クラインの壺の二重被覆, 四重被覆の決定とその関係性
橋本 誠吾(表現論研究室)

February, 17, 2016橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

1 / 15

Introduction

紋様と被覆空間橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

2 / 15

Introduction

紋様と被覆空間
様々な紋様

←−

橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

2 / 15

Introduction

紋様と被覆空間
様々な紋様←−

紋様のように図形のコピーを多数張り合わせた空間を “被覆空間” という. （上の三つの紋様は全ての基本となる絵柄がクラインの壺によって与えられた被覆空間である.）

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

2 / 15

Introduction

疑問 紋様の違いをどのように捉えて, 分類すれば良いか？

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

3 / 15

Introduction

疑問 紋様の違いをどのように捉えて, 分類すれば良いか？

ww
紋様は被覆空間の視点から捉えることができる.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

3 / 15

Introduction

疑問 紋様の違いをどのように捉えて, 分類すれば良いか？

ww
紋様は被覆空間の視点から捉えることができる.

ww
今回は基本となる絵柄をクラインの壺に固定し,それをもとにした被覆空間にはどのようなものがあり,どのくらいの種類が存在するのかを調べることにした.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

3 / 15

Introduction

疑問 紋様の違いをどのように捉えて, 分類すれば良いか？

ww
紋様は被覆空間の視点から捉えることができる.

ww
今回は基本となる絵柄をクラインの壺に固定し,それをもとにした被覆空間にはどのようなものがあり,どのくらいの種類が存在するのかを調べることにした.

ww
どうやって？  どうやって？
基本群を用いて調べることができる!!

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

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The Fundamental Group of Klein Bottle

ホモトピーと基本群
f* g

道ff

閉道=⇒

道の積gf ≃rel gg

端点を固定してホモトープ



定義（基本群）位相空間 X 内の閉道 f に対し, [f ] := { g | f ≃rel g} とする.
π1 (X, x0 ) := { [f ] | f は x0 を基点とする閉道 } を x0 を基点とする
X の基本群という.
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

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The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺とは同一視

同一視−→−→

クラインの壺 Kb

トーラス T

正方形 [0, 1] × [0, 1] の対辺を上図左のように同一視して得られる図形
をクラインの壺（Kb と書く）, 上図右のように同一視して得られる図形をトーラス（T と書く）という. クラインの壺やトーラスは R2 の商空間として取り扱うことができる.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

5 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=

橋本 誠吾

(表現論研究室)

VU ∩V∪

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

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The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=U ∩V

∪

αU −→

Vβ=αβ

橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=

β=αU ∩V

∪

αU −→

V

基本群は ⟨α, β⟩ ∼=Z∗Zβ

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=β=αU ∩V∪αU −→

V

基本群は ⟨α, β⟩ ∼=Z∗Z

βV−→

橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=

β=αU ∩V∪αU −→

V

基本群は ⟨α, β⟩ ∼=Z∗Z

βV−→

橋本 誠吾

基本群は自明な基本群 {1}(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=β=αU ∩V∪αU −→V

基本群は ⟨α, β⟩ ∼=Z∗ZβV−→U ∩V

基本群は自明な基本群 {1}−→橋本 誠吾

γ(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottle

クラインの壺の基本群
KbU=β=αU ∩V∪αU −→

V

基本群は ⟨α, β⟩ ∼=Z∗Z

βV−→

U ∩V

基本群は自明な基本群 {1}−→橋本 誠吾

基本群は ⟨γ⟩ ∼=Zγ

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Fundamental Group of Klein Bottleクラインの壺の基本群
KbU=β=αU ∩V∪αU −→V

基本群は ⟨α, β⟩ ∼=Z∗ZβV−→U ∩V

基本群は自明な基本群 {1}−→基本群は ⟨γ⟩ ∼=Zγ

よってクラインの壺の基本群は ⟨α, β | αβαβ −1 = e⟩橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

6 / 15

The Classification of Covering Spaces

被覆空間と分類定理
e を位相空間とし, p : X−→Xeを連続写像とする.
X, X

橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

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The Classification of Covering Spaces

被覆空間と分類定理
e を位相空間とし, p : X−→Xeを連続写像とする.
X, X
X の開集合の disjoint 和≀

X の開集合 Uαp による引き戻し⊔⊔ ・・・

それぞれが p により Uα と同相e p) を X の被覆空上図のような開集合の族で X を被覆できるとき, 組 (X,( −1 )間といい, 任意の x ∈ X に対し, ♯ p (x) = n のとき, n 重被覆という.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

7 / 15

The Classification of Covering Spaces

被覆空間と分類定理
e を位相空間とし, p : X−→Xeを連続写像とする.
X, X
X の開集合の disjoint 和≀

X の開集合 Uαp による引き戻し⊔⊔ ・・・

それぞれが p により Uα と同相e p) を X の被覆空上図のような開集合の族で X を被覆できるとき, 組 (X,( −1 )間といい, 任意の x ∈ X に対し, ♯ p (x) = n のとき, n 重被覆という.

定義（被覆同型）e p1 ),(Ye , p2 ) を X の被覆空間とする.
X を位相空間とし, (X,ee p1 ) と
p1 = p2 ◦ f を満たす同相写像 f : X−→
Ye が存在するとき, (X,(Ye , p2 ) は被覆同型であるという.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

7 / 15

The Classification of Covering Spaces

被覆空間と分類定理
e を位相空間とし, p : X−→Xeを連続写像とする.
X, X
X の開集合の disjoint 和≀

X の開集合 Uαp による引き戻し⊔⊔ ・・・

それぞれが p により Uα と同相e p) を X の被覆空上図のような開集合の族で X を被覆できるとき, 組 (X,( −1 )間といい, 任意の x ∈ X に対し, ♯ p (x) = n のとき, n 重被覆という.

定義（被覆同型）e p1 ),(Ye , p2 ) を X の被覆空間とする.
X を位相空間とし, (X,ee p1 ) とp1 = p2 ◦ f を満たす同相写像 f : X−→
Ye が存在するとき, (X,(Ye , p2 ) は被覆同型であるという.

問題 どのようにして被覆空間を分類すれば良いか?
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆February, 17, 2016

7 / 15The Classification of Covering Spaces

被覆空間の分類定理

位相空間 X に対し,

{X の連結な n 重被覆の被覆同型類全体}~
w
1 対 11 対 1{π1 (X, x0 ) から Sn への推移的な反準同型の同値類全体 }橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016



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The Classification of Covering Spaces

被覆空間の分類定理

位相空間 X に対し,

{X の連結な n 重被覆の被覆同型類全体}~
w
1 対 11 対 1{π1 (X, x0 ) から Sn への推移的な反準同型の同値類全体 }

定義（推移的な反準同型）′
G を群とし, ϕ, ϕ : G−→Sn とする.
任意の g1 , g2 ∈ G に対し, ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g2 )ϕ(g1 ) となるとき, ϕを反準同型写像という.

2 つの反準同型写像 ϕ と ϕ′ が同値であるとは, ϕ′ = σ −1 ϕσ となる σ ∈ Sn が存在するときをいう.
任意の i, j ∈ {1, 2, · · · , n} に対し ϕ(g)(i) = j となる g ∈ G が存在するとき, ϕ は推移的であるという.
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

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2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆の見つけ方⃝
1 推移的な反準同型 ϕ : π1 (Kb, x0 )−→Sn の同値類 [ϕ] を求める.
()−1ϕ(α)ϕ(β)ϕ(α) ϕ(β)=eとなる推移的な反準同型を探す. 条件を満たす反準同型 ϕ の同値類を()C ϕ(α), ϕ(β) と記述する.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

9 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆の見つけ方⃝1 推移的な反準同型 ϕ : π1 (Kb, x0 )−→Sn の同値類 [ϕ] を求める.
()−1ϕ(α)ϕ(β)ϕ(α) ϕ(β)=eとなる推移的な反準同型を探す. 条件を満たす反準同型 ϕ の同値類を()
C ϕ(α), ϕ(β) と記述する.
結果 ・二重被覆は()()()
c1 = C (1 2), e , c2 = C e, (1 2) , c3 = C (1 2), (1 2)に対応する 3 個橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

9 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆の見つけ方⃝1 推移的な反準同型 ϕ : π1 (Kb, x0 )−→Sn の同値類 [ϕ] を求める.
()−1ϕ(α)ϕ(β)ϕ(α) ϕ(β)=eとなる推移的な反準同型を探す. 条件を満たす反準同型 ϕ の同値類を()
C ϕ(α), ϕ(β) と記述する.
結果 ・二重被覆は()()()
c1 = C (1 2), e , c2 = C e, (1 2) , c3 = C (1 2), (1 2)に対応する 3 個・四重被覆は()()
c4 = C e, (1 2 3 4) , c5 = C (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) ,()()
c6 = C (1 3)(2 4), (1 2 3 4) , c7 = C (1 2 3 4), (1 4)(2 3)に対応する 4 個
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 2016

9 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle⃝
2 対応する被覆空間の形状を推察する.
()
c7 = C (1 2 3 4), (1 4)(2 3) に対応する被覆空間を求めてみよう.
考えたい空間は次の二つの性質を持つ.

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201610 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle⃝
2 対応する被覆空間の形状を推察する.
()
c7 = C (1 2 3 4), (1 4)(2 3) に対応する被覆空間を求めてみよう.
考えたい空間は次の二つの性質を持つ.
四つのクラインの壺が貼り合わされている.
⇒ 空間がトーラスまたはクラインの壺であると推測.
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201610 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle⃝
2 対応する被覆空間の形状を推察する.
()
c7 = C (1 2 3 4), (1 4)(2 3) に対応する被覆空間を求めてみよう.
考えたい空間は次の二つの性質を持つ.
四つのクラインの壺が貼り合わされている.
⇒ 空間がトーラスまたはクラインの壺であると推測.
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
貼り合わされている四つのクラインの壺の (0, 0) に相当する点をxi (i ∈ {1, 2, 3, 4}) とする. 各クラインの壺に α, β と同様のものを考え, xi が
α によって x1 →x2 →x3 →x4 →x1 ,β によって x1 →x4 →x1 , x2 →x3 →x2 と写るように貼り合わされている.
結果 :

橋本 誠吾

(表現論研究室)

11423324

11
クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

結果:February, 17, 201611 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle⃝3 被覆写像を求める.
ℝ2ℝ2f

商写像 pkKb

商写像 pkKb
被覆写像p7

上図のような R2 上の同相写像 f を定め, f により誘導される写像 p を考えればよい. この (Kb, p7 ) が c7 に対応する被覆空間となっている.
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201612 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

同様にして c1 から c6 に対応する被覆空間が次のように得られた.
・二重被覆（上から c1 , c2 , c3 に対応）
被覆写像

p1(Kb, p1 ) :被覆写像

p2(T, p2 ) :被覆写像

p3(Kb, p3 ) :橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201613 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

・四重被覆（上から c4 , c5 , c6 に対応）
被覆写像

p4(T, p4 ) :被覆写像

p5(T, p5 ) :被覆写像

p6(T, p6 ) :橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201614 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

p1p3

p3

p1p7

橋本 誠吾

(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201615 / 15

2 and 4 Fold Covering Spaces of Klein Bottle

p1p3p3p1p7(Kb, p7 ) は上図のようにクラインの壺の二重被覆を経由して得られている. その他の四重被覆は:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
クラインの壺の二重被覆とトーラスの二重被覆を経由して得られることがわかった.
:::::::::::::::::::::
橋本 誠吾(表現論研究室)

クラインの壺の二重被覆, 四重被覆

February, 17, 201615 / 15