ブラックホール連星系の軌道離心率が宇宙論的重力波背景輻射のスペクトラムに及ぼす影響
榎 基宏(国立天文台 天文データセンター)&長島 雅裕(長崎大学 教育学部)
astro-ph/0609377 , PTP in press§1.Introduction
様々な赤方偏移に存在するコンパクトオブジェクト連星系が放射する重力波（GW）の重ね合わせ=> 重力波背景輻射 (GWBR)として観測されうる

SMBH-SMBH : f ~ 10-9 - 10-6 Hz(e.g. Wyithe & Loeb 2003, Sesana et al. 2004, Enoki et al. 2004)
WD-WD/WD-NS : f ~ 10-5 - 10-1 Hz(e.g. Farmer & Phinney 2003)
超大質量ブラックホール(SMBH)連星からのGWBRは pulsar timing で測定できる。
=>e.g. The Parkes Pulsar Timing Array (PPTA) project*Eccentricity ?
これまでの、SMBH連星系からのGWBRの研究は、連星の軌道は全て円であると仮定されてきた。
しかし、連星系の軌道は一般には楕円になる。

• evolving SMBH binary due to dynamical friction(e.g. Fukushige et al. 1992, Zier 2006)• SMBH - IMBH (Matsubayashi et al. 2005)• SMBH binary + SMBH (Iwasawa et al. 2006)• SMBH binary + gas disk (e.g. Armitage & Natarajan 2005)
楕円軌道の連星は、軌道周波数の整数倍の周波数を持つ高調波の重力波を放射する。
重力波放射のSpectral energy distribution (SED) , や power、timescale が、軌道長半径が同じ連星であっても、軌道が円と楕円の場合で異なる。

本研究では、
Semi-analytic model ofgalaxy formation + SMBH formation (SA-model)(Nagashima et al 2001,Enoki et al 2003)

SMBH coalescence rate

GW SED from a eccentric binary

楕円軌道のSMBH連星系からのGWBRのスペクトラムを解析した。

§2.Gravitational Wave from a Binary(Peters & Mathews 1963)

軌道周波数 fp 、離心率 e でケプラー回転する連星系が放射する重力波のtotal power：

ただし、↑軌道が円である連星系が放射するGWのtotal power

*GW SED from a binary on eccentric orbit
楕円軌道の連星系は、軌道周波数の n倍の周波数( fr = nfp)の高調波を放射する: LGW,circ(M1,M2,fp) g(n,e)
g(n,e) は、高調波の各モードに分配させるエネルギー発生率の分配函数。

Jn は nth order Bessel function.

==>

The SED of GW:

*The timescale of GW from an eccentric binary
GW放射のtime scale:
The timescale emitting GW of a binary on eccentric orbit:

whereThe timescale emitting GW of a binary on a circular orbit§3. GWBG from binaries on eccentric orbits
現在のGWBRのエネルギー密度:n(z): GW源の個数密度
EGW: the energy emitted in GW from a source
fr :the GW frequency in the rest frame
f : the observed GW frequency

The characteristic amplitude of GWBG spectrum (Phinney 2001):=>連星の場合n(M1,M2,z): 連星系の個数密度

*The power spectrum of GWBG from binaries on eccentric orbits

The SED of GW:

The power spectrum of GWBR from binaries on circular orbits:

注意！ 離心率, e, は 観測される GW の周波数 f の函数

*Effects of eccentricity on GWBG
離心率の影響の強さ:

10 010 010 -1

10 -1

10 -2

10Φn

Φ

10 -2

e0 = 0.2
e0 = 0.4
e0 = 0.6
e0 = 0.8
e0 = 0.9-3

10 -401log[fr/fp,0 ]210 -3Φ
n=1n=2n=3n=4n=510 -410 -53012log[fr/fp,0]低周波数側 =>スペクトラムの振幅は小さくなる
高周波数側 =>スペクトラムの振幅は大きくなる

3§4. Power spectrum of the GWBR from SMBH binaries
SMBH 連星系の個数密度を求めるために
semi-analytic model of galaxy + SMBH formation (Enoki et al. 2003)
を使う。
fp/fp, max = 10-3 (a = 300RS)での離心率
e0=0.0-13を初期値, e0, とする。
e0=0.2e0=0.4e0=0.6e0=0.8e0=0.9log(hc)-14-15-16-17-10-9-8-7-6-5log(f [Hz])▼： the current limit from pulsar timing measurements.
（Lommen 2002）

楕円軌道であると高調波を出すので、
f ~ 1n – 1mHz で、パワースペクトラムは、小さくなる。
f ~ 1 μ Hz 付近でスペクトラムの傾きが変わるのは、BHの大きさに対応する、GWを放射できる上限値があるため。:
fp,max ~ 5×10-5 (MBH/108Msun)-1 Hz[ 3× RS (Schwarzschild radius) ]*GWBG spectrum from eccentric SMBH binaries-13

circular
fp,0/fp,max=30-3fp,0/fp,max=20-3fp,0/fp,max=10-3fp,0/fp,max= 5-3-14log(hc)log(hc)-14-15

e0=0.0e0=0.8e0=0.8, n=1
e0=0.8, n=2e0=0.8, n=3-13-15-16-16-10-9-8-7-6-17-5log(f [Hz])-10-9-8-7log(f [Hz])a = 0.5 × 10 −2 × ( M / 108 M sun )1/ 3 ( f p / 10 −8 Hz ) −2 / 3 pc()

10 4 RS ~ 0.1 M BH / 108 M sun pc-6-5

*Effects of galaxy formation processes on SMBHs
SMBHが成長する主要因は、星の材料でもある cold gasが降着である。

galaxySNe feedback*Star Formation
cold gas => star
*SNe feedback
cold gas => hot gas

cold gas

hot gascoolingaccretion

black holestarmassejection formation

star*Effects of galaxy formation processes on the GWBRSMBHが成長する主要因は、星の材料でもある cold gasが降着である。
=> Star formation & SNe feedback がSMBH連星からのGWBRのスペクトラムに大きな影響を与える。
SNe feedback strength:-13-13-14-14-15-15log(hc)log(hc)Star formation time-scale:-16-17-18-10-9-8-7-6-5log(f [Hz])Strong feedback-16-17-18

τ *,0 = 4.5 Gyrτ *,0 = 1.5 Gyr (fiducial)τ *,0 = 0.5 Gyr-19No feedback

V hot= 0 km/s
V hot= 280 km/s (fiducial)
V hot= 420 km/s

-19-4-3-10-9-8-7-6-5log(f [Hz])-4-3

*GWBG energy density from SMBH binaries
power spectrum => energy density

M BH=10 9-10 10 Msun
M BH=10 8-10 9 Msun
M BH=10 7-10 8 Msun
M BH=10 6-10 7 Msun
total

10 -710 -8

ΩGW: hc ∝ f -2/3 [e0=0: circularorbits]を仮定した場合のPPTAのfull data-setで到達できる感度。

10 -9(Jenet et al. 2006)
10 -10-9-8-7-6-5-4-3-2log(f [Hz])PPTA のfull data-set なら
SMBH連星の離心率について制限を加えることができる。

▼： the current limit from pulsar timing measurements (Lommen 2002).
Thin lines: for e0=0 (circular orbits).

Thick lines: for e0 =0.8, fp,0/fmax=1/103
fmax ∝ 1/MBH

§5. Summary
・GWを出す連星系が楕円軌道であると、それらの重ねあわせである背景輻射がどうなるかを解析した。
・SA-model for galaxy + SMBH formationを用いて、楕円軌道にあるSMBH連星系が出すGWの背景輻射のパワースペクトラムを計算した。
=> SMBH連星系が楕円軌道をなす場合は、高調波の重力波を出すために、離心率が a = 300 RSで、e0 > 0.2 ならば f < 1 nHz の低周波数側 のGWBRのパワースペクトラムが、円軌道の場合に比べて小さくなる。

• 初期離心率の分布関数を求めることが重要。
• SMBH連星系からのGWBRのパワースペクトラムの全体的な形や、振幅は銀河形成過程に大いに依存する。
• PPTA project のようなpulsar timing 測定は SMBH binaries 合体率だけではなく、SMBHの離心率についても制限を与えることができる。