章末問題略解第1章
問題 1-1 x(t) = C1 cos t + C2 sin t, x′ (t) = −C1 sin t + C2 cos t ですので
x2 + (x′ )2 =(C1 cos t + C2 sin t)2 + (−C1 sin t + C2 cos t)2=C12 cos2 t + 2C1 C2 cos t sin t + C22 sin2 t+ C12 sin2 t − 2C1 C2 sin t cos t + C22 cos2 t=C12 (cos2 t + sin2 t) + C22 (sin2 t + cos2 t)=C12 + C22となります。右辺を C とおくと C は 0 以上の定数になります。

問題 1-2 両辺を x で微分すると3y 2 y ′ = Cとなるので

y 3 = 3xy 2 y ′となります。これはy 2 (y − 3xy ′ ) = 0と書き直せますので，y = 0 であるか，y − 3xy ′ = 0 を満たすことになりますが，y − 3xy ′ = 0 は，y = 0 という定数関数を含みますので，求める微分方程式はy − 3xy ′ = 0となります。

問題 1-3 x(t) = C1 et + C2 e−tx′ (t) = C1 et − C2 e−tx′′ (t) = C1 et + C2 e−tとなりますのでx′′ (t) = x(t)が求める微分方程式になります。


問題 1-4 IPython でつぎのようにして計算できます。
In[1]: import numpy as npIn[2]: x = np.array([-1, 3, 5, -7])
In[3]: x**3+2*xOut[3]: array([ -3,33, 135, -357])


問題 1-5 IPython でつぎのようにして計算できます。

In[1]: import numpy as np
In[2]: x = np.array([-2, 1.2, 3.7, 5.1])
In[3]: np.exp(x**2)
Out[3]: array([5.45981500e+01, 4.22069582e+00, 8.82046452e+05,1.97696725e+11])
問題 1-6 IPython でつぎのようにして計算できます。

In[1]: z = np.array([-1 + 1j, 2 + 3j, -3 + 2j])In[2]: np.exp(z)Out[2]:
array([ 0.19876611+0.30955988j, -7.31511009+1.04274366j,-0.02071873+0.04527125j])
In[3]: np.exp(z.real)*(np.cos(z.imag)+np.sin(z.imag)*1j)
Out[3]:
array([ 0.19876611+0.30955988j, -7.31511009+1.04274366j,-0.02071873+0.04527125j])
問題 1-7 例えばつぎのようにすればよいでしょう。 リスト A.1 のプログラムがPyplot ベース，リスト A.2 がオブジェクト指向ベースのプログラムです。

リスト A.1 （prob1-7plt.py）
12
3456
78
910

import matplotlib . pyplot as plt
import numpy as np
PI = np . pi
t = np . linspace (0 , 4* PI , 1000)
plt . plot (t , np . abs ( np . sin ( t ) ) )plt . title ( ’ sample graph $x ( t ) =|\ sin t | $ ’)plt . xlabel ( ’t ’)
plt . ylabel ( ’x ’)
plt . show ()リスト A.2 （prob1-7ax.py）
1
2
3
4
5
678
910
111213

import numpy as np
import matplotlib . pyplot as plt
PI = np . pi
t = np . linspace (0 , 4* PI , 1000)
x = np . abs ( np . sin ( t ) )fig , ax = plt . subplots ()ax . plot (t , x )ax . set_xlabel ( ’t ’)
ax . set_ylabel ( ’x ’)
ax . set_title ( ’ sample graph $x ( t ) =|\ sin t | $ ’)plt . show ()問題 1-8 リスト 1.1 のプログラムの 4 行目において，例えば，つぎのようにすればよいでしょう。

plt.plot(t, np.exp(t)*np.sin(10*t), color = ’red’,linestyle = ’dashed’, linewidth = 3.0)


問題 1-9 例えば、リスト A.3 のプログラムのようにすればよいでしょう。
リスト A.3 （prob1-9.py）
123456789

import matplotlib . pyplot as plt
import numpy as np
PI = np . pi
t = np . linspace ( - PI , PI , 100)
plt . plot (t , np . sin ( t ) )plt . plot (t , np . cos (3* t ) )plt . show ()問題 1-10 与えられた微分方程式を積分すると

EIdy=dxZq(l − x)dx = qlx −ZEIy =(qlx −qx2+ C12qx2qx2
qx3+ C1 )dx =−+ C1 x + C2226となります。境界条件から，C1 = C2 = 0 となりますから，求める方程式は，つぎのようになることがわかります。

y=q 2x (3l − x)
6EI

よって，最大の変位は，x = l のときの値ですから，つぎのようになります。
∗ymax=

ql33EI問題 1-11 式 (1.34) の両辺を m で割って 2 回積分するだけです。まず，式 (1.34)
を 1 回積分すると
Z
dx= gdt = C + gtdtとなります。左辺は物体の速度 v を表しています。初速，つまり，時刻0 での速度を v0 とすれば

dx= v0 + gtdtとなります。もう 1 度積分して
Z1x = (v0 + gt)dt = C + v0 t + gt22となります。初期の変位を 0 とすれば，C = 0 ですので，結局，変位 xはx = v0 t +1 2gt2となるわけです。


問題 1-12 部分分数分解
1111= 2 + +x2 (1 − x)xx1−xを用いればZ1dx =x2 (1 − x)Z 111+ +x2x1−xdx

1+ log |x| − log |1 − x|xx1
= − + logx1−x=−が得られます。よって，初期値 x(0) = x0 に対する解は−x1+ log=t+Cx1−xとなりますので，求める解は，つぎのようになります。これもまた，xイコールの式に直さなくても結構です。

−1x1x0+ log=t−+ logx1−xx01 − x0
問題 1-13 両辺を（t で）積分して
t2x2=− +C22となります。

x2t2+=C22となるので，積分定数 C は正でなければなりません。これは円の方程式です。


問題 1-14 両辺を x で割って積分すると
log |x| =t2+C2となるので，整理してt2x(t) = Ce 2となります。x(0) = 2 となるのは，x(0) = C = 2 のときなので，求めt2る解は x(t) = 2e 2 です。


問題 1-15


Z1dx = −1 + x2Ztdtとなるので，積分を実行すると

1tan−1 x = − t2 + C2となります。整理して，つぎの解を得ます。

1x = tan − t2 + C2

問題 1-16 両辺を 1 + x2 で割って積分すると
Zxdx =
1 + x2Zcos tとなります。積分を実行すると1log(1 + x2 ) = sin t + C2が得られます。x イコールの式に直さなくても結構です。


問題 1-17
5730 × log(0.85)
1979 − −≈ 635.5
log 2となります。3%の誤差を考慮すると，616 年から 655 年ということになります。これは飛鳥時代ですから，ひらがなは使われておらず，木片の文字は漢字であったと推測されます。


問題 1-18 例えば，リスト A.4 のプログラムのようにすればいいでしょう。
リスト A.4 （logistic.py）
123456789101112131415

import matplotlib . pyplot as plt
import numpy as npfig , ax = plt . subplots ()ax . set_xlabel ( ’t ’)
ax . set_ylabel ( ’N ’)
ax . set_title ( ’ logistic curve ’)ax . grid ()N0 = 1; K = 10; r = 1
t = np . linspace (0 , 7 , 400)
N = K * N0 /( N0 +( K - N0 ) * np . exp ( - r * t ) )ax . plot (t , N )plt . show ()問題 1-19 k > 0 を比例定数として，つぎの微分方程式が得られます。
dx= kx(N − x)dt
両辺を x(N − x) で割って積分すると
Z1
dx = kt + Cx(N − x)左辺の積分を求めるため，部分分数分解をすると

11 11=+x(N − x)
N xN −xとなるので
Z 111+dx = kt + C
Nx
N −x1logNxN −x
= kt + Cとなります。t = 0 で x = 1 ですから

C=−1log(N − 1)
Nとなるので，解を整理すると

x(t) =N ekN t(N − 1) + ekN tが得られます。噂の伝播速度に関する研究は数多く存在します。SNS 上での拡散はもっと複雑な過程を辿るようです。

問題 1-20 「抵抗力の大きさは雨滴の落下速度の 2 乗と断面積との積に比例する」とありますので，これは雨滴が大きい場合に相当します。つまり，雨滴の落下速度は，雨滴の半径の平方根に比例していますから，(a) の答え

は，雨滴の落下速度は半径の 1/2 乗に比例する，ということになります。
(b) 半径が半分になるので√8.8/ 2 ≈ 6.22m/sとなります。

問題 1-21 運動方程式は，つぎのようになります。
9mdv= mg − kv αdtα
よって，終端速度 vterm は，mg − kvterm= 0 を満たすので

vterm =

 mg 1/αkとなります。ただし，この推論は数学的には十分厳密ではなく，もし，速度が t → ∞ である速度に近づくのであればこの値である，ということがわかっただけだということには注意しましょう。


問題 1-22 終端では，加速度は 0 になるので，終端速度 v は2
mg − γ1 vterm − γ2 vterm=0(A.1)

を満たします。この 2 次方程式の解のうち，正の解が終端速度ですから
p−γ1 + γ12 + 4mgγ2vterm =2γ2となります。つぎに，与えられた微分方程式を解きます。両辺を mg −γ1 v − γ2 v 2 で割って積分すると
Zmdv = t + C
mg − γ1 v − γ2 v 2
左辺の積分は，式 (A.1 ) の解を α, β とすると重解ではないので，α < βとすると
Z 11m−dv = t + C−(α − β)γ2v−αv−β
積分を実行して−v−αmlog=t+C(α − β)γ2v−βを得ますが，仮定より初速は 0 なので

C=mαlog(β − α)γ2β

よって，α < 0 < β であることに注意すると

v(t) = αβ1+e(β−α)γ2tmβ + αe(β−α)γ2tmとなることがわかります。よって
p−γ1 + γ12 + 4mgγ2v(t) → β =2γ2(t → ∞)となり，先ほど求めた値と一致しています。これが求める終端速度になります。


問題 1-23 40◦ C のときの電線の長さは
L=S+8D2
8 × 12= 50 +≈ 50.053
3S3 × 50です。70◦ C のときの電線の長さは50.0533 × (1 + 0.000017 × (70 − 40)) ≈ 50.079

50.079 = 50 +8D2
3 × 50を解いてD ≈ 1.216となります。

W 2
問題 1-24 すでに導いた公式 D ≈ 8T S を使いましょう。径間が 90 m，たるみが3.0 m のときの電線の最下点における張力を T1 ，径間が 100 m ，たるみが 3.5 m のときの電線の最下点における張力を T2 とすると，1 m 当りの過重を W として，以下の式が成り立ちます。
W× 902 = 38T1W× 1002 = 3.58T2
両者の比を取れば

T2902
3×=
T11002
3.5となりますのでT231002=×≈ 1.058
T13.5902が得られます。つまり，求める水平張力は，105.8%になります。

問題 1-25 D=

W S220 × 2502== 3.90625
8T
8 × 40 × 103となります。