数理解析研究所講究録
1190 巻 2001 年 182-189

182

Double loop algebra の表現論とその応用(Yoshihisa Saito)

斉藤義久

広島大学大学院理学研究科

1$\mathfrak{g}$はじめにを半単純 Lie algebra とする。

$\mathfrak{g}$に 1 変数 Laurent 多項式環を tensor してでき

さらにLie algebraを申心拡大して (場合によっては degree operator も付け加える) 出来る Lie algebra を
affine Lie algebra という 現在. affine Lie algebra が数理物理学における中心的る

は loop algebra と呼ばれる$\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t, t^{\pm}]$$\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t, t^{\pm}]$$\text{。}$$\text{。}$研究対象であることは、 いまさら言うまでもないことであろう。
数学的には affine Lie algebra は Kac-Moody Lie algebra の中の、 特別な性質をもつクラスと見るのが普通である。 Kac-Moody Lie algebra とは半単純 Liealgebra の持つ性質のうち、 三角分解可能という点に着目し、 三日分解が可能なように Lie algebra のクラスをできるだけ広げたもの、 と言うこともできるであろう. affine Lie algebra の表現論を調べる際には. Kac-Moody Lie algebra の $-$般論を踏まえた上で、 affine 特有の性質を用いて構造を詳細に見ていくのが今までの立場であったし、 それによって大きな成功を収めたことも良く知られている。

しかしこのような立場は本当に正しいのであろうか。 歴史的に見れば Kac-Moody

Lie algebra よりも affine Lie algebra の方が先にあったのであって、 それを KacMoody Lie algebra の申のよいクラスとみるのは、 $-$ つの見方に過ぎない。 言い方を換えれば. affine Lie algebra を含むような Lie algebra の拡張の方向として.
Kac-Moody は unique な訳ではない
今回紹介する Double loop algebra は affine Lie algebra を含む拡張であっ ,Kac-Moody Lie algebra とは別の方向を与えるものである。 に 2 変数 Laurent
多項式環 1 を tensor して中心拡大を行ったものを Double loop algebra (あるいはelliptic Lie algebra) と呼ぶ 上にも述べたように Kac-Moody Lie algebra は三角分解が可能という点が特筆すべき性質であるが、 Double loop algebra は三角分解が出来ない。 したがって今まで知られていた表現論的手法が殆んど役に立たず、
この algebra を調べたいという強い
motivation が無がつたこともあって、 あまり研究がされて来なかつた
ここ数年数学、 物理の両面で Double loop algebra は$\text{。}$$\text{て}$$\mathfrak{g}$$\text{。}$$\text{。}$

数々の対象と結び付き始めており、 状況は変化しっつある。 特に共形場理論、 特異点論との関係は密接になって来っっある 2。

$\mathrm{l}\mathrm{g}$に( 変数以上の) 多変数 Laurent 多項式環を tensor して中心拡大をするという立場もあるが、 そちらについては今回は触れないことにする。

2 他分野との関係、 応用に関しては今回は割愛する。 この点に関しては別の機会に紹介させて頂くことにしたい。

183
表現論に関してはまだ何もわかっていないとしか言えない状況ではあるが、今回はその中でも比較的構造が良くわかっている頂点表現について紹介したい。頂点表現の定義そのものは affine Lie algebra の場合の、 いわゆる Frenkel-Kac constructionのまね以上のものではないが、 その構造に関して Double, loop algebra 特有の現象 $(SL(2, \mathbb{Z})$ 対称性) を見ることが出来る。 この $SL(2, \mathbb{Z})$ 対称性の意味を理解することが出来た時、 Double loop algebra の表現論をコントロールできるようになると考えている。

お詫び

講演のタイトルと実際の講演の内容が異なるものになってしまい麟演

内容がタイトルに比べて非常に特殊な場合に限定した話題になってしまい)、 大変
申し訳なく思っております。 この場を借りてお詫び致します。

2

準備

この節では話の中心となる Double loop algebra および$SL(2, \mathbb{Z}.\cdot)$

対称性について述べる。

Double loop algebra の定義

2.1$\mathfrak{g}$を$(\cdot, \cdot)$.

$\mathbb{C}$ををその Cartan subalgebra,
Lie algebra.
の non-degenerate symmetric invariant bilinear form とする
.
を
による拡大
上の 2 変数 Laurent 多項式環とし、 の上の ADE 型の有限次元単純$\mathfrak{g}$$\text{。}$$A=\mathbb{C}[s^{\pm 1}, t^{\pm}1]$$\mathfrak{g}\otimes A$$\mathfrak{h}$$\mathbb{C}$$\mathfrak{g}$を考える。 ただし交換関係は$[X\otimes f, Y\otimes g]:=[X, Y]\otimes fg$とする。 このとき新しい Lie algebra

Definition$\Omega_{A}^{1}=Ads\oplus Adt$$\mathfrak{g}_{\mathrm{t}\text{。}\mathrm{r}}$,$X,$ $Y\in \mathfrak{g},$ $f,$ $g.\in A$

お \d ag er び$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$を以下で定義する。

を $A$ 上の 1-form のなす空問とし.
$-.$

を

$A$

:

$\Omega_{A}^{1}arrow\Omega_{A}^{1}/dA$

canonical projection とする。 このとき$\mathfrak{g}_{\tau_{\text{。}\mathrm{r}}}:=\mathfrak{g}\otimes A\oplus\Omega_{A}1/dA$

を toroidal Lie algebra と呼ぶ。 ただし交換関係は$[X\otimes f, Y\otimes g]:=[X, Y]\otimes fg+(x, Y)\overline{(df)g}$,$X,$ $Y\in \mathfrak{g},$ $f,$ $g\in A$

は center の元$c\in\Omega_{A}^{1}/dA$と定義する。 さらに$\mathfrak{g}_{\text{。}1}:=9\mathrm{t}\text{。}\mathrm{r}\oplus \mathbb{C}s\partial S\oplus G\partial_{t}$とし、 交換関係を$[s\partial_{s}, X\otimes s^{k}t^{l}]=kX\otimes s^{k}t^{l}$,$[t\partial_{t},$$X\otimes s^{k}t^{\iota_{]}}=lX\otimes s^{k}t^{l}$

,

,

184
$[_{S\partial_{S},d}\overline{s^{k-}t^{\iota}S}]1k_{S^{k-}}$$=$ltldS,$[_{S\partial_{s},\overline{s^{k}t}}l-1dS]=l\overline{S^{k}tt-1d_{S}}$,$[s\partial_{s\text{、}},t\partial_{t}]=0$

で定める$\text{。}\mathfrak{g}_{\text{。}1}$

を elliptic Lie algebra と呼ぶ

また$\text{。}$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$の可換な subalgebraを$\mathfrak{h}_{\text{。}1}$$\mathfrak{h}_{\text{。}1}:=\mathfrak{y}\oplus \mathbb{C}\overline{s-1ds}\oplus \mathbb{C}\overline{t-1dt}\oplus \mathbb{C}_{S\partial}s\oplus \mathbb{C}t\partial_{t}$とする。

の可換な subalgebra であるので、ことができる。

$\mathfrak{h}_{\text{。}1}\}\mathrm{h}\mathfrak{g}_{\text{。}1}$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$の$\mathfrak{g}_{\text{。}1}=\oplus_{\alpha\epsilon}\mathfrak{h}_{\text{。}}1*(9_{\text{。}1})_{\alpha}$

ただし$(\mathfrak{g}_{\text{。}1})_{\alpha}=\{X\in \mathfrak{g}_{\text{。}1}|[H, X]=\alpha(H)X\}_{0}$$\mathfrak{h}_{\text{。}1}$

に関する root 分解を考える.

通常と同様に root の集合 $R$ を$R:=\{\alpha\in \mathfrak{y}_{\text{。}1}*|(\mathfrak{g}_{\text{。}1})\alpha\neq\{0\}\}\backslash \{0\}$とすると、 $R$ は齋藤 (恭司) による elliptic

root systeml こなっていることがわかる。

より詳しくが$D_{n},$型であることに応じてそれぞれ型の elliptic root system になっている. また$A_{n},$$\mathfrak{g}$$E_{n}$$A_{n}^{(1,1)},$ $D_{n}^{(}1,1$),$E_{n}(1,1)$vertex algebra の手法を用いること

により、 root system のデータから飢 1 を再構成することもできる。

由によって$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$

を elliptic Lie algebra と呼んでいる。 詳しくは照されたい。
$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$の中には 2 っの affine Lie algebra

このような理$[\mathrm{K}- \mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{i}],[\mathrm{S}\mathrm{Y}]$等を参$\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[s, s^{-1}]\oplus \mathbb{C}\overline{s^{-1}ds}\oplus \mathbb{C}s\partial_{s},$$\mathfrak{g}\otimes$, が自然に埋め込まれている。 この埋め込みの image を, 缶と書くことにする。

$\mathbb{C}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}\overline{t^{-1}dt}\oplus \mathbb{C}t\partial_{t}$$\hat{\mathfrak{g}}_{s}$2.2$\mathrm{g}_{\text{。}1}$の基本関係式

調べるべき代数の生成元と基本関係式による表示を知ることは、 構造論、 表現論を展開する上で非常に役立っことが多い。 現時点でよる表示はおもに次の 2 つが知られている。
$\bullet$$\mathfrak{g}_{\mathrm{e}1}$の生成元と基本関係式にMoody-Eswara Rao-横沼による無限個の生成元と無限個の基本関係式による表示。

$\bullet$

齋藤 (恭司)-吉井による有限個の生成元と有限個の基本関係式による表示。

両者は無限個か有限個かという点で決定的に異なる。 今回は後の都合上前者を紹介する。

Definition を ADE 型の Lie algebra, を付随する affine Lie algebra.
をの Cartan matrix
このとき以下の生成元と基本関係式で定義される
Lie algebra を と記す o
生成元 :$F_{i,k}(0\leq i\leq n, k\in \mathbb{Z}),$
基本関係式 :
は central element,$\wedge \mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$$(a_{ij})_{0\leq j}i,\leq n$$\text{とする。}$$\wedge \mathfrak{g}$$\mathrm{t}$$H_{i,k},$ $E_{i,k},$$c,$$d_{1},$$d_{2}$$c$$[H_{i},, {}_{k}H_{j,l}]=ka_{ijl}\delta_{k}+,0c$,$[H_{i,k}, E_{j,\iota}]=a_{i}jEj,k+l$,$[H_{i,k}, F_{j},l]=-a_{i}jFj,k+\iota$

,

185

$[E_{i,k}, F_{j},l]=\delta_{i,j}\{Hi,k+l+k\delta k+\mathfrak{j},0^{C}\}$$(\mathrm{a}\mathrm{d}E_{i},0)^{-a}j:+1E_{j}\}k=0$$[d_{1}, E_{i,k}]=kE_{i},k$$[d_{2}, E_{i,k}]=\delta i,0Ei,k$

,

,

,

,

$[E_{i,k}, E_{i},\iota]=[F_{i,k}, F_{i,l}]=0$$(\mathrm{a}\mathrm{d}F_{i,0)^{-a}=}ji+1Fj,k0 (i\neq j)$$[d_{1}, F_{i,k}]=kF_{i},k$$[d_{2}, F_{i,k}]=-\delta_{i,0i,k}F$,,$[d_{1}, H_{i,k}]=kH_{i},k$$[d_{2}, H_{i,k}]=0$

,

,

,

,

$[d_{1}, d_{2}]=0$.

このとき次が知られている。

Proposition 2.1$\mathrm{e}\underline{\simeq}_{\mathfrak{g}_{el}}$

この命題によりたことになる。

2.3$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$.

の無限個の生成元と無限個の基本関係式による表示が得られ$SL(\mathit{2}, \mathbb{Z})^{\text{対称性}}$

2 変数 Laurant 多項式環

$A=\mathbb{C}[s^{\pm 1}, t^{\pm 1}]$:$\phi_{g}$

への

の作用を

$SL(2, \mathbb{C})$$s^{k}t^{\mathfrak{j}}-s^{akb\iota}t+ck+dl$で定める。 ただし $g=\in SL(2, \mathbb{C})$ とする

この作用は自然に 蜘の$\text{。}$で表すことにする。
automorphism に延びる。 これ 同じ記号
一般にをがの表現とする。 このとき上の $SL$ (2, C)-作用を用:いて新しい表現が定義できる。 すなわち
においては:$\text{を}$$\phi_{g}$$\pi$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}arrow V$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$$\pi^{g}:=\pi\circ\phi_{g}$$SL(2, \mathbb{C})$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}arrow V$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$-作用で表現を ‘捻る’ ことにより、 同じ表現空間$V$の上に新しい表現を作ることができるのである。

3

頂点表現

3.1

表現の構成

以下

は A 型であると仮定する。 これは記述を簡単にするためであって以下に述$\mathfrak{g}$べる結果は$\mathcal{H}$$\mathrm{D},\mathrm{E}$型でも全て成り立つ。 (ただし多少の modify は必要である。 )

を

生成元 :
基本関係式 :

$h_{i,k},$$K$$(0\leq i\leq n, k\in \mathbb{Z}\backslash \{0\})$$K$

は central element,$[h_{i,k}, h_{j,\mathrm{l}}]=ka_{ijk}\delta+l,0K$で定義される Lie algebra とするある。
$\mathcal{H}^{+}$$\text{。}$

ただしを $h_{i,k}(k>0),$ $K$ で生成される$\mathbb{C}_{vac}=\mathbb{C}|vac\rangle$$\mathcal{H}$$(a_{ij})0\leq i,j\leq n$

の

は

,

の

subalgebra とし、を$h_{i,k}|vac\rangle=0$$\hat{\mathfrak{g}}$$K|vaC)=|vac\rangle$

Cartan matrix で$\mathcal{H}^{+}$の 1 次元表現

186
で定める

このとき Fock representation $F$ を$\circ$$\mathcal{F}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathcal{H}ac}^{\mathcal{H}}+^{\mathbb{C}_{v}}$と定義する。

Remark 1
root とし$\mathcal{F}$は$\mathcal{H}$-module として既約ではない

実際$\text{。}$を$\delta=\sum_{i=}^{n}\mathrm{o}a_{i}\alpha_{i}$$\hat{\mathfrak{g}}$の nullれ$\delta(k):=\sum_{i=0}aihi,k$とする。

を $\delta(k)(k\neq 0)$ たちから生成される$\mathcal{H}_{\delta}$は可換であり、 従って$\mathcal{H}_{\delta}|vaC\rangle$

は$\mathcal{F}$の$\mathcal{H}$の$\mathcal{H}$subalgebra とすると、$\mathcal{H}_{\delta}$-submodule となる.

$\overline{F}:=\mathcal{F}/\mathcal{H}_{\delta}|vac\rangle$とするとこれは既約になっている。
$Q$を$\hat{\mathfrak{g}}$の root lattice とし.

$\mathbb{C}\{Q\}$をその twisted group algebra とする。 すなわちを{基本は関係式 (にするものでであ生成る。される$\sum mi\alpha_{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}$でにあ対っして、$\text{、}e^{\alpha}=e^{\alpha_{i}}e(\alpha_{j}e^{\alpha_{0}}=)m_{0}(-.1.).aijee^{\alpha_{i}}(e\alpha\alpha_{j}n)^{m}n$と書くことにする。
$\Lambda_{i}(0\underline{<}i\leq n)$を$\hat{\mathfrak{g}}$の fundamental weights とし.

で生成される rank 1 の左の作用を$\mathbb{C}\{Q\}$-moduleを考える$\mathbb{C}\{Q\}|\lambda\rangle$$h(e^{\alpha}|\lambda\rangle)=\langle h, \alpha+\lambda\rangle e^{\alpha}|\lambda)$–oZ 現に対して$\lambda\in\oplus \mathrm{P}$,$\text{。}\mathbb{C}\{Q\}|\lambda\rangle$$|\lambda\rangle$

に対し$\hat{\mathfrak{h}}$$(h\in\hat{\mathfrak{h}})$と定義する。 さらに$V(\lambda):=\mathcal{F}\otimes \mathbb{C}\{Q\}|\lambda\rangle$

とおく。 またを$h_{i,0},$ $d_{s},$ $d_{t}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V(\lambda))(0\leq i\leq n)$$h_{i,0}(v\otimes e^{\alpha}|\lambda\rangle)=\langle h_{i}, \alpha+\lambda\rangle v\otimes e|\alpha\lambda\rangle$,$d_{s}(v \otimes e|\alpha\lambda\rangle)=\{-\sum_{l=1}^{N}k_{l}-\frac{(\alpha|\alpha)}{2}-(\alpha|\lambda)\}v\otimes e|\alpha\lambda\rangle$,$d_{t}(v\otimes e|\alpha\lambda\rangle)=m_{0}(v\otimes e\alpha|\lambda\rangle)$と定義する。 ただし第 2 式において $v=h_{i_{1},-k_{1}}\cdots h_{i_{N}},-kN|vac\rangle$ , 第 3 式において$\alpha=\sum$m’ 砺とする。

以上の準備の下に次の定理が成り立つ。

Theorem 3.1 (1)以下のようにして$V(\lambda)$に$\mathfrak{g}_{el}$-module の構造を入れることができる。
$c\mapsto id$,$H_{i,k}-\succ h_{i,k}$,$d_{1}-\succ d_{S}$,$d_{2}rightarrow d_{t}$,$E_{i}(z):= \sum_{k\in \mathrm{z}}Ei,kz-k-1$$- \succ\exp(\sum_{k\geq 1}\frac{h_{i,-k}}{k}Zk)\exp(_{-\sum_{k\geq 1}\frac{h_{i,k}}{k}}Z^{-k})e^{\alpha_{i}}z^{h_{i,0}}$

,

187

$F_{i}(z):= \sum_{k\in \mathrm{Z}}Fi,kz-k-1$$\mapsto\exp(-\sum_{k\geq 1}\frac{h_{i,-k}}{k}zk)\exp(_{k\geq 1}\sum\frac{h_{i,k}}{k}z^{-}k)e^{-\alpha_{i}}z^{-}h_{i},0$

ただし

(2)

$V(\lambda)$

は既約$\mathfrak{g}_{\epsilon l}$.

-module ではない。
とすると、 同様に$\overline{V(\lambda)}:=\overline{\mathcal{F}}\otimes \mathbb{C}\{Q\}|\lambda)$$\mathfrak{g}_{el}$-module の構造を入れることができ既約である。

の構成法は affine Lie algebra の level 1 の表現を構成する
Remark 2 (1)Frenkel-Kac construction と全く同様である。 ただし affine の Cartan .atrix が$V(\lambda)$$\mathrm{m}$

退化しているために表現は既約にはならない。

(2)$\lambda=\sum n_{i}\Lambda_{i}$とする。 このとき$V(\lambda)$

および$\overline{V(\lambda)}$は$\hat{\mathfrak{g}}_{s},\hat{\mathfrak{g}}_{t}$-module でもあるが、 より詳しく$\bullet$$\hat{\mathfrak{g}}_{s}$$\bullet$$\hat{9}t$-module として level 1,-module として level$\sum$

niとなっている。

3.2$\hat{\mathfrak{g}}$頂点表現への$SL(\mathit{2}, \mathbb{Z})$作用-module に対してその “affine 化” を定義する。 一般に$V$を$\hat{\mathfrak{g}}$-module とし$V_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}:=V\otimes \mathbb{C}[Z, z^{1}]$とおく。

$\hat{\mathfrak{g}}$を$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$のsubalgebra$\hat{9}s$と同 $-$ 視することによって$V_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}..\cdot$に自然に$\mathfrak{g}_{\text{。}1^{-}}$

module の作用を定義できる ;$X\otimes s^{k}tl(v\otimes Z)m=\{(X\otimes sk)(v)\}\otimes z^{m}l+$$\overline{s^{-1}d_{S(v}}\otimes z^{m})--\{\overline{d\log s}(v)\}\otimes z^{m}$$s\partial_{S}(v\otimes z^{m})=\{s\partial_{S}(v)\}\otimes z^{m}$

,

これ以外の
このとき以下の定理が成り立つ。

ここで$X\in \mathfrak{g},$$v\in V$ である$\text{。}$,,$\overline{t^{-1}dt}(v\otimes z^{m})=0$,$t\partial_{t}(v\otimes z^{m})=m(v\otimes z^{m})$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$.

の元の作用は上の定義から定まる。

Theorem 3.2 を 型の simple Lie algebra, を任意の の dominant integralとweight とする このとき の level 1 の dominant integral weight$\mathfrak{g}$$A$$\lambda$$\hat{\mathfrak{g}}$$\lambda_{1}$$\hat{\mathfrak{g}}$$\circ$が存在し$\text{て}$,$\in SL(.2, \mathbb{Z})-.$

飢,-module の同型$\overline{V(\lambda)}\cong(L(\lambda 1)\Phi ff)g$

が成り立つ
.
ある。

$\cdot$

ただし$L(\lambda_{1})$はhighest weight$\lambda_{1}$の$\hat{\mathfrak{g}}$の既約 integral module で従って 「頂点表現は affine Lie algebra の level 1 の既約表現を affine 化して、 それを $SL(2, \mathbb{Z})$ の元で捻ったものである」 ということができる$\text{。}$

188
3.3

表現の Character

頂点表現は構造が非常に詳しく調べることができるため、 character を直接計算することもできるが、 Theorem 32 を用いても計算することができる。

に作用しているので、 その dual であるにも自然に作用すと書くことにする。
j-module $V$ の character がわかっていれば、 その affine 化の character は$SL(2, \mathbb{Z})$は$\mathfrak{h}_{\text{。}1}$$\mathfrak{h}_{\text{。}1^{*}}$る。 この作用を$(\cdot)^{g}$$V_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$$\mathrm{c}\mathrm{h}(V_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}})=\mathrm{c}\mathrm{h}(V)\cross$( –function)$\delta$となることは容易にわかる。 従って Theorem 32 より頂点表現の character を計算できる。

Corollary 33$\mathrm{c}\mathrm{h}(\overline{V(\lambda)})=(\mathrm{C}\mathrm{h}(L(\lambda_{1}))\cross(\delta-function))^{g}$ただし$\lambda_{1}$

および

$g$

は

.

Th eorem 3.2 で定めたものとする。

今回は特に頂点表現についてのみ詳しく調べたが、 同じ議論は affine の level の表現から出発してその affine 化を考え、で捻って構成される表現に対しても成立する。 すなわち character を計算できるようなの表現の family を構$\mathrm{k}$$SL(2, \mathbb{Z})$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$

成できたことになる。

4

最後に

double loop algebra (elliptic Lie algebra) の研究は始まったばかりでありまだま
だ不明な点も多い。 $-$ 番の問題点は表現” あるいはそれに類する良い表現のクラスをどう定義するか ? という問題であろう。 Kac-Moody の場合は通常の意味で integrable 表現を定義した時、 Weyl 群の作用でも表現が閉じており、($‘ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$

そのことが表現の構造を調べる際のーつの key point になっていた。
今回は Weyl 群に関しては詳しく述べながつたが、 double loop algebra の場
合には Weyl 群が自然に $SL(2, \mathbb{Z})$ を含んでしまい、 Kac-Moody
Lie algebra の場合とは様相が異なる。 (Kac-Moody の場合をまねて) 安直に integrability を定義しようとすると、 表現が Weyl 群の作用で閉じなくなってしまう。 今回の話はこの事実の $-$ 例になっている。 すなわち頂点表現 V(\mbox{\boldmath $\lambda$})(正確には) と affineはLie algebra の level 1 の表現の affine 化の表現としては異なるが、Weyl 群の部分群である $SL(2, \mathbb{Z})$ を通じて結びついている。
この事実をどう解釈すべきかが問題となるが、-module を考え$\overline{V(\lambda)}$$L(\lambda_{1})_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{r}}$$\mathfrak{g}_{\text{。}1}$$\text{現時点では「_{}\mathfrak{g}_{\text{。}1}}$群)-bimodule を考える」 ことにより解決できるのではな
いかと考えている。 つまり Kac-Moody の場合は integrable 表現が偶然 Weyl 群
不変でもあったために Lie algebra の表現を考えるだけで十分であったが、doubleloop algebra の場合には、 Weyl 群の作用と両方を見なければいけないというアイデアである。 いまのところこれは標語以上のものではないが、 現在名古屋大学の粟田、 土屋、 東京大学の加藤、 ICU の清水各氏と共同研究を行っており、 いずれ
るのではなく、 ($\mathfrak{g}_{\text{。}1},\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{l}$詳しい成果を紹介できることと思う。

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