論文小特集 ■ 3 次元映像情報メディア技術

論 文

同時摂動型最適化法を用いた適応型誤差拡散法による計算機合成ホログラムの位相コーディング
Phase-Encoding of Computer-Generated Holograms by Adaptive ErrorDiﬀusion Algorithm Using the Simultaneous Perturbation Algorithm
松 尾 大 樹†∗ ， 正会員 松 島 恭 治†
Daiki Matsuo†∗ and Kyoji Matsushima†
Abstract

In binary phase encoding of computer-generated holograms (CGHs), quantization usually decreases the qual-

ity of the reconstructed image. For reducing the quantization and coding noises, we developed an adaptive error-diﬀusion
method by using the simultaneous perturbation algorithm in which the diﬀusion coeﬃcients are adapted for the size andlayout of the object. Furthermore, binary phase-encoded CGHs were fabricated by using a mask-transferring process. Its
optical reconstructions and numerical reconstructions in a Fourier setup were demonstrated.

キーワード：誤差拡散法, 同時摂動型最適化法, 計算機合成ホログラム, ディジタル合成ホログラム, フォトポリマー，マスク転写

1. ま え が き

光波回折法 6) なども提案されており，計算機技術の発達も相俟って，この問題は徐々に緩和されつつある．

近年のコンピュータの発達に伴い，仮想物体からの光波

次に，再生照明光の空間変調により，再生照明光を物体の回折と干渉をコンピュータによりシミュレートすること光波に変換して初めて立体像が得られる．この時の空間

によって，実在しない物体のホログラムを作成することが変調パターンを求める処理をコーディングと呼ぶ．従来可能となった．これを計算機合成ホログラム (Computer-の写真型のホログラムの基本原理では，参照光波 R(x, y)Generated Hologram, 以下 CGH) と呼ぶ．しかしながら，現在の CGH は，技術的な問題をいくつか抱えており，実用的な 3 次元画像技術として成熟するには至っていない．
ディスプレイを用途として CGH を作成するためには，
まず数値的に与えられた物体モデルからの光波 (物体光波)と物体光波 O(x, y) の干渉によりこの空間変調パターン

をホログラム面上で求める必要がある．これを光波の数値

理的には振幅変調型の空間変調パターンとなるため，必然合成と呼ぶ．ディスプレイ用の CGH ではある程度以上の的に再生照明光が減衰する．そのため，再生照明光を遮らサイズと視域角を必要とするため，実用的な CGH ではそない位相変調型の空間変調パターンを得ることが望ましい

7

I(x, y) = |R(x, y) + O(x, y)|2 を得た．これがホログラ
ム干渉縞であり，参照光波と同じ再生光波を I(x, y) で空間変調することにより，物体光波が再生されることは理論的に容易に示される．しかし，このコーディング方法では原の画素数が 10 ピクセル以上となり，光波の数値合成に莫が，CGH の様な薄いホログラムでかつ変調量が一般に量大な時間を要する．これが CGH の抱える問題点の一つと子化される場合には，このような参照光波との干渉によるなっている．しかしながら，光波の数値合成によく用いら方法で高い品質の再生像を得ることは困難である．

れる点光源モデル
案されており2)〜5)

1)

では，すでに種々の加速計算手法が提そこで CGH では，このような参照光との干渉によるの，またポリゴンそのものを面光源とするではなく，数値合成した物体光波にできるだけ近い光波に変換するための理想的な振幅，または位相の量子化変調パター

2004 年 3 月，電子情報通信学会総合大会で発表
2005 年 9 月 1 日受付，2005 年 11 月 10 日再受付，2005 年 12 月 21 日
採録
† 関西大学 工学部 先端情報電気工学科（〒 564–8680 大阪府吹田市山手町 3–3–35，TEL06–6368–0933）∗

現在，京セラ (株) 勤務† Department of Electrical Engineering and Computer Science, Kansai University∗(Yamate-cho 3–3–35, Suita, Osaka 564–8680, Japan)

KYOCERA Corp.

映像情報メディア学会誌 Vol. 60, No. 4, pp. 561〜568 (2006)

ンを得るため，反復フーリエ変換法 7)8) や，Direct Binary

Search 法 9) (以下，DBS 法)，誤差拡散法 10) 等のコーディング手法がすでに研究されている．
反復フーリエ変換法は，フーリエ変換の反復計算により位相または振幅の変調パターンを得る手法である．この手法の問題点として，多数のフーリエ変換を反復するため，莫大なサンプリング点を有するディスプレイ用 CGH では，(83) 561

計算に長時間を要することが挙げられる．DBS 法は，一般の最適化を行った．この時，拡散係数の個数を増加した場にバイナリホログラムに適用される手法であり，各ピクセ

合についても調べた．また，数値実験だけではなく，物体ルを反転する度に再生像の品質を数値的に評価し，ピクセ像が 2 次元画像の場合と立体物の場合について，位相変調

Nの組合せ中から最適解を探索する手パターンをフォトポリマーに転写する手法 13) により，実際

法である．そのため理想的には最良の変調パターンが得らにバイナリー位相型 CGH を作製し，その光学再生像を確れるが，反復フーリエ変換法以上に時間のかかる手法であ認した．

ル数 N に対して，2

り，N ∼ 107 に達するディスプレイ用 CGH では，実用的な時間で探索が終了しない．
一方，誤差拡散法 10) は，量子化した際に生じる各ピクセ

2. 位相変調型計算機合成フーリエホログラムの作成
2. 1 計算機合成フーリエホログラムの原理

ルごとの階調誤差を周期的に周囲のピクセルに分配する手計算機合成フーリエホログラム (Computer-Generated法であり，上述の反復法や探索法とは異なり，すでに拡散係数が決定されていれば，短時間にコーディングが終了す

Fourier Hologram, 以下 CGFH) の数値合成の原理を図 1に示す．CGFH は，言い換えると，フーリエ光学系で再生るという大きな利点がある．特にフーリエ型ホログラムでしたい回折光を形成する空間変調器である．この回折光には，誤差拡散法によりコーディングされた再生像には，フは再生したい像が信号として含まれている．再生したい像

リーゾーンと呼ばれるノイズが減少する領域が生じる．しを含み，CGFH のコーディング処理において入力となる複かし，従来用いられてきた固定的な拡散係数では，フリー

素振幅画像を本研究では入力画像 g(x, y) と呼ぶ．

ゾーンの形状が一定であるため，物体の位置や大きさによっ

入力画像の一部には再生したい信号を含んでおり，これては，ノイズ軽減効果が期待できない場合や逆効果になるを物体像 f (x, y) と呼ぶ．再生面において光学再生したい物場合があった．

体が 2 次元の平面画像である場合は，その振幅だけが重要

そこで本研究では，再生する物体の位置，大きさに応じたであるため，f (x, y) は実数分布として与えられる．一方，拡散係数を同時摂動型最適化法 11) (Simultaneous Pertur-

立体物を光学再生したい場合は，再生面の前後に配置した

bation Algorithm, 以下 SPA) により求める適応型誤差拡

仮想物体 (数値モデル) からの光波複素振幅を再生面上で求散法を提案する．この手法は，誤差拡散法の一種であるが，めておいて，それを物体像とする．したがって，立体物の場

再生物体の位置と大きさによって拡散係数を変化させると合には，f (x, y) は振幅と位相を含む複素振幅画像となる．

ころが，従来の誤差拡散法と異なっている．この手法では，

入力画像 g(x, y) の逆フーリエ変換

最適化された拡散係数を求めるために必要な時間は，反復G(u, v) = |G(u, v)| exp[jΦ(u, v)]

フーリエ変換法と同程度である．しかしながら，拡散係数
さえ求まっていれば，誤差拡散によるコーディング自体は= F −1 {g(x, y)}(1)

これらの手法に比べて極めて短時間で終了する．したがっがホログラム面での複素透過率分布を表す．しかしながら，て，再生物体の様々な位置と大きさに応じて，最適化した

振幅と位相の両方を変調することは一般に困難であるため，拡散係数のテーブルを事前に作成しておき，再生物体に応何らかの方法で G(u, v) の近似値となるホログラム G (u, v)

じて拡散係数を切り替えることにより，将来的には動画レをコーディングする必要がある．これは，位相型 CGH のベルでの高速コーディングも可能になると考えられる．

場合には一般にこの種の適応型誤差拡散の手法としては，すでに遺伝的アルゴリズム (Genetic Algorithm, 以下 GA) による手法 12)が提案され，効果があることが示されている．しかしながG (u, v) = exp[jΦ (u, v)]
Φ (u, v) = Q{Φ(u, v)}(2)

ら，報告されている CGH は 512 × 512 ピクセルと小型でと表される．ここで Q{·} は位相の量子化演算を表している．

実用的とは言いがたく，そのためか数値実験結果のみしかG (u, v) の位相分布を有するホログラムを作製し，その示されていない．これは，GA を用いた手法では収束が遅ホログラムをレンズを用いて，光学的フーリエ変換するこく，実用的なサイズの実際のホログラムをコーディングすとにより入力画像に類似した光学再生像 g  (x, y) を得るこることが困難であるためであると考えられる．

とができ，それには物体像が含まれている．

一方，当初ニューラルネットワークの学習則として提案

物体像 f (x, y) を埋込んだ入力画像 g(x, y) の構造を図 2された SPA の特徴はすべてのパラメータ (拡散係数) を同に示す．物体像 f (x, y) のサンプリング数を Nx × Ny と時に最適化することであり，拡散係数の個数に関わらず高する．本研究では，最終的に 2 値の位相型ホログラムを作

速な収束が期待できる．また，GA に比べて単調に収束す製するため，フーリエ変換の性質から，その再生像は同一るため，収束の判定が容易であり，本格的なサイズのホロ再生面上に点対称な共役像を含む，いわゆる双子像 (Twin

グラムに適用可能であると考えた．

image) となる．そのため，本研究では入力画像のサンプリ
ング数を M × N = 4Nx × 4Ny とし，図 2 に示す入力画
像の座標系で物体像の位置を (x0 , y0 ) とした．

本研究では，フーリエ光学系で再生できる 4096 × 4096
ピクセルの実際的なサイズの CGH に適用できる拡散係数562 (84)

映像情報メディア学会誌 Vol. 60, No. 4 (2006)

Imf (x , y )F ¢ = p

- 1

f

G ( u ,v )f

F ¢ = 00g (x , y )1

R e

図 3 位相の 2 値化
Binary quantization of phases.
図 1 計算機合成フーリエホログラムの構成
A schematic of computer-generated Fourier holograms.

A 4

A 3

A 2
A 1

y
y
f(x , y )0x

図 4 ラスタ走査A raster scan

( x 0,y 0)
N

x
0
0

（ 2 ） 誤差拡散法

g ( x ,y )誤差拡散法では，画像の各点を順次走査し，量子化により生じる複素値の誤差を拡散係数に従って，周囲のサンプ

M

図 2 物体像を埋め込んだ入力画像
An input image in which an object image is embedded.

リング点に拡散する．本研究では図 4 に示すように，x 方
向に左から右，y 方向では右端から一段上の左端へと処理していくラスタ走査を用いた．また本研究では，従来型の2. 2 位相変調型計算機合成フーリエホログラムの量子化
前節で述べたとおり G(u, v) は単純なフーリエ変換で求まるものの，それは複素振幅分布であり，そのままでは実際のホログラムとして作製できない．位相変調型ホログラ
ムでは振幅透過率は 1 であるため，|G (u, v)| ≡ 1 となる

固定的な拡散係数を用いる場合は，CGFH でも良好な結果が得られることが知られている，Floyd-Steinberg 型の拡散係数を用いた 14) ．

3. 同時摂動型最適化法を用いた適応型誤差拡散法

また本研究では，振幅分布として作製したマスクをフォ

誤差拡散法で Floyd-Steinberg 型拡散係数を用いた場合，CGFH の再生像の周辺部分に量子化ノイズが偏り，再生像

トポリマーに転写することによって，位相型の CGFH をの中央部にフリーゾーンと呼ばれる量子化ノイズの少ない

作成する方法をとっているが，この転写マスクを描画する

領域が生まれる．このように，誤差拡散法でコーディングには，多値の濃度階調を有する高解像度の描画装置が必要したホログラムの再生像の特性は，拡散係数に依存して大である．しかし，現存の機器でそれを実現するのは困難できく変わる．そこで，拡散係数自体を再生したい物体の形あるため，本研究では，高解像度の業務用印刷機器であるに合わせて変化させるのが適応型誤差拡散の考え方である．

ようにコーディングする必要がある．

イメージセッタを用いた．イメージセッタは，画像を白黒

以下，SPA を用いて拡散係数を最適化するための手順につ2 階調で描画するため，連続値の位相分布に相当する濃度分布をさらに 2 階調に量子化する必要がある．そのためのコーディング手法として，本研究では次に述べる単純 2 値
化，誤差拡散法，そして，SPA による適応型誤差拡散法のいて述べる．

3. 1 同時摂動最適化法による拡散係数の最適化アルゴリズム

SPA による拡散係数の最適化の流れを図 5 に示す．t 回

三つを用いている．

目の反復において，l 個の拡散係数 A(t) = (A1 , …, Al ) に（ 1 ） 単純 2 値化

よる誤差拡散位相コーディングを行い，フーリエ変換によ逆フーリエ変換することによって得た複素分布の振幅値
が，最大 1 になるように正規化した分布を求め，図 3 に示す
ように G(u, v) の位相角 Φ(u, v) が −π/2 < Φ(u, v) <
= π/2




の場合には，Φ (u, v) = 0，それ以外では Φ (u, v) = +πとする方法である．

り数値再生像を求め，その評価値 E を求める．次にランダ(t)

ムな摂動 cS を加えた拡散係数 AP を(t)

AP = A(t) + cS

(3)とする．ここで S = (S1 , · · · , Sl ) は +1 または −1 の乱数

論 文 □ 同時摂動型最適化法を用いた適応型誤差拡散法による計算機合成ホログラムの位相コーディング(85) 563

t
A

A

(t)
P

A
P



t+ 1

R = (t)A2
S |g (x, y)| dxdy2S |g (x, y) − βf (x, y)|

A

c S

(t)

A

(t)

(t+ 1 )

= A

(t)

dxdy

(7)

で劣化の程度を評価した．ここで，積分範囲 S として再生-a M

光波の中でも物体像を含む部分のみをとるものとする．この S/N は，物体像 f (x, y) とコーディングしたホログラム(t)の再生像に含まれる物体像部分の類似度を表しており，値が大きいほうが類似度が高く，再生像の品質が高いといえE P -1

る．なおここで，β はスケールファクタと呼ばれ，R を最E -1

大にする複素係数であり，

M( E P -1cβ=E -1 ) S

図 5 同時摂動型最適化法を用いた適応型誤差拡散法の流れ図
A ﬂow diagram of the adaptive error diﬀusion using thesimultaneous perturbation algorithm.

A 3

A 4

A 2
A 1

(a )

A 12

A 11

A 10

A 9

A 8

A 7

A 6

A 5

A 4

A 3

A 1

A 2

4

(b )

g  (x, y)f ∗ (x, y)dxdy
S 
2
S |f (x, y)| dxdy(8)と定義する．なお，物体像として 2 次元画像を用いた場合
は，再生像の振幅のみが重要で位相分布は再生像の品質に無関係であるため，複素振幅分布をその絶対値に置き換えて評価した．一方，立体物からの物体光波を物体像 f (x, y)とした場合にはその位相も重要であるため，式 (7) のとおり，複素分布としての評価を行った．
（ 2 ） エネルギー効率

1 2エネルギー効率 η は，ホログラムの再生光波全体のエネ

図 6 拡散係数パターン
Patterns of diﬀusion coeﬃcients.

ルギーに対する物体像領域のエネルギー比であり，次式で定義する．

値から成る符号ベクトル，c は摂動量を意味しており，小(t)

さな実数値である．この拡散係数 AP を用いて，同様に誤 |g (x, y)|2 dxdy
η =  S |g (x, y)|2 dxdy
H(9)

差拡散コーディングとフーリエ変換を行い再生像の評価値

ここで，積分範囲 S は式 (7) と同じであるが，H は再生

EP を求める．
次に，この E と EP の二つの評価値から，次式の修正ベ
クトル M を求める．

光波全体である．エネルギー効率は再生像の明るさを表し

M=(EP−1 − E −1 )Sc

する．すなわち，t + 1 回目の反復では拡散係数は

A

(t)

= A

− αM

とになる．
（ 3 ） SPA に用いる評価関数(4)

この修正ベクトルにゲイン係数 α を掛けて拡散係数を修正(t+1)ており，値が高いものほど明るい再生像が得られているこ

SPA の最適化に用いる評価関数 E として，次式を用いた．
E = R−1 + w · η −1

(10)

ここで，w は評価の荷重である．なお，SPA は評価関(5)数の極小解を求めるアルゴリズムであるため，S/N の逆数

R−1 とエネルギー効率の逆数 η −1 を評価値としている．

となる．ここで，ゲイン係数 α は正の定数である．以上を反復して評価値が最小となるように，拡散係数の修正を繰り返す．T 回の反復計算を終えると，最適化された拡散係

4. 数値実験とその結果
4. 1 実験パラメータ数 A(T ) が得られる．ここで，拡散係数の初期値は A(0) ≡ 0

本研究では，物体像 f (x, y) を Nx = Ny = 1024 でサと設定した．なお，摂動 c とゲイン係数 α は最適化の制御

ンプリングしたため，ホログラム全体のサンプリング数をパラメータであり，事前の試行により適切な値を選んでお3. 2 ホログラムの評価方法

M = N = 4096 とした．実験に用いた共通のパラメータを表 1 に示す．
2 次元物体像としては，図 7(a) に示す 1024 × 1024 ピク（ 1 ） S/N

セルの平面画像を用いた．一方，立体物の物体像としては，く必要がある．

コーディングしたホログラム G (u, v) の再生像

g  (x, y) = F {G (u, v)}

図 7(b) に示すワイヤーフレーム立方体からの物体光波を用(6)は元の g(x, y) に比べて劣化する．そこで次式で定義する

S/N
564 (86)

いた．この立方体は，再生面から 10[mm] 奥に位置し，その物体光波を点光源密度 5000[point/m] の漸化式を用いた
点光源法 4) によって求めている．
なお，2 次元物体像の場合は f (x, y) は位相を持たない振映像情報メディア学会誌 Vol. 60, No. 4 (2006)

(a )2
(

(b )3
)

(

(a )
S /N
)

図 7 実験に用いた物体像
Object images used in experiments.

1 2
1 7 .4 ( d B )

図 9 2 種の拡散係数パターンに対する数値再生像 (w = 0)
Numerical reconstructions of CGFHs encoded in the twopatterns of diﬀusion coeﬃcients (w = 0).

x
0

x
0

1

2

(b )

(a )
y

y

x
0

0

0

3

(d )

R -1 ( a . u .)

N

(c )

(b )
S /N

y
y

M

4
1 6 .0 ( d B )

x

4

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

図 10 反復回数に対する評価値の推移 (w = 0)
The change in values of the cost function with the numberof iteration (w = 0).

できる．これは，最適化を行うパラメータが増えたことに

図 8 入力画像中の物体像の配置
The disposition of an object image in the input image.

よって，その自由度が増したことが理由と考えられる．ま表 1 CGFH 作成に用いた主なパラメータ
Parameters used for synthesizing and fabricating CGFHs.

反復回数ほとんど変わらず，どちらにおいてもおよそ 300

入力画像のピクセル数 M × N
物体像のピクセル数 Nx × Ny
サンプリング間隔 δx, δy
再生面でのサンプリング間隔
物体像サイズ光源の波長
焦点距離4096 × 4096 [Pixel]
1024 × 1024 [Pixel]
6.25 [µm]4.99 [µm]5.10 × 5.10 [mm2 ]632.8 [nm]202 [mm]

た，図 10 より拡散係数の個数が増加しても，収束に要する回までに収束した．なお，これらのシミュレーションでは
摂動 c とゲイン係数 α に関しては，c = 0.001，α = 0.005に設定している．また，これらの最適化過程では，FFT を用いた再生像評価が計算時間の大半を占めるため，拡散係数の増加によるコーディング時間や拡散係数修正時間等の増加は，収束するまでに必要な計算時間全体にはほとんど影響しない．

幅値のみのグレースケール画像であり，そのままでは逆フーリエ変換後の複素振幅 G(u, v) の中心付近にエネルギーが以上の結果から，以後の適応型誤差拡散法はすべて拡散係数 12 個，反復回数を 300 回として最適化を行った．

集中する．これを防ぐため，f (x, y) の位相を −π から +π

4. 3 物体像の配置に対する適応にわたって一様乱数化した．一方，3 次元物体像の場合は，

入力画像中の物体像の位置に応じて，再生像のノイズ分

f (x, y) 自体が位相を持つので位相の乱数化は必要ない．

布が変化する適応型誤差拡散の効果を確認するため，図 8

4. 2 拡散係数の個数による比較に示す四つの異なった配置の入力画像を数値実験に用いた．

図 6 に示す拡散係数の個数が，4 個，12 個の 2 種類の

ここでは，これらの物体像の配置で単純 2 値化と Floyd-

拡散係数パターンにおいてそれぞれ最適化を行った．これSteinberg 型拡散係数による誤差拡散法，適応型誤差拡散法の三つのアルゴリズムでの数値再生像を求め，S/N とエ
ネルギー効率の比較を行った．図 11 の (a)〜(d) は単純 2値化による数値再生像で，(e)〜(h) が Floyd-Steinberg 型
拡散係数を用いた誤差拡散法，(i)〜(l) が w = 0 の適応型

は拡散係数の個数の増加により，ノイズ軽減効果に差があるかどうかを確めるためである．なお，本実験では物体像の配置は，図 8 に示す配置 1 の場合で最適化を行い，荷重w = 0 とした．数値計算による再生像を図 9，反復回数に対する評価値の推移を図 10 に示す．
図 9 の数値的な再生像より，拡散係数の個数が異なって

誤差拡散法による数値再生像である．なお再生像はすべてほとんど差がないことがわかる．しかし，S/N を求めると4096 × 4096 ピクセルである．これら数値再生像の S/N とエネルギー効率をそれぞれ図 12，図 13 に示す．
図 11 に示した (a)〜(d) の単純 2 値化ではノイズの分布

拡散係数の個数が多い方の値が高くなっていることが確認には偏りがなく，再生像全体に均一に生じている．そのたも，フリーゾーンの形状がわずかに異なるだけで再生像に論 文 □ 同時摂動型最適化法を用いた適応型誤差拡散法による計算機合成ホログラムの位相コーディング(87) 565

4 0

3 6 .23 5 .53 6 .33 5 .5

(% )

1
3 0

2 5 .8

2 0

S

F
1 4 .42(a )2(e )F S

1 4 .2

1 2 .6

1 5 .2

1 0

(i)

2 .1
0

1

2

3 .0

2 .2
2

3

4

図 13 物体像配置パターンに対するエネルギー効率の比較(w = 0)(b )2(f)F S(j)Energy eﬃciencies for diﬀerent dispositions of the object
image (w = 0).

3合，フリーゾーンの形状が一定で，(h) の場合などでは，物(c )2(g )F S(k )(h )F S(l)体像と量子化ノイズが重なってしまい，単純 2 値化による(d) よりも逆に再生像が劣化している．これらの結果に対して，適応型誤差拡散法の再生像 (i)〜(l) では，物体の位置に応じてフリーゾーンの形状が変化しているため，単純 24値化のように，物体画像の白色部分にノイズを生じず，ま(d )2

た，Floyd-Steinberg 型係数を用いた従来の誤差拡散法の図 11 異なった物体像配置パターンに対する数値再生像 (w = 0)
Numerical reconstructions for diﬀerent dispositions of theobject image (w = 0).

場合と比べて，物体の配置に依存せず，どのような場合でも再生像が良好になっていることがわかる．
図 12 から，単純 2 値化法では再生像の S/N がどの配置でも 11[dB] 程度で一定であったのに対して，Floyd-Steinberg

2 0

1 8 .1

1 7 .4

1 6 .91 7 .0

1 5(d B )

1 1 .3

1 0

S /N

S

ゾーン内にあるときは S/N が 13[dB] 程度まで向上することがわかる．しかし，配置 3 や 4 のように物体像がフリー

1 2 .91 1 .6型拡散係数による誤差拡散法の場合には，物体像がフリー

1 0 .6

ゾーン内から外れると，S/N が単純 2 値化よりも低下し，

1 1 .2

1 0 .5

逆効果となった．一方，本研究で提案する適応型誤差拡散F法を用いた場合，物体の位置に関わらず 17[dB] 程度以上の
6 .1

2

S/N が得られていることがわかる．

5

このように，本手法でフリーゾーンの位置や形状が再生
1 .8
0

1

2

3

画像の位置と一致して変化するのは，(7) 式で示した S/N4

図 12 物体像配置パターンに対する S/N の比較 (w = 0)
S/N ratios for diﬀerent dispositions of the object image(w = 0).

が増加するように図 5 の過程で拡散係数を修正していくためである．物体像を含む領域に設定する (7) 式の積分範囲

S 内にノイズが存在すると，S/N の評価値が低下するため，
S を含む領域内のノイズが減少する方向に修正が進むことになる．

め，特に再生像の白色部分が激しく劣化している．また当図 13 から，単純 2 値化法では物体像の配置とは無関係

然ながら，物体の位置に関わらず再生像の品質は一定であにエネルギー効率は 35[%] 程度であることがわかる．これる．一方，図 11 の (e) と (f) の Floyd-Steinberg 型拡散係

は，ノイズが再生像のほぼ全体に均一に拡散するため，そ数を用いた従来の誤差拡散法を用いた結果では，ノイズにれとともに光のエネルギーが全体に均一に拡散するためと偏りが生じ，ノイズの少ないフリーゾーンが再生像中央部考えられる．一方，Floyd-Steinberg 型拡散係数による誤に生じていることがわかる．(e) と (f) では，物体像が誤差拡散法の場合では，フリーゾーン内ではノイズだけでは差拡散法により生じたフリーゾーン内にあるため，(a) となく，光のエネルギー自体が低下する．そのため，物体像(b) よりも物体画像の白色部分にノイズが少なく，再生像がフリーゾーン内にあるときは，エネルギー効率が 3[%] 程が良好である．しかし，このような固定的な拡散係数の場度と極端に低下してしまうことがわかった．逆に，物体像566 (88)

映像情報メディア学会誌 Vol. 60, No. 4 (2006)

4 0

4 0
2

3 0

(d B )

3 0

4 8 8 [n m ]3 5 .5 ( d B )

2 0

2 0

S /N

S /N

0

1 0

2
S /N
1 1 .3 ( d B )00 .2 50 .5
w

0 .7 5

1

(% )

1 0

0

図 14 荷重 w の変化に対する S/N とエネルギー効率の推移
Changes of the S/N ratio and energy eﬃciencies with theweight w.

図 15 マスク転写法 13) によるバイナリー位相型 CGH の作製
Fabrication of binary phase-encoded CGHs by a masktransferring process13) .

イソー (株) 製の厚さ 15µm のフォトポリマー 15) を用い，事前の試行により，露光時間や露光強度の最適値を求めておいて，バイナリー位相型 CGH の作製を行った．

がフリーゾーン内から外れ周辺部に位置する場合は，ノイ5. 2 作製した位相型 CGFH の光学再生像

ズが物体像と重なって計測されるため，数値上エネルギー

作製したバイナリー位相型 CGFH の光学再生像を図 16

効率は向上しているが，この時はもちろん再生像は大きくに示す．図中に記載の S/N とエネルギー効率は，光学再生

劣化している．

像から求めた測定値ではなく，4 章のシミュレーションよ一方，本研究で提案する適応型誤差拡散法を用いた場合，り求めた計算値であり，各手法によるコーディングの質をエネルギー効率は 14[%] 程度と著しい低下はなく平均的に示している．また，3 次元入力物体では，真の像と共役像

高い値となった．このことから適応型誤差拡散法を用いるが前後に 20[mm] ずれて再生されるため，図中に白枠で示ことにより，視認性が向上した明るい再生像が得られるとした真の像の方にカメラのピントを合わせて撮影した．

考えられる．

4. 4 エネルギー効率を含めた評価関数で最適化を行っ

図 16 より，誤差拡散法によって位相コーディングした

4. 2 節と 4. 3 節の数値実験では，w = 0 とした．この場合，拡散係数の最適化を行うと，S/N を向上させることはできるが，図 13 に示すとおり，エネルギー効率の低下を引CGFH の再生像 (c)-(f) の方が，単純 2 値化の再生像 (a) と(b) より，ノイズが減少していることが確認できる．また，適応型誤差拡散法を用いたホログラムは，Floyd-Steinberg型と比べエネルギー効率が高いため，その再生像 (e) と (f)は Floyd-Steinberg 型のそれに比べて明るい再生像となり，き起こしてしまう．そこで本節では，エネルギー効率の低視認性が向上していることが確認できる．

た場合| 0 として，エネルギー効率 η を評
下を抑えるために，w =価関数に組込んで，配置 1 の場合において最適化を試みた．
荷重 w の変化に対する S/N とエネルギー効率の変化を図14 に示す．

6. む す び
本研究では，位相型の CGFH 作成の際，再生像に生じるコーディングノイズを緩和するためのコーディングアル

この結果から，荷重 w を適切に設定して最適化を行う

ゴリズムとして，誤差拡散法の拡散係数最適化に SPA をことにより，S/N をそれほど悪化させず，エネルギー効率

用いた適応型誤差拡散法を提案し，再生像の改善を試みた．

を向上できることがわかった．例えば，w の値を 0.25 とまた，4096 × 4096 という実際的なサイズのホログラムを設定したとき，S/N は 16.7[dB] であり，w = 0 の場合の作製し，光学再生を行ってその効果を確認した．

17.4[dB] と比べ，わずかに低下しているが，エネルギー効率は 19.6[%] と w = 0 の場合の 14.4[%] よりも大きく向上

拡散係数の最適化を行った場合，拡散係数の個数が多い方

していることがわかる．

が，S/N が高くなることが確認できた．SPA では全係数を5. 光学実験とその結果拡散係数の個数が 4 個，12 個の 2 種類で SPA によって同時に最適化するため，拡散係数の個数を増やしても最適化に要する評価回数はほとんど変わらず，ほぼ 300 回まで

5. 1 フォトポリマーによる位相型 CGH の作製には評価値が収束した．一方，GA では，拡散係数 4 個の光学実験では，コーディング結果の 2 値の位相分布を，透場合で最適化を行った場合，評価回数を 10000 回要するこ

過率 0 と 1 の 2 値の振幅分布としてイメージセッタで描画とが報告されている 12) ．このことより，SPA を用いた拡したものをマスクとして用い，そのパターンを屈折率分布

散係数の最適化では，処理の高速化が可能であると考えらとしてフォトポリマーに転写することにより，バイナリー

れる．

位相型 CGH を作製した 13) ．このときの転写方法は，図 15

数値実験で示された S/N は，単純 2 値化法ではどの物体像に示すとおり，マスクとフォトポリマーを密着してレーザ

配置でも一定の低い値であるのに対して，Floyd-Steinberg

光で露光するという簡単なものである．なお実験には，ダ型のような固定的な拡散係数では，物体像がフリーゾーン

論 文 □ 同時摂動型最適化法を用いた適応型誤差拡散法による計算機合成ホログラムの位相コーディング(89) 567

〔文

(a )
S /N

2
1 1 .3 ( d B )3 5 .5 ( % )(c )F S
S /N

1 1 .6 ( d B )2 .1 ( % )

(e )

S /N

1 7 .4 ( d B )1 4 .4 ( % )S /N

1 3 .5 ( d B )1 6 .1 ( % )

2

(b )
S /N

2
9 .0 ( d B )3 6 .1 ( % )(d )F S
S /N

1 0 .0 ( d B )2 .7 ( % )(f)3

図 16 作製したバイナリー位相型 CGFH の光学再生像．S/N
およびエネルギー効率はシミュレーションによる評価値であり，また (b), (d), (f) 中の白枠はカメラのピントが合っている方の再生像を示している．
Optical reconstructions of fabricated binary phaseencoded CGFHs. Note that the values of S/N ratio andenergy eﬃciency are calculated by numerical simulations
and the white frames in (b), (d) and (f) indicate the reconstructed image which is in focus.

にあるかどうかで大きく変化し，配置によっては逆効果となった．それに対して適応型誤差拡散法では，物体像の配献〕

1）J. P. Waters: “Holographic image synthesis utilizing theoreticalmethods”, Appl. Phys. Lett., 9, pp. 405–407 (1966).
2）M. Lucente: “Interactive computation of holograms using a lookup table”, J. Electronic Imaging, 2, pp. 28–34 (1993).
3）H. Yoshikawa, S. Iwase and T. Oneda: “Fast computation of
Fresnel holograms employing diﬀerence”, SPIE Proc. Practical
Holography XIV and Holographic Materials VI, #3956, pp. 48–
55 (2000).
4）K. Matsushima and M. Takai: “Recurrence formulas for fast creation of synthetic three-dimensional holograms”, Appl. Opt., 39,
pp. 6587–6594 (2000).
5）下馬場, 伊藤：“ホログラフィ専用計算機 HORN-4”, 3 次元画像コン
ファレンス’2001, pp. 9–12 (2001).
6）K. Matsushima: “Computer-generated holograms for threedimensional surface objects with shade and texture”, Appl. Opt.,
44, pp. 4607–4614 (2005).
7）F. Wyrowski and O. Bryndahl: “Iterative Fourier-transform algorithm applied to computer holography”, J. Opt. Soc. Am., A
5, pp. 1058–1065 (1988).
8）F. Wyrowski: “Iterative quantization of digital amplitude holograms”, Appl. Opt., 28, pp. 3864–3870 (1989).
9）M. A. Seldwitz, J. P. Allebach and D. W. Sweedney: “Synthesisof digital holograms by direct binary search”, Appl. Opt., 26, pp.
2788–2798 (1987).
10）S. Weissbach, F. Wyrowski and O. Bryngdahl: “Digital phase
hologram: Coding and quantization with an error diﬀusion concept”, Opt. Commun., 72, pp. 37–41 (1989).
11）Y. Maeda, H. Hirano and Y. Kanata: “A learning rule of neuralnetworks via simultaneous perturbation and its hardware implementation”, Neural Networks, 8, pp. 251–259 (1995).
12）田中：“GA による計算機ホログラムにおける最適誤差拡散の推定方法”,
映情学誌, 54, pp. 394–401 (2000).
13）川淵, 松尾, 横山, 松島：“フォトポリマーを用いた位相変調型計算機合成
ホログラムの作成”, 2003 年電子情報通信学会総合大会, pp. D–11–142(2003).
14）R. Hauck and O. Bryngdahl: “Computer-generated hologramswith pulse-density modulation”, J. Opt. Soc. Am., A1, pp. 5–10
(1984).
15）K.Yokoyama, T.Matsuo and H.Tanigawa: “Photopolymer forrecoding transmission and reﬂection volume phase holograms”,
SPIE Proc. Practical Holography XVI and Holographic Materials XIII, #4659, pp. 334–343 (2002).

置に応じてフリーゾーンの形状が変化するため，物体像配置に関わらず，S/N の高い良好な再生像を得られることを確認できた．
また，数値実験のエネルギー効率測定から，固定的な拡散

ま つ お

だ い き

松尾 大樹 2003 年，関西大学工学部電気工学科卒業．2005 年，同大大学院前期博士課程電気工学専攻修了．同年，京セラ (株) 入社．

係数で物体像がフリーゾーン内にある場合は，エネルギー
効率が著しく減少することも示された．これは，光学再生した際に，暗い再生像となることを意味している．それに対して，適応型誤差拡散法ではフリーゾーンそのものが変化するため，エネルギー効率が高いことがわかった．また，エネルギー効率そのものを評価関数に組込むことにより，

ま つし ま松島

きょう じ

恭 治 1984 年，大阪市立大学工学部応用物理学科卒業．1990 年，同大大学院博士課程修了．同年，
関西大助手，2000 年，ドイツ Friedrich-Schiller Jena
大学客員研究員．2003 年，関西大助教授．計算機合成ホ
ログラム，回折光学素子の研究に従事．工博．正会員．

S/N をさほど減少させずにエネルギー効率を増加できることもわかった．
最後に，マスク転写法を用いてバイナリー位相型 CGHを作製し，その光学再生像を観察したところ，本研究の適応型誤差拡散法を用いた CGH の再生像は，数値実験で確認されたとおり，単純 2 値化よりもノイズが少なく，Floyd-

Steinberg 型誤差拡散法よりも明るい像であることが確認できた．
フォトポリマーを提供して頂いたダイソー (株) に深謝いたします．また，興味深い最適化アルゴリズムを考案され，ご教示頂いた関西大学前田裕教授に感謝いたします．
568 (90)

映像情報メディア学会誌 Vol. 60, No. 4 (2006)