― 51 ―スライディングモード制御法による回転型倒立振子の安定化
加賀達也＊・木澤悟

Stabilization of Rotational Inverted Pendulumby Sliding Mode Control Method
Tatsuya KAGA ＊ and Satoru KIZAWA（平成20年11月29日受理）
This paper presents the control of an under actuated system called the Rotational Inverted
Pendulum with arm and pendulum. The swing up control is to move the pendulum from its
stable downward position to its unstable inverted position and balance it about the vertical.
Especially, we describe about a stabilization controller for balancing mode by using sliding
mode co ntrol method which has a good robustness property for disturbances. The eﬀectivenessof the proposed control law is shown by simulations and experiments.

1.

緒言

近年，アクチュエータの数が動作関節の数よりも少ないシステムである劣駆動システムの研究1）が挑戦的な課題として多く取り上げられている。これは，劣駆動システムのもつ非線形性によって，一般的な制御理論が適用できないことに起因している。劣駆動システムは，全駆動システムに比べてアクチュエータの数が少なくて済むため，軽量化やコスト削減，省エネルギー化が可能であり，また，故障等によってアクチュエータが動作しない場合に対処できることから，宇宙ロボット等への応用が期待されている。
本研究では，劣駆動システムの一例である回転型倒立振子の振り上げ安定化制御について検討した。
倒立振子の振り上げ安定化制御の研究については数多くの研究報告があるが，特に振り上げから安定化への切り替えは難しく，筆者らの過去の研究4）においても，最適レギュレータに基づく LQG 制御だけ
では制御器の重み関数の選定，モデルの不確かさ，パラメータ変動，実験環境などのシステムの不確定要素に対応できないことが確認された。そこで，本論文では振り上げ制御から安定化制御への切り替えにおいて，優れたロバスト性を有するスライディングモード制御を安定化制御に用いた。そして，スラ＊

秋田高専専攻科学生

秋田高専研究紀要第44号

イディングモード制御法に基づく制御手法2），3）が，外乱に対しても十分にロバスト安定であることを，シミュレーションおよび実験によって検証した。
2.

システムの概要

Fig. 1 に本研究で使用した回転型倒立振子システムを示す。また，Fig. 2 に模式的なシステム構成図を示す。アームの DC ギヤードモータに取り付けられたロータリーエンコーダと振子に取り付けられたロータリーエンコーダの角度信号は，Quanser 社製の Multi Q-PCI（カウンタ）を介してパソコンへと送られる。また，指令信号は制御則に基づいて(ａ)Fig. 1(ｂ)
回転型倒立振子システム

― 52 ―加賀達也・木澤悟

ca ：アームの粘性摩擦係数
cp ：振子の粘性摩擦係数
Jm ：モータの慣性モーメントn： ギヤ比τ：モータトルク
KE：誘起電圧定数
KT ：トルク定数
Ra ：直流抵抗（アマチュア抵抗）g：重力加速度
V ：モータ端子電圧

Fig. 2システム構成図Multi Q-PCI（D/A コンバータ）からモータアンプを介して DC モータへと送られる。
3.

回転型倒立振子のモデル化

3.1 非線形運動方程式の導出
この節では，ラグランジュの運動方程式を用いて，実験装置をモデル化した Fig. 3 の運動方程式を導出する。モータの動特性を考慮し，アームに与えられるトルクτとモータ端子電圧 V との関係を含めた非線形な運動方程式は次式となる。
Jb ＋ mpr2 ＋ mplp2 sin2 a ＋ Jmn2
－ mp rlp cos a＋2－ mprlp cos a θ̈ä
mplp2 ＋ Ipmplp ȧ sin 2a
mprlp ȧ sin a
20－ mplp θ̈ sin a cos a＋

0－ mpglp sin a

記号
ma（1）

アームの物理パラメータ

物理パラメータ
アーム質量

数値0.0559［kg］

r

アーム長さ

0.138［m］

ra

アームの重心までの長さ

0.069［m］

Ia

アーム重心まわりの慣性モーメント9.29×10－5［kg・m2］

ca

アームの粘性摩擦係数

1.29×10－3［kg・m2］

Jb

Ia と取り付け部品を含めた慣性モーメント1.76×10－3［kg・m2］

0Table 2

α ：振子角度
θ：アーム角度
mp ：振子質量ma：アーム質量r ：アーム長さl ：振子長さ
ra ：アームの重心までの長さ
lp ：振子の重心までの長さ
Ia ：アームの重心まわりの慣性モーメントIp ：振子の重心まわりの慣性モーメントJb ：Ia と取り付け部品を含めた慣性モーメント

回転型倒立振子モデル

また，実測，実験によって測定したアームと振子の物理パラメータおよび DC モータのパラメータをTable 1～3 に示す。
Table 1̇θȧ

Ca ＋ KT KE n2 0 ̇θRa＋ȧ
0Cp
KT n＝ Ra V

Fig. 3記号

振子の物理パラメータ

物理パラメータ

数値

mp

振子質量

0.067［kg］

l

振子長さ

0.318［m］

lp

振子の重心までの長さ

0.1585［m］

Ip

振子重心まわりの慣性モーメント7.48×10－4［kg・m2］

cp

振子の粘性摩擦係数

1.158×10－4［kg・m2］

平成21年２月

― 53 ―
スライディングモード制御法による回転型倒立振子の安定化

Table 3

4.

DC モータのパラメータ記号

物理パラメータ

数値

Jm

モータの慣性モーメント2.19×10－6［kg・m2］

n

ギヤ比

29.47

KE

誘起電圧定数

3.06×10－2［V/（rad/s）］

KT

トルク定数

3.038×10－2［Nm/A］

Ra

直流抵抗（アマチュア抵抗）5.7［Ω］

3.2 運動方程式の線形化
緒言で述べたように，振子の動作領域を非線形領域と線形化可能領域の二つに分けて制御を行なった。制御方法としては，非線形領域では ON-OFF制御による振り上げ制御，線形化可能領域ではスライディングモード制御による安定化制御を行った。
本研究の目的は，振子を安定倒立させること，すな.
わち平衡である a＝0［rad］，a＝0［rad/s］に漸近安定させることである。そこで，平衡点近傍の領域内における回転型倒立振子の状態方程式を，式（1）の運動方程式を線形化して，次のように導出する。
ẋp＝Ap  xp＋Bpu
yp＝Cp  xp02×1
Bp ＝ －1
E B

Jb＋mpr2＋Jmn2－mprlp－mprlp
Ip＋mplp2

A1＝ẋp ＝ Ap  xp ＋ Bpu（3）T
Bp ＝［B1（4）

TB2T ］, det B2≠0

また，正準系への座標変換行列によって式（3）を変換する。つまり
x＝T －1

z1＝ T －1 z , z1∈ R3, z2∈ Rz2（5）－B1B2－1
1（6）

I3
01×3

T＝を用いると，~~ż ＝ Az＋Bu（7）となる。ただし

02×2
I2×2
Ap ＝ －1－1
E A2 E A1 ,－ca－4.1 最適な切換超平面の設計
状態量を平衡点に漸近安定化するスライディングモード制御法について述べる。スライディングモード制御は，切換超平面を設計し，この超平面に状態を拘束させる制御入力を求めることである。そのため，超平面は安定であることが必要であり，本研究では，切換超平面に対し最適切換超平面の設計を用いた。平衡点近傍であるシステム，式（2）を次のように変換する。

（2）

ここで，E＝スライディングモード制御の設計

KT KE n2 0Ra0－cp

A2 ＝KT n00
B ＝ Ra0 mp  glp ,0Cp ＝

1 0 0 00 1 0 0 ,

u＝VT
̇ ȧ］
xp ＝
［θ a θ~~A＝TApT －1＝Tz ＝［z1 z2］

また，切換関数は
σ＝Sz＝［s1s2］z（8）とする。
次に，変換されたシステム式（7）に対して，スライディングモード制御になってからの状態の変動を最小にする最適な切換超平面を求めるために，レギュレータ問題に帰着させた。そこで，次の評価関数を導入する。

∫t

J＝ zT Qzdt
ts

Q∈R 4×4

ただし，重み関数 Q は，である。
Q＝

秋田高専研究紀要第44号~~
A11 A1203×1~~, B ＝ TBp ＝A21 A22B2

Q11 Q12＞0,
Q21 Q22Q12T ＝ Q21（9）― 54 ―
加賀達也・木澤であり，ts は状態がスライディングモードを生じ始めたときの時刻である。このとき式（9）は，∫t

J＝ （z1T Q11z1＋2 z1TQ12 z2＋ z2TQ22 z2）dt （10）ts

節では超平面に状態を拘束させる，つまりσ＝0 となるための制御側の設計について述べる。本研究では，σの候補としてリアプノフ関数を利用して制御系を設計する。そこで，となる。ここで，補助変数 v－1v ＝ z2＋Q22 Q12 z1∫t

J＝ （z1T Q*11z1＋ vTQ22 v）dttsとなる。このとき，式（7）より z1に関する方程式は，~~

σu＝ul＋unl ＝－Fz－k,∥σ∥となる。ただし，~~~~

PA*11＋ A*11T P~~
T－PA12 Q22－1A12 P ＋ Q*11＝0v ＝－Q~

（15）

T

A12 Pz1と与えられ，式（11）より~

z2＝－Q22－1（A12T P ＋Q12T ）z1（16）が求められる。よって，切換超平面は式（8）で与えられているので，式（16）の結果を用いて切換関数は
~

T~

T

σ＝
（A12 P ＋ Q12 ）z1＋ Q22 z2…

＝
［S1T…

T

＝
［A12 P ＋ Q12S2］zz1
Q22］
z2~

（17）

P ＋ Q12T…

S＝［AT12（21）

Q22］

~σ σ
V̇＝－kSB∥σ∥T

4.2 スライディングモードコントローラの設計
前節では超平面の設計について述べたので，この（23）となる。ただし k は設計パラメータである。した~がって，SB ＞ 0 のとき k ＞ 0  とすれば，式（23）は.
V ＜ 0 となり，σ→ 0  となる。さらに，式（8），（17），（18）より，t →∞のとき z → 0  となり，式（5）より元 xp の状態量がゼロに収束する。これより，制御則式（21）は状態量の漸近安定が可能である。
4.3 チャタリングの回避
制御則式（21）は，第 2 項が不連続な切換関数となっており，切換面近傍（σ≒ 0）において，チャタリングと呼ばれる高周波振動を生じてしまう。そこで，微小項δ＞ 0 を導入して関数を平滑化する。
新たな制御則を次式とする。
~~
σ－1
u＝－SAz － k（SB）∥σ∥＋δ（18）と設計され，スライディングモードを生じさせると評価関数 J を最小にする制御系を構成することができる。

（22）である。次に，式（21）の制御則によるスライディングモードの存在条件は以下のとおりである。式（20）に式（21）を代入するととなり，これより超平面の傾き S が求まる。つまり
~~－1
F＝SA
（SB）

（14）のリカッチ方程式の正定対称唯一解 P を用いて－1
22k ＞0であり，ただしである。式（12），（13）は最適制御問題の形をしており，最適な切換超平面の傾き S を求めるために，式（12），（13）を解く。評価関数式（12）を最小とする解は~（20）

一般に最終スライディングモード制御入力は，線形状態フィードバック制御項 ul と非線形制御項 unl の二つの独立項から構成される。すなわち制御則は，（13）

A*11＝ A11－A12 Q22－1Q12T~TT
V̇＝σTσ̇ ＝σ SAz＋σ SBz（12）

Q*11＝ Q11－Q12 Q22－1Q12Tż1＝ A*11 z1＋ A12v

（19）とおき，式（19）の時間微分は次式となる。

を導入すれば，式（10）の評価関数は，~1
V ＝ σTσ2（11）

T

悟

5.

（24）

シミュレーション結果

第 4 章で設計した制御則を検証するため，シミュレーションを行なった。制御則の設計パラメータ Q，k，δはそれぞれ
平成21年２月

― 55 ―
スライディングモード制御法による回転型倒立振子の安定化

Q ＝ diag.［100 1 2000
k ＝ 0.001，δ＝ 0.51］とし，最適な切換超平面 S を設計した。その結果，切換超平面 S は
S ＝［－10.0，101.9，－45.04，1.0］と 求 め ら れ た。 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン ソ フ ト に はMATLAB/Simulink を用いて行い，振り上げ制御から安定化制御への切り換えは，振子角度が真上から±15°以内に進入するタイミングで行った。アー.
ム角度θ，振子角度 a，アーム角速度θ，振子角速.
度 a，そして，モータ入力電圧 V の時間応答をそれ
ぞれ Fig. 4（a）～（e）に示す。図中の2sec 付近の線は，スライディングモードへの切り替えを示している。
Fig. 4より，アーム角速度，振子角度および振子角速度は 0 に漸近して拘束されており，振子が漸近安定化されていることが確認できる。しかし，アーム角度のみが 0°に漸近せず，およそ－200°付近で定常状態となっている。モータ入力電圧においても許容入力電圧は±25［V］以内なので，弱冠許容範囲を超えている。
6.

実験結果

シミュレーションの結果と比較検討するために，
前 節 で 設 計 し た 制 御 則 を MATLAB/Simulink でプログラミングし，デジタルマルチコントローラ
Multi Q-PCI を用いて制御則を実装した。制御則のブロック線図を Fig. 5に示す。その結果を Fig. 6に示す。Fig. 6（a）～（e）は，それぞれ，アーム角度θ，.
.
振子角度 a，アーム角速度θ，振子角速度 a，そして，モータ入力電圧 V である。シミュレーション結果との違いとして，図よりアームが一定の速度をもって回転し続けていることがわかる。一方，振子は鉛直方向真上に倒立し，安定化が図られていることがわかる。また，入力電圧を見る限り，スライディングモード制御では，不連続関数を式（24）のように設定して平滑化しているものの，実際には切換制御を行なっているため，振動的な応答を示していることがわかる。また，アーム角度を一定の位置に保持するためには，アーム角度に対してサーボ系を構成して制御則を再設計すれば，一定位置での倒立振子の安定化制御が実現できると考えられる。

Fig. 4シミュレーション結果

秋田高専研究紀要第44号

― 56 ―
加賀達也・木澤Fig. 5

悟

制御則のブロック線図

Fig. 6

実験結果
平成21年２月

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スライディングモード制御法による回転型倒立振子の安定化

7.

結言

本論文では，回転型倒立振子の制御において，制御領域を「振り上げ領域」と「安定化領域」に分け，特に安定化領域においてスライディングモード制御を適用し，設計した制御則の有効性をシミュレーションおよび実機実験により検討した。その結果，先行研究にて行った安定化領域において適用した LQG 制御よりも，スライディングモード制御の方が，振子の安定性が高いことが確かめられた。

秋田高専研究紀要第44号

参考文献
1）Spong, M,“The Swingup Control Problem for
the Acrobot”, IEEE control Systems Magazine, vol.15, No.1, pp. 49-55, Feb. 1995.
2）野波，田，スライディングモード制御―非線形ロバスト制御の設計理論―，コロナ社，1994
3）野波，西村，平田，MATLAB による制御系設計，
東京電機大学出版局，1998
4）奈良，木澤，エネルギー法を利用した回転型倒立振子の振り上げ制御，日本機械学会東北学生会第37回卒業研究発表講演会講演論文集，pp.
189-190，2007