数理解析研究所講究録
1190 巻 2001 年 153-181

一般ノ

153

$\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}$$-$マ加熱上のカペリ恒等式の類似物
和地輝仁 (

ACHI, Akihito)$\dot{\mathrm{W}}$

北海道大学理学研究科数学専攻 (Department of Mathematics, Hokkaido University)

Abstract.
これまでに Hermite 対称型の設定で, Capelli 恒等式の類似物をスカラー型一般

バ一マ加群の上で構成することができている. 元の Capelli 恒等式には小行列式が現れる –般化があるが, この論説では –般 \‘‘ $-$ マ加群上の類似物を小行列式があらわれるような恒等式へ–般化する. 得られた類似物には元の Capelli 恒等式の–般化とは異なり, 首座ではない小行列式も現れる.

1.

Introduction

19 世紀から知られる Capelli 恒等式 ([2]):$\det[Xij]1\leq i,j\leq n\det[\frac{\partial}{\partial x_{ij}}]_{1\leq j\leq n}i,=\det[\sum_{k=1}^{n}xki\frac{\partial}{\partial x_{kj}}+(n-j)\delta_{i}j]_{1\leq}i,j\leq n$,はもちろんであるが, その小行列版といえる –般化: $1\leq d\leq n$ に対して,$\sum_{I,J}\det[Xij]i\in I,j\in J\det[\frac{\partial}{\partial x_{ij}}]_{i\in I,j}\in JI\mathrm{d}=\sum \mathrm{e}\mathrm{t}[_{k=1}\sum^{7l}xki\frac{\partial}{\partial x_{kj}}+(d-j)\delta_{ij}]_{i,jI}\in$’$n\},$ $\# I=\# J=d$(ここで $I,$ は $I,$ $J\subset\{1,$を動く.) も有名である. このような $-$般化を含めた Capelli 恒等式は [3] で扱われており, そこでは multiplicity-free action という枠組みで議論されている. 上の例では群 $L=GL(n, \mathrm{c})\cross GL(n, \mathrm{c})$ がベクトル空間に $(g, h).X=gXh^{-1}$ によって作用し,のへの作用が multiplicityfree である. このような組 $(L, V)$ 全てに対して [3] では Capelli 恒等式を議論している. この論説の目的はこのような Capelli 恒等式 (以下では non-twisted と形容する) のスカラー型一般ノ $-$ マ加群の上での類似物 (以下では twisted と形容するが, [9] では-analogue と呼んでいる) を構成することである.
Twisted な Capelli 恒等式を説明する前に, non-twisted な Capelli 恒等式のもつ意味について触れたい. 最も単純には可換環における行列式の積公式 $\det {}^{t}A\det B=\det tAB$ の非可換版と見ることができる. 上の例では $(n-j)\delta ij$ の部分が可換の場合との違いである.
また, より表現論的には $V$ 上の -不変微分作用素 (上の例では左辺) をの包絡環の中心から来る微分作用素 (上の例では右辺) で書き表わす等式であると見ることが出来る. Capelli 恒等式 (non-twisted な小行列版) を考えるということは, 抽象的には Z(【)$J$$\ldots,$$V=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n, \mathrm{C})$$L$$\mathrm{C}[V]$$\backslash ^{\backslash }\backslash$$\Psi_{\lambda}$$L$$\downarrow=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(L)$$Z(\mathrm{t})$が $V$ 上の L-不変多項式係数微分作用素のなす空間$D_{V}^{L}$

へ全射でうつっているかどうか考えることとも言える.
さて twisted な Capelli 恒等式の説明に移りたい. 単純り $-$ 群とその放物型部分群 $P$$P$$P$があったとき, のレビ部分群 が, の巾単根基に Ad で作用するが,のリー環$C_{7}$$L$$N^{+}$$\mathfrak{n}^{+}$

154上の多項式環へ
これが上で見たような $(L, V)$ になっている場合がある. つまり, の$P$ は $G$
$G=GL(2n,\mathrm{c}),$の作用が multiplicity-free となっている場合である. 上の例ではをのブロックに縦横とも 2 分野したときのブロック上三角行列からなる $G$ の放物型部分群, はブロック対角行列からなる部分群, V=n 月よ $G$ のリー環の右上ブロックのである.
Matではどんな $(G, P)$ の組に対して, ( , Ad,) が multiplicity) から導かれる ( , Ad,
free になるかを考えてみる. 一般に表現 $(L‘, V)$ があったとき, 多項式環への作用 $(L’, \mathrm{C}[V])$が multiplicity-free ならばもとの表現 $(L’, V)$ は概均質ベクトル空間であることが知られている. また $(G, P)$ があったとき, $P$ のレビ部分群への作用 ( , Ad,の巾零根基)がが nonzero な可換リー代数となるこ
概均質ベクトル空間になるための必要十分条件は,とである (このことを, 組 $(G,$ $P)$ あるいはが Hermite 対称型であると呼ぶ) . 逆に,$(G, P)$ が Hermite 対称型の時は ( , Ad,) が multiplicity-free であることも知られて
おり, 従って $(G, P)$ に対して, ( , Ad,) が multiplicity-free になるための必要十分条の件は, $(G, P)$ が Hermite 対称型であることである. 一般ノ $-$ マ加群を考える以上の組を扱うわけであるが, この論説ではこのような理由により Hermite 対称型の組みを扱う.
が Hermite 対称型のとき包含関係組【があるから, multiplicity-free action
を の作用に拡げてみようと考えるのは自然である (群のレベルでも考え(
マ加齢を扱うのでリー環で考える)ることができるが, この論説では–般ノ
まず元のは 1 次式の掛けへの作用は, 【はnon-twisted な状況でので作用し,が算作用素として作用し,上の定数係数微分作用素環と同型
は, 対称代数であるから, 1 階の定数係数偏微分作用素として作用する. ところがこれらの作用をまとめても実は の作用にはなっていない. しかし【上と上の作用を上のようにとると,がに作用するための上の作用も $-$ 意に決定されてしまう. 実はこうして決定された の上の作用は –般ノ
マ加群と同型である. より詳しく言うと, 【には 1 次元
をの中心があるので【の指標 (それの指標と から【への制限で 1 対 1 に対応する)
用いて【上の作用をととり,上では掛け算作用素をとり, これを へ拡張した作用が, の指標 から誘導されるスカラー型一般ノ $-$ マ加群と同型である. このときの作用は多項式係数の 2 階の微分作用素となっている.
この論説で構成したい twisted な Capelli 恒等式とは,の Ad(L)-不変元をでうつして得られる D 畜の元を,の元として表す
ような等式である. Non-twisted な Capelli 恒等式ではの Ad(L)-不変元を ad(Z(【)) の元として表しているから, これに相当する類似物になって$L$$\mathfrak{n}^{+}$$n\mathrm{x}n$$L$$(n, \mathrm{C})$

$L$

$L$

$\mathfrak{n}^{+}$$L$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$L$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{n}^{+}$$(\mathrm{g},$$L$$\mathfrak{p})$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$L$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$arrow$$\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}$$(\mathrm{g}, \mathfrak{p})$$(\mathrm{g}, \mathfrak{p})$$(\mathrm{g}, \mathfrak{p})$$\mathrm{g}\supset$$(, \mathrm{a}\mathrm{d}, \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}])$$\mathrm{g}$.

$\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}-$$\mathrm{a}\mathrm{d}$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$\mathfrak{n}^{+}$$S(\mathfrak{n}^{+})$$\mathfrak{n}^{-}(\simeq(\mathfrak{n}^{+})^{*})$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$\mathfrak{n}^{-}$$\mathrm{g}$$\mathrm{g}$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}-$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$\mathrm{g}$$\lambda$$l\mathrm{h}\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\mathrm{a}\mathrm{d}+\lambda$$\mathfrak{n}^{-}$$\mathrm{g}$$\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}$$\lambda$$(U(\mathrm{g}), \Psi_{\lambda}, \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}])$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{n}^{+}$$s(\mathfrak{n}^{-})s(\mathfrak{n}^{+})(=U(\mathfrak{n}^{-})U(\mathfrak{n}+)\subset$$U(\emptyset))$$\Psi_{\lambda}$$\Psi_{\lambda}(Z(\mathfrak{l}))$$\mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]\otimes S(\mathfrak{n}^{+})(\simeq s(\mathfrak{n}^{-})\otimes S(\mathfrak{n}^{+}))$

いる.

2.

Scalar generalized Verma module

この節ではスカラー型一般 ’“‘ $-$ マ四分の実現を, ある多項式雪上の表現として与える.
をそれぞれ, 単純リー代数, そのカルタン部分代数, ルートシステム, 正ルー
9,トの集合とする.
を,を基本ウェイトとする. , 【,を単純ルート,それぞれ, の放物型部分代数で正のルート空間全てと を含むもの, のレビ部分代数でを巾零根基とする.
を含むもの,に現れるルートの集合とすをそれぞれ【,る.
を -ルート空間とし,に対してとおく. この論説を通しは Hermite 対称型とする. つまりは可換とする.
て, 断わりのない限りこの設定でに属さないただひとつの単純は極大放物型部分代数となり, 従って
ルート \alpha ,。が存在する. 組をしばしばとも書く. 単純ルートの番号は常にブ
ルバキに従う ([1]). 上の不変双 1 次形式
を適当に固定する.
$\mathfrak{h},$$\triangle,$$\triangle^{+}$$\mathfrak{n}^{+}$$\alpha_{1},$$\ldots$$\alpha_{n}$$\varpi_{1},$$\ldots,$$\varpi_{n}$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{h}$$\mathrm{g}$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{n}^{+}$$\triangle_{L},$$\mathfrak{h}$$\alpha\in\triangle$$\mathrm{g}^{\alpha}$$\mathfrak{n}^{+}$$\triangle_{N}^{+}$$\alpha$$\mathfrak{n}^{-}=\sum_{\alpha\in\Delta_{N}^{+}}\mathrm{g}-\alpha$$\mathfrak{n}^{+}$$(\mathrm{g}, \mathfrak{p})$$\#\mathrm{h}\mathfrak{p}$$\triangle_{L}$$(\mathrm{g}, \mathfrak{p})$$(\mathrm{g}, i0)$$\langle, \rangle$$\mathrm{g}$155
さて, Hermite 対称型のと$(\mathrm{g}, \mathfrak{p})$に対して,$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$$M(\lambda)=U(\mathrm{g})\otimes_{U(}\mathfrak{p})\mathrm{c}_{\lambda}$,と定める ( から誘導されたスカラー型一般ノ?よマ加群). ここでの表現空間をも表す.
も可換なので, ベクトル空間の同型がある (最後の同型はでとを同–視することによる). この同型により表現が得られる. 容易に次の補題が確認できる.
$\lambda$$\backslash ^{\backslash }-\backslash$$\mathrm{C}_{\lambda}$$\lambda$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{n}^{-}$$M(\lambda)arrow\simeq U(\mathfrak{n}^{-})=S(\mathfrak{n}^{-})\simeq \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$\langle,$$(\mathfrak{n}^{+})^{*}$$\mathfrak{n}^{-}$$\rangle$$(U(\mathrm{g}), \Psi_{\lambda}, \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}])$

Lemma 2.1 (cf. [8])
(1)
(2)

(3)

$\{F_{k}\}$を$\mathfrak{n}^{-}$の基底とすると,$\Psi_{\lambda}(X)$

$=$

$X$

$\Psi_{\lambda}(X)$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(X)+\lambda(x)$$=$$\sum_{k}[X, F_{k}]\frac{\partial}{\partial F_{k}}+\lambda(X)$$(X\in\downarrow)$$\frac{1}{2}\sum_{k,\iota}[[X, Fk],$$(X\in \mathfrak{n}^{+})$$=$$\Psi_{\lambda}(X)$$(X\in \mathfrak{n}^{-})$$Fl] \frac{\partial}{\partial F_{k}}\frac{\partial}{\partial F_{l}}+\sum\lambda([X, F_{k}])\frac{\partial}{\partial F_{k}}k$,(1) l よ掛け算作用素という意味である,
次にし$H_{i}$$\alpha_{i}$また,を$\mathrm{g}$の coroot である.

$P\in S(\mathfrak{n}^{+})$の Chevalley basis とし固定する. ただ

に対して

.

$P(\partial)\exp\langle_{X}, y\rangle=P(y)\exp\langle x, y\rangle$

によって,$\mathfrak{n}^{+}$

上の定数係数微分作用素$P(\partial)$$(x\in \mathfrak{n}^{+},$ $y\in \mathfrak{n}^{-)}$

,

を定める.

を
Definition 22上の多項式係数微分作用素環とする.
上の anti-involution ちを次で定める.
(1)$D_{\mathfrak{n}}+$$\mathfrak{n}^{+}$$U(\mathrm{g})$

ここで

(2)

ここで,

(3)

ここで

$X_{\alpha}$$D_{\mathfrak{n}^{+}}$$D_{\mathfrak{n}^{+}}$,${}^{t}X_{\alpha}=X_{-\alpha}$$(\alpha\in\triangle)$${}^{t}H_{i}=H_{i}$$(i\in\{1, \ldots, n\})$.

やは固定している Chevalley basis の元である.
上の anti-involutionを次で定める.
$H_{i}$$\sigma$$\{F_{j}\}$は$\mathfrak{n}^{-}$$\{X_{\alpha}\}$,$\sigma(F_{j})$$=$$F_{j}$$\sigma(\frac{\partial}{\partial F_{j}})$$=$$- \frac{\partial}{\partial F_{j}}$の基底であり, また明らかにを次で定める.

上の anti-involution$\sigma$.

は基底の取り方によらない.

$\tau$$\tau(X_{-\alpha})$. $=$$\tau(X_{\alpha}(\partial))$$=$$X_{\alpha}(\partial)$$X_{-\alpha}$,$(\alpha\in\triangle_{N}^{+})$,

は Chevalley basis の–部分であり,$X_{\alpha}( \partial)=\langle X_{\alpha’-\alpha}X\rangle\frac{\partial}{\partial X_{-\alpha}}=\frac{2}{(\alpha,\alpha)}\frac{\partial}{\partial X_{-\alpha}’}$にも注意する.

.

$\square$$\{X_{\alpha}\in \mathrm{g}^{\alpha}|\alpha\in\triangle\}\cup\{Hi|i=1, \ldots, n\}$

は

,

:.

156
このとき次の補題が成立する.

Lemma 2.3 (cf. [9]) (1)上の anti-involution$U(\mathrm{g})$. は U(【) の中心$t$$Z(\mathrm{t})$上で恒等写像である.

(2)$D_{\mathfrak{n}^{+}}$

上の anti-involution$\sigma$は次を満たす.
$(u\in U(\mathrm{g}))$$\sigma(\Psi_{\lambda}(u))=.\Psi-\lambda-2_{\beta}(_{S}(u)‘)$

ここで

$s$

は

$U(\mathrm{g})$上の次で定める anti-involution である.
$s(X)=\{$

また$\rho\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$(3)$D_{\mathfrak{n}}+$は$\triangle_{N}^{+}$$D_{\mathfrak{n}}+$,-X$(X\in\downarrow)$$X$$(X\in \mathfrak{n}^{+}+\mathfrak{n}^{-})$.

のルートの和の半分である.
は次を満たす.

上の anti-involution$\tau$$\tau(\Psi_{\lambda}(u))=\Psi\lambda(\iota_{u)}$(4).

上の anti-invo Zution$\tau$

は$D_{\mathfrak{n}}+$$(u\in U(.\mathrm{t}))$.

の Ad(L)-木変部分空間$D_{\mathfrak{n}}^{L}+$上で恒等写像であ

る.

3.

口

Main theorems

この節では$(\mathrm{A}_{p+q-1,P}),$$(\mathrm{B}_{n}, 1),$$(\mathrm{C}_{n}, n),$

, あるいは [3] の記号ではそれぞれの各場合に対して, の実現を一っ-analogue と呼ぶ) で小行列式 (あるいは低あるいはでは, 本来パフィアンを$(\mathrm{D}_{n}, 1),$

$GL_{p}\otimes GLoq’ 2n\otimes GL_{1},$ $S2cLn’ \mathit{0}2n-1\otimes GL_{1},$与え, Capelli 恒等式の上での類似物 (次の項) も現れるものを述べる. ただし$M(\lambda)$$(\mathrm{D}_{n}, n)$$\Lambda 2GL_{n}$$\mathrm{g}$$\Psi_{\lambda}$$\Lambda^{2}GL_{n}$$(\mathrm{D}_{n}, n)$用いた恒等式となるはずであるが複雑となってしまうため, この論説ではパーマネントを用いた Turnbull 恒等式 ([6] において初めて言及された. この論説では [7] で明示的に与えられたものを指す) に対応する-analogue のみを与える. しかし, Turnbull 恒等式はカ$\Psi_{\lambda}$

ペリ恒等式とは異なり D 畜の生成減すべてをの像で書き表しているわけではないた
め, Capelli 恒等式の完全な代替とはならないことに注意しておく. オイラー作用素に対応
する Capelli 恒等式は Turnbull 恒等式に含まれている.
このほかに Hermitian 対称型の設定ではあるいはにおいて, [3] がCapelli 恒等式を与えているが, この論説ではその -analogue は扱わない.
あるいはでは Capelli 恒等式がない ([3]), つまりある Ad(L)-不変微分作用素を ad(U(【))の元として表すことはできないが, どの Ad(L)-不変微分作用素も \Psi \mbox{\boldmath $\lambda$}(U(【) の元として表すことができないというわけではないので, Capelli 恒等式の -analogue があるかも知れない. しかしこれもこの論説では扱わない.
証明についてひとつ注意する. 概均質ベクトル空間 ( , Ad, ) が正則である場合, その既約相対不変式に対応する Capelli 恒等式の-analogue(つまり真の小行列が現われないもの) は [9] でタイプによらない証明が与えられている. しかし [9] の結果を拡張した
この論説では, 証明は [5] のアイデアによるものでタイプに依存している.
$Z(\mathfrak{l})$$s_{P^{in_{1}}0}\otimes GL_{1}$$(\mathrm{E}_{6},1)$$(\mathrm{E}_{7},7)$$\Psi_{\lambda}$$\mathrm{E}_{6}\otimes GL_{1}$$\Psi_{\lambda}$$L$$\mathfrak{n}^{+}$$\Psi_{\lambda}$

3.1$(\mathrm{A}_{p+q-1},p)$

or

とおく.

$GL_{p}\otimes GL_{q}$を$\epsilon_{i}\in \mathfrak{h}^{*}(i\in\{1, \ldots,p+q\})$ を$\mathrm{g}=\mathrm{g}\mathrm{I}(p+q, \mathrm{C})$$\mathfrak{h}$$\mathrm{g}$の対角行列からなる集合とする.
を行列単位とする.
で定める. ノレ $-$ トシステムや Chevalley basis$\epsilon_{i}(E_{jj})=\delta_{ij}$$E_{ij}$157(C. B.) などの情報を以下にまとめる.
垣$\triangle^{+}$$\Pi,$$\Pi_{L}$$\mathrm{g}$$\{\epsilon_{1}-\in 2,$$=$$\{\epsilon_{i}-\Xi_{j}|1\leq i<j\leq p+q\}$$\ldots,$$\in p+q-1^{-\epsilon_{p+q}\}}$,:$\Pi_{L}$$=$$\Pi\backslash \{_{6_{p}-\epsilon}p+1\}$$\triangle_{L}^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq p\}\cup\{\in_{i^{-}}\epsilon_{j}|p+1\leq i<j\leq p+q\}$$=$$(q(\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon r)-p(\epsilon r+1-\cdots-\in 2r))/(_{P+}q)$$=$$(_{P+q})\varpi \mathrm{z}0$$=$$\mathrm{T}\mathrm{r}(XY)$$2\rho$X,
C. B.

$Y\rangle$$\langle$

部分代数$\mathfrak{p}$$\mathfrak{n}^{+}$$\downarrow$:$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{p},$$(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})$-root vector for $i\neq j$ ,
,

,

,

’

(X,

$Y\in \mathrm{g}$),$\{E_{ij}|i\neq j\}\cup\{E_{ii}-E_{i+}1,i+1|1\leq i<p+q\}$.

,【は次のようになる.

$=$$\{\in \mathrm{g}|A\in \mathrm{g}((p, \mathrm{C}),$$=$$\{\in \mathrm{g}|B\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(p, q;\mathrm{c})\}$$=$$\{\in \mathrm{g}|A\in_{9^{[}(),\in \mathfrak{l}(}p,$$\mathrm{C}D\mathrm{g}q,$

Definition 22 におけるちにより,と定めるとて勘 $=E_{p+j,i},$いると容易に次の補題が得られる.

${}^{t}E_{ij}=E_{ji}$$\partial_{ij}=\partial/\partial x_{ij}$Lemma 3.1 (1)

(3)

,

$=$

$E_{ij}$$\varpi_{i_{0}}$(2)はそれぞれ ,【の単純ルートの集合を表す.

$B\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(p, q;\mathrm{C}),$ $D\in \mathrm{g}\mathfrak{t}(q, \mathrm{C})\}$,$\mathrm{C})\}$.

である. $i\in\{1, \ldots,p\},$ $j\in\{1, \ldots, q\}$ に対し$\{x_{ij}\}$はの座標系を与える. Lemma 2.1 を用$\mathfrak{n}^{+}$$(1 \leq i, j\leq p)$$\Psi_{\lambda}(E_{ij})=-\sum_{k=1}^{q}X_{jk}k\partial_{i}+\lambda(E_{ij})$$\Psi_{\lambda}(E_{p+i,j})p+=\sum_{k=1}^{p}X_{k}i\partial_{k}j+\lambda(E)p+i,p+j$$(1 \leq i, j\leq q)$$\Psi_{\lambda}(E_{i,p+})j=-\sum_{P1\leq k\leq q,1\leq\iota\leq}x_{\iota k}\partial_{i}k\partial lj+\lambda 0_{\partial_{ij}}$$1 \leq d\leq\min(p, q)$

,

,

,

$(1 \leq i\leq p, 1\leq j\leq q)$.

$\square$の時, $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $J\subset\{1, \ldots, q\},$ $\# I=\#]=d$ に対して,$f_{I_{J}=\mathrm{d}\mathrm{e}}\mathrm{t}[X_{I(s})J(t)]_{1\leq\leq d}s,t$,と定めると,${}^{t}f_{IJ}(\partial)=\det[\partial_{I}(_{S})J(t)]_{1\leq t\leq d}S,$である. ここで, $I(1),$ $I(2),$の場合は$\ldots\rangle I(d)$,は $I$ の元を小さい順に並べたものである. 特に$p=q$$f=\det[_{X_{ij}}]_{1}\leq i,j\leq p$’

はウェイトー 2\varpi ,。をもつ相対不変式となる.

Theorem 3.2 $1 \leq d\leq\min(p, q),$ $H,$ $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $\# H=\# I=d$ に対し:
$u_{HI}^{L}$$=$$\det[-EH(S)I(t)+(t-1)\delta H(_{S})I(t)]_{1\leq\leq d}S,t$,$u_{HI}^{LT}$$=$$\det[-EH(t)I(s)+(d-t)\delta H(t)I(s)]_{1\leq}s,t\leq d$,$v_{HI}^{L}$$=$$\det[-EH(S)I(t)+(q-d+t)\delta H(s)I(t)]_{1\leq\leq d}S,t$,$v_{HI}^{LT}$$=$$\det[-E_{H}(t)I(S)+(q-t+1)\delta_{H}(t)I(s)]1\leq s,t\leq d$

,

158
とおくと
$\sum_{IJ}f_{I}J{}^{t}f_{IJ}(\partial)$$\sum_{I}\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{II}^{L})$$=$$\sum_{IJ}f_{IJ}{}^{t}f_{IJ}(\partial)$$\sum_{IJ}{}^{t}f_{IJ}(\partial)fIJ$$\sum_{I}\mathrm{a}\mathrm{d}(u^{L\tau})II$$=$$\sum_{l}\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{II})L$$\sum_{IJ}{}^{t}fIJ(r\partial)f_{IJ}=$

(3.1)

,

$=$

(3.2)

’

(3.3)

,

$\sum_{I}\mathrm{a}\mathrm{d}(v^{L\tau}I)I$

(3.4)

’

であり, さらに$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}(fIj{}^{t}fIJ)$$=$$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}(f_{I}J{}^{t}f_{IJ})$$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}({}^{t}fIjfIJ)$$(-1)^{d} \sum_{IH}\Psi_{R}\pm 2\lambda+_{q}\lrcorner 2_{\mathrm{i}}(u_{HI})L\Psi 0q\rho(u_{IH})L$

,

(3.5)

$(-1)^{d} \sum_{IH}\Psi_{0}(u)\Psi_{R}+l\lambda+_{q}-2_{L}(\rho H)LHI\tau qu_{I}^{L\tau}$

,

(3.6)

$=$

$=$

$=$
$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}({}^{t}f_{IJ}fIJ)$$(-1)^{d} \sum_{HI}\Psi \mathrm{o}(v^{L})HI\Psi \mathrm{E}\pm 4\lambda+2\rho(v^{L})q.IH$ ’

(3.7)

.

(3.8)

$(-1)^{d} \sum_{HI}\Psi_{\epsilon}+\Delta\lambda+2\rho(v_{H;}^{LT})q\Psi_{0}(v_{I}^{L\tau})H$

上の等式の和において, $H,$ $I,$ は $H,$ $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $J\subset\{1, \ldots, q\},$ $\# H=\# I=\# J=d$の範囲を動く. また, (3.1) から (3.4) まではと考え, (3.5) から (3.8) までは
と考える.
$J$

$fIJ\in \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$f_{IJ}\in S(\mathfrak{n}^{-})$とはRemark 3.3 (1) Theorem 3.2 の例えば (3.5) において,交換すると等式は成立しない. (3.6), (3.7), (3.8) においても同様である.
(2) Non-twisted な Capelli 恒等式 (3.1) から (3.4) においては首座小行列式しか現れな
小行列式が現れている.
いが,-analogue の (3.5) から (3.8) ではすべての$\Psi_{0}(u_{IH}^{L})$$\Psi_{R}+_{\mathrm{i}B}\lambda+_{q}\rho(u^{L}HI2)$$d\mathrm{x}d$$\Psi_{\lambda}$

まず行列式を外積代数を用いて表す方法を復習する.

ンソル積く$\mathrm{C}^{n}$の外積代数く$(\mathrm{C}^{n})$に $(x\otimes u)\cdot(y\otimes v)=xy\otimes uv$ で環構造を入れる.

$(\mathrm{C}^{n})\otimes_{\mathrm{C}}D_{\mathfrak{n}^{+}}^{+}$

書くときにくは省略する.
をして,$\mathrm{C}^{n}$の基底$a_{1},$$\ldots,$$a_{n}$をとり, 行列を作り, テ$\wedge(\mathrm{c}^{n})$の元をに対$[A_{ij}]\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n, m;D_{\mathfrak{n}}+)$$\eta_{j}\in\wedge(\mathrm{C}^{n})\otimes \mathrm{c}D_{\mathfrak{n}}+$$(\eta 1, \ldots, \eta m)=(a1, \ldots, an)[Aij]1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$’

で定めたとする. 特に各 はと可換であり, $a_{j}a_{k}=-a_{k}a_{j}$ を満たすから,であることに注意する. このとき, $J\subset\{1, \ldots, m\},$ $\# J=d$ に対して,$a_{j}$$\eta_{J(1})\ldots\eta_{j}(d)$$=$$D_{\mathfrak{n}}+$$\eta i\eta j=-\eta j\eta i$$a_{i_{1}}A_{i_{1}}j(1)\ldots a_{i}4_{i_{d}}d^{A}J(d)$$=$$1 \leq i_{1},\ldots,i_{d}\sum_{n\leq}a_{i}1\ldots a_{i_{d}}A_{iJ}1(1)\ldots Aidj(d)$$=$$\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\},\# I=d,\sigma\in \mathfrak{S}d}a_{I(()}\sigma 1)\ldots a_{I((}\sigma d))AI(\sigma(1))J(1)$

$=$

$=$

...

$A_{I(\sigma}(d))J(d)$$\sum_{I}a_{I(1)}\cdots aI(d)\sum\hat{\mathrm{C}}(\sigma)AI(\sigma(1))j(1)\ldots A\sigma(I\sigma(d))J(d)$$\sum_{I}a_{I(1)I(}\ldots ad)\det[AI(_{S)}j(\iota)]_{1\leq\leq d}s,t$

,

(3.9)

159
と行列式が計算できる.
定理の証明の前に補題をふたつ証明する.

Lemma 3.4 $H,$ $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $\# H=\# I=d$ の時,(1)$\sum_{J}f_{Ij}{}^{t}fHJ(\partial)$(2)$\sum_{J}{}^{t}f_{HJ}(\partial)fIj$

ただし上の和において

$J$

$=$

$\mathrm{a}\mathrm{d}(\det[-E_{H}(t)I(s)+(d-t)\delta_{H}(t)I(S)]1\leq s,t\leq d)$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\det[-E_{H}(t)I(s)+(q-t+1)\delta_{H(t)}I(s)]1\leq s,t\leq d)$.

は $J\subset\{1, \ldots, q\},$ $\# J=d$ を動く. $H=I$ として $I$ で和をとった

ものが non-twisted な Capelli 恒等式である.

Proof. [(1) の証明]
まず,$(\eta_{1}, \ldots, \eta_{q})=(a_{1}, \ldots, a_{p})[x_{ij}]_{1}\leq i\leq p,1\leq j\leq q$’とおくと $J\subset\{1, \ldots, q\},$ $\# J=d$ に対して (3.9) により$\eta_{J(1)}\cdots\eta_{J(}d)$$=$$I \subset\{1,\ldots,p\},\#\sum_{dI=}aI(1)\ldots aI(d)\det[x_{I}(_{S})J(t)]_{1\leq}s,t\leq d$$=$$I \subset\{1,\ldots,p\}\sum_{d\# I=},aI(1)\ldots aI(d)f_{I_{J}}$,である. 次に,$(\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{p})$と置くと$\zeta_{h}$と$\eta_{j}$$,=$$(\eta_{1}, \ldots, \eta_{q})[\partial_{ij}]1\leq j\leq q,1\leq i\leq_{P}$$=$$(a_{1}, \ldots, a_{p})[xij]_{1}\leq i\leq p,1\leq j\leq q[\partial ij]_{1\leq}j\leq q,1\leq i\leq_{P}$$=$$(a_{1}, \ldots, a_{p})[q\sum_{k=1}x_{ik}\partial_{hk}]1\leq i,h\leq p$$=$$(a_{1}, \ldots, a_{p})[\mathrm{a}\mathrm{d}(-Ehi)]1\leq i,h\leq p$’の交換関係:$\zeta_{h}\eta_{j}$$=$$\sum_{k=1}^{q}\eta_{k}\partial_{hk\eta}j$$=$$\sum_{k=1}^{q}\eta k(\eta_{j}\partial_{h}k+\delta_{kj}ah)$$=$$- \sum_{k=1}^{q}\eta_{j}\eta k\partial hk+\eta_{jh}a$$=-\eta_{j}\zeta_{h}+\eta jah$,を得る. 上のふたつ目の等号では,アア$[ \partial_{hk}, \eta_{j}]=[\partial_{hk}, \sum_{i=1}a_{i}Xij]=\sum_{i=1}a_{i}\delta_{hi}\delta kj=\delta_{kj}a_{h}$,(3.10)

160
を用いている. 次に$=$$(\zeta_{1}(u), \ldots, \zeta \text{ア}(u))$$(a_{1}, \ldots, a_{p})[\mathrm{a}\mathrm{d}(-E_{hi})-u\delta hi]1\leq i,h\leq F$

とおくと, $\zeta_{h}(u)=\sum^{p}i=1a_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(-E_{hi})-u\delta hi)=\zeta_{h}-ua_{h}$ であり,$\zeta_{h}(u)\eta j$$=$$(\zeta_{h}-ua_{h})\eta j$$=$$-\eta_{j}\zeta_{h}+\eta_{jh}a-uah\eta_{j}$$=$$\eta_{j}(-\zeta h+a_{h}+ua_{h})$$\zeta_{h}(u)$$=-\eta_{j}\zeta_{h}(u+1)$と’$\eta_{j}$,の交換関係:(3.11)を得る.
さて $H\subset\{1, \ldots ,p\},$ $\# H=d$ に対して, $\zeta H(1)(-d+1)\cdots\zeta_{H(d-}1)(-1)\zeta H(d)(0)$ を 2 通りに計算する. 第–に,.

$\zeta H(1)(-d+1)\cdots\zeta H(d-1)(-1)\zeta H(d)(\mathrm{o})=\zeta.H(1)(-d+..1)\cdots\zeta H(d-1)(-1)\sum_{jd}q=1\eta_{j_{d}H(d}\partial)id$

ここで (3.11) を繰り返し用いると,この式は次のように計算できる.

$(-1)^{d-1} \sum_{jd}\eta j_{d}\zeta_{H(1)}(-d+2)\cdot*\cdot\zeta H(d-1)(0)\partial H(d)j_{d}$$=$$((-1)^{d-1})^{d}1 \leq j_{1},..\sum_{qj_{d}\leq}.,\eta_{j1}\cdots\eta j_{d}\partial H(1)j1\ldots\partial_{H}(d)j_{d}$$=$$J \subset\{1,\ldots,q\},\# j=d,\sigma\in \mathfrak{S}\sum_{d}\epsilon(\sigma)\eta J(1)\ldots\eta J(d)\partial H(1)j(\sigma(1))\ldots\partial H(d)J(\sigma(d))$$=$$J \subset\{1,\ldots,q\}\#\sum_{J=d},(_{I\subset\{1,\ldots,p\}}\sum_{\# I=d},al(1)\ldots aI(d)\det[_{X}I(S)J(t)]_{1}\leq s,t\leq d\mathrm{I}\det[\partial_{H(}t)J(_{S)}]1\leq S,t\leq d$$=$$I \subset\{1,\ldots,p\},\# I\sum_{d=}aI(1)\ldots aI(d)J\subset\{1,\ldots,q\}\sum_{=\# Jd},f_{I_{J}{}^{t}f_{HJ}}(\partial)$.

上の最後からふたつ目の等号は (3.9) を用いている.
第二に$\zeta_{H(1})(-d+1)\cdots\zeta H(d-1)(-1)\zeta_{H(}d)(\mathrm{o})$$=$$\{_{i_{1}=1}\sum^{p}a_{i}(1\mathrm{d}\mathrm{a}(-E_{H(}1)i_{1})-(-d+1)\delta_{H}(1)i_{1})\}\cross\cdots\cross\{_{i_{d}=1}\sum^{p}a_{i}(d\mathrm{d}\mathrm{a}(-E_{H}(d)id)-0\delta H(d)i_{d})\}$$=$$1 \leq i_{1},\ldots,i_{d}\sum_{p\leq}a_{i}\cdots a_{i}\{1d\mathrm{a}\mathrm{d}(-EH(1)i1)-(-d+1)\delta_{H(1})i1\}\cross\cdots\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(-EH(d)i_{d})-0\delta_{H(}d)i_{d}\}$$=$$I \subset\{1,\ldots,p\},\sum_{d\# I=,\sigma\in \mathfrak{S}d}\epsilon(\sigma)aI(1)\ldots a_{I}(d)$$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(-E_{H(}1)I(\sigma(1)))-(-d+1)\delta H(1)I(\sigma(1))\}\cross\cdots\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(-EH(d)I(\sigma(d)))-\mathrm{o}\delta_{H(}d)\tau(\sigma(d))\}$$=$$I \subset\{1,\ldots,p\}\sum_{d\# I=},a_{I(1})\ldots aI(d)$ad $(\det[-EH(t)\tau(s)-(-d+t)\delta_{H(}t)I(s)]1\leq s,t\leq d)$ ,161となる. ここでも (3.9) のような計算をしている. これら二つの計算結果において, 同じに対応する summands どうしが–致しているはずだから, それより (1) が従う.

[(2) の証明]
まず, (3.10) より,

$I$

$I$

$\sum_{j=1}^{q}\partial_{ij\eta}j=\sum_{j}(\eta_{jij}\partial+\delta_{jj}a_{i})=\zeta_{i}+qa_{i}=\zeta_{j}(-q)$

である. 今度はを 2 通り$\# H=d$ に対して, $\zeta H(1)(-q)\zeta H(2)(-q+1)\cdots\zeta H(d)(’-q+d-1)$$H\subset\{1, \ldots,p\},$に計算する. 第–に (1) と同様にして,$\zeta_{H(1})(-q)\cdots\zeta H(d)(-q+d-1)$$=$$1 \leq j1,.\sum_{j_{d}\leq q}..,\partial H(1)j_{1}$

..

$,$

$(‘?_{H(d)j}d\eta j_{1}\ldots\eta_{jd}$$=$$I \subset\{1,\ldots,\mathrm{p}\},\#=d\sum_{I}aI(1)\ldots aI(d)\sum_{jj\subset\{1,\ldots,q\}\#=d},fIJ{}^{t}fHJ(.t\partial)$,が得られ, 第二にも (1) と同様にして$\zeta_{H(1)}(-q)\cdots\zeta_{H}(d)(-q+d-1)$$=$$I \subset\{1,\ldots,p\}\sum_{d\# I=},aI(1)\ldots a_{I(d)}$が得られる. これら 2 式で$I$

ad $(\det[-E..H.(t)I(S)-(-q+t-1)\delta_{H}(t)I(s)]1\leq s,t\leq d)$ ,を止めて比較すると (2) を得る.

$\square$Lemma 3.5 $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $J\subset\{1, \ldots, q\},$ $\# I=\# J=d$ の時,(1)$\Psi_{\lambda}({}^{t}f_{I}J)$(2)$\Psi_{\lambda}({}^{t}f_{IJ})$$=$$\sum_{H}{}^{t}f_{HJ}(\partial)$$=$$\sum_{H}$

ad $(\det[E_{I(t})H(S)+(\lambda^{0}+p-d+t)\delta_{I(t)H}(s)]_{1}\leq s,t\leq d)$ ,ad $(\det[E_{I(}t)H(s)+(\lambda^{0}+t-1)\delta_{I()H}t(s)]_{1\leq S,t\leq d}){}^{t}f_{HJ}(\partial)$ ,ただし上の和で $H$ は $H\subset\{1, \ldots,p\},$ $\# H=d$ を動く.

Proof. 先の補題ではく$(\mathrm{C}^{p})\otimes \mathrm{c}^{D_{\mathfrak{n}}+}$

論する. まずとき, (3.9) よりの中で議論したが, ここではくの中で議$I\subset\{1,\ldots,p\},$$\#
I=d$ のとおくと,$(\mathrm{C}^{q})\otimes_{\mathrm{C}}D_{\mathfrak{n}}+$$(\mu_{1}, \ldots, \mu_{\text{ア}})=(a_{1}, \ldots, a_{q})[\partial ij]_{1\leq j\leq}q,1\leq i\leq p$$\mu_{I(1)}\cdots\mu_{I(}d)$$=$$J \subset\{1,\ldots,q\},\#.J\sum_{=d}aJ(1)\ldots a_{j}(d)\det[\partial_{I}(\iota)J(s)]_{1\leq j\leq q,\leq\leq \text{ア}}1\text{ア}$$=$$j \subset\{1,\ldots,q\},\# J\sum_{d=}aj(1)\ldots a_{J}(d)ftIj(\partial)$

である. 同様に,$(\xi_{1}, \ldots , \xi_{\text{ア}})=(a_{1}, \ldots, a_{q})[\Psi_{\lambda}(E_{i,j}\text{ア}+)]_{1\leq}j\leq q,1\leq i\leq \text{ア}$とおくと, $I\subset\{1, \ldots ,p\}$ ,$\# I=d$ のとき,$\xi I(1)\ldots\xi_{I(}d)$$=$$j \subset\{1,\ldots,q\}\sum_{d\# J=},aJ(1)\ldots aJ(d)\Psi_{\lambda}({}^{t}fIJ)$である. ここで $\xi_{h}(1\leq h\leq p)$ の 2 通りの表示を与える. まず$\xi_{h}$$=$$\sum_{j=1}^{q}aj\Psi\lambda(B\urcorner)l_{l},\text{ア}+j$,(3.12)

162$=$$\sum a_{j}q(-1\leq k\leq q\sum_{p1\leq i\leq},X_{i}k\partial_{hk}\partial_{i}j+\lambda^{0}\partial_{hj})$

$j=1$

$=$

$\sum a_{j}q\sum_{1\leq i\leq \text{ア}}(-\sum_{1\leq k\leq q}x_{i}k\partial_{hk}+\lambda^{0}\delta_{hi})\partial_{ij}$

$j=1$

$=$

$\sum_{i=1}^{p}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{h}i)+\lambda 0_{\delta hi)\mu_{i}}$,となる. ここで $1\leq g,$ $h,$ $i\leq p$ に対して,$[\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{hi}), \mu g]$$=$$[- \sum_{k=1}^{q}Xik\partial hk, \sum_{j=1}aj\partial_{\mathit{9}j}]q$$=$$\sum_{1\leq k,j\leq q}\delta i\mathit{9}\delta kj\partial hka_{j}$$=$だから, これを用いると次の$\xi_{h}$$\xi_{h}$次に(3.13),$=$$\sum_{i=1}^{\text{ア}}\{\mu_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{hi})+\lambda 0\delta_{hi})+\delta_{ii}\mu_{h\}}$$=$$\sum_{i=1}^{p}\mu i\{\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{hi})+\lambda 0\delta hi+_{P^{\delta}}hi\}$$\xi_{h}$と$\mu_{g}$,の交換関係も次のようにわかる.

$=$$\sum_{i=1}^{p}(\mathrm{a}\mathrm{d}(Ehi)+\lambda 0_{\delta hi})\mu_{i}\mu_{g}$$=$$- \sum_{i=1}^{\text{ア}}\{\mu_{g}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{h}i)+\lambda^{0}\delta_{hi})+\delta_{i}\mu gh\}\mu i$$=$$-\mu_{g}\xi_{h}-\mu_{h}\mu_{g}$.

$(\xi_{1}(u), \ldots, \xi \text{ア}(u))=(\mu_{1}, \ldots, \mu_{p})[\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{h}i)+(\lambda^{0}+p+u.)\delta_{hi}]_{1}\leq i,h\leq p$$\xi_{h}(u)$だから,$=\delta_{i_{\mathit{9}}}\mu_{h}$のふたつ目の表示が得られる. また (3.13) を用いると$\xi_{h}\mu_{g}$$\sum_{j=1}^{q}\delta_{i}a\partial gjhj$$\xi_{h}(u)$$=$$\sum_{i=1}^{p}\mu_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{hi})+(\lambda 0+p+u)\delta_{h}i)$$=$$\xi_{h}+u\mu_{h}$

とおくと

,

と角の交換関係が次のようにわかる:$\xi_{h}(u)\mu_{i}$$=$$(\xi_{h}+u\mu_{h})\mu i$$=$$-\mu_{i}\xi_{h}-\mu h\mu_{i}+u\mu_{h}\mu_{i}$$=-\mu_{i}\xi_{h}(u-1)$.

(3.14)

163
さて, $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $\# I=d$ に対して,を (3.12) とは別の方法で計算して$\xi_{I}(1)\ldots\xi_{I(d})$

みる.

..

$\xi_{I(1)}$$.\xi_{I(d)}$$=$$\xi_{I(1)}(0)\cdots\xi I(d)\{\mathrm{o})$$=$$\xi_{I(1)}(\mathrm{o})\cdot$..

$\xi I(d-1)(\mathrm{o})\sum_{h=1}\mu_{h}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I()}dh)+(\lambda^{0}+p\text{ア})\delta I(d)h)$,

ここで (3.14) を繰り返し用いると上の式は次のように計算できる.
$+(\lambda 0_{+p})\delta I(d)hd\}$$(-1)^{d-1}hd \sum_{=1}^{\text{ア}}\mu_{h}d\xi I(1)(-1)\cdots\xi I(d-1)(-1)\{\mathrm{a}\mathrm{d}(EI(d).h.d.)$.

$=$$((-1)^{d-1})^{d} \sum\mu_{h}1\ldots\mu h_{d}\{\mathrm{a}\mathrm{d}1\leq h_{1},\ldots,hd\leq p(E_{I(1})h1)+(\lambda 0+p-(d-1))\delta_{I}(1)h_{1}\}\cross\cdots$.. .

$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I(d)h})d+(\lambda^{0}+p-\mathrm{o})\delta_{I}(d)hd\}$$=H \subset\{1\# H’.=..\#’ J^{\mathrm{P}}=d\sigma\dot{\mathfrak{S}}_{d}\sum_{\in},aJ(1)aJ(d)\epsilon(\sigma)tf_{HJ}(\},J\subset\{1,..,q\},\cdots\partial)$$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I(1})H(\sigma(1)))+(\lambda^{0_{+-}}p(d-1))\delta_{I}(1)H(\sigma(1))\}\cross\cdots$$...\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I(d})H(\sigma(d)))+(\lambda^{0}+p-\mathrm{o})\tilde{\delta}_{I}(d)H(\sigma(d))\}$$=$$j \subset\{1,\ldots,q\}\sum_{d\# J=},aJ(1)\ldots aj(d)\sum_{dH\subset\{1,\ldots,\text{ア}\},\# H=}{}^{t}f_{H}J(\partial)$$\cross$ad $(\det[E_{I}(t)H(S)+(\lambda^{0}+p-d+t)\delta_{I(t)H}(s)]_{1\leq s,t\leq d)}$ .

この式と (3.12) を を止めて比較すれば (1) が得られる.
[ (2) の証明]
さらに別の方法で $\xi I(1)\ldots\xi I(d)$ を計算してみる.
$J$$\xi I(1)\ldots\xi I(d)$

..

$=$

$\sum_{h=1}^{p}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I}(1)h)+\lambda^{0}\delta I(1)h)\mu h\xi I(2)(0)\cdot$$=$$(-1)^{d-}1 \sum_{h=1}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E\text{ア})I(1)h+\lambda 0\delta I(1)h)\xi I(2)(1)\cdots\xi_{I(}d)(1)\mu_{h}$$\xi_{I(d)}(0)$$=$$\cdot$$((-1)^{d-1})d \sum_{1\leq h_{1},\ldots,hd\leq p}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I(1})h_{1})+(\lambda 0_{+}0)\delta_{I}(1)h_{1})\cross$

.. .

..

$\mathrm{x}(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I(d})hd)+(\lambda^{0}+d-1)\delta_{I}(d)hd)\mu_{h}1\ldots\mu_{h}d$$=$$H \subset\{1,\ldots,\text{ア}\},\sum_{=\# Hd,\sigma\in \mathfrak{S}d}(\mathrm{a}\mathrm{d}(EI(1)H(\sigma(1)))+(\lambda^{0}+\mathrm{o})\delta I(1)H(\sigma(1)))\cross\cdots$...

$\cross(\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{I(d})H(\sigma(d)))+(\lambda^{0_{+d-}}1)\delta_{I(}.d)H(\sigma(d)))\cdot\sum\in(J\subset\{1,\ldots,q\},\# J=d\sigma)a_{J()}1\ldots aj(d){}^{t}f_{Hj}(\partial)$$= \sum_{J\subset\{1,\ldots,q\}\# J=d},aJ(1)\ldots aJ(d)\sum \mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{d}\mathrm{e}H\subset\{1,\ldots,\text{ア}\},\# H=d\mathrm{t}[EI(t)J(s)+(\lambda^{0}+t-1)\delta_{I(}t)J(_{S})]_{1\leq t\leq d)}s,{}^{t}f_{HJ}(\partial)$.

164
この式と (3.12) を$J$を止めて比較すれば (2) が得られる.

ロ

Proof of Theorem 3.2. まず, (3.2), (3.4) は Lemma 34 において $H=I$ として和を=\mu 0\varpi ’。に対して, $1\leq i\leq p$ の時,$\mu(E_{ii})=\mu^{0}q/(p+q)$ であることに注意すると, Lemma 3.5 (1) はとればよい. 次に (3.6) を証明する.

まず$\mathfrak{p}$

の指標

$\mu$

$\Psi_{\lambda}({}^{t}f_{I}J)=(-1)d\sum_{fI}{}^{t}fHj(\partial)\Psi R\pm g\lambda+\lrcorner 2_{\mathrm{i},q}(\rho IH)q..u^{L\tau}$,と書き直せ, Lemma 3.4 (1) は$\sum_{J}f_{Ij}{}^{t}f_{H}J(\partial)=\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{I})LT=\Psi_{\mathrm{o}()}Hu_{HI}^{L\tau}$,と書き直せる. これらを用いると,’$\Psi_{\lambda}(fI_{J}{}^{t}fIj)$$\sum$$=$$(-1)^{d} \sum f_{I_{J}}H\subset\{1,\ldots,\text{ア}\sum_{d\},\# H=}tf_{H}J(\partial)\Psi \mathrm{g}\pm 9\lambda+_{q}^{2}-\mathit{1}(\rho)qu_{IH}^{L\tau}$$I\subset\{.1,\ldots,p\},J\subset\# I=\# J=@1,\ldots,q\}$

,

$IJ$

$=$
$(-1)^{d} \sum_{HI}\Psi_{0}(u^{L}I)HL+\mathfrak{g}_{\lambda+^{\underline{2}_{R_{\rho IH}}}}(\tau\Psi u^{L\tau})qq$’となり, (3.6) が証明された. (3.8) も Lemma 35(2) と Lemma 34(2) から同様に証明さ
れる.

さて残りの等式を証明するために, Definition 22 で定めた anti-involutionsに対している. 合成写像
は, Chevalley basis (の部分集合)$\sigma,$$s,$$\tau$

を用$\{X_{\pm\alpha}|\alpha\in\triangle_{N}^{+}\}$$\sigma\tau$$\sigma\tau(X_{-\alpha})$$=$$-X_{\alpha}(\partial)$$\sigma\tau(X_{\alpha}(\partial))$$=$$X_{-\alpha}$,,を満たす代数同型であることに注意すると, $H,$ $I\subset\{1, \ldots,p\},$ $\# H=\# I=d$ の時,$\sigma\tau(\Psi_{\mu}(u_{HI}LT))$$=$$\Psi_{-\mu-2\rho}(s(t(u_{H}LTI)))$$=$$\Psi_{-}\mu-2\rho(\det[E_{I()}sH(t)+(d-t)\delta_{I(}s)H(t)]_{1\leq s,t\leq d})$$=$$\Psi_{-\mu}(\det[E_{I}(S)H(t)+(d-t-q)\delta I(S)H(t)]_{1\leq s,t\leq d)}$$=$$(-1)^{d}\Psi_{-\mu}(v_{I}^{L})H$’が得られる.
では (3.3) を証明する. まず u\in U(【) のとき$\sigma\tau$((3.2) 右辺)$\sigma\tau$((3.2) 左辺)に注意すると上のことから,$=$$\sigma\tau(\sum_{I}\mathrm{a}\mathrm{d}(u^{LT})II)$$=$が得られ, 次に (3.2) 左辺は$\mathrm{a}\mathrm{d}(u)=\Psi_{0}(u)$$D_{\mathfrak{n}}^{L}+$

$=$

$=$

$=$

$(-1)^{d} \sum_{I}\mathrm{a}\mathrm{d}(v^{L})II$($=(-1)^{d}$ $(3.3)$

右辺),に属するから \tau -不変であるので,$\sigma$( $(3.2)$ 左辺)$\sigma(\sum_{IJ}f_{I}J{}^{t}f_{I}J(\partial)$$=(-1)^{d}((3.3)E_{\mathrm{J}}^{\backslash }\underline{\gamma})$$(-1)^{d} \sum {}^{t}fIJ(\partial)fIjI_{J}$,165が得られる. これらを比較して (3.3) が得られる. 同様にして (3.1) も (3.4) に得られる.
次に (3.7) を証明する. 上と同様にして,$\sigma\tau((3.6)\text{右^{}\backslash }\not\supset\underline{\not\supset})$$\sigma\tau$

を施して

$=$
$\sigma\tau((-1)^{d}\sum_{HI}\Psi 0(u^{L})HI\Psi\tau qq(R\pm q\lambda+2\lrcorner \mathrm{i}_{\rho}u_{I}^{L})H\tau$$=$$(-1)^{d} \sum_{HI}(-1)d\Psi 0(v_{IH})L$.

.

$(-1)d\Psi_{-L}+q-^{B}2qA\lambda\rho(v^{L}HI)$そして,$\sigma\tau$((3.6) 左辺)

$=$

$=$

$=$

と計算できるので,(3.5) も同様である

3.2$(\mathrm{C}_{n}, n)$or$\lambda$$\sigma$( $(3.6)$ 左辺)$\sigma(\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}(f_{I}JtfIJ))$$\sum_{IJ}\Psi_{-\lambda-2\rho}(tfIjfIJ)$,

を一\mbox{\boldmath $\lambda$}--2\rho に取り替えて上の 2 式を比較すれば (3.7) が証明できる.
$\square$$S^{2}GL_{n}$,$\mathrm{g}=\epsilon \mathfrak{p}(n, \mathrm{c})=\{\in \mathrm{g}\mathfrak{l}(2n, \mathrm{C})|A\in(B,c^{9}\in \mathrm{s}_{\mathrm{y}}(n, \mathrm{c})\mathrm{m}(’ n, \mathrm{c})\}$

とおく.

$\mathfrak{h}$を$\mathrm{g}$の対角行列からなる集合とする.

$i,$$j\in\{1, \ldots, n\}$

に対して

,

$H_{ij}$$=$$E_{ij}-E_{n+}j,n+i$$G_{ij}$$=$$E_{i,n+j}+E_{j},n+i$,$F_{ij}$$=$$E_{n+i,j}+E_{n}+j,i$,とおくと以下の関係がある.
$[H_{ij}, H_{k}\iota]$$=$$\delta_{jk}H_{il}-\delta_{i\iota H_{k}}j$,$[H_{ij}, G_{k}\iota]$$=$$\delta_{jk}Gil+\delta j\iota Gik$,$[H_{ij}, F_{k}\iota]$$=$$-\delta_{ik}F_{j}l-\delta_{il}F_{jk}$$[G_{ij},$ $F_{kl}]$$=$$\delta_{jk}H_{il}+\delta_{i\iota^{H_{jk}}}+\delta_{jl}H_{ik}-\vdash\delta_{ik}H_{jl}$

,
.

166
$\epsilon_{i}\in \mathfrak{h}^{*}(i\in\{1, \ldots, n\})$を$\epsilon_{i}(H_{jj})=\delta_{ij}$で定める. ルートシステムなどの情報を以下にま

とめる.

,

$\Pi$

$=$

$\{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}, \ldots, \epsilon n-1-\epsilon_{n}, 2\epsilon_{n}\}$$\triangle^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq n\}\cup\{2\mathcal{E}_{i}\}$:::$H_{ij}$$G_{ij}$$F_{ij}$$(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})$$(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$$-(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$,$\Pi_{L}$$=$$\Pi\backslash \{2\epsilon_{n}\}$$\triangle_{L}^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq n\}$$=$$\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{n}$$\varpi_{i_{0}}$$2\rho$X,
C. B.

$Y\rangle$$\langle$

部分代数

$=$

$(n+1)\varpi_{i_{0}}$$=$$\mathrm{T}\mathrm{r}(XY)/2$:$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{p},$

,

(X,

),

$\{H_{ij}\}\cup\{G_{ij}|i<j\}\cup\{(1/2)G_{ii}\}\cup\{F_{ij}|i<j\}\cup\{(1/2)F_{ii}\}$$\{\in \mathrm{g}|A\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, \mathrm{c}),$ $B\in \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(n, \mathrm{c})\}$$=$$\{\in \mathrm{g}|B\in \mathrm{s}_{\mathrm{y}\mathrm{m}}(n, \mathrm{c})\}$,$\downarrow=$$\{\in \mathrm{g}|A\in \mathrm{g}^{(}(n, \mathrm{C})\}$.

Definition 22 における$t$.

$j\in\{1, \ldots , n\}$の座標系を与える.

,

により,${}^{t}H_{ij}=H_{j}i$$\mathfrak{n}^{+}$$Y\in \mathrm{g}$$=$$\mathfrak{n}^{+}$

$i,$

,

,

, 【は次のようになる.
$\mathfrak{p}$

である.

,

-root vector for $i\neq j$ ,-root vector,-root vector,,${}^{t}G_{ij}=F_{ij}$に対して吻$=F_{ij},$${}^{t}F_{ii}(\partial)=\langle G_{ii}, F_{i}i\rangle\partial_{i}i=2\partial_{i}i$${}^{t}F_{ij}=c_{ij}$$\partial_{ij}=\partial/\partial x_{ij}$に対してはである. この理由から$i\neq j$,,と定めると $\{x_{ij}|i\leq j\}$ はだが,と定める. Lemma 2.1${}^{t}F_{ij}(\partial)=G_{ij}(\partial’)=\langle G_{ij}, F_{i}j\rangle\partial ij=\partial_{ij}$$\tilde{\partial}_{ij}=(1+\delta_{ij})\partial_{ij}$を用いると容易に次の補題が得られる.

Lemma 3.6 $1\leq i,$ $j\leq n$ に対して,(1),$\Psi_{\lambda}(H_{ij})=-\sum_{n^{1}}Xjk\tilde{\partial}_{i}k+\lambda k=0\delta ij$(2)$\Psi_{\lambda}(G_{ij})=-\sum_{=k,,l1}Xk\iota\tilde{\partial}_{i}\iota\tilde{\partial}jk+2\lambda 0\tilde{\partial}_{ij}$$1\leq d\leq n$.

口の時, $I,$ $J\subset\{1, \ldots, n\},$ $\# I=\# J=d$ に対して,$fI_{J}=\det[x_{I()J}s(t)]_{1\leq \mathit{8},t\leq d}$,と定める. 特に
$f=\det[Xij]_{1}\leq S,t\leq n$’はウェイトー 2\varpi ’。をもつ相対不変式となる. また$\iota_{f_{IJ}(\partial)=\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{d}[\partial_{I}(s)J(t)]_{1\leq s,t\leq d}$

である.

,

167
Theorem 3.7 $1\leq- d\leq n,$$J,$$K\subset\{1, \ldots, n\},$$\# J=\# K=d$ に対し,

$u_{KJ}$$=$$\det[-H_{K((t)}S\grave{J}^{J}+(t-1)\delta_{K(}S)j(t)]1\leq S,t\leq d$,$u_{KJ}^{T}$$=$$\det[-H_{K(}t)J(S)+(d-t)\delta_{K(t})J(_{S)}]1\leq s,t\leq d$,$v_{KJ}$$=$$\det[-H_{K}(S)J(t)+(n+t-d+1)\delta_{K(s)J(t)}]1\leq S,t\leq d$$v_{KJ}^{T}$$=$$\det[-HK(t)J(S)+(n-t+2)\delta_{K(t})j(S)]_{1\leq}s,t\leq d$

,

,

とおくと,
$\sum_{J}\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{JJ})$,$\sum_{J}\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{JJ}^{T})$,$\sum_{J}\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{J}J)$,$\sum_{J}\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{J}^{\tau})J$.

$=$$\sum_{IJ}f_{I}j{}^{t}f_{I}J(\partial)$$\sum_{IJ}f_{IJ}{}^{t}fIJ(\partial)$

$=$

$=$
$\sum_{IJ}{}^{t}f_{Ij}(\partial)fIJ$$\sum_{IJ}{}^{t}fIJ(\partial)fIJ$$=$であり, さらに,$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}(fIJf_{IJ}t)$$=$$(-1)^{d} \sum_{KJ}\Psi_{2}\lambda+2\rho(uKJ)\Psi_{\mathrm{o}()}ujK$,$(-1)^{d} \sum_{KJ}\Psi_{0}(u^{T}J)K\Psi 2\lambda+2\rho(u_{JK})T$,$=$$\sum_{JI}\Psi_{\lambda}(f_{I}Jf_{IJ}t)$$=$$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}(tf_{IJ}fIJ)$$=$$\sum_{IJ}\Psi_{\lambda}({}^{t}fIJfIJ)$

上の等式の和において, $I,$

Proof.

$(\mathrm{A}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}+}q-1, P)$

3.3$(\mathrm{D}_{n}, n)$

$J,$

$K$

$(-1)^{d} \sum_{JK}\Psi \mathrm{o}(vKJ)\Psi 2\lambda+2\rho(vJK)$,$(-1)^{d} \sum_{KJ}\Psi 2\lambda+2\rho.(v_{KJ}^{\tau})\Psi \mathrm{o}(v^{\tau}JK)$.

は $I,$ $J,$ $K\subset\{1, \ldots, n\},$ $\# I=\# J=\# K=d$ の範囲を動く.

型と同じく外積代数を用いて証明できる .

or$\square$$\Lambda^{2}GL_{n}$$\mathrm{g}=\{\in \mathrm{g}\downarrow(2n, \mathrm{C})|A\in \mathrm{g}(B,C\in \mathrm{A}(n_{1\mathrm{t}},\mathrm{c})(n’, \mathrm{c})\}$

とおき,$\mathfrak{h}$を$\mathrm{g}$の対角行列からなる集合とする.

$i,$ $j\in\{1,\ldots , n\}$

に対して

,

$H_{ij}$$=$$E_{ij}-E_{n+}j,n+i$$G_{ij}$$=$$E_{i,n+j}-E_{j},n+i$$F_{ij}$$=$,,$E_{n+j,i^{-}}E_{n+}i,j$ ,とおくと以下の関係がある.
$[H_{ij}, H_{k\iota}]$$=$$\delta_{jk}H_{i\iota}-\delta_{i\iota}H_{k}j$,$[H_{ij}, G_{kl}]$$=$$\delta_{jk}G_{i}\iota+\delta_{j}\iota G_{ki}$,$[H_{ij}, F_{k\iota}]$$=$$\delta_{ik}F_{\iota_{j}+\delta_{i\iota}F_{jk}}$$[G_{ij},$ $F_{kl}]$$=$$\delta_{jl}H_{ik}+\delta_{ik}H_{jl}-\delta_{jk}H_{il}-\delta_{i\iota^{H_{jk}}}$

,

168
を

$\epsilon_{i}\in \mathfrak{h}^{*}(i\in\{1, \ldots, n\})$$\epsilon_{i}(H_{jj})=\delta_{ij}$で定める. ルートシステムなどの情報を以下にま

とめる.
$\Pi$

$=$

$\{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}, \ldots, \epsilon_{n}-1-\epsilon_{n}, \Xi n-1+\mathcal{E}_{n}\}$$\triangle^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq n\}$:::$H_{ij}$$G_{ij}$$F_{ij}$$\mathfrak{n}^{+}$-root vector for $i\neq j$ ,-root vector for $i\neq j$ ,-root vector for $i\neq j$ ,$-(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$,$=\Pi\backslash \{\epsilon_{n-1}+\epsilon n\}$$\triangle_{L}^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq n\}$$\varpi_{i_{0}}$$=$$(\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{n})/2$$2\rho$$=2(n-1)\varpi_{i\mathrm{o}}$

X,
C. B.
$\mathfrak{p},$$(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$$\Pi_{L}$$\langle$

部分代数$(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})$$Y\rangle$

,

,

,

(X,

$=\mathrm{T}\mathrm{r}(XY)/2$

:

,

,

$\mathrm{Y}\in \mathrm{g}$),$\{H_{ij}\}\cup\{G_{ij}|i<j\}\cup\{F_{ij}|i<j\}$.

, 目よ次のようになる.

$\mathfrak{p}$$\mathfrak{n}^{+}$$=$$\{\in \mathrm{g}|A\in \mathrm{g}\mathrm{t}(n, \mathrm{C}),$$B\in \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}(n, \mathrm{C})\}$$=$$\{\in \mathrm{g}|B\in \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}(n, \mathrm{c})\mathrm{I}$

,

$(=$

$\{\in \mathrm{g}|A\in \mathrm{g}\mathrm{t}(n, \mathrm{c})\}$,.

Definition 22 におけるちにより,${}^{t}H_{ij}=H_{j}i$

である.

$i,$

$j\in\{1, \ldots, n\}$,${}^{t}G_{ij}=F_{ij}$に対して $x_{ij}=F_{ij},$,,${}^{t}F_{ij}=G_{ij}$$\partial_{ij}=\partial/\partial_{X}ij$と定めると $\{x_{ij}|i<j\}$ は$\mathfrak{n}^{+}$の座標系を与える. Lemma 2.1 を用いると容易に次の補題が得られる.

Lemma 3.8 $1\leq i,$ $j\leq n$ に対して,(1)(2)$\Psi_{\lambda}(H_{ij})=-1\leq k\leq\sum xkj\partial_{k}i+\frac{1}{2}n,k\neq i\lambda^{0}\delta_{ij}$$\Psi_{\lambda}(G_{ij})=-\sum_{k\neq j,\iota\neq i}X_{k\iota}\partial il\partial_{k}j+\lambda^{0}\partial ij$

,

.

口

型では Capelli 恒等式は複雑な形をしており, また-analogue の証明にと同様の方法が使えない. そこでここでは Turnbull 恒等式の-analogue を与える. まず, 要素が非可換な行列のパーマネントを次で定める (column permanent).
$(\mathrm{D}_{n}, n)$や$\Psi_{\lambda}$$(\mathrm{A}_{\ovalbox{\tt\small REJECT} q1}+-,p)$$(\mathrm{C}_{n}, n)$$\Psi_{\lambda}$$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[Aij]_{1\leq i},j\leq d=\sum_{\sigma\in \mathrm{e}d}A_{\sigma(1}1\ldots A)\sigma(d)d$.

要素が可換の場合は column permanent と row permanent は–致する. パーマネントの積公式は要素が可換であっても行列式の場合より複雑であり, $R$ を可換環, $A,$ $B,$,
$C=AB,$ $1\leq d\leq n$ とした時,$C\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n, R)$per$(c_{I}K)= \# j=\sum\frac{1}{J!}\mathrm{P}d\mathrm{e}\mathrm{r}(A_{I}J)\mathrm{p}_{\mathrm{e}\mathrm{r}}(B_{J}K)$,

169である. ここで, $I,$ $J,$ $K$ は $1\leq I(1)\leq\cdots\leq I(d)\leq n$ なる index で (このことを $\# I=d$ と書くことにする)C 函などはそれに対応して得られる $d\cross d$ 行列 (一般には小行列ではな.
い) , $J!=$ ( の個数)!
( の個数)! である.
$1$$\cross\cdot:\cdot\cross$$1\leq d\leq n$$n$の時, $\# I=\# J=d$ なる index に対して,$f_{IJ}=\mathrm{p}_{\mathrm{e}\mathrm{r}}[_{X}I(S)J(t)]_{1\leq S_{\text{、}}t}\leq d$,

とおくと${}^{t}f_{Ij}=\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[G_{I(S)J}(t)]_{1\leq S,t\leq d}$,${}^{t}f_{Ij}(\partial)=\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}[\partial I(S)j(t)]_{1\leq}s_{:}t\leq d$

,

である.

Theorem 39 $1\leq d\leq n$ の時, $1\leq I(1)\leq\cdot\cdot i\leq I(d)\leq n$ なる index$\# I=d$ と書く) と $\# J=d$ なるに対して,(このことを

$I$

$J$

,

$u_{IJ}$$=$$u_{IJ}^{T}$$=$$v_{IJ}$$=$$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[-H_{I}(_{S})j(t)+(d+n-1-t)\delta_{I(_{S})J(t})]_{1\leq S,t\leq d}$$v_{IJ}^{T}$$=$$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[-H_{I(}t)J(S)+(n-2+t)\delta_{I(t)J}(s)]1\leq S,t\leq d$$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[-H_{I(_{S)j}}(t)-(t-1)\delta_{I(_{S})J()}t]_{1\leq s,t\leq d}$$\mathrm{p}_{\mathrm{e}\mathrm{r}}[-HI(t).J(s)-(d-t)\delta_{I}(t)J(s)]_{1\leq}s.’.t\leq d$

,
,

,

とおくと
$\# I=\# Jd\sum_{=}\frac{f_{IJ}{}^{t}f_{IJ}(\partial)}{I!J!}$$=. \sum_{\# I=d}\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{II})}{I!}$$\# I=\# Jd\sum_{=}\frac{f_{IJ}{}^{t}f_{IJ}(\partial)}{I!J!}$$=$$\# I=\# Jd\sum_{=}\frac{{}^{t}f_{IJ}(\partial)fIJ}{I!J!}$$=$$\sum_{\# I=\# J=d}\frac{{}^{t}f_{IJ}(\partial)f_{IJ}}{I!J!}$$=$,$\mathrm{t}_{\neg}-.(3.15)$,(3.16),(3.17),(3.18)$\sum_{\# I=d}\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{I}^{\tau_{I}})}{I!}$$\sum_{\# I=d}\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{II})}{I!}$$\sum_{\# I=d}\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{I}^{\tau_{I}})}{I!}$であり, さらに$\sum_{\# I=\# J=d}\Psi_{\lambda}(\frac{f_{Ij}{}^{t}fIJ}{I!J!})$$=$$\sum_{\# I=\# J=d}\Psi_{\lambda}(\frac{fIJ{}^{t}fIJ}{I!J!})$$=$$\sum_{\# I=\# J=d}\Psi_{\lambda}(\frac{{}^{t}f_{IJ}f_{IJ}}{I!J!})$$=$$\sum_{\# I=\# j=d}\Psi_{\lambda}(\frac{{}^{t}f_{IJ}f_{IJ}}{I!J!})$$=$,(3.19)$(-1)^{d} \# I=\#\sum_{j=d}\frac{1}{I!J!}\Psi_{0}(u^{T})IJ\Psi_{2\lambda 2}+\rho(u_{J})\tau I$ ’

(3.20),(3.21).

(3.22)$(-1)^{d} \sum_{I\#=\# J=d}\frac{1}{I!J!}\Psi_{2\lambda}+2_{\beta}(uIJ)\Psi_{0}(uJI)$$(-1)^{d} \sum_{\# I=\# J=d}\frac{1}{I!J!}\Psi_{0}(vIJ)\Psi_{2}\lambda+2\rho(v_{JI})$$(-1)^{d} \#=\# J=d\sum_{I}\frac{1}{I!J!}\Psi_{2\lambda+}2\rho(v_{I})\tau_{J}\Psi_{0(v_{JI}^{\tau})}$Remark 3.10 (1) 定理中の式 (3.15), (3.16) はそれぞれ, [7, Theorem 3.1] においてとして [7, 式 (2.8)] と [7, 式 (2.7)] を用いたものである. 従って証明も [7] にある通り
だが self-contained を目指すため証明を (本質的には Lemma 3.11 において) 与える.
(2) [7, Theorem 2.3] によりであり, 以下の証明により,
vITI/刀もそうである.

$D_{N}$$\sum_{I}u_{II}/I!,$ $\sum_{I}u_{I}\tau_{I}/I!\in Z([)$$\sum_{I}v_{II}/I!,$$\sum_{I}$170
定理の証明の前に補題をふたつ証明する. 行列式の時に外積代数を用いての中で議論をしたように, パーマネントの場合は を不定元として,の中で議論をする.

$\wedge(\mathrm{C}^{n})\otimes \mathrm{c}D_{\mathfrak{n}}+$$\mathrm{C}[b_{1}, \ldots, b_{n}]\otimes \mathrm{c}D-\vdash \mathfrak{n}$$b_{j}$$(\eta 1, \ldots, \eta_{n})=(b_{1}, \ldots, b_{n})[Aij]1\leq i,j\leq n$$(A_{ij}\in D_{\mathfrak{n}}+)$,の時, $\# I=d$ に対して$\eta I(1)\ldots\eta I(d)$$=$$\sum_{1\leq i\iota\leq n}b_{i_{\overline{1}}}\cdots bi_{d}Ai1I(1)\ldots A_{i_{d}I}(d)$$=$$\#^{j}=d,\sigma \mathfrak{S}\sum_{\in d}\frac{1}{J!}b_{J}(\sigma(1))\ldots bJ(\sigma(d))AJ(\sigma(1))I(1)\ldots AJ(\sigma(d))I(d)$$=$$\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}b_{J}(1)\ldots bj(d)\sigma\sum_{\in \mathfrak{S}d}AJ(\sigma(1))I(1)$$=$$\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}bJ(1)\ldots bJ(d)$Per$A_{JI}$..

$.A_{J(\sigma}(d))I(d)$(3.23),という等式が成り立つ.

Lemma 3.11 $\# I=\# J=d$ のとき,
(1)$\# K=\sum_{d}\frac{1}{K!}f_{KJ}tfKI(\partial)$$=$$(-1)^{d}$ad (Per $[H_{I(t)J(S)}+(d-t)\delta_{I}(\iota)J(S’)]1\leq s,t\leq d$ ),(2)$\sum_{\# K=d}\frac{1}{K!}tfKI(\partial)fKJ$$=$$(-1)^{d}$ad (Per $[H_{I(t)(S)}J+(2-n-t)\delta I(t)j(s)]_{1\leq s},t\leq d$ ),

である.
ある. )

(上の式で $I=J$ とし, 刀で割り $\# I=d$ で和を取ったものが Turnbull 恒等式でProof. [(1) の証明]
要素が互いに可換な正方行列
意すると,

$A$

に対しては Per

$A=\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}At$であることと, $x_{ij}=-X_{i}j$ に注$(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n})=(b_{1}, \ldots, b_{n})[xij]_{1}\leq i,j\leq n$’と置けば $\# I=d$ に対して (3.23) より$\eta I(1)\ldots\eta_{I(}d)$

$=$

$=$

$\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}bJ(1)\ldots b_{J(}d)fJI$,$(-1)^{d} \sum\frac{1}{J!}\# J=dbJ(1)\ldots b_{J(}d)fIj$である. 次に,$(\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{n})$$=$$(\eta_{1}, \ldots, \eta n)[\partial ij]_{1\leq j}i,\leq n$$=$$(b_{1}, \ldots, b_{n})[\sum_{k}X_{ik}\partial_{kj]}1\leq i,j\leq \mathit{7}\iota$$=(b_{1}, \ldots, b_{n})[\mathrm{a}\mathrm{d}(Hji)]_{1}\leq i,j\leq n$

’

171
と置くと,

$\zeta_{j}$と$\eta_{i}$の交換関係:$\zeta_{j\eta_{i}}$$=$$\sum_{k}\eta_{k}\partial_{k\eta_{i}}j$$=$$\sum_{k}\eta k\eta i\partial_{kj}+\sum\eta k(bk\delta ji-bj\delta ki)k$$=$$=\eta_{i}\zeta_{j}-\eta_{i}b_{j}$,$=b_{k}\delta_{ji}-b_{j}\delta ki$,$\eta_{i}\zeta_{j}+\delta_{j}i\sum_{km}b_{m}Xmkbk-\eta ibj$を得る. 上のふたつ目の等号では$[\partial_{kj,\eta_{i}}]$

$=$

$=$

$[ \partial_{kj}, \sum_{m}bm^{X}mi]$$\sum_{m}b_{m}(\delta_{k}m\delta ji^{-}\delta ki\delta jm)$

(3.24)

を用いており, 最後の等号では $\sum_{km}b_{m^{X}m}kb_{k}$ が交代行列の要素の総和だからゼロである
ことを用いた. 次に,$(\zeta_{1}(u), .

.

.\zeta_{n}(u))=(b_{1}, \ldots, b_{n})[\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j}i)+u\delta_{ji}]1\leq i,j\leq n$と置くと $\zeta_{j}(u)=\sum_{i}bi(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j}i)+u\delta_{ji})=\zeta_{j}+ub_{j}$ であり,$\zeta_{j}(u)\eta_{i}$を得る.
さて, $\# I=d$ に対して,$=$$(\zeta_{j}+ub_{j})\eta i$$=$$\eta_{i}\zeta_{j}-\eta ib_{j}+u\eta_{i}b_{j}$$\zeta_{I(1}$$\zeta_{j}(u)$ここで (3.25) を繰り返し用いると,$=$の交換関係:$\eta_{i}$$=\eta_{i}\zeta_{j}(u-1)$) $(d-1)\zeta_{I}(2)(d-2)\cdots\zeta I(d)(0)$$\zeta I(1)(d-1)\zeta I(2)(d-2)\cdots\zeta I(d)(\mathrm{o})$と’(3.25),

を 2 通りに計算する. 第–に,$\zeta_{I(1})(d-1)\cdot\cdotarrow\zeta\tau(d)(1)\sum_{i}\eta_{i}\partial iI(d)$この式は次のように計算できる.

$\sum_{i}\eta_{i}\zeta_{I()()}1d-2\cdots(_{I}(d-1)(0)\partial iI(d)$$=$.

$1 \leq i_{1},\ldots,\leq n\sum_{i_{d}}\eta_{i\eta\cdots I}1\ldots i_{d}\partial_{i_{1}}I(1)\partial_{i_{d}}(d)$$\cdot$$=$$=$$\# K=d,\mathfrak{S}\sum_{\sigma\in d}\frac{1}{K!}\eta K(1)\ldots\eta K(d)\partial K(\sigma(1))I(1)\ldots\partial K(\sigma(d))I(d)$$(-1)^{d} \sum_{d\# K=}\frac{1}{K!}\sum_{J\#=d}\frac{1}{J!}b_{J(1)()}\ldots bJdfKJ{}^{t}fKI(\partial)$

上式の後半では (3.23) と同様の計算をしている.

.

.

172
第二に,
$\zeta I(1)(d-1)\cdots\zeta I(d)(0)$

$=$

$=$

$\{\sum_{i_{1}}b_{i_{1}}(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I()}1i_{1})+(d-1)\delta_{I}(1)i_{1})\}\cross\cdot$$\#\mathfrak{S}_{d}\sum_{J=d,\sigma\in}\frac{1}{J!}bJ(\sigma(1))\ldots bJ(\sigma(d))$..

$\cross\{\sum_{i_{d}}b_{i_{d}}(\mathrm{a}\mathrm{d}(HI(d)i_{d})+0\delta I(d)id)\}$.

$\mathrm{x}\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I}(1)J(\sigma(1)))+(d-1)\delta_{I}(1)J(\sigma(1))\}\mathrm{x}\cdots\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(HI(d)J.(\sigma(d)))+0\delta I(d)j(\sigma(d))\}$$=$$\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}b_{J}(1)\ldots Jb(d)\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{p}_{\mathrm{e}\mathrm{r}}[HI(t)J(s)+(d-t)\delta_{I}(i)J(s)]_{1}\leq s,t\leq d)$.

これら二つは同じ $J$ に対する summands が–致しているはずだから, それより (1) が得られる.

[(2) の証明]
まず (-3.24) より$=$$\sum_{i}\partial_{ij\eta i}$$\sum_{i}$$\eta_{i}\partial_{i}j+\sum(b_{i}\delta_{ji}-bj\delta ii)i$.
$=$$\zeta_{j}+(1-n)bj$$=\zeta_{j}(1-n)$,である. 今度は $\zeta I(1)(1^{\cdot}-n-0)\zeta I(2)(1-n-1)\cdots\zeta_{I}(d)(1-n-(d-1))$ を 2 通りに計算する. 第–に (1) と同様の計算で,$\zeta I(1)(1-n)\cdots\zeta I(d)(1-n-(d-1))$$=$$1 \leq i1,\ldots,id\sum_{\leq n}\partial i1I(1)\ldots\partial_{iI(}dd)\eta i1\ldots\eta_{i_{d}}$$=$$(-1)^{d} \sum_{\# K=d}\frac{1}{K!}\# J\sum_{=d}\frac{1}{J!}bJ(1)\ldots bJ(d)ftKI(\partial)fKJ$,が得られ, 第二にも (1) と同様にして$\zeta_{I(1})(1-n)\cdots\zeta I(d)(1-n-(d-1))$$=$$\# Jd\sum_{=}\frac{1}{J!}b_{J(}1)$

が得られる. これら 2 式で

...
$J$

$b_{J(d)}\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[H_{I(}t)J(_{S)}+(2-n-t)\delta I(t)J(s)]_{1\leq s},t\leq d)$

を止めて summands を比べると (2) を得る.

$\text{口}$Lemma 312 $\# I=\# J=d$ のとき,
(1)$\Psi_{\lambda}({}^{t}fI_{J})$

$=$

(2)

$\Psi_{\lambda}({}^{t}f_{IJ})$$=$$(-1)^{d} \sum\frac{1}{K!}{}^{t}fKI(\partial\# K=d)$ad (Per $[H_{J(t)(S)}K+(\lambda^{0}+n-1+d-t)\delta_{J}(t)K(s)]_{s}t$).

$(-1)^{d} \sum_{d\# K=}\frac{1}{K!}\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[HJ(t)K(_{S})+(\lambda^{0}-t+1)\delta_{J}(t)K(_{S})]_{St)}{}^{t}f_{KI}(\partial)$

Proof. [(1) の証明]
まず$(\mu_{1}, \ldots\mu_{n})=(b_{1}, \ldots, b_{n})[\partial_{ij}]1\leq i,j\leq n$

とおくと, (3.23) より$\mu_{I(1})\ldots\mu_{I}(d)=(-1)^{d}\#\sum_{J=d}\frac{1}{J!}b_{J}(1)$...

$b_{J(d)}{}^{t}fIJ(\partial)$,

173である. 次に, $(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n})=(b_{1}, \ldots, b_{n})[\Psi\lambda(G_{ij})]1\leq i,j\leq n$ とおくと,$\xi_{I(1)}\cdot.\cdot$である. ここで$\xi_{j}$.

$\xi_{I(d)}$$=$)$\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}b_{J(1))}\cdots b_{J(d}$$\Psi_{\lambda}(tf_{JI})$(3.26),の表示をふた通り与える. まず,$=$$\xi_{j}$$\sum_{i}b_{i}\Psi_{\lambda}(Gij)$$=$$\sum_{i}b_{i}(-\sum Xk\iota\partial i\iota^{r}\mathit{0}kj+\lambda^{0}k\iota\partial_{ij})$$=$$\sum_{i}b_{i}(\sum_{l}\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{jl})\partial i\iota+\lambda 0\partial ij)$$=$$\sum_{il}b_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{jl})+\lambda^{0}\delta_{j}\cdot\iota)\partial_{i}l$$=$$\sum_{l}(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j}\iota)+\lambda 0\delta_{j}l)\mu l$,となる. ここで$=$$[\mathrm{a}\mathrm{d}(Hjl), \mu i]$$[- \sum_{k}x_{k}\iota\partial_{k}j, \sum_{m}b_{m}\partial_{m}i]$$=$$=\delta_{\iota i}\mu_{j}-b\iota\partial ij$$\sum_{km}b_{m}(\delta_{km}\delta_{li}-\delta_{k}i\delta\iota_{m})\partial_{k}j$だから, これを用いると$\xi_{j}$と$\mu_{i}$,(3.27)の交換関係が得られ$=$$\xi_{j\mu_{i}}$$\sum_{l}(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j\iota})+\lambda 0\delta j\iota)\mu_{l}\mu i$$=$$\sum_{\iota}\mu_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j}l)+\lambda^{0}\delta_{j\iota})\mu\iota+\sum(\delta_{l}i\mu j-bl\partial ij)\mu\iota l$$=$となる, さらに$\xi_{j}$$\mu_{i}\xi_{j}+\mu i\mu j-\sum blblmm\partial m\iota\cdot\partial_{ij}$$=\mu_{i}(\xi_{j}+\mu j)$,のふたつ目の表示が (3.27) を用いて次のように得られる.
$\xi_{j}$$=$$\sum_{l}\mu\iota(\mathrm{a}\mathrm{d}(Hj\iota)+\lambda 0\delta jl)+\sum_{l}(\delta_{l}\iota\mu_{j}-bl\partial_{\iota j})$

$=$

$=$

$\sum_{l}\mu l(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j}l)+\lambda^{0}\delta jl)+(n-1)\mu j$$\sum_{l}\mu\iota(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j\iota)}+(\lambda^{0}+n-1)\delta jl)$,

次に $(\xi_{1}(u), \ldots, \xi n(u))=(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n})[\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{j}i)+(\lambda^{0}+n-1+u)\delta_{ji}]_{1\leq i},j\leq n$ と置くと,$\xi_{j}(u)$

$=$

$=$

$\sum_{i}\mu_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(Hji)+(\lambda^{0_{+n}}-1+u)\delta ij)$$\xi_{j}+\sum_{i}\mu_{i}u\delta_{ij}$$=\xi_{j}+u\mu_{j}$,174であるから,$\xi_{j}(u)$と$\mu_{i}\text{の}$交換関係:$\xi_{j}(u)\mu_{i}$$=$$(\xi_{j}+u\mu_{j})\mu_{i}$$=$$\mu_{i}\xi_{j}+\mu_{i}\mu_{j}+u\mu_{i}\mu_{j}=\mu i\xi j(u+1)$(3.28),

が得られる.
さて $\# I=d$ に対して $\xi I(1)\ldots\xi I(d)$ を (3.26) とは別の方法で計算する.

..

$\xi_{I(1)}$$=$$.\xi_{I(d)}$$=$$\xi_{I(1}$) (0) $\cdots\xi I(d)(0)$$\xi I(1)(\mathrm{o})\cdots\xi I(d-1)(0)\sum\mu_{i}(\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I}(d)i)+(\lambda^{0}i+n-1)\delta_{I}(d)i)$.

ここで (3.28) を繰り返し用いると上の式は次のように計算できる.

$\sum_{i}\mu_{i}\xi\tau(1)(1)\cdot 1\cdot\xi I(d-1)(1)\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I()}di)+(\lambda^{0}+n-1+0)\delta I(d)i\}$$=$$1 \leq i_{1},\ldots,i_{d}\sum_{\leq n}\mu i1\ldots\mu i_{d}\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I(}1)i_{1})+(\lambda^{0_{+}}n-1+(d-1))\delta_{I}(1)i_{1}\}\cross\cdots$$...\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I(d})id)+(\lambda^{0}+n-1+0)\delta_{I(d})id\}$$=$$\# K=d,\sigma \mathfrak{S}\sum_{\in d}\frac{1}{K!}\mu K(\sigma(1))\ldots\mu K(\sigma(d))$$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I(}1)K(\sigma(1)))+(\lambda 0_{+}n-1+(d-1))\delta_{I}(1)K(\sigma(1))\}\cross\cdots$

. .
$=$

$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I(d)}K(\sigma(d)))+(\lambda^{0}+n-1+0)\delta_{I}(d)K(\sigma(d))\}$$\sum_{\# K=d}\frac{1}{K!}\mu_{K}(1)\ldots\mu_{K(}d)$$=$

ad (Per $[H_{I(t)(s)}K+(\lambda^{0}+7l-1+d-t)\delta_{I()K(S)}t]_{1}\leq S,t\leq d$)$(-1)^{d} \sum_{K\#=d}\frac{1}{K!}(\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}b_{J}(1)\ldots b_{J}(d)ft(KJ\partial))$$\cross$ad (Per $[H_{I(t)K(S}$ ) $+(\lambda^{0}+n-1+d-t)\delta_{I(t)K}(s)]_{1\leq S,t\leq d})$ .

この式と (3.26) を[ (2) の証明]
また別の方法で$J$を止めて比較して,$\xi_{I(1)}\cdots$$I$と $J$ を交換すると (1) を得る.

\xi I(のを計算する.

$\xi I(1)\ldots\xi I(d)$$=$$(\mathrm{a}\mathrm{d}(HI(1)i)+(\lambda 0-\mathrm{o})\delta_{I(1})i)\mu i\xi I(2)(0)\cdot$$\sum_{*}$..

$\xi_{I(d)}(\mathrm{o})$.

$=$$\sum_{i}\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I}(1)i)+(\lambda^{0}-0)\delta_{I}(1)i\}\xi_{I}(2)(-1)\cdots\xi I(d)(-1)\mu i$$=$$i_{1}, \ldots,i_{d}n\sum_{1\leq\leq}\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I}(1)i1)+(\lambda 0_{-0})\delta_{I(1})i1\}\cross\cdot.$$\cross\mu_{i_{1}}\cdots\mu_{i_{d}}$.

$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(H_{I()}di_{d})+(\lambda^{0_{-(d}}-1\mathrm{I})\delta I(d)id\}$

175
$=$
$\# K=d,\sigma \mathfrak{S}\sum_{\in d}\{\mathrm{a}\mathrm{d}(HI(1)K(\sigma(1)))+(\lambda^{0}-\mathrm{o})\delta_{I}(1)K(\sigma(1))\}\cross\cdots$

...
$=$

$\cross\{\mathrm{a}\mathrm{d}(HI(d)K(\sigma(d)))+(\lambda^{0_{-(-1)}}d)\delta_{I}(d)K(\sigma(d))\}\cdot\frac{1}{K!}\mu K(1)\ldots\mu_{K(}d)$$\sum_{\# K=d}\frac{1}{K!}\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[H_{I(t})K(s)+(\lambda^{0_{-}}t+1)\delta_{I(}t)K(s)]_{1\leq s,t\leq d)}$$\cross(-1)^{d}\sum_{\# J=d}\frac{1}{J!}b_{j}(1)\ldots bj(d){}^{t}fKJ(\partial)$

この式と (3.26) を$J$を止めて比較して,$I$.

と $J$ を交換すると (2) を得る$\square$

Proof of Theorem 3.9. (3.16) は Lemma 3.11 (1) において $I=J$ として

$I!$

で割って

$I$

で和をとれば得られる. (3.18) も同様に証明できる. また (3.20) については, Lemma 3.12
(1) と Lemma 3.11 (1) より$=$$\# I=\#=\sum_{jd}\Psi_{\lambda}(\frac{f_{IJ}{}^{t}f_{IJ}}{I!J!})$$\# I=\#^{j}\sum_{=d}\frac{f_{IJ}}{I!J!}$$=$.

$(-1)^{d} \sum_{\# K=d}\frac{1}{K!}tfKI(\partial)\cdot(-1)d\Psi_{2}\lambda+2\rho(u_{jK}^{\tau})$$(-1)^{d} \sum_{\# J=\# K=d}\frac{1}{J!K!}\{_{\# I=d}\sum\frac{1}{I!}f_{I_{J}}tfIK(\partial)\}\Psi_{2\lambda+\rho}2(u_{jK})T$$=$$(-1)^{d} \sum_{\# J=\# K=d}\frac{1}{J!K!}\mathrm{a}\mathrm{d}(u^{\tau}KJ)\Psi_{2\lambda 2}+\rho(u^{T})jK$’と証明できる. (3.22) も, Lemma 3.12 (2) と Lemma 3.11 (2) より同様に示される.
残りの等式を証明するために型の場合の証明と同じく Defiinition 22 で定めた anti-involutionsを用いる. では (3.17) を証明する. 式 (3.16) の左辺は D 畜に属しているから \tau -不変であり,$(\mathrm{A}_{\text{ア}+-})q1,p$$\sigma,$$s,$$\tau$\mbox{\boldmath $\sigma$}\tau ( 3.16) 左辺)$=$\mbox{\boldmath $\sigma$}( 3.16) 左辺)$\sigma(\sum_{IJ}\frac{fIJ{}^{\mathrm{t}}fIJ}{I!J!}$$(-1)^{d} \sum\frac{{}^{t}f_{IJ}(\partial)f_{I}j}{I!J!}$となる. 次に$\sigma\tau$$u\in U(\mathfrak{l})$$\sigma\tau$

左辺),が automorphism であることに注意すると,$\sigma\tau(\Psi(\mu u_{I}^{\tau})J)$

だから,

(

$=(-1)^{d}$ $(3.17)$

の時,

$=$

$\sigma\tau(\Psi(\mu \mathrm{p}_{\mathrm{e}}\mathrm{r}[-HI(t)J(s)-(d-t)\delta_{I()J}t(_{S)}]1\leq s,t\leq n))$$=$$\Psi_{-\mu-2\rho}(\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[_{S(}t(-HI(t)J(s)-(d-t)\delta_{I}(t)j(s)))]_{1}\leq S,t\leq n)$$=$$\Psi_{-\mu-2\rho}(\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[HJ(s)I(i)-(d-t)\delta_{J(}s)I(t)]_{1\leq s,t\leq n})$$=$$\Psi_{-\mu}(\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}[H_{J}(s)I(t)-(d-t+7l-1)\delta_{j(})I(t)]_{1\leq S,t\leq n}s)$$=$$(-1)^{d}\Psi_{-\mu}(v_{JI})$$\mathrm{a}\mathrm{d}(u)=\Psi_{0}(u)$((3.16) 右辺)

$=$

$=$

(3.29),であることに注意すると,$\sigma\tau(\sum_{=\# Id}\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{I}^{\tau_{I}})}{I!})$$(-1)^{d} \sum_{I\#=d}\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{II})}{I!}$($=(-1)^{d}$ $(3.17)$

右辺),

176
これらをまとめて (3.17) が示された. 同様にして, (3.15) も (3.18) から証明できる.

最後に (3.21) を証明する. (3.19) も同様に証明できる. 式 (3.20) の左辺は

$D_{\mathfrak{n}}^{L}+$に属しているから \tau -不変であり,$\sigma\tau$方$\sigma\tau$((3.20) 左辺)$=$$\sigma$( $(3.20)$ 左辺)$=$$\sigma(\sum_{j\# I=\#=d}\Psi_{\lambda}(\frac{f_{IJ}{}^{t}f_{IJ}}{I!J!}))$$=$$\# I=\#^{jd}\sum_{=}\Psi-\lambda-2\rho(\frac{{}^{t}f_{IJ}fIj}{I!J!})$.

が同型であることと, (3.29) より,.
$\sigma\tau$((3.20) 右辺)$=$$\sigma\tau((-1)^{d}\# I=\#\sum_{j=d}\frac{1}{I!J!}\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{IJ}^{\tau})\Psi_{2\lambda 2}+\rho(u_{J}^{\tau})I)$$=$$(-1)^{d} \# I=\#\sum_{J=d}\frac{1}{I!J!}(-1)d\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{j}I)\cdot(-1)d\Psi-2\lambda-2\rho(v_{Ij})$が得られる. 上の 2 式を比較し,3.4$(\mathrm{D}_{n}, 1)$or$\lambda$

を一\mbox{\boldmath $\lambda$}--2\rho にとりかえると (3.21) が証明される.

$\mathfrak{h}$を$\mathrm{g}$の対角行列からなる集合とする.

める.
$H_{ij}=E-E_{n+}\overline{i}\overline{j}\overline{j},\overline{n+i}$

ここで$\overline{i}$$\square$$\mathit{0}_{2n-1}\otimes GL_{1}$$\mathrm{g}=\{\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(2n, \mathrm{C})|A\in \mathrm{g}((n_{1\mathrm{t}}B,c\in \mathrm{A}’ \mathrm{c})(n’, \mathrm{c})\}$

と定める.

,

は $1\leq\overline{i}\leq 2n$ かつ$i\equiv\overline{i}$$\mathrm{g}$,の基底を擢 33 とは異なる方法で定$(i, j\in \mathrm{Z}_{>}\mathrm{o})$,(mod $2n$ ) を満たす整数を表す. すると全ての$H_{ij}$は$\mathrm{g}$に属し,$H_{n+i,n+j}$$=$$-H_{ji}$$H_{i,n+i}$

$=$

$0$

$[H_{ij}, H_{k}\iota]$

$=$

,

,
,

$\delta_{\overline{j}}{}_{\overline{k}}H_{i\iota}-\delta_{\overline{\iota}}{}_{\overline{i}}H_{k}-j\delta_{j+}H\overline{n\iota}i,n+k+\delta\overline{i}\overline{\dagger k}n{}_{n}H+l,j$を満たす.
$\epsilon_{i}\in \mathfrak{h}^{*}(i\in\{1, \ldots, n\})$を $\epsilon_{i}(H_{jj})=\delta_{ij}(j\in\{1, \ldots, n\})$ で定める. ノレ一トシステムな177
どの情報を以下にまとめる.
$\Pi$$\triangle^{+}$$H_{ij}$$H_{i,n+j}$$H_{n+j,i}$$=$$\{_{\Xi_{1^{-\epsilon_{2},\ldots,\epsilon_{n}}}}-1^{-}\epsilon n’\epsilon_{n}-1+\epsilon n\}$$=$$\{\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq n\}$:::$(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})$$(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$,-root vector-root vector $(1 \leq i, j\leq n, i\neq j)$ ,-root vector $(1 \leq i, j\leq n, i\neq j)$ ,$\Pi\backslash \{\epsilon\{\epsilon_{i^{\pm}j}\epsilon|1<i<j1^{-}\epsilon_{2}\},\leq n\}$$\rho$$=$$(n-1)\varpi_{i_{0}}$$=$$\mathrm{T}\mathrm{r}(XY)/2$

X,
C. B.

$Y\rangle$:$\epsilon_{1}$,,$\varpi_{i_{0}}$$=$$\langle$,$(1 \leq i, j\leq n, i\neq j)$$-(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$$==$$\Pi_{L}\triangle_{L}^{+}$

,

,

(X,

),

$Y\in \mathrm{g}$$\{H_{\dot{i}j}|1\leq i, j\leq n\}\cup\{H_{i,n+j}|1\leq i<j\leq n\}$$\cup\{H_{n+}j,i|1\leq i<j\leq n\}$$M=\{1, \ldots, 2n\}\backslash \{1, n+1\}$

とおく. 部分代数.

$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{p},$, (は次のよっになる.

$[$

$=$

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\mathrm{C}}\{H11, H_{ij(}1<i, j\leq n), H_{i,n+j\prime}(1<i<j\leq n), H_{n+j,i}(1<i<j\leq n)\}$$\mathfrak{n}^{+}$$=$$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{C}\{H1j(j\in M)\}$$=$$[+\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{p}$

,

,

.

Definition 22 におけるちにより,${}^{t}H_{ij}=H_{ji}$,はである. $i\in M$ に対して, $x_{i}=H_{i1},$の座標系を与える.
と定めると,などもまたと表すことにする. Lemma 2.1 により次の補題が得られる.
$x_{i}$$x_{\overline{i}}$Lemma 3.13 (1)
(2)

(3)

$\mathfrak{n}^{+}$$\{x_{i}\}$$\partial_{i}=\partial/\partial_{X_{i}}$$\Psi_{\lambda}(H_{11})=-\sum_{k\in\Lambda f}x_{k}\partial k+\lambda^{0}$$\Psi_{\lambda}(H_{ij})=X_{i}\partial_{j}-Xn+j\partial_{n}+i$,$(i, j\in M)$ ,$\Psi_{\lambda}(H_{1j})=-\sum xk\partial k\partial_{j}+\frac{1}{2}\sum_{kk\in M\in\Lambda I}x_{n}+j\partial k\partial n+k+\lambda^{0}\partial j$

ウェイトー 2\varpi ,。を持つ相対不変式$f\in \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$$(j\in M)$

は$f=x_{2^{X_{n}}+2}+x_{3^{X_{n}}+3}+\cdots+x_{n^{X}2n}$,で与えられ,${}^{t}f(\partial)=\partial_{2}\partial_{n+2}+\cdots+\partial n\partial_{2}n$

’

である.

Theorem 3.14,

$u_{1}$$=$$-H_{11}$’$=$$-H_{11}+2n-2$ ,$u_{2}$$=$$\frac{1}{4}H_{11}(H11^{-2}n+4)-\frac{1}{4}c$$v_{2}$$=$$\frac{1}{4}(H_{11}-2)(H_{1}1-2n+2)-\frac{1}{4}c$$\tau$,,.

$\square$178と定める. ただし,$c\in U(\mathfrak{t})$

は

に関する

$\langle, \rangle$$[\downarrow, []$の Casimir element である.

$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{1})$$\sum_{j\in M}x_{j}\partial_{j}$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}.(v_{1})$$\sum_{j\in \text{ルノ}}\partial_{j}X_{j}$

すると

,
,

$f{}^{t}f(\partial)$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{2})$,${}^{t}f(\partial)f$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{2})$,であり, さらに,$=$$- \frac{1}{2}\Psi_{0}(u_{1})\Psi 2\lambda+2\rho(u1)-\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{d}(c)$$=$$- \frac{1}{2}\Psi_{0}(v_{1})\Psi 2\lambda+2\rho(v1)-\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{d}(c)$$\Psi_{\lambda}(f{}^{t}f)$$=$$\Psi_{0}(u2)\Psi 2\lambda+2\rho(u_{2})$$\Psi_{\lambda}({}^{t}ff)$$=$$\Psi_{0}(_{V_{2}})\Psi 2\lambda+2\rho(_{V_{2})}$$\sum_{j\in M}\Psi_{\lambda}(Hj1H1j)$$\sum_{j\in M}\Psi_{\lambda}(H_{1j}H_{j1})$

Proof.

,,,.

相対不変式 $f$ に関する証明は [9] でなされている.
の証明も直接計算してできる.

オイラー作用素に対応する$\Psi_{\lambda^{-}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{e}$3.5$(.\mathrm{B}_{n}^{\cdot},\cdot 1)$or$\square$$O_{2n}\otimes GL_{1}$$\mathrm{g}=\{\in \mathrm{g}\mathrm{t}(2n+1, \mathrm{C})|a,b\in \mathrm{C}^{n}A\in B,C\in\sigma\downarrow(n,\mathrm{C})\mathrm{A}1\mathrm{t}(n’, \mathrm{C}),$

とおき,
始めて,

とおく.

$\mathfrak{h}$$\mathrm{g}$$\overline{i}$を満たす.

の対角行列からなる集合とする. 次のようにの基底を \S \S 3.4 のものを拡張して定める.
を$\mathrm{g}$$H_{ij}$$=$$E_{\overline{i}\overline{j}}-E_{n+}\overline{j},\overline{n+i}$$g_{i}$$=$$E_{0\overline{i}}-E_{n+}\overline{i}0$は \S \S 3.4 と同じである. すべての

$H_{i}$の行・列の番号付けを$(i, j\in \mathrm{Z}_{>}\mathrm{o})$$(i\in \mathrm{Z}_{>0})$,と$\mathrm{g}$$g_{i}$は$\mathrm{g}$

,

,

に属し,

,

$H_{n+i,n}+j$$=$$-H_{ji}$$H_{i,n+i}$

$=$

$0$

$g_{n+i}$$=$$-{}^{t}g_{i}$$[H_{ij}, H_{k}\iota]$$=$$\delta_{\overline{j}}{}_{\overline{k}}H_{i\iota}-\delta_{\overline{\iota}}Hkj-\delta_{\overline{j\iota}n}\overline{i}7\iota+^{H_{i,+}+\delta {}_{n}H}k\overline{i+k}n+\iota,j$$[H_{ij,g_{k}}]$$=$$-\delta_{\overline{i}\overline{k}}g_{j}+\delta g\overline{k}\overline{n+j}n+i$$[g_{i}, g_{j}]$$=$$H_{n+j,i}$

,

,

,

,

$\}$

,

$0$

から

179
を $\epsilon_{i}(H_{jj})=\delta_{ij}(j\in\{1, \ldots, n\})$ で定める. ノレ $-$ トシステムな$\epsilon_{i}\in \mathfrak{h}^{*}(i\in\{1, \ldots, n\})$

どの情報を以下に記す.

,

$\Pi$

$=$

$\{\epsilon_{1}-\epsilon 2, \ldots, \epsilon_{n-}1-\epsilon n’\epsilon n\}$$\triangle^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j}|1\leq i<j\leq n\}\cup\{\epsilon i|1\leq i\leq n\}$$H_{ij}$-root vector-root vector $(1 \leq i<j\leq n)$ ,-root vector $(1 \leq i<j\leq n)$ ,-root vector $(1 \leq i\leq n)$ ,-root vector $(1 \leq i\leq n)$ ,$(1 \leq i, j\leq n, i\neq j)$$(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})$$H_{i,n+j}$:$(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$$H_{n+j,i}$:$-(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})$$g_{n+i}$$\epsilon_{i}$:$g_{i}$,$-\epsilon_{i}$,$\Pi_{L}$$=$$\square \backslash \{\epsilon_{1}-\epsilon 2\}$$\triangle_{L}^{+}$$=$$\{\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j}|1<i<j\leq n\}\cup\{\epsilon_{i}|1<i\leq n\}$$=$$2\rho$$=$$(2n-1)\varpi_{i\mathrm{o}}$$=$$\mathrm{T}\mathrm{r}(XY)/2$X,

C.

$Y\rangle$$\mathrm{B}$$\epsilon_{1}$

.:

,

,

$\varpi_{i_{0}}$$\langle$

,

,

(X,

$\mathrm{Y}\in \mathrm{g}$),$\{H_{ij}|1\leq i,j\leq n\}\cup\{H_{i,n+j}|1\leq i<j\leq n\}$$\cup\{H_{n+j,i}|1\leq i<j\leq n\}\cup\{\sqrt{-2}g_{i}|1\leq i\leq 2n\}$

部分代数
である.
$[=$

$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{p},$, 【は次のようになる. ただし $M=\{1, \ldots, 2n\}\backslash \{1, n+1\}$ は \S \S 3.4 に同じ$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{C}.\{H_{1}1,$$H_{i}j(1<i, j\leq n),$ $H_{i,n+}j(1<i<j\leq n),$$g_{i}(i\in M)\}$$\mathfrak{n}^{+}$

$=$

$=$

$\mathfrak{p}$$\mathrm{t}+\mathfrak{n}^{\dotplus}$

,

.
$t$

により,
${}^{t}H_{ij}=H_{ji}$$i\in M$ に対して,$\{X_{i}|i\in M_{0}\}\uparrow\mathrm{h}\mathfrak{n}+$$\nearrow,\mathcal{R}\backslash \sigma_{2}\text{補題}k6\mathrm{B}\text{る}$.

,${}^{t}g_{i}=-g_{n}+i$,と定めると,の座標系を与える. ただし, $M_{0}=M\cup\{0.\}$ である. Lemma 2.1 によりLemma 3.15 (1)(2)(3)$H_{n+j,i}.(1<i<j\leq n)$ ,,$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\{H_{1j(M}j\in), gn+1\}$

Definition 22 におけるである.

$x_{i}=H_{i1},$$x0=g_{1},$$\partial_{i}=\partial/\partial x_{i},$$\Psi_{\lambda}(H_{11})=-\sum_{0j\in M}Xj\partial j+\lambda^{0}$$\Psi_{\lambda}(H_{ij})=x_{i}\partial_{j}-X_{n+}j\partial_{n+i}$$\Psi_{\lambda}(g_{i})=x_{0}\partial_{i}-X_{i}\partial_{0}$$\partial_{0}=\partial/\partial x_{0}$,$(i, j\in M)$ ,$(i\in M)$ ,(4)$\Psi_{\lambda}(H_{1j})=-\sum_{k\in M0}x_{k}\partial_{k}\partial_{j}+\frac{1}{2}X_{n}+j(_{k\in}\sum_{M}\partial_{k}\partial n+k+\partial_{0}\partial_{0}\mathrm{I}+\lambda^{0}\partial_{j}$(5)$\Psi_{\lambda}(g_{n+1})=\sum_{k\in M0}x_{k}\partial_{k}\partial 0-\frac{1}{2}x_{0}(_{k\in M}\sum\partial_{k}\partial_{n}+k+\partial_{0}\partial_{0})-\lambda^{0}\partial_{0}$.

ウェイトー 2\varpi ’。を持つ相対不変式$f\in \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{+}]$

は$f=x_{2}x_{n+}2+x_{3^{X_{n}}+3}+ \cdots+x_{n}X_{2n}+\frac{1}{2}x_{0}^{2}$で与えられ,${}^{t}f( \partial)=\partial 2\partial_{n+2}+\cdots+\partial_{n}\partial 2n+\frac{1}{2}\partial_{0}\partial_{0}$

である.

.

,

,

,

口

180
Theorem 316と定める. ただし,,

$u_{1}$$=$$-H_{11}$$v_{1}$$=$$-H_{11}+2n-1$ ,$\mathrm{t}$$=$$\frac{1}{4}H_{11}(H_{11}-2n+3)-\frac{1}{4}c$$v_{2}$–$\frac{1}{4}(H_{11}-2)(H_{11}-2n+1)-\frac{1}{4}c$$c\in U(\downarrow)$は$\langle, \rangle$,に関する $[1, []$ の Casimir element である. すると$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{1})$,$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{1})$,$f{}^{t}f$ $(\partial)$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{2})$,${}^{t}f(\partial)f$$=$$\mathrm{a}\mathrm{d}(v_{2})$,$\sum_{j\in M_{0}}xj\partial j$$\sum_{j\in.M_{0}}\partial_{j^{X}j}$

.

.:.

,

$u_{2}$::.

$\cdot$であり, さらに,$=$$- \frac{1}{2}\Psi_{0}(u_{1})\Psi_{2}\lambda+2_{\beta}(u_{1})-\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{d}(c)$$=$$- \frac{1}{2}\Psi_{0}(v_{1})\Psi_{2}\lambda+2_{\beta}(v_{1})-\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{d}(c)$$\Psi_{\lambda}(f^{t}f)$$=$$\Psi_{0}(u2)\Psi \mathit{2}\lambda+2\rho(u2)$$\Psi_{\lambda}({}^{t}ff)$$–\Psi_{0}(_{V_{2}})\Psi 2\lambda+2\rho(_{V_{2})}$,$\Psi_{\lambda}(\sum_{Mj\in}H_{j1}H1j-g_{1}g_{n+1})$.
$\Psi_{\lambda}(\sum_{j\in M}H_{1j}Hj1-gn+1g_{1})$Proof.
$\Psi_{\lambda}$

相対不変式 に関する証明は [9] でなされている.
-analogue の証明も直接計算してできる.
$f$

,

,

.
オイラー作用素に対応する
口

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