論文

先進セラミックス研究センター年報（2019）. Vol. 8, 1‑7

一次元ストリップ型Ｘ線検出器の連続走査積算測定における赤道収差井田隆

名古屋工業大学先進セラミックス研究センター〒 507-0071 岐阜県多治見市旭ヶ丘 10-6-29

Equatorial Aberration for Continuous-Scan Integration with
One-Dimensional Strip X-ray Detector
Takashi Ida
Advanced Ceramics Research Center, Nagoya Institute of Technology
10-6-29 Asahigaoka, Tajimi, Gifu 507-0071, JAPANExact and approximate mathematical expressions about equatorial aberration for continuous-scan integration with strip-type
X-ray detector are presented. The validity of the formulas is tested by numerical calculations and analysis of experimental data.
Keywords: Si strip detector, Bragg-Brentano geometry, convolution, powder diffraction㸯㸬ࡣࡌࡵ࡟
1．はじめに

現在でも実験室の粉末Ｘ線回折測定装置では、Ｘ線検出器としてシンチレーション検出器の用いられる例は少なくないと思われるが、シリコン・ストリップ検出器と呼ばれる一次元半導体Ｘ線検出器の利用は急速に拡大している。現時点で装置メーカーから出荷される粉末Ｘ線
回折装置の概ね 95% 以上に一次元半導体Ｘ線検出器または二次元半導体Ｘ線検出器が組み込まれると聞く。
シリコン・ストリップ型Ｘ線検出器（SSXD）は、幅

50–100 μm，長さ 10–20 mm 程度の細長い PIN フォト
ダイオードをストライプ状に配列させた構造を持つ。

Fig. 1 に検出素子構成の模式図を示す。N 型半導体領域にプラス、P 型半導体領域にマイナスの電圧（逆バイアス）をかけることにより、荷電担体の枯渇した空乏層が形成され、ここにＸ線が照射したときに発生する電子・

Fig. 1 シリコン・ストリップ検出器の構造

空孔の移動により生じる光電流がパルス信号として検出される。

比較から、放電の発生位置を特定する機能を持つもので個々のストリップ素子に集積化された増幅回路・波形ある。また、ブラッグ・ブレンターノ型粉末回折装置に整形回路・パルス高弁別回路・計数回路が接続され、そLPSD を設置して用いた場合に、どのような収差が現れる か に つ い て、 既 に Cheary & Coelho（1994） とSłowik & Zi㶝ba（2001）が報告している［1, 2］。この時点では、LPSD はステップ走査で利用することが前提とれぞれのストリップが「受光スリットとシンチレーショ
ン検出器を組み合わせた検出システム」と同等の機能を持つ。
ただし、従来から一次元位置敏感型検出器（linear

されていた。

position sensitive detector; LPSD）と呼ばれるタイプのシリコン・ストリップ検出器は、位置敏感型ガス封入

Ｘ線検出器は存在していた。これはガスを満たした電離比例計数器の代わりに使えるだけでなく、Ｘ線光子の捕箱に高い電圧をかけ、Ｘ線が照射されてイオン化した分捉率が高く、応答速度も速い。実験室で粉末Ｘ線回折測子によって生じる放電電流を、入射方向と垂直な方向に定に用いられる場合、通常は主に迅速性が重視され、ス

離して配置した二つの電極で捕捉し、二つの信号強度のテップ走査（断続回転駆動）ではなく、連続走査（連続―1―一次元ストリップ型Ｘ線検出器の連続走査積算測定における赤道収差回転駆動）が行われる。このとき、検出器の中心に位置するストリップの角度が、試料面での入射視射角の 2 倍になるようにゴニオメーターが駆動される。中心からずれた位置にあるストリップが検出したＸ線の強度は、検出器角度とストリップの位置から見積もられる適切な回折角に割り当てられる強度として積算される。この記事では、このような駆動・データ収集のしかたを、一次元
検 出 器 を 用 い た 連 続 走 査 積 算 continuous scan

integration と呼ぶことにする。ただし、初めてこのデー
タ 収 集 法 を 実 用 化 し た 装 置 メ ー カ ー で あ る Malvern

Panalytical 社は同じことを実時間多重ストリップ法
real-time multiple strip technology（RTMS）と呼び、リガク社は時間遅延積算 time delay integration（TDI）とFig. 2 装置パラメーターの定義。R はゴニオメーター半径、
W は試料幅、 Ȱ は発散スリット開き角、2L は一次元検出器（SSXD）の有効長、 2Ȳ は SSXD の見込み角。

呼ぶ。

Cheary & Coelho［1］と Słowik, & Zi㶝ba［2］は、一തതതത ൌ ܴ とする。入射Ｘ線
ゴニオメーター半径を തതതതܺ‫ ܩ‬ൌ ‫ܥܩ‬次元Ｘ線検出器の連続走査積算測定によって得られる粉ビームの赤道方向発散角は発散スリットによって角度 Ȱ

末回折データについて、Ｘ線ビームの赤道方向に沿ったに制限される。ゴニオメーター中心 G からの検出器見込有限な広がりの影響がどのように表現されるかは、示し

み角が 2Ȳ で表されるとする。この角度 2Ȳ は検出器のていない。Mendenhall et al.（2015）は Si ストリップ検

赤道方向有効長 2‫ ܮ‬とゴニオメーター半径 R とから、出器を用いることを前提として、基礎パラメーター法2Ȳ ൌ 2 arctan（fundamental parameters approach; FPA）［3］で利用するための赤道収差関数の形式について述べている［4］。

‫ܮ‬
ܴ

(1)

として算出することができる。

しかし、示された数式からは、数値積分により畳み込み

試料の赤道方向に沿った幅を W とすると、有効赤道ピーク形状を評価するものと推測され、リートベルト法

発 散 角 は、 ゴ ニ オ メ ー タ ー 角 2ȣ が 臨 界 角 度などの当てはめ（フィッティング）解析に利用する場合

2ȣୡ ‫ ؠ‬2 arctanሺܹȰ/ 2ܴሻ より浅い角度になれば、発散スには、数値積分を繰り返し計算する負荷のために、解析リットの開き幅 Ȱ ではなく試料幅 W で決まることにな

ソフトウェア・システムのパフォーマンスはやや低下す

るが、ここでは 2ȣୡ ൏ 2ȣ の範囲に限定して議論を行う

ることが予想される。

こととする。

一方、筆者の提案する逆畳み込み法［5］は、FPA 法

Fig. 3 に、赤道方向へ角度 ߶ ずれた方向に進むビーム
が、検出器の非中心（オフ・センター）ストリップ Dと数学的には概ね等価であるが、装置収差関数の評価は全処理を通じて 1 回のみであり、かりに赤道収差関数

で検出される場合の位置と角度の関係を図示する。ここതതതത がビーム中心 തതതതでは入射ビーム ܺܲܺ‫ ܩ‬から赤道方向に角を数値積分によって評価するとしても、相対的には重いは避けられる方が好ましい。この記事では、一次元検出度 ߶ ずれ、試料面上の位置 P で回折され、回折ビームതതതതܲ‫ ܦ‬が検出器の非中心ストリップ D で検出されるとす器連続走査積算法によって得られる粉末回折データに及തതതത から 2߰ で表さതതതത が ‫ܥܩ‬る。非中心ストリップ D は、‫ܦܩ‬

ぼす赤道収差の影響について、数学的な形式を明らかにし、また実用的な近似赤道収差関数のあからさまな代数れる角度（オフセット角）に位置するとする。位置 Pܺܲ とでの「真の回折角」を 2ߠ とする。この角度は、 തതതത表現を導く。またその妥当性について数値計算と実験にതതതതܲ‫ ܦ‬のなす角度に等しい。

負担にならない。しかし、1 回だけであっても数値積分より検証した結果を示す。
2．幾何学的な関係
2−1

赤道収差関数の厳密解

一次元ストリップ検出器を用いたブラッグ・ブレン
ターノ回折計の赤道収差効果に関係する装置パラメー
ターの定義を Fig. 2 に示す。
検出器の中心ストリップが位置 C にあるとする。試料面に対して、Ｘ線源の焦点位置 X と中心ストリップ

Fig. 3 見かけの回折角 2ȣ と、位置 P での真の回折角 2ߠࠊ、C とが幾何学的に対称的な関係が保たれながら、ゴニオ
メーター軸 G の周りに回転されると仮定する。また、

赤道方向ずれ角 ߶ 、非中心ストリップ D のオフセット角 2߰―2―との間の関係。

井田隆

Fig. 3 から、以下の関係のあることがわかる。
തതതതതതതത െ തതതത‫ ܲܩ‬ൌ ܲ‫ܪ‬
‫ܪܩ‬

(2)

തതതതത െ തതതതതതതതത‫ ܲܩ‬ൌ ‫ܪܩ‬Ԣ
ܲ‫ܪ‬Ԣ

(3)

തതതത ൌ ܺ‫ܪ‬തതതത / tanሺȣ െ ߰ െ ߶ሻ
ܲ‫ܪ‬

(4)

തതതത
‫ ܪܩ‬ൌ തതതതܺ‫ ܩ‬cosሺȣ െ ߰ሻ

(5)തതതത ൌ തതതതܺ‫ ܩ‬sinሺȣ െ ߰ሻ
ܺ‫ܪ‬

(6)

തതതതത
തതതത cosሺȣ ൅ ߰ሻ‫ܪܩ‬Ԣ ൌ ‫ܦܩ‬(7)തതതതത/ tanሺ2ߠ െ ȣ ൅ ߰ ൅ ߶ሻതതതതതܲ‫ܪ‬Ԣ ൌ ‫ܪܦ‬Ԣ

(8)തതതത ൌ ‫ܥܩ‬തതതത / cos 2߰
‫ܦܩ‬

(9)

തതതതത
തതതത sinሺȣ ൅ ߰ሻ‫ܪܦ‬Ԣ ൌ ‫ܦܩ‬

(10)തതതത ൌ ܴതതതതܺ‫ ܩ‬ൌ ‫ܥܩ‬

(11)

式（2）
（
– 11）の関係から、見かけの回折角 2ȣ と真の回折角
2ߠ の差 ο2ȣ ‫ ؠ‬2ȣ െ 2ߠ は、ȣ, ߶, ߰ の関数 ݂ሺȣ, ߶, ߰ሻ として、以下の形式で表されることがわかる。
ο2ȣ ൌ ݂ሺȣ, ߶, ߰ሻ ൌ ȣ ൅ ߰ ൅ ߶ െ arctansinሺȣ ൅ ߰ሻ݃ሺȣ, ߶, ߰ሻ

Fig. 4 式（12）、（13）で計算される回折角ずれ ο2ȣ ‫ ؠ‬2ȣ െ 2ߠ

(12)の赤道方向ずれ角 ߶ と非中心ストリップ・オフセット半角 ߰݃ሺȣ, ߶, ߰ሻ ൌ cosሺȣ െ ߰ሻ cos 2߰ ൅ cosሺȣ ൅ ߰ሻെsinሺȣ െ ߰ሻ cos 2߰tanሺȣ െ ߰ െ ߶ሻ

依存性。

(13)

また、一様な強度分布・感度分布を仮定できれば、見かけ回折角 2ȣ 、発散スリット角 Ȱ 、検出器見込み角 2Ȳ
のとき、赤道収差の装置関数 ߱୉ ሺο2ȣ; ȣ, Ȱ, Ȳሻ は、以下の式で与えられることになる。
߱୉ ሺο2ȣሻ ൌ

஍

ஏ

ଶ

ଶ

ଶ
ଶ
1
න න Ɂ൫ȟ2ȣ െ ݂ሺȣ, ߶, ߰ሻ൯ d߰d߶ȰȲ ି஍ ିஏ(14)

ただし、 Ɂሺ‫ݔ‬ሻ はディラックのデルタ関数である。

3 節で述べる実験で用いた条件に沿って Ȱ ൌ 1.25°, 2Ȳ ൌ

Fig. 5 式（12）、（13）で計算される回折角ずれ ο2ȣ ‫ ؠ‬2ȣ െ 2ߠ4.89° とし、 2ȣ ൌ 30° としたときの回折角ずれ ȟ2ȣ が、のヒストグラム。

߶ と ߰ の値によってどのように変化するか、式（12）、（13）を用いて計算した値を Fig. 4 に図示する。

ο2ȣ ൎ െ2ሺ ߶ ଶ ൅ ߶߰ሻ
tan ȣ

(15)

さらに、߶ と ߰ のとりうる値の範囲（ ߶ ‫ א‬ሾെȰ/2, Ȱ/2ሿ, ߰ ‫ א‬ሾെȲ/2, Ȳ/2ሿ ） を 1000×1000と書ける。この近似形式に基づいて、Fig. 2 と同様に回格子に分割し、格子点で計算された 10଺ 個の ȟ2ȣ の数

折角ずれ ο2ȣ の ߶ , ߰ 依存性を計算した結果を Fig. 6値について、1000- ビン（区分）・ヒストグラムをとっに示す。

てグラフ化した結果を Fig. 5 に示す。

Fig. 4 と Fig. 6 を比較すれば、わずかな違いのあることも認知しうるが、赤道収差の主な特徴は、式（15）のこのヒストグラムは、式（14）に示した赤道収差関数の厳密解 ߱୉ ሺο2ȣ; ȣ, ߶, ߰ሻ と事実上同一視できること

近似形式で良く再現されていることを確認できる。
式（15）の近似形式を用いれば、赤道収差関数のキュを、格子数とビン（ヒストグラムの区分）数を変化させ

ムラントの代数的な表現を求めることも、極端に困難なた複数の試行により確認した。

作業ではない。近似赤道収差関数の 1 次から 4 次のキュ2−2ムラント ߢଵ , ߢଶ , ߢଷ , ߢସ について以下の表現が得られる。

赤道収差関数の近似解

Słowik & Zi㶝ba は、既に一次元検出器の赤道収差に関する合理的な近似関係を導いていた［2］。この近似を

Ȱଶ
6 tan ȣ(16)1
Ȱସ Ȱଶ Ȳ ଶ
ቆ ൅
ቇ
ଶ
36
tan ȣ 45(17)12Ȱ଺ Ȱସ Ȳ ଶ
ቆ
൅
ቇ
ଷ
90
tan ȣ 945(18)

ߢଵ ൌ െ

正当化する論理に不明瞭な部分が含まれている印象はあߢଶ ൌ（13）で表される厳密るが、この近似関係は、式（12）、解を ߶ と ߰ について 2 次項まで展開した形式と正確にߢଷ ൌ െ

一致しており、本稿中の記号を使えば、―3―

一次元ストリップ型Ｘ線検出器の連続走査積算測定における赤道収差

式（20）–（25）によって計算される装置収差関数の形
状 を Fig. 7 に 示 す。 装 置 パ ラ メ ー タ ー は Ȱ ൌ 1.25° ，2ȣ ൌ 30°， 2Ȳ ൌ 4.89°, 0.001° とした。

40
Equatorial aberration,
explicit approximate expression2Ĭ = 30º, ĭ E = 1.25º
2Ȍ = 4.89º2Ȍ = 0.001º

30

20

10

0
-0.20

-0.15

-0.10

-0.05
ǻ2Ĭ (º)

0.00

0.05

0.10

Fig. 7 式（20）–（25）で計算される赤道収差関数。

Fig. 5 と Fig. 7 を比較すると、厳密解と近似解とでは、Fig. 6 式（15）で計算される回折角ずれ ο2ȣ ‫ ؠ‬2ȣ െ 2ߠ の赤道

赤道収差関数がゼロでない値をとる下限の付近

方向ずれ角 ߶ と非中心ストリップ・オフセット半角 ߰ 依存性。

（ο2ȣ~ െ 0.15° ）でわずかに挙動の異なることも確認で（25）
きるが、厳密な収差関数形状の主な特徴が式（20）–

1
2Ȱ
2Ȱ Ȳ
Ȱ Ȳ
ቆ
െ
െ
ቇ
945
5400
tanସ ȣ 4725
଼ߢସ ൌ െ

଺ଶସସ

の表現で、ほぼ再現できていることを確認できる。

(19)（– 25）の表現は 2Ȳ ൌ 0 のときに特異的になるが、式（20）

式（16）から、1 次キュムラント（平均ピークシフト）

Fig. 7 中に示すように、一般的に利用しうる計算シスߢଵ は検出器の有限の大きさ 2Ȳ の影響を受けないが、テムを使って 2Ȳ ൌ 0.001° を仮定しても、数値的に合理–（19）から、2 次キュムラント（幅の広がり）
式（17）的な計算結果が得られた。例えばゴニオメーター半径

も 3 次キュムラント（非対称性）、4 次キュムラント（尖ܴ ൌ 240 mm、検出器（受光スリット）幅 2‫ ܮ‬ൌ 0.05 mmり）も、有限な検出器サイズ 2Ȳ の影響を受けることがのように、スリット幅が比較的狭い場合であってもわかる。検出器サイズ 2Ȳ を大きくすることには、検出2Ȳ ൌ 0.012° にしかならないので、式（20）–（25）の形式

効率も統計精度も向上する明確なメリットはあるのだ

は、ゼロ次元検出器を使って測定されたデータに適用しが、その一方で、観測されるピークの幅は広がり、ピーても、現実に用いられる有限な受光スリット幅とゴニオ

ク形状の非対称性が強くなり、ピーク頂点付近の形状はメーター半径の比を有限な値の 2Ȳ として取り入れれあまり変わらないが相対的には少し弱くなり、ピークのば、数値的に安定な解の得られることが裏付けられる。
（13）で表される厳密解と、式（15）の近似解、式（12）、裾の部分が特に広がることが予想される。
さらに、式（15）の近似形式を前提としうる状況であ（25）
式（16）–（19）の近似関数キュムラント、式（20）–（25）で表されるように、一次元
れば、以下の式（20）–の明示的な近似収差関数表現の間の整合性を検証するた

検出器連続走査積算によって得られる粉末Ｘ線回折デー

めに、次元を揃えた 1 − 4 次の赤道収差関数キュムラ

タに関する近似的な赤道収差関数の明示的な表現߱୅ ሺο2ȣ; ȣ, Ȱ, Ȳሻ も得られる。

ント ߢଵ , ߢଶ , ߢଷ , ߢସ （k 次キュムラントの k 乗根）に

2 tan ȣ ߶୙ln߱୅ ሺο2ȣሻ ൌ ቐ ȰȲ߶୐0
ȟ2ȣ୐ ൌ െሾȟ2ȣ୐ ൏ ȟ2ȣ ൏ ȟ2ȣ୙ ሿ

ଵ/ଶ

値を計算した。計算結果を Table I に示す。厳密解のキュ(20)

ムラントは、収差関数の数値的な算出（Fig. 5）を行なった際と同様に、߶ と ߰ のとりうる範囲を 1000×1000(21)の格子に分割し、各格子点での ο2ȣ の計算値から数値的に求めた。近似形式については、3 通りの異なる方法、ଶȲሾȲ ൑ 2Ȱሿ
8tanȣȟ2ȣ୙ ൌ
ଶ‫۔‬െȰ ൅ ȰȲ
ሾ2Ȱ ൏ Ȳሿ‫ ە‬2 tan ȣȲȲ߶୐ ൌ max ൜െ ൅ ξ‫ܦ‬, െ ξ‫ܦ‬ൠ
44
Ȱ Ȳ
߶୙ ൌ min ൜ , ൅ ξ‫ ܦ‬ൠ
2 4
‫ۓ‬

‫ܦ‬ൌ

Ȳ ଶ ȟ2ȣ tan ȣ
െ
16
2

ଵ/ସ

ついて Ȱ ൌ 1.25° , 2Ȳ ൌ 4.89° , 2ȣ ൌ 30° としたときのሾotherwiseሿȰଶ ൅ ȰȲ
2 tan ȣଵ/ଷ(22)（i）厳密解と同様に式（15）のみに基づく数値的な計算、（ii）式（20）–（25）に示す装置収差関数の表現に基づ（iii）式（16）–（19）の代数
く 1000 標本点の数値積分、

(23)
(24)
(25)

表現による計算によって数値を算出した。

Table I に示した計算結果から、式（15）の表現と式（20）–（25）の表現、式（16）–（19）の表現は互いに矛盾しないが、数値計算手法（i）では 0.0001° 程度に相当す―4―㦂࡜ゎᯒ

㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ
井田隆

Table I 厳密解・近似解、異なる手法で計算される赤道収差関数

0.399mm の凹部を持つガラス製試料ホルダーに充填しのキュムラントの値の比較。Ȱ ൌ 1.25°, 2Ȳ ൌ 4.89°, 2ȣ ൌ 30°とする。

た。 重 量 測 定 か ら 見 積 も ら れ た 粉 末 の 嵩 密 度 は
ߩ ൌ 0.892 g/cmଷ であり、 8.048 keV の Cu Kߙ Ｘ線に対

ᙧᘧ

ཝᐦゎ

⟬ฟἲ

(i)

(i)

(ii)

(iii)

する Si の質量減衰係数の値 ሺߤ/ߩሻ ൌ 63.5 cmଶ /g を仮ߢଵ ሺ°ሻ

̽0.0173

̽0.0170–0.0170

̽0.0170

定して、Ｘ線侵入深さは ߤିଵ ൌ 0.177 mm と見積もられ

ଵ/ଶ

ሺ°ሻ

0.03730.0366

0.03650.0365

た。

ଵ/ଷ

ሺ°ሻ

̽0.0381

̽0.0362

̽0.0361

̽0.0361ଵ/ସߢସ ሺ°ሻ

0.03790.03260.03250.0325ߢଶߢଷ

㏆ఝゎ

ゴニオメーター半径 ܴ ൌ 150 mm のデスクトップ型
粉末回折装置（Rigaku, MiniFlex 600-C）を用いて粉末
回折データの収集を行った。Ｘ線源としては、Cu をター
ゲットとする封入管（Canon Electron Tubes & Devices,

る計算誤差がありうること、また、厳密解と近似解のキュ

A-21-Cu）を線焦点配置で用いた。この封入管はノーマ

ムラント値は近いが、計算誤差を明確に超えたずれのあ

ル・フォーカスと呼ばれるタイプのものであり、公称実ることが確認される。

効焦点サイズは、赤道方向に 0.1 mm、軸方向に 10 mm（– 19）で示されるように、式（15）の近似形式から
式（16）
ଵ/௞
導かれる ߢ௞ ሺ݇ ൌ 1, 2, 3, 4ሻ の値は、すべて 1/ tan ȣ にである。この封入管型Ｘ線源を装置（MiniFlex 600-C）の最大定格加速電圧 40 kV 、放電電流 15 mA㸦600 W㸧で比例するが、厳密解に関してはそのような関係が成り立運転した。Ｘ線検出器としては、間隔 0.1 mm の 128

つとは限らない。Fig. 8 に、次元を揃えたキュムラント

ストリップから構成されるストリップ型一次元検出器

ଵ/௞

ߢ௞

（Rigaku, D/teX Ultra2）を用いた。検出器の見込み角はに tan ȣ を乗じた値を 2ȣ の異なる値に対して計算

2Ȳ ൌ 2 arctanሺ6.4 mm/150 mmሻ ൌ 4.89° と 見 積 も ら れした結果を示す。

る。入射ビーム側には公称開き角 Ȱ ൌ 1.25° の発散ス
リット、回折ビーム側には Cu Kβ 減衰フィルターとして厚さ 0.023 mm の Ni 箔を挿入した。使用した装置の仕様では、入射ビーム側と回折ビーム側に、金属箔の間隔と長さの比の逆正接として定義される開き角の値が1.25°（リガク社の呼称では 2.5°）のソーラースリットが設置されている。
粉末回折データを収集するためには、装置に付属するソ
フトウェアシステム（Rigaku, SmartLab Studio II）の計測
制御ユニットを用いた。
検出器回転角㸦2ȣ㸧4.39° െ 142.49°の範囲にわたって、回転速度 0.2°/min の連続走査を行い、0.01°/step㸦3 s/step㸧で強度データを記録した。ステッ
プあたりの有効計数時間は 3 s/strip ൈ 128 strip ൌ 384 sと見積もられる。実際の測定時間は約 12 h であった。
3−2

解析

得られた回折データに、筆者が既に提案している逆畳Fig. 8 赤道収差関数の厳密解（exact）と近似解（approximate）

み込み処理［5］を施した。この処理は全て Python 言語と SciPy ライブラリによって実装されている。以前のを乗じて㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ［5］では、赤道収差処理の目的では 2Ȳ ൌ 0 に相コード㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ
Fresnel 関数の組み合わせ
当する特殊な条件を仮定し、
㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ
Fig. 8 に示す結果から、厳密解と近似解には系統的な㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒとして表現される解析的なフーリエ変換形式を用いてい㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ
ずれがあり、低角になるほどそのずれは強調されることたが、ここでは式（20）–（25）の明示的な表現を用いᐇ㦂࡜ゎᯒ

ଵ/௞について、次元を揃えたキュムラント ߢ௞ に tan ȣ

計算される値の 2ȣ 依存性。 Ȱ ൌ 1.25°, 2Ȳ ൌ 4.89° とする。

がわかる。一方で、近似解の厳密解からのずれが問題とて計算される近似赤道収差関数のフーリエ変換を、高速なる場合があるとしても、近似の精度を高めることにフーリエ変換アルゴリズムによって数値的に求めるようよってその一部は解消しうることも示唆される。

にコードを変更した。赤道収差関数の特異点である（関数値が無限大に発散する） ο2ȣ ൌ 0 に相当する関数値
は、自動的に数値的な規格化条件が満たされるように設

3．実験と解析㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ3 − 1 実験㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ㸱㸬ᐇ㦂࡜ゎᯒ標 準 Si 粉 末（NIST SRM640d） を 実 測 平 均 深 さ
―5―

定した。
逆畳み込み処理に先立って、以前の方法［5］と同様

一次元ストリップ型Ｘ線検出器の連続走査積算測定における赤道収差に、近似収差関数の回折角㸦cot ȣ㸧依存性を隠蔽する働きを持つ対数正割スケール変換 ߯ ൌ ln sec ȣ を施した。
変換後のスケールでは、収差関数の変数 ο߯ と ߶, ߰ の間には、式（15）に対応してο߯ ൌ ߶ ଶ ൅ ߶߰

(26)の関係が成立する。また、対数正割変換後のスケール上
では、装置関数 ‫ݓ‬୅ ሺȟ߯; Ȱ, Ȳሻ は、以下の一連の式で与
えられる。

2
߶୙
ln
‫ݓ‬୅ ሺȟ߯; Ȱ, Ȳሻ ൌ ቐȰȲ ߶୐0߯୐ ൌ െሾ߯୐ ൏ ߯ ൏ ߯୙ ሿ(27)

ሾotherwiseሿȰଶ ൅ ȰȲ
4ȲଶሾȲ ൑ 2Ȱሿ16߯୙ ൌଶ‫۔‬െȰ ൅ ȰȲ
ሾ2Ȱ ൏ Ȳሿ‫ە‬4ȲȲ߶୐ ൌ max ൜െ ൅ ξ‫ܦ‬, െ ξ‫ܦ‬ൠ
44
Ȱ Ȳ
߶୙ ൌ min ൜ , ൅ ξ‫ ܦ‬ൠ
2 4

(28)

‫ۓ‬

‫ܦ‬ൌ

Ȳଶ
െ ȟ߯
16

(29)

Fig. 10 段階的な逆畳み込み処理による Si 422- 反射ピーク形
状の変化。

(30)
(31)
(32)

実際のデータ処理は、（i）データの対数正割スケール
変換、（ii）3 次スプライン補間によるデータの等間隔化、（iii）データと装置関数数値モデルの高速フーリエ変換、（iv）データのフーリエ変換と、装置関数フーリエ変換の徐算・装置関数フーリエ変換複素絶対値の乗算、（v）
高速逆フーリエ変換、（vi）3 次スプライン補間による逆
サンプリング、（vii）逆対数正割スケール変換の順に行っ。
た［5］Fig. 9–11 に、観測された Si 111, 422, 533- 反射の回
折ピーク形状が、（a）Ｘ線源の分光強度分布修整処理
Fig. 11 段階的な逆畳み込み処理による Si 533- 反射ピーク形
状の変化。

（raw から S）、（b）軸発散収差補正処理（S から S–A）、（d）試料透（c）赤道収差補正処理（S–A から S–A–E）、
過性効果補正処理（S–A–E から S–A–E–T）の各過程でどのように変化するか、段階的な逆畳み込み処理を施して比較した結果を示す。
分光強度分布修整処理（a）では Deutsch らの報告した分光強度分布［6］に基づく現実的な分光強度分布モ
デルに関する逆畳み込み処理と、ピーク位置の光子エネ
ルギー 8.04783 keV 、波長 1.5405902 Հ の仮想的な単一対称ピーク形状モデルに関する畳み込み処理を施した。
Fig. 9 段階的な逆畳み込み処理による Si 111- 反射ピーク形

Fig. 10 と Fig. 11 では、処理後のピーク形状（S）で状の変化。

Cu Kߙଶ サブピークの大部分が除去されているが、その（a）生データ（raw）と分光強度分布処理結果（S）。
（。c）赤道収差処理結果（S–A–E）。
（b）軸発散収差処理結果（S–A）に後に引き続く処理の結果（S–A, S–A–E, S–A–E–T）
㸲㸬࠾ࢃࡾ࡟
も共通して、 Cu Kߙଶ 位置のやや低角側に、わずかに異（d）試料透過性収差処理結果（S–A–E–T）。

常な挙動が現れていることもわかる。このわずかな異常―6―㸲㸬࠾ࢃࡾ࡟
井田

隆

は、ここで採用した Deutsch らの分光強度分布モデルする装置関数について、厳密な形式と、近似形式とを示［6］あるいはその実装の問題による可能性も否定できなした。近似形式の中の 2 つの積分変数と回折角ずれといが、光子エネルギーの異なるＸ線が試料中での減衰係の間の関係は、2001 年に Słowik & Zi㶝ba が提案した数も異なることの影響を正しく考慮するための枠組み

形式と一致することを確認し、代数的な積分の解としてを、現時点ではまだ整備していないことなどによる可能

明示的な収差関数形式を導いた。近似形式の妥当性と適性なども残り、このことは今後の課題となりうる。

用可能性について、数値計算と実験データの解析により従来の典型的な粉末Ｘ線回折測定システムのデザイン検証を行なった。数値計算から近似形式の限界を示す結では、軸発散収差の影響が赤道収差の影響より目立って果も得られたが、この近似形式は、現時点では実用的に現れるのが普通であったが、今回測定に用いた装置有効と考えられる。この形式を基礎パラメーター法に応（Rigaku MiniFlex 600-C、ソーラースリット開き角 1.25°

用すれば、多重の数値積分のうちの 1 回分を回避する

仕様、リガク社の呼称では 2.5 °仕様）では、開き角ことにより、パフォーマンスが向上されることも期待しȰ ൌ 1.25° の発散スリットを用いる場合に、Fig. 9（a）うる。

と Fig. 9（b）に見られるように、赤道収差の影響の方

なお本研究と並行して制作した逆畳み込み処理ソフトが目立つ。軸発散収差処理（S から S–A）ではピーク形

ウ ェ ア（Windows 版 ）は、 著 者 の web サ イ ト http://

状はほとんど変化せず、非対称性は残ったままだが、www.takashiida.com において無料で公開を行なっていFig. 9（c）に見られるように赤道収差処理（S–A から
S–A–E）によって、ほぼ左右対称なピーク形状が得られ

る。
謝辞

ている。

本 研 究 中 の 実 験 的 な 検 証 の 部 分 は JSPS 科 研 費

過去にリガク社から販売された装置では、他社と同様

19H02747 の助成を受け実施された。

にソーラースリット開き角は 2.5°とする仕様が標準的であった。ソーラースリット開き角 1.25°仕様では、やや過剰に軸発散が制限される可能性がある。一方で、著参考文献

者が Fig. 9（b）中に示した S–A ピーク形状の予想外に［1］R. W. Cheary & A. Coelho, “Synthesizing and fitting linear

強い非対称性を初めて見た時に、この装置を用いて取得

position-sensitive detector step-scanned line profile,” J.

されたデータについて正しい解析を施すためには、正確

Appl. Crystallogr. 27, 673–687（1994）.

な赤道収差関数を導くことが不可欠と気づいたことが、［2］J. S ł owik, J. & A. Zi 㶝 ba, “ Geometrical equatorial

aberrations in a Bragg-Brentano powder diffractometer

本研究の直接的な動機づけになった面がある。
試料透過性収差の影響は 2ȣ~90° で最も顕著に現れ、with a linear position-sensitive detector, ” J. Appl.
Crystallogr. 34, 458–464（2001）.

実測のピークシフトと非対称な変形の要因になることが。Fig. 9、10、11 を比較すると、確かに予想される［7］［3］R. W. Cheary & A. Coelho, “A fundamental parameters

そのような傾向が現れているように見える。低角のピー

approach to X-ray line-profile fitting,” J. Appl. Crystallogr

ク（Fig. 9）と高角のピーク（Fig. 11）では赤道収差処理

25, 109–121（1992）.

後（S–A–E）にほぼ左右対称なピーク形状が得られてい［4］M. H. Mendenhall, K. Mullen & J. P. Cline, “ Anるが、 2ȣ~90° のピーク（Fig. 10）では、透過性収差処

implementation of the fundamental parameters approach理（S–A–E から S–A–E–T）によって、ピーク形状のわ

for analysis of X-ray powder diffraction line profile,” J.

ずかな非対称性が確かに修整される効果が現れている。

Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 120, 223–251（2015）.
［5］T. Ida, “ Application of deconvolutional treatment to4．おわりに

powder diffraction data collected with a Bragg-Brentano

一次元検出器を用いた連続走査積算測定は、2000 年㸲㸬࠾ࢃࡾ࡟
代には実用化され、現在は急速に普及が進んでいるのにdiffractometer with a worn-out X-ray tube and a Ni filter,”

も関わらず、逆畳み込み処理［5］において直接利用で［6］M. Deutsch, E. Förster, G. Hölzer, J. Härtwig, K.

きるような実効的な装置収差関数の明示的な数学的な表

Hämäläinen, C.-C. Kao, S. Huotari & R. Diamant, “X-ray

現は、明らかにされていなかった。数値積分に基づく基

spectrometry of copper: new results on an old subject,” J.

礎パラメーター法での実装は可能と思われるが、不合理

Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 109, 75–98 （2004）.

な装置モデルに基づいていれば、その解析結果の信頼性・㸲㸬࠾ࢃࡾ࡟
意義は著しく低下することになりかねないので、注意す［7］T. Ida & K. Kimura, “Effect of sample transparency inPowder Diffr.（submitted）.

powder diffractometry with Bragg-Brentano geometry as a
convolution,” J. Appl. Crystallogr. 32, 982–991（1999）.

べきである。
本研究では、一次元検出器を用いた連続走査積算測定によって得られるデータに赤道収差が及ぼす影響を表現―7―