線型代数学と演習 II（演習）第 5 回 [略解]20240719[記号] 正則行列 A と自然数 n に対して，A−n := (A−1 )n とかく．
1 具体的な計算．以下で x, a, b, c, d は実数とする．
（a） i. 行列 ( x4 x4 ) が正則でないとき，x の値を決定せよ．

x+1 2−2 4 が正則であるための必要十分条件を述べよ．
aiii. 行列 ( 3 13 ) の逆行列が 1c db で与えられているとき a, b, c, d を求めよ．

a+1 a2iv. 行列 A = a−1a+2 が正則でないとき，A を求めよ．
v. 行列 A = ( 10 x1 ) は常に正則であることを示し，任意の整数 n に対して An を決定せよ．
 0 7 0 
3 0 0 −1 3 6 1が正則であることを示せ．
（b）(i) A = 0 −5 0 , (ii) B = 0 1 2 , (iii) C = − 4 0 √000−20 0 40 0 22ii. 行列（a） i. x = ±4.

ii. x ̸= −2.
iii. a = 10, b = −3, c!= −3, d = 10.
1 −1iv. A2 =.
−3 3v. x によらず常に行列式は 1 !
なので，これは正則．前回の演習でやったように，非負整数!
1nx
1−xn に対して An =．他方で，A−1 =であるから，非負整数 n に0 10 1!
!
1−nx1nx
対して A−n =．従って，任意の整数 n に対して，An =．
010 1（b）かけて単位行列になる「逆行列」を頑張って探す．ただし，両方からかけて初めて正則であると結論できるので，要注意！


1/3

(i) 
 0000−1/5

0 


01/4


−1 3

(ii) 
0 10 0

0

1 

−1/2

0


(iii) 
1/70−40000 √ 22 正則な対称行列・交代行列の逆行列について．
（a）対称行列 A = ab cb が正則のとき，逆行列 A−1 もまた対称行列であることを確認せよ．
0 x−1（b）交代行列 A = −xもまた交代行列であることを確認せよ．
0 が正則のとき，逆行列 A1)（c）正則な対称行列の逆行列もまた対称行列になることを証明せよ ．
（d）正則行列 A とスカラー k ̸= 0 に対して，kA も正則であることを証明せよ．
（e）正則な交代行列の逆行列もまた交代行列になることを証明せよ．
（b）A−1 = x12

c −bだから対称．
−b a0 −xだから交代．
x 01（a）A−1 = ac−b2（c）A を正則かつ対称とすると，授業でやったことから t (A−1 ) = (t A)−1 = A−1 ．
（d） k1 A−1 が逆行列．
（e）(2-d) の結果を用いて (−A)−1 = −A−1 に注意すると，ほぼ対称の場合と同じ．

1)

問題文に行列のサイズ（m × n とかのこと）が書いていない場合，暗黙に「サイズは任意である」と解釈する．

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線型代数学と演習 II（演習）第 5 回 [略解]20240719[定義] n 次正方行列 A がベキゼロ行列とは，ある自然数k が存在し Ak = O が成立するときをいう．
0 6 2
はベキゼロ（確認せよ）．一般に Ak = O ̸⇒ A = O に注意．
例えば ( 00 30 ) や 33 −3−3 や 0 0 4000

3 正則であることの判定について．以下で，A を n 次正方行列とする．
（a）A3 = 8En ならば A は正則であることを証明し，A−1 を与えられた A を用いて記述せよ．
（b）A2 + 6A + 9En = O ならば A は正則であることを証明し，A−1 を与えられた A を用いて記述せよ．
（c）n = 2 のとき，A2 + 6A + 9E2 = O をみたすような A ̸= −3E2 をひとつ見つけよ．
（d）ベキゼロ行列 A に対して，En − A は正則であることを証明せよ．また A + En はどうか？
2)[ヒント] (3-a) で条件から A = 2En と早とちりしないこと ．実際，条件をみたす A は他にもたくさん
3)ある ．つまり，高校までの「解く」とかそういう問題ではなく，A のまま扱わなければいけな
い．とにかく A とかけて単位行列になる相方を見つけるゲーム．(3-b) は A = −3En と早とちりしないこと．実際，(3-c) が反例で，A + 3E2 が例えばベキゼロ行列

3 −33 −3となるように Aを選べばよい．(3-d) は相方候補としては 前回プリント (3-c) を参照すべき．例えば「A2 = Oならば En − A は正則」は次のように示せばいい：仮定より (En − A)(En + A) = En − A2 = Enであり，逆からの積も計算したら En となるので En − A は正則で (En − A)−1 = En + A．今回はベキゼロなので，自分でちゃんと何乗してゼロ行列になるか文字（ベキの数）を設定すること．
1の原点でのテイラー展開を考えたら，すごく幸せな気持ちになれる．
[コメント] 関数 f (x) = 1−x（a）仮定を変形すれば A( 18 A2 ) = En かつ ( 18 A2 )A = En を得るので，A は正則である．記号の定義から A−1 = 18 A2 .
（b）A2 + 6A + 9En = O を変形すると (A + 6En )A = −9En なので (− 19 A − 32 En )A = Enを得る．また逆からも A(− 19 A − 23 En ) = En が確かめられるので，A は正則で，A−1 =− 19 A − 23 En ．
[注意] 早とちりして (A + 3En )2 = O と変形して A + 3En = O と結論付けるかも．．．その場合，例えば「X = ( 00 30 ) は X 2 = O だけど X ̸= O 」なので，その推論は NG と分かる. 実際に，次の問題が反例を具体的に与えている．
（c）ヒントのまま A =0 −33 −6

とでもすれば，A ̸= −3E2 & A は正則 & A2 + 6A + 9E2 = Oをみたす．
（d）ベキゼロなので Am = O となる自然数 m が存在する（この記述が無かったら NG）．このとき(En − A)(En + A + A2 + A3 + · · · + Am−1 ) = En − Am = Enとなる（ただし m = 1 のときは，En + A + A2 + A3 + · · · + Am−1 の意味は En としておく）．逆からの積も同様に = En なので正則．もう一つも，(A + En )(En − A + A2 − A3 + · · · + (−1)m−1 Am−1 ) = En + (−1)m−1 Am = En2)実数のときは x3 = 8 をみたすとき x = 2 と決定可能だった．しかし，でも，複素数のときは x は 3 つある．

3)

例えば n = 2 のときは 2R2 (2π/3) も条件を満たす（R2 (□) は 2 次の回転行列）．

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線型代数学と演習 II（演習）第 5 回 [略解]20240719だからよい．

4 正則でないことについて．
（a）A + B が正則にならないような，n 次正則行列たち A, B の例をあげよ（n は一般のまま）．
（b）n 次正方行列 A, B に対し AB = O ならば A, B のいずれかは正則でないことを証明せよ．
（c）ベキゼロ行列は正則でないことを証明せよ．

[ヒント] (4-c) の特殊な場合として「A2 = O ならば A は正則でない」は次のように示せばいい：背理法
で A が正則と仮定すると，逆行列 A−1 が存在する．これを仮定の A2 = O の両辺左からかけると A = O となる．いま O は正則でなかったので，これは矛盾．
（a）一番簡単な例は A = En , B = −En ．
（b）背理法で A, B がともに正則であるとする．特に A−1 が存在する．仮定の AB = O の両辺左から A−1 をかければ B = O を得る．これは B が正則であることに矛盾．
（c）仮定から Am = O をみたす自然数 m が存在している（この記述が無かったら NG）．背理法で A が正則であると仮定すると，逆行列 A−1 が存在するので (A−1 )m が考えられる．
すると，−1Am (A−1 )m = |A ·{z· · A} (AA−1 ) A·{z· · A−1}|
m−1=A· · A} En A
| ·{z|−1m−1= |A ·{z· · A} A|

−1m−1= ···m−1−1·{z··A }m−1−1·{z··A }(∵ ベキ乗の定義 & 積の結合法則)(∵ 逆行列との積)(∵ 単位行列との積)

m−1(繰り返す)= AA−1= Enとなる．他方で Am = O だったから，上記の結果と合わせると O = Am (A−1 )m = En を得る．しかし，これは矛盾．

[注意] もし Am (A−1 )m = (AA−1 )m と書いていた場合は，その証明がない限り NG！行列の積は一般に非可換（可換ではない）より Am B m = (AB)m は 成立しない．

5 回転行列について（cf. 前回の演習）．
実数 θ に対して，回転行列 R2 (θ) =cos θ − sin θsin θ cos θ, R3 (θ) = cos θ 0 sin θ 0
1 0− sin θ 0 cos θを考えたのだった．

（a）R2 (θ) は常に正則であることを示し，逆行列 R2 (θ)−1 を R2 (□) の形でかけ．
（b）R3 (θ) は常に正則であることを示し，逆行列 R3 (θ)−1 を R3 (□) の形でかけ．

[ヒント] (5-b) は前回演習で示した R3 (0) = E3 & R3 (θ)R3 (φ) = R3 (θ + φ) を用いて考えるべき．
（a）行列式は cos2 θ + sin2 θ = 1 ̸= 0 で正則．逆行列は R2 (θ)−1 = R2 (−θ)．(5-b) のようにしても OK．
（b）R3 (θ)R3 (−θ) = R3 (θ − θ) = R3 (0) = E3 かつ R3 (−θ)R3 (θ) = · · · = E3 なので正則．このことから R3 (θ)−1 = R3 (−θ).

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6 行列の n 乗の計算方法．以下で，n を自然数とする．
−31 3−1A := −1と P := −1AP が考えれらる．
−4 について．この P は正則なので B := P
4 6（a）B n = (P −1 AP )(P −1 AP ) · · · (P −1 AP ) で あ る こ と を 念 頭 に 置 く こ と で ，B n を 記 号「A, P, P −1 , n」のみを用いてかけ（B n = (P −1 AP )n は不可）．
（b）具体的な計算で B を求めることにより，B n を具体的な成分表示で求めよ．
（c）上記 (6-a) および (6-b) の結果を念頭に置くことで，An を具体的に成分表示で求めよ．
（a）B n = P −1 A!n P .
（b）B =（c）2 00 3, Bn =2n003n!
.

2n+2 − 3n+13 · 2n − 3n+1−2n+2 + 4 · 3n−3 · 2n + 4 · 3n!
.

[定義] 正方行列 (aij )ij は，条件 i > j ⇒ aij = 0 をみたすとき上三角行列（うえさんかく）であるという．他方で条件 i < j ⇒ aij = 0 をみたすときは下三角行列（したさんかく）であるという．

7 [発展] 上三角行列について．
（a）上三角行列同士の和および積は，上三角行列になることを証明せよ．
（b）n 次の上三角行列 A = (aij )ij は正則であれば，対角成分の積 a11 a22 · · · ann がゼロでないことを示せ．またこのとき，逆行列 A−1 もまた上三角になることを示せ．
（c）3 次の上三角行列 A = (aij )ij に対し「A が正則 ⇔ a11 a22 a33 ̸= 0」を示し，A−1 を求めよ．

[ヒント] (7-b) は n × n の行列で書き下してチェックすればよい．(7-c) について，実は一般のサイズの上三角行列 A について「A が正則 ⇔ A の対角成分にゼロがない」が成立する．

8 [発展] 2 次正方行列 A =a bc d

について．

（a）実数 r ̸= 0 を固定する．主張「A ± rE2 がともに正則ではない ⇒ A は正則」を証明せよ．
（b）A2 = O をみたすとき，a + d = 0 となることを証明せよ．
（c）A がベキゼロ行列のとき，a + d = 0 となることを証明せよ．
（d）A がベキゼロ行列のとき，必ず A2 = O となることを証明せよ．

[ヒント] (8-b) は (4-c) を睨み Cayley-Hamilton の定理を使うとよい．

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