2017.4.17
グラフで解する密度の原理とゼロ除算
ゼロ除算３９（密度の原理，もたらされる剰余式ゼロ除算）において検討した密度の原理
をグラフ化し，グラフから密度の原理を解することは多分に有益であろう．そこで，横軸を面積，縦軸を質量とする座標系を考える．この座標系において横軸では，所定の円柱体
底面 A0 の面積 s0 を最大とする．この横軸上において原点から円柱体底面積 s0 までの或る面積を検討対象面積 s とし，これに対応する質量，即ち，検討対象面 A 上に在る質量 Min を考える．勿論，円柱体底面 A0 上に在る質量は全質量 M である．つまり，検討対象面積 s に対する質量 Min のグラフの勾配 σ は，検討対象面積 s の関数となるから σ＝σ(s)と表される．
ここで，この円柱体の質量分布 ρ が一様であるとすると，面積 0 を超え円柱体底面積 s0 ま
での至るところにおいて，検討対象面積 s とその面積上に在る円柱体の部分質量，即ち検討
対象面内質量 Min とは，σ＝一定として比例する．
質量
全質量 M
剰余

Mout

Min

検討対象面内質量𝜎(𝑠 > 0) > 0

検
討
対
象
面
積

s0

s

（ 円 面積
全 柱
質 体
量 底
受 面
圧 積
面
積
）

Fig.1 密度の原理とゼロ除算 𝜎(𝑠)＝const＞0

さて，いま検討対象面積 s が円柱体底面積 s0 と一致している最大面積状態から徐々に検討
対象面積 s を狭めて行くことにする．適当なところまで狭めた状態を表したのが Fig.1 である．このとき，検討対象面積 s 上の質量 Min は，直線の方程式 Min＝σs で与えられる．また，
全質量 M は，検討対象面積 s の線形定和関数として M＝σs＋Mout で与えられる．
ここまでの関係を簡単にするため，円柱体底面積 s0 を 100，全質量 M を 100，直線の傾き
σ＝1（s＞0）とおいて再検討してみることにする．検討対象面積 s が円柱体底面積 s0 と一致しているとき，検討対象面積 s に対する全質量 M の比は，
100 100 + 0
0
0
=
=1
=1+
=1+0=1
100
100
100
100

(1)

というように帯分数を経由しながら 1 へと至ることが解る．このとき，ここでの帯数 1 は，σ の値である．そこで，検討対象面積 s を 1/100 だけ小さくした場合には，
100 99 + 1
1
1
=
=1
= 1+
99
99
99
99

(2)

というように，先と同様に帯分数を経由しながら 1 よりも僅かに大きな値になることが示される．勿論，ここでの帯数 1 も σ の値である．
このままでは，少々本質が観え辛いので，被除数，除数，商，剰余の関係を以下の通りに
整理してみよう．ここで，初期の分子は被除数に，分母は除数に，帯数は商に該当し，その際の分子は剰余に相当することに注意すれば，被除数は変化しないから，
100 100 + 0
0==1⇒ 100 = 1 × 100 + 0
100
100
100
100 99 + 1
1
=
=1
99
99
99

⇒ 100 = 1 × 99 + 1

100 98 + 2
2
=
=1
98
98
98

⇒ 100 = 1 × 98 + 2

100 97 + 3
3
=
=1
97
97
97

⇒ 100 = 1 × 97 + 3⋮

100 51 + 49
49=
=1
⇒ 100 = 1 × 51 + 49
51
51
51
100 50 + 50
50=
=1
⇒ 100 = 1 × 50 + 50
50
50
50
100 49 + 51
51=
=1
⇒ 100 = 1 × 49 + 51
49
49
49
⋮
100 3 + 97
97=
=1
⇒ 100 = 1 × 3 + 97
3
3
3

100 2 + 98
98=
=1
⇒ 100 = 1 × 2 + 98
2
2
2
100 1 + 99
99=
=1
⇒ 100 = 1 × 1 + 99111と表される．この一連の計算は，「⇒」以右の式における第 1 項目が Fig.1 の水色の直線（質
量軸と平行）で表される面内質量 Min の大きさに相当し，第２項目が緑色の直線（質量軸と平行）で表される面外質量 Mout の大きさ即ち剰余項に相当することを意味する．
ここで，検討対象面積 s を s＝0 とすると，
100 0 + 100
100==0⇒ 100 = 0 × 0 + 100
0
0
0

(3)

を得る． Fig.2 からも明らかなとおり，検討対象面積 s は 0 なので，その面内質量 Min も 0である．他方，面外質量 Mout は，全質量 M の全体を占めることになるので，100 である．

質量
全質量 M＝Mout

剰余𝜎(0) = 0
Min＝0

検
討
対
象
面
積

円 面積
柱
体
底
面
積
s0

s
Fig.2 密度の原理とゼロ除算

σ(s)＝0なお，(3)式においても帯数が 1 となると仮定すると，
100 0 + 100
100
100
100
100
100
=
=1
=1+
=1+1+
=∞+
=∞
0
0
0
0
0
0
0
(4)

⇒ 100 = ∞ × 0 + 100を得ることになる．ところが，∞×0 とは，∞が 1 つも無いということを表すモノであるものの，∞が 1 つも無いからと言ってその替わりに∞×0 が幾つに定まるかは不明であって，不定である．つまり，(4)式は不合理であって等式が成立していない．これは帯数を 0 ではない如何なる実数で置き換えても同様である．これより，
0
=1
0

(5)

は，不合理であることが示された．従って，100＝□×0+100 が成り立つのは，唯一□＝0の場合に限ることは明らかであるから，100＝0×0+100 であって，これより，
0
=0
0

(6)

が成り立つことは明白である．これについて以下に別証を示そう．
２つの実数𝑎, 𝑏 ≥ 0に対して，
𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓(𝑏 + (𝑎 − 𝑏), 𝑏) = 𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑎 − 𝑏, 𝑏)(7)が成り立ち，
𝑓(𝑎, 𝑏) =𝑎𝑏(𝑏 ≠ 0)(8)とする．このとき，
𝑓(𝑎, 0) = 𝑓(0 + (𝑎 − 0), 0) = 𝑓(0,0) + 𝑓(𝑎 − 0,0) = 𝑓(0,0) + 𝑓(𝑎, 0)∴ 𝑓(0,0) = 0(9)が成り立つ．ゆえに，(6)式，
0
=0
0
を得る．
また，２つの実数𝑎, 𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 ≥ 𝑛𝑏 (𝑛 ∈ N) に対して，仮定より，
𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓(𝑏 + (𝑎 − 𝑏), 𝑏) = 𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑎 − 𝑏, 𝑏) = 𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑏 + {(𝑎 − 𝑏) − 𝑏}, 𝑏)= 𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓((𝑎 − 𝑏) − 𝑏, 𝑏) = 2𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑎 − 2𝑏, 𝑏) = ⋯= 𝑛𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑎 − 𝑛𝑏, 𝑏)(𝑎 ≥ 𝑛𝑏)(10)が成り立つ．ここで，b＝0 とすると，
𝑓(𝑎, 0) = 𝑛𝑓(0,0) + 𝑓(𝑎 − 𝑛 × 0,0) = 𝑛𝑓(0,0) + 𝑓(𝑎, 0) (𝑎 ≥ 𝑛𝑏)∴ 𝑓(0,0) = 0を得る．これより，(3)式は，(11)

被除数 100
除数 0=

変換被除数 0 + 剰余 100
除数 0

=商0

剰余 100除数 0(3’)⇒ 被除数 100 = 商 0 × 除数 0 + 剰余 100というように，(6)式の結果より，帯分数形式として一意的に帯数が 0 に定まること，即ち，
商が 0 に定まることが示される．ゆえに，(3)式が成り立つといえる．一般に，
被除数𝑎
除数 0

= 商 0 ⋯ 剰余𝑎 ∧ 被除数𝑎 = 商 0 × 除数 0 + 剰余𝑎(12)が成り立つ．ただし，(3’)の変換被除数は，元の被除数を，二次の被除数と剰余とに二数和分割するという被除数変換を施して得られる変換後の被除数である．この被除数変換の操
作は，除数が 0 ではない場合には任意の二数和分割が可能であるが，除数が 0 の場合には
帯分数化可能な二数和分割は一意的に変換被除数が 0 となる．つまり，除数が 0 のとき，その商は一意的に 0 になることを意味し，可減集合論的には，剰余は一意的に被除数に等しくなることを意味している．蛇足ながら，非可減集合論的には，被除数𝑎 ≠ 0のとき，除数𝑏 = 0とすると，𝑥 ≠ 0として，𝑎 𝑎𝑎 𝑥 ⁄𝑎 𝑥= ×1= ×=0 0
0 𝑥 ⁄𝑎 0(𝑎, 𝑥 ≠ 0)

(13)が成り立ち，𝑥 = 1を思考することによって，
𝑎 1
=
0 0

(𝑎 ≠ 0)(14)を得る．これは，0 との比（較）では，『「有」と「無」』という謂わば定性的な２つの状態の違いのみしか表すことが出来ないことを示している．これは，分母たる基準の大きさがゼロであるから自らを基準として何等かの大きさを定量的に計量することが出来ないことを示していると言える．また，分子の大きさに違いが有った場合でもその違いを判別することが出来ないことを示している．しかし，「無」という状態とは明確に異なる「有」という状態が存在することを示しているのである．
ところで，帯分数表記を次のように，定義しておこう．
３つの実数 a,b,c を用いた分数等式を，
𝑎𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐= 𝑎 = 𝑎 + ≡ 𝑎_
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏

(15)

と表記し，a を帯数，b を除数、𝑎𝑏 + 𝑐を被除数，c を剰余と呼ぶものとする．
このとき，帯数 a を一般商と呼ぶことにすると，剰余 c を最小化する一般商 a は，従前の除算の商 A と同値である．即ち，
𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑚𝑖𝑛 ⇒ (𝑎𝑏 + 𝑐) ÷ 𝑏 = 𝐴 ⋯ 𝐶𝑏であって，このとき，

(16)

(17)

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑐𝑚𝑖𝑛 = 𝐶が成り立つ．また，一般商 a の集合{𝑎}と商 A，並びに，剰余 c の集合{𝑐}と C の間には，𝐴 ∈ {𝑎}, 𝐶 ∈ {𝑐}(18)の関係が成り立つ．
上記帯分数の表記法を用いると，(7)式は，
𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓(𝑏 + (𝑎 − 𝑏), 𝑏) = 𝑓(𝑏, 𝑏) + 𝑓(𝑎 − 𝑏, 𝑏) = 𝑓(𝑏, 𝑏)_𝑓(𝑎 − 𝑏, 𝑏)(7’)と表される．ここで，(8)式の関係
𝑓(𝑎, 𝑏) =𝑎𝑏(𝑏 ≠ 0)を設定する．このとき，𝑏＝0とおけば，
𝑓(𝑎, 0) = 𝑓(0,0)_𝑓(𝑎, 0)(19)であって，(9)式
𝑓(0,0) = 0が成り立つ．このとき，(9)式の関係から(19)は，一意的に，
𝑓(𝑎, 0) = 0_𝑓(𝑎, 0)(20)と表される．また，帯分数の定義より，(20)式における帯数 0 は一般商の集合のうちの１つの元であり， (20)式が一意的に成り立つことからこの帯数 0 は同時に一般商の集合の中でも最大であって，従前の除算の商と同値である．よって，𝑎𝑎= 0 = 0⋯𝑎
0
0

(21)

が一意的に成り立つ．
ところで，再び横軸を面積，縦軸を質量とする座標系を考える．この座標系において横軸では，所定の円柱体底面 A0 の面積 s0 を最大とする．この横軸上において原点から円柱体底
面積 s0 までの或る面積の受圧面 A が一定底面の円柱体の全質量 Mon を受けるものとし，平坦な完全剛体の受圧面 A の受圧面積を s とする．即ち，受圧面 A に掛かる質量 Mon を考えるのである．勿論，円柱体底面 A0 に掛かる質量は全質量 M に等しい．すると，受圧面積 sに対する質量 Mon のグラフの勾配 σ は，受圧面積 s の関数となるから σ＝σ(s)と表される．
ここで，この円柱体が，質量分布 ρ 一様，完全剛体であるとすると，受圧面積 s が 0 を超え
円柱体底面積 s0 までの至るところにおいて，受圧面積 s とその面積にかかる円柱体の全質
量 M，即ち受圧面に掛かる質量 Mon とは，σ(s)の大きさ，即ちグラフの傾き σ を変えながらの線形関係を成す．
さて，いま受圧面積 s が円柱体底面積 s0 と一致している最大面積状態から徐々に受圧面積 s
を狭めて行くことにする．適当なところまで狭めた状態を表したのが Fig.3 である．このとき，受圧面積 s に掛かる質量 Mon は，常に一定であって，𝑀𝑜𝑛 ＝𝜎(𝑠)𝑠で与えられる．つまり，

σ(s)は s に対して反比例する．勿論，全質量 M は，受圧面 A 上の質量 Mon と，受圧面 A に掛からない質量，即ち，受圧面外質量 Moff との和で表されるから，
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛 + 𝑀𝑜𝑓𝑓(22)が成り立つ．これより，全質量 M は，
𝑀＝𝜎(𝑠)𝑠＋𝑀𝑜𝑓𝑓(23)と表すことが出来る．
質量
全質量 M＝Mon𝜎(𝑠 > 0) > 0
受圧面内質量Moff＝0

s

円 面積
柱
体
底
面
積
s0

（ 受
全 圧
質 面
量 積
受
圧
面
積
）

1

Fig.3 密度の原理とゼロ除算 𝜎(𝑠) ∝ 𝑠 ＞0
ここまでの関係を簡単にするため，円柱体底面積 s0 を 100，全質量 M を 100，直線の傾きσ(s)≧1（s＞0）とおいて再検討してみることにする．受圧面積 s が円柱体底面積 s0 と一致しているとき，受圧面積 s に対する全質量 M の比は，剰余を最小とする二数和分割で被除数変換を施せば，
100 100 + 0
0
0
=
=1
=1+
= 1+0 = 1
100
100
100
100

(24)

というように帯分数を経由しながら 1 へと至ることが解る．このとき，ここでの帯数 1 は，

σ の値である．そこで，受圧面積 s を 1/100 だけ小さくした場合には，
100 100 + 0
00== 1. 0̇1̇
= 1. 0̇1̇ += 1. 0̇1̇
99
99
99
99

(25)

というように，先と同様に帯分数を経由しながら 1 よりも僅かに大きな値になることが示される．勿論，ここでの帯数1. 0̇1̇も σ の値である．
これらの本質を観えやすくするため，先と同様に，被除数，除数，商，剰余の関係を以下の通りに整理してみよう．ここで，初期の分子は被除数に，分母は除数に，帯数は商に該当し，その際の分子は剰余に相当することに注意すれば，被除数は変化しないから，
100 100 + 0
0
=
=1
100
100
100

⇒ 100 = 1 × 100 + 0

100 100 + 00== 1̇. 01̇99
99
99

⇒ 100 = 1̇. 01̇ × 99 + 0

100 100 + 0
0== 1.02 ⋯98
98
98⇒ 100 = 1.02 ⋯ × 98 + 0

100 100 + 0
0== 1.02 ⋯97
97
97⇒ 100 = 1.03 ⋯ × 97 + 0⋮

100 100 + 0
0== 1.96 ⋯51
51
51⇒ 100 = 1.96 ⋯ × 51 + 0

100 100 + 0
0
=
=2
50
50
50

⇒ 100 = 2 × 50 + 0

100 100 + 0
0== 2.04 ⋯49
49
49⇒ 100 = 2.04 ⋯ × 50 + 0⋮

100 100 + 0
0== 33. 3̇3
3
3

⇒ 100 = 33. 3̇ × 3 + 0

100 100 + 0
0
=
= 50
2
2
2

⇒ 100 = 50 × 2 + 0

100 100 + 0
0
=
= 100
1
1
1

⇒ 100 = 100 × 1 + 0

そして，密度の原理 0/0＝0，並びに，(21)式より，
100 0 + 100
100==0⇒ 100 = 0 × 0 + 100
0
0
0

(26)

が一意的に成り立つ．またこれは，Fig.2 を数式で表した(3)式と全く同じ形を成している．
これは，数式のみならず，Fig.4 のグラフも同様に Fig.2 と同値である．これら２つの系の唯一の相違点は，前者は検討対象面外質量を支持する検討対象外面が存在するが，後者に

は受圧面外質量を支持する受圧面外面が存在しないことである．この違いから，前者は検討対象面の面積をゼロとしても円柱体には何も変化は生じないが，後者では受圧面の面積をゼロとした場合，円柱体の如何なる質量も受け持つ面が存在しなくなるので，円柱体は落下することになる．
質量
全質量 M＝Moff

𝜎(0) = 0 ∴ tan

Mon＝0

𝜋
=0
2

剰余

検
討
対
象
面
積

円 面積
柱
体
底
面
積
Fig.4 密度の原理とゼロ除算

σ(s)＝0以上では，質量面密度を例に取り上げ，比とゼロ除算の関係について，密度の原理について解説してきた．これは，謂わば，比の原理と言い換えてもよい．そこで，以下に Fig.3 及び Fig.4 に見る密度の原理（比の原理）について，幾つか例を挙げて理解を深めることとしよう．先ずは，密度の原理の例を，次に比の原理の例を挙げる．
密度の原理の例として，消えゆく島の話を挙げてみよう．
その島は，総面積 100［ha］で 100［人］の住民が居る。この島の住民には生死も無く，他の地域からの入植や移住も皆無である。しかし、ひとつ問題が有った．それは，地球温暖化のため、海水位が徐々に上がってしまうことから毎年この島では、島の面積が 1［ha］ずつ減少してしまうのである．

現在の人口密度は，1［人/ha］であり，20 年後の人口密度は 1.25［人/ha］であるが，それでは 100 年後の人口密度は如何程か？
現在の人口密度100 [人]0 [人]= 1 [人⁄ha]= 1 [人⁄ha] 余り 0 [人]
100 [ha]100 [ha]
20 年後の人口密度
100 [人]100 [人]0 [人]== 1.25 [人⁄ha]= 1.25 [人⁄ha] 余り 0 [人]
100 − 1 × 20 [ha]80 [ha]80 [ha]
50 年後の人口密度
100 [人]100 [人]0 [人]== 2 [人⁄ha]= 2 [人⁄ha] 余り 0 [人]
100 − 1 × 50 [ha]50 [ha]50 [ha]
90 年後の人口密度
100 [人]100 [人]0 [人]== 10 [人⁄ha]= 10 [人⁄ha] 余り 0 [人]
[ha]
[ha]
100 − 1 × 90
1010 [ha]99 年後の人口密度
100 [人]100 [人]0 [人]== 100 [人⁄ha]= 100 [人⁄ha] 余り 0 [人]
100 − 1 × 99 [ha]1 [ha]
1 [ha]
であるから，1［a］当たりに 1［人］が住んでいることになる.さてその 1 年後はどのような状態になっているのか．100 年後，島は完全に海に没してしまい，最早，僅かばかりの面積も存在しなくなる．即ち，島の総面積はゼロとなる．しかし，住民には生死も無く，移住も無いので，全住民は海に漂う海人となる．それは，元々島がなかった場合に人口密度を計算しようとするのと同じことである．つまり，島が無い海域における島の人口密度は存在しないため，そこに人が居ようとも島の人口密度という意味では，空φであって，ゼロであるのと同じことなのである．つまり，元から島が無かった場合と島が無くなった場
合とでは，数学的には同値であるといえる．従って，
100 年後の人口密度
100 [人]100 [人]100 [人]== 0 [人⁄ha]= 0 [人⁄ha] 余り 100 [人][ha]
100 − 1 × 1000[ha]
0 [ha]となるのである．
比の原理として，ニュートリノの質量と移動速度の関係を挙げてみよう．
縦軸を粒子の静止質量𝑚0 ，横軸をこの粒子の速度𝑣に対応したローレンツ因子の逆数（以下，
ローレンツ量と呼ぶ．）即ち，

√1 −

𝑣2
𝑐2

とする.従って，速度𝑣が， 0 ≤ 𝑣 ≤ 𝑐の範囲の値をとるとすると，横軸は 0 以上 1 以下の範囲の値をとる．ここで，𝑐は光速度である．
このグラフが原点を通るものとすると，このグラフの傾きは，Fig.5 に示す通り，或る速度𝑣における粒子の質量𝑚(𝑣)を表す．つまり，
𝑚(𝑣) =𝑚02√1 − 𝑣2𝑐である．
質量
静止質量 m0𝑚(𝑣) (0 ≤ 𝑣 < 𝑐)0

１ ローレンツ量0Fig.5 ニュートリノの速度𝑣と質量𝑚(𝑣)の関係 (0 ≤ 𝑣 < 𝑐)粒子の速度𝑣が光速度𝑐に一致したとき，ローレンツ量はゼロとなってグラフは縦軸と一致
し，その高さは静止質量𝑚0に一致する．
さて，この粒子の移動速度𝑣が光速度𝑐のとき，その質量𝑚(𝑐)は如何程か？

粒子の移動速度 v の範囲が，0 ≤ 𝑣 < 𝑐であるとすると，相対論的質量𝑚(𝑣) =非相対論的質量𝑚02𝑣
ローレンツ量√1 − 2𝑐

非相対論的質量𝑚0 + 非相対論的質量 0=2𝑣
ローレンツ量√1 − 2𝑐

非相対論的質量 0= 相対論的質量𝑚(𝑣)_ローレンツ量√1 −𝑣2
𝑐2= 相対論的質量𝑚(𝑣) 余り 非相対論的質量 0であるから，𝑣＝𝑐ならば，相対論的質量𝑚(𝑐) ==非相対論的質量𝑚02𝑐
ローレンツ量√1 − 2𝑐
非相対論的質量 0 + 非相対論的質量𝑚0
ローレンツ量 0= 相対論的質量 0_

非相対論的質量𝑚0
ローレンツ量 0= 相対論的質量𝑚(𝑐) = 0

余り 非相対論的質量𝑚0である．従って，光速度𝑐で移動する有質量粒子の質量𝑚(𝑐)は，相対論的効果による質量の増大分が消失し，即ち相対論的質量𝑚(𝑐)はゼロとなって，非相対論的質量として静止質量𝑚0が観測されることとなる．