第１問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。

問１ ( i ) (x + y)(x2 ¡ xy + y2 ) を展開せよ。

(ii) x3 + 8y3 を因数分解せよ。

(iii) 40x3 ¡ 135y3 を因数分解せよ。
問２a，b を実数の定数とする。2 次方程式 x2 ¡( i ) b を a を用いて表せ。

abx+= 0 ÝÝ 1 は，x = 2 を解にもつ。
22(ii) 1 が x = 2 を重解にもつとき，定数 a，b の値を求めよ。
ba(iii) 2 次方程式 x2 ¡ x += 0 は，x = 1 を解にもつとする。このとき，定数 a，b の22値を求めよ。

問３

座標平面に 2 点 A(¡2，0)，B(0，1) をとる。点 B を通り直線 AB に垂直な直線と x 軸との交点を C とする。また，直線 AB の x > 0 の部分に x 座標が t（t > 0）の点 D をとる。さらに，点 D を通り直線 AB に垂直な直線と x 軸との交点を E とする。

( i ) 点 C の座標を求めよ。
(ii) 点 E の x 座標を t を用いて表せ。
(iii) （4ABC の面積）:（4ADE の面積）= 1 : 16 のとき，t の値を求めよ。
問４

K，A，G，A，K，U の 6 文字を並べてできる文字列について考える。
( i ) 並べてできる文字列は全部で何通りあるか求めよ。
(ii) 2 つの K が隣り合っている，または 2 つの A が隣り合っている文字列は全部で何通りあるか求めよ。

(iii) 2 つの K が隣り合っておらず，かつ 2 つの A も隣り合っていない文字列は全部で何通りあるか求めよ。

¡2¡

問５次の図は，ある野菜 30 個について，その質量を計測し，結果をヒストグラムにまとめたものである。ただし，各階級は 140 g 以上 150 g 未満のように区切っている。

（個）

8642140 150 160 170 180 190 200 （g）( i ) 質量 170 g 以上 180 g 未満の野菜は何個あるか。
(ii) 質量 180 g 以上の野菜は何個あるか。
(iii) このデータの第 3 四分位数は，どの階級に属しているか。

¡3¡

第２問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。問３については，解答に至るまでの過程も記述せよ。
ある企業が製造，販売している商品 A について考える。A の 1 kg 当たりの販売価格を p (万円)，販売量を q (kg) とする。ただし，p，q は正の実数である。このとき，p，q は次の (¤) を満たすものとする。

p = 40 ¡ q ÝÝ (¤)
A を q (kg) 製造するのにかかる費用を C (万円) とし，売り上げは pq (万円)，利益は売り上げから費用を除いた pq ¡ C (万円) であるとする。また，消費税などは考えないものとする。

問１C = q2 + 8q + 16 とする。次のア〜サに当てはまる数として最も適切なものを答えよ。

( i ) 売り上げが 300 万円となるのは，(p，q) = #アのときである。ただし，，ア

イ; ，#<ウカ; ，#<キウ，エ;，ク;とする。

(ii) 利益が 80 万円となるのは，(p，q) = #オのときである。ただし，(iii) 利益の最大値はケ(p，q) = #コ，オキとする。

万円であり，そのときの p，q の値は，サ;である。

¡4¡問２問１（iii）の p の値を p1 とする。また，

C = q2 + 8q + 17 のときの利益が最大となるような p の値を p2 ，C = q2 + 12q + 16 のときの利益が最大となるような p の値を p3とする。

p1 ，p2 ，p3 の大小関係として正しいものを以下の 1 〜 9 のうちから一つ選び，番号で答えよ。

問３1 p1 < p 2 < p 32 p1 < p 3 < p 23 p3 < p1 < p2

4 p2 < p 1 < p 3

5 p3 < p1 = p2

6 p2 < p1 = p3

7 p1 = p2 < p 3

8 p1 = p3 < p2

9 p2 = p3 < p1

C = q2 + 8tq + 16 (t は正の定数) とする。30 · p · 35 を満たすすべての p に対して，利益が 80 万円以上となるような t の値の範囲を求めよ。

¡5¡

第３問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。問２ (iii) については，解答に至るまでの過程も記述せよ。
四面体 OABC は，AB = BC = CA = OC = 4 を満たす。また，辺 AB の中点を M とすると，

1cos ÎOCM = ¡ p である。頂点 O から平面 ABC に垂線 OH を下ろすと，点 H は直線 MC 上3の点となる。

OCAMB

問１ ( i ) 線分 OM の長さを求めよ。

(ii) 辺 OA の長さを求めよ。

¡6¡問２ ( i ) 線分 OH の長さを求めよ。

(ii) 三角形 OBC の面積を求めよ。
(iii) 四面体 OABC に内接する球の半径を求めよ。
問３四面体 OABC に外接する球の半径を求めよ。

¡7¡

第４問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。問３ (ii) については解答に至るまでの過程も記述せよ。

問１(i)次の文章中のア〜ウに当てはまる数として最も適切なものを答えよ。

ただし，一般に n を正の整数とするとき，n 0 = 1 である。

13230 の正の約数の個数を求めたい。13230 を素因数分解すると13230 = 2・33・5・72であるから，13230 の正の約数は2a・3b・5c・7d(ただし，a，b，c，d は 0 以上の整数)の形に表せる。ここで，a のとり得る値は，1 と 0 の 1 + 1 = 2 通り，b のとり得る値は，1，2，3 と 0 の 3 + 1 = 4 通りである。c，d のとり得る値も同様に考えると，13230 の正の約数の個数は(1 + 1)(3 + 1) #となる。ただし，

アア<+ 1; #イイとする。

+ 1; =ウ（個）(ii) 13230 の正の約数のうち，3 の倍数であるものの個数を求めよ。

問２13230 の正の約数すべての積を P とする。
が最大のものを求めよ。

Pが整数となるような正の整数 k のうち，値3k¡8¡問３次の文章を読み，下の問いに答えよ。

m は正の整数で，m Ë 105 とする。13230 と m の最大公約数が 105 となるような正の整数 m を考える。このような m のうち，値が最小のものはが小さいものは(i)上の文章中の(ii)13230 と，

オエであり，次に値である。

エオ，オに当てはまる数として最も適切なものを答えよ。

に当てはまる数との最小公倍数を ` とする。

2 つの正の整数 A，B (A · B) の最大公約数を G，最小公倍数を L とするとき
G > 10，GL = `を満たすような正の整数 A，B の組 (A，B) の個数を求めよ。

問４正の整数 N は 3 の倍数であるとする。70N(70N + 5) が 13230 の倍数となるような N のうち，値が小さい方から数えて 2 番目のものを求めよ。

¡9¡