数理解析研究所講究録
第 899 巻 1995 年 72-7972

ファジィ数間のあるパラメトリックな全順序関係とその応用について
創価大・工1.

古川長太(Nagata Fumkawa)

はじめに目的関数がファジィ数で与えられるような最適化問題を、 ファジイマックス順序基準の下で解くと、 ファジイマックス順序が半順序であるために、 一般に最大解 (最小解 は存在することなく、非常に多くの極大解 (極小解) が存在する。 ファジィ線形$)$計画の場合は、 クリスプな多目的線形計画問題に変換されるので、極大解 (極小解)のすべてを求めることは比較的容易である。 これに対してファジィ動的計画問題では、ことはそれほど容易ではない。本報告では、主としてファジィ動的計画問題に有効である最適化基準として、パラメトリックなものを幾つか紹介する。 これらを用いて最適化を試みることにより、 ファジイマックス順序に関する最大解 (最小解) が存在する場合はそれを、存在しない場合は極大解 (極小解) のうち重要なものはすべて検出できることが示される。
なお本報告は、 参考文献で挙げた報告者自身によるものの続編で、 一部分それと重複していることを付記しておく。

2.

ファジィ数とファジイマックス順序
一般にファジィ集合 $A,$

定義 2. 1(i)$\mu_{A}$$B$のメンバーシップ関数を $\mu_{A},$$\mu_{B}$で表す。

が次の (i), (簸) をみたすとき、 A をファジィ数とよぶ。

$\mu_{A}:Rarrow[0,1]$ ,(ii) 実数 $m$ が一意に存在して次をみたす:$\{\begin{array}{l}\mu_{A}(m)=1,\mu_{A}(\cdot) is nondecreasing on (-\infty)m],\mu_{A}(\cdot) is nonincreasing on [m, +\infty).\end{array}$

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ファジィ数 A に対して上の (li) で定まる

$m$を$A$の。enterとよび、$m_{A}$で表す。 同様にファジィ i 数 , の center をとかく。
,ファジィ数の全体をで表す。 実数はファジィ数の特別な場合であって、
$C$

$B$

$m_{c}$$m_{B}$$F$$R\subset F$の関係が成立する。
定義 2.

2

$F$の要素 $A,$

$B$に対して$A\preceq B\Leftrightarrow def\{\begin{array}{l}(i) m_{A}\leq m_{B},(ii) m_{A}\leq\exists c\leq m_{B}such that[\mu_{A}(x)\leq\mu_{B}(x)\mu_{A}(x)\geq\mu_{B}(x) \forall x>c\forall x<c.’\end{array}$上の定義は表現は異なるが、 Dubois-Prade が提案したファジイマックス順序(fuzzy $\max$ order) と同値である。

実数 a

補題 2. 1$b$$,$に定義 32 の大小関係を適用すると$a\preceq b\Leftrightarrow a\leq b$.

定理 2. 1

定義 2. 2 で導入した大小関係は

定義 2.3$L:Rarrow R$ は次の条件をみたすとする。

(i) $L(x)=L(-x)$(ii) $L(x)=1$(iii)$L$$\forall x\in R$iffの上で半順序の公理をみたす。

,$x=0$ ,

は $[0, +\infty)$ 上で広義単調減少,(iv) $x_{0}= \inf\{x>0|L(x)=0\}$

このとき$F$$L$を型関数 (shape function) と呼び、 (iv) の定義 2. 4

$m$

プ関数

が型関数

$\mu_{A}$とおくとき $0<x_{0}<+$を任意の実数、$L$$\alpha$$X_{0}$を。

$L$が成り立つ。の零点と呼ぶ。

を任意の正数とする。 ファジィ数 A のメンバーシッ

を使って$\mu_{A}(x)=L((x-m)/\alpha)\vee O$ ,と表されるとき、 A を $L-$ ファジィ数とよぶ。

$x\in R$ ,

(2.1)

74

(2. 1) における $m$ は、 定義 2. 1 により$A$の oenter である。

(2.1) における$\alpha$を Aの偏差係数 (deviation parameter) とよぶ。 $\alpha=0$ のときは (3.1) 式は定義出来ないが、そのとき A は実数$m$であると定義する。

簡単のために L- ファジィ数 (3.1) をパラメータで表現して$A=(m, \alpha)_{L}$と書く。
定理 2. 2

$L$を型関数、$x_{0}$をその零点とする。 このとき

$A=(m, \alpha)_{L},$$B=(n, \beta)_{L}$$\alpha\geq 0,$$\beta\geq 0$,,に対して次の関係が成立する。

$A\preceq B\Leftrightarrow x_{0}|\alpha-\beta|\leq(n-m)$

3.

(2.2)

パラメトリックな全順序関係

目的関数がファジィ数であるような数理計画問題では、 問題のスケールが大きいとファジイマックス順序に関する極大解 (極小解) の意味の最適解の個数は、 一般に極めて多くなる。 これを更にしぼり込むにはいろいろな方法が考えられるが、 ここではL- ファジィ数のパラメータに着目した順序を導入する。
定義 3. 1$0\leq\lambda\leq 1$を任意に与えておく。

$A=(m, \alpha)_{L},$$B=(n, \beta)_{L}$のように定義する。

$A\leq B\lambda\Leftrightarrow def\{\begin{array}{l}(i) A\preceq B,or(ii) \lambda_{X_{0}}|\alpha-\beta|<n \text{一} m<x_{0^{|\alpha-\beta|}},or(iii) 1 n-m1<\lambda x_{0}(\beta-\alpha).\end{array}$

に対して次

75

$A\leq B\lambda\Leftrightarrow de1^{\backslash }\{\begin{array}{l}(i) A\preceq B,or(ii) 0<\lambda x_{0}(\beta-\alpha)\leq|n-m|<x_{0}(\beta-\alpha),or(iii) 0<n-m<\lambda x_{0}|\alpha-\beta|,or(iv) m=n and \alpha<\beta.\end{array}$

定義 3. 2

$B=(n, \beta)_{L}$$A=(m, \alpha)_{L},$$A\succ\prec B\Leftrightarrow$に対して、[neither $A\preceq B$ nor $B\preceq A$ holds].

$def$

補題 3. 1て、 (i)定義 3. 1 の 2 通りの定義のそれぞれにおいて各 case は互いに排反であっ以外の各 case では

補題 3. 2$A=(m, \alpha)_{L},$$A\succ\prec B$$B=(n, \beta)_{L},$が成立する。

$C=(l, \gamma)_{L},$$\mu\geq 0$に対して次のことが成立する$0$(i) A $\leq B\lambda\Rightarrow\mu A\leq\lambda\mu B,$ $A\oplus C\leq\lambda B\oplus C$ ,(ii) A $\leq B\lambda\Rightarrow\mu A\leq\mu B\lambda,$$A\oplus C\leq B\lambda\oplus C$.

定理 3. 1

定義 3. 1 の 2 通りの大小関係はいずれも、 $L-$ ファジィ数の集合上の全順序関係である。
補題 3. 3

定義 3.1 は、 特に $\lambda=0$ or 1 の場合は次のようになる。

$A\leq B0\Leftrightarrow m\leq n$$A\leq B1\Leftrightarrow\{\begin{array}{l}(i) A\preceq Bor(ii) |m-n|<x_{0}(\beta-\alpha)\end{array}$

76$A\leq 0B\Leftrightarrow\{\begin{array}{l}(i) A\preceq Bor(ii) |m-n|<x_{0}(\beta- \text{の}\end{array}$$A\leq 1B\Leftrightarrow\{\begin{array}{l}(i) m<nor(ii) m=n and \alpha\leq\beta\end{array}$

以下では、 L- ファジィ数の center の値と deviation parameter の値をそれぞれ$y$軸にとった $xy$ 平面を考え、 L- ファジィ数 $A=(m, \alpha)_{L}$ を $xy$ 平面上の点伽,$x$軸,$\alpha$) と同一視することにする。

簡単のために補題 3. 4$x_{0}=1$$A=$ 伽2としておく。

$\alpha)_{L},$$B=(n, \beta)_{L},$and$m<{\rm Min}\{n,$ $l\}$

ならば、$0<\lambda<1$$t)_{A}4,$

$C$

$xy$

$B,$

.

$\alpha<{\rm Min}\{\beta,$$\gamma\}$をどのようにとっても、 定義 3. 1 のどちらの順序関係に関しての中で A が最小である。

平面における 2 点 $A,$

定理 3.

に対して・ もし$C=(l, \gamma)_{L}$$B$

を緕ぶ線分の勾配を$\gamma_{AB}$で表す o2$A_{j}=(m_{j}, \alpha_{j})_{L}$$i=1,2,$,$\cdots,$

$N$

において、
$m_{j}<m_{i+1}$$i=1,2,$$\cdots$, $N$

-$l$

(3.1)

$\alpha_{j}>\alpha_{i+1}$とし、 さらに$A_{i}\succ\prec A_{i+1}$$i=1,2,$,$\gamma_{A_{i-1}A_{j}}<\gamma_{A_{j}A_{i+1}}$を仮定する。各ん $=1,2,$$\cdots,$$N$,$i=2,3,$に対して$\cdot\cdot,$$\cdots,$$N-1$ ,(3.2)$N-1$ .

(3.3)

77

$\lambda_{ki}=\frac{m_{k}-m_{i}}{\alpha_{i}-\alpha_{k}}$仁 1,2,,$\cdots,$$N$,$i\neq k$

とおく。 このとき$0<\lambda_{12}<\lambda_{23}<\cdots<\lambda_{k-1,k}<\lambda_{k,k+1}<\cdots<\lambda$ $N$が成立して、 順序関係

$A_{1}$$A_{2}$$\leq\lambda$

is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}\}$if$0\leq\lambda\leq\lambda_{12}$is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}\}$if$\lambda_{12}<\lambda\leq\lambda_{23}$is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{N}\}$

定理 3.

,,:.
if

$\lambda_{k-1,k}<\lambda\leq\lambda_{k,k+1}$,::$A_{N}$, $N<1$に関して次のことが成り立つ。

:.

$A_{k}$- $l$is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{N}\}$if$\lambda_{N-1,N}<\lambda\leq 1$.

3$A_{j}=(m_{i}, \alpha_{j})_{L}$$i=1,2,$,$\cdots,$

$N$

において、
$m_{i}<m_{i+1}$.

$i=1,2,$$\cdots$, N-l$\alpha_{j}>\alpha_{i+1}$とし、 さらに$A_{i}\succ\prec A_{i+1}$$i=1,2,$,$\gamma_{A_{i-1}A_{j}}>\gamma_{A_{j}A_{i+1}}$を仮定する。各 $k=1,2,$$\cdots,$$i=2,3,$$\cdots,$$N-1$ .

に対して$N$$\lambda_{ki}=\frac{m_{k}-m_{i}}{\alpha_{i}-\alpha_{k}}$,$N-1$ ,$\cdots,$,$i=1,2,$$\cdots,$$N$,$i\neq k$とおく。 このとき

$1>\lambda_{12}>\lambda_{23}>\cdots>\lambda_{k-1,k}>\lambda_{k,k+1}>\cdots>\lambda_{N-1,N}>0$(3.4)

78が成立して、 順序関係

$A_{1}$$A_{2}$$\leq\lambda$に関して次のことが成り立つ。

is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}\}$if$\lambda_{12}\leq\lambda\leq 1$

is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}\}$if$\lambda_{23}<\lambda\leq\lambda_{12}$is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}\}$if$\lambda_{k,k+1}<\lambda\leq\lambda_{k-1,k}$:.

$A_{N}$,:$:$$A_{k}$,,:

is the smallest one among$\{A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{N}\}$定理 3. 2 と定理 3. 3 で示されたように 順序関係$\leq\lambda$

if及び$0\leq\lambda\leq\lambda_{N-1,N}$$\leq^{\lambda}$.

はいずれも仮定(3.1) 及び (3.2) の下で有効であるが、 (3.1) の代わりに$m_{j}<m_{i+1}$$i=1,2,$$\cdots$, N-l(3 罰$\alpha_{j}<\alpha_{j+1}$と (3.2) の仮定の下では、$\lambda$の値をどのようにとっても$A_{1}=(m_{1}, \alpha_{1})_{L}$

だげしか検出できない。 (補題 34 を参照)
(3.5) の下で有効な順序関係として、 次の 2 つのものを定義することが出来る。

定義 3.

2$0<\lambda<1$に対して

79$A\leq B\lambda\Leftrightarrow def\{\begin{array}{l}(i) A\preceq Bor(ii) 0<\lambda(m-n)<\lambda|\alpha-\beta|\leq m-nor(iii) 0<n-m<\lambda|\alpha-\beta|or(iv) m=n and \alpha<\beta\end{array}$$A\leq^{\lambda}B\Leftrightarrow def\{\begin{array}{l}(i) A\preceq Bor(ii) 0<\lambda(n \text{一} m)<\lambda|\alpha-\beta|\leq n-mor(iii) 0<m-n<\lambda|\alpha-\beta|or(iv) m=n and \alpha<\beta\end{array}$

参考文献

N. Furukawa: A Parametric Total Order on Fuzzy Numbers and a Fuzzy Shortest
Route Problem, optimization vol. 30 (1994), 367-377.