中京大学 工学部 機械システム工学科
木野 仁
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Information
 このスライドは「イラストで学ぶ制御工学」を講義で活用するために提供されているスライドです．
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ださい．

「イラストで学ぶ制御工学（講談社）」
木野仁（著）谷口忠大（監）峰岸桃(絵)ホイールダックとは ホイールダックとは，「イラストで学ぶシリーズ（講談社）」において，主人公の博士と助手が開発していく，アヒル型ロボットである．

姉妹書

 イラストで人工知能概論

 イラストでロボット工学

ホイールダック2号の開発を通じて人工知能を学ぶ

ホイールダック2号アット
ホームの開発を通じてロボット工学を学ぶ

STORY

アメリカのとある大学．留学中の彼女は制御工学の授業に参加していた．彼
女には10 歳くらい年上の幼馴染みのお兄さんがいた．最近，彼は日本で会社を作って新しいロボットを作ろうとしているらしい．「昔から，こうと決めたら真っ直ぐな人なんだから」そんな彼のことを微笑ましく思う．彼女は，年上の彼のことを「馬鹿だなぁ」と思いながら，力になりたいと思ったりしていた．
だから彼女は「現代制御理論」の講義を履修しているのだ．講義室の座席で，彼女は顔をあげる．教授が現代制御の導入授業を行っている．その始まりは伝達関数ではない．古典制御理論とは違うスタート地点———「状態空間表現」から現代制御理論は始まる．
そのとき，スマートフォンに日本からメッセージが届いた．添付されていた動画を再生すると，前後に車輪をつけた白い変なロボットが往復運動をしていた．
———もう1つの物語がアメリカの地で始まる．

8.1 状態方程式・出力方程式の基礎【古典制御から現代制御へ】
 古典制御は，1入力1出力システムに対し運動方程式をラプラス変換し，伝達関数に基づき制御解析する．
 現代制御は，t領域の運動方程式をもとにした入出力関係をベクトル・行列を用いて，以下の2つの式のセットで表現する．これを状態空間表現という．

 u(t)は入力ベクトル（m×1），y(t)は出力ベクトル（l×1），x(t)はシステム内部の状態を示す変数ベクトル（n×1）．A，B，Cはそれぞれn×n，n×m，l×nの行列である．古典制御編とは変数の意味が異なるので注意！

【時間微分におけるドット表記】
 変数p(t)に対し，時間tの1階導関数をp(t)の上に点を1つ加えて表記する．2階微分する場合には，点を2つ加える

 高校では，y=f(x)の微分y′をと表記したが，一般に関数yを変数xなどで微分したものである．
 時間tで変化するx(t)に対しy=f(x(t))のとき，合成関数の微分より
 例としてy(t)=sin x(t)，x(t)=ωtの場合では

【状態空間表現の例（マス・バネ・ダンパ）】
 運動方程式は
 入力u(t)を力f(x) ，出力y(t)を「距離+速度」とする．
2x1の列ベクトル f(t)=u(t)とし，加速度を求める（→ベクトル表記）．

1x2の行列（行ベクトル）より．

 元々の運動方程式はベクトル・行列表現が可能．

 x(t)を用いて出力y(t)は以下で得る．

 まとめると，以下の状態空間表現となる．
←状態方程式←出力方程式 状態方程式はベクトル・行列で表現した微分方程式．
 入力u(t)が与えられた時，状態方程式を計算してx(t)を求める →出力方程式に代入して出力y(t)を計算．
 状態方程式はベクトルx(t)で表現されるシステム内部状態を支配する微分方程式ととらえることができる．
 システム内部状態を示すx(t)を状態変数ベクトルと呼ぶ．
 入力u(t)を与えた時の出力y(t)は，状態方程式と出力方程式の行列A，B，Cの値で決定される．
→現代制御では行列を解析して，出力などを評価する．

 現代制御は多入力多出力に対応できる．一般に入力u(t)はm個の成分の入力変数ベクトル，出力y(t)はl個の成分の，出力変数ベクトルと呼ぶ．状態変数ベクトルx(t)はn個の成分からなる．

 各行列はA（n×n），B（n×m），C（l×n）
 各行列の値は時間変化せず一定とする（線形時不変システム）．

【状態空間表現のイメージ】 自動販売機の内部回路は入出力を関連づけている．回路
状態は，回路にかかる電圧のみで表現できると考えよう．
内部状態を示す回路
電圧が状態変数ベク
トルに相当「お金(入力)→電圧」の関係を示すものが状態方
程式に相当「電圧→缶ジュース(出力)」の関係を示すのが出力方程式に相当

5.3.2節の内容と入出力が異なることに注意

km：トルク定数ec(t)：コイル電圧（逆起電力）
kω：比例定数 式をまとめると，電圧v(t)と角速度ω(t)の関係は次式

 入力が電圧v(t)，出力は角度θ(t)であり，より

8.2 ラグランジュの運動方程式
 一般にシステムが複雑になると，運動方程式の導出が複雑になる.運動方程式の導出は大別すると，力・トルクのつり合いに着目する方法とエネルギに着目する方法がある（紹介してきた運動方程式の導出では，前者の方法）．
 後者のラグランジュの運動方程式では，回転と並進の運動が組み合わさったシステムや機械と電気が組み合わさったシステムなど，前者では取り扱いが難しいシステ
ムでも同一の手順で運動方程式が導出できる．
 物体運動における自由度とは，運動を記述する変数において，独立して変化できる変数の数をいう．

2自由度

3自由度

1自由度

2自由度

3自由度

3自由度

3自由度

2自由度

【一般化座標・一般化速度・一般化力】
 対象システムの自由度をnとし，変位（回転or並進）をq1,q2,…,qnとし，一般化座標と呼ぶ．一般化座標を時間tで微分したものを一般化速度と呼ぶ．
 一般化座標qiに対応した力（orトルク）に相当する変数をQiとし，一般化力と呼ぶ（並進→力，回転→トルク）．
一般化座標（q1，q2）は距離（x1，x2），一般化力（Q1，Q2）は対応した並進力

一般化座標（q1，q2，q3）は角度（x1，x2，x3），一般化力（Q1，Q2，Q3）は対応したトルク．

一般化座標x1が角度，x2が距離，一般化力Q1がトルク，Q2は並進力．

【ラグランジュの運動方程式の導出（摩擦を無視）】

【ラグランジュの運動方程式の導出（粘性摩擦あり）】

8.3 ラグランジュ運動方程式導出の例題

 一般化座標をq1=x1(t)，q2=x2(t)．一般化力をQ1=f1(t)，Q2=f2(t)とする．システム全体の運動エネルギKは 重力影響なく，ポテンシャルエネルギPはバネのみ考慮し，

 従って，ラグランジュ関数Lは次式となる．

 粘性摩擦を考慮し，散逸関数M は次式となる．

 一般化座標qi=xi(t)に関して（i=1,2），以下を計算．

 これらをに代入．一般力Qi=fi(t)より

 状態空間表現にまとめると

 一般化座標(θ(t), l(t))とハンド位置(x(t), y(t))の関係

 上式を時間微分して

 システム全体の運動エネルギK リンク1は重力の影響無．全ポテンシャルエネルギPは
 各関節にダンパが存在し．散逸関数Mは以下となる
 一般化座標q1=θ(t)，q2=l(t)，一般化力Q1=τ(t)，Q2=fl(t)と考える．L=K-Pとして計算すると 仮定より線形近似する．