2020年度

豊島岡女子学園中学校<第3回>算数

くわしい解説すぐる学習会8１ (1) 2.1÷ 2 16 － 23 － 14 × 15
アイウエ
ア＝

215－ ＝3412582× ＝
12 15
91235
ウ ＝2 － ＝69183521 35
2エ ＝ 2.1 ÷ ＝ ÷ ＝ 118101825
イ＝(2)（ 1.08 でも正解 ）3 で割ると 1 余る … あと 2 だけよけいにあれば，3 で割り切れる。
4 で割ると 2 余る … あと 2 だけよけいにあれば，4 で割り切れる。

よって，あと 2 だけよけいにあれば，3 でも 4 でも割り切れる（＝12の倍数）。
つまり，あと 2 だけよけいにあれば，12の倍数になるような数のうち，小さい方から 2020 番目の数を求める問題になりました。
12の倍数のうち小さい方から 2020 番目は，12×2020＝24240 です。
あと 2 だけよけいにあれば，24240になるのですから，答えは 24240－2＝24238になります。

-1-

(3) 長針は 1 分間に 6度ずつ，短針は 1 分間に 0.5 度ずつ動きますが，どちらも時計回りに動くので，短針を止めて，長針だけ 1 分間に 6－0.5＝5.5（度）ずつ動くとしてもＯＫです。
はじめて 90 度になるのは，長針が90度動いたときです。
90度

次に 90 度になるのは，はじめて90度になったときからさらに180度動いたときなので，90＋180＝270（度）動いたときです。

180度

さらにその次に 90 度になるのはさらに180度動いたときなので，270＋180＝450（度）動いたときです。
このように考えると，90度から始まって，180度ずつ増える等差数列になります。

180度

90度，270度，450度，……
＋180度 ＋180度

午前12時から午後12時までの12時間＝720分の間に，長針は1分間に5.5度ずつ動くと考えているので，長針は全部で 5.5×720＝3960（度）動きます。
この3960度の中に，等差数列の角度が何個入っているかを求める問題になりました。
等差数列のＮ番目＝はじめ＋増える数×(Ｎ－1) ですから，90＋180×(Ｎ－1)＝3960 とします。
3960－90＝3870
3870÷180＝21.5
21.5＋1＝22.5 ですから，等差数列の角度は22個入っています。
よって，長針と短針の作る角度が90度になるのも，22回になります。

-2-(4)

はじめはすべてのカードが黒になっています。
1 回裏返しすると赤になり，2回裏返しすると黒になります。
よって，赤になっているのは，1回だけ1から24裏返ししたカードです。
3の倍数
4の倍数
右のベン図において，斜線をつけた部分の整数の合計を求める問題になります。
アイ
1 から24 までの中で 3 の倍数でも4の倍数でもあるのは，12，24です。
3 の倍数は，3，6，9，12，15，18，21，24ですから，右のベン図のアにあてはまるのは，3，6，9，15，18，21 です。
その和は，3＋6＋9＋15＋18＋21＝72 です。
また，4の倍数は，4，8，12，16，20，24 ですから，右のベン図のイにあてはまるのは，4，8，16，20 です。
その和は，4＋8＋16＋20＝48 です。
よって，赤で書かれている数の合計は，72＋48＝120 になります。

-3-

２ (1) 姉が妹に 550 円渡しても，2 人の合計は変わりません。
はじめ，姉と妹は 5：2 でした。
姉と妹の和は，5＋2＝7 です。

姉：妹和

5：2

7

はじめ

渡したあとは，姉と妹は 7：5 でした。
姉と妹の和は，7＋5＝12 です。

和をそろえます。
7 と 12 の最小公倍数である 84 にします。
はじめの和である7を84にするためには，84÷7＝12（倍）するので，5も2も12倍になります。
5×12＝60，2×12＝24 になります。
あとの和である12を84にするためには，84÷12＝7（倍）するので，7も5も7倍になります。
7×7＝49，5×7＝35 になります。

姉：妹 和
はじめ

5：2

7

あと

7：512

姉：妹

和

はじめ
あと

5：2
72484
7：5 12

姉：妹
はじめ

和

5：2
72484
あと
7：5 12493584

姉は，60－49＝11 減りました。
減った理由は，妹に550円渡したからです。
550円が，11にあたります。
1あたり，550÷11＝50（円）です。
はじめの姉は60にあたるので，50×60＝3000（円）になります。

-4-6060

(2) はじめに，8％の食塩水200ｇがありました。この中には，200×0.08＝16（ｇ）の食塩がとけています。
16ｇ200ｇ8％
この食塩水から，何ｇかの食塩水を取り出し，かわりに同じ量の水を加えたところ，16ｇ
200ｇ

0ｇ－8％ｇ＋ｇ0％8％5.2％の食塩水になったそうです。
ウ

16ｇ
200ｇ8％－ｇ8％

イ0ｇ＋ｇ0％＝ア
5.2％

上の図のアは，200ｇからｇを取りのぞいてまた200ｇにもどります。
したがってイは，200×0.052＝10.4（ｇ）です。
よってウは，16－10.4＝5.6（ｇ）です。
ｇは，5.6÷0.08＝70（ｇ）になります。

-5-ｇを加えたので，Ｂが毎分340cm3のとき，ＡとＢで25分で水がなくなります。…（ア）
Ｂが毎分430cm3のとき，ＡとＢで20分で水がなくなります。
水をなくすのにかかった時間の比は，25：20＝5：4 ですから，1分あたりになくす量の比は逆比になって，4：5 です。

(3)

よって，Ｂが毎分340cm3のとき，ＡとＢの1分あたりを④として，Ｂが毎分430cm3のとき，ＡとＢの1分あたりを⑤とします。
右の表のようになりますから，430－340＝90（cm3）が⑤－④＝① にあたります。
④あたり，90×4＝360（cm3）です。

Ａ＋340＝④
Ａ＋430＝⑤（ア）によって，毎分360cm3ずつ水をなくすと，25分で水がなくなるのですから，この水そうの容積は，360×25＝9000（cm3）になります。

-6-

Ｄ

(4) いろいろな解き方がありますが，「つるかめ算の面積図」のような解き方で解説します。

Ａ2

問題の内容を図にすると，右の図のようになります。

130cm12cm？
ＢＣＥ2台形ＡＢＣＤの面積は，(12＋16)×20÷2＝280（cm ）です。
よって，右の図の三角形アと三角形イの面積の和は，280－130＝150（cm2）です。

16cm20cmＤＡ
12cm16cmア？

ＢイＣＥ20cm

ア＋イが150cm2だったら，ア＋ア＋イ＋イは150×2＝300（cm2）です。

ＤＡイア12cm

16cm

ア？

ＢイＣＥ20cm

右の図のようになります。
つるかめ算の面積図と同じですね。

ＤＡ？
300cm212cm
Ｂ16cm
ＣＥ20cmＤ
右の図の斜線をつけた長方形の面積は，16×20－300＝20（cm2）です。
たての長さは 16－12＝4（cm）なので，横の長さは 20÷4＝5（cm）です。

Ａ？

Ｂ
よって？も 5 cmになります。

300cm212cm

ＣＥ
20cm

-7-16cm

３ (1) 1 尺は10寸なので， 2 尺は20寸です。よって 2 尺 8 寸は28寸です。
1 寸は 3.03 cmなので，28寸は，3.03×28＝84.84（cm）になります。
※ 3.0303×28＝84.8484（cm）にしやすいです。問題をよく読みましょう。
(2) 畳は，長い辺が短い辺の 2 倍になっているので，右の図のようになっています。

4.5枚ぶんの畳で正方形を作るには，右の図のようにします。
この正方形の一辺は，畳の短い辺 3 辺ぶんです。
畳の短い辺は28寸ですから，この正方形の一辺は，28×3＝84（寸）です。
ところで，正方形の板の 1 辺は 36.36 cmだそうです。
1寸は 3.03 cmなので，36.36 cmは，36.36÷3.03＝12（寸）です。
12寸
…

…

12寸

84寸

…

右の図のように，正方形の板は，たてにも横にも，84÷12＝7（枚）ずつ入りますから，7×7＝49（枚）あれば，しきつめることができます。

84寸-8-４ (1) 姉が走り始めて16分後に，2人はすれ違ったそうです。
姉が走り始めたのは妹が走り始めてから5分後ですから，すれ違うまでに，妹は 5＋16＝21（分）走っています。

スタート

姉16分妹21分

つまり，姉が16分，妹は21分走って，2人はすれ違ったことになります。

すれ違う
スタート

また，姉は妹とすれ違ったから14分後にスタート地点にもどってきました。
姉16分

妹21分

姉が14分かかる道のりを，妹は21分かかったことになります。
スタート地点からすれちがった地点までの，姉と妹のかかった時間の比は14：21＝2：3 ですから，速さの比は逆比になって，3：2 になります。
(2)

姉14分

すれ違う

(1)で，姉と妹の速さの比は3：2であることがわかったので，姉の速さを分速3 ｍ，妹の速さを分速 2 ｍにします。
ジョギングコースの長さは，姉が 16＋14＝30（分）かかる道のりなので，3 ×30＝ 90 ｍです。

今日は，姉と妹が同時に出発したので，90 ÷( 3 ＋ 2 )＝18（分後）にすれ違います。

1回目にすれ違った地点をスタート地点として，また同じように進むので，2回目にすれ違うのは，スタートしてから 18×2＝36（分後）です。

スタート
2390390スタート
23回目にすれ違うのは，18×3＝54（分後）です。
54分間で，妹は 2 ×54＝ 108 を進みました。
1周は 90 なので，Ａ地点から時計回りに 108 － 90 ＝ 18 だけ離れたところで3回目にすれ違いました。
これが720ｍなので， 1 あたり，720÷18＝40（ｍ）です。
姉の走る速さは毎分 3 ｍとしたので，答えは 40×3＝120（ｍ）です。

-9-５ (1) はじめは，ＡにもＢにも 1 から 6 までの数字が書かれています。
右のような表を作り，和を書きこんでいきます。

Ａ

123456123456123456723456783456789456789105678910116789101112？

234561？

345672？

456783？

567894？

6789105？

78910116？

89101112？

234561？

345672？

456783？

567894？

6789105？

78910116？

89101112Ｂ

123456ＡとＢの和は，右の表のようになります。
ＡとＢの和の中で，最も小さいものは 2 です。

Ａのさいころの面のどれかを変えたら，最も小さい和は 2 ではなく 3 になったのですから，Ａの 1 のさいころの面を，何かに変えた結果，最も小さい和は 3 になったはずです。

ＡとＢの和の中で，最も大きい和は 14 になったのですから，右の表の矢印の部分が 14 になったはずです。
よって，Ａの 1 の面にシールをはって，シールには 14－6＝8 を書いたことがわかりました。
あには 1 ，いには 8 が入ることになります。

- 10 -ＡＢＢＢＡＡ

(2)

書きかえなかった場合は，ＣとＤの最も小さい和Ｃ
123456Ｄは 2 です。
1234567
ところが書きかえたので，最も小さい和は 3 に2345678なりました。
したがって，Ｃの 1 の面にシールをはったか，
3467859またはＤの 1 の面にシールをはって，最も小さい46789 105和を 2 でないようにしました。
56789 10 11問題には，
6789 10 11 12「Ｃのうの面にシールをはり，……」と，「Ｄのおの面にシールをはり，……」とが書いてあったので，うかおが 1 です。
ところが問題に，「うはお以下の数です」と書いてあったので，うは 1 になります。
つまり，Ｃの 1 の面にシールをはって書きかえたことになります。
Ｄの 1 の面にもシールをはって書きかえたら，最も小さい和が 3 ではないことになってしまいます。
よってＤにシールをはったのは，1 以外の面であることがわかりました。

Ｃ

123456123456723456783456789456789105678910116789101112

123456123456723456783456789456789105678910116789101112123456123456723456783456789456789105678910116789101112ＤＤ

また，最も多く現れる和は 9 となる場合のみですが，今のところ 9 は 4 個しかなく，7 や 8 の方が多くありますから，このままではいけません。
しかし，Ｄの 3 や 4 や 5 や 6 の面にシールをはってしまうと，ますます 9 が少なくなってしまいます。

Ｄ

よって，Ｄは 2 の面にシールをはるのが良さそうです。

- 11 -ＣＣまた，最も大きい和は 16 なので，右の表の矢印をつけた部分を 16 にすることが必要です。
そのための方法は，シールに書きこむことのできる数は 9 までであることと，16＝7＋9，または16＝8＋8 であることに注意して，（ア）Ｃの 1 を 7 にして，Ｄの 2 を 9 にする（イ）Ｃの 1 を 9 にして，Ｄの 2 を 7 にする（ウ）Ｃの 1 を 8 にして，Ｄの 2 を 8 にするＣ

123456123456723456783456789456789105678910116789101112Ｄの，3通りの方法があります。
（ア），（イ），（ウ）のそれぞれを表にすると，次のようになります。
（ア）
Ｃ（イ）

723456Ｄ1834567916111213143105674116751276138ＤＣ（ウ）923456Ｄ1103456715716910111289312567891041367891011514791011126158Ｃ

8234561934567138161011121314893115678989104126789108910115

137891011910111261489101112（ア）は最も多く現れるのは 8 なのでダメです。
（イ）は 9 は 5 通り現れますが，10 も 5 通り現れているのでダメです。
（ウ）は 9 だけが 5 通りあって最も多いので，ＯＫです。
よって，
Ｃは 1 の面にシールをはり，シールに 8 を書く。
Ｄは 2 の面にシールをはり，シールに 8 を書く。となりますから，うは 1，えは 8，おは 2，かは 8 になります。

- 12 -

(3) (2)と同様に考えれば，Ｅには 1 の面にシールをはり， ＥＦ
Ｆには 1 とはちがう面にシールをはったことがわかり1ます。

12345623456723456783456789456789105678910116789101112723456183456729456783105678941167891051278910116138910111272345618345672945678310567894116789105127891011613891011127234561834567294567831056789411678910512789101161389101112また，最も大きい和は16なので，(2)と同様に，（ア）Ｅの 1 を 7 にして，Ｆのどれかを 9 にする（イ）Ｅの 1 を 9 にして，Ｆのどれかを 7 にする（ウ）Ｅの 1 を 8 にして，Ｆのどれかを 8 にするの，3 通りの方法があります。

（ア）の場合は，Ｅの 1 を 7 にした時点で右の表のようになり，和が 7 は 5 個，和が 8 は 6 個あり，和が8 の方が 1 個多くあります。

たとえばＦの 2 の面を変えたとすると，和が 7 も和が8 も 1 個ずつ減ってしまい，和が 8 の方が 1 個多いという状態は変わりません。
Ｆの 3，4，5 の面を変えたとしても，同じことです。

ところがＦの 6 の面を変えると，和が 8 だけが 1 個減って，和が 7 と和が 8 が同じ個数になるのでＯＫです。

- 13 -ＦＥＥ

ＦＦＥ

Ｆの 6 の面を 9 にすると右の表のようになり，確かに最も大きい和は 16 になるし，7 は 5 個，8 も 5 個になり，他の和は 5 個より少ないのでＯＫです。

Ｅ723456183456729456783105678941167891051278910119161112131415Ｆ

これで答えを求めることができたのですが，念のため（イ），（ウ）の場合は答えにならないことを確かめてみます。
Ｅ（イ）の場合は，Ｅの 1 の面を9にして，Ｆの 1 以外
923456Ｆの面を 7 にするのでした。
1 1034567Ｆの 1 の面 9 にした時点で右の表のようになり，
2 1145678
和が 7 は 5 個，和が 8 も 5 個あって，同じ個数なので3 1267859良さそうです（？）。

しかし，たとえばＦの 2 の面を 7 にすると，和が 7 と和が 8 は 1 個ずつ減って 4 個となり，逆に和が 9 になっいるのは 5 個になるので，ダメです。

4136789105147891011615891011129234561103456771691011121331256789413678910514789101161589101112Ｅ

Ｆ

Ｆの 3，4，5の面を7にするときも，和が 7 と和が 8は 4 個になり，和が 9 になっているのは同じく 4 個あるので，ダメです。
Ｅ923456Ｆ110345672114567716910114136751476158ＦＥ923456Ｆ110345678211456712133125678910716910891011514791011126158Ｅ923456110345678211456788931256789111213413678910891011716910111213910111261589101112- 14 -

Ｆの 6 の面を 7 にするときは，和が 8 の個数だけ 1 個減ってしまうので，和が 7 と個数と同じにならないので，ダメです。

Ｅ9234561103456721145678312567894136789105147891011716910111213823456193456721045678311567894126789105137891011614891011128234561934567816101112131431156789412678910513789101161489101112Ｆ（ウ）の場合は，Ｅの 1 の面を 8 にして，Ｆの 1 以外の面も 8 にするのでした。

ＥＦ

Ｆの 2 の面を 8 にする場合は，和が 7 も和が 8 も 4 個になって良さそうなのですが，和が 10 も 4 個になるので，ダメです。

Ｆ

Ｅ同じようにして，Ｆの 3，4，5 の面を 8 にする場合も，和が 7 も和が 8 も 4 個になりますが，和が 10 が 5 個または 4 個になるのでダメです。
Ｅ82

3456Ｆ

1

93456721045678161011124126751376148ＦＥ

823456Ｆ

193456782104567131431156789108161011891011513791011126148Ｅ823456193456782104567889311567891213144126789108910118161011121314910111261489101112- 15 -

Ｆの 6 の面を 8 にする場合は，和が 7 が 5 個，和が8 が 4個になり，個数が合わないのでダメです。

Ｅ8234561934567210456783115678941267891051378910118161011121314Ｆ

結局，（ア）の「Ｅの 1 の面を 7 にして，Ｆの 6 の面を 9 にする」だけが正解となり，答えはきが 1，くが 7，けが 6，こが 9 になります。

- 16 -

６ (1) あ は右の図のような正六角形になります。

ＡＤ

Ｉ
ＢＣＥＫ

Ｆ

正六角形の 1 辺の長さは，正方形の対角線の長さの半分です。

ＨＧＪＣＢ
対角線

ＦＧ

Ｊ

Ａ

い は右の図のような正三角形になります。

ＤＩ
ＢＣ

Ｅ

Ｈ
Ｋ

Ｆ

Ｊ

Ｇ
Ｄ

Ａ

正三角形の 1 辺の長さは，正方形の対角線の長さと同じです。

対角線

ＥＨ

よって，正六角形の 1 辺と正三角形の 1 辺の長さの比は 1：2 になります。
右の図のように分けると，1 辺の長さが 1 の正三角形が， あ には 6 個， い には 4 個あります。
42
よって， い は あ の， ＝になります。
63- 17 -12(2)右の図のように，5 枚の面ア～オに分けて考えます。

ＡＩＤアＢイＣウＥＨエオＦＪＫＧ

面ア・ウ・オは，正六角形の面によって次のように切り取られます。
アウオ

面イはアとウの真ん中，面エはウとオの真ん中ですから，次のように切り取られます。
イエ

面ア～オを直方体でくり抜くと，次のようになります。
アイウエオ

ア

正六角形は右の図のように切り取られます。

イウエオ

右の図のように分けると，○は 16 個，×は 8 個，全部で 24 個あります。
あ は24個ぶん， う は16個ぶんです。
16 2
よって， う は あ の， ＝になります。
24 3- 18 -

(3)(2)と同様に，5 枚の面ア～オに分けて考えます。

ＡＩＤアＢイＣウＥオＦＨエＪＧＫ

面ア～オは，(2)と同様に，正六角形の面によって次のように切り取られます。
アイウオエ

面ア～オを正方形ＥＦＧＨを底面とする直方体でくり抜くと，次のようになります。
アイウオエ

さらに正方形ＰＱＲＳを底面とする直方体でくり抜くと，次のようになります。
アイウエオ

正六角形は右の図のように切り取られます。

アイウエオ

右の図のように分けると，○は 14 個，×は 10 個，全部で 24 個あります。
あ は24個ぶん， え は14個ぶんです。
14 7
よって， え は あ の， ＝になります。
24 12- 19 -