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Algebraic structures on \mathbb{R}^{+} for means
茨城大学

工学部

阿部敏一

Toshikazu Abe, College of Engineering, Ibaraki University
This work was supported by the Research Institute for Mathematical Sciences,aJoint Usage/Research Center located in Kyoto University.

1abstract
正の実数全体を \mathbb{R}^{+},

n\cross n正定値行列全体を \mathb {P}_{n} で表すことにする.ここでいう正定置行列は可逆なものだけを考えているとする.特に, \mathbb{P}_{1}=\mathbb{R}_{+} である. \mathb {P}_{n} 上の二項演算のうち,いくつかの条件を満たすものを mean と呼ぶ.後の例に見るように幾つかの meanは可換半群の代数的中点,もしくはジャイロ可換ジャイロ群の代数的中点とみなす事が出来る.本稿では特に, \mathbb{R}^{+} 上の mean がどのような二項演算の代数的中点とみなす事ができるかに注目する.

2正定値行列n\cross n行列全体を M_{n}(\mathbb{C}) で表す. A\in M_{n}(\mathbb{C}) が半正定値行列であるとは,自己随伴であり,かつ任意の x\in \mathbb{C}^{n} に対して, x^{*}Ax\geq 0 が成立することをいう.

A が半正定値であることを A\geq O で表す.半正定値行列のうち可逆なものを特に正定値行列という.正定値行列全体 \mathb {P}_{n} は和やスカラー積について閉じていないため,線形空間として \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) の部分空間にはならないが,凸錐であることが知られている.また, A\geq B\Leftrightarrow A-B\geq Oによって \mathb {P}_{n} 上の半順序 \geq が定まる.

3可換群
二項演算0可換半群

ジャイロ可換ジヤイロ群: S\cross Sarrow S;(a, b)\mapsto a\circ b が定義された空でない集合 (S, \circ) を magmaという.Magma (S, \circ) からそれ自身への全単射 \varphi : Sarrow S で二項演算\circを保存するも2の,すなわち \varphi(xoy)=\varphi(x)0\varphi(y) が成立するものを magma (S, \circ) の自己同型写像という.

Magma (S, 0) の元 e\in S が,任意の a\in S に対して,ee\circ a=a\circ e=aを満たすとき,を (S, \circ) の単位元という.Magma がいつでも単位元を持つとは限らない.単位元が存在する magma を groupoid と呼ぶ.

(S, \circ) が単位元 e\in S を持つ groupoid であるとき,x\in S に対してxoy=yox=eとなる y\in S が存在すれば,それを x の逆元という.一般に x\in S に対して逆元が存在するとは限らないし,存在してもそれがユニークであるとは限らない.

(S, \circ) を magma とする.任意の x\in S に対して,y\circ y=xとなる y\in S がユニークに存在するとき, (X, \circ) はuniquely 2‐ divisible であるという.また,このとき y をxのんal f であるという.本稿では二項演算を \oplus という記号で表すことが多い.

uniquely 2‐ divisible であるとき,3.1

x\in S の half を(S, \oplus) が\frac{1}{2}\otimes x という \vec{-\Gamarow\overline{J}E 号で表すことにする.

半群としての中点

Definition 1. Magma (X, \oplus) が次の公理 (b1) から (a2) を満たすとき, (X, \oplus) は可換半群であるという.

(b1)

結合法則を満たす.

(b2)可換である.

Definition 2. (X, \oplus) を uniequly 2‐divisible な可換半群とする.このとき,に対して,

3.2

a, b\in X\frac{1}{2}\otimes(a\oplus b) を半群としての中点と呼ぶことにする.

ジャイロ群としての中点

Definition 3. Magma (X, \oplus ) がジャイロ可換ジャイロ群であるとは,以下の公理 (c1)から (c6) を満たす場合をいう.
(c1)

単位元 e を持つ.

(c2)

全ての x\in X に対して,逆元が存在する.

(c3)

任意の a, b, c\in X に対して, a\oplus(b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus d となる d\in X がユニークに存在する.この d を(c4)

d=gyr[a, b]c で表す.

任意の a, b\in X に対して,cに gyr[a, b]c を対応させる写像 gyr[a, b] : Xarrow X は3自己同型写像である.

(c5)

任意の a, b\in X に対して,gyr [a\oplus b, b]=gyr[a, b].

(c6)

任意の a, b\in X に対して, a\oplus b=gyr[a, b](b\oplus a) .

Definition 4. ジャイロ群 (X, \oplus) に対して,新たな二項演算田:X \cross Xarrow X をa ffl

b=a\oplus gyr[a, \ominus b]bで定義する.この二項演算田を (G, \oplus) の coaddition という.

Definition 5. (X, \oplus) を uniequly 2‐divisible なジャイロ可換ジャイロ群とする.この

とき,a, b\in X に対して,3.3可換半群\frac{1}{2}\otimes ( 田 b ) をジャイロ群としての中点と呼ぶことにする.
a

ジャイロ可換ジャイロ群と可換群

ジャイロ可換ジャイロ群,および可換半群はともに可換群の一般化である.可換半群は可換群の結合法則をそのままに,単位元と逆元の存在を弱めたものである.一方,ジャイロ可換ジャイロ群は単位元と逆元の存在はそのままに,結合法則と可換則に関する公理をより弱い公理に置き換えたものである.したがって,可換群からみて , それぞれ別方向への一般化を図ったものである.次のことは定義よりあきらかである.

Theorem 1. (S, \circ) を magma とする.「 (S, \circ) が可換群である」 ことと 「 (S, \circ) が可換半群かつジャイロ可換ジャイロ群である」 ことは同値である.

(S, \circ) がuniquely 2‐divisible な可換半群である場合,ジャイロ群といしての中点と可換半群としての中点が同じものであることがわかる.これを群としての中点ということにする.以降,ジャイロ群としての中点,半群としての中点,群としての中点を区別しない場合,単に代数的中点と呼ぶことにする.

以上のように定義された代数的中点はいずれも中点と呼ぶにふさわしい性質を持っていることがわかる.特にジャイロ可換ジャイロ群の場合については [3] を参照されたい.

4

Mean と代数構造

Definition 6.
たすとき,M : \mathbb{P}_{n}\cross \mathbb{P}_{n}arrow \mathbb{P}_{n},(a, b)\mapsto M(a, b) が次の条件 (M1) から (M5) を満

M を \mathb {P}_{n} 上の mean であるという.

(M1) 任意の a, b\in \mathbb{P}_{n} に対して,「 a\leq b\Rightarrow a\leq M(a, b)\leq b 」.

4(M2) 任意の a, b\in \mathbb{P}_{n} に対して,

M(a, b)=M(b, a) .

(M3) 二変数写像 M(x, y) は各変数について単調増加.
(M4) 二変数写像 M(x, y) は各変数について連続.
(M5) 任意の a, b\in \mathbb{P}_{n} と n 次正則行列 x に対して, M(x^{*}ax, x^{*}bx)=x^{*}M(a, b)x.

4.1

算術平均A(a, b)= \frac{a+b}{2} (a, b\in \mathbb{P}_{n})とすると,

A は \mathb {P}_{n} 上の mean であり,これを算術平均(arithmetic mean) とよぶ.

Example 1. \mathb {P}_{n} 上の二項演算 \oplus_{A} を通常の和によって定める.すなわち,

a\oplus_{A}b=a+b (a, b\in \mathbb{P}_{n})とすると, (\mathbb{P}_{n}, \oplus_{A}) は uniequly 2‐divisible な可換半群である.ここで, (\mathbb{P}_{n}, \oplus_{A}) の可換半群としての代数的中点は算術平均と一致する.すなわち,\frac{1}{2}\otimes_{A}(a\oplus_{A}b)=\frac{a+b}{2}=A(a, b) (a, b\in \mathbb{P} _{n})
4.2

.

調和平均

H(a, b)=2(a^{-1}+b^{-1})^{-1} (a, b\in \mathbb{P}_{n})とすると,

H は \mathb {P}_{n} 上の mean であり,これを調和平均(harmonic mean) とよぶ.

Example 2. (\mathbb{P}_{n}, \oplus_{H}) をa\oplus_{H}b=(a^{-1}+b^{-1})^{-1} (a, b\in \mathbb{P}_{n})によって定めると,uniequly 2‐divisible な可換半群になる.ここで, (\mathbb{P}_{n}, \oplus_{H}) の可換半群としての代数的中点は調和平均と一致する.すなわち,\frac{1}{2}\otimes_{H}(a\oplus_{H}b)=2(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=H(a, b) (a, b\in \mathbb{P}_{n})

.

54.3

幾何平均

G(a, b)=a^{1}(a^{1}b^{-1}a^{1})^{-}とすると,に,①①aG は \mathb {P}_{n} 上の mean であり,これを幾何平均(a, b\in \mathbb{P}_{n})(geometric mean) とよぶ.特n=1 の場合は積について可換であることからG(a, b)=\sqrt{ab} (a, b\in \mathbb{R}^{+})とかける.

Example 3. (\mathbb{P}_{n}, \oplus_{G}) をa\oplus_{G}b=a^{\frac{1}{2}} ba \frac{1}2(a, b\in \mathbb{P}_{n})によって定めると,uniequly 2‐divisible なジャイロ可換ジャイロ群になる.ここで,(\mathbb{P}_{n}, \oplus_{G}) のジャイロ可換ジャイロ群としての代数的中点は幾何平均と一致する.すな
わち,\frac{1}{2}\otimes_{G} ( 田 Gb) =a^{\frac{1}{2} (a^{\frac{1}{2} b^{-1}a^{\frac{1}{2} )^{-} ① ① =G(a, b)
a特に,a(a, b\in \mathbb{P}_{n}) .

n=1 の場合はa\oplus_{G}b=ab (a, b\in \mathbb{R}^{+})である.したがって,(\mathbb{R}^{+}, \oplus_{G}) は可換群であり,幾何平均は群の中点とみなす事が出来る.

4.4{\rm Max} 平均

n=1 の場合のみ考える.

{\rm Max}(a, b)= \max\{a, b\}とすると,{\rm Max} は \mathbb{R}^{+} 上の mean であり,これを MAX 平均とよぶことにする.

Example 4. (\mathbb{P}_{n}, \oplus_{M}) を

a \oplus_{M}b=\max\{a, b\} (a, b\in \mathbb{R}^{+})

6
によって定めると,uniequly 2‐divisibleな可換半群になる.ここで, (\mathbb{R}^{+}, \oplus_{M}) の可換半群としての代数的中点は MAX 平均と一致する.すなわち,\frac{1}{2}\otimes_{M}(a\oplus_{M}b)=\max\{a, b\} (a, b\in \mathbb{R}^{+}).

特に, (\mathbb{R}^{+}, \oplus_{M}) は消去律 (cancellation property) をみたさないような半群である.

5\mathbb{R}^{+} 上の代数構造と mean
筆者はこれらの結果から次のような予想を立てた.

conjecture 1. (\mathbb{R}^{+}, \oplus) が uniquely 2‐divisible なジャイロ可換ジャイロ群であり,その代数的中点が \mathbb{R}^{+} 上の mean M と対応している,すなわち,M(a, b)= \frac{1}{2}\otimes ( 田 )
a

ならば,b

(a, b\in \mathbb{R}^{+})(\mathbb{R}^{+}, \oplus) は可換群である.

この予想に対し,部分的な回答として以下のような結果を示すことができた.

Theorem 2. (\mathbb{R}^{+}, \oplus) が uniquely 2‐divisible なジャイロ可換ジャイロ群であり,その代数的中点が \mathbb{R}^{+} 上の mean M と対応している,すなわち,M(a, b)=\frac{1}{2}\otimes ( 田b)a(a, b\in R^{+})とする.このとき, (\mathbb{R}^{+}, \oplus) の subgyrogroup で群 (\mathbb{R}, +) と同型なものが存在する.
筆者の予想 conjecture 1は,この subgyrogroup が (\mathbb{R}^{+}, \oplus) そのものではないかというものである.

参考文献[1] T. Abe and O. Hatori, Generalized gyrovector spaces and a Mazur‐ Ulam theorem,Publ. Math. Debrecen, 87 (2015), 393−413[2] J. Lawson and Y. Lim Symmetric sets with midpoints and algebraically equivalenttheories, Results Math., 46 (2004), 37−56[3] A. A. Ungar, Analytic Hyperbolic Geometry and Albert Einstein’s Special Theoryof Relativity, World Scientific, (2008)