Optics Japan 2002 講演予稿集, pp.204〜205, 東京 (2002.11.3)

同時摂動型最適化法による回折光学素子の最適化−二波長回折光学素子の最適化設計−

Optimization of Diﬀractive Optical Element by using
Simultaneous Perturbation Algorithm− Design of a Dual-Wavelength Diﬀractive Lens −
後藤哲生

松島恭治

Tetsuo GOTO and Kyoji MATSUSHIMA
関西大学工学部電気工学科

Department of Electrical Engineering, Kansai University
E-mail:goto@laser.ee.kansai-u.ac.jp
The application of novel non-linear optimization algorithm to design of a diﬀractive optical element is investigated. This optimization algorithm, called Simultaneous Perturbation Algorithm(SPA), is proposed as a learning rule of neural networks and features suitability for problems
with much many parameters. Design of a dual-wavelength diﬀractive lens by using SPA isdemonstrated.
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はじめに相分布 τλ (r) の関係は，Thin Element Approximationの基で，回折光学素子（Diﬀractive Optical Element, 以下DOE）は，光の回折現象を利用し，入射波面を別のτλ (r) =波面に変換する光学素子である．回折光学素子の最2π[n(λ) − 1]href ĥ(r)λ(1)で表される．ここで，href = λref /[n(λref ) − 1] は真空適化には，Direct Binary Search[1]，Simulated An-nealing，反復フーリエ変換法 [2] などが知られている．

中で波長 λref の光が，屈折率 n(λref ) の媒質を通過す

Direct Binary Search や Simulated Annealing は，評価関数が設定でき，自由な設計目標に収束させることる際に 2π の位相差を生じる距離であり，ĥ(r) は hrefができるが，一つのパラメータごとに評価・修正を行ンズを設計するため，この ĥ(r) を離散化したパラメー

うため，膨大な計算量を必要とする．一方，反復フータベクトル T=(h1 ,h2 ,· · ·,hk ,· · ·) を SPA により最適リエ変換法の処理は高速であるが，評価関数が設定で化する．SPA によるの ĥ(r) 最適化の流れを Fig 1 にきないため，柔軟性に欠けることが問題である．そこ示す．

を単位とする相対的な厚さ分布である．二波長回折レで本研究では，ニューラルネットワークの学習則とし

In c id e n t
L i g h t u in 1て開発された同時摂動型最適化法 (Simultaneous Per-turbation Algorithm, 以下 SPA)[3] による DOE の設計を試みている [4]．SPA は，一つのパラメータを修C a lc u la tin gu o u t1 f o r TT
P e rtu rb a tio n
T P= T + c S

正する毎に評価関数の評価を行うのではなく，全てのパラメータを同時かつランダムに評価・修正し，確率C a lc u la tin gu o u t2 f o r T的に最適化を行う手法であるため，DOE の様に多数のパラメータを有する最適化問題に有効であると考え

C a lc u la tin gu o u t1 f o r T P

In c id e n t
L i g h t u in 2

た．本稿では，SPA を用いた二波長回折レンズの最同時摂動型最適化法を用いた二波長回折光学素子

g Mの最適化
波長 λ において屈折率 n(λ) の素材で製作される透過C o st
E (T P)C a lc u la tin gu o u t2 f o r T P

適化設計を試みた結果を報告する．

2C o stE (T )

M o d ify in g v e c to r
M=E (T P ) - E (T )Sc

Fig 1: A procedure for optimizing a dual-wavelength

型 DOE では，DOE の径方向の厚さ分布 href ĥ(r) と位

lens by SPA
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Optics Japan 2002 講演予稿集, pp.204〜205, 東京 (2002.11.3)

まず始めに，厚さ分布 T から求まる位相分布と時，得られた He-Ne レーザ光の集光効率は 54.1%で，入射光波 uin (r) を乗じて，DOE 通過後の複素振幅YAG レーザ光の集光効率は 88.9%であった．

τλ (r)uin (r) を求め，回折計算により出力光波分布

1 0 0uout (r) を計算し，それを評価して T の評価値 E(T)を求める．次に，ランダムな摂動 cS を T に加えた厚E ffic ie n c y [% ]さ分布 TP を求める．ここで S は＋ 1 または− 1 のランダム値から成る符号ベクトルである．TP に対しても同様に出力光波分布を求め，TP に対する評価値

E(TP ) を得る．これらの評価値では評価関数として，

E=

Y A G

8 06 0H e -N e4 02 00w1w2+η1η21(2)23456w

7891 02を用いた．ここで，η1 ，η2 はそれぞれ波長 λ1 ，λ2 の入射光の入射パワーに対して，焦点面上に定義した領Fig 2: One-dimensional focusing eﬃciency vs. the

域 A に集光するパワーの割合，
|u (r)|2 drη = A out|u (r)|2 dr∞ inweight w2 . c = 1 × 10−5 . g= 7 × 10−4 .
(3)であり，集光効率と呼んでいる．また w1 ，w2 は荷重である．この二つの評価値から，Fig 1 に示したとおり，修正ベクトル M を求め，M にゲイン係数 g を

1 .00 .50 .00 .0

掛けて T から減じ，T を修正する．以上を反復してE(T) が最小となる様に厚さ分布 T を最適化する．
本研究で用いた主なパラメータを Table I に示す．

1 .5(a )T h ic k n e s s [ h ref ]T h ic k n e s s [ h ref ]1 .5

1 .0(b )0 .50 .00 .02 .00 .0を想定している．これらの光は，ビーム径 2.0mm の2 .00 .20 .4(d )I n te n s ity [ a .u .]I n te n s ity [ a .u .]もうひとつの光として He-Ne レーザによるガイド光

1 .0

R a d ia l P o s itio n [m m ]R a d ia l P o s itio n [m m ](c )ひとつの入射光として赤外の YAG レーザ光を想定し，(b )1 .00 .20 .4

R a d ia l P o s itio n [m m ]0 .0

R a d ia l P o s itio n [m m ]ガウスビームとして入射するものとし，焦点面上の直Fig 3: Initial (a) and ﬁnal (b) thickness distributionof DOE, and intensity distribution of He-Ne (c) and

径 80µm の領域への集光効率の最適化を行った．

Table I: Parameters used for designing the diﬀractivelens
Focal length
Number of sampling
Sampling pitch
Wavelength λ1 (= λref )Wavelength λ2
Refractive index n(λ1 ) = n(λ2 )YAG (d) lasers on focal plane.

100[mm]1024
5 [µm]
1.064 [µm]633 [nm]
1.53まとめDOE の新しい最適化法として SPA を提案し，それによって二波長回折レンズの設計を行った．その結果，評価関数を設定できない反復フーリエ変換法に対し，SPA は評価関数を設定できる利点があり，かつ高速な処理が可能であることから，DOE の最適化アルゴ初期値として，λ1 に対するフレネルレンズの厚さリズムとして有望であることが確認できた．

分布を用い，評価値が一定値に収束するまで修正を加えた．w1 =1 として w2 を変えた時の収束時の集光効

参考文献

率を Fig 2 に示す．

[1] M. A. Seldowitz, J. P. Allebach, and D. W.
Sweeney: Appl. Opt. 26, (1987)2788.

この結果から，w2 の値を増加させるに従って，He-[2] F. Wyrowski: Appl. Opt. 28, (1989)3864.
[3] Y. Maeda, H. Hirano, and Y. Kanata: Neural

Ne レーザの集光効率は減少し，YAG レーザの集光効率は増加することがわかる．w2 =5 の場合について，

Networks 8, (1995)251.
[4] 松島: 関西大 学工 業技術 研究所「技苑」109,

相対的厚さ分布の初期値，最適化後の DOE の相対的厚さ分布，He-Ne レーザ光，及び YAG レーザ光の焦点面強度分布をそれぞれ Fig 3(a)-(d) に示す．この(2001)9.
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