計測自動制御学会東北支部 第267回研究集会（2011．10．28）

資料番号267・8

IMPの構造を用いたロバスト制御系によるDCサーボモータの制御
DCServOMotorControlusingRobustController
basedonastructureofIMP○大内田俊☆，有我祐一☆，渡部慶二★，遠藤茂☆
OShunOhuchida☆，YuichiAriga★，KeijiWatanabe☆，ShigeruEndo☆
☆山形大学＊YamagataUniversity
キーワード‥モデルブリッジ制御（ModelBridgeControl），ばらつき（dispersion）
モデル誤差（ModelError），ロバスト制御（RobustControl）
連絡先‥〒992−0037 米沢市城南4・3・16 山形大学工学部応用生命システム工学科
有我研究室
大内田俊，TELO238−21−7905，E−mail：tSh35620＠st．yamagata−u．aC．jp

1．序論

この問題を解消するために，モータ特性のば

現在，様々なロボットコンテストが開催されらつきをモデル誤差として考慮して制御を行うている．その中でも，ETソフトウェアデザイン

ロバスト制御を適用することを考える．今回は，ロボットコンテスト（通称ET一ロボコン）【1】は，我々が提案しているモデルブリッジ制御（以下指定された2WDロボットをレゴマインドストMBC）【2】［31【4］を適用する．

ームNXT［1］で構成し，それを制御するソフトウ

MBCは，モデル誤差のゲインと位相の両情報

ェアのデザインを競う競技会として，組み込みを用いて誤差補償器を設計することで，従来のシステム分野では有名な大会である．

スモールゲイン定理に基づくロバスト制御（〃のこの大会で使われる2WDロボットを制作すなど）に比べ保守性が少ないという特徴を持っる際，モータ特性が揃っていないと走行性能がている．また誤差補凰 目標値応答，外乱抑制

悪く，制御しづらい機体となってしまうというといった複数の制御仕様を個々に設定できる多問題が生じる．このため一般的には，複数のモ自由度ロバスト制御系となっており，〃の制御のータ特性を測定し，特性が一致するモータを選ように高度な専門的知識を必要としないことも定してから機体を制作する．しかし，選定作業特徴である．には時間を要する，モータが故障した場合にす

本研究ではレゴマインドストームNXTのDCぐ別のモータに交換できない，モータ交換後にサーボモータを制御対象とし，モータ特性のば制御器を再設計しなければならない，という問

らつきを制御理論におけるモデル誤差の表現と題点がある．

結びつけることで，MBCによるばらつきを考慮したロバスト制御系設計法の提案をする．

2．制御対象とモータ特性の測定結果った．実験を行った各制御対象とノミナルプラ

2．1制御対象

ントのボード線図をFig．2に示す．ノミナルプ

レゴマインドストームNXTのDCサーボモー

ラントと制御対象に大きな特性の違いがみられタを制御対象としてFig．1に示す．また参考文

るが，実験した全ての制御対象の特性はほぼ一

献【5J【6】［7】から与えられるノミナルパラメータを致していることが確認できる．

Table．1に示す．なお本研究では入力を電圧，出力を角速度とし，モータの角速度制御をする．
︻叫乾ここ山つ︺一−h†︻︼101010Fr￠qu釘事￠y［r8がsec］﹃名︺宗≡左U＝＝・■・・叩・岬㌫＝ごニ‥・・…・・−・−・・・・・・−＿

18コ10ヰ．、

叩50′

ーモータ1−10（）・

モータ2

モー如

−150・

Fig．1Modelforcontrol［5】・＝・・‖ノミナルプ

ニュ知▲仙叫．

モータヰ …・モータ5−20（ト10101010

107

1が

Froquer−Cyrr∂む−ふeC］

Fig．2Errorestimates

Table．1De丘nitionofparameter⊥。

Armature0．1［H】

inductance月。 Armatureresistance麒′3．モデルブリッジ制御の構造と安定判別法

0．68562【Q］

3．1制御系の構成

Tbrqueconstant 0．31739［N・m／A】

制御対象の伝達関数を（1＋△（∫））G（∫）とする．たback electromotive
ぷ占ノforcecoefficientRotor

smomentof

0．46839［N・m／A］

だし，G（∫）∈坤）はノミナルモデルであり，目標入力に内部安定な制御を行うために虚軸上に零10▼5［Kg・椚2］

点を持たないとする．△（∫）∈坤）はモデル誤差でinertia

β Viscosityresistanceあり，（1＋△（∫））G（∫）とG（∫）の不安定極の数は等しい】．1278＊10−3

coefficient［N・m／（rad／s）］とする．この制御対象に対しFig．1の制御を考える．

Fig．10に示したノミナルモデルの運動方程式は以下のように表わされる．

Jβ＋ββ＝斤′〜。

ヽ1﹁ノエ。∫。＋月。′。＋∬ゎβ＝g。

ここで，〟（∫）∈尺（∫）は誤差補償器で〟（ ∫）G（∫）＝C（∫ト」）￣ 占とする．ただし月∈尺〃×〃，占∈尺〃，C∈尺lx〃，で（」，占）は（1）可制御，（C，月）は可観測とする．また′∈尺lx〃，点∈月〝で月一軒，パー鳥c，月−んcは安定，9。（∫），9ヵ（∫）∈月（∫）は伝達関数は安定なパラメータとする．Fig．1における各制御
G（∫）＝

（3）

尤。∫2＋（∬。＋βエ亡7）∫＋〟′杭＋β月（−（2）

器について，目標入力に対する過渡特性を′，定常特性を払で設定することができる．また外

2．2モータ特性の測定結果

数あるモータの中から適当に5つを選び，モータ特性を測定する，パラメータ同定実験を行乱に対する過渡特性をん，定常特性払で設定することができる．このようにMBCは複数の特性を個々に設定できる多自由度ロバスト制御である．

等価的に（1＋△（∫）−〟（∫））G（∫）顆）叩）が点（−1，jO）を回らないことである．ここでFig．6に示すよう0」＝e′β〝（〟）垢（〟）G（ル）P（ノ山）Ⅳ（ノの）0β＝eノβェ（の）‰（の）G（ノ〟）P（ル）〃（ノの）に，

OC＝eノβ潮軋（〟）G（ノ〟）P（ル）〃（ノ〟）0β＝eノβ〃（心）軋（〟）G（ノ〟）P（ノの）〃（ノ〟）Og＝〟（ノα）G（ル）P（ル）〃（ノ〟）以上から，仮定満たすモデル誤差に対しロバス

OF＝0丘−−1

ト安定であるためには〕領域朋C工）が点Fの左側0ノ＝〈1＋△（ノ以）わ（ノの）P（ル）〃（ノ以）に入らないことである．そこで，Fig．6で半直線とすると，gFと領域朋Cβの縁との交点をpとし，77（〟）を次のように定義する．

〟＝（（1＋△（ノα））−〟（ノα）桓（ノα）P（ノα）〃（ル）EF＝−1り（α）

ヂの最㌘の長さ霊宝芸ごとなるので，安定であるためにはすべての周波数において，点ノが点ダの左側を回らないこと＜定理1＞ロバスト安定判別法とである．

仮定2・1および2．2を満たす任意のモデル誤モデル誤差はつぎの仮定をみたすものとする．
＜仮定2．1＞差に対し，Fig．3の系がロバスト安定であるためには）次式を満たすことである．

町（〟）≦恒△（ノの）l≦勒（の），∀〟≧0（12）り（α）＜1，∀の≧0（14）ただし肘⊥（甜），脚〃（α）∈尺＜仮定2．2＞4．制御器設計法
Fig・3に示すMI∋Cの各制御器について，設計βェ（〟）≦∠（1＋△（ノの））≦β〟（α），∀以≧0（13）ただしβ⊥（α），β〟（揖）∈尺手順を以下に示す．
墜巨21【誤差補償器筆墨⊥−α⊥＜βェ（α）・鞍＜g，∀以≧0を満たすェ，g＞0を見積

0

もり，誤差補償器を次式とする．
R（ク＝0っ1，2，3）〟（∫）＝
〔l・吉∫）P

F（15）

叩選丑⊥
〟（∫）G（∫）を分解し次式とする．

B〟（∫）G（∫）＝Gノ（∫）G‖（∫）（16）

ただし】G′（∫）はインナで，G。（∫）は不安定零点をFig.G MBC stability criterion
以上の仮定から，点ノは，Fig．6に示すベクト
ルと扇形の領域」βC工）の中に存在する．ただし各点は，持たない伝達関数である・この叫∫）G（∫）をルペ∫）G（∫）＝C（〟一月）￣】占＝G′（∫）百（∫ト朝一Ⅰ占（17）とする・（F，」）は可観測とする・〟（∫）G（∫）の相対時数をvとし，時定数丁＞0を任意に選び（1＋叶り＝α、∫リ＝、，＿1∫両＋…十α】∫＋1（18）Fig・5から，Fig．3の系で〟阜）＝1＋△（∫）としたと

7●

きも目標入力r（小こ対する出力γ（∫）はγ（∫）＝〟（∫）G（∫）タ（∫）r（∫）＝C（〟一月）￣l坤＋′（∫ト月）一旬r−2。（∫）r（∫）＝C（▲ざト」十好）￣l占象（∫）恒）（6）である・外乱頼）に対する出力γ（∫）は次式となる．
γ（∫）＝［1−〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫）］〟（∫）G（∫）d（∫）＝［1＋C（〟−」＋好）￣ （尤一占9。（∫）2ム（∫））］

Fig・3AstructureofacontroIsystem×C（飢トー」＋たc）￣l∂叫∫）3．2伝達関数と安定判別法（7）

実際には叫∫けl＋△（∫）であり，Eq．6，7は次式で表

Fig・3の系は9〟（∫）＝9′，（∫）∈月（∫）とおくと一般化される．

安定化制御となり，A仲）＝1＋△のとき，状態フP（∫）

ィードバックとオブザーバーの分離性が成り立（1十△（∫））G（∫）

1凡才（∫）G（∫げ（∫）〃（∫）

つので制御系は安定である．

P（∫）〃（∫）

1＋（1＋△（∫））G（∫）

Fig．3の系の伝達関数を求めるために，伝達関1−〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫）

数表示に変換すると，Fig．4の内部モデル制御表（1＋△（∫））G（∫）タ（∫）

示を経てFig．5の内部モデルパラメリーゼーシ

P（∫）〃（∫）

1＋（1＋△（∫））G（∫）

1−〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫）

ョン表示となる．ただしP（∫）＝（1−′（∫ト」＋好）￣】占〉a（∫）

Eq．6，7が安定であるためには（4）〃（∫）＝2ニl（∫）′（凱仁一月十厄）【】庵P（∫）〃（∫）

1＋（1＋△（∫））G（∫）＋銑（刷1＋c（∫ト」＋呵￣1灯11−〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫）

（5）

である．

＝11＋〈（1＋△（∫）−〟（∫）〉G（∫）P（∫）∧1∫）］1（10）1−〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫）■▼ ト・：＼．＝＝【．l■■のナイキスト線図が原点の周りを反時計方向に，制御対象の不安定極の数だけ回ることである．
Eq．8の内l／〈1−〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫））の部分はト〟（∫）G（∫）P（∫）〃（∫）

Fig.4 IMC representation＝［1＋c（凱仁一」＋好）」（ん一占9。（∫）2占（∫））】×［1十C（∫ト」）▼▲叶（11）であるから，制御対象の不安定極を持ち，そのナイキスト線図は原点の周りを反時計方向に制御対象の不安定極の数だけ回ることがわかる．
したがって，この系が安定であるための必要十分条件はl＋〈l＋△（∫ト〟（∫）‡G（∫）P（∫）〃0））のベクトル

Fig．5IMPrepresentation

軌跡が原点を回らないことである．この条件は

5．2MEiC制御器設計

時刻歴応答をFig．8の（a）に示す．実験を行っ

Fig・7から，イ止＜β⊥（〟），鞍＜g，∀〟≧0の条件をた全てのモータに対してノミナルプラントとほ満たすよう，軋に一正が近接するようにエを設ぼ同等の応答を得られておりロバスト制御性能定する．なお今回は⊥＝0．08，g＝1とし，誤差補償が良好であることがわかる．この時の安定判別器をの結果をFig．8の（b）に示す．その結果から全てのモータがロバスト安定であることも確認でき」け（L9）＝（29）0．08j・＋l

た．
比較として誤差補償を行っていない場合の時と定め，過渡応答を決める設計パラメータは刻歴応答をFig．9の（a）に示す．実験を行った全

r＝0．1，α＝12．8とした，てのモータに対してノミナルプラントの応答には見られないオーバーシュートがあるが，モー5．3シミュレーション結果タの違いによる応答の変動はほぼ見られない．

前節において設計した制御器を用いてシミュ

これは実験で適当に選んだ5つのモータ特性がレーションを行った．なおステップ応答についほぼ一致していた為と考えられる．て観測し，その際の目標値は巾）＝10レ。d／∫】とする．

﹇でP巴︼∋ぢきコ00、5101、510

52

time［se￠〕（a）stepresponse

15
FrequenGyLrad／s〕

2D25

こIO

（b）stabilitycheckbytheorem
Fig・8 Witl一Anerrorcompensator︻￠＼罵上3ちβっロ

0．5

11．552（a）stepresponse】8†520

Frequen￠yLr8d／s〕

d洞e【se￠〕（b）stabilitycheckbytheorem
Fig・9 WithoutAnerrorcompensator2530

y＝αり由り＋α叫討 ノ￣−十‥イαl乙4＋百（19）をおき，分子の係数cノをから，制御器ゲインとして次式を得る．

1＋c（∫ノー月＋∽【1（ん一占2′（∫′）a（り）＝0（28）′＝（α、，討り▼】舛￣】yを満たすように決める．これにより，目標値入力

銑（∫）＝（αり討l′￣1軒］9′．（∫）

中）の極小こ対してト〟（∫′）q∫ノ）P（j▼J〃（∫′）＝0かつ，ここで，9r（∫）は目標入力恒）の極斗（J＝1，乙‥・，′うに対し次式とする．

叫∫′）G（∫ノ）P（・ざ′）＝1であるので〃（∫′）＝1となる．

このとき，Eq．8から〟け拉1十△（∫）であっても目標値入力に対する定常偏差は0となる．また，外乱の極に対して1一望斗）鱒′）P（旦）八佃＝0となるの々0＋ん1∫＋‥・＋ん′′▲l∫′ ￣1（22）2′（∫）＝（1＋符）ノ ￣−

で，Eq．9 より〟（可≠1＋△（∫）でも外乱に対する定常偏差0が補償される．

た′は次式を満たすように選んだ実数である．

STEP4【安定判別】定理1の条件を浦たすかどうか調べる．これ

9ノ（∫′）＝1い＝1，2⊃…，r）（23）G′（∫′）には，各周波数における領域」βC∠）を線分且Fを（1＋苓′）求め，交点の有無と，交点がある場合にはり（〟）を算出する．この計算は一般的CGアルゴリズム

これらをEq．4に代入すると，を流用することで容易に実現できる．全周波数1γ（∫）＝2日（∫）G′（小（∫）（24）

域に渡って条件を満たせば終了．満たせないとき，STEP2に戻り時定数丁を少し大きくして再計算する．となる．時定数rを小さくすることで目標値応答を早め，9r（∫）で定常偏差を0にできる．なお，上記の制御で」∵好は安定であり，制御系は安定

5．MBC制御器設計とシミュレーション結果である．

5．1誤差見積もり

STEP3【外乱抑制】

Fig．2にみられる，モータ特性のばらつきを乗

α≧0を月＋α／が虚軸上に固有値を持たないよう法的モデル誤差とし，この誤差範囲のゲインのに選び，リカッチ方程式γ（dr＋〟）＋（d＋d）y一拍rcy＝0

上下限及び位相の上下限を指定するため，Eq．12，（25）

きのボード線図をFig．7に示す．の安定化解y＝yr≧0を用いて
ん＝1℃r13に基づきそれぞれの重みを設定した．そのと（26）とする．このとき，Eq．7の月−んcの固有値は安定となる．α≧0の値を変えることで外乱に対する過渡応答を調整できる．定常偏差は0にするには，Eq．7のうちのl＋c（机上一月＋好）￣l（ん−占9。（∫）払（∫））
8の零点でコ外乱の極を消去する．そのためには，「記名 −50外乱d（∫）と目標入力巾）の極をリノ＝172っ…＝吉）と芳一100L（ ⊂．

して，−150−20010co＋CI∫十…＋cリ＿】∫∈一1銑（∫）＝（1＋帯）ぎ￣l101010Frや叩1enCy［rad、／sec〕（27）

Fig．7Errorestimates

101（l6．おわりに本研究ではMBCによるばらつきを考慮したロバスト制御系設計法を提案し，DCサーボモータの角速度制御システムに対して制御器設計及びシミュレーションを行った．その結果，良好な応答が得られた．

しかし，今回使用したモニタはばらつきが少ないために応答の変動があまり見られなかった．
これは使用したモータが新品であること，モータ特性の変化の大きな要因であるバッテリーの電圧降下を考察していないことが原因である．

今後の課題として，電圧変動も考慮した設計法を確立させる及び，ばらつきの大きい制御対象による検証を行う予定である．
【参考文献】［1］ET ロボコ ン 2011公式サイト：
http：／／www．etrobo．jp／2011／［2］渡部慶二 王蕊，村松鋭一，有我祐一：「内部モデル制御をもとにした多自由度制御」，
システム制御情報学会研究発表講演会講演

論文集，pp．40ト402，2007．
［3］王蕊，渡部慶二，村松鋭−，有我祐一，遠藤茂：「モデルブリッジ制御の体系化」−
MBC システム構造とパラメートリゼーシ
ョン→，第52回自動制御連合講演会講演論

文集，pp．230−235，2008．
【4］小野寺祐紀，有我祐一，渡部慶二，遠藤茂：「モデルブリッジ制御のによる2自由度系の振動制御」ブ 第260回計測自動制御学会，（2010）．

【5］Philo）sHomePage：
http：／／www．philohome．com／［6】NXTway−GSのモデルベース開発：
http：／／www．mathworks．com／mason／tag／pr
OXyhtml？dataid＝11804＆nleid＝56683＆pr
oduct＝ML［7］Model−Based Design fbr Electrical
Automobile Chassis Cont，rOl：

http：／／www．google．co．jp／url？sa＝t＆rct＝j＆q＝％E3％83％AA％E3％83％A2％E3％82％B3％E3％83％B3％E3％82％AB％E3％83％BC％E3％80％80nxt＆source＝Web＆cd＝3＆ved＝OCDQQFjAC＆url＝http％3A％2F％2Fww
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