ尾一65一問題4．

（1）財政方式が加入年齢方式なので、X歳の被保険者1人当たりの給付現価を∫工、給与現価をG工とすると、／婁（・一孔・1）勾（1・ポらげ・ポ似刈伽
∫、＝3

ろ工D工

δ；■・渉、・、

G＝3 戸ユエ エ あDエエ

したがって、標準保険料率尺は、又／婁（・ヤ1）ち・（11パらμ・￠一孔）㌧へ／誇
具＝二L＝q渉ア・、
ア＝工責任準備金額・は、・一Σ4・（叉一々・q）
工＝工（2）（1）と同様に財政方式が加入年齢方式なので、π歳の被保険者1人当たりの給付現価を∫工、給与現価をG工とすると、［婁／婁（1・グ・十・｛婁（1・1へ刈伽∫工＝月工・ろ工D工δ；■渉、・、
G＝月エ

y＝ユエエ

あDエ

したがって、標準保険料率4は、．叉［貫／婁（1・ザ峠｛三（1・1ザψ一身ξ＝｛≒＝q泣巧
y＝工一66一舛一1
責任準備金額グは、グーΣz工・（∫工㌧ぺ。G工．）
トエ（3）題意を満たすには、（1）（2）の給付の内容に基づいた、κ歳の被保険者1人当たりの給付現価が常に等しくなるような条件を求めればよい。

したがって、任意のxに対して∫工＝∫工となればよい。

エテ1

Σ（y一π。十1）ろノ・（1＋ノ）斗一γ一1C、・γ外ナ

十（x、一x。）㌧．、・D耳一y三工

婁／差（1・／へ・ト〃・三（1・ガ勾以・O

ここで、ろツは次のように変形できるので、①に代入して整理すると

ろ1＝・ろI

ﾌ㌦x、一礼十1

貫／芝峠／（1・炉ら一青㌣レ婁／差（1・／へ・ト刊・三（1・グら・へ・⑫②式が常に成立するためには、ろ

ユ・（1一トノ）jゲy■1＝（1＋ノ月一2・γ
ろ，ろ工．1
二L二＝（1＋ノ）工『一y・γろ。

（x。≦z≦y≦x、一1）（x、≦γ≦x、一1）が成り立てばよい。これより、

わ

ユ＝（1＋ノ）γ．2・（1＋ノ）7

あ，ろ工．1
二L＝（1＋ノ月一γ一1・（1＋ノ）γろ。

給与指数ろ工の伸びが年率ノで増加し、7＝1（＞O定数）となるならば上記の関係式は常に成り立

1＋ノつことになる、、

一67川

【注】

ろ・・定常状態であることから・吋Jl（い…）が成1立つので・（）（2）の給付現価∫工．

∫パ給与

ろ一
現価G、・Gカとして、3、ユの代わりに3γを使用した解答にも配点した。
ろ工

2．（1）（2）においては、給与1円あたりの給付現価、給与現価（即ち、給付現価率、給与現価率）として∫エ・∫工、G工・G工．を求めた上で、責任準備金額算定上では一68一工を乗じた解答にも配点した。