解説

先進セラミックス研究センター年報（2022）. Vol. 11, 44‑47

Lotgering 因子
井田隆

名古屋工業大学先進セラミックス研究センター〒 507-0071 岐阜県多治見市旭ヶ丘 10-6-29

Lotgering factor
Takashi Ida
Advanced Ceramics Research Center, Nagoya Institute of Technology,
10-6-29 Asahigaoka, Tajimi, Gifu 507-0071, JAPAN
Lotgering factor, calculated from X-ray diffraction intensity data and sometimes used for characterization of texture ofpolycrystalline material, is critically analyzed. It is shown that the Lotgering factor is not straightly related to the preferredorientation of crystallites by simulation of X-ray diffraction intensities of corundum α-Al2O3 and Wultzite-type ZnO.
Keywords: Lotgering factor, preferred orientation, powder diffraction

1．はじめにこの定義から、00l 反射の強度の相対的に高い物質の日本のセラミックス分野では、多結晶体試料中の結晶-配向を前提とする Lotgering 因子は大場合には（001）粒の配向性を表すための尺度として、X 線回折強度デー

き い 値 を 示 す こ と に な る こ と が わ か る。 つ ま り、タから算出される Lotgering 因子と呼ばれる値の用いら

Lotgering 因子は結晶粒の配向性のみで決まるものでなく、結晶構造にも依存する。また、Lotgering 因子を利。
れる場合が少なくない（e.g. Furushima et al., 2010）
一方で、粉末 X 線回折の分野では古くから粉末ある

用しうるのは特定の結晶構造と特定の選択配向性に限らいは多結晶体中の結晶粒の配向性により観測される回折れる。結晶粒の配向性は 00l 反射のみでなく、すべての強度比が変化することが知られ、この効果は選択配向効

hkl 反射の強度比にも影響を及ぼすものであるのに、果と呼ばれている（e.g. Rietveld, 1969）。選択配向効果

Lotgering 因子の算出のためには、そのうちの 00l 反射に現れる影響のみしか情報として利用しない。Lotgeringの数学的なモデルとしては March-Dollase モデル（Dollase,1986）の用いられる例が多い。
本稿では Lotgering 因子の意味づけについて批判的に因子には汎用性・統一性・論理的な整合性・情報利用効検討し、この値は必ずしも結晶学的な意味で多結晶体の因子の定義のみからわかる。

率の低さなど多くの難点が含まれることは、Lotgering
その一方で、結晶学・回折理論・幾何学的な対称性・配向性を特徴づける値ではないことを明確にすることを確率論的な解釈などに関する理解・洞察を持たずとも試みる。

Lotgering 因子は容易に数値化できる安易さが、セラミックス分野の粉末 X 線回折ユーザーにとって魅力と

2．Lotgering 因子
六方設定の三方晶、正方晶、六方晶のように一軸対称なりうることも想像される。

性を持つ結晶構造の場合に、結晶面方位（001）-方向について Lotgering 因子

ሺ଴଴ଵሻ݂୐௢௧୥ୣ୰୧୬୥は以下のように算出される（Lotgering, 1959）。
ሺ଴଴ଵሻ݂୐୭୲୥ୣ୰୧୬୥ ൌ ൫ߩሺ଴଴ଵሻ – ߩ଴ ൯/ሺ1– ߩ଴ ሻߩ଴ ൌ σ௟ ‫ܫ‬଴଴௟ / σ௛௞௟ ‫ܫ‬௛௞௟ሺ଴଴ଵሻ

ߩሺ଴଴ଵሻ ൌ σ௟ ‫ܫ‬଴଴௟ሺ଴଴ଵሻ/ σ௛௞௟ ‫ܫ‬௛௞௟

強誘電体、圧電体、強磁性体、太陽電池、二次電池材料、超伝導体、発光デバイスなど、多結晶体中の結晶粒の配向性が電気的・磁気的・力学的・光学的・熱的な物性に(1)強い影響を及ぼし、配向性を制御・評価しうることは多(2)結晶材料の商品価値を高める面は確かに存在する。現実(3)に日本国内のセラミックス分野からの特許出願で「ロッただしランダム配向（無配向）試料の粉末回折強度が（001）-配向試料の粉末回折強度が‫ܫ‬௛௞௟ と表され、半導体デバイス用の支持基板やパッケージング材料、ሺ଴଴ଵሻ‫ܫ‬௛௞௟

トゲーリング因子」の高いことを根拠とする場合も少な。
くないことは皮肉なことである（e.g. 谷・竹内、1998）と表されるとする。
― 44 ―

Lotgering 因子0 ൏ ‫ ݎ‬൏ 1 となり、このとき角度 ߙ の小さい場合には3．結晶学・幾何学・確率論的な選択配向の考え方

ܲሺߙ, ‫ݎ‬ሻ ൐ 1ࠊ
、角度 ߙ の大きい場合には 0 ൏ ܲሺߙ, ‫ݎ‬ሻ ൏ 1

結晶粒がランダム配向（無配向）の状態になっているとみなせる場合に指数 ݄݈݇ の粉末 X 線回折強度 ‫ܫ‬௛௞௟となる。

は、結晶構造因子 ‫ܨ‬௛௞௟ の複素絶対値自乗 |‫ܨ‬௛௞௟ |ଶ と、反射多重度 ݉௛௞௟ 、回折角 2ߠ௛௞௟ に対する幾何学的な補March 函数 ܲሺߙ, ‫ݎ‬ሻ は、傾き角 ߙ に関する球面ある

いは半球面にわたる積分について規格化されており、
గ/ଶ

正因子 Cሺ2ߠ௛௞௟ ሻ に比例し、‫ܫ‬௛௞௟ ‫ܨ| ן‬௛௞௟ |ଶ ݉௛௞௟ ‫ܥ‬ሺ2ߠ௛௞௟ ሻ(4)Cሺ2ߠሻ ൌ ሺ1 ൅ cosଶ 2ߠሻ csc 2ߠ csc ߠ(5)と表される。一般的に利用しうる粉末 X 線回折測定システムは、幾何学的な補正因子 Cሺ2ߠ௛௞௟ ሻ が‫׬‬଴

六方設定の三方晶・正方晶・六方晶で（001）方向が選択配向方向となる場合には March-Dollase 選択配向モデルは単純化され、式（7）の代わりにሺ଴଴ଵሻ݉௛௞௟となるように設計されている場合が多い。この因子Cሺ2ߠሻ がローレンツ・偏光因子と呼ばれる場合もある。

(12)

ܲሺߙ, ‫ݎ‬ሻ sin ߙ dߙ ൌ 1の関係は March 係数 ‫ ݎ‬の値によらず成立する。

ሺ଴଴ଵሻ(13)ൌ ݉௛௞௟ ܲ ቀߙ௛௞௟ , ‫ݎ‬ቁの関係を用いることができる。

一般的な粉末 X 線回折測定システムでは、平板状の試料ホルダに粉末試料を充填して測定の行われる場合が

4． Lotgering 因子のシミュレーション

多いが、焼結体など板状に成形された多結晶体試料の測4-1．コランダム α-Al2O3 の Lotgering 因子
コランダム（α-Al2O3）は三方晶 ܴ3ത ܿ （空間群番号定をすることも可能である。
平板形状の試料を測定に用いる場合に、面内方向から167）の対称性を持ち、PDF 00-046-1212 によれば六方面直方向へかけての配向の異方性を無視できない場合は設定での格子定数は a = 4.759 Å、c = 12.993 Å である。

少なくないが、面内での結晶粒の配向の異方性は多くの六方設定での単位胞には 12 個の Al 原子と 18 個の O場合に無視しうる。現実的には多くの場合に一軸性の配原子が含まれるが、いずれの原子位置も結晶学的な特殊向を仮定することができる。

位置であり、Al 原子が（0, 0, 0.352）位置にあり、O 原

March-Dollase の選択配向モデル（Dollase, 1986）で子が（0.306, 0, 1/4）位置にあるとすれば、空間群の対は、ሺ‫ܮܭܪ‬ሻ 結晶面の成長した結晶形態をとりがちな結晶称性からすべての原子位置が確定される。原子変位につ粒による粉末試料が一軸性の選択配向を持つ場合、観測いては Al と O とに共通の等方性原子変位パラメータ‫ܤ‬୧ୱ୭ ൌ 0.22 Հଶ ฻ ܷ୧ୱ୭ ൌ 0.0028 Հଶ を仮定しうる（Maslen

される回折強度は式（4）の代わりにሺு௄௅ሻሺு௄௅ሻ

݉௛௞௟

ሺு௄௅ሻ

௠

et al., 1993）。

(6)‫ܫ‬௛௞௟ ‫ܨ| ן‬௛௞௟ |ଶ ݉௛௞௟ ‫ܥ‬ሺ2ߠ௛௞௟ ሻ

米国標準技術研究所（National Institute of Standards(7)೓ೖ೗ൌ σ௜ୀଵܲ ቀߙ௛೔ ௞೔ ௟೔ , ‫ݎ‬ቁand Technology; NIST）から頒布された α-Al2O3 標準粉末 SRM676a の保証書に記載される粉末回折強度は、完と表されるとする。式（7）の和は、等価反射 ሼ݄௜ ݇௜ ݈௜ ሽሺு௄௅ሻ

についての和をとることを意味し、 ݉௛௞௟は有効反射

ଶ–、ランダム配向を仮定して計全イオン化モデル Alଷାଶ Oଷ ࠊ多重度とみなせる値である。選択配向が存在するとき、算される強度と良い一致を示す。一方で NIST から頒布

結晶学的には幾何学的に等価とみなされる反射が、現実される α-Al2O3 標準焼結体 SRM1976c の保証書に記載に観測されるデータでは等価とみなせなくなることを前される回折強度は、（001）-配向を示唆する強度パターン

ሺு௄௅ሻ提とする。 ߙ௛௞௟ は（HKL）結晶面に対する hkl 回折面‫כ כ כ‬の傾きの角度を表す。逆格子ベクトルを ‫ ܉‬, ‫ ܊‬, ‫ ܋‬としሺு௄௅ሻたときに傾き角 ߙ௛௞௟ሺு௄௅ሻは‫ כ܌‬ή‫כܘ‬(8)ಹ಼ಽൌ arccos ห‫܌‬೓ೖ೗‫כ‬หห‫ כܘ‬ห‫כ܌‬௛௞௟ ൌ ݄‫ כ܉‬൅ ݇‫ כ܊‬൅ ݈‫כ ܋‬(9)‫כܘ‬ு௄௅ ൌ ‫ כ܉ܪ‬൅ ‫ כ܊ܭ‬൅ ‫כ ܋ܮ‬(10)(10ߙ௛௞௟೓ೖ೗೓ೖ೗‫כ‬を示す。

Table 1 にコランダム hkl 回折面の（001）結晶面からሺ଴଴ଵሻと NIST SRM676a と SRM1976c の保ሺଵଽ଻଺ୡሻ
ሺ଺଻଺ୟሻと ‫ܫ‬௛௞௟、SRM1976c
証書に記載される強度値 ‫ܫ‬௛௞௟の強度に（001）-配向 March-Dollase モデルを適用しの傾き角 ߙ௛௞௟ሺଵଽ଻଺ୡሻ‫ܫ‬௛௞௟ሺ଺଻଺ୟሻൎ ݂ ‫ܫ‬௛௞௟ሺ଴଴ଵሻܲ ቀߙ௛௞௟ , ‫ݎ‬ቁ

(14)ሺ୭୮୲ሻとして計算される。ベクトル ‫ܘ‬ு௄௅ は選択配向方向をとして最適化された強度値 ‫ܫ‬௛௞௟ 、当てはめ残差 ο‫ܫ‬௛௞௟表すベクトルである。式（7）中の函数 ܲሺߙ, ‫ݎ‬ሻ は選択配とを示す。この当てはめ計算では ݂ ൌ 4.00、 ‫ ݎ‬ൌ 0.167

向の確率密度を表す函数であり、Dollase（1986）は、この確率密度函数として March 函数（March, 1932）
ܲሺߙ, ‫ݎ‬ሻ ൌሺ‫ ݎ‬ଶcos ߙ ൅ ‫ݎ‬
ଶ–ଵ–ଷ/ଶsin ߙሻଶ

として NIST SRM1976c 保証書記載強度値が最適化された。

(11)を用いることを提案した。変数 ‫ ݎ‬は March 係数と呼ばれ、選択配向の強さに直接関係づけられる値である。ランダム配向の場合には ‫ ݎ‬ൌ 1、 ܲሺߙ, 1ሻ ൌ 1 となる。板状形態を持つ結晶粒の粉末を平板状に充填したときにはNIST SRM676a についても SRM1976c についても保証書に 00l 反射の強度が記載されず、保証書に記載された強度値からは Lotgering 因子を計算することは不可能-選択配向を仮定した March-Dollase モデルを
だが、
（001）
用いれば SRM1976c 保証書記載強度は概ね再現される。

― 45 ―

井田

Table 1 NIST 保証書に記載される反射指数 hkl と反射多重度

隆が進行し、強い配向性を持つ焼結体になったと解釈しうる。

ሺ଴଴ଵሻ݉௛௞௟ 、（001）結 晶 面 か ら の 傾 き 角 ߙ௛௞௟ ࠊ、保証書記載強度
ሺ଺଻଺ୟሻሺଵଽ଻଺ୡሻ
‫ܫ‬௛௞௟と ‫ܫ‬௛௞௟
、（001）-選択配向 March-Dollase モデルによሺ୭୮୲ሻ
り最適化された SRM1976c 強度 ‫ܫ‬௛௞௟ 、当てはめ残差 ο‫ܫ‬௛௞௟hkl

݉௛௞௟

ߙ௛௞௟

‫ܫ‬௛௞௟

012

657.6º1046110ሺ଴଴ଵሻሺ଺଻଺ୟሻ

ሺଵଽ଻଺ୡሻ

‫ܫ‬௛௞௟

ሺ୭୮୲ሻο‫ܫ‬௛௞௟

57.1

23.625.7

̽2.1

38.2º

88.4

100

100.2

̽0.2

690º

37.8

113

1261.2º

100

37.2

40.3

̽3.1024

6

57.6º

47.320.721.3

̽0.61161242.3º

95.887.884.7+3.12141264.4º37.7300690º57.5‫ܫ‬௛௞௟ଶ–
コランダムの完全イオン化モデル Alଷାଶ Oଷ について、
ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻ

回折角 2ߠ ൏ 141° 以下のすべての ‫ܫ‬௛௞௟

4-2．ウルツ鉱型 ZnO の Lotgering 因子10.3

酸化亜鉛 ZnO はウルツ鉱型構造をとり、六方晶 ܲ6ଷ ݉ܿ（空間群番号 186）の対称性を持つ。
格子定数は a = 3.250 Å、
c = 5.207 Å である。単位胞には 2 個の Zn 原子と 2 個の O 原子とが含まれるが、いずれも結晶学的な特殊位

14.012.415.6

計算強度か

ሺ଴଴ଵሻ
ら Lotgering 因子を計算すると、 ݂୐୭୲୥ୣ୰୧୬୥ ൌ 0.724 と言う数値が得られた。また、中性原子モデル Al଴ଶ O଴ଷ につሺ଴଴ଵሻいて同様の計算を行うと、 ݂୐୭୲୥ୣ୰୧୬୥ ൌ 0.714 となった。

置に存在し、Zn 原子が（1/3, 2/3, 0）の位置にあり、O̽3.2原子が（1/3, 2/3, u）の位置にあるとすれば、対称性からすべての原子位置が確定される。O 原子位置 z 座標の値

ଶ–Alଷା
ଶ Oଷ

完全イオン化モデルについてランダム配向ሺ௥ୀଵሻの回折強度 ‫ܫ‬௛௞௟ と March 係数 ‫ ݎ‬ൌ 0.167 の（001）-選ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻの一択配向モデルにより予想される回折強度 ‫ܫ‬௛௞௟

部を Table 2 に示す。

March 係数 ‫ ݎ‬ൌ 0.167 の選択配向性は、00l 反射の強度がランダム配向の場合の 0.167–ଷ ൎ 215 倍になり、hk0 反射の強度が 0.167ଷ/ଶ ൎ 0.068 倍になることに相当し、強い配向性を意味する。SRM1976c 標準焼結体の製造工程で意図的に配向性が導入されたとは考えづらu は正四面体 4 配位を仮定すれば u = 3/8 = 0.375 となるはずだが、中性子回折実験の結果から推定された値はu = 0.3817 である。原子変位については Zn と O とに共通の等方性原子変位パラメータ ‫ܤ‬୧ୱ୭ ൌ 0.55 Հଶ を仮定。
しうるとされる（Kisi & Elcombe, 1989）

酸化亜鉛 ZnO については中性原子モデル Zn0O0 につ

い て 粉 末 回 折 強 度 の 計 算 を 行 っ た。 こ の 計 算 に はMomma & Izumi（2011）による VESTA3 を利用した。
-選択配向モデまた March 係数 ‫ ݎ‬ൌ 0.167 として（001）ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻ

く、原料粉末の一軸加圧成形後に焼結処理を施しただけルによる計算強度 ‫ܫ‬௛௞௟のものと想像されるが、焼結の段階でオストワルド熟成を Table 3 に示す。

Table 3 酸化亜鉛中性原子モデル Zn0O0 によるランダム配向

ଶ–Table 2 コランダム完全イオン化モデル Alଷାଶ Oଷ によるラン計算強度 ‫ܫ‬௛௞௟

ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻ
選択配向モデルによる計算強度 ‫ܫ‬௛௞௟デルによる計算強度 ‫ܫ‬௛௞௟ሺ௥ୀଵሻ

ダム配向計算強度 ‫ܫ‬௛௞௟と March 係数 ‫ ݎ‬ൌ 0.167 の（001）-hkl

݉௛௞௟

ߙ௛௞௟

012

657.6ºሺ଴଴ଵሻ2ߠ

25.57ºሺ௥ୀଵሻ‫ܫ‬௛௞௟

61.0を求めた。計算結果の一部

ሺ௥ୀଵሻと March 係数 ‫ ݎ‬ൌ 0.167 の（001）-選択配向モ
ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻ

ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻ

hkl

݉௛௞௟

ߙ௛௞௟

6.9

1006‫ܫ‬௛௞௟ሺ଴଴ଵሻ

ሺ௥ୀଵሻ

ሺ௥ୀ଴.ଵ଺଻ሻ

‫ܫ‬௛௞௟

90º2ߠ

31.77º1006.8‫ܫ‬௛௞௟

104

638.2º35.15º

97.5

27.7

10º

34.42º

37.7

8090

110

690º

37.77º45.6

3.1002ത
00210º34.42º

36.9

7920

006

2

0|

41.68º

0.4

96.5

101

6

61.6|

36.25º

91.9

9.2

101ത

113

12

61.2º

43.35º

98.0

9.9

202

6

72.4º

46.17º

1.5

0.1

024

6

57.6º

52.55º

50.5

5.7

110

12

42.3º

57.50º

100

22.2

211

12

83.2º

59.74º

2.6

0.2

122

12

76.5º

61.13º

3.3

0.2

6

61.6º

36.25º

89.8

9.0

102

6

42.8º

47.54º

20.4

4.4

102ത

6

42.8º

47.54º

20.8

4.5

110

6

90º

56.59º

61.8

4.2

103ത

6

31.7º

62.85º

27.9

12.9

103

6

31.7º

62.85º28.313.1

018

6

21.5º

61.30º

7.8

10.4

200

690º

66.37º

8.6

0.6

214

12

64.4º

66.51º

40.5

3.8

112

6

58.0º

67.94º

23.3

2.6

112ത

6

58.0º

67.94º

23.8

2.7

201

6

74.9º

69.08º

11.7

0.9

201ത

6

74.9º

69.08º

11.5

0.9

10º

72.56º

1.9

408

1

0º

72.56º

1.9

405

300

6

90º

68.20º

61.9

4.2

125

12

59.1º

70.41º

1.3

0.1

208

6

38.2º

74.30º1.6

0.5

1.0.106

17.5º

76.87º

18.1

42.4

119

12

31.2º

77.23º9.6

4.6004ത

004― 46 ―Lotgering 因子

コランダムと同様に酸化亜鉛中性原子モデル Zn0O0

Maslen, E. N., Streltsov, V. A., Streltsova, N. R., Ishizawa, N.の 計 算 回 折 強 度 か ら Lotgering 因 子 を 計 算 す る とand Satow, Y. （1993）. “Synchrotron X-ray study of theሺ଴଴ଵሻ

݂୐୭୲୥ୣ୰୧୬୥ ൌ 0.994 となり、定義の上では上限となる 1 に近い値になる。Table 3 に示した数値から、このことは
ZnO の 002/002ത 反射がランダム配向の場合でもある程

electron density in α-Al2O3,” Acta Crystallogr. B 49, 973–
980. DOI: https://doi.org/10.1107/S0108768193006901
Momma, K. and Izumi, F. （ 2011 ）. “ Vesta 3 for three-度の強度を示すことに由来することは明白である。

dimensional visualization of crystal, volumetric and4 − 1 節に示したコランダムの場合には、同じ配向性ሺ଴଴ଵሻを 仮 定 し て Lotgering 因 子 が ݂୐୭୲୥ୣ୰୧୬୥ ൌ 0.714– 0.724と算出された。これはコランダムの 00l 反射が弱い反射

morphology data,” J. Appl. Crystallogr. 44, 1272–1276.
DOI: https://doi.org/10.1107/S0021889811038970
Rietveld, H. M.（ 1969 ）. “ Profile refinement method fornuclear and magnetic structures,” J. Appl. Crystallogr. 2,であることに由来する。

65–71. DOI: https://doi.org/10.1107/S0021889869006558
谷 俊彦・竹内 嗣人, 株式会社豊田中央研究所, 結晶配向セラ

5．おわりにLotgering 因子は多結晶体中の結晶粒の配向性によっ

ミックス基盤及びデバイス, 出願番号：特開平 9-062132,て変化する値であるが、配向性の強さを表す数値ではな

公開番号：特開平 10-245298, 公開日 1998 年 9 月 14 日.

い。このことをコランダム α-Al2O3 と酸化亜鉛 ZnO の計算回折強度から算出される Lotgering 因子のシミュレーションにより示した。

Lotgering 因子は、同一の物質系で異なる強さの配向性を持つ試料群について、配向性の強弱を比較し、順位づけをするためには利用することができるが、数値そのものに明確な意味づけをすることは困難であり、結晶粒の配向性によって変化する多結晶体の物性と直接的に関係づけられる性格のものではない。Lotgering 因子は、事実上日本のセラミックス分野でしか用いられないようにみえるが、このような背景があることは認識されるべきと思われる。
参考文献Dollase, W. A.（1986）. “Correction of intensities for preferredorientation in powder diffractometry: application of theMarch model,” J. Appl. Crystallogr. 19, 267–272.
DOI: 10.1107/S0021889886089458
Furushima, R., Tanaka, S., Kato, Z. and Uematsu, K.（2010）.
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prepared by a magnetic field,” J. Ceram. Soc. JAPAN 118,
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Kisi, E. H. & Elcombe, M. M.（1989）“u Parameters for theWurtzite structure of ZnS and ZnO using powder neutron
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DOI: https://doi.org/10.1107/S0108270189004269
Lotgering, F. K.（ 1959 ）. “ Topotactical reactions withferrimagnetic oxides having hexagonal crystal structures,”J. Inorg. Nucl. Chem. 9, 113–121. DOI: https://doi.org/10.
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March, A.（1932） “Mathematische Theorie der Regelung nachder Korngestalt bei affiner Deformation,” Z. Krisstallogr.

81 , 285–297. DOI: https://doi.org/10.1524/zkri.1932.
81.1.285― 47 ―