平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育３

授業実践
実践事例２ 数学Ａ
指導計画
○単元名
「第１章 場合の数と確率 第１節 場合の数」（数学Ａ 数研出版）○単元の目標集合の要素の個数、数え上げの原則、順列、組合せについて理解し、基礎的な知識を習得するとともに技能に習熟し、具体的な場合の数を数学的に考察する能力を養い、数学のよさを認識しそれらを活用する。
○単元についてベン図や樹形図を用いたり、和の法則や積の法則を用いたりすることで、もれなく重複なく数え上げる方法について学習する。数え上げの原則、和の法則、積の法則、順列、組合せの一つ一つは理解しやすい。しかし、様々な場合の数を求めるには、場合に応じて数学的な見方や考え方を働かせる必要があり、そこに生徒は難しさを感じやすい。そこで、どのように考えて答えを導いたのか、過程を記述するように指導を行う。自分の考えを書いて、それを基に話合いをする活動を取り入れることで、思考力、判断力を高め、自分の考えを表現できる力を養う。また、身近な事象を扱うことで数学の実用性を認識させる。
○単元における工夫(思考力・判断力・表現力の育成を目指して)
・自分の考えを書いて、それを基に話合いを行うことで、概念形成を行わせる。
・思考力を必要とする問題を積極的に授業で取り扱う。
・生徒に板書をさせて、表現力を養うような機会を設ける。
○本時の目標完全順列の総数がもつ規則性について、５個の場合を基にして、場合分けをしながら、考察することができる。
○本時における工夫(思考力・判断力・表現力の育成を目指して)・個人で考え自分の考えを持たせる。その後グループで話し合わせ、自分の考えを述べたり、疑問に思うことを尋ねたりすることができるようにする（手立てⅠ）。
・生徒が自分たちで完全順列の規則性を考察できるように、段階を追って思考できるような発問を行う（手立てⅡ）。
・１人の生徒が発表した考えを全員が理解できるように、グループで話し合う時間を設ける（手立てⅢ）。
・得られた関係式が、別の同じような事例でも成り立つかどうか考察させる（手立てⅣ）。
・課題の解決に向けて、学習した内容をどのように生かせばよいか考察させる（手立てⅤ）。

実践事例２-1

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育

授業の様子

16／16 時間目（…評価：Ｂ…「おおむね満足できる」状況
Ａ…「十分満足できる」状況）

過 学習活動教師の働き掛け（○）、評価規準（◆）

程アクティブ・ラーニングの手法（※）…教師と生徒のやり取り

導 ・𝑝41の値を予想する。
入問題 41 人のクラスで席替えを行うとき、少なくとも１人が同じ席になる確率を予想してみよう。
１30％未満２30％以上～40％未満

３40％以上～50％未満

４50％以上～60％未満

５60％以上～70％未満

６70％以上・予想したことを、学習用ＰＣを用い、解答する。
・前時の課題の𝑝5 、1 − 𝑝5 について答え合わせをする。
・本時の目標の確認をする。

〇𝑝n の値を求める過程のどこで一番苦労しているかを考えさせ、分子の値をどのようにして求めるかに問題を焦点化させた。

𝑝n の計算で一番苦労するのは分子の値を求めるところだから、計算で分子の値を求める方法を考えよう。
ここで、分子を W(n)とする。つまり、人数が n のときに全員の座席が入れ替わる場合の数を W(n)とする。
今まで調べたことから W(2)=①、W(3)=②、W(4)=⑨である。
W(5)を計算で求められないか考えてみよう。
・□に当てはまる数を考えることでW(n)の記号の意味について理解する。

実践事例２-2

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育展〇元の①の座席が②の座席になる場合に着目

開①

させた。
疑問１
元の①の座席が②の座席になるときについて考える。①の座席が元の②の座席になる場合（つまり②－①－？－？－？となる場合）はなぜ２通りできるか理由を考えてみよう。
◆場合の数について、樹形図、和の法則、積の法則を用いて考察することができる。
【数学的な見方や考え方（1）】教（ワークシート）

師：②－？－？－？－？となる場合について何か気付

Ｂ：③、④、⑤の並び方を具体的に書いて答えている。

きはありませんか。
生徒Ａ：②－①－？－？－？とな

Ａ：③、④、⑤の３人が席を入れ替わるる場合は２通り。

並び方だから W(3)=2 通りと答えて②－？－①－？－？

いる。

②－？－？－①－？
②－？－？－？－①（手立てⅡ）の場合は３通りずつあ生徒が自分たちで完全順列の規則る。
教

師：②－①－？－？－？となる場合は２通りとなる理由を説明できませんか。

教師：②－①－？－？－？となる場合は、これから席を入れ替わる人が何人いますか。

教

性を考察できるように、段階を追って思考できるような発問を行う。
※（手立てⅠ）
個人で考え自分の考えをもたせる。
その後グループで話し合わせ、自分の考えを述べたり、疑問に思うことを尋ねたりすることができるようにする。

師：W(2)、W(3)、W(4)を使って説明できませんか。

あるグループで話されていた内容
生徒Ａ：数字が③、④、⑤となっているけど考え方は①、②、③のときと同じじゃない？
生徒Ｂ：あーなるほど。
対話をすることで生徒の考えを引き出している様子

実践事例２-3

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育

疑問２
元の①の座席が②の座席になるときについて考える。①の座席が元の②の座席ではない場合はなぜ９通りできるか理由を考えてみよう。
◆場合の数について、樹形図、和の法則、積の法則を用いて考察している。
【数学的な見方や考え方（2）】（ワークシート）
Ｂ：①、③、④、⑤の４人が席を入れ替わる並び方だから W(4)=9 通りと答えている。
Ａ：②－①－③－④－⑤の状態から、①、③、④、⑤の４人が席を入れ替わる並び方だから W(4)=9 通りと答教えている。

師：②－？－①－？－？
②－？－？－①－？
②－？－？－？－①の場合は３通りずつ全部で９通りある。９通りと※（手立てⅡ）いうのはなんとなく生徒が自分たちで完全順列の規則W(4)と関係しそうだけ性を考察できるように、段階を追っど、そのなんとなくのとて思考できるような発問を行う。

ころを上手に説明できま※（手立てⅠ）

せんか。

個人で考え自分の考えをもたせる。

あるグループで話されていた内容

その後グループで話し合わせ、自分生徒Ｃ：元の②の座席を①に書きの考えを述べたり、疑問に思うこと直して①、③、④、⑤のを尋ねたりすることができるよう４人が自分の番号の座席にする。に座らないように座席を入れ替わるとよいのでW(4)通り。

資料２ 生徒Ｃの考え

生徒Ｃの考え実践事例２-4

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育

教師：今のＣ君の考えが理解で※（手立てⅢ）

きましたか。そうでない

１人の生徒が発言した内容を、生徒全人はグループ内で話し合員が理解できるように、グループ内でってみてください。

協議できる時間を設ける。

あるグループで話されていた内容「②の座席の数字を①に書き換えることで、①は①に座れない、③は③に座れない、④は④に座れない、⑤は⑤に座れない、だからW(4)になる。
」
別のグループで話されていた内容「①、③、④、⑤と１、３、４、５ の完全順列になるんじゃない。
」

生徒Ｃの発表を受けて、あるグルー
プで話されていた際に書かれたメモ

まとめ
元の①の座席が②の座席となるとき(ⅰ)①と②の席が入れ替りになる場合は W(3)通り。
(ⅱ)①と②の席が入れ替りではない場合は W(4)通り。
① ①の座席だったところが②の座席となる場合は全部で W(3)+W(4)通りある。
①の座席だったところが③、④、⑤の場合も同様に考えればよい。
よって、W(5)={W(3)+W(4)}×4=44
展開②

同じ考え方で、W(4)を求められないか考えてみよう。
W(6)を求めてみよう。

※（手立てⅣ）
得られた関係式が、別の同じような事例でも成り立つかどうか考察させる。

W(4)についての記述の例

実践事例２-5

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育

𝑝41及び 1- 𝑝41を求めるために W(41)について調べたい。これまで学習した内容を生かして、あなたならどのようにして W(41)を求めますか。W(41)を求める考え方を書いて下さい。

※（手立てⅤ）

生徒Ｄ：W(41)={W(39)+W(40)}×40

課題の解決に向けて、学習した内容だよね。

をどのように生かせばよいかを考

生徒Ｅ：W(39)や W(40)も同じやり察させる。

方で求める…

※（手立てⅠ）

生徒Ｄ：永遠とやっていかないと個人で考え自分の考えをもたせる。

ダメじゃない…

その後グループで話し合わせ、自分の考えを述べたり、疑問に思うことを尋ねたりすることができるようにする。

〇W(41)={W(39)+W(40)}×40であるが、W(39)やW(40)の値をどのようにして求めるかを考えさせ、問題の解決に向けて見通しをもたせた。

〇W(41)及び𝑝41、1- 𝑝41のおおよその値を知る。

電子黒板に表示されたW(41)や𝑝41、1 − 𝑝41 のおおよその値

ま ・簡単な場合を用いて考察することで規則性を発 〇どのようにして問題を解決することができと見しやすくし、規則性を生かして立式できたこ

めとが問題解決につながったことを振り返る。

たか振り返らせた。

実践事例２-6

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育

授業を振り返って・（手立てⅡ、Ⅰ）を取り入れて疑問１について生徒に考察させたところ、次の発言が聞かれました。
「最後の部分だけが W(3)。
」「（W(3)=2 を指さして）これと同じことを考えている。
」
また、ワークシートには次のような解答が書かれていました（資料１）。

資料１ 疑問１についての生徒の記述（手立てⅡ、Ⅰ）を取り入れて疑問２について考察させたところ、次の発言が聞かれました。
「元の②の座席を①に書き直して①、③、④、⑤の４人が自分の番号の座席に座らないように座席を入れ替わるとよい。よって W(4)通り。
」

また、ワークシートにも次の資料２のような解答が書かれていました。

資料２ 疑問２についての生徒の記述
段階を追って思考できるような発問を行ったことで、生徒は自分たちで完全順列の規則性を考察することができました。
・（手立てⅢ）を取り入れると、生徒は電子黒板を指さしたり、ワークシートに書いたりしながら話合いを行っていました。その中で、次のような発言が聞かれました。

実践事例２-7

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育「②の座席の数字を①に書き換えることで、①は①に座れない、③は③に座れない、④は④に座れない、⑤は⑤に座れない、だから W(4)になる。
」「①、③、④、⑤と１、３、４、５の完全順列になるんじゃない（資料３参照）。
」

資料３ 生徒Ｃの発表を受けて、あるグループで話されていた際に書かれたメモ１人の生徒が発言した内容についてグループで話し合う時間を設けたことで、他の生徒たちも規則性を考察することができていました。しかし、グループで話し合った後も「分からない」と手を挙げていた生徒がいました。話合いを行っても生徒に疑問が残っていたため、理解している生徒に説明させるか、教師が説明を行う必要がありました。
・（手立てⅣ）を取り入れたことで、ワークシートには資料４の解答が見られました。

資料４ W(4)についての記述の例
この生徒は疑問１で W(3)についての考え方をグループの仲間の話を聞いて理解することができていました。同じような場面を考察することで理解を深め、自力で関係式をつくることができていました。
・（手立てⅤ、Ⅰ）を取り入れたことで、次の発言が聞かれました。
生徒Ｄ：「W(41)={W(39)+W(40)}×40 だよね。
」
生徒Ｅ：
「W(39)や W(40)も同じやり方で求める…」
生徒Ｄ：「永遠とやっていかないとダメじゃない…」

同様な関係式を繰り返し使っていくことで W(41)の値を求められることに気付くことができました。

実践事例２-8

平成 28・29 年度 佐賀県教育センター 高等学校理数教育

・前時の導入の段階で、𝑝5 の分子である W(5)の値を求めることができていたのはクラスの生徒の 48％でした。本時の授業を受けて W(5)の値を求めることができたのは 84％でした。84％の中の 19％の生徒は W(5)の値を求める過程を詳細に記述しており、思考力・判断力・表現力の高まりが見て取れました。残りの 65％の生徒は式のみ記述していたため、どのように考えて立式したかは分かりませんでした。立式の根拠が分かるように、ワークシートの問いを工夫することが課題となりました。
・疑問１、２において、話し合った内容をワークシートに記述していない生徒が見られました。
考えたことを書きやすいように、ワークシートの問いを工夫することが課題となりました。

実践事例２-9