数理解析研究所講究録
1190 巻 2001 年 1-8

1$N=1\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\circ \mathrm{r}\circ$

妙な ’ 表現謙治 (神戸大、 理、 数)

庵原$\mathrm{k}_{\mathrm{G}^{\eta_{\lambda}}}’\grave{J}\cup\backslash$

超代数の$\mathrm{s}$丁$\mathrm{o}p\mu$

t八

(k。沖

$\backslash$$\mathfrak{U}_{\mathrm{V}\backslash \mathrm{A}}|v$.)

概要
ここでは、 $N=1$ Virasoro 超代数の Verma 加群の内、 Super 独特の表情を見せる、 Ramond algebra の ‘Supersymmetric Point’ と呼ばれる場合について、 その構造の解説を行う。詳しくは、 [IK] を見られよ。

1

イントロ

$i_{1}$..

ここでは、$N=1\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}\circ$いかを説明する。
まず、 主役の代数である、

定義 1.1’.

超代数の定義、 及び何故、 特に Ramond 代数の表現が面白$N=1\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\circ \mathrm{r}\mathrm{o}$超代数の定義を与えておこうに対して、 $N=1$ Virasoro 超代数$\epsilon\in\{\frac{1}{2},0\}$$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon}$とは、$\mathbb{C}$:-vector space’$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\Xi}:=:n\in\oplus \mathbb{Z}\mathbb{C}L_{n}\oplus\oplus \mathbb{C}..G_{m}\oplus \mathbb{C},\cdot cm\in\epsilon+\grave{\mathbb{Z}}\cdot’.’\iota$

であって、 以下の交換関係を満たすもの Lie 超代数である:,$[L_{m}, L_{n}]--(m-n)L_{m+}+ \frac{1}{1}(nm-3m\overline{2})\delta_{m}+n,0C$$[G_{m}, L_{n}]=(m- \frac{n}{2})cm+n$’$[G_{m}, G_{n}]_{+}=2L_{m+n}+ \frac{1}{3}(m^{2}-\frac{1}{4})\delta_{m+0}n,C$$[\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon}, c]=\{0\}$但し、$\mathbb{Z}_{2}$.

-gradation は以下で定める :$\deg L_{n}=\deg_{C}=^{\overline{\mathrm{o}}}$$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{0}$$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\frac{1}{2}},$,,$\deg C\tau_{m}=\overline{1}$.

はそれぞれ、 Neveu-Schwar2 代数、 Ramond 代数とも呼ばれる。

これらの Lie 超代数は三角分解$-$.
$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon}=(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r})_{+}\in\oplus(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{6})_{0}\oplus(\mathrm{v}_{1\mathrm{r}_{\Xi})_{-}}^{\vee}$2$k\mathrm{f}\doteqdot’\supset_{\mathrm{o}}\mathrm{f}^{\underline{\mathrm{B}}}\mathrm{b}_{\text{、}}$$( \mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon})_{\pm:}=\oplus \mathbb{C}L_{n}\pm n>0\oplus\bigoplus_{\pm m>0}\mathbb{C}G_{m}$. Verma$-C^{\backslash }b^{\text{る_{}\circ}}f\text{って_{、}}$,$\mathbb{C}L_{0^{\oplus}}\mathrm{c}G_{0}\oplus \mathbb{C}c$$\epsilon=0$,$\mathbb{C}L_{0}\oplus \mathbb{C}c$$\epsilon=\frac{1}{2}$,$(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon})0:=\{$

Highest Weight Modules$\not\in:\yen\grave{\cross}-\text{得る}\delta^{\backslash }\backslash \backslash \text{、}\ll^{-}arrow>- T_{\text{、}}\backslash \backslash \int\ovalbox{\tt\small REJECT}\{\text{の_{}\mathfrak{o}}^{\equiv}-\yen-\ovalbox{\tt\small REJECT}\nearrow a\mathrm{a}\mathrm{e})J1^{\backslash }\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}’|*l\searrow$$\backslash$$\text{ら}$$i0\mathrm{D}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}(\not\in_{)}k^{\backslash ^{\backslash }}\text{き})$$’\not\in_{\mathrm{i}\hat{\mathrm{E}}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{し^{}\sim}Ck^{\mathrm{Y}}}$$\langle$$0\text{ま}\mathrm{T}_{\backslash }(z, h)\in \mathbb{C}^{2}k\text{し_{、}}$$(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon})_{\geq}:=(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}\epsilon)_{+}\oplus(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon})_{0}$$\text{と}\mathrm{k}\langle_{0}$$\pi*_{\mathrm{J}l_{\mathrm{c}\in}^{arrow}}\mathrm{H}\text{、}=\frac{1}{2}\text{の}\ddagger^{\mathrm{B}}\varpi \text{ロて}\mathrm{a}\mathrm{A}\text{る}\theta\grave{\grave{\backslash }}\text{、}arrow \text{の}\vee \text{とき}$es$\mathbb{C}_{z,h}:=\mathbb{C}1_{\mathcal{Z}},h\sqrt\neg(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon})\geq$$\text{を}$$L_{0}.1_{z,h}:=h1z,h$$\text{て^{}\backslash \backslash }\not\in \text{め_{、}}$

Verma hlffi,$c.1_{\mathcal{Z},h}:=z1z,h$: tl$M_{\frac{1}{2}}(z, h)\epsilon$,$(\mathrm{i}\mathrm{r}_{\frac{1}{2})}+\cdot 1z,h:=\{0\}$:$\text{下^{}-}C^{\backslash }j\inarrow\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{す^{れ}}\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \S\vee 1$$M_{\frac{1}{2}}(z, h):=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{(\mathrm{r}}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{V}\mathrm{i})\mathrm{r}1\tau_{1,\tau\geq^{\mathbb{C}_{z,h}}}$$’\lambda\backslash \iotaarrow\sim\text{、}\epsilon=0\text{の}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{A}\text{て}ロ}b\backslash \backslash \text{る}i^{\grave{\grave{\mathrm{Y}}}}\text{、}\check{-}\text{の}\geq \text{き}$es.

odd element $G_{0}k$ ”
a$(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{0})_{0}fi\tilde{\grave{\backslash }}$$k^{-}C^{\backslash }\backslash \vee$$\text{め_{、}}\prime y’\grave{\mathrm{J}}\text{し}\ulcorner_{\mathrm{E}}^{\wedge}/|\text{て}\backslash \backslash b^{\text{る_{}\circ}}\text{ま}f_{\text{、}^{}\backslash }(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o})_{\geq^{-}}\not\supset \mathrm{D}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}$$P_{z,h}:=\mathrm{c}1_{z}^{\overline{0}},h\oplus \mathbb{C}1_{z,h}\overline{1}$,$Q_{z,h}:=\mathbb{C}\tilde{1}^{\overline{0}},\mathrm{c}\tilde{1}_{z,h}zh^{\oplus}\overline{1}$$\epsilon_{\mathrm{i}}j^{\backslash },\mathrm{J}_{\backslash }^{-}\mathrm{F}^{-\mathrm{c}\text{める}}\backslash \backslash j\in\wedge.\cdot$$L_{0}.v:=hv$,$c.v:=zv$ ,$G0\cdot 1_{z}^{\overline{0}},:=1^{\overline{1}}hz,h$$G_{0}.

’$(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{0})_{+}.v:=\{0\}$$v\in P_{z,h}$\tilde{1}_{z,h}^{\overline{0}}:=(h-\frac{1}{24}z)^{\frac{1}{2}}\tilde{1}_{z}^{\overline{1}},h$(resp.

$Q_{z,h}$),.

$\text{補}\mathrm{E}1.1\ovalbox{\tt\small REJECT}_{l^{arrow}}\mathrm{c}_{\text{、}}\mathrm{a}_{\#}^{J}\mathrm{g}\iota\frac{\mathrm{m}}{R}\sigma)^{f_{\mathrm{e}}t}\mathrm{r}1\text{て}\iota^{\backslash }\downarrow \mathrm{T}^{-}\text{の}\not\cong \mathrm{f}\mathrm{f}\delta^{\grave{\mathrm{Y}}}\neg \text{成り_{}t_{\mathrm{c}}^{arrow \text{っ^{}-T1}}}\iota’\epsilon_{)}.\cdot$$G_{0}^{2}=L_{0-} \frac{1}{24}C$$’\lambda\backslash t_{\sim}^{arrow}\text{、}V_{z,h}\not\in:P_{z,h}U)$

irreducible quotient.

$\not\in;g^{-}\text{ると_{、}}$$\mathbb{C}1_{z,h}^{\overline{0}}$$h= \frac{1}{24}z$,$P_{z,h}$$h \neq\frac{1}{24}z$,$V_{z,h}\cong\{$$\text{と}7\mathrm{f}’\supset \text{て}\vee)\text{る_{}0}\ll^{-}arrowarrow \text{て_{、}}$$M(z, h):=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{(0\geq}^{\mathrm{V}\mathrm{i}0}V_{z}\mathrm{v}^{\mathrm{r}}\mathrm{i}_{\Gamma)},h$$\mathrm{a}\ovalbox{\tt\small REJECT}\llcorner \text{き}$.

$\ll^{-}n\ll\underline{\backslash }\backslash \gamma_{\llcorner}$

Verma

,

$\overline{M}(_{\mathcal{Z}}, h):=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{(\Gamma)}^{\mathrm{v}_{\mathrm{V}}}\mathrm{i}\mathrm{r}0Q_{z}\mathrm{i}0\geq’ h$$\not\supset\lceil\rfloor \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\text{、}}$(pre-)Verma$\pi_{\mathrm{I}}\text{群_{、}}$,$N(z, h):=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{(0\geq}^{\mathrm{i}\mathrm{r}0}P_{z}\mathrm{i}_{\Gamma)},h$(quasi-)Verma$\not\supset\coprod \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\text{と_{}\mathrm{F}}\mathrm{p}\mathrm{A}_{\mathrm{O}}$

,

)

’

$\text{る}\gamma_{arrow}$

3
補足 12 名前の由来であるが、やはり、 (Viro) の既約加群の誘導表現を梶 rma 加群と呼びたいので、 $M(z, h)$ を稔 rma 加糖と呼ぶことにした。 ところが、元来 $N(z, h)$ が Verma
させてこれを (pre-)Verma 加群と加群と呼ばれていたので、 少し降格 (昇格$M$とい呼ぶことにした。 こうなると、 困ったのは( , ん) の名前であるが、 $P$ の次のうことや、 その Verma 加群っぽさから、 これを ( $qu$ a3 の Verma 半群と呼ぶことにした。
$\geq$$(!?)_{\text{、}}$$\underline{?)}$

$z$

実は、

$h \neq\frac{1}{24}z$$Q_{\text{、}}$の時、 以下の同型が成立し、$M(z, h)\cong\overline{M}(Z, h)\cong N$ん( , ん).
$\mathcal{Z}$の時、$= \frac{1}{24}z$(1)$\overline{M}(_{Z\frac{1}{24}\mathcal{Z}},)\cong M(z, \frac{1}{24}z)\oplus\Pi M(Z, \frac{1}{24}Z)$が成り立つ。但し、 は parity を変える functor とする。
さて、 ここで、 通常の Lie 代数と Lie 超代数の最も大きな違いの 1であるが、 Lie
超代数の場合、 Verma 加斗の同士の間の non-trivial な射が必ずしも monomorphism とは限らないことに注意しよう。実際に、 以下の定理が成立する。 まず、
加群 $V$ 及び
に対して、
$\Pi$

$\supset$$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\epsilon}$$\lambda\in \mathbb{C},\tau\in \mathbb{Z}_{2}$$V_{\lambda}^{\mathcal{T}}:=\{u\in V|L_{0}.u=\lambda u, \deg u=\tau\}$

とおく。 このとき、定理 1.1$h$, ん’

はん $\neq h’$ を満たすとする。

$\in \mathbb{C}$

1. !Von-か ivial な$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\frac{1}{2}}$-module $map$$\varphi$

:

( ,ん)
$‘$

$M_{\frac{1}{2}}$$z$$arrow M_{\frac{1}{2}}$( , ん) は存在すれば、 必ず
$z$

単射。

2.

$\varphi$: $M(z, h’)arrow M(z, h)$ を non-か ivial な

60$h \neq\frac{1}{24}z$

$i$

$ii$

$V\mathrm{i}r_{0}$-module map とする。

とする。

.

$\dim\{M(z, h)_{h^{J}}\tau\}(\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o})+=1(\forall\tau\in \mathbb{Z}_{2})$ならば.

$\dim\{M(Z, h)^{\mathcal{T}}h’\}(\mathrm{i}_{\Gamma_{0}})_{+}=2(\forall\tau\in \mathbb{Z}_{2})$ならば$\varphi$$\varphi$は必ず単射。

は単射の時もあればそうでないときもある。

仰ん3.

$\varphi$:$= \frac{1}{24}z$とする。 このとき、$M(z, \text{ん^{}\prime})arrow\overline{M}(z, \frac{1}{24}z)$$\varphi$は必ず単射にはならない

を non-trivial な Viro-module map とする$\circ$が単射になるための必要十分条件はImg $\cap M(z, \frac{1}{24}z)\neq\{0\}$A${\rm Im} \varphi\cap\square M(z, \frac{1}{24}z)\neq\{0\}$である。

補足 13 実は、 以下の等式が成り立っている:.

$\dim\{M(z, h)_{h}^{\overline{0}()},\}\mathrm{V}\mathrm{i}_{\Gamma}0+=\dim\{M(z, h)_{h}^{\overline{1}},\}(\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}_{0})+\leq 2$

このとき、$\varphi$4つまり、 Neveu-Schwarz 代数

は優等生過ぎて、 Virasoro 代数と表現論が全く同じ様に展開できてしまい、 面白くないのである !
という訳で、 ‘悪戯っ子’ の Ramond 代数
Viro について、 特に上の定理で、 非自明な射が単射にならない場合について以下でその構造を述べる。
$\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{\frac{1}{2}}$Super-Symmetric Point (‘悪戯っ子’ の囁き

2

$?$

)

まず、 Verma 加群の射の単射性が崩れる時の Verma 加群の Highest weight を書き下は $( \frac{p-q}{2}, q)=1$ を満たしているとする。 このとき、す。 $p,$$q\in 2\mathbb{Z}_{>0}$$z_{\pm}$$:= \frac{15}{2}\mp 3(\frac{p}{q}+\frac{q}{p})$,$(i\in \mathbb{Z}\geq 0)$$\text{ん_{}i}^{\pm}:=\pm\frac{1}{8}i^{2}pq+,\frac{1}{24},z\pm$と置く。 実は、 全ての highest weight について得る$\backslash$:

補題 2.1$\dim\{M(z, h)_{h}^{\tau}’\}(:\mathrm{r}_{0})+=2(\forall\tau\in \mathbb{Z}_{2})$$z=z_{\sigma}$を満たす $p,$,$q\in 2\mathbb{Z}_{>0_{f}}\sigma\in\{\pm\}$$\text{以下}\mathrm{T}_{\text{、}}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{簡単のため_{、}}$$z=z_{+}- \text{とし_{、}}$ん = ん i,及び
$p,$ $q$

贔潰し ’ で調べた結果、 以下の結果をとなるための必要十分条件はん’=hj$i,j\in \mathbb{Z}_{>0}$$\sigma(j-i)>0$が存在することである。

を固定する。

補足 2.1 既約 highest weight module $L(z_{+,0}h^{+})$ はいわゆる Minimal 系列表現になっており、特にtable の対称性に関する 定点に対応していることから物理屋に ‘supersymmetric point’ と呼ばれており、 これは物理的にも重要、 らしい。
$\mathrm{A}’ac$

最初に、 この表現に$\backslash$

出会った ’ 時、「出来ることならややこしい non-injectivemapとは関わらずに story を見たい」 と思い, 定理 1.1 にある injective map をうまく使って逃げる事を、 考えていたら以下の単射からなる可換図式の存在が証明できた:5$\backslash \cdot 1$

但し、: 埋め込み Diagramに対して、 [ん] $:=M(z, h),$とする。 しかし、 これは同型(1) を考えると、 奇妙な話である。 そこで、 この 式を (あきらめて) もう少し精密みることにした。 そのために、を見てみよう。
まず、に対して、.
$h\in \mathbb{C}$$[h]:=\acute{\overline{M}}(z, h)$t)$\{M(z, h)_{h^{J}}\overline{0}\}(\mathrm{v}\mathrm{i}\Gamma 0)_{+}$$j\in \mathbb{Z}_{>0}$$L_{-j}$$\epsilon=0$$G_{-j}$$\epsilon=\overline{1}$,$x_{-j}^{\Xi}:=\{$と置く。次に$(i_{k}, \epsilon_{k}),$$\cdots$,$(i_{1}, \epsilon_{1})\in \mathbb{Z}_{>0}\cross \mathbb{Z}_{2}$及び $\delta\in\{0,1\}$ に対して、$m_{(),\cdot\cdot(i_{1}}i_{k},\epsilon_{k}\delta.,,\epsilon 1):=x_{-i-}\epsilon_{k\Xi_{1}}\ldots G0\delta 1\otimes 1z,h\overline{0}$とする。 このとき、$\{m_{(i_{k^{\xi}},k}),\cdot\delta..,(i_{1^{\xi}},1)|^{1}\leq i_{1}\sum_{j=1}^{k}6_{j}+\delta\overline{1}=’\overline{0}.,\cdot.\epsilon_{s}=1\leq\cdots\leq i_{k},\epsilon 1\epsilon k\in \mathbb{Z}2,\sum_{\Rightarrow i_{S}}j=1j=h^{;}-k<iis+1h\}$はの基底になる。 また、の時は、 更に $\delta=0$ という制限を, の基底を得る。 簡単な計算から以下の補題が示せる$M(z, \text{ん})_{h^{J}}^{\overline{0}}(h\neq\frac{1}{24}z)$

つければ、

補題 22

$M(z, h)_{h}^{\overline{0}}$$h= \frac{1}{24}z$:$\dim\{M(Z, h)_{h’}\tau\}^{(^{}\mathrm{i}\mathrm{r}_{0}})+=2(\forall\tau\in \mathbb{Z}_{2})$とする。 このとき、$w= \sum P_{(\mathcal{E}})i_{k,k},\cdot\cdot(i_{1^{\mathcal{E}}},1)(ik,\epsilon k),\cdot\cdot,(i\delta.,m\delta.1,\epsilon 1)\in\{M(_{\mathcal{Z}}, h)_{h’}^{\overline{0}}\}^{(}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o})+\backslash \{\mathrm{o}\}$は$(P_{(1,\overline{0})}^{0}, {}_{n}P1)(1,\overline{1}),(1,\overline{0})^{n-1}\in \mathbb{C}^{2}$

そこで、 $(P, Q)$

で parametrize される。

$:=(P_{(1,\overline{0}}^{0}P^{1}-1\mathrm{I}\in \mathbb{C})n’(1,\overline{1}),(1,\overline{0})n2$$aP+bQ=0$

が$(a, b\in \mathbb{C})$6を満たす時、 の代わりに $w_{aP+bQ}$ と記すことにする。また、の時、 基底の形から常に $Q=0$ ゆえ、ことにする。
記号を満たす時、$w$$1$$h= \frac{1}{24}z$

かつ、$w\in\{M(z, h)_{h}\overline{0}\}’(\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o})_{+}\backslash \{0\}$$\exists v\in\{M(z, \text{ん})_{h’}^{\overline{0}}\}^{(\mathrm{i}_{\Gamma})_{+}}\mathrm{v}0\backslash \{0\},$$\dim\{M(z, h)^{\overline{0},(\mathrm{i}\mathrm{r})}h\}0+=$の元を$\exists w\in\{M(z, h)^{\overline{0}(^{\mathrm{i}\mathrm{I}}\cdot)}hl’\}0+\backslash \{0\}$$w_{Q}$と書く

が、 $h”>h’$ かつ$w\in U((\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}_{0})-)v$$varrow w$
口と記すことにする。
を $M(z, h)$ の even highest weight vector とすると、 以下の図式を得る。
また、$v_{z,h}$

$i$

$2$

: 特異ベクトル$M(z, h_{0})$$h_{0}$$M(z, h_{1})$$v_{z,h_{0}}$$\downarrow$$w_{Q}$$h_{1}$$M(z, h_{2})$$v_{z,h_{1}}$$w_{2P+Q}\nearrow$$w_{Q}\downarrow$$\searrow w_{Q}$$h_{2}$$w_{2P+Q}w_{Q}\nearrow\searrow v_{z},h_{2}$$w_{2P+Q}\downarrow$$w_{Q}\downarrow$$w_{Q}\downarrow$$h_{3}$$w_{Q}\downarrow$$w_{Q}\downarrow$$w_{2P+Q}\downarrow::$$h_{4}$$w_{Q}\downarrow$and so on.

$w_{2P+Q}\downarrow::$::

実は、 定理 1.1 にある単射でない non-trivial な $Vir_{0}$-module map については、 以下の定理が示せる:定理 23 $i>i>0$ とし、$Vir_{0}$-module map とする$0$$\varphi$: $M(z, h_{j})arrow M(z, h_{i})$ を単射でない non-trivial な

このとき、$\varphi(v_{z,h_{j}})\in \mathbb{C}w_{2PQ}+\cup \mathbb{C}w_{Q}$となる。

も簡単に記述できる。こうなると、既約 highest weight module $L(z,$の Bernstein-Gel’fand-Gel’fand 型の Resolution を得るのは簡単な話である
それは、実
際、 次の形をしている。
また、このとき、$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi,$${\rm Im}\varphi$$\circ$

命題 24 以下の完全系列が存在する。
$arrow M(z, h_{2})arrow M(z, h_{1})arrow M(z, \text{ん}0)arrow L(z,$ $\text{ん_{}0)}arrow 0$.

$h_{\mathit{0})}$

7
さて、 これで、 -応 Verma 加群 $M$ ( , ん i) の構造については、 それなりに述べたのであるが、 ここまで来ると、 元々の Verma 加群 (pre-Verma 加判) $N(z, h_{0})$ の構造についても、$z$

言述べておいた方が良いであろう。
まず、 次の短完全列が存在することに注意する :$\mathrm{O}arrow\Pi M(z, \frac{1}{24}z)arrow N(\iota\frac{1}{24}Z)z,arrow\pi M(Z, \frac{1}{24}z)arrow 0$

このとき、 以下の補題が従う

補題 25$i\in \mathbb{Z}_{>0}$

.

(2)

:

とするとき、,$\{N(z, h_{0})h_{i}\}(\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o})+\subset{\rm Im}\iota$

従って特に、$\tau\in \mathbb{Z}_{2}$に対して、$\dim\{N(Z, \text{ん_{}0})_{h:}\tau\}(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o})+=1$を得る。
つまり、 $M(z, \frac{1}{24}z)$ の highest weight vector 以外の特異ベクトルの に依る引き戻しは、
特異ベクトルにはなり得ない。 (2) より、 ベクトル空間として $N(z, \frac{1}{24}z)$ は$\pi$$N(z,Z\overline{2^{\wedge}4})=\Pi M(Z,Z\overline{2^{-}4})\oplus M(_{Z},Z)\overline{2^{-}4}$のと分解するが、 この分解に関して、
をそれぞれ
に対して、
する。 また、$\in\pi^{-1}(w_{i})$ は異ベクトルとし、とする。 このとき、 以下の命題が成立する$N(z, \frac{1}{24}z)$$i\in \mathbb{Z}_{>0}$$w_{i},$$w_{i}^{\Pi}$$M(z, \frac{1}{24}\mathcal{Z})_{h:},$$\mathrm{p}\mathrm{r}(w_{i}’)\in U(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o}).\mathrm{w}_{i-1}^{\Pi}$$w_{i}’$:

命題 26$i\in \mathbb{Z}_{>1}$への射影をと書くことにに属する特を満たすようなものを選んだ$\square M(z, \frac{1}{24}z)$$\mathrm{p}\mathrm{r}$$\Pi M(z, \frac{1}{24}z)h_{i}$とする。 このとき、$U((\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}0)_{+}).w_{i}^{;}\subset U(\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o}).w^{\prod_{-}}i1$が成立する。

3

おまけ & 宣伝

超代数もほとんど rank 2 的な振る舞いをしてい以上、見てきたようにるために、 その詳細な構造は Jantzen filtration の解析で得られる。詳しいことに興味のある方は、 私と大阪大学の古閑 義之氏との共同研究で得られた結果を書いた論文 [IK]を見ていただきたい。
なんか、 どうでもええから、 もとのしかし、 ぶ ちあけた話し、 大半の人は、「Virasoro 代数の表現論の方がわからへんかなあ ? 」 と思われるであろう。そこで、 それならばを見れば良い、 と言いたいところではあるがそのような 人でな I なことと格闘すること 1 年強、 でようやく読めたを言うのも偲びない。 そこで、 我々ものであるが 転んでもタダでは起きぬ’ とばかりに、 関連内容も含めた詳細な 書 [Book]を準備中なので、 興味を持たれたら御–読の上、 批判をしていただきたい。
最後に、 ここ数年の共同研究者の 1 人である古閑氏及び、 この短期共同研究集会の主$N=1\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}$$\mathrm{s}_{\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{e}}\mathrm{r}$$\text{っ}$$\backslash$$[\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{F}\mathrm{u}]$$[\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{F}\mathrm{u}]$$\backslash$$i\backslash$催者である中島達洋氏に感謝します。

8
参考文献
$-$

$[\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{F}\mathrm{u}]$. and Fuchs D.B., Representations of the Virasoro algebra, Adv. Stud.
FeiginContemp. Math. 7, 465-554, Gordon and Breach Science Publ. New York, 1990.
$\mathrm{B}.\mathrm{L}$[IK]-

Iohara, K. and Koga, Y., Representation Theory of Neveu-Schwarz and Ramond
A lgebras I: Verma Modules, preprint.

[Book]

Iohara, K. and Koga, Y.,$\backslash \backslash \mathit{4}$書、 準備中.