多期間最適化によるアセットアロケーション
慶應義塾大学 理工学部管理工学科

枇々木

規雄

(E-mail : hibiki@ae.keio.ac.jp)
みずほ年金レポート 2012 年 3/4 月号

ìê枇々木 規雄（ひびき のりお）1994 年慶應義塾大学大学院理工学研究科管理工学専攻博士課程修了、1992 年慶應義塾大学理工学部助手、1997 年同専任講師、2002 年同助教授、2009 年
同教授、現在に至る。著書に『金融工学と最適化』(朝倉書店, 2001 年)、『金融工学入門』(共訳、日本経済新聞社, 2002 年)、『ポートフォリオ最適化と数理計画法』(共著、朝倉書店, 2005年) がある。
í
ë

目次

概要

1. はじめに多期間 (動的) 最適資産配分問題は数理ファ2. 多期間 (動的) 最適資産配分モデル

イナンス、金融経済学、金融工学、オペレー

2.1 連続時間モデル

ションズ・リサーチなど様々な分野で研究が活

2.2 モンテカルロ回帰

発に行われている。本稿では、はじめに、こ

2.3 シナリオ・ツリー型モデル

れらのアプローチを簡単に紹介する。具体的には解析解が求められている 2 つのケース、モ2.4 混合型モデル

ンテカルロ回帰、多期間確率計画モデル (シナ3. 実際の資産運用のためのモデル化

リオ・ツリー型モデル、混合型モデル) につい

3.1 投資決定時点て説明する。これらを参照しながら、実際の3.2 シナリオ生成 (分布の記述)

資産運用で利用するためのモデル化について

3.3 状態に依存した最適な意思決定議論する。モンテカルロ・シミュレーションで柔軟なシナリオ (収益率分布) を生成し、実務

3.4 目的関数・制約条件・資産数

的な制約を含めることが容易な混合型モデル

3.5 議論の概要を説明するとともに、筆者らの最近の4. 混合型最適資産配分モデル

研究成果として、インプライド分布を用いた

4.1 混合型モデルの概要

モデル、解析解の特徴を考慮したモデル化と4.2 関連する研究の紹介

モデルの比較分析についても紹介する。

4.3 インプライド分布を用いたモデル

1

4.4 解析解の特徴を考慮したモデル化とモデルの比較分析

はじめに
最適資産配分 (アセット・アロケーション) 問

題において、理論的にも実務的にも使われて

5. まとめいる代表的なモデルは平均・分散モデルである。しかし、平均・分散モデルは 1 期間モデルであり、年金基金や保険会社のように、長期間におけるリバランスを前提とした資産運用に1

対応するためには多期間 (動的) 最適化モデル

ンテカルロ法によって生成したシミュレーショ

が適している1 。また、年金や保険の ALM にン・パスで柔軟なシナリオ (収益率分布) を記対応するためには負債を考慮する (キャッシュ・

述し、問題を解く数理計画モデルとして、シフローを含む) モデル化も必要である。

ミュレーション型モデル (枇々木 [13])、さらに
条件付き意思決定を可能にした混合型モデル

このような多期間 (動的) 最適化問題に対す(枇々木 [14]) が提案されている。

るアプローチ (解法) は様々な分野で研究が活

本稿ではこれらのアプローチを簡単に紹介

発に行われている。大きく 2 つの分野に分けてし、実際の資産運用で利用するためのモデル紹介する。
数理ファイナンスや金融経済学の分野では、化について議論する。筆者が提案している混

連続時間・連続分布でモデルを記述し、ベル合型モデルの概要を説明するとともに、最近

マン方程式やマルチンゲール法によって解析の研究成果であるインプライド分布を用いた解や数値解 (近似解) の導出を行う。Kim andモデル (木村・枇々木 [29]) 、解析解の特徴をOmberg[28], Cvitaniì
c and Karatzas[6] など考慮したモデル化とモデルの比較分析 (高屋・

解析解が得られるケースは限定されている。

枇々木 [36]) についても紹介する。
本論文の構成は以下の通りである。2章では近年、モンテカルロ (MC) 法による数値解法が提案されている2 。Detemple,

Garcia and多期間 (動的) 資産配分問題に対する 4 種類のRindisbacher[8] は、MCMD(MC マリアバン微モデルを示す。3章では実際の資産運用で利用分)、MCC(MC 共変動)、MCR(MC 回帰)、するためのモデル化について議論する。4章でMCFD(MC 有限差分) の 4 種類のモンテカル

は混合型モデルを用いた資産配分問題に関す

ロ法を比較している。現実的な問題に対してる研究について、筆者らの最近の研究成果もは数値解を計算する方法が有力であるが、そ含めて紹介する。最後に 5章でまとめを行う。

れでも実務的な制約を加えると最適解の導出

多期間 (動的) 最適資産配分モデル

2が難しくなるという問題点がある。
一方、金融工学やオペレーションズ・リサー

連続時間モデル (解析解)、モンテカルロ回チの分野では、離散時間・離散分布でモデル

帰、シナリオ・ツリー型モデル、混合型モデルを記述し、数理計画法によって数値解を計算の 4 種類のモデルを紹介する。

する。定番モデルはシナリオ・ツリー型モデルであり、これまでに様々な研究成果が発表

2.1

されている (Ziemba and Mulvey[43], Zenios

連続時間モデルand Ziemba[39, 40])。数理計画モデルでは実連続時間モデルの枠組みで、1 つのリスク資

務的な制約を加えることは容易である。しか産と無リスク資産に投資するポートフォリオ

し、シナリオ・ツリー型モデルの場合、収益最適化問題に対して解析解が得られている 2 つ率分布を記述するツリー構造が指数的に増加のモデルを説明する。

することにより計算負荷が大きくなり、うま2.1.1

くシナリオ・ツリーを記述しないと実際に問題を解くことが難しくなる。それに対し、モ

期待効用最大化モデル

リスク資産価格が幾何ブラウン運動 (一般1「動的 (dynamic)」は連続時間・離散時間を問わず使われるのに対し、「多期間 (multi-period)」は通常、離散時間モデルにのみ使われる。
2
数値計算上は離散時間・離散分布でモデルを記述する。

化ウィナー過程) に従い、リスクの市場価格 (状態価格) は平均回帰すると仮定したモデル
で、CRRA 型のべき型効用関数 ((1) 式) を用

2

いて期待効用を最大化するモデルが Kim and

除した値) Y (t) の関数として解析解が得られOmberg[28] によって提唱されている。

ている。

WT1Äç

ô(t) = f (Y (t))(1)
1Äç
ここで、WT は最終時点 T の富、ç は相対的
U (WT ) =T = 3 の場合のあるパラメータの組み合わせに対するリスク資産比率を図 2に示す。

リスク回避係数を表す。

14

リスク資産への投資比率 ô(t) は状態価格

12X(t) の 1 次関数 ((2) 式) として解析解が得ら

リ
ス
ク
資
産
比
率

れている。

ô(t) = at X(t) + bt

(2)

ボラティリティを一定とすると、リスク資産の1043 の場合のあるパラメータの組み合わせに対

0

t=0
0.0

するリスク資産比率を図 1に示す。

リ
ス
ク
資
産
比
率

t=2

6

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

積立比率

図 2: リスク資産比率 (LPM1 )

t=0

1.0

t=1

8

投資比率は期待収益率の 1 次関数となる。T =

1.2

(4)

この図から以下のことが分かる。

0.8
0.6

è t 時点での積立比率が 1 を上回っていれば、

t=1

0.4

t 時点以降は無リスク資産への投資だけで目

t=2

0.2

標富を上回ることができるので、リスク資産へは投資しない。

0.0
5%

10%

15%

20%

è 積立比率が 1 未満になるとリスクを取って目25%

標富を達成しようとする。積立比率が小さ

期待収益率

いときに投資比率が 1 を大きく上回る投資戦

図 1: リスク資産比率 (期待効用最大化)

略が最適解として得られる。また、満期に近2.1.2

づくほど投資比率は大きくなる。

下方リスクの最小化モデル

年金運用においては運用収益率が予定利率を2.2下回ることを回避したい。それを表す下方リス

連続時間モデルに対するベルマン方程式を

ク尺度の一つとして下方部分積率 (LPM) があ解く方法として、最小二乗モンテカルロ法を用る。リスク資産価格が幾何ブラウン運動に従う

いて数値解を求める手法 (近似解法) が Brandtという仮定の下で、目標富 WG に対する最終富et al.[3] によって提案されている。テイラー展

WT の 1 次の下方部分積率 (LPM1 : (3) 式) を

開3 によって価値関数を投資比率の 4 次関数で最小化するモデルが Cvitaniì
c and Karatzas[6]によって提唱されている。
hi
LPM1 = E jWT Ä WG jÄ

モンテカルロ回帰

近似したときに、投資比率の係数部分に現れる条件付き期待値を最小二乗法 (回帰分析) を(3)用いて推定し、4 次関数の最大化問題を解いてここで、E[x] は x の期待値を表す。また、jajÄ =最適投資比率をバックワードに求めていく方

max(Äa; 0) である。リスク資産の投資比率 ô(t)3

Brandt et al.[3] は金利周りで、梅内 [37] は近視眼的
ポートフォリオの収益率周りで、4 次までテイラー展開している。

は t 時点の積立比率 (富を目標富の割引価値で

3

(i)

(i)

(i)

法である。t 時点での価値関数 Vt を簡単に説

ak;t+1 = bkt Xt + ckt + "kt (i = 1; . . . ; I) (5)明すると、期待効用を最大にするように t 時点

ここで、k は投資比率の 4 次関数のべき乗の指以降の最適投資 ôs (s = t; t + 1; . . . ; T Ä 1) を数に相当する記号である。"kt は誤差項を表す。(5) 式で計算された推定値 ^bkt , c^kt を用い(i)行った結果得られる t 時点での効用の条件付

き期待値である。したがって、t + 1 時点の価(i)て (6) 式で計算される a^kt をパス i における値関数の t 時点における期待値を最大にする

条件付き期待値とする。

最適投資 ôt を行った結果得られる期待効用と

(i)
(i)
a
^kt = ^bkt Xt + c^kt (i = 1; . . . ; I)も同じになる。ベルマン方程式を解く考え方

そして、投資比率の 4 次関数5 であるを使って、バックワードに問題を解いていく。
ô0

投資比率
価値関数

ô1

ôt

ôt+1

ôT Ä 1

(i)

V0

V1

Vt

Vt+1

VT Ä1

VT

0

1

t

t+1

T Ä1

T

を最大にする ôt

4
X

(6)
(i)

(i)

a
^kt (ôt )k

k=1

をパスごとに求める。このことを各時点でバックワードに繰り返す。

2.3

図 3: バックワードで解く考え方

シナリオ・ツリー型モデル

モンテカルロ回帰は、「回帰分析で条件付き

シナリオ・ツリー型モデルは多期間最適化に期待値を計算する」「4 次関数の最大化問題を対する数理計画アプローチの定番モデルであ解いて最適投資比率を求める」ことをバックる。図 5(左) のようにシナリオ・ツリーによっ

ワードに繰り返す。簡単のため、効用関数はて収益率分布を離散的に記述し、各ノード ( 状(1) 式、回帰分析をするときに用いる基底関数態) において条件付き意思決定を行う。図 5(左)は状態変数の一次式という設定の下で、図 4をは 3 期間問題の例で、1 時点は 3 つのノード、2用いて具体的な計算手順を図解する。

時点は 6 つのノードがあり、それぞれのノード

(i)

(i)

a^ kt

(i)
Xt

(i)
ak;t+1a^k;T Ä 1
(1)É

(1)É

割り当てられて、モデルが記述される (詳しくX T(i)Ä 1

(i)

akT

ôT Ä 1

ôt

似たパスのバンドリング

5
6
7
8

(9)É
ôT Ä 1(9)É

シナリオ・ツリー

3
4

ôT Ä 1ôtは枇々木 [15] 第 7 章を参照)。
1
2

(5)É

(5)É

ôt

ごとに各資産の価格と投資を表す決定変数が回帰分析 : ^bk;T Ä 1 , c^k;T Ä 1

回帰分析 : ^b kt , ^ckt

9
10
11
12

ôT Ä 1

3
4

5
6

5
6

7
8

7
8

9
10

9
10

11
12

11
12

時点

時点
0

1

1
2

3
4

(12)É

(12)É

ôt

0

1
2

t

t+1

T Ä1

T

1

2

3

時点
0

1

2

3

図 4: 計算手順の図解

図 5: シナリオ・ツリーとシミュレーション・パス

図 4の t 時点と t+1 時点において、期間 t+1

シナリオ・ツリー型モデルを用いた研究はのリスク資産の収益率と t + 1 時点の価値関数多く行われており、年金 ALM にも適用され数から計算される I 個 (i = 1; . . . ; I で図 4ている。初期の代表例としては、Mulvey and

(i)

(i)

の場合は I = 12) の ak;t+1 と状態変数 Xt

Thorlacius[31], Consigli and Dempster[7] がを用いて、(5) 式で回帰分析を k ごとに行う

ミュレーションで生成される。
5価値関数をテーラー展開した 4 次関数から定数を除いている。

(k = 1; 2; 3; 4) 4 。
4

リスク資産の収益率や状態変数はモンテカルロ・シ4ある。近年では各国の年金基金を対象として2.4モデル化がされている。Donhi et al.[10](スイ混合型モデル

混合型モデル (枇々木 [14]) は図 5(右) のようス), Hilli et al.[20](フィンランド), Geyer andに、モンテカルロ・シミュレーションで生成

Ziemba[11](オーストリア), Dupaî
cova and

した将来の資産収益率などを用いつつ、パス

Polivka[9](チェコ), Kilianovì
a and Pçug[27](を束ねた決定ノード (パス群) に対して条件付

スロバキア), Klein Haneveld et al.[30](オランき意思決定を行うモデルである6 。シミュレーダ) 等がある。

ション型モデル (枇々木 [13]) はすべてのパスを一方、モデル構築にとって重要なシナリオ・

1 つに束ねたと考えるモデルに相当するので、ツリーの生成方法も近年、提案されている。前

ここでは区別せずに議論する。これらのモデ述の研究に必ずしも使われているわけではない

ルは、非予想条件を満たすためにパス群に対が、いくつか紹介する。Húyland and Wallace[21]して同一の意思決定 (同一の投資ルール) で投はシナリオ・ツリーから生成される収益率の統資する7 。図 5(右) に示す決定ツリーの例の場

計量をもとの分布の統計量に合わせる (モーメ合、各資産の価格は各時点でパス数と同じ 12

ント・マッチングをする) ために、収益率と発生個が設定されるが、同一の意思決定 (投資) を

確率を両方とも決定変数とする非凸非線形計画

表す決定変数は 1 時点は 3 つのノード、2 時点

問題として定式化している。Ji et al.[22] は収

は 6 つのノードに割り当てられる。

益率をパラメータとして設定し、発生確率のみシミュレーション型モデルや混合型モデルのを決定変数とする線形計画問題として定式化し特徴を調べるために様々な数値分析が行われている。G°
ulpinar, Rustem and Settergren[12]ている。枇々木 [16] はシミュレーション型モデは、ç
1 モンテカルロ・シミュレーションとクラス

ルを対して、サンプリング・エラーの評価、時タリング法の組み合わせ、ç
2 発生確率を決定

系列相関を考慮したモデルの提案、1 期間ロー

変数として 1～4 次モーメントと共分散をマッル・オーバーモデルとの比較を行っている。まチングする非線形計画問題、ç
3 これらの 2 つた、Hibiki[17], 枇々木 [19] は混合型モデルのを組み合わせて簡単化した混合アプローチ、の特徴を明らかにするために、決定ツリーの生

3 種類の方法を提案している。Pranevicius and

成方法の比較、パス数やツリー構造の違いに

Sutiene[33] は修正 K-means クラスタリング法

よる比較、サンプリング・エラーの評価、投資を用いてシミュレーションパスをバンドリン量関数の比較などを行っている。

グしてシナリオ・ツリーを生成するとともに

Hibiki[18] は混合型モデルとシナリオ・ツリー

統計量の平均と分散のモーメント・マッチン型モデルを比較している8 。その結果の一部とグもしている。

6

シナリオ・ツリー生成法とは異なるが、図が似ているので、図 5(右) を使って説明する。
7枇々木 [13] はシミュレーション型モデルを定式化す
る際に投資量を同一の意思決定としていた。それに対して、枇々木 [16] は『「同一の意思決定」とは必ずしも投資量が同じ値である必要はなく、投資ルールが決まっていれば、非予想条件を満たすことができる』と考えて、その定式化をより一般化する方法として、投資量関数を提案している。混合型モデルにおいても、ある一つの決定ノードを通るパスに関しては同一の意思決定をするので、そのまま適用できる。投資量関数の詳細は 4.1.2項
で説明する。
8
2.3節で紹介した方法とは異なるが、シナリオ・ツ
リーの生成に必要な 3 つの手法を用いている。また、混合型モデルは決定ノードに含まれるパス上でのリスク資産価格をすべて同じ値に設定すると、シナリオ・ツリー

シナリオ・ツリー生成に必要な手法をまとめると、ç
1 シミュレーション、ç
2 クラスタリン
グ手法、ç
3 モーメント・マッチング、の 3 つであり、これらの手法が組み合わされている。図5(右) のようにパスをバンドリング (クラスタリング) して、図 5(左) のようなシナリオ・ツ
リーを生成するイメージである。

5

して、効率的フロンティアを図 6に示す。

決定時点の設定方法の違いと言ってもよい。連続時間モデルと離散時間モデルの投資決定のExpected Wealth

10,500違いを図 7に示す。

10,45010,400

離散時間

10,350
Scenario

10,300

連続時間

投資決定

投資決定

投資決定

0

1

2

投資決定

・・・

t

投資決定

・・・

目的関数
の評価

T Ä1

T

時間

連続的に（常に）投資決定可能

Scenario(H)10,250

図 7: 投資決定時点

Hybrid10,200
0

50

100

150

連続時間での投資決定は現実にはできない

200

Risk (LPM_1)

行動を前提にするため、離散時間での投資決

図 6: 効率的フロンティア

定問題を考えることが現実的である9 。

`Scenario(H)' はシナリオ・ツリー型モデルの3.2最適解を用いて、シミュレーション・パス上でシナリオ生成 (分布の記述)

最終富を計算し、その期待値とリスク (LPM1 )実際の資産運用において、より精緻に資産を描いた曲線である。このリスク・リターン曲

収益率を記述するためには、様々な、そして線に比べて、シナリオ・ツリー型モデルの効

複雑な確率過程や確率分布を想定できるよう率的フロンティア (`Scenario') は左上に位置しに対応する必要がある。解析解を求めるためており、シナリオ・ツリーで問題を解くことにには簡単な確率過程が必要であるし、シナリよって過大評価されることが分かる。また、混

オ・ツリーは指数的に増大する可能性がある。

合型モデル (`Hybrid') とは違い、`Scenario(H)'

そのため、資産間の相関を記述するためにコのリスク・リターン曲線は低いリスク値を持

ピュラを用いることもでき、柔軟なシナリオ

つ最適解を導出することができない。このこ生成を簡単にできるモンテカルロ・シミュレーとから、混合型モデル (`Hybrid') はシナリオ・ションを利用できるモデルがよい。資産のリツリー型モデルに比べて、リスクを適切に評

スク評価にはモンテカルロ・シミュレーション

価し、管理できることが分かる。

が使われることが多く、「リスク評価」と「リ混合型モデルの定式化やその他の研究等に

スク制御」(最適化) をシームレスに行えるモ

ついては 4章で紹介する。

デル化は取り扱いやすく、重要である。

実際の資産運用のためのモデル化

33.3

状態に依存した最適な意思決定

2章において紹介した様々なモデルを参照し

連続分布モデルに対して得られる解析解はながら、実際の資産運用において多期間最適状態変数の連続関数として記述される。同様化モデルを用いる場合に考慮する要素を示し、に、モンテカルロ法による数値解もほぼ連続モデル化との関連を議論する。

的な状態に依存した意思決定を記述できる。また、シナリオ・ツリー型モデルは離散的では

3.1

投資決定時点あるが、各状態に対する条件付き意思決定の記述が可能である。一方、混合型モデルは各2章で連続時間モデルと離散時間モデルに分

9

連続時間モデルで得られた最適解を離散時点のみに適用するという考え方もあるので、離散時間モデルでなければならない訳ではないが、モデルとしては整合性に欠けることになる。

けて、4 つのモデルを紹介した。この区分は各時点で投資決定を実行すると考えれば、投資型モデルと同じになる。

6

状態にではなく、状態の集合に対して条件付や制約式であれば、確率計画モデルを利用すき意思決定の記述が可能である。これらの意ることで対応可能である。

思決定の違いを図 8に示す。

3.5

議論

30%
連続分布
25%

表を表 1に示す。

離散（シナリオ・ツリー）

20%

投
資
比
率

これらの要素に関して各モデルを比較した

離散（混合型）15%

表 1: 各モデルの比較

10%
5%
0%
0.0%

2.5%

5.0%

7.5%
状態変数

10.0%

12.5%

15.0%

モデル

時間 分布 意思 目的 制約 資産
間隔 記述 決定 関数 条件 数+

解析解

連続

△

○

△

y

×

しくは積立比率) が状態変数に相当する。これ

MCR 離散 ○ ○ △ツリーz 離散 △○○É
シミュ 離散 ○×○
混合型 離散 ○△○y MCR : モンテカルロ回帰
z ツリー : シナリオ・ツリー型
É
シミュ : シミュレーション型+ 資産数ï 2 : 2 資産以上可能

らの連続分布モデルの場合、投資比率は状態変表 1の「○」「△」「×」は設定の自由度を 3

数の連続関数になっている。一方、シナリオ・ツ

段階で評価したものである。表 1を見ても分か

リー型モデルの場合、図 8では 3 つの状態変数

るように、各モデルは一長一短である。しかの値 (2.5%, 7.5%, 12.5%) のみでシナリオが記し、実際の資産運用において多期間最適化モ

述され、相応する投資比率 (5%, 15%, 25%) がデルを用いる場合、3.4節の目的関数・制約条

最適解として求められる。混合型モデルの場合

件・資産数を柔軟に決められることは最も重には 3 つの状態変数の値の集合 (0～5%, 5%～

要な要素であると考えられる。さらに、リス

10%, 10%～15%) でシナリオが記述され、相ク管理の面からは収益率分布を柔軟に記述で応する投資比率 (5%, 15%, 25%) が最適解としきることも重要である。以上の点から、実際て求められる。

に利用するという視点からは混合型モデルが

図 8: 状態に依存した最適な意思決定
図 8の横軸を状態変数、縦軸を投資比率とする。Kim and Omberg モデル [28](2.1.1項)の場合にはリスクの市場価格 (ボラティリテ
ィ一定の場合には期待収益率)、Cvitaniì
c andKaratzas モデル [6](2.1.2項) の場合には富 (も

△

2
2
ï2
ï2
ï2

○
○
○

有用であると考えられる。次に 4章で混合型モ

3.4

目的関数・制約条件・資産数

デルについて説明する。

投資家の目的関数 (効用関数) や実務に関連

混合型最適資産配分モデル

4する制約式を自由に設定できないと、投資家のニーズに応えることはできない。また、年4.1

混合型モデルの概要

金基金などの資産運用においては、伝統的 4 資
産 (内株・内債・外株・外債) とキャッシュの 5混合型モデルの基本的な考え方をさらに理資産に投資を行うことは必須であり、複数の解してもらうために、数理計画モデルの定式

リスク資産への対応が必要である。数理計画

化 (目的関数と制約式) を示す10 。また、パス10

詳細な定式化は Hibiki[18], 枇々木 [19] を参照された
い。

法の解法アルゴリズムで求解できる定式化に限定されるが、現在利用されている目的関数

7

を束ねたそれぞれの状態の集合 (パス群) に対を用いて、投資量関数を設定する。

する同一の意思決定 (投資ルール) が異なって

4.1.2

も、混合型モデルを一つの定式化で記述でき
る投資量関数についても説明する。

4.1.1

投資量関数

投資量関数とは (7) 式のように、リスク資産

j 、時点 t、決定ノード s の投資量のベースを定式化

s を用いて、状態 (パス) i ごと表す決定変数 zjtに投資量 (単位数) を変える関数である12 (枇々複数のリスク資産とキャッシュへの資産配分問題を混合型モデルによって定式化する。リ木 [16, 19], Hibiki[17, 18]) 。

ターン尺度には最終富の 1 次の下方部分積率ssh(i) (zjt) = ajt zjt(i)(LPM1 ) を用いる。目的関数には期待最終富か同一の意思決定 (投資ルール) の違いにより、投ら LPM1 の定数倍 (ï倍) を引いた関数を設定す(i)

資量パラメータ ajt の値は様々な設定方法がる。決定変数は、リスク資産の投資量 (単位数)考えられる。いくつかの設定例を示す13 。このベース変数とキャッシュ(金額) である。以下

(i)

(i)

こで、öjt と ñjt はそれぞれリスク資産 j 、時のように定式化される。

(i)

点 t、状態 (パス) i の価格と収益率、Wt

最大化 : 期待最終富 Ä ïÅLPM1

は時点 t、状態 (パス) i の富を表す。

制約条件

s を投資量とする(1) 投資量決定戦略 : zjt

ç
1 「0 時点のリスク資産配分額の合計」+「キャッシュ配分額」=「初期富」(i)ajt = 1s を投資額とする(2) 投資額決定戦略 : zjt

ç
2 「t Ä 1 時点の投資の結果 (t 時点の富)」=「t 時点のリスク資産配分額の合計」

(i)

ajt =

öj0
(i)

öjt

s を投資比率とする(3) 投資比率決定戦略 : zjt+「キャッシュ配分額」(i)(t = 1; . . . ; T Ä 1)

ajt =

ç
3 「T 時点の富」=「T Ä 1 時点の投資の結果」
ç4 リスク資産の投資量のベース変数 ï 0

(i)

Wt

(i)
öjt

(4) 順張り戦略 : 価格が上昇 (下落) したら、それに応じて投資量も増やす (減らす)ç
5 キャッシュ ï 0
ç
6 その他の制約式

(i)

(i)

(例) ajt = 1 + ñjt =

(i)
öjt
(i)
öj;tÄ 1

s
: zjt
の「1+1

期前の収益率」倍を投資量とする。

目的関数の期待最終富と LPM1 はç
3 の T 時点

(5) 逆張り戦略 : 価格が下落 (上昇) したら、の富を使って計算される。ç
1 は予算制約式、ç
2

それに応じて投資量も増やす (減らす)はキャッシュ・フロー制約式 (インフローとア(i)(例) ajt =ウトフローが等価である制約式) である。ç
2,

ç
3 は各パスごとに制約式を記述する。ç
4, ç
5
11
は非負制約式 で、ç
4 は各資産、各時点、各決(i)öj;tÄ 1
1
(i) =
(i)
1+ñjt
öjt

s
: zjt
の「1+1

期前の収益率」の逆数倍を投資量とする。
12

簡単な変数変換によって、投資量ではなく、投資額
や投資比率を状態ごとに変える関数として記述することもできる。ただし、4.1.1項に示す定式化の中のリスク資産への投資額の記述方法を「価格 Ç 投資量関数」から「投資額関数」、「富 Ç 投資比率関数」に修正する必要がある。
13
枇々木 [16] はシミュレーション型モデルの枠組みで、順張り戦略や逆張り戦略を表す投資量関数や時系列相関を考慮した投資量関数を用いたモデルの定式化を示している。これらの投資戦略を導入するために、過去 (1 期前) の収益率の線形関数として (過去の収益率に応じて投資量が変わる) 投資量関数を記述している。

定ノード、ç
5 は各時点、各パスごとに記述する。ç
6 には法的・政策的な制約式などを記述する。

各資産への配分額 (投資額) は「価格 Ç 投資

量 (単位数)」で求めることができる。この投資量を表すためにそのベースを表す決定変数
11(7)

上下限制約式を設定することもできる。

8これらの投資量関数を用いることによって、様タント・リバランス戦略の問題を解くアルゴリ々な投資ルールに対しても一つの定式化で混合ズムを開発している。Takano and Gotoh[35]型モデルを柔軟に記述することができる。

は Calaåore[4, 5] の考え方を適用し16 、過去の収益率の関数として非線形制御ポリシーを求

4.2

関連する研究の紹介

める方法をカーネル法を用いて開発している。
次に、筆者らによる最近の研究成果を 2 つ紹

筆者らは年金 ALM、家計の資産形成、リタ介する。

イアメント・プランニングなどの研究において、シミュレーション型モデルや混合型モデ

4.3

ルを適用して多期間最適化問題を解いている
14

インプライド分布を用いたモデル。定番であるシナリオ・ツリー型モデルに

木村・枇々木 [29] は日経 225 オプション価格

比べて論文は少ないが、ここでは筆者ら以外から推定される株式価格のインプライド分布

による資産配分問題・ALM への適用やモデルを用いた多期間最適資産配分モデルを提案し、化の方法に関する研究を紹介する。

バックテストによって、その有用性を検証している。

Bogentoft, Romeijn and Uryasev[2] はオラ
ンダの年金基金に対し、混合型モデルの特殊形

インプライドリスク中立分布 (RND) のパラを用いた ALM モデルを構築している。上崎・メータをキャリブレートする (推定する) 確率

山本 [23], 上崎・山本・笠島 [24] はシミュレー

分布として、混合対数正規分布と第二種の一ション型モデルを修正して公的年金の ALM モ

般化ベータ分布の 2 種類を用いている。インプデルを構築し、分析を行っている。桂・桃北

ライド RND を最適資産配分問題に利用するた[25, 26] は混合型モデルを用いた年金 ALM モ

めに、リスク中立確率から実確率へと変換すデルを開発し、その定式化と数値分析結果をる (リスク調整を行う) 方法として、最尤推定15示している 。Zhang and Zhang[41] は遺伝的法と Berkowitz 検定の統計量を利用した推定

アルゴリズム、Zhang and Zhang[42] は適応法の 2 種類の方法を示している。一方、他のリ粒子群最適化を適用し、混合型モデルの枠組

スク資産 (国内債券、外国株式・債券）にはヒ

みで取引コストを考慮した資産配分問題を解

ストリカルデータを用いて、GH 分布 (一般化

いている。Xu et al.[38] は混合型モデルの枠双曲型分布) のパラメータを推定している。さ組みでジャンプを含む確率ボラティリティモ

らに、各資産の確率分布の依存関係を表現す

デルを導入し、2 資産配分問題を解いている。

るために t コピュラを用いている。これらを考Takano and Gotoh[34] はシミュレーション型

慮してモンテカルロ・シミュレーションによりモデルの枠組みで取引コストを考慮し、コンス収益率を生成し、混合型モデルで最適解を求めている。これらの手順をまとめると図 9のよ

14

年金 ALM モデルとして多田羅・枇々木 (2001), 枇々木・茶野 (2002)、家計の資産形成モデルとして枇々木・小守林・豊田 (2005), 枇々木・小守林 (2006), Hibiki(2007),枇々木 (2008, 2011), リタイアメント・プランニングモ
デルとして枇々木・西岡 (2010) がある。また、枇々木(2002) はコンパクト表現による定式化、枇々木・田辺(2003) は内点法の実装上の工夫による高速化の方法も示している。Kawaguchi and Hibiki (2009) は LPM1 に対する解析解 (2.1.2項) と混合型モデルによる数値解を比較し、その近似精度を評価している。紙面の都合上、これらは参考文献リストから除いているが、一部を除き
筆者のホームページからダウンロード可能である。
15
慶應義塾大学とみずほ年金研究所が行った共同研究の成果を紹介している。

うになる。

CVaR レシオ (=期待超過収益率/CVaR) を目的関数として 3 期間問題を解いている。1993
年 1 月～2008 年 12 月のデータ期間で運用パフォーマンスの評価を行い、国内株式にもヒスト
リカル分布を用いた場合の投資戦略、均等リ
16Calaåore[4, 5] は多期間平均・分散モデルの枠組み
で、過去の収益率の関数として線形制御ポリシーを求める最適資産配分問題を解いている。

9モンテカルロ・
シミュレーションによる収益率生成

最適化モデル

ヒストリカル分布

同時分布

リスク
調整分布

コピュラ

リスク
中立分布

線形近似モデル

4.4.1

インプライド分布

線形近似モデルとは混合型モデル (シミュレーション型モデルも含む) の投資量関数を修正し、解析解の特徴である状態変数の連続関数を用いて条件付き意思決定を可能にするモデ

図 9: モデル化の手順ルである。

バランス戦略と比較を行っている。
インプライド分布やヒストリカル分布を用

リスク資産が 1 つの場合、混合型・投資比率

いて求められた投資戦略によるリターンは、均モデルの投資量関数 h(i) (ôts ) は 4.1.2項でも示デルに比べて、全ケースで平均リターンが高したように (8) 式で表せる。
!
†
(i)
W
t
ôts
(8)
h(i) (ôts ) =(i)
öt
線形近似モデルは (9) 式のように状態 i に依存いという結果が得られている。

した投資比率 ôt

等リバランス戦略に比べて、平均は高く、標準偏差は低かった。インプライド分布を用いたモデルはヒストリカル分布のみを用いたモ(i)

混合型モデルの投資比率を書き換えて投資量

今後の課題として、複数資産に対してイン関数を記述するモデルである18 。

プライド分布を用いるモデルへの拡張が必要

(i)

ôt

である17 。

(9)
(10)

(i)

ルの比較分析

!

(i)
Wt
(i)
öt

h(i) (ôt ) =解析解の特徴を考慮したモデル化とモデ†(i)= Xt bst + cst

(i)

4.4

を設定し、(10) 式のように

ここで、Xt(i)ôtは状態変数、bst はその係数、cstは定数で、bst と cst が状態の集合 s に対する決連続時間・連続分布でモデルを記述するア

定変数となる。

プローチでは「1 つのリスク資産と無リスク資産」のポートフォリオ最適化問題であること

3.3節の図 8と同じ図で、2 種類の投資比率モが多い。一方、確率計画モデルによるアプロー

デル (シミュレーション型モデル、混合型モデ

チは複数のリスク資産 (無リスク資産も含む)、

ル) と 3 種類の線形近似モデル (シミュレーショ

様々な制約の導入など柔軟なモデル化を指向

ン型線形近似、混合型線形近似、区分線形近している。そのため、これらのアプローチは似) の違いを図 10に示す。

比較も含めて一緒に議論されることはほとん

4.4.2

どない。それに対し、高屋・枇々木 [36] は「1各モデルの比較つのリスク資産と無リスク資産」のポートフォ

Kim and Omberg[28](2.1.1項・期待効用最大

リオ最適化問題に対する両者のアプローチを化問題) と Cvitaniì
c and Karatzas[6](2.1.2項・比較するとともに、解析解の特徴を考慮した

LPM1 最小化問題) の 2 種類の問題に対して、(両者のアプローチを融合した) 線形近似モデ

数値分析を用いて比較を行っている。紙面のルの提案を行っている。

都合上、分析条件の記述は省略する。

17
日経 225 オプションの満期日は第二金曜日であるのに対し、米国株式 (S&P500) オプションの満期日は第三金曜日である。そのため、複数資産を取り扱うためには
インプライド分布の満期依存を取り除く (満期日を合わせる) 必要がある。この問題に対する解決策の一つとして、Alentorn and Markose[1] の方法が考えられる。

(1) 期待効用最大化問題
18
投資比率を状態変数の連続関数として記述すると、(9) 式は以下のように 1 次までテーラー展開をした数式を表す。
dft (XtÉ) (i)(i)(i)(Xt Ä XtÉ)ôt = ft (Xt ) = ft (XtÉ) +dX(10) 式は複数の項を持つ投資量関数である。

10

25%

な解析解 (投資比率) は 12.5%である。

25%

投資比率モデル

分析結果から以下の結論を導いている。

線形近似モデル

20%

20%

投 15%
資
比
率 10%

投 15%
資
比
率 10%

5%

5%

è 線形近似モデルの期待効用は他のモデルよ
り高く、解析解に近くなる

シミュレーション型
区分

混合型
2.5%

5.0%
状態変数

è 0 時点投資比率はモデルによる違いが少なく、混合型シミュレーション型
0%
0.0%

7.5%

0%
0.0%

10.0%

2.5%

5.0%
状態変数

7.5%

実用上は混合型モデルで問題ない

10.0%

è 期中の投資比率 (関数) を見ると、線形近似

図 10: 線形近似モデル

モデルは状態変数と投資比率の線形・大小関

表 2に示した解析解、モンテカルロ回帰 (MCR:

係が保たれ、解析解に近い結果となっている

2 種類)、投資比率モデル (2 種類)、線形近似モè 線形近似モデルは制約を入れることが容易

デル (3 種類) を対象として、ノード数、時間間なため、制約を含めることが難しい MCR

隔、リスク回避係数に対する感度分析を行い、よりも一般的な場合では有利である

比較している。

(2) LPM1 最小化問題
表 2: モデルの比較対象
解法

LPM1 はテーラー展開ができないため、表2から MCR を除く。また、解析解は Cvitaniì
c

モデル

and Karatzas[6] である。ノード数、時間間隔、解析解

Kim and Omberg[28]MCR
金利周りでテイラー展開
近視眼解周りでテイラー展開
確率計画
シミュレーション型モデル(先行研究) 混合型モデル
確率計画
シミュレーション型線形近似(高屋・
混合型線形近似枇々木 [36]) 区分線形近似

積立比率に対する感度分析を行い、比較している。
分析結果の例の一つとして、異なるノード数に対する 0 時点投資比率を図 12に示す。
40%
35%
30%
0
時
点
投
資
比
率

分析結果の例の一つとして、異なるノード数に対する 0 時点投資比率を図 11に示す。
14.7%

比率

線形近似

区分線形

比率

線形近似

区分線形

解析解

25%
20%
15%
10%
5%

14.6%

解析解

0
時
点 14.5%
投資
比 14.4%
率

0%

金利周り

1
近視眼解
周り

シミュレーション型

2
4
決定ノード数5混合型

図 12: 0 時点投資比率 (LPM1 最小化)

14.3%
1

2

4

5

8

10

MCR

線形近似モデルは少ないノード数でも投資決定ノード数シミュレーション型

比率モデルより解析解に近づく。また、ノー混合型

ド数が多くなるほど、解析解に近づく。混合
図 11: 0 時点投資比率 (期待効用最大化)型線形近似と区分線形近似はほぼ同じである。
分析結果から以下の結論を導いている。

各モデル間の投資比率の差は約 0.2%であり、実用上はどのモデルでも問題ない。近視眼的

è 期待効用最大化の場合との違いとして、ç
1
11

連続時間リバランスの影響が出やすく、解析

荻島 [32] は年金運用における「動態的な資産解との差が大きい、ç
2 線形近似関数の導入管理」についての考え方とその実践的な手法

効果は期待効用最大化問題ほど大きくない、を整理している。このような議論が実務家にç
3 時間間隔の小さい方が線形近似効果が高い、ということが分かる

浸透するとともに、多期間最適化モデルへのè 線形近似モデルは混合型モデルと違い、解家からの様々なニーズに応えられる実践的な理解が深まることを望んでいる。今後も実務モデルの研究を進めたいと考えている。

析解に比較的近い (高いレバレッジの) 投資をすることが増える

参考文献
4.4.3

今後の拡張

[1] Alentorn, A. and S. Markose, Removing

今後の拡張として考えられる点を列挙する。

Maturity Eãects of Implied Risk Neutral(1) 実務への適用

Densities and Related Statistics, Eco-

複数のリスク資産や上下限制約式を含む場

nomics Discussion Papers 609, Univer-合のモデル化が必要である。そうすれば、実sity of Essex, Department of Economics,

務においても線形近似モデルが混合型モデル

2006.

の代わりに利用できるようになる。

[2] Bogentoft, E., H. Romeijn and S. Urya-(2) 線形近似モデルの利用法
線形近似モデルを利用するためには投資量

sev, Asset/Liability Management for関数を特定する必要がある。解析解の関数形

Pension Funds Using CVaR Constraints,
The Journal of Risk Finance, 3, 1(2001),が分かっている場合は 4.4.2項でも示したよう

pp.57{71.

に、期待収益率や富の関数を当てはめればよい。一方、解析解の関数形が分からない場合[3] Brandt, M.W., A. Goyal, P. Santa-(通常の場合) には以下の手順で行う。

Clara and J.R. Stroud, A Simulation

ç
1 混合型モデルで問題を解き、関数形を特定する (投資量関数を予想する)

Approach to Dynamic Portfolio Choiceç
2 特定した投資量関数を用いて線形近似モデ
ルを構築し、問題を解く

Return Predictability, Review of Finan-

5

with an Application to Learning Aboutcial Studies, 18,3(2005), pp.831{873.
[4] Calaåore, G., Multi-period Portfolio

まとめ

Optimization with Linear Control Policies, Automatica, 44(2008), pp.2463{

本稿では、多期間最適化による資産配分モ

2473.

デルを中心に議論した。実務への適用を考えるならば、目的関数・制約条件の設定がある[5] Calaåore, G., An Aéne Control Method

程度自由にでき、3 資産以上の複数資産への対

for Optimal Dynamic Asset Allocation

応も可能で、収益率分布を柔軟に記述するたwith Transaction Costs, SIAM Jour-

めにモンテカルロ・シミュレーションを利用

nal on Control and Optimization, 48,

する混合型モデルが有用である。その一方で、4(2009), pp.2254{2274.

さらに投資量関数の設定方法を工夫すること[6] Cvitaniì
c, J. and I. Karatzas, On Dy-

によって、3 資産以上の複数資産に対する線形

namic Measures of Risk, Finance and近似モデルを構築することが必要である。

12

[14] 枇々木規雄, 最適資産配分問題に対するシ

Stochastics, 3, 4(1999), pp.451{482.

ミュレーション/ツリー混合型多期間確率[7] Consigli, G. and M.A.H. Dempster,

計画モデル, 高橋一編, ジャフィー・ジャー

Dynamic Stochastic Programming forナル 金融工学の新展開 (東洋経済新報社,

Asset-liability Management, Annals of

2001), pp.89{119.

Operations Research, 81(1998), pp.131{[15] 枇々木規雄, 金融工学と最適化, 朝倉書店,

161.

2001.

[8] Detemple, J., R. Garcia and M. Rindisbacher: Simulation Methods for Opti-[16] 枇々木規雄, シミュレーション型多期間確

mal Portfolios. In Birge, J. R. and V.

率計画モデルに対する数値実験による考Linetsky (eds.):

察, 日本金融・証券計量・工学学会 2002

Handbooks in Oper-

年夏季大会予稿集, pp.81{100.

ations Research and Management Science:

Financial Engineering Volume[17] Hibiki,15(Elsevier, 2007), pp.867{924.

N.,

Hybrid Simulation/Tree

Stochastic Optimization Model for Dy-[9] Dupaî
cova, J. and J. Polivka, Asset-

namic Asset Allocation, In Scherer B.

liability Management for Czech Pen-(eds.):

sion Funds Using Stochastic Program-ment Tools: A Handbook for Best Prac-ming, Annals of Operations Research,tice(Risk Books, 2003), pp.269{294.

165(2009), pp.5{28.

Asset and Liability Manage-[18] Hibiki, N., Multi-period Stochastic Op-[10] Donhi, G., F. Herzog, L.M. Schumanntimization Models for Dynamic Assetand H.P. Geering, Dynamic Asset andAllocation, Journal of Banking and Fi-

Liability Management for Swiss Pen-nance, 30, 2(2006), pp.365{390sion Funds, In: Zenios and Ziemba[40],[19] 枇々木規雄, 多期間最適資産配分モデル,

pp.963{1028.

小暮厚之 編著, リスクの科学－金融と保険のモデル分析 (朝倉書店, 2007)，pp.1{31.

[11] Geyer, A. and W.T. Ziemba, The Innovest Austrian Pension Fund Financial[20] Hilli, P., M. Koivu, T. Pennanen and

Planning Model InnoALM, Operations

A. Ranne, A Stochastic Programming

Research, 56, 4(2008), pp.797{810.

Model for Asset Liability Management[12] G°
ulpinar, N., B. Rustem and R. Set-of a Finnish Pension Company, An-

tergren, Simulation and Optimization

nals of Operations Research, 152(2007),

Approaches to Scenario Tree Genera-

pp.115{139.

tion, Journal of Economic Dynamics[21] Húyland, K. and S.W. Wallace, Gener-

and Control, 28(2004), pp.1291{1315.

ating Scenario Trees for Multistage De-[13] 枇々木規雄, 戦略的資産配分問題に対す

cision Problems, Management Science,

る多期間確率計画モデル, Journal of the47, 2(2001), pp.295{307.

Operations Research Society of Japan,[22] Ji, X., S. Zhu, S. Wang and S. Zhang,

44, 2(2001), pp.169{193.

A Stochastic Linear Goal Programming13

Approach to Multistage Portfolio Man-

Operations Research, 177 (2007), pp.47-

agement Based on Scenario Generation62.

via Linear Programming, IIE Transac-[31] Mulvey, J.M. and A.E. Thorlacius, The

tions, 37(2005), pp.957{969.

Towers Perrin Global Capital Market
Scenario Generation System, In: Ziemba[23] 上崎勝巳, 山本零, 公的年金運用におけるand Mulvey[43], pp.286{312.

基本ポートフォリオ策定プロセスの再考について | 多期間最適化モデルの活用 |,[32] 荻島誠治, 動態的な資産管理とダウンサイ

証券アナリストジャーナル, 47, 8(2009),

ドリスク, 企業年金連絡協議会資産運用研

pp.65{77.

究会 編, チャレンジする年金運用 (日本経済新聞出版社, 2011), pp.15{44.

[24] 上崎勝己, 山本零, 笠島久司, 公的年金の負債特性を考慮した積立金運用について[33] Pranevicius, H. and K. Sutiene, Sce-

| 実質的な運用利回りの確保と効率的

nario Tree Generation by Clustering theな資金運用の考察 |, 年金と経済, 30,

Simulated Data Paths, Proceedings 21st

1(2011), pp.40{48.

European Conference on Modelling and
Simulation, 2007.

[25] 桂眞一, 桃北憲, 数理計画法による年金
ALM 多期間最適化モデル, みずほ年金レ[34] Takano, Y. and J. Gotoh, Constantポート, 76(2007), pp.60{79.

Rebalanced Portfolio Optimization Un-[26] 桂眞一, 桃北憲, 多期間最適化モデル

der Nonlinear Transaction Costs, Asia-

による年金 ALM, みずほ年金レポート,Paciåc Financial Markets, 18, 2(2011),

84(2009), pp.54{69.

pp.191{211.

[27] Kilianovì
a, S. and G.C. Pçug, Opti-[35] Takano, Y. and J. Gotoh, A Nonlin-

mal Pension Fund Management under

ear Control Policy Using Kernel Method

Multi-period Risk Minimization, An-

for Dynamic Asset Allocation, Journal

nals of Operations Research, 166(2009),

of the Operations Research Society of

pp.261{270.

Japan, 54, 4(2011), pp.201{218.

[28] Kim, T. and E. Omberg, Dynamic Non-[36] 高屋圭介, 枇々木規雄, モンテカルロ・シ

myopic Portfolio Behavior, Review of Fi-

ミュレーションを用いた動的ポートフォリ

nancial Studies, 9, 1(1996), pp.141{161.

オ最適化モデル, Transactions of the Op-

erations Research Society of Japan, 投[29] 木村嘉明, 枇々木規雄, インプライド分布

稿中.

を用いた多期間最適資産配分モデル, 日本[37] 梅内俊樹, 多期間最適ポートフォリオ問

金融・証券計量・工学学会 2010 年夏季大

題 | LSM 法を利用した近似解法の近似

会予稿集, pp. 215{226.

精度, 津田博史, 中妻照雄, 山田雄二 (編),[30] Klein Haneveld, W.K., M.H. Streutker

ジャフィー・ジャーナル 金融工学と市場

and M.H. van der Vlerk, An ALM

計量分析

Model for Pension Funds Using Inte-

アルオプション (朝倉書店, 2008), pp.184{

grated Chance Constraints, Annals of

212.
14

非流動性資産の価格付けとリ

[38] Xu, W., C. Wu, W. Xu and H. Li, Dynamic Asset Allocation with Jump Risk,
The journal of Risk, 12, 3(2010), pp.29{
44.
[39] Zenios, S.A. and W.T. Ziemba, Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1: Theory and Methodology, North-Holland, 2006.
[40] Zenios, S.A. and W.T. Ziemba, Handbook of Asset and Liability Management, Volume 2: Applications and Case
Studies, North-Holland, 2007.
[41] Zhang, X. and K. Zhang, Using Genetic
Algorithm to Solve a New Multi-period
Stochastic Optimization Model, Journalof Computational and Applied Mathematics, 231(2009), pp.114{123.
[42] Zhang, X. and K. Zhang, Applicationof Adaptive Particle Swarm Optimization in Portfolio Selection, The 1st International Conference on Information
Science and Engineering (ICISE2009),
pp.3977{3980.
[43] Ziemba, W.T. and J.M. Mulvey, Worldwide Asset and Liability Modeling,
Cambridge University Press, 1998.

15