136

日本惑星科学会誌 Vol. 19, No. 2, 2010平成21年度最優秀発表賞受賞論文

氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：
氷衛星の地形緩和への応用
保井 みなみ ，荒川 政彦
1

1

2010年3月15日受領，2010年4月15日受理．

（要旨）本研究では氷粒子・1μmシリカ微粒子混合物の変形実験を行い，流動則に対する空隙率の影響を調べた．シリカ質量含有率は0，30，50 wt.%，空隙率は0%から25%とした．温度を－10℃から－20℃に制御
-6 -1

-4 -1

した低温室で等歪速度一軸圧縮実験を行い，歪速度は 1.2 × 10 s から 4.2 × 10 s まで変化させた．今回求n･･ = A0 exp
ε（−Q/RT）
・σmax で表さめた流動則は，応力－歪み曲線上の最大応力σmaxと歪速度 εの関係式
れる．実験の結果，応力べきnと活性化エネルギー Qは空隙率に依存せずシリカ質量含有率の増加とともに−αfit（1−φ） と表され，定数 Bfitとαfitもまたシリ大きくなった．さらに，定数 A0は空隙率φを用いて A0 = Bfit
カ質量含有率の増加とともに大きくなった．この実験結果を用いて氷衛星の地形緩和に関する議論を行った．
その結果，岩石含有率が大きく空隙率が大きいほど，形状変化が起こるための氷衛星の半径が小さくなった．

1. はじめに[3]はマクスウェル粘弾性モデルを用いて粘性緩和が起こる条件を計算し，議論を行なっている．彼の計算

近年行われている惑星探査や地上観測によって，氷では，土星系衛星で地形緩和が起こって形状が変化す

衛星やカイパーベルト天体といった氷天体は様々な形

るには温度が120 K から130 K 程度であるという結果状を持つことが知られている．半径100 km 以下の氷を得ているが，土星系の集積温度である60 K から100

衛星は非対称な形状を持ち，不規則形状天体と呼ばれK と比べてかなり温度が高いのがわかる [4]．このこている．一方，それより大きな氷衛星は形状がほぼ球とから，形状変化が起こる条件を見積もるには，氷衛形なため，球形天体と呼ばれる．これは氷天体だけで星の熱史を十分考慮した上で，モデル計算をする必要なく，小惑星のような小岩石天体でも同じような形状がある．さらに，このマクスウェル粘弾性モデルを用を持つものが発見されている [1]．天体の形状変化は，

いて氷衛星の形状変化が起こる条件を見積もるには，

天体を構成する物質強度とその天体に及ぼされる重力氷衛星を構成する物質の粘弾性的性質を調べる必要がによる応力との比によって制御される [2]．構成物質ある．この粘弾性的性質は温度や構成物の構造に依存の強度が重力による応力より十分大きい場合，天体はすると考えられる．

物質強度によって支えられ不規則形状を保つことがで

氷物質の粘弾性的性質を表す物性値の1 つが粘性率

きる．一方，重力による応力が物質強度を超えた場合，である．マクスウェル粘弾性モデルに用いられるマク天体は重力に従った形状，つまり球形となる．氷衛星

スウェル緩和時間も，構成物質の粘性率と弾性率の比の場合，主な構成物質は氷であるため，この天体の形で示される．粘性率は流動則によって決まるものであ状変化をもたらす最も支配的なメカニズムは氷の粘性

る．流動則とは，応力一定時の定常クリープにおける緩和であると考えられている [3]．粘性緩和は天体の応力と歪速度の関係から得られる経験式である．従っ

温度や天体に及ぼされる応力に依存するため，Croftて，粘性率を得るためには流動則を調べなければなら

1. 名古屋大学大学院環境学研究科
yasui.minami@jaea.go.jp

ない．
しかし，
流動則は構成物，構造，
温度といった様々なパラメータに依存する．惑星探査によって氷衛星の氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：氷衛星の地形緩和への応用／保井，荒川

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f)

137

1mm
図1： 純氷及び氷・シリカ混合物の薄片写真．(a) 純氷の空隙率0%，(b) 純氷の空隙率20%，(c)30wt.%試料の空隙率6%，(d)30wt.%試料の空隙率20%，(e) 50wt.%試料の空隙率8%，(f)50wt.%試料の空隙率20%．

密度は推定されており，その結果から氷衛星は様々な

2. 実験方法

岩石含有率をもった氷と岩石の混合物からなることが予測されている．さらに，氷衛星の密度は集積過程に

氷・岩石混合物の流動則とそれに対する空隙率の効

おいて圧密を受けて変化してきたと考えられており，果を調べるため，圧縮実験により試料を作成した．試

氷衛星は現在でも内部に様々な割合で残存空隙率を含料は，直径 710μm 以下の氷粒子と直径 1μm のアモむと予測されている．また，土星軌道よりさらに外側

ルファスシリカビーズを混合したものを直径 20 mmに存在する氷衛星の放射平衡温度は100 K 以下と推測のシリンダーに入れ，上部にピストンをセットして変されている一方，氷衛星の内部温度は放射性核種の壊形試験機を用いて荷重を与え，圧縮させて作成した．

変や集積加熱といった熱源による熱進化によって，表圧縮速度は 2.0 mm/min で，シリカ質量含有率は0，

面温度よりも高いと考えられている [5]．現在までに，

30，50 wt.%とした．試料は直径 20 mm，高さ40 mm

様々な岩石含有率および温度における氷・岩石混合の円筒形である．空隙率は，試料の体積を一定にして，物の流動則に関して，詳細に調べられてきた [6, 7, 8]．

試料の質量を変化させることで制御し，今回は 0% かしかし，流動則に対する空隙率の効果に関しては今まら 25% までとした．試料作成時は混合物内の空気をで系統的に調べられた研究はない．

取り除くために，真空ポンプでシリンダー内を10 kPa

そこで本研究では，氷衛星の構成物を模擬した氷・以下まで減圧し，荷重は最大 30 MPa まで与えた．

岩石混合物の流動則を調べ，それに対する空隙率，岩試料の内部構造は，光学顕微鏡を用いて観察した．

石含有率，温度の依存性を明らかにした．特に，氷・試料の薄片写真を図1に示す．そして，試料の内部構

岩石混合物の変形実験を行って流動則に対する空隙率

造の模式図を図2に示す．薄片写真から，純氷と氷・依存性を調べ，空隙率を用いて記述される新たな流動シリカ混合物でその様子が全く異なるのが分かる．空則を確立した．

隙率が0%の純氷の場合（図1a と図2a），数百μm サイズの氷粒子が一様に並んでおり，粒子サイズもほぼ均

138

日本惑星科学会誌 Vol. 19, No. 2, 2010

(a)

(c)

シリカビーズ
シ
と空隙
と

氷粒子
氷粒子

(b)
閉じていない
空隙空間

氷粒子

破砕した
細かい氷粒子(d)

シリカビーズ
と空隙

氷粒子

閉じた空隙

図2： 純氷及び氷・シリカ混合物の内部構造の模式図．(a)は純氷の空隙率0%，(b)は純氷の空隙率5%以上の場合で，それぞれ図1aと図1b に対応する．(c)は氷・シリカ混合物の空隙率が小さい場合，(d)は氷・シリカ混合物の空隙率が大きい場合で，それぞれ図1c と図1e，図1d と図1f に対応する．

一に見える．さらに，氷粒子の粒界がはっきりしていい氷粒子が多くなるのは，脆性破壊によって氷粒子がる．一方，空隙率が 20% の純氷の場合（図1b と図2b），

破壊されたためだと考えられる．また，空隙率が20%

砕かれて細かくなった氷粒子が数百μm サイズの氷の純氷の薄片写真（図1b）のような閉じた空隙が氷・シ粒子の粒界に分布し，また氷粒子内には閉じた空隙がリカ混合物の氷粒子の中に見られないため，図1c か観察される．氷粒子間に存在する黒い領域は閉じてら図 1f に存在する黒い領域はシリカビーズと空隙かいない空隙（開いた空隙）の領域である．Yasui andらなると考えられる．

Arakawa [9]によると，空隙率0%の純氷では氷粒子の実験は北海道大学・低温科学研究所の大型低温室

再結晶や塑性変形が試料作成時（圧密過程）でかなり進に設置された変形試験機（TENSILON-2.5T）を用いて，行しており，そのため図1a のように氷粒子がほぼ均等歪速度一軸圧縮実験を行った．歪速度は1.2 × 10 s

-6 -1

-4 -1

一サイズで存在し，形状が多角形で粒界が明確であるから4.2 × 10 s とし，温度は－10，－15，－20℃とと考えられる．空隙率が大きくなると氷粒子の再結晶

設定した．

や塑性変形がまだ完全に進行しておらず，氷粒子内の閉じた空隙や粒界の閉じていない空隙が存在すると考3. 結 果えられる．氷・シリカ混合物の場合，空隙率が同じであれば30 wt.% 試料と50 wt.% 試料の構造に違いは見られない（図1c から図1f）．しかし，空隙率が低くな

3.1

応力－歪み曲線るほどより細かい氷粒子が多く分布しているのがわか

純氷及び氷・シリカ混合物の応力－歪み曲線を図3る（図2c と図2d）．Yasui and Arakawa [9]では，氷・に示す．応力－歪み曲線は，空隙率やシリカ質量含有

シリカ混合物の圧密メカニズムは脆性破壊が最も支配率に関わらず次のような特徴をもつことが分かった．

的であると示唆しているため，空隙率が低いほど細か

最初，応力は歪みの増加に比例して大きくなり，降伏氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：氷衛星の地形緩和への応用／保井，荒川

(a)

(a)

4

10

φ =0%
φ =8%
φ =12%
φ =17%
φ =21%

最大応力 [MPa]

応力 [MPa]

3

2

139

1

1

0

(b)

0

0.02

0.04

歪み

0.06

0.08

0.1

10 -6

10 -5

10 -3

(b)

1.6

10

φ =3%
φ =5%

φ =0% (Yasui and Arakawa, 2008)

φ =15%

最大応力 [MPa]1.2

応力 [MPa]10 -4

歪速度 [s-1]

0.8

1

0.4

0

(c)

0

0.02

0.04

歪み

0.06

0.08

10 -6

0.1

歪速度 [s-1]

10 -4

10 -3

(c)
1.5

10

最大応力 [MPa]1.2

応力 [MPa]

10 -5

0.9

0.6

φ =0% (Yasui and Arakawa, 2008)

φ =5%
φ =8%
φ =15%
φ =17%
φ =20%
φ =25%

1

0.3

0

0

0.02

0.04

歪み

0.06

0.08

0.1

図3： 純氷及び氷・シリカ混合物の応力－歪み曲線．(a)が純氷の空隙率10%，(b)が30 wt.%試料の空隙率9%，(c)が50 wt.%
-5 -1
試料の空隙率8%の結果である．実線は歪速度が4.2x10 s ，-6 -1
点線が2.1x10 s を示す．

10 -6

10 -5

10 -4

歪速度 [s-1]

10 -3

図4： 空隙率を変化させた場合の最大応力と歪速度の関係．(a)が純氷，(b)が30 wt.%試料，(c)が50 wt.%試料の結果である．
温度は全て-15℃である．30 wt.%試料と50 wt.%試料の空隙率が0%の結果は，Yasui and Arakawa [8]の結果を引用
した．

140

日本惑星科学会誌 Vol. 19, No. 2, 2010(a) 10(b) 10-10 o C φ=6%30wt.% φ=20%-15 o C φ=5%50wt.% φ=19%-20 o C φ=4%

最大応力 [MPa]最大応力 [MPa]0wt.% φ=20%

1

1

10 -6

10 -5

歪速度 [s-1]

10 -4

10 -3

10 -6

10 -5

歪速度 [s-1]

10 -4

10 -3

図5： (a) シリカ質量含有率を変化させた時の最大応力と歪速度の関係．空隙率が約20%で温度が-20℃の結果を示す．
(b) 温度を変化させた時の最大応力と歪速度の関係．空隙率が約5%でシリカ質量含有率が30wt.%の結果を示す．

応力に達する．その後、応力－歪み曲線の傾きが徐々[12]．図3a や図3b のように応力が最大にならず一定に小さくなり，歪みが 1% から 4% に達すると傾きがになった場合は定常状態に達したことを表すため，式0 になって応力が最大となる．応力が最大になった後1 を求める際には最大応力の代わりに一定応力を用いは，純氷及び30 wt.% 試料の歪速度が小さい場合はそる．次節では，氷・シリカ混合物の流動則を求めるたġ7ƭ:ƸȄ
のまま応力は一定となり，50 wt.% 試料，そして純氷めに最大応力と歪速度の関係を調べ，それに対する空及び30wt.%試料の歪速度が大きい場合は応力が減少

隙率，
シリカ質量含有率，温度の依存性を明らかにする．

ď¦—Ŏ.ĹƤp&Ļßď¦'ȃŔmIhCŝ½Ũ&Śª£:Ƶ&%ű58
し続ける，という振る舞いを見せた．
応力－歪み曲線上の最大応力は，氷・シリカ混合物

Ȅ-ȃĭ%&Ŏ.%Ǜ"3.2.1

空隙率依存性

歪みに達したときにあらわれる最大応力は，クリープ

最大応力と歪速度の関係に対する空隙率依存性を図

実験（応力一定）の定常クリープから得られる歪速度と4に示す．温度は－15℃と一定である．各線は，式 1

一致することが室内実験及び数値モデル計算によってを用いて近似したものである．空隙率 0 %の 30 wt.%

示されている [10, 11]．故に，歪速度一定の場合に用試料および 50 wt.% 試料の結果は先行研究の結果をいる流動則は以下のような式で書くことができる．

引用した [8]．図4から，各シリカ質量含有率において

5Ĉ587ŎǕû"oƫ7"èçǾ´)ĭdSiƿƒ%4

7 [10, 11]ȄĪ%ȃŎǕûoæ&Õ½%ű7Śª£'q&4$ü!ĺ

ƅ8

"

7

最大応力と歪速度の関係%5987Ļßď¦'ȃEhn]çǾȁď¦oæȂ

の流動則を表すのに用いられている[8]．また，数%のæöEhn]

3.2!

7Ȅ

最大応力が空隙率の増加と共に小さくなることがわか⎛ Q ⎞nnεú = A 0 exp⎜−⎟ ⋅ σ max = A ⋅ σ max ⎝ RT ⎠

（1）った．例えば，30
wt.% 試料と 50 wt.% 試料の空隙率(1)が 0% の最大応力は，空隙率が 15% の最大応力と比-1･ ď¦—Ŏ.ĹƤp&Ļßď¦ȁMPaȂ
ŎǕûȁs-1Ȃȃ σ maxεが歪速度ȃQ řđ«AWiDnȁJ（s ），σmax が応力－歪み曲線上の最大応べて約 4 倍も大きくなった．しかし，各シリカ質量-1

力（MPa），Q が 活 性 化 エ ネ ル ギ ー（J mol ），R が€œæĭȁ8.314
J mol-1 K-1ȂȃT

-1

ol ȂȃR€ĭ n 'ď¦*

-1

-n

(MPa)
Ȃ"
K ），TȃAȁs
が温度
（K）
，A
（s n
気 体 定 数（8.314 J mol şûȁKȂ
-1

-1

-1

-n

含有率で近似線の傾きは空隙率が変化してもほぼ同じæĭ!7Ȅ
であることがわかった．

（MPa））とn が定数である．定数 n は応力べきと呼温度が－10℃や－20℃の場合，絶対的な最大応力のばれ，シリカ質量含有率や空隙率といった物性値に依値は温度に影響するが，系統的な最大応力の変化は－存する．定数A は活性化エネルギー Q や温度T を用

15℃の場合と同様であった．空隙率の変化に伴う最大

いてアレニウス型の式で記述でき，温度依存性をもつ．

応力のこのような変化は，試料内の氷粒子同士の接触"Ä(8ȃIhCǋǣÀļŬ2ƎǯŬ"Ũđ%ã7Ȅæĭ

'řđ«AWiDnQ 2şû T :ű=jV?KÑ&ü!ǀǔ!

ȃşûãđ:1

A0 は一般に，基準となる物質のA面に及ぼされる有効応力によって制御されていると考
0 との比をとって
A "&ő:" enhancement
factor "Ä(87æĭȄA 'oƮ%ȃÓŢ"$7Ũǋ&



0

0

enhancement factor と呼ばれる定数として使われる

987 [12]ȄÊ 3a 2Ê 3b &4%ď¦

えられる．なぜなら，その接触面積は空隙率が増加すĻß%$5oæ%$Õ½'æö

Ė%Ǜ":Ƶ0ȃü 1 :ŕ07ǰ%'Ļßď¦&~96%oæď¦:ű7Ȅ

Ɠ!'ȃŔmIhCŝ½Ũ&Śª£:ŕ070%Ļßď¦"Ŏ.Ǖû&ǩ:ǆ*ȃ

8%ì7ƎǯŬȃIhCǋǣÀļŬȃşû&ãđ:Ĵ5%7Ȅ

氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：氷衛星の地形緩和への応用／保井，荒川

(a)

(b)

9

φ=0-3%
φ=6-8%
φ=10-16%
φ=17.5-23%

8

応力べきn

応力べきn

6

5

5

4

4

0

10

20

Yasui and Arakawa (2008)

7

6

3

φ=0-5%
φ=12%
φ=15-17%
φ=20-25%

8

Yasui and Arakawa (2008)

7

9

30

40

シリカ質量含有率 [wt.%]

50

141

3

0

10

20

30

40

シリカ質量含有率 [wt.%]50

図6：流動則とシリカ質量含有率の応力べき n との関係．(a)が温度-10℃，(b)が温度-15℃の結果を示す．

る程小さくなるからである．つまり，図 1 で見られ

カ質量含有率や空隙率の場合でも見られた．

るように，黒い領域（純氷であれば空隙，氷・シリカ

最大応力に対するシリカ質量含有率の効果について混合物であればシリカビーズと空隙からなる）は各々

は，3.2.1 節で述べた空隙率の効果と同じ理由で説明の氷粒子の接触を妨げるように氷粒子間に分布しておできる．最大応力に対する空隙率の効果は，氷粒子同り，その領域は空隙率が増加する程広くなっている．

士の接触面に及ぼされる有効応力が空隙率の増加に伴そのため，氷粒子同士の接触面に及ぼされる有効応力って大きくなることで定量的に説明することができた．

は空隙率の増加とともに大きくなり，実際に試料に与図1d や1f のように空隙率が大きい氷・シリカ混合物

えられる荷重と試料の断面積から計算される平均応力の場合，50wt.%試料の黒い領域は30wt.%試料の黒いと比べて，その有効応力は数倍大きくなることが予測領域に比べて明らかに広いことがわかる．そのため，される．故に，空隙率の大きい試料は変形しやすくな

50wt.%試料の氷粒子同士の接触面積は30wt.%試料にり，最大応力が空隙率の増加とともに小さくなると考比べて小さくなるため，50wt.%試料の方が有効応力えられる．

が相対的に大きくなり，最大応力が小さくなると考え

3.2.2

られる．しかし，この説明が適応できるのは，試料内シリカ質量含有率依存性と温度依存性

最大応力と歪速度の関係に対するシリカ質量含有のシリカビーズ間の空隙率が40%（シリカビーズの最率依存性を示したのが図5a である．空隙率は約20%，密充填率）以上の場合に限られると考えられる．シリ温度は－20℃と一定にした．図5a から，最大応力はカビーズ間の空隙率を40%以下にするのは不可能なた

シリカ質量含有率の増加とともに小さくなり，近似線

め，試料全体の空隙率をさらに小さくするには氷粒子の傾きはシリカ質量含有率の増加とともに緩やかになの中にシリカビーズを入り込ませなければ実現できなることがわかった．この系統的な最大応力の変化は，

い．この場合，シリカビーズは試料の強度にかなり影

他の空隙率や温度の場合でも見られた．

響を与えると思われる．なぜなら，氷粒子中に入り込最大応力と歪速度の関係に対する温度依存性を示し

むシリカビーズの量は，シリカ質量含有率の増加ととたのが図5b である．空隙率は約5%，シリカ質量含有もに増え，一方で氷粒子同士の接触面積は空隙率の減率は 30 wt.% と一定にした．図5b から，近似線の傾少と共に大きくなるからである．この場合，既に報告

きが変化することなく，温度が低下するにつれて最大されているように氷粒子中のシリカビーズの量によっ応力が大きくなる方向に近似線が平行移動することがて，試料の強度は増すと考えられる [8]．故に，空隙わかった．この系統的な最大応力の変化は，他のシリ率が小さい場合はシリカ質量含有率の増加に伴って最142

日本惑星科学会誌 Vol. 19, No. 2, 2010

がシリカ質量含有率の増加とともに大きくなってい

0wt.%
10 -2

るのがわかる．つまり，純氷は n が約3 から4，30  

30wt.%

wt.% 試料は約4から6，50 wt.% 試料は約5から8とな

定数A [s-1(MPa)-n]50wt.%った．また，応力べき n はシリカ質量含有率の依存性は見られたが，空隙率や温度に対しては系統的な変10 -4化は見られなかった．これは本研究の結果が先行研
究の空隙率0%の結果とよく一致することからもわかる [8]．このような傾向は－20℃の場合でも見られた．

10-6

Yasui and Arakawa [8]によると，氷・シリカ混合物

o

-10 C

の応力べきnが大きくなる理由は，試料内に発生する

o

-15 C

ミクロクラックが原因であると結論づけている．本研

o

-20 C

10 -8
0.7

究の場合も同様に，氷・シリカ混合物の場合は空隙率
0.8

1-φ

0.9

1

に関係なく，ミクロクラックの生成によって応力べき n が大きくなったと考えられる．一方，50 wt.%試

図7： 式1の定数 A と充填率1-φ（φ は空隙率）の関係．両軸ともに対数である．各線は各シリカ質量含有率・温度で式2を用いて近似した結果である．

料の場合，空隙率が20%以上の応力べき n が空隙率が小さい場合の n に比べて大きくなることがわかった．
これは－10℃と－15℃の場合に確認され，－20℃ではシリカ質量
含有率 [wt.%]

0

30

50

温度
[℃]

A0’
[s-1(MPa)-n]α-101.0x10-6

8.0-15

3.5x10-7

10.3

-20

1.6x10

-7

9.9

-10

8.0x10

-7

32.0

-15

2.2x10-7

32.6

-20

4.9x10-8

36.7

-10

1.4x10-7

41.6

-15

2.5x10-8

48.5

-20

-9

60.9

1.1x10Bfit[s-1(MPa)-n]

α fit

3.9x1011

9.4

3.6

2.7

1.3x1019

34.2

4.9

6.5

平均 n

k

確認されなかった．50 wt.%試料の結果は他の結果よりもばらつきが大きいため，空隙率の大きい50 wt.%
試料の応力べき n について，空隙率が小さい場合との n の違いを議論するには，さらに信頼性のある結果を得ることが必要となる．
3.3.2

活性化エネルギー Qと定数A0

式1の定数 A は，図4，5から各シリカ質量含有率・6.1x1020

49.1

6.5

7.4

表1：式1，式2，式4および式5における流動則の各パラメータ温度の場合で計算できる．その計算結果が図7である．
定数 A は各シリカ質量含有率で空隙率の増加とともに大きくなり，さらに温度の低下とともに小さくなるのがわかった．定数 A は応力が 1MPa の時の歪速度

大応力は大きくなると考えられる．

を意味するため，応力べき n が一定ならば，定数 A

空隙率の変化に伴う最大応力の振る舞いは非常に複が小さくなるほど試料の強度が大きくなることを意味

雑であり，シリカ質量含有率や温度によって変化する．

する．3.3.1節より，シリカ質量含有率が同じであれば，

しかし，このような複雑さは式（1）の定数 A0や応力べ

空隙率や温度に依存せず応力べき n はほぼ同じであき n に対する空隙率依存性を定量的に明らかにするるということがわかっているため，図7 から各シリカ

ことで説明できる．次節では，流動則が空隙率やシリ

質量含有率において空隙率が減少する，または温度がカ質量含有率，温度によってどう変化するかを調べる

低くなるほど試料の強度が大きくなることが言える．

ために，定数 A0 や n を詳細に調べる．

この結果から，定数 A と空隙率φは以下のような関

3.3

氷・シリカ混合物の流動則

3.3.1

応力べきn

係を示すことがわかった．
−αA = A0' (1−φ)

（2）

純氷と氷・シリカ混合物の応力べき n とシリカ質

A0’とαはシリカ質量含有率や温度に依存する定数で量含有率との関係を示したのが図6である．温度は－ある．各シリカ質量含有率・温度におけるこれらの値

10℃と－15℃の場合を示した．図6 から，応力べきnは表1にまとめてある．

氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：氷衛星の地形緩和への応用／保井，荒川180

シリカ質量含有率[wt.%]

活性化エネルギーQ [kJ mol-1]

φ=0%
φ=5%
φ=10%
φ=12%
φ=15%
φ=20%

160

活性化エネルギー Q[kJ mol-1]

0.00

98.1

0.10

88.7

0

30

120

100

80

空隙率 φ

Barnes et al. (1971)
Yasui and Arakawa (2008)

140

50

0

10

20

30

40

0 [14]

50

143

0.20

80.0

0.05

132.6

0.10

122.2

0.15

135.9

0.05

148.4

0.10

137.0

0.12

137.0

0.00

80.8

88.9

130.2

140.8

--

30 [8]
0.00
129.3-シリカ質量含有率[wt.%]
$8($5$Ȅřđ«AWiDn'Ō&4%ƿƒ7ȄƱƁƍ
5ȃď¦—Ŏ

表2：活性化エネルギー Q
図8： 活性化エネルギー Qとシリカ質量含有率の関係．先行研究
は純氷および30wt.%試料の結果で，ともに空隙率は0%で.ĹƤp&Ļßď¦"şû&ǩ'q&4%ǀǔ87"ある [8] [14]．

⎛ εú ⎞1 / n⎛ Q ⎞σ max = ⎜ ⎟ exp ⎜⎟  ⎝ A0 ⎠⎝ nRT ⎠

定数A0 x10-11 [s-1(MPa)-n]

10 16

10

平均 Q



7 [14]Ȅ

（3）

(3)

9

そこで各シリカ質量含有率で3つの空隙率を選択し，50wt.%

!¼IhCǋǣÀļŬ! 3 &ƎǯŬ:Ǟĝȃ&řđ«AWiDn:ƿƒ7

12

10 8

10 4

€

その活性化エネルギーを計算することにする．各空隙率での最大応力は式1 と式2 を用いて計算すること"%7Ȅ¼ƎǯŬ!&Ļßď¦'ü
1 "ü
2 :ű
ƿƒ7" !

7Ȅď¦*ができる．応力べきnは，各シリカ質量含有率・温度30wt.%

において，選択した空隙率とその値が近いnの実験値
n 'ȃ¼IhCǋǣÀļŬmşû% ȃǞĝƎǯŬ"& Ǔ n &çǾ:-10 o Cを用いる．各シリカ質量含有率および各空隙率におい

o

-15 C

ű7Ȅ¼IhCǋǣÀļŬ
4)¼ƎǯŬ% Q を図8に示す．計算しĈ58řđ«AWiDnQ :Ê 8て得られた活性化エネルギー-20 o Cた結果，活性化エネルギーはシリカ質量含有率の増加%ƅȄƿƒƟŃȃřđ«AWiDn'IhCǋǣÀļŬ&Ù¨""1%ß
とともに大きくなることがわかった．さらに，本研究
10 0
0.75

0wt.%

0.8

1- φ

0.9
"

の結果が空隙率0%の純氷および30 wt.% 試料を用い1
Ȅ5%ȃĿƁƍ&ƟŃ

9$7

ƎǯŬ 0%&ƚŔ4) 30wt.%ǂĮ:ű

た先行研究の結果と一致した [8] [14]．つまり，活性化エネルギーは空隙率に依存しないことがわかった．

図9： 定数A0と充填率との関係．両軸ともに対数である．各線は
ƱƁƍ&ƟŃ"oƫ [8] [15]Ȅ-6ȃřđ«AWiDn'ƎǯŬ%ã$"
最後に，各シリカ質量含有率で得られた活性化エネ
同じシリカ質量含有率で式4を用いて近似した結果で，実線は純氷，破線が30 wt.%試料，点線が50 wt.%試料である．

9

ルギーを用いて定数A0を計算した．その結果を図9にȄ

示す．A0 は，各シリカ質量含有率の活性化エネルギ

空隙率が影響する最も重要なパラメータは，式1のーの平均値を用いて計算した．活性化エネルギーの平	  Ļą%ȃ¼IhCǋǣÀļŬ!Ĉ58řđ«AWiDn:űæĭ A0 :ƿƒȄ

定数 A0である．しかし，各シリカ質量含有率で A0を

均値は表2に記してある．その結果，A0 は空隙率の増&ƟŃ:Ê 9 %ƅȄA得るためには，各シリカ質量含有率・空隙率で活性化
加とともに大きくなり，各シリカ質量含有率で桁で変0 'ȃ¼IhCǋǣÀļŬ&řđ«AWiDn&÷Ï:űエネルギー Q を計算しなければならない．活性化エ

化し，温度には依存しないことがわかった．定数 A－歪み曲線上の最大応力と温度の関係は以下のようにA0 が小さいほど試料の強度が大きくなることを意味記述されることがわかっている [13]．

している．既に前節で示したように，活性化エネルギƿƒȄřđ«AWiDn&÷Ï'Ƶ
2 %ǀ 7Ȅ&ƟŃȃA0 'ƎǯŬ&Ù¨
ネルギーは次のように計算する．先行研究から，応力と同様に，活性化エネルギーや応力べきが一定ならば，""1%ß

$6ȃ¼IhCǋǣÀļŬ!Ň!Ü«ȃşû%'ã$"

9ーと応力べきは各シリカ質量含有率で一定であるため，Ȅæĭ A "¾ŉ%ȃřđ«AWiDn2ď¦*$7":ĔÃoæ$5(ȃA0ï+#ǂĮ

&þûß

7ȄĲ%¤Ɠ!ƅ4%ȃřđ«AWiDn"

ď¦*'¼IhCǋǣÀļŬ!oæ!70ȃA0 'ŉ$ƎǯŬ!&żìþû"Ƹ$"!

7Ȅ-6ȃƚŔ&Õ½'ƎǯŬ

Ü«

1þû'+";#Ü«$

ȃ

144

日本惑星科学会誌 Vol. 19, No. 2, 2010

A0 は様々な空隙率での相対強度と見なすことができる．つまり，純氷の場合は空隙率が変化しても強度はほとんど変化しないが，50 wt.% 試料の場合は空隙率

4. 氷衛星の地形緩和への応用：形状変化条件の見積もり'¼IhCǋǣÀļŬ!*y£:ű Ǔ 7" ! Ȅ&ƞǾü'Ō&4
1 節で述べたように，氷衛星の形状変化は表面地形が増加すると強度もかなり小さくなることになる．以¼IhCǋǣÀļŬ!*y£:űǓ 7" ! Ȅ&ƞǾü'Ō&4の粘性緩和と密接に関係している．氷衛星の表面地形
上から，A
0 は各シリカ質量含有率でべき乗則を用い%Ƶ87Ȅ

Ƶ87Ȅ

て近似することができた．その経験式は次のように表の粘性緩和は，氷・岩石混合物のレオロジーや氷衛星される．

の熱史と深く関わる非常に興味深い地質学的現象であA 0 = Bfit(1− φ ) − α fit

A 0 = Bfit(1− φ ) − α fit t " αfit 'æĭ!7Ȅ¼YgcnN'Ƶ 1 %-"0

(4)

（4）

る．先行研究において，粘性緩和が起こる条件はマク(4)スウェル粘弾性モデルを用いて調べられているため，
7ȄƵ 1 %ƅ4%ȃBfit

B とα は定数である．各パラメータは表1にまとめ

本研究では実験で得られた流動則を用いたマクスウェ

fitfit
αfit 'æĭ!7Ȅ¼YgcnN'Ƶ
1 %-"0 7ȄƵ 1 %ƅ4%ȃBfit
€てある．表1に示したように，B
ル粘弾性モデルを適用し，粘性緩和が起こる条件を調
fitとαfitはシリカ質量
αfit 'IhCǋǣÀļŬ&.%ãȃIhCǋǣÀļŬ
Ù¨7%8
ß$€含有率のみに依存し，シリカ質量含有率が増加するに
Ù¨7%8 べる
ß [3]．一方，氷衛星の内部温度分布は，その熱進$

t 'IhCǋǣÀļŬ&.%ãȃIhCǋǣÀļŬ"

9

化過程において氷微惑星の集積熱や放射性核種の壊変ȄBfitつれて大きくなることがわかった．B'ƱƁƍ&ƎǯŬ 0%&ƟŃ 5ȃIhCǋǣÀļŬ"Ġĭǩĭfitは先行研究の空隙率0%の結果から，シリカ質量含有率と指数関数
熱による熱源に左右されて常に変化している．本研究" 9 ȄBfit 'ƱƁƍ&ƎǯŬ
0%&ƟŃ 5ȃIhCǋǣÀļŬ"ĠĭǩĭƵ87" zŠ87[8]Ȅ
で表されることが予測される[8]．
で得られた流動則から，氷･シリカ混合物の粘性率は

87" zŠ87[8]Ȅ
式4から，式1で示される流動則は次のような式で書
温度に強く依存することがわかっているため，表面地
ü 4 5ȃü 1 !ƅ87Śª£'Ō&4$ü!ĺ7"
9 Ȅ形の地形緩和は氷衛星の内部温度分布に強く影響する
けることがわかった．

4

5ȃü 1 !ƅ87Śª£'Ō&4$ü!ĺ7"
n

9

Ȅ

と思われる．そこで，氷衛星の内部温度分布を熱伝導⎛ Q ⎞ ⎡ σ max ⎤
ú

（5）
ε
=
B
exp
−
⋅
方程式から計算し，その温度計算結果を用いてマクス
⎢
⎥
n
⎜
⎟
fit
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 
⎛ ⎝Q RT⎞ ⎡ ⎠σ⎣max
1− φ⎤ ) k ⎦ 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (5)
(
ú
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ε = Bfit exp⎜⎝− RT ⎟⎠ ⋅ ⎢ 1− φ k ⎥ 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ウェル粘弾性モデルを計算して，氷衛星の地形緩和が
	
  	
  (5)
) ⎦
⎣ (

'æĭ αfit "ď¦*k は定数αfit と応力べき n を用いて，k =αfit/n と示起こる条件，つまり形状変化が起こる条件を見積もるされる．定数 k は表 1 に示す．定数 k も同じくシリことにする．さらに，空隙率や岩石含有率の効果も議

n :ű

ȃk=αfit/n "ƅ87Ȅæĭ k 'Ƶ 1 %ƅȄ¾ȃæ

æĭ αfit "ď¦* n :ű ȃk=αfit/n "ƅ87Ȅæĭ k 'Ƶ 1 %ƅȄ¾ ȃæ€ カ質量含有率のみに依存し，シリカ質量含有率の増加
論する．
k 'IhCǋǣÀļŬ&.%ãȃIhCǋǣÀļŬ&Ù¨""1%ß
$7"€

とともに大きくなることがわかった．以上より，流動
氷衛星の内部温度計算には，熱伝導方程式を用いる．
'IhCǋǣÀļŬ&.%ãȃIhCǋǣÀļŬ&Ù¨""1%ß
$7"
則をシリカ質量含有率と空隙率の効果を考慮した新た
今回の計算では，対象とする氷衛星は氷と岩石の混合
9 Ȅp46ȃŚª£:IhCǋǣÀļŬ"ƎǯŬ&©Ń:ƨėİ$Śª

な流動則（式5）として表す事に成功した．
物からなる非分化均質構造であるとし，熱源は放射性Ȅp46ȃŚª£:IhCǋǣÀļŬ"ƎǯŬ&©Ń:ƨėİ$Śªȁü 5Ȃ" Ƶ{%Ę§Ȅ

ü 5Ȃ"

Ƶ{%Ę§Ȅ(a)

γ =0.5

160

(b)

ɔĘȯϝ૷

温度T [K]

温度T [K]

t=0
t=10 4yr
130
t=10 6yr
QgI2?d0 B\w?X4*N"j_
140
t=10 7yr
T
t=10 8yrgI2?d0 B\w?X4*N"j_1
t=2x10 8yr
1 Ɠ!ǔ*4%ȃŔƳĵ&ĀŪÜ«'ƵǷÎĀ&ƖđƥÅ"êĥ%ǩ7Ȅ
t=10 9yr
110
120
Ɠ!ǔ*4%ȃŔƳĵ&ĀŪÜ«'ƵǷÎĀ&ƖđƥÅ"êĥ%ǩ7Ȅ
t=4.6x10 9yr

Ƴĵ&ƵǷÎĀ&ƖđƥÅ'ȃŔmòƀŝ½Ũ&jBkJn2ŔƳĵ&Ŧº"Ŝ‫׋‬ষ‫ݰ‬Ҷ tk

ǩ9ĵ&ƵǷÎĀ&ƖđƥÅ'ȃŔmòƀŝ½Ũ&jBkJn2ŔƳĵ&Ŧº"Ŝ
ǩ9
100
90
Ƕö%ƬÃŜÎǋäŹŭǊ!7ȄƱƁƍ%  ȃƖđƥÅ ǌ7ŀ'`E

ö%ƬÃŜÎǋäŹŭǊ!7ȄƱƁƍ%  ȃƖđƥÅ ǌ7ŀ'`E?@iƖÿđdSi:ű 80ǆ*58 70ȃĿƁƍ!'çǾ!Ĉ58Śª£:@iƖÿđdSi:ű ǆ*58 70ȃĿƁƍ!'çǾ!Ĉ58Śª£:
70
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10 5
10 7 t10 9
10 3
1
`EK?@iƖÿđdSi:ǝűȃƖđƥÅ ǌ7ŀ:ǆ*7 [3]Ȅoıȃ
r /R = γ
経過時間t [yr]`EK?@iƖÿđdSi:ǝűȃƖđƥÅ ǌ7ŀ:ǆ*7 [3]Ȅoıȃ
13
図10： 式6の解析解を解いた例．岩石質量含有率が50wt.%，空隙率が0%，氷衛星の半径が200kmの場合．(a)はγ と温度の関係の時間変化，(b)はγ=0.5 の時の経過時間と温度の関係を示す．

13

氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：氷衛星の地形緩和への応用／保井，荒川ŔƳĵ&ǟşû

(a)õ'ȃ&Ŧǘ«ǙƉ%½Ũ&ƖđŬ'şû%þ

ã7"

ĵ&ǟşû
Ɖüõ%þ

7ȄĿƁƍ!Ĉ58Śª£
9



0.3

5ȃŔȅIhCŝ

70ȃƵǷÎĀ&ÎĀƥÅ'ŔƳĂǹ7"Đ987Ȅ!ȃŔƳĵ&ǟşû
0.1

5ƿƒȃ&şûƿƒƟŃ:űĵ&ÎĀƥÅ

(b)

ŔĊĒĵ&ǲƌŦ2ĩíđŅƊ&ÚÜ

空隙率 φ

ö%Ü«
0.2

空隙率 φ

Ŧ%47Ŧš%ô»8

0ƎǯŬ2òƀÀļŬ&©Ń1ǉǇ7Ȅ
0
200

0.2

õ:Ŧîı

`EK?@iƖÿđdSi:ƿƒ
0.1

ǌ7ŀȃ-6ĀŪÜ«

145

ȃŔƳ

ǌ7ŀ:Ƹƌ17"%7Ȅ5%ȃ
400

半径R [km]

600

0

0

100

200

300

半径R [km]

400

500

	
  ŔƳĵ&ǟşûƿƒ%'ȃŦîıƉü:ű7Ȅ|Ç&ƿƒ!'ȃìǊ"7ŔƳ
図11： 式6から得られる継続時間t と式7を用いて計算したマクスウェル緩和時間τ の比較から見積もった，形状変化が起こるためにkĵ'Ŕ"òƀ&ŝ½Ũ

M

必要な氷衛星の半径と空隙率の条件．丸印が形状変化が可能，バツ印が形状変化が不可能を表し，その境界が実線である．(a)が岩石質量含有率が30wt.%，(b)が岩石質量含有率が50wt.%の結果を示す．

5$7Ƕ

«Ïǋňǖ!7"ȃŦš'ĩíđƛÚÜŦ&.ȃ

元素壊変熱のみ，熱拡散は熱伝導のみで起こると仮定-1-1

導率 2W m T を用いて，温度に依存しないとする[5]．

−62ŦĞĬ'Ŧî&.!ǌ7"æ7ȄŦîıƉü'Ō&4$ü!Ƶ87Ȅ
する．熱伝導方程式は次のような式で表される．
Kice は室内実験で得られた経験式 Kice = 3.6×10 ρ-1-1

W m T を用いる [19]．ρは純氷の空隙率φ分の体積∂ T 1 ∂ ⎛ 2 ∂ T ⎞=⎜ Kr⎟ + g(r, t) 	
  	
  	
  （6）
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ρCp
	
  	
  	
  	
  を含めた密度である．これらの値を用いて，氷・岩石
	
  	
 
(6)
∂ t r 2 ∂ r ⎝
∂ r ⎠
(1−f )
f
混合物のKは，K = Kice

-3

・Krock と表される．この

ρは氷衛星の平均密度（kg m ），Cp は定圧比熱容量
（J
-3
-1 -1

ため，空隙率が大きくなると熱伝導率は小さくなるた-1 -1

kg K ），K は熱伝導率（W m K ），t は氷衛星形成

め熱拡散が効きにくくなり，空隙がない氷衛星に比べρ 'ŔƳĵ&÷Ïêûȁkg
m ȂȃCp 'æÌőŦéǣȁJ
kg K ȂȃK 'ŦîŬȁW m K Ȃȃ
-1
-1
-1 -1

€

時（t=0）
からの経過時間（s）
は氷衛星中心からの距て温度がかなり上昇することが予想される．
t 'ŔƳĵĀĘķȁt=0Ȃ
5&ƞǙķǨȁsȂȃr ，r'ŔƳĵvČ
5&ǎǴȁmȂȃ
T 'şûȁKȂ
離（m），T は温度（K）である．式6の計算には解析解

式6の解析解を解いた例を図 10a に示す．図 10a か（-λt）と λt)"Ƶ87Ȅ
を用いる [15]．g（r, t）はg（r, t）=f･g
ら，時間経過とともに温度が上昇し，ある時間を超え!7Ȅü 6 &ƿƒ%'ƼłƼ:ű7[16]Ȅg(r,t)'ch（0）exp
g(r, t)=fȅg
ch(0)exp(（0）は放射性核種の壊変による初期熱生表される．gch

ると温度が低下しているのがわかる．温度の上昇は放

-3
-1 -3
gch(0)'ĩíđŅƊ&ÚÜ%47¡ĽŦŰĘǣȁW
Ȃȃλ 'ÚÜæĭȁs-1Ȃ!t"1%）で両値ともにコンド
成量（W m ），λは壊変定数（s m
射性核種の壊変により生じた熱が熱伝導によって徐々ライト隕石の値を用いる [16]．f は岩石体積含有率でに拡散しているためで，温度の低下は放射性核種の減土星系衛星の平均表面温度 75 K と仮定し，初期条件

心からの距離（r）を氷衛星の半径（R）で規格化した値

は氷衛星の内部温度が 75 K と一定とし，境界条件はをγとし，γ= 0.5 において時間と温度の関係を示し

表面温度が時間によらず一定であるとする．Cp は純たのが図 10b である．今回はこの図 10b を例に，氷氷の定圧比熱容量 Cp-ice と岩石の定圧比熱容量 Cp-rock

衛星の形状変化が起こる条件を見積もる．図 10b 上

GlUg>TǮƀ&:ű7[17]Ȅf 'òƀƌÀļŬ!7Ȅ-ƼłƼ%À-87ある．また解析解に含まれる氷衛星の表面温度T
少によって熱源が低下しているためである．氷衛星中s はŔƳĵ&ƵǷşû Ts 'ËĵƗƳĵ&÷ÏƵǷşû 75K "æȃ¡Ľŀ'ŔƳĵ&ǟşû

75K "oæ"ȃØŴŀ'ƵǷşûķǨ%45oæ!7"7ȄCp 'ƚŔを用いる．C
で，ピーク温度に達する前のある時間
t1 における温p-ice は先行研究からCp-ice=7.8T－12.4 とな&æÌőŦéǣ Cp-ice"òƀ&æÌőŦéǣ
Cp-rock :ű7ȄCp-ice 'ƱƁƍ
5
ることがわかっているため，T に75 K を代入した値
度をT1 とする．そして，ピーク温度を超えて再び温
-1

-1

-1
[17]．C%は，玄武岩の値
tk が決まる．一方，温度T1
度がT
572.6J kg9 K を用いる
p-rock
Cp-ice=7.8T-12.4 "$7"70ȃT
75K:~ 572.6J
kg-11 Kになるまでの時間
:ű
-1

-1

840J kg K を用いる [18]．これらの値を用いて，氷・の時のマクスウェル緩和時間τM，つまり粘性緩和に（1− f ）+Cp- rock・f と岩石混合物のCp は，Cp =14Cp-ice・必要な時間が計算できる．これをあらゆる時間 t にお表される．K は同様に，純氷の熱伝導率Kice と岩石

いて継続時間 tk と緩和時間τM を計算し，ピーク温度の熱伝導率 Krock を用いる．Krock はかんらん岩の熱伝になる前に緩和時間の方が継続時間よりも短くなれば，

146

日本惑星科学会誌 Vol. 19, No. 2, 2010
175

緩和可能つまり形状変化が可能とする．次にマクスウ

30wt.%

ェル緩和時間について説明する．
マクスウェル緩和時間は先行研究を参考にして計算

50wt.%

165

する [3]．マクスウェル緩和時間τMは粘性率ηとヤン

表面温度Ts [K]đŬη"elFŬ Y &őȃ"Ƶ87Ȅ
|Ç&ƿƒ!'ȃļ©ƖđŬ ηeff :ű7Ȅ
グ率Yη/Yの比，η/Yと表される．今回の計算では，有効粘性率ηeff を用いる．有効粘性率ηeff は式 1 からƖđŬ ηeff 'ü 1

5Ō&4%Ƶ87Ȅ

155

次のように表される．

−1⎛ Q ⎞⎤⎟⎥ σ 1 − n 	
  	
  	
  	
  	
  （7）
	
  	
  	
  	
  	
  	
  (7)
⎝ RT ⎠⎦
145

⎡

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ηeff = ⎢ A 0 exp⎜−⎣

定数A0 は式4を用いる．活性化エネルギー
A0 'ü 4 :ű7Ȅřđ«AWiDnQȃď¦*nȃæĭ BQ，応力べ
fit " αfit 'ȃ¼IhCǋ
きn，定数Bfit とαfit は，各シリカ質量含有率の平均€135

値を用いる（表1，2参照）
ļŬ&÷Ï:ű7ȁƵ
1ȃ2 ³ťȂȄď¦σ．応力σは，各岩石含有率'ȃ¼òƀÀļŬȁòƀ&êû' 0 ;

0.1

-3

（岩石の密度はかんらん岩の密度 3,300 kgm を用い:ű ȃÀļŬ:ƿƒ7Ȃ
5Ŗ-7÷Ïêû ρ :ű ȃ
ò&êû 3,300kg m-3て，含有率を計算する）
から決まる平均密度ρを用い
222πGρ 2R 2(1 − γ 2) / 3 "æ7[2]ȄƺŠ%4 ȃŔƳĵƵǷ&ÎĀǌ&Ļß
よって，氷衛星表面の地形起伏の最大値が氷衛星の半径の約5分の 1 であることがわかっているため，今回& 1 !7"9

70ȃ|Ç' γ=0.8 "

はγ= 0.8 として計算した [3]．ヤング率は，音速測定

0.3

図12： 半径100kmの氷衛星で形状変化が起こるために必要な表
面温度Tsの下限値．点線は外挿線である．

2て，σ = 2πGρ R（1−γ ）/3と仮定する [2]．観測に&®Ą&ƙ 5

0.2

空隙率 φ

Ŕ

変化が起こるのは氷衛星の平均半径が約 40 km からƿƒ [3]Ȅ

100 km であることがわかっている．故に，氷衛星は実験より得られたP 波速度とS 波速度を用いて計算し空隙率50%以上の高空隙率天体である，もしくは過去

た．音速測定は変形実験で用いたものと同じ 30 wt.%に何らかのイベントにより温度がさらに上昇した時期

FŬ'ȃǸǕŠæçǾ46Ĉ58 P ŘǕû" S ŘǕû:űƿƒȄǸǕŠæ

試料と 50 wt.% 試料を使用し，空隙率は各試料で数があったことが考えられる．そこで最後に，氷衛星のĀçǾ!ű1&"¾
30wt.%ǂĮ" 50wt.%ǂĮ:űȃƎǯŬ'¼ǂĮ!ĭ
種類選んだ．測定の結果，ヤング率Y（GPa）と空隙率

半径が約 40 km から100 km の範囲で形状変化が起こ

φの関係は
wt.%
試料がφY&ǩ'= 8.1-27.8φ，50
wt.% Y=8.1-27.8
るために必要な温度を，同様の手法を用いて計算した．
Ǟ;ȄŠæ&ƟŃȃelFŬ
Yȁ30
GPaȂ
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30wt.%ǂĮφȃ%ǂĮ

試料が Y = 7.8-18.9φと表されることがわかった．得今回は，半径100 km の氷衛星で形状変化が起こる"Ƶ87" 9 ȄĈ58ƞǾü:ű
Y=7.8-18.9φられた経験式を用いて，岩石質量含有率が30 wt.%

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ための表面温度
Ts の下限値を計算した．その結果をと 50 wt.% の場合でマクスウェル緩和時間を計算し（Y>0），30 wt.%が 0%から25%，50 wt.% は 0%からることがわかった．また，今回の計算範囲では 135K

0&ƞǾü&ű¹ƩƔÉȁY>0Ȃ30wt.%
35% とした．

6

図12に示す．計算した結果，岩石含有率が大きいほど，

30wt.%" 50wt.%&Õ½!`EK?@iƥÅķǨ:ƿƒȄƎǯŬƔÉ'el
さらに空隙率が大きいほど，必要な表面温度が低くな
た．空隙率範囲はヤング率の経験式の使用可能範囲

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ǌ7

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5 35%"Ȅから 170K が必要であることがわかった．木星や土星

式6から得られる継続時間 tk と式 7 を用いて計算しの氷衛星は，惑星集積の最終段階に形成された周惑星

たマクスウェル緩和時間τM を比較し，形状緩和が起円盤内で形成されたと考えられている．よって，周惑

こるかどうかを調べた結果を図11に示す．この結果，星円盤の温度が 135K から 170K になれば，氷衛星の岩石質量含有率が大きいほど，さらには空隙率が高い

形状変化が可能であることが示唆された．

5Ĉ587ƢƣķǨ tk "ü 7 :űƥÅ

5 25%ȃ50wt.%' 0ƿƒ`EK?@iƥÅķǨ τM :őǑȃ:ǆ*ƟŃ:Ê 11 %ƅȄ&ƟŃȃòƀǋǣÀļŬ

#ȃ5%'ƎǯŬ ほど形状変化が起こる氷衛星の半径が小さくなることǿ+#ĀŪÜ« ǌ7ŔƳĵ&®Ą ï $7"がわかった．この理由は，岩石質量含有率が大きくな

ß

Ê 11

9

5. まとめと今後の展望るほど放射性核種の量が増加し，また，前に予想したȄ&ůų'ȃòƀǋǣÀļŬ
ß
$7+#ĩíđŅƊ&ǣ Ù¨ȃ-ȃ
ように空隙率が増加するほど熱伝導率が小さくなり，

氷・シリカ混合物の変形実験を行って流動則を求め，

zē4%ƎǯŬÙ¨7+#ŦîŬ ï $6ȃ&0şûそれに対する空隙率依存性およびシリカ質量含有率依
pĳ
そのため温度が上昇しやすくなり，結果的に継続時間が長くなるためである．この場合，形状変化が起こ存性を調べた．その結果，空隙率やシリカ質量含有率$6ȃƟŃŹ%ƢƣķǨǥ $70!7Ȅ&Õ½ȃĀŪÜ«る最小半径は，岩石含有率が50 wt.%，空隙率が 35%

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の増加とともに，氷・シリカ混合物の強度が小さくなの約 250 km となった．しかし，実際に氷衛星の形状

ることがわかった．また，流動則の応力べき n や活

16

氷・シリカ混合物の流動則に対する空隙の効果：氷衛星の地形緩和への応用／保井，荒川

性化エネルギー Q はシリカ質量含有率のみに依存し，シリカ質量含有率の増加とともに大きくなることがわかった．さらに定数 A0 は，空隙率φ を用いて A0 =−α（1−φ）
と表され，定数 Bfit やαfit もまたシリカ
Bfit
fit

質量含有率のみに依存し，シリカ質量含有率の増加とともに大きくなることがわかった．最後に，熱伝導方

147[8] Yasui, M. and Arakawa, M., 2008, GRL 35,
doi:10.1029/2008GL033787.
[9] Yasui, M. and Arakawa, M., 2009, JGR 114,
doi:10.1029/2009JE003374.
[10] Mellor, M. and Cole, D. M., 1982, Cold Reg. Sci.
Technol. 5, 201.

程式を用いた氷衛星の内部温度分布の計算と実験で得[11] Sinha, N. K., 1988, J. Mater. Sci. 23, 4415.

られた流動則を用いたマクスウェル緩和時間の計算比[12] Paterson, W. S. B., 1994, The physics of Glaciers 3rd

較から，氷衛星の形状変化が起こる条件を見積もった．
その結果，岩石含有率が大きいほど，さらに空隙率が大きいほど，形状変化が起こるための氷衛星の半径が小さくなることがわかった．

ed. (Oxford, UK: Elsevier)[13] Arakawa, M. and Maeno, N., 1997, Cold Reg. Sci.
Technol. 26, 215.
[14] Barnes, P. et al., 1971, Proc. R. Soc. Ser. A324, 127.

今後は，変形実験で得られた流動則の各パラメータ[15] Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C., 1986, Conduction ofの物理的意味を調べるために，変形メカニズムを解明

heat in solids 2nd ed. (Oxford, UK: Claredon Press)

することが重要となる．例えば，応力べきn や活性化[16] Ellsworth, K. and Schubert, G., 1983, Icarus 54, 490.

エネルギー Q は変形メカニズムと関連があり，今回[17] 前野紀一・黒田登志雄（1999）, 雪氷の構造と物性の実験から純氷と混合氷ではその値が異なることがわ
かった．これは変形メカニズムの違いが反映されていると考えられる．今後はそれを解明する 1 つの手段として，中性子回折実験を用いた氷試料の変形に伴う氷結晶の構造解析を行い，氷・岩石混合物の粘弾性的性質を明らかにしたいと考えている．

謝 辞
本稿をまとめるにあたって有用な議論をしていただ
きました，長岡技術科学大学の東信彦教授，マサチュ
ーセッツ工科大学の W. B. Durham 博士に感謝致します．また，本実験を円滑に進めるにあたって技術的なサポートをしていただきました，北海道大学・低温科学研究所の中坪俊一氏に感謝致します．

参考文献[1] Thomas, P. C., 1989, Icarus 77, 248.
[2] Farinella, P. et al., 1983, The Moon and the Planets 28,
251.19[3] Croft, S. K., 1992, Icarus 99, 402.
[4] Pollack, J. B. et al., 1991, in Uranus, 469.
[5] McKinnon, W. B., 2002, in Proc. ACM 2002, 29.
[6] Durham, W. B. et al., 1992, JGR 97, 20883.
[7] Mangold, N. et al., 2002, Planet. Space Sci. 50, 50385.

（古今書店）[18] Kappelmeyer, O. and Haenel, R., 1974, Geothermics
with special reference to application (Berlin: Gebrueder
Bomtraeger)[19] Mellor, M., 1964, in Properties of snow, 1.