数理解析研究所講究録
第 1787 巻 2012 年 79-87

79
中国古代の周率 (下)Calculations of pi in the ancient China (Part II)
杉本敏夫

Sugimoto Toshio
第 13 節 密率の発見
前稿 (上) の第 8 節で、 祖沖之の今一つの重要な業績は、$\pi$の近似分数すな

わち《密率 355/113 の発見》であると述べた。 この項目は、 すでに多くの学者が論及しているので、 新見を加える余地は無いように思われる。 しかし私は、一つの対案を示そう。 [6] 銭宝踪によると、『階書』律歴志に、祖沖之が似分数《密率 355/113$\rangle\rangle$の近を発見した、とある。以下この分数を屡々参照するので、$Q=355/113$ と置く。 $Q$ は《密率》 と呼ばれ、 $R=22l7$ は$\pi$$\pi$麥─ と呼ばれる。の近似分数を目指して計算する過程で、 約率 $R$ はごく自然に得られる。

第 14 節 関孝和の算法[9] 関孝和は正六角形でなく、 正方形から出発して、 直径 1 なる円に内接する正八角形、 正十六角形等々の周 $P$ を求めて、 131072 角形の周 3.141592653$\cdots$を得た。 次いでこの周の値に対する近似分数を求めるため、 単純極まりない方法を用いた。すなわち、311, 7/2, 10/3, 13/4, 1615,と、分母を 1 だけ増やし、分子は絶えず $U=3.141592$ に近い値になるように定めた。 この方法によれば、$\cdot\cdot\cdot$

祖沖之の 《密率$\rangle\rangle$355/113に近づくため、 112 回もの試行を必要とした。 関の算法を弁護すれば、その過程で、古来、名前の付いた近似分数が凡て登場する。
第 15 節何承天の調日法

古代数学に表れた近似分数は、 一般に天文・暦計算の必要から考案された。
[10] 藪内によると、 前漢 (西暦前) では 「四分暦」 すなわち、 一年を 365 日と四分のー (114) としたが、太初元年 (前 104 年) に「太初暦」 が公布され、端数を$38511539=0.25016244\cdots$と精密化した。 これは一朔望月を 29 日と$43181=$$0.53086419\cdots$ 日と決めることと調和させるためだと言う。 即ち分母が $1539=$になっている。 このように、一年または一朔望月の端数を分数化するのと同時に、 両者をなるべく共通の簡単な分数で表示するための苦心が、 分数の$81\cross 19$四則演算を発達させた、 と言える。 また、 最大公約数、 最小公倍数、 互除法、
その他、 所謂 「初等整数論」 に属する算法を発達させた。 天文・暦法における

80《上元》は、太陽、月、木星が規準位置にある時を指し、それは大初元年 (B.C.104)
から何年昔か ? を問うた。 この気が遠くなるような太古を求める問題への答えは、 143,128 年昔だと計算した。 問題の本質は 「最小公倍数」 に過ぎない。
南北朝の初め、 博学多作の何承天 (420-478) は、「元嘉暦」 (443) を作った。

その際、端数を合理的に処理する新しい算法、すなわち《調日法》を発明した。
この算法は、 [11] p. 197 以下に詳述したが、 ここに再記する。
強率 $=4/1>\pi>311=$ 弱率 から出発して、 分子の和、 分母の和を次々に作る。

$\pi$

は、 計算の始めには、 まだ数桁の近似値に過ぎない。 仮にすこととし、 さらに、 例題としては$\pi$はない。 むしろ$\pi$で表の簡略な値を考えるため、 密率の近似値$Q=3.141592$ と仮定する。 (当面は、 精密なを$Q$の値を求めることが課題での近似分数を求めようとしている。)$\pi$

さて、 何承天の調日法なる算法を文字式で表せば、 次の通り :$lb>Q>cl$ げ から出発して、新たに分数 $(\theta+C)/(b+d)=elf$ を作る。
このとき
$lb>elf>cld$ となることは必然だが、 新たに作られた分数 $e/f$$a$$a$とを比べたとき、大小の関係が問題となる。二つの場合が生じる。
I. もしも、 $elf>Q$ となったならば、 $Q$ は初めよりも狭い範囲に挟まれて、と目標の $Q$$a$$lb>elf>Q>cld$ となる。

II. もしも、 $Q>e1f$ となったならば、 $Q$ は初めよりも狭い範囲に挟まれて、$a$$lb>Q>elf>c1d$ となる。

具体的な例題として、 411$3.5>Q$,$>Q>311$ から始めよう。 $(4+8)/(1+1)=7/2=$$(7+3)1(2+1)=10l3=3.133\cdots>Q$,$16/5>19/6=3.166\cdots>Q$,を続け、$>13l4>16l5$ を経て、$22/7=3.1428\cdots>Q$まで続けられる。
ところが、 その次の回には、 $(22+3)1(7+1)=25/8=3.125<Q$ となって、 大小が逆転して、 $2217>Q>2518$ となる。 [結果として、左辺には祖沖之の「約率」$R=22l7$ が得られている。] この様に、 大小が逆転した所で、 今までの 「分子に 3 を加え、 分母に 1 を加える」 作業を止めて、 第二の作業に移る。
それは、 最後に得られた分数 2217 と 25/8 とを新たに出発値と考えて、 改めて、 この二つの分子分母から出発して、 上と同様な調日法の作業、 即ち$(22+25)/(7+8)=47/15=3.133\cdots$ を作り、 $Q$ との大小の比較に移行する。
この様に、「つねに $Q$ と比較して、大小が逆転しときは、 $Q$ を挟む両側の分子分母を取り替えて次の段階の作業に移行する」 のが、 何承天の算法である。
途中の計算を省略して、 まとめて言えば、 $2217>Q>157/50$ を経て、最後に$355l106>Q\geqq 3551113$ に到達する。 途中の近似分数 157150 は劉徽に因んで、《徽術》 と呼ばれる。 この右辺に得られた $Q=3551113$ が、 目標とした祖沖之の「密率」 である。 以上が 「何承天の算法」 である。 (言葉で説明すれば、 煩項であるが、 具体的な数値を用いれば、 自動的に計算できる。)

81
調日法は次に述べる連分数より劣るが、分母に絶えず 1 を加えて比較する「関の算法」 と比べれば、分母に「1 よりも大きな数値」 を加える点で優れている。
私は、青と黄の絵の具を渡されて、指定された緑を作る作業に擬えた。最初、勝手に青と黄を混ぜる。 出来た色が青すぎれば黄を加える。 黄すぎれば青を加える。 この作業を繰り返して、 次第に指定された緑に近づける。

第 16 節連分数$Q=3.1415926536$ を目標にして、連分数を説明しよう。初め $f=3$ と置く。

$Q=f+0.1415926536=f+1l7.062513305=f+1/(7+0.062513305)$ ,なる変形が、連分数の基本の算法である。 分母に出た 7062513305 を、整数部
分 7 と分数部分 0.062513305 とに分離し、 さらに分数部分の逆数を求める。
このように、 連分数に特有な算法は、 1 未満の数 (上例では 0.1415926536)の逆数 (7.062513305) を求め、 その整数部分 7 に注目し、 残りの分数部分(0.062513305) から、 さらに次の逆数 (15.996594645) を求める。 等々。
$g=7$ とおけば、 $Q=f+1l(g+(1l$ 15.996594645) .
$)$A $=15$ とおき、 $Q=f+1/(g+(1/(P+O.996594645))$$=f+1/(g+(1l$ ( $h+1l$ 1.0034167)) $))$ .

$j=1$

とおき、

$Q=f+1/(g+(1/(P+1/(j+0.0034167))))$$=f+1l(g+(1l(A+1l(j+1l292.68))))$ .

最後の括弧内の分数 $11292.68=0.0034167$ は、 数値が小さいので無視すれば、$Q=f+1l(g+(1l(A+1lj)))$となる。 これから逆算して、 $Q\fallingdotseq f=3$ ,$Q\fallingdotseq f+1lg=3+117=2217$ ,$Q=f+1/(_{g+}$ $(1l$ 乃$))=3+1l(7+(1l15))=3+11(106115)$ $=333l105$ ,$Q=f+1l(g+(1l(L+1lj)))=3+11(7+(11(15+111)))$$=3+11(7+(1116))=3+11(113116)=3+16/113=(339+16)l113$
を経て、 $Q=3551113$ 即ち蜜垂に達する。 途中で約率 $R=2217$ も得られる。

第 17 節二つの算法の比較
調日法と連分数との比較。 左図、 411 から 2217 まで $Q$ より大きく、 2217 で$Q$に最接近し、2518 は $Q$ より小さい。目標 $Q$ に近づけば勾配は緩やかになる。

続きは右図。 2518 から後の変化は甚だしく一図に収まらない。 右下図は 2518から 179157 まで示す。一部を省略し、上下を拡大した右上図の 223171 に飛ぶ。
$Q$ の直前の 3331106 は $Q$ より小、 直後の 355/113 は $Q$ を越え、 $Q$ に密着する。 左図では 411 から 2217 まで近似分数は $Q$ より 7 回大きい。 右図 (途中を省略) では、 2518 から 333/106 まで、 中間近似分数が $Q$ より 15 回小さい。

調日法の場合、 一歩づつ近づいた回数の 7 または 15 が、 連分数の場合、 ただ82一回の割り算によって 7062の 15の整数部分の 7, または 15996の整数部分として決まるので、 効率が良い。 連分数が優れた算法なる所以である。

第 18 節祖沖之の約率と密率祖沖之による密率の計算方法は何も伝わらない。 何承天の調日法を継承したと想像される。 調日法によれば、 祖の約率 $R=22l7=3.1428\cdots>Q$ は、 すでに上の計算の中に表れていた。 文献上、 約率 $R$ はあまり重視されないが、 簡単な分数の割には優れた分数と私は考える。 聖書に言う 3 は、 素朴・粗雑すぎる。
祖の約率 $R=22l7$ ならば、 紙細工、 木工の加工に充分な精度である。
私は (上) の第 11 節で、 祖沖之は 24576 角の内面積まで求めたことの外面積は直ちに得られること) を述べた。祖の蜜室(同角$Q=355/113$ を得るためには、実はそれほど多くの内面積を求める必要はない。手前の 3072 角の内面積$Y=3.14159046$ まで求めて置けば充分である。 その直前の 1536 角の内面積$X=3.14158389$ も用い、3072 角の外面積 $Z=3.14159703$ も直ちに得られる。
(私はいま理論として、 祖の密率を得るためギリギリの値を問題としている。)

祖の密率 $Q=355/113$ を理論的に未知の分数とし、 未知ながら、 不等式$Z=3.14159703>Q>Y=3.14159046$を満たす或る分数と仮定する。 この不等式のみを既知とて議論を進めよう。
第 19 節密率の探求

祖沖之の約率 $R=22l7=3.1428\cdots>Q$ が、 甚だ良い近似値であることは、 次の計算によって確かめられる。 出発値は任意だが、 第 15 節の初めの不等式$2217=3.14285714\cdots>Q>2518=3.125$から出発する。 何承天の算法を用いて、 次には $(22+25)1(7+8)=47115=3.133\cdots$を作って $Q$ と比較すれば、

83$2217=3.14285714\cdots>Q>47115=3.133\cdots>2518=3.125$となる。 次は、 2217 と 47115 から 69122 を作る、 等々と続ける。 この作業によって、次々に生じる分数は (その分母のみ示すと)29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, 78,85, 92, 99 であり、 目標の 311199 までの間、 凡て $Q$ よりも小さい分数が得られ、 しかもそれぞれ一つ手前の分数よりは大きい数となり、$2217=3.14285714\cdots>Q>311199=3.141414\cdots>$ ... $>2518=3.125$等を辿る。 さらに $Q$ を挟む両側の分数 2217 と 311199 に何承天の算法を施せ
ば、 密率 $Q=3551113=3.1415929203\cdots$ に到達する。

何故連分数が調日法よりも能率よく収束するのか、 理由が再び説明できる。
3551113 と 47115 と 2518 の分母に注目すれば $(113-8)l(15-8)=105l7=15$ ,即ち、 上記の不等式の系列の分母は、 2518 から 3551113 まで、 途中を飛ばし一挙に 15 回近づく。 回数 15 は、 連分数の演算の中に、 $p=15$ として出て来た。 調日法が一歩づつ分母を増やして目標値に近づいたのに対して、 連分数は演算の中に出て来るゐ $=15$ を求めて、 一挙に目標の値に近づいた。
第 20 節密率の独自性と偶然性

前回 (上) で、 中国人たちによる 「祖先の大学者祖沖之への賛美」 を述べた
(それは当然である) 対する日本は、 倭王武 (雄略) の時代であった。
。

注目すべきは、 密率 $3551113=3.1415929203\cdots$ を、 前回 (上) 第 12 節で示した計算と比較すれば、 従来見逃されてきたことだが、(24576 角の内面積) $3.141592\underline{619}<\pi<3.141592\underline{722}$ (24576 角の外面積)であり、 密率は 24576 角の外面積よりも外側にはみ出している。 即ち、 密率は万能ではない !

円周率 の近似値とは言っても、約率 2217 は小数 3.14 の近似値として、密率 355/113 は小数 3.141592 の近似値として有効なのであって、$\pi$

必要な精度に応じて、 その段階で効力を発揮する近似分数に過ぎない
社会生活のみならず、 歯車の噛み合わせに頼る精密機械工場の精度の範囲内
では、《密率》 は非常に良い近似値である。 しかし純粋数学の立場に立っ私たち$\circ$は、 いま私が指摘した密率の限界に目を瞑っても良いのだろうか ?

密率 $355l113=3.1415929203\cdots$ , この分数が出現する実情を知るため、 逆数$11113=0.0088495575$ (80 桁省略) 63716814159292035398230$\cdots$の下線部の数字の並び方に注目しよう。 ここにの小数表示との一致部分が現れているではないか。 1/113 の 87 桁目から、 待望の小数部分が現れる
密率の出現を、 小数点直下の開始に調整するには分子を 355–113 $\cdot 3=16$ とし、$Q$$!$$161113=0.1415929\cdots$と加工すれば良い。密率 355/113 とは、分数 11113 の途中の桁に良い数字の並びが出る、 僥倖とも言うべき偶然の産物に過ぎない。
こんなに都合の良い現象が、 いつでも現れるのか ? 有名な定数を試そう。

84
自然対数の底 $e=2.71828$ 18284 は、 $1le$ などを試しても、《うまい》近似分数は得られない。 オイラーの定数 $C=0.5772156649\cdots$ も、 レムニスケート定
積分の $A=1.31102\cdots$ も $B=0.59907\cdots$ も、 うまい近似分数にならない。

を加工した数値の場合には、 もはや綺麗な分数は出てこない。
$\sqrt{\pi}=1.772438509\cdots\sim 1/1,211,714$,1619, 23113, 39122, 2571145, 2961167,
さらに、

$\pi$

$\pi^{2}=9.8696044010\cdots\sim 911,1011$ ,6917, 7918, 227123, 10748/1089,$\pi^{2}l6=1.6449340668\cdots\sim 111,211,3l2,5l3,23114,51l35$ ,2271138,

祖沖之の密率は$\pi$等々。の近似分数を探すうちに、 偶然に見つけた僥倖な結果に過誰でも 3551113 を発見できる。 祖は幸いにも発見が早かったのだ。

ぎない !

第 21 節密率の次の近似分数
前稿、 (上) 第 12 節で導いた 24576 角の内面積 $T=3.1415926191\cdots$ と同角の外面積 $U=3.1415927218\cdots$ を比較の目標とする。「何承天の調日法」 だ
けも、 密率 3551113 よりも近似度の高い分数が導ける。 それには、 不等式$3551113=3.14159$ 292035$\cdots$$>U>T>4931157=3.14012738851\cdots$と、 3551113 の一つ手前の 3331106 を元にして、 次々に調日法を適用する。
$(355 \cdot 1+333)/(113\cdot 1+106)=6881219=3.14155251141\cdots$$(355 \cdot 2+333)l(113\cdot 2+106)=1043l332=3.14156$ 626056...

$\cdots$(中略)$(355 \cdot 291+333)l(113\cdot 291+106)=103638132989=3.14159$ 265209$\cdots$$(355 \cdot 292+333)l(11S\cdot 292+106)=103993133102=3.14159265301\cdots$

分母の 113. 12 106 は、$+$$Iz=1$ から $12^{=}292$ まで続く。 次の 293 の場合は、$(355 \cdot 292+333)l(113\cdot 293+106)=104348133125=3.14159$ 26539214

で、$\pi$よりも大きいので、 103993133102 で止める。 このように、$\pi$$\cdots$の近似分数を探求するために何承天の算法を用いただけでも、 密率 $Q=355l113$ を超える優秀な近似分数 $P=103993l33102$ が得られる。 $P$ は連分数を用いれば、

3$+$

11 $(7+1l(15+1l (1+1/292)))$と表され、 24576 角の外面積 $U$ と 24576 角の内面積 $T$ の間に挟まれる :
$U$

$U$

$>P=103993l33102>$$T$から $P$ までの中間を細かく探した結果、 密率 3551113 に匹敵するような、綺麗な数字が並ぶ分数は出て来ない。 (綺麗なという規準は曖昧である。)
第 22 節頭打ちの問題

前回、 (上) 第 12 節の内容への補足。 をほぼ 10 桁の数値で 98304 角まで計算を進めてみよう。 小数点下 5 桁まで用い切捨て原則によれば、案外早く限界に達する。 第 3 節の表をこの精度で進めよう。 次のように辺数 192 で、 早$\pi$

85
くも限界に達した o [6] 銭宝綜の数表の場合は、小数点下 6 桁まで示したので、192 角では余裕がありそうに見えたが、 用いる数値を小数点下 5 桁までに限定すれば、 早くも限界に達していたのだ。 さらに多くの桁数を用いれば、 計算は続けられるが、 それもどのみち限界に突き当たる。
辺数0 各辺長12026105
0130800.065430.03272
0.01636244896
192

3 内面積

面積差

外面積

3105823132623139353141120105820.0268000673
00177
0.00000

321105315942314608314289314112314112$0$$0$

第 23 節 銭の計算への批判[6] 銭宝珠の論文集の一論文に、 12288 角の内面積 $=3.14159251$ ,24576 角の内面積 $=3.14159261$ と出ている。 私は、 非常に細かい話ながら、 [1] の国際会議で、この数値の根拠に対する疑問を述べた。数値計算の特殊な話題である。
前回 (上) の数表 II で、私が示した結論は 12288 角の 31415925164
及$\cdots$

び24576 角の 31415926191

であり、 多数桁の値を用い、 下からの積み上げ計算によって求めた。 銭論文の数値は、 私のような計算を経ないで、 三角関数表から、 6144 $\sin(\pi 16144)=3.141592516\cdots$ , 及び 12288 $\sin(_{\pi}/12288)=$$3.141592619\cdots$ と求めた、 と想像される。 もしくは前論文 (上) の第 9 節で述べたような級数 (22) を用いただろうと考える。 末位の処理方法でも、 前者が25164 で、 後者が 26191 であるから、 末位を四捨五入して、 前者を252, 後者262 としてもよいはずなのに、銭はそのようにしない。 細かい$\cdots$$\cdots$点に対する《重箱の隅を突くような》批判である。掛ける係数 3072 と 6144 を考慮すれば、 銭にとっては、 各 AC の値を用いて、 少なくとも0.001022653813942 $\cross 3072$ $=3.14159$ 2516429824
0.0005113269 $23682137\cross 6144=3.14159$ 2619103050
程度の値が計算可能な、 有効数字の桁数の多い計算が必要であった筈だ。
しかし、 銭が論文 [6] に示した数値 314159251 と 314159261 は、 桁数が少ない。 私が前回 (上) で述べた、 地道な下からの積み上げ計算によったとは、到底思われない。私は自作の高精度計算を用い、遥かに桁数の多い数値を使い、積み上げの計算を実行したから、 この間の事情がよく分かる。 銭論文の 1923年当時は、 ソロバンと数表しか使えない。 銭は手許の 「三角関数表」 の正弦の．

値に係数 3072 または 6144 を掛けた、 と推測される。 しかも普通の 7 桁の数表ではなく、 天文計算で用いられる桁数の多い数表を用いたであろう。

86

第 24 節

循環連分数 (補足)前回 (上) の第 5 節で、 平方根 fi を数値で求めた。 ここで、 連分数の算法について簡単に補足する。 その前に、 前回 (上) の第 5 節には誤りがあった
ので、 第 5 節の 2 行目から 16 行目までを、 次のように訂正する。
$\lceil$

解説されている。 通常の 「開平方」 が、 二次の方程式(11)$x^{2}=c$を解くのに対して、 開帯従平方は、 一次の項 (従) $bx$ を伴う (帯) 二次方程式(12)$x^{2}+b_{X}=c$を解く。 第 7 節で必要な $f\sqrt{075}$ を求めよう。 $t=0.8$ ならば 0. $75-t^{2}=0.11$で不足する。 $\sqrt{075}=0.8+x$ と置き、 $0.75=0.64+1.6x+x^{2}$ ,(13)$l+1.6x=0.11$

ここから、なる開帯従平方を得る。 は小なので、 それよりも更に小さいを無視し、$x=0.1111.6=0.06875$ を得る。 この内、 上位の数 $x=0.06$ を採用して$X^{2}$$X$(14)$x=0.86+J^{7}$と置けば、 次の式を得る。
(15)$y^{2}+1.72y=0.75-0.86^{2}=0.75-0.7396=0.0104$ .

を無視し、 $J^{7=}0.010411.72=0.00604$ 65116 を得る。 云々。 途中は(似たような計算が続くが) 省略することにして、 最後に再び$y^{2}$(16)$\sqrt{075}=0.8660254037\cdots$$[=\sqrt{03}\div 2]$に達する。 これから目標の $1-;\sqrt{075}=0.1339745962\cdots$ を得たのであろう。
$\rfloor$

本節では、 区別のため、 括弧付きの式番号の代わりに、 $O$ 付きの式番号を用いる。 上記の平方根 ( $x$ の代わりに $r$ と置く)$\chi=\sqrt{075}=0.8660254037\ldots$

を小数 9 位まで示し、 その逆数も、 同じ桁数だけ示してみる。 先ず

1 $l_{I}=1.154700538\cdots=$ 1 0.154700538$+$と置き、$\theta$$\cdots$$=1+\theta$の逆数を求めると、

11 $\theta=11$ 0.154700538$=6+0.464101615\cdots=6+b$となる。 次々に整数部分と小数部分に分けていく。 この算法を続けると、
11 $b=110.464101615\cdots=$ 2 0.154700538 $=1+a$のように、として、△汎韻 0.154700538が出てくる。 従って、 この計算を続けていけば、 式 △伴侶彁擦 、交互に繰り返されることが、 容易に分かる。 ただし、 連分数の計算においては、 多くの桁数を用いて計算しなければ、 小数部分に誤差が積み重なるので、 注意が必要である。
$\cdots$$+$$\theta$$\cdots$$\cdots$

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一般の連分数 $(a, b, c, d, \cdot)$ を$a/(1+b1(1+cl(1+dl\cdots))))$と書く。 しかし、 式 イ里茲Δ乏膰未鮟鼎佑新舛能颪 のは煩わしい。
連分数の(これは部分商と呼ばれる) のみをブ理論では、必要となる数値 $a,$ $b,$ $c,$ ,$d$

ラケットで囲んで、$\tau=[e, b, c, d, \cdots]$と表すのが普通である。

連分数の内には、同じ数値とが繰り返が続く場合、または二つの数値される場合がある。 これらを循環連分数と呼ぶ。 例えば、 τ は 1 の後 2 が繰] となる。 次々の近似分数は、 $312=1.5$ , $715=1.4$ ,り返され、 [1, 2, 2, 2,$a$$b$$\theta$$2$$\cdots$$17112=1.4166\cdots$ ,$41129=1.4137\cdots$となって、急速に;2 に近づく。 このように、 急速に目標の平方根に近づくところが、 連分数の特徴である。

さて、前回 (上) の例題 $p=F\sqrt{0}f$ の場合は、 1 の後二つの数値 6 と 2 が] となる。 1 の後、 近似分数 617,繰り返し表れる場合であり、 [1, 6, 2, 6, 2$\ldots$13115, $84l97,\cdots$ を得、数値では 0.857$\sqrt{075}=0.86602$ 54037$\cdots,$$0.8666\cdots,$ $0.865979\cdots$となり、平方根に急速に近づく。

「二次の無理数は、 必ず循環連分数に展開される」 という定理がある。 循環など)
連分数は二次の無理数に特有な性質であり、三次の無理数も、超越数 (も循環連分数に展開されない。 [12] 『初等整数論講義』 を参照して頂きたい。
なお連分数を話題にしたのは、「中国古代に連分数の理論があった」 と主張するためではない。 あくまで、 前回 (上) の第 5 節に対する数学的な内容の補足$\pi$に過ぎない。
文献 (追加)[9] 平山諦下平和夫広瀬秀雄編 : 関孝和全集、 大阪教育図書、 1974.

[10] 藪内清 : 中国の天文暦法、 平凡社、 1969.
[11] 杉本敏夫 : 解読関孝和、 海鳴社、 2008.

[12] 高木貞治 : 初等整数論講義、 共立出版、 初版 1931, 第 2 版 1971