Engineering Sciences Reports, Kyushu University
Vol.33, No.4, pp.6-12, FEB, 2012

九州大学大学院総合理工学府報告第 33 巻第4号

6-12 頁

平成 24 年 2 月

渦を有するボーズ・アインシュタイン凝縮体の臨界原子数
大田 彰＊1，†(平成24年1月12日 受理)

Critical Number of Atoms of Bose-Einstein Condensates including Vortices
Akira OHTA
E-mail of corresponding author: ohta@photon.jst.go.jp†

Bose-Einstein condensates including vortices are very interesting physical objects. In case of
BEC not including vortices, one of the remarkable differences between attractive BEC and repulsive
BEC is whether critical number of atoms exists or not. The critical number of atoms Nc exists in
attractive BEC. And, if the number of atoms N is larger than Nc, the attractive BEC cannot keep
itself stably and collapses. Nc does not exist in repulsive BEC. However, it has not been clarified
whether such Nc exists or not in BEC including vortices. In this paper, we try to determine Nc of
BEC including vortices by the theoretical analysis of the minimal energy state, and obtain theexpressions of Nc. These show clearly that critical number of atoms exists in not only attractive BEC
but also repulsive one.
Key words: Bose-Einstein condensates，Vortices, Critical number of atoms, Collapse ,1. 緒 言これは、𝑅→0，𝑅→∞の両方の極限で𝜀(𝑅)→∞となる

それまで理論上のものに過ぎないと思われていたボような式の形をしていることから明白である。これにーズ・アインシュタイン凝縮（BEC）が、1995年に対して、引力BECは必ずしもそうとは限らない。場合

Wieman，Cornell，Ketterleの実験よって 87Rｂ希薄

によっては極小値が存在せず、安定した状態を保つこ気体で実現して以来、量子力学的状態を可視化できるとができなくなってしまうことがある。これは式の形物理系として重要な研究対象となった。BECは原子間が𝑅→∞の極限では𝜀(𝑅)→∞となる一方、𝑅→0では逆に相互作用が斥力のもの（斥力BEC）と引力のもの（引𝜀(𝑅)→−∞となるような形をしていることによる。そし力BEC）があり性質が異なる。大きな違いの一つは、て、こうした極小値の有無を分ける要素の一つが原子斥力BECは構成原子数𝑁に制約がないのに対し、引力数𝑁なのである。以上は渦無しBECに関する議論であ

BECには或る原子数を超えるとエネルギー的に安定るが、これに渦が加わると更に状況が複雑化する。斥

な状態が存在しなくなる臨界原子数𝑁𝑐 が存在するこ

力BECだろうが引力BECだろうが角運動量が付与さとである。渦を有しない引力BECの臨界原子数は概ねれると当然のことに渦が発生し、その形態は初期の時

𝑁𝑐≈𝑅／|𝑎|のオーダーであることが報告1）されている。

点では似たようなものである。しかし、時間経過に伴

ここに、𝑅は凝縮体の大きさを代表する長さで、𝑎は原う渦形態の変化の様子には違いがあり、これらについ

子間相互作用の散乱長である。斥力相互作用では𝑎>0、て色々な報告がある。特に渦を系の中心に持つ引力

引力相互作用では𝑎<0になる。この違いは定性的にはBECが崩壊に至ることを示した報告２）は興味深い。で次のように理解することができる。渦無しBECのエネ

は、こうした渦を有するBECの臨界原子数はどうなる

ルギー𝜀を例えば上記代表寸法𝑅に着目して関数𝜀(𝑅)であろうか？

と 見 る と 、 斥 力 BECで は 原 子 数 𝑁の 値 に 関 わ ら ず

見当たらないのが実情である。渦の無い状態に渦を付

0<𝑅<∞の範囲に尐なくとも1個の極小値が存在し、そ加すると角運動量に伴う回転運動のエネルギー（以下の状態で安定する。

ではこれを角運動エネルギーと呼ぶ）が新たに加わる＊1 量子プロセス理工学専攻博士課程（現在 （独）科学技術振興機構）

これについてはさしたる報告があまりわけであるから、もともと臨界原子数の存在する引力BECでも当然その値は変化するであろう。更に顕著な

7渦を有するボーズ・アインシュタイン凝縮体の臨界原子数のは斥力BECのエネルギー曲線の変化である。予備的な解析によって、渦無し引力BECの曲線に似た形に変《注》これら(2)式，(3)式は文献３）に示されていて本論文のオリジナルではない。

わることが推測される。これは斥力BECでも渦が有る循 環 量 子 数 1 の 渦 𝑙 個 が 𝑥𝑦 面 内 の 極 座 標 (𝑏𝑖,𝜃𝑖)

場合には臨界原子数が存在する可能性を示唆するもの(𝑖=1,2,···,𝑙)に存在する時、渦全体が作る速度場の原子1であると言える。著者はこうした変化に着目した。そ個当たりの角運動エネルギー：

して次の2点を到達目標としてエネルギー曲線の解析を試み、一応の結果を得た。①渦を有する引力BECの

ℏ2

𝑅

𝑏2

𝑏2

𝑅

𝑏𝑗 2

𝜀𝑣 (1, 𝑙) = 𝑚𝑅2 [∑𝑙𝑖=1 ln { 𝜉 (1 − 𝑅𝑖2 )} +臨界原子数の近似式の導出。②渦を有する斥力BECに
臨界原子数が存在するか否かの議論に資する解析結果の提供。

∑𝑖<𝑗 〈ln {𝑅(1 − 𝑅𝑖2 )} + ln {𝑑 (1 − 𝑅2 )}〉] + 𝐶0
𝑑
𝑖𝑗

𝑖𝑗

以下、これらについて報告する。

（4）

2. 解 析

𝑑𝑖𝑗 = √𝑏𝑖 2 + 𝑏𝑗 2 − 2𝑏𝑖 𝑏𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗

解析の出発点とした式と計算過程における若干の式、

𝜃𝑖𝑗 = |𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 |及び最終結果の式を示す。出発点としたのは次の時間変数を含むグロス・ピタエフスキー方程式である。

𝑖𝜕𝛹(𝜌,𝑡)𝜕𝑡

1= {− 2 ∇2 + 𝑉(𝜌) + 𝑈0 |𝛹(𝜌, 𝑡)|2 −𝛺𝐿𝑧 } 𝛹(𝜌, 𝑡)（1）

BECの形状：高さが有限の円筒対称形を想定。円筒の底面に𝑥𝑦座標を設定する。𝑉(𝝆)：半径𝑅の等方的2次元調和振動子型トラップ・ポテンシャル。𝑈0：原子間相互作用に関する物理量「有効相互作用」𝑈0>0なら斥力作用、𝑈0<0なら引力作用。𝐿𝑧：角運動量演算子。
𝛺：角速度。（この式はコンピュータ・シミュレーシ
ョンによく用いられる形式になっていて、質量，長さ，時間の各ディメンションについて無次元化されている。）ただ、この非線型項を含む微分方程式を正面から解析的に解くことはほとんど不可能である。そこで具体的には右辺のハミルトニアンの固有値を近似的に求めることからスタートした。そのためには先ず渦が作る速度場の角運動エネルギーを知らなければならない。このエネルギー及び角運動量は次にようになる。
（尚、以下の式は各係数に現れる物理量を明確に示すことを重視して、無次元化は行っていない。）
円筒形のBECにおいて渦芯が𝑥𝑦面内で系の中心軸から距離𝑏の位置にある循環量子数𝑙の渦1個が作る速度場の原子1個当たりの角運動エネルギー：
ℏ2 𝑙2

𝑅

𝑏2

𝜀𝑣 (𝑙, 1) = 𝑚𝑅2 ln { 𝜉 (1 − 𝑅2 )}（2）と同じ条件下にあるBECの全エネルギーの原子1個当たりの近似値を𝜀とすれば𝜀はそれら他要素および(2)式の総和として次のように得られる。
𝑚1

1 𝑚𝜔 2𝑙2𝑅𝑁𝑎

𝜀 = 2𝑅2 + 2 ( ℏ ) 𝑅 2 + 𝑅3
ℏ2𝑏2

+ 𝑅2 ln { 𝜉 (1 − 𝑅2 )}（5）

ここに、𝑚は原子の質量、𝑁は原子数、𝜔は設定した
等方的2次元調和振動子型トラップ・ポテンシャルの角振動数である。一応、右辺各項の由来を示しておく。
第1項：原子のランダム運動（熱運動）のエネルギー。
BECでは基本的に全ての原子が基底状態にあるというのが前提であるから、大きさは零点振動程度である。
第2項：トラップ・ポテンシャルのエネルギー。第3項：原子間相互作用のエネルギー。第4項：言うまでもな
く渦に起因する角運動エネルギー。
以上は言わば準備段階の式である。これらは𝑎の値が正であるか負であるかの違いを除けば斥力BECと引力BECで何等違いがない。しかし最終的な結果の式は大いに異なる。本解析の主眼は（既述のように）エ
ネルギー曲線の解析である。より具体的には、それをもなく𝑅,𝑙,𝑁,𝑎,𝑏,等、複数の物理量を変数とする多変数関数である。現実のBECではこれらの変数のうち実験径で𝜉≪𝑅である。本論文では定数として扱う。

的（人為的）に値を固定されたもの以外は同時並行的に変化して𝜀を極小にする状態に向かって収斂して行

上記渦が作る速度場の原子1個当たりの角運動量：𝑏2

察から近似値を求めることができる。(2)式を導いたの極小にする状態の把握にある。エネルギー𝜀は言うまで

𝜉は渦芯にできる空隙（原子の存在しない領域）の半ℒ(𝑙, 1) = 𝑙ℏ (1 − 𝑅2 )𝐶0は定数（𝑏𝑖，𝑏𝑗を含まない項）
BECのエネルギー中の他の要素は比較的簡単な考くであろう。しかし計算はどうしても偏微分に頼ることになる。そのため取り扱う変数に優先順位を付けな（3）

ければならない。ここでは変数𝑅と𝑁に着目して(5)式

平成 23 年度

九州大学大学院総合理工学報告をこれら2変数の関数𝜀(𝑅,𝑁)とみなし、他の変数はパラ

第 33 巻8

第4号【斥力BECに関する結果】メータとして極小化条件の決定を試みる。まず𝑅で渦を有する斥力BECには３段階の臨界原子数が存

𝜀(𝑅,𝑁)を偏微分して𝜀を極小にする𝑅の値𝑅𝑐を求める。

在するという結果が出た。但し、これらには引力BEC

当然𝑅𝑐は他の全ての変数の関数になる。次に𝜀(𝑅,𝑁)にのケースのように多項式バージョンと有理式バージョ

𝑅=𝑅𝑐 を代入した式𝜀(𝑅𝑐,𝑁)を𝑁で偏微分してこれを極ンで有意義な差が生じるというようなことはなく、ど小にする𝑁の値𝑁𝑐を求める。そして、この𝑁𝑐がパラメ

れも結果的に極めてシンプルな式で表される。循環量ータ𝑙,𝑎,𝑏,等のどのような関数になっているかを見極

子数1の渦𝑙個のケースの臨界原子数は大きい順に次のめるのがここでの計算方針である。以下に結果を示す。

ようになる。
𝑁𝑐①(1,𝑙)> 𝑁𝑐②(1,𝑙)> 𝑁𝑐③(1,𝑙) とおくと、【引力BECに関する結果】
それぞれの状態の臨界原子数について異なる2種類の近似式を併記する。

𝑁𝑐① (1, 𝑙) =

1
3𝑎

𝑅

· 0 ∑𝑙𝑖=1 𝑏𝑖

循環量子数𝑙の渦が1個存在する場合の臨界原子数：
5

43

𝑏 2

36

1

7

𝑁𝑐③ (1, 𝑙) = 24𝑏 41

( 𝑙 ) (𝑅 ) + 43 (𝑙2 ) (𝑅 ) }
0

1
4

𝑅

𝑁𝑐② (1, 𝑙) = 4 (3) 𝑎 (ln 𝜉0 ) ∑𝑙𝑖=1 𝑏𝑖

𝑅0 𝑙2
𝑅 𝑙2
𝑁𝑐 (𝑙, 1) = 0.7822 |𝑎|(ln 0𝜉 ) {1 +20√2 11

2 41（多項式バージョン）

（10）

𝜉

1
𝑎𝑅0

1

𝑅

𝑙 −4 (ln 0 )
𝜉

（6）

0

−

1
4

（11）

∑𝑙𝑖=1 𝑏𝑖 2（12）そして原子数𝑁が、𝑁>𝑁𝑐①(1,𝑙)及び 𝑁𝑐②(1,𝑙)>𝑁>（有理式バージョン）
5

1 𝑏 2

1

1−0.6150 ( )
𝑅0 𝑙2
𝑅 𝑙2
𝑙 𝑅0
𝑁𝑐 (𝑙, 1) = 0.7822 |𝑎|(ln 0𝜉 ) {}1 𝑏 2
1−1.273 ( )
𝑙 𝑅0

（7）
𝑅0 は長さのディメンションを持つ定数で概ねBEC

𝑁𝑐③(1,𝑙)の範囲ではエネルギーを極小にする𝑅があり安定状態が存在する。一方、𝑁𝑐①(1,𝑙)>𝑁> 𝑁𝑐②(1,𝑙)及び 𝑁𝑐③(1,𝑙)>𝑁の範囲ではエネルギーを極小にする𝑅が無く、安定な状態は存在しない。
以上が本解析で得られた結果である。予想したようの代表寸法（半径）𝑅と同程度の値。𝑎は負である。

に渦が有れば斥力BECにも臨界原子数が存在するこ

循環量子数1の渦が𝑙個存在する場合の臨界原子数：とが示された。それが３個もあるとは意外であり、更（多項式バージョン）に𝑁に対して安定状態と不安定状態が交互に現れると𝑅 𝑙𝛼

いうのは大変奇妙なことではあるが。ただ、同じ臨界𝑅0
𝑁𝑐 (1, 𝑙) = 0.7822 |𝑎|(ln 0 ) ∑𝑖 {1 +原子数と言っても得られた表現式から判断すれば引力

𝜉

20√2
43

𝑏𝑖 2

36

BECの有理式バージョンと斥力BECでは性質が本質

𝑏𝑖 4(𝑅 ) + 43 (𝑅 ) }
0

（8）

0

的に異なることが明白である。これについては考察の節で詳述する。

（有理式バージョン）
𝑅0 𝑙𝛼

𝑅

𝑁𝑐 (1, 𝑙) = 0.7822 |𝑎| (ln 𝜉0 ) ∑𝑖 {𝛼は0から1/4の間の数。

𝑏 2
𝑅0
𝑏 2
1−1.273( 𝑖 )𝑅01−0.6150( 𝑖 )3. 考 察}（9）以上4つの近似式は𝑏≪𝑅0及び𝑏𝑖≪𝑅0の範囲で、より高い近似精度になっている。また、2つのバージョンは𝑏≪𝑅0 及び𝑏𝑖≪𝑅0 の範囲ではほとんど等しい値になる。しかし𝑏,𝑏𝑖が𝑅0に近づくと値の違いが大きくなる。
さらにこれら2つのバージョン間には見掛け以上に大きな性質上の差異がある。これについては考察の節で詳述する。
《注》これら4式は𝑙=0（渦無し）の場合には適用できない。しかし本解析はそもそも渦が有る場合を対象としているので、これが議論の支障になることはない。

3-1. 事前確認
以下の議論の前提として次の2点を共通認識とすべく確認しておきたい。
3-1-1. エネルギー保存法則
実際のBECでは多尐ともエネルギーの散逸が考えられるが、本解析では散逸は考慮していない。基礎式
であるグロス・ピタエフスキー方程式(1)も散逸項を含んでいない。従ってBEC全体のエネルギーは保存される。これに対して本解析で行ったことは(5)式で表されるエネルギーの極小化条件を求めることである。到達状態は初期状態とは異なるはずであるから、このエネ
ルギー極小化によって放出される差額分のエネルギー
は何処へ行くのか？

最終状態への移行はBECの構9渦を有するボーズ・アインシュタイン凝縮体の臨界原子数

造変化をもたらす。減尐分のエネルギーはこの変化にあり、系全体が乱れて運動が渦と見なせるのかそうで費やされる。換言すれば構造変化の動力源になると考はないのかの判定が難しくなるような状態では成立しえられる。微視的に見れば本来基底状態にあるべき原なくなる可能性が高いことを念頭に置かなければなら子の一部は励起状態に遷移するであろう。温度上昇でない。要するにケルビン定理は渦有ってこその定理である。また、熱運動とは尐し違う形の運動エネルギーあり、本解析ではこうした状況下では循環量子数は保に変化することもあるかもしれない。解析という面で存しなくなるとする立場に立つものである。

はこれらの変化に対応する因子が最初からエネルギー
式に組み込まれていなければならない。しかし残念ながら(5)式にはそれが無い。近似式の弱点である。（余談ながら、時間変数を含むグロス・ピタエフスキー方

3-2. 得られた結果に基づく推測
この節は得られた数式を解釈することによって導かれる推測である。

程式(1)にはこれらの変化に対応できるメカニズムが或る程度備わっていると考えられる。それはこの式に3-2-1. 循環量子数と渦個数の関係基づいたコンピュータ・シミュレーションの結果を見

循環量子数1の渦が𝑙個存在する時の角運動エネルギ

れば理解できる。時間発展の中で上記“異種”運動がー𝜀𝑣(1,𝑙)は項の数だけ見れば2𝑙C2＋𝑙＝𝑙2個あり、全体現れるからである。そして、その働きを担っているのの大きさは循環量子数𝑙の渦が1個存在する時の角運動は恐らく右辺第1項であろうと推測される。本稿ではエネルギー𝜀𝑣(𝑙,1)と同程度であるように見える。しかコンピュータ・シミュレーションの結果は取り上げてし実際は違う。 𝜀𝑣(1,𝑙)は 𝜀𝑣(𝑙,1)よりかなり小さい。

いない。）従って本解析は結果もさることながら、手𝜀𝑣(1,𝑙)式中の相互作用項の因子𝑑𝑖𝑗 の大きさが𝑑𝑖𝑗≈𝑅の法自体が近似的なものと言わざるを得ない。

オーダーであるのに対し独立項中の因子𝜉は𝜉≪𝑅であただ、こうした構造変化をも含めた解析を行うには、
もう一つ別の“指導原理”が必要であると思われる。
トータル・エネルギーが保存される中で、どうして各項間にエネルギーの移動が生じるのか？

この問いに答えるには熱力学の物理量である「ヘルムホルツの自由エネルギー」のような概念がなければならない。例
えば渦の個数の変化を伴う場合、渦そのものを一つの“粒子”とする“エントロピー”と、そのパートナーである“温度”といった新たな物理量の導入が必要になると考えられる。ともあれ、こうした研究は今後の課題としたい。

り、𝜀𝑣(𝑙,1)はこの独立項だけの和だからである。相互作用項は𝑏𝑖が𝑅に近い位置の渦の大半については
𝑏2

𝑅

𝑅

𝑏2

(1 − 𝑅𝑖2 ) < 1 ⇒ ln {𝑑 (1 − 𝑅𝑖2 )} < 0
𝑑
𝑖𝑗

𝑖𝑗

となる。従って相互作用項の概ね半数は負の値である。それらが正値項と相殺し合ってトータル的に見た相互作用項1個当たりの平均値は独立項1個よりかなり小さい。独立項は𝜉の効果で常に正だからである。
𝑅

𝑏2

𝜉

𝑅

ln { (1 − 𝑖2 )} > 0
よって、𝜀𝑣(1,𝑙)と𝜀𝑣(𝑙,1)の比較は概ね独立項の総和の3-1-2. ケルビン定理

比較になる。これにより𝜀𝑣(1,𝑙)は𝑙との相関が𝑙の1次式

BECの渦（量子渦）に対しても古典流体力学の法則であることが分かる。従って𝑙の2次式を因数に持つであるケルビン定理が成り立つと考える。量子渦でも𝜀𝑣(𝑙,1)の𝑙－1倍程度ということになる。このことから循

渦に付随する物理量「循環」は“流体とともに動く閉環量子数が2以上の渦は量子数の小さな渦に分裂して曲線に沿って保存する４）”と考えるのである。循環は複数個になる方が角運動エネルギーの低下につながる。

計算する積分路（閉曲線）が中に渦を含めば有限の値

可能なら量子数1の渦に分裂するのが安定化にとってになり、渦を含まなければ当然０である。しかも量子最良と言える。では実際には何個に分裂するのか？

渦では決まる値は積分路の形状によらない。従って

この問いに対する答はケルビン定理が与えてくれる。

BEC全体の循環の計算は全ての渦を含むような積分

この定理により循環量子数は保存されなければならな路でありさえすればよく、BEC全体を囲む外形円を積い。循環量子数は（既述の通り）一周積分する閉曲線分路に選ぶのが最も分かり易い。得られる値は（複素の内側にある渦についての単純和になる。よってBEC

積分における留数の和に似て）それぞれの渦の循環の全体を囲む閉曲線を積分路に選べば、循環量子数𝑙の渦単純和で与えられる。このことは循環が量子数𝑙の1次1個と循環量子数1の渦𝑙個は循環としては同等である。

式で表される５）ことから明白である。そして、この値

これにより循環量子数𝑙の渦1個は循環量子数1の渦𝑙個が重要な保存量となる。ただ、この循環量子数の保存に分裂する。しかもこれはBECが引力系か斥力系かにはあくまで明確な形で渦が存在する場合にのみ意味がよらない。そして放出されたエネルギーが分裂後の

平成 23 年度

九州大学大学院総合理工学報告第 33 巻10

第4号

個々の渦の揺動となって現れる。ただ、この揺動運動

ルビン定理はもはや無力になるであろうからである。

は循環量子数を変化させるものではないので、これに要するに、ここでのケルビン定理はあくまでBEC有っ

よってケルビン定理が破綻することはない。

ての定理であり、それ以上ではないということを考え合わせなければならない。そして、このことが大きな

3-2-2. 複数渦の配置とケルビン定理の関係意味を持つと考えられるのが引力BECにおける臨界

分裂して𝑙個になった渦の配置を解析的に決定する原子数の特殊性である。これについて次の節で詳述す

ことは残念ながら未だ出来ていない。安定配置は(4)式の𝜀𝑣(1,𝑙)を極小化するものであり、三角格子状配置る。
3-2-3. 引力BECの崩壊と臨界原子数の関係であろうことは想像に難くない。互いに隣り合う3個

引力BECの臨界原子数について本論文では2つの異の渦が正三角形の頂点に位置する配置は平面上におけなるバージョンの近似式を導いている。これらの大きるいわゆる最稠密充填構造で、どの渦から見ても周囲な違いは、多項式バージョンは𝑏,𝑏𝑖が𝑅0に近づいても発の対称性が高く、対称性の高さが往々にして極値化の散しないのに対し、有理式バージョンの方は発散する

重要な要因になるからである。エネルギー𝜀𝑣(1,𝑙)の絶ことである。現実の物理量が発散するというのは常識

対量を問題にする時には相互作用項は（既述のように）的には尐し考えにくい。しかし一方で引力BECが崩壊無視できる。しかし𝜀𝑣(1,𝑙)の極小化が問題の場合にはしてしまう現象の説明には都合がよいという面がある。

渦配置の違いによって生じる相互作用項の大きさの微（注：量子プロセス理工学専攻

妙な変化が重要な要因をなすと考えられる。そして、士課程学生の柏良輔君が行ったコンピュータ・シミュ

そうした観点で(4)式をよく見ると、もう一つ重要な事

レーションで渦を有する引力BECが崩壊してしまう

柄を含んでいることが分かる。それは𝑏𝑖の大きさに上現象が見られている。）引力BECでは幾つかの渦が何

限が無ければ𝜀𝑣(1,𝑙)には極小値が存在しないというこ

等かの要因でBECの縁付近の特定領域に立ち入ったとである。𝑏𝑖（及び𝑏𝑗）が大きくなれば、それに伴っ時点からBECそのものの崩壊が始まると推測される。

て𝑑𝑖𝑗も大きくなる。これらは共にエネルギーに対して

そして、この現象は(9)式によって一応の説明が可能で負の相関であり、その結果𝜀𝑣(1,𝑙)は単調に減尐するこある。(9)式の臨界原子数𝑁𝑐は𝑏𝑖が次の式で与えられるとになる。すなわち全体のサイズを限定して、その中𝑏𝐴以下では𝑏𝑖に関する単調増加関数になっている。

で比較すれば𝜀𝑣(1,𝑙)を極小にする確定した配置がおそらく存在するであろう。しかしサイズの限定を解除してしまえば、その配置の幾何学的形状を保ったまま相似的に膨張することで𝜀𝑣(1,𝑙)はいくらでも小さくなり得る。仮に一旦比較的安定な配置をとったとしても、次の段階で配置図形全体が膨張していく（特に最外辺に位置する渦はBECの縁に向って移動する）はずである。その一方、こうした移動を止める力も働くことを考慮しなければならない。ケルビン定理による“圧力”である。それぞれの渦には当然占有スペースというものがある。渦芯の周りの流れがほぼ同心円状に整然と秩序立っている領域のことである。特に元々最外辺に位置している渦にとってみれば、それ以上BECの縁に向って押しやられると占有スペースの一半に不足が生じることになる。流線が圧迫されて渦としての回転運
動を保つことが困難になり、果ては渦でなくなってしまうという危険に晒されかねない。そうなればケルビン定理の破綻である。従って当然ケルビン定理はそうした方向に状態が推移するのを妨げるように作用する。
いわゆる阻止圧である。このバランスが渦配置全体の挙動を決めると考えられる。しかし、これだけでは説明に十分ではない。もし全く別の“力”によってBECそのものが崩壊してしまうような事態に立ち至ればケ2𝑏1 − 1.273 (𝑅𝐴 ) = 00

本庄・坂口研究室

⇒

𝑏𝐴
𝑅0

修

≒ 0.8863

従って、0≦𝑏𝑖<𝑏𝐴の範囲で𝑏𝑖が大きくなればそれに伴って𝑁𝑐も増加し、これはエネルギー𝜀𝑣(1,𝑙)がより低い方にシフトして安定化が増す傾向と一致する。ここに、𝑅0は概ねBECの半径𝑅に等しい定数である。𝑏𝐴はその約89％であるから𝑏𝑖が𝑏𝐴に近づいても、その渦の占有スペースが著しく圧迫されることはなく渦が渦であることの妨げにはならない。ところが𝑏𝑖が𝑏𝐴を超えた瞬間に𝑁𝑐は−∞に落ちてしまう。引力BECが比較的安定に存在できるのは原子数𝑁が𝑁𝑐以下の場合である。
従って𝑁𝑐→−∞はBEC自体の存在基盤の喪失を意味する。これは将にBECの崩壊に他ならない。ついでながら、この劇的瞬間の寸前までトータルの循環量子数は𝑙のまま維持されており、その意味ではケルビン定理は最後まで破綻していないと言える。一部の渦が𝑏𝐴を超えるのは、そうした指向性のある運動の結果というより個々の渦の揺動が主たる原因であると考える方が妥当であろう。（説明が重複するが）こうした揺動運動
は循環量子数𝑙の渦が循環量子数1の渦に分裂する際に放出されるエネルギーに起因する。このことは斥力
BECでも同じであるが、(10)式～(12)式から分かるよ
うに、斥力BECの臨界原子数はこのような劇的変化を11

渦を有するボーズ・アインシュタイン凝縮体の臨界原子数

もたらす形にはなっていない。よって、こうした変化
は起こらない。（上記コンピュータ・シミュレーショ

これらの数字に基づいて、臨界原子数は次のように算出される。

ンでも斥力BECは崩壊しないという結果が出ている。）

𝑁𝑐①(1,𝑙)≒1.57×107 （個）ところで、この劇的変化は(9)式で渦芯位置を表す因子

𝑁𝑐②(1,𝑙) ≒2.76×105 （個）(𝑏𝑖/𝑅0)を含む有理式の分母が{1−1.273(𝑏𝑖/𝑅0)2}にな

𝑁𝑐③(1,𝑙) ≒4.90×104 （個）っているから起こるということに注目しなければなら

これに対し、同様の設定の下でBECの原子数𝑁がどない。この部分が(7)式のように{1−1.273(1/𝑙)(𝑏𝑖/𝑅0)2}のような値になるかを見ておかなければならない。渦で𝑙≧2であれば起こらない。なぜなら0≦𝑏𝑖≦𝑅0の全域で無しBECの原子数密度を気体の標準状態の数密度の常に正だからである。すなわち、この現象は循環量子

10−3倍程度とすると、数1の渦に特有なことであり、まさに循環量子数𝑙の渦𝑁≒1.1×108 （個）が循環量子数1の渦に分裂することに起因することなとなる。

のである。同じ(5)式から出発し途中の計算もほとんど

この値は𝑁>𝑁𝑐①(1,𝑙)である。以上の結果は二つのこ

同様の形式でありながら単に因子𝑎が正であるか負でとを意味する。一つは得られた臨界原子数は3個ともあるかの違いによって、これほど異なる状況を呈する

物理的に意味があると判断できることである。もう一

結果が導かれたことは驚きに値する。但し、以上の議

つはより現実に即している。すなわち実現されている論はあくまで引力BECの臨界原子数が有理式バージ

87Rbの渦無しBECに循環量子数1の渦が50個程度付与

ョンであると仮定してのことである点を改めて強調しされてもBECは渦無しの時の状態程度には安定性をておかなければならない。多項式バージョンの方が近維持するであろうと考えられることである。

似式としてより実際に近いということであれば、引力
BECと斥力BECの臨界原子数に性質上のさほどの差

4. 結 言異はないことになる。この方が物理的に納得し易い面

改めて本解析の内容を振り返ってみる。半量子力学もあるであろう。しかし引力BECの崩壊現象を臨界原的考察から導かれたエネルギー式(5)から出発し途中

子数の性質から説明することはできなくなる。

の計算にも多くの近似が施されていて、結果的にかな
り大胆な近似解になっていることは言うまでもない。

3-2-4.

斥力BECの臨界原子数と実験で実現された

特に次の2点について微視的理論に基づくより深い考

BECの原子数との比較

察が欠如していることは強く念頭に置く必要があるで解析的に得られた臨界原子数が具体的にどのようなあろう。

値になるのかは重要な問題である。数学的には一応の・原子間相互作用の取り扱い結果であっても物理的にほとんど現実性に乏しいよう

・個々の原子の基底状態から励起状態への遷移の取な範囲の値であっては意味がない。よって、ここではり扱い

臨界原子数の妥当性を具体的な値を求めることで評価

しかし、著者等が既に報告７）しているBECの渦形成する。ただ、算出は本解析による形式論だけでは不可とその分裂に関するコンピュータ・シミュレーション能である。必要な物理量の多くが具体的な情報に欠けの結果や、上述の柏良輔君の渦を有する引力，斥力両ているからである。そのため対象とするBECに具体的

BECに関するシミュレーションの結果（修士論文準備なモデルを設定して数値を与えなければならない。こ中）は、尐なくとも現象的にはここに示した推測の幾こでは斥力BECとして、 87Rbで実現している渦無し

つかと合致していることも事実である。なおこれらのBECの諸元を用いることにする。

シミュレーションはグロス・ピタエフスキー方程式(1)【諸元】をSplit-Step Fourier 法を用いて計算したものである。

𝑅0≈10−5ｍ：𝑅0(≒𝑅)は概ねこのオーダーである。

ともあれ、本解析で次の2つの結果を得た。①渦を𝑎≈102𝑎0：𝑎0はボーア半径で約5.3×10−11ｍ。これは有する引力BECの臨界原子数の2種類の近似式。この

87Rb の BEC の ス ピ ン 三 重 項 状 態 の 散 乱 長 𝑎𝑡 が 、中の有理式バージョンは渦芯位置を表すパラメータの𝑎𝑡=(106±4) 𝑎0であることによる６）。

値如何で発散するという特異な形になっている。多項𝜉≈10−3𝑅0：𝜉の値は本解析からは情報が得られないので、このように推定する。とにかく𝜉≪𝑅0である。

式バージョンには発散はない。②渦を有する斥力BECに臨界原子数が存在することを示唆する数式的な根拠。

𝑙=50：𝑙はこのように設定する。

導出された臨界原子数は３段階あり、値としては実験

𝑏𝑖≈𝑅0/2：𝑏𝑖は全てを平均値で近似し、概ね𝑅0の半分で実現しているBECの原子数との比較から見て、どれ程度と考える。

も物理的に意味をなす範囲のものである。

平成 23 年度

九州大学大学院総合理工学報告

ただ、これらから導かれる内容の幾つかについては、常識的にみて俄かには信じ難いという面も無くはない。
今後これらの内容が正しいにせよ修正を必要とするにせよ、実験によって検証されることを強く願うものである。

参 考 文 献1) C.J.Pethick,H.Smith，Bose－Einstein condensationin dilute gases, Cambridge university press ，（2002） 町田一成訳：「ﾎﾞｰｽﾞ･ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝ凝縮」，物理学
叢書 100，吉岡書店（2005），p176
2）S.K.Adhikari, Phys. Rev. E65 (2002) 016703
3) 同上.和訳版，p247～p248
4) 同上.和訳版，p253
5) 同上.和訳版，p239
6) 同上.和訳版，p140
7) A.Ohta, R.Kashiwa,, H.Sakaguchi, Phys. Rev. A82(2010) 055602

第 33 巻第4号

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