平成31年度

豊島岡女子学園中学校<第3回>算数

くわしい解説すぐる学習会

2 4 6
8１ (1) 1 3 － 5 ÷ 7 ÷ 9ア
イ
ウ
ア＝

4614
÷ ＝
5715

2
14 11－ ＝
315 1511833
ウ＝ ÷ ＝15940
イ＝1(2)

工夫して解く方法もありますが，普通に計算した方が早くできるのでは…。
1
3715311624
28
30
31
129
＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝2481632
32
32
32
32
32
32
129
31
5－＝
なので，□ ＝ 323232
[工夫して解く方法]
13715
31＋ ＋ ＋ ＋
2
4816
32
1
1
1＝ 1－＋ 1－＋ 1－248111
1
1＝5－＋ ＋ ＋ ＋2481632＋ 1－

116＋ 1－132…式（ア）とします

右の図の正方形の面積を１とすると，11111＋ ＋ ＋ ＋は斜線部分の面積にあたります。
24816321
白い部分の面積は ですから，斜線部分の面積は，32
1311－ ＝になります。
323231
よって，式（ア）は 5 －となるので，は 32 です。
32-1-全体＝１12

14
18116

1 132 32(3)さいころの目は 6 までしかないことを忘れやすいです。注意しましょう。
3 つの数の積が 24 になるのは，順番を考えなければ，次の通りです。
1 × 1 × 24，1 × 2 × 12，1 × 3 × 8，1 × 4 × 6，2 × 2 × 6，2 × 3 × 4
これらの中で，さいころの目は 1 から 6 までという条件を考えると，次の 3 通りにしぼられます。
1 × 4 × 6，2 × 2 × 6，2 × 3 × 4
1 ＋ 4 ＋ 6 ＝ 11，2 ＋ 2 ＋ 6 ＝ 10，2 ＋ 3 ＋ 4 ＝9 ですから，答えも 11，10，9 の3 通りになります。

(4)

10 人の平均点は 68 点ですから，10 人の合計点は，68 × 10 ＝ 680（点）です。

最高点と最低点をのぞいた 8 人の平均点は 70 点ですから，その 8 人の合計点は，70 × 8 ＝ 560（点）です。
よって，最高点と最低点の 2 人の合計は，680 － 560 ＝ 120（点）になります。
また，問題には「最高点は最低点の 2 倍」と書いてあったので，最高点と最低点の比は，2：1 です。
したがって，最低点は 120 ÷ ( 2 ＋ 1 ) ＝ 40（点）で，最高点は 40 × 2 ＝ 80（点）になります。

-2-400（円）です。
3ノート 4 冊のセットを 500 円で売ったので，1 冊あたり 500 ÷ 4 ＝ 125（円）です。
よってこの問題は，次のようなつるかめ算の問題になります。
400「1冊円のノートと 1 冊 125 円のノートを合わせて100冊売ると売り上げは3全部で 13100 円になる。」

２ (1) ノート 3 冊のセットを 400 円で売ったので，1 冊あたり 400 ÷ 3 ＝面積図にすると右の図のようになり，点線400
700部分の面積は，× 100 － 13100 ＝です。
33400
25
点線部分のたては，－ 125 ＝ ですから，33700 25
点線部分の横は，÷ ＝ 28です。
33400
313100125100

よって，4 冊セットの方は 28 冊売れて，3 冊セットの方は 100 － 28 ＝ 72（冊）売れました。
3 冊セットの方は，72 ÷ 3 ＝ 24（セット）売れたことになります。

(2)

10 の倍数とは，10，20，30，…のように，一の位が 0 である数です。
2019 との差が 10 の倍数になる数は，9，19，29，…のように，一の位が 9 である数です。
一の位が 9 で，しかも 7 の倍数になっている最も小さい数は 49 です。
49 の次の数は，（ 10 と 7 の最小公倍数である）70 を増やした数である，
49 ＋ 70 ＝ 119 です。119 の次の数は，119 ＋ 70 ＝ 189 です。
よって，等差数列 49，119，189，…の中に，2019 以下の数が何個あるかを求めればよいわけです。
等差数列の公式「はじめの数＋増える数×(Ｎ－ 1 )＝Ｎ番目の数」にあてはめると，49 ＋ 70 × ( Ｎ － 1 ) ＝ 2019となり，逆算をしていくと，2019 － 49 ＝ 19701970 ÷ 70 ＝ 28.1…
28.1… ＋ 1 ＝ 29.1…
よって，2019 以下の数は 29 個あることになります。

-3-(3)等しい

このような問題は，長方形に対角線を 1 本引くと，面積が等しい 2 個の三角形に分かれることを利用して解いていきます。

ＨＡ
ア1cm
右の図のように分けると，アとア，イとイ，ウとＥウ，エとエはどれも同じ面積です。
★の部分は長方形です。
★の部分のたての長さは，4 － ( 1 ＋ 1 ) ＝ 2（㎝）です。
イ★の部分の横の長さは，4 － ( ＢＧ ＋ ＤＨ ) ＝ 4 － 3 ＝ 1（㎝）です。
Ｂ
よって，★の部分の面積は，2 × 1 ＝ 2（㎝2）です。

Ｄエア

★

イエウ

Ｆ1cmウＣＧ

正方形ＡＢＣＤの面積は 4 × 4 ＝ 16（㎝2）で，★の面積は 2 ㎝2 ですから，
アアイイウウエエの面積は，16 － 2 ＝ 14（㎝2）です。
よって，アイウエの面積は，14 ÷ 2 ＝ 7（㎝2）です。
ＨＡ

四角形ＥＦＧＨの面積は，正方形ＡＢＣＤの面積からアイウエの面積を引いたものなので，16 － 7 ＝ 9（㎝2）になります。

1cmＤエ

アＥＦイウ
Ｂ-4-Ｇ

1cmＣＡ(4) 三角形ＡＨＣに注目すれば，右の図のアの角度は 180 － ( 90 ＋ 30 ) ＝ 60（度）であることがわかります。
また，三角形ＤＢＣに注目すれば，イの角度は 45 － 30 ＝ 15（度）であることがわ Ｂかります。

ア45°

Ｄ30°

イＣＨＡ

三角形ＡＨＣは正三角形を半分に切った形をしているので，右の図のウとエの長さの比は，1 ： 2 になります。
そこで，ウの長さを①，エの長さを②とします。
ＡＤとＤＣは同じ長さなので，ＡＤの長さもＤＣの長さも①になります。

60°45°

ウエＤ30°

15°
ＢＣＨＡ

右の図のようになりました。

60°

①45°

①Ｄ

①30°

15°
ＢＣＨＡ

ここで，点Ｈから点Ｄまで補助線を引きます。
すると，三角形ＡＨＤは角Ａが 60 度で辺ＡＨと辺ＡＤの長さが等しいのですから，正三角形になります。

60°

①45°

①Ｄ

①30°

15°

ＢＣＨＡ60°

よって右の図のカの長さは①にあたり，キの角度は，60 － 45 ＝ 15（度）になります。

①-5-45°
キ
カ15°
Ｂ

①ＨＤ

①30°
ＣＡ

すると，右の図の太線をつけた三角形は，2 つの角が 15 度になり等しいので，二等辺三角形になります。
よってクの長さは，①にあたります。

①60°

45°
15°

①ク

①①15°
ＢＤ30°
ＣＨＡ

よって，右の図の太線をつけた三角形は辺ＢＨと辺ＡＨの長さが等しく，角Ｈが直角なので，直角二等辺三角形になります。
直角二等辺三角形は，直角以外の角は 45度なので，角ＡＢＤの角度は，45 － 15 ＝ 30（度）になります。

60°

①ケ15°
Ｂ①①45°
15°

①ＨＤ

①30°
Ｃ

注意 この問題のように，図に 15 の倍数の角度しか書いていない問題の場合は，答えも 15 の倍数の角度になる可能性が高いです。
角ＡＢＤは，見た目で 15 度よりも大きく 45 度よりも小さいですから，解き方がまったくわからない場合でも，解答欄には 30 度と書くべきでしょう。
わからないからといって解答欄に何も書かないのでは，競争に負けてしまいます。

-6-

３ (1) ＜図 2 ＞の中にある三角形には， と， と，という形の三角形があります。という形の三角形…下の図のように， 4 個あります。という形の三角形…下の図のように， 4 個あります。という形の三角形…下の図のように， 4 個あります。

よって全部で，4 × 3 ＝ 12（個）になります。

-7-

(2)

新しく辺ＦＲ，辺ＲＳ，辺ＦＳができたのですから，それらの辺を一辺とする三角形をしっかり見つけましょう。
・辺ＦＲを一辺とする三角形は，次の 3 個です。

・辺ＲＳを一辺とする三角形は，次の 1 個です。

・辺ＦＳを一辺とする三角形は，次の 1 個です。

よって，辺ＦＲ，辺ＲＳ，辺ＦＳを一辺とする三角形は，合計 3 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 5（個）です。
(1)で，すでに 12 個あって，新しく 5 個できたのですから，全部で 12 ＋ 5 ＝ 17（個）になります。

-8-

Ａ

４ (1) はじめに，Ａの容器には 5 ％の食塩水が 200 ｇ入って10いました。
食塩は，200 × 0.05 ＝ 10（ｇ）とけています。

2005％

Ａの食塩水 100 ｇをＣに移しました。
Ａには，200 － 100 ＝ 100（ｇ）の食塩水が残っています。
残った食塩水には，100 × 0.05 ＝ 5（ｇ）の食塩がとけています。

Ａ
5
1005％

残ったＡの食塩水に，Ｃの食塩水 100 ｇを入れると，Ａは 10 ％になったそうです。
ＡＡＣ
5
1005％

イ

ウ＋100＝

ア
10 ％エ％

上の図のアは，100 ＋ 100 ＝ 200（ｇ）です。
イは，200 × 0.1 ＝ 20（ｇ）です。
ウは，20 － 5 ＝ 15（ｇ）です。
エは，15 ÷ 100 ＝ 0.15 → 15 ％です。
よって，容器Ｃに入っている食塩水の濃度は，15 ％です。

-9-

(2)

容器Ａの食塩水は 10 ％になったことがわかっています。
また，(1)で，容器Ｃの食塩水は 15 ％であることもわかりました。

(2)では，Ａの食塩水 100 ｇとＣの食塩水をまぜると，14 ％になることがわかっています。
Ａ

10010 ％

ＤＣ＝＋15 ％14 ％

この問題はビーカー図では解けないので，面積図（または，てんびん図）を利用して解くことになります。
イ
面積図は，右の図のようになります。
ア
アは，( 14 － 10 ) × 100 ＝ 400 です。
15
14
イもアと同じ面積なので，400 です。
10ウは，400 ÷ ( 15 － 14 ) ＝ 400 です。
ウ

100
てんびん図では，右の図のようになります。
アは，14 － 10 ＝ 4 です。
イは，15 － 14 ＝ 1 です。
ア：イは 4：1 なので，100：ウ ＝ 1：4 です。
よってウは，100 × 4 ÷ 1 ＝ 400（ｇ）になります。

10ア

イ 15
14

100

ウ

以上のことから，容器Ｃには 400 ｇの食塩水が入っていたことがわかりました。
ところで，４の問題文の 3 行目の後ろの方に，Ｃの食塩水100ｇをＡに入れたと書いてあります。
ですからＣは，100 ｇをＡに入れた結果，400 ｇが残ったことになります。
Ｃには，400 ＋ 100 ＝ 500（ｇ）の食塩水が入っていました。
また，４の問題文の 2 行目の後ろの方に，Ａの食塩水 100 ｇとＢのすべての食塩水を空の容器Ｃに入れたと書いてあります。その結果，Ｃは 500 ｇになったのです。
よって，Ｂに入っていた食塩水は，500 － 100 ＝ 400（ｇ）になります。

- 10 -

⑥駅

公園

５ (1) 駅から公園までの道のりを，（ 2 でも 3 でも割り切れる）⑥ にすると，問題文の 3 行目に書いてあった通り，はじめは花子さんと豊子さんは同じ速さで歩くので，駅と公園のちょうど真ん中で 2 人は出会います。
2 人とも，⑥÷ 2 ＝③ だけ歩きました。
1 回目に出会ってから 2 回目に出会うまでに，花子さんと豊子さんは右の図のように歩きました。
豊子さんの速さは 2 倍になっているので，豊子さんの方が長く歩いています。
1 回目に出会ってから 2 回目に出会うまでに， 2 人合わせてどれだけ歩いたのかをを求めましょう。
右の図の太線部分が⑥で，右の図の太線部分も⑥ですから，合計 ⑥＋⑥＝⑫ を歩いたことになります。

駅

⑥公園

③③

花豊駅

③⑥③公園

③公園

③公園

花豊駅

⑥③
花豊駅

⑥③
花豊

豊子さんは花子さんの 2 倍の速さになったのですから，花子さんと豊子さんの歩いた距離の比は，1：2 です。
⑥
よって， 1 回目に出会ってから 2 回駅
公園③
③目に出会うまでに，花子さんが歩いた
花距離は，⑫÷ ( 1 ＋ 2 ) × 1 ＝④ になり豊ます。（右の図の太線部分です。）

よって右の図のアの部分の距離は，④－③＝①になります。
①が，５の問題文の 6 行目に書いてあった通り 50 ｍです。

駅

⑥③③
花
豊

駅と公園の間は⑥にあたりますから，50 × 6 ＝ 300（ｍ）になります。

- 11 -公園ア(2)(1)でわかった通り，花子さんは，1 回目に豊子さんと出会うまでに，③だけ歩きました。

また，1 回目に出会ってから 2 回目に豊子さんと出会うまでに，花子さんは④だけ歩きました。

⑥駅

公園

③③

花豊駅

③⑥③公園

花豊

①

花子さんは，出発してから 2 回目に豊子さんと出会うまでに，③＋④＝⑦ だけ歩いています。
５の問題文の 6 行目に書いてある通り，花子さんは 2 回目豊子さんと出会うのは7 分後です。
よって花子さんは， 7 分間で⑦歩いたことになります。
花子さんの分速は，⑦ ÷ 7 ＝ ① になります。
⑥駅
公園
イ
2 人が 2 回目に出会ってから 3 回目に出会うまでのようすは右の図のようになり，花
豊
2 人合わせて，⑥＋⑥＝⑫だけ歩いています。
ウ①2 人の速さは同じですから，花子さんだけで，⑫÷ 2 ＝⑥だけ歩いています。（花子さんは⑥を 6 分かかります。）
右の図のイの距離は ⑥－①＝⑤ ですから，ウの距離は，⑥－⑤＝①です。
3 回目に出会ってからは，右の図のようになって，豊子さんが花子さんに追いつきます。
豊子さんの折れ曲がっている部分をまっすぐにすると，

⑥駅

公園

花
豊
①⑥駅
公園
右の図のようになり，豊子さんは花花子さんよりも②だけ後ろにいた地点から追いつくことになります。
豊
花子さんの分速は①，豊子さんは① ①
花子さんの 2 倍の速さですから，分速②です。
よって豊子さんは，②÷ (②－①)＝ 2（分後）に追いつくことになります。
整理すると，出発してから 2 回目の出会いまでが 7 分，2 回目から 3 回目までが6 分，3 回目から追いつきまでが 2 分ですから，合計 7＋6＋2 ＝ 15（分）になります。

- 12 -

(3)

⑥
駅
公園
豊子さんが公園に着いたときに，
花初めて花子さんを追いこしたのですから，追いこしたときの状態は右の
豊図のようになります。
豊子さんは花子さんの 2 倍の速さですから，豊子さんが⑥歩いている間に，花子さんは ⑥÷ 2 ＝③ だけ歩きます。
右の図のアが③ですから，イは⑥－③＝③ です。

駅

ウ⑥★エ

公園

花

豊
豊子さんは花子さんの 2 倍の速さです。
イア
よって右の図のエは ③÷(2＋1)＝①，
ウは ①×2＝② です。
つまり，駅から②の距離のところで，2 人は出会っているはずです。
その出会っていた地点を★とします。
★で出会ってから，豊子さんが公園に着くまでに，豊子さんは ②＋⑥＝⑧ だけ歩いています。
豊子さんが歩いたときの分速は②なので，豊子さんは ⑧÷②＝ 4（分間）歩いています。
豊子さんは2倍の速さで，4 分間歩いています。

さらにその前に花子さんと豊子さんが出会っていた地点を☆とします。
☆から★までは，花子さんと豊子さんは同じ速さで歩いています。

駅②

★

⑥☆
豊カ公園

花オ

☆から★までに，2 人合わせて ⑥＋⑥＝⑫歩いていて，2 人は同じ速さなのですから，花子さんも豊子さんも，⑫÷2＝⑥ だけ歩いたはずです。
オの長さは ⑥－②＝④ ですから，カの長さは，⑥－④＝② になります。
さらにその前に花子さんと豊子さんが出会っていた地点は，やはり☆です。
なぜなら，豊子さんは花子さんの 2倍の速さなので，右の図において花子さんが ②＋②＝④ 歩いている間に，豊子さんは ④＋④＝⑧ 歩くからです。

駅⑥④☆ ② 公園
豊花

豊子さんの分速は②なので，⑧÷②＝ 4（分間）歩いています。

- 13 -

豊子さんは 2 倍の速さで，4 分間歩いています。

さらにその前は，花子さんと豊子さんは同じ速さなので，豊子さんが出発するときは，花子さんは右の図の位置にいます。

⑥②駅
花☆

②公園
豊以上のことから，豊子さんが 2 倍の速さで歩いていたのは，4 ＋ 4 ＝ 8（分間）になります。

- 14 -Ａ

あ６ (1) Ｆ，Ｇ，Ｈを通る平面は，右の図の あ のように

ＨＦなります。

ＧＥＤＢＣＡＭ

Ｍ，Ｎ，Ｄを通る平面は，右の図の い のようになります。

いＮＨ

Ｆ
ＧＥ

Ｄ

Ｂ
ＣＡ

あ と い の両方の面を書くと，右の図のようにＭなります。

ＮＨＦＧＥ

ＤＢＣＡ
Ｍ

切り口と切り口の交点は，右の図の☆の部分になります。

Ｎ

☆

ＦＧ

☆

ＨＥ
ＤＢＣＡ
Ｍ

☆と☆を直線で結ぶと右の図のようになります。

ＦＮ

☆
Ｇ

☆

Ｈ

Ｅ
Ｄ

Ｂ
Ｃ

（次のページへ）- 15 -

Ａ
Ｎ

立体を右から見ると，ＧＨとＤＮの交点が☆ですか
ら，☆はＧＨの真ん中よりも少し右の方にあることがわかります。

ＧＨ

☆

ＣＦ

あ と い の両方の面で切ると，立体は右の図のＤ☆
Ｇようになります。

☆

Ｅ
Ｄ

ＢＣＡ

もし立体を右の図のように切ったとしたら，

ＨＦ
ＧＥ

Ｄ

Ｂ
Ｃ

上から見たら右の図のようになりますが，Ｆ

実際には右の図のように切りました。
☆の位置はＧＨの真ん中よりもＨ寄りなので，☆
Ｇ☆

ＥＤＢＣ

上から見たら右の図のようになります。
よって答えは，④になります。

- 16 -Ａ(2)

問題の<図３>の３つの○を底面までおろすと，右の図の位置になります。それぞれ，ア・イ・ウとします。
Ｅ アＢイＤウＣＡ

ウは底面の真ん中の点ですから，点Ａの真下にあります。
よって，正四角すいＡ－ＢＣＤＥは，右の図のウからＡまでの直線の中のどこかで切り取られたはずです。

Ｅ ア
ＢイＤウＣＡ辺ＢＥの真ん中を点Ｐとすると，イは点Ｐとウの真ん中にあります。

ＰＢＥ アイＤウＣＡ

よってイは，辺ＡＰの真ん中の点の真下にあります。
正四角すいＡ－ＢＣＤＥは，イから辺ＡＰの真ん中の点までの直線の中のどこかで切り取られたはずです。

ＰＢＥ アイＤウＣＡ

また，アは，点Ｅとウの真ん中にあります。
正四角すいＡ－ＢＣＤＥは，アから辺ＡＥの真ん中の点までの直線の中のどこかで切り取られたはずです。

ＰＢＥ アイＤウ

Ｃ（次のページへ）- 17 -

Ａア，イ，ウから上にのびる３本の直線のうち，正四角すいＡ－ＢＣＤＥの辺を切り取っているのは，右の図の点エです。
問題の<図３>の３つの○は同じ高さにあるのですから，正四角すいＡ－ＢＣＤＥは右の図の点オでも切り取られているはずです。

エオ

Ｅ アＰＢイＤウＣＡ

ウからＡまで上にのびている直線も，エやオと同じ高さの点（右の図のカ）で切り取られているはずです。
エ，オ，カはすべて，正四角すいの半分の高さのところにあります。

エオ

カＥ アＰＢイＤウＣＡ

切り取ったあとに残った立体は，右の図の太線のようになります。

エオ

ＰＢカ

Ｅ アイＤウＣＡ

面エＥＤは側面ＡＥＤだった部分です。
面エオＢＥは側面ＡＢＥだった部分です。

エオ

ＰＢカＥ アイ

ＤウＣ

よって右の図の②，③が正四角すいの側面だった部分になります。

ＥＤエ②③ ① ⑥オ

カ⑤④Ｂ- 18 -Ｃ

(3)

Ａ

問題の<図５>の３つの○を底面までおろすと，右の図の位置になります。それぞれ，
ア・イ・ウとします。
また，面ＢＣＤＥの真ん中の点をＰとします。

Ｅ アＢイ

ＰＤウＣ

Ａ

点Ｐは底面の真ん中の点ですから，点Ａの真下にあります。
アはＥとＰの真ん中にありますから，アはＡＥの真ん中の点の真下にあります。

Ｅ アＢイＰＤウＣＡ

イはＢとＰの真ん中にありますから，イはＡＢの真ん中の点の真下にあります。
Ｅ アＢイＰ

ＤウＣ

Ａ

ＤＥの真ん中の点をＱとします。
ＡとＱを線で結びます。
Ｅ アＢイＰＱ
ＤウＣＡ

ウはＰとＱの真ん中にありますから，ウはＡＱの真ん中の点の真下にあります。
Ｅ アＢイＰＱウ

ＤＣ（次のページへ）- 19 -

Ａア，イ，ウから上にのびる３本の直線のうち，正四角すいＡ－ＢＣＤＥの辺を切り取っているのは，右の図の点Ｋと点Ｉです。

ＫＩ

Ｅ ア
Ｂ

Ｑ
ＤウイＣ
Ａ

問題の<図５>の３つの○は同じ高さにあるのですから，正四角すいＡ－ＢＣＤＥは右の図の点Ｊでも切り取られているはずです。

ＫＪＩ

Ｅ ア

Ｉ，Ｊ，Ｋはすべて，正四角すいの半分の高さのところにあります。

ＢＱ
ＤウイＣ
Ａ

切り取ったあとに残った立体は，右の図の太線のようになります。

ＫＪＩ

Ｅ ア
Ｂ

Ｑ
Ｄウイ

ＣＡ

面ＢＣＪＩは１つの面のように見えますが，点Ｂ，点Ｃ，点Ｉは三角形ＡＢＣ上にある点で，点Ｊは三角形ＡＢＣ上にないので，点Ｂ，点Ｃ，点Ｊ，点Ｉは同じ平面上にはありません。

Ｋ

Ｊ

Ｉ

Ｅ ア
Ｂ

ＱＤウイ

Ｃ

よってアの答えは②になります。

Ａ

また，点Ｂ，点Ｃ，点Ｉは同じ平面上にあるので，点Ｃから点Ｉまで直線を引きます。

Ｋ
Ｉ

Ｊ

Ｅ ア

すると，三角形ＡＢＣを切り取った図形である三角形ＢＣＩと，三角形ＣＪＩに分かれます。
イの答えは，⑨になります。

- 20 -Ｂイ

ＱウＣ

Ｄ