数理解析研究所講究録
第 1864 巻 2013 年 213-223

213

確率的打ち切りを考慮した 2 人非ゼロ和ゲームにおけるナッシュ均衡戦略の存在について広島大学大学院工学研究科 齋藤靖洋 (Yasuhiro Saito) 土肥正 (Tadashi Dohi)
Graduate School of Engineering, Hiroshima University

1

はじめに

本稿では，Teraoka [1] や Baston and Garnaev [2] によって考察されたタイミングの非ゼロ和 2 人ゲームに関して議論する．文献 [1] では確率的な打ち切りを考慮した形で 2 人のプレイヤーが参加する射撃競技をモデル化し，そのゲームの解 (ナッシュ均衡戦略と均衡利得) を求めている．導出されたゲームの解となる
戦略は，互いのプレイヤーにとって自分の戦略のみを変える動機が存在しない均衡戦略である．しかしながら，そこで求められたナッシュ均衡戦略は一意に定まるものではなかったため，両プレイヤーにとって戦略を選択する自由度が残るものであった．
これに対して Baston and Gamaev [2] は文献 [1] の Silent タイプゲームにおいて，両プレイヤーが同時刻で発砲した場合の期待利得を別の形で定義することで，唯一のナッシュ均衡戦略が存在することを示した．本稿では，Teraoka [1] や Baston and Garnaev [2] にょって考察された 2 つのゲームを統合した一般的なゲームに対して，ナッシュ均衡戦略及び対応する均衡利得を導出する．相手の行動時刻を知ることが出来ない Silent タイプゲーム，及び相手が行動したことを即座に知ることが出来る Noisy タイプゲームに関して，ゲームの解を詳細に議論する．

2

モデルの記述
一発ずつ弾丸の入った銃を持つ 2 人のプレイヤーが射撃競技に参加するゲームを考える．それぞれをプ

レイヤー 1 及びプレイヤー 2 と呼ぶ．各プレイヤーと的までの距離を 1 とし，プレイヤーは単位速度で的に近づきながら任意の時刻 (すなわち位置)において発砲する．先に的に当てたプレイヤーが勝者となり，単位利得を得た上でゲームは終了する．ここで，両プレイヤーが同時に的に当てた場合の利得は各々のゲームにおいて個別に定義する．プレイヤー $i(=1,2)$ が時刻 で発砲した時の命中確率を精度関数
は $A_{i}(0)=0,$ $A_{i}(1)=1$ を満たす関数である．更に，この競技は確率分布関数$A_{i}(t)(i=1,2)$ で表す．
$t\in[0,1]$$t$$A_{i}(t)$$H(t)$ に従うランダムな時刻 $T\in[O, 1]$

において強制的に打ち切られるものとし，$H(t)$ は $H(O)=0,$ $H(1)=1$を満たす． 及び $H(t)$ はそれぞれ連続で一階微分可能な単調増加関数とする．各プレイヤーは利得を得る確率を高めるために出来る限り発砲を遅らせたいが，相手が先に命中させる可能性や確率的な時刻での打ち切りを考慮しながら射撃時刻を決定しなければならない．時刻 でまだゲームが打ち切られていな$A_{i}(t)$

$T$

$t$

い条件の下で，プレイヤー が先に的に当てる確率は$i$$K_{i}(t)=\{1-H(t)\}A_{i}(t), i=1,2$で表される．本稿では$K_{i}(t)$(1)

を狭義単峰関数と仮定し，$m_{i}= \{t\geq 0|\sup_{0<t<1}K_{i}(t), i=1,2\}$

において唯一の最大値を取る関数とする．

(2)

214
各プレイヤーの発砲時刻を表す純戦略を $(x, y)\in[0,1]\cross[0,1]$ とし，プレイヤー $i(=1,2)$ がそれぞれ
時刻 $(x, y)$ で発砲した場合の総期待利得関数を $M_{i}(x, y)$ で表す．更に，各プレイヤーの純戦略の集合を$(X, Y)\in[0,1]\cross[0,1]$とすれば，プレイヤー の混合戦略は，それぞれ$i$$F_{1}=F_{1}(x)=Pr\{X\leq x\}\in[0,1]$ ,(3)$F_{2}=F_{2}(y)=P_{\Gamma}\{Y\leq y\}\in[0,1]$(4)によって表すことが出来る．ここで混合戦略とは，各プレイヤーが式 (3) と式 (4) のような確率分布関数に従って確率的に行動をとる戦略を意味する．相手プレイヤーが混合戦略をとる場合の各プレイヤーの総期
待利得は，$M_{1}(x, F_{2})= \int_{Y}M_{1}(x, y)dF_{2}$

(5)

,

(6)

$M_{2}(F_{1}, y)= \int_{x}M_{2}(x, y)dF_{1}$で表され，それぞれのプレイヤーが混合戦略星をとった時の総期待利得関数$M_{i}(F_{1}, F_{2})$

は，

(7)

$M_{i}(F_{1}, F_{2})= \int_{X}\int_{Y}M_{i}(x, y)dF_{1}dF_{2}$によって定義される．また，次の不等式を満足するような混合戦略の組
対応する総期待利得関数$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})$

3を Nash 均衡戦略と呼び，を均衡利得と呼ぶ．
$M_{1}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})\geq M_{1}(F_{1}, F_{2}^{*})$,(8)$M_{2}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})\geq M_{2}(F_{1}^{*}, F_{2})$.

(9)

これより問題は式 (8) と式 (9) を同時に満たすナッシュ均衡戦略$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})(i=1,2)$$(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})$$(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})$とそれに対応する均衡利得を求めることである．

Silent タイプ Teraoka-Baston ゲームにおけるナッシュ均衡戦略
Teraoka [1] によって定式化された ilent タイプの総期待利得関数は次の通りである．
$S$$M_{1}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{1}(x) , x\leq y,\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(y) , x>y,\end{array}$(10)$M_{2}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{2}(y) , y\leq x,\{1-A_{1}(x)\}K_{2}(y) , y>x.\end{array}$(11)

本稿では式 (10) と式 (11) で与えられる総期待利得関数を持つゲームのことを Silent タイプ Teraoka ゲームと呼ぶ．Silent タイプゲームでは，プレイヤーがすでに発砲したかどうかを相手側のプレイヤーは知ることが出来ない．これに対して，Baston and Gamaev [2] は次のような若干異なる総期待利得関数を定義した．
$M_{1}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{1}(x) , x<y,P_{1}(x) , x=y,\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(x) , x>y,\end{array}$(12)$M_{2}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{2}(y) , y<x,P_{2}(y) , y=x,\{1-A_{1}(x)\}K_{2}(y) , y>x.\end{array}$

(13)

215
$P_{i}(t)(i=1,2)$ は $0\leq P_{i}(t)<K_{i}(t)$ を満たす関数である．本稿では式 (12) と式 (13) で与えら
ここで，れる総期待利得関数を持っゲームのことを Silent タイプ Baston ゲームと呼ぶ．Silent タイプ Baston ゲー
ムは Silent タイプ Teraoka ゲームと比べ，両プレイヤーが同時に発砲した場合に得られる利得が減少する．

Baston and Gamaev [2] は，Silent タイプ Baston ゲームが唯一のナッシュ均衡戦略を持つことを示している．

ここでは式 (12) と式 (13) における丑 $(t)$ を $0\leq P_{i}(t)\leq K_{i}(t)$ と定義し，Teraoka ゲームと Baston ゲー

ムを含む一般的なゲームに関してナッシュ均衡戦略を導出する．この場合，$0\leq P_{i}(t)<K_{i}(t)$ の時に Silent

タイプ Baston ゲーム，
$P_{i}(t)=K_{i}(t)$ の時に Silent タイプ Teraoka ゲームとそれぞれ一致する．本稿では上述の両ゲームを含む一般化されたゲームを Silent タイプ Teraoka-Baston ゲームと呼ぶ．更に以降の 5 節で
$P_{i}(t)>K_{i}(t)$ である場合のゲームについても考察を行う．
は，
式 (5) と式 (6) に対して，一階の最適性条件は$\frac{\partial}{\partial x}M_{1}(x, F_{2}^{*}) = 0$

,

(14)

(15)

$\frac{\partial}{\partial y}M_{2}(F_{1}^{*}, y) = 0$

の一階微分
が存在
のように与えられ，式 (14) と式 (15) を満たす混合戦略$m= \min(m_{1}, m_{2})$ とを満たす任意の$a\in[0,m]$と式(15) をすると仮定する．
に対し，式 (14)$F_{i}^{*}(i=1,2)$$f_{i}^{*}(t)=dF_{i}^{*}(t)/dt$$F_{i}^{*}(a)=0$満足する $f_{i}(t)(t\in[0,1], i=1,2)$ は(16)$f_{i}(t)= \frac{K_{3-i}(a)K_{3-i}’(t)}{\{K_{3-i}(t)\}^{2}A_{i}(t)}$によって与えられる．ここで，$K_{3-i}’(t)=dK_{3-i}(t)/dt$ である．また，式 (16) に対して，を満たす唯一の$\int_{a}^{m}f_{i}(t)dt=1$(17)$\lambda(a)=K_{1}(m_{1})[\frac{K_{1}(a)}{K_{1}(m_{2})}-A_{2}(m_{2})(1-\int_{a}^{m_{2}}f_{2}(t)dt)]-K_{1}(a)$

(18)

を

$a$

$a_{i}$とする．

補題 3.1[2]:とおけば，$\lambda(a)$は $0\leq a\leq m_{2}$成り立つ条件の下で，の範囲で単調減少関数である．更に，$\lambda(a^{*})=0$$\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})\leq K_{1}(m_{2})$となる唯一の$a^{*}$がが存在する．

補題 3.2 [1]: Silnet タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，一階の最適性条件を満たす混合戦略の一階微
分は式 (16) の

ガ

(19)

$(t)=\{\begin{array}{ll}0, 0\leq t<a,f_{i}(t) , a\leq t<m,0, m\leq t\leq 1\end{array}$

によって与えられる．
定理 3.1: $m=m_{2}$とおく．Silnet タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，$\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})\geq K_{1}(m_{2})$が成り立つ場合，各プレイヤーのナッシュ均衡戦略は$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{i},1, m_{i}\leq t\leq 1\end{array}$

(20)

216
となる．この時、各プレイヤーの均衡利得は$M_{1}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*}) = \{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})$

(21)

,

(22)

$M_{2}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*}) = K_{2}(m_{2})$である．

定理 3.1 で示した解が式 (8) と式 (9) を満たすことは自明であるため、証明は省略する．
$\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})<K_{1}(m_{2})$定理 3.2: $m=m_{2}$ とおく．Silnet タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，が成り立つ場合，各プレイヤーについてのナツシュ均衡戦略は(23)$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{ll}0, 0\leq t<a,\int_{a}^{t}f_{i}^{*}(t)dt, a\leq t<m,\int_{a}^{m}f_{i}^{*}(t)dt+\alpha_{i}I(z) , m\leq t\leq m_{i},1, m<t\leq 1\end{array}$$\alpha_{i}(i=1,2)$ はマスパート$a= \max(a^{*}, a_{1})$ であり，となる．ここで，$\alpha_{i}=1-\int_{a}^{m}f_{i}^{*}(t)dt$$I_{i}(z)$

(24)

,

は定義関数

(25)

$I_{i}(z)=\{\begin{array}{ll}1, z=m_{i},0, otherwise\end{array}$である．この時、 各プレイヤーの均衡利得は(26)$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})=K_{i}(a), i=1,2$となる．
証明: プレイヤー 1 について次の 4 っの場合を考える．(i) $0\leq x<a,$ (ii) $a\leq x<m$ , (iii) $x=m,$ (iv)$m<x\leq 1.$$(i)$の場合，式 (5) と式 (12) から，$M_{1}(x, F_{2}^{*})=K_{1}(x)<K_{1}(a)$(27)$M_{1}(x, F_{2}^{*})= ax \{1-A_{2}(y)\}K_{1}(x)dF_{2}^{*}+\int_{x}^{m-0}K_{1}(x)dF_{2}^{*}+K_{1}(x)\alpha_{2}$(28)が成り立つ．(ii) の場合，である．窟が一階の最適性条件を満たしていることから，$a\leq x<m$ において

$M_{1}(x, F_{2}^{*})$

は一定であり，

式 (28) に $x=a$ を代入すると，$M_{1}(a, F_{2}^{*})=K_{1}(a)( \int_{a}^{m-0}dF_{2}^{*}+\alpha_{2})=K_{1}(a)$(29)となる．(iii) の場合，式 (23) より，$M_{1}(m, F_{2}^{*}) = \int_{a}^{m-0}\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(m)dF_{2}^{*}+P_{1}(m)\alpha_{2}$$= K_{1}(a)-\{K_{1}(m)-P_{1}(m)\}\alpha_{2}\leq K_{1}(a)$

(30)

217
が成り立つ．(iv) の場合，
$M_{1}(x, F_{2}^{*}) = \int_{a}^{m-0}\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(x)dF_{2}^{*}+\{1-A_{2}(m)\}K_{1}(x)\alpha_{2}$$= K_{1}(x) \{\frac{K_{1}(a)}{K_{1}(m)}-A_{2}(m)\alpha_{2}\}$となる．関数$K_{1}(x)$(31)の性質から，式 (31) は $x=m_{1}$ において最大値を取り，$M_{1}(m_{1}, F_{2}^{*})=K_{1}(m_{1}) \{\frac{K_{1}(a)}{K_{1}(m)}-A_{2}(m)\alpha_{2}\}$である．ここで，式 (32) が$K_{1}(a)$(32)$a=a^{*}$ の場合，補題 4.1 より以下となることを示す．

$M_{1}(m_{1}, F_{2}^{*})=K_{1}(m_{1}) \{\frac{K_{1}(a^{*})}{K_{1}(m)}-A_{2}(m)\alpha_{2}\}=K_{1}(a^{*})$$a=a_{1}$ の場合，補題 4.1 よりが成り立つ．また，$\lambda(a_{1})<0$となり，$M_{1}(m_{1}, F_{2}^{*})=K_{1}(m_{1}) \{\frac{K_{1}(a_{1})}{K_{1}(m)}-A_{2}(m)\alpha_{2}\}<K_{1}(a_{1})$が成り立つ．以上のことから，全ての

$x$

(33)

(34)

について，
$M_{1}(x, F_{2}^{*})\leq K_{1}(a)$(35)$a=a^{*}$ の場合，である．更に，各々の場合の均衡利得を計算すると，$M_{1}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})= \int_{a^{*}}^{m-0}K_{1}(a^{*})dF_{1}^{*}+K_{1}(a^{*})\alpha_{1}=K_{1}(a^{*})$$a=a_{1}$ の場合，式 (17) と式 (24) よりとなり，$\alpha_{1}=0$

(36)

なので，

$M_{1}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})= \int_{a_{1}}^{m-0}K_{1}(a_{1})dF_{1}^{*}=K_{1}(a_{1})$を得る．プレイヤー 2 についても同様である(37)
口

命題 3.1: Silnet タイプ Teraoka-Baston ゲームは唯一のナッシュ均衡戦略を持つ．

実際，定理 3.1 及び定理 3.2 で紹介した解は Silent タイプ Baston ゲームの解と一致する．また，Silent タ
イプ Baston ゲームの解は唯一のナッシュ均衡戦略となっているので、 命題 3.1 が成り立つことは明らかである．

4

Noisy タイプ Teraoka-Baston ゲームにおけるナッシュ均衡戦略

次に Noisy タイプゲームについて考察する．Teraoka [1] によって定式化された Noisy タイプの総期待利得関数は次の通りである．

$M_{1}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{1}(x) , x\leq y,\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(r(y)) , x>y,\end{array}$(38)$M_{2}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{2}(y) , y\leq x,\{1-A_{1}(x)\}K_{2}(r(x)) , y>x.\end{array}$

(39)

218
4 節と同様に，式 (38) と式 (39) の総期待利得関数を持つゲームのことを Noisy タイプ Teraoka ゲームと呼ぶ．Noisy タイプゲームでは，相手が発砲した場合に各プレイヤーは即座にその事実を知ることが出来るた
め，相手より後に行動するプレイヤーは最も都合の良い時刻 $r(t)$ で発砲出来る．Baston and Gamaev [2]では Silent タイプゲームのみが考察されていたため，Noisy タイプ Baston ゲームはこれまでに考えられる

ことはなかった．本稿では，Silent タイプゲームと同様の観点から，次のような総期待利得関数を定義する．

$M_{1}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{1}(x) , x<y,P_{1}(x) , x=y,\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(r(y)) , x>y,\end{array}$(40)$M_{2}(x, y)=\{\begin{array}{ll}K_{2}(y) , y<x,P_{2}(y) , y=x,\{1-A_{1}(x)\}K_{2}(r(x)) , y>x.\end{array}$(41)$P_{i}(t)(i=1,2)$ は $0\leq P_{i}(t)\leq K_{i}(t)$ を満たすものとし，式 (40) と式
Silent タイプゲームの場合と同様に，(41) の総期待利得を持つゲームを Noisy タイプ Teraoka Baston ゲームと呼ぶ．5 節では更に乃 $(t)>K_{i}(t)$の場合についても考察する．

今，

(42)

$K_{i}(b_{i})=\{1-A_{3-i}(b_{i})\}K_{i}(m_{i}) , i=1,2$を満たすパラメータを$b_{i}$$t\in(b_{i}, 1]$ に対して，
とし，

(43)

$\theta_{3-i}(t)=\frac{K_{i}’(t)}{K_{i}(t)-\{1-A_{3-i}(t)\}K_{i}(m_{i})}$を定義する．
補題 4.1: Noisy タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，一階の最適性条件を満たす戦略 $F_{i}^{*}(t)(i=1,2)$は次のように与えられる．

.

$F_{i}^{*}(t)=1- \exp\{-\int_{b}^{t}\theta_{i}(t)dt\}, b\leq t<c$(44)$b= \max(b_{1}, b_{2})$ であり， は $b<c\leq m$ を満たす任意の実数である．
ここで，
$c$

証明: プレイヤー 1 について考える．プレイヤー 1 が $b\leq x\leq c$ で発砲した場合の総期待利得は$M_{1}(x, F_{2}^{*})= \int_{b}^{x}\{1-A_{2}(y)\}K_{1}(m_{1})dF_{2}^{*}+\int_{x}^{c}K_{1}(x)dF_{2}^{*}$(45)であるので，一階の最適性条件から，$\frac{1}{1-F_{2}^{*}(x)}\cdot\frac{\partial F_{2}^{*}(x)}{\partial x}=\frac{\partial K_{1}(x)}{\partial x}\cdot\frac{1}{K_{1}(x)-\{1-A_{2}(x)\}K_{1}(m_{1})}=\theta_{2}(x)$を得る．両辺を$x$(46)について積分すると，最終的に$F_{2}^{*}(t)=1-d \exp\{-\int_{b}^{t}\theta_{2}(t)dt\}$が得られる．ここで

$d$

(47)

$t=b$ から $d=1$ を得る．プレイヤー 2 についても同様である．口は積分定数であり，補題 4.2 [1]: 任意の $c\in(b_{i}, m)$ に対して$\int_{a}^{c}\theta_{3-i}(t)dtarrow\infty$, as $aarrow b_{i}$

(48)

219
が成り立つ．
定理 4.1: $m=m_{2}$ とおく．Noisy タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，$b\geq m$ が成り立つ場合，各プレイヤーのナッシュ均衡戦略は(49)$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{i},1, m_{i}\leq t\leq 1\end{array}$

によって与えられる．この時、 各プレイヤーの均衡利得は$M_{1}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*}) = \{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})$,$M_{2}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*}) = K_{2}(m_{2})$

(50)

(51)

となる．

定理 4.1 で示した解が式 (8) と式 (9) を満たすことは自明であるため、 証明は省略する．
定理 4.2: $b=b_{2}$ とおく．Noisy タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，$b<m$ が成り立つ場合，各プレイヤーのナッシュ均衡戦略は$F_{1}^{*}(t)$$=$$\{\begin{array}{l}0, 0\leq x<b,1, b\leq x\leq 1,\end{array}$$F_{2}^{*}(t)$$=$$\{\begin{array}{ll}0, 0\leq y<b,1-\exp\{-\int_{b}^{y}\theta_{2}(t)dt\}+\alpha_{2}J(y) , b\leq y\leq c,1, c<y\leq 1\end{array}$$c\leq m$ であり，マスパートとなる．ここで，$\alpha_{2}$

(52)

(53)

は

$\alpha_{2}=\exp\{-\int_{b}^{c}\theta_{2}(t)dt\}$(54)$J(z)$ は定義関数によって与えられ，$J(z)=\{\begin{array}{ll}1, z=c,0, otherwise\end{array}$(55)

である．この時、 各プレイヤーの均衡利得は$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})=K_{i}(b), i=1,2$

(56)

となる．
証明: プレイヤー 2 がナッシュ均衡戦略を取った場合のプレイヤー 1 の総期待利得を算出すると，$M_{1}(x, F_{2}^{*})=\{\begin{array}{ll}K_{1}(x) , 0\leq x<b,K_{1}(b) , b\leq x<c,K_{1}(b)-\{K_{1}(c)-P_{1}(c)\}\alpha_{2}, x=c,K_{1}(b)-[K_{1}(c)-\{1-A_{2}(c)\}K_{1}(m_{1})]\alpha_{2}, c\leq x\leq 1\end{array}$(57)となる．同様に，プレイヤー 1 がナッシュ均衡戦略を取った場合のプレイヤー 2 の総期待利得を算出すると，$M_{2}(F_{1}^{*}, y)=\{\begin{array}{ll}K_{2}(y) , 0\leq y<b,P_{2}(b) , y=b,\{1-A_{1}(b)\}K_{2}(m_{2})=K_{2}(b) , b<y\leq cK_{2}(b) c<y\leq 1\end{array}$

(58)

220
となる．従って，全ての $(x, y)$ こついて，$|$$M_{1}(x, F_{2}^{*}) \leq K_{1}(b)$

,

(59)
(60)

$M_{2}(F_{1}^{*}, y) \leq K_{2}(b)$が成り立つ．よって，均衡利得は(61)$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})=K_{i}(b)$となる口$b<m$ が成り立つ
定理 4.3: $b=b_{2}$ かつ $m=m_{1}$ とおく．Noisy タイプ Teraoka-Baston ゲームにおいて，

場合，次に示す戦略の組もまたナッシュ均衡戦略となる．

(62)$F_{1}^{*}(x)$$=$$\{\begin{array}{l}0, 0\leq x<b,1, b\leq x\leq 1,\end{array}$$F_{2}^{*}(y)$$=$$\{\begin{array}{ll}0, 0\leq y<b,1-\exp\{-\int_{b}^{y}\theta_{2}(t)dt\}, b\leq y<m,1-\exp\{-\int_{b}^{m}\theta_{2}(t)dt\}+\alpha_{2}I(y) , m\leq y<c,1, c\leq y\leq 1.\end{array}$

(63)

ここで，
$c>m$ である．この時、 各プレイヤーの均衡利得は$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})=K_{i}(b), i=1,2$

(64)

となる．
証明: プレイヤー 1 の総期待利得は，$M_{1}(x, F_{2}^{*})=\{\begin{array}{ll}K_{1}(\overline{x}) , 0\leq x<b,K_{1}(b) , b\leq x\leq m,K_{1}(b)-\{K_{1}(m_{1})-K_{1}(x)\}\alpha_{2}, m<x<c,K_{1}(b)-\{K_{1}(m_{1})-P_{1}(c)\}\alpha_{2}, x=c,K_{1}(b)-[K_{1}(m_{1})-\{1-A_{2}(c)\}K_{1}(c)]\alpha_{2}, c<x\leq 1\end{array}$(65)となり，プレイヤー 2 の総期待利得は，$M_{2}(F_{1}^{*}, y)=\{\begin{array}{ll}K_{2}(y) , 0\leq y<b,P_{2}(b) , y=b,\{1-A_{1}(b)\}K_{2}(m_{2})=K_{2}(b) , b<y<mK_{2}(b) m\leq y<c,K_{2}(b) c\leq y\leq 1\end{array}$(66)となる．以上より，全ての $(x, y)$ について，$M_{1}(x, F_{2}^{*}) \leq K_{1}(b)$$M_{2}(F_{1}^{*}, y) \leq K_{2}(b)$

,

(67)
(68)

が成り立ち，均衡利得は$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})=K_{i}(b)$

(69)

221
となる．

口

定理 4.1 で示した解における条件 $b\geq m$ は定理 3.1 で示した条件 $\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})\geq K_{1}(m_{2})$ と同じ意味を持ち，2 つの定理の解はゲームのタイプに関係なく成り立つナッシュ均衡戦略である．Noisy タイ
プ Teraoka-Baston ゲームでは，Silent タイプ Teraoka-Baston ゲームの定理 3.2 のような混合戦略の組ではなく，定理 4.2 及び 4.3 で示した様に片方のプレイヤーが純戦略を取り，もう一方のプレイヤーが混合戦略を取る形のナッシュ均衡戦略が存在する．また、 Noisy タイプ Teraoka-Baston ゲームの解は Silent タイプ
Teraoka-Baston ゲームの解と異なり，唯一の解ではないことも確認できる．

5

ボーナスゲームにおけるナッシュ均衡戦略
3 節及び 4 節で示したナッシュ均衡戦略は全て $0\leq P_{i}(t)\leq K_{i}(t)$ を仮定したゲームの解であった．ここでは式 (12) と (13) 及び式 (40) と (41) の総期待利得関数に対し，$P_{i}(t)\geq K_{i}(t)$ となる場合のゲームのナッシュ均衡戦略について考察する．前者を Silent タイプボーナスゲーム，後者を Noisy タイプボーナスゲームと呼ぶ．定理 5.1 及び定理 5。2 に示す戦略は，ゲームのタイプに関係なく成り立つナッシュ均衡戦略である．
$P_{i}(t)$更には $K_{i}(t)$と同様に$\gamma=\max(\gamma_{1}, \gamma_{2})$$m_{i}$

及びで最大値を取る狭義単峰関数と想定する．更に，次のような記号を定義する．
$\gamma_{i}=\inf\{t:K_{i}(m_{i})=P_{i}(t)\}$

,

(70)

$\delta_{i}=\sup\{t:K_{i}(m_{i})=P_{i}(t)\}$

.

(71)

$\delta=\min(\delta_{1}, \delta_{2})$とする．

定理 5.1: $m=m_{2}$ とおく．ボーナスゲームにおいて $b\geq m$ が成り立つ場合，ナッシュ均衡戦略は次の通りである．

(i) $\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})\geq P_{1}(m_{2})$ かつ $K_{2}(m_{2})\geq P_{2}(m_{1})$ の時，(72)$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{i},1, m_{i}\leq t\leq 1\end{array}$となり，ゲームの均衡利得は$M_{1}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*}) = \{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})$$M_{2}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*}) = K_{2}(m_{2})$

,

(73)

(74)

によって与えられる．

(ii) $\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})\geq P_{1}(m_{2})$ かつ $K_{2}(m_{2})<P_{2}(m_{1})$ の時，$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{1},1, m_{1}\leq t\leq 1\end{array}$(75)となり，ゲームの均衡利得は$M_{i}(m_{1}, m_{1}) = P_{i}(m_{1}), i=1,2$(76)

によって与えられる．

(iii) $\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})<P_{1}(m_{2})$ かつ $K_{2}(m_{2})\geq P_{2}(m_{1})$ の時，$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{2},1, m_{2}\leq t\leq 1\end{array}$

(77)

222
となり，ゲームの均衡利得は$M_{i}(m_{2}, m_{2}) = P_{i}(m_{2}), i=1,2$(78)

によって与えられる．

(iv) $\{1-A_{2}(m_{2})\}K_{1}(m_{1})<P_{1}(m_{2})$ かつ $K_{2}(m_{2})<P_{2}(m_{1})$ の時，$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{1},1, m_{1}\leq t\leq 1,\end{array}$(79)$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{2},1, m_{2}\leq t\leq 1\end{array}$

(80)

または，

となり，ゲームの均衡利得は$i=1,2$ ,(81)$M_{i}(m_{2}, m_{2}) = P_{i}(m_{2}), i=1,2$(82)

璃 $(m_{1}, m_{1})$$=$$P_{i}(m_{1}),$

または，によって与えられる．
定理 5.2: $m=m_{2}$ とおく．ボーナスゲームにおいて $b<m$ が成り立つ場合，ナッシュ均衡戦略は次の通りである．

(i) $K_{2}(m_{2})\geq P_{2}(m_{1})$ の時，$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<m_{2},1, m_{2}\leq t\leq 1\end{array}$(83)$M_{i}(m_{2}, m_{2}) = P_{i}(m_{2}), i=1,2$(84)

であり，ゲームの均衡利得はとなる．

(ii) $K_{2}(m_{2})<P_{2}(m_{1})$ の時，$F_{i}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}0, 0\leq t<t^{*},1, t^{*}\leq t\leq 1\end{array}$である．ここでがは$\gamma\leq t^{*}\leq\delta$(85)を満たす任意の時刻である．この場合，各プレイヤーの均衡利得は$M_{i}(t^{*}, t^{*}) = P_{i}(t^{*}), i=1,2$

(86)

となる．

定理 5.3: $m=m_{1}=m_{2}$ かつ $a=a_{1}=a_{2}$ とおく．Silent タイプボーナスゲームにおいて $a<m$ が成り立

つ場合，次に示す混合戦略の組もまたナッシュ均衡戦略となる．

223$0\leq x<a,$$0,$$F_{1}^{*}(x)$$F_{2}^{*}(y)$

$=$

$=$

$\{$

,

$\int_{b}^{x}f_{1}^{*}(t)dt,$$a\leq x\leq m$

1,$m<x\leq 1,$(87)$\{\begin{array}{ll}0, 0\leq.y<a, 僧_{}2^{*}(t)dt, a\leq y\leq m, (88)\end{array}$1,$m<y\leq 1.$

ここで，

(89)

$f_{i}^{*}(t)= \frac{K_{3-i}(a)K_{3-i}’(t)}{\{K_{3-i}(t)\}^{2}A_{i}(t)}, i=1,2$

であり，各プレイヤーの均衡利得は(90)$M_{i}(F_{1}^{*}, F_{2}^{*})=K_{i}(b), i=1,2$となる．

定理 5.1, 定理 5.2, 定理 5.3 で与えられる解が式 (8) と式 (9) を満たすことは明らかであるため，ここでは証明を省略する．ボーナスゲームでは両プレイヤーが同時に発砲した場合に得られる利得がボーナスとして増加するため，両プレイヤーが同時刻で確定的に行動を起こす純戦略の組み合わせが解となる傾向が強い．特徴的な解を挙げれば，定理 5.1 の (iv) では式 (79) と式 (80) のいずれの戦略もナッシュ均衡戦略となを満たす任意の時刻
で同時に発砲する戦略がる．また，定理 5.2 の (ii) では両プレイヤーが全てナッシュ均衡戦略であり、 これは明らかに無数の戦略が存在することを示している．更に，定理 5.3 で$\gamma\leq t^{*}\leq\delta$$t^{*}$

は，Silent タイプゲームにおいて混合戦略の組の中でナッシュ均衡戦略となるものが存在するが，この解は同士及び同士が等しいという，非常に限られた条件下

両プレイヤーの行動時刻を定めるパラメータ$a_{i}$$m_{i}$

でのみ成り立つ均衡戦略となっていることに注意する．

6

まとめと今後の展望

本稿では，参考文献 [1] と [2] で考察されたタイミングの二人非ゼロ和ゲームを統合し，拡張したゲームに対するナッシュ均衡戦略を導出した．今後の課題としては，より多人数のプレイヤーが参加するゲームに対して，同様の観点の下で考察を行っていく予定である．

参考文献[1] Y. Teraoka, A Two-Person Game of Timing with Random Termination, Joumal of optimization
Theory and Applications, Vol. 40, pp. 379-396, 1983.

[2] V. J. Baston, and A. Y. Garnaev, Teraoka-Type Two-Person Nonzero-Sum Silent Duel, Joumal of
optimization Theory and Applications, Vol. 87, No. 3, pp. 539-552, 1995.