数理解析研究所講究録
第 1928 巻 2014 年 1-26

$N$

1

分木離散ウェーブレット変換について$*$

On an $N$-tree discrete wavelet transform
守本晃 , 芦野隆一 , 池邊和馬\S , 辰巳基 , 萬代武史$\dagger$$\pi$$\ddagger$

$||$

概要

実数値ウェーブレット関数の解析信号を用いた連続ウェーブレット変換は
解析ウェーブレット変換とよばれる使い勝手がよい道具である．本論文では，
離散ウェーブレット変換の範疇で解析ウェーブレット変換に相当する道具として， $N$ 分木離散ウェーブレット変換を提案する．まず，双直交ウェーブレッ
ト関数の分数べきヒルベルト変換を生成する性質の良い双直交スケーリング関数を求め，ローパスフィルタ係数の対応を求める．次に，これらのローパ
スフィルタを有限長で切り取ったフィルタを用いた通常の離散ウェーブレッ
ト変換逆変換の精度を求める．最後に， $N$ 分木離散ウェーブレット変換の近似と詳細がシフト不変に近い性質を持っことを例示する．
キーワード:$N$

分木離散ウェーブレット変換，分数べきヒルベルト変換，多重解像度解析

Keywords: $N$ -tree discrete wavelet transform, fractional Hilbert transform, multireso-

lution analysis

2010 Mathematics Subject Classification. Primary: $42C40$ ; Secondary: $65T60,$ $94A12$

はじめに

1

連続ウェーブレット変換を用いて信号を解析する場合に，実数値ウェーブレット関数の解析信号を複素数値のウェーブレット関数として用いた解析ウェーブレット変換
は有用な道具である [5, 2]. 解析信号を作るには，ヒルベルト変換を虚部にする必要$( \int_{\mathbb{R}}\psi(x)dx=0)$がある．ウェーブレット関数は，平均がであるから，多くの場合 のヒルベルト変換の無限遠での減衰性は悪くならない．
$\psi(x)\in L^{2}(\mathbb{R})\cap L^{1}(\mathbb{R})$$0$$\psi$

この研究は部分的に科学研究費補助金 $(C)23540135,$ $(C)24540197,$ $(C)25400202,$ $(C)26400199$の補助を受けている．
(Akira Morimoto) 大阪教育大学
報科学-mail:morimoto@cc.osaka-kyoiku.ac.jp(Ryuichi Ashino) 大阪教育大学・数理科学 e-mail:ashino@cc.osaka-kyoiku.ac.jp\S (Kazuma Ikebe) 大阪教育大学・情報科学 e-mail: i139607@ex.osaka-kyoiku.ac.jp「 (Motoi Tatsumi) 大阪教育大学・情報科学-mail: 139611@ex.osaka-kyoiku.ac.jp(Takeshi Mandai) 大阪電気通信大学工学部 e-mail:mandai@isc.osakac.ac.jp$*$$\dagger$’$|\ovalbox{\tt\small REJECT}$$e$$\ddagger$

$1$

$e$

$||$

$j$

2
の解析信号も無限遠での減衰性が悪くならないので，解析ウェーブレッ
ト変換を数値計算する場合に問題は生じない．
ところが，離散ウェーブレット変換を考える場合には，ウェーブレット関数

よって，$\psi$$\psi(x)$以外にスケーリング関数も必要である．スケーリング関数$(\int_{\mathbb{R}}\phi(x)dx=1)$
は平均が 1なので， のヒルベルト変換のフーリエ変換が原点で不連続になる．したがって， のヒルベルト変換の無限遠での減衰性が悪くな$\phi(x)\in L^{2}(\mathbb{R})\cap L^{1}(\mathbb{R})$$\phi$$\phi$

り，これを数値計算に用いるのは困難であった．
Selesnick-Baraniuk-Kingsbury [7] は数値計算に耐えうるフイルタ係数を求め，2 分木複素ウエーブレット変換 (dual-tree complex wavelet transform) を提案した．戸田章 [9], Toda-Zhang [8] は，Meyer のウエーブレットの場合に平行移動
不変な 2 分木複素ウェーブレット変換を提案した．我々 [1] は，正規直交ウェーブ
レット関数の分数べきヒルベルト変換を生成する性質の良い正規直交スケーリン
グ関数を作成した．
本論文では，双直交ウェーブレット関数に対して，その分数べきヒルベルト変換を生成する性質の良い双直交スケーリング関数を作成し，対応するフィルタ係数を元のフィルタ係数から計算する方法を提案する．またフィルタ係数を有限長でカットオフした場合の離散ウェーブレット変換・逆変換の誤差を様々なウェーブ
レットに対して求める．さらに，自然数 $N$ に対して， $1/N$ 間隔の分数べきヒルベルト変換と対応するスケーリング関数から得られるフィルタ係数を用いた $N$ 分木
離散ウェーブレット変換を提案する．最後に， $N$ 分木離散ウェーブレット変換の近似と詳細がシフト不変に近い性質を持つことを数値計算で示す．

準備

2
$m,$

$n\in \mathbb{Z}$に対して，クロネッカーのデルタを$\delta_{m,n}=\{\begin{array}{l}1, m=n,0, m\neq n\end{array}$とする． $f,$$g\in L^{2}(\mathbb{R})$の内積とノルムを$\langle f, g\rangle=\int_{\mathbb{R}}f(x)\overline{g(x)}dx, \Vert f\Vert=\sqrt{\langle f,f\rangle}$

で書き表す．ただし，
換と$g\in L^{1}(\mathbb{R})$は複素数 の複素共役を表す．
の逆フーリエ変換を$\overline{z}$$z$$f\in L^{1}(\mathbb{R})$$\mathcal{F}f(\xi)=\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}dx,$$\mathcal{F}^{-1}g(x)=\check{g}(x)=(2\pi)^{-1}\int_{\mathbb{R}}g(\xi)e^{ix\xi}d\xi$のフーリエ変3で定義する．フーリエ変換と逆フーリエ変換は$L^{2}(\mathbb{R})$上の有界作用素に拡張できる．
$L^{2}(\mathbb{R})$上の平行移動作用素巧と伸張作用素

巧 $f(x)=f(x-b)$ ,で定義する．ただし，$L^{2}(\mathbb{R})$と変調作用素$\mathcal{D}_{\rho}$$\mathcal{D}_{\rho}f(x)=\rho^{-1/2}f(x/\rho)$$b,$$\omega\in \mathbb{R},$,$\mathcal{M}_{\omega}$を$\mathcal{M}_{\omega}f(x)=e^{i\omega x}f(x)$$\rho\in \mathbb{R}_{+}:=\{x\in \mathbb{R}|x>0\}$である．これらは，上のユニタリ作用素である．これらのユニタリ作用素は，次の関係を満たす．

補題 1.
$\mathcal{T}_{b}\mathcal{M}_{\omega}=e^{-i\omega b}\mathcal{M}_{\omega}\mathcal{T}_{b}, \mathcal{M}_{\omega}\mathcal{T}_{b}=e^{i\omega b}\mathcal{T}_{b}\mathcal{M}_{\omega},$$\mathcal{T}_{b}\mathcal{D}_{\rho}=\mathcal{D}_{\rho}\mathcal{T}_{b/\rho}, \mathcal{D}_{\rho}\mathcal{T}_{b}=\mathcal{T}_{b\rho}\mathcal{D}_{\rho},$$\mathcal{M}_{\omega}\mathcal{D}_{\rho}=\mathcal{D}_{\rho}\mathcal{M}_{\rho\omega}, \mathcal{D}_{\rho}\mathcal{M}_{\omega}=\mathcal{M}_{\omega/\rho}\mathcal{D}_{\rho}.$

フーリエ変換と平行移動作用素
は，次の通りである．

$\mathcal{T}_{b}$, 伸張作用素$\mathcal{D}_{\rho}$, 変調作用素補題 2.
$\mathcal{F}\mathcal{T}_{b}=\mathcal{M}_{-b}\mathcal{F}, \mathcal{F}^{-1}\mathcal{T}_{b}=\mathcal{M}_{b}\mathcal{F}^{-1},$$\mathcal{F}\mathcal{D}_{\rho}=\mathcal{D}_{1/\rho}\mathcal{F}, \mathcal{F}^{-1}\mathcal{D}_{\rho}=\mathcal{D}_{1/\rho}\mathcal{F}^{-1},$$\mathcal{F}\mathcal{M}_{\omega}=\mathcal{T}_{\omega}\mathcal{F}, \mathcal{F}^{-1}\mathcal{M}_{\omega}=\mathcal{T}_{-\omega}\mathcal{F}^{-1}$$x\in \mathbb{R}$に対して，符号関数$sgn(x)=\{\begin{array}{ll}1, x>0,-1, x<0\end{array}$を定義する．
定義 3.

$f\in L^{2}(\mathbb{R})$のヒルベルト変換を$\mathcal{H}f=\mathcal{F}^{-1}[-isgn(\xi)\hat{f}(\xi)]$で定義する．
定義 4.

$c\in \mathbb{R}$に対して，分数べきヒルベルト変換$\mathcal{H}_{c}$$\mathcal{H}_{c}=\cos(c\pi)I+\sin(c\pi)\mathcal{H}$で定義する．ただし，$I$は恒等作用素である．

を$\mathcal{M}_{\omega}$

との関係

4
$\mathcal{H}_{c}f$をフーリエ変換すると，$\mathcal{F}[\mathcal{H}_{c}f]=\cos(c\pi)\hat{f}(\xi)-i\sin(c\pi)$sgn$(\xi)\hat{f}(\xi)=e^{-ic\pi sgn(\xi)}\hat{f}(\xi)$を得る．
$x\in \mathbb{R},$$A>0$ に対して，$x$を $A$ で割ったときの余りを$mod (x, A) :=x-\lfloor\frac{x}{A}\rfloor A$と定義する．ただし，国は床関数とよばれ， 以下の最大の整数を表す．さらに，$x$

図 1 で表される補助関数$\tau(\xi)=sgn(\xi)mod (|\xi|, 2\pi)$を定義する．次に，平行移動作用素を少し変更した作用素を定義する [1].
定義 5. ユニタリ作用素$\tau_{c}\dagger$を$\mathcal{T}_{c}^{\dagger}f=\mathcal{F}^{-1}[e^{-ic\tau(\xi)}\hat{f}(\xi)]$で定義する．

図 1: 補助関数 $\tau(\xi)=sgn(\xi)mod (|\xi|, 2\pi)$ .

注意 6. 平行移動作用素賃は，

supp$\hat{f}\subset[-2\pi, 2\pi]$

補題 7.

$L^{2}(\mathbb{R})$$\mathcal{T}_{c}f=\mathcal{F}^{-1}[e^{-ic\xi}\hat{f}(\xi)]$に対しては，$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}f=\mathcal{T}_{c}f$

上のユニタリ作用素$\mathcal{H}_{c}$であるから，帯域制限関数である．

, 勾は次を満たす．

$\mathcal{H}_{c}\mathcal{H}_{d}=\mathcal{H}_{c+d}, \mathcal{H}_{0}=I, \mathcal{H}_{1/2}=\mathcal{H},$$\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\mathcal{T}_{d}^{\dagger}=\mathcal{T}_{c+d}^{\dagger},\mathcal{T}_{0}^{\dagger}=I.$

5
補題 S.

上のユニタリ作用素$L^{2}(\mathbb{R})$両方と可換である．一方$\tau_{c}\dagger$$\mathcal{H}_{c}$は平行移動作用素$\mathcal{T}_{b}$と伸張作用素$\mathcal{D}_{\rho}$のは，平行移動作用素巧と可換である．

$\mathcal{H}_{c}\mathcal{T}_{b}=\mathcal{T}_{b}\mathcal{H}_{c}, \mathcal{H}_{c}\mathcal{D}_{\rho}=\mathcal{D}_{\rho}\mathcal{H}_{c},$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\mathcal{T}_{b}=\mathcal{T}_{b}\mathcal{T}_{c}^{\dagger}.$$j,$$k\in \mathbb{Z}$と$f\in L^{2}(\mathbb{R})$に対して，$f_{j,k}(x):=\mathcal{D}_{2^{-j}}\mathcal{T}_{k}f=2^{j/2}f(2^{j}x-k)$と定義する．
定義 9. 可分ヒルベルト空間 $H$ の要素の集合$\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$($\Lambda$

は可算の添字の集合)

が次の 2 条件を満たすときリース基底とよぶ．
1.

$\overline{span}\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}=H.$

2. 定数 $0<C_{1}\leq C_{2}$ が取れて，任意の数列$\{a_{\lambda}\}\in\ell^{2}(A)$

に対して，

(1)

$C_{1}( \sum_{\lambda\in\Lambda}|a_{\lambda}|^{2})\leq\Vert\sum_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}e_{\lambda}\Vert_{H}^{2}\leq C_{2}(\sum_{\lambda\in\Lambda}|a_{\lambda}|^{2})$が成立する．ここで，$\Vert f\Vert_{H}$は $f$ の $H$ ノルムである．

正規直交ウエーブレット関数の分数べきヒルベルト

3変換
定義 10.
の閉部分空間の列が次の 5 条件を満たすとき，多重解像度解析 (multiresolution analysis $(MRA)$ ) とよぶ．
$L^{2}(\mathbb{R})$1.

$\{V_{j}\}_{j\in \mathbb{Z}}$$V_{j}\subset V_{j+1}.$

2. $f(x)\in V_{j}$$\Leftrightarrow$$f(2x)\in V_{j+1}.$

3. $f(x)\in V_{0}$$\Rightarrow$$f(x-k)\in V_{0},$4.

$\bigcap_{j\in \mathbb{Z}}V_{j}=\{0\},$$\overline{\bigcup_{j\in \mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})$$k\in \mathbb{Z}.$.

5. スケーリング関数とよぶ $\phi(x)\in V_{0}$ が存在して， $\{\phi(x-k)|k\in \mathbb{Z}\}$ がリース基底を構成する．

$V_{0}$の6
定義 10 の条件 5 で， $\{\phi(x-k)|k\in \mathbb{Z}\}$ が$V_{0}$の正規直交基底になるとき，を正規直交スケーリング関数とよぶ．この節と次節では，ング関数である場合を考察する．

は防の正規直交基底$\phi$$\phi$

が正規直交スケーリで展開できる．
このときの次の展開式をツースケール方程式または伸張方程式とよぶ．
$\phi\in V_{0}\subset$

防より，$\phi$$\{2^{1/2}\phi(2x-k)\}_{k\in \mathbb{Z}}$$\phi(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}h_{n}2^{1/2}\phi(2x-n)$.

(2)

ただし，展開係数は，$h_{n}= \int_{\mathbb{R}}\phi(x)\overline{2^{1/2}\phi(2x-n)}dx$である．数列$\{h_{n}\}$をローパスフィルタ係数とよぶ．伸張方程式 (2) をフーリエ変

換すると，$\hat{\phi}(\xi)=m_{0}(\xi/2)\hat{\phi}(\xi/2)$を得る．ここで，$2\pi$

周期関数(3)$m_{0}( \xi)=2^{-1/2}\sum_{n\in \mathbb{Z}}h_{n}e^{-in\xi}$

は，ローパスフィルタとよばれる．このとき，ハイパスフィルタを(4)$m_{1}(\xi)=e^{-i\xi}m_{0}(\xi+\pi)$$=2^{-1/2}e^{-i\xi} \sum_{n\in \mathbb{Z}}h_{n}e^{-in(\xi+\pi)}$$=2^{-1/2} \sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^{n}\overline{h_{n}}e^{i(n-1)\xi}$$=2^{-1/2} \sum_{k\in \mathbb{Z}}(-1)^{1-k}\overline{h_{1-k}}e^{-ik\xi}$

と選び，

(5)

$\hat{\psi}(\xi)=m_{1}(\xi/2)\hat{\phi}(\xi/2)$で関数$\psi$

を定義すると，$\psi$

は正規直交ウェーブレット関数になる．つまり，$\{\psi_{j,k}(x)|j, k\in \mathbb{Z}\}$の正規直交基底を構成する．式 (4) のハイパスフィルタで作成した正規
直交ウェーブレット関数 (5) を， から自然に生成される正規直交ウエーブレット
関数とよぶ．式 (5) の両辺を逆フーリエ変換すると，が$L^{2}(\mathbb{R})$$\phi$$\psi(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}g_{n}2^{1/2}\phi(2x-n)$$g_{n}=(-1)^{1-n}\overline{h_{1-n}}$

,

(6)

7
を得る．式 (6) をウェーブレット方程式とよび，係数列$\{g_{n}\}$をハイパスフィルタ係数とよぶ．

Ashino-Mandai-Morimoto [1] より，次の定理が成立する．
定理 11.

を正規直交スケーリング関数， を から自然に生成される正規直交
ウェーブレット関数とする．このとき以下の (1), (2) が成立する．
$\phi$$\psi$$\phi$

は正規直交スケーリング関数になる．
れる正規直交ウェーブレット関数である．

(1)$\mathcal{H}_{c}\phi$(2)$\mathcal{T}_{c}\dagger_{\phi}$は正規直交スケーリング関数になる．
れる正規直交ウェーブレット関数である．

$\mathcal{H}_{c}\psi$$\mathcal{H}_{c}\psi$

は，は，から自然に生成さ$\mathcal{H}_{c}\phi$$\tau_{c}\uparrow\phi$から自然に生成さ注意 12. 伸張方程式 (2) やウェーブレット方程式 (6) に，平行移動作用素と伸張(など) を作用させると， を作用素の両方と可換なユニタリ作用素にをにおき換えた同じローパス．ハイパスフィルター係数を持つ伸張方程式とウェーブレット方程式が得られる．したがって， をにすれば正規直交ス
ケーリング関数を持つ MRA ができる．
から自然に生成される正規直交
ウエーブレット関数は，である．このことから，定理 11 の (1) は成立する．
$\mathcal{P}$$\psi$$\mathcal{H}_{c}$$\phi$$\mathcal{P}\phi$$\mathcal{P}\psi$$V_{j}$$\mathcal{P}\phi$$\mathcal{P}V_{j}$$\mathcal{P}\phi$$\mathcal{P}\psi$

定理 11 の (2) の証明．

$j\in \mathbb{Z}$に対して，$L^{2}(\mathbb{R})$の閉部分空間$V_{j}^{\dagger}=\overline{span}\{\mathcal{D}_{2^{-j}}\mathcal{T}_{k}\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi|k\in \mathbb{Z}\}$を定義する．
が MRA を構成することを以下で示す．
まず，は，平行移動作用素と可換なユニタリ作用素であるから，$\{V_{j}^{\dagger}\}_{j\in \mathbb{Z}}$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}$$\langle \mathcal{T}_{k}\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi, \mathcal{T}_{m}\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi\rangle=\langle \mathcal{T}_{c}\dagger \mathcal{T}_{k}\phi, \mathcal{T}_{c}^{\dagger}\mathcal{T}_{m}\phi\rangle=\langle \mathcal{T}_{k}\phi, \mathcal{T}_{m}\phi\rangle=\delta_{k,m}$はが成立する．したがって， 五勾とから，MRA の条件 5 と 3 が成立する．
次に，をフーリエ変換すると，$\phi |k\in \mathbb{Z}\}$$\{$$V_{0}^{\dagger}$の正規直交基底である．このこ$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi$$\mathcal{F}[\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi](\xi)=e^{-ic\tau(\xi)}\hat{\phi}(\xi)$$=e^{-ic\tau(\xi)}m_{0}(\xi/2)\hat{\phi}(\xi/2)$$=[e^{-ic(\tau(\xi)-\tau(\xi/2))}m_{0}(\xi/2)][e^{-ic\tau(\xi/2)}\hat{\phi}(\xi/2)]$$=[e^{-ic(\tau(\xi)-\tau(\xi/2))}m_{0}(\xi/2)]\mathcal{F}[\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi](\xi/2)$を得る．ここで，$2\pi$

周期関数$\eta(\xi):=\tau(2\xi)-\tau(\xi)=mod (\xi+\pi, 2\pi)-\pi$を定義する．

$\eta(\xi)$の概形は図 2 左図である．式 (7) をよく見ると，$m_{0,c}^{\dagger}(\xi):=e^{-ic\eta(\xi)}m_{0}(\xi)$(7)8$\tau(\xi)-\pi sgn(\xi)$$\eta(\xi)$

図 2: 左 $:2\pi$ 周期関数 $\eta(\xi):=\tau(2\xi)-\tau(\xi)$ . 右:破線$\tau(\xi)-\pi sgn(\xi)=\eta(\xi+\pi)$$\tau(\xi)$, 点線 $\pi sgn(\xi)$ , 実線 :.

が新しいローパスフィルタになって，$\tau_{c}\dagger_{\phi}$の伸張方程式のフーリエ変換版$\mathcal{F}[\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi](\xi)=m_{0,c}^{\dagger}(\xi/2)\mathcal{F}[\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi](\xi/2)$が示される．したがって，MRA の条件 1が成立するので，と条件 2 が成り立つ．
とのフーリエ変換の関係は，であることを示す．
次に，$(V_{j^{\uparrow}}\subset V_{j+1}^{\dagger})$$V_{0}^{\dagger}\subset V_{1}^{\dagger}$$V_{0}^{\dagger}=\mathcal{H}_{c}V_{0}$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi$$\mathcal{H}_{C}\phi$$\mathcal{F}[\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi](\xi)=e^{-ic\tau(\xi)}\hat{\phi}(\xi)=e^{-ic\tau(\xi)}e^{ic\pi}$sgn$(\xi)\mathcal{F}[\mathcal{H}_{c}\phi](\xi)$である．ここで，$e^{-ic\tau(\xi)}e^{ic\pi sgn(\xi)}=e^{-ic(\tau(\xi)-\pi}$sgn ( ) ) $=e^{-ic(-\pi+mod (\xi,2\pi))}$$\xi$に注目しよう．図 2 右図の実線が$\tau(\xi)-\pi sgn(\xi)=-\pi+mod (\xi, 2\pi)=\eta(\xi+\pi)$であるから， $e^{-ic(-\pi+mod (\xi,2\pi))}$ は，絶対値 1 の$2\pi$

周期関数になるので，$e^{-ic(-\pi+mod (\xi,2\pi))}= \sum_{k\in \mathbb{Z}}a_{k}e^{-ik\xi},$$a_{k}= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-ic(-\pi+mod (\xi,2\pi))}e^{ik\xi}d\xi$と展開できる． $e^{-ic(-\pi+mod (\xi,2\pi))}$ の逆数は，絶対値 1 だから複素共役を取って，$e^{ic(-\pi+mod (\xi,2\pi))}= \sum_{k\in \mathbb{Z}}\overline{a_{k}}e^{ik\xi}$9である．したがって，$\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi=\sum_{k\in \mathbb{Z}}a_{k}\mathcal{T}_{k}\mathcal{H}_{c}\phi, \mathcal{H}_{c}\phi=\sum_{k\in \mathbb{Z}}\overline{a_{k}}\mathcal{T}_{-k}\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi$

かつ
である．
ある．
は伸張作用素
$T_{c}^{1}\phi\in \mathcal{H}_{C}V_{0}$$\mathcal{H}_{c}$が成立する．このことから，と可換であるから，$\mathcal{H}_{c}\phi\in V_{0}^{\dagger}$$\mathcal{D}_{2^{-i}}$$V_{0}^{\dagger}=\mathcal{H}_{c}V_{0}$で$V_{j}^{\dagger}=\mathcal{D}_{2^{-j}}V_{0}^{\dagger}=\mathcal{D}_{2^{-j}}\mathcal{H}_{c}V_{0}=\mathcal{H}_{c}\mathcal{D}_{2^{-j}}V_{0}=\mathcal{H}_{c}V_{j}.$$\mathcal{H}_{c}$はユニタリ作用素なので，MRA の条件 4 も成立し，$\{V_{j}^{\dagger}\}_{j\in \mathbb{Z}}$は MRA を構成

する．

最後に，

から自然に生成されるウェーブレット関数$\tau_{c}\uparrow\phi$$\psi\dagger$を考えよう．ハイパ

スフィルタは，$m_{1,c}^{\dagger}(\xi)=e^{-i\xi}m_{0,c}^{\dagger}(\xi+\pi)=e^{-i\xi}e^{ic\eta(\xi+\pi)}\overline{m_{0}(\xi+\pi)}$である．図 2 右図において，実線一破線

$=$

点線より，

$\eta(\xi+\pi)-\tau(\xi)=\{\begin{array}{ll}-\pi, (\xi>0) ,\pi, (\xi<0)\end{array}$$=-\pi sgn(\xi)$が成立する．したがって，$\hat{\psi}^{\dagger}(\xi)=m_{1,c}^{\dagger}(\xi/2)\mathcal{F}[\mathcal{T}_{c}^{\dagger}\phi](\xi/2)$$=e^{-i\xi/2}e^{ic\eta(\xi/2+\pi)}\overline{m_{0}(\xi/2+\pi)}e^{-ic\tau(\xi/2)}\hat{\phi}(\xi/2)$$=e^{ic(\eta(\xi/2+\pi)-\tau(\xi/2))}e^{-i\xi/2}\overline{m_{0}(\xi/2+\pi)}\hat{\phi}(\xi/2)$$=e^{ic(\eta(\xi/2+\pi)-\tau(\xi/2))}\hat{\psi}(\xi)$$=e^{-ic\pi}$sgnが得られる．このことから，$\mathcal{H}_{c}\psi$

である$(\xi)\hat{\psi}(\xi)=\mathcal{F}[\mathcal{H}_{c}\psi]$$\mathcal{T}_{c}^{1\emptyset}$から自然に生成されるウェーブレット関数$\psi\dagger$は，口

ローパスフィルタ係数の対応

4$2\pi$

周期ローパスフイルタ
を式 (3) の形でフーリエ級数展開したときのの展開係数をローパスフィルタ係数とよんだ．同様に，ハイパス$m_{0}(\xi)$$2^{-1/2}e^{-in\xi}$$\{h_{n}\}$フィルタ $m_{1}(\xi)$ をフーリエ級数展開したときの $2^{-1/2}e^{-in\xi}$ の展開係数がハイパス

フイルタ係数$\{g_{n}\}$であった．これらのフィルタ係数は，離散ウェーブレット変換

における離散フィルタに対応するので，その係数値を求めることは重要である．正規直交スケーリング関数 のローパスフィルタ係数から，正規直交スケーリング
関数のローパスフィルタ係数を求めるには次の定理 13 を使う．
$\phi$$\mathcal{T}_{c}\dagger\phi$10
定理 13. 伸張方程式 (2) で定義される正規直交スケーリング関数のローパスフイルタ係数とすると，フィルタ係数をフィルタ係数は，それぞれ$\{h_{c,k}^{\dagger}\}$$\tau_{c}\uparrow\phi$$\{h_{k}\}$$\phi$

のローパス

とハイパス

$\{g_{c,k}^{\dagger}\}$$h_{c,k}^{\dagger}= \sum_{m\in \mathbb{Z}}h_{k-m}sinc(m-c) , g_{c,k}^{\dagger}=(-1)^{1-k}\overline{h_{c,1-k}^{\dagger}}$

で与えられる．ただし，sinc$(x)= \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$である．

の式 (8) の形のフーリエ級数展
周期関数
定理 13 の証明．最初に，開を考えよう． $\xi\in[-\pi, \pi$ ) に制限すると， $\eta(\xi)=\xi$ であるから (図 2 左図参照),$e^{-ic\eta(\xi)}$$2\pi$(8)$e^{-ic\eta(\xi)}=e^{-ic\xi}= \sum_{m\in \mathbb{Z}}a_{m}e^{-im\xi}, \xi\in[-\pi, \pi)$

における展開係数は，$a_{m}= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ic\xi}e^{im\xi}d\xi=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(m-c)\xi}d\xi=sinc(m-c)$である．

$\tau_{c}\uparrow\emptyset$のローパスフイルタ$m_{0,c}^{\dagger}(\xi)$は，$m_{0}(\xi)$の展開式 (3) を使うと，$m_{0,c}^{\dagger}(\xi)=e^{-ic\eta(\xi)}m_{0}(\xi)$$=[ \sum_{m\in \mathbb{Z}}a_{m}e^{-im\xi}] [2^{-1/2}\sum_{n\in \mathbb{Z}}h_{n}e^{-in\xi}]$$=2^{-1/2} \sum_{m\in \mathbb{Z}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_{m}h_{n}e^{-i(n+m)\xi}$$=2^{-1/2} \sum_{k\in \mathbb{Z}}[\sum_{m\in \mathbb{Z}}a_{m}h_{k-m}]e^{-ik\xi}$である．

$m_{0,c}^{\dagger}(\xi)$の $2^{-1/2}e^{-ik\xi}$ の展開係数であるローパスフイルタ係数$\{h_{c,k}^{\dagger}\}$は，$h_{c,k}^{\dagger}= \sum_{m\in \mathbb{Z}}a_{m}h_{k-m}=\sum_{m\in \mathbb{Z}}h_{k-m}sinc(m-c)$である．一方，ハイパスフィルタは，
パスフィルタ係数は，$m_{1,c}^{\dagger}(\xi)=e^{-i\xi}m_{0,c}^{\dagger}(\xi+\pi)$$\{g_{c,k}^{\dagger}\}$$g_{c,k}^{\dagger}=(-1)^{1-k}\overline{h_{c,1-k}^{\dagger}}$

で与えられる．口であるから，ハイ11
も正規直注意 14. 定理 11 より， が正規直交スケーリング関数であれば，
およびハイパスフイル
交スケーリング関数なので，ローパスフィルタ係数
タ係数は，内積$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi$$\phi$$\{h_{c,k}^{\dagger}\}$$\{g_{c,k}^{\dagger}\}$$h_{c,k}^{\dagger}= \int_{\mathbb{R}}2^{1/2},$$9_{c,k}^{\dagger}= \int_{\mathbb{R}}2^{1/2}$を使って計算できる．

双直交ウエーブレットの場合

5

定義 15.

$\psi,$$\tilde{\psi}\in L^{2}(\mathbb{R})$が次の 2 条件を満たすとき，双直交ウエーブレツト関数

とよぶ．

1.

$\{\psi_{j,k}|j, k\in \mathbb{Z}\}$と$\{\tilde{\psi}_{j,k}|j, k\in \mathbb{Z}\}$

それぞれが$L^{2}(\mathbb{R})$のリース基底を構成する．

次の双直交条件を満たす．

2$\langle\psi_{j_{1},k_{1}}, \tilde{\psi}_{j_{2},k_{2}}\rangle=\delta_{j_{1},j_{2}}\delta_{k_{1},k_{2}}, \forall j_{1}, j_{2}, k_{1}, k_{2}\in \mathbb{Z}$

このとき，任意の$f\in L^{2}(\mathbb{R})$

(9)

.

は，

(10)

$f= \sum_{j,k\in \mathbb{Z}}\langle f, \psi_{j,k}\rangle\tilde{\psi}_{j,k}=\sum_{j,k\in \mathbb{Z}}\langle f, \tilde{\psi}_{J^{k}}\prime,\rangle\psi_{j,k}$で展開できる．
$\mathcal{H}_{c}$は平行移動作用素と伸張作用素と可換なユニタリ作用素であったから，より，次の命題 16 が成立する．

$(\mathcal{H}_{c}\psi)_{j,k}$$\mathcal{H}_{c}(\psi_{j,k})$が双直交ウェーブレット関数ならば，組
命題 16. 組
ウェーブレット関数である．
$\tilde{\psi}$$\psi,$$\mathcal{H}_{c}\tilde{\psi}$$\mathcal{H}_{c}\psi,$

も双直交

双直交多重解像度解析の定義は，次の通りである．
の閉部分空間の列
定義 17.
それぞれのスケーリング関数 $\phi(x)\in V_{0},$直交条件$L^{2}(\mathbb{R})$$\{V_{j}\}_{j\in \mathbb{Z}},$$\{\tilde{V}_{j}\}_{j\in \mathbb{Z}}$$\tilde{\phi}(x)\in\tilde{V}_{0}$がそれぞれ MRA を構成し，が次のスケーリング関数の双$\langle\phi(\cdot-k) , \tilde{\phi}(\cdot-m)\rangle=\delta_{k,m}$を満たすとき，$\{V_{j}\}_{j\in \mathbb{Z}},$$\{\tilde{V}_{j}\}_{j\in \mathbb{Z}}$olution analysis) とよぶ．

$\tilde{\phi}$$\phi,$(11)を双直交多重解像度解析 (biorthogonal multiresの組を双直交スケーリング関数とよぶ．

12より， を防のリース基底 $\{2^{1/2}\phi(2x-n)\}$ で展開できる．同様も防のリース基底 $\{2^{1/2}\tilde{\phi}(2x-n)\}$ で展開できる．つまり，$\phi\in V_{0}\subset V_{1}$に$\tilde{\phi}$$\phi$$\phi(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}h_{n}2^{1/2}\phi(2x-n) , \tilde{\phi}(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}\tilde{h}_{n}2^{1/2}\tilde{\phi}(2x-n)$.

この展開式をツースケール方程式または伸張方程式とよぶ．ローパスフィルタ係と数とよばれる展開係数
双直交条件式 (11) を使って，$\{h_{n}\}$$\{\tilde{h}$訂を双直交スケーリング関数から求めるには，$h_{n}= \int_{\mathbb{R}}\phi(x)\overline{2^{1/2}\tilde{\phi}(2x-n)}dx, \tilde{h}_{n}=\int_{\mathbb{R}}\tilde{\phi}(x)\overline{2^{1/2}\phi(2x-n)}dx.$

伸張方程式の両辺をフーリエ変換して，$\hat{\phi}(\xi)=m_{0}(\xi/2)\hat{\phi}(\xi/2) , \hat{\tilde{\phi}}(\xi)=\tilde{m}_{0}(\xi/2)\tilde{\phi}(\xi/2)$,$m_{0}( \xi)=2^{-1/2}\sum_{n}h_{n}e^{-in\xi}, \tilde{m}_{0}(\xi)=2^{-1/2}\sum_{n}\tilde{h}_{n}e^{-in\xi}$を得る．ローパスフィルタ$m_{0}(\xi)$,$\tilde{m}_{0}(\xi)$

は $2\pi$ 周期の $L^{2}([0,2\pi))$ 関数である． ここで，ハイパスフィルタを$m_{1}(\xi)=e^{-i\xi}\overline{\tilde{m}_{0}(\xi+\pi)}, \tilde{m}_{1}(\xi)=e^{-i\xi}\overline{m_{0}(\xi+\pi)}$で定義する．さらに関数$\tilde{\psi}$$\psi,$を$\hat{\psi}(\xi)=m_{1}(\xi/2)\hat{\phi}(\xi/2) , \hat{\tilde{\psi}}(\xi)=\tilde{m}_{1}(\xi/2)\hat{\tilde{\phi}}(\xi/2)$で定義する．このとき，関数になる．
条件 18. 正定数 $A,$$\tilde{A}$$\tilde{\psi}$$\psi,$

が次の条件 18 を満たせば，双直交ウェーブレットが取れて，全ての$f\in L^{2}(\mathbb{R})$に対して，$\sum_{j,k\in \mathbb{Z}}|\langle f, \psi_{j,k}\rangle|^{2}\leq A\Vert f\Vert^{2}, \sum_{j,k\in \mathbb{Z}}|\langle f, \tilde{\psi}_{j,k}\rangle|^{2}\leq\tilde{A}\Vert f\Vert^{2}$が成立する．

を，双直交スケーリング関数
ブレット関数とよぶ．
この$\tilde{\psi}$$\psi,$

注意 19.
になり，$j\in \mathbb{Z}$を固定する毎に，$\{\tilde{\psi}_{j,k}|k\in \mathbb{Z}\}$は$\tilde{\phi}$$\phi,$

から自然に生成された双直交ウェー$\{\psi_{j,k}|k\in \mathbb{Z}\}$

は $W_{j}=\overline{span}_{k}\psi_{j,k}$ のリース基底のリース基底になっている．さらに，が成立する．しかしながら，がリース基底の定義 9 の条件 2 を満たすとは$\overline{W}_{j}=\overline{span}_{k}\tilde{\psi}_{j,k}$$\overline{span}\{\psi_{j,k}|j, k\in \mathbb{Z}\}=\overline{span}\{\tilde{\psi}_{j_{)}k}|j, k\in \mathbb{Z}\}=L^{2}(\mathbb{R})$$\{\psi_{j,k}|i, k\in \mathbb{Z}\},$$\{\tilde{\psi}_{j,k}|i, k\in \mathbb{Z}\}$

13限らない．リース基底になるためには，条件 18 が必要である．この条件 18 は，
リース基底の定義 9 の条件式 (1) の左側の不等号である．式 (1) の右側の不等号
は，条件 18 と双直交条件 (9) から導ける．実際，$\Vert f\Vert^{2}=\langle f,$$f \rangle=\langle\sum_{j,k}\langle f,$$\psi_{j,k}\rangle\overline{\langle f,\tilde{\psi}_{j,k}\rangle}$$\psi_{j,k}\rangle\overline{\psi}_{j,k},$$\tilde{\psi}_{j’,k’}\rangle\psi_{j’,k’}\rangle=\sum_{j,k}\langle f,$$\sum_{j,k’}\langle f,$$\leq\sqrt{\sum_{jk}|\langle f,\psi_{jk}\rangle|^{2}}\sqrt{\sum_{jk}|\langle f,\tilde{\psi}_{jk}\rangle|^{2}}\leq\sqrt{\sum_{jk}|\langle f,\psi_{jk}\rangle|^{2}}\sqrt{\tilde{A}\Vert f\Vert^{2}}.$

ただし，最初の不等式はコーシーシュワルツ不等式である．したがって，$\Vert f\Vert\leq\tilde{A}^{1/2}\sqrt{\sum_{jk}|\langle f,\psi_{jk}\rangle|^{2}}$となり，リース基底の定義 9 の条件式 (1) の右側の不等式がで示された．
また，Daubechies [4, Thereom 8.3.1] によれば，双直交スケーリング関数$e_{\lambda}=\psi_{j,k}$$\tilde{\phi}$$\phi,$

がコンパクトサポートを持ち，かつは双直交ウェーブレット関数になる．
$\phi,$$\tilde{\phi}\in L^{2}(\mathbb{R})$であれば，自然に生成された$\psi,$$\tilde{\psi}$

正規直交ウェーブレットの場合の定理 11 および定理 13 とほとんど同じ証明を用いると，双直交ウェーブレットに関する次の定理 20 と定理 21 が成立する．
定理 20. 組

から自然に生成される双を双直交スケーリング関数とし，直交ウェーブレット関数をとする．このとき以下が成立する．
$\tilde{\phi}$$\tilde{\phi}$$\phi,$$\phi,$$\psi,$(1)$\mathcal{H}_{c}\tilde{\phi}$$\mathcal{H}_{c}\phi,$$\tilde{\psi}$の組は双直交スケーリング関数になる．

$\mathcal{H}_{c}\tilde{\psi}$$\mathcal{H}_{c}\psi,$は，$\mathcal{H}_{c}\tilde{\phi}$$\mathcal{H}_{c}\phi,$

から自然に生成される双直交ウェーブレット関数である．

(2)の組は双直交スケーリング関数になる．
から自然に生成される双直交ウェーブレット関数である．

$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi,$$\mathcal{T}_{c}\dagger\tilde{\phi}$$\mathcal{H}_{c}\tilde{\psi}$$\mathcal{H}_{c}\psi,$

定理 21. 双直交スケーリング関数

すると，$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi,$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\tilde{\phi}$のローパスフィルタ係数をのローパスフィルタ係数は，$\tilde{\phi}$$\phi,$$\{h_{c,k}^{\dagger}\},$$h_{c,k}^{\dagger}= \sum_{m\in \mathbb{Z}}h_{k-m}$

sinc $(m-c)$ ,は，$\mathcal{T}_{c}^{1}\phi,$$\{h_{k}\},$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\tilde{\phi}$$\{\tilde{h}_{k}\}$と$\{\tilde{h}_{c,k}^{\dagger}\}$$\tilde{h}_{c,k}^{\dagger}=\sum_{m\in \mathbb{Z}}\tilde{h}_{k-m}$

sinc $(m-c)$で与えられる．このとき，から自然に生成される双直交ウェーブレット
関数のハイパスフィルタ係数は，$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi,$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\tilde{\phi}$$\mathcal{H}_{c}\overline{\psi}$$\mathcal{H}_{c}\psi,$$\{g_{c,k}^{\dagger}\},$$\{\tilde{g}_{c,k}^{\dagger}\}$$g_{c,k}^{\dagger}=(-1)^{1-k}\overline{\overline{h}_{c,1-k}^{\dagger}}, \tilde{g}_{c,k}^{\dagger}=(-1)^{1-k}\overline{h_{c,1-k}^{\dagger}}$

で与えられる．

14

6

スケーリング関数とウエーブレット関数のグラフを実線で，そのヒルベルト変換
図 3 に，ウェーブレット関数
描く．ウェーブレット関数としては，次の 4 種類を選んだ．
$\psi$

図 3: ウェーブレット関数$\psi$:実線とそのヒルベルト変換$\mathcal{H}\psi$$\mathcal{H}\psi$

を破線で:破線，左上 :メイエ，右上 :db4, 左下 :bior4. 4, 右下 :rbio3. 3.

図 3 左上図は，メイエの正規直交ウェーブレット関数 [4] を描いた．このウェー
ブレット関数は，周波数空間でコンパクトサポートを持ち，全ての次数のモーメ

であり，無限遠点であらゆる多項式より速く減衰する．
図 3 右上図は，ドブシーのコンパクトサポートを持つ正規直交ウェーブレット
関数 [4] の族の -つ db4 である．このウェーブレット関数は，パラメータに対して，サポートが $[0, 2N-1]$ であり， $(N-1)$ 次までのモーメントが であ
ントが

$0$

$N\in \mathbb{N}$$0$

り，ローパスフィルタ長が $2N$ である．このスケーリング関数やウエーブレット
関数を，MATLAB の表記に準じて， $dbN$ と記述する．
図 3 左下図は，Cohen Daubechies Feauveau’s biorthogonal wavelets [3] とよばれているものであり，略して CDF 双直交ウエーブレットとよぶ．図は，MATLAB
では bior4.4 とよばれているもので，分解再構成用のローパスフィルタ長が 9,157 である．
図 3 右下図も CDF 双直交ウェーブレットであり，MATLAB で rbio3.3 とよばれているものである．双直交スケーリング関数 が，2 次
スプライン関数(を右に 2 平行移動) であり，双直交ウェーブレット関数
も，2 次スプライン$B$$\phi$$\psi$である．

図 3 から，ウェーブレット関数のヒルベルト変換も無限遠点での減衰性が良い
ことがわかる．

一方，対応するスケーリング関数 を実線で，そのヒルベルト変換を破線で，を点線で描くと図 4 を得る．ヒルベルト変換像の無限遠点での減衰性が悪いことがわかる．他方，は減衰性が良いことがわかる．メイエのス
ケーリング関数の場合には，が成立する．
のより詳しい評価は，文献 [1]スケーリング関数刀 とウェーブレット関数
を参照せよ．
$\phi$$\mathcal{H}\phi$$\mathcal{T}_{1/2}^{\uparrow}\phi$$\mathcal{H}\phi$$\mathcal{T}_{1/2}^{\dagger}\phi$$\tau_{c}\uparrow\phi=\mathcal{T}_{C}\phi$$\phi$

図 4: スケーリング関数$\mathcal{H}_{c}\psi$:実線とそのヒルベルト変換:破線と
左上 :メイエ，右上 :db4, 左下 :bior4.4, 右下 :rbio3.3.
$\phi$$\mathcal{H}\phi$$\mathcal{T}_{1/2}^{\dagger}\phi$

:点線．

16
ローパスフィルタ係数の近似誤差

7

コンパクトサポートを持つスケーリング関数$\phi$,

ウエーブレット関数$\psi$

に対しは，コンパクトサポートにならない．また，有限長ローパス
フィルタ係数に対して，定理 21 によって得られるローパスフィルタ係数
は無限長になる．そこで，ローパスフイルタ係数を有限長でカットオフしたときの離散ウェーブレット変換逆変換による誤差を計算しよう．
元のローパスフィルタ係数のフィルタ長より，両側に 4 個ずつフィルタ長を増を用いて，レベル 8 まで，離散ウエーブ
やして，有限長で切った
レット変換逆変換を行って得られた再構成信号と元信号の誤差を測る．各フィルの元信号は，タ係数のフィルタ長は，表 1 にある．長さて，$\mathcal{H}_{c}\phi,$$\mathcal{H}_{c}\psi,$$\mathcal{T}_{c}^{\uparrow}\phi$$\{h_{k}\},$$\{h_{c,k}^{\dagger}\},$$\{\tilde{h}_{k}\}$$\{\tilde{h}_{c,k}^{\dagger}\}$$\{h_{c,k}^{\dagger}\},$$\{h_{c,k}\dagger\}$$2^{16}$$n=1$ , 2, . . . ,$a_{n}=2\delta_{n,2^{15}}+v_{n},$$\{a_{n}\}$$2^{16}$は $[-1/2, 1/2]$ の一様乱数である．つまり，数列の中点で値 2である．ただし，を取り，他は の数列にランダムノイズを加えたものを元信号とする．離散ウエー
ブレット変換逆変換は周期境界条件で行った．
$0.05\leq c\leq 0.95$ に対して，元信号を 10 回発生させて SNR の平均を計算
各し，横軸 に対して SNR の平均を縦軸にプロットすると，図 5 を得る．図 5 の実線破線点線一点鎖線とフィルタの対応は，表 1 である．
$v_{n}$

$0$

$c,$

$c$

注意 22. 元信号 $a=\{a_{n}\}\in\ell^{2}(\mathbb{Z})$ と再構成信号 $s=\{s_{n}\}$ の間の SNR (信号雑音比) は，

SNR
で与えられる．ただし，$=20* \log_{10}(\frac{\Vert a\Vert_{\ell^{2}(\mathbb{Z})}}{\Vert a-s\Vert_{\ell^{2}(\mathbb{Z})}})$$\Vert a\Vert_{\ell^{2}(\mathbb{Z})}$

は信号

$a$

$[dB]$の 4 ノルムである．

左上図は，ドブシーのコンパクトサポートを持つウェーブレットで $db3,$ $db4,$$db5$ , db6 を描いた．
右上図は，コアフマンのコンパクトサポートを持つ正規直交ウェーブレット(Coiflet) で，coif2, coif4, coif6, coif8 を描いた．パラメータに対$N\in \mathbb{N}$して，coifN は，正規直交ウェーブレッ ト関数が $(N-1)$ 次までのモーメントが消えていてかつ正規直交スケーリング関数の 1 から $(N-1)$ 次までのモーメントが消えているように作られている． $N$ に対して，フィルタ長は $6N$ であり， $6N$ 個のフィルタ係数による連立 2 次方程式を精度良く解かないとフィルタ係数が求まらないので，秦野 [10] からダウンロードした係数を用いた．
左下図の双直交 I は，CDF 双直交ウェーブレットで，MATLAB において，bior2.2,
bior3.3, bior4.4, bior5. 5 として実装されているものを使った．
右下図の双直交 II も，CDF 双直交ウェーブレットで，分解再構成用のロー
パスフィルタ係数の長さがなるべく等しくなるよう (実際は，分解用が 2 長い)に分配した組み合わせの中から，フィルタ係数の 2 乗和の合計が一番小さくなる

17(正規直交の場合，ローパスフィルタの 2 乗和は 1 になり，このときの合計 2 が下限になる) 組み合わせを選んだ場合である．このウェーブレットを biorLN と記述する． $biorL4$ は MATLAB の bior4. 4 と， $biorL5$ は MATLAB の rbio5.5とそれぞれ一致する グラフは，biorL6, biorL9, biorL12, biorL15 を描いた．

これらのグラフから，元のローパスフィルタ長より左右に 4 個ずつフィルタを増やしたローパスフィルタ係数を用いた数値計算の誤差は十分小さいことがわかる．

図 5: 有限長フィルタによる離散ウェーブレット変換・逆変換の誤差．左上 :ドブシー，右上 :コアフマン，左下 :双直交 I, 右下 :双直交 II. 詳しく8$\{h_{c,k}^{\dagger}\},$$\{\tilde{h}_{c,k}^{\dagger}\}$$\#fg1\neq\approx\# B\prime",,\backslash \backslash \cdot$$N$

分木離散ウエーブレット変換

自然数 $N$ と実数 $0 \leq c<\frac{1}{N}$ を選ぶ．定数 $c_{n}=c+n/N,$ $n=0$ , . . . , $N-1$ をとる．定理 20 より，双直交スケーリング関数$\tilde{\phi}$$\phi,$

に対して，$\mathcal{T}_{c_{n}}^{\uparrow\tilde{\emptyset}}$$\mathcal{T}_{c_{\eta}}^{\uparrow}\phi,$

も双直

18
表 1: 図 5 の SNR グラフのウエーブレット名とそのフイルタ長．

交スケーリング関数である．リース基底への射影作用素$\{\mathcal{T}_{c_{n}}^{\uparrow}\tilde{\phi}(x-k)\}_{k\in \mathbb{Z}}$で張られる空間$\mathcal{T}_{c_{n}}\dagger\tilde{V}_{0}$$P_{c_{n}}$$P_{c_{n}}f= \sum_{k\in \mathbb{Z}}\langle f, \mathcal{T}_{c_{n}}^{\dagger}\phi(\cdot-k)\rangle \mathcal{T}_{c_{n}}^{\dagger}\tilde{\phi}(x-k) , f(x)\in L^{2}(\mathbb{R})$を考える．数列は，双直交スケーリング関数
から求められるローと対応する双直交ウェーブレット関数
パスフィルタ係数とハイパスフィルタ係数を用いた離散ウェーブレット変換逆変換が可能である．
の平均を取る作用素$n=0$ , . . . , $N-1$ に対して，
次に， $N$ 個の$\{\langle f, \mathcal{T}_{c_{n}}^{\uparrow}\phi(\cdot-k)\rangle|k\in \mathbb{Z}\}\in\ell^{2}(Z)$$\mathcal{T}_{c_{n}}^{\uparrow}\phi,$$\mathcal{H}_{c_{n}}\tilde{\psi}$$\mathcal{T}_{c_{n}}\dagger\tilde{\phi}$$\mathcal{H}_{c_{n}}\psi,$$c_{n},$$P_{c_{n}}f$$P_{c}^{N}f= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}[\sum_{k\in \mathbb{Z}}\langle f, \mathcal{T}_{c_{\mathfrak{n}}}^{\dagger}\phi(\cdot-k)\rangle \mathcal{T}_{c_{n}}^{\dagger}\tilde{\phi}(x-k)]$$P_{C}^{N}$

(12)

19
を考えよう．Toda-Zhang [8], 戸田・章 [9], 萬代 [11] にょれば，もし supp$[-2\pi, 2\pi],$
で $N\geq 2$ であれば，作用素
suppが平行移動不変に$\hat{\phi}\subset$$\overline{\phi}\wedge\subset[-2\pi, 2\pi]$$P_{C}^{N}$

なる．また，このとき，$P_{C}^{N}f$

そこで，数列のスケーリング係数列$\{a_{k}\}\in\ell^{2}(\mathbb{Z})$は $N\geq 2$ であれば， $N$ に依らない．

に対して，ある$f\in L^{2}(\mathbb{R})$を対応させて，式 (12)$\{b_{k}^{n}=\langle f, \mathcal{T}_{c_{n}}^{\dagger}\phi(\cdot-k)\rangle|k\in \mathbb{Z}\}_{n=0,\ldots,N-1}$を定めることができれば，各 $n=0$ , . . . , $N-1$ 毎にをローパスフィルタ係とハイパスフィルタ係数を用いて，離散ウェー
ブレット変換できる．数列
から $N$ 種類の離散ウェーブレット変換の対応として，次の $N$ 分木離散ウエーブレット変換を定義する．

数$\{h_{c_{n},k}^{\dagger}\},$$\{\tilde{h}_{c_{n},k}^{\dagger}\}$$\{g_{c_{n},k}^{\dagger}\},$$\{b_{k}^{n}\}_{k\in \mathbb{Z}}$$\{\tilde{g}_{c_{n},k}^{\dagger}\}$$\{a_{k}\}$

S.l

$N$

分木離散ウエーブレット変換・逆変換のアルゴリズム

数列 $\{a_{k}\}\in\ell^{2}(Z)$ に対する $N$ 分木離散ウェーブレット変換は，数列を $N$ 重にする前処理とそれぞれ $N$ 通りの離散ウェーブレット変換からなる．逆 $N$ 分木離散ウェーブレット変換は，それぞれ $N$ 通りの逆離散ウェーブレット変換とその係数から元の数列を作成する後処理に分けられる．
最初に，双直交スケーリング関数$\psi,$$\tilde{\psi}$$\tilde{\phi}$$\phi,$と自然に生成されるウェーブレット関数を固定する．自然数 $N$ と実数 $0 \leq c<\frac{1}{N}$ を選ぶ．また，定数 $c_{n}=c+n/N,$$n=0$ , . . . , $N-1$ とおく．

定義 23 (前処理). 前処理を行う作用素 Pre :$\ell^{2}(\mathbb{Z})arrow(\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{N}$$(\{b_{k}^{n}\}_{k})_{n=0}^{N-1}=Pre(\{a_{k}\}_{k})$を以下で定義する．

1. 数列$\{a_{k}\}\in\ell^{2}(Z)$を sinc 関数で補間する．

$f(x):= \sum_{k\in \mathbb{Z}}a_{k}sinc(x-k)$.

2. 補間関数 $f(x)$ から点 $x=k+c_{n},$ $n=0$ , . . . , $N-1,$$k\in \mathbb{Z}$での値を取り出す．
$b_{k}^{n}=f(k+c_{n})$,次に， $n=0$ , . . . , $N-1$ 種類の数列

ブレット関数る．初期レベルを$\mathcal{H}_{c_{n}}\psi$$0$$k\in \mathbb{Z},$$\{b_{k}^{n}\}_{k\in \mathbb{Z}}$$n=0$ , . . . , $N-1.$

をスケーリング関数$\mathcal{T}_{c_{n}}^{\uparrow}\phi$とウェーに基づく離散ウェーブレット変換でレベル $J(<0)$ まで分解すに取り，分解するにつれてレベルが減るように取る．

20
定義 24 (離散ウエーブレット変換). $n=0$ , . . . , $N-1$ に対して，レベル の近似と詳細係数を定義する．レベル の近似係数
係数からはレベル $j+1$ の近似係数$0$$\{b_{k}^{i,n}\}_{k\in \mathbb{Z}}$$j$$\{b_{k}^{0,n}\}_{k\in \mathbb{Z}}:=\{b_{k}^{n}\}_{k\in \mathbb{Z}}$$\{b_{m}^{;+1,n}\}_{rn\in \mathbb{Z}}$$\{d_{k}^{j,n}\}_{k\in \mathbb{Z}}$$b_{k}^{;,n}= \sum_{m\in \mathbb{Z}}\overline{h_{c_{n},m}^{\dagger}}b_{m+2k}^{i+1,n}=\sum_{m\in \mathbb{Z}}\overline{h_{c_{n},m-2k}^{\dagger}}b_{m}^{i+1,n},$$d_{k}^{j,n}= \sum_{m\in \mathbb{Z}}\overline{g_{c_{n\rangle}m}^{\dagger}}b_{m+2k}^{j+1,n}=\sum_{m\in \mathbb{Z}}\overline{g_{c_{n},m-2k}^{\dagger}}b_{m}^{;+1,n}$このときで計算する．ただし， $j=-1$ , . . . , J.

$(\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{N}arrow((\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{-J+1})^{N}$の対応$(\{b_{k}^{0,n}\}_{k})_{n=0,\ldots,N-1}\mapsto(\{\{d_{k}^{-1,n}\}_{k}, .

.

.

, \{d_{k}^{J,n}\}_{k};\{b_{k}^{J,n}\}_{k}\})_{n=0,\ldots,N-1}$

をレベル $J$ の離散ウエーブレット変換とよぶ．

定義 25 ( $N$ 分木離散ウエーブレット変換). 前処理と離散ウエーブレット変換をあわせた，数列 $\{a_{k}\}\in\ell^{2}(Z)$ から，レベル の離散ウエーブレット変換への対応$J$$\ell^{2}(\mathbb{Z})arrow((\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{-J+1})^{N}$$\{a_{k}\}\mapsto(\{\{d_{k}^{-1,n}\}_{k}, .

.

.

, \{d_{k}^{J,n}\}_{k};\{b_{k}^{J,n}\}_{k}\})_{n=0,\ldots,N-1}$

をレベル $J$ の $N$ 分木離散ウエーブレット変換とよぶ．

$j=-1$ , . . . , とレベ
この後， $n=0$ , . . , $N-1$ に対応する各詳細係数に対して，ノイズ除去．エツジ抽出・透かし埋め込み圧
ルの近似係数
縮などのデータ処理を行う．
$\{d_{k}^{j,n}\}_{k},$$J$$\{b_{k}^{J,n}\}_{k}$$J$

定義 26 (逆離散ウェーブレット変換). $n=0$ , . . . , $N-1$ に対して，レベル
似係数$\{b_{k}^{j,n}\}_{k}$と詳細係数$\{d_{k}^{j,n}\}_{k}$からレベル $j+1$ の近似係数$\{b_{m}^{i+1,n}\}_{rn}$$b_{m}^{i+1,n}= \sum_{k\in \mathbb{Z}}h_{c_{n},m-2k}^{1}b_{k}^{j,n}+\sum_{k\in \mathbb{Z}}\tilde{g}_{c_{n},m-2k}^{\dagger}d_{k}^{j,n}$で得られる．ただし， $i=J$, . . .

$,$

$-1$

.

このとき対応$((\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{-J+1})^{N}arrow(\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{N}$$(\{\{d_{k}^{-1,n}\}_{k}, .

をレベル

$J$

.

.

, \{d_{k}^{J,n}\}_{k};\{b_{k}^{J,n}\}_{k}\})_{n=0,\ldots,N-1}\mapsto(\{b_{k}^{0,n}\}_{k})_{n=0,\ldots,N-1}$の逆離散ウエーブレット変換とよぶ．

$j$

の近

は，

21
最後に後処理を定義しよう．
定義 27 (後処理). $N$ 種類のレベル
で値$x=k+c_{n}$

$0$

の近似係数

$(\{b_{k}^{0,n}\}_{k})_{n=0,\ldots,N-1}$に対して，点を取る補間関数$b_{k}^{0,n}$$f(x):= \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k\in \mathbb{Z}}b_{k}^{0,n}sinc(N(x-(k+c_{n}$を作る． $f$ を $[-\pi, \pi]$ に帯域制限した関数$\tilde{f}=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(\xi)\cross\chi_{[-\pi,\pi]}(\xi)]$を用いて，数列を$\{a_{k}\}$$a_{k}=\tilde{f}(k) , k\in \mathbb{Z}$で定義する．

定義 28 (逆 $N$ 分木離散ウェーブレット変換). 逆離散ウェーブレット変換と後処理をあわせた，レベル$J$の離散ウェーブレット変換の係数から数列$((\ell^{2}(\mathbb{Z}))^{-J+1})^{N}arrow\ell^{2}(\mathbb{Z})$$(\{\{d_{k}^{-1,n}\}_{k}, .

.

.

$\{a_{k}\}$

への対応

,

, \{d_{k}^{J,n}\}_{k};\{b_{k}^{J,n}\}_{k}\})_{n=0,\ldots,N-1}\mapsto\{a_{k}\}$をレベル $J$ の逆 $N$ 分木離散ウエーブレット変換とよぶ．

データ処理を行わない場合には，後処理で得られた数列
いて，最初の数列と一致する．

$\{a_{k}\}$は，計算誤差を除

注意 29. $N=1$ とすると，普通の離散ウェーブレット変換になる．この場合には，スケーリング関数
一紛の展開係数として，信号 $f(x)$ と $\phi(x-k)$ との内積$\phi(x$$\langle f,$$\phi(\cdot-k)\rangle$

式 (12) の$\langle f,$

ではなく， $f(x)$ の点 $x=k$ での値 $f(k)$ そのものを係数としていた．
個の射影の平均の場合には，の係数は，内積$N$$\mathcal{T}_{c_{n}}\dagger\phi(x-k)$$\mathcal{T}_{c_{n}}\dagger\phi(\cdot-k)\rangle=\langle\underline{\mathcal{T}^{\dagger}}_{c_{n}}f,$$\phi(\cdot-k)\rangle=\langle \mathcal{T}_{-c_{n}}f,$$\phi(\cdot-k)\rangle=\langle f(\cdot+c_{n})$,$\phi(\cdot-k)\rangle$となる．ただし，信号 $f$ は数列を sinc 関数で補間したので，supp
である．この場合となることを用いた．定義 23 で提案した前処理では，内積の代わりに，信号 $f(x+c_{n})$ の点 $x=k$ での関数値$f(k+c_{n})$ を用いた．
$\hat{f}\subset[-\pi, \pi]$$\underline{\mathcal{T}^{\dagger}}_{c_{n}}f=\mathcal{T}_{-c_{n}}f$$\langle f,$$\mathcal{T}_{c_{n}}^{1}\phi(\cdot-k)\rangle$

メイエの正規直交スケーリング関数 とその平行移動に関しては，Toda-Zhang [8],戸田章 [9] がより良い前処理・後処理を提案している．メイエの正規直交ウェー
ブレットの場合を用いた $N$ 分木離散ウェーブレット変換は，[6] 参照．
$\phi$

22
S.2

近似と詳細のシフト不変性について

分木離散ウェーブレット変換で，レベル $J(<0)$ まで分解し，レベル の近において，逆 $N$ 分木離散
似係数
$n=0$ , . . . , $N-1$ 以外の係数を全てウェーブレット変換して得られる数列をレベル の近似とよぶ．同様に，レベルにおいて，逆 $N$ 分$n=0$ , . . . , $N-1$ 以外の係数を全ての詳細係数
木離散ウェーブレット変換して得られる数列をレベル の詳細とよぶ．
文献 [2] で考察した 「時間遅れの入ったブラインド信号源分離問題」 では，音源位置やマイク位置により複数の観測信号源に含まれる信号源の位相が異なるので，問題解法のためのウェーブレット変換にシフト不変性が求められる．文献 [2]では，解析ウェーブレット変換という連続ウエーブレット変換 (信号との畳み込
み積なので平行移動不変性を持つ) を用いた．計算量を減らし，逆変換が可能な$N$ 分木離散ウェーブレット変換を用いる解法を考える場合には，近似や詳細がシ
フト不変性を持つことが望まれる．普通の離散ウェーブレット変換では，ダウンサンプリングが計算過程で含まれているので，近似や詳細がシフト不変性を持つ
ことはあり得ない．一方で，メイエを用いた 2 分木離散ウエーブレット変換の近似や詳細がシフト不変性を持つことが示されている [9, 8].
本小節では，メイエ，ドブシー，コアフマン，CDF 双直交ウエーブレットに対して，近似と詳細が数値的にシフト不変性を持つかどうかを調べる．実験条件は，256 点からなるデータ列で， $-h$ 所だけ 1, その他 の数列
$J$

$N$

$0$

$\{b_{k}^{J,n}\}_{k\in \mathbb{Z}},$

$J$

$J$

$0$

$\{d_{k}^{J,n}\}_{k\in \mathbb{Z}},$

$J$

$0$

$\{a_{n}^{(\ell)}=\delta_{n,\ell}\}_{n=1,\ldots,256},$$\ell=20$, 21, . . . , 27のレベル $J=-3$ の詳細 8 パターンを一つのグ
を 8 パターン作る．このラフに描く $(横軸の範囲は n=1, \ldots, 50 である)$ . 詳細がシフト不変に近ければ．
グラフは同じ形の波の平行移動になる．
メイエのウェーブレットで， $c=0.1$ に固定して， $N=1,$ $N=2,$ $N=5,$ $N=7$$\{a_{n}^{(\ell)}\}$の場合にレベルー 3 の詳細を 8 パターン描くと，図 6 を得る．通常の離散ウエー
ブレット変換 $(N=1)$ 以外は，詳細が同じ概形のグラフの平行移動になっている
ので，シフト不変になっている． $N\geq 2$ では， $N$ による差は無い．
次に， $c=0.1$ で固定し，いろいろなウェーブレット関数を用いた 2 分木離散
ウェーブレット変換のレベルー 3 の詳細 8 パターンを描いたグラフが図 7 である．
上の図がドブシーの正規直交ウェーブレットの場合で，左側が db4 (フイルタ長$8+8=16)$ で右側が db8
フイルタ長 $16+8=24)$ である．ドブシーの正規直$($交スケーリング関数は，フィルタ長が長くなるとシャノンのスケーリング関数に近づくので，シフト不変に近くなる．レベルー 3 の詳細では db10 位で，8 パター
ンによる差が目視できなくなる．
コアフマンの正規直交ウエーブレットの場合は，左中の図が Coiflet 3 (フイルタ長 $18+8=26)$ , 右中が Coi 且 et 7 フィルタ長 $42+8=50)$ である．Coﬄet
もフィルタ長が長くなるとシフト不変に近くなる．
$($

23

図 6: メイエの正規直交ウェーブレットを用いた $N$ 分木離散ウェーブレット変換のレベルー 3 の詳細． $c=0.1$ で固定．左上 $:N=1$ , 右上 $:N=2$ , 左下 $:N=5,$
右下 $:N=7.$下の図が CDF 双直交ウェーブレットの場合である。 左下図が biorL5, つまり，
MATLAB の rbio5.5 の場合である．右下図は， $biorL20$ である．CDF 双直交の場合もフィルタ長が長くなるとシフト不変に近くなる．
メイエ以外の場合も， $N=1$ と $N=2$ では近似と詳細の概形が全く異なるが，$N\geq 2$ では，あまり差が見られなかった．このことから，定義 23 の前処理と定
義 27 の後処理をより適切に設計する必要があると思われる．

9

まとめと今後の課題
本論文では，以下のことを行った．

1. 双直交ウェーブレット関数の分数べきヒルベルト変換を生成する良い性質を持つ双直交スケーリング関数を構成した．

24
db4. $N=2.$

db8, $N=2,$ $c=0.1$$\infty-0.1$

10

20

30

40

50

40

50

CFH7, $N=2,$ $arrow-0.1$

10

20

30

$biorL20,N=2,c=0.1$

図 7: 2 分木離散ウェーブレット変換のレベルー 3 の詳細． $c=0.1$ で固定．左上 :$bd4$ ,

右上 :bd8, 左中 : Coiflet 3, 右中 : Coiflet 7, 左下 $:biorL5$ , 右下 $:biorL20.$

2. 対応するローパスフィルタ係数を計算する方法を示した．

3. ローパスフィルタ係数を有限長 (元のフィルタ長 $+8$ タップ) で切り取ったフィルタを使った通常の離散ウェーブレット変換逆変換が十分な精度を持つことを示した．

25
4. $N$ 分木離散ウェーブレット変換を定義し，近似と詳細がシフト不変に近い性
質を持つ場合があることを例示した．
今後の課題としては，

1. 定義 23 の前処理と定義 27 の後処理をより良く設計する必要がある．
2. 様々なスケーリング関数や対応するローパスフィルタ係数を求める．
3. 時間遅れのある信号源分離の解法に応用する．

4. 電子透かしやノイズ除去などへ応用する．
5. 過剰系 (フレーム) が簡単に設計できるので，スパース表現へ応用する．
などが考えられる．

参考文献[1] R. Ashino, T. Mandai, and A. Morimoto, Scaling functions generating fractional Hilbert transforms of a wavelet function, to appear in J. Math. Soc.
Japan.

[2] R. Ashino, T. Mandai, A. Morimoto, and F. Sasaki, Blind source separationof spatio-temporal mixed signals using time-frequency analysis, Appl. Anal.,
88(3), 425-456, 2009.
[3] A. Cohen, I. Daubechies, and J.-C. Feauveau, Biorthogonal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure Appl. Math., 45(5), 485-560, 1992.

[4] I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia, PA, 1992.
[5] S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing
The Sparse Way, Third
Edition, Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2009.
–[6] A. Morimoto, K. Ikebe, Y. Ishida, Y. Oshima, M. Tatsumi, H. Tsuji, An
application of $N$ -tree discretewavelet transform to digital watermarking, Proceedings of 2013 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern
Recognition, 14-17 July, 2013, Tianjin, China, 73-78, 2013.
[7] I.W. Selesnick, R.G. Baraniuk, and N.C. Kingsbury, The dual-tree complex
wavelet transform, IEEE Signal Processing Magazine, 22(6), 123-151, 2005.

26[8] H. Toda and Z. Zhang, Perfect translation invariance with a wide range ofshapes of Hilbert transform pairs of wavelet bases, Int. J. Wavelets Multiresolut. $Inf$ . Process., 8(4), 501-520, 2010.
[9] 戸田浩・章忠，完全シフト不変定理に基づく Hilbert 変換ペアウエーブレッ
ト基底，数理解析研究所講究録，1684, 13-35, 2010.

[10] 秦野和郎，Coiflet Filter 係数，Biorthogonal wavelet Filter 係数の計算，数理解析研究所講究録，944, 218-226, 1996. 係数値は以下のホームページを参照．
http: $//$ phase. hpcc. jp/phase/wavelet/[11] 萬代武史，離散ウェーブレット変換に伴う射影作用素の平均の平行移動不変性，数理解析研究所講究録，1684, 36-48, 2010.