数理解析研究所講究録
第 1785 巻 2012 年 28-31

28$H_{\infty}$

ノルムを用いた制御系設計について
北本卓也

TAKUYA KITAMOTO

山口大学
YAMAGUCHI UNIVERSITY

Abstract
ノルムを与えノルムを用いた制御系設計について議論する。 これはシステムの本論文では、られた数 以下に抑えた制御系を設計する方法であるが、 こうすることで最悪の場合の状態を良くする制御系、 すなわちモデル誤差に強い実用的な制御系 (ロバスト制御) を構成できると言われている。 本論文
ノルムの拡張とそれを計算するアルゴリズムを提案する。 提案する方法は、 パラメータを含むでは、システムに対しても適用できる。
$H_{\infty}$$H_{\infty}$$\gamma$$H_{\infty}$

1

はじめに
制御工学では、に対し、 このノルムを用いた制御系設計が盛んに研究されており、 パラメータを含んだシステムノルムを拡張しようとすノルムを計算する研究もある ([1],[2],[3]) その一方で、$H_{\infty}$$H_{\infty}$$H_{\infty}$。

ノルムの拡張る試みもいくつか行われている。 本論文では、 参照文献 [4] の内容を更に拡張する形でのと、 それを計算するアルゴリズムを提案する。 提案する方法は、 パラメータを含むシステムに対しても適用$H_{\infty}$できる。

2$H_{\infty}$

2.1

ノルム

定義

下記の微分方程式で定義されるシステムが与えられたとする (ただし、 $A,$ $B,$ $C$ はそれぞれの定数行列とし、 システムは安定、 すなわち $A$ の固有値の実部は全て負であるとする)。
$\frac{dx}{dt}=Ax+Bu$

このとき、 このシステムの$H_{\infty}$ノルム, $y=Cx$$\Vert G(s)\Vert_{\infty}$$n\cross n,$ $n\cross m,$ $l\cross n$(1)$(x\in R^{n}, u\in R^{n}, y\in R^{m})$を下記のように定義する (ただし、$\overline{\sigma}(M)$は行列 $M$ の最大特異値を表す)。
$\Vert G(s)||_{\infty}=\sup_{\omega\in R}\overline{\sigma}(G(i\omega))$’kitamoto@yamaguchi-u.ac.jp,$G(s)=C(sI A)^{-1}B$(2)

2922

計算法

制御工学では、 次の定理を用いて二部法で$H_{\infty}$ノルムを計算する。

補題 1を与えられた実数とする時、 $||G(s)||_{\infty}<\gamma$ の必要十分条件は次で定義される $H$ が虚軸上に固有値を持たないことである。

$\gamma(>0)$(3)$H=\{\begin{array}{lll}A \frac{1}{\gamma^{2}}BBC C A\end{array}\}$実は$\lambda$が上の行列 $H$ の固有値であれば、を示すことができる。 今、 $H$ のすると$\gamma$が$\Vert G(s)\Vert_{\infty}$$\lambda$

も $H$ の固有値である(4)を連続的に動かす事を考えると、 固有値は連続的に動くが、 (4) を考慮と一致する時、 $H$ は重複固有値を持つことがわかる。 すなわち、$\gamma$$\Vert G(s)\Vert_{\infty}\in${$\gamma|H$が重複固有値を持つ}(5)である。 ここで$H$が重複固有値を持つ$h(x)(=Det(xE H))$ が重根を持つ$\Leftrightarrow$${\rm Res}_{x}(h(x), \frac{dh}{dx}(x))=0$$\Leftrightarrow$であるから、$\Vert G(s)\Vert_{\infty}\in\{\gamma|w(1/\gamma^{2})=0\}$

,

ただし．

$w(1/\gamma^{2})^{d}=^{ef}{\rm Res}_{x}(h(x),$$\frac{dh}{dx}(x))$(6)となる。 よって $q=1/\gamma^{2}$ と置くと$\frac{1}{(\Vert G(s)\Vert_{\infty})^{2}}\in\{q|w(q)=0\}$(7)となるので、 $f(q)$ を $w(q)$ の無平方部分とすると$\frac{1}{(\Vert G(s)\Vert_{\infty})^{2}}\in\{q|f(q)=0\}$となる。 すなわち、
以上より、$1/(\Vert G(s)\Vert_{\infty})^{2}$$A,$ $B,$ $C$を入力とし、を $f(q)$ の実根で表すことができる。
$1/(\Vert G(s)\Vert_{\infty})^{2}$を実根に持つ多項式 $f(q)$ を求める次のアルゴリズムを得る。

Algorithm 1
入力 :

出力 :
$\langle 1\rangle$$n\cross n$

行列 $A,$ $n\cross m$ 行列 $B,$ $l\cross n$ 行列 $C$$1/(\Vert G(s)\Vert_{\infty})^{2}$を実根に持つ多項式 $f(q)$

行列 $H$ を次のように置く。
$H=\{\begin{array}{llll}A qB BC C A \end{array}\}$$\langle 2\rangle H$の特性多項式 $h(x)$ を計算する。

$\langle 3\rangle w(q)={\rm Res}_{x}(h(x), h’(x))$$\langle 4\rangle w(q)$(8)と置く。の無平方部分を $f(q)$ と置く。

30
3$H_{\infty}$31

ノルムの拡張問題設定

次の間題を考える。
$n\cross m,$$n\cross n,$$(n+m)\cross(n+m)$ 行列 $A,$ $B,$が与えられたとき、 下記の条件を満たす$q$(ただし、$\Theta$はエルミート行列) と 2 変数多項式 $F(x, y)$の上限 $\sup q$ を求めよ。

,$\forall\lambda\in\{x+iy|F(x, y)=0\}$

ただし、$\Theta$(9)$N(\lambda)\Theta N(\lambda)\geq 0$は次のように定義される。

$N(\lambda)$(10)$N(\lambda)^{d}=^{ef}\{\begin{array}{ll}(\lambda I A)^{-1}B I\end{array}\}$上の問題は$H_{\infty}$

ノルムの拡張と考えることができる。 というのは、$\ominus=\{\begin{array}{lll}qC C 00 I\end{array}\}$

,

(11)

$F(x,y)=x$とすると$\Vert G(s)\Vert_{\infty}<\frac{1}{\sqrt{q}}$$\Leftrightarrow$$\forall\lambda\in\{x+iy|F(x, y)=0\}$,$N(\lambda)\Theta N(\lambda)\geq 0$となり、 上式は $\sup q=1/(\Vert G(s)\Vert_{\infty})^{2}$ を意味する。

この問題は、 H 。ノルムを 2 つの点で拡張している。 1 つは多項式 $F(x, y)$ が指定する (新しい問題設
ノルムでは (または ) は虚軸上のみを動くが、新しい問題設定では多定ではの動く範囲である。
$s$$\infty$$H_{\infty}$$\lambda)$$\lambda$$s$

項式 $F(x, y)=0$ で指定された自由な範囲を動くことができる。 もう 1 つの拡張は、 $N(\lambda)\Theta N(\lambda)\geq 0$ の条件である。 H 。ノルムでは最大特異値を大きさを測っているが、 新しい問題では、$\Theta$$\infty$の撮り方によって最大特異値のみならず、様々な量を計測することが可能である。

3.2

計算法とすると、条件 $N(\lambda)\Theta N(\lambda)\geq 0$ より、て $Det(N(\lambda)\Theta N(\lambda))|_{q=\overline{q}}=0$ となり、 上の問題は$\tilde{q}=\sup(q)$$Det(N(x+iy)\Theta N(x+iy))=0$ を満たす

$q$

$q=\tilde{q}$では $N(\lambda)\Theta N(\lambda)$ は固有値を得るので、 これより$\lambda$,を持つ。 よっを拘束条件 $F(x, y)=0$ のもとで最大化すると同値になる。 これをラグランジュの乗数法を用いて解く。 $q+\lambda F(x, y)=0$ を $x,$ $y,$$\frac{\partial q}{\partial x}+\lambda\frac{\partial F}{\partial x}=0$$0$$\frac{\partial q}{\partial y}+\lambda\frac{\partial F}{\partial y}=0$, $F(x, y)=0$$\lambda$(12)で偏微分すると、(13)を消去して$\frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial q}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial x}$, $F(x, y)=0$(14)31を得る。 ここで $R(x, y, q)$ を $Det(N(x+iy)\Theta N(x+iy))$ の分子と置くと、 $R(x, y, q)$ は $x,$ $y,$ の多項式なので、 $R(x, y, q)=0$ の両辺を $x,$ で偏微分することにより、塞， を $x,$ $y,$ の有理式の形で計算でき$q$$y$る。 こうして得られた$\Delta\partial,\partial\Delta\partial x\partial y$を$\frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial q}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial x}$に代入し、 これから $x,$

$y$

$q$

$\Delta\partial y\partial$を消去すると、$q$, $F(x, y)=0$ , $R(x, y, q)=0$(15)の多項式 $U(q)$ が得られる。 $\tilde{q}=\sup(q)$ を満たす$\tilde{q}$は $U(q)$ のに関する実根である。

$q$

これより、 $A,$ $B,$$\Theta,$$F(x, y)$を入力とし、 $\sup(q)$ を実根に持つ多項式 $U(q)$ を求める次のアルゴリズムを得る。

Algorithm 2
入力 :$n\cross n$

行列 $A,$ $n\cross m$ 行列 $B,$ $(n+m)\cross(n+m)$ 行列$\Theta,$$2$変数多項式 $F(x, y)$

出力 : $\sup(q)$ を実根に持つ多項式 $U(q)$$\langle$$\langle$$\langle$1} $R(x, y, q)$ を $Det(N(x+iy)\Theta N(x+iy))$ の分子と置く。
2} $R(x, y, q)$ を3} (15) より、$x,$ $y$$x,$ $y$で偏微分することにより、塞， をを消去し、$\Delta\partial y\partial$$q$$x,$ $y,$ $q$の有理式の形で求める。の多項式 $U(q)$ を計算する。

上記の Algorithm 2 において、 (11) と置くと Algorithm 1 と同じ計算結果が得られるので、Algorithm
2 は Algorithm 1 の拡張であると言える。

4

最後に
本論文では、$H_{\infty}$

ノルムの拡張し、 より一般的な問題を提示した。 また、 ラグランジェの乗数法を用い、その問題の答えを計算するアルゴリズムを示した。 本論文で示したアルゴリズムは、ノルムを計算するアルゴリズムの拡張になっており、 問題の設定をノルムを計算するアルゴリズムに合わせれば、 計算結果は完全に一致する。 今後は実際の制御系設計への応用と、 計算効率の向上が目標である。
$H_{\infty}$$H_{\infty}$

参考文献[1] T. Kitamoto: “On the computation ofnorm of a system with a parameter,“ The IEICE Tmns.
Funda. (Japanese Edition), J89-A(1), 2006, pp. 25-39.
$H_{\infty}$[2] T. Kitamoto and T. Yamaguchi : “Parametric Computation ofICCA S2006, usan, Korea, 2006.

$H_{\infty}$

Norm of a System,” Proc. SICE-$B$[3] M. Kanno and M. C. Smith : ”Validated numerical computation of thesystems,” J. of Symbolic Computation, 41(6), pp. 697-707, 2006.

[4] T. Kitamoto : ”Extension of the algorithm to compute
IEICE Trans. Funda., E90-A(11), 2007, pp. 2496-2509.

$H\infty$$\mathcal{L}_{\infty}$-norm for linear dynamical

norm of a parametric system,” The[5] K. Zhou, J. Doyle and K. Glover: ”Robust and Optimal Control,” Prentice-Hall. Inc, New Jersey,1996.