等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦

等積中心アファイン曲線と多重 Hamilton 構造

内容
序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造.
藤岡敦

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関西大学システム理工学部数学科

2013 年 3 月 18 日
若狭町観光ホテル水月花, 若狭三方幾何学研究集会 2013(黒瀬俊氏（関西学院大学）との共同研究)

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内容
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦

1序

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等積中心アファイン平面曲線とその運動

3

高次 KdV 流の Hamilton 系による定式化

4

等位集合上の多重 Hamilton 構造

内容序..

等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造

..

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背景と主結果
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造藤岡敦
内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton構造◦ 曲線の 1 径数族を曲線の運動という◦ 曲線が運動すると幾何学的な量が変化する◦ 可積分系として知られる発展方程式が現れることがある◦ KdV 方程式: 曲線の運動に付随して現れる◦ Hamilton 系として定式化できる◦ 更に双 Hamilton 構造をもつ◦ 1995 U. Pinkall: 等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間を考え無限次元シンプレクティック多様体とみなす◦ 全等積中心アファイン曲率により生成される Hamilton 流に沿って等積中心アファイン曲率は KdV 方程式に従う◦ 2010 F-T. Kurose: Pinkall の結果を高次の KdV 流の場合へと一般化◦ 今回の主結果: 高次 KdV 流に現れる Hamilton 関数による等位集合は多重 Hamilton 構造をもつ
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等積中心アファイン平面曲線
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦

定義.

I : 区間γ : I → R2 : 平面曲線

内容序
等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造

γ: 等積中心アファイン平面曲線
m def
接線が原点を通らない.

γ : I → R2 : 等積中心アファイン平面曲線
変数変換すると(detγγ0)=1とすることができる (面積速度一定). . このときのパラメータを等積中心アファイン弧長径数という.
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等積中心アファイン平面曲線の基本定理
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造藤岡敦
内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton構造γ : I → R2 : 等積中心アファイン平面曲線
等積中心アファイン弧長により径数付けておくと( 0 )γ00
γ = − detγ
γ 00=: −κγ
κ: 等積中心アファイン曲率
等積中心アファイン変換: 原点を固定する等積アファイン変換
等積中心アファイン平面曲線の基本定理
κ:I →R=⇒ ∃ γ : I → R2 : 等積中心アファイン弧長により径数付けられた等積中心アファイン曲率 κ の等積
中心アファイン平面曲線
等積中心アファイン変換の合成を除いて一意
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等積中心アファイン平面曲線の運動
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造

等積中心アファイン平面曲線の運動を考える:

γ = γ(s, t) : I × J → R2

藤岡敦
内容序
等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造

I , J: 区間t ∈ J を固定する毎に γ(·, t) は等積中心アファイン弧長により径数付けられた等積中心アファイン平面曲線
積分可能条件は
κt = Ωαs ,1Ω = Ds2 + 2κ + κs Ds−12Ω は KdV 方程式:1
κt = κsss + 3κκs2の再帰作用素
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等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造藤岡敦
内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造

M: 囲む面積が π の等積中心アファイン弧長により径数付けられた等積中心アファイン平面閉曲線全体{()}
γ
M = γ : S 1 → R2 det=1(S 1 = R/2πZ)γsγ∈M
このとき{Tγ M =1− αs γ + αγs α : S 1 → R2}

X , Y ∈ Tγ M(∫ω0 (X , Y ) :=detS1XY)ds=⇒ ω0 : M 上の前シンプレクティック形式
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Hamilton 関数
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦n 次 KdV 方程式:
κt = Ωn κs(κ : S 1 → R)

内容序
等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造

無限個の保存量 {Hm }m∈N をもつ∫
Hm =hm (κ, κs , κss , . . . )ds
S1と表すことができる
例えば

111h1 = κ, h2 = κ2 , h3 = κ3 − κ2s2248 / 13

Hamilton 系による定式化
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦

定理 (cf. U. Pinkall 1995 (n = 1), F-T. Kurose 2010).

内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton構造n ∈ N: 固定
1
Xn := − (Ωn−1 κs )γ + (Ds−1 Ωn−1 κs )γs2(γ ∈ M)=⇒ Xn は ω0 に関する Hn に対する Hamilton ベクトル場:
dHn = ω0 (Xn , ·)特に Hn は n 次 KdV 流:

γt = X nに対する Hamilton 関数.
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Hamilton 関数の等位集合
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦m∈N
Cm := (c1 , . . . , cm ) ∈ Rm

内容−1M(Cm ) := H1−1 (c1 ) ∩ · · · ∩ Hm(cm )序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造

M(Cm ) 6= ∅ と仮定
γ ∈ M(Cm )命題

 1Tγ M(Cm ) = − αs γ + αγs
 2


1

∫ α : Sk → RκΩαds=0sS1
(k = 0, 1, 2, . . . , m − 1)

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等位集合上の前シンプレクティック形式
等積中心ア
ファイン曲線と多重Hamilton 構造
藤岡敦
内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造ω0 を一般化する
X , Y ∈ Tγ M
11X = − αs γ + αγs , Y = − βs γ + βγs (α, β : S 1 → R)22
k = 0, 1, 2, . . .
Ωk αs , Ωk βs が定義できると仮定∫ωk (X , Y ) :=αΩk βs ds
S1定理 (F-T. Kurose)ω0 , ω1 , . . . , ωm+1 は M(Cm ) 上の前シンプレクティック形式を定める
各 k = 0, 1, . . . , m + 1 に対して Xn は ωk に関する Hn+k に対する Hamilton ベクトル場
11 / 13鍵となる補題
等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造藤岡敦
内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動
高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
構造p, q, r = 0, 1, 2, . . .
i = 1, 2, 3
Ωp+1 αis , Ωq+1 αis , Ωr +1 αis が定義できると仮定∫(Ωp α1s )(Ds−1 Ωq α2s )(Ωr α3s )ds
A(p, q, r ) :=1
S∫+(Ωp α2s )(Ds−1 Ωq α3s )(Ωr α1s )ds
S1∫+(Ωp α3s )(Ds−1 Ωq α1s )(Ωr α2s )ds
S1

補題

A(p, q, r + 1) + A(q, r , p + 1) + A(r , p, q + 1)
− A(p + 1, q, r ) − A(q + 1, r , p) − A(r + 1, p, q) = 0
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等積中心アファイン曲線と多重Hamilton 構造藤岡敦
内容序等積中心アファイン平面曲線とその運動ご清聴ありがとうございました

高次 KdV 流のHamilton 系による定式化
等位集合上の多重 Hamilton
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