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Autour de la clôture résoluble——————————————
La clôture abélienne (resp. clôture résoluble) d’un corps k e le corps k ab (resp. k sol )obtenu en prenant le compositum de toutes extensions abéliennes (resp. résolubles) finies
de k. Puisque le produit fibré de deux groupes abéliens (resp. résolubles) e encore abélien
(resp. résoluble), on voit que le groupe Gal(k ab /k) (resp. Gal(k sol /k)) e un groupe abélien
(resp. pro-résoluble). Les extensions galoisiennes finies de k incluses dans k ab (resp. k sol )sont donc toutes abéliennes (resp. résolubles).
On considère un corps k de cara éri ique 0 et l’on définit la suite de corps (k ab[n] )n dela manière suivante : k ab[] = k et pour tout n ≥ 0, k ab[n+] = (k ab[n] )ab . On a alors :Proposition .— a) Pour tout n ≥ 0, k ab[n] /k e galoisienne.
[b) k sol =k ab[n] .
nPreuve : a) Pour n = 1 c’e évident. Remarquons au passage que Qab ⊂ k ab et donc que pourn ≥ 1, k ab[n] contient toutes les racines de l’unité.
Supposons que pour n ≥ 1, k ab[n] /k soit galoisienne. Puisque Qab ⊂ k ab[n] , la théoriede√pm
λ, pourKummer assure que le corps k ab[n+] s’obtient en adjoignant à k ab[n] les élémentsab[n+]
tout premier p, tout entier m et tout élément λ ∈ k ab[n] . Ainsi,/k e√ pour prouver que kpm
galoisienne, il suffit de montrer que les k-conjugués de
λ sont des éléments de k ab[n+] .
ab[n]Par hypothèse, √les k-conjugués de λ sont dans k . Si on les note λ1 , · · · , λh alors les kp
pmconjugués deλ sont de la forme ξpi m pm λj et ces derniers éléments sont bien dans k ab[n+] ,ce qui prouve l’assertion.
b) Soit M/k une extension résoluble et k = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M une tour d’extension
telle que Mi+1 /Mi soit abélienne pour i = 0, · · · , n − 1. L’extension k ab[i] Mi+1 /k ab[i] Mi e alorsab[i]abélienne à son tour, de sorte que, par récurrence
S ab[n]immédiate, on a Mi ⊂ k pour tout i.
ab[n]sol
On en déduit que M ⊂ k et donc que k ⊂ n k .
Réciproquement, on a k ⊂ k sol . Si pour n ≥ 0 on suppose que k ab[n] ⊂ k sol , alors au rangn + 1, on considère un élément α ∈ k ab[n+] et l’on note M la clôture galoisienne de k(α) sur k.
Comme k ab[n+] /k e galoisienne, on a donc M ⊂ k ab[n+] et il exi e β ∈ k ab[n+] tel que M = k(β).
L’extension k ab[n] (β)/k ab[n] e alors abélienne, disons de groupe G.
Si P désigne le polynôme minimal de β sur k ab[n] , on considère M0 la clôture galoisienne
du corps engendré sur k par les coefficients de P . Puisque k ab[n] /k e galoisienne, on aM0 ⊂ k ab[n] et l’on a par ailleurs M0 ⊂ k(β). L’extension M0 (β)/M0 e abélienne de groupe Get l’extension M0 /k e résoluble. Comme M0 (β) = k(β) et que k(β)/k e galoisienne, on en
déduit finalement que k(β)/k e résoluble, ce qui prouve que α ∈ k sol .
Corollaire .— ) Pour tous corps k0 , k1 de cara éri ique nulle, on a k0 ⊂ k1 =⇒ k0sol ⊂ k1sol .
) Pour tout corps k de cara éri ique nulle, on a k sol = k sol sol , en particulier si L e un corps telque k ⊂ Lsol alors k sol ⊂ Lsol .

Preuve : ) Si L/k0 e une extension abélienne, alors Lk1 /k1 e aussi abélienne, si bien quek ab ⊂ Lab . En appliquant par récurrence cette propriété, on en déduit que k1ab[n] ⊂ k2ab[n] pourtout n ≥ 0 et donc que k sol ⊂ Lsol par application de la proposition .b).
) Par application du ), on a k sol ⊂ k sol sol . Pour montrer l’inclusion réciproque, en vertu dela proposition .b), il suffit de montrer que k sol ab = k sol . Soit alors L = k sol (α) une extension
finie abélienne. Si M désigne le corps engendré sur k par les coefficients du polynômeminimal de α sur k sol alors d’après la proposition .b) il exi e un entier n tel que M ⊂ k ab[n] .
L’extension M(α)/M e abélienne, il en donc de même de l’extension k ab[n] (α)/k ab[n] et ainsi
α ∈ k ab[n+] ⊂ k sol .
Corollaire .— Soit L un corps de cara éri ique nulle. Les propriétés suivantesi) L e résolublement clos (i.e. L = Lsol ),ii) L ne possède aucune extension résoluble non triviale,iii) L ne possède aucune extension abélienne non triviale,iv) L ne possède aucune extension cyclique non triviale,v) Qab ⊂ L et, pour tout n ≥ 1, Ln = Lsont équivalentes.
Preuve : L’équivalence i) ⇔ ii) ⇔ iii) ⇔ iv) e
découle de la théorie de Kummer.

quasi-immédiate. L’équivalence iv) ⇔ v)

Proposition .— Soit K un corps de cara éri ique nulle tel que Qab ⊂ K et L/K une extension
finie. Si L e résolublement close, alors K l’e aussi.
Preuve : Supposons que K ne soit pas séparablement clos. Il exi e alors une p-extensioncyclique de K pour un certain nombre premier p et donc un élément a ∈ K tel que lenpolynôme X p − a soit irrédu ible. La théorie de Kummer montre que le polynôme X p − ae aussi irrédu ible et ce dernier engendre une extension cyclique Kn de degré pn surK. Choisissons un entier n tel que pn > [L.K], l’extension L.Kn /L e alors non trivial etcyclique, ce qui assure que L n’e pas résolublement clos.
Corollaire .— Si L désigne un corps de cara éri ique nulle résolublement clos, alors aucune
extension finie M/L telle que AutL M , 0 n’e résolublement close (en particulier, aucune extension galoisienne, finie et ri e de L n’e résolublement close).
Preuve : Si σ ∈ AutL M désigne un élément d’ordre n ≥ 2 alors l’extension M/M <σ > ecyclique d’ordre n et donc M <σ > n’e pas résolublement clos. La proposition précédente
assure alors que M ne l’e pas non plus.
—————————————————————————————Dans les premières éditions de "cohomologie galoisienne" de J.P. Serre, l’auteur se posait la que ion de savoir si la nullité du groupe de Brauer d’un corps entrainait la nullité
du groupe de Brauer de toutes ses extensions algébriques. Dans les dernières versions, ilprésente une réponse négative à cette que ion sous forme d’exercice attribué à M. Auslander (voir II.§.. de la dernière édition). Nous détaillons ici cet exercice.
Considérons un corps k0 de cara éri ique 0 et contenant toutes les racines de l’unité.
Etudions l’arithmétique du corps de séries de Laurent k0 ((t)). Puisque k0 e de cara éristique nulle, le théorème de Puiseux assure que le corps de séries de Puiseux Puis(k0 ) e
algébriquement clos. La description de k0 ((t)) dans Puis(k0 ) s’obtient alors de la manière
suivante : si l’on pose[k]
L((t))
0 ((t)) =L/k[finiePuis(k0 ) =k0 ((t 1/n ))n≥1alors on a Puis(k0 ) = k]
0 ((t)).Puis(k0 ) (ceci se fait en remarquant qu’une série de Puiseuxà coefficients dans k0 e algébrique sur k0 ((t)) si et seulement si le corps engendré sur
k0 par ses coefficients e de dimension finie sur k0 ). Puisque ces deux extensions sontlinéairement disjointes, on en déduit le parallélogramme galoisien suivant :k0 ((t))bZ

Gk0k]
0 ((t))

Puis(k0 )Gk0bZ

k0 ((t))b La présence de ce(où Gk0 = Gal(k0 /k0 )) et, par suite, que Gal(k0 ((t))/k0 ((t))) = Gk0 × Z.
produit cartésien montre que si Gk0 n’e pas trivial alors la dimension cohomologique deGal(k0 ((t))/k0 ((t))) e certainement plus grande que 2, ce qui assure en particulier qu’il
exi e des extension algébrique de k0 ((t)) à groupe de Brauer non nul.
On a la suite exa e1/ H2 (Puis(k0 )/k0 ((t)))/ Br(k0 ((t)))/ Br(Puis(k0 ))Le groupe de Galois absolu de Puis(k0 ) e isomorphe à Gk0 , de sorte que si l’on supposeque Gk0 e de dimension cohomologique cd(Gk0 ) ≤ 1, alors on a Br(Puis(k0 )) = 0 et parsuite
H2 (Puis(k0 )/k0 ((t))) ' Br(k0 ((t)))
Par ailleurs, on ab Puis(k0 )∗ ) = lim H2 (k0 ((t 1/n )), k0 ((t))) = lim H2 (Z/nZ, k0 ((t 1/n ))∗ )H2 (Puis(k0 )/k0 ((t))) = H2 (Z,−−→−−→nn
Les groupes étant cyclique, on a, pour tout n ≥ 1,H2 (Z/nZ, k0 ((t 1/n ))∗ ) ' k0 ((t))∗ /N (k0 ((t 1/n ))∗ )où N désigne la norme de l’extension k0 ((t 1/n ))/k0 ((t)) et l’isomorphisme canonique considéré vérifie que, si n|m, alors le diagramme suivant/ k0 ((t))∗ /N (k0 ((t 1/m ))∗ )O

H2 (Z/mZ, k0 ((t 1/m ))∗ )O∧mn/ k0 ((t))∗ /N (k0 ((t 1/n ))∗ )H2 (Z/nZ, k0 ((t 1/n ))∗ )e commutatif. On a en fait k0 ((t))∗ /N (k0 ((t 1/n ))∗ ) ' k0∗ /k0n∗ . Pour voir cet isomorphisme
considérons l’épimorphisme π : k0 ((t 1/n ))∗ −→ k0∗ qui à une série de Puiseux, associe lecoefficient de son terme de plus bas degré (i.e. pour une série S , 0, l’évaluation en t = 0de la [série t −v(S) S(t)). L’image par π de N (k0 ((t 1/n ))∗ e le groupe k0n∗ et le noyau de π eΩ=t h (1 + tk0 [[t]]). Puisque l’on peut extraire une racine n-ième (pour le produit auh∈Zsens de Cauchy) de tout élément de 1+tk0 [[t]] dans 1+tk0 [[t]], on en déduit que Ω e aussi
le noyau de N (k0 ((t 1/n ))∗ −→ k0n∗ , si bien que l’on a le diagramme commutatif suivant
11




/ kn∗
0/1


/ k∗/1

N (k0 ((t 1/n ))∗:1/Ω$ πk0 ((t))∗

0'k0 ((t))∗
N (k0 ((t 1/n ))∗ )
/ kn∗0∗k0


1


1

qui assure l’exi ence de l’isomorphisme annoncé. On voit alors que, pour tout n ≥ 1, on
peut choisir un isomorphisme ϕn : H2 (Z/nZ, k0 ((t 1/n ))∗ ) −→ k0∗ /k0n∗ de sorte que si n|m alors
le diagramme suivant
H2 (Z/mZ, k0 ((t 1/m ))∗ )Oϕm/ k ∗ /k m∗
0 O 0
∧mn

ϕn

H2 (Z/nZ, k0 ((t 1/n ))∗ )e/ k ∗ /k n∗
00

commutatif. Si l’on suppose cd(Gk0 ) ≤ 1 on a alors :Br(k0 ((t))) ' lim k0∗ /k0n∗−−→n

Puisque Qab ⊂ k0 , les applications k ∗ /k m∗0∧mn0/ k ∗ /k m∗ sont inje ives. En vertu des résul00tats établis précédemment sur les clôtures résolubles, on en déduit que, si cd(Gk0 ) ≤ 1,alors
Br(k0 ((t))) = 0 ⇐⇒ k0 e résolublement closFinalement, on obtient le résultat suivant :Proposition .— Si k0 désigne un corps de cara éri ique 0 résolublement clos et non algébriquement clos, tel que Gk0 soit de dimension cohomologique ≤ 1, alors Br(k0 ((t))) = 0 et
il exi e des extensions algébriques de k0 ((t)) à groupes de Brauer non nul (par exemple tous lescorps L((t)) où L/k0 désigne une extension galoisienne finie non triviale).
Un exemple de tel corps e obtenu en considérant k0 = Qsol . En effet, le dimension
cohomologique de Qab e ≤ 1 et comme Qab ⊂ Qsol , il en e de même pour Qsol . Par ailleurs,Qsol , Q puisque l’on sait réaliser sur Q les groupes alternés.

