数理解析研究所講究録
第 1784 巻 2012 年 150-154

150

Isotype for blocks with non-abelian defect groups
久留米工業高等専門学校 楢崎 亮 (Ryo Narasaki)
Department of Liberal Arts (Science and Mathematics),
Kurume National College of Technology

1. はじめに有限群の表現論において，群 の表現と の Sylowp 部分群 の正規化群 $N_{G}(P)$ の表現の間の対応に関して，Broue 予想と呼ばれる， が可換である場合の と $N_{G}(P)$ の対応するブ
$P$

$G$

$G$

$P$

$G$

ロックに含まれる指標や加群の間に深い関係があることを示唆する予想はよく知られている．

ここではその中でも，Broue の perfect isometry 予想と呼ばれる，指標の対応についての予想$P$ が非可換な場合について，Broue の予想をふまえてどのようなことがに着目する．とくに，考えられるのかを以下で述べる．

2. 有限群のブロック
まず始めに有限群のブロックと指標に関するいくつかの定義をまとめる．(詳しくは [5] を参照．
$)$

$G$

$K$ はを有限群， を素数とする． を完備離散付値環とし，$\mathcal{O}$$p$$\mathcal{O}$の商体で標数 $0,$$k$は$\mathcal{O}$の剰余体で標数 とする．
群環において 1 は直交する中心的原始べき等元の和として$p$$\mathcal{O}G$$1=\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\cdots+\epsilon_{t}$と表され、とおけば$B_{i}=\epsilon_{i}(\mathcal{O}G)$(1)$\mathcal{O}G$の$(\mathcal{O}G, \mathcal{O}G)$-加群としての直既約分解$\mathcal{O}G=B_{1}\oplus B_{2}\oplus\cdots\oplus B_{t}$が得られる．このとき群を Bl $(G)$ と表す．またに対し，式 (1) こおける各 を のブロックとよび，その全体をと表す．のブロックべき等元とよび，これを$G$$\epsilon_{i}$$\}$$B_{i}$$G$$(\Psi)$$B_{i}$$e_{B_{i}}$とする． -加群$V$ はブロック $B$ に属すに対して $Ve_{B}=V$ が成り立っとき，$V$ がブロック $B$ に属す$V$ が $G$ の$V\in B$ と書く．
表現 $X$ の表現加群であるとき，
るといい，は $B$ に属するという．
るならば $X$ あるいはその指標
群 $G$ に対し、 $G$ の単位表現の属するブロックを $G$ の主ブロックといい，$B_{0}(G)$ または単$G$$B$にとかく． の通常既約指標の全体を Irr $(G)$ と表し，Irr $(B)$ でブロック に属する $G$ の既$B\in B1(G)$$\mathcal{O}G$$V$$\mathcal{O}$$\chi_{X}$$1_{G}$$B_{0}$

約指標の全体を表すとする．
$(\mathcal{O}G)^{H}:=\{x\in \mathcal{O}G|h^{-1}xh=x(\forall h\in H)\}$ と定義する．また，部分群 $H\leq G$ に対して，$K\leq H\leq G$に対して，トレース写像を次のように定義する．
$Tr_{K}^{H}:(\mathcal{O}G)^{K}arrow(\mathcal{O}G)^{H}$$x$$\mapsto\sum_{h\in K\backslash H}h^{-1}xh$

このとき，$B\in ImTr_{p}^{G}$
Bl $(G)$ に対し，となる最小のか部分群 $P$ が -共役を除いてただ一っ存在し，この$P$$B\in$$G$をブロック$B$の不足群とよぶ。

151$B’$ を $H$ のブロックで，不足群が$C_{G}(P)\leq H\leq$とし，であるものとする．もし，$B’$が canonical に存在し，のブロック$N_{G}(P)$ ならば， の Brauer 対応と呼ばれるの正規化群を表す．
)は$N_{G}(P)$$C_{G}(P)$ はと書く．(ここで，の中心化群，$N_{G}(P)$
このとき， の表現とその銑部分群 の正規化群の表現との関係を示す，次の定理$H\leq G$$P$$B=B^{\prime G}$

$B$

$G$

$P$

$P$

$G$

$P$が存在する．
定理 1 (Brauer$P$$s$

first main theorem).

$G$の $p$-部分群 $P$$N_{G}(P)$ のブロックでを不足群に持つものから，$P$に対し，Brauer 対応はのブロックで$G$を不足群に持つものへの全単射を与える．

3. BROU\’E の PERFECT ISOMETRY 予想
ここで，perfect isometry の定義と，Broue の perfect isometry 予想について述べる．(詳しくは [1] を参照．)$B’\in$ Bl $(H)$ とする．
$B\in$ Bl $(G),$を有限群とし，$G\cross H$ の一般指標が次を満たすならば， は perfect であるという．
$\mu(g,h)\neq0$(a)ならば， と の位数はともに と素である力 1, あるいは，ともに の倍数$G,$$H$$\mu$$\mu$

$g$

$h$

である．

(b)

$\mu(g, h)/|C_{G}(g)$$G\cross H$

I$\in \mathcal{O}$

$P$

$p$

かつ $\mu(g, h)/|C_{H}(h)|\in \mathcal{O}$のブロック $B\cross B’$ に属する一般指標

$\mu$

.

が与えられたとき，写像 :ZIrr $(B)arrow$ ZIrr $(B’)$$I$

を$I( \chi)(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\mu(g^{-1}, h)\chi(g)$によって定義することができる．ここで， Irr $(B),$ $h\in H$ とする．
もし， が ZIrr $(B)$ と ZIrr $(B’)$ 上の通常の内積に関する全単射な isometry を与えるとき，$\chi\in$$\mu$$\mu$

は $B$ と $B’$ の間の isometry を与えるという．さらに， が perfect であるとき， は $B$ と $B’$ の$\mu$$\mu$$B$ と $B’$ は間の perfect isometry を与えるといい，perfect isometric であるという．このとき，を perfect isometry と呼ぶ．
$I$

さらに，Broue’ は， と $B’$ の共通の不足群に属する全てのか元の， と $H$ における中心化群のブロック間の関係までこめた，perfect isometry の族といえるものを考えた． を共通の不$G$

$B$

$g$

足群 の元とし， :KIrr $(B)arrow KIBr(C_{G}(g))$ を一般分解定数とする．また，れぞれ $B$ と $B’$ に対応する $C_{G}(g)$ と $C_{H}(g)$ のブロックとする．
$P$

$I$

ZIrr

$d_{G}^{(g)}$$B_{g}$を perfect isometry とする．もし，全ての $g\in {}_{G}P$ に対して，perfect isometry$(B_{g}’)$が$KIBr(B_{g}’)$$B_{g}$と$B_{g}’$の一般分解定数に対し，$d_{H}^{(g)}I=I_{p}^{(g)}d_{G}^{(g)}$$I^{(g)}$と$B_{g}’$

をそ:ZIrr $(B_{g})arrow$となるような $I_{p}^{(g)}:KIBr(B_{g})arrow$を誘導するとき， と $B’$ は isotypic であるという．
$B$

これらの定義のもとで，Broue は次のような予想を提出した．
予想 2 (Brou\’e$B’$perfect isometry conjecture). $B$ を $G$ のブロックで不足群 $P$ を持つものとし，$B$ と $B’$$P$
$B$ のを $N_{G}(P)$ のブロックで，Brauer 対応であるものとする．
が可換であるとき，$s$は perfect isometric であり，isotypic である．

ここでは，予想 2 で不足群が可換であるという条件があることに注意しよう．不足群が非可換の場合，一般には perfect isometry は存在しないことが知られている．例えば鈴木群 $Sz(8)$ の主 2- ブロックという有名な例があげられる．

152
4. PERFECT ISOMETRY の拡張
上記の予想に関してはこれまでに様々な結果が報告されており，現在も研究が進められているが，ここではあえて予想の条件から外れた不足群 が非可換な場合に着目し， と $N_{G}(P)$の対応するブロックの関係について何が言えるのかを考察していく．そのため，まず perfect
$P$

$G$

isometry の”perfect” を少し弱めたような性質を新たに定義し，その条件を満たす isometry を考えてみる．その準備として，-群に関係した不変量をいくっか定義する．
$p$

$P$

$X(P;Q)$ と $V(P;Q)$ を以下のように定義する．
をか群とし， を $P$ の正規部分群とする．
$Q$$X(P;Q)=\{\theta\in$ ZIrr $(P)|\theta(g)=0\forall g\in P\backslash Q\}$

$V(P;Q)= \{\sum_{\varphi\in Irr(Q)}a_{\varphi}\varphi\uparrow^{P}|a_{\varphi}\in Z\}$.

.

$V(P;Q)\subseteq$$X(P;Q)$ と $V(P;Q)$ はともに $P$ の一般指標の全体 ZIrr $(P)$ の $Z$ -部分加群であり，$X(P;Q)$ となる．さらに次のことが知られている．

補題 3. $p^{c}X(P;Q)\subseteq V(P;Q)$ となる非負整数 が存在する．
$c$

ここで， と$P$$Q$$c(P;Q)$ を次で定義する．
に対し，

$Q$
定義 4. $P$ をか群，$p^{c}X(P;Q)\subseteq V(P;Q)$ となる非負整数のうをその正規部分群とする．
ち，最小のものを $c(P;Q)$ と書く．
$c$

次に，共通のか部分群$P$を持つ二つの有限群 $G$ と $H$ の直積 $G\cross H$ を考える．
$\triangle(P)=\{(x, x)|x\in P\}\leq G\cross H$とし，次の量を定義する．
定義 5. $(g, h)\in G\cross H$ に対し， とをそれぞれ $C_{G}(g)$ と$s_{Q}(g,h)$を以下で定義する．
このとき，$S_{1}$$S_{2}$$C_{H}$(ん) の Sylow$p$

部分群とする．

$p^{s(g,h)}Q= \min\{|S_{1}\cross S_{2}:(S_{1}\cross S_{2})\cap((Q\cross Q)\Delta(P))^{(x,y)}||(x, y)\in G\cross H\}$と注意 6. $s_{Q}(g, h)$ はの取り方に依存せず，$g,$おきかえても同じ値となる．
$S_{1}$$S_{2}$$h$をそれぞれ$g$の $G$-共役，の$h$$G,$
これらを用いて perfect isometry の一般化を考える．3 章と同じく，$G\cross H$

$H$

$H$

-共役では有限群， は$\mu$の一般指標とする．このとき， の性質として次のようなものを定義しよう．
$\mu$

定義 7. が Q-perfect であるとは，全ての $g\in G,$ $h\in H$ に対し次が成り立っことを言う．
$(g_{p}, h_{p}^{-1})\in c\cross H(Q\cross Q)\triangle(P)$ .
(A) $\mu(g, h)\neq 0$ ならば，$p^{c(P_{i}Q)}\mu(g, h)/p^{s(g,h)}Q$ は(B) $(g_{p}, h_{p})\in_{G\cross H}Q\cross Q$ となる $(g, h)$ に対し，の元．そうでない$\mu$$\mathcal{O}$$(g, h)$$\mu(g, h)/p^{s_{Q}(g,h)}$ はに対し，$O$の元．

(ここで， とは のか部分を表す．)$g_{p}$$B$ と $B’$ の間のisometry を与え，さらに， が Q-perfect であるとき， は $B$ と$B$ と $B’$ はの間の Q-perfect isometrg を与えるといい，Q-perfect isometric であるという．こ

もし， が
$\mu$

$B’$

$g$

$I$のとき， を Q-perfect isometry と呼ぶ．
$I$$\mu$

$\mu$

153
さらに， と $B’$ の共通の不足群に属するか元の， と $H$ における中心化群のブロック間の$B$$G$

関係についても，以下の考察を加えよう．
を共通の不足群 $P$ の元とし， :KIrr $(B)arrow KIBr(C_{G}(g))$ を一般分解定数とする．また，$d_{G}^{(g)}$$g$$B_{g}$と$B_{g}’$をそれぞれ $B$ と $B’$ に対応する $C_{G}(g)$ と $C_{H}(g)$ のブロックとする． を $B$ と $B’$ の間$I$の Q-perfect isometry とする．もし，$g\not\in_{c}Q$ である全ての $g\in c^{P}$ に対して，perfect isometry$I^{(g)}$:ZIrr $(B_{g})arrow$ ZIrr$(B_{g}’)$となるようなの一般分解定数に対し，を誘導するとき， と は Q-isotypic であるという．

が$I_{p}^{(g)}:KIBr(B_{g})arrow KIBr(B_{g}’)$$B_{g}$と$d_{H}^{(g)}I=I_{p}^{(g)}d_{G}^{(g)}$$B_{g}’$

$B’$

$B$

上記の 2 点に関する一般化と合わせて，非可換不足群 $P$ を持つブロックについて様々な計算を行った結果，ここでは予想 2 を拡張した次のような予想が考えられる．
$B$ の$B’$ を $N_{G}(P)$
予想 8. $B$ を $G$ のかブロックで $P$ をその不足群とし，Brauerのかブロックで，$P$ の中のが$N_{G}(P)$をfusion control するとする．このとき，対応であるものとする．さらに，$B$ と $B’$ は$Q\leq[P, P]$ を満たす適当な $Q$ に対し，
Q-perfect isometric であり，Q-isotypic である．

$P$ の部分群の $G$ での共役
ここで $[P, P]$ は $P$ の交換子群であり，fusion を control するとは，の様子と， の部分群の $N_{G}(P)$ での共役の様子が同じという意味である．このような状況にある場合，たとえ が非可換でも， と $N_{G}(P)$ にはなんらかの強い関係性があることが期待さ
$P$

$P$

$G$

れるため，このような予想が考えられる．
注意 9. 予想 8 は $G$ と $N_{G}(P)$ の間の予想だが，さらに拡張して二つの有限群 $G$ と $H$ のかブロッ
ク達で fusion system が同じであるものの間の Q-perfect isometry の存在についての予想も考えられる．(詳しくは [7] を参照．)

5. 拡張した予想についてのこれまでの結果
予想 8 について，予想の確認の方法として，散在型単純群 の主 11- ブロックについての例$G=J_{4}$ とし，を Sylow 11-部分群，$Q=[P, P]$ とする．このとき，を紹介しよう．
$H$ の主ブロックを $B=B_{0}(G),$$H=N_{G}(P)\cong 11_{+}^{1+2}$ :と$B’=B_{0}(H)$ とであり，$J_{4}$$P\cong 11_{+}^{1+2}$$G$$(5\cross 2S_{4})$$t\in cQ,$
おく．また の 11-元の共役類は 2 つ存在し，その代表元を と , ただし，
$C_{G}(u)\cong C_{H}(u)\cong 11\cross D_{22}$ となり，
$C_{G}(u)$ と $C_{H}(u)$ の主ブロックをであるものとすると，
$G$

$t$

$B_{u}=B_{0}(C_{G}(u)),$$B$$u\not\in_{G}Q$

$u$

とおく．

$B_{u}’=B_{0}(C_{H}(u))$と $B’$ が Q-perfect isometric であることを確認するには，以下の図式において， が Q-perfect$I$が Q-isotypic であることを確認
isometry となるように を構成できればよく，さらに， とががとの一般分
Q-perfectisometry,perfectisometry
するには，であり， が
$B’$

$B$

$I$

$I^{(u)}$$I$

解定数に対し，$d_{H}^{(u)}I=I_{p}^{(u)}d_{G}^{(u)}$$I^{(u)}$となるような$I_{p}^{(u)}$よい．

ZIrr $(B)$$-I$を誘導するように， と$I$$arrow$

ZIrr $(B’)$

$|$

ZIrr

$|$

$arrow I^{(u)}$$|(B_{u})$KIBr$arrow^{I^{(u)}p’}$$(B_{u})$

ZIrr$|(B_{u}’)$KIBr$(B_{u}’)$$B_{u}$$I^{(u)}$$B_{u}’$

を構成できれば

154
予想 8 に関して，以下は上記の例を含む結果である．
定理 10 ([6]).

$p$を素数， を有限単純群とし， はその銑ブロックで不足群
$B$

$G$

$P$が trivial inter-section であるものとする．このとき予想 8 は成り立っ．

注意 11. (i) 証明は個々の群に関して Q-perfect isometry の存在を確認していき，また一部では群論計算プログラム GAP[8], CHEVIE[3] を用いた．
(ii) 不足群が非可換の場合 perfect isometry が存在しないことが知られている $Sz(8)$ の主 2- ブ$[P, P]$ -perfect isometry の存在が確認できている．
ロックという例はこの定理に含まれ，また，次の場合にも予想 8 は成り立っ．
$B$
定理 12 (Narasaki, Uno [7]). を素数，は主かブロックで不足群 $P=p_{+}^{1+2}$ (位数群) とする．このとき予想 8 は成り立っ．の extra special
$p$

$p$

$p^{3}$, べき数$p$

この結果では，注意 9 にあるように，二つの有限群$G$と $H$ の銑ブロック達で fusion systemが同じであるものの間の関係まで拡張した予想についても，上記の場合に成り立つことを確認している．

最後に，今後は予想 8 に関して，control block と呼ばれるブロックを持つ有限群について，または，上記の結果以外の不足群を持つブロックについて，予想の確認を進めていきたい．
また，perfect isometry の一般化としては，他にもいくつかの方法が提案されており，(例えば [2], [4] を参照) これらの isometry と Q-perfect isometry との関連を検討しながら，非可換不足群を持つブロックについてさらに考察を深めてくことも，重要な検討課題である．

REFERENCES[1] M. Brou\’e, Isom\’etries parfaites, Types de blocs, Cat\’egories d\’eriv\’ees, Repr\’esentations Lin\’eaires des Groupes
Finis, Luminy, 1988, Asterlsque 181-182 (1990), 61-92.
[2] C. W. Eaton, Perfect generalized characters inducing the Alperin-McKay conjecture, J. Algebra 320 (2008),

2301-2327.

[3] M. Geck, G. Hiss, F. Lubeck, G. Malle and G.Pfeiffer, CHEVIE–Generic Character Table of Finite Groupsof Lie Type, Hecke Algebras and Weyl Groups, IWR-preprent, Heidelberg, 1993.
[4] J-B. Gramain, Generalized perfect isometries in some groups of Lie rank one, J. Algebra 299 (2006),820-840.

[5] H. Nagao and Y. Tsushima, Representations of Finite Groups, Academic Press, New York (1987).
[6] R. Narasaki, Isometries for blocks with T.I. Sylow defect groups, under review.
[7] R. Narasaki and K. Uno, Isometries and extra special Sylow groups of order , Journal of Algebra 322(2009), 2027-2068.
[8] Martin Sch\"onert et al., GAP Groups, Algorethms, and Progmmming, Lehrstuhl
fur Mathematik,
Rheinisch Westf’alische Technische Hochschule, Aachen, Germany, third ed., 1993.
$p^{3}$-$D$