進化ゲーム理論の経済学への応用
大阿久 博É1997 年4 月

É本稿を作成するにあたり，財) 清明会から助成を受けた．記して感謝の意を表したい．

1

要旨
本稿では生物学の分野で研究・開発され，近年経済学の方にも導入され，ナッシュ均衡の新たな見方を提供する進化ゲーム理論について，その理論の解説と簡単な金融モデルへの応用を示す．
進化ゲーム理論は，進化という観点から，伝統的なゲーム理論で採用されてきたプレーヤーの合理性の仮定を用いることなしに生物進化の分析に威力を発揮してきた．この理論を経済学に応用することで，プレーヤーは(従来のゲーム理論での合理性よりもゆるい) 限定された合理性のみを持つという仮定のもとで，ナッシュ均衡が時間とともにどのように進化するのか?，複数のナッシュ均衡のうちどれが実現されやすいか? 等の問題に答えることができる．
進化ゲーム理論はすでに制度分析等に応用され，いくつかの新たな結果を提示しているが，今後様々な分野での応用が期待される理論であろうと思われる．

Keywords：進化的安定戦略(ESS)，レプリケーター・ダイナミックス，ベストレスポンス・ダイナミックス，限定合理性．

2

序

1

現在のゲーム理論で中心になっている解概念はナッシュ均衡である．それは， 各プレーヤーは（相手のプレーヤーが取る戦略についての）の予想を基に，最適な行動を取る ということを表現している概念である．この概念はどう解釈したら良いのか？または，どのような場合にうまく機能するのであろうか？
これについては次のように主に三つの見方がある1 ．
1. エダクティヴ(eductive) な解釈：これはプレーヤーがゲームの構造を熟知しており，かつそれがcommon knowledge になっているという見方である．しかし，ゲームの構造がcommon knowledge になっているということは，ナッシュ均衡がエダクティヴな方法で達成されるための，必要条件でも十分条件でもない2 ．
2. 自己拘束的な合意(self{enforcing agreement) 的な解釈：これはゲームの始まる前にプレーヤー同士の話し合いがもたれて，そこで決まった約束を，各自が自発的に守る，このような自己拘束的な合意を表明しているのがナッシュ均衡であるという解釈である．
3. エヴォルティヴ(evolutive)（あるいは，naive）な解釈：この解釈はプレーヤーが情報を得るにつれ，より良い戦略を試行錯誤で探っていくという見方である．ナッシュ均衡はこういったある種の調整過程の定常点とみなすことができる．こうした見方にも二つの方法が知られている．一つは「学習(learning)」によるもの，もう一つは「淘汰・突然変異」によるものである．学習(learning) とは，相手プレーヤーの取る戦略がわかれば，自分の最適戦略が何であるのかを計算する能力は持っているが，相手がどういう戦略を取ってくるかについての予想は，過去の経験から学ぶというものである．
一方，社会の経済活動においては，各プレーヤーは，従来のゲーム理論で仮定される合理性に照らすと必ずしも最適な戦略は取っていないが，社会に存在する様々な戦略の中で，利得の低いものは調整の過程で徐々に淘汰されていくであろうし，またまったく新たな戦略を試みるプレーヤーも出現してくるであろう．この様な過程は，結局ナッシュ均衡に至るであろうというのが「淘汰・突然変異」によるアプローチである．このアプローチを採用したゲーム理論が『進化ゲーム理論』である．
以下では，この進化ゲーム理論の基礎理論とその簡単な応用について述べる．

進化的安定戦略(ESS)2

まず，今後対象としていくゲームの構造を示す.

2.1

進化的安定戦略(ESS)

定義 2. 1

è I = f1; 2g：プレーヤーの集合，

è Si = f1; 2; ÅÅÅ; mi g(ただし，i = 1; 2):プレーヤー i の純粋戦略集合，
è A:プレーヤー1 の利得行列，A0 :プレーヤー2 の利得行列とする．
このとき G = (S1 ; S2 ; A; A0 ) をbimatrix ゲームという．
さらに，すべての (s1 ; s2 ) 2 S に対して，S1 = S2 ; A(s1 ; s2 ) = A0 (s2 ; s1 ) が成り立つとき対称bimatrix
ゲーム(symmetric bimatrix game) という．~
1 神取 [19].

2 ゲームの構造が common knowledge になっておらず，ナッシュ均衡がエダクティヴな方法で達成される例として 囚人ジレン
マ がある．また，逆にゲームの構造は common knowledge であるが，ナッシュ均衡がエダクティヴな方法で達成されない例として，ナッシュ均衡が複数存在するゲームがある．

3

以下，この対称bimatrix ゲームについて考える．純粋戦略集合をS1 = S2 = K = f1; 2; ÅÅÅ; kg とし，Pk
これに関する混合戦略集合をÅ = fx 2 IR+: i2K xi = 1g とする．また二人のプレーヤーの混合戦
略の組の集合を Ç = Å 2 とする．
（相手の）戦略 y 2 Å に対して，戦略 x 2 Å を取ったときの利得Pを x ÅAy = i;j xi aij yj = u(x; y) 2 IR とする．
（相手の）戦略 y 2 Å に対する最適反応戦略の集合をBR(y) = fx 2 Åju(x; y) ï u(x0 ; y) ; 8x0 2 Åg ö Å とする3 ．
今，無限の個体の集団で各個体が戦略 x か y を取り，ランダムに対戦を繰り返している状況を考える．
ただし，この集団における戦略 y を取る個体群の割合は " 2 (0; 1) であるとする．
（ここで y をミュータン
ト戦略と呼び，対して x をincumbent 戦略と呼ぶことにする．
）
さて，以上のような設定の下では各プレーヤーは，確率 " でミュータント戦略を取る相手と，確率 1Ä" でincumbent 戦略を取る相手と対戦することとなる．よってこのゲームでの相手は混合戦略 w = "y+(1Ä")x 2
Å を取るプレーヤーとみなすことができる．incumbent 戦略を取るプレーヤーの利得は u(x; w)，ミュー
タント戦略を取るプレーヤーの利得は u(y; w) となる．
定義 2. 2 すべての y 6= x に対して，ある適当な "ñy 2 (0; 1) が存在して，8" 2 (0; "ñy ) について4 ，u[x; "y + (1 Ä ")x] > u[y; "y + (1 Ä ")x](1)を満たす場合，戦略 x 2 Å を進化的安定戦略(ESS) という．進化的安定戦略の集合を Å ESS (ö Å) と記す．~
ESS は少数のミュータントの浸入に対して，集団の状態が安定であるということである．(1) はincumbent
戦略を取るプレーヤーの利得の方が，ミュータントの利得よりも厳密に高いことを表わしており，戦略 xを取る集団に，戦略 y を取るミュータントは侵入できないということである．5 ．
補題 2. 1 すべてのESS は自分自身に対する最適反応である．すなわち，x 2 Å ESS のとき，u[x; x] ïu[y; x] (8y 2 Å) である．°(1) は次のように書ける．
(1 Ä ")fu[x; x] Ä u[y; x]g + "fu[x; y] Ä u[y; y]g > 0
これから，x 2 Å が進化的に安定であるための必要十分条件は次の(2)，(3) が成り立つことである．
u[x; x] ï u[y; x]; 8y(2)u[x; x] = u[y; x] =) u[x; y] > u[y; y]; 8y 6= x(3)

ここで(2) はナッシュ均衡の定義にほかならない．(3) よりESS の概念がナッシュ均衡の精緻化になっていることを示している6 ．
定理 2. 2 (Bishop{Cannings(1978)) 7
もしESS である混合戦略 x が純粋戦略 s1 ; s2 ; ÅÅÅを 0 でない確率で取るのならば，
u[s1 ; x] = u[s2 ; x] = u[s3 ; x] = ÅÅÅ= u[x; x]が成立する．°
3 xÉ 2 BR(y) ; y É 2 BR(x) ならば(xÉ; yÉ) はナッシュ均衡である．ここで，もし xÉ = yÉ であるならば (xÉ; yÉ) を対称
ナッシュ均衡 (symmetric Nash equilibrium) という．全ての対称ゲームは少なくとも一つの対称ナッシュ均衡を持つ．
4 これは " が十分小さいということを表わしていると解釈すればよい．
5 利得が各戦略を取る種族の残すことのできる子孫の数と解釈すると，(1) はミュータントはいずれ死滅することを意味する．
6 (2) は敵が ESS を取っているのであれば，自分が ESS 以外の戦略を取ると不利になる事を意味し，(3) は敵がESS を取っており自分がESS 以外の戦略 q を取っても利得は同じであるが，もし敵が戦略 q を取ってきた場合，自分は ESS を取った方が得であるという事を意味している．
7 証明は J.M.Smith [31] を見よ．

4

例 2. 1 次のmatrix で表わされるタカ{ハトゲーム8 を考える．

H
D

H

D

1
1
2 (V Ä C), 2 (V Ä C)

V,0

0,V

V V
2,2

このゲームにおいて，明らかに D はESS ではない．u[H; D] > u[D; D] であり，(2) に反するからである（つまり対称ナッシュ均衡でさえない）．
è V > C のとき H はESS である．
è V < C のとき H も D もESS にならない．この場合は定理2. 2 を使うと，混合戦略ESS が存在す
れば，それは u[H; x] = u[D; x] を満たすx = (x1 ; 1 Ä x1 ) (ここで H を取る確率を x1 とする) であるということになる．したがって，u[H; x] = x1 u[H; H] + (1 Ä x1 )u[H; D] = u[D; x] = x1 u[D; H] + (1 Ä x1 )u[D; D]より x1 = VC であり，x = ( VC ; 1 Ä VC ) が求められ，これが確かに混合戦略ESS であることは容易に確認できる．
注意 2. 1 一般に，利得行列のある（縦の）一列を見たとき，その列の最大値となっているものが対角成分であれば，それに対応する純粋戦略はESS である．例えば利得行列が
H

D

R

H

-1

2

-1

D

0

1

0.9

R

-1

1.1

1

であるゲームの場合，R がESS になる9 ．
一般的なゲームについてはESS は必ず存在するとは限らないが，純粋戦略がふたつのケースではつぎが成り立つ．
定理 2. 3 二つの純粋戦略からなるゲームにおける利得行列íì
a11 a12A=
a21 a22で a11 6= a21 ; a12 6= a22 であるならば，常にESS が存在する10 ．°
定理 2. 4 x 2 Å がESS となるための必要十分条件は
u[x; y] > u[y; y]が Å の x のある近傍における全ての y 6= x について成り立つことである11 ．°
8 このゲームの生物学的意味は J.M.Smith [31] を見よ．

9 J.M.Smith [31] 参照．またこの場合，x = 1 H + 1 D も ESS となる．
2
2
10 証明は J.M.Smith [31].p199，あるいは van Damme [35].p219 参照．
11 証明は Hofbauer and Sigmund [17]p141{142 参照．

5

注意 2. 2 x 2 intÅ が進化的安定ならば，別のESS は存在しない12 ．また，ESS の存在しないゲームや，
複数のESS（この場合は全てのESS は bdÅ にあることになる）を持つゲームもあり得る．また，ESS が存在する場合，その個数については次が知られている．
定理 2. 5 ESS は存在しても高々有限個である13 ．°
以上のような対称二人ゲームを越えて，より一般のゲームを考えるとなると，とたんにESS の存在は危うくなってくる．そこで，ESS の概念を若干弱めたものを考える必要が生じる．すなわち，ESS ように，すべてのミュータント戦略がincumbent 戦略より少ない利得しか得られないという状況ではなく，いかなるミュータント戦略もincumbent 戦略より高い利得を上げられない| つまり，(1) が不等号 > ではなく ïで成立する |場合である．
定義 2. 3 対称二人ゲームにおいて，すべての y 2 Å に対して，ある適当な "ñy 2 (0; 1) が存在して，
8" 2 (0; "ñy ) について，
u[x; "y + (1 Ä ")x] ï u[y; "y + (1 Ä ")x](4)が成り立つとき，x 2 Å をneutrally stable strategy(NSS) という．neutrally stable strategy の集合を
Å NSS と記す．~
定義より，Å ESS ö ÅN SS (ö ÅN E ) である14 ．ESS のときと同様，x 2 Å がNSS であるとは次のようにも表わせる．
u[x; x] ï u[y; x]; 8y(5)u[x; x] = u[y; x] =) u[x; y] î u[y; y]; 8y 6= x

(6)

ESS はミュータントの戦略については何の制限も設けていない．しかし，経済においては，ミュータン
トは少数のプレーヤーの試行錯誤あるいは実験によるものであると解釈できる15 ので，Swinkels [32] はある種の合理性を持つミュータント戦略（equilibrium entrants と呼ぶ）のみに対する頑健性が必要であることを提示した．
定義 2. 4 incumbent 戦略が x 2 Å，ミュータント戦略が y 2 Å であり，ミュータントのシェアが " であるとき，混合戦略は w = "y + (1 Ä ")x 2 Å となる．y が w に対するベストレスポンスになっているとき，すなわち，y 2 BR("y + (1 Ä ")x) のときequilibrium entrant という．~
定義 2. 5 ある "ñ2 (0; 1) が存在し，すべての y 6= x とすべての " 2 (0; "ñ) に対して，次の(7) が成り立
つとき，x 2 Å はrobust against equilibrium entrants(REE) という．
y2
= BR("y + (1 Ä ")x):~
命題 2. 6 ÅESS ö Å REE ö ÅN E が成り立つ．°
12 Hofbauer and Sigmund [17]p142 参照．
13 van Damme [35] 参照．

14 Å N E は対称ナッシュ均衡の集合を表わす．
15 青木・奥野 [2] 参照．

6

(7)

2.2

進化的安定な戦略の集合

定義 2. 6 X ö Å NE が非空，閉であり，すべての x 2 X に対してある近傍 U が存在し，すべての
y 2 U \ BR(x) について u[x; y] ï u[y; y] が成り立ち，y 2= X のとき厳密な不等式が成り立つ場合，このNEX öÅをevolutionary stable(ES) 集合という．~
x 2 Å はES 集合に入り込むことはできても，そこから出ていくことはできない16 ．
また，すべてのES 集合は，それ自身がES 集合である閉・連結な互いに疎な集合の有限個の合併集合である．一般にはES 集合の存在は保証されないが，二重対称二人ゲーム(doubly symmetric two{playergame)17 は必ず少なくとも一つのES 集合を持つ18 ．
前節のREE に対するset{valued バージョンは次で与えられる19 ．
定義 2. 7 X ö Å が次を満たす最小な集合であるときequilibrium evolutionarily stable(EES) という．
1. X は Å NE の非空かつ閉部分集合であり，2. ある "ñ2 (0; 1) が存在して，8x 2 X，8y 2 Å，8" 2 (0; "ñ)，y 2 BR("y + (1 Ä ")x) であるならば，"y + (1 Ä ")x 2 X である．~
上の定義は，EES 集合 X は20 ，いかなる小さなequilibrium entrants の浸入に対しても戦略分布の構成は X の外に出さないような対称ナッシュ均衡戦略の最少の部分集合である，ということを示している．
注意 2. 3 非協力ゲームの均衡概念とESS の関連については，
1. もし戦略 x がESS であれば，(X; X) はperfect 均衡である．
2. もし戦略 x がESS であれば，(X; X) はproper 均衡である．
しかしながらこの逆はいえない21 ．

2.3
22

対称展開型二人ゲーム

今までは，いわゆる標準型ゲームについて考察してきたが，この節では展開型ゲームについて考察する．
まず，展開型（二人）ゲームを Ä= (K; P; U; C; p; h1 ; h2 ) とする．ここで，è K:有限のゲーム樹の節の集合を表わす．また，終節の集合を Z，終節以外の節の集合を X ，i.e.
X = K n Z，とする．
è P = (P0 ; P1 ; P2 ):プレーヤー分割を表わす．添字の 0; 1; 2 はそれぞれ自然プレーヤー，第1 プレー
ヤー，第2 プレーヤーを表わす．
16 この事は命題 3. 5 に示されている．

17 対称二人ゲームの利得行列 A が AT = A のとき，このゲームを二重対称二人ゲーム(doubly symmetric two{playergame) という．
18 Weibull [37].p53 参照．
19 Swinkels [32] 参照．
20 X が一点からなる集合の場合は EES は REE と一致することになる．
21 van{Damme [35] 参照．
22 Cressman [7]，Selten [29] 参照．

7è U :情報分割を表わす．U の部分集合 u 2 U を情報集合という．また，Pi の全ての情報集合を Ui と記す．
è C:選択分割を表わす．すべての u 2 U について，x 2 u における選択の集合を Cu とする．また，Piにおけるすべての Cu の合併集合を Ci とする．
è p:初期確率を表わす．
è hi (i = 1; 2):プレーヤーの利得関数を表わす．
とする23 ．さらにここでは，完全記憶の仮定を導入する24 ．
Cressman [7]，Selten [29] に基づき対称展開型二人ゲームを次のように定義する．
onto

定義 2. 8 次を満たすような f : C Ä! C が存在するとき（この f をsymmetry という），(Ä; f) を対
称展開型二人ゲーム(symmetric extensive two{person game) という．
1. c 2 C0 =) f(c) 2 C0 ; p(f (c)) = p(c).
2. c 2 C1 =) f(c) 2 C2 .
3. c 2 C に対して f(f(c)) = c.
4. u 2 U に対して，^
u 2 U が存在し，u の全ての c について f (c) が u^ の選択になる．f (u) によって，
この u^ を表わす．
5. すべての z 2 Z に対して z 0 2 Z が存在し，f (C(z)) = C(z 0 ) である．ここで，C(z) は始節から終節 z へ至る選択の集合であり，f(C(z)) は c 2 C(z) の f(c) の集合である．f (z) によって，この z 0
を表わす．
6. h1 (f (z)) = h2 (z) かつ h2 (f (z)) = h1 (z) である．~
f は上記の性質4 より，二人のプレーヤーの情報集合間の対応として特定化できる．この事を次の例2. 2の図.1 のように $ で表わす．
例 2. 2 二人のプレーヤー1，2 のうちどちらかが土地を所有しているものとする（土地の所有者をownerと呼ぶ）．その土地にもう一方の土地を持っていないプレーヤー（intruder と呼ぶ）が浸入し，次のmatrixで表わされるようなゲームを行うとする．

e
d

e

d

-4,-4
0,8

8,0
4,4

ここで自然プレーヤーが等しい確率でどちらか一方のプレーヤーをowner に指名し，そのowner の土地をめぐって上記のmatrix ゲームが行われるとする．
これを展開型で表現すると次のようになる25 ．

23 これらの詳細については，Eichberger [10] を参照せよ．
24 完全記憶についても Eichberger [10] を参照せよ．

25 これは生物学で ouner{intruder ゲームと呼ばれるものである．上記の matrix ゲームは展開型にすると二つの表現が可能である
が，その二つを自然プレーヤーの選択により結び付けたのが図.1 である．左側のサブゲームがプレーヤー 1 が owner の場合，右側のサブゲームがプレーヤー2 がowner の場合である．

8

《図.1 insert about here》

この図で，u0 ; u1 ; u2 はそれぞれ自然，1，2 プレーヤーの情報集合を表わし（右肩についた 0 はそのプレーヤーがintruder であることを示している），ei ; di はプレーヤー i の選択 e あるいは d を表わす．また，自然プレーヤーがプレーヤー1 をowner に選ぶ選択を n1 ，プレーヤー2 を選ぶ場合を n2 とする．
さて，f を次のようにとる．
f (n1 ) = n2 ; f (n2 ) = n1 ;f (e1 ) = e2 ; f (e2 ) = e1 ;f (d1 ) = d2 ; f (d2 ) = d1 ;f (e01 ) = e02 ; f (e02 ) = e01 ;f (d01 ) = d02 ; f (d02 ) = d01 :このとき，定義 2. 8 の f の条件が満たされることがわかる26 ．この場合には，
u1 $ u2 ; u02 $ u01という対応になる(図.1 をみよ)．
上のゲームのsymmetry f は次のようにも取ることができる．
f (n1 ) = n1 ; f (n2 ) = n2 ;f (e1 ) = e02 ; f (e2 ) = e01 ;f (d1 ) = d02 ; f (d2 ) = d01 ;f (e01 ) = e2 ; f (e02 ) = e1 ;f (d01 ) = d2 ; f (d02 ) = d1 :この場合には，
u1 $ u02 ; u2 $ u01という対応になる．
プレーヤー1 の純粋戦略 s を全ての u 2 U1 に一つの選択を対応させる関数とする．このとき，もし sが u 2 U1 において c を対応させるのならば，f(s) は f (u) 2 U2 において f(c) を対応させるプレーヤー2の純粋戦略である．例えば，例 2. 2 で，プレーヤー1 がowner のとき e1 ，intruder のとき d01 を取る純粋戦略を e1 d01 とかくと，プレーヤー2 の純粋戦略は f (e1 d01 ) = e2 d02 である．
S をプレーヤー1 の全ての純粋戦略からなる集合（m 個の要素よりなる）とする．プレーヤー1，2 の純
粋戦略の組 (s; f(s)) と初期確率 p が与えられれば，プレーヤー1 の期待利得 E(s; f (s)) を計算することができる．再び，例 2. 2 では，E(e1 d01 ; f (e1 d01 )) = 21 h1 (z2 ) + 12 h1 (z6 ) = 4 となる．
よって，対称展開型二人ゲーム (Ä; f ) の標準型は m Ç m の利得行列で表現できる．例 2. 2 では，プレー
ヤー1 は四つの純粋戦略 e1 e01 ; e1 d01 ; d1 e01 ; d1 d01 を持ち，4 Ç 4 の利得行列
26 条件の 1|4 は自明．5 についても，例えば，C(z ) = fn ; e ; d 0 g について f(C(z )) = fn ; e ; d0 g = z となる．またこの
2
1 1 2
2
2 2 1
6
とき，h1 (f (z2 )) = h1 (z6 ) = 0 = h2 (z2 ); h2 (f(z2 )) = h2 (z6 ) = 8 = h1 (z2 ) である．

9

2

Ä4 2
6
6 Ä2 4A=6
6 Ä2 0
4
0 2

2
0
4
2

3
8
7
6 7
7
6 7
5
4

で表現できる．ここで対称純粋戦略ナッシュ均衡 sÉ は，すべての s 2 S に対して，E(sÉ; sÉ) ï E(s; sÉ)
を満たすものである．e1 d01 ，d1 e01 の二つが例 2. 2 における均衡である．
混合戦略 q は (m Ä 1){次元単体()
mX
Å(mÄ 1) = q = (q1 ; q2 ; ÅÅÅ; qm )j
qk = 1; qk ï 0
k=1の要素である．混合戦略 q 2 Å(mÄ 1) を取ったときの q 0 に対する期待利得は，q ÅAq 0 である．ここで，Aは上記で述べた m Ç m{利得行列である．対称混合戦略ナッシュ均衡 q É は，すべての q 2 Å (mÄ 1) に対して，q É ÅAq É ï q ÅAq É を満たすものである．例 2. 2 では，(0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 21 ; 12 ; 0); ( 41 ; 14 ; 14 ; 14 )の四つが対称混合戦略ナッシュ均衡である．
利得行列 A を使って，対称展開型二人ゲームのESS，ES 集合も今までと同様に定義できる．
定義 2. 927

1. 対称混合戦略ナッシュ均衡の集合 L が，ある q0 に対して q0 ÅAq0 = q ÅAq0 であり，q 2= L に対して
q0 ÅAq > q ÅAq となるとき， L を進化的安定集合(evolutionarily stable set)(ES 集合) という．
2. 対称混合戦略ナッシュ均衡 q0 が進化的安定戦略(ESS) とは，fq0 g が一つのES 集合になっているときである．~

3

ダイナミックス

3.1

レプリケータ・ダイナミックスi

進化ゲーム理論における進化的安定(ESS) の概念は暗黙の内に力学系的な考え方を用いており，ある仮定の下で，微分方程式でモデル化できる．この微分方程式は一般にレプリケータ・ダイナミックス(replicator
dynamics)28 と呼ばれる．
各プレーヤーが純粋戦略を取る場合を考える．
多数の主体からなる集団が純粋戦略 i 2 K = f1; 2; ÅÅÅ; kg を取るとする．ある時点 t において純粋戦略 i
Pを取る個体の数を pi (t) ï 0 とする．このとき総個体数は，p(t) = i2K pi (t) となる．ここで純粋戦略 i を取(t)る個体の総個体数に対する比率を xi (t) = pp(t)とすると，この集団の状態は x(t) = (x1 (t); x2 (t); ÅÅÅ; xk (t))
と表わすことができる．このとき x(t) 2 Å であり，集団の状態は形式的に混合戦略と同一視することができる．
集団の状態が x(t) = (x1 (t); x2 (t); ÅÅÅ; xk (t)) のとき，ランダムな対戦において，純粋戦略 i を取るプ
レーヤーの期待利得は u[ei ; x] で表わすことができる29 ．よって集団全体での期待利得は，
X
u[x; x] =xi u[ei ; x]i2K
27 Cressman [7].

28 Weibull [37]，Hofbauer and Sigmund [17] 等参照．

29 ここで ei は純粋戦略 i に確率 1 を与える混合戦略を表わす．

10

i

i

となる．すなわち，混合戦略 x を取る主体が，同じ戦略 x を取る相手に対したときの利得である．ここでi
純粋戦略 i を取る個体数の増加率 dx
dt =xi は自分の期待利得 u[e ; x] と集団全体での期待利得 u[x; x] の差iで表わせるとすると， dx
dt =xi = u[e ; x] Ä u[x; x]，すなわち
dxi= xi fu[ei ; x] Ä u[x; x]gdt(8)という微分方程式を得る．
定義 3. 1 式(8) を純粋戦略レプリケータ・ダイナミックス(replicator dynamics) という30 ．~
式(8) から直ちにわかるように，純粋戦略 i を取る個体の総個体数に対するシェアは，その期待利得が全体の平均利得（集団全体での期待利得）を上回るとき増加する．
このレプリケータ・ダイナミックスは次の性質を持つことが知られている．
è (8) は任意の初期状態 x0 2 IRk に対して，一意的な解を持つ31 ．
è 単体 Å 2 IRk は(8) に対して不変である32 ．
定義 3. 2dx
ÉÉ
dt = f (x) の不動点 x について，任意の " > 0 に対してある éが存在し，k x(0) Ä x k< éÉÉ

ならば，すべての t > 0 に対して k x(t) Ä x k< " であるとき，x はリャプノフ(Lyapunov stable) であると呼ばれる．~
É
定義 3. 3 微分方程式 dx
dt = f(x) の不動点 x について，

1. xÉ がリャプノフ安定であり，2. limt!1 x(t) = xÉ をも満たすように éがとれる．
このとき xÉ は漸近安定(asymptotically stable) であると呼ばれる．~
まず，ナッシュ均衡と安定な均衡点の間には，次のような関係がある．
定理 3. 1 もし xÉ が安定な均衡点であるならば，(xÉ; xÉ) はナッシュ均衡である．しかし，この逆は成り立たない33 ．
また，perfect ナッシュ均衡であるからといって，安定均衡であるとはいえないし，この逆もいえない．
しかしながら，漸近安定な場合には，それはperfect 均衡になる(この場合もこの逆命題は成り立たない)．
(8) の漸近安定な点とESS には次の関係がある34 ．
定理 3. 2 ESS は純粋戦略レプリケータ・ダイナミックス(8) の漸近安定な点である．しかしながら，この逆は成り立たない35 ．°
30 応用例では，簡単化のために，u[Å] が線形の場合を考えることが多い．すなわちプレーヤーの利得関数が行列 A = (aij )(k Ç k行列) で表わされ，このとき u[ei ; x] = ei ÅAx，u[x; x] = x ÅAx であるから，(8) はdxi= xi (ei ÅAx Ä x ÅAx)
dt

(9)

となる．
31 Picard{Lindel°of の定理からわかる．詳しくは Weibull [37],Chapter 6 参照．
32 これは Å 内のいかなる初期状態から出発した軌道も Å 内に留まるということである．
33 van{Damme [35] 参照．
34 Taylor and Jonker [33]，Hofbauer and Sigmund [17] 等参照．
35 もし各プレーヤーが混合戦略を取れるならば，定理 3. 2 の逆も成り立つことが知られている. 一般に混合戦略は非可算無限個存在し，このときどのように(8) を構成するかという問題が生じる．これについては，Hines [15]，Zeeman [39] を参照せよ．また各プレーヤーが有限個の混合戦略のみをプレーする場合についてはWeibull [37] を参照せよ．

11

もしゲームが二重対称であるならば，ESS と漸近安定性は一致する．すなわち，二重対称ゲームにおいては，
x 2 ÅESS () x 2 Å は漸近安定
注意2. 2 より，x 2 Å ESS が x 2 intÅ であるなら一意的である．この事より次が成り立つ．
系 3. 3 x 2 Å ESS \ intÅ ならば，すべての x0 2 intÅ に対して
ò(t; x0 ) Ä! x (t ! 1)
である．°
ESS よりも弱い概念であるNSS については安定性も弱くなる．すなわち，
命題 3. 4 すべての x 2 Å NSS は純粋戦略レプリケータ・ダイナミックス(8) のリャプノフ安定な点である．
°
また，前節のES 集合について次の命題が成り立つ．
命題 3. 5 ES 集合は，(8) のもと，漸近安定である．°

3.2

パーマネンス

前節においては，ESS の漸近安定性などについてみてきたが，一般に，レプリケーター・ダイナミックスに対して，その解の漸近的な挙動を正確に求められないケースも多い．
そんな場合でも，はじめの戦略分布に存在していた，ある戦略を取る主体がいなくなってしまうのかど
うか，が問題になることもあろう．ここではこのような問題を取り扱う際の一つの数学的概念を与える．
定義 3. 4 Å 上で定義された力学系は xi (0) > 0 ; (i = 1; 2; ÅÅÅ; k) であるならば，ある é> 0 が存在し，
lim inf xi (t) > é (8i = 1; 2; ÅÅÅ; k)t!1となる場合パーマネンス(permanence) という．
ここで éは初期値 xi (0) に依存しない．また，この定義はすべて(i = 1; 2; ÅÅÅ; k) の戦略が存在するならば，どの戦略を取る主体も将来的に必ず存在するということである．すなわち，境界 bd Å がリペラーになるということを示している．したがって，(9) 式がパーマネンスであれば，各戦略を取る主体がどれも絶滅することなく，共存する状態がずっと続くことになる．
定理 3. 6 (9) がパーマネンスであるならば，unique な不動点 xÉ 2 intÅ が存在し，すべての x(0) 2 intÅ
に対して，
Z
1 T
x(t)dt = xÉ
lim
T !1 T 0が成り立つ．
上の定理は系がパーマネンスであるための必要条件を示している．式は，戦略 i を取るプレーヤーの集団におけるシェアは時間とともに変化するが，(時間について) 平均すれば xÉi になるということを示している．
次にパーマネンスになるための十分条件をみてみよう．
12

定理 3. 7 (9) において，すべての不動点 y É 2 bdÅ に対して，
x ÅAy É > y É ÅAy Éが成り立つような x 2 intéが存在するとき，(9) はパーマネンスである．
この定理を満たすような x の集合は，intÅ の凸閉部分集合である36 ．

3.3

ベストレスポンス・ダイナミックス

さて，経済学において進化ゲーム理論はどのように使われるであろうか．前章までの議論の通り，進化
ゲームでは多数のプレーヤーが存在するような状況を一つの社会と考え，毎期そのプレーヤーの集団の中からランダムに出会ったもの同士が段階ゲームをプレーし，与えられた利得関数に基づき利得を得る．これが離散，あるいは連続な時間を通じて繰り返される．この一連の流れにおいて，各プレーヤーは特定の相手とのプレーは記憶せず，社会全体でどういう戦略を取る人がどのくらいの割合存在するかを知り，今期の戦略を決定する．
以上のようなゲームを行うプレーヤーは完全にではないが，一部の自分以外のプレーヤーが取った戦略，
それによる利得を観察できるというのが一般的であろう．この場合，このプレーヤーは，自分より高い利得をあげているプレーヤーの戦略をまねるようになるだろう．この結果，社会全体では，最も高い利得をあげる戦略を取るプレーヤーが増加していくことになる．
しかしながら，全てのプレーヤーが一度に最適な戦略を採用するようになるというのは現実的ではない．
この様な考え方は次の限定合理性の仮定に結び付く．
仮定 3. 1 （限定合理性）
限定合理性(bounded rationality) は次のふたつの要素からなる．
1. 全てのプレーヤーが社会の状態に対して即座に反応できるわけではない（慣性(inertia)）37 ．
2. 戦略を変更できるプレーヤーは現在の戦略分布を所与として，それに対する最適な戦略に戦略を変更
する（近視眼(myopia)）38 ．
3. 既存の戦略分布を撹乱する要因が存在する（突然変異(mutation hypothesis)）39 ．
この最後の突然変異についてはモデルにより導入されないこともある．

さて，第 3.1 節のレプリケータ・ダイナミックスを経済学に応用しようとする場合，いくつかの問題点が指摘されている40 ．その一つとしてレプリケータ・ダイナミックスは最適反応を表わすダイナミックス
ではないということがあげられる．すなわち，ある状態のもと，個体群は 平均 以上の期待利得をもたらすような戦略を取れば個体数を増加させることができ，かならずしも ベスト な戦略を取る必要はないのである．
36 Hofbauer and Sigmund [17], 第19 章をみよ．

37 モデルでは，プレーヤーの一部のみが戦略を変更するために，社会全体の戦略分布は徐々に調整されていくことになる．
38 自分達が戦略を変更することにより全体の戦略分布が変わり，変更した戦略はもはや最適なものではなくなっているかもしれな
いが，プレーヤーはこの様なことを考えない（あるいは考えることができない）場合を近視眼的というのである．またこれは，プレー
ヤーは長期的な戦略選択は行えない，つまり将来のことを予測して行動するほどは合理的ではないということも意味している．しかし，慣性が存在し，戦略を変更できるプレーヤーがほんの一部であるときには，近視眼的な行動も十分に合理的であろう．
39 このことはプレーヤーの一部が毎期入れ代わり，ゲームについては何も知らず，ランダムに戦略を選ぶ新たなプレーヤーに取って代わられるかもしれないということを表わしている．突然変異を導入した代表的なものに Kandori,Mailath and Rob [21] がある．
40 Mailath [24]，van Damme [34] 等参照．

13

したがって，何か最適性を取り入れたダイナミックスが必要となるが，上記の限定合理性の条件1，2 により構成されるダイナミックス|ベストレスポンス・ダイナミックス(best response dynamics)|を考える．ここでは，Gilboa and Matsui [14]，Matsui [25] により提案されたベストレスポンス・ダイナミック
スを考えよう．このダイナミックスにおいては，ある行動の頻度は，それが現在の戦略分布 p(t) に対して
ベストレスポンスになっているとき，そしてその時にのみ増加すると仮定される．つまり次のようにダイ
ナミックスを定義する41 ．

+

d+ x(t)= h(t) Ä x(t);(10)dth(t) 2 BR(x(t)):Qx(t)
ここで d dtは右微分であり，BR(x(t)) = i BRi (x(t)) であり，BRi (x(t)) は戦略分布 x(t) に対す
るプレーヤー i の最適反応となる混合戦略の集合である．一般に現在の戦略分布 x(t) に対する最適反応の集合 BR(x(t)) は一価（一点）にはならない．よって上の定義では BR(x(t)) の中からある一つの要素
h(t) を抜き出すことによりダイナミックスを定義している．
Gilboa and Matsui [14] はこのダイナミックスを使いcyclically stable set(CSS) の概念を提示した．
注意 3. 1 特にMatsui [25] では，h(t) としてstep function が選択されている．これに対して BR(x(t)) から一価の関数を抜き出すのではなく，BR(x(t)) をそのまま使ってダイナミックスを定義するという方法も考えられよう．この場合には，ダイナミックスは次のように表される．
dx(t) 2 BR(x(t)) Ä x(t);dtx(0) = x0

この形の方程式は多価微分方程式(diãerential inclusion) とよばれる．ある設定のもとで BR(Å)はu.h.c，凸値かつコンパクト値になり，Aubin,J.P and H.Frankowska [4]，Aubin,J.P and A.Cullina [3] の議論から，この多価微分方程式に解が存在することがわかる．

定義 3. 5 x0 2 Å が x から直接接近可能(directly accessible) であるとは，(10) の軌道で，x(0) = x，
かつある T について x(T ) = x0 なるものが存在することをいう．~
定義 3. 6 x0 が x から接近可能(accessible) であるとは，次の三つのうち少なくとも一つを満たす場合
である．
1. x0 は x から直接接近可能である．
2. x0 に収束する列 fx0n g が存在し，各 x0n が x から直接接近可能である．
3. x0 が y から直接接近可能で，y は x から直接接近可能である．
~
定義 3. 7 ある非空の集合 C がcyclically stable set(CSS) であるとは，
1. C の各要素は互いに接近可能であり，
2. C に属さないいかなる点も C の点から接近可能ではない
41 次の定義は Matsui [25] によるもので，Gilboa and Matsui [14] の定義とは若干異なる．

14

場合である．~
このCSS は直感的には次のように解釈できる．すなわち，各プレーヤーはよりbetter な戦略をベストレ
スポンス・ダイナミックスにそって探し求めるが，十分長い時間の後には，全ての選択肢を検討し，他のプレーヤーの行動についてもほとんど完全な知識を得，CSS 集合内に入り込む．そして決してそこから離れていくことはないということである42 ．
（CSS の cyclically はCSS の中を回るというイメージを表わしている．もちろん，cycle よりももっと複雑な軌道も生じ得る．
）さらにCSS は，ESS やNSS と違い，常に存在することが知られている43 ．
注意 3. 2 このほかにBrown [5] に始まるåctitious play がある．これについては，Fudenberg and Levine [12]を参照せよ．

3.4

進化ゲームにおけるカオス

レプリケータ・ダイナミックス等の解軌道が，ある均衡点に収束してくれるならば，我々の将来に対する予想は極めてわかりやすものとなる．しかしながら，ある力学系においては， カオス という極めて複雑で将来の予測が不可能な軌道を生じるものが存在することが知られている44 ．
さて，均衡の集合の中には，大域的に安定なもの，不安定なものなど様々な性質を持つものが存在する
が，そのため複数の均衡がある場合，ある動学的プロセスにおいて，そのいくつかの均衡は到達されないかもしれない．したがって，どのような条件の下で均衡に収束するプロセスが得られるかを研究することは重要である．
以下では，混合戦略は，多数種からなる集団における(純粋戦略を取る) 各種族の集団シェアであると解釈する．
有限の非協力ゲームにおいては，進化の過程(レプリケータ・ダイナミックス) のもと，安定な(リミット)
サイクルが存在することが知られている．またZeeman [38] は，三つの純粋戦略からなる進化ゲームでは，(ある設定のもとでは) カオス現象が生じ得ないことを示した．
しかしながら，四つの純粋戦略がある場合，ストレンジアトラクターが(つまりカオス的軌道) が生じ得ることがSkyrms [30] により示された．
カオスの生じる例
Taylor and Jonker [33] は，三つの純粋戦略がある場合，振動が生じて均衡への収束が起きない場合を指摘した．
次のようなゲームを考える(a はパラメータ)．
S1

S2

S3

S1

2

1

5

S2

5

a

0

S3

1

4

3

42 Gilboa and Matsui [14] による CSS は必ずしもナッシュ均衡になるとは限らない．この点がCSS とEES の主な違いである．
43 Gilboa and Matsui [14]，Matsui [25] を見よ．

44 経済学におけるカオスについては，例えば，西村・矢野 [27]，Lorents [23]，Hommes [18]，Rand [28]，Medio [26]，Day [8]等を，またカオスについての数学的理論については，Collet and Eckmann [6]，Guckenheimer and Holmes [13]，青木 [1] 等を参
照せよ．

15

1. a = 1 のとき，混合戦略ナッシュ均衡は漸近安定であるが，ESS ではない．
2. a < 3 のとき，混合均衡は漸近安定である．
3. a = 3 のとき，混合均衡は安定であるが，漸近安定ではない(閉曲線になる)．
4. a > 3 のとき，混合均衡は不安定となり，spiral しながら戦略空間の境界に向かう．
つまり a = 3 においては，この力学系は構造不安定なのである45 ．
しかしながら，このケースではHopf 分岐は起こらず，カオス軌道は見られない46
これに対してSkyrms [30] は，戦略が四つある場合には，ストレンジアトラクター(Hopf 分岐を通じてう
まれる) が生じ得ることを示した．
例 3. 1 Skyrms [30] の例
次のようなゲームマトリックスを考える(a はパラメータ)．
S1

S2

S3

S4

S1

-1

-1

-10

1,000

S2

-1.5

-1

-1

1,000

S3

a

0.5

0

-1,000

S4

0

0

0

0

このゲームでは，a = 2 のとき，軌道はspiral しながら混合均衡に収束する．a が上昇し 2:55 になると，
Hopf 分岐により，混合均衡の周りにリミットサイクルが生じる(このリミットサイクルは構造安定であり，もちろんattracting set である)．
さらに a の値をあげ，a = 3:885 になると，周期 2 のサイクルが生じる．a = 4:00 にすると，周期 4 のサイクルが生じる．
a = 5 になると図.2 のようなストレンジアトラクターが出現する．

《図.2 insert about here》

数学的な証明はされてはいないけれども，いずれにせよ，少なくとも四つの戦略を持つ進化ゲームについてのレプリケータ・ダイナミックスは，極めて複雑なふるまい(カオス的) をする軌道を持ち得るのである．
ロトカ{ボルテラ系との関係
n 種の個体群を考え，xi を第 i 種の集団においてのシェア，ri を増加(あるいは減少) 率，aij は第 j 種の第i 種に対する影響を表し，その影響が xi を増加させる影響ならば正，逆ならば負であるとする．このとき一般化ロトカ{ボルテラ系は
0
1
n
X
dxi
= xi @ri +aij xj A
dt
j=1
45 これと同様のふるまいをする例として，Weibull [37] の一般化じゃんけんゲームがある．
46 詳細は Zeeman [38] 参照．

16

とかける47 ．
ここで n = 2，すなわち種が二種類のとき(捕食者{被食者) はサイクルは生じるのであるが，カオス(したがってストレンジアトラクター) は生じない48 ．
しかし，n = 3 のケースでは，ストレンジアトラクターが(つまりカオス的軌道が) 生じ得ることが知られている49 ．
A = (aij ) とすると，レプリケータ・ダイナミックスは
ÄÅ
dxi= xi ei ÅAx Ä x ÅAxdtとかける．このとき，定理 3. 8 (n + 1) 種のレプリケータ・ダイナミックスは，n 種のロトカ{ボルテラ系と同値である．
が成り立つ50 ．
したがって，4 種(つまり戦略が四つ) の進化ゲームのレプリケータ・ダイナミックでは，カオス的現象が生じる可能性があるのである．

3.5

簡略化したDiamond,D.and P.Dybvig モデルへの応用(I)

本節では，Diamond{Dybvig [9] モデルを簡略化したものを用いて，銀行取付について考察する．もともとのDiamond{Dybvig モデルでは銀行が取付に遭うということが一つのナッシュ均衡として存在し得ることが示されている．しかしながら，このような銀行の取付が波及し，連鎖倒産におちいるかどうかといった研究はあまり行われていないように思われる．
ここではDiamond{Dybvig モデルような 銀行取付の均衡 があったとしても，預金者のタイプの分布がある条件を満たせば，連鎖的な取付は起こらないことが示される．
モデル
ここでは，前節まで議論してきた進化ゲーム論的に銀行取付を考える．
いま市場に無数の預金者と有限数の銀行が存在するとする．預金者には二つのタイプがあり，一つは期日前に預金を引き出すタイプ（タイプＨ），もう一つは期日まで預金を引き出さないタイプ（タイプＮ）とする．各預金者はそれぞれ預金する資金 D を持っているとする．
預金者全体の中でタイプＨに属する割合を p，タイプＮに属する割合を 1 Ä p とする．銀行はこの割合
については知っているが，どの個人がどちらのタイプに属するのかは知らないものとする．
銀行の行動
各銀行はこの預金者の集団の中から二人だけ預金を獲得できるものとする．すなわち銀行は 2D の預金をあずかることとなる．各銀行はこの資金を次のようなプロジェクトに投資する．
(1) このプロジェクトが完了すると銀行には 2R の収益が入る．
(2) プロジェクト完了前に銀行は資金を回収できるが，回収できる額は 2r であるとする．
ここで R > D ; D > r > 21 D としよう．
47 Hofbauer and Sigmund [17] 参照．またこのとき，他の種に与える影響は線形であると仮定されている．
48 種が二種類のときについては，Hofbauer and Sigmund [17],18 章で詳細に議論されている.

49 これに対して離散時間系では，一次元の場合でさえカオス的軌道が発生する．その数学的メカニズムについては Li and Yorke [22]，Collet and Eckmann [6]，青木 [1] 等を見よ．経済学のモデルにおけるカオス的軌道の存在を示した多くの論文は，Li and Yorke [22]による「Li{Yorke の定理」を利用している．
50 Hofbauer [16]，Hofbauer and Sigmund [17] 参照．

17

預金者への返済
預金者には前述の通り二つのタイプがいる．
(1) 銀行の獲得した預金者が二人ともタイプＨであったとき，銀行は投資資金を回収し，二人にそれぞれ
r 返済する．
(2) 銀行の獲得した預金者が一人はタイプＨ，もう一人がタイプＮのとき，やはり銀行は投資資金を回収し，預金を引き出しに来たタイプＨには D，タイプＮには 2r Ä D 返済する．
(3) 銀行の獲得した預金者が二人ともタイプＮの場合は，プロジェクト完了後各々に R 返済する．
以上からこの二人の預金者は次のようなゲームを行っているとみることが出来る．
Matrix《DD》
引き出す(h)引き出さない(n)引き出す(h)r,rD,2r-D

引き出さない(n)2r-D,DR,R

戦略の組 (h; h) は銀行が獲得した預金者が二人ともタイプＨのとき，(h; n) は一方がタイプＨでもう一方がタイプＮのとき，(n; n) は両者ともタイプＮのときである．
DDÄ r
上記のmatrix DD より，(h; h)，(n; n) の二つの純粋戦略ナッシュ均衡と， h に RÄRÄ r ， n に RÄ rを割り当てた一つの混合戦略ナッシュ均衡が存在することがわかる．このうちでESS となるのは，(h; h)と (n; n) の二つであり，注意2. 2 を考慮すると三つ目の混合戦略はESS にはならない．
さてタイプＨが銀行の預金者になる確率は p であるのでタイプＨの個人の期待利得は
UH = pr + (1 Ä p)Dである．同様にタイプＮの個人の期待利得は
UN = p(2r Ä D) + (1 Ä p)Rである．
これより次の図が得られる．

《図.3 insert about here》

DRÄ D
図.3 より p < RÄRÄ r ならば n がベストレスポンス，p > RÄ r ならば h がベストレスポンスである
ことがわかる．
ここでベストレスポンスダイナミックス51 を考える．すなわちタイプＨの割合が時間の関数 p(t) であり，x(t) = (p(t); 1 Ä p(t)) とし，[Å] で Å に確率1 を与える混合戦略を表わすとすると，( dx(t)RÄ D(1)
dt = [n] Ä x(t) < 0 (p(0) < RÄ r )
dx(t)
RÄ D
=
[h]
Ä
x(t)
>
0
(p(0)
>
)
(2)
dt
RÄ r
51 (10) を見よ．

18

D
D
Ät
となり，(1) より p(t) = p(0)eÄ t (p(0) < RÄ
(p(0) > RÄRÄ r )，(2) よりp(t) = 1 Ä (1 Ä p(0))eRÄ r ) である

ことがわかる．
銀行システムが安定なケース(1) では p(t) Ä! 0 すなわちタイプＨの割合は減少する（タイプＮの方が期待利得が上であることを知り，タイプＨの個人がタイプＮの行動をまねるようになる）．よってこのときは最終的には (n; n) の均衡が実現されることになる．
進化的adverse selection(2) では逆に p(t) Ä! 1 となり (h; h) が実現されることとなり，銀行取付が連鎖的に発生することとなる．
DÄr
RÄ D
D
また h に RÄRÄ r ， n に RÄ r を割り当てた混合戦略（すなわち，p(t) = RÄ r ）はベストレスポンス・D
ダイナミックスの不安定均衡点であることがわかる．これは初期値が p(0) = RÄRÄ r のときには，混合戦略
dp(t)D DÄ r( RÄRÄ r ; RÄ r ) 自身がベストレスポンスになり， dt = 0 となる．このときには，8t について預金者の集団DDÄ rの中で，タイプＨが RÄRÄ r ，タイプＮが RÄ r の割合で共存することになる．
Diamond{Dybvig [9] は，一つの銀行が取付に遭うかどうかを検討したもの，すなわち上のmatrix で，(h; h) という戦略の組が一つの均衡となり得る ことを示しているが，上記の議論では仮に (h; h) が均衡
Dであったとしても，初期点が 0 < p(0) < RÄRÄ r であれば，連鎖的に取付が起こり続けるということはないということを示している．つまり，いつかは p(t) = 1 となり預金を中途解約する預金者はいなくなるのでDある．もちろん RÄRÄ r < p(0) < 1 ならば逆の現象が生じる．
D
さらに， 0 < p(0) < RÄRÄr のケースで，このダイナミックスに 中途解約するミュータント が発生しDたとしても，それがあまり大勢でなければ（すなわち，p(t) が RÄRÄ r を越えるほどでなければ ）やはり中D途解約する預金者は淘汰されるのである．そして p(t) が RÄRÄ r を越えるほどの浸入が遭ったとき，初めて大変なことが起こる!!52
以上の分析は初期点 p(0) に完全に依存したものであるが，ここで条件を多少変えて，R > r > D の場
合を考えてみる．このときには上のmatrix で純粋戦略ナッシュ均衡は (n; n) だけとなる（ n が支配戦略になる）．このときは当然，初期点 p(0) によらずに n がベストレスポンスになる．よってベストレ
スポンスダイナミックスはdx(t)= [n] Ä p(t) < 0 8p(0) 2 [0; 1]dtとなり，最終的に (n; n) の均衡が実現されることになる．すなわち，この場合は初期値によらず最終的には銀行取付が起こらない状態に落ち着くこととなるのである．

《図.4 insert about here》

4

確率的進化

4.1

長期均衡

以上の議論では，ダイナミカルシステムにおけるミュータントの浸入は，one{shot の摂動として捉えられてきた．この章ではある確率分布にしたがったミュータントの浸入が連続的に発生するようなケースを52 例えば，1927 年の東京渡辺銀行の取付については次のように解釈できる．つまり，片岡大蔵大臣の失言により，タイプＮであっD
た預金者が突然大量にタイプＨに変わったため，p が RÄを越えてしまい取付けにあった．
（ただし，これは全預金者におけるタイRÄ r
プの構成が変化したのではなく，東京渡辺銀行がターゲットとしている預金者のタイプの変化が生じたとみるべきであるが．
）
また，ミュータントの侵入が連続的に起こるケースの Kandori et al [21] による研究は次の第 4節をみよ．

19

考える53 ．この場合，複数均衡や経路依存性が解消され，ある均衡がもっとも起こりやすいという状況になる可能性がある．
いま，プレーヤーは有限( N 人:偶数) であるとする54 ．彼らは時間を通じてランダムに対戦をするゲー
ムを行うとする．ここでは次の二人対称ゲームを考える55 ．

Matrix《KMR》
s1

s2

s1

a,a

b,c

s2

c,b

d,d

è 行動は離散時間 t = 1; 2; ÅÅÅで行われる．各プレーヤーは一期間に一度他のプレーヤーと対戦する．
è 期間 t の期首において，各プレーヤーは純粋戦略の集合 S = (s1 ; s2 ) から戦略を選択する．
è zt : t 期に戦略 s1 を選択するプレーヤーの数とする．すなわち，T = f1; 2; ÅÅÅg，Z = f0; 1; 2; ÅÅÅ; N gとすると，zt : T Ä! Z
ここで Z は有限な状態空間である．
è ôi (z) を戦略 si を取るプレーヤーの期待利潤とすると，
ô1 (z) =ô2 (z) =
となる．

zÄ1
N Äz
a+
b;
N Ä1
N Ä1

z
N Äz Ä1
c+
d
N Ä1
N Ä1

è zt は次のDarwinian 性 (D) を持つ決定論的ダイナミックスで表わされる．
zt+1 = b(zt )(D) sign(b(z) Ä z) = sign(ô1 (z) Ä ô2 (z))

z 6= 0; N

ここでô1 (0) > ô2 (0) =) b(0) > 0;
ô1 (N ) < ô2 (N ) =) b(N ) < Nとする．また，ô1 (0) î ô2 (0) =) b(0) = 0;
ô1 (N ) ï ô2 (N ) =) b(N ) = Nとする．
53 この様なアプローチの先駆的論文は Foster and Young [11] である．

54 以下の議論は Kandori,Mailath and Rob [21] に基づく．直感的理解のためには[21] の第 2 節が非常にわかりやすい．

55 このゲームは，(i)(a Ä c)(d Ä b) < 0: 支配戦略が存在する場合，(ii)a > c; d > b: coordination ゲーム，(iii)a < c; d < b: 一
意的な対称混合戦略ナッシュ均衡を持つゲーム，となる．

20

次に各々のプレーヤーは確率 " で 突然変異 するとする．つまり，各プレーヤーは " でこのゲームから離れていくが，その変わりに二つの戦略を 21 の確率でプレーする新たなプレーヤーが外部から浸入してくるとする．
これは次のような確率差分方程式56 を生む．
zt+1 = b(zt ) + xt Ä yt

(11)

この(11) は，有限の状態空間 Z = f0; 1; 2; ÅÅÅ; N g 上のマルコフ連鎖を構成する．推移確率は
Pij = Pr(zt+1 = jjzt = i)であり，P = (pij ) をマルコフ行列とする．q(t) を t 時点における状態空間 Z 上の確率分布を示す行ベク
トル57 とすると，この確率分布の動きは q(t + 1) = q(t)P で与えられる．
ñ= ñPを満たす ñ= (ñ0 ; ñ1 ; ÅÅÅ; ñN ) 2 Å N を定常分布(stationaly distribution) という．
突然変異がない場合，長期的な結果は初期値に依存することになる58 ．しかし，突然変異がある場合には，長期的には初期値依存性は消滅する．すなわち " > 0 のとき，唯一の定常分布 ñ(") が存在し，全ての初期値 q(0) に対して，
1. limt!1 q(t) = ñ(")
2. ñ(") は各々の状態で費やされる時間についての比率を表わす59を満たす60 ．
さて，" が小さいときのシステムの長期的振る舞いは，次の極限分布を使い考察できる．
定義 4. 1
ñÉ = lim ñ(")"!0が存在するとき，ñÉ を極限分布(limit distribution) という．~
そしてこの極限分布のsupport61 を長期均衡と呼ぶ．すなわち，
定義 4. 2 C(ñÉ) を長期均衡(long run equilibrium) という．~
長期均衡を見つけるために，まず，tree の概念を導入する．
定義 4. 3 有限集合 Z = f0; 1; ÅÅÅ; N g 上の z{tree h とは， Z の要素の順序ペア (i ! j) の集まりであり，Z n fzg の全ての状態が一つの 矢 の出発点であり，Z n fzg 任意の状態から z に至る一つの矢の列が存在するもののことをいう．~
56 ここで xt とyt は二項分布に従う，すなわち，xt ò B(N Ä b(zt ); ")，yt ò B(b(zt ); ") である．
57 q(t) = (q (t); q (t); ÅÅÅ; q (t)) とすると，q(t) は N{次元単体 Å
RN+1 jq1 (t) ï 0;
0
1
N
N = fq(t) 2 IPq (t) = 1g の要素であi iる．
58 例えば，a = 2; b = c = 0; d = 1 の場合を考えると，z は N ，0 あるいは（N=3 が自然数であれば）N=3 のどれかの値に収束
tする．
59 エルゴード性と呼ばれる．
60 これらの特性は任意の既約・非周期的な有限マルコフ連鎖について成り立つものである．
61 q = (q ; q ; ÅÅÅ; q ) 2 Å の support とは，C(q) = fi 2 Zjq > 0g (ここで Z = f0; 1; ÅÅÅ; Ng) である．
0 1
i
N

21

すべての z{tree h の集まりを Hz と表わす．定常分布 ñ を得るために，ñ に比例的なベクトル q を構成する．各々の z{tree に対して，tree に沿った推移確率を乗じ，それをすべての z{tree について合計する．
これを qz とすると，
X Y
qz =
pij
(12)
z

h2H (i!j)2hとなる．このとき，補題 4. 1 62
q = (q0 ; ÅÅÅ; qN ) は ñ= (ñ0 ; ñ1 ; ÅÅÅ; ñN ) 2 ÅN に比例的である．°
ここでqz (")
ñÉz = lim ñz = lim P"!0"!0i qi (")

zであるから，ñÉ
Å; qN の中で）最も遅いスピードで 0 に収束するときでz > 0 となるのは，qz (") が（q0 ; ÅÅÉある．もし ñz が一つであれば，極限分布はそのような状態 ñÉz に確率 1 を与える．vz を qz が 0 に収束v
63
する率であるとする，すなわち， qz = O(" ) とする ．また(12) から，cij を " ! 0 のとき pij が 0 に収束するスピードとする，つまり pij = O("c ) とすると，
ijXvz = min
z

h2H

cij

(13)

(i!j)2hである．
一つの矢 (i ! j) に対して，cij を i から j へ転換するコストと考える．このとき，pib(i) ! 1 (" ! 0)であるから，cib(i) = 0 である．コスト cij は (i ! j) の変換のために必要となる突然変異の数と解釈することができる．突然変異が存在しない状態においては b(i) は i から到達可能であるから，j に到達するた
めには少なくとも jb(i) Ä jj の突然変異が必要である．
補題 4. 264

cij = jb(i) Ä jj

(14)

°
X

(13) と(14) より
vz = minz

h2H(i!j)2hjb(i) Ä jj

がわかる65 ．
PNv
以上で極限分布 ñÉ を決定できる．q の各成分は " の多項式 qz =v=0 az (v)" である．ただし，ある az (v) は 0 であるかもしれない．明らかに vz = minfvjaz (v) 6= 0g である66 ．v É = minz vz ，aÉ = (a0 (v É); ÅÅÅ; aN (vÉ)) とすると，定理 4. 3 極限分布 ñÉ は一意に存在する．とくにaÉzñÉz = P É:i ai
62 Kandori,Mailath and Rob [21].
63 もし qz (") が 0 に収束しないのであれば，vz = 0 である．
64 Kandori,Mailath and Rob [21]65 これは z に到達する最少の突然変異の数を表わしている．
66 もし qz が 0 に収束しないならば，az (0) 6= 0 であり，vz = 0 である．

22

さらに長期均衡はC(ñÉ) = argminz2Z vzで与えられる．°
以上を応用してKandori,Mailath and Rob [21] は次の一連の結果を得ている．
定理 4. 4 段階ゲームが支配戦略を持つものとする．このとき，任意のプレーヤーの数 N ï 2 と(D) を満
たす任意の調整過程について，極限分布は
è もし s1 が支配戦略ならば，N に確率 1 を，è もし s2 が支配戦略ならば，N に確率 0 を与える．°
定理 4. 5 段階ゲームがcoordination ゲームであり，z É 6= N=2 であるとする67 ．このとき，任意のプレー
ヤーの数 N ï 2 と(D) を満たす任意の調整過程について，極限分布は
è もし z É < N=2 ならば，N に確率 1 を，è もし z É > N=2 ならば，N に確率 0 を与える．°
系 4. 6 段階ゲームがcoordination ゲームであり，z É 6= N=2 であるとする．もし N ï 2(aÄd)=(aÄcÄd+b)であるならば，長期均衡が一意に存在し，リスク支配戦略になる．°
系 4. 7 段階ゲームがcoordination ゲームであり，ふたつの均衡は同じsecurity lebel をもち(b = c)，かつ
a > d であるとする．このとき，すべての N ï 2 について，長期均衡が一意に存在し，それはパレート効率的均衡である．°
定理 4. 8 段階ゲームがcoordination ゲームであり，z É = N=2 であるとする．任意の N ï 4 と (D) を満
たす任意の調整プロセスに対して，長期均衡は E1 = (s1 ; s1 ) と E2 = (s2 ; s2 ) である．さらに，極限分布
はその両方の均衡に確率 21 を与える．

4.2

簡略化したDiamond,D.and P.Dybvig モデルへの応用(II)再び，簡略化したDiamond,D.and P.Dybvig モデルを考えよう．
いま預金者が有限(N 人:偶数) であるとする．また銀行は N2 行あり，一つの銀行に二人が預金するとしよう．ここでは，3.5節とは違って，離散時間 t = 1; 2; ÅÅÅで預金者のゲームが行われると考える．
このとき，Matrix DD をMatrix KMR に置き換えれば，前節の議論がそのまま応用できる．Matrix
DD で表されるゲームはcoordination であるから，例えば定理4. 5 を使えば，
N
RÄr
>
2
R + r Ä 2D

(15)であれば極限分布は N に確率 0 を与えることになる．もし R Ä D < D Ä r ならば|これはプロジェクト
完了前に資金を回収したときの額 r が小さい場合に成立し得るであろう|式(15) は必ず満たされるので，このとき預金者の初期状態にかかわらず， 極限 では銀行取付は生じないことになるのである．

67 ここで，z É = [N(d Ä b) + a Ä d]=(a Ä c + d Ä b) であり，これは本質的に， s に確率 (d Ä b)=(a Ä c + d Ä b) を与える混合
1戦略に等しい．

23

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