4章
担当：藤林
平成 23 年 4 月 26 日

4散乱

4.1

散乱課程の一般的考察

a + b → c + d + ···a:ビーム粒子 (エネルギーは既知)．b:標的粒子 (target)．c, d, . . . :反応生成物

弾性散乱
a + b → a′ + b′
・散乱前後の粒子は同じ．粒子 a のエネルギーと散乱角がわかれば，運動学的に粒子 b の生成角とエネルギーについて知ることが出来る．
・小さい構造を知るには高エネルギーのビームが必要．ド・ブロイ波長程度の分解能を持つ．

(Ekin = E − mcℏℏc
λ– = =22
p2mc Ekin + Ekin{ √ℏ/ 2mEkin(Ekin ≪ mc2 )≃ℏc/Ekin ≃ ℏc/E (Ekin ≫ mc2 ))2(4.1)∆x ほどの広がりを分解するには不確定性関係よりpc ≳ℏc200fm · MeV=∆x∆xが必要である．

1(4.2)

非弾性散乱例：b が励起して，その後 c, d に崩壊

a + b → a ′ + b∗b∗ → c + d・a′ のみを観測：inclusive 測定．a′ , c, d すべてを観測：exclusive 測定（バリオン数の保存が成り立っているなら）ビーム粒子が消える反応もある（図 c),d)）．

4.2

断面積

衝突粒子間に反応が起こる”確率”みたいなもの．
・フラックス（単位面積当たり，単位時間あたりに入射するビーム粒子数）Ṅa= n a va(4.3)
AṄa , na , va はそれぞれ，ビーム粒子の単位時間あたりの入射数，密度，速度．A はビーム束の断面積．
・反応率（単位時間あたりの反応数）散乱中心がビームから見て重なりあっていない，かつ各散乱中心で散乱が独立に起こるときは
Φa =Ṅ = Φa · Nb · σb(4.4)

Nb は標的中の散乱中心の数．
この σb を，幾何学的反応断面積と呼ぶ（各散乱中心がビームに対して広げている面積）．
σb = Ṅ /Φa Nb(4.5)

単位時間あたりの反応数
単位時間，単位面積あたりのビーム粒子数 × 散乱中心数
単位時間あたりの反応数=
単位時間あたりのビーム粒子数 × 単位面積あたりの散乱中心数
これは，ビーム粒子の種類やエネルギーと関係なしに定義されたものだが，実際には反応率がエネルギーに非常に依存する例もあるので，全断面積 σtot = σtot (E)を定義する．定義は幾何学的反応断面積と同じである．
全断面積は弾性反応断面積と非弾性反応断面積に分割でき，非弾性反応断面積は更に反応チャンネルごとに分割できる=

σtot = σel + σinel(4.6)

σinel = σ1 + σ2 + · · ·反応断面積は面積の次元を持つ．単位として，barn = 10−28 m, millibarn = 10−31 mがよく使われる．

24.3

ルミノシティ

定義はL ≡ Φa · Nb

(4.9)

= Ṅa · nb d = na va Nb(4.10)

貯蔵リングでの衝突でもこの関係は成り立つ．Na , Nb 個の粒子が入ったパルス
を j 個，v の速さで周長 U のリングの中で衝突させたとき，ビームの断面積を AとすればL=Na Nb jv/UA(4.11)

ルミノシティの意味としては単位時間あたりの反応数がṄ = σtot · Lと書けるので，ルミノシティが大きいほど反応数が多い，すなわちイベントをたくさん取れるということになる．そのルミノシティは，ビームの断面積を小さくするほど大きくなる．
∫
貯蔵リングでの衝突ではルミノシティを長時間積分したものも使う．σtot · dtLが，測定時間内の反応数となる．
例：ルミノシティの積分値が 100pb−1 ，断面積が 1nb のとき，合計で1nb · 100 × 103 nb−1 = 100000 個の反応が見込める

微分断面積dσ
反応後の粒子が立体角 Ω に放出される断面積 dΩ(E, θ)．
更に，散乱粒子のエネルギースペクトルから，小さな範囲 E ′ ∼ E ′ + ∆E を取d2 σ()り出して測定するときは 2 重微分断面積 dΩdE′ を測っていることになる．全断面積との関係は∫ Emax′dEσtot (E) =′∫dΩ
全立体角0である．

3d2 σ()dΩdE ′(4.14)

4.4

黄金律

断面積が理論からどう出るか
遷移行列要素∫Mf i ≡ ⟨ψf |Hint |ψi ⟩ =d3 xψf∗ Hint ψi(4.15)

終状態が体積 V ，運動量 p ∼ p + dp の間のある状態数はdn(p) =V · 4πp2 dp(2πℏ)3(4.16)

また，粒子のエネルギーと運動量の関係

dE = vdp(4.17)

より，エネルギーが E ∼ E + dE の間にある終状態の数，すなわち状態密度は

ϱ(E) =dn(E)V · 4πp2 dp=dEv · (2πℏ)3(4.18)

Fermi の第 2 黄金率によれば，標的粒子，入射粒子あたりの反応率は2π|Mf i|2 · ϱ(Ef )ℏ(4.19)Ṅ (E)σva=
Na NbV(4.20)

2π|Mf i|2 · ϱ(Ef ) · Vℏva(4.21)

W =となる，一方，V = Na /na として

W =と書けるので，断面積はσ=

このように，行列要素 Mf i がわかれば，断面積は計算することができる．
黄金率はスペクトロスコピーの過程でも適用可能で，この場合崩壊寿命 τ はW =1τ(4.22)という関係がある．

4.5ファインマン図形

Mf i を計算するときの項の速記法．ここでは反応過程の図示に使う．vertex が多い図形ほど，摂動の高次の寄与となる．
4Fermi の黄金律
Hamiltonian がH = H0 + Vと書け，V は小さいとする．状態ベクトルの相互作用表示は()
H0|ψ(t)⟩I = exp − t |ψ(t)⟩Siℏ
演算子は

()()
H0
H0
OI (t) = exp − t OS exp
tiℏiℏ
状態ベクトルの時間発展はiℏd|ψ(t)⟩I = VI (t)|ψ(t)⟩Idtとなる．これを形式的に解くと(∫ t|ψ(t)⟩I = T exp)
dt VI (t ) |ψ(t0 )⟩I′′t0

ここからは展開の 1 次までとる．

∫ t|ψ(t)⟩I = |ψ(t0 )⟩I +dt′ VI (t′ )|ψ(t0 )⟩It0|ψ(t)⟩I を，非摂動 HamiltonianH0 の固有状態 |φn ⟩ で展開して∑|ψ(t)⟩I =cn (t)|φn ⟩n

これを代入して計算すると，∑1
cn (t) = cn (t0 ) +cm (t0 )iℏm∫ tdt′ Vnm (t′ )t0

ここで，Vnm (t) = ⟨φn |VI (t)|φm ⟩．この結果を連続状態に対して適用する．簡単のため，H0 の固有状態は連続とし，t0 = 0 とする．
∫|ψ(t)⟩I = dνcν (t)|φν ⟩5cν (0) = δ(ν − ν0 ) とすると，∫∫
1 t ′cν (t) = cν (0) + dµdt Vνµ (t′ )cµ (0)iℏ 0∫∫1 t ′= δ(ν − ν0 ) + dµdt Vνµ (t′ )δ(ν − ν0 )iℏ 0∫ t1= δ(ν − ν0 ) +dt′ Vνν0 (t′ )iℏ 0ν ̸= ν0 のとき，(Vνν0 (t) = exp)
Eν0 − Eνt ⟨φν |V |φν0 ⟩iℏ

なので，

[()]
Eν0 − Eν⟨φν |V |φν0 ⟩expt −1cν (t) =Eν0 − Eνiℏ
よって遷移確率 |cν (t)|2 は)]2[(|⟨φν |V |φν0 ⟩|2Eν0 − Eν|cν (t)| =t2sin(Eν0 − Eµ )22ℏ2( sinωt )2w→ tπδ(ω)(t → ∞) と書けるので，t が大きいときはこの置換えをして()Eν0 − Eν22 1|cν (t)| = |⟨φν |V |φν0 ⟩| 2 πδ
ℏ2ℏ2π= |⟨φν |V |φν0 ⟩|2 δ (Eν0 − Eν )ℏ

よって状態数 dν あたりの遷移確率 dω は，

dων0 →ν = |⟨φν |V |φν0 ⟩|22πδ (Eν0 − Eν ) dνℏ

ここで，dν =dνdE = ϱ(E)dEdE

なので，ν0 → i, ν → f の置き換えで，Fermi の黄金律

W =2π|Mf i |2 ϱ(Ef )ℏを得る．

6