書籍「図式と操作的確率論による量子論」 補足スライド図式で学ぶ量子論
中平 健治
公開月：2022年10月，更新月：2022年12月
有限次元系の量子論の数学的構造と操作的・確率的な性質について紹介しています。
量子論について一度は触れたことがある人を対象にしています（量子論に詳しい必要はありません）。
本書を読んでいなくても概ね理解できるように書いていますが，補足スライド「図式で学ぶ線形代数」の知識を前提とします。
なお，本書とは異なり，本スライドでは操作的確率論を経由せずに古典論や量子論の性質を述べています。
読みやすさを優先して，本書の定義とは若干異なる定義を採用している箇所があります。

各スライドに補足を加えたものをnote記事として公開しています： https://note.com/kenji_nakahira/

0

主な表記
𝐼𝐼
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐵𝐵
𝐒𝐒𝐒𝐒𝐴𝐴
𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐴𝐴𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒∘⊗
id𝐴𝐴ℝ≥0 , ℝ>0
ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛𝒮𝒮 ∗ , 𝑽𝑽∗
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚
C𝑓𝑓
𝑋𝑋 𝑌𝑌
⟨𝑋𝑋|
𝑓𝑓∪
𝑛𝑛
N
𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛𝑓𝑓 ≤ 𝑔𝑔F
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐵𝐵∪𝑛𝑛 ,∩𝑛𝑛

自明な系（何もない系）
系𝐴𝐴から系𝐵𝐵へのプロセス全体
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐼𝐼→𝐴𝐴 （系𝐴𝐴の状態全体）
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐼𝐼 （系𝐴𝐴のエフェクト全体）
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐼𝐼→𝐼𝐼 （スカラー全体）プロセスの直列接続（または合成）プロセスの並列接続（またはテンソル積）
系𝐴𝐴上の恒等プロセス
非負の実数全体，正の実数全体
𝑛𝑛次複素正方行列全体
凸錐𝒮𝒮の双対錐，ベクトル空間𝑽𝑽の双対ベクトル空間
𝑛𝑛次半正定値行列全体（𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏1→𝑛𝑛 と同一視する）
𝑛𝑛次エルミート行列全体（𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇1→𝑛𝑛 と同一視する）ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 への完全正値写像（CP写像）全体ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 へのエルミート保存な写像全体
CP写像𝑓𝑓のChoi行列，プロセス𝑓𝑓のChoi状態（格下げ）
𝑋𝑋と𝑌𝑌のヒルベルト-シュミット内積 Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋写像𝑌𝑌 ↦ 𝑋𝑋 𝑌𝑌
𝑓𝑓の格下げ系𝑛𝑛の放棄エフェクト
系𝑛𝑛の正規状態全体
𝑔𝑔 − 𝑓𝑓がプロセス系𝐴𝐴から系𝐵𝐵への実現可能なプロセス全体（𝐒𝐒𝐒𝐒𝐴𝐴F , 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐴𝐴F も同様）
cup状態，capエフェクト

1

目次
1. 操作論と量子論
2. CP写像
3. 確率論としての古典論・量子論
4. プロセスの表現

2

この資料の立場
量子論の「操作的・確率的なふるまい」と「数学的構造」との関係を理解することは，（恐らく多くの人にとって）古典論ほど容易ではない

注： この資料では，量子力学というより量子情報理論または量子確率理論のようなものを量子論とよんでいる

この資料では，「ある数学的構造をもつ理論」として（有限次元系の）量子論を定めた後で，その操作的・確率的なふるまいとの関係について論じる■標準的な量子論の書籍との共通点・相違点●共通点
・ （細かな点を除けば）本質的に同じ数学的構造を対象としている
・ 公理などの中に「複素ヒルベルト空間」や「CP写像」といった抽象的で直観的ではない
数学の概念が現れる
注：本書のWeb補遺では，抽象的な数学の概念を用いずに量子論の数学的構造を導出する試みの一つを紹介する●相違点

標準的な書籍

この資料

公理

物理的な概念に基づく（若干不明瞭な場合も？）数学的な概念に基づく物理量などの物理用語用いる

ほぼ用いない状態の連続変化扱う

扱わない主役となる概念

状態と測定

プロセス

状態や測定の扱い

まずは純粋状態や理想測定のみを考える

すべての状態・測定を考える

注：ミクロな物体の物理的性質やシュレディンガー方程式などはこの資料では扱わない

3

[余談] モンティ・ホール問題（の抽象化＆一部拡張）1/4
次の問題を考える

注： この問題は， 「直観に反する問題※」として有名な
モンティ・ホール問題とよばれる問題と実質的に同じ問題 アリスとボブの2人で，次の4ステップからなるゲームを行う
ステップ1：ボブが0,1,2のうちいずれかを確率1/3ずつでランダムに選ぶ（選んだ値を正解とよぶ）
ステップ2：アリスは正解を推測し，推測した値（𝑎𝑎とおく）をボブに伝える
ステップ3：ボブは𝑎𝑎以外の値（𝑏𝑏とおく）を1個選んでアリスに伝える。
ただし，𝑎𝑎または𝑏𝑏のいずれかが正解であるように𝑏𝑏を選ぶ
ステップ4：アリスは必要ならば推測結果を𝑏𝑏に変更する（変えなくてもよい）
アリスは正解率をできるだけ高くしたいが，ボブは（値𝑏𝑏を伝えることを除けば）アリスに協力することはない
アリスはステップ4で推測結果を𝑏𝑏に変えるべきか？
ここでは，（オリジナルの問題の拡張として）ステップ2において正解に関する情報のいくらかがアリスに漏れている可能性があることを想定する
備考： この問題は古典的な確率の問題であり，図式を使って考えられる
古典論と量子論で用いる図式は似ているので，はじめに雰囲気をつかんでもらうためこの問題を例として扱うことにした図式などの詳しい説明は省略するが，雰囲気をつかんでほしい
注： 図式を用いた計算についての詳しい説明は省略するため完全には理解困難かもしれないが，何となく理解してもらえればありがたい（図式に慣れればすぐに計算できて直観的）
4

[余談] モンティ・ホール問題（の抽象化＆一部拡張）2/4
まず，ステップ3までを線形代数の図式を使って表す（図式を「下側から読む」とわかりやすいと思う）
アリス

時間

ボブ
値𝑏𝑏をアリスに伝える
行列𝑔𝑔はボブが行う操作を表す

ステップ3
推測結果𝑎𝑎をコピーしてボブに伝える

ステップ2

行列𝑓𝑓はアリスが行う操作（＆正解がアリスに漏れる過程）を表す
正解に関する情報がアリスに漏れていることを想定

正解をコピーする（コピーはスパイダーで表せる）

ステップ1
正解が一様分布にしたがうことを列ベクトル 1,1,1 T ⁄3 で表している

注1： 図式上の線はすべてベクトル空間ℝ3 を表し，線のラベルは省略している
注2： 行列𝑓𝑓と𝑔𝑔は確率分布（を表す列ベクトル）を確率分布に変換するような行列でなければならない
また，アリスが施せる最適な𝑓𝑓は，正解に関する情報が漏れる度合いに応じて変わる

5

[余談] モンティ・ホール問題（の抽象化＆一部拡張）3/4■推測結果を変えなかった（𝑎𝑎を選んだ）ときの正解率𝑃𝑃𝑎𝑎
値𝑎𝑎に 𝑖𝑖 を施して𝑏𝑏を「捨てる」（ 𝑖𝑖 は正解|𝑖𝑖⟩の転置）

𝑔𝑔の出力を「捨てる」ことは𝑔𝑔の入力を「捨てる」ことと同じ「捨てる」ことはスパイダーで表せる

3𝑃𝑃𝑎𝑎 = ∑𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖,𝑖𝑖（𝑓𝑓の対角成分の和に等しい）■変えた（𝑏𝑏を選んだ）ときの正解率𝑃𝑃𝑏𝑏
𝑏𝑏に 𝑖𝑖 を施して𝑎𝑎を「捨てる」

注： スパイダー同士は一つにまとめられるというイメージをもつと理解しやすいかも

注： 𝑓𝑓𝑗𝑗,𝑖𝑖 ≔ 𝑗𝑗 𝑓𝑓 𝑖𝑖 は𝑓𝑓の𝑗𝑗行𝑖𝑖列目の成分
𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑗𝑗 ⊗ 𝑖𝑖

= 1 − 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑗𝑗 よりわかる

3𝑃𝑃𝑏𝑏 = ∑3𝑖𝑖=1 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑗𝑗,𝑖𝑖（𝑓𝑓の非対角成分の和に等しい）6

[余談] モンティ・ホール問題（の抽象化＆一部拡張）4/4
このため，「対角成分の和」が「非対角成分の和」を超えるような行列𝑓𝑓をアリスが利用できない限り，推測結果を変えた（𝑏𝑏を選んだ）ほうが正解率が高い
具体例を2例挙げておく■正解に関する情報が全くアリスに漏れなかった場合
アリスが利用できる𝑓𝑓は
𝑝𝑝0 𝑝𝑝0 𝑝𝑝0
𝑓𝑓 = 𝑝𝑝1 𝑝𝑝1 𝑝𝑝1 （ただし，𝑝𝑝0 , 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ≥ 0, ∑3𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1）𝑝𝑝2 𝑝𝑝2 𝑝𝑝2の形で表されるため，𝑃𝑃𝑎𝑎 = 1⁄3 および 𝑃𝑃𝑏𝑏 = 2⁄3 になるしたがって，推測結果を変えるべき（正解率は2倍になる）■正解に関する情報が完全にアリスに漏れた場合
アリスは1
𝑓𝑓 = 0
0

0 0
1 0
0 1

を利用できる（これは正解を知っているので当然）
このとき 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 1 および 𝑃𝑃𝑏𝑏 = 0 になる
したがって，このような𝑓𝑓を選んだときは推測結果を変えるべきではない
注： わざと間違えるように𝑎𝑎を選んでおいて推測結果を変えるという戦略もとれる

7

操作論■操作論とは？
物体の操作的な性質を論じる汎用的な理論（直観的には「データフロー図」の理論）
圏論に詳しい人向け： （厳密）対称モノイダル圏と本質的に同じ構造を扱う理論のことを単に操作論とよんでいる■プロセス
物理デバイスのふるまいをモデル化したものを「プロセス」とよぶ（入力系と出力系をもつ）
系𝐴𝐴から系𝐵𝐵へのプロセス全体から成る集合を𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐵𝐵 とおく

自明な系とよぶ系𝐼𝐼があるとする（直観的には「何もない」系に対応）プロセスの特別な場合として，状態，エフェクト，スカラーを次のように定めるプロセス
𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐵𝐵

特別な場合

状態
𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝐵𝐵 ≔ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐼𝐼→𝐵𝐵

備考：

𝐴𝐴 = 𝐼𝐼の場合

エフェクト
𝑒𝑒 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐴𝐴 ≔ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐼𝐼スカラー
𝑎𝑎 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒 ≔ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐼𝐼→𝐼𝐼𝐵𝐵 = 𝐼𝐼の場合

𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐼𝐼の場合

図式では，プロセスをブロックで表し，系を線で表す（スカラーのブロックや系𝐼𝐼は通常省略）

8操作論の規則1/4：直列接続と並列接続プロセスを直列接続や並列接続して新たなプロセスを作れるとする
直列接続 𝑔𝑔𝑔𝑔（または𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓）

並列接続 𝑓𝑓 ⊗ ℎ

系も並列接続できる
注： 直列接続𝑔𝑔𝑔𝑔は，𝑔𝑔の入力系と𝑓𝑓の出力系が同じ場合にのみ行える（以下，𝑔𝑔𝑔𝑔のように表した場合には直列接続が行えることを暗に仮定する）
並列接続は，任意の2個のプロセスに対して行える

備考1： 操作論の操作とは，「プロセスを接続すること」といえる
備考2： 𝑔𝑔𝑔𝑔 は逐次処理（𝑓𝑓を施してから𝑔𝑔を施す），𝑓𝑓 ⊗ ℎ は並列処理（𝑓𝑓とℎを並列に施す）とイメージするとよいかも

9操作論の規則2/4：接続の規則
直列接続や並列接続は次の規則にしたがう
(1)

(2)

𝑓𝑓 ′ ⊗ 𝑔𝑔′ ⊗ ℎ′ = 𝑓𝑓 ′ ⊗ 𝑔𝑔′ ⊗ ℎ′(3)

ℎ 𝑔𝑔𝑔𝑔 = ℎ𝑔𝑔 𝑓𝑓

規則(1)と(2)は，「直列接続と並列接続は結合律を満たす」ことを意味する（規則(2)より，系の並列接続も結合律を満たすことがわかる）

𝑔𝑔1 ⊗ 𝑔𝑔2 𝑓𝑓1 ⊗ 𝑓𝑓2 = 𝑔𝑔1 𝑓𝑓1 ⊗ 𝑔𝑔2 𝑓𝑓2

10

操作論の規則3/4：恒等プロセスの存在
各系𝐴𝐴に対して恒等プロセスとよばれるプロセス id𝐴𝐴 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴→𝐴𝐴 が存在して次の三つの条件を満たす
備考： 直観的には，id𝐴𝐴 は「何もしないプロセス」とみなせる

(1)

(3)

恒等プロセスは単なる線で表す

id𝐵𝐵 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ∘ id𝐴𝐴

(2)

id𝐴𝐴 ⊗ id𝐵𝐵 = id𝐴𝐴⊗𝐵𝐵

id𝐼𝐼 ⊗ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ⊗ id𝐼𝐼

ここから 𝐼𝐼 ⊗ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ⊗ 𝐼𝐼 がわかる

備考： 各系𝐴𝐴に対して恒等プロセスid𝐴𝐴 が1個しか存在しないことを示せる

11

操作論の規則4/4：交換プロセスの存在
各系𝐴𝐴, 𝐵𝐵に対して交換プロセスとよばれるプロセス ×𝐴𝐴,𝐵𝐵 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐴𝐴⊗𝐵𝐵→𝐵𝐵⊗𝐴𝐴 が存在して次の二つの条件を満たす(1)

備考： 直観的には，×𝐴𝐴,𝐵𝐵 は「系の順序を交換するプロセス」とみなせる(2)

×𝐵𝐵,𝐴𝐴′ id𝐵𝐵 ⊗ 𝑓𝑓 ×𝐴𝐴,𝐵𝐵 = 𝑓𝑓 ⊗ id𝐵𝐵

×𝐴𝐴,𝐵𝐵⊗𝐶𝐶 = id𝐵𝐵 ⊗×𝐴𝐴,𝐶𝐶 ×𝐴𝐴,𝐵𝐵 ⊗ id𝐶𝐶12

[余談] 圏論超入門
定義 以下の規則を満たすものを圏とよぶ(1) 入力系と出力系をもつ「プロセス」がある（プロセスは射，系は対象とよばれる）(2) プロセスは直列接続でき，直列接続は結合律を満たす
直列接続 𝑔𝑔𝑔𝑔（𝑔𝑔𝑔𝑔 もプロセス）

直列接続𝑔𝑔𝑔𝑔は，𝑔𝑔の入力系と𝑓𝑓の出力系が同じ場合にのみ行える

結合律ℎ 𝑔𝑔𝑔𝑔 = ℎ𝑔𝑔 𝑓𝑓(3) 各系𝐴𝐴に対して入出力系がともに𝐴𝐴であるプロセス id𝐴𝐴 （恒等射とよばれる）が存在して以下を満たす
id𝐵𝐵 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ∘ id𝐴𝐴

注： この資料で用いる図式（ストリング図）は，圏論で用いられる可換図式の双対（厳密にはポアンカレ双対）とみなせる

備考： 系が一つしかない圏はモノイド，すべてのプロセスが可逆なモノイドは群とよばれる操作論（≒厳密対称モノイダル圏）は，圏に対して「並列接続」をうまく導入したものといえる
13

操作論の例1：線形代数
行列をプロセス，ヒルベルト空間（or ベクトル空間）を系とし，行列の積を直列接続，テンソル積を並列接続とする

プロセスは行列系はヒルベルト空間

系
プロセス
プロセス空間自明な系

直列接続は積状態
エフェクト
並列接続はテンソル積

スカラー
直列接続
並列接続
恒等プロセス
交換プロセスℂ𝑛𝑛 の代わりにℝ𝑛𝑛 やより一般的な空間を考えてもよい

複素ヒルベルト空間 ℂ𝑛𝑛
複素行列 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛ℂ = ℂ1

列ベクトル 𝑣𝑣 ∈ ℂ𝑛𝑛 = ℂ𝑛𝑛×1

行ベクトル 𝑤𝑤 ∈ ℂ𝑛𝑛∗ = ℂ1×𝑛𝑛
複素数 𝑧𝑧 ∈ ℂ = ℂ1×1行列の積行列のテンソル積

単位行列 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛

交換行列 ×𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℂ𝑚𝑚𝑚𝑚×𝑚𝑚𝑚𝑚

任意の 𝑥𝑥 ∈ ℂ𝑚𝑚 , 𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑛𝑛 に対して 𝑥𝑥 ⊗ 𝑦𝑦 を 𝑦𝑦 ⊗ 𝑥𝑥 に写す行列

この例では，各系𝐴𝐴 について「𝐴𝐴の状態全体から成る集合」を𝐴𝐴自身と同一視できる（本書やこの資料では，このような同一視が可能な操作論のみを扱う）

14

操作論の例2：集合と写像
写像をプロセス，集合を系とし，写像の合成を直列接続，直積を並列接続とする
系
プロセス
プロセス空間
自明な系
状態
エフェクト
スカラー

集合 𝒳𝒳

写像 𝑓𝑓 ∈ F 𝒳𝒳, 𝒴𝒴
F 𝒳𝒳, 𝒴𝒴

1個の要素から成る集合 𝐼𝐼 = ∗要素 𝑥𝑥 ∈ 𝒳𝒳 = F 𝐼𝐼, 𝒳𝒳

常に∗を出力する写像
𝐼𝐼の要素∗

直列接続

写像の合成

並列接続

写像の直積

恒等プロセス

恒等写像

交換プロセス

写像 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ↦ 𝑦𝑦, 𝑥𝑥

集合𝒳𝒳から集合𝒴𝒴への写像全体をF 𝒳𝒳, 𝒴𝒴 と表す
𝐼𝐼の要素を∗とおく

𝑥𝑥 ∈ 𝒳𝒳は写像 𝐼𝐼 ∋∗↦ 𝑥𝑥 ∈ 𝒳𝒳と同一視できる

𝑓𝑓とℎの直積とは 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 を
𝑓𝑓 𝑥𝑥 , ℎ 𝑦𝑦 に写す写像のこと

15操作論の例3：プログラム関数（or 1個以上のコマンドの並び）をプロセス，変数の型を系とし，逐次処理を直列接続，並列処理を並列接続とする
系

変数の型（intなど）

プロセス

関数（or コマンドの並び）

プロセス空間入出力の型を固定した関数全体

自明な系

1個の値のみをもつ型 𝐼𝐼 = ∗

状態
エフェクト
スカラー

型𝑋𝑋の値𝑥𝑥

常に∗を出力する関数

𝐼𝐼の値を∗とおく

𝑥𝑥は∗を入力して𝑥𝑥を出力する関数と同一視できる

𝐼𝐼の要素∗

直列接続

逐次処理

並列接続

並列処理

恒等プロセス

入力をそのまま出力する関数

交換プロセス

入力の順序を入れ替える関数

注： プログラムは原理的には操作論で表せるが，処理が複雑すぎて厳密な処理を操作論の図式で素直に表せないような場合も少なくない

備考： 各種の作業手順（料理のレシピなど）も同様に操作論として扱える

16操作論の例4：可換群「和」が定義されている集合を可換群とよぶ

注1： 和は，(1)結合律，(2)単位元と逆元の存在，(3)交換律，の3条件を満たしている必要がある。
可換群の例は，整数全体ℤや実数全体ℝやベクトル空間ℂ𝑛𝑛
注2： 𝑎𝑎を𝑛𝑛回足すことを𝑛𝑛𝑛𝑛と書き，−𝑎𝑎を𝑛𝑛回足すことを−𝑛𝑛𝑛𝑛と書くことで，「整数倍」を自然に定義できる

和を保存する写像を群準同型とよぶ

注： 可換群𝐺𝐺から可換群𝐻𝐻への群準同型全体から成る集合を𝐺𝐺 → 𝐻𝐻と表す（𝐺𝐺 → 𝐻𝐻にも和が定義できて可換群になる）

群準同型をプロセスとする操作論が考えられる（つまり，和さえあれば操作論が作れる）
系
プロセス
プロセス空間可換群 𝐺𝐺

群準同型 𝑓𝑓 ∈ 𝐺𝐺 → 𝐻𝐻
𝐺𝐺 → 𝐻𝐻

自明な系

整数全体から成る集合ℤ

状態

要素 𝑔𝑔 ∈ 𝐺𝐺 = ℤ → 𝐺𝐺

エフェクト
スカラー

ℤ → 𝐺𝐺の要素

𝑔𝑔 ∈ 𝐺𝐺は写像 ℤ ∋ 𝑧𝑧 ↦ 𝑧𝑧𝑧𝑧 ∈ 𝐺𝐺と同一視できる

整数

直列接続

群準同型の合成

並列接続

群準同型のテンソル積

恒等プロセス

恒等写像

交換プロセス

写像 𝑔𝑔 ⊗ ℎ ↦ ℎ ⊗ 𝑔𝑔

テンソル積はベクトル空間と同様の方法で定められる。
𝐺𝐺 ⊗ 𝑋𝑋 → 𝐻𝐻 ≅ 𝐺𝐺 → 𝑋𝑋 → 𝐻𝐻 を満たす

線形代数は，可換群の操作論において「整数倍」を実数倍や複素数倍に拡張したものといえる

17

古典論
次の公理を満たす操作論を古典論（または古典確率論）とよぶ
公理 (1) 系は自然数であり，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 = ℝ𝑚𝑚×𝑛𝑛≥0 （𝑚𝑚, 𝑛𝑛は自然数）(2) 直列接続は行列の積に等しく，並列接続は行列のテンソル積に等しい

注1： ℝ𝑚𝑚×𝑛𝑛≥0 は𝑚𝑚行𝑛𝑛列の非負行列全体から成る集合
注2： 系𝑛𝑛はℝ𝑛𝑛≥0 と捉えてもよい
注3： この資料では話を簡単にするため 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 と ℝ𝑚𝑚×𝑛𝑛
を同一視しているが，本書ではこれらを区別している≥0（後述の量子論でも同様の同一視を行う）

公理(1)は，系𝑛𝑛から𝑚𝑚へのプロセスが𝑚𝑚 × 𝑛𝑛非負行列であることを意味している

状態，エフェクト，スカラーは次のように定まるプロセス
𝑓𝑓 ∈ ℝ𝑚𝑚×𝑛𝑛
≥0

特別な場合

状態
𝜌𝜌 ∈ ℝ𝑚𝑚≥0

備考： 𝑛𝑛 = 1の場合

エフェクト
1×𝑛𝑛
𝑒𝑒 ∈ ℝ𝑛𝑛∗≥0 = ℝ≥0

スカラー
𝑎𝑎 ∈ ℝ≥0𝑚𝑚 = 1の場合

𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 = 1の場合

𝑛𝑛
注： ℝ𝑛𝑛∗≥0 はℝ≥0 の双対錐

公理(2)により，プロセスの直列接続と並列接続を定めている18

古典論（続き）
公理から，次の表が得られる
系
プロセス
プロセス空間
自明な系
状態
エフェクト
スカラー
直列接続
並列接続

自然数𝑛𝑛（or ℝ𝑛𝑛≥0 ）非負行列

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 = ℝ𝑚𝑚×𝑛𝑛≥01（or ℝ≥0 ）非負列ベクトル 𝑣𝑣 ∈ ℝ𝑛𝑛≥0

非負行ベクトル 𝑤𝑤 ∈ ℝ𝑛𝑛∗≥0
非負の実数 𝑝𝑝 ∈ ℝ≥0「確率分布の遷移」を表す
写像に相当

確率分布を列ベクトルで表現したものに相当
確率に相当

行列の積

行列のテンソル積

恒等プロセス単位行列（恒等写像）

交換プロセス

交換行列

備考： 2個の系𝑚𝑚と𝑛𝑛の並列接続をしばしば𝑚𝑚 ⊗ 𝑛𝑛と書く（量子論でも同様）

古典論は，「ℝ𝑛𝑛 を系とする線形代数の操作論」においてプロセス（行列）を非負行列に制限したものといえる

19

古典論と確率との対応関係
次の一連のプロセスを考える：
ステップ1：表と裏が確率1⁄2ずつで現れるコインを振る
ステップ2：表ならば 𝑦𝑦 = 1 とし，裏ならば確率1⁄2ずつで 𝑦𝑦 = 2 または 𝑦𝑦 = 3 とする
ステップ3：𝑦𝑦の値を調べる
𝑦𝑦 = 𝑖𝑖 である確率（𝑃𝑃𝑖𝑖 とおく）は次の図式で表せる
𝑦𝑦 = 𝑖𝑖 である確率を求めるためのエフェクト

𝑃𝑃𝑖𝑖 =

ステップ2のプロセス
コインの状態（確率分布）1
このとき， 𝑓𝑓 ∘ 𝜌𝜌 = 0
0

0
1⁄2
1⁄2
1⁄2
= 1⁄4
1⁄2
1⁄2
1⁄4

1
1⁄2
ただし，𝜌𝜌 =，𝑓𝑓 = 0
1⁄2
0

0
1⁄2 ，
1⁄2

𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 ， つまり 𝑒𝑒1 = 1 0 0 ，
𝑒𝑒2 = 0 1 0 ，
𝑒𝑒3 = 0 0 1

より 𝑃𝑃1 = 1⁄2，𝑃𝑃2 = 1⁄4，𝑃𝑃3 = 1⁄4 を得る

𝑖𝑖行目の値が𝑃𝑃𝑖𝑖 を表す

このように，古典論では成分の和が1であるような状態が確率分布に対応する

注： 本資料では，成分の和が1ではない状態も許容する（詳細は後述）

𝑚𝑚
また，∑𝑚𝑚𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑖𝑖 の全成分が1となるようなエフェクトの組 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 が測定に対応する

20

量子論
ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 へのCP写像全体から成る集合を𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 とおく（CP写像の定義は後述）

次の公理を満たす操作論を量子論とよぶ

公理 (1) 系は自然数であり，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 （𝑚𝑚, 𝑛𝑛は自然数）(2) 直列接続はCP写像の合成に等しく，並列接続はCP写像のテンソル積に等しい

公理(1)は，系𝑛𝑛から𝑚𝑚へのプロセスがℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 へのCP写像であることを意味している

状態，エフェクト，スカラーは次のように定まるプロセス
𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚状態
𝜌𝜌 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚

エフェクト𝑒𝑒 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗

スカラー
𝑎𝑎 ∈ ℝ≥0

備考： 𝑛𝑛 = 1の場合

𝑚𝑚 = 1の場合

𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 = 1の場合

特別な場合

注1： 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 は𝑚𝑚次半正定値行列全体から成る集合，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗ は𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の双対錐
注2： 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏1→𝑚𝑚 および 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗ = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→1 が成り立つ（本書を参照のこと）

公理(2)により，プロセスの直列接続と並列接続を定めている

この公理から量子論の数学的構造が定まる（CP写像を理解することはこの構造を理解する上で不可欠）21

量子論（続き）
公理から，次の表が得られる
系
プロセス
プロセス空間
自明な系
状態
エフェクト
スカラー
直列接続

自然数𝑛𝑛（or 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 ）CP写像

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚1（or 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏1 = ℝ≥0 ）半正定値行列 𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗ の要素

非負の実数 𝑝𝑝 ∈ ℝ≥0
CP写像の合成

並列接続

CP写像のテンソル積

恒等プロセス

恒等写像

交換プロセス

交換プロセス

注1： この時点ではまだ量子論と確率との対応関係については全く触れていない（古典論も同様）
この対応関係は，CP写像の基礎について説明した後で述べる
注2： 量子論をこのように定めれば，プロセスや状態の定義に曖昧（あいまい）さは一切なくなる（ただし，物理現象との対応関係は曖昧になる）
測定などの他の概念も，曖昧さがないように定義していく
なお，この資料では「物理デバイスのふるまいをモデル化したもの」をプロセスと定義するなど，
やや曖昧に感じる表現があるかもしれないが，読みやすさを重視しているためであり，厳密な表現に置き換えられる量子論は，「実ヒルベルト空間𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 を系とする線形代数の操作論」においてプロセス（HP写像(後述)）をCP写像に制限したものといえる

22

量子論と確率との対応関係
ここでは大まかな対応関係を述べる（詳細は後述）
次の一連のプロセスを考える：
ステップ1：状態が𝜌𝜌であるような粒子を準備する
ステップ2：粒子に対してプロセス𝑓𝑓を施す
ステップ3：粒子の状態を測定する（測定結果は1, … , 𝑚𝑚のいずれか）
測定結果が𝑖𝑖である確率（𝑃𝑃𝑖𝑖 とおく）は次の図式で表せる

測定して結果が𝑖𝑖である確率を求めるためのエフェクト（∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝜎𝜎 = Tr 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑖𝑖 =∀𝜎𝜎 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 を満たす）

ステップ2のプロセス（トレースを保存するCP写像）
粒子の状態（トレース1の𝑛𝑛次半正定値行列）

・ 古典論での「確率分布」に相当する状態は，量子論ではトレース1の半正定値行列になる
・ 確実に施せるようなプロセスは，トレースを保存するCP写像（後述）になる
𝑚𝑚・ ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝜎𝜎 = Tr 𝜎𝜎 を満たすエフェクトの組 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 が測定に対応する

注：本資料では，出力系がない（＝自明な系を出力する）ような「測定」を測定とよび，
出力系があるような「測定」はテストとよぶ。
例えば，一般的な量子論の書籍で登場する「理想測定」はテストの一種
23

[余談] Ｑ＆Ａ
Q: 量子論の数学的構造のみが示されても理解しにくいのだけど？
A: 量子論を理解するためには，「数学的構造」と「操作的・確率的な性質」の両方を理解することが重要。また，操作的・確率的な性質について正しく考えるためには
数学的構造を理解する必要がある。
有限次元系の量子論の数学的構造は見通しのよい形で整理できるため，
数学的構造をひととおり学んだ後で操作的・確率的な性質について論じるほうが量子論を素直に理解できるのではないかと考えている「なぜそのような数学的構造になるのか？」などと考えずにひとまず受け入れるのがよいと思う

Q: いくつかの操作的・確率的な性質が成り立つことを要請して数学的構造を導けないのか？
例えば相対性理論では，わかりやすい物理の言葉で述べられた要請のみを用いてその数学的構造を導ける。
同様のことを量子論でも行えないか？

A: 導ける。ただし，今のところ少数個の要請から簡潔に導く方法は知られていない。
もし簡潔に導いているようにみえる方法があれば，多くの隠れた要請があるか論理的なギャップがあることを疑ったほうがよいと思う
注： 「簡潔に導く方法」とは，初学者でも短時間で理解できるような方法のことだと思ってほしい。
導出方法についての詳細は，本書のWeb補遺およびそこで挙げられている参考文献を参照のこと

Q: この資料で定めた量子論は，自然現象をどのくらい適切に記述できるのか？
A: この資料では有限次元系に限定しており，無限次元系は扱えない。
また，いくつかの自然現象を記述する際には，古典論と量子論が混在したかのような理論（本書では広義量子論とよんでいる）を考えたほうがより自然かも
注： 例えば，系の状態空間𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 は，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 （つまり量子的）ではなくℝ2≥𝑛𝑛 （つまり古典的）と考えたほうが自然と思われるような状況がある。
なお，「自然か否か」という議論は「実証科学として矛盾がないか否か」という議論とは別問題
24

目次
1. 操作論と量子論
2. CP写像
3. 確率論としての古典論・量子論
4. プロセスの表現

25

HP，正値，CPℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 上の恒等写像をid𝑛𝑛 とおくℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 への線形写像𝑓𝑓に対して C𝑓𝑓 ≔ 𝑓𝑓 ⊗ id𝑛𝑛 ∪𝑛𝑛 ∩𝑛𝑛 を𝑓𝑓のChoi行列と呼ぶ
𝑓𝑓がHP/正値/CPであることの定義と必要十分条件を以下に示す

注： HPはHermitian-Preserving（エルミート保存），CPはCompletely Positive（完全正値）の意味

写像の種類

定義

必要十分条件HP

𝑓𝑓 𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 ∀𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛

正値

𝑓𝑓 𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 ∀𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛(1) C𝑓𝑓 がエルミート行列(2) 𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∈ ℝ, 𝑋𝑋𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛の形で表せるCP

𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚⊗𝑙𝑙∀𝑙𝑙 ∈ 1,2, … , 𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛⊗𝑙𝑙―(1) C𝑓𝑓 が半正定値行列(2) 𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† 𝑋𝑋𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛の形で表せる

注1： 「必要十分条件」では2個の等価な条件を挙げている（「(1)と(2)の両方を満たすことが条件」という意味ではない）
注2： 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 は𝑛𝑛次エルミート行列全体，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は𝑛𝑛次半正定値行列全体，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 ≔ 𝑆𝑆 ⊗ 𝑆𝑆 ′ : 𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 , 𝑆𝑆′ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 ，𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 も同様
CPでは 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 の代わりに id𝑙𝑙 ⊗ 𝑓𝑓 を考えても同じ

つまり，エルミート行列をエルミート行列に写すものがHPであり，半正定値行列を半正定値行列に写すものが正値であり，任意の自然数𝑙𝑙に対して 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 が正値であるものがCP

備考1： 任意のHP写像𝑓𝑓と自然数𝑙𝑙に対して 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 はHP（つまり，正値とCPのような区別はHPにはない）
備考2： CPならば正値であり，正値ならばHP （逆は一般に成り立たない）

26

HPやCPであるための必要十分条件
先述の必要十分条件をいいかえておくℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 への任意の線形写像𝑓𝑓は 𝑌𝑌 ↦ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑍𝑍𝑖𝑖† 𝑋𝑋𝑖𝑖 , 𝑍𝑍𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 の形で表せる。
このように表すと，以下の必要十分条件が成り立つ

がHP

𝑓𝑓 =

⇔

がエルミート⇔𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖 ∈ ℝの形で表せる∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝐼𝐼 ∪𝑛𝑛 ∩𝑛𝑛 𝑍𝑍𝑖𝑖† ⊗ 𝐼𝐼

𝑌𝑌 ↦ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑍𝑍𝑖𝑖†

特に

𝑓𝑓がCP

C𝑓𝑓 =

⇔

C𝑓𝑓 が半正定値⇔

𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝑋𝑋𝑖𝑖 の形で表せる

注： 証明は本書の定理4.2，4.3を参照のこと

備考1： HP写像𝑓𝑓を 𝑌𝑌 ↦ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† の形で表現する方法は一意ではない（CP写像も同様）
なお，C𝑓𝑓 は𝑓𝑓から一意に定まる
備考2： CP写像𝑓𝑓を 𝑌𝑌 ↦ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† の形で表すことをクラウス表現とよぶ

27

HPの性質ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 へのHP写像をすべて集めた集合を𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚 とおく

注： 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇1→𝑚𝑚 は 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 と同一視できる

また，写像ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 ∋ 𝑌𝑌 ↦ 𝑋𝑋 𝑌𝑌 ∈ ℂ（ただし 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 ）を 𝑋𝑋 と書く

注： 𝑋𝑋 𝑌𝑌 = Tr 𝑋𝑋𝑋𝑋 は𝑋𝑋と𝑌𝑌のヒルベルト-シュミット内積。 𝑋𝑋 は 𝑋𝑋 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 の共役転置とみなせる

命題 ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂへの線形写像𝑓𝑓がHP ⇔ 𝑓𝑓 = 𝐻𝐻 （𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 ）の形で表せる

証明 ⇒：HPであるための条件より，𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌 𝑋𝑋𝑖𝑖 ∀𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 の形で表せる（ただし，𝑋𝑋𝑖𝑖 は行ベクトルであるため 𝑋𝑋𝑖𝑖 と書いた）
𝐻𝐻 ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 とおけば明らか⇐： 𝐻𝐻 ≔ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 とスペクトル分解すれば 𝐻𝐻 𝑌𝑌 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌 𝑋𝑋𝑖𝑖 であるため，HPであるための条件より明らか（証終）

備考： これは，HP写像𝑓𝑓が実ヒルベルト空間𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 の双対空間𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛∗ の要素とみなせることを意味する

命題 任意のHP写像𝑓𝑓は2個のCP写像 𝑓𝑓+ , 𝑓𝑓− を用いて 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓+ − 𝑓𝑓− の形で表せる
証明 𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† の形で表して𝑓𝑓+ 𝑌𝑌 ≔ ∑𝑐𝑐𝑖𝑖 >0 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† および 𝑓𝑓− 𝑌𝑌 ≔ ∑𝑐𝑐𝑖𝑖<0 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† とおけば明らか（𝑍𝑍𝑖𝑖 ≔

𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 とおけば𝑓𝑓+ と𝑓𝑓− をクラウス表現できる）

（証終）

28

CPの性質ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 へのCP写像をすべて集めた集合を𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 とおく系

注： 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏1→𝑚𝑚 は 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 と同一視できるℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂへの線形写像𝑓𝑓がCP ⇔ 𝑓𝑓 = 𝑆𝑆 （𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 ）の形で表せる

証明 HPの場合と同様
例

トレースはCP （Tr 𝑌𝑌 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑌𝑌 であるため）

この系と 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→1 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗ より，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 が𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 内の自己双対錐であることがわかる
また，上の命題から𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 と𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 が同型であるため，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚 内の自己双対錐

29

HP写像は実ヒルベルト空間における線形写像
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚 は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 から𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 への線形写像全体から成る集合 Lin 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 , 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 と同一視でき，どちらも 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 次元実ヒルベルト空間（詳細は，本書の4.4.2項を参照のこと）

⊂

包含関係

HP写像 𝑓𝑓 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚

同一視できる（同型）

複素ヒルベルト空間ℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚⊂複素ヒルベルト空間ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛実ヒルベルト空間
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚

自己双対錐
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛

CP写像 𝑔𝑔 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚

自己双対錐
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚

埋め込める⊂

線形写像 𝑓𝑓̃ ∈ Lin 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 , 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚⊂

実ヒルベルト空間
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛

注1：𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 ⊂ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚 ≅ Lin 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 , 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚
注2：𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 内の自己双対錐であり，𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→𝑚𝑚 内の自己双対錐
注3：特に，𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛→1 は𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 の双対ベクトル空間𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛∗ と同一視でき，
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→1 は𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の双対錐𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗ と同一視できる

量子論では，複素ヒルベルト空間ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 より実ヒルベルト空間𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 を考えたほうが操作的・確率的な性質を直観的に理解しやすいことが多い
30

CP写像の格下げ
CP写像 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 に対して， 𝑌𝑌∪ ∈ ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑛𝑛 を 𝑓𝑓 𝑌𝑌 ∪ ∈ ℂ𝑚𝑚 ⊗ ℂ𝑚𝑚 に写す線形写像を
𝑓𝑓の格下げとよび，𝑓𝑓∪ と書く
CP写像𝑓𝑓の格下げ𝑓𝑓∪ は行列になる（行列 𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 の格下げは列ベクトルになる）
𝑓𝑓と𝑓𝑓∪ は次式のような対応関係がある

𝑘𝑘
𝑓𝑓∪ = ∑𝑖𝑖=1
𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝑋𝑋𝑖𝑖∗

格下げ
格上げ

𝑓𝑓
（クラウス表現）𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖†

𝑓𝑓∪ 𝑌𝑌∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝑋𝑋𝑖𝑖∗ 𝑌𝑌∪

𝑓𝑓は「上下対称」の形をしており，𝑓𝑓∪ は「左右対称」の形をしている

注： ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 への任意の線形写像に対しても同様の方法により格下げを定義できる
特に，格下げが「左右対称」であることとHP写像であることは等価
31

2重化
CP写像の格下げは左右対称なので，片側を省略して描ける
2重化はこのような省略を行う方法の一つ

注： HP写像の格下げにも適用できる

2重化では，𝑋𝑋 ⊗ 𝑋𝑋 ∗ を次のように書くことにする
太線
実線（破線2本分に対応）

右側のブロックを省略しているとみなす（または右半分を左右反転させて左半分と重ねているとみなす）

2重化したい領域を太線で囲ってもよい（複数のブロックなどを2重化するときはこちらが便利）
例∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖′=1 𝑋𝑋𝑖𝑖∗′

これは次の行列とは異なることに注意「∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 」が2重になっている∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝑋𝑋𝑖𝑖∗
クラウス表現「𝑋𝑋𝑖𝑖 」が2重になっている
32

半正定値行列はCP写像の一種
半正定値行列はCP写像の一種とみなせる（𝜌𝜌 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 を ℝ ∋ 𝑐𝑐 ↦ 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 と同一視する）
注： 同様に，エルミート行列はHP写像の一種とみなせる

CP写像（量子論でのプロセス） ：𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚

格下げ
格上げ

𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† の形で表せる

𝑓𝑓∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝑋𝑋𝑖𝑖∗

𝑛𝑛 = 1の場合（行列 𝑋𝑋𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 が列ベクトル 𝜑𝜑𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚 である場合）
半正定値行列（量子論での状態） ：𝜌𝜌 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏1→𝑚𝑚

格下げ
格上げ

𝜌𝜌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜑𝜑𝑖𝑖 𝜑𝜑𝑖𝑖 の形で表せる

𝜌𝜌∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜑𝜑𝑖𝑖 ⊗ 𝜑𝜑𝑖𝑖∗

注： クラウス表現が一意ではないことは，半正定値行列の分解方法が一意でないことに対応図式では量子論のプロセスをCP写像の格下げとして表すことにする

33

半正定値行列はCP写像の一種（続き）
𝑚𝑚 = 1の場合（行列 𝑋𝑋𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 が行ベクトル 𝜓𝜓𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑛𝑛∗ である場合）
CP写像（量子論でのエフェクト）：𝑒𝑒 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→1

格下げ
格上げ

𝑒𝑒 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜓𝜓𝑖𝑖 𝑌𝑌 𝜓𝜓𝑖𝑖 の形で表せる

𝑒𝑒 𝑌𝑌 = Tr 𝐸𝐸𝐸𝐸 , 𝐸𝐸 ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 |𝜓𝜓𝑖𝑖 ⟩ 𝜓𝜓𝑖𝑖 とも表せる

𝑒𝑒∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜓𝜓𝑖𝑖 ⊗ 𝜓𝜓𝑖𝑖∗

34

[参考] 量子論の状態やプロセスの表現
量子論のプロセス（CP写像）を行列とみなし，状態（半正定値行列）を列ベクトルとみなすとイメージしやすいことが多い （格下げを用いると素直に表現できる）
一般的な表現推奨するイメージ

状態

半正定値行列プロセス

CP写像

𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 という実ヒルベルト空間の要素（列ベクトルのようなイメージ）
𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛 から𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 への線形写像（行列のようなイメージ）∗
注： エフェクトは双対空間𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚の要素（つまり双対ベクトル）と考えるとイメージしやすい

例えば，状態𝜌𝜌にエフェクト𝑒𝑒を施した結果は「列ベクトルと行ベクトルの積」のイメージで捉えられる

ここでは𝜌𝜌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 |𝜑𝜑𝑖𝑖 ⟩ 𝜑𝜑𝑖𝑖 ,𝑒𝑒 𝑋𝑋 = Tr 𝐸𝐸𝐸𝐸 , 𝐸𝐸 = ∑𝑙𝑙𝑗𝑗=1 |𝜓𝜓𝑗𝑗 ⟩ 𝜓𝜓𝑗𝑗の形で表している
注： 𝜌𝜌, 𝐸𝐸 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑚𝑚 のヒルベルト-シュミット内積 Tr 𝐸𝐸𝐸𝐸 はそれぞれの格下げの内積 𝐸𝐸∪ 𝜌𝜌∪ に等しいことを思い出してほしい35

CP写像の表現
CP写像を表現する方法として以下の3通りの方法の何れかが用いられることが多い(1) CP写像𝑓𝑓としてそのまま表現𝑓𝑓: 𝑌𝑌 ↦ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖†(2) 格下げ𝑓𝑓∪ により表現

𝑓𝑓∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝑋𝑋𝑖𝑖∗(3) Choi行列C𝑓𝑓 として表現

C𝑓𝑓 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖∪ 𝑋𝑋𝑖𝑖∪ ,𝑋𝑋𝑖𝑖∪ ≔ 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∪𝑛𝑛

注1： 𝑓𝑓∪ またはC𝑓𝑓 として表せば行列として扱えるため便利なことが多い
注2： より一般のℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 への線形写像に対しても同様に表現できる（ただし2重化できるのはHP写像のみ）
注3： 写像𝑓𝑓をクラウス表現するかシュタインスプリング表現するか（TP（後述）の場合）などの，より細かな分類もある

これらの表現はいずれも異なる写像を表しているが，𝑋𝑋𝑖𝑖 と𝑋𝑋𝑖𝑖† の配置が異なるだけで本質的な違いはなく，互いに変換できる
36

CP写像の合成やテンソル積はCP
命題 2個のCP写像𝑓𝑓, 𝑔𝑔の合成 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 はCP
証明

𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 = 𝑔𝑔 ⊗ id𝑙𝑙 ∘ 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 であり，𝑔𝑔 ⊗ id𝑙𝑙 と 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 は正値であるため，
𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 ⊗ id𝑙𝑙 は正値（証終）

命題 2個のCP写像𝑓𝑓, ℎのテンソル積 𝑓𝑓 ⊗ ℎ はCP

証明 𝑓𝑓 ⊗ ℎ = id ⊗ ℎ ∘ 𝑓𝑓 ⊗ id であり，id ⊗ ℎ と 𝑓𝑓 ⊗ id はCPであるため
𝑓𝑓 ⊗ ℎ はCP（証終）

注： 正値写像ではこのことが成り立たない（2個の正値写像のテンソル積は正値ではない）系

いくつかのCP写像を合成やテンソル積により組み合わせてできる写像はCP

証明 上記の二つの命題より明らか
注： HP写像でも同様に，合成やテンソル積を行ってもHPになる

37

CP写像の合成やテンソル積
3個のCP写像 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 , 𝑔𝑔 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑚𝑚→𝑙𝑙 , ℎ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑡𝑡→𝑠𝑠 を
𝑓𝑓∪ =の形で表したとき

𝑔𝑔𝑔𝑔 ∪ =

，

𝑔𝑔∪ =

，

，

ℎ∪ =

𝑓𝑓 ⊗ ℎ ∪ =注： 並列接続時の空間の順序にはやや注意が必要。例えば入力空間はℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑡𝑡 ⊗ ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑡𝑡 （ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑛𝑛 ⊗ ℂ𝑡𝑡 ⊗ ℂ𝑡𝑡 ではない）図式で考える限りでは通常気にしなくてもよい

備考： 特に 𝑆𝑆 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 と 𝑒𝑒 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛∗ について 𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 𝐸𝐸 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の形で表すと
𝑒𝑒𝑒𝑒 ∪ = 𝑒𝑒𝑒𝑒 は𝐸𝐸と𝑆𝑆のヒルベルト-シュミット内積 𝐸𝐸 𝑆𝑆 に等しい

38

トレースを保存するCP写像
Tr 𝑓𝑓 𝑌𝑌 = Tr 𝑌𝑌 ∀𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 を満たすCP写像 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 をトレースを保存する（TP，Trace-Preserving）とよぶ

注： 特にトレース自身はTPCP写像

𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† の形で表したとき，𝑓𝑓がTPであることは𝑓𝑓∪ が次式を満たすことに等しい
トレースの格下げ
格下げ
格上げ

Tr 𝑓𝑓 𝑌𝑌

∩𝑚𝑚 𝑓𝑓∪ = ∩𝑛𝑛= Tr 𝑌𝑌とも表せる

ただし
ここから，𝑓𝑓がTP ⇔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖† 𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 であることがわかる

39

目次
1. 操作論と量子論
2. CP写像
3. 確率論としての古典論・量子論
4. プロセスの表現

40放棄エフェクト
以下では，古典論または量子論について考える
各自然数𝑛𝑛に対して系𝑛𝑛の放棄エフェクト（
古典論：

𝑛𝑛 と書く）を次のように定める[1,1, … , 1]

量子論：

Tr = 𝐼𝐼𝑛𝑛

注： 黒丸はスパイダー（𝐼𝐼𝑛𝑛 は𝑛𝑛次単位行列）

Tr = 𝐼𝐼𝑛𝑛 の格下げ（＝cap行ベクトル ∩𝑛𝑛 ）注1： 本書では古典論や量子論の定義の中に，このように放棄エフェクトを定めることを含めている
注2： 別のエフェクトを放棄エフェクトと定めても構わないが，本質的な議論は変わらない

放棄エフェクトは「確率1」に相当する概念を定めるために用いる合成系の放棄エフェクトは次式を満たす

41

確率との対応付け■状態を準備する確率「状態𝜌𝜌を準備する確率」を

古典： 成分の和
量子： Tr 𝜌𝜌

に対応付ける

注： 状態𝜌𝜌に対し，𝜌𝜌を施すことをしばしば「𝜌𝜌を準備する」とよぶ

特に，「スカラー𝑝𝑝を準備する確率」は𝑝𝑝自身と同一視する
注： 1を超えるスカラーも確率とよぶことになるが，便宜上の問題にすぎないため特に気にしないことにする（気になる場合は実現可能なもの（後述）に限定すればこの問題はいつでも回避できる）

状態𝜌𝜌を確率1で準備できるとき正規状態とよび，系𝑛𝑛の正規状態全体を𝐒𝐒𝐒𝐒 N
𝑛𝑛 と書く
注： 正規状態に放棄エフェクトを施すと1になる（＝図式上では消える）ため，
放棄エフェクトは直観的には「その系を捨てる」というイメージ■プロセスを施す確率「状態𝜌𝜌を準備してプロセス𝑓𝑓を施す結合確率」をに対応付ける「状態𝑓𝑓𝑓𝑓を準備する確率」に等しい

注1： この結合確率を「𝜌𝜌を準備する確率」で割ったものが，「𝜌𝜌を準備したときに𝑓𝑓を施す条件付き確率」になる
注2： 𝑓𝑓を施す確率は𝑓𝑓への入力に依存すると考える
注3： 「𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛⊗𝑙𝑙 を準備して𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 を施す結合確率」は「 𝑓𝑓 ⊗ idHer𝑙𝑙 𝜌𝜌を準備する確率」に対応付ける

42

[参考] 古典系と量子系の𝐒𝐒𝐒𝐒 𝟐𝟐 の幾何学的な表現■古典系の場合
𝐒𝐒𝐒𝐒 2 = ℝ2≥0 =𝑦𝑦

T𝑥𝑥, 𝑦𝑦 : 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℝ≥0

1「（無限に大きい）三角形」の形

0■量子系の場合
𝐒𝐒𝐒𝐒 2 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏2 =1 𝑡𝑡 + 𝑧𝑧
2 𝑥𝑥 + 𝐢𝐢𝑦𝑦

𝐒𝐒𝐒𝐒 2 （第1象限）
1

𝐒𝐒𝐒𝐒 N2 （線分）𝑥𝑥 − 𝐢𝐢𝑦𝑦: 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ≤ 𝑡𝑡
𝑡𝑡 − 𝑧𝑧𝑥𝑥

注： 𝑡𝑡がトレースに対応「（無限に大きい）円錐の4次元版」の形

𝜎𝜎
互いに直交

𝑡𝑡

0

𝐒𝐒𝐒𝐒 2（円錐の4次元版）
𝜌𝜌

𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧

𝑡𝑡 = 1での断面

𝑧𝑧

𝑥𝑥

𝜎𝜎

𝐒𝐒𝐒𝐒 N
2 （3次元球）
𝜌𝜌

ブロッホ球

𝑦𝑦

注： 2個の状態𝜌𝜌, 𝜎𝜎のヒルベルト-シュミット内積は，4次元ユークリッド空間としての内積に等しい（𝜌𝜌, 𝜎𝜎が互いに直交する正規状態ならば，ブロッホ球の最も離れた2点に対応する）

古典系・量子系ともに𝐒𝐒𝐒𝐒 2 は自己双対錐（より一般に𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 も自己双対錐）

43

[余談] 古典論と量子論の状態
状態は，古典論では非負列ベクトル，量子論では半正定値行列である
次の対応関係をイメージするとわかりやすいかもしれない
理論
古典論
量子論

状態空間が張る
実ヒルベルト空間ℝ𝑛𝑛 の積は列ベクトルの「成分毎の積」とする

状態空間 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛ℝ𝑛𝑛≥0 = 𝑥𝑥 2 : 𝑥𝑥 ∈ ℝ𝑛𝑛ℝ𝑛𝑛

𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 = 𝐻𝐻2 : 𝐻𝐻 ∈ 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛

𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝑛𝑛

注： 𝑥𝑥 2 や 𝐻𝐻 2 のように2乗を考えるのは「非負」であることを保証するためと解釈できる（スカラーを確率に結びつけるために「非負」を考えたい）

古典論と量子論のプロセスにも，この表のような関係が成り立つ

古典論・量子論を一般化した理論でも，「確率の和」に相当する和と「確率の積」（≒結合確率）に相当するスカラー倍を定めれば，「𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 が張る実ベクトル空間」という概念が自然と出てくる

注： 適切な内積を一つ選ぶことで実ヒルベルト空間になる

和とスカラー倍の例： 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 1 − 𝑝𝑝 𝜎𝜎（状態𝜌𝜌, 𝜎𝜎をそれぞれ確率𝑝𝑝, 1 − 𝑝𝑝で混ぜ合わせる）

備考： 量子論の複素ヒルベルト空間ℂ𝑛𝑛 に現れるスカラー倍と和には，
このような操作的・確率的な意味付けが困難

非負の実数倍は確率の平方根を掛けることとみなせるが，一般の複素数倍は何を表している？和は？
（波動関数のようなものを考えれば和のイメージが少しはつかめるが，波動関数はどこからくるの？）
44

確定的なプロセス
正規状態を正規状態に写すプロセス𝑓𝑓を確定的とよぶ（または𝑓𝑓をチャネルとよぶ）

古典： 行列の各列の（行方向の）和がすべて1
量子： TP

これは，任意の正規状態𝜌𝜌に対して𝑓𝑓を施す確率が（𝜌𝜌によらず）常に1であることに等しい
注：この確率は「𝜌𝜌を準備して𝑓𝑓を施す結合確率」に等しい（𝜌𝜌を準備する確率は1なので）次の必要十分条件が成り立つ
が確定的
特に

⇔

が確定的（正規）⇔
注： 状態が確定的であることは正規であることと等価

が確定的

⇔

が確定的（正規）⇔

直観的には，出力を「捨てる」ことが入力を「捨てる」ことに等しいことを意味する

古典： 成分の和が1
量子： Tr 𝜌𝜌 = 1

確定的なエフェクトは放棄エフェクトのみ

45

テストと測定プロセスの組 𝑓𝑓1 , … , 𝑓𝑓𝑘𝑘 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 について ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑓𝑓𝑖𝑖 がチャネルであるとき，𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 をテスト（またはインストルメント）とよぶ
𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 がテスト⇔

𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 がテストであることは 𝑓𝑓1 , … , 𝑓𝑓𝑘𝑘 のいずれか1個を確実に施せることを意味する

テスト 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 のうち𝑓𝑓𝑗𝑗 が施されることを，このテストを施して結果𝑗𝑗を得るという

注： 添字𝑗𝑗は自然数である必要はなく，実数や「右」のようなラベルであってもよい「このテストを施して結果𝑗𝑗を得る確率」を「𝑓𝑓𝑗𝑗 を施す確率」に対応付ける
特にテストであるようなエフェクトの組を測定とよぶ

特に𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が測定⇔は常に結果1を返す測定

備考： テストは「状態を出力する測定」のことであり，測定は「状態を出力しない測定」のことであると解釈できる
注： 理想測定のような考え方に慣れていると，「状態を出力しない測定」に違和感を感じることがあるかもしれない。
しかし，一般的な光子検出器のように，状態を出力しないと考えたほうが自然であるような測定器も少なからずある46

測定を行って結果𝒊𝒊を得る確率■結果𝑖𝑖を得る確率
正規状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 に対して測定 Π ≔ 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を行って結果𝑖𝑖が得られる確率𝑝𝑝𝑖𝑖 は

注： 右辺は「𝜌𝜌を準備して𝑒𝑒𝑖𝑖 を施す結合確率」に等しいが，正規状態𝜌𝜌を準備する確率は1なので，単に「𝑒𝑒𝑖𝑖 を施す確率」に等しい

𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 は確率分布である（𝑝𝑝𝑖𝑖 ∈ ℝ≥0 および ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1 を満たす）■合成系の部分系に対して測定を行ったときの状態変化

正規状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 に対して測定 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を行って結果𝑖𝑖が得られたときの図式は

これは，結果𝑖𝑖が得られる確率がそのときの系𝑚𝑚の正規状態がで，であることを意味している47

古典論と量子論の測定
命題 古典論において 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が測定であることは，
行ベクトル ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑖𝑖 のすべての成分が1であることに等しい
証明

𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が測定 ⇔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑖𝑖 =（証終）= 1,1, … , 1∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 を満たす半正定値行列の組 𝐸𝐸𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 （𝑛𝑛は自然数）を
POVM（Positive Operator-Valued Measure）とよぶ

命題 量子論において 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が測定であることは，
𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝐸𝐸𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の形で表したときに 𝐸𝐸𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 がPOVMであることに等しい
証明

注： 𝑒𝑒𝑖𝑖 はℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂへの線形写像なので，既に述べたように 𝐸𝐸𝑖𝑖

𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が測定 ⇔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝐸𝐸𝑖𝑖 = Tr = 𝐼𝐼𝑛𝑛

𝐸𝐸𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の形で表せる⇔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 ⇔𝐸𝐸𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 がPOVM（証終）

注： 測定を先述のように定義したとき，「状態を出力しない測定」と解釈できるようなエフェクトの組は必ず測定でなければならないことには納得できると思う。
一方，この逆として，測定であるような任意のエフェクトの組に対して，対応する「状態を出力しない測定」が実際に存在するか否かについては，注意を払う必要があるかもしれない。通常，古典論と量子論ではこれは真であるとされる。

48

テストと確率3組のテスト 𝜌𝜌𝑖𝑖 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 𝐼𝐼𝑖𝑖=1 ， 𝑓𝑓𝑗𝑗 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚

𝐽𝐽

𝑗𝑗=1

， 𝑒𝑒𝑘𝑘 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑚𝑚 𝐾𝐾
𝑘𝑘=1 について 𝑝𝑝𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 を次式で定める

𝑝𝑝𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 は状態𝜌𝜌𝑖𝑖 を準備して𝑓𝑓𝑗𝑗 と𝑒𝑒𝑘𝑘 を施す結合確率のことであり， 𝑝𝑝𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘
実際，𝑝𝑝𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 ∈ ℝ≥0 および ∑𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 𝑝𝑝𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 = 1 を満たす

𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

は確率分布である∵

𝑝𝑝𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘のように，テストのみを組み合わせてできるスカラーの組は確率分布とみなせる
注： ここでは直列接続の場合を示したが並列接続でも同様
49

テストの各要素が施される確率
正規状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛⊗𝑛𝑛𝑛 に対し，部分系𝑛𝑛にテスト 𝑓𝑓𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を施したとき，
プロセス𝑓𝑓𝑖𝑖 が施される確率𝑝𝑝𝑖𝑖 はTr

𝑓𝑓𝑖𝑖 ⊗ id𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇 ′𝐧𝐧𝜌𝜌= Tr 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝜌𝜌′

ただし𝜌𝜌′ ≔ Tr2 𝜌𝜌𝜌𝜌において系𝑛𝑛′ を「捨てた」状態

𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 は確率分布である （∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1 を満たすことは明らか）50

[参考] 量子チャネルの例(1) 一般的な量子チャネル

𝑓𝑓 𝜎𝜎 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖† ⇔ 𝑓𝑓∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 ⊗ 𝑋𝑋𝑖𝑖∗ ，ただし ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖† 𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑛𝑛

(3) 測定と状態準備

注： 各チャネルを𝑓𝑓とおく(2) ユニタリチャネル

𝑓𝑓 𝜎𝜎 = 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 † ⇔ 𝑓𝑓∪ = 𝑈𝑈 ⊗ 𝑈𝑈 ∗ ，
ただし 𝑈𝑈 は𝑛𝑛次ユニタリ行列(4) ディフェージングチャネル

測定 𝑒𝑒𝑖𝑖 を行い，その結果𝑖𝑖に対応する状態𝜌𝜌𝑖𝑖 を出力

𝑓𝑓 𝜎𝜎 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜌𝜌𝑖𝑖 ⋅ 𝑒𝑒𝑖𝑖 (𝜎𝜎) ⇔ 𝑓𝑓∪ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜌𝜌𝑖𝑖 ∪ 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∪ ，
ただし 𝜌𝜌1 , … , 𝜌𝜌𝑘𝑘 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 N
𝑚𝑚 であり 𝑒𝑒𝑖𝑖 は測定

𝑓𝑓 𝜎𝜎 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 ⋅ 𝑖𝑖 𝑖𝑖⇔ 𝑓𝑓∪ = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ⊗ 𝑖𝑖 𝑖𝑖51

[参考] 量子チャネルの例（続き）(5) 制御ユニタリチャネル

注： この例では 0 , 1 をℂ2 のCONSとする

ただし，𝑈𝑈0 は単位行列𝐼𝐼2 で𝑈𝑈1 はユニタリ行列
� 𝑈𝑈
� † ⇔ 𝑓𝑓∪ = 𝑈𝑈� ⊗ 𝑈𝑈�∗,𝑓𝑓 𝜎𝜎 = 𝑈𝑈𝜎𝜎
� ≔ ∑1𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ⊗ 𝑈𝑈𝑖𝑖 = 0 0 ⊗ 𝐼𝐼2 + 1 1 ⊗ 𝑈𝑈1
𝑈𝑈

このチャネルは次の図式でも表せる（量子回路の図に似ている）

ただし
スパイダー
の2重化

または

ただし

52

テストの表現
古典系を含むような量子論（広義量子論とよぶ）を考えると，テストを1個のチャネルとして表せる
具体的には，テスト 𝑓𝑓𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 は次のチャネル𝐹𝐹として表せる

破線は古典系（線形代数の系と考えてもよい）

実線は量子系または古典系

古典系𝑘𝑘は，𝑓𝑓1 , … , 𝑓𝑓𝑘𝑘 のどれが施されたかという情報をもつ
特に，測定 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 は次のチャネル𝐸𝐸として表せる

この測定を施して結果𝑖𝑖を得る（＝エフェクト𝑒𝑒𝑖𝑖 を施す）ことは，𝐸𝐸に 𝑖𝑖 を施すことに等しい
注： テストの場合も同様

53

[参考] 理想測定
理想測定 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖 は「状態を出力するような測定」であり，下記のテストで表せる

ただし， 𝜓𝜓𝑖𝑖 ∈ ℂ𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 はCONSであり，状態𝜌𝜌𝑖𝑖 およびエフェクト𝑒𝑒𝑖𝑖 は𝜌𝜌𝑖𝑖 = 𝜓𝜓𝑖𝑖 𝜓𝜓𝑖𝑖 および 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑌𝑌 = 𝜓𝜓𝑖𝑖 𝑌𝑌 𝜓𝜓𝑖𝑖 （これは 𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝑖𝑖 と等価）の形で表せる
注： より一般的な理想測定として 𝜓𝜓𝑖𝑖 𝜓𝜓𝑖𝑖 を射影行列に置き換えたものも考えられる

𝜌𝜌𝑖𝑖 は正規純粋状態（純粋の定義は後述）であり，
この理想測定𝐹𝐹に𝜌𝜌𝑖𝑖 を入力すると必ず結果𝑖𝑖を返して同じ状態𝜌𝜌𝑖𝑖 を出力する
𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖 は1個のチャネル𝐹𝐹として次の図式で表せる

54

因果関係
次のように接続された3個のテスト 𝜌𝜌, 𝐹𝐹 ≔ 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 , 𝑔𝑔 を考える
注： チャネル𝑔𝑔をテスト 𝑔𝑔 とみなしている。𝜌𝜌も同様

ただし 𝑖𝑖 ∈ 1, … , 𝑘𝑘

テスト 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を施したときの結果が𝑖𝑖である確率は𝑔𝑔には依存しない

実際，この確率は次式で表される

このようなテストの組み合わせを考えたとき，
あるテスト 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を施したときの結果 1, … , 𝑘𝑘 の確率分布は，
そのテストよりも「過去」にあるテスト（上記の例では𝜌𝜌）のみに依存する

注： あるテストから系（自明な系を除く）を表す線を下にたどって到達できるようなテストのことを「過去」にあるとよんでいる55

状態は観測者に依存する
正規状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 の片側の系𝑚𝑚に対して測定 𝐸𝐸 ≔ 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を行った後の状態を考える
2人（アリスとボブとする）の観測者がおり，測定𝐸𝐸の結果が1であることはアリスのみが知っているものとする
アリスにとっての状態𝜎𝜎A は次式で表せる

注： この状態は，測定𝐸𝐸の結果が1である確率という情報を含んでいる。
この情報を除きたければ 𝜎𝜎A を正規化した状態 𝜎𝜎A ⁄ Tr 𝜎𝜎A を考えればよい

一方，ボブにとっての状態𝜎𝜎B は次式で表せる（一般に𝜎𝜎A ≠ 𝜎𝜎B である）

注： 状態とは，「各測定に対して確率分布を与えるもの」という解釈ができる（正規の場合）
この確率分布は事前にもっている知識に依存するため，
この例のように状態がアリスとボブで異なる場合がある

このように，（同じ現象を表しているにも関わらず）状態は観測者に依存する
注： 状態以外のプロセスも同様に，観測者に依存する

56

純粋/混合状態
ランクが1以下である状態を純粋状態とよび，純粋ではない状態を混合状態とよぶ状態のランクとは 古典： ゼロではない成分の個数
量子： ゼロではない固有値の個数

𝜌𝜌が混合状態 ⇔𝜌𝜌のランクが𝑛𝑛

純粋状態

⇔

と

異なる正規状態𝜎𝜎1 , 𝜎𝜎2 と 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 ∈ ℝ>0 を用いて 𝜌𝜌 = 𝑝𝑝1 𝜎𝜎1 + 𝑝𝑝2 𝜎𝜎2 と表せる
状態空間𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 (凸錐) の内部にある（＝境界上にない）例𝜓𝜓 (純粋状態)

0𝜌𝜌 (混合状態)

𝐒𝐒𝐒𝐒 2に対し，例えばのような純粋状態を量子重ね合わせとよび，のような混合状態を確率的混合とよぶ
注： 重み1⁄2の場合を考えたが，より一般的な重みを考えることもできる

57

[参考] 電子の二重スリットの実験
量子重ね合わせと確率的混合の違いを示す例として，電子の二重スリットの実験を挙げる(a) 右側のスリットを
閉じた場合
確率

(b) 左側のスリットを (c) 両側のスリットを (d) いずれかのスリットを
1
閉じた場合
開けた場合
確率 ずつで閉じた場合
2

スクリーン

片方のみ
ランダムに
開ける

二重スリット

電子銃

スクリーン
面での
電子の状態
数式
備考

𝜑𝜑1 𝜑𝜑1

𝜑𝜑2 𝜑𝜑2

純粋状態

純粋状態

注： 純粋状態 𝑥𝑥 𝑥𝑥 は単に 𝑥𝑥 と書かれることが多い𝜓𝜓 ≔𝜓𝜓 𝜓𝜓 ,
𝜑𝜑1 + 𝜑𝜑2 ⁄ 2

純粋状態（量子重ね合わせ）𝜑𝜑1 𝜑𝜑1 + 𝜑𝜑2 𝜑𝜑2 ⁄2混合状態（確率的混合）58

もつれ状態状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 が次の形で表せるとき，分離可能であるとよぶ
分離可能ではない状態をもつれ状態とよぶ
注： 本書では，もつれ状態か否かを判定するための方法（を汎用化したもの）としてウィットネスを紹介している
また，もつれの度合いを定量化するための方法（を汎用化したもの）としてロバストネスを紹介している状態𝜌𝜌が分離可能であるとは，次の形で表せることに等しい（ 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑖𝑖 は確率分布，𝑐𝑐は古典系，𝜉𝜉1 , … , 𝜉𝜉𝑘𝑘 は正規状態，𝑓𝑓と𝑔𝑔はチャネル）[b](Separable)[a]
これは，[a]確率𝑝𝑝𝑖𝑖 で準備された古典状態𝜉𝜉𝑖𝑖 と[b]局所的な操作によって状態𝜌𝜌を作れることを意味する（変数𝑖𝑖は隠れた変数とよばれる）

分離可能な状態𝜌𝜌において系𝑚𝑚と𝑛𝑛の間に相関がある場合，その原因は隠れた変数𝑖𝑖に関する情報が古典状態𝜉𝜉𝑖𝑖 として共有されていることにあると解釈できる
59

[参考] ベル非局所相関式(Separable)で表される分離可能な状態𝜌𝜌に対して，′
系𝑚𝑚の測定 Π ≔ 𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑎𝑎=1 および系𝑛𝑛の測定 Π ′ ≔ 𝑒𝑒𝑏𝑏′ 𝑟𝑟𝑏𝑏=1 を行ったときに結果がそれぞれ𝑎𝑎および𝑏𝑏になる確率（𝑃𝑃 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 Π, Π ′ とおく）は次式で表せる

𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑎𝑎 Π は状態𝑓𝑓 𝜉𝜉𝑖𝑖 に対して測定Πを行ったときに結果が𝑎𝑎である確率，

𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑏Π ′ は状態𝑔𝑔 𝜉𝜉𝑖𝑖 に対して測定Π ′ を行ったときに結果が𝑏𝑏である確率（任意の𝑖𝑖と測定Π, Π ′ に対して 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑎𝑎 Π

𝑎𝑎 と𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑏𝑏 Π ′𝑏𝑏 は確率分布）

逆に，どのような確率分布 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑖𝑖 , 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑎𝑎 Π 𝑎𝑎 , 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑏𝑏 Π ′ 𝑏𝑏 を用いても𝑃𝑃 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 Π, Π ′ = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑎𝑎 Π 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑏𝑏 Π ′ の形では表せないような測定ΠとΠ ′ が存在するとき，状態𝜌𝜌はベル非局所相関をもつという命題 純粋状態がもつれていることはベル非局所相関をもつことに等しい

60

プロセスの大小関係プロセスの大小関係を次式で定義する:⇔∀𝑒𝑒 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑚𝑚 , 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛
これは実数としての大小関係

これは，𝑓𝑓, 𝑔𝑔 ∈ 𝐏𝐏𝐫𝐫𝐫𝐫𝐫𝐫𝑛𝑛→𝑚𝑚 に対して 𝑓𝑓 ≤ 𝑔𝑔 を 𝑔𝑔 − 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐫𝐫𝐨𝐨𝐜𝐜𝑛𝑛→𝑚𝑚 と定めることと等価
古典： 𝑔𝑔 − 𝑓𝑓 が非負行列
量子： 𝑔𝑔 − 𝑓𝑓 がCP写像

特に 𝜌𝜌, 𝜎𝜎 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 に対して 𝜌𝜌 ≤ 𝜎𝜎 とは 𝜎𝜎 − 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛 のこと
古典： 𝑔𝑔 − 𝑓𝑓 が非負列ベクトル
量子： 𝑔𝑔 − 𝑓𝑓 が半正定値行列

この大小関係は，任意の 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, ℎ ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 に対して以下を満たす(1) 反射律：𝑓𝑓 ≤ 𝑓𝑓(1)～(3)を満たす大小関係は(2) 推移律：𝑓𝑓 ≤ 𝑔𝑔かつ𝑔𝑔 ≤ ℎならば𝑓𝑓 ≤ ℎ
半順序とよばれる(3) 反対称律：𝑓𝑓 ≤ 𝑔𝑔かつ𝑔𝑔 ≤ 𝑓𝑓ならば𝑓𝑓 = 𝑔𝑔
(4) 𝑓𝑓 ≤ 𝑔𝑔ならば 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ≥0 および 𝑓𝑓 + ℎ ≤ 𝑔𝑔 + ℎ61

実現可能なプロセス
プロセス𝑓𝑓を含むテストが存在するとき，𝑓𝑓を実現可能とよぶ

注： 標準的な量子論では実現可能なプロセスのみを扱う

次の関係が成り立つ
が実現可能

例：量子
特に

⇔

𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 が実現可能 ⇔ トレースを増加しない
つまり Tr 𝑓𝑓 𝑌𝑌

が実現可能

⇔

が実現可能

⇔

が実現可能

⇔

例：スカラー0

実現可能 ⇔ 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 1≤ Tr 𝑌𝑌 ∀𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛
系1の放棄エフェクトは実数の1𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 𝐸𝐸 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の形で表したとき，𝐸𝐸の最大固有値が1以下であることと等価

1

確定的/チャネル ⇔ 𝑝𝑝 = 1

𝑝𝑝

実現不可能 ⇔ p > 1

62

[参考] 確定的/実現可能ではないプロセスを考える理由
標準的な量子論の書籍では，確定的なプロセス（＝チャネル）のみが扱われることが多い
特にトレースが1の半正定値行列のみが状態とよばれる
注： 量子情報理論の分野では，チャネル以外のプロセスを扱うことがしばしばある・ この資料でチャネル以外のプロセスを考える理由は，「確率」や放棄エフェクト以外のエフェクトをプロセスの一種と捉えたいため（つまり，プロセスという統一的な視点で考えたい）
注： チャネルに限定すると，スカラーは1のみでエフェクトは放棄エフェクトのみになる

チャネル以外の実現可能な状態𝜌𝜌は，「正規状態 𝜌𝜌⁄Tr 𝜌𝜌 を確率 Tr 𝜌𝜌 で準備する」ことに対応付けられる・ この資料で実現可能ではないプロセスを考える理由は，単に数学的に扱いやすいため（実現可能なプロセスのみに限定することはいつでも可能）
注： これまでにも実現可能ではないプロセスが登場している（例えば制御ユニタリの例においてブロック 𝑈𝑈𝑈𝑈 で表したプロセス）63任意のプロセスは実現可能なプロセスに比例
命題 任意の 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 に対して 𝑎𝑎𝑓𝑓 が実現可能となるような 𝑎𝑎 ∈ ℝ>0 が存在する（つまり，任意のプロセスはある実現可能なプロセスの正の実数倍）

略証 𝑎𝑎を十分に小さな値にすれば𝑎𝑎𝑎𝑎がトレースを増加しないようにできることは明らか

この命題は「冗長」なプロセスが存在しないことを保証している

注： 量子論の確率的な性質を調べる上では実現可能なプロセスのみに興味があるため，実現可能なプロセスのスカラー倍で表されないようなプロセスがあれば「冗長」であるといえるF
系𝑛𝑛から系𝑚𝑚への実現可能なプロセス全体から成る集合を𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚とおき，F
F
𝐒𝐒𝐒𝐒 F𝑚𝑚 ≔ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏1→𝑚𝑚，𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛F ≔ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→1
とおく

64実現可能/確定的なプロセスの接続
命題 実現可能なプロセスのみを接続してできるプロセスは実現可能
略証 2個の実現可能なプロセスの直列接続と並列接続を考えればすぐにわかる
例

実現可能なプロセス𝜌𝜌, 𝑓𝑓, 𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 についてであるため，このスカラー

𝑒𝑒1 𝑓𝑓 ⊗ 𝑒𝑒2 𝜌𝜌 は実現可能

系

確定的なプロセス（つまりチャネル）のみを接続してできるプロセスは確定的

系

テストのみを接続してできるプロセスの組はテスト

65

実現可能な状態やエフェクトが作る空間 (𝒏𝒏 = 𝟐𝟐)■古典系の場合(a) 𝐒𝐒𝐒𝐒 2 = ℝ2≥0𝑦𝑦1
■量子系の場合(a) 𝐒𝐒𝐒𝐒 2 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏2 ≅𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇4 ≅ ℝ4

ℝ2

𝐒𝐒𝐒𝐒 2𝐒𝐒𝐒𝐒 F20

𝑥𝑥

𝐒𝐒𝐒𝐒 F2

1

𝐒𝐒𝐒𝐒 N2 （線分）𝐒𝐒𝐒𝐒 N
2 （ブロッホ球）

放棄エフェクト𝑦𝑦1𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 T ∈ ℝ4 : 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ≤ 𝑡𝑡𝑡𝑡(b) 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄2 ≅ ℝ2≥0 （この図では同一視する）
𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄2F

𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄2𝑥𝑥10(b) 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄2 ≅ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏2 （この図では同一視する）（ブロッホ球を底とする4次元円錐）

放棄エフェクト

𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄2F

古典系と量子系の共通点： (1) 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛F は2個の𝐒𝐒𝐒𝐒 F𝑛𝑛 を張り合わせた形(2) 確定的な状態（＝正規状態）はある超平面上にある(3) 確定的なエフェクトは放棄エフェクトのみ
注： これらの性質は任意の𝑛𝑛で成り立つ

66

プロセスの等価性
命題⇔F∀𝑒𝑒 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑚𝑚, 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 F𝑛𝑛

証明 本書の6.3.4項を参照のこと
直観的には，確率的なふるまいが等しい2個のプロセスは等しいとみなせる

67

[参考] 等価性と局所等価性
より一般的な確率理論でも，プロセスの等価性を「確率的なふるまいが等しい」こととして定義できる。これを定式化すると以下のようになる:⇔
F∀𝑙𝑙:自然数, 𝑒𝑒 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑚𝑚⊗𝑙𝑙, 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 F𝑛𝑛⊗𝑙𝑙

これに対し，以下で定義されるような関係を局所等価性とよぶ

local

:⇔

F
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑚𝑚, 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 F𝑛𝑛

一般に，等価性は局所等価性よりも強い条件だが，古典論・量子論では両者は同じ
68

状態の識別状態の組 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 に対して 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 1 ∀𝑖𝑖 を満たす測定 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が存在することを完全識別可能であるとよぶ
命題 状態の組が完全識別可能であることは互いに直交することに等しい
証明 状態の組 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を考える。

⇒： 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 が測定 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 により完全識別されるとし，
𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝐸𝐸𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛 の形で表す。
任意の異なる 𝑖𝑖, 𝑡𝑡 ∈ 1, … , 𝑘𝑘 について， 𝐸𝐸𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 0 である。

∵ 𝐸𝐸𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 𝐼𝐼 𝜌𝜌𝑖𝑖 − 𝐼𝐼 − 𝐸𝐸𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑖𝑖 ≤ 𝐼𝐼 𝜌𝜌𝑖𝑖 − 𝐸𝐸𝑖𝑖 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 1 − 1 = 0。不等号では ∑𝑘𝑘𝑠𝑠=1 𝐸𝐸𝑠𝑠 = 𝐼𝐼 を用いた

つまり 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑡𝑡 = 0 および 𝐸𝐸𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 0 を満たす。
このため，𝜌𝜌𝑖𝑖 𝜌𝜌𝑗𝑗 = 𝜌𝜌𝑖𝑖 ∑𝑘𝑘𝑡𝑡=1 𝐸𝐸𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑗𝑗 = 0⇐： 𝜌𝜌𝑖𝑖 の像への射影行列を𝑃𝑃𝑖𝑖 とおくと，𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑘𝑘 は互いに直交する。
𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑖𝑖 ∈ 1, … , 𝑘𝑘 − 1 および 𝑒𝑒𝑘𝑘 = 𝑅𝑅 𝑅𝑅 ≔ 𝐼𝐼 − ∑𝑘𝑘−1
𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 で与えられるΠ ≔ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を考える。
∑𝑘𝑘−1
𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 + 𝑅𝑅 = 𝐼𝐼 より Π は測定であり，𝑒𝑒𝑖𝑖 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝜌𝜌𝑖𝑖 = 1 ∀𝑖𝑖 < 𝑘𝑘 および（証終）𝑒𝑒𝑘𝑘 𝜌𝜌𝑘𝑘 ≥ 𝑃𝑃𝑘𝑘 𝜌𝜌𝑘𝑘 = 1 であるため Π は 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 を完全識別する

69

[参考] プロセスの分類
プロセスとテストの関係を示す

緑色は量子論の場合

プロセス・プロセスの組※2
エフェクト

状態

エフェクトであるチャネルは放棄エフェクトのみ

スカラー
1

測定＝POVM
理想測定
テスト＝チャネル※1,2※1 任意のテストは「系𝐴𝐴から系𝐵𝐵 ⊗ 𝐶𝐶（𝐶𝐶は古典系）へのチャネル」の形で表せる（スライド「テストの表現」を参照）。

また，任意のチャネルはこのようなテストの特別な場合（𝐶𝐶 = 𝐼𝐼の場合）とみなせる。
これによりテストとチャネルを同一視できる。なお，𝐵𝐵 = 𝐼𝐼 の特別な場合が測定である※2 量子論では𝐼𝐼以外の古典系がないため，一般にテストや測定をプロセスとはみなせない（これらはプロセスの組である）。
また，同様の理由により任意のテストをチャネルとはみなせない。チャネルをテストとみなすことはできる
70

目次
1. 操作論と量子論
2. CP写像
3. 確率論としての古典論・量子論
4. プロセスの表現

71

cup状態とcapエフェクト
𝑛𝑛を量子系とする∪𝑛𝑛 の2重化で表される状態 ∪𝑛𝑛 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛⊗𝑛𝑛 （つまり∪𝑛𝑛 ≔ ∪𝑛𝑛 ∩𝑛𝑛 ）をcup状態とよぶ

同様に， ∩𝑛𝑛 の2重化で表されるエフェクト ∩𝑛𝑛 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛⊗𝑛𝑛 （つまり∩𝑛𝑛 𝑌𝑌 ≔ ∩𝑛𝑛 𝑌𝑌 ∪𝑛𝑛 ） を
capエフェクトとよぶそれぞれ図式では

および

と表せる

注1： 𝑛𝑛 ≥ 2ならば∪𝑛𝑛 は実現不可能。∪𝑛𝑛 ⁄𝑛𝑛（一般化ベル状態とよばれる）は正規
注2： ∩𝑛𝑛 は実現可能

cup列ベクトル・cap行ベクトルの場合と同様に，次式（ジグザグ等式）が成り立つ(Zigzag)
注： 𝑛𝑛が古典系の場合は，∪𝑛𝑛 ≔ ∪𝑛𝑛 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑛𝑛⊗𝑛𝑛 および ∩𝑛𝑛 ≔ ∩𝑛𝑛 ∈ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝑛𝑛⊗𝑛𝑛 と定められる

72

プロセスの格下げ・格上げ
プロセス 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 （𝑛𝑛は量子系）について，C𝑓𝑓 ≔ 𝑓𝑓 ⊗ id𝑛𝑛 ∪𝑛𝑛 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 を𝑓𝑓のChoi状態または格下げとよぶ
C𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ⊗ id𝑛𝑛 ∪𝑛𝑛

注： プロセス𝑓𝑓のChoi状態は，CP写像としてのChoi行列（図式ではCP写像の格下げ）に等しい

C𝑓𝑓 はcapエフェクトを施すことで𝑓𝑓に戻る（この変換をC𝑓𝑓 の格上げとよぶ）(Zigzag)

注： これは𝑓𝑓とC𝑓𝑓 が一対一に対応することを意味する。
格下げは𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 から𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 への同型写像（格上げはその逆写像）とみなせる

備考： CP写像𝑓𝑓のChoi状態C𝑓𝑓 は半正定値行列になるため多くの場面で扱いやすい

プロセス空間と状態空間は同型であり，格下げ・格上げが同型写像である
プロセス空間𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚

格下げ
格上げ

状態空間
𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛

73

量子チャネルのシュタインスプリング表現
命題 任意の量子チャネル 𝑓𝑓 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 は次式の形で表せる

𝑓𝑓: 𝑌𝑌 ↦ Tr𝐇𝐇𝐇𝐇𝐫𝐫𝑚𝑚𝑚 𝑈𝑈 𝑌𝑌 ⊗ 𝜓𝜓 𝜓𝜓 𝑈𝑈 †ただし，𝑈𝑈はユニタリ行列， 𝜓𝜓 は正規列ベクトル，𝑚𝑚′ と𝑛𝑛′ は 𝑚𝑚𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛𝑛𝑛′ を満たす自然数
注： 𝑓𝑓 は入力𝑌𝑌と正規純粋状態 𝜓𝜓 𝜓𝜓 の並列接続に対してユニタリプロセス 𝑋𝑋 ↦ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 † を施してから
系𝑚𝑚′ を捨てたものに等しいことを表している

証明 本書の命題8.1を参照のこと

74

量子テストのシュタインスプリング表現
命題 任意の量子テスト 𝑓𝑓𝑖𝑖 ∈ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝑛𝑛→𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 は次式の形で表せる

𝑓𝑓𝑖𝑖 : 𝑌𝑌 ↦ Tr𝐇𝐇𝐇𝐇𝐫𝐫𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑖𝑖 ⋅ 𝑈𝑈 𝑌𝑌 ⊗ 𝜓𝜓 𝜓𝜓 𝑈𝑈 †ただし，𝑈𝑈はユニタリ行列， 𝜓𝜓 は正規列ベクトル，𝑚𝑚′ と𝑛𝑛′ は 𝑚𝑚𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛𝑛𝑛′ を満たす自然数，
𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 は測定
特に，𝑒𝑒1 , … , 𝑒𝑒𝑘𝑘 が互いに直交するようにできる

略証 本書の命題8.1を少しだけ修正すれば良い
𝑇𝑇𝑖𝑖†（𝑓𝑓𝑖𝑖 : 𝑌𝑌 ↦ ∑𝑡𝑡=1
𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑡𝑡の形で表して ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑓𝑓𝑖𝑖 が量子チャネルであることを利用する）

75

可逆な量子チャネルはユニタリチャネル
命題 可逆なプロセスは純粋状態を純粋状態に写す
注： プロセス𝑓𝑓が可逆とは，𝑓𝑓 −1 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓 −1 が恒等プロセスになるようなプロセス𝑓𝑓 −1 が存在すること証明 本書の補題7.3を参照のこと

命題 可逆な量子チャネルはユニタリチャネル
注： 𝑓𝑓がユニタリチャネルとは，ユニタリ行列𝑈𝑈を用いて𝑓𝑓: 𝑌𝑌 ↦ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 † の形で表せること

略証 上記の命題より，𝑓𝑓は行列𝑋𝑋を用いて 𝑌𝑌 ↦ 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 † の形で表され，𝑋𝑋が正方行列であることがすぐにわかる
チャネルであるため 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 = 𝐼𝐼 を満たし，したがって𝑋𝑋はユニタリ行列である

（証終）

76

参考：可逆とは限らないチャネル
標準的な書籍では可逆量子チャネル（＝ユニタリチャネル）に着目される場合が多いが，本書ではより一般的な量子チャネルに着目する（このほうが，量子論の構造の全体像を素直に理解できると考えるため）
注： 量子論では可逆ではないチャネルも多々現れる（例えば測定や偏光板）

特定の系の上の可逆チャネル全体からなる集合は群になり，可逆とは限らないチャネル全体からなる集合はモノイドになる
注： ただし演算としてチャネルの直列接続 ∘ を考える

標準的な書籍本書

可逆チャネルに着目

可逆チャネルにはこだわらない

群構造を意識モノイド構造を意識

注： さらにモノイドに対して異なる系へのチャネルを考えて並列接続 ⊗ という演算を考えると操作論の構造が得られる

備考：
演算 ∘ を備える集合𝒳𝒳がモノイドであるとは，下記の3個の性質を満たすこと(1) 任意の 𝑓𝑓, 𝑔𝑔 ∈ 𝒳𝒳 について 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∈ 𝒳𝒳(2) 結合律： 任意の 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, ℎ ∈ 𝒳𝒳 について 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ = 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ(3) 単位元の存在： id ∈ 𝒳𝒳 が存在して，任意の 𝑓𝑓 ∈ 𝒳𝒳 について id ∘ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ∘ id = 𝑓𝑓

さらに次の性質を満たすとき，群であるという(4) 逆元の存在： 任意の 𝑓𝑓 ∈ 𝒳𝒳 について 𝑓𝑓 −1 ∈ 𝒳𝒳 が存在して 𝑓𝑓 −1 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓 −1 = id77

古典系との合成系の状態は分離可能
命題 合成系𝑚𝑚 ⊗ 𝑛𝑛（ただし𝑚𝑚は古典系）における任意の状態は分離可能
証明

𝜎𝜎𝑖𝑖 とおく（証終）

備考： より一般のプロセスについても同様の性質が成り立つ

78

純粋化
命題 任意の量子状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚 は，ある純粋状態 𝜓𝜓 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 を用いて𝜌𝜌 = Tr2 𝜓𝜓 の形で表せる
証明 𝜌𝜌 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † の形に分解して（つまり𝜓𝜓 ≔ 𝑋𝑋∪ 𝑋𝑋∪ ）と定義すればよい。Tr2 𝜓𝜓 = 𝜌𝜌 は次式からわかる（証終）
備考： 特に𝜌𝜌が正規状態ならば𝜓𝜓も正規状態
𝜓𝜓を𝜌𝜌の純粋化とよぶ（純粋化の方法は一意ではない）
79

二通りの純粋化の間の関係
命題 任意の量子状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚 の二通りの純粋化 𝜓𝜓 = 𝜓𝜓 𝜓𝜓 , 𝜓𝜓 ′ = 𝜓𝜓 ′ 𝜓𝜓 ′ ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛に対して 𝐼𝐼𝑚𝑚 ⊗ 𝑈𝑈 𝜓𝜓 ′ = 𝜓𝜓 を満たすユニタリ行列𝑈𝑈が存在する

備考： 𝜓𝜓と𝜓𝜓 ′ は補助系𝑛𝑛に対するユニタリ変換により互いに移り合うことを意味する

証明 必要に応じて大きな次元の系に埋め込むことで 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 と仮定できる，の形にシュミット分解する（ただし， 𝜙𝜙𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

,

𝑢𝑢𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

,

，
とおくと，∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑏𝑏𝑘𝑘∗ 𝑏𝑏𝑘𝑘T = 𝐼𝐼𝑚𝑚 および ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖T 𝑎𝑎𝑖𝑖∗ = 𝐼𝐼𝑛𝑛 であり，したがって 𝑈𝑈𝑈𝑈 † = 𝐼𝐼𝑛𝑛 であることがすぐにわかる
ゆえに，𝑈𝑈はユニタリである

𝜙𝜙𝑗𝑗′

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

,

𝑢𝑢𝑗𝑗′

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

はCONS），

図式により容易に示せるが紙面の都合省略

80

異なる純粋化の間の関係（続き）
Tr2 𝜓𝜓 = 𝜌𝜌 = Tr2 𝜓𝜓 ′ より ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝜎𝜎𝑗𝑗2 𝜙𝜙𝑗𝑗 𝜙𝜙𝑗𝑗 = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝜎𝜎𝑗𝑗′2 𝜙𝜙𝑗𝑗′ 𝜙𝜙𝑗𝑗′ であり，両辺の平方根をとると ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝜎𝜎𝑗𝑗 𝜙𝜙𝑗𝑗 𝜙𝜙𝑗𝑗 = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝜎𝜎𝑗𝑗′ 𝜙𝜙𝑗𝑗′ 𝜙𝜙𝑗𝑗′ … 式(1)

これも容易に示せるが紙面の都合省略

したがって

𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑏𝑏𝑘𝑘† = 𝛿𝛿𝑗𝑗,𝑘𝑘 𝜙𝜙𝑗𝑗′ 𝜙𝜙𝑗𝑗′(1)

より 𝐼𝐼𝑚𝑚 ⊗ 𝑈𝑈 𝜓𝜓 ′ = 𝜓𝜓 を得る

𝑎𝑎𝑖𝑖T 𝜙𝜙𝑗𝑗∗ = 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖∗

（証終）

81

状態の分解命題 行列 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 ∈ ℂ𝑚𝑚×𝑛𝑛 が 𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 𝑌𝑌𝑌𝑌 † ⇔ 𝑋𝑋 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 を満たすユニタリ行列𝑈𝑈が存在する
備考： 状態𝜌𝜌を二通りの表現 𝜌𝜌 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † と 𝜌𝜌 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 † で表したときの関係とみなせる

証明 ⇒： 𝜓𝜓 と 𝜓𝜓 ′ を次式のように定める𝜓𝜓 𝜓𝜓 と 𝜓𝜓 ′ 𝜓𝜓 ′ はともに 𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 𝑌𝑌𝑌𝑌 † の純粋化であることが容易にわかる
このため， 𝐼𝐼𝑚𝑚 ⊗ 𝑉𝑉 𝜓𝜓 ′ = 𝜓𝜓 を満たすユニタリ行列𝑉𝑉が存在する
𝜓𝜓 ′より，𝑈𝑈 ≔ 𝑉𝑉 T とおけば 𝑋𝑋 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 を得る⇐： 𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑈𝑈 † 𝑌𝑌 † = 𝑌𝑌𝑌𝑌 †

（証終）
82

純粋化：再考
量子状態𝜌𝜌の純粋化とは 𝜌𝜌 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † の形で表したときの 𝜓𝜓 = 𝑋𝑋∪ 𝑋𝑋∪ のことであるといえる
純粋化

𝜌𝜌 の二通りの純粋化 𝜓𝜓, 𝜓𝜓 ′ は，𝜌𝜌 の二通りの表現 𝜌𝜌 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † = 𝑌𝑌𝑌𝑌 † に対応する（𝜓𝜓 = 𝑋𝑋∪ 𝑋𝑋∪ および 𝜓𝜓 ′ = 𝑌𝑌∪ 𝑌𝑌∪ を満たす）
このとき，𝑋𝑋 = 𝑌𝑌𝑌𝑌，つまり 𝑋𝑋∪ = 𝐼𝐼𝑚𝑚 ⊗ 𝑈𝑈 T 𝑌𝑌∪ を満たすユニタリ行列𝑈𝑈が存在する
命題 量子状態 𝜌𝜌 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚 の純粋化 𝜓𝜓 ∈ 𝐒𝐒𝐒𝐒 𝑚𝑚⊗𝑛𝑛 （Tr2 𝜓𝜓 = 𝜌𝜌 を満たす）に対し，
Tr1 𝜓𝜓 と𝜌𝜌の固有値の組は等しい
証明 𝜌𝜌 = 𝑋𝑋𝑋𝑋 † に対して Tr1 𝜓𝜓 = 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 である

注： 厳密にはあるユニタリ行列𝑉𝑉に対して Tr1 𝜓𝜓 = 𝑉𝑉𝑋𝑋 † 𝑋𝑋𝑉𝑉 † の形で表されるが，証明の仕方は変わらない
𝑘𝑘

𝑋𝑋の特異値の組を 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑘𝑘𝑖𝑖=1 とすると 𝑋𝑋𝑋𝑋 † と 𝑋𝑋 † 𝑋𝑋 の固有値の組はともに 𝜎𝜎𝑖𝑖2 𝑖𝑖=1 である（𝑋𝑋を特異値分解すればすぐにわかる）
（証終）

83

異なるクラウス表現の間の関係
命題 ℂ𝑛𝑛×𝑛𝑛 からℂ𝑚𝑚×𝑚𝑚 へのCP写像𝑓𝑓の二通りのクラウス表現
𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖† と 𝑓𝑓 𝑌𝑌 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖′ 𝑌𝑌𝑋𝑋𝑖𝑖′† に対して𝑋𝑋𝑖𝑖 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑋𝑋𝑗𝑗′ 𝑈𝑈𝑗𝑗,𝑖𝑖 を満たす𝑘𝑘次ユニタリ行列𝑈𝑈が存在する（𝑈𝑈𝑗𝑗,𝑖𝑖 は𝑈𝑈の𝑗𝑗行𝑖𝑖列目の成分）
証明 𝑓𝑓の格下げC𝑓𝑓 は 𝑍𝑍 ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖∪ 𝑖𝑖 および 𝑍𝑍 ′ ≔ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖∪ ′ 𝑖𝑖 を用いて
C𝑓𝑓 = 𝑍𝑍𝑍𝑍 † = 𝑍𝑍 ′ 𝑍𝑍 ′† の形で表せる

このため，先述の命題により 𝑍𝑍 = 𝑍𝑍 ′ 𝑈𝑈 を満たすユニタリ行列𝑈𝑈が存在する。つまり両辺に ∩𝑛𝑛 と 𝑖𝑖 を施せばを得る （証終）84

[応用] 量子テレポーテーション
次式を満たすような測定Πとチャネル𝑓𝑓が存在する
アリス

ボブ

注： 詳細は本書の8.2.4項を参照のこと

アリス

ボブ

アリス

ボブ

(Zigzag)状態Φ

左辺は，次の3ステップからなる
Step1： アリスとボブが一般化ベル状態 Φ ≔ ∪𝑛𝑛 ⁄𝑛𝑛 を共有
Step2： アリスが測定Πを行い，測定結果を（古典系𝑐𝑐をとおして）ボブに伝える
Step3： ボブはチャネル𝑓𝑓を施す
この一連のプロセスは，量子テレポーテーションとよばれる
右辺は，アリスの入力系の状態をそのままボブに伝えられることを意味している

85

[応用] 量子中継
量子中継とは：量子もつれ状態（とくに一般化ベル状態Φ）を遠く離れた二者間で共有するためのプロセス
注： 状態Φは量子情報処理を行う際の重要なリソースとして使える

アリス(A)とボブ(B)とチャーリー(C)の三者を考え，AとB，BとCの間でそれぞれ状態Φを共有しているとき，量子テレポーテーションを行えばAとCの間で共有した状態Φに変換できる
A

B

C
A

B

C

A

C

Φ

Φ

これを繰り返せば，四者以上に対しても同様の処理を行える
量子中継86