線型代数学と演習 II（演習）第 7 回 [略解]20240802

1 言葉の確認．以下で，λ ∈ R，
a ∈ C とする．
√√23 −1 √√（a）行列 λ − 23 1
 が直交行列であるとき λ を決定せよ．
√202( √)
1/ 2a（b）行列がユニタリ行列であるとき a を決定せよ．
√√
i/ 2 1/ 2()5a（c）行列がエルミット行列であるとき a を決定せよ．
√(4 + i)/53√（a）λ = ±1/ 6.
√（b）a = i/ 2.
（c）a = (4 − i)/5.

2 回転行列について．
（a）実数 θ に対して R2 (θ) =(cos θ− sin θsin θcos θ)
とおいたのだった．

i. 転置 tR2 (θ) を R2 (□) の形でかけ．
ii. R2 (θ) は直交行列であることを証明せよ．
2iii. 2 項列ベクトル v ∈ Rに対して ||R2 (θ)v
|| = ||v || を示せ．
cos θ 0 sin θ とおいたのだった．
（b）実数 θ に対して R3 (θ) = 010
− sin θ 0 cos θti. 転置 R3 (θ) を R3 (□) の形でかけ．

ii. R3 (θ) は直交行列であることを証明せよ．
3iii. 3 項列ベクトル v ∈ Rに対して ||R3 (θ)v|| = ||v || を示せ．
100x（c）実数 θ に対して R3 (θ) = 0 cos θ − sin θ  は直交行列であることを証明せよ．
0 sin θcos θcos θ − sin θ 0 は直交行列であることを証明せよ．
（d）実数 θ に対して R3z (θ) = sinθcosθ0001xz
3[コメント 1] 以前の演習で見たように R3 (θ), R3 (θ) もまた R 内の “図形や点の回転” をつかさどっている．

それぞれどのような回転になっているか考えてみよ．

[コメント 2] またブロック行列の考え方で見れば「R3x (θ) は R2 (θ) を右下に，R3z (θ) は R2 (θ) を左上に配置しただけ」とも考えられる．すると例えば，積 R3x (θ)R3x (φ) や転置 tR3 (θ) はもうすでに知っている R2 (θ) の話に帰着するので，とてもカンタン．
（a） i. t R2 (θ) = R2 (−θ).

ii. 上のことから t R2 (θ)R2 (θ) = R2 (−θ + θ) = R2 (0) = E2 となる．逆もいえる．

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線型代数学と演習 II（演習）iii. 成分表示で v =第 7 回 [略解]( )ab20240802とかく（a, b ∈ R）．すると(R2 (θ) v =a cos θ − b sin θa sin θ + b cos θ)

であり，あとは長さの定義と sin2 θ + cos2 θ = 1 からすぐ従う．
（b） i. t R3 (θ) = R3 (−θ).

ii. (2-a-ii) と同じ方法．
iii. (2-a-iii) と同じ方法．
（c）これも (2-b) と同じ方法．ヒントのようにブロック分割すれば，(R3x (θ) =100 R2 (θ))となるから，t R3x (θ) = R3x (−θ) 等が容易に従う．
（d）これも (2-c) と同じ方法．

3 簡単な性質．
（a）任意の n 次正方行列 A に対して，A + A∗ はエルミット行列になることを証明せよ．
（b）任意の m × n 行列 A に対して，A∗ A はエルミット行列になることを証明せよ．
（c）任意の n 次正則行列 A に対して，A∗ も正則であることを証明し，逆行列を求めよ．

[ヒント] すべて「転置行列のときに似たことをしてたな」と思い出す．
（a）(A + A∗ )∗ = A∗ + A∗∗ = A∗ + A = A + A∗ なので OK. ただし，最初の等号は随伴と和の性質を用いている．
（b）(A∗ A)∗ = A∗ A∗∗ = A∗ A なので OK. ただし，最初の等号は随伴と積の性質を用いている．
（c）仮定から正則なので AA−1 = En = A−1 A が成立している．これの両辺の随伴をとれば，随伴と積の性質より (A−1 )∗ A∗ = En∗ = A∗ (A−1 )∗ となる．もちろん En∗ = En なので，

A∗ が正則であることが示された．さらにこのことから (A∗ )−1 = (A−1 )∗ となる．
4 ユニタリ行列の性質．
（a）ユニタリ行列同士の積もまたユニタリ行列になることを証明せよ．
（b）ユニタリ行列の逆行列もまたユニタリ行列になることを証明せよ．

[コメント] 日本語の話だが「(4-a) ふたつのユニタリ行列 A, B に対して，その積 AB がまたユニタリであることを示せ」，「(4-b) ユニタリ行列 A に対して，その逆行列 A−1 もまたユニタリであることを示せ」という意味．つまり “自分で文字を置いて定式化できるか” という事も問うている．
（a）A, B を n 次のユニタリ行列とすると (AB)∗ (AB) = B ∗ A∗ AB = B ∗ En B = B ∗ B = En
より OK. ただし，最初の等号は随伴と積の性質，次の等号は A がユニタリだから，最後の等号は B がユニタリだから．
（b）A をユニタリ行列とすると A∗ = A−1 をみたすが，両辺の随伴をとると A = (A−1 )∗ =(A∗ )−1 となり OK．ただし，最後の等号は (3-c) の結果を用いていた．
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線型代数学と演習 II（演習）第 7 回 [略解]20240802( )[定義] 実数を成分とする 2 次正方行列全体からなる集合の部分集合 SL2 (R) := { ac db | a, b, c, d ∈R, ad − bc = 1} を 2 次の特殊線型群 (special linear group) という．
5 [発展] SL2 (R) について．
（a）E2 ∈ SL2 (R) を確認せよ．
（b）任意の A, B ∈ SL2 (R) に対して，AB ∈ SL2 (R) を証明せよ．
（c）任意の A ∈ SL2 (R) に対して，A−1 ∈ SL2 (R) を証明せよ．
（d）A ∈ SL2 (R) ついて「A が直交行列なら，ある実数 θ が存在し A = R2 (θ)」を証明せよ．

[コメント] (5-a), (5-b), (5-c) より，集合 SL2 (R) は（行列の積で）“群をなす” と分かる．群論は 3 年生で学習する．

[定義] 2 次のユニタリー行列

(a b)
c d

は ad − bc = 1 をみたすとき，2 次の特殊ユニタリ行列と呼ばれ，その全体は SU(2) と書かれる．(5-a), (5-b), (5-c) と同様にして SU(2) も “群をなす” ことが分()かる．また実の場合と同様に SL2 (C) := { ac db | a, b, c, d ∈ C, ad − bc = 1} とおく．

6 [発展] 特殊ユニタリ群について．
（a）複素数 z, w ∈ C に対して，行列(z−wwz)が SL2 (C) の元ならば，SU(2) の元であることを示せ．
（b）任意の SU(2) は，適当な複素数 z, w ∈ C を用いて，(6-a) の形で表せられることを証明
せよ．
（c）任意の SU(2) は，適当な非負実数 r と実数たち θ, φ によって，(r(cos θ + i sin θ)√− 1 − r2 (cos(−φ) + i sin(−φ))√1 − r2 (cos φ + i sin φ)r(cos(−θ) + i sin(−θ)))の形で表せられることを証明せよ．

7 [発展] エルミット行列への分解．
任意の複素正方行列 A に対して，A = X + iY をみたすエルミット行列 X, Y が一意的に存在することを証明せよ．

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