九州大学大学院総合理工学府報告第 33 巻 第 4 号 1-5 頁 平成 24 年 2 月Engineering Sciences Reports, Kyushu University
Vol.33, No. 4, pp.1-5, FEB, 2012

冪型斥力ポテンシャルのモデルとボーズ・アインシュタイン凝縮体の有効相互作用
大田 彰＊1，† ・ 坂口 英継＊2
(平成23年12月12日 受理)

Model of Power-law Repulsive Potential and Effective Interaction of
Bose-Einstein Condensates
Akira OHTA ， Hidetsugu SAKAGUCHI
E-mail of corresponding author: ohta@photon.jst.go.jp†Bose-Einstein condensation was realized in dilute gases of Alkali metals and Hydrogen atoms.
The scattering length can take a positive or negative value by a subtle change of parameters even if
the atomic interaction is always the attractive Van der Waals potential. The scattering length
determines the effective interaction in BECs, i.e., the effective interaction is attractive (repulsive)
when the scattering length is negative (positive). In this paper, we propose a model system in which
the atomic interaction potential obeys a repulsive power law in the long range, and obtain theexpression of the scattering length of this model analytically.
Key words: Bose-Einstein condensation，Power-law repulsive potential, Repulsive atomic interaction,

Scattering length,

1. 緒 言相互作用対象の2原子を重心座標系で見た時の2原

著者等はボーズ・アインシュタイン凝縮（BEC）研子波動関数を1原子波動関数の直積で近似し、さらに究の一環で、希薄気体状粒子集団内の相互作用ポテン

対象がBECであることから1原子波動関数を基底状態シャルが正になるような系の有無とその振る舞いに興と見て各位置座標に関する球対称と仮定すると、𝑉の1味を惹かれ本研究に取り組んだ。1995年にWieman，

次摂動エネルギーは𝛽が奇関数であることから自動的

Cornell，Ketterleの実験よって 87Rｂ希薄気体でBECに0になる。

が実現して以来、今日までに多くのアルカリ金属原子従って発生するエネルギーの大部分は基底状態に対および水素原子でBECが創り出されている。これらにする2次摂動による寄与であり、これは式の上で分母共 通 す る の は 原 子 間 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャ ル 𝑈がにくるエネルギー準位差の項が𝐸0−𝐸𝑛<0であること

𝑈(𝑟)=−𝛼𝑟−6(𝛼>0)の形をしている点である。ファンデから、上記のようにアワルス・ポテンシャル（VWP）と呼ばれる負のポテ𝑈(𝑟)∝−(𝛽𝑟−3)2∝−𝛼𝑟−6(𝛼>0) となる。

ンシャルで、これら原子をその電荷配置から電気双極BECの研究はグロス・ピタエフスキー方程式をベー子とみなすことで導かれる。この双極子の対が形成すスに行われるのが普通である。この式はハミルトニアる相互作用場𝑉は、それが無いとした時のハミルトニンに原子間相互作用のエネルギーに相当する非線型項アン𝐻0に対する摂動として扱われる。𝑉=𝛽𝑟−3の形であ𝑈0|𝛹|2を含む。𝑈0は有効相互作用と呼ばれ、一般的にり、𝛽は双極子ベクトルの各成分の奇関数になる。

は定数4𝜋ℏ2𝑎/𝑚を当てることが多い。ここに𝑚は換算質量，𝑎は散乱長である。定数である𝑈0は散乱をボル＊1 量子プロセス理工学専攻博士課程

ン近似で扱った時の第1近似として得られる。散乱長（現在（独）科学技術振興機構）

𝑎は散乱後の波動関数が無限遠で（規格化定数を除き）概ね次の式で表されることに由来する。

＊2 量子プロセス理工学専攻𝑎𝛹(𝑟) → 1 − 𝑟(𝑟 → ∞)

（1）

2

冪型斥力ポテンシャルのモデルとボーズ・アインシュタイン凝縮体の有効相互作用

𝑈(𝑟)がＶＷＰのように負の場合には、𝑎は正にも負2. 散 乱 長 の 解 析にもなり得る。𝑈(𝑟)=−𝛼𝑟−𝑛(𝛼>０，𝑛>2)に対して、適対象とする斥力ポテンシャルのモデルをＶＷＰとの当な仮定の下に得られた解析的な式が次のように報告

対比から冪型とし、𝑈(𝑟)=𝛼𝑟−𝑛(𝛼>0)と設定する。𝑛のされている1）。

値が２を境にして、𝑛>2，𝑛<2，𝑛=0のケースで結果𝑛−3)
𝛤(𝑛−20 𝑛−1)
𝛤(𝑛−2𝑎=𝑟12𝑛−2(𝑛−2)𝜋𝑛𝜋tan ,𝑧𝑐 − 4(𝑛−2)-+𝑧𝑐 =2𝜋(sin 𝑛−2) *cot 𝑛−2 −𝑛−2𝑟0 2( )𝑛−2 𝑟𝑐が異なるので、これら３つのケースに分けて解析する。
（実は、このような違いはポテンシャルが冪型であれば負の場合も同様である）。

（2）
2.1（3）

ここに、𝑟𝑐はポテンシャル𝑈(𝑟)に課せられた条件に関するもので、𝑈(𝑟)=−𝛼𝑟−𝑛がそのまま成り立つのは𝑟>𝑟𝑐の範囲であって、𝑟≦𝑟𝑐では𝑈(𝑟)→∞になるとするものである。これは𝑟=𝑟𝑐に剛体の壁があることを意味

𝑛>2 のケース

以下の計算は（2）式を導いた論文1）を参考にしている。出発点となる式は相互作用する2粒子の重心座標系におけるシュレーディンガー方程式である。
ℏ2,− 2𝑚 𝛻 2 + 𝑈(𝑟)- 𝛹(𝑟) = 𝐸𝛹(𝑟)（4）

ここに、𝐸=ℏ2𝑘2/2𝑚である。BECを想定しているのする。互いの粒子がそれ以上近づけない限界で、古典で、これら2粒子には外部からトラップ・ポテンシャ的な粒子固有の大きさのイメージである。（2）式右

ルが印加されているが、相互作用の効果が顕在化する辺のtan項の引数中の𝑧𝑐の値の違いで𝑎の符号が劇的に距離では2粒子に作用するポテンシャルはほぼ同程度変化することが分かる。𝑈0は𝑎に比例し、𝑎>0なら斥力、と見なせるので、重心系の式では除外しても差し支え𝑎<0なら引力の相互作用になる。実験で求められた𝑎ない。演算子を極座標で表記し分離定数に𝑙(𝑙+1)を用の値が水素および多くのアルカリ金属原子について報いると、𝛹(𝒓)は動径成分𝑅𝑙(𝑟)と角度成分𝐾(𝜃,𝜑)に分離告されており、それらが参考文献2）にまとめて転載できる。𝐾(𝜃,𝜑)は良く知られた球面調和関数で表されされている。同じ元素でも同位体間で𝑎の値が異なり、る。𝑙は0または正の整数で物理的には方位量子数であ

また、２原子の最外殻電子のスピンが互いに一重項状る。BECではほとんどの粒子は基底状態にあるので運態の場合と三重項状態の場合とで符号が変わる等のバ動エネルギーは本来小さく、また相互作用はｓ波散乱ラエティーが見てとれる。（2）式および（3）式上でが中心と考えられる。従って、𝑘≒0，𝑙=0と置くことがは、これらの物理状態の違いは𝑟0及び𝑟𝑐の違いとなっできる。この時の動径関数を𝑅0(𝑟)=𝑅(𝑟)とおき、さらて現れる。（2）式は定性的ながら測定結果をよく説明していると言える。に𝜒(𝑟)=𝑟𝑅(𝑟)と変換して、𝑈(𝑟)=𝛼𝑟−𝑛を代入すると（4）式は次のように簡略化される。

このように、これまでのBEC研究は原子間相互作用ポテンシャル𝑈(𝑟)が負の対象に関するものが圧倒的に多く、𝑈(𝑟)が正になる系に関するものは極めて尐ない𝑑2 𝜒(𝑟)𝑑𝑟 22𝑚𝛼− ℏ2 𝑟 𝑛 𝜒(𝑟) = 0（5）ように見受けられる。実験研究が第1族原子中心であっ

ここで、𝑈(𝑟)に一つの条件を仮定する。（3）式のたことと無関係ではないであろう。ただ、これら以外𝑟𝑐を設定したのと同じ条件を想定し、式𝑈(𝑟)=𝛼𝑟−𝑛がそでBECが実現している原子は皆無というわけではない。の ま ま 成 り 立 つ の は 𝑟>𝑟𝑐 の範 囲 で あ り 、 𝑟≦𝑟𝑐 で は4Heの超流動がそうである。構成原子の一部がBECにな𝑈(𝑟)→∞になるとするのである。これにより波動関数っているとされ、超流動状態にある原子間には強い斥は𝜒(𝑟𝑐)=0でなければならない。以下、この境界条件の力が働いていることが知られている。 4Heの電子配置、下に（5）式を解く。次に示す𝑟0を用いて𝑥=𝑟/𝑟0とおきとりわけ最外殻はアルカリ金属や水素と異なる。とす（5）式を無次元化する。

れば、相互作用が同じ斥力でもその元にあるポテンシ
ャルは形が違っているかもしれない。ひょっとしたら𝑈(𝑟)>0になっているのではないか？

こうした疑問が生じても不思議ではない。これが本研究の発端である。具体的には次の点に注力した。すなわち、適当な斥力ポテンシャルのモデルを設定し、それに対する散乱長𝑎の表現式を解析的に導き出すことである。これについて一応の結果を得たので以下に報告する。

2𝑚𝛼1𝑛−2𝑟0 = ( ℏ2 )（6）

𝜒ʺ(𝑥) − 𝑥 −𝑛 𝜒(𝑥) = 0（7）

次に（7）式をなんとかWell-knownな微分方程式に変換することを考える。具体的には、𝜒=𝑥𝛽𝑓(𝑦)，𝑦=𝑥𝛾とおいて、𝛽，𝛾を然るべく選ぶことを試みる。これらが都合よく決まるという保証は先験的には無いが、方平成 23 年度

九州大学大学院総合理工学報告法としてはよく用いられる方法である。本ケースでは、
𝛽=1/2，𝛾=(2－𝑛)/2と選ぶとうまく既知方程式に変換

第 33 巻𝑛−3)𝑛−20 𝑛−1)
𝛤(𝑛−2𝑎=𝑟できることが導かれる。

3第4号

𝛤(2𝑛−21(𝑛−2)𝜋(1 + 2𝑒 −2𝑧𝑐 sin 𝑛−2)（11）

これらを用いて更に𝑦=(𝑛－2)𝑧/2と変数変換し、𝑓(𝑦)=ℎ(𝑧)とおくと、（7）式はℎ(𝑧)に関する微分方程式として次のように書き換えられる。
𝑑2 ℎ(𝑧)𝑑𝑧 2

1𝑑ℎ(𝑧)

𝑧𝑑𝑧+ ·ここに、𝑧𝑐の表式は（3）式に等しい。以上の結果はまさに緒言に述べた（1）式の描像に他ならない。そして、この（11）式が𝑛>2のケースの求める散乱長で1+ ,−1 − (𝑛−2)2 2- ℎ(𝑧) = 0𝑧ある。この散乱長は𝑧𝑐の値に関わらず常に正に保たれる。すなわち（ここで得られた結果によれば）、相互この式は因子1/(𝑛－2)の部分を𝜈と表記したものが作用ポテンシャルが正ならば粒子間相互作用は必ず斥

有名で、変形ベッセル方程式と呼ばれる。解ℎ(𝑧)は変力であり、引力になることはない。これは実際にアル形ベッセル関数𝐼𝜈(𝑧)とそれを用いた関数𝐾𝜈(𝑧)との線

カリ金属や水素原子で実現しているBECとは異なる型結合で表される。

特徴と言える。
𝑧 𝜈+2𝑘1𝐼𝜈 (𝑧) = ∑𝑘=0 𝑘!𝛤(𝜈+𝑘+1) (2)2.2𝜋𝐾𝜈 (𝑧) = 2 sin 𝜈𝜋 *𝐼−𝜈 (𝑧) − 𝐼𝜈 (𝑧)+𝑛<2 のケース

𝑛<2の場合は変数𝑧の表式が本質的に変化する。特に重要なのは（10）式の分母子の𝑟と𝑟0が入れ替わること従って、本ケースの解は𝐴，𝐵を定数としてである。

ℎ(𝑧) = 𝐴𝐼 1 (𝑧) + 𝐵𝐾 1 (𝑧)𝑛−2（8）𝑛−2𝑧=となり、元の𝑅(𝑟)に戻すと次の式が得られる。
1𝑟（9）0の比が決まる。𝑧が大きい範囲（即ち𝑟≪𝑟0）では𝐼𝜈(𝑧)，𝐾𝜈(𝑧)はそれぞれ次の漸近形で近似できる。一般に𝑟𝑐≪𝑟0であるから、比𝐴/𝐵はこれらの漸近形で表すのが𝑟2−𝑛2( )2−𝑛 𝑟0（12）𝑟が大きい範囲での近似形が𝑛>2のケースと逆になる。ているように負の数になるが、変形ベッセル関数は複素関数として定義されているので特に問題はない。途中の計算は𝑧が正の数の場合と同じように進めることができる。波動関数は（8）式と同様の形式で次のように表される。

ℎ(𝑧) = 𝐴2 𝐼 1 (𝑧) + 𝐵2 𝐾 1 (𝑧)妥当である。
𝑒𝑧2−𝑛𝜋√2𝜋𝑧， 𝐾𝜈 (𝑧) ≈ √2𝑧 𝑒 −𝑧𝜋𝑒 𝑧𝑐𝑐√2𝜋𝑧𝑐≈ −√2𝑧 𝑒 −𝑧𝑐 (𝐵−1)

𝐾 1 (𝑧) =2−𝑛= −𝜋𝑒 −2𝑧𝑐は無限級数の初項で近似できるので次のように書ける。
1𝜋𝜋2−𝑛2 sin{𝐼 −1 (𝑧) − 𝐼 1 (𝑧)}2−𝑛2−𝑛た式）を代入すると、比𝐴2/𝐵2が決まる。|𝑧|≪1の範囲での近似形は次のように表されるので、比𝐴2/𝐵2は以下の（14）式で与えられる。

𝑧 𝜈𝐼𝜈 (𝑧) ≈ 𝛤(𝜈+1) (2)13−𝑛−11−𝑛−1𝐼 1 (𝑧) ≈ ,22−𝑛 𝛤 (2−𝑛𝜋（13）2−𝑛境界条件の式ℎ(𝑧𝑐)=0に𝑧𝑐（（12）式に𝑟=𝑟𝑐を代入し一方、𝑧が小さい範囲（即ち𝑟≫𝑟0）では、𝐼𝜈(𝑧)，𝐾𝜈(𝑧)1𝑧 −𝜈𝐾𝜈 (𝑧) ≈ 2 sin 𝜈𝜋 ,𝛤(−𝜈+1) (2)1𝑧 𝜈− 𝛤(𝜈+1) (2) -よ って、 𝑟→∞の領 域では 波動 関数の動 径成分は𝑅(𝑟)≈𝑐(1－𝑎/𝑟)と表され、𝑎は次のようになる。（𝑐は定数）−2表記されるものに変わる。変数𝑧は（12）式に示され（10）

この式に𝑟=𝑟𝑐を代入すると𝑅(𝑟𝑐)=0であるから𝐴と𝐵

𝐴=解の基本となる変形ベッセル関数も𝜈=1/(2−𝑛)として

𝑛−2𝑟0 2𝑧 = 𝑛−2 ( 𝑟 )𝐼𝜈 (𝑧) ≈2−𝑛2−𝑟( 0)2−𝑛 𝑟

これにより、波動関数の𝑟が小さい範囲での近似形と12𝑅(𝑟) = ( ) ℎ(𝑧)𝑟 𝑟2−2)2−𝑛−1𝐼 −1 (𝑧) ≈ ,22−𝑛 𝛤 (2−𝑛)2−𝑛𝐴2≈𝐵2𝜋𝜋2 sin2−𝑛−1−22−𝑛{1 − (2−𝑛)1𝑧 2−𝑛−1𝑧 2−𝑛·3−𝑛)2−𝑛1−𝑛)𝛤(2−𝑛𝛤(𝑟· 𝑟0 }𝑐（14）

4冪型斥力ポテンシャルのモデルとボーズ・アインシュタイン凝縮体の有効相互作用

一方、|𝑧|が大きい範囲（すなわち𝑟が大きい範囲）

𝑏1≒0，𝑏2≒1と近似できるので、𝜒(𝑟)≈𝐴3+𝐵3𝑟となり、での波動関数の近似形は次のようになる。

ℎ(𝑧) ≈ 𝐴2𝑒𝑧

ここで、𝑛<2のケースと同様、𝛼≪1を要請すると、𝜋√2𝜋𝑧+ 𝐵2 √2𝑧 𝑒 −𝑧𝜒(𝑟)𝑅(𝑟) =

さらにここで、𝑟が大きい範囲でも尚且つ|𝑟/𝑟0|≪1とみなせるほど𝑟0が大きい場合を想定する。これは（6）式の𝑛<2の場合の定義に照らして𝛼≪1であることを意味する。この場合、𝑒±𝑧→(1±𝑧)と近似できるので、これを用いると元の波動関数𝑅(𝑟)は次のようになる。

𝑟𝐴

1𝐵3𝑟≈ 𝐵3 (1 + 3 · )が得られる。散乱長𝑎は（16）式より次のようになる。
𝐴𝑎 = − 𝐵3 ≈ 𝑟𝑐
3>0（17）

この𝑛=2及び2.2節の𝑛<2のケースの結果は既述のように（当該式を記述している単位系での値として）

1𝑟0𝑛4𝑅(𝑟) ≈ 𝐶2 𝑟 ( 𝑟 )0𝑛2−𝑛 𝜋+(𝐴 ⁄𝐵 ) 𝑟 1− 2{1 + ( 2 ) 𝜋−(𝐴2⁄𝐵2 ) ( 𝑟0 ) }22−1

𝛼≪1が成り立たなければ有効でない。このことは次のような状況を反映していると思われる。すなわち、例
えば斥力のクーロン・ポテンシャルのような強力（𝛼𝐴2𝐶2 = 𝐵2 √𝜋(2−𝑛) (𝜋 − 𝐵 )が大きい）で且つ距離に対する減衰率の小さいポテン

2シャルの下では、そもそも相互作用する２原子が原子

𝐶2は複素数であるが波動関数は元来複素数で表され固有の大きさのスケール程度の距離まで近づくことはるものであるから問題ない。𝑟0/𝑟𝑐≫1であるから（14）ないということである。従って、こうした場合の解析式より|𝐴2/𝐵2|≫1とみなせる。これにより、に𝑟𝑐という量を持ち込むのは意味がない。しかし、ポ1𝑛𝑟0 4𝑅(𝑟) ≈ 𝐶2 𝑟 ( 𝑟 ) {1 − 𝑟00𝑛1−2𝑛1(1 − 2) 1−𝑛 }𝑟2となり、波動関数としてほぼ（1）式に近い形の式が得られる。散乱長𝑎は概ね次のように表される。
𝑛𝑎 ≈ (1 − ) 𝑟021−𝑛2を持つことは有り得るであろう。以上のような意味で、𝑛≦2のケースに対する本解析は解析自体の適用可能範囲を自ら示すものになっていると言える。但し結果の妥当性如何は別問題と言わなければならない。

（15）
3. 考 察ここに得られた𝑎の値は常に正である。その意味では極く定性的ながら、想定される物理状態に矛盾するものでないことは明らかである。しかし、途中の計算は𝛼≪1を要請するものであり、そうした場合にのみ適用できるものであることに留意しなければならない。

2.3

テンシャルが極めて微弱であれば𝑟𝑐がそれなりの意味負のポテンシャルであるVWPの下でどうして原子間相互作用が斥力になることがあるのかについて尐し考えてみる。要因はやはり互いの原子がそれ以上近づくことのできない“コア”の存在であろう。参照した
論文1）や本稿ではその半径を𝑟𝑐という1個の数値で代表させている。そのためポテンシャル曲線の勾配が𝑛=2 のケース

𝑟=𝑟𝑐で不連続になっているが、これはあくまで解析を𝑛=2の場合は微分方程式（5）の性質が上記２つのケ容易にするための近似によるもので、実際はもっと複ースと著しく異なる。（6）式のように𝑟0を定義できな雑な式ながら滑らかな曲線になっているはずである。

いことがそれを示している。しかし、解はすぐ求まる。

模式的に言えば、ある位置で極小値をとり、それ以遠𝑏を０或いは１以外の任意の実数として𝜒(𝑟)=𝑟𝑏というでは概ね−𝛼𝑟−6(𝛼>0)の関数形であるが、極小値より原単純な形の特解を持つからである。𝑏の値は２つあり、点寄りの領域では勾配が逆転して𝑟→0の近傍でポテン

𝐶３=２𝑚𝛼/ℏ２とおくと次のようになる。

シャルが急激に正方向に増大するような曲線であるこ

1𝑏1 = 2 (1 − √1 + 4𝐶3 )とが推測される。ここで、極小値の位置を便宜的に

𝑏2 = 2 (1 + √1 + 4𝐶3 )𝑟=𝑟𝑆とおくと、VWPは𝑟のマイナス6乗という高次の冪1

よって、解は次のように表される。さらに境界条件関数であるため、𝑟𝑆の近くでは有意義な値を持つが、𝜒(𝑟𝑐)=0より比𝐴3/𝐵3が決まる。

それから尐し遠ざかると急速に0と近似して差し支え𝜒(𝑟) ≈ 𝐴3 𝑟 𝑏1 + 𝐵3 𝑟 𝑏2ない程度の値になってしまう。従って相互作用はかな

𝐴3𝐵3𝑟𝑐 𝑏2= − 𝑟 𝑏1 = −𝑟𝑐 √1+4𝐶3𝑐り近接的である。ちなみにグロス・ピタエフスキー方（16）程式を導いた理論では相互作用は2原子の位置座標𝒓1，𝒓2のデルタ関数𝛿(𝒓1−𝒓2)として扱われている。この近平成 23 年度

九州大学大学院総合理工学報告

接型（というより寧ろ接触型と言った方が相応しいような）相互作用のために、2原子がどれくらいの距離まで近づけるかが大きな分岐点になる。𝑟=𝑟𝑆付近までの接近であれば相互作用は引力のままであるが、それを或る程度以上越えて近づくことになれば劇的に斥力に変わってしまうからである。この距離はそれぞれの最外殻電子どうしの相互関係、特にスピン状態にも依存する。一重項状態の方が三重項状態より“親和性”が高いために、より近くまで接近できるであろう。参考論文1）の解析では最外殻電子のスピンは考慮されていないが、結果としてそうした微妙で且つ劇的な変化をもたらすことが、ベッセル関数を用いて得られた波動関数の𝑟=𝑟𝑐付近における激しい振動状態に現われている。以上がVWPの下で斥力の相互作用が生じる理由である。
これに対して斥力ポテンシャルの場合は“コア”の存在を含めて𝑟の全域で斥力のままである。従って相互作用は常に斥力であり、引力の相互作用が生じる余地はない。得られた波動関数を見ても変形ベッセル関数は𝑟=𝑟𝑐付近で振動することはなく、VWPに対するベッセル関数のような劇的な変化はもたらさない。

4. 結 言粒子間相互作用ポテンシャルが正のモデルを設定し、それに対する散乱長の表現式を解析的に導いた。散乱長は常に正で負になることはない。
いずれの内容も理論的なもので実験によるものではない。また、設定したモデルもあくまで計算上のもので、実在のどのような原子あるいは分子がそうしたモデルに適合するのかについては未検討である。散乱長の計算の中で導入した因子𝑟𝑐も現時点では数学的パラメータに過ぎず、測定可能な物理量にまで内容を高める研究が残っている。これらは今後の課題としたい。
行った解析は半量子力学的であり、且つ計算は初等的である。しかしながら、そうしたレベルではあっても得られた結果は一応物理的検討に値するものと信じる。
これらの結果の正否が実験によって検証されることを望むものである。

参 考 文 献1) G.F.Gribakin and V.V.Flambaum，Phys.Rev. A48，546（1993）.
2) C.J.Pethick,H.Smith，"Bose－Einstein condensationin dilute gases", Cambridge university press，（2002） （町田一成訳：“ﾎﾞｰｽﾞ･ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝ凝縮”，吉岡書店（2005），pp.139－141）

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