数理解析研究所講究録 1219 巻 2001 年 91-102

91

二十世紀のワーリング問題とその周辺

岩手大学教育学部

川田浩一 (Koichi KAWADA)

Faculty of Education, Iwate University

1. はじめに
今回、加法的整数論のこれまでの進展やこれからの課題などについてはなしをすることになった。 サーベイ的なはなしをするのは初めてであり、 荷が重いと感じる面もあったのだが、 これまでのところを振り返る
いい機会と思い、 張り切って引き受けさせていただいた。
加法的整数論における代表的な研究テーマとしては、 Goldbach 問題や双子素数問題の系統、 Waring 問題の系統、 Additive divisor problem’ の系統、などがある。そのうち、 この数年自分がずつと取り組んでいる Waring 問題にを話題にすることにした。極カテーマを絞ろうと思い、 なかでも関する話題、 とくに mean value estimates の評価の進展を中心に、 はな
しを組み立てることにしたのだが、 それでも触れる内容を取捨選択することは難しい作業であった。 結局、 1 時間のサーベイとしてよい出来とはいえないものに終わったことを反省しているところである。 ここではもう一度、 簡潔にはなしをまとめ直してみたいと思う。 内容や文献などについてより詳しい情報を望まれる方には、やはり Vaughan の本 [9] を参照
いただきたい。
$G(k)\dagger$

2. サークルメソッド以前
すべての自然数は高々4 個の平方数の和で表せることを Lagrange が証明したことをうけて、 Waringf は 1770 隼に、すべての自然数は高々9 個の立方数 5 の和、 高々 19 個の 4 乗数の和、 などと表すことができる、 と証明*和訳は聞いたことはないが、「加法的約数問題」 とでも訳すのだろうか。
\dag er
定義は \S 3 に後述。
\d ag er この節の参考文献については、
Nathanson [4] の Bibliography を参照されたい。
\S 単に立方数と書いたが、 自然数の 3 乗、 即ち、 “正の” 立方数を意味するものとする。 以後同様に、 正の 乗数を単に 乗数ということにする。 負の 乗数をも考慮に入れる場合は、 Easier Waring’s problem と呼ばれるが、 これについては Nathansonの \S 4.3 および Ch 2 の Exercise 6 を参照されたい。 例えば、 すべての整数は高々5 個の“正または負の” 立方数の和で表せることは容易に分かる。
$k$

$k$

$k$

$!4_{\mathrm{J}}^{\rceil}$

92
なしで書き記し、 これが Waring 問題の発端となった。 2 以上の自然数に対して、「すべての自然数が高々 個の 乗数の和で表せる」 ような.b.
のうち最小のものを通例 $g(k)$ と表すが、例えば、 23 は 8 個の立方数の和で表せないし、 79 は 18 個の 4 乗数の和で表せない、 といったことがすぐ分かるから、 先の Waring の主張は、 それぞれ $g(3)=9_{\text{、}}g(4)=19$ と表現される。 もちろん、任意の に対して $g(k)$ が存在すること、 いいかえ
れば、すべての自然数が、 のみによって決まる有限な個数の 乗数の和の問で表せることは、 自明なことではない。 実際、 もともとは 「題」 といえば、 この 「任意の に対して $g(k)$ の存在を証明すること」 を指していたようである。 いろいろな に対して、 具体的に $g(k)$ の上界を与える論文が発表されているが、結局すべての に対する $g(k)$ の存在は、
20 世紀初めの 1909 年に Hilbert により証明された。
この Hilbert の仕事のほかに、この節で特記すべきものとして、 $g(3)=9$
この証明は 1909 年に Wieferich が発表したが、 そのの証明をあげた
一部の誤りが 1912 年に Kempner により指摘・修正された。 いずれにしてもサークルメソッドが開発される以前の Waring 問題の研究は、 特殊な恒等式を見つけることと、 いくつかの平方数の和で表される自然数に関する古典的な結果に基づいた、代数的・初等的な方法によってなされていたようである。 少なくとも、 この節に記した 2 つの結果を含めて、 筆
者が目 [こしたものはすべてそうであったといえる。
$k$

$k$

$s$

$k$

$k$

$k$

$\mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$

$k$

$k$

$k$

$\mathrm{A}\mathrm{a}_{\text{。}}$

3. サークルメソッド
サークルメソッドは Hardy と Ramanujan の分割数の研究の中で創始された、 とされている。 にもかからわずその名称は、 the Hardy-Littlewood

method と ‘われることはあっても、 Ramanujan の名前が入れられること
名前のことをいえば、 こがないのはなぜなのか、 筆者は実は知らな 1の方法を現在の形に簡略化したとされる I. M. Vinogradov も含められて$\mathrm{A}$$\mathrm{a}_{\text{。}}$

よいのではないかと思える。 もちろん、 Waring 問題に初めてサークルメ
ソッドを適用したのが Hardy と Littlew
であったのは確かであるし、彼らの貢献が大きかったことは異論のないところであろう。ま、 the circle
method といっておけば、 その辺の事情を気にせずに済むので楽である。
サークルメソッドによる議論の概要については以下に触れるが、 それによれば、 「 に対して がある程度大きければ、 ある数 $N(k, s)$ が存在
して、 それ以上の自然数はすべて 個の 乗数の和で表せる。
」 というようなタイプの結論を導くことができるようになった。 に対して、 そのような $N(k, s)$ が存在するような最小の は、 $G(k)$ と表される。 二の$\mathrm{d}$

$k$

$s$

$s$

$k$

$k$

$s$

93

$G(k)$ が有限であることと、前節で定義した $g(k)$ が有限であることは同値

だが、 実際問題としては、 それだけではない。 $n=2^{k}[(3/2)^{k}]-1$ とおくと、 $n<3^{k}$ だから、 $n$ をできるだけ少ない個数のしても、 $([(3/2)^{k}]-1)$ 個の 2 の$k$乗数の和で表そうと乗と $(2^{k}-1)$ 個の 1 の 乗の和で表すし
$k$

$k$

かないから、$g(k)\geq 2^{k}+[(3/2)^{k}]-2$であることはすぐ [こわかる 1。 したがって、 $G(k)\leq 2^{k}+[(3/2)^{k}]-2$ が証明できれば はり厳密に言えば、 $s=2^{k}+[(3/2)^{k}]-2$ に対して上述の $N(k, s)$ が計算可能だとわかれば) 、原理的には $g(k)$ の値を決定することが可能となる。 加えて、 $k>2$ なら $G(k)$ は $g(k)$ よりずっと小さいと予想されるのである。 このような事情にょり、 1920 年頃がら Hardy とLittlewood がサークルメソッドによる Waring 問題の研究を始めてからは、 興味の対象は $g(k)$ から $G(k)$ へと移ることになったのである。
さて、 サークルメソッドによる典型的な議論の概要をみよう。 は 3 以$k$上に対してある程度大きい自然数とし、 これらを固定したとみなし、 十分大き然数が必ず 個の 乗数の和で表せることを証明することを目標とする。 個の 乗数の和で表せない自然数が無限個あることは容易に分かるので、 は少なくとも $k+1$ 以上であることが必要
だが、 どれだけ小さい を扱えるか、 が焦点である。 大きい自然数 \dagger こ$||\text{、}$

$s$

は

$k$

$k_{\text{、}}s$$\psi\mathrm{a}\text{自}$

$k$

$s$

$k$

$k$

$s$

$s$

$n$

対し、
$P=n^{1/k}$

とおく。 $n$ を

$s$

,

個の

$f( \alpha)=\sum_{1\leq m\leq P}e(m^{k}\alpha))$$k$

ただし $e(\alpha)=e^{2\pi i\alpha}$(1)乗数の和で表す方法が、 $R(n)$ 通りだとすると、$\int_{0}^{1}f(\alpha)^{s}e(-n\alpha)d\alpha=.\sum_{1\leq m_{1\prime}\ldots,m_{\epsilon}\leq P}\int_{0}^{1}e((m_{1}^{k}+\cdots+m_{s}^{k}-n)\alpha)d\alpha$(2)$=R(n)$$=, \sum_{m_{1}^{k}+\cdots+m_{\iota}^{k}=n}11\leq m_{1\cdots\prime}m_{\epsilon}\leq P$$1g(k)$ に関し\mbox{\boldmath $\tau$}現在知られ\mbox{\boldmath $\tau$}$\mathrm{A}\mathrm{a}\text{る}$ことについては、 Vaughan [9] の$\mathrm{p}.2$を読まれたい。

直前の行の不等式において常に等号が成立することが予想されており、実際 4 億以下のに対しては等号が成立すること、 および、 等号が成立しないような は高々有限個しかないこと、 などが知られている。
$||k=2$ の場合でも $s\geq 5$ なら同様の議論が成立するし、$s=4$ のときに [まKloosternranの仕事がある。
$k$

$k$

94

の係数が
を得る。 蛇足だが、 $F(z)= \sum_{1\leq m\leq P}z^{m^{k}}$ とおけば $F(z)^{s}$ の$R(n)$ となるから、 留数定理により、 $F(z)^{s}z^{-r\iota-1}$ を $|z|=1$ 上で積分すれば $R(n)$ の表示が得られる。 これを $z=e(\alpha)$ と置換すれば上の表示 (2)になる。 もともとの積分路が円 $|z|=1$ であったことが、 circle
minor arc などの用語の由来である。 また、あるいは後出の major
を用いており、 これを前出
Hardy-Littlewood は初めは無限和$z^{n}$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}1_{1()(}1$$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}_{\text{、}}$$\sum_{m=1}^{\infty}z^{m^{k}}$の有限和にすることで議論を簡潔にしたのは Vinogradov である。
いずれにしても (2) の左辺の積分をどう計算するか、 が問題となるわけだが、 ここで例えば$\mathfrak{M}=\cup\cup^{q}\{\alpha\in q\leq P/(2k)a\ovalbox{\tt\small REJECT}(a,q)=1[0,1] :|\alpha-\frac{a}{q}|\leq(2kP^{k-1})^{-1}\}$,$\mathrm{m}=[0,1]\backslash \mathfrak{M}$と定義し、$R(n, \mathfrak{B})=\int_{\mathfrak{B}}f(\alpha)^{t}e(-n\alpha)d\alpha$とおけば、 もちろん$R(n)=R(n, [0,1])=R(n,\mathfrak{M})+R(n,\mathrm{m})$は、分母の “小さい” 分数に “近い” の集合であるが、 一般にそのような集合は優弧 (major arc) と呼ばれ、 のような優弧の補集合はの挙動がに属しているときは
劣弧 (minor arc) と呼ばれる。 がは漸近把握でき、実際 $s\geq k+1$ でありさえすれば優弧上の積分については必要なことはすべてわかつて的に計算できる。 即ち詳しくは Vaughan [9] の 2 および 4 章を参照いただく
いるといってよ
ことにして、結果だけ述べるが、 $s\geq k+1$ で、 かつすべての自然数 にである。

$\alpha$$\mathfrak{M}$$\mathrm{m}$$\alpha$$f(\alpha)$$\mathfrak{M}$$R(n, \mathfrak{M})$$R(n, \mathfrak{M})$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}_{\text{。}}}$$q$

対して合同式$m_{1}^{k}+m_{2}^{k}+\cdots+m_{l}^{k}\equiv n$

が $(m_{1}, q)=1$ なる整数解$m_{1},$ $\ldots,m_{s}$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} q)$

(3)

をもてば、

$R(n,\mathfrak{M})\gg n^{s/k-1}$

であることが知られている$**\text{。}$

上からの評価としては、$R(n, \mathfrak{M})\ll n^{\ell/k-1+\epsilon}$**Vaughan[9], Theorems 43, 4.4, 4.6 参照。 ここに現れた合同式にまつわる条件は、あるいは 「 が 2 のべきでなく、 かつ s\geq 3k/2」 であれば戒立す「 $s\geq 4k$ 」 である力$\mathrm{a}_{\text{、}}$$k$に対しても成立することがある。 また、 この合同式
るし、 によってはもつと小さ条件を課すことは実は自然なことなのである。 条件 $(m_{1}, q)=1$ についての説明は場所をとるので割愛するが、合同式 (3) については、それ自身が整数解をもたなければ 1 ま
個の 乗数の和で表せないことがすぐに分かる。
$k$$\mathrm{A}^{\mathrm{a}}s$

$n$

$s$

$k$

95

を削除してよいことが知られている。 ここで は任意に与えられた正数で、 Vinogradov の記号 Г亡泙泙る定数は に依存する。 これ以後も断りなく、 この記号 に関する周知のであること、 さらに $s\geq k+2$ なら$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$

慣習に従う。

もっとも初めからこれだけのことがわかつていたわけではなく、の計算がうまくいくために必要な変数の個数 は最初のころはもつと多$R(n, \mathfrak{M})$$s$に対する十分な評価を与えるた
かった。 しかし、 劣弧上の積分
めには、 \vee ‘ずれ [こしても はもつと大きくなければならなかったので、のほうをどう扱うのか、 というのがいつでも課よりも$R(n,\mathrm{m})$$s$$R(n, \mathfrak{M})$$R(n, \mathrm{m})$

題となっていた。 サークルメソッドの出現以降の Waring 問題の研究の進

展の歴史は、 劣弧上の積分を評価する技術の歴史といえるであろう。 二の、 おそらく誤差項になるであろうものをちゃんと押さえられるかどうか、 が主役になるというのは、 解析的整数論においては当たり前といえば当たり前ではある。
から現れるであろうと予想され、 その
さて、 $R(n)$ の主要項は大きさが $n^{s/k-1}(=P^{s-k})$ 程度であるから、 $Parrow\infty$ のとき$R(n, \mathfrak{M})$(4)$R(n,\mathrm{m})=o(P^{s-k})$$k$乗数の和で表せることになり、 したがって $G(k)\leq s$ が証明される。
の評価は、 $2t<s$ なる自然数 を適当に選び、肝心の$t$$R(n, \mathrm{m})$$|R(n, \mathrm{m})|\leq(\sup_{\alpha\in \mathrm{m}}|f(\alpha)|)^{s-2t}\int_{0}^{1}|f(\alpha)|^{2t}d\alpha$という不等式により与えられるのが常である。 そこで、 次の 2 点が重要な課題となる :課題 A 劣弧課題$\mathrm{B}$$\mathrm{m}$に属する$\alpha$に対する$|f(\alpha)|$の評価を与える。

平均値 $U(P, t)= \int_{0}^{1}|f(\alpha)|^{2t}d\alpha$ の評価を与える。

課題 A に関しては、$\sup_{\alpha\in \mathrm{m}}|f(\alpha)|\ll P^{1-\sigma_{k}+\epsilon}$(5)に対して示したい、 というこという形の不等式を、 できるだけ大きいについて知られていることなどからみて、 この不等式をとになる。
$\sigma_{k}$$f(\alpha)$

96
は $1/k$ であろうと予想される成立させる最大の1916 年に発表されていた Weyl の不等式 ([9], Lemma 24) によれば、 $\sigma_{k}=2^{1-k}$ ととれる。
$\mathrm{t}\mathrm{t}_{\text{。}}$$\sigma_{k}$

これは $k=2$ のときは先の予想と一致していてこれ以上望めない形だが、のときはもっと改良されることが期待される。 しかし、 が 3 がら
5 程度の場合には Weyl の不等式を超えるものはまったく見っがっておら$k\geq 3$$k$ず、 これは間違いなく今後の大きな課題のーっである。
一方、 $U(P, t)$ の形の平均値の評価から、 (5) の形の不等式を導くという、

Vinogradov 流の方法があり、 これにより が大きいときは Weyl の不等式よりよい結果を得ることができる。 この流儀にょれば、平均値に対してよい評価を得れば (5) の不等式に関しても強い結果が従うわけだがら、 二の意味で課題 A は課題 に帰着されることになる。 正確な言い方ではなくなるが、課題 A に関しては実際こうぃう方向にょって、現在では $k\geq 7$
ならば Weyl の不等式より強い効果をもっ結果が得られてぃる。 これは後で述べる Vaughan-Wooley [10] の平均値に関する成果から従うものである。 また、 Weyl と Vinogradov のアイディアを融合した Heath-Brown [3]$k$$\mathrm{B}$の素晴らしい仕事があるが、 $G(k)$ の評価には直接\rho 影響がないので、 二
こでは触れないことにする。
次に課題 に目を移そう。 上記の通り、 課題 A への影響もあるし、 平.
均値 $U(P, t)$ を評価する とはとても重要である。 これに関しては、$\mathrm{B}$$\dot{}$$U(P, t)\ll P^{t+\epsilon}+P^{2t-k+\epsilon}$という評価が予想がされているが、 $0\leq t\leq 2$ のとき、 およひ

$t$

が

$k$

と

比べてすごく大きいときにしか証明されてぃない。 とくに $t=k$ のときと予想されるが、 もしこれが証明できれば、 (5) とあゎ
せて、 $s\geq 2k+1$ なら (4) を示せるので、 (2) の左辺の積分が計算できることになり、 したがって合同式 (3) にまっわる条件を満たす十分大きは、 $2k+1$ 個の 乗数の和で表せることが示せることになる。 そしてその$U(P, k)\ll P^{k+\epsilon}$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}\prime}r\iota$$k$あたりがサークルメソッドという方法の限界だろうといゎれてぃる。 っまり少なくとも今のところは、 変数の個数 が $2k$ より小さいと、 (4) を$s$証明する方法を想像することすらできない、 ということである。
$U(P, t)$ の評価に関しては、 Hua の不等式 ([9], Lemma 25) と Vinogradovの平均値定理が基本的な結果である。 この $U(P, t)$ そのものに対する評価としては、 $k\leq 5$ の場合には Hua の不等式を大きく超えるものが出ていないが、 Vaughan [5], [6] の仕事は特筆すべきもので$\dagger\uparrow \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}[9]$$([9], \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}5.1)$

Theorems 4.1, 4.2 およひ Theorem 41 の直後の予想を参照。

97
ある。 6 以上の に対してはいくつかの改良がなされており、現在最良の結果は、 Heath-Brown [3] (Boklan [1] も参照) Ford
Wooley [12] ら$k$$[2]_{\text{、}}$$\text{、}$による。
しかし、 $G(k)$ の評価を問題にする場合は、 実は $U(P, t)$ を直接相手にしない、 もっと有効なアイディアがある。 とりあえず簡潔に概要をみる

ために上のような道筋を示したのだが、 そのような手順でうまくいけば、$R(n)$ に対する漸近式が得られ、 それから $G(k)\leq s$ が従う。 が、を示すのが目的なら、 十分大きい に対して $R(n)>0$ となっていればいいわけで、 $R(n)$ の漸近式は必ずしも必要ではない。 っまり、 上のやり方$G(k)\leq 6^{\cdot}$

$n$

では

(6)

$n=m_{1}^{k}+m_{2}^{k}+\cdots+m_{s}^{k}$を満たすすべての自然数の組 $(m_{1}, \ldots, m_{s})$ を数えようとしてぃたわけだ
が、 そのような組のうちの特別なもの、 数えやすいものだけをみることにしよう、 という着想がある。 これによって課題 にあたる結果が格段に良くなり、 したがって $G(k)$ に対しても良い評価が得られる。 こういう方針は既に Hardy-Littlewood 自身が示している。 具体的に (6) の右辺の乗数にどのような制限をつけるのか、 については次節でみることにする。
このような方向における課題 についての進展が、サークルメソッドの発見に始まる二十世紀の Waring 問題の研究の歴史のハイライトであると、筆者には思える。
ところで (6) において、達は自然数なら何でもいい、 としておくとそういう表示があることが (直接は) 示せないのに、達に適当な制限を加えるとそういう表示があることが示せる、 というのは、 少なくとも表面的には、 面白いといえるのではなかろうか。 解析的整数論では誤差項の評価が問題の中心になることが多いから、 そのようなことは間々あるわけだが、 筆者も初めて聞いたときはとても不思議に感じられたものである。
$\mathrm{B}$$k$$\mathrm{B}$$m_{j}$$m_{j}$

4. Diminishing range methods
前節で定義した $U(P_{)}t)$ は、 不定方程式$x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{t}^{k}=y_{1}^{k}+y_{2}^{k}+\cdots+y_{t}^{k}$の、 $1\leq xj,$ $yj\leq P$ を満たす自然数解の個数に等しい。 いま、$\ovalbox{\tt\small REJECT}=P/2$,$P_{j}= \frac{1}{2}P_{j-1}^{1-\frac{1}{k}}$$(j\geq 2)$

(7)

98

とおき、 $U(P, t)$ が数えている解のうち、(8)$(1 \leq j\leq t)$$P_{j}<x_{j},$ $y_{j}\leq 2P_{j}$なるものの個数 $V$ を評価してみる。 この条件 (8) と方程式 (7) から、 $P$ が十分大きければ、$|x_{1}^{k}-y_{1}^{k}|=| \sum_{j=2}^{t}(y_{j}^{k}-x_{j}^{k})|\leq(2^{k}-1)P_{2}^{k}+O(P_{2}^{k-1})<(2P_{2})^{k}--P_{1}^{k-1}$を得るが、 一方 ‘$|x_{1}^{k}-y_{1}^{k}|=|x_{1}-y_{1}|(x_{1}^{k-1}+\cdots+y_{1}^{k-1})>|x_{1}-y_{1}|P_{1}^{k-1}$

でなければならない。 すると、 (7) かを消去すれば $x_{2}^{k}+\cdots+x_{t}^{k}=y_{2}^{k}+\cdots+y_{t}^{k}$ となり、 同様 [こしらとて $x_{2}=y_{2}$ が従う。 以下この議論を繰り返して、 (8) をみたす (7) の解は、
$x_{j}=y_{j}(1\leq j\leq t)$ という自明なものしかないことがわかり、 よって解だから、
$x_{1}$$|x_{1}$-yll<l、即ち$x_{1}=y_{1}$$y_{1}$の個数 $V$ については、 (8) より、(9)$V\ll P_{1}P_{2}\ldots P_{t}$であることがわかる。
Hardy-Littlewood が指摘したこの極めて単純な事実 は、加法的整数論
における非常に強力な武器であって、 驚くべきことかもしれないが、 い
まだに応用する問題によっては、 この方法・結果を実質的に超えるもの
が見つかつていないといえる。
上の $V$ の評価 (9) の強さを確認しよう。 このような場合、方程式 (7) を無視して、 単に変数のとりうる値の組み合わせが何通りかをまず数えると、
もちろんそれは解の個数に対する自明な評価になるわけだが、 その 「自$l\mathrm{f}$明な評価」からどれだけおとせたか、が重要なのである。例えば、 $U(P, t)$
で、 $U(P, t)$ の上からの評価はに対しては、 ここでいう自明な評価はと比べてどのくらいおちているか、 が問題となる。 先の $V$ に対しては自明な評価は、 (8) よりで、 (9) から、$P^{2t}$$P^{2t}$$(P_{1}P_{2}\ldots P_{t})^{2}$$V<<(P_{1}P_{2}\ldots P_{t})^{2}\cdot(P_{1}P_{2}\ldots P_{t})^{-1}$を定義し、 $P_{t}=P_{t-1}$
は $1\leq j<t$ t こ対しては上のように
44 本当はとして、 同様の議論をした。 大きな差はないが、 この点については [9] \S 6.1 を参照。
$\mathrm{I}\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{y}-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{w}\infty \mathrm{d}$$P_{f}$

99
だから、 これは自明な評価から
ノ ${}_{1}P_{2}\ldots P_{t\wedge}\vee P^{1+(1-1/k)+\cdots+(1-1/k)^{t-1}}=P^{k-k(1-1/k)^{t}}$だとする
だけおちている 1。 仮にある程度大きい $C$ に対してと、 $k(1-1/k)^{t}<ke^{-t/k}\leq k^{1-C}$ だから、 (9) の右辺は自明なものから$t\geq \mathrm{C}k\log$ $k$

ぐらいおちていることになる。
、雑にいえばぐらいおとすということは、$U(P, t)$ に対して自明な評価から$P^{k-k^{1-C}}$$P^{k}$$P^{k}$$U(P, t)\ll P^{2t-k+\delta}$(10)のような不等式を小さい について示す、 ということであるが、 例えぱぐらい大きいときそのような結果を与える。 大き
Hua の不等式は がいに対して現在最良の Ford [2] の仕事をもってしても $t\gg k^{2}\log k$ ぐ
らいでないと (10) のような結果を示すことはできない。 $G(k)$ への影響を$\delta$$t$$2^{k}$$k$考えると、 変数の個数は少なく ( は小さく)、 自明な評価からのへこみは大きい、 というのが良い結果ということになるので、 少なくとも大きいに対しては、 不等式 (9) はとても強力であることがわかるのである。 この (9) に、 前節の課題 にあたるこういう結果から課題 A に対応する結果を導 Vinogradov のアイディアを加えて、 Vinogradov は 1935 年に
$t$

$k$

$\mathrm{B}$$\langle$$G(k)\leq 6k(\log k+O(\log\log k))$を示した。 それ以前の $G(k)$ の上界は$2^{k}$(11)より大きいものだったから、 二に対しては大幅な改良となった。 その後課題 A の導き方に関して工夫を加えて、 Vinogradov は 1959 年には (垣) の右辺の 6 を 2 まで
おとしているが、 その際にも課題 に関しては (9) が用いられている。
上の (9) を導く Hardy-Littlewood の議論の改良はいろいろとなされたが、いずれも が大きくなると急速に効果が薄れるものばかりで、そのような改良が $G(k)$ の評価にもたらす影響は、 (11) のような結果の $O(\log\log k)$の項に含まれてしまう。 とはいえ小さめの に対しては有効な方法がい
くつか見つかつている。 これらの改良された方法達は、 (7) における やの大きさによってどれがもっとも勝るかが変わるので、 一概に誰の方法が現在最良、 と言い切れないのだが、 中でも 1940 年前後の Davenport の仕事が最も大きいといえるだろう。加えて 1980 年代中頃の Thanigasalamと Vaughan が (独立に) 成した貢献が大きい。 とくに Vaughan は、 この
れは大きい

$k$

$\mathrm{B}$

$k$

$k$

$k$

$t$

$*A_{\wedge}\vee B$

は $A\ll B\ll A$ の意味である。

100
Diminishing range method t こ関する彼の着想を次節の -adic method (こ$p$

応用することで、 画期的な成果を挙げることとなった。

5. Vaughan’s -adic method
前節の Diminishing range method というのは、 (7) の解の個数を評価$p$との距離が小さい、 という事実をもとに議論を組み立てろする際、のだか、 この際の “距離” を 進付置で置き換えたものが padic iterative
method などと呼ばれるものである。 いま、 $P^{1/k}<p\leq 2P^{1/k}$ で、 かつは で割り切れを法として 1 と合同ではない素数 をとり、 (7) のず、, 詭, . . . , はすべて の倍数であるとすると、$x_{1}$$y_{1}$

$p$

$k$

$p$

$x_{2},$$\ldots,$$x_{t}$$x_{1\text{、}}y_{1}$

$p$

$p$

$y_{t}$$t$$x_{1}^{k}-y_{1}^{k}= \sum(y_{j}^{k}-x_{j}^{k})\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{k})$$j=2$

は互 4 ‘}こ素だから、となる。 $p^{k}>P$
だから、 $1\leq x_{1},y_{1}\leq P$ なら $x_{1}=y_{1}$ でなければならない。 この事実}こ基で、 $p^{k-1}(p-1)$ と$k$$x_{1}\equiv y_{1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{k})$

づいて、 (7) の変数にうまく条件をつけて解が $x_{j}=y_{j}(1\leq j\leq t)$ の形に限るようにできるが、 そのようにして得られる解の個数に対する評価は、だけへこんでいる(9) と同じ精度、即ち、「自明な評価」 からものとなる。 これが padic method の最も単純な形である。
こういう方法はより進んだ形で既に 1939 年の Davenport の論文に現れているし、 Linn 止、 Karatsuba といった人たちの貢献もある。 そして飛躍$P^{k-k(1-1/k)^{\mathrm{t}}}$的な進展をもたらしたのが aughan [7] である。 そのアイディアのもと (ま既に [5] のなかにみることができる。
Diminishing range method より -adic method のほうが強力な結果を$p$

導ける理由の一つは、先のような議論において、素数 を動かす余地があることである。 が、 Vaughan の方法の最も強調されるべきと思われる利$y_{j}(2\leq j\leq t)$ が共通に点は、 不定方程式 (7) においてさつきのように素因数をもたなくても、 それぞれが適当な大きさの約数さえもっていれば、 (7) の解の個数を $U(P,t)$ のような積分で表して H\"older の不等式を使うことにより、同じような議論に持ち込むことができる、 ということである。 これにより、各変数は「都合のよい大きさの約数」 をもちさえすればよいので、小さい素因数しかもたない自然数、 いわゆる smooth numbersに各変数を制限すれば十分となる。 この各変数につける条件の均一性が、以前の Dimin 拍 hing range method ではみられなかった、 H\"older の不等式を応用する際の自由度を生み、それがその後の大きな発展の原動力となった。 この Vaughan の方法の概要にもう少々踏み込みたかったが、 これに$p$$x_{j},$

101
ついては Vaughan 自身 [こよるサーベイ [8] を参照 ただくこととし、 ここでは紙面と時間\dagger の都合によりこの辺にとどめることとする。
$\mathrm{a}$$\mathrm{V}$1989 年の Vaughan の仕事 [7] 以来、 その方法の自由度を最大限に生かす方法が、
Wooley らを中心として模索され、 この 10 年ほどの$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\text{、}}$

間に大きな進歩があったが、 現在はその進歩も一段落したかな、 という感がある。 とくに Wooley はいくつかの有効な、 また興味深いアイディアを提供している。 そのうちの一つが、 大きい に対して初めて (9) を実質的に超えるものといえる結果を含んだ論文 [11] で、 そこで Wooley は (垣)の右辺の定数 6(既に Vinogradov が 2 にしていたが) を 1 にまでおとしている。 そのほか、 小さめの に関しては、 Vaughan-Wooley [10] 及び現在
パートまで出ているそのシリーズを参照されたい。
$k$

$k$

$\mathrm{I}\mathrm{V}$

6. 今後の課題など
サークルメソッドの開発以来、 二十世紀の間に大きな進歩があったとはいえ、 Waring 問題など [こおいては、 すべての (こつ 4 ‘て $G(k)\leq 4k$ だ
ろうとか、 $G(3)=4$ だろうとか、 現在証明できることからほど遠い予想$k$がいくらでもあるが、 その中からいくつかを課題として記させていただ
くことにする。

Waring 問題そのものに関して筆者が個人的に最も興味を持っているのは、 Linnik が 1943 隼に証明した $G(3)\leq 7$ の改良である。 これはサーク
ルメソッドで挑戦しようとするより、 Watson のようなやり方のほうが望みがありそうに感じられる。
つぎに、 大きい に対しては、 期待される $G(k)\ll k$ までいかなくて$k$

も、 $G(k)=o(k\log k)$ ぐらいのことが当面の大きな壁といえるのではな

いだろうか。
また、 3 次などの低次の場合の Wely の不等式の改良も、 大きな課題であろう。 これは Waring 問題などへの影響に限らず、 それ白身興味ある問題だが、 そろそろ 100 年近く進展がないことになる。
以上、やや無責任に書いてみたが、それらはどれも達成できれば素晴らしい成果であるが、いまのところ手がかりは全くない、 という状況である。
もう少し現実的な課題としては、 Waring 問題に関連する問題をあげておきたい。その例としては、素数の 乗数の和を考察する Waring-Goldbach問題と、 乗数の代わりに整数値をとる 次多項式の和を考える 「多項式に対する Waring 問題」 がある。
$k$

$k$

$k$

月末が締め切りであったが、 もうこの時点で既に 3 月になってしまっている。 若
林功先生をはじめ、 ご迷惑をお掛けしている皆様に深くお詫び申し上げる次第です。
$\uparrow 1$

102Vaughan [7] の方法以前は、 Waring 問題の研究は Diminishimg range
method によるものが主流であったから、 Waring 問題に進展があれば、その方法は自動的に Waring-Goldbach 問題などにも進展をもたらしていた。
しかし、 前節でみた Vaughan の方法は、 純粋な Waring 問題には応用でを の一般の 次多項式で置き換きるが、 変数を素数に限定したり、えたりすると、 適用できない。 そのためこの 10 年ほどの間に Waring 問
題そのものは劇的に進展した一方で、 Waring-Goldbach 問題や多項式に対する Waring 問題は長いこと進展がみられない、 という状態になっている。例えば、 これらの問題では大きい に対して (11) にあたる結果として
は、 (11) の 6 を 4 にすることしかできず、 これはもう 50 年以上も改良されていない。 こういうものの改良に挑戦するのも興味ある課題であろう
これらの問題 [こは、まのところ Di 而 nis
range method を用 4 る
かないが、 Thanigasalam は 1989 年以降も Diminishing range method }こ
関わるアイディアを 2 つほど発表しているし、 この方向で進む余地もまだ少しはありそうではある、 と筆者も期待しているところである。
$x^{k}$

$k$

$x$

$k$

$\lfloor$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\mathrm{n}\mathrm{g}$参考文献[1] K. D. Boklan, The asymptotic formula in Waring’s problem. Mathematika 41(1994), 329347.
[2] K. B. Ford, New estimates for mean values of Weyl sums. Internat. Math. Rae.
Notices 3(1995) 155171.
[3] D. R. Heath-Brown, Weyl’s inequality, Hua’s inequality, and Waring’s probleut
J. London Math. Soc. (2) 38 (1988), 216230.
. Text[4] M. B. Nathanson, “Additive Number Theory: The Classical Baeae.”
Math. 164, Springer, 1996.
[5]
C. Vaughan, On Waring’s problem for cubes. J. reine angew. Math. 365(1986), 122-170.
[6] R. C. Vaughan, On Waring’s problem for smaUer exponents, . Mathematika 33(1986), 6-22.
[7]
C. Vaughan, Anew iterative method in Waring’s problem. Acta Math. 162(1989), 1-71.
[8]
C. Vaughan, The use in additive number theory of numbers without large
prime factors. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A345 (1993), 363376.
[9]
Hardy-Littlewood Method. 2nd ed.” Cambridge Univ.
C. Vaughan,Press, 1997.
[10] R. C. Vaughan and T. D. Wooley, Further improvements in Waring’s problent I.
Acta Math. 174 (1995), 147-240.
[11] T. D. Wooley, Large improvements in Waring’s problem. Ann. of Math. 135(1992), 131-164.
[12] T. D. Wooley, On Vinogradov’s mean value theorem. Mathematika 39 (1993),
379-399; Corrigendum: ibid. 40 (1993), 152.
$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$\mathrm{R}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{R}$$\mathrm{R}$$\mathrm{R}$$‘\nu\Gamma \mathrm{h}\mathrm{e}$