数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 33-4333

頂点作用素代数$V_{L}^{+}$の自己同型群

島倉裕樹 (Hiroki Shimakura)
東京大学大学院数理科学研究科

Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo-mail: shima@ms.u-tokyo.ac.jp$\mathrm{c}$1$\ulcorner \mathrm{a}\mathrm{e}$頂点作用素代数 (VOA) の公理は Borcherds, Frenkel らによって与えられ, 研究されてきた. その中でも VOA の自己同型群を研究することは重要である. 例えば, ムーンシャイ
ン加群と呼ばれる VOA の全自己同型群は散在型単純群の中で位数最大であるモンスター
単純群である, 自己同型群を研究することは VOA の対称性を研究することにのみならず.

モンスター単純群などの面白い群を新たな視点から考察することになる. そして: ムーン
シャイン予想に代表されるような有限群論, VOA 論と他分野との新たな繋がりが発見されることが期待される.
一般に VOA $V$ とその自己同型群$V^{G}$

は

$V$

に対して:

にょる固定部分空間の部分 VOA となる. しかしながら, たとえ $V$ の性質が良く分かってぃるとして$G\subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{V})$

$V$

の

$G$

の性質を調べることは難しいことが多い.
VOA の典型的な例のーっとして偶格子 がら作られる格子 VOAがある. この VOAの性質についてはよく研究されており, 既約加群の分類) フユージョン規則や自己同型群の決定などはすでになされている. 偶格子の自己同型 -1 の持ち上げとして得られるの位数
2 の自己同型による固定部分空間を,と書くことにする. 最近, 一般の階数
の偶格子
に対して
の既約加群の分類が安部氏, Dong によってなされ, フユージョ
ン規則が安部氏, Dong, Li によって決定された.
本稿ではそれらの性質を用いてその全自己同型群を決定するアルゴリズ
ムについて解説する.
が有限群となる必要かっ十分条件はが長さの平方が 2の元 (ルート) を持たないことである. よって, 有限群と VOA との関係を研究する立場から, 主にルートを持たない偶格子から作られるの全自己同型群につぃて考察する.
この場合にの生成元を与え, その位数を決定することが出来た. 特に, Aut
も$V^{G}$$L$$V_{L}$$L$$V_{I}$$\mathrm{t}_{L}^{\gamma+}$$L$$V_{L}^{+}$$1^{\gamma_{L}+}$$\mathrm{A}\iota 1\mathrm{t}(\mathrm{I}^{\gamma_{L}+})$$L$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$L$$V_{L}^{+}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$(V_{L}^{\{})$が格子の自己同型の持ち上げ以外の元を持つための必要かっ十分条件が が二元線形符号に関する Constructionで構成されることであることを示した。 よって, 原理的には$L$$\mathrm{B}$

ルートを持たない偶格子 $L$ に対して$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$の構造を決定することが可能である. しか34

しながら Aut(L) の構造は格子 $L$ に依存しておりしていることから, 全ての偶格子
難$\llcorner$

に対して

$L$

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$\mathrm{A}\iota 1\mathrm{t}(V_{L}^{+})$の構造に Aut(L) が深く関係の構造を統一的に議論することはい.

具体例として, ルートを持たない偶格子の典型的な例である単純ルート格子 $R$ をの全自己同型群のリス を与えた. また,から作られる
倍して得られる格子がルートを持たない偶格子
8 または階数 16 の Barnes-Wall 格子と同型の場合に限りが例外的に良い対称性を持つことを示し, それらの全自己同型群を決定した.
このアルゴリズムはだけに限らず VOA $V$ の有限可換自己同型群 $A$ によるの全自己同型群を調べる際にも有効である. この方固定点として得られる部分 VOAの性質が良く知られていなけれ
法での構造を詳しく調べるには Aut(V) やば困難であろう.
詳しい証明等については [Sh] を参照していただきたい. 本稿で扱う VOA は複素数体上で定義されているものである. また古典群や群の拡大の表記は [ATLAS] のものを用$\sqrt{\underline{9}}$$\sqrt{2}R$$|\backslash$$V_{\sqrt{2}R}^{\{}$$L$$\sqrt{\underline{9}}E$$V_{L}^{+}$$\mathrm{A}\iota 1\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$V^{A}$$V^{A}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{A})$$\mathbb{C}$い$7_{\mathrm{D}}$

.

2

準備
この章では必要な定義や事実について述べる. VOA の一般論は [Bo, FLM] を参照していただきたい.

2.1

頂点作用素代数

この節では VOA に関するいくつか定義を与える.
定義 2.1.

$\mathbb{C}$上の上のベクトル空間$\underline{\mathrm{T},\Xi_{\backslash }J|\backslash \backslash \mathrm{I}5\{\not\in \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{素_{}\backslash }\mathrm{t}\mathrm{t}^{\backslash }\backslash \text{数^{}\prime}(\mathrm{I}’/OA)}\mathfrak{s}_{/=}^{r}$(ただし, 各

$V= \sum_{\iota=\mathrm{t})}^{\infty},V_{n}$$r\iota$$(V, \mathrm{Y}\acute, 1, \omega)$

に対して

とは

, は

$V_{\mathrm{t}}$$\mathbb{C}$$\mathbb{Z}_{\geq 0}$で次数付けされた上有限次元),$\mathbb{C}$$\underline{]^{-\mathrm{S}_{\backslash }\iota 5\{\not\subset \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{素}},J\mathrm{I}\backslash \backslash }$\と呼ばれる線形写像
$Y$

:

$V$

$arrow$$v$$arrow$(EndV) $[[z, z^{-1}]]$ ,$Y(v, z)= \sum_{-n\mathrm{C}^{\mathrm{r}}\ }v_{n}$$\underline{Vac.uu7r\iota vcctor}$

組であり,

$a,$

. と呼ばれる$b\in V$

.

$p$

,

$V_{0}$$q_{)}7^{\urcorner}\in \mathbb{Z}$

の 4 つ
と呼ばれる
の元
に対して次の (V1) から (V7) までの公理を満たすものでの元 1 と$Vir^{\backslash }aso$

7o $elerr\iota ent$

ある.

(V1) $a_{1},b=0$ for $n>>()$ .

(V2)$1^{r}(1, \approx)=\mathrm{I}\mathrm{d}_{V}$

, ただし

zn–l:

$\mathrm{I}\mathrm{d}_{V}$は End(V) の単位元.

$\mathcal{V}_{2}^{r}$$\omega$35(V3) $Borche^{r}rds$ identity$\sum_{i=0}^{\infty}(\begin{array}{l}\prime pi\end{array})(a_{r+i}b)_{p+q}i$$=$$. \sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}(\begin{array}{l}ri\end{array})(a_{p+- r-i}.b_{q\pm i}-(-1)^{r}b_{q+r-i}a_{p+i)}$.

(V4) $Y(v, z)1\in(\mathrm{E}_{11}\mathrm{d}V)[[z]]_{f}v_{-}\sim$ $=v$ .

(V5) $L(n)=\omega_{n+1}$ とおくと中’\llcorner ‘‘ -[-a 荷 (central charge) と呼ばれる$m,$$n\in \mathbb{Z}$$c\in \mathbb{C}$が存在して,に対して次が成り立つ$[L(m), L(7l)]=(m-n)L(rn+n)+ \frac{1}{12}(m^{3}-\prime rr\iota)c\delta_{7’ l\dagger}\uparrow$(V6) $a\in V_{n}$ (こ対して

$L$

r,0 .

(0)0, $=na$ .

(V7)$\frac{d}{dz}Y(\uparrow),$$z)=Y(L(-1)v_{:}^{\mathrm{v}}\sim)$.

注意 2.2. 公理 (V3) の式は両辺ともに無限和に見えるが, $V$ の元に作用させることで有限和となるので well-defined である.

定義 2.3. VOA $(V, Y, 1_{?}\omega)$ に対して,が $V$ -加群であるとは,hで次数付けされた上のベクトル空間 $M=\oplus_{n=0}^{\infty}M_{h+n}$ (ただし各に対して$hI=(M_{\backslash }\mathrm{Y}_{\mathrm{A}}^{r},)$$(h\in \mathbb{Q})$$NI_{h+n}$は$\mathbb{Z}_{\underline{/}\mathfrak{l}\mathrm{J}}\backslash +$$\mathbb{C}$$7l$$\mathbb{C}$上有限次元) と頂点作用素と呼ばれる線形写像$\mathrm{Y}_{J\mathrm{t}t}^{r}$:$V$$arrow$(ErldM) $[[z, z^{-1}]]$$\mapsto$$v$

y$Y_{M}(v, z)= \sum_{n\subset \mathrm{Z}}v$

の

2 つ組が

$a,$

$b\in V,$$\cdot u\in\Lambda’I,$

$p$

,

$q,$

$r\cdot\in \mathbb{Z}$$z^{-- n-- 1}$,

に対して以下 (M1) がら (M3) を満たすことで

ある.

(M1)

$\sum_{i=0}^{\infty}(\begin{array}{l}pi\end{array})$$=$(a$r+i$ b)$p+q-i\Lambda J$. $-$ (-1YbH $r-ip+i$$. \sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}(\begin{array}{l}r\dot{\iota}\end{array})(a_{p+r-i}^{M}b_{q\dagger i}^{M}$$a^{M}$

).

36

(M2)

$1_{\Lambda I}^{\nearrow}(1, z)=\mathrm{I}\mathrm{d}_{M}$(M3)$.u\in\Lambda,I_{\lambda}$

.

に対して

$\omega_{1}^{\Lambda\prime l}u=L(\mathrm{O})u=\lambda u$.

定義 2.4. $V=$ $(V, Y, 1, \omega)$ を VOA とする. 次数を保つ $V$ の自己線形同型写像 9 が次の(A1) から (A3) を満たすとき VOA $V$ の自己同型という.

(A1)

$.q$

Y $(_{\backslash }v, z)g1=Y(gv, z)$ for $v\in V$ .

(A2) $g\omega=\mu)$ .
(A3) $g1=1$ .
また$i$Aut(V) で $V$ の全自己同型群を表すことにする.

定義 2.5. 加群$M= \sum_{i=0}^{\infty}\Lambda/I_{i+h}$のcftaracter) とは形式的幕級数$\underline{?^{\mathrm{B}}\mathrm{B}_{\overline{J}}\Psi_{\overline{\Gamma\backslash }}(}$$\mathrm{c}\mathrm{h}(\Lambda \mathrm{f}):=\sum_{i=0}^{\infty}$(市 1$\Lambda\prime I_{i+h}$)$q^{i\{h}$のことをいう.
$V$-加群上.\の自己同型群 Aut(V) の作用について考える.

命題 2.6. $l’$ を VOA として$M=(M, Y_{\Lambda},)$$i$$Y_{h’\mathit{1}^{g}}$は$\Lambda^{J}I$

(v、 )
$z$

を $V$ -加群とする. $V$ の自己同型

$g$

に対して

$:=Y_{\mathrm{A}I}(gv, z)$

上の頂点作用素となる. この頂点作用素によって得られる新たな $V$ -加群をと表すことにする,$\Lambda’I^{\underline{o}}$:$(l\mathfrak{l}’I.1_{\Lambda l}’’.\prime\prime)$

注意 2.7.

-加群 A1.I が既約であったなら,も既約である. したがって, Aut(V) が既約$V$ -加群全体の集合へ置換群として作用する.
はベクトル空間としては同
また, $M$ と型でありが成り立つ.
element は自己同型で保たれることから)$V$$M^{g}$$M^{g}$$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}.x\mathrm{s}^{\backslash }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}$$\mathrm{c}\mathrm{h}\langle M^{\cdot}$

定義 2.8.

$\mathfrak{s}/^{\gamma}=$$(\begin{array}{ll} M^{\dagger}\Lambda^{J}I^{1} \Lambda \mathrm{I}^{-}.-\prime\end{array})$

型の$(V, Y\sim, \omega)$

VOA,( i $=1,2,3$ ) を(intertwining operator) とは線形写像

を$(M^{i}, Y_{f1/I^{i}})$$=\mathrm{c}\mathrm{h}(M^{g})$$V$-加群とする.

$\mathcal{Y}$が$\underline{y_{\sim\#\S(\mathrm{F}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{素_{}\backslash }}f^{\sqrt}\backslash }$$\mathcal{Y}$:$M^{1}$$v$$arrow$$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(l|_{/}’I^{2}, l|I^{3}.

))\{z\}$,$\mapsto$$\mathcal{Y}(v, z)=\sum_{n\in \mathrm{C}}v_{n}z^{-n}1$であって $n\in V,$

たすものをいう.

$v\in\Lambda/I^{1}$and$\prime u\in M^{2}$,$q\in \mathbb{C},$$p$,$r\in \mathbb{Z}$に対して次の (I1), (I2), (I3) を満37(I1) 任意のに対して j’vn+ku $=0$ for $n>>0$ .

$k\in \mathbb{C}$(I2)$\sum_{i=0}^{\infty}(\begin{array}{l}pi\end{array})(a_{r+i}^{\Lambda f_{1}}v)_{p+q}i$$=$$\sum_{i=0}^{\infty}(-D\prime i(\begin{array}{l}ri\end{array})(a_{p+r-i}^{f\downarrow I_{3}}v_{q+i}-(-1)7^{\cdot}v_{q\{\Gamma}i$ap- ).
$+il_{\mathit{2}}$(I3)$\frac{d}{dz}\mathcal{Y}(v, z)=\mathcal{Y}$型の交絡作用素全体は$(\begin{array}{l}.[/f^{3}\Lambda\Lambda J,21\end{array})$

で表し , NHjf\downar ow \acute f。

$M$

2$I_{\mathrm{V}’}(\begin{array}{ll} \Lambda l^{3}\Lambda/I^{1} \Lambda\prime I^{\supseteq}\end{array})$と定義する.

$:=\dim I_{\mathcal{V}}\cdot(\begin{array}{l}"\Lambda.I^{1}\Lambda I^{\mathit{2}}\end{array})$$\Lambda/I_{1},$$z$上のベクトル空間をなす その空間を$\mathbb{C}$$N^{\Lambda/f^{3}}$ここで, 既約 $V$ -加群(L(-l)v, ).

に対$\text{し}arrow C$

形式的な積$NI_{1} \cross\Lambda l_{\mathit{2}}=f\sum_{lf}..N_{l\mathrm{I}’I^{1}M^{2}}^{\mathrm{A}I^{3}}M^{i3}$を $\underline{\text{フユ^{}-\backslash」 ( $fusior\iota$}\grave{\grave{J}}}$
rule) という. ただし,

. は既約 V-加群全体を動く‘$\text{ョ\sqrt{}^{\backslash }\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\ovalbox{\tt\small REJECT}|$

注意 2.9.

(1)$(V, Y, 1, \omega)$の交絡作用素,.

(2) 一般には$N_{kI^{1}M}^{\Lambda \mathrm{f}^{3}}$$N_{\Lambda’I^{1}\Lambda\cdot \mathrm{f}^{2}}^{M^{3}}.=0$(3)$g\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)$

2.2$Y_{\Lambda/I}$.2

はを VOA,$(\begin{array}{ll} MV l1I\end{array})$

を $V$ -加群とする. すると 1” は$(\Lambda I, Y_{\Lambda J})$$(\mathrm{k}’ 1/’ \mathfrak{i}’’)$型型の交絡作用素となる.

は有限とは限らない.

しかし, 知られてぃる“

良い” VOA はまたは 1 となっていることが多い.

に対して,$N_{M^{1,g}M^{2,g}}^{hI^{3,g}}.=N_{M^{1}M^{2}}^{M^{3}}$頂点作用素代数 Kが成り立っ.

，箸修寮 質

この節では格子と頂点作用素代数
定義 2.10.

$i1/’I_{3}$$v_{L}^{\vee+}$の性質につぃて述べる.

の
が階数
の基底
で $L=$
であるとは,
をの正定値対称双線形形式とし,
ei を満たすものが存在することである.
$L_{i}=$を満{ $v\in L|$ v,} とおく 格子 が任意の.$v\in$に対してぐ ,
$L\subset \mathbb{R}^{n}$$7l$$\oplus_{i=1}^{\prime l}\cdot \mathbb{Z}$$\langle\cdot, \cdot\rangle$$\langle$

たすときに$\mathbb{R}^{n}|$

ぐ ,
$u$

$v\rangle$$\underline{\{\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{格子}}$$\in \mathbb{Z}$

for

$L$

$v\rangle=\prime i$

であるという,$\forall v\in L$

注意 2.11. 偶格子

$L$

は

このとき:

$L_{2}$

を満たす$\subset L$$\mathbb{R}^{n}$$L$} を双対格子と呼ぶ.

$L\subset L^{\mathrm{o}}$$\{e_{1}, \ldots, \mathrm{c}_{n}\}$$\mathbb{R}^{n}$$\underline{\text{格子}}$$v$$v\rangle$

トと呼ぶ. また,の元をル—-$\in 2\mathbb{Z}$$L^{\mathrm{O}}=\{u\in$38

格子の基本的な構成法として 2 元線形符号を用いるものがある. 特に, Constructionと呼ばれる構成法が本稿では重要であり, それについて述べる. 簡単に符号の定義を復習$\mathrm{B}$する.

次元ベクトル空間の部分空間のことの 2 元線形符号とは F2 上の定義 2.12. 長さと表すの元 $x= \sum$ xi 果をの基底を固定しておき:である.
の重さを $\#\{i\in\{1\backslash .2, . . . , n\}|x_{i}\neq 0\}$ と定義すに対しての元 $x=$$n$$n$$\{c_{i}\}$$\mathrm{F}_{2}^{\mathrm{n}}$$x$$(_{\mathrm{L}}.r_{1}.\cdot, x2―, x_{n})$$\mathrm{F}_{2}^{\mathrm{n}}$2 元線形符号 . が

る.

$C$

とである.

$C$

$\underline{\text{重}\{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$であるとは $C$ の任意の元の重さが 4 の倍数となって 1 るこの最小重みとは $C$ の 0 を除く元の重さの最小値のことである.

定義 2.13. $C$ を長さ$n$の重偶 2 元線形符号とする. このとき. 格子$B(C):= \frac{1}{\sqrt{\underline{9}}}\{(\iota_{1}/"\prime v2, .

を直交基底
In

$()$

$(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{r\iota})$$\mathrm{F}_{2}^{n}$$\{\sqrt{\underline{9}}e_{i}\}$

.

.

を基にした

, v_{n})\in \mathbb{Z}^{n}|(\overline{v}_{1}, ’\overline{v}_{2}, .

.

.

, \prime \mathit{0}n)\in C, \sum_{i=1}^{n}v_{i}\in 4\mathbb{Z}\}$$\underline{Constr\mathrm{e}\prime \mathrm{r}\nu tior\iota B\text{て^{}\backslash }\backslash \overline{\not\equiv}\mathrm{a}\text{され}_{arrow \text{格子}^{}-}}$

という

2

ただし

$’\overline{v}_{i}\equiv v_{i}$d 2 である.

注意 2.14.

$B$(C) は偶格子である. もし $C$ の最小重みが 8 以上であったならば $B$ ( C) はルートを持たない.

による中心拡大で, 交換関係と書 . ただし型を除いて唯一つ存在し, それを
偶格子

$L$

の

$\{\pm 1\}$$\hat{L}$$\langle$

注意 2.15. [FLM] の命題 5.4.1 よりのときに, 9 をのへの自然な写像の像が$Larrow\hat{L},$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\hat{L})\sim(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n}$$h$$\mathrm{A}_{11\mathrm{t})}(L)$

偶格子

$L$

を満たすものが同は断面とする.

$[e^{\alpha}, e^{\beta}]=(-1)^{\langle\alpha,\beta\rangle}$$l_{l}$.

$\gamma\mapsto e^{\gamma}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}$( L) である.

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}$( L) の元$g$の持ち– という.
$-\mathrm{h}\#\mathrm{e}^{\grave{\backslash }}$$(l^{J}ifl_{J})$から VOA が自然に構威される. それを格子 VOA と呼び$V_{L}$と書く

本稿では詳しく述べないが, 具体的な構成法に関しては [FLM] の 7 章と 8 章を参考にされた .
の小さい次数の次元が簡単に計算でき市 m(VL)0 $=1,$ $\dim(V_{L})_{1}=n+|L_{2}|$構成法からの元へ拡張されることがわかる.
の元が自然にを得る. またの既が構成できる. さらに-加群に対して, 既約と同様にに限ることが知られている. また, Dong と永友氏 ([DN1])
約加群は$\mathrm{A}\mathrm{a}$$V_{L}$$\mathrm{A}n\mathrm{t}(\hat{L})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L})$$V_{L}$$V_{\lambda[perp] L}$$V_{L}$$\lambda+L\in L^{\mathrm{o}}/L$$V_{L}$$\{V_{\lambda+L}|\lambda+L\in L^{\mathrm{o}}/L\}$

によって Aut$(V_{\Gamma_{\lrcorner}})$

命題 2.16. [DN1]$\theta$を$V_{L}=V_{\Gamma_{\lrcorner}}^{+}\oplus V_{L}^{-}$$|L_{2}|/2$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L})=\langle$$-1\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(L)$よる固定部分空間
り.

に関して次のことが示されている.

の$V_{L}^{4}$

$N$

, Aut

$(\hat{L})\rangle$, ただし $N=\langle\exp(a_{0})|a\in(V_{L})_{1})$ .

のにへの持ち上げで位数 2 の元とする. このときが部分 VOA となの -1 固有空間をを得る. すると$V_{L}$$\theta$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L})$と$\theta$である.

$V_{L}^{+}$$V_{L}^{-}$$V_{L}^{+}$の小さい次数の空間の次元は市 m(VL+)0 $=1$ , d 面 (VL+)lとなっていることがわかる.

の既約加群は$V_{L}^{+}$$[\mu]$$=$$v_{\mu+L}^{r}$$[\lambda]^{\pm}$$=$$V_{\lambda+L}^{\pm}$’$[\chi]^{\pm}$$=$$V_{L’}^{I_{\chi},\pm}$for$\mu\in L^{\mathrm{o}}\backslash (L/2)$

f r$\lambda\in L^{\mathrm{o}}\cap L/2$$\mathrm{o}$

,

,

$=$

38

が知られていた. ただし,$\chi$

はをある正規部分群で割った群の中心指標である.

$\hat{L}$Dong と永友氏 ([DN2]) によって階数 1 の場合, 安部氏と Dong ([AD]) にょって一般の階数の場合にの既約加群はのいずれかと同型となることが示された.
特にの既約加群は有限個である.
$\{[\mu], [\lambda]^{\pm}, [\chi]^{\pm}\}$$V_{L}^{\mathrm{f}}$$V_{L}^{+}$のフユージョン規則は安部氏 ([Ab]) によって階数 1 の場合が, 安部氏, Dong
また,Li ([ADL]) によって一般の階数の場合に完全に決定された.
$V_{L}^{+}$

3

主結果
この章では主結果である

3.1$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$

を決定するアルゴリズムにつぃて述べる.

自己同型群の決定の方針

この節では大まかなの自己同型群の計算の方針につぃて述べる. まず, 一般の VOAに関して次のようなことが戒り立つ.
$V_{L}^{+}$

観察 $V$ を VOA,のとき, 自然な写像$l\mathfrak{l},I$

を $V$ -加群とする. $P$ をAutが定まる. ただし$\mathfrak{S}(P)$$\lambda’I$の Aut(V)の作用による軌道とする.

こ

(3.1)

$(V)arrow \mathfrak{S}(P)$は $P$ 上の置換群とする.

方針逆に $P$ やこの写像の核について調べることで Aut(V) を知ることが出来るのではなかろうか?

この方針に従って Aut(V) を計算するためには良い加群 $M$ を選ふ必要がある. また $V$

白身の性質についても良く知られていなければ軌道 $P$ や核を計算するのも困難となる.
そこで $V=V_{L\prime}^{+}.M=V_{L}^{-}$ の場合について考える. 実際に$\mathrm{A}\iota 1\mathrm{t}(V_{L}^{+})$のいくっかの元,{の既約加群の分類とフユージョン規則を用いて軌道と核について調べる. 特に がルートを持たない場合には, 核が Aut(!)/ \mbox{\boldmath$\thea$}) の部分群になることを 3.2 節で示し, 軌道の決定を 3.3 節で行い, (3.1) の像に関する考察を 3.4 節で行う, したがって, 原理的には$L$$V_{L}$$\langle$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$の構造を計算することが出来る.

注意 3.1. もし $L_{2}\neq\phi$ であれば$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$

は無限群となる. なぜならば$(V_{II}^{-\}})_{1}\neq 0$

であり, よってが無限群を成すならである. ゆえに, 本稿ではルートを持たない格子を主に考えている.
$\langle$$\exp(a_{0})|a\in(V_{L}^{+})_{1})\subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{\{})$

40

3.2

この節では
て述べる.
定理 3.2.
かつの一点固定部分群$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$の既約加群全体への作用を考えたときの$\mathrm{A}\iota\iota \mathrm{t}(V_{I_{\lrcorner}}^{+})$$V_{II}^{-}$の固定部分群についでの自己同型とする, Aut(kv の元をを偶格子とし,を満たすものが存在するための必要かつ十分条件は t\gamma L+-加群として倍を除いて一意に定まる.
が成り立つことである. さらに, 自己同型 \sim は$L$$\tilde{g}$$V_{L}^{\dashv}$$g$$\tilde{g}_{|V_{L}}+=g$$.\tilde{q}(\mathrm{L}_{L}^{\gamma-})=V_{L}^{-}$$\langle\theta\rangle$$\mathrm{I}^{\gamma_{\Gamma_{\lrcorner}}^{-,g}}\cong V,$,

で次数付けられた VOA が
ここでは詳しく述べないが, もっと一般的な有限可換群
ある種のフユージョン規則を満たす場合に同様の定理が成り立つ.
の $P$ への作用に関する一点固定部を含んでいるから
よって, 軌道 $P$ はがルートを持たないで割った群である.
におけるの中心化群を分群は場合は, 命題 2.16 から次の命題を得る.
$A$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{I_{\mathrm{J}}}^{+})$$V_{L}^{-}$$\theta$$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{t}(1^{\gamma_{L}})$$L$$\langle\theta\rangle$

命題 3.3. もし $L_{2}=\phi$ であれば$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{V}_{f_{\lrcorner}}^{\Gamma})$における$\theta$の中心化群は Aut(L) である.

注意 2.15 より Aut(L) の構造は分かつている. したがって, $L_{2}=\phi$ であれば Aut(L)の部分群である (3.1) の核を計算することが可能である.
注意 3.4.

$L_{\mathit{2}}’=\phi$のとき計算することが出来れば

3.3$|\mathrm{A}\backslash 1\mathrm{t}(V_{L}\})|=|P|$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$$|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\hat{L})/\langle\theta\rangle|$が成り立つ. よって, 軌道 $P$ をの位数がわかる.

の軌道と例外型の自己同型$V_{L}^{-}$

がルートを持たない場合に軌道 $P$ を完全に決定する. その際に用いるの
この節ではは格子の自己同型の持ち上げではない例外型の自己同型である.
の既約加群が $P$ に属するための必要条件
まずの軌道 $P$ の決定をするために$L$$V_{L}^{+}$$V_{L}$

を考える. 注意 2.7, 2.9 より次の事が戒り立つことがわかる.
$P$の元の指標は$\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{L}^{-})$に等しい.

の作用はフユージョン規則を保つ. 例えば,が成り立つ.
に対して$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}\})$$\Lambda I\in P$}$V_{I_{\lrcorner}}^{-}\cross V_{L}=V_{L}$であることから,$M\cross M=\mathrm{v}_{L}^{r+}$

これらのことを用いて次の包含関係を得る.
命題 3.5.

$L$を階数でルートを含まない偶格子とする. このとき$n$$\{[0]^{-}, [\lambda]^{\pm}\}$$P\subseteq\{$$\{[0]^{-}, [\lambda]^{\pm}, [\chi]^{-}\}$$\{[0]^{-}, [\lambda]^{\pm}, [\lambda’]^{+}\}$が成り立$\text{つ}$. ただし,$\lambda$

は$|$十$L)_{2}|=2n$$(\lambda$

if $n\neq 8,16$ ,if $n=8$ ,if. $n=16$ ,を満たす$L^{\mathrm{o}}\cap(L/2)$の元全体を動く41

したがって, $n=8,1$ 6 の場合は例外的に対称性が大きくなる可能性があり, 実際に以下のことがわかる.
命題 3.6. $L$ を階数 8 または 16 でルートを持たない偶格子とする. このとき $P$ がまたはを含むための必要かつ十分条件は $L$ が\urcorner 8 または階数 16 の格子に同型となることである.
$\sqrt{2}B$$[\chi]^{-}$$\{$$[\chi]$$Barn\epsilon^{J},.\mathrm{s}\cdot- Wall$$\Lambda_{16}$注意 3.7. 直接計算から$L$

が $\sqrt{2}E$8 または$\Lambda_{16}$と同型のときに命題 3.5 の式において等号が成り立つことが確認できる.
この 2 つの格子は特別であり. 非常に良い対称性を持っことがわかる.

それ以外の格子については次が成り立つ.
定理 3.8. $L$ をルートを持たない階数の偶格子とする.

が $\sqrt{2}E$8 と

.

のどちらと
も同型でないとする. このとき: $P=\{[0]^{-}, [\lambda]^{\pm}|\lambda\in L^{\mathrm{O}}\cap L/2_{7}|(\lambda+L)_{2}|=2\tau\iota\}$ が成り
立つ.
$n$

$L$

$\Lambda_{\rceil)}‘$

この定理を証明するために,の例外型の自己同型が存在するための必要かっ十分条
件を考え, その作用をみる必要がある.
$V_{L}^{+}$,
がをルートを持たない階数 の偶格子とする.
を満たすならば (は直交基底とそれらの元の -1 倍したベクトルで構成されている. さらに,は直交基底を基にしたある最小重みが 8 以上の重偶 2 元線形符号に関する Construction
で実現される.

補題 3.9.

$L$$\lambda\in L^{\mathrm{o}}\cap L/2$$n$$\{\alpha_{i}|\prime i=1,2, .

$\lambda+L\dot{)}_{2}$

$L$

.

.

$|(\lambda+L)_{2}|=\underline{‘)}$, r\iota\}$$\{\alpha_{i}\}$$B$[FLM] の 11 章において$V_{L}^{+}$の例外型の自己同型$\sigma$が具体的に構戒されている.

命題 3.10. [FLM]を直交基底を基にした最小重みが 8 以上の重偶 2 元線形符号に関する Construction $B$ で実現されている格子とする. このときは例外型の自己同
型
を満たす
を持ち,
$L$

$\{\alpha_{i}\}$$JV_{lJ}^{+}$$[0]^{-\sigma}\backslash \cong[\alpha_{1}]^{+}$$\sigma$

ただし, この例外型の自己同型 の構成は直交基底に依存しているので: いくっも存在することに注意する. 補題 3.9 と命題 3.10 を用いて定理 3.8 を得る.
また, 定理 3.8, 補題 3.9 と命題 3.10 の系として次を得る.
$\sigma$

系 3.11.

$L$$\{\alpha_{i}\}$をルートを持たない偶格子とする.

(1)$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$(2)$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_{L}^{+})$

は格子の自己同型の持ち上げと Frenkel らによって構成された特別な自己同型によって生成される.
が格子 $L$ の自己同型群の持ち上げ以外の自己同型を持つための必要かつが最小重みが 8 以上の重偶 2 元線形符号に関する Construction $B$ で実現されることである.

十分条件は

$L$

42

34

軌道の特徴付けと$V_{L}^{+}$の構造

この節では軌道の特徴づけをして, (3.1) の像について考察をずる.
の構造を調べるためには (3.1) の像を完全に決定する必要でがある. そこで
Aut
$P$
の軌道
の特徴付けを考えることで次のことがわかる.
$(V_{L}^{+})$$V_{f_{J}}^{-}$

命題 3.12.

$L$をルートを持たない偶格子として$Q=P\cup\{V_{L}^{\dagger}\}$
$f$

とおく

もし $L$ がのどちらとも同型でないとすれば $Q$ はフユージョン規則を和としてを (3.1) の核とするとトル空間の構造を持つ. したがってと$\Lambda_{1(\mathrm{i}}$上のベク$\mathrm{F}_{2}$$\mathrm{A}\iota 1\mathrm{t}(V_{L}^{+})/F\subseteq GL$$F^{\urcorner}$$\sqrt{2}E_{8}$( Q) が成り立つ.

全ての偶格子に対して, 命題 3.12 の包含関係の等号が成り立つか, 成り立たないならどんな部分群になっているか, ということを統一的に調べるのは難しい, その原因のーっにの (3.1) の像を統一的に調べることが難しいことがある. ただし, 個々の格子に対して Aut(L) を考察し, その像を調べることは可能である.
実際, いくつかの格子については, 命題 3.12 の式が等号となり.’ よって (3.1) の像が決定できる. また, 32 節の議論から (3.1) の核を求めることが出来る. 次の章ではこのような格子の例について考察する.

$\mathrm{A}_{11}\mathrm{t}(\hat{L})$4

具体例
この章ではルートを持たない偶格子の典型的な例であるルート格子 $R$ を倍したと階数 16 の Barnes-Wall 格子の自己同型群を与える.
定理 3.8 がら $L\cong\sqrt{2}A_{7l}(n\neq 3),$ 2
2E7 のときは $P=\{V_{L}^{-}\}$ であることがわか‘$\sqrt{\mathit{2}}$$\sqrt{2}R$$\Lambda_{16}$$\sqrt$ $E_{6},$$\sqrt$る. また, 命題 3.12 と定理 38 から $L\cong\sqrt{2}A_{3}$ , \psi D。 $(n\geq 5)$ のとき (は $P$ は$\mathrm{F}_{2}$

上の 2

上の
次元ベクトル空間の零点以外の集合とみなせることが,4 のときは $P$ は
3 次元ベク |‘/空間の零点以外の集合とみなせることがわかる. さらに, 命題 3.12 の包含関係が等号になることが直接計算によって示せる.
$L\cong\sqrt{2}D$

命題 36 より

$L\cong\sqrt{2}L_{8}^{\urcorner}\sqrt$

または$L\cong\Lambda_{16}$$\mathrm{F}\underline{\circ}$の場合は例外的に対称性が大きいことがわかる.

上のこれらの場合には既約加群全体上にフユージョン規則を和と定義することで
川次元ベクトル空間の構造が入ることがわかる. さらに, その上にタイプの二次形式$P$が自然に定義できては零点を除く
に関する等方的な元全体の集合となっているこ$\mathrm{F}_{2}$

$+$

$q$

$q$

とがわかる.

これらのことを用いて計算することで次の表を得る.

43$V_{L}^{+}$の自己同型群Aut:$L$$\sqrt{2}A_{7b}(n\neq 3)$$\overline{\sqrt{2}A_{3}}$$2^{n}-$$(2^{2} :$|P|$$(V_{L}^{\dashv})$$\mathfrak{S}_{r\mathrm{r}|}$11\mathfrak{S}_{4}).GL_{2}(^{\underline{\eta}})$$(2^{4} :\mathfrak{S}_{4}).GL_{3}(2)$$\frac{3}{7}$$\sqrt{2}\overline{D}_{4}-$$\sqrt{2}D_{n}\overline{(r}\iota\geq 5)$$\sqrt{2}E_{6}$$(2^{2n-2} :$2^{6}$$\sqrt{2}E_{7}$

3
:
: 21
: $Sp_{6}(2)$
1
527
527

\mathfrak{S}_{n}).GL_{2}(2)$$U_{4}(2)$$2^{7}$$O_{10}^{+}(2).2$$\sqrt{2}E_{8-}$$2^{16}\cdot O_{10}^{+}(2)$$\Lambda_{16}$参考文献. Conway,. Curtis,[ATLAS]

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