医学部［一般・学士］ 模範解答

英語,数学,理科（物理・化学・生物）

英語問１Ⅰ問２問３問４Ⅱ14245252533426442271522826329573302853149232

110433511534212535413336

1143373151385162396173404182418194427201435212446224235ⅢⅣ

Ⅴ

問１問２（A）
Ⅵ
（B）

−136−

数学
【1】次の各文のにあてはまる答えを求めよ。

原点 O と点 (1, e－1) で曲線 y＝ex－1 と交わる直線を l とする。このとき，曲線 y＝ex－1 と直線 l で囲まれた部分の面積は（ア） である。

⑴

また，曲線 y＝ex－1 と直線 l で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は（イ）である。
⑵

a，b を異なる実数とし，i を虚数単位とする。4 つの複素数 3＋i，2＋3i，a＋bi，b＋ai の表す複素数平面上の 4 点をそれぞれ A，B，C，Dとする。a＝5，b＝3 であるとき，2 つの線分 AC と AD のなす角θの値は（ウ） である。ただし，0≦θ≦πとする。また，3 点 A，B，C が一直線上にあるとき，b は a を用いて b＝（エ） と表せる。3 点 A，B，C が一直線上にあり，2 つの直線 AD と BD が垂直であるとき，a の値は （オ）または（カ）である。ただし，A，B，C，D は相異なる 4 点とする。

⑶

関数 f (x)＝を考える。sin x＋cos x＝t とおくとき，f(x) を t を用いて表すと，f (x)＝（キ） となる。また，（－ 4 ＜ x ＜ 4 ）3＋2 sin 2xsin x＋cos xππf(x) は x＝（ク） で最小値をとる。方程式 f (x)＝k の異なる実数解の個数が 2 個であるとき，定数 k のとり得る値の範囲は（ケ）である。
⑷

自然数 n に対して，4 個の数字 3，4，5，6 を重複を許して使ってできる n 桁の整数のうち 3 の倍数であるものの個数を an とする。

｛an｝の一般項は an＝（シ） である。
このとき，a1 の値は 2，a2 の値は 6，a3 の値は（コ） ，a4 の値は（サ）である。数列

解答欄
⑴ （ア）
－⑵ （ウ）

e－3
22t＋⑷ （コ）π－ (e2－8e＋13)
6（オ）

（エ）

π4⑶ （キ）（イ）－2 a＋71t（ク）－π12（サ）22（ケ）（シ）8611＋ 652 2 ＜k＜

5 224 ＋23n※（オ）と（カ）の答は逆でもよい。

−137−（カ）11－ 65

【2】a，b を正の定数とし，楕円x2 y 2y2＋ ＝1 を C 1 ，双曲線 x2 － ＝1 を C 2 とする。C 1 と C 2 は 4 つの共有点をもつとし，それらを頂点とする四角形の面積を S とする。
a2b

また，点 P を第 1 象限にある C 1 と C 2 の共有点とする。このとき，次の問に答えよ。
⑴

点 P の座標を a，b を用いて表せ。また，a のとり得る値の範囲を求めよ。

C 1 と C 2 の共有点の座標は｛

a＞1 のとき，この連立方程式を x2，y2 についてのx，y についての連立方程式連立 1 次方程式と見なして解くと，

x2y2＋＝1
a2a (b＋2)
2b (a－1)x ＝，y 2 ＝ab＋2ab＋2p＝2の実数解として得られる。

2b (a－1)
ab＋2とおくと，C 1 と C 2 は 4 つの共有点の座標は(a＞0，b＞0 より，ab＋2≠0)y2
x 2－＝1ba (b＋2)，q＝ab＋2(p，q)，(p，－q)，(－p，q)，(－p，－q)

C 1 と C 2 が 4 つの共有点をもつのは，

点 P は第 1 象限にある C 1 と C 2 は共有点

この 2 つの等式の右辺がともに正のなので，点 P の座標は (p，q) である。

ときなので，a＞1 のときである。

答⑵（a (b＋2)
ab＋2

点 P の座標：2b (a－1)
ab＋2，），a＞1

a のとり得る値の範囲：

点 P における C 1 と C 2 の接線は垂直に交わるとする。このとき，b と S をそれぞれ a を用いて表せ。また，a のとり得る値の範囲を求めよ。
y2x2＋ ＝1 の両辺をそれぞれ x で微分すると，
a2dy2x＝0＋ydx
a∴dy2x＝－dx
ayx 2－2y dy＝0b dx∴

また，S は⑴で求めた 4 つの共有点を頂点とする長方形の面積なので，

ab (b＋2)…②2 (a－1)

S＝4pq＝①，②より，点 P における C 1 と C 2 の接線…①dy bx＝dxy(y≠0)－2 (b＋2)×ab (a－1)

ab (b＋2)
2 (a－1)4 2ab(a－1)(b＋2)
ab＋2

b＝a－3 より，が垂直に交わるための必要十分条件は

y2＝1 の両辺をそれぞれ x で微分すると，
b2x－bp＝q(y≠0)

これより，点 P における C 1 の接線の傾きは2 (b＋2)2p－ ＝－ab (a－1)
aq

これより，点 P における C 2 の接線の傾きは

S＝4(a－1) 2a(a－3)
a(a－3)＋2＝

4 2a(a－3)
a－2＝－1

a＞1，b＞0 より，これを整理すると
b＝a－3 となり，a のとり得る値の範囲は a＞3 であることがわかる。

答⑶b＝a－3，

S＝

4 2a(a－3)，a－2

a のとり得る値の範囲：

a＞3点 P における C 1 と C 2 の接線は垂直に交わるとする。S＝k を満たす異なる a の値の個数が 2 個であるとき，定数 k のとり得る値の範囲を求めよ。

f(a)＝4 2a(a－3)
a－2(a＞3) とおく。

lim f (a)＝ lim 4 2a(a－3) ＝0
また， a→3＋0
a→3＋0
a－2

a についての方程式 f(a)＝k が 2 つ（34 2 1－alim＝ a→∞21－a－4(a－6)(a－2)

曲線 y＝f (a) と直線 y＝k の共有点のa→∞の範囲を求めればよい。

2の漸近線である。

lim f (a)＝ lim 4 2a(a－3)
a→∞a－2の異なる実数解をもつような定数 kf '(a)＝ここで，直線 y＝4 2 は曲線 y＝f (a)2a(a－3)

a 座標が方程式 f (a)＝k の実数解であ）＝ 4 2より，f '(a)＝0 となる a の値は a＝6

したがって，曲線 y＝f (a) の概形は下の図のである。a＞3 における f (a) の増減表ようになる。

るので，方程式 f (a)＝k が 2 つの異なる実数解をもつのは 4 2 ＜k＜6 のときである。

は次のようになる。
yaf ’(a)
f (a)

3…

6…

＋0－66

y ＝ f(a)4 2O

36−138−a答

4 2 ＜k＜6

【3】次の問に答えよ。必要であれば，自然対数の底 e は 2＜e＜3 を満たすことを用いてよい。
⑴f (x) ＝1－x log xとおく。方程式 f (x) ＝0 がただ 1 つの実数解をもつことを示せ。
xf (x) は 1≦x≦e の範囲で連続であって，f (1) ＝1＞0，f (e) ＝1－e＜0ef (x) ＝11－x log x＝－log x を微分すると，
xxf '(x) ＝－である。

11－x2x

したがって，中間値の定理により，となるので，f (x) の定義域 x＞0 において，

方程式 f (x) ＝0 は 1＜x＜e の範囲につねに f '(x) ＜0 で あ る 。

少なくとも 1 つの実数解をもつ。

よって，f (x) は定義域 x＞0 で減少するので，方程式 f (x)＝0 の実数解はただ 1 つである。

⑵⑴の方程式 f (x) ＝0 のただ 1 つの実数解をαとおく。2 つの曲線 y＝c log x と y＝e x が共通の接線をもつとき，正の定数 c のとり得る値の範囲をαを用いて表せ。

y＝c log x を微分すると y'＝cとなるので，
xよって，g (t) の増減表は次のようになる。

曲線 y＝c log x 上の点 (t，c log t) における接線の方程式は
y－c log t＝tcc(x－t)
t∴ y＝ t x＋c (log t－1) …①g’(t)y＝e を微分すると y'＝e となるので，
x0x…

α…

＋0－g (t)α＋曲線 y＝e 上の点 (s，e ) における接線の方程式は
xs∴ y＝e x＋(1－s) ey－e s ＝e s (x－s)

ss…②lim g(t)＝ lim｛1＋t＋(1－t) log t ｝
また， t→＋0＝－∞t→＋0｛…③c ( log t－1)＝(1－s) et→∞1

したがって，曲線 y＝g(t) の概形は下の図のようになる。

yα＋ 1αs＝log c－log t

これを④に代入すると，c (log t－1)＝(1－log c＋log t)
両辺にそれぞれ1t→∞…④s関数 y＝c log x の定義域は x＞0 なので t＞0 であり，③と c＞0 より，log t｝＝－∞｛ t ＋1＋（ t －1）

lim g(t)＝ lim t①と②が同一の直線の方程式であるとすると，
c＝e stOctαtを掛けて整理すると，clog c＝1＋t＋(1－t) log t
逆に，この等式が成り立つ正の数 t が存在するとき，
s＝log c－log t とおくと，①と②は同一の方程式となり，曲線 y＝log x と曲線 y＝e x は共通の接線をもつ。
よって，g (t)＝1＋t＋(1－t) log t1α(t>0) とおくとき，ty ＝ g(t)曲線 y＝g(t) と直線 y＝log c の共有点の t 座標が方程式g(t)＝log c の実数解であるので，方程式 g(t)＝log c が実数解をもつのは log c≦α＋1のときである。
α1

よって，c のとり得る値の範囲は 0＜c≦e α＋ α である。

方程式 g (t)＝log c が解をもつ正の定数 c の範囲を求めればよい。
g' (t)＝

1－log t＝f (t)t( f (x) は⑴の関数 )より，g' (t) は t>0 の範囲で減少し，g' (t)＝0 となる t の値はt＝ α である。また，g' ( α)＝0 より log α＝g ( α) =1＋ α＋(1－ α) ×1であるので，α11＝α ＋αα

答−139−

10＜c≦e α＋ α

物理問１問２Ⅰ問３問４22739445761471281693問51071112問１

12613

4142問３

152問４

164問5

176問618

719

720

3問２

Ⅱ

1問7問１
Ⅲ問２問３

21222

123924625

726

7−140−

化学

Ⅰ

ⅡⅢ

Ⅳ

生物

問１

1415323問２252233

11問３3131034

5問４434735

4問５5954365問６6661375問７77715384問８81087396問１

979340

3問２109102413問３

118111421問４128121243

5問１13−

132444問２

144141245

7問３

15

415

346

5問４

167161047

4問１

17517548

1問２

18518349

3問３196191050

6問４

20

720

2⑴

21

2

21

8⑵

22

922

4⑴

23

4233⑵

24324

125426327228

6291230931

11問１Ⅴ問２ⅠⅡ−141−Ⅲ