医学部進学予備校メビオ 医学部専門予備校 YMS 英進館メビオ
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解答速報

関西医科大学（後期） 数学

2023年 3月 4日実施

Ⅰ

青玉が 4 個，赤玉が 4 個，白玉が 1 個，黒玉が 1 個入っている袋がある。A さんは袋から玉を 1 つ無作為に取り出し，その玉の色をある装置に入力する。この装置は入力された色の情報を離れた場所の B さんに伝達する。この装置の内部では，下の表に示すように 4 つの色の情報をそれぞれコードと呼ばれる 0 か 1 で表された 2 桁の数値に変換して伝達している。装置がこのコードを伝達するときには，0 か 1 かのどちらかの数値を上位の桁から順に伝達するが，数値を 1 つ伝達するたびに一定の確率 (20%) で，0 を 1 や 1 を 0 のように間違って伝達してしまうとき，以下の確率を求めよ。
なお，各設問の答えは解答用紙の指定欄に百分率 (%)で表し，必要があれば小数第 1 位を四捨五入して答えよ。左の枠内には答えの導出課程を簡潔に記入すること。
色

コード青赤
白黒00011011(1) 「青」と入力された色の情報が正しく「青」と伝達される確率(2) 「赤」と入力された色の情報が間違って「白」と伝達される確率(3) B さんに伝達された色の情報が「黒」である確率(4) B さんに伝達された色の情報が「黒」であるときに，A さんが取り出したのが黒玉である条件付き確率
解答(1) 「青」と入力された色の情報が正しく「青」と伝達されるのは，コードが 2 桁とも正しく伝達されるときなので，4416·== 0.64 = 64%5525(2) 「赤」と入力された色の情報が「白」と伝達されるのは，コードが 2 桁とも間違って伝達されるときなので，111·== 0.04 = 4%5525(3) 色の情報が「黒」と伝達されるのは，以下の 4 パターンである．
(i) 青玉を取り出して，その情報が「黒」と伝達されるとき
コードが 2 桁とも間違って伝達されるときなので，4114··=
1055250〈〈 模試・講座のご案内 〉〉

メビオ学校説明会・無料体験を実施しています※ 詳細 は最 終面 をご 確 認 く だ さ い医学部進学予備校メビオ(ii) 赤玉を取り出して，その情報が「黒」と伝達されるとき
コードの上位の桁が間違って，下位の桁が正しく伝達されるときなので，14164··=
1055250(iii) 白玉を取り出して，その情報が「黒」と伝達されるとき
コードの上位の桁が正しく，下位の桁が間違って伝達されるときなので，

14
14··=
1055250(iv) 黒玉を取り出して，その情報が正しく「黒」と伝達されるとき
コードが 2 桁とも正しく伝達されるときなので，44161··=1055250以上より，求める確率は

4 + 16 + 4 + 16
4== 0.16 = 16%25025(4) (3) の結果より，16250425=2= 0.40 = 40%
5医学部進学予備校メビオ

Ⅱ

2 つの関数を f (x) = x2 (x + 1)2 (x − 1)2 , g(x) = x2 + 1 とおく。f (x) を g(x) で割ったときの商を Q，余りを R とするとき，以下の設問に答えよ。

<x<(1) 0 == 1 における y = f (x) の値域を求めよ。
(2) Q と R を求めよ。
Z 1
Rdx を求めよ。
(3)g(x)0(4) 円周率が 3.2 より小さいことを証明せよ。
解答(1) f (x) = (x3 − x)2 であるから
f ′ (x) = 2(x3 − x)(3x2 − 1)
= 2x(x + 1)(x − 1)(3x2 − 1)1
< 1 における増減は次のようになる．
であり， f (x) の 0 <=x=3となるので， f ′ (x) = 0 ⇐⇒ x = 0, ±1, ± √

x0···

1
√
3···

1

f ′ (x)0+−0f (x)

0

↗

0427

↘

0

したがって， 0 <=x<
= 1 における y = f (x) の値域は 0 <=y<=427である．

(2) 実際に割り算を実行すると f (x) = g(x)(x4 − 3x2 + 4) − 4 となるので，Q = x4 − 3x2 + 4, R = −4 である．

Z 1(3)0dx =Rdx = −4g(x)Z 10 ππ 1dx···①である．ここで，
x=tanθ
−<θ<と置換すると，
x2 + 1220→1x1dθ および2cos θθ0 → π4であるから，① = −4Z π40= −411·dθcos2 θtan2 θ + 1

Z π41 dθ0= −πとなる．

(4)f (x)f (x)> 0 であるから，は0<x<1 において恒等的に 0 ではなく，かつ==g(x)g(x) =Z 10f (x)dx > 0 · · · ②g(x)が成立している．ここで，(2) および (3) の結果を用いるとZ 10f (x)dx =g(x)Z 1
Q+0Z 1=
=0Rg(x)dx
x4 − 3x2 + 4 dx − 4

1
1 53x − x + 4x − π50Z 101dxx2 + 1

医学部進学予備校メビオ= 3.2 − πとなるが，② よりこの値が正であることから， π < 3.2 である．すなわち，円周率は 3.2 より小さい． （証明終）医学部進学予備校メビオ

Ⅲ

座標空間上の 0 < x, 0 < y, 0 < z の領域を H とする。H 内の点 P(xp , yp , zp ) に対して，0 <=x<= xp かつ0<=y<= yp かつ 0 <=z<= zp を満たす領域を R(P) と表す。H 内に 4 点 Pk (k = 1, 2, 3, 4) をとり，その座標を実数 t を用いて，Pk (kt, kt, 2(73 − 15kt)) とそれぞれ定める。これらの点 Pk に対してそれぞれ領域 R(Pk ) を定め，これら 4 つの領域 R(Pk ) の和集合で表される立体を T とする。T の表面積を S とするとき，以下の設問に答えよ。

(1) t の値の範囲を求めよ。
(2) P1 , P2 , P3 , P4 の 4 点は同一直線上にあることを示せ。
(3) S を t を用いて表せ。
(4) S が最大値をとるときの t の値と P1 の z 座標の値を求めよ。
解答(1) Pk の各成分は正であるから，k = 1, 2, 3, 4 に対して，kt > 0 かつ 2(73 − 15kt) > 0 を満たせばよい．k > 0であるから，0<t<を得る．k = 4 のとき

7315k7373は最小となる．ゆえに，t の値の範囲は 0 < t <である．
15k60(2) P0 (0, 0, 2 × 73) をとると，−−−→P0 Pk = kt(1, 1, −30)となるので，4 点 P1 , P2 , P3 , P4 は同一直線上にあることが示された． （証明終）(3) 立体 T は下図のようになる．
zP0P1P2P3P4yOx

医学部進学予備校メビオ
下図は，立体 T を横（x 軸方向または y 軸方向）と上（z 軸方向）から見たときの図である．

zzP1P1P2P2P3P3yP4P4P4P3P2P1yO
x 軸方向からみた図

Oxy 軸方向からみた図

Oxz 軸方向からみた図

立体 T を横（4 方向）から見たときの面積の和を S1 ，上下（2 方向）から見たときの面積の和を S2 とすると，

S1 = 4 × t{2(73 − 15t) + 2(73 − 30t) + 2(73 − 45t) + 2(73 − 60t)}= 16t(146 − 75t)
S2 = 2 × 4t · 4t = 32t2
ゆえに，求める表面積 S は，

S = S1 + S2
= 16t(146 − 75t) + 32t2
= 16 · 73(−t2 + 2t)= 1168(−t2 + 2t)(4) (3) より，
S = −1168{(t − 1)2 − 1}であり，(1) より 0 < t <73
なので，t = 1 のとき S は最大値をとる．このとき，P1 (1, 1, 116) となるので，60P1 の z 座標の値は 116 である．

医学部進学予備校メビオ

Ⅳt を実数とする。空間の 4 点 A(1, 5, 0), B(4, 2, 0), C(t, 2t, t − 1), D(1, 6, 1) について，以下の設問に答えよ。
なお各設問の答えは解答用紙の指定欄に記入し，上の枠内には答えの導出過程を簡潔に記入すること。

(1) △ABC が直角三角形になる t の値をすべて求めよ。
(2) A, B, C, D が同一平面上にあるような t の値を求めよ。
(3) ∠BAC が直角のとき，四面体 ABCD の体積を求めよ。
解答

(1)
−→
AB = (3, −3, 0)−→
AC = (t − 1, 2t − 5, t − 1)−→
BC = (t − 4, 2t − 2, t − 1)
である．

−→ −→
(i) ∠BAC が直角のとき，AB · AC = 0 より，3(t − 1) − 3(2t − 5) = 0 ⇐⇒ t = 4−→ −→(ii) ∠ABC が直角のとき，AB · BC = 0 より，3(t − 4) − 3(2t − 2) = 0 ⇐⇒ t = −2−→ −→(iii) ∠ACB が直角のとき，AC · BC = 0 より，(t − 1)(t − 4) + (2t − 5)(2t − 2) + (t − 1)2 = 0 ⇐⇒ t = 1,以上より，t = −2, 1,5
2, 4．

−→
(2) AD = (0, 1, 1) である．A，B，C，D が同一平面上にあるとき，−→−→−→
AC = k AB + lADと表せる．よって，である．これを解いて，t = t − 1 = 3k2t − 5 = −3k + l
t−1=l5, k=13, l=．
222−→(3) t = 4 より，AC = (3, 3, 3) である．

√−→
|AB| = 3 2,より，△ABC =√−→|AC| = 3 3√√√1
9 6·3 2·3 3=22

また，D から平面 ABC へ下ろした垂線の足を H とすると，

→ −→
 −
DH · AB = 0→ −→ −DH · AC = 0··· ①··· ②52

医学部進学予備校メビオが成り立つ．

−→−→−→
AH = pAB + q ACとおくと，−→−→−→−→−→−→① ⇐⇒ (pAB + q AC − AD) · AB = 0⇐⇒ 18p + 3 = 0⇐⇒ p = −−→

16−→② ⇐⇒ (pAB + q AC − AD) · AC = 0⇐⇒ 27q − 6 = 0⇐⇒ q =

29より，−→
21(3, 3, 3) − (0, 1, 1) =DH = − (3, −3, 0) +69−→となるので，|DH| =√6．したがって，四面体 ABCD の体積は，
6√√
319 66··=3262

注釈スカラー 3 重積の知識があれば四面体 ABCD の体積は，

1 −→ −→ −→|AD · (AB × AC)|6

0 1 1
1=
det  3 −3 0 
63 3 3
1| − 9 + 18|
63=2=と容易に求められる．

111,, −663

医学部進学予備校メビオ

講評
Ⅰ［確率］（やや易）新課程から導入される「情報Ⅰ」を意識したような問題だった．問題を丁寧に読んで状況を把握できれば，確率の計算自体は基本的である．ここは落とせない．

Ⅱ［数と式，数学Ⅲの微積分］（標準）整式の剰余と定積分を利用して，円周率 π の評価について考える問題であった．(4) で何をすべきか戸惑った受験生が多かったかもしれない．

Ⅲ［空間座標］（やや難）座標空間内で定義された 4 つの直方体の和集合について考える問題であった．P1 , P2 , P3 , P4 が等間隔に並んでいる様子がつかめれば，あとは算数的な処理をしていくことになる．ここは差がつきそうである．なお，大阪府枚方市に関西医科大学および附属病院があり，その敷地内において 2022 年 3 月に「関医タワー」という建物が竣工した．この建物の形状は，本問の立体にそっくりである．(4) の答である P1 の z 座標 116 は，この建物の実際の高さがほぼ116 m であることと関係していると思われる．

Ⅳ［空間座標］（やや易）空間座標内で，3 点が直角三角形の 3 頂点になる条件，4 点が同一平面上にある条件，四面体の体積をそれぞれ求める問題であった．いずれも基本的であり，計算はやや面倒であるが，ここは完答がほしい．なお，「x, y, z を用いた平面の方程式」，「点と平面の距離」，「外積」などが使えると速く処理できる．
本年度前期と同様，大問数は 4 問であったが，難易度は前期に比べると易しくなっている．

4 問のうち比較的解きやすいのは Ⅰ, Ⅳ であった（易しい順に問題が並んでいる訳ではないのは前期と同じ）．この
2 問と Ⅱ の (3) までは完答に近いところまで仕上げたい．それ以外の，Ⅱ (4) とⅢ でどれだけ立ち回れたかの勝負となるだろう．
目標は 70%．

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