●

ずTEX
鑿業訓受曰本技能教育開発センター

まえがき

受講者の皆さん，電験二種の受験を決意されたことに敬意を表します。

時あたかも電力の市場が自由化されつつあり，電気主任技術者の仕事を取りまく環境もいろいろ変化しつつありますが，周囲がどのように変化しても電気の安全を守り，安心して電気を扱えるようにするためには，電気技術をしっか
り自分のものにしておくことが大切なことはいささかも変わりありません。

この講座で扱ういろいろな科目は，いずれもその基本になる事柄であり，しっかり皆さんの身につけていただきたいと思います。執筆にあたられた諸先生は，

どなたもそれぞれの分野で長い経験と深い知識をもっておられる方々ですので，皆さんが本講座のテキストを十分に活用して立派な成果をあげられることを望
んでやみません。

電験二種受験合格講座の学習期間は6か月です。また，学習のスケジュールは，次のとおりです。まず，１か月目が「理論」，Ｚか月目が「電力」，３，４か月目
が「機械」，Ｓか月目が「法規」，最後の6か月目が「二次試験」という構成です。
したがって，この「理論」の学習期間はlか月です。

短期間で試験に合格するためには，過去の出題を研究し，出題傾向を把握し，効率よく学習することが必要です。

本講座のテキストは，次の点を配慮して編集しました。

１．学習をより効果的にするため，各章のはじめに学習上重要な事項を列挙した。また，本文中においては太字を用いて表示した。

２．短期間での学習であることを考慮し，電験三種の範囲と思われるものは簡単に扱い，学習内容の精選を図った゜

キルヒホッフの法則，インピーダンス，アドミタンス等の概念，また，
電力＝電圧×電流，有効電力および無効電力の関係など，基礎的な事項は三種で学んだものとし，解説を省略した。

３．学習の理解度が確認できるように例題を設けた。また，章末問題には，過去に出題された問題および類題を，電験に準拠してＡ問題，Ｂ問題に分けて配列した。

４．留意すべき事柄，誤りやすい箇所，式の展開が難解な部分などには，〔チェック〕あるいは〔テクニック〕という形でコメントをつけた。

５．単位系としては「計量法」に定められている計量単位のうち，国際単位系（sl）を用いた。

さて，皆ざんは，本テキストを用いて学習に取り組んでいくわけですが，自らの理解度をチェックしながら，学習を進めてください。また，学習上理解しにくい箇所については，質問券を活用してください。

なお，受講者の多くは電験三種の学習をされていると思いますので，学習方法は熟知のことと思いますが，あえて申し上げます。
・学習計画を立て，スケジュールに従って学習をすること。
・くり返し学習し，過去の電験問題をマスターすること。

最後に，本講座が皆さんの精進とあいまって，初期の目的が達成きれることの手助けになることを願うものであります。
2000年１月
監修者

関根泰次

ＣＯＮＴＥＮＴＳ

1章電気磁気理論－１

⑥

1．静電界
１２３４

１ＪＪ１

くくくく

1ilIUl i

クーロンの法ﾛⅢ……………………・…－４
電界…－－.…・・・……・……・………６

いろいろな電界の計算…………・……………１５段絶縁・……………………－－……・…２４

鰯
鯵１…

②

(1)

いろいろな静電容量の計算…………・…………２５(2)

電気影像法･………………………………２９(3)

静電エネルギー…・………………………３４(4)電位係数，容量係数，誘導係数・………………３６

④

3．誘電体

(1)誘電体と分極……－…………………..…３９(2)誘電体の境界条件………・……・………－４２
４．磁界

④

(1)

クーロンの法Ｈ１…．……．………………４３(2)磁界と磁位……………………．…………４３(3)電流による磁界………………………．……４７(4)

いろいろな磁界の計算……………．………４８(5)

電磁カー.．…・……－－．…………－．５４

５．電磁誘導④(1)ファラデーの法則…………………………５８(2)

磁界中を運動する導体に発生する起電力…．……５９(3)

回転するコイルに発生する起電力……．………６０

i liI i鰯殿

LlI li l④8．磁性体と磁気回路(2)磁性体の境界条件………………………………６４(3)磁気回路のオームの法則…・………………………６５⑮

7．インダクタンス
１１ｊｊ

⑲
⑭

磁性体………・……………………・…６２

ｕＣＧＵ

lil ij(1)

自己インダクタンスと相互インダクタンス・・・……６８

いろいろなインダクタンスの計算………・……７２

磁界に蓄えられるエネルギー……－…………７４
電磁石の吸引力……・～・…・…・…・－－…７５⑯8．電流と抵抗(1)オームの法則とジュールの法則………………７６(2)導体間の静電容量と抵抗の関係……………・…７９(3)いろいろな電極抵抗の計算………………－－．８０④

１章章末問題

2章電気回路理論－８９
１．基礎回路理論④

Ｄ勿幻の句の刀

くＩくくくくく

ベクトル記号法…・…－．．．－－…………９２

電力ベクトル……………－－－………９８

ベクトル軌跡……………………………－１００
相互インダクタンス回路………………………１０６
ブリッジ回路…・・・………．…．…………１１０

Ｙ－△変換………………………………１１３共振現象…………………．………………１１８

２．線形回路理論⑭

１２３４５６Ｊ１１１１Ｊ

くくくくくく重ねの理･…・・・・・・・・・…-...............１２４

テブナンの定理…・…………－………・…127

補償定理………………－…………－－．１２９
ミルマンの定理・・・…………………..……１３０

四端子定数…………………………・……１３３
Ｚパラメータ，Ｙパラメータ．．…・・・・・・・.・・・・・・・１４０

殿
鱒

④

３．三相回路理論
１２３

１１１

Ｉくく

不平衡三相回路……－－……………－１４９対称座標法………………・………………１５３三相回路電力……・…………………-.164⑬

４．上級回路理論(1)ひずみ波交流…・………・………………１６８(2)過渡現象……………－………………・１７２(3)分布定数回路一一……………………－１７９(4)進行波－－…..…………………・……１８４⑬

２章章末問題３章電子理論１．固体電子理論

i li lI i

鱒鰯

Ijl iIl

191⑭(1)固体電子理論の基礎………………………１９３(2)電子の放出………………………………１９７⑭

鯵
鱒ｉｆ鶉動.､--.-Ⅱ。

（２）磁界中の電子運動…………………………２００
3．電子回路理論

、

１２３４

１Ｊ１１

くくくく

増幅回路…・………………………－．．．２０２
発振回路…………………………………２１２変調回路………………………………－２１５パルス回路………………・…・…・……２１８

４．各種効果⑭

３章章末問題②

4章電気･電子計測－２２９③１．計測の基礎
１２３４５６

１Ｊ１Ｊ１Ｊ

くくくくくく測定法．…．………－……．………・…２３１
誤差とその種類…………………………231
アナログ計器とディジタル計器………・－．…２３３直動式指示電気計器の概要…………………－２３４直動式指示電気計器の動作原理………………２３６

指示電気計器の誤差補償一……………………２４０

2．分流器，倍率器および計器用変成器④(1)分流器－．…………．…………………・２４２(2)

倍率器…………………－……………２４２(3)計器用変成器…………………………２４２

３．特殊な電圧・電流の測定⑳(1)

衝撃電圧の測定……．－…………………・２４３(2)衝撃電流の測定…．…………………………２４４(3)

対称分の測定．………．．……………・…－２４５l li li噸､UiLl il鯵

4．電力・電力量の測定⑳(1)三相電力の測定………………・……・………２４７(2)電力量計・－…………－………………２４９５．回路素子の測定⑤(1)抵抗の測定………………………………２５１(2)Ｌ,Ｃの測定・……………………..……－２５２

８．電子計測、(1)ディジタルマルチメータ…・・・・…・…………２５４(2)オシロスコープ………………・……………254(3)波形観胴Ⅲ………………………………２５４(4)リサジュー図形………………………－２５６

４章章末問題⑳

章末問題の解答・解説

⑫

IＮＤＥＸ

⑳

蕊靭F1勤蕊■1iliiii謬蕊鍵蕊蕊蕊蕊蕊蕊蕊1蕊蕊

鱗蕊蟻蕊鱗i鍵:鍵
７１打B旬

｡!q＃

6ｃｄ,0,1.

蕊！
ロー－■ロ１F▲ｂｄ
ｐＬ■.Ⅱ

1．電気に関するクーロンの法則

Ｆ=±Q雲，〔N〕
2．電界の強さ

Ｅ=両ﾆｱｰ鳥=そ〔V/m〕
3．電束密度、=鈴=囮=｡〔c/㎡〕
４．ガウスの定理
・マーク

、□凡。

ＬＥ昨几EcoS川s=LiihQ，
どノー1

5．電位

ｖ－に-2"=為〔v〕
部

6．電位の傾き

Ｅ=-幕〔V/m〕
7.平行平板電極間の電界と電位
J;目：

ＰＬＳＢ

V-I1LEdr=器〔V〕
8.均一に帯電している球体内部の電界
と電位
、､1百

Ｅ=万f呉ﾌｧ〔Wm］＿（3α２－γ2)Ｑ～、
Ｖ＝
〔Ｖ〕
津

⑤,q,

ア８元ｅａ３、､」

9.同心球導体の内外球間の電界と電位

Ｅ=万三７了〔V/m〕

ｖ=*+念(÷÷)〔v〕
鑿j(．

蝿：蟹へ

14．異径球導体間の電界と電位

所洗い
閃咄弘

Ｅ=島[v/m}三１
Ｅ＝ＥＡ＋ＥＢ

孟怯+万4万｝ 〔Ｖ/ｍ〕

V--IAE小=鎧(十六 +会一六）

α＞α，ｂのとき，

v=鎧(告十÷） 〔Ｖ〕
15．電気双極子による電界と電位鱗騨

Ⅳl l Il
灘Ｉ

ｉﾙｰ二等〔v〕
U;酷“

鰯．蕊〒蕊Ｂｉ；鞠・灘．::襟

７

醗肱蕊

瀞熱露霞騨！
`．↓,-半角:s~lY矛：,０－~;上

鞍Ｉ
蕊．
|識

Ｅｒ＝一

等三鰈〔V/m］
ナ：吾吾誤〔V/m〕

ＥＯ＝－－．－

鑿｣｛

B/1-平面~555面す
ＥＰ＝

〔Ｖ/ｍ〕

４７ｚＥγ３、ｻﾞﾉｭﾕﾕﾉ－１－①孤立した導体の場合，導体に電荷Ｑ〔c〕を与え，そのときの導体の電位ｖ蕊盈驚塾〔Ｖ〕を用い，Ｃ＝Ｑ/ｖ〔F〕で算出する。

②２個の導体間の場合，２導体間の電位差ＶＡＢ〔Ｖ〕を用い，Ｃ＝Ｑ/ＶＬｌＢ〔F〕で
算出する。

藤擬

'7.点電荷と平面導体表面の電界
Ｅ＝ｃｚＱｒでγ，、

〔Ｖ/ｍ〕

Ｔ同一

肱(α2+"2):､,'…’

18．導線と大地間の静電容量一‐険・』‐．‘午←‐‐］・獣函沖，．』ふい０騨舎‐．‐・凸．Ｃ坪絨）壇ロ・』Ｔ←四・

Ｃ＝爵：!；:o=L,-:,,

２７ZＢ～′、〔F/ｍ〕，ogo2h三α￣'－

１９．球導体と大地間の静電容量
４７zＥ＿、

Ｃ＝

１１

〔F〕

ａ２ｈ－ａ

蕊 ２０・静電エネルギー

ｗ=1hＭ号``=÷筈=会Qγ＝÷cwJ〕!:轍｛‐犯へ猷醗‐》‐邪．叩．】竜平黛）｛《１，驚壌汽一』．再切融。》】・】一・』・」‐『△宮←。『’１，■Ｆ⑭｝■印Ｌ》

21．電極間に働く力

塀・】皿．帯噂歎癖←へ「=農〔N］

Ｖ"＝Ｐ"lQl＋Ｐ''2Ｑ２＋……Ｐ,,"Ｑ〃鑿７Ｐ"'，Ｐ,１２……P",,(電位係数)〔l/F〕
23．容量係数と誘導係数

辨愈jL二Ｑ"＝9''1Ｖl＋9''2Ｖ2＋……9,",Ｖ''911,922……9,,〃（容量係数)〔F〕

16．静電容量の計算

h--．ｾﾞﾛ$

22．電位係数

912,921……9〃（誘導係数)〔F〕
24．磁気に関するクーロンの法則

Ｆ=ﾎｭﾅ婆[N〕
25．磁界の強さ

Ｈ=4諾γ： 〔Ａ/ｍ〕

ヰﾆｰ:-51ｉｉｉ：

鑿!:Tf1JEl

爵．

26．磁位

Ｕ=に_Hルー論ｱ〔A〕
27.アンペアの周回積分の法則）I/Ｍ=急ⅢA〕
28．ビオ・サバールの法則，＿１．．／ｓｉｎＯ内，、
αＨ＝
〔Ａ/ｍ〕
－－４７丁γ２￣'…’

巌歩
ﾛ卍

［:記ｊ

ｉｉ〔

i;･flBl

29．無限長直線電流の磁界

Ｈ=☆〔A/m〕
30.無限長直線ソレノイド内の磁界

rfM1=肌=川(H=￥="，〔Ａ/ｍ〕）
31・環状ソレノイドの磁界

ﾛ:｡~(ﾍｰ虫:ﾆｺﾞ';．
､』F分■

ｆＬＭ=川=川(H=器〔A/m]）

;蕊

!:･懇

一
|騨鰯騨畷Hii瀞

２

潔騨簿i蕊1蕊騨騨鰯蕊騨M騨露騨鍵蕊H:溺騨熱騨HMf藤j議騨緊縛鰯i蕊if､譲騨箪繍ii騨識蕊騨;蕊i鰯騨辮蝿蕊騨蟻月ｫ蕊ii簿撰騨鐸Ｉ蕊

饒麺霧f弾騨騨@W鱈鍵辮鐸､蕊蝶礪雰瞬蕊緊t篭鐸翔蕊鍾蕊掴Ⅲ蝿

好》

齢

唾;：

32．平行直線電流による磁界

Ｈ－会eT+六)〔A/、
33．同軸円筒導体の磁界①外部導体H,=☆(芦)〔A/m］
黙’②内外導体剛=☆〔A/m］③内部導体昨鋳〔A/m〕
34．有限長導体
行Ｉ／／，，Ｊ２）

H-歳（ ,/Z7r〒77丁VzJ百〒75丁 ）
＋

〔Ａ/ｍ〕

Ｈ=古(Ｓｍ`,+smMA/m〕
35．円形電流による磁界～「2ｍ＿α2１〆△，、〔Ａ/ｍ〕
H=几 〔ZHr＝ ２(α2+工2):￣曇'．
－J０－￣工片,，,36.

磁界中の電流に働く力
Ｆ＝IBZsinO〔Ｎ〕

37.

コイルに働く回転力
Ｔ＝MBScosO〔Ｎｍ〕

38.

ファラデーの法則｡=一等(の:磁束鎖交数)〔v］

留曰{.

39.

誘導起電力

①

導体：ｅ＝ＵＢＪｓｉｎＯ〔Ｖ〕②

コイル：ｅ＝jVS6oBsin伽〔Ｖ〕

40.

インダクタンス（自己，相互）

＄も』。

ＦＦ■ロ『

①

自己:LⅢ=半[ＨｌＬ:=￥〔H］
辮I鍵i瀞?ii欝辮？i瀧jiii辮騨|辮厚蕊騨l蕊i騨辮蝿i蕊瀧溌1籟蕊....…....!~.…1.1`..〆..:m11l：~:！

J IlJlF:ごﾛﾌﾞ….,-1ｔ;隼`凸゛-.L-i.,.；ｺﾞ蕊….”

３

て意~蕾、

Lli i lilil i li f 護鳶■TmTil l

灘
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鋳:：
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廓

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r-姑、'ｂ･:{･~△:.

;§津ｼ､F
D'品1.･

、罰・・論

１．静電界
（１）クーロンの法則
１）静電気
いろいろな電磁気現象は，原子を構成している電子の挙動により発露する。

負の電荷を帯びた電子が過剰になる状態を，負の電気を帯びたという。電気を帯びることを帯電といい，帯電した物体を帯電体とい⑨口夢ｴ雪ク
１個の電子は，う。他方，電子が不足する状態は，相対的に正に帯電したことにな-1.602×10-19〔C〕

る。

の電荷をもっている。

帯電した物体のもつ－定量の電気のことを電荷という。電荷には

正と負の２種類があり，同種の電荷は反発しあい，異種の電荷は吸引しあう。

異なる２つの物質を摩擦してみると，正（あるいは負）に帯電する物質の序列が一義的に定まってくる。すなわち，「3種類の物質Ａ，Ｂ，Ｃについて，ＡとＢを摩擦したとき，Ａが正，Ｂが負に帯電し，ＢとＣを摩擦したとき，Ｂが正，Ｃが負に帯電するならば，ＡとＣを摩擦するときは，Ａは正に，Ｃは負に帯電する｣。これをボルタの摩擦電気に関する法則という。
ボルタの法則により，すべての物質を正に帯電する傾向の強いものから１１頂に並べた序列を，静電序列（摩擦電気系列）という（表１－１）。
●表１－１静電序列【

毛羽ガ綿絹木コプエセ

ー－ラー－紙一一一ハーラーボール
皮根ス布布材クスナロ
チイイ

ツトド
ク

【

絶縁物では，分離した電荷が原子の間を移動しにくいので，正と負の電荷が分離したままの状態を保つことができる。このように静的な状態にある電荷を静電気という。

‘

１章電気磁気理論

２）クーロンの法則
真空中の２つの点電荷の間に働く電気力の大きさＦ〔Ｎ〕は，それぞれの電荷Ｑ,〔C〕，Ｑ２〔C〕の積に比例し，両電荷の間の距離γ〔ｍ〕の２乗に反比例する。

また，その力の方向は両電荷を結ぶ直線上にあって，同種の電荷のときは反発力が，異種のときは吸引力が作用する。

これを静電気に関するクーロンの法則といい，次式で表される。

「=zﾗｰﾓ｢￥=，Ⅲ坐[N］
γ￣□

この電気力をクーロンカあるし'は静電気力という。

、参■鰯

ここでｅ０は，真空の誘電率で，l07

e0＝ｚ７完了-8854×10-12〔F/ｍ〕

誘電率については，

ｐ39参照。

ｃ-2998×108〔ｍ/s〕（真空中の光の速度）である。

ここで，誘電率がどの媒質のとき，式〔Ｔ=~I~)は次式で表される。

③■ﾃｴ璽葱口
上＝9×1０９４汀ＥＣ

Ｆ=☆Q≦：，

１

４７Te獣ｅ０

●

Ｑ坐〔N〕
γ￣

回

ｅ＝ａｅ｡〔F/ｍ〕＆を媒質の比誘電率という。

Q7TI~=Ｔ）［二二コの中に適当な答を記入せよ。
(以後,＿の部分は省略）
距離γを隔てて存在する２つの点電荷９１，９２の間に作用〔Ｎｍ２/C2〕③■ﾁｴ｢璽葱
空気の比誘電率は1.000568で､あるが，実用上は１．０として取り扱う。

する電気力Ｆは，Foc9192／γ２である。これを□T1可の法則という。ＳI単位系では，媒質の誘電率をどとし，これをF=「面-コ×9,92／ｒ２と表している。等しい電荷をもつ２つの点電荷を真空中でFiElI。〔m〕の距離に離しておくとき，それら相互に作用する電気力Ｆがｃ２×10-7〔Ｎ〕（ｃ：光速〔ｍ/s〕とする｡）であるような電荷をｌＣという。したがって，真空の誘電率e･は，「､-ｺと決められる。その単位は，〔ｒｉ５Ｔ.〕である。
〔解説〕（１）この問題は，クーロンの法則に関するものである。

５

亡~重~薑、(2)このクーロンの法則は誘電率どの媒体中では，式(~1-＝ﾛｰ）で表される。

(3)式○~=Ｔ)に問題の値を代入すると，

ｃ２×10-7＝9×l09-L2LL
γ２
γ＝=

９×１０９

(3×108)2×10-7

＝１ｍ

となる。
（４）γ＝１ｍとわかれば，

ハ,0-,-歳姜
ｌＯ７

ｅｏ＝Zﾗﾃｱ＝8854×lO-I2となる。

（５）式＝よりＥＣは，
ｌＱｌＱ２

ＥＯ＝Zﾗﾃｧﾃﾞ〒「であるから，これを単位で表せば，‘`_〔言:|=〕=〔て宗言〕CIN､]=〔０V]=〔ＪＤ＝〔会77]=[F/m〕となる。

〔解答〕,,,(静電気に関する)ｸｰﾛﾝⅡ孟川'Ｌ

ｉ４,器〔または885Ｎ｢雌》（５）Ｆ/、（２）雷界
１）電界の強さ
１つの帯電体の近くに他の帯電体を置くと，２つの帯電体の間にはクーロンカが働く。これは，１つの帯電体のまわりに，他の帯電体を吸引したり反発したりする電気的勢力ができているからである。

③■姦悪蕊■蕊)■

この電気的勢力の及ぶ範囲を電界あるいは電場という。とくに電荷電界は，大きさと方が静止している場合の電界を静電界という。

向をもつベクトル量

正の単位電荷（＋ｌＣ）を電界のある点にもってきたとき，これ

６

で､ある。

1章電気磁気理論に働く力の大きさを，その点の電界の大きさとし，その力の方向を，
電界の方向とする。

この定義によると，誘電率どの媒質中の点電荷Ｑ〔C〕からγ〔ｍ〕
離れた点の電界の強さＥは，次式で表される。

Ｅ=志畏〔Wm〕

Ｂ

また，電界の強さＥ〔Ｖ/ｍ〕の電界中にＱ〔C〕の電荷を置いたとき，その電荷にＦＱの力が作用したとすると，
ＦｒＱＥ〔Ｎ〕

Ｅ

したがって，その点の電界の強さＥは，次のようになる。

β=号〔Wm〕

回

また，式(~1-詞は，次のように表せる。

Ｅ=券と=のと〔V/m〕

曰

ただし，

③口塞篭蕊ク
式一については，式一。=券〔C/m勺

□(pl3）参照。

この０を電荷密度という。

２）電気力線，電束①電気力線

電界の様子を表すのに，電気力線という仮想線を用いる。電気力線には次の性質がある。

（a）電気力線は，正電荷から出て負電荷に終わる。

（b）電気力線の接線方向が，その点の電界の方向である。
（c）電気力線の密度〔本／ｍ２〕は，電界の強さを表す。

（｡）電気力線は互いに交差することなく，導体表面から直角に出入りする。

（e）電気力線は，それ自身はゴムひものように縮もうとしており，また，互いに反発しようとしている。

図１－１に示すように，誘電率どの媒質中の点ｏに電荷Ｑ〔c〕があるとき，γ〔ｍ〕離れた点Ｐの電界の強さＥは式口＝ｎである
から，次のように表せる。

この電界の強さＥは，電気力線の性質(c)から電気力線の密度（１７亡~蓮~竈~つｍ2あたりの数）を表していることになる。

一方，半径γ〔ｍ〕の球の表面積Ｓは，次式で表される。

回

Ｓ＝4汀γ2〔ｍ２〕

したがって，この球面を垂直に貫いている全電気力線の数１Ｖは，

Ⅳ=ES=孟畏…魁=且ｅＥ

すなわち，誘電率どの媒質中に置かれたＱ〔c〕の点電荷から(ま，Q/ど本の電気力線が放射状に出ていることになる。
電

鑑

E-歳：
球の表面積
Ｓ=4汀γ２全電気力線の数N=：●図１－１点電荷から出る電気力線

この電気力線に単位はなく，無名数である。便宜上〔本〕で数えることがある。

q;1-1~=~の 真空中において，ｌＣから出る電気力線の数は，
何本か。
〔解説〕

真空中であるから，ｅ＝ＣＯであり，式(Ｔ＝ﾜｰ)から，

Ⅳ－２＝ｌ

ｅｏ８８５４×１０－１２＝１１３×101’〔解答〕113×lOlI本②雷東

電気力線は，Ｑ〔c〕の電荷からＱ/ど〔本〕出ると仮想したため，媒質の誘電率ｅによって電気力線の数が変わる。これに対し，電束は媒質の誘電率に関係なく，Ｑ〔c〕の電荷からはＱ〔c〕本の電束が出ていると仮想する。

電束はＷで表し，単位は電荷と同じ〔C〕である。
よって，Ｑ〔C〕の電荷から出ている総電束数ｐは，
ｐ＝Ｑ〔c〕

８

□

③蕊蕊■蕊

電束のことを，誘電束ともいう。

１章電気磁気理論

一方，式～より，Ｑ＝eMC〕であるから，ｐは次式で表される。

□

リーeMC〕□

ここで，Ｄを電束密度，あるいは電気変位という。

（一一口へ釘州》

Ｄ=券=鰐=｡〔C/㎡〕■■鋤Ⅱ三面上の単位面積（lm2）を貫く電束Ｄは，次式で表される。

ｈ．・口器｛》気力線と同じように均一に放射状に出ているので，半径γ〔ｍ〕の球⑨

図１－２に示すように，Ｑ〔c〕の点電荷から出ている電束は，電Ｄ＝ｏ〔C/ｍ２〕
すなわち，電束密度と電荷密度は等しい。

電束（誘電束）電束密度（電気変位）

､一芸

０

－ｴﾗﾃｱ

全電束の数し＝Ｑ●図１－２点電荷から出る電束

また，式一と式一より，Ｄは次のようになる。

□、＝どＥ＝ｅｓｅｏＥ〔C/ｍ２〕

３）ガウスの定理

図１－３に示すように，電界中の任意の閉曲面Ｓによって囲ま⑨彰襲■蕊鍾■
分布電荷による電界れる全電荷の量と，その閉曲面を通り抜ける全電気力線の数との関の強さの計算には，係を，一般的に述べたのがガウスの定理である。これを誘電率ｅがガウスの定理を用い

閉曲面ｓで囲まれた中では一定とした式で表すと，る。

LMs-LEc｡…s-L量Q，
ｅｉ＝ｌ□

ここで，。ｓは閉曲面Ｓ上の任意の点Ｐのまわりの微/｣、面積，Ｅ〃

は点Ｐにおける電界の強さＥのCzsの法線方向の成分，０はＥと点電荷による電界の強さの計算には，クー□ンの法則を用いる。

E,,のなす角度を表す。また，Ｑｊは閉曲面Ｓで囲まれた中の電荷を示す。
法線●図１－３ガウスの定理

９

亡~重~蕾、
この式の意味するところは，「任意の閉曲面Ｓから出ていく電気
力線の総数１Ｖは，その閉曲面ｓ内にある電荷の総和Ｑを媒質の誘電率ｅで除した数に等しい」ということである。すなわち，

１Ｖ＝且式一のＥ"をＤ"に置き換えると，

ＳＥ③■デヱ露口諺〃Ms=,菫9-W

なお，ガウスの定理における「電荷の総ﾎﾟﾛＱ」とは，任意の閉曲

すなわち，「任意の面Ｓに包含される正あるいは負の電荷の代数和であり，「電気力線

閉曲面Ｓから出ての総数１V」とは，閉曲面Ｓより出る電気力線を正，入る電気力線を負としたときの，その代数和である。

いく電束ｕは，その閉曲面Ｓ内にある電荷の総和Ｑに

４）電位等しい」ということ①電位を意味している。そ無限遠点から，単位正電荷（＋ｌｃ）をある点まで運ぶに要するして，この式は誘電仕事〔J〕（エネルギー）は，その点の電位〔V〕の値と等しくなる。

電界の強さＥ〔Ｖ/ｍ〕の電界中に単位正電荷００＝１Ｃを置くと，

式CT=~ｺｰ)により，Ｆ=Ｅ〔N〕のクーロンカが作用する。この力

率Ｅが閉曲面Ｓの中でいかなる値に変化しても成り立つ。

Ｆによって，電荷が電界の方向に移動したとすると，この場合は電界が電荷に対して仕事をしたことになり，反対に，このクーロンカに逆らって単位正電荷を電界と逆の方向に移動したとすると，この場合は外部から電荷に対して仕事がなされたことになる。

麦ﾗ＄－Ｆ●図１－４力と仕事

いま，図１－４のように，外部からの力Ｆ〔Ｎ〕に逆らって－Ｆの力を加えた結果，単位正電荷が移動した距離。γの方向と－Ｆの力の方向との間に角度０〔rad〕がある場合は，なした仕事CZWは次式のようになる。

。Ｗ＝－ＦＱｏｃｏｓ３ｄγ〔J〕

ｗ=LFwosMU〕□

よって，ＶはＱｏ＝１Ｃであるから，次式で表される。

Ｖ=に-Ecosew〔V〕□

式一と式＝の関係から,単位Ｖ〔V〕のところに電荷
Ｑ〔C〕を持ってきたときに要する仕事ＷＱは,ＷＱ＝ＶＱ〔ＶＣ〕＝〔J〕

７０

⑨ﾁ菫”
Ｅは微小距離。γの間では一定とみなして計算する。

１章電気磁気理論となることがわかる。

これより，電圧の単位〔Ｖ〕は，〔Ｖ〕＝〔J/C〕でもある。
ある点の電位を決めるのに，基準になる点を無限遠点としている
が，これは電荷が作る電界の強さが無限遠点で零になるからである。
しかし，大地は極めて大きな導体であるから，実用上電位零の等電位面とみなし，基準の零電位として取り扱う。
②点電荷の作る電位

図１－５に示すように，無限遠点より点Ｐまで単位正電荷（＋１０を移動するのに要する仕事，すなわちこれと等しい値となる
電位Ｖは，次式で表される。

E－歳÷〔Wm〕

α隙、

Ｑ｜伽Ｑ｜伽些》｜｜’γ｜｜函犀

肋臼馴

一一一一

Ｖ

任監

皿０

7$とり

③蕊ジグ

□

無限遠点
(E=0）

ｗ電位に走与-Ｗ薑化MQHc）●図１－５電界と電位③､露菱ﾆｯ室．
v-1L-Ed，-F2`γ③■誘蕊”■i、
図１－５のＷは，'ｃを反発力に逆らって無限達点から点Ｐまで、運ぶのに要す

声次の文章は，ｌ辺の長さ／の正三角形の頂点のる仕事。

位置に図１－６(a)～(c)に示すような極性の点電荷があり，それらによる静電界に関する記述である。ただし，電荷の絶対値はすべて等しいものとする。

ム.1:■.⑦八.c戦①正三角形の重心の位置Ｇにおける電界の強さが最も大きいのは，図□ｍである。その電界の方向は，図(d)の工の矢印の方向である。
また，各点電荷の絶対値を２倍にしたとき，重心の位置の電界の強さを同じに保つためには１辺の長さＪを

７７

亡~蓮~竈-つ
ｒｉ５ｎ倍にすればよい。
②図(c)の底辺右端の負電荷に働いている力の方向は，図(d）の[~印可の矢印の方向である。
③点Ｇにおける電位の絶対値が最も大きいのは，図ｒｉ５１－]の場合である。
〔解説〕

問①および問②は電界の強さおよび力に関する問題なので，ベクトル和として考える。問③は電位に関する問題なので，スカラ量として考える。
(1)点Ｇに＋ｌＣの電荷を置いたとき，この電荷が受ける力は，それぞれ図１－７のようになり，図(a')および図に')では，そのベクト

ル和は零となる。図(b')は３本のベクトルの和が零ではないので，電界が最も大きい。

ｅ

①

･

･／、､、

（a'）

（５）

（c'）（d'）

ご笠①汎己典dHJ-J党，●図１－７(2)その方向は上向きで，図１－６(d)のＰの方向である。
(3)電荷の絶対値を２倍にしても，図(a')，図(c')では電界の強さは零である。したがって，図(b')について考える。１つの電荷（Ｑ〔C〕とする）による点Ｇにおける電界の強さＥｂは，式一(p7）により（l辺の長さがノであるから)，
１

Ｅｂ＝４７Ｔｅ

●

０

(方)：

急号〔V/m］である。ここで，Ｑが２倍になるとＥｂも２倍となる。したがって，電界の強さを同じに保つためには，／2を２倍，すなわち，ノを,/百倍にすればよい。

(4)底辺右端の負電荷には，他の負電荷からの反発力が働き，その合成はＦの方向となる。したがって，図(｡)のＲ方向である。
(5)電位はスカラ量であるから，点Ｇの電位は各電荷が作る電位の代数和である。図(b)は正負電荷が混在しており，それらが作る電位を２－１＝ｌとすると，図(a)，（c)の電位の絶対値はともに３で，最７２

１章電気磁気理論も大きい。

〔解答〕（１）（b)，（２）Ｐ，（３）↑/Ｚ（４）Ｒ，（５）（a)と(c）③等電位面電位の等しい点を連ねた面を，等電位面という。等電位面に沿って電荷を移動させても，その電荷の持つ電気的なエネルギーは変わらないので，何ら仕事をしたことにならない。

④クーロンの定理
帯電している導体は，次の性質をもつ。
（a）導体内部の電界は零である。

（b）導体全体の電位は同一である。
（c）帯電した電荷は導体表面のみに現れる。

（｡）導体表面は等電位である。

（e）電気力線は導体表面に垂直である。

（f）導体表面のある点の電界の強さＥは，その点の電荷密度ｏ〔C/ｍ２〕を誘電率ど〔F/ｍ〕で除したものである。

Ｅ=そ〔V/m〕□

これをクーロンの定理という。

⑤電位差

２点間の電位の差を電位差という。

電界の強さＥ〔Ｖ/ｍ〕の電界中において，点Ａ，Ｂの電位区,，Ｖｂ
は，それぞれ次のように表される。

③■ﾃﾞｰ霞蓼
電位差の単位は〔Ｖ〕て．ある。

Ⅸ,=Lf-E伽〔V〕
vFl:f-Ew[V〕
したがって，点Ａ，Ｂ間の電位差ＶＡＢは，

ＭＩＨＭ'FLLD`八Ｖ〕□

これを点電荷に適用してみると，次のようになる。
点電荷Ｑ〔C〕から距離γA〔ｍ〕およびγβ〔ｍ〕の点Ａ，Ｂの電位Ｖ2,,

ＶBおよび両者間の電位差肥Ｍｌは，次のようになる。

Ⅸ,－歳〔v川=志〔v〕
恥=Ⅳv・=念(★一夫)[v〕②チェック.γ,,＜γ〃のとき，
Ｖ,,＞Ｖ〃□.γ』＞γ〃のとき，
Ｖ｣＜Ｖ〃

7３

￣
この電位差は，図１－８(a)のＪＺｌＢで示される。電位は，点Ａのほうが点Ｂより高く，点Ａから点Ｂに向かってＶＡβ〔Ｖ〕だけ電圧降下している。
（a）懸

９

鈴(会一夫）
１”位面●図１－８電位・電位差・等電位面、T＝、真空中に，電荷が一様に分布している半径α〔ｍ〕の無限に長い円筒がある。いま，軸方向の単位長あたりの電荷をＱ〔C/ｍ〕とすれば，円筒の外部に出る電気力線の数は，単位長あたり「､~]〔本〕である。また，この円筒の中心からγ〔ｍ〕の点の電界の強さは，γ＜αの場合□、〔V/m〕，γ＞αの場合[~i5n〔V/m〕となり，円筒の表面と円筒外で中心からｂ〔ｍ〕の点との間の電位差は，

皿〔v〕となる。なお，ｂが無限大の場合の電位差す
なわち，円筒表面の電位は,|~｢、〔v〕となる。
〔解説〕
電気力線

鍔

Ｑ

（a）（b）●図１－９無限長円筒導体(1)ガウスの定理を適用して，式○~=~'百つ(plO）より，

１Ｖ＝-2＝Ｑ

ｅ０８８５４×１０－１２(2)γ＜αの場合の電界の強さＥは，

7‘

１章電気磁気理論⑨チエ”JJi

腓ES=鵲=鵲

γ＜αの場合，半径

ここで，Ｓ＝27rγ×1（単位長さの側面積）〔ｍ２〕

γのうちに含まれる，Ｅ=羨器〔V/m〕

電荷の量Ｑ'は，

０=エテQ〔C/m〕(3)γ＞αの場合の電界の強さＥ'は，

汀α￣

Ⅳ＝Ｅ,S,＝且，Ｓ'＝2刀γ×，

である。

ｅ０

」E,-☆[V/m〕(4)肋間の電位差Ｖａｂは，式亘(pl3）により，

γ"=lr-Ew=烏r÷〃＝＿Llogo-L〔v〕
２７rｅＯα(5)(4)でｂを無限大とすると，Ｖ`＝｡・となる。

〔解答]'1'：(またはⅢ4三m-雌)Ⅲﾌﾃﾆ;７’３１為Ⅱ為1.9号川重(無限大）⑥電位の傾きある点Ｐにおけるγ方向の電位Ｖの減少割合を電位の傾き（あるいは電位傾度，電位勾配）という。

この電位の傾きに負の符号を付けたものが，その点における電界の強さＥ〔Ｖ/ｍ〕のγ方向の成分Ｅ,を表す。

一旦Ｚ＝EcosO＝E,〔V/ｍ〕
αγ

画

ここで０は，Ｅとγのつくる角度である。

（３）いろいろな電界の計算
いろいろな形状の帯電体による電界の強さと電位の計算を，以下に例示する。

一般に，電界の強さと電位を計算する手||頂は，次のとおりである。

①電界の強さＥを求めるには，電気力線の面積密度が電界の強さであることと，ガウスの定理式○~＝T5~)(plO）より，

７５

６重字つ
１V(電気力線の数)＝Ｓ(面積)×Ｅ(電界の強さ）＿Ｑ(電荷）
ど(誘電率）

入Ｅ=：〔V/m〕

画

によって算出する。

②Ｅが求まれば，式一(plO)より，電位は次式で求めることができる。

ｖ=J-Bdγ□

なお，帯電体には，電荷が表面に分布する導体の場合と，内部にも均一に分布する誘電体の場合があるので注意すること。

１）平行平板電極間の電界と電位
図１－１Oのように電極に±Ｑ〔c〕の電荷を与えた場合，電極間の電界の強さＥは，ガウスの定理により，次式で表される。

Ｅ=鳥〔V/m〕

画

また，電位差ｖは式一より，次のようになる。

v=に一助=鳥I？`'=鳥['工i=筈〔v〕

電位差Ｖは次式と画

一宗２）表面に均一に帯電した導体球の電界と電位①γ≧αの場合

ＥＳ＝且，Ｓ＝4刀γ２
ど回

これは，次項3）のにαの場合と同である。 したがって，Ｖは，

ｖ=4昊了〔v〕
７６

平行平板電極間は平等電界とみなすと，●図１－１０平行平板電極，Ｅ=釜=烏,〔V/m〕⑨､蕊蕊Jluli

画

なる。
Ｖ＝Ｅ･。

１章電気磁気理論②γ＜αの場合

球体の内部には電荷がないから，電界は零である。
電位は，すべて球体表面の電位と同一である。すなわち，
Ｅ＝０〔Ｖ/ｍ〕

ｖ=4昊α〔v〕●..….…へ／閉曲面

亘口雲ｇ；。
■｡。｡、－，．．の。．・・Ｐ●図１－－１１表面に均一に帯電した球体

３）内部に均一に帯電した球体による電界と電位
図1--12において，半径αの球に電荷Ｑ〔c〕が与えられている。
この場合の電界と電位は，次のようにして求める。
閉曲面〆ごすぎ:～．

⑳■〕‘●図１－１２内部に均一に帯電した球体①γ≧α（球外）の電界と電位
電界の強さＥは次のようになる。

ＥＳ＝且，Ｓ＝4汀γ2〔ｍ２〕巳

したがって，球外のγの電位Ｖは

Ｖ=－１::E`,=鎧I~士"=鮨〔V〕

画曰

Ｅ=島=Zｱﾆｧ〔V/m〕②γ＜ａ（球内）の電界と電位③！■
唖薄口蕊”■

電界の強さＥは次のようになる。

半径γ〔ｍ〕の球の中に含まれる電荷Ｑ′

βs=÷署，‘=Ｍ㎡〕
Ｅ=諾戸〔v/、は，

Ｒ

このときの電位Ｖは，球体表面の電位Ｖ`と球内部の電位差Ｍａの和である。ただし，Ｖａはγ＝αのときの値である。

0-蟇,
γ３

＝-Z７ＴＱﾌｧ

亡-重~竈-つなお，Ｖ,αは次のようになる。

ただし，

÷爾『`は半径，晒繍=-L危`,=巧署百丁L'一伽の球の体積＝烏戸[÷工=〔窯等Q〔v］

÷厩``は半径‘の球の体積

Ｖ＝Ｖα＋Ｖγα＝孟豈+(奈言;Ｑ（潟)Q〔v]曰
４）同心球導体による電界と電位
図１－1３のように，内球と外球の間に誘電体のある同心球導体
において，内球に＋Ｑ〔C〕の電荷を与えた場合の電界と電位について調べる。

内球に与えられた＋Ｑにより，外球の外面と内面にそれぞれ＋Ｑ，－Ｑの電荷が誘導されるが，内外球の電荷の総和は＋Ｑである。
閉曲面

+Ｑ

唾

ど

Ｃ

●図１－１３同心球導体（1誘電体層）①γ≧ｃの場合

この場合の電界の強さＥおよび電位Ｖは，ガウスの定理を適用
し，次のように表せる。

Ｅ=万三戸〔Wm〕

画

ｖ－Ｉﾗ皇ｱ〔v］

曰②ｂ＜γ＜ｃの場合

ｂとｃの間は導体であるので，電界の強さＥは零，電位Ｖは前式のγ＝ｃのときの値となる。すなわち，

Ｅ＝０〔Ｖ/ｍ〕

団

に*〔v〕

曰

③α≦γ≦ｂの場合
電界の強さＥは，γ≧ｃの場合と同じ。

７８⑨口逹■=ツグ
ＥＳ＝-2
ｓ＝４７丁γ２

1章電気磁気理論。■■一参二γ巾Ｔｌ九ｌｌｂ

ｄｌ｜，〆１｜γ｜④γ＜αの場合

口■劃・

ＡＶ=z+MF鎧+鎧(÷-÷)〔v〕曰一。｛■・『ツ・ｖ繩--ｈ呈戸"=鎧(÷-会)〔v〕

一一一一一一一との和である。

時剥計糾

電位Ｖは外球の外面の電位Ｖ－Ｑ/4汀ＥＣとγ－６間の電位差Ｖｒｂ

一溢宏｛一へ一画③Ｅ=万三戸〔V/m〕

電界の強さＥは零であり，電位は内球表面の電位と同じである。
すなわち，

Ｅ＝０〔Ｖ/ｍ〕

国

ｖ=*十糸(合一会)〔v］

曰

５）無限平面板導体による電界と電位
図１－１４に示すような無限平面板導体の電界および電位は，次のようになる。

電界の強さＥは，ガウスの定理より，

２(E・ds)－匹【且ｅ

Ｅ=昔t-〔V/m〕

回

したがって，電位Ｖは次式で表され，無限大となる。

ｖ=-金Ｌｌ`,=｡。□［IｎＩＩ⑨､壼口室ﾂｸ■
厚みが無限の平面導体の場合には，電界は一方にのみできる。

－－

Ｅ

Ｃ－Ｅ

巴

+;＋十Ｊ患:=蕊才＋令十途諾

2〕〈Ｉ１ｌｒＪハル蕊iZiiiil,〔C雄〕}蕊

●図１－１４無限平面板導体

なお，平面よりγ1,γ2の距離にある２点間の電位差J/71,2は，次のようになる。

Ｗ;MF-詮IlI`γ=詮(,２－灯)〔V〕□

７９亡~壷~竈-つ６）無限長直線導体による電界と電位
図１－１５に示す無限長直線導体による電界および電位は，次のようになる。

下川町上●図１－１５無限長直線導体①α≦γの場合

電界の強さＥおよび電位Ｖは次式となる。

Ｅ=鈴〔v/、

四Ｖ－に鈴"=｡。曰
導体の中心よりｈ，γ2の距離にある２点間の電位差Ｖｍ２は，－１:÷`，

ルー-lx[鈴"=諾[1.2M工Ｉ＝鈴log÷〔v］③■菱ｸﾆ雪ク

ｎつ－〔川]；＝－(log`!γl-logcr2）②γ＜αの場合＝ｌＯｇｃγ２－lOgeh

このときは，導体内部には電荷がないので電界の強さＥは零，＝ｌｏｇ，－１ニ
ハ

電位Ｖはγ＝αの場合の電位に等し〈（式…)，Ｖ＝｡･となる。
７）同心円筒導体による電界と電位
図１－１６の同心円筒導体において，軸方向の単位長さあたり，

内円筒にＱ〔C/ｍ〕，外円筒に－Ｑ〔C/ｍ〕の電荷を与えた場合の電界および電位は，次のようになる。
/m〕●図１－１６同心円筒導体①６＜γの場合

ガウスの定理を適用すると，閉曲面内の電荷の総和が零であるから，電界の強さＥは零，したがって電位Ｖも零である。
②α≦γ≦ｂの場合

電界の強さＥおよび電位Ｖは，それぞれ次の式で表される。

2０