数理解析研究所講究録 1308 巻 2003 年 1-15

1
An Asymptotic Nonnull Distribution of Hotelling’s
under Elliptical Distributions$T^{2}$-statistic

早稲田大学・アジア大平洋研究科 井上 達紀 (Tatsuki Inoue)

Graduate School of Asia-Pacific Study,
Waseda University
明星大学. 一般教育 自然科学 岩下 登志也 (Toshiya Iwashita)

Natural Sciences Division, General Education,
Meisei University

要旨

本稿では楕円母集団上での Hotelling の$T^{2}$

統計量の局所対立仮説の元での統計量の分布の $O(N^{-2})$の漸近展開式を導く. この導出には, L\’evy’s の反転公式を利用した標本平均ベクトルと Wishart 行列の同時特性関数に対する漸近有効 (lid) な岩下・瀬尾 (2001) の方法を使用する.

1. はじめに$X$

を

Cov[X]$p$次元確率行列とする.

$=\gamma\Lambda$とする. ここで,$X$の密度関数を $f(x;\mu, \Lambda)$ で表し, 期待値 $\mathrm{E}[X]=\mu$ , 共分散行列$\mu\in\Re^{p}$,

Aは$p\cross p$の正定値行列であり,$\gamma(>0)$

は定数である.

確率密度関数 $f(x;\mu, \Lambda)$ が正規分布の場合, すなわち
$f(x; \mu, \Lambda)=(2\pi)^{-\mathrm{g}}2|\gamma\Lambda|^{-\frac{1}{2}}\exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)’(\gamma\Lambda)^{-1}(x-\mu)\}$,である場合 $(\gamma=1)$ , 仮説検定

帰無仮説

$H_{0}$: $\mu=\mu_{0}$

対立仮説

$K$

:

$\mu\neq\mu_{0}$,において, Hotelling(1931) は $X$ からの無作為標本 $X_{1},\ldots$ , $X_{N}$ からなる標本平均ベクトル$N^{-1} \sum_{k=1}^{N}X_{k}$と標本共分. fJ-列$S=(N-1)^{-1} \sum_{k=1}^{N}(X_{k}-\overline{X})(X_{k}-\overline{X})’$$T^{2}=N(\overline{X}-\mu_{0})’S^{-1}(\overline{X}-\mu_{0})$に対する正確な分布を与えている.

,$\overline{X}=$から構成される検定統計量

2
漸近理論においては, 正規・非正規のもとで数々の研究があり, 正規性のもとでは, 伊藤 (1956), 塩

谷 $(1956, 1971)$ によって,数 , 正規化定数$g$$T^{2}$の漸近分布が与えられている. また, 確率密度関数 $f$ (。;で表される場合に, 岩下 (1995) は, 帰無仮説と局所対立仮説$T^{2}$) が非負関を用いて以下のような形式$K_{p}$$f(x;\mu, \Lambda)=K_{p}|\Lambda|^{-1/2}g((x-\mu)’\Lambda^{-1}(x-\mu))$とでの$\Lambda$$\mu,$$K_{l}$

:

,

(1.1)

$\mu=\mu_{0}+N^{-\frac{1}{2}}\epsilon,$$\epsilon\in\Re^{p}-\{0\}$のもの漸近展開を得ている. より一般の分布では, 狩野 (1995), 藤越 (1997) がそれぞれ独立な方法で Edgeworth 型の展開による$T^{2}$の漸近展開式を求めている.

近年では, 岩下・瀬尾 (2001) が L\’evy’s の反転公式を利用した高次漸近展開公式を示している.

の方法は確率行列$Z_{i}$:$m_{i}\mathrm{x}n_{i}=(z_{\alpha\beta}^{(i)}),$$i=1,2$ に対して,

,

(1.2)

$T_{i} \equiv T_{\dot{l}}(X_{1}, \ldots, X_{N})=\mathrm{E}[T_{i}(X_{1}, \ldots, X_{N})]+\frac{1}{\sqrt{N}}Z_{\dot{\iota}}$であるような統計量$T_{1},$ $T_{2}$をパラメータとするスカラ関数 $G(T_{1},T_{2})$ に対する漸近展開方式で,の独立性は仮定していない. 彼らはこの方法により, 楕円母集団のもとで, 帰無仮説
合の$T^{2}$$H_{0}$$T_{1},$ $T_{2}$が真となる場

統計量の $O(N^{-2})$ までの漸近展開式を求めている.

本稿の目的は, 岩下・瀬尾 (2001) の方法を用いて,$T^{2}$

こ

統計量の局所対立仮説$K_{l}$

2. 局所対立仮説のもとでの$X,$ $X_{1},$ $\ldots,$ $X_{N}$ を式の特性関数は,が, (1.1) 式のように表される場合のの元での $O(N^{-2})$ までの漸近展開式を与えることである.

$T^{2}$

統計量の漸近展開(1.1) を密度関数とする楕円母集団からの独立同一な分布とする. この場合, $X$$\psi(t)=\exp\{it’\mu\}\Psi(t’\Lambda t)$

れぞれ $\mathrm{E}[X]=\mu$ ,$f(x;\mu, \Lambda)$

Cov[X]$=\gamma\Lambda\equiv\Sigma$と表され, 平均ベクトルと共分散行列が存在するならば, そと書ける. ここで $i=\sqrt{-1},$ $t\in\Re^{p}$. また,$\gamma=-2\Psi’(0)$であ$W=N^{-1} \sum_{k=1}^{N}(X_{k}-\mu)(X_{k}-\mu)’$ を用いて,行列る (例えば Kelker(1970) を参照).

いま, ベクトル $U=\sqrt{N}\Sigma^{-\frac{1}{2}}(\overline{X}-\mu)$ とし,$V=\sqrt{N}\Sigma^{-\frac{1}{2}}(W-\Sigma)\Sigma^{-\frac{1}{2}}$$V$の同時特性関数, および,とおく. また,$U$$\mathrm{E}[||\mathrm{Y}||^{12}]<\infty$と仮定する $(\mathrm{Y}=X-\mu)$. このとき,の周辺特性関数は, それぞれ以下のように表すことができる.

$\Phi_{1}(\xi, \Theta)\equiv \mathrm{E}[\exp\{i\xi’U+i\mathrm{t}\mathrm{r}(\Theta V)\}]$$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}(-i\sqrt{N}\ominus)\mathrm{E}\vdash \mathrm{p}\{iN\exists["\Sigma\dashv_{\mathrm{Y}}+\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{e}\mathrm{x}\dashv_{\mathrm{Y}\mathrm{Y}’\Sigma}\dashv)]\}]]^{N}$$= \mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}(-i\sqrt{N}\Theta)[\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{A}(\mathrm{M})\mathrm{E}[[\xi’\Sigma\exists_{\mathrm{Y}+\mathrm{t}\mathrm{r}(\ominus\Sigma}\dashv\gamma\gamma’\Sigma^{-\mathfrak{h}]^{k}]]^{N}}$

$U$

と

3
$= \exp\{\frac{1}{2}(-a^{2}+2b)\}[1+\frac{1}{\sqrt{N}}f_{1}+\frac{1}{N}f_{2}+\frac{1}{N\sqrt{N}}f_{3}+o(N^{-\mathrm{a}})]$$\Phi_{2}(\xi)\equiv \mathrm{E}[\exp\{i\xi’U\}]=\exp\{-\frac{1}{2}\xi’\xi\}[1+\frac{1}{N}f_{4}+\frac{1}{N^{2}}f_{5}+o(N^{-2})]$

ここで,$\delta_{\alpha\beta}$$\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}(*)=\exp\{\mathrm{t}\mathrm{r}(*)\},$$\xi=(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{p})\in R^{p}$

は Kronecker のデルタである.
$f_{1}= \frac{a^{3}-3ab+3c}{3}$

, また,

,

.

$\ominus=(\frac{1}{2}(1+\delta_{\alpha\beta})\theta_{\alpha\beta})$(2.2)
は対称行列であり,また, 式中の係数は以下のようである.

,$f_{2}= \frac{1}{36}(2a^{6}-12a^{4}b-9a^{4}+12a^{3}c+18a^{2}b^{2}+36a^{2}b-36abc$$-36ac-18b^{2}+18c^{2}+36d)$ ,$f_{3}= \frac{1}{1620}(10a^{9}-90a^{7}b-135a^{7}+90a^{6}c+270a^{5}b^{2}+945a^{5}b+324a^{5}$$-540a^{4}bc-945a^{4}c-270a^{3}b^{3}-1890a^{3}b^{2}-1620a^{3}b+270a^{3}c^{2}$$+540a^{3}d+810a^{2}b^{2}c+3240a^{2}bc+1620a^{2}c+810ab^{3}+1620ab^{2}$$-810abc^{2}-1620abd-1620ac^{2}-1620ad$$-810b^{2}c-1620bc+270c^{3}+1620cd+1620e)$ ,$f_{4}= \frac{1}{8}[\frac{4\Psi’(0)}{\gamma^{2}},-1](\xi’\xi)^{2}$,,$f_{5}= \frac{1}{24}[\frac{6\Psi’’(0)}{\gamma^{2}}+\frac{4\Psi^{(3)}(0)}{\gamma^{3}}-1](\xi’\xi)^{3}+\frac{1}{128}[\frac{4\Psi’’(0)}{\gamma^{2}}-1]^{2}(\xi’\xi)^{4}$$a=i\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta$,$b=- \frac{1}{2}[\xi’\xi+\frac{4\Psi’’(0)}{\gamma^{2}}Z2)((\Theta)]$,$c=- \frac{1}{6}i[\frac{12\Psi’’(0)}{\gamma^{2}}[2\xi’\Theta\xi+(\xi’\xi)\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta]-\frac{8\Psi^{(3)}(0)}{\gamma^{3}}Z_{(3)}(\Theta)]$$d= \frac{1}{24}[$,$\frac{12\Psi’’(0)}{\gamma^{2}}(\xi’\xi)^{2}$$- \frac{48\Psi^{(3)}(0)}{\gamma^{3}}[8\xi’\Theta^{2}\xi+4\xi’\Theta\xi(\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta)+2(\xi’\xi)\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta^{2}+(\xi’\xi)(\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta)^{2}]$$+ \frac{16\Psi^{(4)}(0)}{\gamma^{4}}Z_{(4)}(\Theta)]$,$e= \frac{1}{120}i[-\frac{120\Psi^{(3)}(0)}{\gamma^{3}}[4(\xi’\xi)(\xi’\Theta\xi)+(\xi’\xi)^{2}\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta]$$+ \frac{160\Psi^{(4)}(0)}{\gamma^{4}}[$$48\xi’\Theta^{3}\xi+8(\xi’\xi)\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta^{3}+(\xi’\xi)(\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta)^{3}+24(\xi’\Theta^{2}\xi)\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta$$+12(\xi’\Theta\xi)\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta^{2}+6(\xi’\xi)\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta^{2}\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta+6(\xi’\Theta\xi)(\mathrm{t}\mathrm{r}\Theta)^{2}]$$+ \frac{32\Psi^{(5)}(0)}{\gamma^{5}}Z_{(5)}(\Theta)\rceil$

.

(2.1)

3

4
局所対立仮説

$K_{l}$:$\mu=\mu_{0}+N^{-\frac{1}{2}}\epsilon,$$\epsilon\in\Re^{p}-\{0\}$のもとでは, Hotelling の$T^{2}$

統計量は次のように書き表される.
$T^{2}=N(\overline{X}-\mu+\mu-\mu_{0})’S^{-1}(\overline{X}-\mu+\mu-\mu_{0})$$=(1- \frac{1}{N})(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(I_{p}+\frac{1}{\sqrt{N}}V-\frac{1}{N}UU’)^{-1}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$$\equiv T_{\epsilon}^{2}$

この$T_{\epsilon}^{2}$

.

(2.3)

を展開すると,$T_{\epsilon}^{2}=(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$$- \frac{1}{\sqrt{N}}(U+\Sigma^{-_{2}^{1}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$$+ \frac{1}{N}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’B(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$$- \frac{1}{N\sqrt{N}}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’C(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$$+ \frac{1}{N^{2}}(U+\Sigma^{-1}2\epsilon)’D(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)+o_{p}(N^{-2})$を得る. ただし,$A,$ $B,$ $C,$ $D$$A=V$,,

はそれぞれ以下のようである.

$B=V^{2}-I_{p}+UU’$ ,$C=V^{3}-V+VUU’+UU’V$,$D=V^{4}-V^{2}+V^{2}UU’+UU’V^{2}+VUU’V+(UU’)^{2}-(UU’)$ .
したがって, その特性関数は以下のように書き表される.
$\exp(itT_{\epsilon}^{2})=\exp$(it$(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$)$\cross[1+(it)[$ $- \frac{1}{\sqrt{N}}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$$+ \frac{1}{N}(U+\Sigma^{-\Sigma}\epsilon)’B(U+\Sigma^{-\mathrm{z}}\epsilon)11$$- \frac{1}{N\sqrt{N}}(U+\Sigma^{-_{2}}\epsilon)’C(U+\Sigma^{-_{2}}\epsilon)11$$+ \frac{1}{N^{2}}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’D(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)]$$+ \frac{(it)^{2}}{2}[$$\frac{1}{N}((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))^{2}$$- \frac{2}{N\sqrt{N}}((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$$\cross((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’B(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$$+ \frac{1}{N^{2}}[$$((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’B(U+\Sigma^{-1}2\epsilon))^{2}$

(2.4)

5
$+2((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$$\cross((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’C(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))]]$$+ \frac{(it)^{3}}{6}[-\frac{1}{N\sqrt{N}}((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))^{3}$$+ \frac{3}{N^{2}}((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))^{2}$$\cross((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’B(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))]$$+ \frac{(it)^{4}}{24}\cdot\frac{1}{N^{2}}((U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’A(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))^{4}+o_{p}(N^{-2})]$$\equiv\exp(it(U+\Sigma^{-\frac{}{2}}.\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{}{2}}.\epsilon))$$+ \sum_{j=1}\sum_{r}N^{-\frac{1}{2}j}q_{r}^{(j)}\exp(it(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$$\cross L_{r}^{(j)}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)M_{r}^{(j)}(V)$なお, 式中$L_{r}^{(j)}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)$と $M_{r}^{(j)}(V)$ は, 要素$U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon$

.

(2.5)

と $V$ からなる単項式である. この$T_{\epsilon}^{2}$の特性関数を具休的に計算するには, 岩下・瀬尾 (2001) の次の結果を利用する.

系 2.1.

確率行列 $X$ : $m_{1}\mathrm{x}n_{1}=(x_{\alpha\beta}),$$R^{m_{1}\mathfrak{n}_{1}}\cross R^{(1/2)m_{2}(m_{2}+\mathrm{L})}$$\mathrm{Y}$:$f(X, \mathrm{Y})$を上で連続で, かつ積分可能な関数とする. また, 関数$H(X, \mathrm{Y})=\ell(X)\prod_{\alpha\leq\beta}^{m_{2}}y_{\alpha\beta}^{k_{\alpha\beta}}\equiv\ell(X)M(\mathrm{Y})$$\ell(X)$に対して,$m_{2}\cross m_{2}=(y_{\alpha\beta})=\mathrm{Y}’$,は $X$ をパラメータとする連続スカラ関数であり,$\int_{R^{m_{1}n_{1}}}\int_{R^{(1/2)m_{2}(m_{2}+1)}}|H(X, \mathrm{Y})f(X, \mathrm{Y})|(d\mathrm{Y})(dX)<\infty$,であると仮定する.
このとき, 積分

$I= \int_{R^{m_{1}n_{1}}}\int_{R^{(1/2)m_{2}(m_{2}+1)}}H(X, \mathrm{Y})f(X, \mathrm{Y})(d\mathrm{Y})(dX)$$= \int_{R^{m_{1}n_{1}}}\int_{R^{(1/2)m_{2}(m_{2}+1)}}\ell(X)M(\mathrm{Y})f(X, \mathrm{Y})(d\mathrm{Y})(dX)$

,

(2.6)

は次のように書き表すとができる.
$I= \int_{R^{m_{1^{\hslash}1}}}\{\ell(X)M((-i)\partial)\varphi(X, \Theta)|_{\Theta=0}\}(dX)$$= \int_{R^{m_{1^{n}1}}}\{H(X, (-i)\partial)\varphi(X, \Theta)|_{\Theta=0}\}(dX)$

.

(2.7)

6

$\varphi(X, \mathrm{O}-)=(\frac{1}{2\pi})^{m_{1}n_{1}}\lim_{h_{11},\ldots,h_{1n_{1’}}h_{21},\ldots,h_{m_{1^{n}1}}}\lim_{arrow 0Uarrow\infty}$$\int_{\mathfrak{D}_{U}}\{\prod_{\alpha=1}^{m_{1}}\prod_{\beta=1}^{n_{1}}\frac{1-\exp(-i\xi_{\alpha\beta}h_{\alpha\beta})}{i\xi_{\alpha\beta}h_{\alpha\beta}}\exp(-i\xi_{\alpha\beta}x_{\alpha\beta})\}\phi(_{-}^{-}-, \mathrm{O}-)(d_{-}^{-}-)$

,

(2.8)

,

$\phi(_{-}^{-}-, \Theta)=\int_{R^{m_{1^{n}1}}}\int_{R^{(1/2)m_{2}(m_{2}+1)}}\exp\{i\mathrm{t}\mathrm{r}(_{-}^{-\prime}-X)+i\mathrm{t}\mathrm{r}(\ominus \mathrm{Y})\}f(X, \mathrm{Y})(d\mathrm{Y})(dX)$$\mathfrak{D}_{U}=[-U, U]\mathrm{X}\cdots \mathrm{X}[-U, U]\subset R^{m_{1}n_{1}},$ $\partial:m_{2}\mathrm{x}m_{2}=(\partial/\partial\theta_{\alpha\beta})$$\Theta’,$$\delta_{\alpha\beta}$

もし$\text{ら}\mathrm{F}\mathrm{f}$は Kronecker のデノレタである.
$-\infty<\theta_{\alpha\beta}<\infty,$

また,

—:

であり, $$ :$m1\mathrm{x}n_{1}=(\xi_{\alpha\beta})$$(\alpha=1, \ldots,m_{2},\beta=1, \ldots n_{2})$

に対して,

(2.9)

$m_{2} \cross m_{2}=(\frac{1}{2}(1+\delta_{\alpha\beta})\theta_{\alpha\beta})=$である.
$\int_{R^{m_{1^{n}1}}}|\phi(_{-}^{-}-, \Theta)|(d_{-}^{-}-)<\infty$

であるな,$\varphi(X, \Theta)=(\frac{1}{2\pi})^{m_{1}n_{1}}\int_{R^{m_{1^{\hslash}1}}}\exp\{-i\mathrm{t}\mathrm{r}(_{-}^{-\prime}-X)\}\phi(_{-}^{-}-, \Theta)(d_{-}^{-}-)$,(2.10)

かつ,$I_{2}= \int_{R^{m_{1^{n}1}}}\{(\frac{1}{2\pi})^{m_{1}n_{1}}H(X, (-i)\partial)$$\int_{R^{m_{1^{n}1}}}\exp\{-i\mathrm{t}\mathrm{r}(_{-}^{-\prime}-X)\}\phi(_{-}^{-}-, \Theta)(d_{-}^{-}-)|_{\Theta=0}\}(dX)$,(2. 11)

である.

次に, (2.1) 式と (2.2) 式で定義される$\Phi_{1}(\xi, \Theta)$と$\Phi_{2}(\xi)$を使って$\varphi_{1}(u, \Theta)=(\frac{1}{2\pi})^{p}\int_{\Re \mathrm{p}}\exp(-i\xi’u)\Phi_{1}(\xi, \Theta)(d\xi)$,,$\varphi_{2}(u)=(\frac{1}{2\pi})^{p}\int_{\Re \mathrm{p}}\exp(-i\xi’u)\Phi_{2}(\xi)(d\xi)$とすると, 系 2.1 を使うことによって以下の式を得る.
$\zeta(t)\equiv \mathrm{E}[\exp(itT_{\epsilon}^{2})]$$=\mathrm{E}[\exp(it(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$$+ \sum_{j=1}^{4}\sum_{r}N^{-\frac{1}{2}j}q_{r}^{(j)}\exp(it(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$$\cross L_{r}^{(j)}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)M_{r}^{(j)}(V)]+o(N^{-2})$$= \int_{\Re^{p}}\exp(it(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))\varphi 2(u)du$$+ \int_{\Re^{p}}[\sum_{j=1}^{4}\sum_{r}N^{-\frac{1}{2}j}q_{r}^{(j)}\exp(it(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)’(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon))$(2.12)(2.13)

7$\cross L_{r}^{(j)}(U+\Sigma^{-\frac{1}{2}}\epsilon)M_{r}^{(j)}((-i)\partial)\varphi_{1}(u, \Theta)|_{\Theta=}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$=C_{p}(t; \omega^{2})+\frac{1}{N}\sum_{\mathrm{j}=0}^{4}a_{j}C_{p+2j}(t;\omega^{2})$$+ \frac{1}{N^{2}}\sum_{j=0}^{8}b_{j}C_{p+2j}(t;\omega^{2})+o(N^{-2})$

ここで,$C_{k}(t;\omega^{2})$は, 自由度$k$

非心パラメータ(2.14),の非心カイニ乗分布の特性関数であり,$\omega^{2}=\epsilon’\Sigma^{-1}\epsilon$

各係数は以下のようである.

$a_{0}= \frac{1}{8}\kappa(\omega^{4}-2p(p+2))-\frac{p^{2}}{4}$,$a_{1}= \frac{1}{4}\kappa(\omega^{4}-4(p+2)\omega^{2}+2p(p+2))+\frac{1}{2}(\omega^{2}-p)$,$a_{2}= \frac{1}{8}\kappa(-9\omega^{4}+12(p+2)\omega^{2}-2p(p+2))$$+ \frac{1}{4}(\omega^{4}-2(p+3)\omega^{2}+p(p+2))$,$a_{3}= \kappa(\omega^{4}-\frac{1}{2}(p+2)\omega^{2})+\frac{1}{2}(-\omega^{2}+p+2)\omega^{2}$

都$= \frac{1}{128}\kappa^{2}($,$a_{4}=- \frac{1}{4}(\kappa-1)\omega^{4}$,$\omega^{8}-16\omega^{6}-4p(p+2)\omega^{4}+32(p+2)(p+4)\omega^{2}$$+4p(p+2)((p-6)p-32))$$+ \frac{1}{32}\kappa(-2\omega^{6}-p^{2}\omega^{4}+12(p+2)(p+4)\omega^{2}$$+2p(p+2)((p-8)p-28))$$+ \frac{1}{48}\beta(\omega^{6}-6(p+2)(p+4)\omega^{2}+8p(p+2)(p+4))$$+ \frac{1}{96}p(p+2)(p(3p-14)+4)$ ,$b_{1}= \frac{1}{32}\kappa^{2}($$\omega^{8}-4(p+7)\omega^{6}+48(p+4)\omega^{4}+8(p+2)((p-1)p-16)\omega^{2}$-4 $p(p^{2}(p+4)-8))$$+ \frac{1}{16}\kappa(-8\omega^{6}-((p-23)p-100)\omega^{4}+4(p-8)(p+2)(p+3)\omega^{2}$-2 $p(p+2)((p-1)p-8))$$+ \frac{1}{16}\beta(3\omega^{6}-8(p+4)\omega^{4}+6(p+2)(p+4)\omega^{2})+\frac{1}{8}(p^{2}-4)(p-\omega^{2})$,$b_{2}= \frac{1}{64}\kappa^{2}(-7\omega^{8}-4(p-16)\omega^{6}+8(p(7p+32)+24)\omega^{4}$-8 $(p+2)(p(7p+40)+60)\omega^{2}+4p(p+2)(p(3p+22)+44))$$+ \frac{1}{32}\kappa($$\omega^{8}-2(p-18)\omega^{6}+2(p(4p-19)-96)\omega^{4}$-8 $(p+2)(p(p+3)+10)\omega^{2}+4p(p+2)(5p+22))$7

8$+ \frac{1}{16}\beta(-5\omega^{6}-4(p+4)\omega^{4}+18(p+2)(p+4)\omega^{2}-8p(p+2)(p+4))$$+ \frac{1}{16}(-(p^{2}-10)\omega^{4}+2(p-3)(p+2)(p+4)\omega^{2}-p(p+2)(p^{2}-10))$ ,$b_{3}= \frac{1}{32}\kappa^{2}(-5\omega^{8}+2(23p+104)\omega^{6}-4(p(19p+158)+336)\omega^{4}$$+4(p+2)(p(9p+80)+180)\omega^{2}-4p(p+2)(p+4)(p+6))$$+ \frac{1}{16}\kappa(-5(p+6)\omega^{6}+(p(9p+47)+12)\omega^{4}$-4 $(p+2)(p(2p+3)-22)\omega^{2}+2(p-1)p(p+2)(p+4))$$+ \beta(-\frac{35\omega^{6}}{48}+3(p+4)\omega^{4}-\frac{19}{8}(p+2)(p+4)\omega^{2}+\frac{1}{3}p(p+2)(p+4))$

7 $\omega^{6}+3((p-7)p-38)\omega^{4}-3$. $(p+2)((p-7)p-38)\omega^{2}$$+ \frac{1}{24}($-7 $p(p+2)(p+4))$ ,$b_{4}= \frac{1}{128}\kappa^{2}($109 $\omega^{8}-40(9p+50)\omega^{6}+4(p(79p+758)+1776)\omega^{4}$-80 $(p+2)(p+4)(p+6)\omega^{2}+4p(p+2)(p+4)(p+6))$$+ \frac{1}{32}\kappa(-12\omega^{8}+2(25p+101)\omega^{6}-(p(59p+378)+560)\omega^{4}$+12 $(p+2)(p+4)(2p+5)\omega^{2}-2p(p+2)(p+4)(p+6))$$+ \beta(\frac{15\omega^{6}}{8}-\frac{13}{4}(p+4)\omega^{4}+(p+2)(p+4)\omega^{2})$$\omega^{8}-4(p+13)\omega^{6}+4(p(p+29)+97)\omega^{4}$$+ \frac{1}{32}($-4 $(p+2)(p+4)(p+13)\omega^{2}+p(p+2)(p+4)(p+6))$ ,$b_{5}= \frac{1}{16}\kappa^{2}(-19\omega^{8}+(37p+218)\omega^{6}-18(p+4)(p+6)\omega^{4}$$+2(p+2)(p+4)(p+6)\omega^{2})$$+ \frac{1}{16}\kappa($

14 $\omega^{8}-(35p+162)\omega^{6}+6(p+4)(4p+17)\omega^{4}$-4 $(p+2)(p+4)(p+6)\omega^{2})$$+ \beta((p+4)\omega^{4}-\frac{11\omega^{6}}{8})$$+ \frac{1}{8}\omega^{2}(-\omega^{6}+(3p+25)\omega^{4}-(p+4)(3p+25)\omega^{2}$$+(p+2)(p+4)(p+6))$ ,$b_{6}= \frac{1}{32}\kappa^{2}(25\omega^{8}-28(p+6)\omega^{6}+6(p+4)(p+6)\omega^{4})$$+ \frac{1}{32}\kappa(-27\omega^{8}+4(10p+53)\omega^{6}-12(p+4)(p+6)\omega^{4})$$+ \frac{1}{3}\beta\omega^{6}+\frac{1}{48}(9\omega^{8}-2(9p+61)\omega^{6}+9(p+4)(p+6)\omega^{4})$,9$\frac{1}{8}\kappa^{2}(-2\omega^{2}+p+6)\omega^{6}+\frac{1}{8}\kappa(3\omega^{2}-2(p+6))\omega^{6}$$b_{7}=$$+ \frac{1}{8}(-\omega^{2}+p+6)\omega^{6}$$b_{8}= \frac{1}{32}(\kappa-1)^{2}\omega^{8}$

したがって,$T_{\epsilon}^{2}$,.

統計量の漸近展開式は $x>0$ に対して,,$\mathrm{P}\mathrm{r}[T_{\epsilon}^{2}<x]=G_{p}(x;\delta)+\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{4}ajGp+2j(x;\delta)+\frac{1}{N^{2}}\sum_{j=0}^{8}ajGp+2j(x;\delta)+o(N^{-2})$となる. ここで,$G_{k}(x;\delta)$

は,

自由度

$k$

非心パラメータ$\omega^{2}=\epsilon’\Sigma^{-1}\epsilon$の非心カイニ乗分布の分布関数

である.

3. 数値実験
確率変数 $X$ に対して数とし,$\tau_{\dot{l}}(x),$$\tau_{0}(x)\equiv \mathrm{P}\mathrm{r}[X<x]$をモンテカルロシミュレーションから得られた経験分布関$(i=1,2)$ を $O(N^{-:})$ の漸近展開式から得られた分布関数とする. ここでは二つの楕円分

布について実験し, そのパラメータを変化させる.
まず, 以下のような確率密度関数をもつ混合正規分布を扱う.

(3.15)$f(x;0, I_{p})=(1-\epsilon)N_{p}(x|0, I_{p})+\epsilon N_{p}(x|0, \sigma^{2}I_{p}),$ $(0\leq\epsilon\leq 1)$

ここで,$\Sigma$$\epsilon$

は混合パラメータであり,$\sigma^{2}$は混合分散である. また, $N_{p}(x|\mu, \Sigma)$ は平均$\kappa=\frac{1+\epsilon(\sigma^{4}-1)}{[1+\epsilon(\sigma^{2}-1)]^{2}}-1$

0 個に分割し,,$\beta=\frac{1+\epsilon(\sigma^{6}-1)}{[1+\epsilon(\sigma^{2}-1)]^{3}}-1$$10^{7}$個の$T^{2}$

得られた分布関数が十分小さい値, 例えば $10^{-5}$ , となるような近似値

ここで \sim よ,$\tau_{2}(l)\approx 10^{-5}$漸近展開式からであり, 逆に $u$ はを満たす近似値をあらかじめ数値的な解法で得るものとする. 混合分布の数値実験において変化させるパラメータは, 標本数 $N$ , 次元数乃非心パラメータり.

.

統計量をシミュレーションで求め, 得られた統計量の各々の区間内に含まれる個数を数えることにより構成する.

$\tau_{2}(u)\approx 1-10^{-5}$, 共分散行列

確率密度関数より特性パラメータは以下のようである.

の $p$ 次元の正規密度関数である.

経験分布関数は区間 $[l, u]$ を 1$\mu$$d_{1}= \max\iota\leq x\leq u|\tau_{1}(x)-\tau_{0}(x)|,$$d_{2}= \max\iota\leq x\leq u|\tau_{2}(x)-\tau_{0}(x)|$$\omega^{2}$, 混合分散$\sigma^{2}$, 混合比$\epsilon$

であを $1-d_{2}/d_{1}$ l こよって Lb 較する.

Table 1. は混合分布 (3.15) の元での比較結果である. おおよそ本稿で得られた $O(N^{-2})$ の漸近式の方が $o(N^{-1})$ の漸近式の方より経験分布との絶対差は小さいく, 近似が改善されているように思える.
しかし, 混合分散が極端に大き$\text{く}$,

混合比が小さい場合は絶対差が逆転している.

9

10

Figure 1: 式 (3.15) 混合分布の元での漸近分布(編) と経験分布 (大)$\tau_{0}$Figure 2: 式 (3.15) 混合分布の元での漸近分布(細) と経験分布 (大)$\tau_{1}$$\tau_{0}$Figure 1. と Figure 2. は, 条件 $(N,p,\omega^{2}, \sigma^{2}, \epsilon)=(11,3,1,16,0.2)$ の元での経験分布と漸近分布をプロットした例であり, Figure 3. はその差をプロットしたものである. 同条件で $N=60$ としたもの
が, Fi 磨 re 4. である.
次に, 確率密度関数が$f(x;0, I_{p})= \frac{\Gamma(\frac{1}{2}\nu+\frac{1}{2}p)}{(\pi\nu)^{\frac{1}{2}p}\Gamma(\frac{1}{2}\nu)}(1+’-1x’x)^{-\frac{1}{2}(_{1^{t}}+p)}$であるような自由度

$\nu$

の多変量

$t$

$\omega^{2}$(3.16)

分布についても同様に数値実験をおこなう. この場合,$\kappa=\frac{2}{\nu-4}$であり, パラメータ $N,$ $p,$

,

, 自由度

$\nu$

$\beta=\frac{2(3\nu-10)}{(\nu-4)(\nu-6)}$,を変化させる.

Table 2. は, Table 1. と同様, 多変量$t$分布について絶対差の比を求めたものである. 表中, 自由

度 $\nu=7$ の場合, (標本数が多くなれば若干解消されるものの) $O(N^{-2})$ の漸近式は極端に悪い, これ
は, モーメント条件を満たしていないので, 漸近展開そのものが有効でなく,このような結果になったと思われる. Figure 5. は, その一例として, 条件 $(N,p,\omega^{2}, \nu)=(13,4,1,7)$ の場合をプロットしたものであり, Figure 6. は, 自由度 $\nu=13$ 以外は Figure 5. と同条件の場合をプロットしたものである.

また, Figure 7. と 8. は, それぞれ $1-d_{2}/d_{1}$ が Table 2. のなかで最小・最大となるものである.

このように二つのタイプの楕円分布をパラメータを変化させ, 数値実験琴したすべての場合で, $O(N^{-2})$の漸近式の方が $O(N^{-1})$ の漸近式より経験分布への収束がはやい.

11Figure 4: 混合分布 : $(N,p,\omega^{2},\sigma^{2},\epsilon)=(60,3,1$ ,: 大: 網,
16, 0.2),

Figure 3: 混合分布 : $(N,p,\omega^{2},\sigma^{2},\epsilon)=(11,3,1$ ,: 細, $\tau_{1}(x)-\tau_{0}(x)$ : 大
16, 0.2),$\tau 2(x)-\tau \mathrm{o}(x)$$\tau_{2}(x)-\tau \mathrm{o}(x)$

Fi 訓
7),

$\mathrm{r}\mathrm{e}$$\tau_{1}(x)-\tau \mathrm{o}(x)$$(N,p,\omega^{2}, \nu)=(13,4,1$ ,5: 多変量 分布 : $(N,p,\omega^{2}, \nu)=(13,4,$ , Figure 6: 多変量 分布 :
: 大
: 編,
13),
:
: 編,
$\tau_{1}(x)-\tau_{0}(x)$$\tau 2(x)-\tau \mathrm{o}(x)$

$t$

$1$

$t$

$\text{大}$$\tau_{2}(x)-\tau \mathrm{o}(x)$$\tau_{1}(x)-\tau \mathrm{o}(x)$多変量 分布 : $(N,p,\omega^{2}, \nu)=(30,4,0$ ,Figure 7: 多変量 分布 : $(N,p,\omega^{2}, \nu)=(7,.2,2$ , Fi 訓 8:$\tau_{2}(x)-\tau_{0}(x)$: 網. $\tau_{1}(x)-\tau_{0}(x)$ : 大9),: 大7), $\tau_{2}(x)-\tau_{0}(x)$ : ffl,$t$$\mathrm{r}\mathrm{e}$$t$$\tau_{1}(x)-\cdot\tau_{0}(x)$12References[1] Anderson,$\mathrm{T}.\mathrm{W}$. and Fang,$\mathrm{K}.\mathrm{T}.(1990)$. On the theory of multivariate elliptically contoured dis-tributions and their applications. Statistical Inference in Elliptically Contoured and Related Distributions. (Kai-Tai Fang and$\mathrm{T}.\mathrm{W}$. Anderson,$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$), Allerton Press, Inc., New York, 1-23.

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$A$

14
Table 1: 混合分布 (3.15) の元での $1-d_{2}/d_{1}$ ( $d_{2}=$ 経験分布と $O(N^{-2})$ の漸近分布の絶対差の最大値).
$\underline{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\sigma\epsilon \mathrm{p}\omega N=7N=11N=13N=30N=60}}$0058 (00225)
21053 (00296)
2050 (00381)
0045 (00761)

4023042 (00863)
2040 (01000)
0032 (01908)
41031 (0.2036)
2029 (0.2214)
0 054 (0.0221)
2 1 0.52 (0.0298)
2050 (0.0394)
00.43 (0.0748)
04042 (0.0870)
2040 (0.1027)
0031 (0.1883)
41030 (0.2051)
3

2
02

3
4

16
2

0.4

3
4
2

1

0

3
4

2029 (0.2261)
0 -0.26 (0.1148)
1 -1.08 (0.2455)
2 -1.72 (0.4445)
0 -0.25 (0.2132)
1 -0.68 (0.3881)
2 -1.45 (0.7037)
0 -0.06 (0.3494)
1003 (0.3793)
2012 (0.3946)
0 -0.47 (0.0497)
1035 (0.0687)
2014 (0.1312)
0011 (0.1030)
1032 (0.1475)
2 017 (0.2315)
0013 (0.2296)
1023 (0.2939)
20.21 (0.3534)
0057 (0.0221)
10.54 (0.0259)
2 051 (0.0316)
00.45 (0.0737)
0.43 (0.0786)
2
0.41 (0.0872)
0 032 (0.1846)
1031 (0.1904)
2 030 (0.2011)

072 (0.0059)
067 (0083)
065 (0114)
063 (0199)
060 (0235)
058 (0287)
0.53 (0.0498)
052 (0.0550)
050 (0629)
067 (0.0058
067 (0083
065 (0117)
060 (0193
060 (0236
058 (0.0296
052 (0.0485
051 (0.0554
050 (0.0646-0.16 (0.0498)-0.56 (0.0905)-0.82 (0.1611)-0.15 (0.0839)-0.30 (0.1454)-0.68 (0.2563)-0.05 (0.1394)-0.21 (0.2287)-0.64 (0.3899)-0.94 (0.0157)
055 (0.0211)
051 (0.0363)
010 (0.0303)
0.48 (0.0498)
0.46 (0.0735)
028 (0.0628)
0.40 (0.1004)
038 (0.1362)
071 (0.0057)
068 (0.0069)
066 $.(0.0088)$
063 (0.0188)
061 (0.0205)
0.59 (0.0235)
0.54 (0.0470)
0.53 (0.0491)
052 (0.0535)

0.75 (0.0037)
072 (0052)
070 (0072)
068 (0121)
066 (0.0145)

088 (0003
087 (0.0004086 (0007
0.84 (0011
0.84 (0013082 (0017
082 (0025
080 (0029)
0.79 (0.0035)
0.84 (0003)
086 (0005)
085 (0.0007)
083 (0010)

064 (0180)
060 (0302)
059 (0338)
0.57 (0.0392)
071 $(0036)$071 (0052)
069 (0.0074)
065 (0117)
065 (0.0145)083 (0013)
063 (0185) 082 (0017)
058 (0292) 081 (0.0023)
058 (0339) 080 (0.0028)
056 (0.0401) 0.79 (0.0035)-0.14 (0.0357) -0.02 (0.0049)-0.37 (0.0609) 038 (0.0064)-0.55 (0.1084) 038 (0.0118)-0.11 (0.0595) -0.19 (0.0094)-0.16 (0.0990) 0.42 (0.0114)-0.44 (0.1729) 0.40 (0.0192)-0.05 (0.0980) -0.10 (0.0156)-0.10 (0.1573) 0.40 (0.0195)-0.42 (0.2658) 038 (0.0307)-1.20 (0.0097) 0.71 (0.0006)
060 (0.0139) 082 (0.0013)
058 (0.0237) 078 (0.0025)
011 (0.0187) 070 (0.0012)
053 (0.0324) 078 (0.0030)
051 (0.0496) 0.74 (0.0054)
0.34 (0.0375) 071 (0.0025)
0.46 (0.0655) 0.74 (0.0059)
0.44 (0.0924)

0.71 (0.0097)

0.75 (0.0035)
0.73 (0.0043)
071 (0.0055)
068 (0.0113)
067 (0.0124)
065 (0.0144)
060 (0.0282)
060 (0.0297)

088 (0.0003)
087 (0.0004)
086 (0.0005)
085 (0.0009)
085 (0.0010)
084 (0.0012)
082 (0.0022)
0.81 (0.0024)
0.81 (0.0027)

058 (0.0325)

0.70 (0002)
077 (0002)
078 (0003)
080 (0003)
080 (0004)
081 (0005)
090 (0003)
090 (0004)
089 (0005)
0.74 (0001)
066 (0003)
0.79 (0003)
079 (0003)
082 (0004)
0.84 (0.0004)
086 (0004)
090 (0004)
090 (0.0004)

0.14 (0.0009)
071 (0.0009)
072 (0.0016)-0.31 (0.0013)
076 (0.0013)
0.75 (0.0024)-0.04 (0.0025)
069 (0.0027)
0.72 (0.0040)
072 (0.0002)
086 (0.0003)
086 (0.0004)
083 (0.0002)
088 (0.0004)
087 (0.0007)
072 (0.0006)
087 (0.0007)
085 (0.0013)
038 (0.0004)
069 (0.0002)
0.72 (0.0003)
076 (0.0004)
0.79 (0.0004)
0.79 (0.0004)
090 (0.0003)
090 (0.0003)
090 (0.0003)

15 15
Table 2: 多変量 分布 (3.16) の元での 1 $-d_{2}/d_{1}(d_{2}=$ 経験分布と $O(N^{-2})$ の漸近分布の絶対差の最
大値).
$t$

30

00.44 (0.0754)
31043 (0.0820)
2041 (0.0923)
0032 (0.1876)
41031 (0.1956)
20.30 (0.2080)

062 (0.0197)
060 (00225)
058 (00267)
0.53 (0.0489)
052 (00526)
0.51 (0.0583)

067 (0.0122) U.79(U.UU14) \cup . 屋屋 (\cup .UUU ろ)
0.65(0.0143)038(0.0063)0.04(0.0072)$\frac{0.64(0.0172)0.22(0.0105)0.02(0.0121)}{0.59(0.0298)0.79(0.0028)0.73(0.0009)}$(0.0326)0.70(0.0051)015(0.0063)
057(0.0368)0.56(0.
90)007(0.0110)$058$