四国電力，四国総合研究所
研究期報１１２ (2020年6月)
２２－２８

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価㈱四国総合研究所 エネルギー技術部㈱四国総合研究所 エネルギー技術部

キーワード：

スロッシング
矩形水槽
非線型固有振動数
応答曲線
背骨曲線
Miles
Duffing 方程式
補正式
粒子法
MPS 法

Key Words：

小川口
野口

深雪
新二

sloshing
rectangular tanknon-linear
natural frequency
response curve
backbone curve
Miles
Duffing equation
correction formula
particle method
Moving Particle
Semi-implicit method

Evaluation of Nonlinear Sloshing Wave Height in Rectangular Tank
Shikoku Research Institute, Inc., Energy Engineering Department
Miyuki Ogawaguchi, Shinji Noguchi
Abstract
We have verified a non-linear theory for estimating the sloshing wave height in a rectangular tank by experiments.
A rectangular tank with width L and water level H was sine-wave excited in the width direction. As a result, a
traveling wave was observed when the H / L was small, and a standing wave was observed when the H / L was large,
and it was confirmed that the wave behavior was different depending on the water depth. By comparing the Miles’s
backbone curve (the curve at the center of the response curve) with the experimental value to evaluate the waveheight, it was found that the error from the experimental value was increase when H / L was small. Therefore, weproposed a correction formula and could reduce the error from the experimental value over H / L in all regions.
Moreover, by applying the Duffing equation to the correction formula, we were able to calculate the response curve.
The results of applying the Moving Particle Semi-implicit (MPS) method to sloshing analysis were in good
agreement with the corrected theoretical formula and experimental values, and the validity of the analysis wasconfirmed. From the both sides of analysis and theory, it was possible to estimate the maximum wave height withhigh accuracy. By improving the analysis accuracy, it is possible to study flooding without simulated experiments,
and cost reduction can be expected.

－ 22 －

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価

1. はじめに

非線型スロッシングにおける背骨曲線は、液体貯槽やタンクにおいて、地震時に発生するMiles によって(2)式で与えられており 1）、スロッスロッシングは防災上重要な問題である。スロッ

シングの波高は固有角振動数𝜔 と外力の角振動

シングの解析は、液面変動が微小の場合は線型理数 𝜔の比によって変化する。ここで、𝐴 は波の論を適用できるが、水滴の飛び散りや、溢流が生振幅である。

じるほどの大きな変位の場合には非線型性を考𝜔𝜔慮する必要性が出てくる。そのため、周期的に加1 𝜋𝐴32 𝐿1振した矩形水槽中に生じるスロッシング波高推

𝑇9𝑇12𝑇tanh 𝐻 ⁄𝐿 𝜋32𝑇

⋯ 2定において、非線形性を考慮した理論を実験によって検証した。また、スロッシング現象の数値解

3. 実験方法および結果

析として粒子法を採用し、解析結果を角振動数応

3.1 実験方法
幅 L = 0.30m の水の入った矩形水槽を加振台に答理論および実験結果と比較することによって、載せ、幅方向へ水平加振する（図2）。加振する大数値解析の妥当性を確認した。

きさは 𝑥 𝑡0.015 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 とした。ここで、𝑥 は幅方向の移動量、𝑡 は時刻である。

2. 非線形スロッシングの理論解

加振振動数 (𝑓

矩形水槽中の液体変動が小さく理想的な場合、

𝜔⁄2𝜋 は、0.7Hz～2.0Hz ま

液体の 1 次固有角振動数（2 次元）𝜔 は(1)式でで 0.1Hz 刻みで変化させ、その応答を観察した。

求められる。

ビデオカメラで撮影した画像から、振動数ごとに

𝜔𝑔𝜋𝐻𝑡𝑎𝑛ℎ 𝜋𝐿𝐿

壁面における液面変位の最大値 2A を計測した（図 3）。

⋯ 1

スロッシングは水深によって挙動が異なるこ

ここで、L は矩形水槽の幅、H は液体の高さ、𝑔とが知られているため、実験では表 1 のように水は重力加速度である。(1)式より固有角振動数𝜔

深 H を 0.03～0.18m まで変化させた 7 ケースを実は、液体の種類に関係なく、H と L の比 H/L によ施した。って決まることがわかる。
矩形水槽に周期的な外力（角振動数𝜔）を加えた場合、波高が最大となる角振動数は固有角振動数 𝜔 とは異なることが知られている。図 1 に示
すように、角振動数比と波高の関係を示す応答曲線と背骨曲線（応答曲線の中心部の曲線）をプロットすると、共振ピークは H/L の値によって𝜔 より大きい値（赤線）や小さい値（青線）になる。
図2

図3

図1

応答曲線と背骨曲線－ 23 －

実験装置

液面変位の最大値

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価

次に、液面変位の最大値を幅 L で除した無次元
表1

実験条件

case

H(m)

H/L

𝜔 (rad/s)

10.03

0.1

5.59

20.06

0.27.56に𝜔⁄𝜔

30.09

0.38.70

た、H/L が小さい場合は波が小さく、H/L=0.34 に40.100.348.95おいて波が最大となる。水平加振した矩形水槽の50.120.49.37

最大波高は、H/L の値（つまり中の水の量）と外60.150.59.70

力の角振動数に拠ることがわかる。

70.180.69.90

値と角振動数比を整理し、Miles の背骨曲線と比較した結果を図 5 示す。
実験における波高のピークは、H/L=0.34 を境1の右側から左側に変化している。まMiles の式(2)は、H/L が小さい場合（H/L=0.1、0.2）には、実験と大きくずれている。しかし、H/L が大きくなると、実験との差は小さくなって

3.2 実験結果
波の様子を図 4 に示す。水深が浅い場合いく。

（H/L=0.1）では津波のような進行波、深い場合

0.6（H/L=0.6）では幅中央で節となり壁面で腹となる定常波が観察された。上方向に運動する波が尖線形の特徴が出ていることがわかる。水深によっ

Milesの背骨曲線

0.4

A/Lり、下方向に運動する波は平坦になるという、非実験値

0.50.30.2て波の挙動が異なることが確認された。

0.1
000.5

case1

1.0 ω / ω1 1.52.02.5

H/L=0.10.6
実験値

0.5

Milesの背骨曲線

A/L

0.4
0.3
0.20.1

H/L=0.10

進行波

00.5

case21.0 ω / ω1 1.5

2.02.5

H/L=0.20.6
実験値

0.5

Milesの背骨曲線

A/L

0.4
0.3
0.2
0.1
0

H/L=0.60

定常波

0.5

case3
図41.0 ω / ω1 1.5

2.02.5

H/L=0.3

進行波と定常波の観察
図5－ 24 －実験結果および背骨曲線（case1～3）

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価

4. Miles の背骨曲線の補正

0.6

Miles の背骨曲線と実Milesの背骨曲線

0.4A/L

4.1 Miles の式と誤差

実験値

0.5

験値の比較を数値的に行0.3った。実験値における最0.2

大 振 幅 と な る 𝜔⁄𝜔 と 、0.1

Miles の背骨曲線から求めた𝜔⁄𝜔 との差を図 6 の000.5

case41.0 ω / ω1 1.5

2.02.5

図6

誤差 ∆𝝎

H/L=0.34
H/L と∆ω の関係を求め、図 7 に示す。H/L が小0.6
0.5
0.4

A/L

ように誤差 ∆𝜔 とした。

実験値

さい場合は誤差が加速的に大きくなることがわ

Milesの背骨曲線かる。

0.35.00.2

000.5

case5

1.0 ω / ω1 1.5

2.02.5

H/L=0.4

誤差Δω

0.10.6

A/L

00.10.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

H/L

Milesの背骨曲線

0.4

図7

実験値と Miles の背骨曲線との誤差0.30.24.2 Miles の式の補正
Miles の背骨曲線は H/L が大きい場合は実験値0.1とよく合うが、H/L が小さい場合、誤差が大きい。

000.5

case61.0 ω / ω1 1.5

2.02.5

そこで、H/L の値によらず実験値のピークに背骨曲線が接近するような以下の補正式を考えた 2）。

H/L=0.50.6

𝜔
𝜔

実験値

0.5

Milesの背骨曲線

0.4

A/L

1.0-1.0

実験値

0.53.011 𝜋𝐴32 𝐿
𝛼0.39𝑇𝐻𝐿

12𝑇32𝑇⋯ 30.20.1

実験値と補正式との誤差が最小になるように𝛼 、𝛼 を決定する。図 8 に示すように、𝛼000.5

case7

1.0 ω / ω1 1.5

2.0H/L=0.62.5と変化させると、𝛼1,2,32のとき誤差を最小化できることがわかった。その後、誤差がすべての H/Lにわたって最小となる𝛼 を求め、(4)式のように

図5

実験結果および背骨曲線（case4～7）定数を決定した。これにより、3 以上あった誤差を約 0.1 以下に低減できた。

－ 25 －

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価

場合、変位とともにばね定数が大きくなるハード

0.80.4

α₁=1，α₂=2α₁=1，α₂=30.34 より大きいか小さいかによって背骨曲線の向きが変わり、スロッシングの挙動が変化することになる。

0-0.20の場合、その逆のソ フ ト ス プ リ ン グ 特 性 を 示 す 。 水 位 が H/L ≅0.2

誤差⊿ωスプリング特性を示し、𝛽α₁=1，α₂=10.600.10.20.30.40.50.6

次に、補正後の背骨曲線と応答曲線を実験値と0.7比較したものを図 9、10 に示す。H/L によらず実-0.4

験値と補正後の背骨曲線および応答特性の傾向

H/Lがよく合っていることがわかる。これにより、ス
図8補正式による実験値と背骨曲線とのロッシングによる最大波高を計算で予想するこ

誤差の低減

0.611 𝜋𝐴32 𝐿C𝐻𝐿

1.7

9𝑇

12𝑇

3𝐶2𝑇

実験値

0.5

背骨曲線
応答曲線

0.4⋯ 4A/L𝜔𝜔とができた。

0.3

また、非線型作用を考慮するために、1 自由度0.2の非線形ばね復元力を導入した Duffing 方程式0.1を解くことで角振動数比𝜔⁄𝜔 と振幅の関係式 3）0を(5)式のように表すことができる。ここで、𝛽は00.51.0

図9𝜔𝜔3𝛽𝐴
411.52𝜁0.62𝜁13𝛽𝐴41𝐴

実験値
背骨曲線

0.4A/L

12.5H/L=0.1 の場合の応答特性

0.53
𝛽𝐴42.0ω / ω1ばねの特性を表したものである。

⋯ 5応答曲線0.30.2

この式を(4)と比較することで、𝛽 と H/L の関0.1係を導くことができる。

00𝛽1 𝜋24 𝐿
𝑇9𝑇12𝑇tanh 𝐻 ⁄𝐿 𝜋32𝑇𝐶0.5

図 101.0

ω / ω1

1.52.02.5

H/L=0.6 の場合の応答特性⋯ 65. 粒子法による解析
ここで、ζ は減衰比である。本稿においては、

5.1 粒子法とは 4）
従来の流体解析手法（格子法）は、圧力や流速加振停止後に液面が自由振動する波形から対数減衰率をもとめ、 ζ0.042 とした。などの物理量を計算するために、メッシュと呼ばスロッシングにおける非線型性は、この𝛽に含まれている。 𝛽0となるのは、H/L ≅ 0.34 のときであり、これが線型応答に対応する。𝛽0のれる計算格子を用いる。メッシュは初期状態において流体が存在する領域だけでなく、流体が流動していく可能性もある領域も含めて、あらかじめ－ 26 －

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価設定しておく必要がある。流体は１つのメッシュ0.4から隣接するメッシュへと流動していき、このと解析値 右壁
解析値 左壁
実験値 右壁
実験値 左壁
応答曲線
背骨曲線

きメッシュごとに質量や運動量などの流入量、流0.3

格子法は流体の流れや飛散を予測して事前に解析領域を設定する必要があり、複雑な形状の解A/L出量が計算される。

析にはメッシュを細かく設定する必要があるこ

0.2

0.1と、およびメッシュの大変形を伴う解析ではメッシュが潰れ、計算が異常終了する可能性があるな

0

どの理由から、水滴の飛び散りのような解析をす

0.7ることが難しい。
図 12

一方、流体そのものを粒子としてモデル化する

1.01.31.6ω / ω１1.92.2

角振動数と振幅の関係（H/L=0.1）

粒子法は、格子法では困難とされていた水滴の飛0.8

び散りの解析が可能である。

解析値 右壁
解析値 左壁
実験値 右壁
実験値 左壁
応答曲線
背骨曲線

0.6

実験で使用した矩形水槽を 2 次元でモデル化し、粒子法による解析を行った。計算開始直後の

A/L

5.2 粒子法による解析 5）

衝撃圧の影響を避けるため、10 秒後の静水圧分0.40.2

布や自由表面形状を初期条件として計算を行った。実験結果と同様に、水深が浅い場合は進行波0となり、深い場合は定常波となる特性も解析でよ0.4

く再現できている（図 11）。
図 130.7

ω / ω１1.01.3

角振動数と振幅の関係（H/L=0.6）

6. まとめH/L=0.1

非線型スロッシングの角振動数応答に関して、進行波実験値と Miles の式との比較を行った。その結果、Miles の式では H/L が小さい場合、実験値との誤差が大きくなることがわかった。そこで、Milesの式を補正した式を適用することで、実験値とのH/L=0.6
図 11

誤差を小さくすることができた。また、Duffing

定常波方程式をその補正式に適用することで、応答曲線解析結果を計算で求めることができた。

図 12、図 13 に補正後の背骨曲線と応答曲線、粒子法を矩形水槽における非線型スロッシン実験値および解析値を比較して示す。波高値はグ解析に適用した結果、理論式および実験値と比実験値と比較的一致した。また、共振する角振較的良く一致し、解析の妥当性が確認できた。解動数が固有角振動数より大きくなるハードスプ

析、理論の両面から、高い精度で最大波高を推定リング（H/L=0.1）、固有角振動数より小さくなできる見込みが得られた。さらに解析精度を高めるソフトスプリング（H/L=0.6）の特性がよく表ていけば、今後は模擬実験を実施することなく、わされている。

溢水対策の評価が可能となり、コスト低減が期待できる。

－ 27 －

矩形水槽における非線型スロッシング波高の評価［謝辞］
本研究は、四国電力㈱殿より委託を受け実施したもので、ご協力いただいた関係各位に深く感謝いたします。
［参考文献］
1)

Miles, J.W. : Nonlinear Surface Waves in
Closed Basins， J.of Fluid Mechanics，vol.75，part 3，pp419-448，1976

2)

小川口深雪，岩田正純：矩形水槽における非線形スロッシングの理論式の背骨曲線の補正，平成 30 年度土木学会関西支部年次学術講演会

3)

小松敬治：スロッシング，森北出版，2015

4)

越塚誠一，柴田和也，室戸浩平：粒子法入門, 丸善，2014

5)粒子法コードユーザーグループ－ 28 －