解説

先進セラミックス研究センター年報（2014）．Vol．3，11-16

構造解析におけるベイズ推定の応用
井田隆

名古屋工業大学先進セラミックス研究センター〒 507-0071 岐阜県多治見市旭ヶ丘 10-6-29

Application of Bayesian Inference to Structure Analysis
Takashi Ida
Advanced Ceramics Research Center, Nagoya Institute of Technology
10-6-29, Asahigaoka, Tajimi, Gifu 507-0071, JAPANThis article describes basic concepts of statistical estimation based on experimental data, including（i）Bayesian inference,（ii）maximum a posteriori estimation,（iii）maximum likelihood estimation, and（iv）least-squares estimation. It is emphasizedthat Bayesian inference is nothing but calculation of “conditional probability”, which is written in textbooks of high-schoolmathematics in Japan. Bayesian approach allows any prejudice, biased ideas, preconception, and never forces us to get rid ofthem. The basic concept of Bayesian inference explicitly assumes that we can never reach the absolute truth, but we can always
approach to the truth at the same time. A simple implementation of Bayesian inference in crystal structure analysis based on X-ray
diffraction measurements is proposed.

１．はじめにれば、単結晶試料を用いたＸ線回折実験は、事実上決定研究室では、実験データに基づいて、何らかの物理量や的な方法でありつづけてきたと言える。一方で、不純物や幾何学的な対称性を推定する作業が頻繁に行われる。Ｘ

構造欠陥を含み、通常は多相混合物として応用される実用

線回折実験から得られるデータに基づいて結晶構造を推定

材料の直接的な評価が望まれる社会的な要請から、粉末Ｘ

しようとする作業は、その典型的な例のうちの一つである。

線回折法による構造推定の重要性も高くなっている。粉末Ｘ

化学組成と温度・圧力が確定すれば、エントロピーも含め

線回折測定は、単結晶試料を用いた測定に比べると実験的た自由エネルギーの観点から「最も熱力学的に安定な結晶に得られる情報が少ない。もし他の実験（特に電子顕微鏡

構造」は一意に決まるはずだから、Ｘ線回折データに基づ

観察、電子回折実験、Ｘ線吸収分光測定など）や、第一原

いて結晶構造を推定することは、まず第一に、この「正し理的、経験的な理論計算の結果を有効に利用すれば、さらい結晶構造」を求めようとすることであると考えてもよいだに粉末Ｘ線回折実験を活用することができるであろう。また、ろう。

粉末Ｘ線回折実験に限っても、条件の異なる測定結果を繰

回折実験に基づく「空間群 決定」 では、伝 統的に消り返し、総合的に構造推定の妥当性を判断できることが望

滅 則というル ール が用いられる。運 動学的な回折理論

ましい。このために、「ベイズ推定」Bayesian inference とkinematical theory of diffraction に基づけば、結晶構造呼ばれる方法を応用しうると考えられる。

が特定の対称性を持つ場合に、特定の「偶奇・ゼロ」パター

その一方で、単結晶試料を用いるか粉末試料を用いる

ンの指数を付けられた回折斑点が消失しているように見えるかに関わらず、回折実験の結果に基づく結晶構造推定にはことになるので、これから候補となる構造の対称性を絞り込

長い間「最小二乗推定」という方法が用いられてきた。筆める。しかし、「対称性から消滅する」ということと、「観測者は最近、確率論的な推定法としては最小二乗法の上位できなかった」ということは、本来区別することができない概念にあたる「最尤推定（さいゆうすいてい）」maximum

はずであることを注意しておこう。

likelihood estimation（ML 推定）という手法を適用する

特に粉末試料を用いた回折実験では、単結晶試料を用いことにより、粉末Ｘ線回折データから、最小二乗法に基づた丁寧な回折実験で観測される「弱い回折」を明瞭なピー

くリートベルト法 Rietveld method と呼ばれる方法 [1] よクとしては検出できない場合も少なくなく、この見落としがり、もっともらしい構造を推定できる例が少なくないこと

深刻な誤認とみなされる可能性もある。

を示した [2–4]。しかし、ML 推定は最大事後確率推定
maximum a posteriori estimation（MAP 推定）の下位概

純物質の熱力学的に安定な結晶構造を推定することに限－ 11 －

構造解析におけるベイズ推定の応用念にあたり、MAP 推定はベイズ推定の下位概念にあたるとれる。したがって、
公的な表明としては許されにくいとしても、通常考えられている。筆者が本稿で主に取り上げようとする「冤罪はありうる」ので「冤罪をなるべく少なくするための努「ベイズ推定」に比べると、筆者が実際に演示した ML 推

力をしよう」と思っても良いだろう。
たかが「条件付き確率」のことで大げさのようだが、ベイ定は、まだ「下位」の「下位」の概念でしかない。リートベ
ルト法で用いられる最小二乗法は、さらにその下位の概念でズ推定が理解しがたいと思われることの根の一つは、このあると言える。しかし、そうだとしても、性急に最小二乗法

ように「心情的に許しがたい」という自然な心の動き方にあという方法を軽視する立場は取らない方が良いだろう。このると推測される。

方法は、200 年以上の長い間使われてきたのにも関わらず、

さて、ベイズ推定は、実験結果 experimental results（X ）その意味が誤解されがちである。むしろベイズ推定と呼ばに基づいて、仮説 hypothesis（H ）の妥当性を確率的に評れる推定法の考え方と関係付けることによって、論理の基盤

価するものとみなすことができる。日本の高校数学の記法が明確になり、最小二乗法という方法をどのように位置付けでは、この条件付き確率を P X（H ）と表す。

るべきかが、より明確になるのではないかと思う。

ベイズ推定の考え方を、回折実験に基づく構造推定に適

そこで、本稿では、はじめにベイズ推定、MAP 推定、用するとしたら、「実際に回折実験をした結果 X に基づいて

ML 推定、最小二乗推定という確率論的な推定の体系につ

仮想構造モデル H の正しさを確率論的に評価する」といういて概説する。さらに実験データに基づいて物質の構造を意味のことをすることになる。ベイズ推定では、実験結果推定する目的で、ベイズ推定と呼ばれる方法がどのように応X の出現する確率を P（X ）とすれば、P（H ）P H（X ）=P（X ）P X（H ）

用しうると考えられるかについての一端を述べることにする。

（1）の関係（ベイズの定理）があるはずだから、P X（H ）=P（H ）P H（X ）/P（X ）２．確率論的な推定
２．
１

（2 ）

という式によって P X（H ）を求められるという考え方をする。

ベイズ推定

ベイズ推定という考え方がいつ成立したのかは、必ずし

ここで P H（X ）は、「仮想構造モデル H に基づけばどのよも明確でない。おそらく今でも否定的に思われることが少な

うな実験結果 X が予想されるか」を意味し、普通の意味で、くないので、ある意味では、まだ成立していないのかもし

教科書に書いてあるような「理論」と呼ばれるものと大きくれない。しかし、この方法の中身は高校の数学で習う「条違わない。ところが、P H（X ）と P X（H ）とでは、因果の関件付き確率」を導くことに過ぎないので、ベイズ推定が理係が逆転しているように見えるので、このことが混乱の一因

解できないなら、高校の数学から勉強し直すと良い。ただし、になるかもしれない。そこで、以下のように思えば良いと言「条件付き確率」は、高校数学の中でも意味が理解しにくいおう。
原因H のせいで結果X があるはずなのは変わらない。

と思われがちな項目のうちの一つであることは確かである。

P X（H ）という表現は、結果 X から原因 H を推理しようと

ベイズ推定の考え方を端的に表す事例としては、法廷でしているだけのことである。

資料として用いられる DNA 鑑定があげられる。DNA 鑑定
では、例えば「犯行現場から採取された毛髪が容疑者のもベイズ推定が応用されるとき、実際には上述の関係だけではなく、さらに、

P（X ）=Σ HP（H ）P H（X ）のである確率が 99.99999% 以上である」という結果が示さ（3）れる。この毛髪は容疑者のものであるか、そうでないかのの関係も用いられる。このことに関しても、違和感が持たどちらかに決まっているのに、そのことを 1 でも 0 でもない

れるのは自然であり当然であろう。この式（3）が意味する

中途半端な確率の数値で表現するのは奇妙なことのように思ことは、「想定したこと H とその理論的な帰結 P H（X ）しかわれるかもしれない。また、もちろん容疑者の毛髪が犯行考えないことにする」という宣言でもあるからである。しか現場に遺留されていたとしても、その容疑者が犯人であるとし、このような態度をとっても許されるのであれば、確かには限らないのだが、それは別として、どのように高精度な科学捜査に基づいたとしても、犯人を誤認して冤罪を着せてしP（H ）を決めれば、式（2）,（3）から、実験結果 X に基づいて仮想構造モデル H の正しさを確率論的に評価できる

まうことが、例えば 0.00001% 以下の確率だとしても、ゼロことになる。
仮想構造モデル H には複数の対称性の異なる結晶構造ではない確率で生じうることも暗示されている。
したがって、「冤罪は決して許されない」「疑わしきは罰せ

モデル A, B, C, … が候補として含まれていても良いし、個々ず」としたら、どのような処罰も正当化することができない。

の結晶構造モデルは連続変数で表されるような未知のパ「冤罪の可能性があったとしても、社会秩序を維持するためラメータを含んでも良い。ベイズ推定に基づけば、結晶構に公的な機関による制裁を加えることが有効である」という造モデル A, B, C, … のそれぞれが正しい構造である確率

立場を取れば論理的には整合するが、この立場は冷酷で非を計算できるし，個々の結晶構造モデルが含むパラメータ

情に見え、感情的に受け入れがたく思われるだろう。しかし

α1, α2, …; β1, β2, … ; γ1, γ2, … として、
（χ j ）min < χ j <（χ j ）という関係を満たす
max（χ = α, β, γ, …; j = 1, 2, … ）確率が、任意の（χ j ）min,（χ j ）max の設定に対して求められ歴史的に見れば、社会秩序を形成・維持するために、処罰をともなう法制度が有効であったことも間違いないと考えらを－ 12 －

井田隆

るはずである。このことは、例えば 30 年前には先端的なもっともらしく見える構造が、どの程度信用できるか」“ how

研究に従事する科学者でも「事実上不可能」と思っていた

much can it be believed ”ということを求めようとしていることだったかもしれないが、現在はかなりの水準で実現しうのである。

るし、近い将来には「実現できるのが当然」ということにな
２．２

ると思われる。

最大事後確率推定

ベイズ推定の文脈の中で用いられる確率 P（H ）は、実

個人的なレベルでベイズ推定の考え方に少しは好感が際に実験をする前に予想された確率だという意味で事前確持てたとしても、なんらかの形で「意志」を決定すること

率 prior probability と呼ばれ、条件付き確率 P X（H ）は「結局のところ正しいこ
decision を要求される場合がある。

実験結果あるいは経験 X に基づいて事前の予想を修正したとは完全にはわかりません」ということが、ベイズ推定の根

確率の値を意味するから、事後確率 posterior probability

本にある真実だとしても、社会的な生活を送る限り、「そうと呼ばれる。ベイズ推定の考え方では、事前確率 P（H ）だとして、どうするつもりなのか？」と問われることになるだ

は任意である。この意味で「主観的な確率」とも呼ばれる。

ろう。

極端な言い方をすれば、先入観でも良いし、偏見でも良い。

なんらかの意志決定を要求された場合に使える（あるい

これが、ベイズ推定の考え方の中で、最も奇妙で理解しがは使わざるを得なくなる）方法の一つが、最大事後確率推たいポイントではないかと思われる。

定 maximum a posteriori estimation であるとも言える。こ

実証主義・科学的な考え方では「先入観を持ってはいけ

れは、前節で示したベイズ推定の考え方の中に含まれる事ない」「客観的に判断するべきだ」と思われそうなのに対し

後確率 posterior probability を最大にする解を選択するとて、ベイズ推定のこのような論理は、それを真っ向から否定いうことであり、このように決めてしまえば P X（H ）を最大しているように聞こえるかもしれない。しかし、この考え方にするように仮説 H を調整し終われば、それで無限の連鎖

は、「はじめにどのような偏見を持っていたとしても、実験から脱出できることになる。

や経験、学習を積み重ねることによって、誤った偏見は改め

回折実験が物質の構造を推定するために決定的な方法でられて、正しい考えに近づいていくことが期待される」といあるのだとしても、MAP 推定を用いることにすれば、最終う意味を持つ。そして、経験や学習を繰り返して真実に近的な結論を導く前に、例えば元素分析や部分構造の情報、づこうとするこのような振る舞いを「ベイズ改訂」Bayesian

電子回折像、その他のいろいろなことを「どの程度信頼しupdate と呼ぶ。

うるか」考慮しながら取り入れることができるはずである。

二つの対立する仮説 A, B があったとして、どちらが正し

MAP 推定では先入観を持つことが許容されるので、それいかまったくわからなかったとしたら、これを数値で表すと、までの知識や経験を活用できるということはベイズ推定と同P（H =A）= 0.5, P（H =B）= 0.5 である。このことを前提として実験 X1 を行い、事後確率として P X1（H =A）= 0.7,
P X1（H =B）= 0.3 を得たとする。さらに実験 X1 とは独立じことである。その一方で MAP 推定を用いた時点で、その結果はもう改善の余地がなくなってしまうから、この点ではベイズ推定とまったく異なる性格も持っている。

とみなせる実験 X2 を行って、「実験 X1 の結果」と「実験なんらかの意思決定が要求されたとして、本当に「事後X2 の結果」を両方とも考慮に入れた推定結果が、例えばP（X1 and X2）（H =A）= 0.9, P（X1 and X2）（H =B）= 0.1 になった

確率最大の解」だけを選抜する MAP 推定が必要なのかととする。

については 3 節でもう少し詳しく検討することにする。

いうことは、よく考え直して見た方が良いだろう。このこと

これは事前確率として P（H =A）= 0.7, P（H =B）= 0.3

また、もし MAP 推定を使うと決めるなら、その前に「どを仮定して，実験 X2 の結果に基づく事後確率がうして確率を最大にする解（最頻値、モード）を選択しよう

P X2（H =A）= 0.9, P X2（H =B）= 0.1 になったということと同じである。つまり，実験 X2 の解析を行う前に、「P（H =A）= 0.7, P（H =B）= 0.3」という先入観をもつということに等れる解（不偏推定解）を選択したほうが良いかもしれないし、とするのか？確率を最大にする解より、偏りの少ないと思わ
ロバスト解（「異常値」の影響を受けにくい解）を選択したり、ミニマックス解（もっとも深刻な被害を想定して、それを最小しい。
先入観と言うと悪く聞こえるだろうが，それは，多くの場限にする解）を選択したほうが良いかもしれないのではないのか？」という問いに対する回答を準備しておいた方が良い。

合，それまでの知識や経験に基づく。
このような問題への処し方が許されれば、例えば粉末Ｘ
線回折実験だけで決定的な解答を導くことができなかった

２．３

としても、その実験は決して無意味なことではなく、なんら

最 尤 推 定 maximum likelihood（ML）estimation と最尤推定

いう方法は、20 世紀初頭に英国の生物統計学者である R.

かの意味を持たせることが可能である。
ベイズ推定が構造解析に正しく適用された場合、それは、「唯一の正しい構造」を求めるものではないし、「一番
もっともらしい構造」を求めるだけのものでもない。
「一見

Fisher が提案したとされるが [5]、ここではベイズ推定、
MAP 推定の文脈の中で位置付けることを試みる。
ベイズ推定の中の理論 P H（X）が H を明示的に含む数－ 13 －

構造解析におけるベイズ推定の応用

式で表現されていれば、P H（X ）を H の関数とみなして、この関数を最大にするように H を調整するだけで良かろうとが観測値るか」を意味する。

からどのように隔たっていいうのが ML 推定の考え方と思っても良い。MAP 推定で

特に ν= 1 として計算される値 L 1 のことは、最近まで「マは P X（H ）を最大にするように H を調整しなければいけな

ンハッタン・ノルム」とか「イエローキャブ・ノルム」と呼かったのだが、ML 推定では、P H（X ）を最大にするようHばれた。米国 New York 市の中心部であるマンハッタンを調整すれば良いだけなのである。そう思えば、MAP 推定

Manhattan 島の中には、京都や札幌と同じように、道路の含んでいた紛らわしさがなくなり、特に、初心者にとって網が縦横に張り巡らされている。黄色に塗られたタクシー

は親しみやすくなるだろう。

（yellow cab）で移動するときの「移動距離」あるいは「料MAP 推定ではなく、ML 推定を用いることにすれば、事前確率 P（H ）はもはや不要である。MAP 推定で最大化す金」は、このようなノルムで評価される。最近は同じことが「タ

る P X（H ）を計算するためには、理論 P H（X ）だけでなく接的に L 1（エル・ワンあるいはエル・サブ・ワン）ノルムとクシーキャブ taxi cab・ノルム」とも呼ばれたり、もっと直知識や経験、あるいは主観や先入観、偏見のような意味をも呼ばれる。この L 1 ノルムは、指紋認証などの画像解析に持つ事前確率 P（H ）が必要であったことを、もう一度、式も使われる。中央値（メジアン）を選ぶことは、L 1 ノルム（2）（, 3）で確認しよう。これに対して、ML 推定では、知を最小化する典型的な例の一つである。
一般的に、ν < 2 の L ν ノルムを最小化することをロバスト

識や経験を持たない「いたいけな初心者」であっても、熟練（robust; 頑丈なという意味）推定と呼ぶ。こうすると、数者に対して何の気兼ねも恐れの気持ちも抱く必要がない。
ただし、P（H ）が不要になるということを別の言い方で表値データの中に、突拍子もなくはずれた数値、明らかに異現すれば、「P（H ）として常に一様分布を仮定する」ことに常な値が何かの間違いで紛れ込んでしまったとしても、
L2 ノ

等しい。

ルムに比べて、その影響を受けにくくなるからである。

単純化して、H =A, B の二つの対立する仮説があるとしよ

最も頻繁に使われる ν=2 のノルムのことはユークリッド

う。事前分布が一様ということは、P（H =A）= P（H =B）=

Euclid・ノルムと呼ばれる。もちろん L 2（エル・ツーあるいは0.5 であるということと同じである。このとき、式（2）から、P X（H =A）=0.5P H = A（X ）/P（X ）（4）
P X（H =B）=0.5P H =B（X ）/P（X ）（5）エル・サブ・ツー）
ノルムと呼んでもよい。
これは中学校の数学よい。後述する最小二乗法とは、ユークリッド・ノルムを最小となるから、P X（H ）を最大にするH は、P H（X ）を最大に化する推定法と言える。最も単純な例が平均をとることである。

で習う普通の意味での「距離」を拡張したものであると考えてするH と同じことになる。

ν → ∞ の極限でのノルムを最小化する最 適化 法のこつまり ML 推定では、選択の余地なく特定の先入観（一とをミニマックス mini-max 法と呼ぶ。 危 機 管 理 risk

様事前分布）が強制され、過去の経験がまったく生かされ

management の目的でも使われるが、理系の分野であれば、ない。ML 推定は、初心者には向いているが、熟練者にとっコンピューターの「数値計算ライブラリ」を使って関数の近似計算をするとき、ほとんどのライブラリでは最小二乗近似ては実は厳しい面がある。
さて、理論 P H（X ）を H の関数とみなすということを明示するために、L（H ）= P H（X ）と書くことにする。このとき、解ではなく、ミニマックス近似解が用いられていること [6]を知っておいても良いだろう。

関数 L（H ）は、仮説 H の「もっともらしさ」を表し、尤度（ゆうど）関数 likelihood estimator と呼ばれる。
「最尤推定」

さて、これらのことを踏まえて、次の式で定義される
関数 ρν（x）：とは、尤度関数を最大化する推定法であるとも言える。
（7）

ここで、前節の最後に示した「問い」に対する回答のヒン
トになりそうなことについて述べる。
実験データ、あるいは観測されたデータがという複数の数値からなり、それら複数の数値に基づいて一つの代表値 を決める問題を考える。複数の数値の組と仮想的な一つの数値（8）を考えてみよう。この関数は、とから、ノル

ム norm と呼ばれる値が、

（9）
（5）

という関係を満たすから、確率変数を x とする確率密度関数とみなすことができる。そして、測定や調査などから、互いに独立とみなせる数値の組 { y1, y2 , …, yN } が得られたとという式で定義される。ただし、ここでは、（6）とする。このノルムという値は、なんらかの文脈で「代表値する。この実験データの出現確率がこの仮想的な確率密度関数でモデル化することができれば，このデータセットがまるごと同じように出現する確率は、代表値を－ 14 －

とすると、

井田

隆

とみなせること（iii）測定値の真値からのずれ（偏差）の分布が、真値を中心とした正規分布（Gauss 分布）に従うこと
（10）

しかし、
このうち（i）と（iii）は必ずしも重要なことではない。
測定値に相関があったとしても、共分散行列が求まっていれに比例するはずである。この式は、確率に比例する値を表ば、この逆行列を重み行列として計算に取り入れるか、あら現していると考えても良いし、何かの尤もらしさを表現する

かじめ行列を対角化してしまえば良いだけである [5]。また、ものと考えて尤度関数 likelihood estimatorと呼んでも良い。

（iii）の要請は一見もっともらしく聞こえるかもしれないが、そして、尤度の対数を対数尤度 logarithmic likelihood と話を単純化しすぎである。そもそも最尤推定であることが常呼ぶ。式（10）に対応する対数尤度は次式で表される。

に重要とは限らない。このことを以下に示そう。
例えば、ポアソン Poisson 分布と呼ばれる確率分布に（11）従うデータに対して最小二乗法を適用することを考えてみよう。光の強さを、光子計数 photon counting 法で測定する

この対数尤度を最大化することは、次数を固定すればノル

場合に、測定値はポアソン分布に従うとみなせる場合が多ムを最小化することと同じであり、ロバストでも最小二乗、い。一定の計数時間 t（s）の間に、平均計数率 ν（s –1）のミニマックスでも好きなものを選択できる形になる。

光子を測定するとする。何回も測定を繰り返して平均をとれ

さらに、ML 推定では、実験データに基づいて、この尤ば、その平均値は測定を繰り返すごとに νt という値に近づ度関数モデルが含む次数 ν の値まで形式的には最適化しう

くはずである。そして、以下のように、観測値の平均をとるる。ただし、このような操作はやや作為的にすぎるかもし

ことは、最小二乗法に他ならない。
測定を N 回繰り返して得られた観測値（カウント数）がれない。本当にこのような処置に意味があるかは、注意深{n1, n2 , …, nN} だったとする。ここでカウント数に関する推く検討するべきであろう。
前節の最後に示した問いにどのように回答するかは、この定値をとしよう。すると、残差の二乗和はようなことを含めて考えてみると良いだろう。
２．
４

（13）
となる。この S の値を最小にする解は、最小二乗推定

最小二乗法は、18 世紀にドイツの数学・物理学・天文学者として知られる C. F. Gauss がまだ十代のときに考案し、準惑星ケレスの軌道を計算するのに用いたのが発端と言わである。

れる [5]。それ以来、データ解析の最も基本的な手法として、
自然科学や工学を中心とした広い分野で中心的な役割を担（14）

ポアソン分布では，個々の測定値（カウント数）n の出現する確率は、

い続けてきた。ただし、小学校 5 年の算数で習う「平均をとること」は、最小二乗法の一つである。このことについては後で述べよう。

（15）と表されるから、平均値と最頻値（最尤推定値）は常に異最小二乗法は、実験データの確率分布として正規分布を仮なったものになる。たとえば νt = 0.1 のとき、１回の測定で定した最尤推定法であるとも言える。前節の式（7）に ν = 2

は 0 カウントとなる確率が 90 % 以上である。測定を繰りを代入した形式が、正規分布に相当する。したがって、正返して複数の数値からなるデータに対して最尤推定法をほど

規分布を仮定した場合の対数尤度は

こせば、最頻値は平均値に近くなることを期待できるが、有限の試行回数の場合、最頻値は常に平均値より小さい値に（12）なるはずである。
それに対して平均値の期待値は常に 0.1 であり、例えばのように表される。この値を最大にするということは、「残測定を 100 回繰り返して観測された値の平均をとれば、十差の二乗和」を最小にすることと同じである。そのような解分に 0.1 に近い値が得られるだろう。ところが、この場合、を求めることが最小二乗法と呼ばれるものに他ならない。

平均値は最小二乗解であるが、最尤推定解とは言えない。

このような背景があるので、最小二乗法は、以下の条件

この「平均をとる」という操作は、「正規分布とはまったく異が満たされる場合にのみ（最尤推定として）正当化されるとなるポアソン分布」に従っているはずのデータに対して、無思われがちのようである。

理やり正規分布のモデルを仮定した最尤推定を適用してし（ i ）データが含む数値は互いに独立で、相関が無視しう

まったのと同じことだからである。

ること

しかし、ここでもう一度よく考えてみよう。我々が知りた（ i i ）測定値の統計的な誤差あるいは変動の大きさが既知

かった νt = 0.1 と言う値が、最小二乗法（平均をとること）－ 15 －

構造解析におけるベイズ推定の応用で得られるのだったら、「この方法が最尤推定になっていなていても）候補として残す。
次の実験結果を解析する前に、P（H =A）= P X1（H =A）といから正当化できない」と言うのは、いかにも了見の狭いこP（H =B）= P X1（H =B）と言う先入観を持ちなおすことにする。

とのように思われないだろうか？
何らかの測定値が統計的に変動し、その「真の平均」がそして次の実験結果 X2 に基づいて、その先入観をもう一度

y であるとする。そして、N 回の繰り返し測定で { y1, y2 , …,

修正しよう。あとは満足するまで（あるいは嫌になるまで）こyN } という結果が得られたとする。ここで、れを繰り返す。
「どちらの構造モデルが正しいか決めよ」という強い要求をされたら MAP 推定（A と B のどちらかを選（15）ぶ）を実施しても良いと思うが、むしろ MAP 推定は実施せず、A, B の両候補を残したままで良い場合が多いと思う。
おそらく事後確率の最大になる構造モデルが、正しい構を計算しよう。この の値は「標本平均」と呼ばれる。測定値（標本）が統計的に変動するのだから、この標本平均造モデルなのであろう。かりに構造モデル A が正しい構造

も「真の平均」y とは異なる値になる。しかし、その一方で、で、解析の結果も P X（ H =A）> P X（H =B）になったとする。

この「標本平均の期待値」は、N の値に関わらず、常に「真しかし「一番もっともらしい構造は A である」とだけしか言の平均」に一致する。つまり、このようにして計算される標

われないのと比べたら、例えば「一番有力な構造 A の正し

本平均は、期待値がどちらかに偏ることがないという意味でい確率が 99.97 %、二番目に有力な構造 B の正しい確率「不偏推定量」と呼ばれる。これは、測定値の統計的な変が 0.03 %」のように言ってもらえる方が、格段に説得力が動が、どのような確率分布であるかとはまったく関係無い。

あると筆者は思う。

つまり、ある意味で最小二乗法は「不偏推定」の性格を持っ
４．おわりにていると言える。
「正規分布を仮定した最尤推定法は最小二乗法になる」ということは正しい。しかし「正規分布でない場合でも最小

この記事では、何かと誤解されやすい「確率論的な推定」
について解説することを試みた。

二乗法は有効である」というのが筆者の見解である。

ベイズ推定法は、「我々は決して絶対的な真実に到達することができない」ということ、それと同時に、「いつでも真３．ベイズ推定へのアプローチ

実に近づく努力をすることができる」ということを明示的に

ここで、ベイズ推定を粉末Ｘ線回折測定に基づく構造解仮定する。そして、得られる結果は「どの仮説が正しいの

析に応用する具体的な方法について考えてみよう。

か」ではなく「それぞれの仮説がどの程度信頼できるのか」

考え方の基本は、複数の構造モデルをたてて、唯一無二である。ベイズ推定は、どのような偏見や先入観も許容し、の正解を導こうとはしないことである。ここでは単純に A とその先入観を捨て去ることも要求しない。そのかわり、経いう構造モデルと B という構造モデルを候補として立ててみ験を積み重ねることによって、誤った先入観が修正されて、よう。そして、粉末Ｘ線回折測定実験を実施する。この結果

より正しい考え方に近づくことを期待する。ここにあるのはが X1 となったとする。P H =A（X1）と P H =B（X1）の定式化は、

何か「希望」のようなものに近い。

それほど困難ではない。実際に行う計算は、最小二乗法に

このように扇情的な表現をすることは本来慎むべきだろう

基づくリートベルト解析の計算の一部とほとんど変わらないが、ベイズ推定の基本は高校数学の教科書に書いてあるこはずである。より具体的には、筆者が ML 推定に用いた形となのに、理解しにくく、心理的に受け入れ難いという面が

式 [2–4] が概ねそのまま使える。ML 推定とは P H（X）を最確実にあると思われるので、あえてこのような表現をとるも大化するH を求めることであるが、このことは、既に実現でのと理解されたい。本稿では、一例として構造解析にベイズ推定を応用する考え方の一端を示したのみであるが、こきているのだということを強調しておきたい。
さて、はじめの段階では先入観を持たないつもりになっの方法はさらに広く展開・応用することが可能であろう。

て（あるいは一様分布を仮定する先入観を持つことにして）P（H =A）= 0.5, P（H =B）= 0.5 としよう。そして，以下の式に従った計算をしてみる。

P X1（H =A）= P（H =A）P H =A（X1）/ P（X1）（16）
P X1（H =B）= P（H =B）P H =B（X1）/ P（X1）（17）
P（X1）= P（H =A）P H =A（X1）+ P（H =B）P H =B（X1（）18）
ここで P X1（H =A）は「A が正しい確率」、
P X1（H =B）は「Bが正しい確率」として勝手に思い込んでいた「どちらも 0.5」という先入観が、実験結果 X1 に基づいて修正された値になっているはずである。そして、A と B のどちらか一つを選ぶのではなく、両方とも（有力か泡沫かの違いが歴然とし

参考文献[1] H. M. Rietveld, J. Appl. Cryst. 2, 65-71(1969).
[2] T. Ida & F. Izumi, J. Appl. Cryst. 44, 921–927(2011).
[3] T. Ida & F. Izumi, Powder Diffr. 28, 124–126(2013).
[4] T. Ida, Solid State Phnomena, 203–204, 3–8(2013).
[5] 中川徹・小柳義夫「最小二乗法による実験データ解析」
東京大学出版会 (1982).
[6] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling & B.
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