数理解析研究所講究録
第 1707 巻 2010 年 9-28

9波面の幾何学-その内的双対性と Gallss-Bonnet の定理への応用-

梅原雅顕(大阪大学大学院理学研究科)
概*要

数理解析研究所研究集会「可微分写像の特異点論とそれに関連する
日本大学文理学部) で最近の筆者
幾何学」 (2009 年 12 月 7 日と佐治健太郎氏 (岐阜大学) と山田光太郎氏 (東京工業大学) との共同研究について講演をしました．その内容の発展として，2010 年
3 月に慶慮義塾大学で開催された春の数学会の企画特別講演用に，筆者はアブストラクトを執筆したのですが，紙数制限があって，特に後半部分に詳しい解説を書くことができませんでした．この論説は，学会のアブストラクトの後半部分に大幅な加筆を行い，より詳しい解説に仕上げたものです．
$\sim 10B,\cdot$

図 1: カスプ辺 (cllspidal edge) とツバメの尾 (swallowtail)

一般に， 内の正則曲面を波面と思って，曲面の単位法線ベクトル場 の方向への曲面の時間発展を考えると， 時刻経過後の波面として平行曲面 $f_{t}:=f+t\nu$$R^{3}$

$\nu$

$t$

が得られ，図 1 のような「カスプ辺」と「ツバメの尾」が現れます．筆者は北大の泉屋氏のポロ球に立脚した双曲空間の曲面の幾何学に触発されて「 3 次元双曲型空間の平坦な曲面」に現れる特異点に興味を抱き，東京電機大学の國分氏，東工大の山田氏，神戸大の Rossman 氏，岐阜大の佐治氏等と行った共同研究 [15] が，この方面の研究を始めたきっかけです．ここでは，その後，佐治氏，山田氏と一緒に行った波面としての曲面あるいは超曲面に関する筆者等の最近の研究について紹介します．特に， の閉曲面に関する古典的な-Bonnet の定理の波面への拡張の内的定式化の帰結として，閉じた波面に関する 2 つの auss-Bonnet
型の公式と，その Gallss 写像に関する 2 つの-Bonnet 型の公式と合わせて，
合計 4 個の独立な allss-Bonnet 型の公式を導きます．さらに，その応用について解説します．
$R^{3}$$Ga11S_{\iota}S$$G$$Ga11_{\iota}b^{\backslash }S$$G$’e-mail: umeharaQmath. sci. osaka-u. ac. jp

10
1. 波面と$C^{\infty}$-写像の特異点-写像 : $M^{n}arrow N^{n+1}$
が，点 に特異点をもつとは，点 における写像の微分 $(df)_{p}$ の階数が より小さくなるときを云う．特に が， 上で特異点を持たないことと 「 がはめ込

$n$

次元多様体

$M^{n}$

から $n+1$ 次元多様体 $N^{n+1}$ への$p$$C^{\infty}$

$f$

$n$

$p$

$M^{n}$$f$$f$

み」であることは同値である．
定義 1 $n+1$ 次元多様体 $N^{n+1}$ に Riemann 計量 を与える． -写像 : $M^{n}arrow$$f$ が以下の 2 つの性質を満たすことである．
, 波面であるとは，$C^{\infty}$

$g$

$f$

$N^{n+1}\delta^{i}$(1)に沿う単位ベクトル場 が存在して，接空間の像 $df(TM^{n})$ と交する．(この は， の単位法線ベクトル場と呼ばれる．)

$f$

$\nu$

$\nu$

とが直

$f$

$\nu$

(2) $N^{n+1}$ の単位接束 (大きさ 1 の接ベクトルの全体) を $T_{1}N^{n+1}$ とし，このを写像 : $M^{n}arrow T_{1}N^{n+1}$ とみなすと，はめ込みを与える．

$\nu$

$\nu$

-写像 : $M^{n}arrow N^{n+1}$ について，任意の点 $p\in M^{n}$に対して，適当な近傍 が存在して の への制限が，この原稿の意味での波面になっている場合に波面とよぶことがある．この場合， が大域的にとれるとの向き付け
き，余向き付け可能であるという．余向き付け可能性は，多様体
可能性とは独立の概念である．この立場では，この論説で扱う波面は，すべて余
向き付け可能である．
注意 2 少し定義を弱めて$C^{\infty}$

$f$

$U$

$f$

$U$

$\nu$

$M^{n}$$(N^{n+1},g)$を $n+1$ 次元の Riemann 多様体とし，$T_{1}^{*}N^{n+1}$

をその単位余接束と$N^{n+1}$には大域的に定義された接触 1 次微分形式 が定まるが，の Riemann 計量
は単位接束 $T_{1}N^{n+1}$ と同一視できる．波を通して，面 $f$ の単位法線ベクトル場の誘導する写像 : $M^{n}arrow T_{1}N^{n+1}$ は，Legendre は
め込みとなる．(はめ込み $L$ が Legendre であるとは， による の引き戻しが消えるときを云う．) この観点から云うと 「波面とは，Legendre 部分多様体の射影

すると，$T_{1}^{*}N^{n+1}$$\eta$$T_{1}^{*}N^{n+1}$

$g$

$\nu$

$L$

$\eta$である」ということができる．ここで，波面として 2 つの具体例を挙げよう．
例 1 (サイクロイド) 平面曲線 $\gamma(t)=a(t-\sin t, 1-\cos t)(a>0)$ は $t\in 2\pi Z$に特異点 (3/2- カスプ点) をもつ．これは内の波面になっている．実際，単位$R^{2}$の
法線ベクトル場は $\nu(t):=(\cos(t/2), -\sin(t/2))$ で与えられる．明らかに
微分は至る所消えないから
は，平面曲線としての波面の例を与える．
$\nu(t)$$\gamma(t)$$\dot{\nu}(t)$例2(平行超曲面) 多様体$M^{n}$

からのはめ込み $f$ : $M^{n}arrow R^{n+1}$ が与えられたとする．いまは向き付け可能であるとし， 上で大域的に定義された単位法
線ベクトル場をとするとき，与えられた実数 こ対して $f_{t}:=f+t\nu$ で定まる
$M^{n}arrowR^{n+1}$-写像 :は， の平行超曲面とよばれ，波面となることが簡単$M^{n}$$M^{n}$$t\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\nu$$C^{\infty}$$f$$f_{t}$にチェックできる．実際 は，すべてのゐに共通の単位法線ベクトルになっている．また は，元の超曲面 の像を波面と思ったとき，Huygens の原理にしたがって 時間経過後に生ずる新たな波面を表す．波面 (wave front, front) という命名は，この現象と関係がある．元の超曲面 に特異点がなくても五には$\nu$$f_{t}$

$F$

$f$

$t$

$f$

11
特異点が現れる可能性がある．図 2 は，楕円の平行曲線である．この場合 4 つのカスプ点が生ずる．

図 2: 楕円の平行曲線の微分同相写C -写像 : $M^{n}arrow R^{n+1}$ が波面であったとすると， と像との合成写像もまた，波面となる．このように，波面は 「はめ込み」より緩や$\infty$$f$$f$$R^{n+1}$

かな特異点を許容する超曲面のクラスとして自然な概念である．

2.

$A_{k+1}$$k\geq 1$特異点を自然数とする．

$A_{k+1}$の特異点の定義を与える前に，特異点の間の写像芽としての同値関係を与えておこう．
定義 3 いま $p,$の近傍をそれぞれ $U,$ $V$ とし，その上の 2 つの C -写像$\infty$$q_{\in R^{n}}$$f:(U,p)arrow(R^{n+1}, f(p))$ ,が (写像芽として)$q:(V, q)arrow(R^{n+1}, g(q))$

上の局所微分の近傍への$f(p)$ の近傍から $f(q)$ の近傍への $R^{n+1}$ 上の局所微分同相写像
同相写像
と，
が存在し，
を満たすときを云う．この関係を $f\sim q$ で表す．

右左同値であるとは， から
$U$

$V$

$R^{n}$$\Phi$$\varphi$$\Phi\circ f=q\circ\varphi$$f$’$\delta$ $]$R面で$\dagger\grave$$f\sim$カテゴリーとも面 となるので，この 像芽のロ
$k=1,2,3,$よい．この事実に注意して，

なら$\uparrow B8_{\delta\grave{1^{\backslash }}}$$\#f^{*}g$

も$\Leftrightarrow$$\dagger\backslash R$$f_{k}(t,x_{2}, \ldots,x_{n}):=((k+1)t^{k+1}+\sum_{j=2}^{k}(j-1)t^{j}x_{j},$で定まる$C^{\infty}$$Hl\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\cdots$関$ff_{\backslash }$

}‘波面の

のとき

$-(k+2)t^{k+1}- \sum_{j=2}^{k}jt^{j-1}x_{j},$ $x_{2},\cdots,x_{n})$-写像を考える． は原点に特異点をもつ．そこで，この写像の原$f_{k}$

点における写像芽と右左同値である

ぶ．まず，この写像$f_{k}$$C^{\infty}$-写像の特異点のことを$A_{k+1}$

特異点とよの像は，多項式$P(t, x)$ $:=x_{0}+\tau_{1}t+J_{2}^{\backslash }t^{2}+\cdots+:r_{k}t^{k}+t^{k+2}$が多重根をもつような係数の集合と一致する，但し $x=(x_{0}, \ldots, x_{k})$ とする．つまり${\rm Im}(f_{k})=\{x\in R^{k+1};t\in R$と表される．

が存在し $P(t, x)= \frac{\partial P}{\partial t}(t,x)=0$が成り立つ．
$\}$

12($A_{2}$-特異点) $k=1$ のとき$f_{1}(t, x_{2}, \ldots,x_{n})=(2t^{3}, -3t^{2}, x_{2}, \cdots x_{n})$特異点とは), 3/2-cusp と$fi$ の像は (つまりの直積であであるから，
る．特に $n=1$ (つまり平面曲線) のときは，サイクロイドに現れる特異点 3/2$n=2$ のときはこの原稿の最初のページの左側の図「CuSpidal
cllsp と同値であり，$R^{n-1}$$A_{2}$edge($A_{3}$と同値である．

$\lrcorner$-特異点) $k=2$ のとき$f_{2}(t,x_{2}, \ldots,x_{n})=(3t^{4}+t^{2}x_{2}, -4f^{3}-2tx_{2}, x_{2}, \cdots x_{n})$であるから， の像は，(つまり特異点とは), ツバメの尾と $R^{n-2}$ の直積で(つまり空間内の曲面) のときは， 特異点は原稿の最初の$f_{2}$

ある．特に $n=2$$A_{3}$$A_{3}$

ページの右側の図「ツバメの尾」と同値である．

3.

$A_{k+1}$

特異点の判定法

特異点の判定は，局所的な話なので をの領域とし，波面 :$Uarrow R^{n+1}$を考える．ここで $\nu:Uarrow S^{n}$ を， 上における の単位法線ベクト$U$$(R^{n}, u_{1}, \ldots,u_{n})$
$U$

$f$

$f$

ル場とする．いま$(j=1,2, \ldots,n)$$f_{u_{j}}:= \frac{\partial f}{\partial u_{j}}\in R^{n}$を列ベクトルとみなして，行列式で定まる$U$上の実数値関数$\lambda:=\det(f_{u_{1}}, \ldots,f_{u_{\mathfrak{n}}}, \nu)$を考える．これは超曲面としてのの特異点は，ちょうど$\lambda$$f$の体積密度関数であるが， 上における
$U$

$f$

の零点に対応する．

定義 4 波面 $f$ の特異点 $p\in U$ つまり $\lambda(p)=0)$ が，非退化 (non-degenerate)
が点 で消えないときを云う．
であるとは，外微分$($$d\lambda$

点

$p$

の集合

$p$

が非退化であると，陰関数定理により，定義域$\Sigma_{f}$$U$において， の特異点$f$は， 内に埋め込まれた超曲面となる．これを，特異超曲面 (singular$U$

hypersurface) とよぶ．
いま，必要ならば定義域

$U$

を縮小して

$\Sigma_{f}$

全体が

$U$

内に埋め込まれた超曲面であるとして一般性を失わない．このとき，各について，零でない接ベクトルが，定数倍を除いて一意的に存在し，を満たす．こ$q\in\Sigma_{f}$$df_{q}(\eta_{q})=0$$\eta_{q}\in T_{q}U$のベクトルを，点$q$における退化ベクトル (mlll vector) とよび，その方向を退化

方向 (mlll direction) という．また，各特異点に対して，退化方向を与える滑らかに沿う) 退化ベクトル場という．こな切断 $\eta;\Sigma_{f}\ni q\mapsto\eta_{q}\in T_{q}U$ のことを (のようなベクトル場は (零点をもたない) 関数倍を除いて一意的に定まる．我々$\Sigma_{f}$の得た判定条件は以下のように述べられる．

13$p\in U$ を非退化な特異点とする．
([15],[25]) $f:Uarrow R^{n+1}$ を波面とし，の tangent
またを退化ベクトル場とし? Vl,を，特異超曲面
frame field とする．各を， に沿う定義域 上のベクトルとみなして

定理 5

$($

$\eta$$v_{2},$$\ldots,$$v_{n-1})$$U$$\Sigma_{f}$$v_{j}$$\Sigma_{f}$(1)$\mu:=\det(v_{1},v_{2}, \ldots, v_{n-1},\eta)$

によって

(1)

$\Sigma_{f}$上の$C^{\infty}$-関数を定義すると，以下の主張が成り立っ．

特異点であるための必要充分条件は $\mu(p)\neq 0$ となること，つまり，に横断的であることである．
退化方向が

$p$

が

$A_{2}$$\Sigma_{f}$(2)特異点であるための必要充分条件は $\mu(p)=0$ かつ
成り立っことである 1.

$p$が$A_{3}$$d\mu_{p}(\eta)\neq 0$が型の特異点に対の曲面に現れる
この主張は $n=2$ のとき，つまりして与えた判定条件 [15] の一般化である．さらに，一般に $A_{k+1}$ 特異点の判定法もほぼ似たような記述の方法で与えることができる (文献 [25]). これらの特異$R^{3}$$A_{2},$ $A_{3}$点の判定法の利点は，「内的」であること，つまり，写像の定義域における特異点集合の情報のみから判定している点である．後で，波面の内的な定式化を行う際には，外の空間が存在しないので，逆に，この定理における判定条件を，内的な
への
-写
あるいは
特異点の定義として採用する．2 次元多様体から像に頻繁に現れる特異点として，図 3 の Whitney の傘 $(f(u, v)$ $:=(u^{2}, u, uv)$ が典型例で交叉帽子ともよばれる) が有名だが，近づく方向によって，単位法線ベ$A_{2}$$R^{3}$$A_{3}$$c\infty$

クトルの極限が異なるため，波面にはならない．

図 3: Whitney の傘

4. 特異曲率
ここでは， の波面としての曲面に特異点として現れるカスプ辺 ( -特異点)に新しい曲率の概念を定義することを考える．具体的には図 4 の左のカスプ辺が負曲率となり，右のカスプ辺が正曲率となるような「特異曲率」という不変量を導入する．ここで述べたことは，少しの修正で，外の空間を任意の 3 次元 Riemann多様体の場合に拡張することができる ([23]). より一般に超曲面としての波面についても，特異曲率の一般化として「特異主曲率」が定義され，曲面の場合はその$R^{3}$

1 ここで $\mu(p)=0$ であることから$A_{2}$$\eta_{p}\in T_{p}v$となり$d\mu_{p}(\eta)$が定義可能であることに注意．

14
特別な場合と考えることができるが ([27]) , 今回の話の中心である Gauss-Bonnetの定理は，今のところ曲面の場合しかできていないので，ここでは 2 次元の波面に限定して話を進める．

図 4: 負と正のカスプ辺$U$

を $uv$-平面$R^{2}$の領域とし， : $Uarrow R^{3}$ を波面， をその単位法線ベクトル
$f$

$\nu$

場とする．いま(2)$\lambda:=\det(f_{u}, f_{v}, \nu)$によって $U$ 上の実数値関数を定義し，これを符号つき面積密度関数とよぶ．関数$p\in U$ を非退化な特異の零点が，写像 $f(u, v)$ の特異点に対応する．
は正点とする．非退化な特異点の (充分小さな) 近傍 で，特異点集合$\lambda(u, v)$$U$$\{\lambda=0\}$則曲線となる．これを特異曲線と呼ぶ．この特異曲線に沿って，退化ベクトル場(すなわち，至る所消えない滑らかな退化方向の場)をとることができる．
$\eta(t)$いま，特異点集合として上には，カスプ辺以外の特異点は現れないと仮定する．すると，定理 5 により，退化方向と特異方向が横断的となるので，特にカスプ辺の像としての空間曲線 (t) $:=f(\gamma(t))$ は，正則曲線になることがわかる．
$\gamma(t)$$\gamma$

また，退化方向と特異方向が異なること，特異曲線が関数 の等高線であることは零にならないことがわに注意すると，関数 の 方向の方向微分$\lambda$$\lambda$$\lambda_{\eta}:=d\lambda(\eta)$$\eta$

かる．そこでその符号 sgnが定義できる．いま，退化方向の滑らかなベクト
ル場
を，が， の自然な向きに同調するようにとる．このとき，$(\lambda_{\eta})$$(\dot{\gamma}(t), \eta(t))$$\eta(t)$$U$$\kappa_{s}:=sgn(\lambda_{\eta})\frac{\det(\dot{\hat{\gamma}},\ddot{\hat{\gamma}},\nu)}{|\dot{\hat{\gamma}}|^{3}}$によって定義される値を，カスプ辺$\hat{\gamma}(t)$(3)

上の特異曲率という．実際，ここで幾何学的な意味を考えると$sgn(\lambda_{\eta})=\{\begin{array}{ll}1 ( \gamma \text{の左側が} \lambda>0 \text{のとき}),-1 ( \gamma \text{の左側が} \lambda<0 \text{のとき})\end{array}$となる．もしもは，曲線$\hat{\gamma}(t)$$\hat{\gamma}(t)$が，正則曲面上の単なる正則曲線の場合には(4)$\det(\dot{\hat{\gamma}}\cdot,\ddot{\hat{\gamma}}, \nu)/|\dot{\hat{\gamma}}|^{3}$の測地的曲率に他ならない．この意味で，特異曲率とは，「測地的曲率の極限に，適当な符号をつけて調節したもの」と考えることができる．これは，以下の意味でカスプ辺の不変量と考えることができる．

15$U$
命題 6 ([23]) 特異曲率は，の向き，単位法線ベクトルの取り方，特異曲線の向きに依存しない．また R3 の平行移動と回転，折り返しで値を変えない．
$\kappa_{s}$を曲面上の曲線と考えたとき， の接方向と曲面の法線方向に直交する方向を，余法線方向 (co-normal) という． はカスプ辺なので，特異曲線の像$\hat{\gamma}(t)$$\hat{\gamma}(t)$$\hat{\gamma}(t)$そこで曲面が折れているわけであるが，曲面が折れている側の余法線方向を正の余法線方向とよぶことにすると，「特異曲率は，正の余法線方向に関する曲面

$f$

上の

$\hat{\gamma}(t)$の測地的曲率である」

なという意味づけを与えることが可能である．したがって，その形状は
らば丸みを帯びた刃物のようになり，ならば，反り返った刃物のようにな$\kappa_{s}>0$$\kappa_{s}<0$ることを数学的に示すことができる (図 4).
$M^{2}$-写像 :を向きづけられた 2 次元多様体とし，さらに，波面を与えるを考える． の局所座標系 $(U;u, v)$ で，多様体の向きに同調したも$C^{\infty}$$M^{2}arrow R^{3}$$f$$M^{2}$のをとる． 上に現れるカスプ辺に特異曲率が定義されて，命題 6 により，それは向きに同調した局所座標系の取り方によらない．また，
$U$

(5)

$dA:=|\lambda|du\wedge dv$

を波面の面積要素とよぶ．これも局所座標の取り方によらない．

$M^{2}$

がコンパク

トで境界をもたない 2 次元多様体のとき， がカスプ辺とツバメの尾しかもたな$f$

かったとすると(6)$\int_{M^{2}\backslash \Sigma_{f}}KdA+2\int_{\Sigma_{f}}\kappa_{s}d\tau=2\pi\chi(M^{2})$はの Euler 数である．また $K$ は曲面の正則点にが成り立つ．ここでおける allss 曲率とし， は，特異曲線上の線素とする．これは Kossowski [14]$\chi(M^{2})$$G$$M^{2}$$d\tau$により 2002 年に示された波面に関する Gallss-Bonnet 型の定理であるが，特異曲率が曲面の位相に深く関わっているのがわかるだろう 2. 実際，三角形分割を行って，-Bonnet の定理を証明する際に，特異点集合が，辺や頂点になるように$Gallss^{\tau}$

分割を行う．本来，すべての三角形からの曲率の寄与を足し合わせる際，三角形の辺を爽んで，左側の領域と右側の領域で，辺の向きが異なるため，測地的曲率の寄与が打ち消し合う．しかし，辺がカスプ辺からなる場合には，像においては，値域における特異曲線の右側と左側の像は，共に同じ側に貼り付いているため，向きが異なるにも関わらず，測地的曲率が一致し，足し合わせる際に 2 倍となって特異曲率の積分として残る，という仕組みである．この際，ツバメの尾はカス
プ辺が折れ曲がっているわけだが，その折れ曲がった一方の側から見ると， だ
け左に折れ曲がっているように見えるとする．すると，反対側を左に見るように，特異曲線の向きを逆転させると，もう一方の側は右に だけ折れ曲がっているよ
うに見える．したがって，両者の寄与が互いに打ち消しあうのである．この公式から，我々の特異曲率の符号の選び方は，ごく自然なものであることもわかる．
$\pi$

$\pi$

2 但し，Kossowski 氏は$\kappa_{s}d\tau$を l-form として扱っているので，特異曲率は定義していない．

16

図 5: 正のツバメの尾 (この図では，特異点集合の像としてのカスプの鋭角の側が$\lambda<0$

)

ではなく
を考えたら
それでは，面積要素を選ぶときどうなるであろうか．このを符号つき面積要素という．この面積要素に関す$dA$$d\hat{A}:=\lambda(u, v)du\wedge dv$$d\hat{A}$る Gauss 曲率の全積分を考えると，今度はカスプ辺の両側で特異曲率が打ち消し合う．しかし，今度はツバメの尾では，先ほど打ち消し合う原理が逆に働いて，その情報が積分公式に残留する．残留する際，ツバメの尾の特異曲線が， が正$\lambda$の部分集合$M_{+}:=\{p\in M^{2};dA_{p}=d\hat{A}_{p}\}=\{p\in M^{2};\lambda(p)>0\}$の側に折れ曲がっているのか，または，負の部分集合$M_{-}:=\{p\in M^{2};dA_{p}=-d\hat{A}_{p}\}=\{p\in M^{2};\lambda(p)<0\}$の側に折れ曲がっているの力な式となる．

$\searrow$$2 \deg(\nu)=\frac{1}{2\pi}\int_{M^{2}\backslash L_{f}}$

ここで $\deg(\nu)$

によって，角度の和に差異が生じて，以下のよう$Kd\text{\^{A}}=\chi(M_{+})-\chi(M_{-})+\# S_{+}-\# S_{-}$(7)は波面 $f$ の Gallss 写像 $\nu:M^{2}arrow S^{2}$ の写像度を表す．特にツバメの尾の数が偶数個であることがわかる．この式は Langevin-Levitt-Rosenberg [17]により 1995 年に指摘された 3. ここでは正 (負) のツバメの尾の数で$s_{+}(S_{-})$

ある．ツバメの尾はカスプ辺が折れ曲がった形をしており，この特異点付近で曲面が自己交叉するのだが，その自己交叉する側の裏側に対応する定義域の領域が$\lambda>0$となるとき正のツバメの尾といい (図 5 をみよ), そうでないとき負のツバメの尾という．2 つの Gallss-Bonnet 型の公式は，曲面が特異点を持たない場合には古典的な Gallss-Bonnet の公式として一致する．

Bonnet の定理は元来，内的なものである．この論説の第 6 節で，内的な波面の定式化を行い，その波面としての実現問題と，波面の Gauss-Bonnet の定
理の内的な定式化について述べる．
$Galls_{\iota}s-$

5. 特異点付近での Gauss 曲率の振る舞い
筆者等は，特異曲率の基本的な性質として，以下の 3 つの定理を得た．
3 但し彼らは指摘しただけで，最初の証明は Kossowski [14] が与えた．

17
定理 7([23])R3 の曲面に現れるカスプ辺が，(ツバメの尾などの) 別の非退化な特異点につながっているとき，特異曲率は，負の無限大に発散する．
この結果の超曲面への一般化は [27] に記されている．

(証明の概略) 本当の証明は計算を要するが，ここでは直観的な説明をする．特にツバメの尾付近での特異曲率の振る舞いを観察しよう．ツバメの尾は，カスプ辺がカスプした状態と解釈される．平面曲線では 3/2-カスプ付近で曲率関数が発散することが知られている．我々の状況では，ツバメの尾の特異曲線は空間曲線であるが，微少な範囲で考えると形としては，平面曲線上の 3/2-カスプと非常に近い形をしている．実際，ツバメの尾を法線に直交する平面に射影すると 3/2-カスプが得られる．したがって，特異曲率が発散することは，これで説明がっく．負に発散するのは，ツバメの尾はカスプ辺が折れている側に曲面が貼り付いていることと，先ほどの特異曲率の形状的特徴づけを用いれば，明らかであろう．

また，以下が示せる．いま空間曲線$\hat{\gamma}$に対して，各点$\hat{\gamma}(t)$において接線ベク

トルと主法線ベクトルによって張られる平面を，空間曲線の接触平面という．雑な言い方をすると，接触平面とは吟を最もよく近似する平面曲線を含む平面」と解釈される．これとは別に，もしもが，波面の特異点集合ならば，この$\hat{\gamma}(t)$各点で，曲面の法線方向に直交する平面が定まる．この平面を，特異点における接平面という．このとき次が成り立っ．
定理 8 ([23])の曲面に現れるカスプ辺付近で，もしも Gauss 曲率が有界ならば， の接触平面と (曲面の) 接平面は一致する．一方，接触平面と接平面$R^{3}$$\hat{\gamma}(t)$$\hat{\gamma}$が一致しないとき， を爽んで，一方の側は，Gallss 曲率が$\hat{\gamma}$

一方の側は一$\infty$$+\infty$

へ発散し，もうに発散する．

(証明の概略) ここでも直観的な説明を行う．実際，接触平面と接平面が一致しなかったとせよ．すると， は接平面の上側か下側のどちらかに横たわることになる．一方，特異曲線に直交する平面で，曲面を切った切り口は，その平面上の 3/2-カスプになるので，$\hat{\gamma}$

曲線の (余法線方向に関して)

曲がる方向は，特異点を挟んで逆向きである．一方， の$\hat{\gamma}$

曲がりは，接平面に対して同じ側なので，Gallss 曲率は，特異曲線を來んで異符号であることがわかる．(図 6 は，そのようなカスプ辺の例である．同じ曲面を 2 つのアングル

さらに，この切り口の 3/2-カスプの平面曲線としての曲率は無限大に発散することから， の両側で，Gallss 曲率が発散することもわかる．
から捉えている．)$\hat{\gamma}$

定理 9 ([23])の波面に現れるカスプ辺の付近で，Gauss 曲率の下限が正 (Gauss
曲率が非負) ならば，特異曲率は負 (非正) となる．
$R^{3}$

この定理の証明は簡単ではない．しかし，図 7 の曲率が正で一定の曲面と平坦な波面 (つるまき線の接線曲面) の絵を見れば定理の意味が納得できると思う．
この結果の超曲面への一般化も [27] で示されている．

18

図 6: Gailss 曲率が非有界なカスプ辺

図 7: $K=1$ なる回転面とつるまき線の接線曲面

6. 内的定式化
波面の内的な定式化として，以下のように連接接束を定義する．
定義 10
の階数

$n$

$M^{n}$$TM^{n}$ をその接束とする．また，を $n$ 次元多様体とし，$E$ を $M^{n}$ 上のペクトル束とする．また， 上に内積 , と内積と両立する接続
$E$

$\{$

$\}$

$D$

が存在しており，さらにベクトル束としての準同型写像 $\varphi:TM^{n}arrow E$ が与えらが連接接束 (coherent tangent bundle)
上の任意のベクトル場 $X,$ $Y$ に対して条件れているとせよ．このとき組であるとは，$M^{n}$$(E, \varphi, \langle, \rangle, D)$(8)$D_{X}\varphi(Y)-D_{Y}\varphi(X)-\varphi([X, Y])=0$が満たされるときを云う．
$(E, \varphi, \langle, \rangle, D)$を連接接束とするとき，ベクトル束$ds_{\varphi}^{2}:=\varphi^{*}(,$

を第一基本形式あるいは$\varphi$$E$の内積の接束への引き戻し(9)$\rangle$-計量とよぶ．これは， 上の半正定値な対称共変テ$M^{n}$

ンソルとなるが，これが正定値となる点を吟正則点 (あるいは単に正則点) といい，そうでないとき，-特異点 (あるいは単に特異点) という．ここで，特異$\varphi$

点の全体を$\Sigma_{\varphi}$で表す．条件 (8) は，接続

上の Riemann 計量$ds_{\varphi}^{2}$$D$の$\varphi$による引き戻しが，$M^{n}\backslash \Sigma_{\varphi}$の Levi-Civita 接続になっていることを意味する．この意

味で連接接束は，Riemann 多様体の一般化とみなすことができる．最近の筆者等の論文 [18] では，連接接束の概念を用いて，共形的に平坦な多様体の双対性を記述する枠組みを与えている．(実際，共形的に平坦な計量に同伴する双対計量は半正定値になる．) 具体例を挙げよう．

19$(N^{n},g)$ を同じ次元の Riemann 多様体とする．
を 次元多様体とし，
例3$E:=f^{*}TN^{n}$
写像 $f:M^{n}arrow N^{n}$ は，以下のように連接接束を誘導する．まず，をの接束 $TN^{n}$ の $f$ による引き戻しとする．すると， から $E$ に内積$M^{n}$$C^{\infty}-$$n$$N^{n}$$\langle,$$g$$\rangle$が誘導される．また の Levi-Civita 接続の による引き戻しは，内積と両立す
上の連接接束の構造を与: $TM^{n}arrow E$ , とおくと，これは
る．いま
$f$

$g$

$M^{n}$$\varphi:=df$

える．
例 4 $(N^{n+1}, g)$ を $(n+1)$ -次元の Riemann 多様体とする．波面 $f:M^{n}arrow N^{n+1}$が与えられているとせよ． を
$\nu$

$f$

の単位法線ベクトル場とすると，$N^{n+1}$

の接束の

上のベ
への引き戻し $f^{*}TN^{n+1}$ において に直交するベクトルからなる
クトル束 $E$ を考える．つまり $E:=\{v\in f^{*}TN^{n+1};\langle v, \nu\rangle=0\}$ とおく．このベク
トル束には から誘導される内積. が存在する．また $(N,g)$ の Levi-Civita 接$M^{n}$$M^{n}$$\nu$$\langle,$

$g$

続の

$\nu$

$\rangle$に直交する成分を取り出すことで $E$ に$\langle,$$\rangle$に両立する接続がとれる．このとき，ベクトル束の準同型 $\varphi:TM^{n}\ni X df(X)\in E$

により$(E, \varphi, \langle, \rangle, D)$は連接接束となる．
例5

面$(N^{n+1}(c), g)$:$f$

を $(n+1)$ -次元の (単連結かつ完備な)$M^{n}arrow N^{n+1}$

定曲率空間とする．波(c) が与えられているとせよ． を $f$ の単位法線ベクトル場とすると，上述の写像が定まる．すると$\nu$$\varphi$とは別にベクトル束の準同型 $\psi:TM^{n}\ni X D_{X}\nu\in E$$(E, \psi, \langle, \rangle, D)$

も連接接束となる．2 つの準同型写像$\varphi$と$\psi$との間には以下の対称性が成り立っ．(これは，部分多様体論における第二基本形
式の対称性と同等の条件である．)$\langle\varphi(X),$

また$\ulcorner_{\nu}$(10)$(X, Y\in TM^{n})$$\psi(Y)\rangle=\langle\varphi(Y),$ $\psi(X)\rangle$が単位余接束 $T_{1}N^{n+1}$ へのはめ込みである」 という条件は(11)$Ker(\varphi)\cap Ker(\psi)=\{0\}$なる条件に翻訳される．本論説のタイトルにある 「内的双対性」 とはこの$\varphi$ととの双対性のことである． に対する条件 (8) は，Levi-Civita 接続の条件に対応するがに関する同じ条件は Codazzi の方程式の書き換えである．このよう$\psi$$\varphi$$\psi$に，意味は違うのであるが，2 つの準同型写像は共通の性質を有している．
この 2 つの準同型の存在は以下のように波面の特徴づけを与える．次が成り立っ．
定理 11 [27]を連接接束とし， とは別にベクトル束の準同型写
像 : $TM^{n}arrow E$ が存在し，も連接接束であり，さらに 2 つの条件
(10) と (11) を満たしており，しかも以下の $Ga$llss 方程式$(E, \varphi, \langle, \rangle_{)}D)$$\psi$$\varphi$$(E, \psi, \langle, \rangle, D)$$\langle R^{D}(X,Y)\xi,\zeta\rangle=c\det(_{\langle\varphi(X),\xi)}^{\langle\varphi(Y),\xi\rangle}$$\{_{\varphi(X),\zeta}^{\varphi(Y),\zeta}\})+\det(_{\langle\psi(X),\xi}^{\langle\psi(Y),\xi}\}$$\{\begin{array}{l}\psi(Y),\zeta\psi(X),\zeta\end{array}\})$,

20の曲率テンソルとし $X,Y\in T_{p}M^{n}$ ,$p\in M^{n}$は任意の点とする．このとき，波面 $f$ : $M^{n}arrow N^{n+1}(c)$ が存在$\varphi=df,$$\psi=d\nu$ を満たす．
し，が成立していたとする，但し$\xi,$$R^{D}$

は，接続$D$$\zeta\in E_{p},$上の定理は「曲面論の基本定理」に相当する内的波面の実現定理であるが，証明は動標構を用いて，超曲面の場合とほぼ同様に示される．先に述べたとの内的双対性は，外的には$f$とその単位法線ベクトル場$\varphi$と$\psi$との双対性に対応$\nu$

する．外的な立場でのこの双対性の接触幾何的な定式化が泉屋 [9] および [5] で与えられている．(言い換えると筆者等の内的双対性は泉屋氏の双対性の内的な対応物である．) また，これに伴う，ある種の平坦な曲面の双対性等が [11] で与えられている．

7. 内的な Gauss-Bonnet の定理の定式化
をコンパクトで向き付けられた 2 次元多様体とする．また$M^{2}$$(E, \varphi, \langle, \rangle, D)$を上の連接接束とし， は (ベクトル束として) 向き付け可能であるとする．
からつまりへの大域的な-section で， の正規直交枠$M^{2}$$E$$M^{2}$$E^{\cdot}\wedge E$$E$$C^{\infty}$$\mu$$e_{1},$ $e_{2}$に対して $\mu(e_{1}, e_{2})=\pm 1$ となるものが存在すると仮定する．
の特異点 $p\in M^{2}$ が非退化であるとは のまわりのの向きに同調した局
所座標系 $(U;u, v)$ 上でとおくとき，外微分 が点 におい$M^{2}$$p$$\varphi$$\lambda:=\mu(\partial/\partial u, \partial/\partial v)$て零でないときを云う．いま，$p\in M^{2}$ は付近での特異点集合は$d\lambda$$\psi$$p$の非退化な特異点であるとする．す

上の正則曲線となる．それをで表す．ここで は $t=0$ を含むある開区間とし，とする．このとき，の元に充分近い特異点はすべて非退化となるので，各 に対して，が存在して に関して滑らかにできる．もしもととが一次独立である
ると点$p$$\varphi$$M^{2}$$\gamma(t)(t\in I)$$I$$p=\gamma(O)$$Ker(\varphi)$

$t$

$p$

$t$

$\dot{\gamma}(0)$$p=\gamma(O)$ はなら，$A_{2}$$\eta(t)$$\eta(0)$特異点であるという．また， 特異点でなく，さらに uv$A_{2}$座標平面において(12)$\frac{d}{dt}\det(\dot{\gamma}(t), \eta(t))_{t=0}$

特異点とよぶ．この定義は定理 5 のカスプ辺とツバメの尾の判定条件に立脚したもので，連接接束が波面から誘導されたものであるときには，特異点は，それぞれこれはカスプ辺とツバメの尾に対応する．また
曲面間の写像から誘導された場合にはん， -特異点は，それぞれ折り目とカスプである．このように，内的に同じ条件でも，外の空間の違いによって別の特異点が現れる．内的に波面を定式化すると，異なる特異点を統一的に扱えるというが零でないとき$A_{3}$$E$$A_{2},$$A_{3}$$A_{3}$

利点がある．

波面あるいは曲面間の写像にに生ずる-特異点以外の種々の特異点の判定条件にっいては [12] と [22] を参照されたい．
を， 上の非退化な特異$A_{2},$ $A_{3}$$\gamma(t)$点を通る特異曲線とする．さらにすべての定しよう． 特異点の定義から$A_{2}$$\varphi(\dot{\gamma}(t))\neq 0$

$E$

をとり

である．いま$\{\varphi(\dot{\gamma})/|\varphi(\dot{\gamma})|, n\}$$t\in I\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\dot{\gamma}(t)(=d/dt)$$M^{2}$

こ対して$A_{2}$

特異点であると仮は，退化方向と一致しないために沿うベクトル束 $E$ への大きさ 1 の断面 $n(t)$ ofを満たすようにすることがが，$\gamma(t)$$\mu(\varphi(\dot{\gamma})/|\varphi(\dot{\gamma})|, n)>0$

21:$arrow\ldots..:\nearrow.\nearrow’\Gamma.’:\backslash$$|_{-\prime}/_{=\vee.\sim}/^{\ddot{\text{ノ}}} \bigwedge_{arrow,\backslash ..1_{L}^{\vee}...\cdot.\nearrow}-\cdot|$$\oint_{1_{-}’}’,\cdot,\cdot\prime’...\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot".’\prime’$

図 8: 同じ内的特異点に対応する特異点の例できる．(この $n(t)$ は，$\varphi\circ\gamma(t)$の $E$ における向きに同調した単位法線ベクトル場と見なすことができる．) このとき$\kappa_{\varphi}(t)=-sgn(d\lambda(\eta(t)))\frac{\langle D_{\dot{\gamma}(t)}n(t),\varphi(\dot{\gamma}(t))\rangle}{|\varphi(\dot{\gamma}(t))|^{2}}$

,

(13)

に
は曲線
に沿う (内的な) 特異曲率とよぶ．ここでがの向きに同調する $TM^{2}$ の沿う退化方向を与えるベクトル場で基底の場を与えているものとする．いまを，特異曲線$\eta(t)$$\gamma(t)$$\{\dot{\gamma}(t),\eta(t)\}$$d\hat{A}=\lambda du\wedge dv$

によって，$M^{2}$,$M^{2}$(14)$dA=|\lambda|du\wedge dv$

上に 2 つの面積要素が定まり，これによって 2 つの$M_{+}:=\{p\in M^{2} :dA_{p}=d\hat{A}_{p}\}$ ,$\gamma(t)$$M^{2}$の部分集合$M_{-}:=\{p\in M^{2} :dA_{p}=-d\hat{A}_{p}\}$が定まる．すると，先の 2 つの Gallss-Bonnet の定理の内的な版として

(15)

,

$( \chi_{E}=)\frac{1}{2\pi}\int_{M^{2}}Kd\hat{A}_{\varphi}=\chi(M_{+})-\chi(M_{-})+S_{\varphi}^{+}-S_{\varphi}^{-}$$2 \pi\chi(M^{2})=\int_{M^{2}}KdA_{\varphi}+2\int_{L_{t\prime}}\kappa_{\varphi}d\tau_{\varphi}$

(16)

,

が得られる．

注意 12 実は，ここで紹介した 2 つの Gauss-Bonnet の公式に対してが条件 (8)を満たす，という仮定は不必要で，(15) も (16) も共に条件 (8) なしで成立する([28]) . 但し，その場合 $K$ は，曲面の Levi-Civita 接続から定まる Gallss 曲率に$\varphi$は必ずしも一致しない．このことに気づくと，Riemann 幾何以外の範疇でも，上の Gallss-Bonnet の定理が適用できる．論文 [28] では，affine 幾何の立場から，卵形面の Bl\‘aschke 法線写像のツバメの尾の個数に関する公式を上の Gallss-Bonnetの公式から導いている．
ここで$d\tau_{\varphi}$

は吟特異点集合上の計量$ds_{\varphi}^{2}$に関する線素である．また$S_{\varphi}^{+}$と$S_{\varphi}^{-}$

は，正と負の -特異点の個数を表す．(波面の場合には， -特異点は波面であり，先に述べた正，負の定義に一致する．2 次元多様体間の写像の場合には -特異点はカスプであるが，特異点曲線の折れた側の領域が $M+$ のときに正のカスプと定義する．) または，SO(2) ベクトル束 の特性類としての Elller 類を表す．
内的な Gallss-Bonnet の定理の応用について，これから，いくつかの応用を紹$A_{3}$$A_{3}$$A_{3}$$\chi_{E}$

介する．

$E$

22
8. 2 次元多様体間の$C^{\infty}$-写像

すでに，例 3 で述べたように同じ次元間の多様体の$C^{\infty}$-写像は連接接束を誘導する．平面間の写像の芽$f(u, v)=(u^{2}, v)$

は $(u, v)=(0,0)$に特異点を定める．これと右左同値な写像芽を折り目という．
折り目は，\S 7 で述べた内的な特異点としての解釈では -特異点に対応する．一
$A_{2}$

方，写像の芽$f(u, v)=(uv+v^{3}, v)$

は $(u, v)=(0,0)$に特異点を定める．これと右左同値な写像芽をカスプという．

カスプは，\S 7 で述べた内的な特異点としての解釈では -特異点に対応する．2次元多様体間の写像では，折り目とカスプは Whitney 位相に関してジェネリック
な特異点であることが知られている．したがって，与えられた写像が，この 2 っ$A_{3}$の特異点しか許容しないという仮定は自然なものである．まず，公式 (15) の応用
として次が成り立っ．
定理 13 (Quine [21])$M^{2}$とた 2 次元多様体とする． :$f$

を共にコンパクトで境界のない，向きづけられ$N^{2}$

を折り目とカスプのみをもつ$M^{2}arrow N^{2}$$C^{\infty}$-写像とする．このとき，次が成り立っ．
$\deg(f)\chi(N^{2})=\chi(M_{f}^{+})-\chi(M_{f}^{-})+S_{f}^{+}-S_{f}^{-}$

但し$J_{f}$

を $M^{2},$$N^{2}$の向きに同調した座標を用いたときの$f$,のヤコビ行列式とするとき，$M_{f}^{+}:=\{\det(J_{f})>0\}$であり，また

$S_{f}^{+}$

は $f$

,

$M_{f}^{-}:=\{\det(J_{f})<0\}$の正のカスプの数，$S_{\overline{f}}$は負のカスプの数を表す．

実際， から誘導される連接接束のオイラー類は
$f$

$f$

の写像度倍されるので，この式が従う．また公式 (16) の応用として次が成り立っ．
を共に境界のない，向きづけられた 2 次元多様体とす
る．またはコンパクトとし， をのリーマン計量とする． :を折り目とカスプのみをもつ-写像とする．このとき，次が成り立っ．

定理 14([27])$M^{2}$と$N^{2}$$M^{2}$$g$$N^{2}$$f$$M^{2}arrow N^{2}$$C^{\infty}$$2 \pi\chi(M^{2})=\int_{M^{2}}(K_{N^{2}}\circ f)|f^{*}dA_{g}|+2\int_{\Sigma_{f}}\kappa_{s}d\tau$

但し$K_{N^{2}}$は $(N^{2}, g)$ の Gallss 曲率とする．

は，特異曲線の による像 (曲線) に対してにおける測地的曲率の絶対値が定まるが， の像が横たわっている側が，曲上記の定理で定まる特異曲率$N^{2}$.

$f$$\kappa_{s}$$f$線の曲がっている方向と連動しているかどうかによって，正負の符号をつけたものに他ならない．特異曲線に， の像を左手に見るような向きをつけると，特異$f$23
曲率は，特異曲線の測地的曲率に一致させることができる．特に，$(N,g)$ が 2 次

元 Euclid 空間であった場合には，閉曲線の全測地的曲率は，回転数の$2\pi$

倍となるので，以下の系が得られる．
系 15 (Levine [16])とする． :の特異点集合を，$f$

を境界のない，向きづけられたコンパクト 2 次元多様体
を折り目とカスプのみをもつ-写像とする．このとき，$M^{2}$$M^{2}arrow R^{2}$$M^{2}$$f$$C^{\infty}$

における正則曲線の和集合として(波面としての単純閉曲線の和)$\Sigma_{f}=C_{1}\cup\cdots\cup C_{r}$と書く．各$C_{j}$に，その像が $f(M^{2})$ を左手に見る向きをつけると$\frac{\chi(M^{2})}{2}=I(C_{1})+\cdots+I(C_{r})$が成り立っ．但し$I(C_{j})$

は，曲線

.

の回転数とする．

$f(C_{j})$9. R3 の曲面への応用
を向き付けられた境界のないコンパクトな 2 次元多様体とし，波面:$\nu:M^{2}arrowS^{2}$
を考える．またを，その単位法線ベクトル場の定める Gauss 写像とする．すると が波面として引き起こす連接接束から 2 つの Gauss-Bonnet
型の公式が得られ， が Gallss 写像として引き起こす連接接束から，別に 2 つのGauss-Bonnet 型の公式が得られるので，合計以下の 4 っの式が成り立っ．
$M^{2}$$f$$M^{2}arrow$$R^{3}$

$f$

$\nu$

$( \chi_{E}=)\frac{1}{2\pi}\int_{M^{2}}K_{f}d\hat{A}_{f}=\chi(M_{+}^{f})-\chi(M^{\underline{f}})+S_{+}^{f}-S^{\underline{f}}$

,

(17)

$( \chi_{E}=)\frac{1}{2\pi}\int_{M^{2}}K_{\nu}d\hat{A}_{\nu}=\chi(M_{+}^{\nu})-\chi(M_{-}^{\nu})+S_{+}^{\nu}-S_{-}^{\nu}$

,

(18)

$\int_{M^{2}}K_{f}dA_{f}+2\int_{L_{f}}\kappa_{s}^{f}d\tau=2\pi\chi(M^{2})$

,

(19)

$\int_{M^{2}}K_{\nu}dA_{\nu}+2\int_{\Sigma_{\nu}}\kappa_{s}^{\nu}d\tau=2\pi\chi(M^{2})$

,

(20)

ここで， の Gallss 曲率$f$$K_{f}$と$\nu$の引き起こす曲率$K_{\nu}$の間には， が単位球
$S^{2}$

面であることと weingarten の公式に注意すると，以下の式が成り立っ．
$K_{f}d\hat{A}_{f}=K_{\nu}d\hat{A}_{\nu}$

,

(21)

,

(22)

$|K_{f}|dA_{f}=dA_{\nu}(=K_{\nu}dA_{\nu})$(23)$K_{\nu}=1$

古典的な閉曲面の Gallss-Bonnet の定理では，オイラー数の情報が得られるが，新たに得られた Gallss 写像の Gallss-Bonnet の定理と合わせると，例えば以下の情報が得られる(1) Gallss 曲率が負の部分の Elller 数 $\chi(\{p\in M^{2};K_{p}<0\})$ ,24(2) Gauss 曲率が負の部分の全曲率$\int_{M^{2}}K^{-}dA$, 但し $K^{-}:= \min(O, K)$ .

まず，(1) に関する情報を与える以下の定理を導いてみよう．
定理 16 (Bleecker-Wilson [3])次元多様体とし， :$f$$M^{2}$

を境界のないコンパクトで向きづけられた 2を，はめ込みとする．また$M^{2}arrow R^{3}$$\nu:M^{2}arrow S^{2}$

を $f$ のGauss 写像とし， は，折り目とカスプのみを許容したとすると$\nu$$2\chi(\{K_{f}<0\})=S_{\nu}^{+}-S_{\overline{\nu}}$,が成り立っ，但し$S_{\nu}^{+}$

(証明)

$:=$

{ の正のカスプの数},$S_{\overline{\nu}};=$$\nu${ の負のカスプの数}.
$\nu$

まず $f$ は特異点を持たないので，通常の Gauss-Bonnet の定理が成り立っ．っ

まり

(24)

$\chi_{E}=\frac{1}{2\pi}\int_{M^{2}}K_{f}d\hat{A}=\chi(M)$が成り立っ．一方， が誘導する連接接束 は，波面の内的双対性から， から誘導されるものと同一である．したがって (18) により$B^{1}$

$\nu$

$f$

,

(25)

$\chi_{E}=\chi(M_{+}^{\nu})-\chi(M^{\underline{\nu}})+S_{+}^{\nu}-S^{\underline{\nu}}$が成り立っ．ここで Gauss 写像$\nu$$f$ の $Ga\iota 1SS$ 曲率の正負と連の Jacobi 行列式の正負は，動していることに注意すると，$M_{+}^{\nu}=\{p\in M^{2};K_{p}>0\}$,$M^{\underline{\nu}}=\{p\in M^{2};K_{p}<0\}$(26)が成り立っ．一方 (24) より(27)$\chi_{E}=\chi(M)=\chi(M_{+}^{\nu})+\chi(M_{-}^{\nu})$(証明終)に注意して，(25) と合わせれば，定理の主張が得られる
ところで，上の Bleecker-Wilson の公式で $f$ と の役割を逆転させることがで$\nu$

きる．つまり がはめ込みであることを仮定する代わりに がはめ込みであるとする．すると は卵形面の平行曲面でなければならない．特に，次の定理が上
$f$

$\nu$

$f$

記の定理 16 の双対版となる．
定理 17 (双対版 Bleecker-Wilson の公式 [27]) $f$ : $M^{2}(=S^{2})arrow R^{3}$ を強い意味で凸な閉曲面とする．(つまり Gauss 写像 は微分同相写像であるとせよ．) ある実
$\nu$

数

$t$

において， の平行曲面九はカスプ辺とツバメの尾のみを許容したとする

と，その

$f$

$t$

について
$2\chi(\{K_{f_{t}}<0\})=S_{f\ell}^{+}-S_{f_{l}}^{-}$

が成り立っ，但し$S_{f\ell}^{+}:=f_{t}$$S_{\overline{ft}}:=f_{t}$上の正のツバメの尾の数，
上の負のツバメの尾の数．

25
ここで，定理 17 の具体例を挙げよう．卵形面$f$

として，像が以下のような楕円面となるものを考える．
${\rm Im}(f)= \{(x, y, z)\in R^{3};\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}+z^{2}=1\}$

この楕円面に対して$\nu$を内向きの単位法線ベクトルとする．そして平行曲面$f_{c}:=f+c\nu$,を考えると${\rm Im}(f_{c})$.

$c:= \frac{11}{2}$は図 9 のように，4 つのツバメの尾をもち $\chi(\{K_{\text{。}}<0\})=-2$となる．したがって，これらのツバメの尾はすべて負の属性をもつ．

図 9: 楕円の平行曲面

今度は，Gallss 曲率が負の部分の全曲率に関する情報を与える定理を紹介する．
定理 18 ([27])$f$:$M^{2}arrow R^{3}$$M^{2}$

を境界のないコンパクトで向きづけられた 2 次元多様体とし，を，はめ込みとする．また

$\nu$

:

$M^{2}arrow S^{2}$

を $f$ の Gauss 写像とし，$\nu$は，折り目とカスプのみを許容したとすると$\int_{\Sigma_{\nu}}\kappa_{\nu}d\tau=\int_{M^{2}}K^{-}dA(<0)$

が成り立っ，但し $K^{-}= \min(0, K)$ であり， は$\kappa_{\nu}$

$\nu$

,

の特異曲率とする．

まず $f$ は特異点を持たないので，通常の Gallss-Bonnet の定理が成り立っ．つ$f$ かまり (24) が成立する．一方， が誘導する連接接束 ’ は，波面の内的双対性から，
ら誘導されるものと同一である．したがって (20),(26) により

(証明)

$\nu$

$l_{i_{J}}$$\int_{K_{f}>0}K_{f}dA_{f}-\int_{K_{f}<0}K_{f}dA_{f}+2\int_{\Sigma_{\nu}}\kappa_{s}^{\nu}d\tau=\int_{M^{2}}K_{\nu}dA_{\nu}+2\int_{\Sigma_{\nu}}\kappa_{s}^{\nu}d\tau$$=2 \pi\chi(M^{2})=\int_{M^{2}}K_{f}dA_{f}$$= \int_{K_{f}>0}K_{f}dA_{f}+\int_{K_{f}<0}K_{f}dA_{f}$

26
(証明終)
となるので，定理の主張が得られる
定理 17 は $f$ との役割の入れ替えによる定理 16 の双対版であった．同様に$\nu$

定理 18 の双対版として以下の定理が示せる．
定理 19 ([27]) $f:M^{2}(=S^{2})arrow R^{3}$ を強い意味で凸な閉曲面とする．(つまりGauss 写像 は微分同相写像であるとせよ．) ある実数 において， の平行曲
面ゐはカスプ辺とツバメの尾のみを許容したとすると，その について
$f$

$t$

$\nu$

$t$

$\int_{L_{f_{2}}}\kappa_{f_{l}}d\tau=-\int_{M^{2}}K_{\overline{ft}}dA_{f_{t}}$が成り立っ．ここで 允は五の特異曲率とする．
$\kappa$

また，Gauss 曲率が有界な波面については，以下の著しい結果が成り立っ．(そのような曲面の具体例としては，平均曲率一定曲面の平行曲面などがある．)

を境界のないコンパクトで向きづけられた 2 次元多様体とし，:を，波面とし，特異点以外の場所で至る所 $K>0$ あるいは $K<0$を満たしていたとすると次が成立する．このとき $f$ とその単位法線ベクトル場の定理 20 ([27])$f$$M^{2}$$M^{2}arrow R^{3}$

特異点集合は一致する．さらに，次が成り立っ．
(1)$S_{f}^{+}-S_{\overline{f}}=$sgn$(K)(S_{\nu}^{+}-S_{\overline{\nu}})$,(2) もしも $K<0$ ならば $\chi(M^{2})=0$ が成り立っ．

この結果は，論文 [27] の中でも最も深い定理の 1 つである．

10. 共形的に平坦なリーマン多様体の双対性．
最後に，波面の内的双対性の超曲面の場合の応用を述べる．リーマン多様体$(n\geq 4)$ が共形的に平坦とは，ワイルの曲率テンソル$(M^{n}, g)$$W_{ijkl}:=R_{jkt}+(A_{ik}g_{jt}-A_{it}g_{jk}+A_{jtg_{ik}-A_{jkg_{it})}}+ \frac{R}{n(n-1)}(g_{ik}g_{jl}-g_{it}g_{jk})$が消えるときを云う．但し$A:= \frac{1}{n-2}\sum_{i,j}(R_{\dot{g}}-\frac{R}{2(n-1)}g_{ij})dx^{i}\otimes dx^{j}$

は Schouten テンソルという．このとき第二 Bianchi の恒等式により $A$ は Codazzi

が共形的に平坦であるとは，の方程式を満たす．一方 $n=3$ のときにはSchouten テンソル が Codazzi テンソルのときをいう．共形的に平坦であるこ$(M^{3}, g)$$A$とと，リーマン計量を共形的に変形して平坦にできることは同値である．以下のことが知られている．

27
Fact 21 (Brinkmann [4], Asperti-Dajczer [2]) 単連結な共形的平坦リーマン多様体 $(M^{n}, g)(n\geq 3)$ は Lorentz-Minkowski 時空の光錐$Q_{+}^{n+1}$$.= \{(t,x^{1}, \ldots,x^{n+1})\in R_{1}^{n+2};\sum_{j=1}^{n+1}(x^{j})^{2}=t^{2}\}$への等長はめ込みを (一意的に) 許容する．
光錐の超曲面はまた光錐の超曲面となる．この, Liu-Jung [8], おことに着目し，共形的に平坦な多様体上の双対性がよび Espinar-G’alvez-Mira [6] によりそれぞれ別の見地から指摘された．これを，$f$の単位の単位法線ベクトル$\nu$$I_{Z\sim 1}miya[9]$外の空間を払拭して内的に定式化することができる．以下のことが示せる．
定理 22 ([18]) 連接接束の言葉を用いて共形的平坦リーマン多様体の概念を特異点を許す対象に拡張し，双対性をその枠組みの中の対合として定式化することができる．特に共形的平坦リーマン多様体 $(M^{n}, g)(n\geq 3)$ の双対計量(28)$\hat{g}_{ij}=\sum g^{ab}A_{ia}A_{jb}du^{i}\otimes d\uparrow j$は再び双対共形平坦計量を与える．但し$(u^{1}, \ldots, u^{n})$は局所座標系とする．

尚，双対計量の式 (28) は，論文 [18] で初めて与えられたものである．最後に今回の話題と直接関係ないが，特異点をもつ Gauss-Bonnet 曲率や平均曲率一定
曲面については文献 [15],[19],[10],[13], [20],[7] およびその文献表を参考にしていただければ幸いです．また，今回の話題に関する入門としては，最近の筆者の拙著
「特異点をもつ曲線と曲面の幾何学」 (慶応大学数理科学科講義録 47 巻) をご覧
ください．

参考文献
[1] V. I. $Arnol\cdot d$ , S. M. Gusein-Zade and A. N. Varchenko, Singularities of differentiable maps,
Vol. 1, Monographs in Math. 82, Birkh\"auser, 1985.
[2] A. R. C. Asperti and M. Dajczer, Confom,ally flat Riemannian manifolds as hypersurfacesof the light cone, Canad. Math. Bllll. 32 (1989), 281-285.
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[3] D. Bleecker and L. Wilson, $Sto,bility$ of[4] H. W. Brinkmann, On Riemann spaces conformal to Euclidean space, Proc. Nat. Acad.
Sci 9 (1923), 1-3.
[5] L. Chen and S. Izumiya, A mandara of Legendrian dualities for pseudo-sphere in semiEuclidean space, Proc. Japan. Acad. 85 (2009) 49-54.
[6] J. M. Espinar, J. A.
alvez and P. Mira, Hypersurfares in $Hn+l$ and conform ally invariant equations; The generalized Christoffel and Nirenberg problems, J. Eur. Math. Soc.
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) maximal[7] S. Fujimori, W. Rossman, M. Umehara, K. Yamada and S.-D. Yang,surfaces$ith$in Minkowski 3-space ) arbitrary genus and their cousins in de Sitter 3-space, Results
Math. 56 (2009) 41-82.
[8] H. L. Liu and S. D. Jung, Hypersurfaces in lightlike cone, J. of Geom. and Phys. 58$Ne\uparrow I$$\uparrow i$$(2008),913-922$.

[9] S. Izllmiya, Legendrian duahties and spacelike hypersurfaces in lightcone, Moscow Math.
J. 9 (2009), 325-357.

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