新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
計画研究「A02-6」

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ナノスケール系の散乱状態の時間発展に対するワイドバンドリミット近似による影響
笹岡健二、加藤司真A、相馬聡文B、小川真人B
神戸大学自然科学系先端融合研究環、神戸大学工学部A
神戸大学工学研究科B

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量子デバイスの動特性
ナノエレクトロニクス
動作原理として、電子の量子性を積極的に利用する素子の開発
金ナノワイヤ[1]カーボンナノチューブ[2]非定常量子輸送（過渡応答や交流応答）

メゾスコピックキャパシタ[3]電流•素子の誤作動の要因であるオーバーシュートや振動現象の存在は？

•素子の動特性は？
[1] H. Ohnishi, et al., Nature 395, 780 (1998).
[2] A. D. Franklin, et al., Nano Lett. 12, 758 (2012).
[3] S. Giblin, et al., Science 316, 1130 (2007).

定常状態
非定常状態
電圧印加時刻時間

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非定常量子輸送現象に対する数値計算例
ナノ構造体を流れる電流の数値計算 [1]✓非平衡グリーン関数（NEGF）法 + ワイドバンドリミット（WBL）近似 [2,3]✓２電極に挟まれた、単一エネルギー準位をもつナノ構造体✓時刻t=0で直流バイアス電圧を印加

数値計算例 [1]✓電流振動や電流オーバーシュート
電圧印加直後では、電極の入射状態の時間位相≠
ナノ構造体の電子状態の時間位相時間領域の干渉効果[1] K. Sasaoka, et al., Appl. Phys. Lett. 102, 233107 (2013).
[2] N. S. Wingreen, et al.,, Phys. Rev. B 48, 8487 (1993).
[3] A.-P. Jauho, et al., Phys. Rev. B 50, 5528 (1994).

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数値計算手法の課題
NEGF法 [1,2] の問題点
素子サイズが大きくなるにつれて、計算量が急激に増加
Wide Band Limit近似の導入が必須
Wide Band Limit近似による時間依存散乱状態への影響？
✓近似なしの場合と本質的に異なる振る舞いを示すのか？

✓もし示す場合、どのような物理的状況下で起こるのか？
本研究の目的：この問に対する回答を与えること
解析方法：近年提案された散乱理論に基づいた方法 [3]NEGF法と比較して、低い計算コスト
Wide Band Limit近似を導入せずに計算可能[1] N. S. Wingreen, et al., Phys. Rev. B 48, 8487 (1993).
[2] A.-P. Jauho, et al., Phys. Rev. B 50, 5528 (1994).
[3] B. Gaury, et al., Phys. Rep. 534, 1 (2014).

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開放系のSchrödinger方程式
実空間グリッド
左電極領域

中心領域

右電極領域

中心領域の電子の運動を記述する基礎方程式 [1]（WBL近似）電極からの波動関数の流入
ただし、 電極αによる自己エネルギー：電極への波動関数の流出
Fermi準位：

中心領域の摂動波動関数：

電極αの無摂動波動関数：

中心領域のHamiltonian：

電極αとの接触Hamiltonian (摂動)：[1] B. Gaury, et al., Phys. Rep. 534, 1 (2014).

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フローチャート
1. 電極による自己エネルギーを計算
WBL近似なし

WBL近似ありFermi準位のみエネルギー積分

2. 初期状態の作成
3. 開放系のSchrödinger方程式を用いた時間発展
WBL近似なし

WBL近似あり波動関数のメモリに関する波動関数のメモリに関する時間ループあり

時間ループなし
波動関数を出力

4. 有限回の時間ステップで計算終了[1] B. Gaury, et al., Phys. Rep. 534, 1 (2014).

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計算モデルとパラメーター
有効質量近似（伝導帯）✓差分化✓中心領域は単一サイトのみ✓左右の電極は同じ一次元系

実空間グリッド
左電極領域

中心領域

右電極領域

電極に対するのパラメーター（AlGa/AlGaAsヘテロ構造）[1,2]格子間隔：Fermi準位：

ホッピングパラメーター：

オンサイトエネルギー：
エネルギーの原点 = 伝導帯の底✓無摂動波動関数
入射エネルギー：✓電極と中心領域の接触は弱いと仮定
ホッピングパラメーター（接触部分）：[1] A. Cresti, Phys. Status Solidi 203, 1172 (2006).
[2] K. Sasaoka, et al., Phys. Rev. B 84, 12540 (2011).

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計画研究「A02-6」8/12

印加交流電圧とエネルギーダイアグラム
時間依存ゲート電圧

エネルギーダイアグラム

準位の位置 [meV]

右電極領域

中心領域

エネルギー エネルギー

左電極領域✓中心領域に時刻t=0で印加✓印加前は平衡状態
オンサイトエネルギー：

電圧印加によってシフト

✓交流電圧
周波数：

806040

入射エネルギー

20

伝導帯の底

0

交流電圧の振幅値：

2通りの振幅値でシミュレーションを行い、結果を比較

02684
時間 [ps]10

新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
計画研究「A02-6」9/12交流電圧の振幅値：
約1[ps]と約4[ps]にあるピーク
準位の位置と入射エネルギー存在確率比

数値計算結果（交流電圧の振幅が小）準位 [meV]

電極の入射状態の時間位相≠
ナノ構造体の電子状態の時間位相

w/o WBLw/ WBL20100が一致した時刻とほぼ対応

ピーク出現後の振動 [1]306040

入射エネルギー

2000264
時間 [ps]

WBL近似は定量的な変化を与えるのみであり、定性的な変化を与えない[1] K. Sasaoka, et al., Appl. Phys. Lett. 102, 233107 (2013).

810

新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
計画研究「A02-6」10/12交流電圧の振幅が小さい
場合と同じで囲まれた時間領域
縦軸を対数にして再プロット

準位 [meV]

交流電圧の振幅値：ピークと振動存在確率比

数値計算結果（交流電圧の振幅が大）252015105075w/o WBLw/ WBL

50
入射エネルギー

2500264
時間 [ps]810

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計画研究「A02-6」

10/12

数値計算結果（交流電圧の振幅が大）場合と同じで囲まれた時間領域
縦軸を対数にして再プロット

存在確率比
存在確率比

交流電圧の振幅が小さい

251002010151100.1
50.01
075

準位 [meV]

交流電圧の振幅値：
ピークと振動w/ow/oWBL
WBLw/w/WBL
WBL

50
入射エネルギー
入射エネルギー

2500264
時間 [ps]810

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10/12

数値計算結果（交流電圧の振幅が大）場合と同じで囲まれた時間領域
縦軸を対数にして再プロット
WBL近似なし
波動関数が一定
WBL近似あり波動関数が指数関数的に減衰

存在確率比
存在確率比

交流電圧の振幅が小さい

25100
20
1015
1
100.1
50.01
075

準位 [meV]

交流電圧の振幅値：
ピークと振動w/ow/oWBL
WBLw/w/WBL
WBL

50
入射エネルギー
入射エネルギー

2500264
時間 [ps]

この違いを定性的に説明するために、準位が伝導帯の下に位置していることに注目810

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時間依存電圧によって誘起された束縛状態
WBL近似なし
左電極領域

中心領域

WBL近似あり
右電極領域

束縛状態のため、緩和が起きない

左電極領域

中心領域

右電極領域

電極の状態と結合するため、非物理的な緩和が起きる

WBL近似の別の表現は、「次の時刻の状態が状態履歴に独立」
先行研究[1,2]の結論「束縛状態が関係する振動状態は履歴に依存し、緩和しない。」と矛盾しない[1] G. Stefanucci, Phys. Rev. B 75, 195115 (2007).
[2] E. Khosravi et al., Appl. Phys. A 93, 355 (2008).

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結論
✓近似なしの場合と本質的に異なる振る舞いを示すのか？
WBL近似なし
波動関数が一定
WBL近似あり波動関数が指数関数的に減衰存在確率比

Wide Band Limit近似による時間依存散乱状態への影響
100w/o WBLw/ WBL

1010.1
0.01
0264
時間 [ps]810✓もし示す場合、どのような物理的状況下で起こるのか？
WBL近似なし
左電極領域

WBL近似あり

中心領域

右電極領域

束縛状態の出現

左電極領域

中心領域

右電極領域

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A1/A4

Wide Band Limit 近似
電極αによる自己エネルギー（エネルギードメイン）
ただし、Fermi準位：

電極αの状態密度のエネルギー変化を無視

電極αによる自己エネルギー（時間ドメイン）

ただし、電極αの時間依存ポテンシャルエネルギー：電極αの状態のメモリーを無視新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
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A2/A4

時間微分の差分化

ただし、 電極αによる自己エネルギー：

Fermi準位：

中心領域の摂動波動関数：

電極αの無摂動波動関数：

中心領域のHamiltonian：

電極αとの接触Hamiltonian (摂動)：新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
計画研究「A02-6」

A3/A4

時間微分の差分化

ただし、 電極αによる自己エネルギー：

Fermi準位：

中心領域の摂動波動関数：

電極αの無摂動波動関数：

中心領域のHamiltonian：

電極αとの接触Hamiltonian (摂動)：新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
計画研究「A02-6」

A4/A4

開放系のSchrödinger方程式
基礎方程式 [1]

（WBL近似）電極からの波動関数の流入

電極への波動関数の流出

ただし、 電極αによる自己エネルギー：

Fermi準位：

中心領域の摂動波動関数：

電極αの無摂動波動関数：

中心領域のHamiltonian：

電極αとの接触Hamiltonian (摂動)：•非定常散乱理論に基づいた手法（波動関数を計算）•NEGF法と原理的に等価•NEGF法と比較して、低い計算コスト
Wide Band Limit近似を導入せずに計算可能[1] B. Gaury, et al., Phys. Rep. 534, 1 (2014).