䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣃䢳䢯䢲䢷柔軟 3 本指ロボットハンドによる仮想フレームを用いた対象物体の位置・姿勢制御○田原健二（九州大, 理研） 有本卓（理研, 立命館大） 吉田守夫（理研）

Object Position and Orientation Control using a Virtual Frameby a Triple Soft-Fingered Robotic Hand
*Kenji TAHARA (Kyushu Univ./RIKEN), Suguru ARIMOTO (RIKEN/Ritsumeikan Univ.),
Morio YOSHIDA (RIKEN)
Abstract—This paper proposes new object position and orientation control methods by using a triple softﬁngered robotic hand system. In our previous works, a dynamic object grasping method without use of any
external sensing, called “Blind Grasping”, has been proposed. However, it has just realized stable object
grasping, and object position and orientation control have not yet treated, so far. In this paper, a virtual
object position and a virtual frame are introduced, and propose these control methods which need not any
external sensing. The usefulness of our proposed control methods under the existence of nonholonomic rolling
constraints is illustrated through some numerical simulation results.
Key Words: Multi-ﬁngered robotic hand, Dexterous Manipulation, Nonholonomic constraint

1.

はじめに

多指ロボットハンドによる器用な物体把持・操作は，これまで多くのロボット工学研究者を魅了してきた [1]．
しかし，未だその実現には至っていない．理由はその複雑な力学構造にあると言える．すなわち，多指ハンドによる物体把持は冗長・列駆動な系となり，複数の点接触や面接触，転がりや滑りといった様々な条件が複雑に絡み合い，見通しの良い力学系とは言い難い．よって，これまでのロボットハンドについての研究の多くは，静的・準静的な状況を仮定することにより複雑な動的部分の取り扱いを回避し，扱い易い部分のみに焦点を当て問題設定を行ってきた．しかし，本当の意味で人の手の様な器用な物体操作を実現するためには，やはり動力学の考慮は必要である．筆者らはこれまで，3本指ロボットを用いた外界センサーを必要としない動的な意味での物体把持方法を提案してきた [2]．しかし，制御手法としては安定把持のみに限定しており，把持物体の位置や姿勢についての制御手法は提案していなかった．そこで本論文では，外界センサーを用いずとも仮想的な物体の位置・姿勢を定義することで，物体の大まかな位置・姿勢制御を行う手法を提案する．仮想フレームを用いた把持物体の姿勢制御手法は， Wimböckらによって提案されたが [3]，物体と指先との転がりなどの拘束条件は考慮されておらず，指と物体の相互作用を表したダイナミクスの導出などは行っていないた
め，実際に物体が把持できるかどうかの補償はない．本
研究では，物体の仮想的な位置・姿勢の制御手法を提案し，各指先と物体との力学的な相互作用を陽に表したモデルを用いた数値シミュレーションにより，提案手法によって物体の大まかな位置・姿勢制御が実現できることを示す．

2.

柔軟 3 本指ロボットによる物体把持モデル

本研究で用いる柔軟 3 本指ロボットによる物体把持モデルを Fig.1 に示す．示指および中指がそれぞれ 4 自由度，拇指が 5 自由度を有する 3 本の指で構成されている．指先は柔軟で半球形状とし，物体はモデルの簡➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛yqt3 Oqm1

xqm2qi2

qm3
qm4

qt1
qt2

qi1
qi3

qt4x0tx0m

qt5x0iYOc.m.
rY

ωrZZ

qi4rXXz

Fig.1 Model of the triple soft-ﬁngered robotic handsystem and a grasped object

略化のために直方体と仮定する．また，重力の影響は考慮しない．

2⋅1 転がり拘束
半球状指先と物体表面との間で生じる転がりは，速度に関する拘束条件として以下の様に表すことができる [2]．ここで以下，添え字の 𝑗 = 𝑖, 𝑚, 𝑡 はそれぞれ，示指，中指，拇指を表す．
[)((𝑟𝑖 − Δ𝑟𝑖 ) −𝜔𝑧 + 𝒓𝒁 T 𝑱Ω𝑖 𝒒˙ 𝑖 = 𝑌˙ 𝑖)((1)(𝑟𝑖 − Δ𝑟𝑖 ) 𝜔𝑦 − 𝒓𝒀 T 𝑱Ω 𝑖 𝒒˙ 𝑖 = 𝑍˙ 𝑖[)((𝑟𝑚 − Δ𝑟𝑚 ) 𝜔𝑧 − 𝒓𝒁 T 𝑱Ω 𝑚 𝒒˙ 𝑚 = 𝑋˙ 𝑚)((2)(𝑟𝑚 − Δ𝑟𝑚 ) −𝜔𝑥 + 𝒓𝑿 T 𝑱Ω 𝑚 𝒒˙ 𝑚 = 𝑍˙ 𝑚[)((𝑟𝑡 − Δ𝑟𝑡 ) −𝜔𝑧 + 𝒓𝒁 T 𝑱Ω 𝑡 𝒒˙ 𝑡 = 𝑋˙ 𝑡)((3)(𝑟𝑡 − Δ𝑟𝑡 ) 𝜔𝑥 − 𝒓𝑿 T 𝑱Ω𝑡 𝒒˙ 𝑡 = 𝑍˙ 𝑡䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣃䢳䢯䢲䢷
上式において，𝑟𝑗 は各指先の半径，Δ𝑟𝑗 は柔軟指先の変位量，𝑌𝑖 , 𝑍𝑖 , 𝑋𝑚 , 𝑍𝑚 , 𝑋𝑡 , 𝑍𝑡 は，各指先接触面中心位置 𝒙0𝒋 から物体質量中心位置 𝑂𝑐.𝑚. までの距離を物体座標系の各軸 𝑋, 𝑌, 𝑍 へ射影した値として以下の様に表される．

⎡

𝑌𝑖 = −𝒓𝒀 T(𝒙−𝒙0𝑖 ),𝑍𝑖 = −𝒓𝒁T(𝒙−𝒙0𝑖 )⎢⎣ 𝑋𝑚 = −𝒓𝑿T(𝒙−𝒙0 𝑚 ), 𝑍𝑚 = −𝒓𝒁T(𝒙−𝒙0 𝑚 )𝑋𝑡 = −𝒓𝑿T(𝒙−𝒙0𝑡 ),(4)For the triple ﬁngers{¨𝑖 +𝑯 𝑖𝒒

T+ (𝒀𝒒 T(11)
𝑖 , 𝒁𝒒 𝑖 )𝝀𝑖 = 𝒖𝑖}{
T1 ˙∂𝑇𝑚− 𝑱0 T
𝑯 𝑚 𝒒¨𝑚 +𝑯 𝑚 + 𝑺 𝑚 𝒒˙ 𝑚 +𝑚 𝒓𝒀 𝑓 𝑚2
∂ 𝒒˙ 𝑚𝑍𝑡 = −𝒓𝒁T(𝒙−𝒙0𝑡 ){また，𝒓𝑿 , 𝒓𝒀 , 𝒓𝒁 ∈ ℝ3 は，慣性座標系で表された物
体座標系の単位ベクトルであり，物体の姿勢を表す回転行列を 𝑹 とすると，

𝑹 = (𝒓𝑿 , 𝒓𝒀 , 𝒓𝒁 ) ∈ 𝑆𝑂(3)(5)¨𝑡 +𝑯𝑡𝒒⎡Δ𝑟𝑖 = (𝑟𝑖 + 𝐷𝑖 ) + 𝒓𝑿 T (𝒙 − 𝒙0 𝑖 )⎢⎣ Δ𝑟𝑚 = (𝑟𝑚 + 𝑊𝑚 ) + 𝒓𝒀 T (𝒙 − 𝒙0𝑚 )Δ𝑟𝑡 = (𝑟𝑡 + 𝑊𝑡 ) − 𝒓𝒀 T (𝒙 − 𝒙0 𝑡 )(8)

ここで 𝐷𝑖 は物体重心位置から示指側方向における物体奥行を表し，𝑊𝑚 + 𝑊𝑡 は物体幅を表している．式 (8)で表された指先変位に対する復元力の発生モデルとして，集中定数化モデル [4] を用いる．

𝑓𝑗 = 𝑘𝑓 𝑗 Δ𝑟𝑗2 + 𝑏𝑓 𝑗 Δ𝑟˙𝑗(9)

式 (9) において，𝑘𝑓 𝑗 ，𝑏𝑓 𝑗 は指先の物性や接触面積によって決まる値である．

2⋅3 捻転方向粘性モデル
指先と物体表面との間の捻転方向に関して，以下の様なエネルギー消散関数を導入する [4]．
⎡2𝑏𝑖  T⎢ 𝑇𝜔 𝑖 = 2 𝒓𝑿 (𝝎 − 𝑱𝝎 𝑖 𝒒˙ 𝑖 )
(10)
⎣

()
𝑏𝑗  T
2𝒓𝒀 𝝎 − 𝑱𝝎 𝑗 𝒒˙ 𝑗  , (𝑗 = 𝑚, 𝑡)
𝑇𝜔 𝑗 =2
ここで 𝑏𝑖,𝑗 は，指先の物性および接触面積によって決まる粘性係数を表す．

2⋅4 ダイナミクス
前節までで導出した各拘束条件や接触モデルを考慮してシステム全体のダイナミクスを導出すると，以下の様に表される．

➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛

T+ (𝑿𝒒 T𝑚 , 𝒁𝒒 𝑚 )𝝀𝑚 = 𝒖𝑚}
1 ˙∂𝑇𝑡 T+ 𝑱0 T
𝑯 𝑡 + 𝑺 𝑡 𝒒˙ 𝑡 +𝑡 𝒓𝒀 𝑓 𝑡2∂ 𝒒˙ 𝑡T+ (𝑿𝒒 T𝑡 , 𝒁𝒒 𝑡 )𝝀𝑡 = 𝒖𝑡

(12)

(13)

For the object:¨ +(𝑓𝑖 −𝜆𝑋𝑚 −𝜆𝑋𝑡 )𝒓𝑿 +(𝑓𝑚 −𝑓𝑡 −𝜆𝑌𝑖 )𝒓𝒀𝑴𝒙−(𝜆𝑍𝑖 +𝜆𝑍𝑚 +𝜆𝑍𝑡 )𝒓𝒁 = 0 (14)∑ ∂𝑇𝑗 T𝑰 𝝎˙ + 𝝎 × 𝑰𝝎 +∂𝝎𝑗=𝑖,𝑚,𝑡))( )((0−𝑍𝑚𝑍𝑡0
𝑓𝑚 + 0 𝑓𝑡+ 𝑍𝑖 𝑓𝑖 +−𝑌𝑖𝑋𝑚−𝑋𝑡)))(((𝑍𝑖00+ 0 𝜆𝑌𝑖 + −𝑍𝑚 𝜆𝑋𝑚 + −𝑍𝑡 𝜆𝑋𝑡
𝑊𝑚−𝑊𝑡−𝐷𝑖)( )(( )−𝑌𝑖−𝑊𝑚𝑊𝑡+ 𝐷𝑖 𝜆𝑍𝑖 + 𝑋𝑚 𝜆𝑍𝑚 + 𝑋𝑡 𝜆𝑍𝑡 = 0(15)として表される．式 (1) から (3) で表された転がり拘˙ 𝝎 について線形となり，束条件は，速度ベクトル 𝒒˙ 𝑗 , 𝒙,Pfaﬃan 拘束として以下の様に表すことができる．
[𝒀𝒒 𝑖 𝒒˙ 𝑖 + 𝒀𝒙 𝑖 𝒙˙ + 𝒀𝝎 𝑖 𝝎 = 0(6)𝒁𝒒 𝑖 𝒒˙ 𝑖 + 𝒁𝒙𝑖 𝒙˙ + 𝒁𝝎𝑖 𝝎 = 0[
𝑿𝒒 𝑗 𝒒˙ 𝑗 + 𝑿𝒙 𝑗 𝒙˙ + 𝑿𝝎 𝑗 𝝎 = 0, (𝑗 = 𝑚, 𝑡) (7)𝒁𝒒 𝑗 𝒒˙ 𝑗 + 𝒁𝒙𝑗 𝒙˙ + 𝒁𝝎𝑗 𝝎 = 02⋅2 押付方向の柔軟変位量
各指先の接触面中心位置における最大変位量 Δ𝑟𝑗 は，以下の様に表される．

}
1 ˙∂𝑇𝑖 T− 𝑱0 T
𝑯 𝑖 + 𝑺 𝑖 𝒒˙ 𝑖 +𝑖 𝒓𝑿 𝑓 𝑖2∂ 𝒒˙ 𝑖000

ここで 𝑯 𝑗 は各指の慣性行列，𝑴 ，𝑰 はそれぞれ把持物体の質量および慣性主軸で表された慣性テンソルである．また，𝑺 𝑗 および 𝑺 はコリオリ力，遠心力などを含む歪対称行列である．𝝀𝒋 は各指の転がりによって発生する接線方向拘束力であり，𝑓𝑗 は法線方向の把持力を表す．𝑱 0𝑗 は各指先半球中心位置に関するヤコビ行列を表している．

3.

制御則

本論文では，物体の安定把持を行うと同時に，物体の仮想的な位置・姿勢を制御する方法を提案する．まず，物体の安定把持を行う制御則を以下に示す．
安定把持制御:𝑓𝑑𝒖𝒔𝑗 = − ∑𝑟𝑗

˙𝑗𝑱0 T𝑗 (𝒙0𝑗 − 𝒙𝑴 ) − 𝑪 𝑗 𝒒(16)𝑗=𝑖,𝑚,𝑡

ここで 𝒙0𝑗 は各指の指先半球中心位置であり，𝒙𝑴 は各指先半球中心が形成する三角形の重心位置として以下の様に表される．

𝒙𝑴 =1 ∑𝒙03𝑗=𝑖,𝑚,𝑡 𝑗(17)また，𝒒˙ 𝑗 は各指の関節角速度ベクトル，𝑪 𝑗 > 0 は関
節粘性係数を表す正定対角行列，𝑓𝑑 は目標把持力を表す．次に，物体の仮想位置の制御則を以下に示す．仮想位置とは，実際の物体の重心位置は不明であるため，仮想的に安定把持制御則で用いた各指の半球中心位置によって形成される三角形の重心位置を物体の仮想的な位置とし，それを目標位置へ制御する．

䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣃䢳䢯䢲䢷
仮想位置制御:𝑟𝑗 𝑓𝑑
˙ 𝑴 } (18)𝒖𝒙 𝑗 = − ∑ 𝑱0 T
𝑗 {𝑲 𝑝𝑥 (𝒙𝑴 −𝒙𝑑 )−𝑲 𝑣𝑥 𝒙
3
𝑟𝑗
𝑗=𝑖,𝑚,𝑡

ここで 𝑲 𝑝𝑥 ，𝑲 𝑣𝑥 は位置および速度ゲインである．

3⋅1 仮想フレーム
外界センサーによる物体のオンライン姿勢情報を利用することなく姿勢制御を行うために，Fig. 2 に示す
ように，物体の仮想的な姿勢を表すための仮想フレー
˜ = (˜˜𝒀 , 𝒓˜𝒁 ) を，安定把持制御で用いた仮想𝒓𝑿 , 𝒓
ム𝑹
物体位置 𝒙𝑴 において導入する．まず，拇指と中指の指先半球中心位置間の位置ベクトルを求め，それを距離で正規化することにより仮想フレームの 𝑌˜ 軸とする．
𝒙0 𝑚 − 𝒙0 𝑡(19)𝒓˜𝒀 =∥𝒙0 𝑚 − 𝒙0 𝑡 ∥さらに，拇指−中指間，拇指−示指間の位置ベクトルの外積を求め，正規化して仮想フレームの 𝑍˜ 軸とする．

˜𝒁 =𝒓(𝒙0 𝑚 − 𝒙0 𝑡 ) × (𝒙0 𝑚 − 𝒙0 𝑡 )∥(𝒙0𝑚 − 𝒙0𝑡 ) × (𝒙0𝑚 − 𝒙0𝑡 )∥ここで 𝑲𝑿 ，𝑲𝒀 は正定対角行列である．今，Δ˜𝒓𝑿 ，Δ˜𝒓𝒀 の時間微分を考慮すると，⎡∑ ∂Δ˜∑d𝒓𝑿Δ˜𝒓𝑿 =𝒒˙ 𝑗 =𝑱 𝒓𝑿 𝑞𝑗 𝑱0 𝑗 𝒒˙ 𝑗
⎢ d𝑡
∂𝒒 𝑗
⎢
𝑗=𝑖,𝑚,𝑡𝑗=𝑖,𝑚,𝑡(24)⎢ d∑ ∂Δ˜∑𝒓𝒀⎣ Δ˜𝒓𝒀 =𝒒˙ 𝑗 =𝑱 𝒓𝒀 𝑞𝑗 𝑱0 𝑗 𝒒˙ 𝑗d𝑡∂𝒒𝑗
𝑗=𝑖,𝑚,𝑡𝑗=𝑖,𝑚,𝑡となり，式 (23) と (24) の係数比較により，式 (23) は，

⎡

∂𝑃𝑋 T
T= 𝑱0 T𝒓𝑿
⎢𝑗 𝑱 𝒓𝑿 𝑞𝑗 𝑲 𝑋 Δ˜⎢ ∂𝒒 𝑗⎢⎣ ∂𝑃𝑌 T
T= 𝑱0 T𝒓𝒀𝑗 𝑱 𝒓𝒀 𝑞𝑗 𝑲 𝑌 Δ˜
∂𝒒 𝑗(25)と変形することができる．式 (25) を用いて，姿勢制御を行うための制御入力を以下の様に構築する．
仮想姿勢制御:(20)

T𝒖𝒓 𝑗 = −𝑱0 T
𝒓𝑿 + 𝑱 T𝒓𝒀 ) (26)𝒓𝒀 𝑞𝑗𝑲 𝑌 Δ˜𝑗 (𝑱 𝒓𝑿 𝑞𝑗𝑲 𝑋 Δ˜

最後に，求めた 𝑌˜ 軸と 𝑍˜ 軸の外積を求め，同様に正規化して仮想フレームの 𝑌˜ 軸とする．

ここで 𝑱 𝒓𝑿 𝑞𝑗 ∈ ℝ3×3 ，𝑱 𝒓𝒀 𝑞𝑗 ∈ ℝ3×3 は微分操作時に生成する係数行列であるが，詳細は割愛する．最終的な制御入力は，𝒖𝒔 𝑗 ，𝒖𝒙 𝑗 ，𝒖𝒓 𝑗 を線形結合させて構成する．

𝒓˜𝑿 =˜ 𝒀 × 𝒓˜𝒁𝒓
∥˜𝒓𝒀 × 𝒓˜𝒁 ∥(21)

式 (19) から (21) で求めた仮想フレームを用いて，姿勢制御を行うための制御則を構築する．ここで仮想フ˜ は，2 つが定まれば残り 1 つは従属的に決定
レーム 𝑹
˜𝑿 ，𝒓˜𝒀 を用いる．作業空間でされるため，ここでは 𝒓の人工ポテンシャルを以下の様に設定する．
⎡1𝒓T𝒓𝑿
𝑿 𝑲 𝑋 Δ˜
⎢ 𝑃𝑋 = 2 Δ˜(22)⎣1𝒓T𝑃𝑌 = Δ˜𝑲Δ˜𝒓𝑌𝒀𝒀2˜𝒀 − 𝒓
˜𝒀 𝑑 であ
ここで Δ˜𝒓 𝑿 = 𝒓˜ 𝑿 − 𝒓˜ 𝑿𝑑 ，Δ˜𝒓𝒀 = 𝒓
˜𝑿𝑑 ，𝒓˜𝑿𝑑 は目標姿勢の仮想フレームを表していり，𝒓る．式 (22) で求めた姿勢に関する人工ポテンシャルを各指の関節角 𝒒 𝑗 で偏微分すると，以下の様に求まる．
⎡∂𝑃𝑋 T∂Δ˜
𝒓𝑿 T=𝑲 𝑋 Δ˜𝒓𝑿⎢∂𝒒 𝑗
⎢ ∂𝒒 𝑗(23)⎢∂Δ˜𝒓𝒀 T⎣ ∂𝑃𝑌 T=𝑲 𝑌 Δ˜𝒓𝒀∂𝒒 𝑗∂𝒒 𝑗Table 1 Parameters using simulations
Triple robotic ﬁngers

1st link length 𝑙𝑗1
2nd link length 𝑙𝑗2
3rd link length 𝑙𝑗3
1st link mass 𝑚𝑗1
2nd link mass 𝑚𝑗2
3rd link mass 𝑚𝑗3
1st link inertia 𝑰 𝑗1
2nd link inertia 𝑰 𝑗2
3rd link inertia 𝑰 𝑗3
Radius of ﬁngertip 𝑟𝑗
Stiﬀness coeﬃcient 𝑘𝑓 𝑗
Damping function 𝑏𝑓 𝑗
Damping function 𝑏𝑗

0.050[m]0.030[m]0.020[m]0.050[kg]0.030[kg]0.020[kg]diag(1.04, 1.04, 0.06)×10−5 [kg⋅m2 ]diag(2.25, 2.25, 0.38)×10−6 [kg⋅m2 ]diag(0.67, 0.67, 0.25)×10−6 [kg⋅m2 ]
0.010[m]3.0 × 104 [N/m2 ]1000×(2𝑟𝑗 Δ𝑟𝑗 −Δ𝑟𝑗2 )𝜋[Ns/m2 ]10×(2𝑟𝑗 Δ𝑟𝑗 −Δ𝑟𝑗2 )𝜋[Nms]

Mass 𝑚Height ℎ
Width 𝑊𝑚 + 𝑊𝑡
Depth 𝐷𝑖 + 𝑑
Ineatia 𝑰

0.05[kg]
0.035[m]0.02[m] (𝑊𝑚 = 𝑊𝑡 = 0.01[m])0.035[m] (𝐷𝑖 = 0.0175[m])diag(0.68, 1.02, 0.68)×10−5 [kg⋅m2 ]ObjectDesired pinching force and each gainr~Z = (x0i -x0t) (x0m-x0t)
x -xx -xx0i ~ ~ ( 0i 0t) ( 0m 0t)
rY rZ~x0i -x0trX = ~rY ~rZxMx0t-xx~
rY = x0m -x0tx0m-x0t0m 0tx0m~
Virtual Frame R=(r~X r~Y r~Z)
Fig.2 Deﬁnition of the virtual frame at the centroid 𝒙𝑴➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛𝑓𝑑𝑲 𝑝𝑥𝑲 𝑣𝑥
𝑲𝑋
𝑲𝑌
𝑪𝑖, 𝑪𝑚𝑪𝑡

1.0[N]diag(250, 250, 300)T0
diag(2.5, 2.5, 2.5)Tdiag(2.5, 2.5, 2.5)Tdiag(1.5, 1.5, 1.0, 0.8)×10−2diag(1.8, 1.5, 1.5, 1.0, 0.8)×10−2
Initial condition

𝒒𝑖𝒒𝑚𝒒𝑡𝒙𝝎˜𝑹(0.0, −0.91, −0.83, 0.25)T [rad](0.0, 1.09, 0.95, −0.35)T [rad](0.0, 0.0, 2.05, −0.95, −0.35)T [rad](0.005, 0.025, 0.085) [m]
0 [rad/s]
𝑰3

xMx0.01

d0.005002

Time [s]460.04

yM
yd

0.03
0.02
02

Time [s]460.09zM
zd0.08
0.07
0.06
02

Time [s]46Fig.3 Transient responses of the virtual object position 𝒙𝑴

4.

数値シミュレーション

数値シミュレーションで用いたパラメータを Table 1に示す．目標とする物体の仮想位置は一定とし，仮想姿勢は時間によって変化する点として与えた．物体の仮想位置 𝒙𝑴 の時間応答を Fig.3 に示す．図より，目標位置へ収束していることが確認できる．また，物体˜ の各列ベクトル成分 𝒓
˜𝑿 ，の仮想姿勢を表す回転行列 𝑹
𝒓˜𝒀 ，𝒓˜𝒁 の時間応答を Fig.4 に示す．図より，いくらかの誤差が残っているが，概ね目標値へ漸近していることが確認できる．これら姿勢に関する誤差は，各ゲインの調整とともに仮想フレームの設定方法によって変化するため，今後詳細な解析が必要である．Fig.5 は，把持力 𝑓𝑗 の時間応答を示している．図より，目標把持力 𝑓𝑑 =1.0[N] に対して大きく誤差が残っているが，𝑓𝑑はその把持力の値を補償するものではなく，物体と指先との間の相互作用によって変化することがわかって
おり [5]，値がゼロにならない限りは把持そのものに大きな影響はない．しかし，収束する値については，今後詳細に解析する必要がある．

5.

おわりに

本論文では，物体の仮想的な位置および姿勢を定義することによって，外界センサーなどを用いた物体情報のオンラインによる獲得を用いることなく制御が行える方法を提案し，数値シミュレーションによってその有用性を示した．しかし，姿勢に関しては幾らかの誤差が残っており，今後その詳細な解析が必要である．
また，閉ループダイナミクスの導出を行い，それらによるシステム全体の収束性について議論する必要がある．
謝辞 本研究は，日本学術振興会科学研究費補助金 基（課題番号 20360117）の交付，および次世盤研究（B）➨䢴䢹ᅇ᪥ᮏ兑兀儧儬Ꮫ఍Ꮫ⾡ㅮ₇఍凚䢴䢲䢲䢻ᖺ䢻᭶䢳䢷᪥ࠥ䢳䢹᪥凛

Virtual Unit Vector rZ Virtual Unit Vector rY Virtual Unit Vector rX0.015

1rXxrXy0.5rXz
rXxd0r

Xyd02

Time [s]4rXzd

61rYxrYy0.5rYz

rYxd0rYyd02

Time [s]4rYzd

61rZxr

Zy0.5r0rZxdZzrZyd02Time [s]

4

r

6Zzd

Fig.4 Transient responses of the virtual object frame˜ = (˜˜𝒀 , 𝒓˜𝒁 )𝑹𝒓𝑿 , 𝒓3fj [N]

Virtual Position zM [m] Virtual Position yM [m] Virtual Position xM [m]䣔䣕䣌䢴䢲䢲䢻䣃䣅䢵䣃䢳䢯䢲䢷fifm

2ft

1
00

1

2

3Time [s]456Fig.5 Transient responses of the actual pinching force 𝑓𝑗

代研究スーパースター養成プログラム（九州大学総長裁量経費）の支援により行われたものである．
[1] A. Bicchi: “Hands for dexterous manipulation androbust grasping: A diﬃcult road towards simplicity,”IEEE Trans. Robot. Automat., vol. 16, no. 6, pp. 652–662, 2000.
[2] 田原, 有本, 吉田: “3 本指ロボットを用いた物体把持における動的力/トルク平衡の実現”, 第 14 回ロボティクス・シンポジア, pp. 266–273, Mar. 2009.
[3] T. Wimböck, C. Ott, G. Hirzinger: “Passivity-based
object-level impedance control for a multiﬁngeredhand,” Proc. IEEE/RSJ Int. Conf. Intell. Robots Syst.,
pp. 4621–4627, 2006.
[4] 吉田，他: “順序関係が無い鞍関節と柔軟な指先を有する2 本指ロボットを用いた安定把持制御”, 第 26 回日本ロボット学会学術講演会予稿集, 1E2-08, Sep. 2008.
[5] S. Arimoto: “A diﬀerential-geometric approach for 2D and 3-D object grasping and manipulation,” Annual
Review in Control, Vol. 31, pp. 189–209, 2007.