（ 6 ー戸）

数
6学戸̶

注1

問題は意

1 から 4 までで，7 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。

数2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 00 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

答えは全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

5

答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含ま学ない形で表しなさい。また，根号の中は最も小さい自然数にしなさい。
6

答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。

7

答えは，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。

8

答えを直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。
受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面に9ついては，その数字の102023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-表紙.indd

1-2の中を正確に塗りつぶしなさい。

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

2023/12/11

12:50:35

1次の各問に答えよ。

〔 問 1 〕 √2（√3 ＋√18 ）－2 √3 － 6√2を計算せよ。

〔 問 2 〕 2 次方程式 （ 2 x ＋ 1 ）（ x － 3 ）＝ x（ x ＋ 1 ） を解け。

〔 問 3 〕 連立方程式

xx＋2y＝＋42
3x－2y＝x4を解け。

〔 問 4 〕 1 から 6 までの目が出る大小 1 つずつのさいころを同時に投げる。
大きいさいころの出た目の数を a，小さいさいころの出た目の数を b とするとき，10 a ＋ b が 3 の倍数であるが，4 の倍数でない数となる確率を求めよ。
ただし，大小 2 つのさいころはともに，1 から 6 までのどの目が出ることも同様に
2023110288- トレス -1.pdf
確からしいものとする。

〔 問 5 〕 右の図で，△ABC は，∠BAC ＝ 20°，∠BCA ＝ 60°

Aの三角形である。
解答欄に示した図をもとにして，辺 AC 上にあり
∠ABP ＝ 25°となる点 P を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 P の位置を示す文字 P も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

B

C― 1 ―
2023110288- トレス -2.pdf

2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

12024/01/22

9:34:17

2023110288- トレス -2.pdf

2右の図で，点 O は原点，曲線 f は関数 y ＝ ax 2（a ＞ 0）bのグラフ，曲線 ɡ は関数 y ＝ x（b ＜ 0）のグラフを表している。
点 A は，曲線 f と曲線 ɡ との交点で，

ɡyfA

x 座標は － 4 である。
点 B は，曲線 f 上にあり，x 座標は 2 である。
点 C は，曲線 ɡ 上にあり，x 座標は 2 である。

BxɡO

次の各問に答えよ。

C〔 問 1 〕 点 B の y 座標が13のとき，b の値を求めよ。

〔 問 2 〕 x 座標，y 座標がともに負の数である点を D とし，点 A と点 B，点 B と点 C，点 C と点 D，
点 D と点 A をそれぞれ結び，四角形 ABCD が平行四辺形となる場合を考える。
原点から点（1，0）までの距離，および原点から点（0，1）までの距離をそれぞれ 1 cmとして，次の ⑴，⑵ に答えよ。
⑴ 四角形ABCD の面積が 12 cm2 のとき，点 D の座標を求めよ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

― 2 ―2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

22024/01/22

9:34:17

PBADCGAFBCO H O と点 B，点 O と点 C，点 O と点 D をそれぞれ結んだ場合を考える。
⑵ 点 O と点 A，点a＝Q
D1のとき，△OAB の面積と△OCD の面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
4EExɡ

― 3 ―

2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

32024/01/22

9:34:17

2023110288- トレス -1.pdf

2023110288- トレス -3.pdf

2023110288- トレス -1.pdf
A2023110288- トレス -3.pdf

3右の図 1 で，点 O は，AB ＞ AC，BC ＝ 10 cm である

図1A△ABC の 3 つの頂点を通る円の中心で，辺 BC 上にある。
A次の各問に答えよ。

BOBCBC

図2BAABxO⑴ △ABC ≡ △AFC であることを証明せよ。
ɡCDG

線分 DE と辺 AB，辺 BC との交点をそれぞれG，H とした場合を表している。
ɡ 次のy ⑴，⑵ に答えよ。
f

F

Gを通り辺 AC に平行な直線と円 O との交点のうち点 D と異なる点を2023110288トレス -2.pdfE，2 点 A，B を通る直線とɡ y
f
2 点 C，E を通る直線をそれぞれ引き，交点を F，AD

AB 上にあり∠ABC ＝∠DCB となる点を D，点 D

BCF〔 問 2 〕 右の図2 は，図2023110288トレス-2.pdf1 において，頂点 C を含まないOCO〔 問 1 〕 AB：AC ＝ 3：1 のとき，△ABC の面積は何 cm2 か。

BA

B

O

A
H

C

E
O

H

CEx
ɡ

C― 4 ―

2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

42024/01/22

9:34:17

2023110288- トレス -4.pdf

2023110288- トレス -5.pdf

2023110288- トレス -4.pdf

2023110288- トレス -5.pdf
G⑵ PAC ＝ 6 cm Aのとき，線分 BH の長さは何 cm か。
B

B
C

C
P

B

P

A

GP

B

C

A

A

C
Q

DE

Q

DQ

DEQ

DE

E

F
P

B
FA

CBℓ

ACB

PA

CF
DQ

A

CF
PPBℓ

H

E

Q

DQ

DE
Q

DHE

E― 5 ―2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

52024/01/22

9:34:17

42023110288- トレス -3.pdf

2023110288- トレス -4.pdf

2023110288- トレス -3.pdf

2023110288- トレス -4.pdf

右の図 1 に示した立体は，底面が半径 6 cm の円，高さがh cm（h ＞ 0）の円柱で，底面の 2 つの円の中心をそれぞれP，Q とし，点 P と点 Q を結んでできる線分は2 つの底面にA垂直である。
線分 AB は円 P の直径，点A C は円 P の周上の点で，点 A，

図1CB

点 C を通り線分 PQ に平行な直線を引き，円 Q との交点を E
BCOとする。

E

点 P と点 C，点 D と点 E をそれぞれ結ぶ。

CP

AA

C

点 B のいずれにも一致しない。
B
C
O に平行な直線を引き，円 Q との交点を D，
点 A を通り線分 PQCPB円 P において，点 B を含まない AC に対する中心角を

Q

D

Q

D

Ea°
（0 ＜ a ＜ 180）とする。
次の各問に答えよ。
ただし，円周率はπとする。

FF〔 問 1 〕 右の図 2 は，図 1 において，線分 AD 上にあり
A
D
AF ＜ DF となる点を F とし，点 P と点 F，点 E と点 F をGそれぞれ結んだ場合を表している。
AD
h ＝ 15，a ＝ 60 とする。

B
図2PC

B

PCOHECEFAF

B△PAF ∽G△FDE のとき，線分C AF の長さは何 cm か。
O H
BAQDQDEExɡxɡ― 6 ―2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

62024/01/22

9:34:17

〔 問 2 〕 右の図 3 は，図 1 において，点 B を含む AC 上にある点をG とし，点 G と点 D，点 G と点 E をそれぞれ結んだ場合を表している。

図3GP

B

A

C

h ＝ 13，a ＝ 120 とする。

△GDE の面積が最も大きくなるとき，△GDE の面積は何 cm2 か。

QDE〔 問 3 〕 右の図 4 は，図 1 において，点 B を通り線分 PQ に平行な直線を引き，円 Q との交点を H とし，円柱の側面上を，線分 BH と交わるように，点 A と点 E を線ℓで結んだ場合を

図4PBAC表している。

ℓh ＝ bπ，a ＝ 120 のときの線ℓの最短の長さをcπcm（0 ＜ b ＜ c）とする。
b，c がともに自然数となるような b，c の値の組を全て求め，（b，c）の形で表せ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

QH

D

E― 7 ―

2023110288-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

72024/01/22

9:34:17

（6－戸）

1

2〔問 1 〕〔問 1 〕〔問 2 〕〔問 2 〕 ⑴x=〔問 3 〕【 途中の式や計算など 】， y=〔問 4 〕〔問 5 〕

2023110288- トレス -1.pdf

2023110288- トレス -3.pdf

202ABA

BBCOCFB
2023110288- トレス -2.pdf（答え）

D（DA  ,  ）Gg yf

〔問 2 〕 ⑵B△OAB：△OCD ＝OC

H：

EA

2023110291-久我山-戸山商事-解答-数学.indd

12023/12/11

13:51:07

43cm2〔問 1 〕〔問 2 〕 ⑴【証明】〔問 1 〕cm〔問 2 〕

cm2〔問 3 〕【 途中の式や計算など 】（答え） cm〔問 2 〕 ⑵2023110291-久我山-戸山商事-解答-数学.indd

22023/12/11

13:51:07

正 答 表12〔問 1〕 

5〔問 1〕〔問 2〕  

5〔問 2〕 (1)〔問 3〕

〔問 4〕




〔問 5〕

【解


55

答例5】




【6途中の式や計算など】

12曲線上の点   ，

曲線上の点 
において，
座標が等しいから，
……①

また，   ， 
であるから，四角形の面積について，





 
 ……②①，②より，

このとき， 





〔問 2〕 (2)よって， （答え） であるから，


点の座標は，

，
 

：7

（ 6 －戸）3〔問 1〕〔問 2〕 (1)

4【証6〔問 1〕

612〔問 2〕 



7明】

とにおいて，【途中の式や計算などとにおいて，〔問 3〕辺は共通……①線の長さが最短のときの辺は共通……①】

12側面の展開図をつくると，辺は円の直径であるから，辺は円の直径であるから， 

よって，

……
よって，
②②……

の△において，斜辺の長さがになる。
参考図

頂点と点を結ぶ。
頂点と点を結ぶ。

仮定より，
仮定より，


円周角の定理より，に対する円周角が等しいのでに対する円周角の定理より，



よって，


よって，

すなわち，……③すなわち，
……③，     

平行線の同位角は等しいから，であるから，三平方の定理により，より，

        
両辺を  で割ると平行線の同位角は等しいから，より，
円周角の定理より，に対する円周角が等しいのでに対する円周角の定理より，
    

よって，
……④     

よって，……④         
また， ③，④より，……⑤③，④より，……⑤
組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，①，②，⑤より，

組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
……②①，②を満たす自然数    の組は，①，②，⑤より，〔問 2〕 (2)……①

        ，  ，  
このうち，，がともに自然数となるのは，      ，  のときで，       （答え）     7