En enlevant d’une base additive une partie infinie
Bruno DESCHAMPS et Georges GREKOS
Université de Saint-EtienneRésumé.— Dans cet article, nous montrons que si A est une base additive d’ordreh ≥ 2, alors il existe une partie infinie A∞ de A telle que A \ A∞ soit une base d’ordre
inférieur ou égal à h2 + h.
Abstract.— In this article, we show that if A is an additive basis of order h ≥ 2,then there is an infinite subset A∞ of A such that A \ A∞ is a basis of order less thanor equal to h2 + h.

1.— Problématique.
Si A désigne une partie de N = {0, 1, 2, . . . } et h un entier, h ≥ 2, on notehA l’ensemble {x1 + · · · + xh | x1 , . . . , xh ∈ A}. Soient A et B deux parties deN; on écrira A ∼ B, si la différence symétrique A 4 B est finie. On dit qu’unepartie A de N est une base additive (ou base asymptotique ou ensemble de base dans cet article on dira plus simplement base), s’il existe h ∈ N∗ tel que hA ∼ N.
Le plus petit entier h ∈ N∗ vérifiant hA ∼ N est alors appelé ordre de A et notéG(A).
Une base A peut contenir des éléments a ∈ A tels que A \ {a} ne soit pas une
base. On notera par la suite A∗ l’ensemble des éléments a ∈ A tels que A \ {a}soit une base. Si X désigne un ensemble, on notera |X| son cardinal. Dans
[Gre1], une généralisation d’une idée de [EG] prouve que le nombre des élémentsa ∈ A pour lesquels A \ {a} n’est pas une base, est fini: il est majoré par l’ordre
de la base. La meilleure majoration possible (à la constante multiplicative près)a été trouvée dans [DG].
Il résulte des travaux précédemment cités que si A désigne une base quelconque, on peut retirer à A certaines parties finies de cardinal aussi grand quel’on veut sans perdre la basicité : pour tout entier k ∈ N, il existe une partieF ⊂ A avec |F | = k telle que A\F soit une base. Bien sûr, l’ordre de la nouvellebase peut augmenter, parfois de beaucoup. On pourra consulter [Gre2], [Nth2]
et [Jia] à ce sujet.
L’objectif de cet article est de montrer qu’il est en fait toujours possible,
pour une base A donnée, de trouver une partie infinie B ⊂ A telle que A \ B
reste une base. Ce résultat avait déjà été remarqué pour quelques cas concrets,
par exemple celui des carrés (cf. [Zol, p.212, Satz 2(b)]). Nous montrons, enfait, plus précisément leThéorème.— Si A est une base d’ordre G(A) ≤ h, alors il existe une partie
infinie A∞ de A telle que A \ A∞ soit base d’ordre inférieur ou égal à h2 + h.

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Après quelques commentaires nous posons en fin d’article quelques questions
relatives à la notion de minimalité pour une base. Nous tenons à remercier
le rapporteur de cet article pour les commentaires et remarques qu’il nous aadressés.
2.— Preuves.
2.1.— Preuve du théorème.
(2.1.1) Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que
A = {a0 = 0 < a1 < a2 < . . . }En effet, la basicité et l’ordre sont des notions invariantes par translation.
(2.1.2) Soit n0 > 0 tel que tout entier n ≥ n0 appartienne à hA. Remarquons
que si a et a0 sont deux éléments de A tels que a > 0 et a0 − a ≥ n0 , alorsa0 −a ∈ hA et donc a0 s’écrit sous la forme a0 = a+x1 +· · ·+xh où xi ∈ A\{a0 },1 ≤ i ≤ h, et par conséquent a0 ∈ (h + 1)(A \ {a0 }).
(2.1.3) Soit k0 tel que ak0 − a1 ≥ n0 . La remarque (2.1.2) permet d’assurerque, pour chaque entier j ≥ k0 , il existe un h-uplet (xj,1 , · · · , xj,h ) (que nous
considérerons comme fixé à partir de maintenant) tel que
aj = a1 + xj,1 + · · · + xj,h(Rj )avec xj,i ∈ A \ {aj } pour tout 1 ≤ i ≤ h.
(2.1.4) Nous allons déterminer les éléments de la partie
A∞ = {a(1) < a(2) < . . . }de A par récurrence. Nous nous servirons, à chaque étape, du(2.1.5) Lemme.— Soit E un ensemble de h éléments de A, tous supérieurs
ou égaux à ak0 et J un ensemble infini d’indices supérieurs ou égaux à k0 . Il
existe un élément e ∈ E tel que|{j ∈ J | ∀i = 1, · · · , h, e 6= xj,i }| = +∞(On dira alors que e est ”absent” des relations (Rj ) pour une infinité de j ∈J, j ≥ k0 et on notera e ∈/ (Rj ) pour signifier que l’indice j ∈ J appartient àl’ensemble ci-dessus.)
Preuve du lemme :Posons S = h. max(E). La suite (aj − a1 )j tendant vers +∞, puisque J est
infini, il existe un indice j0 ∈ J tel que
aj0 − a1 > S2

Puisque la somme de h éléments (distincts ou non) de E est ≤ S, il est alorsclair que pour tout j ∈ J, j ≥ j0 , il existe ej ∈ E tel que xj,i 6= ej pour touti = 1, · · · , h. Pour e ∈ E, posons
E(e) = {j ∈ J, j ≥ j0 | ej = e}On a[E(e) = {j0 , j0 + 1, · · · } ∩ Je∈ESet donc e∈E E(e) est un ensemble infini. Comme il n’y a qu’un nombre finid’éléments dans E, il s’ensuit que l’un des E(e) est un ensemble infini. Ce qu’il
fallait démontrer.
(2.1.6) Initialisation (choix de a(1) ) : considérons un ensemble E1 de h termesde A, tous supérieurs ou égaux à ak0 ; par exemple
E1 = {ak0 , ak0 +1 , . . . , ak0 +h−1 }Notons a(1) un élément de E1 qui est absent des relations (Rj ) pour uneinfinité de j ≥ k0 . Posons alors
I (1) = {j ≥ k0 | a(1) ∈/ (Rj )}etA(1) = {aj | j ∈ I (1) }(2.1.7) Itération : supposons avoir déterminé, pour un certain entier m ≥ 1,des éléments a(1) < a(2) < · · · < a(m) de A appartenant respectivement à desensembles d’entiers à h éléments E1 , · · · , Em vérifiant pour tout p = 1, · · · m−1,min Ep+1 > max Ep et des ensembles infinis d’indices
I (m) ⊂ I (m−1) ⊂ · · · ⊂ I (1)tels que pour tout s = 1, · · · , m et tout j ∈ I (m) , on ait
a(s) ∈/ (Rj )On considère alors l’ensemble
A(m) = {aj | j ∈ I (m) } ⊂ A(m−1) ⊂ · · · ⊂ A(1)Au rang m + 1, on choisit un ensemble Em+1 constitué de h éléments deA(m) , tous plus grands que max Em (donc, en particulier, de a(m) ). D’aprèsle Lemme (2.1.5), au moins un élément de Em+1 est absent des relations (Rj )pour une infinité de j ∈ I (m) . Notons a(m+1) un tel élément et posons
A(m+1) = {aj ∈ A(m) tel que pour tout i = 1, · · · , h, xj,i 6= a(m+1) }3eto nI (m+1) = j ∈ I (m) | aj ∈ A(m+1)⊂ I (m)(2.1.8) On détermine ainsi, par récurrence, une partie infinie
A∞ = {a(1) < a(2) < . . . }de A.
Montrons maintenant que B = A \ A∞ est base d’ordre inférieur ou égalà h2 + h. Pour cela, il suffit de montrer que tout entier n ≥ n0 appartient à
(h2 + h)B. Par hypothèse, n s’écrit sous la forme n = n1 + · · · + nh avec nj ∈ Apour tout j ∈ {1, . . . , h}. Montrons que chaque nj appartient à (h + 1)B, ce quiachèvera la preuve.
Si nj appartient à B = A \ A∞ , puisque a0 = 0 ∈ B, alors nj s’écritcomme somme de lui-même et de h termes a0 et appartient ainsi à (h + 1)B.
Si, maintenant, nj = a(m) pour un certain entier m ≥ 1, alors :• Si m = 1, on a vu que a(1) vérifie la relationa(1) = a1 + x1 + · · · + xh , xi ∈ A \ {a(1) }, 1 ≤ i ≤ hTous les xi satisfont xi ≤ a(1) − a1 < a(1) et sont donc éléments de B.
• Si m > 1, alors le terme nj vérifie nj = a(m) ∈ A(m−1) , et donc il s’écritnj = a1 + x1 + · · · + xh avec pour chaque i ∈ {1, . . . , h}, xi 6= a(1) , . . . , a(m−1) .
Tous les xi satisfont xi ≤ nj − a1 < nj = a(m) et sont ainsi éléments de B, ce
qu’il fallait démontrer.
Ainsi s’achève la démonstration du théorème.
Remarque : Deux questions se posent à propos de ce résultat :Question 1.— Dans cet énoncé, peut-on remplacer h2 + h par une autre fonction, plus petite, de h?
Question 2.— Pour un ordre donné (h2 + h, par exemple), existe-t-il desparties B de A, relativement plus denses (voir paragraphe suivant) que A∞
dans A, telles que A \ B soit une base?
3.— Commentaires.
Le théorème que nous venons de prouver, montre bien que pour parler deminimalité de base, on ne peut pas se contenter d’une notion purement ensembliste. Nous finissons cet article en proposant quelques pistes de réflexion à cesujet.
Etant données deux parties B ⊂ A de N, on définit la densité relative de Bdans A par la formule|B ∩ [1, n]|n→+∞ |A ∩ [1, n]|dA (B) = lim sup4

On peut alors remarquer que, pour la partie A∞ construite dans ce papier,on a
1dA (A∞ ) ≤hEn effet, dans la preuve, de chaque ensemble Ei , constitué de h éléments deA, nous en choisissons un qui fera partie de A∞ . De plus, pour chaque i, on amax Ei < min Ei+1 . La propriété dA (A∞ ) ≤ 1/h en découle alors.
Pour examiner la notion de minimalité, on peut introduire, pour une basedonnée A, le réel :Ω(A) = sup J(A)oùJ(A) = {α ∈ [0, 1] | ∃B ⊂ A telle que A \ B soit une base et dA (B) ≥ α}
Le réel Ω(A) jauge, en quelque sorte, la densité minimale d’une base. En
prenant une partie B finie, il apparaı̂t immédiatement que 0 ∈ J(A). L’ensemble
J(A) est visiblement un sous-intervalle de [0, 1]. On peut alors se demander si :Question 3.— J(A) est-il toujours un intervalle fermé?
Si l’on prend pour A une progression arithmétique à laquelle on ajoute deséléments de sorte que p.g.c.d.(A) = 1 (par exemple A = 3.N∪{1}) ou l’ensemble
des carrés ou encore l’ensemble des puissances k-ièmes, alors Ω(A) = 1. Pour lecas des progressions arithmétiques c’est trivial, pour les carrés voir [Zol, p.212,Satz 2(b)] et pour les puissances k-ièmes voir [Nth1]. De manière générale,Question 4.— A-t-on Ω(A) = 1 pour toute base A?
Références[DG] B. Deschamps et G. Grekos, Estimation du nombre d’exceptions à ce qu’unensemble de base privé d’un point reste un ensemble de base, J. reine angew.
Math. 539 (2001), 45-53.
[EG] P. Erdös and R. L. Graham, On bases with an exact order, Acta Arith. 37(1980), 201-207.
[Gre1] G. Grekos, Sur l’ordre d’une base additive, Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux 1987-1988, exposé No 31, 13p.
[Gre2] G. Grekos, On the order of a minimal additive basis, J. Number Theory
71 (1998), 307-311.
[Jia] X.D. Jia, On the order of subsets of asymptotic bases, J. Number Theory
37 (1991), 37-46.
[Nth1] M. B. Nathanson. Waring’s problem for sets of density zero, in: M.I.
Knopp, ed.,“Number Theory, Philadelphia 1980”, Lecture Notes in Math. 899,
Springer-Verlag, 1981, p. 301-310.
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[Nth2] M. B. Nathanson. The exact order of subsets of additive bases, in: D.V.
Chudnovsky, G.V. Chudnovsky, H. Cohn and M. B. Nathanson eds.,“NumberTheory, New York 1982”, Lecture Notes in Math. 1052, Springer-Verlag, 1984,
p. 273-277.
[Zol] J. Zöllner, Über eine Vermutung von Choi, Erdös und Nathanson, ActaArith. 45 (1985), 211-213.
Bruno Deschamps, Georges Grekos, Laboratoire d’Arithmétique et d’Algèbre, Faculté des sciences et techniques, Université Jean Monnet, 23 rue dudocteur Paul Michelon, 42023 Saint-Etienne, Cedex 2, France.
E-mail: Bruno.Deschamps@univ-st-etienne.fr, grekos@univ-st-etienne.fr

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