論理的に考え，数学的に表現する力を育む学習指導の在り方（第二年次）―解決の見通しをもたせ，根拠を明確にさせる活動を通して―
長期研究員

髙 橋良 太

《研究の要旨》
本研究では，数学科の授業における問題解決過程において，論理的に考え，数学的に表現する力を育むことを目指した。そこで，解決のきっかけとなる着想を生徒から引き出すために，問題提示を工夫した。また，解決に至った根拠を明確にさせるために，問題の解決過程に目を向けさせ，見いだした事柄や事実，事柄が成り立つ理由を問いかけた。これらの手だてを講じることで，明確な根拠に基づいて，筋道立てて説明する生徒の姿が見られた。

Ⅰ

研究の趣旨

る力の育成を目指したいと考え，本研究の主題を設定し次期中学校学習指導要領では，数学科の目標として，た。

「事象を論理的に考察する力」を養うことが位置付けられている。同解説数学編では，「事象を論理的に考察するⅡ研究の概要力」について「問題の解決に当たっては，解決の見通し

１

研究仮説をもつとともに，その解決の正しいことを確かな根拠か

数学の授業において，以下の手だてを講じれば，論理ら論理的に考察する力が必要である」と示されている。

的に考え，数学的に表現する力を育むことができるであ

教師は単元全体を通して，生徒一人一人に課題解決につろう。

ながる見通しをもたせたり，解決に至った根拠を明確に【手だて１】着想を引き出す問題提示させたりする必要がある。

【手だて２】根拠を明確にさせる場の設定

平成31年度全国学力・学習状況調査の記述式問題では,

なお，本研究では，「論理的に考え ，数学的に表現す本県平均正答率（44.1%）が全国平均（47.1%）を下回っる力」を発揮している姿を，「明確な根拠に基づいて，筋ている。また，本県平均無解答率 （18.9%）は全国平均道立てて説明する姿」と定義する。

（17.1%）に比べて高い。見いだした事柄や事実を説明し２たり，事柄を調べる方法や手順を説明したり，事柄が成(1)【手だて１】着想を引き出す問題提示

研究の内容

り立つ理由を説明したりすることに課題があることが分生徒にもたせかる。さらに，これまでの指導を振り返ると，方程式2xる解決の見通し－3＝7を解く際に，－3を移項して解を求めることができを，着想（解決る一方で，その解決過程において移項ができる理由を説のきっかけとな明できない生徒が多かった。数学科の授業が問題の解法る考え）と筋道

指導と問題演習に偏っていることが原因の一つであると（解決に至るま考える。見いだした事柄や事実，事柄が成り立つ理由をでの順序）の二考えさせ，それらを説明する場を設ける必要がある。

つに分ける（図第一年次は，生徒から数学的な問いを引き出し，説明１）。本研究でし伝え合う必要性を高めるための問題提示を工夫したり，は，問題の条件根拠を明確にした説明を記述させた上で，互いに説明しを工夫して出題伝え合う場を設定したりすることで，主題に迫った。ししたり，図などかし，他の生徒の説明を聞くだけになってしまったり，と関連付けて出題したり，既習と未習を対比させて出題

板書や友達のノートを写すだけになってしまったりしたしたりする。その上で，解決に必要な条件や既習事項と生徒も見られた。自力解決させる前に，生徒に解決の見のつながりに気付かせたりすることで，着想を引き出す。

通しをもたせる手だてを講じていなかったことが原因と(2)【手だて２】根拠を明確にさせる場の設定考える。

図１

着想と筋道

問題の解決過程に目を向けさせ ，「この式は何を表し以上のことから，解決の見通しをもたせ，根拠を明確ているのか」や「どうしてこのような答えになるのか」にさせる活動を通して，論理的に考え，数学的に表現すなどと，見いだした事柄や事実，事柄が成り立つ理由を- 52 -

問うことで，既習事項や事実に基づいた考えなど，問題具体的には，２元１次方程式では，解を一つに決めるこの解決に必要な根拠を明確にさせる。また，生徒自らがとができないのに対し，連立方程式では，解を一つに決根拠を明確にすることが難しい場合は，段階的に根拠とめることができることに目を向けさせ，「 どうして連立方なる既習事項に気付かせていく。

程式だと解を求めることができるのか」と問いかけた。

３

研究の実際

その結果，二つの式を比較して文字を消去できることを(1) 授業実践単元

根拠に，連立方程式で解を求めることができる理由を記

対 象 生 徒述することができていた（図３）。

第８学年10名（１学級）(3) 授業実践Ⅰ「連立方程式」（７／14時間）

授業実践Ⅰ 「連立方程式」（14時間）

いろいろな連立方程式の解き方を学習する内容で，授業実践Ⅱ 「１次関数」（14時間）「かっこを含む連立方程式や，係数に小数や分数を含む(2) 授業実践Ⅰ「連立方程式」（３／14時間）
連立方程式の解き方を学習する 内容で，「連立方程式連立方程式を解くことができる」ことをねらいとして授は，一つの文字を消去して１次方程式にすれば解けるこ業を行った。とを理解する」ことをねらいとして授業を行った。

①【手だて１】について既習（x とy の係数が整数の連立方程式）と未習（かっ① 【手だて１】について「りんご２個とオレンジ３個の代金の合計は480円」とこや小数，分数を含む連立方程式）を対比させ，以下のいうもう一つの条件を伏せて，以下の問題を提示した。

問題を提示した。

あるくだもの店で買い物をしたら，りんご２個とオレンジ５個の代金の合計は600円でした。りんご１個とオレンジ１個の値段は，それぞれ何円ですか。
生徒は「りんご１個50円，オレンジ１個100円」「りんそれぞれの連立方程式の共通点や違いに目を向けさご１個０円，オレンジ１個120円」「値段の組合せはいろせることで，生徒から「どの連立方程式も(Ａ）のように，いろありそう」などと，一つの条件ではりんごとオレン

x とy の係数を整数にすることができれば解ける」というジの値段が一つに決まらないことに気付いていった。こ

着想を引き出すことができた。その結果，自力解決したの後，「 りんご２個とオレンジ３個の代金の合計は480円」

ことを基に，解決の方法を互いに説明し伝え合う生徒のというもう一つの条件を提示することで，二つの条件を姿が見られた。

比較する必要性に気付かせ，生徒から「差を見れば，オ(4) 授業実践Ⅰ「連立方程式」（９／14時間）

レンジの値段を求めら連立方程式を利用して問題を解決する内容で，「表，れる」という着想を引１次方程式，連立方程式を利用するそれぞれの解き方をき出すことができた。

比較し，連立方程式のよさを考えることができる」ことその結果，自力解決でをねらいとして授業を行った。

は，10人中９人の生徒① 【手だて２】について日常場面を取り入れた以下の問題を提示した。

がりんごとオレンジの値段を求めることができていた（図２）。

図２あるスーパーでは，食パンを買うと３ポイント分，菓子パンを買うと２ポイント分のシールをもらえます。食パンと菓子パンを合わせて10個買い，ポイントの合計は21ポイントになりました。食パンと菓子パンはそれぞれ何個ずつ買ったでしょうか。

自力解決した生徒の記述② 【手だて２】について
連立方程式の解き方を確認させ１次方程式を利用した解決過程の中から，立式した式た後，連立に目を向けさせ，「3 x＋2(10－x)＝21という方程式や(10方程式で解－x)という式は何を表しているのか」と問いかけた。生を求めるこ徒は「２は菓子パンのポイント」「x が食パンの個数。パとができるンは合わせて10個買ったから，(10－x)は菓子パンの個数

根拠を明確を表しているんじゃないかな」などと，問題場面から読にさせる場

み取った数量の関係を根拠に，方程式が表す意味を説明を設定した。

図３

理由の記述することができていた。またノートの記述においても，- 53 -

方程式が表す意味を記述することができていた（図４）。

図４方程式の意味の記述
図８(5) 授業実践Ⅱ「１次関数」（７／14時間）
二つの２元１次方程式のグラフの交点の意味を学習

理由の記述(6) 授業実践Ⅱ「１次関数」（８／14時間）する内容で，「 二つの２元１次方程式のグラフの交点の座１次関数を利用して問題を解決する内容で ，「線香を標の意味を，連立方程式の解と関連付けて考えることが燃やした時間と燃え残った線香の長さの関係を１次関数できる」ことをねらいとして授業を行った。とみなして，問題を解決することができる」ことをねら① 【手だて１】についていとして授業を行った。
① 【手だて１】について

格子の条件を隠時間と長さの関係に着目させるために，線香を燃やす

し，「 次の図の２直時間を５分間に制限した以下の問題を提示した。

線の交点の座標を求めなさい」とい

線香を燃やす実験を５分間行い，得られたデータ

う問題を提示したを基に，線香が燃え尽きるまでの時間を求めなさい。

（図５-左）。

「１分間に燃える線香の長さを調べれば，線香が燃え尽きるまでの時間を求められるのではないか」「 火をつける「直線だから１次関数の式に表せ

図５

条件を工夫した問題前の線香の長さが知りたい」などと発言する生徒の姿がるのではないか」「格子があれば，２直線の式を求めるこ見られた。このような着想を引き出すことで，１分間にとができるのではないか」などと発言する生徒の姿が見燃える線香の長さの平均を求めたり，グラフをかいたりられた。このようしながら，線香が燃え尽きるまでの時間を求めることがな着想を引き出しできていた（図９）。

た上で，図５-右を提示することで，生徒が根拠自力解決では，10として示した記 述人中８人の生徒が交点の座標を求めることができてい図６た（図６）。

自力解決した生徒の記述② 【手だて２】について
図９交点の座標の求め方 を確認した後，「どうして連立方程式の解は，グラフの交点の座標になっているのか」と自力解決した生徒の記述② 【手だて２】について問いかけた。

線香が燃え尽きるまでの時間の 求め方を確認した後，その後，図「どうして１次関数と判断したのか」と問いかけた。そ７のようにの後のグループ活動では，「 燃え残った線香の長さの差がそれぞれのだいたい一定の値になっているから１次関数になるんじ方程式の解ゃないかな」と，１次関数は変化の割合が一定であるとや解の意味いう既習事項を根拠に，１次関数と判断した理由を説明を確認させすることができていた（図９）。

たり，その図７

解の意味を理解した生徒の記述解がグラフ上の点の座標になっていることに気付かせた

Ⅲ研究のまとめりした。その結果，既習の方程式の解の意味を根拠に，

１

研究の成果連立方程式の解がグラフの交点の座標になる理由を記述(1) 【手だて１】についてすることができていた（図８）。

実践の前後で実施した意識調査では，「問題を解く際- 54 -(3) 論理的に考え，数学的に表現する力についてにどんな方法で解くか，解決の見通しをもつことがで全国学力・学習状況調査きているか」という質問にを参考に，論理的に考え，対して，より肯定的な回答

数学的に表現する力を測るをした生徒が増加し（図10），問題を作成し，授業実践Ⅰ平均値の差に関する t 検定

図10と授業実践Ⅱのそれぞれの意識調査の結果の結果，有意差が認められた（p＜.05）。生徒から着想を前後にテストを行った。そ引き出すことによって，生徒一人一人が解決の見通しをの結果，実践Ⅰ，実践Ⅱと 図14 事前・事後テストの平均正答率もって問題解決に取り組むことができたと考えられる。

もに，平均正答率が上がり（図14），t 検定の結果，有意(2) 【手だて２】について差が認められた（p＜.05）。ここで，事前テストで無解答「計算の仕方だけでなく，であった生徒の事後テストの解答を示す。実践Ⅰの事後

なぜそのような計算ができテストでは，問題場面から読み取った数量の関係を根拠るのかを理解するようにしに，方程式ているか」という質問に対とができるようになった（図15）。

𝑥𝑥x50+y𝑦𝑦

80= 18の表す意味を論理的に説明するこして，より肯定的な回答をした生徒が増加し（図11），図11

意識調査の結果t 検定の結果，有意差が認められた（p＜.05）。また，「今後，数学を学ぶ際に，どんなことを大切にしたいか」と
図15いう質問に対しては，図12のように，根拠を明確にさせる場の設定による成果がうかがえる記述が見られた。

実践Ⅰの事後テストの生徒の解答

実践Ⅱの事後テスト
では，１次関数ならば変化の割合が一定であるという既習事項を根拠に，水温が100℃にな

図12

意識調査の結果るのにかかる時間の求

さらに授業実践Ⅰにおいては，３時間目の加減法の学め方を論理的に説明す

習，６時間目の代入法の学習，13時間目の連立３元１次ることができるように方程式の学習と継続して，連立方程式で解を求めることなった（図16）。さらに， 図16 実践Ⅱの事後テストの生徒の解答ができる根拠を明確にさせる場を設定することで，10人実践Ⅰの事後テストにおける把持率 ※１ を測定した。その中８人の生徒がより根拠を明確に示した記述をすること平均は76.2％であり，高い把持率を保つことができた。

ができるようになった（図13）。

これらの結果から，本研究において講じた手だて「着想を引き出す問題提示」「根拠を明確にさせる場の設定」
が論理的に考え，数学的に表現する力の育成に有効であったと考えられる。
※１

事後テストの正答者のうち，一定期間後も学習内容を把持していた者の割合を示す数値

２

今後の課題
本研究は，「数と式」「関数」の二つの領域での授業実践を基に進めた。今後は，「図形」「データの活用」の各領域においても手だての有効性を検証していく必要がある。また，本研究の中で明確にさせた根拠を振り返って
図13

みると，それが既習事項である場合や事実に基づいた生生徒の記述の変化

これらのことから，見いだした事柄や事実，事柄が成り立つ理由を問うことで，問題の解決に必要な根拠を明確にさせることができたと考えられる。

徒の考えである場合など様々であった。引き出したい根
拠の類型づくりと類型に応じた指導の在り方を確立し，手だての汎用性を高めることを目指していきたい。

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