Engineering Sciences Reports, Kyushu University
Vol. 33, No. 3 pp. 9-16 Nov. 2011

九州大学大学院総合理工学府報告第 33 巻 第 3 号 9-16 頁 平成 23 年 11 月

低線量放射線被曝によるがん発生に関する元データーの誤差論に基づく考察
深田智*(平成23年10月31日 受理)

Discussion of original data on cancer occurrences by exposure to
low-level radiation based on error theory
Satoshi FUKADA
E-mail of corresponding author: sfukada@nucl.kyushu-u.ac.jp
Hard controversy has been repeated on how large the number of solid cancers or leukemia as
typical late effects is enhanced by exposure to low-level radiation or not. The most reliable data toanswer it are published as Life Span Study (LSS) from Radiation Effects Research Foundation(RERF). However, the RERF report says that the Liner No-Threshold (LNT) model is applicable tothe late radiation effects, because there is no reason apparently to deny it. In the present study, theerror theory is introduced into the data of the RERF report, and quantitative discussion based on theerror theory is made on how well the LNT model is applicable to the late effects in the low exposure
range. So that, it is found that the LNT model is extrapolated also to the lower range of
0.1Gy-0.01Gy for occurrences of solid cancers and leukemia.
Key words: Exposure to radiation, Cancer occurrences, Liner-no-threshold model, Error theory

1. 緒

言

る。この考えに従い、放射線によるがん死亡リスクが、放射線被曝とがん発症との間に因果関係があるのは0.05/SvであることがICRPにより報告されている。そ

共通の認識である．因果関係の原因にはここで立ち入の一方、特に0.1Gy以下の低線量域において、放射線らず、定量性、言い砕けば、高い低いに関わらずいく

影響にしきい値があるとするモデル2)、放射線ホルミ

ら放射線量を受けるとがん発症率はどれくらい増加すシスを考えるモデル3)、あるいは逆に低線量で影響がるか、を問題にする．放射線の人体への影響で特に急増加する二相(Biphasic)モデル6)等がある。それぞれの性影響（白血球の減少、一時的あるいは永久不妊、白説を読むとそれなりの言い分があり、強い弱いがある

内障、脱毛等）について線量効果曲線が過去に求めらにしても一見実験的あるいは経験的裏付けもある様にれ、放射線しきい値があることが広く認められており、見える。しかし問題は、それぞれの説で示している事

しきい値も各障害毎に与えられている1）。しかし被曝例が、ある集団には適用できても、別の集団には適用

後年月が経過した後に現れる晩発影響に関しては過去できないという事に気づく。例えば、Robert Ehrlich

多くの論争があり2,3)、いまだに議論が収束していない。

が述べている様に 7) 、長崎の男性被曝者の1970-1988

放射線被曝量とがん発症率（あるいは死亡率）との関年期間のがん以外の死亡率が0.5Gy-1Gyの間で有意に係を定量的に明らかにし、放射線被曝の危険性、さら低いという論拠について、そのデーターは確かに存在に原子力利用の効用と逆効果を見極め、他の多くの原したとしても、なぜ広島では起こらず長崎だけなのか、因によるがん発症率あるいは死亡率4)と比較した上でなぜその時期の男性だけを選択するのかについての疑放射線の安全利用を進めて行く必要がある。

問がまったく晴れない．統計的に見て、無作為抽出しここで焦点を絞り、低線量放射線被曝によるがん発た標本の集合が複数あるとき、各集合の平均が常に一症確率が高くなるのか、ならないのかについて定量的定値を与える訳でなく、ある確率分布に従って現れるに議論する。国際放射線防護委員会（ICRP）がとる基のは周知の事実で、特定の標本群だけで結果を判断す

本的考えは、線形しきい値なし（LNT）モデル5)である事はできない。これが科学である。

*1 先端エネルギー理工学専攻

10	
  Discussion of original data on cancer occurrences by exposure to low-level radiation based on error theory

放射線が発見されてから100年以上経過し、さまざ同一と見なして、データー解析する事になる．もともまな放射線の利用が図られてきた一方、その負の面のと二つの集団間に少し異なった統計データーがあると合理的共通認識を得ることはきわめて重要なことと思きに、両者を混ぜて一つの集団としたときに現れる誤われる。

差の評価法について、付録２と付録３に示している．

後に詳しく説明するが、放射線障害を定量的に証明

Fig. 1は、2009年に発表された最新の要覧に挙げらする上で難しいのは、まず放射線にはいろいろ種類がれたデーターに基づいてプロットしたものである．被あること、次いでがん発症は晩発障害であり、他にい

曝放射線量は、DS(02)としてまとめられた。丸印が報ろいろな原因で発症する慢性障害と症状的に同じで区告された数値であり、実線や破線はここでの評価式で別できないこと、また放射線による障害は特に低線量ある。先のDS(86)から見ると予測被曝線量は８％増加

域では小さいので大規模な調査が必要であることにあし、その結果放射線リスクはこれまでより少し下がっる。例えば、５％の有意水準で放射線障害を証明するている．今回の線量評価値に基づいて、ICRPは福島第には、0.1Gy (=100mGy)の被曝線量で必要な集団サイ

一原子力発電所事故対応のため、累積被曝線量の許容ズが6390人、10mGyになると0.1%の過剰リスクを証値の改訂を日本政府に提案した経緯がある．

明するには62万人必要となることが例に挙げられてこの節では、LSS母集団（合計120,321人）のうちで、いる5)。このような大規模な放射線障害を証明するも原爆被曝者の受けた放射線量と晩発性がん発症率とののは、以下に示すように放射線影響研究所（RERF）

関係をRERF報告書の数値に基づいて再吟味する．

が長年にわたって実施している原爆被害者の寿命調査

Figs. 1, 2の横軸は、吸収線量（単位Gy (J/kg)）である。

研究（LSS）8)しかないと思われる。この総理工報告でGyは単位から分かる様に、放射線被曝により体内１kg

は特に低線量被曝の影響を調べるため、報告されていに吸収されたエネルギー量を表しており、体内に吸収るデーターを再吟味し、放射線障害についての定量的されたγ線や中性子線が電離イオン化を起こし、細胞議論をおこない、放射線障害がどれだけ現れるのかをや遺伝子DNAに影響を及ぼす程度を定量的に表す数

自分の目で調べたいと言うのが本研究の動機である。

値である．この値を計算するには、γ線量はそのまま

次章で放射線障害における低線量域のデーターを調べ加え、核分裂発生中性子線については昔から取り入れ

るが、RERFの実施したLSSオリジナルデーターを参られている生物学的効果の10倍を乗じた線量を加え考のため付録１に示す．

ることで評価する。かつてはこれを線量等量（単位Sv）と呼んで来た。現在は、線量等量を部位ごとにきめ細2.

広島・長崎における原爆放射線による被曝の晩発影響

かく算定する様になっており、特定の組織の影響を調べるための組織加重係数を乗じた値をSv単位で表し

2.1 線量‒がん発生率・死亡率の関係ている。混乱を避けるため、要覧でも使用されている

放射線影響の定量評価のため、RERFが広島と長崎

単位としてGyを踏襲した．基本的には、今回評価してにおける原爆被曝者のLSSを広くおこない、終戦後、長い年月が経過した後のがん発生率を要覧に公表している8)．付録１に彼らが報告している相対リスクデー
ターを再掲しているが、図を見て分かる様に、特に0.1Gyの低線量域で、相対リスクが１にほぼ近く、この図では被曝が無いときとあるときでほとんど差が見られない．一応線形モデル等のフィッティングカーブも与えられているが、1.0Gy付近から特に0.1Gy以下までの低線量放射線被曝の影響の論拠として弱い様に思われる．問題は、この領域の定量化であるが、序論でも述べた様に、この領域では特に多数のデーターを必要とする．しかし、要覧では、男女の区別、年齢等により集団を分け、それぞれについてデーターをプロットしており、そのため母集団標本数が少なくなり、誤差が広がっている．そこで、本研究では、男女の区別、
年齢等の区分を一度取り外し、すべて被爆線量とがん発症率あるいは死亡率の結果として一元化して再プロットし、低線量被曝の影響を判断する事とした．例えば、このような操作をおこなったとき、二つの集団をFig. 1 Relation between weighted radiation dose and cancer
occurrences or deaths in linear scale. The line is based on
the LNT model平成 23 年度

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いるのは全身被曝であり、概要で使用されているGyをSvと読み替えてよいと思われる。
一つ注意すべき点は、γ線量は外部被曝のものであり、また中性子線についても考慮されているのは原爆から直接放射されたいわゆる即発中性子の寄与と体内で放射化された組織からの被曝の寄与であるという点である．核爆弾で発生した核分裂片からの遅発中性子の寄与や環境の残留放射能（特にβ崩壊の寄与）を呼吸等によって取り込む量がどの程度あるかをあらかじめ確認する必要がある．要覧でもその点は述べられており、爆心地近くでの誘導放射能の寄与は、20%程度（絶対値では広島で0.16Gy、長崎で0.06Gy-0.08Gy）と評価されている．また原爆破裂とその後の爆心地付近の大規模な火災により、強い上昇気流が発生し、それが気流に乗り黒い雨となって被曝の拡大を招いた．
黒い雨の成分が煤塵すすとしても、核分裂片もその中に含まれ、一部は皮膚からあるいは呼吸とともに体内Fig. 2 Relation between weighted radiation dose and cancer
occurrences or deaths in logarithmic scale. The line isbased on the LNT modelに吸収され、そこから発生する遅発中性子とβ線が内部被曝に寄与したと考えられる．その寄与は、広島市倍程度高い．図の丸印値はすべての固形がん平均発症

西部の乙斐・高須地区で10~30mGy、長崎市東部の西率である。1 Gy被曝すると、すべての固形がんを合わ

山地区で0.2Gy-0.4Gyと評価されている．さらに原爆せて、被曝がないときより50%程度発症し易くなり、破裂後、残留放射能がまだ高い市内に入ったいわゆる白血病死亡率は2.8倍高くなる．要覧では、固形がんの入市被曝者の多くも、LSS母集団の健康調査に含まれ発症は47%増える（これは、過剰相対リスク, Excessており、要覧を読む限り、横軸のGyと縦軸のがんリス

Relative Risk, ERRである）としており、細かい数値

クから被曝の晩発影響を定量的に調べることができるの違いはともかくおおむね同じ内容と傾向である．

と考えられる．

人間が地球上で生活していくとき、がんを発症する

Figs.1, 2の縦軸を一意に絶対ガンリスクpと記述し因子は、放射線被曝だけでなく他に遺伝的因子、生活ている。その内容は、全対象者44,635人（ΣNi）を個

習慣要因、ストレス因子、煙草や過度のアルコール等

人ごとの被曝線量に応じて６段階の被曝線量区分に分多くある．被曝の影響を線量-効果関係、特に低線量でけ、各放射線被曝線量を受けた母数(Ni)中に1958年かの影響を十分吟味する必要がある．そのため、Fig. 1

ら1998年の間に白血病以外のすべての固形がんに発の結果をFig. 2にある様に対数グラフに書き換え、特症した人の数（λi）の確率リスク値pcanser,i（=λi/Ni）に低線量域における効果を見やすく描いている．まずで表したもの(○)と、同様に全対象者49,204人を同じ

がん発症数あるいは死亡数値の誤差を評価する。実験

被曝線量区分の母数に分け、1950年から2000年の間の室で繰り返す事の出来る再現可能なデーターではなく、白血病による死亡者数を、同じくその母数で割った確

各被曝線量条件で１回の実測数、１種類の標本数しか率リスク値pleukemia,i（●）で表している．この母数表

無いデーターなので、標本平均や標本分散を統計操作

記から分かる様に、男女の区別、年齢の差をすべて同に基づいて誤差予測できない。そこで数学的に滅多にじ母集団で判断している．また縦軸の切片の値は、そ起こらない事象が理論的に二項分布、あるいはその極れぞれ37,307人あるいは60,792人の原爆被曝量が無限のポアソン分布に従う事を利用して、一つ一つの実視できる対象者母数（N0 ）における固形がん発症率

測統計データーの誤差を評価する．各線量Diで例えば、

pcancer,control（実数で表すと１万人当り1580人）と白血

固形がん発症率（pcancer,i）が決まっており、二項分布

病死亡率pleukemia,control（実数で１万人当り25人）でああるいはポアソン分布に従う発症数（λi）の最尤値がる．図から分かる様に、被曝量が少なくなるにつれて、出現していると考えると、各線量におけるがん発症実

被曝量が無視できる切片値に漸近するとともに、逆に測数の標準偏差（

1Gy以上の高線量被曝者は、受けなかった人より明らを固形がん発症率の誤差上限値と下限値

かに固形がん発症率あるいは白血病死亡率が高い．要（覧には各部位別のがん発症率も調べられており、子宮Figs. 1, 2に表している．白血病死亡率についても同様

がんや前立線がんの発症率は固形がん全体（平均）よの操作を行っている。この誤差は、本来ランダム現象

り1/3程度低く、逆に膀胱がんや乳がんは1.5倍から２であるものが発現するときに含まれる理論的な誤差で）を求めることができる．それ）として誤差棒を用いて

12	
  Discussion of original data on cancer occurrences by exposure to low-level radiation based on error theory

あり、それ以外の恣意的な外部要因で含まれる誤差は除かれる．問題は男女の差、あるいは年齢による偏差がもしあるとしたら、この理論的な誤差をどれだけ増すかを知る必要がある。付録３に、二項分布
あるいはポアソン分布に従う２種類の分布が加えられて一つの分布として現れるときのリスクの計算式を示した．結果は、付録３の(A-19)式になる．
もし、男女間に10%の差があるときには、全体の誤差は、10%程度増加する．このことも含めて付録図Fig. A2に確率密度関数と標準偏差を評価している．
LSSのデーターは、極めて多数の母数Niから評価されており、ポアソン分布の可能性が高いと考えられる．評価した誤差棒から判断して低線量あるいは高線量被曝に関わらず広島と長崎の原爆被害者の各実測数（λi）は、十分な精度があり、いずれの線量でも実測値の誤差は0.1Gyの線領域までの外挿できる事を示している．従って、放射線リスクを考える

Fig. 3 Relation between weighted radiation dose and excess
absolute risks of cancers in logarithmic scale. The solid line isbased on the LNT model. The broken line is an empirical one.

上で、広島と長崎の被害者のデーターの集積は重要な示唆を与えると考えられる．
2.2	
  過剰ガンリスクと余剰ガンリスク

対誤差で負の値が出るのを避けるため、有効数字を下

LSSデーターを一元化し、絶対リスクを用いる事によって放射線の晩発影響の傾向が読み取れる事が分かった。そこで問題の原爆放射線吸収線量と、被曝による固形がん発症率pcancer,i、白血病死亡率pleukemia,iの各値から被曝していないときの夫々の値pcancer,control とpcancer,controlとの差を求めた結果をFig. 3に示す．この縦軸 の 値 は 過 剰 絶 対 リ ス ク （ EAR, Excess AbsoluteRisk）, Rkと呼ばれる。誤差の伝搬評価には次式を使
っている。
(1)
k=solid cancers or leukemia

げ、低線量でpleukemia,control=0.0025値を選んで計算した．
ここまでの評価値をまとめると、絶対リスクは次式に書くことができる。
	
 

	
  	
  	
  D>0.01Gy

(2)

	
 

D>0.1Gy(3)

すべての固形がんの発生リスクは8.1x10-2(1/Gy)であり、実数で表すと１万人当り被曝無しの1580人から
100 mSv全身被曝すると1661人に増加し、白血病死亡
リスクは6.3x10-3 (1/Gy)であり、１万人あたり被曝無しの25人から、100mSv被曝で31人に増加すると見積もることができる．低線量被曝の効果については昔か

固形がん発症率では直線関係が0.1Gyあるいはそれら議論も多く、直線近似するLNTモデルの他、放射線以下の10mGy程度まで成立していると見てよい．一方、ホルミシスを考えるモデル、晩発性がん発症にも急性白血病死亡率では傾き１の直線近似では差が大きいもと同じくしきい値を取り入れるモデル、二相モデル等のの0.1Gy程度まで差を認識できる．この傾きを線量Dがある。要覧にも述べられている通り、固形がんにつの1.4乗で増加する式で整理すると、図の破線と白血病

いては、LNTを否定する何の根拠もないことは今回の死亡率●との差はだいぶ小さくなる．この場合、直線評価でも確かめられた。白血病死亡者については、直近似は低線量域で過小評価になっておらず、ひとまず線関係を仮定するには誤差が大きい様に思われるが、これまでの先例に従ってしきい値なしの直線近似モデ

固形がんとは違って被爆後２年ほどで発生し始め、６−ル（LNT）で話を進めるのが安全側に立つ姿勢である．

８年の比較的早期に現れ、現在では過剰発生がほとん

なお詳しく見るとFig. 2で固形がん発症リスクは被曝どない等、固形がんとは少し異なった発症形態をとる

量０に近づくにつれて、control値にうまく漸近するが、事も、低線量で傾向が異なって見える一因かもしれな

白血病ガン死亡リスクは、被曝量が0.1Gyのときは、い．

原子爆弾による被曝量が０と見なせるときに比べて若Fig.3で求めた過度放射線リスク値を次式で定義す

干リスクが下がっている．これはホルミシスが原因でる過剰相対リスク(ERR, Excess Relative Risk), Ekとはなく、誤差から当然そのような場合もあり得る。相して計算し直した結果をFig. 4にプロットする。

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 k=solid cancers or leukemia (4)Fig. 4において、より低線量まで外挿を認め、10mSv
被曝すると、固形がんでは0.5%ガン発症率リスクが増加し、白血病では3%（直線近似）あるいはD1.4の近似では、0.5%増加と評価できる．
がん発症は確定的影響ではなく、確率的影響である．
人間には放射線で引き起こされたガン遺伝子DNAを修復する能力があり、その因子をできるだけ定量的に評価するためには、集積線量は同じであっても、原爆被害者の様に最初に一時期に被曝する場合と、少量の線量を長く受ける場合とで影響が異なると考えられる．
定性的には損傷した遺伝子の修復能力がどのように働くかで違いを証明する必要があるが、これを定量的に表す十分なデーターが無く、いまのところ影響は同じと考えられている．同様に放射線の遺伝的影響も長く調べられているが、放射線の遺伝的影響が増加したという報告例はない．
最近の医学データーとして、広島県に住む56万の男

Fig. 4 Relation between weighted radiation dose and excess
relative risks of cancers in logarithmic scale. The line isbased on the LNT model
爆被曝量との間に線形の相関が見られる事が分かった．

性と59万人の女性、岡山県に住む38万人の男性と42万３．相対リスクは、被曝量０で１に収束し、定性的な人の女性を母集団として比較したLSSに基づく固形がガンリスクを理解しやすいが、余剰リスクは定量

ん死亡率と被曝量との関係を求めた大規模な調査結果

的なリスクに適しており、被曝量とガンリスクのが報告された9)．その結果も0.1Gy以下の線量でも有意関係をより明らかに見ることができる。

な差が現れているのが確認されている。また、医療放
射線によるがん発症率増加の可能性が予測されており、特に日本で高いことが見積もられている10)ことも最後に追記する。

3. 結

おわりに
2011年３月11日東北地方太平洋沖でのマグニチュ
ード9.0の東日本大震災と引き続いて起こった後の津言波で未曾有の被害が生じた．福島第一原子力発電所で起こった電源喪失事故で、炉の冷却機能が完全に失わ

以上，RERFによる原爆被曝者のLSSから求められれ、放射能の放出と水素爆発の結果原子炉建家は極めた被曝量と固形がん発症率あるいは白血病死亡率調査て甚大な被害が生じ、現在でもなお、多くの被害者がを誤差論に基づいて再吟味したところ、以下の結論を避難されており、その影響の深さに思わず声も無い状

得た．

況である．

１．もとの RERF 要覧では被曝吸収線量と固形がん発

原子炉から放出された放射能と現在でも観測される症率あるいは白血病死亡率を男女別あるいは被曝

放射線についてこの間、新聞やテレビでも多くの報道

年齢別に分け、調査報告している。第一義的に重がなされ、多くの見識者の論評がある。しかしながら要な事は、人が放射線によりどのような率でがん

一部の論評を聞くと、誤った情報に基づく、あるいは発症あるいは死亡するかを見極めることである。

それほど根拠の無い憶測に基づいた論評をしている場

例えば、男女間で若干の差が見られても、男女の合がある。地震で家を失い、津波で家が流され、肉親がん発症率で合計して見て、データー精度を高め

兄弟、子供が多く失われている状況で、福岡に在住しプロットすると、より精度高く評価できる事が分ながら、科学と教育に身を置く人間として、一つ思いかった．

立ったことは、いままで私が原子力の分野に関わって

２．母集団が二項分布あるいはポアソン分布に従うと来て、遠く昔大学時代に習った放射線の晩発影響につして、誤差を評価したところ、固形がん発症率といて思い返し、インターネット等で得られる情報をも

原爆被曝線量での直線関係は、0.1Gy 以下まで十とに、できるだけ正確な情報を発信できないかと思い、分な精度があり、LNT 仮説が適用できる事が認め

放射線、特に低線量放射線、あるいは環境放射線につられた．白血病でも、0.1Gy 程度まで死亡率と原いての情報と、他のリスクとの関係等を一つの文章にまとめた、これが本文です．

14	
  Discussion of original data on cancer occurrences by exposure to low-level radiation based on error theory

ターを滑らかにつないでいる様に見えるが、現実的にこのようなモデルで整理できる理論的裏付けは記載さ

参 考 文 献1) 大泉幸雄:”放射線による急性放射線障害”, 医学書院, ISBN 978-4-260-00900-3 (1994).
2) 近藤宗平:”人は放射線になぜ弱いか”, 講談社第３版, ISBN4062572389 (1999).
3) T. D. Lucky, 松平寛通訳:”放射線ホルミシス”, ソ
フトサイエンス社 (1990).
4) B. L. Cohen, 近藤駿介訳:”私はなぜ原子力を選択するか”, ERC 出版、ISBN4-900622-05-2.
5) ICRP-Publication 99, Annals of ICRP 35 (2005).
6) ECRR, “2010 Recommendations of European
Committee on Radiation Risk”, (2010).
http://www.euradcom.org/2011/ecrr2010.pdf
7) R. Ehrlich, 垂水雄二訳:”トンデモ科学の見破り方—もしかしたら本当かもしれない９つの奇説”,
草思社, ISBN-13:978-4794212825 (2001).
8) 財団法人放射線影響研究所：要覧(2009).
9) T. Watanabe, M. Miyao, R. Honda, Y. Yamada, Environ.
Health Prev. Med., 13 (2008) 264-270.
10) A. B. Gonzares, S. Darby, Lanset, 363 (2004) 345-351.
11) D. A. Pierce, D. L. Preston, Radiation Research, 154(2000) 178-186.

付れていない．

	
  A2. 二 項 分 布 あ る い は ポ ア ソ ン 分 布 に 従
うときの平均値、標準偏差、および誤差表記
	  付録A2に記載する内容は、通常の確率統計学の教科書に記載されているものであるが、考察の材料を与えるため、あえて記載する．
	  ある外的条件の下で、１個１個の固体に事象Aが生じる確率をp1とし、一定とする。母数N1個の独立した個体があるとき、そのN1個の個体中に事象Aが現れる
固体数xは、最小値０から最大値N1まで広がる可能性がある。このとき個体数xが現れる確率を表す確率密度関数f(x)は、次の二項分布関数である。
(A-1)
	
  確率p1が１に比べて十分に小さくかつNが大きくなるとき、現れる個体数の平均値をλ1と書くと、(A-1)式

録のf(x)は次のポアソン分布に簡略化できることが理論

A1. RERF オリジナルデーター

的に求められる。

付録図Fig. A1は最近のRERF要覧に挙げられたデ

	
 
(A-2)

ーター8,11)をそのまま記載したものである．横軸は、本文と同じ換算吸収線量であり、Gy単位で表している．
縦軸は、相対リスク（本書ではEで表す）であり、分
母は被曝の無い母数集団での固形がん発生確率、分子二項分布でもポアソン分布でも、f(x)をすべてのxについて足し合わせると、１になる。	
 はある吸収線量における固形がん発生率の比を取っている．データーは、男女の区別、被曝時での年齢によりデーター
を区分しているが、このプロット上では、同じ記号で表されている．このように同じ記号で表すと、例えば男女の差をこのプロットでは判断しない事になる。従って二種類の加重平均を求めてプロットする方が一つ一つの標本でプロットする方が誤差が小さくなるというのが本説の根拠である．
	  濃い実線がLNTによるモデルで、薄い実線がデーターの間をなめらかになぞった式である．さらに破線は、誤差の幅を記載している．0.1Gyまでは線量が増えるに従って、●印が増加している様に見えなくもないが、相対リスクが1.1以下の場合、10%以下の放射線障害リスクが現れない状況でこのようなプロット
では結果をうまく表現できない様に思Fig. A1 Relation between weighted radiation dose and relative risks of solidcancers in linear scale. The lines are based on the LNT model and acurvilinear model11)

われる．また破線の最良近似式で表した結果は、デー平成 23 年度

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このf(x)を使うと、事象Aの現れる個体数xの平均値λ1は一般的に次式から求められる．	
 (A-10)

	
 同様の手法を過剰確率Eに適用すると、次式を得る。
(A-3)
	
  (A-11)二項分布の足し算を最大値N1までとり、ポアソン分
布では無限大まで計算する。代入すると、二項分布とポアソン分布とも次式の様に求められる．	
 (A-4)
x=λ1のときf(x)が最大値となる。

	
  A3. 二 つ の 二 項 分 布 あ る い は ポ ア ソ ン 分
布を含むときの平均値と標準偏差、および誤差の表記

このf(x)で記述されるxの分布の分散は二つの集団（例えば男女等）において事象Aの現れる個体数に差がわずかにある場合を一つの集団と見な(A-5)
で定義され、代入して計算すると二項分布について(A-6)となる。ポアソン分布では、である。

したときの誤差を考える。二つの集団で異なった出現
確率値p1, p2、平均出現数λ1, λ2、標準偏差σ1, σ2にある分布集団を同一の母集団と見なし、Aの出現確率の平均値pm とその標準偏差σm がどのように表されるかを求める．いま二つの集団の母数をそれぞれN1, N2とし 、 合 計 し た 集 団 の 全 母 数 に お け る 割 合 を α1	  母数N1の母集団において事象Aの現れる最も確から(=N1/(N1+N2)), α2(=N2/(N1+N2))で表すと、α1+α2=1のしい個体数は、誤差も含めて表すと、関係にある．両方の集団とも二項分布（以下の式で、

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 

	
  	
  (A-7)となる。いま逆に現れた観察数λ1からAが起こる平均
出現確率p1,mを推定する場合、最尤値を誤差とともに表記すると式番号に”a”を加えたもの）あるいはその極限であるポアソン分布（以下の式で、式番号に”b”を加えたもの）
で表され、合計しても独立に存在すると仮定すると、二つの集団を加えた母集団における確率密度関数f(x)は次式で与えられる．

(A-8)
となる。

(A-12a)さらに外的条件が変わり、事象Aの起こる確率がp1からp2に変わったとする。異なった母数N1とN２において、それぞれ確率p1とp2で事象Aが現れることが予め決まっているとき、各母数中で事象Aの起こる確率の比R（相対確率）を誤差も含めて書くとポアソン分布では次式で表せる。
上の(A-9)式では次の誤差の伝搬式を用いて解析している。例えばx1-x2の二つの独立変数に誤差を含むときの二次元の分散は次式で計算される．

	
  	
 

(A-12b)

付録A2のf(x)と同様に、すべてのxについて上の二つのf(x)をそれぞれ足し合わせると、１になる。
(A-3)式のf(x)に(A-12)式を代入して、整理すると平
均出現確率pm は二項分布とポアソン分布とも同じ次式に表せる．
(A-13)(A-9)

	
  平均出現数λm (=pm(N1+N2))をp1, p2で表すと、次式となる．
(A-14a)(A-14b)16	  Discussion of original data on cancer occurrences by exposure to low-level radiation based on error theory

同様に平均出現確率の分散σm2について、付録A2の(A-5)式のf(x)に(A-12)式を、λmに(A-14)式を代入して整理すると、二項分布とポアソン分布それぞれ最終的に次式を得る。

(A-15a)(A-15b)(A-15)式の右辺第一項が通常の二項分布あるいは
ポアソン分布本来の分散項で、右辺第二項が二つの分
布の平均が異なる事により現れた分散項である．N1とN2を大きく取る限り、あるいはp1とp2の差が小さいものを合わせると、誤差が小さくなる事が(A-15)式から

Fig. A2 Comparison of probability density function
between N=100 and 1000

推測できる．以上までの式をまとめて記載すると、次式となる．

	  最初母数N1 だけの統計を取る場合に比べて、母数(A-16a)N1+N2 と大きくして統計を取ると、第一項は小さくなる。
逆に第二項以降が加わるが、(A-16b)もしα1=α2=0.5の様に同程度の母数を含む集団を加えると、第一項は母数が増える分、	  観測データーからλmが求まったとき、逆にpmをそ

誤差は小さくなり、この第二項は消え、第三項としての誤差とともに求める手段を考える．これまでの議論

Δp2/4が加わる事になる。従って、元の二つの確率差にに基づき、観測数λmから出現確率pmを誤差σPととも比べて集団を加える事によりσPは約半分に減少する．

に記載すると次式となる．

	  Fig. A2はp1=0.1とp2=0.11と10%だけ違った出現確
率を持つ確率密度関数と（図の破線）、二つの分布を足し合わして一つの分布と考えたときの確率密度関数(A-17)（図の実線）を表している．横軸は、出現数を母集団
	  さらに、ここで二つの集団の出現確率の差を定義する。

の個数で割った出現確率で表している．母集団の個数がN=100個のときに比べて、N=1000になると、(A-15)
式で明らかな様に誤差は小さくなり、確率密度関数は(A-18)
これを使って、(A-15)式の誤差部分を書き換えると、ポアソン分布について、次式となる．

シャープになる．二つの確率を加え合わせる事により、少し広がりを増すが、母集団の個数を増やす効果の方が大きい事が、この計算例からも定性的に認められる。

(A-19)