数理解析研究所講究録
1183 巻 2001 年 94-101

94

Dual pair における Casimir 作用素の対応

伊藤稔 (MINORU ITOH)*

京大理

Introduction. Dual pair の興味深い性質のひとつとして, ふたつの Lie 環の普遍包絡環の「中心」 (正確には Lie 群の adjoint 作用に関する不変電環) の像が– 致するということがある.

本稿では, [H2] で導入された complex reductive dual pair について, この普遍包絡環の対応を Casimir 作用素と呼ばれる中心元を用いて具体的に記述する.

以下, 複素数体$\mathbb{C}$の上で考える.

$(G, G’)$ を複素 symplectic 群 $Sp_{N}=S_{PN}(\mathbb{C})$ におけるreductive dual pair とする. すなわち $G,$ $G’$ は互いが互いの commutant であるような $Sp_{N}$の reductive な部分群である.

び $\omega(G’)$ の$\omega(U(\epsilon \mathfrak{p}N))$

またを $Sp_{N}$ の oscillator 表現とする. このとき $\omega(G)$ およ$\omega$

における commutant はそれぞれ Lie 環$\mathrm{g}’=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(c’),$$\mathrm{g}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G)$の作用から生成されることが知られている [H2]. 特に普遍包絡環の作用について次の等式が成立する:$\omega(U(9)^{c_{)}}=\omega(U(\mathrm{g}’)^{G’})$

ただし$U(\mathrm{g})^{G}$

は $G$ の adjoint 作用に関する普遍包絡環

同様の等式は複素直交群
立する:$O_{N}$.

$U(\mathrm{g})$の不変元全体のなす環を表す.

における reductive dual pair とその pin 表現$\sigma(U(\mathrm{g})^{G})=\sigma(U(\mathrm{g}’)^{c\prime})$$\sigma$に対しても成本稿の目標はこのふたつの普遍包絡環の中心の対応を

Lie 環の基底の言葉で記述することである. 主結果は “Casimir 作用素” と呼ばれる;$U(\mathrm{g}’)^{G}$$U(\mathrm{g})^{G}$,の生成系の簡潔な等式である.

Casimir 作用素は古典群の普遍包絡環において, 以下のように導入される. まず–般線型
群 $GL_{N}$ の場合から始める.
$(E_{ij})_{1\leq i},j\leq N$

Lie 環$\mathrm{g}\mathrm{t}_{N}$の標準的な基底$E_{ij}$を要素とする行列$E=E_{\mathrm{g}\mathfrak{l}_{N}}=$を考える. これを普遍包絡環の元を要素とする行列だと思って幕のトレース$\mathrm{t}\mathrm{r}(E^{r})=\sum_{1\leq i_{1},\ldots,ir\leq N}E_{i}i_{2}E_{i_{2}i}\cdots E_{i_{r}i}1\mathrm{a}1$を考えると, これは $GL_{N}$ の adjoint 作用で不変であることが知られている ([PP1], [Ge], [Z]).
また $\{\mathrm{t}\mathrm{r}(E^{r})|0\leq r\leq N\}$ が不変直心 $U(9^{[}N)^{GL_{N}}$ の生成系をなしている. この$GL_{N}$$\mathrm{t}\mathrm{r}(E^{r})$をに関する Casimir 作用素と呼ぶ.

*Partially supported by JSPS Research Fellowships for Young Scientists.

Typeset by$A_{\mathrm{A}4}s_{-}\mathrm{I}\mathrm{E}\mathrm{X}$95
同様の中心元は $G=O_{N},$ $Sp_{N}$ の普遍包絡環に対しても導入できる. 群 $G$ を定める双線型形式に対応した対称行列または交代行列を$\Phi^{-1}E_{ji}\Phi$$\Phi$

で表すと, Lie 環という形の元で張られる. -般線型群 $GL_{N}$ のときと同様にこれらを要素とする行

列 $F=F_{\mathfrak{g}}=(F_{ij})_{1\leq j}.i,\leq N$ を構成し, その幕のトレースり$G$

は $F_{ij}=E_{ij}-$$\mathrm{g}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G)$の adjoint 作用で不変であり,成系をなしている.

この$\mathrm{t}\mathrm{r}(F^{r})$$\mathrm{t}\mathrm{r}(F^{r})$をとる. するとこれはやは

さらに $\{\mathrm{t}\mathrm{r}(F^{2r})|0\leq 2r\leq N\}$ が不変式環を $G$ に関する Casimir 作用素と呼ぶの生$U(\mathrm{g})^{G}$$([\mathrm{p}\mathrm{p}2], \lfloor\lceil \mathrm{G}\mathrm{e}], [\mathrm{Z}])$.

Remarks. (1) 一般に reductive Lie 環の普遍包絡環の 2 次の中心元として Casimir elementと呼ばれるものがよく知られているが, 上記の Casimir 作用素はこれの拡張と見なせる.
(2) 不変式環$U(\mathrm{g})^{G}$$O_{2k\dagger 1}$のときには$U(\mathrm{g})^{G}$が ZU$(\mathrm{g})$は明らかに$U(\mathrm{g})^{G}$は ZU$(\mathrm{g})$の中心 ZU$(\mathrm{g})$に含まれる. 実際には $G=GL_{N},$ $Sp_{N}$ ,に–致しており, 上記の例では$G=O_{2k}$ のときのみの真部分集合になっている.
複素 symplectic 群における reductive dual pair は $(GL_{m’ n}GL)$ ,主定理を述べよう.
$(O_{m}, Sp_{n})$$U(\mathrm{g})$という二系列の既約な dual pair の直積という形で書くことができる

この二系列の既約な dual pair $(G, G’)$ に対して oscillator 表現$\omega$における$([\mathrm{H}1], [\mathrm{S}])$$U(\mathrm{g})^{G}$と.

$U(\mathrm{g}’)^{G}l$の対応を記述したのが本稿の主定理である:

Theorem A.

$Sp_{2mn}$における dual pair $(GL_{m’ n}GL)$ に対し次の等式が成立する:$\omega(\mathrm{t}\mathrm{r}((E-\frac{n}{2}I_{m}\mathrm{I}(E-(\frac{n}{2}+m)I_{m})^{r}))$$= \omega(\mathrm{t}\mathrm{r}((E’-\frac{m}{2}In)(E’-(\frac{m}{2}+n)I_{n})^{r}))$

ただし$E=E_{9^{\text{【_{}m}}},$

Theorem B.

$E’=E_{9}(_{n}$$Sp_{mn}$.

とする.

における dual pair $(O_{m}, Sp_{n})$ に対し次の等式が成立する:$\omega(\mathrm{t}\mathrm{r}((F-\frac{n}{2}Im)(F-(\frac{n}{2}+m-\frac{1}{2})I_{m})^{r}))$$= \omega(\mathrm{t}\mathrm{r}((F’-\frac{m}{2}In)(F’-(\frac{m}{2}+n+\frac{1}{2})I_{n})^{r}))\mathrm{v}$

ただし $F=Fo_{m}’ F’=F\epsilon \mathfrak{p}n$ とする.

RemarkTheorems$\mathrm{A},$$\mathrm{B}$型和で書けることがわかる.

から $G$ の Casimir 作用素の像は $G’$ の Casimir 作用素の像の線

この事実は Klink, Leung, Ton-That によって示されたが, 彼らはその具体的な記述は与えなかった. Dual pair $(GL_{m}, GL_{n})$ . の場合については [KT] を,$(O_{m}, Sp_{n})$の場合については [LT], [L] を参照のこと.

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複素直交群における reductive dual pair $(G, G’)$ とその pin 表現$U(\emptyset^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})G$$\sigma$に対しても$U(\mathrm{g})^{G}$と’ の対応を同様に記述することができる. 複素直交群における既約な reductive dual

pair は} $GL_{m’ n}GL$ ),Theorem C.

$(O_{\dot{m}}, O_{n}),$$O_{2mn}$$(Sp_{m}, spn)$ の三系列に分類される[S].

における dual pair $(GL_{m}, GL_{n})$ に対し次の等式が成立する:$\sigma(\mathrm{t}\mathrm{r}((E+\frac{n}{2}I_{m})(E+(\frac{n}{2}-m)Im)^{r}))$$=(-)^{r} \sigma(\mathrm{t}\mathrm{r}((E’+\frac{m}{2}I_{n})(^{w}E’+(\frac{m}{2}-n)I_{n})^{r}))$.

ただし $E=EE’\mathrm{g}^{]_{m}}’ \mathfrak{g}=E]_{n}$ とする.

Theorem D.

における dual pair $(O_{m}, O_{n})$ に対し次の等式が成立する:$O_{mn}$$\sigma(\mathrm{t}\mathrm{r}((F+\frac{n}{2}I_{m})(F+(\frac{n}{2}-m+\frac{1}{2})I_{m})^{r}))$$=(-)^{r} \sigma(\mathrm{t}\mathrm{r}((F’+\frac{m}{2}I_{n})(F’+(\frac{m}{2}-n+\frac{1}{2})I_{n})^{r}))$.

ただし $F=F_{o_{m}},$ $F’=FOn$ とする.

Theorem E.

$O_{mn}$における dual pair $(S_{Pm}, Sp_{n})$ に対し次の等式が成立する:$\sigma(\mathrm{t}\mathrm{r}((F+\frac{n}{2}I_{m})(F+(\frac{n}{2}-m-\frac{1}{2})I_{m})^{r}))$$=(-)^{r} \sigma(\mathrm{t}\mathrm{r}((F’+\frac{m}{2}I_{n})(F’+(\frac{m}{2}-n-\frac{1}{2})I_{n})^{r}))$

ただし$F=F_{\mathit{5}\mathfrak{p}m},$$F’=F_{5}\mathfrak{p}_{n}$

.

とする.

次節以降で述べるように, これらの定理はほぼ–貫した計算で証明することができる.
上記の dual pair について oscillator 表現または pin 表現の解は詳しく研究されている ([KV], [H3]).

$G\cross \mathrm{g}’-$加群としての既約分

また Casimir 作用素の既約表現における固有値

は [PP1], [PP2] で与えられているから, 上記の定理は原理的にはこの既約分解に関する結果から導出可能な筈である. しかしその計算は必ずしも自明ではない. 本稿ではこうした結果によらない直接的な証明を与える. 本稿の計算から逆に既約分解の問題にアプローチするのも面白いかもしれない.

Capelli 型の関係式との関係にも触れておく.

Capelli 恒等式は–般線型 Lie 環の普遍包

絡環の中心の生成系である Capelli elements の作用に関する等式であり, $Sp_{2mn}$ におけるdual pair $(GL_{m’ n}GL)$ での普遍包絡環の中心の対応のひとつの記述になっている ([Cal],[Ca2], [U1] . Capelli element と Casimir 作用素の関係は Newton の公式の類似で与えら
$)$

97
れる

([N], [I1], [U2]) から, Theorem A は Capelli 恒等式とこの Newton 型の関係式から導くこともできる. しかしこの証明方法は他の定理には容易には適用できない.
$Sp_{mn}$における dual pair $(o_{m}, s_{p_{n}})$ に対しても Capelli 恒等式の類似物が固有値の言葉で与えられている [MN]. これは $Sp_{mn}$ の oscillator 表現の解に関する結果$([\mathrm{K}\mathrm{V}])$

卵が加群としての既約分からの帰結である. この結果と Sklyanin determinant に関する [M]の結果を組み合わせることで, Theorem$O_{m}\cross$

ほど簡潔ではないが,$\mathrm{B}$$U(\mathit{0}_{m})^{O_{m}}$との$U(\epsilon \mathfrak{p}n)^{Sp_{n}}$対応の Lie 環の基底の言葉による記述が得られることも注意しておく.

.

1. The pair $(GL_{m}, GL_{n})$ in $Sp_{2mn}$ 本稿の定理はすべて–貫した方法で証明できる. まず今節で Theorem A の証明について, すなわち $Sp_{2mn}$ における dual pair $(GL_{m’ n}GL)$ の場合について詳しく述べ, 次節以降で残りの dual pair の場合の証明の方針を示す.
群 $GL_{m},$ $GL_{n}$ は $m\cross n$ 行列の空間への左右からの積で$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n}$$GL(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n})$の部分群と見なすことで, dual pair をなす. さらにこの pair は次のようなより大きな symplectic 群の中の dual pair と見なすことができる. 行列の空間とその双対空間$V=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n}$$V^{*}$の直和空間 $V\oplus V^{*}$ に次のように symplectic 形式を入れる:$\langle u+u^{*}, v+v^{*}\rangle=u^{*}(v)-v^{*}(u)$群 $GL(V)$ の元$g$,$u,$ $v\in,V$$u^{*},$$v^{*}\in V^{*}$.

はこの空間 $V\oplus V^{*}$ に $g\cdot(u, u^{*})=(gu,{}^{t}g^{-1}u^{*})$ という形で等長的に作用するから, これによって $GL(V)$ を $Sp(V\oplus V^{*})$ の部分群と見なす. ただし $(u, u^{*})\in V\oplus V^{*}$ とする.

$GL(V)=GL(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n})$の部分群 $GL_{m},$ $GL_{n}$ は $Sp(V\oplus V^{*})$ の部分群としても dual

pair になっている.
Theorem A はふたつの Lie 環示すことができる.

数の空間を$Sp(V\oplus V^{*})$$S(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n})$$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n}$$\mathrm{g}\text{【_{}m},$$\mathrm{g}[n$の作用を具体的に書き下して直接計算することでの oscillator 表現の上に構成される.

$E_{ij}$の標準的な座標とすると, Lie 環$\omega$は行列の空間, E るをそれぞれ$\mathrm{g}\mathrm{t}_{m},$$\mathrm{g}\mathrm{l}_{n}$$\mathrm{g}\text{【_{}m}$,$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n}$$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$の上の急減少函の標準的な基底,の作用は微分作用素環$x_{ij}$$PD(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n})$の言葉で次のように書ける [H3]:$\omega(E_{ij})=\sum_{s=1}^{n}x_{iS}\frac{\partial}{\partial x_{js}}+\frac{n}{2}\delta ij$,$\omega(E_{ij}’)=\sum_{=s1}mX_{Si}\frac{\partial}{\partial x_{sj}}+\frac{m}{2}\delta ij$.

これを行列の形で簡潔にまとめよう. Lie 環の元を要素とする正方行列 $E=(E_{ij})_{1\leq i},j\leq m$
および $E’=(E_{ij}’)1\leq i,j\leq n$ ’ そして微分作用素を要素とする $m\cross n$ 行列 $X=(x_{ij})$ および$X^{*}=( \frac{\partial}{\partial x_{ij}})$を導入すると, この表示は次のようにまとめられる :$\omega(E)=X^{t}X^{*}+\frac{n}{2}I_{m}$,$\omega(E’)={}^{t}XX^{*}+\frac{m}{2}I_{n}$.

98
特に Theorem A は次のように書き直される :(1)$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t*}X(Xtx*-mIm)^{r})=\mathrm{t}\mathrm{r}(^{t}Xx*(tXX*-nIn)^{r})$.

以下この関係式を正比交換関係を使って示す. この計算をスムーズに行うために次の三つの補題を利用する:

Lemma 1.1.

次の等式が成立する:${}^{t}X^{*}X-mI_{n}={}^{t}(^{t}XX^{*})$

Lemma 1.2.

,

$X^{*t}X-nI_{m}={}^{t}(X^{t*}x)$

ふたつの行列 $X^{t}X^{*},{}^{t}XX^{*}$ の要素は互いに可換である:$[(X^{t}X*.)_{ij}, (^{t}Xx*)k\iota]=0$

Lemma 1.3.

.

次の等式が成立する:$(X^{t}(^{t*}xX))_{ij}= \sum_{s=1}^{m}x_{Sj}(X^{t}x*)_{i}s$

これら

わかる.

.

$\text{の}7\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k\underline,\backslash }^{\Phi}\text{の証};\text{明はどれも易し^{い}}$.

. Lemma 1.1 は交換関係

Lemma 12 はふたつの Lie 環$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{m},$$\mathrm{g}\mathrm{l}_{n}$$[X_{ij}^{*}, X_{k\iota}]=\delta_{ik}\delta_{jl}$からすぐの作用が互いに可換であることからの直接の帰結である. Lemma 13 も $X$ の要素が互いに可換であることから容易にわかる.

Lemma 1.1 より$X^{t}X^{*}(X^{t}x*-mIm)r=X(^{t*}xx-mI_{n})r.{}^{t}X^{*}=X^{t}(^{t}XX*)^{r}\cdot {}^{t}X^{*}$,${}^{t}XX^{*}(^{t}Xx^{*}-nI_{n})^{r}={}^{t}X(X^{*t}X-nI_{m})^{r}X^{*}={}^{t}X^{t}(X^{t*}X)^{r}X^{*}$

であるから, Theorem A は (1) からさらに次のように書き換えられる :

(2)
ただし

$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t}(tXx*)^{r}\cdot {}^{t}X*)=\mathrm{t}\mathrm{r}(^{t}X^{t}(x^{t}x*)^{r}X^{*})$${}^{t}Z^{r}$という記号は行列 $Z$ の転置の$r$.

乗を表す. 等式 (2) を示すため次の命題を用意する:

Proposition 1.4.

任意の$Z\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m},n(PD(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}m,n))$に対し, 次の等式が成立する:$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t}(^{t*}XX)r.{}^{t}Z)=\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t}(tXx*)r-1.

t(^{t}(x^{t}X*)Z))$.

99
Proof. 直接的な計算と Lemma 13 から主張の等式の左辺は次のように変形できる:$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t}(tXx*)^{r} .{}^{t}Z)=\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t}(txX^{*})^{t}(^{t}Xx^{*})^{r}-1.{}^{t}Z)$$= \sum_{i,j,k}(x^{t}(tXX*))ij(^{t}(tXX^{*})r-1)jk(tZ)ki$$= \sum_{i,j,k,s}x_{s}j(X^{t}X^{*})_{i_{S}}(^{t}(^{t}XX^{*})r-1)jk(tZ)ki$

ここで $(X^{t}X^{*})_{is}$ と $(^{t}(^{t}Xx^{*})^{r-}l)_{jk}$ は可換である (Lemma 12) から,$\sum_{i,j,k_{S}},X_{S}j(^{t}(tXx*)^{r-1})jk(x^{t*}X)_{i_{S}}(^{t}Z)ki$

注意深く見ると これは Proposition 14 の右辺に等しい.

これは次式に等しい:.

口

行列 $Z$ は任意であったから, Proposition 14 の式変形は繰り返し行うことができる. 特に次の等式が成り立つ :Corollary 1.5.

任意の行列に対し, 次の等式が成立する:$Z\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n}(PD(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}m,n))$.

$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{t}(^{t}Xx^{*})^{r}\cdot {}^{t}Z)=\mathrm{t}\mathrm{r}(X\cdot{}^{t}(^{t}(x^{i}x*)^{r}z))=\mathrm{t}\mathrm{r}(^{t}X^{t}(x^{t}x*)^{r}Z)$

これで Theorem A はほぼ証明された. 実際目標の等式 (2) は Corollary 15 たおいて $Z$

を $x*$ で置き換えることで得られる.

.

2. The pair $(O_{m}, Sp_{n})$ in $Sp_{mn}$ Dual pair $(O_{m}, Sp_{n})$ に関する Theorem$\mathrm{B}$も前節とほぼ同様の計算で証明できる. 概略を記す.

Lie 群$Sp_{n}$$O_{m},$をなしている.

は大きな symplectic 群 $Sp_{mn}$ の部分群と自然に見なすことで, dual pair

$Sp_{mn}$の oscillator 表現は急減少函数の空間

ただし $n=2n’$ とする.
$x_{ij}$を行列の空間$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n’}$$S(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{m,n}’)$

まず oscillator 表現における Lie 環$\mathit{0}_{m},$の座標として, -次の微分作用素の組$\epsilon \mathfrak{p}_{n}$の上に構成される.

の作用を書き下そう.

$\{p_{i}j,p_{ij}\}*1\leq i\leq m,$ $1\leq j\leq n$を次のように定める:$x_{ij}$,$0\leq j\leq n’$$\partial_{i,j-n’}$

ただし内$= \frac{o}{\partial x_{ij}}$,,$\partial_{ij}$,$0\leq j\leq n’$$p_{ij}^{*}=\{$$n’+1\leq j\leq 2n’$ ,$-x_{i,j-n’}$とする. このとき Lie 環 $0_{m},$$\epsilon \mathfrak{p}_{n}$,,$n’+1\leq j\leq 2n’$ .

の作用はこれらの微分作用素を要素とする行列 $P=(p_{ij}),$ $P^{*}=(p_{ij}^{*})$ を用いて次のように表される [H3]:$\omega(F)=P^{t}P^{*}+\frac{n}{2}I_{m}$

ここで $F,$

る.

$F’$

,

$\omega(F’)={}^{t}PP^{*}+\frac{m}{2}I_{n}$は Introduction で定義したそれぞれ $0_{m},$

したがって Theorem$\mathrm{B}$$\epsilon \mathfrak{p}_{n}$.

の生成元を要素とする行列であを証明するためには次を示せばよい:.

$\mathrm{t}\mathrm{r}(P^{t*}P(P^{t}P^{*}-(m-\frac{1}{2})I_{m})r)=\mathrm{t}\mathrm{r}(tPP*(tPP*-(n+\frac{1}{2})I_{n})^{r})$この等式は, 次の三つの補題を使って前節と同じ手続きで示すことができる:

100
Lemma 2.1.

次の等式が成立する:${}^{t}P^{*}P-mIn={}^{t}(^{t}PP^{*})$

Lemma 2.2.

,

$P^{*t}P-nI_{m}={}^{t}(P^{t}P^{*})$

ふたつの行列 $P^{t}P^{*},{}^{t}PP^{*}$ の要素は互いに可換である:$[(P^{t}P^{*})_{i}j, (tPP^{*})_{k}\iota]=0$

Lemma 2.3.

.

.

次の等式が成立する:.

$(P^{t}(^{t}PP^{*}+ \frac{1}{2}I_{n}))_{ij}=\sum_{s=1}^{m}p_{s}j(P^{t}P*-\frac{1}{2}I_{m})_{i_{S}}$

この三つの補題は前節の補題とほぼ同じに容易に証明できる. Lemma 23 だけが前節のLemma 1.3 より少し複雑であるが, これは行列 $P$ の要素が互いに非可換なことによる.
3. The pairs in the orthogonal groups. 直交群における dual pair に関する Theo-rems$\mathrm{C},$$\mathrm{D},$$\mathrm{E}$の証明もほぼ同様である. ただし計算の舞台は通常の微分作用素環ではなく,“外積代数に関する微分作用素環” である Clifford 代数での計算を行うことになる. 前節までの計算に比べると新たに符号の処理が加わるだけで, 本質的には同じ手続きで証明できる. 詳
細は [I2] を参照のこと.

REFERENCES[Cal]

Capelli, A.,$\tilde{U}ber$

die Zur\"uckf\"uhrung der Cayley’schen Operation$\Omega$auf$gew\ddot{o}hn\iota ichePo\iota ar$,Operationen, Math. Ann. 29 (1887), 331-338.
[Ca2]

–,

Sur les op\’erations dans la th\’eorie des formes alg\’ebriques, Math. Ann. 37 (1890),

1-37.
[Ge]

Gelfand, I.M., Center of the infinitesimal groups, Mat. Sbornik.

$\mathrm{n}$. Ser. 26 (68) (1950), 103-

112; English transl. in “Collected Papers” Vol. II, pp.22-30.
[H1] .

Howe, R.,$\theta- se\dot{\mathcal{H}}es$

and invariant theory, in “Automorphic Forms, Representations, and L-

Functions” Part I, Proc. Symp. Pure Math., vol.33, Am. Math. Soc., Providence, R.I.,, 1979,

pp. 275-285.
[H2]

–,

Remarks on classical invariant theory, Trans. Am. Math. Soc. 313 (1989), 539-570;

Erratum, Trans. Am. Math. Soc. 318 (1990), 823.

[H3]

–,

Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond,in “the Schur Lectures (1992), Isr. Math. Conf. Proc. 8 (1995).
[HU]

Howe, R., Umeda, T., The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-

free actions, Math. Ann. 290 (1991), 565-619.

101
[11]

Itoh, M., Explicit Newton’s formulas for$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$, J. Algebra 208 (1998), 687-697.

Correspondence of the Casimir operators in the reductive dual pairs, preprint (2000).

[I2]

–,

[KV]

Kashiwara, M., Vergne, M., On the $Segal-Sha\iota e- Wei\iota$ representation and harmonic polynomial,

Invent. Math. 44 (1978), 1-47.
[KT]

Klink, W.H., Ton-That, T., On resolving the multiplicity of arbitrary tensor products of the$U(N)$[L]

groups, J. Phys. A 21 (1988), 3877-3892.

Leung, E.Y., On resolving the multiplicity of tensor products of irreducible representations of

symplectic groups, J. Phys. A 26 (1993), 5851-5866.
[LT]

Leung, E.Y., Ton-That, T., Invariant theory of the dual pairs $(SO^{*}(2n), Sp(2k, \mathrm{C}))$ and$(Sp(2n, \Re),$ $O(N))$ , Proc. Am. Math. Soc.

[M]

120 (1994), 53-65.

Molev, A., Sklyanin determinant, Laplace operators, and characteristic identities for classicalLie algebras, J. Math. Phys. 36 (1995), 923-943.

[MN]

Molev, A., Nazarov, M., Capelli identities for classical Lie algebras, Math. Ann. 313 (1999),315-357.
[N]

Nazarov, M., Quantum Berezinian and the classical Capelli identity, Lett. Math. Phys. 21(1991), 123-131.

[PP1]

Perelomov, A.M., Popov, V.S., Casimir operators for $U(n)$ and $SU(n)$ , Soviet J. Nuclear

Phys. 3 (1966), 676-680.
[PP2]

–,

Casimir operators for the orthogonal and symplectic groups, Soviet J. Nuclear Phys.

3 (1966), 819-824.
[S]

Schmidt, M., Classification and partial ordering of reductive Howe dual pairs of classical Liegroups, J. Geom. Phys. 29 (1999), 283-318.
[U1]

Umeda, T., The Capelli identities, a century after, Sugaku 46 (1994), 206-227; (in Japanese);

English transl. in “Selected Papers on Harmonic Analysis, Groups, and Invariants”, AMS
Translations, Series 2, vol. 183 (1998), pp. 51-78, ed. by K. Nomizu

[U2]
[Z]

, Newton’s formula for$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$, Proc. Am. Math. Soc. 126 (1998), 3169-3175.

\v{z}elobenko, D.P., Compact Lie Groups and their Representations, Translations of Mathematical Monographs 40, American Mathematical Society, 1973.