数理解析研究所講究録
第 1544 巻 2007 年 188-195

188

On the existence of zeros of set-valued
operators in Banach spaces
松下慎也 * (Shin-ya Matsushita)

高橋渉 \dag er (Wataru Takahashi)*

松江工業高等専門学校情報工学科
Department of Information Engineering
Matsue National College of Technology\dag er 東京工業大学大学院情報理工学研究科
Department of Mathematical and Computing Sciences
Tokyo Institute of Technology

1

はじめに$E$を Banach 空間、$T:Carrow 2^{E^{*}}$$E^{*}$

を $E$ の共役空間、 $C$ を $E$ の閉凸部分集合とし、を集合値写像とする; 本研究では、 次の問題を考える:

Find $u\in C$ s.t. $0\in Tu$ .

(1.1)(11) を満たす点 を $T$ の零点と呼ぶ。 集合値写像の零点の存在性は、 凸最小化問題、 変分不等式、 不動点問題などの解の存在性と関係があり重要であ$u$る [2, 3, 4, 6, 12, 13]。具体的には、 $f$ : $Earrow(-\infty, \infty$ ] を proper で下半連続な凸関数とし、 $x\in E$ に対して、$\partial f(x)=\{x^{*}\in E^{*} :を対応させる $f$ の劣微分$\min_{x\in E}f(x)$$\partial f$f(y)\geq f(x)+\langle y-x,x^{*}\rangle(\forall y\in E)\}$

は $E$ から$E^{*}$への集合値写像となり、 $f(u)=$であることは $0\in\partial f(u)$ と同値になる。

Aubin [2] は、集合値写像$S$: $Carrow 2^{E}$ の零点の存在を示すため、 次の条件について研究を行っている:$S(x)\cap T_{C}(x)\neq\emptyset(\forall x\in C)$

ただし、 $T_{C}(x)= c1(U_{\lambda>0}\frac{C-x}{\lambda})$

、.

(1.2)

cl $D$ は集合 $D$ の閉包とする。 Aubin は条件 (1.2) を用いて $S$ の零点の存在を示し、 更にその結果を不動点問題、微分方程式、変分不等式、相補性問題などに応用した。 しかし、 Banach 空間における凸関数の劣微分は、 $E$ から$E^{*}$への集合値写像となるため、条件 (1.2) を劣微分に適用することはできない。

189への集合値写像が零点を持つための条件につへの集合値写いて研究することである。 そこで、 第 2 節ではまず $E$ から本研究の目的は、 $E$ から$E^{*}$$E^{*}$

像に対して、 その写像が零点を持っことに関係する条件を提案し、 いくつかの具体例を挙げる。 第 3 節では単調で上半連続な集合値写像に対する零点の存在定理を示す。 その応用として第 4 節では、 双対写像の特徴付け、 凸最小化問題の解の存在定理を示す。

2

準備$E$を Banach 空間とし、の値を \langle $x,$
らば$x^{*}$$E^{*}$

をその共役空間とする。 $x\in E$ における $x^{*}\in E^{*}$) と表す。 $E$ が狭義凸であるとは, $||x||=||y||=1$ で $x\neq y$ なが成り立っことをいう. また、 $E$ のノルムが滑らかであると$||_{2}^{\underline{x}+\Delta}||<1$

は, 任意の $x,y\in U=\{x\in E:||x||=1\}$ に対して,$\lim_{tarrow 0}\frac{||x+ty||-||x||}{t}$が存在することをいう。 任意の $x,y\in E$ に対して区間 $[x,y]$ を$[x,y]=\{(1-t)x+ty(t\in[0,1])\}$とする。 $C$ を Banach 空間 $E$ の閉. 凸部分集合、 $T$ : $Carrow 2^{E}$ を集合値写像とする。 $T$ が単調であるとは、 任意の $x,$ $y\in C,$ $x^{*}\in Tx,$ $y^{*}\in Ty$ に対して ( $x-y,x^{*}-y^{*}\rangle$ $\geq 0$ が成り立っときをいう。 また、 $T$ が $x\in C$ で上半連続であるとは、 任意の $Tx$ の近傍 $V$ に対して、 ある$Ty\subset V(\forall y\in U)$$x$の近傍 $U$ が存在してが成り立っときをいう。 $T$ が上半ヘミ連続であるとは、任意の $x,$ $y\in C$ に対して、 $T$ が区間 $[x, y]$ で上半連続になるときをいう。
$T$に対して次の条件を与える:$Tx\subset(N_{C}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in C)$.

(2.1)

ただし、 $N_{C}(x)=\{x^{*}\in E^{*} : \langle x-y, x^{*}\rangle\geq 0(\forall y\in C)\}$ である。 次に、 条件 (2.1) を満たす具体例を挙げる。
例 2.1 $E$ の元$x$に対して,$E$$J(x)=\{x^{*}\in E^{*} :から$2^{E^{*}}$への集合値写像 $J$ を\langle x,x^{*}\rangle=||x||^{2}=||x^{*}||^{2}\}$で定義する。 この $J$ を $E$ 上の双対写像という. このとき$-Jx\subset(N_{B[0]}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in B[0])$ただし、 $B[0]=\{x\in E:||x||\leq 1\}$ である。

.

190
証明

ある $x_{0}\in B[0|$ が存在して $-J(x_{0})\cap N_{B[0]}(x_{0})\backslash \{0\}\neq\emptyset$ とする。

こ

こで、 $||z||<1$ のとき常に $N_{B[0]}(z)\backslash \{0\}=\emptyset$ となるため、 $||x_{0}||=1$ としてよい。 $x_{0}^{*}\in-J(x_{0})\cap N_{B[0]}(x_{0})\backslash \{0\}$ とすると、$x_{0}^{*}\neq 0$

かつ$\langle x_{0}-y, x_{0}^{*}\rangle\geq 0(\forall y\in B[0])$となる。 ここで $x_{0}^{*}\in-J(x_{0})$ より、$\langle-y,x_{0}^{*}\rangle\geq-\langle x_{0},x_{0}^{*}\rangle=||x_{0}||^{2}=1$$(\forall y\in B[0])$となる。 特に $y=0$ とすると、 $0\geq 1$ となり矛盾を得る。 したがって、$-Jx\subset(N_{B[0]}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in B[0])$

一方 ‘

$T$.

が一価写像のとき次のような結果が得られている。

命題 2.1 ([9]) $E$ を滑らかで狭義凸な回帰的 Banach 空間、 $C$ を $E$ の閉凸部分集合、 $T:Carrow E^{*}$ を一価写像とする。 このとき、以下の条件は同値である。

(1) $-Tx\in(N_{C}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in C)$ ;(2) $\inf_{y\in C}V(y, (J-T)x)<V(x, (J-T)x)$$(\forall x\in C, J^{-1}(J-T)x\not\in C)$

ここで、 $V:E\cross E^{*}arrow[0, \infty$ ) は.

$\tilde{V}(x, x^{*})=||x||^{2}-2\langle x, x^{*}\rangle+||x^{*}||^{2}$である。

命題 21 と [8] の結果より、 条件 (2.1) は、 制約可能性問題、 凸最小化問題の解が存在するときの必要条件となる。
例 2.2 $E$ を一様に G\^ateaux 微分可能なノルムを持つ一様凸 Banach 空間、を $E$ の閉凸部分集合族、 $D$ を $E$ の閉凸部分集合とする。 このとき、$\{C_{1}\}^{m_{1}}=$

口.m.

${}_{=1}C_{i}\cap D\neq\emptyset$

ならば$-(J-J\Pi_{1}\Pi_{2}\cdots\Pi_{m})x\in(N_{D}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in D)$.

: $Earrow C_{i}$ は $\Pi_{i}x=arg\min_{y\in C:}V(y, Jx)$ で定義される generalizedprojection ([1] を参照) とする。
ただし、$\Pi_{i}$例 2.3 $E$ を一様に滑らかな一様凸 Banach 空間、 $f$ : $Earrow(-\infty, \infty$ ] を properで下半連続な凸関数、 $S= \{u\in E:f(u)=\min_{x\in E}f(x)\}$ $D$ を $E$ の閉凸部、分集合とする。 このとき、 $S\cap D\neq\emptyset$ ならば$-(J-JQ_{r})x\in(N_{D}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in D)$

ただし、とする。

$Q_{r}$:$Earrow D(\partial f)$.

は $Q_{r}x= \arg\min_{y\in E}\{f(y)+\frac{1}{2r}||y||-\frac{1}{r}\langle y, Jx\rangle\}$

191

3存在定理
この節では, 単調で上半ヘミ連続な集合値写像に対する零点の存在定理を得る. 以下の結果は主定理を証明するのに必要となる。
定理 3.1 (Takahashi [11, 12, 13]) $Y$ を線形位相空間 $E$ のコンパクト集合とし、 $X$ を $E$ の凸部分集合で、 $X\subset Y$ となるものとする。 $A$ を $X$ から$2^{Y}$への集合で、任意の $y\in Y$ に対して、 $A^{-1}y$ が常に凸集合になっているものとする。 このとき、 $X$ から$2^{Y}$への写像 $B$ で、 次の 3 つの条件:(1) 任意の $x\in X$ に対して、 $Bx\subset Ax$ である;
(2) 任意の $y\in Y$ に対して、$B^{-1}y\neq\emptyset$;(3) 任意の $x\in X$ に対して、 $Bx$ は開集合であるを満たすものが存在するならば、 $x_{0}\in Ax_{0}$ となる $x_{0}\in X$ が存在する。
定理 3.2 (Kneser [7]) $X$ を線形空間の凸部分集合、 $Y$ を Hausdorff 線形位相を、任意の $x\in X$ に対し空間のコンパクト凸部分集合とし、 $f$ :て、 $y\in Y$ の関数 $f(x, y)$ が下半連続な凸関数であり、任意の $y\in Y$ に対し$X\cross Yarrow \mathbb{R}$て、 $x\in X$ の関数 $f(x, y)$ が凹関数であるとする。 このとき$\min_{y\in Y}\sup_{x\in X}f(x_{\vee}y)=\sup_{x\in X}\min_{y\in Y}f(x,y)$が成り立っ。
補助定理 3.1 (Shih-Tan [10]) $C$ を Banach 空間 $E$ の閉凸部分集合、 $T:Carrow$$2^{E^{*}}$

を上半ヘミ連続 (ただし、て、 $Tx$ が$E^{*}$$E^{*}$の位相は汎弱位相)、任意の $x\in C$ に対しの汎弱コンパクト凸部分集合とする。 このとき、$\sup_{iP^{l}\in Tx}\langle u_{0}-x,x^{*}\rangle\leq 0(\forall x\in C)$

ならば、$\inf_{u^{r}\in Tu_{0}}\langle u_{0}-x,u^{*}\rangle\leq 0(\forall x\in C)$である。

次に主定理を示す。
定理 3.3 $X$ を Banach 空間 $E$ の閉凸部分集合とし、 $T$ : $Xarrow 2^{E}$ を単調での位相は汎弱位相) とし、 任意の $x\in X$ に対して、ヘミ連続 (ただし、$E^{*}$$Tx$ は $E^{*}$の汎弱コンパクト凸部分集合とする。 このとき、 $X$ の弱コンパクト凸部分集合 $C$ が存在して、$-Tx\subset(N_{C}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in C)$が成り立っならば、$T^{-1}0\neq\emptyset$。

(3.1)

192
証明の概略
はじめに、 $\sup_{x^{*}\in Tx}$ \langle uo--x,$x^{*}\rangle$$\leq 0(\forall x\in C)$を満たす $u_{0}\in C$ が存在することを示す。 任意の $y\in C$ に対して、$\{x\in C:\sup_{x^{*}\in Tx}\langle y-x,x^{*}\rangle>0\}\neq\emptyset$と仮定する。 ここで、 2 つの集合値写像 $A,$ $B:Carrow 2^{C}$ をそれぞれ次のように定義する。

$Ax=\{:_{y}>0\}$ ,$Bx= \{y\in C:\sup_{x\in Tx}\langle y-x, y^{*}\rangle>0\}$.

このとき、 任意の $y\in C$ に対して,$A^{-1}y=\{x\in C$ : $\inf_{y\in y}\langle y-x,y^{*}\rangle>0\}$は凸集合となる。 また、 任意の $y\in C$ に対して、$B^{-1}y= \{x\in C:\sup_{x^{l}\in Tx}\langle y-x,y^{*}\rangle>0\}\neq\emptyset$となる。 一方、 $T$ の単調性から $Bx\subset Ax(\forall x\in C)$ $B$ の定義から任意の$x\in C$ に対して、 $Bx$ が開集合となる。 このことから、 $A$ と $B$ は定理 31 の、条件を満たす。 よって、 ある$u_{0}\epsilon c$が存在して $u_{0}\in Au_{0}$ となる。 つまり、

$0< \inf_{u^{*}\in u_{0}}\langle u_{0}-u_{0},u^{*}\rangle=0$.

これは矛盾。 すなわち、$\sup_{u\in Tx}(u_{0}-x,u^{*}\rangle\leq 0(\forall x\in C)$(3.2)

を満たす $u_{0}\in C$ が存在する。

(3.2) と補助定理 31 より、$\inf_{u\in Tu_{0}}(u_{0}-x,u^{*}\rangle\leq 0(\forall x\in C)$となり、$\sup_{x\in C}\inf_{u^{*}\in Tu_{0}}\langle u_{0}-x,u^{*}\rangle\leq 0$が得られる。 定理 32 より、$\inf_{u^{r}\in Tuo}\sup_{x\in}\langle u_{0}-x,u^{*}\rangle\leq 0$が得られ、 $N_{C}(u_{0})$ の定義と条件 (3.1) より、$0\in\dot{T}u_{0}$となる。

$\blacksquare$1934応用
この節では、 定理 33 を用いて、 双対写像の特徴付け、 凸最小化問題の解の存在に関する必要十分条件ついて議論する。
定理 4.1 $E$ を Banach 空間、 $J:Earrow 2^{E}$ を双対写像とする。 このとき、 以下の条件は同値である。
(1) $E$ が回帰的である:(2) $J$ が全射である.
証明(2) ならば (1) が成り立っことは、 James の定理 (例えば、 [5, 12, 13])から示される。 よって、 (1) ならば (2) を示す。 $x^{*}\in E^{*}$ $r>0$とする。 このとき、 $x^{*}\in R(J)$ を示せばよい。 はじめに、、、$\downarrow|x||<r$$-(Jx-x^{*})\subset(N_{B_{r}[0]}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in B_{r}[0])$を示す。 ただし、 $B_{f}[0]=\{x\in E:||x||\leq r\}$ である。 そこで ‘$-(Jx_{0}-x^{*})\cap(N_{C}(x_{0})\backslash \{0\})\neq\emptyset$となる $x_{0}\in B_{r}[0]$ が存在すると仮定する。一般性を失うことなく $||x_{0}||=r$ としてよい。 したがって、 $-x_{0}^{*}+x^{*}\in N_{B_{r}[0]}(x_{0})\backslash \{0\}$ を満たす

-x0*+x*\neq o. かつ \langle xo--y,が成り立っ。 これより、 任意の $y\in B_{r}[0]$ に対して、在する。 このとき$-x_{0}^{*}+x^{*}\rangle$$\backslash$$x_{0}^{*}\in Jx_{0}$が存$\geq 0(\forall y\in B_{r}[0])$$\langle y, x_{0}^{*}-x^{*}\rangle\geq\langle x_{0},x_{0}^{*}-x^{*}\rangle$$=\langle x_{0},x_{0}^{*}\rangle-(x_{0},x^{*}\rangle$$\geq||x_{0}||^{2}-||x_{0}||||x^{*}||$$=r(r-||x^{*}||)$$>0$

ここで ‘ $y=0$ とおくと、 $0\geq r(r-||x^{*}||)>0$ となり矛盾。 よって$-(Jx-x^{*})\subset(N_{C}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in B_{f}[0])$が成り立っ。

集合値写像 $T:Earrow 2^{E^{*}}$ を $Tx=Jx-x^{*}(\forall x\in E)$ と定義すると、 $T$ は$B_{r}[O]$において定理 33 の条件を満たしており、$x^{*}\in R(J)$$T^{-1}0\neq\emptyset$となる。 よって、となる。

$\blacksquare$

次に、 定理 33 を凸最小化問題に応用する。 $f$ : $Earrow(-\infty, \infty$ ] を proper な下半連続な凸関数とする。 このとき、 $x\in E$ に対して、.
$\partial f(x)=\{x^{*}\in E^{*} :で定義される $E$ から$E^{*}$

f(y)\geq f(x)+\langle y-x,x^{*}\rangle(\forall y\in E)\}$への集合値写像$\partial f$を$x$における $f$ の劣微分という。

194
定理 4.2 $E$ を滑らかで狭義凸な回帰的 Banach 空間、 $f$ : $Earrow(-\infty, \infty$ ] をproper で下半連続な凸関数、 $r>0$ とする。 このとき、 以下の条件は同値である。

(1) ある $u\in E$ が存在して、 $f(u)= \min_{x\in E}f(x)$ ;(2) $E$ の有界閉凸集合部分 $C$ が存在して、$-A_{r}x\in(N_{C}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in C)$.

(41)

ただし、 $J_{r}x=(I+rJ^{-1} \partial f)^{-1}x,A_{r}x=\frac{1}{r}J(x-J_{r}x)$ とする。
まず、 (2) ならば (1) を証明する。 ここで、証明$A_{r}$は一価で単調ヘミ連続となる (例えば、 [5, 12, 13])。また、条件 (4.1) より定理 33 を用いると、$A_{r}^{-1}0\neq\emptyset$となる。 $u\in A_{r}^{-1}0$ とすると、 $0=A_{r}u=\frac{1}{r}J(u-J_{r}u)$ 。よって、 $J_{r}u=u$ となる。

$J_{r}$の定義より、 $O\in\partial f(u)$ となるので (1) が成り立っ。

次に、 (1) ならば (2) を示す。 $u\in E$ を $f(u)= \min_{x\in E}f(x)$ とし、 $\delta>0$とする。 このとき、$-A_{r}x\in(N_{B_{\delta}[u]}(x)\backslash \{0\})^{c}(\forall x\in B_{\delta}[u])$となることを示す。

$-A_{r}x_{0}\in N_{B_{\delta}[u]}(x_{0})\backslash \{O\}$(4.2)となる $x_{0}\in B_{\delta}[u]$ の存在を仮定する。 つまり、$-A_{r}x_{0}\neq 0$

かつ$\langle x_{0}-y, -A_{r}x_{0}\rangle\geq 0(\forall y\in B_{\delta}[u])$となる。 $\langle x_{0}-J_{r}x_{0}+J_{r}x_{0}-y, -A_{r}x_{0}\rangle\geq 0$ より、$\langle J_{r}x_{0}-y, -A_{r}x_{0}\rangle\geq\langle x_{0}-J_{r}x_{0},A_{r}x_{0}\rangle$$= \langle x_{0}-J_{r}x_{0}, \frac{1}{r}J(x_{0}-J_{r}x_{0})\rangle$$= \frac{1}{r}||x_{0}-J_{r}x_{0}||^{2}\geq 0$

ここで、 特に $y=u$ とおくと

$A_{r}$.の単調性より、$0\geq\langle J_{r}x_{0}-u, -A_{r}x_{0}\rangle$$\geq\frac{1}{r}||x_{0}-J_{r}x_{0}||^{2}\geq 0$.

よって、 $x_{0}=J_{r}x_{0}$ となる。 これは、 $-A_{r}x_{0}\neq 0$ に矛盾。 よって (4.2) が成り立っ。

$\blacksquare$

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