Université Jean Monnet—
Saint-Étienne

Philtre et Cavernes
Mémoire d’habilitationà diriger les recherchesPrésenté le 8 décembre 2001 par

Bruno Deschamps

Jury
Eva Bayer (Professeur à l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne)
Jean-Marc Couveignes (Professeur à l’université Toulouse II)
Pierre Dèbes (Professeur à l’université Lille I)
Jean-Claude Douai (Professeur à l’université Lille I)
Guy Terjanian (Professeur à l’université Toulouse III)
Michel Waldschmidt (Professeur à l’université Paris VI)

Rapporteurs
Jean-Marc Couveignes (Professeur à l’université Toulouse II)
Jean-Claude Douai (Professeur à l’université Lille I)
Florian Pop (Professeur à l’université de Bonn)

Philtre et cavernes
Bruno DESCHAMPSIntroduction
1.— Rêver, peut-être...
Chaque homme est seul et tous se fichent detous et nos douleurs sont une ı̂le déserte...
Albert Cohen
Je venais d’avoir 16 ans, j’étais alors en première scientifique et c’est à cetteépoque que je fis ma première vraie rencontre avec les mathématiques. Une rencontre qui allait conditionner la suite de ma vie. C’était un après-midi de classe comme
un autre, j’avais math., j’aimais bien. Le cours se déroulait comme à son habitude,et puis il y eut cet instant. Il écrivit au tableau ce théorème d’arithmétique, monpremier théorème d’arithmétique, et il le démontra. C’était là, c’était magnifique,limpide, tellement limpide. J’ai ressenti comme un bien-être comme si, soudainement, il s’était créé une intimité entre ces symboles et ce jeune élève que j’étais.
J’étais surement victime d’un philtre... Je regardais alors autour de moi, les visages
impassibles, les stylos s’affairant sur les cahiers. Je regardais inquiet. Il devait bieny en avoir un qui ressentait ce que je ressentais? Combien étaient-ils? Ce n’était
pas possible, étais-je donc le seul? Je scrutais du regard, mais je ne voyais rien.
Passée l’émotion, je me suis senti bien seul, si seul... Je sus, longtemps après, quedans ces moments-là, on est toujours tout seul.
J’ai connu plus tard de semblables émotions, de ces émotions qui paraissentdérisoires, incompréhensibles; de ces émotions solitaires. En y repensant, je crois
que la plus proche fut cette visite de la grotte de Cougnac. La bouleversante vision des peintures rupestres, l’intimité incroyable que peut, l’espace d’un instant,se créer entre une conscience et une création. Il y a pour moi une analogie entre larecherche mathématique et le monde des cavernes préhistoriques. Elles sont difficiles d’accès, elles ne se laissent pas visiter si facilement. Elles sont énigmatiques etfascinantes. Il y a quelque chose d’envoutant à regarder ces peintures maladroites
et géniales. Il y a l’envie, l’envie de peindre à son tour, d’ajouter à la fresque,de se fondre dans le mystère. Vibrer avec la paroi, esquisser une courbe dans lapénombre de la torche et puis repartir. Savoir qu’il n’y a plus personne pour regarder, que le mystère s’est refermé, que la beauté n’existe que par les yeux qui laregardent, que l’émotion est à chaque fois unique et solitaire. Les mathématiquessont un dédale de cavernes ornées magnifiquement. Difficile de les visiter toutes,
difficile d’y peindre parfois. Certaines sont gigantesques et presque inhumaines,
mais sur les bords de certains grands couloirs existent quelques boyaux obscurs
et secrets où j’ai voulu inscrire humblement quelques grafittis qui enivrèrent mon
coeur. Comment parler de ça? Comment parler de l’émotion quand la recherche
se résume à quelques lignes de symboles, obscures pour les uns, triviales pour lesautres. Etais-je confronté perpétuellement à la dureté du petit sourire de celui qui
comprend mais qui ne ressent pas la même chose que moi? Je touchais ainsi, en
faisant des mathématiques, à cette idée universelle de la condition humaine : nous
sommes seuls, tous seuls et la compréhension n’efface jamais cette solitude. Elle larend surement encore plus médiocre.
Les mathématiques touchent probablement à l’universel, elles sont l’exercice ultime de l’esprit humain, celui qui dénonce et revendique la vanité et l’absurdité dumonde. Leur nécessité est évidente.
Paris, jardin des archives
nationales, juillet 2001.

Paradigme et cavernes

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2.— Paradigme et cavernes.
Ce mémoire est composé de l’ensemble des articles de recherche que j’ai publiésdepuis l’obtention de mon doctorat. Il correspond donc à mon activité de recherche
pour les années 1997-2001. Depuis ma thèse, j’ai élargi ma découverte du paradigmede l’arithmétique et j’ai tenté de décliner l’activité de recherche dans ce domaine en
plusieurs thèmes. Je présente ce travail en le subdivisant en trois parties : théorie
inverse de Galois, arithmétique des corps et théorie additive des nombres. Bien sûr,
les cavernes communiquant entre elles, cette subdivision paraı̂tra à certains un peu
artificielle, en particulier en ce qui concerne les deux premiers thèmes, le troisièmeétant trés clairement à part du reste de mon travail. Toutefois, elle correspond pour
moi à trois sentiments différents. La raison pour laquelle je tiens à séparer ici lathéorie inverse de l’arithmétique des corps (alors que visiblement la problématique
inverse de Galois est clairement une problématique d’arithmétique des corps), est
que les méthodes dégagées ces dernières années pour aborder le problème touchentà d’autres domaines, en particulier à celui des revêtements algébriques, donc à
d’autres considérations. La dernière classification AMS fait apparaitre la théorie
inverse comme un thème à part entière (12F12). Force est de constater, dans cettebranche, la spécificité des méthodes et l’évolution de la problématique vers d’autreschoses moins liées aux corps (l’étude des surfaces arithmétiques par exemple). La
caverne se ramifie...
Je vais, dans la suite de cette introduction, détailler chacun de ces travaux ettenter de les mettre en perspective. A la fin de ce mémoire, le lecteur trouvera un
appendice sur la dimension diophantienne des corps. J’ai un peu travaillé sur cesujet, mais les résultats de ce travail ne m’ont pas paru justifier une publication. Il
y a toutefois quelques résultats susceptibles d’intéresser, j’ai donc tenu à les faire
figurer quelque part. Mon mémoire d’habilitation m’a semblé être la place idéale.
2.1.— Théorie inverse de Galois [Des1], [DD1], [Des2], [DD2].
Ma thèse de doctorat concernait la théorie inverse de Galois, les travaux qu’elle
présentait correspondent aux articles [Des1] et [DD1]. Je décidé de faire figurer dansce mémoire ces articles, mais je ne m’étendrai pas dessus dans cette introduction.
• Clôtures totalement réelles des corps de nombres ordonnables (premièrepartie de [Des2]).
Dans ma thèse figurait un travail préliminaire sur les clôtures totalement réelles.
J’ai complété ce travail par la suite, ce qui a donné lieu à cet article. Il étudiecertaines propriétés arithmétiques de la clôture totalement réelle d’un corps ordonnable, c’est-à-dire du corps obtenu en prenant l’intersection de toute les clotures réelles (i.e. les extensions algébriques ordonnables maximales) d’un corps
ordonnable. Dans le cas de Q, le corps ainsi obtenu est le corps Qtr des nombresalgébriques totalement réels (i.e. les éléments de Q qui n’ont que des conjuguésréels). D’importants travaux avaient été réalisés sur le corps Qtr . Le premier, dûà Fried, Haran et Volklein, établissait que le groupe de Galois absolu de Qtr était
isomorphe au produit libre profini à une infinité non dénombrable de facteurs Z/2Z.
Pop à montré que le corps Qtr est un corps ample (il retrouved’ailleurs le résultat√
précédent), on peut en déduire alors que le corps Qtr ( −1) est un corps PAC. Par
ailleurs, un théorème de Weissauer affirmant alors que ce corps est hilbertien, on
en déduit,
par les travaux de Fried et Volklein, que le groupe de Galois absolu de√Qtr ( −1) est prolibre (de rang ℵ0 ).
Ces propriétés sont a priori spécifiques Qtr . J’examine dans [Des2], ce qui sepasse√dans le cas général, en particulier on regarde l’éventuelle proliberté du corps
K tr ( −1) où K tr désigne la clôture totalement réelle d’un corps ordonnable K.
Cette question peut se voir comme un analogue de la conjecture de Shafarevich

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pour les clôtures totalement √réelles. En effet, la clôture cyclotomique du corps K trtr
est précisément le corps K ( −1). Dans le cas des corps√ de nombres ordonnables lerésultat est vrai, le groupe de Galois absolu de K tr ( −1) est isomorphe au groupe
profini libre Fbω à une infinité dénombrable de générateurs. Dans le cas général, lerésultat n’est pas toujours vrai. Je montre, en effet, que si K désigne un corps telque K tr = K alors K((X))tr = K((X)).
Il s’ensuit que le corps K = R((X))((Y ))√vérifie K = K tr , mais alors K tr ( −1) = C((X))((Y )) et le groupe de Galois absolu
b Z.
b Ce groupe étant de dimension cohomologiquede ce corps est alors isomorphe à Z×2 ne peut pas être prolibre (les groupes prolibres sont projectifs).
• Corps ψ-libres et théorie inverse de Galois infinie ([DD2]).
Cet article représente peut-être la partie la plus ambitieuse de mon travail derecherche. Il s’agit ici d’une collaboration (la deuxième) avec Pierre Dèbes, enthéorie inverse de Galois. La problématique inverse classique consiste à étudierl’obstruction à ce qu’un groupe fini se réalise comme groupe de Galois sur un corps(problème inverse), resp. comme groupe de Galois d’une extension régulière d’uncorps de fonctions (problème inverse régulier). Il est, semble-t-il, raisonnable deconjecturer que tous les groupes finis se réalisent sur Q, mais clairement pas tous
les groupes profinis. Une raison de cardinalité évidente donne déjà une obstruction. En effet, un groupe profini qui est groupe de Galois sur Q est un quotient de
GQ = Gal(Q/Q), donc est de cardinal au plus 2ℵ0 . Par ailleurs, il existe des groupes
profinis de cardinal aussi grand que l’on veut (puisque les produits cartésiens degroupes profinis sont des groupes profinis). Mais, même si l’on pense au cas restreint
des groupes profinis de cardinal raisonnable, le problème est beaucoup moins clair.
En fait, certains groupes très simples ne peuvent apparaitrent comme groupes deGalois sur Q. Par exemple des puissances de Zp . En effet, si Zp × Zp était groupede Galois d’une extension sur L/Q, alors L serait un sous-corps de Qab et par suiteb∗ ' G × Z
b
Zp × Zp serait un quotient de Gal(Qab /Q). Maintenant, Gal(Qab /Q) ' Z
b → Zp ×Zp un morphismeoù G est le produit cartésien de groupes finis. Soit θ : G×Z
surjectif et continu. Comme Zp × Zp est sans torsion et que G est topologiquementbengendré par des éléments de torsion, on en déduit que θ|G = 0 et par suite θ(G× Z)
est topologiquement monogène. Comme Zp × Zp n’est pas monogène, on en déduitque θ ne peut pas être surjective.
Dans le même ordre d’idée, Serre note que Zp n’est pas le groupe de Galoisd’une extension régulière de Q(T ). Le branch cycle argument, donné par Fried,montre qu’en fait Zp n’est pas le groupe de Galois d’une extension régulière deQp (T ). Ainsi, si la problématique inverse de Galois semble assez naturelle pour lesgroupes finis, elle semble beaucoup plus chaotique pour les groupes profinis.
L’idée de base de cet article est d’introduire et d’étudier une notion qui aplanit
cette problématique : la ψ-liberté. Un corps K est dit ψ-libre, si tous les groupes
profinis de rang topologique dénombrable (ce qui correspond à l’ensemble des groupes
profinis métrisables) sont groupes de Galois sur K. Cette propriété est en faitéquivalente, pour un corps K donné, à l’existence d’une extension galoisienne L/K
de groupe de Galois Fbω (le groupe prolibre de rang ℵ0 ). En terme de problème deplongement, la ψ-liberté se traduit de la manière suivante (proposition 1.2.) : uncorps K est ψ-libre ssi pour tout système complet de groupes finis (Gn , sn )n (i.e.
système projectif indexé par N avec des morphismes surjectifs), il existe une tour
d’extensions galoisiennes finies (Kn )n de K telle que pour tout n ∈ N il existe unisomorphisme εn : Gal(Kn /K) → Gn qui rende commutatif le diagramme suivant :Paradigme et cavernes
Gal(K
−−−−→n+1 /K) − εn+1y
sn+1
Gn+1−−−−−→

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Gal(Kn /K)


 εn
y
Gn

On définit de même pour un corps de fractions rationnelles K(T ) la régulièreψ-liberté de K(T ) en rajoutant aux hypothèses que les extensions considérées sontrégulières sur K.
La terminologie m’a été suggérée d’abord par le fait que la ψ-liberté s’énonce
sous forme de problèmes de plongements et ensuite par le fait que les corps ω-libres(corps K tels que tout problème de plongement fini sur K admette une solution
forte) sont ψ-libres. Il se trouve que la réciproque de cette dernière propriété est
fausse en toute généralité. Dans cette perspective, nous donnons aussi des exemples
de corps non ψ-libres satisfaisant toutefois au problème inverse de Galois classique.
La ψ-liberté est donc une propriété strictement intermédiaire entre la propriété PIG(tout groupe fini est groupe de Galois sur K), qui est insuffisante pour déterminerle groupe de Galois absolu GK , et celle d’ω-liberté, qui entraı̂ne, d’après Iwasawa,que GK ' Fbω lorsque K est dénombrable.
La ψ-liberté “passe” aux extensions de type fini (proposition 1.7); on en déduit
que le groupe de Galois absolu d’un corps ψ-libre dénombrable est quotient de tous
ses sous-groupes ouverts (corollaire 1.8 (b)). Dans cette perspective, nous montronsqu’aucun corps de nombres n’est ψ-libre, ce qui vient conforter une conjecture dueà Uchida (remarque 1.9 (b)).
La partie principale de cette article consiste à étudier la régulière ψ-liberté d’uncorps K(T ) dans certaines situations. Ainsi, nous montrons leThéorème. — Soit k un corps d’un des deux types suivants:(a) corps valué hensélien de caractéristique et de caractéristique résiduelle nulles etcontenant toutes les racines de l’unité,(b) corps réel clos.
Alors le groupe prolibre Fbω à une infinité dénombrable de générateurs, est groupede Galois d’une extension régulière de k(T ) (i.e. k(T ) est régulièrement ψ-libre).
Ce résultat s’applique par exemple pour le corps k = Qab ((x)) des séries deLaurent formelles à coefficients dans Qab (type (a)) et pour k = R (type (b)). Dansla situation (a), mais avec caractéristique résiduelle p > 0 (e.g. k = Qp Qab ), notreméthode fournit une conclusion plus faible où Fbω doit être remplacé par le groupe(p0 )Fbω , son plus grand quotient d’ordre surnaturel premier à p (on peut remarquer(p0 )que le groupe Fbω n’est, en fait, rien d’autre que le pro-C-groupe libre Fbω (C) derang ℵ0 où C désigne la famille pleine des groupes finis d’ordres premiers à p).
L’énoncé avec k = Qp Qab et Fbω est plausible mais reste ouvert. Le passage àk = Qab paraı̂t même possible mais semble plus difficile; un tel résultat serait une
avancée certaine vers la conjecture de Shafarevich (remarque 3.4).
Notre résultat se place dans le prolongement des travaux de Fried, Harbater,Liu, Pop et des deux auteurs sur la réalisation des groupes finis comme groupes deGalois sur Qp (T ). Les résultats connus, sont retrouvés ici, comme cas particulier
de notre méthode (§4.3 (d)).
Le cas où k est un corps réel clos est traité en §2 par des méthodes topologiquescomme dans [DeFr]. Pour les corps valués complets non archimédiens, ces méthodes
sont remplacées par des techniques de recollement d’espaces analytiques (géométrie
rigide ou formelle), qui sont, depuis les travaux d’Harbater, un outil classique du domaine. Dans cet article, nous adaptons ces techniques à des questions de réalisationde “tours infinies” d’extensions. Nous donnons au §3.1 une méthode générale pourla construction d’une tour réalisant sur k(T ) un système projectif donné (Gn )n≥0

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7de groupes finis. La compatibilité des étages de la tour, et notamment la condition
qu’elle impose sur le choix des points de ramification, est l’obstacle technique majeur. Le passage à l’infini requiert de plus un argument type ”Tychonoff”. De cetteconstruction se déduit le théorème ci-dessus (dans une forme plus générale).
Dans la dernière section, on adopte un point de vue modulaire. Combinée à desrésultats de Fried, la contruction générale du §3 permet, étant donné un systèmecomplet (Gn )n≥0 de groupes finis, de construire une tour d’espaces de modules de Grevêtements HGn ,rn (n ≥ 0) possédant des systèmes projectifs de points rationnels
sur divers corps valués (de type (a) ou (b) comme ci-dessus) (§4.1). On obtientégalement l’existence de systèmes projectifs de points réels et de points p-adiques
sur les tours modulaires de Fried (§4.2). Pour ce résultat, la méthode s’applique
sur tout corps k hensélien de caractéristique 0, eventuellement de caractéristiquerésiduelle p > 0 (e.g. k = Qp ) et sans qu’il soit besoin d’adjoindre de racines del’unité. Une conséquence est le résultat suivant :Théorème.— Soient G un groupe fini et ` un nombre premier tel qu’il existe desgénérateurs de G d’ordre premier à `. Soit k un corps valué hensélien de caractéristique 0. Alors le `-revêtement universel de Frattini ` G̃ de G est groupe deGalois d’une extension galoisienne régulière de k(T ).
2.2.— Arithmétique des corps [Des2], [Des3], [Des4], [Des5].
Qu’est-ce que l’arithmétique des corps? Du point de vue étymologique, le mot
grec αριθµητ ικóσ signifie ”qui concerne les nombres”. Si l’on voit un nombre commeélément d’un corps, l’arithmétique des corps est donc la discipline qui concerne leséléments d’un corps. En résumé, c’est la discipline qui étudie la façon d’additionner
et de multiplier dans un corps. Ainsi, toute propriété algébrique qui concerne lastructure d’un corps (structure attachée à ses lois de compositions) a visiblementà voir avec l’arithmétique des corps. Un des meilleurs moyens de mesurer la complexité arithmétique d’un corps est probablement de regarder ses extensions et les
objets naturels qui leurs sont attachés, bref, faire de la théorie de Galois. Affirmer que la théorie de Galois est centrale en arithmétique des corps ne représente
pas une très grande prise de risques, mais résumer cette discipline à cette théorie
serait dangereux. Une idée à la mode en ce moment est de tenter de caractériser
une propriété arithmétique de manière galoisienne, plus précisément de chercherà caractériser un corps K par son groupe de Galois absolu GK (par exemple, uncorps K est séparablement clos ssi GK est trivial, un corps K est réel clos ssi
GK ' Z/2Z etc.). S’il y a un courant de pensée, un courant à la mode, qui pousseà ne s’intéresser à une propriété arithmétique que dans la perspective galoisienne;
il me paraı̂trait franchement dommage de réduire l’arithmétique des corps à cela,tant les idées dans ce domaine sont riches et variées. Bref, je suis dans l’embarras
pour définir de manière à la fois précise et efficace ce qu’est l’arithmétique des corps,
aussi resterai-je sur cette idée que l’arithmétique des corps est la discipline qui tendà décrire comment, dans un corps, on additionne et on multiplie.
• Clôtures totalement réelles des corps de nombres ordonnables (deuxième
et troisième parties de [Des2]).
La deuxième partie de cet article s’intéresse au groupe de Brauer de K tr . Pourcas K = Q, en tenant compte du
K = R, on a√bien sûr Br(K tr ) = Z/2. Dans le L
fait que Qtr ( −1) est projectif, on a Br(Qtr ) ' N Z/2. En utilisant des résultats
de Scheiderer, je montre qu’en toute généralité :Théorème 3.— Si K désigne un corps ordonnable, le groupe de Brauer de K tr
est un 2-groupe abélien élémentaire (i.e. une somme directe de groupes isomorphesà Z/2).

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Je montre aussi ce résultat (qui figurait déjà dans ma thèse) :Proposition 3.— Si K désigne une extension algébrique ordonnable de Q alors legroupe de Brauer Br(K tr ) est réduit à Z/2 ssi le groupe de Klein Z/2 × Z/2 n’est
pas groupe de Galois sur K tr .
La fin de cette partie est consacrée au calcul, pour un corps réel clos R donné,du groupe de Brauer du corps de séries de Laurent en ”cascade” à coefficients dans
R. Ainsi, on a :Proposition 4.— Soit R un corps réel clos (e.g. R = R) et n un entier naturel.
On aBr(R((X1 )) · · · ((Xn ))) ' (Z/2)αnn(n + 1)+ 1.
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Il est à noter que cette proposition est bien une conséquence de l’étude du groupede Brauer de K tr faite précédement, puisque d’après la partie 1 de cet article, ona pour K = R((X1 )) · · · ((Xn )), K tr = K (i.e. R((X1 )) · · · ((Xn )) est ”totalement
réellement clos”).
avec αn =La fin de cet article est consacrée à l’adaptation d’un idée de Glass et Ribenboim sur les automorphismes préservant l’ordre du groupe multiplicatif d’un corps
ordonnable (i.e. les éléments σ ∈ Aut tels que x ≤ y ⇒ σ(x) ≤ σ(y)).
Glass et Ribenboim ont montré le résultat suivant :Théorème.— Soit G un sous-groupe multiplicatif de Q ∩ R+∗ ordonné par l’ordre
induit par R. Le groupe des automorphismes de G préservant l’ordre, Aut(G, ≤, .)est isomorphe à un sous-groupe de (Q+∗ , .).
De manière plus précise, si σ désigne un automorphisme de G qui respectel’ordre (i.e. x < y ⇒ σ(x) < σ(y)), alors il existe r ∈ (Q+∗ , .) tel que pour toutx ∈ G,
σ(x) = xr
Une conséquence (en utilisant un peu de transcendance) de ce résultat est que
si G = Q+∗ alors Aut(G, ≤, .) = {Id}, le but de l’étude de Glass et Ribenboim était
précisément ce résultat.
Dans la dernière partie de cet article j’étends un peu ce résultat pour l’appliquer
au cas des clôtures totalement réelles. Ainsi, je montre le résultat suivant :Proposition 5.— Soit K un sous-corps réel de Q ordonné par l’ordre réel. Il
existe une partie P0 ⊂ P (P désigne l’ensemble des nombres premiers) tel queAut(K +∗ , ≤, .) =< P0 >Réciproquement, pour tout P0 ⊂ P, il existe un sous-corps réel de Q, K, tel queAut(K +∗ , ≤, .) =< P0 >qui vient compléter l’étude de Glass et Ribenboim et ensuite je montre leLemme.— Soit L/K une extension galoisienne telle que L ⊂ Q ∩ R, si le groupe
Aut(K +∗ , ≤, .) est trivial alors le groupe Aut(L+∗ , ≤, .) l’est aussi.
qui permet alors de montrer le résultat central de cette partie:
Proposition 6.— Soit K un corps de nombres ordonnable et ≤1 un ordre sur K tr .
On a+∗Aut(K tr , ≤1 , .) = 1

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9• Le corps des séries de Puiseux généralisées ([Des3]).
Si K désigne un corps muni d’une valeur absolue il existe un plus petit corps
e et que j’appellerai
complet et algébriquement clos contenant K que je noterai K
fermeture de K. Par exemple, pour K = Q muni de la valeur absolue usuelle, lee n’est rien d’autre que le corps C des nombres complexes, si l’on munit Q
corps Ke est traditionnelement noté Cp . Lede la valeur absolue p-adique, alors le corps K
e s’obtient en prenant la complétion Kb de K, puis la clôture algébrique decorps Kbb En effet, le lemmeb puis à nouveau la complétion de ce corps. Ainsi K
e = K.
Kde Krasner assure que la complétion d’un corps algébriquement clos est lui-mêmealgébriquement clos. Dans le cas du passage de Q à C deux opérations sont seulement nécessaires, dans le cas de Cp il faut les trois, le corps Qp étant réputé poure réside dans le fait que dans un tel corps
ne pas être complet1 . L’intéret du corps K
on peut faire de l’analyse (i.e. de la théorie holomorphe).
e lorsque K = k(T ) est
Dans cet article, j’essaye de donner une description de K
un corps de fractions rationnelles à coefficients dans un corps k de caractéristique 0.
Cette description se fait au moyen de séries. J’ai appelé ce corps, corps des séries
de Puiseux généralisées. Rappelons, pour commencer, que le corps des séries dePuiseux à coefficients dans un corps K est ”moralement” l’ensemble des séries dela formeX
ak X k/nk≥k0∗

avec n ∈ N et ak ∈ K. On le note Puis(K), c’est un corps valué par le prolongement
naturel de la valuation des polynômes. L’intéret principal de ce corps réside dansle fait que si K est algébriquement clos de caractéristique nulle, alors la clôturealgébrique de K((X)) est précisément le corps Puis(K). Ainsi, dans cette situation,\) est précisément le corps Puis(K). Pour trouver K(T^) il faut donc
le corps K(Tregarder la complétion du corps Puis(K). En effet, je remarque dans ce papier que
quelque soit le corps K, Puis(K) n’est jamais complet.
Si K désigne un corps quelconque, je montre que le complété de Puis(K) est
gle corps Puis(K)des séries de puiseux généralisées. Une description précise etrigoureuse de ce corps est donnée dans ce papier. Disons ici pour simplifier, qu’unesérie de Puiseux généralisée est une série de la formeX
an X γnn≥0où an ∈ K et (γn )n désigne une suite strictement croissante de rationnels tendantvers +∞. L’addition de deux séries se faisant terme à terme et la multiplicationcomme celle au sens de Cauchy dans K((X)). La valuation ν d’une telle série est
1 Il est à noter une bizarrerie toutefois.

Il est bien connu que le degré de transcendance del’extension Cp /Qp est infini (même non dénombrable) et pourtant les deux corps Qp et Cp sontisomorphes! (pire ils sont tous deux isomorphes à C!). En fait on a la propriété suivante :Proposition.— A cardinal non dénombrable et caractéristique donnés, il n’y a qu’un seul corps
algébriquement clos (à isomorphisme près).
La preuve en est simple : si K et L sont deux corps algébriquement clos de même cardinal et demême caractéristique, alors si K0 et L0 désignent des extensions transcendantes pures maximales
dans K et L de leur sous-corps premier F , le degré de transcendance sur F de K et L étant égal
à leur cardinal, on en déduit alors que K0 et L0 sont isomorphes. Mais, le théorème de Steiniz
assurant que K0 ' L0 , on en déduit le résultat en remarquant que par maximalité, K0 = K et
L0 = L.

Paradigme et cavernes

10alors, comme il se doit, le plus petit exposant γn tel que an 6= 0. Les résultats
principaux de ce papier sont :gThéorème 1.— Le corps Puis(K)est une extension du corps Puis(K). L’application
ν est une valuation réelle qui étend la valuation naturelle de Puis(K).
L’anneau de la valuation ν est l’anneau des ”séries entières de Puiseux généralisées”,
constituédes séries de Puiseux généralisées admettant un représentant de la formeX
uγn X γn , où (γn )n vérifie γ0 ≥ 0.
n≥0g
Le corps résiduel de Puis(K)pour ν est le corps K.
g
Théorème 2.— Le corps valué (Puis(K),ν) est complet; c’est le complété dePuis(K) pour la valuation usuelle.
Théorème 3.— Si K désigne un corps de caractéristique nulle, la fermeture degK((X)) (et donc de K(X)) est égale à Puis(K).
Le cas de la caractéristique non nulle reste ouverte. Rappelons qu’un desproblèmes fondamentaux en arithmétique reste la description de K((X)) pour uncorps K de caractéristique 6= 0. Même dans le cas K = K, le corps Puis(K) n’est
pas algébriquement clos (il manque au moins les extensions dites d’Artin-Schreier).
Il est à noter que Ribenboim s’est déjà intéressé à des corps de séries formellesbeaucoup plus généraux que ceux de Laurent ou de Puiseux. Il construit des corps
de séries dont les exposants sont à valeur dans un groupe additif ordonné.
• Corps pythagoriciens, fermatiens et P -réduisants ([Des4]).
Les corps pythagoriciens sont les corps où toute somme de carrés est encore uncarré. Ainsi les corps algébriquement clos, les corps de caractéristique 2, sont descorps pythagoriciens, au contraire des corps de nombres qui ne le sont visiblement
jamais. Les corps pythagoriciens jouent un rôle trés important en arithmétique descorps. Leur étude a été entreprise il y a déjà un certain temps. Signalons deuxrésultats les concernants :Théorème.— (Diller et Dress) Soit K un corps tel que −1 ∈/ K 2 . Les propositions
suivantes sont équivalentes:i) K est pythagoricien;ii) K ne possède pas d’extension cyclique de degré 4.
Théorème.— Si L/K est une extension telle que L soit pythagoricien et telle que[L : K] < +∞, alors K est aussi pythagoricien.
Si K désigne un corps, parmi toutes ses extensions algébriques pythagoriciennes, il en existe une plus petite (l’intersection de toutes) que l’on appelle la clôture
pythagoricienne de K et que l’on note K pyth . L’extension K pyth /K est alors toujours galoisienne, et une conséquence du deuxième théorème que nous venons derappeler est alors que le groupe de Galois Gal(K pyth /K) est toujours un pro-2groupe sans torsion.
Ribenboim a introduit une extension naturelle de la notion de corps pythagoricien: les corps fermatiens. Comme on peut s’y attendre, pour un entier n donné, uncorps K est dit (n-)fermatien si toute somme de puissance n-ième d’éléments de K
est encore une puissance n-ième de K. Pour garder une notion de clôture (fermatienne) naturelle, on est en fait obligé de se placer dans un cadre un peu plus restrictif: les corps ultra-n-fermatiens : ce sont les corps n-fermatiens qui contiennent les
racines n-ièmes de l’unité. Dans ce cas, pour un corps K donné on peut parler declôture ultra-n-fermatienne de K, corps que l’on note Knu−f erm , c’est donc la plus

Paradigme et cavernes

11

petite extension algébrique ultra-n-fermatienne de K. L’extension Knu−f erm /K est
alors galoisienne elle aussi. Dans cet article, je montre une série d’analogues desdeux théorèmes ci-dessus dans le cas fermatien :Théorème 3.— Soient K un corps et n > 1 un entier naturel. Il y a équivalence
entre les propositions suivantes:i) K est ultra-n-fermatien et −1 ∈ K n ;ii) Pour tout nombre premier p divisant n, K contient les racines p-ièmes de l’unitéet, pour tout entier α ∈ N/{0}, K ne possède pas d’extension cyclique de degré pα .
Corollaire 2.— Soient n ∈ N/{0}, L un corps ultra-n-fermatien et K un souscorps de L. On suppose que2• −1 ∈ K n ,• K contient les racines n2 -ièmes de l’unité.
Alors, si [L : K] < +∞, le corps K est ultra-n-fermatien.
Théorème 5.— Soient p un nombre premier impair et K un corps contenant une
racine primitive p2 -ième de l’unité. Le groupe de Galois de l’extension Kpu−f erm /K
est un pro-p-groupe sans torsion.
Je montre aussi le théorème suivant :Théorème 4.— Soient n ∈ N/{0} et K un corps hilbertien. Alors [Knu−f erm :K] = +∞ et aucune extension finie stricte de Knu−f erm n’est ultra-n-fermatienne.
qui, déjà dans le cas n = 2, n’était pas connu (notons toutefois que pour n = 2
et K = Q le théorème 4 était, lui, connu). Pour montrer ce théorème j’introduis
dans la première partie de l’article une subtantielle extension de la notion de corps
fermatien : les corps P -réduisants.
Si n désigne un entier positif et P ∈ Q[T1 , · · · , Tn , X], un corps K de caractéristique 0 est dit P -réduisant, si pour tout n-uplet (t1 , · · · , tn ) ∈ K n , les racines
du polynôme P (t1 , · · · , tn , X) sont dans K. Ainsi, par exemple, les corps ultra-nfermatiens sont les corps X n − T1n − T2n -réduisants. Etant donné un polynôme P et
un corps K, on peut parler, au sens précédent, de clôture P -réduisante du corps K,
on la note KP . Le résultat principal de cette partie (qui implique alors le théorème
4 ci-dessus) est le suivant :Théorème 1.— Soit P ∈ Q[T1 , · · · , Tn , X] un polynôme absolument irréductible
de degré en X plus grand que 1. Si K est un corps hilbertien, alors [KP : K] = +∞et aucune extension finie et stricte de KP n’est P -réduisante. En particulier, si L
est un corps P -réduisant et si L 6= QP alors [L : QP ] = +∞.
Une question assez naturelle consiste à s’interroger sur la véracité de la réciproquedu théorème 1 : une extension algébrique de Q qui n’est pas hilbertienne est-elle
nécessairement P -réduisante pour un polynôme P absolument irréductible et dedegré en X plus grand que 1?
Dèbes et Haran ont apporté, dans un de leurs articles, une réponse négativeà cette question. Ils donnent un exemple de corps non hilbertien qui n’est P réduisant pour aucun P . Il est à noter que dans cet article, ils donnent aussi une
caractérisation arithmétique des corps P -réduisants pour un P donné.
• A propos d’un théorème de Frobenius ([Des5]).
Ce travail fait suite à une question que je me suis posé lors de la rédaction demon livre ”Problème d’arithmétique des corps et de théorie de Galois” [D] publiéParadigme et cavernes

12chez Hermann. Dans ce livre, je donne une preuve élémentaire (i.e. ne faisant pas
intervenir d’arguments cohomologiques) du théorème suivant, dû à Frobenius :Théorème.— Soit K un corps de dimension finie sur R et contenant R dans soncentre (une R-algèbre de dimension finie). Le corps K est isomorphe à R, C où H(corps des quaternions d’Hamilton).
Que devient ce théorème si l’on retire l’hypothèse de centralité “K contient R
dans son centre”? Existe-t-il des corps K non commutatifs de dimension finie sur R(en tant que R-e.v. gauche ou droite) autre que H? Peut-on décrire pour un corps
K algébriquement clos l’ensemble des surcorps de dimension finie sur K? Peut-ondécrire pour un corps R réel clos l’ensemble des surcorps de dimension finie sur R?
En particulier, ces derniers contiennent-ils nécessairement R? Par exemple existet-il un corps K tel que [K : R] = 3?
Cet article apporte une réponse complète à ces questions d’arithmétique. Ainsi,
je montre :Théorème.— Soit K un corps commutatif et algébriquement clos ou un corps réelclos. Soit F un surcorps de K non commutatif tel que la dimension (droite ou
gauche) de F sur K soit finie. Il existe un sous-corps réel clos r de K tel que F
soit isomorphe au corps Hr des quaternions à coefficients dans r.
Corollaire.— Si K est un corps commutatif de caractéristique p > 0, alors K nepossède aucun surcorps de dimension finie non trivial.
Corollaire.— Si K est un corps de caractéristique 0 alors il y a une bijection entre
les classes d’isomorphismes de surcorps de dimension finie non triviaux de K et lesclasses d’isomorphismes de sous-corps réels clos de K. En particulier, il n’y a (àisomorphisme près) qu’un seul surcorps gauche de dimension finie non trivial de Q.
Corollaire.— Il existe des surcorps de R de dimension finie sur R autre que R, C ou
H, mais ces derniers, s’ils sont non commutatifs sont tous des corps de quaternions
sur un sous-corps réel clos de C. Ils contiennent donc C et sont de dimension 4 surR.
Je donne, dans ce papier, un exemple explicite de corps gauche de dimension
finie sur R qui n’est pas isomorphe à H. Ce corps est le corps de quaternions H decentre un sous-corps R réel clos non archimédien de C (je montre en fait comment
construire un tel corps réel clos); ce qui justifie alors que H 6' H.
2.3.— Théorie additive des nombres [DG1], [DG2].
La théorie additive des nombres a, moralement, pour sujet d’étude les liens
qui existent dans l’ensemble des entiers naturels N, entre l’addition et la multiplication. Le ”prince” de cette théorie a bien sûr été Paul Erdös qui a alimenté laproblématique de cette théorie avec de nombreuses idées et conjectures (comme àson habitude). Un des problèmes de la théorie est l’étude des ensembles de base(appelés aussi bases ou bases additives). J’ai travaillé avec Georges Grekos sur cesujet, ce qui a donné lieu aux deux publications que je présente ici.
Un ensemble de base est une partie A ⊂ N telle qu’il existe un entier h > 0 tel
que l’ensemble
( h
)
X
hA =
ai , ai ∈ A
i=0soit égal à presque tout N (i.e. la différence N − A est un ensemble fini). L’entier hminimal pour cette propriété est alors appelé ordre de la base A. Ainsi l’ensemble
N est de base d’ordre 1, l’ensemble 2N ∪ {1} est lui d’ordre 2. Cette définition est
pratique pour reformuler certains résultats et conjectures. Par exemple, le problèmeParadigme et cavernes

13(qui est maintenant pour partie un théorème) de Waring : l’ensemble des puissancesk-ièmes d’entiers, Pk , est-il un ensemble de base et quel est son ordre? Il est bien
connu, par exemple, que P2 est un ensemble de base d’ordre 4, c’est le théorème desquatre carrés. De nombreux travaux ont été entrepris sur la basicité. En particulier,essayer de comprendre ce que devient un ensemble de base quand on lui enlève unélément. C’est sur ce sujet que nous avons travaillé Grekos et moi.
• Nombre d’exceptions à ce qu’un ensemble de base privé d’un point
reste un ensemble de base ([DG1]).
Si l’on reprend l’exemple de la base A = 2N ∪ {1}, on conçoit bien que tous
les éléments de cet ensemble n’ont pas le même intérêt en terme de basicité. En
effet, si l’on retire n’importe quel élément de 2N de A l’ensemble obtenu continued’être de base (de même ordre). Par contre si l’on retire 1 de A, alors l’ensemble
n’est plus de base. Grekos avait remarqué dans sa thèse que de manière générale,si A désigne un ensemble de base et si l’on note A∗ l’ensemble des éléments a ∈ A
tel que A − {a} soit de base, alors l’ensemble A − A∗ est toujours fini. Ainsi, lenombre d’exceptions à ce qu’un ensemble de base privé d’un point reste un ensemble
de base est fini. Il avait réussi à trouver un majorant de ce nombre d’exceptions enfonction de l’ordre h de la base. Il montrait, en effet, que ](A − A∗ ) ≤ h − 1. Cette
estimation n’était pas la meilleure possible. L’objet de cet article est de donner lameilleure estimation asymptotique du cardinal de A − A∗ en fonction de l’ordre deA. Ainsi, nous montrons que :Théorème 1.— Si A est un ensemble de base d’ordre h ≥ 2, alorssph∗, avec C = 4e2.0769 + e−1 ' 5.6822](A − A ) ≤ C
log h
q

h
Le cardinal de (A − A∗ ) est donc un O
log h . Il se trouve que cette estimation en O est en fait la meilleure possible comme le montre le deuxième théorèmede ce papier :Théorème 2.— Il existe une constante K > 0 et une suite d’ensembles de base(An )n d’ordre hn ≥ 2 telle que:• limn hn = +∞,• ](An − A∗n ) ≥ K

qhn
log hn .

L’apparition du log h dans l’estimation s’explique de manière ad hoc par l’utilisation
du théorème de répartition des nombres premiers. Bien sûr, l’estimation ne peutêtre qu’en O, puisque des exemples simples montrent qu’il existe des ensembles debase d’ordre aussi grand que l’on veut et tels que A − A∗ = ∅. Par exemple, si ndésigne un entier naturel non nul et si a et b sont deux entiers premiers à n tous
les deux et non congrus l’un à l’autre modulo n, alors l’ensemble An = nN ∪ {a, b}
est visiblement de base d’ordre n et An − A∗n = ∅. En fait, pratiquement ”dans la
nature”, le cardinal de A − A∗ est ”peu élevé”.
Ce travail présente donc l’estimation optimale en terme de O, mais présenteencore une zone non optimale sur la majoration effective : La constante ∼ 5.7 duthéorème 1. La constante K du théorème 2 pourrait être, elle aussi, effective, mais
une observation de la preuve de ce théorème (qui utilise elle aussi un théorème effectif de répartition des nombres premiers) montre que le meilleur K que l’on pourrait
obtenir serait différent de 5.7. Une question ouverte à ce problème reste donc detrouver la meilleure constante. C’est à dire trouver le réel C tel que, pour toutRemerciements

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ensemble de base A,s](A − A∗ ) ≤ C

h
log h

et telle que pour tout c > C il existe un ensemble de base Ac vérifiantsh](Ac − A∗c ) > clog hIl est à noter, pour conclure, qu’une problématique connexe à celle-ci est d’évaluer
l’ordre de A − {a} lorsque a ∈ A∗ . Plusieurs travaux ont été accomplis, sur ce sujet.
• En enlevant une infinité d’éléments à une base additive ([DG2]).
Une des conséquences de la finitude de l’ensemble A − A∗ est qu’étant donné unensemble de base A, on peut enlever un nombre fini d’éléments de A et garder ainsi
une base additive. Ainsi, les bases présentent toujours trop d’éléments en terme dequantité finie. Une question légitime est de savoir si l’on peut toujours retirer unnombre infini d’élements à une base et garder néanmoins une base. L’objet de cet
article est d’apporter une réponse positive à cette question. On y montre en effetde manière plus précise :Théorème.— Si A est une base d’ordre G(A) ≤ h, alors il existe une partie infinie
A∞ de A telle que A \ A∞ soit base d’ordre inférieur ou égal à h2 + h.
Les bases additives sont donc grandement trop riches. Un problème serait dedéfinir une notion de minimalité de base additive dans le sens suivant : trouver unmoyen d’évaluation pour savoir si l’on peut retirer ou non ”beaucoup” d’éléments
d’une base tout en gardant une base. Dans cette perspective, on peut tenter demesurer la densité des ensembles que l’on peut retirer. On pose pour une base A
donnée :Ω(A) = sup {∃Aα ⊂ A/ A − Aα est une base et dA (Aα ) = α}α∈[0,1]α ∩[1,n](dA (Aα ) = limn ]A]A∩[1,n] désigne la densité relative de Aα dans A). Le réel Ω(A)est en quelque sorte un indicateur de minimalité ensembliste de la base A : plusΩ(A) est proche de 0, plus A est ”minimale”. Sur des exemples assez simples (Aprogression arithmétique, ensemble des carrés), on constate que Ω(A) = 1.

Problème.— A-t-on Ω(A) = 1 pour toute base A?
Si ce problème admet une réponse positive, cela suggérerait qu’il n’y a pas
de notion simple en matière de minimalité ensembliste de base additive et que leproblème de la minimalité doit plutôt se regarder en gardant un contrôle sur l’ordre.
3.— Remerciements.
J’adresse mes plus vifs remerciements aux rapporteurs de ce mémoire ainsiqu’aux membres du jury devant lequel je le présente. Mais puisqu’un mémoired’habilitation représente le dernier travail du genre auquel il appartient, je voudrais
ne pas ménager mes remerciements. Je pense à tous les gens que j’ai rencontrésdans ce milieu, tous les mathématiciens avec lesquels j’ai eu des rapports. Rapports
de travail, de complicité intellectuelle, rapports d’amitiés bien sur, mais je pense àces moments où certains, sans le savoir souvent, m’ont soutenus. A ces personnes
grâce auxquelles je me suis senti moins seul, l’espace d’un instant, le temps d’unregard. Alors sans préférence, sans importance d’ordre, je remercie mes amis, mesRemerciements

15

connaissances, mes collaborateurs, toutes ces personnes avec qui j’ai fait de près ou
de loin des mathématiques :— de l’équipe d’algèbre de théorie des nombres de Saint-Etienne, Roland Berger,
Nicolas Brisebarre, Guy Diaz, Alain Faisant, Eric Gaudron, George Grekos, François
Foucault, Florence Millet, Alain Bretto, George Philibert et Laurent Rigal.
— de mathématiques appliquées de Saint-Etienne, Mario Ahues et Alain Largillier.
— de Lille, Mohamed Ably, Gautami Bhowmik, Paula Cohen, Pierre Dèbes, Sandra
Delaunay, Laurent Denis, Jean-Claude de Paris, Geoffroy Derome, Sophie Dion,
Jean-Claude Douai, Michel Emsalem, Stéphane Flon, Marc Huttner, Mohamed
Miladi, Mohamed M’zari, François Recher et Olivier Ramaré.
— de l’ENS Lyon, Marc Perret, Etienne Ghys, Jean-Claude Sikorav, Cedric Villany,
Claude Danthony, Bruno Sevennec et Abdelghani Zeghib.
— de Lyon, Xavier Roblot.
— de Limoges, Chazad Movaheddi et Alain Salinier.
— de l’institut mathématique de Juisseu, Michel Waldschmidt, Daniel Bertrand,
Joseph Oesterlé, Sinnou David, Patrice Phillipon, Stéphane Fischler, Jean-Christophe
Masseron, Marusia Rebolledo, Antoine Chambert-Loir, Alain Kraus, Marie-José
Bertin, Marc Chardin, Odile Lecacheux, Loic Merel et Pierre Lochak.
— de Besançon, Eva Bayer et Grégory Berhuy.
— de Marseille, Paul-Jean Cahen et Mireille Car.
— de Bordeaux, Qing Liu, Michel Matignon, Philippe Cassou-Noguès, David Lubicz, Niels Borne, Michel Langevin et Jean Fresnel.
— de l’institut Fourier de Grenoble, Roland Gillard, José Bertin et Mathieu Romagny.
— d’Orsay, Ariane Mézard, Hedi Daboussi et Jean-Louis Colliot-Thélène.
— de Caen, Philippe Satgé et Federico Pellarin.
— de Valenciennes, Sylvie Monier, Richard Massy et Bouchaib Sodaı̈guı̈.
— de Rennes, Laurent Morêt-Bailly.
— de Toulouse, Jean-Marc Couveignes, Nicolas Ros, Emmanuel Hallouin, Emmanuel Riboulet et Marc Reversat.
— des USA, Mike Fried, David Harbater, Irene Bouw, Romyar Sharifi, Kate Stevenson, stephan Wewers et Rachel Pries.
— d’Israël, Moshe Jarden, Dan Haran et Ido Efrat.
— du Canada, Paulo Ribenboim.
— d’Allemagne, Florian Pop, Helmut Volklein, Gerahrd Frey, Jochen Koenigsmann
et Heinrich Matzat.
— d’Italie, Umberto Zannier et Pietro Corvaja.
— du Japon, Akio Tamagawa.
— de Suisse, Christine Libendörfer et Vincent Bosser.