紋切り遊びで学ぶ	  紋様の美と数学
関西大学システム理工学部	  和久井道久
２０１３年10月19日	  （2013年度Kan-­‐Daiネックレス・セミナー第１回）

暮らしの中の文様• きもの、洋服のデザイン	  • 本のデザイン	  • 食器、小物入れなど	  雪の結晶文様	  『北越雪譜』天保６年〜７年（1835〜36）

紋切り遊び『模様紋帳諸職雛形』(明治14年)	  様々な紋様

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋にはない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋は	  ない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

答え
中央の垂直な直線で折り返すと、重なる左右対称(線対称)な図形

線対称な図形を作るには１枚の折り紙(正方形)から左右対称な図形を作るにはどうすればよいか？

線対称な図形を作るには１枚の折り紙(正方形)から左右対称な図形を作るにはどうすればよいか？

答え線対称な図形を作るには１枚の折り紙(正方形)から左右対称な図形を作るにはどうすればよいか？

答え様々な紋様(その２)

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋にはない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋は	  ない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

答え
中央の垂直な直線で折り返すと重なるばかりでなく、	  水平な直線で折り返すと、重なる左右対称と上下対称の２つの対称軸をもつ図形

垂直に交わる２つの対称軸を持つ	  図形を作るには１枚の折り紙(正方形)から左右対称かつ上下対称な図形を作るにはどうすればよいか？

垂直に交わる２つの対称軸を持つ	  図形を作るには１枚の折り紙(正方形)から左右対称かつ上下対称な図形を作るにはどうすればよいか？

答え

垂直に交わる２つの対称軸を持つ	  図形を作るには１枚の折り紙(正方形)から左右対称かつ上下対称な図形を作るにはどうすればよいか？

答え様々な紋様(その３)

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋にはない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋は	  ない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

答え
左右と上下の２つの対称軸に関して対称なばかりでなく、	  傾き±45度の直線に関しても対称左右、上下、±45度の４つの対称軸をもつ図形

様々な紋様(その４)

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋にはない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

問題
図の下段３つの家紋には、上段３つの家紋は	  ない、共通の特徴がある。それはどんな特徴か？

答え
下段の家紋には対称軸がない。しかし、図形の中心のまわりで何度か回転させると重なる	  回転対称な図形

問題

上の３つの家紋を１枚の折り紙(正方形)を直線に沿って折り畳んで図形を切り取った展開として	  得ることはできるか？

答え
できない。

理由を考えてみよう

答え
できない。

理由を考えてみよう
折り紙を直線に沿って折って作られる図形には必ず対称軸が存在するから。

問題
下の３つの家紋を１枚の折り紙(正方形)を直線に沿って折り畳んだ図形を切り取った展開として	  得るにはどうすればよいか？

答え
半分に折って切れば、できる切り取る図形をもう少し簡単な図形にしたい。どうすればよいか？

答え
切り取る図形をもう少し簡単な図形にしたい。
どうすればよいか？

これらの図形は３つの対称軸を持つので、この３つの軸に沿って折ってから、切り取ればよい。

折り紙で６０度を折ることができればよい。

どうすればできるのか、折り紙を使って考察しよう

折り紙で６０度を折る方法
CC

C

D

B

D

B

D

B

A

A
C

C

C

G

D

O

A

B

D

E

O

A

B

D

E

O

A

F

B

折り紙で６０度を折る方法
A
C

C

C

G

D

B

O

D

BOEDEAACBF

ACGOD´B´PCD´PE´DEO F

B

DO F

B

DOB

本当に60度ができているかCPC

D´PQ
DE´
DEQ

O F

BOB
Q´P´A

1 OE = 12 OB

FEB

OB = OFOF + FB = OF
OF + EF = 2OF
2OF + OEO .
2OF
F = OB − OE = 12 OB∴ 2O
1∴ OF = 4 OB

本当に60度ができているか
C
PC

D´

PQ
DE´
DEQ

BO

B

O F

Q´P´A

OE = OE
OE = 12 OB

OF : OE
O =1:2.

∴ ∠FOE
FOE = 606 ◦.

OE F

本当に60度ができているかC
PC
PD´Q
DE´
DQE

BO FQ´P´A

2D POBODPO∠D OP = ∠DOP
DOP

FOE = 180◦
∠D OP
OP+∠DOP
DOP+ ∠FOE∠D OP = ∠DO
DOP
P = 60◦.

紋の作り方1. 絵柄が描かれた型紙を用意する(今回は一つ折り~四つ折り用を配布)。	  
2. 正方形(15cm×15cm）の紙を「折り方」に従って折る。	  
3. 折った紙に型紙を当てて、鋏で切り抜く	  (グレーの部分を残す)。	  	  	  ☆ずれないように、はがせるテープやのりなどで仮止めして	  から、切るとよい。	  	  	  ☆中身をくり抜く絵柄の場合には、カッターも必要(今回は	  不要)。	  

4.	  	  	  切り終わったら、ゆっくりと開く。	  実際に作ってみよう！図形から運動へ(線対称移動)!

X	  が直線  に関して対称X	   に沿って X を折り返した	  	   とき、ぴったりと重なるP´

平面上の点 P をS	  ＝  に関して対称な点 P0 に写す移動とするとき、 X は S	  の下で動かない	  P

図形から運動へ(回転移動)X	  が点 O のまわり θ	  回転	  に関して対称P!	  O を中心に θ	  だけ回転させたとき、ぴったりと重なる平面上の点 P をRθ	  ＝ O を中心に θ	  だ
け回転させた点P0 に写す移動θPXとするとき、 X は Rθ	  の下で動かない	  図形の対称性の高さ
その図形を動かさない線対称移動と回転移動がどのくらい沢山あるかを調べるとわかる。	  
そのような移動が多ければ多いほど図形の対称性は高いと判断できる。

問題
次の図形を対称性の高い順番に、並べなさい。	  問題	  下の９つの図形を同じ対称性を持つもの同士に分けてみよう

５１２３４６７８９同じ対称性を持つ図形
ABC見かけは異なるが同じ対称性を持つと認識できるのはなぜか？
同じ群が働いている
図形 X の対称群=

その図形を動かさない線対称移動	  と回転移動の全体
注）どの点も動かさない移動も回転移動の特別な場合として考える

問題
下の３つの家紋には２つ以上の対称軸がある。	  
このこと以外にどんな共通する特徴があるか？

（参考）対称軸が１つだけの家紋

答え
すべて回転対称性を持っているいつでもそうなのだろうか？

答え
すべて回転対称性を持っているいつでもそうなのだろうか？
Yes
それはなぜ？

移動の合成と群移動 S を行ったあと、続けて移動 T を行う。これを１つの移動と思うことができる。この移動をS と T との合成といい、T ￮ S で表わす。
図形の対称群は、移動の合成に関して閉じている。

T P´SP´´T ◦SOP

平行でない２直線に関する線対称移動の合成はその交点を中心とする回転移動であるOP = OP = OPP´P´´

Q = Q´Q´´OP···

OQ = OQ = OQ · · ·12∠PO
POQ = ∠P OQ · · · ＊M を線分 P P の中点とす
ると ∠P OM = ∠P OM,∠QOQOM = ∠Q OM
QOP = ∠Q OP .
より ∠QOP

QOP = ∠Q OP · · ·∴ ∠QO

1 , 2 , 3 よりPOQ

3P OQ .

まとめ••••

紋様がもつ対称性を線対称、回転対称を用いて理解した。	  
折り紙を使って作ることのできる紋様の特徴を知った。	  
対称性の背後には群があることを知った。	  
図形の対称群を使って、対称性の高さを測ったり、同じ対称性をもつかどうかを知ることができることを学んだ。

関連する話題・平面の図形による敷き詰め問題
・図形以外の対称性（関数の対称性、多項式の対称性、方程式の対称性）
すべて背後に「群」が存在している謝辞
このスライドの家紋は、CREST	  JAPANがウェブ上で提供している「家紋のEPS素材」を使わせていただきました。h,p://eps.crest-­‐japan.net/

参考文献
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ヘルマン・ヴァイル(遠山啓・訳)	  	  『シンメトリー』,	  紀伊國屋書店,	  1970年	  伏見康治・安野光雅・中村義作『美の幾何学』(中公新書),	  1979年	  伏見康治(江沢洋・解説)	  『紋様の科学』,	  日本評論社,	  2013年	  下中菜穂 『切り紙 もんきりあそび』,	  宝島社,	  2007年	  下中菜穂 『新版 文様切り型』,エクスプランテ,	  2009年	  エキグチクニオ 『和をあそぶ 江戸の切り紙』,	  誠文堂新光社,	  2008年	  エキグチクニオ 『戦国の意匠をあそぶ 家紋の切り紙』,	  誠文堂新光社,	  2009年	  萩原百合子 『きりがみあそび 紋切りあそび』,	  金園社,	  2008年	  華嵐堂,	  紋切り遊び明治時代の資料,	  	  hAp://oraculum.sakura.ne.jp/monkiri/sankou/meijijidai.html	  「平成２１年度全国学力・学習状況調査」より中学校数学Ｂ 事象の数学的な解釈と判断（紋切り遊び）
古河歴史博物館,	  春の企画展 雪の殿さま土井利位,	  	  hAp://www.city.ibaraki-­‐koga.lg.jp/rekihaku/sekka2009/sekka1.htm