令和 4 年度 次世代の科学技術を担う人材育成事業

福岡県

高校生科学技術コンテスト
ファーストステージ

数学
解答解説

受験番号氏名

所属校名

福岡県教育委員会

914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 1

2022/06/06 15:22

第１問

問2
（ⅰ） ①を整理すると【出題のねらい】－2x＋90≦27（ x＋1 ）数と式やデータの分析など，数学 I，数学 A－29x≦27－90の分野をはじめ，数学Ⅱの範囲の基本的な知識－29x≦－63を問う。

x≧

問163
29……
（答）

（ⅱ） もう 1 つの不等式を整理すると（ⅰ）－a＜x－2＜a2（√ 7 − √ 5 ）＋（√ 7 √ 5 ）（√ 7 − √ 5 ）－a＋2＜x＜a＋2

a＝＝となるので，与えられた連立不等式が解をもつ

2（√ 7 − √ 5 ）2＝√ 7 − √ 5のは

63＜a＋2 となるときである。よって
29……
（答）

a＞の結果より，（ⅱ）（ⅰ）……
（答）（√ 7 ＋√ 5 ）ab＝（√ 7 − √ 5 ）a＞＝（√ 7 ）－（√ 5 ）2

263－58 − a＋2a＞
29a＋b＝（√ 7 − √ 5 ）＋（√ 7 ＋√ 5 ）＝2√ 763－2
292529

63 a＋2 x29……
（答）＝7－5＝2 ……
（答）

問3（ⅰ） ω3＝1 であるから（ⅲ） a ＋b ＝（ a＋b ）－2ab222

ω2022＝（ ω3 ）674＝（ 2√ 7 ）2－2・2

＝1 ……
（答）

＝28－4（ⅱ） ω3－1＝0 の左辺を因数分解して＝24 ……
（答）（ ω2＋ω＋1 ）＝0（ ω－1 ）（ⅳ） a3＋b3＝（ a＋b ）3－3ab（ a＋b ）ω2＋ω＋1＝0＝（ 2√ 7 ）3－3・2・2√ 7（∵ω≠1 ）

ω2＝56√ 7 －12√ 7＋ω＝－1 ……
（答）（ⅲ） ω1000＋ω500＋1＝44√ 7＝（ ω3 ）333・ω＋（ ω3 ）166・ω2＋1

より，（ⅲ）の結果と合わせて，＝ω＋ω2＋1（ a3＋b3 ）＝24・44√ 7（ a2＋b2 ）＝－1＋1となる。

＝0 ……
（答）

） a3＋b3 ）－a2b3 － a3b2
a5＋b5＝（ a2＋b2 （＝（ a ＋b ）（ a ＋b ）－a b（ a＋b ） （注）ω の共役複素数を ω と表す
22332 2＝24・44√ 7 －22・2√ 7＝1056√ 7 －8√ 7＝1048√ 7……
（答）

（ⅳ）

ω3（ ）

＝1 であるから，1ω

3＝1，（ ω2 ）3＝13や，両辺の共役な複素数をとって，＝1 も成（ω）

立する。3 次方程式 x3＝1 の解は高々 3 つしかなく，そのうちの 2 つは x＝1 と x＝ω である。

─ 2 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 22022/06/06 15:22

これらのことから，ω2＝ω＝注意する。与えられた式に x＝1

ω3a＋＋ω2bω

1であることに

ω1ω

問4（ⅰ） 3 人の手の出し方は 33 通りであり，勝者 A の手の出し方は 3 通りである。よって，を代入して求める確率は＋c＝031＝33 9……
（答）より（ⅱ） 勝者が 1 人となる確率は（ⅰ）

1＋aω＋bω2＋c＝0

11・3＝ であり，勝者が 2 人となる確率も同
93（ a－b ）ω＋1－b＋c＝0 ……①
ω は 虚 数 で あ り，a－b，1－b＋c はともに実数であるから，様にa－b＝0 1－b＋c＝01である。よって，求める確率は31－

これより，a＝b， c＝a－1
よって，与えられた方程式は次のように変形で

1 1 1－ ＝
3 3 3……
（答）（ⅲ） 次のように事象 E，F を定める。

E：2 回目のじゃんけんの勝者は A ただ 1 人，きる。

x3＋ax2＋ax＋a－1＝0

F：1 回目のじゃんけんの勝者が 2 人） x ＋x＋1 ）＝0a（ x ＋x＋1 ）＋（ x－1 （22

このとき，求めるのは PE（ F ）＝

（ x＋a－1 ）（ x ＋x＋1 ）＝02

P（E∩F ）でP（ E ）ある。1 回目であいこで，2 回目で A がただ 1

これより，求める実数解はx＝－a＋1 ……（答）人の勝者となる確率は

1 11である。ま・ ＝
3 9 27

た，1 回目のじゃんけんで B または C のいず【別解】
3

係数がすべて実数である 3 次方程式 x ＋ax2＋bx＋c＝0 が1ω＝ω2 を解にもつから，れか一方が負ける確率は回目のじゃんけんで勝者が 2 人であり，2 回目

ω2＝ω＝ω を解にもつ。

で A がただ 1 人の勝者となる確率は

C1・3
32・ 2＝33
327

よって解と係数の関係から

2α＋ω2＋ω＝－aα－1＝－aであるから

したがって
α＝－a＋1 ……
終わり）（答）（【別解】3 次方程式 a x3＋bx2＋cx＋d＝0

121＋＝27 27 9227以上のことから

2227＝
PE（ F ）＝
3
19の 3 つの解を α，β，γ とすると

αβγ＝－P（ E ）＝P（ E∩F ）＝（参考）3 次方程式の解と係数の関係

α＋β＋γ＝－C1・3であるから 1332bc，αβ＋βγ＋γα＝ ，aa……
（答）da─ 3 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 3

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第２問

問5（ⅰ）

y＝

y1＋y2＋y3
3【出題のねらい】＋＋（ x1＋a ）（ x2＋a ）（ x3＋2a ）＝3＝

x1＋x2＋x3 4a＋33＝x＋本的な知識を問う。
問1（ⅰ） 0＜ t ≦2 のとき，共通部分は図の直角4a3二等辺三角形である。

2a 4a＋33A＝2a ……
（答）

2＝（ⅱ）

2 次方程式，2 次関数の最大・最小などの基K

13＝ （x12＋x22＋x32－2ax1－2ax2＋2a2）＝｛sx2＋（ x ）2｝－（ ）2a・3x32＝sx2＋222a － a・3・ a33
3＝sx2－8 2a9B

F2

その面積 S は S＝tCℓG

1 2t である。これは t ＝02のときも成り立つから，0≦ t ≦2 のとき，

S＝1 2t ……（答）2（ⅱ） S＝1 より，

1 2t ＝1 となり， t 2＝2 を得2る。0≦ t ≦2 であるから， t ＝√ 2……
（答）

問22＜ t ＜4 のとき，共通部分は問の図の六角

よって，

A＝－42

122＋＋x32｝（x1－a）＝ ｛（x2－a）32a（ x1＋x2－a ）3HD

1222＋＋（y1－2a）（y2－2a）（y3－2a）
sy2＝ ｛｝3＝x2－E

8 2a ……（答）9形 AIFGJD である。このとき

BF＝BC－FC＝4－ t
GC＝FC－FG＝ t－2
BF：IF＝1：2 であるから
IF＝2BF＝8－2 t……
（答）

ア，

イ

三角形 JGC は直角二等辺三角形であるから

JG＝GC＝ t －2 ……
（答）

ウ

また，

S＝（四角形 ABCD ）－△IBF －△JGC─ 4 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 42022/06/06 15:22

1212） 8－2 t ）－ （ t － 2 ）2＝6－ （ 4－t （（（ 16－8t＋t2 ）－＝6－＝－）

問4（ⅰ） 2≦ t ≦4 のとき

1 2t －2t＋2
2

S＝－

3 2t ＋10t－12
2＝－

3
10t－
2
33 2t ＋10 t －122……
（答）エ，オ，｛カ14
3

1 2（ 0≦ t ≦2 ）t2
2
S＝ － 3 t－ 10 ＋ 14 （ 2≦ t ≦4 ）233

問3H）＋であるからこれは，t＝2，4 のときも成り立つ。

E（2A（）（ t－6 ）2（ 4≦ t ≦6 ）tの関数 S のグラフは次のようになる。

MSD（ 103 , 143 ）
ℓK

FBG4C

4≦ t ＜6 の と き， 辺 AB と， 線 分 HG の 交

2点を M とする。共通部分は図の三角形 MBGである。

O

BG＝FG－FB

246t＝FG－（ FC－BC ）（ⅱ） グラフより0≦ t ≦6 に お け る S の 最 大＝2－（ t－4 ）値は＝6－ tt＝

より，MG＝2BG＝12－2t であるから

1（ 12－2t ）S＝ （ 6－t ）21014のとき，33……
（答）

問5＝（ 6－t ）22≦ t ≦4 のとき，S＝これは，t＝6 のときも成り立つから，4≦ t ≦6のとき－S＝（ t－6 ） ……（答）2（または，S＝t2－12t＋36 ）

9
とおくと
23 2
9t ＋10t－12＝
223t2－20t＋33＝0（ 3t－11 ）＝0（ t－3 ）

t＝3，113

また，問 1 より 0≦ t ≦2 のとき S＝1 とおく と t ＝√ 2 ，4≦ t ≦6 の と き，S＝1 と おくと─ 5 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 52022/06/06 15:22

第３問（ t－6 ）2＝1

t－6＝±1
t＝5【出題のねらい】（∵4≦ t ≦6 ）求める t の値の範囲は√ 2 ≦ t ≦3，正弦定理などを用いて，線分の長さや，面積などを問う。一部に平面図形の性質を用いるも11≦ t ≦5 ……
（答）
3のも含む。

S

問1（ⅰ） BH＝x と お く と，HC＝5－x と な る。

S＝92

三角形 ABH で三平方の定理より

AH2＝42－x2 ……①
三角形 AHC で同様にして

AH2＝62－（ 5－x ）2 ……②①，②より

S＝ 102 2 3 11 4 5 6342－x2＝62－（ 5－x ）2t

16－x2＝36－（ 25－10x＋x2 ）5＝10xx＝12

よって，BH＝（ⅱ） x＝

12……
（答）

1を①に代入して2（ ）AH2＝42－AH＝

S＝

1 2 63＝243√ 72

1・BC・AH
2＝

13√ 7・5・22＝15√ 74……
（答）

【別解】
（ⅰ）
，（ⅱ）
三角形 ABC で余弦定理より

62＝42＋52－2・4・5・cos∠ABCcos∠ABC＝18

三角形 ABH で─ 6 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 62022/06/06 15:22

BH＝AB・cos∠ABC＝4・BU＝BT＝4－y

1 1＝8 2

CU＝CV＝6－y

また，∠ABC は鋭角であるからであるから

sin∠ABC＞0

BC＝BU＋CU
5＝（ 4－y ）＋（ 6－y ）よって，sin∠ABC＝√1－cos ∠ABC
2y＝（ ）

1 2 3√ 7＝
88A

3√ 7 15√ 71＝
S＝ ・4・5・8425 θ
2＝ 1－
したがって，……
（答）52（【別解】終わり）T
問２r
2（ⅰ） S＝ （ AB＋BC＋CA ）円の接線と半径の関係から AB⊥IT である。
このとき√7IT2＝tanθ＝5AT2√7＝……
（答）515√ 7 15r
＝42

√7……
（答）

2CB15√ 7 r＝ （ 4＋5＋6 ）42r＝

I72（ⅱ） 三角形 ABC の 3 辺 AB，BC，CA と内接円との接点をそれぞれ T，U，V とすると，また，三平方の定理から円外の 1 点から円に引いた 2 本の接線の接点

AI2＝AT2＋IT2までの長さは等しいから（ ）（ ）＝

AT＝AV，BU＝BT，CV＝CU

5 2√7 2＋＝822であるから，AI＝2√ 2

よって，y＝AT＝AV とおくと

cosθ＝Ayy＝VTIATAI
522√ 2＝5√ 28……
（答）

6−y4−yB

4−yU

6−yC

図より

─ 7 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 72022/06/06 15:22

問3AE △AHK＝EC △CHK
1AH・AK・sin α
2＝
1CH・CK・sin（ 180°－α ）2AH・AK……③＝
CH・CK（ⅰ） AI は∠BAC の二等分線であるから，問 ２のθを用いると∠BAC＝2θとなる。
ℓK
A

90°−θ

を得る。ここでCH＝BC－BH＝5－

1 9＝2 2また，

sinθ＝tanθ cosθBC

H＝√75・5√ 2 √ 14＝88であるから，三角形 CAK でさらに，∠CAK＝＝

AK＝CA・cos（ 90°－θ）

180°－∠BAC2＝6sinθ

180°－2θ
＝90°－θ
2＝6・三角形 CAK で＝

CK＝CA・sin（ 90°－θ）＝6cosθ
＝6・√ 1483√ 144

よって，③より5√ 2 15√ 2＝84……
（答）

より四角形 AHCK（ⅱ） ∠AHC＋∠AKC＝180°は円に内接する。

KℓA

3√ 7 3√ 14・AE
24＝
EC
9 15√ 2・24＝√ 7・√ 1415√ 2＝

715……
（答）

aE

B

180°− aHC

よって，∠KAH＝α とおくと∠KCH＝180°－α となるので，

─ 8 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 82022/06/06 15:22

第４問

問32α×k＝360°より｛（ ） ｝【出題のねらい】

2 1－

正多角形の内角の大きさを題材として，有理（ ）（ n） k

数を単位分数の和で表す形式で，不定方程式の180°× 1－整数解を問う。

1－問1（＊）よ り xy－3x－3y＝0 で あ る か ら， 両× ＝2

nk－2n－2k＝0（ y－3 ）＝9 ……
（ x－3 ）
（答）ア

（ n－2 ）
（ k－2 ）＝4n，k は 3 以上の整数であるからと変形できる。

x，y は正の整数であるから

n－2≧1，k－2≧1

x－3≧－2，y－3≧－2であることに注意して（2，2）（4，，（n－2，k－2）＝（1，4），1）であることに注意して 9 の約数を考えると（n，（4，（6，3）k）＝（3，6），
4），（3，（9，（x－3，y－3）＝（1，9），
3），1）
……
（答）

求めるのは（ 6，3 ）以外の組なので（イ，ウ）（，（カ，キ）エ，オ（n，（4，k）＝（3，6），
4） ……（答）），問4であるから求める整数の組（ x，y ）は3 つの正多角形の頂点が，すきまも重なりも（x，（6，（12，y）＝（4，12），6），4）

なく 1 点 O3 に集まっているとする。

……
（答）（ⅰ） O3 の周りの角の和を考えて（ク， ケ）（，（シ， ス）コ，

サ｛（） ｝ ｛（ ） ｝｛（ n ） ｝（ ℓ ）（ m ）（ n ））
，

2 1－

問2
∠AO1B＝360°であるからn（）（ n）｛（ n ） ｝

1－2より，（ⅱ）（ⅰ）

×90°
セ，＋ 1－211
1 1＋＋ ＝ℓ m n 22……
（答）

22°×90 ＝360°＋ 1－2＝2222＋＋ ＝1ℓ m n1
360°
180°－n2＝90°1－°°
22×90 ＋2 1－×90ℓ
m＋2 1－1α＝ （ 180°－∠AO1B ）2＝ 1－22×k＝360°n（ n－2 ）k＝2n

辺に x，y の係数の積 9 を加えて

＝2×90°×k＝360°
n……
（答）

1
1
1 1＋＋ ＝ℓ m n 2……①ℓ＝4 のときソ1
1 1＋ ＝m n 4

mn－4m－4n＝0（ m－4 ）
（ n－4 ）＝16

─ 9 ─914592̲福岡̲数学kk̲解答解説̲cc19.indd 92022/06/06 15:22

ℓ＝4≦m≦n よりℓ＝5≦m≦n より，5≦3m－10≦3n－10 で0≦m－4≦n－4あることに注意して（3m－10，（10，10）
3n－10）＝（5，20），であることに注意して（m，n）＝（5，10）＝（1，16）（2，，（4，（m－4，n－4）8），4）（m，（6，12），（8，n）＝（5，20），8）• ℓ＝6 のとき

……
（答）

1
1 1＋ ＝m n 3（ⅲ） 0＜ℓ≦m≦n より

mn－3m－3n＝0

1
11
≦≦
n m ℓ

（ m－3 ）
（ n－3 ）＝9ℓ＝6≦m≦n よ り，3≦m－3≦n－3 で あ る

1
11 1 1 1＋＋ ≦ ＋ ＋n m ℓℓℓℓ
1 3≦2 ℓ（∵m，nは整数）ことに注意して（ m－3，n－3 ）＝（ 3，3 ）（∵①より）（ m，n ）＝（ 6，6 ）∴ℓ≦6以上より，5＋3＋1＋1＝10 組……
（答）

すなわち，ℓ＝3，4，5，6• ℓ＝3 のとき，①に ℓ＝3 を代入して

1
1
1 1＋＋ ＝
3 m n 21
1 1＋ ＝m n 6
6n＋6m＝mn

mn－6m－6n＝0（ m－6 ）
（ n－6 ）＝363≦m≦n より，－3≦m－6≦n－6 であることに注意して（m－6，n－6）＝（1，（2，（3，36），18），12），（4，（6，9），6）（m，（8，（9，n）＝（7，42），24），18），（10，（12，15），12）
より，組の個数は 3 である。
• ℓ＝4 のとき，（ⅱ）• ℓ＝5 のとき

113＋ ＝m n 103mn－10m－10n＝0mn－（m－1010m－n＝033103）（n－）

10
100
＝
39（ 3m－10 ）（ 3n－10 ）＝100

─ 10 ─

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