実空間密度汎関数法プログラム
RSDFT開発の進捗と固体系への適用
古家真之介(東大工)，岩田潤一(東大工)，内田和之(東大工)，重田育照(阪大基礎工)，押山淳(東大工)もくじ
RSDFT開発の進捗状況
Car-Parrinello分子動力学法
Ultrasoft擬ポテンシャル法「京」における進捗状況
RSDFTの固体系への適用
SiC超格子を用いた電子の閉じ込め
まとめ†Car-Parrinello分子動力学法 by 重田∂EDFT
電子の量子力学的な振舞いを考慮した力: Fi = −∂Ri
波動関数に対しても仮想的な
2d Ri
∂EDFT

 Mi 2 = −運動方程式をたてて解く(下の式)
dt
∂Ri2�
�
dφ
∂EnDFT+Λnm φm = −ĤKS φn +
Λnm φm µ dt2 = − ∂φnmm

テスト計算の条件・システム: Si64 (固体)・ユニットセル: (20.51 a.u.)3
・格子点数: 243, 363, 483
・XC汎関数: 局所密度近似

・温度: 1000 K
・仮想電子質量: 1600 a.u.
・計算機: Itanium2†R. Car and M. Parrinello, Phys. Rev. Lett. 55, 2471 (1985).

1タイムステップあたりの計算時間
psi_v
rotorbwf force
rotorb2

Timing data

35

no OH (Ng=24)
filtering (Ng=24)
no OH (Ng=36)
filtering (Ng=36)
no OH (Ng=48)
filtering (Ng=48)3030

psi_nforce
psi_v
calfke20time (/s)

Time (/s)

25

1510500102030405060

cores

スケーラビリティが悪い

22.5
157.501248163264

力の計算(force)が遅い

現在改良中

†
Ultrasoft擬ポテンシャル法 by 内田•原子核と電子の相互作用を記述する擬ポテンシャルはカットオフ半径(rc)の外側では真のポテンシャルと一致•正確に記述するためには内側の波動関数のノルムが真のポテンシャルと一致する必要がある(ノルム保存)•ノルム(内積)の定義を変更するとノルムが保存しなくても精度を保てる(ノルム非保存; Ultrasoft)
� rc0

� rc
02|ψpseudo (r)| dr =2|ψpseudo (r)| dr �=

� rc0

� rc
02|ψreal (r)| dr, �ψm | ψn �2|ψreal (r)| dr, �ψm | Ŝ |ψn �•RSDFTにUltrasoft擬ポテンシャル法を実装•第二周期元素や遷移金属元素の計算をする際に実空間メッシュ数を減らせる→計算量とメモリの削減†D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 41, 7892 (1990).

ノルム保存との比較 (diamond)
全エネルギー-11.3

格子定数

RSDFT/Rc=1.50/PZ81

6.9Diamondlattice const
6.8

lattice const.(au)Etot (Ht)

US〜55Ry
NC=US×1.45-11.4

NC〜80Ry-11.5

収束値との差ΔEtot が同じ
20 40 60 80 100

bulk modulus (Gpa)

NC=US×1.48
US〜54Ry NC〜80Ry

44036020406080

NC〜80Ry

100120140160

NC=US×1.4

6.5

20 40 60 80 100

cutoff energy (Ry)RSDFT/Rc=1.50/PZ81

600

US〜57Ry6.66.3体積弾性率

5206.76.4cut off energy (Ry)680

RSDFT/Rc=1.50/PZ81180200

220240ノルム保存の70%程度のカットオフエネルギーで十分(小さなカットオフエネルギー=粗い実空間メッシュ)

cutoff energy (Ry)
†D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 41, 7892 (1990).

「京」における進捗状況 (暫定値)
RSDFTコードの性能評価
Siナノワイヤ, 格子数 576x576x40=13271040, 原子数 25236, バンド数 53280,
実数版, 空間分割 32x48x2, バンド分割 3, ノード数 9216 (73728コア)
通信(秒)隣接/空間大域/空間大域/バンド

性能(TFLOPS)

272.49

4.04

41.72

4.237

353.71

80.41

20.87

36.38

23.15

0.006

8.38

GS

110.3874.87-18.7016.813684.74

TOTAL

513.28368.3340.42

83.57221.056370.85

区間

全体(秒)

演算(秒)

SD322.49

CG

ピーク性能1.18 PFLOPSに対し31.4% (370 TFLOPS)という高い実行性能を実現！

その他の大規模計算結果
Siナノワイヤ2万原子(格子点数1700万, 実数版) : 700秒/SCF @4000ノード
Siナノワイヤ4万原子(格子点数3500万, 実数版) : 3900秒/SCF @4000ノード
Siバルク1万, 2万原子で全エネルギー計算→格子定数が正しく求まることを確認
資料提供: 理化学研究所

もくじ
RSDFT開発の進捗状況
Car-Parrinello分子動力学法
Ultrasoft擬ポテンシャル法「京」における進捗状況
RSDFTの固体系への適用
SiC超格子を用いた電子の閉じ込め
まとめsemiconductor heterojunction

electronholeelectron and hole are conﬁned to GaAs layer
E.T. Yu et al., J. Vac. Sci. Technol. B 7, 391 (1989).

atomic structure and band gap of SiC
2H

3C

6H

3.29 eV3.10 eV[0001](Wurtzite) (Zinc blende)

4HEg†3.33 eV

2.40 eV[1100]†Properties of Silicon Carbide, edited by G.L. Harris (INSPEC, London, 1995).

previous study of SiC heterojunction

doubleheterostructure grown by MBE
is observed in TEM experiment
A. Fissel et al., Appl. Phys. Lett. 77, 2418 (2000).

objectives & method
does electron conﬁnement appear in SiC?
structure between hex- and cubic-SiC is not so
diﬀerent but diﬀerence of band gap is large

investigate hex- and cubic-SiC heterostructure byﬁrst-principles calc. under following conditions
Real-Space DFT (RSDFT code†)norm-conserving pseudopotential
local density approximation (LDA)
Ecut: 75 Ry (mesh spacing: ~0.36 bohr)
k-point sampling: 8x8x2
geometry: ﬁxed (Si-C length: 1.865 Å)†J.-I. Iwata et al., J. Comput. Phys. 229, 2339 (2010).

models
3C8

6H4

6H23C43D-periodic boundary condition is applied

Si C

energy band
6H23C4

6H4+3C8

1.41 eValmost the same
3C8

1.34 eV

6H42.01 eVintegrated LDOSelectron

6H23C4

3C86H4

electron conﬁnement
�2 π 2 2En =n (1D quantum well)∗22m Lm∗ = 0.29 m0 (from 3C-SiC calc.)
m0 = 9.109390 × 10−31 kg
h = 6.626076 × 10−34 J·s

1h
L= √ ∗
2 2m E1

1 eV = 1.602177 × 10−19 J

CBM

6H

2.01 eVVBM
E1 − E13C [eV]
L [Å]

3C

6H2

1.34 eV

03C4

6H2 3C3

1.41 eV

6H2

1.44 eV

3C2

6H23C11.51 eV
1.65 eV+0.07+0.10+0.17+0.31

43.0

36.0

27.6

20.5

electron conﬁnement

20.5 Å27.6 Å

6H23C136.0 Å

6H23C243.0 Å

6H23C3

6H23C4

estimation from 1D quantum well model is good!

まとめ
RSDFT開発の進捗状況
CPMD : 力を求めるルーチンの高速化が必要
UltrasoftPP : 利用可能に「京」: 大規模計算でも実効性能が高いことを確認

RSDFTの固体系への適用
SiC超格子を用いた電子の閉じ込め
3Cと6HのSiCを交互に並べると3C領域に電子が閉じ込められることがLDOS解析ではっきり見えた閉じ込められる領域の幅とバンドギャップの関係は1次元量子井戸モデルで理解できる