1

データサイエンス概論I＆II
データサイエンス総論I＆II
信頼区間と統計的検定

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

2

信頼区間

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

3

この「信頼区間」で学ぶこと存在しうるすべてのデータ
実際に手に入ったデータ

例えば「平均値」

あなた，この平均値，真の平均値と同じと思います？
いや，ある程度近いとは思うけど，多少違うかも...
※なお以下では平均の信頼区間について論じますが，分散の信頼区間もあります
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4

こういう状況と少し似ている
こないだのテスト，みんな40点ぐらいだよ～
みんなって誰よ？名前言ってみなさい！
AちゃんとB君とCさんが40点だよぉ
それじゃみんなじゃないでしょ！

じゃぁ，平均は30点から60点ぐらいだよぉ
ウソ言いなさい！平均90点なんじゃないの？

90点はあり得ないよぉ～
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5

信頼区間①
母集団と標本化

全部が無理なら一部だけ
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6

真の平均点を求めたい：例題
 お母さんは，子供が受けたテストの真の平均点を知りたくなった しかし，テストを受けた生徒は相当多いので，全員のテストの点数を聞くのは無理っぽい 数人なら聞けるかも...

 真の平均点はわかるのだろうか？

ウソ言ってないよ～九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

7

もちろん，ありとあらゆる生徒にテストの点数を聞けば，真の平均はわかるだろう
ありとあらゆる生徒にテストの点数を聞いて回る

さすがに
それは無理

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8

すべてのデータの集合＝母集団：
母集団全体は見えないことが多い
想定される
数が多すぎ

データ取得中に増減が起こりうる
全員は無理

コストが
かかる

ちなみに父集団ってのはありません．
お母さんとも無関係．
母集団の英訳は「population」です．
(mothers’ groupではないです)
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9

全部が無理なら一部だけ：標本
母集団：ありとあらゆる生徒

無作為抽出(ランダムサンプリング) 標本

81点
77点

知りようが
ない

67点

こちらは
わかる

𝑥:
ҧ 標本平均𝜇: 母平均= (81 + 67 + 77)/3 = 75
知りようが2（ありとあらゆる生徒の平均点)𝑠: 標本分散ない= (62 + 82 + 22 )/3 ≈ 34.7
𝜎 2 : 母分散
𝑁: 標本サイズ = 3（ありとあらゆる生徒の平均点からのばらつき)
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10

やりたいこと：標本平均から母平均を推定したい
母集団：ありとあらゆる生徒

無作為抽出(ランダムサンプリング)

標本①これを知りたいのだが，全生徒(母集団)が不可知なので知りようがない②標本を用いて計算できます𝜇: 母平均③なるべく𝑥:
ҧ 標本平均（ありとあらゆる生徒の平均点)
正確に
𝜎 2 : 母分散
𝑠 2 : 標本分散
推定したい 𝑁: 標本サイズ（ありとあらゆる生徒の平均点からのばらつき)
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11

この「信頼区間と統計的検定」のスライドでの仮定：
母集団の分布は正規分布
母集団: ありとあらゆる生徒

頻度

きっとこんな形!
母平均付近の点数が多く，そこからずれるとどんどん少なく

母平均

点数

(不明)

 この仮定により以下の議論がずいぶん簡潔に！

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12

信頼区間②
標本平均の分布「分布の平均」じゃなくて「平均の分布」
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13

異なる標本からは異なる標本平均が出る→ 𝑇回標本抽出すると𝑇個の標本平均が出る
母集団: ありとあらゆる生徒

標本１
標本平均 64点

標本２
標本平均 71点…

うーむ，どれが母平均に近いのか!?
(母平均はわからないのだけど...)標本𝑇

標本平均 95点
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14

とりあえず「標本平均の分布」を考えてみる：「分布の平均」じゃなくて「平均の分布」
母集団: ありとあらゆる生徒

標本１
標本平均 64点

標本２
標本平均 71点

頻度…

どんな分布と思います？

標本𝑇

標本平均𝑥ҧ

標本平均 95点

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15

ここでもし，母集団の分布が(母平均は不明だが)正規分布とわかってるなら…
母集団: ありとあらゆる生徒

きっとこんな形!

頻度

母平均付近の点数が多く，そこからずれるとどんどん少なく

母平均

点数

(不明)

頻度
どんな分布と思います？

標本平均𝑥ҧ
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16

なんと「標本平均の分布」も，
母平均を中心とした正規分布に！
母集団: ありとあらゆる生徒

きっとこんな形!

頻度

母平均付近の点数が多く，そこからずれるとどんどん少なく

母平均

点数

(不明)

頻度

母平均

標本平均𝑥ҧ
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17

皆さんがうっすら考えていることと一致しませんか？
 何人か選んで平均(=標本平均)をとる
 それは真の平均(=母平均)ではないはず 運が悪ければ，真の平均と全く違うこともあるだろう でも，真の平均と全く違うことは珍しいだろう どちらかと言えば真の平均に近いことのほうが多そう ということは，標本平均の分布はこんな感じ→
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18

疑問：どちらも母平均を中心とした正規分布だが，同じものなのか？
母集団: ありとあらゆる生徒

きっとこんな形!

頻度

母平均付近の点数が多く，そこからずれるとどんどん少なく

母集団の分布
母平均

点数

(不明)

頻度

同じもの?

標本平均の分布

母平均

標本平均𝑥ҧ
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19

答：分散(ばらつき)が違います
母集団: ありとあらゆる生徒

きっとこんな形!

頻度

母平均付近の点数が多く，そこからずれるとどんどん少なく

母集団の分布
母平均

点数

(不明)

分散(ばらつき)は「あるもの」によって変わります

頻度

分散が
違うのか！

標本平均の分布

母平均

標本平均𝑥ҧ
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20「標本平均の分布」のばらつきは
標本サイズ𝑁に依存 (1/3)
標本サイズ小母集団: ありとあらゆる生徒

標本平均
64点

標本サイズ大⇒
標本平均の
ばらつき小

標本サイズ大

標本平均
71点

標本平均
95点

標本サイズ大標本サイズ小母平均

標本平均 𝑥ҧ

標本平均
72点

標本平均
70点

標本平均
68点

まぁ確かに標本サイズが無限大になれば「母平均」からブレないだろう
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21「標本平均の分布」のばらつきは
標本サイズ𝑁に依存 (2/3)

「標本サイズを大きくして平均を求めれば，母平均に近づく(=母平均からのブレは少なくなる)」
この一見アタリマエにも見える傾向を，「大数の法則」と呼ぶ
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22「標本平均の分布」のばらつきは
標本サイズ𝑁に依存 (3/3)
 標本平均の分散（標本平均のばらつき）

2
𝜎𝑥ҧ =

2
𝜎

𝑁

標本サイズ𝑁が大きくなるほど，
ばらつき𝜎𝑥2ҧ はどんどん小さくというわけで，基本的にはデータは多いほうがよい

𝜎 2 : 母分散
𝑁: 標本サイズ
標本サイズ大𝜎𝑥2ҧ

標本サイズ小母平均

標本平均𝑥ҧ

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23

ここまでわかったこと
 全データ(母集団)から真の平均を求めたい 全データ調査は非現実的．普通は限られた標本しかない
 残念ながら，標本平均は，毎回変わり，真の値ではない
 ただし，母集団が正規分布ならば，標本平均は，平均＝「母平均𝜇」，分散＝「母分散𝜎 2 Τ𝑁」の正規分布に従う

参考：母集団が正規分布でなくても，𝑁が大きくなれば，標本平均の分布は正規分布に近づきます！→【付録1】中心極限定理
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24

この事実をなんとか使いたい

平均90点
ぐらいでしょ！

 全データ(母集団)から真の平均を求めたい 全データ調査は非現実的．普通は限られた標本しかない
 残念ながら，標本平均は，毎回変わり，真の値ではない
 ただし，母集団が正規分布ならば，標本平均は，平均＝「母平均𝜇」，分散＝「母分散𝜎 2 Τ𝑁」の正規分布に従う
みんなの平均も30～60点だよう この事実を使って，「この範囲に真の平均はありそう」

ぐらいは言えないか？

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25

信頼区間③
母分散がわかっている場合の信頼区間真の平均をピッタリ答えるのは無理だが，(ある程度の確からしさで) 「この範囲にありそう!」と答えることはできる
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26

さぁ，いま標本平均と標本分散は分かった！
これからどうする？
母集団：ありとあらゆる生徒

無作為抽出(ランダムサンプリング)

標本

とりあえず
わかっていること

標本平均 64点
標本分散 78
標本サイズ𝑁 = 3

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27

母平均(真の平均)はどの範囲にある？：
さらに母分散も(なぜか)わかっているなら（1/4）
 母分散𝜎 2 ＝すべての生徒のテストの点数の分散
 ふつうはこれが既知ということはないのだが...
2𝜎
母分散(𝜎 2 )がわかっている
2
𝜎𝑥ҧ =
𝑁
なので，広がり(= 𝜎𝑥2ҧ )もわかる

母平均

標本平均𝑥ҧ

母集団分布が正規分布ならば

母平均を中心とした正規分布にもちろん，母平均がわかっていないので，上の分布がどこを中心としているのかは「まだ」不明
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28

母平均(真の平均)はどの範囲にある？：
さらに母分散も(なぜか)わかっているなら（2/4）
 ところで正規分布の性質から…
𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎𝑥2ҧ = 𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎2
𝑁

95%
母平均𝜇

標本平均𝑥ҧ

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29

母平均(真の平均)はどの範囲にある？：
さらに母分散も(なぜか)わかっているなら（3/4）
 さて，いま一つの標本平均𝑥が求まったとしましょうҧ
𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎𝑥2ҧ = 𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎2
𝑁

95%
母平均𝜇

標本平均𝑥ҧ

𝑥=71点
ҧ九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

30

母平均(真の平均)はどの範囲にある？：
さらに母分散も(なぜか)わかっているなら（4/4）
 これをデータから定まる95%信頼区間を言います！
𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎𝑥2ҧ = 𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎2
𝑁

95%
母平均𝜇

標本平均𝑥ҧ

95%信頼区間𝜎2
71 ± 1.96
𝑁
ちゃんと区間として書くと71 − 1.96

𝜎2, 71 + 1.96
𝑁𝜎2𝑁 ＝「母平均の存在範囲」の推定結果！
 より正確な意味は後述
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

31

標本平均(ex. 71点)から，95%信頼区間をどうやって定めた??
幅は同じ

𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔 𝜎𝑥2෤= 𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎2
𝑁

95%
母平均𝜇

95%
標本平均𝑥ҧ

母平均𝜇71 ± 1.96なのでなので確率95%で次が成り立つ
母平均−1.96

𝜎2
𝑁≤標本平均≤ 母平均 + 1.96

𝜎2𝑁

標本平均𝑥が71点なら，ҧ
この範囲がデータから定まる
95%信頼区間に確率95%で次が成り立つ
𝜎2

標本平均−1.96

𝑁

単なる
移項

𝜎2
𝑁

≤ 母平均≤ 標本平均 + 1.96

𝜎2𝑁

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

32

𝑝%信頼区間の意味： 何度も標本平均を求め，その度にその区間を求めたら，それらのうち𝑝%は母平均を含む
 𝑝 = 95%の場合
𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎𝑥2ҧ = 𝜇 ± 𝟏. 𝟗𝟔

𝜎2
𝑁

95%
母平均𝜇

…

100回に約5回はハズレがある

標本平均𝑥ҧ

100回のうち約95回は信頼区間に母平均が入る

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

33

𝑝%信頼区間の意味： 何度も標本平均を求め，その度にその区間を求めたら，それらのうち𝑝%は母平均を含む
 𝑝 = 95% → 99%信頼区間にすると…
95%

𝜇 ± 2.57

𝜎𝑥2ҧ = 𝜇 ± 2.57

99%
100回に約1回しかハズレない!

母平均𝜇𝜎2
𝑁

標本平均𝑥ҧ

…

100回のうち約99回は信頼区間に母平均が入る ハズレないのはうれしいけど，区間幅が増加．母平均の姿はとらえにくくなる… なので…
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

34

100%信頼区間がいいなぁ～ 区間幅を無限大にすれば100%に しかし母平均がどの辺か全くわからないので無意味！

母平均𝜇

標本平均𝑥ҧ

…
 これに対し「5%犠牲にする」だけで(95%信頼区間)，範囲をグッと絞り込める

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2023年9月版
2024年4月版

35

信頼区間は狭いほうが嬉しそう．
では，どうすれば信頼区間を狭くできる？
 𝑝の値を小さくするのは，本末転倒…
 ならば標本サイズ𝑁を増やせばよい！
95%信頼区間の幅＝2 × 1.96
95%信頼区間の幅＝2 × 1.96

𝝈𝟐
𝑵

𝑁→大

𝑁 →小
95%

95%

母平均

𝝈𝟐
𝑵

標本平均𝑥ҧ

母平均

95%信頼区間

95%信頼区間

より広い(bad)より狭い(good)

標本平均𝑥ҧ

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

36

信頼区間④
母分散がわからない場合の信頼区間手元にある「標本分散」だけでなんとかしないと！
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

37

Q:普通は母分散がわからない．どうするか？
A: 標本サイズ𝑁が大きいなら標本分散で代用

標本サイズ𝑁= 例えば 100

標本平均 72点
標本分散𝑠 2 78 ≒ 母分散𝜎 2 と「みなす」

あとは「母分散がわかっているケース」と同じ
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

38

Q:母分散は不明，𝑁も小さい．さて，どうする？
 95%信頼区間なら，標本分散を使う代償に，1.96をもう少し大きくして，勘弁してもらう！

母分散

標本平均 ± 1.96

𝜎 2 Τ𝑁
標本分散※

標本平均64点𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)

※ここの定数は𝑁によってかわります．
𝑁 = 10の時，2.262
𝑁 = 5の時，2.776
𝑁 = 20の時，2.093
𝑁 = 50の時，2.010
𝑁 = ∞の時，1.960

定数

標本平均 ± 2.262

なぜこうなる
かは後述

15
10

5

𝑁

0
0

100

200

300

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

「母分散も不明，𝑁も小さい」場合の95%信頼区間と99%信頼区間 標本分散39※

標本平均 ± 2.262 𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)

 95%信頼区間

母平均𝜇

標本平均𝑥ҧ

1.96よりも大きい
2.262を使う※ ここの定数は𝑁によって変わります．
𝑁 = 10のときが2.262. 𝑁 = ∞で1.96

 99%信頼区間※※

標本平均 ± 3.250 𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)

母平均𝜇標本平均𝑥ҧ

2.57よりも大きい
3.250を使う※※ ここの定数も𝑁によって変わります．
𝑁 = 10のときが3.250. 𝑁 = ∞で2.57

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

40

平均90点
ぐらいでしょ！

ここまでのまとめ

90点は
信頼区間の
外側だよぉ

 標本平均から「𝑝%の確率で母平均が含まれる区間」がわかる
 「𝑝%信頼区間」と呼ぶ
 100回標本抽出すると，約𝑝回はその区間内に母平均がある
 母分散𝜎 がわかっているのなら信頼区間は 標本平均 ± 定数2𝜎2𝑁 𝑝 = 95(%)なら，定数=1.96

 母分散𝜎 2 がわからないときは，標本分散𝑠 2 を代わりにつかう 標本平均 ± 定数𝑠2
𝑁−1

 𝑝 = 95(%)なら，定数=2.262 (𝑁 = 10のとき)
 𝑁が小さいほど定数は大きく→範囲は広くなる．逆に𝑁 → ∞で定数→ 1.96
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

41

信頼区間⑤
母分散がわからない場合の詳細と
𝑡分布
なぜこんな
対応になったのか？

よくわからなければ，ここは読み飛ばしても何とかなる（？）
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

42

標準正規分布と標準化
 平均0で分散1の正規分布を「標準正規分布」と呼ぶ
 𝑥が平均𝜇で分散𝜎 2 の正規分布

→ 𝑧=

𝑥−𝜇

𝜎2

とすれば標準正規分布に！

任意の正規分布

標準正規分布

平均𝜇で分散𝜎 2 の正規分布

平均0で分散1の正規分布

分散𝜎 2

𝑧=
0

𝜇

𝑥

𝑥−𝜇

分散1

𝜎2
0

𝑧𝑧

 この変換を「(𝑥の)標準化」と呼ぶ
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版
 𝑥のスケールや単位に依存しない分布となる

43

標本平均𝑥の分布の標準化
ҧ 「標本平均𝑥の分布」＝「平均𝜇で分散ҧ𝜎 2 Τ𝑁の正規分布」
 なので，𝑧 =ҧ𝑥−𝜇𝜎 2 Τ𝑁とすれば標準正規分布に

標本平均の分布
平均𝜇で分散𝜎 2 Τ𝑁の正規分布

分散𝜎 2 Τ𝑁0𝜇𝜎 2 を用いて𝑥ҧ を𝑧に変換(標準化)𝑧=

標本平均𝑥ҧ

𝑥ҧ − 𝜇

母分散𝜎 2 を𝑁で割ったもの

標準正規分布分散1𝜎 2 Τ𝑁
0𝑧𝑧

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

44

標準正規分布から
母平均𝜇の信頼区間を求める

標本平均の分布
平均𝜇で分散𝜎 2 Τ𝑁の正規分布

分散𝜎 2 Τ𝑁𝑧=𝜇𝑥ҧ − 𝜇標準正規分布分散1𝜎 2 Τ𝑁95%

95%

0

𝜎 2 を用いて𝑥ҧ を𝑧に変換(標準化)

標本平均𝑥ҧ

0𝑧𝑧

𝜇の95%信頼区間は𝑥ҧ ± 1.96 𝜎 2 Τ𝑁ある標本から得た
標本平均𝑥ҧ

𝑧が ± 1.96の範囲内にある
確率が95% 2024年4月版
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／

45というわけで，信頼区間の求め方をまとめると(母分散𝜎 2 がわかっている場合)
𝑧=

ҧ
𝑥−𝜇
𝜎 2 Τ𝑁

で標準化したと考える

 𝑧が𝑝%入る範囲を，「標準正規分布表」で調べる

標準化されているので
𝜎 2 や𝑁によらずいつも同じ表が使える(標準化のメリット) 𝑝 = 95%なら±1.96と書かれている

Wikipedia “正規分布”より

𝑧 =

ҧ
𝑥−𝜇
𝜎 2 Τ𝑁が[−1.96, 1.96]に95%の確率で入ることがわかる

 𝑥ҧ − 𝜇 が[−1.96 𝜎 2 Τ𝑁 , 1.96 𝜎 2 Τ𝑁]に95%の確率で入ることがわかる
 母平均𝜇 の95%信頼区間が[𝑥ҧ − 1.96 𝜎 2 Τ𝑁 , 𝑥ҧ + 1.96 𝜎 2 Τ𝑁]とわかる

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

46

さてさて，母分散𝜎 2 が不明な場合，(𝑧への標準化ではなく) 𝑡へのスチューデント化を行う
 スチューデント化： 𝑡 =ҧ𝑥−𝜇𝑠 2 を用いて𝑥ҧ を𝑡に変換

平均𝜇で分散𝜎 2 Τ𝑁の正規分布(スチューデント化)𝑡=

母分散は不明0𝜇と似てる

𝑠 2 Τ(𝑁−1)

標本平均の分布分散𝜎 2 Τ𝑁

何となく標準化𝑥ҧ − 𝜇𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)

標本平均𝑥ҧ

 すると…
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

47

さてさて，母分散𝜎 2 が不明な場合，(𝑧への標準化ではなく) 𝑡へのスチューデント化を行う
 𝑡は（正規分布によく似た）𝑡分布に従うことが知られている

𝑠 2 を用いて𝑥ҧ を𝑡に変換

標本平均の分布
平均𝜇で分散𝜎 2 Τ𝑁の正規分布

分散𝜎 2 Τ𝑁𝜇※(スチューデント化)𝑡=

母分散は不明0𝑡分布𝑥ҧ − 𝜇𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)正規分布に似てる
けど，ちょっと違う𝑡

標本平均𝑥ҧ

※正確には「自由度𝑁 − 1の𝑡分布」と呼ぶ

 𝑡分布の式は，正規分布以上に「複雑」なのでここでは割愛…
 複雑具合を見てみたい人は，検索してみましょう！

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

48

𝑡分布は標準正規分布と似た形．
ただし，標本サイズ𝑁に応じて形が変わる
今の話で言えば𝜈 = 標本サイズ𝑁 − 1=標準正規分布①標本サイズ𝑁によってその形が変わる②標準正規分布より「すそ野が厚い」③標本サイズ𝑁 →大で
標準正規分布に近づく
wikipedia

だから区間幅が広くなる！
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49

𝑡分布で求めた母平均𝜇の信頼区間

𝑠 2 を用いて𝑥ҧ を𝑡に変換

標本平均の分布
平均𝜇で分散𝜎 2 Τ𝑁の正規分布

分散𝜎 2 Τ𝑁𝜇※(スチューデント化)𝑡=

母分散は不明0𝑡分布

標本平均𝑥ҧ

𝑥ҧ − 𝜇𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)正規分布に似てる
けど，ちょっと違う𝑡

95%信頼区間は𝑥ҧ ± 2.262 𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)
ある標本から得た
標本平均𝑥ҧ

𝑁 = 10のとき，𝑡が0 ± 2.262の範囲に入る確率は95%
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

50というわけで，信頼区間の求め方をまとめると(母分散𝜎 2 が不明の場合)
𝑡=

ҧ
𝑥−𝜇

でスチューデント化したと考える

𝑠 2 Τ(𝑁−1) 標本数𝑁のとき = 自由度𝑁 − 1のとき

𝑡が𝑝%入る範囲を「𝑡分布表」で調べる
 𝑁 = 10, 𝑝 = 95%なら±2.262と書かれている

𝑁−1

Wikipedia “Student's t-distribution”より

 𝑡=

ҧ
𝑥−𝜇
𝑠 2 Τ(𝑁−1)が[−2.262, 2.262]に95%の確率で入ることがわかる

 𝑥ҧ − 𝜇 が[−2.262 𝑠 2 Τ(𝑁 − 1) , 2.262 𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)]に95%の確率で入ることがわかる
 母平均𝜇 の95%信頼区間が[𝑥ҧ − 2.262 𝑠 2 Τ 𝑁 − 1 , 𝑥ҧ + 2.262 𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)]とわかる
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

51

統計的検定

「平均の差の検定」を例に九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

52

母平均は違うか？
違う？

母集団A

母集団B

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53

例えば…
全非喫煙者の寿命データA

違う
平均寿命？

全喫煙者の
寿命データB

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54とはいえ，標本平均しか手に入らないわけで…
全非喫煙者の寿命データA

違う
平均寿命？

手に入った
標本平均𝑥𝐴ҧ

全喫煙者の寿命データB

手に入った
標本平均𝑥ҧ𝐵
じゃぁ，𝑥𝐴ҧ ≠ 𝑥ҧ𝐵となれば「違う平均」かな…
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55

でも，標本平均って揺らぎますよね…
全非喫煙者の寿命データA

違う
平均寿命？

手に入った
標本平均𝑥𝐴ҧ

全喫煙者の寿命データB

手に入った
標本平均𝑥ҧ𝐵
そうか，そうすると

𝑥𝐴ҧ ≠ 𝑥ҧ𝐵 となっただけでは本当に違うのか判断できないよね…
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

56

うーん，だとすれば，差がある程度より大きければ「違う」とするしかないか…
全非喫煙者の寿命データA

手に入った
標本平均𝑥𝐴ҧ

違う
平均寿命？

全喫煙者の
寿命データB

手に入った
標本平均𝑥ҧ𝐵

𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵 >ある値
…でもこの「ある値」ってどうやって設定するの？
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

57

実は
全非喫煙者の寿命データA

手に入った
標本平均𝑥𝐴ҧ

違う
平均寿命？

全喫煙者の
寿命データB

手に入った
標本平均𝑥ҧ𝐵

𝑥𝐴ҧ と𝑥ҧ𝐵 にどれぐらい差があれば，どれぐらい自信をもって「平均は同じじゃない！」と言えるか，
実はいい方法があるんです！
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58

統計的検定①
検定の考え方と基本的手順

用語が面倒だったりしますが...
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59

統計的検定とは何で，いつ使うのか？
 「AとBは差がある」と統計的に言いたいときに使う
 事例
 東京と福岡で平均所得に差があるか？
 あるトレーニングの有無で能力に差が出たか？
 あるダイエット食品に効果があるか？
• ダイエット食品と食べた群と食べなかった群に差があるか？

 ある遺伝子がある病気の原因になるか？
• 「野生型」と「その遺伝子をノックアウトした型」で，病気の罹患率に差があるか？

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60

統計的検定の基本手順 (1/3)
 帰無仮説の設定
 言いたいことと反対の仮説(「AとBに差はない」)を立てる=
喫煙者と非喫煙者の寿命に差はないと考える差がないなら，
この標本平均の差はなんかおかしい 仮説の下で矛盾が起こることを証明
 ＝そもそも仮説が間違っていた

 帰無仮説(「AとBに差はない」)を棄却
 「差がない」ってのは間違い=
喫煙者と非喫煙者の寿命に差はないと考える

なんかすごく回りくどく見える
最初から「差がある」ことを示せばいいのでは？

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61

統計的検定の基本手順 (2/3)
回りくどく見えますが...
 「差がある」ことを直接証明するよりも 「差がない」ことを前提にして矛盾を導くほうが楽 いわゆる「背理法」
 「 2が有理数でない」ことを直接証明するよりも 「 2が有理数である」ことを前提にして矛盾を導くほうが楽 1つでも矛盾が見つかれば，それで否定できる点がありがたい！

正面から試行錯誤しながら追及するより，容疑者に自分の正しさを証明させながら，
そのほころびを(1つでも)見つけたほうが早い

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62

統計的検定の基本手順 (3/3)
もうちょっと詳細
 帰無仮説の設定
 言いたいことと反対の仮説(「AとBに差はない」)を立てる

 検定統計量の値を計算
 例えば標本平均の値
 確率の計算 上記の値が「どの程度起こりうるものなのかどうか」
 仮説の判定 そもそも仮説が間違っていた
 帰無仮説(「AとBに差がない」)を棄却

喫煙者と非喫煙者の寿命に差はないと考える

喫煙者と非喫煙者
それぞれの標本平均を得る

差がないのに，標本平均の差がこんなに大きくなるのは，珍しすぎ差がないと考えたのが間違いだった※厳密には、統計モデルの様々な仮定のうち，どれかが間違っていることを意味する．すなわち，帰無仮説だけでなく，研究デザインやサンプリング方法，サンプリングサイズなども，仮説の棄却要因になっている可能性もある．
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63

帰無仮説の矛盾が見つからなかった(=棄却できなかった)場合の考え方
𝐻0

帰無仮説𝐻0 ：差はない

棄却できなかった

棄却できた(「差はない」という仮説の矛盾を見つけた)
𝐻0 だとすればここはどうなってんだ？

う！そ，それは...

すみません，
𝐻0 はウソでした

帰無仮説𝐻0「差がない」を棄却(「差はない」という仮説が間違っていると言える
ほどの根拠がない)
うーむ，𝐻0 を突き崩すための十分な証拠がない...

「差がある」とも「ない」とも言えない(要は「フリダシに戻る」)
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64

統計的検定②2群の平均の差の検定：
目的と攻め方

二つの母集団の母平均に差があるかを，標本の平均を利用して検定！
最もよくある検定問題
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65

もっと一般的な検定課題：平均の差の検定(A大学もB大学も母平均は不明)
A大学の母集団

B大学の母集団
平均に差があるか？

 先に述べた以下の検定課題は，すべてこのタイプ
 東京と福岡で平均所得に差があるか？
 あるトレーニングの有無で差が出たか？
 あるダイエット食品に効果があるか？
 ある遺伝子がある病気の原因になるか？
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66

平均の差の検定～ダメな方法
A大学の母集団

B大学の母集団

こんな短絡的なテストではNG:
標本平均は揺らぐことを忘れずに！
(標本平均の差も揺らぐ)標本

𝑥𝐴ҧ と𝑥ҧ𝐵 は異なる↓
母平均は違う標本平均𝑥𝐴ҧ

標本平均𝑥ҧ

標本

𝐵
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67

平均の差の検定～実際の攻め方
A大学の母集団

B大学の母集団
母平均は異なる＝母集団の平均には差がある

この差以上は「母平均が等しい」という仮説下では起こりにくい

標本

𝑥𝐴ҧ と𝑥ҧ𝐵 の差
標本平均𝑥𝐴ҧ

標本平均𝑥ҧ

標本

𝐵
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／
2024年4月版

68

統計的検定③2群の平均の差の検定：
22群の母分散𝜎 が既知の場合

説明を簡単にするため，まず色々と仮定します
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

69

話を簡単にするための仮定 これまでと同様，「母集団𝐴, 𝐵の点数は，共に正規分布」
 「正規性の仮定」と呼ばれる
 さらに，母集団𝐴, 𝐵からの標本数は共に𝑁で等しい さらに，母集団𝐴, 𝐵の分散は共に𝜎 2 で等しい
 すなわち，𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 = 𝜎 2
 「等分散性の仮定」と呼ばれる
 さらに，ここ③では，母分散 𝜎 2 の値がわかっていることも仮定 次スライドで図示
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

70

ここでは，「母分散𝜎 2 の値は既知」
単に等しいことだけじゃなく，具体的な値までわかっている

A大学の母集団

母平均𝜇𝐴 は未知だが母分散𝜎 2 は既知

B大学の母集団

母平均𝜇𝐵 は未知だが母分散𝜎 2 は既知

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71

先述の通り，標本平均の分布は正規分布
A大学

母分散𝜎 2

B大学

母分散𝜎 2

母集団

母集団

標本

標本

標本平均の
分布
(正規分布)

標本平均の分布(正規分布)

標本平均の分散
母分散𝜎 2＝
標本サイズ𝑁
標本平均𝑥𝐴ҧ

母平均(未知)𝜇𝐴

標本平均の分散
母分散𝜎 2＝
標本サイズ𝑁

標本平均𝑥ҧ𝐵
母平均(未知)𝜇𝐵
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72

標本平均の分布から標本平均の「差」の分布もわかる
A大学

B大学

どんな分布？
標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵
標本平均の分布(正規分布)𝜎 2 Τ𝑁

標本平均𝑥𝐴ҧ

母平均(未知)𝜇𝐴

𝑥𝐴ҧ と𝑥ҧ𝐵 の差

𝜎 2 Τ𝑁

標本平均の分布(正規分布)

標本平均𝑥ҧ𝐵
母平均(未知)𝜇𝐵
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73

標本平均の分布から標本平均の「差」の分布もわかる
A大学
扱いやすい正規分布で助かったー

B大学

標本平均の
差の分布
(正規分布)

2𝜎 2 Τ𝑁
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵

標本平均の
分布
(正規分布)𝜎 2 Τ𝑁

標本平均𝑥𝐴ҧ

母平均(未知)𝜇𝐴

𝑥𝐴ҧ と𝑥ҧ𝐵 の差

𝜎 2 Τ𝑁

標本平均の分布(正規分布)

標本平均𝑥ҧ𝐵
母平均(未知)𝜇𝐵
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74

ちょっと解説：差の分布，分散は大きくなります
A大学

標本平均の
差の分布
(正規分布)

分散2倍になった

B大学

2𝜎 2 Τ𝑁
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵

なぜ差の分散は大きくなる？(一様分布を用いた，非常に)直観的な説明
分布Aの範囲(幅23)

-10

2

13

27

分布Bの範囲(幅25)A-Bの最小値=-10-27=-37, A-Bの最大値=13-2=11, なのでA-Bの範囲(幅48=23+25)-37

11九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

75

さぁ，いよいよ帰無仮説：「2大学の母平均には差がない」＝母平均は等しい!
A大学

帰無仮説下での

B大学

標本平均の
差の分布
(正規分布)

2𝜎 2 Τ𝑁0

標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵

母平均は等しい，すなわち𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 という仮説の下では
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0(ちょうどいい具合に未知項𝜇𝐴 , 𝜇𝐵 がなくなった!)
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

76

実際の差が分布のどこに来るかをテスト！
果たして帰無仮説は棄却されるか？
帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下の標本平均の差の分布

A大学

B大学

(平均0, 分散2𝜎 2 Τ𝑁 の正規分布)

母集団

母集団

95%
標本

標本

0
標本平均𝑥𝐴ҧ
Ex.90点差
標本平均𝑥ҧ𝐵
𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵
Ex.40点

上図のようになれば(めったに起きない程度の差が生じているので)
帰無仮説「差はない」は棄却，有意水準5%で「差がある」
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

77

どういう場合に「『差はない』帰無仮説」は棄却されやすいか？
帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下の標本平均の差の分布

A大学

B大学

(平均0, 分散2𝜎 2 Τ𝑁 の正規分布)

母集団

母集団

95%
標本

標本

0
標本平均𝑥𝐴ҧ
Ex.90点差
標本平均𝑥ҧ𝐵
𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵
Ex.40点 場合1: 𝑥𝐴ҧ と𝑥ҧ𝐵 の差(の絶対値)が大きい
 場合2: 母分散𝜎 2 が小さい
 場合3: 標本サイズ𝑁が大きい
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

78

有意水準はどうやって決める？
10%有意水準ならこの外側に来ないと5%有意水準ならこの外側に来ないと1%有意水準ならこの外側に来ないと条件クリアはより厳しい

0

標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ 𝐵 例えば命に係わるような話で，絶対安心して「差がある」と言いたい場合ほど，厳しく（有意水準を小さく．5%とかじゃなく，1%，もしくはそれ以下） 厳しくなるほど，大きな差が要求される
 分野によっては，ある程度定められている場合も九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

79

統計的検定④2群の平均の差の検定：2
母分散𝜎 がわからない場合

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

80

話を簡単にするための仮定 これまでと同様，「母集団𝐴, 𝐵の点数は，共に正規分布」
 「正規性の仮定」と呼ばれる
 さらに，母集団𝐴, 𝐵からの標本数は共に𝑁で等しい

この仮定は．
簡単な変更でなくすことができます→【付録2】

 さらに，母集団𝐴, 𝐵の分散は共に𝜎 2 で等しい
 すなわち，𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 = 𝜎 2
 「等分散性の仮定」と呼ばれる
 さらに，ここ③では，母分散 𝜎 2 の値がわかっていることも仮定 ここ④は，母分散の値まではわからないという，より一般的な状況
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

81

母分散がわからない．ピンチか？ (1/3)
A大学の母集団

B大学の母集団標本

母平均𝜇𝐴 は未知
母分散𝜎 2 も未知

母平均𝜇𝐵 は未知
母分散𝜎 2 も未知九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

82

母分散がわからない．ピンチか？ (2/3)
A大学の母集団

B大学の母集団標本
母平均𝜇𝐴 は未知
母分散𝜎 2 も未知

母平均𝜇𝐵 は未知
母分散𝜎 2 も未知標本平均の分布

標本
標本平均

標本平均の分散
母分散𝜎 2＝
標本サイズ𝑁

この母分散わからない→
標本平均の分布(揺らぎ)がわからない(=ピンチ!?)

標本平均
𝑥𝐴ҧ
九州大学
数理・データサイエンス教育研究センター／
2024年4月版

83

母分散がわからない．ピンチか？ (3/3)
A大学の母集団

B大学の母集団標本
母平均𝜇𝐴 は未知
母分散𝜎 2 も未知

母平均𝜇𝐵 は未知
母分散𝜎 2 も未知標本平均の分布

標本

標本分散𝑠 2 でなんとかしたい

標本平均
標本分散

標本平均
𝑥𝐴ҧ
九州大学
数理・データサイエンス教育研究センター／
2024年4月版

84ん？ 似た話，どっかで聞いた！？

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

85

母分散不明でも，母平均に差があるかを検定したい：

𝑡分布を使えば検定可能！ (𝑡検定)

母
分
散
が
わ
か
ら
な
い
場
合

母
分
散
が
わ
か
る
場
合

帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下のtの分布信頼区間と同様に𝑡分布が使えてよかったー(自由度2𝑁 − 2の𝒕分布)

群𝐴と𝐵の各標本分散 𝑠𝐴2 と 𝑠𝐵2 を併合した標本分散1𝑠 2 = (𝑠𝐴2 + 𝑠𝐵2 )
2

𝑡=

０

帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下の標本平均の差の分布

𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵2𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)

スチューデント化(平均0, 分散2𝜎 2 Τ𝑁 の正規分布)

2𝜎 2 Τ𝑁
標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵

０ 九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

86というわけであとは母分散既知の場合と同様，
帰無仮説を棄却できればOK
帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下のtの分布

A大学

B大学

(自由度2𝑁 − 2の𝒕分布)

母集団

母集団

95%
標本

𝑡

0
𝑡=

標本平均𝑥𝐴ҧ
Ex.90点標本

𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵2𝑠 2 Τ(𝑁 − 1)

差
標本平均𝑥ҧ𝐵
𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵
Ex.40点

上図のようになれば(めったに起きない程度の差が生じているので)
帰無仮説「差はない」は棄却，有意水準5%で「差がある」※𝑡分布は標準正規分布よりつぶれているので，
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版
同じ有意水準のためには母分散既知の場合より大きな差が必要(特に𝑁が小さいとき)

87

【付録1】
中心極限定理

標本サイズ𝑁が大きくなると，母集団の分布が正規分布でなくても標本平均の分布は正規分布に近づく！
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

88

面白い事実:標本サイズ𝑁が大きくなると,元の分布がどんな形※でも，「標本平均の分布」は正規分布に近づく！
母集団: ありとあらゆる生徒②標本サイズ𝑁を大きくすると※例外もあります

頻度③標本平均の分布は
母平均まわりの正規分布に近づく(分散は𝜎 2 Τ𝑁)

…

①元の分布
(母分散𝜎 2 )が全然正規分布じゃなくても，

母平均

点数

頻度

母平均

標本平均𝑥ҧ

なんだかスゴイこの事実を「中心極限定理」と呼びます
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2024年4月版

89

【付録2】
2群の標本サイズが異なる場合の𝑡検定

九州大学 数理・データサイエンス教育研究セン

90

2群で標本サイズが異なる場合
A群の標本サイズ𝑁𝐴 , B群は𝑁𝐵

母
分
散
が
わ
か
ら
な
い
場
合

母
分
散
が
わ
か
る
場
合

帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下のtの分布(自由度𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 − 2の𝒕分布)０𝑡=群𝐴と𝐵の各標本分散 𝑠𝐴2 と 𝑠𝐵2 を併合した標本分散
𝑁𝐴 𝑠𝐴2 + 𝑁𝐵 𝑠𝐵22𝑠 =𝑁𝐴 + 𝑁𝐵

𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵※𝑠 2 (1/𝑁𝐴 + 1/𝑁𝐵 )(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 )Τ(𝑁𝐴 +𝑁𝐵 − 2)

標準化
母分散→標本分散
1/𝑁𝐴 + 1/𝑁𝐵 → (1/𝑁𝐴 + 1/𝑁𝐵 )(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 )Τ(𝑁𝐴 +𝑁𝐵 − 2)

帰無仮説(𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 =0)下の標本平均の差の分布(平均0, 分散𝜎 2 (1Τ𝑁𝐴 + 1/𝑁𝐵 )の正規分布)

標本平均の差𝑥𝐴ҧ − 𝑥ҧ𝐵※標本分散の代わりに不偏標本分散というのを用いれば、
０ 九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／
2024年4月版
tの式がもう少しシンプルになる