鏡映を用いた３次元正多面体の決定
前 はづき
代数学研究室正多面体は一般に中学校の数学などに登場し，正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体の５種類のみであると学ぶ．その証明方法はいくつかあるが，中学校の数学では，１つの頂点に集まる正多角形の内角の和を実際に計算する方法で証明されることが多い．すなわち，１つの頂点に集まる正多角形の内角の和が 360 °未満になるものだけを考えるのである．
この方法と着眼点は同じだが，オイラーの等式を用い，いくつかの数式や条件式から正多面体を決定する方法も広く知られている．そして，もうひとつ別の方法として，鏡映という平面に関する折り返しを用いた正多面体の決定方法もある．その概略は次の通りである．
正多面体の形状を変えない線形変換全体を考える．これは群をなし，鏡映によって生成される．
そのとき，その生成元となる鏡映を用いて，コクセター図形とよばれるグラフが定義され，このコクセター図形によって正多面体が決定される．この論文の目的は，この決定方法を説明することである．
コクセター図形を用いる方法は，一見すると難儀な方法のように思えるかもしれないが，２次元正多面体（正多角形）はもとより高次元正多面体をも決定することができる．これはオイラーの等式を用いた方法とは異なり，大きな利点である．
まず §1 において，オイラーの等式を用いた正多面体の決定方法を紹介し，正多面体が上記の５種類であることを確認する．§2 では，格子や鏡映の定義とそれらの基本的な性質を述べる．そして §3 において，正多面体からコクセター図形を作る方法を説明し，逆にコクセター図形から正多面体が決定されることを観察する．この論文では正二十面体を例として説明する．
この論文のアイデアは，参考文献［１］の第６章と［３］に基づいている．しかし §3 の後半に述べている，コクセター図形から正多面体を導く方法については，［１］において正六面体を例にして説明がされているが，この論文では正二十面体での考察を行った．

§1．オイラーの等式を用いた正多面体の決定方法
ここでは，オイラーの等式を用いた正多面体の決定方法を述べる．その前に，必要となる定義や定理を書いておく．
定義１
多面体のうち，内部のどの２点間も，外部を通らない線分でつなぐことができるものを凸多面体という．また，凸多面体のうち，いくつかの合同な正多角形によってつくられ，各頂点に集まる多角形の個数が等しいものを正多面体という．
定理１（オイラーの等式）
凸多面体において，それを構成する多角形の数（面の数）を s，辺の数を e，頂点の数を v とする．このとき等式

v−e+s=2が成立する．

1

定理１の証明は，参考文献［１］の第４章 p.43-47 を参照．ここでは，この定理を用いて正多面体を決定する．
定理２
正多面体は，正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体の５種類に限られる．
証明

まず，１つの正多面体を想定し，それを構成する正多角形の数を s，辺の数を e，頂点の数を v とする．そして，１つの頂点には k 個の面が集まっているとする．
（k ≧ 3 であることに注意する．
）このとき，数の組 (n, k, s) にどのような可能性があるのか絞り込んでいく．
正 n 角形の１つの内角は(2)
π 1−nである．
（∵ n 角形の内角の和は π(n − 2) となるので，１つの内角はその1である．
）
n

この n は 3，4，5 のいずれかでなければならない．実際，１つの頂点に集まってくる k 個の正n 角形の各々の内角の和は(2)
π 1−×knとなり，それは尖った頂点をつくるので 2π より小さい．さらに k ≧ 3 であるから((2)2)
π 1−× 3 ≦π 1 −× k ＜ 2πnnである．これから n ＜ 6 が得られる．

nsns，e =が成り立つので，オイラーの等式から
k2(n n − 2)ns nsv−e+s=−+s=s−=2k2k2

また，正多面体において v =となる．

n n−2−＞ 0 であるから k ≧ 3 と合わせると
k2
3≦k＜2nn−2が得られる．これらの不等式を用いて，可能な組 (n, k, s) を列挙すると次のようになる．

• n = 3 のとき，3 ≦ k ＜ 6 となり，これを満たす k は k = 3, 4, 5 のいずれか．よって，(n, k, s)の可能な組は (3, 3, 4)，(3, 4, 8)，(3, 5, 20) である．

• n = 4 のとき，3 ≦ k ＜ 4 となり，これを満たす k は k = 3 のみ．よって，(n, k, s) の可能な組は (4, 3, 6) である．
10
• n = 5 のとき，3 ≦ k ＜ となり，これを満たす k は k = 3 のみ．よって，(n, k, s) の可能
3な組は (5, 3, 12) である．
したがって，この検討を経て５種類の可能性だけ残されるが，この各々に対し，実際の正多面体が構成される（図１参照）．よって，それらが実際に存在する正多面体のすべてである．

2

□

図１

§2．3 次元空間の格子と鏡映群§1 ではオイラーの等式を用いて，正多面体を決定した．正多面体は３次元空間の鏡映を用いても決定することができる．その決定方法は §3 で説明される．ここでは，その際に必要となる格子や鏡映の定義とそれらの基本的な性質を述べる．
定義２

 
 0
aa  
３次元空間のベクトル v =  b  ，v 0 =  b0  の内積を (v, v 0 ) = aa0 + bb0 + cc0 で定義する．
cc0√
また v のノルム（長さ）を ||v|| = (v, v) で定める．
命題１v, v 0 のなす角を θ とするとcos θ =(v, v 0 )．
||v|| · ||v 0 ||定義３
３つのベクトル v1 , v2 , v3 ∈ R3 をとってくる．v1 , v2 , v3 , 0 が同一直線上にないとき（すなわちv1 , v2 , v3 が一次独立であるとき），集合
L = L(v1 , v2 , v3 ) = {`v1 + mv2 + nv3 : `, m, n ∈Z}
を空間 R3 の格子という．
定義４
  a2a3
   v1 =  b1  ，v2 =  b2  v3 =  b3  について格子 L(v1 , v2 , v3 ) を作ったとき，c1c2c3a1a1a2c1b2c2


M =  b1をその生成行列という．

3a3

b3 c3

定義５

ab
３次正方行列 M = dce f  に対してh igR3∪ x y −−→7−→R3∪ ax + by + czx
 M y  = dx + ey + f z gx + hy + izzzを対応させることによって，空間の点の変換が引き起こされる．この変換のことも M で表す．この変換は線形変換である．

 0a 00
さらに３次正方行列 M = db0e0

c0
f 0  が与えられているとき，M を施してからさらに線形g 0 h0 i 0
変換 M を行うことができる．このようにして得られる線形変換を M 0 M で表す．
0定義６
格子 L = L(v1 , v2 , v3 ) に対して

(v1 , v1 ) (v1 , v2 )
C = C(v1 , v2 , v3 ) = (v2 , v1 ) (v2 , v2 )(v3 , v1 ) (v3 , v2 )
(v1 , v3 )
(v2 , v3 )
(v3 , v3 )を L の交点行列という．
定義７ベクトル r の長さが√2 であるとき，r をルートベクトルとよぶ．

今，r をルートベクトルとする．このとき，３次元空間の線形変換 Sr を次のように定める：

Sr : R 3∪
v−−→7−→R3∪
v − 2 (v,r)(r,r) r= v − (v, r)r

この Sr を r に関する鏡映とよぶ．
この変換で v = r とおくと，Sr (r) = −r である．また，v が r と直交しているとき，(v, r) = 0より Sr (v) = v である．したがって，Sr は r と直交する任意の平面を鏡と見たてたときに鏡に映る世界を表している変換である．
定義８
いくつかの鏡映をもとにして，その合成によってつくられる線形変換すべてを集めた集合は，写像の合成を演算として群をなす．この群を鏡映群という．特に，有限個の元からなる鏡映群を有限鏡映群という．
補題１

Sr ，Sr0 を２つの鏡映とする．このとき，Sr ◦ Sr0 は回転になる．
4§3．鏡映を用いた正多面体の決定方法
ここでは，鏡映を用いた正多面体の決定方法を説明する．その際に交点行列を図形化したグラフを用いるので，先に正多面体からグラフの構成方法を説明する．
まず，正二十面体を例にして説明する．
正二十面体は図２のように立方体に内接させることができる［２；p.105］．今，正二十面体が，１辺の長さが 2 の立方体に内接しているとする．
正二十面体の１辺の長さを 2s とすると頂点 A,B,C の座標はA(1, −s, 0) , B(1, s, 0) , C(s, 0, 1)となる．
zCOAyxB

図2¯−→¯¯ ¯△ ABC は正三角形で，辺の長さは 2s であるから，特に ¯BC¯ = 2s で¯   ¯2 ¯¯2¯¯ s−1 ¯
1 ¯¯¯−→¯2 ¯−→ −→¯2 ¯ s¯¯¯ ¯¯¯¯   ¯¯¯¯BC¯ = ¯BC − OB¯ = ¯0 − s¯ = ¯ −s ¯¯¯¯¯¯ 1¯¯0 ¯
1= (s − 1)2 + (−s)2 + 12 = 2s2 − 2s + 2
よって，2s2 − 2s + 2 = 4s2

2s2 + 2s − 2 = 0． ∴ s2 + s − 1 = 0．

すなわち

(s + 21), 0,である．
△ ABC の重心を G とすると，G の座標は G
33     s+2     s+2 110
33−→ −−→−→ −→ −−→       (AB, OG) = (OB − OA, OG) = s − −s ,  0  = 2s ,  0  = 000513013     s+2    s+2 ss−1
133−→ −−→−→ −→ −−→      (AC, OG) = (OC − OA, OG) = 0 − −s ,  0  =  s  ,  0 
11110
33
(s − 1)(s + 2)
1
1+0+
= (s2 + s − 1) = 0
333−−→であるから，△ ABC と OG は直交することがわかる．
=(s + 21)
そこで，中心 O，面の中心 P1, 0,，辺の中点 P2 (1, 0, 0)，頂点 P3 (1, s, 0) と定めること
3→3−−→ −−−→ −−−にする．このとき OP1 ，P1 P2 ，P2 P3 は互いに直交する．
立体 OP1 P2 P3 は底面が△ P1 P2 P3 である三角錐になっている．このとき P1 を除いた側面 OP2 P3に垂直で，三角錐の外側に向いているルートベクトルを u1 とし，同様にして u2 ，u3 を定めると





− √s200

√




√1 
u1 =  0  ，u2 =  2  ，u3 = − 2
√s+1√− 202となる．この３つのルートベクトル u1 , u2 , u3 は格子 L(u1 , u2 , u3 ) をつくっている．さらに，その交点行列 C = C(u1 , u2 , u3 ) は次のようになる： (u1 , u1 ) (u1 , u2 ) (u1 , u3 )2  1+√5C = (u2 , u1 ) (u2 , u2 ) (u2 , u3 ) = − 20(u3 , u1 ) (u3 , u2 ) (u3 , u3 )√− 1+2 5
2−1


0

−1 ．
2

つぎに，交点行列を以下の方法で図形化する．

(i) 格子を生成しているルートベクトルの数と同じ数の○を書き，それぞれ○とルートベクトルを対応させる．
π(ii)ui , uj のなす角を θij とする．m を２以上の自然数と仮定すると θij = π −と置けるがm• m ＝ 3 のとき，対応する２つの○を線分でつなぐ．
• m ＝ 2 のとき，何も書かない．
• m ≧ 4 のとき，対応する２つの○を線分でつなぎ，その線分のそばに数字 m を書く．
実際，いま正二十面体から得られた交点行列は図３のように図形化される．

図3u1u２u３5

一般に，有限鏡映群 G のもとになるルートベクトルがあり，それらで生成されている格子があれば，交点行列に対応してこのような図形を書くことができる．それを G のコクセター図形とよぶ．

6

正六面体とコクセター図形との対応
今，８つの頂点 (±１, ±１, ±１) で与えられる正六面体を考える．
中心 O，面の中心 P1 (0, 0, 1)，辺の中点 P2 (0, −1, 1)，頂点 P3 (−1, −1, 1) とし，先程と同様にしてルートベクトル
v2 ，v3 を定める．
√  v1 ，−102   
すると，v1 = −1, v2 =  1 , v3 =  0  となることがわかる．

0−10
これらのベクトルから生成される格子を用いて正六面体と対応するコクセター図形を描くと図４のようになる．
図4v1v２v３4

正四面体とコクセター図形との対応
今，４つの頂点が (1, 1, 1)，(−1, −1, 1)，(1, −1, −1)，(−1, 1, −1) で与えられる正四面体を考える．
(1 1 1)
中心 O，面の中心 P1 , − ,，辺の中点 P2 (0, 0, 1)，頂点 P3 (1, 1, 1) とし，同様にルートベ
3 3 3
クトル w1 ，w2 ，w
3 を定める．
  −11−1   すると，w1 =  1 , w2 =  0 , w3 = −1 となることがわかる．

0−10

これらのベクトルから生成される格子を用いて正四面体と対応するコクセター図形を描くと図５のようになる．
図5w1w２w３

３次元空間の正多面体は図１の５種類のみであることは定理２で確認した．これらの５つの図形の間には次に述べる双対関係があり，本質的に３種類と見なせる．
まず，正六面体すなわち立方体を考える．
立方体の６つの面の中心をマークし，その６つの点を結んでいくと立方体の内部に正八面体が現れる．また，正八面体の８つの面の中心をマークし，これらを結んでいくと正八面体の内部に立方体が現れる．この意味で正六面体と正八面体は互いに双対である．
同様に，正十二面体の１２の面の中心を頂点とする立体は正二十面体であり，正二十面体の２０の面の中心を頂点とする立体は正十二面体となる．したがって，正十二面体と正二十面体も互いに双対である．
正四面体が残るが，上と同様の操作を行うと正四面体の双対は正四面体であることが分かる．
したがって，図３〜５によって正多面体にコクセター図形を対応させることができた．

7今は，正多面体からコクセター図形が構成されることを観察したが，逆にコクセター図形から出発して，それと対応している正多面体を（双対なものを同じものと見なした上で）決定することができる．ここでは，図３のコクセター図形から正二十面体を見る方法を説明する［３；p89-90］．
点 P1 ，P2 ，P3 を次の２つの条件を満たすようにとることが鍵となる．

−−→ −−−→ −−−→• OP1 ，P1 P2 ，P2 P3 は互いに直交する．
• P1 は Su2 ◦ Su3 の回転軸上，P2 は Su3 ◦ Su1 の回転軸上，P3 は Su1 ◦ Su2 の回転軸上にある．
コクセター図形から内積 (ui , uj ) がわかるので，Su1 ，Su2 ，Su3 により u（i i = 1, 2, 3）がどのようなベクトルに写されるのかわかる．これをもとに，まず，Su2 ◦ Su3 ，Su3 ◦ Su1 ，Su1 ◦ Su2 のそれぞれがどのような回転なのかを調べる．ここでは u1 の移動を見る．

Su2 ◦ Su3Su2 ◦ Su3 (u1 ) = u1 + (s + 1)u2 ，()Su2 ◦ Su3 u1 + (s + 1)u2 = u1 + (s + 1)u2 + (s + 1)u3 ，()Su2 ◦ Su3 u1 + (s + 1)u2 + (s + 1)u3 = u1 ．
よって，３回の回転で１周する．

Su3 ◦ Su1
Su3 ◦ Su1 (u1 ) = −u1 ，Su3 ◦ Su1 (−u1 ) = u1 ．
よって，２回の回転で１周する．
しかし，これだけでは回転の方向がわからないため，ここでは u3 の移動も見る．
Su3 ◦ Su1 (u3 ) = −u3 ，Su3 ◦ Su1 (−u3 ) = u3 ．
Su1 ◦ Su2
(Su1 ◦ Su2 )(u1 ) = (s + 1)u1 + (s + 1)u2 ，()(Su1 ◦ Su2 ) (s + 1)u1 + (s + 1)u2 = u2 ，
(Su1 ◦ Su2 )(u2 ) = −(s + 1)u1 − u2 ，()(Su1 ◦ Su2 ) − (s + 1)u1 − u2 = −u1 − (s + 1)u2 ，()(Su1 ◦ Su2 ) − u1 − (s + 1)u2 = u1 ．
よって，５回の回転で１周する．
次に，回転面と回転軸が直交することを利用して，回転軸の方向ベクトルを調べる．
まず，Su2 ◦Su3 の回転面上にあるベクトルの {u1 +(s+1)u2 }−u1 と {u1 +(s+1)u2 +(s+1)u3 }−u1のどちらとも直交するベクトルを求める．
（これが）u ◦ Su の回転軸の方向ベクトルとなる．
 S  
 2  3 
11− √2−√xxx
 s+1  
 s+12    √√求めるベクトルを y  とおくと， 2  , y  = 0，− 2  , y 
 = 0．
s+2s+2√√zzz2
  
2
 s+2 x(s + 2)zs+23  
これを解くと，y  = 0  = z  0  = 3z  0  となる．

zz1813次に，Su3 ◦ Su1 の回転面上にあるベクトルの (−u1 ) − u1 と (−u3 ) − u3 のどちらとも直交するベクトルを求める．すなわち，u1 と u3のどちらとも直交するベクトルを求めればよい．
 0  0   0 x0x0x √      求めるベクトルを y 0  とおくと， 0  , y 0  = 0，− 2 , y 0  = 0．
√z0− 2z0z00
  0  0x1x
 0  0 
これを解くと，y  =  0  = x 0 となる．

z000

次に，Su1 ◦ Su2 の回転面上にあるベクトルの {(s + 1)u1 + (s + 1)u2 } − u1 と u2 − u1 のどちらとも直交するベクトルを求める．
    
 00 − √12− √s2xx00x00
 s+1   
 1   
 00 00 00  √  √ 求めるベクトルを y  とおくと， 2  , y  = 0， 2  , y  = 0．
−s+2
√z 00z 00
 2
 00   00 x1x
 00   00 00  
これを解くと，y  = sx  = x s となる．
00z 00s+3√2z 00 s+2  0x−−→ −−→  
そこで，OP1 =  0  と定める．点 P2 は Su3 ◦ Su1 の回転軸上にあるので，OP2 =  0  と
103−−→ −−−→しておく．OP1 と P1 P2 は直交するので，
 s+2   0 s+2 x − 33−−→ −−−→  1
0(OP1 , P1 P2 ) =  0  , 0 = {(s + 2)(3x − s − 2) − 1} = 0
91− 1333 1−−→  0であり，これを解くと x = 1 が導かれる．よって，OP2 = 0 と定まる．
0
 00 x−−→  00 −−→ −−−→
OP3 = sx  としておくと，OP1 と P2 P3 は直交するので，0 s+2   00
x −13−−→ −−−→
 1 
(OP1 , P2 P3 ) =  0  ,  sx00  = (s + 2)(x00 − 1) = 0
3103 1−−→  00
であり，これを解くと x = 1 が導かれる．よって，OP3 = s と定まる．
0
すると，立体 OP1 P2 P3 は三角錐になっており，この三角錐を Su1 ，Su2 ，Su3 とこれらの合成で写していくと，正二十面体が形成される．
このようにして，図２のコクセター図形と対応している立体が正二十面体であることがわかる．

9

まとめ
オイラーの等式を用いた正多面体の決定方法は３次元に限られたものであるが，この鏡映を用いた決定方法は高次元の正多面体の決定にも利用できる．ただし，双対関係にあるものは同じコクセター図形で表される．
実際，有限鏡映群は図６のコクセター図形で与えられるものに限られることが知られており，基本になるルートベクトルの数は，考えている空間の次元と対応していることと，正多面体に対応す−−→ −−−→ −−−→るコクセター図形は枝分かれしない（OP1 ，P1 P2 ，P2 P3 は互いに直交することから証明できる）
ことを考慮すると，先ほどと同様の方法で高次元の正多面体を決定することができる．
α1α２α３αｋ−１αｋAｋBk（ｋ≧２）α1α２α３αｋ−１αｋ（ｋ≧３）

４
αｋ−１DkF4,2 ( m )H3H4α1α２αｋ−２α３αｋα1α２α３（ｋ≧４）α４４α1α２（ｍ≧３）

ｍα1α２α３５α1α２α３α1α２α３α５α６α３α５α６α７α３α５α６α７α４５E6α４α1α２E7α４E8α1α２α８α４

図６

有限鏡映群のコクセター図形

今回は，鏡映を用いた正多面体の決定方法を３次元の場合でしか考察できなかったので，次は４次元の場合についてももう少し考察してみたいと思う．
参考文献［１］志賀弘典『数学の視界』，数学書房，2008［２］ハンス ヴァルサー（蟹江幸博翻訳）『黄金分割』，日本評論社，2002［３］岩崎克則「多面体調和関数の数理―多面体・不変式・偏微分方程式―」，日本数学会 企画
特別講演集，2002 秋，p.80-94

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