2006 年 8 月 29 日

SS 研 HPC フォーラム 2006 資料

Lattice QCD における Petaflops コンピューティング
筑波大学計算科学研究センター
宇川彰§1.はじめにLattice QCD は湯川秀樹に始まる素粒子の強い相互作用の基礎理論であり、Capabilitycomputing の極限例として、コンピュータ開発を含めて HPC 分野の一つのドライバとなって来た。Lattice QCD の特徴をサイエンスとコンピューティングの両面から概観した後に、Pflops クラスのシステムにより切り拓かれる世界を展望し、さらに米欧など世界各国とのコンペティションとコラボレーションを通じて形成されつつある VO(Virtual Organization)に触れる。
§2. 素粒子標準模型と Lattice QCD
素粒子物理学は、自然を構成する基本要素は何かとの問いを追求する学問である。20 世紀を通じての多大の努力により、現在までに、6 種類のクォークと 6 種類のレプトンを構成要素とし、強い相互作用・電磁相互作用・弱い相互作用の三つの知られた相互作用を記述する体系が「素粒子標準模型」として確立しつつある。QCD（量子色力学）は、この体系の中で、強い相互作用を記述する基礎理論である。
自然界の物質が、「標準模型」に基づいてどのように理解できるかは、宇宙の歴史と密接に結びついている。宇宙は 140 億年前のビッグバンにより誕生したが、その直後は超高温・超高密度の状態にあり、クォークやレプトンはプラズマ状態にあったと考えられている。
このような状態から、どのようにして陽子や中性子などのハドロンが形成され、さらにそれらが反応して様々の元素を生成して行ったかは、我々の宇宙の成り立ちを理解することに直接関係する興味深い問題であり、QCD の研究の最大の課題でもある。
§3. 計算の観点から見た Lattice QCD
QCD は 4 次元時空の各点に定義されたクォーク場とグルオン場を基本変数とする、無限次元の非線形・強結合の力学系であり、解析的方法では解くことは困難である。Lattice QCD
は、時空を 4 次元離散格子で置き換え、格子点にのみ場の変数を定義した理論体系である。
この形式を用いればモンテカルロシミュレーションにより数値的に QCD を解いてその予言を抽出することができる。
QCD の相互作用は近接的であるので、4 次元の物理格子を部分格子に分割し、各部分格子を計算ノードに割り当てる方法で並列化が可能である。通信は隣接ノードにしか発生しない。従って、高度なスケーラビリティを持つ問題の典型例と言える。
Lattice QCD において物理量はファインマンの経路積分により与えられる。この形式で1

は、物理量は“作用”と呼ばれるクォーク場とグルオン場の関数を重みとして、格子上の全てのクォーク場とグルオン場に関する超多重積分平均により定まる。従って、モンテカ
ルロ積分法が有効である。
基本的なアルゴリズムは、HMC 法（Hybrid Monte Carlo 法）と呼ばれ、作用をエネルギー関数とみなした分子動力学法によりグルオン場のサンプルを生成し、これをメトロポリス法により採用・棄却して、目標とするモンテカルロサンプルの分布を生成する。
HMC を始めとする Lattice QCD 計算全般でコアとなるのは、クォークの作用を定める“クォーク行列”と呼ばれる大次元疎行列を係数とする連立一次方程式の求解である。CG法を始めとする反復法が用いられる。並列計算を行う場合の反復法一回あたりの、計算ノードあたりの計算量と通信量は正確な評価が可能である。一般に計算ノードの演算性能：メモリ性能：通信性能が高い水準で良くバランスしていないと、高い実効性能を実現できない特徴を持っている。計算量も膨大であり、これらが Capability computing の典型例となる理由となっている。
§4. Lattice QCD とスーパーコンピュータ
Lattice QCD は 1974 年に定式化されたが、モンテカルロシミュレーションは 1981 年から始まった。
最初の計算は Vax を用いた feasibiliy study とでも言うべきものであった。1980年代を通じてベクトル型スーパーコンピュータの発展と共に急速な進歩を遂げ、我が国においても日立、富士通、NEC 三社のスーパーコンピュータが活躍した。1990 年代前半になると、QCD シミュレーションを念頭に置いて開発された 10Gflops クラスの超並列型コンピュータが活躍を始めた。米国のコロンビア・マシン（N. Christ 等）、GF11（D. Weingarten）、イタリアの APE（G. Parisi 等）、日本の QCDPAX（岩崎洋一・星野力等）などである。1990年代後半には、500Gflops クラスの超並列機 CP-PACS（日本）と QCDSP（米国）が開発され、エポックメイキングな計算が行われた。2000 年台に入ると、QCDSP は 10Tflops の性能を持つ QCDOC へと発展した。IBM は QCDOC から出発して低消費電力・高密度実装を特長とする超並列機 BlueGene/L を開発した。これが現在の HPC 上位を席巻していることは周知のことである。QCDOC に対抗して、日本（PACS-CS）、イタリア（ApeNext）においても 10Tflops クラスのマシンが開発され、Lattice QCD は 10Tflops スケールの計算が日常的に行われる時代に突入している。
このような発展を通じて、Lattice QCD は超並列型計算機による Capability computingの先頭を走る分野であったと言える。このことを反映して、Top500 リストあるいは Gordon
Bell Prize には Lattice QCD に関係したシステムがしばしば登場している。
§5. エポックメイキングな計算
Lattice QCD には 1981 年からの歴史があり、その中でエポックメイキングな計算が幾つか行われて、研究の発展の区切りとなってきた。クェンチ近似によるハドロンの質量スペ2クトルの精密計算（1998 年

CP-PACS）はその一つである。連続極限を含む全てのステップを実行して最終結果を数％精度で求めることの出来た最初の例である。
K 中間子が二つのπ中間子に崩壊する反応振幅は、CP 非保存（物質と反物質の非対称性）を理解する上で鍵となる物理量であるが、極めて複雑且つ高度な計算である。1980 年代からの度重なる失敗の後に、2003 年に初めてクェンチ近似が成功（QCDOC 及び CP-PACS）したが、実験結果とは符号すら一致しない結果となった。Lattice

QCD のグランドチャレンジとなっている。
2000 年前後からは、クォークの動的効果を取り入れた計算が進歩を始めている。自然界には 3 種類の軽いクォーク（up, down, strange）があり、これらについては動的効果が特に重要である。米国の MILC Collaboration を中心とする計算では、米国・英国の多くの研究者が協力して様々な物理量を求め、クェンチ近似では実験値とのずれが 10％にも及ぶ
ところが、動的クォークを取り入れると誤差数％の範囲で全て実験値と一致することが示された。
同様な計算は、異なる作用を用いて日本（筑波‐KEK）においても追求されており、中間子スペクトルの数％精度での計算と実験の一致の検証、クォーク質量の評価が行われ、従来実験の解析に用いられてきた現象論的値に比べ約 50％程度軽い値が得られている。
§6.

Pflops computing と Lattice QCD

Lattice QCD 計算の現状を一言で要約すれば、ハドロンの一体問題、即ち陽子や中性子などの１個１個のハドロンの性質をクォーク・グルオンの第一原理から解き明かすことが、漸く可能となったと言える。即ち、１個のハドロンを入れるのに十分なサイズの格子（3fm程度以上のサイズ）と、自然界のクォークに対応する軽い質量の動的クォークを用いた計算が、ここ数ヵ年で実現の見込みがついた。この背後には、最近のアルゴリズムの発展（領域分割法やマルチタイムステップ法の HMC への適用）による計算の高速化と、10Tflopsクラスの計算が日常的に可能となった計算リソースの充実がある。
このような状況に立って、Pflops 計算が目標とすべきは、ハドロン多体系の計算である。
これには、様々の原子核の存在や宇宙の元素合成を支配する核子間ポテンシャルの計算や、ハドロン相からクォーク・グルオン・プラズマ相への相転移や、クォーク・グルオン・プラズマ相の物理的性質の計算などがある。これらは、宇宙の歴史の中で、現在の宇宙の成り立ちを決める重要な過程である。同時に、世界的な規模で進められている高エネルギー加速器実験（RHIC, J-PARC, LHC）の重要な目標でもあり、理論・実験・計算が協力しあって進む自然の研究の最先端なのである。
§7. Lattice QCD と国際協力
Lattice QCD では、その時代時代のトップマシンを使って、数ヶ月から数ヵ年にわたる計算が行われる。グルオン場の配位のモンテカルロサンプルが数千から数万個生成され、3これが基本データとなる。実際、グルオン場の配位ファイルがあれば、その上では様々の物理量を二次解析により求めることができる。
その意味でグルオン場の配位は Lattice QCDの基本データである。
膨大な計算が必要であるために、グルオンの配位を生成することの可能な計算リソースを持つ拠点は世界的に見ても 10 ヶ所程度に過ぎない。従って、グルオン場の配位を蓄積し、国際的に公開・共有して二次解析を可能とすれば、研究の推進には大きな意味がある。
このような考えを動機として、Lattice data の国際的なデータグリッドを構築し、それを通じて国際的な Lattice QCD の研究と協力の体制を作ろうとする動きが International
Lattice Data Grid（ILDG）として 2003 年以来行われている。グルオン配位を記述するための XML によるメタデータ国際標準 QCDml、データを蓄積する際に用いるファイルフォーマットの国際標準、さらにはグルオン配位を検索しダウンロードするためのインターフ
ェースの国際標準が 2004 年から 2005 年にかけて制定され、各国で拠点サイトの形成とミドルウェアの実装、グルオン配位データの蓄積が進められている。
我が国では、ILDG に対応する国内データグリッドとして JLDG を構築することが 2005
年秋に筑波大・KEK・京大・広島大で合意され、ILDG とのゲートウェイとして Lattice QCDArchive(LQA)が構築運用されている。
§8. まとめ
サイエンスとしての Lattice QCD は、素粒子・原子核から宇宙の進化と物質の起源を解き明かす基礎物理学の重要課題である。1980 年代からのマシン開発と計算の双方の努力の結果、現在、一体問題（素粒子）が漸く解決の見込みがつき、多体問題（原子核から宇宙へ）への展開が喫緊の課題となっている。
計算科学としての Lattice QCD は、近接相互作用する場の量子力学系として、並列計算に極めて高いスケーラビリティを持つ問題であり、従来から Capability computing の代表例であったが、次のステップにおいても Pflops スケールを超える計算を必要としている分野である。
国際的には、Lattice QCD は、コンピュータ開発と研究の両面で、従来から非常に厳しい競争のある分野である。近年はそれと並行して、ILDG を通じて国際協力の動きが活発であり、将来的な国際的研究環境の基盤になると考えられる。

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