平成11年12月2ユ日
保険数学1………1

保険数学1（問題）
問題1．

（50点）

（I）次の（1）から（8）までについて、それぞれ選択肢の中から正しい答えを選んで、所定の解答用紙の指定欄にその記号［（1）については（A）から旧のうちいずれか一つ、（5）についてはlA〕から旧のうち正しいものすべて、それ以外は（A）からlJ）のうちいずれか一つ。］を記入せよ。
（1）死力μ工（〉O）がxの増加関数であれば、μ工とg工．．，と五の大小関係を示す式は次の久うちとれか。

σ工｛A）

μエ＜9エ．1く一｛D〕

孔
9エ．1＜一くμ■孔〈9工．1久lB〕

ρ工4エ．iくμ上く■

＾公lE〕

9工（C）

μ工く

孔

一く9工i＜μ工（F〕

一くμ上＜9元、1久＾＾（2）第1の生命表の死力をμjl），第2の生命表の死力をμ三2〕とする。

壮ト…十・μ1〕一・・〕の11・1・のl11の・ll〕1・1
ユの生命表の、ρj⊥〕。（o＞O）に等しくなる。このとき・αの値に最も近いものは次のうちどれか。必要ならばlogO．08・・一25257，1og3＝1−0986

（A）

7（B〕

8（C）

9（F）

12｛G）

13（H）

王4

（3）㌦：98，092，（D）｛I）

10を用いよ。

（E〕

1511（J）

16、、＝97465，二軸＝43．21，二。。＝38，47のとき、、m、。の値に最も近いものは次のうちどれか。なお、工（40≦x＜45）は直線では近似されないものとする。

｛A〕

O．0012800（B）0．0012805｛C）O，00−2810（D）

O．0012815

0≡：〕0．0012820｛F）

O．0012825｛G）

0．0012830（H）

O．0012835（工〕

O．0012840｛J〕

O．0012845

一35一保険数学1………2（4）x歳加入保険期間m年年払全期払込保険金年末支払の次の表（。）（b）（。）のとおりの保険を考える。
種類（a）

平準払純保険料
死亡保険金1に対してll．O％。

定期保険（b） 死亡時に満期保険金の2倍を支払う養老保険 満期保険金1に対して5I．5％o（c） 死亡時に既払込純保険料を返還する生存保険 満期保険金1に対して36．O％。

このとき、死亡時に既払込純保険料の50．0％を返還する生存保険について満期保険金1に対する平準払純保険料の値に最も近いものは次のラちどれか。
（A〕

31．2％olB〕

31．4％o（C〕

31．6％o（D〕

31．8％olE）

32，O％0｛F〕

32．2％o｛G〕

32．4％o（H）

32．6％o（工）32．8％o｛J）33．0％o（5）次．の不等式のうち、正しい関係を表している不等式の記号をすべて解答欄に記入せよ。

ただし、々＞1，〃〉1とする。

（正しい不等式が一つもない場合は、解答欄に「解なし」と記入せよ）

lA）

（B〕

〆止〕くδ

（D）ん．．・〃
工；Hl

側ソ（ノ。）石■＜（α、■）

1

（C〕

δ＜一工δ

く＝最く々ll≡

工1祠1（6）エ歳加入保険期間〃年年払全期払込養老保険（保険金額1保険金年末支払）において人＝司＝O−24372，δ工そピ属＝14．92181．

gエ刊＝O．OO167とするとき、第1＋1年度の危険保険料の値に最も近いものは次のうちどれか。

（A）

0．00112（B〕

0．00114（C）

O．OO116（F）

O．00122（G〕

O．00124｛H〕

O．00126（D）

O．00118（工〕（1≡：〕O．OO120（J〕

0．001300．00128（7）尺、；■＝o．079，P二、高：0−001，P工、山＝0−088のとき、・予定利率の値に最も近いものは次のうちどれか。

（A）

O．028

｛B〕

0，029

｛C）

0，030

｛F）

0，033

｛G〕

O．034

（H）

O．035

一36一

（D〕
（I〕

0，031
O．036

｛E〕
（J）

0，032
0．037

（8）x歳加入年払保険数学1………3
終身払込終身保険（保険金額1保険金年末支払）において、予定利率トα05、純保険料尺コO．010892，g、、、＝0．7199（ωは最終年齢）のとき、
血．工．κの値に最も近いものは次のうちどれか。

｛A）

O．92024（B〕

0．92588（C）

O．93698（D〕

0．93735（E〕

0．94149｛F〕0．95065（G）

O．96112（H〕

0．96950｛I〕

O．98606（J）

O．98911（∬）次の（1）と（2）について、それぞれ空欄に当てはまる最も適当な数値、記号または算式を最も簡潔な形で所定の解答用紙の指定欄に記入し、その計算過程を指定欄に簡潔に明示せよ。計算過程の記入のない答案は採点の対象とならない。

（1）／芸ト／朴［］（2）x歳加入保険期間〃年の定期保険（保険金額1保険金年末支払）について、第。保険年度の予定利率1、が、二（1＋ノ）H（1＋）一1（1＞ノ＞O，ノは定数）を満たすように変動する場合、この保険に対する一時払純保険料を考える。
任意のηおよびxに対して、この一時払純保険料の値は、x歳加入保険期間〃年予定利率 の定期保険（第。保険年度の保険金は［ニコ、保険金年末支払）の一時払純保険料に一致する。

一37一保険数学1………4
間題2．次の空欄に当てはまる最も適当な数値、記号または算式を所定の解答用紙の指定欄に記入せよ。

（30点）（1）x歳加入保険期間〃年年払全期払込保険の年経過時の責任準備金を考える。

養老保険の場合、戸工、司，八＝【および尺＝1．を用いて、γ工、；百を表すと、、〆工、司＝［Φ］、定期保険の場合、戸㌧、7、，P！二一1および尺＝｝．を用いて王ジエ、司を表すと、、れ、司＝［酎となる。

（2）また、x歳加入保険期間〃年年払全期払込養老保険の年経過時の責任準備金は生命年金現価のみを用いて、、γ工蜆rl一［亙］となる。
これを利用すれば、（1一、γ工、〃工＝1は生命年金現価のみを用いて、（ト、7エ，∫＜一）戸工号：［重］と表せる一＜〃を満たすsについて、同様に、（1一、クエ、；ゴ）戸工、二1および（1一∫エペ戸工へも生命年金現価のみを用いて表せる。

（3）（1）および（・）の締果より、、γ、三≡，、グ、；1および、クエ＝司を用いて、γ工、1■および、〜を表すと、王ザ五1■一［重コ，、〜一［＠］となる。

この後者の式を変形すると、保険期問〃年の養老保険のs年経過時の責任準備金は、「保険期間［亙コ年、保険金額が［嚢＝コの養老保険の［亜コ年経過時の責任準備金」と「保険期間［亙］年、保険金額が［垂＝］の定期保険の［亙コ年経過時の責任準備金」との和であることがわかる。

一38一

保険数学王………5

間題3、次の空欄に当てはまる最も適当な数値、記号または算式を所定の解答用紙の指定欄に記入し、その計算過程を指定欄に明示せよ。
計算過程の記入のない答案は採点の対象とはならない。
（20点）
40歳加入年払保険料払込期間20年とし、次のような給付を行う保険を考える。
60歳に到達するまでに死亡したときには、死亡保険金としてユまたはその年の保険年度末責任準備金のいずれか大きい額を保険年度末に支払う。
・60歳まで生存したときは、60歳から年金年額がO lの20年確定年金（期始払）を支払う。

この保険はある保険年度以降において責任準備金が1を超えることとなるが、その保険年度を以下のとおり求めることとする。なお、計算にあたっては下表の数値を用いること。

まず、60歳まで生存したときの年金開始時点における年金原資（すなわち、即時開始年金の一時払保険料）は［亜コである。

（小数点以下第5位四捨五入で、小数点以下第4位まで求めよ。）
つぎに、保険年度末責任準備金が1を超える最初の保険年度を第左十1保険年度とした
とき、κは以下の式を満たす最大の整数である。
・側生．≦／回／（［亜］一1）／

したがって、上記の関係式よりκの値を求めると、κ＝［亟］となり・求める保険年度々十1は［重コ十1年度となることがわかる。
［表コ〃12345V

α

3一一1〃

V

δ

一40川」

、ξ一一日1珊川1O．98041．00001．020011O．8043

9．882312．4121O．9612

1．97892．0604120．7885

lO．6641

i3．6803

3．1216I3O．7730

11．4275

14．9739

4．2040140．7579

12．1724

16．2934

5．3081150．7430

12．8991

17．63930．728413．6075

19．0121O．714214．2976O．7002

玉4．9695

0．686415．6230

0．673016．2582

20．412321．8406
23．2974
24．7833

0．94230．92380．90572．93693．87444．7916

670．8880

5．68876．43430．87066．56607．583080．8535

7．42388．75469100．8368

8．26239．949716171819O．8203

9．0817

11．1687

20以上一39一

保険数学1
問題1

（解答）

（I）

設問番号
解答欄

（1）

（2）

（3）

（4）

（6）

（5）

GB

CE

（7）

D

B

解答は上の表のとおりであり、以下に各設問の解答方法を略言己する。

（1）………（C）

二見隆著生命保険数学上巻第2章

練習問題（1）

8を参照

・工．、・工、ρ工、、・μ工．、、、〃く工μ工・1・μ工

9工＝工、ρ工・μ工、、〉レエ・μ工〃＝ρ工・μ、

孔
したがって、g工．1くμ工く一
ρ工（2）………（H）

舳1ると s卜十よ1
μ工ω腕3CX（3は定数、乃＝loga1・・2二C）である。

）一μ￡）一。、北より、

伽3二1〕＝佃♂（κは定数、1Ogg＝＿3 ）、1OgC

用バー9cψ一1）であ乱（2〕（1）兀μよ＝3μエ＝33c であるので、1og，3βg二＿112）・k，＝31oggであるような9を用いて、10gC

9ぴ、掘パ〕一。

題意より3＝・〉一1〕一。・♂（・c。であるから、一40一（8）■1〕となる。

α＝

1og3

1og

1og3＿1．0986

＝cん

（2）

（1〕

＝137325

O．08。ρ兀＝。ρ兀十パ・・・・・…

①が、5∬1：・μ…・・・…②全ての〃において①式が成り立つので、②式により、μ≦2）二μ黒が成立する。

又、μ≦2）一3・μ三1）より、

3・μ1）＝μ黒・・・・・・…③

11 s卜…赤よ1・1ogμ工（1）＝0．0翫十C（Cは定数）………④③式より
1・g3・μよ〕一1・gμ￡。

④式を代入すると、

Zog○二3＋0．08x＋C；O，08で兀十α）十C
1og3：

1．0986

0，08：：13．7325

0．08（3）・ ・・・・・… @（一≡）

。。一5m・＝。。

w＝バ。。

A柵、、1、。＝（注）テキスト（二見隆著。。■。。

A、。、1仰．、、、xl、、＝00012820

生命保険数学上巻）P77の関係式

掘m工＝

〃工

12m（1一一蜆9王）

一41一を用いると5m40：O・0012825となるが・これは、、、が直線と仮定した場合の関係式であり、この関係式を用いた解（F）は不正解とした。

（4）・・・・・・…

（G）（a）、（b）、（c）の保険料を、それぞれP（且〕、P（b）、P（。）とすると、

・（1）一4・、・（・」・如・鳩より、
δ工、層δ工、頑4去一P（・L．P（・）一00295
δ工＝標・（・に4べより、（〃）1■一1一鴫

δ工＝属一（〃）三、療6、：頑

δ、引・P（c）

ここで、求める年払保険料をPとすると、

ノ、貞

P−

4＾

・兀【一ユ（〃）三標

2＝2P（o）

一α工須

1一ユ．（〃）三標

．

2

δ、＝療

（P（b）一2P（a））＝・O

P（o）十P（b）一2P（a）（5）………（B），（C），（E）（＾）

州・l紬一・／・小・（・・／・細9糾／〉log（1＋f）＝δ

（B）（・司）2・（用2・・…ソ掘）（ソ・ソ2・…・ソ＾）＝γ2＋2ソ3＋3ソ4＋。．．十〃ソ府1＋、．、＞ソ2＋2ソ3＋3ソ4＋・．．十〃v肘1・・（ソ十2ソ2＋3ソ3＋…十・〆）＝ソ（∫o）司（C）

一42一03242

可＝∫二v、ρ工励

1・8

くlr（D），（E）は支払い時点から明らか。（テキスト

ニ見隆著

生命保険数学P126，P167参照）（6）・……・・（D）

第け1年度の危険保険料、、lP「は定義より、十、p『＝W工十、・（1一、、1γ工＝刀）・・

．

①であ孔

責任準備金の再帰式より／工、司十P、、可一岬洲＝ψ洲一叶1γ工＝司γ工＝着十P工、月一岬∫・1、、、γ工【＝ソ■（1一σ工、②）

又、将来法により責任準備金は、γ工、属＝ノ、十、、司＿p工＝パあ、、、＝司＝1＿（尺、着十d）・クエ。、＝颪と表されるから、

11γ工、1d＝グ、、、、【 一p万引！工、㌃1

よってソ＝1一♂；1＋P、η十ケエ、、：□②、③式を①式に代入すると、ソー岬工。、一、1p『＝岬工、×γ工、月一尺、万十岬洲

リ・（1−9工、！工、司一1

1・5元、、二属

二g州X・（1−9五十）

！、司）

9工、
1・（1一！工司）・（1一1一σ工、、：）δ工十、、颪

一43一．③

上巻

二O．00167
1−O．00167

x（1−024372

1）x（1川）14．92181＝0．0011803183・．．

亙
第十1年度の危険保険料、十1p「は定義より、。lp『＝岬工。

（1一。11／工、刃）δ工、、十1＝円

したがって、、lP＾＝岬工、、．

・・・…

①である。

クエ：属
ここで・δ、、、＝司＝1＋ψ、。

・δ兀、、十1、頑よりケエ。、、属一1α｛・…一1rソー（。．、工、、）．．

②

あ工、、、颪

又、責任準備金の関係式、γ工司二1一クエ＝算ケ兀、、：司○工1二1−1一、㌦…

より③②、③式を①式に代入すると、、、、、・＝9州。（州・・詞一1）

1−9工。

o、。、＝属O，00167＿
1−O．00167＝0．00王1803183・（7）

・・・・・・…

（1■κ司）（14．92181−1）・（1−O．24372）

・

X

・

…

14．92181

．

…

@（1）

再帰式により、．、γ工＝万十P工、1＝ソg工。皿一1＋ψ工。何一1一掘γ、、司＝ソ

責任準備金の過去法の式により

一44一

①

山・ ̀芒1ご・㌃M云㌣
・M★サー㌦三1ご・筈：1㍑
尺、1−P圭1；司＝1

p工＝司・・・…

②②式を①式に代入すると、尺、司一P三：同・・⊥ 十尺ヨp工＝掘一、111
工＝一一1＝ソ
Pよ、月一列＝司・p工：司＝1

1＝

O．079−O．O01

0，088

一1

十P工司00358790・・．．．．

＋O．079（8）………（B）
Jω．2（ω．工．2K＋具）（1＋j）一6、．2＝Jω一1・ω、、．κ…①

Jω．1（ω．工．κ十4）（1＋ゴ）一dω．1＝

血・ω．工κ一…・・②

前提条件および6ω．、＝Jω．1，J、＝Oを②に代入し、ω．工一、K二0．94148895238…

このω．工．κ、および前提条件を①に代入し、ω．、一2K＝0，9写588134222

問題1（11）（1）二見隆著生命保険数学＿1または1＋， δθ

上巻第1章

練習問題（1）8を参照

．j，γソ
ソ皿＝e■

〃δより．掘δ、＝一〃e＝一〃6δ
また、叱一生坐一a1o・（1＋一）（一、ソ尻）一⊥（一〃）一一〃仲・〃δδ〃

1＋j

一45一／答〕一／芸／÷・刊（一1）（2）・…σ・J）一・第。保険年度の保険金をαπΣnリ。

とおき、ソ、＝方とおく。このとき、掘、．lIg工＝Σα、・ソ＝1隔1・、．ユ1g工とな乱

仁1

この式が任意の〃で成立することから、
π・。・、、、一9工＝α、・・・、．1−9工となる。

＾＝1

さらに、任意のxで成立することから、
πソ。＝α、・yとなる。

5＝1

したがって、

α1＝α、．、⑫一5）α、二1uとなり、この漸化式を解くと、〜一1）であることからα，＝（1＋J）L2！たがって第。保険年度の保険金は園］と表わされる。

題意の式

ゴ、＝（1＋〃■て1＋j）一1から

j、十1＝（1＋〃一1（1＋f）

tn（1＋i。）旧一Σ（・一ユ）＝（1＋Φ向・（1＋けt＾＝1が成立する。

予定利率itの定期保険の保険金1は予定利率iの定期保険の保険金Stに任意のn，xで一致することから

tS、。（1＋i）一t＝n（1＋i。）

1が成立

o＝工
一Σ（且一1）St＝（1＋j）旧1．土t（t．1）＝（1＋j）2−46一

問題2（1）過去法による責任準備金の式から
ノエ＝六一1り：司＝尺司

両辺をδ工：1で割るとδエバ∠二、1@｛、ホ・㌧：司二ζ：司■｛、司ゆえにγ．二尺司一う＝・

舳Ip、川
定期保険の場合も同様にして、
ノエ＝考4、司＝弓、司両辺を6工、司で割ると〃

あ工1バ4：司P⊥㍉κ＿＝月＿＿月一1工1π1工1冊1州1月＝一■＾＝一、κ＿：エ掘I 州■

ゆえに工1・1P、工1引（2）δ、一1γ一＝1舳1

舳1 δ＿工：π1ノ、
δ＝一、一（・一、り司）・ユ・舳1・川1洲1δ工、司δ工＝η
五十一w−MD
DD工十掘■十工十δ＿・δ＿工1

Il工：

■lM−M
D工十工十＾

あ＿・δ＿工1刈工

111

クーδ＿
工： 1 工1 Il一47一同様に

1

1（1・り可）｛ギろハ司

1 1（1｛）㌃ギベ衛（3）（1）および（2）の結果より、㍗ボ＾÷＾㌧一（・㌻司；・、一（・㌦。；・、＝一工1・1＝叱＝〔り、司）Pユ

工1・1r引・一黶Bγユ＝。γ一一。K一川1川1工1 lP＿一P，＿月一一P、＿＿工：ll工：51川1工1日1plP、工1∫1工1・l

P1＿工：11P、工11

17＿一γ＿＿｛川1。工：皿11一γ＿■1＾1．K．＝。γ一一。γユエ：l1川1元：ll
lり：〔γ．κ、司．κ、η十・り、司洲1

1一γ＿舳1

17＿一γ＿・γ＿＿o工1・1。〃1

川〃1

1一γ＿jl・1
後者の式を変形すると、・㌧＝司㍉㌧、r・κ：ホK．・（1Iκ＝司）

川1

一48一

設問番号

解答

①P一一P。一工：・1∫＝ll

P、一川1

②

月＿一PL
工1π1川1P。一工：4③∂＿洲1掘一④11α一?P1
一δ＿δ＿工：⑤1一∬：記1

γ＿一γ＿。〃15工1川1川γ＿⑥川1

γ＿一γ＿・17＿○川1。州11一γ＿工：・1工1＾1c⑦⑧

γ＿⑨⑩工1掘1∫

1一γ＿工1川問題3妨二v20

S僚＝0．6730×24．7833＝16．6791609

後記（注）参照

よって、年金原資は16．6791609×O．1＝1．6679（答）①［亟亙コ
年払純保険料をP、第。保険年度末責任準備金を、γ、年金原資をFとする。
題意より次の再帰式が成り立つ。
、γ・P・ソ・％、、・ソ・ρ、。、、・、、1γ、γ・戸・ソ・、、、γ（0≦1・κ）（κ≦1・19）…・……・・（1）・………・・（2）（1）式の両辺にソi．、ρ、oを掛けて、f二〇，1，＿＿，κ一1について加えると、。γ＝0により、P・6、。、τ1−4＝τ1・へρ…！
同様に、（2）式の両辺にソ．

．．．

I．．I（3）と狐■杜を掛けてf＝κ，た十1，．ll，19一について加えると、20γ＝Fにより、

一49一P・δ＿雪ソ20＋F一γ
20一引止…・（4）となる。

（3）×α、。．止I＿（4）×α40τ1としてPを消去し、上17について解くと、γ20一グF・6＝一一ノ1、一・∂一、ト珊葦I舳■20一＾1となる。

㌔、τI＋ソ・ψ40・δπI

κは！≦1を満たす最大の整数なので、戸Fα。。バ4。司・、。、上I・9、。τ，・へρ・・α河
ゾルゲ…、。バ仁一〃伽河ルπI・あ、。刀δ、。月トト・…∂藺）・δ珂δ柵刀←舳・トン列≦δ珂

3＿20一止1δ一≦

仙1F＿1（答）②k15。可（F−1）あ401票

32卜止1

ユ2

7．12268．75463

7．6324

7．5830

よって、（答）③［亘コ（注）①の数値を計算するには次の方法が考えられる。

正しい計算過程によって求められていれば、それぞれ正解とした。
（例）
1一ツ20

1−O．6730

0．3270（・）勺x㎝＝。一リx01r．。。。。。x01＝。。。。。x㎝＝1668367±1価84（・）δ珂・…一ひ20・3万1・O・1・0・6730・24・7833・O・1・1・667916≒1・6679（3）あ珂・O・1二Σγ・O・1：（1＋α9804＋α9612＋・ ・・…・ ¥〇．6864）・0．1＝1．66785≒1．6679＝o一50一