第５章

原子核の幾何学的な形
担当：土居原子核より小さな物体の内部構造を調べるのには、電子散乱が適している。

• 電子は現在では内部構造を持たない点状の粒子。
• 電子と他の粒子の相互作用は電磁相互作用なので、QED によって正確に計算できる。
1• 電磁相互作用の結合定数は α ∼ 137
なので、高次の補正の効果が小さい。

5.1

電子散乱の運動学

・電子散乱の実験では相対論的効果を無視出来ない ⇒ 計算は４次元ベクトルで行う。

x= (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x)
E
p = (p0 , p1 , p2 , p3 ) = ( , p)cx：４次元ベクトル、x：３次元ベクトル(5.1)

４次元ベクトル a, b のスカラー積 a · b はa · b = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 = a0 b0 − a · b(5.2)

で定義されて、ローレンツ不変である。p2 も不変なので、p = 0 の時 E = mc2 より、

p2 =E2− p2 = m2 c2c2√
p2m=c(5.3)(5.4)

m：静止質量、不変質量(5.3) と (5.4) から相対論的なエネルギーと運動量の関係が得られる：
E 2 − p2 c2 = m2 c4(5.5)

E ∼ |p|c(5.6)

E ≫ mc2 ならば(5.6) は電子の場合数 MeV で成立。
・４次元運動量 p の電子が４次元運動量 P の粒子によって散乱される場合を考える。(図 5.1)
仮定：

• 弾性散乱 ⇔ エネルギー (と運動量) が保存• 高エネルギー ⇔ E ∼ |p|c, E ′ ∼ |p′ |c
実験室系では散乱された電子のエネルギー E ′ はE′ =E
1 + MEc2 (1 − cos θ)(5.15)となる。θ は散乱角、E − E ′ は反跳エネルギー。標的が重くて電子のエネルギーが高い程 E ′ の角度依存は強くなる。(図 5.2)

1

5.2

ラザフォードの散乱断面積・エネルギーが E の電子が電荷 Ze の原子核により散乱される場合を考える。
仮定：• 原子核が重く、電子のエネルギーがあまり大きくない ⇒ 反跳エネルギー無視• スピンを無視• Ze≪1⇒ ボルン近似 ⇒ 波動関数は平面波で記述
入射電子及び散乱後の電子の波動関数 ψi と ψf は1
ψi = √ eip·x/ℏ ,V′1
ψf = √ eip ·x/ℏ
V

(5.18)とできて、V は散乱中心に比べて十分大きな体積である。(規格化のための量)
黄金律 (4.19) より、

σva
2πdn=W =|⟨ψf |Hint |ψi ⟩|2VℏdEf(5.20)

を得る。また、反跳は無視しているから、dEf = dE ′ = dE である。
式 (4.16) より、dn(|p′ |) =(5.20) と (5.21) より、
σ4π|p′ |2 d|p′ |V(2πℏ)3(5.21)

va
2πV |p′ |2 d|p′ |=|⟨ψf |Hint |ψi ⟩|24πVℏ(2πℏ)3 dE ′σ → dσ, 4π → dΩ として、
dσva
2πV |p′ |2 d|p′ |=|⟨ψf |Hint |ψi ⟩|2dΩVℏ(2πℏ)3 dE ′(5.22)′

速度 va はよい近似で光速 c に置き換えられて、|p′ | ∼ Ec とすると、

dσV 2E′=|⟨ψf |Hint |ψi ⟩|2dΩ(2π)2 (ℏc)42(5.23)

・|⟨ψf |Hint |ψi ⟩|2 の計算
スピンの効果を無視して、入射粒子は原子核が作るクーロンポテンシャルのみを受けるとすると、Hint = eϕ である。運動量移行 q を
q = p − p′とすると、|⟨ψf |Hint |ψi ⟩| =eV(5.25)∫
ϕ(x)eiq·x/ℏ d3 x(5.26)と書ける。
ここで、グリーンの定理：∫(u∆v − v∆u)d3 x = 0(5.27)が成り立つ。更に、ポテンシャル ϕ(x) は電荷密度 ρ(x) とポアソン方程式：∆ϕ(x) = −2ρ(x)ϵ0(5.30)

で結びつけられる。

ρ(x) = Zef (x) によって電荷分布関数 f を定義すると、行列要素は (5.26),(5.27),(5.30) から、∫Z · 4παℏ3 c|⟨ψf |Hint |ψi ⟩| =f (x)eiq·x/ℏ d3 x(5.31)|q|2 · V∫と書きなおせて、f (x)eiq·x/ℏ d3 x

F (q) =(5.32)は電荷分布の形状因子と呼ばれ、電荷分布関数 f (x) のフーリエ変換になっている。
ラザフォードの散乱断面積の計算では、標的は点状の粒子とする。すると、電荷分布は δ 関数になり、形状定数は１である。
今、反跳を無視しているので、

E = E′,|p| = |p′ |(5.34)2Eθθ=
sin2c2(5.35)が成立する。すると、|q| は計算できて、|q| = 2|p| sinとなる。

以上より、相対論的なラザフォードの散乱公式が得られる。
( )dσZ 2 α2 (ℏc)2=dΩ Rutherford
4E 2 sin4 θ2(5.36)・電磁相互作用で交換された光子のドブロイ波長 λ/2π は、λ/2π =ℏℏ
1=|q||p| 2 sin θ2(5.37)

もし λ/2π が標的粒子の空間的な広がりよりもずっと大きければ、標的の内部構造の情報は分解されない。

5.3

モットの散乱断面積

モットの散乱断面積：電子散乱を電子スピンを考慮に入れて記述( )∗( )dσdσθ=· (1 − β 2 sin2 ),dΩ MottdΩ Rutherford
2β=vc∗ 印は、この公式では原子核の反跳が考慮されていないことを示している。
β → 1 の極限では、( )∗( )
θdσdσ
θZ 2 α2 (ℏc)2cos2=· cos2 =dΩ MottdΩ Rutherford
224E 2 sin4 θ2
ここで、ヘリシティh を

h=s·p|s| · |p|(5.39)(5.40)(5.41)

を定義する。ヘリシティは Dirac 方程式から保存量であることが知られている。
原子核のスピンが 0 の標的と θ = 2π の散乱をする場合を考えると、ヘリシティの保存則は角運動量の保存則と矛盾する。よって θ = 2π の散乱は起きない。式 (5.40) はこれをよく表せている。

3

原子核の形状因子

5.4

大きな |q| の散乱では、実験で得られる断面積はモットの断面積よりも小さい。これは標的が空間的に広がりを持つ事に起因している。
空間的な広がりは形状因子 (式 (5.32)) によって記述できる。以下では球対称な系を考えることにする。よって形状因子は運動量移行 q の絶対値のみに依存し、F (q 2 ) と書ける。なぜなら、∫F (q) = f (x)eiq·x/ℏ d3 x(5.43)
であり、球対称な場合には半径 r = |x| にのみ依存するので、積分を実行して、∫F (q 2 ) = 4πf (r)sin( |q|r4πℏ3ℏ ) 2r dr =|q|r|q|3(∫fℏℏx|q|)
x sin xdxとなるので、F は F (q 2 ) と書ける。また、規格化は、∫4π f (r)r2 dr = 1(5.44)(5.45)である。
・実験では、形状因子の絶対値はモットの散乱断面積と実験で得られた断面積の比として決定される：(dσdΩ()=expdσdΩ)∗· |F (q 2 )|2(5.42)

Mott

原理的には、実験によって決定された形状因子から、逆フーリエ変換によって動径方向の電荷分布が得られる：

1f (r) =(2π)3∫F (q 2 )e−iq·x/ℏ d3 q(5.46)

実際は形状因子は運動量移行 |q| の限られた領域でしか測定できない。

f (r) のいくつかのパラメータを選んで F (q 2 ) を計算し、F (q 2 ) の測定データと比べて十分よく一致するまでパラメータを変える。f (r) が単純な関数で与えられたら、形状因子は解析的に計算できる。(表 5.1, 図 5.6)・半径が R で一様な球の場合、断面積の極小値は|q| · R∼ 4.5ℏ(5.47)のところに来る。これより、原子核の拡がりを直接計算できる。
・また、q 2 → 0 での形状因子の振る舞いによっても原子核の半径に関する情報は得られる。F (q 2 )を|q|·rℏ (≪ 1) で展開して、F (q 2 ) = 1 −1 q 2 ⟨r2 ⟩+ ··· ,6 ℏ2

平均自乗半径 ⟨r2 ⟩ = 4π

∫ ∞r2 · f (r)r2 dr(5.50), (5.51)0とできる。よって、⟨r2 ⟩ = −6ℏ2dF (q 2 )|q2 =0dq 2(5.52)が成り立つので、非常に小さな q 2 まで形状因子を測定すれば ⟨r2 ⟩ を決めることができる。

45.5

非弾性散乱

弾性散乱では標的は反跳エネルギーを受け取るだけで、より高いエネルギー状態に励起されることはない。散乱角を固定すると、入射エネルギーと散乱後のエネルギーは式 (5.15) により一意に定まる。
しかし実際に実験をすると、反跳に対応するエネルギー移行だけでなく、より大きなエネルギー移行の散乱も観測される。これは非弾性散乱によるものである。(図 5.9)

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