De l’in abilité des extensions galoisiennes intermédiaires
Bruno DESCHAMPS & Paul RODRIGUEZ
Résumé.— Grâce à une généralisation du théorème de BrauerCartan-Hua, nous montrons qu’à l’exa e contraire du cas extérieur, quand on dispose d’une extension galoisienne, finie, intérieure et concentrique alors aucune extension galoisienne intermédiaire ri e n’eable par l’a ion du groupe de Galois.
Ab ra .— Thanks to a generalization of the Brauer-Cartan-Hua
theorem, we show that, to the exa opposite of the outer case,when we take a concentric finite inner Galois extension there exi s no ri intermediate Galois extension invariant under thea ion of the Galois group.

Notations : Si H désigne un corps, et a ∈ H ∗ , on notera I(a) : x 7−→ axa−1 l’automorphismeintérieur associé à l’élément a. Si Ω ⊂ H ∗ , on notera Int(Ω) = {I(a)/ a ∈ Ω}. Pour touteextension de corps H/K, on notera Int(H/K) l’ensemble des K-automorphismes intérieurs
e = {x ∈ H/ ∀y ∈ K, xy = yx} le commutant (ou centralisateur) de K dans H. On
de H et Ke∗ ).
remarquera alors que Int(H/K) = Int(K***La théorie de Galois généralisée aux corps gauches n’e pas bien plus compliquée quecelle du cas des corps commutatifs. Il faut ju e prêter attention aux automorphismes intérieurs. Essentiellement, pour une extension galoisienne H/K finie, les correspondances
galoisiennes s’opèrent entre l’ensemble des extensions intermédiaires de H/K et l’ensemble
des sous-N -groupes de Gal(H/K). Rappelons qu’un sous-groupe G < Gal(H/K) e appelé
N -groupe, si l’ensemble
AG = {x ∈ H ∗ , I(x) ∈ G} ∪ {0}forme un sous-corps de H. La qualité, pour une extension intermédiaire H/M/K, d’être
galoisienne sur K se cara érise alors par le fait que le plus petit sous-N -groupe qui contient
le normalisateur NGal(H/K) (Gal(H/M) e égal à Gal(H/K) tout entier (on dit que Gal(H/M)
e N -invariant). On voit que cette condition d’être N -invariant e , a priori, plus faible
que celle d’être di ingué. En fait, la di in ion d’un sous-groupe cara érise la abilité del’extension associée :Proposition .— Soient H/K une extension galoisienne finie. Pour qu’une extension intermédiaire H/M/K soit able (i.e. l’orbite de M sous l’a ion de Gal(H/K) e pon uelle), il faut et il
suffit que Gal(H/M) soit di ingué dans Gal(H/K). En particulier, une extension intermédiaireable e galoisienne sur K et l’on a donc, en toute généralité,
M/K galoisienne ⇐= M eable ⇐⇒ Gal(H/M) / Gal(H/K)

 Nous renvoyons le le eur à [Coh] et [Jac] pour un exposé complet de cette théorie.

Preuve : Posons G = Gal(H/M), de sorte que M = H G . On a alors
M = HG eable ⇐⇒ ∀σ ∈ Gal(H/K), H G = σ (H G ) = H σ Gσ

−1

Si σ Gσ −1 e lui aussi un N -groupe, on pourra affirmer, grâce aux correspondances galoisi−1
ennes, que H G = H σ Gσ =⇒ σ Gσ −1 = G. Montrons que c’e bien toujours le cas :Aσ∗Gσ −1

= {x ∈ H ∗ , I(x) ∈ σ Gσ −1 } = {x ∈ H ∗ , σ −1 ◦ I(x) ◦ σ ∈ G}
= {x ∈ H ∗ , I(σ −1 (x)) ∈ G} = {x ∈ H ∗ , σ −1 (x) ∈ AG∗ } = σ (AG∗ )Puisque G e un N -groupe l’ensemble AG e un corps et il en e donc de même de σ (AG ) =Aσ Gσ −1 , c’e -à-dire que σ Gσ −1 e bien un N -groupe.

Lorsque l’extension H/K e extérieure (e.g. lorsque H e commutatif), c’e -à-direlorsque Gal(H/K) ne contient aucun automorphisme intérieur, tous les sous-groupes sontdes N -groupes et l’on a donc l’équivalence
M/K galoisienne ⇐⇒ M eable

L’objet de cette note e de montrer qu’en toute généralité, cette équivalence n’e pasvalable : quand on introduit des automorphismes intérieurs un phénomène d’in abilité
peut apparaitre. Introduisons quelques éléments de terminologie : si H/K désigne une extension galoisienne finie, on dira qu’elle eable (resp. totalement able) si toute extension
intermédaire H/M/K galoisienne sur K (resp. a priori quelconque) eable sous l’a ion
de Gal(H/K). Une extension non able sera qualifiée d’in able et l’on réservera la terminologie de totalement in able lorsque, à part les cas M = K et M = H, aucune extension
intermédiaire H/M/K n’eable sous l’a ion de Gal(H/K).
Comme on vient de le rappeler, on voit qu’une extension galoisienne finie extérieure H/K e
toujours able, mais on notera qu’elle n’e que rarement totalement able, cette dernière
condition équivalent en fait à dire que tout sous-groupe de Gal(H/K) e di ingué. Dans
une extension totalement able, tout sous-corps intermédiaire e en fait galoisien sur K,
la réciproque étant fausse (voir exemple en fin de texte). Enfin, on notera que pour êtreà la fois totalement able et totalement in able il faut et il suffit d’être simple (i.e. sans
extension intermédiaire, e.g. d’ordre premier).
Dans ce texte, on commence par étudier le cas des extensions qui sont galoisiennes, intérieures (i.e. Gal(H/K) = Int(H/K)) et finies. On montre (corollaire ) qu’à l’exa contraire
du cas extérieur, quand H/K e supposée en plus concentrique (i.e. Z(H) = Z(K)) alors elle
e totalement in able. Pour autant, il exi e des situations dans le cas intérieur non concentrique où l’équivalence re e vraie et où l’on peut même assurer du cara ère totalement
able (voir corollaire ). Finalement, en application de ces résultats nous proposons dans le§ , un découpage sy ématique pour une extension galoisienne finie donnée en trois parties"totalement able/totalement in able/ able".
.— Cas des extensions intérieures. Pour étudier cette que ion d’in abilité, nous commençons par donner une généralisation d’un théorème du à Cartan, Brauer et Hua :Théorème .— Soient H un corps, H0 ⊂ H un sous-corps et G = Int(H0∗ ). Si M ⊂ H e
f0 , ou bien H0 ⊂ M.
sous-corps able par G, alors, ou bien M ⊂ Hun

Preuve : Un petit calcul élémentaire montre que, pour tout a, b ∈ H, on a([b, a] − [b, a − 1])a = 1 − [b, a − 1]où [., .] désigne le commutateur. Par hypothèse, pour tout b ∈ M et tout a ∈ H0∗ , on a [b, a] =b.(ab−1 a−1 ) ∈ M, si bien que si [b, a − 1] (qui e lui aussi élément de M) e différent de 1
alors, a = ([b, a] − [b, a − 1])−1 (1 − [b, a − 1]) ∈ M. Puisque [b, a − 1] , 1 ⇐⇒ [b, a] , 1, on voit
donc que, dés que a ∈ H0∗ et b ∈ M ne commutent pas, on a nécessairement a ∈ M.
f0 et fixons alors un élément b0 ∈ M − H
f0 et un élément a0 ∈ H0 tel
Supposons que M 1 H
que [b0 , a0 ] , 1. D’après ce qui précède, on a a0 ∈ M. Pour tout a ∈ H0 , on a alors :• si [b0 , a] , 1 alors a ∈ M, d’après ce qui précède.
• si [b0 , a] = 1 alors [b0 , a + a0 ] , 1 (car b0 (a + a0 ) − (a + a0 )b0 = b0 a0 − a0 b0 , 0) et donc, toujours
d’après ce qui précède, a + a0 ∈ M. Comme a0 ∈ M, finalement a ∈ M.
f0 alors H0 ⊂ M.
On vient bien de prouver que, si M 1 H

f0 = Z(H) et l’on retrouve leSi l’on choisit H0 = H, alors H
Théorème de Cartan-Brauer-Hua.— [Coh, Th ..] Si H un corps et M ⊂ H e un sous-corps
de H able par tout automorphisme intérieur de H alors, ou bien M ⊂ Z(H), ou bien M = H.
Le théorème  e donc une généralisation du théorème de Cartan-Brauer-Hua. Sa preuve
e inspirée de celle du théorème de Cartan-Brauer-Hua présentée dans [Coh]. Nous allons
maintenant l’appliquer au cas d’une extension intérieure.
Théorème .— Si H/K désigne une extension galoisienne, intérieure et finie alors, pour touteextension intermédiaire H/M/K différente de K, on aMe] ⊂Mable ⇐⇒ Z(K)Preuve : Les extensions galoisiennes, intérieures et finies ont été étudiées dans [Des]. Dans
cet article, il e montré les propriétés suivantes :ee = K [Des,Prop..a],a) K] = K.K
e ' K ⊗Z(K) K
e [Des,Coro..b],b) Z(K)e [Des,Prop .b],c) Z(K) = Z(K)]] = Z(K) [Des,Th..b],d) Z(K)que nous allons utiliser pour montrer l’équivalence.
e∗ ), on peut appliquer le=⇒ : si M eable, alors comme Gal(H/K) = Int(H/K) = Int(Ke et l’on trouve que :théorème  avec H0 = K] = K.Ke ⊂ M, mais comme K ⊂ M, on a alors en utilisant la propriété b) que Z(K)e ⊂ M,• soit Kee = K (d’après la propriété a)) et l’on a M = K, ce qui e• soit M ⊂ K

exclu.

]] ⊂ M, on voit que M] =e ∗ ) et puisque Z(K)e ⊂ Z(K)⇐= : On a Gal(H/M) = Int(H/M) = Int(M∗∗e (d’après les propriétés c) et d)). Si l’on prend x ∈ M
e et y ∈ Ke alors yxy −1 = x
Z(K) = Z(K)e et donc I(y)I(x)I(y)−1 = I(x) : le groupe Gal(H/M) = Int(Me ∗ ) e (triv(puisque x ∈ Z(K)),
e∗ ) et la proposition  permet de conclure.
ialement) di ingué dans Gal(H/K) = Int(K] = H :
Si H/K e supposée, en plus, concentrique alors Z(H) = Z(K) et donc Z(K)] e alors triviale et l’on en déduit lel’extension H/ Z(K)
Corollaire .— Toute extension galoisienne, intérieure, finie et concentrique e
able.

totalement in-

Le théorème  a aussi pour conséquence le] eCorollaire .— Toute extension galoisienne, intérieure et finie H/K telle que K = Z(K)talement ableto-Le cadre d’application le plus immédiat du corollaire  e celui des k-algèbres à division, c’e -à-dire des corps de dimension finie sur leur centre k. Si H désigne une k-algèbre à
division, alors H/k e finie et concentrique par définition et elle e galoisienne et intérieure
en vertu du théorème de Skolem-Noether. Très souvent, on dispose d’extensions intermédiaires ri es H/M/k qui sont galoisiennes sur k et qui fournissent donc des exemples
d’extensions galoisiennes in ables. Par exemple, si l’on considère le corps H des quaternions d’Hamilton, il e de dimension 4 sur son centre R. Les extensions intermédiaires
ri es de H/R sont donc toutes d’ordre 2 et, étant obtenues par l’adjon ion à R d’un élément de H − R, il s’agit d’extensions galoisiennes de R (toutes isomorphes à C) . L’extension
H/C fournit aussi un exemple d’extension non simple qui e totalement in able bien que
toutes ses extensions intermédiaires soient galoisiennes sur R.
Les k-algèbres à division fournissent aussi un moyen simple d’illu rer le corollaire  :si H désigne une k-algèbre à division, on sait que les extensions commutatives maximalese Pour une telle extension, on a K = Z(K)H/K/k sont cara érisées par la relation K = K.
] =K
e = K. Ainsi, par application du théorème , dans l’extension galoisienne
et donc Z(K)intérieure finie H/K l’équivalence " galoisienne ⇐⇒ able " e bien valable pour toute extension intermédiaire. Dans cette situation, il n’y aucune raison pour que H/K soit sans extensions intermédiaires (et donc que la propriété soit triviale) comme le montre l’exemple
suivant : on se donne un corps commutatif k et deux k-algèbres à division H1 , H2 de dimensions respe ives p2 et q2 , où p et q sont des entiers premiers entre eux. Les indices
Ind(H1 ) = p et Ind(H2 ) = q, étant premiers entre eux, on a Ind(H1 ⊗k H2 ) = Ind(H1 ).Ind(H2 ) etdonc H = H1 ⊗k H2 e une k-algèbre à division (de dimension p2 q2 ) qui contient canoniquement H1 et H2 . On se donne maintenant K1 et K2 deux sous-corps commutatifs maximauxde H1 et H2 respe ivement et l’on considère K = K1 ⊗k K2 . C’e une k-algèbre incluse dansH, elle e donc intègre et étant de dimension finie, c’e un corps (commutatif). Puisque[K : k] = [K1 : k].[K2 : k] = pq, c’e une extension commutative maximale de k dans H etl’extension H/K vérifie donc les hypothèses du corollaire . Le compositum M = K.H2 fournit alors un exemple d’extension intermédiaire ri e de H/K.
 Plus sy ématiquement, si l’on considère une k-algèbre H obtenue par produit croisée d’une extension galoisienne de corps commutatifs L/k et d’un élément de H 2 (L/k) alors L e une extension galoisienne intermédi-aire in able.



H
p
q2

M

p2

q

H1
p

K

H2
p

q
pq

K1

q

K2
q

p

k
En effet, il e d’abord clair que K , M car sinon H2 ⊂ K et q2 = [H2 : k] diviserait pq = [K : k].
Pour montrer que M , H on raisonne par l’absurde. Au niveau des centralisateurs, on a
f1 = CH (H1 ) = CH (H1 ⊗k k) = CH (H1 ) ⊗k CH (k) = k ⊗k H2 = H2
H1
2
ainsi les corps H1 et H2 sont commutants l’un de l’autre dans H. On peut donc écriree = K.He∩H
f2 =⇒ k = K ∩ H1 
]2 = KH = M =⇒ H
ce qui e

visiblement impossible car K1 ⊂ K ∩ H1 .

— Cas général Si l’on se donne une extension galoisienne finie H/K alors le sous-groupe
Int(H/K) e visiblement di ingué dans Gal(H/K) si bien que, si l’on pose M = H Int(H/K)]
alors M/K e galoisienne extérieure et H/M e galoisienne intérieure. L’extension Z(M)/M] Ce qui précède fournit
e alors galoisienne intérieure [Des,Th.] tout comme H/ Z(M).
alors un découpage sy ématique de H/K :H
galoisienne intérieure
totalement able]Z(M)galoisienne intérieure
totalement in ableM
galoisienne extérieureable

K La propriété A.B
g = A∩e B
eevalable pour toute paire {A, B} de sous-corps d’un corps donné (voir [Des,Lemme])Bibliographie[Coh] Paul Moritz Cohn, Skew fields. Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, . Cambridge University Press, Cambridge, ().
[Des] Bruno Deschamps, Arithmétique des extensions intérieures, J. of Algebra, , -().
[Jac] Nathan Jacobson, Stru ure of rings, American mathematical society colloquium publications ().
Bruno Deschamps
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR Université de Caen - Normandie
BP ,  Caen Cedex - France——————————
Département de Mathématiques - Le Mans Université
Avenue Olivier Messiaen,  Le Mans cedex  - France
E-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr
Paul Rodriguez
Département de Mathématiques - École Normale Supérieure de Lyon
 parvis René Descartes - BP  Lyon Cedex  - France
E-mail : paul.rodriguez@ens-lyon.fr