中京大学 工学部 機械システム工学科
木野 仁
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Information
 このスライドは「イラストで学ぶ制御工学」を講義で活用するために提供されているスライドです．
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ださい．

「イラストで学ぶ制御工学（講談社）」
木野仁（著）谷口忠大（監）峰岸桃(絵)ホイールダックとは ホイールダックとは，「イラストで学ぶシリーズ（講談社）」において，主人公の博士と助手が開発していく，アヒル型ロボットである．

姉妹書

 イラストで人工知能概論

ホイールダック2号の開発を通じて人工知能を学ぶ

 イラストでロボット工学

ホイールダック2号アット
ホームの開発を通じてロボット工学を学ぶ

STORY
彼女は授業が終わった講義室で，スマートフォンを開いている．これまでたくさんのホイールダック1 号の動画が送られてきた．その様子からホイー
ルダック1 号製作の悪戦苦闘が伝わる．「次の夏休みには日本に帰れるかな？ 私もホイールダック1 号作りを手伝いたいな」再生した動画は過渡応答が改善され，安定して起き上がれるようになったホイールダック1 号くん
だった．「でも，これが多変数の場合でもできないといけないのよね」彼女
は溜息を漏らした．「何を見ているんだい？」「あ，教授！」そのとき，声をかけてきたのは中年美男で灰色の髪の教授だった．「先生，現代制御理論
でも，ロボットの安定性を保証することってできるんですか？」そんな彼女に，教授はウィンクを返す．「もちろんだよ！ それこそが現代制御論の得意な安定性の解析なんだよ！」．

10.1 自由システムの解析【安定性のイメージ】 安定性は極めて重要な概念．t=0でお椀の中央（x=0）でビー玉が静止しているとする（摩擦あり）．初期状態では，外部から力を受けない限り，x=0で静止し続ける．これを平衡状態といい，x=0を平衡点という．

 ビー玉が少し平衡点からズレると，右では，左右に振動しながら時間経過につれて平衡点x(t)=0に収束する．左は，平衡点からどんどん離れていってしまう．イメージで言えば，現代制御では右を安定，左を不安定という．

 摩擦が存在しない場合を考える．ビー玉はx=0近傍で振動するが，振幅が増加しない．この場合も安定という．
 平衡点に収束する状態のことを特に漸近安定という．

 厳密な意味では状態方程式において状態ベクトルx(t)=x0かつu(t)=u0で以下を満たすとき，x0,u0を平衡点といい，この状態とを平衡状態という.
より入力u(t)=u0から変化しなければ，状態ベクトルx(t)はx0にとどまり続ける．
 制御設計で重要なことは，不安定な制御システムを構築しないこと．不安定システムは，x(t)が時間経過とともに発散し，制御不能となる（≒暴走）→大事故．
 逆にいえば，制御の重要な視点は「システムを安定にすること」といえる．出来れば漸近安定とし，制御により状態ベクトルxを平衡点（の近傍）に収束させることが最も望ましい．
【自由システム】
 入力u=0の以下のシステムを考える．状態ベクトルx(t)および出力ベクトルy(t)は初期値から自然のなすがままにしかならない．これを自由システムという．

 入力u=0でもビー玉の例のように，漸近安定にはx(t)が平衡点に収束し，不安定な場合には発散する．
 出力方程式より，x(t)が発散しなければ，出力y(t)も発散せず，x(t)がある値に収束すれば，y(t)も収束する．
 自由システムの安定性は状態方程式の行列Aがカギを握っている（第9章の2種類のマス・バネ・ダンパシステムの行列Aの中身を思い出そう）．

 自由システムの状態方程式の解x(t)を求めよう．事前準備として，以下のスカラ変数の微分方程式を考える．
 上式は変数x(t)を時間微分すれば，元の変数 x(t) と同じ形式となる．この特徴を持つ関数はeに関するものと推測できる．そこで，解を以下と仮定する（k1≠0）．
 微分した よって，k2=aを得る．

を元の微分方程式に代入する．

より，t=0を代入するとk1=x(0)を得る．以上より，以下の解を得る．

 先述の解法を以下の状態方程式に拡張する．
 解x(t)を以下のように仮定する．cはn×1定数ベクトル．

 行列指数関数はn×n行列．上式を時間微分して 上式は元の状態方程式を満たすため，仮定した解は正しい．t=0を代入してx(0)=cが得られ，x(t)は以下となる．
 行列は自由システムの状態変数ベクトルx(t)の挙動を決定する要素であり，状態推移行列（遷移行列）とも呼ぶ．

 状態推移行列の性質はスカラ関数をイメージする．スカラ関数の挙動は以下に大別される．
 a>0は不安定，a≦0は安定，a<0は漸近安定に相当する．

 状態推移行列に拡張し，（数学的厳密性を無視し）イメージとして示したものが右図である．行列Aが(3)に相当すれば，となり，x(t)→0となり，漸近安定になりそうなイメージである．

10.2 自由システムの漸近安定性
 自由システムの行列Aとx(t)の収束性を少し厳密に数学的な説明をする．自由システムの状態方程式を漸近安定にし，x(t)→0(t→∞) にする必要十分条件は以下で示される．

 行列の固有値は，特性方程式から得られ，実数もしくは複素数となり，固有値は複素平面上で表現できる．
 固有値の実部Re[λi]は，スカラ関数のaに相当．
 全ての固有値が複素平面上で左半平面にあれば実部が負で漸近安定となる．1つでも右半平面（or虚軸上）に存在すれば，実部が正（orゼロ）となり漸近安定とはならない．

10.3 ラウス・フルビッツの安定判別
 自由システムが漸近安定かどうかは，行列Aの固有値の実部の正負で判断できる．
 行列の固有値の計算は，一般に行列のサイズが大きくなると計算するのは大変になる．
 漸近安定性だけを知りたい場合，行列Aの固有値の値ではなく，行列Aが安定行列か否かを判別できればよい．
 この判別方法として，次に説明するラウス・フルビッツの安定判別法がある．

【ラウス・フルビッツの安定判別法】
 行列A(n×n)の固有値は以下の特性方程式の解(根)s=λi

 すべての根（＝固有値）si=λiの実部が負になるとき（Re[si]<0 (i=1～n)）,以下の2つの条件を満足する．

 ラウス・フルビッツの安定判別法では，行列Aの特性方程式に対し，最初に条件1 を調べる．これを満足しない
場合には，行列Aは安定行列とはならない．
 条件1を満足する場合には，ラウス表を作り条件2を調べる．条件2を満足すれば，行列A は安定行列となり，自由システムは漸近安定となる．
 行列Aの固有値を直接に求めなくとも漸近安定かどうかを知ることができる．

10.4 安定判別の例システムA：通常のバネシステムB：バネ力が，自然長とは反対向きに発生する

 第9章のマス・バネ・ダンパの自由システムを考える．行

列A はAAとABの2種（k>0，m>0，μ>0）．

 行列A=AAの場合，α=k/m，β=μ/mとおけば， 各係数は全て正で条件1を満たす．次にラウス表を作る．

β>0より，条件2を満たす．このシステムは漸近安定となり行列AAの固有値の実部はすべて負となる

 次にA=ABの場合，α=k/m，β=μ/mとおけば特性方程式の第3項が負となり，条件1を満たさない．

--

 行列A=ABは安定行列とはならず，システムは漸近安定とならない．

棒の質量をm，回転軸まわりの慣性モーメントをJ，回転【1自由度の倒立振子(自由システム)】 軸から重心までの距離をlg，

 下図の自由システムを考える．運動方程式は

 θ(t)=0近傍でsinθ(t)≒θ(t)近似し，次式を得る．

とおけば状態方程式は

 この場合の特性方程式は以下となり，係数に負が含まれており，ラウス・フルビッツの安定判別の条件1 を満足しないため，漸近安定とならない．
 念のため固有値を計算するととり，1つの固有値の実部が正で，行列Aが安定行列にならない．
 図からイメージができるように，t=0のときx(0)≠0の初期値を与えられた場合には棒が倒れてしまい，x(t)=0に収束しない．