計測自動制御学会東北支部 第 335 回研究集会 (2021.10.29)
資料番号 335-1

グレイスコットモデルによるパターン形成の解析
Analysis of Pattern Formation in the Gray-Scott Model○石井つぼみ ∗ ，村松鋭一 ∗○ Tsubomi Ishii∗ , Eiichi Muramatsu∗*山形大学*Yamagata University
キーワード : 反応拡散方程式 (reaction-diﬀusion equation), パターン形成 (pattern formation), グレイス
コットモデル (Gray-Scott model), 安定性解析 (stability analysis), 制御系設計 (control system design)

連絡先 : 〒 992-8510 米沢市城南町 4–3–16 山形大学大学院応用生命システム工学専攻
村松鋭一，Tel.: (0238)26-3327，Fax.: (0238)26-3327，E-mail: muramatu@yz.yamagata-u.ac.jp

1.

研究の背景と目的

1.1

背景・発熱反応：化学反応において，もし化学物質が十分にあって濃度の変化を無視できるとすると，系の状態を定めるものは温度分布のみとな

容器内の物質の濃度分布，部屋の中の温度分

る．温度分布は熱の拡散と，化学反応による熱布，ある地域内での感染の分布などは，個体がの発生，外部との熱の出入りによって変化してその周囲から影響をうけて状態がどう変化するいく．

かで決まる．近年，ある空間内のおいて多数の・生態系：ある領域に生息する生物個体群を考個体がどのような状態の分布を示しているかのえると，個体群の密度は場所と時間の連続関数

様子を，空間内の模様（パターン）としてとらとみなせる．生物個体群の密度はランダムな移

え，パターンの形成のメカニズムを数理的に探ることが研究されている 1) . 自然科学の研究分動による拡散と，増殖，死亡，被捕食などによ

野において，上記で述べた分布の変化に関連すて時間的に変化していく．

る現象をより詳しく述べると次のようなものが・神経線維：動物体内における情報の伝達手段挙げられる．の 1 つである神経系は神経細胞の内部と外部イ・化学反応 ：溶液中の化学反応において，反応オン濃度の差によって生じる電位差を利用したに関係する化学物質は溶液中を拡散するととものもである．この電位差は場所と時間に依存しに，化学反応によって生成あるいは消費される．

た関数となり，イオンのブラウン運動による拡物質の濃度は時間の関数となり，濃度変化は物散と，イオン密度に依存した膜のイオンポンプ

質の拡散と化学反応が同時に進行するプロセスの働きによって膜の電位が変化する．

る個体密度に依存した増加あるいは減少によっとして記述される．

これらの現象はすべて，拡散と反応が同時進–1–

行するプロセスである．このような系は反応拡散系と呼ばれ，数理的な解析によって挙動を明らかにしようとする研究が進んでいる．このよ2.

反応拡散方程式

2.1

グレイスコットモデル

うな解析は, 自然現象の解明，私達の生活する場

本研究で扱う反応拡散方程式はつぎに示すグの環境の制御，あるいは社会における流行の蔓レイスコットモデルと呼ばれる方程式である．

延や終息の予測に関連した意義を持つと考えら∂u= d1 ∆u − uv 2 + a(1 − u)∂t∂v
= d2 ∆v + uv 2 − (a + k)v
∂tれる．

1.2

目的(1)
(2)

ここで，d1 , d2 は拡散係数, a, k は反応項の定本研究では，空間における状態の分布をモデ数である．u と v は時間 t と空間の位置座標 x, yル化する式として反応拡散方程式と呼ばれる偏の関数であり，u(t, x, y), v(t, x, y) と表され，値微分方程式を用い，これから生じるパターンには実数とする．記号 ∆ はラプラシアンで，空間ついて調査，考察する．反応と拡散が組み合わの次元として二次元（x 座標と y 座標）を考えさった非線形な微分方程式の解の挙動を数値的∂∂る場合には，∆ = ∇2 = ∂x
2 + ∂y 2 を表す．まにまた理論的に調べることにより，さまざまなた，グレイスコットモデルを u, v という 2 種

パターンが発生する条件や制御の方法を研究し類の物質の濃度変化を表すと考えると，右辺第ていく．本研究の対象はグレイスコットモデル

1 項は空間内での物質の拡散を，右辺第 2, 3 項と呼ばれる非線形偏微分方程式である．この方は 2 つの物質の間に生じる化学反応が物質の濃程式は解析的に解を求めることができず，解の度の時間的変化を生じさせていると解釈できる．

安定性や，時間の経過によって生じる解の性質

グレイスコットモデルはゲル媒質中での自己触の変化の様子を明らかにすることが研究の目的

媒化学反応として22となる．そのために非線形系の平衡点に着目し，

2V + U → 3V , V → P

その近傍での解の安定性を線形化方程式を用い(3)て考察する．そして，固有値の解析から明らかという反応を微分方程式でモデル化したものでとなる安定性と，解から生じるパターンの様相ある．ここで，U は原材料となる化学物質，Vとの関連および対応の有無を調べる．このようは中間生成物であり，かつ自己触媒物質である．

な反応項の方程式の平衡点の解析をもとに拡散P は化学的に安定な最終生成物である．P は化項を含めた平衡点の解析を進め，パターン形成学的に安定であるため，U や V と反応しない．の原因となる平衡点の不安定性を明らかにする．

U は外部から供給され，永続的な反応が可能と

本研究ではまた，グレイスコットモデルにおなっている．拡散と反応が同時進行するとき，場ける２つの成分に対して制御を加えることを考所による濃度の違いと時間による濃度の推移がえる．制御入力を表す項をグレイスコットモデ生じて，時間とともに変化する模様が発生する．

ルに追加し，パターンに変化を生じさせることを試みる．

2.2

境界条件

本研究での境界条件はノイマン条件を採用している．

–2–

の方程式から得られる平衡点は後の章の安定性解析と制御における基礎となる．

3.1

平衡点

まず，グレイスコットモデルの反応項から得られる平衡点を求めるため，反応項を常微分方程式で表す．すると以下の式になる．

Fig. 1ddt

反応観察範囲と境界条件[uv][=−uv 2 + a(1 − u)uv 2 − (a + k)v](5)

Fig.1 のように x, y 平面上の反応範囲を辺の平衡点とは，(5) 式の右辺が 0 となる点であるた

長さ L の長方形とする．u(t, x, y) と v(t, x, y) にめ，次のような連立方程式の解が平衡点となる．

∂u
∂v
∂v
対して，∂u∂x を ux ， ∂y を uy ， ∂x を vx ， ∂y を vyと表すとすると，ノイマン条件の式は次のようになる．

−uv 2 + a(1 − u) = 0(6)uv 2 − (a + k)v = 0(7)(6),(7) 式は 3 次の方程式となっていることが分(黄色線)

ux (0, 0, y) = 0, vx (0, 0, y) = 0(青線)uy (0, x, L) = 0, vy (0, x, L) = 0(緑線)

ux (0, L, y) = 0, vx (0, L, y) = 0

算すると，a(1 − u) − (a + k)v = 0 となる．こ(赤線)uy (0, x, 0) = 0, vy (0, x, 0) = 0 (4)れを u について解くと、かるため，3 組の解，つまり 3 組の平衡点が存在することが分かる．(6)，(7) 式の両辺を足し離散化することによって，u , v を物質の濃度u=1−とするなら，初期値を与えることで時間 t の経(a + k)v
a(8)過とともに変化するある点における濃度の変化となる．これを (6) 式に代入して u を消去し vを観察することができる．本研究のシミュレーの方程式を求めるとションプログラムでは濃度の変化を次のように{(色を使い表現している．

v)}(a + k)1−v v − (a + k) = 0a(9)となる．この v に関する 3 次方程式の解の 1つは v = 0 である．このとき u は (8) 式より

u = 1 となる．これで１組目の平衡点，Fig. 2

ua = 1, va = 0

濃度を色で表現(10)が求められた．さらに残りの 2 組の平衡点を求3.

反応項の微分方程式の安定性解めるために (9) 式に戻る．v ̸= 0 のとき (9) 式は(析)1−

本研究では，はじめにグレイスコットモデルの特徴である反応項の部分に着目した．反応項(a + k)v v − (a + k) = 0a(11)となる．これは v の 2 次方程式である．2 次方程式の解の公式を使えば解 v を求められる．そ–3–

れらを (8) 式に代入すると 2 つの u の値も得ら

3.3.1

れる．それらをまとめると(ub = 21 1 +√1−

(1 組目の平衡点である (10) 式の ua , va を求)

a√2
1 − 4(a+k)
a1−avb = 2(a+k)

4(a+k)2ua , va の安定性解析

めた行列 A に代入する．代入した式は以下のと)おりである．
[(12)A=および(uc = 12 1 −√(avc = 2(a+k)

2

1 − 4(a+k)a√1+)

21 − 4(a+k)
a−a00 −a − k](17)(17) 式は対角行列となっているため，固有値は−a , −a − k となる．a と k は本研究におけるパ)(13)となる．これで 3 種類の平衡点が求められた．

ラメータであり，どちらも正の値をとる．よって，グレイスコットモデルの反応項における平衡点 ua = 1, va = 0 においては安定であると言える．

3.2

平衡点近傍の線形化

求めた平衡点の安定化解析を行うため，平衡3.3.2点近傍で線形化を行う．まず，反応項の線形化
方程式を(14)の形式で求める．ただし，v = t [u, v] であり，
A=

∂f∂u

∂f∂v

∂g∂u

∂g∂v

定性解析を行う．固有方程式は|λI − A| = 0であり，I は単位行列である．(16) 式を用いてれを求めると−v 2 − a−2uv
2v2uv − a − k(18)(15)

a(1 − u), g(u, v) = uv 2 − (a + k)v である．こA=

程式を求め，その係数の正負を調べることで安によって求められる．ただし，f (u, v) = −uv 2 +[次に (12) 式にある ub , vb について解析を行っていく．行う解析は (16) 式の行列 A の固有方

dv = Av
dt
Aはub , vb の安定性解析(18) 式の左辺を展開すると(λ + v 2 + a)(λ − 2uv + a + k) − 2uv(−v 2 ) = 0](19)(16)となる．ここで，(19) 式に含まれている v 2 , uvを先に計算する．このとき，u と v には (12) 式となる．の ub , vb の値を代入し計算する．v 2 と uv は以下の通りになる．

3.3

3 つの平衡点の安定性

√()

a2 
4b24b2 
vb2 = 2 1− 2 1 −+ 1−(20)4b aa 

求めた 3 つの平衡点の安定性解析を行う．1 組目の平衡点に対して行う解析方法は，線形化のub vb = a + k(21)b=a+k(22)

過程で求められた行列 A の固有値を求め，固有値の実部が負ならば安定，それ以外は不安定とここで，b を判別する解析である．2 組目と 3 組目の平衡点に対しては，行列の固有方程式を求め，その係と定義する．これより数の正負を考える．

ub vb = b–4–(23)となる．(21) 式と (23) 式を (19) 式に代入し，λより，(28) 式で定義した X は 0 < X < 1 であの 2 次方程式の形に整理するとる．よって，d2 < 0 となる．これにより、d1 がλ2 + d1 λ + d2 = 0正か負に関わらず、(12) 式の第 2 の平衡点 ub , vb(24)は不安定であることが明らかになった．となる．ただし，d1 , d2 は以下の通りである．

a2a2
d1 = −b + 2 − 22b2bd2 =a22b−a2√

4b21−a(25)√2b4b21−− 2abauc , vc の安定性解析

3.3.3

まず，(13) 式の第 3 の平衡点の固有方程式 λ2 +e1 λ + e2 = 0 とすると e1 , e2 は以下の通りに(26)なる．

ここで，d1 , d2 の正負は a , b の値に関係するた

e1e2a2 a2= −2ab ++2b 2bめ, 平衡点の安定性は「(1) a, b の値によらず安定」，「(2)a, b の値によらず不安定」，「(3)a, bによって，安定になる場合もあれば不安定にな√

a2a2= −b + 2 + 22b2b1−√

1−4b2a4b2a(30)る場合もある」という 3 つの可能性がある．平

はじめに e2 に着目し，第 2 の平衡点 ub , vb に衡点が不安定になる条件は，固有方程式の係数行った解析を第 3 の平衡点 uc , vc にも行った．すd1 , d2 の両方あるいはどちらかが負になる必要

ると，e2 は前節と同様の解析により正であるこがあるため，ここからは正負を調べていく．とが分かった．次に e1 は次の例のように不定でまず，(26) 式にある d2 に着目する．前提の仮あることが分かる．
．e1 の正負の一例を上げると，定として，a , k は本研究におけるパラメータで

a = 0.021, k = 9.981 のとき，e1 は負となり，ucあり正の値を取るため，a > 0 , b > 0 , b > a, vc は不安定となる．また，a = 0.961, k = 8.531

2が成り立つ．また，(26) 式の根号の中 1 − 4baのとき，e1 は正となり，uc , vc は安定となる．

(a − 4b2 ) は，平衡点 ub , vb は実数であること

よって，第 3 の平衡点 uc , vc は a , k の値によ

2から 1 − 4ba > 0 (a − 4b2 > 0) が成り立つ．まり，安定にも不安定にもなり得ることが明らか

た，a > 0, b2 > 0 なのでになった．

4b2<1a1−(27)

3.4も成り立つ．次に，(26) 式の d2 を式変形し，先パターンと安定性の関係

1 次元におけるパラメータ a , k とパターンの2に a2b をくくりだし、関係性は参考文献 3) に表されている．これを参√X=1−4b2a

考にパラメータ a, k と求めた平衡点の安定性と(28)の関係を表にまとめると以下のようになった．とすると，d2 は以下のような X の 2 次関数になる．

d2 =a2 2(X − X)
2b(29)

ここで，f (X) = d2 = 0 としたときの X を求めると，X = 0, 1 となる．以上をもとに f (X)の正負を考えると，0 < X < 1 のとき f (X) は負，X > 1 では正となることがわかる．(27) 式–5–Fig. 3

パラメータと平衡点の関係

この表から比較的活発なパターンが現れる領で決まる．そこで，固有値問題

域 3,4 のときに不安定な平衡点が現れているこA0 v = λvとがわかった．

(35)

について考察する．これは作用素 A0 の定義を4.

用いれば上式は次の式になる．

反応拡散方程式の安定性解析(D

ここまでグレイスコットモデルの反応項に着目して解析を進めてきたが，ここからは (1),(2)∂2∂2+∂x2 ∂y 2)

v + F ′ (P )v = λv

(36)

F ′ (P ) は定数行列であるから，これを式で表される拡散項も合わせた式について考え(ていく．まず，本研究で採用している境界条件はB=ノイマン条件である．この境界条件を満たし，か)fu (P ) fv (P )gu (P ) gv (P )(37)

つ ut = 0, vt = 0, すなわち時間的な変化を伴わとする．ここで，第 3.1 節で求めた第 2，第 3 のない関数を平衡解または定常解という．すなわ

平衡点を代入し，実際に行列 B を計算する．まち，定常解を S(x) とすると，L(S(x)) ≡ 0 (0 <ず，(12) 式の第 2 の平衡点を代入し計算すると

x < L) と Sx (0) = Sx (L) = 0 を満たすというL(v) = D[v=∂2∂2+∂x2 ∂y 2vv

F (v) =][,D =[)

v + F (v)

(B 2 =

(a2− 4b2

ことになる．ただし，(a24b22 −2√)√)

2 −222
1 − 4ba − 4ba

22
1 − 4ba − 4ba− a −2bb


(38)

(31)

次に，(13) 式の第 3 の平衡点を代入し計算すると

d1 00 d2]−uv 2 + a(1 − v)
uv 2 − (a + k)v

B 3 =,](32)

22aa− 2b2 − 2b2√

22−2b1 − 4ba2aa−a + 2b2 + 2b2√

21 − 4ba (39)bとなる．これらを次のような記号 α, β, γ, δ を用いて置き換え，反応項のヤコビ行列として(である．第 4.1 節で求めた 3 つの平衡点 P は上

B=で述べた定常解になるのでこれを S0 (x) ≡ P とα βγ δ)(40)する．グレイスコットモデルの反応項の部分をとする．

F とすると，S0 (x) の線形化用素を偏微分を含む作用素の固有値を考えるにあたり，(A0 = D∂2∂2+∂x2 ∂y 2)+ F ′ (P )(33)となる．定常解が安定か不安定かということは定常解から微小にずれた値を u, v が持ったとき，u, v が定常解に戻るか離れるかを意味する．線
d形システム dtv(t) = Av(t) の安定性が A の固有値で決まるのと同様に，(33) 式の作用素 A0v のフーリエ級数展開を用いることにより，作用素の固有値問題を行列の固有方程式に帰着することができる．その方法を次に述べる．まず，

v はノイマン形境界条件を満たす波の性質を持っている．このことから境界条件を考慮して v =t (u(x, y), v(x, y)) の各成分を次のようにフーリエ余弦展開する．
[∑∞(34)で表される線形化方程式における平衡点である]

n=0 amn ψm (x)ψn (y)v(x, y)= ∑m=0∑∞∞
m=0n=0 bmn ψm (x)ψn (y)を用いて∂v = A0 v
∂t∑∞

(41)

ただし，定常解の安定性は，線形化作用素 A0 の固有値–6–ψm (x) = cosnπmπx , ψn (x) = cosyLL(42)[]amnである・ここで，= amn とまとめる
bmnと，(41) 式は次のようになる．

∑∞amn ψm (x)ψn (y)(43)

この (43) 式を線形化方程式 (36) 式に代入する．

D∞ ∑∞
∑amn

m=0 n=0+∂2∂2+∂x2 ∂y 2∞ ∑∞∑)

=λm=0 n=0(51)

つためには，ψm (x)ψn (y) に掛かっている係数

ψm (x)ψn (y)amn (44)部分が等しくなければならない．係数部分を比較することにより，各 m と n において− (σm + σn ) Damn + Bamn = λamn

B mn = − (σm + σn ) D + B)

(45)

B mn amn = λamn

2∂る. まず，ψm (x) = cos mπ
L x より，∂x2 に従い，22( mπ )2L

cos mπL x(53)とすると，となる．(45) 式の括弧内の第 1 項をまず計算す∂
回偏微分を行うと，∂x2 ψm (x) = −(52)を得ることができる．ここで，∂2ψm (x)ψn (y)∂x2∂2+ 2 ψm (x)ψn (y)∂y(54)となる．(35),(36) 式で定義された作用素 A0 の固有値 λ は，上の (54) 式で行列 B mn の固有値ととなる．ここで，(n=0 ψm (x)ψn (y)λamn

は 1 次独立な関数なので (51) 式の等式が成り立

第 1 項に着目しさらに計算すると，amn∑∞(51) 式の両辺は m = 0, …, ∞, n = 0, …, ∞ に対

ここでの B は F ′ (P ) を表す．(44) 式の始めのD

m=0に係数が掛かった形式になっている．ψm (x)ψn (y)m=0 n=0(∑∞する無限級数である．級数の各項は ψm (x)ψn (y)ψm (x)ψn (y)Bamn ψm (x)ψn (y)m=0 n=0∞ ∑∞∑∞ ∑∞∑n=0 ψm (x)ψn (y) (−D (σm + σn ) amn=m=0 n=0(∑∞m=0+Bamn )∞∞ ∑∑v(x, y) =これにより，(44) 式は次のようになる．

mπL)2して表される．このようにフーリエ余弦級数を= σm(46)用いた解の形式を線形化された作用素の方程式とすると，(45) 式の第 1 項は次のようになる．に代入することによって (36) 式で表される作用∂2
ψm (x)ψn (y) = −σm ψm (x)ψn (y)∂x2(素D(47)∂2ψm (x)ψn (y) = −σn ψm (x)ψn (y)∂y 2(48)

σn =nπL+ F ′ (P ) の固有値問題が (54)次に行列 B m = − (σm + σn ) D + B の固有方程式を考える．ここで()D1 0D=,0 D2()()

fu (P ) fn (P )α β
B==gu (P ) gv (P )γ δより，行列 B mn を計算すると次のようになる．となる．ただし，()式の行列 B mn の固有値問題に帰着された．

同様の計算を (45) 式の括弧内の第 2 項にも行うと，∂2∂2+ ∂y2∂x2)2(49)()とする．よって，最終的に (44) 式の第 1 項は次− (σm+σn ) D1+αβ
B mn =γ− (σm+σn ) D2+δのようになる．

では，求めた行列 B mn の固有方程式から係数D∑∞m=0∑∞の正負を求めるため，固有方程式

n=0 amn (−σm ψm (x)ψn (y)−σn ψm (x)ψn (y))(50)–7–Qmn (λ) = |λI − B mn |(55)

を計算する必要がある．上式を計算するとせることを考える．この制御は，u, v が化学物= λ2 − (α + δ − (σm + σn ) D1

質の濃度と考えるならば，u の濃度の変化率にQmn (λ)

影響を与える wu という物質を，v の濃度の変化− (σm + σn ) D2 ) λ率に影響を与える wv という物質を加えること+ ((σm + σn ) D1 − α) ((σm + σn ) D2に相当する．これらの影響はグレイスコットモ− δ) − βγ

デルの右辺にそれぞれ wu , wv という項を加える(56)となる．上式を λ に関する 2 次式とみて，定数ことを意味する．ここで wu , wv としてどのよう項に着目して計算すると，な式を用いるかを考えることが制御系設計の問題となる．(Fig.4)(σm + σn )2 D1 D2 − (σm + σn ) (αD2 + δD2 )+αδ − βγ(57)となる．ここで，D2 = hD1 とすると，上式は()(σm + σn )2 D12 − (σm + σn ) D1 α h+αδ − βγ − (σm + σn ) D1 δ(58)となる．まず，α, β, γ, δ のうち，(38),(39) 式のFig. 4制御系設計の問題

行列 B 2 , B 3 に共通して

α < 0 , β < 0 ，δ > 0(59)5.2であることがわかっている．ここで，σm + σn =( mπ )2L(+ nπL)2

制御問題における仮定制御の問題を考える上で次の仮定を置く．

より，m と n が大きな値のとき，

 Fig.3 の各パターンを形成するような a, kマイナスのかかっている (58) 式の第 4 項は，第の値は既知とする．

2，第 3 項が正であったとしても，その値を超える大きな負となることがわかる．そして，この Fig.3 にある第 1∼3 の平衡点の値は a, k の大きな負に比較する h のかかった第 1 項は ( )値と第 3.1 節の計算式を用いて計算可能で内の第 1 項は正，第 2 項もマイナスがかかってある．

いるが，α が負のため正となる．ここで，h を u の値は測定可能であり，フィードバック十分に小さくすると h のかかった第 1 項全体を制御に用いることができる．

小さな正とすることができる．よって，(58) 式は全体で負になることが証明できた．(58) 式は

 v の値は測定できず，フィードバック制御もともと (56) 式の λ の 2 次式の定数項であるたに用いることができない．

め，固有方程式の係数の 1 つが負になることがわかった. よってグレイスコットモデルの第 2，第 3 の平衡点は不安定であることがわかった．

5.

パターン形成の制御

5.1

制御系設計問題

5.3

制御入力 wu , wv に含める項の検討

5.3.1

u, v の値を一定値に近づける制御

制御入力 wu , wv にどのような項を含めるかは制御に目的によって様々な形が考えられる．例
えば，u, v の値を定数 ū, v̄ にできるだけ近づけ

本研究ではグレイスコットモデルにおける uと v の値をフィードバック制御によって変化さ–8–

たいとすれば，という構成法が考えられる．上式は û と v̂ のモデルをもとにして計算するとともにセンサで測

wu = ku (ū − u)wv = kv (v̄ − v̂)

定した u の値とその推定値 û の偏差を用いて(60)

kh (u − û) で v̂ を補正する考えに基づいている．という形の制御入力を与えることが有効となる．
ただし，v̂ は v の推定値である．このシミュレー

6.

ションでは v̂ = 1 − u とした．シミュレーショ
ンの結果では u と v の値が時間と場所によらず一定の値となる結果が得られた．

まとめ

グレイスコットモデルによるパターン形成に対して数理的解析と制御方法の考察を行った．3
種類の平衡点を示し，その安定性を明らかにした．また，パターンを制御するための制御入力の式を考察した．今後はオブザーバの有効性の検証，安定性解析で求められた平衡点の値を制御に活用することが考えられる．

参考文献
Fig. 5一定値に近づける制御

1) 栄 伸一郎: パターン形成の数理，講談社(2008)

5.3.2

パターンを変える制御

2) 西浦 廉政: 数学と科学・生物学ー自己複製
例えば Fig.3 上から 2 番目のパターンから 4番目のパターンに変化させたい場合は本数学会出版 (2010)

wu = −a2 (1 − u) + a4 (1 − u)wv = (a2 + k2 )v̂ − (a4 + k4 )v̂と自己崩壊のダイナミクスをめぐって，日3) 三村 昌泰: 非線形・非平衡現象の数理４(61)パターン形成とダイナミクス，財団法人
東京大学出版会，38/ﬁg.2.11(2006)という制御入力が考えられる．ただし，a2 , k2 はパターン 2 における a, k の値，a4 , k4 はパターン4 における a, k の値である．この制御入力はグレイスコットモデルにおける a, k に依存する項においてパターン 2 に関する項を打ち消し，パターン 4 の項に置き換える働きがある．

5.3.3

v を推定するオブザーバ

v の推定値 v̂ を計算するにはオブザーバを用いることが考えられる．それは∂ û= d1 ∆û − ûv̂ 2 + a(1 − û) + wu∂t∂v̂= d2 ∆v̂ + ûv̂ 2 + wv + kh (u − û)∂t(62)–9–