数理解析研究所講究録 1308 巻 2003 年 16-1916
Langevin 分布におけるパラメータの漸近的推測

葉子 (Yoko Watamori)

大阪女子大学・理学部 綿森

Faculty of Science,
Osaka Women’s University

1Langevin 分布
変数 Langevin 分布は、密度がで与えられる $(p-$1) 次元球面上の最も重要な分布のひとつである。 ここで$\{a_{p}(\kappa)\}^{-1}\exp(\kappa\mu’\mathrm{x})$$p$$a_{p}(\kappa)=(2\pi)^{\mathrm{z}\mathrm{z}_{+1}}2I\mathrm{z}_{-1}(\kappa)\kappa^{-_{2}}2$は位数分布を
以下、$I_{\nu}(\kappa)$$\nu$’の第一種変形 Bessel 関数である。 以下、であらわす。

$p$

変数 Langevin$M_{p}(\mu, \kappa)$$\mathrm{x}\sim M_{p}(\mu, \kappa)_{\text{、}}\mathrm{x}_{1},$$\overline{\mathrm{x}}=\sum \mathrm{x}_{j}/n$とおき、$\cdots \mathrm{x}_{n}$$R=n||\overline{\mathrm{x}}||$

を $M_{p}(\mu, \kappa)$ からの独立標本とする。

を標本合成長という。

$\mathrm{x}$の共分散行列は$\Sigma=A_{p}’(\kappa)\mu\mu’+\frac{A_{p}(\kappa)}{\kappa}(I_{p}-\mu\mu’)$

で、$A_{p}(\kappa)$

は $A_{p}(\kappa)=d\{\log a_{p}(\kappa)\}/d\kappa$ で定義される定値であることに注意する。 さらに$\kappa,$$\mu$は正の関数。の最尤推定量をそれぞれ$\kappa$$\Sigma$$\hat{\kappa},\hat{\mu}$とすると、$A_{p}(\hat{\kappa})=1\overline{\mathrm{x}}||$,$\cdot=\frac{\overline{\mathrm{x}}}{||\overline{\mathrm{x}}||}$である。 球面上の統計解析については、 例えば Mardia &Jupp (2000),

Fisher (1993), Watson(1983) の本とその中の文献を参考にされたい。

2推定問題

は偏りのある推定量であることがシミュレーションなどを用いて示されており、 Schou (1978) はの分布に基づく周辺尤度を最大にするこ$\hat{\kappa}$$\mathrm{R}$17とによって推定量を提案した。 これを$\check{\kappa}$$nA_{p}(\check{\kappa})$

乃$\kappa$$\check{\kappa}$

...

$=$

0

$=$

$RA_{p}(\check{\kappa}R)$

とかくと、$R\leq n^{\frac{1}{2}}$$R>n^{\frac{1}{2}}$$\cdots$.

がともに大きいときの漸近展開を導くことにより次の推定量が与えられる。
$\check{\kappa}_{\mathrm{c}}=\frac{\sqrt{n(n-1)}(p-1)\sqrt{R^{2}-n}}{n^{2}-R^{2}}$$\hat{\kappa}_{c}=\frac{n(p-1)R}{n^{2}-R^{2}}$

’3

検定問題
仮説

$H_{1}$: $\mu=\mu_{0}$ について、 信頼領域 $C(Pr(C)=1-\alpha)$ は $C=$と変形される。 よってがとも {こ大きいとき、$\{\mu’\overline{\mathrm{x}}\geqq d\}=\{\cos\delta\geqq d/R\}$と (こなる。 $n,$ $p,$$\kappa$$\frac{\kappa}{n}=(const.)$,$\frac{p-1}{n}=m$$d$を与えればよいこ(const.)という仮定の下で$d=h^{-1}$で与えられる。 ここで$\underline{z}_{\alpha}$($z\text{。}+b_{1}$(z。)/n)は標準正規分布の下側 100\mbox{\boldmath $\alpha$}% 点である。
$k:=\sqrt{\frac{4\kappa^{2}}{(p-1)^{2}}+1}$とおく。

$\kappa$

既知のとき$h(U)=n \sqrt{\frac{mk(k+1)}{2}}\int_{A_{p}(\kappa)}^{U}(\frac{1-s^{2}}{1-A_{p}(\kappa)^{2}})^{-_{3}^{\underline{2}k}A_{k}^{\underline{1}}}ds$$b_{1}(y)= \frac{(2k+1)\sqrt{k-1}}{3k\sqrt{2mk}}+\frac{2k^{2}-k-2}{2mk^{3}}y$$\kappa$

未知のときは$\kappa$を$\kappa$の推定量でおきかえることにより信頼区間が得られる。
$H_{2}$:

統計量$\kappa=\kappa_{0}$$T_{W}$の検定に関して、$\mu$

既知のとき尤度比統計量$T_{L}$

は$T_{L}$$=$$T_{W}$$=$2$\{(\hat{\kappa}-\kappa_{0})\mu^{t}\overline{\mathrm{x}}-\log a_{p}(\hat{\kappa})+\log a_{p}(\kappa_{0})\}$$\frac{\{\mu^{t}\overline{\mathrm{x}}-A_{p}(\kappa_{0})\}^{2}}{A_{p}’(\kappa_{0})}$

,

,とスコア

17

18で与えられ、$T_{L}$の $n$に関する補正は$T_{L}^{*}=(1+ \frac{B}{n})^{-1}\ovalbox{\tt\small REJECT}$で与えられる。 ここで$B= \frac{5A_{p}’’(\kappa_{0})^{2}-3A_{p}’’’(\kappa_{0})A_{p}’(\kappa_{0})}{12A_{p}’(\kappa_{0})^{3}}$スコア統計量$P(T_{W}>x)$$T_{W}$$=$の $n$に関する展開は$P( \chi_{1}^{2}>x)+\frac{1}{n}\{B_{0}P(\chi_{1}^{2}>x)+B_{1}P(\chi_{3}^{2}>x)$$+3B_{2}P(\chi_{5}^{2}>x)+15B_{3}P(\chi_{7}^{2}>x)\}+O(n^{-2})$で与えられる。 ここで$\mu$$B_{0}$$=$$B_{1}$$=$$\frac{5A_{p}’’(\kappa_{0})^{2}-2A_{p}’’’(\kappa_{0})A_{p}’(\kappa_{0})}{8A_{p}’(\kappa_{0})^{3}}$$B_{2}$$=$$\frac{A_{p}’’’(\kappa_{0})A_{p}’(\kappa_{0})-5A_{p}’’(\kappa_{0})^{2}}{24A_{p}’(\kappa_{0})^{3}}$$B_{3}$$=$$\frac{A_{p}’’(\kappa_{0})^{2}}{72A_{p}(\kappa_{0})^{3}},\cdot$$\frac{B}{2}$未知のときは$T_{L}$$=$

2$T_{W}$$=$$\frac{\{A_{p}(\hat{\kappa})-A_{p}(\kappa_{0})\}^{2}}{A_{p}’(\kappa_{0})}$$\{(\hat{\kappa}-\kappa_{0})-\log a_{p}(\hat{\kappa})+\log a_{p}(\kappa_{0})\}$,,

で、 係数はそれぞれ$B= \frac{5A_{p}’’(\kappa_{0})^{2}-3A_{p}’’’(\kappa_{0})A_{p}’(\kappa_{0})}{12A_{p}’(\kappa_{0})^{3}}+(p-1)\frac{2A_{p}’’(\kappa_{0})\kappa_{0}-(p-3)A_{p}’(\kappa_{0})}{4A_{p}’(\kappa_{0})^{2}\kappa_{0}^{2}}$,19$B_{0}$$=$$\frac{B}{2}$$B_{1}$$=$$\frac{5A_{p}’’(\kappa)^{2}-2A_{p}’’’(\kappa)A_{p}’(\kappa)}{8A_{p}’(\kappa)^{3}}-(p-1)\frac{4A_{p}’’(\kappa)\kappa-(p-3)A_{p}’(\kappa)}{8A_{p}’(\kappa)^{2}\kappa^{2}}$$B_{2}$$=$$\frac{A_{p}^{\prime’\prime}(\kappa)A_{p}’(\kappa)-5A_{p}’’(\kappa)^{2}}{24A_{p}’(\kappa)^{3}}+(p-1)\frac{A_{p}’’(\kappa)}{12A_{p}’(\kappa)^{2}\kappa}$$B_{3}$$=$$\frac{A_{p}’’(\kappa)^{2}}{72A_{p}(\kappa)^{3}},\cdot$

で与えられる。

参考文献[1] FISHER, N. I. (1993). Statistical Analysis of Curcular Data. .
[2] JUPP, P. E. and MARDIA, K. V. (2000). Directional statistics. Wiley.
[3] SCHOU, G. (1976). Estimation of the concentration parameter invon Mises-Fisher distributions. Biometrika. 65, 369-377.

[4] WATSON, G. S. (1983). Statistics on Spheres. Wiley.

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