数理解析研究所講究録 1427 巻 2005 年 128-136

128Class $A(s,t)$ 作用素の Fuglede-Putnam 定理

S.M. Patel, Sardar Patel University
Kotaro Tanahashi Tohoku Pharmaceutical University
Atsushi Uchiyama Sendai National College of Technology
Masahiro Yanagida Tokyo University of Science\S 1. 目標とかく。 次は正規作用素上の有界線形作用素全体を$(SS^{*}=S^{*}S)$ の可換性に関する重要な結果で Fuglede-Putnam 定理と呼ばれてヒルベルト空間$B(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$いる。

[Fuglede-Putnam theorem [3, 12] (1950)]
は正規とする。 このとき $SX=XS(X\in B(’\mathcal{H}))$ ならば $S^{*}X=$(1)$S\in B(\mathcal{H})$$XS^{*}$となる。

(2) $S\in B(?t),$は正規とする。 このとき $SX=XT(X\in B(\mathcal{K}, \mathcal{H}))$
ならば $S^{*}X=XT^{*}$ である。 さらに $S$ の値域の閉包 [ran $X$ ] は $S$ の reducing

subspace,$T^{*}\in B(\mathcal{K})$$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)^{[perp]}$

は $T$ の reducing subspace で$S|[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}X]$と$T|(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)[perp]$はユニタリ同値な正規作用素である。

作用素論において可換性が大事な概念であることはよく知られており、 多くの研究者がこの定理の拡張を行ってきた。 例えばsubnormal ( has a normal extension)(1) Furuta $[5](1979):S,$
hyponormal $(SS^{*}\leq S^{*}S)$(2) K. Takahashi [13] (1981): 3,-hyponormal(3) Moore, Rogers and Trent [10](1981): $S,$
$S$$T^{*}$$T^{*}$$T^{*}\mathrm{M}$$(S-z)(S-z)^{*}\leq M^{2}(S-z)^{*}(S-z)$(4) Yoshino [17](1985), Duggal $[1](1986):S$ dominant, $T^{*}M$-hyponormal$(S-z)(S-z)^{*}\leq M_{z}^{2}(S-z)^{*}(S-z)$(5)$\mathrm{S}.\mathrm{M}$. Patel [11] (1996), Duggal [2] (1996)$S,$ $T^{*}p$-hyponormal$(SS^{*})^{\mathrm{p}}\leq(S^{*}S)^{p}$(6) IH. Jeon, K. Takahashi and A. Uchiyama [14](2002), $[9](2004)$ :$S,$ $T^{*}p$ -hyponormal or-hyponormal ( invertible and $\log SS^{*}\leq\log S^{*}S$ )$\log$$S$等がある。 ここでは class $A(s, t)$ 作用素を考える。

[定義] 極分解を $T=U|T|$ として generalized Aluthge transform を$T(s,t)=|T|^{s}U|T|^{t}(0<s,t)$と定める。 $T$ が class $A(s, t)$ 作用素であるとは$|T(s, t)|^{\frac{2\}{\mathrm{s}+t}}\geq|T|^{2t}$

,

129

または、 同じ事であるが、$(|T^{*}|^{t}|T|^{2s}|T^{*}|^{t})^{\frac{t}{s+t}}\geq|T^{*}|^{2t}$作用を満たすときをいう。 -hyponormat, $\log$-hyponormal 作用素は class
素 $(\forall 0<s, t)$ である。 class $A(s, t)$ 作用素のクラスは $0<s,$ に関して増大していくことが知られている。 特に class $A(1,1)$ 作用素は単に class $A$ 作用素といわれ$\mathrm{A}(s, t)$

$p$

$t$

$|T^{2}|\geq|T|^{2}$で特徴づけられる。 ([4, 7, 8, 16])
この論文の目的は class $A(s, t)$ 作用素 $(s+t\leq 1)$ が reducing kernel
をもてば Fhglede-Putnam 定理を満たすことを示すことである。

$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*})$[主定 ]$\text{理}$$S\in B(\mathcal{H}),$ $T^{*}\in B(\mathcal{K})$は class $A(s, t)$ 作用素 $(s+t\leq 1)$ で reducing kernel をもつとする。 このとき $SX=XT(X\in B(\mathcal{K}, \mathcal{H}))$ ならば $S^{*}X=XT^{*}$ である。 さらに [ran $X$ ] は $S$ の reducing subspace,$S|_{[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}X]}$と$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)^{[perp]}$

は $T$ の reducing subspace ではユニタリ同値な正規作用素である。

$T|_{(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)}[perp]$\S 2. 証明
[補題 1([16])]$A,$ $B,$ $C\in

B(?t)$ は

non-negative で $0<p,$ $0<r\leq 1$ とする。 もし、$(B^{\frac{r}{2}}A^{p}B^{\frac{\tau}{2}})^{\frac{f}{p+\mathrm{r}}}\geq B^{r},$$B\geq C$

ならば$(C^{\frac{r}{2}}A^{p}C^{\frac{\tau}{2}})^{\frac{r}{p+\mathrm{r}}}\geq C^{r}$が成り立つ。

[題 2]

$T$

は class $A(s, t)$ 作用素 $(s+t\leq 1)$ で

き restriction$T|_{\lambda\triangleleft}$$\mathcal{M}$は $T$ の不変部分空間とする。 このとも class $A(s, t)$ 作用素である。

Proof.
$T=(\begin{array}{ll}T_{1} S0 T_{2}\end{array})$と分解し、 $P$ を$\mathcal{M}$, on 低$=\mathrm{A}4\oplus \mathcal{M}^{[perp]}$への直交射影とする。
$\ovalbox{\tt\small REJECT}=TP=(\begin{array}{ll}T_{1} 00 0\end{array})$130とおくと Hansen の不等式 [6] から$|T_{0}|^{2s}=(P|T|^{2}P)^{s}\geq P|T|^{2s}P$となるので$|T^{*}|^{2}=TT^{*}\geq TPT^{*}=|T_{0}^{*}|^{2}$.

である。 よって$T$

is a class $A(s, t)$ operator$\Leftrightarrow(!^{T^{*}|^{t}|T|^{2s}|T^{*}|^{t})^{\frac{b}{\epsilon+t}}}\geq|T^{*}|^{2\mathrm{f}}$(補題 1)$\supset(|T_{0}^{*}|^{t}|T|^{2s}|T_{0}^{*}|^{t})^{\frac{t}{s+t}}\geq|T_{0}^{*}|^{2t}$(srnce$\Rightarrow(|T_{0}^{*}|^{t}|T_{0}|^{2s}|T_{0}^{*}|^{t})^{\frac{t}{s+\mathrm{t}}}\geq|T_{0}^{*}|^{2t}$$\Leftrightarrow T_{\mathcal{M}}$$|T_{0}^{*}|^{t}=|T_{0}^{*}|^{t}P=P|T_{0}^{*}|^{l}$)is a class $A(s, t)$ operator .
口[補題 3]$T\in B(\mathcal{H})$は class $A$ 作用素で$T=(\begin{array}{ll}T_{1} S0 T_{2}\end{array})$と表すとき、 もしに、 もし、

Proof.

$P$$T_{\mathit{1}}=T|_{M}$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$$\mathcal{M}$on

は $T$ の不変部分空聞とする。 ここで$\mathcal{H}=\mathcal{M}\oplus \mathcal{M}^{[perp]}$が quasinormal ならば ran

で $T_{1}=T|.\kappa r$ が正規ならば$S\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{1}^{*}$$\mathcal{M}$である。 さらは $T$ を reduce する。

を躍への直交射影とすると$(T_{1} 0 T_{1} 00)=PT^{*}TP\leq P|T^{2}|P$$\leq(\begin{array}{ll}(T_{1}^{*2}T_{1}^{2})^{\frac{1}{2}} 00 0\end{array})$$=(T_{1} 0 T_{1} 00)$である。 さて$|T^{2}|=(\begin{array}{ll}X YY^{*} Z\end{array})$(since$T$is class A)(by Hansen’s inequality)(since$T_{1}$is quasinormal).

とおくとこの不等式から $X=T_{1}^{*}T_{1}$ となる。 ま

た $|T^{2}|^{2}=T^{*2}T^{2}$ であるから$(\begin{array}{ll}X^{2}+YY^{*} XY+YZZY^{*}+Y^{*}X Y^{*}Y+Z^{2}\end{array})$$=(\begin{array}{ll}T_{1}^{*2}T_{1}^{2} T_{1}^{*2}(T_{1}S+ST_{2})(S^{*}T_{1}^{*}+T_{2}^{*}S^{*})T_{1}^{2} (S^{*}T_{1}^{*}+T_{2}^{*}S^{*})(T_{1}S+ST_{2})+T_{2}^{*2}T_{2}^{2}\end{array})$131となり、 よって$X^{2}+YY^{*}=T_{1}^{*2}T_{1}^{2}=(T_{1}^{*}T_{1})^{2}=X^{2}$である。 従って $Y=0$ である。 また$|T^{2}|=(\begin{array}{llll}T_{\mathrm{l}} T_{1} 0 0 Z\end{array})\geq T^{*}T=(\begin{array}{ll}T_{1}^{*}T_{1} T_{1}^{*}SS^{*}T_{1} S" S+T_{2}^{*}T_{2}\end{array})$

だから $T_{1}^{*}S=0$ である。 従ってran$S\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{1}^{*}$となる。
さらに$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$

で$T_{1}$が正規とする。 このとき

$S(\mathcal{M}^{[perp]})\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{1}^{*}=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{1}\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$

であるから$x\in \mathrm{A}4^{[perp]}$に対して$0=T^{*}Sx=(\begin{array}{ll}T_{\mathrm{l}}^{*} 0S^{*} T_{2}^{*}\end{array})(\begin{array}{l}Sx0\end{array})=(\begin{array}{l}T_{1}^{*}SxS^{*}Sx\end{array})$となる。 従って $S^{*}S=0$ となり $S=0$ が得られる。 よって$\mathcal{M}$は $T$ を reduceする。
口[注意 4]$T|_{\mathrm{A}l}$が quasinormal だけではい。 例えば $T$ を bilateral shift on$\mathcal{M}$が $T$ を reduce することはでてこな$\ell^{2}(\mathbb{Z})$$Te_{n}=e_{n+1}$とし$\mathcal{M}=\bigvee_{0\leq n}\mathbb{C}e_{n}$とおく。 すると $T$ は unitary で$T|_{\mathrm{A}4}$

は isometry である。 しかし A4 は $T$ を reduce しない。

この補題 3 を用いて次がわかる。

[補題 5]$T\in B(\mathcal{H})$は class $A$ 作用素で$T=T_{1}\oplus T_{2}$, on$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$$\mathcal{H}=\mathcal{H}_{1}\oplus \mathcal{H}_{2}$は pure classでは正規が正規となる不変部分空間は零空間だけである。と分解できて$T_{1}$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{2}=\{0\}$とする。 このとき

$T_{2}$$A$である。 つまり$T_{2}|_{\mathfrak{U}}$,132[補題 6] $T=U|T|\in B(\mathcal{H})$ は class $A(s, t)$ 作用素 $(s+t=1)$ で$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$とする。 もしon$T(s, t)=|T|^{s}U|T|^{t}=N\oplus T’$$\mathcal{H}=\mathcal{M}\oplus \mathcal{M}^{[perp]}$’と分解したとき $N$ が正規ならば$T=N\oplus T_{1}$と表される。 ここで $U=U_{11}\oplus U_{22},$$T_{1}$

は class $A(s, t)$ 作用素で$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{1}\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T_{1}^{*}$ある。 また $N=U_{11}|N|$ は $N$ の極分解である。

Proof. さて仮定と [8] から$|T(s, t)|^{2r}\geq|T|^{2r}\geq|T(s, t)^{*}|^{2r}$for $r\in(0,$ $\min\{s, t\}]$となる。 よって$|N|^{2r}\oplus|T’|^{2r}\geq|T|^{2r}\geq|N|^{2r}\oplus|T’|^{2r}*$となるから$|T|=|N|\oplus L,$ $0\leq L$と表される。 さて$U=(\begin{array}{ll}U_{11} U_{\mathrm{l}2}U_{21} U_{22}\end{array})$on$\mathcal{H}=\mathcal{M}\oplus \mathcal{M}^{[perp]}$で表すと $T(s, t)=|T|^{s}U|T|^{t}$ より$(\begin{array}{ll}N 00 T’\end{array})=(\begin{array}{ll}|N|^{s} 00 L^{s}\end{array})(\begin{array}{ll}U_{11} U_{12}U_{21} U_{22}\end{array})(\begin{array}{ll}|N|^{t} 00 L^{t}\end{array})$となる。 従って$N=|N|^{s}U_{11}|N|^{t},$ $|N|^{s}U_{12}L^{t}=0,$ $L^{s}U_{21}|N|^{t}=0$である。 ここで$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$[ranとなる。
さて$x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}N$$U$]であるから$=[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n} T]=(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*})^{[perp]}\subset(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T)^{[perp]}=[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n} |T|]$とする。 このとき

$x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}|T|=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U$で$Ux=(\begin{array}{ll}U_{11} U_{12}U_{21} U_{22}\end{array})(\begin{array}{l}x0\end{array})=(\begin{array}{l}U_{11}xU_{21}x\end{array})=0$

で

133

であるから
$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}N\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U_{11}\cap \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U_{21}$となる。 次に $x\in\lambda 4$ に対して$U(\begin{array}{l}x0\end{array})=(\begin{array}{l}U_{11}xU_{21}x\end{array})\in[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n} |T|]=[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(|N|\oplus L)]$

であるから

ran

$U_{11}\subset[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}|N|]$, ran$U_{12}\subset[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}|N|]$, ran$U_{21}\subset[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}L]$となる。 同様にranである。 次に$x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L$とする。 このとき

$U_{22}\subset[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}L]$$x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}|T|=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U$

で$U(\begin{array}{l}0x\end{array})=(\begin{array}{l}U_{12}xU_{22}x\end{array})=0$となるから$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U_{12}\cap \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U_{22}$である。 さて $N=V|N|$ を極分解とする。 このとき$(V|N|^{s}-|N|^{s}U_{11})|N|^{t}=0$であるから$V|N|^{s}-|N|^{s}U_{11}=0$となる。 ここで$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}N\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U_{\mathrm{I}1}$

on[ran $|N|$ ]であるから$0=V|N|^{s}-|N|^{s}U_{11}=|N|^{s}(V-U_{11})$である。 従ってran$(V-U_{11})\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}|N|\cap[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}|N|]=\{0\}$が得られる。 よって $V=U_{11}$ で $N=U_{11}|N|$ は極分解である。 また $|N|^{s}U_{12}L^{t}=0$であるから

ran$U_{12}L^{t}\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}|N|\cap[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}|N|]=\{0\}$となる。 よって $U_{12}L^{t}=0$ で $U_{12}=0$ となる。 同様に $U_{21}=0$ が $L^{s}U_{21}|N|^{t}=0$から得られる。 よって $U=U_{11}\oplus U_{22}$ である。 よって$T=U|T|=U_{11}|N|\oplus U_{22}L$となるので $T_{1}=U_{22}L$ とおけばよい。

口

134

[主定理の証明][8, Theorem 4] から $s+t=1$ としてよい。
$S=S_{1}\oplus S_{2}$$T^{*}=T_{1}^{*}\oplus T_{2}^{*}$

とおくとき$S_{1}$, Tl*l ま正$S_{2_{7}}T_{2}^{*}$onon$S,$ $T^{*}$

を補題 5 のように分解して$\mathcal{H}=\mathcal{H}_{1}\oplus \mathcal{H}_{2}$$\mathcal{K}=\mathcal{K}_{1}\oplus \mathcal{K}_{2}$は injective, pure である。 さて$X=(\begin{array}{ll}X_{11} X_{12}X_{21} X_{22}\end{array})$と分解すると $SX=XT$ から$(\begin{array}{ll}S_{\mathrm{l}}X_{11} S_{1}X_{12}S_{2}X_{21} S_{2}X_{22}\end{array})=(\begin{array}{ll}X_{11}T_{\mathrm{l}} X_{\mathrm{l}2}T_{2}X_{21}T_{\mathrm{l}} X_{22}T_{2}\end{array})$となる。 ここで $S_{2}=U_{2}|S_{2}|,$$T_{2}^{*}=V_{2}^{*}|T_{2}^{*}|$$S_{2}(s,t)=|S_{2}|^{s}U_{2}|S_{2}|^{\mathrm{r}},T_{2}^{*}$と極分解する。 さて( ,t)=|T 列 8v;|T2*|t,$s$$W=|S_{2}|^{s}X_{22}|T_{2}^{*}|^{s}$とおくと$S_{2}(s, t)W=|S_{2}|^{s}S_{2}X_{22}|T_{2}^{*}|^{s}$$=|S_{2}|^{s}X_{22}T_{2}|T_{2}^{*}|^{s}=W(T_{2}^{*}(s, t))^{*}$

は $\min\{s, t\}-$は class $A(s, t)$ 作用素であるから $S_{2}(s, t),$となる。ここでhyponormal となる。 よって [2] から [ran $W$ ] は $S_{2}(s, t)$ の reducing subspace,$S_{2},$$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}W)^{[perp]}$$T_{2}^{*}(s, t)$$T_{2}^{*}$

は $T_{2}^{*}(s, t)$ の reducing subspace で$S_{2}(s, t)|[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}W]$,$T_{2}^{*}(s, t)|_{(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}W)}[perp]$

はユは pure なので補題 6 から $W=0$
ニタリ同値な正規作用素である。 しかしは injective なので $X_{22}=0$ となる。 また $S_{2}X_{21}=X_{21}T_{1}$ でとなる。 またであるから同様に $X_{21}T_{1}=0,$ $S_{1}X_{12}=0$ となる。 よって $SX=XT$$S_{2)}T_{2}^{*}$$S_{2},$$T_{2}^{*}$$S_{\mathrm{I}}X_{12}=X_{12}T_{2}$

から$(\begin{array}{ll}S_{1}X_{11} 0S_{2}X_{21} 0\end{array})=(\begin{array}{ll}X_{1\mathrm{l}}T_{1} X_{12}T_{2}0 0\end{array})$となり$X_{12}=0,$ $X_{21}=0$が得られる。 よって

ran$X=(\begin{array}{ll}X_{11} 00 0\end{array})$

で$X=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}X_{11}\oplus\{0\}$$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)^{[perp]}=(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X_{11})^{[perp]}\oplus\{0\}$となる。 ここで$S_{\mathrm{I}}X_{\mathrm{I}\mathrm{I}}=X_{\mathrm{I}\mathrm{I}}T_{1}$られる。 また [ransubspace で
こで$X_{11}$] は$S_{1}|_{[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}x_{11}]}$と$S_{1}$

だから $S_{1}^{*}X_{11}=X_{11}T_{1}^{*}$ となり $S^{*}X=XT^{*}$ が得の reducing subspace,$T_{1}|_{(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X_{11})}[perp]$$S|[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}x]\simeq S_{1}|[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}x_{11}],$$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X_{11})^{[perp]}$は$T_{1}$の reducing

はユニタリ同値な正規作用素である。 こ$T_{1}|_{(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X_{11})}[perp]\simeq T|_{(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)}[perp]$であるから [ran $X$ ] は $S$ の135の reducing subspace ではreducing subspace,はユニタリ同値な正規作用素である。
$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)^{[perp]}$$T$$S|[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}X]$[注意 7][15, Example 13] に class $A(1/2,1/2)$ 作用素 A でと

$T|_{(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X)}[perp]$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\not\subset A^{*}$となるへの直交射影例がある。 ここで $S=T^{*}=A$ とおき、 $X=P$ をとおくと $SX=0=XT$ であるが $S^{*}X\neq XT^{*}$ である。 よって kernel condition
がないと主定理の Fuglede-Putnam 定理は成立しない。
$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A$$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S^{*})$

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