Kegelrad-Technologie

Der bLick in Die Zukunft: LebensDauerberechnung beiM kegeLraD

Zahlreiche Anforderungen und scheinbar gegensätzliche Zielsetzungen gilt es bei der Auslegung von Kegelrädern unter einen Hut zu
bringen: Minimaler Bauraum und eine größtmögliche Tragfähigkeit sind ebenso gefordert wie eine Geräuschminderung im Getriebe und eine günstige Herstellbarkeit auf den Maschinen in derProduktion. Eine Frage wird dabei selten gestellt: Wie ist es um dieBetriebsfestigkeit des Zahnrads bestellt? Aber auch hierzu liefert
das Softwarepaket KIMoS von Klingelnberg Antworten.

Kegelrad-TechnologieW

enn die maximale
Belastung auf einem Zahn nicht dieBelastungsgrenzen
des Werkstoffs überschreitet, kehrt der Zahn wieder in seinen
Anfangszustand zurück, nachdem die
Last nicht mehr anliegt. Diese Annahme
ist für mehrere Hundert Belastungen zutreffend. Sprechen wir jedoch von mehreren Millionen Belastungen, dann treten
Schäden an der Verzahnung bereits weit
unter den statischen Belastungsgrenzen
des Werkstoffs auf. Dieses Phänomen
wird als Ermüdung bezeichnet.

Aus der Literatur sind die unterschiedlichsten Zahnradschäden bekannt. In
dem Buch „Maschinenelemente“[1] vonGustav Niemann und Hans Winter werden sie klassifiziert und dargestellt. Abbildung 1 zeigt die Grenzlinien, bei denen in
Abhängigkeit von der Gleitgeschwindigkeit und dem anliegenden Drehmoment
die jeweiligen Zahnschäden auftreten.
Die Lage der Grenzlinien für Verschleiß,
Graufleckigkeit und Fressen können
durch die Rauheitskennwerte der Zahnflanke sowie durch Schmierbedingungen
und Profilverschiebung weiter verschoben werden. Allerdings ist es kaum möglich, statistisch gut abgesicherte Erkenntnisse für eine Lebensdauerberechnung zu
erhalten.

UrsachenforschungUm die durch die Materialermüdung begrenzte Lebensdauer rechnerisch bestimmen zu können, muss man sich mit jenen
Zahnschäden befassen, die tatsächlich
auf Materialermüdung zurückzuführen
sind. So lässt beispielsweise ein Fressschaden nicht auf Materialermüdung,
sondern auf mangelnde Schmierungzwischen den Zahnflanken schließen. Einnoch unklares Bild zeigt sich beim Zahnflankenbruch. Er ist ein Ermüdungsschaden, der noch nicht eindeutig zu erklären
ist. Derzeit geht man davon aus, dass aneiner Stelle unterhalb der Oberfläche, wo

die Spannung ein Maximum erreicht, ein
kleiner Werkstoffdefekt vorliegt, an dem
sich ein initialer Riss ausbildet. Dieser Rissschreitet dann fort, bis er die gegenüberliegende Seite des Zahns erreicht und derZahn sichelförmig ausbricht. Statistischnicht erfassbare Einflüsse aus der Reinheit
des Werkstoffes und der Wärmebehandlung verhindern hier die Berechnung derLebensdauer eines Zahnrades.

Zahnbrüche undGrübchenschäden
Typische Zahnradschäden durch Materialermüdung sind Zahnbrüche und Grübchenschäden, wie sie in den Abbildungen2 und 3 dargestellt sind. Beim Zahnbruchübersteigt die örtliche Zahnfußspannung
die Dauerfestigkeit des Werkstoffs. Das
Maximum der Zahnfußspannung liegt
in der Nähe der 30-Grad-Tangente derZahnfußausrundung. Ein kleiner initialer
Riss an dieser Stelle breitet sich weiteraus, bis schließlich der ganze Zahn vomRadkörper abbricht. Dies ist in Abbildung
2 deutlich zu erkennen.
Grübchenschäden sind auf die Pressung
der Flanken im Zahnkontakt zurückzuführen. Durch die Pressung ermüdet
die harte Oberfläche der Zahnflanke. Esbilden sich Mikrorisse, in die beim Überrollen Schmierstoff hineingepresst wird.
Durch den plötzlichen Druckanstieg
werden kleine Partikel herausgesprengt.
Je weiter dieser Schaden fortschreitet,
desto schlechter wird das Laufverhalten
der Verzahnung, da ein gleichmässiger
Zahnkontakt nach und nach zerstört
wird. Abbildung 3 zeigt einen solchen
Grübchenschaden. Bei dem dort dargestellten Ausmaß bleibt das Getriebe nochweiter funktionsfähig. Bei zunehmendem
Schaden wird schließlich der ganze Zahn
von den Ausbröckelungen befallen sein.
Aufgrund der fehlenden Härteschicht
und der Unterbrechung des Schmierfilms kommt es dann zu Fressen und zum
Zahnbruch.

Abb. 1: Mögliche Zahnradschäden

Abb. 2: Zahnbruchschaden

Abb. 3: GrübchenschadenKegelrad-Technologie

Zahnfußtragfähigkeit
ermitteln

Abb. 4: PulsatorprüfstandWie gelangt man nun an die durch Materialermüdung begrenzten Festigkeitswerte eines Zahnradwerkstoffes? Dazu
werden praktische Versuche durchgeführt, die statistisch abzusichern sind. Einer dieser Versuche ist die Ermittlung derZahnfußtragfähigkeit. Abbildung 4 zeigt
schematisch einen Pulsatorprüfstand. Ein
Zahnrad wird auf einem meist hydraulischen Prüfstand zwischen zwei Backen
eingespannt. Dabei steht eine Backe fest
und misst mithilfe einer Kraftmessdose
die eingeleiteten Kräfte. Die andere Backe führt eine pulsierende Bewegung
aus, wodurch der Zahnfuß zyklisch belastet wird. Mithilfe eines Simulationsprogramms wird aus der eingeleiteten Kraft
die Zahnfußspannung berechnet.
Diese Pulsatorversuche werden mit vielen
unterschiedlichen Kraftniveaus stets bis
zum Bruch des Zahnes durchgeführt. DasErgebnis ist interessant: Bei sehr hohen
Fußspannungen, die nahe der statischen
Belastungsgrenze des Werkstoffes liegen,Zahnfußspannung σFZahnbrüche

Keine Zahnbrüche

104

105

106

107

Abb. 5: Ergebnisse einer Versuchsreihe zu Zahnbrüchen
auf dem Pulsatorprüfstand108Lastwechsel

bricht der Zahn nach wenigen Lastwechseln. Je kleiner die Fußspannungen werden, desto mehr Lastwechsel hält dasZahnrad bis zum Zahnbruch aus. Wenn
die Fußspannung ein bestimmtes Niveau
unterschreitet, tritt selbst nach mehreren
Millionen Lastwechseln kein Zahnbruch
mehr auf.
Die Grundlagen und Auswertungen dieser Untersuchungen gehen auf AugustWöhler zurück, der bereits im 19. Jahrhundert die Ursache für Brüche an Eisenbahnachsen untersuchte. Abbildung 5zeigt das Ergebnis einer langen Versuchsreihe auf dem Pulsatorprüfstand. Jederrot oder grün markierte Punkt ist ein Versuchsablauf. Die rot markierten Punkte
stehen für ein Versuchsende durch Zahnbruch und die grün markierten Punkte fürein Ende nach Erreichen einer bestimmten Anzahl an Lastwechseln ohne Zahnbruch. Je nach Reinheit des Werkstoffes
und der Qualität der Wärmebehandlung
streuen die Punkte für ein Lastniveau
mehr oder weniger breit.

Kurzzeit-, Zeit- undDauerfestigkeit: dieWöhlerkurve
Man kann bei dieser doppelt-logarithmischen Darstellung in Abbildung 5 drei
Bereiche der sogenannten Wöhlerkurve
unterscheiden. Der erste Bereich nennt
sich Kurzzeitfestigkeit. Hier verträgt dasZahnrad sehr hohe Lasten über nur wenige Lastwechsel. Es schließt sich derBereich der Zeitfestigkeit an, in welchem
die Anzahl ertragbarer Lastwechsel
mit abnehmender Belastung zunimmt.
Wenn bei sehr vielen Lastwechseln kein
Schaden auftritt, spricht man von Dauerfestigkeit, dem dritten Abschnitt derWöhlerkurve. Diese lediglich statistischabgesicherte Dreiteilung der Wöhlerkurve führt im Bereich der Zeitfestigkeit zu
folgender Formel:

Kegelrad-Technolgieσ N = N lim ⋅  lim  σ q⇔ logNσ = q log lim N lim σ Man erkennt, dass beim Logarithmieren
der Gleichung die Spannung σ über derAnzahl der Lastwechsel N eine Gerade ineinem doppelt logarithmischen Koordinatensystem bildet. Die Werte σlim und Nlim
entsprechen dem Übergang der Wöhlerkurve von der Zeitfestigkeit in die Dauerfestigkeit. Unter dieser Annahme kannman mit sehr wenigen Pulsatorversuchendie Parameter q, σlim und Nlim der Wöhlerkurve für einen Werkstoff ermitteln.

Wöhlerkurve fürGrübchenschäden
Die Vorhersage des Versagenverhaltens
lässt sich bei Zahnrädern, die über einen dauerfesten Bereich verfügen, aufalle Schadensformen anwenden. Neben
dem Zahnbruch lässt sich auch für Grübchenschäden eine Wöhlerkurve erstellen.
Der Prüfstandsaufbau, der in Abbildung
6 skizziert wird, ist meist ein Verspannungsprüfstand, in dem zwei gegeneinander verspannte Zahnräder rotieren.
Das aufgebrachte Vorspannmoment wird
mithilfe eines Rechenprogramms in eine
Hertzsche Pressung umgerechnet. Der
Versuchsablauf ist der zuvor beschriebenen Pulsatorprüfung sehr ähnlich, derVersuch wird allerdings schon bei einer
gewissen Größe der Grübchen abgebrochen und nicht erst bei völligem Versagen
des Zahnradpaares.
Die Ergebnisse lassen sich wieder in Formeiner Wöhlerkurve darstellen (siehe Abbildung 7). Auch hier ist es möglich, mit
wenigen Versuchspunkten die Parameter der Wöhlerkurve für den zeitfesten
Bereich zu ermitteln. So kann konkret
berechnet werden, wie lange es dauert,
bis ein Zahnrad einen Zahnfußbruch oder
Grübchenschäden bei einer vorgegebenen Last erleidet.

Die Vorhersage des Versagenverhaltens
lässt sich bei Zahnrädern, die über einen
dauerfesten Bereich verfügen, auf alle
Schadensformen anwenden.
In der Praxis liegen jedoch zeitlich veränderliche Lasten an einem Getriebe an.
Bei stationären Getrieben sind das unter
Umständen nur sehr wenige Lastfälle,aber insbesondere bei Fahrzeuggetrieben
liegen viele unterschiedliche Belastungszustände vor.
Es gibt unterschiedliche Zählmethoden, um aus dem zeitlichen Verlauf desDrehmomentes für eine Zahnradpaarungein diskretes Lastkollektiv zu ermitteln,beispielsweise die Rainflow-Methode,welche zeitabhängige zyklische Lasten in
diskrete Lastkollektive überführt.

Abb. 6: Rotieren zweier gegeneinander verspannter Zahnräder

Hertzsche Pressung σH
GrübchenKeine Grübchen

104

105

106

107

Abb. 7: Ergebnis einer Versuchsreihe zu Grübchen auf demPulsatorprüfstand108
LastwechselKegelrad-Technologie

Kumulative Schadenshypothese zur Lebensdauerberechnung
Wie gelingt es nun, mithilfe einer Wöhlerkurve und einem vorhandenen Lastkollektiv die Lebensdauer eines Zahnradpaares zu berechnen? Dabei hilft die
kumulative Schadenshypothese von Miner und Palmgren weiter.
Abbildung 8 zeigt eine Belastung mit
drei Laststufen. Jeder Lastfall i des Lastkollektivs wird durch seine Anzahl an
Lastwechseln Ni und seine zugehörige
Beanspruchung σi beschrieben. Aus derWöhlerkurve entnimmt man die Anzahl
maximal erträglicher Lastwechsel Nfi für
die Beanspruchung σi und berechnet
daraus eine Teilschädigung Di = Ni / Nfi.
Da die Last des Lastfalls 3 im Bereich derDauerfestigkeit liegt, hat dieser Lastfall
keine Teilschädigung. Alle Teilschädigungen werden zur Gesamtschädigung Daddiert. Ist die Gesamtschädigung D ≥ 1,Abb. 8: Lastfälle und Schädigungsanteile

tritt wahrscheinlich ein Schaden auf, ist
D < 1, tritt wahrscheinlich kein Schadenauf. Die Sicherheit dieser Aussage hängt
davon ab, ob sich der reale Werkstoffmehr oder weniger gut durch die Wöhlerkurve beschreiben lässt. Bei großen
Streuungen der Werkstoffeigenschaften
ist die Sicherheit dieser Aussage nur sehrgering.

Ermüdungserscheinungen auch im Bereich derDauerfestigkeit
Der Formel folgend müssten alle Belastungen, deren zugehörige Beanspruchungen unterhalb von σlim liegen, keinen
Einfluss auf die Gesamtschädigungssumme D haben. Die praktische Erfahrung
mit Zahnradschäden zeigt hier leider ein
anderes Verhalten. Offenbar rufen auch
Belastungen unterhalb der Dauerfestigkeit im Zusammenspiel mit höheren
Beanspruchungen
Ermüdungserscheinungen im Werkstoff hervor. Um diesem
Phänomen gerecht zu werden, wurde
der dritte Abschnitt der Wöhlerkurve soangepasst, dass man den in der Praxis
vorliegenden Fällen rechnerisch näher
kommt. Dazu verläuft die Wöhlerkurve
ab dem Punkt (σlim, Nlim) nicht mehr horizontal, sondern abfallend, wie es in Abbildung 9 gezeigt wird. Beim Ansatz derelementaren Form der Miner-Regel wird
dafür der Steigungskoeffizient q‘ = q genommen. Bei der von Haibach modifizierten Miner-Regel wird der Steigungskoeffizient q‘= (2q-1) verwendet.
Man erkennt an diesen doch sehr empirischen Modifikationen, dass die Berechnung der Betriebsfestigkeit nochnicht ausreichend genau die Lebensdauer eines Zahnradpaares vorhersagen
kann. Eine konservative Aussage erhält
man auf jeden Fall, wenn man den Ansatz Miner-Elementar anwendet.

Abb. 9: Lastfall unterhalb der Dauerfestigkeit mit Schädigungsanteil

Kegelrad-Technolgie

Bestimmung derLebensdauer
Mit den Erkenntnissen über die Gesamtschädigung D lässt sich nun die Lebensdauer berechnen. Auch hier spielen Erfahrungswerte eine entscheidende Rolle.
Man nimmt an, dass das Lebensdauerende bei einer Gesamtschädigung D0,85= 0,85 für Grübchen und bei D0,3 = 0,3für Zahnbruch erreicht ist. Aus den Drehzahlen der Stufen des Lastkollektivs undder zugehörigen Betriebszeit lässt sichdie jeweilige Anzahl der Lastwechsel berechnen. Die bis zur Gesamtschädigung
D0,85 zulässigen Lastwechsel Nlife ergebensich dann als Nlife = (∑Ni) ∙ D0,85 / D. Mit
der Drehzahl des Zahnrades lässt sich nun
einfach die Lebensdauer in Stunden ermitteln.

Besonderheiten
beim Kegelrad
Bei all den vielen Annahmen und Näherungen bei den Wöhlerkurven undder kumulativen Schädigungshypothesemuss man bei Kegelradsätzen einen weiteren Effekt berücksichtigen. Jede Laststufe weist eine andere lastbedingte Verlagerung des Ritzels zum Tellerrad auf. Die
Verlagerungen werden in Richtung desAchsversatzes, in axialen Richtungen derRitzel- und Tellerradachse sowie als Abweichung vom Achswinkel angegeben.
Je nach Ease-Off-Gestaltung des Radsat-zes werden für jeden Lastfall unterschiedliche Flankenbereiche beansprucht. Um
diesen für Kegelräder typischen Effekt
zu berücksichtigen, dürfen nicht nur die
Maximalwerte der Beanspruchung unabhängig von ihrer Lage betrachtet werden,
vielmehr braucht es einen lokalen Ansatz
auf der Flanke.
Abbildung 10 zeigt auf der linken Seite
die Pressungsverteilung für sechs Lastfälle. Auf der rechten Seite ist die Zahnflanke sichtbar, die aus einzelnen Kacheln besteht. Für den ersten Lastfall erfolgt nun
die Pressungsverteilung auf die einzelnen
Kacheln. Somit wird jede Kachel mit einer
individuellen Pressung belastet, die zu einer individuellen Teilschädigung führt.
Die Gesamtschädigung einer Kachel ist
dann wieder die Summe der Teilschädigungen aus jedem einzelnen Lastfall.

Ease-Off-Topographie zur
Lebensdauerberechnung
Im Folgenden wird an einem Beispiel mit
zwei unterschiedlichen Ease-Off-Topographien die Lebensdauerberechnung fürZahnbruch und Grübchen aufgezeigt.
Die dazugehörenden Lasttragbilder auf
der Tellerradflanke und die Werte derHertzschen Pressung und der Zahnfußspannung zeigt Abbildung 12. Die
größte Pressung weist der Lastfall 1 mit
1.198 MPa auf. An den Lasttragbildern ist

Abb. 10: Lokale Ermittlung der Schädigungssumme

Kompakt
KIMoS
Das Softwarepaket KIMoS(Klingelnberg Integrated Manufacturing of Spiral BevelGears) unterstützt alle Schritte
innerhalb der Kegelradverzahnungsauslegung und -optimierung. KIMoS bietet eineschnelle und genaue Analyse von Versuchs- und Fertigungsergebnissen sowie vonVerzahnungsschäden.

Kegelrad-Technologie

GEGENÜBERSTELLUNG ZWEIER EASE-OFF-TOPOGRAPHIEN MIT
UNTERSCHIEDLICHEM VERLAGERUNGSVERHALTEN

Verzahnungsdaten
Zähnezahl
Teilkreisdurchmesser Tellerrad
Achsversatz
Zahnbreite

Verzahnungsdaten
Zähnezahl
Teilkreisdurchmesser Tellerrad
Achsversatz
Zahnbreite

13/38
230 mm
20 mm
35 mm

13/38
230 mm20 mm
35 mm

LastfallStunden[h]Drehzahl[1/min]Drehmoment[Nm]

Verlagerung V/H[mm]

LastfallStunden[h]Drehzahl[1/min]Drehmoment[Nm]

Verlagerung V/H[mm]

11.0001.500600-0,25 / +0,20

1

1.000

1.500

600

-0,25 / +0,20

22.000500550-0,22 / +0,19

22.000500550-0,22 / +0,19

3

3.000

900

450

-0,17 / +0,15

33.000900

450-0,17 / +0,15

4

1.000

3.600

400

-0.15 / +0,13

4

1.000

3.600

400

-0.15 / +0,13

5

2.000

2.400

350

-0,10 / +0,08

5

2.000

2.400

350

-0,10 / +0,08

6

1.000

1.800

300

-0,08 / +0,06

6

1.000

1.800

300

-0,08 / +0,06

Abb. 11: Standard Ease-Off-Gestaltung und Lastkollektiv

Abb. 14: Optimierte Ease-Off-Gestaltung und Lastkollektiv

Abb. 12: Lasttragbilder und Beanspruchungen für Standard Ease-Off

Abb. 15: Lasttragbilder und Beanspruchungen für optimierten Ease-Off

Abb. 13: Lebensdauerberechnung mit Standard Ease-Off-Gestaltung

Abb. 16: Lebensdauerberechnung mit optimierter Ease-Off-Gestaltung

Kegelrad-Technolgie

Die ermittelten Lebensdauern zeigt Abbildung 13. Die Gesamtschädigung desZahnfußes liegt bei 0,07 beim Ritzel undbei 0,41 beim Tellerrad. Dieses Verhältnis
entspricht auch den stark unterschiedlichen Zahnfußspannungen. Die Gesamtschädigung der Ritzelflanke liegt bei 1,97
und wird sehr wahrscheinlich mit einem
Grübchenschaden am Ritzel ausfallen.
Somit wird die Gesamtlebensdauer imLastkollektiv von 10.000 Stunden nicht
erreicht, die Vorhersage liegt bei 4.309
Stunden.
Wenn man die Ease-Off-Topographie soverändert, dass sich das Verlagerungsverhalten ändert, wird sich auch die Lebensdauer erheblich verbessern. Abbildung
14 zeigt die gleiche Verzahnung mit einer anderen Ease-Off-Gestaltung. Das
Lastkollektiv und die Verlagerungen sindgleich geblieben.
Abbildung 15 zeigt die Lasttragbilder. Man
kann sehr deutlich das andere Verlagerungsverhalten erkennen. Das Tragbildwandern ist stärker ausgeprägt, sodass insgesamt mehr Kacheln beansprucht werden.
Die maximale Hertzsche Pressung für den
Lastfall 1 liegt mit 1.321 MPa zehn Prozentüber dem anderen Beispiel.
Dennoch ist eine höhere Lebensdauer
hinsichtlich Grübchen am Ritzel zu erwarten, was sich auch in der Berechnung
bestätigt. Statt der ursprünglichen 4.309
Stunden weist die Berechnung hier einen Wert von 12.128 Stunden bei einer
Gesamtschädigung von 0,70 aus. Die
Einhaltung der geforderten Betriebsdauer konnte durch eine Änderung der Mikrogeometrie erreicht werden, ohne den
Bauraum oder die Kosten zu erhöhen.

Mit der in KIMoS implementierten
Lebensdauervorhersage für einen Kegelradsatz können wichtige Aussagen
getroffen werden.
Fazit
Obwohl die Wöhlerkurven das tatsächliche Werkstoffverhalten nur grob beschreiben und die kumulative Schadenshypothese nach Miner-Palmgren einesehr konservative Abschätzung liefert,
können mit der in KIMoS (Klingelnberg
Integrated Manufacturing of Spiral BevalGears) implementierten Lebensdauervorhersage wichtige Aussagen für einen
Kegelradsatz getroffen werden. Insbesondere der lokale Ansatz, der die Schädigung lokal auf der Flanke ermittelt, ist
wegen des Verlagerungsverhaltens einer
Kegelradverzahnung ein wichtiges Berechnungsverfahren für die Praxis.
Literatur:[1] Gustav Niemann, Hans Winter, Maschinenelemente Band 2, Springer Verlag, Berlin,
1986

Dr.-Ing. Hartmuth Müller
Head of Technology & Innovation,KLINGELNBERG GmbH

Copyright KLINGELNBERG GmbHzu erkennen, dass sich das Tragbild mit
zunehmendem Drehmoment Richtung
Ferse-Kopf am Tellerrad verlagert. Diegrößte Zahnfußspannung liegt ebenfalls
bei Lastfall 1 vor, hier wird der Tellerradfuß mit 607,7 MPa belastet.