2012 年 3 月 21 日

2011 年度 P3 理論
格子 QCD による qq̄ ポテンシャルの計算
筒井翔一朗、土居孝寛、藤林翔

概要•QCD:連続的な時空
格子 QCD:離散的な格子状の時空• フルの QCD では計算が困難な量を、格子 QCD でなら計算可能。
• 今回は格子 QCD を用いて、クォーク・反クォーク間のポテンシャル(qq̄ ポテンシャル) を計算した。

0.1

QCD の特徴

QCD:強い相互作用を記述する。
SU(3) ゲージ理論
QCD のラグランジアン

1µνµ
LQCD = − tr(GµνG ) + ψ(iγ Dµ − m)ψ
2iGµν = [Dµ , Dν ] = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ]ga aaaAµ ≡ Aµ t (t ∈ su(3)C , Aµ (x) ∈ R)
Dµ = ∂µ + igAµ0.1

QCD の特徴

非可換性⇒漸近的自由

出典:Michel E.Peskin,Daniel V.Schroeder：An Introduction to Quantum Field Theory,TheAdvanced Book Program (1995)

0.1

QCD の特徴

低エネルギーでは αs ≃ 0.4 ← 大きい
摂動論が使えない1(c.f. in QED αEM ≃ 137)
非摂動論的性質は一般に理解が難しい
格子ゲージ理論の必要性

QCD の経路積分形式

0.2
作用 S

∫
S [A, ψ, ψ̄] =d xL(A, ψ, ψ̄)4

物理量 O の期待値

∫1
⟨O⟩ =DADψDψ̄O exp(iS [A, ψ, ψ̄])Z∫
1Z=DADψDψ̄ exp(iS [A, ψ, ψ̄])Z

0.2

QCD の経路積分形式

ミンコフスキー空間 → ユークリッド空間

x = (t, x, y, z) → xE = (τ, x, y, z) (τ = it)dt = −idτ
L = −LE (LE = H)
∫exp(iS ) = exp(−S E ) (S E = d4 xE LE (A, ψ, ψ̄))
以後虚時間形式で議論を行う。
LE を L、S E を S と書く。

0.2

QCD の経路積分形式

作用 S (ユークリッド)∫
S [A, ψ, ψ̄] =d xL(A, ψ, ψ̄)4

物理量 O の期待値 (ユークリッド)∫1⟨O⟩ =DADψDψ̄O exp(−S [A, ψ, ψ̄])Z∫
1
Z=DADψDψ̄ exp(−S [A, ψ, ψ̄])Z

1

ゲージ理論の格子化

QCD を、４次元の格子点上で定義する。
(格子間隔 a)
ポイント１：連続極限で連続理論と一致する。
ポイント２：局所ゲージ不変な理論にする。

1ゲージ理論の格子化

・ψ(x) → ψ(n) (n = (n1 , n2 , n3 , n4 ))・局所ゲージ変換:ψ(n) → V(n)ψ(n)(V(n) ∈ S U(3))↑ 自明

微分項 ∂µ ψ は工夫が必要

1

ゲージ理論の格子化連続理論では、L が局所ゲージ不変にするために、微分を共変微分に置き換える。その際、ゲージ場 Aµ (x) が定義される。
格子理論でも同様に共変微分を定義するが、その際、ゲージ場の代わりにリンク変数 Ul が定義される。Ul は各サイトを結ぶリンクで定義される
SU(3) の元。

1ゲージ理論の格子化

閉じたループ C に沿ってリンク変数をとって、そのトレースをとったものはゲージ不変量である。
Ｃを一番小さい正方形にとったものをプラケットと呼ぶ。
全てのプラケットの和を考えると、それは連続理
1 aa論のラグランジアンの − 4 Fµν Fµνに対応する。

1

ゲージ理論の格子化格子理論の作用（クエンチ近似）は1 ∑ ∑S gauge = g2 n µ,ν TrU

また、物理量 O の期待値

∫ ∏
1

−S gauge ({U})
⟨O⟩ =dUl  O({U})e

Zlink

∫ ∏
 −S ({U})

Z=dUl  e gaugelink2ウィルソンループ[ I]µ µ
W(R × T ) = exp ie dx A (x)連続理論で、C(µ = 1, 2, 3, 4 x = τ)4の経路Ｃを時間方向に Ｔ、空間方向に Ｒ の長さを持った長方形の経路に取ったものをウィルソンループという。
(形が簡単なのでこれは QED のウィルソンループ)

2ウィルソンループ

2ウィルソンループ

ウィルソンループ W(R × T ) は T が十分大きい時、qq̄ ポテンシャルと関係がある。

lim W(R × T ) ≃ e

T →∞V(R) : qq̄ ポテンシャル−T V(R)

2ウィルソンループ

格子理論でのウィルソンループは、W(R × T ) ≡ ⟨Tr∏
CUl ⟩∫ ∏  ∏  S ({U})
1
=dUl  Tr
Ul  e
ZClink1 ∑TrUS ({U}) = 2g 

3モンテカルロ法∫ ∏  ∏  S ({U})
1dUl  Tr
W(R × T ) =Ul  e
ZClinkをまともに数値積分することは到底無理。
4
例：16 個のサイトを持つ格子を考える。
⇒ 164 × 4 × 8 ∼200 万重積分の数値計算！！

3モンテカルロ法∫ ∏1
S ({U})
⟨O⟩ =dUl  O({U})eZ
linkP({U}) ∼ eS ({U}) の確率分布を持つ変数の組{U}k (k = 1, 2, · · · , N) を選び出し、⟨O⟩ ≃N∑1

N k=1O({U}k )3モンテカルロ法

P({U}) ∼ eS ({U}) の確率分布を持つ変数の組の作り方

3

モンテカルロ法

P({U}) ∼ eS ({U}) の確率分布を持つ変数の組の作り方
現世代のリンク変数の組：{U}n次世代の変数の組：{U}n+1{U}n → {U}n+1 の更新 (update) を繰り返す。

3

モンテカルロ法

P({U}) ∼ eS ({U}) の確率分布を持つ変数の組の作り方
現世代のリンク変数の組：{U}n次世代の変数の組：{U}n+1{U}n → {U}n+1 の更新 (update) を繰り返す。
更新の方法

{ ′}
P( U n+1 ) =′∫dUW({U}n ,{′}
U n+1 )P({U}n )W({U}n , {U }n+1 ) の選び方はいくつかある。

3

モンテカルロ法

今回の方法は熱浴法 (heatbath)。
∗１. あるリンク変数 U 以外を固定
U ∗ 以外と様々な U ∗ を用いて eS を計算し、∗′その重みで U を決める
2. 上の 1. を全リンク変数で行い、これで１回更新

4

smearing とは• qq̄ の基底状態と励起状態を分離するためのテクニック・・・・• 直感的には、リンク変数を太らせる方法である• この操作を繰り返して、リンク変数を帰納的に定義する

4

smearing とは䠙㻗㻗Vi (s) ≡ αUi (s) [∑†+ i, j U j (s)Ui (s + ĵ)U j (s + î)††+U j− ĵ (s)Ui (s − ĵ)U j (s + î − ĵ)]5励起状態のポテンシャル

T = 0 のリンクが k 回、T = t のリンクが l 回スメ
アされたウィルソンループを W(T, R)lk とする。
W(T, R)lk ≈ ⟨qq̄l |e−ĤT|qq̄k ⟩5励起状態のポテンシャル㼀㻌㻩㻌䡐㼘ᅇ䝇䝯䜰

㼀㻌㻩㻌㻜
㼀㻩㻜

㼗ᅇ䝇䝯䜰
㻾

5励起状態のポテンシャル

k 回のスメアリングによって構成された qq̄ 系の状態を |qq̄k ⟩ とする。これをハミルトニアンの固有状態 |n⟩ で展開する。

5励起状態のポテンシャル
W(T, R)lk ==∞∑∗−Vn (R)Tcm,l cn,k ⟨m|e|n⟩n,m=0∞∑∗−Vn (R)Tcn,l cn,k e(1)n=0

対角化して固有値を求める。
† −Vn (R)T

M=C e

IN×N C(2)励起状態のポテンシャル

5−1W (T, R)W(T + 1,(R))= C −1 diag e−V0 (R) , e−V1 (R) , . . . , e−VN (R) C−1

det W (T, R)W(T + 1, R) − tIN×N∏ ( −Vk (R) )= k e−t =0⇒各 R についてポテンシャルが求まる

6

数値計算

以上を踏まえて、実際に数値計算してみた。
・計算に使用したコンピュータ
スーパーコンピュータ SX-8R (NEC)

出典:http://www.nec.co.jp/press/ja/0610/1701.html

6数値計算・リンク変数の配位 (configration) の計算のパラメータ
格子サイズ：164

Nthermal = 5000, Nsweep = 500, Nconf = 100

6数値計算様々な β で configration を計算する。
これは様々な格子間隔 a で configration を計算することに相当する。
目安

β = 5.7 ↔ a = 0.19fm
β = 5.8 ↔ a = 0.14fm
β = 6.0 ↔ a = 0.10fm

6数値計算・ウィルソンループの計算のパラメータ

Nsmear = 30, Nmeasure = 10 (Nstate = 4)

7

計算結果

β = 6.0 の場合の計算結果

7.1

基底状態

ウィルソンループの期待値 (Nsmr = 0)χ222 ///ndf
ndf
ndf
0.13340.27690.272 // 3
1.446
3.799
3.057
3.213
4.782
p0
p0
0.866
0.002317
0.60590.37830.22720.068150.038430.1406±±±0.008645
0.004634
0.006747
0.012420.012840.01972
0.5561± 1.69p1
p10.4112±±±0.0005444
0.7786
0.59880.702
0.85360.87550.9456±±0.008664
0.004049
0.001661±0.04473
0.02052
0.12191.758
0.7543

Wilson loop Nsmr=0
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0123

p0 e−p1 t

456

78

7.1

基底状態

基底状態のポテンシャル (Nsmr = 0)
χ2 / ndf
2.078 / 5
p00.2606 ± 0.01027
p10.05765 ± 0.004112
p20.6141 ± 0.01421

Potential Nsmr=0

2.5

2

1.5

1

0.5
12345

6−p0 /r + p1 r + p2

78

7.1

基底状態

ウィルソンループの期待値 (Nsmr = 20)
χ22 // ndf
ndf
0.01438
0.065610.43090.8132
0.52651.141
6.366
1.01 / 3
p00.9892
0.002665
0.9786
0.96930.96670.9656
0.89150.96570.9673±±±±0.006595
0.016390.02067
0.029170.03303
0.048450.01112p1
0.4115±±0.0005415
0.59480.69460.83530.89530.93440.77081.011±0.001422
0.002432
0.004587
0.006644
0.008235
0.011430.00361

Wilson loop Nsmr=20
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
01

23

p0 e−p1 t

45678

7.1

基底状態

基底状態のポテンシャル (Nsmr = 20)
χ2 / ndf
7.777 / 5
p00.2651 ± 0.004497
p1
0.05229 ± 0.001186
p20.6242 ± 0.00548

Potential Nsmr=20

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.50.4123456−p0 /r + p1 r + p2

787.2格子間隔

線型ポテンシャルの定数（先ほどの p1 ）から、実験値 σ = 0.89GeV/fm と比較して

a ∼ 0.1 fmである。また、エネルギーの単位は 1.8 GeV である。

7.2

基底状態

基底状態のポテンシャル (Nsmr = 20)
キャリブレーション後の値
potential [GeV]CalibratedPotential Nsmr=20

1.8

1.6

1.4

1.2

10.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8
0.9
distance [fm]

7.2

基底状態

●クーロン型ポテンシャル (A/r) と線型ポテン
シャル (σr) の和として綺麗に見えている。
●スメアリングを施した方が基底状態のエネル
ギーをよく抜き出していた。（ポテンシャルが綺麗に見えた）

7.3

励起状態

β = 6.7(a ∼ 0.05fm)、
Nstate = 4（始状態、終状態が各 4 つ）で計算した。
4 × 4 行列を対角化することになる。

7.3

励起状態

励起状態 (基底〜第三励起) のポテンシャル
Quark antiquark potential : 100 Confs
43.5
3
2.52
1.5
10.5
00123

45

67

89

7.3

励起状態

励起状態のポテンシャル（キャリブレーション後）
potential [GeV]

Quark antiquark calibrated potential : 100 Confs
10864

2

000.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.40.45
distance [fm]

7.3

励起状態

第三励起状態は、更に上の励起状態からの寄与が効いて、予想される振る舞いをしなかった。
以下、第一、第二励起状態のみ扱う。

7.4

弦の振動とのアナロジー

波長 λ の弦の振動のエネルギー E ∝ 1/λ
r の長さの弦固定端では基準振動 λ = 2r → E = C/2r
二倍振動 λ = r → E = C/r
1/r の係数が、二倍振動では基準振動の二倍

7.4

弦の振動とのアナロジー

potential [GeV]

Quark antiquark calibrated potential V(r)-V0(r) : 100 Confs
87654321000.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4
0.45
distance [fm]励起状態-基底状態：Vi (r) − V0 (r)弦の振動とのアナロジー
Quark antiquark calibrated potential V(r)-V0(r) : 100 Confs
potential [GeV]

7.4

87654
32
1000.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4
0.45
distance [fm]a/r + b でフィッティングした図

7.4

弦の振動とのアナロジー

フィッティングの結果
第一励起：
V1 (r)−V0 (r) = (0.081 ± 0.002)/r+(1.700 ± 0.008)
第二励起：
V2 (r) − V0 (r) = (0.141 ± 0.003)/r + (3.03 ± 0.02)
1/r の係数が 0.08,0.14 → だいたい二倍？になっている。

7.4

弦の振動とのアナロジー

フィッティングの結果
第一励起：
V1 (r)−V0 (r) = (0.081 ± 0.002)/r+(1.700 ± 0.008)
第二励起：V2 (r) − V0 (r) = (0.141 ± 0.003)/r + (3.03 ± 0.02)
1/r の係数が 0.08,0.14 → だいたい二倍？になっている。
弦の振動のアナロジーが成り立っている！

7.5

まとめ

7.6

まとめ

●ウィルソンループの期待値から基底状態のポテンシャルを計算した。その際に、スメアリングという手法を用いることでより綺麗なポテンシャルを得ることが出来た。

7.6

まとめ

●ウィルソンループの期待値から基底状態のポテンシャルを計算した。その際に、スメアリングという手法を用いることでより綺麗なポテンシャルを得ることが出来た。
●励起状態のポテンシャルを求めた。励起状態については、弦の振動のアナロジーを確かめることが出来た。