13 種の C60 フラーレンと離散ソボレフ不等式の最良定数
亀高 惟倫 (阪大)
永井 敦 (日大生産工)
山岸 弘幸 (都立産技高専)
武村 一雄 (日大理工)

The best constant of
discrete Sobolev inequality
on 13 kinds of the C60 Fullerene
Yoshinori Kametaka
Atsushi Nagai(Osaka Univ.)(Nihon Univ.)

Hiroyuki Yamagishi(Tokyo Metropolitan College)
Kazuo Takemura(Nihon Univ.)C60 FullereneC60 フラーレン
炭素原子 60，5 員環 12，6 員環 20
代表はバッキーボール，切頂正 20 面体

1985 年 ハロルド・クロトー，
リチャード・スモーリー，ロバート・カールが発見

1996 年 ノーベル化学賞
1970 年 大澤映二がバッキーボールの存在を予言カーボンナノチューブ

1991 年 飯島澄男が発見
ジグザグ型，アームチェア型は良導体
カイラル型は半導体

古典力学モデル
辺の両端の二つの炭素原子は線形バネで結ばれる
バネ定数一様バッキーボールは非常に固い
固さは離散ソボレフ不等式の最良定数対称性
バッキーボールは切頂正 20 面体
平行でない 3 本のジグザグリングをもつもの
平行でない 2 本のジグザグリングをもつもの
それらを回転したもの計 13 種

13 種 C60
2 種の離散ソボレフ不等式の最良定数を求めた
バッキーボールの最良定数が一番小さい
すなわち一番固いZigzagring

Zigzagline

ArmchairA1 (Buckyball, Zigzag)
30

35

34

33

32

31

30

35

49

36

39

41

44

46

49

36

50

37

38

40

42

43

45

47

48

50

37

51

59

58

57

56

55

54

53

52

51

59

29

21

22

23

24

25

26

27

28

29

21

7

20

18

17

15

13

12

10

8

7

20

6

19

16

14

11

9

6

19

5

0

1

2

3

4

5

0

A1 (Buckyball, Armchair)
30
35

54

53

42

41

30

54

36
31

55

52

43

40

31

55

32

59

56

51

48

47

44

39

36

35

32

59

33

58

57

50

49

46

45

38

37

34

33

58

57

27

28

3

4

7

8

15

16

19

20

27

28

3

29

2

5

6

9

14

17

18

21

26

29

2

25

1

10

13

22

25

1

24

0

11

12

23

24

0

A2
30

35

34

33

32

31

30

35

49

36

39

41

44

46

49

36

50

37

38

40

42

43

45

47

48

50

37

51

59

58

57

56

55

54

53

52

51

59

28

58

29

21

22

23

24

25

26

27

28

29

21

7

20

18

17

15

13

12

10

8

7

20

6

19

16

14

11

9

6

19

5

0

1

2

3

4

5

0

B1

42

32

30

31

38

36

42

32

33

43

41

40

39

37

35

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

45

47

49

51

53

55

57

59

45

15

29

27

25

23

21

19

17

15

29

12

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

5

7

9

10

11

13

3

2

6

8

1

0

12

2

B1

42

32

30

31

38

36

42

32

33

43

41

40

39

37

35

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

45

47

49

51

53

55

57

59

45

15

29

27

25

23

21

19

17

15

29

12

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

5

7

9

10

11

13

3

2

6

8

1

0

12

2

B2

42

32

0

31

38

36

42

32

33

43

41

40

39

37

35

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

8

30

45

47

49

51

53

55

57

59

45

15

29

27

25

23

21

19

17

15

12

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

5

7

9

10

11

13

3

2

6

8

1

0

12

2

B3

42

32

30

31

38

36

42

32

33

43

41

40

39

37

35

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

46

45

47

49

51

53

55

57

59

45

47

17

15

29

27

25

23

21

19

17

15

16

12

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

5

7

9

10

11

13

3

2

6

8

1

0

12

2

C1

41

32

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

46

45

47

49

51

53

55

57

59

45

47

17

15

29

27

25

23

21

19

17

15

16

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

C1

41

32

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

46

45

47

49

51

53

55

57

59

45

47

17

15

29

27

25

23

21

19

17

15

16

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

C2

41

32

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

46

48

45

47

49

51

53

55

57

59

45

47

49

19

17

15

29

27

25

23

21

19

17

15

18

16

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

C3

32

54

56

41

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

53

55

57

59

45

47

49

51

53

55

57

59

29

27

25

23

21

19

17

15

29

27

25

23

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

26

24

C4

32

56

41

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

55

57

59

45

47

49

51

53

55

57

59

29

27

25

23

21

19

17

15

29

27

25

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

26

C5

32

41

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

57

59

45

47

49

51

53

55

57

59

29

27

25

23

21

19

17

15

29

27

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

C6

32

41

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

45

47

49

51

53

55

57

59

29

27

25

23

21

19

17

15

29

27

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

C7

32

41

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

45

47

49

51

53

55

57

59

45

15

29

27

25

23

21

19

17

15

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

C8

32

41

30

31

37

35

32

33

43

42

40

39

38

36

34

33

43

58

44

46

48

50

52

54

56

58

44

59

45

47

49

51

53

55

57

59

45

15

29

27

25

23

21

19

17

15

29

14

28

26

24

22

20

18

16

14

28

13

3

4

6

8

9

10

12

13

3

2

5

7

1

0

11

2

Discrete Laplacian(A=)
a(i, j)




3



a(i, j) =
−1




0

(0 ≤ i, j ≤ 59)(i = j)(i, j), (j, i) ∈ e(else)

A1

Characteristic polynomial()3
P (x) = (−5 + x)4(−2 + x)9x 19 − 9x + x2
(
)4 (
)5 (
)5
8 − 7x + x2
11 − 7x + x2
3 − 5x + x2(
)3
4 − 22x + 25x2 − 9x3 + x4

A1
0
= 0
(1)
√
√
√
(9 − √5 − 38 − 2 5)/4 ; 0.243402 (3)(5 − 13)/2; 0.697224 (5)√√√(9 + √5 − 38 + 2 5)/4 ; 1.17975 (3)(7 − 17)/2; 1.43845 (4)
2
= 2
(9)
√
(7 − 5)/2√; 2.38197 (5)√√(9 − √5 + 38 − 2 5)/4 ; 3.13856 (3)(9 − √5)/2; 3.38197 (3)(5 + 13)/2; 4.30278 (5)√√√(9 + √5 + 38 + 2 5)/4 ; 4.43828 (3)(7 + 5)/2; 4.61803 (5)
5
= 5
(4)
√
(7 + √17)/2; 5.56155 (4)(9 + 5)/2; 5.61803 (3)A1 Eigenvalue (Multiplicity)0(1)0.243402 (3)0.697224 (5)1.17975 (3)1.43845 (4)2(9)
2.38197 (5)3.13856 (3)3.38197 (3)4.30278 (5)4.43828 (3)4.61803 (5)5(4)
5.56155 (4)5.61803 (3)A1Eigenvalue distribution

6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

A2
P (x) = (−5 + x)(−4 + x)(−2 + x)9x
(
)(
)2 (
)2
8 − 7x + x2 11 − 7x + x2
3 − 5x + x2)(
98 − 575x + 821x2 − 487x3 + 139x4 − 19x5 + x6()
256 − 827x + 955x2 − 515x3 + 141x4 − 19x5 + x6(−99848 + 937037x − 3344594x2 + 6391936x3−
7532510x4 + 5894944x5 − 3195866x6 + 1227895x7−
337050x8 + 65701x9 − 8886x10 + 793x11 − 42x12 + x13)2

A2
0
(1)
0.240977 (2)0.243925 (1)0.689504 (1)0.697224 (2)0.698544 (2)1.23524 (2)1.28896 (1)1.31072 (1)1.36696 (2)1.43845 (1)2(9)

2.38197 (2)2.41983 (2)2.51894 (1)2.85308 (1)3.06739 (2)3.46082 (2)3.71489 (1)4(1)
4.2253 (2)4.30278 (2)4.47167 (2)4.50157 (1)4.58638 (2)4.61803 (2)4.84189 (1)4.84987 (1)5(1)
5.12782 (2)5.3998 (2)5.56155 (1)5.58296 (1)5.6037 (1)5.69926 (2)

A2
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

B1
P (x) = (−4 + x)3(−3 + x)2(−2 + x)3x
(
)(
)(
)
14 − 8x + x2 6 − 6x + x2 − 46 + 44x − 12x2 + x3
(
)2 (
)2
− 17 + 23x − 9x2 + x3
− 13 + 23x − 9x2 + x3()()
− 10 + 18x − 8x2 + x3 − 2 + 8x − 6x2 + x3()
64 − 118x + 66x2 − 14x3 + x4(
)2
− 18 + 112x − 142x2 + 69x3 − 14x4 + x5(
)2
246 − 830x + 956x2 − 515x3 + 141x4 − 19x5 + x6

B1
0
(1)
0.21214 (2)0.324869 (1)0.583305 (2)0.78568 (2)0.829914 (1)0.960327 (1)1.26795 (1)1.32487 (2)1.46081 (1)1.50792 (2)1.71983 (2)1.78568 (1)2(3)
2.24021 (2)2.25546 (2)2.3506 (1)2.46081 (2)2.58579 (1)2.68889 (1)3(2)
3.53919 (2)4(3)
4.1192 (2)4.21432 (1)4.48119 (1)4.53919 (1)4.59452 (2)4.67513 (2)4.73205 (1)4.79183 (2)4.88395 (1)5.21432 (2)5.41421 (1)5.42996 (2)5.54563 (2)5.67513 (1)5.80513 (1)

B1
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

B2
P (x) = (−4 + x)(−2 + x)2x(
− 44768 + 455938x − 1734518x2 + 3527864x3 − 4429788x4+
3698064x5 − 2139272x6 + 876477x7 − 256170x8 + 53055x9−
)
10
11
12
13
7604x + 717x − 40x + x(− 167880 + 1135190x − 3333882x2 + 5657352x3 − 6220108x4+
4701136x5 − 2523260x6 + 977337x7 − 274050x8 + 55099x9−)
7740x10 + 721x11 − 40x12 + x13(− 398720 + 4215458x − 17515520x2 + 40405876x3 − 59577850x4+
60447322x5 − 44042916x6 + 23631964x7 − 9463582x8 + 2839853x9−)635464x10 + 104419x11 − 12226x12 + 965x13 − 46x14 + x15(− 457320 + 4434850x − 17873280x2 + 40737960x3 − 59770398x4+
60519398x5 − 44060300x6 + 23634568x7 − 9463802x8 + 2839861x9−
)
10
11
12
13
14
15
635464x + 104419x − 12226x + 965x − 46x + x

B2
0
(1)
0.211901 (1)0.224085 (1)0.300792 (1)0.599828 (1)0.618574 (1)0.742765 (1)0.758006 (1)0.810056 (1)1.05183 (1)1.28356 (1)1.29283 (1)1.34215 (1)1.42229 (1)1.43387 (1)1.48656 (1)1.7458 (1)1.81129 (1)1.85173 (1)1.95162 (1)2(2)
2.13315 (1)2.18264 (1)2.3209 (1)2.33825 (1)2.36237 (1)2.36446 (1)2.48381 (1)2.61264 (1)2.85227 (1)2.85334 (1)2.93216 (1)3.6029 (1)3.72296 (1)3.72526 (1)3.94554 (1)4(1)
4.12625 (1)4.26628 (1)4.37178 (1)4.43193 (1)4.45048 (1)4.51069 (1)4.55139 (1)4.59665 (1)4.7286 (1)4.75496 (1)4.78418 (1)4.85239 (1)5.06915 (1)5.11649 (1)5.1464 (1)5.39871 (1)5.41398 (1)5.44603 (1)5.56901 (1)5.58262 (1)5.6606 (1)5.79924 (1)

B2
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

B3
P (x) = (−5 + x)3(−4 + x)2(−3 + x)(−2 + x)6x
(
)(
)
2
2
3
6 − 6x + x− 17 + 23x − 9x + x
(
)(
)
2
3
2
3
4
− 13 + 23x − 9x + x 36 − 88x + 56x − 13x + x(− 656 + 5640x − 15880x2 + 21396x3 − 15978x4+
)
5
6
7
8
9
7088x − 1911x + 307x − 27x + x(− 42800 + 402552x − 1483372x2 + 2978576x3−
3734072x4 + 3136628x5 − 1836114x6 + 764384x7−

)2
8
9
10
11
12
13
227689x + 48165x − 7062x + 682x − 39x + x

B3
0
(1)
0.21166 (1)0.257262 (2)0.620488 (1)0.691299 (2)0.714929 (1)0.78568 (1)1.16651 (1)1.26795 (1)1.32487 (1)1.32638 (2)1.4285(2)
1.83172 (2)2(6)
2.32916 (1)2.34075 (1)2.42286 (2)2.46081 (1)2.69543 (1)2.7697 (2)3(1)
3.53919 (1)3.76593 (2)4(2)
4.14692 (1)4.24185 (2)4.43986 (1)4.44251 (2)4.59634 (1)4.67513 (1)4.73205 (1)4.76701 (2)5(3)
5.21432 (1)5.33412 (1)5.4348 (2)5.6105 (1)5.62019 (2)5.79334 (1)

B3
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C1
P (x) = (−4 + x)2(−2 + x)4x(
− 77190 + 383344x − 808656x2 + 968855x3 − 738553x4 + 378242x5−
)
6
7
8
9
10
11
133356x + 32475x − 5368x + 575x − 36x + x(
12796 − 127138x + 459112x2 − 868524x3 + 996257x4 − 746079x5+
)
6
7
8
9
10
11
12
379464x − 133464x + 32479x − 5368x + 575x − 36x + x(− 708904 + 7249920x − 29235644x2 + 65418908x3 − 93378986x4 + 91499228x5−
64241260x6 + 33151505x7 − 12748827x8 + 3669812x9 − 787140x10 + 123927x11−
)
12
13
14
15
13900x + 1051x − 48x + x(− 122520 + 1325504x − 6041028x2 + 15619080x3 − 25903278x4 + 29440464x5−
23854840x6 + 14113875x7 − 6178453x8 + 2009898x9 − 483788x10 + 84911x11−)
10552x12 + 879x13 − 44x14 + x15

C1
0
(1)
0.208075 (1)0.234302 (1)0.293047 (1)0.569279 (1)0.672341 (1)0.70499 (1)0.788051 (1)0.795289 (1)1.08927 (1)1.21657 (1)1.28822 (1)1.3812(1)
1.38239 (1)1.44834 (1)1.50818 (1)1.68749 (1)1.86937 (1)1.88285 (1)2(4)
2.24815 (1)2.24935 (1)2.34651 (1)2.43012 (1)2.50084 (1)2.52402 (1)2.53204 (1)2.57144 (1)2.90263 (1)3.08386 (1)3.47667 (1)3.72537 (1)3.94156 (1)4(2)
4.1011 (1)4.12931 (1)4.15729 (1)4.43417 (1)4.58329 (1)4.59482 (1)4.5984 (1)
4.602
(1)

4.69979 (1)4.70525 (1)4.81905 (1)4.82841 (1)5.05902 (1)5.17103 (1)5.18004 (1)5.31501 (1)5.31908 (1)5.47038 (1)5.59677 (1)5.64418 (1)5.67451 (1)5.76529 (1)

C1
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C2
P (x) = (−4 + x)(−2 + x)2x(
− 37428459090 + 604203411508x − 4439605146812x2 + 19930998515948x3−
61755029854010x4 + 141222575037312x5 − 248653284601630x6+
346956842494078x7 − 391672536112820x8 + 363206410862681x9−279840678487636x10 + 180669097360862x11 − 98348275174002x12+45333871516174x13 − 17741176121806x14 + 5900531116855x15−
1666923037100x16 + 399123554592x17 − 80671217476x18+
13678974433x19 − 1928531216x20 + 223239508x21−
)
22
23
24
25
26
27
20844212x + 1530331x − 85016x + 3358x − 84x + x(− 36746254304 + 772648677272x − 7242350092638x2 + 40672228102548x3−
155269561221928x4 + 432744830058116x5 − 921795998163530x6+
1548970088408384x7 − 2100872609075270x8 + 2339432022014066x9−
2166639572400320x10 + 1685419746967525x11 − 1109483320904948x12+621489468253834x13 − 297404593302438x14 + 121880797787010x15−
42823782063958x16 + 12897698021387x17 − 3324599103268x18+731208617716x19 − 136567671024x20 + 21512205773x21 − 2830902584x22+
)
23
24
25
26
27
28
29
307177364x − 26989232x + 1871027x − 98456x + 3694x − 88x + x

C2
0
(1)
0.211929 (1)0.241693 (1)0.274516 (1)0.613566 (1)0.667022 (1)0.679086 (1)0.748687 (1)0.814617 (1)1.16193 (1)1.18024 (1)1.27602 (1)1.34586 (1)1.41304 (1)1.44418 (1)1.46391 (1)1.76952 (1)1.8562 (1)1.90158 (1)1.94504 (1)2(2)
2.08368 (1)2.10372 (1)2.3147 (1)2.35019 (1)2.36363 (1)2.4372 (1)2.56642 (1)2.65313 (1)2.6713 (1)2.73079 (1)3.13663 (1)3.44386 (1)3.85282 (1)3.85398 (1)3.91119 (1)4(1)
4.04915 (1)4.19539 (1)4.32815 (1)4.39369 (1)4.53148 (1)4.54172 (1)4.54635 (1)4.59735 (1)4.65432 (1)4.76788 (1)4.84713 (1)4.91869 (1)5.08058 (1)5.09311 (1)5.18174 (1)5.26882 (1)5.37156 (1)5.47419 (1)5.57963 (1)5.66609 (1)5.67096 (1)5.76011 (1)

C2
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C3
P (x) = (−4 + x)4(−2 + x)6x(
− 557660340 + 8329233813x − 55127691398x2 + 218090879535x3−
583814567550x4 + 1131872007137x5 − 1658340411710x6 + 1889549591178x7−
1708486233852x8 + 1243674906498x9 − 736388512220x10 + 357152561775x11−142491170544x12 + 46843843732x13 − 12679508042x14 + 2815931075x15−509718844x16 + 74409012x17 − 8620944x18 + 773907x19−)
51872x20 + 2442x21 − 72x22 + x23(
2410005600 − 46931818200x + 403273714784x2 − 2054033992636x3+
7034425363933x4 − 17393056574982x5 + 32499548833503x6 − 47357574728470x7+
55046736592289x8 − 51897017413050x9 + 40180314421430x10 − 25783308356500x11+
13803794421854x12 − 6193483471180x13 + 2334821012579x14 − 740058368400x15+
197006379064x16 − 43907214310x17 + 8148340939x18 − 1248770268x19+)156156668x20 − 15661144x21 + 1228523x22 − 72568x23 + 3034x24 − 80x25 + x26

C3
0
(1)
0.213782 (1)0.24838 (1)0.262937 (1)0.636157 (1)0.668311 (1)0.682986 (1)0.744163 (1)0.773784 (1)1.20139 (1)1.21837 (1)1.30437 (1)1.31199 (1)1.35598 (1)1.43345 (1)1.4459 (1)1.78491 (1)1.88043 (1)2(6)
2.33032 (1)2.33582 (1)2.38699 (1)2.49638 (1)2.54869 (1)2.55986 (1)2.64241 (1)2.88001 (1)3.03608 (1)3.55698 (1)3.64708 (1)4(4)
4.11791 (1)4.3697 (1)4.38454 (1)4.45869 (1)4.51807 (1)4.59825 (1)4.63568 (1)4.69816 (1)4.73772 (1)4.82485 (1)4.93113 (1)5.04818 (1)5.09176 (1)5.19503 (1)5.30765 (1)5.34084 (1)5.50272 (1)5.53788 (1)5.66859 (1)5.69194 (1)5.75281 (1)

C3
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C4
(
)(
)
P (x) = (−4 + x)2(−2 + x)3x 11 − 7x + x2 3 − 5x + x2(
− 129023280 + 1762939170x − 10373152354x2 + 35856778041x3−
82868029210x4 + 137412738354x5 − 170803393706x6 + 163832764158x7−
123702404356x8 + 74535044543x9 − 36163118046x10 + 14202908986x11−4523997070x12 + 1167075464x13 − 242634794x14 + 40278230x15−)
5259974x16 + 528041x17 − 39298x18 + 2041x19 − 66x20 + x21(− 40345012608 + 825626945888x − 7581731395544x2 + 41967626810112x3−
158625272471604x4 + 439076583569846x5 − 930886296261460x6+
1559192061364303x7 − 2110057937496018x8 + 2346121076896025x9−2170625985791100x10 + 1687376498674081x11 − 1110277288022374x12+621756071173331x13 − 297478575478422x14 + 121897695878691x15−42826936324474x16 + 12898173909029x17 − 3324656188818x18+
731213931104x19 − 136568040684x20 + 21512223851x21−
2830903138x22 + 307177372x23 − 26989232x24+
)
25
26
27
28
29
1871027x − 98456x + 3694x − 88x + x

C4
0
(1)
0.213932 (1)0.230532 (1)0.287644 (1)0.593695 (1)0.651185 (1)0.697224 (1)0.786133 (1)0.800498 (1)1.10127 (1)1.23918 (1)1.28228 (1)1.32842 (1)1.41032 (1)1.44752 (1)1.4852 (1)1.72292 (1)1.8243 (1)1.91131 (1)2(3)
2.07507 (1)2.16824 (1)2.28271 (1)2.35383 (1)2.35652 (1)2.38197 (1)2.54758 (1)2.62598 (1)2.69164 (1)2.85805 (1)3.01578 (1)3.57886 (1)3.70613 (1)3.87036 (1)3.9534 (1)4(2)
4.30278 (1)4.33484 (1)4.35882 (1)4.47718 (1)4.5063 (1)4.59582 (1)4.61803 (1)4.65758 (1)4.78326 (1)4.85754 (1)4.88352 (1)4.97943 (1)5.21003 (1)5.23129 (1)5.25932 (1)5.31323 (1)5.45746 (1)5.59193 (1)5.66668 (1)5.68267 (1)5.75266 (1)

C4
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C5
P (x) = (−4 + x)(−2 + x)3x(
− 33922169760 + 568756091408x − 4273869055244x2 + 19453794780368x3−
60804681647648x4 + 139829058004980x5 − 247089900601620x6+
345580569056844x7 − 390705471315120x8 + 362657726468648x9−279587461514156x10 + 180573673073441x11 − 98318887715262x12+45326492595349x13 − 17739674184940x14 + 5900285743270x15−
1666891356182x16 + 399120397310x17 − 80670983362x18+
13678962279x19 − 1928530822x20 + 223239502x21−)
20844212x22 + 1530331x23 − 85016x24 + 3358x25 − 84x26 + x27(
20230695168 − 403204324480x + 3589597495544x2 − 19178035419748x3+
69662442299856x4 − 184530285123584x5 + 372838735287852x6−
592703388770924x7 + 758174153828444x8 − 793554014358224x9+688256607873524x10 − 499409458606830x11 + 305367861433385x12−
158170385657384x13 + 69647121553569x14 − 26123612712564x15+
8351335336618x16 − 2273368119446x17 + 525637688246x18−
102787513060x19 + 16890220371x20 − 2310999566x21+)
259951718x22 − 23612826x23 + 1688203x24 − 91412x25 + 3522x26 − 86x27 + x28

C5
0
(1)
0.213292 (1)0.226571 (1)0.294996 (1)0.589475 (1)0.637226 (1)0.714477 (1)0.776437 (1)0.815448 (1)1.07678 (1)1.22836 (1)1.32137 (1)1.32688 (1)1.40851 (1)1.46648 (1)1.47383 (1)1.74694 (1)1.75479 (1)1.92938 (1)2(3)
2.09658 (1)2.14346 (1)2.28383 (1)2.34572 (1)2.3549 (1)2.47419 (1)2.49212 (1)2.59407 (1)2.70923 (1)2.86474 (1)3.01108 (1)
3.556
(1)
3.73591 (1)3.82893 (1)3.97304 (1)4(1)
4.13326 (1)4.15151 (1)4.2857 (1)4.37152 (1)4.50397 (1)4.57605 (1)4.59323 (1)4.61004 (1)4.66844 (1)4.78297 (1)4.79053 (1)4.94112 (1)4.9879 (1)5.14521 (1)5.20526 (1)5.31387 (1)5.33335 (1)5.45093 (1)5.59591 (1)5.66156 (1)5.67328 (1)5.75932 (1)

C5
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C6
P (x) = (−4 + x)(−2 + x)2x(
− 34967090610 + 579606010332x − 4325898016546x2 + 19607032184489x3−
61115828159474x4 + 140292645192410x5 − 247616624013482x6+
346048727402660x7 − 391036704281824x8 + 362846510882591x9−279674805272550x10 + 180606616413596x11 − 98329027861608x12+45329034539346x13 − 17740190280910x14 + 5900369787644x15 − 1666902166646x16+399121470172x17 − 80671062558x18 + 13678966371x19 − 1928530954x20+
)
21
22
23
24
25
26
27
223239504x − 20844212x + 1530331x − 85016x + 3358x − 84x + x(− 39316085216 + 809869928856x − 7475320160542x2 + 41538241498812x3−
157451952596022x4 + 436751531963945x5 − 927398696403190x6+
1555115669940542x7 − 2106268988812494x8 + 2343279494846596x9−
2168888777345920x10 + 1686504751944827x11 − 1109916755167630x12+
621632996272980x13 − 297443932147796x14 + 121889685089750x15−
42825425023798x16 + 12897943795880x17 − 3324628366186x18 + 731211323744x19−
136567858222x20 + 21512214883x21 − 2830902862x22 + 307177368x23−
)
24
25
26
27
28
29
26989232x + 1871027x − 98456x + 3694x − 88x + x

C6
0
(1)
0.211974 (1)0.238374 (1)0.278953 (1)0.617458 (1)0.628393 (1)0.726758 (1)0.741417 (1)0.81431 (1)1.12288 (1)1.19731 (1)1.30118 (1)1.35071 (1)1.39981 (1)1.43222 (1)1.4684 (1)1.79611 (1)1.84607 (1)1.88955 (1)1.94745 (1)2(2)
2.05898 (1)2.15954 (1)2.31076 (1)2.34447 (1)2.36496 (1)2.41717 (1)2.51149 (1)2.63354 (1)2.63488 (1)2.91517 (1)3.04517 (1)3.52962 (1)3.65748 (1)3.91813 (1)3.9251 (1)4(1)
4.07535 (1)4.28812 (1)4.31515 (1)4.39262 (1)4.45718 (1)4.51427 (1)4.59456 (1)4.63699 (1)4.64654 (1)4.72305 (1)4.79433 (1)4.94683 (1)5.09342 (1)5.12653 (1)5.20525 (1)5.28568 (1)5.30702 (1)5.47368 (1)5.59355 (1)5.66317 (1)5.67096 (1)5.75995 (1)

C6
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C7
P (x) = (−4 + x)(−2 + x)2x(
− 36261801000 + 591286905480x − 4374287654760x2 + 19729719074656x3−
61329846333828x4 + 140566290646385x5 − 247883256486918x6+
346251830818283x7 − 391159745323658x8 + 362906464888161x9−279698462809438x10 + 180614198398778x11 − 98331000102176x12+45329449056470x13 − 17740260045104x14 + 5900379052075x15 − 1666903115252x16+399121542392x17 − 80671066406x18 + 13678966499x19 − 1928530956x20+
)
21
22
23
24
25
26
27
223239504x − 20844212x + 1530331x − 85016x + 3358x − 84x + x(− 37977713664 + 791854091040x − 7371991048648x2 + 41189656672680x3−
156660826133392x4 + 435452008477136x5 − 925782305873736x6+
1553546947827081x7 − 2105056326018858x8 + 2342522043588459x9−
2168502745713150x10 + 1686343240922601x11 − 1109861113825538x12+621617211176454x13 − 297440255184392x14 + 121888986211650x15−
42825317756412x16 + 12897930710999x17 − 3324627127756x18 + 731211236116x19−
136567853862x20 + 21512214747x21 − 2830902860x22 + 307177368x23−
)
24
25
26
27
28
29
26989232x + 1871027x − 98456x + 3694x − 88x + x

C7
0
(1)
0.209767 (1)0.256049 (1)0.262854 (1)0.588647 (1)0.677806 (1)0.706796 (1)0.749249 (1)0.79868 (1)1.14153 (1)1.23117 (1)1.27216 (1)1.35888 (1)1.35948 (1)1.4546(1)

1.45861 (1)1.8014 (1)1.82409 (1)1.91414 (1)1.92288 (1)2(2)
2.07553 (1)2.13399 (1)2.32257 (1)2.34202 (1)2.36475 (1)2.4972 (1)2.5049 (1)2.62824 (1)2.69197 (1)2.77388 (1)3.02428 (1)3.56947 (1)3.81224 (1)3.86789 (1)3.89251 (1)4(1)
4.12149 (1)4.14649 (1)4.22988 (1)4.40696 (1)4.46731 (1)4.57318 (1)4.59292 (1)4.6327 (1)4.71221 (1)4.72791 (1)4.86619 (1)4.93357 (1)4.98844 (1)5.17602 (1)5.18254 (1)5.25773 (1)5.29646 (1)5.52479 (1)5.59641 (1)5.64712 (1)5.67302 (1)5.75643 (1)

C7
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

C8
P (x) = (−4 + x)(−2 + x)3x(
− 37246511880 + 600024377592x − 4409642491698x2 + 19816704103799x3−
61476159405824x4 + 140745521686511x5 − 248049445566262x6+
346371423937785x7 − 391227639455864x8 + 362937185565167x9−
279709601981724x10 + 180617438775843x11 − 98331754000156x12+45329588241609x13 − 17740280155706x14 + 5900381276062x15 − 1666903296900x16+
399121552712x17 − 80671066770x18 + 13678966505x19 − 1928530956x20+
)
21
22
23
24
25
26
27
223239504x − 20844212x + 1530331x − 85016x + 3358x − 84x + x(
18438568960 − 379452471680x + 3455874909952x2 − 18735282798356x3+
68675450103107x4 − 182935985726254x5 + 370886164113495x6−
590835132243188x7 + 756748622300193x8 − 792674204737282x9+687813182247715x10 − 499225874728386x11 + 305305252809095x12−
158152800016230x13 + 69643065981969x14 − 26122849735814x15+
8351219471894x16 − 2273354142916x17 + 525636380932x18 − 102787421704x19+16890215885x20 − 2310999428x21 + 259951716x22 − 23612826x23+
)
24
25
26
27
28
1688203x − 91412x + 3522x − 86x + x

C8
0
(1)
0.207301 (1)0.239529 (1)0.287013 (1)0.566741 (1)0.67048 (1)0.724009 (1)0.777687 (1)0.795785 (1)1.10029 (1)1.17426 (1)1.31837 (1)1.37515 (1)1.4031(1)
1.43587 (1)1.4834 (1)1.71369 (1)1.84019 (1)1.90961 (1)2(3)
2.0819 (1)2.1454 (1)2.31995 (1)2.35093 (1)2.35987 (1)2.40602 (1)2.43014 (1)2.62553 (1)2.7197 (1)2.94188 (1)2.99457 (1)3.57028 (1)3.63061 (1)3.8758 (1)3.9074 (1)4(1)
4.18006 (1)4.26187 (1)4.34344 (1)4.36417 (1)4.42478 (1)4.51821 (1)4.58938 (1)4.59849 (1)4.67845 (1)4.71063 (1)4.80626 (1)5.02422 (1)5.05176 (1)5.10603 (1)5.22088 (1)5.26439 (1)5.28993 (1)5.54023 (1)5.55449 (1)5.63897 (1)5.69004 (1)5.76087 (1)

C8
6

5

4

3

2

1

10

20

30

40

50

60

Discrete heat kernel

H(t) = exp(−tA)
Green matrix

G(a) = (aI + A)−1 =∫ ∞e−atH(t)dt0

Pseudo Green matrix)(
1G∗ = lim G(a) − E 0 ,a → +0a

1 = t(1, · · · , 1)

E0 =

1
60

1t1

Sobolev energy

E(u) =∑|u(i) − u(j)|2 = u∗Au(i, j) ∈ e

E(a, u) = E(u) + a

59∑|u(j)|2 = u∗(A + aI)u

j=0

u = t(u(0), u(1), · · · , u(59)) ∈ C60,

0<a<∞Theorem 1

u ∈ C60 and u(0) + u(1) + · · · + u(59) = 0(
max | u(j) |)20 ≤ j ≤ 59

C0 =

max

0 ≤ j ≤ 59t=⇒

≤ C E(u)δ j G∗δ j = tδ j0 G∗δ j0

If we replace C by C0 then the equality holds forj0-th column vector of G∗.
j^δ j = t(0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)C0(A1) =C0(A2) =C0(B1) =C0(B2) =C0(B3) =59
1 ∑ 1

60 k = 1 λk=

23974137620036409091911
55355731200
49616123
74390400
25524226539887
38264600989440
31608234737960

C0(C1) =C0(C2) =C0(C3) =C0(C4) =64245195133531571
95746228901687700
3456338284822708922953
5157583784730001587600
156400481511242
233327177482275
2469598657842821
3681835419340320

C0(C5) =C0(C6) =C0(C7) =C0(C8) =8991303197937437303
13403692887728666400
384427839049445420497
572820464240980592400
964321076346238117
1434521140957238400
50141211075179513
74519572245967800

C0(A1) ; 0.63727
C0(A2) ; 0.657729
C0(B1) ; 0.666969
C0(B2) ; 0.667045
C0(B3) ; 0.667127
C0(C1) ; 0.670995
C0(C2) ; 0.670147
C0(C3) ; 0.670305
C0(C4) ; 0.670752
C0(C5) ; 0.670808
C0(C6) ; 0.671114
C0(C7) ; 0.672225
C0(C8) ; 0.67286

00.0204593
0.0296994
0.0297753
0.0298573
0.0337245
0.0328767
0.0330354
0.033482
0.0335378
0.0338439
0.034955
0.0355896

Theorem 2

u ∈ C60=⇒(
max | u(j) |)20 ≤ j ≤ 59

C0(a) =≤ C E(a, u)

max tδ j G(a)δ j = tδ j0 G(a)δ j0

0 ≤ j ≤ 59

If we replace C by C0(a) then the equality holds forj0-th column vector of G(a).

C0(A1, a) =

59
1 ∑

1

60 k = 0 λk + a

=

N (a)
D(a)

N (a) = 3344 + 160806a + 1153562a2 + 3594661a3+
6334271a4 + 7104785a5 + 5406109a6 + 2893077a7+
1109403a8 + 306415a9 + 60463a10 + 8315a11+
757a12 + 41a13 + a14()

D(a) = a(2 + a)(5 + a) 3 + 5a + a2
(
)(
)(
)
8 + 7a + a2 11 + 7a + a2 19 + 9a + a2()
4 + 22a + 25a2 + 9a3 + a4

C0(A1, a)

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

50

100

150

200

C0(A2, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 440877645824 + 27367146861824a + 462157291817296a2+
4050714656861822a3 + 22613036510196994a4 + 88959235576146197a5+
261938841265985343a6 + 600767069130790219a7 + 1103971624355296207a8+
1659632964581060809a9 + 2073842177565261237a10 + 2180866341490340513a11+
1949031221829110335a12 + 1491822749219799812a13 + 984005918276173222a14+
562024909448918629a15 + 278991744998697875a16 + 120688825150954994a17+45576544679623618a18 + 15037924371814443a19 + 4335083301049651a20+
1090850715403918a21 + 239144874716940a22 + 45538396282853a23+
7499870089507a24 + 1062079338218a25 + 128325292364a26+
13093056043a27 + 1112640113a28 + 77284163a29 + 4273197a30+
180844a31 + 5500a32 + 107a33 + a34
(
)(
)(
)
D(a) = a(2 + a)(4 + a)(5 + a) 3 + 5a + a2 8 + 7a + a2 11 + 7a + a2
(
)
2
3
4
5
6
98 + 575a + 821a + 487a + 139a + 19a + a()
256 + 827a + 955a2 + 515a3 + 141a4 + 19a5 + a6(
99848 + 937037a + 3344594a2 + 6391936a3 + 7532510a4 + 5894944a5+
)
6
7
8
9
10
11
12
13
3195866a + 1227895a + 337050a + 65701a + 8886a + 793a + 42a + a

C0(B1, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 11902464 + 656574240a + 7393099856a2 + 40579763632a3+
137016635760a4 + 317355282496a5 + 536751276440a6 + 689863664136a7+
692204761732a8 + 552546748276a9 + 355557565212a10 + 186115788200a11+
79698949438a12 + 27996698426a13 + 8067218912a14 + 1901186464a15+
364169759a16 + 56116363a17 + 6847455a18 + 646055a19+
45423a20 + 2239a21 + 69a22 + a23
(
)(
)(
)
D(a) = a(3 + a) 6 + 6a + a2 14 + 8a + a2 10 + 18a + 8a2 + a3
(
)(
)
2
3
4
2
3
4
5
64 + 118a + 66a + 14a + a
18 + 112a + 142a + 69a + 14a + a()
246 + 830a + 956a2 + 515a3 + 141a4 + 19a5 + a6

C0(B2, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 22840395427936665600 + 1764170527811410135040a+
47087535452280380386880a2 + 703254536775773539507760a3+
7015710974339232710972144a4 + 51217121334046243825847552a5+
289227514017990002007525024a6 + 1311366445365745862261975728a7+
4903100211164892507453063984a8 + 15423968132629846677934087232a9+41464587106902286455307854256a10 + 96454744331600620361756179936a11+
196128614801542999281478367760a12 + 351541622395457408681976989064a13+559357060039763736532932085368a14 + 794819540687494949190727387752a15+
1013740859314758760921416650272a16 + 1165640809540507309899478188612a17+
1212891021613116041168312811092a18 + 1145821608116283210822081738432a19+
985551864504895170645712570472a20 + 773700629207180704882651753252a21+555540085150657931601596599768a22 + 365506187040315147165915748708a23+
220689286536615417747357014840a24 + 122444030679255628612639163046a25+
62492323381911253454550007296a26 + 29364149728315229688018928406a27+
12711286569833829704687735818a28 + 5071496441284680229366229376a29+

1865373328360759195204688836a30 + 632561259113889080827302785a31+
197735932457114643910679941a32 + 56959533345058437931721662a33+
15111437884750072290446648a34 + 3689507229014478050657240a35+
828163031031571727233912a36 + 170686002765394740869108a37+
32250816325291253575504a38 + 5576120586117245022955a39+
880244442499024935679a40 + 126533240992469729380a41+
16511094603551091600a42 + 1948528283583120130a43+
207055001679040402a44 + 19707531053360154a45+
1669567855884720a46 + 124930903171831a47 + 8179497774003a48+
463053194012a49 + 22324673532a50 + 898395016a51+
29354004a52 + 747950a53 + 13940a54 + 169a55 + a56

(D(a) = a 44768 + 455938a + 1734518a2 + 3527864a3 + 4429788a4+
3698064a5 + 2139272a6 + 876477a7 + 256170a8 + 53055a9 + 7604a10+
)
11
12
13
717a + 40a + a(167880 + 1135190a + 3333882a2 + 5657352a3 + 6220108a4 + 4701136a5+
)
6
7
8
9
10
11
12
13
2523260a + 977337a + 274050a + 55099a + 7740a + 721a + 40a + a(
398720 + 4215458a + 17515520a2 + 40405876a3 + 59577850a4 + 60447322a5+
44042916a6 + 23631964a7 + 9463582a8 + 2839853a9 + 635464a10 + 104419a11+
)
12
13
14
15
12226a + 965a + 46a + a(457320 + 4434850a + 17873280a2 + 40737960a3 + 59770398a4 + 60519398a5+
44060300a6 + 23634568a7 + 9463802a8 + 2839861a9 + 635464a10 + 104419a11+)
12226a12 + 965a13 + 46a14 + a15

C0(B3, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 505382400 + 31085264896a + 496334043904a2 + 4032822252736a3+
20523087501824a4 + 72464790021504a5 + 188700605364800a6+
377329348010736a7 + 596119514742944a8 + 759784215149816a9+793650763583088a10 + 687655134854992a11 + 498776098113408a12+304964841147766a13 + 157981759440416a14 + 69578309042138a15+
26103588803056a16 + 8346647190203a17 + 2272484781652a18+
525504601274a19 + 102771692118a20 + 16888769089a21+
2310900456a22 + 259946974a23 + 23612684a24 + 1688201a25+
91412a26 + 3522a27 + 86a28 + a29
(
)
2
3
4
D(a) = a(2 + a)(3 + a)(5 + a) 36 + 88a + 56a + 13a + a(
656 + 5640a + 15880a2 + 21396a3 + 15978a4+
)
5
6
7
8
9
7088a + 1911a + 307a + 27a + a(42800 + 402552a + 1483372a2 + 2978576a3 + 3734072a4 + 3136628a5+
)
6
7
8
9
10
11
12
13
1836114a + 764384a + 227689a + 48165a + 7062a + 682a + 39a + a

C0(C1, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 2859620703197072640 + 219353748972424670464a+
5747854626590649174784a2 + 83934659099726903357568a3+
816503236769581357132480a4 + 5799414953391880472145152a5+
31798306380943983167228736a6 + 139714563317084539552959872a7+
505271349808679834568779664a8 + 1534557621077281096176340192a9+3975584311052299261358057600a10 + 8895869112675984008976720336a11+17367958864888557662698636488a12 + 29834817385077250506106710048a13+
45411029927441498643296659852a14 + 61608618168883559003731258424a15+
74879240376109100817191535032a16 + 81885076784194859717999599048a17+
80870815241049377301710367880a18 + 72363448966163901533355636428a19+
58828916092690541813951352886a20 + 43555380199393908351697810443a21+
29427818959285376710982899037a22 + 18175717412153506913791301396a23+
10277139108717035633061825646a24 + 5326200848894918034789302127a25+
2532442526033489093887985059a26 + 1105478974804353445112645972a27+443267404916784050501403646a28 + 163307677602321120981328704a29+
55284058144867627152787662a30 + 17194027516276283914174924a31+
4911044011915655434938450a32 + 1287420894890828592716602a33+

309486328284718689949200a34 + 68146485537038390841874a35+
13724786613164216314358a36 + 2523857748799952448445a37+
422861320905237828945a38 + 64386956707147232690a39+
8882680894356467822a40 + 1106275500247984394a41+
123845130699041042a42 + 12397752273003536a43+
1102919779247652a44 + 86532517331895a45 + 5931621704951a46+
351081953942a47 + 17673043212a48 + 741622600a49 + 25236840a50+
668922a51 + 12954a52 + 163a53 + a54
D(a) = a(2 + a)(
77190 + 383344a + 808656a2 + 968855a3 + 738553a4 + 378242a5+)
133356a6 + 32475a7 + 5368a8 + 575a9 + 36a10 + a11(
12796 + 127138a + 459112a2 + 868524a3 + 996257a4 + 746079a5+)
379464a6 + 133464a7 + 32479a8 + 5368a9 + 575a10 + 36a11 + a12(122520 + 1325504a + 6041028a2 + 15619080a3 + 25903278a4 + 29440464a5+
23854840a6 + 14113875a7 + 6178453a8 + 2009898a9 + 483788a10 + 84911a11+
)
12
13
14
15
10552a + 879a + 44a + a(708904 + 7249920a + 29235644a2 + 65418908a3 + 93378986a4 + 91499228a5+
64241260a6 + 33151505a7 + 12748827a8 + 3669812a9 + 787140a10+
)
11
12
13
14
15
123927a + 13900a + 1051a + 48a + a

C0(C2, a) =max{N1(a), N5(a)}D(a)N1(a) = 183380756790400056448 + 14327225457725911469024a+
389111466243940898232480a2 + 5932352730803185068919812a3+
60568448107463115694188090a4 + 453558924841917655390413700a5+
2632740796539127430748948968a6 + 12294120321184325446789050152a7+
47431689292060745676889050504a8 + 154245783546065507965546716804a9+429429789101003375384118323540a10 + 1036343839818206960312591164030a11+2190024747280270089868813176902a12 + 4086708146799728120500572983296a13+
6781693083393431276206550200228a14 + 10067891695771956082556186163176a15+
13439877289312919474576316981542a16 + 16203921968728503025721770798526a17+
17711976164679178230584464555710a18 + 17610502237770805078712938631190a19+
15972874219121727552955619264712a20 + 13249131404301253082038343108661a21+
10072297274329166381102325206271a22 + 7031103784830445890025389746370a23+4514144407648755958529193398952a24 + 2669216758841729909158074444046a25+
1455300889118218476307741548698a26 + 732314323613305793300330432296a27+
340368544817210325430548099010a28 + 146204148375485407475430878552a29+

58063335778044031640585116316a30 + 21324247382033155307301991142a31+
7242633086056757314217323578a32 + 2274654100611860664650238989a33+
660384819542341136238687939a34 + 177144249774341343662345650a35+
43873790316869507859115764a36 + 10023974103170490524717242a37+
2110285660888737691554220a38 + 408799874562779403793678a39+
72749496281487886338920a40 + 11869853246826088399567a41+
1771532651146602553423a42 + 241188035263563633538a43+
29858704339512042430a44 + 3348518543050015424a45+
338656730882189476a46 + 30724385415081638a47+
2484589257129642a48 + 177712315368245a49+
11136414326333a50 + 604188395332a51+
27949875660a52 + 1080502640a53+
33953224a54 + 832942a55 + 14962a56 + 175a57 + a58

N5(a) = 183380756790400056448 + 14324372301335649536736a+
389223899392115934466848a2 + 5936371799760066891782388a3+
60623418695858945200753050a4 + 454017200312517632739372472a5+
2635439905829314253698780392a6 + 12306219612160525421256126720a7+
47474883042624259009457386048a8 + 154372394425412276659725597568a9+429741292082911712162645195266a10 + 1036997856754035941683798693698a11+2191211747235404082920407496028a12 + 4088589686078704703636289537936a13+
6784319755306361209099970016430a14 + 10071143464131398547484780120524a15+13443467720670510149927280730072a16 + 16207474835708906462530252225026a17+
17715139763421202388227532538364a18 + 17613045821223701184066740312660a19+
15974726185870821346635857044676a20 + 13250355466332378033388714614675a21+
10073033212783634741189276804355a22 + 7031506942785029927211327287302a23+4514345914514380938294249387994a24 + 2669308748422414296642692162774a25+
1455339273159515696116410904282a26 + 732328970185193966509463330170a27+
340373656784357067123373593226a28 + 146205780241453926693948112502a29+

58063812083042012493026998612a30 + 21324374418391370028499227740a31+
7242664019104802119341911318a32 + 2274660968776524726113171809a33+
660386207903676706903416623a34 + 177144504786294785696669172a35+
43873832776539738543032592a36 + 10023980493052339276978276a37+
2110286527039131383825688a38 + 408799979868960474162454a39+
72749507706972810478556a40 + 11869854346309156300985a41+
1771532744286110776583a42 + 241188042144900988082a43+
29858704777762622162a44 + 3348518566749676916a45+
338656731948940164a46 + 30724385453961484a47+
2484589258231844a48 + 177712315391043a49+
11136414326639a50 + 604188395334a51+
27949875660a52 + 1080502640a53+
33953224a54 + 832942a55 + 14962a56 + 175a57 + a58

D(a) = 11002845407424003386880a+
417222227006247946003456a2 + 7516469570162907581256384a3+
85943764591090932637051416a4 + 702929020579793415666210172a5+
4393961120622461522824331472a6 + 21898757804923309272760617704a7+
89618025016863045004609550576a8 + 307764889989080347132123117632a9+901855484613233799823228774592a10 + 2284989662942426579872648442760a11+5059479599534002183017600655616a12 + 9877157578453048886276811913612a13+
17126416863275728951668443346944a14 + 26541179095209836066597895872488a15+36957936816471850827618235208420a16 + 46453637085054034897782248282092a17+
52914882674534260610919545805060a18 + 54812165375736560428898365344508a19+
51786723928463161169932055172468a20 + 44744158173836870204017888643408a21+35433857907896107385448939124838a22 + 25770513606441900150105494930661a23+
17242204124247732908853250817652a24 + 10628336484609505804469450079712a25+
6043414763823978280172310672880a26 + 3173196878691075982766975451444a27+
1539851192226461967050875274688a28 + 691063791632412528077369681794a29+

286965502882698417519529034704a30 + 110294511441692948647066946696a31+
39242637646954919980609253008a32 + 12925188584771425569234935390a33+
3940126808595763424258724738a34 + 1111276475131249323071585109a35+
289825926946954176378883568a36 + 69845146785181725384925326a37+
15538533646096332188604808a38 + 3187514464366349820796506a39+
602073057729085720174756a40 + 104536667439660935299378a41+
16651137654805893093310a42 + 2427477334682315095771a43+
323002212564390742304a44 + 39101201594191028904a45+
4289997817781045184a46 + 424674166060251052a47+
37728450094393552a48 + 2988957161013312a49+
209528912765286a50 + 12873835314783a51+
685076473320a52 + 31096549020a53+
1179992500a54 + 36408706a55 + 877312a56 + 15484a57 + 178a58 + a59

N (a)1
C0(C2, a) = D(a)
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

N (a)

5
C0(C2, a) = D(a)
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

{
C0(C2, a) = max

N1(a) N5(a),D(a) D(a)

}

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

N5(a) − N1(a)3 ´ 1016

2 ´ 1016

1 ´ 1016

0.012-1 ´ 1016

a0 = 0.0151

0.014

0.016

0.018

0.020

C0(C3, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 179195272306387200 + 13507399152570427200a+
342622972804449386448a2 + 4814122411870435355996a3+
44861420104232528149894a4 + 304046078109897919486482a5+
1584906544793483640527801a6 + 6597029169180473804705737a7+
22523590790210718433323308a8 + 64361343369372864904428854a9+
156353958091371537341934683a10 + 326968925649735062664827869a11+594596293938198327587165806a12 + 948184246959171550679341000a13+
1335234750879815064955374131a14 + 1670248525364174684991284263a15+
1865268612149382187174321956a16 + 1867658766516099189747636700a17+
1682829787871359789590013962a18 + 1368770764325724553977969894a19+
1007700752070711970432453838a20 + 673023295911947255027456232a21+408561098191731542325254232a22 + 225788048305663773984313126a23+
113741637265595021740701106a24 + 52281415991370048833585734a25+
21943316801536574734628687a26 + 8413729722717816491237265a27+
2947803778026344374961882a28 + 943652970413896969526852a29+

275927425014387683545066a30 + 73653217256288957754282a31+
17931706027226055468360a32 + 3977100706249385462346a33+802340542956641658719a34 + 146947687550912485857a35+
24375488265749194878a36 + 3651621257593120970a37+
492331379780596832a38 + 59491924065113348a39+
6410632326020116a40 + 612255089129920a41+
51440390198023a42 + 3766964373975a43+
237642565878a44 + 12722551532a45+
566610832a46 + 20422448a47+
572254a48 + 11694a49 + 155a50 + a51

D(a) = a(2 + a)(4 + a)(
557660340 + 8329233813a + 55127691398a2+
218090879535a3 + 583814567550a4 + 1131872007137a5+
1658340411710a6 + 1889549591178a7 + 1708486233852a8+
1243674906498a9 + 736388512220a10 + 357152561775a11+142491170544a12 + 46843843732a13 + 12679508042a14+2815931075a15 + 509718844a16 + 74409012a17+
)
18
19
20
21
22
23
8620944a + 773907a + 51872a + 2442a + 72a + a(
2410005600 + 46931818200a + 403273714784a2 + 2054033992636a3+
7034425363933a4 + 17393056574982a5 + 32499548833503a6+
47357574728470a7 + 55046736592289a8 + 51897017413050a9+40180314421430a10 + 25783308356500a11 + 13803794421854a12+
6193483471180a13 + 2334821012579a14 + 740058368400a15+
197006379064a16 + 43907214310a17 + 8148340939a18 + 1248770268a19+)
156156668a20 + 15661144a21 + 1228523a22 + 72568a23 + 3034a24 + 80a25 + a26

C0(C4, a) =

N (a)

D(a)
(
N (a) = (4 + a) 1431497611039516416 + 110119451675157514944a+
2902816365100755175560a2 + 42694684593734656250884a3+
418669244161741172125784a4 + 2999685406120426737007954a5+
16601003112047207165173280a6 + 73662237931335999828873788a7+
269162276650303961717788140a8 + 826333182883709564305491633a9+2164894348023478134084285627a10 + 4900674328825817073411901982a11+
9682863323985793944491918444a12 + 16838776896508370355863263131a13+
25954616983757154167995041583a14 + 35668491552492565424509805406a15+
43924712562732314443906557386a16 + 48681211861591078808183479905a17+
48736399252727628953633196851a18 + 44215342422196246414037709702a19+
36451491560116085963962344586a20 + 27372049286725530104858394663a21+
18759743429530361580145015045a22 + 11754878029123568471528484768a23+
6743779543386975325271042438a24 + 3546440357772184748633355767a25+
1711161396883371443200743565a26 + 758059772322736427763428194a27+
308488503640469036483947296a28 + 115348564227607055453398489a29+

39631807434450850942153099a30 + 12510076438530783733433446a31+
3626509775769937652148732a32 + 964844006526455583577644a33+
235387386238086929329088a34 + 52597978280594601292206a35+
10749520120725297525210a36 + 2005745497511809654147a37+
340958723274768320507a38 + 52669127761195947694a39+
7370797683666222346a40 + 931108552796557666a41+
105714302212377268a42 + 10731583258167712a43+
968002143332782a44 + 76995667644665a45+
5350023274283a46 + 320940584638a47+
16371863932a48 + 696106120a49+
)
50
51
52
53
54
23997540a + 644286a + 12636a + 161a + a()()D(a) = a(2 + a) 3 + 5a + a2 11 + 7a + a2(
129023280 + 1762939170a + 10373152354a2 + 35856778041a3 + 82868029210a4+
137412738354a5 + 170803393706a6 + 163832764158a7 + 123702404356a8+
74535044543a9 + 36163118046a10 + 14202908986a11 + 4523997070a12+
1167075464a13 + 242634794a14 + 40278230a15 + 5259974a16+)528041a17 + 39298a18 + 2041a19 + 66a20 + a21(
40345012608 + 825626945888a + 7581731395544a2 + 41967626810112a3+
158625272471604a4 + 439076583569846a5 + 930886296261460a6+
1559192061364303a7 + 2110057937496018a8 + 2346121076896025a9+
2170625985791100a10 + 1687376498674081a11 + 1110277288022374a12+621756071173331a13 + 297478575478422a14 + 121897695878691a15+
42826936324474a16 + 12898173909029a17 + 3324656188818a18+
731213931104a19 + 136568040684a20 + 21512223851a21 + 2830903138a22+)
307177372a23 + 26989232a24 + 1871027a25 + 98456a26 + 3694a27 + 88a28 + a29

C0(C5, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 22875635861723590656 + 1771610487172824563200a+
47295532252387036757952a2 + 706134264004565767540192a3+
7041144711763026185479664a4 + 51377529632337604831600448a5+
289997981310142683123221048a6 + 1314304768485423455922439456a7+
4912261136265904407564189656a8 + 15447825608259090038511624144a9+
41517348472317378470855617712a10 + 96555125675897519362272072832a11+
196294639061391662338224439412a12 + 351782380522570040794590441332a13+
559665345386331073995334580742a14 + 795170175586117362727185288320a15+
1014096858256264569675182776448a16 + 1165964820413003396200687086018a17+
1213156318938009241669984613834a18 + 1146017616204282046208611186236a19+
985682867242813761770454868244a20 + 773780000939924299617589782044a21+
555583754780870810521789277756a22 + 365528035451352137174692071197a23+
220699237048920088039909071807a24 + 122448159083650900743090301748a25+
62493884472889345151364285508a26 + 29364687818920924570544688935a27+
12711455617587894652660461101a28 + 5071544825792904104585323904a29+

1865385935807333975131204734a30 + 632564246620122669484254700a31+
197736575340391245168070066a32 + 56959658747205651441339900a33+
15111460007571158210613804a34 + 3689510748898460409794054a35+
828163534412499730423766a36 + 170686067206439029976036a37+
32250823673206696327562a38 + 5576121327888595384085a39+
880244508302974268979a40 + 126533246075269947026a41+
16511094941436703038a42 + 1948528302626258938a43+
207055002571043474a44 + 19707531087144608a45+
1669567856878630a46 + 124930903193137a47+
8179497774299a48 + 463053194014a49+
22324673532a50 + 898395016a51+
29354004a52 + 747950a53 + 13940a54 + 169a55 + a56

D(a) = a(2 + a)(
33922169760 + 568756091408a + 4273869055244a2+
19453794780368a3 + 60804681647648a4 + 139829058004980a5+
247089900601620a6 + 345580569056844a7 + 390705471315120a8+362657726468648a9 + 279587461514156a10 + 180573673073441a11+
98318887715262a12 + 45326492595349a13 + 17739674184940a14+
5900285743270a15 + 1666891356182a16 + 399120397310a17 + 80670983362a18+
13678962279a19 + 1928530822a20 + 223239502a21 + 20844212a22+
)
23
24
25
26
27
1530331a + 85016a + 3358a + 84a + a(
20230695168 + 403204324480a + 3589597495544a2 + 19178035419748a3+
69662442299856a4 + 184530285123584a5 + 372838735287852a6+
592703388770924a7 + 758174153828444a8 + 793554014358224a9+688256607873524a10 + 499409458606830a11 + 305367861433385a12+
158170385657384a13 + 69647121553569a14 + 26123612712564a15+
8351335336618a16 + 2273368119446a17 + 525637688246a18+
102787513060a19 + 16890220371a20 + 2310999566a21 + 259951718a22+
)
23
24
25
26
27
28
23612826a + 1688203a + 91412a + 3522a + 86a + a

C0(C6, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 45825637139278447392 + 3571720928625000378544a+
96465789154886733059756a2 + 1460556869037499772288898a3+
14794657855859119385302264a4 + 109824488413752952126647278a5+
631471877513175539827717944a6 + 2918880141116861987677508814a7+
11139444941656030314744625545a8 + 35809079768367816028767747409a9+
98484386683337621970689996848a10 + 234630140729790665831373337752a11+
489147380130438492759396766818a12 + 899862407100858857119851123608a13+
1471115691766237828549717079166a14 + 2150007656634107012966583964428a15+2823365133138824519921011957686a16 + 3346027141913037317235406822614a17+
3592277705152966160810694994774a18 + 3505191592548820162783113540596a19+
3117383316076815204537253660377a20 + 2533242824771056675548373138627a21+
1884947478908222967223912799458a22 + 1286639808291688970188083744260a23+
806926501539897904858160751680a24 + 465595552031389365041927647804a25+
247435926918770862362247155144a26 + 121223259768176402355236567610a27+
54787598960224071988462177046a28 + 22854545246264970972119488958a29+

8802316692425539303548342562a30 + 3130514428082649963908934710a31+
1028037397134745452755960592a32 + 311655892809434391229490018a33+
87182578758927492955100790a34 + 22490481504962881777677606a35+
5345837817681569202190544a36 + 1169535668821630655208132a37+
235187714552565616948932a38 + 43403066328965374526524a39+
7336610344493555675193a40 + 1133311000453471701125a41+
159555435958141941994a42 + 20408151546689186880a43+
2362638307768345356a44 + 246470064745332686a45+
23046666800901868a46 + 1919429663264904a47+
141289898741735a48 + 9105604162327a49+
507702541078a50 + 24121463564a51+
957103024a52 + 30849904a53 + 775830a54 + 14278a55 + 171a56 + a57

D(a) = a(2 + a)(
34967090610 + 579606010332a + 4325898016546a2+
19607032184489a3 + 61115828159474a4 + 140292645192410a5+247616624013482a6 + 346048727402660a7 + 391036704281824a8+
362846510882591a9 + 279674805272550a10 + 180606616413596a11+98329027861608a12 + 45329034539346a13 + 17740190280910a14+
5900369787644a15 + 1666902166646a16 + 399121470172a17+80671062558a18 + 13678966371a19 + 1928530954a20+
223239504a21 + 20844212a22 + 1530331a23+
)
24
25
26
27
85016a + 3358a + 84a + a(
39316085216 + 809869928856a + 7475320160542a2+
41538241498812a3 + 157451952596022a4 + 436751531963945a5+
927398696403190a6 + 1555115669940542a7 + 2106268988812494a8+
2343279494846596a9 + 2168888777345920a10 + 1686504751944827a11+
1109916755167630a12 + 621632996272980a13 + 297443932147796a14+
121889685089750a15 + 42825425023798a16 + 12897943795880a17+
3324628366186a18 + 731211323744a19 + 136567858222a20+
21512214883a21 + 2830902862a22 + 307177368a23+)
26989232a24 + 1871027a25 + 98456a26 + 3694a27 + 88a28 + a29

C0(C7, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 45904676510631628800 + 3580108146837440849664a+
96640539052794609750048a2 + 1462432520052185252297760a3+
14807752904745362752147440a4 + 109890677574760799517722880a5+
631729423444007423076684104a6 + 2919682802221673916447416284a7+
11141504647907989558805736552a8 + 35813520476460740800643667934a9+98492555189442146117279504444a10 + 234643115034944263905777210898a11+
489165345129214091092033195023a12 + 899884261127258846943086734027a13+
1471139196048985712658940831296a14 + 2150030123472252554838390023410a15+
2823384301912736535711849549935a16 + 3346041792643608900247024674701a17+
3592287765639787079263904775970a18 + 3505197814406056542469820192040a19+
3117386788248606832798301675585a20 + 2533244575883667577762952087025a21+
1884948277891746727964377046968a22 + 1286640138348845623103474625150a23+
806926625028847451944718180126a24 + 465595593877969861211678283562a25+
247435939757844522005109261046a26 + 121223263332164139621085143338a27+
54787599854317448596628395272a28 + 22854545448661521375607634116a29+

8802316733684679964415417910a30 + 3130514435637468250656271430a31+
1028037398373355649888102677a32 + 311655892990548868296272799a33+
87182578782434406742720870a34 + 22490481507655051455128530a35+
5345837817951661381393490a36 + 1169535668845152949766406a37+
235187714554323580704840a38 + 43403066329076456530338a39+
7336610344499373879409a40 + 1133311000453717487369a41+
159555435958149987472a42 + 20408151546689378332a43+
2362638307768348302a44 + 246470064745332708a45+
23046666800901868a46 + 1919429663264904a47+
141289898741735a48 + 9105604162327a49+
507702541078a50 + 24121463564a51+
957103024a52 + 30849904a53 + 775830a54 + 14278a55 + 171a56 + a57

D(a) = a(2 + a)(
36261801000 + 591286905480a + 4374287654760a2+
19729719074656a3 + 61329846333828a4 + 140566290646385a5+
247883256486918a6 + 346251830818283a7 + 391159745323658a8+
362906464888161a9 + 279698462809438a10 + 180614198398778a11+98331000102176a12 + 45329449056470a13 + 17740260045104a14+
5900379052075a15 + 1666903115252a16 + 399121542392a17+80671066406a18 + 13678966499a19 + 1928530956a20+
)
21
22
23
24
25
26
27
223239504a + 20844212a + 1530331a + 85016a + 3358a + 84a + a(
37977713664 + 791854091040a + 7371991048648a2 + 41189656672680a3+
156660826133392a4 + 435452008477136a5 + 925782305873736a6+
1553546947827081a7 + 2105056326018858a8 + 2342522043588459a9+
2168502745713150a10 + 1686343240922601a11 + 1109861113825538a12+621617211176454a13 + 297440255184392a14 + 121888986211650a15+
42825317756412a16 + 12897930710999a17 + 3324627127756a18+
731211236116a19 + 136567853862a20 + 21512214747a21 + 2830902860a22+
)
23
24
25
26
27
28
29
307177368a + 26989232a + 1871027a + 98456a + 3694a + 88a + a

C0(C8, a) =

N (a)
D(a)

N (a) = 22892412593961308160 + 1775544737442544581120a+47380027568607716488576a2 + 707026496558578844277920a3+
7047188368364005571657232a4 + 51406988201750320514151190a5+
290108180175703309475203202a6 + 1314634425868012245088464969a7+
4913072537038686818952602323a8 + 15449503354959049656802241640a9+
41520309122537301632180684386a10 + 96559639681711433620768227965a11+
196300643993607658388564691517a12 + 351789405871926462203363703088a13+559672620789357547693625076046a14 + 795176880521344000241202029033a15+
1014102381540773098756301548863a16 + 1165968902190695124863364877236a17+
1213159033204364806939061722196a18 + 1146019244246193048452830006275a19+
985683749780168970941897604443a20 + 773780433958373166717130144010a21+555583947293565652644193092196a22 + 365528113058014898531630929367a23+
220699265426266620793276381393a24 + 122448168495309935817241560838a25+
62493887303052639779169774322a26 + 29364688589953536911552371871a27+
12711455807670132537894571203a28 + 5071544868130093417064721466a29+

1865385944309140486322992332a30 + 632564248155347771959874354a31+
197736575588874544969588848a32 + 56959658783111094524504218a33+
15111460012180618416440646a34 + 3689510749421073246242230a35+
828163534464446958181506a36 + 170686067210924693816722a37+
32250823673539319781966a38 + 5576121327909462290785a39+
880244508304060013301a40 + 126533246075315535144a41+
16511094941438186964a42 + 1948528302626294068a43+
207055002571044012a44 + 19707531087144612a45+
1669567856878630a46 + 124930903193137a47+
8179497774299a48 + 463053194014a49+
22324673532a50 + 898395016a51+
29354004a52 + 747950a53 + 13940a54 + 169a55 + a56

(D(a) = a(2 + a) 37246511880 + 600024377592a + 4409642491698a2+
19816704103799a3 + 61476159405824a4 + 140745521686511a5+
248049445566262a6 + 346371423937785a7 + 391227639455864a8+362937185565167a9 + 279709601981724a10 + 180617438775843a11+98331754000156a12 + 45329588241609a13 + 17740280155706a14+
5900381276062a15 + 1666903296900a16 + 399121552712a17+80671066770a18 + 13678966505a19 + 1928530956a20+
223239504a21 + 20844212a22 + 1530331a23+
)
24
25
26
27
85016a + 3358a + 84a + a(
18438568960 + 379452471680a + 3455874909952a2+
18735282798356a3 + 68675450103107a4 + 182935985726254a5+
370886164113495a6 + 590835132243188a7 + 756748622300193a8+
792674204737282a9 + 687813182247715a10 + 499225874728386a11+305305252809095a12 + 158152800016230a13 + 69643065981969a14+26122849735814a15 + 8351219471894a16 + 2273354142916a17+525636380932a18 + 102787421704a19 + 16890215885a20+
2310999428a21 + 259951716a22 + 23612826a23+)
1688203a24 + 91412a25 + 3522a26 + 86a27 + a28

Green matrix(aI + A)u = fm
u = G(a)f
G(a) = (aI + A)−1 =∫ ∞0e−atH(t)dt

Pseudo Green matrix
E 0f = 0 =⇒{Au = f
E 0u = 0mu = G∗f()
1
G∗ = lim G(a) − E 0
a → +0aEnergy form(u, v)A = (Au, v) = v ∗Au,k u k2A = (u, u)A = E(u)(u, v)H = ((A + aI)u, v) = v ∗(A + aI)u,k u k2H = (u, u)H = E(a, u)j^δ j = t(0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)Reproducing relationu ∈ CN and u(0) + u(1) + · · · + u(N − 1) = 0
u(j) = (u, G∗δ j )At

δ j G∗δ j = k G∗δ j k2A = E(G∗δ j )u ∈ CN=⇒u(j) = (u, G(a)δ j )Ht

δ j G∗(a)δ j = k G(a)δ j k2H = E(a, G(a)δ j )=⇒