Steinberg のテンソル積定理について
Taiki Shibata
2023 年 04 月 04 日
概要
正標数の代数群の表現論は独特のむずかしさがある．Steinberg のテンソル積定理は，特殊なウェイトに着目すれば大体大丈夫という主張である．本稿ではハイパー代数を用いたその証明を与える．

目次
1

G の既約表現

2

2

絶対既約性

3

3

フロベニウス核5

3.1

定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2

既約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

ハイパー代数の作用

75

Steinberg のテンソル積定理9

本稿を通して基礎体 k は char(k) 6= 2 をみたすものとし，フロベニウス核の話を扱うときは，kは正標数 p := char(k) > 2 かつ完全体である（これはフロベニウス写像で p 乗を考えるときに必要）としておく．
扱う代数群のクラスは（Z 上定義された）連結・分裂簡約代数群（スキーム） G である．このG には分裂極大トーラス T が存在しており，その指標群 X(T ) = Hom(T, Gm ) は G のランクをℓ とかくとき Zℓ と同型である．ここで Gm は一次元の乗法群スキーム．
付随するルート系 4 に順序を任意に入れ

4 = 4+ t 4 −with− 4+ := {−α | α ∈ 4+ } = 4−とちょうど半分半分に非交和に分解しておく．この分解に伴って構成される正・負のボレル部分群
をそれぞれ B + , B − と書いておく．また，体拡大 k′ /k に対して，Gk′ を G の係数拡大とする．
すなわち O(Gk′ ) = O(G) ⊗ k′ とする．

1

1 G の既約表現
任意に λ ∈ X(T ) をとり固定する．このときにできる T の 1 次元表現を kλ とかいておく．これは自然な全射 B − → T によって B − の 1 次元既約表現となるが，さらに B − がユニポテント
群と T とで構成されていることに注意すると，この誘導された kλ たちが B − の既約表現をすべて尽くしていることが分かる．
言葉として G の表現 := 左 G-加群（= 右 O(G)-余加群）ということにする．するとこの B −の既約表現 kλ から G の表現が次のようにして誘導される：
0λλ
HG(λ) := indG
B − (k ) := k □O(B − ) O(G).

ただし，コテンサ―に出てくる O(G) は B − の G への自然な積で左 O(B − )-余加群とみている．
群の積から誘導される B − × B + → G の像が “稠密” である（代数的にいえば対応する

O(G) → O(B − ) ⊗ O(B + ) が単射である）ことから次が従う（例えば [Jan, Part II, Cor. 2.3] を参照）．
定理 1.1.
00
もし HG(λ) 6= 0 ならば，その G-socle である LG (λ) := socG (HG(λ)) は，最高ウェイトが λの G の既約表現である．さらに LG (λ) の λ-ウェイト空間は LG (λ)λ = kλ である．
さらにこれらが G の既約表現全体を尽くしていることも知られている．つまり0
X(T )+ := {λ ∈ X(T ) | HG(λ) 6= 0} −→ {G の既約表現 }/ ∼=;λ 7−→ LG (λ)(1.1)

は全単射である．
さて，証明したい Steinberg のテンソル積定理とは，大雑把に言って「ウェイト λ ∈ X(T )+ のある種の “p-進展開” に即して LG (λ) もテンソル積に分解される」という主張である（正確な主張
は定理 5.5 参照）．この分解によって，指標が計算できたり，考察対象のウェイトを絞ることができたりする．
注意 1.2.
標数 p の可換環上での二項係数の計算テクニックとして，次の公式はよく知られている（Lucas の定理と呼ばれるそう）．非負整数 a, b ⩾ 0 に関して，いずれもを p-進展開して

a = a0 + pa1 + · · · + pm am , b = b0 + pb1 + · · · + pm bm と表示するとき次が成立：( )( )( )
( )
a
a0
a1
am
≡
···
(mod p).
bb0
b1
bm
気持ちとしては Steinberg のテンソル積定理はこのような感じの分解を言っている．

2

(1.2)

2 絶対既約性
代数群の既約表現 LG (λ) の構成は基礎体 k を固定してなされたが，実はこれらは k の任意の拡大体上でも既約，すなわち絶対既約であることがいえる．このセクションではこの事実を証明す
る（系 2.7）．現状の Steinberg のテンソル積定理の証明では，いちど代数閉体を経由する必要があり，この絶対既約性が key になる．
もし k が代数閉体ならば，いわゆるシューアの補題より EndG (LG (λ)) ∼= k であることはよいのであった．実は代数閉でなくても，代数群の場合はこれは言えている：
命題 2.1.
各 λ ∈ X(T )+ に対して，EndG (LG (λ)) ∼= k.

Proof. 一般にフロベニウス相互律から「任意の G 表現 V と，任意の B − 表現 M に対して，
同型 HomG (V, indG− (M )) ∼= HomB − (resG− (V ), M ) が成立」していることに注意する．ここでB

resG
B − (V ) := V

は包含 B

B

−

⊂ G による自然な作用の制限．このことから，

0EndG (LG (λ)) = HomG (LG (λ), LG (λ)) ⊂ HomG (LG (λ), HG(λ))λ∼= HomB − (LG (λ), k ) (∵ フロベニウス相互律)⊂ HomT (LG (λ), kλ )= HomT (LG (λ)λ , kλ )= HomT (kλ , kλ ) ∼= k.
一方で，もちろん id ∈ EndG (LG (λ)) であるから主張が従う．
さらに議論を続けるために，以下で環上の加群の一般論からの準備をする（[Jan, Mil] なども同様）．次は Jacobson density theorem （の一部）と呼ばれる標準的な結果であり，証明はややテ
クニカルなのでここでは与えない（例えば [山崎, p.501] を参照）：
事実 2.2.
（可換とは限らない）k-代数 A をとり固定する．半単純 A-加群 M について．その反対加群

M op が有限生成ならば，
Image(ρM : A → Endk (M )) = EndD (M ),D := EndA (M ).

(2.1)

ここで ρM : A → Endk (M ) は作用から誘導される射．特に，D = EndA (M ) ∼= k ならば ρM
は全射．
次の補題もややテクニカルだが良く知られている：
補題 2.3.
（可換とは限らない）k-代数 A と，A-加群 M 6= 0 について．作用の射 ρM : A → Endk (M )3

が全射ならば，M は単純 A-加群であり，さらに M は絶対既約．

Proof. まず M は単純 Endk (M )-加群である．実際，任意に 0 6= v ∈ M をとり固定すると
き M = Endk (M ).v := {f (v) | f ∈ Endk (M )} がいえたらよい．任意の m ∈ M に対して，

f : M → M として f (v) = m をみたすような k-線型写像を作ることが（基底を延長することで）可能なのでよろしい．
一方で，全射性の仮定から Endk (M ) ∼= A/Ker(ρM ) となるので，上記の議論から M は

A/Ker(ρM )-加群として単純，つまり A-加群として単純である．
任意の体拡大 k′ /k に対して，M ⊗ k′ の構造射は(ρM )k′ : A ⊗ k′ → Endk (M ) ⊗ k′ ∼= Endk′ (M ⊗ k′ )なので，仮定からこれはまた全射．よって上記の議論を再び使うことにより，M ⊗ k′ は単純A ⊗ k′ -加群．
これらの事実 2.2 と補題 2.3 を合わせれば，絶対既約性の分かりやすい判定方法を得る：
命題 2.4.
（可換とは限らない）k-代数 A と，有限次元の既約 A-加群 L について．もし EndA (L) ∼=kな
らば，L は絶対既約．
この準備の下，代数群の既約表現の絶対既約性を示すことができる．その前に，準備では代数の加群の話だったので，代数群スキームの表現（余加群）との関連を明確にしておかねばならない．
一般に（適当な良い）リー群 G の表現が，そのリー代数 Lie(G) の普遍包絡環 U (Lie(G))の可積分表現と対応してるという事実を思い出す．実は（適当な良い）代数群スキーム G のカテゴリーでも同様の枠組みがあり，この場合は U (Lie(G)) の代わりとして，ハイパー代数

hy(G) (⊂ O(G)∗ ) と呼ばれる余可換ホップ代数が用いられる（定義や性質，各種 “利用” 方法など
は [Tak1, Tak2, Tak3] を参照）．ここで O(G) は G に対応する可換ホップ代数．基礎体が標数ゼロの場合は U (Lie(G)) = hy(G) となっており，いまのところ正標数でも上手く機能するような普遍包絡環のある種の reﬁnement という認識で十分である．
さて，G の表現は局所有限（余加群を考える）でありさらに T -ウェイト分解があるが，一般のhy(G)-加群はこれらの性質をみたすことはない．実はこれらの性質を持つようなよいものに制限することにより，次が成立することが知られている．例えば [Jan, Part II, Section 1.20] に詳しい
（ただし，この本の中では hy(G) は Dist(G) と書かれ distribution と呼ばれている）．
事実 2.5.
任意の G 表現 V に対して，次の作用で V には左 hy(G)-加群構造が入る：

u.v :=∑

vi ⊗ u(ai ),u ∈ hy(G), v ∈ V.

i

ここで v 7→∑i v i ⊗ ai は Vの右 O(G)-余加群構造．この対応で，G 表現の圏と，局所有限な4

良い T -ウェイト分解をもつ hy(G)-加群の圏は圏同値になる．
この同値性とこれまでの加群の議論を合わせることにより，次の結果を得る：
定理 2.6.
任意の λ ∈ X(T )+ に対して，LG (λ) は絶対既約である．すなわち任意の体拡大 k′ /k に対して，LG (λ) ⊗ k′ は Gk′ の既約表現である．

Proof. まず既約表現 LG (λ) が有限次元である（余加群の一般論より）ことに注意する．次に事
実 2.5 からEndhy(G) (LG (λ)) = EndG (LG (λ)) = k(∵ 命題 2.1)と分かる．従って，命題 2.4 から主張が従う．
系として次を得る：
系 2.7.
任意の G 表現 M について．任意の体拡大 k′ /k に対して，「M は G 加群として半単純 ⇐⇒M ⊗ k′ は Gk′ 加群として半単純」．
注意 2.8.
上記の議論では，環の加群の一般論を用いるという手法をとることで LG (λ) の中身に触れずに定理 2.6 を示した．これを加群論を用いず LG (λ) の具体性から直接証明しようとしても，ウェ
イトがとこまで伸びているかなど既約表現の構造が不明なので難しい．

3 フロベニウス核
正標数の表現論を展開するにあたり，G の特別な閉部分群であるフロベニウス核が重要な役割を果たすのであった．ここではフロベニウス核の定義や性質についてまとめる．

3.1 定義非負整数 r をとり固定する．可換代数 R に対して，R(r) を，環としては R(r) = R でありスカラー倍が c.a := cp−ra (c ∈ k, a ∈ R) で与えられているものとする．この記号のもとでG(r) (R) := G(R(r) ) とおき，射 FrrG : G → G(r) を
FrrG (R) : G(R) −→ G(r) (R) = Alg(O(G), R(r) );r

g 7−→ (a 7→ g(ap ))で定義する．ここで O(G) は G に対応する可換ホップ代数であり，Alg(O(G), R) は O(G) から

R への代数射全体．

5

定義 3.1.
核 Gr := Ker(FrrG ) を G の r-フロベニウス核 (Frobenius kernel) という．
定義からこれは有限かつ正規閉部分群であり，フィルトレーション G1 ⊂ G2 ⊂ · · · → G が入っており，O(Gr ) = O(G)/mG となっている．ここで mG := Ker(ε : O(G) → k; g 7→ g(1)) はpr

O(G) の余単位の核であり，いわゆる augmentation イデアルである．
フロベニウス核による作用の引き戻しを考えることができる．いま G 表現 V （右 O(G)-余加群）に対して，FrrG : G → G により作用を捻った G 表現 V を，区別のために V [r] と書くことにする．具体的には，V の右 O(G)-余加群構造を v 7→∑

i vi ⊗ ai と表示すれば，V余加群構造はV [r] −→ V [r] ⊗ O(G);

v 7−→

∑

vi ⊗ api[r]の右 O(G)-riで与えられる．
もし G 表現 M 上にフロベニウス核 Gr が自明に作用している場合，M は自然に G/Gr 表現とみなすことができ，（余）構造射は M → M ⊗ O(G) → M ⊗ O(G/Gr ) となる．いま構成からrr
O(G/Gr ) ∼= {ap ∈ O(G) | a ∈ O(G)} なので，M の（余）構造射は M → M ⊗ O(G)p とみな∑してよい．そこで M のオリジナルの左 O(G)-余加群構造を m 7→ i mi ⊗ ai と表示するとき，

M には新しい左 O(G)-余加群構造
M −→ M ⊗ O(G);

m 7−→

∑

mi ⊗ aip−riが入ることが分かる．これを M [−r] と書くことにすると，記号的に (M [−r] )[r] = M が成立する
ことに注意する．

3.2 既約表現
次にフロベニウス核 Gr の既約表現に関してまとめる．まずスキームの “共通部分” を考えることにより Tr := T ∩ Gr , Br± := B ± ∩ Gr という Gr の良い部分群たちを得る．これらを用いると，

G の場合と全く同様に（稠密な big cell がとれる）して Tr の既約表現 kλ (λ ∈ X(T )) たちから
Gr の既約表現 LGr (λ) たちを作ることができる．ただしこの場合は，Gr が有限であることからrindG(kλ ) = kλ □O(Br− ) O(Gr ) ∼= kλ ⊗ O(Ur+ ) 6= 0B−rであることが従う．ここで Ur+ は B + のユニポテント・ラジカル U + の Gr への制限である．
r

さらに作用の入れ方から kλ+p µ = kλ (λ, µ ∈ X(T )) であることに注意すると，X(Tr ) ∼= X(T )/pr X(T ) −→ {Gr の既約表現 }/ ∼=;λ 7−→ LGr (λ)

は全単射であると分かる．特に λ, µ ∈ X(T ) に対して，LGr (λ + pr µ) = LGr (λ) が成立する．

6

さて，各 λ ∈ X(T ) に対して，

MGr (λ) := hy(Gr ) ⊗hy(Br+ ) kλとかいておく．もちろんこれは Gr 表現になている（例えば事実 2.5 の Gr 版を考えればよい）．
この MGr (λ) は Gr の場合の Verma 加群ということで，baby Verma とよく呼ばれており，PBW 型定理（セクション 4 参照）から
dim(MGr (λ)) = pr·#△+と有限次元であることがわかる（#4+ = #4− にも注意する）．リー代数のときと同様にして，ラジカルで割ったものがちゃんと既約表現になっている：
命題 3.2.

()

各 λ ∈ X(T ) について，Gr 表現として MGr (λ)/rad MGr (λ) ∼= LGr (λ) が成立．
r(kλ ) の部分表現である LGr (λ) の最高ウェイトは λ であるか
Proof. 標準的な議論により indG
B−r

ら，HomBr+ (kλ , LGr (λ)) 6= 0 である．するとフロベニウス相互律から()
HomGr MGr (λ), LGr (λ) = HomBr+ (kλ , LGr (λ)) 6= 0()

とわかる．従って 0 6= ∃φ ∈ HomGr MGr (λ), LGr (λ) がとれる．いま LGr (λ) は Gr の既約表
現なので φ は全射である．

()

もちろん MGr (λ) は有限次元なので，MGr (λ)/rad MGr (λ) は半単純であることに注意する．
さらに indGr− (kλ ) が単純 socle を持つことと，線型双対がBr∃µ ∈ X(T )

s.t.

r
r
(kλ )∗ ∼(kµ−λ )
indG
= indGB−
B−rrであることより（具体的には [Jan, Part I, Corollary 8.18] から µ = (pr − 1)

(

∑

)

α∈△+ α で与えられる），MGr (λ)/rad MGr (λ) は単純であることが示される．
他方で，ラジカルの最小性より rad(MGr (λ)) ⊂ Ker(φ) だから，経由して()
MGr (λ)/rad MGr (λ) −→−→ MGr (λ)/Ker(φ) ∼= LGr (λ)
を得るが，最左辺は単純よりこれは全単射でなければならない．

4 ハイパー代数の作用
いままではハイパー代数 hy(G) の具体性はほぼ使わなかったが，ここではハイパー代数の既約表現たちへの具体的な作用をみていく．そのためにまずリー代数 Lie(G) ⊃ Lie(T ) の基底（具体的には Chevalley 基底のようなキレイな Z-基底）を {Xα ∈ Lie(G)α | α ∈ 4} t {Hi ∈ Lie(T ) | 1 ⩽i ⩽ ℓ} と表示しておく．このとき hy(G) の基底は
7

(n)

Xα

∈ hy(G) (α ∈ 4, n ∈ Z⩾0 ) &(H i )m∈ hy(T ) (1 ⩽ i ⩽ ℓ, m ∈ Z⩾0 )(n)たちからなる PBW-like な単項式たちで与えられる（例えば [Tak3] 参照）．ここで Xα

や

(Hi )
m

はいわゆる divided powers であり，以下の関係式が成り立つ：∆hy(G) (Xα(n) ) =∑Xα(i) ⊗ Xα(j) ,

(4.1)

i+j=n

(

)
m+n
Xα(n+m) ,n()
min{n,m}∑(m−i) Hα − m − n + 2i(n) (m)Xα X−α =X−αXα(n−i) .
i
i=0Xα(n) Xα(m) =

(4.2)
(4.3)

ここで Hα := [Xα , X−α ] とおいており，∆hy(G) は hy(G) の余積．これは自然なペアリング

h , i : X(T ) × X(T )∨ := Hom(Gm , T ) −→ kに対して，λ(Hα ) = hλ, α∨ i をみたしている（α∨ は α の双対ルート，つまり hα, α∨ i = 2 をみたすもの）．
またフロベニウス核 Gr のハイパー代数 hy(Gr ) の基底は(n)Xα∈ hy(G) (α ∈ 4, 0 ⩽ n ⩽ pr − 1) &(H i )m∈ hy(T ) (1 ⩽ i ⩽ ℓ, 0 ⩽ m ⩽ pr − 1)

たちからなる PBW-like な単項式たちで与えられる．
以下で，4 = 4+ t 4− の（順序から定まる）単純ルート全体をひとつとり Φ (⊂ 4+ ) と書くことにする．
補題 4.1.
任意の λ ∈ X(T ) と α ∈ Ψ をとり固定する．このとき任意の n ⩾ hλ, α∨ i + 1 に対して，(n)X−α .LG (λ)λ = 0 となる．
(n)

Proof. まず一次元なので基底を LG (λ)λ = kv λ と表示しておく．いま w := X−α .v λ とおくとき，主張をいうには w が最高ウェイトベクトルであればよい（実際，そうではないとすると LG (λ) の非自明な部分加群が存在することになり矛盾する）．つまり任意の β ∈ 4+ と m ∈ Z⩾0 に対し
(m)

て，Xβ

.w = 0 であればよい．
(n)

(m)

もし β 6= α であれば，X−α と Xβは可換である（例えば [Tak3, Proposition 2.3]）から(m)
Xβ .w = 0 が容易に従う．つぎに β = α の場合．交換法則 (4.3) から n ⩾ m と仮定すれば((n−m)
Xα(m) .w = X−α)λ(Hα ) + m − n.v λmとなる．しかし仮定から n は λ(Hα ) = hλ, α∨ i より大きいため，これはゼロでなくてはならない．
(m)

従って，この場合でも Xβ.w = 0 を得る．

記号としてXr (T )+ := {λ ∈ X(T )+ | ∀α ∈ Φ, hλ, α∨ i < pr }
8

(4.4)

とかいておく．
補題 4.2.
任意の λ ∈ Xr (T )+ に対して，LG (λ) = hy(Gr ).LG (λ)λ .

Proof. もし M := hy(Gr ).LG (λ)λ が G 表現であること，もっと hy(G) の作用で閉じていること（事実 2.5 参照）が言えれば，単純性から主張が従う．いま任意の x ∈ hy(G), u ∈ hy(Gr )に対して，Sweedler 記法 ∆hy(G) (x) =∑∑x(1) ⊗ x(2) と，ハイパー代数の交換子積 [x, y] :=x(1) y(1) S(x(2) )S(y(2) ) を用いたら（ここで S(−) は hy(G) のアンチポード）xu =∑x(1) u(1) S(x(2) )S(u(2) )u(3) x(3) =∑[x(1) , u(1) ]u(2) x(2)と書くことができる．さらに Gr は G の正規閉部分群であるから，[Tak1, Corollary 3.4.15] から[x(1) , u(1) ] ∈ hy(Gr ) となっている．
これらのこと（および (4.1)）から，M が hy(G)-stable であることをいうには∀x ∈ hy(U − ),x.LG (λ)λ ⊂ M(4.5)

をいえば十分である（hy(U + ) は自明に作用するから）．ここで U ± はボレル部分群 B ± の(n)

ユニポテント・ラジカルである．この設定で，hy(Gr ) の PBW 基底の形から x = X−α がα ∈ 4+ , n ⩽ pr − 1 の場合は，明らかに x.LG (λ)λ ⊂ hy(Gr ).LG (λ)λ = M なので (4.5)（の右の条件）はよい．
従って，x = X−α が α ∈ 4+ , n ⩾ pr の場合に (4.5) をいえばよい．いま hy(U − ) が負
(n)

(n)

の単純ルートたちの devided powers X−α (n ⩾ 0, α ∈ Φ) で代数として生成されていること[Tak3, Theorem 2.1] に注意すれば，α ∈ Φ のときに (4.5) がいえたらよい．いまの場合，仮定より hλ, α∨ i ⩽ pr − 1 ⩽ n − 1，すなわち hλ, α∨ i + 1 ⩽ n となっているため，補題 4.1 から

x.LG (λ)λ = 0 を得るので，この場合も (4.5) はよい．

5 Steinberg のテンソル積定理
任意の G 表現を，自然な包含 Gr ⊂ G によって自然に Gr 表現とみる．絶対既約性は次の主張の証明に本質的に用いられる：
命題 5.1.
各 λ ∈ X(T )+ に対して，G の既約表現 LG (λ) は，Gr の表現とみたとき半単純．

Proof. まず系 2.7 より k が代数閉体のときに主張を示せば十分なのでそう仮定する．任意に Gr -単純部分表現 S ⊂ LG (λ) をとる．このとき Gr の正規性から，∀g ∈ G(k) に対し

9

g.S := {g.s | s ∈ S} はまた単純 Gr 表現である．そこで
M :=

∑

g.S

(⊂ LG (λ))

g∈G(k)

を考えれば，これは自明に G(k) の表現である．また Gr の表現としては半単純になっている．
いま k は代数閉体であり G は reduced なのでG(k) の（抽象群としての）表現 ⇐⇒ G の（スキームとしての）表現(5.1)

であることに注意する（例えば [Jan, Part I, Section 2.8] を参照）．すると M は G の表現となる．従って，LG (λ) の既約性から M = LG (λ) でなくてはならず，結局 LG (λ) は半単純 Gr 表現になると分かった．
注意 5.2.
一旦 M のような既約たちの和を考えるところがポイント．しかし，そこに G の k-valued

points G(k) を使っている．さらに (5.1) のような対応を用いる必要がある．他にも以下に挙げる数パターンの証明方法があるが，知っている限りいずれも絶対既約性から代数閉体を一度経由している．

(1) G がシュヴァレー群で r = 1 のとき．初見では分かりにくいが Borel [Bor] が示している（最初は Curtis [Cur] によってなされたそう）．いわゆる inﬁnitesimally irreducibleの話のところ．証明の方針は (hy(G1 ) =) U [p] (LieG)-加群を通して，基底の（総）次数に関する帰納法と，基底どもの commutation rule 例えば，

Xα(n) .Xβ = Xβ .Xα(n) +n∑ci Xiα+β .Xα(n−i)(∃ci ∈ Z)

(5.2)

i=1

Xα(n) .X−α = X−α .Xα(n) + (Hα − (n − 1))Xα(n−1)(5.3)

を用いて示してる．

(2) G がシュヴァレー群で r が任意のとき．おそらく Humphreys [Hum] が最初に示したのだと思う．本質的なことは hy(Gr ) の代数としての構造（基底や関係式）を明確にしたこと．それ以外は Borel と全く同様の手法を取っている．
また，Donkin [Don] の博論ではホップ代数をかなり前面に押し出した表現論の研究がされており，とても現代風に様々なことが定式化されている．
制限ウェイト Xr (T )+ の定義 (4.4) を思い出しておく．次が key lemma となる：
補題 5.3.
任意の λ ∈ Xr (T )+ に対して，Gr 表現として LG (λ) ∼= LGr (λ).

10Proof. フロベニウスの相互律から
0 6= HomBr+ (kλ , LG (λ)) ∼= HomGr (MGr (λ), LG (λ))
が成り立っているから，Gr 表現の全射準同型

φ : MGr (λ) −→ hy(Gr ).LG (λ)λ ;u ⊗hy(Br+ ) v 7−→ u.v

を得る．
い ま ，像 は 補 題 4.2 か ら Image(φ) = LG (λ) と な っ て い る の で ，命 題 5.1 よ り 商

MGr (λ)/Ker(φ) ∼= LG (λ) は Gr 表 現 と し て 半 単 純 で あ る ．従 っ て ，ラ ジ カ ル の 性 質 か ら
rad(MGr (λ)) ⊂ Ker(φ) でなくてはならないので，
MGr (λ)/rad(MGr (λ)) −→−→ MGr (λ)/Ker(φ) ∼= LG (λ)となっている．一方で，命題 3.2 から MGr (λ)/rad(MGr (λ)) ∼= LGr (λ) であるので，上の射は全単射である．
命題 5.4.
任意の λ ∈ Xr (T )+ と µ ∈ X(T )+ with λ + pr µ ∈ X(T )+ に対して，G 表現としてLG (λ + pr µ) ∼= LG (λ) ⊗ LG (µ)[r] が成り立つ．
Proof. はじめに，先ほどの補題 5.3 から Gr 表現として LG (λ) ∼= LGr (λ) が成り立ち，LG (λ +rrp µ) ⊃ LGr (λ + p µ) ∼= LGr (λ) である．よって，()
H := HomGr LG (λ), LG (λ + pr µ) 6= 0とわかる．この H は共役作用で G 表現となる．すると次は G-加群射となる．

φ : H ⊗ LG (λ) −→ LG (λ + pr µ) ;f ⊗ v 7−→ f (v).

いま H 6= 0 だったので φ 6= 0 とわかり，単純性からこれは全射であることが従う．
こ れ が 全 単 射 で あ る こ と を い う た め に ，次 元 が 同 じ で あ る こ と を 示 す ．命 題 5.1 より L(λ + pr µ) は Gr 表 現 と し て 半 単 純 で あ る の で ，シ ュ ー ア の 補 題 よ り dim(H) ⩽()()
dim LG (λ + pr µ) /dim LG (λ) を得る．従って()()
dim(H ⊗ LG (λ)) = dim(H) · dim LG (λ) ⩽ dim LG (λ + pr µ)を得るので，φ の全射性からこれは一致．従って，次元が等しいので φ は全単射と分かった．
あとは H = LG (µ)[r] を示せばよい．既約表現は有限次元なので H = (H [−r] )[r] と書くことができる．従って，H [−r] ∼= LG (µ) であればよい．同型

H ⊗ LG (λ) ∼= LG (λ + pr µ)(5.4)

から H が既約であることが分かり，従って，制限表現の H [−r] もまた既約な G 表現．さらに，また同型 (5.4) から H の（最高）ウェイトは pr µ でなくてはならないと分かるので，ウェイトと既約表現の一対一対応 (1.1) より，結局 H [−r] ∼= LG (µ) と分かり主張は示された．

11この命題 5.4 と帰納法より，次の Steinberg のテンソル積定理を得る．
定理 5.5.
ウェイト λ ∈ X(T )+ を λ = λ0 + pλ1 + · · · + pm λm with λ0 , . . . , λm ∈ Xr=1 (T )+ と “p-進展開” して表示するとき，G 表現としてLG (λ) ∼= LG (λ0 ) ⊗ LG (λ1 )[1] ⊗ · · · ⊗ LG (λm )[m]が成立する．
特にこのとき両辺の指標をとればch(LG (λ)) =m∏ch(LG (λi )[i] )i=0を得るので，ウェイトが Xr=1 (T )+ のところを知れば全体のが分かる．もちろん定義から，

ch(V ) =∑λ cλ eλならば，ch(V [n] ) =∑λ cλ epn λであることに注意する．

参考文献[Bor] A. Borel, Properties and linear representations of Chevalley groups, (1970)[Cur] C. W. Curtis, Representations of Lie algebras of classical type with applications to linear
groups, (1960)[Don] S. Donkin, Problems in the Representations Theory of Algebraic Groups (PhD thesis),(1977)[Hum] J. E. Humphreys, On the hyperalgebra of a semisimple algebraic groups, (1977)[Jan] Jens Carsten Jantzen, Representations of algebraic groups, second ed., Mathematical
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2003.
[Mil] J. S. Milne, Algebraic groups. The theory of group schemes of ﬁnite types over a ﬁeld,
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[Tak1] Mitsuhiro Takeuchi, Tangent coalgebras and hyperalgebras. I, Japan. J. Math. 42(1974), 1–143.
[Tak2] Mitsuhiro Takeuchi, On coverings and hyperalgebras of aﬃne algebraic groups, Trans.
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[Tak3] Mitsuhiro Takeuchi, A hyperalgebraic proof of the isomorphism and isogeny theorems
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[山崎] 山崎圭次郎, 環と加群，岩波基礎数学選書 (1990).

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