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データサイエンス概論I＆II
データ間の距離と類似度

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

2「データ間の距離」の基本「A君って，タレントの○○に似てるよね？」「えー，全然似てないよ．むしろ△△でしょう．」「いや，自分では□□似だと思ってるんだけど．」
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3

データ解析における「距離」とは？
 日常会話における「距離」
 A地点とB地点がどれぐらい離れているか？（単位：mとかkmとか） Aさんの気持ちとBさんの気持ちがどれぐらい離れているか？

 データ解析における「距離」はもっと一般的 要するにデータ間の差異 （似てない具合）
 距離が小さい2データは「似ている」
 単位がある場合もない場合も九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

4

普通に考える「データ間の距離」：
2データがどれぐらい違うか？(=離れているか？) 𝒙にとって， 𝒚は結構違っていて， 𝒛は似ている𝒚𝒙𝒛
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5

距離がわかると何に使えるか？
実は超便利！ (1/2)
 データ間の比較が定量的にできる
 「𝒙と𝒚は全然違う/結構似ている」 「𝒙と𝒚は28ぐらい違う」
 「𝒙にとっては，𝒚よりも𝒛のほうが似ている」
 データ集合のグルーピングができる 「近く」のデータどうしでグループを作る 「クラスタリング」と呼ばれる
 データの異常度が測れる
 「近く」にデータがたくさんあれば正常，一つもなければ異常[Goldstein, Uchida, PLoSONE, 2016]

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6

距離がわかると何に使えるか？
実は超便利！ (2/2)
 データの「認識」ができる
 登録されている画像データ中で, 画像𝒙に最も似ているものは「リンゴ」だった→ 「画像 𝒙 はリンゴ」と判断
 近似精度が測れる
 データ 𝒙を 𝒚で近似(代用)した時の誤差 → 𝒙 と 𝒚の距離に等しい ... and more!

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7「距離」の話を通して学んで頂きたいこと
 距離は「データ解析の基本」である！
 距離は１種類ではない！
 距離が変われば，データ解析結果は「まるっきり」変わる
 解析問題の性質に合致した「距離」を選ぶ必要がある
 様々な距離の原理，メリット・デメリットも理解しておこう
どんな方法も万能ではない！
メリット・デメリットを見極めて，適切な方法を選択すること！
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人の名前(後述)

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最も代表的な距離：ユークリッド距離 (1) 地図上の2点𝑥1
𝒙= 𝑥 ,
2𝑦1
𝒚= 𝑦2

𝒚𝑦2𝒙𝑥2𝑥1

この間の距離は？

𝑦1
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9

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (2) ご存じ「三平方の定理」（ピタゴラスの定理）

𝒚𝑦2

𝒙𝑥2𝑥1

𝑦1
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10

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (3) 𝒙と𝒚の距離の二乗 = 𝑥1 − 𝑦1 2 + 𝑥2 − 𝑦2 2

𝒚𝑦2

𝒙𝑥2𝑥1𝑦1
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11

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (4)𝑥1 ３次元だとどうなる？
𝒙 = 𝑥2 ,𝑥3𝑦1
𝒚 = 𝑦2𝑦3𝒙
この間の距離は？

𝑥3

𝒚𝑦3

𝑥2𝑦2𝑥1𝑦1
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12

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (5) 𝒙と𝒚の距離の二乗 = 𝑥1 − 𝑦1 2 + 𝑥2 − 𝑦2 2 + 𝑥3 − 𝑦3 2𝒙

なんかやっぱり
ピタゴラスの定理に似てる

この間の距離は？

𝑥3

𝒚𝑦3𝑥2𝑦2𝑥1𝑦1
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13

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (6) 2次元の場合

𝒙𝑥1
𝒙と𝒚の距離の= 𝑥二乗
2𝒚𝒙−𝒚𝑥1 − 𝑦1
- 𝑦1=
𝑥2 − 𝑦2- 𝑦2

𝒙𝑥1
𝒙と𝒚の距離の = 𝑥2
二乗𝑥3

𝒚𝒙−𝒚𝑦1𝑥1 − 𝑦1
𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2𝑦3𝑥3 − 𝑦3 3次元の場合-二乗+二乗二乗+二乗+二乗

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14

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (7)𝒙𝑥1⋮𝒙と𝒚の距離の =二乗𝑥𝑑
 𝑑次元の場合-𝒚𝒙−𝒚𝑦1𝑥1 − 𝑦1⋮ =⋮𝑦𝑑𝑥𝑑 − 𝑦𝑑

二乗+⋮+二乗というわけで，何次元ベクトルでも距離は計算可能
もちろん1次元ベクトル(数値)間の距離も計算可能九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

15

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (8) 簡略表現法

𝒙と𝒚の距離の二乗 = 𝒙 − 𝒚 2𝑥1 − 𝑦1⋮
𝑥𝑑 − 𝑦𝑑

二乗+⋮+二乗

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16

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (9) これでようやくユークリッド距離

𝒙と𝒚の距離の二乗 = 𝒙 − 𝒚 2
なんだこの記号？
(次スライド)𝒙と𝒚の距離=𝒙−𝒚 𝟐 = 𝒙−𝒚𝑑次元ベクトル 𝒙と𝒚 の間のユークリッド距離

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17

参考：なんだこの二重絶対値 ∙ は？
 𝒙 はベクトル𝒙の長さを表すんです

𝒙の「ノルム」とも言います！

 ベクトル

3次元の場合 ベクトル𝒙の長さは(実はノルムにもいろいろあるんですが，そんなことまずは気にせずに考えれば)

𝒙 =𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑑2となります だから 𝒙 − 𝒚 は𝒙と𝒚の差の長さ，すなわち距離ってわけです

𝒙−𝒚 =𝒙−𝒚 𝟐
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18

参考：ユークリッド＝幾何学の父@エジプト
BC330～275年頃？

ユークリッド原論

 ユークリッド原論にある5つの公準(≒公理) 第1公準 ： 点と点を直線で結ぶ事ができる
 第2公準 ： 線分は両側に延長して直線にできる
 第3公準 ： 1点を中心にして任意の半径の円を描く事ができる
 第4公準 ： 全ての直角は等しい（角度である）
 第5公準 ： 1つの直線が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2つの直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2つの直角より小さい角のある側において交わる（≒平行線でない2直線は1点で交わる）

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19

最も代表的な距離：ユークリッド距離 (10)
 図示するとやっぱりこんな感じ
第3次元𝒙
第2次元
第𝑑次元

𝒙−𝒚

𝒚
第1次元

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20

練習：2つのデータ間のユークリッド距離を求めよう

𝒙 = 3 , 𝒚 = 6 のとき 𝒙 − 𝒚 は？
36𝒙=,𝒚 =のとき 𝒙 − 𝒚 は？
51
36𝒙 = 5 , 𝒚 = 1 のとき 𝒙 − 𝒚 は？
22
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21

これで画像間の距離(似てる具合)も測れます
どちらも1000x1000画素の画像100万次元ベクトル 𝒙

100万次元ベクトル 𝒚

画像間距離𝒙−𝒚

お，これで画像認識AIができそう九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

22

尺度の異なる数値が組み合わされたデータに関する距離の計算は要注意

実データ間の距離を測る際の留意点(1/3)
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23(身長, 体重)データ間のユークリッド距離

体重(𝑘𝑔)とする．このとき身長(𝑐𝑚)

60𝒙=と似ているのは，150
3060
𝒚=と 𝒛=のどっち？
150
153.1
それはやはりzさんのほうが似てる(30kg差は大きい)
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24(身長, 体重)データ間のユークリッド距離

体重(𝑘𝑔)とする．このとき身長(𝑚𝑚)

60𝒙=と似ているのは，
1500
3060
𝒚=と 𝒛=のどっち？
1500
1531
単位が変わるだけで思ってもないことに..
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25というわけで，尺度の異なる数値が組み合わされたデータに関する距離の計算は要注意！
体重(𝑘𝑔)

こちらの軸での差「1」と𝒚𝑦2

𝒙𝑥2

身長(𝑚𝑚)𝑥1

𝑦1

こちらの軸での差「1」が意味的に違う
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26

さっきの画像間距離，なぜ大丈夫なのか？

100万次元ベクトル 𝒙
100万個のどの要素も全部「画素値」

100万次元ベクトル 𝒚

画像間距離𝒙−𝒚

100万個のどの要素も全部「画素値」

安心してそのまま距離計算可能
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27

この辺，結構悩ましい:(数学点数, 古文点数)データ間のユークリッド距離

数学の点数(100点満点)
古文の点数(50点満点)について普通に距離計算していいのか？
解釈1

解釈2

同じどちらも「点数」
なので，そのまま計算してOK古文を２倍にしてどちらも100点満点にしてから距離計算すべきどちらかが「正しい」という証明はできない(ケースバイケースで使い分けするしかない）
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28

物理的に意味の異なる数値を扱う場合に関してリーズナブルな方法：標準化
第2次元(体重 kg)狭い

 平均をゼロ，分散を1に「標準化」する！

第1次元(身長 mm)

非常に広がっている

各軸を伸び縮みさせ同程度の「広がり」に分散1標準化された体重数値範囲の差が小さくなって使いやすい！

標準化
された身長分散1
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29「平均ゼロ，分散を１」にするには？
 まず平均をゼロに 全部の値から現在の平均値を引けば，平均はゼロになる−𝑥෤𝑥෤0 次に分散を１に！
 前に「値を 𝑥𝑖 から𝛼𝑥𝑖 にすると，分散は𝛼 2 𝜎 2 になる」と言いました 𝛼 2 𝜎 2 = 1にしたいということは，𝑥𝑖 を𝛼 =分散𝜎 20× 1Τ𝜎 21Τ𝜎 2 倍すればOK!
分散10

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30「見せかけの数値」の距離を測るのは危険

実データ間の距離を測る際の留意点(2/3)
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31

ユークリッド距離が測れる＝差が定義できる
 アンケート結果やランキング(順位)を含むデータについて，ユークリッド距離を測るのは「本当は」間違い

距離が測れる

距離は測れない※後述の離散距離なら，カテゴリデータの距離でも測れる
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32

ユークリッド距離だけじゃない

実データ間の距離を測る際の留意点(3/3)
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33

ユークリッド距離だけじゃない：
様々な距離

ユークリッド距離
マンハッタン距離(各軸で距離を求めて，その和)

max距離(各軸で距離を求めて，その最大値)

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34

マンハッタン距離？
 斜めには行けない街での距離
 平安京距離 平城京距離
 札幌距離と呼んでもよいはず

どのコースも同じ
マンハッタン距離！

 「市街地距離」と呼ばれることもGoogle map

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35

max距離をいつ使う？
 次の𝑑次元データ間の距離を考えてみましょう

𝑑個1⋮
111⋮12⋮2102⋮2

 ユークリッド距離では，この差は小さい

 「１要素でも大きく違ったら，それは結構違うのだ」としたい場合に
 ただし1要素間でのみの評価になるので，全体的な差異は評価できない
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36

式で書くと.... 実は統一的に書ける
1/ p

p
L p 距離 =   xi − yi  i =1d マンハッタン距離 → 𝐿1距離 (上の式において𝑝 = 1)
 ユークリッド距離 → 𝐿2距離 (上の式において𝑝 = 2)

 max距離 → 𝐿∞距離 (上の式において𝑝 = ∞)九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

37

参考：𝐿∞がなぜmax?
1/∞

𝑑𝐿∞ = ෍ 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖𝑑個の絶対値のうち，一番大きいものが支配的

∞

𝑖=12乗

例(𝑑 = 3)

10乗

1000乗

𝑥1 − 𝑦1 = 10.1 → 102.01 → 1.1 × 1010 → 2.1 × 101004
𝑥2 − 𝑦2 = 10.2 → 104.03 → 1.2 × 1010 → 3.9 × 101008
𝑥3 − 𝑦3 = 10.3 → 106.09 → 1.3 × 1010 → 6.8 × 101012
あまり差はないが…

非常に大きな差となった！
1/∞

𝑑

よって 𝐿∞ =෍ 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖𝑖=1∞

最大以外のものは無視できる~ max 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
1≤𝑖≤𝑑

∞

1/∞

= max 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖1≤𝑖≤𝑑九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

38

等距離面
max距離で等距離からマンハッタン
距離で から等距離

ユークリッド
距離で から等距離
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39

ボロノイ図(縄張り図)を作ると…
𝑝=1

𝑝=2

𝑝=3

by Jahobr https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Voronoi_growth_minkowski_p1_25.gif

𝑝=∞

40

マハラノビス距離 (Mahalanobis distance)
楕円状の等距離線
こっち方向は距離を「ゆるめ」に評価

これらはから等距離

こっち方向は距離を「厳しめ」に評価

そのうち出てくる「正規分布」と密接に関係
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41

離散距離
 同じなら0，(少しでも)違うなら１

距離0

距離1
 どんなデータの距離でも測れます

2番

5番

明らかに意味がない

ユークリッド距離 2 − 5 = 3
離散距離=1(違うから)

2つのバスの番号(カテゴリデータ)

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42

ハミング距離 (Hamming distance) (長さの同じ)2系列間の距離
 違う要素の数＝距離例 100101 ⇔ 110111 → 距離2
 “Synchronize” ⇔ “Simchronise” → 距離3

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43編集距離 (edit distance)
 2系列間の距離．「系列の長さが違っても大丈夫」がメリット
 置換，挿入，削除の最小回数
 ハミング距離を一般化
 Levenshtein距離とも操作回数が最小で済む方法は自明ではない．何とかして見つける必要がある！
(操作回数の最小化問題)

例
 “This” ⇔ “These”
 置換1回(i⇔e)＋挿入1回(e)→ 距離 2
 削除1回(s)＋置換(i⇔e)1回＋挿入2回(se) → 距離 4
 削除2回(is)＋挿入3回(ese) → 距離 5
 削除4回(This)＋挿入5回(These) → 距離 9
 ....

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44

こんな調子で距離には膨大な種類がある！

 距離は「データ解析の基本」である！
 距離は1種類ではない！
 距離が変われば，データ解析結果は「まるっきり」変わる
 解析問題の性質に合致した「距離」を選ぶ必要がある
 逆に言うと，「自分で好きな距離を選べる」ともいえる
データ解析の基本中の基本が自分のチョイスに任されているなんて…

数学は「だれが解いても同じ答えが出る」と思っていたのに…
高校までの「ドリル」の世界の話．
数学の本質は「自由」！
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45

 「これだけが唯一の方法」というものはない！
 データ分析に「絶対的『真』」は存在しない だからこそ自分で考えないと！
 「このデータを，どういう手法で分析するのが妥当か？」
 だからこそ疑わないと！
 「この論文の分析結果は，どのような手法で得られたものか？」 「また，なぜその手法をつかっているのか？ 」
 「都合の良い結果が得られるような，恣意的な手法はつかっていないか？」
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46

突然ですが…

ベクトル間の内積高校の時に習った内積．人生の役に立つことなんてないと思ってました？
データ解析やAIでは内積が超重要（皆さんの脳内でも常に内積計算が？）九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

47

内積？
 距離と同様，2つのベクトルの関係を，1つの数字で表現 どっちが良いとか悪いとかいう話ではない．役割が違う

𝒙𝒚

距離 21.3

内積 -5.1

内積はマイナスになることもある(ゼロやプラスの場合もある) なんでそんなもんが必要？
 ベクトル(データ)間の類似度に使える• 類似度は「似てる具合」．距離は「似てない具合」．

 そのうち非常に重要になってくる• 主成分分析とかディープラーニング(深層学習)とかはバリバリ
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48

内積の計算法内積の書き方4種(どれも同じ)

𝒙∙𝒚𝒙, 𝒚𝒙, 𝒚𝒙𝑇 𝒚 習うより慣れよう．こんな感じ．

𝒙=36,𝒚 =の内積 → 𝒙 ∙ 𝒚 = 3 × 6 + 5 × 1 = 2351

 要するに，「要素どうしの積をとって，全部足す」(小学生でも計算できる)
 その原理で，何次元ベクトルでも計算可能
36との内積513 × 65 × 1= 18=518 + 5 = 23

365 と 1 の内積
223 × 65 × 1
2 × 2= 18=5=418 + 5 + 4 = 27

※この調子で，4次元でも，100万次元でも可能
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49

内積の性質：
ベクトルのなす角が90度のときに，内積はゼロ！
 なんと美しい性質！

𝒚=−24𝒙 ∙ 𝒚 = 4 × (−2) + 2 × 4 = 0𝒙=𝒚=−1242𝒙 ∙ 𝒚 = 4 × (−1) + 2 × 2 = 0
2次元以外でも成り立つ…
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50

内積の性質：
ベクトルのなす角 𝜃 が変わると内積も変わる
 一定の大きさのベクトル𝒚を回転させながら𝒙と内積を取ると...

𝒙∙𝒚=𝟎𝒚𝒙𝒙 ∙ 𝒚 →最小𝒙 ∙ 𝒚 →最大

𝒙と𝒚が同一方向なら大きい
逆方向なら小さい
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51

内積の性質：
だったら，ベクトルのなす角𝜃を使って書けるんじゃ？
 cos 𝜃 を使って書けます𝒙∙𝒚= 𝒙𝒚 cos 𝜃𝒙𝒚
長さ= 𝒚

𝜃

長さ= 𝒙

 なんか不思議ですよね 要素を掛け算して足したもの = ベクトルの長さとその間の角度で計算されたもの
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52

内積の性質：まとめると
𝒙∙𝒚= 𝒙𝒚 cos 𝜃 ベクトルが長いほど(= 𝒙 と 𝒚 が大きいほど)内積値は大きくなりやすい －１ ≤ cos 𝜃 ≤ １だから，内積値は…
 𝜃 = 0° の時に最大となって
𝒙 𝒚 ，
 𝜃 = 180° の時に最小になって − 𝒙 𝒚 そして cos 𝜃 = 0の時，すなわち𝜃 = 90° のとき，内積値はゼロ，
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53

データ間の類似度

距離と逆で，似てると大きくなる！
内積をつかって計算できる！
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54というわけで：ベクトルのなす角 𝜃 が変わると内積も変わる
 一定の大きさのベクトル𝒚を回転させながら𝒙と内積を取ると...

𝒙∙𝒚=0

𝒚𝒙
𝒙 ∙ 𝒚 →最小

𝒙と𝒚が同一方向なら大きい逆方向なら小さい

𝒙 ∙ 𝒚 →最大𝒙と𝒚の類似度に使えそう!

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55

内積は類似度として使える？ (1/2)
 使えるかも！
 次の図なら，𝒙 ∙ 𝒚1 > 𝒙 ∙ 𝒚𝟐

(𝒙にとって，𝒚1 のほうが似ている(近い))𝒚𝟐𝒚𝟏𝒙※実は機械学習やAIでは内積を類似度として使います九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

56

内積は類似度として使える？(2/2)
 でも内積値はベクトルの大きさに依存するので…

𝒚𝟐𝒙∙𝒚= 𝒙𝒚 cos 𝜃𝒚𝟐 が大きいために𝒙 ∙ 𝒚𝟐 > 𝒙 ∙ 𝒚𝟏 となってしまう(𝒚𝟐 のほうが𝒚𝟏 よりも𝒙に類似!?)

𝒚𝟏𝒙
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57

最も代表的な類似度：正規化相関 ベクトルの大きさの影響が問題なら， 大きさに影響されないcos 𝜃 を使えば𝒚いいのでは？

𝒙∙𝒚= 𝒙𝒚 cos 𝜃𝜃

cos 𝜃 =𝒙𝒙∙𝒚𝒙 𝒚

結構簡単に求まる...
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58

【付録１】
距離とは何か？

数学の本質はその自由さにあり！
答えが唯一の「ドリル」が数学ではない．
きちんと定義さえ守れば何でもあり！それが数学の本当の姿
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5959

そもそも距離ってなんだ？(1/2)
 数学的には，次の３条件を満たす𝑑 𝑥, 𝑦 を𝑥, 𝑦 の「距離」と呼ぶ
 非退化性(同じものだけ距離がゼロ)： 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0
 対称性(「𝑥から𝑦へ」と「𝑦から𝑥へ」の距離は同じ): 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥
 三角不等式(寄り道したら遠くなる)： 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 ≧ 𝑑 𝑥, 𝑦
↑ 「距離の公理」と呼ばれる(公理＝決めごと)𝑧

寄り道𝑦𝑥

 条件を満たすなら，何でも「距離」
 山本君が「山本距離」を勝手に作ってもOK ルールさえ満たせば，何作ってもOK!

数学の本質はその自由さにあるThe essence of mathematics
is its freedom.

G. Cantor (1845-1918)

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60
60

そもそも距離ってなんだ？(2/2)
 実用上は上記条件を満たさない𝑑 𝑥, 𝑦 を使うことがある
 正確には「擬距離」(pseudo-distance)と呼ばれる
 対称性を満たさない場合が多い Ex. 2地点間の距離を，「所要時間」で測ると...

登りと降りで距離が違う!?

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参考：数学が自由さを見せる例
ブール代数(1+1=1の世界)

61
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 0と1しかない世界で定義された数学
 和と積しかない ルール
0 + 0 = 0
 0・0 = 0
1 + 0 = 1
 1・0 = 0
1 + 1 = 1
 1・1 = 1

小学校1年で習った1 + 1 = 2という常識が通用しない世界！

1+1≠2

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62

参考：数学が自由さを見せる例
ブール代数(1+1=1の世界)
1 1=1個ではなく「1=on，0=off」と考える
 和＝並列つなぎ，積＝直列つなぎ

 ルール
0 + 0 = 0
 0・0 = 0
1 + 0 = 1
 1・0 = 0
1 + 1 = 1
 1・1 = 1101
全体としてはon，だから1001全体としてoff，だから011全体としてもon，だから11全体としてもon，だから1

要するに{0,1}や{+,・}の意味が，小学校の時と違う！
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63

【付録２】
ユークリッド距離と内積の関係

実は関係してます

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6464

ユークリッド距離と内積の関係
 ユークリッド距離の計算を展開すると内積が出てくる

𝒙 − 𝒚 𝟐 = 𝒙 − 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 ∙ 𝒚 + 𝒚 𝟐
内積

ユークリッド距離(の二乗) なので，両者は無関係ではない！
 特に 𝒙 や 𝒚 が一定なら，ユークリッド距離大→内積小𝒚𝒙

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版