数学（全 問必Ⅱ答）

第１問 （配点 ３０）〔"〕 座標平面上で，直線$x ＋#y −３９＝!を l１ とする。また，k を実数とし，直線 kx − y −%k ＋１２＝!を l２ とする。

直線 l１ と x 軸は，点& アイ'，!()で交わる。

&
また，直線 l２ は k の値に関係なく点'ウ，エオ(を通り，直)線 l１ もこの点を通る。

#直線 l１，l２ および x 軸によって囲まれた三角形ができないような

k の値はk＝

キクカ，ケである。

（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ４ ―（２２０５―４）

数学Ⅱ


"直線 l１，l２ および x 軸によって囲まれた三角形ができるとき，この三角形の周および内部からなる領域を D とする。さらに，r を正の実数とし，不等式 x２ ＋ y２ ≦ r２ の表す領域を E とする。
直線 l２ が点（−１３，!）を通る場合を考える。このとき，k ＝コサである。さらに，D が E に含まれるような r の値の範囲はr≧シスである。
次に，r ＝シスの場合を考える。このとき，D が E に含まれるような k の値の範囲はk≧セソまたは k ＜タチツである。

（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ５ ―（２２０５―５）

数学Ⅱ〔/〕 θ は −ππ＜θ＜を満たすとする。
//

tan θ ＝− !0 のとき，θ ＝cos θ ＝テ，sin θ ＝トでありナである。
一般に，tan θ ＝ k のとき
cos θ ＝，sin θ ＝ニヌである。

テ#の解答群
π0$ −，

ナ−トπ
1% −&π2π1'π0(の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）#-$.

&!0/'−)−*.
/!//!0/%−.

(!//+−.
/

ニ，

#.
１＋ k２

$

−.
１＋ k２%

k１＋ k２&−

k１＋ k２'/
１＋ k２(−/１＋ k２)

/k１＋ k２*−/k１＋ k２

,

−

"

−+ヌ

π2.
".＋ k２の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）.
".＋ k２!

k".＋ k２

k２".＋ k

（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ６ ―（２２０５―６）

数学Ⅱ


花子さんと太郎さんは，関数のとり得る値の範囲について話している。

花子：−ππ＜θ＜の範囲で θ を動かすとき，tan θ のとり得る-値の範囲は実数全体だよね。
太郎：tan θ ＝sin-θ＝ p，cos θ−sin θ
だけど，分子を少し変えるとどうなるかな。
cos θ/θ ＋ π 1
sin0.2＝ q とおく。
cos θππ＜θ＜の範囲で θ を動かすとき，p のとり得る値の範囲は-ネであり，q のとり得る値の範囲はノである。

ネの解答群

!

−,＜ p ＜,"+＜ p ＜,#−-＜ p ＜-$+＜ p ＜-%実数全体&正の実数全体

ノの解答群!

−,＜ q ＜," +＜ q ＜,#−-＜ q ＜-$ +＜ q ＜-%実数全体&正の実数全体'− sinππ＜ q ＜ sin.
.

(+＜ q ＜ sinπ.

)

− cos

ππ＜ q ＜ cos.
.

*+＜ q ＜ cosπ.

（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ７ ―（２２０５―７）

数学Ⅱ
α は'≦ α ＜)π を満たすとし
sin（θ ＋ α）＝rcos θとおく。α ＝πの場合，r は  で定めた q と等しい。
-α の値を一つ定め，−ππ＜θ＜の範囲で θ のみを動かすとき，r))のとり得る値の範囲を考える。
r のとり得る値の範囲が q のとり得る値の範囲と異なるような
α（'≦ α ＜)π ）はハ。

ハの解答群

!

存在しない"ちょうど(個存在する#ちょうど)個存在する$

ちょうど*個存在する%

ちょうど+個存在する&,個以上存在する― ８ ―（２２０５―８）

数学Ⅱ

第２問 （配点 ３０）
k を実数とし（f x ）＝ x３ − kxとおく。また，座標平面上の曲線 y ＝ （f x ）を C とする。
必要に応じて，次のことを用いてもよい。
曲線 C の平行移動
曲線 C を x 軸方向に p，y 軸方向に q だけ平行移動した曲線の方程式は
３y ＝（ x − p ）−（k x − p ）＋ qである。

t を実数とし３−（k x − t）
g（ x ）＝（ x −t ）とおく。また，座標平面上の曲線 y ＝ g（ x ）を C１ とする。

#関数 （f x ）は x ＝!で極値をとるとする。
こ の と き，f′（!）＝

アで あ る か ら，k ＝ イウ

で あ り，f（ x ）はx＝エオ

で極大値をとる。また，g（ x ）が x ＝"で極大値をとるとき，t＝カである。
（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １０ ―（２２０５―１０）

数学Ⅱ$t ＝"とする。また，曲線 C と C１ は#点で交わるとし，一つの交点の x座標は −#であるとする。このとき，k ＝の x 座標はケキクであり，もう一方の交点である。また，C と C１ で囲まれた図形のうち，x ≧!
コサである。の範囲にある部分の面積はシ（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １１ ―（２２０５―１１）数学Ⅱ
a，b，c を実数とし

h（ x ）＝ x３ ＋!ax２ ＋ bx ＋ cとおく。また，座標平面上の曲線 y ＝ h（ x ）を C２ とする。

"

曲線 C を平行移動して，C２ と一致させることができるかどうかを考察しよう。C を x 軸方向に p，y 軸方向に q だけ平行移動した曲線が C２ と一致するとき
３−（k x − p ）＋ qh（ x ）＝（ x − p ）である。よって，p ＝
k＝

タスセ，b ＝a２ − b………………………… ソp２ − k であり………………………… # スセである。また， において，x ＝ p を代入すると，q ＝ h（ p ）＝ h$%&となる。
逆 に，k が  を 満 た す と き，C を x 軸 方 向 に#h$ スセスセ，y 軸 方 向 に%だけ平行移動させると C と一致することが確かめられる。
２&（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １２ ―（２２０５―１２）

数学Ⅱ+b ＝&a２ −&とする。このとき，曲線 C２ は曲線y ＝ x３ −xチを平行移動したものと一致する。よって，h（ x ）が x ＝'で極大値&をとる
とき，h（ x ）は x ＝,ツで極小値テトをとることがわかる。

次の!〜$のうち，平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線はナ，ナとニニである。の解答群（解答の順序は問わない。）!

y ＝ x３ − x −("y ＝ x３ ＋&x２ −%x −'#y ＝ x３ −)x２ − x −'$y ＝ x３ −)x２ ＋*x −(― １３ ―（２２０５―１３）

数学Ⅱ

第３問 （配点 ２０）〔&〕 &≦ x ≦(における関数
y ＝ log２ x４・log２'xの最大値について考える。

t ＝ log２ x とおくと，t のとり得る値の範囲は

ア≦t≦イである。このとき，y を t を用いて表すと
y ＝ ウエオtとなる。これより，y は x ＝カカ!

t２ ＋のとき，最大値キをとる。

'!'

%の解答群
&"!'

#

'$

(

（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）― １４ ―（２２０５―１４）

数学Ⅱ〔%〕
& )x% )xのグラフと y ＝'関数 y ＝'( & * のグラフは(%*& )x&y ＝'( % * のグラフと y ＝ log % x のグラフはク，ケケクであり，関数である。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

x 軸に関して対称"y 軸に関して対称#

直線 y ＝ x に関して対称$原点に関して対称（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）― １５ ―（２２０５―１５）

数学Ⅱ
関数 y ＝ log２５ x のグラフは点.

るとき

サ，'/を通り，x の値が増加す(0.

。さらに，関数 y ＝ log 'x のグラフは点*を通り，x の値が増加するとき
フから，

コセ

シ，ス'
(/0。このとき，これらの関数のグラ'+)と log２５と log 'の間に* ,((ソが成り立つことがわかる。

サ，セの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

y の値は増加し，グラフは x 軸に限りなく近づく"y の値は増加し，グラフは x 軸と'点で交わる#

y の値は減少し，グラフは x 軸に限りなく近づく$

y の値は減少し，グラフは x 軸と'点で交わる

ソの解答群

!

')
+
＜ log '＜ log２５* ,(("'+)＜ log２５＜ log '
* ,((#log '*)'+＜＜ log２５,(($log２５+')＜＜ log '* ,((%log '*)+'＜ log２５＜,((&log２５+)'＜ log '＜* ,((― １６ ―（２２０５―１６）

数学Ⅱ

第４問 （配点 ２０）x の整式 P（ x ），Q（ x ）を次のように定める。
P（ x ）＝ x４ −#x３ ＋#x２ ＋１２x −２１Q（ x ）＝ x３ −$x２ ＋１５x −１４i２ ＝−"，i３ ＝

P（ i ）＝

アi，i４ ＝イ＋i

ウエオ

カキである。またである。

太郎さんと花子さんは，P（ α ）＝ Q（ α ）＝!を満たす複素数 α が存在するか

どうかについて話している。

太郎：方程式 P（ x ）＝!と Q（ x ）＝!の両方を解く必要があるのかな。
花子：P（ x ）を Q（ x ）で割ったときの余りに着目したらどうかな。

P（ x ）を Q（ x ）で割ったときの余りを R（ x ）とすると
クx＋ケP（ x ）＝ Q（x%）&x ＋コ'＋ R( （x）R（ x ）＝ x２ −であり………………………… が 成 り 立 つ。し た が っ て，P（ α ）＝ Q（ α ）＝!な ら ば，R（ α ）＝サである。このことにより，P（ α ）＝ Q（ α ）＝!ならば
α＝シ±! スiでなければならないことがわかる。

― １８ ―………………………… （数学Ⅱ第４問は次ページに続く。）（２２０５―１８）

数学Ⅱ
太郎：P（ α ）＝ Q（ α ）＝&を満たす複素数 α が求められたね。
花子：ちょっと待って。 の α の値で P（ α ）＝ Q（ α ）＝&になるのかな。

のαがP（ α ）＝ Q
（ α ）＝&を満たすかどうかを調べよう。
Q（ x ）を R（ x ）で割るとQ（ x ）＝ R（x+）,x −セ.

であるので，Q（ x ）は R（ x ）で割り切れる。よって， の α についてQ（ α ）＝&である。さらに  により，P（ α ）＝&が成り立つ。
したがって，P（ α ）＝ Q（ α ）＝&を満たす複素数 α はソ。

ソの解答群!

存在しない"

ちょうど'個存在する#

ちょうど(個存在する$ちょうど)個存在する%

ちょうど*個存在する（数学Ⅱ第４問は次ページに続く。）― １９ ―（２２０５―１９）

数学Ⅱ


x の整式 S（ x ），T（ x ）をS（ x ）＝ x４ ＋(x３ ＋*x２ ＋)x ＋)，T（ x ）＝ x３ ＋(x２ ＋)x ＋'と定めると，次の式が成り立つ。
S（ x ）＝ T（ x ）x ＋ x２ ＋

タx＋

チ

したがって，S（ β ）＝ T（ β ）＝&を満たす複素数 β はツ。

ツの解答群!

存在しない"

ちょうど'個存在する#

ちょうど(個存在する$ちょうど)個存在する%

ちょうど*個存在する― ２０ ―（２２０５―２０）