数理解析研究所講究録
1190 巻 2001 年 50-60

50Littlewood の倍角公式
水川裕司 (Hiroshi Mizukawa)

北大理

Division of Mathematics, Hokkaido University

1

Introduction”

ここでは, 我々が Littlewood の倍角公式 (Littlewood’s multiple formula) ” と呼んでいる対称群の指標に関する公式について述べる. この話は岡山大学の山田裕史氏との共同研究 [5] によるものである.

まず, 分割$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots)$

の“

$r$

令”,

$r\lambda$

を次のように定義する.

$r\lambda=(r\lambda_{1}, r\lambda_{2}, \ldots)$

を $n$ の分割

でパラメトライズされる対称群の既約指標の共役類 上での値とする. いま,の指標表とその共役類と表現を表す分割を “ 2 倍” したの指標表の–部分を比較してみる.
$\chi^{\lambda}(\rho)$$\lambda$$S_{n}$$S_{2}$$S_{4}$$rightarrow+_{0}^{S_{4}}(2^{2})2(4)(2^{2})(4)11$

すると,

,

$\chi^{(4)}(2\rho)$$=$$\chi^{(2)}(\rho)$$\chi^{(2^{2})}(2\rho)$$=$$\chi^{(2)}(\rho)+\chi((1^{2})\rho)$

なる関係があることがわかる.
実は–般に次の公式が成り立つことが知られている,

Theorem 1.1. (Littlewood の倍角公式, [2]) と を の分割,$(r\lambda)[r-1]$ をの -quotient とする. このとき,$\lambda$$\rho$$(r\lambda)[0],$ $(r\lambda)[1],$$r\lambda$

$n$

$r$

$\ldots,$$\chi^{r\lambda}(r\rho)=\sum_{\in\nu P(n)}LR^{\nu}\lambda(r\lambda)[1],\ldots,(r\lambda)[r-1]\chi^{\nu}(r)[0],(\rho)$が成り立つ ( $P(n)$ は$n$$\rho$の分割全体).

51
ここでさらに上の観察を対称群のスピン指標に対しておこなってみる.
をでパラメトライズされるスピン指標 上での値とする. [1] の巻末の表を見てみはると, まず$\zeta^{\lambda}(\rho)$$\lambda$$\rho$$S_{4}(\tilde{S}_{4})$となっておりこれを” 3 倍” した$S_{12}(\tilde{S}_{12})$の部分はとなり, 二つは全く -致している. ここで $SP(n)$ を の分割でゼロでない和因子がすべて異なるもの, また $P_{odd}(n)$ を の分割でゼロでない和因子がすべて奇数のものとおくと Theoremll のスピン版として次が成立する.
$n$

$n$

Theorem 12. $\lambda\in SP(n),$$\rho\in P_{odd}(n),$$r$を奇数とする. このとき,$\zeta^{r\lambda}(r\rho)=\zeta^{\lambda}(\rho)$が成立する.
以下ではこれらの証明を行う.

2

Littlewood の倍角公式

この章では を正の整数として–つ固定する.
の長さ以上) とする.
いまに対して $(r+1)$ 個の分割
$r$$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N})$を分割 ( $N$ は,$\lambda$$l(\lambda)$$(\lambda^{c}, \lambda[0], \ldots, \lambda[r-1])$$\lambda$を次のように定義する ;の -quotient とする (cf.
を-core, そして,し. ここでは r-quotient の Littlewood-Richardson 係数にか問題にしないので -quotient の順序は無視してよい. 今,の -core が対して. 簡単に,となること,$\lambda^{c}$を$\lambda$の$\lambda^{*}=(\lambda[0], \ldots,.\lambda[r-1])$$r$$\lambda$$r$$[4, \mathrm{p}12])$$(LR_{\lambda[0}^{\mu}],\ldots,\lambda[r-1] )$$r\lambda--(r\lambda_{1}, \ldots, r\lambda_{N})$$r$$r\lambda$$(r\lambda)[0]=(\lambda r’\lambda 2r’\lambda 3r’\ldots)$$(r\lambda)^{c}=\emptyset$$r$$(r\lambda)[k]=(\lambda_{r-k}, \lambda_{2\Gamma}-k\lambda_{3r}-k, \ldots)(1\leq k\leq r-1)$

次のような記号を導入する.
$(x_{1}^{rr}, X_{2}, \ldots, x_{N}^{r})$.

$r-1,1\leq i\leq N)$

を$x_{N}$$\mathrm{p}40]$$x_{N}$$x_{1},$ $x_{2},$$\ldots,$と整数$x_{N}$

$r$

に対して.

$x_{N}^{r}=$そして $\omega=\exp(2\pi\sqrt{-1}/r)$ とおいて $x_{kN+i}=\omega^{k}x_{i}(0\leq k\leq$

なる変数に対して, $x_{N,r}=(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{rN})$ と置く.

の “ $r$ -inflation”

によって

変数

がわかることに注意しておく.

と呼ぶことにする.

を変数とする$\delta_{N}=$

この $x_{N,r}$$(N-1, N-2, \ldots, 1, 0)$ として, [4,$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N})$に関する Schur 関数を,

$S_{\lambda}(X_{N})= \frac{\det A_{\lambda\delta_{N}}+(x_{N})}{\det A_{\delta_{N}}(xN)}$,52で定義する. ここで$\alpha=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N})$という非負整数列に対し$A_{\alpha}(X_{N})=(_{X^{\alpha}}i)_{1}j\leq i,j\leq N$

である.

さて, これから Theoreml. 1 の証明をの計算を通じて行う.

Theorem 2.1.

$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{rN})$$x_{N,r}$を変数とする$\alpha=(\alpha_{1}..’.\alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N}.)$.

なる非負整数列に対して,,$X_{N}^{\alpha_{j}+N-j}=..$

とおく. これは行列

始めに$s_{r\lambda}(X_{N,r})$に関する Schur 関数

を任意の分割とする.

$s_{r\lambda}(X_{N,r})=:r \prod_{k=0}S_{()[k]}(X_{N}^{r})-1r\lambda$

証明.

$r\lambda$の第 j-列目である.
の分子を見てみよう.
$A_{\alpha+\delta_{N}}(x_{N})$$A_{r\lambda+\delta_{rN}}(xN,r)=(\omega(i-1)(r-j)x_{N}^{r}j\lambda+rN-j)_{1\leq i}\leq r,1\leq j\leq rN$

.

$..–$

ここで上の行列の列の並び替えを, 置換.,.

$\tau\in S_{rN}$によって,$\backslash$$\mathfrak{l}$$\tau.(ir+j..)..=:N(j-.1)..+.(.i+\backslash 1)..-(0\leq.

$\text{と定義する}$

.

$p–r$
., .

.

$-\sim.:\wedge$.
$.-‘\backslash -.\cdot$$.\vee:\cdot$

. .

とおくと,

et

$A.$
$.\cdot.\cdot..\cdot.\backslash ’\cdot$$\cdot$.

$A_{r_{-}}\backslash \lambda..+\delta rN(xN,r)$$.\mathrm{d}$.

$\cdot \mathrm{r}$

. ’.

;

i, \cdot\leq N-1,1\leq j\leq r).\cdot\sim$

.

...:

,

.

:

,

$\backslash$

$,$

$-$

$=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(_{\mathcal{T}})|\omega(i-1)(r-j)r.-p.\cdot jA_{()[r-j}r\dot{\lambda}:]+\delta_{\dot{N}}\backslash (x_{N}.)r.\vee\cdot.|_{1}.\cdot\leq i,j.\leq r$.

$=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau)\cross-$$\vee r$

.

.

53

$|p^{r-1}\omega^{(1}-)(r-1)A^{-1]}r)(r\lambda[r-1]p^{r-12}\omega(r-1)A_{()[-1}\lambda r]+\delta N(rX^{r_{X_{N})}}p^{r}-\omega A_{()}\lambda.\cdot.[r-1]+\delta_{N}(rx(p_{1r-1}-1A\lambda)[r+\delta_{N}(rx_{N}^{r}(r-\cdot+\delta_{N}))rNN)r p^{r-2}.\cdot A_{(.,\lambda)}r-.’.’.\cdot..r:‘[.\cdot.r.\cdot.\cdot.-.\cdot 2]+\delta_{N}(x_{N}^{r}) ...

$1_{N}$$1_{N}$$\omega^{r-1}1_{N}$$\omega^{r-2}1_{N}$$=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(_{\mathcal{T})} \omega^{2(r-1})1_{N}$$\omega^{2(r-2})1_{N}$

.
.

.
.

$\omega^{()(}r-1r-1)1N$$\omega^{(r-1)(2}-)1_{N}r$$\cdot$

...
...
...
.

$\cdot$$\cdot$.

...

A_{()[0]+}\lambda.\cdot\delta_{N}(rx.)A_{(r\lambda}A_{(\lambda}^{(r}0+\delta N(r)[].X^{*})A\lambda))[0]+[0]+\delta\delta NN(_{X}(x_{N}^{r})rrNrNN)|$$1_{N}$$\omega^{r-r}1_{N}$$\omega^{2(r-r)}1N$.
.
$\cdot$$\omega^{()(}r-1r-r$) $1N$$\cross$$\cross$:を得る. このようにして,$\det A_{r\lambda+\delta rN}(x_{N,r})=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau)|p|\alpha_{C}\prod \mathrm{d}k=0r-\iota \mathrm{e}\mathrm{t}(A_{(r\lambda)}[r-k]+\delta N(x_{N}^{r}))$(1)を得る. ここで$\alpha=\sum_{j=1}^{r}(r-j)=$$\{$$c=\det(\omega(i-1)(r-j)1_{N})$.

と置いた. 分母は上の計算で, $\lambda=(0, \ldots, 0)$ と置くと,$\det A_{\delta_{rN}}(x_{N,r})=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau)|p|^{\alpha_{C}}(\det A_{\delta_{N}}(x_{N}^{r}))^{r}$

.

(2)

54

となる. (1) と (2) から,$s_{r\lambda}(x_{N,r})= \frac{\det A_{r\lambda+}\delta\prime N(_{X)}N,r}{\det A_{\delta_{\gamma}}(Nx_{N,r})}$$= \prod_{k=0}^{1}\frac{\det A_{(r}\lambda)[k\mathrm{J}+\delta,N(x_{N}^{r})}{\det A_{\delta_{N}}(x_{N})r}r-$$= \prod_{k=0}s_{(\text{ア}\lambda)}[k](X_{N}^{r})$となり定理が示せた.

口上の定理の右辺を Littlewood-Richardson 係数を用い展開してやると,$k= \prod_{0}^{1}\text{ア}-s_{\lambda}[k](_{X^{r}}N)=\sum LR_{()}^{\nu}\lambda[0],(\text{ア}\lambda)[1],\ldots,(\text{ア}\lambda)[r-1]S_{\nu}(_{X_{N}^{r})}\nu\in P(n)\text{ア}.$(3)が得られることに注意しておく.
これから, 上の定理を対称群の既約指標の言葉で言い換える. そのために幕和対称
関数を,
$N$

$p_{m}(X_{N})= \sum_{i=1}X^{m}i$と置いたとき,$\rho=(\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots)$$(m=1,2, \ldots)$

.

に対して,
$p_{\rho}=p_{\rho}1p_{\rho_{2}}\ldots$.

で定義する. また次の公式 (Frobenius の公式) が知られている.
$s_{\lambda}(x_{N})= \sum_{(\rho\in Pn)}z_{\rho}^{-}x1\lambda(\rho)p_{\rho}(X_{N})$,

ここで分割 $\rho=(1^{m_{1}}2^{m_{2}}\ldots n^{m_{n}})$ に対して,$z_{\rho}= \prod_{i=1}m_{i}!i^{m}ni$である.

$x_{N}$の r-inflation に対して次の公式が成り立つ.

Lemma 22.
$rp_{m}(X_{N})$$m\equiv 0(modr)$ ,$0$$m\not\equiv \mathrm{O}(modr)$$p_{m}(x_{N},\text{ア})=\{$

.

55

証明.
$rN$

$p_{m}(_{X_{N,\text{ア}}})= \sum_{=i1}x^{m}i$$N$$= \sum_{i=1}^{N}(_{k0}^{\text{ア}-}\sum_{=}^{1}(\omega^{k}X_{i})^{m})=$$\square$

この Lemma と Frobenius の公式から,$s_{r\lambda}(x_{N},r)$$=$$\rho\in P(_{\text{ア}}\sum_{)n}z_{\rho}-1\chi(r\lambda)p\rho\rho(X_{N,\text{ア}})$$=$$\sum_{\rho\in P(n)}z_{r\rho}-1\chi(\text{ア}\lambda r\rho)r^{()}p_{r}\rho(\iota\rho x_{N})$$=$$\sum_{\beta\in P(n)}z_{\rho}-1\chi(\text{ア}\lambda r\rho)p_{\rho}(X_{N}^{r})$.

これと Theorem21 と (3) より,$\sum_{\rho\in P(n)}Z^{-1\text{ア}}\rho x(\lambda r\rho)p\rho(x^{\text{ア}})N$を得,$p_{\rho}$$=$$\sum_{\nu\in P(n)}LR^{\nu}(\text{ア}\lambda)[0],(\text{ア}\lambda)[1],\ldots,(r\lambda)[\text{ア}-1][\sum_{\rho\in P(n)}z^{-}x(\nu\rho)p\rho(X_{N}^{\text{ア}})\rho]1$$=$$\sum_{\rho\in P(n)}(_{\nu\in P(n}\sum_{)}LR_{(\lambda}\nu 1r)[0],(\text{ア}\lambda)[],\ldots,(\text{ア}\lambda)[\text{ア}-1]x^{\nu}(\rho)\mathrm{I}z_{\rho}^{-1}p_{\rho}(X_{N}^{\text{ア}})$.

は線形独立であるから両辺比較して,$\chi^{r\lambda}(r\rho)=\sum LR^{\nu}\lambda)[0],(\text{ア}\lambda)[1],\ldots,(\text{ア}\lambda)(_{\text{ア}}[\nu\in P(n)\text{ア}-1]x^{\nu}(\rho)$となり, これで Littlewood の倍角公式 (Theoreml.1) が得られた.

3

Spin Characters

この章では Littlewood の倍角公式のスピン指標版の証明を行う. 前章で Schur
関数が果たした役割はこの章では Schur の P-関数が果たす.

56

はじめにこの Schur の $P$-関数を J. J. C. Nimmo [7, Appendix] に倣って定義する.

分割$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{l})$は $\lambda_{1}>\ldots>\lambda_{l}>0$ の$\text{と}$き strict partition という. $n$ の strict

partition の全体を–章で定義した通り $sP(n)^{-}\text{と書く}$ .
strict partition
に対して,$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{l})$$A(x_{N})=( \frac{x_{i}-x_{j}}{x_{i}+x_{j}})_{1\leq i,j}\leq N$’$D_{\lambda}(X_{N})=(x)_{1\leq i\leq N}i\lambda j,$$1\leq j\leq\iota$と置く.

$A_{\lambda}(x_{N})=$と $N+l$ 次の交代行列を定義する. $N+l$ が偶数の時,$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\lambda}(X_{N})$フィアンと定義し, また $N+l$ が奇数の時 $x_{N+1}=0$ と置いてアンと定義する. とくにのとき,を$A_{\lambda}(x_{N})$$A_{\lambda}(x_{N+1})$

のパ

のパフィ

$\lambda=\emptyset$$\mathrm{P}\mathrm{f}A(x_{N})$if $N$ is even,,$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(x_{N})=\{$$\mathrm{P}\mathrm{f}A(X_{N}+1)$である. この$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(XN)$,

if $N$ is odd.

について次の式が知られている ([4, Chap3, 8-ex. 18]).

.

$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(_{X}N)--\prod_{i1\leq<j:\leq N}\frac{x_{i}-x_{j}}{x_{i}+x_{j}}$

ここで strict partition$\lambda$

$r$

(4)

に対する P-関数を次で定義する.
$P_{\lambda}(X_{N})= \frac{\mathrm{P}\mathrm{f}_{\lambda}(x_{N})}{\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(_{X_{N})}}$

この章を通じて.

.

を奇数とする.

Lemma 3.1.
:
はゼロではない複素数.

$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(,X. ..N,\text{ア}-).=c_{r}\{\mathrm{P}.\mathrm{f}\emptyset(x_{N}r)\}r$

ここで$c_{r}$,

証明.

.

$B_{k}=( \frac{x_{i}-\omega^{k_{X_{j}}}}{x_{i}+\omega^{k}X_{j}})_{1\leq i,j\leq N}(0\leq k\leq r_{\overline{a}}1)$57と置く. $1\leq k\leq r-1$ (こ対して ${}^{t}B_{0}=-B_{0}$ と ${}^{t}B_{k}=-B_{r-}k$ が成り立つので $N+l$が偶数ならば,$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(_{X_{N,r})=}|B_{r_{1}}B_{0_{1}}B^{-}.\cdot.’$$B_{0}B_{1}B_{2}^{\cdot}.$.

$B_{2}B_{1}B_{3}^{\wedge}..\cdot$.

$B_{\text{ア}-}B_{r-1}B_{0}^{\cdot}..2|^{1/2}$.

また $N+l$ が奇数ならば,$B_{1}$$B_{\text{ア}-1}$$B_{r-1}$.

$B_{2}$$B_{0}$$B_{1}$$B_{r-2}$$B_{1}$$B_{2}$$B_{3}$$B_{0}$

1

$-1$

$-1$

$-1$

$-1$

$0$

.

.

$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(x_{N,r})=$と書ける. $0\leq k\leq\tau-1$ なる11.

$B_{0}$

$k$

.
.

..

$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$

,

..1/2

.

$\cdot$

に対して,
${ }$

$b_{k}^{+}= \prod_{1\leq i<j\leq N}\frac{x_{i}-\omega^{k_{\grave{X}_{j}}}}{x_{i}+\omega^{k}X_{j}},$$b_{k}^{-}= \square \frac{x_{i}-\omega^{k_{X_{j}}}}{x_{i}+\omega^{k}X_{j}}1\leq j<i\leq N$’そして,$d_{k}$$=$$( \frac{1-\omega^{k}}{1-\omega^{k}})^{N}$

とおく.
$b_{k}^{-}=(-1)^{\frac{N(N-1)}{2}b}r-k+$,なので,$\prod_{k=0}^{r-1}b_{k}^{+}$

$=$

$=$

$=$

$\prod_{1\leq i<j\leq N}(_{k0}^{r-1}\prod_{=}\frac{x_{i}-\omega^{k_{X_{j}}}}{x_{i}+\omega^{k}X_{j}}\mathrm{I}$$\prod_{1\leq i<j\leq N}\frac{x_{i}^{r}-x^{\text{ア}}j}{x_{i}^{\text{ア}}+Xjr}$$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(x_{N}^{r})$.

(3) から,$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(XN,r)=cr(\prod_{k=0}^{\text{ア}-}b^{+r})kC_{\text{ア}}=\{r\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}1(X_{N})\}^{r}$,が得られる. ここで$c_{\text{ア}}= \text{ア}\prod^{-1}k=1d^{\text{ア}-k}k$でありこれはゼロではない.

’

口

58

Theorem 3.2. 任意の strict partition$P_{\text{ア}\lambda}(X_{N,r})=P_{\lambda}(x^{\text{ア}}N)$

証明.
ない)

に対して,

$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{l})$.

ここでは $N+l$ が偶数の場合のみ考える (奇数であってもほとんど変わら. 始めに Schur の P-関数の定義式の分子を見る.
$D=D_{\lambda}(x^{\text{ア}})N$

とおく. ’rN+l が偶数の時は,.

$B_{0}$$B_{1}$$B_{2}$$B_{\text{ア}-1}$$B_{0}$$B_{1}$.

.

$\mathrm{P}\mathrm{f}_{r\lambda}(x_{N,\text{ア}})=$.

$D$$B_{r-2}$

$D$

.

.

.

$\cdot$1/2$B_{\text{ア}-1}$.

.
.

$\cdot$$\cdot$$B_{1}$$B_{2}$$B_{3}$$B_{0}$$D$$-^{t}D$$-^{t}D$$-^{t}D$$-^{t}D$$0$$\cdot$$\cdot$であった. この中身に次のような基本変形を施す:

1.
2.
3.
4.
すると

$r$

$r$

$r$

$r$

..

行目を 1 行目, 2 行目, . , $(r-1)$ 行目から引く.
面目を 1 列目, 2 列目, . . . , $(r-1)$ 面目から引く.
行目に 1 行目, 2 行目, . . . , $(r-1)$ 行目の $1/r$ 倍を足す.
細目に 1 列目, 2 列目, . . . , $(r-1)$ 面目の $1/r$ 倍を足す.

$B=1/r \sum_{k=}^{\text{ア}-1}0^{B_{k}}$と置いて,$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\text{ア}\lambda}(X_{N,\text{ア}})$

$=$

$=$

$\mathrm{P}\mathrm{f}(A’)$

が得られる (ここで $A’$ は $N(r-1)$ 次の交代行列である). $B$ の ( , の成分は$i$$\frac{1}{r}\sum_{k=0}^{r-1}\frac{x_{i}-\omega^{k_{X_{j}}}}{x_{i}+\omega^{k}X_{j}}$であり, Lemma31 より$=$$\mathrm{P}\mathrm{f}(B)=\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(x^{r})N$$\frac{x_{i}^{r}-x_{j}^{r}}{x_{i}^{r}+X_{j}^{r}}$,である. それゆえ,$=^{\mathrm{p}\mathrm{f}}\lambda(X_{N}^{r})$.

59

また, 分母は上の計算で$\lambda=\emptyset$

とおいて$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(X_{N,\text{ア}})$

$=$

$=$

となる. この左辺は Lemma31 より$\mathrm{P}\mathrm{f}(A’)\mathrm{P}\mathrm{f}\iota(x_{N})\text{ア}$$\mathrm{c}_{\text{ア}}\{\mathrm{P}\mathrm{f}\emptyset(X_{N}^{r})\}^{\text{ア}}$なので,$\mathrm{P}\mathrm{f}(A’)=C_{\text{ア}}\{\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(x_{N}r)\}r-1$を得る. 結局,$P_{\text{ア}\lambda}(x_{N_{\text{ア}}},)$$=$$\frac{\mathrm{P}\mathrm{f}_{\text{ア}\lambda}(X_{N,\text{ア}})}{\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset}(X_{N,\text{ア}})}$$=$$\frac{C_{f}\{\mathrm{P}\mathrm{f}_{\emptyset()}x_{N}^{r}\}^{\text{ア}}-1\mathrm{P}\mathrm{f}_{\lambda(x^{\text{ア}})}N}{c_{\text{ア}}\{\mathrm{p}\mathrm{f}_{\emptyset(X)\}}rNr}$$=$$P_{\lambda}(X_{N}^{r})$

.

が得られた

口

これをスピン指標の言葉で言い直すために次の Frobenius の公式のスピン版を書いておく.
$P_{\lambda}(x_{N})= \rho\in P(0)\sum_{ddn}2(\iota(\rho)-l(\lambda)+\epsilon(\lambda))/2\zeta(\rho)z^{-1\lambda}p\rho\rho(X_{N})$

,

ここで,

,

if $n-l(\lambda)$ is even,1,

if $n-l(\lambda)$ is odd.

$0$$\epsilon(\lambda)=\{$

である.

あとは前章と同様に幕和対称関数の係数の比較をすることにより Littlewood の倍角公式のスピン版 (Theoreml 2) が得られる.

参考文献
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Soc. A 209 (1951), 333-353.

60
[4]

I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd. ed. ,Oxford, 1995.

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J. Phys. : Math. Gen. 23 (1990), 751-760.
$\mathrm{A}$$\mathrm{s}\mathrm{y}_{\mathrm{i}}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$group, Proc. London