偏微分方程式の精度保証付き数値計算法(II)～半線形楕円型境界値問題～

東洋大学 情報連携学部 関根 晃太

1

楕円型偏微分方程式の境界値問題
楕円型偏微分方程式のDirichlet境界値問題の解の計算機援用存在証明法の解説をします.

2

楕円型偏微分方程式の境界値問題
楕円型偏微分方程式のDirichlet境界値問題の解の計算機援用存在証明法の解説をします.
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ
①式変形
不動点形式
作用素方程式3

楕円型偏微分方程式の境界値問題
楕円型偏微分方程式のDirichlet境界値問題の解の計算機援用存在証明法の解説をします.
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ
①式変形
不動点形式

②不動点定理・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

作用素方程式4

楕円型偏微分方程式の境界値問題
楕円型偏微分方程式のDirichlet境界値問題の解の計算機援用存在証明法の解説をします.
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ
①式変形
不動点形式
作用素方程式②不動点定理
・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理③評価
・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価
5楕円型偏微分方程式の境界値問題
楕円型偏微分方程式のDirichlet境界値問題
今回のメインテーマの解の計算機援用存在証明法の解説をします.
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ
①式変形
不動点形式
作用素方程式②不動点定理・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理③評価
・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価
6楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:
有限次元
Newton法

無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム7楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:

1988年
中尾充宏先生FS-Int

有限次元
Newton法

無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム8

楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:

1988年
中尾充宏先生FS-Int有限次元
Newton法

2004年
中尾充宏先生FN-Norm力学系へ応用!
1990年
中尾充宏先生FN-Int

無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム
9楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:

1988年
中尾充宏先生FS-Int

有限次元
Newton法

無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム

2004年
中尾充宏先生FN-Norm

力学系へ応用!
1990年
中尾充宏先生FN-Int

無限次元
固有値
1992年
M. Plum先生
Kantorovich-likeの定理

10楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:

1988年
中尾充宏先生FS-Int

有限次元
Newton法

2004年
中尾充宏先生FN-Norm

力学系へ応用!
1990年
中尾充宏先生FN-Int1995年
大石進一先生
Kantorovichの定理

無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム

ノルム評価
無限次元
固有値
1992年
M. Plum先生
Kantorovich-likeの定理

11楕円型偏微分方程式の境界値問題歴史:1988年
中尾充宏先生FS-Int

有限次元
Newton法

力学系へ応用!
1990年
中尾充宏先生FN-Int1995年
大石進一先生
Kantorovichの定理

無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム

2004年
中尾充宏先生FN-Norm

2005年
中尾充宏先生In-Linz

2016年
渡部善隆先生

ノルム評価
無限次元
固有値
1992年
M. Plum先生
Kantorovich-likeの定理

12楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:

1988年
中尾充宏先生FS-Int

有限次元
Newton法

力学系へ応用!
1990年
中尾充宏先生FN-Int1995年
大石進一先生
Kantorovichの定理

今回の扱う!
無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム

2004年
中尾充宏先生FN-Norm

2005年
中尾充宏先生In-Linz

2016年
渡部善隆先生

ノルム評価
無限次元
固有値
1992年
M. Plum先生
Kantorovich-likeの定理

13楕円型偏微分方程式の境界値問題
歴史:2004年
中尾充宏先生FN-Norm

1988年
中尾充宏先生FS-Int

有限次元
Newton法

力学系へ応用!
1990年
中尾充宏先生FN-Int1995年
大石進一先生
Kantorovichの定理

今回の扱う!
無限次元
Newton法

線形化作用素逆作用素ノルム

2005年
中尾充宏先生In-Linz

2016年
渡部善隆先生

ノルム評価
無限次元
固有値
1992年
M. Plum先生
Kantorovich-likeの定理

今回紹介する① 式変形の違いはほとんどない!!
② 不動点定理14

楕円型偏微分方程式の境界値問題
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ③評価②不動点定理①式変形
不動点形式
作用素方程式・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価

いきなり偏微分方程式を扱うと混乱しがちになるので，n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式をあえて「①式変形」，「②不動点定理」のステップを踏んで精度保証付き数値計算法の理論を作ってみましょう!

15

不動点定理の準備

16

不動点定理の準備

17

不動点定理の準備

よくわからないなぁと思う人は・連立一次方程式では・楕円型偏微分方程式ではと思っていてください!!

18

不動点定理の準備

よくわからないなぁと思う人は・連立一次方程式では・楕円型偏微分方程式ではと思っていてください!!

ここで，解を探す空間が決定します!
(そして近似解をとってきていい空間も決まります)19

不動点定理の準備

20

不動点定理の準備

式の形が重要です!!

21不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

22不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

Wは後ほど，適当に作成します!
Wを作成した後，「不動点定理を満たすかな?」って確認し，再度Wを作成しなおします!!

23

不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

Wは後ほど，適当に作成します!
Wを作成した後，「不動点定理を満たすかな?」って確認し，再度Wを作成しなおします!!

Wは候補者集合と呼ばれる!!

24

不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

Wを適当につくったら，普通は満たしません!
この条件を満たすかどうか，コンピュータでチェックします.
この条件が，一番きついのです!!

25不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

数学的に証明します.
コンピュータを使わずにいいます.
26

不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

27

不動点定理の準備

Schauderの不動点定理

コンピュータで確認!!
数学で確認!!

28

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

29

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

30

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

候補者集合ですね!!

31

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

この条件もSchauderの不動点定理と同じですね!!
そして，大変さも同じ…

32

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

コンパクト性を言わずに，定数kが1未満であることをいいます.
この条件を満たす写像を縮小写像といいます.これは，コンピュータも駆使して示します!!33

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

条件を満たせば，不動点方程式の解の存在が言えます!
Schauderの不動点定理と違い，候補者集合W内で一意性も示せます!!

34

不動点定理の準備

Banachの不動点定理

35

不動点定理の準備
Schauderの不動点定理

Banachの不動点定理

36

不動点定理の準備
Schauderの不動点定理

Banachの不動点定理

候補者集合Wはどのように作りますか?

37

不動点定理の準備038

不動点定理の準備039

不動点定理の準備

40

不動点定理の準備

41

不動点定理の準備

Wは中心がゼロですね!!

42

不動点定理の準備

Wは中心がゼロですね!!
がいえれば，OK!!
43不動点定理の準備

Wは中心がゼロですね!!
がいえれば，OK!!
定義域Wのどんな要素を入れても半径ρを飛び出ることはない!!

44

不動点定理の準備

45

不動点定理の準備

このとき，
・「ρをfor文で適当に変えながら与えて，条件を満たすかな?と確認」してもOK!!
・問題によっては，「条件を満たすρはこうなるはず!」って式を出すことも可能!!

46

不動点定理の準備

SchauderBanach

47

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

48

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

①式変形
不動点形式

②不動点定理Schauderの不動点定理

49

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式①式変形
不動点形式②不動点定理Schauderの不動点定理

Schauderの不動点定理

50

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式①式変形
不動点形式②不動点定理Schauderの不動点定理

Schauderの不動点定理

51

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

①式変形
不動点形式

②不動点定理Schauderの不動点定理

行列ならばコンパクト作用素!!
Schauderの不動点定理

52

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式①式変形
不動点形式②不動点定理Schauderの不動点定理

Schauderの不動点定理

✔

53

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式①式変形
不動点形式②不動点定理Schauderの不動点定理

Schauderの不動点定理

✔

54

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式①式変形
不動点形式②不動点定理Schauderの不動点定理

候補者集合

候補者集合Wで解の存在がいえるように式変形!!
55

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式候補者集合

近似解(不動点定理で設定しているXの元なら何でもOK!)

56

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式候補者集合

近似解(不動点定理で設定しているXの元なら何でもOK!)(これをいうのがAx=bの解xに対しては自然)

57

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式候補者集合ギャップを埋めるのが近似解

58

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式候補者集合ギャップを埋めるのが近似解

59

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式式変形

60

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式式変形

61

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

式変形

62

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

式変形

63

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式式変形

64

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

不動点方程式65

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式

不動点方程式※なぜ近似逆行列Rが必要なの? 解きほぐすと...
66

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式不動点方程式※なぜ近似逆行列Rが必要なの? 解きほぐすと...
67

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!
n×n行列Aと，n次元ベクトルbに対する連立一次方程式不動点方程式※なぜ近似逆行列Rが必要なの? 解きほぐすと...
Newton法 + 余り

68

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

不動点方程式
①式変形
✔
不動点形式

②不動点定理Schauderの不動点定理

Schauderの不動点定理

✔

✔

69

練習:

を満たすようにρを設定できればOK!

70

練習:を満たすようにρを設定できればOK!

71

練習:を満たすようにρを設定できればOK!

72

練習:を満たすようにρを設定できればOK!

73

練習:を満たすようにρを設定できればOK!

74

練習:を満たすようにρを設定できればOK!

75

練習:を満たすようにρを設定できればOK!

を満たすようにρを設定できればOK!

76

練習:

を満たすようにρを設定できればOK!

を満たすようにρを設定できればOK!
※線形問題だとρの次数は最高1次非線形問題だとρの次数は問題によって変化!!

77

練習:

を満たすようにρを設定できればOK!

を満たすようにρを設定できればOK!
※線形問題だとρの次数は最高1次非線形問題だとρの次数は問題によって変化!!
・半線形偏微分方程式の場合は，ρを徐々に変化させて，成り立つρを探す
78

練習:

を満たすようにρを設定できればOK!

を満たすようにρを設定できればOK!
※線形問題だとρの次数は最高1次非線形問題だとρの次数は問題によって変化!!
・半線形偏微分方程式の場合は，ρを徐々に変化させて，成り立つρを探す
・連立一次方程式の場合は，ρが存在する条件を出せる!
79

練習:

を満たすρの設定

80

練習:を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

81

練習:

を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

82

練習:

を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

83

練習:

を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

84

練習:

を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

まだ，条件が足りません!
ここで，ρは何だったか思い出しましょう!

85

練習:

を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

まだ，条件が足りません!
ここで，ρは何だったか思い出しましょう!

86

練習:

を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

まだ，条件が足りません!
ここで，ρは何だったか思い出しましょう!

ρは非負!!

87

練習:を満たすρの設定イコールが成り立つ条件を考えてみましょう!

and88

練習:

89

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

不動点方程式90

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

不動点方程式でいいなおしてみると…

91

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

92

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ③評価②不動点定理①式変形不動点形式

・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価
93

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ③評価②不動点定理①式変形不動点形式

・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

いまの導出方法とほぼ同じ!!

・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価
94

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

ノルムの具体的な計算
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ③評価②不動点定理①式変形
不動点形式

・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価
95

練習:連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

イメージ図

96

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

イメージ図

97

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

イメージ図

98

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

イメージ図

99

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

イメージ図

100

練習:
連立一次方程式の解の精度保証付き数値計算法を作ってみよう!

イメージ図

101

Emden方程式の解の精度保証法の導出
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ②不動点定理
③評価
①式変形
不動点形式

・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価

Emden方程式のDirichlet境界値問題の解の精度保証付き数値計算法を導出してみよう!
102

Emden方程式の解の精度保証法の導出Emden方程式のDirichlet境界値問題の解の精度保証付き数値計算法を導出してみよう!
を弱ラプラシアンとすると...

103

Emden方程式の解の精度保証法の導出
Emden方程式のDirichlet境界値問題の解の精度保証付き数値計算法を導出してみよう!
を弱ラプラシアンとすると...

「よくわからないぞ!」って場合は，「連立一次方程式っぽく書けるんだ!」と思って頂ければとりあえずOK.
非線形であることだけ注意して下さい!!
104Emden方程式の解の精度保証法の導出
Emden方程式のDirichlet境界値問題の解の精度保証付き数値計算法を導出してみよう!
を弱ラプラシアンとすると...

(即ち，近似解を選ぶ空間もここで決定しました．)
105Emden方程式の解の精度保証法の導出

①式変形
不動点形式

106

Emden方程式の解の精度保証法の導出

107Emden方程式の解の精度保証法の導出

残差

余り

108

Emden方程式の解の精度保証法の導出

109

Emden方程式の解の精度保証法の導出これは3.1節の実用的ではない不動点形式です!!

110Emden方程式の解の精度保証法の導出

Newton法
wについて一次のになっていない... 項が残っている
これは3.1節の実用的ではない不動点形式です!!

が通りにくい...
(問題依存)111

Emden方程式の解の精度保証法の導出

wが一次の項はまとめる

112

Emden方程式の解の精度保証法の導出

wが一次の項はまとめる(近似解をNewton法で求める際に，ヤコビ行列を作りますよね?それの無限次元版です!)113Emden方程式の解の精度保証法の導出

wが一次の項はまとめる

線形化作用素と呼ばれます!
よく研究対象にされています!!

114

Emden方程式の解の精度保証法の導出

(条件1)

115

Emden方程式の解の精度保証法の導出(条件1)
コンピュータを駆使して証明します116Emden方程式の解の精度保証法の導出

Newton法

wについて一次の項が消えた!!

117

Emden方程式の解の精度保証法の導出

楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ③評価②不動点定理✔
①式変形不動点形式

・Banachの不動点定理

・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価
118

Emden方程式の解の精度保証法の導出

Banachの不動点定理

119Emden方程式の解の精度保証法の導出

Banachの不動点定理✔

120

Emden方程式の解の精度保証法の導出

Banachの不動点定理✔

121Emden方程式の解の精度保証法の導出

122Emden方程式の解の精度保証法の導出(条件2) 線形化作用素の逆作用素のノルム評価
線形化作用素の評価が一番大変...

123Emden方程式の解の精度保証法の導出(条件3) 残差ノルムコンピュータで直接計算します!!

124Emden方程式の解の精度保証法の導出(条件3) リプシッツ条件にあたる項
ソボレフ埋め込み定理の具体的な定数を利用

125

Emden方程式の解の精度保証法の導出

不等式を満たすρを(手あたり次第)探す．

126

Emden方程式の解の精度保証法の導出

Banachの不動点定理

✔
✔

127

Emden方程式の解の精度保証法の導出
不等式を満たすkが0以上1未満

128

Emden方程式の解の精度保証法の導出
不等式を満たすkが0以上1未満

129

Emden方程式の解の精度保証法の導出
不等式を満たすkが0以上1未満(条件2) 線形化作用素の逆作用素のノルム評価
130

Emden方程式の解の精度保証法の導出
不等式を満たすkが0以上1未満

ソボレフ埋め込み定理の具体的な数値
131

Emden方程式の解の精度保証法の導出

Banachの不動点定理

✔
✔

✔
132

Emden方程式の解の精度保証法の導出

Banachの不動点定理

✔
✔

✔
133

まとめ
楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法のステップ③評価②不動点定理①式変形
不動点形式

・Schauderの不動点定理
・Banachの不動点定理
・Kantorovichの定理

今回はここ!
テキストの4章は一般の場合(ぜひチャレンジを...)・線形化作用素の逆作用素のノルム評価
・残差ノルムの評価
・Lipschitz定数の評価

書籍へ134