大分工業高等専門学校紀要

第 60 号(令和 5 年 11 月)

弾性地盤上の矩形平板の面外自由振動のエネルギ解析－平板の周面が隔壁型単純支持された場合－

名木野 晴暢1・田川 達也2・稲田 真大3・清成 康平4・足立 忠晴5
1都市・環境工学科，2東京大学 工学部社会基盤学科，3大阪大学 工学部地球総合工学科，
4株式会社 大林組，5豊橋技術科学大学 機械工学系

本稿は，三次元弾性論に基づくエネルギ解析により弾性地盤上の矩形平板の自由振動性状を考察したものである．矩形平板は線形弾性論で理想化し，剛基盤上にある弾性地盤は線形のWinkler基礎でモデル化した．また，平板の周面は隔壁型単純支持されているとした．弾性地盤－平板系の自由振動の弾性ひずみエ
ネルギと運動エネルギは文献7)で導出した厳密解を用いて解析的に求めた．設計変数に対する弾性地盤－
平板系の面外自由振動の全弾性ひずみエネルギと全運動エネルギにおける個々のエネルギ成分の寄与率の変化を理論的に解析し，弾性地盤上の矩形平板の自由振動性状の理解を手助けする基礎資料を提示した．

１．はじめに構造物の動的設計の合理化および高精度化を実現する
ためには，その動的挙動を精度よく求めて理解することが重要になる．連続体の自由度は無限大であるため，無限個の正規モード（運動方程式に固有円振動数の調和振動を仮定したときに求められる固有円振動数に対応する固有振動モードのこと）を持つ．構造物の動的応答は，正規座標と正規モードの積の無限和，すなわち重ね合わせにより表される．したがって，構造物の自由振動特性である固有円
振動数とこれに対応する固有振動モードは，共振周波数の推定のみならず，構造物の動的挙動を理解するための重要

Non-dimensional frequency parameter, 111

キーワード: 矩形平板，弾性地盤，面外自由振動，エネルギ解析，三次元弾性論

な基礎資料である．

3.0
h/a = 0.5
2.5h/a = 0.3

1.5
h/a = 0.2
1.0
0.5

h/a = 0.1
h/a = 0.05

0.0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

弾性地盤上の平板の非減衰自由振動問題の三次元弾性
解析は，これまでに理論的手法または数値解析的手法を用

h/a = 0.4

2.0

図-1

線形弾性地盤上にある正方形弾性平板の無次元

いて研究されている1) – 8)．弾性地盤－平板系の非減衰自由振動数111 に与える無次元地盤反力係数 k1a/E と振動性状は，主に設計変数（板厚や地盤反力係数など）に

板厚比 h/a の影響（文献 8)より転載）

対する固有円振動数の変化により評価される．その一例を
図-1に示す．図-1の記号の定義は，文献8)を参照されたい．

ように，設計変数に対する固有円振動数の変動曲線は耐震

同図は，無次元地盤反力係数k1a/Eに対する無次元振動数

設計における基礎資料を提供してくれているが，系の自由111の数値的変動，および感度の高い領域に関する情報を

振動性状の一部を把握したに過ぎない．
de Souza・Croll9)は，等方性球殻の固有振動モードの全ひ

提供してくれている．後者の範囲は板厚比h/aに依存しているが，同図からこの原因を定量的に推定することは難しい． ずみエネルギに与える膜エネルギ成分と曲げひずみエネ
また，板厚比h/aが大きくなると，無次元振動数111は増加

ルギ成分の寄与を調べ，殻の自由振動性状を詳しく分析しする．この原因の一つとして面外せん断変形の影響が考えた．また，芳村ら10)は，逆対称アングル・プライ積層板のられる．しかし，定性的な考察に留まることが多い．この

自由振動の全ひずみエネルギにおけるカップリング剛性―25―

大分工業高等専門学校紀要

第 60 号(令和 5 年 11 月)に寄与するエネルギ成分の変化から，自由振動性状に与えz (w)るカップリング剛性の影響を定量的に明らかにしている．
文献9)および文献10)は，対象としている連続体の自由振動の全ひずみエネルギに対する個々のエネルギ成分の寄与率を分析することを“エネルギ解析”と呼んでいる．エネ
ルギ解析の利点は，(1) 対象としている連続体の自由振動における剛性変更の判断資料としても役立つこと9)であり，

h2

固有振動数とこれに対応する固有振動モードから求めるh2

ことができるひずみエネルギの情報は，実用上重要である

Ob

性状の理解に役立つこと10)，および (2) 構造物の動的設計

x (u)

a

y (v)
k1

と考えられる．名木野ら11)は，三次元弾性論に基づくエネ
ルギ解析により任意の支持条件を有する矩形平板の自由

図-2 弾性地盤上の矩形平板と座標系

振動性状の定量的な評価を行っており，設計変数に対するエネルギ量の変化の情報は二次元近似理論（平板理論）の(2) 強形式

適用範囲の検討にも役立つ可能性を指摘している．

固有円振動数 で自由振動する弾性地盤上の弾性平板の本稿では，文献8)で示された弾性地盤－平板系の自由振動性状の理解を手助けする基礎資料の提供を目的として，

変位成分u, v, wは，それぞれ次式のように表される．

設計変数に対する弾性地盤－平板系の面外自由振動の全u(x, y, z, t ) = U (x, y, z )e jwt , v(x, y, z, t ) = V (x, y, z )e jwt ,弾性ひずみエネルギと全運動エネルギにおける個々のエw(x, y, z, t ) = W (x, y, z )e jwt

ネルギ成分の寄与率の変化を三次元弾性論に基づいて理(1)

論的に解析した．なお，本稿は，第二著者，第三著者およ

ここで，U (x, y, z), V (x, y, z), W (x, y, z) は，それぞれx, y, z

び第四著者が本校に在籍していたときの研究成果の一部

軸方向の変位振幅であり，jは虚数単位である．

を第一著者と第五著者が取りまとめたものである．

内部領域Vの各点で満足する変位振幅U, V, Wに関する支配方程式は，次のように表される8)．
2üïï
1 ¶ev æç w ÷ö÷çU ++ ç ÷÷ U = 0 ïïï
1 - 2n ¶x çèc2 ø÷
ï
ï
ï
2
ï
æ
ö
ï
1 ¶ev ç w ÷÷2V ++ çç ÷÷ V = 0 ýï in Vï1 - 2n ¶y çèc2 ø÷
ï
ï
2
ï
ï
æ
ö
ï
1 ¶ev ç w ÷÷2
W ++ çç ÷÷ W = 0 ïïï
1 - 2n ¶z çèc2 ø÷ïïïþ

２．数理モデル2

本稿では，図-2に示すような弾性地盤の上にある周面隔
壁型単純支持された矩形平板の非減衰自由振動問題を考える．ここで，a, b, hは，それぞれ平板の長さ，幅，厚さであり，k1は弾性地盤の地盤反力係数である．平板の中央面を通るように直交直線座標系O-xyzを設定し，x, y, z軸方向の時間依存性の変位成分を，それぞれu (x, y, z, t), v (x, y, z,t), w (x, y, z, t) とする．

ただし，平板は，内部領域V = (0, a) × (0, b) × (–h/2, h/2) と6つの

ev =境界面∂Vi (i = 1, 2, …, 6) からなる．ここで，(x = 0) の境界
面を∂V1，(x = a) の境界面を∂V2，(y = 0) の境界面を∂V3，(y = b) の境界面を∂V4，(z = – h/2) の境界面を∂V5，(z = h/2)

¶U ¶V ¶W
+
+
¶x
¶y
¶z

(3)

m
r

(4)

であり，

の境界面を∂V6と定義する．なお，時間領域は t ∈ (0, ∞) で

c2 =あり，(t = 0) は初期条件により与えられる．
(1) 仮

定

平板は，線形の三次元弾性論に従って固有円振動数で調和振動するものとする．また，材料の機械的性質である
縦弾性係数とポアソン比をそれぞれEと，物理的性質である密度をで表し，これらは均質であるとする．

(2)は無限弾性体内を伝わる弾性波の横波の伝播速度，は剛性率であり，(/c2) は波数である．式(2)は周波数領域のス
カラー波動方程式（Helmholtz方程式）に相当する．ただし，左辺の第二項は変位振幅U, V, Wの連成を表す項である．
解析モデルに対応する境界条件式は，次のように表され弾性地盤は剛基盤上にあるとし，その振る舞いはWinkler

8)

る ．

型の線形弾性基礎でモデル化する．ただし，弾性地盤の質

V = W = 0 , sxx = 0 on ¶V1 and ¶V2

量の影響は考慮しない．

―26―

(5)

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第 60 号(令和 5 年 11 月)

U = W = 0 , syy = 0 on ¶V3 and ¶V4(6)

するとき，Uxx, Uyy, Uxy は面外曲げ変形により平板の内部に蓄積される弾性ひずみエネルギを表している．Uzz は面外伸縮変形，すなわち板厚の伸縮変形により平板の内部に蓄

szx = szy = 0 , szz = k1W on ¶V5(7)

積される弾性ひずみエネルギを表し，Uyz, Uzx は面外せん断
変形により平板の内部に蓄積される弾性ひずみエネルギ

szx = szy = szz = 0 on ¶V6(8)

ここで，ij = ji (i, j = x, y, z) は時間依存性を排除した応力テンソルの成分であり，第一添字は応力の作用する面，第二添字は作用する方向を意味する．

を意味している．また，UWinkler は矩形平板が面外曲げ自由振動するときに，弾性地盤（Winkler 基礎）に蓄えられる弾性エネルギである．UWinkler を除くエネルギの値は，矩形平板の最低次の面外曲げ自由振動するときの変形成分の割合を表す定量的な指標の一つと考えることができる 11)．
同様に，運動エネルギの最大値 Tmax を構成する各成分を以上が本稿の解くべき振動固有値問題の概要である．その詳細は，文献7)および文献8)を参照されたい．

1
1
1
ü
ï
2
TUU = ò ò ò 1 21 U 2 dz dh dx ï
ï
ï
0
0
2
ï
1
ï
1
1
ï
2 1
2
TVV = ò ò ò 1 2 V dz dh dx ý
0
0
ï
2
ï
1
ï
1
1
2 1
ï
2
TWW = ò ò ò 1 2 W dz dh dx ï
ï
0
0
ï
2
ï
þ

３．エネルギ解析
文献 8)の無次元量に従うとき，弾性地盤－平板系の弾性
ひずみエネルギ U と運動エネルギ T は，それぞれ式(9)おと定義すると，Tmax は，次式のようにも表される．

よび式(10)のように表される．

ìï 1 1 12
U = (e ) abhE ïíò ò ò 1 21E (sxx exx + syy eyy
ïîï 0 0 - 2+ szz ezz + syz eyz + szx ezx + sxy exy )dz dhdx
1
1
üï
kh
+ ò ò 21 E1 (W)2 dh dxýz =- 100ïïþ2= (e jwt )2abhEU max(13)

Tmax = TUU + TVV + TWW

(14)

jwt 2

( )

1

1

1
2

3

0

0

-

2

r

2

2

対象とするとき，TUU, TVV は面内変位による矩形平板の運動エネルギを表しており，TWW は面外変位によるそれを意味している．これらのエネルギの値は，矩形平板の最低次の面外曲げ自由振動するときの面内慣性と面外慣性の割
よって，弾性地盤－平板系の固有円振動数とこれに対

22+W )dz dhdx
jwt 2

(9)

合を表す定量的な指標の一つと考えてよかろう 11)．

T = (jwmnle ) (abh )ò ò ò 1 2 (U +V
jwt 2

先と同じように矩形平板の最低次の面外曲げ自由振動を(10)応する固有振動モードU, V, Wが既知であれば，式(11)から
は弾性地盤－平板系の弾性ひずみエネルギの最大値 Umax

3

= (e ) {r(jwmnl ) abh }Tmaxを構成する各成分を，式(13)からは運動エネルギの最大値

ここで，Umax と Tmax は，それぞれ，弾性地盤－平板系が非Tmaxの各成分を求めることができる．また，求めたエネル

減衰自由振動をするときの弾性ひずみエネルギの最大値

ギ成分と設計変数の関係を解析することで，弾性地盤－平および運動エネルギの最大値である．また，ii とii (i = x,板系の自由振動性状を調べることができる．

y, z) は，それぞれ i 軸方向の垂直応力と微小垂直ひずみであり，ij とij (i ≠ j) は，それぞれ ij 面のせん断応力と微小
せん断ひずみである．

なお，弾性地盤－平板系が非減衰自由振動するときの弾性ひずみエネルギの最大値 Umax と運動エネルギの最大値

Tmaxには，次の関係が成り立つ．

さて，弾性地盤－平板系の弾性ひずみエネルギの最大値

2abhEU max = rwmnl
abh 3Tmax

Umax を構成する各成分を
1
1
1
üï
2
U ii = ò ò ò 1 21E (sii eii )dV dhdx (i = x, y, z ) ïï
ïï
0
0
2
1
ïï
1
1
2
1
U ij = ò ò ò 1 2E (sij eij )dV dhdx (i ¹ j )
ý
0
0
ïï
2
ïï
1
1
2
1 k1h
ïï
U Winkler = ò ò 2 E (W) dh dxz =- 1
00ïïþ
2

よって，Umax, Tmaxと固有円振動数の間には，
2

æ
r ÷÷ö
ç
÷T
U max = ççwmnl hE ÷÷ø max
ççè

(11)

( )

(16)

が成立する．すなわち，系の弾性ひずみエネルギの最大値

Umaxは，板厚h，平板のヤング率Eと密度で無次元化した固と定義すると，Umax は，次式のように表すことができる．
U max = U xx + U yy + U zz + U yz + U zx + U xy + U Winkler

(15)

(12)

例えば，矩形平板の最低次の面外曲げの自由振動を対象と有円振動数の二乗と運動エネルギの最大値Tmaxとの積に等しい．式(16)は，コード検証に活用することができる．
さて，式(11)または式(13)に従って各エネルギを求めるた
めには，第2章で示した解くべき振動固有値問題を解いて，―27―大分工業高等専門学校紀要

第 60 号(令和 5 年 11 月)

固有円振動数mnlとこれに対応する固有振動モードU, V, W
を求めておかなければならない．本稿では，著者らが文献
7)で導出した厳密解を用いた．また，各エネルギを求める
ための積分は，全て解析的に行った．

-1
U W = U WinklerU max(21)

ここで，TiとTtは，それぞれ全運動エネルギTmaxに対する面
内慣性と面外慣性によるエネルギの割合を表す指標である．同様に，Ub, Ut, Us, Uz, UWは，それぞれ全弾性ひずみエ
ネルギUmaxに対する曲げ変形または面内伸縮変形，面内せ４．理論解析および考察

ん断変形，面外せん断変形，面外伸縮変形によるエネルギ

ここでは，地盤反力係数に対する弾性地盤－平板系の自由振動の弾性ひずみエネルギと運動エネルギの変化を理論解析により調べる．

本論文では，コンクリートからなる正方形状の弾性平板（b/a = 1）を想定し，ポアソン比は = 0.2に設定した12)．
弾性地盤上の平板の問題では，地盤反力係数k1の設定が極めて重要になる．理論解析においては，k1を任意に設定できるが，構造工学において意味を持つ範囲を念頭に置いて設定しなければならない．文献12)によれば，実在する弾性地盤を対象としたとき，次式のように無次元化された地
盤反力係数（以下，無次元地盤反力係数と呼ぶ）は，Eする．無次元地盤反力係数k1a/Eに対するこれらの規格化されたエネルギ量の変化を調べることで，弾性地盤－平板系の自由振動性状の変形成分の割合を知ることができる．

(1) 理論解析に用いるパラメータk1aの割合，弾性地盤に蓄えられる弾性エネルギの割合を意味-4-2

Î [10 , 10 ](3) Verification
本稿では，文献7)と文献8)の理論解析に用いた4倍精度計
算のfortranコードを修正することで，各エネルギ量を求めた．その為，理論解析を実施する前にmodeling and simulation
におけるV & V (ASME V & V 10-2006)13)に倣って，“各エネルギ量を正しく計算できているか”を検証しておく必要がある14)．ここでは，本稿で示した各エネルギ量（Present）のコード検証について述べる．検証に用いる参照解の解析
条件に合わせる目的でポアソン比は = 0.3に設定した．ま(17)

た，固有円振動数mnlは，
*
nmnl
=

の範囲を取るようである．理論解析の際には，この範囲を含むように無次元地盤反力係数k1a/Eを設定した．
理論解析の対象とする自由振動は，正方形平板の最低次の面外曲げの自由振動であるm = n = 1とし，三次元弾性論

方向の固有関数の半波数の数8)である．参考までに，m = n= l = 1の自由振動は，耐震設計の際に必要となる基本曲げの自由振動である．なお，無次元振動数は，Wmnl =c0, c0 =

Er(22)のように無次元化した．ここで，c0は一様な弾性棒の縦波の伝播速度である．

に基づかなければ正確に調べることができないz軸方向の振動次数lは1, 2, 3とした．ただし，m, nは，それぞれx, y軸

wmnla

弾性地盤－平板系の無次元振動数n*111とこれに対応する
自由振動の運動エネルギ成分TUU/Tmax, TVV/Tmax, TWW/Tmaxの検証を表-1に示す．板厚比h/aは0.001（極薄板），0.01（薄板），0.2（中等厚板）および0.5（厚板）とし，無次元地盤
反力係数k1a/Eは0（平板の下面は自由表面）と式(17)の上限値である10–2に設定した．検証のための参照解として，名

wmnlh

(18)

c2

木野ら11)の三次元弾性論に基づくB-spline Ritz解析（BSRA）と有限要素解析（FEA）による数値解も併記した．ここで，FEAには汎用有限要素コードAbaqus 6.11を用いた．同表の8)と定義している ．

SR4，C3D8およびC3D20は，それぞれ4節点一次低減積分シ(2) 規格化された弾性ひずみエネルギと運動エネルギ

ェル要素，8節点一次ソリッド要素，および20節点二次ソリ

エネルギ解析では，弾性地盤上にある正方形平板の面外
自由振動の弾性ひずみエネルギの最大値 Umax と運動エネ

ッド要素を意味する15)．FEAの離散化は，要素が正方形または立方体を保つように分割した．よって，Mx, My, Mzをそ

ルギの最大値Tmaxで規格化した次式のエネルギ量を指標と

れぞれx, y, z軸方向の要素分割数とすると，h/a = 0.01の要した．

素分割数はMx × My = 200 × 200（自由度数は121,203），h/a =0.2のそれはMx × My × Mz = 40 × 40 × 8（C3D8の自由度数は-1-1, Tt = TWWTmax
Ti = (TUU + TVV )Tmax(19)45,387，C3D20の自由度数は174,291）であり，h/a = 0.5のそれはMx × My × Mz = 32 × 32 × 16（C3D8の自由度数は55,539，

U b = (U xx + U yy )U-1max

U s = (U yz + U zx )U-1max, U t = U xyU-1max, U z = U zzU-1max

C3D20の自由度数は215,523）である．他方，BSRAの離散,化条件は，spline次数px × py × pz = 4 × 4 × 2, knotの数mx × my(20)

× mz = 13 × 13 × 5（自由度数は4,608）である．なお，本稿（Present）およびFEAの結果は，有効数字5桁で整理した．

―28―

大分工業高等専門学校紀要

第 60 号(令和 5 年 11 月)

表-1 弾性地盤－平板系の無次元振動数n*111とこれに対応する自由振動の運動エネルギ成分の検証

h/a

k1a/E

Methods

n*111

TUU/Tmax

TVV/Tmax

TWW/Tmax

0.001

0Present

5.9733 × 10–3

8.2246 × 10–7

8.2246 × 10–7

1.0000

BSRA11)

5.973 × 10–3

-

-

1.000

Present

5.9713 × 10–2

8.2143 × 10–5

8.2143 × 10–5

BSRA11)5.971 × 10–2

-

-

-

-

-

0.01

0.2

0

1.000

FEA (S4R)

5.9713 × 10

10–6

Present

6.0544 × 10–2

8.2143 × 10–5

8.2143 × 10–5

9.9984 × 10–1

10–4

Present

1.1646 × 10–1

8.2143 × 10–5

8.2143 × 10–5

9.9984 × 10–1

10–2

Present

1.00168.2255 × 10–5

8.2255 × 10–5

9.9984 × 10–1

FEA (S4R)

1.0017---02.1533 × 10

Present

1.0607

FEA (C3D8)

1.0577-

FEA (C3D20)

1.0607-–6

Present

1.0607

2.1533 × 10

10–4

Present

1.0609

10–2

Present

10

0.5

–2

9.9984 × 10–1

0

2.1533 × 10

–2

9.5693 × 10–1

-

-

-

9.5693 × 10–1

2.1534 × 10–2

2.1534 × 10–2

9.5693 × 10–1

1.08202.1560 × 10–2

2.1560 × 10–2

9.5688 × 10–1

FEA (C3D8)

1.0790---

FEA (C3D20)

1.08204.0189 × 10

Present

1.8801

FEA (C3D8)

1.8777-

FEA (C3D20)

1.8801-

Present

1.88014.0189 × 10

10–4

Present

1.8801

10–2

Present

–2

–2

–6

10

–2

2.1533 × 10

–2

4.0189 × 10

–2

9.1962 × 10–1

-

-

-

–2

9.1962 × 10–1

4.0190 × 10–2

4.0190 × 10–2

9.1962 × 10–1

1.88434.0267 × 10–2

4.0267 × 10–2

9.1947 × 10–1

FEA (C3D8)

1.8819---

FEA (C3D20)

1.8843---

同表より，h/aおよびk1a/Eに係わらず，BSRAおよびFEAに*–2

4.0189 × 10

対 応 す る 自 由 振 動 の 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ 成 分 Uxx/Umax,

よる近似解は，本稿で示した弾性地盤－平板系の n 111 と

Uxy/Umax, Uyz/Umax, Uzz/Umax, UWinkler/Umaxを対象として，表-1

TWW/Tmaxによく一致している．また，三つの運動エネルギと同様の検証を行ったものである．ただし，正方形平板（b/a

成分は，= 1 ） で あ る の で ， Uxx/Umax = Uyy/Umax お よ び Uyz/Umax =Uzx/Umaxである．表-2より，k1a/Eに対する各弾性ひずみエネ-1(TUU + TVV + TWW )Tmax@1

ルギ成分の変動，およびを少なくとも有効数字5桁で満足している．これらのこと-1(U xx + U yy + U zz + U yz + U zx + U xy + U Winkler )U max@1から，本稿で示した弾性地盤－平板系のn*111とこれに対応
す る 自 由 振 動 の 運 動 エ ネ ル ギ 成 分 TUU/Tmax, TVV/Tmax,を満足していることからも解くべき問題の弾性ひずみエ

TWW/Tmaxは妥当な結果を与えていることが確認できる．こネルギを正しく求められていると考えてよかろう．

こで，本稿の厳密解を正解としてFEAとBSRAの数値解の近似精度を確認してみると，C3D20によるFEAは有効数字

以上より，著者らが独自に作成したfortranコードは“各エネルギ量を正しく計算できている”と判断できる．

5桁で厳密解に一致する高い精度を有していることがわかる．ただし，その自由度数は約21万とかなり大きい．他方，(4) 自由振動する平板の弾性ひずみエネルギと運動エネ

BSRAはFEAよりもかなり少ない自由度数で，精度の高い近似解を提供していることも確認できる．

ルギに与える地盤反力係数の影響
a) 薄板

表-2は，弾性地盤－平板系の無次元振動数n*111とこれに―29―

図-3は，無次元地盤反力係数k1a/Eを10–6から106まで変化

大分工業高等専門学校紀要

第 60 号(令和 5 年 11 月)

表-2 弾性地盤－平板系の無次元振動数n*111に対応する自由振動の弾性ひずみエネルギ成分の検証

h/a

k1a/E

Methods

Uxx/Umax

Uxy/Umax

Uyz/Umax

Uzz/Umax

0.001

0Present

3.5000 × 10–1

3.5000 × 10–1

2.8199 × 10–6

–1.4099 × 10–7

0

BSRA11)3.250 × 10–1

3.500 × 10–1

-

-

-

Present

3.2482 × 10–1

3.4980 × 10–1

2.8174 × 10–4

–1.4086 × 10–5

0

BSRA11)

3.248 × 10–1

3.498 × 10–1

-

-

-

10–6

Present

3.1596 × 10–1

3.4026 × 10–1

2.7406 × 10–4

–1.1780 × 10–5

2.7273 × 10–2

10–4

Present

8.5370 × 10–2

9.1963 × 10–2

7.3973 × 10–5

4.8445 × 10–5

7.3710 × 10–1

10–2

Present

1.1187 × 10–3

1.2449 × 10–3

8.7385 × 10–7

9.9201 × 10–5

9.9642 × 10–1

0

Present

2.7197 × 10–1

2.9060 × 10–1

8.4788 × 10–2

–4.1193 × 10–3

0

10–6

Present

2.7197 × 10–1

2.9048 × 10–1

8.4788 × 10–2

–4.1192 × 10–3

4.0606 × 10–6

10–4

Present

2.7186 × 10–1

2.7961 × 10–1

8.4749 × 10–2

–4.1083 × 10–3

4.0589 × 10–4

10–2

Present

2.6121 × 10–1

2.7961 × 10–1

8.1019 × 10–2

–3.0352 × 10–3

3.8973 × 10–2

0

Present

1.6644 × 10–1

1.7264 × 10–1

2.5227 × 10–1

–1.0043 × 10–2

0

–6

Present

1.6644 × 10

–1

–1

–1

–2

4.4858 × 10–7

10–4

Present

1.6643 × 10–1

1.7264 × 10–1

2.5225 × 10–1

–1.0040 × 10–2

4.4854 × 10–5

10–2

Present

1.6580 × 10–1

1.7220 × 10–1

2.5072 × 10–1

–9.6980 × 10–3

4.4502 × 10–3

0.01

0

0.2

0.5

10

1.7264 × 10

2.5227 × 10

–1.0043 × 10

UWinkler/Umax

1.0
Ub
Ut

0.8

Us
Uz

0.6
0.4
0.2

UW

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 111

Strain energy components for 111

Note: Uxx/Umax = Uyy/Umax and Uyz/Umax = Uzx/Umax(a) 弾性ひずみエネルギ成分

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(b) 運動エネルギ成分

図-3 薄板の基本振動111 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.05, b/a = 1
させたときの板厚比h/a = 0.05の正方形薄板の基本振動111の規格化された各エネルギ成分の変動を表したものであ

内変位と面外変位が非連成である情報も提供してくれている．次に同図(a)より，k1a/Eが10–6から100まで変化するとる．ここで，(a)は弾性ひずみエネルギであり，(b)は運動エ

き，Ub, Ut, Usは減少し，UWは増加する．ただし，Usの値はネルギである．まず，同図(b)より，運動エネルギ成分Ti, Tt

極めて小さく，Uzはほぼ零である．これは，薄板が111では10–1 < k1a/E < 101の範囲で急激に変化する．k1a/E < 100の自由振動するときの変形に面外せん断変形および面外伸範囲ではTi ≈ 0, Tt ≈ 1を取るが，k1a/E > 100の範囲ではTi ≈ 1,

縮変形がほとんど生じないことを表している．また，10–2

Tt ≈ 0にスイッチする．これは，運動エネルギ成分Ti, Ttの変

≤ k1a/E < 101の範囲では，(Ub + Ut < UW)となっており，固化率が大きい範囲で固有振動モードが変化したことを表有振動モードが変化しているk1a/Eの範囲ではUb, Utもほぼ8)している ．また，文献7)から判断すると，スイッチ前は面7)零となっている．更に，k1a/Eに対するUWの変動は，平板の外曲げの固有振動モード（flexural mode） であるが，スイ自由振動に与える弾性地盤の影響を表しており， k1a/E <ッチ後は厚さ方向に伸縮する固有振動モード（breathing

100の範囲は弾性地盤が存在してもUW ≈ 0であれば平板の7)mode） になる．このとき，前者の振動状態はTtが支配的で，自由振動に与える弾性地盤の影響は殆どなく，構造動力学

後者のそれはTiが支配的な傾向にある．更に，同図(b)は面

的には下面が自由表面（zz = 0, yz = zx = 0 on ∂V5）である―30―

第 60 号

(令和 5 年 11 月)

1.0
0.8
0.6

Ub
Ut

Us
Uz

0.4
0.2

UW

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 112

Strain energy components for 112

大分工業高等専門学校紀要

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(a) 弾性ひずみエネルギ成分(b) 運動エネルギ成分

1.0
0.8
0.6

Ub
Ut

Us
Uz

0.4
0.2

UW

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 113

Strain energy components for 113

図-4 薄板の二次振動112 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.05, b/a = 1

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(a) 弾性ひずみエネルギ成分(b) 運動エネルギ成分

図-5 薄板の三次振動113 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.05, b/a = 1
平板の自由振動と同じと考えてよかろう．なお，k1a/E > 100

113の規格化された各エネルギ成分に与える無次元地盤反の範囲もUW ≈ 0であるが，これは式(7)から明らかなように

力係数k1a/Eの影響である．ここで，(a)は弾性ひずみエネル

地盤反力係数k1の増大にともなって境界∂V5の面外変位振ギ成分，(b)は運動エネルギ成分であり，k1a/Eはa) 薄板と幅Wは拘束され，W → 0 となるためである．一般に，固有同様に10–6から106まで変化させた．図-6，図-7および図-8

振動数111の数値情報のみではどのような振動状態であるの(b)より，k1a/Eに対する運動エネルギ成分Ti, Ttの変動は，かを判断することは難しいが，運動エネルギ成分と弾性ひ振動次数に係わらず概ね薄板のそれと同様である．ただし，ずみエネルギ成分を計算して指標とすれば，固有振動数に

111と113は，板厚比h/aが大きくなったことによる面内変対応する固有振動モードを描かなくても系の振動状態に位と面外変位の連成が確認できる．k1a/Eに対する弾性ひず

関する情報を得ることができる．

みエネルギ成分Ub, Ut, Us. Uz, UWの変化についても概ね薄

図-4と図-5は，それぞれ板厚比h/a = 0.05の正方形薄板の板のそれと同様であることが図-6，図-7および図-8の(a)か二次振動112と三次振動113の規格化された各エネルギ成らわかる．ただし，各エネルギ量の割合は異なっている．

分を対象として図-3と同様の検討を行ったものである．図

例えば，図-6 (a)より，k1a/E < 10–1の範囲のUsは図-3 (a)よ-4 (b)より，k1a/E < 100の範囲の112はTiが支配的な自由振りも増加し，Ub, UtおよびUWは減少している．これは板厚動であるが，k1a/E > 100の範囲はTtが支配的になる．また，

比h/aが大きくなったことによる面外せん断変形の影響を

0

図-4 (a)からは，k1a/E > 10 の範囲では薄板理論では無視さ定量的に表したものである．なお，Uzはほぼ零であるので，れるUzが卓越する自由振動状態であることがわかる．他方， 中等厚板の111にも面外伸縮変形は殆ど生じない．
図-5 (a), (b)は，113はk1a/Eに関係なくTiとUsが支配的な自c) 厚板
最後に，板厚比h/a = 0.4の正方形厚板の基本振動111，二由振動であること示してくれている．

次振動112および三次振動113の規格化された各エネルギb) 中等厚板
図-6，図-7および図-8は，それぞれ板厚比h/a = 0.2の正方成分を対象として，a) 薄板およびb) 中等厚板と同様の検形中等厚板の基本振動111，二次振動112および三次振動討を行ったものをそれぞれ図-9，図-10および図-11に示し―31―

第 60 号

(令和 5 年 11 月)

1.0
0.8

Ub
Ut

Us
Uz

0.6
0.4
0.2

UW

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 111

Strain energy components for 111

大分工業高等専門学校紀要

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(a) 弾性ひずみエネルギ成分(b) 運動エネルギ成分

1.0
0.8
0.6

Ub
Ut

Us
Uz

0.4
0.2

UW

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 112

Strain energy components for 112

図-6 中等厚板の基本振動111 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.2, b/a = 1

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(a) 弾性ひずみエネルギ成分(b) 運動エネルギ成分

1.0
0.8
0.6

Ub
Ut

Us
Uz

0.4
UW

0.2

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 113

Strain energy components for 113

図-7 中等厚板の二次振動112 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.2, b/a = 1(a) 弾性ひずみエネルギ成分

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(b) 運動エネルギ成分

図-8 中等厚板の三次振動113 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.2, b/a = 1
た．図-9，図-10および図-11の(b)より，k1a/Eに対する運動のTtが僅かに生じており，若干ではあるが面内変位と面外エネルギ成分Ti, Ttは，振動次数にかかわらず図-8 (b)と同変位が連成しているようである．次に，図-9 (a)のk1a/E <様の変動を示している．ただし，111の運動エネルギ成分

100の範囲のk1a/Eに対する弾性ひずみエネルギ成分Ub, Ut,

Ti, Ttの大小関係はTi < Ttであり，112と113のそれはTi > Tt

Us. Uz, UWの変動は，図-6 (a)の中等厚板とほぼ同様である

である．k1a/E < 10 の111のTiは中等厚板のそれよりも値がが，板厚が大きくなったことによりUb ≈ Usとなり，UWは小大きくなり，Ttは減少している．これは，板厚が大きくな

さくなっている．また，図-10 (a)と図-11 (a)より，k1a/E <ることにより，面内変位に関する慣性の影響が現れること100の範囲でUz が生じており，112と113の自由振動には面を意味していると考えられる．また，h/a = 0.4になると112

外伸縮変形の成分が混在していることもわかる．さらに，

–1

―32―

第 60 号

(令和 5 年 11 月)

1.0
0.8

Ub
Ut

Us
Uz

0.6
0.4
UW

0.2

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 111

Strain energy components for 111

大分工業高等専門学校紀要

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(a) 弾性ひずみエネルギ成分(b) 運動エネルギ成分

1.0
0.8
0.6

Ub
Ut

Us
Uz

0.4
0.2
UW

0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 112

Strain energy components for 112

図-9 厚板の基本振動111 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.4, b/a = 1

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(a) 弾性ひずみエネルギ成分(b) 運動エネルギ成分

1.0
0.8
0.6

Ub
Ut

0.4

Us
Uz
UW

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E

Kinetic energy components for 113

Strain energy components for 113

図-10 厚板の二次振動112 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.4, b/a = 1(a) 弾性ひずみエネルギ成分

1.0
0.8
0.6
0.4

Ti
Tt

0.2
0.0
-0.1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Non-dimensional foundation parameter, k1a/E(b) 運動エネルギ成分

図-11 厚板の三次振動113 の規格化されたエネルギに与える無次元地盤反力係数 k1a/E の影響: h/a = 0.4, b/a = 1

図-3 (b)から図-11 (b)より，面内変位と面外変位の連成が大を手助けする有益な基礎資料の一つを提供していると言きいときにUz が生じていることも確認できる．

えよう．特に，地盤反力係数に対する弾性地盤に蓄えられ以上より，地盤反力係数に対する弾性地盤－平板系の自る弾性エネルギ成分の変動は，弾性地盤－平板系の自由振

由振動の全弾性ひずみエネルギと全運動エネルギにおけ動における弾性地盤と平板との幾何学的相互作用の影響

る各エネルギ成分の寄与率の変動は，振動固有値問題の解を定量的に表す指標の一つである．また，図-3 (a)から図-（固有円振動数とこれに対応する固有振動モード）の理解

11 (a)は，板厚が大きくなると，各自由振動の弾性地盤に―33―

大分工業高等専門学校紀要

第 60 号(令和 5 年 11 月)

Computation, Vol.218 (6), pp.2772-2784, 2011.

蓄えられる弾性エネルギ成分は減少し，弾性地盤と平板との幾何学的相互作用の影響が小さくなることを定量的に

4)

Liu, H., Liu, F., Jing, X., Wang, Z. and Xia, L.: Threedimensional vibration analysis of rectangular thick plates on示している．

Pasternak foundation with arbitrary boundary conditions,
Shock and Vibration, Vol.2017, Article ID 3425298, 10
pages, 2017.

５．おわりに
5)

Lin, Z. and Shi, S.: Three-dimensional free vibration of

本稿では，弾性地盤－平板系の自由振動性状の理解を手

thick plates with general end conditions and resting on

助けするための基礎資料の一つとして，弾性地盤の地盤反

elastic foundations, Journal of Low Frequency Noise,

力係数に対する弾性地盤－平板系が自由振動するときのVibration and Active Control, Vol.38 (1), pp.110-121, 2018.

全弾性ひずみエネルギと全運動エネルギにおける個々の6)

Dehghany, M. and Farajpour, A.: Free vibration of simply

エネルギ成分の寄与率の変動に関する情報を三次元弾性

supported rectangular plates on Pasternak foundation: An論に基づく理論解析により提供した．また，矩形平板が面

exact and three-dimensional solution, Engineering Solid
Mechanics, Vol.22, pp.29-42, 2014.

外曲げの自由振動するときに弾性地盤に蓄えられる弾性
エネルギ成分は，弾性地盤－平板系の自由振動における弾

7)

稲田真大, 田川達也, 名木野晴暢, 足立忠晴: Winkler

性地盤と平板との幾何学的相互作用の影響を定量的に表基礎上にある周面単純支持された弾性直方体の面外す指標の一つであることを示した．なお，本稿の表-1と表

自由振動の閉じた形式の三次元弾性解, 土木構造・材-2で示した弾性地盤－平板系の無次元振動数とこれに対応する自由振動の運動エネルギ成分および弾性ひずみエ

料論文集, 第39号.（投稿中）8)

田川達也, 稲田真大, 名木野晴暢, 足立忠晴: 弾性基

ネルギ成分の数値は，各種数値解析法のコード検証の参照

礎上にある周面単純支持された矩形平板の面外自由解に使っていただければ幸いである．

振動に関する厳密な三次元弾性解析, 構造工学論文集,

今後は，平板の周面の支持条件を設計変数として，弾性地盤上にある平板の自由振動性状に関する基礎資料の蓄9)Vol. 70A.（投稿中）
de Souza, V.C.M. and Croll, J.G.A.: An energy analysis of
the free vibrations of isotropic spherical shells, Journal of

積を継続していく予定である．

Sound and Vibration, Vol.73 (3), pp.379-404, 1980.
辞：本稿で用いた厳密解の導出にあたっては，明石

10) 芳村仁, 三上隆, 朴勝振: 逆対称アングル・プライ積層

工業高等専門学校 都市システム工学科 石丸和宏教授（当時）からご指導・ご助言を賜りました．また，名古屋大学

板の自由振動, 構造工学論文集, Vol.37A, pp.911-919,
1991.

情報基盤センターからはNUMPACKのNOLEQQのソース

11) 名木野晴暢, 清成康平, 水澤富作, 三上隆: B-spline

コードを提供していただきました．なお，本稿の有限要素

Ritz法による任意の支持条件を有する矩形板の三次元解析は，平成24（2012）年度補正予算により導入された設

自由振動問題のエネルギー解析, 構造工学論文集,
Vol.60A, pp.1-14, 2014.

謝備機器の一部を用いて実施しました．ここに記して謝意を

12) 名木野晴暢, 大川茉友子, 樋口理宏, 足立忠晴, 水澤

示します．

富作, 三上隆: 種々の面外荷重を受ける弾性基礎上に参考文献
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2)

3)

Zhou, D., Cheung, Y.K., Lo, S.H. and Au, F.T.K.: Three-14) 山田貴博（監訳），永井学志・松井和己（訳）: 有限要

dimensional vibration analysis of rectangular thick plates on

素法（ABAQUS Student Edition付, 原書: A First Course

Pasternak foundation, International Journal of Numerical
Methods in Engineering, Vol.59 (10), pp.1313–1334, 2004.

in Finite Elements; Fish, J. and Belytschko, T.）, 丸善出版,
pp.239-245, 2008.

Dehghan, M. and Baradaran, G.H.: Buckling and free15) Abaqus Analysis User’s Manual: Vol.IV Elements Version

vibration analysis of thick rectangular plates resting on

6.11, Dassault Systemes Simulia, ABAQUS Inc., 2011.

elastic foundation using mixed finite element anddifferential quadrature method, Applied Mathematics and―34―(2023.9.14受付)