数理解析研究所講究録 1308 巻 2003 年 122-131

122
Second Order Asymptotic Optimality of Estimators under
Universal Domination Criterion
大阪府立大学総合科学部

高木祥司 (Yoshiji Takagi)

College of Integrated Arts and Sciences

Osaka Prefecture University

1.

はじめに
推定量の良さを比較する問題を, 漸近 2 次最適性理論にもとづいて考える. その際, 推定量の優劣は, 当然, 損失関数の選択に依存することになる. したがって, 異なる損失関数のもとでは, 優劣の逆転現象が起こることもありうるだろう. ここでは, 一般的な損失関数の族を考え, その集合上で推定量の良さを比較するという,ユ

ニバーサルな最適理論について考えていこう. (Hwang (1985), Brown and Hwang(1989) .
$)$2. リスク差と損失係数
確率変数$X_{1},$ $X_{2},$$\cdots,$$X_{n}$

は独立同分布で, 密度 $f(x$ ; のにしたがっているとする.

フィッシャー情報量 I=I(のは, すべての定する. また, 記号$\mu_{ijk}$$\theta$に対して連続で,$I(\theta)>0$であると仮は次のように定義する.
$\mu_{ijk}=E_{\theta}[(\frac{f’}{f})^{i}(\frac{f’’}{f})^{j}(\frac{f’’’}{f})^{k}]$ここで,$f’,$ $f”,$ $f”’$

任意の損失関数は, それぞれ,$\ell(z)$は,$\theta$$\ell(0)=0$

での 1, 2, 3 階導関数を表している.

であり, 0 に対して対称,

さらに,

$|z|$

に対し

て広義単調増加であるとする.
この研究においては, 損失関数
$T_{n}$$\ell(z)$のもとでの, パラメータに対するリスク関数として,$R_{\ell}(\theta;T_{n})=E[\ell(\sqrt{n}\sqrt{I}(T_{n}-\theta))]$$\theta$の任意の推定量

123 123を採用する. ここで, このタイプの損失関数の特徴として, 損失関数が適用される
前に, 推定量がフイツシャー情報量によって標準化されて ることに注意しよう.
$|_{\sqrt}\mathrm{a}$いま, 推定量件のもと,を一般に言う 1 次有効な推定量としたときに, 一般的な正則条$T_{n}$の漸近展開は次のように与えられる .
$\cdot$

リスク$R_{\ell}(\theta;T_{n})$$\int_{-\infty}^{\infty}\ell(y)\phi(y)dy$$R_{\ell}(\theta;T_{n})=$$+ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}\{\frac{\kappa_{21}}{\sqrt{n}}+\frac{\kappa_{22}}{n}+\frac{\kappa_{11}^{2}}{n}\}(y^{2}-1)\ell(y)\phi(y)dy$$+ \int_{-\infty}^{\infty}\{\frac{\kappa_{42}}{24n}+\frac{\kappa_{21}^{2}}{8n}+\frac{\kappa_{11}\kappa_{31}}{6n}\}(y^{4}-6y^{2}+3)\ell(y)\phi(y)dy$.

$+ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\kappa_{31}^{2}}{72n}(y^{6}-15y^{4}+45y^{2}-15)\ell(y)\phi(y)dy+o(\frac{1}{n})$ここで, 記号れる$\kappa_{ij}$は,$\sqrt{n}\sqrt{I}(T_{n}$

一のの

$r$

次のキュムラントから, 次で導力\supset.
$\cdot$for $r=1,2,3,4$ .

$C_{r}( \theta)=\kappa_{r0}+\frac{\kappa_{r1}}{\sqrt{n}}+\frac{\kappa_{r2}}{n}+o(\frac{1}{n})$

また、

今,

$C_{r}(\theta)$$\phi(\cdot)$は標準正規分布の密度関数である.

2 つの推定量 \mbox{\boldmath $\theta$}\tilde d=\mbox{\boldmath $\theta$}^M。

で比較しよう. ここで,$\hat{\theta}_{\mathrm{A}IL}$に対するキュムラントを$\tilde{\kappa}_{ij}$$+d(\hat{\theta}_{ML})/n$とは MLE である.

で表すと,$\tilde{\theta}_{c}=\hat{\theta}_{ML}+c(\hat{\theta}_{ML})/n$$\tilde{\theta}_{d}$に対するキュムラントを,と$\tilde{\kappa}_{ij}$$d’$と $c’$ は,$d$$\kappa_{22}-\tilde{\kappa}_{22}=2(d’-c’)$と$\mathrm{c}$の$\theta$で,$\tilde{\theta}_{c}$の間に次の関係が成り立つ .

,,$\kappa_{31}=\tilde{\kappa}_{31}=\frac{\mu_{300}-3\mu_{110}}{I\sqrt{I}}$$\kappa_{31}\kappa_{11}-\tilde{\kappa}_{31}\tilde{\kappa}_{11}=\sqrt{I}(d-c)\frac{\mu_{300}-3\mu_{110}}{I\sqrt{I}}$ここで,$\kappa_{ij}$$\cdot$$\kappa_{ij}$$\kappa_{11}^{2}-\tilde{\kappa}_{11}^{2}=\sqrt{I}(d-c)\{\sqrt{I}d+\sqrt{I}c-\frac{\mu_{110}}{I\sqrt{I}}\}$$\kappa_{21}=\tilde{\kappa}_{21}=0$

を 2 次オーダー,$\kappa_{42}=\tilde{\kappa}_{42}$,.

での導関数である. したがって, 2 つの推定量$\tilde{\theta}_{d}$124と \mbox{\boldmath $\theta$}。のリスク差

は, 次で与えられる$\Delta_{\ell}(\theta;\tilde{\theta}_{d},\tilde{\theta}_{c})$.
$\cdot$$\Delta_{\ell}(\theta;\tilde{\theta}_{d},\tilde{\theta}_{\mathrm{c}})$$=R_{\ell}(\theta;\tilde{\theta}_{d})-R_{\ell}(\theta;\tilde{\theta}_{c})$$= \frac{1}{n}\{(d’-c’)+\frac{I(d-c)}{2}(d+c-\frac{\mu_{110}}{I^{2}})-\frac{I(d-c)}{2}\frac{\mu_{300}-3\mu_{110}}{I^{2}}\}$$\cross\int_{-\infty}^{\infty}(y^{2}-1)\ell(y)\phi(y)dy$$+ \frac{1}{n}\frac{I(d-c)}{6}\frac{\mu_{300}-3\mu_{110}}{I^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}(y^{4}-6y^{2}+3)\ell(y)\phi(y)dy+o(\frac{1}{n})$今損失関数に依存する 2 つの量$A_{\ell}$,$A_{\ell}= \int_{-\infty}^{\infty}(y^{2}-1)\ell(y)\phi(y)dy$

ここで,$A_{\ell},$$B_{\ell}>0$とを次のように定義する .
$\cdot$$B_{\ell}$$B_{\ell}= \int_{-\infty}^{\infty}(y^{4}-3y^{2})\ell(y)\phi(y)dy$となることに注意しよう. さらに,

$k_{\ell}$を$k_{\ell}=B_{\ell}/A_{\ell}$.

とおくことにする. このとき、 2 つの推定量の漸近 2 次比較問題においては, リスク差$\Delta_{\ell}(\theta;\tilde{\theta}_{d},\tilde{\theta}_{c})$の符号に興味があることより, リスク差の 2 次項の変形である$\Delta_{\ell}^{(2)}(\theta;\tilde{\theta}_{d},\tilde{\theta}_{\mathrm{c}})=Ig^{2}+Ig(2c+\frac{(2-k_{\ell})\mu_{110}}{I^{2}}+\frac{(k_{\ell}/3-1)\mu_{300}}{I^{2}})+2g’$を評価すれぼよいこととなる.

ここで,$g=d-$ 。で,

$g’$

は,

$g$

の

$\theta$での導関数である.

このようにリスク差が表現された結果は, 漸近 (1 次) 有効な 2 っの推定量をリ
スクの 2 次項で比較する問題において, 損失関数が及ぼす影響につぃての重要かっ
驚くべき特徴を示してることに注意しよう. すなわち,
失関数$\ell$の選択に対して, それを代表するある値である. 極言すれぼ, 漸近 2 次最適性理論は,言ってもいいだろう. 実際,

2 つの推定関数$\ell_{1}$$k_{\ell}$

このと$\ell_{2}$2 っの推定量の優劣は, 損の値のみで決まるということ$k_{\ell}$

によって特徴付けられるとが同じ$k_{\ell}$の値を持っならば,これらの損失関数に基づく推定問題は, 漸近 2 次最適性理論のもとでまったく同じになる.

この重要な量$k_{\ell}$を以下では 「損失係数」 と呼ぶことにしょう.

いま, いくつかの基本的な損失関数について, それらの損失係数を計算してみょう.
まず, 損失関数 $\ell_{1}=|z|^{p}(p>0)$ を考えよう. このとき,$A_{\ell_{1}}=2pq,$ $B_{\ell_{1}}=2p(p+1)q$

125 125を得る. ここで,$q= \int_{0}^{\infty}x^{p}\phi(x)dx$

である.

したがって, 損失係数$k_{\ell_{1}}=B_{\ell_{1}}/A_{\ell_{1}}=$

を得る.

$p+1$

次に,

0-1 損失関数$\ell_{2}(z)=\{$

を考える. このとき,

10$|z|\geq r$$|z|<r$ ,$A_{\ell_{2}}=2r\phi(r),$ $B_{\ell_{2}}=2r^{3}\phi(r)$となって,$k_{\ell_{2}}=B_{\ell_{2}}/A_{\ell_{2}}=r^{2}$を得る.

2 乗損失は, $r=\sqrt{3}$ での 0-1 損失と同等であることがわかった.
同様に, 絶対損失は, $r=\sqrt{2}$ での 0-1 損失と同等になる.
結果として,

ここで,損失係数の統計学的意味を考えてみよう. 上の例から, 関数値の広がりが大きいほど, 損失係数は大きくなっていることがわかる. そうした傾向は,$k_{\ell}$の定義での分子項が影響している. 一方, 分母項は, 一種の標準化を表している. 実との損失係数は同じになり, これは, 分母項の役を正の定数とすると,
際,$\ell$$c$$c\ell$割を示している. つまり, 損失係数は, 標準化のもとでの関数値の広がり程度を表す指標であると言えるだろう.

次に損失係数の重要な特徴を注意しておこう. それは, 一般的な損失関数の族をまでのすべての実数値を取りうると うことで考えたとき, 損失係数は, 0 から$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\infty$ある. 実際, 上の 0-1 損失において, 任意の正数

その損失係数は

$k$

$k$

に対して,

$r=\sqrt{k}$とすれぼ,となることがわかる.

3. 2 つの推定量のユニバーサルな比較
損失係数の概念を用いることによって,2 つの推定量の優劣についての統計的定義を与えることができる.
定義 1

損失係数 $k_{\ell}=k$ をもつ損失関数の族を考える. 推定量形をもつとする.
$\cdot$$R_{\ell}( \theta;\delta)=r_{\ell}^{(1)}(\theta;\delta)+\frac{1}{n}r_{\ell}^{(2)}(\theta;\delta)$

今

2 つの推定量$\delta_{1},$$\delta_{2}$に対して, すべての$\theta$で$r_{\ell}^{(1)}(\theta;\delta_{1})=r_{\ell}^{(1)}(\theta;\delta_{2})$\dagger $o( \frac{1}{n})$ .

$\delta$のリスクが次の

126が成り立っているとする. このとき,

もしすべての$\theta$で,$r_{\ell}^{(2)}(\theta;\delta_{1})\leq r_{\ell}^{(2)}(\theta;\delta_{2})$となり, かつ, ある
して,2 次で, 推定量を記号$\delta_{1}\gg_{k}\delta_{2}$$\delta_{1}\approx_{k}\delta_{2}$で不等号が成り立つならば, 推定量$\theta$

は, 損失係数$\delta_{1}$

$k$

に対

をドミネイトするという. そのとき, そのドミネーション$\delta_{2}$で表す. また, お互いにドミネーションが起こらないとき, それをで表す.

このとき, 損失係数は任意の正値をとることから, ユニバーサルな最適性につぃての次の定義を得る.
定義 2

すべての $k(0<k<\infty)$ に対して,$\delta_{1}>>_{k}\delta_{2}$が成立するならぼ, 推定量$\delta_{1}$トするという. それを, 記号

2 次で, ユニバーサルに, 推定量

は,$\delta_{1}>>\delta_{2}$$\delta_{2}$

をドミネイ

で表す.

を比較しよう.
2 つの推定量
き, 損失係数の変化に応じて, 比較結果は次の 6 つに分類される.
ユニバーサルな最適性問題のもとで,$\delta_{1},$(i) すべての $k\in R^{+}=(0, \infty)$ に対して,(ii) ある集合$K\subset R^{+}$(iii) ある集合

$K_{1}\subset R^{+}$て,$k\in K_{1}$で$\delta_{1}$において,$\delta_{2}$$k$$K\subset R^{+}$,$k\in K_{2}$において,(vi) すべての $k\in R^{+}$ に対して,
いま,

2 つの推定量$k\in K$ で

このと

り立つ.

$\delta_{1}\gg_{k}\delta_{2}\mathrm{h}_{\backslash _{\mathrm{c}}}^{\mathrm{J}},k\in K^{c}$で$\delta_{1}\approx_{k}\delta_{2}$となる.

, ある集合 $K_{2}\subset R^{+}$ と, 集合 $K_{3}=R^{+}-K_{1}-K_{2}$ におい(iv) すべての $k\in R^{+}$ に対して,(v) ある集合$\delta_{1}>>_{k}\delta_{2}\theta^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}},ffl^{\backslash }$$\delta_{2}$$\delta_{1},$で$\delta_{2}\gg_{k}\delta_{1},$$\delta_{1}\approx_{k}\delta_{2}$$\delta_{1}$$k$で$\delta_{2}>>_{k}\delta_{1},$$k\in K^{c}$で$\delta_{1}\approx_{k}\delta_{2}$となる.

が成り立つ.

そのとき, 次のような判断を下すのが適切であろう.

(2) (v) または (vi) ならぼ,となる.

のどちらかを選択するという問題に直面したとしょう..

$\delta_{2}$(1)(i) または (ii) ならぼ,$\delta_{1}\approx_{k}\delta_{2}$となる.

$k\in K$ で$\delta_{2}$$k\in K_{3}$$\delta_{1}$$\delta_{2}$

を選ぶ.
を選ぶ.

(3) (iv) ならば, どちらを選んでも差しつかえないだろう.

127 127(4) (iii) ならば, できればどちらも選びたくない.

2 つの推定量のユニバーサルな比較につこれらの結果をもとに,$|_{\sqrt}\mathrm{a}$で, 次のような定義を与えることができるだろう.
定義 3(1) (i) または (ii) が起こったとき, 推定量$\delta_{1}$は, 推定量おいてユニバーサルに優れている, または, 推定量$\delta_{2}$$\delta_{2}$に対して, 漸近 2 次 (こは, 推定量$\delta_{1}$に対して, 漸力\sigma
近 2 次においてユニバーサルに非許容的であるという. 同様に, (v) または (vi)

起こったとき, 推定量に優れている,$\delta_{2}$は, 推定量または, 推定量$\delta_{1}$$\delta_{1}$に対して, 漸近 2 次におは, 推定量$\delta_{2}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$てユニ$J\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}-$

に対して, 漸近 2 次にお$\mathrm{A}\mathrm{a}$

サノレ

てユニ

バーサルに非許容的であるという.
(2) (i) または (ii) または (iv) が起こったとき, 推定量$\delta_{1}$は, 推$\hat{j\mathrm{E}}$量$\delta_{2}$に対して,漸近 2 次においてユニバーサルに許容的であるという. 同様に, (iv) または (v) まに対して, 漸近 2 次にお てユは, 推定量たは (vi) が起こったとき, 推定量$\mathrm{A}\backslash$$\delta_{1}$$\delta_{2}$ニバーサルに許容的であるという.
し力 し,一般の決定理論において, 非許容性の否定は, 許容性である.

注意$\mathrm{a}$ユニ

バーサル基準に対するここでの定義は, そうではない. このような非標準的な定義を採用した理由は, ユニバーサル基準において特徴的な状況である (iii) を, 許容的

あるいは非許容的に分類することが不適切であるように思えたからである.

4.

$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}|\rfloor$

いくつかの例を考えることにしよう. ここでは, よく知られた 3 つの’ くイ, MLE の漸近不偏な推定量
アス修正推定量, つまり, MLE そのもの
ここで,$\hat{\theta}_{E\prime}\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{E}$$\hat{\theta}_{ML}$の漸近中央値不偏な推定量 (m、の良さを調べてみる. 比較する推$\acute{\overline{\mathrm{E}}}$量 (よ, 族$\mathcal{T}_{\alpha,\beta}$$\beta\in R\}$$\mathcal{T}_{\alpha,\beta}=\{\tilde{\theta}_{ML}=\hat{\theta}_{ML}+\frac{1}{n}(\alpha\frac{\mu_{110}}{I^{2}}+\beta\frac{\mu_{300}}{I^{2}})|_{\theta=\hat{\theta}_{ML}}|\alpha,$に属しているとしよう.
しよう. 実際,$(0,1/6)$

ここで, 上の 3 つの推定量は, この族に属して$\hat{\theta}_{ML},\hat{\theta}_{E},\hat{\theta}_{(m)}$に対応している.

は, それぞれ,$|_{\sqrt}\backslash$

ること (こ注意$(\alpha, \beta)=(0,0),$ $(\alpha, \beta)=(1/2,0),$ $(\alpha,\beta)=$

128
2$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}|\rfloor 1$

2$\cross 2$$’\lambda\backslash \overline{\pi}\mathrm{j}\mathrm{E}\Re\yen\overline{\tau}\grave{\grave{[]}}\triangleright N(\eta_{\theta}, I_{2})\not\in\not\equiv\grave{z}_{-}o$.

$\mathrm{Z}c\prime \mathrm{c}^{\backslash }\backslash$,$\eta_{\theta}^{t}=(\theta, \theta^{2}/2)\tau^{\backslash }\backslash$,$I_{2}\mathfrak{l}\mathrm{f}$,の単位行列である. このモデルにおいて’$I_{\theta}=1+\theta^{2}$が成り立つ. また, 族$\mathcal{T}_{\alpha,\beta}$$\mu_{300}=0$$\mu_{110}=\theta$は,$|\alpha\in R\}$$\mathcal{T}_{\alpha,0}=\{\tilde{\theta}_{\alpha}=\hat{\theta}_{ML}+\frac{1}{n}$ –$\alpha\mu_{110}I^{2}|_{\theta=\hat{\theta}_{M}}$

ゎ

となる.

まず, このモデルでは,
ま,を任意の推定量$\hat{\theta}_{ML}$$\hat{\theta}_{ML}$とは同じ推定量になることを注意しょう.
と比較する. そのとき,$\hat{\theta}_{(m)}$$\tilde{\theta}_{\alpha}\in \mathcal{T}_{\alpha,0}$い$\Delta_{\ell}^{(2)}(\theta;\tilde{\theta}_{\alpha},\hat{\theta}_{ML})=\frac{(\alpha^{2}-4\alpha-k\alpha)\theta^{2}+2\alpha}{I^{3}}$を得る. いま, $I>0$ だから, 定義域 $\theta\in(-\infty, \infty)$ 上での$\Delta(\theta)=(\alpha^{2}-4\alpha-k\alpha)\theta^{2}+$の符号を評価すれぼ十分である.

$2\alpha$

まず, $\alpha>4$ の場合を考えよう. このとき, $k\leq\alpha-4$ となるような任意のて,$\Delta(\text{の}$はすべての$\theta$で正となる. このことは,$k\leq\alpha-4$

に対して,

$k$

に対して,

$\hat{\theta}_{ML}\approx_{k}\tilde{\theta}_{\alpha}$

較はケース (ii) の状況になっている. っまり,は,が$(-\infty, 2\alpha]$となる. 結果として,この比に対して, MLE

は,$\hat{\theta}_{ML}$$\tilde{\theta}_{\alpha}$

2 次でユニバーサルに優れてぃるといえる.

に対して,

次に,

$\alpha>4$に対し$\hat{\theta}_{ML}>>_{k}\tilde{\theta}_{\alpha}$

成立することを意味している. 一方, $k>\alpha-4$ に対して, \Delta (のの値域は,となり, ゆえに, この範囲の$k$$0<\alpha\leq 4$$(-\infty, 2\alpha]$の場合を考える. このとき, すべてのとなり,したがって,

最後に, $\alpha<0$ の場合は, すべてのしたがって,$k$に対して,\Delta (のの値域

2 っの推定量の関係は, (iv) の形になる.
$k$

に対して,

$\Delta(\theta)$の値域は,$[2\alpha, \infty)$となり,2 つの推定量の関係は, (iv) の形になる.

重要な一つの結果に注目しておかねばならない. それは,に属するすべての推定量に対して, MLE は, 2 次ユニバーサル許容性をもっということでここで,$\mathcal{T}_{\alpha,0}$

ある.

まったく同様の方法にしたがって,ができる.

$\hat{\theta}_{E}$を任意の推定量 \mbox{\boldmath$\thea$}\tilde。

$\in \mathcal{T}_{\alpha,0}$と比較すること

リスク差の評価式は,$\Delta,(\theta;\tilde{\theta}_{\alpha},\hat{\theta}_{E})=\{(\alpha-\frac{1}{2})^{2}-(3+k)(\alpha-\frac{1}{2})\}\frac{\theta^{2}}{I^{3}}+\frac{2(\alpha-\frac{1}{2})}{I^{3}}$129 129となり,したがって,

に対して, MLE の不偏修正は, 関係 (ii) をもち,に対しては, 関係 (iv) をもつ. ゆえに, MLE の不偏修正は,$\alpha\leq 7/2(\alpha\neq 1/2)$$\mathcal{T}_{\alpha,0}$$\alpha>7/2$に属するすべての推定量に対して,

2 次ユニバーサル許容性をもつということ

もわかる.

例 2

平均ベクトル$\mu$, 分散共分散行列$\mu=(\begin{array}{l}00\end{array})$,$\Sigma$をもつ 2 次元正規分布を考える. ここで,$\Sigma=(\begin{array}{ll}1 \theta\theta 1\end{array})$

このとき,

とする.

$I_{\theta}= \frac{1+\theta^{2}}{(1-\theta^{2})^{2}}$となり,したがって, 族$\mathcal{T}_{\alpha,\beta}$,$\mu_{110}=0$,$\mu_{300}=-\frac{2\theta(\theta^{2}+3)}{(1-\theta^{2})^{3}}$は,$\mathcal{T}_{0,\beta}=\{\tilde{\theta}_{\beta}=\hat{\theta}_{ML}+\frac{1}{n}\frac{\beta\mu_{300}}{I^{2}}|_{\theta=\hat{\theta}_{ML}}$$|\beta\in R\}$となる.
このモデルでは,

を任意の推定量$\hat{\theta}_{ML}$$\tilde{\theta}_{\beta}\in \mathcal{T}_{0,\beta}$と$\hat{\theta}_{E}$は同じ推\’E 量になることを注意しよう. いま, \mbox{\boldmath $\theta$}^Mエと比較する. そのとき, リスク差の評価式は,$\Delta_{\ell}^{(2)}(\theta;\tilde{\theta}_{\beta},\hat{\theta}_{ML})=(\beta^{2}-\beta+\frac{\beta k}{3})\frac{\mu_{300}^{2}}{I^{3}}+2\beta(\frac{\mu_{300}}{I^{2}})’$となる.

ここで, 関係式 $I’=2\mu_{110}-\mu_{300}$ と $\mu_{110}=0$ を使うと,$,arrow\backslash$.

$\backslash \hat{\circ})$$( \frac{\mu_{300}}{I^{2}})’=\frac{\mu_{300}’}{I^{2}}+\frac{2\mu_{300}^{2}}{I^{3}}$となって,したがって,
ユ$\text{を}$得 4. ゝ

$\ell(2)$$( \theta;\tilde{\theta}_{\beta},\hat{\theta}_{ML})=(\beta^{2}+3\beta+\frac{\beta k}{3})\frac{\mu_{300}^{2}}{I^{3}}+2\beta\frac{\mu_{300}’}{I^{2}}$$\text{ら}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{arrow\prime}^{arrow}$$\mu_{300}’=\frac{-6\theta^{4}-36\theta^{2}-6}{(1-\theta^{2})^{4}}$だから, 結局,$\Delta_{\ell}^{(2)}(\theta;\tilde{\theta}_{\beta},\hat{\theta}_{\Lambda IL})=\frac{4\theta^{2}(\theta^{2}+3)^{2}}{(1+\theta^{2})^{3}}(\beta^{2}+\frac{\beta k}{3})-12\beta\frac{(1-\theta^{2})^{2}}{(1+\theta^{2})^{2}}$

(1)

130
が成立する.

まず,て,$\tilde{\theta}_{\beta}$$\beta>0$は,$\text{す}$の場合を考えよう.

べての $k$ (こおいて,$\theta=0$$\lim_{\theta^{2}arrow 1}\frac{4\theta^{2}(\theta^{2}+3)^{2}}{(1+\theta^{2})^{3}}=8$に注目しよう. これより, (1) の値がよりよいことを示している.

$\tilde{\theta}_{\beta}$(1) の値は,で,\mbox{\boldmath $\theta$}^M。よ$k$,$\text{り}$$-12\beta$よい.

$\prime R\backslash$

となる.

したがっ

(こ ,

(2)

$\lim_{\theta^{2}arrow 1}\frac{(1-\theta^{2})^{2}}{(1+\theta^{2})^{2}}=0$に関係なく正となるような,が存在することがわかる. このことは,$\tilde{\theta}$

で,$\theta=0$

この$\tilde{\theta}$

で,$\hat{\theta}_{ML}$

したがって, すべての$k$

は, すべてので,に近いある$\pm 1$$k$$\hat{\theta}_{ML}\approx_{k}\tilde{\theta}_{\beta}$

において,

が成立し,

2 つの推定量の比較は, 関係 (iv) となることがわかる.
次に, $\beta<0$ の場合を考えよう. $\theta=0$ での (1) の値より,
いて,$\tilde{\theta}_{\beta}$

よりよくなる. したがって,と$\hat{\theta}_{ML}$$\tilde{\theta}_{\beta}$$\hat{\theta}_{ML}$は, すべての$k$におの関係については, (i),(ii),(iv) のい

ずれか (こなることがわかる. ここで, $k=-\beta$ ととると, (5) は, すべての $\theta\in(-1,1)$

2 つの関係が, (i),(ii),(iii) のいずれがであることを示している. さらに, $k=-4\beta$ ととると, (2) より, (1) は
に十分近い
派蕕箸
ることがわかる. 以上の結果より, (i) は起こらないことになり, 2 っの推定量の関で正となる.

このことは,$\pm 1$係は (ii) となることがわかった.
最後に, 中央値不偏な修正を考える. そのとき,リスク差の評価量は,$\Delta_{\ell}^{(2)}(\theta;\tilde{\theta}_{\beta},\hat{\theta}_{(m)})=$(3)$\frac{4\theta^{2}(\theta^{2}+3)^{2}}{(1+\theta^{2})^{3}}\{(\beta-\frac{1}{6})^{2}+\frac{1}{3}(\beta-\frac{1}{6})(k+1)\}-12(\beta-\frac{1}{6})\frac{(1-\theta^{2})^{2}}{(1+\theta^{2})^{2}}$となる.
$\beta>1/6$のとき,で正となる.

$\theta=0$

で,(3) は負となり, また, すべてのしたがって, 上と同様にして, すべての

$k$

で,

$k$

で,

$\pm 1$$\hat{\theta}_{(m)}\approx_{k}\tilde{\theta}_{\beta}$に近い$\tilde{\theta}$

となること

がわかる.
$-1/6\leq\beta<1/6$ に対しては,$\pm 1$に近い$\tilde{\theta}$

で負となる.

$\theta=0$で,$\cdot$(3) は正となり, また, すべてのしたがって, この場合も, すべての

$k$

で,

$k$

$\hat{\theta}_{(m)}\approx_{k}\tilde{\theta}_{\beta}$

で,となることがわかる.
$\beta<-1/6$ の場合,$\theta=0$

で, (3) は正となる. いま, $k=-\beta/2-1/12$ ととると,すべての $\theta\in(-1,1)$ で, (3) は,$\pm 1$に近い$\tilde{\theta}$

で正となる. さらに, $k=-4\beta-1/2$

131 131に対して,$\pm 1$に近い$\tilde{\theta}$

で負となる.

したがって, 上と同様に考えて,2 つの推定量の関係は, (ii) となる.

に属するすべての推定は, いずれも,3 つの推定量 M ,量に対して, 2 次ユニバーサル許容性をもつことがわかる.
以上より,$\hat{\theta}_{E},\hat{\theta}_{(m)}$$\mathcal{T}_{0,\beta}$$L$

5. まとめと考察
この研究では,た.

2 つの推定量を, ユニバーサルな漸近 2 次最適性のもとで比較しさらにいくつかの例題をあげて, よく知られた推定量が, 競争する推$rightarrow \mathrm{E}$量に対してユニバーサルな許容性をもつかどうかを検証した. さらなる興味としては, そうした推定量が,である.

一般的な推定量族に対してユニバーサルに許容的であるかどうか

この問題に関しても, 肯定的な結果が得られている. つまり, 例 1 と例 2において,3 つの推定量はいずれも, 推定量族$\mathcal{T}_{\alpha,\beta}$に対して, 漸近 2 次ユニノ$\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}-$

サル許容的であることが示される. さらに, 漸近 2 次ユニバーサル許容的となるような推定量の族を構或することが出来ることも注意しよう. (Takagi(2002)).

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