Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

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Journal of Algebra
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Minimalité et abyssalité des extensions abéliennes
et projectives de Q
Bruno Deschamps ∗Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, France

i n f oa r t i c l eHistorique de l’article :Reçu le 28 septembre 2014
Disponible sur Internet le xxxx
Communiqué par Eva
Bayer-Fluckiger
Keywords:
Inverse Galois theory
Shafarevich conjecture
Galois cohomology
Projective groupsr é s u m éDans cet article nous classiﬁons complètement les sous-corps
projectifs minimaux de Qab . Nous nous intéressons ensuite
à l’existence d’extensions abéliennes et projectives de Q
qui ne contiennent aucun sous-corps projectif minimal. En
marge de ce travail nous faisons le lien entre ces questionset les conjectures de Shafarevich, Fried–Völklein et Dèbes–Deschamps pour proposer une description simple du groupede Galois absolu du corps des rationnels.
© 2015 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

a b s t r a c t
In this article we classify all the minimal projective subﬁeldsof Qab . We then focus on the existence of a projective abelian
extension of Q which contains no minimal projective subﬁeld.
Alongside this work we make the link between these issues
and the conjectures of Shafarevich, Fried–Völklein and Dèbes–Deschamps, to propose a simple description of the absolute
Galois group of the ﬁeld of rational numbers.
© 2015 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

* Auteur correspondant à : Département de Mathématiques, Université du Maine, Avenue Olivier
Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France.
Adresse e-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr.
http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.047
0021-8693/© 2015 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

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1. Introduction
En 1964, Shafarevich a émis une importante conjecture, à ce jour toujours non démontrée, qui prévoit que le groupe de Galois absolu de la clôture abélienne Qab de Q est
isomorphe au groupe prolibre de rang dénombrable Fω (ici ω = ℵ0 désigne le cardinal
du dénombrable). Il existe une généralisation notable de la conjecture de Shafarevich,due à Fried et Völklein, et qui prévoit que le groupe de Galois absolu d’un corps hilbertien, projectif et dénombrable est prolibre. Cette conjecture a été elle-même étendue parDèbes et Deschamps, en une conjecture très générale (voir [1] pour le détail). Si Shafarevich a focalisé son attention sur le corps Qab en ce qui concerne la liberté de certaines
extensions de Q, nous allons voir dans ce texte qu’il est légitime pour cette question, deconsidérer de bien plus petites extensions abéliennes de Q.
Le caractère projectif du corps Qab est souvent présenté comme une conséquencede la théorie du corps de classe. Son caractère hilbertien découle d’un théorème de
Kuyk qui assure que toute extension abélienne d’un corps hilbertien est encore un corps
hilbertien. De ce point de vue, tout sous-corps strict de Qab est donc hilbertien et,sous la conjecture de Fried–Völklein, dès qu’un tel corps est projectif, son groupe deGalois absolu se révèle être prolibre et devient donc un candidat plus petit que Qab à laconjecture de Shafarevich.
Sous la conjecture de Shafarevich, on a la suite exacte
1FωGal(Q/Q)∗Z

1dont il est mal aisé de tirer une description de Gal(Q/Q) à proprement parler. Par
exemple, cette suite n’est pas scindée : si c’était le cas, Gal(Q/Q) contiendrait des éléments de torsion non involutifs, ce qui est impossible d’après la théorie d’Artin–Schreier.
 ∗ en quelque choseSi, dans cette suite exacte, on est en mesure de changer le facteur Zd’un peu plus proche d’un groupe projectif, on peut espérer en dire plus sur le groupe
Gal(Q/Q). A cet eﬀet, l’étude des sous-corps projectifs minimaux de Qab menée dansle §1.1. nous amène dans le §2.3 à montrer que, sous une forme un peu optimisée de laconjecture de Shafarevich (conjecture qui reste beaucoup moins générale que celles deFried–Völklein et Dèbes–Deschamps), on peut montrer qu’il existe un isomorphisme dela forme  Z/2
Gal(Q/Q)  Fω  Z
La remarque 11 de ce texte apporte quelques précisions sur la nature des actions
considérées dans ces produits.
L’objet principal de cet article est d’explorer la famille des sous-corps projectifs de
Qab et de tenter de les cataloguer. Dans le §2.1 nous décrivons explicitement les extensions abéliennes projectives minimales (pour ces deux propriétés) de Q. Il s’agit en faitdes plus petit sous-corps totalement imaginaires de Qab qui contiennent la Z-extension

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de Q (théorème 6). Dans le §3 nous nous intéressons aux sous-corps projectifs de Qabqui ne sont extensions d’aucun sous-corps projectif minimal (que nous appelons corps
abyssaux dans ce texte). Nous montrons qu’il en existe et nous en explicitons certains(théorème 13), la proposition 14 montrant que l’on peut en trouver qui sont, d’une
certaine manière, aussi proches que l’on veut de Q.
2. Extensions abéliennes projectives minimales
Rappelons pour commencer qu’un corps K est dit projectif, si son groupe de Galois
absolu Γ = Gal(K sep /K) est un groupe (proﬁni) projectif, c’est-à-dire si tout problème deplongement ﬁni pour Γ possède une solution faible. Il existe une série de caractérisations
de la projectivité d’un corps, que l’on pourra par exemple trouver dans [4]. La plus
notable est sans doute celle qui assure que le corps K est projectif si et seulement ladimension cohomologique de Γ est ≤ 1. On en déduit que, si K est projectif, alors toutes
ses extensions algébriques L/K le sont aussi. Dans cette situation, les groupes de Brauer
des extensions algébriques L de K vériﬁent tous Br(L) = 0. En caractéristique 0, cettedernière propriété caractérise réciproquement le fait pour K d’être projectif.
Pour ce qui est des extensions abéliennes projectives de Q, il est relativement facilede construire des sous-corps projectifs stricts de Qab . A cet eﬀet, rappelons le lemmeclassique de cohomologie galoisienne :Lemme 1. (Voir [4, Proposition I.3.3.14].) Si H est un sous-groupe ouvert d’un groupe
proﬁni G et que pour un nombre premier p donné on a cdp (G) < +∞ alors cdp (G) =cdp (H).
Dans l’isomorphisme usuel
Gal(Qab /Q)  Z/2 ×
Z/(p − 1) × Z

p=2√le premier facteur Z/2 correspond à l’extension Q( −1)/Q qui est totalement imaginaire.
Ainsi, si l’on considère le sous-corps Mq de Qab laissé ﬁxe par le facteur Z/(q − 1)Zpour un premier q = 2, ce corps est alors lui aussi totalement imaginaire et vériﬁe, parconséquent, que son groupe de Galois absolu est de dimension cohomologique ≤ 2. On
peut donc appliquer le lemme 1 pour tout premier p et obtenir ﬁnalement la projectivité
du corps Mq .
2.1. Classiﬁcation
Pour tout premier p, on notera Q(μp∞ ) l’extension galoisienne engendrée par les racines pn -ièmes de l’unité quand n varie. Il est classique que
Gal(Q(μ2∞ )/Q)  Z/2 × Z2 et Gal(Q(μp∞ )/Q)  Z/(p − 1) × Zp pour p = 2

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Dans cet isomorphisme, pour p = 2, le facteur Z/(p − 1) correspond au groupe deGalois de l’extension Q(ξp )/Q où ξp désigne une racine primitive p-ième de l’unité. Le√
facteur Z/2 correspond lui à l’extension Q( −1)/Q. Quant au facteur Zp , il correspondau groupe de Galois de l’unique Zp -extension de Q que nous noterons Zp dans la suitede ce texte. Il s’agit d’une extension totalement réelle de Q qui est totalement ramiﬁée
en p. On notera aussi Z le compositum pour tous les premiers p des corps Zp , c’estl’unique Z-extension
de Q. Le théorème de Kronecker–Weber assure que le corps Qab
est égal au compositum des corps Q(μp∞ ). Chacun de ces derniers étant linéairement
disjoints du compositum des autres, on retrouve l’isomorphisme usuel
Gal(Qab /Q)  Z/2 ×
Z/(p − 1) × Z

p=2annoncé plus haut.
Pour l’étude des sous-corps projectifs de Qab commençons par exploiter le lemme 1 :Proposition 2. Soit Ω/Q une extension galoisienne. Si Ω est projectif, alors il est totalement imaginaire et si Ω est un sous-corps totalement imaginaire d’indice ﬁni sous Ωalors, Ω est projectif.
En conséquence de quoi, si Ω est un corps projectif, extension abélienne de Q, et si
Gal(Ω/Q) contient un élément de torsion d’ordre impair ou au moins deux involutions,alors Ω n’est pas un corps projectif minimal.
Preuve. Puisque l’extension Ω/Q est galoisienne, si Ω n’est pas totalement imaginairealors il est totalement réel. Dans ces conditions, la conjugaison complexe est élément deGal(Q/Ω), groupe qui, possédant de la torsion, ne peut pas alors être projectif.
Pour montrer la suite de la proposition, nous appliquons le lemme 1 en posant G =Gal(Q/Ω ) et H = Gal(Q/Ω). Par hypothèse, cdp (H) ≤ 1 pour tout premier p, maiscomme Ω est supposé totalement imaginaire sa dimension cohomologique est ≤ 2 etdonc, en vertu de ce que l’on vient de rappeler, pour tout premier p on a cdp (G) =cdp (H) ≤ 1. Ceci prouve que Ω est projectif.
Supposons maintenant que Ω soit un corps projectif, extension abélienne de Q etconsidérons un élément σ ∈ Gal(Ω/Q) d’ordre impair ou alors qui est une involution qui
n’est pas égale à la restriction à Ω de la conjugaison complexe. Le corps Ω = Ω<σ> est
alors un sous-corps strict d’indice ﬁni de Ω, extension galoisienne de Q, qui vériﬁe quela restriction de la conjugaison complexe à Ω n’est pas triviale. Le corps Ω est donc
totalement imaginaire et en appliquant ce qui précède, on voit que Ω est projectif. 2
En appliquant cette proposition, on voit que si P0 désigne un ensemble ﬁni de nombres
premiers impairs alors le sous-corps M de Qab des éléments laissés ﬁxes par le facteur
abp∈P0 Z/(p − 1) de Gal(Q /Q) est projectif.
On est donc en mesure d’exhiber une suite strictement décroissante (Mn )n≥1 de souscorps de Qab qui sont tous projectifs. Par exemple, on considère, pour n ≥ 1, le sous-corps

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de Qab des éléments laissés ﬁxes par le facteur
nombre premier). Il vériﬁeGal(Mn /Q)  Z/2 ×5p≤pn Z/(p −1) (pn désignant ici le n-ième
Z/(p − 1) × Z

p>pn

et l’on voit alors que, si l’on est mesure de passer à la limite, on pourrait se débarrasser

du facteur inﬁni p=2 Z/(p − 1) de Gal(Qab /Q) et préserver le caractère projectif ducorps ainsi obtenu.
On peut, en eﬀet, faire une telle chose. Le corps ainsi obtenu est même un sous-corps
projectif minimal de Qab . Pour démontrer cela on va utiliser une importante propriété
de projectivité des extensions algébriques de Q : considérons une extension algébrique
k/Q ﬁltrée par une famille (ki /Q)i de sous-extensions ﬁnies. Pour une place v de k, onnote (ki )v le complété de ki pour la place induite par v sur ki et l’on déﬁnit le degré local
de k en v comme étant le nombre surnaturel suivant :nv (k) = ppcm[(ki )v : Qv ]On a alors :Théorème 3. (Voir [4, Proposition II.3.3.9].) Soit k/Q une extension algébrique et p
un nombre premier. On suppose que p = 2 ou que k est totalement imaginaire. On a
cdp (k) ≤ 1 si et seulement si pour toute place ultramétrique v de k, l’exposant de p dansnv (k) est inﬁni.
Appliqué au cas des extensions cyclotomiques, cela donne :Corollaire 4. Soient p un nombre premier et L/Q une extension algébrique tels que, soitp = 2, soit L est totalement imaginaire. Si Zp ⊂ L alors cdp (L) ≤ 1.
Preuve. La preuve de ce corollaire repose sur la parfaite connaissance des données deramiﬁcation dans les extensions cyclotomiques. Rappelons à cet eﬀet le très classiquelemme :
Lemme 5. Soient m un entier et  un premier. On écrit m = k a avec (a, ) = 1. Dansl’extension Q(ξm )/Q, l’indice de ramiﬁcation de  est égal à e = ϕ(k ) et son degré
résiduel est égal à f = ωa (), l’ordre (multiplicatif) de  modulo a.
Pour tout entier n ≥ 1 nous noterons Zp,n la sous-extension de Zp qui vériﬁe
Gal(Zp,n /Q) = Z/pn Z. Considérons alors une place v de L.
Si v relève le premier p, alors l’extension Zp /Q étant totalement ramiﬁée en p on voitque [(Zp,n )v : Qp ] = pn et donc l’exposant de p dans le degré local nv (L) est inﬁni.
Si v relève le premier q = p, alors q ne se ramiﬁant pas dans Zp , le degré [(Zp,n )v : Qq ]est égal au degré résiduel de q dans Zp,n . Comme rappelé dans le lemme 5, le degré

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résiduel de q dans Q(ξpn+1 ) est égal à l’ordre multiplicatif ωpn+1 (q). Puisque q ωpn+1 (q) ≥pn+1 , on voit que limn ωpn+1 (q) = +∞ et comme ωpn+1 (q) divise (p − 1)pn , on en déduit
que l’exposant de p dans ωpn+1 (q) tend vers +∞ avec n. Puisque Q(ξpn+1 ) = Zp,n .Q(ξp ),on voit que l’exposant de p dans le degré résiduel de q dans Zp,n tend aussi vers +∞avec n. Ainsi, l’exposant de p dans le degré local nv (L) est inﬁni et l’on peut donc
appliquer le théorème 3 pour conclure. 2
On est maintenant en mesure de caractériser les sous-corps projectifs minimauxde Qab :Théorème 6. Soit Ω ⊂ Qab un corps. Les propositions suivantesi) Ω est un corps projectif minimal,ii) Ω est égal au compositum du corps Z et d’un corps de nombres totalement imaginaire C, extension 2-cyclique de Q,iii) Ω est un corps totalement imaginaire et il existe un entier r ≥ 1 tel que Gal(Ω/Q) 
Z/2r × Z,iv) Ω est un corps minimal pour les deux propriétés suivantes : il est totalement imaginaire et contient le corps Z ,sont équivalentes.
Preuve. ii) =⇒ iii) Le corps Ω est certainement totalement imaginaire puisqu’il contient est un groupe
C qui est totalement imaginaire. Maintenant, puisque Gal(Z /Q)  Z
projectif, il se relève dans le groupe Gal(C.Z /Q) et comme ce dernier groupe est abélien, Par un argument galoisien classique,on en déduit que Gal(C.Z /Q)  Gal(Ω/Z ) × Z.
on voit que le groupe Gal(Ω/Z ) est le relevé d’un sous-groupe de Gal(C/Q) et est donc,
par suite, un 2-groupe cyclique.
 le corps Ω est le compositum de deuxiii) =⇒ ii) Puisque Gal(Ω/Q)  Z/2r × Z,
extensions galoisiennes linéairement disjointes sur Q, C et L, vériﬁant respectivement
Gal(C/Q)  Z/2r et Gal(L/Q)  Z.

Maintenant, le corps Q ne possède qu’une seule Z-extension
qui est L = Z . Par
ailleurs, L étant totalement réelle, si C était totalement réelle il en serait de même deΩ ce qui est contraire aux hypothèses. Ainsi, C n’est pas totalement réelle et est donc
nécessairement totalement imaginaire, en tant qu’extension galoisienne de Q.
ii) =⇒ i) Le corps Ω est certainement totalement imaginaire, puisqu’il contient uncorps totalement imaginaire. Le fait que Ω soit projectif est alors une conséquence immédiate du corollaire 4. Montrons maintenant qu’il est minimal.
Supposons qu’il existe un sous-corps strict L ⊂ Ω qui soit projectif. Puisque par le groupe H = Gal(Ω/L)
hypothèse il existe un entier r ≥ 1 tel que Gal(Ω/Q)  Z/2r ×Z,r
est alors un sous-groupe fermé non trivial de Z/2 × Z. Il ne peut être inclus dans lefacteur Z/2r car sinon, H contiendrait l’unique involution de Gal(Ω/Q) laquelle est laB. Deschamps / Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

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restriction de la conjugaison complexe à Ω. Dans ces conditions, L serait invariant par la
conjugaison complexe et alors le groupe Gal(Q/L) contiendrait un élément de torsion cequi contredirait son caractère projectif. Le groupe H contient donc un élément g ∈/ Z/2rr
 est sans torsion, 2 g est alors un élément non trivial de H ∩ Z.
et comme Z
Ainsi, H0 = H ∩ Z est un sous-groupe non trivial de Z et doncH0 =pnp Zpp∈P0

où P0 désigne un certain ensemble non vide de nombres premiers et (np )p∈P0 une collection d’entiers. Si l’on considère le corps L0 des invariants de Ω par H0 , on a
Gal(L0 /Q) = Z/2r ×Z/pnp ×
Zp
p∈P
/ 0

p∈P0

et, par ailleurs, L0 en tant qu’extension de L est un corps projectif. Ceci est impossible,
car si p ∈ P0 alors l’exposant de p dans le degré [L0 : Q] est ﬁni (égal à np si p = 2 et
2r + n2 si p = 2). Puisque le degré local de L0 en n’importe quelle place divise [L0 : Q],on en déduit par le théorème 3 que cdp (L0 ) ≥ 2.
Remarque. Une autre manière de voir la non projectivité du corps L0 repose sur la bonne
connaissance de Br(Q) : si l’on suppose que L0 est projectif, alors son groupe de Brauer
est nul et la suite exacte d’inﬂation-restriction relative aux groupes de Brauer montre
que Br(Q)  H2 (L0 /Q).
Si p ∈ P0 , alors la composante p-primaire de Br(Q) s’identiﬁe à celle du groupe
H2 (Gal(L0 /Q), L∗0 ). La composante p-primaire de Gal(L0 /Q) est égale à A = Z/pnp
(resp. A = Z/2r × Z/2n2 si p = 2). Ainsi, si l’on pose B = Z/2r × q∈P0 , q=p Z/q nq ×



nq
× q∈P
q ∈P
/ 0 Zq (resp. B =q∈P0 , q=2 Z/q/ 0 Zq si p = 2) alors Gal(L0 /Q) = A × B.
La suite exacte d’inﬂation-restriction appliquée aux composantes p-primaires donne lasuite exacte suivante0

H2 (B, L∗0 A )pinf

H2 (A × B, L∗0 )pres

H2 (A, L∗0 )pmais comme B est un groupe proﬁni d’ordre premier à p, on a H2 (B, L∗0 A )p = 0. Ainsi,
le groupe H2 (A × B, L∗0 )p , c’est-à-dire Br(Q)p , s’injecte dans le groupe H2 (A, L∗0 )p =H2 (A, L∗0 ).
Maintenant, A étant ﬁni, le groupe H2 (A, L∗0 ) est d’exposant. Il est pourtant célèbre
que Br(Q)p contient un sous-groupe divisible non trivial, ce qui conduit à une absurdité.
i) =⇒ iii) Pour un nombre premier p = 2 donné, on pose p − 1 = 2rp mp avec mp où Γ0 et Γ1 sont desimpair de sorte que l’on peut écrire Gal(Qab /Q)  Γ0 × Γ1 × Z
sous-groupes fermés vériﬁant :Γ0  Z/2 ×
Z/2rp et Γ1 
Z/mp
p=2

p=2

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On considère θ : Gal(Qab /Q) −→ Gal(Ω/Q) l’épimorphisme de restriction. Pour unnombre premier p = 2 donné l’image par θ du sous-groupe Z/mp de Γ1 est un sousgroupe d’ordre impair de Gal(Ω/Q). En application de la proposition 2 et puisque Ω est
supposé minimal, on peut aﬃrmer que θ(Z/mp ) = 1. Maintenant, les sous-groupes Z/mp
engendrent topologiquement le groupe Γ1 , on en déduit donc ﬁnalement que θ(Γ1 ) = 1.
Pour un entier n ≥ 1 ﬁxé, l’image par θ du sous-groupe Z/2 × p≤n Z/2rp est un
2-groupe abélien ﬁni. Il est nécessairement cyclique car sinon, il contiendrait au moins
deux involutions ce qui contredirait, par la proposition 2, le caractère minimal de Ω.
Ainsi, il existe un entier hn tel queθ(Z/2 ×

Z/2rp )  Z/2hnp≤nLa suite des sous-groupes θ(Z/2 × p≤n Z/2rp ) est croissante, de sorte que la suite(hn )n≥1 est une suite croissante d’entiers.
Si cette suite n’est pas stationnaire, on voit que −lim
Z/2hn s’identiﬁe au 2-groupe de−→nPrüfer, μ2∞  Q2 /Z2 , qui est un 2-groupe abélien 2-divisible. Ce groupe est isomorphe à
A = θ(Z/2 p Z/2rp ) et puisque Z/2 ⊕p Z/2rp est dense dans Γ0 , on voit que θ(Γ0 ) = A.
Dans Gal(Ω/Q), A est un pro-2-groupe abélien. Nous allons montrer qu’il est aussi
2-divisible.
Les groupes proﬁnis que l’on considère sont de rang dénombrable, ils sont donc métrisables et l’on peut alors utiliser le critère séquentiel pour caractériser l’adhérence. Soitg ∈ A et (gn )n≥1 une suite d’éléments de A qui converge vers g. Par hypothèse, il existe
pour tout n ≥ 0, un élément hn ∈ A tel que 2hn = gn . Puisque A est compact, la suite(hn )n≥1 possède une valeur d’adhérence h ∈ A et cette dernière vériﬁe alors, par passage
à la limite, 2h = g. Ceci prouve le caractère 2-divisible de A.
Par ailleurs, un pro-2-groupe non trivial G ne peut jamais être 2-divisible. En eﬀet,si U désigne un sous-groupe ouvert de G alors [G : U ] = 2n pour un certain entier n.
Mais alors, pour tout g ∈ G, il existe h ∈ G tel que g = 2n h ∈ U . Ainsi, U = G, ce qui
implique que G est trivial.
Ainsi, le groupe A = θ(Γ0 ) est trivial, ce qui est absurde car dans ces conditions = θ(Z) et donc Ω est un sous-corps de Z , qui est un corps totalement réel.
θ(Γ0 ×Γ1 × Z)
Il existe donc un entier r tel que −lim
Z/2hn  Z/2r . Ce sous-groupe étant ﬁni, il est−→nfermé et l’on peut donc conclure que θ(Γ0 )  Z/2r .
 de Gal(Qab /Q) s’envoie par θ sur un groupe de la forme
Le sous-groupe Z


np
× p∈P
p∈P0 Z/p/ 0 Zp où P0 désigne un certain sous-ensemble de nombres premierset (np )p∈P0 une collection d’entiers.
/ P0 , alors la pro-2-partie de Gal(Ω/Q) est engendrée par Z/2r et Z2 , mais
Si 2 ∈
comme elle est abélienne et que l’un des facteurs est de torsion alors que l’autre est sans
torsion, on en déduit qu’elle est égale à Z/2r × Z2 , de sorte que l’on aGal(Ω/Q)  Z/2r ×p∈P0Z/pnp ×


p∈P
/ 0

Zp

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Si 2 ∈ P0 alors la pro-2-partie de Gal(Ω/Q) est engendrée par Z/2r et Z/2n2 et est
donc un 2-groupe abélien ﬁni D. On a alors
Gal(Ω/Q)  D ×p∈P0 , p=2Z/pnp ×



Zp

p∈P
/ 0

Si P0 = ∅ alors dans les deux cas, la proposition 2 conduit à une absurdité. Ceci est égale à Z.
 Le groupe Z est sans torsion,
prouve donc que l’image par θ du facteur Zralors que Z/2 est de torsion et ainsi, l’image de θ, c’est-à-dire le groupe Gal(Ω/Q), estisomorphe à Z/2r × Z.
iv) =⇒ ii) Puisque Ω/Q est totalement imaginaire il existe un élément α ∈ Ω − Q
totalement imaginaire (voir le lemme 8 à venir). Si l’on pose C = Q(α) alors C et Z
sont des corps linéairement disjoints sur Q et C.Z est un corps totalement imaginaire
contenant Z . Par minimalité de Ω on a donc Ω = C.Z . L’extension C/Q est abélienne
n
et ﬁnie et l’on a donc Gal(C/Q) = i=1 Z/2ki × G où G est un groupe abélien d’ordre
impair. Dire que C est totalement imaginaire équivaut ici à dire que la restriction dela conjugaison complexe à Gal(C/Q) est non triviale. Il existe donc un indice i0 tel
que la restriction de la conjugaison complexe au facteur Z/2ki0 soit non triviale. Si l’on
considère C  /Q la sous-extension de C vériﬁant Gal(C  /Q) = Z/2ki0 alors le corps C 
est totalement imaginaire, tout comme C  .Z . Par minimalité de Ω, on en déduit que
C = C  et le ii).
iii) =⇒ iv) Si Ω ⊂ Ω est un corps totalement imaginaire qui contient Z , alors
 Comme Z/2r est de torsion et queGal(Ω/Ω ) a une intersection nulle avec le facteur Z.
 est sans torsion, cela implique ﬁnalement que Gal(Ω/Ω ) est complètement inclus dansZ
le facteur Z/2r . Si Gal(Ω/Ω ) n’était pas trivial alors il contiendrait l’élément d’ordre 2
 Cet élément correspondant àde Z/2r , qui est l’unique élément d’ordre 2 de Z/2r × Z.
la conjugaison complexe, on en déduirait que Ω est totalement réel, ce qui est contraire
aux hypothèses. 2
Dans la preuve du théorème 6, la propriété de minimalité est intimement liée au faitde contenir le corps Z . Plus généralement, on a :Proposition 7. Soit Ω ⊂ Q un corps contenant le corps Z (on ne suppose pas que Ω/Qsoit abélienne, pas même galoisienne a priori).
a) Si Ω/Z est ﬁnie, alors tout sous-corps projectif de Ω contient Z .
b) Le corps Ω est projectif si et seulement si Ω est totalement imaginaire. En conséquence de quoi, si le corps Ω est projectif alors il est extension d’un corps projectif
minimal contenant Z . Les corps projectifs minimaux contenant le corps Z sont exactement les extensions ﬁnies totalement imaginaires minimales de Z .
Preuve. a) 1/ Cas particulier où Ω/Q est galoisienne. Notons Γ = Gal(Ω/Q) et N = et que ce groupe est projectif, on en déduit
Gal(Ω/Z ). Puisque Γ/N  Gal(Z /Q) = Zque Γ  N  Z. Soit Ω0 ⊂ Ω un sous-corps projectif et N0 = Gal(Ω/Ω0 ). Raisonnons

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 avec x = 0 tel quepar l’absurde et supposons que N0 ⊂ N . Il existe donc (t, x) ∈ N  Z(t, x) ∈ N0 . Si ϕ ∈ Aut(N ) désigne l’action de x sur N , on a alors pour tout n ≥ 1,
(t, x)n = (tϕ(t) · · · ϕn−1 (t), nx) ∈ N0
Puisque N est ﬁni, il existe n0 > m0 tels quetϕ(t) · · · ϕn0 (t) = tϕ(t) · · · ϕm0 (t)et l’on a donc tϕ(t) · · · ϕn0 −m0 −1 (t) = e. Il existe donc n = n0 − m0 tel que (t, x)n =np de Γ, on peut écrire < nx > = (e, nx) ∈ N0 . Dans le facteur Z
p∈P0 =∅ p Zp où P0
désigne un certain ensemble non vide de nombres premiers et (np )p∈P0 une collection
d’entiers. Quitte à considérer un sous-groupe de N0 (ce qui revient à considérer une pourextension de Ω0 qui reste alors projective), on peut supposer que N0 = pnp Zp ⊂ Z
un certain premier p et un entier np arbitrairement grand.
 sur N , alors on a ker(Θ) = hZ
 −→ Aut(N ) l’action de Z où h est
Si l’on note Θ : Z
un entier qui désigne l’ordre de Θ(1) dans le groupe ﬁni Aut(N ). Comme h ne dépend ni
de p ni de np , on peut donc choisir np de sorte que N0 ⊂ ker(Θ). Dans cette situation,
on a N  N0 = N × N0 et le diagramme d’extensions suivant :
Ω
N0

Ω0

N

Z

N0 ×N
N0
N

Ω0 ∩ ZZ

Q
 0 = Z/pnp × 
La théorie de Galois assure que Gal(Ω0 ∩ Z /Q) = Z/Nq=p Zq et donc
l’exposant de p dans le degré de [Ω0 : Q] est ﬁni (il vaut exactement np .op où op désigne
l’exposant de p dans o(N )). Ceci rend impossible le fait que cdp (Ω0 ) ≤ 1 et donc que Ω0soit projectif.
2/ Cas général. Il se déduit du cas particulier en considérant la clôture galoisienne deΩ sur Q et en remarquant que cette dernière est nécessairement de dimension ﬁnie sur
Z car Ω/Z est ﬁnie et Z /Q est galoisienne.
b) Si Ω est totalement imaginaire, son caractère projectif découle immédiatement ducorollaire 4. Réciproquement, un corps projectif, extension algébrique de Q, est nécessairement totalement imaginaire, car un plongement réel impliquerait par isomorphisme
une 2-dimension cohomologique inﬁnie.

B. Deschamps / Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

11

Pour montrer la suite de l’énoncé, établissons le lemme suivant :Lemme 8. Si L ⊂ Q est un corps totalement imaginaire, alors il existe un corps denombres K ⊂ L qui est totalement imaginaire.
Preuve. Considérons une ﬁltration croissante, Q = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ L, de L pardes corps de nombres. Supposons qu’aucun des corps Ln ne soit totalement imaginaireet, pour n ≥ 0 ﬁxé, notons In l’ensemble des plongements de Ln dans R. L’inclusion
Ln ⊂ Ln+1 déﬁnit, par restriction des plongements, une application naturelle ϕn+1 :In+1 −→ In pour tout n. On voit alors que (In , ϕn )n≥0 est un système projectif et
que ←
lim
I correspond à l’ensemble des plongements réels du corps L (qui est vide par−−n nhypothèse). Par hypothèse, l’ensemble In est non vide et il est par ailleurs ﬁni puisque
Ln /Q est ﬁni. L’argument classique de compacité assure alors que ←lim
I = ∅, ce qui−−n nconstitue une absurdité. 2
D’après le lemme 8, il existe un corps de nombres K ⊂ Ω totalement imaginaire.
Le corps L = K.Z est alors un corps totalement imaginaire de dimension ﬁnie sur Z .
Puisque L/Z est ﬁnie, elle possède un nombre ﬁni d’extensions intermédiaires et donc il
existe une extension intermédiaire Z ⊂ L0 ⊂ L totalement imaginaire qui soit minimale.
Le a) de la proposition montre alors que L0 est un corps projectif minimal dont Ω est
extension.
La ﬁn de la proposition découle alors des arguments donnés précédemment. 2√
Une application immédiate du théorème 6 assure que le corps Ω2 = Q( −1).Z est
projectif minimal. Dans cette situation, on aGal(Qab /Ω2 ) Z/(p − 1) et Gal(Ω2 /Q)  Z/2 × Z

p=2D’un point de vue galoisien, le corps Ω2 est obtenu en ne conservant que le facteurdirect Z/2 du facteur Z/2 × p=2 Z/(p − 1). On peut opérer la même chose sur les autres
facteurs : pour un nombre premier q = 2, on écrit q − 1 = 2r .m avec m impair de sorte
que l’on dispose de la décomposition Z/(q − 1) = Z/2r × Z/m. On considère alors lesous-corps Ωq de Qab constitué des éléments invariants par le sous-groupe Z/m × Z/2 ×p=q Z/(p − 1), de sorte queGal(Ωq /Q)  Z/2r × Z
Le corps Ωq est alors projectif minimal et est obtenu en ne conservant que le facteurde 2-torsion du facteur direct Z/(q − 1) du groupe Z/2 × p=2 Z/(p − 1).
Décrire tous les sous-corps projectifs minimaux de Qab revient à décrire tous les corps
de nombres imaginaires purs, extensions 2-cycliques de Q, c’est-à-dire à décrire tous

12

B. Deschamps / Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

les épimorphismes continus θ : Γ0 −→ Z/2r avec r arbitraire, qui ne contienne pas laconjugaison complexe dans leur noyau.
Le groupe Z/2r étant ﬁni est discret et, comme θ est continu, il est localement
constant. On en déduit qu’il existe une famille ﬁnie de nombres premiers impairsq1 , · · · , qn telle que p=2,q1 ,···,qn Z/2rp ⊂ ker(θ). Ainsi, tout revient à chercher des épimorphismesθ : Z/2 × Z/2rq1 × · · · × Z/2rqn −→ Z/2r
qui ne contiennent pas l’involution diagonale dans leur noyau.
Considérons g, g0 , g1 , · · · , gn des générateurs respectifs des groupes Z/2r , Z/2 et Z/2rqi
pour i = 1, · · · , n. Pour chaque indice i = 0, · · · , n, il existe un unique ai ∈ {0, · · · , 2r − 1}
tel que θ(gi ) = g ai . En ayant pris soin de poser rq0 = 1, on voit alors que θ existe si etseulement si on a les trois conditions suivantes :(C1) : Pour tout i = 0, · · · , n, on a ai 2rqi ≡ 0 mod(2r ) (assure le caractère morphiquede θ).
(C2) : Au moins un des ai est inversible modulo 2r (assure le caractère surjectif de θ).
(C3) : a0 + a1 2rq1 −1 + · · · + an 2rqn −1 ≡ 0 mod(2r ) (assure que l’involution diagonale
n’est pas dans le noyau).
Remarque 9. La “grosse” partie du groupe Gal(Q(μp∞ )/Q)  Z/(p − 1) × Zp est Zp etl’on pense souvent, à cause de cela, que la partie la plus importante de Gal(Qab /Q)  est Z.
 C’est pourtant, d’une certaine manière, l’inverse.
Z/2 × p=2 Z/(p − 1) × Z
 est de rang 1 alors que celui de 
Le groupe Zp=2 Z/(p − 1) est inﬁni. Par ailleurs,étant donné un nombre premier q et un entier n, le théorème de progression arithmétiquede Dirichlet montre qu’il existe une inﬁnité de premiers p tel que la valuation q-adiquede p − 1 soit égale à n. Ainsi, on en déduit queZ/(p − 1) 


q

p=2

ω

Z/q

n

n


mais comme le groupe Zq est un sous-groupe fermé de n Z/q n , on voit que le groupe ω est un sous-groupe fermé deZ
p=2 Z/(p − 1) et il existe donc un corps K tel que
Ω2

K

ω
Z

Qab

2.2. Une description simple des groupes de Galois absolus des corps de nombres
Revenons maintenant à la conjecture de Shafarevich et aux diﬀérentes conjecturesqui l’impliquent. Comme on l’a annoncé dans l’introduction de ce texte, au regard desB. Deschamps / Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

13

résultats du §2, la conjecture de Shafarevich n’est pas la plus optimale sous la conjecturede Fried–Völklein. Par ailleurs, la conjecture de Shafarevich ne permet pas de décrire
simplement le groupe de Galois absolu de Q. On s’aventure ici à proposer deux autres
conjectures :Z -conjecture. Les extensions ﬁnies et totalement imaginaires du corps Z possèdent ungroupe de Galois absolu prolibre.

En utilisant les résultats précédents, on voit que la Z -conjecture entraine l’énoncé
suivant : les sous-corps projectifs minimaux de Qab possèdent un groupe de Galois absolu
prolibre. Cet énoncé est une version de la conjecture de Shafarevich minimisant le corps
Qab , par exemple en remplacant ce dernier par le corps Z (i). On l’appelera la conjecturede Shafarevich minimisée.
Conjecture de Shafarevich généralisée. Les sous-corps projectifs de Qab possèdent ungroupe de Galois absolu prolibre.
 est un groupe projectif et qui donc
L’intérêt de la Z -conjecture est que le groupe Z
se relève dans tout groupe proﬁni dont il est le quotient.
Proposition 10. Sous la Z -conjecture, si C désigne un corps de nombres alors
a) Si C est totalement imaginaire, on a Gal(Q/C)  Fω  Z.
  Z/2.
b) Si C n’est totalement imaginaire, on a Gal(Q/C)  Fω  Z  Z/2.
En particulier, sous la Z -conjecture, on a Gal(Q/Q)  Fω  Z
Preuve. Si C n’est pas totalement imaginaire, alors C(i) l’est et comme l’élément non
trivial de Gal(C(i)/C) = Z/2Z correspond à la restriction de la conjugaison complexe,on en déduit que Gal(Q/C)  Gal(Q/C(i)) Z/2. On peut donc supposer que C est totalement imaginaire. Dans ces conditions, le corps C.Z est une extension ﬁnie totalement
imaginaire de Z et donc Gal(Q/C.Z )  Fω . On a alors la suite exacte
1

Gal(Q/C.Z )Gal(Q/C)

Gal(C.Z /C)

1

1

Fω

Gal(Q/C)Z

1

 est scindée et assure donc unqui, compte-tenu du caractère projectif du groupe Z,isomorphisme de la forme Gal(Q/C)  Fω  Z. 2

B. Deschamps / Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

14

On voit que l’on peut remplacer la Z -conjecture par la conjecture de Shafarevich
minimisée dans la proposition 10 à condition de ne considérer pour C que des extensions
abéliennes de Q. En particulier, on voit que la conjecturede Shafarevich minimisée  Z/2.
entraine l’existence d’un isomorphisme Gal(Q/Q)  Fω  Z
La Z -conjecture et la conjecture de Shafarevich généralisée sont en fait contenues
dans la conjecture de Fried–Völklein. En eﬀet, les corps considérés dans ces deux conjectures sont projectifs et dénombrables, leur caractère hilbertien découle du théorème de
Kuyk pour la conjecture de Shafarevich généralisée et du théorème de Weissauer pour la
Z -conjecture (ce dernier théorème assure qu’une extension ﬁnie et stricte d’une extension galoisienne d’un corps hilbertien est un corps hilbertien, voir [3]). En résumé, pource qui est des diﬀérentes conjectures dont on a parlé, on a la hiérarchie suivante :Dèbes–Deschamps

Fried–Völklein

Shafarevich
généralisée

Z -conjecture

Shafarevich

Shafarevich minimisée

Il existe une suite exacte∗ → 1
1 → Fω → Gal(Q/Q) → Z

Il existe unisomorphisme  Z/2
Gal(Q/Q)Fω  Z

Gal(Q/C t )Gal(Q/C nt )Fω  Z
  Z/2
Fω  Z(C t (resp. C nt ) désigne n’importe quel corps de nombres totalement imaginaire (resp. non totalement imaginaire).)Remarque 11. La théorie anabélienne assure que deux corps de nombres ont des groupes
de Galois absolus isomorphes si et seulement si ces corps sont eux-même isomorphes. De donné dans la propoce point de vue l’isomorphisme avec le produit semi-direct Fω  Zsition 10 peut prêter à confusion. En fait, dans l’écriture Fω  Z la chose indéterminée sur Fω . Une conséquence de la Z -conjecture(et à mieux comprendre) reste l’action de Zà ce sujet est l’existence d’une correspondance injective entre les classes d’isomorphismes
des corps de nombres et les classes d’équivalence des Z-actions
de Fω pour la relation
  Fω β Z.
d’équivalence α ∼ β ⇐⇒ Fω α Z
 −→ Aut(Fω ) une action qui, sous la Z -conjecture, déﬁnit unConsidèrons α : Z  Z/2 et notons Q le corps des invariants par
isomorphisme Gal(Q/Q)  Fω α Z
 (Q est donc une extension quadratique de Q). Certaines propriétésle facteur Fω α Z
arithmétiques de Q, permettent de préciser plusieurs choses sur α : est monogène et que l’action est continue (elle corresponda) Notons que, puisque Zdans Gal(Q/Q) à des conjugaisons), la donnée de l’action est entièrement déterminéeB. Deschamps / Journal of Algebra 441 (2015) 1–20

15

 sur le groupe Fω , c’est-à-dire par la donnée d’un automorphisme
par l’action de 1 ∈ Zθ ∈ Aut(Fω ). Maintenant, les éléments de Aut(Fω ) sont entièrement déterminés par leursimages sur une base B de Fω donnée. L’automorphisme θ envoie B sur une autre base.
La théorie d’Iwasawa permet de préciser une chose sur cette donnée : l’automorphismeθ n’envoie aucune base B sur elle-même.
Pour montrer ce fait, supposons qu’il existe une telle base B et considérons alors lesorbites des éléments de B sous l’action de θ. Elles forment une partition de B et, si{xi }i∈I désigne une classe de représentants des orbites Oθ (x), alors on a nécessairement
I ≤ 2. En eﬀet, supposons qu’il existe trois indices i1 , i2 , i3 ∈ I disctincts. Notons alors
α1 , α2 , α3 une base du groupe prolibre de rang 3, F3 . L’application π : B −→ F3 déﬁnie
parπ(x) = αj pour tout x ∈ Oθ (xij ) (j = 1, 2, 3)= e pour tout x ∈/ Oθ (xi1 ) ∪ Oθ (xi2 ) ∪ Oθ (xi3 )déﬁnit un unique épimorphisme π : Fω −→ F3 qui vériﬁe que, pour tout t ∈ Fω , π(θ(t)) = tout entier en posant π(Z) = e et donc que leπ(t). Il s’ensuit que π se relève à Fω  Z
groupe F3 se réalise sur Q ce qui est impossible (voir par exemple la remarque 1.6. de[2] sur le degré de liberté d’un corps de nombres).
Ainsi, I = {i1 , i2 } (ou I = {i1 }, l’argument qui suit s’adaptant facilement à cecas). Prenons alors un groupe abélien G de rang ≥ 4. En tant que groupe abélien, −→ G. Posons
il se réalise sur Q et donc il existe un épimorphisme π : Fω  Z
g1 = π(xi1 ), g2 = π(xi2 ) et g3 = π(1) (1 désignant ici le neutre multiplicatif de Z,qui est un générateur topologique du groupe additif). Puisque pour tout t ∈ Fω , on aπ(θ(t)) = π(1)π(t)π(1)−1 = π(t), on en déduit que pour tout x ∈ B , π(x) = g1 ou g2 .
 est le groupe < g1 , g2 , g3 > qui, étant de rang ≤ 3, neAinsi, l’image par π de Fω  Z
peut être égal à G tout entier.
 estb) Si x ∈ ker(α), on a alors α(x)(γ) = xγx−1 = γ pour tout γ ∈ Fω . Puisque Z
lui-même abélien, on en déduit que x est central dans Gal(Q/Q) et donc que x = 0. On
vient ici de justiﬁer que l’action α est ﬁdèle.
c) Une autre propriété de Gal(Q/Q) montre que l’action α ne possède pas de point
 non nul, alors x et
ﬁxe : si γ ∈ Fω est un point ﬁxe de α(x) pour un certain x ∈ Z
γ commutent et donc < x, γ > est un sous-groupe abélien de Gal(Q/Q). Il est alorsnécessairement de rang 1 (cf [4, ex.2 §II.3.3.]) et donc, les ordres o(x) et o(γ) sont
 =  p∞ on en déduit, en particulier, que α n’a pas
premiers entre eux. Puisque o(Z)pde point ﬁxe.
2.3. Digressions arithmétiques
On note p1 , p2 , · · · la suite croissante des nombres premiers et l’on ﬁxe un isomorphisme Pour n ≥ 2, on note Kn le corps des invariants
Gal(Qab /Q) = Z/2 × n≥2 Z/(pn −1) × Z.
nabde Q par le sous-groupe Z/2 × i=2 Z/(pi − 1). On a donc

16

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Gal(Kn /Q) =Z/(pi − 1) × Z

i>n

La suite (Kn )n≥2 a alors les propriétés suivantes :P1 ) (Kn )n≥2 est une suite strictement décroissante de corps projectifs.
P2 ) Pour tout entier n ≥ 2, Kn /Kn+1 est ﬁnie.
P3 ) Le corps Z = n≥2 Kn n’est pas projectif et les Kn sont des extensions algébriquesde Z .
Nous allons voir trois conséquences à ce constat.
a) Une conséquence géométrique.
La non projectivité du corps Z équivaut à l’existence d’une extension ﬁnie Z (α)/Z
telle que l’application de norme N : Z (α) −→ Z ne soit pas surjective (cf [4, Proposition II.3.1.5]). Puisque n≥2 Kn = Z , il existe donc un rang à partir duquel
Kn ∩ Z (α) = Z . On peut donc supposer que ce rang est n = 2, de sorte que[Kn (α) : Kn ] = [Z (α) : Z ] = h pour tout n ≥ 2. Si b = (b1 , · · · , bh ) désigne une
Z -base de Z (α), alors b est aussi une Kn -base de Kn (α) pour tout n. Relativement à b,la norme N s’exprime comme un polynôme homogène P ∈ Z [x1 , · · · , xn ]. Pour des raisons évidentes l’application de norme Nn : Kn (α) −→ Kn s’exprime dans b par le mêmepolynôme P . Les corps Kn étant projectifs, toutes les applications Nn sont surjectives(cf [4, Proposition II.3.1.5]). Si λ ∈ Z désigne un élément qui n’est pas atteint par N ,alors la variété V déﬁnie par le polynôme P − λ possède des points Kn -rationnels pour
tout n ≥ 2, mais aucun point Z rationnel.
Conséquence. Il existe un corps k, une suite décroissante (Ln )n≥1 d’extensions algébriques de k telle que k = n≥1 Ln et Ln /Ln+1 soit ﬁnie pour tout n ≥ 1 et une
k-variété V tels que V (Ln ) = ∅ pour tout n ≥ 1 et V (k) = ∅.
b) Une conséquence sur les groupes proﬁnis.
Si l’on pose Γ = Gal(Q/Z ) et, pour tout n ≥ 2, Γn = Gal(Q/Kn ), alors les groupes
Γn sont des sous-groupes fermés du groupe Γ et l’hypothèse Z = n≥2 Kn dit que Γ
est (topologiquement) engendré par la réunion des Γn . Les quotients Γn+1 /Γn s’identiﬁe
aux groupes Gal(Kn /Kn+1 ) et sont donc ﬁnis. Par hypothèse, chaque Γn est projectif
et Γ ne l’est pas.
Conséquence. Il existe un groupe proﬁni Γ non projectif qui est engendré par une suite
croissante de sous-groupes distingués fermés projectifs (Γn )n≥1 telle que Γn+1 /Γn soit
ﬁni pour tout n.

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Traduit en termes de problème de plongement, la question se ramène à relever dessolutions : on considère un problème de plongement de groupes ﬁnis à noyau abélien
pour Γ
Γ
π

1

N

G

H

s

1

Ce problème induit, par restriction, sur chaque sous-groupe Γn un problème de plongement qui, par projectivité de Γn possède une solution fn . Et l’on cherche une solution
f : Γ −→ G :
Γ0

Γ1
..
.

f0

f1

Γ
f?
π

1

N

G

s

H

1

Si chaque ﬂêche fn relève la ﬂêche fn−1 , l’hypothèse n Γn = Γ, permet alors, parcontinuité, de construire la ﬂêche f recherchée. Réciproquement, la donnée d’une solution
f induit l’existence de solutions f0 , f1 , · · · telles que fn relève fn−1 pour tout n ≥ 1. On
est donc amené à étudier le problème suivant : on se donne un problème de plongement
Γ0
f0

Γ1
f1

1

N

G

s

H

1

avec des solutions respectives f0 et f1 et l’on se demande s’il existe une solution f1 :Γ1 −→ G qui relève f0 ? Cette question est en fait une pure question de cohomologie desgroupes. En eﬀet, on fait agir Γ0 sur N via la restriction de f1 à Γ0 : tx = f1 (x−1 )tf1 (x)18

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et l’on considère N comme Γ0 -module pour cette action. Un petit calcul montre alors quel’application μ : x −→ f0 (x)f1 (x−1 ) est un 1-cocycle à valeurs dans N . On constate alorsque f0 se relève à Γ1 si et seulement si μ se relève en un 1-cocyle de Γ1 . Cette propriétéétant invariante par cobordisme, elle équivaut encore à dire que l’élément du H1 (Γ0 , N )déﬁni par μ est dans l’image du morphisme de restriction H1 (Γ1 , N ) −→ H1 (Γ0 , N ) ou
encore, compte-tenu de la suite exacte
1

H1 (Γ1 /Γ0 , N Γ0 )Inf

H1 (Γ1 , N )Res

H1 (Γ0 /, N )Γ1 /Γ0Trans

H2 (Γ1 /Γ0 , N Γ0 )qu’il est dans le noyau du morphisme de transgression.
L’exemple donné précédemment, montre que ce n’est pas toujours le cas.
c) Une conséquence cohomologique.
La non projectivité du corps Z équivaut à l’existence d’une extension ﬁnie Z (α)/Z
telle que Br(Z (α)) = 0 (cf [4, Proposition II.3.1.5]). Les corps Kn (α) sont des extensions
de corps projectifs et sont donc projectifs eux-même, ce qui implique en particulier qu’ils
vériﬁent Br(Kn (α)) = 0. La suite (Kn (α))n≥2 vériﬁe en outre : n≥2 Kn (α) = Z (α).
Conséquence. Il existe un corps k tel que Br(k) = 0 et une suite décroissante (Ln )n≥1d’extensions algébriques de k telles que k = n≥1 Ln et vériﬁant, pour tout n ≥ 1,
[Ln : Ln+1 ] < +∞ et Br(Ln ) = 0.
3. Extensions abéliennes projectives abyssales
Nous venons de classiﬁer les extensions abéliennes projectives minimales de Q. Leurs
extensions algébriques restant des corps projectifs, on peut se demander s’il existed’autres extensions abéliennes projectives de Q, c’est-à-dire des extensions abéliennes
projectives de Q qui ne contiennent en leur sein aucun corps projectif minimal. Ces extensions particulières seront appelées abyssales. L’objet de cette partie est de montrer
qu’il existe des corps abyssaux et d’en exhiber certains explicitement.
En premier lieu, remarquons que si Ω/Q désigne une extension abélienne abyssale
alors le corps Ω ne peut contenir le corps Z comme le montre la proposition 7. Réciproquement, le théorème 6 montre qu’une extension abélienne projective de Q qui necontient pas Z est certainement abyssale. Ainsi, la recherche de corps abyssaux nous incite à considérer des corps ne contenant pas certains corps Zl et à leur rajouter un certain
nombre de racines p-ièmes de l’unité aﬁn d’assurer que leur l-dimensions cohomologiques
reste ≤ 1 pour les premiers l considérés.
Considérons un ensemble de nombres premiers P0 ⊂ P et notons
(P0 ) =l ∈ P / ∀q ∈ P , sup {vl (ωq (p))} = +∞p∈P0

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où vl (ωq (p)) désigne la valuation l-adique de l’ordre multiplicatif de p modulo q. On aalors :
Proposition 12. Si P0 ⊂ P est une partie non vide et diﬀérente du singleton {2}, alorsle corps
K = Q(ξp / p ∈ P0 ) •l∈(/ P0 ) Zl
est projectif.
Preuve. Puisque le corps K contient un ξp pour p = 2, il est totalement imaginaire. Pour
tout l ∈/ (P0 ), on a Zl ⊂ K et donc cdl (K) ≤ 1, d’après le corollaire 4. Si l ∈ (P0 )alors puisque pour tout q premier on a sup{vl (ωq (p))/ p ∈ P0 } = +∞, le lemme 5 et lethéorème 3 assure que cdl (K) ≤ cdl (Q(ξp / p ∈ P0 )) ≤ 1. 2
En particulier, si P0 ⊂ P est tel que (P0 ) = ∅, alors le corps déﬁni dans laproposition 12 est abyssal. Une telle partie P0 est alors nécessairement inﬁnie.
Théorème 13. Si P0 ⊂ P est une partie coﬁnie alors on a (P0 ) = P . En particulier,pour toute partie coﬁnie P0 ⊂ P , le corps Q(ξp / p ∈ P0 ) est abyssal.
Preuve. Une application directe des théorèmes 1 et 2 de [5] montre que pour tout premier l, tout premier q et tout entier r, il existe une constante C > 0 telle que{p ∈ P / p ≤ x, vl (ωp (q)) ≥ r}  C

x
log x

En particulier pour l premier ﬁxé, pour tout premier q et tout entier r, il existe une
inﬁnité de premiers p tel que vl (ωp (q)) ≥ r. Puisque P0 est coﬁnie, on a l ∈ (P0 ). 2
Comme nous l’avons suggéré dans la remarque 9, le corps Q(ξp / p ∈ P0 ) est une“grosse” extension de Q. En raﬃnant un peu l’argument, on peut d’un point de vue
existentiel passer du cas coﬁni au cas de la densité relative aussi petite que l’on veut :Proposition 14. Pour toute fonction continue strictement croissante f : [1, +∞[−→ R+telle que lim f (x) = +∞, il existe une partie P0 ⊂ P telle que :x−→+∞

1/ ∀x ≥ 1, {p ∈ P0 , p ≤ x} ≤ f (x).
2/ (P0 ) = P .
et donc, il existe une partie P0 vériﬁant la condition 1/ et telle que Q(ξp / p ∈ P0 ) soit
un corps abyssal.

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20

Preuve. Posons P = {l1 , l2 , · · ·} = {q1 , q2 , · · ·} et ﬁxons-nous deux indices n, m ≥ 1.
D’après le théorème 13, sup{vln (ωqm (p))/ p ∈ P } = +∞. Il existe donc une suite
croissante de nombres premiers (pk )k telle que (vln (ωqm (pk )))k tende vers +∞. Toutesous-suite de (pk )k garde la même propriété.
(x)
Si l’on pose fn,m (x) = 2fn+m, alors la fonction fn,m , en tant que fonction continue stric−1
qui est, elle aussi, une fonction croissante.
tement croissante, possède une réciproque fn,mConsidérons alors une suite strictement croissante d’indices (ϕ(k))k telle que, pour tout−1
k ≥ 1 on ait ϕ(k) ≥ [fn,m(k)] +1 et considérons la partie An,m = {pϕ(k) / k ≥ 1}. Commepour tout k, pϕ(k) ≥ ϕ(k) alors pour tout x ≥ 0, on a{p ∈ An,m , p ≤ x} ≤ max{k/ ϕ(k) ≤ x} ≤ fn,m (x) =

f (x)
2n+m

−1
puisque ϕ(k) ≤ x =⇒ fn,m(k) ≤ x =⇒ k ≤ fn,m (x).
La partie An,m vériﬁe sup{vln (ωqm (p))/ p ∈ An,m } = +∞, si bien que, si l’on pose
P0 = n,m An,m , alors P0 vériﬁe la condition 2/ de l’énoncé. Par ailleurs, pour toutx ≥ 1, on a{p ∈ P0 , p ≤ x} ≤n,m≥1{p ∈ An,m , p ≤ x} ≤ f (x)


n,m≥1

1
= f (x)2n+m

ce qui achève la preuve. 2
Références[1] P. Dèbes, B. Deschamps, The regular inverse Galois problem over large ﬁelds, in : Geometric Galois
Actions. 2. The Inverse Galois Problem, Moduli Spaces and Mapping Class Groups, in : Lond. Math.
Soc. Lect. Note Ser., vol. 243, Cambridge University Press, 1997, pp. 119–138.
[2] P. Dèbes, B. Deschamps, Corps Ψ-libres et théorie inverse de Galois inﬁnie, J. Reine Angew. Math.
574 (2004) 197–218.
[3] M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic, third edition, Ergeb. der Math. 3. Folge, vol. 11, Springer,
2008.
[4] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, 5, cinquième édition, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag,
1994.
[5] K. Wiertelak, On the density of some sets of primes, I, Acta Arith. 34 (1978) 183–196.