数理解析研究所講究録
第 1864 巻 2013 年 39-49

39

サービスタイムを伴う複占市場における価格競争
大阪府立大学大学院 理学系研究科 情報数理科学専攻
高山寛史 北條仁志
Hirofumi Takayama Hitoshi Hohjo
Department of Mathematics and Information Sciences,

Graduate School of Science,
Osaka Prefecture University

1

はじめに

本研究では、複占小売市場において両店舗の営業時間を考慮し、 一方の店舗にサービスタイムを導入したモデルについて考察する。 Shy and Stenbacka[2] でのデイタイム営業の対称な営業時間のモデルを扱うが、我々が新たに提案するモデルでは店舗 A に 2 つのサービスタイムを導入する。彼らのモデルでは両店舗の販売価格が決定変数であったが、 我々のモデルでは店舗 A の通常価格はすでに与えられた状態において店舗 A の割引率、 つまり割引販売価格と店舗の通常価格を決定変数として扱う。 店舗 A のサービスタイムは開店時刻直後と閉店時刻直前に設ける。 そうするこ$B$とで、 営業時間外の潜在的な買い物客をより多く集客することができるからである。 買い物客は、店舗の営業時間外により、 理想的な時間に買い物ができない時は、 買い物時間を店舗の閉店時間に早めて買い物を行うか次の日の開店時間に遅らせて買い物を行うというように行動する。 サービス
タイム導入により各店舗の需要を調べ、各店舗の利得関数からサービスタイムを導入した店舗については最適な価格の割引率を求め、通常価格で営業している店舗については最適な価格を求め、両者の販売価格に関する均衡について考察する。

2

仮定と記号

2.1

仮定

本稿では次のような仮定を持つモデルについて考える。
1. 複占市場においてある商品を販売している店舗 A,
2. 市場を数直線 [0,1] で表す。

$B$

がある。

3. 店舗 A は $x=0$ 店舗 は $x=1$ に位置している。
4. 店舗はそれぞれデイタイムに営業している。
5. 両店舗ともすべての買い物客に販売できるだけの十分な商品の量を持っている。
6. 店舗 A は時刻 $t(0\leqq t\leqq 1)$ に対して $t=0$ から $t=s$ の間と時刻 $t= \frac{1}{2}-s$ からの間の 2 度割引された価格で販売するサービスタイムを実施する。
買い物客は数直線
7.
[0,1] 上に一様に分布している。
の間 (daytime) に購入する買い物は密度8. 時刻 $t=0$ から
で、 時刻
から $t=1$ の間 (nighttime) に購入する買い物客は密度 $n_{2}(n_{1}>n_{2})$ で一様に、$B$

$t= \frac{1}{2}$$t= \frac{1}{2}$$n_{1}$$t= \frac{1}{2}$

分布している。

9. 営業時間外により買い物客は理想的な時間に買い物ができないならば、 買い物40
時間を店舗の閉店時間に早める、 あるいは次の日の開店時間に遅らせるというようにふるまう。
10. 買い物客が商品を購入することによって得られる効用は同一である。

2.2

記号

本稿を通じて以下のような記号を用いる。
: 商品の購入によって得られる買い物客の効用: 店舗 の販売価格$\beta$$A$$P_{A}$$P_{B}$: 店舗 の販売価格: 店舗 の割引販売価格
$B$

$A$

$\alpha P_{A}$$\lambda$$\tau$$t$: 買い物客の店舗までの移動に伴う単位距離当たりの移動コスト: 買い物客の営業時間までの時間移動に伴う単位時間当たりの待ち時間コスト: 買い物客が商品を購入する時間

C: 商品 1 単位あたりの原価: 買い物客の位置 $x\in[O, 1]$
$x$

$s$

$k$

: 割引価格で販売する時間の長さ: 営業に対するオペレーテイングコスト$U_{A}(x, t)$: 位置 にいる買い物客が時刻$U_{B}(x, t)$

: 位置

$x$

$\pi_{A}(\alpha, P_{B})$$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$$t$に店舗 A で購入したときの効用関数にいる買い物客が時刻 に店舗 で購入したときの効用関数: 店舗 A の割引率 と店舗 の販売価格 が与えられたときの店舗
$t$

$x$

$\alpha$$B$$B$

A の単位時間あたりの利得関数: 店舗 A の割引率 と店舗 の販売価格$\alpha$$B$$P_{B}$$P_{B}$が与えられたときの店舗

B の単位時間あたりの利得関数

3モデルの定式化

3.1

客数の導出

と店舗 の
我々のモデルにおける目的関数を導出するためには、 店舗 A の割引販売価格
で商品を購入する買いが与えられたときに、 店舗 A において割引販売価格
通常販売価格で商品を購入する買い物客の総数、 および店舗
物客の総数、 同店舗において通常の販売価格$\alpha P_{A}$$B$$\alpha P_{A}$$P_{B}$$P_{A}$

で商品を購入する買い物客の総数を求めなければならない。 位置に購買行動を取ったとき、 店舗 A と店舗 のどちらで商品を購$x\in[0,1]$ にいる買い物客が時刻入するかを決定する必要がある。 各時刻において購買行動をとった買い物客の分岐点となる位置を$B$

において通常の販売価格$P_{B}$

$t$

$B$

調べる。

(i) $0\leq t<s$

この時刻に購買行動に移ろうとするすべての買い物客の中で、店舗 A への買い物客はサービス
タイムに商品を購入することになる。店舗 A への買い物客は割引販売価格で商品を購入し、店舗
B への買い物客は通常価格で商品を購入することができる。したがって、店舗 A, での効用関数$B$はそれぞれ $U_{A}(x, t)=\beta-\alpha P_{A}-\lambda_{X、}U_{B}(x, t)=\beta-P_{B}-\lambda(1-x)$ となる。 同様に境界点を求41
めると$\overline{x}=\frac{P_{B}-\alpha P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}$である。

(ii) こ s の 時 t刻に購$\leq$$<s+ \frac{P_{A}(1-\alpha)}{買行動に\tau}$

移ろうとするすべての買い物客の中で、 店舗 A への買い物客はサービスタイムまでに買い物時間を早めて商品を購入することになる。 この場合には店舗 A への買い物客には時刻 から時刻 まで買い物時間を早めることによる時間コストが課せられる。 店舗 A への買い物客は割引販売価格で商品を購入し、 店舗 への買い物客は通常価格で商品を購入すること
$t$

$s$

$B$

ができる。 したがって、 店舗 A,$U_{B}(x, t)=\beta-P_{B}-\lambda(1-x)$$B$

での効用関数はそれぞれ $U_{A}(x, t)=\beta-\alpha P_{A}-\lambda_{X}-\tau(t-s)$、となる。 同様に境界点を求めると$\tilde{x}=\frac{P_{B}-\alpha P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}+\frac{\tau(s-t)}{2\lambda}$

である。

(iii)
この時刻に購買行動に移ろうとするすべての買い物客は店舗 A, で通常価格で商品を購入する。 したがって、店舗 A, での効用関数はそれぞれ $U_{A}(x, t)=\beta-P_{A}-\lambda x$ $U_{B}(x, t)=\beta-P_{B}-\lambda(1-x)$$s+ \frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}\leq t<\frac{1}{2}-s-\frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}$

$B$

$B$

、

となる。 同様に境界点を求めると$\hat{x}=\frac{P_{B}-P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}$

である。

(iv)
この時刻に購買行動に移ろうとするすべての買い物客の中で、 店舗 A への買い物客はサービスタ
イムまで買い物時間を遅らせて商品を購入することになる。 この場合には店舗 A への買い物客には$\frac{1}{2}-s-\frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}\leq t<\frac{1}{2}-s$までの待ち時間コストが課せられる。店舗 A への買い物客は割引販売価格で商品を購入し、店舗 への買い物客は通常価格で商品を購入することができる。 したがって、店舗 A,
での効用関数はそれぞれ $U_{A}(x, t)= \beta-\alpha P_{A}-\lambda x-\tau(\frac{1}{2}-t-s)$ $U_{B}(x, t)=\beta-P_{B}-\lambda(1-x)$

時刻 から時刻$t$$\frac{1}{2}-s$

$B$

$B$

、

となる。 同様に境界点を求めると$\check{x}=\frac{P_{B}-\alpha P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}-\frac{\tau}{4\lambda}+\frac{\tau(s+t)}{2\lambda}$

である。

(v)
この時刻に購買行動に移ろうとするすべての買い物客の中で、 店舗 A への買い物客はのサービ
スタイムに商品を購入することになる。 店舗 A への買い物客は割引販売価格で商品を購入し、 店
舗 への買い物客は通常価格で商品を購入することができる。 したがって、 店舗 A, での効用関$\frac{1}{2}-s\leq t<\frac{1}{2}$

$B$

$B$

数はそれぞれ $U_{A}(x, t)=\beta-\alpha P_{A}-\lambda x$、$U_{B}(x, t)=\beta-P_{B}-\lambda(1-x)$となる。 同様に境界点を求めると$\overline{x}=\frac{P_{B}-\alpha P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}$

である。

(vi)

$\frac{1}{2}\leq t<\frac{3}{4}$

この時刻に購買行動に移ろうとするすべての買い物客は店舗 A, の閉店時間まで買い物時間を早めて商品を購入することになる。 この場合には時刻 カ 1 ら時刻 ，泙杷磴な 時間を早めることによる待ち時間コストが課せられる。 店舗 A への買い物客は割引販売価格で商品を購入し、 店舗
$B$

$t$

$B$

42
ヘの買い物客は通常価格で商品を購入することができる。 したがって、 店舗 A,
それぞれ $U_{A}(x, t)= \beta-\alpha P_{A}-\lambda_{X}-\tau(t-\frac{1}{2})$、$B$

での効用関数は$U_{B}(x, t)= \beta-P_{B}-\lambda(1-x)-\tau(t-\frac{1}{2})$となる。

同様に境界点を求めると$\overline{x}=\frac{P_{B}-\alpha P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}$

である。

(vii)
この時刻に購買行動に移ろうとするすべての買い物客は店舗 A,$\frac{3}{4}\leq t\leq 1$$B$の開店時間まで待ち商品を購入することになる。 この場合には時刻 から次の日の閉店時刻 1 までの待ち時間コストが課せられる。
$t$

店舗 A への買い物客は割引販売価格で商品を購入し、店舗ることができる。 したがって、店舗 A,

$B$

$B$

への買い物客は通常価格で商品を購入すでの効用関数はそれぞれ $U_{A}(x, t)=\beta-\alpha P_{A}-\lambda x-\tau(1-t)$$U_{B}(x, t)=\beta-P_{B}-\lambda(1-x)-\tau(1-t)$

A で購入か店舗$B$となる。 各$t$に対して $U_{A}=U_{B}$ となる位置

$x$

、

が、 店舗

で購入かに分かれる買い物客の位置の境界点であり、 それを求めると$\overline{x}=\frac{P_{B}-\alpha P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2}$である。

店舗 A において割引販売価格$\alpha P_{A}$

で商品を購入する客の総数 $D_{A1}$ は$n_{1} \int_{0^{\overline{x}dt+n_{1}}}^{s}l^{8+^{P(}\iota_{-s_{P}}\iota}\infty^{1-\underline{\alpha)}_{\tilde{x}dt+n_{1}\int_{1}^{2}\check{x}dt+n_{1}\int_{1}^{2}\overline{x}dt+n_{1}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\overline{x}dt}}\tau 5^{-s-A\frac{(1-\alpha)}{\tau}z^{-S}}$$=$$2n_{1^{S\overline{X}}}+n_{1} \frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}(\overline{x}+\hat{x})+\frac{1}{2}n_{2}$

(1)

置

である。

店舗 A において通常販売価格$P_{A}$

で商品を購入する客の総数 $D_{A2}$ は(2)$n_{1} \int_{S+^{P_{A}(1-a)^{\tau}}}^{z^{-s^{P(1\underline{-\alpha)}}}}-\infty\hat{x}dt1\tau=n_{1}(\frac{1}{2}-2s-\frac{2P_{A}(1-\alpha)}{\tau})\hat{x}$

である。

店舗

$B$

で商品を購入する客の総数$D_{B}$

は$\frac{n_{1}}{2}+\frac{n_{2}}{2}-(D_{A1}+D_{A2})$(3)$= \frac{1}{2}(n_{1}+n_{2})(1-\overline{x})+n_{1}(\overline{x}-\hat{x})(\frac{1}{2}-2s-\frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau})$

である。

3.2

目的関数と制約条件に対
この節において我々が提案したモデルから最適化問題の導出をはかる。 店舗 A は客数で販売するので、 店舗 A の利得に対して通常価格
して割引販売価格で販売し、 客数
$D_{A1}$$\alpha P_{A}$関数$\pi_{A}(\alpha, P_{B})$$D_{A2}$$P_{A}$

は$\pi_{A}(\alpha, P_{B})=(\alpha P_{A}-c)D_{A1}+(P_{A}-\mathcal{C})D_{A2}-k$43となる。 また、 店舗

$B$

の利得関数

$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$は客数$D_{B}$に対して通常価格$P_{B}$

で販売するので$\pi_{B}(\alpha, P_{B})=(P_{B}-c)D_{B}-k$となる。

本モデルでは、$0\leq\hat{x}\leq\overline{x}\leq 1$

り $P_{B}\leq\alpha P_{A}+\lambda$ と$\frac{P_{B}-\lambda}{P_{A}}\leq\alpha$の場合を扱っている。

$\hat{x}\geq 0$

より $P_{B}\geq P_{A}-\lambda$ を得て、$\alpha P_{A}\geq C$より$\alpha\geq\frac{C}{P_{A}}$よを得る。 割引販売価格が原価を下回らないようにしなければなら，茲
よって、 我々が提案したモデルは次のような問題として定式化される :2 つの意思決定者 A, において、
店舗 A は制約条件
ないので$\overline{x}\leq 1$を得る。

$s+ \frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}\leq$$1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}\leq\alpha$

を得る。

$B$

$\max\{1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}, \frac{c}{P_{A}}, \frac{P_{B}-\lambda}{P_{A}}\}\leq\alpha\leq 1$(4)$\pi_{A}(\alpha, P_{B})=(\alpha P_{A}-c)D_{A1}+(P_{A}-c)D_{A2}-k$(5)の下で目的関数を最大にし、店舗

$B$

は制約条件
$\max\{P_{A}-\lambda, c\}\leq P_{B}\leq\alpha P_{A}+\lambda$(6)$\pi_{B}(\alpha, P_{B})=(P_{B}-c)D_{B}-k$(7)の下で目的関数を最大にするような均衡解

4$(\alpha, P_{B})$を求めることである。

解析
この節では、 前節で定式化した最適化問題について、 目的関数

解析し、 均衡解

4.1$(\alpha, P_{B})$$\pi_{A}(\alpha, P_{B})$および$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$

を

を求める。

最適割引率の導出

まず、 店舗 A の利得関数$\pi_{A}(\alpha, P_{B})$についての性質を調べる。 $\pi A(\alpha, P 切は (5)$ 式に (1)、 (2) 式を代入することで得られる。
$\pi_{A}(\alpha, P_{B}) = (\alpha P_{A}-c)D_{A1}+(P_{A}-c)D_{A2}-k$$= \{(2n_{1}s+\frac{1}{2}n_{2})(\frac{P_{B}-P_{A}+(1-\alpha)P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2})$$+n_{1} \frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}(\frac{2P_{B}-2P_{A}+(1-\alpha)P_{A}}{2\lambda}+1)\}(\alpha P_{A}-c)$$+n_{1}( \frac{1}{2}-2s-\frac{2P_{A}(1-\alpha)}{\tau})(\frac{P_{B}-P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2})(P_{A}-c)-k$44$\pi_{A}(\alpha, P_{B})$について性質を見てみると、正であることがわかる。

が与えられたとき$\alpha$について 3 次関数で 3 次の係数がの 1 階の偏導関数を求めると$\{-(2n_{1^{S}}+\frac{1}{2}n_{2})(\frac{P_{A}}{2\lambda})-\frac{n_{1}P_{A}}{\tau}(\frac{2P_{B}-2P_{A}+(1-\alpha)P_{A}}{2\lambda}+1)$$=$$\frac{\partial\pi_{A}}{\partial\alpha}$$\pi_{A}(\alpha, P_{B})$$P_{B}$$-n_{1} \frac{P_{A}(1-\alpha)P_{A}}{\tau 2\lambda}\}(\alpha P_{A}-c)+\{(2n_{1^{S}}+\frac{1}{2}n_{2})(\frac{P_{B}-P_{A}+(1-\alpha)P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2})$$+n_{1} \frac{P_{A}(1-\alpha)}{\tau}(\frac{2P_{B}-2P_{A}+(1-\alpha)P_{A}}{2\lambda}+\iota)\}P_{A}$$+n_{1} \frac{2P_{A}}{\tau}(\frac{P_{B}-P_{A}}{2\lambda}+\frac{1}{2})(P_{A}-c)$となる。 最適性の必要条件絵 $=0$ について解くと$(1- \alpha)^{2}+\frac{2(2s\tau+_{\overline{2}n_{1}}n_{A}-\tau+2P_{B}-3P_{A}+2\lambda+c)}{3P_{A}}(1-\alpha)$$- \frac{(2s\tau+_{\overline{2}n_{1}}n_{A}-\tau)(2P_{A}-P_{B}-c-\lambda)}{3P_{A}^{2}}=0$

すなわち$\alpha = \frac{2s\tau+_{\overline{2}n}n_{B}\frac{\tau}{1}+2P_{B}+2\lambda+c}{3P_{A}}$$\pm\frac{\sqrt{(2s\tau+_{\overline{2}n}n_{B}\frac{\tau}{1}+2P_{B}-3P_{A}+2\lambda+c)^{2n_{B}}-3(2_{S\mathcal{T}}+_{\overline{2}n}\frac{\tau}{1})(P_{B}-2P_{A}+\lambda+c)}}{3P_{A}}$である。 ここで、 ルートの中身は常に$(2s \tau+\frac{n_{2^{\mathcal{T}}}}{2n_{1}}+2P_{B}-3P_{A}+2\lambda+c)^{2}-3(2s\tau+\frac{n_{2^{\mathcal{T}}}}{2n_{1}})(P_{B}-2P_{A}+\lambda+c)>0$であるから、 方程式

ほうの解 (極大値) を次に、 関数$\pi_{A}$$\frac{\partial\pi_{A}}{\partial\alpha}|_{\alpha=\#_{\overline{A}}}$$\frac{\partial}{\partial}\pi\Delta_{=0}\alpha$$\alpha^{0}$は 2 つの実数解をもつ。 方程式$\frac{\partial\pi}{\partial\alpha}=0$の 2 つの解のうち、 小さいとおく。

の概略図を確認するために端点の傾きを調べる。
$=$$\{(2n_{1^{S}}+\frac{1}{2}n_{2})\frac{P_{B}-c+\lambda}{2\lambda}+n_{1}\frac{(P_{A}-c)(2P_{B}-P_{A}+2\lambda-c)}{2\lambda_{\mathcal{T}}}\}P_{A}$$+ \frac{2n_{1}P_{A}(P_{B}-P_{A}+\lambda)}{2\lambda\tau}(P_{A}-c)>0$$\frac{\partial\pi_{A}}{\partial\alpha}|_{\alpha=1}=\frac{P_{A}}{2\lambda}(2n_{1^{S}}+\frac{1}{2}n_{2})(P_{B}-2P_{A}+\lambda+c)$となり、 次のことが言える。
$P_{B}-2P_{A}+ \lambda+c\geq 0\Rightarrow\frac{\partial\pi_{A}}{\partial\alpha}|_{\alpha=1}\geq 0$$P_{B}-2P_{A}+ \lambda+c<0\Rightarrow\frac{\partial\pi_{A}}{\partial\alpha}|_{\alpha=1}<0$

つまり、 $P_{B}-2P_{A}+\lambda+c<0$ の場合、$\frac{c}{P_{A}}\leq\alpha\leq 1$に極大値が存在する。

よって、 店舗 A の利得関数を最大にする割引率は以下のようになる。

45
(I)

$P_{B}-2P_{A}+\lambda+C\geq 0$ のとき$\alpha^{0}-1$$=$$\frac{2s\tau+_{n_{1}}\frac{n}{2}=^{\tau}+2P_{B}-3P_{A}+2\lambda+c}{3P_{A}}$$- \frac{\sqrt{(s\tau+_{n_{1}}+2P_{B}-3P_{A}+2\lambda+c)^{2}-3(2s\tau+_{n^{\frac{\tau}{1}}}\frac{n}{2}\angle)(P_{B}-2P_{A}+\lambda+c)}}{3P_{A}}>0$より$\frac{c}{P_{A}}\leq\alpha\leq 1$

において $\pi_{A}(\alpha, P_{B})$ は$\alpha$に関して単調に増加する。 従って、$\alpha^{*}=1$(II) $P_{B}-2P_{A}+\lambda+C<0$ のとき
かつ$(1 A)1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}\leq-P=-\lambda P_{A}$$\alpha^{0}\leq=_{A}P_{P}-\lambda$のとき$\alpha^{*}=\frac{P_{B}-\lambda}{P_{A}}$$(2 A)=P-\lambda P_{A}<1-\frac{(1-4s)_{\mathcal{T}}}{4P_{A}}$かつ$\alpha^{0}\leq 1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$のとき$\alpha^{*}=1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$$(3 A)1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}<\alpha^{0}$かつ$\frac{P-\lambda}{P_{A}}<\alpha^{0}$のとき$\alpha^{*}=\alpha^{0}$4.2

最適価格の導出

店舗

$B$

の利得関数

$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$についての性質を調べる。

$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$は (7) 式に (3) 式を代入することで得られる。
$\pi_{B}(\alpha, P_{B}) = (P_{B}-c)D_{B}-k$$= \{\frac{1}{4}n_{1}+\frac{1}{4}n_{2}-\frac{n_{1}(1-\alpha)^{2}}{2\lambda\tau}P_{A}^{2}$$+ \frac{n_{1}+n_{2}\alpha-4n_{1}s(1-\alpha)}{4\lambda}P_{A}-\frac{n_{1}+n_{2}}{4\lambda}P_{B}\}(P_{B}-c)-k$$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$についての性質を見ると、$\alpha$が与えられたとき$P_{B}$

について 2 次関数で$\frac{\partial^{2}\pi_{B}}{\partial P_{B}^{2}}=-\frac{n_{1}+n_{2}}{2\lambda}<0$より$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$は凹関数であることがわかる。

$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$の 1 階の偏導関数を求めると$\frac{\partial\pi_{B}}{\partial P_{B}}=-\frac{n_{1}(1-\alpha)^{2}}{2\lambda\tau}P_{A}^{2}+\frac{n_{1}+n_{2}\alpha-4n_{1}s(1-\alpha)}{4\lambda}P_{A}+\frac{(n_{1}+n_{2})(c+\lambda-2P_{B})}{4\lambda}$となる。 最適性の必要条件$\frac{\partial}{\partial}\pi P_{B}R_{=0}$を解き、 その解を$P_{B}^{0}$とおく。

$P_{B}^{0}= \frac{1}{n_{1}+n_{2}}\{-\frac{n_{1}(1-\alpha)^{2}}{\tau}P_{A}^{2}+\frac{n_{1}+n_{2}\alpha-4n_{1}s(1-\alpha)}{2}P_{A}\}+\frac{\lambda+c}{2}$46
よって、 店舗 $B$ の利得関数を最大にする価格は以下のようになる。
$(1B)P_{B}^{0}\leq P_{A}-\lambda$

かつ $C\leq P_{A}-\lambda$ のとき$\ovalbox{\tt\small REJECT}=P_{A}-\lambda$$(2B)P_{B}^{0}\leq c$

かつ $P_{A}-\lambda<C$ のとき$P_{B}^{*}=c$$(3B)\alpha P_{A}+\lambda\leq P_{B}^{0}$のとき$P_{B}^{*}=\alpha P_{A}+\lambda$$(4 B)\max\{P_{A}-\lambda, c\}<P_{B}^{0}<\alpha P_{A}+\lambda$のとき$P_{B}^{*}=P_{B}^{0}$

4.3

均衡解の導出前述のように得られた結果を用いて割引率と価格との均衡を求める。
(I)$P_{B}-2P_{A}+\lambda+C\geq 0$ のとき

これは、 $\alpha=1$ の場合である。 このとき、$\max\{P_{A}-\lambda, c\}\leq P_{B}\leq\alpha P_{A}+\lambda$

に対して$P_{B}^{0}=r_{\frac{+\lambda+c}{2}}P$$\pi_{B}(\alpha, P_{B})$である。

の境界における増減を調べる。 $P_{B}=\alpha P_{A}+\lambda,$

において$\alpha=1$$\frac{\partial\pi_{B}}{\partial P_{B}}|_{P_{B}=P_{A}+\lambda,\alpha=1}=\frac{(n_{1}+n_{2})\{-(P_{A}-c)-\lambda\}}{4\lambda}<0$である。

( -i) $P_{A}-\lambda\leq C$ のとき$I$$P_{B}=c,$ $\alpha=1$

において$\frac{\partial\pi_{B}}{\partial P_{B}}|_{P_{B}=c,\alpha=1}=\frac{(n_{1}+n_{2})(P_{A}-c+\lambda)}{4\lambda}>0$

このとき、 $\alpha^{*}=1,$$P_{B}^{*}=arrow^{P+\lambda+c2}$である。

( -ii) $P_{A}-\lambda>c$ のとき$I$(l-ii-l) $P_{A}-\lambda<P_{B}^{0}=r_{2^{\lambda}}PB^{c}$ のとき
制約条件の下での最大点は$P_{B}= \frac{P_{A}+\lambda+c}{2}$になるが、 $P_{B}-2P_{A}+ \lambda+c=-\frac{3}{2}(P_{A}-\lambda-c)<0$となる。 よって、 $P_{B}-2P_{A}+\lambda+c\geq 0$ に矛盾する。 従って、 このケースでの均衡解はない。

(l-ii-2)$P_{A}- \lambda\geq P_{B}^{0}=\frac{P_{4}+\lambda+c}{2}$のとき

制約条件の下での最大点は $P_{B}=P_{A}-\lambda$ になるが、 $P_{B}-2P_{A}+\lambda+c=-(P_{A}-c)<0$ となる。 よって、 $P_{B}-2P_{A}+\lambda+c\geq 0$ に矛盾する。 従って、 このケースでの均衡解はない。

(II) $P_{B}-2P_{A}+\lambda+C<0$ のとき( $1A$ ) と ( $1B$ ) の組み合わせにおいては$\alpha^{*}=1-\frac{2\lambda}{P_{A}}, P_{B}^{*}=P_{A}-\lambda$が均衡解である。

.($1A$) と ( $2B$ ) の組み合わせにおいては $P_{A}-\lambda<c$ より $c-P_{A}+\lambda>0$ である。

$\alpha=r_{P^{\frac{-\lambda}{A}}}P,$

47$P_{B}=c$ において$\frac{\partial\pi A}{\partial\alpha}|_{\alpha-\not\in\frac{-\lambda}{A},P_{B}=c}=^{P}$$\frac{P_{A}}{2}(2n_{1^{\mathcal{S}}}+\frac{1}{2}n_{2})+\frac{n_{1}P_{A}}{2_{\mathcal{T}}}(c-P_{A}+\lambda+2\lambda)+\frac{n_{1}P_{A}}{2_{\mathcal{T}}}(P_{A}-c+\lambda)$$=$$+P_{A}(2n_{1^{S}}+ \frac{1}{2}n_{2})+\frac{n_{1}P_{A}}{2\lambda_{\mathcal{T}}}(P_{A}-c+\lambda)(c-P_{A}+\lambda+2\lambda)$$+ \frac{2n_{1}P_{A}}{2\lambda\tau}(c-P_{A}+\lambda)(P_{A}-c)>0$である。 ゆえに、$\underline{P}_{H,P^{\frac{-\lambda}{A}}}<\alpha^{0}$となるので条件$\alpha^{0}<RP-\underline{\lambda}P_{A}$に矛盾する。 よって、 このケースでの均衡解はない。

( $1A$ ) と ( $4B$ ) の組み合わせにおいてはとなり、 $P_{B}^{0}<P_{A}-\lambda$ なので $P_{A}-\lambda<P_{B}^{0}$ を満たさない。 よって、 このケースでの均衡解はない。
$\alpha={}_{arrow}P_{P^{\frac{-\lambda}{A}}}$( $2A$ ) と ( $1B$ ) の組み合わせにおいては$\alpha^{*}=1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}, P_{B}^{*}=P_{A}-\lambda$が均衡解である。
( $2A$ ) と ( $2B$ ) の組み合わせにおいては
$0$

と言える。

〈 $1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}},P_{B}=c$ より、 $-(1-4_{S})_{\mathcal{T}}+4(P_{A}-c+\lambda)>$$RP_{P} \frac{-\lambda}{A}$$-(1-4_{S})_{\mathcal{T}}+4(P_{A}-c+\lambda)>0$

よりー $(1-4_{S})_{\mathcal{T}}+8(P_{A}-c+\lambda)>0$ である。

$\alpha=1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$において$c-P_{B}^{0}|_{\alpha=1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}} = - \frac{1}{16}\{-(1-4s)\tau+S(P_{A}-c+\lambda)\}<0$である。 よって、 $c<P_{B}^{0}$ となるので条件 $P_{B}^{0}<c$ に矛盾する。 従って、 このケースでの均衡解はない。

( $2A$ ) と ( $3B$ ) の組み合わせにおいてはとき、 条件$\underline{P}\mapsto-\lambda P_{A}<1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$$-P_{A}=<1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$

(

$2A$

$\alpha=1-\frac{(1-4s)_{\mathcal{T}}}{4P_{A}}$

については

、

$P_{B}=P_{A}- \frac{(1-4s)_{\mathcal{T}}}{4}+\lambda$$1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}-\frac{P_{A^{-}}^{\underline{(1-4s)}}\tau+\lambda-\lambda}{P_{A}}=0$となる。 このとなって、 条件を満たさない。従って、 このケースでの均衡解はない。

) と ( $4B$ ) の組み合わせにおいては$\alpha^{*}=1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}, P_{B}^{*}=P_{B}^{0}$が均衡解である。

( $3A$ ) と ( $1B$ ) の組み合わせにおいては$\alpha^{*}=\alpha^{0}, P_{B}^{*}=P_{A}-\lambda$が均衡解である。

( $3A$ ) と ( $4B$ ) の組み合わせにおいては$\alpha^{*}=\alpha^{0}, P_{B}^{*}=P_{B}^{0}$が均衡解である。
このときは、す必要がある。

$\alpha^{0}$$\alpha^{0}$

は $P_{B}$ を、の $P_{B}$ に$P_{B}^{0}$$P_{B}^{0}$は$\alpha$を用いて書かれているので、 新たにそれらの方程式を解き直を代入すると次の方程式が得られる。

$\frac{n_{1}P_{A}(1-\alpha)^{3}}{\tau(n_{1}+n_{2})}-\{3-\frac{4sn_{1}+n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\}(1-\alpha)^{2}$

48$+ \frac{2}{P_{A}}(2s\tau+\frac{n_{2}}{2n_{1}}\tau-\frac{11}{4}P_{A}+\frac{9}{4}\lambda+\frac{5}{4}c)(1-\alpha)$$- \frac{(s+_{\vec{4n_{1}}}n)\tau(5P_{A}-3c-3\lambda)}{P_{A}^{2}}=0$

はこの方程式の解であり、$\alpha^{*}$$P_{B}^{*}=P_{B}^{0}|_{\alpha=\alpha^{*}}$である。

まとめると均衡に関する以下の結果が得られる。
定理$\alpha^{0}$(砺 )$\frac{2s\tau+_{\overline{2}n_{1}}n_{A^{\underline{\mathcal{T}}}}+2P_{B}+2\lambda+c}{3P_{A}}$$=$$\sqrt{(2s\tau+_{2n_{1}}n_{A^{\mathcal{T}}}+2P_{B}^{-}-3P_{A}+2\lambda+c)^{2n_{1}}-3(2s\tau+_{2n}\frac{\tau}{1})(P_{B}-2P_{A}+}\lambda+c)$$-\overline{3P_{A}},$$P_{B}^{0}( \alpha)=\frac{1}{n_{1}+n_{2}}\{-\frac{n_{1}(1-\alpha)^{2}}{\tau}P_{A}^{2}+\frac{n_{1}+n_{2}\alpha-4n_{1}s(1-\alpha)}{2}P_{A}\}+\frac{\lambda+c}{2}$とおく。 我々の提案したモデルにおいて以下が成り立つ。

(a) $P_{A}-\lambda\leq c$ ならば、(b) $P_{A}-\lambda\geq c$ かつ$\alpha^{*}=1,$ $P_{B}^{*}= \frac{P_{A}+\lambda+c}{2}$$P_{B}^{0}(1- \frac{2\lambda}{P_{A}})\leq P_{A}-\lambda$$1- \frac{2\lambda}{P_{A}}$

(c)

ならば、

$P_{B}^{*}=P_{A}-\lambda$

は均衡である。

かつ $P_{B}^{0}(1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}})\leq P_{A}-\lambda$ かつ $8\lambda>(1-4s)\tau$ かつ $\alpha_{0}(P_{A}-\lambda)\leq$$P_{A}-\lambda\geq c$$1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$(d)$\alpha^{*}=1-\frac{2\lambda}{P_{A}},$は均衡である。

かつ $8\lambda\leq(1-4s)\tau$ かつ $\alpha_{0}(P_{A}-\lambda)\leq$

ならば、$\alpha^{*}=1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}},$$P_{B}^{0}(1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}})<P_{A}-\frac{(1-4s)\tau}{4}$$P_{B}^{*}=P_{A}-\lambda$

は均衡である。

かつ $\alpha^{0}(P_{B}^{0}(1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}))\leq 1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}$ かつ$\max\{P_{A}-\lambda, c\}<P_{B}^{0}(1-\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}})<P_{A}-\frac{(1-4s)\tau}{4}+\lambda$$\frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}},$$P_{B}^{*}=P_{B}^{0}(1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}})$(e)$1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}<\alpha^{0}(P_{A}-\lambda)$(f)$\alpha^{*}$

ならば、 $\alpha^{*}=1-$

は均衡である。

かつ $1- \frac{2\lambda}{P_{A}}<\alpha^{0}(P_{A}-\lambda)$ かつ $P_{B}^{0}(\alpha^{0}(P_{A}-\lambda))\leq P_{A}-\lambda$

かつ $c\leq P_{A}-\lambda$ ならば、 $\alpha^{*}=\alpha^{0}(P_{A}-\lambda),$ $P_{B}^{*}=P_{A}-\lambda$ は均衡である。

を 3 次方程式$\frac{n_{1}P_{A}(1-\alpha)^{3}}{\tau(n_{1}+n_{2})}-\{3-\frac{4_{Sn_{1}}+n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\}(1-\alpha)^{2}$$+ \frac{2}{P_{A}}(2s\tau+\frac{n_{2}}{2n_{1}}\tau-\frac{11}{4}P_{A}+\frac{9}{4}\lambda+\frac{5}{4}c)(1-\alpha)$$- \frac{(s+_{\overline{4}n_{1^{-}}}n_{p})_{\mathcal{T}}(5P_{A}-3_{C}-3\lambda)}{P_{A}^{2}}=0$

の解とし、
つ

5

$P_{B}^{*}=P_{B}^{0}(\alpha)$とする。 このとき、$\max\{P_{A}-\lambda, c\}<P_{B}^{*}<\alpha^{*}P_{A}+\lambda$$1- \frac{(1-4s)\tau}{4P_{A}}<\alpha^{*}$

を満たすならばかつ$(\alpha^{*}, P_{B}^{*})$$\frac{P^{*}-\lambda}{P_{A}}<\alpha^{*}$

かは均衡である。

数値例
この節では、 前節で得られた均衡結果についていくつかの数値例を与える。

例 1.
$n_{1}=1000,$ $n_{2}=700,s=0.1,$ $\lambda=400,$ $\tau=900,$ $P_{A}=700,$ $c=300,$ $k=400$とする。 このとき、 均衡解は $\alpha^{*}=1,P_{B}^{*}=700$ となり、 店舗 A の割引販売価格は $700$

、

店舗

$B$

の

49
通常販売価格は 700 である。 これは、 (a) のケースにあてはまる。 また、 これらに対応する各店舗の収益は店舗 A で $169600$

、

店舗

$B$

で 169600 となる。

例 2.
$n_{1}=1000,$ $n_{2}=800,$ $s=0.09,$ $\lambda=100,$ $\tau=10000,$ $P_{A}=500,$ $c=100,$ $k=400$とする。 このとき、 均衡解は $\alpha^{*}=0.6,P_{B}^{*}=400$ となり、 店舗 A の割引販売価格は $300$

、

店舗

$B$

の通常販売価格は 400 である。 これは、 (b) のケースにあてはまる。 また、 これらに対応する各店舗の収益は店舗 A で $119600$

、

店舗

$B$

で 89600 となる。

例 3.
$n_{1}=1000,$ $n_{2}=900,$ $s=0.15,$ $\lambda=100,$ $\tau=900,$ $P_{A}=600,$ $c=100,$ $k=20$とする。 このとき、 均衡解は $\alpha^{*}=0.85,P_{B}^{*}=500$ となり、 店舗 A の割引販売価格は $510$、

店舗 $B$の通常販売価格は 500 である。 これは、 (c) のケースにあてはまる。 また、 これらに対応する各店舗の収益は店舗 A で $156805$ 店舗 で 226980 となる。
、$\alpha P_{A}<P_{B}$

比較的

$B$

の場合や、 $\alpha P_{A}>P_{B}$ の場合があるが、$P_{B}$の値は$P_{A}$を超えることはない。

$P_{B}$

はに近い値を取ることがわかった。 また、 収益は価格に依存しているとはいえず、 店舗の収益が逆転するケースも見られた。 例 1 のように $\alpha=1$ のときは割引なしの価格で販売すべきである場合も得られた。
$\alpha P_{A}$$A,$ $B$

6

まとめと今後の課題
ハーフタイムの営業時間を持つ複占小売市場において、 店舗 A の営業時間の開店時刻直後と閉店時刻直前にサービスタイムを導入したモデルを新たに提案した。 買い物客の同一の効用関数を用いて店舗 A にて割引販売価格で購入する買い物客数、 同店舗で通常価格で購入する買い物客数と店舗$B$

にて通常価格で購入する買い物客を求めた。 そして、 それぞれの客数に対して両店舗の利得関数を導き、 店舗 A では利得を最大にする割引率と店舗では利得を最大にする価格を求めた。
それらから本モデルにおける均衡解を導いた。 最後に、 均衡解について数値例を挙げた。 パラメー
タの値によっては店舗 A の割引率が 1 より小さい値で均衡状態に至るような結果を得ることができ、 2 つのサービスタイムを導入した我々のモデルの有効性が示された。 一方、 均衡解において店
舗 $A$ の割引率が 1 となったケースではサービスタイムを導入する必要がないことが言えた。 今後の課題は、 2 店舗の営業時間が非対称な場合においての均衡解に関する研究が考えられる。
$B$

参考文献
[1] Inderst, R. and Irmen, A. (2005) Shopping hours and price competition, European Economics Review, vol.49, 1105-1124.
[2] Shy, O. and Stenbacka, R. (2008) Price competition, business hours and shopping time
flexibility, Economics Journal, vol.118, 1171-1195.

[3] Shy, O. and Stenbacka, R. (2006) Service hours with asymmetric distributions of ideal service
time, Intemational Journal of Industrial Organization, vol.24, 763-771.
[4] Tangay, G., Vallee, L. and Lanoie, P. (1995) Shopping hours and price levels in the retailingindustry: a theoretical and empirical analysis, Economics Inquiry, vol.33, 516-524.