ころがり接触する 2 次元任意形状物体の把持と操作の動的モデルの導出と制御○吉田 守夫 (理研)

有本卓 (立命大/理研)

田原 健二 (九大)Modeling and Control of Pinching 2D Object with Arbitrary Shapeunder Rolling Contacts*Morio YOSHIDA(RIKEN), Suguru ARIMOTO(Ritsumeikan Univ./RIKEN),
and Kenji Tahara(Kyushu Univ.)
Abstract— An new dynamical system with physical interaction, which represents motion of pinching a 2D
object with arbitrary shape by a pair of robot ﬁngers under rolling constraints, is proposed and modeled
mathematically. Since an object with arbitrary shape diﬀers from a rectangular object with only ﬂat surfaces,
variation in curvature of the object arises due to change of the contact point between the object surface andthe rigid ﬁnger tip. Constraint forces derived from rolling and contact constraints appear explicitly as wrench
vectors in the overall ﬁngers-object dynamics. Control input called “blind grasping”, which does not need
to use the kinematical information of the object nor external sensing, is introduced. Finally to conﬁrm thevalidity of our proposed models and control signals, numerical simulations are carried out.

1.

はじめにO

人の手を模したロボットハンドは，多くの研究者を引き付け続けてやまない 1) ．しかしながら，多くの研究は静的か準静的な場合に限られてきた．また，任意形状を有する物体間の転がりに関する幾何学は，Montana2)により詳細に議論されたが運動学に留まり，ダイナミックな意味では議論されてこなかった．
2000 年前後になり，有本らによりロボット指の指先の半球形状を積極的に用いることで，2 本指を用いて安定把持が可能であることが，動的な意味で初めて示された 3) ．この際，ロボットの指先と把持される物体との間に生じる転がり拘束をシステム全体のダイナミクスに組み込むことに成功し，その拘束から自然に物体のダイナミクスに生じるレンチベクトルが，物体を安定把持するのに決定的な役割を果たした．しかしながら，有本らの一連の研究は把持される物体をフラットな面を持つ対象物に限定してきた 3) ．そこで本報告では，重力の影響を受けない 2 次元平面内において，2 本指ロボットを用いて任意の曲率を有する物体の動力学モデルと，それを安定把持するための制御入力を提案する．その際，提案する制御入力は blind graspingと呼ぶ有本らが従来から用いている制御入力と全く同じであることに注意する．最後に，提案するモデルに基づいて数値シミュレータを構築し，提案する制御入力を用いて安定把持が可能であることを数値シミュレーションの観点から検証する．

2.

動力学の導出x-y 平面内において，指先が剛体で半球形状を有する多自由度から構成されるロボット一対が任意の曲率を有する物体を安定に把持する問題を取り扱う．その際のシステム全体の様子を Fig.1 に示す．把持される物体の詳細図を Fig.2 に示す．座標系はすべて，反時計回りを正とする．把持される物体の重心位置 Om は慣性座標系 O − xy を用いて (xm , ym ) と表せるとする．一,xq21

q11yq22Q
P1 Om rX 2n1 rY n2P2q12q13Q1e112e2

Fig.1 Two robot ﬁngers with rigid tips pinching anobject with arbitrary shapeO

xyle1(s)=Y1
P1'XrXOmln1(s)rYY(s)
1s=0 Q1
P1''
n1 X(s)sr1e1
YP1 =(x1 ,y1)Y
O01=(x01,y01) 1 'YX
e'1

Fig.2 Geometrical relationship based on length parameter “s”

方，把持される物体に固定された物体座標系 Om − XY
は，Figs 1 and 2 に示すように rX ，r Y 単位ベクトルを用いて表現できる．物体の左側面は，Fig.2 に示さ

第9回システムインテグレーション部門講演会(SI2008)（2008年12月5日 〜 7日・岐阜）-317-OSY0015/08/0000 - 0317 © 2008 SICE

れるように孤長パラメータ s を用いて，物体座標系から (X(s), Y (s)) と表わされる曲線 C(s) によって表現√2 s2できる．ここでは具体例として，X(s) = 1+4×50−2×50とする．Fig.2 に示される
0.03, Y (s) = arcsinh(2×50s)
2×50
θ1 は θ1 (s) = arct (X  (s)/Y  (s)) と表わされる．ここで，X  (s) = dX(s),Y  (s) = dY (s) とする．その際，P1 と P1 の長さは，

P1 P1 = ln1 (s) = −X(s) cos θ1 (s) + Y (s) sin θ1 (s)(1)と物体座標系を用いて表される．一方，式 (1) は慣性座標系を用いれば

P1 P1 = (xm − x01 ) cos (θ + θ1 (s))− (ym − y01 ) sin (θ + θ1 (s)) − r1(2)と表わされる．したがって左指ロボットと物体との接触を表すホロノミック拘束はとする．ここで，N̂i (t) = γi−1 ri pT
i (qi (t) − qi (0)) とし，γi (i = 1, 2) は正の定数とする．この制御信号は，従来から有本らが提案している blind grasping と呼ばれる制御入力 3) であり，物体形状が異なるにも関わらず全く同じであることに注意する．

シミュレーション結果

4.

第 2 章に基づき数値シミュレータを構築し制御入力として式 (14) を用いて，理論の妥当性を検証するために数値シミュレーションを行った．Figs 3 and 4 より約 6 秒後に，物体が安定把持されたことが確認された．
またその際の孤長パラメータ s の変動を Fig.10 に示し，Fig.9 に把持された物体の回転した角度を示す．ここで θ の変動が大きいのは，把持物体の左側面の形状がFig.2 から確認できるように変動の大きな曲線として定義したため，ロボットの指先が少し変動しただけでも，物体が大きく回転したためだと考える．

Q1=−(xm −x01 )cos(θ+θ1 )+(ym −y01)sin(θ+θ1)+(r1 + ln1 (s)) = 0 (3)と表わされる．一方，Om P1 は物体座標系により(4)と表わされ，慣性座標によりFig.3 Initial pose

Om P1 = Y1 (t) = −(xm − x01 ) sin(θ + θ1 )

-0.3

1.35

1.3

f1(5)

λ1[N]

f1[N]

1.25

1.25

-0.4

-0.5

1.2
1.2-0.6

1.1505time[s]010

5010time[s]5time[s]10Fig.7 λ1

Fig.6 f2

Fig.5 f1-0.10θ

λ2-0.20.014
0.012-0.3-20

θ [deg]λ2[N]と表わされる．P1 での純粋転がりの定義は 3) ，物体から見た P1 での速度と指ロボットから見た P1 での速度が等しいことから −r1 ṗ1 + r1 θ̇ = −Ẏ1 と表わせれる．
ここで，p1 = q11 + q12 + q13 とする．物体の右側に関しては，Fig.2 より明らかなように θ2 = 0 であるから，従来と同じ考えにより導出可能である 3) . 変分原理を適用して，システム全体の動力学を導出すると

1Gi (qi )q̈i +Ġi + Si q̇i − fi JiT (qi )ni2
 T−λi Ji (qi )ei − ri pi = ui , i = 1, 2(6)λ1

f2
1.3f2[N]−(ym − y01 ) cos(θ + θ1 )Fig.4 After 10 seconds-0.4s[m]Om P1 = le1 (s) = X(s) sin θ1 + Y (s) cos θ1

0.01
0.008

-0.5

-400.006-0.6

s05time[s]Fig.8 λ2

1005time[s]Fig.9 θ1005time[s]10Fig.10 s

M (ẍ ÿ)T + f1 n1 + f2 n2 + λ1 e1 + λ2 e2 = 0 (7)I θ̈ − f1 Y1 + f2 Y2 + λ1 ln1 − λ2 ln2 = 0 (8)5.

まとめとなる．ここで，p1 = (1, 1)T , p2 = (1, 1, 1)T , JiT =∂(x0i , y0i )/∂qi としsin(θ + θi )i − cos(θ + θi )ni=(−1), ei =(9)sin(θ + θi )cos(θ + θi )

提案した任意形状を有する物体をロボット一対を用いて blind grasping と呼ぶ制御入力を用いることで，安定に把持することが可能であることを数値シミュレーションの観点から確認した．とする．また，fi ,λi (i = 1, 2) はラグランジュ乗数を表すことに注意する．

参考文献

3.

制御信号

提案する制御入力を

ui=−ci q̇i +(−1)ifdJiT(qi ) x01 − x02
r1 +r2−ri N̂i pi , i = 1, 2 (10)-318-

謝辞 本研究は，日本学術振興会科学研究費補助金基盤研究(B)(課題番号 20360117) の交付により行われたものである．

1) R. M. Murray, Z. Li, and S. S. Sastry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press,Boca Raton,FL, USA and Tokyo, Japan, 1994.
2) D.J. Montana, “The kinematics of contact andgrasp”, Int. J.of Robotics Research, Vol. 7, No. 3,
pp.17-32, 1988.
3) S. Arimoto, Control Theory of Multi-fingered Hands,Springer-Verlag, London, 2008.