1

データサイエンス概論I＆II
確率と確率分布

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

むずかしそう2

なぜデータ分析に確率が？
 （後で言いますが）ヒストグラムと同じような話です 身長150cm台の人が全体の何人いますか？ （ヒストグラム≒統計） 身長150cm台の人が全体の何%いますか？（確率） ヒストグラムはデータの分布を理解するのに役に立つので，確率も役に立つ！
 （これも後で言いますが）統計的検定の基礎も確率 「グループAとB，どれぐらいの確率で『違いがある』と言ってよいか？」という話
 人工知能の基礎も実は確率 その背後には，「世の中の物事や人間の判断が確率的」という話が…
 （実は言いませんでしたが）平均や分散，距離，回帰分析，あたりの話にも確率の考えが潜んでいたりします

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

3

そもそも確率・確率分布とは？
むずかしそう

確立じゃないです．確率です．
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

(心が折れない)

4

確率って何だ？
 確率＝「出やすさ」
 ただそれだけ．これを理解しておけば，まずは大丈夫

 「出やすさ」なので，ヒストグラム(頻度)と似ている

これ データ𝑥が取りうる値が「有限個」と「無限個」で扱いが違う点も，ヒストグラムと似ている

 次々スライド以降で説明
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

5

ヒストグラムから確率分布へ：「ほとんど同じモノじゃない？」 「そう，その通り！」
100人分ラーメン調査結果
ヒストグラム(適当に作ったデータです)

頻度
(人数)

100人分ラーメン調査結果
確率分布

430.43

確率290.29150.150.10

100で割る

10
30123

4 替え玉
回数0.03
4 替え玉
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版
回数0123

6「データ𝑥の取りうる値が有限個」の場合：
確率分布＝離散分布
 例１:さいころの目 取りうる値=6通り

確率

全部足せば1になる

1/6𝑥1

 例2：5段階アンケートの回答
 取りうる値=5通り

確率

3456

全部足せば1になる

𝑥1

 例３：6頭での競馬の1位
 取りうる値=6通り
 本命 E 大穴 C
 欠場 D

22

345全部足せば1になる
確率

𝑥
馬A

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ Ｆ

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

7「データ𝑥の取りうる値が有限個」の場合：
確率分布＝離散分布
本講義では
 離散分布 𝑃(𝑥)大文字の𝑃
 𝑥の発生「確率」
 ＝ 𝑥という値の出やすさ

確率=出やすさ𝑥 例：さいころの目 ３の目が出る確率 𝑃 3 = 1/61/6

 全部足せば1になる
σ𝑃 𝑥 = 1𝑥
全部足せば1になる𝑥
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

8「データ𝑥の取りうる値が無限通り」の場合：
連続分布
 例１: 身長𝑥𝑥
 例2：首都高速での車速𝑥
 図はイイカゲンです

渋滞

暴走?

𝑥
 例３：等速回転する振り子の角度𝑥𝑥𝑥360°九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

9「データ𝑥の取りうる値が無限通り」の場合：
連続分布𝑥
この縦軸は，離散確率分布の場合と同様，「確率」でOK?

渋滞

暴走?

𝑥NO!

𝑥360°
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

10「連続分布」の縦軸が確率ではないことを理解するための例(1/4)
区間[0,1]の一様分布1
面積＝１なので縦軸の値は1になる

01x
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

11「連続分布」の縦軸が確率ではないことを理解するための例(2/4)
区間[0,1]の一様分布
1

どの値も確率１で発生!?
間違った解釈01x
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

12「連続分布」の縦軸が確率ではないことを理解するための例(3/4)
区間[0,0.5]の一様分布

2

どの値も確率2で発生!?
これも間違った解釈

00.5x
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

13「連続分布」の縦軸が確率ではないことを理解するための例(4/4)
区間[0,1]の一様分布
1

区間[0.2,0.6]の値が確率0.4で発生
正しい解釈

00.2 0.61x
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

14

ヒストグラムの場合と同じ！
頻度

160cm
～165cm これも「区間を考えた」から頻度が定義できたんです！
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

15

連続分布の縦軸＝「確率密度」≠「確率」
 連続確率 𝑝(𝑥)
 𝑝(𝑥)は確率密度

本講義では小文字の𝑝
確率密度𝑥 ある区間を考えれば確率 面積が確率を表す
 従って「値𝑥がドンピシャで出る確率はゼロ」(わかりにくいですが...)確率密度𝑥• 次のスライドを参考に

 全部の範囲を考えれば1になる ‫ = 𝑥𝑑 𝑥 𝑝 ׬‬1𝑥

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

16

必ず起こっているのに確率ゼロというのはどういうこと？
回転する「おもり」の角度を例に考える
 ぐるぐる回転しているので必ず𝑥 = 90°になる瞬間はあるはず．
 それなのに(角度は連続値なので)， 𝑥 = 90°の確率はゼロ！

𝑥𝑥360°

 「全体の中そこにいる割合」と考えてはどうでしょう？
 右図のようにおもりの位置が全𝑁 = 12点のみとすれば，𝑥 = 90°のところにいる割合は1/12.
 実際には𝑁 → ∞だから割合は→ 0 ちなみに𝑥が0から90°までの範囲にいる割合とすれば，𝑁 → ∞でも割合は1/4でゼロにはならない
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

17(離散・連続以外の)もう一つの分類：
パラメトリックとノンパラメトリック
 パラメトリックな確率分布
 少数のパラメータで形状が定まる分布 ex. 正規分布 → 平均・分散
 ex. 一様分布 → 分布範囲

 ノンパラメトリックな確率分布
 任意形状の分布 「○○分布」というような名前はない ヒストグラムもその一種

正規分布については
あとで詳しく分散

平均𝑎𝑏

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

18

確率分布がわかると何がウレシイのか？ (1/2)
 信頼区間や検定，回帰，認識など，様々な統計解析の基礎は，確率分布！

分散

条件Aでのデータ
平均

条件Bでのデータ差がある？ 差がない？
分散平均

 頻度に比べ，「合計=1」に正規化されているので扱いやすい
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

19

確率分布がわかると何がウレシイのか？ (2/2)
 さらにパラメトリックな分布なら…
 データの分布を少数のパラメータを持つ「数式」で表せる• 多くのデータは，パラメトリックな確率分布に従うことが多い
80億人分の身長の分布を，たった2つのパラメータ（平均・分散）を使って表現

分散

正規分布
してるなら

平均
 では，数式で表されると，何がウレシイ？
• 全データを覚えておかなくても，その数式(のパラメータ)があればOK• 様々な数学的演算(微分や積分など)を式の上で行えたり，比較が容易に
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

20

正規分布

「連続」なパラメトリック確率分布の代表格！
様々な講義で何度も出会うことになると思います
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

21(1次元)正規分布:
ガウス分布とも呼ばれます

J.C.F. Gauss [1777-1855]

左右対称

ピークは1つ𝑥𝜇 「連続」なパラメトリック確率分布の代表格！
 パラメータは平均と分散の2つ
 様々な講義で何度も出会うことになると思います
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

22(1次元)正規分布:
式で書くと，思った以上に複雑に..!?

𝑥ҧ

𝑝 𝑥 =2𝑥−𝜇1exp −
222𝜎2𝜋𝜎 𝜎 2 : 分散
 𝜇: 平均(これまでは𝑥と書いてました)ҧ 複雑に見えますが，色々なところで出てくるので，これを機に落ち着いて考えてみよう！

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

23

そう，落ち着きましょう 順を追ってみていけば，そう難しい話でもないんです
縦方向に伸縮普通の二次関数縦方向に伸縮ひっくりかえす𝑥軸に向けて押しつぶす

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

24

難しそうに見える正規分布，本質は単なる「二次関数」！(1/5)
 大事なのは，「𝑥が変わるとどう変化するか」だから，𝑥の周りに注目

𝑝 𝑥 =𝑥に関する二次関数！

1𝑥−𝜇 2exp −222𝜎2𝜋𝜎 その部分だけグラフにすると𝑥𝜇九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

25

難しそうに見える正規分布，
本質は単なる「二次関数」！(2/5)
 もうちょっと周りも見てみると

𝑝 𝑥 =1𝑥−𝜇 2exp −222𝜎2𝜋𝜎𝑥に関係 その部分だけグラフにすると
𝑥−𝜇 2𝑥−𝜇 22𝜎 2ない定数𝑥 いずれにせよ

𝜎 2 →大𝜇𝑥

𝜎 2 →小𝜇𝑥
𝜇ちょっと変形するだけで，相変わらず二次関数

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

26

難しそうに見える正規分布，
本質は単なる「二次関数」！(3/5)
 もうちょっと周りも見てみると

𝑝 𝑥 =1𝑥−𝜇 2exp −222𝜎2𝜋𝜎 その部分だけグラフにすると

𝑥−𝜇 2−2𝜎 2𝑥−𝜇 22𝜎 2𝜇𝑥𝑥𝜇九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

27

難しそうに見える正規分布，
本質は単なる「二次関数」！(4/5)
 もうちょっと周りも見てみると

𝑝 𝑥 =1𝑥−𝜇 2exp −222𝜎2𝜋𝜎Expの後

 その部分だけグラフにすると
𝑥−𝜇 2− 2𝜎2 =元の値

1

元の値

Expの後はどんどん1にExpの後はどんどんゼロに

𝜇exp −

𝑥−𝜇 22𝜎2𝑥1𝑥𝜇
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

28

難しそうに見える正規分布，
本質は単なる「二次関数」！(5/5)
 もうちょっと周りも見てみると

𝑝 𝑥 =1𝑥−𝜇 2exp −222𝜎2𝜋𝜎𝑥に関係ない定数
 結局どうなるかというとexp −1𝑥−𝜇 2exp −2𝜎22𝜋𝜎 2𝑥−𝜇 22𝜎21正規分布のできあがり

1𝑥𝜇2𝜋𝜎 2𝑥𝜇
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／2022年9月版

29

もう正規分布なんて怖くない！
二次関数の「縦軸」を何度かいじっただけ！
スタートは二次関数

縦軸
1倍2𝜎2

縦軸−1倍

𝜇𝑥𝑥𝑥𝜇𝜇正規分布のできあがり

縦軸をexp乗(𝑒 −∞ → 0,𝑒 0 = 1)

縦軸12𝜋𝜎 2倍1𝑥𝜇𝑥𝜇九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

30

ちなみに，冒頭のゴチャゴチャ～っとしたところは「面積を1にするため」なので，気にしない
1𝑥−𝜇 2𝑝 𝑥 =2𝜋𝜎2

exp −2𝜎2Q. このごちゃごちゃ～っとしたところはなぜ必要？
A. 確率密度関数とならば，面積が1となる必要があるため
面積2𝜋𝜎 2縦軸
12𝜋𝜎 21

面積1倍𝑥𝑥𝜇𝜇
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

31

1次元正規分布の分散(1/2)
2𝜎 →大2𝑥𝑥

𝜇𝜇
1/𝜎 2 倍1/𝜎 2 倍前身の二次関数𝜎 →小𝑥𝜇𝑥𝜇

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

32

正規分布の分散(2/2)
「自分がどれぐらい外れているか」がわかる
𝜇 ± 1.96 𝜎 295%がこの中に68%がこの中に𝜇 ± 𝜎2𝑥𝜇 − 1.96 𝜎 2

𝜇 − 𝜎2𝜇𝜇 + 𝜎2

𝜇 + 1.96 𝜎 22 →99%
𝜇±2.57𝜎
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

33

式はわからなくてもＯＫ．それより大事な「正規分布の性質」のまとめ
 平均付近の値が一番出やすい 平均から離れた値ほど出にくくなる 出にくくなるスピードは分散に関係 平均を中心に左右対称𝑥

 すそ野は，𝑥 = −∞から+∞まで広がっている 出やすさはゼロに限りなく近いがゼロではない𝜇

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

34

多次元正規分布ベクトルだって正規分布する
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

ちょっと準備．𝑑次元ベクトルに対する2次関数
(1/2)

35

 𝑑 = 2の場合

𝑥2𝑥𝑥 = 数値

𝑥1

𝑥1
𝒙= 𝑥
2
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

ちょっと準備．𝑑次元ベクトルに対する2次関数
(2/2)

36

2次関数
横から見ても𝑥2

𝑥1𝑥2

前から見ても2次関数

𝑥1九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

37ということは，2次元の場合も1次元と同じような理屈が成り立つのでは？→yes!
スタートは二次関数
縦軸
ﾅﾝﾄｶ倍

𝑥2

𝜇

縦軸
−1倍

𝑥2

𝑥1

𝑥1

𝜇

2次元正規分布のできあがり

𝑥2

𝜇𝑥1

縦軸をexp乗(𝑒 −∞ → 0,𝑒 0 = 1)

縦軸
ナントカ倍𝑥2

𝜇𝑥1𝑥2

𝜇𝑥1

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

38

1次元と２次元の違い：
分布の広がり方がちょっと複雑にあ，そうか．相関か上から見たら色々な形面倒なので平均=ゼロで説明

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

39

𝑑次元正規分布，式で書くとクラクラする!
𝑑 × 𝑑「行列」

𝑑次元ベクトル𝑝 𝒙 =11𝑇 𝚺 −1 𝒙−𝝁exp−𝒙−𝝁2
2𝜋 𝑑/2 Σ 1/2

 𝚺 : 共分散行列
 𝝁: (𝑑次元)平均ベクトル

大文字のシグマΣを使う．
総和記号と混同しないように

 1次元で本質は簡単だったことを見たので，今回もやはり落ち着いて考えてみよう！

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

40

𝑑次元の場合も1次元と同様！
以下は𝑑 = 2の場合

スタートは二次関数
縦軸
ﾅﾝﾄｶ倍𝑥2𝜇縦軸−1倍𝑥2𝑥1𝑥2𝑥1

𝜇

2次元正規分布のできあがり

𝜇𝑥1

縦軸をexp乗(𝑒 −∞ → 0,𝑒 0 = 1)縦軸
12𝜋 𝑑/2 Σ 1/2𝑥2

𝜇𝑥1

倍𝑥2𝜇𝑥1

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

41

そうなのかもしれないが，やっぱり「行列」のところが気になる

𝑝 𝒙 =

11
𝑇 𝚺 −1 𝒙−𝝁
exp
−𝒙−𝝁2
2𝜋 𝑑/2 Σ 1/2

 𝚺 : 共分散行列

何者なんだ？
嫌がらせか？

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

42

共分散行列𝚺の役目を言ってしまうと...
 分布の広がり方を決めている！

上から見たら色々な形．
この形を決めているのが𝚺面倒なので平均=ゼロで説明

これがわかっておけばOK

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

43

分布の広がり方(傾き方)と相関
 𝑥1 が大なら𝑥2 も大(=正の相関) 身長と体重 𝑥1 が大なら𝑥2 は小(=負の相関) 身長と400m走のタイム

体重
身長
400m走のタイム
身長 𝑥1 と𝑥2 は無関係(=無相関) 身長と数学の点数

数学の点数
身長

共分散行列の詳細は付録

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

44

【付録1】
共分散行列の詳細

避けては通れない行列．

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

4545

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(1/8)
 添え字がごちゃごちゃするのが嫌なので𝒙 = 𝑥1 , 𝑥2 を

𝒙 = (𝑥, 𝑦) と書くと...

𝑦𝑥2𝑥1

𝚺=2𝜎𝑥𝜎𝑥𝑦𝑥𝜎𝑥𝑦
2𝜎𝑦九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

46

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(2/8)
2𝜎𝑥 𝜎𝑥𝑦𝚺=2𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦逆行列 𝚺−12行列式 𝚺𝜎−𝜎𝑦𝑥𝑦12= 𝚺= 𝜎𝑥2 𝜎𝑦2 − 𝜎𝑥𝑦2−𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥

𝑝 𝒙 =

11
𝑇 𝚺 −1 𝒙−𝝁exp−𝒙−𝝁22𝜋 𝑑/2 Σ 1/2
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

4747

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(3/8)
 分布の形を見るため，その断面を見てみる

𝑝 𝒙
𝐶𝑦𝑥
𝜇=0

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

48

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(4/8)
11𝑇 𝚺 −1 𝒙−𝝁 =𝐶
𝑝 𝒙 =exp−𝒙−𝝁2
2𝜋 𝑑/2 Σ 1/2
単なる定数，両辺をこれで割ると⇔ exp −12 𝒙 − 𝝁 𝑇 𝚺−1 𝒙 − 𝝁両辺をlogとって-2倍すると⇔ 𝒙 − 𝝁 𝑇 𝚺−1 𝒙 − 𝝁= 𝐶’= 𝐶’’

いま平均𝝁はゼロとしているので⇔ 𝒙𝑇 𝚺 −1 𝒙 = 𝐶’’’

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

49

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(5/8)
𝒙𝑇 𝚺 −1 𝒙 = 𝐶’’’ ⇔ 𝒙𝑇 1𝚺

⇔ 𝒙𝒚

𝜎𝑦2 −𝜎𝑥𝑦𝒙=𝐶′′′−𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥2

𝜎𝑦2 −𝜎𝑥𝑦−𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥2𝑥𝑦

= 𝐶 ′′′′

楕円の方程式！

𝜎𝑥𝑦
1 21 2⇔ 2 𝑥 − 2 2 2 𝑥𝑦 + 2 𝑦 = 定数𝜎𝑥𝜎𝑥 𝜎𝑦𝜎𝑦

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

50
50

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(6/8)
 𝜎𝑥𝑦 = 0だったら...

1 21 2𝑥 + 2 𝑦 = 定数
2𝜎𝑥𝜎𝑦𝑦

∝ 𝜎𝑦2

各等高線は
傾きの無い
楕円に𝑥

∝ 𝜎𝑥2
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

51
51

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(7/8)
 𝜎𝑥𝑦 = 0： 傾きなし

 𝜎𝑥𝑦 ≠ 0： 傾きあり

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

52
52

𝑑 =2次元の場合の共分散行列を見てみよう(8/8)
 対角成分：𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2
 各軸方向の広がり（分散） 非対角成分：𝜎𝑥𝑦
 2軸間の相関を表す
 𝜎𝑥𝑦 > 0: 𝑥 が大なら 𝑦 も大 → 正の相関
 𝜎𝑥𝑦 < 0: 𝑥 が大なら 𝑦 は小 → 負の相関
 𝜎𝑥𝑦 = 0: 𝑥と 𝑦 は無関係(独立) → 無相関
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

53【付録2】というか，行列って何？

並ぶとできる「行列」ではない

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

54

行列って…
数字が縦横に並んだものです
ベクトル

行列

数字が一列に並ぶ

数字が縦横に並ぶ
2 × 2行列

例えば：

2 1
3 −1

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

行列とベクトルの意外(?)関係：
行列とベクトルの積...(1/6)
行列

55

ベクトル

ベクトルになる=だから行列はベクトル→ベクトル変換器
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

行列とベクトルの意外(?)関係：
行列とベクトルの積...(2/6)

56

この成分って，どうやって計算？

=
この辺が絡んでた
実は，この辺が絡んでます
ような…

=
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

行列とベクトルの意外(?)関係：
行列とベクトルの積...(3/6)②足せばOK①要素どおしかけて××Σ

57

×ん？この話
どこかで聞いた×

𝐱と𝐰の内積！

=𝐰

𝐱
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

行列とベクトルの意外(?)関係：
行列とベクトルの積...(4/6)

𝐱中の𝐰成分中のの量

中のの量

中のの量

中のの量

==𝐰

58

𝐱

行列は一括分析器でもある！
様々な成分を一度に抽出「だったら，行列って基底ベクトルが並んでるものと考えられる？」と思ったアナタは素晴らしい

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

行列とベクトルの意外(?)関係：
行列とベクトルの積...(5/6)

59=
行列はベクトル→ベクトル変換器どっち?

行列は一括分析器！

Don’t worry. 同じもの．
変換結果は分析結果としても見れる，というだけ
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

行列とベクトルの意外(?)関係：
行列とベクトルの積...(6/6)

6060 変換により次元を変えちゃうこともできる!

次元が下がった=次元が上がった=
九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

61
61というわけで「行列」
 だれかが並んでいるわけではない ベクトルを別のベクトルに変換するのに使える
 他にも色々な用途がある！
 画像を変形するのも「行列」
 AI（深層ニューラルネットワーク）の中身も「行列」
 要素間の関係や計量(?)を与えるのも「行列」
2𝑥 + 3𝑦 = 6
 連立方程式も「行列」
2 3 𝑥
ቊ
→
=−𝑥 + 5𝑦 = 10−1 5

 興味を持ったら線形代数を勉強してみましょう！

𝑦610

62

【付録3】
あの2はどこから出てくるのか？

𝑝 𝑥 =1𝑥−𝜇 2exp −2𝜎 22𝜋𝜎 2九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版

63
63

あの「２」はどこから出てくるのか？

𝑝 𝑥 =1𝑥−𝜇 2exp −222𝜎2𝜋𝜎 正規分布が満たすべき条件から導出されます

簡単のため𝜇 = 0とし，𝑝 𝑥 = 𝑎 exp −𝑥 2 Τ𝑏 として，条件‫ = 𝑥𝑑 𝑥 𝑝 ׬‬1൝ 2‫ 𝜎 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑝 𝑥 ׬‬2を満たす𝑎, 𝑏を求めると，a =12𝜋𝜎2,𝑏=2𝜎となる．
2九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター／ 2022年9月版