論文

セラミックス基盤工学研究センター年報 (2007). Vol. 7, 1-5

検出システムの数え落しの影響を受けた観測強度データの統計的な性質
井田 隆・大矢哲久・日比野 寿
名古屋工業大学セラミックス基盤工学研究センター〒 507-0071 岐阜県多治見市旭ヶ丘 10-6-29

Statistical Properties of Measured Intensity Affected by Counting Lossesof Detection Systems
Takashi Ida, Akihisa Oya and Hisashi Hibino
Ceramics Research Laboratory, Nagoya Institute of Technology
Asahigaoka 10-6-29, Tajimi, Gifu 507-0071 JAPAN
Statistical variance of x-ray intensity affected by counting loss of detection systems has been experimentally evaluated by a repeated
Chipman’s foil method for a laboratory powder x-ray diffractometer and a high-resolution synchrotron powder diffractometer. Theeffects of counting loss were modeled by an intermediately extended dead-time model. It has been found that the statistical varianceis satisfactorily reproduced applying the parameters evaluated by least-squares analyses on the data measured by a single-shot Chipman’smethod. It means that the statistical errors attached to the observed intensity data can appropriately be predicted from the resultsof a rapid calibration measurement.

１．はじめに(3)

(4)分散が計数法による強度測定における検出器の数え落としの影響に関する代表的なモデルとして，非拡張死時間モデルと拡張死時間モデルとがあげられる (Quintana, 1991)。
間 t を引き起こし，死時間の間に発生した次のイベントと近似されることが知られている (Laundy & Collins,2003)。最近，これらの近似式が広い範囲で適用できるはカウントされない。非拡張死時間モデルでは死時間のこともモンテカルロシミュレーションにより確認されて間に発生されたイベントは数え落とされるだけであるが，いる (Ida, 2007)。

いずれのモデルにおいても，イベントが発生すると死時

拡張死時間モデルでは死時間の間に発生したイベントがしかし，現実の検出システムの数え落とし特性は，こその発生時刻を起点として死時間を延長するという違いれらの伝統的なモデルの中間的な挙動を示すことが一般がある。この 2 つのモデルについては既に統計的な性質的である。筆者は現実の検出システムの数え落とし特性が理論的に詳しく調べられており，単位時間あたりのイを再現するための経験的なモデルとして中間拡張死時間

ベント発生率が r であるようなポアソン統計に従うランモデルを提案し，通常の校正実験では誤差の範囲で数えダムなイベント列が，非拡張死時間モデルの影響を受け落とし特性を再現できることを示した (Ida & Iwata,て数え落とされる場合には，一定時間 T の間にカウント2005)。しかし，このモデルで数え落としの影響を受けされるイベント数の期待値がた実測カウント数の期待値だけでなく，統計的なばらつ

きも予測できるかは不明であった。そこで，本研究では(1)

繰り返し測定により数え落としの影響を受けた実測のカ分散がウント数の統計的なばらつきを実験的に評価し，中間拡張死時間モデルに基づいたモデル化が可能であるかにつ

いてさらに検討した。

(2)と近似され (Müller, 1973)，拡張死時間モデルの場合にはイベント数の期待値が―1―

検出システムの数え落しの影響を受けた観測強度データの統計的な性質

２．理論

３．実験

中間拡張死時間モデルは，非拡張死時間モデルにより検出システムの数え落とし特性の評価を，Chipman の数え落とされたイベント列がさらに拡張死時間モデルに

箔挿入法により行った。この方法では，段階的に X 線のより数え落とされる形式を持ち，カウント数の期待値が強度を変化させ，各ステップで Al 箔を挿入したときと以下の式で表される。

における死時間に対応する。さらに，全体の平均的な死Al 箔を挿入しないときの強度を比較する。計数値の統計的なばらつきと X 線強度の時間的な変動の寄与を分離するために，Al 箔を挿入して計数測定を 100 回行った
後に Al 箔を撤去して計数測定を 100 回行う測定を 1セットとし，各 X 線強度ステップにおいて，実験室型回折計では 10 セット，軌道放射光粉末回折計では 5 セット

時間を t，死時間の拡張度を r として，の測定を繰り返した。

(5)ここで t1，t2 はそれぞれ非拡張および拡張死時間モデル

(6)

(7)

3-1

実験室型粉末 X 線回折計

この研究で用いた実験室型粉末 X 線回折計 (Rigaku

RAD2C) では，X 線源として CuKa 封入管が用いられ，循環型冷却送水装置により X 線管が冷却される。X 線管は電圧 40 kV, 電流 30 mA で使用した。回折計のゴニオ
メータ半径は 185 mm であり，検出器の手前には湾曲グとすれば，r = 0, 1 のとき非拡張および拡張死時間モデルと厳密に一致し，0 < r < 1 の領域では連続的に中間的な挙動をモデル化することができる。
ここで，非拡張死時間モデルに従って数え落とされたラファイトモノクロメータが備えられている。分散／散イベントは，単純にはポアソン分布に従わないことに注

乱スリットとして 1/2°，受光スリットとして 0.3 mm 幅意すべきである。式 (5) の表現は，非拡張死時間モデルのものを用いた。受光スリットの下流側に固定減衰器とで数え落とされたイベント列が，仮想的にポアソン分布して 20 mm 厚の Al 箔を 4 枚挿入した。検出器の手前にに従うことを暗黙のうちに仮定していると見ることがでは 0.6 mm 幅のモノクロ受光スリットを挿入した。シン

きる。このことを前提とすれば，式 (5) で表現されるカチレーションカウンタ内の光電増倍管に加える電圧はウント数の期待値は，以下の式で表されるような統計的870 V とし，パルス高分析器によりピークパルス高に対して相対高さ 26 % から 140 % の範囲のパルスを検出すなばらつきをともなうと仮定できる。

る条件で測定を行った。


試料位置には数え落とし補正用の quartz (SiO2) 結晶(8)を設置し，003 反射ピーク付近を細かく 2Q ／ Q ステッ
なお，式 (5)-(7) で表される関数は，以下の関数：

プスキャンすることにより，段階的に回折光強度を変化させた。可動減衰器としては，20 mm 厚の Al 箔を 9 枚重ねたものを用いた。試料の上流側に可動減衰器を挿入および撤去して測定を行うことを繰り返した。

(9)

3-2(10)

軌道放射光粉末回折計

つくばフォトンファクトリー粉末回折ビームライン

BL-4B2 に設置されている検出器多連装型高分解能軌道
放射光粉末回折計 (Toraya et al., 1996) を用いた実験を(11)により高精度に近似され，式 (9) の逆関数の形式は行った。この回折計には，シンチレーションカウンタを検出器として用いる 6 系統の検出系が備えられているが，

このうち最も低角側の角度領域を分担する No.1 検出器の数え落とし特性について調べた。Si 標準粉末 (NISTする Chipman の箔挿入法 (Chipman, 1969) により数えSRM640c) を用いて校正された入射光の波長は 1.208Å
であった。入射スリット幅 2.5 mm, 高さ 0.05 mm とし，10 mm 厚の Mo 箔を固定減衰器として用いて，検出器に落とし特性を評価するために特に有効である。

ダイレクトビームを導入した。シンチレーションカウン

(12)
により与えられる (Ida & Iwata, 2005)。この関係は後述

タ内の光電増倍管に加える電圧は 805 V とし，パルス高分析により相対高さ 50 % から 150 % の範囲のパルスを―2―

井田隆・大矢哲久・日比野寿

検出する条件で測定を行った。試料位置に 0.05 mm 幅のスリットを設置し，Q 軸の回転により検出器が受けるビームの強度を段階的に変化させた。可動減衰器は BL-4B2 ビームラインの出射ポートの直下に取り付けた。
４．結果と考察4-1

実験室型粉末回折計

繰り返し箔挿入法により測定した実験室粉末回折計の強度データの測定例を Fig. 1 に示す。ここで観測されたカウント数には約 400 s を周期とした時間変化があらわれているが，各測定セグメントに対して線形フィッティングを施すことにより得られる残差は概ね統計的なばらつきとみなせるものとなった。周期的な強度の時間変化は実験室の空調機あるいは循環型冷却水送水装置の周期的な動作の影響による可能性がある。

Fig. 2. Mean and variance of the unattenuated intensity versus
mean attenuated intensity measured with a laboratory
diffractometer. The variance of the observed unattenuatedintensity is plotted as open circles and the variance of the residuals
from segmented linear fitting are plotted as solid circles.

可動減衰器を挿入しないときの強度の平均 mhigh および分散 s 2high を，減衰器を挿入したときの強度の平均 mlowに対してプロットした曲線を Fig. 2 に示す。このプロットを作成するためには約 17 hr の測定時間が必要であった。分散に関するエラーバーの長さ e は，強度データ yに対して以下の式：
(13)により見積もった。ここで N はデータ数，P は区分線形フィッティングの総パラメータ数で，〈y〉は y の平均を表す。
可動減衰器の透過率を a とすれば，観測強度の平均値の間の関係は以下の式
(14)でモデル化されると考えられる。この関数を非線形最小二乗フィッティングによりあてはめた曲線は Fig. 2 に示
Fig. 1. Example of repeated measurement by Chipman’s foil

すように Chipman 法による観測強度の間の関係を良く

method for a laboratory x-ray diffractometer (Rigaku, RAD-2C);再現した。フィッティングにより最適化されたパラメー(a) attenuated intensity (grey circles) and results of segmented

タの値は，a = 0.1169, t = 1.66 ms, r = 0.69 であった。

linear fitting (solid lines), (b) residuals of the segmented linear

ここで最適化されたパラメータを式 (8) に代入して計fitting for the attenuated intensity, (c) unattenuated intensity (grey

算される曲線は，Fig. 2 に示されるように，概ね実測のcircles) and results of segmented linear fitting (solid lines), and統計誤差を再現することがわかった。

(d) residuals of the segmented linear fitting for the unattenuatedintensity.
―3―検出システムの数え落しの影響を受けた観測強度データの統計的な性質

Fig. 4. Mean and variance of the unattenuated intensity versus
mean attenuated intensity measured with a synchrotron
diffractometer. See the caption of Fig. 2 for definitions.

Fig. 3. Example of repeated measurement by Chipman’s foil

えられる。

method for a synchrotron powder diffractometer (KEK-PF BL4B2 MDS); see the caption of Fig. 1 for definitions.

4-3

数え落とし特性評価の手順の検討

軌道放射光回折計では使用する波長を変更すると検出
4-2

軌道放射光粉末回折計システムの数え落とし特性が変化するために，原則的に繰り返し箔挿入法により測定した軌道放射光粉末回折波長を変更するたびに数え落とし特性を評価しなおすべ計 (KEK-PF BL-4B2 MDS) の強度データの測定例をきである。しかし，軌道放射光のビームタイムは貴重なFig. 3 に示す。ここで観測されたカウント数には約 200 sので，短時間に数え落とし特性評価のための測定を完了を周期とした周期的な変動とさらに長周期あるいは連続する必要がある。ここでは，Chipman の箔挿入法による的な変動も現れている。ここでも各測定セグメントに対測定を，各強度ステップごとに 1 組だけ行う操作についして線形フィッティングを施した残差は概ね統計的なばて検討する。今回測定した 500 組のデータから 1 組のらつきに対応するものと考えられるが，実験室粉末回折データを選び出して以下の手順により数え落とし特性の計のデータと比較すると，系統的な強度変化の影響が一評価を試みた。

部残っている可能性がある。

(i) 非減衰時の観測強度の平方根 y1/2high を誤差 Dy とみなし実験室粉末回折計の場合と同様に，可動減衰器を挿入て強度曲線のあてはめを行った。この結果，最適化しないときの強度の平均 mhigh および分散 s 2high を，減衰されたパラメータとして，a = 0.3417(9), t = 1.008(9)器を挿入したときの強度の平均 mlow に対してプロット

ms, r = 0.85(3) を得た。

したものと，平均強度に関するフィッティング曲線，(ii) 減衰時の観測強度の統計的な誤差の影響を取り入れフィッティングから予想される分散の計算曲線を Fig.4るために，誤差を以下の式により再評価した。に示す。このプロットを作成するための測定には約 9 hr
の測定時間が必要であった。
平均強度の間の関係に対するフィッティングにより最適化されたパラメータの値は，a = 0.3445, t = 0.98 ms, r= 0.93 であった。予想された分散の曲線に比べて，実験(15)

データから見積もられた統計的な分散は常に少し大きい値をとる傾向がみられるが，計算曲線が強度データの統

この誤差を適用して最小二乗法により最適化されたパラ計的なばらつきを再現しているとしても矛盾しないと考

メ ー タ と し て，a = 0.3416(16), t = 1.009(15) ms, r =―4―

井田隆・大矢哲久・日比野寿

0.85(4) を得た。
(iii) さらに，以下の式を用いて誤差を評価しなおした。


(16)




ここで見積もられた誤差を適用して，最終的に最小二乗法 に よ り 最 適 化 さ れ た パ ラ メ ー タ と し て，a =Fig. 5. Least-squares analysis and prediction of variance from0.3417(8), t = 1.008(7) ms, r = 0.85(2) を得た。最終的なsingle-shot calibration data measured with a synchrotron

フィッティングの結果と見積もられた分散の曲線をdiffractometer. The broken lines in the difference plot on the lower

Fig. 5 に示す。この結果は Fig. 4 に示した繰り返し測定

panel show the evaluated errors.に基づいて評価された結果に十分に近く，誤差の見積もりには高い精度が必要ないことを考慮すれば，引き続き最小二乗法によるリートベルト解析やピーク形状分析を参考文献行う際に，一回の Chipman 法測定から見積もられる誤Chipman, D. R. (1969). Acta Cryst. A25, 209-219.

差を用いることは十分に許容しうるものである。一回のIda, T. & Iwata, H. (2005). J. Appl. Cryst. 38, 426-432.

Chipman 法測定であれば，強度ステップを 40 点としてIda, T. (2007). J. Appl. Cryst. 40, 964-965.

も測定は数分以内に完了する。計数法による強度測定シ

Laundy, D. & Collins, S. (2003). J. Synchrotron Rad. 10, 214-ステム，特に軌道放射光粉末回折測定システムにおいて218.

は，適宜数え落とし特性評価を実施しうる環境を整備す

Müller, J. W. (1973). Nucl. Instrum. Methods, 112, 47-57.

ることが測定データの信頼性を向上するために有益であToraya H., Hibino, H.& Ohsumi, K. (1996). J. Synchrotron Rad.

ると考えられる。

3, 75-83.
Quintana, J. P. (1991). J. Appl. Cryst. 24, 261-262.

―5―