日本統計学会誌
第22巻 ,第 3号 (増 刊号),1993年
313頁 〜356頁

多 変 量 解 析 の 現 状 と展 望
藤 越 康 祝*,柳 井 晴 夫 **Recent]Developments and Perspectives
in Multivariate Analysis
Yasunori FuiikoShiネ and Haruo Yanai**

Multivariate analysis is generically known as a collection of statistical notion,rnethods
and theory on multivariate data of several variables.
in the course of research in multivariate analysis.

In general,there are two directions
One lays stress on the research ofstatistical inference,assurning probability distributions for rnultivariate data.

The otheris free from the assumptions of probability distributions, and lays stress on reduced
representations,etc.of multivariate data.

In the latter case,various lnethods have been

proposed for qualitative or multioway data as well as conventional multivariate data.
The former is called multivariate statistical analysis,and the latter is called multivariate
data analysis.

Strictly speaking,these two directions cannot be discrilninated.

On theother side,it is natural that one should create a systenl of rnultivariate statistical rnethods,

making up for the two directions each Other.

HOwever,at the present tilne great progress

is being made in two directions,and two directions are rather independently developing。
FrOIn these reasons we flrst divide multivariate statistical inethods into methOds related
to statistical inference and those related to multivariate data analysis,and discuss current
perspectives and future developments in some topics of rnethods. The contributor of Part
I:Multivariate Statistical lnference is Yasunori Fuiikoshi,and the contributor of Part II:
Multivariate lData Analysis is Haruo Yanai.

In the last part of Part III we list books andproceedings on multivariate analysis,discrinlinating these into various areas.

The con‐tents of this paper are as follows:
多変量 解析 とは,簡 単 に い え ば,複 数個 の変 量 に関 す る多 変量 デ ー タ を分 析 す るた めの統 計的諸概 念 ,諸 方法 ,並 び に,そ れ らに関連 す る統 計 理 論 の総称 で あ る とい え る。 一 般 に,多 変
量解 析 の研 究 に は, 2つ の異 な る方 向 が あ る。 1つ の 方 向 は,確 率 モ デル を想 定 し,母 集 団 の
母 数 推 測 に重 点 をお く研 究 で あ る。 他 は,確 率 モ デ ル の想 定 を必 ず し も前 提 とせ ず に,多 変量
デ ー タの縮 約 表 現 法 等 に重 点 をお く研 究 で あ る。 後 者 の場 合 に は,多 変量 デ ー タが 質 的 デ ー タ
で 表 され る場 合 ,さ らに は,多 重配 列 デー タ に よって表 され る場 合 に対 して も,多 くの手 法 が開発 され て い る.前 者 は多変 量 推 測 法 とよばれ ,後 者 は多変 量 デ ー タ解 析 法 とよばれ る。 これ
ら 2つ の研 究 の 方 向 は,厳 密 に は区別 され る もので はな く,ま た,一 方 ,当 然 の こ となが ら,

2つ の 方 向 は互 い に補 い合 って , 1つ の多 変量 統 計 的 方法 の体 系 が 作 り上 げ られ て い くべ き もので あ る。 しか し,多 変 量 解析 の理 論 と応 用 は,膨 大 な もの にな って きて お り,ま た,こ れ ら
2つ の研 究 方 向 は独 立 に発 展 して い る こ とか ら,本 稿 で は これ を 2つ に分 けて現 状 と展 望 を論じる。第 I部 ;多 変 量推 測 法 の執 筆 者 は藤 越 康 祝 で ,第 H部 :多 変量 デー タ解 析 法 の執筆 者 は
柳 井 晴 夫 で あ る。 なお ,最 後 の第 Ⅲ 部 にお い て は,多 変量 解析 に関 す る書物 を分 野 別 に上 げてい る。

論文受付 :1993年 2月

改訂受付 :1993年 4月

受理 :1993年 4月*広 島大学 理学部数学教室,〒 724東 広島市鏡 山 1‑3‑1… 大学入 試 セ ンター,〒 153東 京都 目黒 区駒場 2‑19‑23

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993

Contents
Part I. Multivariate Statistical Inference
1. Introduction-trends of research work
2. Distributions of test statistics
2.I. Exact distributions
2.2. Asymptotic expansions
3. Multivariate linear models and its generalizations
3. 1. Multivariate linear model
3.2. Extensions of multivariate linear model
Estimationof dimensionality and selection of variables
4.
4.1. Formulation of the problems
4.2. Statistical inference

5. Other topics
5.1. Non-normal models
5.2. Robustness
5.3. Multivariatemissing
5.4. Problems of highly multivariate small samples
5.5. Multivariate inverse regression
5.6. Analysis of directional data
6. Concluding remarks
Part II. Multivariate Data Analvsis
1. Introduction
2. Reduction of dimensionality
2.I. Singular value decomposition
2.2. Principal component analysis
2.3. Multidimensional scaling
2.4. Canonical correlation analysis
2.5. Discriminant analysis
2.6. Analysis of multivariate familiar data
2.7. Factor analysis
2.8. Analysis of latent variables
3. Structural analysis of qualitative data
4. Analysis of multi-way data
5. Other topics
6. Applications of multivariate data analysis and software
Part IIL Books and Proceedings on Multivariate Analysis

多変量解析の現状 と展望
第 I部

多変 量推 測法藤越康祝
1。

は じめに一研 究動向

多変量推測法の現状 を理解す る上で,Andersonに よる多変量解析 に関す る 2冊 の本 が参考になる。1つ は 1958年 に出版 され,他 はその改訂版 で 1984年 に出版 された ものである.最 初の本 は,多 変量解析 の初期 の時代 か ら 50年 代後半 までの多変量推測法 に関す る主要な結果が体系的 にまとめ られた ものである とい える.多 変量解析 の初期 にお ける重要な進 展 としては,Fi‐sher(1915,1928,1936)に よる標本相関係数 の分布 の導出 ;回 帰係数,偏 回帰係数 ,重 相関係
数 に関す る有意性検定 ;正 準判別分析法の導入 ,Wishart(1928)に よる Wishart分 布 の導出,

Hotelling(1931,1933,1936)に よるスチ ュー デ ン トt統 計量 の多変量 へ の拡張 ;主 成分・ 正
準相関分析法の開発,Wilks(1932)に よる平均 ベ ク トル と共分散行列 に関す るい くつか の仮説に対 する尤度比検定 ,Fisher(1939),Hsu(1939),Roy(1939)等 による 2つ の Wishart行 列
か ら定 まる固有値 の分布 の導出,等 で ある.こ れに,Rao(1946,1948)に よる判別関数の係 数,

お よび,付 加情報 に関す る有意性検定 ,Box(1949)に よる Box型 モー メ ン トをもつ統計量 の
分布 の漸近展開,Anderson and Rubin(1956)に 代表 され る因子分析 モ デル に関する推測理論,

等 を加 えると,Andersonの 最初 の本 が 出版 され るまでの多変量推測法の概要 を知 る こ とができる.こ れ らの研究 において は,基 礎 となる確率 モ デル は多変量正規分布 で あ り,ま た,推 定・
検定 の基準 は最尤法 に基 づ くものになって い る.改 訂版 にお いて も,基 礎 となる確率 モ デル としては多変量正規分布 が仮定 され,ま た,枠 組 も因子分析 が独立 した章 として扱われ てい る以
外 は,ほ ぼ同様 で ある.し か し,初 版 が発刊 されてか らの 26年 間 の間 にお ける多変量推測法の
新 しい進展 が大幅 に追加 されてい る.こ れ らの新 しい進展の主な ものは,Andersonが 改訂版 の
序文 において述 べ てい るよ うに,次 の通 りである。
Al.平 均 ベ ク トル と共分散行列 の点推定問題 において,あ る種 の損失関数 に関 して最尤推定
量 より良 い推定量 ,例 えば,Stein推 定量 ,Bayes推 定量等 の縮小推定量が導入 されている.

A2.検 定問題 において,尤 度比検定 の他 に不変検定 が提案 され,こ れ らの検 出力関数の許容性 ,不 偏性 ,単 調性 が研究 されて い る
A3.検 定統計量の精密分布 ,極 限分布 ,漸 近展 開 に関 して,新 しい結果 が与 えられてい るA4.平 均ベ ク トル と共分散行列 に関す る同時信頼領域が展 開 されてい る
A5。 同時方程式 モ デル,関 数関係 モ デル等 の新 しい話題 が紹介 されてい る
上記 の Al〜 A5以 外 に も重要 な多変量推測法 に関す る研究 が されてい る こ とはい うまで も
.

.

.

.

な い…多変量 デー タ解析法 を含 めた多変量解析 全般 に関 す る解説論文 として は,Dempster(1971),Rao(1972, 1983), 1霊 雀卜(1979),Sibson(1984),Schervish(1987), 4宰 が ある。 これ
らにお いて強調 されている問題点の 1つ は,推 測理論のほ とん どが多変量正規性の仮 定 の もと
で展開 されてい るとい う点である.こ れ は,現 実の多変量 データには,そ の確率 モ デル として
多変量正規性 の前提 が適当でない ものが多 い こ とを意味 してい る.Schervish(1987)は 多変量
解析 の 2冊 の本 Anderson(1984),Dil10n and Goldstein(1984)に おいて扱われ ている内容 を比較 しなが ら,多 変量解析全般 の解説 を行 って い る.こ れ ら 2冊 の本 の うち,前 者 は多変量推測法 に関するものであ り,後 者 は,種 々の方法 とその応用 に重点がおかれてお り,む しろ,多変量 デー タ解析法 に属す るもので ある。この解説論文 においては,Andersonの 本 で は取 り上 げ
られてい ないが,Di110n and Goldsteinに おいて扱われてい る多 くの有用 な多変量解析法 を紹316

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻 第 3号 (増 刊号)1993

ことを主張
介 し,多 変量解析 の理論 と方法 は この 2冊 の本 の合併 として把 えられるべ きである
してい る.Andersonの 本 で扱 われていない解析法 とは,ク ラスター分析 ,多 次元尺度 法,多 変い量 グラ フ解析法等 の探索的方法 とパ ス解析法 であつて,推 測論的側面 か らの発展が十分 でなてによつ,多分野 である。 これ らの方法 は,本 論文 の第 Ⅱ部 で取 り上 げられ る.こ の 2冊 の本
お
り
て
きて
,こ
になっ
々の
は
か
し
膨大
内容
され
る
,個
.し
変量解析 に関す る話題 はかな り網羅
モの 2冊 の本 でカバ ー され るもので はな く,ま た,話 題 として も,変 量選択法,成 長 曲線 デル
ブー トス トラップ法 (Efron(1979))を 含 む多変量 ノンパ ラメ トリック推測法,射 影追跡 (Huber(1985)),多 変量 ラ ンダムモデル等 の重要な ものが除 かれて い る。Sen(1986)は これ ら 2冊 の,本 を含む多変量解析 に関す る 16冊 の本 について,上 ヒ較 を中心 とした書評 を行 ってい る一般 に,推 測理論 において は,そ の 目標 として統計的方法 の構築 とその発展・ 評価 が掲 げら
陛が要求 される.こ れ ら
れ,ま た,そ の展開 において は,明 解 さ,首 尾一貫性 ,並 びに,現 実イの点 は,多 変量推測 法 の現状 の発展 をみる上 で, とくに重要である。上述 のように,多 変量推
測法 は主 として多変 量正規性 の もとで発展 してお り,従 って,現 実 のデー タ解析 の適 用 にお い.

て は多 くの吟味 され るべ き問題点が残 されてい る。 また,推 測的展開が十分 でない多変量デー
タ解析法 も多 い.す なわち,大 雑把 にい えば,現 状 の多変 量推測法 とデー タ解析法 との間 にはかな りの乖離 がみ られ,こ の乖離 をな くして い くことが 当面 の課題 であろう.従 つて,今 後 の多変量推測法 の研究 にお いては,上 記 の Al〜 A5を さらに発展 させ る ことも必要 であろうが,む しろ,大 きな発展 が望 まれ る下記 の研究課題 が重要 であろう
Bl.新 しい多変量 モ デルの構築 とその推測
B2.非 正規多変 量 モ デル :(1)Elliptically Contouredモ デル,(2)多 変量離散 モ デル,(3).

連続型・ 離散 型混合 モ デル,(4)与 えられ た周辺分布 をもつ多変量 モ デル,等 に関す る推測
B3.次 元縮小法 ,変 量選択法 に関す る推測
B4.ク ラスター分析 ,多 次元尺度法,数 量化法 ,等 に対す る推測的 アプ ロー チ
多変量 ノンパ ラメ トリック推測法
B6.多 変量統計的方法 の ロバ ス トネス
B5。

B7.多 変量平均構造 0共 分散構造・ 不等式制約構 造 ,等 に関 す る推測
B8.多 変量 ラ ンダム効果 モ デル,多 変量混合効果 モ デルにお ける推測B9.欠 測値 が ある場合 の推測
B10.高 次元小標本 の場合 の推測
B ll.多 変量経時 デー タ,多 変量寿命 デー タ,方 向性 デー タ,等 に対 するモ デル と推測
B12.多 変量予測法
B13.漸 近的近似法 (漸 近展開,ブ ー トス トラップ法等 )の 精度
多変量推測法 の発展 は多岐 にわた り,ま た,分 野 によって は膨大 な結果 が得 られてい る.従って,全 般 につ いて個別 に現状 を解説す る ことは,こ の論文 の範囲 を超 えるものである.本 論
文 においては,標 本分布 ,多 変量線形 モ デル,次 元縮小法 ,及 び,上 記 Bl〜B13に 関連 した
い くつかの話題 に焦点 をあて る.ま た,個 々の結果 については,で きるだけ最近 のサ ーベ イ論
文 を引用文献 として掲 げる ことにす る.な お,今 後 の多変量解析 の研究 の方向 について は,1992
年 5月 にペ ンシルバニ ア州立大で開催 された多変量解析―今後 の方向― に関す る国際会議 におけるプ ロシー ディング,Co R.Rab(ed。 )(1993),Multivariate Analysis I Future Direction(North― Holland Series in Statistics and Probability Vol.7)が 参考 になると思われる.

多変量解析 の現状 と展望

2.検 定統計量の標本分布
2.1 精密標本分布
Wilks(1932)の 研究以 来 ,多 変量正規分布 の平均 ベ ク トル と共分散行列 に関す る種 々の仮説に対 して尤度比検定 を含 むい くつかの検定統計量 が導入 され,そ れ らの標本分布 が研究 されて
い る.こ の発展 をみる上で,多 くの研究者 によって調 べ られて きた統計量
Tl=ISal/lsottSヵ
lの分布を考える。 ここに,Sa,S方 は互いに独立で,そ れぞれウィシャー ト分布 7ろ (Σ,π ),非 心
ウ イシャー ト分布 Иttσ ,σ ;ρ )に 従 い,π ≧夕とす る.一 般性 を失 う こ とな く,Σ =ら ,ρ =・,ω 夕滋ィ (ω ・),ω l≧ …≧ωp≧ oと してよい.こ の統計量 は仮説 ρ=0"の 検定 に用 い られるものであって,そ の仮説のもとでの分布 (null分 布)は ラムダ分布 4p,ら ″と呼ばれる。 ■ の null
分布 を調 べ る上で,■ が互いに独立なベ ータ変量 の積 として表 されること,す なわち ■=l,。

71… 7pと

な
る
つこ
も
と
が
構
造を
ベ
基
な
る
ー
本と
に
cこ こ
,ス は
タ
+1‑′ ),÷ ε
分
布β
(÷
)に
(η

従 う.

検定統計量の null分 布 が上 のよ うに独立 なベ ー タ変量 の積 になるものはかな りある.ま た

,

2(%̲夕

ISll/膠 ￨=E/1… ら ,a〜 χ

十′)の よ うに独立 なカイニ 乗分布 の積 として表 され る もの もある.Mathai(1973)は このよ うな統計量 の精密分布 を求 める方法 について解説 してい る.そこで は, 6つ の方法 ;(1)直 接計算法,(2)特 性関数法 ,(3)た たみ こみ
法,(4)逆 メ リン変換法,(5)部 分分数法,(6)留 数計算法 が紹介 されて い る.一 般 に,min(夕 ,ο )が 大 きくなるにつれて,精 密分布表示 を求める こ とが困難 になる.

検定統計量 ■ は,多 変量線形仮 説 に対 する尤 度比基準であ り,こ の場合,■ の他 にLawley― HOtelling基 準 ;■ =trSヵ S」 1
Bartlett― Nanda― Pillai基 準 :■ =trS方(S′ 十SヵRoy基 準 ;■ =ム =Sヵ S」 1の 最大固有値)1が提案 されてい る.■ を含 めたこれ らの null分 布 について は,Krishnaiah(1978,1980),An‐

derson(1984)を 参照 されたい.

検定統計量 の null分 布 に関す る結果 は,′ ,ε が小 さい ときは早 くか ら求め られてい る.例
えば,Wilks(1932)は (夕 ,ε )=(1,3),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4)の とき■ の分布を具体的 に与 えて い る.こ れ に比 べ,対 立仮説 の もとでの分布 (nOnnull分布)を 求 める問題 は長 い間未解決の ままで あった.こ の突破 口は,James(1960,1964)の zonal多 項式の導入 により開 かれ た.ま た,COnstantine(1963)に よる zonal多 項式 を用 いた行列変数の超幾何 級数 の
導入 によるところも大 きい。これ によ り,例 えば,非 心 ウィシ ャー ト分布の確率密度関数 が OFl型の超幾何級数 を用 いて表 され,ま た,■ のモー メン トが

E(■

=溌
の
)/2‑ρ
協競響哭彰辛群劣 十 σlFl(a力(π tt)として表 される.こ こに,「p(α )=π pω ‑1ン 4Π たlΓ ((α ―(グ ー1))/2).zOnal多 項式,行 列変数の超幾何級数については,Muirhead(1982),竹 村 (1991)に 詳 しくまとめらている。1960年 か代ら 1970年 代 にか けて,多 くの検 定統計量 の nonnullが zOnal多

項 式 ,と くに,行 列 変数 の超 幾
何級数 を用 い て表 され た。 Pillai(1976,1977)は 固有値 を用 い て表 され る
検 定統計量 の null分
布 お よび nOnnull分 布 につい て ,409編 の参 考論 文 を含 むサ ー ベ イ を行 って い る.Davis(1979,

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日本 統 計 学 会 誌

第 22巻 第 3号 (増 刊号)1993

1980)は 1つ の行列変数 の zonal多 項式 を 2つ の行列変数 の Zonal多 項式 に拡張 ,さらの拡張 さChikuse(1980)は γ(≧ 3)個 の行列変数 を含 む zonal多 項式 を導入 してい る.こ れ参照
れた zonal多 項式 を用 いて表 され る標本分布 については,Chikuse and Davis(1986)を
し

らに

,

サーベ イ
されたい.多 変量標本 分布 の導出にお ける zonal多 項式 の利用 に焦点 を当てた最近のが ZOnal多 項式 を論文 として は,Hayakawa(1989)を 参照 されたい.多 くの多変量標本分布への利用 において は
含 む形で求 め られ るようにな って きたが,そ れ らを用 い た数値的確率計算
ていい くつかの問題点 が残 されて い る.一 つ は,一 般 の場合 の zonal多 項式 が具体的 に求め られ
いて るが,そない点 である.ま た,分 布表示 は全て の次数 の zonal多 項式 を含む無限級数 になっ一
示 が知 られるに般表の収東性 が一般 に遅 い ことで ある. 2次 元 の場 合 には ZOnal多 項式 対すにてお り,Pillai and Jayachandran(1967)は 検定統計 量 ■,… ,■ の nonnull分 布 を具体的―求め,こ れを利用してこれらの検出力を数値的に与えている.多 変量の標本分布は,〃 関数やーベイ論文を参照されG一 関数を用いても表されているが,こ れについてはRathie(1989)の サ
たい.

2.2漸 近 展 開に める こと
多変量解析 の標本分布 の導出 において は,与 えられ た統計 量の標本分布 を正確 求が困難 であるとか,あ るい はた とえ求 め られた として も余 りに も複雑 で数値計算 には利用 で きない ことが しばしば生ず る.こ のため,何 等 かの近似が必要 とな り,と くに標本数 を無限大 とした ときの極限分布 ,あ るい は,極 限分布 を第 1近 似 とす る漸近展開近似 の導出が早 くか ら研
究 されて い る.多 変量 の場合 ,極 限分布 による近似 が有効 であるためには相当数 の標本 が必要とな り,中 程度 の標本 に対 して も有効 である漸近展開近似 が重要 な位 置 を占めてい るe標 本 の大 きさπに依存す る分布関数 几 (″ )を その極限分布 G(″ )の まわ りで展開 した ときの漸近展開の典 型的な形 はGた ,π (″ )=G(″ )十 Σ αプ(χ )θ (″ )π′(″ ),ノ =1,…
砺 で置 き換 えた もので ある.こ こで,g(″ )は Gの 確率密度関数,α′または,π を マの正当化
,おた‑1は 適 当な多項式 を表す.漸 近展開 については,・ 漸近展開式 の導出,漸 近展開
よび,誤 差限界 の導出,に 関す る研究 があ り,そ れ ぞれ,独 立 に研究 されてい る.漸 近展開 の,正 当化 とは,几 (″ )を Gた (″ )で 近似 した ときの誤差 Rた (″ )=鳥 (″ )一 Gた (″ )が 正 しい オ ー
た
ダーでお され られ る こと,例 えば,Rた (″ )=0(π )を 示す ことで ある.漸 近展開式 の導出 の過程 にお いては,必 ず しも誤差項 の厳密 な評価 がなされない場合 が多 い.こ のような漸近展開式
,″

,″

,″

,″

は形式的な漸近展開 とよばれてい る
多変量解析 における漸近展開式 の最初 の 2, 3の 項 を具体的 に求 める研究 は,非 常 に進 んでいて,多 くの結果 が多変量解析 の本 に紹介 されて い る.Andersonの 本 の初版 には,平 均ベ ク ト
ル と共分散行列 に関す る種 々の尤度比基準 の null分 布 の漸近展開が載 せ られてい る.こ れ らの.

統計 量 はそのモー メ ン トが Box型 になってい るものであ る.そ の後 ,種 々の漸近展開 を求 める
方法 が導入 され,尤 度比基準 を含 む各種検定統計 量の null,お よび,nonnull分 布 の漸 近展開が求 められてい る.こ れ らの多 くは,Andersonの 第 2版 ,Muirhead(1982),Siotani,Hayakawa
and FuiikoShi(1985)等 の本 に紹介 されてい る.漸 近展開 の導出については,日 本 の研究者 が大 きく貢献 してい る. これ らの結果 については,塩 谷 (1975,1976),Muirhead(1978),Nagao(1989),等 のサーベ イ論文 ,Sugiura(1976),FuiikoShi(1977),Konishi(1979)等 を参照 されたい.塩 谷 (1975,1976)は ,漸 近展開式 を求 める 5つ の方法 を詳 しく説明す る とともに,その方法 を用 いて得 られた結果 を列挙 してい る.こ れ らの 5つ の方法 は,(1)テ イ ラー展開 に基づ く方法 ,(2)特性関数 の正確 な表示か ら導 く方法,(3)超 幾何級数 が満足 す る偏微分方程 式

319

多変量解析の現状 と展望

系 に基 づ く方 法 ,(4)統 計量 の正 規 変量 に よる展 開 を利 用 す る方法 ,(5)直 交変量行 列 の歪 対
称 行 列表 現 を用 い る方法 ,で あ る.こ の うち,方 法 (2),(3)は ,zonal多 項 式 を含 む精 密標本
分布 か らよ り利 用 しや す い漸近 展 開近似 を得 るための方法 で あ る とい える.こ れ らの 方法 は,

基礎 になる確率 モ デルが多変量正規分布である場合 の方法 で ある.し か し,方 法 (1),(4)をよ リー般 にした,い わゅる摂動展 開法 は一般 の多変量連続型非正規 モ デル の場合 に も適用で きる方法である.こ の方法 を用 いて,FuiikoShi(1980)は 適当な正則条件 をみたす多変量非正規母集団か らの標本 に基 づ く標本共分散行列 の固有値 の分布 の漸近展開 を与 えてい る.統 計量 の関数 の漸近展 開 も求め られ るが,Konishi(1987)は 統計量 の漸近展開 と正規化変換・分散安定化変換 との関連 をサーベ ィ してい る.

漸近展開の正 当化 の研究,す なわち誤差項 の正 しいォ ー ダー評価 を行 うこ とは,漸 近展開式の存在証明に相当 していて,展 開式 を具体的に求める研究 とはか な り異なってい る.こ の研究にお ける大 きな進展 は Bhattacharya and Ghosh(1978)に よって された.こ の論文 は,独な
立変量 の和の関数 として表 され る統計量 について,そ の極限分布が正規分布 になる
場合の漸近
展 開 の正 当化 を示 した もので,広 く応 用 され てい る.そ の後 ,Chandra and Ghosh(1979,1980)
は極 限分布 が カ イニ 乗分布 ,非 心 カ イニ 乗分布 にな る場 合 につ い て,適 当 な正 則 条件 の もとでの正 当化 を与 えて い る.関 連 した最近 の研 究 として は,正 当化 の ための正則 条件 をゆ るめ る ことが ,Bai and Rao(1991)等 に よって な され て い る.誤差項 のオー ー
ダ 評価 が 示 され る こ とは,例 えば2)π ≧π0,(ま た は Cた % た ノ―たIRた ,″ (χ )￨≦ Cた π

を満 たす 十分大 きな定数 Cた ,%0の 存 在 を保証 す る もので あ るが,し か し,具 体 的 な Cた ,π Oは 求
め られ てい な い のがふ つ うで あ る.従 って,漸 近展 開 に よる近似 の
精 度 を知 るため に は,誤 差
項 のオ ー ダ ー評価 だ けで は不 十分 で あ って ,上 の よ うに誤差項 のオ ー ダー
評価 を含 む形 で の誤差 限界 の導 出,す なわ ち cを 具体 的 に求 め る こ とが必要 とな る
.こ れ に関 す る結果 として は,
独立和 の分布 に対 す る正 規近似 の誤差 限界 で あ る Berry― Esseen限 が界 知 られ て い る.誤 差 限
界 に関 す る研 究 は あ ま り進 んで い な い が ,最 近 ,若 干 の 進 展 が み られ る こ とを注 意 した い.

Kariya and Maekawa(1982),F可 ikOshi(1985a)は それ ぞれ
RegressiOn)モ デ ル ,GMANOVAモ, SUR(Seemingly Unrelated

デル にお け る推定量 の漸近 展 開 に対 して誤差 限界 を与 えて い る:ま た,Shimizu(1987)は 正 規 尺度 変量 につ い て,同 様 な研 究 を行 って い る.こ れ らを
含 む誤差 限界 に関 す るサ ーベ イ論文 として,FuiikOshi and Shimizu(1988),Fuiikoshi(1993)
が あ る.後 者 の論文 に は,あ る種 の Cornish一 Fisher展
3。

開 に対 す る誤差 限界 が紹 介 され て い る.

多変量 線 形 モ デ ル とその一 般化

3.1 多変量線 形 モ デル
Ⅳ 個 の 固体 の各 々 につい て ,次 元変量 クが観 測 されル=g′ αグ+0が ,クが,固 体 グの観 測変量 を クがとし,線 形 モ デ

グ=1,… ,Ⅳを仮 定す る.こ こに,Fは 力×夕の未知 パ ラメー タ行列,α Jは 力×1の既知 ベ ク トルで,4=[α l,・・・,α Ⅳ の階級 は力とす る.ま た,誤 ベ ク ル
差ト θJは 互 い に独立で,そ れぞれ,馬 (o,功 に従・うとする.y=[ク ・,御 とお くとき,E(⊃ =4ど であって,上 のモデルは,多 変量分散分析(MANOVA)モ デル,多 変量共分散分析 (MANCOVA)モ デル,多 変量回帰 モデル,等 を含んでい る。行列 C:σ ×ルをrank(C)=ε の既知行列 とす るとき,検 定問題 Cご =0"vs cΞ ≠
]′

1,・

]′

320

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻 第 3号

(増 刊号)1993

0"に 対 す る標 準 形 は次 の よ う に な る :確 率 行 列 Z:Ⅳ ×クの 各 行 は互 い に 独 立 で そ れ ぞ れル (0,Σ )に 従 い,
う

みル

０

％

カ

ε

一
σ Ⅳ
一

ζ

ふ ん ふ

Ｅ

Ｚ

Ｅ

とす るとき,仮 説検定問題 は ζ=0"VSζ≠0"と して与 えられ る.尤 度比 基準 は,Sλ =ZZl,
Sι =ZZ3と お くとき,■ =ISal/ISottSヵ lと な り第 2節 で考察 された統計 量 と同 じものであ つて,こ れ を含 めた 4つ の検定統計 量 Tl,… ,■ が代表的 な検定統計量 である.不 変検定 は Sヵ S」の固有値 λ≧… ≧ら≧0に 基 づ くものである.上 の 4つ の検定法 を含 む不変検定 の性質 について
1

は,最 近かな りの ことが わか って きて い る。夕=1ま たは σ=1の とき,不 変検定 は全て一 致 しlζ
ζ の固有
一様最強力不変検定 となる.一 般 に,不 変検定 の検 出力関数 は,,σ ,%の 他 に ガ…
値 ωl≧ ≧ωp≧ 0に 依存 してい る.Das Gupta,Anderson and A/1udhaolkar(1964)は ,検 出力関数が各 ωJの 単調増加関数 になるための十分条件 を与 えてい る.こ の結果 を用 い ると,■,,

2,■ の単調性 が示 され る.T3の 単調性 につい ては,そ の棄却点 が 1以 下 で ある とい う条件 が必要 になる.不 変性 は単調性 か らも得 られ る結果 で あるが,よ リー般的 な不偏性条件 は Perl̲man and 01kin(1980)に よって与 えられて い る.各 検定法 ■,… ,T4の 許容性 はそれぞれ個別に示 されて きたが,Anderson and Takemura(1982)は 不変検定 の許容性 につ いて新 しい統
一 的な証明法 を与 えてい る.検 定法 の比較 については,検 出力 の数値的比較 ,漸 近展開法,等2)をによる結果 が ある.と くに,検 出力関数 の漸近展開比較 (0(π無視 した)に 関す る結果 として,■ ,■ ,T3の 検 出力 は

=÷ ム 一
=瑶 重
硫
の
り
あ
γ
弁 号鶏旦,(ω =÷自ω(のの値 が正 か 負 か に よって 順 序 づ け られ る こ とが 知 られ て い る (Anderson(1984),Fujikoshi(1988),竹 村 (1991)).す なわ ち,γ >0の とき,検 出力 は大 きい順 に ■ >■ >■ とな り,γ <0の ときに は検 出力 の順 番 は逆 とな る.こ の結 果 は ■ ,T2,■ を含 む検 定 法 の クラ ス に対 しても拡 張 され て い る (FuiikoShi(1988)).
上記 の結果 は,固 定効 果 モ デ ル に適 用 され る もので あ る.ラ ンダ ム効 果 を含 む モ デ ル としては,例 えば・,N
yJ=ご ′+0ゴ ,グ =1,・・
十βづ
αブが 考 え られ る。ここに,新 た に追カロされ た項 βJは ,固 体 グの ラ ンダ ム効 果 を表 す変量 で あ って ,
θJと は独立 で,ル (0,4)に 従 って い る.ま た,共 分散行列 4は 半 正 定値 で あ る。 このモ デ ル に
お け る検 定 問題 として は, rank(4)=π "vsrank(4)>π "に 関心 が あ る。力個 の処 理 また はグ

ルー プか らな る 1元 配置 モ デ ル にお い て,繰 り返 し数 が 等 しい場 合 に は尤度比 基準 が 求 め られて い る (例 えば,Anderson and 01kin(1986)).また,こ の尤度上ヒ基準 ,お よび,関 連 す る統

計量 の漸近分布 が研 究 され て い る (Anderson(1989),Anderson and Amemiya(1991)).

Kuriki(1993)は Wishart行 列 か ら出発 して,そ の共分散行列 Σ につ い ての 階層 的仮 説 島 :Σ=σ 2rp,Jfl:Σ ≧σ2fp,島 :Σ >0に 関連 して 2つ の検 定 問題 JfO vs〃 i∩ 〃 , 島 vs lf2∩ Jfl"の尤度比基準 の性 質 を調 べ て い る.仮 説 Jflは ,ラ ンダ ム効 果 に関連 して Rao(1965)に よって導入 され た モ デル で あ る.一 般 に,多 変量 ラ ンダ ム効 果 モ デ ル にお ける統計 的推測 の発 展 はあ ま
りみ られず ,多 くの未解決 問題 が 残 され て い る.

多変量解析の現状 と展望

3.2 多変量線形 モデルの拡張
各個体 について,あ る変量 クが 夕個 の時点で測定 され る場合 には,次 の一般化線形 モ デルが重要 とな る.

・,Ⅳ
=XE′ αがクが,グ =1,・・
ここに,X:夕 ×σは rank(χ )=σ の既知行
列で,ご :σ ×′は未知 パ ラメー タ行列で ある.Xは個体 内計画行列 とよばれてい る.こ の場合 の観測行列 yの平均構造 は,E(y)=ス arで ぁる
このモ デル は,Rao(1959),POtthOF and Roy(1964)によって導入 され,成 長 デー タの解析に応用 されてい る.仮 説検定 問題 CΞD=0"vscΞD≠ 0"(c:ε ×力,κ :σ ×″ はそれ ぞれ
階数 ε,″ の既知行 列)に 対す る標準形 は次のようになる :確率行列Z:Ⅳ ×夕の各行 は互 い に
独立でそれ ぞれ Aら (0,Σ )に 従 い,か っ
.

韮
一

カ
一

σⅣ

餞

σ

金 妨 ０ ″

一
一

臨ド陥にｒ認

んゑ施

るんん

隊 豚

Ｅ

﹂
ヽノ

Ｚ
Ｅ

とす る とき,仮 説検 定 問題 は ЛЪ:笙 2=O VS島:金 ≠0と して与 え られ る.こ の検 定 に対 す る尤 度 比 基 準 は Khatri(1966),Gleser and Olkin(1970)に
よ っ て 求 め られ た。 7=[Z31Z32
Z33]′ [Z31Z32Z33],L=ZJら,υ =(ケ +ふ 373314) V2(ふ 2 ふ 3臨 1%2)と お くとき,尤 度比統 計
量は ■=ls』 ,/IS。 +Sヵ lと 表せ る.こ こに,Sa=722・

MANOVAの 場合 と同様 に,他 の検定統計量 2,■

3=722 723451732,Sヵ =び υでぁる.

,■ も同様 に定義 され る.Saは ウ ィシャート分布 Иろ(%― し ‑2),易 3)に 従 い,ま た,sた は,z=z137331Zん が与 えられ た とき
,s′ とは
独立 に非心 ウ ィシャー ト分布 Иろ(σ ,易 3;0傷101)に(I+%)一
ってい
従
る
こ
.こ
に
,易
3=易 2
易 3ゐ 1民2,Σ は Σ の″分割行列で ある.こ の結果 を利用 して,検 定統計量■,… ,■ に基 づ く
検定法 について MANOVAの 場合 と同様 な性質が得 られてい る。 しか し,許 容性 について は
条件 つ き許容性 か ら本来の許容性 が得 られ ないため十分な結果が得 られていない.こ れ らの検定法 は統計量 ″ =馘町 lυ ′に基 づいてぃ る.Kariya(1978)は 不変検定の本質 的完備 クラス は″ と Zに 基 づ く検 定 で あ る こ とを示
し,さ らに,局 所 最 良不 変検 定 の棄却域 は ■ =″ (f十 %) 1[(ε 十%― ′十α)σ 1″(I十 ″) 1‑f]>′ で与 えられ ることを示 してい る.検定問題 については Kariya(1985)に 詳 し く
解説 され て い る
一般化 MANOVAモ デル について はぃ っ
く かのサーベ ィ論文が あるが, と くに von ROsen(1991)は 237編 の引用文 献 を挙 げて解説 している.そ の内容 は,推 定,検 定 ,標 本分布,共 分
散構造 ,信 頼領域 ,拡 張 モデル,Ξ に関する
線形 制約,欠 測値,ベ ィズ法,縦 断的研 究 ,等 の多岐 にわた り,そ れぞれについて文献 を中心 に した
解説がなされてい る。 なお,推 定問題 ,予測問題 については Rao(1987a,b)を 参照 され いた
一般化 MANOVAモ デル とその関連 モ ル
デ は成長 デー タを初 め とする経時 デー タの解析 へ応用 されてい る.こ の とき,団 体 の変動 を考慮 したランダムモ デル
2・

2・

2・

,

.

.

クJ=XE′ αづ+xBJtt οJ, グ=1/… ,Ⅳ

も提案されている(Rao(1965)).β Jは ,MANOVAの場合のランダムモデル と同様にοJと は独立で,馬 (o,△ )に 従う確率変量である.し かし,の には 厖 ″(ο D=σ ち が仮定され,全 誤差
項 ε &十 οJに ついては̀=χ

第 22巻日本 統 計 学 会 誌

E(ε )=0,

第 3号 (増 刊号 )1993
2rp=X△ X′ 十σ流Zγ (ε D=Σ ε△ の不変推となって い る.共 分散構造 Σεは Raoの 共分散構造 と呼 ばれてい る.半 正定値行 列がある.経 時い い
定量 は容易 に求 め られ るが,不 偏推定量 は必ず しも半正定値 で はな と う欠点るが.ま た,各 固しばしば生ず
データにお いて は,測 定時点 や測定条件 が団体毎 に異 なる場合
ア ンバ
体 の繰 り返 し測定数 も固体 によつて異 なった り,欠 測値 も生 じがちであ る.こ のような
ラ ンスなデータに対す るモ デル として,固 体 グの 夕が次元観測変量 yグ について,個 体 内計画行列
Xを 固体 に依存 した χLに したモ デルが提案 されてい る (Laird and Ware(1982)).ま た,パ
2,△の MLEを 数値的 に求 める方法 として,EMま たは NRア ルゴ リズムが適用
ラメー タ ご,σされてい る (Lindstrom and Bates(1988))。 VOnesh and Carter(1987)は 拡張 モデルの もとでの反復計算 を必要 としない推測法 を提案 して い る.最 近 ,誤 差項 の共分散構 造 として自己回は帰構造 を想定す る場合等 を含 め一 般化 MANOVAお よびその拡張 モ デル に関 す る論文 多ベ
よび,CrOwder andい.こ れ らに関 して は,先 に述 べ た von Rosen(1991)の サ ー イ論文,おし測定 され る
が
返
の
り
ついて
繰
一
い
に
変量
複数個
Hand(1990)の 研究書 を参照 された .同 固体
場合 のデー タは多変量経時 データ とよばれ る.バ ラ ンス型 で共分散行列 が一般 の正定値行 列 である場合 には,一 般化 MANOVAモ デル の理論 を適用す る ことがで きる.ラ ンダム効果共分散構造 をもつ場合 には,新 しい推測法 が必要 となる (Reinsel(1982,1984),Boik(1988)).
4。

4。

次元推定 と変量選択

1 問題の定式化

多変量解析法 の多 くは,多 変量 デー タを小数次元 の空 間 に表現す る ことと関係 して い る.この とき,縮 小表現空間 の座標 とその次元 が重 要 となる.例 えば,多 群 の判別分析 において,群間 を判別 す るため には何個 の判別関数 が必要 であるか, 2組 の変量間 の関係 を記述す るためには何個 の正準相関変量 が必要 で あ るか,多 次元 のデータ集合 の変動 の大部分 を説明す るためには何個 の主成分 が必要 であるか,等 は新 しい座標 の次元 を決定す る問題 である.ま た,多 変量
デー タの解析 において,用 い られて い る変量 の中 に冗長 的 な ものがあるか どうか も問題 になる.

後者 の問題 は変量選択問題 とよばれ る
上 のような問題 は,多 変量解析 の本 ,Kshirsagar(1972),Muirhead(1982),Anderson(1984),Siotani,Hayakawa and FuiikoShi(1985)に お いて も扱われ てい る.一 般 に,あ る統・,助 か ら新 しい変量
計解析 に対 して ,次 元変量 ″=(″ ・
.

1,。

)′

yJ=ク 」=1,¨ 。
,α(″ ), グが定義され,か つ,こ れらのうちの最初の物個による縮小表現に関心があるとする.ま た,変・・。
,y″ })≧ 0が 与え量の集合 {yl,・・,y″ }の 各々について,統 計解析の目的に関する情報量 I({ク
・
・
・
・
r({ク
は
9})を 満たす最,ク
い,yπ })=I({クられて るとする.こ のとき,変 換変量の次元 ,通 常・,yπ })≧
小な%と して定義される.一 般には,与 えられた比率 g(0<g≦ 1)に 対して,I({ク ・
にな
の
の物は
・
とき
次元
・
に
=1の
前者
がある
く
,σ
.と
」
関心
({υ
θ
,υ 9})を 満たす最小な%に もる.後 者 の よ うな次元 は主成 分分析 に適 用 され る.こ の定 式化 に従 つて,判 別分析 ,正 準相 関
分析 の通常 の次元 が 定義 され ,ま た,主 成分分析 の実際 的 な次元 が 定義 され る
1,。

1,・

1,・

1,・

l,・

.

力個 の 沙次元 正規母 集 団 Aら (μ J,Σ ),グ =1,… ,ん か らの大 きさ М の標 本 に基 づ
く群 内変動行列 ,群 間変動行 列 をそれ ぞれ A,3と す る.こ の とき,■ ,3は 互 い に独 立 で ,(1)判 別分析

それぞれウィシャー ト分布 Иろ(π ,Σ ),非 心ウィシャー ト分布 Иろ(カ ー1,Σ ;N② に従 う.こ こ
一″ ,″ =(1″ Σ誕lМ ″J.変 換変量 yJに,Ⅳ =М 十…+凡 ,%=Ⅳ 一た,ρ =Σ た1(%J/Ⅳ )(μ =一 ″)(μ が
)′

323

多変量解析の現状 と展望lρ″,グ =1,¨・,σ (=min(夕 ,カ ー 1)は 判 別 関 数 で あ っ て ,ル は Σ=γ ′の 第 ′固 有 値
対応す・,yπ })=ω l+… +ω ″と定義すれば,判 別変量の次元"Jにる固有 ベ ク トル で ある.」 ({ク ・はゼ ロで ない ωプの個数 で ある.従 って,次 元が %で あるとは〃庶 rank(2)=%,ま たは,ω l≧ …≧ω滋>ω
″+1=… =ω p=0を 意味 してい る
1,・.

(2)正 準相 関分析

夕次元 変 量 ″=(″ f,瘍 は ル (μ ,Σ )に 従 う とし,″ の分割 ″1:夕 1× 1,&:2× 1に 対応 して,μ ,Σ を分 割す る。2組 の変量 ″1,&間 の関係 は正準相関変量で記述 される.第 ′正準相 関変量 ,第 ′正 準相関係数 をそれぞれ y:2× 1,ρ J,′ =1,… ,c(=min(夕 1,夕2))と)′・し,I((yl,・・,y″ })=ρ :十 …+ρ%と する.こ のとき,正 準相関変量の次元はゼロでない ρJの 個数である.ま た,次 元が%で あるとは,″ 魔 rank(ふ 2)=2,ま たは,ρ :≧ …≧ρ%>ρ%+l=… =ρ z
=0を 意味 してい る(3)主 成分分析 ′次元変量 ″ は Aら (μ ,Σ )に 従 うとする.″ の変動 を少数個 の変換変量で.

説明する とき,主 成分 クJ=γ

,グ

=1,… ,σ (=夕 )が 用 い られ る.こ こに,γ ′は Σ の第 グ固有値 ス

̀″ ルでに対応する長さ1の 固有ベクト
ある.yl,・・。
,y″ を用いたときの情報量はI({ク 1,… ,ク ″})=ス+… +ス ″と定義する.こ の場合の次元 としては,与 えられた比率 θ(0<θ <1)に 対 して
(ス

J

1

1+…・+ス ″+ん )≧ g)/(ス 1+¨・となる最小な%を 考えるのが実際的である.判 別分析の場合 にお けるように =1と,σすると次元はス″>ス ″+1=… =ん =0と なる2と して定義 される.こ の場合 には,退 化分布の問題 が生じ,推 測問題が困難 になる
上の次元の定義において,正 規性の仮定 は必要でないが,検 定等を考えるとき必要 となるのであらかじめ仮定 してい る.次 に,沙 次元変量 ″=(″ ・・,み についての統計解析において・,み の選択を問題 にする.冗 長的変量を除 くことは変量 ″ ・,推 測の効率 の向上,デ ータ収集に関する負担の軽減,さ らには,デ ータ解釈 の簡単化が期待 される.定 式化は・,変 換変量 ク ・
y9の 選択の場合 とほぼ同様 であるが,異 なる点は″1,¨・ の,み 場合 には重要性 に関する順序がついていないことである.従 って,こ の場合,″ ・・,助 の全ての部分集合 について検討する必要がある.記 号の簡単化のため,変 量の集合 と対応する添字 の集合を同一視する.例 えば
,

.

1,・

)′

,

1,・

1,・

,

1,・

≡(1,2}.一 般に,変 量の部分集合 {A,… ,九,(χ l,助 }}の 各々に対して統計解析の目的に対する自然な情報

量 f({A,… ,ノ ″})が 定められているとする.こ のとき,変 量選択問題は制約条件〃(仏 ,… ,九 }):I({A,… ,九 })=f({1,… ,′})

をみたす最小な変量の部分集合を決定することとして定式化される.推 測に関連して
,″ (仏
・
・。
,九 })の もとでの最大尤度が基本的 となりぅ最大尤度が計算しやすい〃({A,… ,九 })の 表示が問題となる.モ デル 〃({1,… ,%})は ,″1=(″ ・・,χ ″ だけで十分であり&=(″ ″+1,… ,みは冗暴であることを意味してお り,め の冗長性仮説ともよばれる.Rao(1970)￨ま 2群 の判別分析
における冗長性仮説に対 して種々の同値命題を与えている.多 群の判別解析に関 しては,I({1,・¨,%})=tr Flllolと 定義すると
,

1,・

)′

)′

″({1,… ,π )):tr駄 191=tr Σ lρで,こ れは ル1‑易 lΣilμ ll=… =ル た一易12111μlた"と 同値である.種 々のモデルにおける冗につい て は FuiikOshi(1989)に 解説 され て い る.

4.2推測
正 準相 関分析 の場 合 は判別分 析 の場 合 とほぼ平行 的 な結果 が長性得 られ るので ,以 下 で は判別 分
析 の場 合 につ い て述 べ る.固 定 され た 2に 対 し,次 元 に関 す る検 定
問題 ″L:rank(ρ )=%vs324

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻 第 3号

(増 刊号)1993

κπ:rank(2)>物 は古 くか ら考 え られ て い る.π =0の とき,水 準

α の尤度 比検 定 の棄却 域 はえられる。ここに,ム ≧…≧らはA lBの 固有値である%10g Zπ は仮一般 の物に対す る尤度Lヒ検定 の棄却域 は 陽 =Π 務+1(1+み ) 1<ε π(α )で ある.一ー
カイニ乗分布 に従 うが,そ の近似 の説 馬 の も とで漸 近的 に 自由度 ん =(タ ー%)(カ 1‑%)の1]10g陽が提案 されてい る (Lawley(1959),
改良 として ″甥=一 [π +(1/2)(カ ーター2)十 Σttl″%≧ 1の 場合 にFujikoshi(1977),Glynn and Muirhead(1978),ChOu and Muirhead(1979))。
(α )で 与141/1五 十BI=Π 推1(1+み ) 1<σ 。

.

αとなるように定 め<θ
は相似検定 とな らないため,σ (α)を 仮説 π の もので Sup P(″ Ъ (α ))≦い
物を推定 す る方
る必要 があるが,最 適 な ε(α )に ついては SchOtt(1984)を 参照 された .次 元
てい る.伝 統的
えられ
法 として,逐 次検定法 による方法 とモ デル選択基準 を適用す る方法が考̲1が 棄却 され πに用 い られてい る検定法 とは,仮 説 島 ,島 ,… を この順 に検定 して,島 ,… ,π
この逆 も考 えらとしてはのが選択 されれば,次 元 はπであ る と推定 す る方法 である.検 定 順序
して決 め らつれ る.検 定法 による問題点 の 1つ は,各 段階での棄却点 は厳密 には条件 きで評価
ことである
い
る
れ るべ きもので あ るが,非 常 に複雑 になるた め条件 を無視 した評価 がなされて・・
モ デル選択基準 を適用す る方法 とは,例 えば AIC(Akaike(1973))を 用 いて,min(40,・ ,■ 9)
こに,α ==A の とき,次 元 を物 と推定 す る方法 である (FuiikoShi and Veitch(1978)).こ.

minし ,た ‑1),49≡ 0,ス″=一 η log″Ъ‑2(タ ーπ)(カ ー1‑π ),π =0,… ,カ ー1.

一般 に AIC選 択法 は一致性 をもっていない.一 致性 をもつ ようにするためには,例 えばいSchwartz(1978)に 従 つて,ズ ″=― πlQg″ 一(タ ー%)(ル ー1‑%)log πと修正すればよ .なお,変 量選択問題 に対 しても同様 なモデル選択基準が求 められている (FuiikoShi(1985b)).
主成分分析 における主成分 の次元 の推定法 として,上 記 の定式化 に基づ く逐次検定法 を適用の他 の方法 として,交 差検証法 (crOss‐ validation method)に よる方法 も提案 され
できる
,

.こ

ている (Wold(1978),Krzanowski(1987)).
5。

そ の他 の話題

この節 で は,主 として第 1節 で述 べ た研 究課 題 Bl〜 B13に 関 す る最近 の進 展 を取 り上 げ る.
これ らについて は,総 合 的 な もので はな く,断 片 的 な紹 介 で あ る。

5.1 多変量 非 正 規 モ デル
最 近 ,非 正 規連続 型 多変 量分布 として Elliptically Contoured Distribution(楕 円等 高面分布
量 ″ の 夕″ が単 に EC分 布 とい う)に か な りの関心 が よせ られ て い る.こ の分布 は,ク 次元変,141 lθ [(″ 一μ)′ 4 1(″ 一μ)]gを 適 当 に選 ぶとして与 え られ る分布 で あ つて ,記 号 として EC(μ ,4)が 用 い られ て い る.関 数ベ
一
こ とに よ り,特 別 な場 合 として ,次 元正規分布 ,多 変 量 ′分布 が 得 られ る.正 規分布 は平均
パ
ー
χが
まれ
含
ク トル μ と共分散行 列 4で 規定 され るが ,EC分 布 に は,こ の他 に尖度 ラメ タ
以前 の
た
た
され
,1980年.まよつて展
開Kelker(1970)にて い る.EC分 布 の基本 的 な性 質 は
ベ
い
の
て
る
.正 規性 場合 とEC分 布 に関 す る論文 は,Chmielewski(1980)に よつてサ ー イ されされ て い る.
同 じ,ま た は,類 似 の結果 が 得 られ る こ とか ら,1980年 代 に も多 くの論 文 が 発表
これ らについて は,Fang and Anderson(1990),Fang and Zhang(1990)を 参 照 され た い.

EC分 布 に関 して は多 くの理論 が 得 られ ,ま た,ロ バ ス トネ スの研 究 に も利 用 され て い る (例 えにば,Kariya and Sinha(1988)).し か し,連 続 型 多変 量 デ ー タの誤 差 モ デ ル として の有 用性
関 して は,今 後 ,理 論面 のみ な らず実際面 か らの検討 が 必 要 で あ る.

325

多変量解析の現状 と展望

多変量分布族 の一 つ構成法 として,周 辺分布が指定 された分布 になるよ うな分布族 が考 えられてい る。 また,分 布 の基本的性質 を利用 して これ らの分布族 の比較 も行われてい る.こ れ らに関す る最近 の研究 について は,Joe(1993)を 参照 されたい
5.2 ロバ ス トネス.

MANOVAモ デル における代表的検定法 ■ 〜 T4(2.1節 を参照)に おいては, 2つ の基本的仮定 ;(i)正 規性 ,(ii)共 分散行列 の均一性 ,が 前提 になってい る.こ れ らの仮定 に関す る
ロバ ス トネス の研究 は,基 本的 には,仮 定 が くずれ る ことに よる検定統計量 の棄却点 お よび検
出力 へ の影響 を調 べ る ことで ある.1980年 までの研究 につ いて は,Ito(1980)に よってサーベイされてい る.仮 定 (i),(ii)を 前提 としない一般的な状況 の もとでの検定統計量 の分布 は非常 に複雑 で あるため,何 等 かの近似 または数値実験 を用 いて調 べ られてい る.1980年 代 には
非正規性 モ デル として EC分 布 に限定 した ロバ ス トネスが研究 されて い る.こ の場合 には,null,

分布 が正規分布 の場合 と同一で あるとか,ま た,あ る種 の最適性 が保存 され る,等 の明確 な結果 が得 られてい る.こ れ らについての結果 は Kariya and Sinha(1988)に 系統的 にまとめ られ
てい る.一 般 に,正 規性 の仮定 の もとで提案 された推測法 が,EC分 布 の もとで どの ような影響を受 けるかの研究 は現在 も進行 中である.推 測法 の ロバ ス トネス を調 べ る他 の方法 としてははずれ値 による影響 が調 べ られてい る.こ の研究 は,各 観測値 が分析結果 にどのよ うに影響す,

るか とい う感度分析 に関係 してお り,こ れ については田中 (1992)の サーベ イ論文 を参照 されたい.

ロバ ス トネスに関する研究の他 の方向 として,ロ バ ス ト推測法 を探 る研究 が行われて い る.

平均ベ ク トル,共 分散行列 についての代表的 な ロバ ス ト推定 として,M一 推定量 が知 られて い る(Maronna(1976))。 回帰 モ デル にお ける M一 推定 に関す る文献 は多 い.こ の中で,Bai,Rao andWu(1992)は 多変回帰 モ デル の M一 推定 に関す る一般的な結果 を与 えてい る.M― 推定量 を用 いた各種推測が考 えられ るが (例 えば,Campbell(1980,1982)),こ れ らの性質 に関す る研究 は
今後 の課題 と思われ る.

5.3 多変量欠測値
欠測値 が ある場 合 の推測問題 は,欠 測値 が単調的 (ま たは階層的)で ある場 合 には比 較的容・,″ 励 tα =1,… ,Ⅳ は,″ ″が欠測値 で易 で ある.一 般 に,夕 次元母 集団 か らの標本 ″α=(″ α ・あるとき,す べ ての ″″,β ≧α,ノ ≧グが欠測値 になってい る とき,単 調的 で あるとよばれ る.夕 次
l,・

元正規母集団 Aら (μ ,Σ )か らの標本 で ある と,″ αの クグ が条件 つ き ,″ をを用 いて¨/(″ ″￨″ α。 ,p̲1)/(″ αl)/(″ α21″ αl)。
)=/(″αl,¨ ,″ αと分解 され,ま た,パ ラメー タ μ,ガ も一 意的 に分解 され る.従 って,(欠 測値 を除 いた)観 測
値 デー タに基 づ く最尤推定量が具体的 に求 め られ る.欠 測値 が単調的 で ある場 合 には,多 くの推測問題 に関 して完全 デー タの場合 とほぼ平行 的結果 が得 られてい る.こ れ等 の文献 は,Kar‐

iya,Krishnaiah and Rao(1983)に 上 げられてい る.彼 等 は,他 の欠測値 のタイプについて も推測の漸近 的性質 を調 べ てい る.欠 測値 のタイプが一般 な場合 の最尤推定量 を求める方法 として,Dempster,Laird and Rubin(1977)に よる EM計 算法 が知 られてい る.EM計 算法 とは,欠測値 を Expectationに よって推定 し,次 に仮 の完全デー タを用 いて尤度 の MaximizatiOnを
行 う反復計算法であって,広 く用 い られて い る.他 の方法 として,尤 度方程式 を具体的 に書 き
下す研究 もなされてい る (Srivastava(1985)).欠 測値 が一般 の場合 には,パ ラメータの識別可能が保証 されない等,厄 介 な問題 が生 じる.Anderson and Perlman(1991)は ,ル (μ ,Σ )か らの一般 な欠測値 をもつ標本 に関 して も,適 当 な条件付 き独立性 条件 を導入す る事 によって単調的な場合 と平行的な結果 が得 られ ることを示 してい る.

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993

5.4 高次 元小標本問題
一般 に,多 変量推測法 において は,標 本 の大 きさが変量 の次元 より大 である ことが仮定 され鴫 (ル ,Σ ),てい る.変 量 が多 い と,こ の仮定 が保証 されない場合 が生ず る.Dempster(1972)は 」
い
る.こ の
して
グ
=1,2か らの大 きさ М の標本 に関 して,夕 >М +九 ‑2の 場合 の検定法 を考察い場合 には,多 変量 T2検 定 が利用 で きな く,直 交変換 に基 づ く検定法 が提案 されて る圭Friedman(1989)は , ルの母集団Π J,グ 1,… ,ル の判別問題 にお いて高次元 小標本 および共分.

散行列 の非同等性 を考慮 した正則化判別法 を提案 してい る.第 グ母集団 か らの大 きさ М の標
本 に基づ く標本共分散行列 を SJと し,合 併不偏推定 を Sと す る.こ の とき,第 ′母集団 の共分
散行列 ΣJを
1 tr'(スふ(ス ,γ )=(1‑γ )'J(ス )十 燿万)rpで推定 してい る.た だ し,'(ス )={(1‑ス )(М ‑1)SJ+λ (Ⅳ 一カ)S}/((1‑ス )(М ‑1)十 λ(Ⅳ 一カ)}.
パ ラメー タ λ,γ (0≦ λ≦1,0≦ γ≦1)は 誤半J別 率 が小 さ くなる ように決 定 され る.こ の方法 は膨
大 な計 算 を用 し,計 算機 を利用 す る ことによつて実行 され る統計的方法 である.こ の方法 の性質 について は,あ まり知 られて い ない.判 別 され るべ き観測値 ″が Π Jに 属 す るときの群 内変動行列 を 形 とす るとき,Saranadasa(1993)は %の ノルムを利用 したい くつかの半J別 法 を提案 してい る.

5.5 多変量回帰の逆推定
回帰分析 で は説明変量 ″が与 えられた とき,反 応変量 yに ついての推測 が 問題 となる.こ れとは逆 に, クの値 が観測 された とき,″ についての推測 を行 う ことを回帰の逆推定 といい,古・χ9に 関 す る多変 量線
・,り と ,個 の説明変 量 ″ ・
くか ら研究 されて い る.夕 個 の反応変量 yl,・・
形 回帰 モ デルにお ける逆推定問題 の研究 は,BrOwn(1982)の 論文 が契機 になってい る.事 前
1,・・,″ 9)を 推定す る種 々の方法 が提案 されて い る.1次 元のデー タ と (釣 ,… ル)に 基 づいて,(″ ・場合 には古典的推定量 の平均が有限でない とい う問題点 が生 ず るが,多 変量 の場合 にはこの点が解消 される.す なわち,沙 ≧σ+1で あ る と,古 典的推定量 の平均 が有限 にな り,ま た,沙 ≧σ
1,・+2で ある と,そ の平均 2乗 誤差 が有限 になる (Nishii and Krishnaiah(1988)).一 方,夕 =σの場合 には,古 典的推定量 は最尤推定量 であるが,夕 >α の ときは最尤推定量 とはな らない.さらに,推 定量 の一致性 が保証 され な く,ま た,信 頼領域 が必ず しも閉領域 にな らない等,困 難な問題点 を含んで い る.古 典的推定量 の他 に,逆 推定法 ,ベ イズ推定法, リッヂ回帰推定法
等 の種 々の推定法 が提案 されてい るが,こ れ らについて は Osborne(1991)の サーベ イ論文 を,参照 されたい.

5。

6 方向性 デー タの解析

方向性 デー タの解析 とは,標 本空間が 円周 または球面である場合 の統計解析 で ある.確 率 モ
デ ル として は,指 数分布族 の い くつかが 考 え られ て い るが,そ の 中 で 次 の 夕″ を もつ vonMises‐ Fisher(ま たは Langevin)分 布 が代表的 である.

′}/(″ ;μ ,χ )=α (χ ) lexp{κ μ″′
ただ し,κ >0,μ μ=1,ノ ″=1。

この方面 のサ ーベ イ論文 としては,Mardia(1975),Jupp andMardia(1988)が ある.後 者 の論文 にお いては,1975年 以降 の進展 が種 々の観点 か ら整理 されてい る。取 り上 げ られてい る項 目 は,確 率 モ デル,推 測 ,漸 近・ 近似的結果,分 布 の特徴 ,はずれ値・ 適合′性検定,ロ バ ス トネス,シ ュ ミレーシ ョン,ノ ンパ ラメ トリック・ ブー トス トラップ法,密 度推定 ,曲 線適合 ,非 標準的応用,探 索的 デー タ解析 ,そ の他 の標本 空 間,等 多岐にわたってい る.最 近 ,Lange宙 n分 布 の もとでの検定問題 に対 して,高 次漸近理論 が展開 され327

多変量解析の現状 と展望(Hayakawa(1991),Watamori(1992)等 ),ま た,局 所最適検定 に関す る研究 もなされている (SenGupta and Jammalarnadaka(1991))。

さらに,Stiefelお よび Grassmann manifold

を標 本空間 とす る問題 も研究 され,関 連す る統計 量の漸近展開 も導出されてい る(例 えば,Chi―kuse(1991)).し か し,標 本 空 間が,通 常 のユー ク リッ ド空間や離散空間 と異 なるため,推 測の最適性 に関す る研究 は十分 な もの とはい えない.

6.さ い ご に多変量推測法 の発展 は,第 1節 で述 べ たように,例 えば,Al〜 A5,Bl〜 B13の 如 く非常 に
多岐 にわたってお り,ま た,こ れ らの多 くにつ いて最近著 しい発展がみ られ る.し か し,本 論
文 において取 り上 げられてい る内容 は,こ れ ら全般 にわたるものではな くかな り限定 された ものになってい る こ とをことわってお きたい。 なお,取 り上 げ られていない内容 のうちのい くつ
か は,別 稿 および第 Ⅱ 部 で解説 されてお り,こ れ らを含 めると,多 変量推測法 のかな りの部分がカバ ー されることになる.共 分散構造 お よび線形関係 モ デル については,別 稿「潜在構造 モデル」 (浅 野長一郎 )と して統一 的 に扱われてい る.平 均 ベ ク トル と共分散行列 の推定 に関 しては,最 近 ,Stein推 定量 の一般化 で ある縮小推定量が構成 されて い る.こ の発展 に関 しては別稿「統計的推定論 の最近 の展開」 (久 保川達也 )で 解説 されて い る.な お,固 有値 の推定 に関 しても同様 な発展 が あるが,こ れ について は Muirhead(1987)の サーベ イ論文がある.多 変量順序制
約下 での検定問題 に関 しては別稿「検定論 の最近 の展開」 (竹村彰通 )に 解説 されてい る.判 別
分析 にお いて も多 くの進展がみ られ るが,こ れ らについ ては McLachlan(1992)に よる研究書を参照 されたい。最近,誤 判別確率 のノンパ ラメ トリック推定法 にかな りの関心が よせ られて
い る.こ れ は,EfrOn(1983,1986)の ブー トス トラ ップ法 に関連す るものであって,こ れにつ
いては McLachlan(1987),別 稿「 ブー トス トラップ法 とその応用」 (小 西貞則 ),小 西 0本 多(1992)を 参照 されたい.因 子分析 モ デル の最近 の発展 について は,本 稿 の第 Ⅱ部 お よび狩野(1991)の サーベ イ論文 を参照 されたい。
これ までにみて きたように,多 変量推測法 は;最 近著 しく発展 して きてい る.し か し,こ れらの大部分 は,多 変量正規 モ デル と線形構造 に依存す るものである.従 って,多 変量非正規 モ
デル,非 線形構造 ,お よび,実 際 の多変量 デー タ解析 と理論 との乖離等 に焦点 をあてると,多くの問題点が残 されてい るとい える.ま た,計 算機 の急速 な発展 と関連 して,計 算機 を駆使 した多変量解析手法,例 えば,射 影追跡法,ブ ー トス トラップ法 ,グ ラフ ィカル表現法 が発展 して きてい る.こ れ らについて もよ り厳密 な理論 展開が必要 で ある.

謝辞 :審 査委員 か らは最初 の原稿 に対 して多 くの有益 な コメ ン トを頂 きました.こ こに記 して謝意 を表 します

.

参

考

文

献

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332

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components models, Tcε λπθπθ

第 H部 :多 変量 デ ー タ解析 法
柳 井 晴 夫

1.

は じ ど)に

多変 量 デ ー タ解析 Multivariate Data Analysisと は事 象 その もの,ま た はその事 象 の背後 に
あ る と想定 され る要因 の多 元 的演I定 か ら,(i)事 象 の簡 潔 な記述 と情報 の圧縮 (次 元 の縮小 ),(ii)事 象 の背後 にある潜在因子 の探 索,(iii)事 象 に対す る複数 な要因 の総合化 ,等 を 目的 とす る統計的手法 の総称 とい えよう.な お,分 析 に用 い るデー タは必ず しも量的データである必
要 はな く,こ の意味 で (市 )質 的 デー タの数量化 に関す る手法 も多変量デー タ解析 において主要な役割を果たすものである.さ らに,同 一個体の同一変量に関する測定が時間を追って複数回行われる場合には,そ れらは3重 配列の多変量データとなる.こ のような,(v)多 重配列データの解析法に関する研究が最近急激に増加 している。
本稿 で は多変量 デー タ解析 の手法 を,次 元縮小 の方法,質 的 デー タの解析法,多 重配列 デー

多変量解析の現状 と展望

333

夕の解析 法 ,に 分類 し,そ れ ぞれ に含 まれ る手法 に つい てで きる限 り多数 の理論 的,お よび応用 的研 究 を取 り上 げ る.国 内 の雑 誌 で は主 に,「 日本 統計 学会誌 (J.of Japan Statistical SOci̲ety)」 ,「 応 用統計 学」,「 行動計量 学」,「 Beha宙 Ormetrika」,国 外 の雑 誌 で は多変量 デー タ解析に関 す る論 文 が 比 較 的多 く掲載 され て い る「 Psychometrika」 を中心 に,そ の研究動 向 を探 って い くこ とに した い.そ の際 ,可 能 なか ぎ り,我 が 国 の研 究者 に よる研 を
究 中心 に紹介 す る ことにす る.な お ,本 節 に示 した文献 の うち,著 書 に関す る もの は Ⅲ の
第 部 文献 を参 照 して頂 き
た い。

2.次 元 の縮小 の 方法
本節 で は,Seber(1984)に 従 い,主 成分分析 ,多 次元 尺度法 ,正 準相 関分析,判 別分析 ,因子分 析 を多変量 デ ー タ解析 にお け る次元縮 小 の 方法 と捉 えて ,そ れ ぞれ の手法 の現状 と展望 を
解説 す る.
2.1 特 異値 分解
縦 に π個 の個体 ,横 に ,変 量 を割 り当て た π×ρ行列 ,よ り詳 し くい えば,夕 個 の変量 ″1,…
み に対 す る π個 の個体 の測定 値 を成 分 とす る η次元 ベ ク トル ,″ 1,均,… ,ル に よって記 述 される %× 夕征薄利

(1)

x=[″

,

1,&,¨ 。
,tup]

を多変量 デー タ行 列 とい う。主 成 分分 析 は多変量 デ ー タ
解析 にお ける最 も基 本 的 な次元 縮小 の方法 で ,多 変量 解析 の全般 的解析 書 に は必 ず とい って よぃ ほ どその記述 に多 くのペ ー ジが 割 か
れ て い る。最近 にな って も,主 成分分 析 に的 を絞 った著
書 (Jollife(1986),Jackson(1991))
が 出版 され てお り、 この意味 で も主 成 分分 析 は今 日にお い ても多変量 デ ー タ解析 にお け る主要な手 法 とい え よ う.

(1)式 で定義 され た %× 夕行 列 Xの 列 ベ ク トル で生 成 され る部分 空 間 を ″ =S(X),さらに
γ=rank(χ )=dim 7と するとき,Xり oJ=ス ィJ,■ =乃 J/νπ =1,γ
(グ
)を 満たすノルム 1の 沙,

次元 ベ ク トル ′Jと π次元 ベ ク トル ス に よってχ を ‐(2a)

χ=μ 1/1メ 十¨。
+μ r/」 夕=F/G′(た だ し,F′F=み ,G′ G圭 み,μ J=√ グ,∠ =diag(μ l,… ,μ r))の よ うに分解 す る こ とを,特 異値 分解 (singular value decOmposition),また はェ ッヵ ― 卜・
ヤ ン グ分 解 (Eckart̲YOung decompOsition)と ぃ う.乃 は行 列 Xの ブ番 目 の 特 異 値 で 乃 =乃(χ)と 書 かれ る こ とが あ る.
なお ,特 異値 分解 に関す る最適性 に関 し,2×
夕行 列 yの rankを s(s≦ γ)と した とき,Rao(1979,1980)に よ り次 の性質 が 導 か れ た.す なわ ち,(2b)μズX― y)≧ μttsCF),グ 十s≦ γ,μ J(x― y)≧ 0,グ +s>″

で ある.上 式 にお ける等号成立のための必要十分条

件 は,Xが (2a)の よ うに分 解 される場合

7が , y=μ 1/J+… 十μξく、 となることで ある.な おり上記のベ ク ル
ト /1,/2,お よびベ ク トルμ
20の 各要素か らなる (π +夕 )個 の点 を 2次 元上 に布置 し,こ れ らの各点 に,対応す る事̀,μ象間の相互関連 を容易 に把握 可能 な ものにす るための手法 に Bip10t(Gabriel(1971))がある
ところで,η ×夕行列Xの 他 に,π 次,お よび 沙次 の正定符号行 列 A,Bが 与 えられてい る場
合,Z=ス 12X312の 特異値分解 は Z=
G′ (た だ し,F′ F=r,α G=F,∠ =diag(μ ・・,μ r),乃はZの 特異値 )と なる.こ の とき,υ =4‑V2F,7=B‑12Gと ぉ こ
く とによって,次 の分解が
.

l,・

334

第 22巻

日本 統 計 学 会 誌

第 3号 (増 刊号 )1993

得 られ る.

X=ン

(3)

′
′
ア (た だ し,υ ス υ=r,7′ By=r)

上 記 の 分 解 は一 般 化 特 異 値 分 解 (generalized singular value decomposition,Greenacre
ータ解析 の(1984)))と 呼 ばれ る.特 異値分解 ,一 般化特異値 分解 は,次 節以降 に示す多変量デ各種手法 における数学的 な基本原理 となるもので ある.

2。

2 主成分分析

主成分分析 の数学的原理 は多変量 デー タ行列 Xの 特異値 分解 に他 ならない.よ り詳 し く説明すれば,(2a)式 にお ける ん は行列 Xの 第 ノ番 目の主成分 ,μJ動 の各成分 は行列 Xに 含 まれると
夕個 の変数ベ ク トル ″Jの ベ ク トル ん へ の正射影 の長 さに相 当す るもので,主 成分負荷 量 呼
ばれ る。 ところで,多 変量 デー タ行列 Xは 次 の ように基準化す る ことがで きる

.

(4a)

X=Oπ X (た だし,0″ =L一 (1ル )1″ 1免 は 0勇 =0″ ,(0″

)′

=0″

,

を満 たす 直交射 影行 列 )(4b)

X2=XOp(Op=rp一 (1ゎ )lp13,Oβ =Opを 満たす(4c)

X3=0″ XOp)

通常 の主成分分析 は (4a)の ように基準化 されたデー タ行列 が用 い られ る.Gollob(1968)
は (4c)の ように基準化 された行列 の主成分分析 を提案 した.ま た,Okamoto(1972)は 4種のデータ行列 X,X2,X3お よび,X4=X(素 得点行 列 その もの)に 基 づ く主成分分析 を整理 し
てい る.な お,実 験計画 にお ける交互作用要素 の処理 に関連 して,宮 川 (1992)は ,(4c)の 方
法 に基 づ く主成分分析 の有用性 を指摘 して い る
主成分分析の対象 となる多変量 デー タの各個体 について性別 ,年 齢別,出 身地域別 のような.

外的基準 の情報 がある場合 を,こ れ らを π×%行 列 Gで 表わ そう.こ の とき,直 交射影行列 Pc=G(G′ G) lG′ ,Oc=L一 Pc,の 導入 によ り,デ ー タ行列 X,お よびその共分散行列 S=X′ X
は

,

(5)

X=PGX+0ら

X,X′ X=X′ PGX+X′ OGXと分解 され る.こ の とき,X′ PGXか らは,Gに 関連 したXの 主成 分 ,Xη GXか らは Gの 影響を除去 した主 成分 が 抽 出 され る.こ の よ う に、外 的基準 の情報 Gを 含 めて主 成 分分析 す る考 え
方 は,最 初 Tukey(1962)に よって示 唆 され ,Rao(1964)に よって定式化 され た.こ れ らの適 用例 に は,Yanai(1970),橋 口 (1978)が あ る.と ころで ,上 記 の射影行 列 Pcお よび OGは ,Xの 列 ベ ク トル を空 間 S(G)と その直 交補 空 間 S(G)⊥ に射影 す る もので あ ったが,Takane&
Shibayama(1990)は Xの 行 ベ ク トル を 夕×′行 列 ″ に よって生 成 され る部 分 空 間 S(〃 ),お よび その直 交補 空 間 S(〃 )上 に射影 す る直 交射影行 列 島 ,Gの 導入 に よ り,デ ー タ行 列 Xを

)

X」

I耽

亀

島

+OGXG

=[1Å
と 4つ の 要素 に分解 しそれ ぞれの項 を多変 量 デ ー タ行 列 として主成 分 分 析 す る方 法 を提 案 した。高根 (1992)は これ らを含 む一 般 化 され た主 成分分析 の方法 を制 約付 き主 成 分 分 析 (con̲strained principal component analysis) と口乎んで い る.
2+b3y tt b4ク 2+b5躍

主成分分析 の一 般 化 として は,bl″ +お ″=ε とい った 曲線 を 2次 元 平 面

335

多変量解析の現状 と展望
上 に定 め る Gnanadesikan(1977)に よって提 唱 され た一 般 化 主成分 分析

pal component analysis)が あ り,こ の方法 の性 質 が Mizuta(1984)に(generalized princi̲

よって調 べ られ て い る.

上 記 の 方法 はさ らに拡 張 され ,多 項 式以外 の よ リー 般 的 な 曲線 をあ て はめとよばれ る方法 が Hastie&Stuetzle(1989)に よって提 唱 され てい

る Principal curve

る。

主成分分析の拡張 として,多 変量 デー タXを そのままのデータ として分析 にか けるのでなく
デー タ行列χ の最適変換 と主成分 Fの 導出 とい った過程 を交互 に繰 り返 す こ とによって主成分
分析 を行 う非計量主成分分析 (nOn̲metric principal cOmponent analysis)手法であるプ リン
シパ ルス (PRINCIPALS)(Takane et.al(1978))が開発 された力S,そ の後 ,SaitO&otsu(1988)は 異 なったアル ゴ リズムに基 づ く方法 を提唱 してい る.こ の他 ,Saito,Kariya&otsu(1988)に よ り 3次 以上 の高次のモー メン トを利用 した主成分分析 の方法 が提唱 されている
主成 分分析 の応用研究 として は,株 価の変動 とい った時系列 デー タヘ適用 して MTVモデル,.

(Multivariate Variance COmpOnent MOdel;MTvモ デル)を 提案 した研究
(刈 屋 (1987))などがある.こ の他,主 成分分析の応用としては線形回帰モデル y=却 +ε,に おいて βを推定する場合,計 画行列Xの 分散共分散行列 (χ ′χ)の 最大固有値 ス
1と 最小固有値 ス2の 比 (ス ″p)の値 (条 件数 と呼ばれる)に 基づ く多重共線性の診断 (Belsley et al。
(1980))が ある
2.3 多次元尺度法.

主成分分析 は,多 変量 データが与 えられてい る場合 の次元縮小 の方法であるが,多 次元尺度法 (Multi‐ DimensiOnal Scaling(MDS))は 複数個 の個体間の類似性 デー
タが与 えられてい る
場合 に,個 体間の非類似度 と空 間 の距離 が何 らかの意味でで きるか ぎリー
致す るよ うにそれ らの仰体 をで きるか ぎ り少数の次元 を持 つ空間 に布置 す る方法である.MDSの 方法 には類似度が間隔尺度で与 えられてい る場合の手法である計量的 MDS(TOrgersOn(1952)),および類似
度 が順序尺度 ,あ るい は名義尺度で与 えられてい る場合の非計量 MDS(Shepard(1962),Krus‐kal,(1964),Takane et al.(1977))が ある.計 量 MDSの最 も基本的 な解法 は %個 の個体間 の距離の平 方 を成分 とす る距離行列 Dl121を 「 ヤ ングハ ウスホル ダー
変換 」して得 られ る行列 Pl=(‑1/2)0″到 aOπ の固有値 ,固 有 ベ ク トル を求めるもので,Gower(1966)による主座 標分析(Principal c00rdinate analysis)と 一 致す る.MDSに おいて分析の対象 となる類似度行列 は
通常 は対称行列 で あるが, %人 の被験 者 の物個 の対象 に対 する好 みの
評定値 の逆数 をそれぞれの被験者の理想点 と対象点間の距離行列 場 の とみ な し,P2=( 1/2)0″ 現 aO″ を特異値分 解 す
る こ とに よって,理 想点 と対 象点 を同時 に多 次元 空 に間 布 置 す る手法 に展 開法 (unf01ding
method,schё nemann(1970))が ある.こ れに し
対 ,ブト計量 MDSは 非類似性 の順序 関係 のみに基 づいて空 間の布置 を定 めるもので,解 を求めるに はかな り複雑 な逐次解 を必 要 とす る
これ らの手法 の原型 は 1960年 代 に確立 されたが,1970年 代 に入 って複数個 の類似 度行列 からそれ らに共通す る成分 と独 自な成分 に分解 す る個人差 MDS(Carron&chang(1970)),
1970年 代後半か ら 1980年 代 にか けての最尤法 に基 づ MDS(Ramsay(1977), Takane
く(1978),(1981)),そ して 1970年 代後 半 か ら 199o年 代 にか けて が
我 国 の研究者 によって非対称
類似度行ダJに 基 づ くMDSの 方法 (Okada(1987),Saito&Takeda(1990),ChinO(1978,.

1990),Saito(1991)が 種 々 開発 されてい る.多 次元ー ヴ ェイ論文 として Hayashi(1985)が ある2。

4 正準相関分析

尺度法の 1985年 以 前 の研究 に関 してのサ.

1970年 代 に入 り,行 列 の一 般逆行 列 の概念が 多変量

解析 に導入 され るよ うにな り,Khatri(1976)は , 2変 数群 ,X,7の 標本分散共分散行列 ,S″ =χ ′
χ ,syy=ryが 正貝iで ない場

合に,S″ ,sy/の 一方の一般逆行列の選び方によ ず,正 準相関係数が一意にぅ定まることを示した.Rao&Yanai(1979),Rao(1981),Yanai(1981)は

正 準相 関係 数 の大 きさ は sxx,syy

336

第 22巻 第 3号 (増 刊号)1993

日本 統 計 学 会 誌

るた め に は直 交射 影の双 方 の一般逆行 列 の選 び 方 に よ らな い こ とを示 した。 この結果 を説 明 す空 S(X),S(y)へ の直 交
行列 の利 用 が 不 可欠 で あ る。 X,yの 列 ベ ク トル で生 成 され る部 分 間y′射影行列をみ =X(X′ X) X′ ,お よび Py=Кy)一 y′ とすると,正準変数

F=χ 4,お よび

G=yBは
(7)

(PxPy)XA=XA∠(PyPx)yB=yBZ,y),さ らに,
それ ぞれ ,夕 ×γ,α ×γ行列 で ,γ =rank(X′
正準相 関係 数 の平 方 はん=ん (PxPy)と すれ ば,∠ =diag(ス 1,ス 2"・ "λ p)).し たが つて,X,yのは一 意 にス
プ(PxPy)と な る こ とか ら,共 分散行 列 S″ ,Syyが 正 則 で な い場 合 に も,正 準相 関係数yの
列 ベ ク トルで 生成 され る部 分 空 間 S(X;y)へ の直定 まる こ とは明 らか で あ る.ま た,Xと交射影行 列 が ,に よつて得 られ る (た だ し,A,Bは(8)

y=Px+Poxy,

2淘

また は,

=Py+Rは x

はそれ ぞれ S(Gy),S(OyX)の 上 へ の直 交射影行 列 )と 分解 され る こ とを利 用 す る と,Fxz=(X;Z)と Fy7=(y;7)の 正 準相 関係 数 の平 方和 に関 して,次 の分解 が(た だ し,POxy,L

成 立 す る (Yanai(1980)).

0)lt<PoxzPQ励
鸞留記1厚富琳窮

第 2, 3項 は部分正準相関 (part canOnical correlation)の 平方和 ,第 4項 は双 偏 正準相関
(Bipartial Canonical correlation)の 平方和 で あ る (Timm&Carlson,1976).
ところで,藤 越康祝 は多変量解析 における変数間 の冗長性 について一連 の研究 (例 えば,藤越 (1992)を 参照 せ よ)を 行 ってい るがそのひ とつに正準相関分析 における冗長性 の研究 がある.FuiikoShi(1982)は ,Xと yの 間 の正準相関係数 が (X;Z)と (y;7)の 間 の正準相関
とかわ らない,つ ま り,Zと 7が Xと yに 関 して冗長 である (redundant)た めの条件 を導 いてごよりtr(rレ クノL7)=tr(PxPy)に よって導 か
い るが,こ の条件 は上記 の (9)式 を用 い る ことヤ

れ る。
ところで,正 準相関分析 における冗長性 に関 しては,上 記 の冗長性 とは全 く異 なった文脈 で定義 されてい るものが あ る.(8)式 によつて得 られるA,Bに よつて定義 され る構造 ベ ク トルを,

7=(a,υ 2"oっ υp)=(X′ X)ス ,7=(y′ y)Bとおけば,yが 与 えられた場合 のXの 冗長性係数 (redundancy coettcient)(Levine(1977)を参照 )は ,次 の ように展開 され る.

(lD

R9(X/y)=ム(ん鋳F)わ =tr(x′ PyX)わ‖

上記の冗長性係数 は正 準相関分析 において得 られた正準変数 の解釈 を明確 にす る為 に Stewart&Love(1968)に よ り導入 された もので あ るが,冗 長性係数 の概念 か ら派生 した冗長性分析(redundancy analysis)(van den w01lenbcrg,1977)は 上式 の右辺 の (X′ PyX)の 主成分分
析 と等価 となる.こ れ らの論文 の影響 を受 けて,PSyChOmetrika誌 上 にお いて は,冗 長性分析に関連 した研究 (例 えば,Israels(1984))が 発表 された
正 準相 関分析 を記 述 的 な立場 か らみ た場 合 ,大 変 興 味深 い性質 が 存 在 す る.Jewell &.

337

多変量解析の現状 と展望

散行列 S,

χ

Ｓ

Ｓ

Ｓ

″

ｙ

Ｓ

Ｓ

践％

Ｓ

陽録

B100mield(1983)は 下 記 に示 す 二 組 の多変量 デ ー タ行列 X,yに 基 づ く共分から計算される正準相関係数の平方 ん6競 sxパ ルS″ )の 値が,上 記に示した
逆行列 S 1の 要
素 にお きか えて計算 され る,ん ((SXX)‑lSχ y(s yy)‑lS″ )に 等 し くなることを い
導 た
Khatri(199o)の 定式化 に従 えば,(4;3)=S 1を 満 たす

Bに よ り定義 され る.

(夕 +α )× 沙行列 4,(夕 十σ)× σ行列F=(χ ;y)ス =OyX(χ ′OyX)‑1,G=(X;7)B=oxy(rey)‑1の分散共 分散行列 が S 1に 等 しくな ることよ り,0(X,動 二つをの変数群 X,yの 第 ブ番 目の正準相関係 数 とすれば,(13)の(F,G)=ρ ′(OyX,oχ y)=0(X,7)

が導 かれ る.Yanai&Puntanen(1993)は 上 の記 結果 を 3変 数群 X,y,zが ぁる場合 に拡
張 してい る.こ の問題 に対す るもうひ とっ の拡張の方向 は Sが特異 な場合 に上 記 の関係が どのように変化するか とい った もので ある.Latour et.al(1987),Baksalary et.al(1992)はが対称 な反射型一般逆行 列 の場合 の議論 を展 し
開 ,Khatri(199o)はS,s+の 場合 についての議論 を展開 してい るが,Sの 任意 の一般逆行列 についての
結果 は得 られていない
この他 の正準相関分析 に関す る研究 として は,x=(xl:X2),y=(И ;し )と お くとき,0(x,y)≧ 島(Xl,y)≧
島(Xl,X)が 成立 す ることを示 した研究 (Wang et al.1987), 2組の多変量
デー タχ,yの 相互関連 の指標 について整理 した
研究 (Ramzay(1984)), 3組 以上 の変数群 がある場合 の正準相関 についての研究 (Kettenring(1971),van de Geer(1984),Campbell&
TomensOn(1983)),非 線形正 準相関の研究 (Burg et.al.(1983),麻生他 (1987)),次 元縮小
法 としての正準相関分析 に関す る研究 (Rao(1980)),正
準変数 に対する重みベ ク トル a,b,の各成分 を 1ま たは‑1に 限定 した研究 (DeSarbO・(1982)),正 準相関分析 にお ける解釈法 に重点 をお いた研究 (CajO&ter Braak(1990)),正
準相関分析 で得 られ る重みベ ク トル a,bに助 =0,Gb=o, とぃ った制約 条件 をつ けた Yanai&Takane(1992)による研究等がある.正準相 関分析 は主成分分析 と関連 づ けて用 い られ ることは少 なか ったが,Gittins(1980)は ,植物 と動物 の全体 として の相互関連 の強 さの計量 の必要性 を背景 に して,生 態学 にお ける正準相
関分析 の利用 を推奨 してい る.

2。

5 判別分析

.

正 準相関分析 にお ける二組 のデー タ行列 X,7のうち,一 方の yが 個体 の所属す る σ個のグ
ルー プのいずれか を示 すダ ミー変数
行列で ある場合 ,Sβ を級間分散共分散行列 とすれば
(14)

′

′

(χ PyX)α =ス (χ χ )α ⇒ sBα =ス sαとな る. これ は,Rao(1952)に よっ て
,正 準分 析(canOnical analysis),Cooley&Rohnes

正 準判男」
分析 (canOnical discriminant analysis)と呼 ばれ て い たが ,最 近 で は呼 ばれ る よ うにな って きてぃ る.な お ,上(1962)に よっ て,重 判月J分 析 (multiple discriminant analysis)と記 の正 の 固有値 の個 数 は μ =rank(品 )で,こ の値 は一般 に は Min(夕 ,α ‑1)と 等 し くな るが,丘
本 (1992a)は ,人 エ デー タに よ り,2<Min(夕,α ‑1)と な る例 が 存在 す る こ とを指摘 して いる。
一 方 ,´ 個 の変数 が 多変量正 規 分 に布 従 う とい う仮定 か ら最尤 法 に よ り導 か れ る
判別 関数 に関 して は,こ れ まで 多 くの研 究 (例 えば,Krzanowski(1975),Otsu(1975))がみ られ るが ,338

号)1993
第 22巻 第 3号 (増 干」日本 統 計 学 会 誌

1970年 代後半 か ら疫学 の分野 にお い て は多変 量正規性 の仮定 が必要 とされな い多重

ロ ジステ

イ ック分析 が多 く用 い られ るようになって きた (そ の詳細 について は,例 えば,柳 井他 (1982)
参照 ).さ らに,70年 代 か ら 80年 代 にか けて核関数 (kernel function)を 用 いてデータか ら確率密度関数 を推定す るノ ンパ ラメ トリックな判別分析 に関す る研究 (例 えば,van Ness(1979))が進展 した.ま た,多 変量正規分布 に基づ く判別関数 で各群 の分散共分散行 列 Σプが等 しい という仮定 をおかない場合 , 2次 の判別関数 (そ の適用例 については,Kubo(1980)を 参照)が 導
かれ るが,こ のためデー タ数 が少 な くなる ことによ りふ が特異行列 となる ことが あ る.こ のような場合 に対処す る方法 (松 田他 (1990))が 提案 されてい る
なお,判 別分析 の適用例 として は,こ れ までに適性 の診断 (Yanai(1973)),病 気 の 自動診断
(高 橋 (1969),古 川 (1982)),筆 跡鑑定 (Sugiyama et al。 (1986),大 塩他 (1991)),形 態 の.

類型化 (高 部 (1985))等 が挙 げ られ る
2.6 多変量家族 デー タの分析
身長 ,体 重,胸 囲,座 高 とい つた多変量の身体計測値 の親 と同胞間 の関連性 の程度 (級 間相関),お よび 同胞 間 の 関連性 の程 度 (級 内相 関)を 多変 量 的 に測 定 す る多変 量 家族 デ ー タ(Multivariate familial data)の 解析 に正準相関分析 ,お よび正準半J別 分析 が適用 されて い る.

(Konishi&Khatri(1990),Konishi et al.(1991),Konishi&Rao(1992)).

また,Rao&Rao(1987)は 上記の多変量家族 デー タの分析 に関連 づ けて,同 系正準相関 (hom01ogous canonicalcorrelation)と い う概念 を提唱 してい る.

2。

7 因子分析

因子分析 モデル (母 数 モ デル,変 量 モ デル)に お ける基本性質 については 1940年 代 か ら今 日まで過去半世紀 にわた り多数 の文献 がある.因 子分析 における座標軸 の回転 な ど記述的側面 を重視 した ものに Harman(1976),芝 (1979),因 子分析 モ デル における推測的側面 を重視 したものに,Lawley&Maxwell(1971),丘 本 (1986),Bartholomew(1987),記 述的側面 と推測的側面 をともに解説 した ものに柳井・ 繁桝他 (1990)が ある。 しか し,多 変量 デー タの解析手
法 とい う観点 か らい えば,因 子分析 は主成分分析 とほぼ同様 の解 を生 じる ことが あ り,ま た不適解 に関 して統計学的 に未知 の問題 も多 く,津 村 (1971)は 「因子分析 は有用 か」 とい う論,

文 を書 いて因子分析 の有用性 に疑間 を投 げか けた。しか し,1970年 代 か ら 80年 代 にかけて,因子分析 に関す る研究論文 は Psychometrika誌 を中心 に増加 し,す でに本論 の第 I部 で述 べ た
ように Anderson(1984)に おいては新 し く因子分析 の章 が付加 された.さ らに丘本 (1987)は,「因子分析 は燃 えてい る」とい う序文 とともに因子分析 が理論的 に も方法論的に も興味あ る問題を内包 して い る点 を指摘 し,最 近 の因子分析 の研究動向 をサ ー ヴ ェイ してい る.こ の他 の,因子分析 に関す るサ ー ヴ ェイ論文 として は,Steiger(1979),Mulaik(1986),市 川 (1993)が ある.本 節 で は,こ れ らを踏 まえた上で,因 子分析 の最近 の研究動向 の うち,モ デル の識別性
共通性 の推定値 ,因 子回転 の話題 に焦点 を絞 って概観 しよう
因子分析 モデル (直 交 モ デル)は 夕個 の変数 ″1,助 ,… rpを 列 ベ ク トル の成分 とす る 夕次元確
,

.

,・

率ベ ク トル χを(15)″=4/十 θ,た だ し E(θ )=0,レ 物γ(/)=ら ,Cο υ(/,ο )=0,Ittγ (a)=ψ

と分解 し,そ れにより,″ の母分散共分散行列 を

(16)

十ψ
Σ=∠ ス′(た だ し,ク ×%行 列 4は 因子負荷行列 ,ψ =diag(ψ l,ら ,… ,ら )は 独 自因子負荷行列 )と分解す る.上 記 (16)式 による Σ の分解 が存在する場合 ,回 転 の不定性 を除 いて,識 別可能339

多変量解析 の現状 と展望な構造 は ,の を求 める問題 は古 くか ら研究 されてお り,「 夕×%因 子負 量行 4か ら列
荷,任意 の一行 を取 り除 い た ときに二 つ の正則行列 が存在 すれば (4,の は識別可能である とい」う
AndersOn&Rubin(1956)の 条件 は良 く知 られてい る. この条件 は明 らかに ≧2%+1の,夕場
合 にしか適用で きない.夕 <2″ +1の 場合 の一般的な十分条件 は知 られていないが,Bekker&de Leeuw(1987)は ,π 二沙‑1で しか共通因子分解 を持たない ための必要十分条件 を与 えた%=3の 場合 について は上記 の性質 で示唆 され る条件 が必要十分条件 となることが Tumura&Sato(1980)に よ り証明 された.識 別可能性 の条件 ,お よびその open prOblemに
関 して記述した ものに,Shapiro(1985),Sato(1989,1992)等 が あるが,こ れ らの既存の研究 の相互関連 を踏 まえた統一 的理論 を構築 す る必要が あろう。 ところで,識 別可能 の性 条件 が著 し く損わ
れたモデル の場合 ,不 適解 (improper solution)が お こる.因 子分析 の最尤解 にお ける不適解の問題点 とその採 るべ き処置 について,van Driel(1978),竹内 (1986),Sato(1987)の 研究が ある。
.

以下 においては,Σ を相関係数行列 とみなそ う.こ こで,相 関係数1の行列 Σ の逆行列 Σ
ノ番目の対角要素を ″力とすると,1‑(1ル カ)は ,ノ 番目の変数を基
準変数,他 の 0‑1)個 の変
数を説明変数 とする重相関係数の平方になり,そ れゆえ,SMC(squared Multiple Correla‐tiOn)と 呼 ばれているe

SMCが 共通性 の下限 となることは,1930年 代 に Ror(1936)に 示されたが,最 近,筆 者 ら (Yanai&Ichikawa(1990))は ,相関行列 Σ の最小固有値をλp(Σ )と すると (1‑ス pC))は 少な くともひとつの変数 に対 し,SMCの値 を上 回るより強 い下限になってい ることを示 した.数 値計算 による と,多 くの場合,SMCの 値 を上 まわ る下限 は 2つ 以上存在するが,与 えられた Σ の関数 として,SMcの 値 を上 まわ る
下限の個数 を求めるの は今後の研究課題 で ある。 なお,Ihara&Kano(1986)は 任意の変数 を固定 した とき,そ の変数 に関 して因子 負荷行列 ス が AndersOn‐ Rubinの 条件 を満たす と仮定 して,独 自性 ψJを Σ の関数 として一意 に定 め,反 復推定 を必要 としない ス の
推定量 を提案 してい る
因子分析 の推測統計的側面 について簡単 に触れてお こう.まず,1980年 代 に入 って因子分析
モ デル の誤差項 に多変量正規分布 よ りもっ と い
広 範囲の分布 を仮定 して,最 尤推定 ,お よびその漸近理論 の研究 が盛 んになって きた こ とで ある.こ れ らについて,Bentler(1983),BrOwne(1984),等 によって推進 されたのはその一例 で ある.我 が国の研 究者 による貢献 として は,上記の問題 に対す る Kano(1991)の 研究 ,お よび Kano(1983,1986))による因子分析 にお ける
一 致性 の研究,最 小二乗解 に基 づ く因子推定 のアルゴ
リズムに関す る研究 (Okamoto&Ihara(1983,1984))等 が ある.こ れ ら因子分析 の推測統計的側面 に関す る研究の進展 についての詳
細 は,丘 本 (1987),狩 野 (1990)を 参照 されたい.な お,Ichikawa(1992)は ,誤差項 に多変量正規分布 を仮定 し,共 通性 の漸近分散 を導 いてい る
なお,因 子分析の もうひ とっの推測統計的問題 として,共 通 因子数の推定 が ある.こ れ に関して は,最 尤法 因子分 析 にお ける情報量基 準 AICの
導入 (Akaike(1987)),お よび,Kano(1990)が ある
この他,因 子分析 モ デル に関連 した統計的推測の問題 として線形 関数関係 (lineal functiOnal
relatiOnship)お ょび線形構造関係 (linear structural relatiOnship)の解析がある。 これ らに関す る最近 の研究 には,Anderson(1987),Isogawa(1992)等
が ある
因子分析 は心理学 の分野で,知 能,性 格 お よび意味の分析 な どに用 い られ,成 果 が あげ られて きた.こ の理由のひ とつに因子の単純構造 をめざ バ マ
す リ ックス回転 ,与 えられた仮説構造
をなるべ く再現で きるよ うなプ ロクラステス回転 な どの
因子軸 の回転法の導入 によるところが大である.プ ロクラステス回転 とは因子分析 に と りいれる変量 に関する事前の知識 を用 いて仮説構造行列 Gを 作 り,Gの 各成分 と回転 後 の因子負荷量行列 B=4Tの 差 の平方和 ,す なわち
,

.

.

.

.

340

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻 第 3号 (増 刊号)1993

お,因 子負荷 量行列
わが 3つ 以上 ある場合 のプ ロ クラステス回転 の研究 (Gower(1975),Ten Berge(1977))も 行
いる
れてい る。 Gと してバ リマ ックス回転 によって得 られ る因子負荷 量 の奇数乗 した ものを用マスにプロ クラステス回転 がプ ロマ ックス回転 と呼 ばれ るもので,近 年,バ リ ック 回転 替 えてい理学 の文献 で は多 く見 られ るようになってい る.そ の一
プロマ ックス回転 を採用 した研究 が′例 として,柳 井他 (1987)に よる性格検 査の尺度構成 が あ る
この他 の因子分析関連研究 に,同 一相関係 数行列 に主成分分析 と因子分析 を適用 し負荷 量 の
大 きさの対応関係 を調 べ た研究 (SatO(1990)),イ メージ因子分析 に関す る研究 (Yanai&
Mukhettee(1987)),非 計量因子分析 に関す る研究 (Takane et al.(1979))等 が あ る.こ のtr[(G一 Ar)′ (G一 ス T)]を 最小 にす る回転行列 Tを 求 めるもので あ る.な.

他,共 通因子数 を固定 して,効 率 よ く変数 を選択す る研究 (Yanai(1980),Tanaka(1982))
等 が ある2。 8
潜在変数分析 一般 につ いて
多変量 デー タ解析 における潜在変数 モ デル としては,因 子分析 の他 に共分散構造分析 と項 目
反応理論 ,潜 在構造分析等 が ある.共 分散構造分析 とは共分散行 列 Σ をさまざまな形 に分解 す.

る仮説 モ デル を設定 して,デ ー タで ある共分散行列 Sを 用 いて,モ デル に含 まれる種 々の母数の推定,お よびその検定 を行 うもので,因 子分析 モ デル もその特別 な場合 に含 まれる.こ こでは,共 分散構造分析 の概要 とその適用法 に関 して Bollen(1989),豊 田 (1992),小 笠原 (1993)
を,推 測的な面 に関 して は狩野 (1990,1993),を 紹介 するに とどめよう。なお,共 分散構造分
析 の理論 は,い わば心理学 で発展 して きた因子分析 モ デル と経済学 の分野 で発展 した構造方程式 モ デルに基礎 を持 つ もので,異 なった分野 の手法 を結合す る ことによって新 しい手法 が生 まれた一例 とい えよう
なお,共 分散構造分析 のひ とつ の手法 である LISREL(Linear Structural RELationship)
は,因 果分析 の手法 として知 られてい るパ ス解析 (path analysis)を その特殊 な場合 として含む ものである.多 変量 デー タに基 づ く潜在変数 モ デル として最近注 目されてい るものに項 目反.

応理論 (item response theory,IRTと 略記 )が ある.IRTは 計量心理学 の分野 で開発 されたもので,正 解,不 正解 のように採点 され る一 次元的構造 を持 つ 2値 反応 デー タか ら,項 目の難
易度 ,識 別度,被 験者 の潜在能力 を推定 す る ことを目的 とした もので,理 論的 には因子分析 の

1因 子 モ デル と等価 である ことが示 され てい る (Takane et al。 (1987)).項 目反応理論 の理論とその適用例 について は Hambleton(1985),芝 (1991)を 参照 されたい.

なお,潜 在構造分析 に関 しては,別 稿「潜在構造分析 の現状」 (浅 野長一郎 ,江 島伸興 )で 解説 されてい る
上記 の潜在変数分析 の最近 の動向 について は,柳 井他 (1991),お よび雑誌数理科学 (1992年.

11月 号 ‑93年 4月 号 :リ レー連載 )を 参照 されたい.

3。

質 的デー タの構造解析

数量化法 とは名義尺度 また は順序尺度 で表 され る質的変数 に対 して適当な操作 によってある
数量 を与 える ことで,広 義 の意味 での尺度化 (Scaling)に 相 当す る.こ のような数量化の方法として代表的 な ものに,林 知 己夫 による数量化理論 が ある.数 量化理論 の うちの 1類 , 2類 は質的 デー タを用 いた重回帰分析 ,正 準判別分析 といつて もよい もので ある.上 記 の数量化 1,
2,3,4類 か らなる数量化理論 の方法 はあ くまで数量化 の 1つ の典型的 な方法で,最 近 で は
これ ら 4つ の方法 を拡張 したい くつかの新 しい方法 が提案 されて い る.こ の中で,理 論的 に興味深 い方法 は数量化 3類 であろう。数量化 3類 に類似 した方法 として は,フ ィッシ ャーの交互,

平均法 (Fisher(1938)),ガ ッ トマ ンの尺度解析 (Guttman(1941)),西 里の双対尺度 (Dual341

多変量解析の現状 と展望

Scaling)(西 里 (1982),Nishisato(1980))が あ る.さ らに,フ ラ ンス に は Benzecri(Benzecri(1973))を 頂点 とす るフラ ンス学 派 の対 応 分析 (correspondence analysis)(Lebart eto al(1984),Greenacre(1984))が あ り,1981年 よ り隔年 にデー タ解析 と情報 学 〈Data Analysis
and lnformatics〉 とい う国際 シ ン ポジウム を開催 して い る.ま た,そ れ に関連 して 日仏 の交 流

が 促進 され ,1987年 3月 に は 日仏 セ ミナーが 東京 で 開催 され ,そ の成果 が Hayashi&Diday
et al。

(1988)に よって ま とめ られ てい る.

ここで,こ れ らの 方法 の概 要 を紹 介 しよ う.こ の方法 は,%× タデ ー タ行 列 凡 B(ま た は,分
割 表形 式 で もよい)の π個 の行 (要 因 A)の それ ぞれ に与 える数量 ベ ク トル を α,夕 個 の列 (要因 B)の それ ぞれ に与 え る数量 ベ ク トル を み,さ らに'4,DBを素 とす る対 角行 列 とした とき,

それ ぞれⅣ の行和 ,列 和 を対 角要′α
凡 Bみ /y(α ′Lα )(b′ 島 b)

(1つを最大にするα, みを求めるもので、その解 は次式によって求められる。
凡 BDBK凡 3)′ α=λ 2α ,b=坊 1(凡 B)′ α/√O①

この とき,対 応分析 ,ま た は双 対 尺度 法 にお い て は,複 数個 のカテ ゴ リか らな る二 つ の
項 目へ
おCと くとき,比 B=(a)′ cと 分解 され る こ とを強調 す る.こ れの ダ ミー変 数行 列 を Cとに よ り,上 記 (18)式 の最大化 は数学 的 に は Cと 0に 基 づ く正 準相 関分析 と等価 にな る
.この性 質 を利 用 す る こ とに よ り,NishisitO(1984)に よる定比例 の原理 (principle of cOnstant
proportionality),Lebart et al。 (1984)に よる,(i)ノ もB=(GD′ GB,(ii)G=(GバGB)(面B=G′ G,に 基 づ く対 応分 析 が 同一 の解 を もた らす ,と 言 った興 味 あ る性 質 が 導 かれ る.さ らに),

cc=(a;Gc)と ,Cc=(a;Gε )に 基 づ く正準 相 関分析 に よ り,要 因 Aと Bか ら要因 Cの 影

響 を除去 した対応 分析 ,す なわ ち偏対 応分析 (partial cOrrespondence analysis(Yanai(1986))と呼 ばれ る方 法 が 導 かれ たが ,こ れ に関連 して,偏 関連 係 数 の定義 が Daudin(1980)に よって
与 え られ て い る こ とを指摘 してお こ う。

ところで,数 量化 3類 の分析対 象 となるデー タ Aヶ Bに は以下 のような 自由選択型 (2値 デー
タの一 方のカテ ゴ リーのみについてのデー タを示 した もの),お よび項 ロカテゴ リ型 (2値 デー
タの双 方のカテ ゴ リのデー タを示 した もので,各 行 の数値 の和 は項 目数 (こ の場合 4)に 一致する)と い ったデー タ (Guttman(1950)に よる)が ある。 ここで,最 近の丘 本 (1992c)の研
究 による と,保 有す る情報 が一見全 く同一 にみ られ るこれ らの二種類 のデー タに,数 量化 3類
を適 用 した ところ全 く異なる解が得 られ,固 有値 の大 きさに一貫性 がない こ とが見出された
どのよ うな付加条件 によ り,自 由選択型 に比 べ項 ロカテ ゴ リ型 の固有値 が大 き くなるかについては今後 の課題 で あろう.

.

(自 由選択型 )ら1 わ2 れ(項 ロカテゴ リ型 )

れ

街

εl
の

ハ碗B=

角

AL=

4

あ

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

浅

義

4

涜

蒻

4

の
ら

0

1

0

1

0

0

1

α

1

0

1

0

0

1

α

1

0

1

0

1

0

数量化 3類 は通常,個 人 データ ″項 目 とい った 2元 データに適用 されるが,対 応分析 は分割
表形式 のデー タに直接適用す る こ と も可能 で,そ の意味 で汎用性が あ り,そ の幾何学的
性質

342

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993(1987)),制 約付 き解法 (Giula&Haberman(1988),Bockenh01t&
Bockenholt,1990),対 数線形 モ デル との融合 (Choulukian(1988)),人 エ データに よる 1次 元(Greenacre et al。

および 2次 元構造 の研究 (丘 本 (1992b))な ど多数の論文が生 まれてい る.ま た,ter Braak(1986)￨こ よるI準 対応分お子(canOnical cOrrespondence analysis)は , 制約仁iき メ
事
析 と資
寸応 ヽ
価 で ある こ とが示 されて い る (Takane,Yanai,Mayekawa,1991).

̀分

上 記 の対応分析 は,基 本的 には分割表 の特異値分解で,各 カテ ゴ リで得 られた数量の大 きさに関す る統計的推論 は行われ ていないが,Takane et al.(1987)に おいて導入 された理想点判
別分析 (ideal point discriminant analysis)ャ こょって,最 尤推定 に基 づ く,母 数 ,お よび標準
誤差 の推定 が可能 となった.こ の他 ,尤 度原理 に基 づ き分割表の各 カテ ゴ リに数量化 を与 える
統計 モ デル に,Goodman(1981)に よる連関 モ デル (aSSociatiOn model)が あ り,こ れ に関 し
順序 カテゴ リカル デー タに関す るい くつかの研究 (例 えば,Tsuiitani(1988,1992))が あ る
この他 の数量化理論 の性質,お よびその拡張 に関す る研究 には佐藤 (1985)の 研究 がある.ま.

た,質 的デー タに基づ く因子分析 の動向については繁桝 (1990)を 参照 されたい.

数量化理論 の応用研 究 は多数 あるが, ここで は,国 際デー タの比 較研究 に数量化理論 を適用した Hayashi et al.(1984)お よび Hayashi et al.(1992)を 挙 げてお く.

4.多 重配列デー タの分析法
同一 変量 ,同 一被験者 による複数回繰 り返 し測定 データのよ うな 3次 元の多変量 デー タに関する研究 としては,Tucker(1966)に よる三相因子分析法,先 に示 した多次元的尺度法 にお ける個人差 MDS,Takane&Young(1977)に よる ALSCALが ある.

タ ッカー の方法か ら派生 した ものにはさ まざまな ものが あ るが そのひ とつ に Kr00nenberg&deLeeuw(1980)に よる Tucker 2, 村上 (Murakami(1983), 村上 (1990)), ten Berge(1987),KroOnenberg&ten Berge(1989)に よる三小日の主成分分析の方法がある.なお,同 一変数 を複数 の集団 に適用 して得 られ る多変量 デー タの主成分分析 とその関連手法 につ

et al。

いての記述 が成書 (Flury(1988))と して出版 されている
また,質 的 データの解析 に も高次元 のデー タが利用 され る.3つ の項 目の 3元 分割表 デー タ.

が与 えられて い る場合,そ れぞれの項 目のカテ ゴ リ間 の関連 が強 くなるような数量化の方法 に関 して は岩坪 (1975),多 重配列 デー タの特異値分解 に関 しては吉沢 (1975,1976)ら の先駆的研究 が ある.1970年 代 の後半 か ら 1980年 代 にか けて,こ の種 の研究 は多数み られ るよ うになった.Lastovicka(1981)は タ ッカー の 3相 因子分析 を拡張 して 4相 の主成分分析 を定 式化 した。
この研究 を拡 張 して,Kapteyn et al。 (1986)は multimOde cOmponent analysisを定式化 した.こ の研究 において表われ る π重配列 デー タ如 ′2‑ブ ″に関 してク ロネ ッカー積 による表現 を与
えてお り,多 重配列 デー タの表現 ,お よびその解析法の導入 にあた リクロネ ッカー積 が有効 となることが示唆 された。 また,同 種 の議論 は Kiers(1991)に おいて も展 開 されてい る.ク ロ
ネッカー積 を多変量 デー タ解析 に導入 した他 の研究 としては,数 人 の医師 が複数の患者 に して
対同一評定項 目の評定 を行 って得 られた多特性多方法相関係数行列 にクロネ ッカー積 によってモデル化 された仮説検証的因子分析 を適用 した研究 (BrOwne(1984))が ある。 なお,ク ロネ ッカー積 についての数学的詳細 について は,Magunus&Neudecker(1988)を 参照 されたい。
多重配列 データに関す るもうひ とつの研究方向 に,高 次元 データの rankを どの よ うに定義
するか とい う興 味深 い問題 が ある。Kruskal(1977,1989)は %1× π2× %3次 か らなる 3元 デー タ
行列 y=(ク ″た)の rankを

多変量解析 の現状 と展望

ε

α

ｂ

Ｒ﹁
ム
Ｈ

ｙ

が成立す る最小 のRに よって定義 した.こ の定義 は二 次元 の場合 の特異値分解 の定義 を内包するもので,多 重配列 デー タの rankと して 自然 な ものであ ろ う(こ の点 の記述 に関 しては,文 献[170]に 掲戴 されて い る今井・大西他論文 を参考 にした).付 言すれば,上 記 の 3次 元 デー タ分
解 モ デル は Harshman(1970)に よる Parafacモ デルに対応す るものである.な お,Parafac
モ デル の適用例 には Hayashi&Hayashi(1982),最 尤解 に基 づ くParafacモ デル の解法 について は Mayekawa(1987)が ある.

以上のようにい くつか の研究 はみ られるが多重配列デー タを解析する研究 はまだ端緒 につ い
たばか りである.Multiway dataに 関する国際集会 が 1988年 3月 にローマで開催 され,プ ロシ
ー デイ ングスが 出版 されている (Coppi&Bolaso,o(1989)).ま た,我 が国 においては,吉 沢
正 (筑 波大 )を 代表 とす る文部省科研費 による研究班 が 1989年 4月 か ら 3年 間 にわたって精力的 な研究 を続 け,そ の研究成果 の集大成 となる報告書 (吉 沢 (1992))を まとめてい る
.

5。

そ

の 他

多変量 デー タの解析 にあたって は,分 析結果 を大 きく左右す る少数の外れ値 の摘出,特 に多変量外れ値 (mult市 ariate outliel・ )の 摘出が不可欠 で ある。多変量外 れ値 の存在 を見 出す方法のひ とつ に,感 度分析 (sensitivity analysis)と 呼 ばれる ものがある.我 が国 において は田中豊による一連 の研究 (例 えば Tanaka&Tarumi(1986),Tanaka(1989),詳 し くは田中 (1992)
を参照 せ よ)が ある.ま た,書 物 として は Chattettee(1988)が 興味深 い.こ の本 では,重 回

帰分析 において各種 の診断法 としての各種偏 回帰 プ ロ ッ トの方法 が紹介 されて い る.こ の ような手法 に基 づいて検証 され る外れ値や,ク ラスター分析 にお けるデ ン ドログラムの表示 に関 しては,近 年 の コ ンピュー タによるグラフィカル接近法,す なわち,統 計的グラ フ ィックス (例えば,Cleveland(1987),後 藤他 (1988)を 参照)の 利用 が薦 め られている.統 計的 グラフ ィックスの著 しい発展 によって もた らされた多変量 デー タ解析 の もうひ とつの手法 に射影追跡(projectiOn pursuit)が 2ら る
射影追跡 とは多変量 デー タ行列Xに よって特徴 づ けられ るπ個の個体 の散 らば りの興 味深 い.

構造 を最 もよ く表わす部分空間 へ の射影 を求めるもので,そ の結果 をグラフ ィック端末 な どに表示す ることによ り,分 析 を行 う者 が実際 にその構造 を目で見 ることが可能 となる.こ れ までに示 した ところの多変量 データ解析 の全ての方法 をその特殊 の場合 として含 む もので あるが,通常の多変量 デー タ解析 の手法 で は把握 で きない構造 を探 る こ とが可能 となるよ うな様 々 な射影指標が考案 されてい る.射 影追跡 の原理 ,そ の応用 について は,Friedman&Tukey(1974),

Huber(1985),岩 崎 (1989,1990)等 を参照 されたい.な お,本 稿 で は触れなかった クラスタ
ー分析 については,統 計学辞典 (竹 内他 (1989))の Ⅲ‑6に おいて最近 の動向の的 な
確 解説 がなされてい る.な お,ク ラス ター分析 を含 む,分 類 (classincation)に 関す る種 々の方法の理論
的 および応用 的研究 は多 くの分野 に跨 が って行われてい る。1987年 7月 には第 1回 の国際分類学会 の会合が開 かれ,そ のプ ロ シー デイングス (BOck(1988))が 発行 されてい る。 また,ア メ
リカでは 1984年 に, J.of ClassiflcatiOnと い う雑誌 が干」
行 された
.

6。

多変量デー タ解析 の応用 およびソフ トウェァについて

これ までの各節 で概観 した多変量デー タ解析 の各種手法 は,1970年 代後半 か ら 1980年
代前
半 にか けてのデイスプレイ装置 を備 えたパ ー ソナル コンピューターの普及 お よび後述する各種

344

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻 第 3号 (増 刊号)1993

多変量解析 プログラムの普及 によ り,法 律学,政 治学 9経 済学、経営学 ,心 理学 ,教 育学 ,社会学 ,工 学、農学 ,人 類学,医 学 ,生 物学 ,看 護学 な どの行動科学 とよばれ る幅広 い分野 に於けるデー タ解析 の手法 として脚光 を浴 びるようになって きた.一 例 を挙 げよう.図 は 1970年 から 1985年 までの「 日本公衆衛 生誌 」 と「American J.of Epidemiology」 誌 における多変量解い析手法 の使用頻度 を示 した もので あ るが,1970年 代 か ら 80年 にか けて加速度的 に増加 してる ことがみて とれ る.同 様 な傾 向 は因子分析 が最 も使用 され る頻 度 の高 い心理学研究 ,教 育心理学研究 にもみ られ る (柳 井 。市川 (1985)).多 変量解析 に関 す る研究会 も各地 で開かれ,その成果 も多数出版 されて い る.大 学入試 セ ンター研究開発部 で 1986年 11月 か ら毎月開催 され
てい る多変量解析研究会 は,1993年 7月 で第 80回 を迎 えたが,第 36回 までの講演 内容 の一部
が柳井・ 岩坪・石塚 (1990)と して出版 された。 また,過 去 20年 にわたつて実施 されてい る日
本科学技術 連盟主催 の多変量解析研究会 の成果 も吉沢・ 芳賀 (1992)と して出版 されてい る
この著 には TQC(TOtal Quality Control,総 合的品質管理 )の 分野 における多変量解析 の適用事例 が多数紹介 されてい る
多変量 デー タ解析 に関す る各種手法 のソフ トウヱ ア として世界的 にみて最 も定評 があるの は.

.

SPSS,BMDP,SASと い ったアメ リカで開発 されたプ ログラムで あろう.SASに よる多変量解析 プ ログラムの利用 に関 して は,大 橋・ 市川 (1987)が 参考 となる.こ の他 に,我 が国 の研究
者 によって作成 された ものに,田 中・ 垂水・ 脇本 (1984)に 基 づ くプ ログラム,芳 賀 (1984)
による CDA,柳 井・高木 (1986),高 木 (1992)に 基 づ くプ ログラム (HALBAU),日 本科学
技術研修所 による JUSE‐ MAl,お よび JUSE/MDSAな どがあ り,そ れぞれ,多 くの研究領域で利用 されてい る
また,多 変量解析 お よび多変 量 デー タ解析 に関す る研究発表 は,日 本統計学会 ,日 本行動計
量学会 ,応 用統計学会 はもち ろんの こと,法 律 ,経 済,心 理 ,教 育 ,工 学,医 学等 の多数 の領域 で行 われてお り,そ の全貌 を明 らかにす る ことは困難 であるが,今 後 もます ます増加 の一途.

をた どるもの と期待 され る.し か し,研 究者 が 自分 の保有す るデー タに多変量デー タ解析 を適用す るにあたって,数 々の疑間 を持 ってい る ことが木下 (1992)に よって明 らかにされた.したがって,多 変量 デー タ解析 の利用者 が 自己の領域 に固有 のデータに多変量 デー タ解析 の各種
手法 を適切 に利用 で きるようさまざまな啓蒙的研究活動 がなされてい く必要 が あ ろう.そ のひ
とつの方向 としては,Gale(1986)に 示唆 され るような人工 知能的アプ ローチを多変量 デー タ
解析 のプ ログラムに採 り入れ る ことで あろう.中 野他 (1991)は 知識 ベ ース型重回帰分析支援
プ ログラム を開発 してい るが,他 の多変量 デー タ解析 の手法 にも人工知能的アプ ロー チが採 り
入れ られてい くことが望 まれ る.

なお,第 1部 の多変量推測論 と,第 2部 の多変量 デー タ解析 は独立 に開発 された ものではな
く,相 互 に関連 を持 ちなが ら発展 して きた ものである.こ の点 に関 し,Rao(1983)と 竹村 (1987)の総説 は有益である ことを指摘 してお く.

謝辞 :複 数 の審査員 お よび丘本 正氏 (追 手門学院大学教授 ),市 川雅教氏 (東 京外国語大学助教
授 )か らは最初 の原稿 に対 して有益 な多数 の コメン トを頂 きました.こ こに記 して謝意 を表 します.

多変量解析 の現状 と展望(%)
一―一 日本公衆衛生雑誌‐――――Aner3Can 工 0/Eρ :denJο ιοgy1971 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

8485(年 )図 「 日本公衆衛生雑誌」 と「 American J.of Epidemiology」 にお ける多変量 デー タ解析 の技法 を用 い た
論文 の割合(雑 誌 「Basic数 学」現代数学社 (1987年 3月 号 ,柳 井 0高 本論文 )よ り転載 )

参

考

文

献

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θ
.Sι θ
θηグ

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おИじψι
iCα ″
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日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

generalization of correspondence analysis,Psyι

第 3号 (増 刊号 )1993

力θ夕
ηι
力
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22ι ′
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ο″ちmode data by

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ヵィカ
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348

第 22巻

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349

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′
ヵ

̲

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ttι

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350

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

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啓編

東京大

社会科学 の計量分析

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カ‐
リ
λθπι

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ι
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夕
22θ ′
π々
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θ
ノ
協υあ件

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tors,の グ[162] Yanal,H.&Mukheriee,B.N.(1987)A generalized method of image analysis from an intercor‐′″力
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′
analysis,P勢c力 θπθ351

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ttω γ4な θιπ &[166]Yanai,H.&Takane,Y.(1992)Canonical correlation with linear constraints,ι
′
お ИじψttCa″ οηs 176,75‑89.

[167]Yanai,H.&Puntanen,S.(1993)Partial canonical correlation assOciated with symmetricreflexive generalized inverses of the dispersion inatrix,Mα あβJれ κ θ′α16Eの S滋″sttca′ Sacπ casαηグ 助 ″ 4%α ι sメ fb″ れ邸 グ 厖θ ツをグ
〃 乃ε
ゲε五%α S″ 麻洗 Cθ %ル ππι 庵 〕シ ″物α′づοηα′
物 bι お力θ,等 多 お′Ne′ 姦7γ ιαηグリ (in press).
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正 (1976)交 互 作用概念 の一 般化 と多重配列 の特異値分解 ,行 動計量学 ,4,1,32‑43.
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多 変 量 解 析 に 関 す る専 門書 とプ ロシ ー デ ィ ン グ ス
藤 越 康 祝 0柳 井 晴 夫

最 近 ,多 変 量 解 析 の理 論 と応 用 は著 し く発 展 して い る.こ れ に伴 って , この 方 面 の
書 物 の発刊 が 増 カロし,と くに ,1970年 代 に は加 速 度 的 な 増 カロが あ り,ま た ,1980年 以
降 も引 き続 き多 くの 書 物 が 発 刊 され て い る.こ の 増 加 は多 変 量 解 析 の 個 々 分 野 に お い て,そ れ ぞ れ 独 立 した専 門
書 が 発 刊 され る よ うに な っ た こ とに よ る もの で あ る.こ の 第 lII部 にお い て は,多 変 量 解 析 に 関
す る専 門 書 とプ ロ シー デ ィ ン グ ス を リス トして い る.専 門 書 は全 般 的 な もの と分 野 別 の もの とに分 け,後 者 は分 野 毎 に分 類 して い る.な お ,プ ロ シー デ ィ ン グ ス ので
中 ,本 の 色 彩 が 強 い もの は専 門 書 と して 扱 っ て い る.
専門書(1)全 般塩谷 実,浅 野長一郎 (1966).多 変量解析論,共 立出版
伊藤孝― (1969).多 変量解析 の理論,培 風館
竹内 啓,柳 井晴夫 (1972).多 変量解析 の基礎,東 洋経済新報社
河口至商 (1973).多 変量解析入門 I,森 北出版.
後藤昌司 (1973)。 多変量データの解析法,科 学情報社
芝 祐順 (1975).行 動科学 にお ける相関分析法 (第 2版 ),東 大出版会。 (初 版 1967).
奥野忠一他 (1976).続 多変量解析法,日 科技連出版。
河口至商 (1978).多 変量解析入門 H,森 北出版
奥野忠一他 (1981).多 変量解析法 (第 2版 ),日 科技連出版。 (初 版 1971)。
田中 豊,脇 本和昌 (1983).多 変量統計解析法,現 代数学社
田中 豊,垂 水共之,脇 本和昌 (1984).パ ソコン統計解析ハ ン ドブ ックH―
多変量解析編,共 立出版
柳井晴夫,高 根芳雄 (1985).新 版多変量解析法,朝 倉書店。 (初 版 1976)。
柳井晴夫,高 木広文編 (1986).多 変量解析 ハ ン ドブック,現 代数学社
鈴木雪夫,竹 内 啓編 (1987).社 会科学 の計量分析―多変量解析 の理論 と応用―,東 大出版会。
鷲尾泰俊,大 橋靖雄 (1989).多 次元データの解析,岩 波書店。
柳井晴夫,岩 坪秀―,石 塚智一編 (1990).人 間行動の計量分析―多変量解析の理 と論 応用―,東 大出版会
塩谷 実 (199o).多 変量解析概論,朝 倉書店。
竹村彰通 (1991).多 変量推測統計の基礎,共 立出版。
Rao,C.R.(1952). Advanced statistical MethOds in BiOmetric Research,JOhn wiley&Sons.
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352

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第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993

析入門 一生物学 を題材 にして一 ,共 立 出版 ).

昭二 ,竹 並輝之訳 (1972).

Kendall,M.G.(1968).A Course in Multivariate Analysis,Charles Grittn(浦多変 量解析 の基礎 ,サ イエ ンス社 ).

Delnpster,A.P.(1969).Elements of Continuous

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