筑波大学計算科学研究センター 2022 年度学際共同プログラム利用報告書

格子ゲージ理論を用いた量子色力学における強い CP 問題の研究
Strong CP problem in QCD on the lattice
北野龍一郎
高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所理論センター
１．研究目的
素粒子の相互作用を記述するゲージ理論は、ゲージ変換で移り変わるものを同じとするゲージ原理に従って構成され、その同一視の過程でトポロジカルな巻きつき数をもつ場の配位が可能となる。その非自明な配位の経路積分への重みをコントロールするパラメータが角度θである。θの変化に対し理論がどのような反応を示すのか、相構造はどうなっているのか等々、インスタントン解の発見以降、様々な議論がなされてきた。特に、ゼロである理由を持たないパラメータθが、不自然に小さい値(10-10 以下)であるという実験事実（強い CP 問題）から、ゲージ理論のトポロジカルな性質の理解は素粒子論の根本的な問題の１つとなっている。本プロジェクトでは、トポロジカルに非自明な配位は真空の形成や構造にどのような影響を及ぼすのか？という問いに答えることを目指し、格子ゲージ理論に基づく数値シミュレーションを通じてそのような配位が果たす役割についての理解を深めることである。
２．研究成果の内容
SU(2)ゲージ理論のθ依存性は、SU(N)ゲージ理論の 1/N 展開から予測される定性的な性質に従うかどうか、長年の問題であった。特にθ=πにおいて、1/N 展開からはCP 対称性の自発的破れが帰結されるが、N=2 ではそれが起こらずに、非自明なギャップレスな理論が実現される可能性が議論されてきた。本研究では、SU(2)ヤン＝ミルズ理論のθ依存性を格子ゲージ理論のシミュレーションを用いて調べ、1/N 展開の予測が成り立っていることの示唆を得ることができた。
2021 年度までの研究で、各配位のトポロジー荷 Q の測定方法を確立した。Q を単純に定義して測定すると、短距離スケールのゆらぎから非整数の値が得られる。そこ
で、配位に smearing を施すことによって整数値に近づけるが、それは物理的なトポロジカル励起にも影響を及ぼしてしまう。そこで、Q の測定値と smearing の回数(nAPE)の関係に着目し、適切な外挿方法を見出すことができた。
この理解を踏まえ、Wilson bag と呼ばれる非局所演算子の期待値から、真空エネルギーのθへの応答を探る研究を行った。この方法では、時空の一部領域のトポロジー荷筑波大学計算科学研究センター 2022 年度学際共同プログラム利用報告書

Qsub を測定することにより、その部分だけにθ項を導入した場合のエネルギーのズレを評価する。この測定においては、異なる配位の寄与が激しく相殺するような、いわゆるサイン問題が緩和され、θの大きな値まで測定が可能となる。θ項を導入する時
空の一部分を大きな体積まで外挿することにより、下図のようにθ＝πを大きく超えた値まで自由エネルギーの計算が可能となった。
（白丸のデータ点）

特に重要なのが、θ=πの点での微係数がゼロとならないことであり、それは自発的CP の破れを示唆している。また、2π周期性がみられないことは、large
N 極限の議θβ (θ)
T (θ)/T (0)ccc02.5162( 9)1論に特徴的な複数個のドメインの存在と整合性がある。これらの特徴はSU(2)ゲージ理論
π/102.5149( 9)0.9979( 6)2.2π/102.4π/102.5095(19)2.5074(32)0.9894(31)0.9861(51)が large N クラスに属していることを示唆している。
2π/10 2.5112(15) 0.9921(24)2022 年度からはこれらの研究を発展させ、温度依存性をより詳細に調べた。
Table 2. The numerical results for β (θ) and T (θ)/T (0).
cTc(θ)/Tc(0)

1.01

cc

this workRθ (D’Elia and Negro)Rθ (CC equation)

10.99

0.98
00.20.4θ

0.60.82Figure 11. Comparison of our result for T (θ)/T (0) with the result of [1, 2]. R obtained throughccθ
ポリヤコフループの期待値は、閉じ込め-非閉じ込めのオーダーパラメータである。θ
the CC relation is also shown.

を reweighting 法により導入し、ポリヤコフループのヒストグラムがどのように変化するかをモニターすることにより、各θの値でのTc を決定した。上の図は、SU(3)ゲ
dependence of Tc as
Tc (θ)
ージ理論の場合で、Tc のθ依存性を調べたものである[論文 1]。SU(3)では有限温度= 1 − Rθ θ2 + O(θ4 ) ,(3.1)
Tc (0)

相転移が 1 次であるため相転移点を見つけやすい。得られた結果は先行研究や理論的and derived Rθ = 0.0178(5) in the continuum limit. The results obtained in this work and

予言とよく一致していることから計算がうまくいっていることが分かる。
theirs are compared in Fig. 11. Although we have not yet taken the continuu limit, theagreement is remarkable.
Another numerical test is possible by the use of the Clapeyron-Clausius (CC) equation [2].
We have applied the equation to the present case in Appendix A and derived (A.4). By
comparing it with (3.1), Rθ is found to beRθ =∆χ,2∆%(3.2)

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３．学際共同利用プログラムが果たした役割と意義
学際共同利用-重点課題推進プログラムでは、大規模計算によって探究するべき計算科学の重点課題を推進するものであるが、大規模計算機を有しない大学・研究所の研究者にとって上述のような計算は、当プログラムを利用する以外に実現することはできなかった。従って大変貴重なプログラムであると思う。
４．今後の展望
今後はゲージ理論のトポロジーに関する新たな知見を得るため更なる研究を遂行し、より詳細な解析から自由エネルギーの定量的な評価を行う。閉じ込め−非閉じ込め相転移と CP の自発的破れとの関係を明らかにするために、相図の温度依存性についての研究を継続して行う。
５．成果発表(1) 学術論文
1. Noriaki Otake and Norikazu Yamada, “θ dependence of Tc in 4d SU(3)Yang-Mills theory with histogram method and the Lee-Yang zeros in thelarge N limit,” JHEP 06 (2022), 044, 2202.05605 [hep-lat].
(2) 学会発表(3) その他
使用計算機

使用計算機に○配分リソース※
当初配分

追加配分

Cygnus○14,0000

Wisteria/BDEC-01○148,7500※配分リソースについてはノード時間積をご記入ください。