距離もどきの関数 τ-DISTANCE について
九州工業大学鈴木智成

松岡勝男教授のご退職記念の研究紀要に拙稿を掲載する機会を与えていただきまして，大変感謝して
おります．
1．序
本稿を通して，N を正の整数全体からなる集合とし，R を実数全体からなる集合とする．
2001 年に，筆者は τ-distance を導入し，様々な結果を得た．
定義 1 ([3]).

Let (X, d) be a metric space. Then a function p from X × X into [0, ∞) is called aτ-distance on X if there exists a function η from X ×[0, ∞) into [0, ∞) and the following are satisﬁed:(τ 1) p(x, z)≤ p(x, y)+ p(y, z) for any x, y, z ∈ X.
(τ 2) η(x, 0)= 0 and η(x, t)≥ t for any x ∈ X and t ∈ [0, ∞), and η is concave and continuous inits second variable.
(τ 3) limn xn = x and limn sup{η(zn, p(zn, xm)): m ≥ n}= 0 imply p(w, x)≤ lim infn p(w, xn) for any w∈ X.
(τ 4) limn sup{p(xn, ym) : m ≥ n}= 0 and limn η(xn, tn) = 0 imply limn η(yn, tn)= 0.
(τ 5) limn η(zn, p(zn, xn))= 0 and limn η(zn, p(zn, yn))= 0 imply limn d(xn, yn)= 0.
(τ 1) は三角不等式そのものなので，τ-distance は距離関数に非常に近い関数である．また，距離関
数 d は τ-distance の１つである．実際，次のように簡単に証明できる．
例 2.Let(X, d)be a metric space. Then d is a τ-distance on X with η =((x, t)↦ t).1）

住所．〒 804–8550 北九州市戸畑区九州工業大学工学研究院 .
電子メール．suzuki-t@mns.kyutech.ac.jp.
− 259 −

研究紀要

第 98 号証明. (τ 1) obviously holds because it is the triangle inequality. From the証明.
(τ 1)ofobviously
the triangle
inequality. (τFromthe deﬁnition of η, (τ 2) anddeﬁnition
η, (τ 2) holds
and (τbecause
4) hold.it isSinced is continuous,
3) holds.
(τlim4)n d(zhold.
Since
d isn continuous,
3) holds. limn d(zn, xn)= limn d(zn, xn)= 0 impliesd(zn , xn ) = 0(τimpliesn, xn ) = lim()
lim d(xn , yn ) ≤ lim d(zn , xn ) + d(zn , yn ) = 0.

n→∞

n→∞

Thus,(τ(τ5)5) holds.
holds. Therefore
Therefore dd is
is aa τ-distance.
τ -distance.
Thus,

□

□

条件が５つもあるので, 一見すると τ -distance は不自然なものに見えるかもτ-distance
条件が５つもあるので，は不自然なものに見えるかも知れない．しかしながら，. しかしながら, 一見すると多くの τ -distanceの例が存在すること, および, 後述知れないτ-distance からの流れもあり多くのの例が存在すること，および，後述する
w-distance からの流れもあり，筆者にとっ, 筆者にとっては自然なものに思えた. またする w-distanceτ -distance を導入するにあたりτ-distance, ２０以上の条件を吟味し, その中で一番よいては自然なものに思えた．またを導入するにあたり，20以上の条件を吟味し，その中で一τ-distanceの定義としたので,
当時,
筆者は自信を持って論文[3] を発ものを番よいものを τ-distance の定義としたので，当時，筆者は自信を持って論文[3] を発表した．
表した.
その後 Lin と Du[2] によって 2006 年に導入された τ-function に触発されて，2017 年に τ′-distance とその後 Lin と Du [2] によって 2006 年に導入された τ -function に触発されいう概念を導入した．
て, 2017 年に τ ′ -distance という概念を導入した.

定義3 3([5]).
([5]). Let(X, d)
a function
from
XX
×X
定義
Let(X,d)bebeaametric
metricspace
spaceand
andletletp pbebe
a functionfrom× X into[0, ∞). Then p is′
into [0, ∞). Then p is called a τ -distance on X if the following hold:called a τ′-distance on X if the following hold:p(x,z)z) ≤≤p(x,p(x,y)+y) +p(y,p(y,z)z)forforanyanyx,x,y,y,zz∈∈ X.
X.
(τ ′ 1) p(x,(τ′1)

(τ ′ 2) If limn sup{p(zn , zm ) : m > n} = 0 and limn p(zn , xn ) = 0, then(τ′2) If limn sup{p(zn, zm): m > n} = 0 and limn p(zn, xn)= 0, then limn d(zn, xn)= 0. Moreover if {xn}limn d(zn , xn ) = 0. Moreover if {xn } converges to some x ∈ X, thenconverges to some x ∈ X, then p(w, x) ≤ lim infn p(w, xn) for any w ∈ X.
p(w, x) ≤ lim inf n p(w, xn ) for any w ∈ X.
(τ′3)
Moreoverif {xn}to some x ∈ X,n d(xn, x,n+1
limn p(z,p(z,xxn)=) =0,0,thenthenlimlimd(xx )= )0=holds.
0 holds.
Moreoverif {xconverges}(τ ′ 3) IfIf lim
n

n

n

n

n+1

n

then
p(w, x)≤
lim infxn p(w,for any
converges
to some∈ X,xn)thenp(w,wx)∈≤X.lim inf n p(w, xn ) for any

w ∈ X.

τ′-distanceという名前を付けたのは，「τ-distance の再定義」という意味合いを込めるためである．
τ ′ -distance という名前を付けたのは, 「τ -distance の再定義」という意味合
しかし，第４節で述べるように，τ-distanceならば τ′-distanceであり，逆が成立しない反例も存在する, τ -distanceならば τ ′ いを込めるためである. しかし, 第 4 節で述べるようにτ-distance よりも真に弱い条件である．したがって，ため，τ′-distance「再定義」という単語は，数逆が成立しない反例も存在するため, τ ′ -distance は τ -distancedistance であり, はよりも真に弱い条件である. したがって, 「再定義」という単語は, 数学的には
学的にはふさわしくない．

.
ふさわしくないτ-distance を導入した
2001 年に τ′-distance の定義を見たら，筆者は自然な定義とは思えなかったでτ -distance を導入した 2001 年に τ ′ -distance の定義を見たら, 筆者は自然なあろう．しかしながら，この稿を書いている 2023 年時点では，筆者にとって τ′-distance の方が自然に定義とは思えなかったであろう. しかしながら, この稿を書いている 2023 年時
見える．本稿では，この辺りについて解説したいと考えている．
点では, 筆者にとって τ ′ -distance の方が自然に見える. 本稿では, この辺りについて解説したいと考えている.

２．τ -distance の導入

本節では，τ-distance の導入までの小歴史を述べたい．τ-distance が導入される前，1996 年に，次のw-distance が導入された．

− 260 −

距離もどきの関数 τ-DISTANCE について（鈴木）定義 4 (Kada, Suzuki and Takahashi [1]).

Let(X, d) be a metric space and let p be a function fromX × X into [0, ∞). Then p is called a w-distance on X if the following hold:(w 1) p(x, z)≤ p(x, y)+ p(y, z) for all x, y, z ∈ X．
(w 2) p is lower semicontinuous in its second variable．
(w 3) For each ε > 0, there exists δ > 0 such that p(z, x) ≤ δ and p(z, y) ≤ δ imply d(x, y) ≤ ε．
距離関数 d が w-distance であるなど，多くの w-distance の例がある (τ-distance よりは少ないが…）．
また，縮小写像の不動点定理や Ekeland の変分不等式の w-distance 版が成立すること，および，それまでの距離空間における種々の存在定理を w-distance を通して見ると理解しやすくなること等から，
w-distance の導入は意義があったと筆者は感じている．
次のような距離完備性を縮小写像が不動点を持つことで特徴付ける面白い定理も成立する．
定理 5 (Suzuki and Takahashi [7]).

Let(X, d) be a metric space. Then the following are equivalent:(i) X is complete．
(ii) Every contraction on X with respect to w-distance has a ﬁxed point.
That is, if a mapping T on X satisﬁesp(Tx, Ty) ≤ rd(x, y)(∀x, y ∈ X)

for some w-distance p and r ∈ [0, 1), then T has a ﬁxed point.
w-distance の３条件について考察する前に，距離関数 d の持つ性質について確認したい．三角不等式
は，距離関数の定義の一部である．d は連続関数である．したがって，第２変数に関して下半連続である．
「z と x の距離が 0 に近くて z と y の距離が 0 に近いとき，x と y の距離が 0 に近い」というのは非常に自然なことのように思える．
w-distance p は，距離関数 d の定義に現れる次の条件を必ずしも満たさない．
• p(x, x)= 0．
• p(x, y)= 0⇒ x = y.

• p(x, y)= p(y, x)
実際，次のようなヘンテコな例が存在する．
例 6．Let(X, d) be a metric space and ﬁx v ∈ X. Deﬁne a function p from X × X into [0, ∞) by
p(x, y)= d(v, y)
for x, y ∈ X. Then p is a w-distance．
以上をふまえて，w-distance の３条件について考察してみよう．まず，(w1) は p に関する三角不等− 261 −

研究紀要

第 98 号式である．(w2) は第２変数に関する下半連続性である．ここで重要になるのが， 連続性は位相を使って定められるが， その位相は距離関数 d から定義されるということである．すなわち，d のみという１つの尺度ではなく，w-distance について考えるということは，d と p の２つの尺度を同時に考えることを意味する．このことが顕著になるのが (w3) である．p(z, x)= p(x, z) が成立しないので，p(z, x) を
「z から x を尺度 p で見る」と解釈すると，(w3) は次のように解釈できる．
• p という尺度で z から x への距離が近く，かつ，p という尺度で z から y への距離が近いとき，d という尺度で x と y 近い．
後 に Tataru の 距 離（ 定 義 7） と Zhong の 距 離（ 定 義 8） が w-distance で な い こ と が 分 か り，
w-distance を弱める必要性が出てきた．
定義 7 (Tataru[8]).

Let {T(t): t ∈ [0, ∞)} be a strongly continuous semigroup of nonexpansive

mappings on a subset X of a Banach space. That is, the following hold:(sg1) For each t ∈ [0, ∞), T(t) is a nonexpansive mapping on X, i.e.，||T(t)x－T(t)y|| ≤ ||x－y||
for all x, y ∈ X.
(sg2) T(0)x = x for all x ∈ X.
(sg3) T(s + t) = T(s)◦T(t) for all s, t ∈ [0, ∞).
(sg4) For each x ∈ X, the mapping T(·)x from [0, ∞) into X is continuous.
Then the function p from X × X into [0, ∞) deﬁned byp(x, y) = inf{t + ||T(t)x－y|| : t ∈ [0, ∞)}for all x, y ∈ X is called Tataru’s distance.

8 (Zhong[9]).
Let(X,
space and let b be a nonincreasing function from [0, ∞)(Zhong [9]).定義
Let (X,d) be a metricspace d)andbeleta bmetricbe a nonincreasing
定義 8 (Zhong∫ ∞ [9]). Let (X, d) be a metric space and let b be a nonincreasing∫ ∞ the function p from X × X into [0, ∞)from [0, ∞)into
into(0,(0,∞)∞) satisfying
satisfying 0 b(t)dt = =∞.∞.Fix
z∈
Then
b(t)
Fix
z X.
∈ X.
Then
function from[0,∞)dtinto(0, ∞)
satisfyingb(t) dt = ∞. Fix z ∈ X. Then0tion p fromdeﬁned
X × X by
into [0, ∞) deﬁned by
the function p from X × X into [0, ∞) deﬁned by∫ d(z,x)+d(x,y)∫ d(z,x)+d(x,y)
p(x, y) =b(t) dtp(x,y)=b(t) dtd(z,x)
d(z,x), y ∈ X is called Zhong’s distance.
allcalled
x, y ∈Zhong’s
X is called
Zhong’s distance.
for all x, y ∈ for
X isdistance.
的には, (w3) が強すぎて, w-distance になることができない. 上述した
具体的には, (w3) が強すぎて, w-distance になることができない. 上述した
(w3) というのは, p という尺度で近いというものと d という尺度で近ように, (w3)というのは, p という尺度で近いというものとd という尺度で近
具体的には，(w3)が強すぎて，w-distanceになることができない．上述したように，(w3)といううものの関係であった. この関係をもう少しゆるくするために, 関数 ηいというものの関係であった.
この関係をもう少しゆるくするために,関数
ηのは，p という尺度で近いというものと d という尺度で近いというものの関係であった．この関係をもだ. それが (τ 5) である. その上で, 存在定理などが証明できるように,を挟んだ. それが (τ 5) である. その上で, 存在定理などが証明できるように,η を挟んだ．それが (τ5) である．その上で，存在定理などが証明できに (τ 2) と (τう少しゆるくするために，関数4) という条件を付けた.
関数 η に (τ 2) と (τ 4) という条件を付けた.
η に (τ2) と (τ4) という条件を付けた．
るように，関数
様々な例を検討し, (w2) も条件として強いことが分かったので, 存在
また, 様々な例を検討し, (w2) も条件として強いことが分かったので, 存在どが証明できるために必要な程度まで弱めることにした. それが (τ 3)
また，様々な例を検討し，(w2)も条件として強いことが分かったので，存在定理などが証明できる
定理などが証明できるために必要な程度まで弱めることにした. それが (τ 3)である.

3. τ ′ -distance− 262 −

3. τ ′ -distanceでは, τ -distance の５条件が考え出されたいきさつ, 並びにその意味合
前節では, τ -distance の５条件が考え出されたいきさつ, 並びにその意味合距離もどきの関数 τ-DISTANCE について（鈴木）ために必要な程度まで弱めることにした．それが (τ3) である．
３．τ′-distance
前節では，τ-distance の５条件が考え出されたいきさつ，並びにその意味合いについて解説した．本節では，τ-distance と τ′-distance を比較する前に，τ′-distance の３条件の意味を解説したい．
τ′-distance は次の Condition(CL) という条件を考えると理解しやすくなる．CL というのは Cauchy
列と下半連続性 (Lower semicontinuity) の頭文字からネーミングされている．
定義 9 ([5]).

Let p be a τ′-distance on a metric space(X, d). Let {xn} be a sequence in X. Then {xn}is said to satisfy Condition(CL) if the following hold:(CL1) {xn} is a Cauchy sequence in the usual sense.
(CL2) Either of the following hold:• {xn} does not converge．
• If {xn} converges to x, then p(w, x) ≤ lim infn p(w, xn) holds for any w ∈ X.
補助定理 10 ([6]).

Let(X, d) be a metric space and let p be a function from X × X into [0, ∞)satisfying(τ′2). Let {zn} be a sequence in X satisfying limn sup{p(zn, zm): m > n} = 0. Then thefollowing hold:(i) If a sequence{xn} in X satisﬁes limn p(zn, xn) = 0, then {xn} satisﬁes Condition(CL) and limnd(zn, xn) = 0 holds．
(ii) {zn} satisﬁes Condition(CL).
補助定理 11 ([6]).

Let(X, d) be a metric space and let p be a function from X × X into [0, ∞)satisfying(τ′3). Let {xn} be a sequence in X satisfying limn p(z, xn) = 0 for some z ∈ X. Then thefollowing hold:(i) {xn} satisﬁes Condition(CL).
(ii) If a sequence {yn} in X also satisﬁes limα p(z, yn) = 0, then limn d(xn, yn) = 0 holds．
上の補助定理を用いると，τ′-distance は次のように書き換えられる．
命題 12.

Let(X, d) be a metric space and let p be a function from X × X into [0, ∞). Then p is aτ′-distance if and only if the following hold:(τ′1) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) for any x, y, z ∈ X．
(τ′2) If limn sup{p(zn, zm): m > n} = 0 and limn p(zn, xn) = 0, then limn d(zn, xn) = 0 holds and {xn}− 263 −

研究紀要

第 98 号

satisﬁes Condition(CL).
(τ′3) If limn p(z, xn) = 0, then {xn} satisﬁes Condition(CL).
なお，補助定理 10 と補助定理 11 から，それぞれ，次の有用な補助定理が得られる．
補助定理 13.

Let(X, d) and p be as in Lemma 10. Let z ∈ X satisfy p(z, z) = 0. Then the followinghold:(i) If a sequence {xn} in X satisﬁes limn p(z, xn) = 0, then {xn} satisﬁes Condition(CL) and limnd(z, xn) = 0 holds．
(ii) If x ∈ X satisﬁes p(z, x) = 0, then z = x holds.
補助定理 14.

Let(X, d) and p be as in Lemma 11. If p(z, x) = p(z, y) = 0 holds, then x = y holds．

縮小写像の不動点定理を証明してみよう．
定理 15.

Let(X, d) be a complete metric space and let p be a τ′-distance on X. Let T be a mappingon X. Assume that there exists r ∈ [0, 1) satisfyingp(Tx, Ty) ≤ rp(x, y)
for all x, y ∈ X. Then T has a unique ﬁxed point z. Moreover p(z, z) = 0 holds and {Tnx} converges
to z for any x ∈ X.

Fix um,∈nX.
m, nm∈ >N n,with> n, we have
ℕ with証明．Fix u 証明
∈ X.. For
∈ For
we m
have
証明. Fix u ∈ X. For m, n ∈ N with m > n, we have
m−1
証明. Fix u ∈ X. For m, n ∈ m−1
N with m > n, we have
∑
∑
j
j+1
m−1
∑
∑ rj p(u, T u)p(T n u, T m u) ≤ m−1
p(T
u,
T
u)
≤
m−1
m−1
n
m
j
j+1
∑
rj p(u, T u)p(T n u, T m u) ≤ j=n p(T j u, T j+1 u) ≤ ∑p(T u, T u) ≤ j=n rj p(u, T u)p(T u, T u) ≤
j=n
j=n
∞
∑
j=n j
rnj=n
∞ r p(u, T u) =n p(u, T u)
≤∑
r
∞
≤∑
rj p(u, T u) = 1 r−n r p(u, T u)
≤ j=n rj p(u, T u) = 1 − r p(u, T u)
j=n
1−r
j=n
and hence and hence
and hencern
and hence
lim sup p(T n u, T m u) ≤ lim rnn p(u, T u) = 0.
nmn→∞lim m>n
sup p(T n u, T m u) ≤ n→∞
lim 1 r− r p(u, T u) = 0.
lim nm>n
sup p(T u, T u) ≤ n→∞
lim 1 − r p(u, T u) = 0.
n→∞n→∞1 − rSince X is complete, {T n u}u} satisﬁes Condition(CL).
By Lemma 10,n→∞{T m>n
n
n
By
Lemma
10,
{T
u}
satisﬁes
Condition(CL).
Since X
complete,{Ttonn u}n{Tnis
By Lemma 10,u} satisﬁes
Since X iscomplete,converges
some z ∈ X．
converges
to10,
some
zu}
∈ X.
We havesatisﬁes
Condition(CL).
Since Xisu}complete,
{T u}
By{T
Lemma
{TCondition(CL).
converges to some z ∈ X. We have
converges to somez ∈ X. We have
We havelim p(T n u, T z) ≤ lim r p(T n−1 u, z) ≤ lim lim inf r p(T n−1 u, T m u)
n
n→∞
m→∞
lim p(T n u,T z) ≤ n→∞
lim r p(T n−1u, z) ≤ n→∞
lim lim
inf r p(T n−1
u, T m u)n T z) ≤ n→∞
lim p(T ru,
lim r p(T n−1 u, z) ≤ n→∞
lim lim
inf r p(T n−1 u, T m u)
n→∞
m→∞
n→∞
n→∞
n→∞
m→∞
≤ lim rnn p(u, T u) = 0.
≤ n→∞
lim 1 r− r p(u, T u) = 0.
≤
lim − r p(u, T u) = 0.
n→∞
′ n→∞n1− convergesrto T z. Hence T z = z holds. We also have
By (τ 2), {T 1u}
′
n
2),
{T
u}
converges
to T z. Hence T z = z holds. We also have
By
(τ
′
n
nBy (τ 2), {T u} converges to T z. Hence T z = z holds. We also haven
By (τ′2), {T u} converges toTz.z)Hence
have
p(z,
= limTzp(T=n zz, Tholds.
z) ≤Welimalsorn p(z,z) = 0.
p(z, z) = n→∞lim p(T nn z, T nn z) ≤ n→∞
lim rnn p(z, z) = 0.
p(z, z) = n→∞lim p(T z, T z) ≤ n→∞
lim r p(z, z) = 0.
n→∞In order to show the uniquenessof z, let wn→∞
be a ﬁxed point of T . Then we
In order to show the uniqueness of z, let w be a ﬁxed point of T . Then wehave
In order to show the uniqueness of z, let w be a ﬁxed point of T . Then we− 264 −have
have
p(z, w) = p(T z, T w) ≤ r p(z, w).
p(z, w) = p(T z, T w) ≤ r p(z, w).
= p(T13,z, Twew) obtain≤ r p(z,z w).
and hence p(z, w) = 0.p(z,
By w)
Lemma
= w. Therefore the ﬁxed

By Lemma 10, {T n u} satisﬁes Condition (CL). Since X is complete, {T n u}

converges to some z ∈ X. We have

lim p(T n u, T z) ≤ lim r p(T n−1 u, z) ≤ lim lim inf r p(T n−1 u, T m u)

n→∞

n→∞

n→∞ m→∞rn≤ limp(u, T u) = 0.
n→∞ 1 − r 距離もどきの関数 τ-DISTANCE について（鈴木）By (τ ′ 2), {T n u} converges to T z. Hence T z = z holds. We also havep(z, z) = lim p(T n z, T n z) ≤ lim rn p(z, z) = 0.
n→∞

n→∞

In order to show the uniqueness of z, let w be a ﬁxed point of T . Then we
In order to show the uniqueness of z, let w be a ﬁxed point of T. Then we have
have
p(z, w)= p(Tz, Tw) ≤ rp(z, w).
p(z, w) = p(T z, T w) ≤ r p(z, w).
and hence p(z, w) = 0. By Lemma 13, we obtain z = w. Therefore the ﬁxed point z is unique．
□
and hence p(z, w) = 0. By Lemma 13, we obtain z = w. Therefore the ﬁxed
次に強形の Ekeland の変分不等式を証明してみよう．(i) と (ii) を満たす v の存在に関する証明は省
point z is unique.
□
略する．
次に強形の Ekeland の変分不等式を証明してみよう. (i) と (ii) を満たす vの存在に関する証明は省略する.
定理 16 ([4, 6]). Let(X, d) be a complete metric space and let p be a τ′-distance on X. Let f be a

16 (－∞，([4, 6]).+∞]
Let which(X, d) is
bepropera complete
space andand
let bounded
p be a τ ′fromfunction from定理
X intolowermetricsemicontinuous
below．
onexists
X. LetfX
be satisfying
a functionthefromX into (−∞, +∞] which is proper
Then for u ∈distanceX, therev∈following:
lower semicontinuous and bounded from below. Then for u ∈ X, there exists(i) f(v) ≤ f(u).
v ∈ X satisfying the following:(ii) f(w) > f(v)－p(v, w) for all w ∈ X \ {v}．
(i) f (v) ≤ f (u).
(iii) If a sequence {xn} in X satisﬁes limn ( f(xn) + p(v, xn)) = f(v), then {xn} satisﬁes Condition(CL);(ii) f (w) > f (v) − p(v, w) for all w ∈ X \ {v}.
()
and limn (iii)xn = Ifv andp(v, v) ={xlim}n inp(v,Xxn)satisﬁes= 0 hold．
a sequencelimn f (xn ) + p(v, xn ) = f (v),nthen {xn } satisﬁes Condition (CL); and limn xn = v and p(v, v) =limny)↦(1/2)
p(v, xn ) =p(x,0 hold.
証明．We note that(x,y) is also a τ-distance on X. We know that there exists v ∈ X
証明.. We
We notenote thatthat (x,(x, y)y) →
→ (1/2)(1/2) p(x, y)y) isis also
also aa ττ -distance-distance on X.
X. We know
know
証明{v}. It We
such that f(v) ≤ f(u) and f(w) > f(v)－(1/2)p(x,p(v, w)
for all w ∈ X \ onis easy to show that v
that
there
exists
v
∈
X
such
that
f
(v)
≤
f
(u)
and
f
(w)
>
f
(v)
−
(1/2)
p(v,
that there exists v ∈ X such that f (v) ≤ f (u) and f (w) > f (v) − (1/2) p(v, w)
w)
satisﬁes (i) and (ii). Let us prove (iii). Let {xn} be a sequence in X satisfying limn ( f(xn) + p(v, xn))
for
(i)
and
(ii).
Let
us
prove
for allall ww∈∈X
X \\ {v}.
{v}. ItIt isis easy
easy toto show
show thatthat vv satisﬁes
satisﬁes
(i)
and
(ii).
Let
us
prove
((
))
= f(v),(iii).
(iii). Let
Let {x{xnn }} be(xnn )) +be aa sequence
sequence inin X
X satisfying
satisfying lim
limnn ff (x+ p(v,p(v, xxnn )) == ff (v),
(v),
Since
Since
Since
>>fff(v)－(1/2)(v) −− (1/2)(1/2) p(v,p(v,xxnnn),),),(xf(xnnn)))>
p(v,x
(v)
ff (x
we havewe
we have
have

((
))
p(v,
x
)) <
22 ff (x
)) +
p(v,
x
)) −
ff (v)
n
n
n
p(v,
x
<
(x
+
p(v,
x
−
(v)
n
n
n
p(v, xn) < 2( f(xn) + p(v, xn)－f(v))

and henceand hence and hence

lim p(v,≤ lim
lim 22p(v, xxnn )) ≤
lim
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞

((
))
ff (x
− ff (v)(v) =(xnn )) ++ p(v,p(v, xxnn )) −= 0.
0.

} satisﬁes Condition
(CL).
Since
{x
}
By
Lemma
11, {x{xCondition(CL).
n(CL).
Since X
X is
iscomplete,{xnnto} concon{xn} satisﬁes{xncomplete,} converges
11,
By Lemma By
11, Lemma
Since X
is complete,some x ∈ X. Wen } satisﬁes Conditionverges
to
some
x
∈
X.
We
have
verges to some x ∈ X. We have
have
p(v,
inf
p(v, x)
x) ≤
≤ lim
lim
inf p(v,p(v, xxnn )) =
= 0.
0.
n→∞
n→∞

We
We also
also have
have
We also have

((
))
inf
+ p(v,p(v, xxnn )) =ff (x)
lim(xnn )) +
(x) ≤
≤ lim
lim
inf ff (x= ff (v).
(v).
(xnn )) ≤≤ n→∞
lim ff (x
n→∞
n→∞

Thus,
ifwe
=havex, thenthen we
we have
have
Thus, if v≠x,
thenif
Thus,
vv =
x,

n→∞

f(x)>
f(v)－(1/2)
p(v,x)
f(v)≥(x)>>ff (v)(v)− (1/2)(1/2) p(v,
p(v,
x)x)=
==ff (v)(v)≥≥fff(x).
(x).
−
(x).
ff (x)
This is a contradiction.
Hence we obtain= obtainx. This vvcompletes
proof．theThis isis aa contradiction.
contradiction.
Hencevweweobtain= x.
x. ThisThisthecompletes
the proof.
proof. □
□
This
Hence
=
completes

′
命題
命題 12
12 と上記の証明から分かるようにと上記の証明から分かるように,, ττ ′ -distance-distance の３条件は存在定理をの３条件は存在定理を− 265 −
証明するために必要な条件が直接的に記述されている所に特徴がある
また証明するために必要な条件が直接的に記述されている所に特徴がある.. また(τ ′′ 2)2) とと (τ(τ ′′ 3)3) を分離できる所にも特徴があるを分離できる所にも特徴がある..
(τ

□

研究紀要

第 98 号

命題 12 と上記の証明から分かるように，τ-distance の３条件は存在定理を証明するために必要な条件が直接的に記述されている所に特徴がある．また (τ′2) と (τ′3) を分離できる所にも特徴がある．
４.τ -DISTANCE とτ ′-DISTANCE の比較
本節では，τ-distance と τ′-distance の比較を行う．特に，「τ-distance ならば τ′-distance である」ことを議論する．
第 3 節では，Condition(CL) という概念を用いて，τ′-distance について解説した．本節では p-Cauchyという概念を用いて，τ-distance について解説したい．
定義 17 ([3]).

Let p be a τ-distance on a metric space (X, d). Then a sequence {xn} in X is called

p-Cauchy if there exist a function η from X × [0, ∞) into [0, ∞) satisfying(τ2)–(τ5) and a sequence{zn} in X such that limn sup {η(zn, p(zn, xm)): m ≥ n} = 0.
p-Cauchy に関して，以下の補助定理が成立する．
補助定理 18 ([3]).

Let p be a τ-distance on a metric space (X, d). If {xn} is a p-Cauchy sequence,then {xn} is a Cauchy sequence in the usual sense.
補助定理 19 ([3]).

Let p be a τ-distance on a metric space (X, d). If a sequence {xn} in X satisﬁes

limn sup {p(xn, xm): m > n} = 0, then {xn} is a p-Cauchy sequence. Moreover if a sequence {yn} in X
satisﬁes limn p(xn, yn) = 0, then {yn} is also a p-Cauchy sequence and limn d(xn, yn) = 0．
補助定理 20 ([3]).

Let p be a τ-distance on a metric space (X, d). If a sequence {xn} in X satisﬁes

limn p(z, xn) = 0 for some z ∈ X, then {xn} is a p-Cauchy sequence. Moreover, if a sequence {yn} in X
also satisﬁes limn p(z, yn) = 0, then limn d(xn, yn) = 0. In particular for x, y, z ∈ X, p(z, x) = 0 andp(z, y) = 0 imply x = y.
補助定理 18 と (τ3) より，以下の補助定理が成り立つ．
補助定理 21.

Let p be a τ-distance on a metric space(X, d) and let {xn} be a p-Cauchy sequence.

Then {xn} satisﬁes Condition(CL).
この補助定理により，補助定理 19 と補助定理 20 における「p-Cauchy である」の部分は「Condition(CL) を満たす」に置き換えることができる．このようにすると，補助定理 19 から命題 12 の (τ′2) が出る．同様に，補助定理 20 から命題 12 の (τ′3) が成立する．したがって，次の命題が証明できる．

− 266 −

距離もどきの関数 τ-DISTANCE について（鈴木）命題 22 ([6]).

Let p be a τ-distance on a metric space (X, d). Then p is a τ′-distance.

第 3 節で論じたように，τ′-distance は Condition(CL) を中心に据えている．一方で，τ-distance は
p-Cauchy という概念が，強いて言えば，中心になるが，この概念を用いて，τ-distance の同値条件を記述できてはいない． そして，
補助定理 21 により，
p-Cauchy の方が Condition(CL) より強い条件になる．
そして，その分 τ-distance の方が τ′-distance よりも強い条件になる．
さらに，τ-distance が τ′-distance よりも真に強い条件であることが分かっている．実際，τ′-distance
であって，τ-distance でない例が存在する．簡単に記述することはできないので，ここでは省く．[6]を参照のこと．
また，τ′-distance では，(τ′2) と (τ′3) を分離できた．しかし，τ-distance ではそのようなことはできない．
現在まで証明された τ-distance に関する存在定理（定理 15 や定理 16 のような存在定理）は，すべて
τ -distance に関する存在定理（定理 15 や定理 16 のよ
p-Cauchy から現在まで証明された
Condition(CL) を経由して証明されているので，証明を変えることなく，τ′-distanceに, すべて
p-Cauchy
から Condition (CL) を経由して証明されうな存在定理）は現在まで証明されたτ -distanceに関する存在定理（定理
15 や定理 16 のよ
関する存在定理を証明することができる．存在定理以外では，τ′-distance に対して成立していて，′, τから-distance
に関する存在定理を証明するこているので, 証明を変えることなく, すべて p-Cauchy
Condition(CL) を経由して証明されうな存在定理）は
τ-distance に対して成立不明な補助定理がある．最後にこれらの中から２つ紹介したい．
存在定理以外では, τ ′ -distanceに対して成立していて, τ -distanceとができる, τ ′ -distanceに関する存在定理を証明するこているので,. 証明を変えることなくに対して成立不明な補助定理がある. 最後にこれらの中から２つ紹介したい.
. 存在定理以外では, τ ′ -distanceに対して成立していて, τ -distanceとができる
補助定理 23 に対して成立不明な補助定理がある([5]). Let p be a τ′-distance on a . metricspace (X, d) and let z ∈ X be. ﬁxed. Let b be
最後にこれらの中から２つ紹介したい
補助定理 23 ([5]). Let p be a τ ′ -distance on a metric space (X, d) and let∞
a nonincreasing
into∞) withdt[0,=space∞. intoThena∞)functionz補助定理∈ Xfunction
be ﬁxed.
Let [0,bLet
be∞)functionfrom∞)
23 from([5]).
pa nonincreasingbea (0,τ ′ -distanceonʃ0 ab(t)metric(X,(0,
d)andwithlet q from X ×∫∞
X into [0, ∞)b(t)=by∞. LetThenq from function
X × X intoz 0∈deﬁned
X bedtﬁxed.
b bea afunction
nonincreasing
from[0,[0,∞)∞)deﬁned
into (0,by∞) with∫∞∫ fromp(z,x)+p(x,y)
b(t)
dt
=
∞.
Then
a
function
q
X
×
X
into
[0,
∞)
deﬁnedby0q(x, y) = ∫ p(z,x)+p(x,y) b(t) dt
p(z,x)q(x, y) =b(t) dty ∈a Xis also a on
τ ′ -distanceon p(z,x)X.
τ′-distancefor x, y ∈ Xfor
is x,
also
X．
for x, y ∈ X is also a τ ′ -distance on X.
補助定理 24 ([5]). Let (X, d) be a metric space. Let {pj : j ∈ J} be a set of′-distances
X.
by
24on
([5]).
Letd) beqspace.
adeﬁnedmetricspace.
: j a∈setJ} ofbeτ′-distances
a set of{pj : jLet
補助定理 24 τ補助定理([5]).
Let(X,d) If
bea functiona(X,metricLet∈ {pJ} jbeon X. If a′τ -distances on X. If a functionqy)deﬁnedby(x, y)
q(x,
=
sup
p
j
function q deﬁned byj∈J
q(x, y) = suppj (x, y)is a real-valued function, then q is a τ ′j∈J
-distance on X.

is a real-valued
thenq is a τ′-distanceX．
is a function,
real-valued
function,then q is aon
τ ′ -distanceon X.
両方とも τ ′ -distance から, 別の τ ′ -distance を生成する補助定理であるが,
τ′-distanceτ -distanceτ′-distance を生成する補助定理であるが，これらの
τ-distance 版が両方とも これらの版が成り立つかどうか真偽不明である.
両方とも から，別の
τ ′ -distanceから, 別の τ ′ -distance を生成する補助定理であるが,′成り立つかどうか真偽不明である．
以上の議論により筆者は現時点で, τ -distance の方が .τ -distance よりもこれらのτ -distance ,版が成り立つかどうか真偽不明である. ,このことが起こった原因については, よく分かっていな
自然に見えている
以上の議論により筆者は現時点で, の方がτ ′ -distanceの方がよりも自然に見えている．このこτ -distance よりもτ-distance以上の議論により，筆者は現時点で，τ′-distance.
p-CauchyをCondition
(CL)
にする
(τ
3)
の役割が雑なのか, それともい, よく分かっていな
自然に見えている. このことが起こった原因についてはとが起こった原因については，よく分かっていない．p-Cauchy
を Condition(CL)にする, (τ3) の役割がを用いて表現したかったものをτい-distance. p-Cauchy
を Condition (CL) にする (τη3)という１つの関数でつくることの役割が雑なのか, それとも,雑なのか，それとも，τ-distance を用いて表現したかったものを η という１つの関数でつくることがで. それとも他に原因があるのか.
η という１つの関数でつくること
τができなかったからなのか-distance を用いて表現したかったものをきなかったからなのか．それとも他に原因があるのか．
τ ′ -distance の導入によって, w-distance から始まった一連の研究にひとまず. それとも他に原因があるのか.
ができなかったからなのか′τ′-distance区切りが付いたと筆者は考えているの導入によって，w-distanceから始まった一連の研究にひとまず区切りが付いたと筆者は. 筆者が2001 年時点で考えた方向とは別τ -distance の導入によって, w-distanceから始まった一連の研究にひとまず一方で, 予想が外れたため,な形にはなったため, 残念という気持ちもあるが. 筆者が 2001, 年時点で考えた方向とは別区切りが付いたと筆者は考えている− 267 −
非常に興味深い方向に発展して面白かったという気持ちもある.
, 一方で, 予想が外れたため,な形にはなったため, 残念という気持ちもあるが非常に興味深い方向に発展して面白かったという気持ちもある.
参考文献

研究紀要

第 98 号考えている．筆者が 2001 年時点で考えた方向とは別な形にはなったため，残念という気持ちもあるが，一方で，予想が外れたため，非常に興味深い方向に発展して面白かったという気持ちもある．
参考文献［1］O. Kada, T. Suzuki and W. Takahashi, Nonconvex minimization theorems and fixed point theorems incomplete metric spaces, Math. Japon., 44 (1996), 381­391.
［2］L.J. Lin and W.-S. Du, Ekeland’s variational principle, minimax theorems and existence of nonconvex
equilibria in complete metric spaces, J. Math. Anal. Appl., 323 (2006), 360­370.
［3］T. Suzuki, Generalized distance and existence theorems in complete metric spaces, J. Math. Anal. Appl., 253(2001), 440­458.
［4］T. Suzuki, The strong Ekeland variational principle, J. Math. Anal. Appl., 320 (2006), 787­794.
［5］T. Suzuki, Redefinition of τ-distance in metric spaces, J. Funct. Spaces, 2017, Art. ID 4168486, 8 pp.
［6］T. Suzuki, Some comments on τ-distance and existence theorems in complete metric spaces, Filomat, 37(2023), 7979­7900.
［7］T. Suzuki and W. Takahashi, Fixed point theorems and characterizations of metric completeness, Topol.
Methods Nonlinear Anal., 8 (1996), 371­382.
［8］D. Tataru, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations with unbounded nonlinear terms, J. Math. Anal.
Appl., 163 (1992), 345­392.
［9］C.-K. Zhong, On Ekeland’s variational principle and a minimax theorem, J. Math. Anal. Appl., 205 (1997),
239­250.

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