2-4 特異数理モデルの統合的研究●代表者

山浦義彦（数学科・教授）●分担者

泊昌孝（数学科・教授）

茂手木公彦（数学科・教授）
吉田健一（数学科・教授）
市原一裕（数学科・教授）
下元数馬（数学科・教授）
井手勇介（数学科・准教授）
大野晋司（数学科・准教授）
三村与士文（数学科・助教）【研究の目的および概要】
近年の数理科学の発展は特異性を研究対象にすることを可能にしてきた。そもそも，ニュートンによる古典力学や，18 世紀半ばのダランベールやフーリエによる数理モデルにおいては，初期条件や数式に現れる係数関数のすべてに対して，いわゆる「正則性」と呼ばれる何らかの滑らかさを仮定していた。ここで，滑らかさとは最も素朴には，関数の連続性，微分可能性のことであり，微分可能性の回数もまた，精密評価における正則性の指標である。ところが，現実の物理現象は，特異性を含む現象や，内在的な特異性を含むことの方が自然であると言える。つまり，現実の数理科学の研究対象としてとらえる上で，特異性を無視することはできない。現象自体に特異性を含んでいる最も身近な例に画像処理理論がある。白い背景に黒い物体が映る不鮮明な写真から，物体の適正な輪郭を確定するという問題である。物体を 1，背景を 0 とする関数の変分エネルギー最小化関数の不連続性集合として輪郭を特定することができる。ここでも研究対象になるのは 1 と 0 という不連続性を有する関数である。
一方，特異性は問題設定に内在的に含まれることもある。偏微分方程式の理論も特異性の研究と共に発展してきたと言ってよい。古典的には微分方程式とは積分のことであった。積分できないような問題設定は扱うことができなかった。研究対象を広げるためにソボレフ関数という超関数が導入され 20 世紀半ばには著しい正則性解析が実現された。この研究の方向性は，近年「分数べきソボレフ関数の扱い」へと発展を遂げた。一回弱微分可能という概念を，フーリエ変換を基礎として形式的に 0 と 1 の間の任意の実数回微分可能性へと一般化された。その微分は特異重積分によって定義される。
本申請により，特異性問題の正則性解析を中心とし，代数学，幾何学における特異性研究との関連性を統合的に模索し明らかにすることを目的とする。具体的に研究代表者，分担者は以下の問題に取り組んだ .
山浦

分数冪ソボレフ特異性エネルギー汎関数の臨界点解析

泊

2 次元 2 重点の標準特異点解消による分類，標準被覆の幾何種数を固定した 2 次元有理特異点の有限性

茂手木

結び目のデーン手術が引き起こす様々な特異現象

吉田

楕円型特異点のイデアル論的アプローチ市原

3 次元多様体内の結び目に沿った特異的デーン手術の分類

下元パーフェクトイド環の傾対応に基づいた特異点の研究

井手

量子ウォーク，量子探索，感染症モデル，グラフ分割に付随する基底の構成

大野

Hermann 作用の軌道の部分多様体としての幾何学的性質についての研究

三村

流体方程式における特異カシミール元の解析

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【研究の結果】
代表研究者，共同研究者は各分野における≪特異数理モデル≫について，申請期間に以下の研究結果を出した。
●山浦 義彦
解析学の分野からの特異性の研究として，p-Laplacian 方程式の弱解の構成を研究した。時間微分項に q- 乗非線形特異性（q は任意の正数）をもち，空間微分項は分数冪 p- 乗非線形特異 2 重積分（p は 1 より大きい任意の実数）によって表現される。空間微分の特異性により，この方程式は全空間における熱の拡散を表現することができる。特に，この偏微分方程式に対して時間離散化法に基づく構成的な手法により弱解の存在を証明することができた。
●泊 昌孝
2 次元複素解析的 2 重点について，基本次数 Z2 が− 1 となる為の新しい必要十分条件として，分岐平面内の奇方向を定め，かつ，特異点解消上の因子が偶数性を持つ一次関数の存在で与えた。これは Laufer 因子および ContactLaufer 因子の分解・合成法則を，被覆特異点解消過程から論ずる為に本質的な進歩であった。特異点の変形に関する基本種数の半連続性について，Z2 = − 1 の分解定理より見通しの良い反例を構成することができた。
●茂手木 公彦
量 子 不 変 量 で あ る 結 び 目 の 色 付 き Jones 多 項 式 の 最 高 次 数 と 結 び 目 外 部 空 間 の 本 質 的 曲 面 に 関 す る SlopeConjecture（Garoufalidis）と Strong Slope Conjecture（Kalfagianni-Tran）についての研究を進め , ケーブリング，連結和に対して，ある条件のもとで Slope Conjecture や Strong Slope Conjecture が遺伝することを証明した（Baker 氏と髙田氏との共同研究）。デーンフィリングによって共役捩れ元が発生する仕組みの一つを明らかにすることができた（伊藤氏と寺垣内氏との共同研究）。
●吉田 健一本学部元教授の渡辺敬一氏，山形大学の奥間智弘氏と共に，楕円型特異点の極大イデアル，より一般に整閉イデアルの（べきの）コアを計算する方法を見出す。この成果により，楕円型特異点をイデアル論的に特徴づける。本学部元教授の渡辺敬一氏，山形大学の奥間智弘氏との共同研究として，「強楕円型イデアル」の特徴付けから，そのコアを調べる問題に着手し始めた。1 つの成果として「楕円型特異点」を持つ Gorenstein 局所環の極大イデアルのべきのコアの計算方法を見出した。
●市原 一裕3 次元多様体内の結び目に沿った特異的デーン手術，特に，左順序づけ可能な基本群を持つ多様体を生成する手術（左順序づけ可能手術），および，鏡像対称な多様体対を生成する手術（鏡像矯飾的手術）についての研究を進めた。
得られた結果は，全ての整数手術が左順序づけ可能となるレンズ空間内の種数 1 のファイバー結び目の決定，3 次
元球面内の種数 1 の交代結び目に沿った鏡像矯飾的手術の分類，というものであった。
●下元 数馬
混合標数の特異点の構造をパーフェクトイド理論における傾対応を用いて正標数の問題に帰着させる。また（局所）コホモロジーの変形を用いて特異点を構成する。以下の研究結果を得た。局所コホモロジーに関する第二消滅定理の研究を行った（M. Asgharzadeh 氏と氏と伊城慎之介氏との共同研究）。また，対数的幾何学のパーフェクトイドによる精密化（伊城慎之介氏と仲里渓氏との共同研究）を行った。
●井手 勇介「量子ウォーク，量子探索，感染症モデル，グラフ分割に付随する基底の構成」のテーマのもとで研究を行い，前年度からの継続研究も含めた成果として，3 件の研究発表を行い，2 報の論文掲載に至った。更なる研究成果の20公表に向けて成果を蓄積している。
●大野 晋司Hermann 作用と 1 対 1 に対応する概念であるコンパクト対称三対を用いて一昨年に導入した一般化された s 多様体を構成する方法を確立した。さらに，構成した一般化された s 多様体から対称空間への自然な射影を通じて，一般化された s 多様体内の対蹠集合を対称空間の対蹠集合を調べる方法が明らかになった .
●三村 与士文銀河のモデル方程式の見直しと修正を行い，新モデル方程式に対してカシミール汎関数の構成とその極値点の安定性を調べた。また , 勾配流への応用しか知られていなかった時間離散化を勾配流でない散逸系や保存系へ応用する方法を発見した。
【研究の考察・反省】代表研究者，共同研究者は各分野における≪特異数理モデル≫について，以下の考察・反省を行った。
●山浦 義彦
分数冪弱導関数の扱いはその特異性のため繊細であり，詳細な検証が必要であった。また，二重非線形分数冪
p-Laplacian 方程式の変分解析は必ずしも多くの先行結果があるわけではないため，基礎的な議論の構築が不可欠であった。本研究成果は現在投稿中である。今後，本研究を基礎として弱解の正則性について研究を進める計画である。
●泊 昌孝
本年度は，研究成果（都丸正氏との共同）をまとめる作業として，すでに学会発表をしている証明の改良をおこなった結果，証明の独自性がより明確になったが，論文の全体像は広がりつつも完成にいたっておらず，分割することも視野に入れている。特に，応用部分の基本因子の挙動（上述）など，類似の算術種数までを研究範囲に含めた考察が自然な発展になると考えられる。
●茂手木 公彦
Strong Slope Conjecture に関しては，未だに正しいのか正しくないのか確信が持てない。今後も，反例の構成も見据えながら研究を進めていきたい。デーン手術と群論の関係についての研究を精力的に展開し，特に共役ねじれ元の発生のメカニズムを幾何的に理解できるようにしたい。
●吉田 健一正規還元種数が 2 の Gorenstein 局所環の極大イデアルのべきの core の計算方法を見出したが，極大イデアルではない一般の整閉イデアルが強楕円型の場合には拡張することができなかった。また，数値的半群の極大イデアルの場合にも関連する問題があることを確認した。
●市原 一裕多様体上のアノソフ流を用いた基本群の左順序の構成，及び，キャッソン不変量など様々な不変量を複合させた
鏡像矯飾的手術の制約条件は，まだ改良・発展の余地があり，今後の深化に向けて研究を進めていきたい。
●下元 数馬
局所コホモロジーは可換環論においてはポピュラーな研究テーマである。得られた結果に関しては更に深化させることも可能だと考えたが，時間の制約もあり論文としてまとめることにした。
関連する事項について理解を深める必要があり，反省点としたい。今後の課題としては，得られた構成法や制約条件を，より広いクラスの結び目，特により一般の多様体内の結び目へ拡張することが挙げられる。

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●井手 勇介
今年度は，前年度から引き続くコロナ禍の影響により，対面での研究交流が難しい状況があったが，遠隔での研究打ち合わせをできる限り快適に行うための設備を充実することによって，従前通りとまではいかないものの，ある程度の研究交流を進めることができた。得られた知見を整理しつつ，来年度に向けた研究体制の更なる充実が必要である。
●大野 晋司
大野の研究結果から，コンパクト対称三対から構成される一般化された s 多様体について対蹠集合からトポロジーの情報が引き出せる可能性があることが示唆される。これはコンパクト対称空間の対蹠集合がその対称空間のトポロジーに関係することが知られていることから予想される。さらに Hermann 作用に対応する一般化された s 多様体へのコンパクト Lie 群の作用の軌道について調べることが今後の課題となる。
●三村 与士文銀河のモデルの妥当性はまだ疑念が残る部分がある。そのことを踏まえた上で銀河の回転構造がカシミール元に起因することが当面の課題である。今回得られた，勾配流でない散逸系や保存系へ時間離散化を応用する方法は限定的なところがあり，これを改良してより多くの方程式系を取り扱えるようにする必要がある。
【研究発表】
Kimihiko Motegi, The Strong Slope Conjecture for Mazur pattern satellite knots, Mathematical Congress of Americas（MCA）2021, Knots, Surfaces, 3-manifolds, アルゼンチン（ブエノスアイレス）オンライン , 2021 年 7 月 23 日 .
Kimihjiko Motegi, Seifert Surgery Network Revisited, 研究集会「結び目理論」, 東京女子大学
オンライン , 2021 年 9 月 5 日 .
Kiminiko Motegi, Generalized torsion and Dehn filling, 東北結び目セミナー 2021, 秋田大学

オンライン , 2021 年 10月 16 日 .
Kiminiko Motegi, The Strong Slope Conjecture for Mazur pattern satellite knots, Low dimensional topology and numbertheory XIII, To the memory of Professor Toshie Takata,
九州大学 , 2022 年 3 月 15 日 .
Kiminiko Motegi, Dehn surgery on knots, 微分トポロジー 22, 筑波大学 オンライン , 2022 年 3 月
19 日 ,20 日 .
茂手木 公彦 , 結び目をねじる , デーン手術をねじる , 日本数学会年会 企画特別講演 オンライン ,2022 年 3 月 30 日 .
吉田健一，奥間智弘，渡辺敬一（共同），2 つの異なる正規還元種数，日本数学会総会代数学分科会（Zoom，慶応大学），2021 年 3 月 16 日 .
吉田健一，奥間智弘，渡辺敬一（共同），Strongly elliptic ideal，日本数学会総会代数学分科会（Zoom，慶応大学），
2021 年 3 月 16 日 .
吉田健一，A note on core（m）of Gorenstein local rings of reduction exponent 2, 可換環論オンラインセミナー（Zoom），
2021 年 7 月 10 日 .
吉田健一，奥間智弘，渡辺敬一（共同）Strongly elliptic ideals and the core of ideals，第 42 回可換環論シンポジウム（オンライン）2021 年 11 月 21 日 .
市原一裕，Remarks on chirally cosmetic surgeries on knots，研究集会「東北結び目セミナー 2021」，Zoom によるオンライン開催，2021 年 10 月 16 日．

22下元数馬，第 42 回可換環論シンポジウム，「変形理論によるネーター環論の探索」，2021 年 11 月 21 日（オンライン）.
下元数馬，日本数学会・秋季総合分科会，「数論と可換環論の応用 - ホモロジカル予想を超えて -」，2021 年 9 月 14 日
（オンライン）.
Kazuma Shimomoto, Virtual Commutative Algebra Seminars,「Perfectoid Spaces-Part 1」，2021年7月23日（オンライン）.
Kazuma Shimomoto, Virtual Commutative Algebra Seminars,「Perfectoid Spaces-Part 2」，2021年7月30日（オンライン）.
井手勇介 , 量子探索における衡平分割・完全量子状態遷移の役割について，RIMS 共同研究（グループ型 A）「有限グラフ上の量子ウォークと量子探索アルゴリズムの数理」, 2021 年 6 月 14 日 .
井手勇介 , Equitable partition と Perfect state transfer を用いた量子ウォーク探索の理解，離散数学とその応用研究
集会 , 2021, 2021 年 8 月 17 日 .
井手勇介，量子ウォークの基本的性質と「解像度」，電子情報通信学会2022年総合大会企画セッションNT-1 通信ネッ
トワークの現代的な課題にチャレンジする基礎理論の新展開，2022 年 3 月 16 日 .
Shinji Ohno, “Generalized s-manifolds and compact symmetric triads”, Geometry of symmetric spaces and group actions,
Osaka City University Advanced Mathematical Institute（MEXT Joint Usage/Research Center on Mathematics andTheoretical Physics）（zoom），February 19, 2022.
【研究成果物】
Nobuyuki Kato, Masashi Misawa, Yoshihiko Yamaura, The discrete Morse flow method for parabolic p-Laplacian systems,
Vol. 200, issue 3（June 2021），1245-1275.
Kimihiko Motegi, Kenneth L. Baker and Toshie Takata, The Strong Slope Conjecture for cablings and connected sums,
New York J. Math.27（2021），676-704.
Kimihiko Motegi, Tetsuya Ito and Masakazu Teragaito, Nontrivial elements in a knot group which are trivialized by Dehnfillings,Int. Math. Res. Not. IMRN, 2021（2021），8297-8321.
Kimihiko Motegi, Tetsuya Ito and Masakazu Tergaito, Generalized torsion and Dehn filling, Topology Appl.301（2021），
107515
茂手木 公彦 , デーン手術 3 次元トポロジーへのとびら , ひろがるトポロジー , 共立出版 , 2022 年 .
Tomohiro Okuma, Kei-ichi Watanabe, Ken-ichi Yoshida, The normal reduction number two-dimensional
cone-like singularities, Proc. Amer. Math. Soc.149（2021），No.11,4569-4581,
DOI: 10.1007/s40306-018-00311-4.
Tomohiro Okuma, Kei-ichi Watanabe, Ken-ichi Yoshida, Normal Hilbert coefficients and elliptic ideals in normal
2-dimensional singularities, to appear in Nagoya Math. J.（2022）.
Kazuhiro Ichihara, Yasuharu Nakae, Integral left-orderable surgeries on genus one fibered knots, Journal of Knot Theory
and Its Ramifications, 30（2021），No. 04, 2150018-1,16.
Kazuhiro Ichihara, Tetsuya Ito, Toshio Saito, Chirally Cosmetic Surgeries and Casson Invariants, Tokyo Journal ofMathematics, 44（2021），No.1, 1-24.
K.Nakazato, Kazuma.Shimomoto, Finite etale extensions of Tate rings and decompletion of perfectoid algebras, Journal ofAlgebra Vol. 589（2021），114-158.
Yusuke.Ide, N. Konno, E.Segawa, Eigenvalues of quantum walk induced by recurrence properties of the underlying birthand death process: application to computation of an edge state, Quantum Information Processing 20（5）,160（2021）.
Yusuke.Ide, A. Ishikawa, H.Morita, I.Sato, E.Segwa, The Ihara expression for the generalized weighted zeta function of a23

finite simple graph, Linear Algebra and its Applications 627, 227-241（2021）.
Shinji Ohno, Takashi Sakai, Area-minimizing cones over minimal embeddings of R-spaces, Josai MathematicalMonographs. 13（2021），69-91.
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