Berg による反応性スパッタモデル
中野武雄

2005 年 1 月 5 日
概 要

S. Berg et al. による論文 [1] のモデルを実際に計算してみる試み。

モデル1

手順は [1] の Appendix にある通り。ここでは物理量とそれらの間の関係式とを整理してみる。
彼らは Ti をアルゴン−窒素雰囲気でスパッタしているので、反応性ガスの添字には N を使っている。ここではそのまま使うことにする。

1.1

変数一覧

まずあらかじめ与えておくパラメータは次の通り：

SMSN

metal region のスパッタ率
nitride region のスパッタ率αtαc

反応性ガスの target への付着確率

AtAc
Jtarget の面積
chamber 壁の面積
target での電流密度

Sp

排気速度

反応性ガスの chamber 壁への付着確率

動的に変化する量 (モデルにおける未知変数) は次の通り：

F

単位面積あたりへの N2 分子のフラックス

θ1
θ2qt

target の窒化割合 (窒化領域の面積比)
chamber 壁の窒化割合 (窒化領域の面積比)
target が吸収する N2 流量qc
qp

chamber 壁が吸収する N2 流量
ポンプで排気される N2 流量

これらの関係を元に、窒素分圧 pN から窒素流量 q0 を求めるのが Berg モデルと言える。入力−出力が直感と逆なのは、q0 は pN の一価関数となるのに対し、pN は q0 の多価関数となるからである (だからこそ hysterisis が生じるわけだが)。

1

1.2

関係式

単純に考えて、未知の変数が (q0 も入れて) 7 個だから、関係式も同じく 7 つあれば解けることになる。なお Berg モデルは基本的に平衡状態のみを考えていることに注意。
まず流量保存の関係：

q0 = qt + qc + qp

(1)

および排気される窒素の流量を与える式：

qp = pN Sp(2)がすぐにわかる。また単位面積あたりへの窒素分子のフラックスは 1/4nv̄ である (例えば [2]) から、
r
1 pN 22kTpN√
F ==√(3)4 kT πM2πkT Mとなる。ただしここで n は分子数密度、v̄ は平均速度、k は Bolzmann 定数、T はガスの絶対温度、M は窒素分子の質量、である。
続いて target では、metal region が窒化されて増加する分と、nitride region がスパッタされて減少する分がバランスしているので：

2αt F (1 − θ1 ) = (J/e)SN θ1(4)となる。(J/e) は単位面積あたりのイオンフラックスを与える (e は素電荷)。左辺に 2 がついているのは、窒素分子が 2 つの原子に乖離して TiN を形成するからである (このあたりはスパッタ率の定義にも依存しそうだが)。
さらに chamber 壁での窒化領域のバランスは、• chamber の metal region が F によって窒化される• chamber の metal region に、target の nitride region からスパッタされた TiN が depo する• chamber の nitride region に、target の metal region からスパッタされた Ti が depo するで決まると考えると (ここもいろいろ議論がありそうだが)、

2αc F (1 − θ2 ) + (J/e)SN θ1AtAt(1 − θ2 ) = (J/e)SM (1 − θ1 ) θ2AcAc(5)が導ける。
以上からもわかるように、気相の窒素が target および chamber 壁で消費される割合はqt = αt F (1 − θ1 )At(6)qc = αc F (1 − θ2 )Ac(7)で決まる。
以上で 7 つの式が導けた。これらを図 1.2 のようなフローチャートに従って解いていけば、pNより q0 を決定できることになる。
さらに、

R = (J/e){SN θ1 + SM (1 − θ1 )}(8)

によって R を定義すると、これはターゲットの平均スパッタ率を与えることになり、成膜速度の指標と考えることができよう。

2              

図 1: Berg モデルを解いていく順序

2

計算例
Berg の論文にあるパラメータは以下の通り。
SM = 1.5, SN = 0.3, αt = αc = 1, At = 127 (cm2 ), Ac = 10At , J = 1.4 (mA/cm2 ),Sp = 85 (l/s)

この条件で Berg モデルを解く GNU octave の script 例を以下に示す1 。

#!/usr/bin/octave -qf# consts
ec = 1.6e-19;
kB = 1.38e-23;# (C)# (J/K)NA = 6.022e23;# params
SM = 1.5;
SN = 0.3;
ac = 1.0;
at = 1.0;
At = 127 * 1e-4;# (m^2)

Ac = 10 * At;
Sp = 85 * 1e-3;
Jt = 1.4e-3 * 1e4;

# (m^3/s)# (A/m^2)

Tg = 300;
Mg = 2 * 14.0067 / NA * 1e-3;# (K)# (kg)

pN = [0.00: 0.0001: 0.03]’;# (Pa)

iF = Jt / ec;# ion flux: (ions/m^2s)

F = pN ./ sqrt(2 * pi * kB * Tg * Mg);

# (molecules/m^2s): eq(3)t1 = 2*at*F ./ (2*at*F + iF*SN);# eq(4)

1 このファイルは http://surf.ap.seikei.ac.jp/ nakano/diary/misc/berg.m として置いておきます。

3

iR = 2*ac*F + iF*SN*t1*At/Ac;
t2 = iR ./ (iR + iF*SM*(1-t1)*At/Ac);# eq(5)qt = at * F .* (1-t1) * At;# (molecules/s): eq(6)qc = ac * F .* (1-t2) * Ac;
qp = pN / (kB * Tg) * Sp;
q0 = qt + qc + qp;# (molecules/s): eq(7)# (molecules/s): eq(2)q0 = q0 / (NA / 22.4e3 / 60);

# (molecules/s) -> (sccm)

RS = iF * (SN*t1 + SM*(1-t1));# (a.u.)# plotgset term postscript
gset output "berg-qP.eps"
gset xlabel "N2-FLOW (sccm)"
gset ylabel "N2-Pp (Pa)"
plot(q0, pN)
clg
gset term postscript
gset output "berg-qR.eps"
gset xlabel "N2-FLOW (sccm)"
gset ylabel "Sputt. Ratio (a.u.)"plot(q0, RS)
この出力結果は図 2 のようになる。
1.4e+20line 1

0.025

1.2e+200.02

1e+20
Sputt. Ratio (a.u.)

N2-Pp (Pa)

0.03

0.015

8e+190.01

6e+190.005

4e+19000.2

0.4

0.6

0.8
1N2-FLOW (sccm)

1.2

1.4

1.6

1.8

line 12e+1900.2

0.4

0.6

0.8
1N2-FLOW (sccm)

1.2

図 2: 左: q-p 曲線、右: q-R 曲線

参考文献[1] S. Berg, H-O. Blom, T. Larsson and C. Nender; J. Vac. Soc. Technol. A5 (1987) pp.202–207.
[2] 堀越源一『真空技術 [第 3 版]』東京大学出版会 1994, §2.5 および §2.3.
4

1.4

1.6

1.8