デバイスは，材料という 舞台 での，電子や光のパフォーマンスを利用する

数学月間(π〜e）

Two packing modes of MeO-BMPH and Me-BMPH

数学の周辺の話

舞台セットの解明

数学への共感喚起----------第４回数学月間懇話会（2008.07.22）

SHG不活性P21/a
Me-BMPH谷 克彦----------

β=91.94°
Dｘ=1.154[g/cm3]

結晶空間群の拡張→空間亜群，高次元空間繰り返し（周期）のある世界．準結晶格子．

SHG強

P21
MeO-BMPH

逆問題 データ解析．
RMCシミュレーション

β=96.81°
Dx=1.219[g/cm3]双対空間 Fourier変換
最速降下曲線→最小作用の原理
抽象化は数学の醍醐味
sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

X線が関与する主要な評価技術
透過像1895 Roentgen
X線の発見

吸収ｺﾝﾄﾗｽﾄ1912 Laue
回折実験

位相ｺﾝﾄﾗｽﾄ(屈折）X線による透過像トモグラフ
CT...1915... Bragg 父子
構造解析

1913 Maurice de Broglie 1920 Kossel 1931 Kronig
吸収端観測
XANES
EXAFS

回折
XRD, SAS

吸収分光
XAFS, NEXAFS

1971 Sayers, Stern, Lytle
Fourier transform of EXAFS

レントゲンの妻の手（1895）
吸収コントラスト

走査X線顕微鏡
STXM

1905 Einstein
E =hν-W

1900 Planck
光量子

ﾏｯﾋﾟﾝｸﾞ

1940 Penning
Ne*+Ar→Ne+Ar++esgktani@gmai.com

Laueの実験

クモの牙の3D画像
From ESRF highlights
位相コントラストCT

電子分光
XPS, UPS, PIES

ダンゴムシ.(2003)
SPring8，Kagoshima, et al.
位相コントラストsgktani@gmai.com

アンジオグラフィ
ヨウ素の吸収

写真：NSLS（米）（’９１．９．３０撮影）

X線は，結晶格子で回折を起こす電磁波であることを証明した．初の実験は硫酸銅結晶を用いた．右図の実験は，その後実験したセン亜鉛鉱に対するものである．
sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com

sgktani@gmai.com（APS資料より）1χ (k ) = Im ∑ −b

 2R 
1f (k , π ) exp{i (2kRab + 2δ a (k ))} exp− ab  exp(−2σ 2 k 2 )2 bkRab λ (k ) 

XANES

実空間

0.60

逆空間

F(R)

ρ (r)

Sb2Te3EXAFS←双対空間→

I(R)F
Fourier変換

0.50
0.400.30

K吸収端ｽﾍﾟｸﾄﾙ↓XAFS（XANES＋EXAFS）
↓μｔ

0.20
0.10
0.0 40.00

EXAFS

χ

0.0 2-0.10

Fourier Tr.

0.0 0-0.0 2-0.20

02468101214

k[cm - 1 ]-0.0 4局所構造-0.30

F(R)=FHρ (r)I-0.40
30.3

30.4

30.5

30.6

30.7 30.8 30.9
31Photon energy [k eV]

31.1

Sb K-edgeE0

31.4 Sb̲site
31.5 in Sb2Te3

31.2
31.3
0.05

FT[χ(k)*k3]30.2

光電子波の波数： k = 2m(hω − E0 ) / h

0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
-0.01 0
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05

magnitude
Im12345678

sgktani@gmai.com

結晶とｱﾓﾙﾌｧｽ（Siの例）

因果律（NMC ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）
乱れI(R)=FHρ (r)ρ (r)Ir[Å]sgktani@gmai.com

結晶

観測できるのは強度

散乱問題

非晶質

局所構造は同じ

原因
結晶

ｱﾓﾙﾌｧｽ

並進周期あり並進周期なし• ｿｰﾗｰ・ｾﾙへの応用

結果

sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

群概念（予定調和）の拡張 ⇒ 生成と乱れの記述へ

古典結晶群の完成まで

1848 Bravais
1669 Steno

ﾌﾞﾗﾍﾞｰ格子

1772 Delisle

1839 Miller

面角一定の法則

ﾐﾗｰ指数

1783 Hauy

有理指数の法則

1890…1894
Fedorov
1848 Bravais Schoenflis
ﾌﾞﾗﾍﾞｰ格子 Balows1830 Hesselｹﾌﾟﾗｰ予想
1890…1894 1900 Hilbert→1998ﾄﾏｽ･ﾍｰﾙｽﾞ→1911 Bieberbach
Fedorov...1978
Schoenflis...1956
Wondratschek
BalowsShubnikov
４次元空間群
空間群
Belov

多色群

結晶点群
群の拡張へ

空間群

古典結晶群

1905 Brant

B亜群
1940... 伊藤，定永

結晶格子はデジタル世界

群の拡張

1830 Hessel

双晶空間群

結晶点群

1956...Dornberger-Schiff

1974 Penrose

OD構造

非周期
ﾀｲﾘﾝｸﾞ

1895 Roentgen
X線の発見
1912 Laue
回折実験
sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com...1968...
Koptsik
Zamorzaev

実験...1915... Bragg 父子
構造解析

sgktani@gmai.com

1984
Shechtman
Steinhardt

準結晶

1975
Mandelbrot

1981
山本

ﾌﾗｸﾀﾙ

不整合構造

非周期は無理数世界

2

X線が関与する主要な評価技術
透過像1895 Roentgen
X線の発見

吸収ｺﾝﾄﾗｽﾄ1912 Laue
回折実験

位相ｺﾝﾄﾗｽﾄ
(屈折）

トモグラフ
CT

２次元の結晶世界・・・独立な２方向に並進・５種類の格子回折
XRD, SAS...1915... Bragg 父子
構造解析

1913 Maurice de Broglie 1920 Kossel 1931 Kronig
吸収端観測
XANES
EXAFS３次元の結晶世界・・・独立な３方向に並進

吸収分光
XAFS, NEXAFS

1971 Sayers, Stern, Lytle
Fourier transform of EXAFS

ﾏｯﾋﾟﾝｸﾞ

走査X線顕微鏡
STXM

1905 Einstein
E =hν-W

1900 Planck
光量子［ラウエの実験（1912）で実証］

４次元の結晶世界・・・独立な４方向に並進

電子分光
XPS, UPS, PIES

1940 Penning
Ne*+Ar→Ne+Ar++e-・１４種類の格子
ブラベー（1848）

・74種類の格子（対掌体10含む）
ブラウン，マッケイ，ベーロフ，ヴォンドラチェック（1963〜1978）

sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

3次元鏡映と４次元空間の回転繰り返し（周期）のある世界 並進，格子

鏡像は虚像！
乳酸mx

mx

ｙ2yB

１00１１BC

１000１00011C

邂逅(1944)より

sgktani@gmai.com色平面群の例
Pg

2次元空間＋1次元性質空間

Pb(3)M.C.EscherPgsgktani@gmai.com

P6

P6（３）

回教の東京ジャーミー（東京，代々木上原）

爬虫類(1943)より
By M. C. Escher
sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com

sgktani@gmai.com

3

sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

２次元の結晶点群4mmm

2次元のブラベー格子

sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

点群の記述では，主軸をZ軸にとり，先頭に書くのが習慣，2ZmXmY

空間群Φ は，点群GあるいはG(modT)の並進群Tによる拡大

Φ ＝G × T

Φ ＝G (modT) × T

Pmm2=T◎2mm
格子, X,Y,Z軸点群G

Pmg2＝T◎2mg(modT）

格子T

Φ >T

（ T は正規部分群）

Φ /T ≅ G
φ

T を核とする準同型写像（＝格子分の移動は同価とみなす）
G

Pgg2＝T◎2gg(modT）

sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com

esgktani@gmai.com

4

2次元空間群

壁紙模様１７種

中間まとめ●結晶世界は周期的並進群（格子）が存在 T

ﾃﾞｼﾞﾀﾙ世界．有理数の世界．ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽ派の理想世界

Φ / T ≅ Gcryst●空間群 → 点群 に縮小
並進で重なるものは同じと思え mod(T)Gcryst ⊆ Gdiff●因果律： 結晶 → 現象
NMCurie原理
実空間⇔逆空間結晶⇔構造因子 →回折像
f (r ) ⇔ F ( R) → F ( R)

Fourier双対空間

逆問題は一意に解けない●空間群の拡張
準周期構造．群概念の拡張．高次元への拡張．色群．
sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

回折像の対称性＝原子間ベクトルの集合（star）の対称性

構造

・ 操作のいかなる連続も閉じている⇒ 群・・・・・・・予定調和の世界．死の世界．
・ いくつかの操作により生成される⇒ 群をなさない・・・・・・・成長する世界．万華鏡像．自己組織化．

回折像の対称性

どちらも同じstarを与える
sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

回折像に４回対称を生じる構造例

回折像に鏡映対称を生じる構造例

構造

回折像の対称性sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com

sgktani@gmai.com

5Groupoid defined by Brandt(1926)
Uniquness of composition

次元を上げて見るとわかる
Desarguesの定理

Associativity in composition

Existence of right/left unit and inverse elements
３次元で考える

2次元で考えるsgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

１次元準結晶（格子）Penroseのタイル貼り−2次元準結晶（格子）

有理数の世界から無理数の世界へ

tan α =

Esin α1=
cos α (1 + 5 ) / 2α

cosα，sinαの２つの長さが現れる

5次元E5の超立方格子↓//

4次元E4⊥ に射影（E4‖は単位密度）E⊥↓
2次元E２⊥に射影（E２‖は単位密度）

フィボナッチ数列

tanαが無理数なら非周期

sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

RMC（リバースモンテカルロ）法Sb-In系合金（アモルファス-結晶）相変化の構造解析
スペクトル1diffraction

0.8S(k)Al-Mn系合金準結晶の電子線回折像

RMC fitexpt.

0.40.0-0.40

スペクトル２2468k/10EXAFS-Sb101214-1Sb EXAFS Spectrum

χ(k)k

35RMC fit
expt.

0-5

スペクトル３-104・・・・・・・・

810k/

計算スペクトル12sgktani@gmai.com

14-1

スコア評価

構造
原子数（8k〜30k個）

Shechtman（1984）
Hiraga（1985）

ｓｇｋtani@gmail.com

6

測定スペクトル

ランダムに原子を選び位置を変化させる

sgktani@gmai.com

6

ケプラーからニュートンへ
閑話休題◇ケプラー： チコ・ブラーエの膨大な観測データを解析した
１．惑星の軌道は楕円である．（1605）
２．面積速度一定．
３． a 2 / T 3 = 一定 (楕円の長半径 a，公転周期 T )◇ガリレオ（1564〜1642）落体の法則
x = (1 / 2 )gt 2

Relativity（1953） by M.C.Escher◇ニュートン （プリンキピア；1687）
万有引力の逆２乗則から，楕円軌道が導ける．
流率法（幾何学的微分法）

sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

サイクロイドについて

変分原理（最小作用の原理へ）事の起り：
最速降下曲線を求めよ（幾何学者には良く知られた曲線になる）
ヨハン・ベルヌーイが，ライプニッツの雑誌に提起（1696.7）

A

締め切り：1697.1.1⇒イースターまで（ライプニッツは，不公平がないよう期限延長を提案した）B

回答者：ライプニッツ，ニュートン，ヤコブ・ベルヌーイ，ロピタル
ニュートン：
王立造幣局の仕事が大忙しで，午後四時までは家にも帰れず，くたくたに疲れていたのじゃが，その問題を解くまでは寝なかった．といっても，朝の四時までには解けてしまったんじゃが．
ニュートンはその解答を匿名で送り返した．
ヨハン・ベルヌーイ：「この獅子の爪跡を見れば，あのイギリスの天才の仕業だと分かる」とたいそう悔しがった．
sgktani@gmai.com

最小作用の原理t2

S = ∫ L(q, q& , t )dt作用

sgktani@gmai.com

抽象化は本質を明らかにし，飛躍を呼ぶ！

・原理とは 実験結果を一般化したもの→仮説検証の機会が広がる---ポアンカレ：科学の価値 (1905)，科学と仮説（1902）---t1t2
 ∂L d ∂L ∂LδS = ∫ δLdt = δq |tt12 + ∫ δq −dt = 0∂q&
 ∂q dt ∂q& t1t1t2∂L d ∂L−=0∂q dt ∂q&オイラー，ラグランジュにより発展⇒ハミルトン

m 2q& − U (q)2
 E2 − H 2 A ⋅ j
L = ∫ +− ρϕ dVc
 8π
1 ∂A
H = rot A , E = −− ∇ϕc ∂tL=

エネルギー保存の原理
作用反作用相等の原理
相対性の原理質量保存の原理⇒Newtonの力学• 最小作用の原理⇒Maxwellの電磁気学

注）・対称性と保存則→ネーター（1882-1935）の定理・因果律，線形応答

sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com

•
•
•
•

sgktani@gmai.com

7物理⇔数学

数学自体（抽象化）として発展
数学はあらゆる多数の新分野の開花
分野に現れる----------------------1900----------------------------------------現在------------

on the shoulders of giants
もしも私が，ほかの人たちよりわずかでも遠くを見たとすれば，それは巨人たちの肩の上に乗っているからなのです．
･･････ニュートン（1675）･･････• 論理（解析型）と直感（幾何型）• 視覚（運動）空間• 高次元幾何空間→射影で認識・ アインシュタイン（1879-1955）
数学は現実の世界とのつながりをもたない• 大量データの解析（コンピュータ）
統計，確率，シミュレーション（RMCなど），• カオス

・ ポアンカレ（1854-1912）
物理学は何が真実か教えてくれない−マルコム.E.ラインズ；物理と数学の不思議な関係−
sgktani@gmai.com

sgktani@gmai.com

双対性．相反性．正負： 類比概念
・ 数学と科学（宇宙）に類比はあるのか？
・ 宇宙は，数学をフルに利用（模倣）しているのか？
・ 数学にはあるが，宇宙で未発見の類比は見出されるのか??

閑話休題

・・・・
・

+/- → 陽電子/電子，etc．
有理数/実数 → デジタル/アナログ
Fourier変換対 → 実空間/逆空間
時間の正負 → 可逆/非可逆 （微視的/巨視的）∞； コッホ曲線，フラクタル → パーコレーション

・

実数/虚数 → 物理量/位相計測

注） 双対性：sgktani@gmai.com

数学月間テーマ

数学と基礎科学
数学と生命科学
数学と社会科学
数学の教育再生
数学と工業・・・・・・
映画，認識・識別，シミュレーション，建築，芸術，暗号，脳，選挙，・・・・・・

位数２の異種配置間の同型−高橋秀俊；数理と現象（ 1975 ）よりー
sgktani@gmai.com

数学月間（7/22〜8/22）のこころ
数学への共感促進⇒数学愛好者の増加

数学の魅力(a) 抽象化は，本質を抽出する．
これぞ数学．論理を発展・展開！
(b) 数学を身辺の課題に適用し，課題を考察・解決．
数学はあらゆる所に現れる！
抽象化は，精神を自由にし，飛躍が呼ぶ．
しかし，始めから抽象化されたものでは，面白くない．
−伏見康治；文様の科学（数学セミナー 67.5− 69.10）より−

・数学と社会のつながりを考える
・日常生活から教材を日本数学協会，SGK世話人：谷 克彦

sgktani@gmai.com

ｓｇｋtani@gmail.com

sgktani@gmai.com

8