数理解析研究所講究録 1223 巻 2001 年 33-36

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ショットキイ群の極限集合のハウスドルフ次元
静岡大学大学院理工学研究科

吉田直司

Graduate School of Science and Engineering Shizuoka University Naoshi Yoshida1

序クライン群の極限集合のハウスドルフ次元に関する結果は, しばしば臨界指数 (ポアンカレ級数の収束指数) に関する結果の読み替えとして得られている. 実際, 幾何学的有限な非初等的クライン群 (例えばショットキイ群) の場合, 臨界指数は極限集合のハ
従って, ここでは極限集合のハウスドルフウスドルフ次元と一致する$[7, \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}1]$.

次元の代わりに臨界指数を扱う.
は,クライン群 $G$ の臨界指数$\delta(G)$$\delta(G)=\inf\{\alpha\geq 0|\sum_{g\in G}\exp(-\alpha\rho(\mathit{0},g(\mathit{0})))<+\infty\}$で定義される. 但し,$\mathit{0}=(0,0,0)$

で,り, 一次分数変換を通常の方法により$r$を 2 以上の整数とする.

(i) 各 に対して,, hm(ii) (hm$\mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(\hat{\mathbb{C}})^{r}$$f_{1n},$$\cdots$$f_{rn}\rangle$n\rightarrow 十屋科

n\rightarrow 十科科

は $B^{3}=\{x\in \mathrm{R}^{3}|||x||<1\}$ の双曲距離であの向きを保つ等長変換と見なしている.
内の点列で,$(B^{3}, \rho)$$\{(f_{1n}, \cdots, f_{rn})\}_{n=1}^{+\infty}$

は階数 のショットキイ群である.
は幾何学的有限でない階数 の自由クライン群である.

$\langle f_{1n}, \cdots, f_{rn}\rangle$$n$$\rho$$r$$r$を満たすものが存在する ([9, 定理 4.18] 参照). (ii) より,$\delta(\langle f_{1n}, \cdots, f_{rn}\rangle)arrow 2$となる ([3, Theorem 6.2] 参照). 一方,$(narrow+\infty)$

2 未満の整数 で任意の古典的ショットキイ群$c$の臨界指数が 未満となるものが存在する [4]. 従って, 任意のに対して臨界指以上である階数 の古典的でないショットキイ群が存在する.
数がそこで, 古典的でないショットキイ群の範囲で臨界指数をどれ位小さく出来るか, という疑問が生じる. これについて , ささやかながら次の結果を得た.
$\epsilon>0$$c$$2-\epsilon$

$r$

$r$

を 2 以上の整数とする. 任意の $\epsilon>0$ に対して , 臨界指数が (1 より大きく)$1+\epsilon$未満である階数$r$の古典的でないショットキイ群が存在する.

34
2$\grave{\backslash }/\exists$

ットキイ群

ここで, ショットキイ群の定義を思い起こす.
$r$を 2 以上の整数とする.

$\mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(\hat{\mathbb{C}})$の部分群 $G$ が次の (1), (2) を満たす$\hat{\mathbb{C}}$上の $2r$ 個の単純閉曲線$C_{1},$$C_{-1},$ $\cdots,$ $C_{r},$$C_{-r}$を持つ時, $G$ は階数 のショットキイ群であるという.
$r$(1) 上の $2r$ 重連結領域 $R$ で,となるものが存在する.
(2) 個の一次分数変換, へで, 次の (a), (b), (c) を満たすものが存在する :(a).
(b) 各 $i\in\{1, \cdots,r\}$ に対して , $f4.(C.\cdot)=C$-:.
(c) 各 $i\in\{1, \cdots,r\}$ に対して , $h_{:}(R)\cap R=\emptyset$ .
$\hat{\mathbb{C}}$$\partial R=C_{1}\cup C_{-1}\cup\cdots\cup C_{r}\cup C_{-r}$$r$$h_{1},$$G=\langle h_{1}.

特に ,階数$\cdots$, \cdots, h_{r}\rangle$として円周がとれる時, $G$ は古典的であるという.のショットキイ群は純斜航的な階数 の自由第二種クライン群であることが(比較的) 容易に示されるが, 逆に純斜航的な階数 $r(\geq 2)$ の自由第二種クライン群は階数 のショットキイ群であることが知られている [5].
$C_{1},$$C_{-1},$ $\cdots,C_{r},$$C_{-r}$

$r$

$r$

$r$

3

結果の証明
各 $k\in\{1, \cdots,r-1\}$ に対して

$f_{k}\in \mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(\hat{\mathbb{C}})$を,$f_{k}(z)= \frac{18rkz+9k^{2}-1}{36r^{2}z+18rk}$で定義する.

$\langle f_{1}, \cdots,f_{r-1}\rangle$

1 よ,$D= \{z\in \mathbb{C}||z\pm\frac{k}{2r}|>\frac{1}{6r}(k=1, \cdots, r-1)\}\cup\{\infty\}$を一つの基本領域とする純斜航的な階数 $(r-1)$ の自由第二種クライン群である.
複素数 に対して ,を$\zeta$$\varphi\zeta\in \mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(\hat{\mathbb{C}})$$\varphi_{\zeta}(z)=z+\zeta$

で定義する.
$F= \{x+y\sqrt{-1}|-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2},$は ($\varphi_{1}\rangle$$-\infty<y<+\infty\}$の一つの基本領域であることと,$D\cup F=\hat{\mathbb{C}}$,$D\cap F\neq\emptyset$,$\partial D$

寡F$=\emptyset$

35であることを注意しておく.
正の整数 $n,$

$j$

に対して

$g_{nj}\in \mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(\hat{\mathbb{C}})$を,$g_{nj}(z)= \exp(\frac{2\pi}{n-j\sqrt{-1}})z+1$で定義する. リーマン面として ,$(\mathbb{C}-\{p_{nj}\})/\langle g_{nj}\rangle\cong \mathbb{C}/\langle\varphi_{1}, \varphi_{n\sqrt{-1}}\rangle$($p_{nj}$は$g_{nj}$の$\infty$でない固定点) であること,$g_{nj}arrow\varphi_{1}$であることから,(i)$n$-l\rightarrow 科科)(n-j $\sqrt$

が十分大きければ各 fl こ対して$D\cup F_{nj}=\hat{\mathbb{C}}$

(\"u)

,

$D\cap F_{nj}\neq\emptyset$,の基本領域$\langle g_{nj}\rangle$(i\"u)$\partial D$$F_{n\mathrm{j}}$で,寡 $\partial F_{nj}=\emptyset$.,)がとなるものの存在が示される. が十分大きければ各 に対して , 五, . $f_{r-1},$
階数 の自由第二種クライン群であることが (i), (\"u) より分り, 更に放物型元を含まないことが (i\"u) より分り, 従って純斜航的な階数 の自由第二種クライン群, 即ち階数のショットキイ群であることが分る.
$j$

$n$

$\langle$$\cdot$$g_{nj}$

$r$

$r$

$r$

$\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, \varphi_{1}, \varphi_{n\sqrt{-1}}\rangle)>1$であり ([1, THEOREM 7] 参照),$\lim_{jarrow+}\inf_{\infty}\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj}\rangle)\geq\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, \varphi_{1}, \varphi_{n\sqrt{-1}}\rangle)$である ([10, 補題 21] 参照) から, 十分大きい $n$ に対して整数 $j(n)$ で,$\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj(n)}\rangle)>1$となるものが存在する. 十分大きい$n$に対して ,$\lambda_{n}=\exp(\frac{2\pi}{n-j(n)\sqrt{-1}})$

とおく.

$\lambda_{n}arrow 1(narrow+\infty)$

である事を注意しておく.

$(f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj})arrow(f_{1}, \cdots, f_{r-1}, \varphi_{1})$だが, 第二種フツクス群 五,$\langle$$\cdot$.. ,$f_{r-1},$$\varphi_{1}\rangle$$(narrow+\infty)$の臨界指数は 1 未満であり (参照),$\lim \mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj(n)}\rangle)\neq\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, \varphi_{1}\rangle)$$narrow+$

科$[2, \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}2]$

36となる. よって,$\sup_{n\in \mathrm{N}}\frac{|\arg\lambda_{n}|}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda_{n}|}=+\infty$$(-\pi<\arg\lambda_{n}\leq\pi)$となり ([6, Theorem 73] 参照), 従ってショットキイ群の列$\{(f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj(n)}\rangle\}_{n=1}^{+\infty}$は古典的でないショットキイ群からなる無限部分列を持つ ([8] 参照). 一方,$\lim_{narrow+\infty}\frac{|\arg\lambda_{n}|^{2}}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda_{n}|}=0$$(-\pi<\arg\lambda_{n}\leq\pi)$$f_{r-1},$
ではあるから, (内の全ての放物型元は内で共役であることと, 十分大きい に対してより,$f_{1},$$\cdots,$$\varphi_{1}\rangle$$n$n\rightar ow +\infty lin
を得る ([6,$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}7.2]$$\varphi_{1}$が$\varphi_{1}^{-1}$と$\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, \varphi_{1}\rangle$$\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj(n)}\rangle)>1$であること$\delta(\langle f_{1}, \cdots, f_{r-1}, g_{nj(n)}\rangle)=1$参照). こうして求める結果を得る.

参考文献[1] A. F. Beardon, The $e\eta onent$ of convergenoe of Poincari series, Proc. London
Math. Soc. 18 (1968), 461-483.
[2] A. F. Begdon, Inequalities for certain $R\iota chsian$ groups, Acta Math. 127 (1971),

221-258.

[3] C. J. Bishop and P. W. Jones, $Hausd_{ol}ff$ dimension and Kleinian groups, Acta
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[4] P. G. Doyl, On the bass note of a SchoM group, Acta Math. 160 (1988), 249-284.

[5] B. Maskit, A characterization of Schottky groups, J. Analyse Math. 19 (1967),

227-230.

[6] C. T. McMuUen, Hausdorff dimension and conformal dynamics :Strong convergence of Kleinian groups, J. Differential Geom. 51 (1999), 471-515.
$\mathrm{I}$[7] D. Sullivan, Entropy, Hausdorff measures old and new, and limit sets of geometrically finite Kleinian groups, Acta Math. 153 (1984), 259-277.
[8] N. Yoshida, A sequence in the classical Schottky space, to appear in Osaka J. Math.
[9] 谷口雅彦・松崎克彦, 双曲的多様体とクライン群, 日本評論社, 1993.

[10] 松崎克彦, クライン群の力学 –E 限集合のハウスドルフ次$\#_{\backslash }$142-160.

$\overline{\pi}$–, 数学 51(1999),