医学部専門予備校英進館 メビオ

医学部専門予備校 YMS

解答速報

医学部進学予備校メビオ

埼玉医科大学（前期） 数学
2022年 2月6日実施
1
次の問い (問 1，2) の各枠に当てはまる符号または数字をマ一クせよ。

3 次方程式 ax3 + (−4a + 1)x2 + (a + 1)x + 6a = 0 が 3 つの異なる実数解をもち，そのうちの 2 つは絶対値が問1等しいとき，a =問212であり，解は ±32 つの関数 f (x), g(x) が4とである。

5∫ 3f (x) = 3x + 2x −2g(t)dt0∫ 2g(x) = x2 − 6x +f (t)dt1を満たすなら，∫ 2f (x)dx =6g(x)dx =71∫ 30である。
解答
問1

条件より，3 つの異なる実数解は k, −k, l (k > 0, ±k =\ l, k, l は実数) とおくことができる。このとき，解と係数の関係より




k + (−k) + lk(−k) + (−k)l + lkk(−k)l

4a − 1=aa+1=a= −6⇐⇒lk2
 2k l4a − 1aa+1=−a=6=···①···②···③①②を③に代入して()
4a − 1a+1
11· −= 6 ⇐⇒ 10a2 + 3a − 1 = 0 ⇐⇒ (5a − 1)(2a + 1) = 0 ⇐⇒ a =, −aa521のとき，②より k 2 = −6 となるが，k が実数であることより不適である。
51a=−のとき，①より l = 6，②より k 2 = 1 ⇐⇒ k = 1 (... k > 0) である。
2−1であり，解は ±1 と 6 である。
よって，以上より，求める a の値は a =2a=

医学部専門予備校 YMS(参考) 穴埋めから k, l は整数であることがわかるので，③の k 2 l = 6 より素因数の一意性を考えれば k = 1, l = 6 であることはすぐにわかる。

∫ 3

∫ 2
問2f (t)dt = k,
1g(t)dt = l· · · ④ とおくと，与式より

0f (x) = 3x2 + 2x − lg(x) = x2 − 6x + kとなるので，④に代入して

 ∫ 2

(3t2 + 2t − l)dt
1∫ 3
(t2 − 6t + k)dt
0

よって，k = 7, l = 3 である。

=k=l





[]2t3 + t2 − lt1
[ 3]3⇐⇒t
− 3t2 + kt
30{=k⇐⇒=lk+l
3k − l= 10= 18

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2
次の文章を読み, 下の問い (問 1〜3) の各枠に当てはまる符号または数字をマ一クせよ。

x > 0 を定義域とする曲線 y = f (x) 上の，点 (x, y) における接線の傾きが

問1

log x1であり，f (1) =が成り立つ。
x2y = f (x) と y = 1 との 2 つの交点の x 座標をそれぞれ α, β とすると，α = e89, β=eである。ただし α < β とする。

∫ β問2f (x)dx =111312e+eα問3である。

y = f (x) の接線のうち，y 軸との交点が (0, 2) であるものの方程式はy=1415ex +y=17e3x+1816とである。
解答
問1

条件より，f ′ (x) =∫f (x) =である。f (1) =log xであるから
xf ′ (x)dx =∫log xdx =x∫

log x(log x)′ dx =(log x)2+ C (C は積分定数)211(log x)21
より，C =なので，y = f (x) =+と y = 1 を連立して2222(log x)211+= 1 ⇐⇒ (log x)2 = 1 ⇐⇒ log x = ±1 ⇐⇒ x = e,22eとなる。よって，α = e−1 , β = e1 である。

∫(参考)

log xdx の積分は，log x = t と置換してもよい。
x10

医学部専門予備校 YMS∫ β問2

1f (x)dx =2α∫ e
1e{(log x)2 + 1}dx である。ここで∫∫(log x)2 dx =(x)′ (log x)2 dx∫= x(log x)2 −x · 2(log x) ·∫= x(log x)2 − 21dxx

log xdx∫= x(log x)2 − 2(x)′ log xdx}{∫
1= x(log x)2 − 2 x log x − x ·x
= x(log x)2 − 2x(log x − 1) + C ′ (C ′ は積分定数)
であるので

12

∫ e

1{(log x) + 1}dx =12e2{[]e [ ]e }2x(log x) − 2x(log x − 1) 1 + x 1e{() ()}15
1=e−+ e−2ee=e+

問3

接点を−3e()(log t)21t,+とおくと，y = f (x) の接線の方程式は
22y = f ′ (t)(x − t) + f (t)=(log t)21log t(x − t) ++t
22···①となる。これが点 (0, 2) を通るとき

2 = − log t +(log t)21+22⇐⇒ (log t)2 − 2 log t − 3 = 0⇐⇒ (log t + 1)(log t − 3) = 0⇐⇒ t =

1, e3e

よって，求める接線の方程式は，①に代入して

y = −1 · ex + 2, y =3e3x+2e

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3
次の文章を読み, 下の問い (問 1〜3) の各枠に当てはまる符号または数字をマ一クせよ。
図 1 のような平行な壁に囲まれた直角に曲がる道路を，長さ ℓ の細い棒を水平に保ったまま図 1 の下方から進んで角を曲がり，右方向に運びたい。運ぶことができる ℓ の最大値を求めるため，準備として次のような問題 (問 1，2) を考えた。

yB90◦2mθ
C(1, 0)

1mxA
図1問1

図2

図 2 に示すように，点 C(1, 0) を通る長さ ℓ の線分 AB がある。線分の一端 A が y 軸上の負の部分を動くとき, 線分と x 軸のなす角を θ として, B の y 座標 d を θ で表すと

d=19+20ℓである。

19,20に入る最も適切なものを, 次の 1 〜 6 のうちからそれぞれ 1 つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。

問2

1sin θ

2cos θ

3tan θ

4(− sin θ)5(− cos θ)6(− tan θ)ℓ = 8 のとき，d の最大値は√2122である。
問3

問 1, 2 の結果を使うと，図 1 のような道路で下方から右方向に運ぶことのできる棒の長さ ℓ の最大値は(23である。

)√+3242526[m]医学部専門予備校 YMS
解答
問1

原点を O とする。対頂角より，∠ACO = θ であるから

AC =1cos θと表せる。ゆえに

BC = ℓ −1cos θが成り立つ。よって(d = BC sin θ = ℓ −)1cos θsin θ ⇐⇒ d = − tan θ + ℓ sin θyB

1θθC(1, 0)xA
問2

θは0<θ <πを取りうる。問 1 より d = 8 sin θ − tan θ と書けるので，f (θ) = 8 sin θ − tan θ とおいて
2f ′ (θ) = 8 cos θ −=1cos2 θ8 cos3 θ − 1cos2 θ()(2 cos θ − 1) 4 cos2 θ + 2 cos θ + 1=cos2 θ(ここで，4 cos2 θ + 2 cos θ + 1 = 4 cos θ +14)23> 0 であることから，f ′ (θ) の符号変化は 2 cos θ − 1 の4+符号変化に注目すればよい。よって，以下の増減表を得る。

···

π3···

f ′ (θ)+−f (θ)

↗

0(π)

θ

つまり, d の最大値は f
問3( π )
3(0)

f3(π)
2↘

√
=8·√
√
3− 3 = 3 3 である。
2長さ ℓ の棒の下端を A，上端を B とする。図 3 のように，壁に点 C をとる。右方向に曲がるときに点 B からπ )とする。問 1 より，BH = f (θ) である。こ2
こで, 右側に曲がれる条件は BH の最大値が 2 以下になることである。よって，f (θ) の最大値を求める。ここで，内側の壁に下ろした垂線の足を H とし，∠BCH = θ(0<θ<医学部専門予備校 YMSℓ<= 1 であれば, 必ず右に曲がることができるので，以下では ℓ > 1 と考える。

90◦

B2m
θCHA1mf ′ (θ) =図3ℓ cos3 θ − 1cos2 θ=ℓ·=ℓ·cos3 θ − 1ℓcos2 θ)()(111cos θ − √cos2 θ + √cos θ + √333 2ℓℓℓ

cos2 θ()2
11113√√cos2 θ + √cos
θ
+=cos
θ
+> 0 より，f ′ (θ) の符号変化は cos θ − √に注目す+ √3 2333ℓℓ23ℓℓ4 ℓ1ればよい。cos θ − √= 0 となる θ を α とすると, 以下の増減表を得る。
3ℓθ(0)f ′ (θ)
f (θ)

···

α···+
↗

0f (α)

−↘

(π)
21よりℓ

よって，f (θ) の最大値は f (α) = − tan α + ℓ sin α である。ここで，cos α = √3√√3sin α =であるから

f (α) = −==よって，(√3ℓ2 − 1√,3ℓ

√√3

(√3

(√
3tan α =ℓ2 − 1 +33ℓ2 − 1√√√332ℓℓ2 − 1) √√ℓ2 − 1√√ℓ2 − 1) 32ℓ2 − 1) 32<ℓ2 − 1= 2 を解く。両辺が正であることに注意して，両辺を 2 乗すると
√3

両辺が正であることに注意して, 両辺を

2ℓ2 − 1 <= 2 3 ⇐⇒√32ℓ2 <= 1 + 23

3乗して2) 23(2ℓ<= 1 + 23

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よって，ℓ の最大値は (1 +√334) 2 [m] である。

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4
次の文章を読み, 下の問い (問 1〜4) の各枠に当てはまる符号または数字をマ一クせよ。
図 1 のような正八角形 ABCDEFGH の頂点から異なる 3 点を無作為に選び，これらを頂点とする三角形を作る，という試行を行う。

ABHGCFDE
図1問1

この試行でできる三角形が二等辺三角形である場合の数は三角形である場合の数は

問2293028通りで，すべての辺の長さが異なる通りである。

この試行でできる三角形が，△AHB と合同である確率は33273132であり，△AHC と合同である確率はである。

34
問3

合同な三角形を同じ種類とみなすとき，この試行で

問42 回続けてこの試行を行う。ここで 1 回目と 2 回目の試行は独立に行われるものとする。

35

種類の三角形を作ることができる。

(1) 1 回目にできる三角形と 2 回目にできる三角形が合同である確率は36373839である。

(2) 1 回目にできた三角形が二等辺三角形だったとき，2 回目にできる三角形が 1 回目の三角形と合同である確率は40である。

41
解答(1) 8 つの頂点から異なる 3 点の選び方は 8 C3 = 56 通りあり，それぞれの選び方で三角形が 1 つできる。

AB

HGC

F

D
E

頂角が A の二等辺三角形は，

医学部専門予備校 YMS△ABH，△ACG，△ADFの 3 通りある。
頂角が B，C，D，E，F，G，H の場合も同様であるから二等辺三角形は全部で3 × 8 = 24 通り
また，正三角形は作れないので，辺の長さがすべて異なる三角形は，

56 − 24 = 32 通り
問2

8 つの頂点から異なる 3 点の選び方は 8 C3 = 56 通りあり，これらはすべて同様に確からしい。

このうち，△AHB と合同な三角形ができるのは，頂角が B，C，D，E，F，G，H の場合で合同となるものを考えて，8 通りあるから，その確率は

18=567
また，△AHC と合同となるものは
辺 AH を共有しているのものが △AHC と △AHF の２通りあり，

AB

HGCFDE

これと合同で，辺 AH を HG，GF，FE，ED，DC，CB，BA に変えたものも同様にあり，全部で2 × 8 = 16 通り
あるから，その確率は

216=567
問3二等辺三角形は △ABH，△ACG，△ADF の 3 種類のいずれかと合同であり，すべての辺が異なる三角形は △AHC，△AHF の 2 種類のいずれかと合同であるから，作られる三角形は全部で 5 種類 である。
問 4 (1) 問 2 と同様に考えて，△ABH，△ACG，△ADF と合同な三角形はそれぞれ 8 通り作れ，△AHC，△AHF と合同な三角形はそれぞれ 16 通り作れる。
よって，1 回の試行でそれぞれの三角形と合同になる確率をまとめると，次の表のようになる。

△ABH
17三角形確率△ACG
17△ADF
17△AHC
27△AHF
27

計1

１回目と 2 回目の試行は独立なので，1 回目と 2 回目にできる三角形が合同となる確率は(17)2(+17)2(+17)2(+27)2(+27)2=1149(2) 「1 回目にできる三角形が二等辺三角形となる」という事象を N「2 回目にできる三角形が 1 回目の三角形と合同となる」という事象を G とすると，

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求める確率は PN (G) であるから

P (N ∩ G)
P (N )( )2 ( )2 ( )2
1
11++1777==
1
1
17++777

PN (G) =医学部専門予備校 YMS

講評
1 ［小問集合］(標準)
問 1 複素数と方程式，問 2 積分法からの出題である。問 1 はやや計算が重いものの，いずれも典型問題である。

2 ［数Ⅲ微分法，数Ⅲ積分法，］（標準）f ′ (x) =log xから計算を進めていくだけである。穴埋めに 1 や − が入るので，そこで戸惑った受験生はいたかもxしれない。

3 ［数Ⅲ微分法］（やや難）文章題でこの手の問題に慣れている受験生は少ないだろう。問 2 までできればかなり良い方ではないだろうか。

4 ［場合の数と確率］（標準）
丁寧な数え上げがものを言う問題である。時間を考えると全答するのが難しい受験生もいたであろう。
やや難化した。時間が短いので一回で正確に計算を合わせられないと厳しいだろう。また，全体的に基礎の定着度合いを見る問題が多く，この傾向は変わっていない。一次突破ラインは 55〜60% 程度か。

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