無限周期構造による散乱波群の方向と数に関する検討*○藤本卓也（四元音響）
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はじめに無限に周期的な構造が平面波入射時に生じる散乱波は、波長と構造周期および入射角によって決まるいくつかの反射方向にのみ平面波伝搬する。
周期壁による音波散乱の程度は、散乱ビームの数、方向、強さにより左右される。それらは波動理論に基いた計算手法[1]により求められるが、散乱ビーム群の方向や数に関する直感的イメージは数式からは得にくい。そこで今回、遠方まで伝搬する散乱ビームの数と方向にだけ的を絞り、それらを方向ベクトルで図示して散乱イメージを把握するとともに、拡散入射を想定した際に各入射ビームが生じる散乱波数の期待値について、周期／波長との関係を整理した。

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散乱波の波数ベクトルx, y 方向にそれぞれ周期 Dx, Dy を持つ２次元周期構造に、波数 k の平面波がθ , φ 方向から入射する場合、散乱要素波の波数ベクトル
ks (α p, β q, γ p,q) は次式で表される[2]。

α p = k sin θ cos φ + 2π p Dxβ q = k sin θ sin φ + 2π q D y⎧ k 2 − (α 2 + β 2 )pq⎪γ p,q = ⎨⎪− j α p 2 + β q 2 − k 2⎩( p = 0, ± 1, ± 2,L)
(q = 0, ± 1, ± 2,L)(k ≥ α + β )(k < α + β )22pp22qq22

グレーは構造周期を示し、また入射ベクトルの xy 平面への正射影を水色で示した。図中右上の数値 n は伝搬モードとなる散乱波の数であり、鏡面反射を含む。Fig. 1から Dx /λを大きくすれば n が増える様子が確認される。
入射角θ による影響をFig. 2に示す。φ =0 ﾟの場合、散乱波数 n や散乱ベクトルの離散性は、θ の影響をあまり受けないことがわかる。
入射角θ を 75ﾟで固定し、φ を変化させた場合をFig. 3に示す。φ が 90ﾟに近づくにつれ入射波に対する構造の周期性が相対的に低下しn が少なくなる。この特徴はθ が大きいほど顕著であり、θ =φ ≈ 90ﾟでは鏡面反射以外の散乱成分が生じない。すなわち、１次元周期構造では、あらゆる入射角に対して散乱性を確保することは困難といえる。φ =90 ﾟのままθが小さくなると、再び散乱波が生じ始める（Fig. 4）。なお、Fig. 2～Fig. 4に見られる散乱ベクトル群は、φ =0ﾟの場合 x z 平面内で、φ >0ﾟでは y 軸を軸とする円錐状に広がる。
x,ｙ方向の周期が等しい２次元周期構造における入射角の影響をFig. 5に示す。散乱波数n や散乱ベクトルの離散性に入射角が与える影響は１次元周期構造と比較して小さいことがわかる。

4散乱ベクトル群の離散性

散乱イメージを真上から見たFig. 6では、散乱ベクトル群の先端が x 方向と y 方向でそれとして遠方まで伝わり、虚数の場合は減衰モぞれ等間隔な格子状に並ぶ。
ードとなる。なお、x 方向にのみ周期を持つ波数ベクトルの xy 平面上への正射影とし１次元周期構造の場合、y 方向波数は常に入て同様に表したものがFig. 7である。格子間隔
射波と同じ一定値 k sinθ sinφ をとる。
は、x 方向が 2π/Dx、y 方向が 2π/Dy であり、鏡面反射成分が格子点を通るように格子全体3 散乱波ベクトルのイメージの配置が決まる。散乱ベクトルは格子点のうx 方向に周期的な１次元周期構造による散ち、円 C（xy 平面上で中心は原点、半径は波乱ベクトル群が、Dx /λ（λ は波長）によって数 k）の内側にのみ存在する。円 C の外側に受ける影響をFig. 1に示す。入射角はθ =45 ﾟ,φ =0ﾟで固定した。各散乱イメージ図において、 ある格子点は、減衰モードとなり遠方へ伝搬しない散乱成分に対応する。
青は入射波、赤は鏡面反射波、オレンジは散ある格子線上に並ぶベクトル群は、３次元乱波群の方向ベクトルで、５波長分を示した。

γ p,q が実数の場合、散乱要素波は伝搬モード*

Study of directions and quantity of sound beams scattered by infinite periodic structure,by FUJIMOTO, Takuya (Yotsumoto Acousitic Design Inc.).

空間では原点を中心に円錐状に広がり、その格子線を含む鉛直平面と円 C との交点と、座標原点とを結ぶ線分が円錐の母線となる。
Fig. 8は１次元周期構造の場合であり、x 方向にのみ周期を持つ。散乱波群の y 方向波数は入射波のそれと全て一致する。

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拡散入射Fig. 9 (a)(b)はπ/2 空間からの拡散入射を想定した離散入射ビームが、周期壁により拡散する様子を示している。真上から見た場合、散乱波の波数ベクトル離散格子に応じた間隔で、鏡面反射成分（赤）が複写された形で散乱波群が現れる。2π 空間からの拡散入射を想定した(c)でも同様の模様が現れ、散乱方向に関して粗密が生じることがわかる（Fig. 10）。
拡散入射する各ビームが生じる散乱ビーム数 n の期待値の計算結果をFig. 11に示す（離散入射ビーム数は 656,574 で計算）。周期条件によって Dx /λ に対する n の増加傾向が大きく左右される一方、構造周期が半波長未満の場合は、常に鏡面反射だけが生じる。
参考文献[1] 例えば Fujimoto et al.,Appl. Acoust., 64,
525-532, 2003.
[2] 例えば 小口他，音響学会誌，59 巻（2），70-79，2003．

Fig. 1 Chages of scattering from 1D-diffuser with Dx/λ (incident angle:θ =45ﾟ, φ =0ﾟ).
Dx is period of wall (x-direction) and λ is wave length. －incident; －specularlyreflection; and －scattered beams (each vector length = 5λ)Fig. 2 Chages of scattering from 1D-diffuser with incident angle θ(φ =0ﾟ) .

Fig. 3 Chages of scattering from 1D-diffuser with incident angle φ(θ =75ﾟ) .

Fig. 4 Chages of scattering from 1D-diffuser with incident angle θ(φ =0ﾟ) .

Fig. 5 Chages of scattering from 2D-diffuser with incident angle.

(a) 1D (Dx/λ =1.27)(b) 2D(Dx/λ =1.27, Dx/λ =0.95)
zFig. 6 Example of orthogonal projection ofscattering vectors on xy-plane.

specularly
Reflection

x IncidenceyC：x 2 + y 2 = k 2xlegend(c) 1D (Dx/λ =1.27)
Fig. 9 Distribution map of incident and scattering
beams on diffuse incident from π/2 space(a, b) and 2π space(c).

2πDy2πDxFig. 7 Orthogonal projection of wavenumber
vectors on xy-plane.(2D-diffuser).

Fig. 10 Side view of Fig. 9(c) except incident andspecularly reflection beams.

1000

C：x 2 + y 2 = k 2xExpectation of ny

1D
2D(Dy=Dx/8)
2D(Dy=Dx/4)
2D(Dy=Dx/2)
2D(Dy=Dx)

100

1012π
Dx

Fig. 8 Orthogonal projection of wavenumber
vectors on xy-plane.(1D-diffuser).

0.1

1Dx/λ

Fig. 11 Expectation of number of scattering
beams arise from each incident beamin the diffuse field.

10

【訂正】
Fig. 10 を以下の通り訂正いたします。
（発表会場にて訂正した図）

Fig.10' Side view of Fig. 9(c) except incident andspecularly reflection beams.
(revised)