計測自動制御学会東北支部 第 298 回研究集会（2015.11.18）
資料番号 298-6

Lotka-Volterra システムに対する一推定問題
An Estimation Problem for Lotka-Volterra Systems
石原正Tadashi Ishihara
福島大学
Fukushima University
キ ー ワ ー ド ： ロ ト カ - ボ ル テ ラ 方 程 式 (Lotka-Volterra equation) ， 動 的 推 定 (dynamicestimation),

非線形オブザーバー (nonlinear observer),最小次元オブザーバ(minimalorder observer)
連絡先：〒960-1296 福島市金谷川 1 福島大学共生システム理工学類 石原 正，
Tel./Fax.:(024)548-8179), Email: ishihara@sss.fukushima-u.ac.jp＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

1. はじめに

２．Lotka-Volterra システム

本報告では，良く知られている 2 次元

次のような 2 次元 Lotka-Volterra システム

Lotka-Volterra システムにおいて，状態変数のを考える．

一つが測定可能であるものとし，その測定値か𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

ら他方の状態変数を動的に推定する問題を考える．

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑この問題に対する動的推定器は，非線形オブザーバの理論 1) を適用することで構成できる

𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) − 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)

(1)
(2)

ここで，𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∈ 𝑅𝑅, 𝑦𝑦(𝑡𝑡) ∈ 𝑅𝑅 であり，4 つの係数𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑は正の実数であると仮定する．と考えられるが，ここでは，非線形系に関する捕食・被捕食種モデルの場合には，𝑥𝑥(𝑡𝑡) が被こと細かな知識を前提とせず，初等的な方法で捕食種，𝑦𝑦(𝑡𝑡)が捕食種に対応する．

直接構成することを試みる．
まず，測定値の時間微分値が利用可能である

３．動的推定器の構成ものとし，誤差システムを非線形変換により線形化し，推定器を構成する．次に，測定値の微(1), (2)式において，変数𝑥𝑥(𝑡𝑡)のみが測定可能分を回避できるように推定器を再構成し，シミであるとし，その測定値から変数𝑦𝑦(𝑡𝑡)を動的にュレーションにより，構成した動的推定器の有推定する問題を考える．なお，初期値𝑥𝑥(0), 𝑦𝑦(0)効性を確認する．

1

3.2 測定値の微分を回避する構成は𝑥𝑥(𝑡𝑡) > 0, 𝑦𝑦(𝑡𝑡) > 0, (𝑡𝑡 ≥ 0)となるように選ば

命題１で与えられる推定器は非線形最小次れていると仮定する．

3.1 測定値の微分値を利用する構成

元オブザーバーの一種とみなせる．線形系に対変数𝑦𝑦(𝑡𝑡)の推定値を𝑦𝑦�(𝑡𝑡)とし，次のようなする最小次元オブザーバの構成に用いられた

𝑑𝑑𝑦𝑦�(𝑡𝑡) = −𝑐𝑐𝑦𝑦�(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦�(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑

される測定値𝑥𝑥(𝑡𝑡)の微分を以下のように回避

手法 2)を拡張することにより， (3)式で必要と構造の動的推定器を考える．

+𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)] �𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) − 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑

できる．
命題 2：(3)式で与えられる推定値𝑦𝑦�(𝑡𝑡)は次のよ(3)うに求めることも可能である．
𝑦𝑦�(𝑡𝑡) = 𝑧𝑧(𝑡𝑡) − 𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]+ 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡)𝑦𝑦�(𝑡𝑡)�

ここで，𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]は測定値𝑥𝑥(𝑡𝑡)の非線形関数

ここで，𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]は推定ゲインであり，推定値𝑦𝑦�(𝑡𝑡)が漸近的に𝑦𝑦(𝑡𝑡)に一致するように選ぶ．次𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)] =の結果は，測定値の非線形変換による推定ゲイ𝑑𝑑𝑧𝑧(𝑡𝑡) = −𝜆𝜆𝑧𝑧(𝑡𝑡) − 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]𝑑𝑑𝑑𝑑

次のように選ぶ．
𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)] =𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡)−𝑏𝑏(4)

証明：明らかに，(4)式と(9)式の間には
(5)

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)] = −𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)] 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑(11)𝑧𝑧(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦�(𝑡𝑡) + 𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](12)は．任意の初期推定値𝑦𝑦�(0)に対して，𝑡𝑡 → ∞での関係が成立する．変数𝑧𝑧(𝑡𝑡)を分方程式を満たす．と定義すると，(3), (11)式から0 に収束する．

証明：(2), (3)式から，推定誤差𝑦𝑦�(𝑡𝑡)は次の微
𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦�(𝑡𝑡) = �−𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑧𝑧(𝑡𝑡) = −𝑐𝑐𝑦𝑦�(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦�(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑(6)− 𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]− 𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡)� 𝑦𝑦�(𝑡𝑡)が得られる．さらに，(12)式を用いて，𝑦𝑦�(𝑡𝑡)を差方程式は次のように線形化される．

消去すると

(7)

𝑑𝑑𝑧𝑧(𝑡𝑡) = {𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡)𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)] −𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑

すなわち，λ > 0に対して，推定ゲインを(4)式のように選ぶと，推定誤差の 0 への収束が保証される．

(13)

× [𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) − 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡)𝑦𝑦�(𝑡𝑡)]

ここで，(4)式の推定ゲインを用いると，推定誤
𝑑𝑑𝑦𝑦�(𝑡𝑡) = −𝜆𝜆𝑦𝑦�(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑(10)+𝜆𝜆𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]

このとき，(3)式の推定器の推定誤差𝑦𝑦�(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) − 𝑦𝑦�(𝑡𝑡)(9)成される．

命題１：λ > 0に対して，推定ゲイン𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]をｄ𝜆𝜆 − 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑏𝑏𝑏𝑏であり，変数𝑧𝑧(𝑡𝑡)は次の動的システムにより生ンの決定法を与えている．

ｃ − 𝜆𝜆(8)+𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)}{𝑧𝑧(𝑡𝑡) − 𝜃𝜃[𝑥𝑥(𝑡𝑡)]}■2−𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑘𝑘[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](14)

Fig. 2 Estimation result for 𝜆𝜆 = 0.5

Fig. 1 Evolution of 𝑥𝑥(𝑡𝑡) and 𝑦𝑦(𝑡𝑡)が得られる．上式へ(4)式を用いると(10)式が導かれる．

■

4．数値例
前節で構成した動的推定器の有効性をScilab/Xcos を用いた数値シミュレーションにより確認する．
(1), (2)式で𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = 1, 𝑐𝑐 = 3, 𝑑𝑑 = 1

Fig. 3 Estimation result for 𝜆𝜆 = 1とした Lotka-Volterra システムを考える．初期値は𝑥𝑥(0) = 5, 𝑦𝑦(0) = 1

に対する拡張について検討する必要があろう．と設定した．

謝辞

Fig.1 にこの場合の𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)の推移を示す．

推定誤差を支配するパラメータ𝜆𝜆を 0.5 とし，数値計算にご協力頂いた川田慶一氏に感謝

初 期 推 定 値 を𝑦𝑦�(0) = 3 と し た 場 合 の 推 定 値致します．

𝑦𝑦�(𝑡𝑡)と真値𝑦𝑦(𝑡𝑡)の推移を Fig.2 に示す．また，参考文献

メータ𝜆𝜆を増加させると，推定値の真値への収1) A.

𝜆𝜆 = 1とした場合の結果を Fig. 3 に示す．パラJ.

KrenerandW.

Respondek:束が速まることが確認できる．

Nonlinear observers with linearizable

5．おわりに

error dynamics, SIAM. J. Control andOptimization, 23-2, 197/216, (1985)

2 次元 Lotka-Volterra システムに対する動

2) D, G, Luenberger: An introduction to

的推定器の構成について考察した．今後，確率observers,的システムとしての定式化や 3 次元以上の系

IEEETransactions

on

Automatic Control, 16-6, 596/602, (1971)
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