年金 ALM のための多期間ポートフォリオ最適化モデル
枇々木規雄

Technical Report No.2004-001
27 , VII , 2004

〒 223-8522 横浜市港北区日吉 3-14-1
慶應義塾大学 理工学部 管理工学科

TEL 045-566-1635
FAX 045-566-1617
E-mail hibiki@ae.keio.ac.jp

た方がよい理由である1 が、期間が 1 期間から

はじめに

1

拡張されたモデルという概念だけでは、その複数の投資対象の中から投資家にとって最違いはわかりにくい。。そこで、本論文では、も好ましいように、どの投資対象にどれだけç
1 投資戦略 (投資決定ルール)、ç
2 資産配分決定の際の負債の考慮、ç
3 キャッシュ・フロー

投資をしたらよいかという問題をポートフォ
リオ最適化問題という。ポートフォリオ最適の考慮、という 3 つの要素を組み合わせること化問題を解くためのモデルとしては、モデル

によって政策アセットミックスを決定する様々

構築や解法上の容易さから、運用期間にかかなモデルを説明できることを示し、年金 ALMわらず、平均・分散モデルを代表とする 1 期間

における多期間最適化モデルの理解を助けるモデルが中心的に用いられている。しかし、年ことにする。

金基金などの長期的な資金運用を行う投資家

これら 3 つの要素は長期的な政策アセット

は、実際には時間の経過とともに長期的な観ミックスを決定するのに重要な要素と考えて点からリバランスを行う必要がある。このよ

よいだろう。3.1項でも示すが、キャッシュ・フ

うな場合、1 期間モデルよりも多期間モデルのローを明示的にモデル化し、リバランス戦略

方が多期間にわたる不確実性を考慮した動的で負債を考慮して資産配分を決定するには多投資政策の決定を「明示的に」モデル化する

期間最適化モデルで政策アセットミックス決定

ことができる。

プロセスをモデル化する必要がある。また、代表的なモデル化の方法も含めて、3 つの要素の収 益率 ︵資 産 価格 ︶組み合わせの違いによって、モデル化できる。
これらの議論も含めて、本論文では政策ア
セットミックスの決定プロセスで用いる数理
０

１

２

３

投資決定

投資決定

投資決定

投資決定

４

ｔ

モデルの構築方法について議論することを目的とする。本論文の構成に合わせて、それら

図 1: 多期間モデルを以下に示す。

ç
1 2 節において、代表的な年金 ALM の政策ア

多期間モデルは、図 1に示すように、将来の収益率分布に対する予測に基づき、将来発生

セットミックスの決定プロセスとそれらにするキャッシュ・フローも明示的に取り扱って、用いられる方法論の特徴をまとめる。

現時点 (初期時点) も含めた将来の投資決定をç
2 3 節において、決定プロセスで用いること

初期時点で行うモデルである。

ができる様々な数理モデルの組み合わせを

このように長期的な計画モデルを必要とす

検討し、それぞれの特徴を述べる。

る年金 ALM にとって多期間モデルはよい特徴ç
3 4 節において、長期間の年金 ALM を行うたを持っていて使うのに適しているものの、実めの多期間モデルの特徴と実務への適用に際には理解されにくいのが現状である。『多期ついて議論する。

間モデルは 1 期間モデルを繰り返せば、同じで1

多期間最適化モデルの方が、多期間計画の意味でより良い解を導いてくれる。

はないか?』という質問を受ける場合が多い。
多期間は 1 期間を繰り返す構造になっているので、構造的にはその通りである。しかし、最適化を行う場合、多期間最適化モデルと 1 期間
最適化モデルでは、求められる最適解が一般的に異なる。これが多期間最適化モデルを使っ

1

政策アセットミックス

2
2.1

サープラスリスクを管理する方法である。しかし、以降では多期間化およびシミュレーショ

決定プロセスン化を行うとともに、サープラス計算に必要な年金 ALM とは、資産運用と負債のリスクをキャッシュ・フローを考慮したものをバランス

長期的に管理 (評価と制御) するための経営手

シート型 ALM と考えることにする。したがっ法である。その中心である政策アセット・ミッて、資産に負債も加えて、平均・分散モデルを

クス (資産配分) 決定プロセスは、年金 ALM を解き、モンテカルロ・シミュレーションによっ適切に実施するために十分に検討されるべきて多期間にわたるサープラスの将来分布を推である。代表的な決定方法として、(1) シミュ

計する方法を表す。

レーション型年金 ALM、(2) バランスシート(3) 多期間確率計画モデルによる年金 ALM

型年金 ALM、(3) 多期間確率計画モデルによ年金基金に対する多期間確率計画モデルをる年金 ALM、の 3 つを簡単に説明する。

用いた一つの例であるタワーズペリン (Towers(1) シミュレーション型年金 ALM

Perrin) のモデル [8] を用いて説明する。タワー

平均・分散モデルなどの最適化手法で得られズペリンはグローバル CAP:Link と呼ばれるたいくつかの効率的フロンティア上の資産配

資本市場のグローバルなシナリオ生成システ

分政策に対し、多期間にわたりモンテカルロ

ムを開発し、年金基金や保険会社のリスク分法などでシミュレーションを行い、継続基準に

析等に使っている。年金基金へ適用する際のプ

おける年金債務と対比することによって、リロセス (段階) として、ç
1 年金基金の目的と仮定の設定、ç
2 様々な投資戦略に対するリスクとスクを評価する方法である。具体的には、負債

リターン (報酬) の分析、ç
3 意思決定および資側の基礎率は一定とし、図 2に示すように将来産負債配分戦略の実行、を挙げているが、注意の資産側の収益変動を責任準備金 (数理債務)と比較する。複数の投資配分に対してモンテ事項として、標準的なプロセスに従ってデータ

カルロ・シミュレーションによって生成されたを動かし、一つの答えを出すことが目標ではな

ポートフォリオ収益の確率分布を評価し、そく、金融ダイナミクスを理解することが目標での中で最も適切な投資配分を決定する。

あると述べている。主な計算手続きは、ç
1 資産クラスや経済変数に対する期待リターンの設定、ç
2 確率微分方程式のパラメータのキャ
リブレーション (推定)、ç
3 分散削減法によるサンプリング、ç
4 非線形確率計画モデルによ責任準備金る求解、である。また、CAP:Link(シナリオ生

収益率

成プログラム)、VALCAST(負債キャッシュフ

図 2: シミュレーション型年金 ALM

ローの計算パッケージ)、OPT:Link(多期間投(2) バランスシート型年金 ALM

資と拠出金の管理システム)、FIN:Link(財務・資産時価から負債時価を引いたサープラス

会計に関する統計値の計算システム) という 4(剰余金) とそのリスクを管理する方法で、負つの構成要素によって実装されている。

債の時価構造を明示的に考慮して資産配分を大場ら [13] には、図 3のようにシミュレーシ決定する。サープラスフレームワークに基づ

ョン型 ALM とバランスシート型 ALM を用い

く年金 ALM とも呼ばれている。
バランスシート型の基本形は 1 期間 (短期) でた政策アセットミックス決定プロセスが示さあり、非継続基準における年金債務を用いたれている。長期的な経済環境を予測し、年金

2

債務や資産特性を推定する。平均・分散モデ

いて、政策的アセットミックスを計算する。

ルでいくつかの効率的ポートフォリオを算出

2.2

するとともに 3 種類の年金債務の推定方法を

方法論

考慮し、シミュレーションによって政策アセッ

現在よく用いられている政策アセットミック

トミックスの候補を選定する。何回かフィース決定プロセスでは、シミュレーション手法

ドバックを繰り返しながら、最終的に政策アと数理計画法 (一般には最適化手法) の 2 つのセットミックスを決定する。
年金債務に関する前提条件

長期的な経済環境（予定利率、死亡率、脱退率など）方法論が用いられる。図 3に示した決定プロセ
スでは、数理計画モデルの一つである二次計

経済環境に関する前提条件（人口動態、インフレ率など）

画モデルで定式化が可能な平均・分散モデル
年金債務の運用対象資産の大きさの推定長期的特性の推定

リスク・リターン推定に関する前提条件

で最適解を求め、資産と負債に関してシミュ
レーションを行い、年金のリスクを評価する。

シミュレーション型ALM分析による
政策アセット・ミックス候補群の選定（継続基準上のリスク管理）

バランスシート型 ALM分析による

ここではその 2 種類の手法を簡単に説明する。

政策アセット・ミックスの候補がサープラス・
リスク許容度の面で不適切な場合数理計画法は数理計画モデルで定式化され政策アセット・ミックス候補群の選定

た問題、すなわち制約条件式 (等式、不等式)（退職給付会計と非継続基準上のリスク管理）

を満たすように目的関数を最大化もしくは最政策アセット・ミックスの決定

小化する問題を解いて、決定変数の値を求め

図 3: 年金 ALM における政策アセットミック
ス決定プロセス (1)([13] p.119 をもとに作成)
年金債務に関する前提条件

長期的な経済環境（予定利率、死亡率、脱退率など）

年金債務の運用対象資産の大きさの推定長期的特性の推定る方法である。数理計画モデルの構成要素は、
決定変数 (未知変数) とパラメータ (既知の入力
変数) であり、目的関数と制約式（等式、不等

経済環境に関する前提条件（人口動態、インフレ率など）式）を決定変数とパラメータを用いて記述する。平均・分散モデルの場合、決定変数は投資

リスク・リターン推定に関する前提条件

比率、パラメータは期待収益率、分散、相関

多期間最適ALMモデルによる最適な政策アセット・ミックスの決定係数である。

（継続基準上、退職給付会計、非継続基準上のリスク管理に関する制約やその他の実務的な平均・分散モデル (MV モデル) は、リスク制約下での目的関数の最大化もしくは最小化）(分散) とリターン (期待収益率) によって定義

図 4: 年金 ALM における政策アセットミック
ス決定プロセス (2)された関数を用いて、最適ポートフォリオを導出するモデルで、以下のように定式化される。

シミュレーション型 ALM やバランスシート

最大化 rp Ä çÅõ2p

型 ALM では、候補となる効率的ポートフォリ
オは年金債務のキャッシュ・フローに関係なく

制約条件

n
X

xj = 1算出される。年金債務を考慮して求められる

j =1

最適ポートフォリオが候補群の中に含まれてxj ï 0; (j = 1; . . . ; n)x2X

いるかどうかという問題に加え、たとえ存在

ここで用いられる記号を以下に示す。

したとしても様々な組み合わせを考慮して政策アセットミックスを決定しなくてはならな

n : 資産 (証券) 数

い。これを回避するには、最初から年金債務

õjk : 資産 (証券) j と資産 (証券) k の共分散を考慮して効率的ポートフォリオを求める必

xj : 資産 (証券) j の投資比率要がある。これは図 4のプロセスによって実現

x = (x1 ; . . . ; xn )Tできる。タワーズペリンモデルや後述する多ç : リスク回避係数

期間最適化モデルは図 4に示すプロセスに基づ

3

rj : 資産 (証券) j の期待収益率n
X

非常に複雑なモデルの場合には簡単に数理
計画モデルで最適解を求めることができない

rp : ポートフォリオの期待収益率rp =場合が多い。制約式および目的 (評価) 関数にrj xj

用いることができる関数として、シミュレー

j=1
2
õp : ポートフォリオの分散
n X
n
X
õ2p =
õjk xj xk
j=1 k=1

ションモデルはどのような複雑な関数形でもよいのに対し、数理計画モデルでは一般に大域的最適解の導出を保証するには目的関数を様々な実務制約や目標を考慮する場合、一般

凸関数、制約式を線形関数とする必要がある。

に解析解を求めることができるケースは少な(詳しくは枇々木 [14] 1.2 節を参照のこと。) モ

く、数理計画法によって数値解を求めること

デルが複雑であっても、制約式が線形関数でになる2 。

目的関数が凸関数ならば、複雑なシミュレー

シミュレーション

ションモデルを組み込んだ最適化モデルを構

最適化

パラメータ（数値）パラメータ（数値）

決定変数（数値）

決定変数（未知変数）

築可能である。
シミュレーションと最適化は相反するもので決定変数の数値を変更する。

はなく、シミュレーションモデルと最適化モデ

制約条件式（等式、不等式）
を満たす

制約条件式（等式、不等式）を満たすように目的関数をNO

ルをうまく組み合わせることによって、問題最大化もしくは最小化する。

を解くことができる。図 3に示す政策アセット

YES

評価関数値に満足する。

ミックス決定プロセスはまさにこの方法で、解

NO
終了

終了

くのが簡単な平均・分散モデルで最適化を実YES

図 5: シミュレーションと最適化

行後、複雑なモデルでシミュレーションを行

効率的な方法ではないが、シミュレーション

い、年金基金の評価を行う。「シミュレーショ

モデルによってもポートフォリオを決定する

ン結果から最適化のための目標の修正」、「最ことができる。数理計画モデルで決定変数 (未適化した結果を使ってシミュレーション」と知変数) として設定される投資比率も、シミュいうフィードバックを繰り返しながら、政策

レーションモデルではパラメータ (数値) とし決定をする方法も考えられる。このように構て与えられる。制約条件式を満たすかどうか築したモデルを利用する上で、数理計画モデを調べたのち、評価関数 (数理計画モデルにおル、シミュレーション型モデルともに共通してける目的関数) の値を計算する。いくつかの投行うべきことは感度分析で、様々なパラメー

資比率の値に対してこのことを繰り返し、評タに対して実行し、評価することは重要であ

価関数の最も良い解 (投資比率) を求める3。シる。なぜならば、実際にはほとんど (多く) のミュレーションと最適化の違いを図 5に示す。

ケースで正しい (と思われる) パラメータを推定すること自体が難しいからである。どのパ

2

平均・分散モデルは非負制約式などの不等号制約式を含まない (線形の等号制約式のみを含む ) 場合、解析解を求めることができる (枇々木 [20] p.67 参照 )。しかし、実務上は非負制約式をはじめ、様々な不等号制約式を含めて問題を解くことがほとんどであるため、二次計画法を用いて最適化問題を解くことになる。
3
平均・分散モデルの場合には、二次計画法を用いて簡単に最適解が求められる。シミュレーションモデルによる方法は最適解の導出も保証されないので、ここでの説明は意味がないように見えるかもしれない。ここではわかりやすい例を示すために、平均・分散モデルで説明した。

ラメータが評価関数や最適解に影響を与えやすいかなどを調べることによって、意思決定を助けることができる。
ところで、取り扱うことができる資産は両モデルともに、過去のトラッキングレコードが得られるか、もしくは収益率分布を記述できるならば、いかなる資産も同等に取り扱う

4

ことができる4 。最適化モデルでは、確率分布

等によりキャッシュ・フローが発生する。こを確率密度関数 (累積分布関数) の形で陽に表

こでは、資産と負債それぞれでキャッシュ・

現できなくても、モンテカルロ・シミュレー

フローの増減を取り扱う場合には明示的にションによって離散的に収益率分布を記述で考慮していないと考えることにする。したきれば、1 期間、多期間にかかわらず、最適化

がって、厳密な意味でキャッシュ・フロー

問題を解くことができる。

を無視していないが、それぞれで計算された資産収益と責任準備金を比較するよ

政策アセットミックス決定モデル3
3.1

うな場合には NCF、資産と負債の差である剰余 (サープラス) を評価する場合にはモデル構築

資産と負債のキャッシュ・フローをまとめ

政策アセットミックスを決定する手法はさて考えることができると考え、YCF とする6 。

まざま考えられる。多期間にわたり年金 ALMを行う際には、以下に示す 3 つの要素がプロセ

組み合わせが異なれば、利用されるモデルも異スを決める重要な要素と考え、その組み合わなる。すべての組み合わせを考えると、表 1 にせで政策アセットミックス決定プロセスの違示すような 11 種類のモデル化の方法が考えら5いを記述する 。

れる7 。バリエーションによって異なるが、モデ(a) 投資戦略

ル 1 とモデル 3 がシミュレーション型 ALM、モ(a1) コンスタント・リバランス戦略 (C.R.) :デル 8 とモデル 10 がバランスシート型 ALM、各時点である一定の投資比率にリバラ

モデル 11 が多期間モデルによる ALM と考えンスする。

ることができる。
表 1の番号の順に、各モデルを図とともに説(a2) 買い持ち (バイ・アンド・ホールド) 戦略(B&H) : 初期時点での投資比率を決定明する。図 7〜図 17に用いられる図の意味は図6を参照のこと。

したら、以降は何もしない。

(a3) 一般リバランス戦略 (G.R.) : 各時点で

表 1: 決定プロセスのモデル化

最適な投資比率にリバランスする。

(b) 資産配分決定の際に負債を考慮する (AL)

モデル
番号

投資
戦略

配分
決定

C.F.

2.1項で

考慮

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
|
(11)

C.R.
C.R.
B&H
B&H
G.R.
G.R.
C.R.
C.R.
B&H
B&H
G.R.
G.R.

AA
AA
AA
AA
AA
AA
AL
AL
AL
AL
AL
AL

NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF

説明したモデルシミュレーション型

か否か (AA) : 資産収益率のみで資産配分を決定する場合を AA、負債の情報を何らかの形で考慮して資産配分決定を行う
場合を AL とする。必要な負債の情報はモデルによって異なる。

(c) キャッシュ・フローを明示的に考慮する (YCF)
か否か (NCF) : 多期間にわたり管理を行う場合、資産運用や掛金収入、年金支払い

シミュレーション型

バランスシート型
バランスシート型
モデル化できない
多期間モデル

4

年金基金運用で用いられる資産運用対象は多様化している。代表的な資産クラスである国内株式、国内債券、外国株式、外国債券などに加えて、不動産ファンド、ヘッ
ジファンドもその対象となり得る。あるファンドマネー
ジャーの運用ファンドでもよい。
5
かっこ内の記号は組み合わせを記述するときに用いる。

6

基本的なバランスシート型 ALM の剰余 (サープラス ) 管理ではキャッシュ・フローまでは含めない。定義が異なっている点に注意されたい。
7
12 種類考えられるが、「G.R. { AL { NCF」の組み
合わせはモデル化することができない。

5ç
1 資産収益率

MV モデルおよび

ç
2 負債収益率

責任準備金評価に用いる。

ç
3 資産 C.F.

剰余 (サープラス) 評価に

ç
4 負債 C.F.

用いる。

ç5 MV 効用関数評価

MV モデルの目的関数

ç6 責任準備金評価

C.F. を考慮しない場合 (NCF)ç7 剰余 (サープラス) 評価

C.F. を考慮する場合 (YCF)

xÉ
0

x0
0

0

0

T

図 9: B&H { AA { NCF(モデル 4) B&H { AA { YCF (図 10)
è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 1 と同じ。

) xÉ
0 で運用の結果得られる資産と負債のキャ(モデル 1) C.R. { AA { NCF (図 7)

ッシュフローを考慮したシミュレーションを行い、剰余 (サープラス) 評価する。

è資産収益率の期待値、分散、相関係数を用いて、以下の 1 期間モデル (MV モデル) の目的
関数のもとで、最適ポートフォリオ xÉ
0 を求

xÉ
0

x0

める。

0

0

目的関数 = 期待収益率 Ä リスク回避係数 Ç 分散

) xÉ
0 で各期リバランスを行い、各時点までに得られる累積収益 (分布) と責任準備金を比較し評価する。1 期間モデルをロールオーバー
しているが、モデルの構造上、実質的には 1

0

0

xÉ
0

図 10: B&H { AA { YCF(モデル 5) G.R. { AA { NCF (図 11)
è1 期間モデルで最適ポートフォリオ x0, x1 ,
x2 を各期ごとに求める。

T

図 7: C.R. { AA { NCF) 各時点までに得られる累積収益 (分布) と責任準備金を比較し評価する。

(モデル 2) C.R. { AA { YCF (図 8)
è最適ポートフォリオ xÉ
0 は、モデル 1 と同じ。

x0

) xÉ
0 で各期リバランスし、資産と負債のキャッ

x0
0

xÉ
0

xÉ
0

0

xÉ
2
T

1

x2

xÉ
0

0

xÉ
1

0

x1

シュフローを考慮したシミュレーションを行
い、剰余 (サープラス) 評価する。
xÉ
0

T

xÉ
0
T

xÉ
0

0

T

xÉ
0

0

期間のみで比較していることになる。
xÉ
0

T

xÉ
0

0

図 6: 図の意味

x0

T

xÉ
0

2
T

図 11: G.R. { AA { NCF(モデル 6) G.R. { AA { YCF (図 12)

図 8: C.R. { AA { YCF

è最適ポートフォリオ x0, x1, x2 はモデル 5(モデル 3) B&H { AA { NCF (図 9)と同じ。

è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 1 と同じ。

) 各期リバランスし、資産と負債のキャッシュ) xÉ
0 で運用の結果得られる収益 (分布) を各

フローを考慮したシミュレーションを行い、剰余 (サープラス) 評価する。

時点で必要とされる責任準備金と比較し評価
する。

6

x0

xÉ
0

0

xÉ
1

xÉ
2
T

0

x1

xÉ
0

x0
0

0

1

0

x2

0

図 12: G.R. { AA { YCF

図 15: B&H { AL { NCF(モデル 7) C.R. { AL { NCF (図 13)(モデル 10) B&H { AL { YCF (図 16)

è資産収益率と負債収益率を用いて、 1 期間モ
デル (MV モデル) の期待効用関数で評価し、最適ポートフォリオ xÉ
0 を求める。

è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 7 と同じ。

) xÉ
0 で運用の結果得られる資産と負債のキャ
ッシュフローを考慮したシミュレーションを行い、剰余 (サープラス) 評価する。

) xÉ
0 で各期リバランスを行い、各時点までに得られる累積収益 (分布) と責任準備金を比較し評価する。

xÉ
0

x0
xÉ
0

x0

xÉ
0

0

xÉ
0

0

0

T

è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 7 と同じ。

図 16: B&H { AL { YCF) xÉ
0 で各期リバランスし、資産と負債のキャッ(モデル 11) G.R. { AL { YCF (図 17)

シュフローを考慮したシミュレーションを行
い、剰余 (サープラス) 評価する。
xÉ
0

xÉ
0

資産と負債のキャッシュフローを同時に考慮
し、剰余 (サープラス) 評価を目的関数に組み込んだ多期間モデルで、x0, x1 , x2 を同時に決定する8。この組み合わせを実現するためには、多期間モデルとしてモデル化をせざるを
得ない。

xÉ
0

0

T

xÉ
0

0

(モデル 8) C.R. { AL { YCF (図 14)

x0

T

xÉ
0

T

0

図 13: C.R. { AL { NCF

0

T

xÉ
0
T

2

0

T

xÉ
0

T

図 14: C.R. { AL { YCF

xÉ
0(モデル 9) B&H { AL { NCF (図 15)
è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 7 と同じ。

xÉ
1

0

) xÉ
0 で運用の結果得られる収益 (分布) を各xÉ2T

図 17: G.R. { AL { YCF

時点で必要とされる責任準備金と比較し評価
する。

3.2

モデル選択

3.1項で示したモデルの中からどれを選択す
ればよいか? 残念ながら、ある一つのモデル
84.1項で説明するシナリオ・ツリー型モデルやシミュ
レーション型モデル、シミュレーション／ツリー混合型
モデルでは、決定変数を投資量 (単位数) とすることで、凸計画問題として記述することができる。また、特殊なケースとして、 x0 = x1 = x2 の制約を入れると、コン
スタント・リバランス戦略、初期時点以外リバランスをしないという制約を入れると、買い持ち戦略になる。

7

化の方法が絶対的に優位であるとは言えない。
なぜならば、年金基金は長期的な資金運用を必要としており、負債の情報やキャッシュ・フローを考慮
して各時点で最適な政策アセットミックスのリバランスを「明示的に」記述したモデル 11(「G.R. { AL { YCF」モデル、多期間最適化モデル) は有力な選択肢の一つである。年金リ
スク管理者が資産と負債に関する条件を適切に設定できるならば、多期間最適化モデルによって、「事前の意味」で最善の政策アセット
ミックスを求めることができる10 。数学モデ
ルとして多期間モデルを構築し、うまく利用するには、資産と負債に関する条件を適切に設定することが重要である。
多期間モデルの場合、各期間の収益率分布を予測することが求められるので、現在広く用いられている 1 期間モデルに比べて多くの入力パラメータを推定する必要がある。数学
モデルとは入力パラメータを出力 (ここでは政策アセットミックス) に変換する関数のようなものと考えてよいが、入力パラメータがおか
しければ、いくら数学モデルが正しくても出力は正しく出てこない。一方、入力パラメー
タが正しくても数学モデルがおかしければ正しい出力を得ることはできない。一般に、現実をより精緻に記述するために数学モデルを複雑にすればするほど、入力パラメータの推定の難しさは高まっていく。多期間モデルは 1
期間モデルに比べて概念上は優位であり、年金基金にとって利用するに値するモデルである。しかし実際には、感度分析を行うことを前提にしつつ、入力パラメータの推定の難しさと数学モデルとしての精緻さのトレードオ
フを考慮して利用するかどうかを決める必要がある。

è プロセスとしての優位性を何で評価するか、
è 年金リスク管理者が意思決定プロセスをどのように考えるか、

è それを実行できる能力があるか、によって選択するモデルが異なるからである。
いくら一般によいと言われていたとしても、たとえば、入力パラメータを推定する能力がほ
とんどなかったり、管理者の意図することを反映できないとすれば、モデルをうまく利用することはできないだろう。
11 個のモデルを手法で分けるならば、モデル 1 〜 モデル 10 が「1 期間モデルによる最適解の導出」+「多期間にわたるシミュレーショ
ンによるリスク評価」、モデル 11 が「多期間モデルによる最適解の導出およびリスク評価」を行うモデルである9 。
モデル 1 〜モデル 10 のようなシミュレー
ションを用いた評価モデルでは、2.2 項で議論したように複雑な関数でも記述可能である。しかし、計画期間が多期間であるにもかかわらず、1 期間モデルで求めたいくつかの候補の中からシミュレーション結果をもとに政策アセッ
トミックスを選択するため、設定した条件をすべて含めた形で最適化問題を解くことはできない。一般に目的関数や制約式が凸関数でないと大域的な最適解を求めることができな
いものの、モデル 11 は設定した条件をすべて含めた形で最適化問題を解き、政策アセット
ミックスを求めることができる。モデル記述の複雑さと最適解の計算可能性の間にあるトレードオフ関係を考慮してどのモデルを選択するか決める必要がある。モデル 11 で最適解を求めてから、より精緻なシミュレーション
モデルを用いてリスク評価する方法も考えられるが、ここでは省略する。

3.3

収益率分布と投資戦略

各期間ごとに想定する (予想される) 収益率
分布と選択する投資戦略は関連する。最適ポー
トフォリオは各期間の負債のキャッシュ・フロー

9

ここで取り扱うすべてのモデルは、計画期間をいく
つかに分けて問題を考えているので、すべて多期間モデルと考えることができる。しかし、一般に「 1 期間モデ
ル」か「多期間モデル」かは最適ポートフォリオを計算するモデルとしてどちらを採用するかで分けられることが多い。そのため、ここでもモデル 1〜モデル 10 を 1 期
間モデル、モデル 11 を多期間モデルと呼ぶ。

10

政策アセットミックス決定は計画のプロセスである
ため、行うべきことは事前の意味で最善の方策を見つけることである。もちろん、これは結果を無視してよいと言っているのではな。重要なのは結果を評価し、それを次の計画へフィードバックすることである。

8

多期間ポートフォリオ最適化モデル

4にも影響を受けるが、ここでは簡単のため、負債を無視してアセットミックスを決める場合
について議論しよう。また、わかりやすく説明するために、収益率分布は正規分布に従うと仮定し、期待収益率と共分散行列 (分散と相関係数) によって記述可能であるとしよう。投資機会が一定である (期待収益率、共分散行列
は各期同じ) と考える場合 (リスク許容度も一定とすると)、基本ポートフォリオも各期一定となるので、コンスタント・リバランス戦略
によって最適投資比率を求めることになる11 。
一方、投資機会が一定でない (期待収益率、共分散行列は各期動的に変化する) と考えると、
たとえ、リスク許容度が一定であったとしても、基本ポートフォリオは動的に変化する (各期で異なる)。したがって、一般リバランス戦略を記述できるモデルで問題を解くことが適切である。すなわち、もしも収益率分布に対して各期同じであると予想するならば、コン
スタント・リバランス戦略、そうでないと予想するならば一般リバランス戦略を利用することになる。計画期間全体で収益率分布 (期待収益率、共分散行列) を設定するならば、買い持ち戦略で最適投資比率を求める。
多期間モデルにおいては、各時点の投資比率
に対する制約条件の設定方法の違いによって投資戦略の違いを記述することができる。制約を置かなければ一般リバランス戦略、各時点の投資比率を同じにするという制約を置くとコンスタント・リバランス戦略、初期時点
以外はリバランスをしないという制約を置くと買い持ち戦略になる。ただし、実際には一般リバランス戦略を採る場合には多期間モデ
ルでは、コンスタント・リバランス戦略か買い持ち戦略を採ることができる場合には 1 期間モデルとしてモデル化されることが多い12 。

4.1

多期間最適化モデルの概要

多期間モデルによるポートフォリオ最適化
問題は、Merton[7] と Samuelson[11] によって基本的枠組みが提示されて以来、金融経済学の側面から様々な研究がされている13。しかし、実務的な様々な制約や目標を考慮するため、数理計画モデルとして構築される多期間
最適ポートフォリオモデルについて議論する。
一般的に多期間最適化問題を解くことは難しい。そのため、近似モデルとして定式化する必要があるが、(1) 決定変数をどのように取り扱うか (投資決定の方法)、(2) 確率変数 (収益率) をどのように取り扱うか (離散化の方法)、
によってモデル化の方法が異なる。
数理計画モデルとして構築される多期間最適ポートフォリオモデルは、1990 年代になって本格的に研究が進み、中心となって (定番として) 発展したのは図 18(左) のようなシナリオ・ツリーを用いた多期間確率計画モデルである。
シナリオ・ツリー型多期間確率計画モデルは、シナリオ・ツリーによって不確実性を離散的に記述し、各ノード (ツリーの中の枝をつなぐ節
で、状態を表す) において条件付き意思決定を行うモデルである。離散的な確率変数を用いることによって、定式化上では確定的なパラ
メータによる数理計画モデルとして記述でき、様々な実務的制約を入れて問題を解くことができる。シナリオ・ツリー型モデルは近年、コンピュータの高速化と解法アルゴリズムの発展に伴い、大規模な問題を解くことが可能になり、様々な研究が行われている。シナリオ・
ツリー型モデルを中心に資産配分問題や ALM
に関する最近の研究成果を集めた論文集として Ziemba and Mulvey[12] がある。特に、第1 章は研究分野全体のサーベイがあり、参考になるだろう。また、Mulvey and Ziemba[9] も同様にサーベイを行っている。
シナリオを生成するためによく用いられるのは、将来の資産価格 (収益率) を確率微分方
程式や時系列モデル式などで記述し、モンテカ
ルロ・シミュレーションを行う方法である。例

11

コンスタント・リバランス戦略は収益率に負の系列相関があるときに有利な戦略で、逆バリ戦略的なリバランス方法である。1 期間モデルを使うときの前提として、(暗黙のうちに ) 各期の投資機会が一定で収益率には時系
列相関はないという仮定があり、リスク許容度も一定であれば基本ポートフォリオも一定になることから、結果
として、コンスタント・リバランス戦略を採用することになる。
12
モデル 5 とモデル 6 は一般リバランス戦略に対して、
1 期間モデルを利用するが、実際にはこのタイプのモデルは考えなくてよいだろう。

13

9

詳しくは本多 [24] を参照されたい。

条件15 を満たしつつ、条件付き意思決定を行えるようにモデル化している。このモデルを混合型モデルと呼ぶ。シミュレーション型モデル
はすべてのパスをバンドリングした混合型モデルの特殊形である。これらのモデルに関する具体的な研究は、枇々木 [5, 6, 21, 22], 齋藤,枇々木 [15], 多田羅, 枇々木 [16], 枇々木, 田辺[20], Bogentoft, Romeijn, and Uryasev[1] を参照されたい。

えば、Mulvey and Thorlacius [8] は各国間の影響関係と滝構造 (変数の関係がある一方向へ影響される構造) による経済構造を用いたシナ
リオ生成システム Global CAP:Link を構築している。各経済変数 (金利、インフレ率、実質利回り、為替レート、株式収益率) を確率微分方程式で記述している。また、ラッセル・安田
モデル [2, 3, 4] は、時系列モデル (ファクターモデル) によって資産リターンのシナリオを生成している。しかし、シナリオ・ツリーの生成手続きは記述されていないため、具体的にどのようにシナリオを生成すればよいか不明である。シナリオ・ツリー型モデルは不確実性の記述を詳細にしようとすると、問題の規模が指数的に増加するという欠点があるため、問題を大規模にしないためには数少ないシナ
リオでうまく不確実性を記述しなければいけない難しさもある14 。
一方、枇々木は、離散時間で離散分布に従う
確率変数を図 18(右) のように、モンテカルロ・
シミュレーションにより発生させたパスを利用して不確実性を記述するが、数理計画問題
として定式化が可能なシミュレーション型モデル [18]、シミュレーション／ツリー混合型モ
デル [19] を提案している。従来、多期間にわたるシミュレーション・パスのもとで最適化問題を解くモデル化の方法は研究されていなかったが、これらのモデルによって (しかも、標準的な数理計画ソフトウェアを用いて) 問題を解くことができるようになった。将来の資産価
格 (収益率) を確率微分方程式や時系列モデル
式などで記述できれば、モンテカルロ・シミュ
レーションの標準的な手続きでシナリオを容易に生成できる。シミュレーション・パスは 0
時点では 1 時点で生じる状態を特定することはできないが、1 時点では 2 時点以降の生じる状態がモデルでは特定される。そのため、混合型モデルでは図 19に示すように似たパスをバンドリングして同一ノード内のパスに対する意思決定を共通にすることによって、非予想

シナリオ・ツリー

シミュレーション・パス
1
2

1
2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11
12

11
12

時点
0

1

2

時点

3

0

1

2

3

図 18: シナリオ・ツリーとシミュレーション・パス
似たパスのバンドリング

拡張決定ツリー
1
2

2 パス

1-2

2 パス

3-4

2 パス

5-6

1-4

3
4

4 パス

5
6

4 パス

7

5-8

8

2 パス

7-8

2 パス

9 - 102 パス

11 - 12

4 パス

9
10
11
12

9 - 12

時点
0

1

2

3

時点
0

1

2

3

図 19: シミュレーション・パスと拡張決定ツリー

4.2

多期間最適化モデルの実務への適用

実務への適用例として、シミュレーション／
ツリー混合型モデルを用いて慶應義塾大学と住友生命相互保険会社が共同開発した企業年
金 ALM システム [17] について説明しよう16。
具体的な計算フローを図 20 に示す。
シナリオは、確率分布で記述するか、もし15
非予想条件 (non-anticipativity condition) とは、モデルの定式化において、将来の不確実な状態の中からどの状態が生じるかを確定的に知っていることを利用して意思決定ができる機会を許さない条件のことである。不確実性下の投資決定を行う確率計画モデルには必要な条件である。
16
この開発プロジェクトでは、他に次の企業が参画している。住友生命グループ (住友生命総合研究所、SLI)、CTC フィナンシャルエンジニアリング、バーラジャパ
ン、 数理システム

14

例えば、5 期間問題を考えよう。各期間同数で状態が広がる場合、最終時点でのシナリオ数を仮に 10 万本としても、105 = 100; 000 であり、1 時点目には 10 個の状態しか想定できない。

10

リスク = E [max (年金債務 Ä 資産額; 0)]

金利シナリオの生成［負債モデル ］［多期間資産収益率生成モデル ］

キャッシュ・フロー
責任準備金

資産別シナリオの生成

多期間最適ALMモデル
最適ポートフォリオの導出
効率的フロンティアの計算

年金債務

図 22: リスク指標の設定

図 20: 具体的な計算フロー

合成リスク指標 =くはモンテカルロ・シミュレーションにより生成されるサンプルパスでもよい。
(1) 期間の設定
年金運用の場合、超長期 (20 年程度) の計画
期間で運用することが必要であるが、財政再計
算までの運用 (5 年ごと) も重要である。また、
ある程度、資産収益率モデルで予測が可能な期間は 5 年までであろう。そのため、5 年目以降の資産収益率を投資決定に用いるならば、全体の投資決定を歪める可能性がある。そこで、期間を以下のように分割し、定式化を試みる。

1

2

3

wt : 成熟度

5

10

15

T
X

!

wt = 1 となるように変換

t=1

Riskt : t 時点のリスク指標値(3) リターン指標の設定
中期的なリターンと長期的なリターンの両方を考慮するために、5 年目と 20 年目の期待
資産額の加重平均値をリターン指標として設定する。
リターン指標 = wRE [W5] + (1 Ä wR)E [W20]用いる記号の意味は以下の通りである。
wR : 5 年目の期待資産額の重み係数
E [Wt ] : t 年目の期待資産額(4) 目的関数の設定
合成リスク指標とリターン指標を用いた関数を目的関数として設定し、その最大化を目指す。

固定取引戦略4dt Åwt ÅRiskt

用いる記号の意味は以下の通りである。
dt : 割引率 †è 固定取引戦略 (t = ú+ 1; . . . ; T) : 5 年目、10 年目、15 年目、20 年目 (4 つの時点)

0

T
X

t=1

è 動的取引戦略 (t = 0; . . . ; ú) : 最初の 5 年
間 (0 時点〜4 時点: 1 年ごと、5 回)

動的取引戦略

資産額20

図 21: 計画期間と意思決定

目的関数 = リターン Ä リスク回避係数 Ç リスク

動的取引戦略をとる時点はリバランス (意思決定による投資配分の変更) を行う時点で、固定取引戦略をとる時点はリバランスを行わない時点である。モデルは、8 期間問題として定式化される。各時点でリスク評価を行うが、リターン評価は 5 年目と 20 年目とする。
(2) リスク指標の設定
資産額が年金債務を下回ること (サープラスの不足) をリスクと考え、下方リスクを利用する。
すべての時点でリスクを考慮するために、各時点で計算されるリスク指標を成熟度を用いて、一元化し、合成リスク指標を設定する。

(5) 最適資産配分と効率的フロンティア
一つの計算例として、リスク回避係数をパ
ラメトリックに変化させて求めた効率的フロ
ンティアを図 23に示す。資産配分比率は効率的フロンティア上のある一点における結果を表す。ただし、1 時点以降は各ノードごとに最適配分が求められるが、紙面の都合上、各ノードの平均値を表す。

11

年金 ALM においては、政策アセットミックスを決定することが主であるが、様々な予想に対する結果を評価することも重要である。多期間モデルはこのニーズに応えてくれることのできる柔軟なモデル化の方法である。将来の収益に関連する多くの要因に対する感度分析を行うことによって、年金 ALM におけるリスク評価を様々な側面から明らかにすることができる。
多期間モデルには、実務上克服しなければいけない問題点は多い。モンテカルロ・シミュ
レーションを最適化の中にうまく組み込むことができる混合型モデルは従来のシナリオ・ツ
リー型モデルに比べて、シナリオ生成の上で有利な点が多く、実務的なモデルとして有用であると考えられる。今後、多くの人に多期間最適化モデルに興味を持っていただき、そこから得られた知見や情報などが研究者や実務家にフィードバックされることによって、よりよいモデルへと発展していくことを望んで
いる。

220
210

億
円

170

︵

加
重
期
待
資
産
額

200
100%

短期資産

190
80%

180

外国株式

︶

資
産
配
分
比
率

160
150

60%
外国債券
40%
国内株式
20%

0.0

0.5

1.0

合成リスク指標（億円）

1.5

2.0
国内債券

0%
0

1

2

3

4

時点

図 23: 最適資産配分と効率的フロンティア

まとめ

5

政策アセットミックスを決定する際に、負債を考慮し、キャッシュ・フローを明示的に記述
して、リバランス投資戦略を行いたいならば、多期間最適化モデルは最適方策を決める有用なモデルである。しかし、多期間モデルは 1 期
間モデルに比べて、モデル自体も複雑で、多くの入力パラメータを要求されるため、モデル利用者はモデルの特徴 (長所と欠点) を十分に理解したうえで、使う必要がある。
『 多期間モデルは 1 期間モデルに比べてよ
いか? 』という質問を受けることも多い。これに対する答えは、『概念上は優位であり、年金基金にとって利用するに値するモデルであるが、多期間モデルを使った方が絶対によいと言うことはできない。』である。実際には今まで説明してきたように、多期間モデルをう
まく使いこなせるかどうかに委ねられる。1 期
間モデルを使っている年金運用担当者は、すぐには 1 期間モデルに比べて多期間モデルをう
まく使いこなすことはできないだろう。だからといって、多期間モデルは使えないとは言えない。
『 各期の予想を伴う多期間モデルを使うと、予想がはずれたときに 1 期間モデルに比べてよい結果を得られないから、多期間モデルを使わない』17 と言う人がいる。多期間モデルを使って徐々に経験を積んでいけば、様々な状況を想定できるモデルは年金運用担当者の技量を反映させることができ、柔軟なモデルとして使い勝手がよくなるであろう。一方、

参考文献[1] E. Bogentoft, H. Romeijn, and S. Uryasev, Asset/Liability Management for
Pension Funds Using CVaR Constraints,
The Journal of Risk Finance, Fall 2001,
pp.57{71.
[2] D.R. Cari~no, T. Kent, D.H. Myers,
C. Stacy, M. Sylvanus, A.L. Turner,
K. Watanabe and W.T. Ziemba, The
Russel{Yasuda Kasai Model: An Asset/Liability Model for a JapaneseInsurance Company Using Multistage
Stochastic Programming, Chapter 24 in
Ziemba and Mulvey[12] (1998), pp.609{
633.
[3] D.R. Cari~n o, D.H. Myers and W.T.
Ziemba, Concepts, Technical Issues, andUses of the Russell-Yasuda Kasai Financial Planning Model, Operations Research, 46, 4(1998), pp.450{462.

17予想というのは、収益率がある一つの値になることを当てることでなく、収益率分布もしくはそのパラメー
タ (期待収益率や分散など ) を想定することである。

12

[4] D.R. Cari~no and W.T. Ziemba, Formulation of the Russell-Yasuda Kasai Financial Planning Model, Operations Research, 46, 4(1998), pp.433{449.

[12] W.T. Ziemba and J.M. Mulvey, Worldwide Asset and Liability Modeling, 1998,
Cambridge University Press.
[13] 大場昭義, 菅原周一 編, 年金資産運用の理論と実践, 日本経済新聞社, 2002.

[5] N. Hibiki, Hybrid Simulation/Tree
Stochastic Optimization Model for Dynamic Asset Allocation, Chapter 14 in"Asset and Liability Management Tools:
A Handbook for Best Practice" edited
by B. Scherer, Risk Books, pp.269{294,2003.

[14] 厚生年金基金連合会・リスク管理研究会,
厚生年金基金のリスク管理 ― 政策アセッ
トミクスの策定 ― 第一次報告, 2001.

[15] 齋藤直紀, 枇々木規雄, 市場リスクと信用リスクを考慮した銀行の資産負債管理に対する確率的最適化モデル, 日本金融・証
券計量・工学学会 2001 年夏季大会予稿集,[6] N. Hibiki, Multi-period Stochastic Optimization Models for Dynamic Asset Allocation, 日本金融・証券計量・工学学会
2003 年冬季大会予稿集, pp.243{264.

pp.330{349.
[16] 多田羅智之, 枇々木規雄, 多期間確率計画
モデルの年金 ALM への適用, 日本金融・
証券計量・工学学会 2001 年夏季大会予稿集, pp.350{366.

[7] R.C. Merton, Lifetime Portfolio
Selection under Uncertainty:
The Continuous-Time Case, The Review
of Economics and Statistics, 51 (1969),
pp.247{257.

[17] 日経金融新聞「住友生命、慶応大学、企業年金の新評価手法、長期の資産管理、柔軟に。」, 2002 年 7 月 5 日.

[8] J.M. Mulvey and A.E. Thorlacius, The
Towers Perrin global capital market scenario generation system, Chapter 13 inZiemba and Mulvey[12](1998), pp.286{
312.

[18] 枇々木規雄, 戦略的資産配分問題に対す
る多期間確率計画モデル, Journal of Operations Research Society of Japan, 44,
No.2(2001), pp.169{193.

[9] J.M. Mulvey and W.T. Ziemba, Assetand Liability Allocation in a Global Environment, Chapter 15 in \Handbooks
in OR & MS, Vol.9", edited by R.Jarrow
et al., 1995, pp.435{463. (邦訳 : 枇々木規
雄 : グローバル環境における資産負債配分, 第 15 章, 今野浩, 古川浩一編著, ファイ
ナンスハンドブック, 1997, pp.424{450.)[19] 枇々木規雄, 最適資産配分問題に対するシ
ミュレーション/ツリー混合型多期間確率
計画モデル, 高橋一編, ジャフィー・ジャー
ナル [2001] 金融工学の新展開, pp.89{119.
[20] 枇々木規雄, 金融工学と最適化, 朝倉書店,
2001.
[21] 枇々木規雄: シミュレーション型多期間確[10] J.M. Mulvey and W.T. Ziemba, Assetand Liability Management Systems forLong-Term Investors: Discussion of theIssues, Chapter 1 in Ziemba and Mulvey[12] (1998), pp.3{38.

率計画モデルに対する数値実験による考察. 日本金融・証券計量・工学学会 2002
年夏季大会予稿集, pp.81{100.

[22] 枇々木規雄, コンパクト表現によるシミュレーション型多期間確率計画モデルの定式化, Journal of Operations Research[11] P.A. Samuelson, Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming, The Review of Economics andStatistics, 51 (1969), pp.239{246.

Society of Japan, 45, 4(2002), pp.529{
549.

13

[23] 枇々木規雄, 田辺隆人： 多期間ポートフォ

均とする。これらのリターン尺度とリスク

リオ最適化問題におけるモデリング技術と実装 (計算) 技術の重要性，高橋一, 池
田昌幸編, 金融工学と資本市場の計量分析―ジャフィー・ジャーナル [2003], pp.81{

尺度を用いた関数を目的関数に設定する。

ç
5 投資量 (単位数) を決定変数としたモデル化を行う18 。

114.
A.2

[24] 本多俊毅, 投資機会が変動する場合の最適ポートフォリオについて, 現代ファイナンス, 6 (1999), pp.19{45.

モデルに用いる記号(1) 添字j : 危険資産を表す添字。
t : 時点を表す添字。

付録

i : 経路 (パス) を表す添字。
s : 決定ノードを表す添字で，時点 (t) とと多期間年金 ALM モデルの詳細

A
A.1

もに記述する。

s0 : 任意の時点の決定ノード s につながっモデルの構造ている 1 時点前の決定ノードを表す添字。

ここでは、以下のような設定のもとで、最Mts : t 時点の決定ノード s に含まれる経も典型的で基本的な年金 ALM 問題のための多期間確率計画モデルを示す。個々の年金基金の路の集合。(t = 1; . . . ; ú; s 2 St )ニーズに合わせて、このモデル化をベースに

St : t 時点の決定ノード s の集合。
(t = 1; . . . ; ú)

して拡張・修正することが可能である。

(2) パラメータ

ç
1 すべての負債項目の増減に関するキャッシnュ・フローを一括してまとめ、一つの負債: 危険資産数 (現金を含めると、資産数
は n + 1 個)

項目として記述する。

ç
2 資金は、n 個の危険資産と現金 (コール・ローン) で運用する。
ç
3 0 時点を計画開始時点、T 時点を計画最

T: 計画最終時点

ú: 動的取引戦略期間の最終時点

I: 経路の本数

終時点とする。この期間をリバランスを行

b0 : 0 時点の取引前の現金の保有額。

う (動的取引戦略をとる) 時点である t =bj : 0 時点の取引前の危険資産 j の投資

0; . . . ; ú とリバランスを行わない (固定取量。(j = 1; . . . ; n)[W0 : 0 時点での富3(初期富)。

引戦略をとる) 時点である t = ú+ 1; . . . ; Tに分割し、定式化を試みる。
動的取引戦略01・・・・・・ú ú+ 1

W0 = b0 +固定取引戦略

n
X

j=1

18

öj0bj 5

1 期間モデルでは、一般に投資比率を決定変数とするモデル化の方法が行われるが、多期間モデルでは投資
量 (単位数) を決定変数とする定式化が行われる。これは投資比率を決定変数とすることが、モデルの非線形構造の (非凸非線形計画問題として定式化される ) 原因となっていて、一般に大域的最適解の導出を保証することができないからである。

T
・・・・・・・・・・

図 24: 計画期間と意思決定ç4 リターン尺度は ú+1 時点 (中期) と T 時点
(長期) の期待富の加重平均とする。リスク
尺度は全時点の 1 次下方部分積率の加重平14öj 0 : 0 時点の危険資産 j の価格。

dft : t 時点の評価尺度の割引率。

(j = 1; . . . ; n)(t = 1; . . . ; T)(i)(3) 決定変数

öj t : t 時点の経路 i の危険資産 j の価格。
(j = 1; . . . ; n; t = 1; . . . ; T ;zj0 : 0 時点の危険資産 j への投資量。

i = 1; . . . ; I)

(j = 1; . . . ; n)r0 : 期間 0 の金利 (0 時点のコール・レs : t 時点の決定ノード s の危険資産 j
zjt

ート)。

への投資量。

(i)rtÄ1 : 期間 t の経路 i の金利 (t Ä 1 時点の(j = 1; . . . ; n; t = 1; . . . ; ú; s 2 St )コール・レート)。

v0 : 0 時点の現金 (コール運用額)。

(t = 2; . . . ; T ; i = 1; . . . ; I)

vt : t 時点の経路 i の現金 (コール運用

(i)

(i)

Dt : t 時点の負債科目の増減額。負債科目額)。(t = 1; . . . ; ú; i = 1; . . . ; I)が増額すれば負値、減額すれば正値をとる19 。(t = 1; . . . ; T :q(i)t : t 時点の経路 i の富の目標富に対す

i = 1; . . . ; I)

る不足分。(t = 1; . . . ; T; i = 1; . . . ; I)

WG;t : t 時点での目標富20 。
A.3

U0I , LI0 : 現金の組み入れ比率の上限値、下限値

UjI , LIj :モデルの定式化(1) キャッシュ・フロー制約式
危険資産 j の組み入れ比率の上(動的取引戦略期間 : t = 0; . . . ; ú)

限値、下限値。(j = 1; . . . ; n)(1) 式は 0 時点の配分決定、(2), (3) 式は 1(i)

時点以降の富 Wt

UjT : 危険資産 j の売買回転率の上限値。

nX

等価式を表す。

(j = 1; . . . ; n)cl : ú+ 1 時点以降の負債キャッシュ・フ
ローのために、ú 時点に現金で確保す

(i)

べき割合。

W1 ë
T
X

wt : t 時点のリスク値 (LPMt ) の重み係数(t = 1; . . . ; T )。ただし、する。

およびキャッシュ・フロー

j=1
n
X

wt = 1 と

(i)

j=1

t=1
(i)

Wt

wW : ú+ 1 時点における期待富に対するë

重み係数。(T 時点における期待富に対

(i)

(i)

öj1 zj1 + v1 ; (s 2 S1; i 2 M1s )nX(i) s0ê(2)(i)(t = 2; . . . ; ú; s 2 St; i 2 Mts )(3)

öj t zj;tÄ1 + 1 + rtÄ1 vtÄ1 Ä Dt

n
X
(i) s

j=1

(i)

ë

(i)

=

する重み係数は、1 Ä wW 。)(1)

öj 1 zj 0 + (1 + r0)v0 Ä D1

n
X
(i) s

j=1

=

öj 0zj0 + v0 = W0

öjt zjt + v (i)
t ;

j=1

ï : リスク回避係数。
19

年金支払い額 (支出) から年金の掛金収入を引いた値を表す。また、0 時点ではすでに考慮済み (b0 に反映されているもの ) とする。
20
掛金水準を維持するための最小のリスク水準、PBO
水準、t 時点において必要とされる負債額 (t 時点以降、支出されるであろう金額の t 時点における価値), もしくは政策的に目標とする富の水準を設定する。

(2) 富の計算式 (固定取引戦略期間 :t = ú+ 1; . . . ; T ; s 2 Sú; i 2 Mús)
(i)

Wt

15

ë

n
X
(i) s
j=1

(i)

(i)

(i)
öj t zj ú + CRt vú
Ä CDSt

(4)

(

v(i)
ú ï cl Ç max

max
t

†

(i)

CDt

CR(i)
t

!

)

ç
2 T 時点の期待富n
X jM s j XúsWT =ösj T zjú
I
j=1
s2S

;0 ;

(i = 1; . . . ; I)

(5)

ここで、

+

(i)
èCRt(i) : vú
を t 時点まで運用するときの

経路 i の累積倍率(i)CRú+1 = 1 + r(i)
ú
(i)
(i)
CRt = CRtÄ1 Ç

=

t
Y

u=ú+1

ê

ê

(i)
1 + rtÄ1
(i)

ë

ë

ç
1 現金の上下限制約式

(i)

(i)

(i)

t
X

Du(i) ;

èCDSt(i) : ú+ 1 〜 t 時点の金利も考慮した
(i)

(i)

(i)

(i)

ê

(i)

ë

s

s

(j = 1; . . . ; n; t = 1; . . . ; ú; s 2 St )
ç
3 危険資産の売買回転率(i)

CDSt = CDStÄ1 Ç 1 + rtÄ1 + Dt ;(t = ú+ 2; . . . ; T )1 X (i)v である。
jMts j i2M s ts
LIj W t î ösjt zjt
î UjI W t ;経路 i の累積負債増減額

CDSú+1 = Dú+1

(11)

21
ç
2 危険資産の上下限制約式
íì
öj0 bjmax ÄUjT +; LIj W0 î öj0 zj 0W0íìöj 0bjTIî min Uj +; Uj W0;
W0(j = 1; . . . ; n)
(12)

u=ú+1

(t = ú+ 2; . . . ; T )(t = 1; . . . ; ú; s 2 St )t

累積負債増減額

CDt = CDtÄ1 + Dt =(10)

ここで、v st =èCDt(i) : ú+ 1 〜 t 時点の経路 i の(i)

LI0 W0 î v0 î U0I W0ss
LI0 W t î vst î U0I W t ;(t = ú+ 2; . . . ; T )

(i)

(9)

(5) 上下限制約式

1 + ruÄ1 ;CDú+1 = Dú+1

I
1X
(i)
CR(i)
T vú Ä CDS T
I i=1
ú

s

0

(13)
s

s
s
ÄUjT W t î ösjt (zjt
Ä zj;tÄ1) î UjT W t ;(j = 1; . . . ; n; t = 1; . . . ; ú; s 2 St )(3) 非負制約式(14)(6) 目的関数(i)vt ï 0; (t = 1; . . . ; úÄ 1; i = 1; . . . ; I)(6)(i)
qt ï 0; (t = 1; . . . ; T ; i = 1; . . . ; I)
(7)

最大化 wW dfú+1W ú+1 + (1 Ä wW )dfT W Tszj0, zjtにも非負制約が必要であるが、組み

t=1

ただし、

入れ比率の下限制約式で代用可能なため、ここでは記述しない。

LPMt ë min(4) 期待富に関する式(

wR;t dft LPMt
å

(15)

I
å
1X
(i)
qt(i) åå Wt(i) + qt(i) ï WG;t
å
I i=1

)

(16)

jMts j は集合 Mts に含まれる経路数を表し、1 X (i)ösj t =
ö とする。
jMts j i2M s jtú
ç
1 t 時点の決定ノード s の期待富
1 X
s
(i)
Wt =
Wt
s
jMt j i2M s

T
X

ÄïÅ

(8)

t

21

0 時点に関しては売買回転率制約との組み合わせによって記述する。

16