Le Problème Inverse de Galois sur les corps desfra ions tordus à indéterminée centrale
Bruno DESCHAMPS et François LEGRAND
Ab ra .— In this article, we show that the Inverse Galois Problem over a skew field H of finite dimension over its center k isequivalent to a variant of the Inverse Galois Problem over k involving a polynomial con raint. As an application, we show that
if k contains an ample field, then the Inverse Galois Problem has
a positive answer over the skew field H(t) of rational fra ionswith central indeterminate.
Résumé.— Dans cet article, nous montrons que le Problème Inverse de Galois sur un corps gauche H de dimension finie sur son
centre k e équivalent à une variante du Problème Inverse de Galois sur k faisant intervenir une contrainte polynomiale. En application de ce résultat nous montrons que, si k contient un corps
ample, alors le Problème Inverse de Galois admet une réponse
positive sur le corps H(t) des fra ions rationnelles tordu à indéterminée centrale.

Le problème inverse de la théorie de Galois sur un corps K s’énonce de la manière
suivante :PIGK (Problème Inverse de Galois sur K) : Tout groupe fini G e -il le groupe de Galoisd’une extension galoisienne L/K ?
Etant donnée une extension de corps commutatifs H/k, il e clair que, de manière
générale, l’implication PIGH =⇒ PIGk e fausse, même lorsque H/k e finie. On peut,par exemple, penser au cas du corps k = Qtr des nombres algébriques totalement réels,corps sur lequel seuls les groupes √finis engendrés par des involutions sont groupes etGalois (voir [FHV]) et H = Qtr ( −1) dont le groupe de Galois absolu e prolibre(voir, par exemple, [GJ, Remark .(b)]). L’étude de la réciproque PIGk =⇒ PIGH eplus commode : si l’on se donne une extension galoisienne L/k de groupe fini G telleque l’algèbre M = L ⊗k H soit un corps, alors un argument classique de théorie de Galois montre que M/H e une extension galoisienne de groupe G. Comme L/k e une
extension algébrique, la condition "L ⊗k H e un corps" équivaut ju e au fait que lesextensions L/k et H/k sont linéairement disjointes sur k. Si l’on suppose l’extension H/kfinie alors la linéaire disjon ion peut s’interpréter de la manière suivante : on considère(e1 , . . . , en ), une k-base de H et l’on considère la forme
PH (x1 , . . . , xn ) = NH/k (x1 e1 + · · · + xn en ) ∈ k[x1 , . . . , xn ]où NH/k désigne la norme de l’extension H/k. Les extensions H/k et L/k sont alorslinéairement disjointes sur k si et seulement si la forme PH ne possède que le zéro trivial
sur L. On peut donc considérer une variante du Problème Inverse de Galois :PIGF Ck (Problème Inverse de Galois à F -contrainte) : Pour la k-forme F donnée, toutgroupe fini G e -il le groupe de Galois d’une extension galoisienne L/k telle que F ne possède
que le zéro trivial sur L ?
Pour le choix de F = PH , on voit donc que PIGF Ck =⇒ PIGH . En fait, un argumentclassique montre que, pour ce choix de F , on a PIGF Ck ⇐⇒ PIGk  , mais c’e la formulation PIGF Ck qui va nous intéresser dans cet article.
Traditionnellement, les arithméticiens considèrent le(s) problème(s) inverse(s) deGalois pour des corps commutatifs. Nonob ant, la théorie de Galois possède une
généralisation au cas non commutatif et il e donc possible de regarder le Problème Inverse de Galois dans le cas des corps gauches. La définition la plus générale d’extension
galoisienne e celle donnée par Artin : une extension L/k e dite galoisienne si le corps
des invariants de L sous l’a ion de Aut(L/k) e égal à k. C’e avec cette définition que
s’entend la théorie de Galois des corps gauches. Le résultat central de cet article e leThéorème A.— Soient k un corps commutatif et H un corps de dimension finie sur son
centre k. Si F désigne la k-forme associée à la norme réduite de l’extension H/k relativement
au choix d’une k-base de H, alors on a l’équivalence
PIGF Ck ⇐⇒ PIGH

Ainsi, en jouant sur les analogues "norme/norme réduite" pour la forme F et "commutatif/gauche de centre k" pour le corps H, on voit que l’on a toujours
PIGF Ck =⇒ PIGH
mais, chose surprenante, l’implication PIGH =⇒ PIGF Ck n’e vraie en toute généralité
que dans le cas non commutatif, comme nous l’avons illu ré tout à l’heure.
La première partie de cet article e consacrée à la preuve du théorème A. Nous commençons cette partie par un bref rappel des éléments fondamentaux de la généralisationde la théorie de Galois au cas des corps gauches afin de faciliter la compréhension de ce
texte aux arithméticiens non familiarisés à cette situation.
La deuxième partie de cet article s’intéresse plus particulièrement au cas de certains
corps de fra ions rationnelles tordus. Rappelons que, si H désigne un corps (commutatif ou non), on définit l’anneau des polynômes tordu H[t] à indéterminée centrale et à
coefficients dans H comme le H-espace ve oriel de base {t n }n≥0 sur lequel on considère
le produit qui vérifie at = ta pour tout a ∈ H. Il s’agit en fait, pour la con ru ion deOre (voir [Ore]), de l’anneau de polynômes tordu K[t, α, δ] obtenu en prenant pourδ la dérivation nulle et pour α l’endomorphisme identité. Cet anneau e un anneau
de Ore et, en particulier, il possède un unique corps de fra ions que l’on note H(t) etque l’on appelle le corps des fra ions rationnelles tordu à indéterminée centrale et à coefficients dans H. En tant que corps des fra ions d’un anneau de Ore, le corps H(t) jouitd’une propriété très forte : tous ses éléments peuvent s’écrire sous la forme p(t)q(t)−1 Notons n le nombre de corps intermédiaires de H/k.

Pour un groupes G donné on considère une
extension galoisienne L/k de groupe Gn+1 et l’on considère le corps Li des invariants de L par le sousgroupe de Gn+1 obtenu en retirant le i-ème fa eur dire . Les extensions Li /k sont alors galoisiennes degroupe G et elles sont linéairement disjointes deux à deux sur k. Puisqu’elles sont au nombre de n + 1, au
moins l’une d’entre elle e d’interse ion avec H réduite à k, c’e -à-dire linéairement disjointe de H surk.

avec p(t), q(t) ∈ H[t]. Lorsque H e commutatif, le corps H(t) obtenu e alors le classique corps des fra ions rationnelles à coefficients dans H. Le théorème A montre alors
que PIGF Ck(t) ⇐⇒ PIGH(t) pour le choix de la forme F associée à la norme réduite del’extension H/k.
Il exi e une famille importante de corps commutatifs k pour lesquels le PIGF Ck(t)admet une réponse positive pour toute k-forme F ne possèdant pas de zéro sur le corps
k(t) : c’e celle des corps amples. Il s’agit d’une propriété introduite par Pop dans[Pop] et qui joue un rôle majeur en théorie inverse de Galois. Un corps commutatif ke dit ample si toute courbe lisse définie sur k et géométriquement irrédu ible possède
une infinité de points k-rationnels dès qu’elle en possède au moins un. Parmi
ces corps,√
tr
on trouve les corps PAC (e.g. les corps séparablement clos, le corps Q ( −1)), les corps
valués complets (e.g. R, Qp , κ((x))), le corps Qtp des nombres algébriques totalementp-adiques, le corps Qtr des nombres algébriques totalement réels (voir les articles desurvol [DD], [BSF] et [Pop] pour plus de détails). Dans cette deuxième partie
nous détaillons certains liens qui exi ent entre cette propriété d’amplitude et notre
problématique. Ceci nous permet finalement de montrer leThéorème B.— Si k désigne un corps commutatif contenant un corps ample, alors le PIGH(t)admet une réponse positive pour tout corps H de dimension finie sur son centre k
Une première application de ce résultat, sans doute la plus simple, s’obtient en considérant k = R : tout groupe fini e groupe de Galois sur H(t), où H désigne le corps
des quaternions d’Hamilton. Mais le théorème B s’applique aussi à des corps ayant
des gros groupes de Brauer (e.g. Qtr , k0 (x1 , . . . , xn )), ce qui montre l’étendue du champ
d’application.

.— Preuve du théorème A.
..— Descente galoisienne.
Nous rappelons ici les résultats fondamentaux de la théorie de Galois. Dans le cas
non commutatif, la présence d’automorphismes intérieurs perturbe un peu les choses.
Cette perturbation se mesure de la manière suivante : si L e un corps de centre C et si
L/K désigne une extension galoisienne de groupe G telle que l’une des dimensions de L
en tant que K-espace ve oriel droite ou gauche soit finie, alors
/ Les dimensions droite et gauche de L en tant que K-espace ve oriel sont égales (etl’on peut donc parler du degré [L : K] de l’extension sans se soucier de quel coté l’on
considère le K-espace ve oriel L).
/ L’ensemble A = {a ∈ L∗ | I(a) ∈ G} ∪ {0} e un corps (ici I(a) désigne l’automorphismede conjugaison intérieur associé à l’élément a ∈ L∗ ). L’ensemble A e en fait le commutant du corps K dans L.
/ Si l’on considère G0 = {I(a) | a ∈ A} le sous-groupe de G composé des automorphismes
intérieurs, alors on a
[L : K] = [G : G0 ][A : C]
On voit qu’il peut donc exi er des situations où [L : K] e Un corps k efini et où G e

infinidit Pseudo Algébriquement Clos (PAC) si toute k-variété non vide et géométriquement
irrédu ible a un ensemble Zariski dense de points k-rationnels.

(c’e par exemple le cas lorsque que l’on considère un corps L de dimension finie sur
son centre K), on peut même trouver des exemples où G e fini mais où |G| > [L : K] (voir[Des]). Pour autant, une conséquence de la propriété / e que l’on a [L : K] = |G|,dès que G0 = 1 (ou de manière équivalente dès que le commutant A de K dans L e égalau centre C = Z(L)). Dans cette situation, on dit que l’extension L/K e extérieure. Dansla situation opposée où G = G0 , on dit que L/K e intérieure.
Venons-en maintenant aux correspondances galoisiennes. Pour les étudier nous allons avoir besoin de la notion de N -groupe. Un groupe G d’automorphismes d’un corps
K e appelé N -groupe si l’ensemble
A(G, K) = {x ∈ K ∗ / I(x) ∈ G} ∪ {0}e un corps. Un sous-groupe S d’un N -groupe G sera dit N -invariant dans G, si lesous-N -groupe de G engendré par le normalisateur NG (S) de S dans G e égal à G tout
entier. Si L/K désigne une extension galoisienne de degré fini alorsa) Les correspondances galoisiennes opèrent une bije ion réciproque l’une de l’autre
entre les sous-N -groupes de G = Gal(L/K) et les extensions intermédiaires de L/K.
b) Si, par les correspondances galoisiennes, le sous-N -groupe S correspond à l’extension
intermédiaire L0 , alors L/L0 e galoisienne de groupe S. De plus, le groupe Aut(L0 /K)
s’identifie au groupe quotient NG (S)/S et l’extension L0 /K e galoisienne si et seulement si S e N -invariant dans G = Gal(L/K).
On pourra trouver dans [Coh, §.] un exposé complet de la théorie de Galois dans lecas non commutatif et le détail des preuves des propriétés que nous venons d’énoncer.
On remarquera pour finir ce paragraphe de rappels, que dans le cas où les corps sontcommutatifs, on retrouve exa ement les théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois usuelle.

intérieure

Si l’on considère une extension galoisienne de degré fini M/K de groupe de Galois Γet que l’on note Γ0 l’ensemble des éléments de Γ qui sont des automorphismes intérieurs,
alors Γ0 e un sous-N -groupe de Γ qui e N -invariant (en fait normal). En posant
L = M Γ0 , on obtient alors la tourM
Γ0

extérieure

L
Γ /Γ0

K
Ainsi, on peut toujours "découper" une extension galoisienne de degré fini M/K en une
partie M/L intérieure et une partie L/K extérieure. Le théorème suivant s’intéresse à lasituation duale :Théorème .— On suppose avoir une tour d’extensions de corps M/L/K telle que M/L soiteegaloisienne extérieure de groupe fini G et L/K soit galoisienne intérieure de degré fini. Si Kee e une extension galoisienne
désigne le bicommutant de K dans M, alors l’extension K/K
extérieure de groupe G.
Preuve : On pose G0 = Gal(L/K), Γ = Aut(M/K) et l’on considère Γ0 ⊂ Γ le sous-groupedes éléments de Γ qui sont des automorphismes intérieurs. On a donce∗ } ' Ke∗ /Z(M)∗Γ0 = {I(a)/ a ∈ K
f0 désigne le commutant de K0 dans(où, pour un sous-corps K0 ⊂ M donné, la notation KM).
er point. Puisque M/L e extérieure, on a e
L ⊂ Z(M) et donc Z(M) = e
L.
ème point. L’extension M/K e galoisienne. En effet, le groupe G0 se relève naturellement dans Γ0 et l’on voit immédiatement que M <G0 ,G> = K.
ème point. < Γ0 , G >= Γ . Puisque M <Γ0 ,G> = K, pour montrer que < Γ0 , G >= Γ il suffitde montrer que < Γ0 , G > e un N -groupe, c’e -à-dire de montrer que l’ensemble
A = {a ∈ M ∗ / I(a) ∈< Γ0 , G >} ∪ {0}e un corps. Mais, par définition même de Γ0 , on a que I(a) ∈< Γ0 , G >⊂ Γ si et seulementsi I(a) ∈ Γ0 et donce
A = {a ∈ M ∗ / I(a) ∈ Γ0 } ∪ {0} = K
qui ebien un corps.

ème point. Γ0 / Γ et < Γ0 , G >= Γ0 o G. En effet, si σ ∈ Γ et I(a) ∈ Γ0 , on a σ ◦ I(a) ◦ σ −1 =I(σ (a)) ∈ Γ0 . Par ailleurs, si σ = I(a) ∈ Γ0 ∩ G alors, pour tout x ∈ L, on a σ (x) = axa−1 = x
et donc a ∈ e
L. D’après le point , on a Z(M) = e
L et l’on en déduit que σ = Id. L’a ion deG sur Γ0 dans le produit semi-dire Γ0 o G se décrit en identifiant Γ0 au groupe quotiente∗ /Z(M)∗ , α σ = σ (α).
e∗ /Z(M)∗ : pour tout σ ∈ G et α ∈ K
KConclusion. Le groupe Γ0 e donc un sous-N -groupe N -invariant de Γ et la théorie deGalois assure alors que M Γ0 /K e galoisienne de groupe Γ /Γ0 = (Γ0 o G)/Γ0 ' G, d’après
le point . Le dernier point consi e à remarquer queee ax = xa ⇐⇒ x ∈ Kex ∈ M Γ0 ⇐⇒ ∀a ∈ K,
Corollaire .— (Descente galoisienne) Soit H un corps de dimension finie sur son centre k.
Si M/H désigne une extension galoisienne de groupe fini G, alors l’extension (commutative)
Z(M)/k e galoisienne de groupe G. Par ailleurs, le corps M e alors isomorphe au produit
tensoriel H ⊗k Z(M).
Preuve : Commençons par montrer que l’extension M/H e extérieure en supposant
par l’absurde le contraire. Comme M/H e de groupe fini, d’après [Des, Théorèmedu §], le centre C de M e un corps fini. Or, M e un corps de dimension (droite ou
gauche) finie sur le corps commutatif k et donc, M e aussi de dimension finie sur son
centre C (voir par exemple [Des, Lemme ..]). Ainsi, M e lui-même un corps fini,et donc l’extension M/H e commutative et, par suite, extérieure.
eOn peut donc appliquer le théorème , en posant K = k et L = H. L’extension e
k/k
e e
e
e
e alors galoisienne de groupe G. Puisque Z(H) = k, on a H ⊂ k et donc k ⊂ H =Z(M) (la dernière égalité vient du fait que M/H e extérieure). En reprenant les noe
tations de la preuve du théorème, on a e
k = M Γ0 . Comme Γ0 e composé uniquementd’automorphismes intérieurs, on voit que Z(M) ⊂ M Γ0 , ce qui prouve finalement queeek = Z(M).
On se retrouve avec les extensions suivantes
M
m2

n
G

H

Z(M)
G

m2

n

k

On considère une k-base e1 , · · · , em2 de H ⊂ M que l’on ordonne de sorte e1 , · · · , ei soit
une famille Z(M)-libre (i.e. linéairement indépendante sur Z(M)) maximale pour uncertain indice i. Si i , m2 , alors il exi e λ1 , · · · , λi ∈ Z(M) tel que ei+1 = λ1 e1 + · · · + λi ei .
Puisque tous les ej sont dans H, on a pour tout σ ∈ G,
ei+1 = σ (λ1 )e1 + · · · + σ (λi )ei
Par nature même du centre d’un corps, tout automorphisme de M induit un automorphisme de Z(M) et comme e1 , · · · , ei e Z(M)-libre, on en déduit finalement que pour
tout j = 1, · · · , i on a∀σ ∈ G, σ (λj ) = λj
Ceci prouve que λj ∈ k pour tout j = 1, · · · , i, ce qui con itue une absurdité, car e1 , · · · , ei+1
e k-libre. Ainsi, la famille e1 , · · · , em2 e une Z(M)-base de M. Par ailleurs, les tenseurse1 ⊗1, · · · , em2 ⊗1 forment aussi une Z(M)-base de H ⊗k Z(M). L’application H ⊗k Z(M) −→M obtenue par propriété universelle du produit tensoriel e donc un isomorphisme deZ(M)-algèbres. Ceci prouve bien que H ⊗k Z(M) e un corps, isomorphe à M.

Une conséquence de ce qui précède ealors :

Corollaire .— Pour tout corps H de dimension finie sur son centre k, on a PIGH =⇒ PIGk .
..— Extension des scalaires.
On s’intéresse dans cette partie à une réciproque du corollaire . On se donne donc
un corps H de dimension finie sur son centre k et l’on considère L/k, une extension galoisienne de corps commutatifs de groupe fini G. Le corollaire  assure que s’il exi e
une extension galoisienne M/H de groupe fini telle que L = Z(M), alors on a nécéssairement M = H ⊗k L. On va donc étudier ce genre de produits tensoriels, mais pour bien lescomprendre, nous allons commencer par rappeler quelques propriétés sur l’extension
des scalaires d’une algèbre simple centrale :On se donne un corps commutatif infini k et une k-algèbre simple centrale A . Onnote n2 = [A : k] et l’on se donne, une fois pour toute, une k-base (e1 , · · · , en2 ) de A . Si
L/k désigne une extension de corps commutatifs (sans hypothèse de finitude ni mêmed’algébricité), l’algèbre obtenue de A par extension des scalaires à L e par définition la
k-algèbre tensorisée Ω = A ⊗k L. On peut plonger L dans Ω en l’identifiant à k ⊗k L. Il
e alors clair que L e inclus dans le centre, Z(Ω), de Ω de sorte que l’algèbre Ω peutêtre considérée comme une L-algèbre. Si l’on note e˜i = ei ⊗ 1 pour tout i = 1, · · · , n2 , onvoit que (e˜1 , · · · , en˜2 ) e une L-base de Ω. On a en particulier [Ω : L] = [A : k] = n2 . Il efacile de voir qu’en fait, Ω e une L-algèbre simple centrale : le produit tensoriel d’unek-algèbre simple centrale par une k-algèbre simple e une k-algèbre simple (voir par
exemple [Bla, Théorème II-]) et le centre d’un produit tensoriel de k-algèbres e leproduit tensoriel des centres (voir par exemple [Bla, Corollaire II-]).
Rappelons que la norme réduite de A /k e définie de la manière suivante : oncommence par se donner un corps neutralisant D de la k-algèbre A . Par définition, il
exi e un isomorphisme ϕ : A ⊗k D −→ Mn (D). La norme réduite NrdA /k e alors lacomposée des applications :a7→a⊗1/

NrdA /k : AA ⊗k Dϕ/ M (D) det / DnCette application ne dépend, ni du corps neutralisant D, ni de l’isomorphisme ϕ et elle
e en fait à valeurs dans k. Une propriété importante de la norme réduite e qu’unélément x ∈ A e inversible si et seulement si NrdA /k (x) , 0 (toutes ces propriétés sontprésentées dans [Bou]). L’application FA (x1 , · · · , xn2 ) ∈ k[x1 , · · · , xn2 ] définie pour tout
2
(x1 , · · · , xn2 ) ∈ k n , par
FA (x1 , · · · , xn2 ) = NrdA /k (x1 e1 + · · · + xn2 en2 )e une k-forme de degré n que l’on appellera la forme associée à la norme réduite NrdA /krelativement au choix de la k-base (e1 , · · · , en2 ) de A . Par exemple, si A = Hk désignel’algèbre des quaternions à coefficients dans le corps k, alors la norme réduite d’unélément x = a + bu + cv + dw (où u 2 = v 2 = w2 = uvw = −1) vaut la traditionnelle norme
des quaternions q(x) = a2 + b2 + c2 + d 2 , de sorte que, pour la choix de la k-base {1, u, v, w}
de Hk , on a
FHk (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x12 + x22 + x32 + x42
Une des propriétés importantes que nous allons exploiter dans la suite epar ledonnéeLemme .— Avec les notations précédentes (on a notamment posé Ω = A ⊗k L), les formes
FA et FΩ sont égales.
Preuve : On considère la clôture algébrique L de L. Il exi e un k-isomorphisme
ϕ : Ω ⊗L L = (A ⊗k L) ⊗L L −→ A ⊗k L
que l’on peut choisir avec la propriété que ϕ((a ⊗ 1) ⊗ 1) = a ⊗ 1. Le corps L e un corps
neutralisant de la k-algèbre A et de la L-algèbre Ω, si bien qu’il exi e un isomorphismeψ : A ⊗k L −→ Mn (L). Le diagramme suivant
Af
a7→a⊗1ϕ

a7→a⊗1 θ/A ⊗ LO kgψ/ M (L) det / L
8 n

ψ◦ϕ

/ (A ⊗A ⊗k Lx7→x⊗1k L) ⊗L L

e alors commutatif. Comme NrdA /k = det ◦ ψ ◦ f et NrdΩ/L = det ◦ (ψ ◦ ϕ) ◦ g, on en
déduit que
NrdA /k = NrdΩ/L ◦ θ
2Pour tout (x1 , · · · , xn2 ) ∈ k n , on a θ(x1 e1 + · · · + xn2 en2 ) = x1 e˜1 + · · · + xn2 en˜2 et donc
FA (x1 , · · · , xn2 ) = FΩ (x1 , · · · , xn2 )Puisque le corps k e

infini, on en conclut que FA = FΩ , par Zariski-densité.

Dans le cas où A = H désigne un corps, le lemme  permet alors de cara ériser arithmétiquement le cas où H ⊗k L e un corps :Proposition .— Soient H un corps de dimension finie sur son centre k, FH la forme associée
à la norme réduite de H/k relativement au choix d’une k-base et L/k une extension de corps
commutatifs. On a l’équivalence
H ⊗k L e

un corps ⇐⇒ la forme FH ne possède que le zéro trivial sur L

Preuve : Comme rappelé au début de ce paragraphe, l’algèbre M = H ⊗k L e une
L-algèbre simple centrale et un élément x ∈ M e inversible si et seulement si on a
NrdM/L (x) , 0. Puisque d’après le lemme  on a FM = FH , l’égalité NrdM/L (x) = 0 a lieu
pour x , 0 si et seulement si FH possède un zéro non trivial sur L.
Revenons maintenant à la réciproque du corollaire .
Proposition .— (Extension galoisienne des scalaires) Soit H un corps de dimension finie
sur son centre k et L/k une extension galoisienne de corps commutatifs de groupe fini G. Si
M = H ⊗k L e un corps, alors l’extension M/H e galoisienne extérieure de groupe G.
Preuve : On note Γ = Aut(M/H). Puisque [M : L] = [H : k] = n2 , on a
M
n2

Γ

L

H
n2
G

k
Pour σ ∈ Gal(L/k), on considère l’application σ̃ : H ⊗k L −→ H ⊗k L définie sur les tenseursx ⊗ t parσ̃ (x ⊗ t) = x ⊗ σ (t)Puisque σ e un k-automorphisme de L, on voit que σ̃ ∈ Γ . L’application σ 7−→ σ̃ evisiblement un morphisme de groupes et, comme L s’identifie à k ⊗k L dans H ⊗k L,
on voit que σ̃ = Id seulement si σ = Id. Ainsi, G se plonge dans Γ . Il e clair que lesous-corps des éléments invariants de M par l’a ion de l’image de G dans Γ e égal àH ⊗k k = H. Il s’ensuit que l’extension M/H e bien galoisienne.
Il re e à montrer que Γ n’e pas un groupe plus gros que l’image de G. Puisque [M :L] = [H : k], par transivité des degrés (ici droites ou gauches indi in ement, puisquel’extension M/H e galoisienne) on a que [M : H] = [L : k]. Le commutant de H = H ⊗k kdans M = H ⊗k L e égal à k ⊗k L = L = Z(M) (le commutant d’un produit tensoriel eégal au produit tensoriel des commutants, voir par exemple [Bla, Proposition II-]).
Il résulte de ce dernier fait que l’extension M/H e extérieure et, en vertu des propriétés
générales de la théorie de Galois des corps gauches rappelées dans le §.., on a donc|Γ | = [M : H] = [L : k] = |G|Puisque G se plonge dans Γ , on en déduit finalement que Γ = G.

On voit donc que réaliser G sur H revient ju e à réaliser G par une extension decorps commutatifs L/k de sorte que H ⊗k L soit un corps. Par exemple, si l’on reprendl’algèbre de quaternions Hk , alors la proposition  montre que Hk ⊗k L e un corps, si
et seulement si L e de niveau ν(L) ≥ 4. En effet, dire que la forme FHk (x1 , x2 , x3 , x4 ) =x12 +x22 +x32 +x42 possède un zéro non trivial sur L équivaut à dire que −1 e somme de trois
carrés dans L. On voit, en particulier, que Hk ⊗k L e un corps dès que L e ordonnable.
Puisque k = R e un corps réel clos on en déduit que le corps des quaternion d’Hamilton
H = HR ne possède aucun extension galoisienne finie non triviale (en fait H ne possèdeaucune extension finie non triviale, voir [Des]).
En application du corollaire  et des propositions  et , on déduit leThéorème .— Soient H un corps de dimension finie sur son centre k, FH la forme associée
à la norme réduite de H/k relativement au choix d’une k-base de H et G un groupe fini. Pour
qu’il exi e une extension galoisienne M/H de groupe G il faut et il suffit qu’il exi e une
extension galoisienne L/k de groupe G telle que FH ne possède que le zéro trivial sur L. Dans
ces conditions, on a alors Z(M) = L et M = H ⊗k L.
d’où découle le théorème A énoncé dans l’introdu ion.

.— Applications aux corps des fra ions tordus.
On souhaite maintenant appliquer ce qui précède au cas des corps de fra ions rationnelles tordus à indéterminée centrale et à coefficients dans H lorsque H e un corps
de dimension finie sur son centre k. Ce cas rentre parfaitement dans le cadre d’étude
du paragraphe  puisque, comme nous allons le voir plus bas, H(t) e une k(t)-algèbre
simple centrale. Etablissons préalablement un lemme utile pour la suite de ce texte :Lemme .— Soient k un corps commutatif et F une forme à coefficients dans k. Si F nepossède que le zéro trivial sur k, alors il en e de même sur le corps k((t)) des séries deLaurent à coefficients dans k.
Preuve : Supposons que F ∈ k[x1 , · · · , xd ] possède un zéro non trivial (r1 (t), . . . , rd (t)) ∈k((t))d . Quitte à fa oriser par la puissance de t correspondant à la plus petite des valuations des séries ri (t), on peut supposer que (r1 (t), . . . , rd (t)) ∈ k[[t]]d et qu’au moins un
des ri (t) e de valuation nulle. En posant t = 0, on voit que (r1 (0), . . . , rd (0)) ∈ k d e alors
un zéro non trivial de F .
Proposition .— L’algèbre H ⊗k k(t) e un corps, isomorphe au corps H(t) des fra ionsrationnelles tordu à indéterminée centrale.
Preuve : On reprend les notations du §.. L’algèbre H ⊗k k(t) e une k(t)-algèbre simple
centrale et le lemme  assure que l’on a FH⊗k k(t) = FH . Puisque H e un corps, la forme
FH ne possède que le zéro trivial sur k et le lemme  prouve qu’il en e alors de même
 Rappelons que le niveau, ν(L), d’un corps commutatif L e, +∞ si −1 n’e pas une somme de carrées
dans L (la théorie d’Artin-Schreier montre que cette propriété équivaut au fait d’être ordonnable pour L,
voir [Rib]), et dans le cas contraire, le niveau e le plus petit entier n tel que −1 soit la somme de ncarrés dans L.

sur k(t). Il découle alors de la proposition  que l’algèbre H ⊗k k(t) ebien un corps.

Par propriété universelle du produit tensoriel, l’application(a, r(t)) ∈ H × k(t) 7−→ a.r(t) ∈ H(t)définit un morphisme de k-espaces ve oriels ψ : H ⊗k k(t) −→ H(t). Par définition, dansH(t), on a a.r(t) = r(t).a et l’on voit donc que ψ e un morphisme de k-algèbres. Cedernier e alors inje if puisque H ⊗k k(t) e un corps. Il e clair que ψ identifie lesanneaux H ⊗k k[t] et H[t]. Comme déjà rappelé dans l’introdu ion, les éléments de H(t)s’écrivent sous la forme p(t)q(t)−1 avec p(t), q(t) ∈ H[t]. Puisque H ⊗k k(t) e un corps,
on en déduit finalement que ψ e aussi surje if.
Avec les notations précédentes, on a donc FH(t) = FH et, par application du théorèmeA, on en déduit que PIGFH Ck(t) ⇐⇒ PIGH(t) . Le lemme  montre que, pour toute kforme F ne possédant que le zéro trivial sur k, on a l’implication(1) PIGFRk =⇒ PIGF Ck(t)où PIGFRk désigne la variante du PIGk(t) suivante :PIGFRk (Problème Inverse de Galois Fortement Régulier) : tout groupe fini G e -ilgroupe de Galois d’une extension galoisienne L/k(t) telle que L se plonge dans le corps k((t)) ?
D’un point de vue géométrique, le PIGFRk équivaut à savoir si, pour tout groupefini G, il exi e un revêtement galoisien X −→ P1 de groupe G, défini sur k et tel que la
courbe X soit géométriquement irrédu ible et possède un point k-rationnel non ramifié. Lorsque k e ample, pour X −→ P1 donné, l’exi ence d’un point k-rationnel non
ramifié e en fait équivalente à l’exi ence d’au moins un point k-rationnel. Si l’on
retire à cette formulation géométrique du PIGFRk l’hypothèse d’exi ence d’un point
k-rationnel, on retombe sur le classique
PIGRk (Problème Inverse de Galois Régulier) : tout groupe fini e -il groupe de Galoisd’une extension galoisienne L/k(t) telle que L ∩ k = k ?
et l’on a donc l’implication(2) PIGFRk =⇒ PIGRk
ce qui ju ifie la terminologie "fortement régulier" pour le PIGFR. Il e conje uré
que le PIGR admet une réponse positive pour tout corps mais personne ne s’e encore
aventuré à conje urer qu’il en était de même pour le PIGFR. La littérature ne contient,à l’heure a uelle, aucun exemple de corps commutatif ayant une réponse négative à ce
problème.
Proposition .— Pour toute extension de corps commutatifs L/k, on a l’implication
PIGFRk =⇒ PIGFRL
En particulier, si le corps k contient un corps ample alors le PIGFRk admet une réponse
positive.
Preuve : Fixons un groupe fini G et un élément transcendant t sur L. Par hypothèse, il
exi e une extension galoisienne M/k(t) de groupe G telle que M se plonge dans k((t)) ⊂L((t)). Cette dernière condition entraîne M ∩ k = k. L’extension galoisienne ML/L(t) ealors galoisienne de groupe G, même si L/k n’e pas nécessairement algébrique (voir,
par exemple, [FJ, Lemma ..] ou [Dèb, Proposition ..]), et l’on a ML ⊆ L((t)).
Le fait que le PIGFRk admette alors une réponse positive lorsque k e ample fut
démontré par Pop dans [Pop] (voir aussi [HJ, Theorem C]). Ce résultat prouve lafin de la proposition.
Le théorème B de l’introdu ion découle finalement de tous ces résultats : si le corps
k contient un corps ample, alors la proposition  assure que le PIGFRk admet une
réponse positive et l’implication () montre qu’il en e de même du PIGFH Ck(t) . Le
théorème A permet alors de conclure.
Pour compléter les liens implicatifs que nous avons établis, notons le résultat suivant(qui e trivial dans le cas des corps commutatifs) :Proposition .— Si H désigne un corps gauche de dimension finie sur son centre k alors
PIGH =⇒ PIGH(t) .
Preuve : Considérons une k-forme F ne possédant que le zéro trivial sur k et un groupefini G. S’il exi e une extension galoisienne L/k de groupe G telle que F ne possède quele zéro trivial sur L alors l’extension L(t)/k(t) e galoisienne de groupe G et le lemme 
montre que F ne possède que le zéro trivial sur L(t). On a donc l’implication(3) PIGF Ck =⇒ PIGF Ck(t)La proposition découle alors du théorème A en exploitant l’implication ci-dessus pourle choix de F = FH = FH(t) .
Le diagramme d’implications suivant résume les résultats établis dans ce texte :PIGF Ck
cas a (resp. cas b) ck
DLw
PIGF Ck(t)PIGHcas a (resp. cas b)

cas a (resp. cas b)

S[

ca

(1)

sa

ca

(T
h.
A

)

et
b

sb

k contient uncorps ample+3 PIGFR

cas a(Coro.)cas b

'+3 PIGk(Prop.)7?

(Prop.10)(Th.A)

cas b

(3)

' 
PIGH(t)k

cas a (resp. cas b)

7?

(2)

sa
ca

'
PIGRk
Cas a (resp. Cas b) : H e un corps commutatif (resp. gauche) de dimension finie sur k (resp. sur son
centre k) et F désigne la forme associée à la norme (resp. la norme réduite) de H/k relativement au choixd’une k-base de H.

Nous donnons enfin quelques exemples de groupes finis se réalisant comme groupes
de Galois sur H(t) sans supposer que le centre de H ne contienne de corps ample :Proposition .— Soient G un groupe fini et H un corps de dimension finie sur son centre
k. Dans chacun des cas suivants, G e le groupe de Galois d’une extension galoisienne deH(t) :
/ G e abélien,
/ G = Sn (n ≥ 3) et k e infini,/ G = An (n ≥ 4) et k e de cara éri ique nulle,
/ G e résoluble et k e de cara éri ique ri ement positive.
Preuve : Il suffit, dans chaque cas, de trouver un sous-corps k0 de k et une extension
galoisienne L/k0 (t) de groupe G telle que L se plonge dans le corps k0 ((t)). L’extension
Lk/k(t) e alors une galoisienne de groupe G qui se plonge dans k((t)). Cette hypothèsede plongement permet alors, grâce au lemme , d’appliquer le théorème  au corps H(t).
/ Si G e abélien, cette propriété e vraie sur le corps k, en tant que conséquence bien
connue du twi ing lemma (voir [Dèba] et [Dèb, Proposition ..]) et de l’exi enced’une extension galoisienne L/k(t) de groupe G telle que l’idéal hti de k[t] ne se ramifiepas dans l’extension Lk/k(t) (voir [Dèbb]).
/ Puisque k e infini, il possède un sous-corps k0 qui e soit ample, soit hilbertien. En
effet, si k e de cara éri ique nulle, on peut prendre k0 = Q. Si k e de cara éri iquep > 0 il e alors, soit extension algébrique infinie du corps Fp et donc k0 = k e un corps
PAC (voir [FJ, Corollary ..]), soit une extension du corps de fra ions rationnelles
k0 = Fp (x) qui e hilbertien. Le cas ample ayant déjà été traité de manière plus générale,on suppose désormais que k0 e hilbertien. On se donne alors un polynôme unitaireséparable P0 (x) ∈ k0 [x] de degré n et dont toutes les racines sont dans k0 , et un polynôme
unitaire P1 (x) ∈ k0 [x] de degré n et de groupe de Galois Sn sur k0 (un tel polynôme exi e par [FJ, Corollary ..]). Par interpolation polynomiale, il exi e un polynôme
unitaire P (t, x) ∈ k0 [t][x] de degré n tel que P (0, x) = P0 (x) et P (1, x) = P1 (x). Notons L
le corps de décomposition sur k0 (t) de P (t, x). Puisque P (0, x) e séparable et a toutes
ses racines dans k0 , le corps L se plonge dans k0 ((t)). Enfin, puisque P (1, x) possède Sn
comme groupe de Galois sur k0 , le groupe de Galois de L/k0 (t) vaut également Sn .
/ Ici k = k0 convient. En effet, fixons un polynôme unitaire séparable P (x) ∈ k[x] dedegré n et dont toutes les racines sont dans k. Par [KM, Theorem ], il exi e unpolynôme unitaire P (t, x) ∈ k[t][x] tel que, si L e le corps de décomposition sur k(t) deP (t, x), alors Gal(L/k(t)) = An et le corps de décomposition sur k de P (0, x) e égal à celuide P (x), c’e -à-dire à k. Comme P (x) e séparable, cela entraîne que L se plonge dansk((t)).
/ La propriété e vraie pour k0 égal au sous-corps premier de k, en tant que conséquence de [NSW, p. , Exercise (a)].
Pour conclure cet article, soulignons que si PIG e tout à fait légitime pour les corps
gauches, le problème régulier et toutes les autres variantes que nous avons introduites
dans ce texte n’ont pas de sens a priori. Il faut avoir à l’esprit que les notions d’élémentsalgébriques et de clôture algébrique n’ont rien de naturel pour un corps gauche. Cepoint rend beaucoup plus délicat l’approche au cas non commutatif de la théorie deGalois. A titre d’exemple, il e ainsi montré dans [Des] que les extensions finies d’uncorps algébriquement clos k de cara éri ique 0 sont toutes de degré 2 et qu’il en exi e
une infinité non isomorphes deux à deux. Dans cette situation, si l’on plonge deux telles
extensions dans un corps, alors le compositum e nécessairement de degré infini sur k.

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Ann. of Math. (),Bruno Deschamps
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR Université de Caen - Normandie
BP ,  Caen Cedex - France——————————
Département de Mathématiques — Le Mans Université
Avenue Olivier Messiaen,  Le Mans cedex  - France
E-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr
François LegrandInstitut für Algebra, Fachrichtung Mathematik
TU Dresden,  Dresden, Germany
E-mail : francois.legrand@tu-dresden.de