3 次元画像コンファレンス 2005 講演論文集，pp.73–76，東京 (2005.7.8)

全方向視差デジタル合成ホログラムにおける完全かつ高速な隠面消去法

Perfect and Fast Hidden Surface Removal in Full-Parallax
Digitally Synthetic Hologrmas
松島恭治

Kyoji Matsushima
関西大学工学部先端情報電気工学科

Department of Electrical Engineering and Computer Science, Kansai UniversityABSTRACT
A new method is presented for removing hidden surfaces from reconstruction of computer-generated holograms.
Objects used in the method are deﬁned in surface model, and each polygon composing the objects provides amask for blocking the incident ﬁeld into the backside of the polygon. The computational cost of the proposed
method is reduced to 2 FFT/polygon by handling ﬁeld transmission in Fourier space and integrating the surface
diﬀraction method for generating ﬁelds. Reconstruction of a hologram synthesized by using the presented method
is demonstrated.
Keywords: hidden surface removal, computer generated hologram, digitally synthetic hologram, surface diﬀraction method, polygon model1

はじめにデジタル合成ホログラムの光波数値合成で用いられる隠面消去アルゴリズムとしては，点光源モデル(a)

向きの幾何学的手法 [1] と，断層ホログラムで用いhˆn ( xˆ , yˆ )hˆn+1 ( xˆ , yˆ )る波動光学的な手法 [2] が知られている．前者は莫大な計算時間を要するため，全方向視差ホログラムには適用できないことが問題点である．一方後者でEmissive Surface
Silhouette Mask

は物体の断面を取り扱うため陰影付けなどのレンダリング手法を用いることができない．そこで，ポリ(b)ゴンモデルの物体において，各ポリゴンのシルエットをマスクとして光波遮蔽を行うシルエット近似法

Objectを提案している [3]．しかしながら，シルエット近似法は近軸光線にのみ有効な手法であり，高解像度広視域角のホログラムでは軸はずれ光線の漏洩が生じHologramるため，完全に光波を遮蔽できない問題点があった．
そこで本研究では，より完全な隠面消去法を提案
Leakage fields

する．提案手法では，ポリゴンそのものをマスクとして光波を遮蔽するため，原理的に光波の漏洩が生Fig. 1 The hidden-surface removal by using silhouette approximation.

松島恭治
matsu@kansai-u.ac.jp
関西大学工学部電気工学科〒 564-8680 大阪府吹田市山手町 3-3-35
TEL/FAX 06-6368-0933

1

3 次元画像コンファレンス 2005 講演論文集，pp.73–76，東京 (2005.7.8)(a)Emissive Surface
Surface Mask(b)
Fig. 2 Gaps owing to leakage ﬁelds between sil-Object

houette masks [3].
じず，また表面回折法による物体光波合成と併用す

Hologram

ることにより，ポリゴンあたり 2 回の FFT で計算

Obstructed fields
Unobstructed fieldsが進むため，高速に全方向視差ホログラムの隠面消去を行うことができる．

2Fig. 3 The principle of complete blocking the ﬁelds
that should be obstructed.

シルエット近似とその問題点(a)

シルエット近似を用いた光波遮蔽の原理を Fig. 1
波を ĥn (x̂, ŷ) とする (Fig. 1(a))．ここで，ĥn (x̂, ŷ)

Realspaceは，ホログラムに平行でポリゴンにローカルな平面上で与えられる光波複素振幅分布とする．このポリゴンの形状を (x̂, ŷ) 平面に投影して出来るシルエッF

F -1hˆ( xˆ , yˆ )Complexamplitudeh ( x, y )(b)

トを 2 値のマスク関数 m̂s,n (x̂, ŷ) とすると，このマ

Fourier
space Rotation

スク通過後の光波はĥn (x̂, ŷ) = ĥn (x̂, ŷ)m̂s,n (x̂, ŷ),R Rotation

Fourierspaceに示す．今，n 番目のポリゴンに背面より入射する光Realspace(1)と表される．さらに，ĥn (x̂, ŷ) を次のポリゴン (n+1)

Translational
propagation

RFP( d )F -1Complex
amplitudehˆ( xˆ , yˆ )h ( x, y )が存在する平面まで伝搬すると，ポリゴン (n + 1)

Fig. 4 A diagram for rotational transformationの背面より入射する光波は，without (a) and with (b) translational propagation.

ĥn+1 (x̂, ŷ) = Pdn {ĥn (x̂, ŷ)m̂s,n (x̂, ŷ)} + On (x̂, ŷ).
(2)となる．ここで，On (x̂, ŷ) は (n + 1) 番目の平面に

hˆn ( xˆ , yˆ )Ã+Ãおける n 番目のポリゴン自体からの光波の寄与を表し，Pdn {·} は距離 dn の伝搬演算を表す．この漸hˆn¢ ( xˆ , yˆ )¢ 1 ( xˆ , yˆ )hˆn+mn ( x, y )化式を一番奥のポリゴンから手前のポリゴンへ順次

hn ( x, y )計算することにより，ホログラム上での物体光波はĥH (x̂, ŷ) = PdN {ĥN (x̂, ŷ)m̂s,N (x̂, ŷ)} + ON (x̂, ŷ).
(3)( xˆ , yˆ ,0)( x , y ,0)Fig. 5 The procedure for exact hidden surface removal.となる．ここで N はポリゴンの総数である．
この手法により，あるポリゴンの背面にある別のポリゴンからの光波はそのシルエットマスクの形状ラムの光学再生像を示す．物体はトーラスである．

でクリップされ，全体として隠面消去された物体光

この再生像の一部を拡大すると，ポリゴン間に空隙波が得られる．しかしながら，ホログラムの回折角が存在することがわかる．これは，光波が漏洩したが広く，近軸領域から外れた光線が存在する場合は，結果であると考えられる．

シルエットマスク間の間隙を通り抜けて漏洩する光波が発生する．

Fig. 2 にシルエット近似を用いて合成したホログ

2

3 次元画像コンファレンス 2005 講演論文集，pp.73–76，東京 (2005.7.8)

Fourier
spaceRealspace

Rotation R-ÃFhˆn ( xˆ , yˆ )Translational
propagation

Rotation R+ÃFmn ( x, y )P( d n)F-1

F -1

Object fieldhˆn+1 ( xˆ , yˆ )On ( xˆ , yˆ )Masking

Fig. 6 The diagram for exact hidden surface removal.
3

ポリゴン自体による光波の遮蔽

Fourierspace

シルエット近似による遮蔽は，光軸に垂直なシルReal
space

エットマスクによる遮蔽であるため，通常の光波伝

Rotation

Fs n ( x, y )搬計算を用いることができ計算量的には有利である

Translational
propagationRP( d n)F -1

Complexamplitude On ( xˆ , yˆ )が，漏洩光が発生する．この漏洩光を防ぐためには，

Fig. 7 A diagram of for surface diﬀraction method

光軸に垂直なシルエットマスクではなく，Fig. 3 にto generate ﬁelds from polygons.

示すとおり，ポリゴン面そのものをマスクとして遮蔽計算を行えば良い．

4

このような遮蔽計算を行うためには，まず，ポリ表面光波回折法の統合とフーリエ空間における伝達を用いた計算量の削減

ゴンが存在する平面上で光波複素振幅を得る必要が

表面光波回折法 [5] では，ポリゴンが面発光していあるが，一般にポリゴンは光軸に対して垂直ではなるとしてその光波を求める．その計算過程は，Fig. 7

いため，通常の伝搬計算ではなく，光波の回転変換に示すように，並進伝搬付き回転変換 (Fig. 4(b))

を行う必要がある．平面波展開を用いた回転変換 [4]とほぼ同じになる．ここで，sn (x, y) はポリゴン nのダイアグラムを Fig. 4 に示す．図中，F と F −1の表面特性関数であり，その形状，テクスチュア，はフーリエ変換，R はフーリエ空間における座標発散性などの情報を内包している [6]．

回転演算を示す．(a) は原点を共有する座標系間の並進伝搬付き回転変換はポリゴンによる光波遮回転変換．また (b) は並進伝搬も含む回転変換を示

蔽 (Fig. 6) ではマスク処理後に用いられている．そす．ここで，P(d) = exp[i2πd(λ−2 − u2 − v 2 )1/2 ]のため，表面光波回折法を用いた場合，Fig. 6 におは距離 d の並進伝搬のフーリエ空間における位相因いて，最後に On (x̂, ŷ) を重畳する代わりに，マス子である．

ク乗算直後に sn (x, y) を重畳しても同じ効果が得ら

このような回転変換を用い，ポリゴン面そのものれる．

をマスクとして用いて光波遮蔽する方法を Fig. 5 にさらに，物体光波を重畳する位置が変わった結示す．この方法では，まずポリゴン n の位置で光果，一つのセグメント内の最初の処理がフーリエ変軸に垂直な平面上の光波分布 ĥn (x̂, ŷ) を Fig. 4(a)換で，最後の処理が逆フーリエ変換となる．すなわの回転変換によりポリゴンが存在する傾いた平面上

ち，複数のセグメントが連続する場合，逆フーリエでの光波分布 hn (x, y) に変換する．この光波にポ変換直後にフーリエ変換を行うことになり，冗長なリゴンの内側では 0，外側では 1 であるマスク関数演算となる．そこで，セグメント間の光波の伝達をmn (x, y) を乗じ，Fig. 4(b) の演算を用いて逆回転とポリゴン (n + 1) の位置まで並進伝搬を行う．さフーリエ空間で行うことにすると，一つのセグメン
トの計算過程は Fig. 8 であらわされ，漸化式としらにポリゴン n 自体からの物体光波をこれに重畳すてはる．以上の計算過程を Fig. 6 に示す．このような一つのポリゴンに対する処理をセグメントと呼び，多Ĥn+1 (û, v̂)数のセグメントを連結して計算が進むことになる．

= R+ψn F {F −1 R−1−ψn {Ĥn (û, v̂)}mn (xn , yn )以上からわかるとおり，このようにポリゴン自体+ sn (xn , yn )} × P(dn ).

をマスクとして光波を遮蔽するためには，そのまま(4)では，1 枚のポリゴンあたり 4 回の FFT と 2 回のが得られる．この計算を物体空間の奥から手前に向座標回転演算が必要となる．

かって行うことにより，隠面消去された物体光波はホログラム面上で，hH (x̂, ŷ) = F −1 {ĤN +1 (û, v̂)}.

3(5)3 次元画像コンファレンス 2005 講演論文集，pp.73–76，東京 (2005.7.8)

Fourier Hˆ (uˆ , vˆ)nspaceRealspaceRotation R+ÃR-Ã Rotation
FHˆ n+1 (uˆ , vˆ)P( d n)F-1

mn ( x, y )Translational
propagationsn ( x , y )Masking

Surface diffraction

Fig. 8 The diagram for proposed hidden surface removal by using ﬁeld transmission in Fourier space.
(a)として得られる．

(b)
Check pattern

この結果，1 枚のポリゴンを処理するために必要Triangle

な FFT の回数は 2 回に削減される．

P160°

5P1

ホログラムの作製と光学再生本手法を検証するために，ホログラムの作製と光Check pattern

Triangle

80°

P2P2学再生を試みた．Fig. 9 に作製したホログラムの物
体モデルを示す．このモデルでは市松模様の背景のHologram

前に二つの三角形ポリゴンが垂直に立っており，ホHologram

ログラム面に対してそれぞれ 60[deg], 80[deg] 傾い

Fig. 9 The object model in bird’s view (a) and topている．このホログラムを向かって右方向から覗きview (b).

込んだ場合，三角形の一部は重なり合っているが，左方向から見た場合，三角形の隙間を通して背景がの隠面消去”, 電子情報通信学会論文誌 D-II, J87-DII, pp. 1487–1494 (2004).
[4] K. Matsushima, H. Schimmel and F. Wyrowski:“Fast calculation method for optical diﬀraction on
tilted planes by use of the angular spectrum ofplane waves”, J. Opt. Soc. Am., A20, pp. 1755–1762 (2003).
[5] K. Matsushima: “Computer-generated hologramsfor three-dimensional surface objects with shadeand texture”, Appl. Opt. (2005). in press.
[6] 松島, 近藤：“波面展開法を用いた表面モデル CGH の高速計算法 II”, 3 次元画像コンファレンス 2002, pp.
213–216 (2002).
[7] 山中, 松島：“デジタル合成ホログラム用高解像度プリンタの高精度化”, 映像情報メディア学会誌, 58, pp.
1665–1668 (2004).

見えなければならない．
作製したホログラムは 16384 ×4096 ピクセルであり，各ピクセルは 1.5µm×3.0µm のサイズである．
作製には専用フリンジプリンタを用いた [7]．このホログラムに 633nm の再生照明光を照射して光学再生した結果を Fig. 10 に示す．(a) は左方向，(b)は右方向から撮影した写真であり，予想通りの結果が得られていることがわかる．

6まとめCG では「絵描きのアルゴリズム (Painter’s algorithm)」と呼ばれる隠面消去法がある．本研究では，類似の手法を用いて物体空間の奥から手前に向(a)かって計算を行うことにより，隠面消去する手法を提案した．またこのとき，各ポリゴンによる光波遮蔽をシルエット近似を用いずに行うことにより，光波の漏洩のない完全な隠面消去を可能とした．さらに，表面光波回折法と組み合わせ，ポリゴン間の光波伝達をフーリエ空間で行うことにより，計算量を2FFT/polygon にまで削減した．

(b)

参考文献
[1] 高瀬, 坂本, 青木：“光線の到来方向を考慮した z バッ
ファによる計算機合成ホログラムの高速隠面消去”,
映情学誌, 57, pp. 483–489 (2003).
[2] A. W. Lohmann: “Three-dimensional propertiesof wave-ﬁelds”, Optik, 51, pp. 105–117 (1978).
[3] 近藤, 松島：“シルエット近似を用いた全方向視差 CGH

Fig. 10 Optical reconstruction of the fabricatedhologram.

4