書籍「図式と操作的確率論による量子論」 補足スライド図式で学ぶ線形代数
中平 健治
公開月：2022年10月，更新月：2022年12月

有限次元系の量子論を理解するために必要な有限次元空間の線形代数の基礎のいくつかを図式を用いて説明しています。
本書では書ききれなかった話題にも多く触れています。
線形代数について一度は学んだことがある人を対象にしています。
本書を読んでいなくても概ね理解できるように書いています。

各スライドに補足を加えたものをnote記事として公開しています： https://note.com/kenji_nakahira/

0

主な表記
ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛
ℂ𝑛𝑛
ℂ𝑛𝑛∗
𝑥𝑥
⊗
𝑋𝑋 † , 𝑋𝑋 ∗ , 𝑋𝑋 T
𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑋𝑋 −1
⟨𝑥𝑥|𝑦𝑦⟩𝑥𝑥 𝐴𝐴 𝑦𝑦ℝ≥0 , ℝ>0
𝑓𝑓 𝑋𝑋
∪𝑛𝑛 , ∩𝑛𝑛
Tr 𝑋𝑋
⟨𝑥𝑥, 𝑦𝑦⟩𝑋𝑋∪
𝑋𝑋 𝑌𝑌
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛
𝒮𝒮 ∗
ℝ𝑛𝑛≥0

𝑚𝑚行𝑛𝑛列の複素正方行列全体
𝑛𝑛次元複素列ベクトル全体
𝑛𝑛次元複素行ベクトル全体
𝑥𝑥 の共役転置
テンソル積
𝑋𝑋の共役転置，複素共役，転置
𝑛𝑛次単位行列
𝑋𝑋の逆行列𝑥𝑥 と 𝑦𝑦 の積
𝑥𝑥 と𝐴𝐴と 𝑦𝑦 の積
非負の実数全体，正の実数全体
正規行列𝑋𝑋の関数（例： 𝑋𝑋）
cup列ベクトル，cap行ベクトル
𝑋𝑋のトレース
𝑥𝑥 と 𝑦𝑦 の内積
𝑋𝑋の格下げ𝑋𝑋と𝑌𝑌のヒルベルト-シュミット内積 Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋 = 𝑋𝑋∪ 𝑌𝑌∪
𝑛𝑛次半正定値行列全体
𝑛𝑛次エルミート行列全体
凸錐𝒮𝒮の双対錐
𝑛𝑛次元非負列ベクトル1

目次
1. 図式の基礎と線形代数の基礎
2. スペクトル分解と特異値分解3. テンソル積およびトレース・転置・内積
4. 行列が作るヒルベルト空間2行列の図式
𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛

𝑛𝑛 = 1の場合

特別な場合

𝑚𝑚次元列ベクトル𝑣𝑣 ∈ ℂ𝑚𝑚

𝑚𝑚 = 1の場合

𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 = 1の場合

𝑛𝑛次元行ベクトル スカラー（複素数）𝑤𝑤 ∈ ℂ𝑛𝑛∗𝑎𝑎 ∈ ℂ

注1： ℂは複素数全体。ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 は𝑚𝑚行𝑛𝑛列の複素行列の全体
注2： 列ベクトルおよび行ベクトルは数式では記号ℂ𝑛𝑛∗ ≔ ℂ1×𝑛𝑛 はℂ𝑛𝑛 = ℂ𝑛𝑛×1 の双対ベクトル空間
注3： 𝑤𝑤 は 𝑤𝑤 の共役転置およびを用いて表す・ 行列をブロックで表す（三角形や四角形で描くことが多いが，他の図形でも良い）・ 破線

nは複素ヒルベルト空間ℂ𝑛𝑛 を表す（𝑛𝑛 = 1の場合には破線を通常省略する）

・ スカラーを表すブロックは通常省略する

注：ブロックの大きさや破線の長さには原則として何の情報も含まれていないものとする

3行列の積とテンソル積■ 行列の積を直列接続で表し，テンソル積を並列接続で表す
行列𝑋𝑋と𝑌𝑌の積𝑋𝑋𝑋𝑋

行列𝑍𝑍1 と𝑍𝑍2 のテンソル積𝑍𝑍1 ⊗ 𝑍𝑍2

注： 𝑋𝑋𝑋𝑋のように表した場合には𝑋𝑋𝑋𝑋が計算できる（つまり𝑋𝑋の列数と𝑌𝑌の行数が同じ）ものとする■ 𝑋𝑋1 𝑌𝑌1 ⊗ 𝑋𝑋2 𝑌𝑌2 = 𝑋𝑋1 ⊗ 𝑋𝑋2 𝑌𝑌1 ⊗ 𝑌𝑌2 が成り立つ

図式ではこの両辺は次のように描ける

4

共役転置，複素共役，転置
図式では行列𝑋𝑋の共役転置（𝑋𝑋 † ）と複素共役（𝑋𝑋 ∗ ）をそれぞれ上下反転と左右反転で表す
𝑋𝑋の転置（𝑋𝑋 T = 𝑋𝑋 ∗† ）は上下反転と左右反転の両方を施した演算（180度回転）で表せる
例

𝑋𝑋 𝑥𝑥 の共役転置，複素共役，転置

注： 図式に対応する数式を濃い青色で表す

𝑋𝑋 𝑥𝑥

𝑥𝑥 † = 𝑥𝑥

𝑥𝑥 𝑋𝑋 †𝑋𝑋 ∗ 𝑥𝑥 ∗ （ただし 𝑥𝑥 ∗ ≔ 𝑥𝑥 ∗ ）𝑥𝑥 T = 𝑥𝑥 ∗𝑥𝑥 ∗ 𝑋𝑋 T

𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 𝑌𝑌 † 𝑋𝑋 † ， 𝑋𝑋𝑋𝑋 ∗ = 𝑋𝑋 ∗ 𝑌𝑌 ∗ ， 𝑋𝑋𝑋𝑋 T = 𝑌𝑌 T 𝑋𝑋 T が容易にわかる

備考： 数式を90度右回転させると図式との対応がつきやすい5スカラー倍と和行列はスカラー倍と和を保存する
注1： 行列𝑋𝑋が「スカラー倍を保存する」とは，𝑋𝑋 𝑎𝑎 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎 𝑋𝑋 𝑣𝑣 ∀𝑎𝑎 ∈ ℂ, 𝑣𝑣 ∈ ℂ𝑚𝑚 ) を満たす，
つまり「スカラー倍してから𝑋𝑋を掛けたもの」と「𝑋𝑋を掛けてからスカラー倍したもの」が等しいという意味。「和を保存する」も同様
注2： スカラー倍と和を保存するような写像を線形写像とよぶ。行列は線形写像と同一視できる

このため，スカラーや和の記号 ∑ は図式内を自由に移動できる
注： ただし，等号などは乗り越えられない例𝑎𝑎𝑎𝑎 ∑𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑖𝑖 = ∑𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑋𝑋𝑌𝑌𝑖𝑖 = ∑𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑌𝑌𝑖𝑖 ⊗ 𝑎𝑎
注： 𝑎𝑎𝑎𝑎 は 𝑎𝑎 ⊗ 𝑋𝑋（= 𝑋𝑋 ⊗ 𝑎𝑎）のこと

6

単位行列
単位行列𝐼𝐼𝑛𝑛 は，図式では単なる破線としてと描く
注： 図式ではℂ𝑛𝑛 と𝐼𝐼𝑛𝑛 を区別しない

備考： 単位行列は「入力をそのまま出力する写像」のこと
𝐼𝐼𝑛𝑛 の基本的な性質：
(1)

(2)
(id)
↑ 式番号

𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑋𝑋 = 𝑋𝑋 = 𝑋𝑋𝐼𝐼𝑛𝑛

𝐼𝐼𝑚𝑚 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑚𝑚⊗𝑛𝑛

注： ラベル「𝑚𝑚 ⊗ 𝑛𝑛」が付いた破線はℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 のこと

直観的には，(1)線の長さは自由に変えられて，(2)2本の線は1本にまとめられることを意味している7

逆行列
命題 正則行列𝑋𝑋の逆行列は一意に定まる
注：行列𝑋𝑋に対して 𝑋𝑋 −1 𝑋𝑋 = 𝐼𝐼 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 −1 を満たすような行列𝑋𝑋 −1 が存在するとき，𝑋𝑋を正則行列とよび𝑋𝑋 −1 を逆行列とよぶ（正則行列は正方行列である）

証明 𝑋𝑋 −1 と𝑌𝑌がともに𝑋𝑋の逆行列であるとするとより 𝑌𝑌 = 𝑋𝑋 −1 である∵ 𝑋𝑋𝑋𝑋 −1 = 𝐼𝐼𝑛𝑛

∵ 𝑌𝑌𝑌𝑌 = 𝐼𝐼𝑛𝑛

（証終）命題 任意の正則行列𝑋𝑋と𝑌𝑌について 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 は正則であり 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 −1 = 𝑋𝑋 −1 ⊗ 𝑌𝑌 −1
証明

(id)

𝑋𝑋 −1 ⊗ 𝑌𝑌 −1 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 = 𝐼𝐼𝑚𝑚⊗𝑛𝑛

𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 𝑋𝑋 −1 ⊗ 𝑌𝑌 −1 = 𝐼𝐼𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 も同様に示せる

（証終）

8

CONS（完全正規直交系, Complete OrthoNormal System）■ 定義
ONS：正規であり互いに直交する（つまり次式を満たす）列ベクトルの組 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1

注： 𝑥𝑥 が正規であるとは 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 1 を満たすこと， 𝑥𝑥 と 𝑦𝑦 が直交するとは 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 0 を満たすこと

1,0,𝑖𝑖 = 𝑗𝑗𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗(CONS1)

� 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑛𝑛

(CONS2)

𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑗𝑗 = 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑗𝑗 ≔ �𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑗𝑗 は 𝑢𝑢𝑖𝑖 と 𝑢𝑢𝑗𝑗 の積のこと

必ず 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 を満たし，特に 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 ならばCONSとよぶ■ CONSの性質

𝑢𝑢𝑖𝑖𝑘𝑘𝑖𝑖=1 がCONS

⇔

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

注：CONSが基底であるという事実を用いると容易に示せる■ CONSの例
𝑖𝑖

𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 （ただし， 𝑖𝑖 は𝑖𝑖行目の要素が1でそれ以外の要素が0である𝑛𝑛次元列ベクトル）9テンソル積空間のCONS
命題 ℂ𝑚𝑚 のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖
証明1

𝑢𝑢𝑖𝑖 ⊗ 𝑣𝑣𝑗𝑗

𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 とℂ のCONS 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 を任意に選んだとき
𝑚𝑚,𝑛𝑛
は ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 のCONS(𝑖𝑖,𝑗𝑗)= 1,1

より， 𝑢𝑢𝑖𝑖 ⊗ 𝑣𝑣𝑗𝑗

証明2

𝑚𝑚,𝑛𝑛

(𝑖𝑖,𝑗𝑗)= 1,1

はONS

要素数が𝑚𝑚𝑚𝑚でありℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 の次元に等しいため，明らかにCONS(CONS2)であるため，式(CONS2)より明らか

（証終）

(id)

（証終）

10

[応用] コーシー・シュワルツの不等式
命題 任意の 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑛𝑛 について 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ≥ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 2
証明

𝑦𝑦 がゼロベクトルの場合は明らかなため，それ以外の場合を考える
𝑢𝑢1 ≔ 𝑦𝑦 ⁄𝑦𝑦 𝑦𝑦 とおくと， 𝑢𝑢1 𝑢𝑢1 = 1 であるため 𝑢𝑢1 は正規

𝑢𝑢2 , … , 𝑢𝑢𝑛𝑛 を適切に選んでCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖

任意の 𝑥𝑥 について

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

を作れる

(CONS2)𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 𝑢𝑢1

2

注： 𝑢𝑢1 𝑥𝑥 は 𝑝𝑝 ≔ 𝑥𝑥 𝑢𝑢1 の「上下反転」であるため
𝑢𝑢1 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝† = 𝑝𝑝∗ であり， 𝑥𝑥 𝑢𝑢1 𝑢𝑢1 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 2
∵ 𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑖𝑖

両辺に 𝑦𝑦 𝑦𝑦 を掛けると 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ≥ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 2 を得る

2

≥0

（証終）

11

行列の表現𝑛𝑛
𝑛𝑛
命題 ℂ𝑚𝑚 のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 とℂ のCONS 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 を任意に選ぶ。
𝑛𝑛
任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋は 𝑋𝑋 = ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 ∑𝑗𝑗=1 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗 （𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 ≔ 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑣𝑣𝑗𝑗 ∈ ℂ）と表せる

𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑣𝑣𝑗𝑗 は 𝑢𝑢𝑖𝑖 と 𝑋𝑋 と 𝑣𝑣𝑗𝑗 の積のこと

証明

𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 （破線のブロックは単なる補助線）(CONS2)𝑛𝑛
𝑋𝑋 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖=1 ∑𝑗𝑗=1 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑣𝑣𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑗𝑗
𝑛𝑛
= ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 ∑𝑗𝑗=1 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗

（証終）

備考： 𝑖𝑖行𝑗𝑗列目の成分が 𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗 であるような行列𝑋𝑋は 𝑋𝑋 = ∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑗𝑗 と表せる
この命題における 𝑢𝑢𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 および 𝑣𝑣𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 の場合に相当し，𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑗𝑗 である

系

𝑚𝑚
𝑚𝑚
任意のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 と 𝑣𝑣 ∈ ℂ に対して 𝑣𝑣 = ∑𝑖𝑖=1 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 （𝑣𝑣𝑖𝑖 ≔ 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣 ∈ ℂ）

12

行列の積
命題 行列 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑙𝑙×𝑚𝑚 と 𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 の積𝑋𝑋𝑌𝑌の𝑖𝑖行𝑗𝑗列目の成分は ∑𝑚𝑚
𝑘𝑘=1 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑌𝑌𝑘𝑘,𝑗𝑗（ただし，𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑘𝑘 は𝑋𝑋の𝑖𝑖行𝑘𝑘列目の成分であり，𝑌𝑌𝑘𝑘,𝑗𝑗 は𝑌𝑌の𝑘𝑘行𝑗𝑗列目の成分）
証明 𝑍𝑍𝑖𝑖,𝑗𝑗 ≔ ∑𝑚𝑚
𝑘𝑘=1 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑌𝑌𝑘𝑘,𝑗𝑗 とおく

𝑋𝑋 = ∑𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑘𝑘 , 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑘𝑘 ≔ 𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑘𝑘 および 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘 ′ ,𝑗𝑗 𝑌𝑌𝑘𝑘 ′ ,𝑗𝑗 𝑘𝑘𝑘 𝑗𝑗 , 𝑌𝑌𝑘𝑘 ′ ,𝑗𝑗 ≔ 𝑘𝑘 ′ 𝑌𝑌 𝑗𝑗 の形で表せるため(CONS1)

したがって，𝑋𝑋𝑋𝑋 の𝑖𝑖行𝑗𝑗列目の成分は 𝑍𝑍𝑖𝑖,𝑗𝑗 である（証終）

備考： 積𝑋𝑋𝑋𝑋は2個の線形写像𝑋𝑋と𝑌𝑌の合成𝑋𝑋 ∘ 𝑌𝑌のこと（∘ は写像の合成）。
この命題は，線形代数の図式に関する基本的な性質とCONSの性質のみから
積𝑋𝑋𝑋𝑋の具体的な計算が導けることを意味する
13

目次
1. 図式の基礎と線形代数の基礎
2. スペクトル分解と特異値分解3. テンソル積およびトレース・転置・内積
4. 行列が作るヒルベルト空間

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正規行列
𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 を満たす正方行列𝑋𝑋を正規行列とよぶ
命題

𝑛𝑛次正方行列𝑋𝑋が正規(Spec)⇔𝑋𝑋 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖

証明 本書のA.3.4項を参照のこと

𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∈ ℂ とCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖

を満たす

𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 が存在する

式(Spec)の形で表すことを，𝑋𝑋のスペクトル分解とよぶ
備考： 𝜆𝜆𝑖𝑖 は𝑋𝑋の固有値であり， 𝑢𝑢𝑖𝑖 は（𝜆𝜆𝑖𝑖 に対応する）𝑋𝑋の正規固有ベクトル15正規行列の分類
ユニタリ行列，エルミート行列，（半）正定値行列，射影行列はすべて正規行列（これらの行列は量子論で頻繁に登場する）
定義と必要十分条件を以下に示す
行列の種類

定義

ユニタリ行列𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 † = 𝑈𝑈 † 𝑈𝑈 = 𝐼𝐼𝑛𝑛

エルミート行列𝐻𝐻
半正定値行列𝑆𝑆
正定値行列𝑆𝑆p射影行列𝑃𝑃

𝐻𝐻† = 𝐻𝐻

𝑥𝑥 𝑆𝑆 𝑥𝑥 ∈ ℝ≥0 ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑛𝑛

𝑥𝑥 𝑆𝑆p 𝑥𝑥 ∈ ℝ>0 ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑛𝑛≠0
𝑃𝑃† = 𝑃𝑃 and 𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃𝜆𝜆𝑖𝑖 は対応する行列の固有値

必要十分条件

正規かつ 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1 ∀𝑖𝑖
正規かつ 𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ ∀𝑖𝑖

正規かつ 𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ≥0 ∀𝑖𝑖

正規かつ 𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ>0 ∀𝑖𝑖

正規かつ 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 0 or 1 ∀𝑖𝑖ℝ≥0 ：非負の実数全体から成る集合ℝ>0 ：正の実数全体から成る集合ℂ𝑛𝑛≠0 ：ℂ𝑛𝑛 からゼロベクトルを除いた集合

備考：・ エルミート行列𝐻𝐻は 𝐻𝐻𝐻𝐻† = 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐻𝐻† 𝐻𝐻 を満たすため正規・ ユニタリ行列や射影行列が正規であることも明らか
・ 半正定値行列が正規（特にエルミート）であることは後で示す
・ 表で示した必要十分条件は，スペクトル分解すれば容易にわかる

16

[参考] 正規行列の包含関係
ユニタリ行列，エルミート行列，（半）正定値行列，射影行列の包含関係を示す（先述の「必要十分条件」よりすぐにわかる）
正規

ユニタリ

（𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℂ）

（ 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1）（𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ −1,1 ）単位

射影（𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ 0,1 ）（𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1）

正定値

ここでは「すべての𝑖𝑖について」
𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℂ という意味（他も同様）（𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ>0 ）半正定値（𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ≥0 ）エルミート（𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ）

17

[参考] 正規行列の捉え方
正規行列𝑋𝑋を式(Spec)の形で表せば

𝑋𝑋 𝑢𝑢𝑗𝑗 = 𝜆𝜆𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑗𝑗

であるため，𝑋𝑋は各 𝑢𝑢𝑗𝑗 を𝜆𝜆𝑗𝑗 倍するような行列とみなせる

注： この式より各 𝑢𝑢𝑗𝑗 が𝑋𝑋の固有ベクトルであることがわかる。
𝑋𝑋が正規行列であることは，𝑋𝑋の正規固有ベクトルの組 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 をCONSとなるように選べることに等しい

直観的には，CONS 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 は直交する（かつ長さをそろえた）座標軸と捉えられ，𝑋𝑋をスペクトル分解することは𝑋𝑋を扱いやすい座標軸から眺めることとみなせる
正規行列𝑋𝑋はスペクトル分解の形で表すと便利なことが多い

例えば，𝑋𝑋 𝑘𝑘 や exp 𝑋𝑋 といった値を計算するときに役立つ（後で述べる）

備考： 正規ではない行列に対してはスペクトル分解できないが，後述する特異値分解がスペクトル分解としばしば似たような働きをする
18半正定値行列はエルミート
補題

𝑥𝑥 𝑋𝑋 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑛𝑛 を満たすならばエルミート

証明 𝑍𝑍 ≔𝐢𝐢
2

𝑋𝑋 − 𝑋𝑋 † （𝐢𝐢 ≔ −1）とおくと，𝑍𝑍 † =−𝐢𝐢
2

注： 逆も成り立つことがすぐに示せる𝑋𝑋 † − 𝑋𝑋 = 𝑍𝑍 であるため𝑍𝑍はエルミート

このため，𝑍𝑍 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 の形でスペクトル分解できる
𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 0（つまり𝑍𝑍 = 0）であることが次式からわかる(CONS1)

よって，𝑋𝑋 =1
2

𝑋𝑋 + 𝑋𝑋 † − 𝐢𝐢𝑍𝑍 =命題 半正定値行列はエルミート

12∵ 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ ℝより 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 † 𝑢𝑢𝑖𝑖 =𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑢𝑢𝑖𝑖†

= 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑢𝑢𝑖𝑖

𝑋𝑋 + 𝑋𝑋 † であり，𝑋𝑋は明らかにエルミート（証終）証明 半正定値行列の定義と上の補題から明らか

（証終）
19

正規行列のテンソル積
命題 正規行列 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 , 𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 のスペクトル分解を以下の形で表す

𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 も正規行列であり，以下のようにスペクトル分解できる(SpecXY)

証明 式(SpecXY)が成り立つことは明らか
𝑢𝑢𝑖𝑖 ⊗ 𝑣𝑣𝑗𝑗

𝑖𝑖,𝑗𝑗はCONSであるため，この式は 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 のスペクトル分解にすぎない𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 はスペクトル分解できるため正規行列である

備考：𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 の固有値は 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝜇𝜇𝑗𝑗

𝑖𝑖,𝑗𝑗

（証終）

であるため，先ほど示した表の「必要十分条件」より

𝑋𝑋と𝑌𝑌がともにユニタリならば 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 もユニタリであることがわかる（エルミート/半正定値/正定値/射影行列の場合も同様）

20

𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿† はエルミート，𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿† は半正定値
命題 任意のエルミート行列𝐻𝐻と行列𝑋𝑋に対して 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 † はエルミート
証明（証終）
注： エルミートとは「上下対称」であること（図式でもしばしば上下対称のブロックで描く）。
𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 † も明らかに「上下対称」であるためエルミート

命題 任意の半正定値行列𝑆𝑆と行列𝑋𝑋に対して 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 † は半正定値

証明 任意の 𝑥𝑥 に対して 𝑥𝑥 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 † 𝑥𝑥 ∈ ℝ≥0 を示せばよい
𝑦𝑦 ≔ 𝑋𝑋 † 𝑥𝑥 とおいて半正定値行列の定義を用いると 𝑥𝑥 𝑋𝑋𝑆𝑆𝑋𝑋 † 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝑦𝑦 ∈ ℝ≥0

（証終）

21

2組のCONSから成る行列はユニタリ
命題 任意の2組のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 と

𝑣𝑣𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 に対してはユニタリ行列証明(CONS1)(CONS2)

であり，𝑈𝑈𝑈𝑈 † = 𝐼𝐼𝑛𝑛 も同様（証終）

注： 逆に任意のユニタリ行列𝑈𝑈は2組のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 と 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 を用いて 𝑈𝑈 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 の形で表せる（CONS 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 を任意に選んで 𝑢𝑢𝑖𝑖 ≔ 𝑈𝑈 𝑣𝑣𝑖𝑖 とおけばすぐにわかる）

系

𝑈𝑈 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 の𝑖𝑖列目の列ベクトルを 𝑢𝑢𝑖𝑖 とおくと，𝑈𝑈がユニタリ ⇔証明 𝑈𝑈 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖 と表せるため，明らか

𝑢𝑢𝑖𝑖

𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 がCONS

22

[応用] 𝑼𝑼† 𝑼𝑼 = 𝑰𝑰 を満たす正方行列𝑼𝑼はユニタリ
命題 𝑈𝑈 † 𝑈𝑈 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 を満たす𝑛𝑛次正方行列𝑈𝑈はユニタリ
証明(CONS2)

𝑢𝑢𝑖𝑖 ≔ 𝑈𝑈 † 𝑖𝑖 とおくとこのため，式(CONS2)より 𝑢𝑢𝑖𝑖
(CONS2)𝑛𝑛𝑖𝑖=1 はCONSであるため，𝑈𝑈はユニタリ

（証終）

23

ユニタリ行列を用いたスペクトル分解
命題 行列𝑋𝑋が正規 ⇔ 𝑋𝑋 = 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 † の形で表せる（ただし𝐷𝐷は対角行列，𝑈𝑈はユニタリ行列）
証明 ℂ𝑛𝑛 の任意のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 と 𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∈ ℂ について次式が成り立つ(CONS1)

ただし，𝑈𝑈 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖
および 𝐷𝐷 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖

このため𝑋𝑋が正規ならば 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 † の形で表せる。明らかに𝐷𝐷は対角行列で𝑈𝑈はユニタリ行列
逆も明らか（𝑈𝑈 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖 の形で表せばよい）

（証終）

24

半正定値行列の分解
命題 行列𝑆𝑆が半正定値 ⇔ ある行列𝑋𝑋を用いて 𝑆𝑆 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † の形で表せる
証明 ⇒：(Spec)(CONS1)

ただし，𝑋𝑋 ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖

注： 𝑘𝑘 ≔ rank 𝑆𝑆（つまり𝑘𝑘は𝑆𝑆の正の固有値の個数）とおき，𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 > 0とおいた⇐： 任意の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑛𝑛 に対して 𝑥𝑥 𝑋𝑋𝑋𝑋 † 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ∈ ℝ≥0 （ 𝑦𝑦 ≔ 𝑋𝑋 † 𝑥𝑥 ）より明らか（証終）

備考： 𝑋𝑋 ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖 は𝑖𝑖列目が列ベクトル系

𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑛𝑛 で表されるような行列

正方行列𝑆𝑆が半正定値かつランク1 ⇔ ある 𝑠𝑠 ∈ ℂ𝑛𝑛 を用いて 𝑆𝑆 = 𝑠𝑠 𝑠𝑠 の形で表せる

25

正規行列の関数
命題 正規行列𝑋𝑋を 𝑋𝑋 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 の形にスペクトル分解したとき，任意の自然数𝑘𝑘に対して 𝑋𝑋 𝑘𝑘 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖
証明 𝑋𝑋 2 は次式により 𝑋𝑋 2 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆2𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 と表せる

(CONS1)

𝑋𝑋 3 , 𝑋𝑋 4 , …も同様に示せる（証終）

この命題を拡張することで，より一般の ℂ 上の関数𝑓𝑓 に対して 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑓𝑓 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 と定義できる例

𝑋𝑋 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 ， 𝑋𝑋 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 ，exp(𝑋𝑋) ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 exp 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖

注： 定義域に注意。例えば 𝑋𝑋は通常𝑋𝑋が半正定値行列の場合のみに定義される

備考： 𝑋𝑋 † = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆∗𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 より 𝑋𝑋 = 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 が成り立つ

26

特異値分解命題 𝑘𝑘 ≔ min 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 とおく。任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋に対し，(SVD)を満たす 𝜎𝜎1 , … , 𝜎𝜎𝑘𝑘 ∈ ℝ≥0 および2組のONS 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑖𝑖=1 ,

𝑣𝑣𝑖𝑖

𝑘𝑘
𝑖𝑖=1 が存在する

略証 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋（これは半正定値行列）のスペクトル分解を用いればよい（詳しくは本書のA.3.4項を参照のこと）

式(SVD)の形で表すことを𝑋𝑋の特異値分解とよび，𝜎𝜎1 , … , 𝜎𝜎𝑘𝑘 を𝑋𝑋の特異値とよぶ

正規行列のみがスペクトル分解できるのに対し，特異値分解は任意の行列に対して行える

系

注： 𝑋𝑋が正規行列の場合にはスペクトル分解を少し変形すれば特異値分解が得られる。
特に𝑋𝑋が半正定値行列の場合には特異値分解はスペクトル分解そのもの

任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋は 𝑋𝑋 = 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑉𝑉 † の形で表せる。ただし 𝐷𝐷 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 の非対角成分はすべてゼロであり，𝑈𝑈 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 と 𝑉𝑉 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 はユニタリ

証明 正規行列のスペクトル分解の場合と同様

27

𝑿𝑿の特異値は 𝑿𝑿† 𝑿𝑿 の固有値

命題 任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋について，𝑋𝑋のそれぞれの特異値は 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 の固有値
証明 𝑋𝑋を 𝑋𝑋 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 の形で特異値分解すると(CONS1)系

したがって 𝜎𝜎𝑖𝑖2 は 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 の固有値，つまり 𝜎𝜎𝑖𝑖 は 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 の固有値

(SVDXX)（証終）

注： 𝜎𝜎𝑖𝑖 は 𝑋𝑋𝑋𝑋 † の固有値でもあることが同様にわかる

任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋について，𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 = 0 ならば 𝑋𝑋 = 0

証明 上の証明と同様に 𝑋𝑋を 𝑋𝑋 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 の形で特異値分解すると，式(SVDXX)より 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 = 0 ならば 𝜎𝜎1 , … , 𝜎𝜎𝑘𝑘 = 0 であるため 𝑋𝑋 = 0（証終）

注： 明らかに逆も成り立つ。また，𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 0 ならば 𝑋𝑋 = 0 であることも，この系の共役転置を考えれば明らか

28逆行列の特異値分解
命題 𝑛𝑛次正則行列𝑋𝑋を 𝑋𝑋 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 の形で特異値分解すると，𝑋𝑋 −1 は(SVDinv)のように特異値分解できる
証明 𝑋𝑋は正則なので 𝑋𝑋 𝑣𝑣𝑖𝑖 ≠ 0 ∀𝑖𝑖 であり，𝑋𝑋 𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 であるため，𝜎𝜎𝑖𝑖 > 0 ∀𝑖𝑖
式(SVDinv)の右辺を𝑌𝑌とおくと(CONS1)

注： 𝑢𝑢𝑖𝑖(CONS2)𝑛𝑛𝑖𝑖=1 と

𝑣𝑣𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

はともにCONS（証終）29

[応用] 極分解
命題 任意の正方行列𝑋𝑋はユニタリ行列𝑈𝑈と半正定値行列𝐴𝐴を用いて 𝑋𝑋 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 の形で表せる
証明

(SVD)

(CONS1)

特異値分解上側および下側の補助線で囲まれた箇所をそれぞれ𝑈𝑈および𝐴𝐴とおくと，
𝑈𝑈はユニタリ行列で𝐴𝐴が半正定値行列であることは明らか（証終）
備考1： 𝐴𝐴 は 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 に等しい
備考2： 特に 𝑛𝑛 = 1，つまり𝑋𝑋が単なる複素数のとき，極分解は極形式 𝑋𝑋 = 𝑋𝑋 𝑒𝑒 𝐢𝐢𝜃𝜃 （𝜃𝜃 ≔ arg 𝑋𝑋）の形で表したものにすぎない
注： 𝐴𝐴 ≔ 𝑋𝑋 , 𝑈𝑈 ≔ 𝑒𝑒 𝐢𝐢𝜃𝜃 とおくと 𝑋𝑋 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝑈𝑈

30

目次
1. 図式の基礎と線形代数の基礎
2. スペクトル分解と特異値分解3. テンソル積およびトレース・転置・内積
4. 行列が作るヒルベルト空間

31[参考] テンソル積空間の定義
2個の空間ℂ𝑚𝑚 とℂ𝑛𝑛 のテンソル積空間 ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 とは，任意の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑚𝑚 と 𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑛𝑛 の組（ 𝑥𝑥 ⊗ 𝑦𝑦 と表す）を含み，以下で述べる三つの条件を満たす複素ヒルベルト空間のこと
備考： 図式では， 𝑥𝑥 ⊗ 𝑦𝑦 は並列接続を用いて

と表される

条件1：

∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑙𝑙
⊗ ∑𝑗𝑗=1
𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗= ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 ∑𝑙𝑙𝑗𝑗=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑗𝑗 ( 𝑥𝑥𝑖𝑖 ⊗ 𝑦𝑦𝑗𝑗 )∀𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑗𝑗 ∈ ℂ, 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ∈ ℂ𝑛𝑛

注： この条件は，スカラーと和の記号∑が図式内を自由に動き回れることを意味する

条件2：
𝐼𝐼𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛

条件3（𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 = 1 の場合）： ℂ ⊗ ℂ = ℂ であり，任意の 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℂ について 𝑎𝑎 ⊗ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎

32

cup列ベクトルとcap行ベクトル
次式で定められる ∪𝑛𝑛 ∈ ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑛𝑛 をcup列ベクトルとよぶ∪𝑛𝑛 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 ⊗ 𝑖𝑖

次式で定められる ∩𝑛𝑛 ∈ ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑛𝑛 ∗ をcap行ベクトルとよぶ⟨∩𝑛𝑛 | は ∪𝑛𝑛 の共役転置∩𝑛𝑛 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 ⊗ 𝑖𝑖

33

転置とジグザグ等式
命題 任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋について次式が成り立つ

左側の等号は 𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊗ ∩𝑚𝑚

𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊗ 𝑋𝑋 ⊗ 𝐼𝐼𝑚𝑚

∪𝑛𝑛 ⊗ 𝐼𝐼𝑚𝑚 = 𝑋𝑋 T （右側の等号も同様）

イメージ： 破線を「ひも」のようなものと考える。左側や右側の式においてひもを引っ張れば，ブロック「𝑋𝑋」が180度回転して中央の式のようになる
略証∪𝑛𝑛 と ∩𝑚𝑚 の定義を用いれば容易に確認できる（詳しくは本書の4.1.1項を参照のこと）

上の命題において 𝑋𝑋 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 の場合を考えれば次式が得られる（ジグザグ等式などとよばれる）(Zigzag)𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊗ ∩𝑛𝑛∪𝑛𝑛 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 =∩𝑛𝑛 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊗ ∪𝑛𝑛

34

トレース，部分トレース
命題 任意の正方行列𝑋𝑋について Tr 𝑋𝑋 は次式で表せる∩𝑛𝑛 𝑋𝑋 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∪𝑛𝑛

証明

（証終）
系

Tr1 𝑍𝑍 は次式で表せる

証明 Tr 𝑋𝑋 と同様の方法で示せる

35

積のトレース
命題
証明

Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋 = Tr 𝑌𝑌𝑌𝑌

備考： Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 = Tr 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌 が成り立つこともすぐにわかる（𝑌𝑌𝑌𝑌をまとめて考えればよい）（証終）

注： Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 = Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 は一般には成り立たない36

トレースの別表現
命題 任意の𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 とℂ𝑛𝑛 のCONS 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 について Tr 𝑋𝑋 = ∑𝑖𝑖=1 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑢𝑢𝑖𝑖

注： トレースは通常 Tr 𝑋𝑋 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖 のように定義されるためCONS 𝑖𝑖
思えるかもしれないが，そうではないことがこの命題からわかる

証明

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 を特別扱いしているように(CONS2)（証終）系

正規行列のトレースはその行列のすべての固有値の和に等しい

注： この命題は正規行列ではない正方行列に対しても成り立つ

証明 𝑋𝑋 を 𝑋𝑋 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 の形にスペクトル分解すると 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑢𝑢𝑖𝑖 = 𝜆𝜆𝑖𝑖 であるため，上の命題より Tr 𝑋𝑋 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖
（証終）

37

[応用] 転置の別表現
任意の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑚𝑚 と 𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑛𝑛 に対して 𝑥𝑥 ⊗ 𝑦𝑦 を 𝑦𝑦 ⊗ 𝑥𝑥 に写す行列を
命題 任意の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋について次式が成り立つ

×𝑚𝑚,𝑛𝑛 とおく

備考：破線を「ひも」のようなものと考えると，この式も「𝑋𝑋」の180度回転とみなせる
証明 任意の 𝑠𝑠 ∈ 1, … , 𝑛𝑛 と 𝑡𝑡 ∈ 1, … , 𝑚𝑚 について系であるため左側の等号が成り立つ。右側の等号も同様（証終）

Tr2 ×𝑛𝑛,𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑛𝑛

（証終）証明 上の命題において 𝑋𝑋 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 の場合を考えれば明らか

38

部分転置
任意の 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑚𝑚1×𝑛𝑛1 と 𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑚𝑚2×𝑛𝑛2 に対して 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 を 𝑋𝑋 T ⊗ 𝑌𝑌 および 𝑋𝑋 ⊗ 𝑌𝑌 T に移す写像を
それぞれ1番目および2番目の空間に関する部分転置とよび，記号 T1 および T2 で表す
命題 ℂ𝑛𝑛1 ⊗ ℂ𝑛𝑛2 から ℂ𝑚𝑚1 ⊗ ℂ𝑚𝑚2 への任意の線形写像𝑍𝑍について次式が成り立つ

証明 転置の場合と同様
系
証明∪𝑛𝑛 ∩𝑚𝑚T1=×𝑛𝑛,𝑚𝑚(Zigzag)（証終）39

[応用] スパイダー
cup列ベクトルやcap行ベクトルの一般化として，次のような行列を定められるより一般には行列 Sp 𝑚𝑚,𝑙𝑙;𝑛𝑛 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 ⊗𝑚𝑚 𝑖𝑖 ⊗𝑙𝑙 （ただし 𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑛𝑛 ）を定められ，スパイダーとよばれる
特に Sp 2,0;𝑛𝑛 = ∪𝑛𝑛 ，Sp 0,2;𝑛𝑛 = ∩𝑛𝑛 ，Sp 1,1;𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 が成り立つ

備考： ∪𝑛𝑛 は非常に高い相関のある2個の空間を出力していると解釈できる
同様に，非常に高い相関のある3個以上の空間を表現する際にスパイダーが役立つ40[応用] 対角行列のスパイダーによる表現
命題 𝑖𝑖行目の対角成分が𝑑𝑑𝑖𝑖 であるような𝑛𝑛次対角行列𝐷𝐷は次式で表せる

証明

ただし， 𝑑𝑑 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑖𝑖

（証終）

41

[応用] アダマール積
2個の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋, 𝑌𝑌の要素毎の積をアダマール積とよび𝑋𝑋⨀𝑌𝑌で表す
図式では

命題

証明

と表せる。特に，𝑋𝑋の対角成分のみを残した行列は

𝑎𝑎 𝑋𝑋⨀𝑌𝑌 𝑏𝑏 = Tr 𝐷𝐷 ∗𝑎𝑎 𝑋𝑋𝐷𝐷 𝑏𝑏 𝑌𝑌 T

ただし，𝐷𝐷 𝑣𝑣

𝑣𝑣 ∈ ℂ𝑛𝑛 は𝑖𝑖行目の対角成分が 𝑖𝑖 𝑣𝑣 であるような対角行列

（証終）

42

内積
命題

,

が ℂ𝑛𝑛 の内積 ⇔𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑆𝑆 𝑦𝑦∀ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑛𝑛 ) を満たす正定値行列𝑆𝑆が存在する

注： ℂ𝑛𝑛 の内積 ⟨ , ⟩ とは，2個のℂ𝑛𝑛 の要素の組を複素数に写す写像のうち，以下の3条件を満たすもの：(1) 第2引数に関して線形，(2) 任意の 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑛𝑛 について 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ∗ を満たす，(3) 任意のゼロベクトル以外の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑛𝑛 について 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ ℝ>0 を満たす

略証 𝐺𝐺 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≔ 𝑥𝑥 ∗ , 𝑦𝑦 が双線形写像であることを用いればよい（詳しくは本書の4.2.3項を参照のこと）

備考：特に 𝑥𝑥 𝑦𝑦 は 𝑆𝑆 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 の場合の内積

この命題より，内積,は次のような形で表せるものとしてイメージできる

注： , 自体は行列の形では表せない（双線形写像ではない）ため，背景を灰色として表した（この左辺は通常の図式ではない）

43

目次
1. 図式の基礎と線形代数の基礎
2. スペクトル分解と特異値分解3. テンソル積およびトレース・転置・内積
4. 行列が作るヒルベルト空間

44

格下げと格上げ𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 について，𝑚𝑚𝑚𝑚次元列ベクトル 𝑋𝑋∪ ∈ ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 （𝑋𝑋の格下げとよぶ）を次式で定める𝑋𝑋∪ ≔ 𝑋𝑋 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∪𝑛𝑛𝑋𝑋∪ はcap行ベクトルを施すことで𝑋𝑋に戻る （この変換を 𝑋𝑋∪ の格上げとよぶ）(Zigzag)

備考： 格下げでは「行列」を「列ベクトル」に変換できる
同様に，格下げにより「行列に対する線形写像」を「行列」に変換できる（後述するCP写像の格下げを参照のこと）
格下げは「cup列ベクトルを施す」という操作であるため線形写像（格上げも同様）

45

[参考] 入力空間から出力空間への置き換え
格下げ

は入力空間ℂ𝑛𝑛 を出力空間に置き換えているといえる（格上げはその反対）

このような置き換えを行う前後の行列はしばしば似たような性質をもつ例：と注： 量子論でもこのような変換はしばしば役立つが，因果律が崩れてしまうことには注意

46

シュミット分解
命題 任意の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 は次式の形で表せる

略証

ただし，𝑘𝑘 ≔ min 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 および 𝜎𝜎1 , … , 𝜎𝜎𝑘𝑘 ∈ ℝ≥0 であり， 𝑢𝑢𝑖𝑖

𝑥𝑥 の格上げを特異値分解してから格下げすればすぐにわかる

𝑘𝑘
𝑖𝑖=1 と

𝑣𝑣𝑖𝑖

𝑘𝑘
𝑖𝑖=1 はONS（詳しくは本書の4.2.2項を参照のこと）
系

略証

任意の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑛𝑛 は𝑛𝑛次ユニタリ行列𝑈𝑈と𝑉𝑉を用いて次式の形で表せる

注： スパイダーの定義を少し拡張すれば，この系は任意の x ∈ ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 に対しても適用できる

𝑥𝑥 の格上げを𝑈𝑈𝑈𝑈𝑉𝑉 † の形に特異値分解して対角行列𝐷𝐷をスパイダーにより表現した後，格下げすればよい（𝐷𝐷の対角成分を並べてできる列ベクトルが 𝜎𝜎 になる）
または，上記の命題において 𝑈𝑈 ≔ ∑𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖 , 𝑉𝑉 ≔ ∑𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖∗ 𝑖𝑖 , 𝜎𝜎 ≔ ∑𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑖𝑖 とおけばよい

47

[応用]
命題
証明

𝐓𝐓

𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿∪ = 𝑿𝑿 ⊗ 𝒁𝒁

𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋∪ = 𝑋𝑋 ⊗ 𝑍𝑍 T 𝑌𝑌∪

𝒀𝒀∪

（証終）

48

行列の内積（ヒルベルト-シュミット内積）
2個の𝑚𝑚 × 𝑛𝑛行列𝑋𝑋, 𝑌𝑌について， 𝑋𝑋 𝑌𝑌 ≔ Tr 𝑋𝑋 † 𝑌𝑌 をヒルベルト-シュミット内積とよぶ
命題
証明

𝑋𝑋 𝑌𝑌 = 𝑋𝑋∪ 𝑌𝑌∪

𝑋𝑋∪ （ 𝑋𝑋∪ の共役転置，つまり「上下反転」）

𝑌𝑌∪

（証終）

備考： ヒルベルトシュミット内積により，ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 は𝑚𝑚𝑚𝑚次元複素ヒルベルト空間とみなせる。
格下げは ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 から ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛 への同型写像となる（格上げはその逆写像）
複素ヒルベルト空間ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛格下げ
格上げ

複素ヒルベルト空間ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑛𝑛

注： 特に 𝑚𝑚 = 1 の場合を考えると，ℂ𝑛𝑛 = ℂ ⊗ ℂ𝑛𝑛 とその双対ベクトル空間 ℂ𝑛𝑛∗ = ℂ1×𝑛𝑛 が複素ヒルベルト空間として同型であることを表している
49

半正定値行列の内積
𝑛𝑛次半正定値行列全体から成る集合を𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 とおく
命題 任意の 𝑆𝑆, 𝑆𝑆 ′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 に対して 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ ∈ ℝ≥0
証明 𝑆𝑆 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † の形で表すと（証終）∵ 𝑋𝑋 † 𝑆𝑆2 𝑋𝑋 は半正定値であり，半正定値行列のトレースは非負

命題 𝑆𝑆, 𝑆𝑆 ′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 に対して， 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ = 0 ⇔ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ′ = 0

証明 ⇐ は 𝑆𝑆p 𝑆𝑆 = Tr 𝑆𝑆p 𝑆𝑆 = 0 より明らかなので ⇒ を示す

𝑆𝑆 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † の形で表して 𝑄𝑄 ≔ 𝑋𝑋 † 𝑆𝑆 ′ 𝑋𝑋 とおくと，上の証明よりTr 𝑄𝑄 = 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ = 0

𝑄𝑄は半正定値行列であり Tr 𝑄𝑄 は𝑄𝑄の固有値の和に等しいことから明らかに 𝑄𝑄 = 0
𝑆𝑆 ′ = 𝑌𝑌𝑌𝑌 † の形で表して 𝑍𝑍 ≔ 𝑋𝑋 † 𝑌𝑌 とおくと 𝑍𝑍𝑍𝑍 † = 𝑄𝑄 = 0
したがって 𝑍𝑍 = 0 であるため，𝑆𝑆𝑆𝑆 ′ = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑌𝑌 † = 0

（証終）

50

正定値行列の内積
補題 任意の𝑛𝑛次正定値行列𝑆𝑆p に対して 𝑆𝑆p − 𝛼𝛼𝐼𝐼𝑛𝑛 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 を満たす 𝛼𝛼 ∈ ℝ>0 が存在する

証明 𝑆𝑆p = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 の形でスペクトル分解して 𝛼𝛼 < min 𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 を満たすように
𝛼𝛼 ∈ ℝ>0 を選べば𝑆𝑆p − 𝛼𝛼𝛼𝛼 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 − 𝛼𝛼 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛（証終）命題 任意の正定値行列 𝑆𝑆p , 𝑆𝑆p′ に対して 𝑆𝑆p 𝑆𝑆p′ ∈ ℝ>0

証明 𝑆𝑆 ≔ 𝑆𝑆p − 𝛼𝛼𝐼𝐼𝑛𝑛 と 𝑆𝑆 ′ ≔ 𝑆𝑆p′ − 𝛼𝛼 ′ 𝐼𝐼𝑛𝑛 がともに半正定値になるように 𝛼𝛼, 𝛼𝛼 ′ ∈ ℝ>0 を選ぶと𝑆𝑆p 𝑆𝑆p′ = 𝑆𝑆 + 𝛼𝛼𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑆𝑆p′ ≥ 𝛼𝛼 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑆𝑆p′ = 𝛼𝛼 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑆𝑆 ′ + 𝛼𝛼 ′ 𝐼𝐼𝑛𝑛 ≥ 𝛼𝛼𝛼𝛼 ′ 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∈ ℝ>0（証終）

命題 正定値行列 𝑆𝑆p および 𝑆𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 に対して， 𝑆𝑆p |𝑆𝑆 ′ = 0 ⇔ 𝑆𝑆 ′ = 0
証明 ⇐ は明らかなので ⇒ を示す

𝑆𝑆 ≔ 𝑆𝑆p − 𝛼𝛼𝐼𝐼𝑛𝑛 が半正定値になるように 𝛼𝛼 ∈ ℝ>0 を選ぶと

0 = 𝑆𝑆p 𝑆𝑆 ′ ≥ 𝛼𝛼 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑆𝑆 ′ ∈ ℝ≥0 なので Tr 𝑆𝑆 ′ = 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑆𝑆 ′ = 0。ゆえに 𝑆𝑆 ′ = 0

（証終）

51

𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝒏𝒏 は𝒏𝒏𝟐𝟐 次元実ヒルベルト空間
𝑛𝑛次エルミート行列全体から成る集合を𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 とおく

補題 任意の 𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 は 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻+ − 𝐻𝐻− 𝐻𝐻+ , 𝐻𝐻− ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の形で表せる

証明 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≔ max 0, 𝑥𝑥 とおいて 𝐻𝐻+ ≔ 𝑓𝑓 𝐻𝐻 および 𝐻𝐻− ≔ 𝐻𝐻+ − 𝐻𝐻 とおけばよい
このとき，明らかに 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻+ − 𝐻𝐻−
また，𝐻𝐻のスペクトル分解を 𝐻𝐻 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 とおくと，
𝐻𝐻+ = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 max 0, 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 かつ 𝐻𝐻− = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 −min 0, 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 （証終）系

任意の 𝐻𝐻, 𝐻𝐻′ ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 に対して 𝐻𝐻 𝐻𝐻′ ∈ ℝ

注： 𝜆𝜆𝑖𝑖 = max 0, 𝜆𝜆𝑖𝑖 + min 0, 𝜆𝜆𝑖𝑖

証明 上の補題と 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ ∈ ℝ≥0 ∀𝑆𝑆, 𝑆𝑆 ′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 より明らか（証終）

命題 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 は𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 を含む最小の実ベクトル空間

略証 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐫𝐫𝑛𝑛 が実ベクトル空間であることは容易に確かめられる（例えば 𝐻𝐻, 𝐻𝐻′ ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 の和 𝐻𝐻 + 𝐻𝐻′ や実数倍 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∈ ℝ は 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 の要素）
また，上の補題より 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 を含む最小の実ベクトル空間は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 を含むため，明らか

𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 は𝑛𝑛2 次元であり，ヒルベルト-シュミット内積 𝐻𝐻 𝐻𝐻′ = Tr 𝐻𝐻𝐻𝐻′ を備えた
実ヒルベルト空間とみなせる

52

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝒏𝒏 は自己双対錐

実ヒルベルト空間𝑉𝑉の部分集合𝒮𝒮が非負の実数倍と和について閉じているとき，𝒮𝒮を凸錐とよぶ
注： 非負の実数倍と和について閉じているとは，任意の𝑎𝑎 ∈ ℝ≥0 と𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝒮𝒮について 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑦𝑦 ∈ 𝒮𝒮 を満たすこと

また，𝒮𝒮 ∗ ≔ 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉: 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ≥ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ 𝒮𝒮

は凸錐になり，これを双対錐とよぶ

𝒮𝒮 = 𝑆𝑆 ∗ を満たすとき，𝒮𝒮を自己双対錐とよぶ
例ℝ2 上の凸錐𝒮𝒮

(a)

𝑑𝑑𝑑

𝑙𝑙

0

𝑙𝑙𝑙

𝑑𝑑

双対錐𝒮𝒮 ∗

半直線𝑙𝑙と𝑑𝑑（𝑙𝑙′ と𝑑𝑑𝑑）は直交(b)ℝ2 上の自己双対錐 𝒮𝒮 = 𝒮𝒮 ∗
𝑙𝑙

0

𝑙𝑙𝑙

半直線𝑙𝑙と𝑙𝑙𝑙は直交

命題 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 内の自己双対錐

略証 凸錐であることは容易に確かめられる。
また，𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 について 𝐻𝐻 𝑆𝑆 ≥ 0 ∀𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 と 𝐻𝐻 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は等価であるため，
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は自己双対錐である
注： 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は対称錐（等質性とよばれる性質を満たす自己双対錐）でもある

53

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝒏𝒏 の幾何学的な表現
ここでは，イメージをつかみやすい𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏2 を考える
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏2 =1 𝑡𝑡 + 𝑧𝑧
2 𝑥𝑥 + 𝐢𝐢𝑦𝑦𝑡𝑡

𝑥𝑥 − 𝐢𝐢𝑦𝑦: 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ≤ 𝑡𝑡
𝑡𝑡 − 𝑧𝑧

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏2（円錐の4次元版）と表されるため，「円錐の4次元版」の形をしている

注1： 集合 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑡𝑡 : 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ≤ 𝑡𝑡 は3次元空間内の円錐とみなせる。この4次元版
注2： 超平面 𝑡𝑡 = 1 での断面は球になり，これが量子論のブロッホ球に相当

一般の𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 も同様に，多次元空間内の自己双対錐としてイメージできる
注： ただし，𝑛𝑛 > 2の場合には超平面での断面は超球（球の多次元版）にはならない

0𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧

すでに述べた（半）正定値行列の内積に関する性質のいくつかは直観的にすぐに理解できる例 （便宜上，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 を2次元的に描く）(a) 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ ∈ ℝ≥0 ∀𝑆𝑆, 𝑆𝑆 ′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛
𝑆𝑆

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛
0

𝑆𝑆𝑆

𝐻𝐻 𝑆𝑆 ′ ∈ ℝ≥0 を満たす𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 の領域(b) 正定値行列𝑆𝑆p と𝑆𝑆 ′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 について
𝑆𝑆p 𝑆𝑆 ′ = 0 ⇔ 𝑆𝑆 ′ = 0

注： 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の双対錐が𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 自身であることからも明らか

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛
𝑆𝑆p0

正定値であることは𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の境界上にないことと等価

𝑆𝑆p 𝐻𝐻 = 0 を満たす𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 の領域

54

[参考] 半正定値行列と非負列ベクトルの類似性
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 が𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 内の自己双対錐であるように，ℝ𝑛𝑛≥0 はℝ𝑛𝑛 内の自己双対錐

注1： ℝ𝑛𝑛≥0 は𝑛𝑛次元非負列ベクトル（全成分が非負の列ベクトル）全体から成る集合
注2： さらに，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 とℝ𝑛𝑛≥0 は対称錐

すでに述べた𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の内積に関する性質の多くは自己双対錐の性質から導けるので，ℝ𝑛𝑛≥0 にも同様の性質が成り立つ
前提

性質

半正定値行列全体 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛

𝑆𝑆, 𝑆𝑆 ′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 ，𝑆𝑆p , 𝑆𝑆p′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛+
𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ ∈ ℝ≥0

非負列ベクトル全体 ℝ𝑛𝑛≥0𝑠𝑠 , 𝑠𝑠𝑠 ∈ ℝ𝑛𝑛≥0 ， 𝑠𝑠p , 𝑠𝑠p′ ∈ ℝ𝑛𝑛>0
𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠 ∈ ℝ≥0∃𝛼𝛼 ∈ ℝ>0 , 𝑆𝑆p − 𝛼𝛼𝐼𝐼𝑛𝑛 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∃𝛼𝛼 ∈ ℝ>0 , 𝑠𝑠p − 𝛼𝛼 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑛≥0

𝑆𝑆p |𝑆𝑆 ′ = 0 ⇔ 𝑆𝑆 ′ = 0

𝑠𝑠p |𝑠𝑠 ′ = 0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 0

𝑆𝑆p 𝑆𝑆p′ ∈ ℝ>0

𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ = 0 ⇔ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ′ = 0

𝑠𝑠p 𝑠𝑠p′ ∈ ℝ>0

𝑠𝑠 𝑠𝑠 ′ = 0 ⇔ 𝑠𝑠 � 𝑠𝑠 ′ = 0

この性質は，対称錐としての性質

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛+ ：𝑛𝑛次正定値行列全体から成る集合，ℝ𝑛𝑛>0 ：全成分が正である𝑛𝑛次元列ベクトル全体から成る集合
𝐼𝐼𝑛𝑛 ：全成分が1である𝑛𝑛次元列ベクトル， 𝑠𝑠 � 𝑠𝑠 ′ ： 𝑠𝑠 と 𝑠𝑠 ′ の成分毎の積

備考： 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は量子論の状態と，ℝ𝑛𝑛≥0 は古典論の状態と密接に関連している

55

[応用] 半正定値行列のトレースに関する不等式
命題 任意の半正定値行列𝑆𝑆, 𝑇𝑇について Tr 𝑆𝑆 Tr 𝑇𝑇 ≥ 𝑆𝑆 𝑇𝑇

証明 𝑆𝑆1 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 の形にスペクトル分解して𝑡𝑡𝑖𝑖 ≔ 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑇𝑇 𝑢𝑢𝑖𝑖 とおくとよって，Tr 𝑇𝑇 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑖𝑖 および 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 0 を用いると（証終）

Tr 𝑆𝑆 Tr 𝑇𝑇 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝑡𝑡𝑗𝑗 ≥ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑆𝑆 𝑇𝑇

系
証明

備考： 特に 𝑇𝑇 = 𝑆𝑆 の場合を考えると Tr 𝑆𝑆 2 ≥ 𝑆𝑆 𝑆𝑆

任意の半正定値行列𝑆𝑆, 𝑇𝑇について Tr 𝑆𝑆 + Tr 𝑇𝑇 ⁄2 ≥𝑆𝑆 𝑇𝑇

注： 相加平均が相乗平均以上であるという式 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ⁄2 ≥ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℝ≥0 を半正定値行列に拡張したもの

Tr 𝑆𝑆 + Tr 𝑇𝑇 2 = Tr 𝑆𝑆 − Tr 𝑇𝑇 2 + 4 Tr 𝑆𝑆 Tr 𝑇𝑇 ≥ 4 Tr 𝑆𝑆 Tr 𝑇𝑇 ≥ 4 𝑆𝑆 𝑇𝑇 より明らか

（証終）

56

[応用] 射影行列の和が射影行列ならば直交命題 射影行列 𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑘𝑘 に対して，∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 が射影行列 ⇔ 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑗𝑗 = 0 ∀𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗
証明 𝑅𝑅 ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 とおく⇒：∵𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅であり，両辺のトレースをとると ∑𝑖𝑖,𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑗𝑗 = 0 を得る∵𝑃𝑃𝑖𝑖2 = 𝑃𝑃𝑖𝑖 かつ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 = 𝑅𝑅

𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑗𝑗 ≥ 0 ∀𝑖𝑖, 𝑗𝑗 であるため，異なる𝑖𝑖, 𝑗𝑗について 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑗𝑗 = 0，つまり𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑗𝑗 = 0⇐：𝑅𝑅 † = 𝑅𝑅 は明らか

また 𝑅𝑅2 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖

2

2

= ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 より，𝑅𝑅 は射影行列

（証終）

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[応用] 𝐓𝐓𝐓𝐓 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷= 𝑺𝑺 𝑷𝑷 ≤ 𝐓𝐓𝐓𝐓 𝑺𝑺

命題 任意の半正定値行列𝑆𝑆と射影行列𝑃𝑃について Tr 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆 𝑃𝑃 ≤ Tr 𝑆𝑆
証明 等号は Tr 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = Tr 𝑆𝑆𝑃𝑃2 = Tr 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 𝑃𝑃 より明らか
不等号は次式からわかる

ただし，最後の不等号では，𝐼𝐼 − 𝑃𝑃 が半正定値であることを用いた

注： 𝐼𝐼 − 𝑃𝑃 が半正定値であることは，𝑃𝑃の固有値分解を 𝑃𝑃 = ∑𝑖𝑖 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 とおいて 𝐼𝐼 = ∑𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 を用いれば𝐼𝐼 − 𝑃𝑃 = ∑𝑖𝑖 1 − 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 より明らか（証終）

備考： この命題より Tr 𝑆𝑆 − 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ≥ 0 であるが，𝑆𝑆 − 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 は半正定値とは限らない

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