ISBN 978－4－906971－19－0

愛合知
大研学
経叢書
営
総
科学
究所

愛知大学経営総合科学研究所叢書60

愛知大学経営総合科学研究所叢書 

数と色をつなぐペイント理論


数と色をつなぐペイント理論

60

数と色をつなぐペイント理論
神頭広好 著

神頭広好

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

著

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神頭広好 著                  



愛合
知科
大学学
営
総
研経
究所


             愛知大学経営総合科学研究所

愛知大学経営総合科学研究所

i

はしがき
本叢書は、フェルマーの最終定理、四色問題、ABC 予想は、研究ノートとして「愛知大学経営総合科学」第118号に掲載されたものであり、これらに若干の加筆修正がなされている。さらに素数に関する難問であるリーマン予想、
ゴールドバッハ予想、エルデス・シュトラウス予想、カタラン予想にペイント理論が応用されている。ちなみに、近年においてフェルマーの最終定理および
カタラン予想はすでに証明されている。
上記の研究の発端は、四色問題が私の専門である経営立地論に応用できるからである。この四色問題が解決されれば、4店舗または４つのチェーン店があれば、地域に1つの店舗を配置することによって、それぞれ地域の特徴を出すことができ、効率よく地域間の交流を促すことができるようになる。さらに経営コストを最小にする可能性を地図上で示すことができる。そのために重力モ
デル、ペイントの特徴を用いて、四色問題の解に挑戦してきた。この解はコンピュータによって導かれたとしているが、鉛筆を使った理論で解かないと万人に理解されにくいと考えた次第である。
そこで、登場したのが自称ペイント理論である。これは、以下の基本的仮定にもとづいている。
(1) 使用された単色のペイントの総重量は、それによって掛け合わされた混合色の重量に等しい。
(2) 単色は1色だけで他の色の混じっていない色であり、素数の性格を有しており、その明度は素数で表される。一方、混合色は２色以上の単色 ( または混合色 ) によって掛け合わされた色であり、これも明度で表される。
(3) 色の統一された尺度は明度である。また、同じ明度同士を掛け合わせてもその明度は変わらない。
ただし、ここで対象となる定理や予想によっては付加または削除される仮定もあることに注意を要する。
最後に、素数を扱っている定理または法則によっては、自然数の無限性を視

ii

はしがき

野に入れているが、素数を見立てた単色は無限に存在するかは定かではない。
したがって、ここで証明された内容において、数の世界と色の世界の垣根があるとすればここである。
本叢書は、ちっぽけなアイディアを残すために、今年度で定年退職を迎える
数学愛好家の最後の叢書である。これと関連して愛知大学経営総合科学研究所のホームページ上において、私の拙論および拙著が掲げられておりますので、ご高覧頂ければ幸甚に存じます。

iii%RRNVHULHV9RO


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+LUR\RVKL.R]XFermat’VODVWWKHRUHP*ROGEDFKFRQMHFWXUH)RXUFRORUSUREOHP
5LHPDQQK\SRWKHVLV$%&FRQMHFWXUH
Catalan’s conjectureErdős6WUDXVVFRQMHFWXUH,QVWLWXWHRI0DQDJHULDO5HVHDUFK$LFKL8QLYHUVLW\v

数と色をつなぐペイント理論

目

次

はしがき

１ ペイント理論にもとづくフェルマーの最終定理… …………………… 1２ ペイント理論にもとづくゴールドバッハ予想… ……………………… 7
３ ペイント理論にもとづく四色問題の解… ……………………………… 13
４ ペイント理論にもとづくリーマン予想… ……………………………… 20
５ ペイント理論にもとづく ABC 予想… ………………………………… 27
６ ペイント理論にもとづくカタラン予想… ……………………………… 33
７ ペイント理論にもとづくエルデス・シュトラウス予想… …………… 37

あとがき

1

1

ペイント理論にもとづくフェルマーの最終定理
Fermat's last theorem based on paint theory

Abstract
In this paper, based on the paint theory, applying the binomial theorem
to the nth-order equation for the amount of three different paint colors
used, we found that there were many mixed colors in the world of colors.
Next, to maintain the world of three different colors, we needed only
quadratic equation by the conversion between the amount of paint used
and the brightness of the color. Finally, Fermat's last theorem was provedby repeating the conversion for the brightness and the mount of the mixed
color.

はじめにnn

17世紀にピエール・ド・フェルマーによって予想された定理とは、「x + y = znを満たす３以上の自然数 n に対して自然数の組 ( x, y, z ) は存在しない」というものである。これは、フェルマーの最終定理と呼ばれ、1995年にイギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズによって証明された1。
ここでは、独自で考案したペイント理論2にもとづいて、フェルマーの最終定理を導出する。
12

この証明の歴史的経緯については、Amir(1996)、Simon(1997)、加藤 (2009、第11章 )、ニュー
トン別冊 (2022、７) 等で平易に説明されている。
これは、ペイントの使用量と色の性質から数としての和と色の掛け合わせとしての積を融合させた理論である。この考え方は、kozu(2022、pp.1-9) にもとづいている。

2

1

ペイント理論にもとづくフェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理の導出
ここでは、色と数とが共存する世界を考え、ペイント理論として以下の仮定が設定される。
(1) 3つの異なる色のペイントが存在し、ペイントの使用量は自然数で表される。
また、各ペイントによって混合された色 ( 混合色 ) はそれに使われた単色3の積として表される。ここでは、ペイントは単色が詰まったものである。
(2) 色の共通の尺度は明度4であり、それは自然数で表される。
(3) 同色に同色を掛け合わせても、その明度は変わらない。また、明度の重量はゼロである。
上記の仮定にもとづいて、フェルマーの最終定理を証明する。
まず、この定理に登場する式は、

xn + y n = z n(1)である。ただし、異なる色を有するペイント x、y および z は使用量を示す。
(1) に、 n = 1 を代入すると、

x+ y = z(2)で表される。
さらに、(2) の両辺を二乗すると、( x + y)2 = z 2(3)で表される。
ところで、(3) の２乗を n 乗にして二項定理で展開すると、
34

これについては、つぎの２つの説明がなされている。1. 1色だけで他の色のまじっていない色。2. プリズムによって太陽光線を分光したときの七原色の一つ一つの色。
（単色（たんしょく）の意味 - goo 国語辞書）ここでは、単純化のために１を採用する。
これは、「どのくらい明るいか」を表しており、明るい色は白に近く、暗い色は黒に近いことを示している。明度は色相に属さず、純色の中ではニュートラルな黄色が最も明度が高く、ニュートラルな青が最も明度が低いとされている。( 出所：色 - Wikipedia)

3( x + y ) n = x n + n C1 x n −1 y + n C2 x n − 2 y 2 +  + n Cn − 2 x 2 y n − 2 + n Cn −1 xy n −1 + y n = z n (4)で表される。
また、(3) の左辺を展開すると、( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 = z 2(5)である。(5) の第１項と第３項は３色のペイント使用量の関係を表しているが、(5) の第2項と第３項においては 2xy を除くと明度を表しており、3色ではなく４色が存在するため、３色に統一するためには、色の世界において、混合色は単色の積で表されることから、混合色 xy の明度は同明度としての z に対応しなければならない。一方、(4) から 3 ≤ n の場合は、コンビネーション C が付されたところの異なる混合色は幾つも存在するために、これらの混合色と z は1:1の対応ができない。したがって、色、その明度としての式は、 n = 2 の場合に限り、

2 xy → ( xy ) 2 = z 2(6)で表される。ただし、(6) は (5) における第１項と第３項からも導かれる。また、
仮定 (3) から (6) は、

xy = z(7)と書くこともできる。
さらに、(6) をペイント使用量に変換すると、(6) の右式の左辺は、( xy ) 2 → 2( x + y ) → 2 x + 2 y(8)で表される。また、(6) の右式の右辺は、

z2 → 2zで表される。(8) および (9) から、(6) は、

(9)

4

1

ペイント理論にもとづくフェルマーの最終定理

2x + 2 y = 2z(10)で表される。
つぎに、(10) から、各ペイントの使用量を色の明度に変換すると、

2x → x 2 、(11)

2 y → y2 、

(12)

2z → z 2(13)で表される。
(11)、(12)、(13) から、(10) は、

x2 + y 2 = z 2(14)に書き換えられる。ただし、(14) はペイントごとに変換された重量のない明度によって得られた式である。ちなみに、(14) は明度のペイント版の式である。
結果として、(14) は (1) に n = 2 を代入したものである。 このことから、

n = 2 に対してのみ自然数の組 ( x, y, z ) が存在するというフェルマーの最終定理が導かれる。
なお、ここでは単色と混合色は区別することなく、混合色も明度が唯一であるということでは、単色でもあることを意味する。ただし、現実に明度についての和の式が成立せず、積だけの式が成立するとしても (14) は必要である。
（補足を参照）
補足：明度に関する和と積
上記の (6) を (5) の第２項へ代入すると、

x 2 + 2 xy + y 2 → x 2 + z 2 + y 2 = z 2(15)で表される。(15) の右式は、各明度の重さがゼロであることから成立する。
(15) の右式へ、

5x2 + y 2 = z 2(16)を代入すると、

x2 + z 2 + y 2 = z 2 + z 2 = z 2(17)が導かれる。(17) の第２項と第３項において、重さのない明度をペイントと同様に考えれば、同じ明度同士の混合は、 z 4 = z 2 で表され、その明度が変わらないことを示唆している。それゆえ (16) が重要な意味をもつ。

おわりに本研究では、ペイント理論にもとづいて、異なる３色のペイントの使用量に対して n 次式に2項定理を応用すると、色の世界において、幾つもの混合色が存在する。そこで３色の世界を維持するためには、ペイントの使用量と色の明度から、2次式でなければならない。ここでは、２つの単色から成る混合色と他の単色の明度が一致する必要があり、この明度からペイント使用量に変換して、さらに、その使用量から明度表示に変換することによって、フェルマーの最終定理が導かれた5。
要約すると、数の世界→色の世界→数の世界のプロセスを通じて、フェルマーの最終定理が導かれたことになる。

参考文献
Amir, D. A. (1996) Fermat’s Last Theorem － Unlocking the Secret of an Ancient5

この考え方は、タイヒミュラー理論およびそれを応用した望月教授による IUT 理論に近いような気がする。これらの理論については、加藤 (2019) および Newton 別冊 (2022、9)を参照せよ。

6

1

ペイント理論にもとづくフェルマーの最終定理

Mathematical Problem, Four Walls Eight Windows( 吉永良正訳『天才数学者たちが挑んだ最大の難問』早川書房、2003年 )Kozu, H. (2022) Space and Order of Four Colors, Book series Vol.7, Institute ofManagerial Research, Aichi University. (.\..-PDF.p.pwd (aichi-u.ac.jp))
Simon, S. (1997) Fermat’s Last Theorem, Conville & Walsh Limited ( 青木薫

訳『フェルマーの最終定理』新潮文庫、2006年 )加藤文元『物語

数学の歴史』中公新書、2009年

加藤文元『宇宙と宇宙をつなぐ数学』角川書店、2019年
安福悠『発見・予想を積み重ねる―それが整数論』オーム社、2016年

山崎隆雄「フェルマー予想と ABC 予想 (PDF) 」『数学セミナー』2010年10月、2022年4月16日閲覧。
和田秀男「フェルマーの問題」『数学100の問題、数学セミナー編集部編』日本
評論社、1999年、pp.106-107.
Newton 別冊「7フェルマーの最終定理」『数学の世界数と数式編 [ 改定第2版 ]』ニュートンプレス、2022年
Newton 別冊「9 素数と難問 ABC 予想」『数学の世界ニュートンプレス、2022年

数と数式編 [ 改定第2版 ]』7

2

ペイント理論にもとづくゴールドバッハ予想
Goldbach conjecture based on paint theory

Abstract
The difﬁculty with Goldbach conjecture is that even if the range between
primes is set using Chebyshev's inequality, there may be primes between
them. The proof of the conjecture is weak as a proof that the sum of primes
is always even. Therefore, by converting quantity to color using painttheory, it is found that only mixed colors exist between two single colors,and if there are an inﬁnite number of single colors, Goldbach conjecture has
been fully proved. By the way, when one mixed color exists between two
single colors, the two single colors show twin primes.

はじめに素数の研究に関しては未解決な難問と言われるリーマン予想、ABC 予想
をはじめゴールドバッハ予想1などがある。ゴールドバッハ予想に関する最近の論文では、コンピュータの数値結果から、弱ゴールドバッハ予想として、
Helfgott および Helfgott and David(2013) によって証明されている2。さらに、Maynard (2016) および Ford, Green, Konyagin and Tao (2016) によって、素数間の大きなギャップについて分析が行われている。
ここでは、コンピュータによる数値解析的観点からではなく、素数の和を中
12

この予想および伝記については、金子 (1999、pp.93-96）を参照せよ。
現在では、コンピュータによって400兆以下の偶数について正しいことが確かめられている。(Newton 別冊 (2022、p.25))

8

2

ペイント理論にもとづくゴールドバッハ予想

心とした不等式とペイント理論を用いてゴールドバッハ予想の証明を試みる。
ゴールドバッハ予想の証明
ゴールドバッハ予想は、「4以上の全ての偶数は、２つの素数の和として表される」ということを示す。
ここでは、色と数 ( 重量 ) とが共存する世界を考え、これをペイント理論3として以下の仮定が設定される。
(1) 混合色は使用される単色4によって作られ、その混合色は2つ以上の単色の積で表される。また、ペイントの総使用量は各ペイントの使用量の和として表される。
(2) 混合色および単色のすべての色において統一される尺度は明度5である。これは自然数で表される。また、同色に同色を掛け合わせてもその明度は変わらない。さらに、色に1を乗じても、透明のゼロを乗じてもその色の明度は変わらないとして、明度１と明度ゼロは同じ意味を有する。
(3) 唯一の色である単色は素数の性格を有しており、混合色は合成数の性格を有している。
ゴールドバッハ予想にしたがって、素数の和が偶数であることは、

2m = a + b(1)で表される。ただし、a および b は素数を、m は2以上の自然数をそれぞれ表している。
素数の和の範囲は、 a < b とすると、
345

これは、Kozu(2022、pp.1-9) にもとづいている。
これについては、つぎの２つの説明がなされている。1. 1色だけで他の色のまじっていない色。2. プリズムによって太陽光線を分光したときの七原色の一つ一つの色。
（単色（たんしょく）の意味 - goo 国語辞書）ここでは、単純化のために１を採用する。
これは、「どのくらい明るいか」を表しており、明るい色は白に近く、暗い色は黒に近いことを示している。明度は色相に属さず、純色の中ではニュートラルな黄色が最も明度が高く、ニュートラルな青が最も明度が低いとされている。( 出所：色 - Wikipedia)

9

(2)

2a < a + b < 2bで表される。ただし、(2) は素数を含むすべての自然数に適応される。

ここで、(1) および (2) において、仮定 (1) から、a および b を単色のペイント
使用量、m を混合色に用いられたペイント使用量として、それぞれ色に変換すると、

a + b → ab 、
2m → m 2 、
2a → a 2 、
2b → b 2

(3)
(4)
(5)
(6)

で表される。ただし、ab、m2、a2、b2 はそれぞれの色の明度を示す。
また、(3) と (4) から (1) を明度に変換すると、

m 2 = ab(7)で表される。
さらに、仮定 (2) から (7) は、

m = ab(8)で表される。
また、単色 a と単色 b の明度の大きさを

a<b

(9)

とすると、
(2) における明度の大きさは、

a 2 < ab < b 2
または、

(10)

10

2

ペイント理論にもとづくゴールドバッハ予想

a 2 < m2 < b2(11)で表される。仮定 (2) から (10) および (11) は、

a < ab < b

(12)

または、

a<m<b

(13)

に書き換えられる。
さらに、(12) および (13) から、単色間の明度について拡張すると、

a < m = ab = (ab) 2 =  = (ab)γ < b

(14)

および

a < m = ab < ab 2 <  < abγ < b(15)で表される。ただし、 γ は自然数である。
b 間に m は唯一存在しているように見えるが、(13) および (14) から、
単色 a、
(15)
から異なる混合色のみが背後に存在している。ここで数の世界に置き換えるな
らば、仮定 (3) から２つの素数間に合成数における空間が無数に存在する。それゆえ、ゴールドバッハ予想は成立することを示唆している。ただし、 a = bの場合、m はどちらかの素数となる。
補足：双子素数の無限性
ゴールドバッハ予想の副産物として、(14) において、単色間に唯一の混合色が存在するのであれば、それは数の世界において偶数でなければならない。そこで、上記の仮定を踏まえ、(15) を発展させると、

a = a β < a β b < a β −1b <  < m = ab < ab 2 <  < abγ −1 < b(16)で表される。ただし、 β および γ は1以上の自然数である。
ここで、すべての合成数に関わっている素因数は2であり、双子素数の2つの素11

数間に介在している合成数は偶数であることから、 a = 2 とすると、さらに仮定 (2) から (16) の両端を重視して素数で囲むと、自然数表示の明度において、

2 β + 1 < 2b < b(17)で表される。ただし、(17) の左辺は2を除くと、素数でなければならないこと
から明度1が足されている。また、これは一種のメルセンヌ素数6を示す。
したがって、双子素数の差が2であることから、

b − 2β − 1 = 2(18)が成り立つ。(18) を整理すると、

b = 2β + 3(19)が得られる。(19) において、右辺が素数であると双子素数が導かれる。ここでは、一種のメルセンヌ素数のもとで双子素数が存在することになる。なお、素因数が多いケースでは (19) は成り立たない。(19) から、a と b の双子素数は β=1の時 3と5、 β =2の時 5と7、 β =4 の時17と19、 β =8の時 257と259などが計算される7。そこで、(19) において β が無限に存在することから素数が無限に導出されるならば、双子素数も無限に存在する可能性がある。

おわりにゴールドバッハ予想の難しいところは、チェビシェフの不等式を用いて素数間の範囲が設定されてもその間に素数が存在する場合があることである。その予想の証明は、素数の和が必ず偶数であることの証明としては弱くなる 。そこで、ペイント理論を使って、数量から色への変換を試みることによって、267

これについては、Newton 別冊 (2022、pp.8-19) を参照。
これまでに、38万桁をこえる巨大な双子素数が確認されている。（Newton ライト2.0、
pp.46-47）

122

ペイント理論にもとづくゴールドバッハ予想

つの単色間に混合色のみが存在することになり、単色が無数にあれば、ゴール
ドバッハ予想が証明されたことになる。また、この予想の副産物として双子素数の無限性に迫ったような気がする。
最後に、異なる単色を掛け合わせた混合色は明度において無数に存在するが、単色が無数存在するのは仮定では言えても、科学的観点からは限定されている。
したがって、ペイント理論の世界において , ゴールドバッハ予想が証明された
と考える。

参考文献
Ford, K. Green, B., Konyagin, S. and T. Tao, (2016) Large gaps between
consecutive prime numbers, Annals of Mathematics, vol.183, pp.935-974.
Granville, A. and Martin, G. Prime Number Races, (2006) The American
Mathematical Monthly, vol. 113, pp.1-33.
Helfgott, H. A., The ternary Goldbach conjecture is true, preprint: https://
arxiv. org/abs/1312.7748
Helfgott, H. A. and J. David, (2013) Platt Numerical Verification of the
Ternary Goldbach Conjecture up to 8.8755・1030, Experimental Mathematics,
vol.22, pp.406-409.
Kozu, H. (2022) Space and Order of Four Colors, Book series Vol.7, Institute ofManagerial Research, Aichi University. (.\..-PDF.p.pwd (aichi-u.ac.jp))
Maynard, J. (2016) Large gaps between primes, Annals of Mathematics,
vol.183, pp.915-933.
Newton ライト2.0(2020)『素数』Newton Press.
Newton 別冊 (2022)『数学の世界
金子

数と数式編

改定第２版』Newton Press.

滋「ゴールドバッハ予想」『数学100の問題、数学セミナー編集部編』日

本評論社、1999年、pp.93-96.
神頭広好「ゴールドバッハ予想の一証明」『愛知大学経営総合科学』第113号、2020年、pp.149-153.( .\..113.pwd (aichi-u.ac.jp))

13

3

ペイント理論にもとづく四色問題の解Solving the four-color problem based on paint theory

Abstract
In this paper, by applying the inequality consisting of the arithmetic
mean and the geometric mean to the paint theory that the weight of themixed color is the total weight of the single colors used, the world consistingof the mixed color with the strongest attraction and the three single colors
was derived and by adjusting the weight of the three paints, we found thatthe map could be painted with only four colors.

はじめに
四色問題は1852年に、F. Guthrie によって提起された問題である。当時、これを証明することは易しく見えたが、オイラーの公式、トポロジーの理論、組み合わせの理論を駆使しても誰も解くことが出来なかった1。1976年になって、Appel and Haken によって、コンピュータを使って1000時間もかけて計算が行われ、四色問題を解決したとされている2。これについては、数学的エレガントな証明という意味において賛否両論ある。
最近、Kozu(2022) ではペイント間の重力モデルとペイントの性質を用いて、すべての地図は四色で塗分けられることを導いている。
1

2

これについては、Saaty and Kainen (1977)、Willson (2002)、一松 (2016) によって説明されている。
これについては、Appel and Haken (1977)、竹内 (1976)、Willson (2002)、一松 (2016)
を参照せよ。

14

3

ペイント理論にもとづく四色問題の解

本研究では、算術平均・幾何平均の不等式から色の概念を重視して、「混合色は使われたペイントの色の積で表され、混合色の重量はそこで使用されたペイントの重量の和とする」をペイント理論として、混合色の最大の引力を有す
る場合は、それを構成する３つの単色が存在しなければならないことを導く。
その結果、混合色と３つの単色との引力関係から、すべての地図が４色のみで塗られることを明らかにする。
四色問題の解
まず、仮定として、色の異なる各ペイントの重量は１単位であり、混合色は各ペイントの色を掛け合わせたものである。また、その混合色の重量は各ペイントの重量の和である。ただし、混合色と区別する意味において、ペイントの色は単色3として扱う。
一般に、算術平均と幾何平均からなる不等式は、

n n abc  z ≤ a + b + c +  + z(1)で表される。ただし、a から z はそれぞれ異なる色のペイントの重量を、n はa から z までの個数をそれぞれ示す。
また、混合色は n 本のペイントの色を完全に混ぜたもので、上記の仮定から、混合色の重量はペイントの重量の和であることから、

abc  z → a + b + c +  + z(2)が成立する。(2) は、重量のみならず混合色とそれに使う色の数が等しいことを強調している。（以下同様）
さらに、(1) および (2) から、この段階においてペイントの数によっては、

3

これについては、1. 1色だけで他の色のまじっていない色。2. プリズムによって太陽光線を分光したときの七原色の一つ一つの色。（単色（たんしょく）の意味 - goo 国語辞書）と定義されているが、ここでは、単純に１のみを採用する。

15n n a + b + c + + z ≤ a + b + c + + z

(3)

または、

n n a + b + c + + z ≥ a + b + c + + z(4)で書き換えられる。ただし、上記の仮定においてペイントの重量は a = b = c = 1( 単位 ) であることから、

a + b + c + + z = n(5)である。結果を見越して、(5) を (4) へ代入すると、

nn n > n(6)を得る。さらに、
n

n >1

(7)

を得る。(6) の左辺は混合色の全ペイントに対する引力の大きさを、(7) の左辺は混合色の各ペイントに対する引力の大きさを示している。ただし、各色間の距離は微々たるものとして、それぞれ色間の引力に対して影響しないものとする。
ここで重要なことは、色から数へ変換することによって、不等式の不等号が逆転する場合がある。これはペイント理論の特徴である。
(7) から、混合色の各ペイントに対する引力としての大きさ は、

m= n n(8)で表される。
さらに、(8) から、m を最大化するペイントの数は、(8) を対数に変換すること
によって、

1
log m = log nnで表される。(9) を n で微分してゼロとおくと、

(9)

16

3

ペイント理論にもとづく四色問題の解

d log m 1 log n 1
=  0  
log m == −log n 2   +
(10)
n
dn
n
n2
で表される。  を n で微分してゼロとおくと、である。これを解くと、 n = e (2.718…) であり、n は自然数であることから、
d log m

log n

1

=
− 2 + n2 ==0                e に最も近い自然数は
dnnn 3 である。この時、混合色が最も強い引力を有する空である。これを解くと、 n = e … であり、 n は自然数であることから、 e に最も近い間であり、１つの混合色と３つの単色の計４色が存在することになる。この時自然数は n = 3 である。この時、混合色が最も強い引力を有する空間であり、１つの混合色と３つの単色の計４色が存在することになる。この時の各ペイントに対する混合色の引力の各ペイントに対する混合色の引力は、
m = n n = 3 3 ≈ 1.442 である。ちなみに、
は、=
m

n

=
n

3

3  1.442 である。ちなみに、 m の範囲は、1  m  e である。なお、  に

m の範囲は、 1 ≤ m ≤ e である。なお、(8) については、 1 ≤ n ≤ 10 の範囲で図１ついては、 1  n  10 の範囲で図１が描かれている。

が描かれている。



図

図1




ペイント使用量としての重量の観点から、混合色に１色のペイントが接する
ペイント使用量としての重量の観点から、混合色に１色のペイントが接することによっ

ことによって、それらによる引力がより増大して、他の２つの色のペイントもて、それらによる引力がより増大して、他の２つの色のペイントも順次接していくことにな

順次接していくことになる。ただし、多くの色が異なる単色の空間において、る。ただし、多くの色が異なる単色の空間において、同重量のペイント同士は引力が作用しないために、お互い接することはないが、混合色と接する単色の引力によって同色同士が隣同重量のペイント同士は引力が作用しないために、お互い接することはないが、り合ってしまうことがある。その結果、四色問題が成立しない。しかし、色によって単位当

混合色と接する単色の引力によって同色同士が隣り合ってしまうことがある。
たりの重量が異なっていれば、これで四色問題は成立する。

その結果、四色問題が成立しない。しかし、色によって単位当たりの重量が異なっていれば、これで四色問題は成立する。

17

そうでなければ、上記の仮定における各ペイントの重量が１単位であることを削除して、色によって３つのペイントの重量がそれぞれ異なるとすれば、または使用するペイントの量が異なるとして、
(11)

c<b<a

で表されるとする4。(11) については、 3! = 6 から6通りの不等式が成立する。
そうでなければ、上記の仮定における各ペイントの重量が１単位であることを削除して、色さらに、各３つのペイントの使用量が異なってもそれらの総重量は変わらない
によって３つのペイントの重量がそれぞれ異なるとすれば、または使用するペイントの量として、が異なるとして、

c  b  a                      (12)aで表されるとする+ b + c = 3 。  については、 3! = 6 から  通りの不等式が成立する。

さらに、各３つのペイントの使用量が異なってもそれらの総重量は変わらないとして、を満たすとすれば、(8) へ n = 3 を代入した値1.442は変わらず、基本形としての
a+b+c =
3                   

図2および地図としての図３のように4色で塗分けられることになる。
を満たすとすれば、  へ n = 3 を代入した値  は変わらず、基本形としての図  および地図としての図３のように  色で塗分けられることになる。
言い換えると、混合色は、それぞれ3つのペイントを引っ張り、さらに３つの言い換えると、混合色は、それぞれ  つのペイントを引っ張り、さらに３つのペイントの異ペイントの異色同士が引っ張られるために四色あれば地図は塗り分けられる。
色同士が引っ張られるために四色あれば地図は塗り分けられる。

また、ペイントの使用量は自然数でなくても構わないために、(12) を満たす
また、ペイントの使用量は自然数でなくても構わないために、  を満たす  色の使用量

3色の使用量の組み合わせは、(11)の制約のもとでもほぼ無数に存在する。その組み合わせは、  の制約のもとでもほぼ無数に存在する。
それゆえ混合色も無数に存在することになる。
れゆえ混合色も無数に存在することになる。


図２                図３

図２

図３



注）図２および図３における m は混合色を示している。

注）図２および図３における P は混合色を示している。
4



これは、ペイントの重量と色を対応させた、一種の秩序である。このような秩序にもとづいて Kozu(2022) では四色問題が解かれている。

おわりに

本論では、算術平均・幾何平均から成る不等式を混合色の重量は使用した単色の総重量とするペイント理論に応用することによって、最も強い引力を有する混合色とそれを構成す
る  つの単色からなる世界が導かれた。その結果、われわれは４色のみで地図が塗り分けられることが分かった。ここでも数学で活躍している e が登場してくるのは不思議な縁であ


18

3

ペイント理論にもとづく四色問題の解おわりに本論では、算術平均・幾何平均から成る不等式を混合色の重量は使用した単色の総重量とするペイント理論に応用することによって、最も強い引力を有する混合色とそれを構成する3つの単色からなる世界が導かれた。その結果、われわれは４色のみで地図が塗り分けられることが分かった。ここでも数学で活躍している e が登場してくるのは不思議な縁である。
本論において、興味深いことは3つのペイントの使用量が分かり、ペイントの使い方が私たちに委ねられると、４色だけで地図が塗り分けられることを暗に示していることである。
この四色問題を経営立地に応用すれば、異なる特徴を有する３つのチェーン店とこれら3つの特徴を融合するチェーン店があれば、この4つのチェーン店で、すべての地域においてそれぞれのチェーン店が接近することなく立地することが可能となる。これは、経営戦略論およびマーケティングの観点からも有益と考えられる。

参考文献
Appel, K and W. Haken (1977) The Solution of the Four-Map- Problem,
SCIENTIFIC AMERICAN, October ( 島内剛一訳「4色問題の解決」『別冊
日経サイエンス172』)
Goldsmith, M. (2019) Inside Mathematics: Understanding shapes and sizes, Shelter
Harbor Press Ltd, New York, USA ( 緑慎也訳『深淵なる「幾何学」の世界』
創元社、2021年 )Kozu, H. (2022) Space and Order of Four Colors, Book series Vol.7, Institute ofManagerial Research, Aichi University. (.\..-PDF.p.pwd (aichi-u.ac.jp))
Saaty,T.L and P.Kainen(1977) The Four Color Problem―Assaults and Conquest,

19

McGraw-Hill.
Willson, R. (2002) Four Colours Suffice, Allen Lane Science. ( 茂木健一郎訳『四色問題』新潮文庫、2004年 )一松信『四色問題』講談社、2016年

根上生也「四色問題」『数学100の問題、数学セミナー編集部編』日本評論社、
1999年、pp.158-160.
竹内外史「四色問題＝ついに解決！」『数学セミナー』1976年、10月号、pp.26

20

4

ペイント理論にもとづくリーマン予想

4

ペイント理論にもとづくリーマン予想
Riemann hypothesis based on paint theory

Abstract
In this paper, by applying paint theory to the ﬁnite Riemann hypothesis,
using the smallest prime number 2 as starting point under the assumptionthat there exists an imaginary color and an imaginary paint usage to makethe zeta function zero. Riemann Hypothesis is derived by transforming thepaint usage into a complex representation.

はじめに
リーマン予想に関する研究論文については、数学の分野では数多く存在するが、その多くは素数と虚数の研究から始められている1。コンピュータサイエン
スを通じて枚挙にいとまがないくらいゼータ関数値が計算されていてもこの予想については証明されていない。
ちなみに、リーマンのゼータ関数は、オイラー2、ガウスに基礎を置く。リー1マン予想は、「ゼータ関数の自明でないゼロ点は、実数部分が である」とい2

うことを示している3。

1

2
3

これについては、黒川 (2014、2019) および中村 (2015) によって段階的に平易に説明されている。
オイラーの理論については、Newton(2018、pp.136-156) を参照せよ。
これについては、鹿野 (1999、pp.113-114)、竹内 (2015、第4章 ) で平易に説明されている。
また、3次元の図については、Newton(2018、pp.104-105) を参照せよ。

21

1
ここでは、自称ペイント理論4にもとづいて実数部分が に限定される複素
2

数を導く。

ペイント理論によるリーマン予想
リーマン予想を導くに当たり、ペイント理論の仮定が以下のように設定される。
(1) 単色または混合色によって掛け合わされた混合色の重量は、これに使われたペイント使用量の和と同じである。これは自然数で表される。
(2) 唯一の色である単色は素数の性質を有しており、その明度は素数として表される。また、単色を除くすべての混合色とその明度は合成数 (1より大きい素数以外の自然数 ) として表される。
(3) 虚数にも色および明度が存在する。それゆえ使用量も存在する。
(4) ２つの異なる単色から成る混合色において、その明度は最後に掛け合わせた単色の明度を超えることはない。また、単色１と最後の単色との混合色においてはいくつかの単色が含まれている。さらに、同じ明度を掛けてもその明度は変わらない。それゆえ、混合色の明度は、素数としての単色の明度の積で表される。
(5) 自然数の１は、ペイント使用量は１で、明度1は明度ゼロと同じ透明である。
すなわち、ゼロ×当該明度 =1×当該明度 = 当該明度であるために、明度ゼロと明度１は同じ意味をもつ。
仮定 (3)、(4)、(5) は主にリーマン予想のために付加されたペイント理論の仮定である。
まず、リーマンのゼータ関数は、

4

これについては、Kozu(2022、pp.1-9) にもとづいている。

22

4

ペイント理論にもとづくリーマン予想

11

ζ ( s) = s +

1 1
1
1
1
+ s + = (
)(
)(
)
s
1
1
1
2 3
1− s 1− s 1− s
2
3
5

(1)

で表される。
ここでは、まず (1) から有限のモデルを考えると、

1 1 1
1
1
1
1
1
ζ ( s) = s + s + s +  + s = (
)(
)(
) (
)
1
1
1
1 (2)
1 2 3
n
1− s 1− s 1− s
1− s
2
3
5
p
で表される。ただし、p は範囲内における最後の素数を示す。
上記仮定から、(2) の第2項は n の逆数になっているが、これも仮定 (1) に従って、使用量の逆数の和も混合色の逆数の積に変換できるすると、
そのゼータ関数は、

1ζˆ ( s ) ==G(n !) s(3)で表される。(3) から、

1(n !) s =  
G

(4)

1
1
1
1
が成り立つ。ただし、 G = (
)(
)(
) (
) である。
11
1
1
1− s 1− s 1− s
1− s
2
3
5
p
(2) の第3項である G を変形すると、

2s
3s
5s
ps
G = ( s )( s )( s ) ( s )2 −1 3 −1 5 −1
p −1

(5)

で表される。(5) は累乗を含んだ積で示されていることから、明度表示の式であり、仮定 (5) から明度1は透明の明度ぜロと同じ意味を有していることから、(5) は、

23

2 s 3s 5sps
G = ( s )( s )( s ) ( s ) = 1
2 3 5
p

(6)

に変換される。ただし、 s ≠ 0 である。
また、(4) と (6) から、

1(n !) s =   = 1 = 0
G

(7)

で表される。ただし、仮定 (5) の繰り返しになるが明度１は単独では透明のゼロになるが、色に透明な色を掛けてもその色は変わらないために、かけ算においては１を乗じることと同じことになるので (7) は成立する。
ところで、偶数または奇数であっても素因数分解されれば、明度の性質から、同じ明度を何回かけても明度は変わらないことから、混合色の明度 L̂ は、

Lˆ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 pm(8)で表される。(8) は、混合色の明度が単色としての素数の明度の積であることを示している。( 補足を参照 ) ただし、 pm は n における m 番目の最大の素数である。したがって、この素数は残りの自然数から素因数分解された素数よりも大きな素数であることを意味する。
ペイントの世界において、(7) は実質上リーマンのゼータ関数がゼロ点である
ことを示している。
つぎに、混合色の明度は最後の単色の明度を超えないこと、素因数分解することのない最小の単色 ( または1を乗じた混合色 ) は2であることから、

Lˆ = 2 < 3 < 5 <  < pm(9)で表される。ただし、(9) の2は明度ゼロまたは明度１の次の単色２の明度2を示している。
さらに、n !および L̂ から、すべての混合色に関わっている最初の素数は2である。
そこから素数の数がスタートすることになる。したがって、ここでは２を基準として、(7) から、

24

4

ペイント理論にもとづくリーマン予想(n !) s = 0 = 1 = 2 s = i ±4 m(10)と書くことができる。ただし、(2) の第３項と関連して m は素数の数を示す。
これは (10) における s には素因数分解された素数が含まれており、その素数の大きさと素数の数が比例的であることを示唆している。また、i はゼータ関数のゼロ点を維持するために使われている。
つぎに、(10) の第4項および第5項から複素数でペイント表示すると、sˆ2 = 1 ± 4mi(11)で表される。さらに、(11) から明度２当たりのペイント使用量 ŝ は、

sˆ =

1
± 2mi
2

(12)

で表される。
ここでは、ペイントの世界において、リーマンのゼータ関数の値がゼロ点のも1とで (12) が導かれた。(12) から ŝ は実数部分が である複素数で表され、これ2はリーマン予想に準じていると考えられる。ここでは有限の世界から出発しているが、素数を含む自然数が無限に存在するのであれば、無限の世界でも通用すると考える。
ここで、重要なことは、セメダインのような透明なペイントおよびその使用量１が存在すること、ペイント使用量において複素数表示も可能であるとしていそこまでの素数の数が分かり、ることである。それによって、ŝ の値が分かれば、最終的には素数定理が証明されることになる。

おわりに
ここでは、ペイント理論を有限のリーマン予想に応用することによって、ゼータ関数をゼロにするために虚数の色と虚数のペイント使用量が存在するという

25

仮定のもとで、最小の素数2を出発点として、最終的にはペイントの使用量を複素数表示に変換することによってリーマン予想を導いた。混合色は、素数の明度の積であることが重要であり、この理論からいくと自然数が無限である限
り、単色である素数も無限に存在することになる。
リーマン予想を難しくしているのは、自然数をペイント使用量と明度を同時に扱っていること、使用料と色が存在する虚数を扱っているところである。

補足：ペイント理論における素数の導出
ペイント理論から、自然数表示で、L = n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ pm ⋅⋅⋅⋅n < pm +1(i)で表される。
さらに、素数表示で、Lˆ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ pm < pm +1(ii)で表される。ただし、L および L̂ は混合色の同じ明度 ( L = Lˆ ) を表している。
これは、 pm から n における自然数に対して素因数分解すると、そこでのすべての素数は pm より小さい素数である。それらの素数の数は、１から pm までの素数の数 m を上回ることがないために、 m̂ ≤ m が成り立つ。ただし、 m̂ は pm
から n までの素数の数を示す。
素数の導出については、(i) および (ii) から、

Lˆ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7  pm ⋅ ( pm + 1) ⋅ ( pm + 2)  ( pm + k ) < pm +1(iii)で表される。ただし、(iii) における ( pm + 1) ⋅ ( pm + 2) ( pm + k )は合成数の積であり、素因数分解をしていない部分である。
したがって、(iii) における括弧の数値およびそれらの積は、素因数分解することによって、そこでのすべての素数は pm を超えることがないので、 pm +1 が素因数分解できなければ、それが pm の１つ上の素数である。また、括弧の数は素数間の間隔を示している。ちなみに、(iii) から pm ⋅ ( pm + 1) ⋅ pm +1 の場合、 pm と

26

4

ペイント理論にもとづくリーマン予想

pm +1 は双子素数と呼ばれている。

参考文献
Kozu, H. (2022) Space and Order of Four Colors, Book series Vol.7, Institute ofManagerial Research, Aichi University. (.\..-PDF.p.pwd (aichi-u.ac.jp))
黒川信重 (2014)『リーマン予想を解こう』技術評論社
黒川信重 (2019)『リーマン予想の今、そして解決への展望』技術評論社
鹿野健 (1999)「リーマン予想」『数学100の問題、数学セミナー編集部編』日

本評論社、pp.113-114.
竹内

薫 (2015)『素数はなぜ人を惹きつけるか』朝日新書

竹内薫 (2019)『虚数はなぜ人を惑わせるのか』朝日新書中村亨 (2015)『リーマン予想とはなにか』講談社ブルーバックス

Newton(2018)『虚数がよくわかる』Newton Press、6月5日発行
Newton(2018)『数学の世界』Newton Press、11月5日発行

27

5

ペイント理論にもとづく ABC 予想
ABC conjecture based on paint theory

Abstract
In this paper, based on the paint theory that the total amount of paintused for the colors used is calculated as an addition, and the mixed color
composed of those colors is calculated as a multiplication, Comparing thebrightness of the mixed color consisting of three single colors with thebrightness of the mixed color multiplied by the brightest single color of thethree single colors, we derived the formula for the ABC conjecture.

はじめにABC 予 想 (abc conjecture) は1985年 に ジ ョ セ フ・ オ ス テ ル ス と デ イ ビ ッ
ト・マンサーによって提起された数論の未解決予想である。ABC 予想とは、「 a + b = c を満たす互いに素 (1以外に共通の約数をもたない ) な自然数の組 に対し、積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表す。このとき、任意の ε ( 0 < ε )に対して、 d 1+ε < c を満たす組、(a,b,c) は有限個しか存在しない」という予想である1。すなわち、d 1+ε < c を満たすものがたかだか有限個しか存在しないことを証明するものである2。
1

2

最近では、ABC 予想が京都大学の望月教授によって証明されたとしている。
“(「ABC 予想」
論文掲載 京大の望月教授証明、審査7年半”. 日経新聞 ( 日本経済新聞社 ). (2021年3月7日 ) )
この定式化については、他に２つの定式が存在する。これについては、ABC 予想 Wikipedia を参照せよ。また、ABC 予想については、黒川 (2012、128-131)、黒川・小川 (2018)、安福 (2016、第７章 ) 等によって説明されている。さらに文系向きには小山28

5

ペイント理論にもとづく ABC 予想

本研究の目的は、自称ペイント理論を用いて、ABC 予想の解を導くことである。ここでのペイント理論は、「混合色は単色3を掛け合わせたものであり、単色の積として表され、混合色の重量は、これに用いた各単色の使用量の和である」ことにもとづいている。この理論において、単色を素数と同一視することによって ABC 予想4を導く。
ABC 予想の証明
ABC 予想の証明に際し、以下の仮定が設定される。
(1) 混合色は、2つ以上の単色の積で表される。また、この混合色の重量は、これに用いた各単色の使用量の和である。
(2) 混合色および単色のすべての色において統一される尺度は明度5である。これは自然数で表される。また、同色に同色を掛け合わせてもその明度は変わらない。
(3) 唯一の色である単色は素数の性質を有しており、その明度は素数で表される。また、混合色とその明度は合成数 ( 素数を除くすべての自然数 ) で表される。
ここで、上記の仮定にもとづいて、ペイントの使用量から色に置き換えるならば、

a + b + c → abc

3

4
5

(1)

(2021、第20話－第24話 )、横山 (2022、pp.244-247) によって平易に説明されている。また、
ABC 予想の回帰については、ノートとして神頭 (2022) がある。
単色とは、１色だけの色を示し、混合色とは他の色が混じっている色を示す。これについては、つぎの２つの説明がなされている。1. 1色だけで他の色のまじっていない色。2.
プリズムによって太陽光線を分光したときの七原色の一つ一つの色。
（単色（たんしょく）の意味 - goo 国語辞書）ここでは、１のみを採用する。
これについては、ABC 予想 - Wikipedia を参照せよ。
これは、「どのくらい明るいか」を表しており、明るい色は白に近く、暗い色は黒に近いことを示している。明度は色相に属さず、純色の中ではニュートラルな黄色が最も明度が高く、ニュートラルな青が最も明度が低いとされている。( 出所：色 - Wikipedia)

29

および

a + b → ab(2)で示される6。
ABC 予想における条件式は。

c = a+b(3)である。この式から、ペイント使用量の大きさの順位は、

a<b<c

(4)

または

b<a<c

(5)

である。
また、(4) および (5) に従い、単色 c が単色 a および単色 b より高い明度を有しているとすると、

ab < c(6)で表される。(6) は、混合色が単色ではないことと一致する。
ここで、(1) に関して３つの単色 a、b、c のうち単色 c だけ使用量を増やすことによって明度の高い混合色に変換すると、

a + b + γ c → (ab)cγ(7)で示される。ただし、 1 < γ である。
また、(1) および (7) において明度の大きさを比較すると、

abc < (ab)cγ = (abc)cγ −1(8)で表される。さらに、(8) の両辺を (1 + ε ) で乗じると、
6

これは、純色 の使用量が、間接的に混合色 の明度に関わっていることを意味している。

30

5

ペイント理論にもとづく ABC 予想(abc)1+ε < (abc)(1+ε ) c (γ −1)(1+ε )(9)で表される。ここで、(9) の右辺において c の乗数 (γ − 1)(1 + ε ) を増やしていくと、
すなわち混合色 abc に明度の大きい単色 c を掛け合わせていくと、究極的には、
混合色 abc は単色 c の明度に近づいていく。それゆえ、(9) の右辺は、(abc)(1+ε ) c (γ −1)(1+ε ) = c(10)で表される。しかし、混合色は単色になれないことから、(10) は、(abc)(1+ε ) c (γ −1)(1+ε ) < c(11)

でなければならない。その結果、(9) と (11) から、

d 1+ε < c(12)が導かれる。ただし、混合色の表示として d = abc である。ところで (12) は、ABC 予想の式を示す。
(12) は、(10) であっても成立する。また、明度の大きさが、例えば、 a < c < bまたは c < a < b の場合などを考慮すると、 d 1+ε < c を満たす組 (a,b,c) が存在しない。したがって ABC 予想において満たされる組は有限個しか存在しないことが言える。
要約すると、ペイント使用量から色の明度への変換を通じて、ABC 予想の式が成立する。

おわりに
本研究では、利用される色のペイントの総使用量は足し算として計算され、それらの色から成る混合色はかけ算として計算されるというペイント理論にもとづいて、３つの単色からなる混合色の明度とその3つの単色のうち最も明度の大きい単色を乗じた混合色の明度を比較することによって、ABC 予想の式31が導かれた。
そこでは、単色は素数として、混合色は合成数として、色から数の世界へ戻しても ABC 予想の意味は変わらないと考える。
最後に、ペイントの数と色の性質から成るペイント理論は、まさに IUT 理
7

論 と同じことを数と色の次元で説明しているような気がする。
今後は、ここで導かれた結果が、ABC 予想を完全に説明するためには単色の定義にもよるが単色の明度による間隔が素数の間隔と一致することを証明しなければならない。

参考文献
Kozu, H. (2022) Space and Order of Four Colors, Book series Vol.7, Institute ofManagerial Research, Aichi University. ( .\..-PDF.p.pwd (aichi-u.ac.jp))
加藤文元『宇宙と宇宙をつなぐ数学』角川書店、2019年
黒川信重「付録 数論の有名な予想のいくつか (1)abc 予想」『リーマン予想の探求 ABC から Z まで』技術評論社、2012年
黒川信重・小山信也『ABC 予想入門』PHP 研究所、2018年
神頭広好「ABC 予想への回帰－ AC 予想、準 ABC 予想および平均公式にもとづいてー」『経営総合科学研究所』第117号、2022年10月。(014-117_KOZU(aichi-u.ac.jp))
小島寛之『素数ほどステキな数はない』技術評論社、2021年
小山信也『日本一わかりやすい ABC 予想』ビジネス教育出版社、2021年。
芹沢正三『素数入門』講談社ブルーバックス、2002年
田口雄一郎 .“abc 予想の話”. 東京工業大学 理学院 数学系 . 2022年４月16日閲
覧。
西来路文朗・清水健一『素数が奏でる物語』講談社ブルーバックス、2015年
7

これは、「次元の異なる二つの舞台を用意して足し算とかけ算を分離することで、足し算とかけ算の関係性を解き明かそうとする理論」である。(Newton 別冊 (2022、９) を参照 )

32

安福

5

ペイント理論にもとづく ABC 予想

悠『発見・予想を積み重ねる―それが整数論』オーム社、2016年

山崎隆雄「フェルマー予想と ABC 予想 (PDF) 」『数学セミナー』2010年10月、2022年4月16日閲覧。
横山明日希「ABC 予想」『数式図鑑』講談社ブルーバックス、2022年
Newton 別冊「９素数と難問 ABC 予想」『数学の世界ニュートンプレス、2022年9月

数と数式編 [ 改定第2版 ]』33

6

ペイント理論にもとづくカタラン予想
Catalan s conjecture based on paint theory

はじめに
カタラン予想 (Catalan s conjecture) は、1844年にベルギー人の数学者・ウ
ジェーヌ・シャルル・カタランが提示した予想である1。2002年にプレダ・ミハ
イレスクによりその完全な証明が行われた。2005年に、自身で証明を簡素化した2。その意味において、予想は定理に書き換えられる。
本研究では、ペイント理論を用いてカタラン予想を導出する。
カタラン予想の導出
カタラン予想とは、

xa − yb = 1(1)

ただし、 1 < x 、y、a、b である。
(1) を満たす自然数の組は、 x = 3 、 a = 2 、 y = 2 、 b = 3 しか存在しないという予想である。
カタラン予想を証明するに当たり、以下にペイント理論としての諸仮定が設定される。
(1) 同じ明度を有する色に同色を掛け合わせても同色である。したがって、その明度は変わらない。
(2) 明度1の単色は透明色として、その重量はゼロである。

12

この予想の経緯については、鹿野 (1999、pp.104-105) を参照。
これについては、カタラン予想 - Wikipedia を引用。

34

6

ペイント理論にもとづくカタラン予想

ここでは、a、b は自然数であり、x、y は異なる色のペイント使用量として自然数で表される。
上記の仮定 (1) から、(1) は、

x − y =1(2)に書き換えられる。ただし、 y < x である。
また、(1) から、

xa = 1 + yb

(3)として、仮定 (2) から (3) の両辺をペイント使用量に変換すると、

ax = by(4)で表される。さらに、(4) を変形すると、

y=

a
x
b

(5)

で表される。ただし、 a < b である。
(2) と (5) の連立方程式を解くと、

y=

a
b−a

(6)

b
b−a

(7)

および

x=

が導かれる。
ここで、(6) から、

35

1< y =ab−a(8)である。これより、

b−a < a(9)さらに、 1 < a から、

b − a =1(10)が成り立つ。
(10) を (6) へ代入すると、

y=a

(11)

が導かれる。
さらに、(10) を (7) へ代入すると、

x = b = a +1(12)が導かれる。
カタラン予想式

xa − yb = 1(13)

へ、(10)、(11)、(12) を代入して a について整理すると、

x a − y b = (a + 1) a − a a +1 = 1(14)が導かれる。
（14）を a について解くと、

a=2が導かれる。これを (10)、(11)、(12) へ順次代入していくと、

x = 3 、a = 2 、 y = 2 、b = 3 が求められる。

(15)

36

6

ペイント理論にもとづくカタラン予想

これで、弱いカタラン予想が証明されたと考える。
これまでのペイント理論であれば、ペイント使用量に対して足し算と混合色に対してはかけ算として仮定されてきたが、この予想では、明度の差としての１があるために、仮定 (2) が付されている。

おわりにカタラン予想は、これに当てはまる数値の組み合わせは幾つか存在するものの、この予想が理論的に正しいかを証明したものは見つからないようである。
ここでは、自称ペイント理論を用いて、この予想の妥当性について理論化したものと考える。

参考文献
鹿野健「カタラン予想」『数学100の問題、数学セミナー編集部編』日本評論社、1999年、pp.104-105.

37

7 ペイント理論にもとづくエルデス・シュトラウス予想
Erdős-Strauss conjecture based on paint theory

はじめに
エルデシュ・シュトラウス予想（ Erdős–Straus conjecture）とは、1948年にエルデス・シュトラウス ( ポール・エルデシュとエルンスト・G・シュトラウス )によって提案された数論における未解決問題のひとつである。
ここでは、この予想を導くためにペイント理論を応用する。
エルデス・シュトラウス予想の導出
まず、エルデシュ・シュトラウス予想1とは、「n を2以上の任意の自然数とした場合、

4 1 1 1= + +n x y z(1)を満たす自然数 x、y、z が存在する」というものである。
ここでは、ペイント理論を応用するために、以下の諸仮定が設定される。
(1) 混合色は2つ以上のペイントの単色の積で表される。ただし、単色とは混じりけのない色である。
(2) 混合色の重量は、これに使用された単色のペイントの総使用量 ( 重量 ) に等しい。

1

これについては、数学の未解決問題！エルデシュ＝シュトラウス予想についてわかりやすく解説！ (nazesuugaku.com) から引用。

38

7

ペイント理論にもとづくエルデス・シュトラウス予想

まず、(1) を変形すると、

yz + xz + xy
xyz

4=n

(2)

で表される。ただし、x、y、z はそれぞれ単色を、それらの積は混合色を示している。
さらに、混合色を単色のペイント使用量に変換すると、

4=nyz + xz + xy
( y + z + x + z + x + y ) 2n( x + y + z )=n== 2n (3)xyz
x+ y+zx+ y+ zである。(3) から、

n=2

(4)

が求められる。(4) を (1) へ代入すると、

2=

1 1 1
+ +
x y z

(5)

が得られる。
ここで、 x = 1 を (5) へ代入すると、

1=

1 1
+
y z

(6)

で表される。(6) を満たす自然数は、 y = z = 2 である。
したがって、n = 2 の時、x = 1 、y = 2 、z = 2 をベースにして、(1) を発展させると、

n = 4 の時、 x = 2 、 y = 4 、 z = 4
n = 6 の時、 x = 3 、 y = 6 、 z = 6…

n = 8 の時、 x = 4 、 y = 8 、 z = 8n = 2m の時、 x = m 、 y = 2m 、 z = 2m

(7)

39

で表される。ただし、 1 ≤ m である。
(7) から、m が無限に存在することから、無限に (1) が満たされる。

おわりに
ここでは、エルデス・シュトラウス予想における (1) を満たす自然数 n、x、y、z が導出された。ただし、これら多くの自然数は偶数であり、奇数の存在を考慮すると、ペイントの世界においてのみ弱いエルデス・シュトラウス予想が成立すると考えられる。

41

あとがき

本叢書は、難問と言われている定理や予想にペイント理論を応用したものである。
その結果、数としてのペイント使用量と色としての単色、混合色、それらの明度との変換操作を踏まえると、今まで説明がつかないことが、数ページで解けたように思えることに驚嘆した次第である。ただし、定理や予想を解くのにペイント理論に馴染むものとそうでないものがあるのは否めない。
浅学の数学愛好家としては、立地に関わる幾何学はたまらなく好きであり、四色問題をきっかけとして、ペイントの特徴と重力モデルを考えている中で、素数に関連する予想問題も解けるのではないかと考えた。その中でペンを動かしながら模索していくと予想が予想通りになっていくことに感動した次第である。取り分け、リーマン予想はミレニアム賞問題であり、さすがに難しい問題であった。
数学研究者から見ると、本書の内容は奇妙に思われ、門前払いになる理論であると思われるが、見方を変えれば、ペイント理論を素数関連の定理や予想などに応用すると、それぞれが有機的に結びついており、素数に関しての理解が深まっていく。
今後は、文系、理系を問わず、学生をはじめ若い研究者が新たな発想を持って、学問を楽しくして頂ければ幸いである。
この場を借りて、これまで私を支えて下さったすべての方々に感謝する次第である。

2023年４月１日
神頭広好

著者紹介

神

頭

広

好

HIROYOSHI KOZU

愛知大学経営学部教授

愛知大学経営総合科学研究所叢書

60

数と色をつなぐペイント理論
2023年７月14日発行
著

者

発行所

印刷・製本

神

頭

広

好

愛知大学経営総合科学研究所〒453-8777

名古屋市中村区平池町4-60-6

有限会社

三 星 印 刷〔非売品〕

ISBN 978－4－906971－19－0

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数と色をつなぐペイント理論
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