数理解析研究所講究録 1308 巻 2003 年 20-28

20
ある種の統計量の事後分布の漸近展開につぃて一橋大学・経済学研究科

早川毅 (Takesi Hayakawa)

Graduate School of Economics, Hitotsubashi University
1. 序
観測値 $X$ が与えられた時の母数 の事後分布の密度関数の漸近展開につぃては多くの文献がある。 Johnson $(1967\mathrm{a}, 1967\mathrm{b}, 1970)$ は母数 が 1 次元の場合につぃて考察してぃる。
$\theta$$\theta$

Cox and Reid (1987) は母数が多次元の時、特に が 1 次元で が多次元の場合には parameter orthogonality を満たす母数を選択できることを示してぃる。 Ghoshとが 1 次元で parameter orthogonality を満たすもとで事後
and Mukerjee (1992) は密度関数、尤度比規準、 Cox-Reid の条件付尤度比規準の分布の漸近展開を与えてぃる。
DiCiccio and Stern $(1993, 1994)$ はが多次元の場合につぃて Ghosh and Mukerjee(1992) の結果を拡張している。また DiCiccio and Stern (1993) は単純仮説のもとでの Rao,
Wald 統計量の漸近展開を考察している。本論文はが多次元である場合に各種検定
統計量の分布について考察する。
$\theta’=(\theta_{1}’, \theta_{2}’)$$\theta_{1}$$\theta_{2}$$\theta_{2}$$\theta_{1}$$\theta_{1},$$\theta_{2}$$\theta_{1},$$\theta_{2}$2. 事後分布の密度関数
2.1 必要な記号$X=[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}]$$\pi(\theta)$$\hat{\theta}:\theta$: 連続な密度関数 $f(x$ ; のを持っ母集団からのrandom sample,: 母数 の事前密度関数,$\theta$の最尤推定量,$\hat{\mathrm{Y}}=-\frac{1}{n}\frac{\partial^{2}L}{\partial\theta\partial\theta’}|_{\hat{\theta}}$$\hat{\mathrm{Y}}\ldots=(\frac{1}{n}\frac{\partial^{3}L}{\partial\theta_{\dot{l}}\partial\theta_{j}\partial\theta_{k}}|_{\hat{\theta}})$$\hat{\pi}=\pi(.)$,$L( \theta)=\sum_{\alpha=1}^{n}\log f(x;\theta)$,$h=\sqrt{n}(\theta-\hat{\theta})$,$\mathrm{i}.\mathrm{e}.$,,$\theta=\hat{\theta}+h/\sqrt{n}$和の記号

vector : $a=(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{p})’,$$b,$ $c,$

行列: A=(a り)pxp’ $B,$ $C,$

, etc. ,$\cdots$$\cdots$, etc. ,個の: 対数尤度関数,(確率 1 で正値定符号とする) ,$\hat{\mathrm{Y}}\ldots.=(\frac{1}{n}.\frac{\partial^{4}L}{\partial\theta_{1}\partial\theta_{j}\partial\theta_{k}\partial\theta_{l}}|_{\hat{\theta}})$$\frac{\partial^{k}\hat{\pi}}{\partial\theta^{k}}=(.\frac{\partial^{k}\pi}{\partial\theta_{1}\cdots\partial\theta_{1},1k}.|_{\dot{\theta}})$$n$$k=1,2,3$ ,

とする。

,

21 21$\mathrm{Y}\ldots \mathrm{o}$a$\mathrm{o}b\circ c=\sum_{i,j,k}y_{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}\cdots\cdots\cdots$$\circ b=(\sum_{j,k}y_{ijk}a_{j}b_{k})\cdots\cdots\cdots$$\mathrm{Y}\ldots\circ a$$\mathrm{Y}\ldots\circ a=(\sum_{k}y_{ijk}a_{k})\cdots\cdots\cdots$$\mathrm{Y}\ldots\circ A$.行. scalar,. vector,$p\mathrm{I}\mathrm{J}$,$\circ B(\mathrm{Y}\ldots\circ C)=\sum y_{\dot{\iota}jk}y_{pqr}a_{\dot{l}j}b_{kp}c_{q\mathrm{r}}$$\mathrm{Y}\ldots(*A)^{3}*\mathrm{Y}\ldots=\sum y_{\dot{\iota}jk}y_{\mathrm{p}q\mathrm{r}}a_{1p}.a_{jq}a_{kt}$

,

,

,

$\mathrm{Y}\ldots*A*B*C*\mathrm{Y}\ldots=\sum y_{1jk}.y_{pqr}a_{1p}.b_{jq}c_{kr}$$\mathrm{Y}\ldots.\mathrm{o}$$A \circ B=\sum y_{1jkl}.a_{\dot{l}j}b_{kl}$

,

etc.

2.2 事後分布の密度関数
観測値 $X$ を与えたときの母数 の事後密度関数は、$\theta$\pi (h|X)=\pi () $\exp\{L(\hat{\theta}+h/\sqrt{n})-L(\hat{\theta})\}/N(X)$ ,$h/\sqrt{n}$$N(X)= \oint\pi(\hat{\theta}+h/\sqrt{n})\exp\{L(\hat{\theta}+h/\sqrt{n})-L(\hat{\theta})\}dh$となる。各関数を$\hat{\theta}$の周りで展開することにより、 $\pi(h|X)$ の漸近展開式は次式で与えら

れる。

(1)

$\pi(h|X)=N_{p}(0,\hat{\mathrm{Y}}^{-1})\{1+\frac{1}{\sqrt{n}}G_{1}+\frac{1}{n}G_{2}+o(\frac{1}{n})\}$,,$G_{1}$$=$$\frac{1}{6}\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ h)^{3}+\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta’}h$$G_{2}$$=$$\frac{1}{24}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ h)^{4}+\frac{1}{72}\{\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ h)^{3}\}^{2}$$+ \frac{1}{6}\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ h)^{3}\cdot\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta’}h+\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}h’\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}h-\frac{1}{8}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ\hat{\mathrm{Y}})^{2}$$- \frac{1}{24}\{3\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\hat{\mathrm{Y}})+2\hat{\mathrm{Y}}\ldots(*\hat{\mathrm{Y}}^{-1})^{3}*\hat{\mathrm{Y}}\ldots\}$.

$- \frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}-\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\hat{\mathrm{Y}}^{-1}$

また、$h_{1}’=$(2)(とするとき.
, hp-q) の周辺密度関数 $\pi(h_{1}|X)$ は次式で与えられる。

$\theta’=(\theta_{1}’, \theta_{2}’),$ $\theta_{1}’=(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{p-q}),$$h_{1},$$\cdots$$\theta_{2}’=(\theta_{p-q+1}, \cdots, \theta_{p})$$\pi(h_{1}|X)=N_{p-q}(0,\hat{\mathrm{Y}}_{11\cdot 2}^{-1})\{1+\frac{P_{1}}{\sqrt{n}}+\frac{P_{2}}{n}+o(\frac{1}{n})\}$.

$\theta_{1}$, すなわち22$-\vee C’C_{\backslash }^{\backslash }\backslash \hat{\mathrm{Y}}_{11\cdot 2}=\hat{Y}_{11}-\hat{\mathrm{Y}}_{12}\hat{Y}_{22}-1\hat{Y}_{21}-C^{\backslash \backslash }\hslash o_{0}$,$P_{1}$$=$$\frac{1}{6}\{\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{3}+3\hat{\mathrm{Y}}_{22}.0\tilde{h}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\}+\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta},\tilde{h}$$P_{2}$$=$$\frac{1}{24}\{\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(0\tilde{h})^{4}+6\hat{\mathrm{Y}}_{22}..(0\tilde{h})^{2}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}+3\hat{\mathrm{Y}}_{2222}(\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})^{2}\}$$+ \frac{1}{72}\{(\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{3})^{2}+9\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2}\circ Y_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2})$.

$+6\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{3}\cdot\hat{\mathrm{Y}}_{22}.0\tilde{h}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}+18\hat{\mathrm{Y}}_{22}.*\tilde{h}\tilde{h}’(*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}$$+18\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{222}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})+9(\hat{\mathrm{Y}}_{22}.0\tilde{h}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})^{2}$$+9\hat{\mathrm{Y}}_{222}\cdot 0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{222}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})+6\hat{\mathrm{Y}}_{222}(*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})^{3}*\hat{\mathrm{Y}}_{222}\}$$+ \frac{1}{6}\{\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{3}\cdot\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta},\tilde{h}+3\hat{\mathrm{Y}}_{22}.0\tilde{h}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\cdot\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta},h$$+3 \hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}+3\hat{\mathrm{Y}}_{222}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\}$$+ \frac{1}{2}\{\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\tilde{h}\tilde{h}’+\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\}-\frac{1}{8}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ\cdot-1)^{2}$$- \frac{1}{24}\{3\hat{\mathrm{Y}}\ldots\circ\hat{\mathrm{Y}}^{-1}0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\hat{\mathrm{Y}}^{-1})+2\hat{\mathrm{Y}}\ldots(*\hat{\mathrm{Y}}^{-1})^{3}*\hat{\mathrm{Y}}\ldots\}$$\cdot$-.

$\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0^{\cdot}-10\hat{\mathrm{Y}}^{-1}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}-\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\hat{\mathrm{Y}}^{-1}$

また、

$d$

$\tilde{h}=[-\hat{\mathrm{Y}}_{2}^{\frac{p}{2}1}\hat{\mathrm{Y}}_{21}I_{-q}]h_{1}$,$\hat{\mathrm{Y}}=\{\begin{array}{ll}\hat{\mathrm{Y}}_{11} \hat{\mathrm{Y}}_{12}\hat{\mathrm{Y}}_{21} \hat{\mathrm{Y}}_{22}\end{array}\}pq$

$p$

$q$

である。

3. 各種統計量の分布
31 尤度比規準
尤度比規準の事後分布の漸近展開については多くの文献がある (Bickel and Ghosh (1990),
Ghosh and Mukerjee(1992), DiCiccio and Stern $(1993,1994)$ , etc)。
尤度比規準は、$\lambda=2[L(\hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2})-L(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))]$.,

で与えられ、$\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1})$は$\theta_{1}$を固定した時の$\frac{\partial L}{\partial\theta_{2}}(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))=0$.

$L(\theta_{1}, \theta_{2})$を最大とするものであり次式を満たす。

23 23
上式をにおいて展開して、$\hat{\theta}$$=$$\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1})-\hat{\theta}_{2}$$- \frac{1}{\sqrt{n}}\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\hat{\mathrm{Y}}_{21}h_{1}+\frac{1}{2n}\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}[\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2}]$$+ \frac{1}{6n\sqrt{n}}\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\{\hat{\mathrm{Y}}_{2}\ldots(\circ\tilde{h})^{3}+3\hat{\mathrm{Y}}_{2\cdot 2}\circ\tilde{h}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2})\}$$+o_{p}( \frac{1}{n\sqrt{n}})$

これより尤度比規準$\lambda$.

は次式として展開される。

$\lambda=\tilde{h}’\hat{\mathrm{Y}}\tilde{h}+\frac{1}{\sqrt{n}}\lambda_{1}+\frac{1}{n}\lambda_{2}+o_{p}(\frac{1}{n})$

よって

(3)

$\lambda$,,$\lambda_{1}$$=$$- \frac{1}{3}\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{3}$$\lambda_{2}$$=$$- \frac{1}{4}\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2})-\frac{1}{12}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ\tilde{h})^{4}$.

の積率母関数は次式となる。

$M_{\lambda}(t)$$=$$E[\exp(t\lambda)]$$=$$(1-2t)^{-[p-q)/2} \{1+\frac{A}{n}(\frac{1}{(1-2t)}.-1)+o(\frac{1}{n})\}$$A=A(\hat{\mathrm{Y}}^{-1})-A(\hat{Z})$$A(\hat{\mathrm{Y}}^{-1})$$=$,$\frac{1}{24}\{3\hat{\mathrm{Y}}\ldots\circ\hat{\mathrm{Y}}^{-1}0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\hat{\mathrm{Y}}^{-1})+2\hat{\mathrm{Y}}\ldots(*\hat{\mathrm{Y}}^{-1})^{3}*\hat{\mathrm{Y}}\ldots\}$$+ \frac{1}{8}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ\hat{\mathrm{Y}}^{-1})^{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}\hat{\mathrm{Y}}\ldots\circ\cdot-10\hat{\mathrm{Y}}^{-1}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}$$+ \frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\hat{\mathrm{Y}}^{-1}$$\hat{Z}=$,$\{\begin{array}{ll}O OO \hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\end{array}\}$,.

これより尤度比規準の事後分布は Bartlett 補正可能である。

3.2 Rao 統計量
Bayes 対応の Rao 統計量は次式として定義される。
$R=y(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))’\mathrm{Y}(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))^{-1}y(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))$.

Frequentist 対応の Rao 統計量は、$R^{*}=y(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))’K(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))^{-1}y(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))$

24$K( \theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))=E[\frac{\partial 1\mathrm{o}\mathrm{g}f}{\partial\theta}\frac{\partial 1\mathrm{o}\mathrm{g}f}{\partial\theta’}]|_{(\theta_{1\prime}\overline{\theta}_{2}(\theta_{1}))}$

である。
$R$

の漸近展開は、$R= \tilde{h}’\hat{\mathrm{Y}}\tilde{h}+R_{1}/n+o_{p}(\frac{1}{n})$$R_{1}$$=$,$\frac{1}{4}\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(0\tilde{h})^{2}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2})$$+ \frac{1}{4}\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{2}\circ\cdot-1(\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h}))^{2}+\frac{1}{6}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ\tilde{h})^{4}$となる。故に $R$ の積率母関数は、(4)$M_{R}(t)$$=$$E[\exp(tR)]$$=$$(1-2t)^{-(p-q)/2} \{1+\frac{1}{n}\sum_{\alpha=0}^{3}\frac{a_{\alpha}}{(1-2t)^{\alpha}}+o(\frac{1}{n})\}$,,$a_{3}$$=$$\frac{1}{24}\{3\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}..0\tilde{\Sigma})\sim.+2\hat{\mathrm{Y}}\ldots(*\Sigma)^{3}*\hat{\mathrm{Y}}..\}\sim.$$a_{2}$$=$$\frac{1}{8}\{\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma})+2\hat{\mathrm{Y}}_{2}..\circ\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..0\tilde{\Sigma})$.

$+2\hat{\mathrm{Y}}\ldots\circ\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}_{22}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})\}\sim$.

$+ \frac{1}{4}\{\hat{\mathrm{Y}}\ldots(*\Sigma)^{2}*\hat{\mathrm{Y}}^{-1}*\hat{\mathrm{Y}}..+2\hat{\mathrm{Y}}_{2}(^{\sim}*\Sigma)^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}*\hat{\mathrm{Y}}_{2}\}\sim.\cdot..$$+ \frac{3}{8}\hat{\mathrm{Y}}\ldots$$a_{1}$$=$.

$(0^{\sim} \Sigma)^{2}+\frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\sim$$\frac{1}{8}\{-\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}\ldots \mathit{0}\tilde{\Sigma})-\hat{\mathrm{Y}}_{2}..0\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..0\tilde{\Sigma})$.

$+2\hat{\mathrm{Y}}_{2}..\mathit{0}\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{222}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})+\hat{\mathrm{Y}}_{22}.0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}_{22}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})\}\sim$.

$+ \frac{1}{4}\mathrm{t}^{-\hat{\mathrm{Y}}..(^{\sim}}.*\Sigma)^{2}*\hat{\mathrm{Y}}^{-1}*\hat{\mathrm{Y}}\ldots-\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(^{\sim}*\Sigma)^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}*\hat{\mathrm{Y}}_{2}.$$+\hat{\mathrm{Y}}_{22}.*\tilde{\Sigma}(*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}.\}$,$+ \frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}_{2}..0\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}+\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\Sigma\sim$$a_{0}$$=$$-(a_{1}+a_{2}+a_{3})$ここで$\tilde{\Sigma}=\hat{\mathrm{Y}}^{-1}-\hat{Z}^{-1}$.

25 25
DiCiccio and Stern (1993) は単純仮説問題に対する Rao 統計量としてを用いて議論している。他にも量として用いられる。

$R=y(\theta)’\mathrm{Y}(\theta)^{-1}y(\theta),$$R=y(\theta)’\mathrm{Y}(\hat{\theta})^{-1}y(\theta)$$R=y(\hat{\theta})’\mathrm{Y}(\theta)^{-1}y(\hat{\theta})$

3.3 Wald 統計量
Bayes 対応の Wald 統計量は、$W=n(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})’\mathrm{Y}_{11\cdot 2}(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})$として定義される。 Frequentist 対応の Wald 統計量は、,$W^{*}$$=n(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})’K_{11\cdot 2}(\hat{\theta})(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})$$W^{\text{。}}$$=n(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})’K_{11\cdot 2}(\theta_{1},\tilde{\theta}_{2}(\theta_{1}))(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})$等である。
$W$ の漸近展開は、$W= \tilde{h}’\hat{\mathrm{Y}}\tilde{h}+\frac{1}{\sqrt{n}}W_{1}+\frac{1}{n}W_{2}+o_{p}(\frac{1}{n})$,,$W_{1}$$=$$-\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\tilde{h})^{3}$$W_{2}$$=$$- \frac{3}{2}\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(\circ\tilde{h})^{2})-\frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(\circ\tilde{h})^{4}$となる。 $W$ の積率母関数は、(5)$Mw(t)$$=E[\exp(tW)]$$=$$(1-2t)^{-\mathrm{C}p-q)/2} \{1+\frac{1}{n}\sum_{\alpha=0}^{3}\frac{b_{\alpha}}{(1-2t)^{\alpha}}+o(\frac{1}{n})\}$

となる。

,

$b_{3}$$=$$\frac{1}{6}\{3\hat{\mathrm{Y}}\ldots\circ\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}..\circ\tilde{\Sigma})+2\hat{\mathrm{Y}}..(*\Sigma)^{3}*\mathrm{Y}..\}\sim..\sim.$$b_{2}$$=$$- \frac{1}{2}\{3\hat{\mathrm{Y}}\ldots\circ\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}..0\tilde{\Sigma})+2\hat{\mathrm{Y}}..(*\Sigma)^{3}*\hat{\mathrm{Y}}..\}\sim..\sim$.

$- \frac{5}{8}\{\hat{\mathrm{Y}}_{2}..\circ\tilde{\Sigma}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..\circ\tilde{\Sigma})+2\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(^{\sim}*\Sigma)^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}*\hat{\mathrm{Y}}_{2}..\}$$- \frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}_{22}\dot{\mathrm{o}}.\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})-\frac{5}{8}\hat{\mathrm{Y}}\ldots(\circ\Sigma)^{2}\sim..\sim$$- \hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\sim$$b_{1}$$=$.

$\frac{1}{8}\{9\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}..0\tilde{\Sigma})+6\hat{\mathrm{Y}}..(^{\sim}*\Sigma)^{3}*\hat{\mathrm{Y}}..\}\sim..$$+ \frac{3}{4}\{\hat{\mathrm{Y}}_{2}..0\tilde{\Sigma}\mathit{0}\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{2}..0\tilde{\Sigma})+2\hat{\mathrm{Y}}_{2}..(^{\sim}*\Sigma)^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}*\hat{\mathrm{Y}}_{2}..\}$.

$+ \frac{3}{4}\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}_{22}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})+\frac{1}{4}\hat{\mathrm{Y}}_{2}\circ\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}(\hat{\mathrm{Y}}_{222}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})\sim..$等も$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{o}$統計26$+ \frac{1}{8}\hat{\mathrm{Y}}_{22}$.

.

$\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\circ\Sigma(\hat{\mathrm{Y}}_{22}\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})+\frac{1}{4}\hat{\mathrm{Y}}_{22}*\tilde{\Sigma}(*\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1})^{2}*\hat{\mathrm{Y}}_{22}\sim..$$+ \frac{1}{4}\hat{\mathrm{Y}}\ldots.(^{\sim}\circ\Sigma)^{2}+\frac{3}{2}\hat{\mathrm{Y}}\ldots 0\tilde{\Sigma}0\Sigma\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\sim$$+ \frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}_{22}$.

.

$\circ\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\circ\Sigma\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}+\frac{1}{2}\hat{\mathrm{Y}}_{2}0\tilde{\Sigma}0\hat{\mathrm{Y}}_{22}^{-1}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\sim.$$+ \frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}tr\frac{\partial^{2}\hat{\pi}}{\partial\theta\partial\theta’}\Sigma\sim$$b_{0}$$-(b_{1}+b_{2}+b_{3})$

$=$

,

.

DiCiccio and Stern (1993) は単純仮説問題に対する Wald 統計量$W=n(\hat{\theta}-\theta)’\mathrm{Y}(\hat{\theta})(\hat{\theta}-\theta)=$を取り扱っている。
複合仮説問題において、$h’\hat{\mathrm{Y}}h$$W^{*}=n(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})’\mathrm{Y}_{11\cdot 2}(\hat{\theta})(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1})$とする (これが original を Bayes 対応の Wald 統計量である) とすれぽ、$W^{*}=\tilde{h}\hat{\mathrm{Y}}\tilde{h}$である。

3.4 平方根尤度比規準
母数が 1 次元であるとき平方根尤度比規準は、$\sqrt{\lambda}=sqn(\hat{\theta}-\theta)[2\{L(\hat{\theta})-L(\theta)\}]^{1/2}$として定義される。
$\sqrt{\lambda}=$$- \sqrt{\hat{y}_{(2)}}h+\frac{1}{6\sqrt{n}}\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{1/2}}h^{2}$$+ \frac{1}{n}\{\frac{1}{24}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{1/2}}.h^{3}+\frac{1}{72}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}h^{3}\}+o_{p}(\frac{1}{n})$.

ここで、$\hat{y}_{(2)}=-\frac{1}{n}\frac{\partial^{2}L}{\partial\theta^{2}}|_{\hat{\theta}}$である。 よって、(6)$\sqrt{\lambda}$,$\hat{y}_{(3)}=\frac{1}{n}\frac{\partial^{3}L}{\partial\theta^{3}}|_{\hat{\theta}}$,$\hat{y}_{(4)}=\frac{1}{n}\frac{\partial^{4}L}{\partial\theta^{4}}|_{\hat{\theta}}$の密度関数は次式で与えられる。

,$f_{\sqrt{\lambda}}(x)$$=$$\phi(x)[1+\frac{\overline{a}_{1}}{\sqrt{n}}+\frac{\overline{a}_{2}}{n}+o(\frac{1}{n})]$$\overline{a}_{1}$$=$$-H_{1}(x) \{\frac{1}{3}\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}+\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\frac{1}{\hat{y}_{(2)}}\}$$\overline{a}_{2}$$=$$H_{2}(x) \{\frac{5}{24}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3}}+\frac{1}{8}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}+\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{y}_{(2)}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\}$,.

27 27
ここで $\phi(x)$ は $N(0,1)$ の密度関数であり、 $H_{k}(x)$ は$k$

次の Hermite 多項式である。特に$x=0$ における近似誤差の order は $O(n^{-1})$ である。

3.5 平方根 Rao 統計量
平方根 Rao 統計量を$\sqrt{R}=y(\theta)/\sqrt{y(2)(\theta)}$$\text{と}\llcorner^{\sim}C\acute{\kappa}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{すると、漸_{}\grave{\mathrm{J}}}\mathrm{E}\text{展}7\pi 7\text{式^{}\prime}\#\mathrm{h}_{\text{、}}$$\sqrt{R}=-\sqrt{\hat{y}_{(2)}}h-\frac{h^{3}}{n}\{\frac{1}{8}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}+\frac{1}{12}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{1/2}}\}+o_{p}(\frac{1}{n})$

となる。

(7)

$\sqrt{R}$の密度関数は、$f_{\sqrt{R}}(x)$$\overline{b}_{1}$$\overline{b}_{2}$,$=$$\phi(x)[1+\frac{\overline{b}_{1}}{\sqrt{n}}+\frac{\overline{b}_{2}}{n}+o(\frac{1}{n})]$$=$$- \{\frac{1}{6}\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}H_{3}(x)+(\frac{1}{2}\frac{\hat{y}(3)}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}+\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\frac{1}{\hat{y}_{(2)}})H_{1}(x)\}$$=$$\frac{1}{72}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3}}H_{6}(x)+\{\frac{1}{3}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3}}+\frac{1}{8}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}+\frac{1}{6}\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\}H_{4}(x)$,$+ \{\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3}}+\frac{1}{2}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}+\frac{\hat{y}(3)}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}+\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{y}_{(2)}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\}H_{2}(x)$となる。

36 平方根 Wald 統計量
平方根 Wald 統計量は、$\sqrt{W}=\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta)\sqrt{y_{(2)}(\theta)}$として定義され、次のような漸近展開、漸近分布を持つ。
$\sqrt{W}=$$-\sqrt{\hat{y}_{(2)}}h$十$\frac{1}{2\sqrt{n}}\{\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{1/2}}h^{2}\}$$+ \frac{1}{n}\{\frac{1}{4}\frac{\hat{y}(4)}{(\hat{y}_{(2)})^{1/2}}+\frac{1}{8}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}\}h^{3}+o_{p}(\frac{1}{n})$(8)$f_{\sqrt{w}}=$$\overline{c}_{1}$$\overline{c}_{2}$$\phi(x)[1+\frac{\overline{c}_{1}}{\sqrt{n}}+\frac{\overline{c}_{2}}{n}+o(\frac{1}{n})]$

,

,

,

$=$

$\frac{1}{3}\frac{\hat{y}(3)}{(\hat{y}_{(2)})^{3/2}}H_{3}(x)-\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\frac{1}{(\hat{y}_{(2)})^{1/2}}H_{1}(x)$$=$$\frac{1}{18}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3}}H_{6}(\dot{x})+\{-\frac{5}{24}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}-\frac{1}{3}\frac{\hat{y}(3)}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\}H_{4}(x)$$+ \{-\frac{5}{8}\frac{(\hat{y}_{(3)})^{2}}{(\hat{y}_{(2)})^{3}}-\frac{1}{2}\frac{\hat{y}_{(4)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}-\frac{1}{2}\frac{\hat{y}_{(3)}}{(\hat{y}_{(2)})^{2}}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}+\frac{1}{2}\frac{1}{\hat{\pi}}\frac{\partial\hat{\pi}}{\partial\theta}\cdot\frac{1}{\hat{y}(2)}\}H_{2}.(x)$.

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