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Kaluza-Klein multi-black holes
as 5D vacuum solution
K. Matsuno, H. Ishihara, M. Kimura, T. Tatsuoka( Osaka city university )2012/03/14

2Introduction
弦理論
ブレーンモデル: 高次元ブラックホールの研究

例. ５次元時空• 地平線の位相構造:

S3
S2×S1 : ブラックリング
S3/Zn : レンズ空間

例. Black Saturn: ブラックホールとブラックリングで“土星”• 漸近構造:Asymptotically flat:
５次元Minkowski時空に漸近
Asymptotically locally flat: コンパクトな余剰次元を持つ

3

Asymptotically locally flat spacetime (1)• ５次元真空ブラックストリング-∞<t<∞, 0<r<∞, 0<θ<π, 0<φ<2π, 0<z<2πL

r=∞ (無限遠方): ４次元Minkowski時空とS1の直積

4

Asymptotically locally flat spacetime (2)• ５次元真空 squashed Kaluza-Kleinブラックホール-∞<t<∞, 0<ρ<∞, 0<θ<π, 0<φ<2π, 0<ψ<4π

ρ=∞ (無限遠方): 4次元Minkowski時空とひねられた余剰次元S1
遠方:
有効4次元ブラックホール
地平線近傍: 5次元ブラックホール: １つの解で記述

5多体ブラックホール解の構成• Einstein-Maxwell系:
重力(引力)と電磁気力(斥力)のつり合い ⇔ (質量)=(電荷)例.

4次元Majumdar-Papapetrou解
D次元Myers解
ひねられた余剰次元を持つ5次元多体BH解…

• Einstein系 (真空 ⇔ Rμν=0):
ブラックホール間の引力で潰れない様, string等の突っ張り棒
例外: 5次元Black Saturn解(ブラックホールとブラックリング間の回転によるつり合い)

今回の真空解: 球形ブラックホール同士の回転によるつり合い65次元真空多体BH解

75次元真空解(Clement, 1986)

Rμν=0 ⇔ブラックホール解 ⇔ harmonic function H with point sources at R=(xi, yi, zi)8

回転している真空多体ブラックホール解• ブラックホール: R=Ri=(xi, yi, zi)•: 量子化 (ni : 自然数) ⇔ regular な地平線

92体のブラックホール-∞<t<∞, 0<R<∞, 0<θ<π, 0<φ<2π, 0<ψ<4π R=∞(無限遠方), R=0(地平線) での振る舞いを調べる

10

Asymptotic structure

11

R=∞(無限遠方) での振る舞い: １体の様な振る舞い

４次元Minkowski時空とひねられた余剰次元: Asymptotically locally flat

12余剰次元サイズ• 比較: 真空 squashed Kaluza-Klein ブラックホール

13質量と角運動量• Komar mass associated with ∂/∂t

• Komar angular momenta associated with ∂/∂φ, ∂/∂ψ∂/∂ψ方向 (余剰次元方向) にのみ回転

14

質量と角運動量の関係(回転に制限)15粒子の運動: On-shell 条件: 保存量• pφ=0, θ=π/2 :BHの回転と粒子の軌道角運動量のつり合い ⇔ 粒子の自由運動
今の多体ブラックホール解: 粒子→ブラックホールの置換

16

Absence of closed timelike curve• 2次元計量: t=R=θ=一定• No closed timelike curve ⇔ 行列が, 負の固有値を持たない⇒ A>0 & B>0 ならば良い
 今の解:: No closed timelike curve

17

Near horizon

18

R=0 での振る舞い• R=0 (point sourceの位置) : gRR→∞⇒ R=0面を超える座標を張る

19

R=0面を超える座標 (v, ψ’)20

Killing 地平線• Killingベクトル場の線形結合:: 角速度• R≒0 :wμ：R=0で光的かつ面に接して直交 ⇔ R=0: Killing地平線

21

R=0面近傍R=0 : regularなKilling地平線

22

Killing地平線R=0の性質• 計量: 解析的な関数 ⇒ C∞ 拡張 可能 ⇒ 解析的な地平線(同様に, R=R2: 解析的な Killing地平線)

23

地平線の構造• 誘導計量: v=一定, R=Ri

位相構造: レンズ空間 L(ni;1)=S3/Zni
形: squashed ( S2 < S1 : prolate )• 地平線面積:24

まとめ• ひねられたコンパクトな余剰次元を持つ
回転している多体ブラックホール解を調べた
 5次元時空における真空解 (Rμν=0) 余剰次元サイズ: 場所ごとに変化せず一定 (角運動量)=(質量)×(余剰次元) : 回転に制限
 各々のブラックホール:

解析的な地平線
レンズ空間の位相構造

25

Future work26

多体ブラックホール解の構成• 今回の真空解: 球形ブラックホール同士の回転によるつり合い• Einstein-Maxwell系:
重力(引力)と電磁気力(斥力)のつり合い ⇔ (質量)=(電荷)例.

4次元Majumdar-Papapetrou解
D次元Myers解
ひねられた余剰次元を持つ5次元多体BH解…

27

5D extremal charged static solutions

Einstein-Maxwell equations ⇔New solution: ds42 = (4D Kerr-Taub-Bolt space)28

5D multi-black holes on 4D Kerr-Taub-Bolt space

Asymptotically locally flat: ひねられた余剰次元と4DMinkowski時空
ブラックホール: S2-bolt上(r=r+)の北極(θ=0)と南極(θ=π)

29

4D Kerr-Taub-Bolt space

Non-regular space : S2-bolt with conical singularities⇒ Consider some limits for (M, N, α):N=0: Euclidean Kerr space
α=0, M=N: self-dual Taub-NUT space
α=0, M=5N/4 : Taub-Bolt space

30

5D multi-black holes on 4D Taub-Bolt space

Asymptotically locally flat: ひねられた余剰次元と4DMinkowski時空
ブラックホール: S2-bolt上(r=2n)の北極(θ=0)と南極(θ=π)

31

Near horizon• r≒2n, θ≒0 : (t, r, θ, χ) ⇒ (v, R, θ’, ψ’)

R=0 : 解析的なKilling地平線 (位相構造S3)

32

Appendix33Kaluza-Klein reduction• 5次元Einstein系:
真空解:
compact次元 ψ について, Kaluza-Klein reduction• 4次元Einstein-Maxwell-dilaton系:

4次元時空: ds(4)2
Maxwell場: F = dAdilaton場: Φ34

Kaluza-Klein reduction
今回の５次元真空解:

compact次元 ψ について, Kaluza-Klein reduction

4D equal charged dyonic Majumdar-Papapetrou with constant dilaton field

35

4次元多体BH解の性質

36

4次元Reissner-Nordstrom BH

パラメータ: 質量M, 電荷Q (M≧Q≧0)
地平線(gtt=0):
M=Q: extremal charged ブラックホール

パラメータ: M (=Q) >0
地平線(gtt=0):

37

4次元extremal charged BH

座標変換: R=r-M

地平線(gtt=0): R=0関数H: point source R=0 に対するラプラス方程式の解

38

4次元Einstein-Maxwell系の厳密解: ラプラス方程式
extremal charged 多体ブラックホール解⇔ harmonic function H with point sources at R=(xi, yi, zi)

39

多体ブラックホール解(Majumdar, Papapetrou, 1947)• ブラックホールの位置: R=Ri=(xi, yi, zi)• Mi>040

2体のブラックホール( -∞<t<∞, 0<R<∞, 0<θ<π, 0<φ<2π )Killingベクトル場:
 R=0(地平線), R=∞(無限遠方) での振る舞いを調べる41

R=∞(無限遠方) での振る舞い: 1体の様な振る舞い

４次元Minkowski時空: Asymptotically flat (漸近平坦)

42

R=0での振る舞い: 静止している観測者• R≒0 :⇒ uμuμ → 0, gRR→∞ ⇒ R=0面を超える座標を張る

43

R=0面を超える座標: 可積分条件

44

R=0近傍

(v, R, θ, φ)：R=0面を超える座標

45

Killing 地平線• Killingベクトル場:• R≒0 :

wμ：R=0で,ヌル&面に接し,直交 ⇔ R=0: Killing地平線

46

地平線R=0の性質• 計量: 解析的な関数 ⇒ C∞ extension 可能 ⇒ smoothな地平線(同様に, R=R2: smoothな Killing地平線)

47

地平線の構造• 誘導計量: v=一定, R=Ri

位相構造: S2

形: round48

4次元多体ブラックホール• Majumdar-Papapetrou解

 4次元Einstein-Maxwell系の extremal charged解
 無限遠方: 漸近平坦
 R=Ri : smoothなKilling地平線 (位相構造: S2)

49

R, θ =一定なlocally nonrotating observer の角速度 Ω: 角速度

50

R=0での振る舞い: locally nonrotating observer
: 角速度

R≒0 :

⇒ uμuμ → 0, gRR→∞⇒ R=0面を超える座標を張る

51

R=0での振る舞い• Killingベクトル場:• R, θ=一定な locally nonrotating observer:R≒0 :⇒ w μw μ → 052(2) 比較:Einstein-Maxwell-Chern-Simons系の厳密解(M-Ishihara-Nakagawa-Tomizawa, 2008)例. β=1, ε=1 : rich structures of ergoregions

53(2) 比較:Einstein-Maxwell-Chern-Simons系の厳密解

今回の5D真空解:例. ergoregion の構造 ?

542体のブラックホール: Killingベクトル場: 量子化 (ni : 自然数)
 R=∞(無限遠方), R=0(地平線) での振る舞いを調べる55

Killing 地平線• R, θ=一定な Locally nonrotating observer:• R≒0 :

Killingベクトル場の線形結合⇔ R=0: Killing地平線

が,ヌル超曲面R=0に接し,直交