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データサイエンス概論I＆II
データのベクトル表現と集合

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

2

データのベクトル表現

そんな高尚な話ではありません．
皆さんも無意識にベクトルを考えている!?
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3「ベクトル＝数字の組」
 A君: 体重62kg, 身長173cm
 A君の体格データは，2つの数字の組で表される(62, 173)

 これがわかれば，もう大丈夫！
 第一段階突破
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4「ベクトル＝数字の組」
 B君: 体重57kg, 身長164cm
 B君の体格データも，2つの数字の組で表される(57, 164)

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5「ベクトル＝数字の組」
 A君: 体重62kg, 身長173cm, 腹囲78cm
 A君の体格データは，3つの数字の組でも表される(62, 173, 78)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

6「ベクトル＝数字の組」
 A君: 体重62kg, 身長173cm, 腹囲78cm, 靴のサイズ26cm
 A君の体格データは，4つの数字の組でも表される(62, 173, 78, 26)

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7

なぜいきなり「ベクトル」とやらを学ぶ？
データサイエンスとどんな関係が？
 実データを扱う研究では，実は頻繁に「ベクトル」が出てきます 例えばデータが「血糖値と体重」のような数字の組なら，もうそれは「ベクトル」
 画像や時系列データも，実は「ベクトル」とみなせます アンケートデータでも，いろいろな形で「ベクトル化」できます 実際，主成分分析や因子分析など多くの有名な解析手法のターゲットは，「ベクトル」なんです というわけで，高校・大学学部時代に苦い思いをした皆さんも，データ解析の視点から，ベクトルについて再度考えてみましょう

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8（あとでも言いますが）表にもベクトルが潜んでいる…

123

⋯

𝑁

体重625765

⋯

75

身長173

164

171

⋯

164

1つのベクトル
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9「次元」とは？
 組み合わせた数字の数，です (62, 173) → 2次元ベクトル (62, 173, 78) → 3次元ベクトル (62, 173, 78, 26) → 4次元ベクトル (62, 173, 78, 26, ......, 9) → 200億次元ベクトル200億個の数字

 特にそれ以上の意味はない 以下のような物理的な意味づけは，とりあえず忘れましょう

？
1次元

2次元

3次元

4次元

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10

おまけ：ちょっと考えてみよう あなた自身を表すとすれば，何次元ベクトルになるでしょう？
 例えば30問の性格診断に答えたら，30次元ベクトルが得られる
 これも「あなた」を表現するベクトルですね でもそれで十分なのかなぁ…
 人間の細胞の数は37兆個らしいです．もし，各細胞の性質(場所とか大きさとか？)が100個の数字で表されたとすれば，3700兆？
 そんなに必要かなぁ…

 答えはないです でも色々考えてみると面白い
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11

そんな高い次元なんて必要なの？
→ 画像をベクトルで表現してみる (1/2)
 2値画像の例(1,1,0,0,0,0,1,1,0,...,0,1)
7×7画素

49次元ベクトル グレースケール画像の例(255, 245,10,35, 92, 231, 254,...,249)
7×7画素

49次元ベクトル
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12

そんな高い次元なんて必要なの？
→ 画像をベクトルで表現してみる (2/2)
1200万画素のカメラ

1200万画素の画像
各画像は1200万次元ベクトル(RGBそれぞれ1200万だから，より正確には3600万次元)

 皆さんのスマホ・デジカメ・コンピュータは，いつも超高次元ベクトルを扱っている

 シャッター押した瞬間に1200万次元ベクトルが一つ生まれている
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13ベクトルと座標系：
1つの2次元ベクトルは，2本の座標軸を使った平面上で表現できる
 １データ(1ベクトル)が1点で表される
第2次元(身長) 62 
173 17362

注：これまで(62,173)と横に数字が並んでいたのに，急に縦になってる？
→いまは気にしなくてOK

第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

14ベクトルと座標系：「複数の点で複数のデータを同時に図示」もできますA君

第2次元(身長) 62 

173 173
 57 

164


B君

62

第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

15ベクトルと座標系：
たくさんデータがあると「点群」になる

第2次元(身長)

例えば3年10組全体A
B

第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

16ベクトルと座標系：
3次元でもOK 依然として「1データ＝１点」

A君

第2次元
(身長)

62
173
78

173

78

62

第3次元
(腹囲)

第1次元
(体重)
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17ベクトルと座標系：
さて4次元. どこに座標軸を書けば...？
第4次元(靴のサイズ)
第2次元
(身長)

A君
62
173
78
26

第3次元
(腹囲)

第1次元
(体重)
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18

ベクトルと座標系:
そんなときは，えいやっと「イイカゲン表現」
 この寛容さ(=抽象的思考)がデータサイエンスではすごく大事
要は「3次元も4次元も，次元が1つ増えただけで，大して変わらない」という気持ちで行こう！

第2次元
(身長)

第4次元
(靴のサイズ)

どこ向いているのかよくわからないが，とにかく第4の座標軸がある

第3次元
(腹囲)

第1次元
(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

19

余談: そもそも3次元だって怪しいわけで…
だから４次元も許してやってください

3次元を無理に2次元表示している
わけですから，点の位置は怪しい．
（そもそも座標軸が90度で交わってないし）九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

20

ベクトルと座標系:「イイカゲン表現」を許してくれれば，やはり「1データ=1点」
 図中での点の位置は「イイカゲン」ではあるが...

62
173
78
26

第2次元
(身長)

第4次元
(靴のサイズ)A君

第3次元(腹囲)

第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

21

ベクトルと座標系：
4次元を許してくれたのなら，もっと多次元も許して 「気に入らん！」と思うかもしれませんが，そこを何とか....

62
⋮
5

第3次元

第𝑑次元

𝑑個の数字の組＝ 𝑑次元ベクトル

第2次元

第1次元

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22ベクトルと座標系：
この勢いで，各画像データも1点にしてしまおう 𝑑 = 49としたら，7x7画像が1点に！
第3次元ある7x7画素の画像

第2次元
第49次元

第1次元

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23

ベクトルと座標系：
この勢いで，各画像データも1点にしてしまおう
別の7x7画素の画像

第3次元

ある7x7画素の画像

第2次元
第49次元

第1次元
原点＝すべての画素値が「０」の7x7画像
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24

ベクトルと座標系：
もう慣れましたか？ 任意の画像についてもOKですよね！
1200万画素の画像

第3次元

第2次元
第1200万次元

第1次元

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25

ベクトルと座標系：
逆に考えれば，任意の1点は何らかのデータに対応1200万次元ベクトル＝1200万画素の画像データとして解釈可能

第1200万次元

任意の１点

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26

ベクトルと座標系：
逆に考えれば，任意の1点は何らかのデータに対応

やはり1200万次元ベクトル＝別の1200万画素の画像データとして解釈可能
第1200万次元
別の１点

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27

余談：皆さんが１日で目にするもの(皆さんの視覚が1200万画素だとしたら)

時間

おはよう

第1200万次元
おやすみ

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28

余談：皆さんが一生で目にするもの
時間

おぎゃー

第1200万次元
いい人生だった

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29

余談：要するにすべての画像(1200万画素)がこの↓中に「すでに」ある！

最高傑作写真も見たくもないような情景も第1200万次元

来週楽しみにしているドラマの１シーンもすべてこのどこかにある

夢があるような，無いような… でもこういうこと考えられるのが数学のパワー
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30

ベクトルと座標系：
この座標系の全体を「(𝑑次元)ベクトル空間」と呼ぶ
 (数学で出てくる)空間とは集合のこと
 ベクトル空間＝(全ての)ベクトルの集合

集合の１要素この座標系はすべての𝑑次元ベクト
ルがぎっしりつまった集合である↓
要するに(意味があるデータかどうかは別として，考え得る)「全データ」の集合

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31

余談：数学で出てくる「(ナントカ)空間」とは何らかの「集合」のことである
 ベクトル空間＝ベクトルの集合
 関数空間＝関数の集合
 線形空間＝aとbがメンバとして入っているならa+bやca (cは定数)もメンバとして入っている集合
 距離空間＝要素間の距離が定義された集合
 内積空間＝要素間の内積が計算できるものの集合
 位相空間＝位相が定義できるものの集合 バナッハ空間
数学の本質は ヒルベルト空間
その自由さにあるThe essence of mathematics
is its freedom.

 などなど...（あなたも作ってみては？)
G. Cantor (1845-1918)

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32

余談：データの表現方法は一意ではない！
 解析に適したようにデータを表現することは，重要なポイント！
 例：

各行の黒画素数をカウント
7×7画像

42151
15

7次元ベクトル

「あなた」を表現するのは，どんなベクトルが適切？
性格だったら？ 健康状態だったら？ 知識だったら？
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33

いよいよ数式がちょっと出ます

1つのデータ=1つのベクトル=𝑑個の数字の組

𝒙=
太字

細字

𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑑

𝑑次元ベクトル

再注：横に並べたほうが楽そうなのに，なんで縦に並べてる？ →気にしない

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34

参考：ちなみに𝑇をつけると横に寝ます

𝑇𝒙 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑑
 𝑇：「転置」記号と呼ばれます 工学や情報学ではよく出てきます この講義のレベルでは，寝てても立ってても，特に気にしなくてOK！
 そのうちこれが重要になる日も来るでしょう

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35

データの集合多くのデータを多くの点として見る
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36

データの集合＝ベクトルの集合：
図で書くと…
 「生徒の(体重，身長)データのクラス全体での集合」を図で書くと第2次元(身長)例えば3年10組全体

第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

37

データの集合＝ベクトルの集合：
記号で書くと…

𝑁個のデータ𝒙1 , 𝒙2 , 𝒙3 , … , 𝒙𝑁
それぞれが𝑑次元ベクトル
Don’t worry.
例が次スライドに九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

38

身長と体重なら....
𝑁人分のデータ

𝒙1 , 𝒙2 , 𝒙3 , … , 𝒙𝑁
 62 
173  57 
164  65 
171 75 

164 

それぞれが2次元ベクトル
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39

図と記号の関係はこんな感じ

第2次元(身長)𝒙1𝒙3𝒙𝑁𝒙2
第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

40

画像のような高次元ベクトルの集合でも同様

𝒙𝒊
顔写真(𝑑画素)画像の空間

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41

表にもベクトルが潜んでいる…

123

⋯

𝑁

体重625765

⋯

75

身長173

164171⋯164

1つの2次元ベクトル
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42

もっと大きな表には高次元ベクトルが潜んでいる
12

3

4

6

78

体力0.717395

0.452726

0.715137

0.707858

0.52632

0.548061

0.853328

0.098218

知力

0.2071520.690322

0.445059

0.428873

0.075910.928003

0.915683

0.723223

貯金

0.996054

0.771617

0.843382

0.017598

0.835931

0.81505

0.912822

0.347398

積極性

0.015336

0.5321410.365665

0.295555

0.741355

0.189625

0.659545

0.228034

モテ度

0.439569

0.973285

0.30875

0.539267

0.954217

0.846784

0.220322

0.390423

器用さ

0.463235

0.895669

0.253336

0.687957

0.210260.241558

0.682563

0.664164

記憶力

0.200746

0.641429

0.529440.014236

0.064644

0.956398

0.579882

0.309734

将来性0.680522

0.574424

0.108825

0.092599

0.888577

0.393175

0.549539

0.109326

決断力

0.265904

0.060323

0.53006

0.23987

0.710042

0.810111

0.536789

0.029784

1つの9次元ベクトル5

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43

参考：カラースケールを入れると，大きな表もフレンドリーに
12

3

4

5

6

7

8

体力

0.717395

0.452726

0.715137

0.707858

0.52632

0.548061

0.853328

0.098218

知力

0.2071520.690322

0.445059

0.428873

0.075910.928003

0.915683

0.723223

貯金

0.996054

0.771617

0.843382

0.017598

0.835931

0.81505

0.912822

0.347398

積極性

0.015336

0.5321410.365665

0.295555

0.741355

0.189625

0.659545

0.228034

モテ度

0.439569

0.973285

0.30875

0.539267

0.954217

0.846784

0.220322

0.390423

器用さ

0.463235

0.895669

0.253336

0.687957

0.210260.241558

0.682563

0.664164

記憶力

0.200746

0.641429

0.529440.014236

0.064644

0.956398

0.579882

0.309734

将来性0.680522

0.574424

0.108825

0.092599

0.888577

0.393175

0.549539

0.109326

美しさ

0.265904

0.060323

0.53006

0.23987

0.710042

0.810111

0.536789

0.029784

1
0.8
0.6
0.4
0.20

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44

データの分布 (1/4)=データ集合が空間内でどう広がっているか？
 データ集合が空間内のどのような位置にどれぐらいいるか？
 この性質・傾向をきちっと数値化(定量化)すると，色々わかる！
 「データ解析」の基本的方法の一つ
例えばこれは「はずれデータ」(異常かも...)[Goldstein, Uchida, PLoSONE, 2016]

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45

データの分布 (2/4)
似たようなデータは近くにありそう(𝑑画素)画像の空間

なぜなら似た画像は似たベクトルだろうから
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46

データの分布 (3/4)
高次元になると図としては可視化困難に...

2次元なら絵で描きやすく目で見てもわかる

100次元だと...!?

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47

データの分布 (4/4)
以上より「データ分布，是非解析すべし！」 データの分布，重要！
 世の中には「高次元ベクトル」で表されるデータが多い 「パッと絵にして理解」という方法が使えない！
 ゆえに，様々なデータ解析を行い，「データの分布状況」を何とか理解したい！

 というわけで，しばらくは「データの分布状況」理解のための方法が続きます 平均，分散，クラスタリング，主成分分析...

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48

これから出てくる方法をチラッと…

第2次元
(身長)

分
散

平均分散

クラスタリング

第1次元(体重)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版