開放量子系のリウビリアンの共鳴状態の厳密計算	 Exact Calculation of Resonant States of the Liouvillian of Open Quantum Systems（日本物理学会推薦）代表研究者	 	
 東京大学羽田野	  直道The University of TokyoNaomichi HATANO	 協同研究者	 	 バトラー大学オルドネス	  ゴンザロButler UniversityGonzalo ORDONEZ	 

大阪府立大学ガーモン	
  サバンナOsaka Prefectural UniversitySavannah GARMON

テキサス大学ペトロスキー	
  トミオUniversity of TexasTomio PETROSKYStudy of time evolution of open quantum system is of great importance to various fields of physics because ananodevice connected to leads of quantum wires as well as unstable nuclides are typical examples of open quantumsystems. We here analyze the time evolution of open quantum systems according to the Schrödinger equation andthe Liouville-von Neumann equation, which are fundamental equation governing the time evolution of quantumsystems. We first make clear that they can have time-reversal symmetry breaking solutions in spite of the fact thatthe equations themselves are time-reversal symmetric. We next show that, out of the time-reversal symmetrybreaking solutions, we always have decaying solutions when we solve the initial boundary condition problem ofthese first-order differential equations. We also develop a numerically rigorous method of finding the eigenvaluesof the time-reversal symmetry breaking solutions. The time-reversal symmetry breaking solutions of theLouville-von Neumann equation may explain the increase of the entropy in the level of microscopic description ofquantum dynamics.

研究目的	 現象です。トラップされている時間が共鳴現象の寿まず題名のキーワードについて説明します。開放命です。共鳴現象は量子状態の時間発展の過程で起量子系とは、一般に粒子の出入りがあるような量子こる現象なので、単純な場合には量子時間発展を記系です。例えば量子ドットのような微小な量子系に述する方程式であるシュレーディンガー方程式導線が接続され、そのさらに外側に巨視的な熱浴が接続されている系では、導線を通して熱浴から量子idψ (t) = H ψ (t)dt(1)ドットに粒子が入射し、量子的に散乱された粒子がを解くことによって説明できます。ここで H はハミ導線を通って熱浴に出て行きます。このような系はルトニアン、 ψ (t) は量子系の純粋状態です。

境界が開放されているために開放量子系と呼ばれます。開放量子系はナノデバイスのモデルとして非常に重要ですが、それだけではなく不安定核のモデルでもあります。安定原子核に放射線が入射して不安底核となり、やがてそれが崩壊して放射線が遠方に出て行くからです。
開放量子系では一般に共鳴現象が起こります。共鳴現象とは、例えば熱浴から入射した電子が量子ドットにトラップされ、ある時間を経てから出て行く	  シュレーディンガー方程式(1)の解は、それに対応する固有値問題H ϕ =Eϕ(2)の解である、ハミルトニアン H の固有状態を重ね合わせて得るのが簡単です。特に共鳴現象は、共鳴状態と反共鳴状態という固有状態の重ね合わせで表現されます。固有値問題(2)を、境界で粒子が外に流れ出すという境界条件で解いた解が共鳴状態、逆に境界で粒子が外から流入するという境界条件で解いた解が反共鳴状態です。ハミルトニアン H の共鳴状態と反共鳴状態を求めることは、シュレーディンガー方程式(1)の解である共鳴現象の記述のために重要なだけでなく、量子ドットの電気伝導特性を計算したり、不安定原子核の寿命を求めるために重要です。	  次にリウビリアンについて説明します。シュレーディンガー方程式(1)は純粋状態 ψ (t) の時間発展を記述する方程式です。しかし、量子系は一般には純粋状態をとるとは限らず、純粋状態が確率的に重ね合わされた状態である混合状態をとることもあります。例えば温度 T の平衡状態にある量子系は混合	  idρ (t) = L ρ (t)dt(7)となり、形式的にシュレーディンガー方程式(1)と同じ形に書けます。	  固有値問題(2)によって定義されたハミルトニアン H の共鳴状態と反共鳴状態の求め方についてはこれまでに多くの研究があります。それらを用いてシュレーディンガー方程式(1)の解である共鳴現象をどのように記述すればよいかも、おおよそがわかってきました。同様のことを混合状態についても行うのが本研究の目的です。つまり、固有値問題	 L ρ = zρ(8)	 状態にあります。混合状態は密度行列	 ρ (t) = ∑ cmn (t) ϕ m ϕ n(3)m,nで表されます。密度行列の時間発展を記述する方程式がリウビル・フォンノイマン方程式d	  iρ (t) = [ H, ρ ]dt[ H, ρ ] = H ρ − ρ H状態と反共鳴状態を適切に定義し、それによってリウビル・フォンノイマン方程式(7)の解である混合状態の共鳴現象を記述する手法を開発します。特に、共鳴状態と反共鳴状態を近似的に、あるいは現象論(4)的に導入するのではなく、厳密に、あるいは数値的厳密に求めるのが目的です。

です。ここで	 の解である、リウビリアン L の固有状態として共鳴	
 (5)研究経過	 開放量子系の多くの研究では、熱浴を具体的に与は交換関係です。えます。特に無数のボゾンの集合体として計算を進	  仮にヒルベルト空間が N 次元だとすると純粋状めるのが一般的です。それに対して本研究では、ラ態 ψ (t) は N 次元ベクトルで表現されますが、ハミンダウアー公式の考え方に基づいて、熱浴の代わりルトニアン H は N × N 行列で表現されます。したがってハミルトニアン H は N 次元ベクトルの純粋に無限に長い導線を用いるのが出発点です[1-9]。
そこで、ランダウアー公式について説明します。量子ドットが左右の導線を介して左右の熱浴とつな状態を別の N 次元ベクトルの純粋状態に射影するがっている開放量子系を考えます。左右の熱浴に電演算子であると言えます。それに対して混合状態位差をつけて量子ドットのコンダクタンス（抵抗のρ (t) は N × N 行列で表現されます。そのため交換逆数）を測定する状況を考えましょう。ランダウア関係(5)は N × N 行列を N × N 行列へ射影する写像ー公式によると、このコンダクタンスは、量子ドッとなりますが、それを超演算子と呼ぶことがありまトの左右の導線が無限遠方まで続いていると考えてす。とくに ρ を [H, ρ ] に射影する超演算子をリウビ量子的に散乱問題を計算することによって理論的にル演算子あるいはリウビリアンと呼び、 L と書きます。つまり
	 L ρ = [ H, ρ ]求められます。
そこには重要な考え方が潜んでいます。開放量子系において熱浴が果たす役割というのは、量子ドッ(6)トで散乱されてきた粒子を吸収し、平衡化し、量子的な情報を完全に奪ってから粒子を吐き出すというと書くことにします。するとリウビル・フォンノイというものです。言い換えれば、熱浴が吸収した粒マン方程式(4)は子と熱浴が吐き出す粒子の間には全く相関がありません。相関を失わせるのが熱浴の役割なのです。この熱浴の役割は半無限の導線で代用できます。

と連続散乱状態で構成されており、共鳴状態をとり半無限の導線においては、量子ドットで散乱されたいれるには連続散乱状態の積分路を変更しますが、粒子は無限遠方に去ったまま戻ってきません。一方必ず物理的意味のない背景積分が残ります。また反で無限遠方から入射する粒子は、彼方にあるはずの共鳴状態を同時に取り込むことができず、時間反転熱浴のフェルミ分布を反映していると仮定します。対称性を手で破ってしまうことになります。それに無限遠方に去る粒子と、無限遠方から入射する粒子対して我々が新たに発見した完全系には背景積分がの間に全く相関がないとすると、熱浴が接続されて存在せず、時間反転対称性も保っています。

いる場合とちょうど同じ状況が実現されます。	  この完全系を使って時間発展演算子 e−iHtを展開そこで本研究では熱浴を具体的に与えず、ランダした結果、 t > 0 においては自動的に共鳴状態のみウアー公式の精神に則って半無限の導線を考えます。

が寄与し、 t < 0 においては自動的に反共鳴状態のこれによって計算を大いに簡単化しているのが本研みが寄与することがわかりました。言い換えると次究の大きな特徴の一つです。

のようなことになります。シュレーディンガー方程以上の考察から、本研究ではタイトバインディン式(1)は時間の一階微分方程式なので、解を求めるにグ模型の量子散乱体にタイトバインディング模型の当たっては一つの境界条件を与えます。その境界条半無限導線が接続されている系を解析しました。ま件は初期条件か終末条件です。初期条件問題としてず純粋状態の時間発展を記述するシュレーディンガシュレーディンガー方程式(1)を解くと、自動的に共ー方程式(1)について、以下の成果を挙げました。

鳴状態のみが採用され、粒子が漏れ出して崩壊する第一に、固有値問題(2)の固有状態として得られる現象が現れます。逆に終末条件として解くと、自動共鳴状態と反共鳴状態の物理的意味づけを明確にし的に反共鳴状態のみが採用され、粒子が入射して励ました。系に磁場がない場合、シュレーディンガー起される現象が現れます。つまり、初期条件問題と方程式(1)は時間反転に関して対称になっています。

して解くか終末条件問題として解くかを選択する段しかし、その解である共鳴状態と反共鳴状態がそれ階で初めて時間反転対称性が破れることを明確にしぞれ時間反転対称性を破っていることを明確にしまました。

した。	  シュレーディンガー方程式(1)に対する以上の成共鳴状態と反共鳴状態はいずれも複素運動量と複果を踏まえ、リウビル・フォンノイマン方程式(7)に素エネルギーを持っています。共鳴状態は複素運動拡張したときに新しい現象が現れる場合を明確にし量の実部が正、複素エネルギーの虚部が負になってました。散乱体に粒子が存在すると同時に、その励おり、これは粒子がトラップから外に漏れ出して粒起エネルギーに等しいモードの輻射場が無数にある子数が減少すると解釈できます。逆に反共鳴状態の場合、リウビリアンの固有値問題(8)の解に、ハミル複素運動量の実部は負、複素エネルギーの虚部は正トニアンの固有値問題(2)の解の組み合わせでは書なので、粒子が外から入射して粒子数が増加するとけない非自明な解が現れることを明らかにしました。

解釈できます。それぞれの解は時間反転対称性を破例えばレーザー光の中に、それと共鳴する二準位をっていますが、共鳴状態と反共鳴状態は必ず組で現持つ原子が存在する場合がそれに当たります。定常れるので、解全体としては時間反転対称性を保って状態ではラビ振動が起こりますが、その定常状態におり、元の方程式が時間反転対称性を持っているこ向けての緩和は非自明な寿命を持つのです。

とと矛盾しません。	  最後に、リウビリアンの固有値問題を数値的厳密なお、共鳴状態も反共鳴状態も波動関数が遠方でに解く手法を開発しました。リウビリアンのグリー発散するために通常の規格化が行えず、多くの研究ン関数を定義し、その極を数値的に求めます。そので非物理的と見なされていました。しかしこの発散結果、上記の議論で非自明な解に相当する極を発見は粒子が最終的に遠方に逃げることを表しており、しました。

確率解釈が可能であることも示せます。	
 	  第二に、共鳴状態や反共鳴状態を含めた点スペク

考察	 トルを持つ状態のみで完全系を構成することに成功今後の展望について述べます。リウビリアンの固しました。開放量子系の完全系は、通常は束縛状態有値問題(8)の解である共鳴状態と反共鳴状態が求(2011) 1105—1115.

まったので、これを基にリウビル・フォンノイマン2.

方程式(7)の共鳴現象を議論します。

eigenvalues of the Liouvillian of an open quantum上に述べたように、シュレーディンガー方程式(1)の時間発展演算子 e−iHtsystem, International Journal of Theoretical Physicsについては、初期値問題を解50 (2011) 1134—1142.

くことによって崩壊する共鳴状態が自動的に採用されることを明らかにしました。同様のことを、リウビル・フォンノイマン方程式の時間発展演算子 eR. Nakano, N. Hatano, T. Petroksky: Nontrivial3.

−iLtK. Sasada, N. Hatano, G. Orodonz: Resonantspectrum analysis of the couductance of an openについても議論します。これによって密度行列 ρ (t)quantum system and three types of Fano parameter,の時間発展を解析できるようになります。

Journal of the Physical Society of Japan 80 (2011)104707 (27 pages).

これは統計物理学にとって大きな意味を持ってい4.

ます。密度行列を使ってエントロピーがS(t) = − Tr ρ (t)ln ρ (t)discrete(9)models:Methodologyandisolatedresonances, Journal of Chemical Physics 134 (2011)154111 (9 pages).

と表されるからです。初期値問題においては密度行列 ρ (t) の時間発展に必ず崩壊状態のみが採用されS. Klaiman, N. hatano: Resonance theory for5.

N. Hatano: Resonant states of open quantum systems,るのであれば、エントロピー(9)が必ず増大することProgress of Theoretical Physics Supplement 184を微視的に示せることになります。

(2010) 497—515.	  これは通常のエントロピー増大の議論と大きく異6.

N. Hatano, T. Kawamoto, J. Feinberg: Probabilisticなります。通常の議論では、エントロピーの大きいinterpretation of resonant states, Pramana Journal of状態は状態数が多く、したがってそこに落ち着く確Physics 73 (2009) 553—564.

率が高いとされます。この議論では、微視的な状態7.

S. Garmon, H. Nakamura. N. Hatano, T. Petrosky,変数を縮約して巨視的な変数のみを残すことによっTwo-channelてエントロピー増大が得られると結論していることimpurity: Role of the quasibound state in continuum,になります。ここで、微視的な変数を縮約する過程decay rate amplification, and the Fano effect, Phsicalにおいて時間反転対称性を手で破っていることに注Review B 80 (2009) 115318 (31 pages).

意が必要です。なぜなら、エントロピーなどの巨視8.

quantumwire

withanadatomN. Hatano, K. Sasada, H. Nakamura, T. Petrosky:的状態変数を指定しただけでは系の時間発展を過去Some properties of the resonant states in quantumへ遡れないからです。このことから、時間反転対称mechanics性の破れは状態変数の縮約が原因であるとする考えTheoretical Physics 119 (2008) 187—222.

が支配的になっています。

9.

anditscomputation,ProgressofK. Sasada, N. Hatano: Calculation of the self-energy	  一方、我々の議論は、微視的な時間発展の段階でof open quantum systems, Journal of the Physical既に時間反転対称性の破れた解が選ばれることを示Society of Japan 77 (2008) 025003 (2 pages).

唆しています。つまり、微視的変数を縮約せずに密度行列 ρ (t) の時間発展を正確に追っていてもエン研究の発表	 トロピーが増大する可能性があるのです。我々の議

口頭発表

論では密度行列 ρ (t) の時間発展を過去に遡れるの1.

N. Hatano: Exact solutions of complex eigenvalueが通常の議論との大きな違いです。この議論に成功problems of an open quantum-dot system, Invitedすれば統計物理学にとっての非常に大きな成果になtalk in “Complex Spectral Representation of theると考えています。

Hamiltonian and the Liouvillian in Nanoscience”	 (University of Texas at Austin, 2012 年 5 月 25 日)

参考文献	 1.

N. Hatano, G. Orodonez: Resonatn-state expansionof the Green’s function of open quantum systems,International Journal of Theoretical Physics 502.

N. Hatano: Complex Eigenvalue Problem of theHamiltonian and the Liouvillian of a Open QuantumDotSystem,Invited

talkin“Non-HermitianOperators in Quantum Physics” (Diderot University,3.

7. 羽田野直道：２次固有値問題による共鳴状態のParis, 2012 年 8 月 28 日)双直交基底の構成，一般講演，第 67 回日本物理N. Hatano: Complex eigenvalue problem of the学会秋季大会（徳島大学，2013 年 9 月 25 日）	 Liouvillian of an open quantum system, Invited talk8. 羽田野直道：開放量子系における時間反転対称in “Many-body Open Quantum Systems: From性の破れ，招待講演，物性理論研究会（神山温Atomic Nuclei to Quantum Optics” (ECT*, Trento,泉，徳島，2013 年 9 月 28 日）	 Italy, 2012 年 9 月 28 日)4.

N. Hatano: Complex eigenvalue problem of the

誌上発表Liouvillian of an open quantum dot system, Invited1.

resolution of unity without background integrals intalk in “Resonances and non-Hermitian systems inquantum mechanics” (京都大学基礎物理学研究所,open quantum systems (2013) arXiv.1405.6683.
2.

2012 年 12 月 13 日)resonant states, Fortschritte der Physik, 61 (2013)
1-27.

無近似で解く，一般講演，第 67 回日本物理学会6.

N. Hatano: Complete and bi-orthgonal basis forresonant states, Invited talk in “12th InternationalWorkshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians inQuantum Physics” (Koc University, Istanbul, 2013年 7 月 5 日)N. Hatano: Equivalence of the effective Hamiltonianapproach and the Siegert boundary condition for5. 羽田野直道：リウビリアンの複素固有値問題を秋季大会（横浜国立大学 2012 年 9 月 20 日）	 N. Hatano, G. Ordonez: Time-reversal symmetric3.

S. Garmon, I. Rotter, N. Hatano, D. Segal: Analysistechnique for exceptional points in open quantumsystems and QPT analogy for the appearance ofirreversibility, International Journal of TheoreticalPhysics, 51 (2012) 3536-3550.