- 内なる他者との対話 松岡勝男先生の御退職を祝して数楽落語『崇徳院』

瀬をはやみ 岩にせかるる 滝川の割れても末に逢わんとぞ思ふ
崇徳院−内なる他者との対話−

藤井正俊

松岡勝男先生の御退職を祝して(大阪教育大学 名誉教授)
瀬をはやみ岩にせかるる

滝川の割れても末に逢わんとぞ思ふ

崇徳院, 数学の世界
最近, スポーツの世界では『楽しむ』ことが殊の外強調されているようであるがもこれに倣い, 『数楽』という造語を創ってみては如何でしょうか．しかし, これはそんなに創大阪教育大学

名誉教授

藤

井

正

俊

的なものではなく, 音楽は始めから『楽しむもの』であったはずである．音楽が始めは『音学』あったというようなことは聞いたことがありません．

最近，スポーツの世界では『楽しむ』ことが殊の外強調されているようであるが，数学の世界でもこ, 「数学は実験科目」．要するに, 数学は適宜目標を設定しさて, 昔からよく言われていたのはれに倣い，『数楽』という造語を創ってみては如何でしょうか．しかし，これはそんなに創造的なものではなく，音楽は始めから『楽しむもの』であったはずである．音楽が始めは『音学』であったという, ケーキの分割の問題を通して『数楽』に迫ってみたい
試行錯誤する学問である．この小論ではようなことは聞いたことがありません．
さて，昔からよく言われていたのは，「数学は実験科目」．要するに，数学は適宜目標を設定して試行

Part I 『崇徳院』
錯誤する学問である．この小論では，ケーキの分割の問題を通して『数楽』に迫ってみたい．

Part I 『崇徳院』問題. 下の図のようなケーキがある．中の小さい部分にはチョコレートが塗られている．こをナイフでまっすぐに切って, ケーキ自体もチョコレートの部分も２等分したい．どのように切問題．下の図のようなケーキがある．中の小さい部分にはチョコレートが塗られている．これをナイばよいか．
フでまっすぐに切って，ケーキ自体もチョコレートの部分も２等分したい．どのように切ればよいか．

ある商家の出入りの職人・熊五郎が主人公である．一仕事済ませて，一服している熊五郎

落語版―にご隠居が，

落語版 ―ある商家の出入りの職人・熊五郎が主人公である．一仕事済ませて, 一服してい熊五郎にご隠居が,− 49 −

『ところで, 家に孫が２人おってなあ．ケーキが大好きなんじゃ．四角いケーキを買ってきてけてやろうと思うのだが, ちょっと困ってるんだ．上は大きい方を欲しがるだろうが, 下も負け
研究紀要

第 98 号はいない．結局均等に分けてやらにゃ収まらない．

『ところで，家に孫が２人おってなあ．ケーキが大好きなんじゃ．四角いケーキを買ってきて分けて, 奇麗にパサッとまっすぐに切り分けてやらねばならない．さて, どのように切れば孫の手前やろうと思うのだが，ちょっと困ってるんだ．上は大きい方を欲しがるだろうが，下も負けてはいない．

いやら？』

結局均等に分けてやらにゃ収まらない．
孫の手前，奇麗にパサッとまっすぐに切り分けてやらねばならない．さて，どのように切ればよいや

熊さん, 『どんな形のケーキなんです？』ご隠居, 一通り説明した後, 『チョコが乗っているのら？』厄介なんだよ』『それだったら, そこを私が頂きましょうか？』と熊さん．結局, 『家に帰って,熊さん，『どんな形のケーキなんです？』ご隠居，一通り説明した後，『チョコが乗っているのが厄介

かあに聞いてみます』ということで, 家に帰ってきた．この問題がきちっと片付いたら, 家にもなんだよ』『それだったら，そこを私が頂きましょうか？』と熊さん．結局，『家に帰って，かかあに聞, カミさんは乗り気になった．
じケーキを買ってやると隠居が言ってるというのを聞くといてみます』ということで，家に帰ってきた．この問題がきちっと片付いたら，家にも同じケーキを買っ 『すぐてやると隠居が言ってるというのを聞くと，カミさんは乗り気になった．
『すぐに，という訳にはいかという訳にはいかないだろうから, 簡単な場合からやってみたらどう？』『簡単な場合というと？
ないだろうから，簡単な場合からやってみたらどう？』『簡単な場合というと？』, 長方形１つだけだとしたら．
』『中のチョコの細工がない場合『中のチョコの細工がない場合，長方形１つだけだとしたら．
』

ヒント（単純化）中の小さい方は考えない．長方形１つだけの場合をまず考える．
(単純化) 中の小さい方は考えない．長方形１つだけの場合をまず考える．
ヒント

簡単な場合だが，出来たような気になったので，熊さんそそくさと戻ってきた：

簡単な場合だが, 出来たような気になったので, 熊さんそそくさと戻ってきた：『ご隠居，均等に分けるの面白いですね．いっぱい有りますよ．
』, 均等に分けるの面白いですね．いっぱい有りますよ．
』『ご隠居『どの位ある？』『いっぱいですよ．
』『そうじゃなくて，それらをまとめて，一括りでこんな直線って言えないかい？』『どの位ある？』『いっぱいですよ．
』『ううーん！それじゃ，真ん中を通ってる，というのはどうです？』, それらをまとめて, 一括りでこんな直線って言えないかい？』『そうじゃなくて『うん！ ・・・ だがなあ，後でややこしくなるといけないので聞くが，「真ん中」てのは正確にはどこなんだい？』『ううーん！それじゃ, 真ん中を通ってる, というのはどうです？』『「真ん中」てのは，顔で言えば鼻，体全体で言えばお臍に当たるところです．
』

『うん！

・
・
・

だがなあ, 後でややこしくなるといけないので聞くが, 「真ん中」てのは正『それじゃ，長四角ではどこなんだい？』にはどこなんだい？』
熊さん，懐から紙を取り出して，それを折り始めた．そして，『ここですよ』と言って，その折り目を指差した．

』『「真ん中」てのは, 顔で言えば鼻, 体全体で言えばお臍に当たるところです．
ヒントの解答

長方形の重心（対角線の交点）を通る直線によって分けられた２つの部分の面積『それじゃ, 長四角ではどこなんだい？』
は等しくなる．（また，長方形の面積を二等分する直線は必ず重心を通る．
）

熊さん, 懐から紙を取り出して, それを折り始めた．そして, 『ここですよ』と言って, その折− 50 −

目を指差した．

美しい娘が店に入って来る．娘を見た若旦那は, 娘に一目ぼれをしてしまう．娘は茶店を出るために立ちがる際, 膝にかけていた茶帛紗を落とし, 気づかず歩き出してしまう．若旦那が急いで拾い, 追いかけて届
ると, 娘は料紙（あるいは短冊）に
松岡勝男先生の御退職を祝して（藤井）「瀬をはやみ 岩にせかるる 滝川の」
ここで，落語『崇徳院』の前半の概要を記しておきたいと思う：と, 歌の上の句だけ書いて若旦那に手渡し, 去って行く．若旦那は, 歌の下の句「われても末に あはむと
20 日ほど前，若旦那が「高津さん」へ参詣し，茶店で休んでいると，「歳は十七八の，水のたれるよ

うな」美しい娘が店に入って来る．娘を見た若旦那は，娘に一目ぼれをしてしまう．娘は茶店を出るた, 娘の「今日のところはお別れいたしますが, いずれのちにお目にかかれますよう思ふ」を思い出してめに立ち上がる際，膝にかけていた茶帛紗を落とし，気づかず歩き出してしまう．若旦那が急いで拾い，という意志を読み取ったが, 娘がどこの誰なのかわからないので, 会うことがかなわずに困っている．熊追いかけて届けると，娘は料紙（あるいは短冊）に, 親旦那に報告する．親旦那は「3 日間の期限を与えるから, その娘を何としても捜し出郎はこの事情を「瀬をはやみ岩にせかるる滝川の」と，歌の上の句だけ書いて若旦那に手渡し，去って行く．若旦那は，歌の下の句「われても末にあはむ
5 軒ゆずり渡し, 借金を帳消しにして, それと別に礼金を支払うから」と熊五郎に褒美に蔵付きの借家をとぞ思ふ」を思い出して，娘の「今日のところはお別れいたしますが，いずれのちにお目にかかれます

願する．

ように」という意志を読み取ったが，娘がどこの誰なのかわからないので，会うことがかなわずに困っている．熊五郎はこの事情を，親旦那に報告する．親旦那は「３日間の期限を与えるから，その娘を何
さて, こちらの熊さん, 孫の誕生日までの３日間, ふらふらになりながら考え続けた．譫言のとしても捜し出せ．褒美に蔵付きの借家を５軒ゆずり渡し，借金を帳消しにして，それと別に礼金を支「重心と重心」と口をついて出た
うに, 「重心, 重心」と言い続けていたが, それが功を奏した．
払うから」と熊五郎に懇願する．

こちらの熊さん，孫の誕生日までの３日間，ふらふらになりながら考え続けた．譫言のように，「重, カミさんが気付き, それに誘われるように熊さんも気が付いた．二人で「重心と重心を」葉にさて，心，重心」と言い続けていたが，それが功を奏した．
「重心と重心」と口をついて出た言葉に，カミさん

言って, 抱き合った．

が気付き，それに誘われるように熊さんも気が付いた．二人で「重心と重心を」と言って，抱き合った．

を, それぞれ小さい長方形と大きい長方形の重心（対角線の交点）とする．
問題の解答
問題の解答 H,
， Gを，それぞれ小さい長方形と大きい長方形の重心（対角線の交点）とする．
，
を結ぶ直線が求める解答である．
G を結ぶ直線が求める解答である．

×
G
×
H

落語の方では, 娘の方でも人を出して若旦那を探していたが, ある床屋で, お互いの探し人が見付かっ落語の方では，娘の方でも人を出して若旦那を探していたが，ある床屋で，お互いの探し人が見付かった．めでたい筈がつかみ合いになる．はずみで床屋の鏡が床に落ちて割れてしまい，店主が「折角お互, 店主が「折角お互いの探めでたい筈がつかみ合いになる．はずみで床屋の鏡が床に落ちて割れてしまい
いの探し人が見付かったというのに，この損をどうしてくれる」と怒る．熊五郎曰く，「割れても末（＝人が見付かったというのに, この損をどうしてくれる」と怒る．熊五郎曰く, 「割れても末（＝月末）に月末）に買わんとぞ思う」

わんとぞ思う」
こちらの落ちは，「割れても末に合わんとぞ思う」．

こちらの落ちは, 「割れても末に 合わんとぞ思う」．
Part II 『３年目』

それから少しして，ご隠居は３人目の孫を授かりました．ケーキの２等分の話から３年目，３人目の3− 51 −

それから少しして, ご隠居は３人目の孫を授かりました．ケーキの２等分の話から３年目, ３人）それはさておき, ケーキの分配で, 同じ問題
（これで, 何とか 『３年目』との繋ぎが付くかと．
目の孫の３歳の誕生日が近づいてきました．昔の話なので, 数えの３歳なので, 今日的には２歳の生じました．実は, その子も上の２人に負けずよく食べるんです．だから最近は何でも３等分し誕生日です．落語的には, 熊さんは「孫さんの３回忌」というようなボケを挿むのかもしれません
研究紀要 第 98 号
, 当然その３等分というけりゃならない訳です．ケーキを買ってお祝いするのは結構なことだが）それはさておき, ケーキの分配で, 同じ問題が（これで, 何とか 『３年目』との繋ぎが付くかと．
題にぶつかるのだが, これをどうするかが分からず, ご隠居は大変な困りようです．３等分は,孫の３歳の誕生日が近づいてきました．昔の話なので，数えの３歳なので，今日的には２歳の誕生日で, その子も上の２人に負けずよく食べるんです．だから最近は何でも３等分しな生じました．実は, 『崇徳院』的には,等分のような訳にはいきません．こちらの落ちはす．落語的には，熊さんは「孫さんの３回忌」というようなボケを挿むのかもしれません．
（これで，けりゃならない訳です．ケーキを買ってお祝いするのは結構なことだが, 当然その３等分という問何とか『３年目』との繋ぎが付くかと．
）それはさておき，ケーキの分配で，同じ問題が生じました．
「われても末に食わんとぞ思ふ」, これをどうするかが分からず, ご隠居は大変な困りようです．３等分は, ２
題にぶつかるのだが実は，その子も上の２人に負けずよく食べるんです．だから最近は何でも３等分しなけりゃならない訳, うまく３等分できて, ３人でうまいうまいと言って食べてしまった, 万事目出度しといつまりです．ケーキを買ってお祝いするのは結構なことだが，当然その３等分という問題にぶつかるのだが，, 『崇徳院』的には,等分のような訳にはいきません．こちらの落ちはこれをどうするかが分からず，ご隠居は大変な困りようです．３等分は，２等分のような訳にはいきま結末になります．
「われても末に食わんとぞ思ふ」
せん．こちらの落ちは，『崇徳院』的には，３歳の誕生日を前にして, ご隠居は注文するケーキの品定めに出かけた．そこで目に留まっ
うまく３等分できて, ３人でうまいうまいと言って食べてしまった, 万事目出度しという
つまり, 「われても末に食わんとぞ思ふ」
× 印が描かれていた：ケーキには菱形を形成する４つのつまり，うまく３等分できて，３人でうまいうまいと言って食べてしまった，万事目出度しという結末結末になります．
になります．

, ご隠居は注文するケーキの品定めに出かけた．そこで目に留まった
３歳の誕生日を前にして３歳の誕生日を前にして，ご隠居は注文するケーキの品定めに出かけた．そこで目に留まったケーキには菱形を形成する４つの× 印が描かれていた： ×× 印が描かれていた：ケーキには菱形を形成する４つの
×

×

×
×
×

×
×

さて, ２年前と同様, ご隠 居は熊さんにこの問題を持ちかけた．今度はフルーツケーキなの

普通に３等分の問題である．熊さんは考えた．状況は複雑になっているが, それでも, ２等分のさて，２年前と同様，ご隠居は熊さんにこの問題を持ちかけた．今度はフルーツケーキなので，普通に使った技術は使えるかもしれない．
さて, ２年前と同様, ご隠 居は熊さんにこの問題を持ちかけた．今度はフルーツケーキなのでに３等分の問題である．熊さんは考えた．状況は複雑になっているが，それでも，２等分の時に使った
Step 1. ２等分のときの長方形の重心の位置（の意味）を見直すことから始めよう．正確に普通に３等分の問題である．熊さんは考えた．状況は複雑になっているが, それでも, ２等分の時技術は使えるかもしれない．
もっと戻って, 長方形の紙を２つに折って, 長方形の面積を２等分することをもう一度やってみ
Step 1．２等分のときの長方形の重心の位置（の意味）を見直すことから始めよう．正確には，もっに使った技術は使えるかもしれない．
, と．
うと戻って，長方形の紙を２つに折って，長方形の面積を２等分することをもう一度やってみよう，と．
Step 1. ２等分のときの長方形の重心の位置（の意味）を見直すことから始めよう．正確にはもっと戻って, 長方形の紙を２つに折って, 長方形の面積を２等分することをもう一度やってみよ
う, と．
×
G

×
G

この図の中で，重心の位置をどう捉えるかであるが，今描いた面積を２等分する（辺に平行な）4− 52 −

4この図の中で, 重心 G の位置をどう捉えるかであるが, 今描いた面積を２等分する (辺に平行な, と見ることが要点である．従って, Step
1 での成果は, 次の図の点(辺に平行なT1 が３等分
線分の中点である
この図の中で, 重心
G の位置をどう捉えるかであるが, 今描いた面積を２等分する
松岡勝男先生の御退職を祝して（藤井）この図の中で, 重心 G の位置をどう捉えるかであるが, 今描いた面積を２等分する (辺に平行なの基本との認識である．
, と見ることが要点である．従って, Step 1 での成果は, 次の図の点 T1 が３等分
線分の中点である, と見ることが要点である．従って,1 Step
1 での成果は, 次の図の点T が３等分
線分の中点である
線分の中点である，と見ることが要点である．従って，Stepでの成果は，次の図の点
1 が３等分の 1の基本との認識である．
基本との認識である．
の基本との認識である．
×
T1
×
T×1
T1

T1 が３等分の基本という意味は, T1 を通る直線は与えられた長方形の面積を 1 : 2 に分けるということである．
T1 が３等分の基本という意味は, T1 を通る直線は与えられた長方形の面積を1 : 2 に分けるとい
1：2 に分けるという
1 が３等分の基本という意味は， 1 を通る直線は与えられた長方形の面積をT1 が３等分の基本という意味は, T1 を通る直線は与えられた長方形の面積を 1 : 2 に分けるといことである．
うことである．
うことである．
×
T1
×
×T1
T1

Step 2.

２等分と３等分の決定的な違いに気付けるか！Step 1 では, 面積を２等分してから

Step 2．２等分と３等分の決定的な違いに気付けるか！ Step 1 では，面積を２等分してから，（その（その線分上に）３等分点を取った．この操作の順番を入れ替えても正解, つまり, 面積を３等分
Step 2. ２等分と３等分の決定的な違いに気付けるか！Step 1 では, 面積を２等分してから線分上に）３等分点を取った．この操作の順番を入れ替えても正解，
つまり，
Step
2. ２等分と３等分の決定的な違いに気付けるか！
Step面積を３等分してから（そ1 では, 面積を２等分してからT2 も T1 と同様に基本となる点である．
T2 を通る直線も与えられたしてから（その線分の）中点（その線分上に）３等分点を取った．この操作の順番を入れ替えても正解, つまり, 面積を３等分の線分の）中点 2 も 1 と同様に基本となる点である．
1：
2 を通る直線も与えられた長方形の面積を（その線分上に）３等分点を取った．この操作の順番を入れ替えても正解, つまり, 面積を３等分2 に分ける．
1 : 2 に分ける．
長方形の面積をT2 も T1 と同様に基本となる点である．T2 を通る直線も与えられたしてから（その線分の）中点してから（その線分の）中点 T2 も T1 と同様に基本となる点である．T2 を通る直線も与えられた長方形の面積を 1 : 2 に分ける．
長方形の面積を 1 : 2 に分ける．

T2
×
T2
T×2
×

この段階で得られた結果を定理としてまとめておこう：

この段階で得られた結果を定理としてまとめておこう：
この段階で得られた結果を定理としてまとめておこう：. 長方形 ABCD において, 上図のように
AB よりに T1 , BC よりに T2 を取る．
定理１
この段階で得られた結果を定理としてまとめておこう：− 53 −(1)定理１
T1 を通り, AD ABCDおよび においてBC と交わる直線は長方形
1 : 2 に分ける．
. 長方形, 上図のように ABABCD
よりに の面積をT1 , BC よりに
T2 を取る．
定理１. 長方形 ABCD において, 上図のように AB よりに T1 , BC よりに T2 を取る．

研究紀要

定理１．長方形第 98 号において，上図のように

よりに

1

，

よりに

2

を取る．

（1）

1

を通り，

および

と交わる直線は長方形の面積を 1：2 に分ける．

（2）

2

を通り，

および

と交わる直線は長方形の面積を 1：2 に分ける．

StepStep
3.Step
Step
1,3．Step
2 Stepと同様にT3 , Tを取ることができ, 定理１と同じ結果が得られる．なお, T3 , , T ,3，
3.
1,
2, と同様に，と同様にT3を取ることができ, 定理１と同じ結果が得られる．なお,T
3, T
4 を取ることができ
Step
1，2
，
3.
Step
と同様に
定理１と同じ結果が得られる．なお
4 を取ることができ，定理１と同じ結果が得られる．なお，
Step
3.
Step
1,1,221,と同様に,,T4T33,,,TTT43,4,を取ることができ,,定理１と同じ結果が得られる．なお, T33,, T3 ,
Step
3.
Step
2 と同様にT, 定理１と同じ結果が得られる．なお
4 を取ることができStep
3., 縦に２等分線を引き
Step 1, 2 と同様に,, Tそれを３等分してもよいことに注意しておきたい．
3 , T4 を取ることができ, 定理１と同じ結果が得られる．なお, T3 ,4 の取り方として，縦に２等分線を引き，それを３等分してもよいことに注意しておきたい．
4 の取り方として, 縦に２等分線を引き, それを３等分してもよいことに注意しておきたい．
Tの取り方として
縦に２等分線を引きそれを３等分してもよいことに注意しておきたい．
,, 縦に２等分線を引き,, それを３等分してもよいことに注意しておきたい．
TT44 の取り方として
T44 の取り方としての取り方として, 縦に２等分線を引き, それを３等分してもよいことに注意しておきたい．
T4 の取り方として, 縦に２等分線を引き, それを３等分してもよいことに注意しておきたい．
× T4

×
T1

××TT4 4 × T4 × T
4
×
×T
××
× T3 × ×× 4 ×
TT1 1 T1
TT3 3 T3
× T2
××TTT21××
T 2 × T2
T
1

× T2

×
T3

× T23

1
11 1
StepStep
4. T4.
, T,3T, T,4Tを通らない直線であっても, の面積を切り取ることはできる．あとの1 , T2T,
Tを通らない直線であっても
1
2
3
4
Step
4.
T
,
T
,
T
,
T
を通らない直線であってもStep 4.1 T21 , T32 , T43 , T4 を通らない直線であっても,の面積を切り取ることはできる．あとの3 ,, 3 の面積を切り取ることはできる．あとの11の面積を切り取ることはできる．あとの3
Step
4．TT111，を通らない直線であっても，,3 の面積を切り取ることはできる．あとの計
Step
TT33,,3T，の面積を切り取ることはできる．あとの
Step
4.4.
,, T22,，
T44 を通らない直線であっても, の面積を切り取ることはできる．あとの4を通らない直線であっても,次の補題を用意する．
計算のために,次の補題を用意する．
計算のために3
3, 次の補題を用意する．
計算のために, 次の補題を用意する．
計算のために,次の補題を用意する．
計算のために, 次の補題を用意する．
計算のために算のために，次の補題を用意する．
x 軸とx0 でx, y で軸とy0 で交わる直線の方程式は
補題２．
軸と
y 軸と
で交わる直線の方程式は
補題２．
xx軸と
x00 で
yy00 で交わる直線の方程式は
補題２．
x 軸と
x0,, yで,軸とy 軸とy0 で交わる直線の方程式は補題２．
補題２．x 軸と x0 で, y 軸と y0 で交わる直線の方程式は
x 軸とで, y軸と軸とy0 で交わる直線の方程式は補題２．
y0 で交わる直線の方程式は補題２．x
軸と xx00で，y
x0 y +xyy0 x+=y xx0 y=0 x y
0x y
0y x
0 y
x00y x+0 y 0+= xx =
x y + 0y x0 =0 x0y 0
x00y + y00 x = x0 00y0
x0 y + y0 x = x0 y0 , 1 x0 y101 である．
1 である．
で表せる．従って, x 軸とy 軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積はで表せる．従って
y 軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積は軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積はで表せる．従って，x軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積は，0である．
で表せる．従って,, xx 軸とy軸とである．
で表せる．従って,軸とx 軸とyy 軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積はy である．
2 ,, 2xx,00yy01x
2 2 0 0で表せる．従って, x 軸と y 軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積は, x0 y0 である．
1 1 11
2
1, 長方形の面積をS, xとすると, 軸とこの直線で囲まれた直角三角形の面積は
下図の直角三角形
Q0 BPQ0Q0BPの面積が長方形の面積
SSの
ここでSyとすると，下図の直角三角形
BP0 の面積が長方形の面積
ここで，長方形の面積をの0Sとなるで表せる．従って
軸と
,
x
である．
,
長方形の面積をSとすると,下図の直角三角形の面積が長方形の面積のここで0 の面積が長方形の面積, 長方形の面積をS とすると, 下図の直角三角形
Q00BP
Sy30の
ここで
, 長方形の面積をS とすると, 下図の直角三角形
Q00BP
S の
ここで
0 の面積が長方形の面積
233 31
1 , 長方形の面積をS とすると, 下図の直角三角形 Q0,BP
ここで11 x10 y101 と書き換えられる．これを少し変形すると0 の面積が長方形の面積 S の
1
1S=となることは,次が得られる：3
ことは，と書き換えられる．これを少し変形すると，次が得られる：となることはと書き換えられる．これを少し変形すると
次が得られる：0 と書き換えられる．これを少し変形すると
xx00yy0x
S2S, ==S =となることは,, 次が得られる：となることはy と書き換えられる．これを少し変形すると, 次が得られる：
3 ,,,長方形の面積を
ここで33 3 122 2 1 0 0 S とすると, 下図の直角三角形 Q0 BP0 の面積が長方形の面積 S のとなることは, S = x0 y0 と書き換えられる．これを少し変形すると, 次が得られる：
1x 0 y021
13
S =11 S 1= x.x00yy0x00. y0となることは, S = x0 y0 と書き換えられる．これを少し変形すると, 次が得られる：
S2=2S = . .
6
2
3
66 6 1 22 222x02y0
.
S=
A
D
2 2
6
AA
DD
A

Q0 (0, y0 )y0 )0 )(0, y )0 (0,yQ
QQ0 (0,00AQ0 (0, y0 ) A

Q0 (0, y0 )
B

BB

B
B

1
x 0 y0
.
S=
2 2
6

D

D

D

x 0 y0) x 0 y0
× M0 ( 2 , M
2 0 (x0 , ,y0()x)0 , y0 )×× M0 (×22M
202 2 2x 0 y0
× M0 ( 2 , 2 )CP0 (x0 , 0) x0 y0 CC,, 0)(x) , 0) C0((xPP00(x
0 ,00)
M
P
0 0

×

2

2

P0 (x0 , 0)C

− 54 −
Step Step
4 で得られたことは次のようにまとめられる：で得られたことは次のようにまとめられる：
StepStep
44 で得られたことは次のようにまとめられる：
4 で得られたことは次のようにまとめられる：B
C
P0 (x0 , 0)
Step 4 で得られたことは次のようにまとめられる：, Q(0,
q)
がq)AB
上を
A から
B に,BPに(p, 0)
が0)
BC
上を
C から
B にB に
補題３．
上図と同様に
Q(0,
が
ABAB
上を
から
が
BC
上を
から
補題３．
上図と同様に,, Q(0,
q) が
上を
AA から
B にB,, に
PP(p,
上を
CC から
B にB に
補題３．
上図と同様に, Q(0,
q) AB
が
上を
A から
,(p,
P0)
(p,が
0)BC
が BC
上を
C から
補題３．
上図と同様に

x0x0y0xy00 y0
M( ,0 (, ) ,) )
0(0M
× ×M×
2 2 2 22 2

BB B
松岡勝男先生の御退職を祝して（藤井）CC C, 00),(x0)0 , 0)
P0P(x
0 (x
0P

Step 4 で得られたことは次のようにまとめられる：

Step
Step
Step
44で得られたことは次のようにまとめられる：
4で得られたことは次のようにまとめられる：で得られたことは次のようにまとめられる：AB
AからBBに，P（p，0）
BC
CCか
BB
補
題 ３．上図と同様に上上図と同様に図 と 同 様 に，Q（0，q）
が
上上を
をAA
らB
がBC
上
を
らから
に
Q(0,
AB
上を
から
,PP
(p,
BC
上を
Bに
補題３．
上図と同様に, ,Q(0,, Q(0,
q)q)q)
ががが
AB
AB
上を
Aか
から
に
Bに, に
,(p,
P (p,
0)0)0)
がが
が
BC
上を
上を
C
から
Cから
Bにに
補題３．
補題３．
)
(
)
)
(
(
11 1
11 1 11 1
pp qpq qを満たして動くとき
の中点
は
,xy
xy
から
T
TT
を満たして動くとき，PQの中点は，のグラフ上をま
Sのグラフ上を
SS=S= =pqpqpqを満たして動くときを満たして動くとき, ,PP,QQ
Pの中点
Qの中点
MMM , , , は,は, xy== =SSのグラフ上をのグラフ上を
TT
から
まま
1T
11 から
2 T
1 から
2 2T
2 ま
2
2
3
2
66 6
3 3 2 2
2 22 2で移動する．
で移動する．
で移動する．
で移動する．
A

D

A
Q(0,Aq)D

Q(0, q)Q(0, q)A

A
Q(0, q)

T1
T1 ×
T1
×
×

Q(0, q)

T1
×

B
B

B
B

T1
×

× T2

D

D

D

66 ×6 T2

× T 2 T2
×× T2

CP (p, 0)P (p, 0)P (p, 0)C
CC

P (p,C0)B
P (p, 0)
さて, 与えられた長方形 ABCDの縦, 横の長さをそれぞれ
a, b > 0 とするとき, 補題３を xy 座
さて,与えられた長方形
ABCDの縦,横の長さをそれぞれa,b0とするとき，補題３をとするとき, 補題３を座座
ABCD の縦a，b a,
xy 座標xyxy
さて，与えられた長方形の縦，横の長さをそれぞれ>>さて, 与えられた長方形
ABCD, 横の長さをそれぞれ
b0 >0 とするとき, 補題３を標を使って表すと次のようになる：
さて,与えられた長方形
ABCDの縦,横の長さをそれぞれ
a,
b
>
0
とするとき
,
補題３を
xy
座
さて, 与えられた長方形
ABCD の縦, 横の長さをそれぞれ a, b > 0 とするとき, 補題３を xy 座
を使って表すと次のようになる：
標を使って表すと次のようになる：
標を使って表すと次のようになる：
標を使って表すと次のようになる：
A(0, A(0，b)，B(0，0)，C(a，0)，D(a，b)b), B(0, 0), C(a, 0), D(a, b) とするとき, 基本の４点は,頂点を頂点をとするとき，基本の４点は，標を使って表すと次のようになる：
A(0,
b),
B(0,
0),
C(a,
0),
D(a,
b)
とするとき
,
基本の４点は頂点をb), B(0,0), C(a,
0),
b)
とするとき
, 基本の４点は頂点を A(0,
(D(a,
)D(a,
)基本の４点は) ,, (,
)
0),b)
D(a,
b)(とするとき,(
基本の４点はA(0, b),A(0,B(0,b),0),B(0,C(a,0),0),C(a,とするとき,,頂点を頂点を
b
b
b
2b
a
a
2a
a
(
)) , (
(
, ))
,)
,) )
T ((b ),(T2)
T(3)
T ( 2b)
) ,(
( b)
( b,)
a(
2a
( 1a)
(
(
(b2
)a4a 2b
3
2
2
3
3
2
a
b
a
b
2a
a
b
a
b
a
b
2a
,a T2b
T1a b ,, Ta2 Tb2 , ,, , 2a
T3 b ,, 2b3
4
T1 T,1T31 32,3, ,T222 ,, ,T
2 ,223T333 , , T,T3 3 33, 3,T224, 2 , ,T,4 T422, 233, 3
3 2
3 2
2 3
2 3
となることに注意すると，次の定理の成立がわかる：となることに注意すると, 次の定理の成立がわかる：となることに注意すると, 次の定理の成立がわかる：となることに注意すると, 次の定理の成立がわかる：となることに注意すると, 次の定理の成立がわかる：となることに注意すると, 次の定理の成立がわかる：
1
定理４． 反比例の関数 xy 1= 1 ab ( a3 ≤ x ≤ a2 ; 3b ≤ y ≤ 2b ) の接線によって長方形 ABCD から
1xy =a16 aba ( aa ≤a xb ≤a aab; b b≤b y ≤ bb ) bの接線によって長方形の接線によって長方形
ABCD
からから
定理４．
反比例の関数ABCD定理４．反比例の関数から切り=ab (abx2 ;≤; 3≤y) の接線によって長方形≤) の接線によって長方形
ABCD
定理４．
反比例の関数xy xy= xy≤( x ≤
≤
ABCD
から
定理４．
反比例の関数
3 ≤
x3 ≤
≤
;3≤
≤
y≤
ABCD
から
定理４．
反比例の関数
2 2y2
221 2 ) の接線によって長方形
3 6ab3 ( 332
6 =
切り取られる三角形の面積はになる．同様のことが,,6 長方形ABCD の面積の61113
切り取られる三角形の面積は
, 長方形
ABCD
の面積の
, ,
1になる．同様のことがABCD
取られる三角形の面積は，長方形の面積のになる．同様のことが，切り取られる三角形の面積は
, 長方形
ABCD
の面積の
になる．同様のことが,切り取られる三角形の面積は
, 長方形
ABCD
の面積の
になる．同様のことが3切り取られる三角形の面積は
, 長方形
ABCD
の面積の
になる．同様のことが
,
3
3 3
(
)
(
)
a
2 b b) b )b
(1
2 a;
(a
− x)y
=1aabab( a(a ≤2 ≤
xb 2≤
1x)y=
(a
−
x
≤
a;
≤ y b≤ b2)
b ≤bb3y ≤
1
(a −
= ab
16 ≤ x ≤a2 xa;≤ 3≤a;2y3 ≤
6
2
3
2
ab
≤
≤
y
(ax)y
−
x)y
=
6 = 2ab (( 3≤ x3≤ a; 2 ≤ ≤(a − x)y6(161 2a2a32 32 b3 3b ) y2≤
2)22 )
(
)
1
a
2
b
2
(a
−y)
y)=1= abab
≤
x 2≤
a;
(a−
−
x)(b
≤ a;
x≤
≤ y 2b≤ b)(a − x)(b
−x)(b
y) =−
ab
≤ xa(≤≤a;2y3 ≤b ≤b2by ≤
6
2
3
1
a
2
6
2
3
2
3
3 ≤
x≤
a; a; ≤
y≤
(a (a
−−
x)(b
−−
y)6y)
= =ab2ab ((≤3≤
)b b)
y≤
x)(b
x2≤
)
(1
6
2
3
2
3
23
61 ( a2aa b a ; 3ab ≤2b2y ≤ 2 b )
≤ ;≤
x≤
b)
≤
y
≤
;
x
≤
x(b=−
−1y)
y)=1=6aababb≤y≤≤ xa(≤abx(b − y)ab
2
3 23
3a32 2 2 a22 3b2
136x(bx(b
−−
y)6y)
= =ab
≤
x
≤
;
≤
y
≤
b
6 6 ab 3 3 ≤ x ≤2 22; 2 ≤ y ≤3 3bの接線についても成立する．
の接線についても成立する．
の接線についても成立する．
の接線についても成立する．
の接線についても成立する．
の接線についても成立する．
実は, 熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日, ケーキの実物を見て
実は, 熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日, ケーキの実物を見て
実は, 熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日, ケーキの実物を見て− 55 −
実は, 熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日, ケーキの実物を見て驚いた．ケーキには次のような模様が描かれていた．
驚いた．ケーキには次のような模様が描かれていた．
実は, 熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日, ケーキの実物を見て驚いた．ケーキには次のような模様が描かれていた．
驚いた．ケーキには次のような模様が描かれていた．
驚いた．ケーキには次のような模様が描かれていた．

(a − x)(b − y) = ab
≤ x ≤ a; ≤ y ≤ b
6
2
3 2
3
)
(
2
a b
1
a
≤x≤ ; ≤y≤ bx(b − y) = ab
3
2 2
6
3
の接線についても成立する．

研究紀要

第 98 号

実は，熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日，ケーキの実物を見て驚い
実は, 熊さんはケーキの下見には行っていなかった．誕生日パーティ当日, ケーキの実物を見てた．ケーキには次のような模様が描かれていた．

驚いた．ケーキには次のような模様が描かれていた．

T4
×
T1 ×

× T3
×
T2

ご隠居は，３人の孫がいて，云々ということを注文に当たり，店主にしゃべっていたという．そこで，ご隠居は, ３人の孫がいて, 云々ということを注文に当たり, 店主にしゃべっていたという．そ店主が気を利かせたわけだ．という訳で，誕生日パーティは無事に終了，めでたく

こで, 店主が気を利かせたわけだ．という訳で, 誕生日パーティは無事に終了, めでたく「割れても末に食わんとぞ思ふ」という下げの通りになった．
「割れても末に食わんとぞ思ふ」という下げの通りになった．

1 11
誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が，習ったばかりの微分を使い，丁度誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が, 習ったばかりの微分を使い, 丁度だけ切り取られだけ切り取られる
誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が,,習ったばかりの微分を使い,,丁度だけ切り取られ誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が習ったばかりの微分を使い丁度
3 33 だけ切り取られ
7
1
1 11
y0 y0
x0,xx丁度誕生日パーティに来ていた高校生の従妹がだけ切り取られaa x ≤ a,)a習ったばかりの微分を使い
ak′ ′ − k2 kなので0 を通る接線の0000 yるかを計算していた．
xyxy= ==ab==k=k(ka3((≤より, y, ′,y=,点(,)
るかを計算していた．
るかを計算していた．
xy
ab
ab
≤
≤
x
x
≤
≤
)
)
より
より
y
=
=
−
−
なので
なので
,
,
点
点
(
(
,
,
)
)
を通る接線のを通る接線のかを計算していた．
より，なので，点を通る接線の
2
2
2
2
x
22
33
22
22 22 3xx
6 66
1
1
1 x0 y 0a
誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が
, 丁度
, ,,
方程式は
るかを計算していた．
xy = ab = k ( a3 ≤ x, 習ったばかりの微分を使い) より, y ′ = − xk2 なので, 点3 (だけ切り取られ, ) を通る接線の方程式は誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が,≤習ったばかりの微分を使い, 丁度だけ切り取られ
方程式は
2
32 2
6
1
1
4k
y
x
方程式は，
x0 y 0a 4k′ 0xx00 k
1 = k y( a−a≤,0xy習ったばかりの微分を使い
4k −
y=
0≤
0 −
誕生日パーティに来ていた高校生の従妹が, 丁度
x,0 y)0 を通る接線のるかを計算していた．
xyxy== ab)a−)2より,−y,−,点′) − x2 kなので(xるかを計算していた．
≤よりy==))− x2 なので, 点(3 (2だけ切り取られ,2 2 ) を通る接線の
=
=2 −
(x
,
方程式は
6 6 ab = k 3y(y3−−22 x22(x
2≤ 2x
x
2
2
0
2
x
2
0
0
1
y
x
a
a
k
′
0
,,
方程式は
るかを計算していた．
xy = ab = k ( 3 ≤ x ≤ y2 )0 より, 4k
y = − x2x0なので, 点 ( 20 , 2 ) xを通る接線の
1 11
方程式は
y
000 =ab=−および) を通る．そしてy −(x(x(x(0,−(0,
, 確かに
, 00)
および
y0y)y0を通る．そして, ,20, xy22x0000y2=, ,,によって与えられる．この直線はより6によって与えられる．この直線は
,,確かに
,
0)
より
0(x
によって与えられる．この直線は
確かに
,
0)
および
= ab
ab
より
0
0)) を通る．そして2 2 6 66
4k4kx20 x(0,
y0y2
0x 2
0
0
=1=−− 2 (x(x−− ) )y−
方程式は,11xが成り立つことが分かる．
2
切り取られた３角形の部分の面積は, 12, ,xy101xy−
2が成り立つことが分かる．
02= =0xが成り立つことが分かる．
切り取られた３角形の部分の面積は切り取られた３角形の部分の面積は
=ab
ab
ab
3
4k
y202 x00yy200(xx0 2 (0, y0 ) を通る．そして, x20 y20 = 16 ab より,, 確かに
によって与えられる．この直線は03,30) 0および
= − , 0)−(x − )(0, y ) を通る．そして, x0xy0y = 1 ab
2 およびによって与えられる．この直線は
,y確かに
より
,,
0 0
00x
, 店主は
, ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか蛇足になるが，0)およびによって与えられる．この直線は，確かに(x21 (x2 (0，y0 ) を通る．そして， , ４つの点のい,, 店主は,,ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか蛇足になるが, 確かに(x
によって与えられる．この直線は=6 16 abより，
より
店主はケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか
４つの点のい蛇足になるが00, 0)
1 および (0, y00 ) を通る．そして,2 22,, 2４つの点のい切り取られた３角形の部分の面積は
,
x
y
=
ab
が成り立つことが分かる．
1 12 0 0 1 3
切り取られた３角形の部分の面積は, ,121を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
x(x
= および
ab
10 y
1 が成り立つことが分かる．
, 確かに
,y0)
(0, y0 ) を通る．そして, x20 y20 = 16 ab より,によって与えられる．この直線はずれかを通る直線で切るとちょうど000切り取られた３角形の部分の面積はxを切り取ることができるという配慮の賜物であった．
が成り立つことが分かる．
ずれかを通る直線で切るとちょうどずれかを通る直線で切るとちょうど切り取られた３角形の部分の面積は，0 =3 3 ab が成り立つことが分かる．
2 を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
3
3
3, ４つの点のい蛇足になるが, 店主は, ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか, ,店主は, ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか, ,４つの点のい蛇足になるが切り取られた３角形の部分の面積は, 12 x0 y0 = 13 ab が成り立つことが分かる．
店主は, ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか
４つの点のい蛇足になるが1
1 1 を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
ずれかを通る直線で切るとちょうど蛇足になるが，店主は，ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか，４つの点のいずれずれかを通る直線で切るとちょうど, 店主は, ケーキに描かれた曲線に接するようにナイフを入れるか, ４つの点のい蛇足になるが3を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
ずれかを通る直線で切るとちょうど
III
3Prat
楽屋落ち
楽屋落ち
Prat
III
III 楽屋落ち
3Prat
1
かを通る直線で切るとちょうど を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
を切り取ることができるという配慮の賜物であった．
ずれかを通る直線で切るとちょうど
3, 師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから
, やおら
一席終わり
,, 師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから
,,やおら
一席終わり
師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから
やおら
一席終わり
Prat III
III 楽屋落ち
楽屋落ち
Prat
PratIII
楽屋落ち“Threeis isbetter
than
two.”
“Three“Threeisbetterbetter
than
than
two.”
two.”
Prat 楽屋落ち
III 楽屋落ち
Prat III,
師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから
やおら
一席終わり
, 師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから
, やおら
一席終わり
と言ったかとおもうと, 黙り込んでしまった．日本では, 「３人よれば,, 文殊の知恵」と言われてい, 師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから一席終わりと言ったかとおもうとと言ったかとおもうと, ,黙り込んでしまった．日本では黙り込んでしまった．日本では, ,「３人よれば「３人よれば, ,やおら
文殊の知恵」と言われてい文殊の知恵」と言われてい一席終わり，師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから，やおら“Threeisisbetter
better,, 師匠が楽屋に引き揚げてきた．お茶を一口飲んでから
, やおら
一席終わり
この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば, 宮本武蔵が,「３人を同時にるものだが,,この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば,,宮本武蔵が,「３人を同時にるものだが“Three
is
than
two.”
“Threebetterthan
thantwo.”two.”
この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば宮本武蔵が,「３人を同時にるものだがと言ったかとおもうと, 黙り込んでしまった．日本では, 「３人よれば, 文殊の知恵」と言われてい“Three is better thantwo.”
, この範疇に入る．もっと日常的には,, 手が３本あれば, と思相手にするな」といったようなことはと言ったかとおもうと黙り込んでしまった．日本では, 文殊の知恵」と言われてい, ,この範疇に入る．もっと日常的にはこの範疇に入る．もっと日常的には, ,手が３本あれば手が３本あれば, ,と思と思相手にするな」といったようなことは相手にするな」といったようなことは− 56 − , 「３人よればと言ったかとおもうと, ,黙り込んでしまった．日本では, 「３人よれば文殊の知恵」と言われてい, この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば, 宮本武蔵が,「３人を同時にるものだがと言ったかとおもうと, 黙り込んでしまった．日本では, 「３人よれば, 文殊の知恵」と言われてい, 当にこの事例に当てはまると考えられる．
うことは度々あるだろう．本論文で取り上げたことも,, 当にこの事例に当てはまると考えられる．
うことは度々あるだろう．本論文で取り上げたことも, この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば, 宮本武蔵が,「３人を同時にるものだが当にこの事例に当てはまると考えられる．
うことは度々あるだろう．本論文で取り上げたことも, この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば, 宮本武蔵が,「３人を同時にるものだが松岡勝男先生の御退職を祝して（藤井）Three is better than two.と言ったかとおもうと，黙り込んでしまった．日本では，「３人よれば，文殊の知恵」と言われている
ものだが，この英語版の方が汎用性があるように思われる．例えば，宮本武蔵が ,「３人を同時に相手にするな」といったようなことは，この範疇に入る．もっと日常的には，手が３本あれば，と思うことは度々あるだろう．本論文で取り上げたことも，
当にこの事例に当てはまると考えられる．数学的には，一般化の妙味と言えることで，３等分の登場により ,「面積が一定の長方形の縦と横の長さが，反比例の典型的な例である」ことがどうしようもなく浮かび上がってくる．発展的学習の面白さがここにある(cf. [1])．
「それじゃ，３等分はどうなるの？」
内なる他者の問いが重要であった (cf. [2])．
師匠は，こんなことをぼんやりと思っていたのかもしれない．あるいは，内なる他者が，２等分の時の「落ち」の「合わんとぞ思う」の「合う」は分けられた２つの部分が合同であることの暗示を意識の上に乗せたのかもしれない．火鉢の前に座っている師匠を見ていると，その周りの空気の温かさが感覚された．どこか松岡先生の醸し出すそれに似ていた．
参考文献［1］片桐重男［2］藤井正俊

数学的な考え方の具体化と指導 明治図書 2004.
内なる他者との対話−冪差平均の場合− 数学教育研究− 57 −

48（2019），29-38.