シンポジウム「統計科学の革新にむけて」
報告書
主催：科学研究費・基盤研究（A)「⼤規模複雑データの理論と⽅法論の⾰新的展開」（研究代表者：⻘嶋 誠（筑波⼤学）, 課題番号：20H00576）

・開催⽇時：2021 年 1 ⽉ 22 ⽇（⾦）〜 1 ⽉ 23 ⽇（⼟）
・会場：⾦沢⼤学サテライトプラザ三階集会室
・開催責任者：星野 伸明（⾦沢⼤学経済学経営学系）

統計シンポジウム「統計科学の⾰新にむけて」プログラム
主催：科学研究費・基盤研究（A)「⼤規模複雑データの理論と⽅法論の⾰新的展開」（研究代表者：⻘嶋 誠（筑波⼤学）, 課題番号：20H00576）
・開催⽇時：2021年1⽉22⽇（⾦）〜1⽉23⽇（⼟）
・会場：⾦沢⼤学サテライトプラザ三階集会室
・開催責任者：星野伸明（⾦沢⼤学経済学経営学系）
座⻑
1/22(⾦)13:00

内藤貫太（千葉
⼤学）

講演者

講演者所属

佐々⽊拓真 筑波⼤学

共同研究者

演題

⽮⽥和善（筑波⼤学）・ ⾼次元相互共分散⾏列の特異値分解とそ⻘嶋誠（筑波⼤学）の応⽤

⽮⽥和善（筑波⼤学）・ ⾼次元における DWDとWDWDのバイア

13:40

江頭健⽃

筑波⼤学

14:20

間野修平

統計数理研究所 廣瀬雅代（九州⼤学）

丸⼭祐造

神⼾⼤学

⻘嶋誠（筑波⼤学）

ス補正とその⽐較
漸近不偏推定量のベイズ的構成

15:00 休憩
15:20

永井勇（中京⼤学）

平均ベクトルの推定における分散未知のもとでの許容的でミニマクスな推定量
Multiplicative Decompositions of

16:00

下野寿之

統計数理研究所

Stochastic Distributions and Their
Applications

16:40 終了座⻑1/23(⼟)

9:30

講演者

講演者所属

共同研究者

間野修平（統計

JunichiNiigata

Kou Fujimori (Shinshu

数理研究所）

Hirukawa

University

University)

松井宗也

南⼭⼤学

末⽯直也（神⼾⼤学）

10:10
10:50

演題
Weak convergence of the partial sum of$I(d)$ process to a fractional Brownian
motion in finite interval representation
Approximated likelihood estimation of
stable laws/OU processes

松原隆彦(⾼エネルギー

弱⾮ガウス確率場に対する期待ミンコフ

加速器研究機構 )スキー汎関数栗⽊哲

統計数理研究所

永井勇

中京⼤学

13:40

上本拓弥

千葉⼤学

内藤貫太（千葉⼤学）

14:20

三次琢⺒

千葉⼤学

内藤貫太（千葉⼤学）

内藤貫太

千葉⼤学

16:00

牧草夏実

千葉⼤学

16:40

⻄⽥喜平次 兵庫医療⼤学

11:30 休憩
13:00

松井宗也（南⼭⼤学）

外れ値がある場合でも安定した推定を⾏う罰則付推定法
Support vector regression with penalized
likelihood
⼀般化線形モデルにおける擬Huber関数
によるロバスト推測

15:00 休憩
15:20

栗⽊哲（統計数理研究所）

Regression with localized functional
Bregman divergence
再⽣核ヒルベルト空間におけるMaximum
Variance Discrepancyの実際的挙動
Density Estimation via Stagewise
内藤貫太（千葉⼤学）

Algorithm with a Dictionary Having
Various Bandwidths

17:20 終了ߴ࣍‫ݩ‬૬‫ڞޓ‬෼ࢄߦྻͷಛҟ஋෼ղͱͦͷԠ༻ࠤʑ໦୓ਅ (ஜ೾େֶ਺ཧ෺࣭Պֶ‫ڀݚ‬Պ)໼ా࿨ળ (ஜ೾େֶ਺ཧ෺࣭‫)ܥ‬੨ౢ੣ (ஜ೾େֶ਺ཧ෺࣭‫)ܥ‬ήϊϜՊֶɾ৘ใ޻ֶɾۚ༥޻ֶͳͲͷ‫ݱ‬୅ՊֶͷҰͭͷಛ௃͸ɼσʔλ͕΋ͭ࣍‫਺ݩ‬ͷ๲େ͞ʹ͋Δɽ͜ͷΑ͏ͳήϊϜσʔλʹ͸ɼ࣍‫਺͕਺ݩ‬ສʹ΋ͷ΅ΔҰํͰɼඪຊ਺͸ 100 ʹ΋ຬͨͳ͍ͱ͍͏ࣄྫ͕ଟ͘‫ݟ‬ΒΕΔɽ͜Ε͸ɼ͍ΘΏΔϏοάσʔλͷҰछͰɼσʔλͷ࣍‫ ਺ݩ‬p ͱඪຊ਺ n ʹp  nʢ΋͘͠͸ɼp > nʣͱ͍ͬͨେখؔ܎Λ΋ͭɽ͜Ε͕ߴ࣍‫ݩ‬σʔλͷҰͭͷಛ௃Ͱ͋Γɼେখؔ܎Λ‫ڧ‬ௐͯ͠ߴ࣍‫ݩ‬খඪຊσʔλͱΑͿ͜ͱ΋͋Δɽߴ࣍‫ݩ‬σʔλʹ͓͍ͯ͸ɼม਺‫͍ߴʹؒ܈‬૬͕ؔ͠͹͠͹‫ݟ‬ΒΕɼͦͷ૬ؔʹ‫͘ڧ‬‫د‬༩͍ͯ͠Δม਺Λ‫͚ͭݟ‬Δ͜ͱ͕ॏཁͱͳΔɽ2 ͭͷม਺‫܈‬ͷ૬ؔߏ଄Λਪଌ͢Δ
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p1


λ∗j uj v Tj

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-1-

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Aoshima and Yata [1] Ͱ͸ɼYata and Aoshima [4] Ͱ։ൃ͞ΕͨΫϩεσʔλߦྻ๏Λ༻͍ͯ tr(Σ∗ ΣT∗ ) ͷෆภਪఆྔΛ༩͑ɼͦͷਪఆྔͷߴ࣍‫ݩ‬઴ۙਖ਼‫ن‬ੑΛূ໌͢Δ͜ͱͰɼΣ∗ ͷߏ଄ʹؔ͢Δ‫ݕ‬ఆख๏Λ༩͑ͨɽҰํͰɼYata and Aoshima [5, 6]Ͱ͸ɼ֦ுΫϩεσʔλߦྻ๏ΛఏҊ͠ɼߴ࣍‫ݩ‬ͷ΋ͱ Σ∗ ͷߏ଄ʹؔ͢Δߴਫ਼౓ͳਪఆ๏Λ༩͑ͨɽ
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data. Sequential Analysis (Editor’s special invited paper), 30, 356-399.
[2] Hardoon, D., Szedmak, S., Shawe-Taylor, J. (2006). Canonical correlation
analysis: An overview with application to learning methods. Neural Computation, 16, 12, 2639-2664.
[3] Hotelling, H. (1936). Relations between two sets of variates. Biometrika, 28,
321-377.
[4] Yata, K., Aoshima, M. (2010). Eﬀective PCA for high-dimension, low-samplesize data with singular value decomposition of cross data matrix, Journal ofMultivariate Analysis, 101, 2060-2077.
[5] Yata, K., Aoshima, M. (2013). Correlation tests for high-dimensional datausing extended cross-data-matrix methodology, Journal of Multivariate Analysis, 117, 313-331.
[6] Yata, K., Aoshima, M. (2016). High-dimensional inference on covariancestructures via the extended cross-data-matrix methodology, Journal of Multivariate Analysis, 151, 151-166.

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Bias corrections of DWD and WDWD in high-dimensional settings(ߴ࣍‫͚͓ʹݩ‬Δ DWD ͱ WDWD ͷόΠΞεิਖ਼ͱͦͷൺֱ)
Kento Egashiraa , Kazuyoshi Yatab , Makoto Aoshimaba Degree Programs in Pure and Applied Sciences, Graduate School of Scienceand Technology, University of Tsukubab Institute of Mathematics, University of Tsukuba

In this talk, we consider two-class linear discriminant analysis for the HDLSS data. Suppose we have two independent and d-variate populations, having unknown mean vectors
and unknown covariance matrices. Let us have trainning data sets from the both populations. Let the total sample size N .
In the HDLSS context, Chan and Hall[6], Hall et al.[8] and Aoshima and Yata[2] considered distance-based classiﬁers. Aoshima and Yata[4] considered a distance-based classiﬁer
based on a data transformation technique. Aoshima and Yata[1, 3] considered geometric classiﬁers based on a geometric representation of HDLSS data. Aoshima and Yata[5]considered quadratic classiﬁers in general and discussed an optimality of the classiﬁers under high-dimension, non-sparse settings. In the ﬁeld of machine learning, there are manystudies for classiﬁcation (supervised learning). A typical method is the support vector
machine (SVM) developed by Vapnik[13]. Chan and Hall[6], Hall et al.[7] and Nakayama
et al.[10, 11] investigated asymptotic properties of the support vector machine (SVM)
in the HDLSS context. Nakayama et al.[10, 11] pointed out the strong inconsistency of
the SVM when ni s are imbalanced. They proposed bias-corrected SVMs and showed its
superiority to the SVM. On the other hand, Marron et al.[9] pointed out that the SVM
causes data piling in the HDLSS context. Data piling is a phenomenon that the projectionof a trainning data to the normal direction vector of a separating hyperplane is same foreach class. In order to avoid the data piling problem of the SVM, Marron et al. proposed
distance weighted discrimination (DWD). Whereas the SVM ﬁnds the optimal hyperplaneby maximizing the minimum distances from each class to the hyperplane, the DWD ﬁnds
a proper hyperplane by minimizing the sum of reciprocals of the distance from each data
point to the hyperplane. The DWD cares all the data vectors that are not always usedin the SVM. Unfortunately, the DWD is designed for balanced trainning data sets. For
imbalanced trainning data sets, Qiao et al.[12] developed weighted DWD (WDWD) that
imposes diﬀerent weights on two classes. However, the WDWD is sensitive for a choice of
weights.
In this talk, we investigated the DWD and the WDWD theoretically in the HDLSS
context where d → ∞ while N is ﬁxed. We gave asymptotic properties of the DWD andshowed that the DWD includes a huge bias caused by heterogeneity of covariance matrices
as well as sample imbalance. Then, we proposed a bias corrected-DWD (BC-DWD) andshowed that the BC-DWD can enjoy consistency properties about misclassiﬁcation rates.
Finally, we gave asymptotic properties of the WDWD.

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References[1] Aoshima, M., Yata, K. (2011). Two-stage procedures for high-dimensional data. Sequential
Analysis (Editor’s special invited paper), 30, 356–399.
[2] Aoshima, M., Yata, K. (2014). A distance-based, misclassiﬁcation rate adjusted classiﬁer
for multiclass, high-dimensional data. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 66,
983–1010.
[3] Aoshima, M., Yata, K. (2015). Geometric classiﬁer for multiclass, high-dimensional data.
Sequential Analysis, 34, 279–294.
[4] Aoshima, M., Yata, K. (2019a). Distance-based classiﬁer by data transformation for highdimension, strongly spiked eigenvalue models. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 71, 473-503.
[5] Aoshima, M., Yata, K. (2019b). High-dimensional quadratic classiﬁers in non-sparse settings.
Methodology and Computing in Applied Probability, 21, 663–682.
[6] Chan, Y.-B., Hall, P. (2009). Scale adjustments for classiﬁers in high-dimensional, low sample
size settings. Biometrika, 96, 469–478.
[7] Hall, P., Marron, J.S., Neeman, A. (2005). Geometric representation of high dimension, low
sample size data. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 67, 427–444.
[8] Hall, P., Pittelkow, Y., Ghosh, M. (2008). Theoretical measures of relative performance ofclassiﬁers for high dimensional data with small sample sizes. Journal of the Royal StatisticalSociety, Series B, 70, 159–173.
[9] Marron, J.S., Todd, M.J., Ahn, J. (2007). Distance-weighted discrimination. Journal of theAmerican Statistical Association, 102, 1267–1271.
[10] Nakayama, Y., Yata, K., Aoshima, M. (2017). Support vector machine and its bias correction
in high-dimension, low-sample-size settings. Journal of Statistical Planning and Inference,
191, 88–100.
[11] Nakayama, Y., Yata, K., Aoshima, M. (2020). Bias-corrected support vector machine with
Gaussian kernel in high-dimension, low-sample-size settings. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 72, 1257–1286.
[12] Qiao, X., Zhang, H. H., Liu, Y., Todd, M.J., Marron, J.S. (2010). Weighted distance weighted
discrimination and its asymptotic properties. Journal of the American Statistical Association,
105, 401–414.
[13] Vapnik, V. N. (2000). The Nature of Statistical Learning Theory (second ed.). New York:
Springer.

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漸近不偏推定量のベイズ的構成
統計数理研究所 間 野 修 平

smano@ism.ac.jp
共同研究者 九州大学 廣 瀬 雅 代
masayo@imi.kyushu-u.ac.jp
未知の確率測度 p と規格化しないモデル q(x; ξ) について Kullback-Leibler (KL)-divergence はD{pq(x; ξ)} =X

q(x; ξ)dx − 1 +Xp(x) log p(x)dx −p(x) log q(x; ξ)dx
Xである．p の経験分布と規格化されたモデル q0 (x; ξ) を脱規格化したモデル q(x; ξ) =
q0 (x; ξ)z(ξ), z(ξ) := X q(x; ξ)dx > 0 の KL-divergence の最小化は，事前分布の対数を ˜l(ξ) = n{1 − z(ξ) + log z(ξ)} ≤ 0 とした MAP 推定量1ˆ 1 , ..., xn ) = argmin − l(ξ; x1 , ..., xn ) + ˜l(ξ)ξ(xnξを与える．MLE は1
log q0 (xi ; ξ)ξˆ0 (x1 , ..., xn ) = argmin −
n i=1
ξ
n






1
= argmin − l(ξ; x1 , ..., xn ) ,nξˆ = f (ξ), ∀ξ を満たすように事前分布を定めである．規格化されたモデル上で Eξ f (ξ)
る．モデル多様体は C ∞ 多様体 M, Fisher 計量 g ，skewness テンソル S の組 (M, g, S)(α)

で表される．α ラプラス作用素を Δ(α) f := ∇(α)i ∇i f で定義する．
定理 1 (HM arXiv:2011.14747). 正則条件の下，U 推定可能函数 f ∈ C 3 (Rd ) と事前分布の対数 ˜l(ξ) = O(1) ∈ C 4 (Rd ) がΔ(−1) f + 2 ∂ ˜l, ∂f = o(n−1 )ˆ は f (ξ) の 2 次漸近不偏推定量を満たすとき，ξˆ を母数 ξ の MAP 推定量として，f (ξ)ˆ は UMVUE に O(n−1 ) まで一致する．
である．特に，完備十分統計量があれば，f (ξ)
注意 1. MLE の典型的バイアスは O(n−1 ) である．MAP 推定量は MLE に対し偏りを改善し，二乗損失について漸近的に同等である．
系 1. 1 次元モデル多様体を考える．正則条件の下，U 推定可能函数 f ∈ C 3 (R),f  (ξ) > 0 について，事前分布がel̃(ξ) ∝{g(ξ)}1/4 1  ξ S1 (ξ̃)dξ̃e4f  (ξ)-5-ˆ は 2 次漸近不偏で，完備十分を満たせば，ξˆ を ξ の MAP 推定量として推定量 f (ξ)
統計量があれば UMVUE に O(n−1 ) まで一致する．
系 2. α (= 0) 平坦モデル多様体と α アファイン座標系 ξ について，ξˆ を (α − 1)/2
平行体積要素の密度を事前分布とする MAP 推定量として，α 調和函数 f の推定量
ˆ は 2 次漸近不偏で，完備十分統計量があれば UMVUE に O(n−1 ) まで一致する．
f (ξ)

Estimand f (ξ) と事前分布の対数 ˜l(ξ) はモデル多様体の余次元 1 の葉層を定める．
˜l が定める葉層を f が定める葉層と等しくとれば，事前分布の構成を 1 次元の積分に帰着できる．
命題 1. 正則条件の下，U 推定可能函数 f ∈ C 3 (Rd ), f  (γ) > 0, γ ∈ C 3 (Rd ) について，事前分布が

e

l̃(γ)

∝

1

1
exp −

2
f (γ)

 γ

Δ(−1) γ̃dγ̃∂γ̃, ∂γ̃ˆ = f ◦ γ(ξ)ˆ は 2 次漸近不偏で，完備十を満たせば，MAP 推定量 ξˆ について f (γ(ξ))
分統計量があれば UMVUE に O(n−1 ) まで一致する．
例 1. 線形混合効果モデル

xij |zi ∼ N(zi , d),j ∈ {1, ..., ni },iidzi ∼ N(0, a),i ∈ {1, ..., m} を考える．平均ベクトルの最良線形不偏予測量はẑi = {1 − b(i) (a, d)}x̄i ,b(i) (a, d) :=d/ni
d/ni + aであり，縮小因子は b(i) (a, d) である．Hirose-Lahiri (2020) は d が既知，つまり 1 次元の場合の縮小因子の漸近 2 次不偏推定量を導出した．モデル多様体は象限 {(a, d) ∈ R2>0 }で (−1) 平坦，(a, d) は (−1) アファイン座標系である．1 次元の場合の類推で事前分
布を ˜l(i) (a, d) = log(d/ni + a) ととれば良いと予想でき，計算で確認できる．事前分
布の選択は一意ではない．縮小因子 b(i) と事前分布 ˜l(i) は異なる (−1) 測地葉層を定める．b(i) (γ) = (1 + ni γ)−1 , γ = a/d > 0 であるが，˜l(i) が定める葉層を b(i) が定める葉層と等しくとると命題 1 より

d/ni + ael̃(γ) ∝dm−1e(1+nj a/d)
1 + nj a/d
j=1

1/(2n)を得るが，これは類推で求めた事前分布よりも複雑である．
本講演では時間の制約上偏微分方程式の解法については触れなかった．論文(arXiv:2011.14747) では，命題 1 の γ を 0 測地線とした葉層や等質空間上の積分について，指数型分布族として分散既知の多変量正規分布 (Euclid 空間)，群分布族として位置尺度族 (双曲空間) を例として説明している．
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平均ベクトルの推定における分散未知のもとでの許容的でミニマクスな推定量神戸大学・経営学部・丸山 祐造

X ∼ Np (θ, Ip /η) の平均ベクトル θ の推定を考える．ここで η は未知であり，また η に関連する統計量として S ∼ χ2n /η があるとする．推定量の精度は二乗損失関数 ηδ − θ2 で測られる．ただし，推定量 δ(X, S)

は確率変数なのでリスク関数 E ηδ(X, S) − θ2 によって推定量の優劣を決める．この統計モデルは正規線形回帰モデルy = Aβ + ,y ∈ RN , β ∈ Rq ,  ∼ NN (0, IN /η)の正準形である．ここで p = q ，n = N − q として以下のような対応を考えれば良い．

• パラメータの対応 θ ⇔ (AT A)1/2 β• 確率変数の対応 X ⇔ (AT A)1/2 β̂ 最小二乗推定量• 確率変数の対応 S ⇔ (I − A(AT A)−1 AT )y2 残差平方和• 損失関数の対応 ηδ − θ2 ⇔ η(β̂ − β)T AT A(β̂ − β) = ηAβ̂ − Aβ2 predictive loss
本講演では特に一般化ベイズ推定量（広義事前分布に対するベイズ推定量）に関する性質，許容性とミニマクス性に興味がある．特に許容性については，関連する概念とともに以下のように定義される．

• δ が δ0 を優越する（改良する） if
R(θ, η, δ) ≤ R(θ, η, δ0 ) for all values of (θ, η)R(θ, η, δ) < R(θ, η, δ0 ) for at least one value of (θ, η)• 他の推定量によって優越される推定量は非許容的である．
• 他のどのような推定量によっても優越されない推定量は許容的である．
許容的な推定量が欲しいだけなら，狭義事前分布のもとでのベイズ推定量でよい．しかし，（最尤法，不偏性，不変性，ミニマクス性の保持などの考察から）自然な推定量が与えられたとき，しばしば一般化ベイズ推定量である．例えば，広義事前分布 π(θ) = 1 に関する一般化ベイズ推定量 X を考える．これは最尤推定量，
不偏推定量でもあり，定数リスクを持つミニマクス推定量である．その自然さ故に許容性を保有することが強く期待される．
この問題設定において p = 1, 2 のとき，X は許容的であるが，p ≥ 3 で許容的になることがスタイン現象として知られている．このことは広義事前分布が許容性を導く場合と非許容性を導く場合があることを示唆していており，その境界に理論的興味が生じる．

η が既知の一般化ベイズ推定量の許容性は Brown (1971) で研究された．ラフに言えば，広義事前分布が与えられたとき，それに対する一般化ベイズ推定量が許容的か非許容的か判別できる定理が提示された．

-7-

-8-

Multiplicative Decomposition of Stochastic Distributions
and Their Applications
Toshiyhuki Shimono∗Multiplying the absolute values from the t-distribution of ν = 2 produces the Bradley-Terry model.

Observed values are often aﬀected bystochastic modiﬁcation from the latent variables to the observable variables, anda kind of multiplicative relations among the familiar probability distributions
may play major roles. Consider the Bradley-Terry model (1952) where eachplayer i has its latent value πi > 0 to ”beat” another player j (to be indicated asi  j) with the probability πi /(πi + πj ). Suppose i  j happens when and only
when πi × |vi | ≥ πj × |vj | with independent variates vi ∼ Di and vj ∼ Dj where
Di and Dj are probability distributions to be determined. The necessary andsuﬃcient condition upon the pair of Di and Dj is the condition |v1 /v2 | ∼ F (2, 2)
where F (2, 2) is the Snedecor-Fisher distribution with the paired parameters of
2 and 2 degrees of freedom. Note that F (2, 2) has the density probability function 1/(1 + x)2 for x ≥ 0 and its variates can be generated by 1/u − 1 with ubeing uniformely distribued variates on [0, 1]. Interestingly, if Di and Dj are theidentical distribution, a solution of Di or Dj is the Student’s t-distribution with
2 degrees of freedom, to be denoted as T (2). Otherwise, D1 and D2 can be a√pair of T (1) and F (2, 2), where T (1) is the Cauchy distribution, V denotes√
the distribution of v with the variates v ∼ V .
The above can be formulated as F (2, 2) = |T (2)|×|1/T (2)| and F (2, 2) = |T (1)|×F (2, 2), where 1/V , |V | and V1 × V2 mean the distributions of 1/v, |v| andv1 × v2 , respectivly, with the independent variates v ∼ V , v1 ∼ V1 and v2 ∼ V2 .
These relations can be proven by considering the m-th order moment of any
distribution V where m ∈ R, not constrained to m ∈ N, which is denoted to
be M V

as a function of m. Note that M V1 × V2 = M V1 M V2 . One

can calculate that M |T (1)| = Γ(1/2 + m/2)Γ(1/2 − m/2)/π, M |T (2)| =√√2m Γ(1/2+m/2)Γ(1−m/2)/ π, M F (2, 2) = Γ(1+m/2)Γ(1/2+m/2)Γ(1/2−
m/2)Γ(1 − m/2)/π where Γ(·) is the gamma function, which lead to the proof.
∗ The Institute of Statistical Mathematics, tshimono@05.alumni.u-tokyo.ac.jp

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
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

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 

Applications of Distance Correlation to Time
Series : 距離の相関係数の時系列解析への応用
南山大学

松井 宗也

研究内容
近年、「距離の相関係数」(Distance Correlation) という 2 つの確率ベクトルの依存関係を測る指標が注目されている。ここで 2 つのベクトルの次元は任意で異なっていてもよい。2005 年に Székely, G.j. により提案されて以来盛んに研究されている（詳しい定義等は [Székely et al.(2007)] や [Székely and Rizzo(2009)] 参照）。注目すべき特徴は、ケンドールやスピアマンの順位相関係数といった従来の指標では捉えることの難しい非線形な相関も検知できることである。そもそも 2 つの確率変数が独立であるとは、その同時特性関数がそれぞれの周辺特性関数の積として書けることと同値である。
「距離の相関係数」の基本的なアイデアは、同時特性関数と独立な場合のそれ（各々の周辺関数の積）の距離をみて相関を測るものである。2 つの確率ベクトル X ∈ Rp と Y ∈ Rq（次元は任意で異なっていてもよい）の同時特性関数
を ϕX,Y (s, t) とおき、またそれぞれの周辺特性関数を ϕX (s)、ϕY (s) とおく（ここでp, q ∈ N）。また重み付き測度（重み関数（正）かけるルベーグ測度等）を μ(s, t) とおく。すると「距離の相関係数」は
|ϕX,Y (s, t) − ϕX (s)ϕY (t)|2 μ(ds, dt)
Rp+qと重み付けした L2 距離で定義される。この形を見れば統計量は独立ならばその時に限り 0 となることがわかる。特に Székely,G.j. らは具体的に重み関数を μ(ds, dt) =cp,q |s|−α−p |t|−α−q ds dt とおくことで統計量をT (X, Y ; μ) = E[|X − X  |α |Y − Y  |α ] + E[|X − X  |α ] E[Y − Y  |α ]−2 E[|X − X  |α |Y − Y  |α ]と陽な形に表した。ここで (X  , Y  ) は (X, Y ) の iid コピーで、Y  は全ての変数と独立な Y のコピーである。
本研究はこの「距離の相関係数」を 1 次元と多次元の定常な時系列へ応用するものである。主結果は論文 [Davis et al.(2018)] にまとめてある。主な目的は
１．2 つの時系列が独立かどうかを検定する、あるいは「距離の相関」で 2 つの時系
列の相互依存関係を測る。
２．タイムラグをとった系列の「距離の相関」をみることで、１つの時系列が系列相関を持つかどうか検定する。
ことである。時系列解析では、多次元の系列相関を測る指標として（多次元の）自己相関関数が一般的に知られている。ここで言う相関はピアソンの積率相関係数である。非常に便利な指標であるが、非線形時系列モデルの依存関係を捉えるのが難- 12 -

しいことが知られている。非線形時系列は計量ファイナンス分野において近年よく研究されていて、例えばその代表例として GARCH(p, q) モデルが挙げられる。このモデルは、単に原系列の自己相関をみても依存関係を検出できず、原系列を変換したも（例えば絶対値や 2 乗を考えたもの）の自己相関をみて初めて依存関係が捉えられる。
本研究のアイデアは、そのピアソン流の相関を「距離の相関係数」に置き換える
ことで依存関係をより良く検出しようというものである。論文では新しく「自己距離の相関関数」という指標を自己相関関数に代わりうるものとして提案した。そして、ミキシング条件 (strong mixing) のもとで、標本「自己距離の相関関数」に関連する漸近論を導出した。まず、緩やかモーメント条件のもとで統計量の一致性を示した。その後いくつか追加的な条件を与え、依存関係がある場合と独立な場合の両方で統計量の漸近分布を理論的に導出した。独立な場合とそうでない場合は収束のオーダーが異なることも示した。検定統計量は特に独立な場合は、独立なカイ２乗
変数の線形無限和で表され、一般に上側確率を求めるのが難しいことが知られている。これに対し、ブートスラップ法を用いた数値実験で漸近分布がうまく近似できることも示した。
２つ目の研究である 1 系列における「自己距離の相関関数」に関しては、具体的なモデルとして AR(p) モデルを考えた。モデルの適合度をみるために、パラメータ推定後に得られる残差に「自己距離の相関関数」を適応した。すると興味深いことに、iid 系列に「自己距離の相関関数」を適応した場合と比較して明らかに異なることもわかった（これは自己相関関数と同様の現象である）。その他、誤差項に裾の重い分布を仮定した場合は Székely, G.j. のオリジナルな定義では漸近論がうまく機能
しないこともわかった。パラメータの推定も考えたもとでは、モーメント制約がより厳しくなるためと考えられる。我々が提案した他の重み関数によるものは、裾の厚い誤差項に関してもうまく対応することも確認できた。
実証研究も行い、アマゾンの株価収益率データや風速データなどで提案した方法の応用を試みた。
キーワード：Auto- and cross-distance correlation function, testing independence,strong mixing, ergodicity, Fourier analysis, U -statistics, AR process, residuals

参考文献[Davis et al.(2018)] Davis, R.A., Matsui, M., Mikosch, T. and Wan, P. (2018) Applications of distance correlation to time series. Bernoulli 24, 3087–3116.
[Matsui et al.(2017)] Matsui, M., Mikosch, T. and Samorodnitsky G. (2017) Distance covariance for stochastic processes. Probab. Math. Statist. 37, 355–372.
[Székely et al.(2007)] Székely, G.J., Rizzo, M.L. and Bakirov, N.K. (2007) Measuring and testing dependence by correlation of distances. Ann. Statist. 35, 2769–2794.
[Székely and Rizzo(2009)] Székely, G.J. and Rizzo, M.L. (2009) Brownian distancecovariance. Ann. Appl. Stat. 3, 1236–1265.

- 13 -

弱非ガウス確率場に対する期待ミンコフスキー汎関数(情報・システム研究機構 統計数理研究所 数理・推論研究系)∗1(高エネルギー加速器研究機構 素粒子原子核研究所・理論センター)

栗木哲
松原隆彦

X(t) を E ⊂ Rn 上の滑らかなサンプルパスを持つ実数値確率場とする．X(t) の閾値
v に対する上側レベル集合 Ev = {t ∈ E | X(t) ≥ v} をエクスカーション集合という．
B n を n 次元単位球とし，Ev と半径 ρ の球 ρB n とのミンコフスキー和 (距離 ρ のチュー
ブ近傍) Tube(Ev , ρ) = Ev + ρB n を考える．その体積は ρ が小さい範囲で ρ の多項式
Voln (Tube(Ev , ρ)) =nωn−j ρn−j

Lj (Ev ) =

j=0

n

j=0

ρj

n
Mj (Ev )j(ωd = Vold (B )) となることが知られている．係数 Mj (Ev ), Lj (Ev ) をそれぞれ Ev のミ
ンコフスキー汎関数，リプシッツ・キリング曲率という．これらは Ev の体積や表面積を特別な場合として含む幾何量である．特に L0 (Ev ) = χ(Ev ) はオイラー標数である．
X(t) が平均 0 の等方的ガウス確率場の場合，Lj (Ev ) の期待値は古くから陽に知られている．平均 0 の等方的ガウス確率場は，距離のみで定義される 2 点相関関数 (共分散関数) E[X(t1 )X(t2 )] = ρ t1 − t2 2 /2 で特徴付けられる．ここでは等方的弱非ガウス
確率場を表現するために N 点相関関数 (N 次キュムラント関数)
cum(X(t1 ), . . . , X(tN )) = ν N −2 κ(N ) t1 − t1 2 /2, t1 − t3 2 /2, . . . , tN −1 − tN 2 /2d(ν  1 は非ガウス性を表すパラメータ) を導入し，E[Lj (Ev )] の ν ↓ 0 のときの摂動展
開を論じる．一般性を失うことなく ρ(0) = E[X(t)2 ] = 1 とする．


Γ( k+d+1)Γ( 12 )
k+d
2
= k+1
k
Γ( 2 )Γ( d+1)2とおく．
定理 1. 任意の正整数 s に対して，正則条件の下で，k = 0, . . . , n について

n−k 

n
k+d
−1
E[Mn−k (Ev )] =Lk+d (E) Ξd (v) + o(ν s−2 ),E[Lk (Ev )] = ωn−k
k
k
d=0

ただし



Ξn (x) =γ n/2 (2π)−n/2 φ(x) × Hn−1 (x) + νΔ1,n (x) + ν 2 Δ2,n (x) + o(ν 2 ),Δ1,n (x) = 12 γ −2 κ11 n(n − 1)Hn−2 (x) − 12 γ −1 κ1 nHn (x) + 16 κ0 Hn+2 (x),κa111 + κ
d111 ) + 18 γ −4 κ211 (n − 7) n(n − 1)(n − 2)Hn−3 (x)Δ2,n (x) = − 16 γ −3 (3 aa+ 18 γ −2 κ
11 (n − 2) + 4κa11 (n − 1)
− 14 γ −3 κ1 κ11 (n − 1)(n − 4) nHn−1 (x)


 2
1 −1
1 −2
+ −4γ κ
1 + 24 γ 3κ1 (n − 2) + 2κ0 κ11 (n − 1) nHn+1 (x)


1
1 −1
1 2
+ 24
κ
0 − 12γ κ0 κ1 n Hn+3 (x) + 72
κ0 Hn+5 (x).
∗1e-mail: kuriki@ism.ac.jp- 14 -(1)

ここで φ(x) は標準ガウス密度関数，Hj (x) はエルミート多項式，γ = −ρ (0), また(N )κ(i12 ,...,iN −1,N ) = ∂ iabκ(N ) (x12 , . . . , xN −1,N )
∂x(x12 ,...,xN −1,N )=(0,...,0)ab
1≤a<b≤N
(3)

(3)

(3)

(4)

(4)

とおくとき，κ0 = κ(0,0,0) , κ1 = κ(1,0,0) , κ11 = κ(1,1,0) , κ
0 = κ(0,0,0,0,0,0) , κ
1 = κ(1,0,0,0,0,0) ,
(4)

(4)

(4)

(4)

aa
d111 = κ(1,1,1,0,0,0) , κa111 = κ(1,1,0,0,1,0) .
κa11 = κ(1,1,0,0,0,0) , κ
11 = κ(1,0,0,0,0,1) , κ
式 (1) は，Gaussian kinematic formula [3] のひとつの一般化である．
証明は，Kac-Rice 公式 (Morse の定理の積分形) を用いて表した Ev のオイラー標数
L0 (Ev ) を，原点における確率場およびその 1,2 階導関数 (X(0), ∇X(0), ∇2 X(0)) (1+n+n(n + 1)/2 次元ベクトル) のグラムシャリエ展開のもとで期待値をとることで E[L0 (Ev )]を得る．また等方性の仮定より，E[Lk (Ev )] (k ≥ 1) は E[L0 (Ev )] から Crofton 公式を通して得られる．
√
摂動項の評価のためには，A = (aij ) を n × n GOE ランダム行列の 2 倍，すなわち対角成分と上三角成分が独立にガウス分布 aii ∼ N (0, 2), aij (= aji ) ∼ N (0, 1) (i < j)に従うとき，その固有多項式を含むモーメントの評価が必要となる．A のモーメント2母関数は E[etr(ΘA) ] = etr(Θ ) であることに注意する．対称行列 A = (aij ) の微分作用素
DA を，その (i, j) 要素が(DA )ij =1 + δij ∂2 ∂aij(i ≤ j)である行列作用素と定義する．

補題 1. m = i=1 ci とおく．

c
c1(−1/2)m− (n)m Hn−m (x) = E tr(DA) · · · tr(DA) det(xIn + A)2
= det(xI + DΘ ) etr(Θ ) tr(Θc1 ) · · · tr(Θc ) 

Θ=0.

とくに  = m = 0 のとき，2 Hn (x) = E[det(xIn + A)] = det(xIn + DΘ )etr(Θ ) Θ=0.

宇宙論においては宇宙場 (宇宙マイクロ波背景放射，宇宙の大規模構造，銀河サーベ
イにおける弱重力レンズ効果など) のモデルの適合度の検定統計量としてミンコフス
キー汎関数が用いられている．本発表では，それらの問題背景について併せて説明した．詳細は [1], [2] を参照のこと．
参考文献[1] Kuriki, S. and Matsubara, T. (2020). Perturbation of the expected Minkowski functional for weakly non-Gaussian isotropic ﬁelds on a bounded domain, arXiv:2011.04953[math.ST] https://arxiv.org/abs/2011.04953[2] Matsubara, T. and Kuriki, S. (2020). Weakly non-Gaussian formula for the Minkowski
functionals in general dimensions, arXiv:2011.04954 [astro-ph.CO]
https://arxiv.org/abs/2011.04954[3] Taylor, J. E. and Adler, R. J. (2009). Gaussian processes, kinematic formulae andPoincaré’s limit, Ann. Probab., 37 (4), 1459–1482.

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Support vector regression with penalized likelihood
千葉大・融合理工学府 上本 拓弥
千葉大・理学研究院 内藤 貫太
はじめに：目的変数 Y ∈ R，p 次元の説明変数 X ∈ Rp のデータ (Y1 , X 1 ), . . . , (Yn , X n )について，X を用いて Y を予測するサポートベクター回帰を考える．モデルは，パラメーβTだし，x̃ = 1

タ η= b

T∈ Ib × B ⊂ R × Rp によって規定される線形関数 x → η T x̃ である．たTTである．サポートベクター回帰とは，損失関数として ε-insensitivex

loss |z|ε = max{0, |z| − ε}, z ∈ R, ε > 0 を用いて，
C

n


1
|Yi − η T X̃ i |ε + ||β||2
2
i=1

(1)

の最小化によりパラメータ β, b を推定する手法である (詳細は [1]，[2]，[3] を参照)．ただし，C > 0 は損失項と罰則項を調整するパラメータ，|| · || は通常のユークリッドノルム
である．ここで，パラメータ ε と C は学習する前に与えるパラメータであり，この ε とC に学習の精度が依存することが知られており，その与え方は重要である．本発表では，
目的変数がラプラス分布から連想される確率密度関数に従うと仮定し，罰則付き尤度を導入することにより C の推定を ε の推定に集約させ，回帰係数と共に ε をデータから推定する手法を提案した．
罰則付き尤度の導入：データ (Y1 , X 1 ), . . . , (Yn , X n ) が独立で同一の分布 f (y, x) =p(y|x)q(x) に従うとする．ただし，f は (Y, X) の同時確率密度関数，p(·|x) は X = x を与えた下での Y の条件付き確率密度関数，q は X の確率密度関数である. 本発表では，

X = x を与えた下での Y の条件付き確率密度関数が

 
1
1 

T
p(yi |xi ) = pθ0 (yi |xi ) =exp − yi − η 0 x̃i 
4ε0
ε0
ε0

(2)

であると仮定する．ここで，X i = xi を与えた下での条件付き期待値と条件付き分散はそれぞれ E[Yi |X i = xi ] = η T
x ，V ar[Yi |X i = xi ] = 8ε20 /3 となる．罰則付き最0 i

尤法によりパラメータ

η T0

T

ε0

= θ0 ∈ Θ ⊂ Rp+1 × R の推定を行う．データを(yi , xi ), i = 1, . . . , n と表すと，罰則付きの負の対数尤度は
n

− log

f (yi , xi ) +
i=1


1
β 2 = n n (θ) + Constant2- 18 -

となる．ただし，n (θ) = log ε +n1  1 1 β 2yi − η T x̃i ε +n i=1 ε2nである．よって，考える最小化問題は


min
θ∈Θ

n

1  2
1  
yi − η T x̃i ε + β n log ε +
ε i=1
2


(3)

となる．このように，条件付き密度 (2) の導入により，(1) における学習で必要なパラメー
タ C, ε を尤度の観点からデータに基づき “自動的に” 求めることが可能となる．よって，

θ0 の推定量 θ̂ は
θ̂ = arg min
θ∈Θ

n (θ)

(4)

として構築される．また，

 
1 

T
(θ) = E log ε + Y − η X̃ 
ε
ε


とすると，

θ0 = arg min (θ)θ∈Θと特徴づけられる．
推定量の計算方法と漸近的性質：最適化問題 (3) の解を実際に求める計算方法と，(4) で構築される推定量 θ̂ について，適当な仮定の下，漸近一致性と漸近正規性が成り立つことを報告した．さらに，それらを確認するシミュレーション結果や実データへの適用結果についても報告した．
参考文献[1] Steinwart, I. and Christmann, A. (2008). Support Vector Machines. Springer,
New York.
[2] Vapnik, V. N. (1998). Statistical Learning Theory. John Wiley & Sons, NewYork.
[3] Vapnik, V. N. (2000). The Nature of Statistical Learning Theory. 2nd Edition.
Springer, New York.

- 19 -

ҰൠԽઢ‫ܗ‬Ϟσϧʹ͓͚Δ
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c > 0 ʹର͠xc sign(x)ψcH (x) =, |x| ≤ c,
, |x| > cͱఆٛ͞ΕΔɽಋ͔ΕΔਪఆํఔࣜ͸U (β)H =

n



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i=1

yi − μ i

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ψcpH (x) = √cx
c 2 + x2

ͱఆٛ͞ΕΔ ([3] ࢀর)ɽ
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Huber ؔ਺Λ༻͍ͨ৔߹ɼਪఆํఔࣜ͸n
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y
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μ
i
i
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ψcpH
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V(μ
)
V(μ
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i
i
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[2] Cantoni, E. and Ronchetti, E. (2001). Robust inference for generalized linear
models. Journal of the American Statistical Association, 96, 1022-1030.
[3] Hartley, R. and Zisserman, A. (2003). M ultiple view geometry in computer vision,
Cambridge University Press.

- 21 -

Regression with localized functional Bregman divergence
Kanta NAITO
Department of Mathematics and Informatics, Chiba University, Japan
Setting: Let (Y1 , X 1 ), . . . , (Yn , X n ) ∼i.i.d. f (y, x) = p(y|x)q(x), where (Yi , X i ) ∈ R × Rd , f
is the joint density of (Y, X), p is the conditional density of Y given X = x, and q is thedensity of X. Let t ∈ Rd be a target point at which we want to estimate the value of regressionfunction μ(t) = E[Y |X = t]. Our parametric model for μ is having the form
 ,m(x, θ) = G−1 θ T x
 T = [1 xT ] ∈ Rd+1 is the vector of explanatory variables, θ = [θ0 θ1 · · · θd ]T ∈ Θ ⊂ Rd+1
where xis the parameter vector, and G is the link function.
The functional Bregman divergence: Fix a strictly convex function U . Then the discrepancy between μ(·) and its parametric model m(·, θ) = mθ (·) can be measured by the functional
Bregman divergence deﬁned as
DU ∗ (u(mθ ), u(μ)) =[U ∗ (u(m(x, θ))) − y · u(m(x, θ))] f (y, x)dydx
(1)
d
R×R

[−U ∗ (u(μ(x))) + μ(x)u(μ(x))] q(x)dx,+
Rd

where u = U  : the derivative of U , U ∗ is the convex conjugate of U : U ∗ (s) = supz∈R {zs−U (z)}.
The usual parametric regression can be carried out by using a certain estimator θ̂ of the true
value of θ. Necessary tools for this estimation scheme areρ(y, x, θ) = U ∗ (u(m(x, θ))) − y · u(m(x, θ)),u (m(x, θ))∂,ρ(y, x, θ) = {m(x, θ) − y} xψ(y, x, θ) =∂θG (m(x, θ))by which the estimator θ̂ and the true value θ ∗ of θ can be deﬁned asθ ∗ = arg minρ(y, x, θ)dF (y, x),θ∈Θ R×Rdρ(y, x, θ)dFn (y, x),θ̂ = arg min
θ∈Θ

(2)
(3)

(4)
(5)

R×Rd

where Fn is the empirical distribution function based on (Y1 , X 1 ), . . . , (Yn , X n ), F is the cumulative distribution function with its density f . Note that θ ∗ in (4) is the minimizer of (1),and the minimizer of the empirical version of (1) is nothing other than θ̂ in (5). The regressionfunction estimator can be obtained by plugging θ̂ into θ in m(·, θ):μ̂G (x) = m(x, θ̂).
- 22 -(6)

The localized functional Bregman divergence: We organize a scheme of estimation of θ
depending on t locally. Necessary functions are listed as follows:ρ(t, y, x, θ) = K
ψ(t, y, x, θ) =x−th

ρ(y, x, θ),∂ρ(t, y, x, θ).
∂θ

(7)
(8)

Here K(z) is a smooth unimodal integrable function symmetric around z = 0d satisfying
K(0d ) = 1, and h > 0 is the scalar bandwidth which controlls the degree of localization, here
0d is the zero vector in Rd . We notice that (7) and (8) are localized version of (2) and (3)respectively, with the use of the kernel K. Using these functions, we deﬁne the true parameterθ ∗ (t) at t and its estimator θ̂(t) as follows:ρ(t, y, x, θ)dF (y, x),θ ∗ (t) = arg minθ∈Θ R×Rdρ(t, y, x, θ)dFn (y, x).
θ̂(t) = arg min
θ∈Θ

R×Rd

This local estimator θ̂(t) of θ ∗ (t) also suggests us to make a regression estimator deﬁned asμ̂L (x) = m(x, θ̂(x)),(9)

which we call the local estimator of μ(x), because the involved estimator of parameter is determined locally. Since θ̂(x) can vary depending on x, μ̂L would be expected to be more ﬂexible
than μ̂G . On the other hand, we call the estimator μ̂G (x) in (6) the global estimator of μ(x).
The following topics were reported at the symposium:
1. Asymptotic evaluation of the risk diﬀerence between the global estimator μ̂G in (6) andthe local estimator μ̂L in (9), under the situation both n → ∞ and h → ∞.
2. The local estimator μ̂L in (9) asymptotically improves the risk of the global estimator μ̂Gin (6), provided that the link function G equals to u = U  .
3. A robustﬁng the above methodology by utilizing an another feature of the functional
Bregman divergence.
4. The localization can be applied also in this robust setting, and the the risk diﬀerence
between the global estimator μ̂G and the local estimator μ̂L can asymptotically be evaluated.
5. Under the use of the pseudo-Huber function as U , the local estimator μ̂L improves therisk of the global estimator μ̂G , as the parameter δ involved in the pseudo-Huber function
getting large.
6. Some simple numerical illustrations which conﬁrm theoretical results as well as the practical performance of estimators.

- 23 -

࠶ੜ֩ώϧϕϧτۭؒʹ͓͚Δ

Maximum Variance Discrepancy ͷ࣮ࡍత‫ڍ‬ಈઍ༿େɾ༥߹ཧ޻ֶ෎຀૲ Ն࣮

1 ͸͡Ίʹ
i.i.d.

i.i.d.

P ɼQ Λώϧϕϧτۭؒ H ্ͷ֬཰෼෍ͱ͢Δͱ͖ɼೋඪຊ X1 , . . . , Xn ∼ P ɼY1 , . . . , Ym ∼Q ʹ‫ݕͮ͘ج‬ఆ‫ؼ‬ແԾઆ H0 : P = Q vs. ରཱԾઆ H1 : P = QΛߟ͑ΔɽϢʔΫϦουۭؒͰͷೋඪຊ‫ݕ‬ఆ͸͢Ͱʹ༷ʑͳ‫ݕ‬ఆํ๏͕ٞ࿦͞Ε͍ͯΔ͕ɼ
ώϧϕϧτۭؒʹ஋ΛͱΔ֬཰ม਺ʹର͢Δೋඪຊ‫ݕ‬ఆΛߟ͑Δ͜ͱͰɼߴ࣍‫ݩ‬σʔλʹର͢Δೋඪຊ‫ݕ‬ఆͷٞ࿦Λ༩͑Δɽߴ࣍‫ݩ‬σʔλʹର͢ΔΞϓϩʔνͱͯ͠ɼMaximum Mean

Discrepancy(MMD) ʹ‫ͮ͘ج‬ೋඪຊ‫ݕ‬ఆ͕ [1] ʹΑΓ͢Ͱʹٞ࿦͞Ε͍ͯΔ͕ɼ͜ͷ MMD ͱಉ༷ͷߟ͑ํʹΑΓɼMaximum Variance Discrepancy(MVD) ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ৽ͨͳ෼෍ؒͷҧ͍ΛଌΔࢦඪΛఏҊ͠ɼͦͷ‫ݕ‬ఆʹ͍ͭͯߟ͑Δɽ

2 ࠶ੜ֩ώϧϕϧτۭؒͰͷϞʔϝϯτͷఆٛ֬཰ม਺ X ∼ P ɼY ∼ Q Λਖ਼ఆ஋Χʔωϧ k ʹΑͬͯɼ͜ͷ k ʹରԠ͢Δ࠶ੜ֩ώϧϕϧτۭؒ H(k) ্ʹɼͦΕͧΕ k(·, X)ɼk(·, Y ) ʹΑΓม‫׵‬Λߦ͏ɽ͜ͷͱ͖ɼ͜ͷ k(·, X)ɼk(·, Y ) ͷ෼ࢄ Σk (P )ɼΣk (Q) ͸ɼͦΕͧΕώϧϕϧτۭؒ H(k)⊗2 = H(k) ⊗ H(k) Ͱͷ‫ظ‬଴஋ Σk (P ) =EX∼P [(k(·, X) − μk (P ))⊗2 ]ɼΣk (Q) = EY ∼Q [(k(·, Y ) − μk (Q))⊗2 ] ʹΑͬͯఆΊΒΕ͍ͯΔɽ͜͜Ͱɼμk (P )ɼμk (Q) ͸ k(·, X) ͷ‫ظ‬଴஋ μk (P ) = EX∼P [k(·, X)]ɼμk (Q) = EY ∼Q [k(·, Y )] Ͱ͋Γɼ⊗ ͸ςϯιϧੵΛද͓ͯ͠Γɼ೚ҙͷ f ∈ H(k) ʹର͠ɼf ⊗2 = f ⊗ f = f, · H(k) f Ͱ͋Δɽ

3 ‫ݕ‬ఆ౷‫ྔܭ‬ͷߏங͜ͷ k(·, X) ͱ k(·, Y ) ͷ‫ظ‬଴஋ͷࠩ

sup||f ||H(k) =1| f, μk (P ) − μk (Q) H(k) | = ||μk (P ) − μk (Q)||H(k)ʹΑΓɼ2 ͭͷ෼෍ͷҧ͍ΛଌΔͷ͕ɼMaximum Mean Discrepancy (MMD) ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ΋ͷͰ
͋Δɽಉ༷ͷߟ͑ํʹΑΓɼk(·, X) ͱ k(·, Y ) ͷ෼ࢄͷࠩ

sup||A||H(k)⊗2 =1| A, Σk (P ) − Σk (Q) H(k)⊗2 | = ||Σk (P ) − Σk (Q)||H(k)⊗2- 24 -

ʹΑΓ 2 ͭͷ෼෍ͷҧ͍ΛଌΔɽ͜ͷҧ͍ Σk (P ) − Σk (Q)2H(k)⊗2 ͸


2
 

2

= Σ
Tn,m
k (P ) − Σk (Q)

H(k)⊗2ʹΑͬͯਪఆ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͨͩ͠ɼnn1 k (P ) = 1(k(·, Xi ) − μk (P ))⊗2 , μk (P ) =k(·, Xi ),
Σ
n i=1
n i=1
m
m
1 
1 
⊗2

Σk (Q) =(k(·, Yi ) − μk (Q)) , μk (Q) =k(·, Yi )
m i=1
m i=1

Ͱ͋Δɽ
2
ຊൃදͰ͸ɼ͜ͷ‫ݕ‬ఆ౷‫ ྔܭ‬Tn,mͷ઴ۙ‫ڍ‬ಈͱ࣮ࡍతଆ໘ʹ͍ͭͯใࠂΛߦͬͨɽಛʹɼ‫ؼ‬ແ
2
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ͳࣗ༝౓ 1 ͷ χ2 ෼෍ͷॏΈ෇͖ແ‫ݶ‬࿨ͷ‫Ͱܗ‬ಘΒΕΔ͜ͱ ([4] ࢀর)ɼͦͷॏΈΛσʔλʹ‫ͮج‬ ʹ‫ۙͮ͘ج‬͍ͯਪఆ͢Δํ๏ʹ͍ͭͯใࠂΛߦͬͨɽ·ͨɼ࣮ࡍతଆ໘ͱͯ͠ɼਪఆͨ͠ॏΈ λࣅ෼෍n−1  22=1 λ Z ͸‫ؼ‬ແԾઆͷ΋ͱͰͷ (n + m)Tn,m ͷ෼෍ͱൺ΂ͯେ͖ͳ෼ࢄΛ͓࣋ͬͯΓɼ

MMD Ͱ΋ಉ༷ͷ݁Ռͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱʹ͍ͭͯड़΂ͨɽͦͯ͠ɼMVD ͱ MMD ͷ‫ؼ‬ແ෼෍ͷ෼ࢄΛͦΕͧΕ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱʹΑͬͯɼۙࣅ෼෍Λमਖ਼͠ɼͦͷ݁ՌΛใࠂͨ͠ɽ·ͨɼ͜ͷमਖ਼ͨۙ͠ࣅ෼෍Λ༻͍ͯɼType I error ͷ֬཰ͱ‫ݕ‬ग़ྗʹؔ͢ΔγϛϡϨʔγϣϯΛߦ͍ɼType I

error ͷ֬཰͕༗ҙਫ४ʹ͍͍ۙͮͯ͘͜ͱͱɼMVD Λ༻͍ͨ‫ݕ‬ఆ͕ MMD Λ༻͍ͨ‫ݕ‬ఆΑΓ΋‫ݕ‬ग़ྗ͕େ͖͍͜ͱʹ͍ͭͯใࠂΛߦͬͨɽࢀߟจ‫ݙ‬[1] Gretton, A., Borgwardt, K., Rasch, M., Schölkopf, B. and Smola, A. (2007). A kernel
method for the two sample problem. Advances in Neural Information Procesing Systems
19, MIT Press, 513–520.
[2] Gretton, A., Fukumizu, K., Harchaoui, Z., and Sriperumbudur, B. K. (2009). A fast,consistent kernel two-sample test, Advances in Neural Information Processing Systems
22, Curran Associates Inc., 673–681.
[3] Politis, D. N., Romano, J. P. and Wolf, M. (1999). Subsampling. Springer, New York.
[4] Serﬂing, R. J. (1980). Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, NewYork.

- 25 -

Պ‫ݚ‬අγϯϙδ΢Ϝʮ౷‫ܭ‬Պֶͷֵ৽ʹΉ͚ͯʯߨԋใࠂॻߨԋλΠτϧ”Density Estimation via Stagewise Algorithmwith a Dictionary Having Various Bandwidths”

ߨԋ৘ใ

1

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˟ 263-8522 ઍ༿‫ݝ‬ઍ༿ࢢҴໟ۠໻ੜொ 1-33, naito@math.s.chiba-u.ac.jp•

೔࣌ 2021 ೥ 1 ݄ 23 ೔ 16:40-17:20 (ൃද͸ΦϯϥΠϯ)

2

ߨԋ಺༰

2.1

ཁࢫ

Χʔωϧ‫਺ؔ౓ີܕ‬ਪఆ๏͸, ࣮ߦʹࡍͯ͠όϯυ෯ͷਪఆ͕ඞཁͱͳΔ͕, ଟ࣍‫ݩ‬ͷઃఆͰચ࿅͞Εͨਪఆํ๏ͱͯ͠, Duong and Hazelton(2003, J. Nonpram. Stat.) ͷ Direct

Plug-in (DPI) ๏͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ͜ͷํ๏͸, όϯυ෯ߦྻͷඇର֯੒෼͕ඇθϩ஋ͱ͍͏, ‫͍ڧ‬ઃఆԼͰ࣮ߦ͞ΕΔ΋ͷͰ, R ʹ΋࣮૷͞Ε͍ͯΔํ๏Ͱ͋Δ. ଞํ, Reduced

Set Density Estimation(RSDE) ๏ (Girolami and He 2003, IEEE PAMI) ͸, σʔλ఺ຖʹઃఆ͞ΕͨॏΈύϥϝʔλ (=weight) ͷҰ෦͕θϩ஋ΛऔΔࣄΛ‫ڐ‬༰ͷԼͰ, όϯυ෯ͱ

weight ͷ࠷దԽΛߦ͏ํ๏Ͱ͋Δ. ͜ͷํ๏Ͱ͸, weight ͕θϩͱͳΔσʔλ఺͸࢖༻ͤͣʹີ౓ਪఆΛߦ͏͜ͱΛҙຯ͢ΔͨΊ, ີ౓ਪఆͷ sparse ද‫ݱ‬ΛՄೳʹ͢Δํ๏Ͱ͋Δ.
ຊߨԋ͸, ‫ػ‬ցֶशͷΞΠσΞΛऔΓೖΕͨ, ஞ࣍࠷খԽΞϧΰϦζϜ (ҎԼ, Stagewise

Minimization Algorithm) Λ༻͍ͨΧʔωϧ‫਺ؔ౓ີܕ‬ਪఆ๏ͷ֓ཁͱཧ࿦తੑ࣭ͱ, γϛϡϨʔγϣϯʹΑΔ DPI ͓Αͼ RSDE ͱͷޮ཰ੑൺֱΛ঺հͨ͠.

- 26 -

2.2

ఏҊΞϧΰϦζϜͷ֓ཁࣄલʹΞϧΰϦζϜͷ࠷ऴεςʔδ਺Λܾఆ͢Δ. ͦͯ͠, ؆ศͳόϯυ෯Λ࣋ͭෳ਺ͷΧʔωϧ͔Βߏ੒͞ΕΔʮࣙॻʯΛఆٛ͢Δ. ΞϧΰϦζϜͷ֤εςʔδͰ͸, લεςʔδͰಘΒΕͨਪఆྔͱ, ͋Δؔ਺ม‫׵‬Λࢪ্ͨ͠Ͱͷʮϫʔυʯͱͷತ݁߹Λ, ͢΂ͯͷϫʔυʹ͍ͭͯߏ੒͠, ͦΕΒͷதͰධՁؔ਺ (͜͜Ͱ͸ U-divergence ؔ਺) ͕࠷దͱͳ
Δ΋ͷΛ, ౰֘εςʔδͷਪఆྔͱఆٛ͢Δ. ͜͏ͨ͠࠶‫ؼ‬తૢ࡞Λ࠷ऴεςʔδ·Ͱ࣮ߦ͠, ਫ਼౓Λஞ࣍తʹߴΊΔਪఆํ๏Ͱ͋Δ.
ಛʹࣙॻͷߏ੒ʹؔͯ͠, ҎԼͷಛ௃͕͋Δ.

• Ͱ͖Δ͚ͩ؆ศͳʮࣙॻʯΛ༻͍ͯ, DPI ΍ RSDE ͱର߅͠͏ΔਪఆྔΛߏங͢Δ
໨తͷԼ, ʮόϯυ෯ͷࣙॻʯ͸εΧϥʔ‫ܕ‬όϯυ෯Ͱߏ੒ͨ͠.

• ਪఆྔͷඇ઴ۙ‫ݶࠩޡ‬քΛಋग़͢Δ໨తͰ, ಘΒΕͨσʔλͷҰ෦Λࣙॻͷߏஙʹ࢖༻͠ (Χʔωϧͷฏ‫)༻࢖ͯ͠ͱۉ‬, ࢒ΓͷσʔλΛਪఆྔͷධՁͰ࢖༻͢Δͱ͍
͏ઃఆͰ, ΞϧΰϦζϜΛߏஙͨ͠.

2.3

ใࠂ಺༰ͷࡉ෦• ఏҊख๏ʹΑΔਪఆྔͷඇ઴ۙ‫ݶࠩޡ‬քΛఆཧͱͯ͠঺հͨ͠.
• Ͱ͖Δ͚ͩଟ༷ͳσʔλʹద༻Մೳͳ, εΧϥʔ‫ܕ‬όϯυ෯Ͱߏ੒͞ΕΔࣙॻͷҰྫΛ঺հͨ͠.

• ఏҊख๏ʹΑΔਪఆྔͷ‫ڍ‬ಈΛγϛϡϨʔτ͠, ݁ՌΛ঺հͨ͠.
– MISE ͷ‫͔఺؍‬Β, ఏҊख๏͸ DPI, ͓Αͼ RSDE ΑΓ΋༏ҐʹͳΔ৔߹͕͋Δ͜ͱΛ֬ೝͨ͠.

– ఏҊख๏ʹΑΔਪఆ͸, RSDE ͱಉ༷, ີ౓ਪఆͷ sparse ද‫ݱ‬ΛՄೳʹ͢Δ͕,ີ౓ؔ਺ͷඌࠜʹͦͬͨσʔλ͕બ͹ΕΔಛ௃͕͋Δ͜ͱΛ֬ೝͨ͠.

– ࣙॻʹ༻͍Δσʔλ਺ͱਪఆྔͷධՁʹ༻͍Δσʔλ਺ͷ഑෼ൺ͕, ͲͷΑ͏ʹਪఆ݁Ռ΁Ө‫͢ڹ‬Δ͔ௐ΂ͨ. ࣙॻʹ༻͍Δσʔλ਺ͷ഑෼ൺΛখͨ͘͞͠΄͏͕, MISE ͸վળ͞ΕΔ݁ՌΛಘ͍ͯΔ.

• ఏҊख๏Λ࣮σʔλ (UCI σʔλϦϙδτϦͷ Abalone σʔληοτ) ʹద༻ͨ͠ਪ
ఆ݁ՌΛ঺հͨ͠. ݁Ռ͸֓Ͷྑ޷ͱ൑அͨ͠.

- 27 -