3 次元画像コンファレンス 2003 講演論文集，pp.153–156，東京 (2003.7.1)

表面モデル 3 次元物体のデジタル合成ホログラムにおける波動光学的隠面消去

Hidden Surface Removal in Digitally Synthetic Hologrmas ofThree-Dimensional Surface Objectby Employing a Wave-Optical Method
近藤暁靖 †松島恭治

Kyoji Matsushima and Akinobu Kondoh†
関西大学工学部電気工学科

Department of Electrical Engineering, Kansai University

ABSTRACT
A wave-optical theory to remove hidden-surfaces is discussed in digitally synthetic holograms for threedimensional surface objects. This theory uses the method of the coordinates rotation in Fourier domain. Since
the rigorous form of the theory needs four times FFT and twice interpolation of Fourier spectrum, the originalalgorithm is a little time-consuming. However, in lowest-order approximation, the algorithm results in masking
the wave ﬁeld behind the object surface with its silhouette. A recurrence formula in this approximation, calledsilhouette approximation, is presented for giving the well-deﬁned procedure to synthesize object ﬁelds, in whichhidden-surfaces are removed. Optical reconstructions of a hologram are demonstrated to verify the presented
algorithm.
Keywords: Digitally synthetic hologram, CGH, Hidden-surface removal, Surface Model, Silhouette approximation

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はじめに平行な平面でスライスし，各平面からの光波伝搬をデジタル合成ホログラム1 は，計算機内に保持し求めてホログラム上で重畳する．このとき，奥からた物体モデル情報からその物体が発する光波を数値順に計算を行い，物体の内外を示すマスク関数でマ合成し，ホログラムとして立体画像を作成する技術

スキングすることにより遮蔽を求める．この方法はである．デジタル合成ホログラムは，実在しない任

全方向視差でも高速に隠面消去が可能であるが，表意の物体のホログラムを合成できるという利点を有面モデルの物体のレンダリングには適さない問題する反面，高解像度の印刷・表示デバイスが必要で点がある．一方，現在主流となっている点光源を物あることや，全方向視差ホログラムでの光波合成に体表面に配置する点光源モデルでは，手前の物体に莫大な計算量が必要という問題点を抱えている．

よる光線の遮蔽を幾何学的に求める幾何光学的手

デジタル合成ホログラムの物体光波合成において，法 [2, 3, 4] が提案されているが (Fig. 1(b))，点光源手前に位置する物体による後方の物体からの光を遮モデル自体の計算量が莫大であるため，いずれも現

蔽を波動光学的に計算する方法は，断層ホログラム

在の計算機の能力では全方向視差ホログラムには適で Lohmann により提案されている [1]．Fig. 1(a)用困難である．また最近，バビネの原理に基づく波に示したとおり，この方法では物体をホログラムに動光学的な隠面消去法 [5, 6] が提案されているが，多数の平面からなる物体ではあまり有効ではない点

松島恭治
matsu@kansai-u.ac.jp
関西大学工学部電気工学科〒 564-8680 大阪府吹田市山手町 3-3-35
TEL/FAX 06-6368-0933† 現在，松下電器産業 勤務

や，傾いた平面に対する隠面消去の具体的方法と結1 計算機合成ホログラム (CGH) という用語は光学の分野では波面変換のための光学素子を意味することが多いため，本稿ではディスプレイ用途の CGH をデジタル合成ホログラムと呼んでいる．

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h ( x , y )h  ( x , y )h ¢( x , y )m ( x , y )

(a )

(b )

h  ¢ ( x , y )(c )Fig. 2 The basic principle in hidden surface removal by employing a wave-optical method. A wave field
is obtained on a object surface by the coordinate rotation in Fourier domain (a) and masked on thesurface (b). Finally, the masked field is again rotated and calculates its complex amplitude on a plane
parallel to the hologram (c).

h n+1(x , y )hn(x, y )なる．

P o in t s o u rc e

まず，Fig. 2(a) に示すとおり，光波 ĥ(x̂, ŷ) をフー
リエ空間で座標回転し，傾いた座標系上で複素振幅h(x, y) をもとめる．そのためには，フーリエスペ
クトル Ĥ(û, v̂) = F {ĥ(x̂, ŷ)} を座標回転する．こO b je c t
m n+1(x , y )O b je c tの回転変換は近軸近似 [10] を用いて，

O b s ta c leh(x, y) = F −1 R−1 {Ĥ(û, v̂)}(1)

H o lo g ra m

H o lo g ra mと表わされる．ここで，R−1 {·} はフーリエ周波数(a )(b )の変換
  â1uûv̂ = T v , T = â4wŵ
â7Fig. 1 Conventional algorithms for hidden-surface
removal in the layered model (a) and the point
source model (b).

â2
â5
â8

â3
â6â9を表わしている．なお，ŵ(û, v̂) =λ−2 − û2 − v̂ 2λ−2 − u2 − v 2w(u, v) =果が示されていない問題点がある．
我々は，断層ホログラムや点光源モデルとは異なった新しい物体光波合成法として表面モデル光波(2)(3)(4)の関係がある．物体平面 S が光波を透過しない領域回折法を提案しており [7, 8]，シェーディング処理を，0 または 1 の値を取るマスク関数 m(x, y) で表した表面モデルの立体物に対する明瞭な光学再生

わすと，平面 (x, y) を通過した直後の遮蔽された光像を得ている [9]．この方法では，フーリエ空間に波は，おける座標回転 [10] を用いて傾いた平面からの光h (x, y) = h(x, y)m(x, y)を波動光学的に合成しており，同じ座標回転手法により任意の傾いた観測面上における光波複素振幅も(5)となり (Fig. 2(b))，そのスペクトルは，計算できる [11]．本報告では，傾いた平面による厳密な光波の遮蔽について，この座標回転手法を用いH  (u, v) = F {h (x, y)} = R−1 {Ĥ} ∗ M (u, v) (6)た検討を行い，その最低次数の近似に相当するシルとなる，ここで，M (u, v) はマスク関数のスペクトエット近似による立体物の隠面消去の結果を示す．

ルである．このスペクトルを Fig. 2(c) に示すとお2考慮した光波はり逆回転する．その結果，(x̂, ŷ) 平面上での遮蔽を傾いた物体平面による遮蔽理論
今，ホログラムに平行な座標系を (x̂, ŷ, ẑ) とし，ĥ (x̂, ŷ) = F −1 R{H  (u, v)}

物体空間の奥より飛来した光波を (x̂, ŷ) 平面上で= F −1 R{R−1 {Ĥ} ∗ M (u, v)} (7)ĥ(x̂, ŷ) とする．また，この平面の近傍に傾いた物
体平面 S があり，光波 ĥ(x̂, ŷ) の一部を遮蔽していとなる．ここで，R{·} は逆回転の変数変換である．

るものとする．この物体平面 S による遮蔽を受けた以上の手順を厳密に行うためには，4 回の FFT

と補間を伴う変数変換が 2 回必要となり，効率が悪光波 ĥ (x̂, ŷ) を計算するためには次の手順が必要に

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o n ( x , y )で on (x̂, ŷ) として求められるとする (Fig. 3(a))．一方，Sn の背面より Sn に入射してくる光波が Pn 上S n+1(a )で ĥn (x̂, ŷ) で与えられるとすると，Sn により遮蔽された光波は，シルエット近似 (9) により，S nh  ( x , y )ĥn (x̂, ŷ) = m̂n (x̂, ŷ)ĥn (x̂, ŷ)

P nP n+1で与えられる．ここで，m̂n (x̂, ŷ) は Sn のシルエッh  n + 1 ( x , y )n(10)トに相当するマスク関数である．従って，Pn+1 上での光波全体は，

ĥn+1 (x̂, ŷ) = Pdn {m̂n (x̂, ŷ)ĥn (x̂, ŷ)} + on (x̂, ŷ)(b )mn(11)
で与えられる．ここで，Pdn {·} は距離 dn の光波伝

( x , y )m  n ( x , y )搬であり，dn は Pn+1 と Pn の距離である．式 (11)は漸化式となっており，物体空間のもっとも奥に位置する平面 S0 より順に計算することにより最終的

Fig. 3 Calculation of the object field of a tilted
object surface Sn (a) and the field masked by theにホログラム上で隠面消去された光波が得られる．

silhouette of the same surface Sn (b).

4い．ĥ(x̂, ŷ) を座標回転し，再び逆回転しているこ

シルエット近似を用いて隠面消去処理した物体光とから，何らかの近似によりこれらの手順を統合・波を合成し，ホログラムを作成した．物体は外径簡略化することが望ましい．この簡略化を困難にし10mm で 256 ポリゴンのトーラスであり，ホログラムの背面 150mm に配置した．物体平面からの光波ている要因は式 (3) の非線形性である．
そこで ŵ(û, v̂) を 0 近傍で−1ŵ(û, v̂)  λ2on (x, y) を加速計算法 [12] を用いた点光源法で計算し，陰影付け [13] と式 (11) による隠面消去処理を

2[1 − (λû) /2 − (λv̂) /2] + · · · (8)行っている．光波伝搬 Pdn には波面展開法を用いてと展開する．今，ホログラムのサンプリング間隔がおり，ホログラムサイズは 8192×4096 ピクセルで波長より十分に粗く，ĥ(x̂, ŷ) のスペクトル幅が狭

ピッチ 2µm×4µm である．計算時間は，点光源密い，すなわち û, v̂  λ−1 が仮定できる場合には，度 104 cm−2 に対して，Pentium III 1GHz で約 7 時

式 (8) を最低次数で打ち切り，ŵ(û, v̂) ∼ λ−1 と近間であった．ホログラム描画には専用プリンタ [14]似できる．この場合，ĥ(x̂, ŷ) の物体平面 S によるを用いた．

遮蔽はĥ (x̂, ŷ) = m(â1 x̂ + â4 ŷ, â2 x̂ + â5 ŷ)ĥ(x̂, ŷ)

シルエット近似で合成したホログラムの再生像

Fig. 4 は作成したホログラムの光学再生像であり，(a)–(d) と縦方向に視点を変化させて撮影している．

(9)に帰着する (付録参照)．これは，S の (û, v̂) 平面に

この結果から，再生像は全方向視差を有し，自然な対するシルエットをマスク関数として光波 ĥ(x̂, ŷ)

隠面消去処理が施されていることがわかる．また，を遮蔽することを意味している．以下，これを遮蔽

大きく視点を動かした場合には，ポリゴンの継ぎ目のシルエット近似と呼ぶ．と思われる筋が目立つ結果となっている．これは，シルエット近似の結果，物体表面による遮蔽に隙間3が生じているためと考えれらる．

シルエット近似による物体光波合成

Fig. 3 はシルエット近似により隠面消去された物

5体光波を合成する手順を示している．平面モデルでまとめ表わされた物体において，物体空間の奥より順に，フーリエ空間での座標回転による傾いた平面間で各平面から放出される物体光波とその平面による光の伝搬計算手法を応用し，傾いた平面による光の遮の遮蔽を求めるものとする．また，各平面は交差し蔽の波動光学的理論を導いた．この理論は，フーリていないものとする．いま，物体平面 Sn と接し，エ周波数の関係式の最低次数の近似を用いると，物ホログラムと平行な平面を Pn とする．この時，点体平面のシルエットによる遮蔽に帰着する．これを光源法や光波回折法により Sn からの光波が Pn 上用いて複数のポリゴンで構成される立体物からの隠面消去された物体光波を求めるための漸化式を導い3

3 次元画像コンファレンス 2003 講演論文集，pp.153–156，東京 (2003.7.1)と変換し，また (u , v  ) を式 (13) を用いて (û , v̂  )に変換することにより，

ĥ (x̂, ŷ)= |a1 a5 − a2 a4 ||â1 â5 − â2 â4 |

= 


M (u, v)

× exp[i2π[(â1 x̂ + â4 ŷ)u + (â2 x̂ + â5 ŷ)v]]dudv
Ĥ(û , v̂  ) exp[i2π(x̂û + ŷv̂  )]dû dv̂ ×

> = m(â1 x̂ + â4 ŷ, â2 x̂ + â5 ŷ)ĥ(x̂, ŷ)

(17)

を得る．
参考文献

? 

[1] A. W. Lohmann: “Three-dimensional propertiesof wave-ﬁelds”, Optik, 51, pp. 105–117 (1978).
[2] J. Underkoﬄer:“Occlusion processing andsmooth surface shading for fully computed synthetic holography”, SPIE Proc. Practical Holography XI, 3011, pp. 19–29 (1997).
[3] T. Hamano and M. Kitamura: “Computergenerated holograms for reconstructing multi-3D images by space-division recording method”,
Proc. of SPIE, pp. 23–32 (2000).
[4] 高瀬, 坂本, 青木：“光線の到来方向を考慮した z バッ
ファによる計算機合成ホログラムの高速隠面消去”,
映情学誌, 57, pp. 483–489 (2003).
[5] 近藤, 松島：“全方向視差 CGH における Babinetの原理による隠面消去”, 3 次元画像コンファレンス
2002, pp. 113–116 (2002).
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[7] 松島, H. Schimmel, F. Wyrowski：“波面展開法を用いた表面モデル CGH の高速計算法”, 3 次元画像
コンファレンス 2001, pp. 13–16 (2001).
[8] K. Matsushima, H. Schimmel and F. Wyrowski:“New creation algorithm for digitally synthesized
holograms in surface model by diﬀraction fromtilted planes”, SPIE Proc. Practical Holography
XVI, 4659, p. 53 (2002).
[9] K. Matsushima and A. Kondoh: “Wave optical algorithm for creating digitally synthetic
holograms of three-dimensional surface objects”,
SPIE Proc. Practical Holography XVII, 5005,(2003). (in press).
[10] K. Matsushima, H. Schmmel and F. Wyrowski:“Fast calculation method for optical diﬀraction
on tilted planes using the angular spectrum ofplane waves”, J. Opt. Soc. Am. (to be published).
[11] 松島, H. Schimmel, F. Wyrowski：“波面展開法による傾いた平面からの光波回折シミュレーション”,
Optics Japan 2001, pp. 229–230 (2001).
[12] K. Matsushima and M. Takai: “Recurrence
formulas for fast creation of synthetic threedimensional holograms”, Appl. Opt., 39, pp.
6587–6594 (2000).
[13] 松島, 本荘：“陰影付けした表面モデル 3 次元物体の全方向視差計算機合成ホログラム”, 映情学誌, 56,p. 986 (2002).
[14] 松島, 上甲：“計算機合成ディスプレイホログラム用高解像度プリンタ”, 映情学誌, 56, p. 1989 (2002).

@ 

Fig. 4 Optical reconstructions of a hologram synthesized by using the presented recurrence formulain silhouette approximation. The viewpoint moves
up and down (a)–(d).
た．また，このシルエット近似により作成したホロ
グラムの光学再生像には適切な隠面消去が施されていることがわかった．
付録
逆変換行列を
a1 a2 a3a4 a5 a6
T =(12)a7 a8 a9とし，展開式 (8) の最低次数だけを用いるとき，変−1

数変換は

u= α(û, v̂) = a1 û + a2 v̂ + a3 /λv= β(û, v̂) = a4 û + a5 v̂ + a6 /λ(13)となる．同様に，û =α(u, v)−1 = â1 u + â2 v + â3 /λv̂β(u, v)−1 = â4 u + â5 v + â6 /λ (14)=となり，式 (7) は，Ĥ(α−1 (u , v  ), β −1 (u , v  ))ĥ (x̂, ŷ) =×M (α(û, v̂) − u , β(û, v̂) − v  )×

exp[i2π(ûx̂ + v̂ ŷ)] dûdv̂du dv  (15)となる．ここで，積分変数 (û, v̂) を

u = α(û, v̂) − u ,v = β(û, v̂) − v (16)4