レッジェ理論とレッジェ極 (Regge theory and Regge poles)
板倉 数記 (高エネルギー加速器研究機構 理論センター)
ハドロン・ハドロン散乱において、全散乱エネルギーが大きく、それに比べて運動量移行が小さい場
合の散乱振幅の振る舞いは「レッジェ理論 (Regge theory)」によって良く記述されます [1]。レッジェ理論とは、相互作用の詳細を指定することなく、散乱振幅の満たすべき幾つかの一般的な性質を課すことで、その高エネルギーでの振る舞いを決めていくものです。特に、角運動量などの、反応を特徴づける運動学的変数を複素数に拡張し、その複素平面上で振幅が「レッジェ極 (Regge poles)」と呼ばれる極を持つと仮定すると、それが高エネルギーでの振る舞いを支配することになります。
この事を図１の A+B → C+D という散乱過程で見ましょう。レッジェ理論では、散乱する粒子間に働く微視的相互作用の如何に関わらず、初期状態 |a⟩ と終状態 |b⟩ のみから作られる S 行列 Sba = ⟨b|a⟩に対して次の 3 条件を課すことで、高エネルギーでの可能な振る舞いを規定していきます。3 条件とは、(I) Lorentz 不変性、(II) ユニタリー性、(III) 運動学的変数を複素化した際の解析性、です。(I) からは S 行列、または Sba = δba + i(2π)4 δ(∑b pb −∑a pa )Aba で定義される散乱振幅 A が、独立な 2 つのLorentz 不変量「Mandelstam 変数」 s = (pA + pB )2 (重心系での全エネルギーの 2 乗), t = (pA − pC )2(運動量移行の 2 乗) の関数であることを意味します。これらの変数を用いると、いま考えている高エネルギー極限は s/|t| → ∞ に相当します。次に (II) からは、前方方向 (t = 0) の散乱振幅と全断面積√との関係を与える「光学定理」σtot = (2|pA | s)−1 ℑm A(s, t = 0) が導かれます（|pA | は重心系での運動量の大きさ）。最後に (III) からは以下の様に S 行列の持つ特異点構造が決まります。
散乱振幅 A(s, t) の高エネルギー (s/|t| → ∞) での振る舞いは、量子力学の散乱問題と同様な部分波展開を用いて議論されます。t-channel に粒子が交換される (図１で「エ」の形になるダイアグラム) ことを想定して、散乱振幅に対する t-channel の物理的領域 (t > 4m2 , s < 0, m は粒子の質量) での表現を部分波展開します。A(s(zt ), t) =∑∞ℓ=0 (2ℓ + 1)aℓ (t)Pℓ (zt ). ここで aℓ (t) は部分波振幅、Pℓ (zt ) はルジャンドル関数、その引数 zt = cos θt ∼ 1 + 2s/t に現れる θt は t-channel の物理領域では散乱角に相当します (|zt | ≤ 1)。今興味があるのは高エネルギー極限ですので、この表式を s-channel の物理的領域 (s > 4m2 , t < 0) で扱います（この場合、zt は |zt | ≤ 1 を満たさないことに注意）。次に、角運動量ℓ を複素数に拡張し、和を再現するように複素積分の形に書き換えます (Sommerfeld-Watson 変換)
I1(−1)ℓA(s, t) = −dℓ (2ℓ + 1) a(ℓ, t)Pℓ (zt ).
2i C
sin πℓ
積分路 C として図 2 の破線の様に取れば、1/ sin πℓ が持つ ℓ = n での 1 位の極を拾うことで元の式を再現します（一意性を保証するためにはシグネチャーと呼ばれる量を導入する必要がありますが、簡単のため割愛しています）。ここで、部分波振幅 a(ℓ, t) が ℜe ℓ > 0 に 1 位の極 a(ℓ, t) ∼ β(t)/(ℓ − α(t))
を持つとすると、その極を避けるように積分路を変形すれば、「極の寄与」と「虚軸に平行な積分」の和になります (図 2 の実線 C ′ )。高エネルギーでは後者の線積分は重要ではないことがわかるので、部分波振幅に存在を仮定した極 (これが「レッジェ極」です) が高エネルギーでの散乱振幅の振る舞いを決定します。A(s, t) ∼ [β(t)/ sin πα(t)]Pℓ=α(t) (zt ). 散乱エネルギー (s) 依存性は zt ∼ 1 + 2s/t を通じて入ることと、Pℓ (z) の z → ∞ での漸近形 Pℓ (z) ∼ z ℓ を用いれば、「高エネルギー極限で散乱振幅は

Figure 2

図 1: 2 体散乱

図 2: 複素角運動量平面での積分路

図 3: メソンのレッジェ軌跡

A(s, t) ∼ sα(t) と振る舞い、レッジェ極がそれを支配する」ことが分ります。この寄与は、t-channelにスピン α の粒子が交換されるように見做せるので、これを「レッジェ粒子 (Reggeon)」と呼びます。
レッジェ粒子が実際に物理的な粒子であれば、角運動量空間での極 1/(ℓ − α(t)) と、運動量空間での極 1/(t − M 2 ) が対応するので、交換される粒子のスピンを J として t = M 2 で α(t = M 2 ) = J が成り立つはずです。実際にメソンの質量の 2 乗とスピンとをプロットすると、図 3 のようにほぼ直線に乗ることから、α(t) の t 依存性は α(t) = α(0) + α′ t だと分ります。この直線上に乗った粒子群を「レッジェ軌跡 (Regge trajectory)」と呼び、それらは切片 α(0) と傾き α′ で特徴づけられます。図の「ρ 軌跡」では α(0) = 0.55, α′ = 0.86 GeV−2 です。例えば、p + π − → n + π 0 という反応の高エネル
ギーでの散乱振幅はこの ρ 軌跡によって記述されます。
レッジェ軌跡は、ハドロンに対する弦模型を示唆します。例えばメソンに対して、ゼロ質量のクォー
クと反クォークの間に長さ 2R、張力 σ の弦が張られており、それが光速で回転して全系で角運動量J = 2pR (p はクォークの運動量) を持った状態と考えます。すると、遠心力 pv/R = Jv/(2R2 ) と弦による引力 σ が等しいことから (v = c として)、R =√Jc/(2σ) となり、メソンの質量は、クォークの√2σJc と粗く評価されます。J に運動エネルギーと弦のエネルギーの和として M c2 = 2E + 2σR = 2ついて解くと、J = (c3 /8σ)M 2 となり、スピン J と 2 乗質量 M 2 の線形関係が得られます。こうしてレッジェ軌跡の存在からハドロンの弦模型が示唆され、現在の素粒子の弦理論に至る流れが生まれました。勿論、今ではこのような弦の描像は閉じ込めに伴うクォーク・反クォーク間の線形ポテンシャルとして理解されているもので、格子 QCD 計算で確認されています。このことから分かるように、
レッジェ軌跡は QCD の強結合性に起因するものであり、ハドロン散乱の高エネルギー極限を QCD から理解することは容易ではありません。特に、運動量移行 t が QCD の非摂動スケール Λ2QCD より小さい場合は「ソフト」な散乱と言われ、非摂動的な取り扱いが必要です。従って最近では、強結合に起因する非摂動効果を取り扱うことのできる格子計算や AdS/CFT 等を用いて研究されています。
なお、ハドロン散乱の全断面積は、光学定理から σtot ∼ sα(0)−1 で与えられますが、実験結果では散乱エネルギーの増加と共に全断面積が増大していくことが分っています。このような振る舞いはα(0) < 1 のレッジェ粒子では説明できず、特別に α(0) > 1 をもつ「ポメロン (Pomeron)」と呼ばれる仮想的粒子を導入します。これについては別項を参照してください。

[1] P.D.B. Collins, “An introduction to Regge theory and high energy physics” (1977, Cambridge)