令和 4 年度 次世代の科学技術を担う人材育成事業

福岡県

高校生科学技術コンテスト
ファーストステージ

数学
注意事項
１

試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。

２ 試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁及び解答用紙の汚れなどに気付いた場合は，挙手をして監督者に知らせなさい。ただし，問題内容にかかわる質問は，受け付けません。
３ 解答用紙には，解答欄以外に次の記入欄があるので，監督者の指示に従って正しく記入しなさい。
（1）受 験 番 号 欄…受験票に記入されている受験番号を記入しなさい。
（2）氏名

欄…氏名を楷書で記入しなさい。

（3）所 属 校 名 欄…受験票に記入されている所属校名を記入しなさい。
４

問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離してはいけません。

受験番号
氏

名

所属校名

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第１問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。

問1

a＝2

√ 7＋√ 5，b＝√ 7＋√ 5 とする。

（ⅰ） a の分母を有理化せよ。
（ⅱ） a＋b，ab の値をそれぞれ求めよ。
（ⅲ） a2＋b2 の値を求めよ。
（ⅳ） a5＋b5 の値を求めよ。
問2

連立不等式

⎧－ 19 x＋5 ≦ 3（ x＋1 ） …… ①⎨│x－2│＜ a 2⎩について考える。ここで a は正の定数である。
（ⅰ） 不等式①を解け。
（ⅱ） この連立不等式が解をもつような a の値の範囲を求めよ。
問3

ω を x の方程式 x3＝1 の虚数解の 1 つとする。
（ⅰ） ω2022 の値を求めよ。
（ⅱ） ω2＋ω の値を求めよ。
（ⅲ） ω1000＋ω500＋1 の値を求めよ。
（ⅳ） a，b，c を実数の定数とする。x の 3 次方程式 x3＋ax2＋bx＋c＝0 がつとき，この方程式の実数解を a を用いて表せ。

問41ω

を解にもA，B，C の 3 人でじゃんけんをする。
（ⅰ） 1 回のじゃんけんで A がただ 1 人の勝者となる確率を求めよ。
（ⅱ） 1 回のじゃんけんであいこになる確率を求めよ。
（ⅲ） 1 回のじゃんけんであいこ，または勝者が 2 人となった場合は，敗者を除いた 3人，または 2 人でもう 1 度じゃんけんをすることにした。2 回目のじゃんけんで Aがただ 1 人の勝者となったとき，1 回目のじゃんけんの勝者が 2 人である条件付き確率を求めよ。

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問5

3 個の実数値 x1，x2，x3 からなるデータを表す変量を x とする。また，実数の定数 aを用いて 3 個の値 y1，y2，y3 を次のように定める。

y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，y3＝x3＋2a3 個の値 y1，y2，y3 からなるデータを表す変量を y とし，x，y の平均値をそれぞれx，y とおく。
（ⅰ） x＝2aとする。y を a を用いて表せ。
3（ⅱ） x＝2aかつ，x3＝－a とする。x，y の分散をそれぞれ sx2，sy2 とすると，実数
3A を用いてsy2＝sx2＋Aとなる。このとき，A を a を用いて表せ。

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第2問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。

下の図のように，四角形 ABCD（直角をはさむ 2 辺の長さが 2，4 の直角三角形と 2 辺の長さが 2 の直角二等辺三角形を組み合わせた図形）と長方形 EFGH（ EF の長さが 4，FG の長さが2 ）があり，点 B，C，F，G が直線 ℓ 上にあるように置かれている。
四角形 ABCD は固定されており，長方形 EFGH を図の矢印の方向に点 F が点 C と一致する状態から，点 F が図の点 K に一致するまで動かす。
このとき，2 点 C，F 間の距離を t（ 0 ≦ t ≦ 6 ）とし，四角形 ABCD と長方形 EFGH の共通部分（重なる部分）の面積を S とする。

A

EH

24D2K
問12B

2FC2ℓG

20 ≦ t ≦ 2 とする。
AEH24

D2FK

B2ℓCtG（ⅰ） S を t を用いて表せ。
（ⅱ） S＝1 となるような t の値を求めよ。

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問22 ＜ t ＜ 4 とする。
E AIHDJ2GKア

次の～BカFCℓtに当てはまる数として最も適切なものを答えよ。

線分 AB，EF の交点を I，線分 CD，HG の交点を J とする。線分 IF，JG の長さをそれぞれ t を用いて表すと

IF＝ア－イt，JG ＝ t－ウである。
また，S を t を用いて表すと

S＝－エt2＋オt－カである。
）（これは t＝2，4 のときも成り立つ。
問3

4 ≦ t ≦ 6 のとき，S を t を用いて表せ。

問4（ⅰ） 0 ≦ t ≦ 6 における t の関数 S のグラフをかけ。
（ⅱ） 0 ≦ t ≦ 6 における S の最大値と，それを与える t の値を求めよ。

問50 ≦ t ≦ 6 のとき，1 ≦ S ≦9となるような t の値の範囲を求めよ。
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第３問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。問 3（ⅱ）
については，解答に至るまでの過程も記述せよ。

3 辺の長さが AB＝4，BC＝5，CA＝6 の鋭角三角形 ABC において点 A から辺 BC に垂線AH を下ろす。
ABCH

問 1 （ⅰ） 線分 BH の長さを求めよ。
（ⅱ） 三角形 ABC の面積 S を求めよ。
問 2 （ⅰ） 三角形 ABC の内接円の半径 r を求めよ。
（ⅱ） 三角形 ABC の内接円の中心を I とし， ∠ BAI＝ q とおくとき，tan q および cos qの値を求めよ。

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問3∠ BAC の外角の二等分線を ℓ とし，点 C から ℓ に垂線 CK を下ろす。

KℓA

BC

H

（ⅰ） 線分 CK の長さを求めよ。
（ⅱ） 2 直線 AC，HK の交点を E とするとき，AEの値を求めよ。
EC─ 7 ─914592̲福岡̲数学honbun̲cc19.indd 72022/06/06 15:17

第４問
以下の各問いに答えよ。答えはすべて，解答用紙の指定された箇所に記入すること。問 4（ⅲ）
については解答に至るまでの過程も記述せよ。

問1ア

次の文章中のス～に当てはまる数として最も適切なものを答えよ。ただし，同じ解答記号の空欄には同じものが入るものとする。
方程式

xy＝3x＋3y……（＊）
を満たす正の整数の組（ x，y ）を求めたい。
（＊）より xy－3x－3y＝0 であるから
ア（ y－3 ）＝
（ x－3 ）と変形できる。

x，y は正の整数であるから
x－3 ≧ －2，y－3 ≧ －2アであることに注意して，の約数を考えると（ x－3，y－3 ）＝（イとなる。ただし，ウ，イ），（エエ＜カとする。

＜，オ），（カ，キ）），（シ，ス

これより，求める整数の組は（ x，y ）＝（ク，ケ），（コ，サである。ただし，

ク＜コ＜シとする。

）

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問2

下の図は正 n 角形（ n は 3 以上の整数）の外接円の中心を O1 とし，隣り合う 2 頂点をA，B としたものである。
BAaO1∠ O1AB＝a とするときの a を度数法の °を用いて表すと－である。

セ，ソ

問3n（セソ×90⎧⎨⎩（⎧a＝⎨⎩°に当てはまる数として最も適するものを答えよ。

平面上のある点 O2 に正 n 角形（ n は 3 以上の整数）が k 個集まり，すきまも重なりもない場合を考える。例えば n＝6 のとき 2a＝120 °，k＝3 であり，下の図のようになる。

2a×k＝360 °であることに注意して，（ n，k ）＝（ 6，3 ）以外の正の整数の組（ n，k ）をすべて求めよ。

O22a─ 9 ─914592̲福岡̲数学honbun̲cc19.indd 92022/06/06 15:17

問4

正 ℓ 角形，正 m 角形，正 n 角形（ ℓ，m，n は 3 以上の整数で，ℓ ≦ m ≦ n ）の 3 つの正多角形を考える。これらの頂点がすきまも重なりもなく 1 点に集まっている場合を考える。
（ⅰ）

1ℓ11＋ m ＋ n の値を求めよ。

（ⅱ） ℓ＝4 のとき，正の整数の組（ m，n ）をすべて求めよ。
（ⅲ） 正の整数の組（ ℓ，m，n ）の個数を求めよ。

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