計測自動制御学会東北支部 第242回研究会（2008．5．13）
資料番号242−4

LMIアプローチによる離散時間CNF制御則の設計
Discrete−TimeCompositeNonlinearFeedbackControIDesign
viaLMIApprorch
O斎藤正志，佐藤淳
OMasashiSaito，AtushiSatoh岩手大学

IwateUniversity
キーワード‥離散時間システム（Discrete−timesystem），入力飽和（Inputsaturation）
IJMI（LinearMatrixInequality），CNF（CompositeNonlinearFeedback）

連絡先〒020−8551岩手県盛岡市上田4−3−5岩手大学大学院工学研究科機械工学専攻 佐藤研究室
Tel．：019−621−6404，E−mail：t3408017①iwate−u・aC・コP
ドバック構造により主に速応性を含む過渡性能

1 はじめに通常フィードバック制御系の設計において求を向上させるよう設計される．CNF制御は入力められることはロバスト安定性と制御性能の向飽和のある拘束システムにも適用可能である．

上である．例えばハードディスクドライブのサーCNF制御は上に挙げた優れた特徴を持つもの

ボ機構では磁気ヘッドのあるアームの先端を目の，既存の設計手法ではゲインの設計に試行錯

標トラックまで移動させると同時に，アームの誤が必要であった．そこで本研究ではLMI（線不確かな高次モードに対するスピルオーバ現象形行列不等式）に基づく数値最適化アプローチを引き起こさないような設計が求められる．しを用いることで，試行錯誤なく所望のフイ」ドかし，これら2つの性能にはトレードオフが存

バックゲインを設計する手法を提案する・

在し，単一の制御器を用いるかぎり両者を同時2 問題設定に向上することは一般的に困難である．

本研究では制御対象として次の離散時間シス

そのため参考文献1）では2自由度制御の一種で テムを考える．

あるCNF（CompositeNonlinearFeedback）制（1）御が提案されている．これは時不変な線形フィードバックと時変な非線形フィードバックを組み合 ただし諾∈花れ，祝∈花，y∈花であり，それぞれわせた制御である点に特徴がある・前者は主に 状態，制御入九制御出力である．またA，月，安定性を含む定常性能を，後者は条件付フィーCは適切な次元の実定数行列とする．関数β叫・）

1

はアクチュエータの飽和を表す非線形関蓼で，与 義する．
えられた入力飽和レベル祝mα。＞0について次∬。：＝Ceγ＝（ト（A＋月ダ））￣1βCγ （5）式で定義される．
勒刊は次式で与えられる．
βαt（哺）＝叩れ（哺）mれ（‰Ⅷ 恒同）（2）

祝Ⅳ【豆］＝れy）月Tp（A＋月ダ）（珊−ヱ。）（6）
本研究では定数参照入力に対するサーボ系のここでp（γ，y）は負債のスカラー関数であるとす設計問題について考える．

る・またP＞0は閉ループ準のリヤプノフ行列

また次のような仮定をおく・1）（A，月）は可安である．

定・2）C（zトA）￣1月がz＝1にゼロ点を持た以上のことから状態フィードバックCNF制御ない．

則は次式で与えられる．

3 離散時間CNF制御則
3．1 制御則の構造

哺＝牝【五］＋叫Ⅳ［壱］

Chenetal．1）は状態フィードバックのほかオ＝且頼］十Gγ

ブザーバを用いた出力フィードバックへの拡張を＋β（γ，y）月Tp（4＋月∫）（珊−エe）（7）示しているが，本研究では簡単のため状態フィト∬：＝βTp（A＋βダ）とおき，閉ループ系の構ドバックの場合のみについて考える．

造を図1に示す．

まず，線形フィードバック制御則叱抑こついて述べる∴叱同は次式で与えられる．

叱［壱】＝ダ諾［宜］十Cγ（3）状態フィードバックゲイン則まA＋月ダが漸近安定となるように決定するものとする．Gは定」lneargaln

常状態（乞→∞）において出力yがステップ参照
入力γに追従することを保証するためのフィー

図1：CNF制御系の構造

ドフォワードゲインであり，次式のように決定される．

3．2 CNF制御系の安定条件2）
G＝［C（ト（A＋月ダ））￣1月】￣1（4）（1）のシステムと（7）式のCNF制御別による閉ループ系は項j＝翔一∬eとすれば次に非線形フィードバック制御則叫Ⅳ糾こついて述べる．まずステップ参照入力γに対する閉坤＋1］＝（A＋月∫）瑚
ループ系の状態量の定常値∬。を次式のように定＋β（γ，y）がP（A＋βダ）珊 （8）2となる．またガを次式のように定義する．

い制御性能を実現するための非線形関数であり，比較的自由なパラメ⊥タである．

ガ：＝［J＋ダ（ト（A＋βダ））￣1月】G （9）まず離散時間系では閉ループ系の極が原点に定理12）（1）式のシステムと（7）式の制御則に近いほど高減衰比であり，単位円付近では低減ついて考える。状態量珊の集合ズ∂を衰比であることが知られている．よって追従誤差が大きい場合に閉ループ系の極が単位円付近

ズ∂‥＝（瑚：世相l≦umα。（1−∂））（10）にあり，追従誤差が小さくなるにつれ原点付近に極が移動するようにβおよびC肌。の極やゼロと定義する・ただし∂∈（0，1）である．

点を配置しなければならない．

このとき初期状態と参照入力が両）＝一丁室（e一■刷イ1可0］：＝（可0トごe）∈ズ∂，】叫≦∂規mαガ（11））（14）ただしβの範囲は−2／月Tp月≦β＜0である．

を満たし，−かつβ（γ，y）がPを（14）式のように決定し，閉ループ系の極を−2

ラ戸声音≦β（γ，y）＜0（12）原点付近，ゼロ点を実軸上に配置することで速を滴たすならばCNF制御則は制御出力州をス応性が向上すると考えられる．

テップ参照入力γに漸近的に追従できる．□

4 LMIアプローチによるCNF制
御系の設計

3．3−非線形関数βと極の関係

LMI（LinearMatrixInqualities）とは線形行列不等式の意味であり，LMI問題は，数値最適補助システムCαu￡を化手法を用いて効率良く計算する事ができ，多Cα祝。：＝βrf）（A＋月ダ）（乙㌻−（A＋βダ））−1月：＝C肌。（zトA。u訂）￣1月肌∬目的制御問題を解くために有効な手法である．本
研究では従来手法とは異なり，LMIを用いて非（13）線形フィードバック部分のゲインPを求めることすれば（8）式は図2のブロック線図で表せる．とを提案する．

￣Pト1G（…謹トT→
4．1 ゼロ点配置のための線形拘束
図2‥根軌跡法によるβの解釈
非線形関数βにより（7）式の閉ループ系の極根軌跡法よりβう0とすれば（7）式の閉ルーが移動することは3．3節より明らかである．した

プ系の極は補助システムCαu∬の極に近づくことがって，制御性能を向上させるためには極とゼが示せる．

ロ点を望ましい位置に配置しなければならない．

次にpの一例を示す．β（γ，y）は閉ループ系の釣こついては極配置法および筏や月云制御極を追従誤差（γ−y）により移動させ，よりよ等の手法により決定する．

3

ゼロ点配置を達成するようなPの決定についすると、どんな整数91，0＜ql≦た1と自己共徴ては参考文献3）の手法により決定する，（13）式なスカラーの集合（zl，…，Zん1−。1）において非空より次式のような線形拘束を考える．の出力行列の集合C⊂月1×几が存在する。
つまり、システム（」，♭，C）が（叫，…，視れ。，

βTp（A＋月ダ）軍G肌（15）zl，…，Zん1＿曾1）にれ。十た1−91個の不変セロ点がここで適当、なC肌∬を決定するために有用な参考存在し、無限ゼロ構造Q＝（91）が存在するよ

文献3）の手法を説明する．

うなc∈Cが存在する。すなわち（A，わ，C）の相対次数が飢に等しいようなcである。口Brunovsky標準形 以下に示すような形を
このcはBrunovsky標準形と呼ぶ。
対（A，β），A∈月れ×れ，月∈月れ×mを考える。

c＝α［a o］rl（16）ただしは列フルランクであるとする．このときの形で与えられる．ただしα∈花，α≠0は任意正則な状態変換㌫∈見れ×れおよび入力変換℃∈のパラメータであり，aは配置したいゼロ点を0ハU根に持つ多項式の係数を並べた行ベクトルで，0は残りの要素を0にした行ベクトルである．

▲r几L定理3．13）より（A皿∬，月α≠。）がBrunovsky標⁚・ m ★

★

★

0 ★
⁚・⁚・0：．〇

★

★

0r⊥

★

★

←⁝ 0 ★

0O

れA

7㌻lA7七＝00▲U0月mXmが存在して以下が成立する．

準形であればCαu。が不変ゼロ点を持っような行列Cαル∬を求めることができる．なおMATLAB
toolboxのI，insyskit4）を用いればBrun0VSky標

010・⁚ 0・⁚

00 0

7㌻1月弟＝準形への変換は容易である．となる．

4．2 既存手法とのアプローチの違い

O（7）式の閉ループ系が女定であるためには，次l0

た盲 ＞0，宜＝1，…，mであり、A。の次元は式のようなリヤプノフ方程式を満たすような正れ。：＝m−∑芸1た盲であり、その固有値は対（4月）定で対称な行列Pが存在しなければならない．の不可制御モードとよび、ぐ：＝（m。，た1，…，たm）
P＝（A＋月ダ）Tf）（A＋月ダ）＋Ⅳ （17）を対（4月）の可制御性指数とよぶ。

ただしⅥ′は任意の正定行列である．

定理3．1さ）・（A，叶ただしA∈月几×れ，ら∈見れ×1

参考文献1）の設計手法では（17）式のリヤプノであるシステムを考える。

フ方程式に基づいて設計を行っている．具体的

このとき（：＝（れ。，た1）を（A，わ）の可制御性指には数，（叫，…，視れタ）を（A，み）の不可制御性指数と4ステップ3）非線形関数β卑決定し，C，訂eをステップ1）与えられた線形フィードバックによる閉ループ系の極，ゼロ点配置からダとC肌∬計算し（7）式の制御入力を構成する．

を決定する．ただし机ま通常の極配置法，Cα祝訂

よって試行錯誤が不要になったことがわかる．

は参考文献3）の手法により求める．
4．4 数値例

ステップ2）（15）式よりPを計算する．
ステップ3）（17）式にPを代入しⅣが正定かどうかを確かめる．正定であればPを決定．

■I−＋βαt（項］）．勘ll﹁ト（20）ただし㍊mα∬＝3，γ＝1である．また閉ループ

そこで本研究では次のようなリヤプノフ不等極配置を−0．1士0．1壱，不変ゼロ点配置を−0．6と式に基づくLMIを考える．

するとMATLABのplace（）よりF，参考文献3）の手法よりCα旭訂は次のように決まる．

P＞0，（A＋月∫）T♪（A＋即トP＜0（18）したがって（15）式と（18）式より解くべき最適化

ダ＝ト2・22−0・98

問題は］cαu〇＝［0・40・6］

次にMATLAB2007bおよびSeDuMiにより（19）

ダれd P＝Pr式の最適化問題を解き，Pを求め，各パラメータも計算する．

P＞0，β≠りectto．一．・lとなり，試行錯誤が必要であることがわかる．

ニ竹レ

直すかCαu∬を変えて再びPを計算する。

∫項＋1］＝ステップ4）Ⅳが正定でなければPを計算し

﹁﹂
﹂引
﹁﹂‖

﹁L

次の離散時間システムを考える．

（A＋月F）rP（A＋月∫）−P＜0

p＝［㍊霊］がP（A＋月ダ）＝Cα≠。
（19）

C＝1．22となる．となり，（7）式に代入すれば制御入力は4．3 LMIアプローチに基づく設計手法
哺＝ト2・22−0・98］瑚＋1・22γ
LMIアプローチに基づく離散時間CNF制御則の設計手順を以下に示す．

十頼40・6］（恥［三］）（21）
ステップ1）与えられた線形フィードバックにのように決まる・ここでβは（14）式より次式のよる閉ループ系の極，ゼロ点配置からダとC肌。

ように決定した．

を決定する．ただしダは通常の極配置法，Cαu∬両）＝一（e−1洲−は参考文献3）の手法により求める．
ステップ2）（19）式のLMI問題を解き，Pをe−1）（22）

この制御則を用いた場合のステップ応答を図3決定する．に示す．

5

ControIWithanApplicstioninDesignofaHard

また過渡特性の比較のため（23），（24）式のよう

DiskDriveServoSystem
IEEE rnansactions on ControISystems Tech−

な時小変線形フィし→ドバック制御の応答も示す．

nology，Vol・11，No．1，January2003，PP．16−23［3］BenM．Chen，Da−ZhongZheng：
Simultaneous FiniterandIn允nitle−ZerO AssignM

相ニト2・25−1・00］珊＋1・25γ・（23）rnentso上■Ⅰノinea∬SysterrlS

瑚＝ト2・22−0・98］相・1・22γ（24）Automatica，Vol・31，No．4，PP．643M648，1995［4］http‥／／vlab．ee．nus．edu．sg／ bmchen（23），（24）式は（21）式においてβ＝−0．067，0としたものである．両者を比較することで時変な非線形フィードバックの有効性を検証する．
…−CNF…・・l．Fてβ＝〃q．郁明・Yl・t，ド（〃て：0〉

図3：ステップはこ答（21）式のCNlア精り御では2ステップで目標値の士3％以内に整定しているのに対し，（23），（24）式の線形フィードバックの場合は3ステップ必要となる．したがって（〕Nlデ制御則によりステップ応答の速丑性が改善されていることがわかる．

5 緒言本研究では離散時間（〕Nfl制御に対し，新たに丁．」MIアプローチによる設計法を提案した．これ

により試行錯誤することなくCN−「制御系を設計することが＝∫能になった．

参考文献
川］1cIIM・Chen， 1bngl］・T．ec，KemaoPeng：（プompositeNorllirlearFcedbackControl上brLinrea】−Systems Wil・hInput Satul・ation：Theoryan（lanA．ppli（ニation
Il川上】′llrallSa（九ionson Automat・，icControl，

仇】・48，No・3，pp・427−439（2003）［2］V・VcIll（ataralnanan，ⅠくenrlaO．Pe−1g，Ben M．
（ブ11erl，′1bngト】．Ⅰノ（）e：1）iscl・eteJrime ColrlPOSite Nonlinea］・Feedback

6