光技術者のための基礎数学

河合

滋

著

はじめに
この本は、
月刊オプトロニクスの No. 325（2009 年 1 月号）～ No. 358（2011年 10 月号）に連載したものをまとめたものです。当時、大学で学生に「光」を教えている中で、それらを理解するために必要な数学の知識が不足しているために、数学の説明に多くの時間を費やし、困っていました。もちろん、数学を使わずに物理を理解することが重要なのですが、例えば、レンズによって光がどの方向に屈折するかということは、数学を使わないと正確に求めることができません。ちょうどその頃、月刊オプトロニクスの編集部の方から、基礎数学の連載の話をいただきました。是非やらせてもらいたいと引き受け、当初一年半くらいの期間を予定していましたが、執筆している間に内容が膨らみ、結局、三年近い連載となりました。
筆者は数学者ではないので、もちろん純粋な数学の本を書けるはずはありません。この本は、一般の数学の本とは大きく異なるものです。まず、光学の分野で使われない数学は、
ほとんど説明していません。と言っても、光学では、難しい数学は使いませんが、高等学校の 3 年間で習う数学のほ
とんどを含む、かなり広い分野の数学を使うのではないかと思います。例
えば、光学のように幾何学を駆使する物理学の分野は他にないように思いますし、レーザー光の伝搬を理解するには、確率分布を知っておく必要もあります。この本の他にない特徴は、それぞれの数学の分野が、光学でどのように使われるのかということを説明している点です。数学の本を読み進んでいると、それが物理学の分野でどのように使われるのかわからず、退屈になることがあります。一方、物理学の本を読み進んでいると、わからない数学が現れ、それを理解するには、どのような数学の本を読めばよいのかわからず、困ることがあります。この本は、そのような悩みを解決するために書いたもので、この本を一通り読めば、光学に現れるほとんどの数学に触れることができ、その数学を光学でどのように使うのかを理解することができます。高等学校の数学の内容から説明してあるので、高校生でも読み進むことができるはずです。古典光学の範囲は、この本でほぼiカバーできていると思いますが、量子光学の分野では、入門書と思ってもらい、必要な部分は、さらに詳しく書かれている数学の専門書を読んでください。もう一つ大きな力を入れた点は、演習問題を充実させたことです。
言うまでもなく、数学の本は寝転んで読めるものではなく、常に紙と鉛筆を傍に置いて計算する必要があります。それを助けるために、各章に多くの演習問題を付けました。
光学は、日本が世界に誇れる技術の一つですが、昨今、大学で教えるところも少なくなり、この先の技術継承に対して大きな不安があります。この本を読んで、一人でも多くの方が、この分野に進んでくれることを期待しています。

2014 年 9 月
河合

ii

滋

目

目

次

次

第 1 章 三角関数 ……………………………………………… 1
1.1 三角関数の定義 ………………………………………………………… 1
1.2 三角関数の逆数 ………………………………………………………… 3
1.3 逆三角関数 ……………………………………………………………… 4
1.4 三角関数の相互関係 …………………………………………………… 4
1.5 正弦定理 ………………………………………………………………… 5
1.6 余弦定理 ………………………………………………………………… 7
1.7

加法定理 ……………………………………………………………… 8

1.8 主な公式 ……………………………………………………………… 10（1）倍角の公式 ……………………………………………………… 10（2）積和の公式 ………………………………………………………… 11（3）和積の公式 ………………………………………………………… 11（4）次数下げの公式 …………………………………………………… 12（5）合成公式 ………………………………………………………… 12
1.9 光学分野における応用 ……………………………………………… 13（1）幾何光学における応用 …………………………………………… 13（2）等速回転運動と単振動 …………………………………………… 14（3）波 …………………………………………………………………… 15（4）光波 ………………………………………………………………… 16（5）光強度 ……………………………………………………………… 17（6）回折格子 …………………………………………………………… 19
演習問題…………………………………………………………………… 21

第 2 章 ベクトル …………………………………………… 25
2.1 スカラ ………………………………………………………………… 25iii

光技術者のための基礎数学

2.2 ベクトル ……………………………………………………………… 25(1) 特別なベクトル …………………………………………………… 26(2) ベクトルの演算 …………………………………………………… 27(3) 位置ベクトル ……………………………………………………… 31(4) ベクトル方程式 …………………………………………………… 32
2.3 光学分野におけるベクトル ………………………………………… 34(1) 光波の振幅 ………………………………………………………… 34(2) マクスウェルの方程式 …………………………………………… 35
演習問題…………………………………………………………………… 35

第 3 章 行列と行列式 ………………………………………………… 37
3.1 行列 …………………………………………………………………… 37(1) 特別な行列 ………………………………………………………… 37(2) 行列の演算 ………………………………………………………… 42
3.2 光学分野における行列 ……………………………………………… 44
3.3 行列式 ………………………………………………………………… 48(1) 余因子 ……………………………………………………………… 50
3.4 行列式の応用 ………………………………………………………… 52(1) 光学分野 …………………………………………………………… 52(2) 逆行列の求め方 …………………………………………………… 55(3) 連立一次方程式の解法 …………………………………………… 57
演習問題…………………………………………………………………… 58

第 4 章 微分法 ……………………………………………… 61
4.1 関数の極限と導関数 ………………………………………………… 61
4.2 導関数の基本定理 …………………………………………………… 61
4.3 極限の定理 …………………………………………………………… 64(1) ロルの定理 ………………………………………………………… 64
iv

目

次

(2) 平均値の定理 ……………………………………………………… 66(3) ロピタルの定理 …………………………………………………… 68
4.4 基本関数の導関数 …………………………………………………… 70
4.5 関数の級数展開 ……………………………………………………… 76(1) テーラーの定理 …………………………………………………… 77(2) マクローリンの定理 ……………………………………………… 78(3) マクローリン級数 ………………………………………………… 78
4.6 関数の形状 …………………………………………………………… 80(1) 関数の増減 ………………………………………………………… 80(2) 極大と極小 ………………………………………………………… 81
4.7 偏微分法 ……………………………………………………………… 82(1) 偏導関数 …………………………………………………………… 82(2) 全微分 ……………………………………………………………… 83(3) 合成関数の偏微分 ………………………………………………… 83(4) 調和関数 …………………………………………………………… 83(5) 陰関数 ……………………………………………………………… 84
4.8 光学分野における微分 ……………………………………………… 85
演習問題…………………………………………………………………… 87

第 5 章 不定積分 …………………………………………… 91
5.1 不定積分 ……………………………………………………………… 91(1) 基本定理 …………………………………………………………… 91(2) 基本関数の不定積分 ……………………………………………… 92(3) 有理関数の不定積分 ……………………………………………… 94(4) 無理関数の不定積分 ……………………………………………… 97(5) 三角関数の不定積分 ……………………………………………… 98(6) 指数関数の不定積分 ……………………………………………… 98
5.2 微分方程式 …………………………………………………………… 99(1) 直接積分型 ………………………………………………………… 99v

光技術者のための基礎数学(2) 変数分離型 ………………………………………………………… 99(3) 同次型 ……………………………………………………………… 100(4) 線形微分方程式 …………………………………………………… 101(5) 2 階線形同次微分方程式 ………………………………………… 102(6) 2 階線形非同次微分方程式 ……………………………………… 106(7) 全微分方程式 ……………………………………………………… 106(8) 偏微分方程式 ……………………………………………………… 108
5.3 光学分野における不定積分法の応用 ……………………………… 109
演習問題…………………………………………………………………… 109

第 6 章 定積分 ……………………………………………… 113
6.1 リーマン和 …………………………………………………………… 113
6.2 基本定理 ……………………………………………………………… 115
6.3 シンプソンの公式 …………………………………………………… 115
6.4 光学分野における積分法の応用 …………………………………… 117
演習問題…………………………………………………………………… 120

第 7 章 ベクトル解析 ……………………………………… 121
7.1 ベクトルと微分 ……………………………………………………… 121(1) 微分演算子 ………………………………………………………… 121(2) 勾配 ………………………………………………………………… 121(3) 発散 ………………………………………………………………… 122(4) 回転 ………………………………………………………………… 124
7.2 ベクトル解析の公式 ………………………………………………… 126
7.3 光学におけるベクトル解析の応用 ………………………………… 128(1) マクスウェルの方程式 …………………………………………… 128(2) 波動方程式 ………………………………………………………… 129(3) ヘルムホルツ方程式 ……………………………………………… 131
vi

目

次

(4) 座標変換 …………………………………………………………… 133
演習問題…………………………………………………………………… 134

第 8 章 複素数と複素関数 ………………………………… 137
8.1 複素数 ………………………………………………………………… 137
8.2 オイラーの公式 ……………………………………………………… 137
8.3 複素平面 ……………………………………………………………… 138
8.4 光学分野における複素関数 ………………………………………… 139(1) 振幅の複素表示 …………………………………………………… 139(2) 光強度 ……………………………………………………………… 140(3) 波面 ………………………………………………………………… 140
演習問題…………………………………………………………………… 142

第 9 章 フーリエ変換 ……………………………………… 145
9.1 フーリエ級数 ………………………………………………………… 145(1) フーリエ級数 ……………………………………………………… 145(2) 複素関数表示 ……………………………………………………… 147(3) パーセバルの等式 ………………………………………………… 148
9.2 フーリエ変換 ………………………………………………………… 149
9.3 フーリエ逆変換 ……………………………………………………… 150
9.4 フーリエ変換の周波数表示 ………………………………………… 150
9.5 フーリエ変換の性質 ………………………………………………… 152(1) 線形性 ……………………………………………………………… 152(2) 対称性 ……………………………………………………………… 152(3) 時間軸のスケール変換 …………………………………………… 152(4) 周波数軸のスケール変換 ………………………………………… 153(5) 時間軸での移動 …………………………………………………… 153(6) 周波数軸での移動 ………………………………………………… 153vii

光技術者のための基礎数学(7) 偶関数のフーリエ変換 …………………………………………… 154(8) 奇関数のフーリエ変換 …………………………………………… 154(9) 関数の分解 ………………………………………………………… 154(10) フーリエ変換の実部と虚部 …………………………………… 154
9.6 主な関数のフーリエ変換 …………………………………………… 156(1) 三角関数 …………………………………………………………… 156(2) 光学によく現れる関数 …………………………………………… 156
9.7 畳み込みと相関 ……………………………………………………… 158(1) 畳み込み …………………………………………………………… 158(2) 相関 ………………………………………………………………… 161
9.8 フーリエ変換の離散化 ……………………………………………… 162(1) 離散フーリエ変換 ………………………………………………… 162(2) 離散逆フーリエ変換 ……………………………………………… 164(3) 標本化定理 ………………………………………………………… 164(4) 連続値と離散値のフーリエ変換 ………………………………… 165(5) 高速フーリエ変換 ………………………………………………… 165
9.9 光学分野におけるフーリエ変換の応用 …………………………… 168(1) フーリエ変換の光学的な意味 …………………………………… 168(2) 時間と時間周波数の関係 ………………………………………… 168(3) 空間と空間周波数の関係 ………………………………………… 168(4) 回折とフーリエ変換 ……………………………………………… 172(5) レンズとフーリエ変換 …………………………………………… 175(6) 光学伝達関数 ……………………………………………………… 183(7) 波動光学的な結像 ………………………………………………… 186(8) アナログ光演算 …………………………………………………… 187
演習問題…………………………………………………………………… 189

第 10 章 特殊関数 …………………………………………… 193
10.1 デルタ関数と階段関数 …………………………………………… 193
viii

目

次

(1) 微分と積分 ………………………………………………………… 194(2) フーリエ変換 ……………………………………………………… 194(3) 標本化 ……………………………………………………………… 195(4) 光学分野におけるデルタ関数の応用 …………………………… 195
10.2 矩形関数とシンク関数 …………………………………………… 195
10.3 ベッセル関数 ……………………………………………………… 196(1) 円形開口の回折 …………………………………………………… 197
演習問題…………………………………………………………………… 198

第 11 章 幾何学 ……………………………………………… 199
11.1 平面座標系 ………………………………………………………… 199(1) 直交座標系 ………………………………………………………… 199(2) 極座標系 …………………………………………………………… 199
11.2 直線の方程式 ……………………………………………………… 200(1) 直交座標系 ………………………………………………………… 200(2) 極座標系 …………………………………………………………… 203(3) 点と直線 …………………………………………………………… 203(4) 直線と直線 ………………………………………………………… 204
11.3 円の方程式 ………………………………………………………… 206(1) 直交座標系 ………………………………………………………… 206(2) 極座標系 …………………………………………………………… 206(3) 直線と円 …………………………………………………………… 207(4) 円と円 ……………………………………………………………… 208
11.4 二次曲線 …………………………………………………………… 209(1) 放物線 ……………………………………………………………… 211(2) 楕円 ………………………………………………………………… 212(3) 双曲線 ……………………………………………………………… 217(4) 接線 ………………………………………………………………… 220
11.5 空間座標 …………………………………………………………… 221ix

光技術者のための基礎数学(1) 直交座標系 ………………………………………………………… 221(2) 円筒座標系 ………………………………………………………… 221(3) 球座標系 …………………………………………………………… 222
11.6 空間内の直線 ……………………………………………………… 223(1) 方程式 ……………………………………………………………… 223
11.7 平面 ………………………………………………………………… 224(1) 方程式 ……………………………………………………………… 224(2) 点と平面 …………………………………………………………… 226(3) 直線と平面 ………………………………………………………… 226(4) 平面と平面 ………………………………………………………… 227
11.8 空間内の曲線 ……………………………………………………… 228
11.9 二次曲面 …………………………………………………………… 229(1) 球面 ………………………………………………………………… 232(2) 楕円面 ……………………………………………………………… 233(3) 双曲面 ……………………………………………………………… 235(4) 錐面 ………………………………………………………………… 237(5) 放物面 ……………………………………………………………… 238(6) 柱面 ………………………………………………………………… 239
11.10 座標変換 …………………………………………………………… 240
11.11 光学分野における幾何学 ………………………………………… 242(1) 球面による光線の屈折 …………………………………………… 242(2) ガウス光学 ………………………………………………………… 251(3) 波面収差と光線収差 ……………………………………………… 255(4) 波面収差と光線収差の関係 ……………………………………… 256(5) 非球面の表現方法 ………………………………………………… 261
演習問題…………………………………………………………………… 264

第 12 章 確率分布 …………………………………………… 267
12.1 確率分布 …………………………………………………………… 267
x

目

次

12.2 ガウス分布（正規分布）…………………………………………… 268
12.3 光学分野における確率分布 ……………………………………… 271(1) ガウシアンビーム ………………………………………………… 271(2) ガウシアンビームの性質 ………………………………………… 276
演習問題…………………………………………………………………… 278

演習問題の解答……………………………………………… 281
第 1 章 …………………………………………………………………… 281
第 2 章 …………………………………………………………………… 283
第 3 章 …………………………………………………………………… 285
第 4 章 …………………………………………………………………… 290
第 5 章 …………………………………………………………………… 303
第 6 章 …………………………………………………………………… 315
第 7 章 …………………………………………………………………… 317
第 8 章 …………………………………………………………………… 322
第 9 章 …………………………………………………………………… 327
第 10 章 …………………………………………………………………… 334
第 11 章 …………………………………………………………………… 335
第 12 章 …………………………………………………………………… 344

索 引 ………………………………………………………………………… 347

xi第 1 章 三角関数

1. 三角関数
1.1 三角関数の定義
三角関数（Trigonometric Function）とは、図 1.1 に示すような、斜辺の長さが 1 である直角三角形の各辺の比を表したものである。二次元直交座標の原点を O、単位円（Unit Circle: 半径が 1 の円）上の点を A とし、Aから x 座標に下ろした垂線の足を B とすると、OB は点 A の x 座標、BA
は点 A の y 座標を表している。ここで、円周上を反時計方向に移動する
点の点（1, 0）からの円弧の長さをαとして、正弦関数（Sine）、余弦関数（Cosine）、正接関数（Tangent）を次のように定義し、これらを総称して三角関数と呼ぶ。

AB
=y
OA
OB
cos a ==xOA
AB y sin a
tan a =
= =OB x cos a

sin a =

(1.1)

y
1

A

α
θ
−

O

B

−

図 1.1 三角関数の定義
11x光技術者のための基礎数学

1
Sine

0

0

Tangent

π
2

π

3π
2

2π

Cosine-1

図 1.2 三角関数a を表現するために、弧度（ラジアン : Radian）という距離を表す無次元の単位（rad と略す）を用いる。弧度は円弧の長さを表し、単位円の円周の長さが 2p であるから、零点を点（1, 0）とすると、p/2 rad が点（0, 1）、
p rad が点（-1, 0）、3p/2 rad が点（0, -1）と一致して、2p rad で元の点（1,0）に戻る。したがって、三角関数は 2p を周期とする周期関数であり、aを次式のように書き表すことができる。

a = a 0 + 2np(1.2)

ここで、n は整数、α0 は 0 ≦ a0 ＜ 2p を満たし、偏角と呼ばれている。図 1.2は、αを 0 から 2p まで変化させた時の三角関数の値をグラフに示したものである。
半径 r の円において、中心角 q に対する円弧の長さを l とすると、次の関係が成り立つ。

l = rq(1.3)

ここで、単位円を考えれば、l= θとなり、角度を弧の長さ、すなわちラジアンで表現することができる。図 1.1 において、OA が x 軸となす中心角を q とすると、弧の長さ a と中心角 q（°）の間には、次の関係がある。
2

第 1 章 三角関数

10
Cosecant

50Cotangent

π

0

2π

-5
Secant-10

図 1.3 三角関数の逆数

a=

2p
p
q=
q
360
180

(1.4)

このように，角度を弧の長さで表現する方法を弧度法と呼ぶ。

1.2 三角関数の逆数
三角関数の逆数を、それぞれ余割関数（Cosecant）、正割関数（Secant）、
余接関数（Cotangent）と呼ぶ。

csc a = coseca =1
1=
sin a y1
1=
cos a xx sec a cos a
cot a = ==y csc a sin a

sec a =

(1.5)

図 1.3 は、αを 0 から 2 πまで変化させた時の三角関数の逆数をグラフに示したものである。

3光技術者のための基礎数学

πArccosineπ2Arctangent
0

−

-1

π
2

0

1

Arcsine− π

図 1.4 逆三角関数

1.3 逆三角関数
三角関数の逆関数（Inverse Function）を逆三角関数と呼ぶ。それぞれ、逆正弦関数（Arcsine）、逆余弦関数（Arccosine）、逆正接関数（Arctangent）と呼び、それぞれの関数の前に「arc」を付けて表記することがある。三角関数を二次元直交座標上の点（x, y ）で書き表すと、次式が得られる。

x = sin a⇔ a = sin −1 x = arcsin x

y = cos a ⇔ a = cos −1 y = arccos yyyy= tan a ⇔ a = tan −1 = arctan
x
x
x

(1.6)

図 1.4 は、a を -1 から 1 まで変化させた時の逆三角関数をグラフに示したものである。三角関数の逆数と逆三角関数は異なるものなので、注意が必要である。

1.4 三角関数の相互関係
図 1.1 および図 1.2 より、以下の関係は明らかである。

4

第 1 章 三角関数

sin( − x) = − sin x(1.7)

cos(− x) = cos x

これより、正弦関数は奇関数（Odd Function）、余弦関数は偶関数（Even
Function）であることがわかる。奇関数 f o（x）と偶関数 f（x）には、次の性e
質がある。

f o (− x) = − f o ( x)(1.8)

f e (− x) = f e ( x)
また，図 1.1 および図 1.2 より，以下の関係も明白である。

p
sin  − x  = cos x
2

p

cos − x  = sin x
2
sin(p − x) = sin xcos(p − x) = − cos x(1.9)

単位円を考えた時、直角三角形の斜辺が 1 であることから、式（1.1）より次式が成り立つ。

sin 2 x + cos 2 x = 1(1.10)

1.5 正弦定理
三角形の外接円の半径を r とすると、各角 A，B，C と，それらの角に対する辺 a、b、c の間には、次の関係が成り立つ。

5

光技術者のための基礎数学

A

A’
c
b

r
B

a

D

C

図 1.5 正弦定理

a
b
c
=
=
= 2r
sin A sin B sin C(1.11)

これを正弦定理（Law of Sines）と呼ぶ。この定理は，次のように証明することができる。図 1.5 に示すように、三角形の頂点 A から辺 BC に垂線を下ろし、その足を D とすると、次式が成り立つ。

A D = c sin B = b sin C(1.12)

同様にして、頂点 B から辺 AC に垂線を下ろせば、式（1.12）と同様にして以下の関係が成り立つ。

a
b
c
=
=
sin A sin B sin C(1.13)

次に、三角形の外接円を考え、その円の中心を O、半径を r とする。頂点
B から O を通り円周と交わる点を A' とすると，円周角の定理（同じ円弧に対する円周角は等しい）より，以下の関係が得られる。

6

第 1 章 三角関数

∠BAC = ∠B A' C

(1.14)

円の中心を通る内接三角形の円周角は直角であるから、次式が成り立つ。

2r sin ∠B A' C = 2r sin A = a(1.15)

これにより，正弦定理が証明された。

1.6 余弦定理
以下の関係を余弦定理（Law of Cosines）と呼ぶ。

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B(1.16)

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
これらの関係は、次のように証明することができる。図 1.6 に示すように、三角形の頂点 A から辺 BC に垂線を下ろし、その足を D とすると、三平方の定理より次式が成り立つ。

AB 2 = AD 2 + BD 2
c 2 = (b sin C ) + (a − b cos C )2

2= b 2 sin 2 C + a 2 − 2ab cos C + b 2 sin 2 C= a 2 + b 2 − 2ab cos C
他の式も同様にして成り立つ。

7(1.17)

光技術者のための基礎数学

A

c

B

b

a

D

C

図 1.6 余弦定理

1.7

加法定理

以 下 の 関 係 を 三 角 関 数 の 加 法 定 理（Addition and Subtraction
Theorems）と呼ぶ。

sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin ycos( x ± y ) = cos x cos y  sin x sin ytan x ± tan ytan( x ± y ) =1  tan x tan y(1.18)

これらの関係は、幾何学を用いて次のように証明することができる。ただし、x と y は、次の条件を満たすものとする。

0< x<

p
2

, 0< y<0< x+ y<p2

p2

, 0< x− y<p(1.19)

2

図 1.7 に示すように、二つの直角三角形 OAB と OBC を配置し、AB = 1 と8

第 1 章 三角関数

A

1

x
y
E

B

sin (x + y)

y
O

D

C

図 1.7 加法定理（加算）
A

O

x

y

E

1

y
C

sin (x − y)DB

図 1.8 加法定理（減算）する。A から OC に下ろした垂線の足を D、B から AD に下ろした垂線の足を E、∠ OAB を x、∠ BOC を y とすると、∠ BOC = ∠ OAD であるから、sin（x + y）= BE である。また、OC = sin x cos y、OD = cos x sin y、BE = CD であるから、次式が成り立つ。

sin( x + y ) = B E = C D = O C + O D= sin x cos y + cos x sin y(1.20)

同様にして、AE = cos（x+y）
、AD = cos x cos y、DE = sin x sin y であるから、次式が成り立つ。

cos( x + y ) = A E = A D − D E = cos x cos y − sin x sin y(1.21)
9光技術者のための基礎数学

また、図 1.8 に示すように、二つの直角三角形 OAB と OBC を配置し、AB = 1 とする。A から BC に下ろした垂線の足を D、O から AD に下ろした垂線の足を E、∠ OAB を x、
∠ OBC を y とすると sin（x - y）= BD である。
また、BC = sin x cos y、CD = cos x sin y であるから、次式が成り立つ。

sin( x − y ) = B D = B C + C D = sin x cos y − cos x sin y(1.22)
同様にして、AD = cos（x - y）、AE = cos x cos y、ED = sin x sin y であるから、次式が成り立つ。

cos( x − y ) = A D = A E + E D = cos x cos y + sin x sin y(1.23)
これらの関係より、正弦関数と余弦関数の加法定理が証明された。さらに、式（1.1）より次式が成り立つ。

sin( x ± y ) sin x cos y ± cos x sin y=cos( x ± y ) cos x cos y  sin x sin ytan x ± tan y=
1  tan x tan ytan( x ± y ) =(1.24)

1.8 主な公式
三角関数の計算は、複雑になる場合が多いので、種々の公式を覚えておくと便利である。

（1）倍角の公式
式（1.18）において x=y とおくと、次式が得られる。
10

第 1 章 三角関数

sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x
2 tan xtan 2 x =1 − tan 2 x(1.25)

これらを倍角の公式（Double Angle Formula）と呼ぶ。

（2）積和の公式
式（1.18）より、次式が成り立つ。

sin( x + y ) + sin( x − y )2cos( x + y ) + cos( x − y )cos x cos y =2cos( x + y ) − cos( x − y )sin x sin y =2

sin x cos y =(1.26)

これらを積和の公式（Product to Sum Identities）と呼ぶ。

（3）和積の公式
式（1.26）において、x を新しく (x ± y) / 2、y を新しく (x ∓ y) / 2 とおくことにより、次式が得られる。

x+ y
x− y
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2 sinsin
22sin x + sin y = 2 sin

11(1.27)

光技術者のための基礎数学

これらを和積の公式（Sum to Product Identities）と呼ぶ。

（4）次数下げの公式
式（1.26）において、x = y とおくと次式が成り立つ。

1 − cos 2 x
2
1 + cos 2 x
cos 2 x =2
sin 2 x
sin x cos x =2
sin 2 x =(1.28)

これを次数下げの公式（Power Reduction Formula）と呼ぶ。

（5）合成公式
以下の式を合成公式と呼ぶ。

a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin (x + a ) = a 2 + b 2 cos(x − b )basin a =, cos a =a2 + b2
a2 + b2ab
sin b =, cos b =a2 + b2
a2 + b2(1.29)

これらの式は、次のようにして証明することができる。図 1.9 に示すように、直交座標上の点を P (a, b) とし、OP が x 軸となす角をαとすると、次式が
成り立つ。

12

第 1 章 三角関数y
Q (b, a)P (a, b)βαxO

図 1.9 合成公式

a = a 2 + b 2 cos a , b = a 2 + b 2 sin aa sin x + b cos x = a 2 + b 2 (sin x cos a + cos x sin a )(1.30)= a 2 + b 2 sin (x + a )同様にして、点 Q（b, a）を考えると、b の式を求めることができる。

1.9 光学分野における応用（1）幾何光学における応用
幾何光学では、光線の伝搬を幾何学的に考えるので、それらの計算の中で、三角関数はよく現れる。ガウス光学では、光線を近軸近似（光線が光軸から離れない、すなわち光線と光軸のなす角度が小さいという近似）するので、以下の近似式が成り立つ。

sin q ≈ q
tan q ≈ q
cos q ≈ 1

(1.31)

13

光技術者のための基礎数学

1
0.8

Cosine0.6

Tangent
Sine

0.4
0.2
0

0

10

20

30

40

弧度（˚ ）

図 1.10 三角関数の近似
図 1.10 は、これらの近似式がどの範囲で成り立つかを調べるために、三角関数と弧度を表したものである。図より、この近似式は、およそ正弦関
数は 30°以下、余弦関数は 10°以下、正接関数は 25°以下の範囲で成立していることがわかる。

（2）等速回転運動と単振動
二次元直交座標（x, y）の原点を中心とする半径 A の円周上を等速運動する物体の位置は、それぞれ、時間 t の余弦関数と正弦関数で表現できる。

x = A cos(wt )y = A sin (wt )(1.32)

ここで、w を角振動数（角周波数 : Angular Frequency）と呼び、物体が一回転する時間（周期 : Period）を T とすると、次の関係がある。

wT = 2p
2pw=(1.33)

T

この物体の位置ベクトル（第 2 章を参照のこと）は14

第 1 章 三角関数r = ( A cos(wt ), A sin (wt ))(1.34)

であるから、速度ベクトルおよび加速度ベクトルは、後の項で説明するよ
うに、これを微分してdr= (− Aw sin (wt ), A cos(wt ))dt
dv d 2 r= 2 = − Aw 2 cos(wt ), − Aw 2 sin (wt )
a=
dt dt
v=

(

)

(1.35)となる。これらの関係から次式が得られる。

a = −w 2 r(1.36)

加速度ベクトルと位置ベクトルの方向が逆であることから、等速円運動の加速度の方向は常に原点を向いていることがわかる。
このような等速円運動の x 軸または y 軸への射影を単振動と呼び、振動している物体の位置の変化は、それぞれ式（1.32）で表わされる。

（3）波ある物理量が周期的に変化して空間を伝搬する現象を波と呼ぶ。波は、伝搬する媒質の密度の変化によって伝わる縦波と、物理量の変位が空間を伝搬する横波に分けることができる。周期的に変化する物理量は、周期関数によって記述することができる。任意の周期関数は、さまざまな振幅と周期をもった正弦関数と余弦関数の重ね合わせで表わすことができることが知られている。

f (t ) =a0 ∞+ ∑ {a n cos(nw 0 t ) + bn sin (nw 0 t )}2 n =115(1.37)

光技術者のための基礎数学

この式は、後の項で詳しく説明するが、フーリエ級数（Fourier Series）と呼ばれている。この式から、もっとも基本的な波は、正弦関数または余弦関数で表わされることがわかる。

（4）光波
縦波が伝搬するには、振動する物質が必要である。横波においても、多くの場合、振動する物質が必要である。光波は電磁波の一種であり、後述のマクスウェルの方程式（Maxwell's Equation）を解くことにより横波であることがわかる。しかし、電磁波が伝搬する際に物質が振動しているわけではない。
電磁波において変位が生じている物理量は電界と磁界である。アンテナから電波が放出される過程を考えてみよう。アンテナ内部の電子（電荷）の振動により電界が生じ、電界の変化によって磁界が生じ、それらが空間に放射される。電界と磁界の振動面は、互いに直交している。これが電磁波である。
物質が振動しているわけではないので、電磁波は真空中でも伝搬する。
光は電波のようにアンテナから放射されることはないが、同じ電磁波なので、考え方は同じである。もっとも基本的な波が正弦波（Sinusoidal
Wave）であることから、光波の電界の振動は、次のように表わされる。
光の出射点から z だけ離れた位置における電界の振幅 E (z, t) は、時間 t と共に変化し、次式で記述できる。

  z t 
E ( z, t ) = A cos{f ( z, t )} = A cos2p  −   l T 
= A cos(kz - wt )(1.38)

ここで、A、φ、λ、k を、それぞれ振幅、位相、波長、波数と呼ぶ。ここで、正弦波であるのに、あえて余弦関数を用いて表している。後の項で詳しく説明するが、三角関数の計算をする時に、次のオイラの公式を用いて三角関数を複素関数に置き換えることがある。

cos q + i sin q = e iq

(1.39)

16

第 1 章 三角関数
最大振幅 Az波

長λ

図 1.11 光波の電界の変化
この際、実部が余弦関数、物理的に意味がない虚部が正弦関数であることから、
式（1.38）を余弦関数によって表している。三角関数だけを扱う時は、正弦関数を用いても何ら問題はない。
式（1.38）において、波長とは、図 1.11 に示すように、光波の一周期の長さを表し、振動数νとは、以下の関係にある。

nl= nνl = nv = c
T(1.40)

ここで、n は媒質の屈折率、v は媒質中の光速度、c は真空中の光速度（2.99792458 × 108 m ／秒）である。例えば、真空中を伝搬する He-Ne レーザ光（波長 : 632.8 nm）の振動数は 473.8 THz である。

（5）光強度
光波の振動数は、電波の振動数に比べて非常に高い。電波では、アンテナで受信することによってその電界振幅の変化を直接観測することができるが、光波の場合には、電界振幅の変化を直接観測することはできない。
我々が得られる光波の物理量は、十分長い時間かけて観測した平均値となる。しかし、電界振幅の平均値は零となるので、結局、光波の電界振幅を観測する術はない。
波が伝搬する際、エネルギも一緒に伝達される。この量は、後述のポイン
ティングベクトルで表わされることが知られており、次のように記述できる。

17

光技術者のための基礎数学

S = E× H(1.41)

ここで、E と H は、それぞれ電界と磁界の振幅を表わす。この式の詳細な意味は後の項で述べるが、この式は、マクスウェルの方程式を用いて次のように電界振幅だけで表わされる。

S = E× H = a E

2(1.42)

ここで、αは物質特有の定数、記号は絶対値の自乗を表す。ベクトルや複素数の絶対値については後の項で説明するが、式（1.38）ではベクトル量や複素数を考えていないので、単純に自乗すればよい。このようにして光波が伝達するエネルギを求めることができる。しかし、エネルギの時間変化も直接観測することはできない。ただし，エネルギは電界振幅と異なり、十分長い時間かけて観測した平均値が零とはならないので、この量を観測することができる。観測可能な十分長い時間 t の間に、光波の進行方向に対して垂直な単位面積を通過する単位時間あたりのエネルギ密度の平均値
は、後の項で説明するように、次式で表わされる。

I0 =

1 t
aE 2 dt∫0t(1.43)

この式に式（1.38）を代入すると、次式が得られる。

I0 =

1 t

2
∫ aE dt =t 0

aA 2 t
aA 2
2
(
)
−
=
w
kz
t
dt
cos
t ∫0
2

ここで、右辺の係数を省略した物理量を光強度と呼ぶ。

18(1.44)

第 1 章 三角関数d

θd sin θ図 1.12 回折格子による回折
2

I = E = A2

(1.45)

光強度は、電界振幅の変化に依存せず、
最大振幅の自乗で表わされる。我々は、この光強度をフォトダイオードなどで観測することによって、電界振幅の大きさを知ることができる。

（6）回折格子
図 1.12 に示すように、スリットを周期的に配列したものを回折格子（Grating）と呼ぶ。波面が回折格子に平行な平面波が回折格子に入射すると、各スリットを透過した光は、回折によって四方に拡がる。回折した光を十分遠方で観測すると、それらの干渉パタンが現れる。この時、各スリッ
トからの回折光の位相が揃う方向に強い光が現れる。その方向 q は、各スリットからの回折光の光路長差が波長の整数倍になる条件から求めることができる。回折光を十分遠方で観測すれば、格子のピッチを d、入射光の波長を l として、以下の条件を満足する方向に強い光が現れる。

19

光技術者のための基礎数学

90

m =10

回折角（ ˚）

m =5

m =3

60

m =2

m =1
30

0
0

500

1000

1500

空間周波数（本/mm）

図 1.13 格子の空間周波数と回折角の関係

d sin q = ml
 ml 
∴q = sin −1  d 

(1.46)

ここで、m は整数である。m = 0 の成分は、平面波がそのまま透過したもので 0 次回折光と呼ばれる。m ≠ 0 の成分は回折によって生じる光であり、
m 次回折光と呼ばれる。ただし、m が大きくなると q が 90°を越えるため、回折光は生じない。この状態で、光は回折格子内部に浸み込んでおり、エバネッセント波と呼ばれている。図 1.13 は、He-Ne レーザ光の回折角と格子ピッチの関係を示したものである。
図 1.14 に示すように、平面波が回折格子に対して角度 f で入射する場合、その光路長差は、入射側と出射側に対して独立に考えればよい。したがって、以下の条件を満足する方向に強い光が現れる。

20

第 1 章 三角関数

d sin φdθ
φd sin θ図 1.14 斜入射光による回折

d sin q − d sin f = ml
sin q − sin f =mld(1.47)

 ml
+ sin f 
∴q = sin −1  d
図 1.15 は、He-Ne レーザ光が斜入射した場合の +1 次回折光の回折角と格子ピッチの関係を示したものである。

演習問題① 以下の式を証明せよ。
1) sin 2 x = 2 sin x cos x

21

光技術者のための基礎数学

90

φ = 60˚
回折角（ ˚）

φ = 40˚60

φ = 20˚
φ = 0˚

30

0

0

500

1000

空間周波数（本/mm）

図 1.15 斜入射光の回折
2) cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x

2 tan x
1 − tan 2 xsin( x + y ) + sin( x − y )4) sin x cos y =2cos( x + y ) + cos( x − y )5) cos x cos y =2cos( x + y ) − cos( x − y )6) sin x sin y =
2
x+ y
x− y
7) sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x− y
x+ y
8) sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
x+ y
x− y
9) cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
x+ y
x− y
10) cos x − cos y = −2 sinsin
223) tan 2 x =

22

1500

第 1 章 三角関数

1 − cos 2 x
2
1 + cos 2 x212) cos x =2
sin 2 x13) sin x cos x =211) sin2x=② 以下の式を証明せよ。

sin 3 x = 3 sin x − 4 sin 3 x
cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x
tan 3 x =3 tan x − tan 3 x
1 − 3 tan 2 x③ 図のようなスリット S1、S2 に、角振動数ωで振動している位相の揃った
光を通過させ、それらから z だけ離れたところにあるスクリーン上の点 aにおいて、透過光を観測する。点 a からスリット S1、S2 までの距離をそれ
ぞれ l1、l2 として、以下の問いに答えよ。
（1）点 a における光の振幅を求めよ。
（2）点 a における光の強度を求めよ。
答え

a

l1
S1

l2

S2
z

23

索引

索引
ガンマ関数

い

197

位相角

150

位置ベクトル

31

き

陰関数

84

幾何学

199

陰関数の存在定理

232

奇関数

5

逆行列

39

逆三角関数

4

え
エリアシング

164

球座標系

円

206

球面

232

6

行ベクトル

37

133, 221

共役複素数

137

行列

37

極限の定理

64

円周角の定理円筒座標系
お
オイラーの公式88, 137

か

極座標系

133, 222

133, 199

虚数

137

近軸近似

13

外積

29

階段関数

193

く

回転

124

空間座標

221

ガウスの定理

124

偶関数

5

角周波数

14

矩形関数

195

角振動数

14

クレーマの公式

58

確率分布

267

確率分布関数

267

こ

確率変数

267

光線行列

45

確率密度関数267

高速フーリエ変換

165

光波

16

加法定理

8

347

光技術者のための基礎数学

勾配

121

零行列

38

弧度

2

零ベクトル

26

弧度法

3

全微分

83

コヒーレンシ行列52

全微分方程式

106

さ

そ

座標変換

240

相関

161

三角関数

1

相関定理

161

三平方の定理

7

双曲線

217

双曲面

235

し
周期

14

た

周期関数

2

対角行列

38

対数微分法

76

シンク関数

157, 195

振幅

150

楕円

212

シンプソンの公式

115

楕円面

233

畳み込み

158

単位円

1

単位ベクトル

26

す
錐面

237

スカラ

25

ストークスの定理

126

せ

ち
置換積分法

91

柱面

239

正割関数

3

頂点

211

正弦関数

1

調和関数

83

正弦定理

5

直線の方程式

200

正接関数

1

直交座標系

正方行列

38

積和の公式

11

て

接線

220

定積分
348

133, 199, 221

113

索引

テーラーの定理

77

デルタ関数

193

天頂角

222

と
導関数
動径
特殊関数

61
200, 222
193

波面
ひ
光強度

140

微分演算子

121

微分法

61

微分方程式

99

標準偏差

267

標本化
標本化定理

な

140

162, 195164

ナイキストの
164

ふ

内積

27

フーリエ逆変換

150

ナブラ

121

フーリエ級数145

波

15

フーリエスペクトル

150

フーリエ変換

149

複素関数

139

標本化周波数

に
二項定理

72

複素数

137

二次曲線

209

複素平面

138

二次曲面

229

不定積分

91

部分積分法

92

部分分数分解

95

分散

267

ね
ネイピルの数73

はへ

パーセバルの定理

161

平面座標系

199

パーセバルの等式

148

ベクトル

25

倍角の公式

10

ベクトル解析

121

発散

122

ベクトル方程式

32

ハミルトン演算子

121

ヘッセの標準形

203349

光技術者のための基礎数学

182, 196

ベッセル関数
偏角2, 138, 200

り
リーマン和

113

偏微分

82

離散フーリエ変換

162

偏微分方程式

108

離心角

218

離心率

209

ほ
ポアソン方程式

129

る

方位角

222

累積分布関数

方向余弦

25

放物線

211

れ

放物面

238

列ベクトル

267

37

ま

ろ

マクスウェルの方程式 16, 35, 128

ロピタルの定理68

マクローリン級数

78

ロルの定理

64

マクローリンの定理

78

ロンスキの行列式

103

よ

わ

余因子

50

陽関数

84

余割関数

3

余接関数

3

余弦関数

1

余弦定理

7

和積の公式

ら
ラジアン

2

ラプラス演算子121

ラプラス方程式

83, 129

350

11

著者紹介
河合

滋

株式会社オプト・イーカレッジ代表取締役
1981 年埼玉大学理学部物理学科卒業、1983 年筑波大学大学院理工学研究科修了、同年日本電気株式会社光エレクトロニクス研究所入社、C&C
情報研究所主任を経て、1997 年職業能力開発大学校電子工学科助教授、2007 年同大学校通信システム工学科教授、2012 年より現職。
回折・微小光学素子の設計、光波センシング・光コンピューティング・
光インタコネクションの研究開発に従事。現在、光学教育・コンサルティ
ング、主に照明光学系の設計に従事。
一般社団法人国際光技術者検定協会／特定非営利活動法人日本フォトニ
クス協議会理事、埼玉県立大学保健医療福祉学部／尚美学園大学芸術情報学部非常勤講師、工学博士。

光技術者のための基礎数学

著者

河合 滋

刊行日

2015年1月23日

発行

株式会社オプトロニクス社

URL

http://www.optronics.co.jp

E-mailbooksale@optronics.co.jp

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