図式と操作的確率論で学ぶ量子論〜 操作的確率論および量子論の入門 〜
中平健治

公開日：2022 年 12 月 17 日
更新日：2023 年 12 月 15 日

1

はじめに
本報は，書籍中平健治：「図式と操作的確率論による量子論」（森北出版, 2022）

https://www.morikita.co.jp/books/mid/017061（以下，本書とよぶ）の補足資料として，本書の第 6,7 章で述べた「操作的確率論」と本書の第 5 章で述べた「量子論の数学的構造」の基礎的な部分を，初学者にもよりわかりやすく，ていねいに述べたものである。これらの章は，初学者でもしっかりと読めばなんとか理解できることをめざしたものの，主に量子論にある程度なじみのある人に向けた説明であったことと，紙面の都合のためコンパクトに記述していたことから，難しいと感じた方が少なからずいるのではないかと想像する。（第 6,7 章については，量子論を「導出」するための準備を兼ねていたことも初学者にとってハードルが高い一因になっていることと思う。）そこで，本報では，初学者に向けた説明に置き換えて十分に紙面を割いて説明することにした。
本報の構成
量子論の初学者にとっては，まず操作的確率論を学ぶことで量子論の操作的・確率的な性
質のうち直観的に理解しやすい性質について理解して，そのあとで操作的確率論に基づいて量子論の数学的構造を学ぶと，スムーズに理解できると思われる。そのため，本報ではこの順序で説明し直すことにした。
本報は二つの章で構成されている。第 1 章では，操作的確率論の基礎の基礎を説明する。
量子論では複素ヒルベルト空間をはじめとする直観的に理解することが困難な数学的構造が現れるが，量子論から直観的に理解しやすい部分のみを抽出した理論が操作的確率論であるといえる。このため，とくに初学者にとっては，やや抽象的であることさえ受け入れられれ
ば量子論よりも操作的確率論のほうが理解しやすいはずである。
次に，第 2 章では，操作的確率論の概念を用いながら量子論の数学的構造について詳しく説明していく。この章では，量子論が操作的確率論の特別な場合としてどのように表現されるかを理解してもらうことをめざした。また，量子論の数学的構造を「操作的確率論の観点から直観的に理解できる部分」とそうではない部分に分けられるようになってもらうことを

はじめに

2

めざした。本報のみを読めばおおむね理解してもらえることをめざして書いているため，本書の説明と重複する箇所が少なからずある。
本報の読み方
第 1 章は，本書の第 3 章までを読んだあとならばいつ読んでも構わない。操作論の知識と論理的に考える力さえあれば読めると思う（ただし 1.9 節は線形代数の知識も必要である）。
一方，第 2 章は，本書の第 4 章までを読んで CP 写像の基礎知識をある程度学んだ読者を主な対象とする。ただし，CP 写像に不慣れな読者のために復習を行いながら進めるため，本書の第 4 章を完全に理解している必要はない。本報を読みながら必要に応じて本書を読み返してもよいと思う。量子論の初学者は，本報を読んだあとで本書の第 5 章以降を読むとよいかもしれない。または，本書の第 5 章以降を読んで，難しいと感じたら本報を読んでもよいと思う。
補足
本報の用語や表記は本書のものとほぼ同じである。ただし，主な例外として，実現可能なプロセスのことを単にプロセスとよんでいる。これに伴い，本書におけるプロセス空間から実現不可能なプロセスを除いた集合を，本報ではプロセス空間とよんでいる。状態空間・エフェクト空間・スカラー空間も同様である。また，本報では，局所等価性（本書の 6.3.4 項）を満たす操作的確率論に限定して説明している。
なお，本資料（PDF）にはリンクの機能がある。たとえば，章や式などを引用している箇所から対応する章や式に移動できる。

3

目次

表記
第1章

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

5
操作的確率論の基礎の基礎

9

はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

操作論の簡単な復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

物理操作のモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3

プロセスの捉え方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.4

主要な概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12スカラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1

スカラーと確率との対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

プロセスを接続して得られるスカラーの解釈 . . . . . . . . . . . . . . 14

状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1

正規状態

1.3.2

一般的な状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

エフェクトと測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1

エフェクトの等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2

確定的なエフェクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3

測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

プロセスとテスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1

確定的なプロセス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2

テスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.3

テストと状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

プロセスの等価性と和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1

プロセスの等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.2

プロセスの和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

参考：直観的なイメージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

目次

4
1.8

1.9

第2章

2.1

確定的なプロセスやテストに関する性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1

テストであるための必要十分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.2

確定的なプロセスの確率的混合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8.3

テストの接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8.4

確定的なプロセスとテストの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.5

テストの接続の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

操作的確率論の線形代数による表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.1

プロセス空間はある実ベクトル空間の部分集合 . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.2

操作的確率論が満たすべき線形代数としての性質 . . . . . . . . . . . 34

量子論の基礎36

状態空間の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1

スピンの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2

実験事実

2.1.3

実験事実からわかること . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.4

ブロッホ球による表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.5

密度行列による表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.6

一般の状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.7

ほかの系の状態空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2

CP 写像の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3

量子論の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4

2.5

2.6

2.3.1

操作的確率論に基づく定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.2

参考：操作論に基づく定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1

一般的な状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.2

純粋状態と混合状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.3

純粋状態の別表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

エフェクトと測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5.1

エフェクトを表す CP 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5.2

エフェクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5.3

測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

プロセスとテスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.1

CP 写像の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.2

確定的なプロセス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.3

プロセス

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5
2.6.4
2.7

テスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

量子論であるための必要十分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7.1

状態空間を特定したときの操作的確率論 . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7.2

ユニタリプロセスと PVM 測定による表現 . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.3

量子論の数学的構造はどこが特徴的なのか？ . . . . . . . . . . . . . . 70

2.8

さらなる情報 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

索引

72

6

表記
本報の表記は，とくに断りがない限り本書のものと同じである。各表記の後に記載されている括弧内の数字は，対応するページ番号を表す。対応するページ番号が書かれていない表記の多くは，本書で定義されている。

一般的な数学用語に関する表記∀x, · · ·すべての x について · · · が成り立つ（· · · , ∀x とも書く）

A ⇒ B, B ⇐ A

A ならば BA⇔B

A と B は等価

ABB

A を B のように定義する

x∈X

x が集合 X の要素

X ⊆ Y, Y ⊇ X

X は Y の部分集合（等号がない場合は真部分集合）

·

積

◦

写像の合成

idX

空間 X 上の恒等写像

i

√

−1

2
{xi }ii=i1

xi1 , xi1 +1 , . . . , xi2 から成る組や集合f (–)

x を f (x) に写す写像

R

実数全体から成る集合

R≥0

非負の実数全体から成る集合

C

複素数全体から成る集合

線形代数に関する表記
Cnn 次元複素列ベクトル全体から成る空間

7
ベクトル空間 V からベクトル空間 W への線形写像全体から

Lin(V, W)

成る空間

|x⟩

ベクトル（列ベクトル）⟨x|

双対ベクトル（行ベクトル），|x⟩ の共役転置|i⟩（i は自然数）i 行目の成分が 1 でそれ以外のすべての成分が0 である列ベクトル
dim V

ベクトル空間 V の次元

1nn 次単位行列†, ∗, T

共役転置，複素共役，転置Tr X

正方行列 X のトレース⊗テンソル積（またはクロネッカー積）⟨x|y⟩

2 個のベクトル |x⟩ と |y⟩ の標準内積（⟨x| と |y⟩ の積）⟨X|Y⟩

エルミート行列 X と Y のヒルベルト-シュミット内積 Tr(XY)⟨H|

エルミート行列 K を ⟨H|K⟩ に写す線形写像

操作論・操作的確率論に関する表記
I

自明な系

⊗

直積（系やプロセスの並列接続）◦

プロセスの直列接続（しばしば省略される）(e|ρ)

エフェクト (e| と状態 |ρ) の直列接続

idA

系 A 上の恒等プロセス

pf

(14)

プロセス f の p 倍（ p はスカラー）

ProcA→B(9)系 A から系 B へのプロセス空間（本書とは異なり実現不可能なものを除外する）

VA→B

(33)

ProcA→B が張る実ベクトル空間

StA

(10)

系 A の状態空間

StN
A

(14)

系 A の正規状態全体から成る空間

VA

(33)

StA が張る実ベクトル空間

EffA

(10)

系 A のエフェクト空間

Scalar(10)

スカラー空間

f =g

プロセス f と g が等価

A,

系 A の放棄エフェクト

f +g
∑n

i=1 fi

2 個のプロセス f と g の和
n 個のプロセス f1 , . . . , fn の和表記

8

量子論に関する表記
CP 写像 f の格下げ

f∪
NA

(48)

系 A のランク

TrA

(49)

HerNA 上のトレース演算

Denn

(41)

n 次密度行列をすべて集めた集合

Hern

(43)

n 次複素エルミート行列全体から成る空間

Posn

(43)

n 次複素半正定値行列全体から成る空間

PosTNIm→n(48)

Herm から Hern へのトレースを増加しない CP 写像全体から
成る空間

Her∗n

(54)

Hern の双対空間（Hern を R に写す線形写像全体から成る集
合）

Pos∗n

(54)

Her∗n の要素のうち Posn を R≥0 に写すものをすべて集めた集
合

A

(57)

NA 次単位行列 1NA

9

第1章

操作的確率論の基礎の基礎
本章では，確率の概念を導入した操作論である操作的確率論について説明する。本書の 1.1
節で述べたように，この理論を用いると量子論特有の数学的構造には依存しない形で状態やプロセスの操作的・確率的な性質について論じることができる。ここでは，量子論の基礎を理解するために役立つと思われる事柄のみを説明する。本章の内容を理解すれば，量子論の数学的構造を素直に理解できるようになるはずである。
操作的確率論では，操作論に対して物体の操作的・確率的なふるまいを考えたときに自然と思われるようないくつかの要請が導入される。これらの要請や直観的なイメージについて説明しながら，操作的確率論で成り立つ性質などを述べる。次章では操作的確率論の特別な場合として量子論を定義するが，本章で述べる操作的確率論の性質は量子論でもそのまま成り立つ。
補足： これから述べる操作的確率論は，本書で述べている操作的確率論とは次の 2 点が大きく異なる：(a) 実現不可
能なプロセスを除外している，(b) 局所等価性（本書の 6.3.4 項）を満たすものに限定している。それ以外はほぼ同じであるが，用いている要請はいくらか異なっている。

1.1

はじめに

1.1.1 操作論の簡単な復習
操作論ではプロセスと系が主役であった。自明な系とよばれる特別な系 I があり，直観的には I は「何もない系」である。入力系が I であるプロセス（直観的には入力がないプロセス）を状態とよび，出力系が I であるプロセス（直観的には出力がないプロセス）をエフェ
クトとよび，入出力系がともに I であるプロセス（直観的には入出力がないプロセス）をス
カラーとよぶのであった。系 A から系 B へのプロセス全体から成る集合をプロセス空間とよんでProcA→B と書き，系 A の状態全体から成る集合（つまり ProcI→A ）を状態空間とよん

第1章

10

操作的確率論の基礎の基礎

で StA と書き，系 A のエフェクト全体から成る集合（つまり ProcA→I ）をエフェクト空間とよんで EffA と書き，スカラー全体から成る集合（つまり ProcI→I ）をスカラー空間とよんでScalar と書く。プロセス同士は直列や並列に接続できて，これらの接続はいくつかの規則を満たす。操作論の詳細については本書の第 3 章を参照のこと。

1.1.2 物理操作のモデル化
操作的確率論では，複数の物理デバイスを接続したときの確率的なふるまいを，プロセスの接続という形でモデル化する。便宜上，物理デバイスのふるまいを物理操作とよび，その全部または一部を操作とよぶことにする。物理デバイスまたはその一部を作用させることを，「操作を施す」のようによぶことがある。物理操作は操作の特別な場合であり，直観的には「確実に施せる」といえるような操作のことである。操作的確率論では，操作をプロセスに対応付ける。とくに物理操作に対応するプロセス，つまり「確実に施せる」といえるようなプロ
セスを，確定的であるとよぶ（厳密な定義はあとで示す）。プロセスの直列接続は逐次操作，
つまり逐次的に操作を施すことを表すものとする。また，並列接続は並列操作，つまり別々に操作を施すことを表すものとする。
以降では図 1.1 の例を用いて説明する。この例では，電子銃 X から出力された電子をある
物理デバイス F に入力し，F から出力される電子を検出器 M で検出する。検出器は電子を検出すれば検出結果 1 を出力し，検出しなかったら検出結果 0 を出力する。

図 1.1 物理操作の例

操作的確率論では，物理操作はある条件を満たすようなプロセスの組（テストとよばれる）
か，または確定的なプロセスによりモデル化される。図 1.1 では，電子銃 X およびデバイス

F のふるまいを表す物理操作はそれぞれプロセス ρ および f でモデル化されている‡1 。ρ を状態としているが，これは電子銃 X を入力のない物理デバイスとみなしていることを意味している。一方，検出器 M のふるまいを表す物理操作は，プロセス（とくにエフェクト）の組{e1 , e0 } でモデル化されている。この {e1 , e0 } がテストである。e1 は「検出器 M で電子が検出‡1 本書の第 6,7 章とは異なり，状態やエフェクトを（記号 | ) や ( | を用いずに）ρ や e のように表す。

1.1 はじめに11された」というイベントに対応しており，同様に e0 は「電子が検出されなかった」というイ
ベントに対応している。操作的確率論では，スカラーを 0 以上 1 以下の実数に対応付けて，これを確率とみなす。図 1.1 のスカラー pi B (ei | f |ρ) は一連のイベントが発生する確率を表している。ここでは電子銃 X とデバイス F は何らかの操作を確実に施すため， pi は ei が施される確率，つまり検出器 M の結果が i である確率を表しているとみなす。 p1 + p0 = 1 であり，{p1 , p0 } は確率分布とみなせる。
検出器 M のように，何らかの測定結果を返すような物理操作を『測定』とよぶことにする。
なお，この『測定』のように操作的確率論の用語として同じよび方のものがあり紛らわしい
ものについては，操作的確率論の用語と区別するためにしばしば『』を付けて表すことにする。今回の例のように，物理操作が『測定』ならばテストによりモデル化し，『測定』ではなければ確定的なプロセスによりモデル化する。テストの厳密な定義はあとで示すが，テス
トは『測定』をモデル化するための最も一般的な概念である。とくに，{e1 , e0 } のように要素がエフェクトであるようなテストを測定とよぶ。測定は，測定結果以外の出力がないような『測定』をモデル化したものだと解釈できる（検出器 M には測定結果以外の出力がない）。
表 1.1 に，物理操作のモデル化に関する主な用語をまとめておく。
表 1.1 物理操作のモデル化に関する主な用語

用語

モデル化の対象

テスト『測定』（測定結果以外の出力があってもよい）

測定

測定結果以外の出力がないような『測定』備考

テストの特別な場合確定的なプロセス 『測定』以外の物理操作

高度な話題： 物理操作を『測定』とそれ以外に分類して，それぞれで異なる方法でモデル化するのはなぜだろうか？
恐らく最大の理由は，（本書やほかの多くの書籍で扱われる）量子論の枠内では『測定』を確定的なプロセスとして素直かつ厳密な形で扱うことが困難であり，操作的確率論でもこのような量子論の事情を考慮しているためではないかと思う。大ざっぱに述べると，測定結果は古典情報であり，これを量子情報とみなすと確率的なふるまいというものを適切には扱えないのである。実は，操作的確率論では『測定』を確定的なプロセスとしてモデル化する方法もあり，この方法を使うと物理操作を確定的なプロセスとして統一的に扱える。この話題については，
1.8.4 項の「高度な話題」でも少し触れる。

以降では，『測定』をモデル化したものであるテストを，{ fi }mi=1 のように自然数の添字がついたプロセスの組として表す。このようなテストは，『測定』を 1 回行うと測定結果として

1, . . . , m のいずれか一つのみを確実に出力するものとする。テストの各要素 fi は，「『測定』を行って測定結果 i が得られる」というイベントに対応する。
補足： テストの要素 fi の添字 i は単なる測定結果を表すラベルである。以降ではラベルが自然数である場合を考えることが多いが，これらは自然数以外のもの（たとえば「上」や「赤」のような文字列）であってもよい。このよ
うな場合にも本報の議論はそのまま成り立つ。

第1章

12

操作的確率論の基礎の基礎

1.1.3 プロセスの捉え方
操作的確率論では，スカラーは確率そのものとみなすが，それ以外のプロセスはある種のブラックボックス（内部構造がわからないもの）と捉える。ひょっとすると，慣れないうちはプロセスをつかみどころのない概念のように感じるかもしれない。しかし，ほかのプロセスを接続したときに得られるスカラー（つまり確率）を考えることで，対象とするプロセスの確率的なふるまいについて論じることができる。操作的確率論は，このような確率的なふるまいを調べる理論であるといえる。
例として，あるデバイス F のふるまいを特定したいとしよう。このために，図 1.1 の例のように，ある別のデバイス X の出力を F に入力して F からの出力を測定器 M で測定することで F に関する情報を得ることを考える。操作的確率論では，個々の測定の結果はわからな
いが，その測定結果がしたがう確率分布（PF (X, M) とおく）は求められるとする。F に X とM を接続して何度も測定を行って，測定結果の統計的な性質からその確率分布を求めるようなイメージである。このとき，デバイス X と測定器 M を変えながら多数回の実験を行ってこの確率分布を求め，最終的にさまざまな X と M に対する確率分布を集めた組 {PF (X, M)}X,Mが得られたとする。たとえ F の内部構造がわからなかったとしても，このような確率分布の組から F の確率的なふるまいを特定できると考えることは自然であろう。操作的確率論では，実際に {PF (X, M)}X,M から F の確率的なふるまいを特定できると考え，このふるまいを確定的なプロセスとしてモデル化するのである。
補足： ミクロな物体では，その内部構造を直接的に調べることはできないと考えられている。原子や分子であれば顕微鏡を使って観察できることが少なくないが，その場合でも対象とする物体に光や電子を相互作用させたときのふるまいを調べているのであり，内部構造を直接的に調べているわけではないといえる。そこで調べたい物体がある場合には，その内部構造に着目するのではなく，顕微鏡のように別の物体を作用させたときのふるまいに着目することは妥当であろう。操作的確率論でもこのような考え方に基づいている。

1.1.4 主要な概念
図 1.2 は，プロセス・スカラー・状態・エフェクトに関連する概念として，本章でこれから述べる操作的確率論の主要な概念を模式的に表したものである。以降の説明は，この図を参照しながら読むとよいと思う。この図で述べられている各概念についてはあとで厳密な定義を述べるが，ここではこれらの概念の間の関係を説明しておく。
すでに述べたように，物理操作はテストまたは確定的なプロセスによりモデル化される。
図 1.2 に書かれている（実数の）1 と正規状態と放棄エフェクトは，確定的なプロセスの特別な場合である。また，確率分布と測定は，テストの特別な場合である。任意のプロセスは，いずれかのテストに属している。

1.2 スカラー13

図 1.2 プロセスやテストに関する主要な概念

補足： 本書ではテストの要素ではないようなプロセスを「実現不可能」であるとよんだが，本報ではこのようなプロセスを取り除いた理論を考える。

本章では，スカラーについて説明したあとで状態や測定などを説明し，さらにそれらの一般化として確定的なプロセスやテストなどを説明する。確定的なプロセスとテストの二つの概念が理解できれば，図 1.2 で示されているほかの概念はその特別な場合として統一的に理
解できる。

1.2

スカラー

1.2.1 スカラーと確率との対応
スカラーを 0 以上 1 以下の実数と同一視することにする。つまり

Scalar = {p ∈ R : 0 ≤ p ≤ 1}

(1.1)

であるとする。このスカラーを「確率」のことだと考える。また，スカラーの組 {pi }mi=1 （mは自然数）のうち，とくに和が 1 であるものを確率分布とよぶことにする。これは，ふだん我々が『確率分布』とよんでいるものに対応している。話を簡単にするため，m は有限とし，要素数が無限個の『確率分布』などは考えない。スカラーが 1 であるとき，確定的であるとよぶ。直観的には，これは確率 1 のことであり，「確実に施せる」ことに対応する。

第1章

14

操作的確率論の基礎の基礎

1.2.2 プロセスを接続して得られるスカラーの解釈
複数個のプロセスを直列や並列に接続して得られるスカラーは，それらのプロセスのすべてが施される結合確率のことだと解釈することにする。たとえば次のスカラーは，ρ, e, f, e′ をすべて施す結合確率に等しいものとする。各プロセスについて，「そのプロセスを施す確率」というものが何らかの形で定まっていると思ってほしい（この確率が具体的にどのように表されるかは本報では明記しない）。
「スカラー p を施す確率」は，実数 p に等しいと考える。また，スカラー同士の並列接続
は，それらのスカラーの実数としての積に等しいものとする。スカラーを「確率」とみなせることを考慮すると，この仮定は妥当であろう。たとえば，スカラー 0.8 と 0.5 の並列接続は0.4 に等しい。直観的には，これは確率 0.8 と 0.5 で起こる二つの独立なイベントが同時に起こる結合確率を表す。なお，スカラー同士の直列接続は並列接続に等しいのであった（本書の 3.3.2 項を参照のこと）。
スカラー p とプロセス f の並列接続 p ⊗ f を f の p 倍とよび p f と書くのであった（本書の 3.3.2 項を参照のこと）。 p f は，直観的には「 f を施す」というイベントが確率 p で起こることであり，この意味でプロセス f に確率 p を掛けたものだと解釈できる。

1.3

状態

1.3.1 正規状態
直観的には，状態は「常に同じモノを出力する」という操作（状態準備とよばれる）を表す。「モノ」として電子や光子などのミクロな物体をイメージするとわかりやすいかもしれない。直観的なイメージに合うように，この操作を施すことをしばしば「状態を準備する」のように表現する。
状態のうち，とくに「確実に施せる」ものを正規または確定的であるとよぶことにする。正規状態は「常に同じモノを確率 1 で出力する」という物理操作を表しているとみなせる。さらに，正規状態はその「モノ」の『状態』そのものと同一視できる。系 A の正規状態全体かNら成る集合を StN
A とおく。各系 A の正規状態は一つはある（つまり StA は空集合ではない）

1.4 エフェクトと測定15と仮定する。
とくに，自明な系 I の正規状態，つまり正規なスカラーは 1 のみであるとする。これは，「確実に施せる」スカラーが 1 のみであることと整合している。
補足： 古典力学などでは物体の『状態』を位置や運動量などの物理量の組として表せる。これに対し，量子論では『状態』をこのような直観的でわかりやすい量の組として表すことはできない。量子論の状態は，古典力学における『状態』と比べると直観的なイメージをもつことが難しく，慣れないうちはわかりにくい概念であろう。操作的確率論では，状態をプロセスと同様にブラックボックスとして捉える。これから述べるように，状態をほかのプロセスと組み合わせたときの確率的なふるまいについて考えると，状態の直観的なイメージをもてなかったとしても状態を表現する方法がみえてくるのである。このように，操作的確率論の状態とは「その確率的なふるまいが定まっているような（入力のない）ブラックボックス」のことだといえる。

1.3.2 一般的な状態
操作論では，スカラー p と状態 ρ の並列接続 pρ は状態である。このため，任意のスカラーp と正規状態 ρ に対して
図式

pρ

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.2)

図式

−−
−→
は状態である。ここで，矢印「−←−−」は左側の数式と右側の図式が同じ意味であることを表数式す。この状態 pρ は，直観的には「正規状態 ρ を確率 p で準備する」という操作を表し，この状態を準備する確率は p であるとみなせる。これから次第にわかってくると思うが，実質的に興味があるのは正規状態のみであるため，すべての状態は pρ のような形で表せると仮定
する。

1.4

エフェクトと測定

直観的には，エフェクトは「ある（測定結果以外の出力がないような）『測定』を行ったときにある測定結果が得られる」というイベントを表す。また，そのような『測定』そのもの
はエフェクトの組として表される。
補足： 標準的な量子論の書籍では，（たとえば理想測定のように）測定結果以外の出力があるような『測定』が考えられることが少なくない。次節で説明するように，このような『測定』はテストにより表される。

第1章

16

操作的確率論の基礎の基礎

1.4.1 エフェクトの等価性
ある系 A のエフェクトは，系 A の任意の正規状態を入力したときの出力により特定できると仮定する。つまり，2 個のエフェクト e と e′ が(e|ρ) = (e′ |ρ)(∀ρ ∈ StNA

)

(

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

∀ρ ∈ StNA

)

(1.3)

を満たすならば e = e′ であると仮定する。逆に，e = e′ ならばこの式を満たすことは，操作論により保証されている。
直観的には，2 個のエフェクト e と e′ がどのような正規状態に対しても確率的に同じふるまいをするならば e と e′ を同一視することを意味している。操作的確率論では，プロセスを
ブラックボックス（内部構造がわからないもの）と捉えているのであった。内部構造がわからない以上，2 個のプロセスが等しいか否かを判断するときにプロセスの確率的なふるまいに着目することは妥当であろう。ここでの等価性は，この考え方に基づいているといえる。

1.6.1 項で述べるプロセスの等価性でも同様の考え方に基づく。
この仮定では入力を正規状態に限定しているが，式 (1.3) における「∀ρ ∈ StN
A 」を「∀ρ ∈ StA 」に置き換えても同じである。このことを確かめておく。任意の状態はスカラー（つまり 0 以
上 1 以下の実数） p と正規状態 ρ の並列接続 pρ の形で表せて(e|pρ) = p(e|ρ)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

が成り立つ。図中の破線は，プロセスをグループ化して考えていることを表すための補助線である。この式から(e|ρ) = (e′ |ρ)(∀ρ ∈ StNA)⇔(e|ρ) = (e′ |ρ)(∀ρ ∈ StA )であることがわかる。

1.4.2 確定的なエフェクト(1) 確定的なエフェクトの定義
前節では，状態のうち「確実に施せる」ものとして正規状態を考えた。エフェクトについても同様に，「確実に施せるもの」を考えてみよう。ある系 A のエフェクト e が，任意の正規1.4 エフェクトと測定

17

状態 ρ を入力したときに 1 を返す，つまり(e|ρ) = 1()∀ρ ∈ StNA

(

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

∀ρ ∈ StNA

)

(1.4)

を満たすとき，e を確定的であるとよぶ。

1.2 節で述べたように，(e|ρ) は ρ と e をともに施す結合確率のことだと解釈するのであった。直観的には，「確実に施せる」ような任意の ρ に対して結合確率 (e|ρ) が 1 なのだから，eは ρ によらず「確実に施せる」はずである。逆に，結合確率 (e|ρ) が 1 にならない場合があれ
ば，e は ρ によらず「確実に施せる」とはいえない。このため，直観的には，確定的なエフェ
クトとは「確実に施せる」ようなエフェクトのことにほかならない。式 (1.4) は，エフェクト
が「確実に施せる」ことの意味を厳密に定めたものといえる。
補足： 式 (1.4) は満たさないがいくつかの正規状態 ρ に対しては「確実に施せる」（つまり (e|ρ) = 1 である）ようなエフェクト e も考えられる。このようなエフェクトは確定的とはよばない。「確実に施せる」とよんだ場合には，「どのような入力に対しても常に確実に施せる」という意味だと思ってほしい。

(2) 放棄エフェクト
前項で述べたように，エフェクト e は各正規状態を入力したときの出力により定まるのであった。系 A の確定的なエフェクト e は系 A の任意の正規状態を 1 に写す写像であるため，
系 A の確定的なエフェクトはすべて同じであることがわかる。各系 A の確定的なエフェクトが一つはあると仮定する。このとき，確定的なエフェクトは（同じものを除いて）一つしかなく，これを放棄エフェクトとよびe=と書くことにする。

図式

A

−
−−
−→
←
−−
数式

A はしばしば単に施すと 1 に写る。これは，(1.5)と書く。どのような正規状態 ρ に対してもをを施すと「ρ に含まれていた情報が消える」ことを意味している。このため，系 A の放棄エフェクトは「系 A を捨てる」という物理操作を表していると解釈できる。
とくに，系 I の放棄エフェクトは 1 である。これは，I は確定的であり，確定的なスカ

ラーは 1 しかないことからわかる。
補足： 任意の状態は式 (2.11) のようにスカラー p と正規状態 ρ を用いて pρ の形で表せた。しかし，これとは対照的に，任意のエフェクトがスカラーと確定的なエフェクト（つまり放棄エフェクト）の並列接続の形で表せるわ
けではない。より一般的なプロセスについても同様に，このような形で表せるとは限らない。

第1章

18

操作的確率論の基礎の基礎(3) 合成系の放棄エフェクト
放棄エフェクトは「確実に施せる」ため，ある系 A の放棄エフェクトとある系 B の放棄エフェクトを並列に接続して得られるエフェクトも「確実に施せる」。このため，このエフェク
トは確定的，つまり放棄エフェクトである。合成系 A ⊗ B の放棄エフェクトは一つしかない
ため，このエフェクトに限られる。つまり，次式が成り立つ。
A⊗B =

A⊗

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

B

(1.6)

この式は，合成系 A ⊗ B を捨てることは系 A と系 B の両方を捨てることに等しい，と解釈できる。

(4) 放棄エフェクトを用いた正規状態の定義
前節では正規状態を「確実に施せる」ような状態として定義したが，この定義の中に「確実に施せる」といったややあいまいな表現があることを気にする読者もいるかもしれない。このようなあいまいな表現を避けるための方法として，（放棄エフェクトが存在することを仮定した上で）状態 ρ が(A |ρ) = 1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.7)

を満たすときに，正規であると定義する方法もある。このとき，任意の状態 σ はスカラー pと正規状態 ρ を用いて pρ の形で表せるため，
(1.2)

(1.7)

(1.8)
が成り立つ。σ が正規であることと p = 1 であることは等しい。なお，等号の上についた「(1.2)」のような式番号は，その式を用いて式変形していることを表している。

1.4.3 測定
確定的なエフェクトは放棄エフェクトのみであるため，確定的なエフェクトのみを考えてもあまりおもしろくない。しかし，エフェクトの組のうち全体で確定的（つまり放棄エフェクト）とみなせるようなものを考えると，おもしろい結果が出てくる。そのようなエフェク
トの組がこれから述べる測定である。

1.4 エフェクトと測定

19(1) 測定の定義
まず，ある系 A のエフェクトの組 Π B {ei }mi=1 が『測定』を表していると仮定して，Π が満たすべき条件について考えよう。この『測定』を 1 回行うと，測定結果として 1, . . . , m のい
ずれか一つのみを返すとする。各要素 ei は「その『測定』を行って結果 i が得られる」というイベントに対応していると考えることにする。ある状態 ρ とエフェクト ei との接続 (ei |ρ)は ρ と ei の両方を施す結合確率のことだと解釈するのであった。とくに ρ が正規の場合には

ρ を施す確率は 1 であるため，(ei |ρ) は ei を施す確率に等しいはずである。つまり，ρ が正規状態のとき，(ei |ρ) を「ρ に対してその『測定』を行って結果 i が得られる確率」のことだと解釈できる。『測定』を 1 回行うと測定結果は 1, . . . , m のいずれかであるため，和∑mi=1 (ei |ρ)mが ρ によらず 1 である（つまりスカラーの組 {(ei |ρ)}i=1 が確率分布である）ことが必要条件である。逆に，Π がこの条件を満たしていれば，『測定』を表しているといえるための最低限の条件は満たしているといえよう。そこで，この条件を満たすものを測定とよびたい。
以上の考察に基づき，測定を次のように定義する。ある系 A のエフェクトの組 Π B {ei }m
i=1
が
m
∑

(ei |ρ) = 1(∀ρ ∈ StNA

)

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(
)
∀ρ ∈ StNA(1.9)

を満たすとき，Π を測定とよぶ。式 (1.9) は，任意の正規状態 ρ に対して {(ei |ρ)}m
i=1 が確率分
布になることに等しい。この定義は，Π が『測定』を表しているといえるために最低限満た
すべき条件のみに基づいている。このため，測定は（測定結果以外の出力がないような）『測定』を表す最も一般的な概念であるといえる。
直観的には，測定 Π は（測定結果以外の出力がないような）『測定』をモデル化したものであり，「エフェクト e1 , . . . , em のいずれか一つのみを確実に施す」というイベントを表す。また，先ほど述べたように，各要素 ei は「この『測定』を行って結果 i が得られる」というイ
ベントを表す。ただし，「測定を行ったときに実際にどのエフェクトが施されるか（つまりどの測定結果が得られるか）」は一般に確率的であり，またその確率の分布は入力 ρ によって異なる。
放棄エフェクトのみを要素にもつ組 {A } は自明な測定である。この測定は要素数が 1 であるため，どの正規状態が入力されても常に測定結果 1 を返す。

(2) エフェクトはいずれかの測定の要素
放棄エフェクトを除くすべてのエフェクトは，単体では物理デバイスのふるまいに直接的には対応していない。物理デバイスのふるまいに直接的に対応させるためには，エフェクト

第1章

20

操作的確率論の基礎の基礎の組である測定を考えることになる。このことを鑑みると，測定の要素としてのエフェクトを考えることには意味がある。しかし，どの測定の要素にもなっていないエフェクトのことを考えても実質的には役に立たないであろう。このようなエフェクトを理論から除外するため，任意のエフェクトはいずれかの測定の要素になっていると仮定する。
高度な話題： 本書で導入している「実現不可能なプロセス」という概念は，この意味においては役に立たない。しかし，プロセス空間の数学的構造を考えるときや確率の計算をするときにはしばしば役に立つ。

1.5

プロセスとテスト

直観的には，プロセスは操作（物理操作またはその一部）をモデル化したものである。また，テストは広い意味での『測定』をモデル化したものであり，前節で述べた測定を一般化したものである。

1.5.1 確定的なプロセス
状態やエフェクトの場合と同様に，確定的なプロセスについて考えよう。ある系 A からある系 B へのプロセス f が(

B | f |ρ) = 1(∀ρ ∈ StNA

)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

を満たすとき，確定的であるとよぶ。1.2 節で述べたように，(
ス f と放棄エフェクト()∀ρ ∈ StNA(1.10)

B | f |ρ) は正規状態 ρ とプロセ

B のすべてを施す結合確率のことだと解釈するのであった。直観的には，正規状態 ρ と放棄エフェクト，結合確率 (
B は「確実に施せて」

B | f |ρ) が 1 である

ため， f は「確実に施せる」と解釈できる。つまり，直観的には，確定的なプロセスとは「確実に施せる」ようなプロセスのことである。
式 (1.10) と式 (1.4) を比べると，プロセス f が確定的であることはエフェクト (| f が確定的，つまり(に等しいことがわかる。

B| f =

図式

A

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.11)

1.5 プロセスとテスト

21

1.5.2 テスト
測定とは，全体で確定的（つまり放棄エフェクト）とみなせるようなエフェクトの組のことであった。この概念を一般化し，全体で確定的とみなせるようなプロセスの組を考えたものが，これから説明するテストという概念である。

(1) テストの定義
ある系 A からある系 B へのプロセスの組 F B { fi }m
i=1 が

m
∑

(

B | fi |ρ) = 1

i=1

(
)
∀ρ ∈ StNA

(

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

∀ρ ∈ StNA)(1.12)

を満たすとき，F をテスト（またはインストルメント）とよぶ。
測定の定義と同じように，この定義は F が広い意味での『測定』（測定結果以外の出力があってもよい）を表しているといえるための条件に基づいている。以降では，この広い意味での『測定』を『テスト』とよぶことにしよう。(
エフェクトであるため，(

B | fi |ρ) は正規状態 ρ とプロセス fi と放棄

B のすべてを施す結合確率のことだと解釈できるが，ρ とB を施す確率は 1

B | fi |ρ) は fi を施す確率のことだといえる。 fi を施す確率のことを「正規状態ρ に対して『テスト』を行って結果 i が得られる確率」だと考えると，式 (1.12) は F が『テスト』であるための必須条件であるといえる。この必須条件を満たすものをテストとよぶことにするのである。
直観的には，テスト F は『テスト』をモデル化したものであり，「プロセス f1 , . . . , fm のい
ずれか一つのみを確実に施す」というイベントを表す。ただし，一般にどのプロセスが施されるかは確率的であり，またその確率の分布は入力 ρ によって異なる。各要素 fi は，「『テスト』を行って結果 i が得られる」というイベントと「測定結果以外の出力を返す」という操作に対応していると解釈できる。測定と同様に，テストは『テスト』を表す最も一般的な概念であるといえる。
正規状態 ρ に対してテスト F の各要素を施すと系 B に状態が出力されるが，式 (1.12) の放棄エフェクトB は直観的にはこの状態を捨てることを表している。このため，式 (1.12) は系 B への出力を無視して測定結果が得られる確率のみに着目していると解釈できる。
確定的なプロセス f のみを要素にもつ組 { f } は明らかにテストである。このテストは，どの正規状態が入力されても常に結果 1 を返す。逆に，1 個の要素から成るテスト { f } の要素 f

第1章

22

操作的確率論の基礎の基礎が確定的であることが式 (1.10),(1.12) よりわかる。つまり，プロセス f について{ f } がテスト⇔

f が確定的(1.13)

が成り立つ。
図 1.2 で示したように，測定や確率分布はテストの特別な場合である。実際，式 (1.12) において B = I の場合には，

I = 1 であるため式 (1.9) が得られる。このため，測定はテストの特別な場合である。さらに A = I の場合には f1 , . . . , fm はスカラーになり，正規なスカラーが 1 のみであることを考えると式 (1.12) は∑mm
i=1 fi = 1 となる。これは，{ fi }i=1 が確率分布であることにほかならない。

(2) テストであるための必要十分条件

ei B (

B | fi とおくと，式 (1.12) は式 (1.9) に等しいことがわかる。つまり

がテスト

⇔

が測定

が成り立つ。直観的には，測定結果以外の出力がある『測定』であることは，その出力を捨てたときに測定結果以外の出力がない『測定』になることと同じことだと解釈できる。

(3) プロセスはいずれかのテストの要素
任意のプロセスはいずれかのテストの要素になっていると仮定する。エフェクトの場合と同様に，確定的ではないプロセスは単体では物理デバイスのふるまいに直接的には対応していない。物理デバイスのふるまいに直接的に対応させるためにはプロセスの組であるテストを考えることになるため，このように仮定することは妥当であろう。

1.5.3 テストと状態(1) 正規状態にテストを施して得られる状態
ある正規状態 σ にテスト F B { fi }mi=1 を施すことを考えよう。各 i について fi |σ) は状態であるため，式 (1.2) よりスカラー pi と系 B のある正規状態 ρi を用いて

fi |σ) = pi ρi

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

1.6 プロセスの等価性と和23の形で表せる。ただし， pi と ρi は一般に入力 σ に依存する。このとき， fi は σ に「テストF を施して結果 i が得られる確率」が pi であるという情報と，「結果 i が得られたときに正規状態 ρi を返す」という情報の両方をもっていると解釈できる。

(2) テストであるような状態の組
系 A の状態の組 S = {ρi }mi=1 がテストであるための必要十分条件を求めよう。式 (1.12) の系

A に I を代入して fi に ρi を代入すると（ただし系 B を A と書く），系 I の正規状態は 1 のみであるため次式が得られる。
m∑(

A |ρi ) = 1

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.14)

これが，S がテストであるための必要十分条件である。
式 (1.2) より，各状態 ρi はスカラー pi と正規状態 ρ̃i を用いて ρi = pi ρ̃i の形で表せる。
(1.7)

および式 (1.14) より，S = {ρi = pi ρ̃i }mi=1 がテストであることは∑m

i=1 pi = 1 である（つまりm{pi }i=1 が確率分布である）ことに等しいことがわかる。直観的には，このようなテスト S は「正規状態 ρ̃1 , . . . , ρ̃m のいずれかを確率分布 {pi }mi=1 にしたがってランダムに準備する」という物理操作であるとみなせる。
補足： このような状態の組からなるテストが量子論において重要になる場面はそれほど多くない気がするため，図1.2 からは省いた。

1.6

プロセスの等価性と和前節までで，図 1.2 で示した主要な概念についてひととおり説明した。本節で導入するプ
ロセスの等価性と和という概念を用いると，これらの概念を見通しよく整理できる。

1.6.1 プロセスの等価性
系 A から系 B へのプロセスは，系 A の任意の正規状態と系 B の任意のエフェクトを接続したときに得られるスカラーにより特定できると仮定する。つまり，2 個のプロセス f と f ′

第1章

24

操作的確率論の基礎の基礎

が(e| f |ρ) = (e| f ′ |ρ)()∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffB()∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffB

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.15)

を満たすならば f = f ′ であると仮定する。逆に， f = f ′ ならばこの式を満たすことは，操作論により保証されている。直観的には，2 個のプロセス f と f ′ に対してそれぞれ同一の操作を施したときの確率的なふるまいが完全に同じならば f と f ′ を同一視することを意味している。
与えられた 2 個の物理デバイスに対して，どのような入力を与えても同じ出力を返すならばそれらは同じふるまいをするといえるだろう。この物理デバイスへの入力に相当するもの
がプロセスに状態やエフェクトを接続することであり，出力に相当するものが接続により得られたスカラーである。このスカラーは確率とみなせたため，式 (1.15) は f と f ′ が確率的に同じふるまいをすることを表していると解釈できるのである。
すべてのエフェクトは何らかの測定の要素であるため，この仮定は「任意の正規状態 ρと任意の測定 Π B {ei }i を f および f ′ にそれぞれ接続したときに得られる確率分布の組{{(ei | f |ρ)}i }ρ,Π および {{(ei | f ′ |ρ)}i }ρ,Π が全く同じならば f = f ′ とみなす」ことと同じ意味である。

1.4.1 項で述べたエフェクトの等価性は，この特別な場合とみなせることがすぐにわかる‡2 。
なお，エフェクトの場合と同様に式 (1.15) の「∀ρ ∈ StN
A 」を「∀ρ ∈ StA 」に置き換えても同じである（任意の状態が式 (1.2) の形で表せることを用いればすぐに示せる）。
状態の等価性もこの特別な場合として定まる。具体的には，2 個の状態 ρ と ρ′ が(e|ρ) = (e|ρ′ )(∀e ∈ EffA )

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(∀e ∈ EffA )を満たすならば（かつこのときに限り）ρ = ρ′ である。もちろん，スカラーの等価性も式(1.15) により定まり，2 個のスカラー p と p′ が等価であることは実数として同じであることにほかならないことがすぐにわかる。
‡2 証明：式 (1.15) において B = I の場合を考えると，e( f |ρ) = e( f ′ |ρ)(∀ρ ∈ StN
A , e ∈ Scalar) になり，これはN′( f |ρ) = ( f |ρ) (∀ρ ∈ StA ) に等しい。この式はエフェクトの等価性の式 (1.3)（に e = f および e′ = f ′ を代入したもの）と同じである。

1.6 プロセスの等価性と和

25

1.6.2 プロセスの和(1) 和の定義
系 A から系 B への 2 個のプロセス f と g に対し，

(e|h|ρ) = (e| f |ρ) + (e|g|ρ)(∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffB)()∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffB

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.16)

を満たすプロセス h が存在するとき，h を f と g の和とよび f + g と書くことにする。なお，
右辺にある + は実数としての和である。直観的には，式 (1.16) は「プロセス h の確率的なふるまいが常に f と g の確率的なふるまいの「和」に等しい」ことを意味している。とくに fと g がスカラーの場合には f + g は実数としての和そのものである。この定義を繰り返し適用することで 3 個以上のプロセスの和も定められる。つまり，

 k 
k
∑
∑ 
(e| 
fi  |ρ) =(e| fi |ρ)
i=1(∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffB

)

i=1

(
)
∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffB

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

を満たすように k 個のプロセス f1 , . . . , fk の和(1.17)∑ki=1 fi を（もしそのようなプロセスが存在す

れば）定める。
和 f + g は存在しない場合もある。たとえばスカラーの和 1 + 1 は（スカラーは 1 以下でなければならないため）存在しない。任意のプロセスはいずれかのテストの要素であると仮定したことを思い出してほしい。この仮定より， f + g が存在することは系 A から系 B へのあるプロセスの組 h1 , . . . , hk が存在して { f + g, h1 , . . . , hk } がテストであることに等しい。以降
では， f + g のように書いた場合には，とくに断りがない限り和 f + g が存在するものとする。
高度な話題： 実現不可能なプロセスを理論に含めてある適切な要請を追加すると，和 f + g は必ず存在するようになる（本書の 6.4.1 項を参照のこと）。

第1章

26

操作的確率論の基礎の基礎(2) テストの要素の和′プロセスの組 F B { fi }mi=1 を考える。 f1 + f2 が存在してプロセスの組 F B { f1 + f2 , f3 , . . . , fm }がテストならば，式 (1.12) を満たすため F もテストであることがわかる。逆に，F がテストならば（ f1 + f2 が存在して）F ′ もテストであると仮定する。直観的には，テスト F ′ は「テスト F により f1 が施されたときの結果と f2 が施されたときの結果を合わせた」ものであり，f1 と f2 を合わせた操作が f1 + f2 であると解釈できる。この意味で，この和は「確率的な和」（より正確には確率論における排反事象の和事象）に相当しているといえる。 f1 + f2 は「テスト F を行って結果 1 または結果 2 が得られるというイベント」を表す。つまり，テスト F ′は「テスト F を施したときの結果が 1 または 2 の場合にはそれらをまとめて結果 1 とみなす」という物理操作を表している。このような物理操作を考えると，上記のように仮定する
ことは自然であろう。

(3) 和の性質
スカラー倍と同様に，∑ki=1 のような和の記号は等号などをまたがない限りその位置を自由に変えられる。このことを厳密に示すこともできるが，ここではいくつか例を挙げることにする‡3 。たとえば，系 A から系 B へのプロセス f1 , . . . , fk の和∑ki=1 fi と系 B から系 C へのプ

ロセス g について()∀ρ ∈ StNA , e ∈ EffC

‡3 厳密に示すためには，本書の式 (6.35) が成り立つことを示せばよい。この式は，これから挙げる例と同様の方法により示せる。

1.7 参考：直観的なイメージ

27が成り立つ。ただし，左側の等号では式 (1.17) の e に (e|g を代入した式を用い，右側の等号
では式 (1.17) の fi に g fi を代入した式を用いた。ここから次式が成り立つことがわかる。

 k k∑  ∑




g 
fi  =
g fi
i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

i=1

補助線を無視してこの図式の両辺を比べると，単に和の記号(1.18)∑ki=1 の位置が違っているだけで∑あることがわかる。また，系 A から系 B へのプロセス f1 , . . . , fk の和 ki=1 fi と系 C から系 Dへのプロセス h について(∀ρ ∈ StNA⊗C , e ∈ EffB⊗D)(1.19)

が成り立つ。ただし，左側の等号では式 (1.17) の e に (e|(idB ⊗ h) を代入した式を用い，右側の等号では式 (1.17) の fi に fi ⊗ h を代入した式を用いた。このため

 k 
k
∑
∑ 
fi  ⊗ h =( fi ⊗ h)
i=1

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式
(1.20)である。なお，式 (1.19) では式変形の都合上 fi よりも上の位置に h を描いたが，恒等プロセスを表す線は「自由に伸縮できる」ことを思い出してほしい（本書の 3.2.3 項を参照のこと）。
上記で示したように，和の記号∑は等号などをまたがない限りその位置を自由に変えられるため，式 (1.18) や式 (1.20) で描いたような補助線は不要である。

1.7

参考：直観的なイメージ

参考までに，これまでに述べてきた主要な概念の直観的なイメージを表 1.2 にまとめておく。このイメージは，確率論としての解釈だとみなしてもよい。

第1章

28

操作的確率論の基礎の基礎

表 1.2 直観的なイメージ

用語

イメージ

該当ページ

プロセス

操作（物理操作またはその一部）

p. 10

確定的

確実に施せる

p. 10

確定的なプロセス『測定』以外の物理操作（物理デバイスのふるまい）

p. 11

直列接続

逐次操作

p. 10

並列接続

並列操作

p. 10

スカラー

確率

p. 13

確定的なスカラー

確率 1

p. 13

プロセスを接続してプロセスのすべてが施される結合確率p. 14「 f を施す」というイベントが確率 p で起こる

p. 14得られるスカラーf のp倍

f に確率 p を掛けたもの
正規状態

常に同じモノを確率 1 で出力するという物理操作

p. 14

or そのモノの『状態』
エフェクト

測定結果以外の出力がないような『測定』をp. 15

行って特定の結果が得られるというイベント
放棄エフェクト

正規状態に含まれていた情報を消す

p. 17

測定 {ei }m
i=1

測定結果以外の出力がないような『測定』p. 11,19e1 , . . . , em のいずれか一つのみを確実に施す
テスト { fi }mi=1『テスト』（広い意味での『測定』）p. 11,21

f1 , . . . , fm のいずれか一つのみを確実に施すプロセスが等価

確率的なふるまいが完全に同じ

p. 24

和

確率的な和

p. 25

1.8

確定的なプロセスやテストに関する性質

1.8.1 テストであるための必要十分条件
プロセスの和の概念を用いて，テストであるための必要十分条件を簡潔な形で表す。系 A
から系 B へのプロセスの組 F B { fi }mi=1 を考える。1.6.2 項の (2) で述べた「テストの要素を合わせる」という処理を繰り返すと，F がテストならばテスト {かる。このため，式 (1.21) より対してプロセス

∑m

∑m

∑m

i=1 fi } が存在することがわ

i=1 fi は確定的なプロセスである。また，プロセスの組 F に

i=1 fi が存在して確定的ならば，式 (1.12) を満たすため F はテストである。

1.8 確定的なプロセスやテストに関する性質

29

つまり，

{ fi }mi=1 がテストm∑⇔fi が（存在して）確定的(1.21)

i=1

が成り立つ。直観的には，テスト { fi }m
i=1 は確定的なプロセス∑mi=1 fi を「分解」したものと解釈できる。プロセスが確定的であるための必要十分条件である式 (1.11) を用いると，F がテストであることは
m
∑

(

図式

B | fi =

−
−−
−→
←
−−
数式

A

i=1

(1.22)に等しいことがわかる。
とくに，系 A のエフェクトの組 {ei }mi=1 が測定であることは，
m
∑

ei =

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

A

i=1

に等しい（式 (1.22) に B = I を代入して(1.23)。直観的には，測定 {ei }m
I = 1 を用いればよい）
i=1

は式 (1.23) の意味で放棄エフェクトを「分解」したものと解釈できる。

1.8.2 確定的なプロセスの確率的混合系 A から系 B への確定的なプロセス f1 , . . . , fk と確率分布 {pi }ki=1 を任意に選び，プロセスの組 F B {pi fi }ki=1 を考える。

(1.11)

より式 (1.22) を満たすため，F はテストである。このため，式 (1.21) より

f˜ B

k
∑
i=1

図式

p i fi

−
−−
−→
←
−−
数式

が存在して確定的である。直観的には，このプロセスは「確率分布 {pi }ki=1 にしたがって確定
的なプロセス f1 , . . . , fk で表される物理操作のいずれか一つを施す」という操作を表している。このプロセス f˜ を f1 , . . . , fk の確率的混合とよぶ。確率的混合 f˜ が必ず存在することは，

第1章

30

操作的確率論の基礎の基礎

系 A から系 B への確定的なプロセスをすべて集めた集合が凸集合であることを意味する。
(1)

(k)

k
1
系 A から系 B への k 組のテスト F1 B { f j }mj=1, . . . , Fk B { f j }mj=1と確率分布 {pi }ki=1 に対(i) (k,m )i
して，プロセスの組 G B {pi f j }(i, j)=(1,1)
を考えることもできる。この G を F1 , . . . , Fk の確率的混合とよぶ。式 (1.22) より
mi
k ∑
∑

(

(i)
B |pi f j =i=1 j=1

k
∑

pi

A =

A

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式
が成り立ち，したがって G はテストであることがわかる。直観的には，テスト G は「確率分
布 {pi }ki=1 にしたがってテスト F1 , . . . , Fk のいずれかを施す」という『テスト』であるとみなせる。

1.8.3 テストの接続
2 組のテストを直列や並列に接続して得られるプロセスの組はテストである。たとえば系
A から系 B へのテスト { fi }li=1 と系 B から系 C へのテスト {g j }mj=1 に対して

(1.22)(1.22)(1.24)(l,m)

が成り立つため，{g j fi }(i, j)=(1,1) は系 A から系 C へのテストである。また，系 A から系 B への
テスト { fi }li=1 と系 C から系 D へのテスト {h j }kj=1 に対して

(1.22)(1.25)(l,k)

が成り立つため，{ fi ⊗ h j }(i, j)=(1,1) は合成系 A ⊗ C から合成系 B ⊗ D へのテストである。3 組
以上のテストを直列や並列に接続して得られるプロセスの組は，これらの接続を繰り返すことで得られるため明らかにテストである。
この特別な場合として，以下のことがわかる。

1.8 確定的なプロセスやテストに関する性質

31• 2 組以上の測定を並列接続して得られるエフェクトの組は測定である。
• 2 組以上のテストを直列や並列に接続して得られるスカラーの組は確率分布である。
• 2 個以上の確定的なプロセスを直列や並列に接続して得られるプロセスは確定的である。とくに，2 個以上の正規状態を並列接続して得られる状態は正規である。

1.8.4 確定的なプロセスとテストの関係
すでに述べたように，プロセス f について{ f } がテスト⇔

f が確定的(1.13)

が成り立ち，プロセスの組 { fi }mi=1 について{ fi }mi=1 がテスト⇔

m∑fi が確定的(1.21)

i=1

が成り立つ。このように，確定的なプロセスとテストには密接な対応関係がある。 f と { f } を同一視すれば，確定的なプロセスは要素数が 1 であるようなテストとみなせる。このような同一視により，テストが最も一般的な概念であると考えることができる。
高度な話題： 操作的確率論や広い意味での量子論（本書で広義量子論とよんでいるもの）では，テストを確定的なプ
ロセスとみなすこともできる（本書の 7.3.4 節を参照のこと）。この意味で，確定的なプロセスが最も一般的な概念であると考えることもできる。テストを確定的なプロセスとみなすと，見通しがよくなることがしばしばある。

表 1.3 に，プロセスが確定的であるための必要十分条件とテストであるための必要十分条
件をまとめておく。前者の条件は，後者の条件における m = 1 の場合とみなせる。また，
I = 1 を用いれば，状態やエフェクトに関する条件はプロセスに関する条件から得られる。

この意味で，この表に示した条件は式 (1.22) に集約されているといえる。

1.8.5 テストの接続の例
テストの接続の例を示す。系 C の正規状態 ρ に対して系 C から系 A へのテスト F B { fi }li=1を施したあとで系 A の測定 Π B {e j }mj=1 を施すことを考える。

pi, j B (e j | fi |ρ)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.26)

第1章

32

操作的確率論の基礎の基礎

表 1.3 確定的なプロセスおよびテストであるための必要十分条件

確定的であるための条件

テストであるための条件

プロセス[式 (1.11)][式 (1.22)]

状態[式 (1.7)][式 (1.14)]

エフェクト[式 (1.5)][式 (1.23)]

スカラー[1.2.1 項][1.2.1 項]

とおくと(1.23)(1.22)

(1.7)

(l,m)

であるため，{pi, j }(i, j)=(1,1) は確率分布である。これは，1.8.3 項で述べた「2 組以上のテストを直列や並列に接続して得られるスカラーの組は確率分布である」ことと整合している（なお，
正規状態 ρ は確定的であり，これはテスト {ρ} と同一視できるのであった）。また，各 pi, j は「テスト F の結果が i であり測定 Π の結果が j である確率」を表す。式 (1.26) のような（確定的とは限らないような）プロセスの接続を考えることは，特定のイベントが起こる確率を調べたいときなどに役立つ。
ここで，系 C が別の系 B を用いて C = A ⊗ B の形で表され，また各プロセス fi が系 B のエフェクト e′i を用いて

fi = idA ⊗ e′i

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

の形で表せる場合を考えよう。式 (1.6) と式 (1.22) より，(1.27)∑l′i=1 ei =が成り立つことがわかる。このため，{e′i }li=1 は測定である。言い換えると，テスト F は部分系 A の恒等プロセスと1.9 操作的確率論の線形代数による表現

33

部分系 B の測定 {e′i }li=1 との並列接続のことである。また， pi, j は次式のようになる。

pi, j = (e j ⊗ e′i )|ρ)

(1.26)(1.27)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

図式の右側の等号では，恒等プロセスを表す線が「自由に伸縮できる」ことを用いた。この式は，pi, j が「合成系 A ⊗ B の正規状態 ρ に対して系 A の測定 {e j }mj=1 と系 B の測定 {e′i }li=1 を行ったときに測定結果がそれぞれ j および i になる結合確率」に等しいことを意味している。
この例ではテスト F は部分系に対する測定であったが，より一般的な『測定』もテストとし
て表せる。

1.9

操作的確率論の線形代数による表現

スカラー p とプロセス f の並列接続を f の p 倍とよんだ。また，1.6.2 項ではプロセスの和を定義した。スカラーや和の記号∑

は，ダイアグラム内での位置を自由に変えられたことも思い出してほしい。これらを活用すると，プロセス空間 ProcA→B を含むような実ベクトル空間を考えることができて，プロセスを線形写像とみなせるようになる。これにより線形代数の概念が利用できるようになるため，数学的な扱いが容易になる。

1.9.1 プロセス空間はある実ベクトル空間の部分集合
任意の系 A, B に対して，形式的に次の集合

 k





∑

VA→B B 
a
f
:
k
∈
{1,
2,
.
.
.
},
a
,
.
.
.
,
a
∈
R,
f
,
.
.
.
,
f
∈
Proc
i i
1
k
1
k
A→B 




i=1

を考えてみる。k = 1 および a1 = 1 の場合を考えれば，系 A から系 B への任意のプロセスがVA→B に含まれていることがわかる。つまり，ProcA→B ⊆ VA→B である。プロセスに対して等価性と和の概念を導入したのと同じように，VA→B の要素に対しても式 (1.15) と式 (1.17) のように等価性と和を定める。また，スカラーが図式上を自由に移動できるのと同じように，実数も図式上を自由に移動できるとする。すると，集合 VA→B は実数倍と和を備えた実ベクト
ル空間になっていることがわかる（厳密に証明するとやや骨が折れるため省略するが，実ベ
クトル空間の定義を満たすことを確認すればよい）。VA→B は ProcA→B が張る実ベクトル空間（ProcA→B を含む最小の実ベクトル空間のこと）であることもわかる。とくに，StA = ProcI→Aが張る実ベクトル空間 VI→A を VA と書くことにする。式 (1.1) より，VI は R に等しい。

第1章

34

操作的確率論の基礎の基礎

1.9.2 操作的確率論が満たすべき線形代数としての性質
プロセス空間が張る実ベクトル空間について，以下のことがわかる（ここでは詳細は割愛するが，興味があれば脚注を参照してほしい）。

(1) VA→B は VA か ら VB へ の 線 形 写 像 を す べ て 集 め て で き る 実 ベ ク ト ル 空 間
Lin(VA , VB )‡4 と同一視できる（つまり dim VA→B = (dim VA )(dim VB ) である）‡5 。なお，
Lin(VA , VB ) が実ベクトル空間になることは，たとえば本書の 4.3.1 項を参照のこと。
とくに，VA→I は VA の双対ベクトル空間（つまり VA から R への線形写像全体から成る集合）である。

(2) VA⊗B は VA と VB のテンソル積空間 VA ⊗ VB と同一視できる（つまり dim VA⊗B =(dim VA )(dim VB ) である）‡6 。
補足： 上記の「同一視できる」というのは，実ベクトル空間として同型という意味である。

以降では，実際に VA→B と Lin(VA , VB ) を同一視して，VA⊗B と VA ⊗ VB を同一視することにする。このとき，以下のことがわかる。

(1) 系 A から系 B への任意のプロセスは，VA から VB への線形写像である（ProcA→B は
VA→B = Lin(VA , VB ) の部分集合であるため）。

(2) 任意のプロセスの直列接続 g f は，線形写像の合成 g ◦ f に等しい（任意の ρ ∈ StA を
g[ f (ρ)] に写すため）。
(3) 任意のプロセスの並列接続 f ⊗ h は，線形写像のテンソル積 f ⊗ h に等しい（任意のρ ∈ StA と σ ∈ StB に対して ρ ⊗ σ を f (ρ) ⊗ h(σ) に写すため）。
(4) 恒等プロセス idA は恒等写像に等しい（任意の ρ ∈ StA を ρ に写すため）。
プロセス空間 ProcA→B を実ベクトル空間 VA→B の部分集合とみなせることは，その確率的な性質を考えると自然なことである。実際，スカラー p に対してプロセス f を p 倍するという演算は，直観的には「 f を施す」というイベントが確率 p で起こることだと解釈でき，この意味で p f は「結合確率」のようなものだと解釈できた。また，プロセスの和は「確率的な和」のようなものだと解釈できた。このような「結合確率」と「確率的な和」という概念から，スカラー倍（つまり 0 以上 1 以下の実数を掛けるという演算）と和という二つの演算を自然な形で導入できる。このスカラー倍を実数倍に拡張すると，実ベクトル空間が自然に現‡4 Lin(V, W) はベクトル空間 V からベクトル空間 W への線形写像全体から成る集合。
‡5 本書の補題 6.5 で証明している。
‡6 Web 補遺（森北出版の Web ページ https://www.morikita.co.jp/books/mid/017061 からダウンロード可能）の補

題 3.34 で証明している。

1.9 操作的確率論の線形代数による表現
れるのである。

35

36

第2章

量子論の基礎
操作的確率論は操作論に対して確率の概念を自然な形で導入した汎用的な理論であり，量子論はその特別な場合とみなすことができる。前章で述べた操作的確率論の要請はすべて量子論においても要請され，操作的確率論で成り立つすべての性質は量子論でも成り立つ。また，1.7 節でまとめた直観的なイメージを通して，ミクロの世界における確率的なふるまいを高精度に説明（または予測）できる。
初学者が操作的確率論に基づいて量子論を学ぶ際には，以下の三つを明確に分けるように意識するとよいと思う。

(a) 量子論の数学的構造(b) 量子論の性質のうち任意の操作的確率論で成り立つもの(c) 量子論の性質のうち任意の操作的確率論では成り立たないもの(b) については前章にて操作的確率論の言葉で述べた。本章では，主に (a) について説明しな
がら (b) について量子論ではどのように表現されるかを述べる。まずは (a) と (b) をしっかりと学んでから (c) を学んだほうがよい気がするため，(c) については本報では扱わない。
余談： 操作的確率論に基づいて学ぶか否かに限った話ではないが，量子論が理解できないときには，量子論で必要となる数学（とくに半正定値行列や CP 写像）に関する理解の不足に原因があるのか否かを切り分けることは重要だと思う。

はじめに，2.1 節にて量子系の状態空間について具体的なイメージをもってもらうために，
電子 1 個のスピンを表す系の例を説明する。次に，2.2 節にて本書の第 4 章で説明した CP（完全正値）写像について簡単に復習する。2.3 節では，量子論の定義を示す。2.4 節から 2.6
節まででは，操作的確率論で説明した概念が量子論ではどのように表現されるのかを説明し，量子論で現れる主な概念についても説明する。2.7 節では，操作的確率論が量子論であるためのいくつかの必要十分条件を調べる。本節の結果より，本書で定義している量子論が標準的な量子論の書籍で述べられているような理論と本質的に同じ理論であることがわかると思う。

2.1 状態空間の具体例

37

また，これらの議論を通して，量子論の数学的構造のうちどの部分が直観的に理解しにくいのかが明確になってくる。

2.1

状態空間の具体例

一般的な操作的確率論では，各プロセス空間の形状については定まらない（ただしスカラー空間は例外であり，式 (1.1) により定まる）。これに対し，量子論ではこれらの形状がある特
別なものに定まる。ここでは，量子論のプロセス空間のうち直観的に理解しやすいものとして，量子二準位系とよばれる系の状態空間を考える。その具体例として，電子 1 個のスピンを表す系の状態がどのように表されるかを説明する。

2.1.1 スピンの測定
電子は，スピンとよばれる物理量をもっている。我々にとってなじみのあるマクロの世界
における現象の中で，電子のスピンに最も性質が似ているものは「自転」であろう。電子が地球と同じように「自転」していて，その「回転軸」が 3 次元空間のどこかの方向を向いていると考えてほしい。その「回転軸」に相当するものがスピンであるとイメージすると，ある程度わかりやすいと思う。しかし，これはあくまでイメージにすぎず，電子のスピンは地球の「自転」とは異なる性質をもつことも多い。
電子 1 個のスピンを表すある系 S を考える。系 S の二値測定（測定結果が二通りしかな
い測定）Π B {e1 , e2 } に対し，(e1 |ρ1 ) = 1 および (e2 |ρ2 ) = 1 を満たすような 2 個の正規状態

ρ1 , ρ2 が存在するとき（これは状態 ρ1 に対しては必ず結果 1 を返し，状態 ρ2 に対しては必ず
結果 2 を返すことを意味する），測定 Π を極大測定とよび，状態 ρ1 , ρ2 は Π により完全識別
されるとよぶことにする。

2.1.2 実験事実
スピンに関する二つの実験事実を述べる。
一つ目の実験事実として，系 S の極大測定は長さが 1 の 3 次元列ベクトル|γ⟩ B [γx , γy , γz ]T ∈ R3 ,γx2 + γy2 + γz2 = 1と一対一に対応するであろうことが知られている（「であろう」と述べたが，膨大な数の実験の結果と整合しているかなり確からしいことである）。|γ⟩ により特徴付けられる極大測定を{}
Πγ B eγ+ , eγ−と表すことにする。

第2章

38

量子論の基礎これも実験を通してわかることであるが，直観的には，測定 Πγ は電子のスピンの向き（つまり「回転軸」の向き）が |γ⟩ と − |γ⟩ のどちらに近いかを調べるような『測定』であるとみなせる。この測定の結果が “+” ならばスピンの向きが |γ⟩ に近い可能性が高く，逆に “−” な
らば − |γ⟩ に近い可能性が高いと解釈できる。ただし，同じ正規状態 ρ に対して同じ測定 Πγを行ったとしても，一般に測定を行うたびに測定結果は変わる。しかし，測定結果の確率分γγγ

布 {(e+ |ρ), (e− |ρ)} は定まっている。測定結果が “+” である確率 (e+ |ρ) が高いほどスピンの向きが |γ⟩ に近いことを表しているといえる。なお，スピンの向きが |γ⟩ にどの程度近いかという情報は，測定を 1 回行うだけではほとんど得られない。この情報は，測定を何度も行ってγγ

確率分布 {(e+ |ρ), (e− |ρ)} を求めることで得られる。
系 S の正規状態 ρ に対してsγρ B (eγ+ |ρ) − (eγ− |ρ)
γ

(2.1)
γ

とおく。 sρ はスピンの向きが |γ⟩ にどの程度近いかを表す指標とみなせる。常に (e+ |ρ) +(eγ− |ρ) = 1 が成り立つため，測定結果の確率分布 {(eγ+ |ρ), (eγ− |ρ)} は sγρ から (e±γ |ρ) = (1 ± sγρ )/2γγと求まる。また，−1 ≤ sρ ≤ 1 であり，結果 “+” である確率が 0, 1/2, 1 の場合にそれぞれ sρは −1, 0, 1 になる。

|γ⟩ が x 軸の方向を向いているとき（つまり |γ⟩ = [1, 0, 0]T のとき）の Πγ および sγρ をそれぞれ Πx および sxρ と表すことにする。y 軸（つまり |γ⟩ = [0, 1, 0]T ）と z 軸（つまり|γ⟩ = [0, 0, 1]T ）についても同様に表現する。
二つ目の実験事実として，正規状態 ρ は 3 種類の極大測定 Πx , Πy , Πz を行ったときに得らyれる三つの指標 sxρ , sρ , szρ のみにより定まり，さらに長さ 1 の任意の列ベクトル |γ⟩ ∈ R3 に対γ

して極大測定 Πγ を行ったときに得られる指標 sρ がsγρ = ⟨γ|sρ ⟩(2.2)

を満たすであろうことも知られている。ただし[]Ty|sρ ⟩ B sxρ , sρ , szρ

(2.3)

γ

である。式 (2.2) は，指標 sρ が |γ⟩ と |sρ ⟩ との内積 ⟨γ|sρ ⟩ に等しいことを意味している。

2.1.3 実験事実からわかること
二つ目の実験事実から，スピンの『状態』が同じであるような多数の電子を準備できるな
らば，3 種類の測定 Πx , Πy , Πz をそれぞれ十分な回数だけ行って |sρ ⟩ を求めれば，ρ を特定できることがわかる。|sρ ⟩ が求まれば，ほかの種類の極大測定を行ったときの測定結果の確率分布は式 (2.2) により完全にわかる。

2.1 状態空間の具体例

39

補足： 電子のスピンの『状態』を求めたいならば，1 個の電子に対して測定を何度も行えばよいではないかと思うかもしれない。しかし，これではうまくいかない。その理由は，測定を行うためには電子に別の物体を相互作用させる必要があり，その相互作用の結果として電子の状態が変わってしまうからである。なお，これとは対照的に，
地球の場合には「自転」の状態をほとんど乱すことなく測定できるため，相互作用の影響を無視できて実質的に測定を何度も行える。
3
3
正規状態 ρ ∈ StN
S は 3 次元列ベクトル |sρ ⟩ ∈ R により定まるため，系 S の正規状態は Rのある部分集合の要素と一対一に対応することになる。二つの実験事実から，この部分集合が{Ball3 B |r⟩ ∈ R3 : ⟨r|r⟩ ≤ 1}に等しいことがわかる。このことを，StN
S の要素を Ball3 の要素が一対一に対応するという意
味で StNS  Ball3 と書くことにする。Ball3 は原点を中心とする半径 1 の 3 次元球（の境界および内部）である。言い換えると，|sρ ⟩ の長さは 1 以下（つまり ⟨sρ |sρ ⟩ ≤ 1）であり，|sρ ⟩ は任意の長さ 1 以下の実ベクトルをとり得ることがわかる。このことを，次の補題としてまとめておこう。
補題 2.1: StN
S  Ball3 である。
証明. はじめに，任意の正規状態に対応する点が Ball3 に含まれることを示す。正規状態 ρ を√任意に選んで |γ⟩ B |sρ ⟩ / ⟨sρ |sρ ⟩ とおくと，|γ⟩ は長さ 1 であるため対応する極大測定 Πγ がγ存在する。1 ≥ sρ = ⟨γ|sρ ⟩ =√⟨sρ |sρ ⟩ より ⟨sρ |sρ ⟩ ≤ 1 でなければならないため，|sρ ⟩ ∈ Ball3である。
あとは，Ball3 に含まれる任意の点 |r⟩ に対応する正規状態が存在することを示せばよい。

|r⟩ が (a) Ball3 の境界上にある場合と (b) Ball3 の内部にある場合に分けて考える。
まず，(a) の場合を考える。このとき，|sρ ⟩ = |r⟩ を満たす正規状態 ρ が存在することを示す。|r⟩ は長さが 1 であるため対応する極大測定 Πr が存在し，したがって (er+ |ρ) = 1 を満たす
正規状態 ρ が存在する。(er+ |ρ) = 1 より srρ = 1 であるため ⟨r|sρ ⟩ = srρ = 1 である。⟨r|sρ ⟩ = 1
および |sρ ⟩ ∈ Ball3 より，|sρ ⟩ = |r⟩ である。
次に，(b) の場合を考える。|r⟩ が Ball3 の内部にある場合を考える。2 個の正規状態 ρ1 と

ρ2 の確率的混合
σ B pρ1 + (1 − p)ρ2γを考えると（ただし p は 0 以上 1 以下の実数），任意の長さ 1 の |γ⟩ ∈ R3 に対して (e± | は線形写像であるため[](eγ± |σ) = (eγ± | pρ1 + (1 − p)ρ2 = p(eγ± |ρ1 ) + (1 − p)(eγ± |ρ2 )

第2章

40
γ

γ

量子論の基礎γが成り立つ。この式を式 (2.1) に代入すると， sσ = psρ1 + (1 − p)sρ2 が得られる。したがって|sσ ⟩ = p |sρ1 ⟩ + (1 − p) |sρ2 ⟩である。これは，σ を表す列ベクトル |sσ ⟩ が |sρ1 ⟩ と |sρ2 ⟩ の加重和で表されることを意味する。Ball3 の内部にある任意の点 |r⟩ は境界上にある二つの点の加重和の形で表されるため，|r⟩ に対応する正規状態が存在する。

□

2.1.4 ブロッホ球による表現
3 次元球 Ball3 はブロッホ球とよばれている。系 S の正規状態 ρ を式 (2.3) の列ベクトル|sρ ⟩ として表すとブロッホ球の点とみなせるようになる。このようにみなすと図 2.1 のように図示できて直観的にわかりやすいため，しばしば用いられる。

図 2.1 ブロッホ球による表現

便宜上，正規状態 ρ と列ベクトル |sρ ⟩ を同一視して，状態 |sρ ⟩ のようによぶことにしよう。
直観的には，状態 |sρ ⟩ の方向は「スピンの向き」を表し，長さは「スピンの大きさ」を表していると解釈できる。とくに長さ 1 の列ベクトル |r⟩ で表される状態は，スピンが完全に |r⟩の方向を向いていると解釈できる。この状態 |r⟩ に対して測定 Πr を行うと必ず結果 “+” を返す。また，− |r⟩ で表される別の状態があり，この状態は測定 Πr を行うと必ず結果 “−” を返す。つまり，2 個の状態 |r⟩ と − |r⟩ は測定 Πr により完全識別される。状態 − |r⟩ は状態 |r⟩ と同じ大きさで反対向きのスピンをもっていると解釈できる。
余談： 実験においては，「スピンの大きさ」は多数回の測定を行ったときに得られる測定結果の確率分布から |sρ ⟩ を求めることにより得られる量である。1 回の測定でこの量を得ることはできない。

StN
S  Ball3 は，状態の等価性に関する重要な情報を含んでいる。ある 2 個の正規状態がブ
ロッホ球の同じ点に対応する場合，それらを確率的なふるまいにより区別することはできない。たとえば，ある状態 |r⟩ が状態 |a⟩ , |a′ ⟩ , |b⟩ , |b′ ⟩ と確率分布 {p, 1 − p}, {q, 1 − q} に対して

|r⟩ = p |a⟩ + (1 − p) |a′ ⟩ = q |b⟩ + (1 − q) |b′ ⟩2.1 状態空間の具体例

41を満たしているとする。前項で示したように確率的混合は列ベクトルの加重和で表されるた
め，|r⟩ は |a⟩ と |a′ ⟩ を確率分布 {p, 1 − p} で確率的に混合したものとみなせる。同時に，|b⟩ と|b′ ⟩ を確率分布 {q, 1 − q} で確率的に混合したものともみなせる。このどちらであるのかは，
確率的なふるまいからは全く区別できない。操作的確率論では確率的なふるまいからは区別できないような状態を同一視したが，量子論でも同様に同一視する。
高度な話題： 話を簡単にするために，系 S の正規状態が Ball3 の要素と一対一に対応するのでこれらを同一視するNといった説明をした。実際には StN
S は凸集合であり，StS と Ball3 が凸集合として同型であるため，これらの要素
Nを自然な形で同一視することができる（もし StS と Ball3 が凸集合として同型ではなかったら，このような同一視をすると不具合が生じる）。本報における記号  は，厳密には凸集合として同型であることを意味している。

2.1.5 密度行列による表現
トレースが 1 であるような n 次半正定値行列を密度行列とよぶ。正規状態 ρ を Ball3 の要
素 |sρ ⟩ で表現する方法とは別に，量子論では次の密度行列[
1 1 + szρDρ By2 sxρ + isρ（ただし i By]sxρ − isρ1 − szρ√−1）で表現する方法もよく用いられる。n 次密度行列全体から成る集合を

Denn ‡1 と書くことにする。ここで紹介した系 S はこれから説明する量子論の系として適切にモデル化でき，次節以降では正規状態を密度行列で表現することになる。Ball3 の要素はDen2 の要素と一対一に対応するため‡2 ，StN
S  Ball3  Den2

(2.4)

である。2 個の状態 ρ1 , ρ2 を確率分布 {p, 1 − p} で確率的に混合した状態を σ とおくと，ブロッホ球による表現の場合と同様に，加重和の関係 Dσ = pDρ1 + (1 − p)Dρ2 が成り立つ。

2.1.6 一般の状態
これまでは正規状態について考えたが，正規ではない状態を表現する方法についても述べておく。任意の状態がスカラー p と正規状態 ρ を用いて pρ の形で表せることを思い出そう。
（1.3.2 項）‡1 Den は “Density”（密度）の略である。
‡2 証明：任意の s B [s , s , s ]T ∈ R3 に対して行列 1
x y z
2

[

1+sz sx −isysx +isy 1−sz]を対応付ける。トレースが 1 である任意(の 2 次複素エルミート行列はこの形で表せる。この行列の固有値を計算すると 1 ±√)s2x + s2y + s2z /2 であることがわかる。この行列が半正定値であることは，すべての固有値が非負であることに等しく，これは
s2x + s2y + s2z ≤ 1，つまり s ∈ Ball3 であることに等しい。

第2章

42

量子論の基礎

まず，ブロッホ球による表現を拡張することを考えよう。自然な拡張として，1 次元増やした 4 次元空間の部分集合{

T
4
Ballex3 B [t, rx , ry , rz ] ∈ R :√}rx2 + ry2 + rz2 ≤ t ≤ 1を考えればよいことがわかる。この集合は，ブロッホ球を「底面」とするような「円錐の 4 次元版」の形をしている。StS  Ballex
3 であり，正規状態はこの集合の t = 1 を満たす要素に対応することがわかる。[1, rx , ry , rz ]T で表される正規状態の p 倍は [p, prx , pry , prz ]T で表される。つまり，正規状態の p 倍は実ベクトルとしての p 倍に対応する。
次に，密度行列による表現を拡張することを考えよう。自然な拡張として

Denex
2 B {pS : p ∈ R, 0 ≤ p ≤ 1, S ∈ Den2 }を考えればよいことがわかる。Denex
2 はトレースが 1 以下であるような 2 次半正定値行列をすべて集めた集合に等しい。StS  Denex
2 であり，正規状態の p 倍は行列としての p 倍に対応する。
式 (2.4) に対応するようにまとめておくと
ex
StS  Ballex
3  Den2である。量子二準位系の状態空間について詳細を知りたい方は，本書の 7.2.5 項を参照してほしい。

2.1.7 ほかの系の状態空間
ブロッホ球による表現と比べると，密度行列による表現は（少なくとも慣れないうちは）直
観的にはわかりにくいと思う。なぜ，量子論ではこの表現がよく用いられるのだろうか？その理由は，今回紹介した系に限らず，多くのミクロな系 A では StN
A  DenNA （ NA は A により定まる自然数）が成り立っているであろうことが実験事実として知られているためである。
系 S の正規状態は「スピンの向きと大きさ」のような直観的にわかりやすい量で特徴付けることができた。このことは，Den2 が比較的単純な図形であるブロッホ球 Ball3 と同じ形をしていることが大きく影響している。NA = 2 であるようなほかの系でも，同様のわかりやすい量で特徴付けることができる。しかし，NA > 2 であるような系 A では，DenNA の形状が複雑であるため，このようなわかりやすい量で特徴付けることは困難である。
詳しくは 2.7.1 項で述べるが，任意の系 A で StN
A  DenNA が成り立つことを受け入れれば，そこからプロセスが CP 写像で表されることを導ける。このように，操作的確率論のうち実験とできるだけ整合するようなものを考えると，状態空間やプロセス空間の具体的な構造が定まっていく。このような知見に基づいて構築される理論が量子論であるといえる。

2.2 CP 写像の復習

43

2.2 CP 写像の復習
以降では CP 写像が頻繁に登場する。CP 写像の基礎については本書の 4.4 節と 4.5 節で説明しているが，不慣れな読者のためにここで簡単に復習しておく。

(1) CP 写像の重要性
まず，CP 写像を考えることの重要性について補足しておく。操作的確率論では，物理操
作（物理デバイスのふるまい）またはその一部をプロセスとしてモデル化した。プロセスの確率的なふるまい，つまりプロセスに別のプロセスを接続したときに得られるスカラーにより，そのプロセスを特定できると考えるのであった。また，1.9 節で述べたように，操作的確率論ではプロセスを線形写像とみなせるのであった。量子論では，この線形写像がとくに CP
写像であるような理論になっている。このため，CP 写像は量子論のプロセスを表すための重要な概念であるといえる。
余談： CP 写像は，少なくとも量子情報理論の分野では重要かつ基本的な概念として認知されており，CP 写像の知識があることを前提として書かれている論文も多い。量子情報理論に興味があって CP 写像に慣れていない方は，
ここで基礎知識を得ておいても全く損はないと思う。

(2) CP 写像とクラウス表現

n 次複素エルミート行列全体から成る集合を Hern とおき，n 次複素半正定値行列全体から成る集合を Posn とおく。Hern は n2 次元実ベクトル空間であり，Posn はその部分集合である。

Herm から Hern への線形写像 f ∈ Lin(Herm , Hern ) が CP（Completely Positive，完全正値）であるとは，任意の自然数 l と任意の ml 次半正定値行列 S について( f ⊗ idHerl )(S )

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

が半正定値行列であることである。なお，ラベル m が付いた破線は空間 Cm を表している（ラベルは空間の次元を表している）。本書の 4.4.3 項の定理 4.3 で示したように， f が CP であることは，ある自然数 k と n × m 複素行列 X1 , . . . , Xk を用いて次式の形で表されることに

第2章

44

量子論の基礎

等しい。

f =

k
∑

Xi · – · Xi†

i=1

なお，この数式の右辺

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.5)

∑k

∑k
†
†
i=1 Xi · – · Xi は Y ∈ Herm を
i=1 Xi Y Xi に写す写像という意味である。この表現を f のクラウス表現とよぶ。クラウス表現をすると，図式では「上下対称」の形をしていることがわかる（本書の 2.1.4 項で述べたように，Xi† は Xi の「上下反転」なのであった）。

Herm から Hern への任意の線形写像 h は Herm から Hern へのある CP 写像 f+ , f− を用いて h = f+ − f− の形で表せるため，Herm から Hern への CP 写像が張る実ベクトル空間はLin(Herm , Hern ) に等しい。また，この空間 Lin(Herm , Hern ) の次元は m2 n2 である。
補足： 本書では Lin(Herm , Hern ) を Herm→n や HerA→B のように書き，その要素をエルミート保存な写像とよんだ。

とくに m = 1 の場合には，式 (2.5) は次式のようになる。

f =

k
∑
i=1

|xi ⟩ · – · ⟨xi |

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.6)

ただし，式 (2.5) の Xi は列ベクトルになるため |xi ⟩ と書いた。この f は実数 y ∈ R を n 次エ
ルミート行列 S y ∈ Hern に写す（ただし S B∑ki=1 |xi ⟩ ⟨xi |）という写像であり，これは「入力に半正定値行列 S を掛ける」という演算に等しい。そこで，R から Hern への CP 写像 f を半正定値行列 S と同一視するのであった。このような同一視により，半正定値行列を CP 写像の特別な場合とみなせる。同様に，Lin(R, Hern ) の要素は「入力にあるエルミート行列 H を掛ける」という演算に等しく，これを H と同一視する。この同一視により Lin(R, Hern ) = Hernとみなす。
余談： この意味で，CP 写像は半正定値行列を一般化したものと解釈できる。慣れないうちは CP 写像に抵抗を感じるかもしれないが，半正定値行列と似たような性質をもった単なる線形写像のことにすぎないと考えれば抵抗感が和らぐかもしれない。

2.2 CP 写像の復習

45(3) CP 写像を表す図式

R から Herm への CP 写像（つまり m 次半正定値行列）ρ に Herm から Hern への CP 写像
f を施したあとで Hern から R への CP 写像 e を施した値 e[ f (ρ)] を考える。この値は 1 次
半正定値行列，つまり非負の実数である。ρ と f と e のクラウス表現をそれぞれ次のように
表す。

ρ=

I
∑

|vi ⟩ ⟨vi | ,

f =

J
∑

i=1

X j · – · X †j ,

j=1

e=

K
∑

⟨wk |–|wk ⟩

(2.7)

k=1

このとき，

e[ f (ρ)] =

I ∑
J ∑
K
∑

⟨wk |X j |vi ⟩ ⟨vi |X †j |wk ⟩i=1 j=1 k=1

を図式で表すと次のようになる。

格下げ−−−−−→

2 重化

−−−−→

(2.8)

この左側のダイアグラムは式 (2.5) と同様の表現をしており，補助線で囲まれた箇所が ρ と fと e を表している。この表現は「上下対称」の形をしているが，この下半分を「180 度回転」
させたものが中央のダイアグラムである。このような変形を格下げとよぶのであった。なお，格下げは可逆な変換であり，逆変換を格上げとよんだ。格下げ後の図式は「左右対称」の形になるが，この右半分を左半分に重ねて表示したものが右側のダイアグラムである。このような変形を 2 重化とよぶのであった。右側のダイアグラムでは，2 重化したことがわかるよ
うにブロックを太線で描いている。また，ラベル A および B と書かれた実線は，ここではそれぞれ Herm および Hern を表しているとみなせる。なお，式 (2.7) を格下げで表現した数式

第2章

46

量子論の基礎は次のようになる。

|ρ∪ ⟩ =

I∑|vi ⟩ ⊗ |v∗i ⟩ ,

f∪ =

i=1

J
∑

X j ⊗ X ∗j ,j=1

⟨e∪ | =

K∑

⟨wk | ⊗ ⟨w∗k |k=1

以降では，とくに断りがない限り数式で表現するときは格下げを行わない。
量子論では，式 (2.8) の半正定値行列 ρ が状態に，一般の CP 写像 f がプロセスに，R へのCP 写像 e がエフェクトに対応する。図式において格下げと 2 重化を用いれば，e[ f (ρ)] は図式

e[ f (ρ)]

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.9)

のように表され，操作的確率論の図式との対応がわかりやすくなる。

(4) CP 写像の合成とテンソル積

CP 写像を合成やテンソル積により接続してできる写像は CP である。このことを確認しておく。
まず，CP 写像の合成について考える。CP 写像の図式が「左右対称」の形をしていることから，CP 写像の合成も「左右対称」になり，したがって CP 写像になることが容易に想像できると思う。実際，2 個の CP 写像 f と g を f =

∑I

∑J
†
†
i=1 Xi · – · Xi および g =j=1 Y j · – · Y j の形にクラウス表現したときに，合成 g ◦ f はg◦ f =I ∑J∑
i=1 j=1

Y j Xi · – · Xi† Y †j

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

のようにクラウス表現できるため CP 写像である。

CP 写像のテンソル積についても同様である。2 個の CP 写像 f と h を f =∑I†
i=1 Xi · – · Xi

2.3 量子論の定義
および h =

47∑K†
k=1 Zk · – · Zk の形にクラウス表現したときに，テンソル積 f ⊗ h は
I ∑
K
∑
f ⊗h=
(Xi ⊗ Zk ) · – · (Xi† ⊗ Zk† )i=1 k=1
図式

−
−−
−→
←
−−
数式
のようにクラウス表現できるため CP 写像である。

(5) CP 写像のイメージ
式 (2.9) からわかるように，格下げをすると ρ は複素列ベクトルで表せて， f は複素行列で表せて，e は複素行ベクトルで表せる。一方，操作的確率論との対応を考える際には，ρ は実ベクトル空間 Herm の要素（つまり実ベクトル）として捉え， f や e は実ベクトル空間の間の線形写像として捉えるとしばしば都合がよい。実際，すぐあとで述べるように 1.9 節で述べた実ベクトル空間 VA が Herm に相当するため，操作的・確率的なふるまいを考える際にはこのように捉えると操作的確率論と対応させやすいのである。とくに ρ は半正定値行列で f や

e は CP 写像であり，これらは直観的には非負の実数に似た性質をもつものである。つまり，Herm や Lin(Herm , Hern ) のような実ベクトル空間のうち「非負の実数のようなもの」として半正定値写像や CP 写像が現れると解釈できる。CP 写像の合成やテンソル積が CP 写像になることは，「非負の実数の積が非負の実数になる」こととしてイメージできる。「複素数」は実ベクトル空間 Herm や Lin(Herm , Hern ) の内部構造として現れるのだと考えると，理解の助けになると思う。
補足： m 次エルミート行列（つまり Herm の要素）はすべての固有値が実数であり，とくにすべての固有値が非負の実数であるときに半正定値行列になる。このことから想像できるように，エルミート行列は実数に似た性質をもち，半正定値行列は非負の実数に似た性質をもつ。CP 写像は半正定値行列の一般化とみなせて，やはり非負の実数に似た性質をもつ。

2.3

量子論の定義本書では，量子論の数学的構造を操作的確率論より前に説明した都合上，量子論を操作論の特別な場合として定義した。この方法では，量子論の定義と確率の概念が完全に切り離されるため，量子論の確率的な性質を議論するためには定義とは別に確率の概念を導入する必要があった。これに対し，2.3.1 項では量子論を操作的確率論の特別な場合として定める。これにより，はじめから確率の概念が導入された量子論を考えることができる。また，この定義から導けるいくつかの性質をまとめる。2.3.2 項では，参考として操作論に基づく定義を

第2章

48

量子論の基礎示す。

2.3.1 操作的確率論に基づく定義(1) 量子論の定義
Herm から Hern へのトレースを増加しない CP 写像をすべて集めた集合を PosTNI
m→n とおく‡3 。
定義 2.2 (量子論): 次の条件を満たす操作的確率論を量子論とよぶ。

(1) 各系 A に対して，ランク（または準位）とよばれる自然数 NA が一つ定まっている。

(2) 各系 A, B について，プロセス空間 ProcA→B は PosTNI
NA →NB に等しい。
本書でも述べたが，もし「量子論を定義する」ことに違和感を感じる場合には，この定義は量子論の公理のことだと解釈してほしい。なお，本報では話を簡単にするため実現可能なプ
ロセスに限定して考える。また，ここでの操作的確率論は，本書における局所等価性（本書の 6.3.4 項）を満たすものを表している。
補足： ここでは量子論を数学の言葉を用いて定義しており，物理量などの物理用語は定義の中には現れない。しかし，ミクロな物体などの確率的なふるまいがここで定義した量子論とかなり整合することが，数多くの実験により裏付けられている。

条件 (1) は，単に実ベクトル空間 VA の次元を特徴付ける自然数 NA があることを主張しているにすぎない。条件 (2) では，系 A から系 B への任意のプロセスは「HerNA から HerNB へのトレースを増加しない CP 写像」であり，逆にこのような CP 写像はすべて系 A から系 B
へのプロセスであることを主張している。

(2) 補足条件 (2) は恐らくほとんどの人にとって直観的に理解することが難しいと思う。この条件
は，プロセス空間（や状態空間）の内部構造として複素ヒルベルト空間が現れることを暗示している。量子論の書籍の大半は複素ヒルベルト空間が前提とされているはずだが，これは条件 (2) を仮定していることと本質的に同じである。複素ヒルベルト空間が現れることが（ある観点では）量子論の特徴的な点であるといえるのだが，「なぜ複素ヒルベルト空間を考えなければいけないのかについては人類は今でもあまり理解できていない」といっても決して過言ではないと思う。複素ヒルベルト空間を考えなければいけない理由についてはよくわから‡3 “TNI” は Trace Non-Increasing の略である。

2.3 量子論の定義

49

ないが，条件 (2) を満たすように定められる量子論ではミクロな物体のふるまいを非常に高精度に説明または予測できることはわかっているのである。以降では，条件 (2) をひとまず受け入れることにして，その場合に何がいえるのかを考えることにする。

2.7.2 項で述べるように，量子論の任意のプロセスはユニタリプロセスや PVM 測定などの，特別な種類のプロセスの組み合わせで表すこともできる。この意味では，これらのプロセス
を「基本的な構成要素」と捉えることもできる。このため，標準的な量子論の書籍ではユニタリプロセスと PVM 測定（または理想測定のような類似の測定）に基づいて議論されることが多い。しかし，ミクロの世界では物理デバイス（または物体）の内部構造を知ることができないような状況が少なからずあり，その場合には対象とする物理デバイスが本当にこれらの構成要素の組み合わせで構成されているのかはわからない。つまり，ほかの構成要素の組
み合わせで構成されていたとしても，確率的なふるまいからは区別できないのである。本報（および本書）では，ユニタリプロセスや PVM 測定のような特定のプロセスのみに着目するのではなく，プロセス全体に着目している。

(3) 定義から導ける性質
以降では，HerNA 上のトレース演算（つまり H ∈ HerNA を Tr H ∈ R に写す写像）を TrA（または単に Tr）と書くことにする。定義 2.2 より，各系 A, B について以下の性質が成り立
つことがわかる。なお，証明を小さな文字で示すが，興味のない読者は事実のみを受け入れて証明を読み飛ばしても構わない（初学者にとってはやや難しいかもしれない）。

• ProcA→B が張る実ベクトル空間 VA→B は実ベクトル空間 Lin(HerNA , HerNB ) に等しい。
証明：HerNA から HerNB への CP 写像が張る実ベクトル空間は Lin(HerNA , HerNB ) に等しい。また，HerNAから HerNB への任意の CP 写像は十分に小さい正の実数を掛ければトレースを増加しないようにできるため，PosTNI
N →N が張る実ベクトル空間も Lin(HerNA , HerNB ) に等しい。
A

B• NI = 1 である。
証明：Scalar = ProcI→I が張る実ベクトル空間 VI→I は R に等しい。したがって，1 = dim R = dim VI→I =dim Lin(HerNI , HerNI ) = NI4 より NI = 1 である。

• StA が張る実ベクトル空間 VA は HerNA に等しい。
証明：VA = VI→A = Lin(HerNI , HerNA ) = Lin(R, HerNA ) = HerNA 。

• NA⊗B = NA NB である。
2
証明：NA⊗B= dim HerNA⊗B = dim VA⊗B = (dim VA )(dim VB ) = (dim HerNA )(dim HerNB ) = NA2 NB2 より（3 番
目の等号は 1.9.2 項を参照のこと），この両辺の平方根をとると NA⊗B = NA NB である。

•

A = TrA である。

証明：NA 次密度行列 σ を任意に選んだとき，もし σ が正規ではなかったとすると，1 未満の p ∈ R≥0 と正規状態 ρ を用いて pρ の形で表される（1.4.2 項の (4)）。このとき，σ は密度行列であるため p > 0 であり，
Tr ρ = Tr(p−1 σ) = p−1 > 1 であるため，ρ のトレースは 1 より大きくなる。これは ρ ∈ PosTNI
1→N に矛盾す
A

第2章

50

量子論の基礎る。したがって，任意の NA 次密度行列は正規である。放棄エフェクト
A は任意の正規行列を 1 に写すため，任意の NA 次密度行列を 1 に写さなければならない。一方，TrA も任意の NA 次密度行列を 1 に写す。
Lin(HerNA , R) の要素は DenNA の各要素を入力したときの出力により定まるため， A = TrA である。

2.3.2 参考：操作論に基づく定義
参考までに，定義 2.2 を操作的確率論ではなく操作論に基づくように書き直したものを明記しておく。こちらの定義のほうが，本書の定義により近い。
定義 2.3 (量子論): 次の条件を満たす操作論を量子論とよぶ。

(1) 各系 A に対して，ランク（または準位）とよばれる自然数 NA が一つ定まっている。

(2) 各系 A, B について，プロセス空間 ProcA→B は PosTNI
NA →NB に等しい。
(3) 以下を満たす。
a) 任意のプロセスの直列接続 g f は，CP 写像の合成 g ◦ f に等しい。
b) 任意のプロセスの並列接続 f ⊗ h は，CP 写像のテンソル積 f ⊗ h に等しい。
定義 2.2 と比べ，この定義では操作論の特別な場合として量子論を定めている点と，条件 (3)が追加されている点のみが異なる。条件 (1),(2) は定義 2.2 と完全に同じである。条件 (3) は，定義 2.2 からは削除さ
操作的確率論が満たしている性質であるため（1.9.2 項を参照のこと）
れているのである。
補足： 本書の 5.3.1 項で示した定義と比べ，定義 2.3 では以下の 2 点のみが異なる：(a) 実現不可能なプロセスを理論から除外している。(b)（実現可能な）プロセスとトレースを増加しない CP 写像を同一視している（本書では同一視する代わりに充満忠実な表現を考えた）。なお，文言などは多少変えている。
高度な話題： 定義 2.2 のように系 A から系 B へのプロセスを HerNA から HerNB へのトレースを増加しない CP 写像と同一視すると，細かな点では不具合が生じる場合がある。たとえば，NA = NB を満たす異なる二つの系 A と系
B について系 A の状態と系 B の状態が同一視されるときがある（どちらも NA = NB 次半正定値行列と同一視されるため）。このような問題を避けたいならば，これらを同一視しない本書のような定義を用いるべきであろう。

2.4

状態

本節から 2.6 節まででは，状態・エフェクト・プロセスが量子論ではどのように表現されるのかを説明しながら，関連するいくつかの話題について触れる。

2.4 状態

51

2.4.1 一般的な状態
まず，任意の状態について何が成り立つのかをみておこう。定義 2.2 より，系 A の状態（つまり自明な系 I から系 A へのプロセス）は，トレースが 1 以下であるような NA 次
半正定値行列に等しいことがわかる。まず，このことを確認しておく。各系 A について

StA = ProcI→A = PosTNI
1→NA が成り立つ。このため，系 A の状態は R から HerNA へのトレースを増加しない CP 写像に等しい。式 (2.6) で述べたように，R から HerNA への CP 写像 fはある NA 次半正定値行列 S を掛けるという演算に等しく， f と S を同一視するのであった。このとき， f がトレースを増加しない（つまり Tr[ f (p)] ≤ p (∀p ∈ R≥0 ) である）ことはTr(pS ) ≤ p (∀p ∈ R≥0 )，つまり Tr S ≤ 1 であることに等しい。このため，ρ が系 A の状態であることはTr ρ ≤ 1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.10)

を満たす NA 次半正定値行列であることに等しい。この式が成り立つことは，任意の操作的確率論で成り立つ式 (1.8) と整合する。
TNI
補足： 2.1.6 項で述べた集合 Denex
2 は Pos1→2 に等しい。

とくに NI = 1 であるため，スカラー（これは系 I の状態に等しい）はトレースが 1 以下であるような 1 次半正定値行列，つまり 0 以上 1 以下の実数に等しい。これは前章で述べた式

Scalar = {p ∈ R : 0 ≤ p ≤ 1}(1.1)

と整合する。
次式が成り立つような状態を正規状態とよぶのであった。

(

A |ρ) = 1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.7)

A |ρ) = Tr ρ なので，ρ が正規であることはトレースが 1 であることに等しい。つまり，
N
StA = DenNA である。

(

補足： 量子論の分野では，単に状態とよんだ場合には本報における正規状態の意味であることが一般的であろう。
正規ではない状態が扱われる場合もあるが，通常はその旨が明示的に述べられる。

任意の状態 σ は，あるスカラー（つまり 0 以上 1 以下の実数） p と正規状態（つまり密度

第2章

52

量子論の基礎行列）ρ を用いて次の形で表せる。

σ = pρ

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.11)

このことは，1.3.2 項で述べたことと整合している。直観的には，状態 σ とは「正規状態 ρ を
確率 p で準備すること」とみなせるのであった。両辺のトレースをとると p = Tr σ であり，

ρ は σ/p であることがわかる。ただし Tr σ = 0（つまり σ がゼロ行列）の場合は例外であり，このときは p = 0 および任意の正規状態 ρ に対して式 (2.11) が成り立つ。

2.4.2 純粋状態と混合状態
任意の正規状態は，次のような形で表される。

ρ=

k
∑

pi |ψi ⟩ ⟨ψi |

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.12)∑k= 1 を満たす 0 以上 1 以下の実数の組）で∑あり，|ψ1 ⟩ , . . . , |ψk ⟩ ∈ CNA は正規列ベクトルである。なお，図式では ki=1 pi |ψi ⟩ ⟨ψi | を∑k∗
i=1 pi |ψi ⟩ ⊗ |ψi ⟩ の形に格下げして表している。正規状態 ρ を式 (2.12) の形で表したとき，
ただし，{pi }ki=1 は確率分布（つまりi=1 pik = 1 で表せるようなものが存在するならば純粋であるとよぶ。つまり，ある正規列ベクトル|ψ⟩ を用いてρ = |ψ⟩ ⟨ψ|

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.13)の形で表せるならば，ρ は純粋である。純粋ではない状態を混合状態とよぶ。
補足： 正規状態 ρ が純粋であるための必要十分条件として，(1) ρ のランクが 1，(2) Tr ρ2 = 1，(3) ρ が凸集合
StN，などがよく用いられる。また，2.1 節で述べた二準位系の例では，ρ がA = DenNA の端点（本書の A.5.1 項）
純粋であることはブロッホ球の境界に対応することに等しい。

式 (2.12) の正規状態 ρ は，正規純粋状態 |ψ1 ⟩ ⟨ψ1 | , . . . , |ψk ⟩ ⟨ψk | を確率分布 {pi }ki=1 で確率的に混合したものに等しい。なお，正規状態を式 (2.12) の形に分解する方法は一般に複数ある。つまり，式 (2.12) の状態 ρ は，一般に別の適切な正規列ベクトルの組 {|φi ⟩}li=1 と確率分布 {qi }li=1 を用いて ρ =∑li=1 qi |φi ⟩ ⟨φi | のように分解できる。このとき，ρ は正規純粋状態|φ1 ⟩ ⟨φ1 | , . . . , |φl ⟩ ⟨φl | の確率的混合でもある。これらの確率的混合は，確率的なふるまいを考える上では全く区別がつかない。

2.4 状態

53

式 (2.12) は |xi ⟩ B√

pi |ψi ⟩ とおけば次式のようになる。

ρ=

k
∑

|xi ⟩ ⟨xi |

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.14)

これは，ρ のクラウス表現にほかならない（式 (2.9) の ρ と同様の形をしている）。正規ではない状態もこの形で表せることがすぐにわかる。実際，その状態をスカラー p と正規状態 ρを用いて pρ の形で表してから ρ を式 (2.12) の形で表して，|xi ⟩ B√

ppi |ψi ⟩ とおけばよい。

このとき，k = 1 で表せるようなものが存在するならば純粋であるとよび，純粋ではない状態
を混合状態とよぶことで，純粋状態と混合状態の定義を自然な形で任意の状態に拡張できる。
高度な話題： より一般的な操作的確率論における状態に対しても，純粋状態や混合状態を定義できる。本書の 7.1.2
項を参照のこと。

対角行列 p1 0ρc =  .
 ..

0

0
p2
..
.
0

···
···
..
.

···


0 

0 .. 
. 
p NA

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

NA
であるような正規状態 ρc は，古典的な状態とみなせる。このような状態は，確率分布 {pi }i=1を対角行列として表したものにすぎないと解釈できる。つまり，古典的な正規状態は確率分
布と同一視できる。一方，一般の量子論の正規状態はこのような対角行列の形では表せない
ため，確率分布のような直観的にわかりやすい解釈はできない。

2.4.3 純粋状態の別表現
純粋状態の別の表現について補足しておく。標準的な量子論の書籍では，純粋状態 |ψ⟩ ⟨ψ|を単に |ψ⟩ と表すことがしばしばある。ただし，この場合には，二つの列ベクトル |ψ⟩ と |ψ′ ⟩に対して |ψ⟩ = z |ψ′ ⟩ を満たすような絶対値 1 の複素数 z が存在する場合には，|ψ⟩ と |ψ′ ⟩ は同一視される。実際，これらの |ψ⟩ と |ψ′ ⟩ に対して |ψ⟩ ⟨ψ| = |ψ′ ⟩ ⟨ψ′ | が成り立つため，これらの状態が同じであることがわかる。純粋状態のみを考えたい場合には，数式では |ψ⟩ のように表現したほうが便利であろう。しかし，|ψ⟩ のような表現では，混合状態を素直な形で表すことは困難である。なお，図式においては図式 (2.13) の右辺を単に表記 |ψ⟩ に対応するとみなせばよいので，これまでの表現でとくに不便はないはずである。
補足： 量子論の任意のプロセスは，正規純粋状態を入力したときのふるまいさえわかれば完全に特徴づけられる。
このため，（ある意味で）より基本的な状態として正規純粋状態に着目されることが多い。しかし，量子論の確率的なふるまいについて考える際に混合状態が必要になる場合は数多くある。また，操作論においてスカラーを確

第2章

54

量子論の基礎率とみなすために 0 以上 1 以下の実数に対応付けると，1.3.2 項で述べたように正規ではない状態が必然的に現
れる。

2.5

エフェクトと測定

系 A のエフェクトとは系 A から自明な系 I へのプロセスのことである。したがって，定義

2.2 および HerNI = R より，これはトレースを増加しないような「HerNA から R への CP 写像」であることに等しい。

2.5.1 エフェクトを表す CP 写像
まず，本項にて「HerNA から R への CP 写像」について復習しておく。

(1) 半正定値行列との一対一対応
実ベクトル空間 HerNA の双対ベクトル空間（つまり HerNA から R への線形写像全体から成る集合）を Her∗NA とおくと，e ∈ Her∗NA⇔

e = ⟨E| (E ∈ HerNA ) の形で表せるが成り立つのであった（本書の 4.4.3 項を参照のこと）。ただし，⟨E| は H ∈ HerNA を⟨E|H⟩ B Tr(EH) に写す写像であり，⟨E|H⟩ を E と H のヒルベルト-シュミット内積とよんだ‡4 。格下げを行う前の e を図式で表すと，次のようになる。

e = ⟨E| = Tr(E · –)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.15)

また，HerNA から R への CP 写像全体から成る集合は{Pos∗NA B ⟨E| ∈ Her∗NA : ⟨E|S ⟩ ≥ 0 (∀S ∈ PosNA )‡4 ヒルベルト-シュミット内積が Her}(2.16)

NA の内積であることを念のため証明しておく（本書では証明を省略した）。本書の A.5.4 項で示した内積が満たすべき三つの条件を満たすことを示せばよい。H, X, X ′ ∈ HerNA とa, a′ ∈ R を任意に選ぶ。条件 (1) の第 2 引数に対する線形性は Tr[H(aX + a′ X ′ )] = a Tr(HX) + a′ Tr(HX ′ ) より
明らかであり，条件 (2) のエルミート対称性は Tr(HX) = Tr(XH) より明らかである。条件 (3) の正定値性は，∑NA 2
H がゼロ行列ではないならば Tr(HH) = Tr(H 2 ) = i=1
λi > 0 であることからわかる。ただし，λ1 , . . . , λNA はH の固有値である。

2.5 エフェクトと測定55に等しいのであった‡5 。Pos∗NA は Her∗NA の部分集合であり，任意の E ∈ HerNA について⟨E| ∈ Pos∗NA⇔

E ∈ PosNA(2.17)

が成り立つ‡6 。式 (2.17) より，PosNA の要素と Pos∗NA の要素が一対一に対応することがわかる。とくに ⟨1NA | = Tr(1NA · –) はトレース演算 TrA のことである。

余談： 量子論では，密度行列で表される状態 ρ に対してある測定を行ってある結果が得られる確率 p は，対応する
半正定値行列 E を用いて p = ⟨E|ρ⟩ = Tr(Eρ) と表せる。とくに，状態 ρ が純粋状態 |ψ⟩ ⟨ψ| の場合には
p = ⟨ψ|E|ψ⟩ である。この式は，ボルンの確率規則とよばれるものをある意味で一般化したものとみなせる。「なぜ確率 p がこのような式で表せるのか？」と不思議に思った経験はないだろうか。これまでの議論を鑑みると，
操作的確率論において状態を密度行列で表せばこの形が現れることは必然であることがわかる。実際，状態を密度行列（つまり DenNA の要素）で表せば，任意のエフェクトは「密度行列を非負の実数に写すような線形写像」（つまり HerNA から R への CP 写像）で表現されるため，⟨E| (E ∈ PosNA ) の形で表せるのである。

(2) 図式表現
式 (2.17) より，HerNA から R への任意の CP 写像（つまり Pos∗NA の要素）e は NA 次半正定値行列 E を用いて e = ⟨E| の形で表せる。E はある自然数 k と NA 次元複素列ベクトル|x1 ⟩ , . . . , |xk ⟩ を用いて E =∑ki=1 |xi ⟩ ⟨xi | の形で表せる。これを式 (2.15) に代入すると


 k
k
 ∑
∑
⟨xi |–|xi ⟩e = ⟨E| = Tr  |xi ⟩ ⟨xi | · – =
i=1

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

が得られる。さらにこの式を格下げすると，次式が得られる。

e∪ =

k
∑

⟨xi | ⊗ ⟨xi∗ |

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

‡5 この集合を本書では Pos。
NA の双対錐とよんだ（本書の 2.2.3 項を参照のこと）‡6 証明：エルミート行列 E を E = ∑NA λ |u ⟩ ⟨u | の形にスペクトル分解する（ただし λ は固有値で |u ⟩ は正規
i
i
i
i
i
i=1

固有ベクトル）。⇒：S B |ui ⟩ ⟨ui | とおくと ⟨E|S ⟩ = λi であり，また S ∈ PosNA であるため ⟨E|S ⟩ ≥ 0 である。
このため λ1 , . . . , λNA ≥ 0 であり，したがって E ∈ PosNA である。⇐：任意の S ∈ PosNA について λi ≥ 0 お
よび ⟨ui |S |ui ⟩ ≥ 0 より ⟨E|S ⟩ =∑NA∗
i=1 λi ⟨ui |S |ui ⟩ ≥ 0 である。したがって ⟨E| ∈ PosNA である。

第2章

56

量子論の基礎

この e は式 (2.9) の e と同じ形をしていることがわかる。E と e の図式は，次のように「上下反転」の関係にあることがわかる。

E=

k
∑

−
−−
−→
←
−−
数式

⟨xi |–|xi ⟩

−
−−
−→
←
−−
数式

i=1

e = ⟨E| =k∑図式|xi ⟩ ⟨xi |

i=1

図式

(2.18)

ただし，1 行目の図式では，便宜上 E を |e) のように表した。

(3) 大小関係
以降では，S , T ∈ PosNA について T − S ∈ PosNA であることを S ≤ T と表す。S ≤ T であることは，明らかに S + S ′ = T を満たすような S ′ ∈ PosNA が存在することに等しい。同様に，⟨S | , ⟨T | ∈ Pos∗NA について ⟨T | − ⟨S | ∈ Pos∗NA であることを ⟨S | ≤ ⟨T | と表す。
次式が成り立つことがわかる‡7 。

⟨S |ρ⟩ ≤ ⟨T |ρ⟩ (∀ρ ∈ DenNA )⇔⟨S | ≤ ⟨T |

⇔

S ≤T

この式は，図式では次のように表される。

()∀ρ ∈ DenNA⇔⇔(2.19)

直観的には，2 行目の ⇔ は図式上で「上下反転」させても大小関係は保たれることを意味している。
高度な話題： 本書の 2.2.2 項では，ここで述べた大小関係についての一般論を述べている（PosNA と Pos∗N はともAに突凸錐である）。また，本書の 7.1.2 項で述べているように，一般の操作的確率論のプロセスに対しても大小関係を導入できる。

‡7 証明：⟨E| = ⟨T | − ⟨S | とおく。中央の式は ⟨E| ∈ Pos∗ に等しいため，左側と右側の式が ⟨E| ∈ Pos∗ に等しNANA

いことを示せば十分である。まず，左側の式を考える。この式は ⟨E|ρ⟩ ≥ 0 (∀ρ ∈ DenNA ) と書き直せる。任意の S ∈ PosNA は， pρ (p ∈ R≥0 , ρ ∈ DenNA ) の形で表せる（式 (2.11) を思い出してほしい）。このため，左側の式は ⟨E|S ⟩ ≥ 0 (∀S ∈ PosNA ) と書き直せて，式 (2.16) よりこれは ⟨E| ∈ Pos∗N に等しい。次に，右側のA式を考える。この式は T − S ∈ PosNA と書き直せて，さらに式 (2.17) より ⟨T | − ⟨S | = Tr[(T − S ) · –] ∈ Pos∗N
Aと書き直せる。したがって，右側の式は ⟨E| ∈ Pos∗N に等しい。
A

2.5 エフェクトと測定

57

2.5.2 エフェクト
HerNA から R への CP 写像 e を e = ⟨E| (E ∈ PosNA ) の形で表す。e が系 A のエフェクトであることはトレースを増加しないことに等しく，これは(e|ρ) ≤ 1 = Tr ρ()∀ρ ∈ StNA

(

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

∀ρ ∈ StNA)(2.20)
を満たすことに等しい。この不等号は，(e|ρ) がスカラーであることと整合する。また，等号は単に ρ が正規状態であることを表している。式 (2.19) に S = E および T = 1NA を代入する
と，これは
図式

e ≤ TrA

−
−−
−→
←
−−
数式

E ≤ 1 NA

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.21)

または同じことであるが図式に等しいことがわかる。ただし，図式のは 1NA のことである（なお，は本書の 8.1.3 項などで登場する）。ここから，次式が成り立つことがわかる‡8 。

e = ⟨E| がエフェクト

合成系 A ⊗ B の放棄エフェクト
A⊗B =

A⊗

⇔

1NA − E が半正定値行列⇔

E の最大固有値が 1 以下A⊗B について次式が成り立つのであった。
図式

B

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.6)

放棄エフェクトがトレース演算に等しい場合にも，この式が成り立つことがわかる。この式
は，系 HerNA ⊗ HerNB に関するトレース

A⊗B が系 HerNA と系 HerNB のそれぞれに関する部‡8 念のため 2 行目を証明しておく。 E = ∑NA λ |u ⟩ ⟨u | の形にスペクトル分解すると（ただし λ は固有値で |u ⟩
i i
i
i
i
∑NA i=1
は正規固有ベクトル）， NA − E = i=1(1 − λi ) |ui ⟩ ⟨ui | である。このため NA − E が半正定値行列であること

1

1

は 1 − λ1 , . . . , 1 − λNA がすべて非負であることに等しく，これは λ1 , . . . , λNA がすべて 1 以下であることに等
しい。

第2章

58

量子論の基礎

分トレースをとることに等しいことを意味している。

2.5.3 測定
(1) 測定の表現
任意の操作的確率論において系 A のエフェクトの組 {ei }mi=1 が測定であることは
m
∑

ei =

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

A

i=1

に等しいのであった。量子論では，この式に(1.23)
A = TrA を代入した式が成り立つ（図式はこの式の図式と同じである）。また，各 ei を ei = ⟨Ei | (Ei ∈ PosNA ) の形で表すと，式 (1.23) は
m
∑

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

E i = 1 NAi=1に等しいことがわかる。

∑mi=1 E i =(2.22)

1NA を満たすような NA 次半正定値行列の組 {Ei }mi=1 はPOVM（Positive Operator-Valued Measure）とよばれる。式 (2.22) より，エフェクトの組
m{ei = ⟨Ei |}m
i=1 が測定であることは {E i }i=1 が POVM であることに等しい。

式 (1.23) は式 (1.9) と同じであり，エフェクトの組 Π B {ei }mi=1 が測定結果以外の出力がな
い『測定』であるために最低限満たすべき条件と考えられることを述べた。ミクロの世界では，逆にこの必要条件が（少なくとも理想的な状況においては）十分条件でもあろうということが，多数の実験により支持されている。言い換えると，式 (1.9) を満たす任意のエフェクトの組 Π に対して対応する『測定』が存在するであろうことが実験事実として知られている。

(2) PVM 測定
系 A の測定 Π B {ei = ⟨Ei |}m
i=1 は，各 E i が射影行列であるとき PVM 測定（またはフォン・(m,l )

i
ノイマン測定）とよばれる。これは，CNA のある CONS {|ϕi,t ⟩}(i,t)=(1,1)
を用いて（l1 , . . . , lm は∑m

i=1 li = NA を満たす 0 以上の整数）

Ei =

li
∑

|ϕi,t ⟩ ⟨ϕi,t |

t=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

の形で表せることに等しく，これは

ei =

li
∑
t=1

⟨ϕi,t |–|ϕi,t ⟩

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

2.6 プロセスとテスト

59の形で表せることにも等しい。PVM 測定との対比として，より一般的な量子論の測定はしば
しば POVM 測定ともよばれる。
i
このような PVM 測定はある i ∈ {1, . . . , m} と確率分布 {pt }lt=1
を用いて

ρ=

li
∑

pt |ϕi,t ⟩ ⟨ϕi,t |

t=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

の形で表されるような任意の正規状態 ρ に対して

(ei |ρ) = 1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

を満たす。このため，ρ に対して測定 Π を行うと必ず結果 i を返す。
補足： 標準的な量子論の書籍でしばしば登場する「理想測定」は，測定結果以外の出力があるような『測定』（つまりテスト）のうち，その出力を捨てると PVM 測定になるようなものとみなせる。

上記の PVM 測定 Π B {ei = ⟨Ei |}m
i=1 のうち，l1 , . . . , lm がすべて 1 であるようなものを考える。これは，CNA のある CONS {|ϕi ⟩}m
i=1 を用いて

ei = ⟨ϕi |–|ϕi ⟩

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

の形で表せることに等しい。このような PVM 測定は，ランク 1 の PVM 測定のようによば
れる。

2.6

プロセスとテスト

2.6.1 CP 写像の表現
系 A から系 B へのプロセスは，HerNA から HerNB へのトレースを増加しない CP 写像に等しい。CP 写像について再度復習をしておこう。HerNA から HerNB への CP 写像 f は，次の形にクラウス表現できるのであった。

f =

k
∑
i=1

Xi · – · Xi†

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.23)

念のため，表 2.1 にプロセスのクラウス表現をまとめておく（式 (2.9) も思い出してほしい）。
プロセスのクラウス表現を表す式 (2.23) の行列 Xi にそれぞれ列ベクトル |xi ⟩ および行ベクト

第2章

60

量子論の基礎ル ⟨xi | を代入すれば，状態およびエフェクトのクラウス表現を表す式 (2.14) および式 (2.18)が得られることがわかる。なお，あとで示す式 (2.32) が，CP 写像 f を式 (2.23) の形で表したときに f がプロセスである（つまりトレースを増加しない）ための必要十分条件である。
表 2.1 プロセスのクラウス表現

クラウス表現備考

プロセス[式 (2.23)]

状態[式 (2.14)]

エフェクト[式 (2.18)]

式 (2.32) を満たす必要あり

2.6.2 確定的なプロセス(1) 必要十分条件
系 A から系 B へのプロセス f が確定的であるための必要十分条件は

Tr ◦ f = Tr

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(1.11)であった。これは， f が TP である（つまりトレースを保存する）ことに等しい。量子論における確定的なプロセスは，しばしば量子操作や量子通信路などとよばれる。
放棄エフェクトは

TrA = ⟨1NA |

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

のように表せる。ただし，図式の左側の等号では TrA =(2.24)∑ NA

i=1 ⟨i|–|i⟩ を用いており，右側の等号

では cup 列ベクトルを用いて書き直している。このため，確定的なプロセス f を式 (2.23) の2.6 プロセスとテスト

61

形で表すと

(2.24)(2.23)(1.11)(2.24)(2.25)
が成り立ち，ここから(2.25)(2.26)
つまり∑k†i=1 Xi Xi =1NA が得られる。以上をまとめると，式 (2.23) の形でクラウス表現されるプロセス f に対して⇔

f が TPk∑Xi† Xi = 1NA(2.27)

i=1

であることがわかる（本書の式 (4.27)）。この式を表す図式はもちろん式 (2.26) である。一方，上記の議論より，この図式は式 (1.11) に式 (2.23) を代入して得られる式

を少し式変形したものにすぎないことがわかる。

(2) ユニタリプロセス
系 A から系 B へのプロセス f に対し，次式を満たすような系 B から系 A へのプロセス f −1が存在するとき f を可逆であるとよび， f −1 を逆プロセスとよぶ。

f −1 f = idA ,f f −1 = idB

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.28)

第2章

62

量子論の基礎f が可逆であるためには NA = NB である必要がある。
NA 次ユニタリ行列 U を用いて
図式

−
−−
−→
←
−−
数式

Ũ = U · – · U †(2.29)の形で表されるプロセスをユニタリであるとよぶ。とくに，恒等プロセス idA はユニタリである（U = 1NA の場合に対応する）。プロセスがユニタリであることは確定的かつ可逆である
ことに等しい‡9 。

2.6.3 プロセス
(1) プロセスであるための必要十分条件

CP 写像 f がプロセスであることはトレースを増加しないことに等しく，これはTr[ f |ρ)] ≤ 1(∀ρ ∈ StNA

)

(

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

を満たすことに等しい。なお，Tr[ f |ρ)] は (∀ρ ∈ StNA)(2.30)| f |ρ) とも表せる。この式は，( | f |ρ) がスカラーであることと整合する。
余談： 数式では e[ f |ρ)] = (e| f |ρ) を表す別の表現として e ◦ f ◦ ρ，e( f ◦ ρ)，(e ◦ f )(ρ) などがある。

式 (2.30) は式 (2.20) に e = TrB ◦ f を代入した式に等しい。また，式 (2.21) よりこれはTrB ◦ f ≤ TrA

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.31)

を満たすことに等しい。さらに，この式が成り立つことは，式 (2.25) の最後の等号を不等号≤ に置き換えた式が成り立つことに等しいため，式 (2.27) の等号を不等号 ≤ に置き換えた式‡9 証明：⇒：U † U =

1NA を満たすため式 (2.27) より確定的である。また， f −1 B U † · – · U に対して式 (2.28)を満たすため，可逆である。⇐：確定的かつ可逆なプロセス Ũ を Ũ =†∑k†
i=1 Xi · – · Xi の形にクラウス表現する。 fi B Xi · – · Xi とおき， f1 , . . . , fk は互いに比例の関係にないと仮定する（このように仮定しても一般性を失わない）。このとき，可逆であるためには k = 1 でなければいけないことがわかる。実際，k > 1 ならば f1 (|ψ⟩ ⟨ψ|) ̸∝ f2 (|ψ⟩ ⟨ψ|) を満たす |ψ⟩ が存在するため Ũ(|ψ⟩ ⟨ψ|) は混合状態になり，Ũ は可逆ではない。さ†らに，式 (2.27) より X1 X1 = 1NA でなければならず，これは X1 がユニタリ行列であることにほかならない。
U B X1 とおけば式 (2.29) が得られる。

2.6 プロセスとテスト

63が成り立つことがわかる。つまり，

f =

k
∑

Xi · – · Xi†

i=1

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.23)の形でクラウス表現されるプロセス f に対して

f がプロセス⇔k∑Xi† Xi ≤ 1NA(2.32)

i=1

であることがわかる。
表 2.2 に，CP 写像が確定的なプロセスであるための必要十分条件とプロセスであるための必要十分条件をまとめておく。前者の条件は表 1.3 で示したものと同じである。前者の条件における等号 = を不等号 ≤ に置き換えれば後者の条件が得られる。

I = 1 であることを用いれば，状態やエフェクトに関する条件がプロセスに関する条件の特別な場合であることがわかる。
表 2.2 CP 写像が確定的なプロセスおよびプロセスであるための必要十分条件

確定的なプロセスであるための条件プロセスであるための条件[式 (1.11)]

f
f が TP[式 (2.31)]
f がトレースを増加しない[式 (1.7)]ρρ のトレースが 1（⇔ ρ が密度行列）[式 (1.5)]e = ⟨E|[式 (2.10)]
ρ のトレースが 1 以下
[式 (2.21)]

e がトレース演算（⇔ E が単位行列） E の最大固有値が 1 以下

(2) プロセス同士の接続
トレースを増加しない CP 写像を直列や並列に接続して得られる実数は，0 以上 1 以下である。このことは，トレースを増加しない CP 写像は量子論におけるプロセスのことであり，プロセスのみを接続してスカラー以外の実数になることはないことを考えると，当然のこと

第2章

64

量子論の基礎であろう。表 2.2 で示した式などを用いても，このことを確認できる。例として(2.21)(2.31)(2.10)を考えてみよう。この式は，トレースを増加しない 4 個の CP 写像 ρ, e, f, e′ を接続して得られる実数が 1 以下であることを示している。CP 写像の合成やテンソル積が CP 写像であり，R から R への CP 写像は 0 以上の実数であるため，この実数は非負でもある。このことは，各プロセスがトレースを増加しない CP 写像であることが，プロセスを接続して得られる実数が 0 以上 1 以下になることを保証しているとも解釈できる。

2.6.4 テスト
(1) テストであるための必要十分条件
任意の操作的確率論において系 A から系 B へのプロセスの組 F B { fi }mi=1 がテストである
ことは，次式が成り立つことに等しいのであった。
m∑(

B | fi =

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

A

i=1

量子論では，この式にA = TrA および(1.22)

B = Tr B を代入した式が成り立つ（図式はこの式の図式と同じである）。測定の場合と同じく，この式は『テスト』であるために最低限満たすべき必要条件であったが，ミクロの世界ではこれが十分条件でもあろうことがやはり多数の実験により支持されている。つまり，式 (1.22) を満たす任意のプロセスの組 F に対して対応する『テスト』が存在するであろうことが実験事実として知られている。
任意の操作的確率論において次式が成り立つのであった。

{ fi }mi=1 がテスト

m
∑

⇔

i=1

このため，各 fi を式 (2.23) のように

fi =

li
∑
t=1

†
Xi,t · – · Xi,t

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

fi が（存在して）確定的(1.21)

2.7 量子論であるための必要十分条件

65の形にクラウス表現すると，式 (2.27) より{ fi }mi=1 がテスト⇔

m∑fi が TP

⇔

i=1

li
m ∑
∑

†
Xi,t
Xi,t = 1NAi=1 t=1が成り立つことが容易にわかる。

(2) テスト同士の接続

1.8.3 項で述べたように，任意の操作的確率論において 2 組以上のテストを直列や並列に接続して得られるプロセスの組はテストになるのであった。また，2 個以上の確定的なプロセ
スを直列や並列に接続して得られるプロセスは確定的になるのであった。もちろん，量子論
でもこれらの性質が成り立つ。たとえば，2 組以上の TP-CP 写像を直列や並列に接続して得られる CP 写像は TP になる。このことは，量子論でも式 (1.24) や式 (1.25) がそのまま成り立つことからも容易にわかる。

2.7

量子論であるための必要十分条件

これまでは，定義 2.2 にしたがって ProcA→B = PosTNI
NA →NB を前提としたときに，プロセ
スやテストなどがどのように表現されるかを説明してきた。本節では，ほかの条件から

ProcA→B = PosTNI
NA →NB を導けないかを考えてみることにする。その結果として，あとで命題

2.5 および命題 2.6 として示すように，量子論であるための必要十分条件が得られる。

2.7.1 状態空間を特定したときの操作的確率論
ここでは，定義 2.2 で示した量子論が満たすべき条件 (2) の ProcA→B = PosTNI
NA →NB をより緩
TNIい条件 StN
A = DenNA に置き換えたものを考える。このとき，ProcA→B = PosNA →NB を導くこNとはできないのだが，ProcA→B ⊆ PosTNI
NA →NB までは導ける。この意味で，StA = DenNA が成り立てばトレースを増加しない CP 写像が自然に現れるといえる。まず，このことを次の補題
としてまとめておく。
補題 2.4: 操作的確率論において各系 A が StN
A = DenNA を満たすならば，任意の系

A, B について

TNI
TNI
A = TrA ，StA = Pos1→NA ，および ProcA→B ⊆ PosNA →NB が成り立つ。

念のため証明を載せておくが，初学者には難しいと思うので興味がなければ読み飛ばして構わない。
証明. 任意の系 A について StN
A = DenNA であるため，任意の系 A, B について VA→B =

第2章

66

量子論の基礎

Lin(HerNA , HerNB ) である。とくに VA→I = Lin(HerNA , R) であり，任意の DenNA の要素を 1 に写す写像は TrA しかない。このため，

A = TrA である。また，系 A の任意の状態はスカラーp と正規状態 ρ を用いて pρ の形で表されるため，{

StA = pρ : p ∈ R, 0 ≤ p ≤ 1, ρ ∈ DenNA}{}= σ : σ ∈ PosNA , Tr σ ≤ 1 = PosTNI
1→NA

である。
あとは，任意の系 A, B について ProcA→B ⊆ PosTNI
NA →NB であることを示せばよい。このことを示すために，任意に選んだ f ∈ ProcA→B がトレースを増加しない CP 写像であることを示す。 f ∈ VA→B = Lin(HerNA , HerNB ) である。また，恒等プロセス idA は HerNA 上の恒等写像である。まず， f が CP 写像であることを示す。
A ∑
A
1 ∑
|i⟩ ⟨ j| ⊗ |i⟩ ⟨ j|
NA i=1 j=1N

σ B ( f ⊗ idA )(Φ),

ΦB

N

NA
とおく。ただし，{|i⟩}i=1
は CNA の CONS である。Φ ∈ DenN 2 であるため Φ ∈ StA⊗A である。
Aσ は 3 個のプロセス f, idA , Φ を接続したものであるため，状態である。このため，σ は半正定値行列である。一方，σ を NA 倍すると f の Choi 行列 C f になるため（Choi 行列の定義は
本書の 4.4.2 項で示している），C f は半正定値行列である。したがって，本書の定理 4.3 より

f は CP 写像でなければならない。次に， f がトレースを増加しないことを示す。任意の正規状態 ρ ∈ StN
A = DenNA に対して f |ρ) は状態であるため Tr[ f |ρ)] ≤ 1 でなければならない。これは， f がトレースを増加しないことにほかならない。

□

次に，この補題を用いて量子論であるための必要十分条件を導くことを考える。この補題
TNI
により StN
A = DenNA を仮定すれば ProcA→B ⊆ PosNA →NB を導けるため，その中で最大のものを考えれば量子論のプロセス空間が得られる。このことから，次の命題が成り立つことがわかる。
命題 2.5: ある操作的確率論が量子論であることは，以下の三つの条件を満たすことに等しい。

(1) 各系 A に対して，自然数 NA が一つ定まっている。
(2) 各系 A について，StNA は DenNA に等しい。
(3) 各プロセス空間は数学的に矛盾を生じないような集合のうち最大のものである。
この命題では，定義 2.2 の条件 (2) が条件 (2) と (3) に置き換わっている（条件 (1) は両者に

2.7 量子論であるための必要十分条件

67

違いはない）。補題 2.4 より，ProcA→B は PosTNI
NA →NB の部分集合でなければならない。この中TNIで最大のものは PosTNI
NA →NB であり，任意の系 A, B について ProcA→B = PosNA →NB とすれば，量子論そのものになり数学的に矛盾は生じない。

2.7.2 ユニタリプロセスと PVM 測定による表現
本項では，確定的なプロセスとテストがユニタリプロセスやランク 1 の PVM 測定などを用いて表せることを示す。また，この事実と補題 2.4 を用いると，量子論であるための必要十分条件が得られることを示す。

(1) 確定的なプロセスのシュタインスプリング表現
系 A から系 B への任意の確定的なプロセス f は次式の形で表されることが知られている（本書の 8.2.2 項の命題 8.1 で証明している）。

f = (idB ⊗D )Ũ(idA ⊗ φ)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.33)

ただし，系 C, D は NA NC = NB ND を満たし，φ は系 C の正規純粋状態であり，Ũ は系 A ⊗ C
から系 B ⊗ D へのユニタリプロセスである。φ は f とは無関係に任意に選べる。図式では，
状態 φ を φ∪ = |φ⟩ ⊗ |φ∗ ⟩ の形で，ユニタリプロセス Ũ を Ũ∪ = U ⊗ U ∗ の形で表している。この表現を f のシュタインスプリング表現とよぶ。

(2) テストのシュタインスプリング表現
テストについても，確定的なプロセスと同様の表現ができる。実際，系 A から系 B への任
意のテスト F B { fi }m
i=1 は次の形で表せる。

fi = (idB ⊗D ⊗ ei )Ũ(idA ⊗ φ)

図式

−
−−
−→
←
−−
数式

(2.34)

ただし，系 C, D, E は NA NC = NB ND NE および NE = m を満たし，φ は系 C の正規純粋状態
であり，Ũ は系 A ⊗ C から系 B ⊗ D ⊗ E へのユニタリプロセスであり，{ei B ⟨i|–|i⟩}m
i=1 は系

第2章

68

量子論の基礎E のランク 1 の PVM 測定である。φ は F とは無関係に任意に選べる。図式では，状態 φ を
φ∪ = |φ⟩ ⊗ |φ∗ ⟩ の形で，ユニタリプロセス Ũ を Ũ∪ = U ⊗ U ∗ の形で表している。この表現をF のシュタインスプリング表現とよぶ。
式 (2.34) の証明は本書の命題 8.1 の証明とほぼ同じである。具体的には，本書の式 (8.9) の代わりに次の図式を考えれば容易に証明できる。
式 (2.34) において m = 1 の場合を考えると，確定的なプロセス f のシュタインスプリング
表現を表す式 (2.33) に等しくなることがわかる。なお，この場合は系 E は自明な系であるため図式から消せる。また，式 (2.34) においてテスト { fi }mi=1 が測定の場合（つまり B = I の場合）を考えると，任意の測定がユニタリプロセスやランク 1 の PVM 測定などの組み合わせ
で表せることがわかる。

(3) 量子論であるための必要十分条件
テストのシュタインスプリング表現と補題 2.4 を用いると，量子論であるための必要十分条件が得られる。
命題 2.6: ある操作的確率論が量子論であることは，以下の三つの条件を満たすことに等しい。

(1) 各系 A に対して，自然数 NA が一つ定まっている。
(2) 各系 A の任意の状態は NA 次エルミート行列である。
(3) 以下を満たす。
i) 各系 A について，|φ⟩ ⟨φ| が正規純粋状態であるような正規列ベクトル|φ⟩ ∈ CNA が存在する。
ii) NA = NB であるような各系 A, B と任意の NA 次ユニタリ行列 U について，U · – · U † は系 A から系 B へのプロセスである。
NANAiii) 各系 A について，{⟨i|–|i⟩}i=1（ただし {|i⟩}i=1
は CNA の CONS）は測定である。
標準的な量子論の書籍では，これらの条件に近い形で量子論を定めることが多い。この命題

2.7 量子論であるための必要十分条件

69より，本書で定めた量子論がこれらの条件を公理とするような量子論と同じ数学的構造をもっていることがわかる。念のため証明を載せておくが，初学者には難しいと思うので興味がなければ読み飛ばして構わない。
証明. 量子論がこの命題の三つの条件を満たすことは明らかである。逆に，これらの三つの条件を満たす操作的確率論が量子論である（つまり定義 2.2 の条件を満たす）ことを示す。このためには，任意の系 A, B について ProcA→B = PosTNI
NA →NB であることを示せばよい。
まず，いくつかの準備を行う。条件 (3) の iii) および式 (1.23) より，⟨1|–|1⟩ , . . . , ⟨NA |–|NA ⟩∑ NA

i=1 ⟨i|–|i⟩ = TrA は放棄エフェクトである。また，条件 (3) の ii) より，任意の NA 次ユニタリ行列 U についてプロセス Ũ B U · – · U † は TrB ◦Ũ = TrA を満たすため確定的であり，の和また逆プロセス U † · – · U が存在するため可逆である。
†
次に，StNA = DenNA を示す。任意の NA 次ユニタリ行列 U について U · – · U は確定的な可逆プロセスであるため，U |φ⟩ ⟨φ| U † は正規純粋状態である。また，このようにして得られる
N
正規状態の確率的混合を考えれば，StN
A ⊇ DenNA であることがわかる。ここで，StA = DenNAを示すため，密度行列ではないような系 A の正規状態 ρ が存在すると仮定して矛盾を示す。

Tr ρ = ( |ρ) = 1 であるため ρ は半正定値ではないエルミート行列である。ρ の負の固有値に対応する正規固有ベクトルの一つを |u⟩ とおく。|u⟩ を |1⟩ に写すような NA 次ユニタリ行列 Vが存在して，⟨1|VρV † |1⟩ = ⟨u|ρ|u⟩ < 0 を満たす。一方，⟨1|VρV † |1⟩ は状態 ρ とユニタリプロ
セス V · – · V † とエフェクト ⟨1|–|1⟩ の直列接続であり非負でなければならないため，矛盾する。したがって，StN
A = DenNA である。
最後に，任意の系 A, B について ProcA→B = PosTNI
NA →NB であることを示す。すでに示したよう
TNI
に StN
A = DenNA であるため補題 2.4 の仮定を満たしており，したがって ProcA→B ⊆ PosNA →NB
TNIである。このため，あとは ProcA→B ⊇ PosTNI
NA →NB を示せば十分である。 f1 ∈ PosNA →NB を任意に選ぶ。このとき，和

∑m

TNI
m
i=1 fi が TP であるような CP 写像の組 F B { fi }i=1 ⊂ PosNA →NB が存在する。系 C の正規純粋状態 φ = |φ⟩ ⟨φ| と，系 A ⊗ C から系 B ⊗ D ⊗ E への任意のユニタリNE
プロセスと，系 E の測定 {⟨i|–|i⟩}i=1が存在するため，F が式 (2.34) により作られる。この Fは確定的なプロセスとテストのみを接続したものに等しいため，明らかにテストである。したがって f1 はプロセスであり，ゆえに ProcA→B ⊇ PosTNI
NA →NB である。

□

命題 2.5 や命題 2.6 で示した必要十分条件を，量子論の定義（または公理）として用いても構わない。それぞれの条件には長所と短所があるように思う。たとえば，命題 2.6 の条件は，プロセスのうちある意味においてより基本的であるとみなせるユニタリプロセスや PVM 測定などに着目しているため，（ある意味での）基本的な構成要素に分解して考えたい場合には適しているであろう。一方，定義 2.2 の条件では特定の種類のプロセスではなくプロセス全体に着目しているため，全体像を把握するのに適している気がする。また，この条件を用いた場合は，CP 写像という線形写像を通して「結合確率」と「確率的な和」の概念（または同

第2章

70

量子論の基礎じことであるがプロセスのスカラー倍と和という演算）が顕在化されるように思う。逆に命題 2.6 の条件を用いた場合には，これらの概念は隠れてしまうであろう。

2.7.3 量子論の数学的構造はどこが特徴的なのか？
命題 2.5 と命題 2.6 をもう一度振り返ってみよう。命題 2.5 では，条件 (2),(3) が量子論に特有の性質を生み出しているといえる（2.3.1 項で述べたように，条件 (1) は本質的には重要ではない）。このうち，少し考えると条件 (2) の StN
A = DenNA を直観的に理解することは決して容易ではないことがわかってくる。たとえば，StN
A = DenNA は系 A の正規純粋状態全体から成る集合が{}|φ⟩ ⟨φ| : |φ⟩ ∈ CNA , ⟨φ|φ⟩ = 1
NAのに等しいことと等価であることがわかる。このため StN
A = DenNA を受け入れることは C

ような複素ヒルベルト空間を受け入れることと本質的には大差ないといえよう。命題 2.6 でも条件 (2) の中に複素ヒルベルト空間 CNA が現れていて本質的に同じ問題を抱えている。しかし，この複素ヒルベルト空間がどこから現れたのかは謎である。

2.1 節では，二準位系の例として電子 1 個のスピンを表す系を紹介した。この系 A では StNA
は 3 次元球 Ball3 と同じ形であるためイメージをつかみやすいと思う。しかし，この議論を通して任意の二準位系で StN「ほかのミクA  Den2 が成り立つことを受け入れたとしても，
ロな系 A でも同様に StN
A  DenNA が成り立つはずだ」と推論することは安易である（なお，NStN
A  DenNA と StA = DenNA には本質的な違いはなく，これらを同一視するか否かという違いしかない）。実際には多くのミクロな系では StN
A  DenNA が成り立っているであろうこと
が実験事実としては知られているが，論理的にはこの式が成り立っていない可能性も十分に考えられる。詳しくは，私の note 記事「図式で学ぶ量子論 番外編 〜2 準位系から多準位系への演繹による拡張は難しい〜」

https://note.com/kenji nakahira/n/nbdaa609a3273
で説明している。自然な要請をいくつか追加して StNA  DenNA を容易に導ければ望ましいのだが，十分に満足できるレベルでこのことに成功した人はまだいないといえると思う。

2.3.1 項でも述べたように，「なぜ複素ヒルベルト空間を考えなければいけないのかについては人類は今でもあまり理解できていない」といっても決して過言ではないであろう。数学
的構造という観点においては，量子論の最も顕著な特徴は恐らく CNA のような複素ヒルベル
ト空間（またはそれと本質的に同等な構造）が現れることであり，この空間がなぜ現れるのか（またはどこから現れるのか）を直観的に理解することは難しいのである。
補足： やや雑な議論ではあるが，マクロな物体が自転しており，その自転の『状態』を 3 次元列ベクトル |r⟩ ∈ R3 で

2.8 さらなる情報

71

表すことを考えてみよう。|r⟩ の向きを「回転軸」の向きに対応付けて |r⟩ の大きさを回転速度に対応付ける。この回転速度に上限があると仮定して |r⟩ の大きさをその上限で規格化すれば，自転の『状態』は Ball3 の要素として表せる。このとき，Ball3  Den2 であるため，その『状態』は密度行列として表すこともできる。しかし，だからといって「（自転を何らかの意味で拡張したような概念があって）マクロの世界で Denn (n > 2) の要素として表せるような『状態』があり，このためマクロの世界でも複素ヒルベルト空間 Cn が自然に現れるはずだ」と考えることは安易であろう。ミクロの世界でも同様である。密度行列による表現はあくまで表現の一つにすぎないのだから，二準位系で正規状態を密度行列で表現できるからといって「ほかの系でも正規状態を密度行列で表現できて複素ヒルベルト空間 CNA が自然に現れるはずだ」といえる妥当な理由はないのである。

2.8

さらなる情報ここまでで，本書の第 6,7 章で述べた「操作的確率論」についての内容の一部を説明したあと，本書の第 5 章で述べた「量子論の数学的構造」の主要な部分をていねいに説明した。ここまでの話が大体理解できたならば，本書の第 5 章以降を気軽に読めるようになっているのではないかと思う。本書では，ここでは述べていない量子論の豊富な数学的構造や性質（の一部）を紹介している。たとえば，本報では凸錐については述べなかったが，本書では凸錐の概念を積極的に用いながら「プロセス空間 ProcA→B が自己双対錐（や対称錐）とよばれる凸錐になっていること」が量子論の本質的な構造の一つであることを指摘している。また，補足資料「図式で学ぶ量子論」（https://www.morikita.co.jp/books/mid/017061 からダウンロード可能）でも，本書では述べられなかった量子論の性質を紹介している。ぜひ本書や補足資料を読んで，「図式を活用して量子論の操作的・確率的な性質について考えること」のおもしろさを味
わってほしい。

72

索引
C
CP（完全正値）写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
—が TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60—のクラウス表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
P
POVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
あインストルメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
エフェクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
確定的な— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
—空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10—の等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
放棄— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
か格上げ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
格下げ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
確率的混合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
確率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
完全識別 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
自明な— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
さ
準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
確定的な— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
—空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
混合— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
純粋— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
—準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
正規— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
スカラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
確定的な— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
—空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

POVM— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
PVM— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
極大— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
フォン・ノイマン— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ランク 1 の PVM— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
た
テスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21—のシュタインスプリング表現 . . . . . . . . . . . . . . . 68
な2 重化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
は物理操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10プロセス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
可逆— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
確定的な— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 20
確定的な—のシュタインスプリング表現 . . . . . . 67
逆— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
—空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9—の等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23—の和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ユニタリ— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ブロッホ球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ま
密度行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ら
ランク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
量子操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
量子通信路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
量子二準位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
量子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48, 50