数学Ⅰ・数学Ａ
問 題

選 択 方法

第１問

必答

第２問

必答

第３問
第４問
第５問

!
%% いずれか!問を選択し，"#解答しなさい。
%%$― ２９ ―

（２６０４―２９）

数学Ⅰ・数学Ａ （注）この科目には，選択問題があります。（２９ページ参照。）

第１問 （必答問題）（配点 ３０）〔!〕 実数 x についての不等式"x ＋６!≦"の解はアイ≦x≦

ウエである。
よって，実数 a，b，c，d が"（!− !#）（a − b）（ c − d ）＋６!≦"を満たしているとき，!− !# は負であることに注意すると，（a − b）（c − d）のとり得る値の範囲はオ＋カ（ c − d ）≦!# ≦（ a − b ）であることがわかる。

キ＋ク!#（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ３０ ―（２６０４―３０）数学Ⅰ・数学Ａ
特に（a − b）（ c − d ）＝

キ＋

ク!!

…………………… であるとき，さらに（a − c）（ b − d ）＝−!＋ !!

………………………… が成り立つならば（a − d）（ c − b ）＝

ケ＋

コ!!

…………………… であることが，等式 ，， の左辺を展開して比較することによりわかる。

（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ３１ ―（２６０４―３１）

数学Ⅰ・数学Ａ〔,〕

点 O を中心とし，半径が/である円 O がある。この円周上に,点 A，Bを AB ＝0となるようにとる。また，円 O の円周上に，,点 A，B とは異なる点 C をとる。

2sin ∠ACB ＝サである。また，点 C を ∠ACB が鈍角となるようにとるとき，cos ∠ACB ＝3シである。

点 C を 1ABC の面積が最大となるようにとる。点 C から直線 AB に垂直な直線を引き，直線 AB との交点を D とするとき，tan ∠OAD ＝ス

サの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）〜!

/&−/スである。また，1ABC の面積は

".

'−.

#.
/

(−.
/セソである。

$+%.
-)

−+

*

−.
-

（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は３４ページに続く。）― ３２ ―（２６０４―３２）

数学Ⅰ・数学Ａ
半径が)である球 S がある。この球面上に(点 P，Q，R をとったとき，

これらの(点を通る平面 α 上で PQ ＝*，QR ＝)，RP ＝+であったとする。
すい

球 S の球面上に点 T を三角錐 TPQR の体積が最大となるようにとるとき，その体積を求めよう。
タ
まず，cos ∠QPR ＝であることから，,PQR の面積はチ! テト である。

ツ

次に，点 T から平面 α に垂直な直線を引き，平面 α との交点を H とする。このとき，PH，QH，RH の長さについて，以上より，三角錐 TPQR の体積 は ニヌ .

ナが成り立つ。

! ネノ ＋ ! ハ/で0ある。

ナの解答群!

PH ＜ QH ＜ RH"

PH ＜ RH ＜ QH#

QH ＜ PH ＜ RH$

QH ＜ RH ＜ PH%

RH ＜ PH ＜ QH&

RH ＜ QH ＜ PH'

PH ＝ QH ＝ RH― ３４ ―（２６０４―３４）

数学Ⅰ・数学Ａ

第２問 （必答問題）（配点 ３０）〔!〕 太郎さんは，総務省が公表している２０２０年の家計調査の結果を用いて，地域による食文化の違いについて考えている。家計調査における調査地点は，都道府県庁所在市および政令指定都市（都道府県庁所在市を除く）であり，合計５２市である。家計調査の結果の中でも，スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の!世帯当たり年間支出金額（以下，支出金額，単位は円）」を分析することにした。以下においては，５２市の調理食品の支出金額をデータとして用いる。
太郎さんは調理食品として，最初にうなぎのかば焼き（以下，かば焼き）に着目し，図!のように５２市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した。ただし，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない。
なお，以下の図や表については，総務省の Web ページをもとに作成している。

(市の数)
121086420(円)1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800 4200 4600 5000図!

かば焼きの支出金額のヒストグラム（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３６ ―（２６０４―３６）

数学Ⅰ・数学Ａ

図+から次のことが読み取れる。
●

第+四分位数が含まれる階級はアである。

●

第,四分位数が含まれる階級はイである。

●

四分位範囲はウ

アの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。），イ。

! １０００以上１４００未満" １４００以上１８００未満# １８００以上２２００未満$ ２２００以上２６００未満% ２６００以上３０００未満& ３０００以上３４００未満' ３４００以上３８００未満( ３８００以上４２００未満) ４２００以上４６００未満* ４６００以上５０００未満

ウの解答群! ８００より小さい" ８００より大きく１６００より小さい# １６００より大きく２４００より小さい$ ２４００より大きく３２００より小さい% ３２００より大きく４０００より小さい& ４０００より大きい（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３７ ―（２６０４―３７）

数学Ⅰ・数学Ａ


太郎さんは，東西での地域による食文化の違いを調べるために，５２市を東側の地域 E（１９市）と西側の地域 W（３３市）の二つに分けて考えることにした。
(地域 E と地域 W について，かば焼きの支出金額の箱ひげ図を，図%，図&のようにそれぞれ作成した。

(円)
5000

(円)
5000

4600

4600

4200

4200

3800

3800

3400

3400

3000

3000

2600

2600

2200

2200

1800

1800

1400

1400

1000

1000

図２ 地域 E におけるかば焼きの支出金額の箱ひげ図

図３

地域 W におけるかば焼きの支出金額の箱ひげ図

かば焼きの支出金額について，図%と図&から読み取れることとして，次の!〜$のうち，正しいものはエエである。の解答群!

地域 E において，小さい方から'番目は２０００以下である。

"

地域 E と地域 W の範囲は等しい。

#

中央値は，地域 E より地域 W の方が大きい。

$ ２６００未満の市の割合は，地域 E より地域 W の方が大きい。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３８ ―（２６０４―３８）

数学Ⅰ・数学Ａ(太郎さんは，地域 E と地域 W のデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い，それぞれの分散を考えることにした。地域 E におけるかば焼きの支出金額の分散は，地域 E のそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差のオオである。の解答群!

'乗を合計した値"

絶対値を合計した値#'乗を合計して地域 E の市の数で割った値$ 絶対値を合計して地域 E の市の数で割った値%'乗を合計して地域 E の市の数で割った値の平方根のうち正のもの& 絶対値を合計して地域 E の市の数で割った値の平方根のうち正のもの（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３９ ―（２６０４―３９）

数学Ⅰ・数学Ａ
太郎さんは， で考えた地域 E における，やきとりの支出金額についても調べることにした。
ここでは地域 E において，やきとりの支出金額が増加すれば，かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え，まず図"のように，地域 E における，やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した。そして，相関係数を計算するために，表!のように平均値，分散，標準偏差および共分散を算出した。ただし，共分散は地域 E のそれぞれの市における，やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である。

かば焼きの支出金額

(円)
4000

3000

2000

1000
2000

(円)
3000

4000

やきとりの支出金額
図"

地域 E における，やきとりとかば焼きの支出金額の散布図

地域 E における，やきとりとかば焼きの支出金額の平均値，分散，標準偏差および共分散

表!

平均値

分散

標準偏差

やきとりの支出金額

２８１０

３４８１００５９０

かば焼きの支出金額

２３５０

３２４９００５７０

共分散
１２４０００（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４０ ―（２６０４―４０）数学Ⅰ・数学Ａ
表+を用いると，地域 E における，やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数はカカである。

については，最も適当なものを，次の!〜*のうちから一つ選べ。

!

−０．
６２

"

−０．
５０

#

−０．
３７

$

−０．
１９%

−０．
０２

&

０．
０２

'０．
１９(０．
３７)

０．
５０

*

０．
６２
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４１ ―（２６０４―４１）

数学Ⅰ・数学Ａ〔"〕 太郎さんと花子さんは，バスケットボールのプロ選手の中には，リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り，シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は，図!のように座標軸が定められた平面上に，プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき，ボールがリングに入った場合について，後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルである
が，以下では省略する。

y4

P 0(０,３)
PC1

リング
3
ボード

M(４,３)

H

A B

C22

H 0(０,２)

10

参考図

12

図3

4x１

（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４２ ―（２６０４―４２）

数学Ⅰ・数学Ａ仮定●

平面上では，ボールを直径０．
２ の円とする。

●

リングを真横から見たときの左端を点 A（３．
８ ，#），右端を点 B（４．
２ ，#）とし，リングの太さは無視する。

●

ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り，かつ，ボールの中心が AB の中点 M（$，#）を通る場合を考える。ただし，ボールがリングに当たるとは，ボールの中心と A または B との距離が０．
１ 以下になることとする。

●

プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点 P とし，P は，はじめに点 P（!，#）にあるものとする。また，P０，M を通る，上に凸の０放物線を C１ とし，P は C１ 上を動くものとする。

●

花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点 H とし，H は，はじめに点 H（!，"）にあるものとする。また，H０，M を通る，上に凸の０放物線を C２ とし，H は C２ 上を動くものとする。

●

放物線 C１ や C２ に対して，頂点の y 座標を「シュートの高さ」とし，頂点の x 座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。



放物線 C１ の方程式における x２ の係数を a とする。放物線 C１ の方程式は

y ＝ ax２ −キax ＋クと表すことができる。また，プロ選手の「シュートの高さ」は−ケa＋コである。

（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４３ ―（２６０４―４３）

数学Ⅰ・数学Ａ
放物線 C２ の方程式における x２ の係数を p とする。放物線 C２ の方程式は% )"２ （１６p −１）'−
y ＝ p!
＋&#x −(&− ８p *$６４p２と表すことができる。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として，次の!〜$のうち，正しいものはサ!

サである。の解答群
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は，つねに一致する。
"

プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が，つねに M の x 座標に近い。

#

花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が，つねに M の x 座標に近い。
$

プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が M のx 座標に近いときもあれば，花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が M の x 座標に近いときもある。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は４６ページに続く。）― ４４ ―（２６０４―４４）

数学Ⅰ・数学Ａ


二人は，ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。

太郎：例えば，プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには，P がリングの左端 A のどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：A の真上の点で P が通る点 D を，線分 DM が A を中心とする半１ の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
径０．
太郎：なるほど。P の軌道は上に凸の放物線で山なりだから，その場合，図!のように，P は D を通った後で線分 DM より上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も，Hがこの D を通れば，ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線 C１ と C２ が D を通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。

PD

M(４,３)
A( 3.8 ,３)
図lB( 4.2 ,３)!
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４６ ―（２６０４―４６）

数学Ⅰ・数学Ａ
図&のように，M を通る直線 l が，A を中心とする半径０．
１ の円に直線AB の上側で接しているとする。また，A を通り直線 AB に垂直な直線を引き，l との交点を D とする。このとき，AD ＝!'である。
１５

よって，放物線 C１ が D を通るとき，C１ の方程式は! ス

シy ＝−セソ) x２ −*キx+,＋クとなる。
また，放物線 C２ が D を通るとき， で与えられた C２ の方程式を用いる
４ と求められる。と，花子さんの「シュートの高さ」は約３．
以上のことから，放物線 C１ と C２ が D を通るとき，プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると，
チく，その差はボールタ!

チ!

タの「シュートの高さ」の方が大きである。なお，!' ＝１．
７３２０５０８…である。の解答群
"

プロ選手

花子さん

については，最も適当なものを，次の!〜$のうちから一つ選べ。
約%個分

"

約&個分

#― ４７ ―

約'個分$

約(個分（２６０４―４７）

数学Ⅰ・数学Ａ第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第３問 （選択問題）（配点 ２０）
番号によって区別された複数の球が，何本かのひもでつながれている。ただし，各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け方（以下，球の塗り方）を考える。

条件
それぞれの球を，用意した%色（赤，青，黄，緑，紫）のうちのいずれか!色

●

で塗る。
●

!本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。

●

同じ色を何回使ってもよく，また使わない色があってもよい。

例えば図 A では，三つの球が"本のひもでつながれている。この三つの球を塗るとき，球!の塗り方が%通りあり，球!を塗った後，球"の塗り方は$通りあり，さらに球#の塗り方は$通りある。したがって，球の塗り方の総数は８０である。

132図

図 B において，球の塗り方は1A

アイウ

23

図B― ４８ ―通りある。

4（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）（２６０４―４８）

数学Ⅰ・数学Ａ


図 C において，球の塗り方はエオ通りある。

132C

図

図 D における球の塗り方のうち，赤をちょうど!回使う塗り方は カキ

通りある。

1423図

D

図 E における球の塗り方のうち，赤をちょうど"回使い，かつ青をちょうど

!回使う塗り方はクケ通りある。

1234
図5E― ４９ ―6（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）（２６０４―４９）

数学Ⅰ・数学Ａ
図 D において，球の塗り方の総数を求める。

1423D（再掲）

図そのために，次の構想を立てる。
構想
図 D と図 F を比較する。

1423

図

F

図 F では球#と球$が同色になる球の塗り方が可能であるため，図 D よりも図 F の球の塗り方の総数の方が大きい。
図 F における球の塗り方は，図 B における球の塗り方と同じであるため，全部でアイウ通りある。そのうち球#と球$が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として，後の!〜"のうち，正しいものはて，図 D における球の塗り方はコサシス

コである。したがっ通りある。の解答群

ǎ

Ǐ
1

ǐ
1

322
Ǒ

132

ǒ
142

3

1

423
（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）― ５０ ―（２６０４―５０）

数学Ⅰ・数学Ａ


図 G において，球の塗り方はセソタチ通りある。

12534

図G― ５１ ―（２６０４―５１）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第４問 （選択問題）（配点 ２０）
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方
じゆうぶん

形は，向きを変えずにすき間なく並べることとし，色のついた長方形は十 分あるものとする。



横の長さが４６２で縦の長さが１１０である赤い長方形を，図!のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。

462
赤
赤

赤
赤…
…

赤
赤…

…

…

…

110

赤

赤…

赤

図!
（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ５２ ―（２６０４―５２）

数学Ⅰ・数学Ａ
４６２と１１０の両方を割り切る素数のうち最大のものは アイである。

赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち，辺の長さが最小であるものは，一辺の長さがウエオカのものである。

また，赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき，横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは，４６２の約数と１１０の約数を考えると，差の絶対値がキクになるときであることがわかる。
キク

縦の長さが横の長さよりのは，横の長さがケコサシ

長い長方形のうち，横の長さが最小であるものものである。
（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ５３ ―（２６０４―５３）

数学Ⅰ・数学Ａ


花子さんと太郎さんは， で用いた赤い長方形を!枚以上並べて長方形を作り，その右側に横の長さが３６３で縦の長さが１５４である青い長方形を!枚以上並べて，図"のような正方形や長方形を作ることを考えている。

462
赤…

赤

青…

363
青 154

…

…

…

…

…

…

110

赤…

赤

青…

青

図"

このとき，赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと，青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって，図"のような長方形のうち，縦の長さが最小のものは，縦の長さがは縦の長さがスセソスセソのものであり，図"のような長方形の倍数である。
（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ５４ ―（２６０４―５４）

数学Ⅰ・数学Ａ
二人は，次のように話している。

花子：赤い長方形と青い長方形を図"のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが４６２で青い長方形の横の長さが３６３だから，図"のような正方形の横の長さは４６２と３６３を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから，横の長さはスセソ

４６２と３６３の 最 大 公 約 数 は タチスセソの倍数でもないといけないね。

で あ り， タチの倍数でもある最小の正の整数はツテトナの倍数のうちでである。

これらのことと，使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も!枚以上であることから，図"のような正方形のうち，辺の長さが最小であるものは，一辺の長さがニヌネノのものであることがわかる。

― ５５ ―（２６０４―５５）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第５問 （選択問題）（配点 ２０）


円 O に対して，次の手順１で作図を行う。

手順１（Step １） 円 O と異なる!点で交わり，中心 O を通らない直線 l を引く。
円 O と直線 l との交点を A，B とし，線分 AB の中点 C をとる。
（Step ２） 円 O の周上に，点 D を∠COD が鈍角となるようにとる。直線
CD を引き，円 O との交点で D とは異なる点を E とする。
（Step ３） 点 D を通り直線 OC に垂直な直線を引き，直線 OC との交点を Fとし，円 O との交点で D とは異なる点を G とする。
（Step ４） 点 G における円 O の接線を引き，直線 l との交点を H とする。

DOlA

CB

参考図

このとき，直線 l と点 D の位置によらず，直線 EH は円 O の接線である。このことは，次の構想に基づいて，後のように説明できる。
（数学Ⅰ・数学Ａ第５問は次ページに続く。）― ５６ ―（２６０４―５６）

数学Ⅰ・数学Ａ
構想
直線 EH が円 O の接線であることを証明するためには，∠OEH ＝アイ°であることを示せばよい。

手順１の（Step １）と（Step ４）により，&点 C，G，H，ウは同一円周上にである。一方，点 E は円 O の周あることがわかる。よって，∠CHG ＝エ上にあることから，がわかる。よって，∠CHG ＝オ
ウエ＝オであるので，&点 C，G，H，カは同一円周上にある。この円が点を通ることにより，∠OEH ＝アイ°を示すことができる。

ウ!の解答群Bエ!

"∠AFC

#F$O

∠CDF#

∠CGH

$

∠CBO%

∠FOG

∠ADE

#

∠BOE$

∠DEG%

∠EOHの解答群
"∠AED

カ!

Dの解答群

オ!

"の解答群
A"

D#E

$F

（数学Ⅰ・数学Ａ第５問は次ページに続く。）― ５７ ―（２６０４―５７）

数学Ⅰ・数学Ａ

円 O に対して， の手順１とは直線 l の引き方を変え，次の手順２で作図を行う。

手順２（Step １） 円 O と共有点をもたない直線 l を引く。中心 O から直線 l に垂直な直線を引き，直線 l との交点を P とする。
（Step ２） 円 O の周上に，点 Q を∠POQ が鈍角となるようにとる。直線
PQ を引き，円 O との交点で Q とは異なる点を R とする。
（Step ３） 点 Q を通り直線 OP に垂直な直線を引き，円 O との交点で Q とは異なる点を S とする。
（Step ４） 点 S における円 O の接線を引き，直線 l との交点を T とする。

このとき，∠PTS ＝キである。

円 O の半径が !' で，OT ＝&!( であったとすると，&点 O，P，R を通る! ケク
円の半径はであり，RT ＝サである。

コキ!の解答群
∠PQS"

∠PST

#

∠QPS

― ５８ ―$

∠QRS%

∠SRT

（２６０４―５８）