数理解析研究所講究録
1190 巻 2001 年 126-135

126

グラスマン型の Parabolic Kazhdan-Lusztig 多項式

岡山大教育$Q^{I}$の組合せ論的記述について

弘 (Hiroshi Naruse)

成瀬

Faculty of Education, Okayama Univ.

1. Parabolic Kazhdan-Lusztig 多項式の研究の歴史から
まず, ここで述べることに関連した Kazhdan-Lusztig 多項式 (K-L 多項式と略する) の研究の歴史を年表形式で概観しておく。

(r1) 1979 Kazhdan-Lusztig: オリジナルの K-L 多項式 $P$ と の定義
型グラスマンのの組合せ論的記述:(r2) 1980の定義(r3) 1987 Deodhar:Parabolic K-L 多項式の係数の表現論的意味付け(r4) 1987 Casian-Collingwood :の組合せ論的記述(r5) 1988 Boe :B。型の極大 Parabolic の群の場合のの係数の非負性と表現論的意味付け(r6) 1990(r7) 1990 Douglass : 有限 Coxeter 群の Parabolic K-L 多項式の双対性
型の
の意味付け
:
(r8) 1998の係数の非負性(r9) 1999 Kashiwara-Tanisaki : 結晶型の Coxeter 群の$Q$$P^{I}$$A_{n-1}$$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{X}^{-\mathrm{s}_{\mathrm{c}\mathrm{h}_{\ddot{\mathfrak{U}}}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}}}\mathrm{Z}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$$P^{I}$$Q^{I}$$P^{I}$$P^{I},Q^{I}$$\mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}:\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{l}$$\mathrm{p}_{\mathrm{r}\mathrm{e}}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}1- \mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{V}^{-\mathrm{K}\mathrm{i}\mathrm{i}}\mathrm{r}11\mathrm{o}\mathrm{V}$$A_{n-1}$$P^{I},Q^{I}$$P^{I},$ $Q^{I}$

これ以外にも F.Brenti, H.Tagawa, VVDeodhar 等による, (Parabolic) K-L 多

項式の別の組合せ論的な記述に関する結果があるが, 符号が正の項と負の項の和で表されるものでここで述べるような単純な母関数的な表示とは異なる。 関連はあるかもしれないがここでは割愛することにする。
Parabolic Kazhdan-Lusztig 多項式は, (r1) で定義された Coxeter 群 $W$ 上の通常の場合の K-L 多項式を, Parabolic 部分群$W_{I}$

による剰余類の集合 $W/W_{I}$ 上の場

合に拡張したもので, (r3) によて導入されてから様々な場面で登場している。 (r2)は, それ以前の結果であるが,型の極大パラボリック部分群の場合についてのみ考察し, 重みつき木を用いて母関数的にを記述した。 (r.3) で定義されたものは,
2 通りあるが実は有限 Coxeter 群の場合であれば, その二つは双対関係にあること$A$$P^{I}$が (r7) で示された。 (r4) と (r6) では,複度を記述するものとして多項式

generalized Verma 加群の中の既約表現の重が捉えられている。 無限群の場合でも結晶型の Coxeter 群であればのいずれも係数は, 非負であることが (r9) でわかっているので, グラスマン型以外でも母関数的な表示ができる可能性はある。 実際,(r5) では . 型の極大部分群 (Dynkin 図形の端の元を除くもの) について, (r2) とについてもここで述同様の母関数的表示ができることが示された。 この場合のべるのと同様の形で記述できるが, これについては別の機会に報告することにした$Q^{I}$$P^{I},$ $Q^{I}$$B_{\mathrm{r}\iota}$$Q^{I}$127

い。 (r8) では,

量子群

canonical 基底を$V$$U_{q}(.\mathrm{s}\mathrm{l}_{k})$の $n$ 次のテンソル積表現

の標準基底

いて

$0$

$2_{-}$

または$q$$\mathrm{e}_{i_{1}}\otimes \mathrm{e}_{i_{2}}\otimes\cdots\otimes \mathrm{e}_{i_{n}}$が登場すること, 及び $k=2$ のとき$P^{I},$ $Q^{I}$により詳しく調べてグラスマン型の場合のの canonical 基底,dual

からできる基底$\mathrm{e}_{i}(1\leq i\leq k)$で表したときの係数として $A_{n-1}$ 型の$V^{\otimes n}$の (r2) での表示の別証明と$P^{I}$$Q^{I}$につべき 1 項しか登場しないこと等を導いている。

ヘッケ環と Kazhdan-Lusztig 多項式の定義

まず基本事項の復習から入ることにする。 詳細については, 文献 (テキストでは [Hu] や [Xi] など) を参照して頂きたい。 記号の使い方は, 出来る限り
ここでは,標準的に用いられているものを採用するが, 文献によっては同じ記号で別の (類似の) 対象を表す場合もあるので注意が必要である。

をローラン多項式環とし,$\mathit{1}4=\mathrm{Z}[\mathrm{t}’, v^{-1}]$

Coxeter 群 $(W_{)}S)$ に付随し$H(W)$ を,た $A$ 上のヘソケ環とする。

すなわち,$s\in S$$A$

上に, 標準的な基底のとき,$\{\tilde{T}_{w}\}_{w\in W}$$(\tilde{\tau}_{S^{-v}})(\tilde{\tau}_{S}+v^{-1})$$P(x)+P(y)=\ell(Xy)$ のとき,$\tilde{T}_{x}\tilde{T}_{y}$を満たすように定められている。 (ここで,$S$を持ち, 積は$\ell(x)$

および,

$=$

$0$

$=$

$\tilde{T}_{xy}$は Coxeter 群 $W$ の元

$x$

の生成元

での最短表示の長さを表す。)
このとき,. は可逆で,$\tilde{T}_{\overline{6}}$となる。 通常は,$\tilde{\tau}_{s}^{-1}=\overline{T}_{s}-(v-v^{-1})$$T_{ss}=v\tilde{T},$$q=v2$

によりヘッケ環を記述する場合もある。
ヘソケ環の$\mathrm{Z}[v^{-1}]$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}^{-}}$を$\overline{v}$; $v^{-1},\overline{T}=\tilde{T}-_{x-x1}-1$で定まるものとする。 また $A_{-}=$

とおく。 このとき $H(W)$ の別の基底 $\{C_{x}’\}x\in W$ で, 各 $x\in W$ について次を満たしているものがただ–組存在する。

かつ$C_{x}’ \in\tilde{T}_{x}+\sum v^{-1}A_{-}\overline{T}_{y}$$\overline{C_{x}’}=C_{x}’$$y\in W$

このとき,.

$C_{x}’$と表すことができ,$= \sum_{y\leq x}v^{l()-_{\mathrm{O})}}’ Px(yP_{y:}v^{\mathit{2}})\overline{\tau}_{y}$なる。 これを Kazhdan-Lusztig 多項式という。 ($\mathrm{W}$$P_{y,x}(q)\in \mathrm{Z}[q]$との元の順序 $y\leq x$ は, Bruhat

order である。 )条件から,$P_{x_{:}}$$(q)=1$ で, $y<x$ のとき,。

とすると, $(\ell(y)-\ell(X))+2d<0$ すなわち,$P_{y}$

$(q)$
,。

の

$q$

$d< \frac{\ell(x)-\ell(y)}{2}$の多項式としての次数をしたがって,$d$$d \leq\frac{\ell(x)-\ell(y)-1}{2}$である。
実際には, 当初 (rl)Kazhdan-Lusztig では後で述べる Bruhat order に関する漸化式によって帰納的に定義したのであるが, 後にこのように Bruhat order を表に出さない定式化ができることがわかっている。

128

3. Parabolic Kazhdatn-Lusztig 多項式
Coxeter 群 $(W, S)$ において, その生成系 の部分集合 で生成された部分群
はまた Coxeter 群となり, このような部分群をパラボリック部分群という。 ヘソケ環においても, 同様にして部分環を $T_{s}(s\in I)$ で生成されたものとしてこれは,Coxeter 群 $(W_{I}, I)$ に関するヘッケ環に同–視できる。
$S$

$I$

$W_{I}$$H_{I}$

部分群$W_{I}$

による $W$ の剰余類の最短元による代表の集合を
,.

.’

.
ここで,

.:
$>$ は,$W$$V^{I}$で表す。 すなわち::.,$V^{I}=\{w\in W|ws>v\forall.s\in I\}$の Bruhat 順序を表す。

この集合上に Parabolic Kazhdan-Lusztig 多項式を定義するのであるが, このと.
き次に述べる三分律 (trichotomy) が, 重要となる。

命題 $x\in V^{I}$ と $s\in S$ に対して以下の 3 通りのうちのただ一つが成り立つ。
$a)s^{l}x>x,$ $.sx\in V^{I}$ (このとき,と書く)
B$ と書く)$b)SX>x,$(このとき,$c)SX<X$ (このとき, $(s,$ $x)\in C$ と書 )
つまり, $S\cross V^{I}=A+B+C$ (直和) である。
$(s,$ $x)\in A$$(s,$ $x)\in$sx\not\in V^{I}$$\text{く}$前述の Kazhdan-Lusztig 多項式の定義を拡張する形で Parab olic Kazhdan-Lusztig

多項式を定義することもできるが, ここではが有限群の場合のみ扱うのでこの場合には次のように定義すればよい。 (2 通りの Parabolic K-L 多項式のうち [De]において $u=-1$ の方を考える。)$y_{)}x\in V^{I}$

ここで,

さらに,
$.\text{任意の}$$w_{I}$

は,$W_{I}$

に対して$W_{I}$$P_{y_{:}x}^{I}(q)$$:=P_{yw_{I}}.xw_{I}(q)$の中め最長元を表す。

この (符号付) 逆行列にあたる多項式系 $\{Q_{y,V^{I}}^{I}x(q)\}_{y}:x\in$$x\in V^{I}$
$y,$

を,

に対して
$\sum_{z\in V^{I}}(-1)l(x)-\ell(z)PI(y_{:^{z}}q)Q_{z}^{I},x(q)=\delta_{y.x}$となるように定めることが出来る。
とこのとき, $y<x$ なら
は, どちらも次数が $m= \frac{\ell(x)-\ell(y)-1}{2}$ 次以
下で, しかもこの,m 次の項が存在すれば, その係数は等しくなる。 これを $\mu^{I}(y, x)$$P_{y_{:}x}^{I}.(q)$$Q_{y_{:}x}^{I}.(q)$で表す。

(以下では, 表記を簡略化するため$P_{y_{:}}^{I}$

$(q)$
。

を

$P_{y.\text{。}^{}I}$,$Q_{y.x}^{I}(q)$を$Q_{y_{:}x}^{I}$

と表す。)

129

命題 (

$P^{I}$と$Q^{I}$

以下において,の漸化式)

漸旧式の先頭の記号は,$s$に対して $y,$のクラスに属しているかを示している。 たとえば,$p_{a_{:}c}$$x$がそれぞれ三分律でどは, $sy>y,$ $sy\in V^{I}$ かつ

は, そこに添えられた条件を満た$SX<X$ のとき成立する漸化式である。 また,す $Z\in V^{I}$ を動かした総和を表す。 ( $y\leq z\leq sx$ の中で考えればよい)$\sum$$P^{I}$の漸化式$y_{)}x\in V^{I},$ $s\in S$$p_{a.c}$$p_{b.c}$$p_{c_{:}C}$$p_{a.b}$$Q^{I}$:$P_{y_{:}}^{I}=PIP+qI.-sx \sum xy_{:^{s}}xsy,\mu((Sz:)\not\in_{A}4Iz, Sx)q\frac{\ell(sx)-\ell(z)+1}{2}P_{y,z}I$:$P_{y.x}^{I}=(1+q)P_{y_{:^{s}}}^{I}- \sum_{)}x.\mu^{I}(_{S}:z\not\in A(\mathcal{Z}, Sx)q\frac{\ell(_{S}x)-\ell(z)+1}{2}P^{I}y:z$:$P_{y_{:}x}^{I}=qP_{y_{:}x}I \overline{s}I+P_{sy_{:^{S}}x}-(sz.\sum_{):\not\in A}\mu^{I}(z, sx)q\frac{\ell(sx)-\ell(z)+1}{2}P_{y_{:^{z}}}I$:の漸感吟$q_{a_{:}c}$$q_{b.c}$$q_{c_{:}c}$$q_{a.b}$に対して$P_{y_{:}x}^{I}=P^{I}sy:x$$y_{j}x\in V^{I},$ $s\in S$

:

に対して

$Q_{y.x}^{I}=Q_{y_{:}}^{I}s.x$:$Q_{y_{:}}^{I}x=-qQIy_{:^{S}}x+s_{:} \sum_{(z)\in A}\mu(I)y)zq\frac{\ell(z)-p(v)+1}{2}.Q\dot{1}|z,SxI$:$Q_{y_{:}x}^{I}=-qQ^{I}y_{:}sx+Q^{I}Sy:^{S}x+S \sum_{(\cdot:z)\in A4}\mu^{I}(y))Zq‘\frac{\ell(z)-\ell(y)+1}{2}Q_{Z}^{I}Sx$::$Q_{y.?j}^{I}=0$

注意 1) 文献 [Ir] では,

これらの応化式のそれぞれの上 3 つを$P^{I},$ $Q^{I}$の定義に採用している。
ではcase b) が生じないので
みとなり, これが original の Kazhdan-Lusztig の定義となる。

注意 2)$I=\emptyset$のときは,$P^{I}$$p_{a.c}$と$p_{C.C}$

の漸化式の

なお,

. $=1$$P_{x.x}^{I}=1,$ $Q_{x}^{I}.x$

および,$y\not\leq x$?は, 分かっている。
のとき $P_{y.x}^{I}=0,$ $Q_{yx}I=0$:

上の漸旧式を証明するには, $x\in V^{I}$ についてと分解できることを用いて, これに$C_{xw_{I}}’=( \sum_{z\in V^{I}}v^{\ell()(x)}-\ell P_{z_{:^{x}}}zI(v\mathit{2})\tilde{\tau}_{z})C_{w}’I$. を左からかけると,$\tilde{T}_{6}$

かを調べて係数比較などにより導くことができるが,(cf. [Na])どのように表示される

ここでは詳細は省略する。

130

4. グラスマン型の$V^{I}$の記述

ここでは, 次の節で述べる結果の説明のために $A_{n-1}$ の Coxeter 群である $n$ 次対称群 $W=S_{r\iota}$ の極大パラボリソク部分群$W_{I}$

による coset の最短元の集合 $V^{I}=W/W_{I}$を, 組合せ論的に記述する。 極大パラボリック部分群

は,$W_{I}$. の生成元である$S_{r\iota}$

互換 $s_{i}.=(i., i+1)$ の集合 $S=\{s_{i}.,|i=1,2, \ldots, n-1\}$ の中の一っ$I=S-\{sk\}$ で生成される $A_{k-1}\cross A_{n}-k-1$ 型の Coxeter 群である。

’$.\mathrm{s}_{k}$を除いた集合$(W_{I}\simeq s_{k^{\cross}}s_{r}\iota-k)$

剰余類の最短代表元は, 次のように記述できる。

2 つの文字$\alpha,$

ものの全体を$\beta$から成る長さ$V_{k.n-k}$

この集合と,$n$の文字列で,$\alpha$

の数が

$k$

個,

$\beta$の数が $n-k$ 個のとおく。

1 対 1 の対応を付けることができる。
の要素
を 1 っ選んだとき, その文字列の中で の部分を, 左から 1, 2, ..., とし,の部分を, 左から $k+1,$ $k+2,$とすることで, 1, 2, ..., の置換を得る。 この置換
$V^{I}=W/W_{I}$ に$V_{k_{:}n-k}$$k$$\alpha$

$..,$

は,

$W_{I}\backslash W$

$n$

$n$

の要素に対応するので,対応している$\alpha-\beta$$\beta$この逆元をとると$V^{I}$の元となる。 $x\in V^{I}$ に

列を $t(x)\in V_{k_{:}r\iota-k}$ で表すことにする。

例) $x=\in S_{6}/(S_{4}\cross s\mathit{2})$ に対して,$t(x)=\alpha\beta\alpha\beta\alpha\alpha$である。

三分律は, 次のように表現される。
に対して,$s_{i}$a)b)c)$t(x)=t1t2\cdots t\in nV_{k:}\gamma\iota-k$

のとき,

$k$

によらず

$(S_{i)}X)\in A\Leftrightarrow t_{i}=\alpha,$ $t_{i}+1=\beta$$(s_{i}, x)\in B\Leftrightarrow t_{i}=\alpha,$ $ti+1=\alpha$または,$t_{i}=\beta,$ $t_{i+1}=\beta$$(_{S_{i}}, X)\in C=t_{i}=\beta,$ $t_{i+}1=\alpha$

さらにこのとき, Bruhat order は, 次のように記述される。
$\alpha$を\\beta を/ として path で表示したとき、 path の上下関係が Bruhat order となる。 (始点を合わせると,例)$t(x)=\beta\alpha\beta\beta\alpha\alpha\alpha,$$y\leq x$$V^{I}$$\alpha$と$\beta$の数がそれぞれ等しいので終点も –致する)$t(y)=\alpha\alpha\beta\alpha\beta\alpha\beta$となるので,

のとき

である。

の最短元

$e$

となり,

については,$t(e)=\alpha^{k}\beta^{n-k}$

で,

最長元

$v_{I}$

については,$t(v_{I})=$

この 2 つで囲まれた長方形に正方形の格子を入れたときの lattice path に対応し, $t(x)$ と $t(e)$ でかこまれた正方形の数が の$\beta^{rl-k}\alpha^{k}$$V^{I}$

の任意の元

$x$

は,

$v$

長さ

$\ell’(x)$となる。 さらに,

この $t(x)$と $t(e)$ でかこまれる部分を見ることによりのすべての最短表示を作ることもできる。

$x$

131

5. グラスマン型の
ここでは,$P^{I}$と$Q^{I}$の組合せ論的記述$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{X}-\mathrm{s}_{\mathrm{C}}\mathrm{h}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{t}_{\mathrm{Z}}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$によるグラスマン型のを説明するのと同時に, 並行して対応する
は,$P_{v.\omega}^{I}$

を $P_{t(\text{切}で}$ ,$Q^{I}$

を $Qt(t(v)w)$ で表して,$Q_{v_{:}w}^{I}$$P^{I}$の組合せ論的記述の組合せ論的記述をする。 以下で添え字を列に変え, 上下が$\alpha-\beta$

Bruhat order と合うようする。
命題 グラスマン型 K-L 多項式
式に登場する $x’,x,x”$ などは$P^{I},Q^{I}$は, 次の等式 (変形規則) を満たす。 但し,

列を区切った部分列を表し, 上下で対応する部$\alpha-\beta$

分 (たとえば $x’$ と $y’$ ) の長さは等しいものとする。

正規化 (normalization)$(N_{1})$$Qx’\beta y’\alpha\beta y’\alpha x’,l=Qx\alpha\beta y’\alpha\beta y\prime x^{ll};$$P.\prime x\beta y’\alpha\alpha x\beta y^{ll};’=.P_{x’\beta,y’\beta\alpha y’’}.\alpha x^{l}l$

’

.

’

$(N_{\mathit{2}})$$Q_{x’}.\alpha\alpha y’\alpha\beta yx_{l}’,l=0$$P_{x’\alpha\alpha}..x’.’=P_{x}\prime y\beta l\alpha\alpha\alpha yx_{l}’.,$$(N_{3}.)$,$Q_{x’\beta\beta}.x\prime y\prime l’=0$$P_{x’\beta\beta x^{l}}.\prime\prime’=P_{x}.\prime y\beta’\alpha y\beta\beta x’,’$

簡素化 (simplification)
.

$(S)$

$Q_{x’xx’’ ,x’y\prime c^{;}}...’=Qxy$$P.’..\prime\prime xxxx’yx\prime\prime=Pxy$

直積分解 ($x’$と. $y’$ で path が閉じそこから $x”$ と $y”$ の path が始まるとき),(X)$Qx’y’yx”,,$$P_{xx,yy’’}.’,\cdot\prime\prime=P_{x’,y’}.\cross P_{x’,y’’}$

漸化式 (recurrence)

$c$

をくぼみ

$(R)$

$x’\alpha\beta_{X’}$’の$y’\alpha\beta y’’$,$=Q_{x’,y’}\cross Q_{x’’,y’}$に対する深さとするとき,’,$Q_{x’,y’\alpha\beta}\alpha\beta x’’.qQ=l’,\prime y\prime\prime yy\hat{_{-}}x,x$$P_{\mathcal{I}’,y’\alpha\beta y’}\alpha\beta x’,’=q^{c_{P_{x’}}}x^{\prime\prime+.\prime},,P_{x}y’yy’\beta\alpha y’\alpha\beta x’,$

および,

初期値

(I)
(0)

$Qx$
$=1x$

.

$P_{x,x}=1$$Pxy=0$if$Qxy=0$$y\not\leq x$

if$y\not\leq x$

漸化式 $(R)$ に現れるくぼみの深さ について説明する。 path 表示での部分をくぼみと言い, $y\leq x\in V^{I}$ について, path 表示に正方形格子を入れたに対してその下の の path までの間の正方形の数をときの の path のくぼみ
ここで,

$c$

$\alpha\beta$$x$$\alpha\beta$y(の path) に対する深さという。

$y$

132

$x$

の 2 つのくぼみめうち

左のくぼみの深さは 2,

右のくぼみの深さは 1 である。

この場合次のようにして,まず, 簡素化$(S)$$P^{I},$ $Q^{I}$により左端の$P_{x=P_{\beta\beta\alpha\beta\alpha}}\alpha\alpha\alpha\beta\alpha\alpha\beta\alpha\beta\beta\beta$$=P_{\beta\beta\alpha\beta\alpha\beta\alpha}\alpha$$\alpha\alpha\alpha VV^{-}V\beta\beta\alpha\beta\beta--r-$

さらに,$\beta$が計算できる。
は削除できる。

$\alpha\alpha a\beta$$P^{I}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

こついては,という部分に $(N_{2})$ を適用すると,となる。 ここで, 右側の深さ 1 のくぼみに $(R)$ を適用す,$\text{ると}$となる。第 2 項は, (X) によりの積に分解し, このうち後者は $(N_{1})$ と (I) よ$=qP_{\beta\beta,\alpha\alpha\alpha\beta}\alpha\beta\alpha\alpha+P_{\beta\beta\alpha\beta\alpha\beta}\beta\beta\alpha\alpha\alpha\beta\alpha\beta\beta\alpha\beta\alpha$

り 1 となるので,$=(q+1)P_{\beta\beta\alpha\beta}\alpha\alpha\beta$$=(q+1)(qP\beta\beta\alpha\alpha+P_{\beta}\beta\alpha.\beta\alpha\alpha)\mathit{2}\alpha\alpha\beta\beta\alpha\alpha\beta\alpha\beta\beta$–方$Q^{I}$:$\sim$となる。 この場合くぼみの深さ 2 なので $(R)$ から
以下, 同様$=(q+1)(q^{\mathit{2}}+q+1)$”$(_{\infty}$$(N_{1}))(N_{\mathit{2}}),$ $(N_{3})$長さの差を縮め,$(R)$$\mathrm{a}\text{て}$と (I) を利用して,$(N_{\mathit{2}})$

で異なり,

となる

命題に述べられたこれらの規則の証明には, 前述の,いられるが,を用’がわかる。

の方は, 同様に規則を当てはめはめて行こうとすると$Qx=Q_{\beta\beta\alpha\beta\alpha}\alpha\beta\alpha=0y\alpha\beta\beta\beta$$P_{\beta\beta\alpha\beta\alpha}\alpha \text{と}.P\beta\beta\beta\alpha\alpha\beta$

ここでは省略する。 ($P^{I}$$P^{I},$ $Q^{I}$については [La-SC],$Q^{I}l$の漸化式などが用
こついては [Na] を参照)

上の例では, 深さ 1 のくぼみに $q+1$ , 深さ 2 のくぼみに $q^{\mathit{2}}+q+1$ が対応していることが容易に想像されるが, 一般には少し修正したような形で,$x$の pathから作られる木によって記述することができる。 例では, 右端を伸ばして高さを揃え, これを左右から折りたたんで木を作る。 (この場合余分な両端は取り去る)

133

ここで,

木の枝の端はくぼみに対応し, そこに深さをる。 この枝に, 端から単調に減少するように枝に重み ($\mathrm{O}$$0$の中に入れて書いてあ以上の整数) を入れた図を考え, そのすべてを求める。. この場合は,となり, それぞれの図 $D$ についてその重み $wt(D)$ は, 枝に付けられた数の総和とする。 それらをる$q$のべきに乗せて加え合わせたもの $1+q+q+q^{\mathit{2}},+q^{\mathit{2}}+q^{3}$ が求めとなる。 この場合は, 枝の長さは 1 のものしかないが, –般に長さが 2 以上

$P^{I}$の枝については長さ 1 の枝がつながったものと見て, 長さ 1 の枝ごとに数を付ける。 (長さは, 正方形の 1 辺を 1 とする)

定理 (Lascoux-Schiitzenberger)$P_{x=}$$q^{\omega T}(D)$$\sum$$D$の path から作られた木の上に作られる可能な図$x$:定理の証明には, 前述の変形規則を用いればよい。 実質的には変形 $(R)$ により,注目するくぼみ$\alpha_{\mathit{1}}\theta$の深さが 1 つ減る項が出てくることに起因している。

注意) 上に述べた例の計算では,

つまり

$y$

の列で

$\alpha\beta$$(N_{2})$の適用により $(y)x)$ は正規化されたペア,となっている位置には,一般の場合でも $(N_{1}),$$(N_{\mathit{2}}))(N_{3}.)$

$x$

の列も

$\alpha\beta$となっているようにした。

を用いて変形すれば, 正規化されたペアとなるのでこの場合についてのみ考えればよい。
$Q^{I}$の場合は, 変形規則のうち,$(N_{2}),$ $(N_{3}.),$

前の例のように, 正規化をする過程で,合は,$Q^{I}=0$となる。 次に別の具体例で,$(R)$$(N_{\mathit{2}}),$$Q^{I}$の部分が$(N_{3})$$P^{I}$と異なってくる。

が適用できる状況になった場の計算過程を見る。

134

の場合は,

$Q^{l}$$y$の path を折りたたんで木を作る。 このとさ左力)んでゆく過程に, 変形規則が対応している。 この例では,る。 このときはさまれた$a_{1}=a_{\mathit{2}}$となった点との深さは 1 でこれを$\alpha\beta$. をくっつける。 このとき,

これを

はさんで

ができるが, その上は

$d_{1}$の位置の$\mathrm{O}$$d_{1}$の中に書く。 この$\beta\alpha$

なので,

まず

$(N_{1})$と$a_{1}$

順に折りたた$a_{\mathit{2}}$をくっつけの中に書く。 次に,の深さをはさむ位置のの位置の$a_{3}$

は 2 なので,$\alpha\beta$$b_{1}$$\mathrm{b}$$\mathrm{O}$$\alpha\beta$を取り除くと,$\alpha\beta$により,$\alpha\beta$$c_{1}=c_{\mathit{2}}$をに直すことができる。 このくぼみの深さは,て,$c_{1}=c_{\mathit{2}}$

このとき,

の位置の

$f_{1}$$\mathrm{O}$をはさむ

1 つ減って 1 となる。 これを取り除く変形に対応しの中に 1 を書く。 次に,をくっつける。
. と$a_{1}=a_{\mathit{2}}=a_{3}$$\alpha\beta$

も深さ 1 となるので,$a_{4}$の深さは 1 で, それを取り除いた後に$e_{1}=e_{\mathit{2}}$をはさむの中に 1 を書く。 このようにのペアを取り去ってゆくと, 最後に 1 個の正方形が残るが, これはにより深$\alpha\beta$

それぞれの位置の$f,$ $e$$\mathrm{O}$$\alpha\beta$$(N_{1})$

さ$0$のくぼみに変形される。 そこで,

$a$てえられる木の節に数の書かれた図をはすべて変形 $(R)$ による$Q^{I}$は,$q^{\mu f}t’(D’)$

$q$

の位置の

$D’$

$\mathrm{O}$

の中に

$0$

を書く。 このようにしとおく。 このとき,べきの指数なのでこの総和を,$\mathrm{O}$の中に書かれた数$wt’(D’)$ と書くと求めるとなる。 例では $Qxy=q^{6}$ となる。

定理
$q^{UJ}\tau’(D’)$$\mathrm{E}D’\hslash^{\grave{\grave{\rangle}}}(\text{ノ}\mathrm{F}h6^{\underline{\mathrm{J}}}’\doteqdot$$Q_{I,y}=\{$$\mathrm{E}$$D’il\grave{\grave{>}}(\not\subset\hslash 7^{\mathrm{L}}f\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash -\nu\not\equiv$$0$$(N_{\mathit{2}}),$

実際には,$wt’(D^{l})$

の計算法や

$0$

$(N_{3})\mathit{0}\supset_{1}\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}k>\mathrm{R}$

(ffi

et 6

$0\ovalbox{\tt\small REJECT} L\oplus_{\backslash }\mathrm{C}\mathrm{p}T$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{ロ}^{}\mathrm{A}}$,)となる判定について精密化することもできる。

各節点に付ける数の制約条件は,(1) 1 つの節から出る枝の先には, すべて同じ数が付く(2) 枝の両端の数は等しいか, または根から遠い方が近い方より 1 つ大きいかのいずれか。

(3) 根に付いた枝の端には$0$が入り, そこから出る枝の端には 1 が入る。

となり, 逆にこの条件を満たすものに対し正規なペア $(y)x)$ が再現できる。 但し,
$x$

と

$y$

の path で囲まれた部分がいくつかに分離している場合は,とに考えるものとする。 ($Q^{I}$

その連結成分ごを求めるには (X) を適用すればよいので)

135

最後に,

ここで述べたグラスマン型の$Q^{I}$の記述については, 元々 $A$ 型のヘソケ環の Specht

加群の自然な基底と Kazhdan-Lusztig 基底の変換行列として,$Q^{I}$

が登場するという結果 [Na] のうちの具体的な計算例として用意したものである。

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