ペンダボットの量子化制御
2009SE261 鷲見智

2009SE316 安田有作

担当教員：大石泰章
q(u)

はじめに

12d

これまでの制御理論では，主に制御入力が連続値である

dシステムを対象としてきた．しかし, 多段階型 (ON-OFF-2d-d0型など) の場合，制御入力は離散値に限定される．この場

d2du-d合，入力が連続値であると仮定してフィードバック系を構成しても望んだ結果を得られるとは限らない．解決策の一-2dつとして，「制御対象の入力が連続値である」と仮定してコントローラを設計し, 制御対象とコントローラをつなぐ

図 1 静的量子化器の例

量子化器 Q を，その影響ができるだけ小さくなるように設計することが考えられる [1][2][3]．ただし量子化器は連続値信号を離散値信号へ変換する装置であり，特に東・南・は，xP (k + 1)
P : z(k)y(k)杉江 [1][2][3] は動的な量子化器の利用を提案した．しかし
東・杉江 [4] によると，制御対象が不安定な場合，動的量= AP xP (k) + BP uQ (k)= C1P xP (k)= C2P xP (k)(1)

子化器の設計には注意が必要である．
ペンダボットは倒立振子の一つであり，制御工学の分野全般において，実験や理論検証等のために使用されている．
しかしペンダボットは不安定であるため，動的量子化器が設計できるかどうか検証の必要がある．
本研究では，ペンダボットの非線形モデルを導出し，線形近似を行う．またペンダボットの不安定性に注意し，文と書けるとし，またコントローラ K は，K:化器の性能の比較を行うと共に，動的量子化器の有用性を検証する．

2

量子化器と制御対象

2.1

量子化器とはここでいう量子化器とは連続値信号を離散値信号に変換する装置のことである. 最も簡単な量子化器は，図 1 の関数 q によって現在の入力 u(k) から現在の量子化出力がq[u(k)] が決まるようなもので，これを静的量子化器という．一方，今回の研究では，現在の入力値から現在の量子Q:

最適動的量子化器

東・南・杉江 [1][2][3] は，図 2 のような通常のフィードバック制御系の出力 z(k) と図 3 のような制御系に動的量子化器が直列された離散値フィードバック系の出力 z(k)の振る舞いを近くすることを考え，特に最適動的量子化器の設計法を提案している．フィードフォーワードシステムでの動的量子化器, フィードバックシステムでの動的量子化器の設計方法が知られているが，ペンダボットは不安定なシステムであるため，本研究ではフィードバックシステムに対する動的量子化器を設計する．ここで，制御対象 P{
ξ(k + 1)uQ (k)= AQ ξ(k) + B1Q u(k) + B2Q uQ (k)= q[CQ ξ(k) + DQ u(k)](3)となる形のものとする．ここで ξ(k) は量子化器の状態量子化器である．制御入力 uQ と制御出力 z の数は同じとし，C1P BP は正則であるとする．図 2 の制御対象

P とコントローラ K のそれぞれの状態変数を x(k) :=[xP (k)T xK (k)T ]T と定義し x0 を初期状態とする. 参照
信号 (r(0),r(1),...) が与えられているとき，図 2 の連続値
入力型フィードバックシステムの初期状態 x0 に対する出力を z ∗ (k ，x0 ) (k = 0, 1, ...) で表し図 3 の離散値入力型フィードバックシステムの初期状態 x0 に対する出力をz(k ，x0 ) (k = 0, 1, ...) で表す．このとき評価関数として,
E(Q, R) := sup sup ∥z ∗ (k ，x0 ) − z(k ，x0 )∥加え，過去の入力情報も利用して現在の量子化出力を定め

2.2(2)変数であり，q は図 1 の関数を成分ごとに適用する静的化出力が定まる静的な量子化器ではなく，現在の入力値にる動的な量子化器に焦点を当てる.

= AK xk + B1K y(k) + B2K r(k)= CK xK + D1K y(k) + D2K r(k)と書けるとする．一方量子化器 Q は，

献 [4][5] に従い，2 つの手法で動的量子化器の設計をする．
次にシミュレーション結果から，2 つの得られた動的量子{xK (k + 1)
u(k)

(4)

x0 k=0,1,...

が考えられ, この評価関数を最小にする Q を求めれば最適動的量子化器を求めることが出来る．また文献 [4] より最適動的量子化器は制御対象の逆システムとなる．そのため制御対象が不安定な場合，量子化器と制御対象との間で不安定な極零相殺が生じる．

2.3

制御対象

本研究では制御対象として，ペンダボットを使用する．
図 4 にその概略図を示す．モデリングに用いるパラメータを表 1 のように定義する．

表 1 パラメータ
r(k)

z(k)

u(k)

KPy(k)

l1

リンク 1 の長さ [m]l2

リンク 2 の長さ [m]lc1

リンク 1 の支点から重心までの長さ [m]lc2

リンク 2 の支点から重心までの長さ [m]m1

リンク 1 全体の質量 [kg]m2

リンク 2 全体の質量 [kg]I1

リンク 1 に働く慣性モーメント [kg・m2 ]I2

リンク 2 に働く慣性モーメント [kg・m2 ]q1

リンク 1 における一般化座標となる角度 [rad]q2

リンク 2 における一般化座標となる角度 [rad]τ1

リンク 1 に働く一般化力（トルク）[Nm]τ2

リンク 2 に働く一般化力（トルク）[Nm]

図 2 連続値型フィードバック系

r(k)

u(k)

Kz(k)

uQ(k)

QPy(k)

図 3 離散値型フィードバック系

τ1yxI2m2

q1 m1I1

元化して近似解を得ることを考える．文献 [4]，[5] に従い，τl c2るため，この問題を直接解くことは難しい．そこで有限次

lc1q2

l2

l12(4) 式で有限の時間範囲のみを考えることにし，最適化問題を凸にするため変数の構造を無視する．その上で得られた最適解を近似するような Q を求める．このとき得られる動的量子化器は近似解であると同時に，有限時間の性能を考えているため準最適解となる．

図 4 ペンダボットのモデル

状態変動の評価に基づく動的量子化器

4
図 4 の運動方程式は，ラグランジュの運動方程式を使って求めることができる．求めたペンダボットの運動方程式から制御系設計のための状態方程式を求める．しかし，求めた状態方程式は非線形方程式であるため，q1 = 0，q2 = 0においてテイラー展開し，線形化を行う．またペンダボットは不安定なシステムなため，量子化器とペンダボットの間で不安定な極零相殺が生じる．そのため文献 [2] の手法で求めた最適動的量子化器を用いたシステムは不安定と3 章では準最適な動的量子化器を導出することで安定な動的量子化器を得ることが出来たが，安定性をより上げるためには次数を大きくしなくてはならないという問題がある．そこで，澤田・新 [6] はある離散時間システムに量子化誤差を入力した時の状態の変動範囲 (可到達集合) が不変集合を用いることにより評価できることに注目し，不変集合解析に基づく動的量子化器の設計方法を提案している．

なる．

4.1

状態変動の評価による動的量子化器の設計

有限時間近似に基づく動的量子化器

32 章では制御対象が不安定な場合，不安定な極零問題が生じることを述べた．その解決策として文献 [4]，[5] に従図 3 における動的量子化器 Q が図 5 のような構造をもつとする．その時得られるシステムを，静的量子化器の部

い，準最適解を用いることで，安定なシステムを得ること分と，通常の線形システムの部分に分けて考えると図 6 のを考える．また有限時間近似により得られた解くべき最適ように表わすことができる．線形システムの部分は量子化化問題において，次数の変更による性能の評価を行う．に伴う誤差を外乱として受けていて，動的量子化器が安定な場合その状態は図 7 のように，原点を中心とするある

3.1

有限時間近似による動的量子化器の設計

今回解く最適化問題において，目的関数が無限級数であり，制約式も無限個となる．さらにこのままでは非凸であ楕円体 γ の中で変動すると考えられる．この変動範囲は

LMI を用いて求めることができ，さらにこの γ を使って出力 Z の大きさを評価することができる．

しかし，性能の良いの動的量子化器を得るためには次数を+uuQ高くする必要性があるが，次数が 91 を超えるとメモリ不q+ue足のため計算が出来なくなった．表 2 から次数を大きくすQ(z)れば出力の誤差を小さくすることが出来るが，そのためには大きな次数の動的量子化器を考えなければいけなくなる‑ +ことが分かる．
図 5 動的量子化器0.6動的量子化器
静的量子化器連続値

0.5u+ueq1[rad]q(u+u e)‑ue0.4

ZG(z)ueu‑uQQ(z)0.3357911time[s]図 6 フィードバックシステムと量子化誤差

図 8 有限時間近似に基づく動的量子化器と静的量子化器の比較

表 2 次数と出力誤差

Z = γ次数
出力誤差250.0063

350.0058

450.0053

500.0039

Z = ‑γ5.2

状態の変動範囲評価に基づく動的量子化器

量子化誤差を踏まえたシステムの出力 Z の値が最小となるように，パラメータの値を α = 0.0120 と定め澤田・
図 7 状態の変動範囲
新 [6] による LMI を解くと γ = 9.2983 × 10−7 を与える，以下の動的量子化器を得た．

0.7888−0.0053 −0.1636 −0.0217 −0.0047
5 数値シミュレーション
 −12.6262 −0.3076 −15.7580 −2.0916 −1.4020 
0.01261.19030.03020.0025  ,サンプリング周期を T = 0.005［s］，量子化サイズを AQ =  0.2168
 6.8962
0.68888.57072.1006
0.7311 
d = 0.5[V] と定め有限時間近似に基づく方法と状態変動
0.00520.00000.00050.00010.0000範囲の評価に基づく方法それぞれで動的量子化器を設計(5)

−0.0003
し数値実験を行ったときの，波形とその数値比較を示す．
 −0.0809 
なお初期状態 q1 =0[rad] から始まり，3 秒後に目標値(6)
BQ =  0.0001  , 0.0422 
q1 =0.5236[rad] に追従する制御をする．なお制御器は最0.0000
適サーボシステムにより設計したものを用いた．

5.1

有限時間近似による動的量子化器

CQ = [ 0.9580

0.07681.07580.1428−0.0017 ] × 104 ,(7)次第に増やして行き，出力誤差の様子を記録した．その結AQ + BQ CQ の 固 有 値 は −0.9938，0.9682，0.9630，−0.0994，0.0000 となり安定な動的量子化器であること

果を表 2 に示す．またその中で得られた，50 次での動的量が分かる．またこの手法に基づいて設計した動的量子化器

子化器のシミュレーション結果を図 8 に示し，その時の入によるシミュレーションを行った結果を図 9 に示し，その力電圧を図 10 に示す．図 8 からも分かるように不安定で時の入力電圧を図 11 に示す．図 9 からも分かるように静あった出力は安定化し静的量子化器を実装した場合よりと的量子化器を実装したシステムより，量子化を考えないシ3 章に従って動的量子化器を設計し，量子化器の次数を比べて，連続値制御の場合の出力との差が小さくなった． ステムの出力に近いことが分かる．

0.66.15

動的量子化器
静的量子化器連続値

5.65

input amplitude[V]5.15

q1[rad]

0.5

0.4

4.65
4.15
3.65
3.15
2.65
2.15
1.65
1.15
動的量子化器
静的量子化器
連続値

0.65
0.15

0.3

-0.35
46810122468101214time[s]time[s]図 9 状態の変動範囲評価に基づく方法における動的量子

図 11 状態変動範囲評価に基づく動的量子化器と静的量子化器と静的量子化器の比較

化器の電圧比較

表 3 出力誤差に基づく性能評価
量子化誤差
考察

5.3

静的量子化器
動的量子化器 (有限時間近似)

東・杉江 [4][5] が提案した有限時間近似に基づく方法に動的量子化器 (状態変動範囲)

0.00710.00398.0537 × 10−5

よって動的量子化器を導出する場合，低次の場合，静的量子化器との違いははあまり見られなかった．より良い動的量子化器を設計するには次数を大きくする必要があり，そ6

おわりにの場合，求められた動的量子化器は大きな次数をもつため，本研究において，数値実験ペンダボットという不安定な実験器への実装などの場合に問題点がある．しかし図 10制御対象に対する動的量子化器の設計を 2 つの手法で行うのように電圧の誤差が少ないことが良い点であると考えらことが出来た．今後の課題として動的量子化器の実験機へれる．澤田・新 [6] 状態変動範囲の評価に基づく方法によの実装があげられる．

る動的量子化器は表 3 から分かるように静的量子化器を用いた場合の出力とは明らかに違う性能が得られたが，電圧の誤差が大きくなってしまう点でコントローラの設計を考慮しなければならない．

参考文献[1] 東俊一，杉江俊治：『離散値入力型制御における最適動的量子化器』，システム制御情報学会論文誌，Vol. 20, No.3, pp.
122-129, 2007
[2] 南裕樹，東俊一，杉江俊治：『離散値入力型フィードバック制御における最適動的量子化器』，計測自動制御学会論文集，

Vol.43, No.3, pp. 227-233, 20076.15

動的量子化器
静的量子化器連続値

5.65

input amplitude[V]5.15[3] 東俊一，杉江俊治：『離散値入力フィードバック制御のための動的量子化器』, 計測と制御，Vol.49，No.11，pp. 795-800，
2010[4] 東俊一，杉江俊治：『離散値入力型制御のための最適動的量子化器の安定性』，計測自動制御学会論文集，Vol.43，No.12
pp. 1136-1143, 2007

4.65
4.15
3.65
3.15

[5] Shunichi Azuma，Toshiharu Sugie：『Linear Programming Based Optimal Dynamic Quantizer Synthesis forDiscrete-Valued Input Control』, 第７回制御部門大会資料，pp. 64-3-4, 2007

2.65
2.15
1.65
1.15
0.65

[6] 澤田賢治，新誠一：『離散値入力型 SISO システムに対する不0.15-0.35
2468101214time[s]図 10 有限近似に基づく動的量子化器と静的量子化器の電圧比較変集合解析に基づく動的量子化器設計』, システム制御情報学会論文誌，Vol.23, No.11, pp. 249-256, 2010