高一般数

令２

学(４５分)※解答はすべて解答用紙に記入しなさい。

1

次の① ～ ⑤の計算をしなさい。⑥ ～ ⑩は指示に従って答えなさい。

① 5 ( 9)②( 3) ( 5)③3a( b2 ) (a 7b)④212ab  a
3⑤( 5  1)( 2 －5 3)⑥方程式 x  5 x  2  0 を解きなさい。

⑨ 右の図のような立方体について，正しく述べられている文は，ア～エのうちではどれですか。すべて答えなさい。
ア △ABD と△AEG では，△ABD の方が面積が大きい。
イ △ABD と△AEG では，△AEG の方が面積が大きい。
ウ 線分 AG と線分 CH では，線分 AG の方が長い。

2エ 線分 AG と線分 CH では，線分 CH の方が長い。
⑦ x  3 y  －3
連立方程式 を解きなさい。
2 x－y  8⑩⑧ 右の図は，1 辺が 4 cm の正方形に，おうぎ形を組4 cmみ合わせた図形である。影をつけた部分の面積を求めなさい。

袋の中に，大きさが等しい赤玉と白玉があわせて400 個入っています。これをよくかき混ぜて 30 個の玉を取り出したところ， 赤玉が 12 個，白玉が 18 個でした。最初に，袋の中にあった赤玉の個数はおよ
そ何個か，推測しなさい。

2 花子さんは，子供会で次のような[ルール]のさいころゲームを企画した。① ～ ③に答えなさい。
ただし，さいころの 1 から 6 までの目の出方は，同様に確からしいものとする。

[ルール]

・大小 2 つのさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目の数を分母，小さいさいころの出た目の数を分子とする数を x とする。
・さいころを投げる前に， x が分数になるか整数になるかを予想する。
・実際にさいころを投げ，予想が当たっていればお菓子がもらえる。

例えば，大きいさいころの出た目の数が 3，小さいさいころの出た目の数が 6 のとき，約分できるので，x = 2 である。
① 大きいさいころの出た目の数が 2 のとき， x が整数となるのは何通りあるかを求めなさい。
② x = 3 となる確率を求めなさい。
③ x は，整数と分数とではどちらになりやすいか。なりやすい方の確率を求めなさい。

（３枚のうちの 1 枚め）
13

数学の授業で立体の体積の求め方について学習した太郎さんは，なぜ，円柱や角柱の体積に をかけると円錐や角錐の体積になるのかに興味をもち，底面が二等辺三角形の三角柱を用いて次のように考えた。① ～ ③に答えなさい。

＜太郎さんの考え方＞

A
C

・右の図のような AB = AC の二等辺三角形 ABC を底面とする三角柱をB考える。
・頂点 A から辺 BC に垂線を引き，辺 BC との交点を H とする。
・三角柱を 2 つの立体に分け，2 つの立体の体積の和として，三角柱の体積を考える。

DFE①

解答欄の点と直線について，点から直線に垂線を引くとき，直線と垂線との交点 P を定規とコンパスを使って作図しなさい。作図に使った線は残しておきなさい。

②太郎さんは，辺 AB，BC の長さがわかると，△ABC の面積を求めることができる理由を，次のように説明した。に△ABH≡△ACH の証明を書き，＜説明＞を完成させなさい。

＜説明＞△ABH と△ACH について，△ABH≡△ACH である。合同な図形では対応する辺は等しいので，BH＝CH となる。このことを利用すると，辺 BC の半分が BH とわかるので，三平方の定理を用いて AH を求め，三角形 ABCの面積を求めることができる。

③1
3太郎さんは，角錐の体積は角柱の体積の k 倍になるとおいて方程式をつくり，方程式の解が になるかどうかを確かめようとした。AB = 7 cm，BC = 10 cm，BE = 20 cm のとき，に適当な数，(4)に適当な式を書き入れなさい。

(1)

～

(3)

線分 AH の長さは(1)cm であるので，底面積は(2)cm2 と求めることができる。
3
よって，三角柱 ABC‐DEF の体積は(3)cm である。また，(3)
cm3 を k 倍したものが，三角錐 A‐DEF の体積である。
直線 AH と面 BEFC は垂直であるので，四角錐 A‐BEFC の体積は，k を用いて(4)となる。
以上のことより，次のような k についての方程式ができる。
（三角柱 ABC‐DEF の体積）＝ (三角錐 A‐DEF の体積）＋（四角錐 A‐BEFC の体積）
(3)＝k×(3)＋(4)この方程式を解くと，k =1となる。
3

4

花子さんと桃子さんは，直方体の辺の長さの総和と表面積について考えた。次の会話文を読んで，① ～ ④に答えなさい。
花子：直方体の縦，横，高さを 3 つの連続した整数としてみませんか。

高さ

桃子：そうね。そのときの長さの総和を調べてみるわ。
花子：それでは，表面積は私が調べてみるわ。

縦先生：2 人とも，間違えずに計算してね。辺の長さの総和も表面積も式を横ながめていると，気づくことがあるよ。

①(1)

桃子さんは学校で習った文字式を用いて調べた。

，(3)に適当な数，(2)に適当な式を書き入れなさい。
直方体の辺は全部で(1)本ある。縦，横，高さをそれぞれ n cm，(n+1) cm，(n+2) cm(2)とする。辺の長さの総和はcm であり，これは横の長さを(3)倍したものになる。

②

花子さんは表面積について調べた。

(4)(5)に適当な数，に適当な式を書き入れなさい。
直方体の面は全部でとして表面積は(5)(4)面ある。縦，横，高さをそれぞれ n cm，(n+1) cm，(n+2) cmcm2 である。

花子：表面積を求めても何も気づかないわ。
先生：表面積に 2 を足してみると何かわかるかもしれないよ。

③

先生の話を聞いた 2 人は，②で求めた式を使って，次のことがわかった。
(7)(6)に適当な数，に適当な式を書き入れなさい。

( 表面積＋2 ) を計算すると( 表面積＋2 ) =④(6)((7)2) となる。

縦，横，高さがこの順で，3 つの連続した整数である直方体の表面積が 2164 cm2 であるとき，横の長さを求めなさい。

（３枚のうちの２枚め）

5 進一郎さんと次郎さんは，次のように動く点を結んでできる三角形の面積について考えた。
① ～ ③に答えなさい。
右図のように，∠A = ∠B = ∠D = ∠E = ∠F = 90◦ である六角形 ABCDEF があり，点 P は，点 A を出発してA → B → C → D → E の順に辺上を毎秒 2 cm の速さで動き，点 E で止まる。一方，点 Q は，点 P と同時に点 Aを出発して辺 AF 上を毎秒 3 cm の速さで動き，点 F で折り返して，点 A に戻って止まる。点 P, Q が動き始めてから t 秒後の△APQ の面積を S とする。

＜ 一郎さんの考え＞【点 P, Q が動き始めてから t 秒後の面積 S 】( i ) 点 P が AB 上にあるとき

t のとりうる値の範囲は 0 ≦ t ≦ 2 である。
AP =cm, AQ =（1）（2）

cm だから，面積 S は（3）cm2 と表される。

( ii ) 点 P が BC 上にあるとき

t のとりうる値の範囲は 2 ＜ t ≦ 8 であり，2 ＜ t ≦ 6 では，AQ =（2）cm だから，面積 S は（4）cm2 と表される。
また，6 ＜ t ≦ 8 では，AQ =（5）cm だから，面積 S は（6）cm2 と表される。
(iii) 点 P が CD 上にあるとき(iv) 点 P が DE 上にあるとき

t のとりうる値の範囲は 9 ＜ t ≦ 12 である。
AQ を底辺とすると，AQ の長さは減少し，高さは一定だから，面積 S は減少する。

①（1）②～に t を使った適当な式を書き入れなさい。

（6）

下線部について，次郎さんは次のように考えた。

さい。また，（8）(7)

は答えを求めるまでの過程を書きなには t を使った適当な式を書き入れなさい。

＜ 次郎さんの考え＞(iii) 点 P が CD 上にあるとき

t のとりうる値の範囲は 8 ＜ t ≦ 9 である。
点 P から AF に垂線を引き，AF との交点を H とする。
高さ PH は
面積 S は③(7)（8）だから，cm2 と表される。

点 P が点 D にあるときの面積 S と同じ面積となるのは，出発して何秒後か。 9 秒後以外に 2 つ求めなさい。

※

受 験 番 号

高一般

（３枚のうちの３枚め）

数 学 解 答 用 紙
注意1１

答えにが含まれるときは，２円周率はπを用いなさい。

をつけたままで答えなさい。また，①４②15③2𝑎 − 𝑏④18𝑏⑥⑦⑧の中の数は，できるだけ小さい自然数にしなさい。

3xx5共通なので②AH = AH…… ③2イ，ウ⑩160①②③3③(７)𝑛+1④19①(１)2𝑡①(２)

3𝑡①(３)

3𝑡2

直角三角形において，( cm2 )①(４)6𝑡①(５)

36 − 3𝑡①(６)( 個)

72 − 6𝑡③(１)2 6③(２)10 6( 通り )11811184( cm )①，②，③より斜辺と他の１辺が，それぞれ等しいので⑨6…… ①∠AHB = ∠AHC ( ＝ 90°) …… ②，y  −2

8π −16

AB = AC

仮定より

5 ± 172

3③(６)

①

7－ 5⑤

令２BC間の6秒は，高さが変わらないので，③(３)200 6③(４)400 6k①(１)12②(８)①(２)12𝑛 + 12③①(３)12②(４)6②(５)6𝑛2 + 12𝑛 + 4４ の解答欄は，右上に続く。

②(７)2( t－6 ) = 2t－12−3𝑡 2 + 54𝑡 − 216
92,

152( 秒後 )