『経済研究』（明治学院大学）第 153 号

2017 年

製品差別化市場の効率化

高1．序

崎仁

良

かった。消費者価格が低下するのである。
この結果の副産物として，2 財が互いに粗補完

筆者はクールノー（Cournot）モデルに特定の財である場合には，この Incentive Scheme を適Incentive Scheme を導入することにより，価格用してはならないこともわかった。適用すると，と限界費用の一致，つまり社会的余剰の最大化を両財価格は通常の均衡価格より高くなってしまう達成できることを示した（文献 2，3，4，7，9，のである。

12，14，15）。むろんある程度の仮定は必要となそこで用いた分析手法は，筆者が別のテーマでるが，その諸仮定は穏当なものであり，企業数は著 わ し た 諸 論 文（ 文 献 1，5，6，9，13，16，任意で良い。

17）で用いたのと同一のものが有効に使えたこと

次の課題はクールノー型以外のモデルに同じ，も幸運であった。

または同類の Incentive Scheme を導入すること

次節では本研究に先行する分析結果，つまりであった。

クールノーモデルを対象とした分析結果の概略を

クールノーモデルでは予想以上に分析結果は良述べる。3 節が本稿の主要な部分である。4 節で好であったと感じるが，それ以外のモデルではあは簡単化したモデルで例を示す。この方がわかりまり期待は持てないと思っていた。ところが 2 社やすいかも知れない。5 節で結論をまとめる。類の生産物の競争力が同等で拮抗しているような製似の研究が無いため，参考文献はほとんどが拙稿品差別化モデル（Chamberlin モデルまたは独占となった。

的 競 争 モ デ ル と も い う） で は， 同 じ Incentive

2．先行研究の概略

Scheme を導入することにより，かなり明解な分析が可能になることがわかった（文献 8）。社会的余剰の最大化までは望めないことは，当初の予例として次のような状況を想定しよう。

想通りであったが，通常の独占的競争均衡に対す国有国営の企業が 2 社に分割され，市場はクーる経済厚生の改善という結果が得られることがわルノー複占となった。それぞれ企業 1，企業 2 と1

『経済研究』（明治学院大学）第 153 号呼ぶ。この 2 社以外に競争相手はいない。次の二p＝0 if a＜xつのケースを比較する。

a＞m①②

2 社は民有民営となり，通常のナッシュ・クーとする。ここで a＞m の条件が満たされないと市ルノー均衡が成立した。

場が成立しない。

2 社は国有民営となり，株主側である政府は

図 1 の N 点は②の場合のゲームの，純粋戦略2 社の経営者（もしくは経営陣）に次のようからなるものとしては唯一のナッシュ均衡であな報酬支払方式を設定した。A＞B＞C である。M 点は①の場合のナッシュ・クールノー均る三つの金額 A，B，C を固定し，利潤の大衡である。N 点が表すナッシュ均衡は，弱支配戦きかった方の企業の経営者に A 円を支払い，略の組にもなっていることに注目されたい。②の利潤の小さかった方の経営者に C 円を支払場合の解う。両社の利潤が等しければ，両経営者に B

xi ＝円を支払う。

a－m2i＝1, 2

容易に本質を理解するために，モデルを簡単にを上記需要関数に代入すれば p＝m が得られる。

する。企業 1 の生産販売量を x１，企業 2 のそれつまり価格と限界費用は一致し，社会的余剰は最を x２とし，両社の費用関数は大になるのである。この結果はより一般的な費用

Ci＝mxii＝1, 2m≥0関数，需要関数のもとで，任意の企業数についてとする。便宜上，先の経営者報酬 A，B，C は費成り立つ。

用として定義せず，この費用関数に含まれないも3．主な分析のとする。市場の（逆）需要関数は x１＋x２＝xとして

p＝－x＋a if 0 ≤ x ≤ a以下で 2 種類の財のみのモデルを考察するが，図1x2a－mπ1 ＝ π2π1 ＞ π2a－m2a－m3π1 ＜ π2Nπ1 ＜ π2Mπ1 ＞ π20a－m3a－m22a－mx1

製品差別化市場の効率化

それらの財の名称，数量ともに x，y で表す。2となる。

f px , py） お よ び y＝g（ px ,財 の 需 要 関 数 は x＝（2 社が価格を戦略として競争するとき，その均py）で表す。これらを含め以後使用する関数はす

衡においては次の式（5）（6）が成立する。

べて 2 階連続微分可能なものとする。さらに技術∂＝0 … （5）｝（f px , py｛）px－MC（ x ）∂ px∂＝0 …（6）｝g（ px , py｛）py－MC（ y）
y +
∂ py
x +

上扱いやすくするために，これら 2 つの財の間に以下の仮定 1 と仮定 2 で表される「対称性」を設ける。この対称性は序文で述べたように，差別化された 2 財が互いに同等の競争力をもつことを意

これらの左辺（限界利潤）を簡略にして味する。
仮定 1…（5′）φ（ px , py ）＝0…（6′）と表記しよう。

以下で扱う 2 財は単位を適当に調整する（ことにより，費用関数 Cφ（ px , py ）＝0）が同一になるもの

2 つの企業の利潤の差額を次の記号で表す。とする。その調整された単位のもとでの価格を定義 1px，py とする。以下では正の価格しか考えない。

πx－πy ≡ xΔyπy－πx ≡ yΔx

したがって価格を変数とする諸関数の定義域はR２＋＋である。

次に以下の Incentive Scheme を導入する。

f px , py） y＝g（ px ,仮定 2 二つの需要関数 x＝（Incentive Schemepy）はすべての a, b ∈ R＋＋につき
f a, b）＝g（b, a）
（∂∂g（ b , a）＜ 0（f a , b）＝
∂a∂a∂∂f a , b）
g（ b , a）＝
 （∂b∂b∂∂（f a , b）（f a , b ）＞∂b∂aA＞B＞C である三つの金額 A，B，C を設定し，… （1）

企業 i の経営者（以後プレイヤー i とも呼ぶ）には経営報酬として，πi＞πj のとき A 円を，πi＝πj… （2）のとき B 円を，πi＜πj のとき C 円を支払う（ i, j＝x, y i ≠ j）。

… （3）この Incentive Scheme をゲームのルールと考… （4）え，以下では純粋戦略のみを扱う。

式（2）の値は負と仮定したが，これは通常の仮定であり，式（3）の値は正にも負にもなるも補題1のとする。もちろんその符号は粗代替と粗補完のゲームの均衡（ナッシュ均衡）においては，πx＝定義に関係する。

πy である。

上 記 の Incentive Scheme の も と で のx，y を生産販売する企業もそれぞれ企業 x，企（証明） πx ＞ πy であったとしよう。このときプ業 y と呼び，その利潤をそれぞれ πx，πy で表す。

レイヤー y は px＝py である py に戦略変更するこ

x，y の限界費用もそれぞれ C′（x）＝MC（x），C′（ y）とにより πx＝πy にでき，したがって利得を C か（x），πy＝py y－C（ y）＝MC（ y）で表す。πx＝px x－C

ら B に引き上げることができる。px＝py なら仮3『経済研究』（明治学院大学）第 153 号

定 2 の式（1）により x＝y で，仮定 1 により C（x）

py ）だが，式（2）（3）より次の一連の等式が成り（ y）だからである。πx＜πy のときも同様。い＝C立つ。

ずれも均衡の定義に反する。

∂∂＝（f py , px ）g（ px , py ）∂ py
∂ pyQED∂∂＝（f py , px ）g（ px , py ）
∂ px
∂ px

均衡においては∂∆ ＝0∂ px x y∂∆ ＝0∂ py y x∂∂＝g（ py , px ）（f px , py ）∂ px
∂ pxである。なぜなら補題 1 で示したようにこのとき両社の利潤は等しい（両経営者は報酬Ｂを得てい∂∂＝g（ py , px ）（f px , py ）∂ py∂ pyる）ので，もし上式の値が正（負）の企業があればその企業の経営者は価格をわずかに上げる（下したがって px と py とを入れ替えると，式（7）げる）ことにより，報酬を B から A に引き上げは式（8）になり，式（8）は式（7）になる。連ることができ，均衡の定義に反するからである。

立方程式の解は式の順番を入れ替えても変わらな

上式を少し詳しく書けば以下の式（7）（8）のよい。仮定 3 により解は一意である。したがって

p x＊ ＝p y＊うになる。
＝ϕ（ px , py ）∂｝g（ px , py｛）py－MC（ y）
∂ px
… （7）

が得られ，これと式（1）から＝φ（ px , py ）∂｝（f px , py｛）px－MC（ x ）∂ py… （8）が成り立つ。

x ＊＝（f p x＊ , p y＊ ）＝g（ p x＊ , p y＊ ）＝y ＊定義 2

比較の単純化のため次のことを仮定する。

QED

∂
∂
＞ 0 かつ（f px , py ）＞0g（ px , py ）∂ py
∂ pxのとき，x と y は（px, py）の近傍で互いに粗代仮定 3替財（gross substitutes）であるという。また，式（5′）（6′）の解と式（7）（8）の解はそれぞれ正で一意的に存在する。

∂＜ 0 かつ（f px , py ）∂ py∂
＜0 のg（ px , py ）∂ px

とき，x と y は（px, py）の近傍で互いに粗補完式（5′）（6′）の解と式（7）（8）の解をそれぞ財（gross complements）であるという。（粗代れ順に（ p x０ , p y０ ）（ p x＊ , p y＊ ）替性は超過需要関数または超過供給関数の上で定と書こう。次の補題が成り立つ。

義されることがある―文献 10

補題 2

補題 3 P x＊ ＞ MC（ x ＊） P y＊ ＞ MC（ y ＊） …（11）

式（7）（8）が成立しているときにはp x＊ ＝p y＊

… （9）x ＝y 

…（10）＊＊

P 221―。）（証明） 仮定 1 と補題 2 によりP x＊ －MC（ x ＊）＝P y＊ －MC（ y ＊）

である。

…（12）

であることがわかる。このことと仮定 2 を用いれf py , px ）＝g（ px ,（証明） 仮定 2 の式（1）より （ば式（7）（8）は次のように書ける。
4製品差別化市場の効率化

x *+｛∂∂
f px* , py* ）g（ px* , py* ）｝（－∂ px∂ pxおよび×｛ px*－MC（ x *）｝= 0｛y *+∂＞0（f px* , py* ）∂ py

粗代替財のケース（少なくとも∂＞ 0 ）ではg（ px* , py* ）∂ px

F（ p x＊ , p y＊ ）＜F（ p x０ , p y０ ）

∂∂－（g（ px* , py* ）f px* , py* ）｝∂ py∂ py…（18）となり，粗補完財のケース（少なくとも∂∂＜ 0 および（f px* , py* ）＜0 ）g（ px* , py* ）
∂ py
∂ px

×｛ py*－MC（ y *）｝＝0では式（11）を否定すると（粗代替の場合も粗補完

F（ p x＊ , p y＊ ）＞F（ p x０ , p y０ ）の場合も）この式が成立しないことが式（4）からわかる。

…（19）である。Gale & Nikaido（文献 11）の定理 3 によQEDり式（18）は（ p x＊ , p y＊ ）＞（ p x０ , p y０ ）以下表記の簡単化のため次の略記を用いる。

∂ϕ（ px , py ）∂ px∂
ϕ（ px , py ）
ϕ y ≡∂ py∂
φ（ px , py ）
φ x ≡∂ px∂
φ（ px , py ）
φ y ≡∂ py
ϕ x ≡の領域で解をもたず，式（19）は…（13）（ p x＊ , p y＊ ）＜（ p x０ , p y０ ）の領域で解をもたない。我々のモデルの対称性から…（14）p x＊ ＝p y＊…（15）であり，式（5′）（6′）と式（7）（8）との違いから（ p x＊ , p y＊ ）≠（ p x０ , p y０ ）…（16）である。したがって次の不等式と以下の命題を得る。

また次は寡占市場の安定条件としてしばしば仮粗代替財の場合定されるものである。
仮定 4ϕx＜ 0 , φy ＜ 0 ,ϕx , ϕyφx , φy＞0

F（ px , py ）≡p y＊ ＜ p y０  …（20）

粗補完財の場合 p x＊ ＞ p x０

p y＊ ＞ p y０  …（21）粗代替財（粗補完財）の場合には我々のIncentive Scheme により価格は低下（上昇）する。

 － ϕ（ px , py ）

－ φ（ p , p ）p x＊ ＜ p x０

命題

次の列ベクトルを定義する。
定義 3p x０ ＝p y０xy 

また仮定 2 の式（4）から，Incentive Scheme により粗代替財（粗補完財）の場合には需要量と生…（17）産販売量は増加（減少）する。

仮定 4 により式（17）のヤコビアンの主小行列式はすべて正である。（すべての主小行列式が正

この命題は Chamberlin モデルにおける，我々であるような正方行列は P 行列と呼ばれ―文献の Incentive Scheme による経済厚生の改善を意

11―，また経済学の分野では Hicksian ―ヒック味している。

ス行列―と呼ばれる―文献 10

なお別稿でも述べたように，ここで用いた In-P 209 ―。）centive Scheme は次のように一般化できる。

式（5′）（6′）（7）（8）から次のことがいえる。
5『経済研究』（明治学院大学）第 153 号

一般化された Incentive Scheme

格の関数として表示した上で，それぞれの価格にz＞0 ⇒ h（z）＞h（0），z＜0 ⇒ h（z）＜h（0）

関するそれぞれの利潤の最大化を考えると，次式であるような実変数関数 h を用いて，プレイヤーを得る。

i の利得を h（iΔj）とする（i, j＝x, y i ≠ j）。

 2ab   px  ma － c 

2 a   py  ma － c b4．簡単な例

=

これを解いて製品差別化のもとでの均衡価格が次前節で考察した内容を簡単化したモデルで示のように求まる。

す。論点の分かりやすさではより役に立つと思う

0からである。
企業 x と企業 y の費用関数はそれぞれ

Cx＝mx

Cy＝my0px ＝ py ＝ma － c2a + b1～4 の条件からこの値は正である。

m＞0

一方，前節の定義 1 で定義した利潤の差額
πx－πy ≡ xΔyとする。これは収穫一定（1 次同次の生産関数）

πy－πx ≡ yΔxのもとで，両財の単位を適当に調整し，平均費用をそれぞれ価格に関して最大化した場合を見よをそろえたものである。2 財の価格はそれぞれこう。我々の Incentive Scheme のもとでの均衡価の調整後の 1 単位の価値を表すものとする。

格として需要関数を下の 1～4 の条件を満たす 1 次関数

x＝apx＋bpy＋cpx*＝ py*＝y＝bpx＋apy＋cm（ a－b ）－c2a1．a＜02．∣ a ∣＞∣ b ∣を得る（図 2 を参照）。1～4 の条件からこの値も3．c＞04．am＋bm＋c＞0

正である。これはまた各企業の弱支配戦略になっとする。「対称的」な構造の理由は前に述べた通ていることにも注意されたい。

りである。上に挙げた諸条件の内，1 は通常なさ

00px － px*＝ py － py*＝れる仮定であり，2 は自価格効果の方が他価格効b（ma ＋mb＋c ）2 a（2 a＋ b ）であることが容易に計算できる。次の結果を得る。

果より大きいという条件である。3 は 2 と 4 から導かれるのだが，我々が必要と考える価格の範囲で需要量が正になるように，「十分大きな正の値」

b＞0 ⇒（ p x０ ＞ p x＊ ）∧（ p y０ ＞ p y＊ ）と解釈していただきたい。細かい数学的記述を行

b＜0 ⇒（ p x０ ＜ p x＊ ）∧（ p y０ ＜ p y＊ ）わないのは，経済学的理解の容易さを優先するためであり，この点は本稿全体で配慮している。4上段は 2 財が互いに粗代替財である場合であり，は，企業利潤が負にならない最低限度の価格のも下段は 2 財が互いに粗補完財である場合である。とでの需要が正であるというもので，市場での取また粗代替財（粗補完財）の場合には，需要量と引が成立する状況を分析したい我々のモデルに生産販売量は増加（減少）することが需要関数かとって当然のものである。このモデルが前節でのらすぐわかる。これは前節で得た命題に相当する。

諸仮定を満たすことにも注意されたい。
費用関数の変数に需要関数を代入し，利潤を価6

製品差別化市場の効率化
図2pym（a－b）－cπx ＝ πyaπx ＞ πym（a－b）－c2aNπx ＜ πyπx ＜ πyπx ＞ πy0m（a－b）－c2am（a－b）－capx（ 2 ）高崎仁良「国有企業の効率化に関する一考察」

5．結び

明治学院大学経済学会『経済研究』108 号，1997年3月（ 3 ）高崎仁良「民営化と産業再編成」日本評論社『経2 社の競争力が同等で拮抗しているような製品済セミナー』2004 年 4 月号

差別化市場に我々の Incentive Scheme を導入す

（ 4 ）高崎仁良「民営か競争か」明治学院大学経済学会『経済研究』135 号，2006 年 2 月

れば，消費者価格が低下することを本文で示した。

（ 5 ）高崎仁良「M&A と経済厚生：連関財を中心に」両財の消費者価格の低下は消費者余剰の増加と生

明治学院大学経済学会『経済研究』136 号，2006 年

産販売量の増加を意味する。つまり経済厚生が改7月（ 6 ）高崎仁良「M&A と国民経済」明治学院大学経善される（補題 3 で需要価格が限界費用を超えて済学会『経済研究』145 号，2012 年 1 月いることが示されているので，生産販売量の増加（ 7 ）高崎仁良著・楊川訳（中国語）「国有企业机制改革的具体构想―基于博弈论的理论模型设计」明がある以上，生産者余剰を計算する必要はない）。

治学院大学経済学会『経済研究』145 号，2012 年

他方，同様のモデルで両財が粗補完財である場

1月

合には，この Incentive Scheme を適用してはな（ 8 ）高崎仁良「寡占産業の効率化」明治学院大学経済学会『経済研究』148 号，2014 年 7 月

らない。両財の価格が上昇し，経済厚生が悪化し（ 9 ）高崎仁良『ミクロ経済学と時事問題』春風社てしまうからである。今後の研究方向としては企2013 年 3 月（10）Arrow, Kenneth J., and Hahn, F.H. “General

業数を 3 社以上に一般化することが考えられる。

Competitive Analysis”, Holden-Day, 1971（11）Gale, D., and Nikaido, H., ‘Jacobian Matrices
and Global Univalence of Mappings’, Mathe-

参考文献

matische Annalen, 159, issue 2, 1965

（ 1 ）高崎仁良「異種産業間の合併：補完財のケース」（12）Takasaki, J., ‘An Incentive Scheme towards

京都大学経済学会『経済論叢』132 巻 5・6 号，

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1983 年 11・12 月

1995
7

『経済研究』（明治学院大学）第 153 号（13）Takasaki, J., ‘Inter-Industrial Collusion with（16）Takasaki, J., ‘Inter-Industrial Integration with

Complementary Goodsʼ, Working Paper, 1995

Related Goods in Demandʼ, Working Paper,（14）Takasaki, J., ‘Are Private Industries more Ef-2003

ficient than State-Owned One?ʼ, Working Pa-（17）Takasaki, J., ‘Inter-Industrial Integration:per, 1999

M&A with Related Goods in Demandʼ，明治学（15）Takasaki, J., ‘A Public Scheme toward Effi-

院大学経済学会『経済研究』151 号，2016 年 1 月

ciency in Oligopolistic Marketʼ, Working Paper, 19998