数理解析研究所講究録 1308 巻 2003 年 158-173

158
多段抽出法による正規分布の平均の推測

熊本大学工学部

佳和 (Yoshikazu Takada)高田

Faculty of Engineering, Kumamoto University1

序$X_{1},$ $X_{2},$$\sigma^{2}$$\cdots$は互いに独立で、 正規分布

が未知のもとで、 母平均$\mu$に従う確率変数列とする。母分散に関する次の 3 つの推測問題を考察する。
$N(\mu, \sigma^{2})$(1)(長さ一定の信頼区間) $\alpha(0<\alpha<1)_{\text{、}}d(>0)$ が与えられたとき、 全ての$(\mu, \sigma^{2})$$\theta=$に対して、$P_{\theta}(|\overline{X}_{n}-\mu|\leq d)\geq 1-\alpha$を満たす標本数 の決定。 ここで、
X:/n。
(
有界リスク問題)$W>0$ が与えられたとき、全ての に対して、次の条件を満(2)$n$$\overline{X}_{n}=\sum_{\dot{*}=1}^{n}$$\theta$

たす標本数

$n$

の決定。
$E_{\theta}(\overline{X}_{n}-\mu)^{2}\leq W$(3) (仮説検定問題) 帰無仮説
: $\mu=$ 崗を対立仮説: $\mu=\mu_{1}(\mu_{0}<\mu_{1})$ に対して検定する問題において、 第一種の過誤の確率を $\alpha(0<\alpha<1)$ 以下、 第二種$H_{o}$$H_{1}$の過誤の確率を $\beta(0<\beta<1)$ 以下となる検定方式の決定。

が未知であるので、 問題 (1) (2) に対しては、 標本数を予め固定しておくことはできない。問題 (3) に対しても、 $\alpha+\beta<1$ ならば、 標本数を予め固定しておくと条件を満たす検定方法は存在しない (cf. Takada, 1998)。 これらの問題に対して、 ス
タインの 2 段階抽出法 (Stein, 1945) を適用すれば、条件を満たす標本数、検定方法が構成できる。
$\sigma^{2}$

スタインの 2 段階抽出法を適用したとき、標本数に関する 2 次の漸近有効性が成立するかどうかについて考える。すなわち、 2 段階抽出法にょる標本数と最適固定標本
数 ( が既知ならば用いることができる) との差の期待値が漸近的 ( (1) の場合は、(2) の場合は、(3) の場合は、
崗 \rightarrow 0 のとき) に有界になるとき 2 次の漸近有効であるという。 しかし、 スタインの 2 段階抽出法は 2 次の漸近有効ではないことを示すことができる。 Holm (1995) は、 Hall (1981) の 3 段階抽出法を修正して、 問題 (1 戸こ対する解を構成した。その修正 3 段階抽出法が 2 次の漸近有効になることを示す。問題 (2) (3) に対しても Holm の修正 3 段階抽出法を適用して解を構成し、 それらが 2 次の漸近有効になることを示す。
第 2 節では、 長さ一定の信頼区間を取り上げ、 スタインの 2 段階推定法、修正 3 段
階推定法の理論的性質を示す。第 3 節では、 シュミレーションにょり、 それらの抽出$\sigma^{2}$$darrow \mathrm{O}_{\text{、}}$$Warrow \mathrm{O}_{\text{、}}$$\mu_{1}-$159 159
方法の特性を調べる。有界リスク問題、仮説検定問題は、 第 4 節、 第 5 節で取り上げることにする。

2

長さ一定の信頼区間$\sigma^{2}$が既知ならば、 標本数$n$を $n_{d}=u^{2}\sigma^{2}/d^{2}(1-\Phi(u)=\alpha/2)$ 以上にとると、$P_{\theta}(|\overline{X}_{n}-\mu|\leq d)$$=$$P_{\theta}(\sqrt{n}|\overline{X}_{n}-\mu|/\sigma\leq\sqrt{n}d/\sigma)$$\geq$$P_{\theta}(\sqrt{n}|\overline{X}_{n}-\mu|/\sigma\leq u)$$=2(1-\Phi(u))=1-\alpha$ .

となり、 (1) の条件が満たされる。 ここで、が未知であるので、 最適標本数の$n_{d}$$\Phi$

は標準正規分布の分布関数。 しかし、$\sigma^{2}$を用いることはできない。 そこで、 次のスタイン

2 段階抽出法により標本数を決める。

を初期標本数、, X。を初期標本とし、 不偏分散 $S_{m}^{2}= \sum.m(=1X.\cdot-$$\overline{X}_{m})^{2}/(m-1)$ から、 全標本数を$m(\geq 2)$$X_{1},$$\ldots$$N= \max\{m,$$[ \frac{t_{m-1}^{2}S_{m}^{2}}{d^{2}}]+1\}$

分布の両側 100 \mbox{\boldmath $\alpha$}% 点、 $[x]$ はない最大の整数を表す。 $N>m$ ならば、 更に $N-m$ 個の標本 $X_{m+1},$とする。 ここで、 $t_{m-1}$ は自由度 $m-1$ の$t$$\ldots,$

する。 このとき、標本平均$\overline{X}_{N}$

$x$

を超え

$X_{N}$を抽出$\cross$

は (1) を満たすことが次のようにして示される (Stein,1945)。
$P_{\theta}(|\overline{X}_{N}-\mu|\leq d)$$=$$P_{\theta}(\sqrt{N}|\overline{X}_{n}-\mu|/\sigma\leq\sqrt{N}d/\sigma)$$\geq$$P_{\theta}(\sqrt{N}|\overline{X}_{n}-\mu|\leq t_{m-1}S_{m})$$=$$P_{\theta}(\sqrt{N}|\overline{X}_{n}-\mu|/S_{m}\leq t_{m-1})$$=$$1-\alpha$ここで、 $\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu)/S_{m}$ の分布が自由度 $m-1$ の$t$分布になるということを用いた。

次に、標本数の 2 次の漸近有効性について考察しよう。初期標本数 $m$ を、係に定めたとしよう。 そのとき、 次の不等式$E_{\theta}$(ヤー$n_{d}$

)

$d$

と無関

$d$

に依存

$\geq\frac{\sigma^{2}(t_{m-1}^{2}-u^{2})}{d^{2}}$と、 $t_{m-1}^{2}>u^{2}$ より、$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=\infty$となり、 2 次の漸近有効性が成立しない、 このことから、初期標本数 $m$ は、して$marrow\infty$as$darrow 0$160となるように定める必要がある。 しがし、 次の定理が示すように、 スタインの 2 段階
推定法は、 2 次の漸近有効とはならない。
定理 1 初期標本 $m$ をどのように決めても、 次の条件を満たす$\theta$が存在する。

$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=\infty$

証明

最初に、 ni $d^{2}arrow 0$

as$darrow \mathrm{O}$の場合を考える。 このとき、 分布のパーセン$t$ト点の展開式より$t_{\nu}^{2}=u^{2}+ \frac{u^{2}(u^{2}+1)}{2\nu}+o(\frac{1}{\nu})$as$.(\nu=m-1)$$\nuarrow\infty$が得られ、$\lim_{darrow 0}.E_{\theta}(N-n_{d})\geq\frac{\sigma^{2}(t_{\nu}^{2}-u^{2})}{d^{2}}arrow\infty$となり、 全ての$\theta$に対して、 2 次の漸近有効とはならない。

次に、 $md^{2}arrow a(>0)$
る に対して、as$darrow \mathrm{O}$の場合を考える。 このとき、 $\sigma^{2}<a/(2u^{2})$ とな$\theta$$P_{\theta}(N=m)=P_{\theta}(S_{m}^{2}<md^{2}/t_{\nu}^{2})arrow 1$

as$darrow 0$となり、$\frac{E_{\theta}(N)}{n_{d}}$$\geq$$\frac{mP_{\theta}(N=m)}{n_{d}}$$=$$\frac{md^{2}}{u^{2}\sigma^{2}}P_{\theta}(N=.m)$より、$d. arrow 0\mathrm{h}\mathrm{m}\frac{E_{\theta}(N)}{n_{d}}\geq\frac{a}{u^{2}\sigma^{2}}>2$となり、$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=\infty$

このことから少なくとも、 $\sigma^{2}<a/(2u^{2})$ となる$\theta$に対して、 2 次の漸近有効とはならない。

Holm (1995) は、 この問題に対して、 次の修正 3
段階推定法. . 提案した。 $m(\geq 2)$
を初期標本数とし、 第 2 段階までの標本数を$\text{を}$$M_{2}=.

\max\{m+\ell,$$[ \frac{cu^{2}S_{m}^{2}}{d^{2}}]+1\}$.

161 161とする。 ここで、 $\ell(\geq 2)$ は整数、 $c(0<c<1)$ は実数で、 どちらも定数。 第 2 段

階で、 $M_{2}-m$ 個の標本を抽出し、 その標本だけから計算される不偏分散を$M_{2}-m\geq\ell)$ とし、 全標本数を$M= \max\{M_{2},$$\tilde{S}_{\nu}^{2}(\nu=$$[ \frac{t_{\nu-1}^{2}\overline{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}]+1\}$とする。 $M>M_{2}$ ならば、 更に、 $M-M_{2}$ 個の標本を抽出する。 このとき、$\overline{X}_{M}$は、(1) を満たすことが次のようにして示される。
$P_{\theta}(|\overline{X}_{M}-\mu|\leq d)$

ここで、$S_{m}$を与えたとき、$=$$P_{\theta}(\sqrt{M}|\overline{X}_{n}-\mu|\leq\sqrt{M}d)$$\geq$$P_{\theta}(\sqrt{M}|\overline{X}_{M}-\mu|\leq t_{\nu-1}\tilde{S}_{\nu})$$=$$E_{\theta} \{P_{\theta}(\frac{\sqrt{M}|\overline{X}_{M}-\mu|}{\tilde{S}_{\nu}}<t_{\nu-1}|S_{m})\}$$=$$1-\alpha$$\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu)/\tilde{S}_{\nu}$の分布が自由度 $\nu-1$ の 分布であるこ$t$とを用いた。

Holm の修正 3 段階推定法は、初期標本 $m$ を適当に選べば 2 次の漸近有効になることが示される。
定理 2 初期標本数 $m$ を $m=O(d^{-2/r})$ as $darrow \mathrm{O}(r>1)$ となるように定めると$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(M-n_{d})=\frac{1+u^{2}}{2c}+\frac{1}{2}$証明$N_{2^{\text{、}}}U$.

を次のように定義する。
$N_{2}$

$=$

$U$

$=$

$[ \frac{t_{\nu-1}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}]+1$$\frac{t_{\nu-1}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}-[\frac{t_{\nu-1}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}]$

このとき、 次のことが示される。
$E_{\theta}(M)$$=E_{\theta}(N_{2})+o(1)$$=E_{\theta}( \frac{t_{\nu-1}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}})-E_{\theta}(U)+1+o(1)$$=E_{\theta}( \frac{t_{\nu-1}^{2}\sigma^{2}}{d^{2}})-E_{\theta}(U)+1+o(1)$$t$分布のパーセント点の展開式と、 $n_{d}/\nuarrow 1/c$as

$E_{\theta}( \frac{t_{\nu-1}^{2}\sigma^{2}}{d^{2}})=n_{d}+\frac{u^{2}+1}{2c}+o(1)$,$darrow \mathrm{O}$asas$darrow 0$より$darrow 0$

162が得られ、 又、 $U$ が $(0, 1)$ 上の一様分布に収束することが示されるので、

as$E_{\theta}(U)= \frac{1}{2}+o(1)$これらの結果を$E_{\theta}(M)$$darrow 0$の式に代入すると、

1$u^{2}+1$$E_{\theta}(M)$$=n_{d}+-+1+o(1)\overline{2c}\overline{2}$$=n_{d}+ \frac{u^{2}+1}{2c}+\frac{1}{2}+o(1)$,as$darrow 0$となり、 定理が示される。

3

シュミレーシ$\exists$ン

次に、 2 段階推定法と修正 3 段階推定法の特性をシュミレーションを通して見てみょう。信頼区間の被覆確率、標本数の分布は、母平均 に依存しないので、シュミレーショ
ンでは、正規乱数 $(N(0,1))$ を用いた。先ず、最適固定標本数を $n_{d}=25,50,100,200,400$に設定し、 そのときの の値から、初期標本数 $m$ が $md\approx 4$ となるように選んだ (定理 2 の初期標本数の選び方で、 $r=2$ に相当する) 又、 信頼区間の信頼度は 95% とした。 またシュミレーションの繰り返し数は、 5000 回とした。
表 1 は、 $E(M-n_{d})_{\text{、}}E(N-n_{d})$ と被覆確率 (CP) の推定値とその標準誤差 (SE) を
$\mu$

$d$

$\text{。}$表している。 ただし、修正 3 段階推定法においては、 $c=0.5_{\text{、}}\ell=10$ としてぃる。最後の行の数値は、 定理 1 の証明、 及び定理 2 の結果から次の値$\lim_{darrow 0}E(N-n_{d})$$=$$\lim_{darrow 0}E(M-n_{d})$$=.5.34$$\infty$を表している。 シュミレーションの結果から、 が小さいところでは、 修正 3 段階推定法の標本数は、 2 段階推定法の標本数よりも少なく、理論的な結果に合ってぃることがわかり、 その有効性が認められる。 しかし、 が小さくないところでは、 2 段階
$d$

$d$

推定法の方が標本数は少なくてすむ傾向が見られ、 修正 3 段階推定法が 2 段階推定法
を一様に必要な標本数を少なくしているとはいえない。
次に、 修正 3 段階推定法における定数の影響につぃて、 シュミレーションで調べてみる。表 2 は、 $c=0.5$ としたときの、 の違いにつぃて調べた表である。 ここ
では、 $\ell=10$ と $\ell=2$ の場合を取り上げた。 の値が小さいときは、 シュミレーショ$c_{\text{、}}\ell$$\ell$$d$ンの結果は理論的結果 (定理 2 から、標本数の期待値に関する漸近的な結果は の選択に依存しない) と一致しているように見られるが、 の値が小さくないときの標本数の大きさには、 かなりの違いが見られる。例えば、 $d=.392$ のときの、 $E(M-n_{d})$の推定値は、 $\ell=10$ のときは、 914 であるのに、 $\ell=2$ のときは、 56526 となってぃ$\ell$$d$る。 この大きな違いはどこからくるのかを調べる必要がある。

163
表 1: 95% 信頼区間 $(\ell=10, c=0.5)$

表 2: 修正 3 段階推定法(信頼度 95%,$\mathrm{c}=0.5$

)

163

164
表 3(\ell =2)、 表 4 $(\ell=10)$ は、 それそれ 10 回の実験を細がく分析した結果である。ただし、 $d=0.392_{\text{、}}n_{d}=25_{\text{、}}m=10$ とする。例えば、 表 3 の 2 列目の値は、初期標本数 $m=10$ に基づく不偏分散が $S_{m}^{2}=1.67$ であり、 その値から、第 2 段階までの標本数を求めると $M_{2}=21$ となり、 第 2 段階での標本数が、 $M_{2}-m=11$ となる。
新たに抽出した 11 個の標本から不偏分散を求めるととなる。 このとき
分布の自由度は 10 であるので、 $t_{\nu-1}=2.63$ となり、 全標本数が $M=42$ となる。 したがって $M-n_{d}=17$ となる。表 3 で、特に $M-n_{d}$ の値が大きいところを調べてみると。 $M_{2}-m=2(=\ell)$ となってぃることがわがる。 すなゎち 分布の自由度が 1 と$\tilde{S}_{\nu}^{2}=0.92$

$t$

$t$

なり、

$t_{\nu-1}$の値が大きくなるところに原因があると考えられる。 そのことは、 表 4 と比較することでわかる。表 4 では、 すべて $M_{2}-m=10(=\ell)$ となり、の値がさほど大きくならないことがわかる。 すなわち、 表 2 の結果は、 の選択に原因がある
ことがわかる。 この問題に対しては、 少なくとも 分布の自由度は、 $7(\ell\geq 8$ 以上確保する必要がある。
$t_{\nu-1}$$\ell$$t$

表 3: $\ell=2$ の場合の修正 3 段階推定法の振る舞い (信頼度 95%,

表 4: $P=10$ の場合の修正 3 段階推定法の振る舞い (信頼度 95%,

次に、 定数$c$)$\mathrm{m}=10,$$\mathrm{c}=0.5$$\mathrm{m}=10,$$\mathrm{c}=0.5$)の効果を調べてみよう。 $c=0.5$ の場合と $c=0.75$ の場合を取り上げ

165 165た。 それが、 表 5 である。定理 2 より、 理論的には$\lim_{darrow 0}E(M-n_{d})$

$=$

5.34

$(c=0.5)$$\lim_{darrow 0}E(M-n_{d})$$=$$3.72$$(c=0.75)$の値が大きい方が、漸近的には標本数が少なくてすむ。シュミレーションからも、 最初の では、 $c=0.5$ の方が、 良さそうだがその後は、 $c=0.75$ の方が良くなっている。 ただ最後の で又 $c=0.5$ の方が良くなっているが、 これは SEの値から、 実験誤差の関係であると思われる。

で、 このことから

$c$

$d$

$d$

表 5: 修正 3 段階推定法(信頼度 95%, $l=10$ ). 75)$M(c=0.5)$
$d$

$nd$

$m$

$E(M-n_{d})$

(SE)

.392
.279

.196
.139
.098

25

50
lm
$2\mathrm{m}$$4\mathrm{m}$

10
15

20
30
40

$M(c=0^{\mathrm{I}}$$CP$$E(N-n_{d})$

$CP$

(SE)

(SE)

(SE)

9.1.4

.958

9.49

.971

(.20)

$(.\alpha 13)$(.18)(.002)

13.32

.959

10.53

(.37)

$(.\alpha 13)$

13.13

.946

(.52)

$(.\alpha 13)$

8.73

.948

(.55)

$(.\alpha 13)$

7.67

.952

(.67)

$(.\alpha 13)$

5.34

4

(.29)

9.71
(.34)

.954
(.003).960(.003)

8.07

.956

(.81)

(.003)

7.78

.954

(.54)

(.003)

3.72

有界リスク問題
次に問題 (2) を考察しよう。

$\sigma^{2}$が既知ならば、$E_{\theta}(\overline{X}_{n}-\mu)^{2}=\sigma^{2}/n$は未知より、 標本数 $n$ を $n_{W}=\sigma^{2}/W$ 以土にとればいいことがわかる。 しかし、であるので、 スタインの 2 段階推定法を考える。 $m(\geq 4)$ を初期標本数とし、 全標本$\sigma^{2}$

数を$N= \max\{m,$ $[ \frac{(m-1)S_{m}^{2}}{(m-3)W}]+1\}$ .

166とする。 $N>m$ ならば、 更に $N-m$ 個の標本を抽出する。 このとき$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{N}$は (2) の解となることが次のようにして示される (Rao, 1973)。
$E_{\theta}(\overline{X}_{N}-\mu)^{2}$$=$$E_{\theta}( \frac{\sigma^{2}}{N})$$\leq$$E_{\theta}( \frac{(m-3)W\sigma^{2}}{(m-1)S_{m}^{2}})$$=$$WE_{\theta}( \frac{(m-3)\sigma^{2}}{(m-1)S_{m}^{2}})$

$=$

$W$

ここで、 $(m-1)S_{m}^{2}/\sigma^{2}$ が自由度 $m-1$ のカイ 2 乗分布に従うことを用いた。

次に、 標本数の 2 次の漸近有効性につぃて考察しょう。初期標本数 $m$ を、 $W$ と無関係に定めたとしよう。 そのとき、 次の不等式$E_{\theta}(N-n_{W}) \geq\frac{\sigma^{2}}{(m-3)W}$より、$\lim_{Warrow 0}E_{\theta}(N-n_{W})=\infty$となり、 2 次の漸近有効性が成立しない。 このことがら、 初期標本数 $m$ は、 $W$ に依存して$marrow\infty$as$Warrow 0$となるように定める必要がある。 しがし、 次の定理が示すように、 スタインの 2 段
階推定法は、 2 次の漸近有効とはならない。
定理 3 初期標本 $m$ をどのように決めても、 次の条件を満たす$\theta$が存在する。

$\lim_{Warrow 0}E_{\theta}(N-n_{W})=\infty$

証明

最初に、

$mWarrow \mathrm{O}$as$Warrow \mathrm{O}$$E_{\theta}(N-n_{W})$の場合を考える。 このとき、$\geq$$E_{\theta}( \frac{(m-3)W}{(m-1)S_{m}^{2}})$$=$$\frac{2\sigma^{2}}{W(m-3)}$より、$\lim_{Warrow 0}E_{\theta}(N-n_{W})=\infty$となり、 全ての$\theta$に対して、 2 次の漸近有効とはならない。

167 167$\theta$

次に、 $mWarrow a(>0)$
に対して、

as

の場合を考える。 このとき、 $\sigma^{2}<a/2$ となる$Warrow \mathrm{O}$$P_{\theta}(N=m)$

。)

$=$

$P_{\theta}( \frac{(m-1)S_{m}^{2}}{(m-3)W}<$$=$$P_{\theta}(S_{m}^{2}< \frac{m-3}{m-1}mW)$より、$\lim_{Warrow 0}P_{\theta}(N=m)=1$が成立し、 このことと$\frac{E_{\theta}(N)}{n_{d}}$$\geq$$=$$\frac{mP_{\theta}(N=m)}{n_{W}}$$\frac{mW}{\sigma^{2}}P_{\theta}(N=m)$$\mathrm{B}^{1}\text{ら_{、}}$$\lim\underline{E_{\theta}(N)}\geq\frac{a}{\sigma^{2}}>2$$Warrow 0$$n_{W}$となり、$\lim_{Warrow 0}E_{\theta}(N-n_{W})=\infty$

このことから少なくとも、 $\sigma^{2}<a/2$ となる$\theta$に対して、 2 次の漸近有効とはならな V)。

Holm (1995) は修正 3 段階推定法を信頼区間の構成に用いたが、 その方法は、 この問題にも用いることができる。 $m(\geq 2)$ を初期標本数とし、 第 2 段階までの標本数を$M_{2}= \max\{m+\ell,$ $[ \frac{cS_{m}^{2}}{W}]+1\}$とする。 ここで、 $\ell(\geq 4)$ は整数、 $c(0<c<1)$ は実数で、 どちらも定数。

階で、 $M_{2}-m$ 個の標本を抽出し、 その標本だけから計算される不偏分散を$M_{2}-m\geq\ell)$ とし、 全標本数を$M= \max\{M_{2},$(2) を満たすことが次のようにして示される。
$=$

段$\overline{S}_{\nu}^{2}(\nu=$$[ \frac{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}{(\nu-3)W}]+1\}$とする。 $M>M_{2}$ ならば、 更に、 $M-M_{2}$ 個の標本を抽出する。 このとき、$E_{\theta}(\overline{X}_{M}-\mu)^{2}$$\text{第}2$$E_{\theta}( \frac{\sigma^{2}}{M})$$\overline{X}_{M}$$\langle$

よ、

168

ここで、

$S_{m}$を与えたときの$\leq$$WE_{\theta} \{\frac{(\nu-3)\sigma^{2}}{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}\}$$=$$WE_{\theta} \{E_{\theta}(\frac{(\nu-3)\sigma^{2}}{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}|S_{m})\}$

$=$

$W$

$(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}/\sigma^{2}$の条件つき分布が、 自由度 $\nu-1$ のカイニ乗分布であることを用いた。
次の定理が示すように、 初期標本数 $m$ を適当に選べば、 Holm の修正 3 段階法は、
2 次の漸近有効になる。
定理 4 初期標本数 $m$ を $m=O(W^{-1/f})$ as $Warrow \mathrm{O}(r>1)$ となるように定めると$\lim_{Warrow 0}E_{\theta}(M-n_{W})=\frac{2}{c}+\frac{1}{2}$証明$N_{2^{\text{、}}}U$.

を次のように定義する。
$N_{2}$$=$$[ \frac{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}{(\nu-3)W}]+1$

$U$

$=$

$\frac{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}{(\nu-3)W}-[\frac{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}{(\nu-3)W}]$

このとき、 次のことが示される。
$E_{\theta}(M)$

このことと

$=$

$E_{\theta}(N_{2})+o(1)$$=$$E_{\theta}( \frac{(\nu-1)\tilde{S}_{\nu}^{2}}{(\nu-3)W})-E_{\theta}(U)+1+o(1)$$=$$E_{\theta}( \frac{(\nu-1)\sigma^{2}}{(\nu-3)W})-E_{\theta}(U)+1+o(1)$$n_{W}/\nuarrow 1/c$

as$Warrow \mathrm{O}$,as$Warrow \mathrm{O}$より

as$E_{\theta}( \frac{(\nu-1)\sigma^{2}}{(\nu-3)W})=n_{W}+\frac{2}{c}+o(1)$$Warrow 0$が得られ、 又、 $U$ が $(0, 1)$ 上の一様分布に収束することが示されるので、$E_{\theta}(U)= \frac{1}{2}+o(1)$これらの結果を$E_{\theta}(M)$as$Warrow 0$の式に代入すると、$E_{\theta}(M)$$=n_{W}+ \frac{2}{c}-\frac{1}{2}+1+o(1)$$=n_{W}+ \frac{2}{c}+\frac{1}{2}+o(1)$となり、 定理が示される。

,

as$Warrow 0$

169 169
5

仮説検定

以上にと
次に問題 (3) を考察する。 が既知ならば、 標本数 を、ならば、 H。を棄却するという検定法が解となる。 ここで、り、実際、 第一種の過誤の確率 (よ$n$$\sigma^{2}$$n_{d}=\rho^{2}\sigma^{2}/d^{2}$$\sqrt{n}(\overline{X}_{n}-\mu_{0})/\sigma>u’$$\Phi(u’)=1-\alpha_{\text{、}}\Phi(u’’)=\beta_{\text{、}}\rho=u’-u_{\text{、}^{}\prime\prime}d=\mu_{1}-\mu_{0^{\text{。}}}$$P_{\theta_{0}}(\sqrt{n}(\overline{X}_{n}-\mu_{0})/\sigma>u’)$

ここで.

$\theta_{0}=(\mu_{0}, \sigma^{2})_{\text{。}}$$=$$1-\Phi(u’)$$=$$\alpha$

第二種の過誤の確率は$P_{\theta_{1}}(\sqrt{n}(\overline{X}_{n}-\mu_{0})/\sigma<u’)$$P_{\theta_{1}}(\sqrt{n}(\overline{X}_{n}-\mu_{1})/\sigma<\sqrt{n}(\mu_{0}-\mu_{1})/\sigma+u’)$$=$$\leq$$P_{\theta_{1}}(\sqrt{n}(\overline{X}_{n}-\mu_{1})/\sigma<u’’)$$=$$\Phi(u’’)$$=\beta$は未知であるので、’ スタインの 2 段階検定法を考える。 $m(\geq 2)$ を初期標本数とし、 全標本数を
ここで、$\theta_{1}=(\mu_{0}, \sigma^{2})_{\text{。}}$

しかし、$\sigma^{2}$$N– \max\{m,$とする。 ここで、 $\rho_{m}=t_{m-1}’-t_{m-1}’’,$$\theta_{m-1}$$[ \frac{\rho_{m}^{2}S_{m}^{2}}{d^{2}}]+1\}$と$\theta_{m-1}’$

は、 それそれ自由度 $m-1$ の$t$分

布の上側 100\mbox{\boldmath $\alpha$}%‘100(1-\beta )% 点。 $N>m$ ならば、 更に $N-m$ 個の標本を抽出し、’$\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu_{0})/S_{m}>t_{m-1}$ ならば、 H。を棄却する。この検定方法は、 問題 (3) の解となることが次のようにして示される Lehmann, $1986)_{\text{ }\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu 0)/S_{m}$ の分布が。

$($$\theta=\theta_{0}$のとき、 自由度 $m-1$ の 分布であることから、 第一種の過誤の確率は$t$$P_{\theta_{0}}(\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu_{0})/S_{m}>t_{m-1}’.)$$=$$1-T_{m-1}(t_{m-1}’)$$=\alpha$

ここで、 $T_{m-1}$ は自由度 $m-1$ の$P_{\theta_{1}}(\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu_{\mathrm{O}})/S_{m}<t_{m-1}’)$$t$分布の分布関数を表す。第二種の過誤の確率 (よ$=$$\leq$$P_{\theta_{1}}(\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu_{1})/S_{m}<\sqrt{N}(\mu_{0}-\mu_{1})/S_{m}+t_{m-1}’)$$P_{\theta_{1}}(\sqrt{N}(\overline{X}_{N}-\mu_{1})/S_{m}<t_{m-1}’’)$$=T_{m-1}(t_{m-1}’’)$$=\beta$

次に、標本数の 2 次の漸近有効性について考察しよう。初期標本数 $m$ を、係に定めたとしよう。 そのとき、 次の不等式$E_{\theta}(N-n_{d}) \geq\frac{\sigma^{2}(\rho_{m}^{2}-\rho^{2})}{d^{2}}$

$d$

と無関

170
と、

$\rho_{m}^{2}>\rho^{2}$より.
$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=\infty$となり、 2 次の漸近有効性が成立しない。 このことから、初期標本数 $m$ は、

$d$

に依存

して
$marrow\infty$as$darrow 0$となるように定める必要がある。 しかし、 次の定理が示すように、 スタインの 2 段階
検定法は、 2 次の漸近有効とはならない。
定理 5 初期標本 $m$ をどのように決めても、 次の条件を満たす$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=$証明 最初に、 $md^{2}arrow 0$
ト点の展開式から.
$\rho_{m}^{2}=$as$darrow \mathrm{O}$$\theta$が存在する。

科科の場合を考える。 このとき、 分布のパーセン$t$$\rho^{2}+\frac{\rho^{2}(u^{\Omega}+u’u’’+u^{\prime a}+1)}{2\nu}+o(\frac{1}{\nu})$

邸$\nuarrow\infty$$(\nu=m-1)$が得られ、 また
$E_{\theta}(N-n_{d}) \geq\frac{(\rho_{m}^{2}-\rho^{2})\sigma^{2}}{d^{2}}$と、 $u^{\prime 2}+u’u^{n}+u^{\prime\Omega}+1>0$ より、$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=$となり、 全ての$\theta$科科に対して、 2 次の漸近有効とはならない。

次に、 $md^{2}arrow a(>0)$
る に対して、as$darrow \mathrm{O}$の場合を考える。 このとき、 $\sigma^{2}<a/(2\rho^{2})$ とな$\theta$$P_{\theta}(N=m)$

, 。)

$=$

$P_{\theta}( \frac{\rho_{m}^{2}S_{m}^{2}}{d^{2}}$$=$$P_{\theta}(S_{m}^{2}<md^{2}/\rho_{m}^{2})$より$\lim_{darrow 0}P_{\theta}(N=m)=1$となる。従って、$\frac{E_{\theta}(N)}{n_{d}}$$\geq$$\frac{mP_{\theta}(N=m)}{n_{d}}$$=$$\frac{md^{2}}{\rho^{2}\sigma^{2}}P_{\theta}(N=m)$171 171より、$\lim_{darrow 0}\frac{E_{\theta}(N)}{n_{d}}\geq\frac{a}{\rho^{2}\sigma^{2}}>2$となり、$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(N-n_{d})=\infty$

このことから少なくとも、 $\sigma^{2}<a/(2\rho^{2})$ となる$\theta$に対して、 2 次の漸近有効とはならない。

Holm (1995) の修正 3 段階抽出法を適用する。 $m(\geq 2)$ を初期標本数とし、 第 2 段$\beta \mathrm{g}\text{まて^{}\mathrm{r}}\text{の標本数を}$$M_{2}= \max\{m+\ell,$ $[ \frac{c\rho^{2}S_{m}^{2}}{d^{2}}]+1\}$とする。 ここで、 $\ell(\geq 2)$ は整数、 $c(0<c<1)$ |よ実数で、 ともに定数。第 2 段階で、
$M_{2}-m$個の標本を抽出し、その標本だけから計算される不偏分散を$\tilde{S}_{\nu}^{2}(\nu=M_{2}-m\geq$$\ell)\text{とし_{、}全}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\backslash }\text{本数を}$$M= \max\{M_{2},$とする。 ただし、出し、$[ \frac{\rho_{\nu}^{\prime 2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}]+1\}$

ならば、 更に、 M–M2 個の標本を抽ならば、 H。を棄却する。 この検定方法 (よ、 問題 (3)$\rho_{\nu}’=t_{\nu-1}’-t_{\nu-1^{\text{。}}^{}\prime\prime}M>M_{2}$$\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu_{0})/\tilde{S}_{\nu}>t_{\nu-1}’$の解となることが次のようにして示される。先ず、 第一種の過誤の確率は、$P_{\theta_{0}}(\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu_{0})/\tilde{S}_{\nu}>t_{\nu-1}’)$$=E_{\theta_{\mathit{0}}}\{P_{\theta_{0}}(\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu_{0})/\tilde{S}_{\nu}>t_{\nu-1}’|S_{m})\}$$=E_{\theta_{0}}\{1-T_{\nu-1}(t_{\nu-1}’)\}$$=\alpha$

ここで、$S_{m}$を与えたときの$\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-p_{\mathit{0}})/\tilde{S}_{\nu}$の条件つき分布が、 自由度 $\nu-1$ の$t$分布であることを用いた。第二種の過誤の確率は$P_{\theta_{1}}(\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu_{0})/\tilde{S}_{\nu}<t_{\nu-1}’)$$=P_{\theta_{1}}$( M(X-『$\sqrt$$\mu_{1}$)$/\tilde{S}_{\nu}<\sqrt{M}(\mu_{0}-\mu_{1})/\tilde{S}_{\nu}+t_{\nu-1}’)$$\leq P_{\theta_{1}}(\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu_{1})/\tilde{S}_{\nu}<t_{\nu-1}’’)$$=E_{\theta_{1}}\{P_{\theta_{1}}(\sqrt{M}(\overline{X}_{M}-\mu_{1})/\tilde{S}_{\nu}<t_{\nu-1}’’|S_{m})\}$$=E_{\theta_{1}}\{T_{\nu-1}(t_{\nu-1}’’)\}$$=\beta$

次の定理が示すように、 初期標本数 $m$ を適当に選べば、 Holm の修正 3 段階検定法
は、 2 次の漸近有効になる。

172
定理 6 初期標本数 $m$ を、 $m=O(d^{-2/r})$ as $darrow 0|$$(r>1)$ となるように定めると.

$\lim_{darrow 0}E_{\theta}(\tilde{M}-n_{d})=\frac{u^{\prime 2}+u’u’’+u^{\prime\prime 2}+1}{2c}+\frac{1}{2}$

$l$

証明

$N_{2^{\text{、}}}U$を次のように定義する。
$N_{2}$

$=$

$U$

$=$

$[ \frac{\rho_{\nu}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}]+1$$\frac{\rho_{\nu}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}-[\frac{\rho_{\nu}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}}]$

このとき、 次のことが示される。
$E_{\theta}(M)$

$t$

$=$

$E_{\theta}(N_{2})+o(1)$$=$$E_{\theta}( \frac{\rho_{\nu}^{2}\tilde{S}_{\nu}^{2}}{d^{2}})-E_{\theta}(U)+1+o(1)$$=$$E_{\theta}( \frac{\rho_{\nu}^{2}\sigma^{2}}{d^{2}})-E_{\theta}(U)+1+o(1)$分布のパーセント点の展開式と、 $n_{d}/\nuarrow 1/c$ as,as$darrow 0$$darrow \mathrm{O}$より$E_{\theta}( \frac{t_{\nu-1}^{2}\sigma^{2}}{d^{2}})=n_{d}+\frac{u^{\prime 2}+u’u’’+u^{\prime O}+1}{2c}+o(1)$as$darrow 0$が得られ、 又、 $U$ が $(0, 1)$ 上の一様分布に収束することが示されるので、$E_{\theta}(U)= \frac{1}{2}+o(1)$これらの結果を$E_{\theta}(M)$$E_{\theta}(M)$as$darrow 0$の式に代入すると、$=$$n_{d}+ \frac{u^{\prime 2}+u’u’’+u^{\prime\prime 2}+1}{2c}-\frac{1}{2}+1+o(.1)$$=$$n_{d}+ \frac{u^{\prime 2}+u’u’’+u^{\prime\prime 2}+1}{2c}+\frac{1}{2}+o(1)$となり、 定理が示される。

,

as$darrow 0$173 173
参考文献

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