数理解析研究所講究録
1190 巻 2001 年 9-21

9

放物型概均質ベクトル空間の関数の量子化$b$

紙田敦史

Atsushi KAMITA(広島大理)(Hiroshima University)\S 0. Introduction
可換放物型と呼ばれる概均質ベクトル空間は単純 Lie 代数の内部に実現され, 表現論と密接に関係する. 特に 関数は既約性などと関係がある ([18] など). –方, 簡
約代数上上の虚心の 類似が量子包絡環上の加群として構成できる事が知られている. さらに可換放物型概均質ベクトル空間 $(L, V)$ に対しては座標環の 類似も構成された (広島大の谷崎氏, 森田氏との共同研究 [8]). この結果得られた $A_{q}(V)$は [3], [15], [17], [19] により研究されたものと同じである. [8] における $A_{q}(V)$ の構
成は量子包絡環の PBW 型の基底を用いるものであり,, $(L, V)$ が正則の場合は基本相対不変式 の 類似 $f_{q^{\text{の構成法}}も含_{む}}$ .
本稿の目的は $f$ に対応する 関数の 類似の構成である.
関数 $b(s)$ は $(L, V)$$(L,
V^{*})$の双対空間の相対不変式
によりに対応する定数係数微分作用素${}^{t}f(\partial)f^{s+1}=b(s)f^{s}$ で定義される.
そこで $g\in A_{q}(V)$ に対し, 線形写像
を
$A_{q}(V)$ 上の自然な非退化対称形式を用いて定義し, 量子’b 関数
を
$b$

$q$

$A_{q}(V\cdot)$

$q$

$f$

$q$

$b$

$b$

$q$

${}^{t}f$${}^{t}f(\partial)$$\iota_{g(\partial)}$$b_{q}(s)$$\iota f_{q}(\partial)f_{q}^{S}+1b(=Sq)f^{s}q$$(s\in \mathbb{Z}_{\geq 0}:)$$-$により定める. $b(s)= \prod_{j}(S+a_{j})$ のとき $b_{q}(s)$ (は (定数倍を除いて)$b_{q}(s)= \prod_{j}.q_{0}^{S}.\cdot[:.+aj-1\mathrm{i}S+.a:j]_{q0}$となる. ただし $q_{0}\text{は}.(L, V)$ が B, $C$ 型の単純 Lie 代数に付随するときは$q0=q^{2}\partial$

そ:-の他のときは $q_{0}=q$ であり,$[n]_{q0}= \frac{q_{0}^{n}-q_{0}^{-}n}{q_{0}-q\mathrm{o}-1}$である,

この結果は各 type 毎に計算、10することにより得られたものである. なお $A$ 型に対する 関数の 類似についてはCapelli identity の 類似による結果 [14] がある.
本稿を通して以下の記号を用いる. を複素数体 上の単純 Lie 代数とし, をその Cartan 部分代数とする. root 系をで表し, positive root 全体, simple root 全体のなす集合をそれぞれとする. ここで は index set である. また Weyl
$W$
群をを $W$ の最長元とする. $i\in I_{0}$ に対応する simple coroot, simple
で表す.
$b$

$q$

$q$

$\mathbb{C}$$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$$\triangle$,$\triangle^{+},$$\{\alpha,\}_{\in I_{0}}$$I_{0}$$w_{0}$

reflection をそれぞれ上の反代数射, $si\in W$ で表す. の包絡環
を,(は Chevalley basis であ-。により定める. ここでる. $(, )$ を
( : short root) をみたす invariant symmetric bilinear form と$h_{i}\in \mathfrak{h}$${}^{t}h_{i}--h_{i},$$t_{X_{\alpha}=x}$$x\vdash+^{t_{X}}$$U(\mathfrak{g})$$\mathfrak{g}$$\{x_{\alpha}|\alpha\in\triangle\}$$(\alpha, \alpha)=2$$\alpha$する. このとき$d_{i}= \frac{(\alpha_{i},\alpha_{i})}{2}$,$a_{ij}= \frac{2(\alpha_{i},\alpha_{j})}{(\alpha_{i},\alpha_{i})}$と定める.

\S 1. 量子包絡環
で表す. これはの量子包絡環を
本関係式をもつ上の結合代数である:$U_{q}(\mathfrak{g})$$\mathfrak{g}$$E_{i}$,$F_{i},$$K_{i}^{\pm 1}(i\in.I_{0})$で生成され, 以下の基$\mathbb{C}(q)$$K_{i}K_{j}=K_{j}K_{i}$,$K_{i}K_{i}^{-1}=K_{i}^{-1}K_{i}=1$$K_{i}E_{j}K_{i}^{-1}=q_{i}^{a_{i\mathrm{j}}}E_{j}$,$K_{i}F_{j}Ki^{-1}=q_{i}^{-a_{j}}\dot F_{j}$$E_{i}F_{j}-F_{ji}E=\delta ij^{\frac{K_{i}-K_{i}^{-}1}{q_{i}-q^{-1}i}}$$U_{q}(\mathfrak{g})$,,$1-a \sum_{s=0}^{\mathrm{j}}i(-1)^{s}E_{ij}^{1a_{ij}-}-sEEs=\mathrm{o}i$$(i\neq j)$$\sum_{0s=}^{1-a_{i}}(j-1)^{s}.\cdot F_{iji}^{1-s_{F}}-ai\mathrm{j}FS=0$$(i\neq j)$

ここで $q_{i}=q^{d_{i}}$ であり, $[m]_{t}= \frac{t^{m}-t^{-m}}{t-t^{-1}}$ ’ $[m]_{t}!= \prod^{m}s=1[S]t,$

る.

,

の部分代数

$U_{q}(\mathrm{b}^{\pm}),$$U_{q}(\mathrm{b}^{+})=\langle E_{i}, K_{i}^{\pm 1}|i\in I_{0}\rangle$$U_{q}(\mathfrak{n}^{+})=\langle E_{i}|i\in I_{0}\rangle$,,$U_{q}(\mathfrak{h})$,$U_{q}(\mathfrak{n}^{\pm})$,.

$= \frac{[m]_{t}!}{[n]_{t}![m-n]_{t}!}$であを次のように定める:$U_{q}(\mathrm{b}^{-})=\langle F_{i}, K_{i}^{\pm 1}|i\in I_{0}\rangle$$U_{q}(\mathfrak{n}^{-})=\langle F_{i}|i\in I_{0}\rangle$.

,$U_{q}(\mathfrak{h})=\langle K_{i}^{\pm 1}|i\in I_{0}\rangle$

,

11

また

$U_{q}(\mathfrak{g})$上の反代数射 $xarrow+t_{X}$ を次で定める:${}^{t}K_{i}=K_{i}$さらに$U_{q}(\mathfrak{g})$,,${}^{t}F_{i}=E_{i}$$\triangle(E_{i})=E_{i}\otimes K_{i}^{-1}+1\otimes E_{i}$,$S(K_{i})=K_{i}^{-1}$${}^{t}E_{i}=F_{i}$.

の Hopf 代数構造を$\triangle(K_{i})=K_{i}\otimes K_{i}$$\epsilon(K_{i})=1$,$\epsilon(E_{i})=\epsilon(F_{i})=0$,$S(E_{i})=-E_{i}K_{i}$で定め, 随伴表現,$\triangle(F_{i})=F_{i}\otimes 1+K_{i}\otimes F_{i}$,,$S(F_{i})=-K_{i}^{-1}F_{i}$$\mathrm{a}\mathrm{d}:U_{q}(\mathfrak{g})arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathbb{C}}(q)(Uq(9))$

weightの$U_{q}(\mathfrak{n}^{-})$

$\mu$

,

を次で定める:$\mathrm{a}\mathrm{d}(x)y=\sum_{i}X_{i}(1)S(2)y(_{X_{i})} (\Delta(x)=..\sum_{i}x_{i}^{(1})(2)\otimes X_{i})$(り) の随伴作用による,.

に対応する weight space を$U_{q}(\mathfrak{n}^{-)_{\mu}}$で表す.

Lusztig により$U_{q}(\mathfrak{g})$の自己同型$T_{i}$$T_{i}(K_{j})=K_{j}K_{i^{-a}}i\mathrm{j}$$(i\in I_{0})$が次のように定義された ([11]):,$-F_{i}K_{i}$$(i=j)$$\sum_{k=0}^{-a_{i\mathrm{j}}}(-q_{i})^{-}kE-a\dot{.}\mathrm{j}-k)E_{j}E_{i}i((k)$$(i\neq j)$$T_{i}(E_{j})=\{$$-K_{i}^{-1}E_{i}$$(i=j)$$\sum_{k=0}^{-a_{ij}}(-q_{i})^{k}F^{()}FjF_{i}^{(k}-a_{i}\mathrm{j}^{-})ik$$(i\neq j)$

1 $(F_{j})=\{$

ここで$E_{i}^{(k)}= \frac{1}{[k]_{q_{i}}!}E_{i}^{k},$$F_{i}^{(k)}= \frac{1}{[k]_{q_{i}}!}F_{i}^{k}$

である.

,

.

この自己同型を用いて PBW 型のを基底が構成できる. また $w\in W$ の最短表示 $w=s_{i_{1}}\cdots$ s|こ対して, 自己同型
$T_{w}=Ti1\ldots\tau_{i_{t}}$ と定める.
これは $w$ の最短表示のとり方に依存しない.
が–意的に存在す
以下の条件を満たす双線形形式 $(, )$ :$T_{w}$$U_{q}(\mathrm{b}^{-})\cross U_{q}(\mathrm{b}^{+})arrow \mathbb{C}(q)$ることが知られている ([4], [20]):$(y, xx’)=(\triangle(y), X\otimes X)’$$(K_{i}, K_{j})=q^{-(\alpha_{i},\alpha_{\mathrm{j}}})$$(F_{i}, K_{j})=0$

,

,

,

$(yy’, x)=(y\otimes y’, \Delta(x))$,$(F_{i}, E_{j})=-\delta ij(q_{i}-q_{i}^{-1})^{-1}$$(K_{i}, E_{j})=0$

.

,

12

ただし, $(y_{1}\otimes y_{2}, x_{1}\otimes x_{2})=(y_{1}, x_{1})(y2, X2)$ である.
を次で定義するに対し
また$r_{i}’(y$$y\in U_{q}(\mathfrak{n}^{-})_{-\mu}$$)\in U_{q}(\mathfrak{n}^{-})_{-}(\mu-;\alpha_{i})$$(.[4]).\backslash$.

$-)-(\mu-\nu))0<\nu\leq\mu’$ .

$\Delta(y)\in K_{\mu^{\otimes}}y+\sum K_{\mu i}-\alpha Fi\otimes r’(i\in I_{0}iy)+(\bigoplus_{\nu\neq\alpha_{i}}K-\nu U_{q}(\mathfrak{n}^{-})-\nu\otimes Uq(\mu \mathfrak{n}$.

このとき; $(y, xE_{i})=(F_{i}, E_{i})(r_{i}’(y), x)$(1.1)$(x\in U_{q}(\mathfrak{n}^{+}))$となる.

上で定めた双線形形式と線形写像$:r_{i}’\iota\mathrm{h}’’ ae^{e}’ \text{で}b$

関数の

$q$

類似の構成に用いる.

\S 2. 可換放物型概均質ベクトル空間とその

類似

$q$

この節では可換放物型概均質ベクトル空間およびその座標環の 類似の構成につ$q$いて述べる. 、.‘$I_{0}$$\mathrm{t}$の部分集合に対し$\Delta_{I}=\triangle\cap\sum_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha i$,$l_{I}= \mathfrak{y}\oplus(\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{I}}\mathfrak{g}\alpha)$,$\mathfrak{n}_{I}^{\pm}=\bigoplus_{\alpha\in\triangle}+\backslash \Delta I9\pm\alpha$に対応する代数群とする. 以下 E はもののみを考える. この条件は次と同値であるとする. また$L_{I}$

を$1_{\dot{I}}$’$W_{I}=\langle s_{i}|i\in I\rangle$$[\mathfrak{n}_{I}^{+}, \mathfrak{n}_{I}^{+}]=0$$\mathfrak{n}_{I}^{+}\neq 0,$となる$:\sim$$I=I_{0}\backslash \{i_{0\}}$$(i_{0}$(は 9 の higheSt rOOt$\theta=\sum_{i\in I_{0}}m_{i}\alpha i$&こおいて $\dot{m}_{i_{0}}=1\text{となるもの}$ ).

であらわす.
ぽ概均質ベクトル空間となる. その座標環を(はと同–視される.
なので,Killing 形式により
ここで index は$C_{r+1}$ とする.の-orbit は有限個でそれらを$arrow$のとき$\mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}^{+}]$$(L_{I}, \mathfrak{n}_{I}^{+})$$\mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}^{+}]$$(\dot{\mathfrak{n}}_{I}^{+})^{*}\simeq \mathfrak{n}^{-}I$$\mathfrak{n}_{r}^{+}$$C_{1},$ $C_{2},$$L_{I}$$S(\mathfrak{n}_{\tau}-)=U(\mathfrak{n}^{-)}I$$\mathit{0}_{r},$$\ldots,$

closure relation$\{0\}=C_{1}\subset\overline{C_{2}}\subset\cdots\subset\overline{c_{r}}\subset\overline{c_{r+}1}=\mathfrak{n}_{I}^{+}$

をみたすようにつける. 以下 non-open orbit の個数を$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の定義イデアルを$\mathcal{I}(c_{p})$とし,のことが知られている ([21]):$r$$\iota...\cdot$.

.

$.\cdot$に対し,とする. このとき次で表す.

その $m\text{次斉次部分を}r$ $\mathcal{I}^{m}(c_{p})$.

$1\leq P\leq r$$\cdot$13(i) $\mathcal{I}^{m}(C_{p})=0(m<p)$ .
は既約 加群.
(ii)
(iii)
.
$\mathcal{I}^{p}(o_{p})$$1_{I}$$\mathcal{I}(C_{p})=\mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}]+\mathcal{I}^{p}(op)$

ルを$\mathcal{I}^{p}(c_{P})$ル空間の highest weight vector とし,が正則のとき, orbit

その weight を$\lambda_{P}$とする. 概均質ベクトに対応する highest weight vectorが基本相対不変式であり, その weight はに対応する基-2\varpi ’。となる. ただし
本 weight である. 以下, 本稿を通しではが正則となるものとする. そのような とは図 1 の Dynkin diagram で与えられる (頂点 が に対応
している).
.
$(L_{I}, \mathfrak{n}_{I}^{+})$$C_{r}$$\lambda_{r}=$$\varpi_{i\text{。^{は}\alpha}i_{0}}$$I=I_{0}\backslash \{i_{0}\}$$\mathfrak{g}$(I)$A_{2n-1}$$arrow 1$$(L_{I}, \mathfrak{n}_{I}^{+})$$i_{0}$$\circ$. . . $\underline{n-1nn+1}$ . .
..

(II)

$B_{n}$$\mapsto$.

(III)$C_{n}$$\sim\ldots-\bullet\Leftarrow 0$(IV)$D_{n}$$\cdot$$\cdot$$.arrow 2n-1$$\cdot$$\overline{.1^{:}}$$/^{\sim}\cdot$(V).

$D_{2n}$$\backslash /$$\mathrm{r}\cdot$–.. .1

1.

$-.rightarrow \mathfrak{l}$$\cdot$.

(VI)$\cdot$$E_{7}$$\overline{\downarrow},.arrow.\cdot..\bullet$

図1

次に$\mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}^{+}]$の $q$ 類似について述べる ([8]).

$U_{q}(\mathfrak{g})^{\text{の}}.\text{部分代数}U_{q}([_{I}.),$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$$U_{q}(1_{I})=\langle E_{i}.’を次で定義する.

Fi, K_{j}^{\pm}|i\in I,j\in I_{0}\rangle$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})=U_{q}(\mathfrak{n}-)\mathrm{n}T^{-}w_{J}q1U(\mathfrak{n}^{-})$

ここで$w_{I}w_{0}$$w_{I}$

は Weyl 群の部分群.

$W_{I}$,.

の最長乖である.

の最短表示 $w_{I}w_{0}=si_{1}si_{2}\ldots si_{k}$ に対して$\beta_{t}=s_{i_{1}}\cdots S_{i}t-1(\alpha_{i_{t}})$$i_{0}$$-\bullet\Rightarrow\bullet$–.. .: .
.

$f_{r}$.

,

とおく. このとき次が成り立つ.

$\mathrm{Y}_{\beta_{t}}=T_{i_{1}}\cdots T_{i_{t1}}-(F_{i_{t}})$$(1 \leq t\leq k)$.., :.

14(i)

命題 2.1.

(ii)$\mathrm{a}\mathrm{d}(U_{q}(\iota I))U(q)\mathfrak{n}_{I}^{-}\subset U_{q}(\mathfrak{n}_{I}-)$

であり,$\Delta^{+}\backslash \Delta_{I}=\{\beta_{t}|1\leq t\leq k\}$.

$\{\mathrm{Y}_{\beta_{1}}^{n_{1}}\cdots \mathrm{Y}_{\beta}^{n_{k}}k|n_{t}\in \mathbb{Z}_{\geq}0\}$(は$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

の基底

をなす.

(iii)

$\mathrm{Y}_{\beta}(\beta\in\Delta^{+}\backslash \Delta_{I})$はの最短表示のとり方によらずに定まり,$w_{I^{W_{0}}}$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$の生成元として 2 次基本関係式をみたす.
この命題によって$f$を$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$の$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$を$\mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}^{+}]$の $q$ 類似とみなす.

weight vector とし, その weight を$\mu=-\sum_{iI0}\in\alpha m_{ii}(m_{i}\in \mathbb{Z}_{\geq 0})$とする. このとき$f\in$$\sum_{+,\gamma_{1},\ldots,\gamma mi_{0}\Delta\in\backslash \Delta I}\mathbb{C}(q)\mathrm{Y}_{\gamma}\cdots \mathrm{Y}1\gamma_{m_{i}}\text{。}$となり, $f$ の斉次次数は $\deg f=m_{i_{\text{。}}となる}$ .
$P(c)p$ の加群であることよりその部分【I 加群が multiplicity freeが–意に存在する. このときの部分加群為 (Cp),
類似となる$\mathcal{I}(C_{P}),$$1_{I}$$\mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}^{+}]$$U_{q}(1_{I})$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$$q$$\mathcal{I}_{q}^{p}(C_{p})$(2.1)$\mathcal{I}_{q}(C_{p})=U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})\mathcal{I}^{\mathrm{P}}(qc_{p})=\mathcal{I}_{q}^{p}(C_{p})U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$となる ([8]). またり,$f_{q,r}$$f_{q,p}$をの highest weight vector とすると, $\deg f_{q,p}=P$ であ$\mathcal{I}_{q}^{p}(C_{p})$が基本相対不変式みの 類似である.
$q$

例 22.

$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}[_{2n}$とし, その simple root の index set$I_{0}$

を図 1(I) により定める.

このとき$\mathrm{n}_{I}^{+}\simeq M_{n}(\mathbb{C})$$1_{I}\simeq\{(g_{\iota}, g2)\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}\cross \mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}|\mathrm{t}\mathrm{r}g_{1}+\mathrm{t}\mathrm{r}g_{2}=0\},$であり, non-open orbit の個数嫁ま$n$となる. また基本相対不変式は $f_{n}(x)=\det x$ と

なる.
この

$q$

類似は次のようになる.

を単にとし,は生成元 $\mathrm{Y}_{ij}(1\leq i, j\leq n)$ と基本関係式$\alpha_{n-i+1}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots+\alpha_{n+j-1}$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

1 $\leq i,j\leq n$ に対して$\mathrm{Y}_{ij}$$q$$\mathbb{C}(q)$代数である (と書くこととする. このとき$(i<k,j>\iota)$$\mathrm{Y}_{u}\mathrm{Y}_{ij}$$\mathrm{Y}_{k\iota}\mathrm{Y}_{i}j+(q-q-1)\mathrm{Y}kj\mathrm{Y}il$をもつを $\beta_{ij}=$( $i<k,$ $j=l$ または $i=k,$ $j<l$ )$q\mathrm{Y}_{k\iota^{\mathrm{Y}}}ij$$\mathrm{Y}_{ij\iota=}\mathrm{Y}_{k}\{$$\mathrm{Y}_{ij}$$\beta_{ij}\in\Delta^{+}\backslash \Delta_{I}$$U_{q}(l_{I})$$(i<k, j<\iota)$の adjoint 作用は省略).

このとき

類似は
$f_{q,p}= \sum_{\sigma\in sp}(-q)\downarrow(\sigma)\mathrm{Y}_{1},(1)\sigma\ldots \mathrm{Y}_{\mathrm{p}},\sigma(p)$$f_{p}$$(1\leq p\leq n)$

の

15

であり,

$f_{q,n}$が基本相対不変式の$q$類似となる. (他の場合のは [6], [13] を参照. たとえば (V) の場合,

\S 3.

$b$

$f_{q,r}$は Pfaffian の

$q$

$q$

類似の具体形について類似となる)

関数とその 類似$q$関数は次のように定義される.
をに対して定数係数微分作用素

正則概均質ベクトル空間$h\in \mathbb{C}[\mathfrak{n}_{I}^{-}]\simeq s(\mathfrak{n}_{I}^{+})$$(L_{I}, \mathfrak{n}_{I}^{+})$の$b$$h(\partial)$$h(\partial)\exp(X, y)=h(y)\exp(X, y)$により定める. 基本相対不変式$f_{r}$$(x\in \mathfrak{n}_{I}^{+}, y\in \mathfrak{n}_{I}^{-})$に対して${}^{t}f_{r}(\partial)f_{r}^{S}+1b\Gamma=(_{S})f\Gamma s$$(s\in \mathbb{C})$となる多項式 が存在し, これを 関数と呼ぶ. $\deg b_{r}=r$ である. 図 1 の各場合についてその 関数は次のようになる.
$b$$b_{r}$$b$(I)$b_{r}(s)=(s+1)(s+2)\cdots(s+n)$$(r=n)$(II)$b_{r}(s)=(s+1)(s+ \frac{2n-1}{2})$$(r=2)$(III)$b_{r}(s)=(s+1)(s+ \frac{3}{2})(s+\frac{4}{2})\cdots(s+\frac{n+1}{2})$$(r=n)$(IV)$b_{r}(s)=(s+1)(s+ \frac{2n-2}{2})$$(r–2)$(V)$b_{r}(s)=(s+1)(s+3)\cdots(s+2n-1)$$(r=n)$(VI)$b_{r}(s)=(s+1)(s+5)(s+9)$$(r=3)$$S(\mathfrak{n}_{I}^{-)}$

上の非退化対称形式$\langle, \rangle$

を$\langle f, g\rangle=(^{t}g(\partial)f)(\mathrm{O})$

に対して

(i)

(ii)

(iii)
(iv)

$\langle \mathrm{a}\mathrm{d}(u)f, g\rangle=\langle f, \mathrm{a}\mathrm{d}(^{t}u)g\rangle$$\langle f, gh\rangle=\langle^{t}g(\partial)f, h\rangle$$(u\in U(\iota_{I}))$,,$\langle x_{-}\beta, x_{-}\beta’\rangle=\delta_{\beta,\beta’}\frac{2}{(\beta,\beta)}$$\langle fg, h\rangle=\langle f\otimes g, \triangle(h)\rangle-$$(\beta, \beta’\in\triangle^{+}\backslash \triangle_{I})$,で定めると, $f,$ $g,$$h\in S(\mathfrak{n}_{I}^{-)}$

16となる. ただし$\triangle=-(^{t}\cdot\otimes^{t}\cdot).\triangle(^{t}\cdot)$

で定まる$(x\in \mathfrak{g})$この対称形式
形式$\langle$,$\rangle_{q}$$U(\mathfrak{g})$で$U(\mathfrak{g})arrow U(\mathfrak{g})\otimes U(\mathfrak{g})$(は $\triangle(x)=x\otimes 1+1\otimes X$の余積である.

の $q$ 回忌により$\langle, \rangle$:$\triangle$

を weight vector $f,$

$g$

$b$

関数の

$q$

類似を構成する.

$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

上の双線形

に対して

$\langle f, g\rangle_{q}=(q^{-1}-q)^{\mathrm{d}\mathrm{g}f}\mathrm{e}(f*,{}^{\tilde{t}}g)$により定める. $(, )$ の性質により以下のことが成り立つ.

命題 3.1.

(i)$\langle$,-$\rangle_{q}$は対称非退化.

(ii)$\langle \mathrm{a}\mathrm{d}(u)f, g\rangle_{q}=\langle f, \mathrm{a}\mathrm{d}(^{t}u)g\rangle_{q}$(iii)$\langle \mathrm{Y}_{\beta}, \mathrm{Y}_{\beta}’\rangle_{q}=\delta_{\beta,\beta’}[\frac{(\beta,\beta)}{2}]_{q}^{-1}$(iv)$\langle fg, h\rangle_{q}=\langle f\otimes g, \triangle(h)-\rangle q$

注 3:2.‘

.

,

.

.

$-$

$\cdot$$(u\in U_{q}(1_{I}))$$(\beta, \beta’\in\Delta^{+}\backslash \Delta_{I})$なので (iv) では少し変形する必要がある.
.

,$\mathrm{s}.$命題 33.

$\langle$,$\rangle_{q}$

を

.

’.

.

$\triangle(U_{q}(-\mathfrak{n}_{I}^{-}))\not\subset U_{q}(\mathfrak{n}_{\tau}^{-})\otimes U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

上の命題により$\langle, \rangle$.

$\cdot$.:の $q$ 類似とみなす.

:$.$$g\in U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

に対して$\langle^{t}..g.(\partial)f, h\rangle_{q}=\langle f, ’...gh\rangle q$${}^{t}g(\partial)\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathbb{C}(q)}(U(\mathfrak{n}^{-})I)$$(f,.h\in U_{q}’-(\mathfrak{n}_{I}-))$

:...

$-$

となる

.

力\leq --意的に存在ずる.

証明. –意性は非退化性より明らかである. 以下, 存在性を示す. これは$g=\dot{\mathrm{Y}}_{\beta}(\beta\in$で示せば十分である.

$\triangle^{+}\backslash \triangle_{I})$\beta =\alpha ’。のとき,’(7)-とき,$\beta>\alpha_{i_{0}}$とき$\mathrm{Y}_{\beta}=F_{i}\text{だか。ら式}(1.1)$より${}^{t}\acute{\mathrm{Y}}_{\beta}(\partial)=[d_{i_{0}}]_{q}^{-}1r_{i\text{。}}\prime \text{とすればよ_{い}}$$\mathrm{Y}_{\beta}=c\mathrm{a}\mathrm{d}(F_{i})Y_{\beta’}(\beta’=\beta-\mathfrak{p}\alpha_{i})$となる $i\in I$ と${}^{t}\mathrm{Y}_{\beta}(\partial)=c(^{t}\mathrm{Y}_{\beta^{l}}(\partial)\mathrm{a}.\mathrm{d}.(E_{i})-,q^{\beta’}i\mathrm{Y}(hi)t\beta^{l}(\partial)\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{i}))$$c\in \mathbb{C}(q)$

.

が存在す

と帰納的に定めれ$\text{る}..\text{このよ^{}-}\mathrm{a}$$f,$ $g\in U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

がそれぞれ weightは定義より $\mu-\nu$ となる. 特に
ある.

$\nu$

$\mu,$をもつ weight vector のとき,${}^{t}f_{q,r}(\partial)f_{q}^{S},r+1(s\in \mathbb{Z}_{\geq 0})$${}^{t}g(\partial)f$の weight I は $s\lambda_{r}(=-2S\varpi i\text{。})$ で.

.:.

補題 34. $i\in I$ に対し,${}^{t}f_{q,r}(\partial)\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{i})=\mathrm{a}\mathrm{d}(Ei)\iota f_{q,r}(\partial)$,の weight${}^{t}f_{q,r}(\partial)\mathrm{a}\mathrm{d}(F_{i})=\mathrm{a}\mathrm{d}(..(F_{i}){}^{t}fq,r(\partial)$

.

17

証明.

$y\in U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$

に対し$\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{i})(f_{q,r}y)=f_{q,r}\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{i})y,$$\mathrm{a}\mathrm{d}(F_{i})(fq,ry)=f_{q,r}\mathrm{a}\mathrm{d}(F_{i})y$なることと命題 3.1 (ii) を使えばよい
これより

口は highest weight vector であることが従う.

${}^{t}f_{q,r}(\partial)f_{q}^{S},r+1$と今,$U_{q}(\mathfrak{n}_{\tau}^{-})$

はmultiplicity free だから${}^{t}f_{q,r}(\partial)f^{S+1}q,r=\tilde{b}f_{q}^{S}q,r,s,r$.

が存在する. ri。や, となる多項式を単に $b_{q,r}(s)$ と書くことにする.
となる$\tilde{b}_{q,r,s}\in \mathbb{C}(q)$$\tilde{b}_{q,r}(t)\in \mathbb{C}(q)[t]$$\tilde{b}_{q,r}(q_{i0}^{s})=\tilde{b}_{q,s}r$

定理 35. 正則概均質ベクトル空間の作用をみてやることによりが存在することがわかる. 以下$\mathrm{a}\mathrm{d}(E_{i})(i\in I)$$\tilde{b}_{q,r}(.q_{i}.0)s$の基本相対不変式に対する$b_{r}(S)= \prod_{j}^{\Gamma}=1(S+a_{j})$ とする.
このときその 類似は (定数倍を除いて)$(L_{I}, \mathfrak{n}_{I}^{+})$$f_{r}$

$b$

関数を

$q$

ず

$b_{q_{\Gamma}},(S)=j=1 \prod qi^{+a}\mathrm{o}[_{S}sj^{-1}+aj]_{q}i_{0}$

.

とかける.

注 3.6. $B,$ $C$ 型では$[s+a_{j}]_{q_{i_{\text{。}}}}$(はであるが, この場合では内で定義される.

$\mathbb{C}(q)$$a_{j}$$\in\frac{\mathbb{Z}}{2}$定理 35 は各 type 毎にを簡単に述べる. .

$b_{q,r}$なので定理の$q_{i_{0}}=q^{2}$を計算することによって示される. 次節でその計算法
.

,

\S 4.

$b_{q,r}(s)$$q_{i_{0}}^{S+1}a_{j}-4^{-}\supset-$の計算

まずいくつか準備をしておく.
命題 4.1.

は$f_{q,r}$$U_{q}(\mathfrak{n}^{-})$の center の元である.

証明. $i\in.I\}^{}-\text{

特に対し}.[Fi, f_{q,r}..]=\mathrm{a}\mathrm{d}(F_{i})f_{q},r=0\text{て}.\mathrm{a}\text{る}$よい.

$U_{q}(\mathfrak{n}_{\tau}^{-})$.

の center の元である.

$\text{、よ}$$\vee.\supset.\mathrm{C}\vee$$[F_{i_{0}}.’f_{q}..’.

式 (2.1) より瓦。$f_{q,r}=cf_{q,r}F_{i\text{。}となる}c\in,\mathbb{C}(q)$ が存在する. –方,に注意するとり,$r_{i\text{。。}^{}\prime 2\prime 2}(F_{i\text{。}}fq,r)=r_{i}(f_{q,r}Fi\text{。})=(q_{i_{0}}^{2}+1)r_{i_{\text{。}}^{}\prime}(f_{q},r)(\neq 0)$$(q_{i_{0}}^{2}+1)r_{i\text{。}^{}\prime}(f_{q,r})=C(q^{2}i_{0}+1)r_{i_{\text{。}}^{}\prime}(f_{q},r)$r]=.0$

を示せば$r_{i\text{。}^{}J}(\mathrm{Y}_{\beta})=\delta_{\beta,\alpha_{i_{\text{。}}}}$となることがわかとなる. したがって $c=1$ .

口18$f_{q,r}$が highest weight vector であることより$\beta\in\triangle^{+}\backslash \triangle_{I},$ $y\in U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-)_{-\mu}}$

に対して

(4.1)

$\iota_{\mathrm{Y}_{\beta}(\partial)(}f_{q,q,r}^{n}ry)=q\mathrm{Y}(\beta,\mu)t\beta(\partial)(f^{n})y+fq,r\mathrm{Y}nt(\beta\partial)y$となることが示され, とくに命題 4.1 より次が従う:${}^{t}\mathrm{Y}_{\beta}(\partial)(f^{n}q,r)=qi0[n-1n]_{qi\text{。}}fq,rn-1\iota_{\mathrm{Y}_{\beta}}(\partial)fq,r$類似を次のようにして計算する.
に対応する highest weight vector-orbitの基本相対不変式になっており,
空間の量子 関数をの構成は [22], [23] 参照)
$b$

関数の

$L_{I}$

.

(4.2)

$q$

$C_{P}$$(L_{(p)},\mathfrak{n}_{()}^{+})p$$b$$f_{q,p}$$f_{p}$

はある可換放物型概均質ベクトルはその 類似である.

$f_{q,p}$$b_{q,p}$$((L_{(p)}, \mathfrak{n})(+p)$$q$で表し, これらを用いて$b_{q,r}$

を求

める.

まず

$b_{q,1}$を求める. $f_{q,1}=cF_{i_{\text{ }}}(c\in \mathbb{C}(q)^{*})$ とかけるので。

${}^{t}f_{q,1}(\partial)f_{q}s,+11=C^{s+2}[di\mathrm{o}]_{qi}-1r_{i_{\text{。}}^{}\prime}(F^{s+}1)0=c^{2}[d_{i_{\text{。}}}]_{q\text{。}^{}-1S}q_{i0}[_{S+1}]qi0(cF_{i})^{S}$となり, $b_{q,1}(s)=c[2di0]^{-1}qq_{i0}^{s}[s+1]_{q_{i\text{ }}}$ である.
をで表すことを考える. 定義より
次に $2\leq p\leq r$ とし,とを比較すればよい.
だからが存在する:
ロ
以下の条件をみたす。

$b_{q,p-1}$$b_{q,p}$$b_{q,p}(s)\langle f^{S}q,p’ fq,pS\rangle_{q}$$\langle f_{q}^{s+1},p’ f^{s+1}q,p\rangle_{q}=$$\langle f_{q,p-1}^{s}, f_{q,p-1}^{s}\rangle_{q}$$\langle f_{q,p}^{S}, f_{q,p}^{s}\rangle_{q}$$\beta_{p},’\in\triangle^{+}\backslash \Delta_{I},$(C1) :(C2) :(C3) :$f_{q,p}= \sum_{j}\mathrm{Y}\beta p,j\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{p},j)f_{q},p-1$$u_{p,j}\in U_{q}(\mathrm{I}_{I})$.

${}^{t}\mathrm{Y}_{\beta_{p,\mathrm{j}}}(\partial)f_{q,p}=c_{p,j}\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{p},j)f_{q},p-1$.

.

${}^{t}\mathrm{Y}_{\beta_{\mathrm{p},\mathrm{j}}}(\partial)f_{q},p-1=0$

ここで $c_{p,j}\in \mathbb{C}(q)$ は各 type 毎に求まるものである.

(4.2) を使うと,$s\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$に対しこれらと命題 3.1 (ii), 式 (4.1),$\langle f^{s}q,p’ f^{s}q,p\rangle_{q}=C(pS)\langle fq,p-1’ f^{S}S\rangle_{q}q,p-1$となる $c_{P}(s)\in \mathbb{C}(q)$が求まる. したがって$b_{q,p}(s)= \frac{c_{p}(S+1)}{c_{p}(_{S)}}bq,p-1-(S)$が帰納的に求まる.
となり, 量子 関数
はの座標環の 類似のときを考えると.
例えばや$i,j\leq p)$ で生成されるの部分代数である. ここで root
は例 22 で定めたものとする.
$b$$b_{r}(s)$$(L_{(p),(}\mathfrak{n}^{+})p)$$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\text{【_{}2n}$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$$\mathrm{Y}_{ij},$$U_{q,p}$$q$$\alpha_{i},$$\beta_{ij}$$\mathrm{Y}_{\iota j}(1\leq$$U_{q}(\mathfrak{n}_{I}^{-})$の元$f_{q,p}$このとき $d_{i_{\text{。}}}=d_{n}=1,$ $qi\text{。}=q_{n}=q,$ $f_{q,1}=F_{n}$ より $b_{q,1}(s)=q^{S}[s+1]_{q}$ である. また$f_{q,p}$の $f_{q,p-1}$ による分解 (C1) は$f_{q,p}= \sum_{k=1}(-q^{-})1p-k\mathrm{Y}_{p},k\mathrm{a}\mathrm{d}(u_{k}p)fq,p-1$

19で与えられる. ここで $u_{k}=F_{n+}kF_{n}+k+1\ldots Fn+p-1$ である. これは行列式の余因子展

開の

$q$

類似である. また${}^{t}\mathrm{Y}_{p,k}(\partial)f_{q,p}=(-q)p+k-2\mathrm{a}\mathrm{d}(uk)f_{q},p-1$である. このとき$\langle f_{q,p}^{s}, f_{q,p}^{s}\rangle_{q}=q^{\frac{s(s+2p-s)}{2}}\prod_{=i1}[i+p-1]_{p}\langle f^{s}q,p-1’ f^{s}q,p-1\rangle_{q}s$となり, $b_{q,p}(s)=q^{s+p-}1[s+p]_{q}b-1(q,p)s$ である. したがって$\text{数}b_{q}$$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}12n$

のとき量子

$b$

関

,n は

$b_{q,n}(_{S})=\square q^{s+\mathrm{P}}-1[sp=1+p]_{q}$となる.

他の場合における$f_{q,p}$の分解 (Cl) の具体形は [7] を参照.

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$\mathfrak{i}$

,”

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