解説

先進セラミックス研究センター年報（2016）. Vol. 5, 37‑43

粉末回折データに対する逆畳み込み・畳み込み処理の考え方
井田隆

名古屋工業大学先進セラミックス研究センター〒 507-0071 岐阜県多治見市旭ヶ丘 10-6-29

Concept of Deconvolution-Convolution Treatment on Powder
X-ray Diffraction Data
Takashi Ida
Advanced Ceramics Research Center, Nagoya Institute of Technology,
10-6-29, Asahigaoka Tajimi, Gifu 507-0071, JAPANThis article introduces the core concept of a deconvolution-convolution treatment（DCT）on powder diffraction data, recently
proposed by the author. The method is based on a realistic spectroscopic profile of X-ray and the results of cumulant analysis ofa precise approximate formula for the axial-divergence aberration in Bragg-Brentano geometry. It is demonstrated that thepowder diffraction data treated by the method show almost symmetric single peak profile, and small unwanted peaks in theobserved data are effectively removed by the method.
Keywords: deconvolution, convolution, cumulant, powder diffraction

1．はじめに実用化され、1948 年には Alexander らにより、
ガイガー・

粉末Ｘ線回折測定により得られる実測の回折ピーク強

カウンターを用いて記録された粉末回折強度の統計学的度図形が「試料固有の本質的な回折強度図形」と「装置な性質について、本質的に重要な発見も報告されているによるぼやけ」との「畳み込み」として表現されること、。
［3］

そして「試料固有の本質的な回折強度図形」の中に、結粉末Ｘ線回折強度測定において、当初Ｘ線検出器とし晶性粒子サイズや歪み、積層不整などに関する有効な情て用いられたガイガー・カウンターはその後シンチレー報が含まれているとする説は、1930 年代から多くの粉ション・カウンタあるいは比例計数管に置き換えられた

末回折研究者から支持されていた［1, 2］。一方で、当が、1940 年代後半に考案されたとされるソーラー・ス

時のように写真乾板あるいは銀塩フィルムに撮影された

リットと呼ばれる平行金属箔スリットにより軸発散収差

回折画像の明暗を光電変換に基づく機械式フィードバッ

の効果を抑制するとともに、平板状に充填された粉末試

クにより数値化する方法では、当然「装置によるぼやけ」

料に対して、線焦点配置のＸ線源と、検出器の手前にを先験的に予想することは困難であったと想像される。

表現である「装置関数」とから「試料固有の本質的な回

0.1 mm–0.3 mm 程度の細い隙間をつけた「受光スリッ
ト」を対称的に配置する装置デザインが 1960 年代には完成された［4］。幾何学的に合理的で実用的、洗練されたこのデザインの完成には、米国 IBM の Parrish を

折強度図形」を導く方法は 1948 年に Stokes により提中心としたグループが本質的に重要な寄与を果たしたこ「被案された［2］。しかしこの方法は、当時の技術では、と は、 現 在 国 際 的 に 認 め ら れ て い る。Bragg や

フーリエ変換を用いた逆畳み込み計算により、実測回
折強度図形データと「装置によるぼやけ」の代数学的な験試料を焼鈍により充分に結晶成長させるとともに構造

Brentano が用いた装置デザインは、これとはかなり異欠陥を除去することが可能であり、その実測回折ピーク

なるものなので、このデザインを Bragg-Brentano 型と強度図形を『装置固有のぼやけ』（装置関数）と同一視。しかし、呼ぶのは不当であるという批判も存在する［5］

できる場合」にのみ適用しうる方法であり、有効に利用

日本国内ではブラッグ・ブレンターノ Bragg-Brentano

できる対象は、焼き鈍しの効果的な金属試料に事実上限型と呼ばれるのが通例なので、本稿ではそれに従い、こ定されるものであった。

のデザインを Bragg-Brentano 型と呼ぶことにする。

一方で、1940 年代にはガイガー・カウンターにより現在でも実験室系Ｘ線源を用いた粉末回折測定装置でＸ線強度を電気信号に直接的に変換して記録する方式もあれば、この Bragg-Brentano 型装置デザインが最も汎― 37 ―

粉末回折データに対する逆畳み込み・畳み込み処理の考え方

用性の高く実用的なものである。広く普及して長い年月

100 倍程度になることと、連続走査モードで積算する場

にわたって使われ続けているので、装置の特性について

合粒子統計効果による強度のばらつきが抑制されることも詳しく調べられている。このタイプの装置を用いて記から、短時間に充分な統計精度を持つ粉末回折強度デー録された実測粉末Ｘ線回折データに含まれる「装置によタを取得することができる。

る観測ピーク形状のひずみ」は、一般的に入手しやすい

実験室系Ｘ線源と一次元検出器を利用する場合、Cu Kβ

市販装置の場合には、以下の順に目立った効果が現れる。

線を除去するための Ni 箔フィルターを用いるのが合理的な（i）Ｘ線源の分光ピーク形状、（ii）軸発散収差、（iii）

構成と思われる一方で、そのような装置構成特有の問題が平板試料収差、（iv）試料透過性収差の影響である。こNi 箔 Cu Kβ 除去フィルターを用いた測定の場合、存在する。

れらの効果が局所的な近似としては装置関数との畳み込（ii）Ni K- 吸（i）除去しきれず残った弱い Cu Kβ ピーク、みとして表現されるということは、1930 年代から指摘収端位置でのバックグラウンド強度の不連続的な変化が出されていた通りのことである。

現する。しかしこれらは、筆者が 2002 年に提案した「逆しかし、筆者が 1990 年代に粉末Ｘ線回折装置研究に

畳み込み法」［11］を拡張すれば、容易に除去しうることが着手したとき、Bragg-Brentano デザインの装置で 2 番予想された。さらに、Bragg-Brentano 型粉末回折計に特目に目立った影響を示す軸発散収差の効果を数学的に表有の「軸発散収差」の効果を、体系化された論理に基づい現するための装置関数について、「局所的には正確とみた方法で除去しうる着想を得た。

なせる表現」でさえ知られていなかった。筆者は解析幾

そこで、筆者が過去に提案した「逆畳み込み法」［11］

何学的な手法で局所的に正確な装置関数の数学的な解をを拡張・修正し、（i）「軸発散収差」によるピークシフ

導出し［6］、この関数を畳み込んだ形式を持つ回折ピー

トと変形をさらに効果的に除去し、（ii）従来法［12,ク形状モデル関数を効率良く計算する数値計算法も提案

13］より汎用性の高い手法によって、Cu K 輻射Ｘ線源を用いる場合に出現する Cu Kα2 ピークを除去しうるだ
（iv）
Ni
けでなく、
（iii）残留する弱い Cu Kβ ピーク、
K- 吸収端位置でのバックグラウンド強度の不連続な変。
化をも、除去する数値計算手法を考案した［14, 15］。ほぼ同時期に、以前からこの問題に長く取した［7］
り組んできた Cheary & Coelho も、筆者とは独立にこの問題を解決する方法を提案した［8, 9］。Cheary &Coelho の手法は、現在 Bruker 社から市販されている
TOPAS という名称のソフトウェアに実装されている。
Cheary & Coelho の 実 装 は、 数 値 計 算 技 術 の 面［10］からは稚拙に映る。しかし、Bragg-Brentano 型粉末回
折計デザインが実用化され普及してから、約 30 年にわ

本稿では、この研究の背景にある問題意識と、この方法の成立した契機となった発想、その論理的な基盤、またどうしてこの方法を「逆畳み込み・畳み込み法」と呼ぶのかについて解説する。

たって未解決の問題として残されていた軸発散収差のモデル化のかなりの部分が、ほぼ同時期に異なる研究グ

2．畳み込みループにより独立に解決されたことは事実である。

2−1

畳み込みとは？

一方で、筆者は「実測の粉末回折データは装置関数と「畳み込み」と日本語に訳された概念は、
ドイツ語で
「折

の畳み込みとして表現しうる」とする論理の矛盾を解決

りたたみ」という意味を持つファルトゥンク Faltung とするための方法論の研究を始め、その論理矛盾のかなりいう語に由来すると思われる。英語では「巻き込む（巻の部分は、適切な非線形スケール変換を用いれば解決しき込んだ）もの」という意味のコンボリューション

うるという着想を得た。さらにフーリエ変換を用いた逆

convolution という語が用いられる。確率論的には「畳畳み込み処理により、装置に由来するピークシフトとみ込みとは、独立な確率変数の和の統計分布」という解

ピーク形状の歪みを高速な数値計算アルゴリズムを用い「人生はたたみこみ」とい釈のしかた［16］が可能で、て矯正しうることを見出した［11］。しかし、この時点

う解説［17］もある。

では、Bragg-Brentano 型粉末回折計に特有の「軸発散収差」の効果の処理については、十分に満足のいく体系f x）と g（x）の「畳み込み」は以下の式で定義
関数 （
される。

化が実現できていなかった。またこの数値計算処理に伴（1）

う誤差伝播と平滑化処理についても、論理的な基盤が必
ずしも明確ではなかった。
筆者は 2016 年に初めて一次元Ｘ線検出器を搭載した

2−2

畳み込みとフーリエ変換

粉末Ｘ線回折測定システムを試用する機会を得た。一次畳み込みのフーリエ変換は成分関数のフーリエ変換の元Ｘ線検出器を用いる場合、厳密には Bragg-Brentano

積に等しい。これを畳み込み定理と呼び、以下の一連の型の配置からわずかにずれることになるが、このずれの式でこの関係が表される。

影響は大きいものではなく、「擬似 Bragg-Brentano 型」と呼んでも差し支えない。検出効率が従来型の検出器の― 38 ―

（2）

井田

e

（3）

e

（4）

e

隆

（7）

f x）が規格化されている場合、別の言となるが、関数 （い方をすれば何らかの確率密度関数とみなせる場合、

（5）

（8）

かりに「実測の回折図形」h（x）が「試料固有の本質的の関係が成立するので、1 次のキュムラント κ1 は「平均」f x）と「装置関数」g（x）との畳み込
な粉末回折図形」（（9）（x）が既知であれば、みで表現されるとする。
「装置関数」g（x）から「試料固有の本質的な粉末「実測の回折図形」hに等しい。同様に 2 次のキュムラント κ2 は「分散」f x）を導くには、h（x）のフーリエ変換を g（x）
回折図形」（（10）のフーリエ変換で割り、その結果に逆フーリエ変換を施せば良いというのが「逆畳み込み」deconvolution の考えに等しく、3 次のキュムラント κ3 は「3 次の中心積率」方である。この考え方を数式で表せば、
e

（6）

（7）

（11）
に等しい。
畳み込みのキュムラントは、成分関数のキュムラント
の和に等しいという関係がある。この関係を「（畳み込e（8）

みに関する）
キュムラントの加成性」と呼ぶ。例えば、「畳
み込みの平均は成分関数の平均の和」に等しく、「畳み

e

（9）

となる。

込みの分散は成分関数の分散の和」、「畳み込みの 3 次
中心積率は成分関数の 3 次中心積率の和」…に等しいという関係が常に成立する。

フーリエ変換と逆フーリエ変換には、いずれも「高速フーリエ変換」と呼ばれる高効率な計算アルゴリズムを

3．スケール変換

利用することができるので、かなりデータ点数が多くて

3 − 1 Ｘ線源分光プロファイルのためのスケール変換「実測の粉末回折強度図形が装置関数との畳み込みでも、この計算に要する時間は短い。
ここで注意すべきことは、この「逆畳み込み」という表現される」とする論理の矛盾が最も明確になるのは、考え方には、「実測の回折強度図形」h（x）が「試料固有Ｘ線源の分光プロファイルの影響である。通常の Cuf x）と「装置関数」g（x）との本質的な粉末回折図形」（

Kα 線源を用いた装置で、結晶性の良い粉末試料の回折データを記録すると、実測の回折ピークは Kα1 ピークと Kα2 ピークの 2 本に分裂する。仮にその分裂の大きさや Kα2/Kα1 相対強度比が全データ範囲にわたって一の畳み込みで表現されることが平均的に成立するとしても、現実には，その通りになるとは限らないという根本的な問題があることだろう。実測の回折図形は、必ず統計的な測定誤差を含んでいるので、期待される値から、定であれば、それは「分光プロファイルの影響が畳み込ずれた値をとるはずだからである。

みとして表現される」ことを意味するだろう。ところが、（a）に示されるようになってい実測の回折図形は Fig. 1

2−3て、分裂幅が一定ではなく、高角反射ほど広くなってい

畳み込みとキュムラント

f x）の v 次のキュムラントは以下の式で定義さ
関数 （

る。

れる。

「畳み込み論者」は「ピーク位置ごとに異なる関数との畳み込みで表現される」と言うのだが、実測の強度図e（6）形が「共通の関数」との畳み込みとして表現できる場合にのみ「畳み込み」と言う概念は意味を持つのであり、この定義から、1 次のキュムラントは実測の強度図形が「位置によって異なる関数」との畳み込みとして表現されることを許せば「任意の図形がなにか畳み込みとして表現される」ことになるのであるから、― 39 ―

粉末回折データに対する逆畳み込み・畳み込み処理の考え方

1

（17）

とすれば、横軸スケール x に関するこの微分方程式の解は（18）である。式（18）を微分すれば、式（17）が得られる
ことは、高校数学で習う「合成関数の微分」の規則を知っていればわかるだろう。
さて、この x = ln sinθ スケールでの Kα2 ピーク位置

x2 = ln sinθ2 と Kα1 ピーク位置 x1 = ln sinθ1 の差（分裂幅）はどうなるだろうか？
（19）

Fig. 1 （a）LaB6 の粉末回折強度図形と（b）対数正弦スケー
ル変換を施した図形。

となり、厳密に一定の値になる。横軸を 2θ とする粉末
回折図形で分裂幅が tanθ に比例することは、「近似的なこの「畳み込み論者」の説は無意味であると言うのが筆関係」でしかなかったが、横軸を x = ln sinθ とすれば、者の見解である。

分裂幅が「厳密に一定になる」ことをもう一度強調してさて、Bragg の法則を知っていれば，Kα1 ピークとKα2 ピークの分裂の大きさがどのように近似されるかを導くことは困難でない。Kα1，Kα2 波長をそれぞれ，λ1，λ2＝λ1+Δλ と し て、Kα1，Kα2 ピ ー ク 位 置 を そ れ ぞ れ2θ1，2θ2＝2θ1+Δ2θ とすれば、Bragg の法則：
（12）
から、
2

（13）

おく。
Ｘ線源の分光プロファイルの影響は、回折角 2θ の代
わりに ln sinθ を用いれば畳み込みとして表現できる。
このように主張したのは、筆者が初めてのようである。
このスケールを「対数正弦スケール」と呼ぶことにする。

Fig. 1（b）のように、実際に横軸を対数正弦スケールとしたグラフを描いて見れば、理由はわからなくとも Kα1
ピークと Kα2 ピークの分裂幅の等しい図形が得られる
ことを確認できるだろう。

なのであるから、
3−2（14）

軸発散収差効果除去のためのスケール変換

Bragg-Brentano 型回折計の軸発散収差の効果が「局の関係が成立する。Δλ / λ の値は一定だから、Kα1 ピー

所的には畳み込みで表現される」としても間違いではな「近似的に」tanθ に比例する。
クと Kα2 ピークの分裂幅はいが、「大域的には畳み込みとして表現できない」こと

θ の小さい低角ピークほど分裂は小さく、θ の大きい高も自明である。軸発散収差の効果による変形は、「低角角ピークほど分裂が大きくなるのは当然である。ただし、ピークでは低角度側に裾を引き、高角ピークでは高角度

この近似が成立するのは、 Δλ = λ2−λ1 の値が、例えば側に裾を引く」性格を持つ。
筆者の 2002 年の時点での発想は、「それでも、多重λ1 = 1.5405929Å， λ2 = 1.5444274Å という値［18］に比べて小さいとみなせる場合に限られる。

のスケール変換を用いた多重の畳み込みとして近似しう

Fig. 1（a）の図形を見れば、「横軸スケールを、高角部る」というものであった。確かに、対数正弦スケール

では縮め、低角部では引き延ばすような変換を施せば、

ln sinθ と対数正割スケール ln secθ = −ln cosθ を用い

Kα1 ピークと Kα2 ピークの分裂幅の等しい図形が得らた二重畳み込みにより、軸発散収差効果の「低角ピーク

れる」こと、つまり「実測の強度図形を、正しい意味で

で低角度側に裾を引き、高角ピークで高角度側に裾を引『畳み込み』として表現しうる」と思うのは自然であろう。

。
く」特徴は概ね再現しうる［11］しかし、対数正弦スケールと対数正割スケールの組み

そのスケール変換を（15）と表現した場合、の代わりに用いるべき横軸スケール

合わせでは、Bragg-Brentano 型回折計の軸発散収差効
果の特徴を完全には再現できないことが、筆者にとって悩ましい問題だった。
筆者は 1990 年代から、Bragg-Brentano 型粉末回折が満たすべき関係は、
1

（16）

2θ）は、
計の軸発散収差効果の局所的な装置関数ω（ΔA

である。かりに― 40 ―

井田

| |

1

隆

（28）

| |

（20）

であるから、これらをまとめて
ln

（29）

と表現できることを指摘していた。ここで （ x）はディラック Dirac のデルタ関数であり、Ψは軸発散角である。

と表されるスケールを用いれば良い。

筆者はこの式の解を初等関数の組み合わせで表現するここのスケールでは式（22）で表される 2 次キュムラとが可能であることも見出したが［6］、そのこと自体ントは再現できないが、装置関数の逆畳み込み処理と同にそれほど重要な意味があるとは思わない。

時に、装置関数と等しい偶数次数キュムラントを持つ左

しかし、この局所的な軸発散収差関数のキュムラント
は、高校数学の知識で計算できるので、そのことは知る

右対称な関数を畳み込む処理も必ず施すことにすれば、実用的には問題にならない。

べきだろう。局所的な軸発散収差関数の 1 次キュムラ
ント〈2θ〉
Aは

4．逆畳み込み・畳み込み処理
（21）

12

となる。2 次キュムラント〈（Δ2θ）2〉A は
6
17

1440

実測の粉末回折図形が、試料固有のサイズ効果や歪み効果によるブロードニングで支配される場合には、逆畳み込み処理のみでも意味のある結果が得られるだろう。

（22）

3

である。3 次キュムラント〈（Δ2θ）〉A はしかし、結晶性の高い粉末試料では、実測の粉末回折図
形は装置によるブロードニングにより支配される。そのような場合、逆畳み込み処理後のピーク形状はデルタ関数状になると思われるかもしれない。しかし現実にはそ

60480

169

（23）

うならず、ランダムな測定誤差の増幅された図形が得られることになる。

169となる。これらのことから、対数正弦スケールと対数正関数の逆畳み込み処理と同時に、左右対称な形状の関数

割スケールを用いた二重畳み込みでは、3 次のキュムラを畳み込む処理を施すことにする。本稿で解説するデーントが再現できないことがわかる。対数正弦スケールとタ処理の仕方を「逆畳み込み・畳み込み処理」と呼ぶの対数正割スケールを用いた二重畳み込みでは、（tan3θ−は、そのことに由来する。

そこで、Ｘ線源の分光プロファイルあるいは装置収差

3cot θ）に比例する 3 次キュムラントしか導くことができ
ない。

4−1

そこで筆者は対数正弦スケールと対数正割スケールを

Ｘ線源分光プロファイルの逆畳み込み・畳み

込み処理

捨て、

主ピーク以外に副ピークを含む実測の粉末回折データ（24）から、副ピークのみを除去することを目的とする場合、現実的な分光プロファイルに関する逆畳み込み処理を行うと同時に、主ピークの形状のみをモデル化するピーク（25）。
形状関数を畳み込む処理を施せば良い［14］という関係を満たすような新しいスケールを用いれば良4−2

いと、考え方を変更することにした。これらの関係が成軸発散収差を含む装置収差によるピークのシフトと非立すれば、二重の畳み込みであっても 1 次キュムラン

対称な変形を除去する目的では、装置収差関数に関する（tanθ−cotθ）に比例し、3 次キュムラント
トが（1−β）

逆畳み込み処理を施すのと同時に、対称化された装置関

33装置収差関数の逆畳み込み・畳み込み処理が（tanθ + β cotθ）−（cotθ + β tanθ） に比例する形式と数を畳み込む処理を施すことにする。筆者は 2006 年になる。したがって適当な β の値を選べば、式（9）と式

そのような対称化処理を既に提案していた［19］が、そ（11）を同時に満たすことが可能であり、その解はの時点ではこの処理を正当化する根拠は必ずしも明確で

22
27

（26）

である。また、なかった。
（x）として、この関数のフーリエ変換の装置関数を g絶対値の逆フーリエ変換を、対称化された装置関数と呼

ln

（27）

（x）と記すことにする。この関数は以下の式で
び、|g|定義される。

― 41 ―

粉末回折データに対する逆畳み込み・畳み込み処理の考え方2x）の偶ロになる。キュムラントの加成性から、関数 |g|（

|

|

e

（30）

（x）のキュムラントの 2
数次数のキュムラントは、関数 g2x）は、関数 |g|（x）とそれ自身倍になる。また関数 |g|（

e

（31）

（x） の
との畳み込みあるいは相関に等しいので、関数 |g|2x）のキュムラントの半分になる。
キュムラントは関数 |g|（（x）
したがって、式（30）,（31）で定義される関数 |g|

関数 |g（| x）が左右対称であることは、式（30）の定義

は，g（x）と面積、幅、尖り度など偶数次数キュムラン

により
|

|

（32）

トで特徴づけられる特徴がすべて等しい関数となる。

の関係が常に成立することから明らかである。また、関（x）の逆畳み込みと同時に、
このことから、装置関数 g| x）の奇数次数キュムラントはすべてゼロになる。
数 |g（（x）の畳み込みを施す処理を「対対称化された装置関数 |g|（x）の偶数次数キュムラントは、関数
一方で、関数 |g|

称化処理」と呼ぶことができる。対称化処理によれば、
ピー

g（x）の偶数次数キュムラントに等しい。このことは以クのシフトや非対称な変形は修正されるが、面積や幅、下のように説明できる。

形状の尖り度などの特徴は変化しないことが、数学的に（x）とそれ自身との相関、あるいは関数 g
（x）と
関数 g

保証される。この処理に用いる装置関数モデルは、正し（−x）の畳み込みを自己相関関数と呼ぶ。ここで関数 g

い装置関数と奇数次数キュムラントのみが一致していれ

2はこれを |g|（x）と記すことにする。自己相関関数は左右ば良い。過去に提案した軸発散収差除去法［11］を改良し対称な関数であり、奇数次数のキュムラントはすべてゼ

た新しい方法［15］の考案に至ったのはこの理由による。

Fig. 2 Si の粉末回折強度図形（点線）と逆畳み込み・畳み込

Fig. 3 Si の粉末回折強度図形と逆畳み込み・畳み込み処理をみ処理を施した図形。

施した図形の拡大図。描画範囲は Fig. 2 と同じ。
― 42 ―

井田隆

profiles based on double Soller slit geometry,” Rev. Sci.

5．解析例

Fig. 2, 3 に Si 標準粉末（NIST SRM640c）の回折強
度 を 一 次 元 検 出 器 粉 末 回 折 計（PANAlytical, Expert
Pro）を用いて記録した図形と、逆畳み込み・畳み込み処理を施した強度図形とを示す。実験の詳細は別稿［14,15］に述べた。
Fig. 2 から、逆畳み込み・畳み込み処理によって Cu
Kα2 副ピークが除去されているだけでなく、比較的低角の反射ピークでは低角度側に裾を引く形状がほぼ左右対

Instrum. 69, 2268–2272（1998）.
［7］ T. Ida, “An efficient method for calculating asymmetricdiffraction peak profiles,” Rev. Sci. Instrum. 69, 3837–
3839（1998）.
［8］ R. W. Cheary and A. A. Coelho, “Axial divergence in aconventional X-ray powder diffractometer I. Theoreticalfoundations,” J. Appl. Crystallogr. 31, 851–861（1998）.
［9］ R. W. Cheary and A. A. Coelho, “Axial divergence in aconventional X-ray powder diffractometer II. Realization

称なピーク形状に修正されていることがわかる。
また、Fig. 3 は Fig. 2 の縦軸を拡大して表示したグラ

and evaluation in a fundamental-parameter profile fitting

フであり、実測の回折データに含まれていた弱い Cu

procedure,” J. Appl. Crystallogr. 31, 862–868（1998）.

Kβ 副ピークと Ni K- 吸収端に由来する段構造だけでな,（b）,（c）,（d）とマークした微小ピーク
く、さらに（a）［10］伊理正夫・藤野和建「数値計算の常識」共立出版（1985）.

も逆畳み込み・畳み込み処理により取り除かれているこ

functions in powder X-ray diffractometry, ” J. Appl.

［11］T. Ida and H. Toraya, “Deconvolution of the instrumental

Crystallogr. 35, 58–68（2002）.

とを示す。これらの微小ピークは現時点では現象論的なモデル化に基づいて除去されているが、このモデルの妥［12］W. A. Rachinger, “A correction for the α1 α2 doublet in themeasurement of width of X-ray diffraction, ” J. Sci.

当性については現在検討中である。

Instrum. 25, 254–255（1948）.
［13］J. Ladel, A. Zagofsky and S. Pearlman, “ Cu Kα2

6．おわりにelimination algorithm,” J. Appl. Crystallogr. 8, 499–506

この記事では、筆者の考案した逆畳み込み・畳み込み（1975）.

処理の考え方について述べた。この処理法を開発する最も強い動機となったのは、従来の畳み込みモデルの含む［14］T. Ida, S. Ono, D. Hattan, T. Yoshida, Y. Takatsu and K.

論理的な矛盾であり、変則的なことをしている訳ではな

Nomura, “ Deconvolution-convolution treatment on

く、むしろ適切なスケール変換を施すことにより、論理

powder diffraction data collected with Cu Kα X-ray and的な整合性が向上していることを強調したい。

Ni Kβ filter,” Powder Diffr.（submitted）.

ただし、試料固有の本質的な回折ピーク形状がブロー［15］T. Ida, S. Ono, D. Hattan, T. Yoshida, Y. Takatsu and K.

ドな場合、対称化された装置関数の畳み込みを除外する

Nomura, “ Improvement of deconvolution-convolution

要求も想定される。この場合、軸発散収差装置関数の偶

treatment of axial-divergence aberratioin in BraggBrentano geometry” Powder Diffr.（submitted）.

数次数キュムラントの回折角依存性と整合するような別のスケールを用いて、三重以上の畳み込みとしてモデル［16］井田隆「粉末回折測定における粒子統計の効果」、”http://

www.crl.nitech.ac.jp/~ida/research/introduction/particle_

化することになると思われる。

statistics/index-j.html” （2012）.
［17］中川朋子「初心者用 畳み込み（たたみこみ）解説 – 東北

参考文献
［1］ F. W. Jones, “The measurement of particle size by the

工業大学」、東北工業大学情報通信工学科中川研究室

X-ray method,” Proc. Roy. Soc. A 166, 16–43（1938）.

“ http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/［2］ A. R. Stokes, “A numerical Fourier-analysis method forconvolution1.htm”（2017）.

the correction of width and shapes of lines on X-ray［18］M. Deutsch, E. Förster, G. Hölzer, J. Härtwig, K.

powder photographs,” Proc. Phys. Soc. London 61, 382–

Hämäläinen, C.-C. Kao, S. Huotari and R. Diamant,

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