計測自動制御学会東北支部 第 266 回研究集会 (2011.7.20)
資料番号 266-1

圧電素子型 XY ステージにおけるダンパの影響解析
Influence Analysis of Damper in Piezoelectric Element–type
XY stage
大坂達也 ∗ , 大川元寿 ∗ , 櫻田陽 ∗∗ , 長縄明大 ∗ , 渋谷嗣 ∗ , 森英季 ∗∗Tatsuya Osaka∗ , Motoharu Okawa∗ , Akira Sakurada∗∗ , Akihiro Naganawa∗ ,Yotsugi Sibuya∗ and Shigeki Mori∗∗∗∗

秋田大学, ∗∗ 秋田県産業技術センター

Akita University, ∗∗ Akita Industrial Technology Center

キーワード : 圧電素子 (Piezoelectric element), XY ステージ (XY stage), 位置決め (Positioning),ダンパ (Damper), 高次モデル (High order model)

連絡先 : 〒 010-8502 秋田市手形学園町 1-1，秋田大学院工学資源学機械工学研究科専攻
長縄明大，Tel.: (018)889-2726，Fax.: (018)889-2726，E-mail: naganawa@ipc.akita-u.ac.jp

1.

緒言た場合は，一方の軸が，もう一方の軸の全重量を支えながら移動するため，高速化が困難であ

近年，エレクトロニクス分野の急速な進歩発展の背景には，半導体集積回路などの高密度化り，必然的にステージの重心が各軸の位置で常に変化するため，制御性が良いとはいえない．

があり，ナノメートルの精度による評価装置が要求されている．一方，サブ・ナノメートルの空間分解能を有する表面観察装置として開発された走査プローブ型顕微鏡は，適用範囲が広がり，ナノテクノロジーの分野において重要性が一層高まっている．このような装置では，走査領域の拡大と高速な走査および位置決め精度の向上が要求されている．しかし，実用化されている
一般的な XY 平面の位置決め機構は，2 つの 1軸動作のステージを直交に重ねるか，コラム側とベッド側に各軸を直交に配置し，上下に対向させる形体が主なものとなっている．したがって，同一平面内の移動ではないことから，高精度な位置決めに不可欠なアッベの原理に従うこ

そこで著者らは，積層型圧電素子と変位拡大機構を組み合わせた 1 軸の精密位置決め機構を応用し 1) ，同一平面内を走査することができる
圧電素子型 XY ステージを開発した 2) ．本機構
は，1 軸の位置決め機構を 2 個用いてそれらを直行配置し，平行バネと四角形型バネにより支持されたステージ部を，X 軸方向および Y 軸方向へ移動することができる．しかし，その周波数応答を測定したところ，共振ピーク値が非常に高く，制御性能に影響を与えることが懸念されるため，変位拡大機構にダンパを貼りつけた
3) ．本研究では，ダンパを貼りつけた際に生じる特性変化をモデル化し，ダンパが位置決めに与える影響の解析を行った．とが構造的に難しい．さらに，2 つの軸を重ね–1–圧電素子型 XY ステージ2.

量を測定した結果，X 軸方向に 112.4 µm，Y 軸方向に 117.9 µm であった．変位拡大率から求Fig. 1 に著者らが研究開発した圧電素子型
XY ステージの写真を，Fig. 2 にその概要を示す．XY ステージは，X 軸方向および Y 軸方向に位置決めを行う機構（圧電素子と変位拡大機

めた最大変位量は 152.4 µm となるが，この値に対して X 軸方向で 74%，Y 軸方向で 77%の変位量となった．この差が生じた原因として，変位拡大機構の歪みなどの影響が考えられる．

構を組み合わせたもの）がそれぞれ配置されており，位置決めを行う機構中央部のステージは，平行バネと四角形型バネにより支持されている．

XY ステージの大きさは縦および横が 57.5 mmであり，四角型バネの大きさは縦および横ともに 15.25 mm である．圧電素子は，各軸ともに5 × 5 × 20 mm(17.4 µm/150V）と 5 × 5 × 10mm(9.1 µm/150V）を直列に並べて使用し，こつぎに，XY ステージの各軸において，周波数特性をダイナミックシグナルアナライザ（HP,35670A）を用いて測定したところ，典型的な 2次遅れ要素の特性を示していたが，低域に比べて共振ピーク値が約 30 dB と非常に高かった．そこ
で，変位拡大機構の上下面に粘弾性材 (IVY810
改 27，大協技研工業製) と拘束板（SUS304）からなるダンパを貼り付けた．の最大変位量は 26.5 µm/150V である．一方，変位拡大機構は Fig. 2 中の ab:ac ＝ 4:23 の比率で圧電素子の変位を拡大する．実際に最大変位

この場合の周波数特性を Fig. 3 に X 軸方向の結果を，Fig. 4 に Y 軸方向の結果を示す．図より，X 軸方向の共振周波数は 5.6 kHz，Y 軸方向の共振周波数は 5.3 kHz であった．また，各57.5

Gain [dB]3020100-10-20-30 1
101800-180-360-540 110Y

Phase [deg]57.5X

Fig. 1圧電素子型 XY ステージの写真
234Fig. 3ᅄゅᙧᆺࣂࢿcᖹ⾜ࣂࢿ఩⨨Ỵࡵ㒊ኚ఩ᣑ኱ᶵᵓᅽ㟁⣲Ꮚ

YX

Fig. 230
20100-10-20-30 1
101800-180-360-540 1
10Gain [dB]bPhase [deg]a圧電素子型 XY ステージの概要

Fig. 4–2–

4.3
13.02103104

5.6 10Experiment
Second order model
231010Frequency [Hz]410

位置決め機構のボード線図（X 軸）

4.3
12.4

1021035.3 104104Experiment
Second order model
102310Frequency [Hz]位置決め機構のボード線図（Y 軸）

軸とも共振周波数よりも低域側において，周波数に調整するためのゲインである．本研究では，数が高くなるとゲインが低減する現象がみられ，Fig. 3, 4 に見られる約 10 kHz 以上の高次共振

その低減量は各軸とも約 4.3 dB であった．一の影響を抑制するため，α = 10, 000 × 2π とし，方，共振ピーク値は，約 1 kHz のゲインに比べ開ループ伝達関数におけるゲイン交差周波数が1 kHz となるように各ゲインを求めた 4) ．て，X 軸では 13.0 dB，Y 軸では 12.4 dB までピーク値が抑えられていた．

Fig. 5 に実験装置の構成を示す．精密位置決めのためのセンサには，光ファイバ式変位計

XY ステージの位置決め制御（MTI-2000，プローブ：MTI2032RX）を用い

Fig. 1 に示す圧電素子型 XY ステージの位置

Devices 社製 AD7874BR，最大変換周波数：25決め制御を行うため，Fig. 3, 4 に示す位置決kHz，分解能：12bit）を介して DSP（Digital Sig-め機構の周波数応答を用いてモデル化を行った．

nal Processor，MTT 製，TI：DSP6067）に取

ここでは，各軸ともに共振ピークを有していたり込まれ，制御演算が行われる. アクチュエータため，次式に示す 2 次遅れ要素とした．

への指令は，DA 変換器（Analog Devices 社製

3.

P (s) =Kωn2
s2 + 2ζω

2n s + ωnた.

(1)

このセンサ信号は，AD 変換器（Analog

DAC8412FPC，最大変換周波数：120 kHz，分解能：12bit）を介して，駆動アンプ（MED 製：ここで，K はゲイン，ωn は固有角周波数，ζ はPZT-01N）で 15 倍に電圧増幅される．目標値応減衰係数を表し，各係数は Table 1 の値とした．

答におけるステップ信号は，ファンクションジェ

つぎに，位置決めを行うためのコントローラは，ネレータ（NF 回路設計ブロック製：WF1974）

次式で与えられる不完全微分型 PID コントローにより生成し，AD 変換器で離散化して DSP にラとした．

取り込んだ. なお，目標値応答特性はオシロス)(KD s
KI+C(s) = L1 KP +ss+α(2)コープで記録し，サンプリング周波数は 50 kHzとした．

ここで，KP は比例ゲイン，KI は積分ゲイン，Fig. 6, 7 に実装したコントローラを用いてKD は微分ゲイン，α は微分器のカットオフ周波行った X 軸と Y 軸のステップ応答実験の結果数であり，L1 はゲイン交差周波数を任意の周波を示す. 図より，立ち上がり時間（応答が定常値の 10%から 90%になるまでに要する時間) は，XY

X 軸が 0.13 ms，Y 軸が 0.11 ms であった. 図中

2 次遅れ系のモデルの係数

Table 1K
0.9000.890

ωn [rad/s]
5600 × 2π5300 × 2πに示すシミュレーションの結果では，オーバーζ
0.100.10

シュートすることなく目標値に一致しているが，実験では X 軸で約 26.6 %，Y 軸で 27.4 %のオーバーシュートが見られた．
一方，Fig. 8 に平面位置決め性能を評価するため，リサージュ円を描かせる実験を行った結㥑ື࢔ࣥࣉ果を示す．本研究では円の大きさは直径 5 µmගࣇ࢓࢖ࣂࢭࣥࢧ

㥑ື࢔ࣥࣉとし，各軸への入力信号は目標値換算した電圧
D/AYX

Fig. 5DSP

振幅の sin 波を X 軸に，cos 波を Y 軸に入力し，A/DYX

その周波数は 10 Hz とした．図より，円の形が精密位置決めのための実験装置の構成

真円とはならず多少ゆがんでいることがわかる–3–が，これはステップ応答でも見られたオーバーのゲインの低減を考慮したかどうかであると考シュートによるものと考えられる.

え，2 次遅れ要素より次数の高いモデルを同定

上記のように位置決め実験においてオーバーして解析することとした.

シュートが見られる要因として，ダンパを貼り付けたことによる生じる約 4.3 dB（Fig. 3, 4）

本研究では，つぎの状態方程式表現のモデル

7Displacemen [μm]6を同定することができる部分空間同定法を用いて，高次モデルの同定を行った 5) ．

26.6%

54Experiment
Second order model3x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k]2(3)y[k] = Cx[k](4)10同定信号は，± 0.1 V の M 系列信号とし，DSP0.13-1-101Time[ms]23から発生させて圧電素子に印加した．このとき，得られたセンサ信号は，M 系列信号とともにオ位置決め応答（X 軸）

Fig. 6

シロスコープにより記録した．

6Voltage [V]727.4%

540.1
0-0.1
00.005

3Experiment
Second order model2

Voltage [V]00.11-1-10Fig. 7

1Time [ms]

0.015

0.02

2

30.015

0.02

0.4
0.2
0-0.2
-0.4
-0.60

位置決め応答（Y 軸）

0.005

0.01
Time [s](b) Output signal

Fig. 950.1

Voltage [V]643

同定に用いた入出力信号（X 軸）

0-0.1
020.005

0.01
Time [s]0.015

0.020.015

0.02(a) Input signal
Voltage [V]10-1-10.01
Time [s](a) Input signal

1Displacement of Yaxis [μm]Displacement [μm]高次モデルの同定

4.

012345Displacement of X-axis [μm]Fig. 860.4
0.20-0.2-0.4-0.5

00.0050.01
Time [s](b) Output signal

平面位置決め性能

Fig. 10–4–

同定に用いた入出力信号（Y 軸）

Fig. 1176210310Displacement [μm]Gain [dB]
Phase [deg]3020100-10-20-30 1101800-180-360-540 11041024Experiment
Hight order model
Second order model

3210ExperimentHigh order model
1026.6%5310Frequency [Hz]-1-140.1301Time [ms]10Fig. 13

高次モデルの同定結果（X 軸）

23

位置決め応答（高次モデル，X 軸）

610210310Displacement [μm]Phase [deg]Gain [dB]730
20100-10-20-30 110418042100-1-1-540 110Fig. 12ExperimentHigh order model
102310Frequency [Hz]104Fig. 14

高次モデルの同定結果（Y 軸）

ExperimentHigh order model
Second order model

3-180-360

27.4%

50.1101Time [ms]23

位置決め応答（高次モデル，Y 軸）

つぎに，同定した高次モデルを用いて，位置決Fig. 9, 10 に同定に用いた入出力信号を示し，各図の上図が入力信号（M 系列信号），下図が出力信号（センサ信号）である．これらの信号を MATLAB の System Identiﬁcation Toolboxを用いて計算することにより，状態方程式の同定を行った．なお，Fig. 1 に示す XY ステージ
では，他軸干渉の影響があると考えられるため，め制御に関するシミュレーションを行った．Fig.

13, 14 に結果を示す. 3 章でも述べたように，両軸とも 2 次遅れ系のモデルでは，実験で生じるオーバーシュートを再現することができなかった．しかし，図に示すように，高次モデルを用いたシミュレーション結果は，実験結果と良く一致しており，オーバーシュート量もそれぞれ X 軸
ではシミュレーションが 23.2%であったのに対本研究では X 軸と Y 軸を同時に同定した．

Fig. 11, 12 は，部分空間同定法で求めた高次モデルの結果を示し，Fig. 11 が X 軸方向の結果を，Fig. 12 が Y 軸方向の結果である．図よして実験では 26.6%，Y 軸ではシミュレーションが 27.2%であったのに対して実験では 27.4 ％と比較的良く一致した.

り，高次モデルの結果は，実験結果に良く一致しているといえ，また Fig. 3, 4 に示す 2 次遅れ

5.

要素では表現することができなかったゲイン低減部も同定できているといえる．なお，高次モデルの次数は，MATLAB の計算において試行錯誤することにより 30 次とした．

ダンパの影響解析

前章で述べたように，部分空間法を用いた高次モデルでは，XY ステージの周波数応答および位置決め応答が良く一致していた．そこで本章では，ダンパを貼り付けたことにより生じた–5–ゲイン低減部が，どのようにモデル化されたの（X 軸が 5.6 kHz，Y 軸が 5.3 kHz）より低域でかの解析を行う．

あったため，ダンパの影響解析は 5kHz より低Fig. 15, 16 に高次モデルの極（×印）とゼい周波数の極とゼロ点についてのみ行うものとロ点（○印）の配置を示し，Fig. 15 が X 軸方する．このため，Fig. 15 において p-p の曲線，向の結果，Fig. 16 が Y 軸方向の結果である．

Fig. 16 において q-q の曲線が描いてあるが，そなお，同定結果は安定なシステムであったので，れぞれが 5 kHz に対応する曲線である．この曲離散時間系の安定領域内（単位円内）の極とゼ線（5kHz）より低い周波数の極とゼロ点は，Xロ点のみを示しており，不安定ゼロ点は省略し軸および Y 軸ともに 2 個ずつ配置されており，た．本研究では，高次モデルの次数を 30 としいずれも実数極，実数ゼロ点であった．このこたため，多くの極とゼロ点を有していることがとから，高次モデルの次数は 30 であったが，共わかる．しかし，Fig. 3, 4 より，ダンパを貼り振周波数より低域には，1 次遅れ要素，1 次進み付けたことによるゲインの低減は，共振周波数要素が各 2 個ずつ使われており，共振周波数に2 次遅れ要素，残りは全て高域の特性や干渉項
10.6 π/Τ

0.80.5 π/Τ

0.10.3 π/Τ0.2
p0.30.40.2 π/Τ
0.50.60.70.1 π/Τ
0.80.90.60.8 π/ΤImaginary Axis

0.40.2を表現するために使われていることがわかる．

0.4 π/Τ

0.7 π/Τ

0.9 π/Τ

一方，高次モデルにおけるゲイン低減部の表現を明らかにするため，式 (3), (4) で表される状態方程式表現を，次のような伝達関数表現に変換した．

0 ππ/Τ/ΤPh (z) = C(zI − A)−1 B =-0.20.9 π/Τ

0.1 π/Τ

-0.40.8 π/Τ-0.60.2 π/Τ
0.7 π/Τ

-1-1-0.50.5 π/Τ

0.4 π/Τ

0Real Axis

を分子伝達関数，分母伝達関数と呼ぶことにす

1る．

0.6 π/Τ

0.80.5 π/Τ

18 が Y 軸の結果である．なお，これらのゲイン

0.4 π/Τ
0.10.3 π/Τ0.2
q0.30.40.2 π/Τ
0.50.60.70.1 π/Τ
0.80.90.7 π/Τ

0.60.8 π/Τ

0.40.9 π/Τ

特性を足し合わせることにより，同図中の同定結果に一致する．図より，ゲイン低減部は，共振周波数より低域に配置された 2 個ずつの極およびゼロ点の内の一つに対応する周波数におい0 ππ/Τ/Τて，折れ線近似的に表現されているといえ，X-0.20.9 π/Τ

0.1 π/Τ

軸方向には 561 Hz の極と 827 Hz のゼロ点に対-0.4-0.6-0.80.8 π/ΤFig. 16

応する周波数，Y 軸方向には 558 Hz のゼロ点0.2 π/Τ

q0.7 π/Τ-0.5と 561 Hz の極に対応する周波数で特性が変化

0.3 π/Τ
0.6 π/Τ

-1-1

Fig. 17, 18 に分子伝達関数と分母伝達関数のゲイン線図を示し，Fig. 17 が X 軸の結果，Fig.

1

Imaginary Axis0.5

高次モデルの極–ゼロ点配置（X 軸）

Fig. 150.2の分子多項式，分母多項式であり，n(z)/1, 1/d(z)0.3 π/Τ
0.6 π/Τ

(5)

ここで，n(z), d(z) は，それぞれ伝達関数 Ph (z)p-0.8n(z)1·1d(z)0.5 π/Τ0.4 π/Τ0Real Axis

していることがわかる．
0.51以上のことから，高次モデルにおいては，ダ高次モデルの極–ゼロ点配置（Y 軸）ンパを導入することにより生じた周波数応答のゲイン低減部を，1 次遅れ要素と 1 次進み要素–6–なかったが，実際の実験ではオーバーシュー

60

Gain [dB]4020ྠᐃ⤖ᯝศᏊఏ㐩㛵ᩘศẕఏ㐩㛵ᩘトが生じていた．

0(3) 周波数応答におけるゲインの低減部を高次-20モデルにより表現するため，状態方程式を-40同定する部分空間法によりモデルを導出し-60 110

ᴟ561102ࢮࣟⅬ827
310Frequency [Hz]た．その結果，周波数応答は測定結果と良104く一致しており，また位置決め応答も実験結果と良く一致していた．

Fig. 17 分子伝達関数と分母伝達関数のゲイン線図（X 軸）(4) (3) で同定した高次モデルにおいて，ゲイン

60Gain [dB]4020の低減部の表現を明らかにするため，極おྠᐃ⤖ᯝศᏊఏ㐩㛵ᩘศẕఏ㐩㛵ᩘ

よびゼロ点と，それぞれに対応する周波数を求めた．その結果，ゲインの低減部は 10次遅れ要素と 1 次進み要素により表現され-20-40-60 110ていた．
ࢮࣟⅬ8ᴟ561

10 210 3
Frequency [Hz]

今後の課題は，ダンパを導入した際に生じるオー10 4

バーシュートを改善する制御系設計法について

Fig. 18 分子伝達関数と分母伝達関数のゲイン線図（Y 軸）

参考文献

により表現されているといえる．

6.

検討することである．

1) S. Mori, M. Furuya, A. Naganawa, Y.
Shibuya, G. Obinata and K. Ouchi : Nanomotion Actuator with Large Working Distance for Precise Track Following, Microsystem Technologies Vol. 13, pp.873–881, 2007.

結言本研究では，圧電素子型 XY ステージの共振ピーク値を抑えるために導入したダンパの影響について解析した．得られた結果をまとめると，以下の通りとなる．

(1) XY ステージの周波数応答を測定した結果，高い共振ピークを有していたので，これを低減するためのダンパを導入した．その結果，共振ピーク値は抑えられたが，共振周波数より低域側に，周波数に依存してゲインが低減する特性が見られた．

(2) (1) の結果に対して，2 次遅れ要素でモデル化し，位置決め応答の検証をした結果，シミュレーションではオーバーシュートが生じ–7–

2) 櫻田陽，森英季，長縄明大，渋谷嗣，大日方五郎：
同一平面内を高速位置決めする Nano-Motion
Stage，第 22 回電磁力関連のダイナミクスシン
ポジウム講演論文集，pp.36–39, 2010.
3) S. Mori, H. Tada, A Naganawa, G. Obinata
and K. Ouchi : Damping Eﬀect on Precise
Track Following for Nano-motion Actuator,
IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 41, No.
2, pp.842–848, 2005.
4) 長縄明大，平元和彦，古谷将人，渋谷嗣，森英季：ナノモーション・アクチュエータに対するPID 制御器の設計，日本機械学会論文集 C 編，
75 巻 754 号，pp.1770–1776, 2009.
5) 足立修一：MATLAB による制御のためのシス
テム同定，東京電機大学出版局, 1996.