2022 年度
2 月 10 日
入学試験

数

学

（50 分）

注 意１

試験開始の合図があるまで，この冊子の中を見てはいけません。

２

問題は １ から ６ まで，８ページにわたって印刷してあります。

３

計算が必要なときは，この問題用紙の余白を利用しなさい。

４

解答用紙には，受験番号と氏名を書きなさい。

５

解答はすべて解答用紙に書き，解答用紙を提出しなさい。

かえつ有明高等学校

１（１）

次の問いに答えなさい。

（

31－53―） （―53×―

÷ －23）（3―− －（（ 55 − 22 ）（２） （2＋ 5＋ 2）

3÷（３）（− 2 lm 2 n）

12―）（× －5＋1232）（2＋） を計算しなさい。
2―5−12） を計算しなさい。
24 2l mn ×（− 3 lmn 2 ） を計算しなさい。
3（４） x 2 − 2 x ＋ 2 y − y 2を因数分解しなさい。

⎧2 x ＋ 3 y ＝ 1⎧2 x ＋ y ＝ bの解が，連立方程式⎨の解に一致するとき，（５） 連立方程式⎨⎩x － 3 y ＝ a⎩x ＋ y ＝ 2
定数 a，b の値を求めなさい。

― 1 ―

２

次の問いに答えなさい。
2の逆数を p とします。p よりも絶対値が小さい整数の中で，2 番目に大きいもの9を求めなさい。

（１） −（２） m，n を整数とします。関数 y ＝ 2 x 2 について，x の変域が m ≦ x ≦ n のとき，y の変域が 0 ≦ y ≦ 18 です。整数 m，n の組合せは全部で何通りありますか。

（３） 大小 2 つのさいころを投げるとき，出た目の差が 2 となる確率を求めなさい。
ただし，出た目の差とは，出た目の大きい数から小さい数を引いたものとします。

― 2 ―（４） 以下の表は，ある都市の 7 月の日ごとの最高気温を度数分布表にまとめたものです。
階級（℃）

度数（日）

24 . 0 以上 26 . 0 未満

126 . 0 ～ 28 . 0

828 . 0 ～ 30 . 0530 . 0 ～ 32 . 0732 . 0 ～ 34 . 0534 . 0 ～ 36 . 05計31

この表から読み取ることができることがらとして適切なものを，次のア～オからすべて選びなさい。
ア26 . 0℃以上 28 . 0℃未満の階級の相対度数は，0 . 25 より大きい。

イ

階級の幅は，12 . 0℃。

ウ

中央値は，28 . 0℃以上 30 . 0℃未満。

エ最頻値は，27 . 0℃。

オ30 . 0℃以上 32 . 0℃未満の階級の階級値は，30 . 0℃。

（５） 右の図のような，底面の半径が 2 cm，母線の長さが 8 cm の円錐がある。頂点をＯとし，ＯＡの中点をＢとする。円錐の側面を糸の長さがもっとも短くなるように，点Ａから点Ｂまで糸をひと巻きさせるとき，糸の長さを求めなさい。
Ｏ8cm

Ａ― 3 ―

Ｂ2cm

３以下のＴ先生とＳくんの会話を読み，次の問いに答えなさい。

Ｔ先生：今日は「三角比」という数学の分野について学びましょう。
Ｓくん：Ｔ先生，「三角比」って何ですか？
Ｔ先生：「三角比」という言葉は初めて聞くかもしれませんが，「sin（サイン）」，「cos（コサイン）」，「tan（タンジェント）」という言葉ならどこかで聞いたことありませんか？
Ｓくん：テレビやネットの情報で聞いたり見たりしたかもしれません！
Ｔ先生：そう！

それです。今日は「三角比」とは何かを理解し，少しだけ活用することが目標となります。黒板に板書してある説明を読んでください。

板書

直角三角形において，底辺を x，高さを y，斜辺を r とする。【図１】のように，底辺と斜辺に挟まれた角の大きさをθ（シータ）という記号で表すと，
yxysin θ＝ ，cos θ＝ ，tan θ＝rrx【図１】rと定義される。ただし，0 ＜θ＜ 90 °とする。
yθx

Ｓくん：板書を読みました。sin θ，cos θ，tan θは，それぞれ辺の長さを分数で表せば良いのですね。
Ｔ先生：その通りです。では，右の【図２】における【図２】x，r の値をそれぞれ答えてください。
Ｓくん：これは中学校までで習いましたね。
x ＝ ア ，r ＝ イ です。
Ｔ先生：その通りです。

r230°xでは，三角比の sin 30°と cos 30°と tan 30°の値はそれぞれどうなりますか？
Ｓくん：sin 30°＝ウ ，cos 30°＝ エ ，tan 30°＝ オ です。

Ｔ先生：素晴らしい！

その通りです。

三角比の値を答えることができるようになりましたね。

― 4 ―（１） Ｔ先生とＳくんの会話の ア ～ オ（２）に適する値をそれぞれ求めなさい。

板書 に書かれている三角比の定義式をそれぞれ変形すると，
y ＝ r × sin θ，x ＝ r × cos θ，y ＝ x × tan θ，と表せます。これらを用いて，【図３】の木の高さを，小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めなさい。ただし，sin 54 °＝ 0 . 81，cos 54 °＝ 0 . 59，tan 54 °＝ 1 . 38とします。
【図３】

木54°
3.5m― 5 ―地面

４

下の図のように，関数 y ＝ ax 2 （ただし，a ＞ 0 とする）のグラフと関数 y ＝− x 2 のグラフがあります。関数 y ＝ ax 2 のグラフ上に x 座標が 3 の点Ａが，関数 y ＝− x 2 のグラフ上に x 座標が − 3 の点Ｂがあり，点Ａの y 座標が点Ｂの y 座標より 10 大きいものとします。このとき，次の問いに答えなさい。
yy＝ax 2AO－33xB
y＝－x 2（１） a の値を求めなさい。

（２） 2 点Ａ，Ｂを通る直線と，y 軸との交点をＣとします。点 C の y 座標を求めなさい。

（３） △ＯＡＣを，y 軸を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率はπとします。

― 6 ―

５

下の図のように，平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点をＯ，辺ＡＢの中点をＭ，半直線ＤＭと半直線ＣＢの交点をＰとします。このとき，次の問いに答えなさい。
ＡＭＰＤＯＣＢ（１） ＤＭ＝ＰＭであることを証明しなさい。

（２） 直線ＡＣと直線ＤＰの交点をＱとするとき，△ＡＭＱの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか。

― 7 ―

６

下の図のように，ＡＢ＝ 9 cm，∠ＢＡＣ＝ 90 °の直角二等辺三角形ＡＢＣを底面とする三角錐ＯＡＢＣがあります。辺ＯＡは底面ＡＢＣに垂直で，ＯＡ＝ 9 cm とします。
また，辺ＯＡ上に点Ｐがあり，ＡＰ＝ 3 cm です。このとき，次の問いに答えなさい。
Ｏ9cm
ＰＣ
Ａ9cm

Ｂ
（１） 辺ＢＣの中点をＤとする。線分ＯＤの長さを求めなさい。

（２） 点Ｐと△ＯＢＣを含む平面との距離を求めなさい。

― 8 ―2022 年度

入学試験

かえつ有明高等学校

数学

解答用紙

２１（１）

（１）

（２）

（２）

（３）

（３）

（４）

（４）

（５）

＝， ＝通り

（５）cm

４３（１）

ア（１）

イ（２）

ウ（３）

＝

エオ
（２）

m

６５（１）

cm

（１）
（２）
（式）

（２）

答倍受

験

番号cm

氏名

2022 年度

入学試験

かえつ有明高等学校

数3− 8（２）102
18 2（３）64（ − ）
（ ＋ − 2）

（４）
（５）

解答用紙

２１（１）

学

＝

147， ＝（１）

3（２）

7（３）

29（４）

ア、エ（５）

4 5

４３（１）

2 3（１）

イ4（２）

−4（３）

12π（１）

9 62

ウオ

1232
33
4.8（２）＝m６５（１）△ADM と△BPM において、

（２）
（式）

仮定より
AM＝BM…①立体の対称性から、
点 Q は線分 OD 上にあり、…②△OAD ∽ △OQPAD ∥ BP より、平行線の錯角は等しいから、∠MAD＝∠MBPcm

点 P から△OBC に垂線 PQ をひくと、対頂角は等しいから、∠AMD＝∠BMPcm

19アエなる。よって、…③OD：OP＝AD：PQ①，②，③より、1 組の辺とその両端の角が9 69 2：6 ＝：PQ
22それぞれ等しいから、△ADM≡△BPM

9 69 2
PQ＝×622

したがって、

PQ＝ 2 3

DM＝PM（２）通り1122 3答倍受験番号氏cm名