教授 玉川 安騎男 （整数論，数論幾何学の研究）
代数多様体，特に代数曲線やそのモジュライ空間の被覆と基本群に関する数論幾何は，内外の多くの研究者によってさまざまな視点から研究されている。本研究所では，望月新一，星裕一郎及び当該所員を中心に，広い意味での遠アーベル幾何（anabelian geometry）を軸として活発に研究が進められ，当該分野を世界的にリードしている。特に，曲線の遠アー
ベル幾何に関して，当該所員は，これまでに有限体上の結果，有理数体上有限生成な体上の結果，正標数代数閉体上の結果などを得てきた。
以下では，当該所員が近年得た，いくつかの結果を簡単に紹介する。
・（M. Saı̈di との共同研究）有限体上の曲線やその関数体の遠アーベル幾何に関し，素数の無限集合 Σ である条件を満たすものに対して幾何的基本群を最大副 Σ 商に置き換えた場合の結果を証明した（[3] など）。また，有限生成体上の曲線に対するセクション予想に関連して，離散的 Selmer群や離散的 Shafarevich-Tate 群という，有限生成体上のアーベル多様体の新しい数論幾何的不変量を導入した（[7]）。最近では，大域体の遠アーベル幾何に関し，ガロア群を最大 m 次可解商に置き換えた場合の結果を得，さらに素体上有限生成な体の場合に拡張した（[9] 及び論文３編準備中）。
・（A. Cadoret との共同研究）有理数体上有限生成な体上の曲線の数論的基本群の l 進ガロア表現を曲線の（剰余次数を制限した）閉点の分解群に制限して得られるガロア表現の像の下界の存在を以前証明していたが，さらに素数 l を走らせた時の l 進表現系や法 l 表現系の像の幾何的部分のふるまいについても考察し，種数やゴナリティーの発散性や像の l 独立性などに関する結果を証明した（[4][5] など）。また，アーベルスキームのファイバーに現れるアーベル多様体の共通同種因子に関する Rössler-Szamuelyの問題についての結果（J. Eur. Math. Soc. に掲載予定），概テイム版
Bertini 定理（論文準備中），淡中圏論的 Chebotarev 密度定理（論文投稿中）などを証明した。
・（A. Cadoret，C. Hui との共同研究）上述の法 l 表現系に関する Cadoretとの共同研究の発展として，幾何的モノドロミーの法 l 半単純性についての強い結果（Deligne の定理の法 l 版）を得た（[2]）。また，GrothendieckSerre/Tate 予想（Tate 予想＋半単純性予想）の Ql 係数版と Fl 係数版の間の比較（[10]）や l 進表現系の整半単純性及び超積係数のモノドロミーの研究（論文準備中）を行った。
・（C. Rasmussen との共同研究）３点抜き射影直線の副 l 基本群の上のガロア表現に関する伊原の問題に関連して，有限次代数体 K と正整数 g が与えられた時，K 上の g 次元アーベル多様体 A の同型類と素数 l の組で，体 K(A[l∞ ]) が l の外で不分岐で K(ζl ) 上副 l な拡大になるようなものは有限個しかないことを予想し，[K : Q] ≤ 3，g = 1 の場合，K = Q，g ≤ 3の場合，及び一般 Riemann 予想の仮定下での K ：一般，g ：一般 の場合などに肯定的解決を得た。また，関連して，2 の外で不分岐な主偏極アー
ベル曲面の 2 冪ねじれ点の研究（[1]），射影直線の l 冪次巡回被覆のヤコビ多様体の l 冪ねじれ点の研究（[6]），楕円曲線に付随するガロア表現の跡像の普遍下界性に関する研究（論文準備中）などを行った。
・（V. Karemaker，C. Yu との共同研究）有理数体上の対合多元環の整環の構造を詳しく調べることにより，偏極アーベル多様体の直既約分解の強い意味での一意性やその偏極ホッジ構造への拡張（論文投稿中），任意の整環のアーベル多様体の全自己準同型環としての実現可能性（論文準備中）などの基本的な結果を証明した。

[1] Abelian surfaces good away from 2, International Journal of Number
Theory 13 (2017), no. 4, 991–1001 (with Christopher Rasmussen).
[2] Geometric monodromy — semisimplicity and maximality, Annals ofMathematics (2) 186 (2017), no. 1, 205–236 (with Anna Cadoretand Chun Yin Hui).
[3] A reﬁned version of Grothendieck’s anabelian conjecture for hyperbolic curves over ﬁnite ﬁelds, Journal of Algebraic Geometry 27(2018), no. 3, 383–448 (with Mohamed Saı̈di).
[4] On the geometric image of Fℓ -linear representations of étale fundamental groups, International Mathematics Research Notices 2019(2019), no. 9, 2735–2762 (with Anna Cadoret).
[5] Genus of abstract modular curves with level-ℓ structures, Journalfür die reine und angewandte Mathematik 752 (2019), 25–61 (withAnna Cadoret).
[6] Cyclic covers and Ihara’s question, Research in Number Theory 5(2019), no. 4, 33, 23 pp. (with Christopher Rasmussen).

[7] On the arithmetic of abelian varieties, Journal für die reine undangewandte Mathematik 762 (2020), 1–33 (with Mohamed Saı̈di).
[8] Correspondences on curves in positive characteristic, Contemporary Mathematics 767 (2021), 97–114.
[9] The m-step solvable anabelian geometry of number ﬁelds, Journalfür die reine und angewandte Mathematik 789 (2022), 153–186(with Mohamed Saı̈di).
[10] Qℓ - versus Fℓ -coeﬃcients in the Grothendieck-Serre/Tate conjectures, Israel Journal of Mathematics 257 (2023), no. 1, 71–101 (withAnna Cadoret and Chun Yin Hui).