日本大学文理学部自然科学研究所研究紀要
No.57（2022）pp.161 − 164

ホール推進機における内壁表面の温度変化に関する研究
松下拓巳＊・水野伸夫＊＊

Study on Surface Temperature of Inner Wall in Hall Thruster
Takumi MATSUSHITA ＊ and Nobuo MIZUNO ＊＊（Accepted November 11, 2021）

The surface temperature of the inner wall of Hall thruster has been studied by the theoretical model. The equation
for the time evolution of the surface temperature is presented. The model includes the plasma irradiation, the energy
radiation loss and the energy dif fusion by the thermal conductivity. It is also considered the dependence on thetemperature for the thermal conductivity. The time evolution of the surface temperature for Hall thruster is calculated byRunge-Kutta method, and the effect of the temperature dependence for the thermal conductivity is investigated.
Keywords: Hall thruster, thermal conductivity, surface temperature, boron nitride, xenon ion

1．はじめにトな設計が可能である。1）

地上からロケットを打ち上げる際には化学燃料を燃やFig. 1 に示すように，ホール推進機は円環状のプラズして推進力を得る化学推進が使用されるが，人工衛星やマ加速部に半径方向の外部磁場と軸方向の電場によって深宇宙探査機では姿勢や軌道の制御を目的として電気推電子を周方向にドリフトさせ，イオンを静電的に加速す進が使われることが主流である。これは，電気推進は燃るというイオンスラスタに近い静電加速型の推進機とし費を表す比推力が非常に高く，搭載する推進剤を減らすての性能を持ちつつ，スラスタ自身は電子の軸方向の静ことにより人工衛星の総質量を減らせることや，時間さ電加速を打ち消すように推力を得るという電磁加速型のえかければ速度を非常に大きく上げられるためである。

推進機としての特徴を持つ。このホール推進機の壁面に電気推進とは、高温高圧のガスをノズルを使って勢い高エネルギーのプラズマを照射した際に生じるエネルよく噴射することで推力を得る打ち上げ用の化学推進とギー幅を持つイオンに対する壁のスパッタ損耗はホールは違い，電気的な力により推進力を与えることで反発力推進機の耐久性に大きく影響するので，照射による壁のを得ようという一種の外燃機関である。化学推進ロケッ温度変化を調べることは重要である。

トのように大きなパワーを生み出すことはできないが，本研究では，壁面が高エネルギーのプラズマ照射を受長時間の作動に適していることから人工衛星や深宇宙探ける際の温度特性を調べた。ここで材料である窒化ホウ査など，微重力の宇宙空間での使用が主流となる。電気素の熱伝導率の温度依存性を考慮した時のホール推進機

推進を加速機構で大別すると，静電加速型（イオンスラ内部の表面温度の時間変化を表すモデルを構築し，シスタ，ホール推進機），電熱加速型（DC アークジェッ

ミュレーションを行った。

ト），電磁加速型（MPD スラスタ）に分けられる。その中でもホール推進機は高比推力であり，軽量でコンパク＊

日本大学大学院総合基礎科学研究科：〒 156-8550 東京都世田谷区桜上水 3-25-40＊＊
日本大学文理学部物理学科：〒 156-8850 東京都世田谷区桜上水 3-25-40       ＊ Graduate school integrated basic sciences Nihon University : 3-25-40,
Sakurajousui, Setagaya-ku, Tokyo 156-8550, Japan
Department of Physics,Colleage of Humanities and Sciences, Nihon
University : 3-25-40 Sakurajousui, Setagaya-ku,Tokyo 156-8550, Japan   ＊＊ ─ 161 ─（ 1 ）松下

Fig. 1拓巳・水野𝜕𝜕 �� 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕 � �(1)𝜕𝜕����𝑇𝑇𝑑𝑑𝑑𝑑��𝜌𝜌𝜌𝜌���� 𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕
𝐸𝐸�
𝑘𝑘�𝑇𝑇���𝑇𝑇�� �� ������
(1) 3）
Fig. 2 Temperature
Dependenceof Thermal Conductivity���� ��� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸� � 𝑘𝑘�𝑇𝑇� � �� ��𝑇𝑇𝜌𝜌𝜌𝜌�

Structure of Hall Thruster�� ���2．壁の表面温度変化モデル
熱伝導率の温度依存性を考慮した場合，物質がプラズ
マ照射を受けた時の表面温度の時間変化は𝜕𝜕 �𝜌𝜌𝜌𝜌� � 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕 �� ��� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸� � 𝑘𝑘�𝑇𝑇� ������とした。ここで，A ＝ 8.4［w/cmK］，α ＝ 0.0013 とした。

𝜕𝜕𝜕𝜕�𝑡𝑡�
1Fig. 2 は実験値を参考に熱伝導率の温度依存性を表した� � � 𝑣𝑣 𝐸𝐸𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑑𝑑����������������������𝑘𝑘�𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑑𝑑�������� ��𝑇𝑇 �る。

𝜕𝜕𝜕𝜕�𝑡𝑡�
1
𝜕𝜕𝜕𝜕
2(2)
�������
右辺の第 1 項は入射エネルギー，���������������������𝑘𝑘�
���𝑇𝑇 � 第 2 項は熱伝導エネ2）� � �� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸�𝜌𝜌𝜌𝜌� 𝑑𝑑は放射率，σ はステファン・ボルツマン定数である。

エネルギーの入射後に壁内部はすぐに定常になると仮���とができる。

��𝑇𝑇� 1 �������� �𝑒𝑒 � � 𝑒𝑒 �� � 𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 �� �𝛼𝛼 𝑑𝑑
��𝑇𝑇� 1 ������𝑇𝑇 � � � �𝑒𝑒 �� � 𝑒𝑒 �� � 𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 �� �𝛼𝛼 𝑑𝑑

𝑇𝑇 � �＝ 0，底面を x ＝ d，底面の温度を Td とした。本研究では熱伝導率 k を温度によらず一定として計算を行った場合

� ��� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸�𝜕𝜕𝜕𝜕���𝜕𝜕𝜕𝜕�� �� �� ����𝐹𝐹�𝑇𝑇� � � ��𝑣𝑣 �𝐸𝐸�� � 𝑒𝑒 �� � � ��𝑇𝑇 �����𝑘𝑘�𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕�� �𝑒𝑒 � � �𝐹𝐹�𝑇𝑇�

熱伝導率が温度に依存せずに一定の場合（1）式は次���𝑘𝑘�𝑇𝑇� �式のようになる。

��𝑇𝑇� 1 ������𝑇𝑇 � � � �𝑒𝑒 �� � 𝑒𝑒 �� � 𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 �� �(4)𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑�𝑡𝑡�
11𝜌𝜌𝜌𝜌� 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕�𝑡𝑡�� � �� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸�
2 𝜌𝜌𝜌𝜌(2)𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕 � � �� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸��������𝜕𝜕𝜕𝜕� ���𝑇𝑇 �2・・・・・・(2)（2）���������������������𝑘𝑘� ���������������������������𝑘𝑘� � � ���𝑇𝑇 ��𝜕𝜕𝜕𝜕� ��� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸�𝐹𝐹�𝑇𝑇�
𝜕𝜕𝜕𝜕�
�
�
窒化ホウ素の熱伝導率の温度依存性は実験結果を考慮し(5)�� �� �� �����𝑘𝑘�𝑇𝑇� � � �𝑒𝑒 �� �� � 𝑒𝑒 �� � � ��𝑇𝑇 ���（ 𝑑𝑑2 ）

�𝛼𝛼𝑇𝑇𝑇𝑇� 𝑒𝑒 � 𝑑𝑑 � 𝑒𝑒
� 𝑒𝑒 � � 𝑑𝑑 � 𝑒𝑒

�

�

�

(4)
(4)

����

𝑇𝑇𝑇𝑇 �𝛼𝛼𝑇𝑇2𝛼𝛼𝛼𝛼𝑝𝑝

𝑑𝑑𝛼𝛼𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝

�𝑒𝑒

��

�
�
�� ���
��

(5)

�(5)

� �

� 𝑒𝑒 �� � � ��𝑇𝑇 �・・・・・・（5）

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑑𝑑 �𝛼𝛼 𝑑𝑑𝛼𝛼2𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼 𝑇𝑇 �2𝛼𝛼𝑇𝑇 𝑇𝑇 �𝛼𝛼2𝑇𝑇𝛼𝛼2𝑇𝑇𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑇𝑇𝑑𝑑 �𝛼𝛼𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇0�𝑇𝑇0 2𝑒𝑒20 �𝑒𝑒0𝑇𝑇��𝑒𝑒𝑑𝑑 �𝛼𝛼𝑑𝑑 �𝛼𝛼𝑇𝑇0−𝛼𝛼𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇−𝛼𝛼 �𝑒𝑒𝑇𝑇0 −𝑒𝑒 0 �𝑒𝑒𝑇𝑇0 ) 0 �(𝑒𝑒𝑇𝑇𝑇𝑇 2�𝛼𝛼 𝑑𝑑�𝛼𝛼𝑇𝑇0 �𝑒𝑒 𝑇𝑇0 ��𝑒𝑒0�𝑇𝑇0 2𝑇𝑇𝑑𝑑 � �𝑒𝑒
𝑇𝑇00(6)・・・・・・（6）(6) (6)（5），（6）式より壁面の様々な条件における表面温度の時間変化をルンゲクッタ法を用いてシミュレーションを行った。

�(4)0 �𝑒𝑒 𝛼𝛼 0 �0𝛼𝛼 0 �−𝛼𝛼 𝑒𝑒
𝛼𝛼0 �−2𝛼𝛼𝛼𝛼𝑇𝑇 �−𝛼𝛼 �𝑒𝑒
� 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝐹𝐹 �−𝛼𝛼𝑇𝑇�𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇0 �( 2 𝑒𝑒 𝑇𝑇0𝑇𝑇20 )+𝑇𝑇 𝑒𝑒 𝑇𝑇0𝑇𝑇0 −𝑒𝑒 𝑇𝑇0 ( 2𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇+0 2𝑇𝑇 )𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑇𝑇0𝑇𝑇0𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑇𝑇0 𝑇𝑇𝑇𝑇0 𝑇𝑇0𝑇𝑇𝑑𝑑0𝑇𝑇𝑇𝑇𝑑𝑑�𝛼𝛼�𝛼𝛼 𝑑𝑑2𝛼𝛼2 �𝛼𝛼𝑇𝑇𝛼𝛼𝑇𝑇 �2𝛼𝛼𝑇𝑇 𝑇𝑇 �𝛼𝛼𝛼𝛼2𝛼𝛼𝜌𝜌𝐶𝐶 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇(3)𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇2 �𝛼𝛼 𝑑𝑑2�2𝛼𝛼�𝛼𝛼�𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑇𝑇0 � 𝛼𝛼 𝑒𝑒 𝑇𝑇0 �� 𝛼𝛼 𝑒𝑒𝑇𝑇0 �𝑒𝑒 𝑇𝑇0 � 𝛼𝛼 𝑇𝑇 � 𝛼𝛼 �𝑒𝑒 𝑇𝑇0𝑑𝑑𝑇𝑇0𝑇𝑇0𝑇𝑇0 2𝑇𝑇0 2���� ����2𝑇𝑇𝑇𝑇 � ������𝛼𝛼� 𝑑𝑑�� �� 𝑇𝑇0 �𝑒𝑒�𝛼𝛼𝑇𝑇0 �����𝑒𝑒���𝜌𝜌𝜌𝜌𝑇𝑇�𝑝𝑝 1
𝑇𝑇 � 𝛼𝛼� 𝑇𝑇�� 1�𝑒𝑒𝑇𝑇 � �𝛼𝛼 𝑑𝑑
� �𝑒𝑒
𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑇𝑇� �𝐹𝐹 (𝑇𝑇𝐹𝐹) �=(4)・・・・・・（4）𝜕𝜕𝜕𝜕 （1）式は次式のように表せる。
（4）式を用いると�� ���・・・・・・（3）
(3)

��
��
(3)
いて表面温度 T を熱伝導方程式から次式のように書くこ𝑘𝑘�𝑇𝑇� � 𝐴𝐴𝑒𝑒 ����k（T）でのキセノンと熱伝導率が温度に依存するモデル
𝜕𝜕� 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜌𝜌𝜌𝜌� イオンを照射した窒化ホウ素の壁の表面温度の温度変化�𝜕𝜕� 𝑇𝑇��
(3)𝜌𝜌𝜌𝜌�𝜕𝜕𝜕𝜕 �� 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘�𝑇𝑇� � 𝐴𝐴𝑒𝑒 �� (1)𝜕𝜕𝜕𝜕���
(1)
� ���を比較し，温度依存性がどれほど影響を及ぼすのかを調𝑣𝑣� 𝐸𝐸� � 𝑘𝑘�𝑇𝑇� � ��� ��𝑇𝑇 ���� ���� ��べた。
� ��𝑇𝑇 ��� 𝑣𝑣� 𝐸𝐸� � 𝑘𝑘�𝑇𝑇� �(3)𝑘𝑘�𝑇𝑇� � 𝐴𝐴𝑒𝑒 �
定すると，（3）式の温度依存性を考慮した熱伝導率を用ルギー，第 3 項は放射エネルギーである。物質表面を x𝐹𝐹 �𝑇𝑇� ��

温度範囲（273［K］〜 800［K］）ではほぼ実験値と一致す

イオンのエネルギー，k は熱伝導率，Td は底面の温度，∊

����𝑇𝑇� � �� 𝑣𝑣 𝐸𝐸800［K］の温度範囲内に収まる。そのため，考えている
���������������������𝑘𝑘�
���𝑇𝑇 �熱，d は壁の厚さ，ni  はイオン密度，υi はイオン速度，Ei は���� � � 300［K］〜のであり，実際の実験では壁面の表面温度は2 � � 𝜕𝜕𝜕𝜕(2)で与えられる。ここで T は表面温度，ρ は密度，Cp は比���𝑘𝑘�𝑇𝑇� � 𝐴𝐴𝑒𝑒 ��𝑘𝑘�𝑇𝑇� � 𝐴𝐴𝑒𝑒 ��� � �

𝜕𝜕𝜕𝜕
2(2)
グラフ（点線）と（3）式のグラフ（実線）を比較したも𝜕𝜕𝜕𝜕�𝑡𝑡�
1 ������・・・・・(1) （1）

���伸夫

─ 162 ─

ホール推進機における内壁表面の温度変化に関する研究

The parameters used in simulation
Table1.Table
The1 parameters
used in simulation

2180 [kg/m3 ]

密度 𝜌𝜌

比熱 Cp

780.4 [J/(kg・K)]
0.009 [m]厚さ d9.8 × 107 [1/m3 ]キセノンイオンの密度 ni

60000 [m/𝑠𝑠]

イオン速度 𝑉𝑉𝑖𝑖

3.78 × 10−16 [J]イオンのエネルギー Ei

5.5 [W/(cm・K)]

熱伝導率 k272 [K]

底面温度 Td0.8

放射率 𝜀𝜀5.67 × 10−8 [W/(m2 ・K 4 )]ステファン・ボルツマン定数 σ3．シミュレーション結果
シミュレーションに使用したパラメータを Table 1 に示す。Fig. 3 に表面温度の時間変化を示した。実線は熱伝導率の温度依存性がある場合，点線は一定の場合である。温度依存性を考慮したモデルでは温度上昇率が大きくなり，定常で温度も高くなった。これは温度の上昇に伴い熱伝導率が低下していくため熱が伝わりにくくなるためである。
次に厚さ d の値を d ＝ 0.2，0.4，0.8，0.9，1.0［cm］と変化させた時の定常での表面温度を Fig. 4 で示す。実線はFig. 3 Time evolution of the surface temperature

熱伝導率の温度依存性がある場合，点線は一定の場合である。壁が厚くなると表面温度が高くなっていることがわかる。これは厚さが増すほど底面での冷却効果が伝わりにくくなっていることを示している。また，熱伝導率が温度に依存するモデルの方が表面温度の上昇率が高くなっている。これは熱伝導率の低下に伴い熱が伝わりにくくなっているため，冷却効果が熱伝導率に変化がないときに比べ少ないからだと考えられる。
次に入射エネルギー（q ＝ ni υi Ei ）の値を q ＝ 2，3，5，10，20［MV/m2 ］としたときの定常でのそれぞれの表面温度を表したのが Fig. 5 である。入射エネルギーはほぼ直線状で変化することが分かった。熱伝導率が一定でエネルギー放射損失がない場合は直線となるので，熱伝導率の温度依存性の影響は表面温度の値に表れるが，エネ

Fig. 4 Thickness dependency on the steady-state surfacetemperature

ルギー放射損失の影響は小さいことが分かった。

─ 163 ─（ 3 ）松下拓巳・水野伸夫

その結果，考えている温度領域では熱伝導率の変化が大きいので，熱伝導率を一定として計算した場合と比較して温度の定常値に大きな違いが出た。実際の物質は温度依存性があるので実験結果はその影響を反映している。よってシミュレーションを行う場合は熱伝導率の扱いには注意を要する必要がある。
次に温度変化の要因として，エネルギー照射，熱伝導率による拡散，エネルギー放射損失を考えたが，放射損失の影響は小さいことが分かった。
今回は壁材料の窒化ホウ素の熱伝導率の温度依存性をFig. 5 Incident energy dependency on the steady-state
surface temperature

考慮した計算を行ったが，密度や比熱も温度依存性があるので，これらの影響を調べる必要がある。また，今回得られた結果を踏まえて，壁のスパッタリング損耗を調べることも重要である。

4．まとめと考察
ホール推進機における内壁がプラズマの照射を受けるときの表面の温度変化を調べた。ここで，壁材料の熱伝謝辞
本研究を行うにあたり，八戸工業大学名誉教授の根城安伯氏から有意義な議論と意見をいただきましたことを感謝します。

導率の温度依存性を考慮した表面温度の時間変化を求めるモデルを考えシミュレーションを行い，温度依存性の影響を明らかにした。

参考文献
1）栗木恭一・荒川義博：電気推進ロケット入門、東京大学出版会 (2003.5)
2）帆鷲拓真・水野伸夫：日本大学文理学部自然科学研究所「研究紀要」，51（2016）（ 4 ）─ 164 ─3）Sichel, E.K., R.E. Miller, M.S. Abrahams, C.J. Buiocchi,Heat capacity and thermal conductivity of hexagonal
pyrolytic boron nitride. Phys. Rev. B 13, 10 (1976)