＜要旨＞ 学校教育部門作品「ふくおか教育論文」

数量の関係を考察できる子どもを育てる第 5 学年算数科学習指導
割合単元を貫く「相対的な大きさ」・「絶対量」の比較活動を通して

八女市立忠見小学校
教諭
こんな手立てによって…

藤木宏平

こんな成果があった！

系統性を意識した数直線による比例割合の意義を理解することができ，２的推論による立式を土台として，割合量の大きさの関係を問題に応じて，相を比較する手段として扱う問題を取り対的な大きさや絶対量で柔軟に捉える上げた。

ことができるようになった。

１ 考えた
第 5 学年の割合単元では，割合を求めることが目的とした問題がほとんどである。その子どもに対して，「なぜ割合を求める必要があるのでしょう。
」と質問したところ，「問題にあったから。
」と答えた児童が 49％。
「買い物で使えるから。
」と答えた児童が 29％だった。しかし，割合を求める意義は上記の二つではなく，子ども達は，割合を求める意義を理解できていなかった。また，自分自身の割合の学習では，既習の内容との関連を図らず，比の三用法の公式に当てはめて，解く練習を繰り返すことが割合の理解につながると考えていた深い反省がある。
そこで，本研究では，割合の意義を子どもが理解するために，既習の倍概念の系統性による割合，基準量，比較量を求める立式を土台とした比較活動を行うことが本研究の特徴である。
２ やってみた本研究では，「比較・判断力」と「解法力」の二つの力を子どもたちに身につけさせるために，「段階的な比較課題」と「比例的推論による数直線を用いた立式」の２つの工夫を行い，３つの検証事例において，その有効性を検証した。
検証事例Ⅰでは，割合を小数倍と関係づけて，割合を比較する課題を提示したことにより，割合を比較手段として用いること，割合を比例的推論で求めることの有効性を検証した。
検証事例Ⅱでは，絶対量を比較する課題を提示したことにより，割合で比較してはいけない
ことの理解と比較量を比例的推論で求めることの有効性を検証した。
検証事例Ⅲでは，相対的な大きさと絶対量のどちらを比較するとよいかを考える課題を提示したことにより，２量の大きさの関係を考察すること，比例的推論による立式の実用性を検証した。
３ 成果があった！
比較課題を設定すると，子どもは，割合を比較のための手段として捉え，２量の関係を基準
量，比較量，割合のどの数値で比べるかを判断できるようになったこと。また，比例的推論を用いた数直線の利用が子どもの立式の思考に大いに役立つといった検証結果が得られた。

1【27「ふくおか教育論文」
】

＜目次＞

学校教育部門作品

数量の関係を考察できる子どもを育てる第 5 学年算数科学習指導
割合単元を貫く「相対的な大きさ」・「絶対量」の比較活動を通して

１ 主題設定の理由 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ３（１）割合単元の指導内容の不明確さから ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ３（２）指導の反省から ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ３（３）子どもの実態から ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ４
２ 主題の意味 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ４（１）数量の関係を考察できるとは ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ４（２）本研究における考察とは ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ５（３）割合単元を貫く「相対的な大きさ」
・「絶対量」の比較活動とは ‥‥‥‥‥‥‥ ６
３ 研究の目標と仮説 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ６（１）目標 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ６（２）仮説 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ６
４ 研究の構想 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ７（１）比較する課題を位置づけた単元構成 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ７（２）数直線と比例的推論を用いた倍概念の繰り返し学習 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ８（３）構想図 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１０（４）検証計画 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１０
５ 研究の実際 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１０（１）検証事例Ⅰの実際・考察 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１１（２）検証事例Ⅱの実際・考察 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１５（３）検証事例Ⅲの実際・考察 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１７（４）全体考察 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１９６ 成果と課題 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥２０（１）成果 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥２０（２）課題 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥２０＜参考文献＞ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥２０

2【27「ふくおか教育論文」
】

＜本文＞

教科指導部門作品

数量の関係を考察できる子どもを育てる第 5 学年算数科学習指導
割合単元を貫く「相対的な大きさ」・「絶対量」の比較活動を通して

八女市立忠見小学校
教諭

藤木

宏平

１ 主題設定の理由（１）割合の単元の指導内容の不明確さから割合という用語は，元来日常語からきており，その使い方が明確ではない。また，小学校
学習指導要領解説 算数編の中では，第 5 学年の「数と計算」領域の数直線の単位として表記がある一方で，百分率は「数量関係」の領域にあり，異種の二つの量の割合は，「量と測定」の領域に位置している。つまり，割合は様々な領域にまたがっており，具体的な割合の内容は記されていない。しかし，教科書会社では，以下のように割合の単元が位置付けられている。
日本教育出版
東京書籍
啓林館
大日本図書
教育出版
学校図書

10．割合とグラフ12．比べ方を考えよう（１）割合と百分率（２）百分率の問題 （３）割合を表すグラフ
12．割合
17．割合
12．割合
15．割合とグラフ

この第 5 学年で取り上げられた「割合」では，改めて何を指導すべきであろうか。この割合単元で指導する内容を明らかにしたいと考え本研究を設定した。
（２）指導の反省から① 割合を求めることを目的とした指導教科書の割合の問題を見てみると割合を求めることを目的としたおのが全ての教科書で
みられる。
（資料１）
割合を求めることを目的とした学習をしてきた子どもに対して，「なぜ割合を求める必要【資料 1：教科書の問題例】

があるのでしょう。」と質問したところ，右の円グラフ（資料２）のような結果が得られた。
問題にあったから。と答えた児童が 49％。買い物で使えるからと答えた児童が 29％だった。しかし，割合をもとめる意義は，買い物で使えるからでも，問題を解いて点数を取るためでもない。子ども達は，割合を求める有用性に気づく【資料 2 子どもの割合の意義の捉え方 円グラフ】

ことがほとんどできていなかった。

3【27「ふくおか教育論文」】

これは，今までは，割合を求めることを目的にした問題ばかりを扱い，割合の意義を理解させることができていなかったためと考える。
② 公式を暗記させる指導
今までの割合の学習では，既習の内容との関連を図らずに，割合の単元を指導していた。その中で，基準量，比較量，割合を比の三用法の公式に当てはめて，解く練習を繰
り返すことが，割合の理解につながると考えていた深い反省がある。そこで，本研究では，第 5 学年の割合の数量の関係を明らかにするとともに，基準量，比較量，割合の関係を整理し，2 量の関係を的確にとらえることができる子どもを育てたいと考えた。
（３）子どもの実態から右の帯グラフは，平成 25 年度の学力調査問題の算数 B の問題である。この中に，「平成 22 年度と平成 23 年度を比べると，インターネットの貸出冊数は増えていますか」といった割合の問題が出されている。この問題の正答率は，44.4％と低い結果であった。これは，割合の大きさだけに注目し，基準量と割合の関係からの考察ができていない結果と考える。そこで，本研究では，資料を数量的に考察する場において，割合を的確に活用できる子どもを育てたいと考えた。
【資料 3

２ 主題の意味

平成 25 年度の学力調査問題】（１）数量の関係を考察できるとはある課題において，数量の大きさの関係から，差【絶対量】や割合【相対的な大きさ】といった数値を取り出し，解決できることである。
これは，小学校学習指導要領解説

算数編にある，「資料を数量的に考察する場合には，数量の大きさの間の関係を差でとらえる場合と割合でとらえる場合がある。」をもとにしており，本研究での数量の関係の考察を，以下の二つとする。
◯ 数量の関係を差で見ることを絶対量による考察◯ 数量の関係を倍で見ることを相対的な大きさによる考察
例えば，以下のようなものである。
相対的な大きさによる考察

絶対量による考察

A さんは，16 打席に入って７安打でした。
B さんは，15 打席入って，６安打でした。
どちらがよく打つバッターといえますか。

ハイキングコースのうちの 9 ㎞を歩きました。これは，全体の 60%です。 ジョギングコースのうち12km を走りました。これは，全体の 50％です。
どちらのコースがどれだけ長いでしょう。

6 安打と 7 安打や，打席数から安打数を引いた
数同士を考察しても，どちらがよく打つかは，わからない。この場合は，A さんと B さんの打率（相対的な大きさ）を比べなければならない。

4

60％と５０％を比較しても，考察しにくい。そこで，ハイキングコースとジョギングコースの実際の距離（絶対量）を比べなければならない。

【27「ふくおか教育論文」】

（２）本研究における考察
考察とは，広辞苑（第 6 版岩波書店）には「物事を明らかにするために，よく調べて考えること」とある。これをもとに，本研究の考察とは，「物事を明らかにするために，資料や文章から必要な数量を取り出し，それらを比較して調べ考えること。」とする。
考察するためには，以下の二つの力が必要と考える。
○ 比較・判断力…相対的な大きさと絶対量のどちらの数値を取り出すとよいのかを決めることができること。
◯ 解法力…2 つの量の大きさの関係から相対的な大きさと絶対量を取り出すことができること上記の問題でいえば，A さんと B さんのどちらが優れたバッターであるかといった課題を明らかにするために，文章中の 16 打席 7 安打，15 打席６安打といった数量から，打率といった数量を取り出して，打率同士を比較して調べることである。
以上の二つの数量の考察と二つの力から，目指す具体的な子どもの姿を以下のように設定する。

5【27「ふくおか教育論文」】

（３）割合単元を貫く「相対的な大きさ」・「絶対量」の比較活動とは割合の単元における全ての問題を段階的に，事象を比較して解を導く問題を扱うことである。
畦森 宣信は，「ベーシックな考え方 算数教材論」の中で，「割合の本来の意味での指導はどのようにしたらよいだろうか。たとえば，『ある学校の 5 年生で，鉄棒のさか上がりができる人数を調べたら，男子 72 人中 54 人ができる。女子 65 人中 52 人ができる。男女どちらがよくできるか，比べよう。
』という問題が，本来の割合の意味における指導である。」と述べている。この「比べよう」というところに，割合を求める必然性が生まれる。つまり，第 5 学年における割合の指導内容は，同種の 2 量の関係を割合でとらえることだけで終わってはいけない。なぜなら，割合を求める意義は，2 量の関係を，他の 2 量の関係と比較できる状態にすることだからである。同時に，割合同士で比較できる場面とできない場面(比較量，基準量)を判断できる力も必要となる。そこで，上記の２（１）で述べた相対的な大きさと絶対量は，割合の単元で以下のように位置付けられる。
相対的な大きさ＝割合

絶対量＝基準量,比較量

３ 研究の目標と仮説（１）目標
第 5 学年において，割合単元を貫く比較活動を仕組めば，数量の関係を的確に考察できる子どもが育つことを，実践を通して明らかにする。
（２）仮説
第 5 学年における割合の指導において，以下の 2 点に着目した指導を行えば，数量の関係を的確に考察できる子どもが育つであろう。
・ 基準量・比較量・割合を比較する課題を位置付けた単元構成（比較・判断力）
・ 数直線と比例的推論を用いた倍概念の繰り返し学習としての位置づけ（解法力）

6【27「ふくおか教育論文」】

４ 研究の構想（１）比較する課題を位置付けた単元構成「小学校算数」（日本文教出版）では，以下のような問題が設定されている。
もえさんの学級の人数は 36 人で，そのうちむし歯のある人が 27 人います。学級の人数をもとにしたむし歯のある人の割合を求めましょう。
上記の問題は，割合を求めているだけなので，割合を求める必然性がない。これでは，主題の意味で述べた割合の意義を子どもが実感を伴い理解することができない。そこで，下記のような割合同士を比較するような問題に作り替える。
たくみさんの学級では，学級の人数の 80％の人がむし歯でした。
もえさんの学級の人数は 36 人で，そのうちむし歯のある人が 27 人います。
たくみさんの学級ともえさんの学級では，どちらがむし歯の人の割合が多いでしょう。

このように，必ず 2 量の関係と別の 2 量の関係を，相対的な大きさ（割合）で比較したり，絶対量（基準量，比較量）で比較したりする課題を，単元を通して３つの小単元で段階的に位置付ける。
①相対的な大きさの考察
第1時
差での比較ではなく，倍での比較をする場面があることを理解する。
A さんは，シュートを 20 回，ゴールを 10 回。B さんは，ゴールが 12 回，投げた数は，忘れました。 B さん
が，何回シュートをしたとき A さんと同じシュートの正確さになるでしょう。

第2時
倍の表現方法である百分率を理解し，百分率を求めて，比べることができるようにする。
A さんの学級では，学級の人数の80％の人がむし歯でした。B さんの学級の人数は 36 人で，そのうちむし
歯のある人が 27 人います。A さんの学級と B さんの学級では，どちらがむし歯の人の割合が多いでしょう。

第３時
倍の表現方法である歩合を理解
し，歩合を求めて，比べることができるようにする。
A さんは，16 打席に入って７安打でした。B さんは，15 打席入って，６安打でした。どちらがよく打つバッターといえますか。

②絶対量の考察
第4時
数直線を使い比例的推論をもとに，比較量を求め，その量をもとに比較できる。

第５時
割合をだけを比較するといけない場面から，基準量を明らかにする大切さを理解することができる。

第６時○％引きや○割引きの倍の表現を理解し，比較量を求めることができる。

A さんは，300 円持っています。B さんは，A さんの 80％持っています。
C さんは，A さんの１2０％のお金を持っています。
誰が一番多くのお金を持っていますか。また，B さんと C さんはどちらがいくら多くお金をもっていますか。

A さんは，300 円持っています。B さんは，A さんの 80％持っています。
C さんは，B さんの１2０％のお金を持っています。
前回の問題と同じ数値だか
ら，答えは，同じで B<A<C と言えますか。その理由も書こう。

定価 100 円のお菓子があります。A のお店では，このお菓子を定価の 10％引きで売っています。 Bのお店では，このお菓子を定価の 85％で売っています。
どちらがどれだけ安いですか。

7【27「ふくおか教育論文」】

第７時
数直線を使い比例的推論をもとに，基準量を求め，その量を比較できるようにする。
ハイキングコースのうちの 9 ㎞を歩きました。これは，全体の 60%です。
ジョギングコースのうち12km を 走 り ま し た 。 こ れは，全体の 50％です。
どちらのコースがどれだ
け長いでしょう。

③相対的な大きさと絶対量の考察
第 8・9・10 時

第 11 時

円グラフ・帯グラフの全体量に占める部分量を捉えやすいよさやそのことを理解し，円グラフと帯グラフをかくことができる。

円グラフと棒グラフを組み合わせた，基準量と割合が複数のグラフで表わされた問題を解くことができる。

第８時…円グラフをかく練習
第９時…帯グラフをかく練習第 10 時

1 月に切り傷をした人が多いのは東小と西小のどちらですか。
（東京書籍 新しい算数５年下 参考）「みらいさんの町のコメの農業生産額は，１９９０年と2010 年を比べると減っています。」と A さんは，言いました。このことは，正しいですか。その理由も書こう。
（啓林館 算数５年下 参考）（２）数直線と比例的推論を用いた倍概念の繰り返し学習
割合は 2 量の関係を，倍を使って表しているので倍概念のひとつである。また，以下に挙げる基準量と比較量，割合の問題は，倍が百分率の表現に変わっただけである。
基準量

比較量

小数の乗
法と除法

ハイキングコースのうちの 9 ㎞を歩きました。これは，全体の 0.6倍です。全体の道のりは，何㎞でしょう。

ハイキングコースは，15 ㎞です。
全体の 0.4 倍歩きました。今，どれだけ歩いたでしょう。

割合の単元
での内容

ハイキングコースのうちの 9 ㎞を歩きました。これは，全体の 60%です。全体の道のりは，何㎞でしょう。

ハイキングコースは，15 ㎞です。
全体の 40%歩きました。今，どれだけ歩いたでしょう。

さらに，畦森割合
ハイキングコースは，15 ㎞です。
今，9 ㎞歩きました。今歩いた距離は，全体の何倍ですか。
ハイキングコースは，15 ㎞です。今，9 ㎞歩きました。
今歩いた距離は，全体の何％ですか。

宣信は「ベーシックな考え方 算数教材論」の中で，「割合を求める計算は，倍を求める計算と同じであるから，倍の学習が，割合の学習の素地となる。」と述べている。つまり，第 5 学年の割合単元の大部分は，既習の小数の乗法と除法の学習からの繰り返しでもあり，ここに倍同士を比べたり，全体と部分の量を相対的に捉えたりといった視点が新しく入ったものということができる。そこで，倍（割合）と基準量と比較量を求める場
合，第 5 学年の小数の乗法と除法で用いた数直線による数の関係の捉え方と比例的推論による立式を使い関連を図る。
① 二つの数直線
問題に出てくる数の関係を表現する方法として，数直線を用いる。これは，子どもが交流するときに統一している方が，話し合いの土台となると考えたからである。子どもが用いる数直線は，右のような二直線のものである。

8【27「ふくおか教育論文」】

② 比例的推論による立式
比例的推論とは，伴って変わる２つの量 x と y があり，x を p 倍すると，それに対応する y の量も p 倍になるであろうと論じることである。そこで，上記の数直線をもとに，□を求めるには，１を□倍すればよいのであって，比例的推論を用いて，A×□＝B という
センテンス型の式ができる。これをもとに，□＝B÷A という式が導き出される。
杉山 吉茂は，「初等科数学科教育学序説」の中で，比の三用法を教科書に乗せる必要はないと述べている。そこで本研究では，比の三用法を公式として覚え，文面から数を形式的に当てはめさせるのではなく，数直線を用いて，数の関係を明らかにした上で比例的推論をもとに立式する。
③ 各単元での比例的推論による数直線の取り扱い
今までの各単元での数直線による数の関係の捉え方と立式，留意点は，以下のように行ってきている。これらをふまえ，割合の単元でも数直線と比例的推論による立式を行う。
単
元

小数の乗法

小数の除法

小数倍

単位量当たり・数直線での数の関係の捉え方

・一方の数直線が割合

・数直線に異種の二量・数直線から比例的推論による立式の方法。

を表し，基準量を１とみの一方を必ず存在する【① の立式の説明】

る見方

公約数の 1 にそろえ，そ「１を 3.5 にするためには，×3.5 をする。」「1 に対応

・基準量の捉え方

れに対応する量を比例【③の立式】

取
り
扱
っ
た
数
直
線
【①の立式】

留意
点【②の立式】する 7.5 も×3.5 するといいので，式は 7.5×3.5」

的推論によりもとめ，比【②の立式の説明】

べる見方「１を 2.4 にするためには，×2.4 をする。」「1 に対応する□も×2.4 するといいので，式は□×2.4=1.2」【② の立式の説明】

立式 方 法 の 継 続「2.4 を１にするには÷2.4」「それに対応する 1.2 も÷2.4 するので，1.2÷2.4」

これ
今後の繰り返し学習に位置づく単元
例

割合の単元

速さの単元

9

【27「ふくおか教育論文」】

分数の乗法と除法の単元

（３）構想図（４）検証計画
検証
する
力

研究仮説

検証における目標

比
較
・
判
断
力

基準量・割合・比較量それぞれを比較する
課題を設定すれば，
比較・判断力が高まるであろう。

相対的な大きさや
絶対量を用いて，問題を解決できるかを調べる。

解法
力割合単元を小数の乗法と除法の繰り返し学習として位置づけて，立式に伴う思考を関係づければ，解法力が高まるであろう。

必要な数量として，基準量・比較量・割合を，求めること がで きるか
を調べる。

検証資料
単元前と中と後の調
査プリント
抽出児の観察A 児･･･算数が苦手
子どものノート
抽出児の観察A 児…算数が苦手

収集場面
・単元前
・小単元①の後・単元後
第 1 時，第２時，第５時，第 11 時

実践の過程

子どものノートと板書
テスト結果

単元後

処理・解釈方法
問題の達成人数の比較発表や少人数班での話し合いの内容の検証
ノートのまとめの記録の検証
発表や少人数班での話し合
いに，数直線と比例的推論が使われているかの見取り
ノートの数直線が生かされているかの集計テストでの平均点の比較【単元前調査プリント】
内容

確認内容

① 倍は，何のために求めると思いますか？

① 倍を求める意義を知っているか。

② 23 年度のたけしさんが借りた本の冊数は，23 年度の学級
全員が借りた本の冊数の 0.１２倍でした。
25 年度のたけしさんが借りた本の冊数は，25 年度の学級全員が借りた本の冊数の 0.１倍でした。
ぼくの借りた本の数は，去年に比べて増えていますか。減っていますか。
増えている
減っている 変わらない 分からない
理由② 基準量がない場合は，割合による絶対量の比較ができないことを判断で
きるか。

10

【27「ふくおか教育論文」】

【単元中（相対的な大きさの小単元後）調査プリント】
内容

確認内容

① 割合は，何のために求めると思いますか？

①割合を求める意義を知っているか。

【単元後調査プリント】
内容①

A の学級は 40％の人がむし歯です。
B の学級は，45％の人がむし歯です。
どちらの学級がむし歯の人数が多いですか。

② 平成 24 年度の割合の調査問題（達成率 23.8％）

確認内容① 基準量がない場合
は，割合による絶対量の比較ができないことを判断できるか。
② 2 量の関係を割合から比較ができるか。
（全国との正答率の比較）③ 平成 25 年度の割合の調査問題（達成率 44.4％）③ 割合が同じ場合に，基準量による比較ができるか。
（全国との正答率の比較）

５ 研究の実際（１）検証事例Ⅰの実際と考察 （小単元 相対的な大きさ 第 1 時と第 2 時）
【検証内容】

・倍の見方と差の見方の比較活動の有効性（第 1 時）・割合の比較活動の有効性（第２時）
・数直線と比例的推論による割合を求めることの有効性（第２時）

11【27「ふくおか教育論文」】

【第１時】
つかむ
たいが

てつや

20

24
？

投げた数
（回）
入った数
（回）

10

たいがさんとてつやさんが同じシュートの正確さになる場合は，入った数が何回の時でしょう。

14/31 名の子どもが，14 回と２量を差の関係でとらえ，17/31 名の子どもが，12 回と 2 量を倍の関係でとらえていた。次に，２つの捉え方を「差の見方」と「倍の見方」といった子どもの言葉で
表現した。
（資料４）
【資料 4 二つの見方】
この二つの見方のどちらが正しいのかといった課題を提示しめあてを立てた。
つくる「てつやさんの場合だと，どちらの見方も正しそうだね。どうしようか。」と発問した。子どもは，今までの経験から，「他の場合を考えるといい。」と答え，他の場合をいろいろ考えることを見通しとすることができた。
子どもは，仮説を立て考え，差の見方において，10 回で 0 回，10010 回で 10000 回が同じ正確さになるので，差の見方がおかしいことを話し合いの中で気づき，共通理解することができた。
（資料５）しか仮説

し，倍の見方の正しさを明らかにすることができな
【資料 5

かった。

仮説を立て考えたノート】

深める
りょうた
投げた数
（回）
入った数
（回）

30
18

りょうたさんとたいがさん
は，どちらが上手でしょう。

追事象では，「18÷30＝0.6

0.6 倍はたいがさんの0.5 倍より大きいから，りょうたさんの方がうまい」【資料【資料 66 倍を求めたノート】と答えた子どもが 20/31 人。（資料６）「りょうたさんは，投げた数の半分よりも多く入っているから，
りょうたさんよりうまい」と答えた子どもが 8/31 人だった。
（資料７）全体交流のときに，全ての子ども
が正しく比較することができた。
資料
7 7子どもの仮説による説明【資料
仮説による説明のノート】
振り返る
子どもは差の見方と比べ，倍の見方を意識したまとめを書いた。
（資料８）
最後に，このような倍の見方を使った学習をしていくことを抑え，本時学習を終了した。

12

【資料 8

【27「ふくおか教育論文」】

授業後のまとめ】

第一時を終えての改善点
差の見方がおかしいことは，理解できたが，倍の見方が正しいことをはっきりと示すことができなかった。そこで，第 2 時の前に，倍の見方が正しいことを以下の教材で確認した。
て
つ
や
た
い
が

【資料 9

倍の見方が正しいことを視覚的に捉える教材】

上記のような１に縮小する操作を見せた。倍の捉え方をすると，1 にそろえたときに入った
数の視覚的な量が常に同じ量になる。それを見た子どもは，「やっぱり倍の見方が正しいんだ。
」と，シュート正確さにおいて，倍の見方が正しさをはっきりとさせることができた。
【第２時】
つかむ
A さんの学級では，学級の人数の 80％の人がむし歯でした。B さんの学級の人数は 36 人で，そのうちむし歯のある人が 27 人います。A さんの学級と B さんの学級では，どちらがむし歯の人の割合が多いでしょう。
結果の見通しにおいて，A さんの学級と答えた子どもが１５人。B さんの学級と答えた子どもが 13 人。分からないが 3 人だった。また，方法の見通しでは，すぐに検証 B 児から「倍を求めて比べるといいから，数直線を使います。」といった発言が出た。
つくる
センテンス型の式

１名が差で考え，36－27 と書いていたが，近くの子どもが「倍で考えんと分からんよ。この前の授業のときみたいに，9 回の差だと 9 人で 0 人でも同じになるから，おかしいよ。」と第 1 時の学習をもとに，アドバイスをだしていた。全員の子どもが数直線をもとにセンテンス型の式をつくり，割合を求め比べることが【資料 10 子どもの立式の様子】できた。（資料１０）また，6 名は，「もし，A さんの学級の人数を 36 人とすると，むし歯の人はその 0.8 倍で，28.8 人になります。B さんの学級は，27 人なので A さんの学級の方が多い」と基準量が一緒と仮定して，比較量をもとめて比べることができた。この考え方を思いついたか尋ねると，「第 1 時の仮説を考えた授業から」と答え，第 1 時の仮説の考えがここで活用されていた。
深める
A 列車の定員が 35 人で，28 人乗っています。B
列車の定員が 40 人で，30 人乗っています。乗車率（混み具合）が高いのは，どっちらでしょう。
全ての子どもが数直線を使い，比例的推論をもとに立式し，割合を用いて比較することができた。
（資料11）そして，「80％と 75％だから，A の列車の方が，乗車率が高い」と答えることができた。

13【資料 11【27「ふくおか教育論文」】

追事象での立式の様子】

振り返る
本時の感想では，数直線を使って解くと簡単

数直線のことだといったものやダブルがここでも出てきたといったものが多く見られた。
（資料 12）※ ダブルとは，小数のかけ算とわり算の単元において，２つの数直線を使って解く方法を子どもが命名したものである。

【資料 12

授業後の感想】【検証事例Ⅰのまとめと考察】◯ 倍の見方と差の見方の比較活動の有効性
倍の見方と差の見方を比較させたことは，比較・判断力を高めるために有効であった。
これは，差の見方をしていた子どもへ，他の子どもが「9 回の差だと 9 人で 0 人でも同じになるから，おかしなことになるよ。
」といった発言から分かる。
◯ 割合の比較活動の有効性
比較活動を位置づけたことは，比較・判断力を高めるために有効であった。
これは単元前の調査プリント，「倍は，何のために求めているのでしょう。」と子どもに聞いたところ「比べるため」と答えた子どもが３/31 名だった。第３時後の単元中調査プリント
で「割合は，何のために求めているのでしょう。」と質問をしたところ，31/31 名の子ども
が「比べるため」と答えた。このことから子どもは，割合を比べる手段として捉えていること【資料 13 割合を比べる手段と見ている児童の変化】が分かる。
（資料 13）◯ 数直線と比例的推論による割合を求めることの有効性
数直線と比例的推論を用いた倍概念の繰り返し学習として位置付けたことは，解法力を高めることに有効であった。これは，以下の２つから判断できる。
・全ての子どものノートにおいて，数直線をかき，比例的推論を用いて解を求めており，（資料 11）子どもの感想に中に，「かんたんだった」と書いていることから良さを実感していることが分かる。
・子どもの感想の「割合の勉強も」といった文面から，割合と今までの倍概念の単元が結【資料 14

びついているといえる。
（資料 14）14【27「ふくおか教育論文」】

検証 A 児の感想】

(２) 検証事例Ⅱの実際と考察 （小単元 絶対量 第４時と第５時）【検証内容】

・比較量の比較活動の有効性（第４・５時）
・数直線と比例的推論による比較量を求めることの有効性（第４・５時）

つかむ（第４時）
A さんは，300 円持っています。B さんは，A さんの 80％持っています。C さんは，A さんの 120％のお金を持っています。誰が一番多くのお金を持っていますか。また，B さんと C さんはどちらがいくら多くお金をもっていますか。
ほとんどの子どもが右のように数直線を使って，「A さんがこれだけだとすると，B さんは，これくらいで，Cさんは，このくらいになるから，B<A<C です。
」と割合をもとに書いていた。
（資料 15）特に検証 A 児は，割合【資料 15

数直線による表現】

で考えることを理解することができた。
つくる（第４時）「C さんは B さんより，いくら多くお金を持っていますか」と発問すると，子どもからは「二人の金額を求めないと分からない」と絶対量による比較の必要性がいるとの応答が返ってきた。
ほとんどの子どもが，B さんと C さんの実際のお金を【資料 16

二人の金額から求める考え】【資料 17

差額の割合から求める考え】

求めて，答えを導き出した。（資料 16）
また，B さんと C さんの割合の差が４０％あることから，また，二人の差額を求めることができた子どもが
12/31 人いた。(資料 17)全体で交流するときに，この方法が使えるのは，B さんと C さんの割合の基準量が同じ
A さんであるから使えることを共通理解した。

15【27「ふくおか教育論文」】

深める（第５時）
A さんは，300 円持っています。B さんは，A さんの 80％持っています。C さんは，B さんの 120％のお金を持っています。誰が一番多くのお金を持っていますか。
藤木君は，この問題を見て，「さっきの問題と数値が同じだから，答えも同じで B <A< Cです。
」と答えました。藤木君は，正しいですか。その理由も説明しよう。
30 名の子どもが違うと答えた。そこで，「数値がどこも変わらないんだから，答えが変わるはずがない
よね」とゆさぶり発問をした。
基準量の違いを根拠にした子どもは，10 名だった。そこで，少人数の班で話し合いを行った。その後の全体交流では，C 児が「C さんのもとにする量が B さんになっていて，最初の問題と違うから，答えも変わります。」と発表した。（資料１８）次に板書では，検証 A 児が数直線を使【資料 18 C 児の説明のノート】って立式し計算しながら，「B さんは，240 円ですよね。C さんは，288 円ですよね。だから，B<C<A になりますよね。
だから，藤木君は，間違いと思います。」と説明した。
（資料 19）【資料 19 A 児の板書】振り返る（第５時）

感想としては，割合で比べるには，どの基準量に対する割合なのかを明らかにしなければならない
といった感想が多く見られた。
【検証事例Ⅱのまとめと考察】◯ 基準量の異なる割合の比較量の比較活動による，比較・判断力の高まりの有効性
これは，子どものまとめの中に，基準量に気を付けないと，割合で比べることができないと全ての子どもが書いていたことから分かる。
（資料 20）
このことから，絶対量で比較することを判断 【資料 20

子どもの基準量を意識した感想】

できる子どもが育ったと言える。
◯ 数直線と比例的推論による比較量を求めることによる，解法力の高まりの有効性
割合単元を数直線と比例的推論を用いた倍概念の繰り返し学習として位置付けたことは，解法力を高めることに有効であった。
これは，全ての子どもが数直線をかき，比例的推論を用いて解を求めていたことから分かる。
また，資料１９のように検証 A 児が数直線を使って，説明できたことからも，数直線を使うことの定着が見られた。
このことから，絶対量を取り出すことができる子どもが育ったと言える。

16【27「ふくおか教育論文」】

(３) 検証事例Ⅲの実際と考察 （小単元 相対的な大きさ・絶対量 第１０時と第１１時）【検証内容】

・相対的な大きさか絶対量かを判断する比較活動の有効性（第１０・１１時）
・数直線と比例的推論による比較量を求めることの有効性（第１０・１１時）

つかむ（第 10 時）

1 月に切り傷をした人数が多いのは，東小学校と西小学校のどちらですか？
（東京書籍 新しい算数５下 参考）「切り傷の 20％と 16％だけを直接比較してはいけない」と答えた子どもは，25/31 人。その中で，「基準量の違いを根拠にした子ども」は 12/31
人だった。
（資料 21）見通しが持てない子ども【資料 21 子どもの見通し】
は，6 人。※ 見通しの段階で基準量と割合の関係から比較しようとする子どもが 15 名増加（第 6 時と比較）
つくる（第 10 時）
割合同士を比べてはいけない根拠について，少人数班で話し合いを行った。分からないと答えた
6 人の子どもは，実際の切り傷の人数（比較量）
を求める式を考えることで，割合同士を直接比べてはいけないことを理解することができた。その後，全体交流で割合同士を比べると，基準量が違うから比べることができないことを共通理解し【資料 22た。また，ノートからわかるように数直線をもとに，立式し比較量を求めることができていた。
（資
料 22）

17

【27「ふくおか教育論文」】

子どもの立式の様子】

深める（第 10 時）
追事象（大日本図書 たのしい算数５下 参考）
30/31 名の子どもが，基準量の違うことを根拠に「増えていない」と答えを出した。そして，実際の数値を求めなければならないことから，数直線に数の関係を書き，問題を解くことができた。（資料 23）1 名には，助言として，「もとにする量がどれですか。」と聞くと【資料 23

児童の立式の様子】「4080 万 km2 と 3950 万 km2 です。
」と答えた。そこで，「基準量が違うけど，割合だけでみていいかな。
」と発問すると，「実際に求めてみます」と答えを出すことができた。その後，「アジアの森林面積は，増えていますか。
」と発問した。A 児が「減っています。なぜなら，もとにする量が減っていて，割合が同じだから」と答えた。
振り返る（第 10 時）
ほとんどの子どもが右のノートのように，基準量と割合の両方を確認することの大切さを実感したことを書いた。

【資料 24

子どもの感想】【検証事例Ⅲのまとめと考察】○ 相対的な大きさか絶対量を判断する比較活動による，判断・比較力の高まりの有効性
これは，以下の２点から言える。
・子どもの見通しの段階で，どちらで考えるべきかを判断していたノートの記述から。（資料２１）・基準量と割合の両方を見ることの大切さに気付いた授業の感想から。（資料２４）・第 12 時の子どもの理由において，基準量が違うと，割合同士で比べてはいけないことを理解し，計算で求めると判断していることから。（資料２５）
これらのことより，相対的な大きさと絶対量のどちらで比較するか判断できる子どもが育ったと言える。
○ 数直線と比例的推論による比較量を求める
ことによる解法力の高まりの有効性
全ての子どもが第 10・11 時でも数直線をかき，比例的推論を用いて解を求めていたことから分かる。
（資料 25）このことにより，相対的な大きさと絶対量を取り出すことができる子どもに育ったと言える。
判断している文【資料 25 第 12 時の問題と子どものノート】

18【27「ふくおか教育論文」】

（４）全体考察① 比較・判断力が高まることに，比較活動が有効であった。これは，以下の調査プリントの結果から分かる。
【単元前と単元後の調査プリントから】単元前の調査問題

単元後の調査問題

23 年度のたけしさんが借りた本の冊数は，23 年度の学級全員が借りた本の冊数の 0.１２倍でした。
25 年度のたけしさんが借りた本の冊数は，25 年度の学級全員が借りた本の冊数の 0.１倍でした。
23 年度と 25 年度では，たけしさんが借りた本の冊数が多いのはどちらですか。

A の学級は 40％の人がむし歯です。
B の学級は，45％の人がむし歯です。
どちらの学級がむし歯の人数が多いですか。

【資料 26

調査問題の正答率を比較したグラフ】

考察
単元前，28 名の子どもは倍の数の大きさに目が行き，倍同士で比べると安易に判断してしまっていた。しかし，単元後は，全員が倍（割合）で比べることができるかどうか，基準量を根拠に判断することができていた。
（資料 26）これは，必ず課題が比較することを目的としており，つねに何を比較するのかを考えさせたことが有効であったと考える。これは，以下の第６時と第 12 時の子どもの感想からも明らかである。
【単元後の調査プリントの学力調査問題の全国との正答率の比較から】①

平成 24 年度の割合の調査問題
2 量の関係を割合で比べる問題【資料 27② 平成 25 年度の割合の調査問題割合が同じ場合に基準量で比べたり，比較量を求めて比べたりする問題

H24 と H25 の全国学力調査の全国達成率との比較】考察
平成 24 年度の 2 量の関係を割合で比較する問題の正答率が 97％。平成 25 年度の基準量で比較したり，比較量で比較したりする問題の正答率が 93％。ことから，比較・判断力がしっかり身についているといえる。(資料 27)これは，単元を貫く比較活動を取り入れたことで，子どもが常に何で比較をするべきかを考えさせたことが有効であったと考えられる。

19【27「ふくおか教育論文」】

② 数直線による比例手的推論を繰り返し学習すると解法力が高まった。
右の表から分かるように，市販テストでは，どの観点においてもほぼ満点に近い平均をとることができた。
（資料２8）
また，受けた市販テストの一部から分かるように，全ての子どもが数直線を書いて，比例的推論をもと【資料 28市販テストの達成率】に立式していた。
（資料２9）
このことから，解法力の高まりに数直線による比
例手的推論を繰り返し学習することが有効であった。

【資料 29③単元後の感想から比較・判断力と解法力の高まりが分かる。

市販テストの児童の解答欄】

最初に赤の下線部のように割合は，簡単といった感想があった。また，青の下線部のように，数直線を使うと必要な数値が得られることを実感していることが分かる。さらには，緑の下線部から，割合を比較するときの判断基準を獲得していることが分かる。最後に，紫の下線部から，割合を日常生活で活用できていることが分かる。
（資料 30）【資料 30

単元後の子どもの感想】④ 平成 26 年度の全国学力調査の結果から解法力の高まりが分かる。
平成 26 年度の全国学力調査においても，割合を扱った問題において，全国と比較しても高い達成率だったことから，2 量の関係を考察できる子どもの育ちが分かる。
（資料 31）8 成果と課題【資料 31 H26 年度の全国学力調査の達成率】○ 比較する課題を設定すると，子どもは，割合を比較の手段として理解することができ，基準量・比較量・割合のどの数値で比べるとよいかを判断し，事象を比較することができるようになった。
○ 数直線と比例的推論を用いた倍概念の繰り返し学習と位置付けて，立式から解法までをおこなった
ことは，子どもに解法力を高めるために有効であった。
△ 小数の乗法と除法の繰り返し学習として，割合単元を位置付けたように，倍概念の系統性を学年ごとのカリキュラムで明らかにすること。
△ 比較といった視点からの他の単元の構成の見直し。
引用文献
・文部科学省(2008)『小学校学習指導要領解説 算数編』,東洋館出版社,Ｐ.162
・畦森 宣信 (1983)『ベーシックな考え方 算数教材論』,日本教育研究センター,Ｐ.173
参考文献
・杉山 吉茂(2008)『初等科数学科教育学序説』,東洋館出版社
・赤羽 千鶴編(1961)『新算数教育講座⑤ 数量関係』,吉野書房

20【27「ふくおか教育論文」】