（5数5学
注1

問題は意

1 から 4 までで， 7 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。
2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 10 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

答えは全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

5

答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含まない形で表しなさい。また，根号の中を最も小さい自然数にしなさい。

6

答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。

7

答えは，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。

8

答えを直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。

9

受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面については，その数字の10の中を正確に塗りつぶしなさい。

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

青）1

次の各問に答えよ。
〔問 1 〕 ^ 4 + 7 h 2 - 8 ^ 4 + 7 h + 12

〔問 2 〕 連立方程式を計算せよ。

x+yx=34* x-y5を解け。

=y+6〔問 3 〕 1 から 6 までの目が出る大小 1 つずつのさいころを同時に 1 回投げる。
大きいさいころの出た目の数を x，小さいさいころの出た目の数を y とするとき，（x，y）を座標とする点 P が，関数 y =12のグラフ上にある確率を求めよ。
xただし，大小 2 つのさいころはともに， 1 から 6 までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

〔問 4 〕 右の図 1 は，ある中学校の生徒 40 人が，サッカーのシュートを 10 回ずつ行ったとき，シュートが入った回数ごとの人数をグラフに図1（人）108表したものである。

6

シュートが入った回数が， 6 回以上 8 回以下4の生徒数は，全体の人数の何％か。

20〔問 5 〕 右の図 2 で，iABC は，+ABC = 60°の

3 4 5 6 7 8 9 10（回）図2三角形であり，点 P は辺 AC 上，点 Q はA

辺 AB 上，点 R は辺 BC 上にそれぞれある
PQ点である。
解答欄に示した図をもとにして，iPQR が，PQ ' BC の正三角形となる点 P，点 Q，点 R を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，それらの位置を示す文字 P，Q，R もそれぞれ書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

1BRC

2

右の図で，点 O は原点，曲線 f は関数 y = ax 2（a 2 0）

yfのグラフを表している。
点 A は曲線 f 上にあり，x 座標は -1 である。
点 A を通り傾き a の直線を引き，曲線 f との交点のC
E

うち点 A と異なる点を B とする。
点 B を通り傾き -a の直線を引き，曲線 f との交点のうち点 B と異なる点を C とする。

A

直線 AB と y 軸との交点を D，直線 BC と y 軸との交点を E とする。
点 O と点 A，点 O と点 B，点 A と点 C をそれぞれ結ぶ。
点 O から点（1，0）までの距離，および点 O から点（0，1）までの距離をそれぞれ 1 cm として，次の各問に答えよ。

〔問 1 〕 点 A の座標が A e -1，D3o のとき，点 D の座標を求めよ。
2〔問 2 〕 iDBE の面積が 8 cm 2 のとき，a の値を求めよ。

2OBx

〔問 3 〕『a =1のとき，点 A を通り四角形 AOBC の面積を 2 等分する直線の式を求めよ。』
2という問題を，下の①
また，と④②の中のように解いた。に当てはまる数，③に当てはまる最も簡単な整数の比を書け。には答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算などを書き，解答を完成させよ。

【解答】
a=191のとき，各点の座標をそれぞれ求めると，A e -1， o ，B（2，2），C e - 3 ， o ，
222D（0，1），E（0，3）である。
また，直線 OA の傾きが①であるから，AO ' BC となることが分かる。

AO ' BC であることから，
iAOB と iABC の面積の比は，線分 AO と線分 BC の長さの比に等しい。
よって，iAOB の面積を S とすると，iABC の面積は②S と表すことができる。

したがって，点 A を通り四角形 AOBC の面積を 2 等分する直線と線分 BC との交点を F とすると，四角形 AOBF と iAFC の面積が等しくなることから，BF：FC =③であることが分かる。

以上より，

④3

3右の図 1 で，点 O は線分 AB を直径とする円の中心である。

図1

B

点 C は円 O の周上にある点で，点 A，点 B のいずれにも一致しない。

（

点 B と点 C，点 C と点 A，点 O と点 C をそれぞれ結ぶ。
O

点 A を含まない BC 上にある点を D とし，点 A と点 D，D

点 C と点 D をそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。
AC（（（〔問 1 〕 AC = 4 cm，AC = CD = DB のとき，線分 BC の長さは何 cm か。

4

〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，線分 AD 上にある点を図2BP とし，点 P と点 C を結び，+APC = +AOC の場合を表している。
次の 1 ， 2 に答えよ。
OP

1

iPCD は二等辺三角形であることを証明せよ。

AC

2

AB = 6 cm，AC = 4 cm であり，点 P が線分 BC 上にあるとき，線分 AD の長さは何 cm か。

5D

4

次の先生と生徒の会話文を読んで，あとの各問に答えよ。ただし，円周率は r とする。

先生：
「右の図 1 で，iABC は，AB = 2 cm，BC = 1 cm，CA = 3 cm

図1の直角三角形です。

A

この iABC を，直線 AC を軸として 1 回転させてできる立体はどんな形でしょうか。」
生徒：「はい，円すいになります。」
先生：「そのとおりです。では，その円すいの表面積を求めてください。」
生徒：「解けました。

①BCcm 2 になりました。」

先生：「正解です。よくできました。
では，次の問題を見てください。」【先生が示した問題 1 】
右の図 2 は，図 1 において，頂点 C から辺 AB に垂線を引き，図2

辺 AB との交点を D とし，点 D を通り辺 BC に平行な直線を引き，A

辺 AC との交点を E とした場合を表している。
図 2 において，四角形 DBCE を，以下の ア ， イ ， ウ のいずれか 1 つの直線を軸として 1 回転させてできる立体を考える。
D軸とする直線を ア ， イ ， ウ のうちから 1 つ選び，そのときにできる立体の体積を求めよ。
ア

直線 DE

イ

直線 EC

ウ

直線 BC

B

生徒：
「どれを選んでもよいのですね。」
先生：「そうです。その選んだもので求めてみてください。」
先生：「さて，半円を考えたとき，直径を含む直線を軸として1 回転させてできる立体は，球になりますね。
では，もう 1 つ問題を解いてみましょう。」【先生が示した問題 2 】
右の図 3 は，図 1 の三角形を，直線 AC を軸として1 回転させてできる立体の中に，中心が直線 AC 上にある同じ大きさの球が 2 個含まれ，上側の球は，円すいの側面と下側の球に接しており，下側の球は，上側の球と円すいの底面に接している
場合を表している。
このとき，球の半径を求めよ。

6

図3EC

〔問 1 〕①に当てはまる数を求めよ。

〔問 2 〕【先生が示した問題 1 】において，軸とする直線を ア ， イ ， ウ のうちから 1 つ選び，解答欄に○を付けよ。また，そのときにできる立体の体積は何 cm 3 か。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。
また，合同な図形や相似な図形の性質を用いる場合は証明せずに用いてもよい。

〔問 3 〕【先生が示した問題 2 】において，球の半径は何 cm か。

7

（5-青）

正答表
13

5〔問 1〕

   

5〔問 2〕

〔問 1〕

〔問 2〕

2点

D( 0 , 3 )

7〔問 1〕

8〔問 2〕

点２3

  (1)【4点

7【 選んだ記号 】

10点

証 明

】

7〔問 1〕

10〔問 2〕ア  イ  ウ


〔問 3〕

5
 


①2

【解答例】

【途中の式や計算など】

仮定より，…①

60〔問 4〕

%

55

②

2

5

【解答例】

＝＝

〔問 3〕

〔問 5〕

円周角の定理より

2:3

③2


…②△△から△において内角と外角の関係によりより   

＋＝…③
よって，  ①と②より，③は④【途中の式や計算など】△△＋＝

4

また，△△から △△ ＋＝
【解答例】





点は，点と一致する。
よって，②，④より，求める直線は，点，を通る直線である．

 を通るから，     …①より   

＝

すなわち ＝求める直線を     とおくと，＝＝
よって，  …④より     であるから，


よって，

△において，２つの角が等しいから直線を軸としたとき

ア△は二等辺三角形である．



求める体積を とすると，）を通るから，  …②
①，②より    
したがって，               
求める直線の式は    （答え） 


〔問 2〕

(2)

  

8（答え） 〔問 3〕

 



8