数系タイル張り入門∗
秋山 茂樹 (AKIYAMA Shigeki)
新潟大・理 (Faculty of Science, Niigata Univ.)1

数系タイル張りの原始型: Knuth の Twin Dragon

筆者は作用素環一般に関して知識がないが Cuntz 環と概念的に近い自己相似性をもつタイル張りを、簡単な例を用いて紹介することで参加したいとおもう。な
おタイル張りに関してすでに多数の雑文を書いているので、ここでは簡潔な紹介にとどめ、他の文書をどのように眺めたらよいかの指針とすることを目的とする。
数系からできるフラクタル集合でもっとも有名なのものは Cantor 集合であろう。これは、[0,1] の実数を３進小数表示したとき 1 を禁止した集合 C と思うことができる。ただし、1000 . . . と 1 の後に 0 が続くものは 1 = .222 . . . と考えられるので C に含める。すなわち
¯( ∞)
¯X¯
C=ai 3−i ¯ ai ∈ {0, 2}¯i=1である。C は 3C = C ∪ (C + 2) という集合方程式を満たす R の非空な compact集合と特徴づけることもできる。２番目によく知られているものは Knuth の Twin√Dragon である。これは α = 1 + −1 として
¯( ∞)
¯X
¯
K=ai α−i ¯ ai ∈ {0, 1}¯i=1という複素数の部分集合でその形状は大変美しい。C 同様、集合方程式 αK =K ∪ (K + 1) を満たす C の非空な compact 集合と特徴付けられる。 C, K ともに
片側 full shift X = {0, 1}N の factor となっているがその実現のされ方が異なるので形状は全く異なる。特に重大な違いは C は R の Lebesgue 測度が 0 なのに Kは正となることである。実は 0 ∈ C が K の内点である。 これは簡単な事実だが自明ではない。集合方程式より

αK = K ∪ (K + 1)

(1)

2(2)

α K = αK ∪ (αK + α) = K ∪ (K + 1) ∪ (K + α) ∪ (K + α + 1)∗

短期共同「クンツ環のフラクタル集合上の表現と数理物理への応用」2002/11/27

1

であり、繰り返すと

αn K =[ ¡K + an + an−1 α + · · · + a1 αn−1¢ai ∈{0,1}を得る。これは symbolic に K を記述すると{.a1 a2 a3 . . . }であるが αn K は{a1 a2 a3 . . . an .an−1 an−2 . . . }と n 回シフトした結果であり、そのことを幾何的に表現しただけである。しかしその意味は大きい。0 が K の内点なのだから n → ∞ とすれば αn K はいかなる大きさの球も含む事ができる。すなわち次を得る。
Ã!
n[XC=K+ai αn−in,aii=1

ここで右辺の和は全ての n と ai ∈ {0, 1} をわたる。一方で、異なる二つのタイル
PK + ni=1 ai αn−i は重ならない。すなわち µ2 を C を R2 とみなした時の自然な 2次元 Lebesgue 測度とするとµ2 (αK) = 2µ2 (K) = µ2 (K) + µ2 (K + 1) − µ2 (K ∩ (K + 1))Pn
より µ2 (K ∩ (K + 1)) = 0 である。同様に ω 6= ω 0 を i=1 ai αn−i の形の二つの元とするとµ2 ((K + ω) ∩ (K + ω 0 )) = 0も成り立つ。すなわち C は K でタイル張りされる。
√P
α = −1 + −1 に対して Z[α] の任意の元は 0, 1 を alphabet として ni=1 ai αn−iの表示を持つことが知られている。このように代数的整数 α が与えられ、全てのP
Z[α] の元が ai ∈ {0, 1, . . . , |N (α)| − 1} を用いて ni=1 ai αn−i と表示される時 α は標準数系をなすと呼ばれる。標準数系という性質は、一見すると普遍的性質のよう√に思えるが、大変な細かい特殊事情で成立するのである。たとえば −α = 1 − −1
でも代数的状況は大差ないように思えるがこれは標準数系にはならない。与えられた代数的整数がいつ標準数系をなすかは、難しい問題で、２次では [16],[17],[11]で解決を見たが３次以上では未解決である。[18], [9], [4], [5]標準数系に対しては、Knuth の Twin Dragon と同様にタイル張りを構成することができる。その核心は同様に原点が一タイルの内点となることにある。[15], [6]さらに、一般に GLn (Z) の元 A でそのすべての固有値の絶対値が 1 より大のものを考える。q = | det A| とし、零でない v ∈ Rd の元に対し、
¯( ∞)
¯X
¯
K=
A−i (ki v) ¯ ki ∈ {0, 1, . . . , q − 1}¯
i=12

という集合がタイル張りを成すか議論することも可能である。[8] さらにこのアルファベット集合 {kv} をさらに一般の q 元集合として、いつタイル張りを成すかを論ずるという方向も研究が進んでいるが、これについては、[19], [28], [27] などを参照されたし。特に、どのようなアルファベット集合がタイル張りを導くかを研究した [12], [21] では、Wavelet が重要な役割を成しているのは注目すべきだろう。

2ベータ展開と Pisot 数系タイル張り

以上述べたのは対応する記号力学系が full shift の場合だが、sofic shift の場合でもタイル張りを付随させることができる場合がある。これは Cuntz-Krieger 環に対応するのでこの集会のテーマと関係あるかもしれない。β > 1 を固定する。
ベータ変換 Tβ とは [0, 1) 上の piecewise linear な変換

Tβ : x −→ βx − bβxc,の事である。繰り返すと
xxx

123x −→Tβ (x) −→Tβ2 (x) −→...

が得られる。ただし xi = bβTβi−1 (x)c である。すると x ∈ [0, 1) は次のように展開される。
x1 x2 x3x=+ 2 + 3 · · · = .x1 x2 x3 . . . .
βββさらに一般の実数 x > 0 に対して整数 m > 0 を取って β −m−1 x ∈ [0, 1) とできる
ので、

x = x−m β m + · · · + x−1 β + x0 +x1+ · · · = x−m . . . x−1 x0 .x1 x2 x3 . . . ,βという表示ができる。これを x のベータ展開という。このベータ展開に現れる言語全体により定義されるアルファベット {0, 1, . . . , bβc} 上のシフトをベータシフ
ト Xβ という。この Xβ がどのようなシフト空間をなすかを記述するのに本質的なのは、1 の展開と呼ばれるものでaaa1
231 −→Tβ (1) −→Tβ2 (1) −→....

により生成される右無限文字列 dβ (1) = .a1 a2 a3 . . . である。{0, 1, . . . , bβc} による有限語 x1 x2 . . . xn がベータ展開として実現されるかどうかは x1 x2 . . . xn の任意の suffix xm xm+1 . . . xn が dβ (1) より辞書式順序で小なことと同値である。dβ (1)が有限、すなわちある場所以降は 0 が続くならば Xβ は有限型サブシフトであり、有限でなくても周期性をもつならば Xβ は sofic shift となる。
1 より大の実代数的整数で、自分自身と異なる共役の絶対値が全て 1 より小なるものを Pisot 数と言う。Pisot 数 β に対して、Q(β) の正の元のベータ展開は循環3する。[25] 特に、dβ (1) も循環するので Xβ は sofic shift である。このような Pisot数によるベータ展開のことを Pisot 数系とよぶ。Pisot 数系は整数による通常の展開と類似点が多い。たとえばベータ展開の意味で小数部分のないものの集合 Y は実軸で相対稠密で一様離散でありさらに強く Y − Y も同様である。このような集合は Meyer 集合といって 準結晶 の構成に現れる。
W.P.Thurston [26] は Pisot 数系に対するタイル張りを与える方法を提唱した。
√
以下、例を用いて説明する。ω = (1 + 5)/2 とし、θ を x3 − x − 1 の正根としよう。どちらも Pisot 数であり、dω (1) = .11, dθ (1) = .10001 となるのでどちらも有限型シフトである。Xω は {0, 1} を用いた両側無限語で 11 を禁止したものであり、黄金比シフトとか Fibonacci シフトと呼ばれている。また Xθ はやはり {0, 1} を√用いた両側無限語で 11,101,1001,10001 を禁止したものである。ω 0 = (1 − 5)/2,θ0 を θ の共役根の一つとする。（もうひとつは θ0 である。) このとき、基本的なタイルは(∞)
X
T =x−i ω 0i | x−i ∈ {0, 1}, x−i x−i−1 = 0i=0である。これはベータ展開を逆の方向に伸ばしたもので記号的には{. . . x−3 x−2 x−1 x0 .}である。ただし、通常の意味では収束しないので ω の代わりにその共役 ω 0 を用いて収束させている。T の幾何学的形状が問題になるが、この場合は容易で T は区間 [−1, ω] となる。すなわち再び原点は T の内点である。Twin Dragon の時と同様に今度は右シフトを施してみると(ω 0 )−1 T = T ∪ T.1を得る。ここで T.1 は記号的には {. . . x−3 x−2 x−1 .1} と書ける。すなわち小数部分が .1 となるものの集合である。しかし、11 は禁止であるから x−1 は 0 になる。
すなわち
(ω 0 )−1 T = T ∪ (ω 0 T + ω 0−1 )が成り立つ。（前後するが実際にはこの集合方程式の解の一意性から T = [−1, ω]が分かるのである。）U = ω 0 T = [−1, 1/ω] と置こう。ω 0−1 = −ω だからω 0 T + ω 0−1 = [−1 − ω, 1/ω − ω] = [−ω 2 , −1]なので幾何学的に表現すると区間 T を右シフトすることで左に区間 U が連結される。この状況は σ を {T, U } からなる語の半群の反準同型（すなわち σ(xy) =σ(y)σ(x) を満たす写像）でσ(T ) = U T,4σ(U ) = T

を満たすものを考えるとよりその構造が鮮明である。すなわち

σT = U T
σ2T = U T T
σ3T = U T U T T
σ4T = U T U T T U T T
σ5T = U T U T T U T U T T U T Tのようにタイル T が左右に成長していくのである。より印象的に書けば

UTU

TT

UT U

TT

UT U

TTUTT

UT UT T UT U

T T UT T

UT UT T UT U

T T UT T UT UT T UT T

UT UT T UT UT T UT T UT UT T UT U

T T UT T UT UT T UT Tとなる。この列は両側 Sturm 列を生成し様々な興味深い性質を満たすことが知られている。その本質的な理由は、この列が一次元無理回転 x → ω 0 x の coding となっていることである。
さて、同様のことを θ で行う。
(∞)
X
T =x−i (θ0 )i | x−i = 1 → x−i−1 = x−i−2 = x−i−3 = x−i−4 = 0i=1を考えると複素平面内の compact 集合である。同様に(θ0 )−1 T=

T ∪ T.1(θ0 )−2 T=

T ∪ T.1 ∪ T.01...
(θ0 )−6 T=

T ∪ T.1 ∪ T.01 ∪ T.001 ∪T.0001 ∪ T.00001 ∪ T.000001 ∪ T.100001のように成長していく。今度はタイルは 5 種類ある。全く同様に原点が T の内点であるので、複素平面はこれらの 5 種のタイルでタイル張りされることが証明される。この、タイル張りは複素平面での無理回転 z → θ0 z の coding を与えるの5で、Sturm 列の自然な拡張であると考えることができる。ただし黄金比シフトの場合のように幾何学的形状は簡単ではない。 [2] このように原点が T の排他的内点である場合には、タイル張りが生成されるということは証明が容易である。この幾何学的性質は、Pisot 数系の有限性とよばれる代数的性質と対応している。[1],[10]一般の Pisot 数では、この有限性条件は必ずしも成立しない。このように原点が内点とならない場合にもある種の弱い有限性が成立すれば、同様のタイル張りが作れることも知られている。[3]
このように sofic shift を幾何学的に実現することは、トーラス上の無理回転のcoding と Markoff 分割の具体的構成に密接に連関しており、このことが、Pisot 数系の研究の大きな動機づけとなっている。[7], [23], [24]参考文献
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6

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秋山茂樹
Shigeki AKIYAMA
新潟大学理学部数学教室
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