数理解析研究所講究録
第 1857 巻 2013 年 69-76

69

ファジィ集合値写像の極限について
弘前大学大学院理工学研究科 金正道 (Masamichi KON)
Graduate School of Science and Technology, Hirosaki University

金沢学院大学経営情報学部 桑野裕昭 (Hiroaki KUWANO)
Faculty of Business Administration and Information Science,
Kanazawa Gakuin University

概要

レベル集合を用いてファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限を定義し、 それら性質を調べる。 通常の集合をファジイ集合と区別したい場合はクリスプ集合とよぶことにする。 ファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限は、クリスプ集合列の極限およびクリスプ集合値写像の極限のファジイ版である。

1

準備

ファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限を考えるときに必要になるクリスプ集合列の極限およびクリスプ集合値写像の極限について [4] に従って準備する。 その後、 ファジイ集合に関する準備をする。
$a,$ $b\in \mathbb{R}$に対して、 $[a, b]=\{x\in \mathbb{R}:a\leq x\leq b\},$ $[a, b[=\{x\in \mathbb{R}:a\leq x<b\}, ]a, b]=$$\{x\in \mathbb{R}:a<x\leq b\},$ $]a,$ $b[=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}$$a_{\lambda}\in[0,1],$ $\lambda\in\Lambda$のときは$\Lambda=\emptyset$$\mathbb{N}$

に対して、

とする

$\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=\inf_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda},$$\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=\inf_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=1,$$\circ$とする。 ただし、とする o$_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}= \sup_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}$$_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}= \sup_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=0$

をすべての自然数の集合とし$\mathcal{N}_{\infty}=\{N\subset \mathbb{N}${$\mathcal{N}_{\infty}\#=$$N\subset \mathbb{N}$:finite $\}=$ {subsequences of containing all$N$:infinite} {all subsequences of }$\mathbb{N}\backslash N$$\mathbb{N}$$=$$\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$N\in \mathcal{N}_{\infty}\#$$\lim_{k},$集合$\overline{co}(C)$に対しての場合は$C\subset \mathbb{R}^{n}$$\lim_{karrow\infty}$$\lim_{k\in N}$

beyond some$k_{0}$}$\mathbb{N}$とする。 列の部分列はあるおける $karrow\infty$ のとき
または$N\in \mathcal{N}_{\infty}$

$k$

または

に対して、 cl $(C),$ $co(C),$に対して$\lim_{k\in \mathbb{N}}$$\lim_{karrow\infty,N}$$\overline{co}(C)$の形で表される。 にと書くが、 添字集合
またはと書く。
$\{x_{k}\}_{k\in N}$$\mathbb{N}$$N\in \mathcal{N}_{\infty}\#$をそれぞれ $C$ の閉包，凸包，閉凸包とする。

は $C$ を含む最小の閉凸集合であり、 $C$ を含むすべての閉凸集合の共通部分であり、$\overline{co}(C)=$$C(\mathbb{R}^{n}),$cl(co $(C)$ ) となることが知られている$\mathcal{K}(\mathbb{R}^{n}),$$C\mathcal{K}(\mathbb{R}^{n})$をそれぞれ$\mathbb{R}^{n}$$($[2] の Corollary 1.2.

$1)_{0}$のすべての閉集合，凸集合，閉凸集合の集合とする。
本研究は科研費 (22510133) の助成を受けたものである。

70
1.1

集合列の極限まず、 集合列の極限を定義する。
定義 1 $-1$ ([4] の Definition 4. 1)
集合$\lim_{karrow}\inf_{\infty}C_{k}$$=$:$\{x\in \mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$の部分集合の列$\{C_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$\exists x_{k}\in C_{k}(k\in N)$$\exists N\in \mathcal{N}_{\infty},$に対して、 その下極限を

with$x_{k}arrow NX\}$と定義し、 その上極限を集合$\lim_{karrow}\sup_{\infty}C_{k}$$=$$\{x\in \mathbb{R}^{n}$:$\exists N\in \mathcal{N}_{\infty}^{\#},$$\exists x_{k}\in C_{k}(k\in N)$と定義する。 $\lim\inf_{karrow\infty}C_{k}=\lim\sup_{karrow\infty}C_{k}$ のとき、

with$\{C_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$x_{k}arrow NX\}$の極限が存在するといい$\lim_{karrow\infty}C_{k}=\lim_{karrow}\sup_{\infty}C_{k}=\lim_{karrow}\inf_{\infty}C_{k}$と定義する。

1.2

集合値写像の極限

次に、 集合値写像の極限を定義する。

各$x\in \mathbb{R}^{n}$

いい、

$F$

:

に集合

$\mathbb{R}^{n}\hookrightarrow \mathbb{R}^{m}$への集合値写像とに対が閉-値，凸-値，閉凸-値であるとは、 任意の$F(x)\subset \mathbb{R}^{m}$と表す。

してそれぞれ $F(x)\in C(\mathbb{R}^{m}),$$F$を対応させる写像 $F$ を$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{m}$$x\in \mathbb{R}^{n}$$F(x)\in \mathcal{K}(\mathbb{R}^{m}),$ $F(x)\in C\mathcal{K}(\mathbb{R}^{m})$定義 1 $-2$ ([4] の p.152) $F$ :きの $F$ の下極限をから$\mathbb{R}^{n}\hookrightarrow \mathbb{R}^{m}$とし、$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$であるときをいう。

とする。 このとき、 $xarrow$ あのと$\lim_{xarrow}i_{\frac{n}{x}}fF(x)= \cap\lim_{karrow}\inf_{\infty}F(x_{k})$$x_{k}arrow\overline{x}$と定義し、$xarrow\overline{x}$のときの $F$ の上極限を$\lim spF(x)=xarrow^{\frac{u}{x}} \cup \lim_{karrow}\sup_{\infty}F(x_{k})$xkと定義する。ここで、$n_{x_{k}arrow\overline{x},\cup x_{k}arrow\overline{x}}$

あ

はそれぞれ

に関する共通部分，和集合を意味する。
$xarrow$$arrow$$x_{k}arrow\overline{x}$となる任意の点列$\lim\inf_{xarrow\overline{x}}F(x)=\lim\sup_{Xarrow\overline{X}}F(x)$

あのときの $F$ の極限が存在するといい$\lim F(x)=$ lim $infF(x)=$ lim $supF(x)$$xarrow\overline{x} xarrow\overline{x} xarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$と定義する。

$\{x_{k}\}_{k\in N}\subset \mathbb{R}^{n}$

のとき、

71
定義 1 $-3$ ([4] の Definition 5.4) 集合値写像を $F$ :がにおいて下半連続であるとはとし、$\mathbb{R}^{n}\hookrightarrow \mathbb{R}^{m}$$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$とする。 $F$$\overline{x}$lim $infF(x)\supset F($ あ$)$$Xarrow\overline{X}$となるときをいい、 $F$ が$\overline{x}$において上半連続であるとはlim $supF(x)\subset F(\overline{x})$$xarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$となるときをいう。 $F$ が連続、 すなわち$\overline{x}$において連続であるとは、 $F$ が$\overline{x}$において下半連続かつ上半$\lim F(x)=F(\overline{x})$$xarrow\overline{x}$のときをいう。

1.3

ファジイ集合次に、 ファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限を考えるときに必要になるファジイ集合のレベル集合に関する性質を調べる。
上のファジイ集合 とそのメンバーシップ関数を同一視し、 その同一視されたメンバーシップ関数も :と表す。
を上のすべてのファジイ集合の集$\mathbb{R}^{n}$$\tilde{s}$$\tilde{s}$$\mathbb{R}^{n}arrow[0,1]$$\mathbb{R}^{n}$$\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$合とする。
$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$と $\alpha\in[0,1]$ に対して$\tilde{s}$の$\alpha-$レベル集合は$[\neg s_{\alpha}=\{x\in \mathbb{R}^{n}:\tilde{s}(x)\geq\alpha\}$と定義される。
クリスプ集合$S\subset \mathbb{R}^{n}$に対して、 $S$ の指示関数は各$x\in \mathbb{R}^{n}$に対して$c_{S}(x)=\{\begin{array}{l}1 if x\in S0 if x\not\in S\end{array}$

である
$cs$

:

$c_{S}$:$\mathbb{R}^{n}arrow\{0,1\}$$c_{S}$をファジイ集合として考える場合はとみなす。

$\mathbb{R}^{n}arrow[0,1]$$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$と定義される。 ただし、は$\tilde{s}=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{[\neg s_{\alpha}}$と表現でき、 分解定理として知られている (例えば、 [1] 参照)。
が閉であるとは、 が上半連続であるときをいう。
めの必要十分条件は、となることである。
が凸であるとは$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\tilde{s}$$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$[\neg s_{\alpha}\in C(\mathbb{R}^{n}), \alpha\in]0,1]$$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\tilde{s}(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq\tilde{s}(x)\wedge\tilde{s}(y)$for $x,$$y\in \mathbb{R}^{n},$$\lambda\in[0,1]$が閉であるた72のときをいう。すなわち、が凸であるための必要十分条件は$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n}),$$\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n}),C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$が凸であるとは$\tilde{s}$が準凹関数であるときをいい、$[\neg s_{\alpha}\in \mathcal{K}(\mathbb{R}^{n}), \alpha\in]0,1]$をそれぞれ$\mathbb{R}^{n}$$\tilde{s}$となることである。

上のすべての閉ファジイ集合，凸ファジイ集合，閉凸ファジイ集合の集合とする。
ファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限を考えるときに必要になるファジイ集合とレベル集合の間の関係を調べるために$S(\mathbb{R}^{n})=\{\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]}$

と定義し、

:

$\alpha\in]0,1]$$S_{\alpha}\subset \mathbb{R}^{n},$$M:S(\mathbb{R}^{n})arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$

を各

”

and

$S_{\beta}\supset S_{\gamma}$

for$\beta,$$\gamma\in]0,1]$

with$\beta<\gamma$” $\}$

に対して$\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]}\in S(\mathbb{R}^{n})$$M( \{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{S_{\alpha}}$と定義する。

$\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]}\in S(\mathbb{R}^{n})$と$x\in \mathbb{R}^{n}$に対して$M( \{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})(x)=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{S_{\alpha}}(x)=\sup\{\alpha\in]0,1]:x\in S_{\alpha}\}$と表せる。 ただし、 $\sup\emptyset=0$ とする。 また、 分解定理は、$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$に対して$\tilde{s}=M(\{[\neg s_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})$

と表せる。
定義 1

–

4

$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$に対して、$\tilde{s}$の閉包 cl$(\overline{\mathcal{S}})$, 凸包 co$(\tilde{s})$, 閉凸包 –co(旬をそれぞれ$c1(\tilde{s})=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{c1_{([\neg s_{\alpha})}}=M(\{c1([\neg s_{\alpha})\}_{\alpha\in]0,1]})$$co(\gamma s=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{CO([\neg s_{a})}=M(\{co([\neg s_{\alpha})\}_{\alpha\in]0,1]})$$\overline{co}(\gamma s=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{\overline{CO}([\neg s_{\alpha})}=M(\{\overline{co}([\neg s_{\alpha})\}_{\alpha\in]0,1]})$と定義する。

クリスプ集合$S\subset \mathbb{R}^{n}$に対して$c1(c_{S})=c_{c1_{(S)}}, co(c_{S})=c_{CO(S)}, \overline{co}(c_{S})=c_{\overline{CO}(8)}$となるので、 ファジイ集合の閉包，凸包，閉凸包はクリスプ集合の閉包，凸包，閉凸包の拡張になっている。

73

2

ファジィ集合列の極限
本節では、 レベル集合を用いてファジイ集合列の極限を定義する。

次の定義 2–1 は、 定義 $1-1$ のファジイ版である。
定義 2–1$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$とし、 各] $0,1]$ に対して$\alpha\in$$L_{\alpha}= \lim_{karrow}\inf_{\infty}[\tilde{s}_{k}]_{\alpha}, U_{\alpha}=\lim_{karrow}\sup_{\infty}[\tilde{s}_{k}]_{\alpha}$とする。

$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in N}$の下極限をファジイ集合$\lim_{karrow}\inf_{\infty}\tilde{s}_{k}=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{L_{\alpha}}=M(\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})$と定義し、$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$の上極限をファジイ集合$\lim\sup\tilde{s}_{k}=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{U_{a}}=M(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})karrow\infty$と定義する。

のとき、$\lim\inf_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}=\lim\sup_{karrow\infty^{\mathcal{S}_{k}}}^{\sim}$$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$の極限が存在するといい$\lim_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}=\lim_{karrow}\inf_{\infty}\tilde{s}_{k}=\lim_{karrow}\sup_{\infty}\tilde{s}_{k}$と定義する。

クリスプ集合に対して、 $L= \lim\inf_{karrow\infty}S_{k},$ $U= \lim\sup_{karrow\infty}S_{k}$ とし、もしの極限が存在するならば $T= \lim_{karrow\infty}S_{k}$ とする。このとき、$\lim\sup_{karrow\infty}c_{S_{k}}=c_{U}$ となり、 もしの極限が存在するならば$S_{k}\subset \mathbb{R}^{n},$ $k\in \mathbb{N}$$\{S_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$\lim\inf_{karrow\infty}c_{S_{k}}=$$c_{L},$$\{S_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$\lim_{karrow\infty^{\mathcal{C}}s_{k}=c_{T}}$となる。 よって、 ファジイ集合列の下極限，上極限，極限はクリスプ集合列の下極限，上極限，極限の拡張になっている。

3

ファジイ集合値写像の極限
本節では、 レベル集合を用いてファジイ集合値写像の極限を定義し、その性質を調べる。
ファジイ集合値写像と $\alpha\in]0,1]$ に対してクリスプ集合値写像
:
:
を各
に対して
$\tilde{F}$$\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$$\mathbb{R}^{n}\hookrightarrow \mathbb{R}^{m}$$F_{\alpha}$$x\in \mathbb{R}^{n}$$F_{\alpha}(x)=[\tilde{F}(x)]_{\alpha}$と定義する。

ファジイ集合値写像:に対してそれぞれ$\tilde{F}$$x\in \mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$が閉-値，凸-値，閉凸-値であるとは、 任意の$\tilde{F}(x)\in C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m}),\tilde{F}(x)\in \mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m}),\tilde{F}(x)\in C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$ときをいう。

次の定義 3–1 は、 定義 $1-2$ のファジイ版である (後述の命題 3–4 参照)。

である

74
定義 3–1

ファジイ集合値写像を$\tilde{F}:\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$とし、$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$とし、各$\alpha\in$] $0,1]$ に対して$L_{\alpha}(\overline{x})=$lim$infF_{\alpha}(x)$,lim $supF_{\alpha}(x)$ ,$U_{\alpha}(\overline{x})=$$xarrow\overline{x}$$xarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$とする。

$xarrow\overline{x}$

のときの

lim

$\tilde{F}$の下極限をファジイ集合$inf\tilde{F}(x)=\sup\alpha c_{L_{\alpha}(\overline{X})}=M(\{L_{\alpha}(\overline{x})\}_{\alpha\in]0,1]})$$xarrow\overline{x} \alpha\in]0,1]$と定義し、$xarrow\overline{x}$のときの$\tilde{F}$の上極限をファジイ集合$\lim sp\tilde{F}(x)=\sup_{\alpha xarrow^{\frac{u}{x}}\in]0,1]}\alpha c_{U_{\alpha}(\overline{X})}=M(\{U_{\alpha}(\overline{x})\}_{\alpha\in]0,1]})$と定義する。
存在するといい$\lim\inf_{xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)=\lim\sup_{Xarrow\overline{X}}\tilde{F}(x)$のとき、 $xarrow$ あのときの$\tilde{F}$の極限がlim $inf\tilde{F}(x)=$ lim $sup\tilde{F}(x)$$\lim\tilde{F}(x)=$$xarrow\overline{x} xarrow\overline{x} xarrow\overline{x}$と定義する。

クリスプ集合値写像と$F:\mathbb{R}^{n}\hookrightarrow \mathbb{R}^{m}$$U( \overline{x})=\lim\sup_{Xarrow\overline{X}}F(x)$とし、 もしに対して、 $L( \overline{x})=\lim\inf_{xarrow\overline{x}}F(x)$ ,のときの $F$ の極限が存在するならば$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$$xarrow\overline{x}$$T(\overline{x})$とする。 このとき、となり、 もし $xarrow$ あのときの $F$ の極限が存在するならば$= \lim_{xarrow\overline{x}}F(x)$$\lim\inf_{xarrow\overline{x}^{c_{F(X)}=c_{L(\overline{X})}}},$$\lim\sup_{Xarrow\overline{x}^{c_{F(x)}=c_{U(\overline{X})}}}$$\lim_{Xarrow\overline{X}^{C_{F(X)}}}=$吻 (-x) となる。

よって、 ファジイ集合値写像の下極限，上極限，極限はクリスプ集合値写像の下極限，上極限，極限の拡張になっている。
次の定義 3–2 は、 定義 1–3 のファジイ版である。
定義 3–2 ファジイ集合値写像をおいて下半連続であるとはとし、$\tilde{F}:\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$lim$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$とする。

$\tilde{F}$が$\overline{x}$に$inf\tilde{F}(x)\geq\tilde{F}(\overline{x})$$xarrow\overline{x}$のときをいい、$\tilde{F}$があにおいて上半連続であるとは

lim$sup\tilde{F}(x)\leq\tilde{F}(\overline{x})$$xarrow\overline{x}$のときをいう。
続、 すなわち$\tilde{F}$があにおいて連続であるとは、$\tilde{F}$があにおいて下半連続かつ上半連$\lim\tilde{F}(x)=\tilde{F}(\overline{x})$$xarrow\overline{x}$のときをいう。

命題 3–3(i)

ファジイ集合値写像を$\lim\inf_{xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)\in C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$$\tilde{F}:\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$とし、$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$となる。 よって、 $xarrow$ あのときのとする。
$\tilde{F}$の極限が存在す

75
るならば

が存在して

$V\subset \mathbb{R}^{n}$(ii)$\tilde{F}$$xarrow$となる。 また、$x\in V$ ならば$\lim_{xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)\in C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$$\tilde{F}(x)=\tilde{u},$$\lim_{Xarrow\overline{X}}\tilde{F}(x)=$は凸-値であるとする。 このとき、あのときの$\tilde{F}$に対して、 あのある近傍となる。
cl$\tilde{u}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$$(\tilde{u})$$\lim\inf_{xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)\in C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$の極限が存在するならば$\lim_{Xarrow\overline{X}}\tilde{F}(x)\in C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$となる。 よって、となる。

次の命題 3–4 は、 定義 3–1 が定義 $1-2$ のファジイ版であることを示している。
命題 3–4 ファジイ集合値写像を$\tilde{F}:\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$とし、$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$とする。 このとき$\lim_{xarrow}i_{\frac{n}{x}}f\tilde{F}(x)= \wedge\lim_{karrow}\inf_{\infty}\tilde{F}(x_{k}) , \lim sp\tilde{F}(x)=xarrow^{\frac{u}{x}} \vee \lim_{karrow}\sup_{\infty}\tilde{F}(x_{k})$$X_{k}arrow\overline{X} X_{k}arrow\overline{X}$となる。

命題 3–5ある近傍

ファジイ集合値写像を:が存在して cl $(\tilde{F}(x))=$ cl$\tilde{F},\tilde{G}$$V\subset \mathbb{R}^{n}$とし、$\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$$(\tilde{G}(x)),$$x\in V$$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$であるとする。 このとき、$\lim\inf_{xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)=\lim\inf_{xarrow\overline{x}}\tilde{G}(x),$ $\lim\sup_{Xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)=\lim\sup_{Xarrow\overline{x}^{\tilde{G}(x)}}$

命題 3–6とき、$\tilde{F}$$\lim_{xarrow\overline{x}}\tilde{F}(x)=\tilde{F}(\overline{x})$$\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}^{n}$4

ファジイ集合値写像を:とし、となるための必要十分条件はに対して $\lim_{karrow\infty}F(x_{k})=F(\overline{x})$ となることである。
$\mathbb{R}^{n}arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{m})$とし、あの$\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$$x_{k}arrow\overline{x}$となる。
とする。 このとなる任意の点列

結論
本稿では、 クリスプ集合列の極限およびクリスプ集合値写像の極限のファジイ版として、 ファジイ集合のレベル集合を用いてファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限を定義し、 それらの性質を調べた。

ファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限に関して得られた結果は、 すべてのファジイ集合 (特に、所謂サポート有界でないファジイ集合) を扱っているという意

味で非常に一般的な結果である。 ファジイ集合列の極限およびファジイ集合値写像の極限は、最適解がファジイ集合として出力される数理モデルに対して、 入力またはパラメータに関する最適解の安定性を考える場合に必要かつ重要な概念になる。 そのような場合に、得られた一連の結果が有用であると期待できる。

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$J$

$J$

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