数理解析研究所講究録 1345 巻 2003 年 156-165

156

GALOIS TRISECANT LINE FOR ACOMPLETE
INTERSECTION CURVE OF TWO CUBIC SURFACES
新潟大学大学院自然科学研究科

高橋」 (Takeshi Takahashi)$\mathbb{R}|$

Graduate School of Science and Technology, Niigata University
Niigata 950-2181, Japan-mail Address: takahashi@melody.gs.niigata-u.ac.jp$\mathrm{E}$とおく 非特異射影的代数曲線 $C$ の関数
基礎体を複素数体 とし、 簡単のため
体 $K=k$ (C) について考察したい. 特に, 超越拡大 $K/k$ に注目したい. 次の定理が基本と$k=\mathbb{C}$$\mathbb{C}$$\mathrm{L}$なる.

定理 1(リューローの定理).
の部分体 $N$ が $M\supset N\supset k,$

を無限体とし, $M$ は の純超越拡大体とする. このとき $M$r.degk $N=1$ ならば, $N$ も の純超越拡大体である.

$k$$\mathrm{t}$

$k$

$k$

拡大 $K/k$. の極大有理中間体を K。とする.
ユーローの定理を動機にして, 拡大 K/K。の考察を試みることにする, 次に定義するゴナリティは古くから知られている, 代数曲線の重要な不変量である.
$[]$

定義 1. 曲線 $C$ のゴナリティ$\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)$を次のように定義する.

面 n{[K: $M]|$ M は $K/k$ の有理中間体}( $= \min\{\deg\phi|\phi$ は全射正則写像 :$\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)=$$\phi$$Carrow \mathrm{P}^{1}\}$)となる拡大 K/K。に注目し吉原久夫氏は $C$ が平面曲線のときに,てガロア点というものを定義している. 本稿の目的はクリフォード次元 3 の曲線に対して,
ガロア点の研究と同様の研究を試みることである.
$[K : K_{m}]=\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)$\S 1. 平面曲線の点射影とガロア点とその関数体 $K=k$ ( C) について考えに対して, 関数の引き戻しによって, 関数体の拡大 $K/k$ (P1) が得られる. この体の拡大は点 $P$ のとり方に依存するので,とお . 拡大 $K/K_{P}$ の次数は $d-1$ 次である. 平面曲線のゴナリティに関して次の結果がこの節では非特異平面

$d$

次曲線

る. 曲線上の点 $P\in C$ 中心の射影$C\subset \mathrm{P}^{2}‘(d\geq 3)$$\pi_{P}$:$Carrow \mathrm{P}^{1}$$K_{P}=k(\mathrm{P}^{1})$$\text{く}$ある.

定理 2([14, p. 372]). 非特異平面曲線
き, 曲線のゴナリティはは, ある点 $P\in C$ 中心の射影:$\pi_{P}$

この定理によって,の次数を $d=\deg C(d\geq 3)$ とする. このとである. さらにゴナリティを与える拡大$C\subset \mathrm{P}^{2}$$\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)=d-1$$Carrow \mathrm{P}^{1}$$K/k(\mathrm{P}^{1})$により得られる.

$[K : k(\mathrm{P}^{1})]=\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)$となる拡大 $K/k$ (P1) の研究として, 平面曲線の射影の考察が重要になる.
から得られる代数拡大 $K/K_{P}$ が
定義 2(吉原久夫). 非特異平面曲線の射影
:
$P\in
C$
をガロア点と呼ぶ.
射影の中心ガロア拡大のときに.
$\pi_{P}$$Carrow \mathrm{P}^{1}$

また ‘ 占原久夫氏は次のように問題を設定した.

157

問題 1.
はどのようなものか? またガロア点とは幾何的にどのような点か(2) 一つの曲線上にガロア点は最大で何個存在するのかはどのようなもの曲線モデルとするとき,(3) 拡大 $K/K_{P}$ のガロア閉包を(1) ガロア点を持つ曲線$C$$\tilde{C}_{P}$$L_{P}$$L_{P}$のか(4) 拡大 $L_{P}/K_{P}$ のガロア群は何か(5) 拡大 $K/K_{P}$ は点 $P\in C$ を動かしたときにどのようにかわるのか
は点 $P\in C$ を動かしたときにどのようにかわるのか(6)$\tilde{C}_{P}$(1), (2), (3), (4) に関して次の定理がある.
定理 3([12]).

$C\subset \mathrm{P}^{2}$を非特異平面 4 次曲線とする. このとき次が成り立つ.

の定(1) $P\in C$ がガロア点であるための必要十分条件は, うまく射影変換をして,義方程式を $y+g$ (x, ) $=0,$ $P$ の座標を $(0, 0)$ とできることである. ここで, ( x, )は 4 次斉次多項式である.
に 4 個のガロア点をもった上のガロア点の個数は 0, 1 もしくは 4 である.
(2)
$C$
めの必要十分条件は, が $x+x^{4}+y^{4}=0$ で定義される曲線と射影同値になるこ
$C$

$g$

$y$

$C$

$y$

$C-\}_{\wedge}\wedge$とである.

の種数は $g(\tilde{C}_{P})=3,6$ , $7,8,9$ もしくは 10 である. $g(\tilde{C}_{P})=3$の曲線モデルとなるための必要十分条件は $P$ がガロア点となることである.
のガロア群は 3 次 ( 回群である.
(4) $P$ がガロア点ならば,(5) $P$ が $C$ 上の–般的な点ならば, $g(\tilde{C}_{P})=10$ で $L_{P}/K_{P}$ のガロア群は 3 次対称群である, また, $C$ が一般的な非特異 4 次曲線ならばガロア点を持たない.

(3)$\tilde{C}_{P}$$L_{P}$$\langle$$\llcorner\backslash \langle$$I\mathrm{f}/K_{P}$定理 4([21]).

$C\subset \mathrm{P}^{2}$を非特異平面$d$次曲線 $(d\geq 5)$ とする. このとき次が成り立つ.

の定(1) $P\in C$ がガロア点であるための必要十分条件は, うまく射影変換をして,とできることである
.
$(0,
0)$
の座標を
義方程式を $y+g$ (x, ) $=0,$
ここで, ( x, )は 次斉次多項式である.
上のガロア点の個数は 0 もしくは 1 である.
(2)
がガロア点ならば, $K/K_{P}$ のガロア群は $d-1$ 次 ( {回群である.
(3)がの種数は $g(\tilde{C}_{P})=(d-1)!(d+2)(d-3)/4+1$の一般的な点ならば,(4)
で $L_{P}/K_{P}$ のガロア群は $d-1$ 次対称群である. また, $C$ が一般的な非特異 次曲
線ならばガロア点を持たない.
$C$

$y$

$P$

$g$

$y$

$d$

$C$
$P$

$P$

$\langle$$\llcorner\backslash$$C\vdash_{-}$$\tilde{C}_{P}$$d$$Q$ \in C
間題 1 の $(5),(6)$ については, [23], [15] によって結果が得られていて, 特に,と C\tilde 。は同型ではない, ということがわかつている.
$(P\neq Q)$ が十分に近い点のとき
その他関係する論文に [3], [4], [6], [8], [9], [10], [垣], [13], [16], [17] [18], [19], [22], [23],[24] がある.
$t^{\supset},$$\tilde{C}_{P}$$)$52. クリフォード指数とクリフォード次元
この節では非特異射影的曲線のクリフオード指数とクリフオード次元を定義し, それに関する重要な結果を紹介する. 詳しくは [2] と [5] などを読んでいただきたい. 以下, 非特異射影的曲線 の種数 (C) を $g(C)\geq 4$ と仮定する.
$C$

定義 3. $C$ 上の直線束

$g$

$L$

に対して, そのクリフオード指数 Cliff(L) を次で定義する.

Cliff(L) $=\deg L-2(\dim H^{0}(C, L.)-1)$

158

また, 曲線 $C$ 自身のクリフォード指数 Cliff(C) を次で定義する.

Cliff(C) $= \min$ {$\mathrm{C}1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(L)|L$

は直線束で $\dim H$ 0(C, $L)\geq 2,$$\mathrm{d}$imk$H^{1}($

C, $L)\geq 2$ }という直線束 が存在する
かつ $\dim H^{1}$ ( C, )ならば, $\dim H^{0}$ ( C, )であることに注意する.
ことに注意する. また, クリフオードの定理によって Cliff(C)さらに, 曲線 のクリフオード次元 Cliff-dim(C) を次で定義する.

$g(C)\geq 4$

$L$

$L$

$\geq 2$

$L$$\geq 2$$\geq 0$$C$

Cliff-dim(C) $= \min\{\dim H^{0}$ ( C, ) $-1|$ L は直線束で$L$$\dim H^{0}(C, L)\geq 2,$$\mathrm{d}$imk$H^{1}$( C, )$L$$\geq 2$, Cliff(L)$=\mathrm{C}1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(C)\}$と仮定する. クリフオード次元を与える直線
補題 1([5, Lemma 1.1]). Cliff-dim(C)$=\dimH^{0}$
束 , つまり, Cliff-dim(C),( C, ) $-1,$ imk $H^{0}(C, L)\geq 2,$ $\dim H^{1}$ ( C, )をみたす直線束 に対して, $|L|$ は非常に豊富な完備線形系である.
Cliff(L)$\geq 2$

$L$

$L$

$L$

$\mathrm{d}$$\geq_{-}2$$L$$=\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(C)$

クリフォード次元を与える直線束 に対して, 完備線形系 $|L|$ によって決まる埋め込みをクリフォード埋め込みと呼ぶ. クリフォード次元を使って平面曲線を特徴付けることが
$L$

できる.

系 1. 非特異平而 次曲線 $(d\geq 5)$ のクリフォード次元は 2 である. また逆に, 非特異射影に埋め的曲線 $C$ のクリフォード次元が 2 ならば, クリフォード埋め込みによって $C$ を込むことができる.
$d$$\mathrm{P}^{2}$

Cliff-dim(C)$\geq 3$のときは次の定理がある.

定理 5([5]). 非特異射影的曲線 $C$ のクリフォード次元をと仮定する. このとき,$r=\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}-\dim(C)$とお<.

$3\leq$$r\leq 9$(1) $g(C)=4r-2$ , Cliff(C) $=2r-3$( C, )(2) $C$ のクリフォード指数を与える直線束 , つまり, $\dim H^{0}(C, L)\geq 2_{f}\mathrm{d}$ imk
をみたす直線束 は唯一つだけ存在する.
, Cliff(L)はは標準束である. また,(3) $C$ のクリフォード指数を与える直線束 に対して
$C$ を
に埋め込む
.
arithmetical Cohen-Macaulay 曲線として射影空間はである. また, ゴナリティを与える正則写像(-D)| とい(4)う完備線形系から決まり, ゴナリティを与える正則写像の族は -^次元である、 ここ
は $C$ のクリフォード指数を与える直線束で, 因子 $D$ は $\deg D=2r-3$ をみで$H^{1}$$L$$\geq 2$$L$

$L$$=\mathrm{C}1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(C)$$L$$L^{2}$

$ly$

$|L|$

$\mathrm{P}^{r}$$Carrow \mathrm{P}^{1}$$\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)=2r$

$|L$

$L$

$f$

た

$\vee\zeta$

Cliff-dim(C) $\geq 10$ のときも同様の結果が成り立つと予想されている ([5]). クリフオー
ド次元 3 の曲線は次の定理のように比較的よくわかつている.
定理 6([7]). 非特異射影的曲線 $C$ のクリフォード次元を 3 と仮定する.

に埋め込むと, それは二つの 3 次曲面の完(1) クリフォード埋め込みによって $C$ を
内の二つの 3 次曲面の完全交差によって定義される非全交差になる. また逆に,$\mathrm{P}^{3}$$\mathrm{P}^{3}$特異曲線のクリフォード次元は 3 である.

(2) $\deg C=9,$ $g(C)=10$ , Cliff(C) $=3$のクリフォード指数を与える直線束 は唯一つだけ存在する.
(3)
はのトリセカントライン
で, ゴナリティを与える正則写像(4)$C$$\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}(C)=6$中心の射影によって与えられる.
基本的な補題を四つ示す$L$$Carrow \mathrm{P}^{1}$

$C$

158

補題 2. 非特異曲線$I_{C}(3)=$とお$\text{く}${は二つの 3 次曲面の完全交差であるとする.

$C\in \mathrm{P}^{3}$$X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ の

3 次斉次多項式で曲線$C$上恒等的に零}$\cup\{0\}$. このとき, $\dim I_{C}(3)=2$ である.

は二つの 3 次曲面の完全交差であるとする. $C$ を含む -^般の 3
補題 3. 非特異曲線次曲面は既約かつ非特異である.
$C\in \mathrm{P}^{3}$

は二つの 3 次曲面の完全交差であるとする. $C$ を含む任意の 3

補題 4. 非特異曲線
次曲面は正規曲面である.

$C\in \mathrm{P}^{3}$

は二つの 3 次曲面の完全交差であるとする. $C$ とそのトリセ
カントライン に対して, $C$ と を含む 3 次曲面 $S$ が唯一つ存在する. 逆に $C$ を含む 3 次
曲面 $S$ に対して, $S$ に含まれる直線 は $C$ のトリセカントラインである.

補題 5. 非特異曲線$C\in \mathrm{P}^{3}$

$l$

$l$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$l$\S 3. クリフォード次元 3 の曲線のガロアトリセカントライン
平面曲線のガロア点の研究は, クリフォード次元 2 の曲線とその関数体についての研究といえる. この章ではクリフォード次元 3 の曲線とその関数体について, ガロア点の研究の拡張を試みたい. 以下 をクリフォード次元 3 の曲線, つまり,内の非特異曲線で二つの 3 次曲而の完全交差であるとする. 直線
は, を含む一般的な超平面 $H$ に対して
$C\cap H-C\cap l$ が T 度 6 $(=\deg C - 3)$ 点からなるときに, トリセカントラインと 妓辰. トリ
セカントライン中心の射影 :から, 関数の引き戻しによって 6 次の拡大が得られる. この拡大はトリセカントラインのとり方に依存するので, $K_{l}=k$ (P1) と書く$C$$\mathrm{P}^{3}$$l\subset \mathrm{P}^{3}$$l$$Carrow \mathrm{P}^{1}$$K/k(\mathrm{P}^{1})$$\pi_{l}$ことにする.

中心の射影
定義 4. クリフォード次元 3 の曲線 $C$ のトリセカントライ:$K/K_{l}$をガロアトリセカントラインと呼ぶ.
次拡大から得られる 6
がガロア拡大のときに,$Carrow \mathrm{P}^{1}$$\vee l\subset \mathrm{P}^{3}$$\pi_{l}$$l$次の補題が基本になる.
補題 6. をガロアトリセカントラインと仮定する. ガロア群の任意の元に対して, それに付随する $C$ の自己同型を : $Carrow C$ と書 . このとき,というものが存在する.
$M\in PGL(4, k)$ で$l$$\sigma\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\text{く}$$\tilde{\sigma}$$\mathrm{P}^{3}$の射影変換$M|_{C}=\tilde{\sigma}$

証明. クリフォード指数を与える直線束 が唯一つであることから, :備線形系 $|L|$ によって与えられる. したがって, は射影変換の制限になる.
$L$$\tilde{\sigma}$$Carrow C\subset \mathrm{P}^{3}$も完口$\tilde{\sigma}$

は 6 次の巡回群
がガロア拡大ならば, 拡大の次数は 6 次なので,$K/K_{l}$がガロア拡大のときに次の対称群に同型である.
以下,
しくは, 3$PGL(4, k)$ と考える. Gal(K/K涼碓霧気 と書く.
$K/K_{l}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\mathrm{C}_{6}$も$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})\subset$$S_{3}$$e$

補題 7. 1 を $C$ のガロアトリセカントラインと仮定する.
と仮定し, その生成元を と書 <. このとき射影変換をして(1)$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\cong \mathrm{C}_{6}$$\sigma$$\mathrm{P}^{3}$の座標をうまくとることによって,$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \zeta_{6}^{i} 00 0 0 \zeta_{6}^{j}\end{array})$とすることができる. ここで,$\zeta_{6}$は 1 の原始 6 乗根で$i,$ $j\in${0,1, 2, 3, 4, 5} である.

160

(2)

として,
と仮定し, その生成元をいう関係を持つものとする. このとき射影変換をしてによって,$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\cong S_{3}$$\sigma,$$\omega$$\sigma^{3}=e,$ $\tau^{2}=e,$ $\tau\sigma\tau=\sigma^{2}$$\mathrm{P}^{3}$との座標をうまくとること$\tau=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0\end{array})$$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 \mathrm{l} 0 00 0 \omega 00 0 0 \omega^{2}\end{array}).$とすることができる. ここで,$\tau$

は 1 の原始 3 乗根である.

証明. まず-’と仮定する. 射影変換によって, は $X=Y=0$ で定義されているとしてよい. このときなので, を含む超平面 $H$ に対して $\sigma(H)=H$ がはわかる. 従って,$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$l$$\cong C_{6}$$l$$\pi_{l}\circ\sigma=\pi_{l}$$\sigma$:$\sigma=(\begin{array}{llll}a 0 0 00 a 0 0* * * ** * * *\end{array})$$(a\in k-\{0\})$という形をしている. とくに, 同有方程式は重根を持つ. また, $\sigma^{6}=e$ であることから,$\sigma$は対角化呵能であり, うまく射影変換をすることによって,$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \zeta_{6}^{i} 00 0 0 \zeta_{6}^{j}\end{array})$

とできる.

次に

$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\cong S_{3}$

るとしてよい. また$\sigma$と仮定する. 射影変換によって,$l$は $X=Y=0$ で定義されていに関して, 上の議論と同様にして,$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \omega^{i} 00 0 0 \omega^{j}\end{array})$としてよい.

$l$は $X=Y=0$ で定義されているので ,$\tau=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 0a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}a_{5} a_{6} a_{7} a_{8}\end{array}):$という形をしている. ここで , $\sigma^{3}=e,$ $\tau^{2}=e,$を求めると,$2i\equiv j$$\tau$

は$(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{8}\in k-\{0\})$が成り立つように $i,j,$(mod3), $a_{1}=a_{2}=a_{3}$ $=a_{5}=a_{6}=a_{8}=0,$ 4 $a_{7}=1$ がわかる. 従つて,$\tau\sigma\tau=\sigma^{2}$$a_{1},$$a$$(_{0}^{1}00$$0001$$\frac{001}{\sqrt{a_{4}},0}$$\sqrt{a_{4}}000)$$a_{2},$$\cdots,$$a_{8}$

181という射影変換によって座標を取り替えると$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \omega 00 0 0 \omega^{2}\end{array})$,$\tau=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0\end{array})$

とできる.

ロ

と
を決める二つの 3 次曲面
クリフォード次元 3 の非特異曲線が, 3 次斉次$(F_{1},
F2)$
とおく 射
と
の零点であるとする. このとき斉次イデアル を $I=$
多項式
影変換 $\alpha\in PGL(4, k)$ に対して, その代表元を $M\in GL(4, k)$ とし,$C\subset \mathrm{P}^{3}$$S_{1}$$S_{2}$$I$$F_{2}$$F_{1}$$t$( ”X,$\sigma$<. 斉次多項式とおする.

$F\in k$[X,$\sigma^{*}Y,$$Y,$ $Z,$$\sigma^{*}Z,$$W$$\sigma" W$) $=M{}^{t}(X, Y, Z, W)$] に対して, $\alpha^{*}(F)=F$ ($\sigma^{*}X,$$\sigma$

補題 8. 1 は $C$ のガロアトリセカントラインと仮定し, Gal(K/K$F2$ を $I=(F_{1}, F_{2}),$る. このとき, 二つの 3 次斉次多項式$(\lambda_{1}, \lambda_{2}\in k-\{0\})$ をみたすように選ぶことができる.

*Y,$\sigma^{*}Z,$”W) と定義

慮気–つとり$\alpha^{*}F_{1}=\lambda_{1}F_{1},$$F_{1},$$\sigma$$\alpha$とす$\alpha^{*}F_{2}=\lambda_{2}F$‘2

証明. 補題 7 の証明の前半部分の議論と同様にして, 射影変換によってうまく座標を取る

ことにより,$\alpha=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \zeta_{6}^{i} 00 0 0 \zeta_{6}^{j}\end{array})$の生成元を一組とって $A,$ $B$ (A, $B$ は 3 次斉次多項式) とする.
*B も$\alpha^{*}A=a_{1}A+a_{2}B$
である
.
により
従って, 補題 2,(3)
3 次斉次多項式ゆえ,$\alpha^{*}B=b_{1}A+b_{2}B$ という, , $b_{2}\in k$ が存在する. 一次結合 $r_{1}A+r_{2}B$ (r,, $r_{2}\in k$ ) にとしてよい.

$I$$\alpha^{*}A,$$\alpha^{*}A,$$\alpha$$\alpha^{*}B\in I_{C}$$a_{1}$$a_{2}$$b_{1},$を作用させると,$\sigma^{*}$”$\sigma$である.

$(r_{1}A+r_{2}B)=(A B)(\begin{array}{ll}a_{1} b_{1}a_{2} b_{2}\end{array})(\begin{array}{l}r_{1}r_{2}\end{array})$

ここでジョルダン標準形により, 正則行列

$P$が存在して,$P^{-1}(\begin{array}{ll}a_{1} b_{1}a_{2} b_{2}\end{array})P=(\begin{array}{ll}\lambda_{1} 00 \lambda_{2}\end{array})\not\in)\text{しく}\ovalbox{\tt\small REJECT} 3;P^{-1}(\begin{array}{ll}a_{1} b_{1}a_{2} b_{2}\end{array})P=(\begin{array}{ll}\lambda 10 \lambda\end{array})$$(\lambda_{1}, \lambda 2, \lambda\in k)$となる. 3 次斉次多項式$\alpha^{*}F_{1}=\lambda_{1}F_{1},$$\alpha‘ F_{2}=\lambda_{2}F$2$F_{1},F_{2}$を $(F_{1}F_{2})=(AB)P$ とおくと,

もしくは$\alpha^{*}F_{1}=\lambda F_{1},$$\alpha^{*}F_{2}=F_{1}+\lambda F_{2}$である. しかし, 後者は以下に示すように不合理である.
$\alpha^{*}F_{1}=\lambda F_{1},$

る.

従って,

$\alpha^{*}F_{2}=F_{1}+\lambda F_{2}$と仮定する. これより, $\alpha^{*}(F_{2}/F_{1})=1/\lambda+F_{2}/F_{1}^{\gamma}$ を得$(\alpha^{*})^{6}(F_{2}/F_{1})=6/\lambda+F_{2}/F_{1}$でなければならないので矛盾である.

であるが, $(\alpha)^{6}=e$ より$(\alpha^{*})^{6}(F_{2}/F_{1})=F_{2}/F_{1}\square$

補題 6, 補題 7, 補題 8 を使ってガロアトリセカントラインをもつ $C$ の定義方程式を決
定する.

182

がカロアトリセカントライン
定理 7. クリフォード次元 3 の非特異曲線$C$は次の 3 種類の曲線のどれかと射影同値である.
と仮定する. このとき
$C\subset \mathrm{P}^{3}$$C_{1}$$C_{2}$$C_{3}$

:

$\{$

:

$\{$

:

$X^{3}+Y^{3}+(X+aY)W^{2}$$=0$$Z^{3}+W3+WG1(X, Y)$

$=0$

W2

$=0$

$H_{2}(X, Y)+Z^{3}+X$$\{$$G_{2}(X, Y)+YW^{2}$

を持つ

$l$

$=0$

$H_{3}(X, Y)+Z^{3}+W^{3}+c$YZW$=0$$G_{3}(X, Y)+XZW$

$=0$

$G$
は 2 次斉次多項式,
ここで, $a\in k,$ =0 または 1 であり,
3 は 3 次斉次は $X=Y=0$ で与えられ$C_{2r}C$ のガロアトリセカントライン
多項式である. 曲線
3
で
と
のときは
のときは
であり, 曲線て, 曲線
ある.
$H_{2},$ $G_{2},$ $H_{3}|,$$G_{1}$$c$$l$$C_{1},$$C_{1}$$C_{3}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})\cong C_{6}$$C_{2}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\cong S_{3}$証明. ます, 曲線に対して, 直線 : $X=Y=0$ がガロアトリセカントラインであることはすぐにわかる. 実際,[resp.
] に対しては,$C_{1},$$C_{2},$$C_{3}$$l$$C_{1}$$C_{2}$$\sigma_{1}=$を制限したものがをみたす$[\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}$$C_{1}$[resp.

$C_{2}$$\sigma_{2}=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 \mathrm{l} 0 00 0 \zeta_{6}^{2} 00 0 0 \zeta_{6}^{3}\end{array})$] の位数 6 の自己同型であり,$]$$\pi_{l}=\pi_{l}\circ\sigma_{1}|_{C_{1}}$[resp.

$\pi_{l}=$に対しては$C_{3}$$\pi_{l}\circ\sigma_{2}|_{C_{2}}]$.

,$\sigma_{3}=$$\tau=$を制限したものがをみたし,の自己同型であり,生成される群はに同型である.
曲線 $C$ がガロアトリセカントライン を持つと仮定する. まずは)定する. 補題 7 により, は $X=Y=0$ で定義され,の生成元は$C_{3}$$\pi_{l}=\pi_{l}\circ\sigma_{3}|_{C_{3}},$$\pi_{l}=\pi_{l}\circ\tau|_{C\mathrm{s}}$$\sigma_{3}$と$\tau$

で$S_{3}$$l$$l$$\mathrm{G}\mathrm{a}\underline{1(}K/K_{l}$$\cong C_{6}$と仮$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \zeta_{6}^{i} 00 0 0 \zeta_{6}^{j}\end{array})$としてよい. 補題 8 を用いて曲線 $C$ の定義方程式の候補をみつける.
例えば, $(i,j)=(1,1)$ のときに $\sigma^{*}F=\lambda F(\lambda\in k-\{0\})$ をみたす 3 次既約斉次多項式
は $ZH_{1}$ (X, $Y$ ) $+WH_{2}$ ( X, $Y$ ) もしくは( X, $Y$ ) $+ZWG_{2}$ (X, $Y$ ) $+W^{2}$ G3(X, $Y$ ) というは 2 次斉次多項式であり, $G_{1\}}G_{2},$は 1 次斉次多項式である.
形になる. ここで,$Z^{2}G_{1}$$H_{1},$$H_{2}$$G_{3}$

183

従って $C$ の定義方程式のタイプは$ZH_{1}(X, Y)+WH_{2}(X, Y)$$=0$$ZH_{1}’(X, Y)+WH_{2}’(X, Y)$

$=0$

$\{$

$ZH_{1}(X, Y)+WH_{2}(X, Y)$$Z^{2}G_{1}(X, Y)+ZWG_{2}(X, Y)+W^{2}G_{3}(X, Y)$

$\{$

$=0$
$=0$

$Z^{2}G_{1}(X, Y)+ZWG_{2}(X, Y)+W^{2}G_{3}(X, Y)$$=0$$Z^{2}G_{1}’(X, Y)+ZWG_{2}’(X, Y)+W^{2}G_{3}’(X, Y)$

$=0$

$\{$

の三種類が考えられる. しかしこれらの方程式が定義する曲線はどれも $Z=W=0$ という直線を含むので, $C$ の定義方程式にふさわしくない. このように他の $(i,j)$ に対しても同かのどちらかと射影同様の考察をすると, 既約かつ非特異な曲線になるものは曲線値になっていることがわかる.
次にと仮定する. 補題 7 により, は $X=Y=0$ で定義され, Gal(K/Kの生成元は$C_{2}$$C_{1}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l})$$\cong S_{3}$$l$$\sigma=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 \omega 00 0 0 \omega^{2}\end{array})$,$\tau=(\begin{array}{llll}1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0\end{array})$に対して補題 8 を用いて曲線 $C$’ の定義方程式の候補をみつける.
をみたす 3 次既約斉次多項式は( X, $Y$ ) $+a_{1}Z^{3}+b_{1}W^{3}+G_{1}$ ( X, $Y$ ) $ZW_{:}$$H_{2}Z+a_{2}Z^{2}W+G_{2}W^{2},$ $H_{3}Z^{2}+G_{3}W+a_{3}Z$ W2 の三種類である. ここで,
, a3, $b_{1}\in k$$C$
は 3 次,
は 2 次,
は 1 次の斉次多項式である. 従っての定義方
で,としてよい.

$\sigma^{*}F=\lambda F$$\sigma$$(\lambda\in k-\{0\})$$H_{1}$$a_{1},$$H_{1}$$a_{2}$$G_{1},$ $G_{2},$ $H_{3}$$H_{2},$ $G_{3}$

程式の候補は, 曲線が既約でなければならないことに注意すると$H_{1}(X, Y)+a_{1}Z^{3}+b_{1}W^{3}+G_{1}(X, Y)ZW$$=0$$H_{1}’(X, Y)+a_{1}’Z^{3}+b_{1}’W^{3}+G_{1}’(X, Y)ZW$$=0$$H_{1}(X, Y)+a_{1}Z^{3}+b_{1}W^{3}+G_{1}(X, Y)ZW$

$=0$

$\{$

$\{$

$H_{2}Z+$

a2Z2W$+G2W2$$Z^{2}G_{1}(X, Y)+ZWG_{2}(X, Y)+W^{2}G_{3}(X, Y)$$\{$$H_{3}$

Z $2+G3W$の三種類が考えられる. ここで
これを確かめると$+$$\tau^{*}F$
)

a3ZW2

$=0$

$=0$
$=0$

は 3 次斉次多項式で補題 2 より $\tau^{*}F\in I$ となるので,$H_{1}(X, Y)+a_{1}Z^{3}+b_{1}W^{3}+G_{1}(X, Y)ZW$$=0$$H_{1}’(X, Y)+a_{1}’Z^{3}+b_{1}’W^{3}+G_{1}’(X, Y)ZW$

$=0$

$\{$

以外の二種類の定義方程式は条件をみたさない. この定義方程式は $C$ が非特異であるから,( X, $Y$ ) が 上-^次独立であることがわかる. 従って $\tau^{*}F\in I$ から $a_{1}=b_{1}$ ,(X, $Y$ ) と$a_{1}’=b$ がわかる. つまり, $C$ の定義方程式は’1$H_{1}$$k$$H_{1}’$$H_{1}(X, Y)+a_{1}Z^{3}+a_{1}W^{3}+G_{1}(X, Y)ZW$$=0$$H_{1}’(X, Y)+a_{1}’Z^{3}+a_{1}’W^{3}+G_{1}’(X, Y)ZW$

$=0$

$\{$

という形をしている. この曲線は定理 7 の曲線$C_{1},$$C_{2},$$C_{3}$$C_{3}$と射影同値である.

の具体例を示す

ロ

84

例 1. 次の方程式で定義される曲線に対して,
である.

(1)

$\{$

$(2)\{$$(3)\{$$l$: $X=Y=0$ はガロアトリセカントライン$X^{3}+Y^{3}+YW^{2}$$=0$$Z^{3}+W3+XYW$$=0$$Y^{3}+Z^{3}+XW^{2}$$=0$$X^{3}+Y3+YW2$$=0$$X^{3}+Z^{3}+W^{3}$$=0$$Y^{3}+XZW$$=0$

クリフォード次元 2 の曲線のガロア点は高々 1 個であったが, クリフオード次元 3 の曲
線には次の例がある.
例 2. 次の方程式によって定義される曲線はガロアトリセカントラインを持つ.

$l_{1}$: $X=Y=0$ と$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l_{1}}),$$l_{2}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/K_{l_{2}})\cong \mathrm{C}_{6}$$X^{3}+Y^{3}+XW^{2}$$=0$$Z^{3}+W^{3}+2X^{2}\mathrm{t}$$=0$: $Z=W=0$ の二本の
である.

$\{$

曲線 $C$ の定義方程式が決定できたことにより, ガロアトリセカントライン中心の射影の分岐の様子を調べることができる.

$\cross 10$

曲線 $C$ を含む 般的な 3 次曲面は補題 3 により非特異であるが , $C$ とガロアトリセカン
トライン を含む 3 次曲面は次のように特異点を持つ.
$\sim-arrow$$l$

命題 1. 定理 7 の曲線$Y=0$ に対して,$C_{1},$とそれぞれのガロアトリセカントラインである : $X=$は唯一つすつ存在して次の方$(i=1,2,3)$ という 3 次曲面$C_{2},$$C_{i}\cup l\subset S_{i}$$l$$C_{3}$$S_{i}$

1(35程式で与えられる.
$S_{1}$$S_{2}$$S_{3}$: $X^{3}+Y^{3}+(X+aY)W^{2}=0$: $G(X, Y)+YW^{2}=0$: $G(X, Y)+XZW=0$

はどちらも楕円曲線上の錐面であり, 特異点のタイプは2 個もしくは 3 個持ち, そのタイプは $2A_{2},3A_{2}$ , もしくは,点のタイプについては [1] 参照 . )$S_{1},$$S_{2}$$\hat{E}_{6}$$A_{1}2A_{2}$である.
は 2 重点をのどれかである. (特異$S_{3}$

謝辞.
本研究は今野一宏先生に提案していただきました. 補題 2, 補題 3, 補題 5 は大 朗先生に教えていただきました. 吉原久夫先生, 小島秀雄先生, 王浦敬先生には本研究に関して有益なアドバイスを多くいただきました. 心から感謝いたします
${ }$

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