最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

Technical Report YK-011
March 12, 2018
Y. Karasawa

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定～電波伝搬視点からのディジタル伝送特性解析 [IV]～唐沢好男

本レポートは、同シリーズの YK-001, YK-003, YK-010 の姉妹編であり日本学術会議 URSI-F 会合 622 回（2018.03.19）の発表内容を論文形式にまとめたものである。

１．はじめに
本稿では、電波伝搬的視点からのディジタル伝送特性解析の第四弾(*)として、最大比合成ダ
イバーシチ適用時の符号間干渉推定モデルを示す（*第一～三弾は文献[1]~[3]）。ここで提示する推定モデルは、BER マップ利用と言う計算の段取りに手間暇かかる部分があり、必ずしも実用的ではない。しかしながら、その結果の意味を肌感覚で理解したいと言う場合、すなわち、原因である電波伝搬と結果であるディジタル伝送特性の物理的な結びつきを知りたい場合において、本稿で述べる推定法はおおいに役立つものと確信している。
（また、得られた式もきわめて簡易）。
広帯域信号の伝送においては、マルチパスによる遅延量のばらつきによる符号間干渉が伝送誤りの原因になる。符号間干渉によるビット誤り率を定量的に求めることは、電波伝搬と通信方式が複雑に関連していて容易ではない[4]-[6]。筆者等は、遅延広がりとドップラー広がりが共に存在する環境において同期はずれ誤りを引き起こす再生クロックのサイクルスリップ現象の解
析のために、独自の伝搬モデル：等価伝送路モデル（Equivalent Transmission-Path モデル）を編み出し[7],[8]、これを応用して、仲上・ライスフェージング環境での符号間干渉誤りの推定法を構築している[9]-[11]。このモデルについては文献[12]で、また、その基本思想を含めた詳細については文献[1]で解説している。このモデルによって、電波伝搬と通信方式の普遍的な結びつきが明らかになり、また、定量的評価の手段を得ている。
本稿では、仲上・ライスフェージングの極限に位置づけられるレイリーフェージングを対象に、最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤りを推定するための伝搬モデルを構築する。このモデル化では、等価伝送路モデルをベースとし、物理に裏打ちされた汎用的な取り組みを行う。
なお、筆者等は以前に、OFDM のガードインターバルを超えて遅延の広がりがある環境、すなわち、不完全サイクリックプレフィックス状態での符号間干渉誤りの解析を行い[13]、そのダイバーシチ合成についても取り組んできた[14]。しかし、最大比合成ダイバーシチのモデリングにおいては OFDM 特有の難しさ（あるいは不思議なところ）があり、理論モデルの完成には至っていなかった。そこで、原点に返って、基本であるシングルキャリア伝送での最大比合成ダイ
バーシチのモデル化に取り組んでみようと思ったのが本検討の動機である。

1

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

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２．レイリーフェージング環境での最大比合成ダイバーシチの２波モデル近似の妥当性
３節において、本稿の主題である最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤りの解析モ
デルを示す。本節では、この前提となる２波モデル近似の妥当性根拠を、計算機シミュレーショ
ン評価によって示す。すなわち、二段階アプローチにおける、その一段目である。

２．１

符号間干渉存在下での最大比合成

アレーアンテナ受信による広帯域情報伝送の受信信号ベクトル y(t)は以下で与えられる。

y(t )  h(t )  s(t )  n(t )(1)

ここで、s(t)は送信信号、n(t)は雑音ベクトル、記号  は畳み込み積分、h(t)は伝搬路のインパル
ス応答ベクトルであり、それぞれのベクトルは、アレー素子数 N に対して以下で定義される（式中の上付き文字 T は転置を表す）。

y   y1

y2 ... yN 

n   n1 n2 ... nN 
h   h1

h2 ... hN 

T

T

T

インパルス応答はマルチパス伝搬での遅延波の集まりであり、時間を遅延時間に置き換えて、以下で表される。
Lh( )   ai (   i )

(2)

i 1

ai   ai(1)ai(2) ... ai( N ) T

パスの数を L、それぞれの素波（i）の複素振幅（中心周波数：等価低域通過系表現では f=0 における）を ai, 遅延量をi としている。 は Dirac のデルタ関数である。周波数の関数で与えられる伝達関数ベクトル T(f)はインパルス応答のフーリエ変換として次式で与えられる。

T ( f )  T1 T2 ... TN T

   h( ) exp( j2 f  ) d




L

  ai exp( j 2 f  i )

(3)

i 1

本稿では、アレーアンテナ（素子数 N）を用いた最大比合成ダイバーシチを対象とする。ブランチ間の変動は無相関のレイリーフェージングを考える。符号間干渉誤りのみを調べるため、熱雑音の影響は無視する（本稿の最後に、熱雑音を加えた総合的な BER を示している）。受信信号
ベクトル y に対する最大比合成ウェイトベクトル w は狭帯域の場合と同じで、それぞれの伝達関数ベクトル T(0)に比例する次式の係数を与える。

2

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定w   w1

w2 ... wN 

w0  T (0) TTechnical Report YK-011
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Y. KarasawaL T (0) / w0   ai / w0

N

(4)

i 1

2

L

 a
n 1 i 1(n)i

各素波は同じ遅延波毎に合成され、その受信信号 z(t)は次式で表される。

z (t )  w H h(t )  s(t )  n(t )

(5)

実際には、シンボル周期 Ts でサンプリングされて復調・復号されるので、上式は離散化され、k 番目のサンプリング信号は L
zˆ(k )  w H   ai sˆ k  (tsampling   i ) / Ts   nˆ (k )  i 1sˆ k  (tsampling   i ) / Ts    u (lTs  tsampling   i )d (l  k )

(6a)

3

(6b)

l 3

で表される。tsampling は、シンボル周期内のサンプルタイミング位置、 zˆ, nˆ は連続信号 z, n の kTs
でのサンプリングされた信号、上付き文字 H は複素共役転置である。 ŝ はサンプルタイミング
時の送信信号成分で、d は送信シンボル系列、u はナイキストフィルタ（今回の検討ではロール
オフファクタ 0.5 の２乗余弦形フィルタ）特性で、符号間干渉の影響が及ぶ前後３シンボル（＝合計７シンボル）分を考慮している。
ナイキストフィルタによって帯域制限された受信信号復調時のサンプルタイミング tsampling（＝再生クロック信号の位相を与える）は次式である[7]。
L 1 L
 L 2

b
sin
2

/
T

2
 i s    bib j cos  i  j  sin  ( i   j ) / Ts  

i

T


i 1 j i 1
tsampling  s tan 1  iL1
L 1 L2  bi2 cos  2 i / Ts   2  bi b j cos  i  j  cos  ( i   j ) / Ts  i 1 j i 1
 i 1bi  w H ai

 i  a r gw H ai (7)

ここで、bi は遅延i の素波を合成した成分の振幅、i は位相である。この計算によって、サンプ
ルタイミング Tsampling は±Ts/2 の範囲に落とし込まれるので、BER 評価に際しては、サイクルスリップ（送信信号系列と受信信号系列が１シンボルずれる現象[7],[12]）になっている場合がある。
このため、シミュレーション時には、このタイミングの前後１シンボル、すなわち、Tsampling ±Tsを加えた３つのケースでの BER を求め、その最小値を選ぶ。

3

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最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

２．２

第一ステップ：２波モデル近似とその妥当性

２．２．１

２波モデル近似

筆者等は、広帯域信号の伝送において遅延の広がりに起因する符号間干渉誤りの評価モデル
として、等価伝送路モデル（Equivalent Transmission-Path (ETP) モデル）を編み出している[1],[12]。
等価伝送路モデルでは、仲上・ライスフェージング環境を対象にしており、本稿で取り扱うレイ
リーフェージングはそれに含まれる。等価伝送路モデルの基本は、任意のインパルス応答を遅延差の２波モデルで表すこと。一旦、２波モデルに表すことができれば、あらかじめ用意している BER のデータベースからその値を読み取ると言う仕組みである。この BER データは、２波の振幅比と位相差でテーブル化されているため、筆者等はこれを BER マップと呼んでいる。
レイリーフェージングの場合の２波モデルは、以下のように作成する。
①

統計的な環境表現である遅延プロファイルから、平均遅延m と遅延スプレッドを求める。

②

平均遅延m を中心とする±の位置に２波 ae1（先行波）と ae2（遅延波）を置く。２波の遅延間隔e は m2   2
Δ e 
 2 m   

(8)



m

である。仲上・ライスフェージングの場合は、直接波の遅延量を基準（=0）としてモデル化するが、レイリーフェージングの場合、遅延の値そのものは意味を持たない。このため、 m=となるように各素波の遅延量を定めれば、２波のうちの先行波は=0, 遅延波は=2=e に置かれる。
このように置くことによって、先行波と遅延波のそれぞれの平均電力：Pe1 と Pe2 は等しくなる。
以下では、この設定を採用する。
③

先行波と遅延波の複素振幅 ae1 と ae2 は以下で定められる[12]。
Lae1   a

(1)
e1

(2)
e1

a

a

    a  Δ

(N) T
e1

... a

L

i 1

i i

(9a)

i

i 1

e

L



ae 2   a

(1)
e2

(2)
e2

a

   Δ

(N) T
e2

... a

a
i 1

i i

(9b)
e

図１は、上述のモデル化をまとめている。
次に、２波モデルでの最大比合成を、図２により説明する。
④

上記①～③によって定められた瞬時環境表現の２波モデルのそれぞれに、(4)式で与えられるウェイトベクトル w を掛けて合成し、遅延差e の２波モデルを作る。このとき、ウェイトベ
クトル w は、２波モデルの複素振幅を用いて以下のようにも表される（||・||はノルム）。
Lw   ai / w0 
i 1

ae1  ae 2
ae1  ae 2

(10)

4

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最大比合成された２波モデルのインパルス応答 he は以下である。

he ( )  c1 ( )  c2 (   e )c1  w H ae1⑤(11)c2  w H ae 2２波の振幅と位相関係を表す諸量を以下で定義する。
（振幅・位相） r1,2  c1,2 , 1,2  arg(c1,2 ) ,（振幅比） r  c2 / c1  r2 / r1 ,x  20log10 r ,（位相差）   arg(c2 / c1 )  2  1

(12)

正規化遅延差/Ts を固定して、振幅比 r の dB 値 x と位相差に対して、変復調方式毎に予めデータベース化されている BER フロア値: P0 (x, ;)のテーブル（BER マップ）を参照し、その環境での BER フロア値を読み取る。図３は同期検波 QPSK（CQPSK）で、/Ts=0.2 のときのBER マップである（横軸分解能 0.1dB、縦軸分解能 1°として計算機シミュレーションにより求めた BER 値: P0 の等高線表示）。
【BER マップの特徴とその作り方は３．４節①、および、付録
１にまとめている】⑥①で定めた遅延プロファイルの下での瞬時環境を乱数により繰り返し生成し、その都度、BER マップから P0 を読み出す。それを平均して BER: Pe (;N)を求める。
⑦

２．１節で述べた方法によるシミュレーションを行って比較し、２波モデル近似の妥当性を確認する。

図１ マルチパス環境の瞬時環境表現（インパルス応答）と統計的環境表現（遅延プロファイ
ル）、およびそれらの２波モデル表現

5

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図２

図３

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マルチパス信号の最大比合成とそのモデル化

BER マップの一例：CQPSK, /Ts =0.2（計算機シミュレーションにより作成）（図中の○は今回の解析には何も関係しないが、サイクルスリップの現象に現れる特異点（singular point）[7]）6

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２．２．２

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２波モデル近似の妥当性

ナイキストフィルタにより波形整形された送信信号（QPSK 信号等）をパス毎に遅延させ、合成された受信信号を復調する計算機シミュレーションによる方法（２．１節で述べた方法）と、
マルチパス環境のみをシミュレーションと共通しにして、(9)式で２波モデルを作り、この振幅比と位相差から、事前に作成されてテーブル化されている BER マップの値を読みに行く方法（前項で述べた方法）の結果を比較して、２波モデル近似の妥当性を調べる。単一アンテナ対向（Single-Input Single-Output: SISO）の場合については、既に文献[9]~[11]により、２波近似の妥当性が調べられているので、本稿での評価は、それが、最大比合成ダイバーシチについてもそのまま適用できるかどうかである。
この評価のためのマルチパス環境は、次式で与えられる打ち切り形の指数関数遅延プロファ
イルを用いている。
L exp  (i  1) d /    (   )p( )  i 1

iL

 exp  (i  1) d /  

(13)

i 1

式中のパラメータ：   は、遅延スプレッドの環境を実現したいとき、打ち切り形であること
によってずれてしまう遅延スプレッドの値を設定値に戻す補正を行った仮の遅延スプレッドである。遅延プロファイルは、インパルス間隔 d を 0.01Ts にし、遅延波数 L を 100 としている。
すなわち、遅延波生成範囲を 0～0.99Ts に設定している。この場合、 =0.1, 0.15, 0.2, 0.25Ts に対して、   =0.1, 0.155, 0.234, 0.41Ts になる（ =0.3Ts は、この遅延波生成範囲では設定できない）。平均電力がこのプロファイルに従うよう乱数でインパルス応答（複素正規分布）を決め、
１インパルス応答当たり 200 ビット伝送し、これを乱数を変えて多数回繰り返す。
（BER 測定
では、1,000,000 回；ビット数では 2×108 個）。
２波モデル近似では、シミュレーションと同じインパルス応答を使い、２波モデルに変換して振幅比と位相差を求めた後、それに対応する BER マップから BER の値 P0 を読み取っている（設定インパルスの数分の平均）。
図４は、CQPSK で /Ts =0.1 と 0.2 について、シミュレーション結果と２波モデル変換後の結果を比較している。両図より、きわめてよい一致が見られ、最大比合成においても、図２で示した変換方法の妥当性が確認できた。これにより、次章でのモデル化では、遅延スプレッドが与えられた環境下での、最大比合成後の２波モデルにおける振幅比・位相差の結合確率分布 fr(r,)が求められれば良い、ということになる。

7

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図４ ダイバーシチ効果の２波モデル近似とシミュレーション結果の比較（最大比合成ダイバ
ーシチ解析に２波モデル近似を用いることの妥当性の根拠を示す図３．最大比合成ダイバーシチのモデリング
３．１

基本的な考え方

前節の評価結果により、ダイバーシチのモデリングにおいては、単一アンテナ対向の通信モデルで確立した BER フロア値推定の基本式（文献[12]の式(10.32)）をそのまま拡張して、符号間干渉による BER の平均値 Pe は以下の式で与えられることの根拠を得た。

Pe ( , N )   P0    


2

0

0

f r (r ,  : N ) P0 (r ,  : Δ e / Ts ) d dr(14)

ここで、frは伝搬環境を２波モデルで表すときの振幅比 r と位相差の結合確率分布である。
文献[10]で示したように、あるいは本稿の付録１で詳しく述べるように、振幅比 r の dB 値 xと位相差で表された BER の分布図には、点（x=0, =）を中心として、その形状がの大きさに比例する近似（相似性）が成立する（目安として <0.6Ts で）。この性質を利用すると、異なるに対する BER マップは、基準とする BER マップ（ref）からスケーリング操作によって得ることができ、一つの変復調方式に対して一つだけ準備すればよいことになる。（筆者等はref=0.2Ts のマップを基準に用いている）。変数 x に対する BER マップの正負の対称性と誤り発生分
布の相似性により、式(14)の変数 r を x に変換して、以下のように書き換えるのが実用的である。

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Pe ( , N )  





2

 0

f x ( x,  ; N ) P0 _ ref  x /  ,(   ) /     d dx

(15a)

ここで

  Δ e / Δ ref(15b)

P0 _ ref  x,    P0 ( x,  : Δ ref / Ts )

(15c)

1
x 
 x 
f x  x,    exp   f r  exp ,   ,
b
b 
b 

 b  20log10 e  8.686

(15d)

良いモデル（推定法）が得られるかどうかは、電波伝搬環境の特徴を表す結合確率分布 fr（あるいは fx）の定式化の成否にかかっている。モデル化の全てを厳密な理論で構成するのは、きわめて困難なことと予想される。そのような際には、シミュレーション実験を行って法則性を探り、その法則を取り入れた定式化を試みることにする。結合確率分布 frの導出に際しては、先に振幅比の分布 fr を求め、次に、振幅 r に対する条件付確率分布 f (f |r)を求めてゆく手順を採る。

f r  r ,    f r  r  f  | r (16)

BER マップからわかるように誤りの発生は非常に限られた領域に集中しており、振幅比分布については、r =1（すなわち x =0）を中心とした中央値付近が正確に、位相差分布については
を中心とした分布の端部分が正確であればよいと理解できる。

３．２

振幅比の確率分布: fr

等価伝送路モデルで表されるそれぞれの２波（ae1, ae2 の各要素）の振幅 ri (i=1, 2)の確率分布は次式で与えられるレイリー分布になる。

f R  ri ; 2   ri 2 exp 2 
2
 2 
ri(17)

ここで、22 は平均電力である（2 を平均電力と呼ぶ定義もある）。
２波モデルでの先行波の振幅分布は f1 ≡ fR (r1; Pe1/2)、遅延波は f2 ≡ fR (r2; Pe2/2)となる。それぞれの波は独立に変動する。
２波の平均電力の比を以下で定義する。

  Pe 2 / Pe1(18)

 =0 の場合は、通常の最大比合成であり、合成後の振幅 r0 の確率分布は次式の仲上 m 分布
fNm(r0;m,)になる。

2m m
 m 
f Nm (r0 ; m, Ω)  m
r02 m1 exp   r02 Ω Γ (m)
 Ω 
9

(19a)

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Ω r

2
0

,

m

r02

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2
2 2
0

r04  r

1
2

(19b, c)

ここで、はガンマ関数である。
パラメータ m はダイバーシチオーダに対応し、独立なレイリー分布の合成の場合は、ブラン
チ数（＝アンテナの本数）N になる。
式(10), (11)から明らかなように、   0 の場合には、不完全なダイバーシチ合成になって、厳密な取り扱いは非常に複雑になる。同様な問題は、文献[15]での解析があり、中央値付近の確率分布に対しては仲上 m 分布への近似で十分な精度を得ている。この場合、合成信号の確率分布
は、
先行波 f1 = fNm (r1;m1,1)(20a)

遅延波 f2 = fNm (r2;m2,2)

(20b)

となる。
それぞれのパラメータ値は、以下のように定められる。（この導出は文献[15]の本文中や文献[12]の付録５の(1)に示されているが、本稿パラメータとの対応が陽に現れた書き方になっていないので、本稿付録２にまとめている）。

Ω1 

N 
Pe1
1 

(21a)

( N   )2
N  2 N   2
1  N
Ω2 
Pe 2
1 

m1 

m2 

(21b)

(21c)

( N  1)2
 2 N  2 N  1(21d)

それぞれの合成された振幅 r1 と r2 の変動が独立であるとすると【脚注】、振幅比 r (=r2/ r1)の分
布は以下のように求めることができる。

f r (r )  0

f1 (t ) f 2 (rt ) dt


 Ar 2 m2 1  t p 1 exp(qt 2 ) dt

(22)

0

ここで、

4m1m1 m2m2A, (m1 ) (m2 )1m1 2m2

p  2(m1  m2 ), q 10

m1 m2 2r
Ω1 Ω2

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である。積分公式


 t
0

p 1

 p
exp(qt 2 ) dt  Γ   / (2q p /2 )
2

(23)

を用いて整理すると次式が得られる。

f r (r ) 

2m1m1 m2m2 Γ (m1  m2 )Ω1m2 Ω2m1 r 2 m2 1
Γ (m1 ) Γ (m2 )(m1Ω2  m2 Ω1r 2 ) m1  m2

2 Γ (m1  m2 ) m1 r 2 m2 1Γ (m1 ) Γ (m2 )(  r 2 )m1  m2



(24)

Ω2 m1
Ω1m2

今回のモデル化では、Pe1=Pe2 に設定しており、すなわち =1 であるので、式(21)は( N  1)2
m
3N  1N 1
1  2 
Pe1  2
m1  m2 

(25a)

(25b)

となって、=1 であるので、式(24)の fr や式(15)での変換で得られる fx はさらに簡単化されて、次式になる。

f r (r ) 

2 Γ (2m)r 2 m1(26a)

 Γ (m) (1  r 2 )2m
2

1x
 x 
f x  x   exp   f r  exp 
b
b
b 

(b  8.686)(26b)

図５は、上式の計算結果を示している。x =0 を中心に釣鐘型であること、主な存在領域は±5dB程度の範囲にあること、アンテナブランチ数の増加に対して、存在領域の幅が徐々に狭まってゆくことがわかる。この傾向は、計算機シミュレーションでも確認している。

【脚注】計算機シミュレーションによって r1 と r2 の相関係数を求めると、N =1 では-0.0021（理論上 0）、N =4 では、-0.274 であった。

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図５ 振幅比分布のブランチ数依存性

３．３

条件付位相差の確率分布：f(|r)

求めたい分布の元になる量は次式で与えられる。

c2 (ae1  ae 2 )H ae 2
c1 (ae1  ae 2 ) H ae1
ae 2  ae1H ae 2
2



(27)

ae1  ae2H ae12

この量の位相の条件付確率分布 f(|r)を理論的求めるのは、きわめて難しいように感じる（筆者には）。そこで、全体の分布を感覚的につかむため、乱数を用いて、上式の量を x- 座標上に10 万点プロットしたのが図６である。

12

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最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定(a) N =1
図６(b) N =4c2/c1 の x- 座標での散布図（点数 100,000）

単一ブランチの N =1 では、位相差の確率分布は、理論からの帰結どおり一様分布になっているが、問題は N >2 である。しかし、N =4 の分布図を良く見ると、誤りが発生する領域になる x=0（すなわち r =1）付近は分布が安定しているように見え、求めたい条件付確率を r =1 の線上の確率分布で代表できそうな期待が持てる。 (27)式において、||ae1|| = ||ae2||であれば、分子と分母は同じ大きさの共役複素量なので、r =1 となる。そのときの位相差は  2arg ae 2  ae1H ae 22（when ae1  ae 2 ）(28)となる。コーシー・シュワルツの不等式より、

ae 2

2

 ae1H ae 2

（等号は ae1  ae 2 ）(29)であるため、位相差 は 0 ~2を超えて分布すること、すなわち、この範囲に外から折り返されることはない。(28)式で||ae2||2 がガンマ分布することはわかるが位相差の分布の理論式は求められるのであろうか？依然として難しいように思う。
正攻法での攻め方が見えないので、搦め手から攻めることにする。乱数を用いたシミュレーシ
ョン実験を行い、分布の法則性を探るのである。その場合に、分布の全体を求めるのではなく、誤りの発生領域である分布の端に位置する =付近を表す式が見えれば了とする。
シミュレーションにおいては、<||ae1||2>=<||ae2||2>=N となるように乱数を発生させ、毎回||ae1||=
k0||ae2||となるように k0 を定め、ae1、k0 ae2 を改めて ae1、ae2 と置き直せば、r =1 の環境が試行回数分だけ生成できる（＝効率的なシミュレーション実験ができる）。
このようにして、N =1～4 について、累積分布を求めたのが図７の実線である。この結果は点線で示す以下の式にかなり良く一致する（ただし、角度をラジアンに変換している）。
N 1  ˆ2 N 1F (ˆ)    2 

100 ˆ     
180 

13

(30)

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Y. Karasawa

求める条件付確率分布の確率密度関数は次式となる。

f ( | r  1) 

2N 1

 2 

N

 

100


 , 0    2    180
2( N 1)(31)

式(31)は、位相差 の全範囲（0~2）で積分しても 1 にはならず、確率密度関数としての必要条件を満たしていない。しかしながら、誤りが発生する領域内では、良い近似となっており、そのまま適用して問題ない。（N =1 では f ()=1/(2)の一様分布となり、全範囲に適用できる厳密式である）
以上により、求めようとしてきた結合確率分布 frは式(26a)と(31)により次式となる。

f r (r , ; N )  f r (r; N ) f ( | r  1; N )(32)

図７ 位相差累積分布のシミュレーション実験結果とその近似

３．４

計算手順のまとめBER マップと確率分布を用いた具体的な計算手順を簡単にまとめる。
①

目的の変復調方式に対する BER マップを作る。作り方を以下に示す（BER マップの相似性の確認と作成プログラム（Matlab m ファイル）は付録１に示す）。/Ts =0.2 の設定を推奨する。
この基準 BER マップのをref、振幅比 dB 値 x の分解能x をxref、位相差の分解能 をrefと置く。QPSK, QAM では、振幅比 dB 値 x の分解能x は 0.1dB、位相差の分解能 は 1°（14最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

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Y. Karasawa

はラジアンが単位なので/180）で十分である。CQPSK の例を図３に示したように、誤りの発生
は、|x| <3 [dB], || <50/180[rad]に収まるので、計算点は x の点数 Ix =61, の点数 I=101 になる（DQPSK では Ix =81, I=121、16QAM では、Ix =151, I=141）。この BER マップを I ×Ix のテーブルとし、それぞれの値を P0_ref (ix, i) (ix =1, 2, …, Ix ; i =1, 2, …, I)とする。
②

結合確率分布 fxの変数変換を行う。遅延スプレッドに対する BER マップは =2である。BER マップの相似形が成立する範囲（QPSK 系では/Ts <0.6、すなわち遅延スプレッド/Ts <0.3 が目安）ではこの性質を使う。 =/ref = /ref として、結合確率分布の変数 x, を以下のように定める。

 1 Ixx(ix )   
 ix  1  xref
 2


(33a)

 1  I i  1 ref 2

 (i )     
③

(33b)

BER の平均フロア値 Pe を以下の計算式で計算する（(15a)式と BER マップへの引数が異なるが同じ結果になることを確認してほしい）
。
Ix

I

Pe    xref ref  f x  x(ix ),  (i )P0 _ ref (ix , i )2

(34)

ix 1 i 1

この計算式の適用範囲は前述のとおり BER マップの形状相似性が保たれる範囲（CQPSK,DQPSK での/Ts <0.3、16QAM では/Ts <0.2 が目安）である（適用範囲を超えると BER 推定は過大評価（＝安全サイド）の方向にずれてゆく）。

４．推定モデルの精度評価とダイバーシチ合成特性
図８は、CQPSK について、ブランチ数 N=1～8、遅延スプレッド/Ts =0.05～0.3 についての計算結果と２．１節で述べたシミュレーション（式(13)の打ち切り形指数関数プロファイル）による結果（/Ts =0.05(■), 0.1(◆), 0.15(▲), 0.2(▼), 0.25(●)）との比較を示している。同図より両者に良い一致が見られ、提案する計算式が実用的な意味で十分な精度を有していることがわかる。
図９は、計算値のみについて、遅延スプレッドを変数として示している（実線）。この結果は下記の近似式が非常によく合う（点線）。

Pe ( , N )    N 1 ( / Ts )2 N(  0.78,   6.3)

(35)

適用範囲の目安は、/Ts <0.3 かつ Pe <0.01 である。上式より、符号間干渉誤りは、N=1 の場
合には、遅延スプレッドの２乗に比例すること、最大比合成ダイバーシチ適用時には遅延スプレ
ッドの 2N 乗に比例することがわかる。
本稿で提案した推定法は、電波伝搬の性質を表す結合確率分布 fr（あるいは fx）とシステム

15

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Y. Karasawa

依存の BER マップとが切り離されており、結合確率分布 fr は変復調方式に依存しない汎用的なものである。CQPSK と同様な方法で差動符号化遅延検波 QPSK（DQPSK）と 16QAM の BER
マップを作り、これによって、図９と同じ計算を行ったものが図１０である（実線）。近似式(35)の形はこの場合も十分な精度で成立し、それを点線で示している。変復調方式による違いは(35)式の係数, の部分で、これをまとめると以下である。

変復調方式





CQPSK

0.78

6.3

DQPSK

0.80

7.5

16QAM

2.0

12

本稿では、符号間干渉誤りのみに着目して解析しているが、他の要因での誤りが存在する場合には、それぞれの BER の値があまり大きくない場合（目安値として 0. 1 以下）では両者の和での近似が期待できる。熱雑音（CNR:0）と符号間干渉が共に存在する環境での総合 BER は次式で表される。

BER( 0 ,  , N )  BERTN ( 0 , N )  BERISI ( , N )(36)

熱雑音でのダイバーシチ適用時の BER 特性を求める式は確立されている（例えば、CQPSK の場合は文献[12]の(10.31)式）。符号間干渉誤り BERISI は(35)式で求められる。図１１は、CQPSK,

/Ts =0.15 の場合について、(36)式による計算結果（実線）とシミュレーション結果（ ）を比較●して示している。N=4 の熱雑音と符号間干渉が同程度の部分に若干のずれは見えるが、全体として、(36)式での評価の妥当性が示されている。

16

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

図８

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BER フロア特性のダイバーシチ効果（計算値とシミュレーション値（■,◆,▲,▼,●）の比較）

図９

CQPSK での BER フロア値と遅延スプレッドとの関係

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Y. Karasawa(a) DQPSK(b) 16QAM
図１０

DQPSK, 16QAM での BER フロア値と遅延スプレッドとの関係

18

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図１１

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熱雑音と符号間干渉が共に存在する環境での総合 BER 特性（CQPSK, /Ts =0.15）

５．むすび
単一アンテナ対向のシステムにおける符号間干渉誤り（BER フロア）推定法である等価伝送路モデルを拡張して、最大比合成ダイバーシチ適用時の計算モデルを構築した。このモデリング
では、二段階の手順を採った。
第一段階では、最大比合成ダイバーシチ適用時においても、任意のマルチパス環境を２波モデルに置き換えるモデルが成立することを計算機シミュレーションで調べた。このことによって２波モデル置き換えの妥当性の根拠を得た。モデリングの鍵は、２波モデルにおける２波の振幅
比 r と位相差の結合確率 fr(r,)を求めることであることを示した。
第二段階では、この結合確率 fr(r,)の導出を行った。その導出に際しては、振幅比の確率分布
fr(r)と位相差の条件付確率分布 f(r)の積 fr(r,)= fr(r) f(r)の形に整理し、fr(r)、f(r)の順に求めていった。振幅比分布 fr は近似的考えながらも妥当な理論的展開ができ、使いやすい式を得た。一方、位相差の条件付確率分布については理論的解析が困難なため（筆者の力不足にもより）、正攻法をあきらめ、搦め手からの攻めを行った。具体的には振幅比・位相差分布上の比較的狭い範囲に集中する誤りの発生エリアのみに着目し、分布形に見られる法則を計算機シミュレーシ
ョン実験で見出す方法を採った。幸い、非常に簡易な関係を見つけることができ、モデル化には
これを法則として取り入れた。
このようにして、変復調方式に依存しない伝搬環境のモデル化を行うことができた。文献[9]19最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

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で確立した単一アンテナ対向のシステム（N=1）は今回モデルに包含され、かつ、その場合の結合確率分布 frは近似の影響を受けない厳密な理論式である。得られた計算式を用いて、同期検
波 QPSK（CQPSK）を例に、計算機シミュレーション結果と比較して、ブランチ数 N=1～8、遅延スプレッド/Ts <0.25 について、実用的に十分な精度で推定できていることを明らかにした。
また、差動符号化・遅延検波 QPSK（DQPSK）および 16QAM でのダイバーシチ特性も調べ、BER のフロア値はN-1(/Ts)2N の形に表すことができ、変復調方式によって係数 の値が定まることを示した。
参考文献[1] 唐沢好男, “等価伝送路モデル: その思想と実践,” Tech. Rep. YK-001（私報）, pp. 1-35, Aug. 2017.
http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/ETP%20model.pdf[2] 唐沢好男, “ワイヤレス情報伝送の物理限界,” Tech. Rep. YK-003（私報）, pp. 1-18, Nov. 2017.
http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/TR-YK-003-Physical%20limit.pdf[3] 唐沢好男, “二重選択性フェージングにおけるBERフロア特性とシンボル長の最適設計法,” Tech. Rep.
YK-010（私報）, pp. 1-17, Feb. 2018. http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/TR-YK-010_BER_floor_Analysis.pdf[4] P. A. Bello, B. D. Nelin, “The effect of frequency selective fading on the binary error probabilities of incoherent
and differentially coherent matched filter receivers,” IEEE Trans. Commun. Syst., vol. CS-11, pp. 170-186, 1963.
[5] O. Shimbo and M. Celeviler, “The probability of error due to intersymbol interference and Gaussian noise in digitalcommunication systems,” IEEE Trans. Cimmun. Technol., vol. COM-19, pp. 113-119, 1971.
[6] J. C.-I. Chuang, “The effects of time delay spread on portable radio communications channels with digitalmodulation,” IEEE Jour. Select. Areas Commun., vol. SAC-5, pp. 879-889, 1987.
[7] Y. Karasawa, T. Kuroda and H. Iwai, "Cycle slip in clock recovery on frequency-selective fading channels," IEEE
Trans. Commun., vol. 45, 3, pp. 376-383, 1997.
[8] Y. Karasawa, T. Kuroda and H. Iwai, "Analysis of cycle slip in clock recovery on frequency-selective NakagamiRice fading channels based on the equivalent transmission-path model," IEICE Trans. Commun., vol. E79-B, 12,
pp. 1900-1910, 1996.
[9] Y. Karasawa, T. Kuroda and H. Iwai, "The equivalent transmission-path model," IEEE Trans. Vehicul. Tech., vol.
47, no. 1, pp. 194-202, 1997.
[10] Y. Karasawa and H. Iwai, "Enhancement of the ETP model: How to calculate BER due to ISI for wideband digitaltransmission in Nakagami-Rice fading environments," IEEE Trans. Vehicul. Tech., vol. 49, no. 6, pp. 2113-2120,
2000.
[11] H. Iwai and Y. Karasawa, “The theoretical foundation and applications of equivalent transmission-path model forassessing wideband digital transmission characteristics in Nakagami-Rice fading environments,” IEICE Trans. on
Commun., vol. E79-B, no. 9, pp. 1205-1214, 1996.
[12] 唐沢好男, 改訂 ディジタル移動通信の電波伝搬基礎, コロナ社, 2016.03.
[13] Y. Karasawa, N. Gejoh, and T. Izumi, "Modeling and analysis of OFDM transmission characteristics in Rayleighfading environment in which the delay profile exceeds the guard interval," IEICE, Trans. Commun., vol. E88-B, no.
7, pp. 3020-3027, 2005.
[14] 鄭 鶯仙, 唐沢好男, "遅延の広がりが OFDM のガードインターバルを超えるマルチパス環境における最大比合成ダイバーシチ特性の等価伝送路モデルによる解析," 信学技報, A・P2012-112, pp. 109-114, 2012.
[15] 唐沢好男, "不完全 MRC における合成信号強度の厳密確率分布," 信学論(B), vol. 99-B, no. 6, pp. 408-414,
2016.06.
[16] 唐沢好男, 黒田知紀, 岩井誠人, “周波数選択性フェージングとサイクルスリップ [II],” 信学技報,
AP92-57/RCS92-45, 1992.

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付録１ BER マップの性質と作り方（１）BER マップの形状相似性
本稿で提案する推定法では、変復調方式毎に用意する一枚の BER マップを用いている。実際には２波の遅延差ごとに BER マップは異なるが、BER マップにはかなり正確な形状相似性があるので、一枚の BER マップがあれば、その性質を利用して任意のに対してスケーリングができる。ここではその根拠を示す。
伝達関数はインパルス応答のフーリエ変換で与えられ、通信路の周波数特性を表す。通信信号
帯域内で伝達関数が同じであれば、同じ伝送特性になるはずである。その第一次近似として、以．．．．．．．
下の二つの値がお互いに一致するとき、伝達関数が同じとみなす。
① 周波数 f0 での伝達関数の値：T(f0)② 周波数 f0 での伝達関数の傾き：T’(f0) (T   T / f )上記二つの特性を組み入れることができる最も簡易なモデルは、複素振幅、ae1, ae2 と遅延差
によって表される２波モデル（図１）である。この伝達関数を等価低域通過系（ベースバンド系：

f=0 を中心周波数）で表すと次式である。

T ( f )  ae1  ae 2e j 2 fΔ

(A1)

遅延差が異なる２種類の２波モデル（ref と）があり、これらが、①、②の意味で同じと言えるためには、≡ref を用いて、両者の複素振幅（ae1(ref), ae2(ref)と ae1, ae2）は次式で関係付けられる。

 ae1   1 1  1/    ae(1ref )    ( ref )  ae 2   0 1/    ae 2   Δ / Δ 
ref

(A2)

さらに、符号間干渉誤りの評価では振幅レベルの大きさには依存しないため、本質的なパラメータとして、T(0)で正規化した傾度：正規化伝達関数傾度（NTFG: Normalized Transfer Function
Gradient）を次式により定める。

  T' (0) / T (0)(A3)

２波モデルでの NTFG は次式となる。

 j 2 ae 2 Δ  j 2 Δ
ae1  ae 21 
ae 2 
 

ae1 


(A4)

これより、ae2 と ae1 の比はとの関数となり、次式で結ばれる（本付録内で用いる文字,は本文では別の意味で使用している）。

 ( ; Δ )   j 2Δ(A5)

図３の BER マップの例に見られるように x=0 (r=1),=180°を中心とするエリアに、誤りの発21

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Y. Karasawa

生は集中している。の値を変えると、このマップはどのように変化するだろうか？基準遅延
差をref とし、これを に変えた場合を調べてみたい。それぞれの２波（遅延波と先行波）の比が BER マップの位置を決めるため、複素振幅の比を以下のように置く。

   ae 2 / ae1   re j  e

(A6a)  ln r  jˆˆ    (A6b)(0<  <2)

(A6c)

BER マップ上で、誤りは x =0 (r =1), =を中心とした比較的狭い範囲に集中するが、この座標変換においては、|| <<1 の領域に対応する。以下、ref のモデルに対するは (ref),  (ref)で表記する。
(A2)式で与えられる二つの環境は同じ NTFG 値を与えるので、それぞれが指し示す位置における BER:P0 は同じになるであろう。その位置は次式となる。



a2( ref ) / a1( ref )  a2( ref )  a2( ref ) /  ( ref )1   (ref )    (ref )(A7)

図 2 より、|| <<1 の範囲で誤りが集中することを考えると、~ -1-と近似できる。この近似により、は次式で表される。

 ( ref )  ( ref )( ref )
( ref )
1 
 

(A8)

このことにより、遅延差が異なる二つのモデルにおいては、同一 NTFG 値となる BER マップ
上の点が、ref における (re f)からのマップでの (re f)の位置に変換されたとことになる。はln r +j()なので、横軸:振幅比の対数（dB 値もそれに含まれる）に対しても、縦軸：を中心とした位相差に対しても、基準値に対して倍引き伸ばされた場所に同じ BER が現れることになる。これは、まさに、BER マップの倍のスケーリングである。付図１はこの性質を示している。筆者等は、これまで BER マップにはこのスケーリングの性質（=遅延差に対する形状相似性）が見られることを、シミュレーションや実測データを用いて示してきたが[10]、理論的根拠を示していなかった。(A8)式がその答えである。
付図２には、CQPSK での/Ts =0.1 と 0.2 の BEER マップ（計算機シミュレーションによる）を示している。二つとも同じ形に見えるが、座標の縦軸・横軸スケールが倍の違いであることに気づいてほしい。付図３は CQPSK で 64kbps のモデムを用いての実測結果である[10]（この測定系は文献[16]の図２）。測定系の誤差要因を含むため、誤りの発生エリアはシミュレーションの結果と比べて大きくなっているが、誤り発生エリアの形や相似形の性質ははっきり確認するこ22

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

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Y. Karasawaとができる。
CQPSK で、マップ上の BER の積算値 xP0x を/Ts =0.1, 0.2, 0.4, 0.6 について求めると、0.2167, 0.8533, 3.215, 6.554 となった。/Ts =0.1 のときの値を基準にすると、/Ts =0.2, 0.4, 0.6
は、それぞれ、3.94（完全相似形では 4; 比率 0.99）, 14.8（16; 0.93）, 30.2（36; 0.84）倍となった。/Ts =0.6、すなわち/Ts =0.3 への適用では、相似形の性質を利用すると BER の値が若干
過大評価方向にずれると予想されるが、このあたりまでは許容範囲と見てよいであろう。
BER マップの値は変復調方式毎に異なる。付図４は DQPSK（/Ts =0.2）の BER マップである。CQPSK とはだいぶ見た目が変わるが、誤りが大きいコアの部分（色を濃くした中心部）は
CQPSK とほぼ同じ形・大きさであり、それゆえに、BER の推定値そのものはあまり変わらない
結果になっている（図９(CQPSK)と図１０(a)(DQPSK)）。/4 シフト DQPSK の BER マップは文献[12]の図 10.9(b)に載せている。
同じ変調方式でも、受信方式によって下記１）～３）の扱い（筆者等が採用）が異なる場合もあろう。その場合には、その方式に置き換えたもので BER マップを作成してほしい。当然ながら、シミュレーション結果と計算結果を比較する際には、実際のシミュレーションと使用する
BER マップが、１）～３）の点において同じ方式でないと、そのことに起因する差異が生じるので留意してほしい。
１）波形整形フィルタに自乗余弦特性を持つナイキストフィルタ（ロールオフファクタを 0.5 に設定）を採用し、符号間の干渉は中心シンボルの前後３シンボル分を考慮している
２）サンプルタイミングは、式(7)を２波モデルに適用した次式を採用している
r 2  1 sin  2 Δ / Ts 

Δ Ts

1 
tsampling tan  2
2 2  r  1 cos  2 Δ / Ts   2r cos  (A9)３）同期検波方式においては、受信信号の位相基準として arg (1+r exp )を用いている

付図１

BER マップのに対する形状相似性

23

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定(a)  /Ts = 0.1
付図２

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Y. Karasawa(b)  /Ts = 0.2

CQPSK での BER マップ形状相似性（シミュレーションによる作成：両図の縦軸・横軸スケールの違いに注意）(a)  /Ts = 0.1
付図３(b)  /Ts = 0.2

CQPSK での BER マップ形状相似性（64kbps モデムを用いた実測；測定系は文献[16]
の図２）

24

最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

付図４

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Y. Karasawa

DQPSK /Ts =0.2 の BER マップ（２）BER マップ作成法
BER マップを作成する方法には２つの方法がある。i) 理論的に求める方法と ii) 計算機シミュレーションにより求める方法である。理論的には、Bello の論文[4]にあるように、前後数シンボルの全てのビットの組み合わせに対して誤り発生の有無を計算し、そこから誤り率を求める
ことをする。文献[10]（Fig. 3(a), 4(a)）では同様の方法により求めた BER マップを示している。
この方法によって、簡易な計算式が得られていれば良いが、そのような式を筆者は知らない。そこで、ここでは、ii)の計算機シミュレーションによって作成する方法を推奨する。具体的な作り方は３．４節の①に述べている。このシミュレーションは、予測できない動作を調べるという計算機シミュレーション本来の目的ではなく、後ろ側に眠っている理論 BER マップを浮き上がらせる（＝手に入れる）ための実験と位置づけられる。
参考までに、CQPSK の場合について、筆者が用いている BER マップ作成プログラム（Matlab
m ファイル）を添付する（プログラミングとしての良い見本にはなっておらず、計算時間短縮に
は Matlab の特徴を活かした更なる工夫ができると思う）。

本体プログラム% BERマップ: CQPSK 遅延差Dt/Ts=0.2の作成%% 振幅比： -3dB～3dB, 幅：0.1dB, データ数(Adata)：61% 位相差： 130°～230°、幅：1°, データ数(Pdata)：101
Dt=0.2 % 遅延差
Adata=61;
Pdata=101;
Nbit=10^6; % 送信ビット数（10^5でも十分だが、数値のより安定を求めて。ただし計算時間大）%BERmap0=zeros(Adata,Pdata);
BERmap_int=zeros(Adata,Pdata);%% 位相差毎に、BERフロア値をxに対して求める%

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最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

Technical Report YK-011
March 12, 2018
Y. Karasawa

delta_phi=1/180*pi; % 位相差間隔：1°
delta_x_dB=0.1; % 振幅比間隔：0.1dB
for ip=1:Pdata % 位相差に対してip % 計算の進捗状況を知るための出力
dphi=(-1*(Pdata-1)/2+ip-1)*delta_phi+pi;
for ia=1:Adata % 振幅比に対して
a_ratio=sqrt(10^((-1*(Adata-1)/2+ia-1)/10/10));%% サンプルタイミング（再生クロック位相）とサンプリング値%
b1=(a_ratio^2-1)*sin(pi*Dt);b2=(1+a_ratio^2)*cos(pi*Dt)+2*a_ratio*cos(dphi);
t1=Dt/2+(1/2/pi)*atan2(b1,b2);
amp1=MYnyquist(t1); % 先行波（７シンボル分）のナイキストサンプリング：自作関数の引用
amp2=MYnyquist(t1-Dt); % 遅延波（７シンボル分）のナイキストサンプリング%% 送信ビット列（Nbit+12）を作る%
TXbit=randn(1,Nbit+12);
for nbitTX=1:Nbit+12
if TXbit(nbitTX)>0
TXbit(nbitTX)=1;
else
TXbit(nbitTX)=-1;
end
end
TXbit_eva=TXbit(7:Nbit+6);%% 送信シンボル列(Nbit+12)/2を作る%
TXsymbol=zeros(1,(Nbit+12)/2);for m1=1:(Nbit+12)/2
if TXbit(2*m1-1)>0
if TXbit(2*m1)>0
TXsymbol(m1)=(1+j)/sqrt(2);else
TXsymbol(m1)=(1-j)/sqrt(2);endend
if TXbit(2*m1-1)<0
if TXbit(2*m1)>0
TXsymbol(m1)=(-1+j)/sqrt(2);else
TXsymbol(m1)=(-1-j)/sqrt(2);
end
end
end
%
% 受信データの作成%
RXsymbol=zeros(1,Nbit/2);
for i1=1:Nbit/2 % 受信シンボルをi1で詰めて行く
sk=[TXsymbol(i1),TXsymbol(i1+1),TXsymbol(i1+2),TXsymbol(i1+3),...
TXsymbol(i1+4),TXsymbol(i1+5),TXsymbol(i1+6)];26

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Y. Karasawa

RXsymbol(i1)=(amp1+a_ratio*exp(j*dphi)*amp2)*sk.';
end
RXsymbol=RXsymbol/(1+a_ratio*exp(j*dphi)); % 位相基準＝チャネル特性%% 受信シンボルの復調%
RXbit=zeros(1,Nbit);for i2=1:Nbit/2
if real(RXsymbol(i2))>0
RXbit(2*i2-1)=1;
else
RXbit(2*i2-1)=-1;
end
if imag(RXsymbol(i2))>0
RXbit(2*i2)=1;
else
RXbit(2*i2)=-1;
end
end
%
% BER計算%
BERmap0(ia,ip)=(Nbit-RXbit*TXbit_eva.')/(2*Nbit);
BERmap_int(ia,ip)=fix(-log10(BERmap0(ia,ip)+0.0000000001));
if BERmap_int(ia,ip)>6
BERmap_int(ia,ip)=0;
end
end
end
%
a=BERmap_int(1:31,:)' % BERmapを-3<x<0(dB)の範囲で10^(-n)のnを一桁で出力（全体の様子を見るため）
BERmap02=BERmap0;
save('BERmap_CQPSK_02_BERmap02.dat','BERmap02','-mat'); % BERマップデータの保存

引用している関数：MYnyquist
function[amp]=MYnyquist(t)% ナイキストフィルタ（自乗余弦フィルタ）出力値を求める：ズレを入れると±３の７つを返す% ロールオフファクタ= 0.5（t=0と1で計算不能になるので、そうなる場合には対策を）%
amp=zeros(1,7);
for m=1:7;
amp(m)=sin(pi*(t+m-4))*cos(0.5*pi*(t+m-4))/(pi*(t+m-4)*(1-(t+m-4)^2));
end
return27

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最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定

付録２ 式(21)の導出
以下の導出については、ウェイト不完全なケースでの最大比合成解析の論文[15]で取り扱われているが、式表現を本稿にあわせて、ここにまとめておく。
２波モデルにおける先行波と遅延波の各成分の平均電力は以下で表される。

ae12

 NPe1 ,ae 2

2

 NPe 2(A10)(10)式の合成ウェイトを、ベクトル w0 を導入して次式で表す。

w  w0 / w0

(A11a)

w0  ae1  ae 2

(A11b)w02

 N ( Pe1  Pe 2 )(A11c)

先行波の受信電力は次式で与えられる。

r  c12
1

2

w0H ae1aeH1w0
w0H w0(A12)

ae1 と w0 は相関を有し、その相関係数を1 とすると

w0H ae1

1 

2

w0

ae1

1
1 


2

  Pe 2 / Pe1 (A13)となる。そこで、ae1 を w0 および、w0 と独立で平均電力を同じにする新たなベクトル v を用いて、以下のように線形結合で表す。

ae1 



1
1w0  1  12 v
1  1 1w0  1  12 v





(A14)

これにより、(A12)式は次式となる。

r12 





12 w0H 1w0  1  12 v 1w0  1  12 v

w
H

0

w0H w0
w H vv H w  12  12 w0H w0  1 1  12  v H w0  w0H v   1  12  0 H 0 
w0 w0 

その平均値は次式となる。

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(A15)

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最大比合成ダイバーシチ適用時の符号間干渉誤り推定w H vv H w

r12  12  12 w0H w0  1  12  0 H 0
w0 w0













 12  Pe1  Pe 2  12 N  1  12 



N 
Pe1
1 

(A16)

さらに、r14 は同様に
H
H
 2 H
2
H
H
2 w0 vv w0 
r    1 w0 w0  1 1  1  v w0  w0 v   1  1 
w0H w0 

4
1

4
1

2

(A17)

であり、その平均は

r14  14 14 w0H w0 w0H w0  212 1  12  v H w0 w0H v  w0H vv H w0

 w0H vv H w0 H
 w0 w0  1   

2 2
1

2







(A18)

となる。個々の項は次式で与えられる（証明略：詳しくは[15]）w0H w0 w0H w0  N ( N  1)  Pe1  Pe 2 

2

(A19)

v H w0 w0H v  w0H vv H w0  N  Pe1  Pe 2  w0H vv H w0 H
 w0 w0 

2

(A20)

2

 2  Pe1  Pe 2 

2

(A21)

これらを(A18)式に代入して整理すると、

r14  14  Pe1  Pe 2 2 N  3N  2   4  N 1   22

N ( N  1)  4 N  2 2

1   

2

4
1

Pe21

2
1

(A22)

(A23)

<r12>, <r14>を本文の式(19b, c)に代入し1, m1 を求めると(21a, b)式が得られる。
【導出終わり】(21c, d)式も、ae2 に着目して同様に導出できる。

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