1-2 エントロピー・グラフ・不等式に関する解析的基礎研究●代表者 古市茂（情報科学科・教授）●分担者 斉藤明（情報科学科・教授）

森山園子（情報科学科・教授）
尾上洋介（情報科学科・准教授）
山浦義彦（数学科・教授）
三村与士文（数学科・助教）【研究の目的および概要】
近年，社会的および国際的に物事を詳細に解析することが重要視されるようになってきている。これは有限な地球資源ゆえ無駄を排除した有効活用と更なる資源を求めての高精度な情報へ要求に起因していると考えられる。情報科学の分野においてもビッグデータの解析や人工知能による解析など様々である。数理科学の分野においても様々な研究課題が優れた精度で行われている。本研究課題に関連するキーワードにあるエントロピー論，グラフ理論，不等式，凸解析，数理計画法，大域解析学などは，研究対象となり得るエントロピーおよびグラフとその一方で，それらの研究を実現するための新しい数学的道具の開発 ( 発見 ) という点での，不等式や凸解析をはじめとする解析系の研究分野に分けられる。さらに，情報科学における諸問題の解決手法の一つとして情報可視化があげられる。本研究課題においては，自然研究所内における解析系の専門家を動員し，エントロピー・グラフ・不等式に関する解析学的アプローチからの基礎研究を行うことが目的である。加えて，全 6 名の研究者によって，数理情報科学における様々な諸問題の解決，新しい解析手法の開発を行うことも研究目的とする。さらに，諸科学分野で研究者の仮説探索・仮説検証の支援に役立てられてきた情報可視化の技術を解析学的基礎研究に取り入れることで研究の促進を試みる。
情報科学において情報理論的エントロピーは極めて重要な物理量でありその数学的性質の研究などが多くの研究者によってされてきている。もちろん，電気工学・制御理論・統計力学・通信理論・符号理論，広くコンピュータ科学，数学，物理学，さらには経済学の分野においても研究の対象とされている概念でもある。グラフ理論に関しても情報ネットワーク・NP 計算困難問題・符号化問題・電車の乗り換え問題など様々な応用分野や研究分野が存在する。不等式に関しては，純粋に数学的な興味だけでなく，数値解析における近似問題・弾道軌跡問題・信号解
析へ応用・力学系の安定性と制御問題など多くの理工系分野における様々な問題解決の道具として欠かすことのできないものである。本研究課題では，解析学の立場からより高精度な解析的手法を用いてこれらのキーワードに関連するトピックスについて詳細な研究を行うことが最終的な目的である。
【研究の結果】
最初に，研究課題におけるエントロピーおよび不等式に関連する研究結果を述べる。研究代表者が 1990 年代後半から 10 年弱に渡って，特に携わっていた量子情報理論における符号化定理に関する専門書（和書）を出版することができた。本書では物理学のエントロピー（熱力学的エントロピー・統計力学的エントロピー）から始め，情報理論の基本的な定理・符号化・誤り訂正などを復習しながら，古典情報理論における通信路符号化定理を，信頼性関数による証明，典型的系列を用いた証明を経て，典型的部分空間を利用して量子情報通信路符号化定理の証明までを記載した。およそ 20 年来やってきたことを 1 冊にまとめることができたのもじっくりと腰を据えてこの 2 年の研究課題に取り組めたからである。それが，書籍 [F1b] であるが，この校正が年末年始で回数が 2 度（頼み込んで 3度にしてもらった）だけで時間も十分でなかったため，タイプミスがいくつか発見された点は反省すべきである。
以下，個々の出版論文で得られた成果について簡潔に記載する。論文 [F01], [F08], [F10] では Raissouli との共著で，3

作用素より一般的な汎関数を考察の対象として凸解析を用いて，①ヘロン平均やハインツ平均を含む幾つかの汎関数に対する不等式，②対数平均に関する汎関数に対する不等式，③様々な重み付き平均に関する入れ子状態の大小関係，を得た。これらは従来の作用素不等式の一般化を与えるだけでなくよりタイトな見積もりを与えることに成功している。次に，Minculete との共著論文であるが，①重み付き対数平均に関する不等式の改善，② Young の不等式の改善とその相対エントロピーへの応用，③算術平均と幾何平均の差を精密に見積もりエントロピー不等式への応用，を実現した。これらの成果はこの順で論文 [F07], [F13], [F18] にて出版された。また，Nasiri とは，正定値行列のある種の一般化と考え得るセクター行列を用いた研究を遂行した。主に得られた結果は，①調和平均，幾何平均，算術平均の大小関係をセクター行列に一般化した Tan-Xie の不等式の逆不等式を導出したことと，② Garg–Aujla の不等式を用いた特異値不等式，行列不等式などへの応用を論じたことである。これらは論文 [F19],[F20] で出版されている。論文 [F09] にて，Dutta と書いた論文は，2004 年頃から私自身が取り組んできた一経数拡張されたエントロピーの数学的基礎研究の延長上にある話題であり数理物理のジャーナルから出版された。ここでは，二経数にまで拡張された成果を発表している。論文 [F11] では，Kaleibary と共に，作用素版の Aczel 不等式とその逆不等式を証明に成功した。上記以外の論文 [F02]-[F06], [F12], [F14]-[F17] および書籍 [F2b] は 2017 年頃から多くの研究を共にしてきた Moradi や Sababheh との結果である。まず，書籍 [F2b] では，①凸性，作用素凸を仮定せずにMercer 型の作用素不等式の証明に成功し，②対数作用素凸の場合に考察しそこで得られた結果を Mercer 型の作用素の擬算術平均に関するいくつかの不等式の改善へ応用した。論文 [F03] においては，Jensen-Mercer 型不等式の一般化と改善に成功した。論文 [F04] では，Bellman の逆不等式の作用素版の導出に成功した。論文 [F05] では，冪指数のパラメータが負の場合に，新規の Kantorovich 型の不等式を証明した。また，ここでは Chaotic order や DavisChoi-Jensen 型不等式，Tsallis 相対エントロピーへの応用について論じた。論文 [F06] では，Tsallis 相対エントロピーの情報不等式の単調性に関する新規の結果を得た。論文 [F12] では，作用素平均の順序を補完する平均とそれに関する不等式の導出に成功した。論文 [F14] では作用素版の Jensen 不等式のより改善された成果を得た。これは凸解析を応用して，よりタイトな見積もりに成功したということである。論文[F15]では，凸関数の合成関数を考察した。
特に，凸の度合いを測るには？という観点に立って，数学的に考察した成果を得た。論文 [F16] では，通常の凸解析を用いて，2 つのアクレイティブ行列（デカルト分解時の実部が正定値である行列）の行列平均の対する新しい不等式を導出しこれまでの結果を改善した。また，数域半径および Tsallis 相対エントロピーに関する新しい結果も得た。論文 [F17] においては，新しいアプローチで有名な Gruss 不等式を示した。また，いくつかの作用素版の Gruss不等式を数域半径およびエントロピーの応用と共に示した。以上，各論文の成果を細かく示してきたが，まとめると，エントロピーをはじめとする情報科学における情報量に関する精密な見積を目指すことで道具としての新たな精密な不等式が必要となり，それらをスカラー・行列（作用素）・汎関数・セクター行列など必要に応じた数学的設定において，新規の定理を発見し解析的に証明してきたと言える。
次に，研究課題におけるグラフ理論に関連した結果[S04]-[S10]について述べる。 特に，論文[S04]および論文[S09]は，マッチングの拡張可能性を扱っている。従来のマッチングの拡張可能性は「何本までのマッチングを完全マッチングに拡張できるか」という切り口で研究が進められてきた。しかし過去の研究を見直すと，むしろ問題の本質は指定されたマッチングの辺同士の距離にあることが見えてきた。そこで斎藤は Aldred，藤沢とともにマッチングの最小距離という不変量を導入し，この不変量から拡張可能性を探った。論文 [S04] では，グラフの局所連結度と最小距離、拡張可能性の関係を明らかにし，それが従来のサイズに基づく拡張可能性の研究の拡張となっていることを示した。また 論文 [S09] では，3- 正則グラフにおいてマッチングの拡張可能性を阻む構造を最小距離の立場から特定した。論文 [S05] と論文 [S10] は，ハミルトンサイクルの存在を保証する次数条件が持つ意味を明らかにする研究である。古典的な Ore の定理は，非隣接 2 頂点の次数の和が十分に大きいグラフにハミルトンサイクルが存4在することを保証する。一方，Moon と Moser は，部分集合の位数が等しい 2 部グラフではハミルトンサイクルの存在を保証する次数条件の要求値が Ore の定理の要求値のほぼ 1/2 となることを証明した。では，なぜ 2 部グラフに限定すると条件がほぼ 1/2 に緩和されるのか？この理由はこれまで分かっていなかったが，斎藤はまず論文 [S-05]で偶位数のグラフについて，次いで論文 [S10] で奇位数のグラフについて，その仕組みを解明した。特に偶位数のグラフと奇位数のグラフでは，その仕組みに違いがある点が興味深い。論文 [S06] は , グラフの向き付けに関する論文である。半群のある性質は有向グラフで表現されるが，これは無向グラフの semi-transitive な向き付けに一致することが知られている。ただし，向き付けの台となる無向グラフには構造に制約がある。代数的な条件から構成される Kneser グラフやその補グラフはグラフとして多くの良い性質を持つので，多くの研究者はこれらのグラフが要求される制約を満たし，semi-transitive な向き付けの台となり得ると信じていた。しかし，論文 [S06] はこの予想に反例を与え，さらに十分大きい Kneser グラフやその補グラフは，決して台となり得ないことを証明した。論文[S07],[S08] はグラフの辺着色に関する研究である。論文 [S07] では，辺着色されたグラフの Gallai-Ramsey numberに関して 2015 年に Fox, Grinshpun, Pach らが立てた予想を肯定的に解決した。論文 [S08] では，辺着色された禁止部分グラフに古典的な禁止部分グラフには見られない性質を見出し，新たな研究の扉を開いた。特に，論文 [S08]の内容は多くの研究者の関心を集め，斎藤は国際会議 [S02],[S03] において本論文の内容とその後の展開について招待講演を行った。また，[S01] ではより応用に重点を置いた内容を国際会議 ICKEA2020 で基調講演者として講演した。
さらに，研究課題における解析的基礎研究に関する研究成果について述べる。解析学における「変分解析」は自然現象や物理現象における時間無限大の「定常状態」を記述する楕円型偏微分方程式の解を見つけるために有効な手段として古くから知られている古典解析の一手法である。 言い方を変えれば，近年に至るまで，過渡状態の現象を記述する時間発展方程式では役に立たない方法論とされていた。 ところが，1980 年代に変分解析を時間発展問題に応用する，次の 2 つの方法が提唱された。1 つ目の方法は，最大勾配曲線法 (Method of curves of maximalslope) と呼ばれ , イタリアの変分学派の DeGirogi, Marino, Saccon, Tosques らによって 1980 年代に提唱された。 汎関数の定義域における微小半径の閉球内でエネルギー最小解を変分解析によって構成し , 半径パラメータの時間変数パラメータへの変換により，時間発展解を構成する方法である。この方法を応用し , 古典的に知られた準線型放物型方程式の弱解の構成を通じて，臨界状態を表す Weissler 指数について , 変分解析の視点からみた新しい知見を論文 [Y01] としてまとめることができた。2 つ目の方法は，離散モース流法（Discrete Morse flow method）と呼ばれ，1980 年代にイタリアの変分学派の DeGirogi,Ambrosio らにより , また , それとほぼ同時期に日本でも菊池により提唱された。特に後者は微分方程式の弱解の正則性解析を取り入れている点で付加的な解析を伴う。時間発展方程式における時間変数を離散化し，時間微分項を離散変分エネルギーとする離散時刻ごとの変分汎関数を定義し , 帰納的に楕円型偏微分方程式の弱解を構成する。それらを用いて，時間離散化近似解を構成し，近似パラメータを 0 に収束させることで弱解を得るという方法である。この方法に基づいて , 論文 [YMi] では，古典的な熱型方程式の非線型版である ,p-Laplacian 方程式系の弱解を構成することができた。この論文の大きな特徴は , 時間離散近似解の段階で , 近似パラメータによらない一様正則性 ( 時間方向，空間方向のヘルダー連続性 ) 評価を導き , その極限移行によって近似解と同じ正則性をもつ弱解を構成する点にある。また , ミニマイジングムーブメント法ではその適用対象は勾配流に限られていたが , 論文 [Mi01] では，勾配流とは限らない散逸系や保存系へ応用し，変分的な方法で時間大域的な解を構成することができた。
【研究の考察・反省】
Covid-19 の影響でほとんどの国際会議および国内学会が中止または延期となった。一部で，徐々にオンライン開5催をするものも見受けられたが，参加視聴をすることはあっても，個人的にはその場での発表にあまり価値を感じずにオンライン発表をしなかったのは反省すべきである。今後は，オンラインでの発表も標準化されていくかもしれないため，本研究課題終了後には対応するように検討する。一方で，Covid-19 以前は国際会議には 2-3 回，国内学会も 4-5 回参加・発表していたが，その準備・移動が全くなかったため，全ての研究時間を論文作成に投資することができ多くの成果が得られた。出版されたもの以外にも，印刷中・査読中のものが８篇あり，それらとは別に個人的に準備しているものが複数ありしばらくは，やらなければいけないことが続きそうである。
なお，このように論文出版が増加傾向になってきている理由は Covid-19 の影響だけでなく，Research-Gate などの研究者用の SNS ツールの発展によりそこでの質問などから始まり，共著論文を新たに書くということが増えてきており，その依頼（問い合わせ）は絶えず続いており，選別しながらこちらの興味と合うもののみに対応している。
昨年 11 月に初めて知り合った数学者と 2 篇の論文を書いて投稿中であるが，Research-Gate での質問を受けたことが始まりであった。2 篇とも先方からの質問が出発点であったが，その後，定理を証明し論文を書くのは全て私の方であった。もちろん，これまで通りプレプリントサーバー arXiv や出版論文を読んで電子メールでの問い合わせも増加傾向であるが限られた時間では，ほとんどは対応できない状況である。
全体的な反省点として，分担者同士（山浦・三村）の共著論文は出版されているが，研究代表者は分担者と共著論文を出版できなかったことが 1 番の反省点である。本研究課題期間は終了するが，分担者の方々は同じ学科か数学科の方なので，ここで得られた成果のさらなる発展を期して共著論文の出版までを今後の課題・目標と考えている。
【研究発表】
国際会議[S01] A. Saito, Applications of graph coloring to agent scheduling and re-scheduling (keynote speech), 2020 5th. International
Conference on Knowledge Engineering and Applications (ICKEA 2020), Tokyo University of Science, Tokyo, Japan(online), 2020 年 6 月 6 日 .
[S02] A. Saito, Implications in rainbow forbidden subgraphs (invited talk), SIAM Conference on Discrete Mathematics(DM21), Virtual Conference (online), 2021 年 7 月 20 日 .
[S03] A. Saito, Implications in rainbow forbidden subgraphs (invited talk), Combinatorics Today, Lecture Series #4, Institut
Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia (online), 2021 年 9 月 10 日 .
【研究成果物】
著書[F1b] 古市茂，情報理論 --- エントロピーと符号化定理 ---，日本評論社（全 292 頁），2021 年 2 月．

[F2b]H.R.Hamid, S.Furuichi and M.Sababheh, On the operator Jensen-Mercer inequality, 483-494( 全 668 頁中 12 頁 ), M. A.
Bastos, L. Castro and A. Y. Karlovich Eds., Operator Theory, Functional Analysis and Applications (Operator Theory:Advances and Applications, 282), Birkhauser, 2021 年 5 月 . (10.1007/978-3-030-51945-2).
査読付き論文[F01] M. Raïssouli and S. Furuichi, Some inequalities involving Heron and Heinz means of two convex functionals, Analysis
Mathematica(46 巻 2 号 ), 345-365, 2020 年 4 月 .
[F02] M.Sababheh, H.R.Moradi and S.Furuichi, Integrals refining convex inequalities, Bulletin of the Malaysian6Mathematical Sciences Society(43 巻 ), 2817-2833, 2020 年 5 月 .
[F03] H. R. Moradi and S.Furuichi, Improvement and generalization of some Jensen-Mercer-type inequalities, Journal of
Mathematical Inequalities(14 巻 2 号 ), 377-383, 2020 年 6 月 .
[F04] M. Sababheh, H. R. Moradi and S.Furuichi, Reversing Bellman operator inequality, Journal of Mathematical
Inequalities(14 巻 2 号 ), 577-584, 2020 年 6 月 .
[F05] S.Furuichi and H. R. Moradi, New Kantorovich type inequalities for negative parameters, Analysis Mathematica(46 巻 4号 ), 747-760, 2020 年 8 月 .
[F06] H. R. Moradi and S.Furuichi, A complementary inequality to the information monotonicity for Tsallis relative operator
entropy, Linear and Multilinear Algebra(68 巻 8 号 ), 1557-1567, 2020 年 9 月 .
[F07] S.Furuichi and N. Minculete, Refined inequalities on the weighted logarithmic mean, Journal of Mathematical
Inequalities(14 巻 4 号 ), 1347-1357, 2020 年 12 月 .
[F08] M. Raïssouli and S.Furuichi, The logarithmic mean of two convex functionals, Open Mathematics(18 巻 1 号 ), 16671684, 2020 年 12 月 .
[F09] S. Dutta, S.Furuichi and P. Guha, A two-parameter entropy and its fundamental properties, Reviews in Mathematical
Physics(33 巻 2130003 号 ), 1-23, 2021 年 2 月 .
[F10] M. Raissouli and S.Furuichi, On weighted means and their inequalities, Journal of Inequalities and Applications(2021
巻 65 号 ), 1-15, 2021 年 4 月 .
[F11] S.Furuichi, M. R. Jabbarzadeh and V. Kaleibary, On the operator Aczel inequality and its reverse, Journal ofMathematical Inequalities(15 巻 1 号 ), 249-256, 2021 年 4 月 .
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[F14] H. R. Moradi, S.Furuichi and M. Sababheh, A sharper bound for the Jensen’s operator inequality, Journal of Nonlinear
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[F16] H. R. Moradi, S.Furuichi and M. Sababheh, Some operator inequalities via convexity , Linear and MultilinearAlgebra, 2021 年 11 月 . Published online first 10.1080/03081087.2021.2006592.
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[F18] S.Furuichi and N. Minculete, Bounds for the differences between arithmetic and geometric means and their applications
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[F19] L. Nasiri and S.Furuichi, On a reverse of the Tan-Xie inequality for sector matrices and its applications, Journal of
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[YMi] Y.Mimura and Y.Yamaura, Another interpretation for the Weissler’s critical exponent in the theory of semilinear parbolic
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