計測自動制御学会東北支部 節1占2回研究集会（199丘7．19）
資料番号1占エーコ

構造物のホモロジー設計（ホモロガス振動の実現条件）

HomologyI）esign forVibrationControlofStru亡ture○粗 相賢（秋田犬院〕

大日方 五郎（秋田犬）OsangHyun・CHO

Goro OBINATA

SchoolofEngiT］eenngandMiningT亡Clm0logy．AkitaUnivcrsity．AkitaOlO
Key Words：VibratioT］Control・Homo）ogyDesiBn・PassiveContro］・Ho）onomicCo71Slraint．ZemingProb】cm，UnobservableSpace．

連絡先：〒010 秋田県秋田市手形芋学園町1−1
秋田大学 鉱山学部 機械工学科 大日方研究室
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1．はじめに振動モード（HomoIogot］SVibrationmo血）を実現する人工衛星、宇宙ステーション、宇宙プラットホー構造物の設計問題について検討する。

ムなどの宇宙楠題物をはじめ、多くの分野にわたる構造物の動特性が線形な状態方程式で実現できる構造物の軽量化と大型化の要求が高まっている。軽場合、この設計問題は拘束条件に伴う空間を構造物量大型化に伴う問題点として、剛性の低下を引き起の設計パラメータにより、不可観測部分空間（Umob−

こすことや低い周波数への弾性振動が発生してしまSeⅣ血Ie5ubspa亡e）に包含させることができるかといい、システムの機能に意影響を及ぼす場合が多く、う問題に帰着される（3）（や。この間題については制御理その弾性振動に対する制御が必要となる。アクティ論の幾何学的なアプローチによる「出力零化問題

ブ制御やダンパなどによって構造系の振動を完全に（Z打0叫g）」として解かれている問題であり、状態抑制することは、構造物に流人するエネルギーを完ベクトルフィードバックにより、それを実現するた全に散逸させることであるから、それを行うことはめの必要十分条件が種々明らかにされている困難であり、望ましくない場合が多い。宇宙横道物

しかしながら、構造物の中の設計パラメータは、（珊）即）のアンテナなどに見られるように、振動振幅の抑制

状態ベクトルフィードバックとは異なる形の静的なではなく、部材の振動する方向が一定となることが出力フィードバックの構造でシステムの動特性に寄求められる場合がある仰㌔これらは、振動エネルギー与している場合が多い。そこで、本研究では出力零をできるだけ自然に散逸させ、構造物の儲能に関わ化問題の結果などに基づいて構造物のパラメータ設る振動モード形状を制御する問題として定式化する計により、ホモロガス振動モードを実現するためのことができる。本研兜では、線形ホロノーム拘束条件（Linearho］0710mic叩IStraint）を満たすホモロガス条件を明らかにする。

ー1−。

2．拘束条件を満足する線形システムと出力零化問題

ここに、九lと人ユは同じ固有値を持たないような任意の対角行列である。
次に、構造物に対する線形化方程式は、次式のように与えられる場合が多い。

次のような〃次元の線形自律系に対し、ゼ次元の線形ホロノーム拘束条件について考える。

〟亘＋C亘＋∬甘 栗 且昆
曳 ＝」∬」 ∈訳【〃豆 ＝ 0（10）（ユ）〃 ∈況J【定理1】系（2）が拘束条件（3）を満足するため

ここに、状態量留と亘は（5）式と同様に部分空間上で正規化された〃／三次元のベクトルとし、Uは朋次元のアクチュエータの発生ベクトルとして、状態方には、システム行列」は次の条件が成り立つ（叩。

程式に変換すると次式となる。

（3）」＿ G￣1AG0

三 J月′2二ーコ■

dctG ≠ 0I

U（11）

（4）

この系に関する（3）式のような線形ホロノーム拘束条件が課されたと卓の出力

ここで、九は任意の対角行列である。
次に、幾何学的なアブロ「チの方法に基づいて、

γ一［〃 こ 0］‡系（2）に関する状態ベクトルェを変位と速度の部分空間上で、次のように正規化される場合、を常にゼロとなる問題について考える。
この間題は、システム（11）に与えられる初期値や外乱に対して、状態フィードバックによって出力

輝曾，亘∈況2 （5）J＝ 甘◎亘γを恒等的にゼロとする、つまりγ仙＝0（V∫）とする制御問題として、与えられる最大不可観測部分空間に含まれるかどうかの問題である〔りり0）。もし、システム行列」は不可観測空間に含まれるなら、モのときのフィードバック制御別の求め方と存在するための必要十分条

0：J．」 買（1ユ）件が種々に明らかにされている（5）（榊）（9）。

l￣￣￣￣l￣￣￣￣（6）システム（11）が次の条件を満たすなら、」21；」刀と表わされ、それぞれのBlo亡k要素は伍／ユ）x（Jl／ヱ）次元の行列であり、式（3）に対応したホロノーム拘束ガ

条件を〃ヴ ＝ 0システム（11）ほ零点を持たないことになる。

〃 ∈訳f （7）もし、システムが零点与持たずに、行列ヱと拘束条件茸の次元が次式のようである場合は、とした場合、次のことが知られている鞘10）。
【定理2】Block要素d封，」虻が次式を満足するな

相成咋ノ＞ r虎J止〔打Jら、拘束条件（7）が満たされる。

」211−G−1Al九王G

与える初期値や外乱に対する拘束条件付の（1ヱ）式の出力を、常にゼロとする状態フィードバックは必4z＝G￣1情1＋AユノGず存在する即句。

ーユ．

く14〕

ここに、〟．軋．C∫．乱，Cβ．入（人l），A（九エ），〟が与そのときの最大不可観測部分空間は、えられるとき、次の条件

rd止「叫 ＝ 和正材ノーrd止「」叫（15）∑片＞ 0、∑凸 ＞ 0（2ユ）で求められる。特に、行列且の階級が伍／2）の場合は、不可観測部分空間と一致することになるので、定理2を満たす状態フィードバックが存在する即10）。
（ヱ3）3．構造物のパラメトリゼーションとホモロガス振動の実現条件

Al、九ユ r：対角行列

（ユ4）

●

構造物に対する線形方程式が次のように蓋わされ、を満たし、かつ（罰）（ユ1）式を満たす行列∑∬．∑皿．G。．
九】．Alの存在条件を明らかにすることであり、もし〟す＋β亘＋片曾 ＝ 0存在する場合、その解を求める問題となる。この間
題は、行列の標準的問題ではないので、解法を検討（1占）システムの設計パラメータを〟．上）．∬と仮定すると、中であるが、求めようとする行列のいくつかを仮定

定理2に基づき、次のことが得られる。

すると容易に解を求められる形をしている。

【定理さ】次の関係を満たすような設計パラメータ〟．β．gが存在すると仮定する。

4．簡単な例
Fig，1のような質量とバネの基本要素で構成される−〟−1且・＝一G−1Al九ユG（17）−〟￣1β＝ G￣1（九1＋Aユ）G（1即システムについて考える。

十竺ゝ

このとき、構造物は拘束条件（3）を満たす。さらに、几l，人工が安定な固有値を持つとき、構造物は安定である（〟，β，gが物理的に実現可能であるとき、Aい人ユの固有値は安定である）。しかし、行列〟．エ仁」だは一般に自由な値を取ることはできず、「蓬−次のような形に拘束されているのが普通である（設計パラメータを〟と考えた場合）。
Fig．1Example of Stru亡ture
月〟∑〟C〟（19）

この系にバネ定数を上．一上ユとし、初期値をい0としここに、月〟．亡〟は定数行列であり、∑〟は伍ノヱ）x〔乃ノユ）の対角行列であり、その要素が一般化質量となっている。行列β，gの場合には、対角行列∑の大きさが、バネやダンパの配置数によって異なた場合の如0ト鶴（0）暮0，亘l（0）一々ユ（0）−0に対する自由振動は対称的な運動に支配され、次式を満足する。

る。今、問題の定式化を簡単にするため、〟は定数

ヴ1￠）一甘之（り＝0．∀r≧0 （慧）

行列とし、設計パラメータは8．gだけとした場合に対するホモロガス振動を実現することについて考もし、Fi旦．1の系に（ユ5）式を満足しない非対称のえる。

【問題】次の二つの等式を仮定する。

連動を支配する動特性モードが高減衰特性を持たせるように、この構造にダンパを配置すると、非対称ー〟−1β∬∑∬C∬1−G−1Al九壬G 印）

な初期値や外乱により励振された非対称モードが減衰して、最終的には（25）式を満たす対称な振動に支配されることが直感的にわかる。

−〟￣1月凸∑。C。− G￣1（Al十人2）G（21）−3−この簡単な例から理解できるように、構造物では容参 考 文 献

易に線形ホロノーム拘束を実現することができる一方、その拘束条件は構造に強く依存しているので、（1）森本ほれ三菱電機技報，Vol・5占，No・7，Pp・17／21，自由に設定できないことも明らかである。

198ヱ（ユ）吉川ほか，牡枚挙全通常総会論文集，柚．96−1（Ⅳ），
pp．揖3／占34，19郎

5．おわりに構造物のホモロジー設計のために、拘束条件を満（3）美多，計測自動制御論文集，Vol・11−3，pP．354／3占0，

たす線形システムの条件に基づいて構造物のパラメー

1975

タが満たすべき条件を明らかにした。この条件を満たすパラメータを求める方法は今後の課題であるが、その十分条件に基づく設計法は、いくつかのものが容易に導かれる。F料1の例からもわかる通り、この（占）美多ほか，電気学会論文誌C，pp．17／ユ6」如

間題は拘束条件が自然である限り解が直感的に求め（7）C．T．Chen，Holt，ReinhrlandW主1tStOn，Tnc・，1970

られる。本報告で定式化された問題の解がより複雑（即成清ほか，計測と制御，Vol．18ヰpp・371／377，198ユ

なシステムの「自然な拘束条件」を明らかにするこ（9）H．Hem帥Ii，et．aL，正EETraJIS．Aulo．Contr．，Vol■24，
No．4，pp．5ユ6／535，1979（4）小林ほれ計測自動制御論文集，Vol．17−2，pp・168／175，1981（5）古田ほか，オーム社，第5章，1開4とが期待できる。

（10）Al．Ccranowjcz，el．aJ．，rEEETrans．Auto・Contr・，Vol．25，No．6，Pp．110ユ／1111，1粥0

ー4−