Sur le groupe unitaire relatif à une involutiond’un corps algébriquement clos
Bruno DESCHAMPS
Université du Maine
Abstract.— In this article, we try to see if the topological isomorphism that exists
between the group R/Z and the unitary group U = {z ∈ C/ |z| = 1} can be generalized
to some other situations.
We show that this isomorphism exists algebraically in all situations : for a given
algebraically closed field C and a given involution c of C, the groups U(C, c) = {z ∈C/ zc(z) = 1} and C <c> /Z are isomorphic. We then give an example of an involution
c0 of C which is not conjugated, in the group Aut(C), to the complex conjugacy andsuch that U(C, c0 ) is isomorphic as a topological group to C<c0 > /Z.
Résumé.— Dans cet article, nous tentons de généraliser à d’autres situations l’isomorphismede groupes topologiques qui existe entre le groupe R/Z et le groupe unitaire U = {z ∈C/ |z| = 1}.
Nous montrons que cet isomorphisme existe algébriquement en toute généralité: pour tout corps algébriquement clos C et toute involution c de C les groupes
U(C, c) = {z ∈ C/ zc(z) = 1} et C <c> /Z sont isomorphes. Nous donnons ensuite
un exemple d’involution c0 de C qui n’est pas conjuguée, dans le groupe Aut(C), à laconjugaison complexe et telle que U(C, c0 ) soit topologiquement isomorphe à C<c0 > /Z.

1.— Introduction.
L’application x 7−→ eix définit un épimorphisme continu du groupe additif
des réels R sur le groupe unitaire U = {z ∈ C/ |z| = 1}. Par passage au quotient,on en déduit l’existence d’un isomorphisme de groupes topologiques entre U et
R/Z. Dans cet article on s’intéresse à comprendre si ce résultat perdure dans
un cadre plus général.
Pour ce faire, on regarde le corps des nombres réels R comme corps desinvariants du corps des nombres complexes C sous l’action de la conjugaison
complexe c. Le groupe U représente alors le groupe des éléments de norme 1 del’extension C/R. Etant donné une extension finie L/K, déterminer la naturealgébrique du groupe des éléments de L de norme 1 est une question très délicate
en toute généralité. Notre généralisation portera sur le cas où le corps L estalgébriquement clos. A ce sujet, faisons un bref rappel sur les corps réel clos.
Un corps réel clos est un corps ordonné qui ne possède pas d’extensionalgébrique ordonnée stricte. La théorie d’Artin-Schreier√ assure alors qu’un corps
R est réel clos si et seulement si R 6= R et R = R( −1). Réciproquement, un
0 2000 Mathematics Subject Classification 12E30, 12F10, 12J15

1

corps R tel que 1 < [R : R] < +∞ est un corps réel clos et on a donc forcémentcar(R) = 0 et [R : R] = 2. Une conséquence de ces résultats est qu’un automorphisme d’un corps algébriquement clos qui est d’ordre fini est nécéssairement
une involution. (Pour toutes les propriétés arithmétiques relatives aux corps
réels clos, nous renvoyons le lecteur à [D1] et [R].)On se fixe donc un corps algébriquement clos C (de caractéristique 0), uneinvolution c de ce corps et l’on pose R(C, c) = C <c> le sous-corps réel clos deC associé à c. On considère alors le groupe unitaire de C relativement à c
U(C, c) = {z ∈ C/ zc(z) = 1}
qui est donc le groupe des éléments de norme 1 de l’extension C/R où R =R(C, c). La question est de comprendre le lien éventuel qui existe entre le groupe
multiplicatif (U(C, c), .) et le groupe additif (R, +). On peut se demander, dansle cas général, si l’on dispose d’un isomorphisme de groupes abstraits
U(C, c) alg' R/Z
La présence du facteur Z est bien sûr inspirée par le cas particulier R = R, mais il
convient de remarquer qu’en toute généralité, il ne peut exister d’isomorphisme
entre R et U(C, c). En effet, si l’on considère une racine n-ième de l’unité, ξ ∈ C,
alors on a
1 = 1.c(1) = ξ n c(ξ n ) = (ξc(ξ))n0

et donc ξ = ξc(ξ) est aussi une racine n-ième de l’unité dans R. C’est unélément positif de R, car en tant que norme elle est la somme de deux carrés
0
0
0n
0n
d’éléments de R. Si ξ < 1 (ou ξ > 1) alors 1 = ξ < 1 (ou 1 = ξ > 1),0
ce qui est absurde, donc ξ = 1 et ξ ∈ U(C, c). On en déduit que U(C, c)
est un groupe qui contient l’ensemble µ∞ des racines de l’unité (qui forme unsous-groupe isomorphe à Q/Z) et donc possède de la torsion au contraire dugroupe additif R. Ainsi, se poser la question de l’existence d’un isomorphismeU(C, c) alg' R/Z revient, de ce point de vue, à se poser la question de l’existenced’un épimorphisme R −→ U(C, c) à noyau minimal (i.e. de rang 1).
La question de la nature de ce noyau n’a pas d’influence sur la structurealgébrique du quotient R/Z. En effet, R étant un corps, si A =< α > et
B =< β > désignent deux sous-groupes monogènes non triviaux de R, alorsβl’automorphisme de groupe additif de R, x 7−→ αx, induit un isomorphisme
entre A et B qui assure, par passage au quotient, que les groupes R/A et R/Bsont isomorphes.
La connaissance du groupe abstrait U(C, c) permet de déduire celle de (C ∗ , .)puisque l’on a l’isomorphismeC ∗ ' U(C, c) × R+∗
où R+∗ désigne le groupe multiplicatif des éléments strictement positifs du corps

2

R. En effet, pour tout z ∈ C ∗ , on a zc(z) ∈ R+∗ et alors l’application!
pz, zc(z)z 7−→ pzc(z)fournit un isomorphisme entre C ∗ et U(C, c) × R+∗ .
A corps algébriquement clos fixé C, il existe une correspondance biunivoqueentre les classes de conjugaison d’involutions de C dans le groupe Aut(C) et0
les classes d’isomorphisme de sous-corps réels clos de C. Si c, c désignent deux
involutions de C et σ ∈ Aut(C), on a00c = σ ◦ c ◦ σ −1 ⇐⇒ σ(R(C, c)) = R(C, c )Ainsi, l’existence d’un isomorphisme U(C, c) alg' R(C, c)/Z est une question
qui ne dépend pas du représentant de la classe de conjugaison de c dans Aut(C).
Dans ce texte, nous montrons qu’en toute généralité, il existe un isomorphisme U(C, c) alg' R(C, c)/Z pour tout corps algébriquement clos C de caractéristique 0 et toute involution c. Ce résultat est l’objet du théorème A
auquel le paragraphe 2 de ce texte est consacré.
Les éléments positifs d’un corps réel clos R étant les carrés, il s’ensuit qu’untel corps possède un unique ordre compatible ≤. Cet ordre permet de définir
une topologie sur R en prenant comme base d’ouverts les intervalles ouverts]x, y[= {z ∈ R/ x < z < y}
Si C désigne la cloture algébrique de R et c l’involution de Gal(C/R), on peutalors définir sur C une pseudo-distanced : C × C −→ R+de la manière suivante : les normes d’éléments de C étant des éléments positifs
de R, ils possèdent chacun une unique racine carrée positive. Si λ, µ ∈ C, onpose alorspd(λ, µ) = (λ − µ)c(λ − µ)Cette pseudo-distance vérifie les axiomes définissant une distance à la différenceprès qu’il s’agit là d’une application qui n’est pas à valeurs réelles. Si λ ∈ C
et ε ∈ R+∗ , on définit la pseudo-boule de centre λ et de rayon ε comme étantl’ensemble
B(λ, ε) = {µ ∈ C/ d(λ, µ) < ε}La topologie que l’on considère sur C est la topologie engendrée par lespseudo-boules. Exactement comme dans le cas de R et C munis des distancesusuelles, on voit que C muni de la topologie des pseudo-boules est un espacehoméomorphe à l’espace topologique produit R×R où R est muni de la topologie
de l’ordre.
3

S’il existe des isomorphismes algébriques U(C, c) alg' R/Z on peut se demander si, parmi eux, il en existe un qui soit aussi topologique (une fois que l’on
munit les groupes U(C, c) et R des topologies précédemment décrites). Si c’est
le cas on notera alors
U(C, c) top' R/Z
On remarquera que l’existence d’un tel isomorphisme de groupes topologiques
est plus forte que la simple existence d’un épimorphisme continu R −→ U(C, c)de noyau Z. Dans le cas où C = C et c est la conjugaison complexe, la continuité
de x 7−→ eix induit bien par passage au quotient un isomorphisme U top' R/Z,
mais ceci vient du fait que R/Z et U sont des groupes compacts et cette dernièrepropriété n’est pas vraie dans le cas général.
Dans le paragraphe 3, on donne un exemple d’involution, c0 de C, qui n’est
pas conjuguée à la conjugaison complexe et telle que U(C, c0 ) top' R(C, c0 )/Z(théorème B). Pour ce faire, on établit un résultat assez général sur les corps deséries de Puiseux (théorème 9), qui assure queU(C, c) alg' R/Z =⇒ U(Puis(C), c̃) top' Puis(R)/Z
Nous adressons nos remerciements à Nour Ghazi et Ivan Suarez Atias pourles commentaires et remarques qu’ils nous ont fait lors de la lecture de la version
préliminaire de ce texte.
2.— Le cas algébrique.
Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant :Théorème A.— Si K désigne un corps algébriquement clos de caractéristique
0 et c ∈ Aut(K) est une involution alors
U(K, c) 'R(K, c)/Zalg
Preuve : La preuve de ce théorème va reposer sur le fait que les groupes quel’on étudie sont abéliens et divisibles. A ce sujet rappelons le très puissantthéorème de classification de ces groupes (voir [F], [HR]) :Théorème.— Si G désigne un groupe abélien et divisible alors
M
MM
G'
Q⊕
Cp∞
α

p

m(p)

où α et m(p) sont des cardinaux (p parcourant l’ensemble des nombres premiers)
et où Cp∞ = −→lim Z/pn Z désigne le p-groupe de Prüfer. En particulier
G = G/Tors(G) ⊕ Tors(G)4

et G/Tors(G) est un Q-espace vectoriel (Tors(G) désignant ici le sous-groupe detorsion de G).
Fixons maintenant un corps K algébriquement clos de caractéristique 0 et
une involution c de K.
Lemme 1.— a) Tors(R(K, c)/Z) = Q/Z ' µ∞ = Tors(U(K, c)).
b) Les groupes U(K, c) et R(K, c)/Z sont abéliens et divisibles.
c) ]U(K, c) = ]R(K, c) = ]K.
Preuve : a) Est immédiat, compte-tenu du fait que nous avons montré dansl’introduction que µ∞ ⊂ U(K, c).
b) Le groupe R(K, c)/Z est visiblement divisible, puisque R(K,√ c) l’est. Prenons
un élément z ∈ U(K, c), un entier n ≥ 2 et considérons n z une racine n-èmede z dans K. On a√ n√nzc( n z) = zc(z) = 1√ √√ √et donc n zc( n z) ∈ µn . Mais comme n zc( n z) est un
positif de√ élément√
R(K, c) on √en déduit, comme dans l’introduction, que n zc( n z) = 1, c’està-dire que n z ∈ U(K, c). Ceci prouve finalement que U(K, c) est un groupe
divisible.
√c) On note i = −1 ∈ K. On rappelle que K = R(K, c) ⊕ iR(K, c). Soitz = a + ib ∈ K (avec a, b ∈ R(K, c)), alors z ∈ U(K, c) si et seulement si
a2 + b2 = 1. Les éléments positifs de R(K, c) étant les carrés, il existe donc une
bijection entre U(K, c) et {±1} × [−1, 1] donnée parp(ε, a) ∈ {±1} × [−1, 1] 7−→ a + εi 1 − a2
Maintenant, l’application x 7→ 1/x induit une bijection de [−1, 1]/{0} sur] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ et on en déduit que les ensembles infinis U(K, c), R(K, c)et [−1, 1] ont même cardinal. L’équipotence entre R(K, c) et K découle elle dufait que [K : R(K, c)] = 2.
——–
Les groupes U(K, c) et R(K, c)/Z ont donc même groupe de torsion. Pourmontrer qu’ils sont isomorphes il suffit donc, en vertu du théorème de classification des groupes abéliens divisibles rappelé plus haut, de vérifier que leursquotients par leurs torsions respectives sont isomorphes. Puisque ces quotients,
U(K, c)/µ∞ et R(K, c)/Q, sont des Q-espaces vectoriels, il suffit de vérifier qu’ils
ont même dimension. Le c) du lemme 1 assure par un argument immédiat decardinalité que ces quotients ont le même cardinal, égal à ]K. La suite de lapreuve va distinguer deux cas, suivant que ]K est dénombrable ou non.
Cas où ]K > ℵ0 : On rappelle que si E est un Q-espace vectoriel de dimension infinie, alors on a ]E = dim E. Les Q-espaces vectoriels U(K, c)/µ∞ etR(K, c)/Q étant indénombrables, ils sont de dimension infinie, et ayant le mêmecardinal, ils sont donc isomorphes.
5Cas où ]K = ℵ0 : Dans cette situation U(K, c)/µ∞ et R(K, c)/Q sontdénombrables et donc de dimensions finies ou dénombrables. La dimensionde R(K, c)/Q en tant que
vectoriel est certainement infinie, puisque√√ Q-espace√par exemple la famille { 2, 3, · · · , p, · · · } ⊂ R(K, c) constitue une famille√
libre infinie (un argument pour montrer que p ∈ R(K, c) est donné dans lelemme 5 à venir). Pour conclure, il suffit donc de montrer que U(K, c)/µ∞ , entant que Q-espace vectoriel, n’est pas de dimension finie.
Raisonnons par l’absurde et supposons que U(K, c)/µ∞ soit de dimension
finie n ≥ 1 sur Q. Soit z1 , · · · , zn+1 des éléments de U(K, c) et z1 , · · · , zn+1 leursimages dans U(K, c)/µ∞ . Par hypothèse, la famille {z1 , · · · , zn+1 } comptant
n+1 éléments, est Q-liée et il existe donc une équation de dépendance Z-linéaire
pour cette famille, ce qui implique qu’il existe des entiers relatif a1 , · · · , an+1
an+1
non tous nul tels que z1a1 . · · · .zn+1∈ µ∞ . En élevant à une puissance entièreadéquate, on en déduit donc que : pour tous z1 , · · · , zn+1 ∈ U(K, c), il existe
des entiers relatifs s1 , · · · , sn+1 non tous nuls tels que
sn+1
z1s1 . · · · .zn+1=1

Pour déduire de ce résultat une absurdité, nous allons préalablement établir
quelques propriétés arithmétiques relatives aux extensions quadratiques de Q.
Lemme 2.— Soit m ≥ 1 et d1 , · · · , dm+1 ∈ Z des entiers tels qu’il existe
m + 1 nombres premiers p1 , · · · pm+1 vérifiant que pour tout i = 1, · · · , m + 1,
vpi (di ) ∈/ 2Z et pour j 6= i, vpi (dj ) ∈ 2Z. p√√
Les extensions Q( d1 , · · · , dm ) et Q( dm+1 ) sont linéairement disjointesp√sur Q et en particulier l’extension galoisienne Q( d1 , · · · , dm+1 )/Q est degroupe de Galois (Z/2)m+1 .
Preuve : Commençons par remarquerqu’avec les hypothèses, di n’est pas un√carré et donc que l’extension Q( di ) est bien quadratique. Nous montrerons lelemme par récurrence sur l’entier m.
√√• Pour m = 1, il faut montrer que d2 √∈/ Q( d1 ). Raisonnons
par l’absurde et√supposons qu’il existe a, b ∈ Q tels que d2 = a + b d1 . On a alors, en élevant
au carré,p
2ab d1 = d2 − a − d1 b2 ∈ Q√
et donc ab = 0. L’hypothèseb = 0 est exclue, car sinon on aurait d2 ∈ Q. On
qa donc a = 0 et ainsi dd12 ∈ Q, c’est-à-dire que dd12 est un carré dans Q, ce qui
est impossible puisque vp1 ( dd12 ) est impair.
√√
Les corps Q( d1 ) et Q( d2 ) sont donc des extensions linéairement disjointes
de Q de groupe de Galois
Z/2Z. On en déduit que le groupe de Galois√respectif√
du compositum, Gal(Q( d1 , d2 )/Q), vaut (Z/2Z)2 .
• Supposons la propriété vraie pour un entier m−1 ≥ 1, et√d1 , · · · , d√m+1 ∈ Z desentiers vérifiant les hypothèses du lemme. L’extension Q( d1 , · · · , dm )/Q est
de groupe (Z/2)m . Si H désigne un sous-groupe de (Z/2)m d’indice 2, en tant6que F2 -espace vectoriel il s’agit d’un hyperplan et donc du noyau d’une formelinéaire. Comme nous travaillons sur F2 , les questions de proportionalité ne seposent pas et il y a donc une bijection entre les hyperplans et les polynômes
linéaires a1 X1 + · · · + am Xm non triviaux. On en déduit qu’il existe exactement
2m − 1 sous-groupes d’indices 2 dans (Z/2)m .
La théorie de Galois assure alors qu’il existe exactement 2m − 1 sousextensions quadratiques. Ces extensions sont exactement les extensions Q(ω)/Qoù ω désigne le produit des entiers d’une partie non vide de {d1 , · · · , dm } (onvérifie sans peine, comme dans le cas m = 1, que ces extensions sont distinctes
deux à deux).
p√√
Dire que Q( d1 , · · · , dm ) et Q( dm+1 ) sont linéairement disjointes surp√√
Q équivaut à dire que Q( dm+1 ) n’est pas un sous-corps de Q( d1 , · · · , dm ).
Si tel était le cas, ce serait une extension quadratique et donc, d’après ce
qui précède, il existeraitpω le produit des entiers d’une partie non vide de{d1 , · · · , dm } tel que Q( dm+1 ) = Q(ω). Le même argument que dans le cas
m = 1 conduit alors à une absurdité.
——–Considérons maintenant, pour un entier k ≥ 2 donné, l’élément√
1 + i k2 − 1αk =kSon polynôme minimal sur Q est X 2 − k2 X + 1. On a
Lemme 3.— Pour tout k ≥ 3 et tout entier relatif h tel que |h| ≥ 1, on ap
Q(αkh ) = Q(αk ) = Q( 1 − k 2 )Preuve : On peut visiblement se limiter, dans cette preuve, au cas h ≥ 1. On
a αkh = ah + bh αk avec ah , bh ∈ Q et il s’ensuit que
Q(αkh ) 6= Q(αk ) ⇐⇒⇐⇒bh = 0 ⇐⇒ αkh ∈ Q ⇐⇒ αkh = ±1 (car |αk | = 1)
αk2h = 1 ⇐⇒ X 2 − k2 X + 1 divise (X 2h − 1)

Ainsi, le polynôme irréductible X 2 − 2/kX + 1 ∈ Q[X]
Q est un facteur premier dupolynôme X 2h −1 dont la décomposition, X 2h −1 = i|2h Φi (X), ne possède quedes facteurs unitaires à coefficients dans Z. Comme, pour k ≥ 3, X 2 − k2 X + 1 ∈/Z[X], on en déduit bien que Q(αkh ) = Q(αk ).
——–Lemme 4.— Il existe des entiers k1 , · · · , kn+1 ≥ 3 et n + 1 nombres premiers
p1 , · · · pn+1 tels que pour tout i = 1, · · · , n + 1, vpi (1 − ki2 ) ∈/ 2Z et pour j 6= i,
vpi (1 − kj2 ) ∈ 2Z.

7

Preuve : On pose k1 = 3 et pour tout i = 1, · · · , n, ki+1 = (ki2 − 1)!. On notedi = 1 − ki2 et l’on remarque que si i < j alors les entiers di et dj sont premiers
2
entre eux. En effet, si p divise di , alors p ≤ |di | = ki2 − 1 ≤ kj−1
− 1 (car la suite(ki )i est visiblement croissante) et donc p divise kj et ne peut donc diviser dj .
Le dernier point à voir pour conclure est que |di | n’est certainement pas uncarré. Ceci est assuré par le fait que s’il existait u ∈ Z tel que ki2 − u2 = 1 on
aurait (ki − u)(ki + u) = 1 et donc ki = 0, 1.
——–
Lemme 5.— Pour tout k ≥ 2, on a αk ∈ U(K, c).
Preuve : Pour tout k ≥ 2, k 2 − 1 est un élément positif de Q, donc de R(K, c),mais√ comme dans R(K, c) les éléments positifs sont les carrés, on en déduit quek 2 − 1 ∈ R(K, c). Un calcul immédiat montre alors que αk c(αk ) = 1.
——–
On considère donc l’équationsn+1
z1s1 . · · · .zn+1=1où l’on a pris zj = αkj pour j = 1, · · · , n + 1, où les kj sont les entiers trouvésdans le lemme 4.
−sn+1
Un des si est non nul, disons sn+1 . On a donc αkn+1= αks11 . · · · .αksnn et−sn+1
donc, d’après le lemme 3, on a Q(αkn+1 ) = Q(αkn+1) ⊂ Q(αk1 , · · · , αkn ) ce qui

constitue une absurdité aux vues des lemmes 2 et 4.
——–
3.— Un cas topologique où l’involution n’est pas conjuguée à la conjugaison complexe.
L’objet de cette partie est de montrer le théorème suivantThéorème B.— Il existe une involution c0 de C qui n’est pas conjuguée, dansAut(C), à la conjugaison complexe et telle que U(C, c0 ) top' R(C, c0 )/Z.
Pour ce faire, nous allons commencer par étudier quelques propriétés arithmétiques et topologiques des corps de séries de Puiseux.
Etant donné un corps K quelconque, on note K((X)) le corps des séries deLaurent et l’on considère la valuation usuelle sur ce corps que l’on notera v. On
note K[[X]] l’anneau des séries entières (qui est l’anneau de la valuation v),
Iv (K) = XK[[X]]l’idéal de la valuation v, et
1 + Iv (K) = {S ∈ K[[X]]/ S(0) = 1}8

le groupe des unités principales. Pour deux entiers n|m, on définit le morphismek
ϕnm : K((Xn )) −→ K((Xm )) obtenu en posant ϕnm (Xn ) = Xmoù k = m/n.
Le système considéré pour tous les couples d’entiers n|m est inductif et, pardéfinition, le corps des séries de Puiseux à coefficients dans K est le corps
obtenu en prenant la limite inductive de ce système : Puis(K) = −→lim K((Xn )).
n

Il s’agit d’une extension algébrique de K((X1 )) et l’on constate que, via
le plongement considéré, la variable Xn est une racine n-ième de X1 . C’est
pourquoi on notera dans la suite X = X1 et Xn = X 1/n . Le corps Puis(K)peut alors être moralement vu comme la réunion des corps K((X 1/n )).
Pour n ≥ 1, on pose vn (resp. Ivn (K), resp. 1 + Ivn (K)) la valuation(resp. l’idéal de la valuation, le groupe des unités principales) de K((X 1/n ))(vn (X 1/n ) = 1/n). Toutes ces données étant compatibles au système inductif
considéré, on en déduit qu’il existe une valuation v sur Puis(K) obtenu en posantv(S) = vn (S) si S ∈ K((X 1/n )). On constate alors que, si l’on note Puis[K]l’anneau de la valuation, Iv (K) l’idéal de la valuation et 1 + Iv (K) = {S ∈Puis[K]/ S(0) = 1} le groupe des unités principales, alors on a
Puis[K] = −→lim K[[X 1/n ]], Iv (K) = −→lim Ivn (K), 1 + Iv (K) = −→lim 1 + Ivn (K)Lorsque K = C est un corps algébriquement clos de caractéristique 0, lecorps Puis(C) est lui-même algébriquement clos (voir [S]). Si R désigne un souscorps réel clos de C et si c désigne l’involution telle que C <c> = R, on peut
faire agir c sur les coefficients d’une série de Puiseux :


X
X
c
ak X k/n  =c(ak )X k/n
k≥k0

k≥k0

On obtient alors un automorphisme involutif c̃ de Puis(C) dont le corps desinvariants est Puis(R). Ce dernier corps est donc un corps réel clos. L’uniqueordre compatible sur Puis(R) est défini par les carrés et, compte tenu du fait quedans Puis(R) une série est un carré si et seulement si
Pson premier coefficient non
nul est lui-même un carré, on en déduit que si S = k≥k0 ak X k/n avec ak0 6= 0,
on a
S > 0 dans Puis(R) ⇐⇒ ak0 > 0 dans R
Proposition 6.— Soit R un corps réel clos et C sa cloture algébrique.
1/ Les topologies sur Puis(R), définies respectivement par l’ordre ≤ et par lavaluation v, coincident.
2/ Les topologies sur Puis(C), définies respectivement par la pseudo-distance etpar la valuation v, coincident.
Preuve : 1/ La topologie de l’ordre sur Puis(R) est celle engendrée par lesintervalles ouverts]S1 , S2 [= {S ∈ Puis(R)/ S1 < S < S2 }9Comme pour les deux topologies considérées, Puis(R) est un groupe topologique,il suffit de montrer qu’il existe deux systèmes fondamentaux de voisinages de0, (Un )n et (Vn )n , un pour chacune des topologies, tels que pour tout n ≥ 0,
Un+1 ⊂ Vn ⊂ Un . On obtient de tels systèmes en considérant, pour n fixé, lesensembles
Un =] − X n , X n [ et Vn = {S/ v(S) > n}
2/ L’argument est le même en considérant les ensembles
Un =] − X n , X n [×] − X n , X n [ et Vn = {S/ v(S) > n}
Les Un forment bien un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologiedéfinie par la pseudo-distance puisque celle-ci correspond à la topologie produit(voir l’introduction).
——–
Remarques : 1/ La topologie induite par Puis(R) sur R est donc discrète.
2/ Les corps topologiques Puis(R) et Puis(C) sont des corps topologiques totalement discontinus.
3/ Le corps ordonné Puis(R) n’est pas archimédien.
3.1.— Une exponentielle sur le corps des séries de Laurent. On se fixe
un corps K quelconque. Si S ∈ Iv (K) alors la suite (S n /n!)n converge vers 0
pour v. On en déduit, puisque K[[X]] est un anneau ultramétrique complet, queX Snconverge. Ceci permet d’introduire une fonction exponentielle :la sérien!
exp : Iv (K) −→K[[X]]

7−→

S

exp(S) =

X Sn
n≥0

n!

Proposition 7.— L’application exp est un isomorphisme de groupes topologiques entre les groupes (Iv (K), +) et (1 + Iv (K), .).
Preuve : L’application exp est visiblement à valeurs dans 1 + Iv (K). Pour0
S, S ∈ Iv , on a0

exp(S + S ) =X (S + S 0 )n
n≥0

n!

=

n
XX
Ck
n

n≥0 k=0

n!

k

S S

0 n−k

0 n−k
n
XX
Sk S
=
k! (n − k)!

n≥0 k=0

Maintenant, puisque nous sommes dans un espace ultramétrique complet, leproduit de Cauchy de deux séries converge vers le produit des séries et donc

 

0 n−k
n
X Sn
X S0 n
XX
0
Sk S
.
=
exp(S).exp(S ) = n!
n!
k! (n − k)!
n≥0

n≥0

10

n≥0 k=0

ce qui prouve le caractère morphique de exp.
Venons-enX
maintenant au caractère bijectif.
Considérons deux séries quelX
λn T n ∈ 1 + Iv (K). En convenant
an T n ∈ Iv (K) et Ω = 1 +conques S =
n≥1

n≥1

que a0 = 0, on a alorsΩ = exp(S) ⇐⇒ ∀n ≥ 1, λn =

n
X
1
h=1

X

h! i +···+i =n1

ai1 · · · aihhCette dernière condition équivaut à a1 = λ1 et, pour tout n ≥ 2,
an = λn −

n
X
1
h=2

X

h! i +···+i =n1

ai1 · · · aihhet, dans la somme incriminée de cette égalité, le terme an n’apparait jamais(puisque a0 = 0).
On en déduit, par récurrence immédiate, que pour (λn )n donnée il existe
une unique suite (an )n vérifiant cette dernière relation. Ceci assure alors labijectivité de la fonction exp.
Puisque la fonction exp est un isomorphisme et que exp(0) = 1, sa bicontinuité équivaut à sa continuité en 0 et à la continuité de exp−1 en 1. Il
suffit alors de remarquer que pour tout S ∈ Iv (K), v(exp(S) − 1) = v(S) pourconclure.
——–
On va maintenant considérer le cas où K = K = C est un corps algébriquement
clos et on va se donner une involution c de C. On étend c à C((X)), en une
involution c̃, en la faisant agir sur les coefficients des séries. Le corps des invariants, par l’action de c̃, est R((X)) où R = C <c> . On note U = {S ∈C((X))/ S.c̃(S) = 1} et U0 = {S ∈ 1 + Iv (C)/ S.c̃(S) = 1} = (1 + Iv (C)) ∩ U .
Proposition 8.— Les groupes U et U(C, c)×U0 sont isomorphes. L’application
S 7−→ exp(iS) définit un isomorphisme entre les groupes topologiques Iv (R) et
U0 , en conséquence de quoi U est isomorphe à U(K, c) × Iv (R).
P
Preuve : Soit S = n≥n0 an X n ∈ U avec an0 6= 0. On a
X

1 = S.c̃(S) = a0 c(a0 )X 2n0 +n≥2n0 +1

et donc on a n0 = 0 et a0 ∈ U(C, c). L’application
U(C, c) × U0(α, S)

−→
7−→

U
α.S

est alors visiblement un isomorphisme de groupes.
11···

Soit Ω ∈ 1 + Iv (C) et S ∈ Iv (unique) tel que Ω = exp(S). On aΩ.c̃(Ω) = 1 ⇐⇒⇐⇒⇐⇒exp(S).c̃(exp(S)) = 1 ⇐⇒ exp(S).exp(c̃(S)) = 1(puisque c̃ est visiblement un automorphisme
continu du corps des séries de Laurent)
exp(S + c̃(S)) = 1 = exp(0) ⇐⇒ S + c̃(S) = 0
S ∈ iIv (R)On déduit de ce qui précède que l’application S0 7−→ exp(iS0 ) est un isomorphisme de Iv (R) sur U0 .
——–3.2.— Corps des séries de Puiseux. L’objectif de ce paragraphe est demontrer le théorème général suivant :Théorème 9.— Soient C un corps algébriquement clos, c une involution de C
et R = R(C, c). Si U(C, c) 'R(C, c)/Z = R/Z alors
alg
U(Puis(C), c̃) top' R(Puis(C), c̃)/Z = Puis(R)/Z
On garde les notations du théorème et on pose
U0 (Puis(C), c̃) = {S ∈ 1 + Iv (C)/ Sc̃(S) = 1}
Si on considère pour n ≥ 1, U0 (C)n = {S ∈ 1 + Ivn (C)/ S.c̃(S) = 1}, on a alors
U0 (Puis(C), c̃) = −→lim U0 (C)n
Lemme 10.— L’application
E : Iv (R) −→ U0 (Puis(C), c̃)définie, pour S ∈ Ivn (R), par E(S) = exp(iS) est bien définie et constitue unisomorphisme de groupes topologiques.
Preuve : Le fait que E soit un isomorphisme découle du fait que, d’après la
proposition 8, l’application S 7−→ exp(iS) est un isomorphisme de Ivn (R) sur
U0 (C)n pour tout n ≥ 1 et que l’on a Iv (R) = −→lim Ivn (R) et U0 (Puis(C), c̃) =
lim
U
(C)
.
La
bicontinuité
deEdécouledufait
que pour tout S ∈ Iv (R), onn−→ 0
a v(E(S) − 1) = v(S).
——–Lemme 11.— On note Rd (resp. Ud (C, c)) le groupe additif R (resp. multiplicatif U(C, c)) muni de la topologie discrète. On note aussi Puis◦ (R) le sousgroupe additif de Puis(R) constitué des séries de Puiseux dont le coefficientconstant est nul. On a
Ud (C, c) × U0 (Puis(C), c̃) top' U(Puis(C), c̃) et Puis(R) top' Rd × Puis◦ (R)12

Preuve : Considérons l’application
D:

Puis(R)X
ak X k/n
S=

−→
7−→

Rd × Puis◦ (R)(a0 , S ◦ )(où S ◦ = S − a0 )k≥k0

Il s’agit visiblement d’un isomorphisme de groupes. Les groupes considérésétant des groupes topologiques, pour montrer la continuité de D, il suffit dela montrer en 0. Ceci est assuré par le fait que l’ouvert fondamental {0}×] −X n , X n [ a pour image réciproque par D l’ouvert ]−X n , X n [. L’image directe de] − X n , X n [ (qui est un ouvert fondamental) par D étant alors {0}×] − X n , X n [,ceci prouve que D−1 est continue en 0.
On considère maintenant l’application
P : Ud (C, c) × U0 (Puis(C), c̃) −→(a0 , S)
7−→

U(Puis(C), c̃)a0 .S

qui est visiblement un isomorphisme de groupes.
Si l’on note Bv (0, n) = {S ∈ Puis(C)/ v(S) > n}, alors l’ouvert fondamental(1 + Bv (0, n)) ∩ U(Puis(C), c̃)a pour image réciproque par P l’ouvert{1} × ((1 + Bv (0, n)) ∩ U0 (Puis(C), c̃)ce qui prouve la bicontinuité de P .
——–◦Lemme 12.— Les groupes topologiques Iv (R) et Puis (R) sont isomorphes.
Preuve : Soit f : Q∗ −→ Q+∗ une bijection croissante telle que


0
0
1
1
(∗) ∃α, α , ∀n ≥ 1, f
Z ∩ [α, +∞[ = Z ∩ [α , +∞[nnConsidérons l’application
Θ:

◦
Puis
X (R)
ak X k/n

−→
7−→

k≥k0

IX
v (R)
ak X f (k/n)
k≥k0qui est bien définie à cause de l’hypothèse (∗). Il est clair que Θ est un morphisme de groupes additifs, son caractère bijectif s’obtient en exprimant sa
réciproque◦Θ−1 : I−→ Puisv (R)X
X (R) −1
k/n
ak X
7−→
ak X f (k/n)
k≥0

k≥0

13

La continuité de Θ en 0 est assurée par le fait que f est une bijection croissante.
0
En effet, soit r ∈ Q, posons r = f −1 (r) et considérons les boules
0

Br = {S ∈ Iv (R)/ v(S) > r} et Br0 = {S ∈ Puis◦ (R)/ v(S) > r }On a alors Θ(Br0 ) = Br , ce qui prouve bien la continuité de Θ en 0. La
continuité de Θ−1 en 0 découle, de même, du fait que f −1 est une bijection
croissante.
Reste à exhiber une application f ayant les propriétés sus-mentionnées. On
définit f de la manière suivante :−1.
r
Sur [1, +∞[, on pose f (r) = r + 3.
Sur ] − ∞, −1], on pose f (r) =Sur ]0, 1] on définit f comme fonction affine rationnelle par morceaux : on pose
α1 = β1 = 2 et pour tout n ≥ 2,
αn = 2 −

n−1
X
k=1


et sur l’intervalle

n

X 1
1
et βn =
k!
k!
k=0



1
1
,
on pose f (r) = fn (r) = αn r + βn .
n+1 n

La suite (αn )n est une suite décroissante de rationnels strictement positifs,
la suite (βn )n converge vers la base de l’exponentielle réelle e. Par ailleurs, ona pour tout n ≥ 2(αn−1 − αn ) =11= n = n(βn − βn−1 )(n − 1)!
n!

on en déduit que
fn−1

 
 
αn−1
αn
1
1
=
+ βn−1 =+ βn = fnnnnn

Ainsi, sur ]0, 1], la fonction de la variable réelle f est continue, affine rationnelle
par morceaux et strictement croissante. Par ailleurs, on a
 
 
α

1
1
n
lim+ f (r) = lim f= lim fn
= lim
+ βn = lim βn = e
n
n
n
n
n
n
n
r→0
Ainsi f définie une bijection de ]0, 1] ∩ Q sur ]e, 4] ∩ Q.
Sur [−1, 0[, comme précédemment, on définit f comme fonction affine rationnelle
par morceaux qui opère une bijection croissante de [−1, 0[∩Q sur [1, e[∩Q. Le
graphe de la fonction obtenue ressemble à peu près à ce qui suit :

14

5

4

3
e

•

2

1

−2

−1

0

1

2

Il est clair que f opère une bijection croissantede Q∗ sur Q+∗ et que l’on a
1
1
par ailleurs, pour tout n ≥ 1, f n Z ∩ [1, +∞[ = n Z ∩ [4, +∞[.
——–
Preuve du théorème 9 : Grace aux lemmes 10, 11 et 12, on dispose d’unépimorphisme continu de groupes topologiques
EXP : Puis(R) −→ U(Puis(C), c̃)défini par les composées successives
Puis(R) top' Rd × Puis◦ (R) top' Rd × Iv (R) → Ud (C, c) × U0 (Puis(C), c̃) top' U(Puis(C), c̃)◦◦◦a0
7→ εa0 E(Θ(S ◦ ))S
7→
(a0 , S )7→ (a0 , Θ(S )) 7→(ε , E(Θ(S )))Le noyau du morphisme Rd × Iv (R) −→ Ud (C, c) × U0 (Puis(C), c̃) correspond
au noyau du morphisme algébrique Rd 7−→ Ud (C, c) qui est Z par hypothèse.
Puisque Rd est un espace discret, il en est de même de Rd /Z et donc le passage
au quotient définit un isomorphisme de groupes topologiques Rd /Z top' Ud (C, c)qui fournit, par produit, un isomorphisme de groupes topologiques(Rd × Iv (R))/(Z × {0}) top' Ud (C, c) × U0 (Puis(C), c̃)
On en déduit que l’application EXP définit, par passage au quotient, unisomorphisme de groupes topologiques entre Puis(R)/Z et U(Puis(C), c̃).
——–Preuve du théorème B : Les corps C et Puis(C) sont deux corps qui,étant algébriquement clos de caractéristique 0 et possédant un même cardinalindénombrable, sont isomorphes (argument classique utilisant le théorème deSteinitz sur des sous-extensions transcendantes pures maximales de ces corps).

15

On se fixe donc ϕ : Puis(C) −→ C un isomorphisme abstrait et on considèrel’involution de C, c0 = ϕ ◦ c̃ ◦ ϕ−1 .
En appliquant le théorème 9, on a U(Puis(C), c̃) top' Puis(R)/Z. Maintenant
ϕ définit, par restriction, un isomorphisme entre Puis(R) = R(Puis(C), c̃) et
R(C, c0 ), et comme ϕ envoie les carrés sur les carrés, sa restriction représente
donc un isomorphisme de corps tolopologiques. On en déduit que ϕ est un
isomorphisme de corps topologiques entre le corps Puis(C) muni de la topologie
induite par c̃ et le corps C muni de la topologie induite par c0 et, par suite, queU(C, c0 ) top' R(C, c0 )/Z
Le point à vérifier maintenant est que c0 n’est pas conjuguée à la conjugaison
complexe. Si tel était le cas, disons que c0 = σcσ −1 , alors via ϕ, les corps
réels clos R(C, σcσ −1 ) ' R(C, c) = R et R(Puis(C), c̃) = Puis(R) seraientisomorphes. Or Puis(R) n’est pas un corps archimédien (d’après la remarquedu début du §3), au contraire de R. Ainsi, l’involution c0 n’est pas conjuguée à
la conjugaison complexe.
——–

Bibliographie[D1] Bruno Deschamps, Problèmes d’arithmétique et de théorie de Galois, Hermann (1998).
[D2] Bruno Deschamps, Clôture totalement réelle des corps de nombres ordonnables, Manuscripta Mathematica 100, 291-304 (1999).
[D3] Bruno Deschamps, Le corps des séries de Puiseux généralisées, Acta Arithmetica XCVI.4, 351-360, (2001).
[D4] Bruno Deschamps, Des automorphismes continus d’un corps de séries dePuiseux, Acta Arithmetica CXVIII.3, 205-229, (2005).
[F] L. Fuchs, Infinite Abelian Groups, Vol. I, Academic Press, New-York (1970).
[HR] E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis I, Springer, Berlin(1963).
[R] Paulo Ribenboim, L’arithmétique des corps, Hermann (1972).
[S] Jean-Pierre Serre, Corps locaux, Hermann (1997, 4ème édition).
Bruno Deschamps : Département de Mathématiques de l’Université du Maine.
Avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9.
E-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr

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