論文

セラミックス基盤工学研究センター年報 (2009). Vol. 9, 1-7井田隆・後藤大士・日比野寿

軌道放射光粉末回折測定における粒子統計の効果
井田隆・後藤大士・日比野寿

名古屋工業大学セラミックス基盤工学研究センター〒 507-0071 岐阜県多治見市旭ヶ丘 10-6-29

Effect of Particle Statistics in Synchrotron Powder Diffractometry
Takashi Ida, Taishi Goto and Hisashi Hibino
Ceramics Research Laboratory, Nagoya Institute of Technology,
Asahigaoka 10-6-29, Tajimi, Gifu 507-0071 JAPAN
Theoretical aspects of particle statistics in powder diffraction measurement using synchrotron X-ray source is described. General
theory for particle statistics, including formulas applicable to analyses of data measured in asymmetric reflection and capillarytransmission methods, has been established. The skewness of the statistical distribution in measured diffraction intensities isconnected with the size distribution of crystallites in powder specimen. Practical methods to validate the theory and to evaluate
crystallite size distribution are proposed.

はじめに数万点のオーダーの独立な強度データを得られることが通常の粉末回折データの解析では、粉末試料中に回折1.

予想される。この場合、観測強度の統計的な分散だけで条件を満たす結晶粒が相当な数存在することを仮定する。

なく、統計分布の非対称性まで定量的に評価することがしかし、結晶粒が粗く、回折計の角度分解能が高いほど、できると考えられ、平均的な結晶粒径だけでなく、結晶

この条件を満たすことが難しくなる。

粒径分布の広がりまで評価できる可能性がある。対数正

最近、筆者らは実験室型粉末回折計の回転試料台の回規分布やガンマ分布、ワイブル分布などの代表的な粒径

転角度をステップ走査して得られた回折強度データを解分布モデルは平均的な粒径と分布の広がりの二つのパラ

析することにより、回折測定における粒子統計の効果をメータで特徴づけられるので、これが実現されれば結晶定量的に評価しうることを示した (Ida et al., 2009)。ま粒径分布を完全にモデル化できるという意味で極めて重た、この測定結果は試料の組織構造に関する情報を含ん要な意義がある。

でおり、適切に利用すれば、従来の回折線幅解析法ではこのことを確認するためには、平均的な結晶粒径が同不可能だった数 mm オーダーの結晶粒径評価が可能にな程度でなおかつ粒径分布の異なる粉末試料を複数調製しることを示した。

て、比較実験を行うことが確実な方法であると思われる。

軌道放射光粉末回折測定では、光源の輝度が高いため

しかし、この実験を実施するためには、装置の改造や測に、通常光源を用いた粉末回折測定より、さらに粒子統定制御／解析ソフトウェアの整備、測定時間の確保等、計の効果が強調されることが予想される。一方で、実験相当な労力が必要となるので、あらかじめ実験の結果を室での測定に比べてやや高エネルギー（短波長）のＸ線

正しく解釈するための理論的な基盤を確立し、適切な実が用いられるために透過性が高くなり、有効な照射体積

験計画を策定することが必要である。

が増大することも予想され、この効果はむしろ粒子統計

実験室型粉末回折計によって観測される回折強度の粒の影響を弱める働きをする。また、平行性の高いビーム

子 統 計 に 関 す る 理 論 は、 Alexander ら (1948) と Deを用いることができるので、入射角と出射角の異なる非Wolff (1958) による先駆的な研究によってほぼ完成され対称反射法が通常使用される。この場合試料の吸収の効ているが、非対称反射法、キャピラリ試料を用いた透過果は実験室で用いられる対称反射法と異なるものになる。

法、粒径分布の広がりを解析する目的で適用できる形式

軌道放射光粉末回折実験では、キャピラリに充填したは明らかになっていない。本稿では、粒子統計に関する試料を用いた透過型の測定も行われる。平板試料の面内理論を再構築し、軌道放射光粉末回折計を用いた高分解回転と比較すると、キャピラリの軸周りの回転は粒子統能測定により得られるデータを解析しうる汎用性の高い計に甚大な影響を与え、回転角度を走査することにより、理論的な形式を導くことを試みる。また、軌道放射光粉―1―軌道放射光粉末回折測定における粒子統計の効果

末回折測定によって、現実に粒子統計を定量的に評価しある。この形式は、ほとんどの結晶粒からの回折強度は 0 であり、稀に I0 という回折強度を示す結晶粒がある

うるかについて理論的に検討する。

ということを意味する。
2.

個々の結晶粒からの回折強度の平均は粒子統計に関する理論

この節では、 Alexander ら (1948) と De Wolff (1958)( )I j =

による粒子統計に関する理論と同等の結果を導き、さらI j p j I j dI j = I 0

(3)

分散は

に拡張が可能な汎用性の高い理論的な枠組みを再構築することを試みる。この過程を通じて、従来の理論がどの

( I J )ような仮定のもとに正当化されるのかを明らかにする。

2

(1

=

) I 02(4)

３次の中心積率は2.1

最も単純なケース( I J )Alexandar ら (1948) と同様に、はじめにすべての結晶

3

(1

=

) (2

) I 03粒が等しい大きさを持ち、試料による吸収の効果を無視となることは容易に導かれる。

しうる仮想的な場合について考える。このように特殊な観測される全回折強度は(5)N

ケースは、現実の測定ではありそうにないということにI=

は注意すべきだろう。しかし、結晶粒径の統計的な分布

Ij

(6)

j=1

や試料によるＸ線の吸収の効果が無視できない状況でと表される。したがって、全回折強度の統計的な分布はあっても、基本的な考え方は共通である。このことの詳

個々の結晶粒からの回折強度に関する統計分布の多重の細は次節以降で詳述する。

畳み込みとみなすことができる。つまり、全回折強度が I となる確率を表す確率密度関数は個々の結晶粒が回折条件を満たす確率を r とする。
各回折線の有効反射多重度を meff、面内と軸方向へのビーム発散の許容角を Dw, Dc とすれば、ランダムに粒
meff
8 sin

I
0

0

I j p1 ( I1 )pN ( I N ) dI1

dI N (7)j=1と表現できる。

が配向した静止試料の場合、この確率は
=N

P(I ) =


畳み込みのキュムラントはキュムラントの和に等しい(1)という一般的な関係がある。平均、分散、３次中心積率で与えられる。(DwDc / 4p) の値は、試料位置から X 線

は、それぞれ１次、２次、３次のキュムラント k1, k2, k3

源を見込む立体角と全立体角 4p の比に対応し、装置固と等価であり、いずれもこの加成性が成立する。付録に有の定数とみなすことができる。通常の粉末回折計ではこれらの関係がどのように導かれるかを述べた。

X 線源の有効幅 0.1 mm、ゴニオメータ半径 185 mm、ソーラースリットの開き角 5°程度であり、これらの値から回折条件を満たす確率を概算すれば 3.6 × 10-6 程度

N 粒子からなる系の全回折強度の平均と分散、３次
中心積率は、それぞれ
I = N I 0の値になる。
一方、高エネルギー加速器研究機構放射光研究施設(KEK-PF) 粉末回折ビームライン BL-4B2 で行った予備的な実験では、このビームラインに設置された高分解能型粉末回折計で実効的に X 線源を見込む立体角は全立

( I )

2=N(1) I 02

( I )

3

=N

(1

) (2

(8)
(9)

) I 03(10)と表される。全回折強度の平均の二乗と分散の間には、-7

体角の 1.8 × 10 倍に相当すると見積もられ、実験室型


粉末回折計の約 1/20 の値となった。軌道放射光実験で

I

2

( I)

用いられる波長 1.2 Å のＸ線に対して、 Si の吸収係数

2

=

N
1

~N

(11)

は、実験室で用いられる CuKa 波長での値の約 1/2 になという単純な関係が成立する。この値は実験的に評価するが、そのことを考慮しても回折条件を満たす確率は実ることが可能な量であり、回折に寄与する粒子数の期待験室型回折計の約 1/10 の値になる。

値に等しい。この値を「有効回折粒子数」と呼び、記号Neff で表す。つまり、

さて、一つの結晶粒が回折条件を満たすとき、回折強度は結晶粒によらず共通の値 I0 をとるとする。このと

N eff


き、j 番目の結晶粒からの回折強度が Ij という値をとる確率を表す確率密度関数は
p j ( I j ) = (1

) (I j ) +

(I

j

I0

)

I

2

( I )2と定義する。

(2)

観測回折強度分布の歪度はと表される。ここで、d(x) はディラックのデルタ関数で
―2―

(12)

井田隆・後藤大士・日比野寿

3
3/2
2



2

=

~
1/2

( N )1/2 (1)

等しい場合であっても、粒径分布の広がりが異なれば、

2
1/2
N eff

2

回折強度分布の歪度は v 3j v j / v 2j に比例して変化す(13)る。逆に、強度分布の歪度を実験的に評価することがでで表される。このことは、回折に寄与する結晶粒の数がきれば、平均的な結晶粒径だけでなく結晶粒径分布を特少なければ高強度側にわずかに裾を引いた分布になるが、徴づけるもう一つのパラメータを決定できるはずである。

大きさの揃った結晶粒が相当な数存在する状況であれば、結晶粒径 Dj が対数正規分布：

左右対称な統計分布に近づく傾向があることを意味して(

pLN D j ; Dm ,
いる。

) = ( 2 ) 1 D exp
1/2

j

2.2

次に、試料によるＸ線の吸収の効果を無視するが、 結
exp

k
v j

晶粒の大きさが確率的に分布を持つことを考慮した形式を導く。結晶粒の大きさ vj の統計分布を、psize(vj) とい
し、体積あたりの散乱能が s であるとすれば、個々の結される。この場合 j 番目の結晶粒からの回折強度が Ij と

(I

0

2
vj

) ( )

sv j psize v j dv j (14)jと表される。この式を解けば

( )

(22)

(23)

2

)

(24)

歪度の変調に関していう値をとる確率を表す確率密度関数は

v 3j
vj

(

= exp 18

2

)

(25)

などの関係が期待される。

) ( I j ) + s 1 psize ( s 1 I j )p j I j = (1


Dj
Dm

9k 2 22

N eff = N exp ( 9

晶粒が回折条件を満たしたときの回折強度は、 svj で表) (I j ) +lnの関係が成立するので、有効回折粒子数について

う確率密度関数で表す。回折強度が結晶粒の体積に比例( )2に従う場合、結晶粒径分布の効果

p j I j = (112

筆者らは走査型電子顕微鏡と実験室型の粉末回折計を(15)用いて、沈降法により分級された３種の石英粉末試料のという解が得られる。個々の結晶粒からの回折強度の平粒子統計解析を行った (Ida et al., 2009)。顕微鏡写真の均と分散、３次の中心積率は、それぞれ
I j = s v j

画像解析から得られた結晶子径の分布は対数正規分布で( ) = s(v

 Ij

2

2

( ) = s(v

 Ij

3

3

2
j

2

vj

3
j

)

v 2j

3
2

良くモデル化され、有効結晶子径 Deff および最適化され(16)た対数正規分布のパラメータは以下のようになった。

(17)
vj + 2 2 vj

3

)

3

vj
となる。ここで、 vとj, v j はそれぞれ粒子体積の平均、二乗平均、三乗平均であり、いずれも
v

k
j

=

0

( )

k
j

1

2

3

Deff (µm)

7.0

12.0

28

Dm (µm)

4.83

9.24

21.0

0.284

0.240

0.194

4.3

2.8

2.0

(18)

(19)

v psize v j dv j

で定義される。

exp(18 2)

有効回折粒子数は、式 (12) の定義から
N eff =


N

vj

v 2j

2

vj

~
2

N

vj
v 2j

2

fV

=

vj

各分画試料についても、粒径分布の広がりが観測強度

(20)

v 2j

分布の歪度に与える影響を表す exp(18w2) の値に差が認と表される。ここで、試料の体積を V, 充填率を f とし、
N = fV / v j の関係を用いた。この式は、結晶粒径に統

められるが、適切な比率で試料を混合すれば、さらに粒計 的 な 分 布 が あ る 場 合 で も、有 効 回 折 粒 子 数 が2
v j / v j の共通体積を持つ粒子の集合体と同じ値をと度の平均と強度分布の分散から有効回折粒子数が求めらることを意味している。

できるはずだが、実際にこれを実験的に検証しうると予れ、さらに強度分布の歪度から粒径分布の広がりが推定

観測回折強度分布の歪度は
3
3/2
2



~

v 3j

( N )1/2 v 2j

3/2=

v 3j v j

径分布の広い粉末試料を調製できるはずである。観測強想される。装置あるいは測定条件に依存して観測強度分
1/2( fV )1/2 v 2j

3/2=

布の歪度が異なる場合には、粒径分布既知の標準試料のv 3j v j
1/2
N eff
v 2j

2

測定結果と比較することによって較正すれば良いはずで(21)ある。しかし、試料に依存する観測強度分布の歪度の変という式で与えられる。したがって、有効回折粒子数が化の原因として、粒径分布以外に、例えば試料による吸―3―軌道放射光粉末回折測定における粒子統計の効果

収の効果も寄与する可能性がある。次節ではこのことに在するとすれば、有効回折粒子数はついて検討する。

(1 e ) ~ 2N
Z
Z (1 e
)

2.3

(38)

2 Z

平板試料非対称反射の吸収の効果

試料の表面から深さ zj (zj > 0) の位置にある結晶粒か

Z 2

2N

N eff =


強度分布の歪度は

らの回折強度は、Ｘ線が試料を透過する際の減衰の影響を受けるので、表面で反射された回折強度より弱くなる。

3

3/2 ~
2

試料の線吸収係数を m、回折角を 2q とすると、入射視射

1/2( 8 Z )1/2 (1 e 3 Z )
8 Z
~
3/2
9N
( 9N )1/2 (1 e 2 Z )(39)

角 a の非対称反射の場合、この関係を以下のように表現で与えられる。上のいずれの式においても、２段階目のできる。

近似の際に、ずれの１次の項は、除算によって打ち消さ( )I j z j = I 0 exp


(

zj

)

れる形になっている。したがって bZ の値が極端に大き(26)

い値でなくても、この近似は良く成立することが予想さ

ただし、れる。ここで注目すべきことは、試料の吸収の効果に

= µ cosec + cosec ( 2)

よって有効回折粒子数も歪度も変化するが、はじめに有(27)

効回折粒子数の値を実験的に決定することを前提とすれとする。試料の厚さを Z とすれば、個々の結晶粒からのば、観測強度分布の歪度に及ぼす吸収の効果は、線吸収回折強度が吸収の影響を受けた場合に、強度が以下の統係数の影響を受けない形式となっていることである。歪計的な分布を持つことと等価である。

度に及ぼす吸収の効果は (8/9)1/2 ~ 0.943 という定数で( ) Z1 (1 ) ( I ) + ( IZpflat I j =j

I 0 exp

j

0

(

zj

)) dz

表される。
入射ビームの断面積を S とすると、試料面の上でＸ線jが照射される面積は S / sin a で与えられる。試料の単位(28)

体積あたりの粒子数を n とすれば、N / (Z S / sin a) =n の関係から、

この式を解けば、) (I j ) +

(1

( )

pflat I j =


I0 e

ZI j

) (I j )(1Z< I j < I0

N eff ~
[ elsewhere ]Veff =
という解が得られる。個々の結晶粒からの回折強度の平均、分散、３次中心積率は、それぞれ

(

I0
1 e
Z

Z

2
0

)

( )

 Ij

2

3

2 Z

I3
= 0 1 e3Z
3 Z

(

2

Ij

) 3I

2
j

Ij + 2 Ij

20( ) ~ 2 I Z (1 e )

 Ij

3
0

2 Z

( ) ~ 3 IZ (1 e )

 Ij

3

3 Z

I0
Z
2
0

3
0

( ) ~ 3 IZ

 Ij

3

)

(41)

存して変化する。

(32)

2.4

任意の独立なパラメータの影響

この節では、現実の粉末回折測定で粒子統計に影響を(33)及ぼしうる種々の影響を一般化した取り扱いについて検討する。この節で導かれる結果は、有効回折粒子数に関(34)

して De Wolff (1958) が導いた形式を回折強度分布の歪度に関して拡張したものになる。
任意の独立な変数 x1, x2, … を変化させたときに、結晶(35)( ) ~ 2 IZ

 Ij

2

1

の積に等しくなるが、非対称反射法の場合は回折角に依さらに、試料が充分に厚いと仮定できる場合には、
I j ~11+
sin ( 2sin

回折角 2q によらずビーム断面積 S とＸ線侵入深さ m-1で与えられる。r が充分に小さい場合には
2

2S
µ sin

とみなすことができる。この値は、対称反射の場合には

(31)
3

(40)

とする。したがって、この Veff の値を「有効照射体積」(30)( ) = 2 I Z (1 e ) Ij~ nVeffと書ける。ただし、(29)

I j =

2nS
sin

粒が回折条件を満たす場合に示す強度が、関数 f1 (x1) f2(x2) … に比例して変化する一般的な場合について考え(36)る。また、それぞれの変数の値が出現する頻度に相当す
る確率密度関数が p1 (x1) p2 (x2) …で表されるとする。

(37)

前節までに扱った結晶粒の体積 vj と結晶粒の位置の表と近似できる。試料厚さ Z の範囲に N 個の結晶粒が存面からの深さ zj は、深さによって粒径が変化する傾向が―4―

井田隆・後藤大士・日比野寿

なければ、独立な変数と扱えるものである。

(

I j rj ,すべての要因の影響を同時に考慮に入れると、個々の分布を持つと仮定できる。

( )) (I j )+(I

p1 ( x1 )I 0 f1 ( x1 )jpm ( xm ) dx1

fm ( xm ))f1 ( x1 )= I 0kf1 ( x1 )

(

j

)

1/2

+

j

)

1/2

} exp ( 2µr sin sin )jj

は Dwiggins (1975) により導かれており、以下のように表されている。

(42)dxm

A ( µ R, ) =



π/2

1
1
2
=
x exp
A ( µ R, )ｰπ/2 0*µ R 1 x 2 sin 2 (p1 ( x1 ) dx1k

rj2 sin 2(と表される。なお、円柱型試料の吸収補正係数の計算式( )
= I 0krj2 sin 2

2(47)

I jk p j I j dI j
0

0

µ R2

このとき、各粒子からの回折強度の k 乗の平均は、
I jk =) = I exp { µ R

結晶粒からの回折強度は、以下の式で表される統計的なp j I j dx j = (1

j

1/2

)

{ µ R 1 x sin ( + )
2

2

1/2

} exp ( 2µ Rx sin sin ) dxd(48)

fm ( xm ) pm ( xm ) dxmk

この形式は式 (47) を試料内で積分した形と等価である。
この形式を利用すれば、個々の結晶粒からの回折強度

fm ( xm )kkの k 乗の平均は

(43)

k
k
I j = I 0 A ( k µ R, )となる。

で与えられる。したがって、有効回折粒子数は以下の関強度の二次以上のベキ乗の平均には、畳み込みに関す数：る加成性は成立しないが、個々の粒子からの回折強度の k 次のキュムラントが( k )j = I jk I jk 1 I j +kfcap ( µ R, ) =(44)のように展開されるので、r の値が小さい場合には、回gcap ( µ R, ) =

したがって、観測される回折強度の平均の二乗と分散の比として定義される有効回折粒子数は、一般的にN eff ~
f1 ( x1 )
f1 ( x1 )fM ( xM )2

fM ( xM )

2

2

2



~

f1 ( x1 )( N )1/2

f1 ( x1 )

2

3/2

(50)

A ( 2 µ R, )A ( 3µ R, )A ( 2 µ R, )

(51)

3/2

例えば、波長 1.2 Å に対する線吸収係数 26.8 cm-1 の(45)

fm ( xm )32との積になることが期待される。

Si 粉末を直径 0.54 mm のキャピラリに封入した場合
mR = 0.72 となり、中心付近での透過率は 0.237 程度であるが、全体の透過率 A と fcap, gcap の値は回折角 2Q のと表され、強度分布の歪度は
33/2
2A ( µ R, )との積となり、観測強度分布の歪度は折強度の k 乗平均に近似的に等しくなる。

N

(49)

3

fm ( xm )2

3/2

値に依存して以下の値をとる。

(46)という関係を満たす。

2 (º)

0

30

60

90

120

150

A

0.305

0.310

0.323

0.341

0.361

0.376

キャピラリ試料の粉末回折強度に関する粒子統計

fcap

0.916

0.877

0.803

0.745

0.711

0.692

この節では、キャピラリに充填された試料について透

gcap

1.173

1.273

1.410

1.468

1.476

1.473

3.

過法で測定したデータを解析する場合に必要な理論的な形式を導き、さらにその適用可能性、具体的な結晶粒径
これらの値を用いれば、粒径分布既知の Si 粉末をキャ評価の手順について考察する。

ピラリに封入した標準試料として用いて、任意の試料の3.1

結晶粒径分布を評価することが可能であると考えられる。

キャピラリ試料の粒子統計に関する理論

回折角 2q の反射について、線吸収係数 m、半径 R のキャピラリ試料中の位置 (xj, yj) = (rj cos jj, rj sin jj) から3.2の回折強度はキャピラリ充填試料について、結晶粒径分布を考慮し―5―理論の検証実験と結晶粒径分布評価の手順

軌道放射光粉末回折測定における粒子統計の効果

た有効回折粒子数の形式は、式 (20), (50) から、
N eff =
fV

vj

A ( µ R, )

4.

結

論

粉末回折強度測定における粒子統計に関して汎用性の2

高い理論的な枠組みを構築した。この過程を通じて、軌(52)v 2j A ( 2 µ R, )道放射光粉末回折測定により得られたデータを解析すると表される。入射ビームのキャピラリ軸に沿った幅を際の理論的な困難の大部分が克服された。軌道放射光粉

W とすれば V = pR2W である。また、バルク試料のＸ線吸収係数を m0 とすれば f = m / m0 であるという関係がある。さらに式 (1) を適用すれば

末回折計を用いて、キャピラリ試料に対するスピナー走

N eff =
µ R 2Wmeffvj

A ( µ R, )査測定を適用することにより、実験室型の粉末回折計では実質的に不可能な結晶粒径分布評価が実現可能となることが予想される。

2(53)

8 µ 0 v 2j A ( 2 µ R, ) sin

付録という関係が導かれる。この式の右辺が含む変数のうち、A.

m, R は、例えば光学顕微鏡観察と透過率測定により決定

任意の確率密度関数 p(x) に対して、k 次のキュムランできる。試料の組成と構造がわかっていれば m0, meff もキュムラントの定義と統計的な諸量との関係

トは既知の値になる。したがって、標準試料の有効粒子体積2
v j / v j がわかっていれば、キャピラリに充填された

k

k

lim

k

0

ln e x p ( x ) dx

(56)

標準試料に関するスピナースキャン測定の結果から装置
固有の定数 (DwDc) を決定できる。

で定義される。この定義式から、１次のキュムラントは装置固有の定数 (DwDc) は本来ならば入射ビームを制
1 = lim0

限するスリットや回折ビーム側で軸方向へのビームの発

exp ( x ) p ( x ) dx =lnxp ( x ) dx

(57)

散を制限するソーラースリット、結晶アナライザの分解となり、平均x と等価であることは容易に導かれる。

能などで決まると考えられるが、実際の測定では、いず

２次のキュムラントはれについても平板試料とキャピラリ試料で共通のものが用いられる。従って、原理的には (DwDc) を決定するた2

2 = lim
0

めに平板試料ホルダに充填された標準試料の測定結果も

2

ln e x p ( x ) dx =2

x 2 p ( x ) dx

xp ( x ) dx

(58)

利用できることになる。しかし直観的には標準試料と目(的試料とは同じ太さのキャピラリを用いて測定する方がから、分散 x

良いと思われ、このことについては実験的に検証するべ) に等しくなることが確かめられる。

同様に３次のキュムラントはきであろう。
目的試料のスピナースキャン測定の結果と、標準試料

3 = xの測定によって決定された (DwDc) の値を用いれば、式2(53) から目的試料の有効粒子体積 v j / vが見積もら
j

3

3 x2

3

x +2 x

= (x

x )

3

(59)

となり、３次の中心積率（モーメント）に等しい。

れる。

４次のキュムラントは次に、観測強度分布の歪度は、式 (21), (51) から、
3

3/2 ~
2

v 3j v j

1/2( fV )1/2 v 2j

3/2

A ( 3µ R, )A ( 2 µ R, )

4 = ( x

3
3/2
2

~

2

A ( 2 µ R, )

4

3 (x

x )

2

2

(60)

た値になる。また、統計分布の歪度 skewness と尖度
3/2
2
kurtosis はそれぞれ、 3 / 2、 4 / で定義されるのが2

一般的である。

v 3j v j A ( 3µ R, ) A ( µ R, )
1/2
N eff
v 2j

x )

と表され、４次の中心積率から分散の二乗の３倍を引い

(54)

3/2

となるが、式 (52) を用いれば、


x

2

(55)

2

B. 畳み込みのキュムラント

の関係が導かれる。この関係は、有効回折粒子数 Neff が２つの独立な確率密度関数 p(x) と q(x) に対して、畳決まれば目的試料の観測強度分布の歪度のみから粒径分

み込みは

2

布を特徴づけるパラメータ v 3j v j / v 2j が求められる

p( x) * q( x)(xy z ) p ( y ) q ( z ) dydz

(61)

ことを意味し、標準試料の回折強度分布の歪度評価は必
要がないことを意味する。この関係が成立すれば、粒径で定義される。ここで d(x) はディラックのデルタ関数

分布評価の手順は単純である。実際にこの関係が成立すである。

るかについての実験的な検証も興味深い課題である。

畳み込みのキュムラントは、―6―井田隆・後藤大士・日比野寿kk = limk0(x

ln e x

参考文献y z ) p ( y ) q ( z ) dydzdx

Alexander, L., Klug, H. P. & Kummer, E. (1948). J. Appl. Phys.,

19, 742-753.
k

= lim
0

k

ln e y p ( y ) dy + lim
0kk

De Wolff, P. M. (1958). Appl. Sci. Res., 7, 102-112.

ln e z q ( z ) dz (62)Dwiggins, Jr., C. W. (1975). Acta Cryst. A, 31, 146-148.

のように変形できるので、成分関数のキュムラントの和Ida, T., Goto, T. & Hibino, H. (2009). J. Appl. Cryst., 42, 597-に等しくなることを証明できる。

606.

謝

辞

理論的な形式を導くための予備実験は KEK-PF の粉
末回折ビームライン BL-4B2 で行われた。ここに謝意を表する。

―7―