第 41 回地盤工学研究発表会
2006 年７月

787

E - 04 （鹿児島）

周波数依存性を考慮した杭の鉛直および水平方向の動的載荷試験解析プログラムの開発
杭水平載荷動的金沢大学 学生会員 ○沼田 篤志
金沢大学 国際会員
Kitiyodom Pastsakorn
金沢大学 国際会員
松本 樹典
JapanPile(株) 正会員
小嶋 英治
JapanPile(株) 正会員
熊谷 裕道
kh0

1.

はじめに鉛直および水平方向の動的杭載荷試験解析プログラム
KwaveHybrid 1) においては，これまで地盤振動の周波数に依存しないばねとダッシュポットで地盤をモデル化していた。しかし，急速載荷試験と衝撃載荷試験では載荷時間がそれぞれ異なり，これらの載荷試験を統一的に解析するには，周波数依存性を考慮する必要がでてきた。
本報告では，Nogami & Konagai (1986, 1988)によって提案された地盤モデルを採用し，周波数依存性を考慮できるよう既存の KwaveHybrid を拡張した。

m0c0(Kp)1

c1
k1

k1

kh2
m2c2c2 (Kp)3k2k2ch2(Kp) nkhn

mn

cnknchnc3k3cbcbkbmb

ここで，[K]，[C]，[M]は剛性，減衰および質量マトリックスである。{w}は変位ベクトル，{F}は外力ベクトルである。式(1)を Newmark のβ法で解いている。
(1) 従来の地盤モデル
杭周面における鉛直ばねkz，鉛直ダッシュポット（逸散減衰）cz，2 方向の水平ばねkx，ky，2 方向の水平ダッシュポット（逸散減衰）cx，cyは，次式で近似的に与えられる。

図 1 杭と地盤のハイブリッドモデル

Pile node

図2
Nogami & Konagai(1986）による鉛直地盤モデル

k1

Lumped Massk2k3ms(2)c1(3)

図3m s = ξ m (ν s ) ρ s πr02c3n =1n=2

(6)

n=3

ここでa0 = r0ω/Vs，r0は杭半径である。ω は円周波数である。ξm，ξkはポアソン比のみに依存する関数で，鉛直方向地盤モデルに関してはξk = 1, ξm = 0 である。
(3) 地盤モデルの比較
Nogami & Konagai (1986，1988) による地盤モデルと従来の地盤モデルの比較解析を行った。解析に用いたパラメータは，地盤せん断剛性Gs = 1 kN/m3，密度ρ = 1 ton/m3，杭半径r0 = 1 mで，載荷荷重Fは，周波数が異なる振幅 1 kNの正弦波を与える。
各周波数においてばねおよび減衰パラメータSw1，Sw2，Su1，Su2は式(7)，(8)の関係を用いて求まる。

(4)n =1n=2c2

Nogami & Konagai (1988)による水平地盤モデル⎧113.097
G s r0 ⎪c n = ξ k (ν s )⎨ 25.133
Vs ⎪⎩ 9.362

ここでGsとVsは地盤のせん断剛性とせん断波速度，dは杭の直径である。杭先端ばねとダッシュポットおよび杭と地盤の滑りの考慮については参考文献 1)を参照されたい。
(2) Nogami & Konagai(1986, 1988) による地盤モデル
図 2 と図 3 はNogami & Konagai によって提案された鉛直方向地盤モデルおよび水平方向地盤モデルである。図中のknは杭の単位長さあたりのばね定数，cnは単位長さあたりの減衰定数，msは単位長さあたりの付加質量である。
ms，kn，cnは式(4)，式(5) ，式(6)のように表される。

⎧ 3.518⎪
k n = ξ k (ν s )Gs ⎨3.581⎪5.529⎩c1ch1(Kp)2{F }t + [ K ]t {Δw}t + Δt + [C ]t {w }t + Δt + [ M ]t {w}t + Δt = {F }t + Δt (1)2.75Gs x4G, k = ky = sdπdG
4.5Gscz = s , cx = c y =VsVskh1
m1

2. 解析手法
図 1 に，既存の杭載荷解析プログラムKwaveHybrid 1)で用いている杭と地盤のモデル化を示す。杭は梁要素，地盤は杭節点に連結されたばねとダッシュポットで表現する。
杭の運動方程式は，式(1)の増分形式で表現する。

kz =Pile node

ch0k0

(5)

n=3

Development of a computer program for dynamic analysis of asingle pile considered frequency dependence

1573

Atsushi Numata, Kanazawa University
Pastsakorn Kitiyodom, Kanazawa University
Tatsunori Matsumoto, Kanazawa University
Eiji Kojima, Japan Pile Corporation
Hiromichi Kumagai, Japan Pile Corporation図 6 と図 7 は各周波数の荷重を与えたときの鉛直変位および水平変位を示している。載荷荷重の周波数が高いとき
では，変位が小さく，載荷荷重の周波数が低いときでは，変位が大きい。すなわち，地盤モデルの周波数依存性をうまく表現していることが分かる。

(7)
(8)

1210

VerticalNovak et al. (1978)
Nogami & Konagai (1986)
Matsumoto et al. (2005)

8Sw26

表2861412

Vertical

3.0×105
2.00.5
1.0×105257.34a0 = 0.05
a0 = 0.1
a0 = 1.0

20-2-4-6-80.00.2

0.4 0.6 0.8 1.0
Dimensionless time
図61.2

杭頭の鉛直変位

80.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Novak et al. (1978)
Nogami & Konagai (1988)
Matsumoto et al. (2005)

10
ν=

890.4

ν=Su2

6

1.2

50.3

ν = 0.35

Su12
Horizontal

0.2

0.4

0.6

0.8

Dimensionless frequency, a0
図5

ν=a0 = 0.05
a0 = 0.1
a0 = 1.064
20-2-4-6 Horizontal-8
0.0 0.2 0.4
図70.4
91.0

0.6

0.8

1.0

1.2

Dimensionless time

400.0

100.4
0.126
3.0×107
50001.21.510.16

地盤条件

4200.0杭条件

Young’s modulus (kN/m2)
Density (ton/m3)
Poisson’s ratio
Shear stiffness (kN/m2)
Shear velocity (m/s)

Sw1

4Dimensionless frequency, a0
図 4 鉛直方向の比較結果

Stiffness and damping parameters

表1

Length (m)Diameter (m)Cross-sectional area (m2)Young’s modulus (kN/m2)
Bar wave velocity (m/s)
Density (ton/m3)
Mass (ton)Poisson’s ratio

Displacement (mm)Stiffness and damping parameters

図 4 と図 5 はそれぞれ鉛直方向および水平方向の場合の各周波数におけるばねおよび減衰パラメータの比較を示している。図中には，Novak et al. (1978)によって提案された理論値も示している。従来のKwaveHybridの地盤モデルは，鉛直の衝撃載荷の場合（a0 > 1.0）では妥当な近似である。しかし，a0 が小さい場合には，ばね値を過大評価し，逸散減衰を過小評価している。一方，Nogami & Konagai(1986)のモデルは，無次元周波数a0に関わらず，理論解と一致している。
図 5 の水平載荷の場合，従来の地盤モデルでは，限られた範囲の土のポアソン比νと無次元周波数a0に対してのみ有用である。一方，Nogami & Konagai ( 1988)のモデルは，土のポアソン比νと無次元周波数a0に関わらず，理論解と一致している。
したがって，Nogami & Konagai (1986, 1988)によって提案された地盤モデルを採用し，周波数依存性を考慮できるよう既存の KwaveHybrid を拡張した。Nogami & Konagaiの地盤モデルを採用するもう一つの利点は，時間領域の計算によって，Novak et al. (1978)による理論値を再現できることである。

Displacement (mm)Gr0 S w 2w
Vs a0
Gπ r0 Su 2
F = Gπ Su1u +u
Vs a0

F = GS w1w +1.2

水平方向の比較結果

3. 拡張した KwaveHybrid の妥当性の検討
次に拡張したプログラムの妥当性の検討を行った。杭頭に急速載荷から衝撃載荷までを想定して，a0 = 0.05, 0.1, 1.0のように周波数が異なる振幅 10000 kNの正弦波の荷重を与えた。用いた杭条件，地盤条件を表 1，表 2 に示す。

杭頭の水平変位

参考文献
1) 松本 樹典, Kitiyodom Pastsakorn, 小嶋 英治. 2005. 鉛
直および水平方向の動的・静的杭載荷試験解析プログラ
ムの開発，2005 年度日本建築学会大会学術講演梗概集.
2) Nogami T., and Konagai K., 1986. Time domain axialresponse of dynamically loaded single piles. Journal ofEngineering Mechanics; 112, 1241-1525.
3) Nogami T., and Konagai K., 1988. Time domain flexural
response of dynamically loaded single piles. ditto; 114,1512-1525.
4) Novak M., Nogami T., and Aboul-Ella. F., 1978. Dynamicsoil reaction for plane strain case. ditto; 104, 953-959.

1574