数学（全 問必Ⅰ答）

第１問 （配点 ２０）〔!〕 実数 x についての不等式"x ＋６!≦"の解はアイ≦x≦ウエである。
よって，実数 a，b，c，d が"（!− !#）（a − b）（ c − d ）＋６!≦"（a − b）（c − d）
を満たしているとき，!− !# は負であることに注意すると，のとり得る値の範囲はオ＋カ（ c − d ）≦!# ≦（ a − b ）であることがわかる。

キ＋

ク!#

（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ４ ―（２６０４―４）

数学Ⅰ
特に（a − b）（ c − d ）＝

キ＋

ク!!

…………………… であるとき，さらに（a − c）（ b − d ）＝−!＋ !!

………………………… が成り立つならば（a − d）（ c − b ）＝ケ＋コ!!

…………………… であることが，等式 ，， の左辺を展開して比較することによりわかる。

（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ５ ―（２６０４―５）

数学Ⅰ〔$〕 U を全体集合とし，A，B，C を U の部分集合とする。U の部分集合 X に対して，X の補集合を X で表す。

U，A，B，C の関係を図#のように表すと，例えば，A ∩（ B ∪ C ）は Aと B ∪ C の共通部分で，B ∪ C は図$の斜線部分なので，A ∩（ B ∪ C ）は図%の斜線部分となる。

UUABC
図ABC
図２

このとき，（ A ∩ C ）∪（ B ∩ C ）はササUA１BC
図３の斜線部分である。

については，最も適当なものを，次の!〜"のうちから一つ選べ。

ǎǏǐ

UUA

BCǑ

B

AC

ǒ

B

UA

UA

CC

Ǔ

UBU

A

B

AC

B

C

（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ６ ―（２６０４―６）

数学Ⅰ

全体集合 U を
U ＝｛$，%，&，'，(，)，*，+，,，-｝とする。また，U の部分集合 A，B を次のように定める。
A ＝｛$，&，'，(，*，,，-｝，.

B ＝｛%，'，)，*，+，-｝

このときA ∩ B ＝!
#

シ，ス，

セ"
$A ∩ B ＝!
#ソ，

タ，

チ"
$＜セ，

ソ＜タである。ただしシ＜ス＜チとする。

/U の部分集合 C は（ A ∩ C ）∪（ B ∩ C ）＝ Aを満たすとする。このとき，次のことが成り立つ。
●A∩Bのツ。

●A∩Bのテ。

ツテの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。），!

すべての要素は C の要素である"

どの要素も C の要素ではない#要素には，C の要素であるものと，C の要素でないものがある― ７ ―（２６０４―７）

数学Ⅰ

第２問 （配点 ３０）
点 O を中心とし，半径が"である円 O が あ る。こ の 円 周 上 に!点 A，B を

AB ＝#となるようにとる。また，円 O の円周上に，!点 A，B とは異なる点 Cをとる。

%

sin ∠ACB ＝アるとき，cos ∠ACB ＝&イである。

点 C を ∠ACB が鈍角で BC ＝"となるようにとる。このとき，AC ＝'である。また，点 C を ∠ACB が鈍角となるようにとウ! エ−オである。

点 C を$ABC の面積が最大となるようにとる。点 C から直線 AB に垂直な直線を引き，直線 AB との交点を D とするとき，tan ∠OAD＝る。また，$ABC の面積はキク

カであである。
（数学Ⅰ第２問は次ページに続く。）― ８ ―（２６０４―８）

数学Ⅰ
1

点 C を，0 と同様に，/ABC の面積が最大となるようにとる。このとき，
tan ∠ACB ＝ケである。

さらに，点 C を通り直線 AC に垂直な直線を引き，直線 AB との交点を Eとする。このとき，sin ∠BCE ＝コである。

点 F を線分 CE 上にとるとき，BF の長さの最小値はサシ! スセソである。

ア，イ，カ，ケ，コの解答群（同じものを繰$+%,)−+*−り返し選んでもよい。）

!

,.

&−,.

"

,-'−,-#.

(−.

,（数学Ⅰ第２問は次ページに続く。）― ９ ―（２６０４―９）数学Ⅰ半径が)である球 S がある。この球面上に(点 P，Q，R をとったとき，これ



らの(点を通る平面 α 上で PQ ＝*，QR ＝)，RP ＝+であったとする。
すい

球 S の球面上に点 T を三角錐 TPQR の体積が最大となるようにとるとき，その体積を求めよう。
タであることから，,PQR の面積はまず，cos ∠QPR ＝
チツ! テト である。

次に，点 T から平面 α に垂直な直線を引き，平面 α との交点を H とする。このとき，PH，QH，RH の長さについて，以上より，三角錐 TPQR の体積はナナ

ニヌ .

が成り立つ。

! ネノ ＋ ! ハ/である。
0の解答群!

PH ＜ QH ＜ RH"

PH ＜ RH ＜ QH

#QH ＜ PH ＜ RH$

QH ＜ RH ＜ PH%

RH ＜ PH ＜ QH

&RH ＜ QH ＜ PH'

PH ＝ QH ＝ RH

― １０ ―（２６０４―１０）

数学Ⅰ

第３問 （配点 ２０）
太郎さんは，総務省が公表している２０２０年の家計調査の結果を用いて，地域による食文化の違いについて考えている。家計調査における調査地点は，都道府県庁所在市および政令指定都市（都道府県庁所在市を除く）であり，合計５２市である。
家計調査の結果の中でも，スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の!世帯当たり年間支出金額（以下，支出金額，単位は円）」を分析することにした。以下においては，５２市の調理食品の支出金額をデータとして用いる。
太郎さんは調理食品として，最初にうなぎのかば焼き（以下，かば焼き）に着目し，図!のように５２市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した。
ただし，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない。
なお，以下の図や表については，総務省の Web ページをもとに作成している。

(市の数)
121086420(円)1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800 4200 4600 5000図!

かば焼きの支出金額のヒストグラム（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １２ ―（２６０４―１２）

数学Ⅰ

図+から次のことが読み取れる。
●

中央値が含まれる階級は●第+四分位数が含まれる階級はイである。

●

第,四分位数が含まれる階級は

ウである。

●

四分位範囲はエアの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）〜ウアである。

。

! １０００以上１４００未満" １４００以上１８００未満# １８００以上２２００未満$ ２２００以上２６００未満% ２６００以上３０００未満& ３０００以上３４００未満' ３４００以上３８００未満( ３８００以上４２００未満) ４２００以上４６００未満* ４６００以上５０００未満

エの解答群! ８００より小さい" ８００より大きく１６００より小さい# １６００より大きく２４００より小さい$ ２４００より大きく３２００より小さい% ３２００より大きく４０００より小さい& ４０００より大きい（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １３ ―（２６０４―１３）

数学Ⅰ


太郎さんは，東西での地域による食文化の違いを調べるために，５２市を東側の地域 E（１９市）と西側の地域 W（３３市）の二つに分けて考えることにした。

(地域 E と地域 W について，かば焼きの支出金額の箱ひげ図を，図%，図&のようにそれぞれ作成した。

(円)
5000

(円)
5000

4600

4600

4200

4200

3800

3800

3400

3400

3000

3000

2600

2600

2200

2200

1800

1800

1400

1400

1000

1000

図２ 地域 E におけるかば焼きの支出金額の箱ひげ図

図３

地域 W におけるかば焼きの支出金額の箱ひげ図

かば焼きの支出金額について，図%と図&から読み取れることとして，次の!〜$のうち，正しいものはオオである。の解答群!

地域 E において，小さい方から'番目は２０００以下である。

"

地域 E と地域 W の範囲は等しい。

#

中央値は，地域 E より地域 W の方が大きい。

$ ２６００未満の市の割合は，地域 E より地域 W の方が大きい。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １４ ―（２６０４―１４）

数学Ⅰ(太郎さんは，地域 E と地域 W のデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い，それぞれの分散を考えることにした。地域 E におけるかば焼きの支出金額の分散は，地域 E のそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差のカカである。の解答群!

'乗を合計した値"

絶対値を合計した値#'乗を合計して地域 E の市の数で割った値$

絶対値を合計して地域 E の市の数で割った値%'乗を合計して地域 E の市の数で割った値の平方根のうち正のもの&

絶対値を合計して地域 E の市の数で割った値の平方根のうち正のもの（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １５ ―（２６０４―１５）

数学Ⅰ
太郎さんは， で考えた地域 E における，やきとりの支出金額についても調べることにした。
ここでは地域 E において，やきとりの支出金額が増加すれば，かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え，まず図"のように，地域 Eにおける，やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した。そして，相関係数を計算するために，表!のように平均値，分散，標準偏差および共分散を算出した。ただし，共分散は地域 E のそれぞれの市における，やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である。

かば焼きの支出金額

(円)
4000

3000

2000

1000
2000

(円)
3000

4000

やきとりの支出金額
図"

地域 E における，やきとりとかば焼きの支出金額の散布図

地域 E における，やきとりとかば焼きの支出金額の平均値，分散，標準偏差および共分散

表!

平均値

分散

標準偏差

やきとりの支出金額

２８１０

３４８１００

５９０

かば焼きの支出金額

２３５０

３２４９００５７０

共分散
１２４０００（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １６ ―（２６０４―１６）

数学Ⅰ,表+を用いると，地域 E における，やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数はキキである。

については，最も適当なものを，次の!〜*のうちから一つ選べ。

!

−０．
６２

"

−０．
５０

#

−０．
３７

$

−０．
１９%

−０．
０２

&０．
０２'

０．
１９

(０．
３７)

０．
５０

*

０．
６２
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １７ ―（２６０４―１７）

数学Ⅰ#

地域 E の１９市それぞれにおける，やきとりの支出金額 x とかば焼きの支出
金額 y の値の組を（ x１，y１），（ x２，y２），…，（ x１９，y１９）とする。この支出金額のデータを千円単位に変換することを考える。地域 Eにおいて千円単位に変換した，やきとりの支出金額 x′とかば焼きの支出金額y′の値の組を，（ x′，…，（ x′，y′）（ x′１，y′１）
２，y′２）
１９１９とすると
xi! x′i＝$１０００"（ i ＝!，"，…，１９）$yii＝# y′１０００と表される。このとき，次のことが成り立つ。
●x′の分散はクとなる。

●x′と y′の相関係数は，x と y の相関係数

ケ。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １８ ―（２６０４―１８）

数学Ⅰ
ク!の解答群
３４８１００１０００２$ １０００×３４８１００

ケ

３４８１００１０００"# ３４８１００% １０００２ ×３４８１００の解答群&倍となる
１０００２!の$の１０００倍となる&倍となる
１０００"の%の１０００２ 倍となる

― １９ ―#と等しい（２６０４―１９）

数学Ⅰ

第４問 （配点 ３０）〔"〕 p を実数とし，f（ x ）＝（ x −#）（ x −$）＋ p とする。

#次関数 y ＝ （f x ）のグラフの頂点の座標は

%&ア，＋ p'(イウである。

#次関数 y ＝ （f x ）のグラフと x 軸との位置関係は，p の値によって次のように三つの場合に分けられる。
p＞

エのとき，#次関数 y ＝ （f x ）のグラフは x 軸と共有点をもたな

エのとき，#次関数 y ＝ （f x ）のグラフは x 軸とい。
p＝点%&オp＜，!'(で接する。
エのとき，#次関数 y ＝ （f x ）のグラフは x 軸と異なる#点で交わる。

（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２０ ―（２６０４―２０）数学Ⅰ!次関数 y ＝ （f x ）のグラフを x 軸方向に −"，y 軸方向に#だけ平行移

動した放物線をグラフとする!次関数を y ＝ g（ x ）とするとg（ x ）＝ x２ −カx＋pとなる。
関数 y ＝"f（ x ）− g（x）!のグラフを考えることにより，
関数 y ＝"f（ x ）− g（x）
!は x ＝キで最小値をとることがわかる。
ク（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２１ ―（２６０４―２１）

数学Ⅰ〔"〕 太郎さんと花子さんは，バスケットボールのプロ選手の中には，リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り，シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は，図!のように座標軸が定められた平面上に，プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき，ボールがリングに入った場合について，後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルである
が，以下では省略する。

y4

P 0(０,３)PC1リング
3ボード

M(４,３)

HA B

C22

H 0(０,２)

10

参考図12

図34x１

（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２２ ―（２６０４―２２）

数学Ⅰ仮定●平面上では，ボールを直径０．
２ の円とする。

●

リングを真横から見たときの左端を点 A（３．
８ ，#），右端を点 B（４．
２ ，#）とし，リングの太さは無視する。

●

ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り，かつ，ボールの中心が AB の中点 M（$，#）を通る場合を考える。ただし，ボールがリングに当たるとは，ボールの中心と A または B との距離が０．
１ 以下になることとする。

●

プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点 P とし，P は，はじめに点 P（!，#）にあるものとする。また，P０，M を通る，上に凸の０放物線を C１ とし，P は C１ 上を動くものとする。

●

花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点 H とし，H は，はじめに点 H（!，"）にあるものとする。また，H０，M を通る，上に凸の０放物線を C２ とし，H は C２ 上を動くものとする。

●

放物線 C１ や C２ に対して，頂点の y 座標を「シュートの高さ」とし，頂点の x 座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。



放物線 C１ の方程式における x２ の係数を a とする。放物線 C１ の方程式は

y ＝ ax２ −ケax ＋コと表すことができる。また，プロ選手の「シュートの高さ」は−

サa＋

シである。

（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２３ ―（２６０４―２３）

数学Ⅰ
放物線 C２ の方程式における x２ の係数を p とする。放物線 C２ の方程式は% )"２ （１６p −１）'−
y ＝ p!
＋&#x −(&− ８p *$６４p２と表すことができる。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として，次の!〜$のうち，正しいものはス!

スである。の解答群
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は，つねに一致する。
"

プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が，つねに M の x 座標に近い。

#

花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が，つねに M の x 座標に近い。
$

プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が M のx 座標に近いときもあれば，花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が M の x 座標に近いときもある。
（数学Ⅰ第４問は２６ページに続く。）― ２４ ―（２６０４―２４）

数学Ⅰ


二人は，ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。

太郎：例えば，プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには，P がリングの左端 A のどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：A の真上の点で P が通る点 D を，線分 DM が A を中心とする半１ の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
径０．
太郎：なるほど。P の軌道は上に凸の放物線で山なりだから，その場合，図!のように，P は D を通った後で線分 DM より上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も，Hがこの D を通れば，ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線 C１ と C２ が D を通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。

PD

M(４,３)
A( 3.8 ,３)

図lB( 4.2 ,３)!
（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２６ ―（２６０４―２６）

数学Ⅰ
図&のように，M を通る直線 l が，A を中心とする半径０．
１ の円に直線AB の上側で接しているとする。また，A を通り直線 AB に垂直な直線を引き，l との交点を D とする。このとき，AD ＝!'である。
１５

よって，放物線 C１ が D を通るとき，C１ の方程式は! ソセy ＝−タチ) x２ −*ケx+,＋コとなる。
また，放物線 C２ が D を通るとき， で与えられた C２ の方程式を用いる４ と求められる。と，花子さんの「シュートの高さ」は約３．
以上のことから，放物線 C１ と C２ が D を通るとき，プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると，
テく，その差はボールツ!

テ!

ツの「シュートの高さ」の方が大きである。なお，!' ＝１．
７３２０５０８…である。の解答群
"

プロ選手

花子さん

については，最も適当なものを，次の!〜$のうちから一つ選べ。
約%個分

"

約&個分

#― ２７ ―

約'個分

$

約(個分

（２６０４―２７）