平成28年度

豊島岡女子学園中学校<第3回>算数

くわしい解説すぐる学習会１ (1) 10÷ 9÷8＋7 ×6.5÷ 3.2－1.4ア

イウ

ア＝9956 65＋7＝ ＋ ＝8888

イ ＝ 1.8＝95

ウ ＝10÷ア×6.5÷

965 13910×8×13×5
4＝10÷ × ÷ ＝＝458
2565× 2 ×99(2) 12×79＋8×98＋12×121＋8×102＝ 12×79＋12×121＋8×98＋8×102＝ 12×(79＋121)＋8×(98＋102)＝ 12×200＋8×200＝ (12＋8)×200＝ 20×200＝ 4000(3)（たし算の順序を変える）

時速 36 kmというのは，1 時間に 36 km＝ 36000 ｍ進む速さのことです。
1 分あたり，36000÷60＝600（ｍ）進みます。
2028289 分 20 秒＝ 9 分＝ 分では，600× ＝ 5600（ｍ）進むことになります。
6033(4) 2 けたの整数 10 から 99 までの中で，4 でも 7 でも割り切れない数は，右のベン図の斜線部分です。

10～994の倍数 7の倍数
アイウ

イは，4 でも 7 でも割り切れる数ですから，（ 4 と 7 の最小公倍数である）28 の倍数です。
99÷28＝ 3 あまり 15 ですから，1 から 99 までの中に 28 の倍数は 3 個あります。
9÷28＝ 0 あまり 9 ですから，1から9までの中に 28 の倍数は 0 個です。
よって，10 から 99 までの中に 28 の倍数は，3－0＝ 3（個）あります。
ベン図のイの部分は 3 個であることがわかりました。
次に，10 から 99 までの中の 4 の倍数の個数を求めます。
99÷4＝ 24 あまり 3 ですから，1 から 99 までの中に 4 の倍数は 24 個あります。
9÷4＝ 2 あまり 1 ですから，1 から 9 までの中に 4 の倍数は 2 個あります。

-1-よって，10 から 99 までの中に 4 の倍数は，24－2＝ 22（個）あります。
ベン図のイの部分は 3 個でしたから，アの部分は，22－3＝ 19（個）になります。
次に，10 から 99 までの中の 7 の倍数の個数を求めます。
99÷7＝ 14 あまり 1 ですから，1 から 99 までの中に 7 の倍数は 14 個あります。
9÷7＝ 1 あまり 2 ですから，1 から 9 までの中に 7 の倍数は 1 個あります。
よって，10 から 99 までの中に 7 の倍数は，14－1＝ 13（個）あります。
ベン図のイの部分は 3 個でしたから，ウの部分は，13－3＝ 10（個）になります。
ベン図のアの部分は 19 個，イの部分は 3 個，ウの部分は 10 個あることがわかりました。
また，10 から 99 までの中に整数は，99－10＋1＝ 90（個）あります。
よって，ベン図の斜線部分の個数は，90－(19＋3＋10)＝ 58（個）になります。
200円

２ (1) もし，豊子さんが花子さんに 200 円渡すと，

豊
豊子さんは 200 円少なくなり，花子さんは 200 円多くなって，その結果豊子さんは花子さんよりも花1600 円多くなります。
実際に 2 人が持っているお金の差は，右の図の「差」にあたる部分で，1600＋200×2＝ 2000（円）です。
もし，逆に花子さんが豊子さんに 200 円渡すと，豊子さんは 200 円多くなり，花子さんは200 円少なくなって，2人の差はますます広がって，右の図の「差」にあたる部分になり，2000＋200×2＝ 2400（円）になります。

豊200円
1600円
差200円

200円

花2000円差

差が 2400 円のとき，豊子さんは花子さんの③豊3 倍になっているのですから，右の図ようになっているわけです。
①花
2400 円が，③－①＝②にあたるので，①あたり，2400÷2＝ 1200（円）です。
2400円
よってこのときの豊子さんは，1200×3＝3600（円）です。
花子さんから 200 円もらったときの豊子さんが 3600 円なのですから，はじめに豊子さんが持っているお金は，3600－200＝ 3400（円）になります。

-2-(2)

はじめのジュースの量を①，お茶の量を １ とします。
①＋ １ ＝ 2000ｍＬ です。…（ｱ）ジュースを 1 日目に 1 割を飲んだら 1－0.1＝ 0.9（倍）が残り，2 日目に残りの 2割を飲んだら 1－0.2＝ 0.8（倍）が残るので，最後に残った量は，①×0.9×0.8＝ 0.72になります。
お茶を 1 日目に 3 割を飲んだら 1－0.3＝ 0.7（倍）が残り，2 日目に残りの 4 割を飲んだら 1－0.4＝ 0.6（倍）が残るので，最後に残った量は，１ ×0.7×0.6＝ 0.42 になります。
その結果，ジュースとお茶の残りの量の合計は 1020 ｍＬになったのですから，0.72 ＋ 0.42 ＝1020ｍＬです。…（イ）

求めたいのは，はじめにあったジュースの量である①です。
①を求めるときは，□をそろえます。
（ア）を0.42倍すると，2000×0.42＝840 ですから，0.42 ＋ 0.42 ＝840ｍＬ…（ウ）（イ）と（ウ）をくらべると，1020－840＝180（ｍＬ）が，0.72 － 0.42 ＝ 0.3 にあたるので，①あたり，180÷0.3＝600（ｍＬ）になります。
よって，答えは 600 ｍＬです。
(3)

長さ 200 ｍの列車Ａは，あるトンネルを通るのに 100 秒かかりました。
長さ 300 ｍの列車Ｂは，Ａの 2 倍の速さですが，同じトンネルを通るのに 54 秒かかりました。
もし，列車Ｂの速さがＡと同じだったら，54 秒の 2 倍の時間がかかり，54×2＝108（秒）かかることになります。
ＡとＢを同じ速さにしたのに，Ａなら 100 秒，Ｂなら 108秒 かかるので，108－100＝8（秒）だけ差がつくのは，列車の長さが，Ｂの方が 300－200＝100（ｍ）だけ長いからです。
よってＡの秒速は，100÷8＝12.5（ｍ）になります。
100秒
右の図のようになり，Ａは 100 秒で，12.5×100＝1250（ｍ）進みます。
トンネル
ＡＡ
トンネルの長さは，1250－200＝ 1050（ｍ）に200ｍなります。

-3-

(4)

右の図の○をつけた辺の長さは等しいです。
太線の三角形に注目すると，アの角度は，180－(30＋75)＝75（度）であることがわかります。

30°
75°
ア45°

太線の三角形は二等辺三角形になるので，右の図のように同じ長さの辺に同じマークを書きこむことができます。

30°
75°
75°
45°

30°

また，右の図の太線の三角形に注目すると，イの角度は，180－(30＋45＋75)＝30（度）であることがわかります。
イ

太線の三角形は二等辺三角形になるので，右の図のように同じ長さの辺に同じマークを書きこむことができます。

75°
75°
45°

30°

30°

75°
75°
45°

すると，右の図の 2 本の太線の長さは等しくなり，二等辺三角形になります。
すると，右の図の？の角度は，(180－30)÷2＝ 75（度）になります。

-4-30°

30°

75°
75°
45°

？

３ (1) 右の図のような面積図で解くことができます。
イの面積は，8.8×1＝ 8.8 です。
アの面積も 8.8 ですから，ウは，8.8÷44＝0.2です。
よって，豊子さんの点数であるエは，よ60＋0.2＋8.8＝ 69（点）になります。

イ 8.8ウアエ

全体の平均点 6044

右のような天びん図でも解くことができます。
オ×44＝8.8×1 ですから，オ＝0.2 です。
よって，豊子さんの点数であるカは，60＋0.2＋8.8＝ 69（点） になります。

18.860 オ

カ44

1(2)

豊子さんの点数は，(1)で 69 点であることがわかりました。
豊子さんよりも高い生徒の平均点は豊子さんよりも 16 点高いので，69＋16＝85（点）です。
豊子さんよりも低い生徒の平均点は豊子さんよりも 28 点低いので，69－28＝41（点）です。
豊子さん以外のクラスの人数は，45－1＝44（人）いて，平均点は60点ですから，豊子さん以外の合計点は，60×44＝2640（点）です。
よって，「85点の人と，41点の人が，合わせて44人いて，点数の合計は2640点」という，つるかめ算になります。
エ

面積図を書くと，右の図のようになります。
アの部分の面積は，85×44－2640＝1100 です。
イは 85－41＝44 ですから，ウは，1100÷44＝25で，エは，44－25＝19 です。
豊子さんの点数よりも高い生徒の人数を求める問題ですから，答えは 19 人になります。

-5-ア

イ

ウ

8526404441ウ

４ (1) 右の図のように，同じ角度を同じ記号で表します。
正方形という条件からアは 5 cmで，イ：ウ：アは 3：4：5 ですから，イは3 cmで，ウは 4 cmです。

ウイ

ア

ア

55434

右の図の太線の三角形も， 3：4：5 の三角形で，オは正方形の一辺なので5 cmです。
よって，エは 5÷4×3＝ 3.75（cm），カは 5÷4×5＝ 6.25（cm）になります。

435カ
5エ
3-6-4エ5オ

3キ5(1)は，右の図の太線の長さを求める問題でした。
よって，(6.25＋0.75)×2＝ 14（cm）になります。

5カオ

右の図の太線の三角形も， 3：4：5 の三角形で，キは 5－3.75＝ 1.25（cm）です
から，クは 1.25÷5×3＝ 0.75（cm）です。

35
ク4
3.75 3.75

1.25
6.25

6.25
0.75

(2)

５ (1)

(2)

求めたいのは，右の図の斜線部分の台形です。
台形の上底は，4×2＝ 8（cm）で，下底は 14 cmです。
また，右の図の太線の三角形は，3：4：5 の三角形ですから，ケの長さは，1.25÷5×4＝ 1（cm）です。
よって台形の高さは 3＋1＝ 4（cm）になるので，台形の面積は，(8＋14)×4÷2＝ 44（cm2）になります。

4431.25

ケ14「 1 番目の図形」は，棒を 4 本使っています。
「 2 番目の図形」は，棒を（4＋6）本使っています。
「 3 番目の図形」は，棒を（4＋6＋8）本使っています。
「 4 番目の図形」は，棒を（4＋6＋8＋10）本＝ 28 本使っています。
たとえば(1)で求めた「 4 番目の図形」の棒の本数は，4 から始まって，2 ずつ増える等差数列 4，6，8，10 の，1 番目から 4 番目までの和になっています。
同じようにして，「 28 番目の図形」の棒の本数は，同じ等差数列 4，6，8，10，……の，1番目から28番目までの和になります。
この等差数列の 28 番目は，次の公式を使って求めます。
Ｎ番目の数＝はじめの数＋増える数×(Ｎ－1)＝4＋2×(28－1)＝58
また，1 番目から 28 番目までの和は，次の公式を使って求めます。
Ｎ番目までの和＝(はじめ＋おわり)×Ｎ÷2＝(4＋58)×28÷2＝ 868
よって，「 28 番目の図形」の棒の本数は，868 本になります。

(3)(2)で，せっかく「 28 番目の図形」の棒の本数が，4＋6＋8＋…＋58＝ 868（本）であることがわかったので，それを利用して求めていきましょう。
「 29 番目の図形」→ 868＋60＝928「 30 番目の図形」→ 928＋62＝990「 31 番目の図形」→ 990＋64＝1054「 32 番目の図形」→ 1054＋66＝1120「 33 番目の図形」→ 1120＋68＝1188「 34 番目の図形」→ 1188＋70＝1258「 35 番目の図形」→ 1258＋72＝1330-7-よって答えは，35 番目になります。…
６ (1) 1 秒後には，3 点Ｐ，Ｑ，Ｒは，右の図のような位置にいます。

111ＰＱ11Ｒ3
点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面で直方体を切ったとき，点Ｂをふくむ立体は，右の図の斜線部分のような三角柱になります。

111ＰＱＢ11
この三角柱の体積は，1×1÷2×3 ＝ 1.5（cm3）になります。

Ｒ3(2)

13 秒後には，3 点Ｐ，Ｑ，Ｒは，右の図のような位置にいます。

ＲＰ

Ｂ

11Ｑ

131

左右の面どうしは平行なので，切り口の線を右の図のように書きこむことができます。

ＲＰ

Ｂ

11Ｑ

13-8-1

さらに，右の図のように線を延長して交点を見つけて，ＲＰ

Ｂ

11Ｑ

131
その交点へ向かって右の図のような線を引き，Ｒ

Ｐ

Ｂ

11Ｑ

13

さらに右の図のように線を引けば，切り口の面のできあがりです。

1ＲＰＢ

11Ｑ

13-9-このとき，点Ｂをふくむ立体と，ふくまない立体は，下の図のようになっており，まったく同じ形をしているので，体積も同じです。
よって，点Ｂをふくむ立体の体積は，直方体全体の半分になるので，2×3×2÷2＝ 6（cm3）になります。
11ＲＰＢＲ

1Ｐ1Ｂ

1ＱＱ

1

13(3)

13

点Ｐ，Ｑ，Ｒどれも，まわりの長さが 2×4＝ 8（cm）の正方形上を動いています。どれも毎秒 1 cmの速さですから，8÷1＝ 8（秒後）に，点Ｐ，Ｑ，Ｒはそれぞれのスタート地点にもどってきます。
そこで，8 秒間を 1セットとして，8 秒の間に 3 秒後と同じ形になるのが，何回あるかを考えます。
スタートしてから 8 秒後までのようすは，下の図のようになります。

1 秒後

2 秒後

3 秒後

4 秒後

5 秒後

6 秒後

7 秒後

8 秒後

同じ形になっているのは， 3 秒後と 7 秒後の 2 回あります。
スタートしてから 40 秒後まででは，40÷8＝ 5（セット）あります。
1 セットの中に 2 回あるのですから，5 セットの中には，2×5＝ 10（回）あります。
この問題ではスタートしてからではなく，5 秒後からカウントするのですから，3 秒後の状態はカウントされないので，答えは 10－1＝ 9（回）になります。

- 10 -