数理解析研究所講究録 1328 巻 2003 年 1-41

1$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{H}1}^{\overline{\mathrm{c}\mathrm{J}}}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}7\sqrt-\cdot\not\subset^{F}- R-4^{f}(\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}7^{\underline{\frac{\mathrm{m}}{\#}}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}^{\mathrm{t}}\mathbb{R}^{\backslash }*^{-}}\backslash \square$

自由分解の幾何学的構成法とその特異点論への応用
埼玉大学理学部 福井敏純 (Toshizu 而 Fukui)

写像の特異点の軌道の閉包を記述するのは, 重要で基本的な問題であるが困難な問題である.
本稿では, 次の公式を正則写像 :に一般化することを動機とした論文 [2]の解説である.
福田-石川、 Gaffney-Mond の公式$(x, y)\mapsto(p(x, y),$ $q(x, y))$ , に対し,正 写像 :$f$$f$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1\mathrm{J}$$(\mathrm{C}^{n}, 0)arrow(\mathrm{C}^{p}, 0)$$(\mathrm{C}^{2},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0),$$c(f)=\dim_{\mathrm{C}}\mathrm{C}\{x, y\}/\langle J,$$\frac{\partial(J,p)}{\partial(x,\prime y)},$$\frac{\partial(J,q)}{\partial(x,y)}\rangle$,

但$\text{し}$$J= \frac{\partial(p,q)}{\partial(x,y)}$が有限と仮定する. すると $f$ を微小摂動したとき現れるカスプ (A2 特異点) の個数は $c(f)$ 個である.

の定義の分母に現れたイデアルは, 2- ジェット空間内のカスプ特異点の軌道の閉包を記述している. (正確には, 2- ジエット空間内のカスプ特異点の軌道の閉包を記述するイデア.
ルを の 2 ジエット断面で引き戻したものである. ) これは, 写像を特異点集合に制限して,さらにその特異点集合を考える, いわゆる Thom-Boardman 多様体の閉包と捉えることもでき, ここに現れたイデアルは, 実際ヤコビアンを繰り返しとることで定義されている.
ヤコビアンを繰り返しとれば何が定義されるかは Morin が論文 [6] で考察した. 本稿では,
例えば, この Morin が定義したイデアル, これは写像のヤコビ行列の階数について条件なしにいつでも定義出来る, について, 微小摂動で現れる対応する特異点の個数を記述する,
上のような代数的公式が成り立つかどうかに興味がある. これは, このイデアルの定義する空間と, ジエット断面の像との局所交点数を考えていることになっていて, そのためには考えているイデアルがいつ完全か (いいかえると, そのイデアルがいつ Cohen-Macaulay 空間を定義するか)? を知ることが大切となる ([1, Proposition 7.1, Example 7.13]).
変数を或分とする行列の, あるサイズの小行列式の生或するイデアルの定義する空間を行列式空間 (determinantal variety) と言うが, これが Cohen-Macaulay であることは良くクられている. その証明にはそのイデアルの自由分解 (シチジー) を構或すれぼよい. (シチジの長さ力徐次元と等しい事を見れぼ良い. この場合, Cohen-Macaulay 性より強い条件で J
有理特異点であることもわかってしまう. ) 自由分解を構或するのには, 自由分解の幾何?
構或法が強力な手法で, これは最近出版された [8] に解説されている, 本稿はこの手法のである We.ynlau との共著の仕事 [2] の解説であるが, そこでやっていることは, 一言マ
ぼ, Thom-Boardman 多様体の閉包に台を持つ複体の構或である. 例えぼ
多様体の特異点解消が具体的にわかればそこに台を持つ複体を崩壊させて, Thom-Boc$c(f)$$f$$\Sigma^{1,1}$$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}- \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{a}\uparrow$2
る場合がしば
しばあるのである. これは実はそこに台を持つ加群の (または複体の), 一般線形群の表現論を使った表示と捉えることが出来る. Thom-Boardman 多様体などの特異点集合は, 源と像の座標変換で不変であるから, 当然線形座標変換でも不変であり, その特異点集合を記述す
るイデアルやそこに台を持つ加群を, 一般線形群の表現として記述しようと言うアイデアは,当然すぎる程当然なものであるが, 本稿はある程度それを実行した形になっている.
本稿の構或は次のようである. 最初の 6 つの節で, 一般線形群の表現論の知識を復習す

多様体の閉包に台を持つ複体が構或できる. それが所要の自由分解となって$\backslash J^{\mathrm{a}}$7-9 節で, 自由分解の幾何学的構或法の概要を説明する. 11 節で行列式空間の自由分解(Lascoux 複体) を解説する. 12 節では対称行列の小行列式の生或するイデアルにつ て簡単に解説を与えた.
13 節以降が [2] の解説であるが, [2] の定理を全て収録する事はしなかった. むしろ くつる.

$\backslash$$1_{J}\backslash$か個別の場合に限って, 自由分解の幾何学的構或法がどのように応用されるのかを解説する
ように心がけた. [2] の繰り返しよりも, [2] でスキップしたいくつかの細部を解説した方が良いと思ったからである.
がに沿って完全であることの13-15 節では Morin のイデアルを考察する. 特にの特異点解消を考察し, 得
証明のアウトラインを与える. 16 節では Ronga([7]) によるられる複体について解説する. 特に $I=(n-p+1,1),$ $(1,1)$ のときの T 寧な解説を与える.
最後に Morin のイデアルを若干変形したもの, 考えるべき階数条件を簡単化したもの, を$\Delta^{i,\cdots’ i,j}$$\Sigma^{i}$$\Sigma^{i,j}$

考察する.

特異点論の研究者にとって馴染みのないと思われる部分は出来るだけ解説するように心が筆者の能力では証明は完全には与え切れなかった. 一般線形群の表現論につ ては[5], [3], [4] 等を見て戴きたい. 自由分解の幾何学的構或法は [8] にいろんな応用が載っている. これらは本稿の対応部分の原文献でもあるので, 併せて参照して戴けれぼと思う.
けたが,$\nu\mathrm{a}$

この原稿を, 福田拓生先生の御還暦に, 献呈致します. 筆者の怠慢で, 原稿提出が遅れてしまい, 鹿児島大学の大本亨氏はじめ多くの方に御迷惑をお掛けしたことを, 深くお詫び致

します.

1

分割

をみたすものを $d=\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}$で整数の -tupie で$:= \max\{i : \lambda_{i}\neq 0\}$で表す.
を の重み (weight) と い
つ分害 (partition) という.の長さ (length) という. .
個の箱を, . . .
個の箱 (正方形) を, 第 2 行にに対し第 1 行に分割で表す.
個の箱を並べて出来た図形を Young 図形といい
行に$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})$

$n$

$d$

$1\mathrm{J}$$\lambda_{1}\geq\cdots\geq\lambda_{n}\geq 0$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\lambda$$(\lambda)$$|\lambda|$$.l\lambda$$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})$$\eta_{l}$$[\lambda]$$\lambda_{n}$roung 図形
役といい$\lambda_{2}$$\lambda_{1}$$[\lambda]$$\lambda^{\sim}$

を転置 (行と列の入れ換え) して得られる Young 図形に対応する分割をで表す.

$\lambda$

3$\lambda$

Young 図形の各箱に番号 $\{1, \ldots, n\}$ を重複を許して入れたものを充填 Young 図形またで 行 列目に割り当てられたは Young 図形の充填 (fiUing) といい
と書く.
通りある.
数字を表す. Young 図形 に対しその充填の作り方は, 全部でYoung 図形の充填で, 番号 1, . . . , $d(=|\lambda|)$ が T 度 1 つずつ入ったものを番号つき Young
図形または Young 図形の番号付け (numbering) という. Young 図形 に対しその番号付け
通りある.
の作り方は,
で次の性質をみたすものを順充填 (tableau) という.
充填 Young 図形$i$$T_{\lambda}(i, j)$$T=T_{\lambda}$$j$$ff^{\iota}$$\lambda$$\lambda$$d!$$T_{\lambda}$(i) $T_{\lambda}(i,j)\leq T_{\lambda}(i,j+1),$ $j=1,$$\ldots,$(ii) $T_{\lambda}(i,j)<T_{\lambda}(i+1,j),$ $j=1,$$\ldots,$

2$\lambda_{i}$

$n$

.

.

対称多項式
$n$

次対称群

に作用するがこの作用に対する不変式全体
は自然に多項式環
は対称多項式全体のなす環でなる.

$\mathfrak{S}_{n}$$\mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{6_{n}}$$\mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]$$E(t)= \prod_{i=1}^{n}(1+x_{i}t)=\sum_{d=0}^{n}E_{d}t^{d}$で定まる多項式 $E_{d}=E_{d}(x_{1}, \ldots, x_{n})$ を
に独立で,

$d$

次の基本対称多項式という.

$\mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{6_{n}}=\mathrm{Z}[E_{1}, \ldots, E_{n}]$$d$$E_{n}$

は代数的$H_{n}$

は代数的,

次の完全対称多項式という.

$\mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{6_{n}}=\mathrm{Z}[H_{1}, \ldots, H_{n}]$$\ldots,$

である.

$H(t)= \prod_{i=1}^{n}(1-x_{i}t)^{-1}=\sum_{d=0}^{\infty}H_{d}t^{d}$で定まる多項式 $H_{d}=H_{d}(x_{1}, \ldots, x_{n})$ をに独立で,$E_{1},$$H_{1},$$\ldots,$である.

$S_{\lambda}(x_{1}, \ldots, x_{n})=\frac{\det(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\leq i,j\leq n}}{\det(x_{i}^{n-j})_{1\leq ij\leq n}1}$

を Schur 多項式という. Schur 多項式達$\{S_{\lambda}(x_{1}, \ldots,\prime \mathrm{A}^{\cdot},,.):(\lambda)=n\}$は不変式環$\mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{\mathfrak{S}_{n}}$の Z-基底をなす.

定理 2.1.
写像$\omega$$S_{\lambda}=\det(H_{\lambda+j-i})_{1\leq i,j\leq n}:=\det(E_{\lambda^{\sim}+j-i}.\cdot)_{1\leq i,j\leq n}$:$\mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{6_{n}}arrow \mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{\mathfrak{S}_{n}}$.

を $\omega(E_{i})=H_{i},$ $i=1,$$\ldots,$$n$で定義する.

4

定理 22.

は恒等写像.

$\omega^{2}$

Schur 多項式定理 2.3.
但し 6。は.

を明示的に表す公式として次が知られてーる.

$S_{\lambda}$$S_{\lambda}= \sum_{a}k_{\lambda a}x^{a}$$\lambda$$\omega(S_{\lambda})=S_{\lambda}\sim$,$x^{a}=x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}$の Young 図形に$a_{1}$.

個の 1, a2 個の 2, . . . ,を水平方向\acute こ [よ\ni B 減少の $n$$a_{n}\text{個}$

垂直方向には増加するように入れる入れ方の総数.

に,3群の線形表現$V$

を複素数体

群 $G$ から$\mathrm{C}$上の有限次元線形空間とする.
への群準同型$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$う. 二つの表現$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1}),$同型が誘導する同型をいう.

を群 $G$ の線形空間 $V$ への (線 ) 表現とを力\sigma あってこのが同型であると (よ同型となる時との合或力ゞ
$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\pi,\acute{\prime}$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{2})$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1})arrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{2})$と$V_{1}arrow V_{2}$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{2})$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1})$による像を同じ記号 で表す.
しぼしば群 $G$ の元 に対しその$V$ を左 G-カ#群と見なす事力 ‘‘‘でき
群 $G$ の $V$ への表現がある時 $g\cdot v=g(v)$ と定義すれ [よのよって表現る. 逆に左 $G$-加群を $G$ の $V$ への表現とみなす事も可能である.
ことを写像を明示せずに, 左 $G$ -加群 $V$ または群 $G$ の表現 $V$ と つた言\mbox{\boldmath $\nu$}) 方をする.
( $V$ の双対空間) への表現
群 $G$ の $V$ への表現がある時,$g$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$g$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm{A}\backslash$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V^{*})$$V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V, \mathrm{C})$の表す(
群 の線形空間の表現をそれぞれを$g\mapsto$$g^{-1}$$G$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$の元の転置) $\in GL(V^{*})$ で定義する.
およびテンソノレ積への表現がある時, その直和
$V_{1}\oplus V_{2}$$V_{1},$$g$で定義する.
群 $G$ の線形表現:$V_{2}$$v_{1}\oplus v_{2}\mapsto g(v_{1})\oplus g(v_{2})$:$Garrow \mathrm{C}$

$g$

:

,

へ

$v_{1}\otimes v_{2}\mapsto g(v_{1})\otimes g(v_{2})$に対しその指標 (character)$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\chi_{V}$,$V_{1}\otimes V_{2}$$\chi_{V}(g)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\{g :$\chi_{V}$Varrow V\}$,を
$g\in G$で定義する. 指標は群 $G$ の共役類上の関数と考えることも出来る.
定理 3.1.

$\chi_{V_{1}\oplus V_{2}}=\chi_{V_{1}}+\chi_{V_{2^{f}}}\chi V_{1}\otimes V_{2}=\chi_{V_{1}}\cdot\chi_{V_{2}},$$\chi_{V^{*}}=\overline{\chi_{V}}$.

$W$ 力\mbox{\boldmath $\tau$}あれ
表現
群 $G$ の表現 $V$ に対して, 群 $G$ の作用で不変な $V$ の部分空間が白明でな\mbox{\boldmath $\nu$}) 部分表現を持たなを定義する. 表現
は部分表現$\iota \mathrm{f}^{\backslash }$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(W)$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ときその表現は既約であるという.
のすべての線形表現が既約な表現の直和と同型になる時, 群$G$う. 有限群, コンパクト群, 線形群$Garrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathrm{C}),$$\mathrm{S}\mathrm{L}(n, \mathrm{C})$$G$[よ完全可約であるとなど [よ完全可約である.

$\mathrm{a}$54Schur 加群
を複素数体上の有限次元線形空間とする. 本節ではの線形表現を問題にする.
には番号つき Young 図形
次対称群が自然に作用する力の対称子と呼ばれる群環の元を次で定義する.
$V$$\mathrm{C}$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$d$$T=T_{\lambda}$$a_{T}= \sum$$b_{T}= \sum$

$d$

次対称群

$\mathfrak{S}_{d}${{$\sigma$,$\backslash ^{\backslash }\mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}$$c_{T}$$\mathrm{C}\mathfrak{S}_{d}:=\sum_{\sigma\in 6_{d}}\mathrm{C}\sigma$$c_{T}=b_{T}a_{T}$$\mathfrak{S}_{d}$$\llcorner \mathrm{B}\llcorner$:$\sigma\in \mathfrak{S}_{d}$$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\sigma$:

は $T=T_{\lambda}$ の行を保つ },は $T=T_{\lambda}$ の列を保つ$\sigma\in \mathfrak{S}_{d}$は$\sigma\cdot(v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d})=v_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma^{-1}(d)}$で$V^{\otimes d}$に作用するが, これは$V^{\otimes d}$の$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$,$\sigma\in \mathfrak{S}_{d}$の作用と交換可能である. 群環$( \sum_{\sigma\in 6_{d}}c_{\sigma}\sigma)\cdot(v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d})=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{d}}c_{\sigma}\sigma\cdot(v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d})$で自然に$V^{\otimes d}$}.

,$\mathrm{C}\mathfrak{S}_{d}$は$c_{\sigma}\in \mathrm{C}$に作用するが, その作用を用いて$v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d}\mapsto c_{T}\cdot(v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d})$で定義される写像$c_{T}$:$V^{\otimes d}arrow V^{\otimes d}$と書 .
の像によらず, 分割 のみの同型類は の番号づけによって定まるので, その同型類をにと書く. これを Schur 加群という. ちなみに
よる作用は特別な場合として, 対称化作用素 ( $\lambda=(d)$ のとき)の像を$\langle$$\mathrm{S}_{T}V$$\mathrm{S}_{T}V$$c\tau$$T=T_{\lambda}$$\lambda$$\lambda$$\mathrm{S}_{\lambda}V$$s_{d}$:$V^{\otimes d} \ni v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d}\mapsto\sum_{\sigma\in 6_{d}}v_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(d)}\in V^{\otimes d}$

および交代化作用素 ( $\lambda=(1^{d})=(1,1,$$a_{d}$:$c_{T}$$\ldots,$$1)(d$ 個)のとき)$V^{\otimes d} \ni v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{d}\mapsto\sum_{\sigma\in 6_{d}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)v_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(d)}\in V^{\otimes d}$を含んでいるので次が成り立つ.
(i).
$\mathrm{S}_{d}V={\rm Im} s_{d}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{d}V$(ii) $\mathrm{S}1^{d})V=({\rm Im} ad=\wedge^{d}V$ , ただし $(1^{d})=(1,1, \ldots, 1)$ ( (同).
$d$$c_{T}$

は次の性質を持つ.

定理 4.1.

,$c_{T}^{2}=n_{\lambda}c_{T}$. 但し$n_{\lambda}=d!/\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{S}_{\lambda}V$

.

6

また

と書くとき,$\mu=\lambda^{\sim}$は次の写像の像と解釈することも出来る.

$\mathrm{S}_{\lambda}V$$\bigotimes_{i}(\Lambda^{\mu i}V)\subset\bigotimes_{i}(V^{\otimes\mu_{\mathrm{i}}})=V^{\otimes d}=\bigotimes_{j}(V^{\otimes\lambda_{j}})arrow\bigotimes_{j}(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{\lambda_{j}}V)$$\bigotimes_{i}(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{\lambda_{i}}V)\subset\bigotimes_{i}(V^{\otimes\lambda}:)=V^{\otimes d}=\bigotimes_{j}(V^{\otimes\mu_{j}})arrow\bigotimes_{j}(\Lambda^{\mu_{j}}V)$

定理 42.

GL(V) 功$\mathrm{S}_{\lambda}V$

は既約な左

はどれかの

$\mathrm{I}\text{群}$$\mathrm{S}_{\lambda}V$(i) $(\lambda)>\dim V$ ならぼの既約表現) になる. またすべての既約な左-加群 (に同型. さらに$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm{S}_{\lambda}V=0$(ii) $g\in GL(V)-$ の固有値を$x_{1},$$\ldots,$.
$x_{n}$とすると$\chi \mathrm{s}_{\lambda}v(g)=S_{\lambda}(x_{1}, \ldots, x_{n})$.

特に $n=\dim V$ のとき表現空間の次元については次がわかる.
$\dim_{\mathrm{C}}\mathrm{S}_{\lambda}V=S_{\lambda}(1, \ldots, 1)=\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{\lambda_{i}-\lambda_{j}+j-i}{j-i}$に Schur カ$1\leq i\leq d,$ $1\leq j\leq n$ , は不定元,
多項式環
群を実現しよう. まず次の行列式を考える.
$\mathrm{C}[Z]=\mathrm{C}[Z_{1,1}, Z_{1,2}, \ldots, Z_{d,n}],$$\mathrm{S}_{\lambda}V$$Z_{1,i_{1}}$

.

. $=$

$\delta_{i_{1},\ldots,i_{k}}$$.\cdot$$Z_{k,i_{1}}$充填 Young 図形$T=T_{\lambda}$$Z_{i,j},$. .

$Z_{1,i_{k}}$,$\cdot$$1\leq i_{1},$$\ldots,$$i_{k}\leq n$.

$Z_{k,i_{k}}$に対し$\delta_{T}=\prod_{j=1}^{\lambda_{1}}\delta_{T(1,j),T(2_{\dot{\beta}}),T(\mu_{j},j)}$

とおく. ここで$\mu_{j}$は$\lambda$の $j$ 列目の長さで $T$ ( ,j)=T\lambda (i, 力である.
$i$

を $T$ のある列の二$T’$つの要素を入れ換えて得られる充填とすると$\delta_{T’}=-\delta_{T}$が成り, 立つ.

また $p\cross p$ 行列 $A,$ $B$ と $1\leq j_{1}<\cdots<j_{k}\leq p$ に対して Sylvester の法則$|A||B|= \sum_{I}|A_{I}||B_{I}|$,$I=\{i_{1}, \ldots, i_{k}\}$

列を ( 列と列と $B$ の第方, . . . ,が成り立つ. 但し $A$ の第列を入れ換えという具合にして) 入れ換えて得られる行列を列とこれより $q\leq p$ と $1\leq t_{1}<\cdots<t_{k}\leq q$ に対し$i_{1},$$j_{k}$$i_{k}$$i_{1}$$j_{1}$$\ldots,$$A_{I},$$j_{2}$$\delta_{i_{1},\ldots,i_{\mathrm{p}}}\delta_{j_{1},\ldots,j_{q}}=\sum_{\wedge}\delta_{i_{1},\ldots,i_{\mathrm{p}};S}\delta_{j_{1},\ldots,j_{q};S}$,

列を入れ換え,と書いている.

$i_{2}$$B_{l}$$S=\{s_{1}, \ldots, s_{k}\}\subset\{1, \ldots, q\}$,

7に変えたもので,
但し
は行列式
の第 列を
は行列式
と
の第 列を
に変えたものである. $T$ のある 2 列に, 九が並ぶ場合を考えれば, これよりの間の恒等式が導かれる. すなわち充填 $T$ の 2 つの列にと$q\leq p$ , が並んでいるとする.
$1\leq t_{1}<\cdots<$個のうち$t_{k}\leq q$ ,とを固定する. $S=\{s_{1}, \ldots, s_{k}\},$ $1\leq s_{1}<\cdots<s_{k}\leq p$ , に対し$l=1,$,を入れ換えて出来る充填 $T(S)$ を考える. このとき次が成立する.
$\delta_{i_{1},..,i_{p}}$$\delta_{i_{1},\ldots,\mathrm{i}_{p};S}$$(Z_{*,t_{i}})$$s_{i}$$\delta_{i_{1},\ldots,i_{qj}S}$$(Z_{*,s_{i}})$$t_{i}$$i_{1,)}\ldots i_{p}$$j_{1},$$\delta_{i_{1},\ldots,i_{q}}$$\ldots$$\delta_{T}$$j_{1},$$i_{1},$$\ldots,j_{q},$$j_{1},$$k$$\ldots,j_{q}$$j_{t_{1}},$$i_{p}$$\ldots,j_{t_{k}}.,$$k$$i_{s_{l}},$$j_{t_{\iota}}$$\delta_{T}=\sum_{S}\delta_{T(S)}$$\ldots,$$\ldots,$.

さて,$g \cdot Z_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}Z_{i,k}g_{k,j}$で$\mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathrm{C})$

する関数環

の

,

$g=(g_{i,j})\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathrm{C})$を
行列 $A=(Z_{i,j})$ を不定元とへの作用を定める. これは$(Z_{i,j})arrow f(Z_{i,j})${ : Mat(n,} とみるとき$\mathrm{C}[Z]$$\mathrm{C}[Z]=$$d\mathrm{x}n$$\mathrm{C}[Z]$$f$$\mathrm{C})arrow \mathrm{C},$$(g\cdot f)(A)=f(A\cdot g)$ ,$f\in.\mathrm{C}[Z],$$g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathrm{C})$で定まる作用である. とくに,$g \cdot\delta_{j_{1},\ldots,j_{p}}=\sum_{1\leq i_{1,\ldots\prime}i_{\mathrm{p}}\leq n}g_{i_{1\prime}j_{1}}\cdots g_{i_{p},j_{p}}\delta_{i_{1},\ldots,i_{\mathrm{p}}}$,なので$g \cdot\delta_{T}=\sum$

となる.

よって,

$\mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathrm{C})$$\sum$

を不変にし, これは$\mathrm{S}_{\lambda}V${($g_{S,T}\delta_{S}$の$\mathrm{C}\delta_{T}$:$\mathrm{C}[Z]$

:

$T$

は

$S$

$\lambda$の充填 ),$g_{S,T}= \prod_{i,j}\mathit{9}S(i,j),T(i,j)$

への作用はは Young 図形$\lambda$の充填}$\subset \mathrm{C}[.Z]$と線形表現として同型である事が示される. とくに{$\delta_{T}$

:

$T$

は

の順充填}

$\lambda$

を一つ固ベクトル空間としての基底になる. ベクトル空間 $V$ の基底を入れたものを Schur 加定する. このとき Young 図形 の第 行第 列の箱に $V$ の元
群の元とみなすことができる. すなわち写像
は$\mathrm{S}_{\lambda}V$の$\mathrm{C}$$e_{1},$$\lambda$

$i$

$j$

$\ldots,$$e_{n}$$v_{i,j}$$\beta:V^{\otimes d}arrow \mathrm{S}_{\lambda}V$を定まる. これは多重線形写像であり,$\cdot\iota\prime_{i..j}=\sum_{k=1}^{||}.c_{i,j;k}e_{k},$$\beta((v_{i,j})_{i,j})=\sum_{T}c_{T}\delta_{T}$,$c_{i,j;k}.\in \mathrm{C}$$c_{T}= \prod_{i,j}c_{i,j;T(i,j)}$, と書くとき

8となる. またこの構或は関手的である. すなわち$\mathrm{C}$加群の準同型$\varphi$: $Varrow V’$ があれば, 自

然な準同型

:

$\varphi_{\lambda}$が定まる. これは$\mathrm{S}_{\lambda}Varrow \mathrm{S}_{\lambda}V’$

を $V’$ の基底として,$\{e_{j}’\}$$\varphi_{\lambda}(\delta_{T})=\sum_{S}b_{T,S}\delta_{S}$$\varphi(e_{i})=\sum_{j}b_{i,j}e_{j}’$

,

と書くとき

$b_{T,S}= \prod_{i,j}b_{T(i,j),S(i,j)}$で表される.

5Littlewood-Richardson の法則
まず Littlewood-Richardson の定数の Young 図形のについて説明する. まず
第 1 行の各箱に番号 1 を, 第 2 行の各箱に番号 2 を,という具合にしての各箱すべてに番号をふる. 次に Young 図形の各箱をばらして番号の若い順に の Young 図形にくっつけていく. この時次の条件を満たすようにつけていく.
(i) 同じ列に同じ番号が来ない.
$[\mu]$$\mu$$c_{\lambda\mu}^{\nu}$$[\mu]$$\ldots$$[\mu]$$\lambda$$[\lambda]$(ii) 第 1 行の番号を右から順に読んで, 続いて第 2 行の番号を右から順に読んで, . . . という具合にしてできる有限数列が次の性質を満たす.
$\{a_{i}\}$$\#\{j\leq k :aj=i-1\}$ ,aj=i\}\leq\#\{j\leq k :最後に番号を消して Young 図形
表す.

$[\nu]$

を得る.

$2\leq i\leq(t^{l}),$ $1\leq k\leq|\mu|$

このようにしてできる分割

$\nu$

.

の個数を

$c_{\lambda\mu}^{\nu}$で.

定理 5.1 (Littlewood-Richardson の法則).

$\mathrm{S}_{\lambda}V\otimes \mathrm{S}_{\mu}V=\oplus_{\nu}c_{\lambda\mu}^{\nu}\mathrm{S}_{\nu}V$

特別の場合として次の Pieri の公式を得る.
$\mathrm{S}_{\lambda}V\otimes \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}V=\bigoplus_{\nu}\mathrm{S}_{\nu}V$,$\mathrm{S}_{\lambda}V\otimes\wedge V=m\bigoplus_{\nu}\mathrm{S}_{\nu}V$は
ただし右辺のは次の条件を満たす:に左式の場合は各列に, 右式の場合は各行に, 高々 1 つの箱のみで全部で $m$ 個の箱をつけて得られる Young 図形.
$[\nu]$$\nu$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1})$の表現$\mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1})\cross \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{2})$$[\lambda]$の表現の表現と見る事ができる.

$W_{1}$と$\mathrm{G}\mathrm{L}(V_{2})$$W_{2}$が与えられると,$\mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1})\cross \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{2})$$W_{1}\oplus W_{2}$と$W_{1}\otimes W_{2}$はの表現として次の式が成り立つ.

.

$\mathrm{S}_{\lambda}(V_{1}\oplus V_{2})=\bigoplus_{\mu,\nu:|\lambda|=|\mu|+|\nu|}c_{\mu\nu}^{\lambda}\mathrm{S}_{\mu}V_{1}\otimes \mathrm{S}_{\nu}V_{2}$$\mathrm{S}_{\lambda}(V_{1}\otimes V_{2})=\bigoplus_{\mu,\nu:|\mu|=|\nu|=|\lambda|}b_{\mu\nu}^{\lambda}\mathrm{S}_{\mu}V_{1}\otimes \mathrm{S}_{\nu}V_{2}$

.

9
ここで
$\nu$

は Littlewood-Richardson の定数.

$c\ovalbox{\tt\small REJECT}$

すべてにわたって和をとり$b^{\lambda}$$\mu\nu$

2 番目の公式では右辺は$\omega_{\lambda}(\mathrm{i})$は多項式垣 qd

の分割達

$\mu$

,

は次で与えられる定数.

$b_{\mu\nu}^{\lambda}= \sum_{\mathrm{i}=(i_{1\prime}\ldots,i_{d})}(\frac{\omega_{\lambda}(\mathrm{i})\omega_{\mu}(\mathrm{i})\omega_{\nu}(\mathrm{i})}{i_{1}!i_{2}!\cdots i_{d}!1^{i_{1}}2^{i_{2}}\cdots d^{i_{d}}}$但し$d\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}|\lambda|$$=1(x_{1}^{q}+\cdots+x_{n}^{q})^{i_{q}}$の$x^{\lambda}$:$\omega_{\lambda}(\mathrm{i})=\sum_{r_{pq}}(\prod_{q=1}^{d}\frac{i_{q}!}{r_{1q}!r_{2q}!\cdots r_{nq}!}$:$\sum_{q=1}^{d}qi_{q}=d)$の係数で次の形に表せる.

$i_{q}= \sum_{a=1}^{n}r_{aq},$$\lambda_{p}=\sum_{b=1}^{d}br_{pb})$

特別の場合として次の公式がある.
,$\wedge(V_{1}m\oplus V_{2})=\bigoplus_{a+b=m}\wedge V_{1}a\otimes\wedge^{b}V_{2}$$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}(V_{1}\oplus V_{2})=\bigoplus_{a+b=m}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{a}V_{1}\otimes \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{b}V_{2}$,$\wedge(V_{1}m\otimes V_{2})=\bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m}\mathrm{S}_{\lambda}V_{1}\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}V_{2}$$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}(V_{1}\otimes V_{2})=\bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m}\mathrm{S}_{\lambda}V_{1}\otimes \mathrm{S}_{\lambda}V_{2}$

6

,

.

プレチズム
$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$の $W$ への表現$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}(W)$と$\mathrm{G}\mathrm{L}(W)$の$W_{1}$のがあれば, 自然にへの表現るのが次のプレチズム (Plethysm) 公式である.
定理 61(プレチズム公式).
$W_{1}$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm{G}\mathrm{L}(V)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}(W_{1})$$\mathrm{S}_{\lambda}(\mathrm{S}_{\mu}V)=\bigoplus_{\nu:|\nu|=|\lambda|\cdot|\mu|}a_{\lambda\mu}^{\nu}\mathrm{S}_{\nu}V$

ここで

への表現
が定まる. これを既約分解す$\mathrm{G}\mathrm{L}(W)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}(W_{1})$.

a\sim よ非負整数.

これは対称式の言葉に翻訳すると次のようになる.
をとる.

$f\cdot\in \mathrm{Z}[y_{1}, \ldots, y_{m}]^{6_{m}},$$g\in \mathrm{Z}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{6_{n}}$$g(x)= \sum u_{\alpha}x^{\alpha}$とあらわしたとき$\prod_{j=1}^{m}(1+\overline{y}_{j}t)=\prod_{\alpha}(1+x^{\alpha}t)^{u_{\alpha}}$であったとする. このとき$\overline{y}_{i}$達は$x_{1},$$\ldots,$$x_{n}$の単項式で書けている.

$f\circ g(x):=f(\overline{y}_{1}, \ldots,\overline{y}_{m})$で対称式を定義する. このときの形に書いておく.
$f\circ g$$f=S_{\lambda},$$g=S_{\mu}$

とおいて対称式$S_{\lambda} \circ S_{\mu}=\sum_{\nu:|\nu|=|\lambda|\cdot|\mu|}a_{\lambda\mu}^{\nu}S_{\nu}$$f\mathrm{o}g=S_{\lambda}\circ S_{\mu}$を次

10は非負整数でなけれ ならな .
これは表現の規約分解に対応するのでを明示的に表す公式は知られて な が特別の場合として次力\sigma 成立する.
一般の$1\mathrm{f}$$4\backslash$$a\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}$$\mathfrak{v}$)$V\supset$$a\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\lambda\mu$.

$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}(\wedge V)=\bigoplus_{\nu\in E(2m)}\mathrm{S}_{\nu}\sim V2$’$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{2}V)=\oplus \mathrm{S}_{\nu}V\nu\in E(2m)$

ただし $E(2m)=$ { $\nu=(\nu_{1},$$\ldots,$$\nu_{r})||\nu|=2m,$$\wedge(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{2}V)=\bigoplus_{\nu\in P_{r,1}(2m)}\mathrm{S}_{\nu}\sim Vm$は偶数 }.

$\nu_{i}$,$\wedge(\wedge V)=\bigoplus_{1}\mathrm{S}_{\nu}Vm2\nu\in P_{r1}(2m)$.

ただし $P_{r,t}(2m)$ は次で定義される分割の集合である.
$P_{r,t}(2m)=\{\nu=(a_{1}, \ldots, a_{r}|a_{1}+t, \ldots, a_{r}+t)||\nu|=2m\}$

個箱を並べて, 第 行に [よ対角線上の箱の後ろ (こ’こ
個の箱を並べ, 第 列には対角線上の箱の下に 個の箱を並べて得られる Young 図形

ここで $(a_{1}, \ldots, a_{r}|b_{1}, \ldots, b_{r})$ は対角線に

$i$

$r$

$b_{i}$$i$$a_{i}$

対応する分割を表す.

次もプレチズム公式の特別な場合である.
$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}2(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}V)=$$\oplus$2,$\wedge(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m}V)=$$\mathrm{S}_{(2m-j,j)}V$$rn$$\oplus$2

S(m+j, ヘーカ $V$,$m$$\wedge(\wedge V)=$

複体に関する補題$A$を次数付き可換環で $A0=k,$

補題 7.1. 有限生或次数付自由 $A$
. さらに
存在し
$G_{\bullet}=G_{\bullet}’\oplus G_{\bullet}’’$$\oplus$.

$\mathrm{S}_{(m+j,m-j)}V$

j:奇数

j:偶数

7

,

$\mathrm{S}_{(2m-j,j)}V$

j:奇数

j:偶数
$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}2(\wedge V)=$$\oplus$.

は体 , なるものとする.
に対し, 最小複体 $G’$ と完全複体
加群の複体
となる.
$k$

$G_{\bullet}$$G_{\bullet}’’$力\mbox{\boldmath $\tau$}$G_{\bullet}’=H_{i}(G_{\bullet}\otimes_{A}k)\otimes_{k}A$: $G_{i}arrow G_{i-1}$と書いておく. 微分
を行列表示し $(k,j)$ 或分が, 次数 $ej,i-e_{k,i-1}$ の斉次元であるよう \acute こしておく. G\sim 分解$G_{i}=B_{i}\oplus U_{i}\oplus B_{i}’$ で微分写像: $G_{i}arrow G_{i-1}$ が次のように表せるもの力\mbox{\boldmath $\tau$}あれ l $G_{i}’=U_{i}$ ,証明.

$\mathit{9}i=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}G_{i}$と置き,$G_{i}= \sum_{1\leq j\leq \mathit{9}i}A$(-ej,$d_{i}$$\mathrm{f}^{\backslash }$$d_{i}$$G_{i}’’=B_{i}\oplus B_{i}’$とおけぼよい.

(1)

ある微分射

$d_{i}=(\begin{array}{lll}0 0 I0 d_{i}’ 00 0 0\end{array})$$d_{m}$: $G_{m}arrow G_{m-1}$ を固定する.

$G_{m},$$G_{m-1}$$d_{?n}=(\begin{array}{ll}d_{m}’ 00 d_{m}’\end{array})$の基底の斉次変換により

11
は最小かつ

$d_{m}’$$d_{m}’’$.

は単位行列とできる. これより

$G_{m}=W_{m}\oplus V_{m},$ $G_{m-1}=W_{m-1}\oplus V_{n-1}$と出来る.
: $W_{n},arrow W_{m-1}$ は最小,
: $V_{m}arrow V_{m-1}$ は同型,に対応す
は複体なので $d_{m+1}$ の同様にして $d_{m+1}$ : $G_{m+1}arrow G_{m}$ も分解しよう.
る或分は 0 である. よって $d_{m+1}$ : $G\text{ }+1arrow W_{m}$ と考えても良い. この写像を標準型に直すとは最小射 $W_{m+1}arrow U_{m}$ と 41 亘
, Wm=Um\oplus B。と分解できて等射 $V_{m+1}arrow B_{m}$ との直和となる. ここで $B_{m}’=V_{m},$+1=V。+1, $B_{m-1}=V_{m}$ とおく.
$i>j$ なるすべての に対し分割 (1) が出来ていて $G_{j}=B_{j}\oplus W_{j}$ と分割されているとする.
はとなりの像に含まれるから,: $W_{j}arrow G_{j-1}$ と思ってよい. これをと分割できて$d_{m}’$$d_{n},=d_{m}’\oplus d_{m}’’$$d_{m}’’$$V_{m}$$\{G_{\bullet}\}$。

$G\text{。}+\mathrm{l}=W_{m+1}\oplus V_{m+1}$$d\text{。}+1$$B_{m}’$$i$$d_{j+1}$$B_{j}$$d_{j}$$B_{j}\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d_{j}$は最小写像 $U_{j}arrow W_{j-1}$
標準型に直すと $W_{j}=U_{j}\oplus B_{j}’,$ $G_{j-1}=B_{j-1}\oplus W_{j-1}$ と分割できてと恒等写像 $B_{j}’arrow B_{j-1}$ の直和.
同様に $i<j$ なるすべての に対し分割 (1) が出来ていて $G_{j}=W_{j}\oplus B_{j}’$ と分割されてい
るとする.
となり
: $G_{j+1}arrow W_{j}$ と思ってよい. これを標準型に直すと$G_{j1}=W_{j+1}\oplus B_{j+1}’,$ $W_{j}=B_{j}\oplus U_{j}$ と分割できては最小写像 $W_{j+1}arrow U_{j}$ と恒等写像$B_{j+1}’arrow B_{j}$ の直和.
口以上の議論を組み合わせれば証明が終る.
$d_{j}$$i$${\rm Im} d_{j+1}\subset W_{j}$$d_{j+1}$$d_{j+1}$

補題 72. 次数付 $A$ 加群の複体$A$ 加群の最小複体と擬同型$M_{\bullet}$

証明.

$Z_{i}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\{M_{i}arrow M_{i-1}\},$.

$B_{i},$$Z_{i},$$H_{i}$の自由分解をそれぞれ$\eta_{i}$,$0arrow Z_{i}arrow M_{i}arrow B_{i-1}arrow 0$$B_{i},$$\mathcal{M}_{i},$$0arrow B_{i}arrow Z_{i}arrow H_{i}arrow 0$が存在する. 写像とおくと次の完全列がある.

$B_{i}={\rm Im}\{M_{i+1}arrow M_{i}\}$$0arrow B_{i}arrow Z_{i}arrow H_{i}arrow 0$$M_{i},$が存在する.

$G_{\bullet}arrow M$$G_{\bullet}$

このとき, 次数付

が $M_{i}=0,$ $i<i_{0}$ , をみたすとする.

,$Z_{i},$$\mathcal{H}_{i}$.

とすると, 複体の完全列$0arrow Z_{i}arrow \mathcal{M}_{i}arrow \mathcal{B}_{i-1}arrow 0$を$\eta_{i}$:$\mathcal{M}_{i}arrow B_{i-1}arrow Z_{i-1}arrow \mathcal{M}_{i-1}$とすると $\eta_{i}0\eta_{i-1}=0$ である. 二重複体

. ..

$arrow \mathcal{M}_{i}arrow\eta\dot{.}\mathrm{A}4_{i-1}arrow\eta\dot{.}-1\mathcal{M}_{i-2}arrow\cdots$

から
とすれば,
の全複体を
への自然な写像 がある. 二重複体のスペクトル系列を考えれぼ は擬同型であることがわかる.
口に前補題を適用して,を取ればこれが求める最小複体となる.
この複体$G_{\bullet}$$G_{\bullet}$$M_{\bullet}$$\phi$$\phi$$\{G_{\bullet}\}$$\{G_{\bullet}’\}$

補題 73. 次数付き自由 $A$ 加群の次数付き二重複体$\uparrow$$\mathrm{F}$$\uparrow$.
$..arrow F_{i-1,j}d_{\mathrm{t}\cdot\uparrow}arrow d_{h}F_{i-1_{1}j-1}\uparrow d_{ll}arrow\cdots$. .. $arrow$$arrow‘ d,$’$F_{ij}\uparrow$$F_{i,j-1}^{i}$$arrow\cdots$

12で, を満たすものを考える. 縦方向の d。は分解し横方向は極小複体と仮定(こ注意する. このとき, 次を満たす,, の部分が存在する.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0i\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$

する.
群$d_{h}^{2}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0,$$G_{\ovalbox{\tt\small REJECT},\ovalbox{\tt\small REJECT}},$,$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$d_{v}^{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}\circ$$\bullet F_{i,j}=G_{i,j}\oplus d_{v}(G_{i+1,j})\oplus H_{i,j}$$\bullet$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\{d_{v} :・ $d_{v}|G_{i+1,j}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$dhd\text{。}+d_{v}d_{h}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$.

F_{i,j}arrow F_{i-1,j}\}=d_{v}(G_{i+1,j})\oplus H_{i,j}$.

: $G_{i+1,j}arrow d_{v}(G_{i+1,j})$ は同型.

を上の直和分解から決まる自然な射影, $p:F_{i,j}arrow G_{i+1,j}$ を,E の直和分解から決まる自然な射影 $F_{i,j}arrow d_{v}(G_{i+1,j})$ に同型 $G_{i+1,j}arrow d_{v}(G_{i+1,j})$ の逆を合或したものとする.

$s:F_{i,j}arrow H_{i,j}$$H_{k}=\oplus_{i+j=\dot{k}}H_{i,j}$と置くと,$\{H_{\bullet}\}$証明. まずは,:,$d|H_{i,j}:= \sum_{\ell\geq 0}s(d_{h}p)^{\ell}d_{h}$: $H_{i,j}arrow H_{i+j-1}$の全複体とホモトピツクな複体である.

$\{\mathrm{F}\}$$s(d_{h}p)^{\ell}d_{h}$$d:H_{k}arrow H_{k-1}$$H_{i,j}arrow H_{i+\ell,j-\ell-1}$に注意する.

$F_{i,j}=0,$$i>>0$ , なので,

これは有限

和である.

dt=dh+d。を$\{F_{i,j}\}$の全複体の微分とする. 縦方向の複体は分解するので,${}_{j}H_{i,j}^{\cdot}$$G_{i},,$が存在して $F$ は$G=\oplus G_{i,j}$,$d_{v}(G)$,$H=\oplus H_{i,j}$の任意の元は $g’+d_{t}(g)+h,$ $g’\in G_{i,j},$の直和に分解される. よっての形に表される. この元は $G+d_{t}(G)+H$ を法として $d_{h}(g)\in F_{i+1,j-1}$ と書ける.
\iota こ関する帰納法により,$i>>0$ , なので,

$g\in G_{i\dagger 1,j},$$F_{i,j}$$h\in H_{i,j}$$F_{i,j}=0$,$i$$F:=\oplus F_{i,j}=G+d_{t}(G)+H$がわかる.
$g’\in G_{\ell}=\oplus_{i+j=\ell}G_{i,j}$,$g\in G_{\ell+1}=\oplus_{i+j=\ell}G_{i+1,j}$,$h\in H_{\ell}=\oplus_{i+j=\ell}H_{i,j}$

に対し $g’+d_{t}(g)+h=0$ を仮定して $g’=g=h=0$ を示す. $g= \sum_{k=a}^{b}.g_{k+1,\ell-k},$ $g_{s,t}\in G_{s,t}$ ,と書く. $(d_{t}g)_{b,\ell-b}=(d_{v}g)_{b,\ell-b}=d_{v}(g_{b+1,\ell-b})$ 仮定より. これは零で $gb+1,\ell-b=0$ となる.
よって $b-a$ の帰納法より証明が終る. これより.

$F:=\oplus F_{i,j}=G\oplus d_{t}(G)\oplus H$

で$d_{t}$

は $G$ から $d_{t}(G)$ への同型である.

の部分二重複体である.
: $Garrow d_{t}(G)$ は同型なので, 全複体
tot(G) は分解する完全列である. よって, 全複体 tot(F) は tot(F)/tot(G) にホモトピー同値である. この複体の加群は $H=\oplus H_{i,j}$ に同型である.
$\mathrm{G}:=G\oplus d_{t}(G)$は$\mathrm{F}$$d_{t}$

13
微分を計算するため $h\in H_{i,j}$ に対し,
表そう.

$d_{t}h$となる $h’\in H$ を具体的に$\equiv h’(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} G+d_{t}G)$$d_{t}h=d_{h}h\equiv s(d_{h}h)+(d_{t}p)d_{h}h$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} G)$

であるが$d_{t}p=d_{h}p\equiv s(d_{t}p)+d_{t}p(d_{h}p)$である. これを繰り返して,$d_{t}p=d_{h}p$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} G+d_{t}(G))$と $F_{i,j}=0,$ $i>>0$ , を用いれば,$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} G+d_{t}(G))$$d_{t}h \equiv\sum_{\ell\geq 0}s(d_{h}p)^{\ell}d_{h}h$

を得る.

8

口

代数幾何学からのイデアルである.
を次数付き可換環とし $A_{+}=\oplus_{k>0}A_{k}$ とおくとこれはとに対し, $M(n):=\oplus_{k\in \mathrm{Z}}M_{k+n}$ とおく. 特に
次数付ぎ 加群$A(n)$ は加群の事を表す.
となるときが存在して次数付き $A$ 加群 $M,$ $M’$ に対し, ある$M\approx M’$ と定義すると,これは同値関係である. 有限生或加群と同値になる加群を擬有限生
或加群という.
を含上の対応する層とする. これはを次数付き $A$ 加群 $M$ に対しの斉次元全体がなす積閉での茎が,まない $A$ の斉次素イデアルと集合での $M$ の局所化の次数 0 の部分, となる層である. $A(n)$ の層化 $A(n)^{\sim}$ を表す.
上の層 $F$ に対し$A$$A=\oplus_{k\geq 0}A_{k}$
$A$

$A$

$M=\oplus_{k\in \mathrm{Z}}M_{k}$,$n\in \mathrm{Z}$$\oplus_{k\in \mathrm{Z}}A_{k+n}$$d$$M^{\sim}$$\oplus_{k\geq d}M_{k}$$=\oplus_{k\geq d}M_{k}’$$A_{+}$$P=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(A)$$A-\mathrm{p}$$\mathfrak{p}\in P=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(A)$$\mathcal{O}_{P}(n)$$P=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(A)$$\Gamma_{*}(\mathcal{F})=\bigoplus_{k\geq 0}\Gamma(P, \mathcal{F}(n))$,$F(n)=F\otimes \mathcal{O}_{P}(n)$とおく.
上で生或されていると仮定する. 関手定理 81. $A$ はで割って得られる圏と, 連接次数付き $A$ 加群を同値関係$A_{0}$$A_{1}$$\approx$$\sim$と関手 F*#よ, 擬有限生或加群のなす圏の間の,$\mathcal{O}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(A)}$圏として同値を定める.
証明. R.Hartshorne: Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer口Verlag, 1977 の垣章 5 節 Ex 59 を参照.

9

自由分解の幾何学的構成とする. 自然な射影 $p:P\cross Varrow P$
を有限次元複素線形空間から決まる $P$ 上の白明なベクトル束を と書く. ベクトル束はその切断の作る局所自由層$P$を射影多様体とし,$V$$\mathrm{C}^{N}$

$\xi$

14
と同一視する. 第 2 或分への射影をのによる商束とする.
を空間とする.

$q\ovalbox{\tt\small REJECT} P\cross Varrow V$$\xi$$\eta$と書く.

$\zeta$をの部分束, $Z$ を

$\xi$

の全

$\zeta$$\zeta$$Z\subset P\cross VP\underline{p}$$q\downarrow$$\downarrow$$X$$\subset$$V$

すると次のような $P$ 上のベクトル束の完全列がある:$0arrow\zetaarrow\xiarrow\etaarrow 0$.

これの双対をとると$0arrow\eta^{*}arrow\xi^{*}arrow(^{*}arrow 0$を得る.
$\mathrm{I}_{Z}$は$\prod\overline{\mathfrak{o}}$の下で $Z$ の $P\cross V$ のなかでの定義イデアル(
上 p*\eta *(の断面) で生或されるから一視$\mathcal{O}_{P\mathrm{x}V}$$\mathcal{O}_{P\mathrm{x}V}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$$’=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}_{\mathcal{O}_{P}}\xi^{*}$$0arrow \mathrm{I}_{Z}arrow \mathcal{O}_{P\cross V}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$$\xi^{*}arrow \mathcal{O}_{Z}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$$\zeta^{*}arrow 0$か加群の完全列 Sym (加群の完全列であるが,の中にある) を用いてできる次の Koszul 複体の生或元 (
ら誘導されたものである.

を得る. これは$’arrow \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\zeta^{*}arrow 0$$\mathcal{O}_{P}$$\mathcal{O}_{P\cross V}$$p^{*}\eta^{*}$$\mathrm{I}_{Z}$

を考える.

:

$K_{\bullet}$$0arrow \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\eta\wedge p^{*}\eta^{*}arrow\cdotsarrow\wedge^{2}p^{*}\eta^{*}arrow p^{*}\eta^{*}arrow \mathcal{O}_{P\cross V}=R\otimes A$の次数 1 の元で書かれる.
これの微分写像は $N$ 変数の多項式環上の複体にするのが目標である.
上の複体を写像刃 で崩壊させてに対し次で定義される次数付自由 加群を考える.
のベクトル束
$A=\mathcal{O}_{V}=\mathcal{O}_{\mathrm{C}^{N}}$この$\mathcal{O}_{P\mathrm{x}V}$$\mathcal{O}_{V}$$*$$P_{-}\llcorner$$A$$\mathcal{G}$$F_{s}(\mathcal{G})=\oplus \mathrm{H}^{t}(P,$$(\wedge\eta^{*})\otimes \mathcal{G})t\geq 0s+t\otimes \mathrm{c}A(-s-t)$

最後の $(-s-t)$ は次数付線束をとる時や, 文脈から$A$-加群と見た時の次数のずらしを表す.

$\mathcal{G}$定理 91. 次数 0 の微分写像群の複体となりが明らかな時は,$d_{s}(\mathcal{G})$:$F_{s}.(\mathcal{G})$$F_{s}(\mathcal{G})arrow F_{s-1}^{\urcorner}(\mathcal{G})$を単に$F_{s}$

として自明な直と略記する.

が存在してまた$F_{s}(\mathcal{G})$$\mathcal{G}$は次数付自由, Sym$H_{-s}(F_{\bullet}(\mathcal{G}))=R^{s}q_{*}(\mathcal{O}_{Z}\otimes p^{*}\mathcal{G})=H^{s}(Z, \mathcal{O}_{Z}\otimes p^{*}\mathcal{G})=H^{s}(P$

とくにえば$H_{s}(F_{\bullet}(\mathcal{G}))=0,$$s>0$ . さらに$d_{s}$$d_{s}(\mathcal{G})$:$((^{*}\otimes \mathcal{G}))$

は $A$ の正の同次元で書かれる.

$A$

加

.

更に詳しく言$F_{s}(\mathcal{G})arrow F_{s-1}(\mathcal{G})$の或分$(d_{s})^{(t,t’)}$:$H^{t}(P, \Lambda^{s+t}(\eta^{*}\otimes \mathcal{G}))\otimes \mathcal{O}_{V}(-s-t)arrow H^{t’}(P, \Lambda^{s+t’-1}(\eta^{*}\otimes \mathcal{G}))\otimes \mathcal{O}_{V}(-s-t’+1)$は次数 $t-t’+1$ の同次元で与えられる. とくに $t<t’$ ならば$(d_{s})^{(t,t’)}$

は零写像.

15
証明. 次の 2 つの次数付き可換環を考える.
$R= \bigoplus_{n\in \mathrm{Z}}\Gamma(P, \mathcal{O}_{P}(n))$

補題 92.

とする.

$\ell=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}$$\eta$.

,$A=\mathcal{O}_{V}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$$V^{*}= \bigoplus_{n\geq 0}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{n}V^{*}$$P_{s}=(\wedge^{s}p^{*}\eta^{*})\otimes p^{*}\mathcal{G},$$s=0,1,$.

$\ell$$\ldots,$, と置くとき複体.

$\mathrm{O}arrow P\ellarrow P_{\ell-1}arrow\cdotsarrow P_{1}arrow P_{0}arrow 0$の $A\otimes R$ 加群としての$q_{*}$

非輪状解消 (すなわち $R^{k}q_{*}P_{s,t}=0,$ $k>0$ , で縦方向よ完全):.
.

$\cdot$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$0arrow P_{\ell,-2}arrow\cdotsarrow P_{2,-2}arrow P_{1,-2}arrow P_{0,-2}arrow 0$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$0rightarrow P_{\ell,-1}arrow\cdotsarrow P_{2,-1}arrow P_{1,-1}arrow P_{0,-1}rightarrow$. $0$$0arrow P_{\ell,0}arrow\cdotsarrow P_{2,0}$$0arrow$$arrow P_{1,0}arrow P_{0,0}$$arrow\cdotsarrow$$arrow$$P_{2}\uparrow$$P_{l}\uparrow$$arrow 0$$arrow$$P_{1}\uparrow$$arrow 0$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$P_{0}\uparrow$0000が存在する.
と書
補題の証明. $P$ を射影空間に埋め込んでおく. その埋め込みが定める豊富な層をく時, (必要ならぼ Veronese 埋込を合或して) $H^{k}(P, \mathcal{O}_{P}(n))=0,$ $k>0,$ $n>0$ , と仮定して一般性を失わない.
$\mathcal{O}_{P}(1)$$C_{-s}= \bigoplus_{n\geq 0}\Gamma(P,$ $(\wedge^{s}p^{*}\eta)\otimes p^{*}\mathcal{G}^{*}\otimes \mathcal{O}_{P}(n))\otimes A(s)$をテンソルして双対をとったものから誘導される写像で複体ととおく. これはなる.
の各或分の加群から, 次数つき $R$ 加群としての正でない次数の或分をカットしての双次数付き R A-加群として得られる,と書く. 複体と同値な複体を$K_{\bullet}\#_{\sim}^{-}p^{*}\mathcal{G}$$C_{t}$$\{C_{s}\}$$\{\hat{C}_{s}\}$$\{\hat{C}_{s}\}$$\circ$16.

$\sigma)|\dagger\Phi\prime \mathrm{J}\backslash \mathrm{B}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{J\grave{\mathrm{J}}}’\hslash\not\in$

.

.

..

.

.

$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$0arrow\hat{C}_{-\ell 2}\downarrow,arrow\cdotsarrow\hat{C}_{2,2}\}arrow\hat{C}_{-12}\downarrow,arrow\hat{C}_{02}\downarrow,arrow 0$$0arrow\hat{C}_{-\ell 1}\downarrow,arrow\cdotsarrow\hat{C}_{-21}\downarrow,arrow\hat{C}_{-11}\downarrow,arrow\hat{C}_{01}\downarrow,arrow 0$$0arrow\hat{C}_{-\ell 0}\downarrow,arrow\cdotsarrow\hat{C}_{2,0}]arrow\hat{C}_{1,0}]arrow\hat{c}_{00}\downarrow,arrow 0$$0arrow\hat{c}_{0}\downarrow\downarrow^{\ell}arrow\cdotsarrow\hat{c}_{0}\downarrow\downarrow^{2}arrow\hat{c}_{0}\downarrow\iota^{1}arrow\hat{c_{0}}\iota_{0}\downarrowarrow 0$-非輪状解消にを施して得られの各或分は次数つき $R$ 加群としては次数正の元で, 生或されていると仮るとしてよく、と書く. 定理 8.1 より, 最下行は複体定できる. これを層化して双対をとったものをとなる. 言い換えると右分解$K$と同型. よってこの複体はでをとる. 縦の列は$\Gamma_{*}((\wedge^{s}\eta)\otimes \mathcal{G}^{*})$の $R$ 加群としての$\Gamma$$\otimes A(s)$$\hat{C}_{i,j}$.

$\{P_{\bullet}.\}$$P_{s}=(\wedge^{s}p^{*}\eta^{*})\otimes p^{*}\mathcal{G}$$\otimes p^{*}\mathcal{G}$$0arrow(\wedge p^{*}\eta^{*})\otimes p^{*}\mathcal{G}sarrow P_{s,\bullet}(\mathcal{G})$が構或できた. 構或より各$P_{s,t}=P_{s,t}(\mathcal{G})$,$s=0,1,2,$$\ldots$は $\mathcal{O}_{P}(j)\otimes A(s),$ $j>0$ , の直和として表す事ができ,$R^{k}q_{*}(\mathcal{O}_{P}(j)\otimes A(s))=H^{k}(P\cross V, \mathcal{O}_{P}(j)\otimes A(s))$$=\{$

なので, 各二重複体
考える.

$P_{s,t}$

0

$k>0$

$\Gamma(P, O_{P}(j))\otimes\Gamma(V, \mathcal{O}_{V}(s))$$k=0$

は q*ー非輪状である.

$\{q_{*}P_{\bullet\bullet}\}$の全複体を$\{G_{n}\}$口と書く. 二重複体$\{q_{*}P_{\bullet\bullet},\}$の作る次のスペクトル列を$\mathrm{h}\text{。}\mathrm{r}E_{s,t}^{1}=H_{S}(\{q_{*}P_{\bullet\bullet},\})\Rightarrow H_{s+t}(G_{\bullet})$各$P_{s,t}$が q*ー非輪状であることから,$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\{q_{*}P_{1,t}arrow q_{*}P_{0,t}\}$$s=0,$

0

それ以外$t\leq 0$$1_{1}\mathrm{o}\mathrm{r}E_{s,t}^{1}=\{$

17$R^{-t}q_{*}(\mathcal{O}_{Z}\otimes p^{*}\mathcal{G})$

$s=0$

0

$s\neq 0$$\mathrm{h}\text{。}\mathrm{r}E_{s,t}^{2}=\{$が得られ、 スペクトル列
一方, 補題 7.1 より$\mathrm{h}\text{。}\mathrm{r}E\mathrm{f},t$lよ$G_{n}=F_{n}\oplus L_{n}$となりと$F_{n}=H_{n}(G_{\bullet}\otimes \mathrm{C})\otimes A$$\{q_{*}P_{\bullet\bullet},\}$$E^{2}$,

退化で$\{F_{n}\}$$H_{-t}(G.)=R^{t}q_{*}(\mathcal{O}_{Z}\otimes p^{*}\mathcal{G})$最小複体,$\{L_{n}\}$

を得た.

完全複体

とかける. ここで $\mathrm{C}=A/A_{+}$ と見なしている.

$\otimes \mathrm{C}$をするの水平方向は零写像になってしまうから$H_{n}(G_{\bullet} \otimes \mathrm{C})=\bigoplus_{\epsilon+t=n}H_{t}(q_{*}P_{s,\bullet}\otimes \mathrm{C})=\bigoplus_{s+t=n}H^{-t}(P, (\wedge^{s}\eta^{*})\otimes \mathcal{G})$よって $F_{n}=\oplus_{a\geq 0}H^{a}(P, \wedge^{a+n}\eta^{*}\otimes \mathcal{G})\otimes A(-a-n)$ .

系 9.3. もし $R^{k}q_{*}(\mathcal{O}_{Z}\otimes p^{*}\mathcal{G})=0(k>0)$ ならば口$\{F_{s}(\mathcal{G})\}$

は$q_{*}(\mathcal{O}_{Z}\otimes p^{*}\mathcal{G})$の $A$ 自由分解.

定理 94. $\Sigma=q(Z)$ とし, $q:Zarrow\Sigma$ が双有理写像と仮定する.

(i)$q_{*}\mathcal{O}_{Z}$は$\mathcal{O}_{\Sigma}$の正規化.

(ii) $R^{k}q_{*}\mathcal{O}\mathrm{z}=0(k>0)$ のとき,

$q_{*}\mathcal{O}_{Z}$の $A$ 加群としての有限自由分解が上述の方法で得られる.

(iii) $R^{k}q_{*}\mathcal{O}_{Z}=0(k>0)$ で $F_{0}=H^{0}(P, \eta)\otimes A=A$ のとき O。の 加群としての有限自は正規かつ有理特異点である.
由分解が上述の方法で得られる. と に$A$$\langle$

注意 95.

$\mathcal{G}_{v},$$v=0,1,$$\ldots,$$m$$\Sigma$, を $P$ 上のベクトル束とし,$P\cross V$

上に複体$0arrow p^{*}\mathcal{G}_{m}arrow\cdotsarrow p^{*}\mathcal{G}_{1}arrow p^{*}\mathcal{G}_{0}arrow 0$があるとして、 定理 9.1 の構或を適用することもできる.

この場合二重複体は$P_{s,t}= \bigoplus_{u+v=s}P_{u,t}(\mathcal{G}_{v})$は $\mathcal{O}_{P}(j)\otimes A(s-v)$ ,非輪状解消に $\otimes A(s-v)$ して得られ
を考察し
の全複体を
$j>0$ , なるいくつかの加群の直和としてよい. 二重複体にすると水平方向は零写像になってしまうからてみよう. 二重複体

で, 第

$s$

列は G。達の$P_{u,t}(\mathcal{G}_{v})$$\Gamma$$\{q_{*}P_{\bullet\bullet},\}$$\{q_{*}P_{\bullet\bullet},\}$$H_{n}(G$となる. よってれぼ$s$$H_{n}.(G_{\bullet}(\overline{.\backslash }’,\mathrm{c}))$.

$G_{\bullet}$$\otimes \mathrm{C}$$\otimes \mathrm{C})=\bigoplus_{s+t=n}H^{-t}(q_{*}P_{s,\bullet}\otimes \mathrm{C})$を固定して, 二重複体が計算できる.

$\{q_{*}P_{\mathrm{s}-U_{\backslash }t}..(\mathcal{G}_{v})\otimes \mathrm{C}\}_{v,t}$の次のスペクトル列を追跡す$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\iota^{E_{v,t}^{1}=R^{-t}q_{*}((\wedge p^{*}\eta^{*})\otimes p^{*}\mathcal{G}_{v})}s-v\Rightarrow H_{v+t}(q_{*}P_{s,\bullet}\otimes \mathrm{C})$18
実際にこの方法で自由分解を構或する際, 次の Bott の定理が有効である.
をを Grass $(r, E)\cross Earrow$
次元複素線形空間, Grass $(r, E)$ を Grassmann 多様体,

$E$

$n$

$\mathcal{E}$

Grass(r, $E$ ) で決まる自明なベクトル束,$0arrow \mathcal{K}arrow \mathcal{E}arrow Qarrow 0$

を Grass $(r, E)$ 上の同語反復列 (tautological sequence) とする.

定理 96(Bott の定理). 分割
上のベクトル束を考える$\alpha=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}),$$\mathrm{S}_{\alpha}Q\otimes \mathrm{S}\beta \mathcal{K}$(i)$\lambda+\rho$に同じ要素が現れるとき,$H^{k}$(ii)$\lambda=(\alpha, \beta),$に対し, Grass(n-r, $E$ )$\rho=(n, n-1, \ldots, 1)$ とおく.
$\beta=(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n-r})$(Grass(n-r, $E$ ),に同じ要素が現れないとき,
る分割
を考える.

$\mathrm{S}_{\alpha}Q\otimes \mathrm{S}\beta \mathcal{K}$) $=0$ ,$k\geq 0$.

に現れる要素を大きい順に並べかえて得られ
から
とおく.
を得る
のに必要な隣接する数字の入れ換えの最小数をと書く.

$\lambda+\rho$$\lambda+\rho$$\sigma^{\bullet}(\lambda)=\sigma(\lambda+\rho)-\rho$$\sigma(\lambda+\rho)$$\sigma(\lambda+\rho)$$\lambda+\rho$$l(\sigma)$$H^{k}$(Grass(n-r, $E$ ),$\mathrm{S}_{\alpha}Q\otimes \mathrm{S}_{\beta}\mathcal{K}$0) $=\{$$\mathrm{S}_{\sigma^{\bullet}(\lambda)}E$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 9.7$

. Grassのとき,$k\neq l(\sigma)$$k=l$ (。) 。おき.

$(n-r, E)=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E^{*})\text{て^{}\backslash \backslash }$$0arrow Q^{*}arrow \mathcal{E}^{*}arrow \mathcal{K}^{*}arrow 0$

は Grass(r,(i)$\lambda+\rho$$E^{*}$) の同語反復列だからに同じ要素が現れるとき,$H^{k}$(ii)$\lambda+\rho$(Grass(n-r, $E$ ),$\mathrm{S}_{\alpha}\mathcal{K}^{*}\otimes \mathrm{S}\beta Q^{*}$) $=0$ ,(Grass(n-r, $E$ ),$\mathrm{S}_{a}\mathcal{K}^{*}\otimes \mathrm{S}\beta Q^{*}$) $=\{$

0$k\neq l(\sigma)$$\mathrm{S}_{\sigma^{\bullet}(\lambda)}E^{*}$のとき,$k=l$ (。) 。とき.

対称代数としての多項式環およびジエット空間

を $V$ 上の次元複素ベクトル空間,
は $V$ 上の複素多項式のなす環の座標環とみなす事ができる.
$V$.

に同じ要素が現れないとき,$H^{k}$

10$k\geq 0$を$n$$\oplus_{d>0}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{d}V^{*}$$V^{*}$$\mathrm{C}$-線形写像とする. すると$\mathrm{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]$$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}V^{*}=$と同型である. これは$V=\mathrm{C}^{n}$

19

を $E$ の全く同様にして代数多様体上の複素ベクトル束 $Earrow M$ があたえられたとき,はベクトル束の全空間 $E$ の座標環とみなす事ができる.
断面の作る層とすればを上のベクトノレ束とかくことにする.
の接束を$\mathcal{E}$$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}_{\mathcal{O}}\mathcal{E}^{*}$$\mathrm{C}^{n},$$\mathrm{C}^{p}$$T\mathrm{C}^{n},$$\mathrm{C}^{n}\cross \mathrm{C}^{p}$$T\mathrm{C}^{p}$$J_{k}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{k}T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$

で定義し,

を

$J^{k}=\oplus_{l=1}^{k}J\downarrow$$i_{1}\leq\cdots\leq i_{l}\leq n,$$\mathcal{O}_{J_{k}}=\mathcal{O}[Z_{i_{1},\ldots,i_{k}}^{j}]$が$k$$kT^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p}$-jet 束という. ジエット空間のファイバー方向の座標を;$1\leq l\leq k$$\sqrt[\vee]{}\backslash \backslash \backslash$$J_{k^{n}}$$1\leq j\leq p$} とすれば,$\mathcal{O}$$\{Z_{i_{1},\ldots,i_{l}}^{J}|1\leq$

を底空間の座標環としたとき,-‘ノト空間の座標環であるが、 これは次のようにあらわされる.

$\mathrm{J}$$\mathcal{O}_{J^{k}}.=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}((\oplus_{l=1}^{k}J_{l})^{*})=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(\oplus_{l=1}^{k}J_{l}^{*})$$=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$$(\oplus_{l=1}^{k}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{l}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$$= \oplus\bigotimes_{lm_{1},\ldots,m_{k}=1}^{k}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{m_{l}}(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{l}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$$\otimes^{k}$$=$$(\mathrm{S}_{\lambda_{\mathrm{t}}}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{l}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{\lambda_{l}}T^{*}\mathrm{C}^{p})$$\oplus$$\oplus$$m_{1\prime\cdots\prime}.m_{k}l=1\lambda_{1}:|\lambda_{\mathrm{l}}|=m_{1}$$= \oplus\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}(\bigotimes_{l=1}^{k}\mathrm{S}_{\lambda_{\mathrm{t}}}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{l}T\mathrm{C}^{n)}\otimes(\bigotimes_{l=1}^{k}\mathrm{S}_{\lambda_{\iota}}T^{*}\mathrm{C}^{p}.)$

これは座標環の多重次数 $(m_{1}, \ldots, m_{k})$ による分解を与えている. また右辺を既約分解が右辺に埋め込めるかどうかを調べる事が出来る.
すればの座に作用するが, これはが自然に座標変換の群のイデアル I を
. への群 $A$ の作用を誘導する. そこで群 $A$ の作用で不変な標環
とる. このイデアルの元を $j^{k}f(0)$ とする. $f$ の各或分を定数倍してもそのジエットは同じイデアルに属する. このことは I が斉次イデアルであることを意味する. また源の座標変
換 $(x_{1}, \ldots, x_{n})\mapsto(cx_{1}, \ldots, cx_{n}),$ $c\neq 0$ , を合或してもそのジエットの属するイデア J レ (よ変わ\iota こ重み を与えても I は斉次であることを意味する. I はらない. このことは変数で不変でで不変だから, 特に
座標変換$\mathcal{O}_{J^{k}}$$\mathrm{S}_{\alpha}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{\beta}T^{*}\mathrm{C}^{p}$$J^{k}$$J^{k}$$A=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{R}^{n}, 0)\cross \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{R}^{p}, 0)$$\mathcal{O}_{J^{k}}$$\mathcal{O}_{J^{k}}$$Z^{j}$$\ell$$i_{1_{\rangle}}\ldots,i_{l}$$\mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathrm{C})\cross \mathrm{G}\mathrm{L}(p, \mathrm{C})$$A=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{R}^{n}, 0)\cross \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{R}^{p}, 0)$

したがって次の問題に答えることが重要と思われる.
問題: I の斉次生或元を Schur 加群の言葉で表せ.
ある.

11

Lascoux 複体:$O_{\overline{\Sigma}^{\dot{\eta}}}$の自由分解の構成

定理 9.1 と Bott の定理を応用して Lascoux 複体の構或を説明する. これは以下の構或で$E=T\mathrm{C}^{n},$) としたとき 1-jet space(または$F=T\mathrm{C}^{p}$$E=T^{*}\mathrm{C}^{p},$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})$$F=T^{*}\mathrm{C}^{n}$の構造層の自由分解を与える.
$E$ )$\dim E=n$ としグラスマン多様体$P\cross Farrow P$ がGrass(r, ), $r=n-i$ , 上の $P\cross Earrow P$ が定める自明なベクトル束をが定める自明なベクトル束を とする.
定める白明なベクトル束を $F,$
内の Thom-Boardman 多様体$E,$ $F$ を複素線形空間,$\Sigma^{i}$の Zariski

閉包$-i\Sigma$$P=\mathrm{G}1^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{b}^{\mathrm{B}}.\mathrm{s}\mathfrak{i}i,$$V=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F),$$\mathcal{E},$$E^{*}$$P\cross \mathrm{I}’,arrow P$$\xi$$Z=\{(K, \phi)\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, E)\cross V : \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi\supset K\}$$\cong\{(Q^{*}, \phi^{*})\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E^{*})\cross V^{*} :{\rm Im}\phi^{*}\subset Q^{*}\}$

$=$

20

補題 1LL $Z$ は非特異多様体である.

第 1 の証明. Grass(i, $E$ ) の同語反復列を$0arrow \mathcal{K}arrow \mathcal{E}arrow Qarrow 0$

で表し $F$ のきめる自明束を $F$ と書く.

$\phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{E}, F)$と $E$ の$i$次元部分空間 $K$ に対し,で$\Phi=\phi|_{K}$$\Phi$: Grass$(i, E)\cross \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, F)$

を Grass(i, $E$ )に引き戻して得らの局れるベクトル束の断面と理解することにする. 次に と適当にベクトル束
所自明化を固定した時にきまるこのベクトル束のファイバー或分への射影との合或 の微を定義する. これはベクトル束$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, F)$$\cross \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, F)$$\Phi$$\Psi$

分を考える.
$d\Psi$:$T(K,\phi)$(Grass(i,$E)\cross \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E,$

任意の, \in Hom(Gr あ ( , $E$ ), $F$ ) に対し$\mathrm{i}$$\mathrm{s}$$c$:で曲線 を決めると非特異がわかる.
$c$

第 2 の証明.

$F)$)$arrow T_{\Psi(K,\phi)}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, F)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K, F)$$\varphi’|_{K}=\varphi$, \mbox{\boldmath $\varphi$}’|K エ $=0$ なる$(\mathrm{C}, \mathrm{O})arrow \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, E)\cross \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F)$$\frac{dc}{dt}(0)$の像が$\varphi$なので$d\Psi$,$\varphi’\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F)$をとり,$t\mapsto(K, \phi+t\varphi’)$は全射が示せた.

$Z=\Psi^{-1}(0)$なので $Z$ は口$P=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E^{*})$の同語反復列を$0arrow Q^{*}arrow \mathcal{E}^{*}arrow \mathcal{K}^{*}arrow 0$とすると$Z\cong\{(Q^{*}, \phi^{*})\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E^{*})\cross V^{*} :{\rm Im}\phi^{*}\subset Q^{*}\}$だから, 自然な射影 $Zarrow P$ のファイバーは $P$ 上のベクトル束 $\zeta=Q^{*}\otimes F$ のファイバーと口の全空間と同一視される.
同一視される. よって $Z$ はベクトル束$Q^{*}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, Q)$

を Grass(i, $E$ ) の接$.\supset*\mathrm{i}$間と見なすと第 1 の証明より次の完全列の存在が判る.

$\mathrm{O}arrow TZarrow(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, Q)\oplus T\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F))|_{Z}arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, F)|_{Z}arrow 0$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{K}, F)|z$が$Z\subset \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, E)\cross \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F)$.

の法束である. また第 2 の証明より$\mathcal{O}_{Z}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(Q\otimes \mathcal{F}^{*})$

もわかる.

を自然な射影とする. ここで $\Sigma=q(Z)$ とおくと $q:Zarrow\Sigma$ は双有理写の特異点解消を与えることに注意しておく.

$q:P\cross Varrow V$

像でこれは$\Sigma$$\mathcal{O}_{P\mathrm{x}V}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(’=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}^{*})arrow \mathcal{O}_{Z}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}$$\zeta^{*}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(Q\otimes F^{*})$

21
なので Sym(Q\otimes F*) を既約分解して$\mathcal{O}_{Z}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(Q\otimes \mathcal{F}")$$= \bigoplus_{\lambda}\mathrm{S}_{\lambda}Q\otimes \mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{F}^{*}$と書いておく. すると Bott の定理より次を得る$(k>0)$ ,0,$H^{k}(Z, \mathcal{O}_{Z})=H^{k}(P, \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(Q\otimes F^{*}))=\bigoplus_{\lambda}H^{k}(P, \mathrm{S}_{\lambda}Q)\otimes \mathrm{S}_{\lambda}F^{*}=\{$$q_{*}O_{Z}$よって定理 9.1 より$\{F_{\bullet}\}$は$q_{*}\mathcal{O}_{Z}$,$(k=0)$ .

の A-加群としての自由分解を与える.

上の完全列 $0arrow\zetaarrow\xiarrow\etaarrow 0$ を考える. これはの全空間だったかに $F$ をテンソル積して得られたものである. $Z$ はベクトル束で生或される.
ら $Z$ の $P\cross V$ での定義イデアルは$\mathrm{O}arrow Q^{*}arrow \mathcal{E}^{*}arrow$$P=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E^{*})$$\zeta$$\mathcal{K}^{*}arrow 0$$p^{*}\eta^{*}=p^{*}$ $(\mathcal{K}\otimes \mathcal{F}‘)$$F_{s}= \bigoplus_{t\geq 0}H^{t}(P,\wedge\eta^{*})\otimes A(-s-t)s+t$

とおく.

$\wedge^{s+t}\eta^{*}=\wedge^{s+t}(\mathcal{K}\otimes F^{*})=\oplus_{\lambda:|\lambda|=s+t}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}F^{*}$$F_{s}=\oplus$$\oplus$なので次が成り立つ.

$H^{t}(P, \mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K})\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}F^{*}\otimes A(-s-t)$$t\geq 0\lambda:|\lambda|=s+t$

(2)
なる自然数

$\lambda_{1}\geq\cdots\geq\lambda_{a}\geq r+a\geq a\geq\lambda_{a+1}\geq\cdots\geq\lambda_{i}\geq 0$$a$をとれば $l(\sigma)=ra$ で$\lambda^{\bullet}:=\sigma^{\bullet}(0, \lambda)=(\lambda_{1}-r,$なので (次図参照)$\lambda_{2}-r,$$\lambda_{a}$$\ldots,$.

22

H 宜 P,$\mathrm{S},\mathcal{K}$)0$\mathrm{S},.E$

となる.

,

$(k\neq ra)$’$\ovalbox{\tt\small REJECT}$,$(k\ovalbox{\tt\small REJECT} ra)$よって
$F_{s}= \bigoplus_{a=0}^{i}\bigoplus_{\lambda:|\lambda|=s+ra}\mathrm{S}_{\lambda}\bullet E\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}F^{*}\otimes A(-s-ra)$を得る. $a=0$ のとき条件 (2) を満足するのは $\lambda=(0, \ldots, 0)$ の時のみなので $F_{0}=A$ と$b=1,$
なる. また $a\geq 1$ のとき,が条件 (2) を満たすとすれば,,$b=1,$$i-a$ , とおくと, $|\lambda|=a^{2}+ra+|\alpha|+|\beta|$ となる. よって$\alpha_{b}=\lambda_{b}-a-7^{\cdot},$$\lambda$$\beta_{b}=\lambda_{a+b},$$\ldots,$$a$$\ldots,$$F_{s}= \bigoplus_{a=1}^{q}\bigoplus_{\lambda}$($\mathrm{S}_{\lambda^{\bullet}}E\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}F^{*}\otimes A$(-s-ra) : $s=|\alpha|+|\beta|+a^{2}$ ),$s>0$を得る. これが Lascoux 複体である. 特に$F_{1}=\wedge E\otimes\wedge F^{*}\otimes A(-r-1)r+1r+1$となり, これは generic matrix の $r+1$ 小行列式達の生或するイデアルの剰余環に同型となる.
ここで特に $r=n-1$ とすると Eagon-Northcott 複体を得る. このときはなので$\mathcal{O}_{\Sigma}=q_{*}\mathcal{O}_{Z}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\{F_{1}arrow F_{0}\}$$F_{s}=\mathrm{S}_{s,1^{n-1}}E\otimes s+n-1\wedge F^{*}\otimes A$,$(s>0)$となる.
$V=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, F)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F^{*}, E^{*})$$p=\dim$ F*\iota こ置き換えて,

だから,

,

$E$

を

$F^{*}$

に,

$F$

を

に,

$E^{*}$$n=\dim E$ を

全く同様の構或をする事ができる. この場合は$Z=\{(R^{*}, \’) \in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(p-r, F^{*})\cross V^{*} :\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi^{*}\supset R^{*}\}$$=\{(L, \phi)\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, F)\mathrm{x}V : {\rm Im}\phi\subset L\}$

とおく事になる.

12$E$対称行列の行列式イデアルの自由分解を$n$次元複素線形空間,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E, E^{*})$

Grass(i,$E^{*}$)$V=\mathrm{S}_{2}E$$\phi\in V=\mathrm{S}_{2}E$に対し,: $Earrow E^{*}$ を考えれば,$r=n-i$ , を Grassman 多様体とする.

により対応する射$=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E),$. とし,$\hat{\phi}$$\mathrm{S}_{2}E\subset E\otimes E=$$A=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{2}E^{*})$$P$となる. $P=$

上の同語反復列を$0arrow Karrow Earrow Qarrow 0$と書く.
$Z=\{(K, \phi) \in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, E)\cross V|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\hat{\phi}\supset K\}$$\simeq\{(Q^{*}, \’) \in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, E^{*})\cross V^{*}|{\rm Im}\hat{\phi}^{*}\subset Q^{*}\}$

23
とおくと,

はベクトル束の全空間となる.
を自明束 $P\otimes Varrow P$ として, 次の完全列を える.
$Z$$\mathbb{S}_{2}\mathcal{Q}‘arrow P$$\mathcal{O}_{Z}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{2}Q)$である. ここで$\mathcal{E}$$0arrow\zeta=\mathrm{S}_{2}Q^{*}arrow\xi=\mathrm{S}_{2}\mathcal{E}^{*}arrow\eta=\mathcal{E}^{*}\mathrm{O}\mathcal{K}^{*}arrow 0$とおくと次の図式がある.

$X=\{\phi\in V=\mathrm{S}_{2}E|\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\hat{\phi}\geq i\}$$Z\subset P\cross V^{\cdot}P\underline{p}$$q\downarrow$$\downarrow$$X$$q|z:Zarrow X$$\subset$$V$は双有理写像となる. なぜなら$\phi\mapsto(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\hat{\phi}, \phi)$$H^{k}(Z, \mathcal{O}z)=H^{k}(P,p_{*}\mathcal{O}_{Z})=H^{k}$が逆写像となるからである.

( $P$, Sym(S2Q))$=H^{k}(P, \bigoplus_{m\geq 0}\mathrm{S}_{m}(\mathrm{S}_{2}Q))=H^{k}(P,\bigoplus_{m\geq 0}\bigoplus_{\lambda\in E(2m)}\mathrm{S}_{\lambda}Q)$

$=\{$

0,

$k>0$ ,$\oplus_{m\geq 0}\oplus_{\lambda\in E(2m)}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{E}=A$,$k=0$ ,となる. 最後に Bott の定理を使っている. よって $X$ の正規化は有理特異点をもつ.
$P$ 上の完全列 $0arrow\zetaarrow\xiarrow\etaarrow 0$に自由分解の幾何学的構或法を適用してみよう.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\bigoplus_{t\geq 0}H^{t}(P,\wedge\eta^{*})s+t.\otimes A(-s-t)$

とおく. ここで定理 12.1.

$F_{\bullet}$に注意する.

$\eta^{*}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\{\mathrm{S}_{2}\mathcal{E}arrow \mathrm{S}_{2}Q\}=\mathcal{K}\mathrm{O}\mathcal{E}$は$\mathcal{O}_{x}$の$A$加群としての極小自由分解を与え,

0$r\{k$$H^{k}(P, \wedge\eta^{*})=m\{$$\oplus_{\lambda\in P_{2t,\mathrm{r}-1}(2m)}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{E}$$k=tr$

13Morin のイデアル
反復ヤコビ行列の考えを用いて Morin のイデアル \Delta il’... 島を定義しよう. まず $I=(.1\leq$と $i=1,$に対し is\leq i\leq i、+l なる. . . $\leq i_{s}\leq i\leq i_{s+1}\leq\cdots\leq i,$ $\leq n$ ) とおく.

$i_{1}\leq\cdots\leq i_{l}\leq n)$$\ldots,$$n$$D_{i}= \sum_{j=1}^{p}\sum_{I}Z_{I+i}^{j}\frac{\partial}{\partial Z_{I}^{j}}$,$\dot{i}=1,$$\ldots,$

$s$

$n$

をとって $I+i=(1\leq i_{1}\leq$24は次で定義される.
とおくと, Morin のイデアルの小行列式で生或されるイデアルを $I_{r}(M)$ であらわす.
$\Delta^{i_{1},\ldots,i_{k}}$まず, 行列$\Delta^{i_{1},..,i_{k-1}}$が定義されているとして, その生或元を$\Delta^{i_{1,\ldots\prime}i_{k}}=$$\varphi_{1},$$\ldots,$

に対し $M$ の$r$次を次で定義する.

$\Delta^{i_{1}}$$\Delta^{i_{1}}=I_{n-i_{1}+1}(\begin{array}{ll}Z_{1}^{1} Z_{n}^{1}\vdots \vdots Z_{1}^{p} Z_{n}^{p}\end{array})$$\mathbb{J}I$.

$\varphi_{s}$とする. このとき$\Delta^{i_{1},\ldots,i_{k-1}}+I_{n-i_{k}+1}(\begin{array}{ll}Z_{1}^{1} Z_{n}^{1}\vdots \vdots Z_{1}^{p} Z_{n}^{p}D_{1}\varphi_{1} D_{n}\varphi_{1}\vdots \vdots D_{1}\varphi_{s} D_{n}\varphi_{S}\end{array})$

.
で

を定める.
Morin のイデアルの表示は単純ではない. 行列$\Delta^{i_{1},\ldots,i_{k}}$$(\begin{array}{l}Z_{i}^{j}D_{i}Z_{I}^{J}\end{array}),$$\# I=\# J=n-i_{1}+1$の $n-i_{2}+1$ 次小行列式は$n-i+1\wedge^{2}(T^{*}\mathrm{C}^{p}\oplus\wedge T\mathrm{C}^{n}n-i_{1}+1\otimes\wedge T^{*}\mathrm{C}^{p})n-i_{1}+1\otimes\wedge T\mathrm{C}^{n}n-i_{2}+1$の生或元によって形式的には添字付ける事が出来るが, 実際にはそれが生或元に対応しているとは限らないのである.

14

局所化原理

定理 14.1. $\Sigma^{I}(n-1,p-1)$ の特異点は $\Sigma^{I}(n,p)$ の特異点より良い. すなわち
(i) $\Sigma^{I}(n,p)$ が Cohen-Macaulay ならば $\Sigma^{I}(n-1,p-1)$ も Cohen-Macaulay.

(ii)
(iii)

$\Sigma^{I}(n,p)$$\Sigma^{I}(n,p)$15が有理特異点ならば $\Sigma^{I}(n-1,p-1)$ も有理特異点.
が正規特異点ならば $\Sigma^{I}(n-1,p-1)$ も正規特異点.

対称テンソルの階数条件:

その jet が$\mathcal{O}_{\overline{\Sigma}^{i,i,\ldots,i.j}}$の$\Sigma^{i}$での自由分解に属するような写像については本質的に 変数の場合に帰着するから最初のから $i=n$ 変数の場合を考えても一般性を失わない. この節ではをの代りに$\Sigma^{i}$$i$$\Sigma^{i,\ldots,i,j}$用いる.
$J^{d}= \bigoplus_{-k_{-}- 1}^{d}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{k}T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})$

$i$

$n$

25

$\Sigma^{\hat{n,\ldots,n},j}d-1$

は

であるので

$V=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{d}T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{d}T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p}$の中にあると仮定してよい. このとき
$A=\mathcal{O}_{V}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{d}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$となる.

$r=n-j$ とおき,$\Sigma=\Sigma\hat{n,\ldots,n},jd-1=\{\phi\in V : \exists Q^{*}\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, T^{*}\mathrm{C}^{n})\mathrm{s}.\mathrm{t}.

で$\Sigma$を定義する.

次に $V$ の元$\phi$\phi\in \mathrm{S}_{d}Q^{*}\otimes T\mathrm{C}^{p}\}$が標準的に決める写像$\hat{\phi}:T\mathrm{C}^{n}arrow \mathrm{S}_{d-1}T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p}$,$\hat{\phi}^{*}:$$\mathrm{S}_{d-1}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}arrow T^{*}\mathrm{C}^{n}$を用いて $Z$ を次で定義する.
$Z=\{(K, \phi)\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(j, T\mathrm{C}^{n})\cross V : \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\hat{\phi}\supset K\}$$=\{(Q^{*}, \phi^{*})\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, T^{*}\mathrm{C}^{n})\cross V^{*} :$p$:: $Zarrow V$ を自然な射影とする.
) の同語反復列
なる同一視の下に Grass(n-r,$Zarrow \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, T^{*}\mathrm{C}^{n}),$$r,$ $T\mathrm{C}^{n})${\rm Im}\hat{\phi}^{*}\subset Q^{*}\}$$P=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, T^{*}\mathrm{C}^{n})=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(n-$$q$$T\mathrm{C}^{n}$$0arrow \mathcal{K}arrow p^{*}T\mathrm{C}^{n}arrow Qarrow 0$を考える. $q(Z)=\Sigma$ で架 $Zarrow\Sigma$ は双有理写像である事, $Z$ は $P$ 上のベクトル束の特異点解消を与える事がわかる. さての全空間である事に注意すれぼ, 架 $Zarrow\Sigma$ はを計算して見よう.

$\mathrm{S}_{d}Q^{*}\otimes T\mathrm{C}^{p}$$\Sigma$$R^{k}q_{*}\mathcal{O}_{Z}=H^{k}(Z, \mathcal{O}_{Z})$$H^{k}(Z, \mathcal{O}_{Z})=H^{k}(P,p_{*}\mathcal{O}_{Z})=H^{k}(P, \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{d}Q\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}))$$=H^{k}(P, \bigoplus_{m\geq 0}\mathrm{S}_{n},(\mathrm{S}_{d}Q\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}))=H^{k}(P,\bigoplus_{m\geq 0}\bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m}\mathrm{S}_{\lambda}\mathrm{S}_{d}Q\otimes \mathrm{S}_{\lambda}T^{*}\mathrm{C}^{p})$$=H^{k}(P, \bigoplus_{m\geq 0}\bigoplus_{\lambda,\mu:|\lambda|=\cdot n,|l^{\iota|=\iota\prime\iota d}}a_{\lambda,\{d)}^{\mu}\mathrm{S}_{\mu}Q)\mathrm{t}_{-}^{-.\mathrm{S}_{\lambda}T^{*}\mathrm{C}^{p}}..\backslash \cdot \mathfrak{l}$$k>0$ ,

0,$=\{$$\oplus_{?n\geq 0}\oplus_{\lambda,\mu:|\lambda|=m,|\mu|=md}a_{\lambda,(d)}^{\mu}\mathrm{S}_{\mu}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{\lambda}T^{*}\mathrm{C}^{p}=\mathcal{O}_{V}$,$k=0$ ,

26となる. 最後に Bott の定理を使っている.
ここで$\xi\ovalbox{\tt\small REJECT}(P\cross Varrow P),$$\zeta\ovalbox{\tt\small REJECT}(Zarrow P)$の正規化は有理特異点をもつ.
上の完全列

よって

とし

$P$

$\Sigma$$0arrow\zetaarrow\xiarrow\etaarrow 0$に自由分解の幾何学的構或法を適用してみよう.
$F_{s}= \bigoplus_{t\geq 0}H^{t}(P,\wedge\eta^{*})s+t\otimes A(-s-t)$

とおく. ここで$\eta^{*}$

は次で与えられる.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\{p^{*}(\mathrm{S}_{d}T\mathrm{C}^{n})\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}arrow \mathrm{S}_{d}Q\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}\}=\mathcal{K}\mathrm{O}\mathrm{S}_{d-1}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}$よって次の補題を認めれば証明は終る.
補題 151.
${\rm Im}\{F_{1}arrow F_{0}\}={\rm Im}\{^{r+1}\wedge T\mathrm{C}^{n}\otimes\wedge(\mathrm{S}_{d-1}T\mathrm{C}^{n}r+1\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})arrow A\}$

16$\Sigma^{i,j}$.

の Zariski 閉包の Cohen-Macaulay 性についてのザリスキ閉包の特異点解消を Ronga が論文 [7] で構或している. ここではこれを我々の立場から見直し, Cohen-Macaulay 性について検討してみよう.
$V=J^{2}=J_{1}\oplus J_{2}$ とおく.
ここで$\Sigma^{i,j}$$J_{1}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})\cong T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p}$$J_{2}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{2}T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})\cong \mathrm{S}_{2}T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p}$であった.

$J_{1},$$J_{2}$の元$\phi_{1},$$\phi_{2}$を右辺の元とみなした時それぞれ$[\phi_{1}],$$[\phi_{2}]$と書く事にする.

$A=\mathcal{O}_{V}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p}\oplus \mathrm{S}_{2}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$に注意してお$\langle$. ここで$\Sigma^{i}=\{(\phi_{1}, \phi_{2})\in V : \dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi_{1}\geq i\}$で$\Sigma^{i}$を定義する.
のとき $r=n-i$ とおけば,の表現行列の階数はである. このときが誘導する写像:$(\phi_{1}, \phi_{2})\in\Sigma^{i}$

元も

$r$

$\phi_{1}$$\phi_{1}$$T\mathrm{C}^{n}arrow T\mathrm{C}^{p}$$\Lambda^{r}\phi_{1}$$:\wedge^{T\mathrm{C}^{n}}rarrow\wedge T\mathrm{C}^{p}r$

$r$

で従って

${\rm Im}\phi_{1}$の次27を考える. これをとみなして,$[\Lambda^{r}\phi_{1}]\in\wedge^{r}T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes\wedge^{r}T\mathrm{C}^{p}$

自然な写像$(r\wedge^{T^{*}\mathrm{C}^{n}}\otimes\wedge T\mathrm{C}^{p})r\otimes(\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}^{2}T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p})$$\subset(r\wedge T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes\wedge T\mathrm{C}^{p})r\otimes(T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T\mathrm{C}^{p})$$=(r\wedge T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{n})\otimes(r\wedge T\mathrm{C}^{p}\otimes T\mathrm{C}^{p})\otimes T^{*}\mathrm{C}^{n}$$arrow(^{r+1}\wedge T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes\wedge T\mathrm{C}^{p})r+1\otimes T^{*}\mathrm{C}^{n}$による$[\Lambda^{f}\phi_{1}]\otimes[\phi_{2}]$の像を$[\psi_{r}]$で表す. ここで最後の写像は自然な同型,$W=T^{*}\mathrm{C}^{n}$$(r\wedge W)\otimes W=\mathrm{S}_{2,1^{r-1}}W\oplus\wedge Wr+1$の第 2 或分への射影から決まるものである.
$\psi_{r}$を考え$\theta_{r}=(\phi_{1}, \psi_{r})$:$[\psi_{r}]$, または$T\mathrm{C}^{p}$が定義する写像$T\mathrm{C}^{n}arrow r+1r+1\wedge T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes\wedge T\mathrm{C}^{p}$で写像$\theta_{f}$:$T\mathrm{C}^{n}arrow T\mathrm{C}^{p}\oplus\wedge T^{*}\mathrm{C}^{n}r+1\otimes r+1\wedge T\mathrm{C}^{p}$の定める集合の Zariski 閉包とを定義しておく. \Sigma 旬を条件$(T\mathrm{C}^{n}\supset
K_{1}\supset
K_{2}
:
\dim
K_{1}=i, \dim K_{2}=j)$ の定める旗多する. ここで Flag(i, $j,$
) を様体として $Q_{s}=T\mathrm{C}^{n}/K_{s},$ $s=1,2$ , とする.
$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi_{1}=i,$$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\theta_{r}\geq j$$T\mathrm{C}^{n}$$Z_{1}=\{(K_{1}, K_{\underline{\mathrm{o}}};\phi_{1}, \phi_{2})\in \mathrm{F}1\mathrm{a}\mathrm{g}(i, j, T\mathrm{C}^{n})\cross V : \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi_{1}\supset K_{1}\}$$=\{(Q_{2}^{*}, Q_{1}^{*};\phi_{1}^{*}, \phi_{2}^{*})\in \mathrm{F}1\mathrm{a}\mathrm{g}(n-j, n-i, T^{*}\mathrm{C}^{n})\cross V^{*} :とおけぼ$Z_{1}arrow \mathrm{F}1\mathrm{a}\mathrm{g}(i,j, T\mathrm{C}^{n})$$r,$ $T^{*}\mathrm{C}^{n})$上のベクトル束多様体である.

$Z_{1}$

上$\phi_{1},$$\hat{\theta}=\hat{\phi}_{1}+\hat{\phi}_{2}$はベクトル束とみなす事ができ対応するベクトル束は Grass(n-の引き戻しで得られる. 特にの制限として定義された写像$(Q_{1}^{*}\oplus \mathrm{S}_{2}T^{*}\mathrm{C}^{n})\otimes T\mathrm{C}^{p}$$\phi_{2}$$\hat{\phi}_{1}$を考え{\rm Im}\phi_{1}^{*}\subset Q_{1}^{*}\}$:$Q_{1}arrow T\mathrm{C}^{p}$,$\hat{\phi}_{2}$:$\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}arrow T\mathrm{C}^{p}$$Z_{1}$

は非特異,で$\hat{\theta}:Q_{1}\oplus \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}arrow T\mathrm{C}^{p}$を定義する.
$Z’=\{(K_{1}, K_{2;}\phi_{1}, \phi_{2})\in Z_{1} :\dim \mathrm{K}\mathrm{e},\mathrm{r}\hat{\theta}\geq i\mathrm{O}j’\}$$\cong\{(K_{1}, K_{9,\sim};\phi_{1}, \phi_{l}..)\in Z_{1} :\dim{\rm Im}\hat{\theta}\leq r\}$上のバンドル写像
とおく. 定義より $Z’$ は Flag(i, $F$ )の階数が 以下の点として特徴づける事ができる.
$j’,$$\cross V$$\hat{\theta}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}$$r$定理 161(Ronga). 自然な写像 $Z’arrow V$ は$\Sigma^{i,j}$への双有理正則写像となる.

, TC り28

ベクトル束の適当な局所自明化を固定して, このベクトル束とこのファイ /{一方向への射影との合つ固定して考える.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}, T\mathrm{C}^{p})$のファイバー方向への射影を$\hat{\theta}$–

或重の微分写像$d\Psi$:$TZ_{1}arrow T\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}, T\mathrm{C}^{p})arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus K_{1}\mathrm{O}K_{2}, T\mathrm{C}^{p})$を考える. これは全射である事が次のようにして証明される.
に対し定する. 任意の$(\varphi_{1}, \varphi_{2})\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus K_{1}\mathrm{O}K_{2}, T\mathrm{C}^{p})$$\varphi_{1}=\varphi_{1}’\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} K_{1},$$\varphi_{1}|_{K_{1}}=0$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}_{2}T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})$

を

$c$

を固
を

$\varphi_{1}’\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T\mathrm{C}^{n}, T\mathrm{C}^{p})$なるようにとるとなるようにとる.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\phi_{1}+t\varphi_{1}’)\supset K_{1}$

となる.

また

$\varphi_{2}’\in$$\varphi_{2}=\varphi_{2}’|_{K_{1}\mathrm{O}K_{2}}$$c:(\mathrm{C}, 0)arrow Z_{1}$で曲線$(K_{1}, K_{2};\phi_{1}, \phi_{2})\in Z_{1}$を定めるとベクトル$\frac{dc}{dt}(0)$,$t\mapsto(K_{1}, K_{2;}\phi_{1}+t\varphi_{1}’, \phi_{2}+t\varphi_{2}’)$の像が$(\varphi_{1}, \varphi_{2})$

になる.

よって
$\Psi$$1\mathrm{h}$submersion$\Psi$$Z_{1}arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus K_{1}\mathrm{O}K_{2}, T\mathrm{C}^{p})$$\text{で}\Sigma^{i,j}\#\mathrm{h}${の:$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Q_{1}\oplus K_{1}\mathrm{O}K_{2},$ $T\mathrm{C}^{p})$: rank$\psi\leq r$}

による引き戻しである. よって$Z=\{(L;K_{1}, K_{2}; \phi_{1}, \phi_{2})\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(r, T\mathrm{C}^{p})\cross Z_{1} :は $Z’$ の (そして$\neg.,j\Sigma${\rm Im}\hat{\theta}\subset L\}$の) 特異点解消になる.

によっての自由分解 (Koszul 複体) を崩壊させ)従って: Grass(r,-加群としての自由分解は Lascoux 複体でありその最初の項は次のようて得た ql,O。のに書かれる.
$T\mathrm{C}^{p}$$q_{1}$$\cross Z_{1}arrow Z_{1}$$\mathcal{O}_{Z}$$\mathcal{O}_{Z_{1}}$...

$arrow r+1r+1\wedge(Q_{1}\oplus \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})\otimes\wedge T\mathrm{C}^{p}\otimes \mathcal{O}_{Z_{1}}arrow \mathcal{O}_{Z_{1}}arrow 0$

特に $i=$ ユー $p+1(r=p-1)$ または $i=j=1$ のときはこれは Eagon-Northcott 複体である.

によりこの複体を Grass(i,)
自然な写像 :Flag(i, $j,$
$V$ 上の複体に崩壊させ,
さらに $V$ 上の複体に崩壊させる. まず次に注意する.
$T\mathrm{C}^{n}$$\cross Varrow \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, T\mathrm{C}^{n})\cross V$$T\mathrm{C}^{n}$$\rho$$Z_{1}arrow \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, T\mathrm{C}^{n})$は$(Q_{1}^{*}\oplus \mathrm{S}_{2}T^{*}\mathrm{C}^{n}.)\otimes T\mathrm{C}^{p}$)$\cross$の決めるベクトル束とみなせるので$\mathcal{O}_{Z_{1}}=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}((Q_{1}\oplus \mathrm{S}_{2}T\mathrm{C}^{n})\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$である.

以後は (Eagon-Northcott 複体を崩壊させれば良いので) $i=n-p+1(r=p-1)$ また [よ$i=j=1$ の場合を考察する.

29$i=n-p+1$ のとき

16.1$i=n-p+1$ とする. このとき崩壊させる Eagon-Northcott 複体は次のように書ける.
$O_{Z_{1}}$達, $=\{$( $s=0$ のとき),,$\mathrm{S}_{s,1^{\mathrm{p}-1}}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes\wedge^{s+p-1}(Q_{1}\oplus \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})\otimes \mathcal{O}_{Z_{1}}$$\mathrm{f}\mathrm{f}_{s}$,( $s>0$ のとき).

が 0 でないのは $0\leq s\leq j(2n-2p-j+3)/2$ のときである事に注意しておく。射影公式

より

0,$k>0$ ,

$R^{k}\rho_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}_{0}=R^{k}\rho_{*}\mathcal{O}_{Z_{1}}=\{$$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}((Q_{1}\oplus \mathrm{S}_{2}T\mathrm{C}^{n})\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$,$k=0$ .

再び射影公式より

Rk\rho *達,.

$= \mathrm{S}_{s,1^{\mathrm{p}-1}}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes(^{a}\bigoplus_{a+b=s+p-1}\wedge Q_{1}\otimes R^{k}\rho_{*}\wedge^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}))\otimes \mathcal{O}_{Z_{1}}$

補題 162. 次が成り立つ

0,( $(i-j)\{k$ のとき),$R^{k}\rho_{*}\wedge^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=\{$$\oplus_{\lambda\in P_{2t,i-j-1}(2b)}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}_{1}$証明. Flag(i, $j;E$ ) 上の完全列,( $k=t(i-j)$ のとき).

$0arrow \mathcal{K}_{2}arrow \mathcal{K}_{1}arrow \mathcal{K}_{1}/\mathcal{K}_{2}arrow 0$

より次の完全列を得る.

$0arrow \mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}arrow \mathrm{S}_{2}\mathcal{K}_{1}arrow \mathrm{S}_{2}(\mathcal{K}_{1}/\mathcal{K}_{2})arrow 0$

.

高次直像層
次対称行列のは,$i-j+1$ 次の小行列式の生或するイデアルの $b-k$ 次シチジーの乃次同次或分に表れる表口現の直和である.
$R^{k}\rho_{*}(\Lambda^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}))=H^{k}(\mathrm{F}1\mathrm{a}\mathrm{g}(i,j, E), \Lambda^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2}))\otimes A$$i$

これを用いて次を示す事ができる.
定理 163(特殊化原理).

に対する(i) \Sigma 旬 $(n,p-1)$ に対する Rq*達 の項はの項から $G$ に関する Schur 加群で $p-1$ 次元空間上消える項を零にすることにより得られる.
$\Sigma^{i,j}(n,p)$$\bullet$$Rq_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}\bullet$(ii) $\Sigma^{i-1,j}(n-1,p)$ に対するの項から $F$ (こ関すに対するの項はる Schur 加群で $n-1$ 次元空間上消える項を零にすることにより得られる.
$\Sigma^{i,j}(n,p)$$Rq_{*\mathrm{f}\mathrm{f}_{\bullet}}$$Rq_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\bullet}$

証明. 関連した複体の崩壊の各項を比較すれば良い. (i) の場合は $\Sigma^{i,j}(n,p-1)$ に対するに対するの項で次元の理由から消えるものを除外すれば得ら
Rq*達 の項はれる. (ii) の場合は,は 1 減るが, $\dim Q_{1}$ は変わらないので, \Sigma i-助 $(n-1,p)$ に対するの項は \Sigma 旬 $(n,p)$ に対するの項で次元の理由から消えるものを除外すれ口ぼ得られる.
$\Sigma^{i,j}(n,p)$$Rq_{*\mathrm{f}\mathrm{f}\bullet}$$\bullet$$\mathrm{d}\mathrm{i}_{111}\mathcal{K}_{1}$$Rq_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\bullet}$$Rq_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\bullet}$30$\xi\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(J_{1}\cross \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, T\mathrm{C}^{n})\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Grass$(i, T\mathrm{C}^{n})),$$\zeta\ovalbox{\tt\small REJECT}(Z_{1}arrow \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(i, T\mathrm{C}^{n}))$幾何学的構或法を完全列 $0arrow\zetaarrow\xiarrow\etaarrow 0$ に適用しよう。

として、 自由分解のと書く。

$(\lambda|\mu)\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{S},\mathcal{Q},$$\otimes \mathbb{S},\mathcal{K}_{1}$

まず必要なコホモロジーの計算をしておこう。
補題 164. コホモロジー群 $H^{k}(1^{a}, 0^{p-1-a}|\lambda)$ が零でない場合は、 次で与えられる。便宜上
とおく.
$\lambda_{0}=\lambda_{1}$$\bullet$$\lambda_{j\mathrm{o}-1}\geq p+j_{0}-1,$$j_{0}$-1\geq \lambda 九なるが存在するとき、 $k=(j_{0}-1)(p-1)$ として、

$j_{0}$$H^{k}=(\lambda_{1}-p+1, \ldots, \lambda_{j\mathrm{o}-1}-p+1,j_{0}^{a}, (j_{0}-1)^{p-1-a}, \lambda_{j_{0}}, \ldots, \lambda_{n-p+1})$$\bullet$$\lambda_{j\mathrm{o}-1}\geq p+j_{0}-1,$$\lambda_{j_{0}}=p-a+j_{0}-1$, j0\geq \lambda j。+1 なる$j_{0}$

力$\backslash \pi$.

在するとき、 $k=j_{0}(p-1)-a$として、$H^{k}=(\lambda_{1}-p+1, \ldots, \lambda_{j_{0}-1}-p+1,j_{0}^{p}, \lambda_{j_{0}+1}, \ldots, \lambda_{n-p+1})$.

証明, Bott の定理による。 $(1^{a}, 0^{p-1-a}|\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n-p+1})$ に $(n, n-1, \ldots, 1)$ を加えると$(n+1, n, \ldots, n-a+2, n-a, n-a-1, \ldots, n-p+2, \lambda_{1}+n-p+1, \lambda_{2}+n-p, \ldots, \lambda_{n-p+1}+1)$なので、 これが同じ要素を持たない条件は、 $j=1,$$\ldots,$$n-p+1$ に対し$\geq n+2$,

. $-p+2-j\{$ $=n-a+1$ ,$\lambda_{j}+n$$\leq n-p+1$となるので、 書き換えて $j=1,$$\ldots,$$\lambda_{j}\geq p+j$$n-p+1$ に対し次の$\mathrm{a}$$\lambda_{j}=p-a+j-1$ ,,ずれかが成立。

$\lambda_{j}\leq j-1$

ある $j_{0}(1\leq j_{0}\leq n-p+1)$ があって$(j<j_{0})$$\lambda_{j}\geq p+j$,$\lambda_{j}\leq j-1$$(j\geq j_{0})$となれば、 最初の場合である. ある $j_{0}(1\leq j_{0}\leq n-p+1)$ があって$\lambda_{j}\geq p+j$$(j<j_{0})$,$\lambda_{j\mathrm{o}}=p-a+j_{0}-1$,$\lambda_{j}\leq j-1$$(j>j_{0})$口となれば、 2 番目の場合である。
定理 16.5. $i=n-p+1$ とする. このときと同値.
(i) $I=(i, 1),$ $i=1,2,3,4,$ $p\geq 2$ .

(ii)(\"ui)(iv)$I=(i, 2),$ $i=2,3,$ $p\geq 2$ .
$I=(i, 2),$ $i=4,5,$ $p=2,3,4$ .
$p=2$ .

$R^{k}q_{*}\mathcal{O}_{Z}=0,$$\forall k>0$

, となるのは次の$\mathrm{a}$

ずれか

31
の零でない項は補題 16.2 より
が空集合でないことが必要である。 後者の条件より
凸,, ユー$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} t(n-p-j+\mathfrak{y}$$R^{k}\rho_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathcal{K}, \oplus \mathcal{K}_{2})$のときで、 さらに

$p-\ovalbox{\tt\small REJECT}(\ovalbox{\tt\small REJECT})$$t\geq 0$$2t(2t, +n-p-j)\leq 2b\leq j(2n-2p-j+3)$,となる。 これより次を得る。
$0 \leq t\leq\frac{-(n-p-j)+\sqrt{(n-p+3j)^{2}-12j(j-1)}}{4}$零でない項を幾つかの場合に決定してみよう。 $j=1$ のときは $t=0,1$ となり$R^{0}\rho_{*}\wedge(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=\mathrm{S}_{0}\mathcal{K}_{1}0$$R^{n-p}\rho_{*}\wedge(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=\mathrm{S}_{2^{n-\mathrm{p}\dagger 1}}\mathcal{K}_{1}n-p$のみが非零項である。 $j\geq 2$ のときは $0\leq t<j$ がわかる。 $j=2$ とすると、$R^{0}\rho_{*}\wedge(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})0=\mathrm{S}_{0}\mathcal{K}_{1}$$R^{n-p-1} \rho_{*}\wedge^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=\bigoplus_{(\lambda\in P_{2,n-\mathrm{p}-2}2b)}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}_{1}$(但し $n-p\leq b\leq 2(n-p)+1$ )のみが非零項である。 $j=3$ とすると$R^{0}\rho_{*}\wedge(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=\mathrm{S}_{0}\mathcal{K}_{1}0$$R^{n-p-2} \rho_{*}\wedge^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=\bigoplus_{(\lambda\in P_{2,n-p-3}2b)}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}_{1}$$R^{2(n-p-2)} \rho_{*}\wedge^{b}(\mathcal{K}_{1}\mathrm{O}\mathcal{K}_{2})=,\bigoplus_{4\lambda\in Pn-\mathrm{p}-3(2b)}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}_{1}$$(\{\underline{\mathrm{B}}\llcorner n-p-1\leq b\leq 3(n-p))$$(\{\underline{\mathrm{B}}\text{し}2(n-p+1)\leq b\leq 3(n-p))$のみが非零項である。
一般の場合は原論文に譲り以下 $j=1$ として $(n-p+1,1)$ の場合の計算を記述しよう。
でこれの崩壊は 1-jet のみで定まる Eagon-Northcott
前者の非零項を含む項は$R^{0}\rho_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}_{0}=\mathcal{O}_{Z_{1}}$複体である。
後者の非零項を含む項は$R^{n-p}\rho_{*}\mathrm{f}\mathrm{f}_{s}=\mathrm{S}_{(s,1^{p-1})}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes\wedge Q_{1}\otimes \mathrm{S}_{(2^{n-p+1})}\mathcal{K}_{1}\otimes \mathcal{O}_{Z_{1}}s-n+2p-2$でこれが生き残るのは $\dim Q_{1}=p-1$ よ(3)) $0\leq s-\prime n+2p-2\leq p-1$ のとき$\ell$$\max\{1, n-2p+2\}\leq s\leq n-p+1$$’\supset$まり32の時である. このとき計算すべき項は次のようになる.
$\mathrm{S}_{(s,1^{p-1})}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes\wedge Q_{1}\otimes \mathrm{S}_{(2^{n-p+1})}\mathcal{K}_{1}\otimes\wedge(\mathcal{K}_{1}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})s-n+2p-2m$$= \mathrm{S}(s,1^{\mathrm{p}-1})T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes s-n+2p-2\wedge Q_{1}\otimes \mathrm{S}(2^{n-p}+1)\mathcal{K}1\otimes(\bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m}\mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}_{1}\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}T^{*}\mathrm{C}^{p})$$= \bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m}\mathrm{S}_{(s,1^{\mathrm{p}-1})}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes\wedge Q_{1}s-n+2p-2\otimes \mathrm{S}(2^{n-\rho+1})\mathcal{K}1\otimes \mathrm{S}_{\lambda}\mathcal{K}_{1}$$= \bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m,\lambda_{1}\leq p}\mathrm{S}_{(s,1^{\mathrm{p}-1})}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes \mathrm{S}_{\lambda^{\sim}}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes \mathrm{S}_{(1}\epsilon-n+2p-\mathrm{z})Q_{1}\otimes \mathrm{S}_{(\lambda_{1}+2,\ldots\lambda_{n-\mathrm{p}+1}+\prime 2)}\mathcal{K}_{1}$

これはホモロジーの次数 $m+s-n+p$ の項として現れている。
が存在するときは,$\lambda_{j\mathrm{o}-1}+2\geq p+j_{0}-1,$ $j_{0}-1\geq\lambda_{j_{0}}+2$ なる$j_{0}$(A)$p\geq\lambda_{1}\geq\cdots\geq\lambda_{i\mathrm{o}-1}\geq p+j_{0}-3$をみたすので,$j_{0}=3,$$n-p\geq 1$,

でなければならず,$j_{0}-3\geq\lambda_{j_{0}}\geq 0$$\lambda=(p^{2},0^{n-p-1})$となり, 崩壊して得られる複体に$(3^{s-n+2p}, 2^{2n-2p-s};s+2,3^{p-1})[s-n+p+2]$をなる項が現れる。 $[]$ 内はホモロジー次数である.

この部分からの複体は次のようである.

$(3^{p+1},2^{n-p-1} ; n-p+3,3^{p-1})[3]$$\downarrow$$(3^{p}, 2^{n-p};n-p\downarrow+2,3^{p-1})[2]$.

.

$\cdot$$(3^{1-n+2p}, 2^{2n-2p-1} ; 3^{p})[3-n\downarrow+p]$$(3^{2},2^{n-2}; n-2p+4,3^{p-1})[4-p]$$\lambda_{j_{0}-1}+2\geq p+j_{0}-1,$なる$j_{0}$$(n+1\geq 2p)$$\lambda_{j_{0}}+2=p-(s-n+2p-2)+j_{0}-1=n-p-s+j_{0}+1,$ $j_{0}\geq\lambda_{j_{0}+1}+2$が存在するときは、$p\geq\lambda_{1}\geq\cdots\geq\lambda_{j\mathrm{o}-1}\geq p+j_{0}-3$をみたす.
$(B_{1})$$(n+1\leq 2p)$$j_{0}=2,3$,

でなければならない.

$\lambda_{j\mathrm{o}}=n-p-s+j_{0}-1$$j_{0}=2$$\lambda=(p, n-p-s+1,0^{n-p-1})$ ,,j0–2\geq \lambda 九十 1

なるときは$(p-1, n-p-s+1,0^{n-p-1})$となり, 崩壊させて得られる項は次のようである.
$(3, 2^{n-1}; (s, 1^{p-1})\otimes(2^{n-p-s+1},1^{s-n+2p-1}))[s-n+p+1]$$(2^{n};(s, 1^{p-1})\otimes(2^{n-p-s}, 1^{s-n+2p-2}))[s-n+p]$

この部分からの複体は次のようである.

$\geq 0$

33$(3, 2^{n-1};(n-p+1,1^{p-1})\otimes(1^{p}))[2]$.

$(2^{n};(n-p+1,1^{p-1})\otimes(1^{p-1}))[1]$$arrow$$(2^{n};(n-p, 1^{p-1})\otimes(2,1^{p-2}))[0]\downarrow$$(3, 2^{n-1};(n-p, 1^{p-1})\otimes(2,1^{p-1}))[1]\downarrow$$arrow$$\downarrow$$\downarrow$$arrow$$(3, 2^{n-1};(n-p-1,1^{p-1})\otimes(2^{2},1^{p-2}))[0]\downarrow$$(2^{n};(n-p-1,1^{p-1})\otimes(2^{2},1^{p-3}))[-1]\downarrow$..

$\cdot$$(2^{n};(1^{p})\otimes(2^{n-p-1},1^{2p-n+1}))[1-n+p]\downarrow$$(3, 2^{n-1};(1^{p})\otimes(2^{n-p}.1^{2p-n}))[2-n+p]\downarrow$,$(n+1\leq 2p)$

$arrow$$(3,2^{n-1}; (n-2p+2,1^{p-1})\otimes(2^{p}))[3-p]$$arrow$$(2^{n};(n-2p+2,1^{p-1})\otimes(2^{p-1}))[2-p]$$(n+1\geq 2\mathrm{p}\rangle$$n-p\geq 1$ のとき縦の列は, 数多くキャンセルする. ただ $n-2p\geq 1$ の時は右下より$(2^{n}; n-2p+2,3^{p-1})[2-p]$$j_{0}=3$$(B_{2})$のときは.n-pなる項が残る.
でなければならず,$\geq 2$$\lambda=(p,p, n-p-s+2,1^{j_{1}},0^{n-p-2-j_{1}})$,$0\leq j_{1}\leq n-p-2$となり$(3^{p+j_{1}+2},2^{n-p-j_{1}-2};(s, 1^{p-1})\otimes(j_{1}+3,3^{n-p-s+1},2^{s+2p-n-2}))[s-n+p+j_{1}+3]$を含む項が現れる。 まとめて表にしておくと次のようである.

最後の行は $n+1\leq 2p,$ $n+1>2p$ の場合で分かれている. この場合も数多くキャンセルし,第一行から来る次の列が残る事もわかる.
$(3^{n};2(n-p+1),3^{\mathrm{p}-1})[n-p+2]arrow(3^{n-1},2;2(n-p)+1,3^{p-1})[n-p+1]arrow\cdotsarrow(3^{p+2},2^{n-p-2};n-p+4,3^{p-1})[4]$$n-p\geq 2$ のときはまとめると $(2^{n};n-2p+2,3^{p-1})[2-p]$ なる項を除けぼ次の項からなる

34$arrow$$(3^{n}; 2(n-p+1), 3^{p-1})[n-p\downarrow+2]$$(1^{n}\cdot n-\}p+1,1^{p-1})[n-p\downarrow+1]$$arrow$$(3^{n-1},2;2(n-p)+1,3^{p-1})\downarrow[n-p+1]$$(1^{n-1} ; n-p, 1^{p-1})[n-p]\downarrow$

.

.

.
.

$\downarrow$$\downarrow$$\cdot$$\cdot$$(3^{p+2},2^{n-p-2};n-p+4,3^{p-1})[4]$$(1^{p+2},0^{n-p-2}; 3, 1^{p-1})[3]$$arrow$$\downarrow$$\downarrow$$(3^{p+1},2^{n-p-1} ; n-p+3,3^{p-1})[3]$$(1^{p+1},0^{n-p-1} ; 2, 1^{\mathrm{p}-1})[2]$$arrow$$\downarrow$$\downarrow$$(3^{p}, 2^{n-p};n-p+2,3^{p-1})[2]$$(1^{p}, 0^{n-p};1^{p})[1]$$arrow$$\downarrow$$\downarrow$$arrow$$(3^{p-1},2^{n-p+1} ; n_{1}p+1,3^{p-1})[1]$$(0^{n}; 0^{p})[0]$.

.

$\cdot$$(3^{1-n+2p}, 2^{2n-2p-1} ; 3^{p})[3-n\downarrow+p]$$(n-p+1\leq p)$$(n-p+1\geq p)$$(3^{2},2^{n-2}; n-2p+4,3^{p-1})[4-p]$$[1]arrow[0]$の横の写像の像は次の像になる事もわかる.

$\mathrm{S}_{3^{p-1},2^{n-p+1}}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{n-p+1,3^{\mathrm{p}-1}}T^{*}\mathrm{C}^{p}arrow \mathrm{S}_{3^{p-1}}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{3^{\mathrm{p}-1}}T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes \mathrm{S}_{2^{n-p+1}}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{n-p+1}T^{*}\mathrm{C}^{p}$$arrow \mathrm{S}_{3(p-1)}(T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})\otimes \mathrm{S}_{n-1}(\mathrm{S}_{2}T\mathrm{C}^{n}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$$n-p=0$ のとき (3) より $s=1$ を得る. (A) は成立せず,$(B_{1})$

では $\lambda=(p-1),$ $(p)$ のときのみが残り, ホモロジーの次数 1, 2 に項が表れる. 結局崩壊させて得た複体は次のようである.
$(3, 2^{p-1}; 2^{p})\downarrowarrow(2^{p};2^{p-1},1)\downarrow$$(1^{p};1^{p})$$arrow$$(0^{p};0^{p})$$n-p=1$ のとき, (3) より $s=1,2$ を得る. (A) をみたすのは $\lambda=(p,p)$ である.

これより次の項が表れる.
$(3^{p+1}; 4, 3^{p-1})[3]$$(B_{1})$,$(3^{p}, 2;3^{p})[2]$

は $j_{0}=2,$ $\lambda_{j\mathrm{o}}=\lambda_{2}=2-s,$ $p+1-s\leq|\lambda|\leq 2p$ のときのみ成り立つ.

すなわち$s=1$ のときは $\lambda=(p, 1),$ $(p-1,1),$ $s=2$ のときは $\lambda=(p, 0),$ $(p-1,0)$ のときのみが残る.

これより次の項が表れる.
$(3, 2^{p}; 3, 2^{p-1})[2],$$(2^{p+1} ; (2, 1^{p-1})\otimes(1^{p-1}))[1],$$(2, 1^{p-1})\otimes(1^{p-1},0)=(2^{p})\oplus(3,2^{p-2},1)$

より,$(3,2^{p};3,2^{p-1})[1],$$(2^{p+1} ; 3, 2^{p-1},1)[0]$35
結局崩壊させて得た複体は (キャンセルする項を消して) 次のようである.
$(3^{p+1} ; 4, 3^{p-1})arrow(3^{p}, 2;3^{p})arrow(2^{p+1} ; 2^{p})$
$1$

$1$

$1$

$(1^{p+1} ; 2, 1^{p-1})arrow(1^{p}, 0;1^{p})arrow(0^{p+1} ; 0^{p})$16.2$i=j=1$ のとき$n\leq p,$$(i,j)=(1,1)$ として Eagon-Northcott 複体$\mathrm{f}\mathrm{f}_{s}=\mathrm{S}_{s,1^{n-1}}(Q\oplus \mathrm{S}_{2}\mathcal{K})\otimes\wedge T^{*}\mathrm{C}^{p}s+n-1$,$\mathrm{f}\mathrm{f}_{0}=\mathcal{O}_{Z_{1}}$$s=1,2,$ $\cdots,p-n+1$の崩壊を考察する.

ffs=0\leq a\oplus \leq s-1S。+1,1n-2Q\otimes S2(s-a)K\otimes s+\wedge n-1T*Cp\triangle m(K\otimes T ℃り, $m=1,$ $\cdots,p$ , をかけて Bott の定理を適用する.
$(a+1,1^{n-2}|m+2s-2a;(1^{s+n-1})\otimes(1^{m}))[s+m]$の非零コホモロジー群$H^{k}$

は次のいずれか.

$(a+1, m-n+2s-2a+2,2^{n-2}.;(1^{s+n-1})\otimes(1^{m}))[s+m-n+2]$$\frac{m-n+2s+1}{3}\leq a\leq\frac{m-n+2s}{2}$$(m-n+2s-2a+3, a, 2^{n-2}; (1^{s+n-1})\otimes(1^{m}))[s+m-n+1]$$a \leq\frac{m-n+2s+3}{3}$これより次を得る.
定理 166.

$R^{k}\rho_{*}\mathcal{O}_{Z}=0,$

定理 167. $n=2$ ならぼ

16.3$\Sigma^{1.1}$|よ正規有理特異点である.

変形された Morin のイデアル

写像
:
で考える.
$\theta_{p-1}$$Q^{*}$$i=p,$$k>0$ , は $n\leq 4$ と同値.

$\ldots,$

$n$

) の点
のランクの条件を Grass(p-l,$Z_{i}^{j}=0$,
るとすると$dx_{p-1}$ で生或されてを[よの表現行列の階数条件を考える事になる. この行列
$T^{*}\mathrm{C}^{n}$$T\mathrm{C}^{n}arrow T\mathrm{C}^{p}\oplus\Lambda^{p}T^{*}\mathrm{C}^{n}\otimes\Lambda^{p}T\mathrm{C}^{p}$$Q^{*}\in \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}(p-1, T^{*}\mathrm{C}^{n})$, なる条件の元で$\theta_{n-i_{1}}$$dx_{1},$$\mathrm{V}\backslash$$\ldots,$$(\begin{array}{llll}Z_{1}^{1} Z_{p-1}^{1} 0 0\vdots \vdots \vdots \vdots Z_{1}^{p}* Z_{p-1}^{p}* 0 \mathrm{O}\vdots \vdots u_{p\mathrm{l}} u_{n,1}\vdots \vdots \vdots \vdots* * u_{\mathrm{p},*} u_{n,*}\end{array}\}$36のよう (こなるがこの右下の行列の階数条件を考える.
に対応する行のみが零でなく, それらは次のように表される.

$dx_{1}\Lambda\cdots\Lambda dx_{p-1}\Lambda dx_{k},$,$|\begin{array}{lll}Z_{1}^{1} Z_{p-1}^{1} Z_{k,l}^{\mathrm{l}}\vdots \vdots \vdots Z_{1}^{p} Z_{p-1}^{p} Z_{k^{n},l}^{p}\end{array}|$

これの作る行列の階数条件を考察しよう. そのため

$k=p,$$\ldots,$$n$$p\leq k,$ $l\leq n$$B=\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(Q\otimes T^{*}\mathrm{C}^{\mathrm{p}}\oplus \mathrm{S}_{2}\mathcal{K}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})$小行列式の生或する環 $B$ のイデアルをしてこの行列の次の写像の像としてあらわせる.
$t\cross t$$I_{t}$ととする. この行列の要素は$\wedge^{T^{*}\mathrm{C}^{p}\otimes\wedge Q\otimes \mathrm{S}_{2}\mathcal{K}}pp-1arrow B$

よって $I_{n-p}$ のシチジーは次のように表せる.
$((n-p+1)^{p-1}|2^{n-p+1} ; (n-p+1)^{p})arrow(0^{p-1}|0^{n-p+1},0^{p})$定理 168. この複体の崩壊は負の項はなく零次の項は
である.

$A$

で, これは次のイデアルのシチジー

.

ただし
る.

$J={\rm Im}\{\mathrm{S}_{(n-p+1)^{p-1},2^{n-p+1}}T\mathrm{C}^{n}\otimes \mathrm{S}_{(n-p+1)^{p}}T^{*}\mathrm{C}^{p}arrow \mathrm{S}(n-p+1)(p-1)J_{1}^{*}\otimes \mathrm{S}_{n-p+1}J_{2}^{*}\}$

また $\Delta^{n-p+1,1}=\Delta^{n-p+1}+J\Delta^{n-p+2}$

証明. Bott の定理によりする.

$I_{n-p}$$\circ$

であもわかる.

のシチジーを崩壊させればよい. $m=1,$ $\ldots,p(n-p+1)$ と$((n-p+1)^{p-1}|2^{n-p+1} ; (n-p+1)^{p})\otimes\wedge(\mathcal{K}\otimes T^{*}\mathrm{C}^{p})m$$= \bigoplus_{\lambda:|\lambda|=m,\lambda_{1}\leq p}((n-p+1)^{p-1}|\lambda_{1}+2, \ldots, \lambda_{n-p+1}+2;(n-p+1)^{p}\otimes\lambda^{\sim})$

これの非零コホモロジー$H^{k}$

を計算すればよい.

$n-p=0$ のときは $\lambda=(p),$ $(p-1)$ のときのみで, そのとき $k=p-1$ である. 表れる項は次のようである.
$(3, 2^{p-1}; 2^{p})[2],\cdot$$n,$$-p\geq 1$$(2^{p}; 2^{p-1},1)[1]$のときは $\lambda_{1}<n-p$ のときで, そのとき $k=0$ である. 表れる項は次のようである.
$((n-p+1)^{p-1}, \lambda_{1}+2, \ldots, \lambda_{n-p+1}+2;(n-p+1)^{p}\otimes\lambda^{\sim})[m+1]$$\lambda_{1}\leq\min\{p, n-p-1\}$,$|\lambda|=m$

より, シチジーの長さは而 $\mathrm{n}\{p, n-p-1\}(n-p+1)+1$ である.

口

37
定理 169. $I_{n-p-1}$ のシチジーは次のように表せる.
$((n-p+1)^{p-1}|3^{2},2^{n-p-1} ; n-p+2, (n-p+1)^{p-1})$$arrow$$((n-p+1)^{p-1}|3,2^{n-p-1},1;(n-p)^{p})$$\downarrow$$\downarrow$$((n-p+1)^{p-2}, n-p|3^{2},2^{n-p-1} ; (n-p+1)^{p})$$arrow$$((n-p)^{p-1}|2^{n-p}, 0;(n-p)^{p})$$(0^{p-1}|0^{n-\mathrm{p}+1}; 0^{p})\downarrow$

これを崩壊させると, 負の項はなく零次の項は $A$ で, これはイデアル
シチジーである.

$\Delta^{2,2},$$\Delta^{n-p+1}+J$の参考文献[1] W. Fulton, Intesection Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
3. Folge Band 2, Springer-Verlag, 1984.

[2] T. Fukui and J. Weyman, Cohen-Macaulay properties of Thom-Boardman strata. :Morin’s ideal, Proc. London Math. Soc. (3) 80 (2000), 257-303, :The defining ideal, to appear in Proc. London Math. Soc..
of$\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\Sigma^{i,j}$[3] W. Fulton and J. Harris, Representation
Mathematics 129, Springer-Verlag, 1991.

$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{y}$, AFirst Course, Graduate Texts in[4] W. Fulton, Young Tableaux, London Mathematical Society Student Texts 35, Cambridge University Press, 1997.
[5] I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, Second Edition, Oxford
Mathematical Monographs, Oxford Science Publications, 1995.

[6] B. Morin, Calcul jacobien, Annales Scientifiques de 1’ Ecole Normale Sup\’erieure. Quatri\’eme S\’erie 8 (1975), 1-98.

[7] F. Ronga, Le calcul des classes duales aux singularite’ de Boardmau d’ordre deux, Commentarii Mathematici Helvetici 47 (1972), 15-35.

[8] J. Weyman, Cohomology of Vector Bundles and Syzygies, Cambridge Tracts in Mathematics 149, Cambridge University Press, 2003

38
Cohen-Macaulay property of Thom-Boardman strata
TOSHIZUMI FUKUIIam going to report about what we can show about Cohen-Macaulay property of thevarieties supported by Thom-Boardman strata applying the geometric technique of calculating syzygies, which is ajoint work with Jerzy Weyman.
The problem is motivated by asking ageneralization to amap-germ of the following
theorem::be aholomorphic function germ with
Theorem (Milnor). Let
isolated singularity. Then the number of Morse singularities appeared in asmall perturbation of near the origan is $\mu(f)$ where $\mu(f)$ is the Milnor number of and definedby$(\mathrm{C}^{n}, 0)arrow(\mathrm{C}, 0)$

$f$

$f$

$f$

$\mu(f)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{C}\{x_{1}, \ldots, x_{n}\}/\langle\frac{\partial f}{\partial x_{1}},$$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\rangle$$\ldots,$.

:
be aholomorphic map germ, and let
Let :be ageneric approximation to . Then our problem is asking amethod to describing thein terms of .
singularities of ageneric approximation
Let us repeat the proof of Milnor’s Theorem, since it is instructive. We consider the-jet space:$f$$(\mathrm{C}^{n}, 0)arrow(\mathrm{C}^{p}, 0)$$f_{u}$$(\mathrm{C}^{n}, 0)arrow(\mathrm{C}^{p}, 0)$

$f$

$f$

$f_{u}$$1$$J^{1}(\mathrm{C}^{n}, \mathrm{C})=\{(x_{1}, \ldots, x_{n}, y,p_{1}, \ldots,p_{n})\in \mathrm{C}^{2n+1}|y.=g(x),p_{i}=\partial g/\partial x_{i}g.(\mathrm{C}^{n},0)arrow(\mathrm{C},0),\}$

Then we have amap$j^{1}f$

Setting-jet section of :$f$$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e},\mathrm{d}1$:$\mathrm{C}^{n}arrow J^{1}(\mathrm{C}^{n}, \mathrm{C})$$\Sigma=\{p_{i}=0\}\subset J^{1}(\mathrm{C}^{n}, \mathrm{C})$,$x-\neq(x,$ $f(x),$$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x))$, we haveof singularities of near 0$=\#$ ofnear 0near $j^{1}f(0)$oflocal intersection$\#$$f_{u}$$(j^{1}f_{u})^{-1}(\Sigma)$$=\#(j^{1}f_{u}(\mathrm{C}^{n})\cap\Sigma)$$=$$j^{1}f(\mathrm{C}^{n})$

$\#$

and

$\Sigma$at $j^{1}f(0)$$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{C}\{x_{i}, y,p_{i}\}/\mathrm{I}_{\Sigma}+\mathrm{I}_{j^{1}(\mathrm{C}^{n})}$$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{C}\{x_{i}, y,p_{i}\}/\langle p_{i}\rangle+\langle y-f(x),$$= \dim_{\mathrm{C}}\mathrm{C}.\{x_{i}\}/\langle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\rangle$$p_{i}- \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\rangle$.

This proof suggests us that one way to approach to our problem is to consider the intersection theory of the image of jet section with the closure of orbits of map-germs in jet39
We proceed to the next simplest case: $(n,p)=(2,2)$ . We first rernark that agenericis equivalent to one of the following germs:
map-germ$(x, y)-\neq(x, y)$regular point$(\mathrm{C}^{2},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$$(x, y)\mathrm{f}arrow(x^{2}, y)$fold$(x, y)-+(x^{3}+xy, y)$cusp

denote the fold locus of :Let
. Here,just the critical points ofsingularities.

$\mathrm{C}^{2}arrow \mathrm{C}^{2}$$f$$\Sigma^{1}(f)$$f|\Sigma^{1}(f)$$\Sigma^{1}$and$(A_{1}, \Sigma^{1})$$(A_{2}, \Sigma^{1,1})$

is generic, the cusps areare notations for Thom-Boardman. Then if$\Sigma^{1,1}$$f$

Theorem (Fukuda-Ishikawa, Gaffney-Mond). Let $f=(f_{1}, f_{2})$ :ageneric approximation of . We set
holomorphic map-germ and$(\mathrm{C}^{2},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$be$\mathrm{a}$$f$$f_{u}$$c(f)=\dim_{\mathrm{C}}\mathrm{C}\{x_{1}, x_{2}\}/\langle J,$$\frac{\partial(f_{1},J)}{\partial(x_{1},x_{2})},$$\frac{\partial(f_{2},J)}{\partial(x_{1},x_{2})}\rangle,$

where$J= \frac{\partial(f_{1},f_{2})}{\partial(x_{1},x_{2})}$.

The ideal appeared in the definition of $c(f)$ describes the ideal on -jet space. The proof can be done
supported by the Zariski closure of Thom-Boardman strata
of commutative algebra,
knowledge
by the same idea as Theorem 1.1, but we need somesince this has singularities.
.
We set $\mathrm{I}=V(I),$ andTheorem. Let I be an ideal of$A/I.$
For
and setbe asystem of parameters for
Letdeformation of , we have(near )and equality holds if and only if I is perfect (i.e. $A/I$ is Cohen-Macaulay).
is perfect, and this follows
We thus need to show the corresponding ideal on
from the fact that the determinantal variety is Cohen-Macaulay.
Suggested by the ideal appeared in the definition of $c(f)$ , we expect that the ideal
described by taking such jacobean repeatedly define varieties which is related to Thom. and he shows that this. B. Morin analyzed such ideals
Boardman strata.
defines nonsingular variety along
We describe the Morin’s ideal in an explicit form: Let $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ denote acoorThen weand $y=(y_{1}, \ldots, y_{p})$ a coordinate system on
dinate system on$1\leqj\leq p$ ,$1\leq
i\leq
n,$
where
on
define the coordinate functions $Xi,$
an $m$-tuple of non-decreasing positive integers with $1\leq m\leq r,$ by$2$$J^{2}(\mathrm{C}^{2}, \mathrm{C}^{2})$$\Sigma^{1,1}$$k=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}$$A=\mathrm{C}\{x_{1}, \ldots, x_{m}\}.$$\mathrm{Y}=V(g_{1}, \ldots, g_{k}).$$(g_{1}, \ldots, g_{k})$$\Sigma$$\mathrm{Y}_{u}\mathrm{a}$$\mathrm{Y}$$\#$$\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}A/I+(g_{1}, \ldots, g_{k})$$0$$\mathrm{Y}_{u}\cap\Sigma$$J^{2}(\mathrm{C}^{2}, \mathrm{C}^{2})$$\Delta^{i_{1,}\ldots,i_{k}}$$\Sigma^{i_{1},\ldots,i_{k}}$$\Sigma^{i_{1},\ldots,i_{k}}$$V\subset \mathrm{C}^{p}.$$U\subset \mathrm{C}^{n},$$\mathrm{Y}j,$$J=J^{k}(\mathrm{C}^{n}, \mathrm{C}^{p}),$$Z_{\sigma}^{j}$$\sigma=(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{m})$$X_{i}--x_{i}\circ\pi_{n},$

where

$f$

$Z^{j}=Z_{\emptyset}^{j}$$\mathrm{Y}_{j}=y_{j}\circ\pi_{p},$$Z_{\sigma}^{j}(j^{r}f(p))= \frac{\partial^{|\sigma|}(y_{j}\mathrm{o}f)}{\partial x_{\sigma_{1}}\cdots\partial x_{\sigma_{m}}}(p)$,and $|\sigma|=m$ . We understandtois the germ at of any map fromand vector fields $D_{i}(1\leq i\leq n)$ by. We define an $(m+1)$ -tuple
$U$

$p$

$V$

$\mathrm{Y}_{j}=$$\sigma(i)$$Z_{\sigma(:)}^{j}(j^{r}f(p))= \frac{\partial^{|\sigma|+1}(y_{j}\mathrm{o}f)}{\partial x_{i}\partial x_{\sigma_{1}}\cdots\partial x_{\sigma_{m}}}(p)$,$D_{:}= \frac{\partial}{\partial X_{i}}+.\sum_{\sigma\cdot|\sigma|<r}(\sum_{j=1}^{p}Z_{\sigma(i)}^{j}\frac{\partial}{\partial Z_{\sigma}^{j}})_{\mathrm{I}}$.

of order $?\iota-i_{1}+1$ of the matrix
denote the ideal generated byis the ideal generated byinductively:for. We define
whereand subdeterminants of order $n-i_{k}+1$ of the matrix$J(=(J‘ 1, \ldots, g_{t})$ is asystem of generators of.

Let$\Delta^{i_{1}}$${}^{t}(D:\mathrm{Y}_{j})$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\det_{1}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}11\mathrm{t}\mathrm{s}$$\Delta^{I}$$I=(\cdot i_{1}, \ldots, i_{k})$$\Delta^{I}$${}^{t}(D_{i}\mathrm{Y}_{j}, D_{i}g_{s})$$\Delta^{:_{1},\ldots,i_{k-1}}$$\Delta^{i_{1,\ldots\prime}i_{k-1}}$

40
We are interested in when these ideals are perfect.
$I=(i_{1}, \ldots, i_{k}),$ $n\geq i_{1}\geq\cdots\geq i_{k}>0$ , is perfect in the
Theorem. The Morin’s ideal
following cases:$\bullet I=(i)$ ,$\Delta^{l},$$\bullet I=(1,1),$$\bullet I=(2,2),$$n=p$ ,

$n-p=1$ .

The first two cases are determinantal and not, new from the view point of commutative
algebra.
$I=(i_{1}, \ldots, i_{k}),$ $n\geq i_{1}\geq\cdots\geq i_{k}>0,$ is perfect along
Theorem. The Morin’s ideal
if and only if$\bullet I=(i, \ldots, i,j)$ ,$\Delta^{I},$$\Sigma^{i_{1}}$$\bullet I=(n-p+1,1,1),$ $n-p\geq 1$ ,$\bullet I=(n-p+1,1,1,1),$ $n-p\geq 1$ ,$\bullet I=(2,2,1,1),$$n-p=1$ .

are essentially unfoldings of functions in $n-p+1$
When $i_{1}=n-p+1$ , maps of typeis essentially the ideal generated
variables. When $I=(n-p+1,j)$ , it is easy to see thatby $(n-j+1)$ -minors of a symmetric matrix of order $n-p+1$ which corresponds to thesecond partial derivatives of the function. When $I=(n-p+1,1,1,1),$ a long computationshows that this is essentially the ideal generated by $(n-p+1)$ -minors of some symmetricmatrix of order $n-p+2$ .
The idea to show perfectness of such ideals is to try to adapt the best proof for perfectness of the determinantal ideal to each case. In my understanding, the best proof for
perfectness is geometric technique of calculating syzygies. The syzygy of determinantal
ideal is obtained by pushing down the syzygy (Koszul complex) of the desingularizationof the determinantal variety which is realized as the total space of ahomogeneous vector
bundle of the Grassmannian manifold. This method can generalize for ahomogeneousby pushing down
vector bundle of ahomogeneous space. Moreover, we can generalize
other complexes.
This also suggests that we can get some information pushing down the syzygy ofthe desingularization of closure of Thom-Boardman strata when it is explicitly known.
. Pushing down
F. Ronga constructed adesingularization of the Zariski closure of
syzygies associated with his desingularization, we obtain the following:is rational (which
Theorem. We assume t.hat $i=n-p+1$ . The Zariski closure ofholds.
following
the
one
of
module)iff
is aCohen-Macaulay
implies that$\bullet j=1:i=1,2,3,4,$ $p\geq 2$ .
$\bullet j=2:i=2,3,$ $p\geq 2$ or $i=4,5,$ $p=2,3,4$ .
$\Sigma^{I}$$\Delta^{I}$$\mathrm{t}_{t}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}$$\Sigma^{i,j}$$\Sigma^{i,j}$$\rho_{*}\mathcal{O}_{Z}$$\bullet p=2$

is Cohen-Macaulay.
is not reduced andWhen $\prime n-p=1$ , we remark thatis also Cohen-Macaulay.
The theorem means the normailzation ofTheorem. We consider the case $(i,j)=(1,1)$ .
is normal and Cohen-Macaulay along .
The Zariski closure of
is Cohen-Macaulay along .
The normalization of the Zariski closure of
is Cohen-Macaulay if $p\leq n+1$ .
The normalization of the Zariski closure of$V(\Delta^{2,2})$$\Delta^{2,2}$$V(\Delta^{2,2})$$\Sigma^{2}$$\Sigma^{1,1}$$\bullet$$\Sigma^{1,1}$$\bullet$$\Sigma^{1,1}$$\bullet$$\Sigma^{4}$

41
forFinally we describe aconsequence for niap gerlns $f=(fi, f_{2})$ :denote the symmetric group of order .
$n=3,4$ . Letis equivalent to one of thefirst remark that ageneric map-germfollowing germs:
regular point$(x, y, z)-t(x, y)$$(\mathrm{C}^{n}, 0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$$k$$\mathfrak{S}_{k}$$(\mathrm{C}^{3},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$$\mathrm{W}^{r}\mathrm{e}$

fold
cusp

$(x, y, z)-\Rightarrow(x^{2}+z^{2}, y)$$(x, y, z)-*(x^{3}+xy+z^{2}, y)$

For amap germ$f$:$(\mathrm{C}^{3},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$$U= \sum 1\leq j_{1},j_{2},j_{3},j_{4}\leq 2,$$(A_{2}, \Sigma^{2,1})$, we define $c(f)$ by$c(f)=\dim_{\mathrm{C}}\mathrm{C}\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\}/I_{2}(^{\partial}\partial[perp][perp]^{1}\partial_{2}x_{1}\partial x_{1}$where$(A_{1}, \Sigma^{2})$$\sigma,\tau\in \mathfrak{S}\mathrm{a}(-1)^{j_{1}+j_{2}}$sign$(\sigma)$

sign$[perp]\partial_{2}[perp]\partial_{1}\partial x_{\theta)}\partial x_{3}+(U)$$[perp]\partial_{1}[perp]\partial_{2}\partial x_{2}\partial x_{2}$$(\tau)^{\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{\sigma(1)}}\frac{\partial f_{\mathrm{j}}}{\partial x_{\tau}}\mathrm{L}^{\partial^{2}f_{j}\partial^{2}f_{\mathrm{j}}}}(1)\vec{\partial x_{\sigma(2)}\partial x_{\tau(2)}}\tilde{\partial x_{\sigma(3)}\partial x_{\tau(3)}}$.

be aholomorphic map germ. If $c(f)$ is finite, thenTheorem. Let :near 0.
$c(f)$ is the number of cusps appeared in ageneric approximation ofis equivalent to one of the
We next remark that ageneric map-germfollowing germs:
regular point$(x, y, z, w)-+(x, y)$$(\mathrm{C}^{3},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$

$f$

$f$

$(\mathrm{C}^{4},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$

For amap germ$(x, y, z, w)\mapsto+(x^{2}+z^{2}+w^{2}, y)$fold$(x, y, z, w)\vdasharrow(x^{3}+xy+z^{2}+w^{2}, y)$

cusp

$f$

:

$(\mathrm{C}^{4},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$$(A_{1}, \Sigma^{3})$$(A_{2}, \Sigma^{3,1})$, we define $c(f)$ by$c(f)=\dim_{\mathrm{C}}\mathrm{C}\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\}/I_{2}(_{\partial}^{\partial}\partial[perp][perp]_{x_{1}}\partial_{2}1xl$$[perp]\partial_{1}[perp]\partial_{2}\partial x_{2}\partial x_{2}$$[perp]\partial_{1}[perp]\partial_{2}\partial x\mathrm{s}\partial x_{3}$$[perp]\partial_{2})\partial[perp]\partial_{1,x_{4}}\partial x_{4}+(U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4})$where$U_{k}= \sum_{1\leq j_{1},j_{2},j_{3},j_{4},j_{6},j_{6}\leq 2}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j\mathrm{s}}$sign$(\sigma)$sign$(\tau)$$\sigma,\tau\in \mathfrak{S}_{4}$,$\frac{\partial f_{j_{1}}}{\partial x_{k}}\frac{\partial f_{j_{2}}}{\partial x_{\sigma(1)}}\frac{\partial f_{j_{3}}}{\partial x_{\tau(1)}}\frac{\partial^{2}f_{j_{4}}}{\partial x_{\sigma(2)}\partial x_{\tau(2)}}\frac{\partial^{2}f_{j\epsilon}}{\partial x_{\sigma(3)}\partial x_{\tau(3)}}\frac{\partial^{2}f_{j_{6}}}{\partial x_{\sigma(4)}\partial x_{\tau(4)}}$$k=1,$$4$$\ldots,$.

be aholomorphic map germ. If $c(f)$ is finite, thenTheorem. Let :near 0.
$c(f)$ is the number of cusps appeared in ageneric approximation of
In the next article, we continue more explanation (in Japanese) about this topic.
$f$$(\mathrm{C}^{4},0)arrow(\mathrm{C}^{2},0)$$f$