165

二つの非線形写像に関する総和不可能誤差付きの共通不動点近似(APPROXIMATION OF A COMMON FIXED POINT OF TWONONLINEAR MAPPINGS WITH NONSUMMABLE ERRORS)

茨木貴徳 (TAKANORI IBARAKI)
横浜国立大学 教育学部
(COLLbGE OF EDUCATION, YOKOHAMA hATIONAL UNIVERSITY)

梶葉駿介 (SHUNSUKE KAJIBA)
横浜国立大学大学院教育学研究科(GRADUATL SCHOOL OF LDUCATION , YO KOHAMA NATıONAL UNIVERSITY)

1. はじめにE を実バナッハ空間とし, C を E の空でない閉凸部分集合とする.

C から E への写像 T が非拡大写像 (nonexpansive mapping) であるとは任意の C の元 x_{\dot{\ovalbox{\t\smal REJECT} ?/ に対して \Vert Tx-Ty\Vert\leq\Vert x-\cdot y\Vertが成り立つことである.不動点問題とは写像 T において

z=Tz を満たす C の元 z を見つけるという問題である.不動点問題は凸最小化問題,均衡問題や変分不等式問題などの多くの非線形問題を一般化した問題でもある.
距離による不動点理論において非拡大写像の不動点近似法は重要な問題の一つであり近年.
\ovalbx{\t smalREJCT}

多くの研究者により研究され,急速に発展してきた,その中でも高橋‐竹内 ‐窪田 [20] によって提案された収縮射影法 (shrinking pro.jection method) は注目すべき結果である.
定理 1.1 ( [20]). H を実ヒルベルト空間とし, C を H の空でない閉凸部分集合とし, T を
F(T)=\{z\in C:z=T_{\sim}\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT}\} が空でないような C から C への非拡大写像とする.また, \{(y_{17}. } を[ 0_{\dot{r} c\iota[ の実数列とする.ただし 0<a<1 である. \prime c_{0} を H の任意の元とし点列 \{\gamma_{j}-7^{\cdot},.\cdot\} を次のように構成する : C_{1}=C_{:}x_{1}=P_{C_{1}}.xÚ とし jn\in \mathbb{N} に対して
y_{7 }-. =(_{\wedge}\ovalbox{\t \smal REJECT}_{n}^{\ovalbox{\t \smal REJECT} X_{1_{1} +(1-(x_{7i_{\ovalbox{\t \smal REJECT} })T:\prime t_{n:}C_{71.\dotplus 1}=\{\tilde{\circ}\in C:\Vert z-\uparrow y_{1}. \Vert\leq\Vert_{\sim}\wedge\ovalbox{\t \small REJECT}-:r_{n}\Vert\}\cap C_{n}飲.

x_{71.+1}=P_{C_{n_{\ovalbox{\t \small REJECT}}1} x_{0}とする.このとき,点列 \{:x_{\iota} \} は P_{F(T)}x_{()} に強収束する.ただし \dot{i}P_{K} は H から H の空でない閉凸部分集合 K への距離射影とする.

なお,高橋‐竹内 ‐窪田 [20] は論文の中で,定理1.1より一般的な非拡大写像族の共通不動点への収束定理を得ている.この研究以降、収縮射影法は多くの研究者により非拡大型非線形写像に関してヒルベルト空間やバナッハ空間等さまざまな空間で研究が行われて発展してきた( [3_{j}5_{\dot{i}}7-11] 及びこれらの参考文献を参照). 一方,収縮射影法は点列を構成する際に距離射影の正確な値を求める必要がある.しかし,距離射影の正確な値を求めることは一般的に容易なことではない.そこでこの課題を解決すべく2012年に木村 [7] は測地距離空間において距離射

影の値の計算に誤差を含んで点列を構成する収縮射影法を提案した.それ以来,この手法はヒ2010 Mathematic

S\cdotubject C las \prime i_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}fi(^{\rangle}.atio72..\prime- 17H0_{\mathfrak{d} ^{\ulcorner} : 47H09_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}} 47J25.

Kc^{2}.y words aná p 加 as\cdot es^{-} .

共通不動点,擬非拡大,(r) 型擬非拡大,収縮射影法 : 距離射影.

166
ルベルト空間やバナッハ空間で議論されてきた ( [3_{:}5_{:_{\ovalbox{\t \smal REJECT} 8 ‐ 10] を参照). 特に. バナッハ空間にお\ovalbx{\tsmalREJCT}

いては つの写像に関する不動点近似法が多く,複数の写像に対する研究は少ない.そこで,本
論文では木村 [7] の手法を用いてバナッハ空間での非拡大型非線形写像に関する複数の写像の共通不動点への近似法を議論する.

2. 準備
E を実バナッハ空間とし.ノルムを \Vert\Vert と表す.また.: E^{*} を共役空間とし, S_{E} :=\{x\in E :\Vert x\Vert=1\} とする. \{r_{\tau}\cdot 7 .\}\ovalbox{\t \smal REJECT} ㌦に強収束するとき x 。 arrow.\cdot.\tau_{\dot{i} 弱収束するとき :\gamma_{n}. harpoonup J と表す. E が狭義凸 (strictly convex) であるとは任意の r\prime,\cdot\cdot)1 \in S_{E}(x\neq y) に対 L , 常に \Vert_{7=}\cdot+y\Vert<2 が成り立つことである. E が一様凸 (unifornlly convex) であるとは \{\prime(:_{r\prime}-\}_{:}. \{y_{7I}.\} を 1i_{lh}., \Vert=\prime r_{-7}',.+\cdot/^{\prime\ovalbox{\t \small REJECT}_{n} \Vert=2 となる S_{E} の点列としたとき: 常に \lim_{-\cdot 1-}\Vert x_{1-}.- 酬 |=0 が成り立つことである.また.: E がカデッ
ク クリー条件 (Kadec‐Klee property) を満たすとは E の点列 \{:r..,.\} が x に弱収束し,. \{\Vert x..\Vert\}
が \Vert Lx\Vert へ収束するときには.: 常に \{-x_{n}\} が. (.: に強収束することをいう.バナッハ空間 E が滑らか
\acute{}(smooth) であるとは任意の \prime.r_{\dot{j}}y\in S_{E} に対して

\lim_{tar ow0}\frac{\Vertx_{\ovalbox{\t\smal REJECT}+t_{7}y\Vert-\Vert x\Vert}{(2.1)となる極限が存在することである.また.‐ E が一様に滑らか ( \iota mif ormly smooth) であるとは(2.1) に対して S_{E} の任意の元 x, y が一様に収束することである ( [17_{\dot{i}}18] を参照).
E から E^{*} への双対写像 (dualif‐y mapping) J を E の元 x に対して

Jx=\{=\prime\iota^{*}\in E^{*} : \langle x, x^{*}\}=\Vert x\Vert^{2}==\Vert x^{ *}\Vert^{2}\}と定義する.双対写像について以下の性質が知られている ( [2_{:}17-19] を参照).
(1)
(2)
(3)
(4)

E の元 x_{-}.\cdot に対して J:I_{-}. は空でない;E の元 x_{:}y_{\dot{\ovalbox{\t \smal REJECT}} Jx の元 x_{:}^{*.}

Jy の元 1j^{*} に対して, \langle x-y_{1}. ゴー y^{*} } \geq 0 が成り立つ;

E が回帰的であるための必要十分条件は, J が全射になることである;

E kが滑らかであるための必要十分条件は, J が一価になることである;(\overline{:J})E が狭義凸であるための必要十分条件は, J が単射になることである;(6)

E が回帰的で滑らかな狭義凸なとき, E^{*} の双対写像 J_{*} は J の逆像となる.すなわち \dot{i}\langle.J_{*}=J^{-1}- となる;

(7) E が一様に滑らかであるための必要十分条件は, E^{k} が 様凸となることである;(8) E が ‐様凸であるならば E は回帰的,狭義凸でカデック クリー条件を満たしている.
E を回帰的で狭義凸バナッハ空間とし, C を E の空でない閉凸部分集合とする.このとき,任\wedge-

意の E の元 x に対し\Vert x-\ap rox\Vert=m\dot{ \imath} n\Vert\ovalbox{\t \smal REJECT}) ^{\backslash }-y\Vert y\in C^{\cdot}’となる C の元 \ovalbox{\tsmalREJCT}\eta が一意に存在する.そこで: E の元 =x に対しì このような C の元 z を対応させる写像を \dot{\ovalbox{\t\smal REJ CT}E から C の上への距離射影 (lnetric projection) と呼び: 瓦.U で表す.

E を回帰的なバナッハ空間とし, \{C_{n}\} を E の空でない閉凸部分集合列とする.このとき\{C_{I1}\gamma.\cdot\} の強下極限集合 s‐Li C_{7}-,. と弱上極限集合 w‐Ls C_{7} はそれぞれ

s‐Li C_{l}.
w‐Ls C.

{ x\in E : ヨ \{x_{\ovalbox{\t \small REJECT}}.\}\subset Es.t. x_{\bullet}arrow x_{\ovalbox{\t \small REJECT}}.x_{1}. \in C.,.(\forall\cdot 7t, \in \mathbb{N}) }=\{x\in E:\exists\{x_{n_{i}}\}\subset E\ldots s\cdot.t. x_{71}.,.harpoonup X, T_{n_{i}}.\in C_{i}(\forall i\in \mathbb{N})\}=と定義する.また, C_{0} が\dot{b}_{-}^{:}-LiC_{77}n. \cdot=C_{0}= w‐Ls C_{n}を満たすとき:. \{C_{r\iota}\ovalbox{\t \smal REJECT}\ が C_{(} にモスコ収束 ( h::Iosco convergenc:e) [15] するといい:
C_{0}=M-1i_{lI1}C_{n}167と表す.1984年に塚田 [21] はバナッハ空間の距離射影に関して次の定理を証明した.
定理2.1 ( [21]). E を回帰的な狭義凸バナッハ空間とし, \{C_{7l}\} を E の空でない閉凸部分集合列とする. \{C_{7?}^{-}\} が C_{(\rangle} にモスコ収束し, C_{(_{-})} が空でないとき, E の任意の元 t に対し,{Pc翫爵は几濯に弱収束する,さらに, E がカデック クリー条件を満たせば, \{P_{\subset_{\ovalbox{\t \smal REJECT} ,. \primer\} は P_{C_{1_{-}1}}x に強収束
する.

E を滑らかなバナッハ空間とし: E\cross E から \mathbb{R} への関数 V を E の元 x_{:}.y に対してV(x, \cdot y)=\Vert\prime r\cdot\Vert^{2}-2\langle\lambda_{:^{J\cdot y\rangle+} }\Vert y\Vert^{2}と定義する.この関数 V は以下の性質を満たす ( [1_{:\ovalbox{\t \smal REJECT} 6_{\backslash }14] を参照).
(1) E の元 x\cdot, \cdot y に対して, (\Vert_{=}\prime t_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}'\Vert-\Vert y\Vert)^{2}\leq V(\prime x_{:}.y)\leq(\Vert_{=}\prime\gamma_{\ovalbox{\t \smal REJECT}} \cdot\Vert+\Vert y\Vert)^{2} である;
(2) E の元 \gamma_{>}, \cdot y に対して:. V(\prime.r_{- }\ovalbox{\t \small REJECT}\prime()_{-})+V(y_{\backslash }.?_{- ・}\cdot)=2\langle\prime r^{=}-y_{-}.Jr.-\cdot-Jy } である;
(3) E の元砥 y.\sim\wedge\ovalbox{\t\smal REJECT} に対して, V(x_{\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}y)=V(7i, \sim\wedge\cdot)+V(z_{:}y)+ 2\langle:.\tau.\cdot-z_{:}Jz-J\uparrow\sqrt{} } である;
(4) E が狭義凸のとき, E の元 x_{\dot{\ovalbox{\t\smal REJECT} y に対して, V(_{=}\prime L_{:}y ) =0 となる必要十分条件は x=y となることである.

r を正の実数とし,
B_{r}=\{.-\wedge\prime\in E: \Vert z\Vert\leq r\} とする.本論文では以下に示す関数 \underline{(j}_{\gam a^{\dot{\ovalbox{\t smal REJ CT} -\overline{g}., \underline{q}^{.*} 及び扉が重要な役割を果たす.これらの関数の存在性は.i バナッハ空間とその共役空間の凸性から導き出すことができる.

定理2.2 ( [22]). E をバナッハ空間とし, r を正の実数としたとき,以下が成立する.
(i) E が一様凸ならば jB_{1} . の任意の元 :_{\grave{\ovalbox{\tsmalREJCT}\primer_{\Gama}\cdot?\valbox{\tsmal REJCT}_{- と, [0_{\dot{\ovalbox{\t\smal REJECT} 1] の任意の実数 (-1^{I} に対して,\Vert\alpha x+(1-(-\}^{\ovalbox{\t \small REJECT}})y\Vert^{2} \leq\alpha\Vert\prime\iota\cdot\Vert^{2}+(1-\alpha)\Vert y\Vert^{2}-\alpha(1- c\iota^{\ovalbox{\t \small REJECT}})\underline{g}_{r}(\Vert_{5l}:\cdot-y\Vert)
を満たし: \mathscr{Q}_{r}(0)=0 となる [0,2r] から [ 0, \infty [への連続で狭義単調増加な凸関数 \underline{g}, .が

存在する.

(ii)

E が一様に滑らかならば,

B_{\gamma}. の任意の元x, yと, [0_{:}.1] の任意の実数\cap^{:}

に対して\dot{i}\Vert\alpha x+(1-\mathfrak{a}\cdot)y\Vert^{2}\geq\alpha\cdot\Vert x^{:} \cdot\Vert^{2}+(1-\alpha)\Vert y\Vert^{2}-\alpha(1-n\vee)\overline{c}J_{r}(\Vert x-y\Vert)
を満たし: \overline{j_{r}(}(0)=0 となる [0_{-}.2r] から [ 0_{(}.\infty [への連続で狭義単調増加な凸関数 \overline{g}_{7}、が存在する.

定理2.2より以下を導くことができる.

定理2.3.

E を回帰的で滑らかな狭義凸バナッハ空間とし \dot{i}r を正の実数としたとき,

\cdot

以下が成

立する.

(i)

E が

-

‐様に滑らかならば iB_{r} の任意の元 x_{\dot{\ovalbox{\t\smal REJECT} y と, [0_{:}. 1] の任意の実数 \alpha に対して

i\Vert \mathfrak{a}J:r+(1-n)J\cdot y\Vert^{2}\leq n:\Vert:.\gamma.\cdot\Vert^{2} +(1-(J\ovalbox{\t \small REJECT})\Vert y\Vert^{2}-c\iota^{\ovalbox{\t \small REJECT}}(1-0\prime)\underline{g}_{r}^{*}(\Vert Jx-Jy\Vert)
を満たし: \mathscr{Q}_{\gam a}^{\cros \ovalbox{\t \smal REJECT} .(0)=0 となる [0_{:}2r] から [ 0_{:}\infty [への連続で狭義単調増加な凸関数 \underline{g}^{*} が

存在する.

(ii)

E が一様凸ならば,

B_{r} の任意の元 x_{:}y と, [0_{:}.1]の任意の実数 cx に対して,\Vert(1^{1}J:\int;+(1-(x\cdot)Jy\Vert^{2}\geq(k\Vert x\Vert^{2}+(-(!^{\ovalbox {\t \small REJECT}})\Vert y\Vert^{2}-(.)^{\ovalbox{\t \small REJECT}}(1-(x) \overline{g}_{r}^{*}\backslash (\Vert Jx-Jy\Vert)=.
を満たし, \overline{g}_{r}^{*}(0)=0 となる [0_{:}2 ‐\cdot\gam a\cdot] から [ 0_{\grave{i} \infty [ への連続で狭義単調増加な凸関数 \overline{g}_{r}^{*} が存在する.

定理 2.2_{:}. 定理2.3より以下の結果を得ることができる.

168
定理2.4 ( [10]). E を ‐様に滑らかな一様凸バナッハ空間とし, r を正の実数とする,このとき,’
定 f^{1}|\underline{!}22 における関数 \underline{g}.,.及び \overline{q}_{t} . は任意の x 昭 \in B., に対して-

\underline{g}_{7}.(\Vert x-y\Vert)\leq V(x_{\dot{\ovalbox{\t \smal REJECT}} \ovalbox{\t \smal REJECT} y)\leq\overline{(j}.). (\Vert Jx-y\Vert)を満たす.

定理2.5 ( [5]). E を 様に滑らかな 様凸バナッハ空間とし, r を正の実数とする.このとき
定理23における関数 \underline{g}_{1}^.{*} 及び \overline{q}^{.*} は任意の鉱 y\in 鼠に対して\wedgej\underline{g}_{1-}^{\star}.(\Vert]\gamma_{\ovalbox{\t \small REJECT}}\cdot- Jy\Vert)\leq V(\prime x, y)\leq\overline{g}_{r}^{*}(\Vert Jx-J\cdot y\Vert)
を満たす.
C を滑らかなバナッハ空間 E の空でない閉凸部分集合とする.また.\ovalbox{\t \smal REJECT} F(T) とれ T の不動点集合,漸近的不動点集合とする.

\grave{F}(T) をそれぞC の元 p が写像 T の漸近的不動点 (asynlptotic

fixed point) であるとは x_{1}. arrow P かつ :x:_{n}-Tx .。 arrow 0 を満たす C の点列 \{:t_{7]}.\} が存在すること
EJECT}1yである ( [13,-14\grave{}, 16] を参照). このとき, C から E への写像 T が(r) 型擬非拡大写像 (re1\zeta_{\ovalbox{\t \smal Rative.
nonexpa_{1} nsive mapping) であるというのは \grave{F}(T)=F(T)\neq\emptyset であり 任意の F(T) の元14. と Cの元 x に対して

V (u_{\backslash ,:} Tx)\leq V(\cdot u, x)が成り立つことを\wedgot{valbx\smREJCT}

う ( [13, 14] を参照). 本論文の主定理においては (r) 型擬非拡大写像の\hat{F}(T)=F(T) という条件ではなく,より弱い条件である

条件を川いる.

I-T が原点において閉であるという

I-T が原点において閉 (closed at zero) であるとは C の点列 \{x_7\ovalbox{\t smal REJ CT}\ovalbox{\t smal REJ CT}.\ が錫 \ovalbox{\t \smal REJECT}ar ow\prime)_{\ovalbox{\t \smal REJECT} 0}

かつ 飾 )^{-Tx_{n}}arrow 0 のとき, x_{0}-Tx_{0}=0 が常に成り立つことである.
3. +_{\wedge}\backslash 定理

本節では二つの非線形写像に関する誤差を含んだ収縮射影法について議論する.

定理3.1 ([4]). E を一様に滑らかな一様凸バナッハ空間とし, C を E の空でない有界な閉凸部分集合とする.さらに 正の実数 r に対して C\subset B_{1}..を満たすとする. T_{1:}\ovalbox{\t\smal REJECT}乃を F(T_{1})\cap F(T_{2})\neq\emptysetを満たす C から E への写像とし.: i\in\{1 , 2 \} に対して V (p_{:}. T_{?_{:}}\cdot:x)\leq V(p_{:-}x) が任意の p\in F(T_{i}) と
x\in E に対して成り立つとする.また, \{\alpha_{n_{\backslash }i} :n\in \mathbb{N}_{:}.i. \in\{1, 2\}\} を]0, 1] の集合で,(.}ŉ rl_{\backslash }1+\alpha_{n_{:}2}=1を満たし, i\in\{1_{:_{f}}2\} に対して \lim\inf_{b^{(k_{\ovalbox{\t \small REJECT}} r\iota,i}>0 も満たすとする, \{t^\wedge})_{\ovalbox{\t smal REJ CT},.\} は非負の実数列であり,\delta_{0}=\lim\sup_{71_{-}-}\delta_{n} とする. E の元 l4 を任意にとり,点列 \{X_{1\iota}\} を次のように構成する : x_{1}=x\in
C_{:}C_{1}=C とし, n\in \mathbb{N} に対して
iy_{1}\cdot,.=J^{-1}(\mathcal{C}1.1J.1^{-}遥 l^{+\alpha_{2}JT_{\underline{-)}^{:} x_{\tau\prime_{-} ),}\prime.
C_{n+1}=\{-\in C : V (z, y_{\gamma},.)\leq V(z_{\dot{r}}x_{11})\}\cap C_{I) _{\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}}:\tau_{71+1}\in\{\tilde{\circ}\in C:\Vert\cdot u-z\Vert^{2}\leq d(u_{:} C_{71^{\underline{1}}}.1)^{2}+\delta_{7?-1}1\}\cap C_{1\div 1_{:}}.
とする.このとき, - i\in\{1_{:}2\} に対して

\lims_{\wedge}^{i}upr1ar ow.:x\Vertx_{n}-T_{?:}.x_{71}.\Vert\leq 2_{\mathscr{Q}_{\gam a}^{-1} .(\frac{1}{2}(\overline{\rangle}_{0}+\frac{1} {2\underline{\alpha}_{j} (\zeta_{[1}+\cdot\eta_{0})(3.1)となる.ただし=\zeta_{0}=\overline{g}. (\underline{g}_{-i}^{-1}(\hat{6}_{0}) _{\dot{\ovalbox{\t \smal REJECT}.、

7'Io=\overline{\alpha}_{1}\overline{\alpha}_{2}\overline{g}_{7}^{*}\backslash .

(\underline{g}_{r}^{*-1}(\frac{1}\underline{}\alpha_{1}\underline{\alpha} _{2}\overline{g}_{r}(\underline{g}_{)}^{-1}(\overline{\delta}_{0^-})+ \frac{8r}{\underline{}\alpha_{1}\underline{\alpha}_{2}\underline{g}^{*,.- {\imath}(\overline{q}_{r}(\underline{g}_{r}^{-1}(\delta_{0})\underline{o_{i}\ovalbox{\t \smal REJECT} .=\lim\inf_{(\}_{71} 7?.ar ow\infty -!\cdot.,i)\overline{\alpha}_{i},=\lims_{\mathfrak{u} \cdotupr\iota_{71_{: ^{i} ^{\ovalbox{\t \smal REJECT} t ar ow\infty.

.:

169
とする.さらに, \overline{\delta}_{(}=0 かつ i\in\{1_{\dot{\ovalbox{\t \smal REJECT}} 2\} に対して I ‐男が原点で閉のとき点列 \{\prime\int_{j}7^{\cdot},.\} は P_{F(\tau_{1})(-\ovalbox{\t \small REJECT}}!F(\tau_{2})uに強収束する.

E がヒルベルト空間の場合は関数\underline{g}_{r}, \overline{g}_{7\dot{r} \underline{g}_{-r}^{*} 及び \overline{g}_{r}^{*} は,任意の正の実数 \uparow\tau に対して

\mathscr{Q}_{r}=\overline{q}_{r}=\underline{q}_{r}^{i:}= 扉 =| . |^{2}を満たす.また,定理3.1で扱っている写像はヒルベルトゲ 間において擬非拡大写像(quasi\llcorner

C をヒルベルト空間 H の空でない閉凸部分集合としたとき:

nonexpan,sive mapping) になる.
C から H の写像 T が擬非拡大写像であるとは
元 x\ovalbox{\t\smal REJECT} こ対して,F(T)\neq\emptyset であり 任意の F(T) の元 z と H の\Vert_{\sim}\cdot\prime\leq\Vert\approx-x\Vertを満たす写像である.これより定理3.1をヒルベルト空間で考えると以下の結果を得る.

系3.2 ( [4]). H をヒルベルト空間とし, C を H の空でない有界な閉凸部分集合とする.さらに 正の実数 r\ovalbox{\t\smal REJECT} こ対t て C\subset B_{r} を満たすとする. \tau_{-1_{\ovalbox{\t smalREJ CT} \dot{.} 乃を F(T_{1})\cap F(T_{2})\neq\emptyset を満たす C から H への擬非拡大写像とする.また, \{\alpha_{n,i} : n\in \mathbb{N}_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}} i\in\{1_{j}2 \}\} を] 0_{\dot{\tau}}1 ] の集合で\dot{j}C1_{\gamma l}^{\ovalbox{\t \small REJECT}}.,1+\alpha_{\gamma,.,2}=1 を満たし: i\in\{1_{:}2\} に対して linl \inf_{{}_{1}C.\backslash _{71}..i}>0 も満たすとする. \{\delta_{7}.\} は非負の実数列であり j \overline{\delta}_{0}=\lim\sup_{n}.\delta_{7?} とする.

H の元 u を任意にとり,点列る : x_{1}=x\in C_{i}C_{1}=C とし, 7?\in \mathbb{N} に対して\{t_{:}. \} を次のように構成すy_{n}=\mathfrak{a}Tx., +a_{2}T_{2}x_{\uparrow 1_{-}}.\cdot

C_{7l+1}=\{z\in C:\Vert^{\sim}-y_{n}\Vert\leq\Vert z-T_{\gamma}, \Vert\}\cap C_ {77}:.

=/r_{77,+1}\ovalbox{\t \smal REJECT}\cdot\in\{,\sim\in C:\Vert?\iota-\sim\leq d(\cdot\iota\iota, C_{r1.+{\imath} )^{2}+\overline{\delta}_{r\iota_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}^{1}1}\infty\}\cap C_{71.+1_{\grave{\ovalbox{\t \smal REJECT}} }とする.このとき: i\in\{1_{:}.2\} に対して

(3.2)

1i_{ T1}s^{jup-n.arow_{1}\infty\Vertx_{n}-T_{i}x_{1}.\Vert\leq2. \sqrt{\ frac{1}2+\frac{1}2\underline{cx}_{i (1+\downarow\frac{\overline{c \iota^{j}_1}\overline{\alpha}_{2}\underline{}12\underline{\alpha})\ delta_{0}+\frac{4r\overline{\alpha}_{1\overline{\alpha}_{2} {\underline{\alpha}_{j \ovalbox{\t smalREJ CT}1\underline{J_i}\underline {\alpha}_{2}\sqrt{()_0}(となる.ただし,\underline{(x}_{i}=1_{\dot{\imath}m\dot{\imath}{\imath}1, nar ow\backslash\infty-}f_{(-\lambda_{71_{:^j_{:} }\cdot. \overline{(-x} _{i}=\lim_{nar ow\infty}S_{\kap a}1 p(\lambda_{l\ovalbox{\t\smal REJ CT}_{:} 'i}\mathfrak{i}.

とする.さらに, \delta_{0^{-=}}0 かつ i\in\{1_{:_{\ovalbox{\t \smal REJECT}} 2\} に対して I ‐男が原点で閉のとき点列 \{ lambda_{\ovalbox{\t\smal REJECT},.\} は P_{F(T_{1})|^{-}|F(T_{arrow 7})}uに強収束する.

注意3.3. 系3.2において (3.2) の右式は ‐‐ 見複雑だが, \lim\inf_{\upar ow 7_{\ovalbox{\t \smal REJECT}} a_{\tau\ovalbox{\t \smal REJECT}_{:}.i}=\lim_{-. \sup_{71}\alpha_{7?_{:} }.i の場合 すなわち \lim_{71.7\ovalbox{\t smal REJ CT}_{:}i(\ovalbox{\t smal REJ CT}!.(=. \ovalbox{\t smal REJ CT}^{\ovalbox{\t smal REJ CT}\prime j_{\ovalbox{\t smal REJ CT}) が存在するときは, j. \in\{1 , 2 \} に対して (3.2) 式は\cdot\wedge=\lim_{\backslah}\ovalbox{\t smal REJ CT}.s^{1}uprl\neg\propt :\Vertx_{71} .-T_{i^L}\cdotn}\Vert\leq2.\sqrt{(\frac{1}arow}+\frac{1}\alpha_{i}) \delta_{()}+\frac{4r}{0_(?_{:}'\ovalbox{\t smal REJ CT}\sqrt{\delta_{0} .

となり,より簡素な評価式で表すことができる.

4. まとめ高橋‐竹内‐窪田 [201 が収縮射影法を提案してからこの手法を用いて様々な研究が行われてきた.特に,木村‐高橋 [11]の研究は収束定理の証明にモスコ収束の概念を用いて 定理2.1を利川することによって征明が簡素になり. さらに定理の条件を弱めることにも成功した、一方,収縮射影法において点列を構成する際に必要な 「距離射影の正確な値を求める」 ことは一般に=\ovalbox{\t smalREJCT}

容易ではなく.この課題を克服するために木村 [7] は誤差を含んだ収縮射影法を提案した,点列を生成する各段階で誤差を含める場合,誤差が累積していくため,一般的に誤差数列の級数に対して,有界性の仮定が必要になる.しかし.この乎法では点列を構成する際に含めた誤差数列

170の級数が発散しても不動点近似において有用な結果を得ることができた.本論文では, 木村‐高*\ovalbx{\t smalREJCT}_{\ovalbx{\t smalREJCT}^{f

橋 [11] と木村 [7] の手法を利川してバナッハ 燗において二つの非拡大型非線形写像に関する

共通不動点近似法を議論した.その点列の構成に関しては高阪‐高橋 [12]_{:}. 松下‐高橋 [13_{i}14]の点列構成方法も参考にした.本論文の今後の課題としては.‐ より一般的な? l. 個の非線形写像

に関する共通不動点近似法を議論することがあげられる.また: 定理3.1で示した (3.1) の右式
をより簡略化することも課題の一つである.

参考文献[1] Ya. I. Albel

a7t.dg((. ner(di\wedge\prime edpr\cdot O.\cdot i(_{\ovalbox{\t \small REJECT}}' (^{\prime tio^{;}n}. opeI^{\cdot}aters^{-}-in B,h. s\dot{\cdot}pr\cdot ope7^{\cdot}tit.:_{\backslash }6an_{\ovalbox{\t \small REJECT}}da_{-}pplic(.\prime_{\ovalbox{\t \small REJECT}}tio\uparrow l\cdot\cdot\cdot S^{-}.
TheoI^{\backslash }y and Applications of Nonlinea1^{\sim}()_{P:}ei\cdot at_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}olb^{1} of Ac:C1^{-} etive a nd Mon otone t_{!}yP^{(_{-}\cdot-}\cdot , Dekkel , New York,
19^{(}J6.15‐‐\cdot.

11\cdot\prime 1et\gamma\cdot ic'.

50.

[2] I. Cioranebcu Geomf_{-\ovalbox{\t \smal REJECT}}\cdot t\upar ow'.t/ of Banach spaees, D.uality Mappin.qs a??.dNonli7\overline{t}.earP\cdot robl_{(}:\uparrow 7^{-}l\cdot S, Kluw^{-}er Academic
Publishers, Doıdecht, 1990.

[3] T. Ibdxaki, App\uparrow oxi_{7}n.atio7?\cdot of\cdot\approx ero point of: mo7?.otont.e operator st\iota 2ith\uparrow?.onsu7n.\uparrow n_{:}ablee-rror\cdot s\cdot , Fixed point
Theory Appl 2016:48(2016), 14 pdges.
[4] T. Ib_{c^{-}}:\iota raki_{:} S. Kajiba and Y. Kimut a Apptoxi_{7n.utio7\downarrow} of a c:o^{\ovalbox{\t \small REJECT}}m.7\prime I.\cdot O7/. fi:1_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}^{\cdot}:\cdot dpo^{J}int of two \prime I1\cdot onli\gamma t_{\ovalbox{\t \small REJECT}}ear7n_{i}appi7\ovalbox{ \tt\small REJECT},g.s.
with.?? .077\cdot su\uparrow 77.\cdot\uparrow ri_{:}able e ‐rrotb in a Banach space: The 12th Interndtional Conf’erence on Fixed Point Theol.Y
and It_{\l corner b}\ovalbox{\t \small REJECT}\cdot A_{I})p^{li_{Cd}}tions^{1} : Ne,w(.astle_{:} New South Wale,s_{:} July 24-28_{:} 2017.

[5] T. Ib,uraki d_{\ovalbox{\t \smal REJECT} nld Y. Kimuı a , Approximation of a fixe‐.d point of generalized firmly non (' xpansi?)e\uparrow 7?.\cdot appiJngs
with_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}T\prime_{d}on_{\backslash }sumrn able e^{j}r\cdot\cdot r\cdot or\cdot s,, Lineal Nonlinear Anal.. 2 (2016): 301 ‐ \cdot-310.
[6] S. Kamimura and XV. Tak_{d}h_{\dot{c}}\backslash shi_{\backslash }Str\cdot ong (‐ : 0^{t}\uparrow?.verc\ovalbox{\t \small REJECT} e72_{y}ce of a pro\prime x^{4}i_{\ovalbox{\t \small REJECT}}mal type al.c\ovalbox{\t \smal REJECT} or?.th_{7}n. in a Ba7t_{J}achsj ) a-c.\cdot(_{j}\prime-.
SIAM J. Optim.. 13 (2002), 938 94_{:)}^{\ulcorner}.
[7] Y. Kinilıra, Appro. ri\cdot m (;.tion 0 \int a fi_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}.t.\cdot ed\gamma)oi7/.t of 7/.0\upar ow 1.\epsilon\prime.:\ovalbox{\t \smal REJECT}. pan_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}.s\cdot ive\gamma n.\cdot app\prime i.7/.g ’wilh: 77_{\ovalbox{\t \small REJECT}}0\uparrow-1\cdots\backslash l.t.\cdot 7n'tn.(j_{ \ovalbox{\t \small REJECT}}bleer/07S\dot{7.}n(1_{\ovalbox{\t \small REJECT}} geode.s\cdot ic
spacc, Proceedingb of the 10t_{1}h Internd‐t.ional C_{\backslash }^{1}onf\cdot e1\dot{\cdot} ence on Fixed Point Theory and Its Applications, 2012,
157‐164.

[8] 木村泰紀,「射影を用いた非線形射像の不動点近似法」 数理解析研究所講究録,1852 (2013), 8‐14.
} ^{:}rer\cdot r^{-}\cdot o^{r}rsi7t a Banach[9] Y. Kimura, A\iota) proxirr1.\cdot atio\uparrow l. of (!_{\ovalbox{\tsmalREJCT} fixed point of nonlinear mappin.gs with. nort_{\ovalbox{\t\smal REJECT}\backslash}g^{\backslash} um_{\ovalbox{\t\smal REJECTmable\overline{s}\cdot pace_{\backslash.} Proceediılgs of t_{)}heIntei\cdot national Symposium on Banac ih\ddot{c}) A^{\cdot}1d Function Spaces IV (Kitakyusım,
Japan), (L. Mali.) rand_{d} , M. Kat_{1}o..dnd T. S^{t}u\prime\ovalbox{\t \smal REJECT}\cdot uki(-\lrcorner\backslash ds_{L_{-} .) , 2014, 303‐311.
[10] Y. K^{-}i_{1}nu1_{\dot{C} \iota, A_{l^{1} \ovalbox{\t \smal REJECT}pr\cdotoxi\ovalbox{\t \smal REJECT} no_{J}t\cdoti_{\ovalbox{\t \smal REJECT} o^{\gam a}t\}. of (.1_{z} comtnon fixed point of a finite fa7r/,ily of'no7/.\xi^{\ovalbox{\t \small REJECT}}.(.\cdot.pan6^{-jv\dot{e} \uparrow r/. c1_{\ovalbox{\t \small REJECT}}I)pirt.\cdot g(5()ith
non_{(}b^{-}umr\gamma\iota able. errors ,in a Hilb (\cdot.r\cdot t_{-}space, J. Nonlineaı Convex Andl.. 15 (2014). 429\cdot-436.
[11] Y. I_{CimU1^{\cdot}d\dot{r}\ln(}' W. 4_{d}^{\backslash }.kah_{d}shi_{\dot{i}}Or\iota ahybrid method foI a family of r\epsilon_{\ovalbox{\t \small REJECT}}lti\cdot 7\downarrow onexpa72 sive r\gamma/_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}ap i\upar ow 1\cdot gs .in a
Banach space, J. Mdth. Anal. Appı,, 357 (2009): 356\cdots\cdot 363.
[12] F. Kohsdka d_{-}ndXV. T_{\dot{C}}\iota ka'has_{-}^{\backslash }hi_{:}St.ro72\cdot.(j convergence of an iterative sequence for 7\gamma l-.‘wimal 7\gamma t.0;?.ol^{-}o7\ovalbox{\t \small REJECT}.e operatorrs
in a Bariach space. Ab,str. Appı. Anal 2004 (2004); 230 219.
[13] S. h.\cdot\cdotI_{\epsilon}at_{\ovalbox{\t\smal REJECT}_{1}su_{\backslash} \dot{s}^{\} hita and W. Takahashi Weak cm.d st^{-}ro\uparrow 1..qc^{-}\cdot onvergence l h_{\ovalbox{\t \small REJECT}}eorcm for relati\ovalbox{\tt\small REJECT}\iota,elyno-n.c:t:pa.nb^{-.ive} map‐p^{1}irt.gs i\upar ow 1. a Bartach space, Fixed Point Theory Appl., 2004 (2004), 37−47[14] S. ] \backslash ^{i}Iat_{ }_{\iota_{-} S}us hita tmd XS‘. Takahashi, As\cdot\ell?07?.gCO7?. vergence t heor\cdot em for rclal?.veiyno7?.e^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}.\iota: pansive^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}mappi_{7l\cdot(j}si_{7}\iota.
a Ban (1_{\ovalbox{\t\smal REJECT}ch spuce, J. Appiox. Theor y_{:}134 (2005). 257‐266.
[1i] U. Mobco, C,en\mathcal{C}_{=}^{\wedge} of coirwea sets and of, \wedge\dot{s}olu.tions of va^{\lambda}riat_{i}onal inequalities. Adv. in Iath., 3 (1969),\Leftrightar ow

510 ‐‐ \「backslash\cdot) 85.

[16] S. Reicll, AwPa_{J}kc.0\prime n^{:}oerger] .c_{-}\cdot e. th\epsilon^{\ovalbox{\t \smal REJECT}}0\gamma ent_{:} for th.e alt-\gamma\cdot 71.otir1.grm_{\ovalbox{\t \small REJECT}}\epsilon^{s,} thod? l^{Iith}B\prime t^{J}g_{7}n_{\ovalbox{\t \small REJECT}}a\uparrow 1\cdot distan. ce\overline{s}\cdot, Theorydnd

A_{p^{li_{Cd}}t_{1}^{-}ion:\backslash } of Nonlinedr Operdtors of A\overline{c}\cdot. cretive. dnd NIonotone TN_{\ovalbox{\t \small REJECT}}^{\tau}pe,\cdot.Lectut\cdot e Notes in Pu1^{\backslash}e^{\ovalbox{\t \smal REJECT} and Appl.
Mat_{\ovalbox{\t \small REJECT}}h. . vol. 178. Dckkei , New Y_{oi}\cdot k_{:}19^{(}9fi_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}} 313-318).
\cdot[17] W. Takahdshi Nonlinear Fu^{J}\gamma nctio .nal Analysis ‐ Fia ed Point Theory and lts Applications. Yokohama Pub‐\backslash

lishers, 20(JO.

[18] 高橋渉,凸解析と不動点近似.横浜図書.2000.
[19] 高橋渉,非線形 凸解析学入門,横浜図書: 2005.
[20] \ovalbox{\t smalREJCT}_{i\ovalbox{\t smalREJCT}_{-^}!{-. T_{(.)}:\cdot 1_{t^{r} aha-.s^{\backslash }hi_{j} Y. Takeuchi and R. Kubota, St_{:}r\cdot 07?.gconve^{:}rge'(/.ce. th :or\cdote^{\rangle}\gamman_{\ovalbox{\t\smal REJECT}}\dot{6} by hybr'id 7\prime 7_{:} ethod.g for fam.tiliesof nonexpanhive mappings in Hilbert spaces, J. “Iath. Anal. Appl., 341 (2008), 276286.
[21] M. T\dot{s}ukad_{\dot{c}L_{:} C,0\gamma l_{\ovalbox{\t \small REJECT}}ve,rge\gamma \prime.c:e of best o_{-}ppro:\downarrow:i\cdot r\gamma 1_{:} at?ons in a smooth. B(_{J}\uparrow/. ach space.. J , Approx. Theory 40 (1984),
301-30^{(j}.

[22] H. K. Xu, Inequalitie. s in Banach spaces u! ith applications, Nonıinear Anal. 116 (1991), 1127‐1138.