大分工業高等専門学校紀要 第 52 号

(平成 27 年 11 月)

電気回路における相反性と相反定理についての考察

佐藤秀則
電気電子工学科

相反性は，電磁気学，構造力学，熱力学の分野でそれぞれの言い回しで知られており，それぞれの学問の基礎を支える重要な概念である．本小論では，電気回路における相反定理について主だった多くの教科書を比較し，相反性の定義が明確でないものや，その適用範囲について混乱を引き起こしやすいもの，証明が十分であるとはいえないものがあることを示すとともに，相反性の定義と相反定理，素子の相反性とを分離して明確にし，利用しやすいように新たに記述した相反定理についてその証明を与える．

キーワード : 相反定理，可逆定理，多ポート回路，テレヘンの定理

１．はじめに電気回路の中にはいくつかの重要な定理があり，それらの中に電気回路の重要な概念，性質が内包されている．ところで電気回路と言っても，直流回路，交流回路，過渡回

相反性の定義：n 個のポートをもつ多ポート回路 N に，ある外部回路
N 0 を接続したときの各ポートの電圧，電流をそれぞれ路，非線形回路など幅が広く，どの定理がどの範囲で利用(V1 , I 1 ), , (Vn , I n ) とし，別の外部回路 N̂ 0 を接続したときの各ポートの電圧，電流を (Vˆ , Iˆ ), , (Vˆ , Iˆ ) とする．

できるのかについて明確に学習できる教科書は意外に少この多ポート回路 N は次の条件を満たすとき相反性をない．例えばテレヘンの定理は非線形回路でも成り立つ．

もつといい，相反性をもつ多ポート回路を相反回路とい重ね合わせの原理は線形回路特有の定理であるが，テブナう．

11nn

V1Iˆ1 V2Iˆ2   Vn Iˆn Vˆ1I 1 Vˆ2I 2   Vˆn I nンの定理は外部回路が非線形であっても，置換する多ポート回路が線形であれば成り立つなどがある．
相反性は線形回路でもある限られた適用範囲での性質
ころがこの適用範囲について誤解があったり，証明が十分

上 記相 反性の 定義 によ れば， 線形 1ポート 素子 は，V  ZI  0 ，Vˆ  ZIˆ  0 が成り立つから，相反性をもつではないテキストがある．

ことがわかるが，線形性がわかればわざわざ相反性を持ちであるが，回路理論の基礎的な性質として重要である．と本小論では，まず相反性の定義，新たな表現の相反定理出すまでのことはないともいえる．

を紹介し，これらの意味を説明する．その上で電気回路に相反性の性質が顕著に表れるのは 2 ポート以上の相反おける相反定理について主だった多くの教科書を検討し，回路である．その例を図２(a)(b)に示す．中央の 2 ポート

相反性の定義が明確でないものや，その適用範囲について回路は線形抵抗だけから構成されており，相反定理から相混乱を引き起こしやすいもの，証明が十分であるとはいえ反性をもつといえる．一方， これらの回路ではないものがあることを示す．さらに，掲げた新たな記述の

V1Iˆ1 V2Iˆ2  120Iˆ1  0  Iˆ2  120Iˆ1相反定理についてその証明を与える．

Vˆ1I 1 Vˆ2I 2  0  I 1  120I 2  120I 2であるから，相反性により Iˆ1  I 2 が成り立つことがわか

２．電気回路の相反性と相反定理
まず本小論では，相反定理および相反性の定義を次のよる．相反性を利用すれば，図(a)の回路の I を求めるのに，うに定式化して議論を始めることとする．相反定理は最後より簡単な図(b)の回路の Iˆ に帰着させて次のように解くの章で証明する．

ことができる．

I  I 2  Iˆ1  Iˆ 相反定理：
相反回路を接続して構成される全体の多ポート回路は相反回路である．

―15―120
 6[A ]
10 // 10  15

実際電流 I は6[A]であることが計算でき，相反性からの大分工業高等専門学校紀要 第 52 号

I1

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I11I210ΩV1n ポート回路
NI1

1I22V2I22Inn15Ω10ΩIˆ1Iˆ210ΩIˆVˆ1n15ΩVˆ210Ω＋ 120V－＋(b)図２Iˆ1I

V2＋(a)

外部回路
N0VnIn＋ V－ 1120V

具体的な回路例

1Vˆ1n ポート回路
NIˆ11Iˆ22I1

Vˆ2

外部回路

Iˆ22Iˆnn

図１＋－EN̂ 0＋c

V1

回路 N
2 ポート

V2bId(a)VˆnIˆnI2

anIˆ1Iˆ2a

相反性cVˆ1Iˆ

結果が確認できる．

回路 N
2 ポート

Vˆ2bこれを一般化すると，図３(a)(b)の回路で中央の回路N＋ E－d＋(b)が相反性を満たすならば，図(a)のように一方のポートに電図３圧を加えたときのもう一方のポートの短絡電流 I と，電電圧源を接続した場合源と短絡辺とを入れ替え，逆に接続した図(b)の回路の短絡電流 Iˆ とが等しいことになる．

I1I2a

ところで相反性は上記の例のように電圧源を電源とする場合だけではない．双対な回路である図４の回路についcV1Jては以下のようになる．図(a)のように一方のポートに電流回路 N
2 ポート

V2Vbを流したときのもう一方のポートの開放電圧V と，電源d(a)と開放辺を入れ替えて，逆に接続した図(b)の回路の開放電圧Vˆ とは等しい．このことは相反性の定義の条件式から

Iˆ1

簡単に帰結できる．

cVˆ1Vˆ

では具体的にどのような多ポート回路が相反性をもつのか．上記に掲げた相反定理によれば回路を構成するそれb回路 N
2 ポート

Vˆ2Jd(b)

ぞれの素子が相反性をもてばよいといえる．
先に述べたように線形の抵抗，インダクタ，キャパシタ

図４は線形 1 ポート素子であるから相反性をもつ．1 ポートの電源は独立であれ，従属であれ相反性をもたないことは外V  ZI  0多ポート回路は多くの場合インピーダンス行列をもち次のように表すことができる．

電流源を接続した場合のように表現できる．

部に抵抗を接続して考えればすぐにわかる．

V1   Z11 Z12  V2   Z 21 Z 22
     V   Z
Zn2
 n   n1Iˆ2aVˆ  ZIˆ  0これから，(V1Iˆ1 V2Iˆ2   Vn Iˆn )  (Vˆ1I 1 Vˆ2I 2   Vˆn I n )V t Iˆ  I tVˆ  (ZI )t Iˆ  I t ZIˆ  (I t Z t )Iˆ  I t ZIˆ

 Z1n  I 1  
 Z 2n  I 2 0      Z nn  I n 

 I t (Z  Z t )Iˆ
したがってこの多ポート回路が相反性をもつための必要外部回路が異なる二つの場合を考えて，行列を用いれば次十分条件はインピーダンス行列が対称であることがわか―16―大分工業高等専門学校紀要 第 52 号

(平成 27 年 11 月)

３．教科書の相反定理の記述

る．
ｎポートの結合インダクタ(変成器)は，インピーダンス高等学校では電気回路は「電気基礎」の中で取り扱われ行列において Zij＝j Lij であり，対角項の Lii は自己インダるが，文部科学省の学習指導要領のなかには相反性を取りクタンス，それ以外の Lij は相互インダクタンスである．

上げることになっていない．相反性が電気回路の合成理論インダクタンスの表式である Neumann の公式など高度な内容において重要になってくる概念だけにこLij 

れは致し方ないと思われる．

 ij 01dl j  dli
I j 4 C C ri

ここでは参考論文にあげる 18 件の大学等で使用される

j

電気回路の教科書及び演習書について，相反定理の説明のによれば，Lij= Lji であることから，結合インダクタは相反在否，定理の表現方法，どのような回路に当てはまるかの性をもつことがわかる．

適用回路についての言及，証明方法，相反性の定義につい

しかし理想変成器はインピーダンス行列そのものが存て検討することにする．

在せず，そのため構成要素から外されて証明されているこ

18 件の中でより初心者向けと思われる 4 件の著作につとが多々ある．理想変成器は結合インダクタの特殊な場合

いては相反性もしくは相反定理についての記述がそもその極限であるから，相反性をもつことが予想されるが，極もなかった．残る 14 件については演習書も含め何らかの限操作では思わぬ不連続性が生じることもあるので確認説明があった．中には「可逆定理」という名称で紹介してが必要である．

いるものもあるが殆どは相反定理と称している．
相反定理の表現は大きく 4 つに分類される．

ｎポートの理想変成器の基本式は次のように表される．

V1 :V2 : :Vm  n1 : n2 : : nm
n1I1  n2I 2   nm I m  0(P1) 本小論と同様に多ポート回路のポート電圧・ポート

ここで，ni は各コイルの巻数である．第一式の比を k とす
れば，

V1Iˆ1 V2Iˆ2   Vn Iˆn Vˆ1I 1 Vˆ2I 2   Vˆn I n電流に対して次式が成り立つとする表現

V1Iˆ1 V2Iˆ2   Vn Iˆn  kn1Iˆ1  kn 2Iˆ2    knn Iˆn k (n Iˆ  n Iˆ    n Iˆ )(P2) 回路の閉路電流 Ii と閉路起電力 Ei について次式が成0E1Iˆ1  E 2Iˆ2    En Iˆn  Eˆ1I1  Eˆ 2I 2    Eˆ n I n

1 12 2り立つとする表現

n nとなって，相反性をもつことがわかる．

(P3) 図３の 2 ポート回路を想定し，一方のポートに電圧一方，電圧と電流に関して次の関係をもつジャイレータは相反性をもたない．

源 E を接続したときのもう一方のポートの短絡電流が，電圧源と短絡辺を入れ替えても同じになるとする表現(P4) (P3)の双対で，図４の 2 ポート回路を想定し，一方V1  RI 2  0
V2  RI1  0のポートに電流源 J を接続したときのもう一方のポートの開放電圧が，電流源と開放辺を入れ替えても同じになる

しかし，ジャイレータを２つ縦続接続された２ポート回路とする表現

は理想変成器と等価で相反性をもつことが簡単にわかる．

多いのが(P3)の表現で 6 件あった．その双対の(P4)は 1

線形の抵抗，インダクタ，キャパシタ，結合インダクタ，件．また双対であることを簡単に説明し，両方の表現があ

理想変成器は相反性をもつことがわかった．上に掲げた相ったのが１件，(P3)(P4)にさらにもう一つの同類の表現を反定理からこれらによって構成される多ポート回路が相加えたものが 1 件あった．次いで多かったのが(P2)の表現反性をもつことが帰結できる．この他にも結合インダクタで 4 件あった．文献 1)は文献 2)の大幅改定版であるが，に双対な結合キャパシタが相反性をもつが，利用されるこ

後者では(P2)であったものが，改訂版では(P1)で表現されとが殆どないのでここでその相反性を説明することは省ている．

略する．

次に適用範囲であるが，構成要素を RLC とするもの 1

一方，非線形素子，従属電源，独立電源，ジャイレータ

件，これに変成器を加えるもの 3 件，さらに理想変成器をは相反性をもたない．従って，独立電源やダイオード，ト加えたもの２件である．驚いたことに線形回路だという断ランジスタを含んだ回路は一般には相反性をもたないが，りしかないものが８件あった．前にも書いたようにジャイ

先に示したジャイレータの例にもあるように，非相反素子

レータは線形素子であるが相反性は持たないからこれはの結合により全体として相反性をもつこともありうる．

明らかに誤りである．

相反性は先に示した例題のような回路問題の解法に利次に証明について検討する．6 件は閉路方程式の係数行用されるにとどまらない．回路の電力の非負値性や，回路列が対称であること，1 件は多ポート回路のアドミタンス設計法の指導原理になる回路合成を考える際に重要な概行列が対称であることをよりどころにしている．2 件はテ念である．

レヘンの定理を元にしている．1 件は線形回路であるから―17―大分工業高等専門学校紀要 第 52 号

(平成 27 年 11 月)としているが，これはもちろん誤りである．演習書では証る．

明がないのは当然かと思われるが，標準的な教科書と思わどの書も定理の中に相反性を組みこんで述べられていれるものの中にも証明をしていないものが２冊あった．

るため，相反性が何なのかが不明確であり，その定義が示閉路方程式の係数行列や多ポート回路のアドミタンスされているものは皆無であった．

行列を利用する証明では，それらの対称性を前提にしてい以上多くの教科書と演習書の中での相反定理の取り扱るが，理想変成器も含めてなぜ対称であるかについてのきいについて検討してきたが，これほどの違いがある定理はちんとした説明がないものが殆どであり，不親切に思われ他にはないのではないかと思われる．これらの相違点に加え，明らかな間違いも含まれており，読者を混乱させていi 2=1Ai 4=3Aるのではないかと危惧する．
これらの検討を踏まえ，改善すべきことをまとめると次i 1=1Ai 3=2Ai 5=-3Aのようになる．(1)相反性の定義をはっきりすべきで，そのためには多ポート回路を前提とする．(2)多ポート回路が相反性をもつためにはその構成素子がどんなものであればよいのかを示すべき．(3)理想変成器も含め証明をわ(a)

かりやすくする．
v 2=-4Vv 4=-2V

本小論ではこれらの改善点を考慮して，まず相反定理とは独立して相反性の定義を述べ，この中で相反性をもつ主v 1=10V

v 3=6Vv 5=4V

体は多ポート回路であることをはっきりさせた．改善点(2)については構成素子に限定するのではなく，構成ブロックとしての多ポート回路が相反性をもてばよいとして再帰的な表現をとった．非相反のジャイレータの例でみた(b)
図４ように相反回路の構成素子が相反である必要はないのでテレヘンの定理の例題ある．このことも考慮して，本小論の冒頭に新たな表現の相反定理を紹介した．この定理の表現により，定理の中でi2i4構成要素を明らかにせずとも，理想変成器そのものが相反性を満たせばこれが含まれてよいことがわかりやすくな

i3i1j1j2i5ったと考える．

４．テレヘンの定理とその証明
相反定理の証明において利用される定理として，次のテ(a)レヘンの定理がある．
e1v2v1

e2v4

e3v3v5テレヘン(Tellegen)の定理
枝の数が b 個の同じ接続関係にある二つの回路があり，一方の回路の枝電流 ik(k＝1,2,・・・,b)が KCL を満たし，もう一方の回路の枝電圧 vk(k＝1,2,・・・,b)が KVL を満たすとき，b v jij  0(b)

j 1

図５

閉路電流と節点電位
具体例を図４に示す．二つの回路は接続関係が同じであれば素子は異なってもよい．図(a)は KCL を満たし，図(b)n1b2n2b4n3」

b1b3b5l1

は KVL を満足している．枝電流，枝電圧の向きは同じ向きにしている．次式に示すようにテレヘンの定理が成り立っていることがわかる．

l25v i  10 1  (4) 1  6  2  (2)  3  4  (3)  0j jj 1n0

テレヘンの定理がどうして成り立つかを図５(a)(b)を用
図６

回路の節点と閉路いて簡単に説明する． 図(a)では KCL から，図(b)では KVLからそれぞれ次の節点方程式，閉路方程式が得られる．

―18―

大分工業高等専門学校紀要 第 52 号

 i1  1  1 0 0 0  i2   0    
 0 1 1  1 0  i3    0 
 0 0 0 1 1  i   0 
 4  i
 5
 v1  
v2 
1 1  1 0 0    0 
 v 3   
 0 0 1 1  1   0 
v4 
 
 v5 (平成 27 年 11 月)

電流の存在が証明でき，枝電圧に関する条件を表す式②’から節点電位の存在が証明できるが，ここでは詳述を控え①，る．
これらの式から，次のようにテレヘンの定理の結論が得られる．
b

 v j i j  v i  (A e ) i  (e A)i  e (Ai )  e 0  0ttttttj 1b

 v j i j  i v  (B j ) v  ( j B )v  j (Bv )  j 0  0②tttttt

j 1以上テレヘンの定理を証明したが，証明に用いられたのは KCL と KVL のみであり，それぞれの素子特性は全く考慮

一方，図５(a)(b)のように閉路電流 j1，j2，の節点電位しなくてよい．したがって直流回路，交流回路，任意に時e1～e3 を定めると，枝電流，枝電圧は次のように表される．

間的に変化する回路でも成り立ち，素子の線形性をも必要 i1  1
  
 i 2  1
i    1
 3 
 i4   0   i5   00 0 j 1  1  j 2 1  1 v1  1
  v
1③，  2  v    0
 3 v4   0
   v5   00
0 e1  10 e 2 
 1 1 e3 0 1 01としない．また，結合インダクタや結合キャパシタ，理想変成器などの多ポート素子を含んでいても，ポート毎に考④えれば成り立つことを注意しておく．接続関係の同じ二つの回路を考えたが，同一の回路でも構わず，その場合は電力保存則を意味する．

式①と式④，式②と式③とを対比すると，それぞれの式５．相反定理の証明の中に現れる係数行列が互いに転置になっていることが相反性を証明したい対象となる m 個の相反回路からなわかる．このことを図４，５の各部の名称を定義した図６を用いて説明する．各素子が配置する枝を図のように b1

る n ポート回路を N とする．これから，図７(a)(b)のように m 個の相反回路 N1，…，Nm を引き出し，残りの接続～b5，各素子の接続される節点を n0～n3，独立した二つのだけの回路を N0 とする．相反性を証明するための二つの閉路を l1，l2 とする．
式①の左辺の係数行列の(k，m)要素は節点 nk と枝 bm と外部回路をそれぞれ N E ， N̂ E とし，それぞれのポートでの接続関係を表しており，枝 bm が節点 nk に向かっていれの電圧，電流の記号を図のように定める．

ば＋１，逆を向いていれば-１，接続していなければ０と

まず，相反回路 N1，…，Nm において，なっている．一方，式④の左辺の係数行列の(k，m)要素は

N1：V1,1Iˆ1,1   V1,p1 Iˆ1,p1  Vˆ1,1I 1,1   Vˆ1,p1 I 1,p1

節点 nm と枝 bk との接続関係を表しており，枝 bk が節点 nmに向かっていれば＋１，逆を向いていれば-１，接続して：いなければ０となっている．つまりこれらの係数行列が転Nm：Vm ,1Iˆm ,1   Vm ,pm Iˆm ,pm  Vˆm ,1I m ,1   Vˆm ,pm I m ,pm

置関係にあることがわかる．
式②の左辺の係数行列の(k，m)要素は閉路 lk と枝 bm と一方，図８(a)(b)に示すように単純に接続だけの回路 N0の接続関係を表しており，枝 bm が閉路 lk に含まれており同には，各ポートの電流，電圧を変えることなく外部に 1 ポ

じ向きをもつならば＋１，逆を向いていれば-１，含まれートの負荷もしくは電源を配置することが可能である．こていなければ０となっている．一方式③の左辺の係数行列の二つの回路にテレヘンの定理を適用すると，の(k，m)要素は閉路 lm と枝 bk との接続関係を表しており，枝 bk が閉路 lm に含まれており同じ向きをもつならば＋１，逆を向いていれば-１，含まれていなければ０となっている．つまりこれらの係数行列も転置関係にあることがわかる．
一般に電気回路では，行列やベクトル記号を用いると次のように表現できる．

Ai  0i B jt

V Iˆ   V Iˆ  V Iˆ   V Iˆ  0   V Iˆ   V Iˆ
Vˆ I   Vˆ I  Vˆ I   Vˆ I  0   Vˆ I   Vˆ I1 1n n

1,1 1,1m ,1 m ,11 1n n

1,1 1,1m ,1 m ,11, p1 1, p1m , pm m , pm1, p1 1, p1m , pm m , pm

これらの式から，次の結論が得られる．

①’，

Bv  0②’，③’，v Ae④’t

V1Iˆ1   Vn Iˆn Vˆ1I 1   Vˆn I n

理論的には枝電流に関する条件を表す式①’から閉路―19―大分工業高等専門学校紀要 第 52 号

(平成 27 年 11 月)

６．おわりに対象回路 NI 1,1相反性は電気回路の中でも基礎をなす重要な概念であポート数： nI 1,1I1(1,1) V1,1V1

り，多くの電気回路のテキストで相反定理が紹介されているが，理想変成器についての証明が十分でなく適用範囲に

1

相反回路 N1

ポート数： p1I 1,p1ついて混乱しやすい点を指摘した．さらに相反性と相反定

I 1,1(1, p1 ) V1,1

単純連結回路 N 0

外部回路 N E

ポート数：

ポート数： nn  p1    pm

I m ,1添えた．以上の提案により，次の特徴をもたせることができた．①相反性を多ポート回路の性質として双対な関係もI m ,1含んだ形で包括的に定式化された，②相反定理が再帰的に(m ,1) Vm ,1相反回路 N m
ポート数： pm

I m ,pm

理とを分離した新たな表現の相反定理を掲げ，その証明を

I m ,pmIn(m , pm ) Vm ,pmVn

述べられており，構成要素についての説明が容易になった．
また，証明では閉路方程式の係数行列やインピーダンス行n列の対称性を利用することなく，テレヘンの定理および素(a)子の双方向性ともいうべき性質がその根幹にあることを対象回路 NIˆ1,1相反回路 N1
ポート数： p1

改めて示すことができた．

ポート数： nIˆ1,1Iˆ1(1,1) Vˆ1,1Vˆ1Iˆ1,p11

参考文献

Iˆ1,1(1, p1 ) Vˆ1,1

単純連結回路 N 0

外部回路 N̂ E

ポート数：

ポート数： nn  p1    pmIˆm ,1団法人電気学会，2008．
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相反回路 N m
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図８(2015.9.30 受付)

証明に用いる回路(2)―20―