数理解析研究所講究録 1308 巻 2003 年 99-111

99
ベイズリスクに関する積分バツタチャリャ型
不等式について数学系

筑波大

小池健一 (Ken-ichi Koike)

Institute of Mathematics,
University of Tsukuba

1. はじめにクラーメル・ラオ型の不等式の応用として, Borovkov and$\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{o}^{[1]}$, Brown and等は二乗誤差の下でのベイズリスクに関する下界を与え, さらに, ミニマツク,, Sato andスリスクに関する下界について論じた ($\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{k}^{[2]}$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}_{\mathrm{A}}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{o}^{[3]},$$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}^{[6]},\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{e}^{[7]}$$\mathrm{A}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}^{[5]}$$\mathrm{G}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}^{[4]}$参照). しかしながら, これらの下界が実際に達成されるようなことは,ほとんどない. 一方, 不偏推定量の分散に関するバツタチャリャ型の下界が, クラーメル.

ラオ型の不等式で与えられる下界を改良し, しかも次数を上げれば, 一定条件下では局所最小分散不偏推定量の分散に収束することが知られている.
ここでは, ベイズリスクに関する積分バツタチャリャ型の不等式を示し, 応用例として,

局所ミニマックスリスクの下界の漸近近似について述べる.

2. ベイズリスクに対する下界$X_{1},$$\ldots,$$(t\in\Theta)$$X_{n}$を, 互いに独立に, いずれも (に従う確率変数列とする. ただし,実数の区間とする.

$\mathrm{X}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$とお$\sigma$$\Theta$$\langle$-有限測度に関する) 密度関数 $f1(x, t)$は, 端点 $a,$ $b(-\infty\leq a<b\leq\infty)$ をもつ. sllpp(g) をこでは, 二乗誤差 $L(t, a)=(a-g(t))^{2}$ の下で,$\mu$$\mathrm{e}$$\Theta$

上の関数

$g$

の台とする.

上で三回微分可能な関数

$g$

こ

のベイズ推

定問題を考える.
次の条件を仮定する.

$\Theta)$

で$\text{あ}$

つ

99

100
(A2)

の

$t$

(ルベーグ測度に関する) 事前密度

このとき,

$t$

の関数 $g(t)$ の推定量

$q$は 3 回微分可能で,$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(q)\subset\ominus$.

に対するベイズリスクを$\hat{g}$$B( \hat{g}, q):=\int_{\Theta}E_{t}\{L(t,\hat{g})\}q(t)dt$とすると次を得る.
定理 1.

する.

$\hat{g}(\mathrm{X})$

を $g(t)$ の推定量,

ほとんどすべての

$x$

$h$

を

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h)\subset \mathrm{S}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{p}(q)$について, $t=a,$

$b$

を満たす

$\mathrm{e}$上の微分可能な関数とにおいて $h(t)f_{1}(x, t)= \frac{\partial}{\partial t}\{h(t)f_{1}(x,t)\}=0$であるとき, 条件 (AO) –(A2) の下で次が成り立っ.
$B( \hat{g}, q)\geq(E(\frac{g’h}{q}),$ $-E( \frac{g’’h}{q}))V^{-1}($ $E( \frac{g’h}{q}),$ $-E( \frac{g’’h}{q}))’$

ただし,$V=\{E(S_{i}S_{j})\}_{j=1,2}|.$,は2$\cross 2$

.

(2.1)

行列で $E(S_{1}^{2})=nE(h^{2}I/q^{2})+E\{(h’/q)^{2}\}$ ,$E(S_{1}S_{2})=n[E\{(h/q)^{2}E_{t}(f_{1}’f_{1}’’/f_{1}^{2})\}+2E(Ihh’/q^{2})]+E(h’h’’/q^{2})$,$E(S_{2}^{2})=2n^{2}E\{(Ih/q)^{2}\}$$+n\{$ $E\{(h/q)^{2}E_{t}(f_{1}’’/f_{1})^{2}\}-2E\{(Ih/q)^{2}\}+4E(Ih^{\prime 2}/q^{2})+4E^{\cdot}\{hh’/q^{2}E_{t}(_{f_{1}}^{f’f’’}+)\}]$$+E$ $\{(h’’/q)^{2}\}$

証明.

とする.

$S_{i}=\{f(x, t)q(t)\}^{-1}$$(\hat{g}-g, S_{1}, S_{2})$( ２圻 ) $\{f(x, t)h(t)\}(i=1,2)$ とおく. 確率ベクトルの共分散行列 $U$ は次で与えられる :$E\{(\hat{g}-g)^{2}\}$$U=\{$ $E(g’h/q)$$-E(g”h/q)$$E(g’h/q)$$E(S_{1}^{2})$$-E(g”h/q)E(S_{1}S_{2}))E(S_{2}^{2}).\cdot$$E(S_{1}S_{2})$実際, 部分積分を用いれぱ$\int_{\Theta}\frac{\partial}{\partial t}\{f(x, t)h(t)\}dt=[f(x, t)h(t)]_{a}^{b}=0$$\int_{\Theta}g(t)$,$\{f(x, t)h(t)\}dt=-\int_{\Theta}g’(t)f(x, t)h(t)dt$(2.2)

101 101となるから,$E \{(\hat{g}-g)S_{1}\}=\int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}(\hat{g}-g)\frac{\partial}{\partial t}\{f(x,t)h(t)\}dtd\mu$$= \int_{\mathcal{X}}\hat{g}\int_{\Theta}\frac{\partial}{\partial t}\{f(x, t)h(t)\}dtd\mu-\int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}g\frac{\partial}{\partial t}\{f(x, t)h(t)\}dtd\mu$$= \int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}g’(t)f(x, t)h(t)dtd\mu$$= \int_{\Theta}g’(t)h(t)\int_{\mathcal{X}}f(x, t)d\mu dt$(2.3)$= \int_{\Theta}g’(t)h(t)dt=E(\frac{g’h}{q})$を得る. 同様に, $t=a,$$b$に対して (\partial /&) $\{f(x, t)h(t)\}=0$ となるから$E\{(\hat{\dot{g}}-g)S_{2}\}$$= \int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}(\hat{g}-g)\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\{f(x, t)h(t)\}dtd\mu$$= \int_{\mathcal{X}}\hat{g}\int_{\Theta}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\{f(x, t)h(t)\}dtd\mu-\int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}g\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\{f(x, t)h(t)\}dtd\mu$$= \int_{\mathcal{X}}\hat{g}[\frac{\partial}{\partial t}\{f(x, t)h(t)\}]_{a}^{b}d\mu+\int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}g’\frac{\partial}{\partial t}\{f(x,t)h(t)\}dtd\mu$$=- \int_{\mathcal{X}}\int_{\Theta}g’’(t)f(x, t)h(t)d\mu dt$$=- \int_{\Theta}g’’(t)h(t)\int_{\mathcal{X}}f(x, t)d\mu dt$(2.4)$=- \int_{\Theta}g’’hdt=-E(\frac{g’’h}{q})$を得る. 一方, Borovkov and$\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{o}^{[1]}$から$E(S_{1}^{2})=nE( \frac{h^{2}I}{q^{2}})+E\{(\frac{h’}{q})^{2}\}$である.

$L’=\{f(x, t)\}^{-1}$ (\partial / 0 $f(x, t),$

$L”=\{f(x, t)\}^{-1}(\partial^{2}/\partial^{2}t)f(x, t)$(2.5)
とおくと, 条件

102
(A1) から $E_{t}(L’)=E_{t}(L’’)=0$ となるから$E(S_{1}S_{2})=E \{(L’\frac{h}{q}+\frac{h’}{q})(L’’\frac{h}{q}+2L’\frac{h’}{q}+\frac{h’’}{q})\}$$=E \{L’L’’(\frac{h}{q})^{2}+2L^{\prime 2}\frac{hh’}{q^{2}}+L’\frac{hh’’}{q^{2}}$$+L” \frac{hh’}{q^{2}}+2L’(\frac{h’}{q^{2}})^{2}+\frac{h’h’’}{q^{2}}\}$$=E \{L’L’’(\frac{h}{q})^{2}+2L^{\prime 2}\frac{hh’}{q^{2}}+\frac{h’h’’}{q^{2}}\}$

,

(2.6)

$E(S_{2}^{2})=E \{(L’’\frac{h}{q}+2L’\frac{h’}{q}+\frac{h’’}{q})^{2}\}$$=E \{L^{\prime\prime 2}(\frac{h}{q})^{2}+4L^{\prime 2}(\frac{h’}{q})^{2}+4L’L’’\frac{hh’}{q^{2}}$(2.7)$+2L” \frac{hh’’}{q^{2}}+4L’\frac{h’h’’}{q^{2}}+(\frac{h’’}{q})^{2}\}$

を得る.

$L’$

と $L”$ の定義から$L’= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(x_{i},t)$,$L”= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\log f_{1}(x_{\dot{l}}, t)+\{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(x_{i}, t)\}^{2}$

,

であるから

$E_{t}(L^{\prime 2})=E_{t} \{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(X_{i},t)\}^{2}=nI(t)$

,

(2.8)

103 103$E_{t}(L’L’’)=E_{t}[ \{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\log f_{1}(X_{i}, t)\}\{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(X_{i}, t)\}$$+ \{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(X_{i}, t)\}^{3}]$$=nE_{t}[ \{\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\log f_{1}(X_{i}, t)\}\{\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(X_{i}, t)\}]$$+nE_{t}[ \{\frac{\partial}{\partial t}1o\mathrm{g}f_{1}(X_{i}, t)\}^{3}]$$=nE_{t} \{\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}}-(\frac{f_{1}’}{f_{1}^{2}})^{3}\}+nE_{t}\{(\frac{f_{1}’}{f_{1}})^{3}\}$

,
(2.9)

$=nE_{t}( \frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}})$となる. ただし,全く同様に,$f_{1}’=\partial f(X_{i}, t)/\partial t,$$E(L^{\prime\prime 2})$$f_{1}’’=\partial^{2}f(X_{i}, t)/\partial t^{2}$

とする.

に対して

$E_{t}(L^{\prime\prime 2})=E_{t}[ \{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\log f_{1}(X_{i}, t)\}^{2}+\{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(X:, t)\}^{4}$$+2 \{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1}(X_{i}, t)\}^{2}\{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\dot{\mathrm{g}}f_{1}(X_{i}, t)\}]$$=nE_{t} \{(\frac{f_{1}’’}{f_{1}})^{2}-2\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}+(\frac{f_{1}’}{f_{1}})^{4}\}$$+nE_{t} \{(\frac{f_{1}’}{f_{1}})^{4}\}+3n(n-1)I^{2}$.
$+2[nE_{t} \{\frac{f_{1}^{\prime 2}f_{1}’’}{f_{1}}-(\frac{f_{1}’}{f_{1}})^{4}\}-n(n-1)I^{2}]$(2.10)

104となる. (2.8), (2.9), (2.10) から, (2.6) と (2.7) の右辺は, それぞれ$E(S_{1}S_{2})=nE \{E_{t}(\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}})(\frac{h}{q})^{2}+2I\frac{hh’}{q^{2}}\}+E\{\frac{h’h’’}{q^{2}}\}$,(2.11)$E(S_{2}^{2})=2n^{2}E \{(\frac{Ih}{q})^{2}\}+nE[(\frac{h}{q})^{2}E_{t}\{(\frac{f_{1}’’}{f_{1}})^{2}\}$-2$( \frac{Ih}{q})^{2}+4I(\frac{h’}{q})^{2}+4E_{t}(\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}})\frac{hh’}{q^{2}}]$$\backslash$(2.12)$+E \{(\frac{h’’}{q})^{2}\}$となる. 一方,$U$

は非負値行列なので$|U|=|V||E\{(\hat{g}-g)^{2}\}-(E(g’h/q), -E(g’’h/q))V^{-1}$. $(E(g’h/q), -E(g”h/q))’|>0$となる. ただし,$V=\{E(S_{\dot{l}}S_{j})\}:,j=1,2$とする. すると$B(\hat{g},q)=E\{(\hat{g}-g)^{2}\}$(2.13)$\geq(E(g’h/q), -E(g’’h/q))V^{-1}(E(h/q), -E(g’’h/q))’$であるから, (2.3), (2.4), (2.5), (2.11), (2.12), (2.13) より与式を得た.
系.

口$h=g’q/I$ が微分可能で sllPp(h)\subset supp(q) をみたすとき, 条件 (AO) –(A2) の下で次が成り立つ.
$B( \hat{g}, q)\geq(\int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I}dt,$$- \int_{\Theta}\frac{g’g’’q}{I}dt)\tilde{V}^{-1}(\int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I}dt,$

ただし, $V=\{E(S_{\dot{l}}S_{j})\}:,j=1,2$ は$2\cross 2$$- \int_{\Theta}\frac{g’g’’q}{I}dt)’$,(2.14)

行列で,$E(S_{1}^{2})=n \int_{\Theta I^{q}}\angle^{2}dt+\int_{\Theta}\frac{1}{q}(g_{I}^{\prime\prime q}+g’(_{I}^{q})’)^{2}dt$,$E(S_{1}S_{2})=n[ \int_{\Theta I^{2}}\infty^{2}\int_{\mathcal{X}}f’[perp]_{f_{1}}f’’[perp] d\mu dt-2\int_{\Theta I}\not\leq\not\leq\acute{q}dt]+\int_{\Theta}\frac{1}{q}(\acute{\acute{\simeq}}_{I^{\mathrm{g}}}+g’(_{I}^{\mathrm{g}})’)$.

$(^{\not\leq_{I}\acute{\acute{s}}}+2g’’(_{I}^{\mathrm{g}})’+g’(_{I}^{\mathrm{g}})’’)dt,$$E(S_{2}^{2})=2n^{2} \int_{\Theta}g^{\prime 2}qdt+n|\int_{\Theta I}\angle^{2}\neq\int_{\mathcal{X}f_{1}}\underline{f}_{\acute{\acute{\mathrm{L}}}}^{2}d\mu-2\int_{\Theta}g^{\prime 2}qdt+$$4 \int_{\Theta}\frac{I}{q}(\angle_{\acute{I}}\mathit{9}+g’(_{I}^{\mathrm{g}})’)^{A}.dt+4\int_{\Theta I}g_{-}’(^{u_{\acute{\mathrm{r}}}}+g’(_{I}^{\mathrm{g}})’)\int \mathcal{X}-\acute{\acute{\acute{-}}}Jf_{1}d\mu dt|f$105 105$+$几$\frac{1}{q}(\acute{\acute{L}}\acute{A}I+2g’’(_{I}^{q})’+g’(_{I}^{q})’’)^{2}dt$とする.

また, (2.14) の漸近近似は$( \int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I}dt)n^{-1}+\{-\int_{\Theta}(\frac{g’’q}{I}+g’(\frac{q}{I})’)^{2}\frac{dt}{q}$$+ \frac{1}{2\int_{\Theta}g^{2}qdt},(\int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I^{2}}\int_{\mathcal{X}}\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}d\mu dt-\int_{\Theta}\frac{g’g’’q}{I}dt)^{2}\}n^{-2}+O(n^{-3})$$(narrow\infty)$(2.15)
で与えられる.
証明.

(前半) (2.1) に $h=g’q/I$ を代入すると与式を得る.

(後半) (2.14) の右辺に対して,$narrow\infty$としたときの漸近近似は$( \int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I}dt)n^{-1}+\{-\int_{\Theta}\frac{h^{\prime 2}}{q}dt$$+ \frac{1}{2\int_{\Theta}g^{2}qdt},(\int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I^{2}}\int_{\mathcal{X}}\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}d\mu dt+2\int_{\Theta}\frac{g’h’}{q}dt)^{2}$$+ \frac{\int_{\Theta I}\not\leq\acute{\acute{u}}_{dt}}{2\int_{\Theta}g^{2}qdt},(2\int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I^{2}}\int_{\mathcal{X}}\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}d\mu dt+4\int_{\Theta}g’h’dt+\int_{\Theta}\frac{dd’ q}{I}dt)\}n^{-2}$

十 $O(n^{-3})$となる.

ここで, 部分積分から$\int_{\Theta}g’h’dt=-\int_{\Theta}\frac{g’g’’q}{I}dt$となるので, 与式を得た.

注意. (1) 特に $g=\theta$ を代入すると, (2.15) は$( \int_{\Theta}\frac{q}{I}dt)n^{-1}+\{-\int_{\mathrm{e}}\frac{1}{q}(\frac{q}{I})’ dt+\frac{1}{2}(2\int_{\Theta}\frac{q}{I^{2}}\int_{\mathcal{X}}\frac{f_{1}’f\mathrm{i}’}{f_{1}}d\mu dt)^{2}\}n^{-2}$$+O(n^{-3})$$\square$106(2) (2.15) と同様の近似を Borovkov-Sakhanienko の不等式に適用すれば,$narrow\infty$のとき$B( \hat{g}, q)\geq\frac{(\int_{\Theta I}g^{2}\Delta dt)^{2}}{n\int_{\Theta I}\acute{L}^{2}Adt+\int_{\Theta}\frac{h^{\prime 2}}{q}dt}$$=( \int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I}dt)n^{-1}+(-\int_{\Theta}\frac{h^{\prime 2}}{q}dt)n^{-2}+o(n^{-2})$(2.16)$=( \int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I}dt)n^{-1}+\{-\int_{\Theta}\frac{1}{q}(\frac{g’’q}{I}+g’(\frac{q}{I})’)^{2}dt\}n^{-2}+O(n^{-3})$となる. ただし, $h=g’q/I$ とする. 従って,のとで一致し,$n^{-2}$$n^{-1}$の係数は (2.15) のものと (2.16) のもの係数での両者の差は$\frac{1}{2\int_{\Theta}g^{2}qdt},(\int_{\Theta}\frac{g^{\prime 2}q}{I^{2}}\int_{\mathcal{X}}\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}d\mu dt-\int_{\Theta}\frac{f\oint’q}{I}dt)^{2}n^{-2}\geq 0$

となる.

3. 例
ここでは定理 1 と系に関する例を挙ける.
例 31.

$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$

を互いに独立に, いずれも平均 , 分散 1 の正規分布 $N(t, 1)$ ?こ従う$t$$\hat{g}=E(t^{2}|X_{1}, \ldots, X_{n})=\frac{1}{n+(1/\sigma^{2})}+\{\frac{\sum_{i_{-}^{-}1}^{n}X_{i}+(\mu/\sigma^{2})}{n+(1/\sigma^{2})}\}^{2}$となる. 簡単な計算によって$E \{(\hat{g}-t^{2})^{2}\}=\frac{2\sigma^{2}(2n\sigma^{4}+2\mu^{2}\sigma^{2}n+2\mu^{2}+\sigma^{2})}{(n\sigma^{2}+1)^{2}}$$=4( \mu^{2}+\sigma^{2})n^{-1}+\frac{-2(2\mu^{2}+3\sigma^{2})}{\sigma^{2}}n^{-2}+O$を得る. 一方, $g’(t)=2t,$$I(t)=E_{t} \{(\frac{\partial}{\partial t}\log f_{1})^{2}\}=1,$(。-3)$\int f’[perp]_{f1}f’’[perp] dx=0$$(narrow\infty)$

であるから (2.15) と(2.16) の右辺は, それぞれ

(2.15) :$4( \mu^{2}+\sigma^{2})n^{-1}+\{-4(2+\frac{\mu^{2}}{\sigma^{2}})+\frac{2\mu^{2}}{(\mu^{2}+\sigma^{2})}\}n^{-2}+O(n^{-3})$(2.16) :$4( \mu^{2}+\sigma^{2})n^{-1}-4(2+\frac{\mu^{2}}{\sigma^{2}})n^{-2}+O(n^{-3})$,

107 107となる $(narrow\infty).\hat{g}$ のベイズリスクと (2.15) との差は$(narrow\infty)$$(2- \frac{2\mu^{2}}{\mu^{2}+\sigma^{2}})n^{-2}+O(n^{-3})\geq 0$となる.
$\hat{g}$よって,$n^{-2}$の係数は$|\mu|arrow \mathrm{o}\mathrm{o}$または$\sigma^{2}arrow 0$とすれば 0 に収束する. しかし,のベイズリスクと (2.16) との差は $2n^{-2}+O(n^{-3})(narrow\infty)$ となり,$n^{-2}$の係数の下限は 2 である.

例 32.

$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$

を互いに独立に, いずれも密度関数$\lambda e^{-\lambda x}$$f_{1}(x;\lambda)=\{$に従う確率変数列とする. ただし,$(x>0)$ ,0(その他),$\lambda\in\ominus=(0, \infty)$

は未知母数とする.

$\lambda$の事前密度を$q$とし,$\frac{a^{p}}{\Gamma(\mathrm{p})}\lambda^{p-1}e^{-a\lambda}$$(\lambda>0)$,$q(\lambda;p, a)=\{$

0$(\lambda\leq 0)$とする. ただし, $a,p>0$ とする. よく知られているよう [ニ,対する十分統計量で,$T_{n}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n}X_{i}$は$\lambda$にその密度関数は$\mathrm{L}^{\lambda}\Delta n\Gamma(n^{\frac{n}{)}x^{n-1}e^{-n\lambda x}}$$(x>0)$ ,$f_{T_{n}}(x;\lambda)=\{$

0(その他)
で与えられる.

ここでは, 信頼度関数$R(c)=P(X_{1}\geq c)=e^{-c\lambda}$の推定問題を考える.

$R(c)$$(c>0)$のベイズ推定量は, 事後分布に関する$e^{-c\lambda}$の条件付, き期待値

で与えられ$\hat{R}=(\frac{nT_{n}+a}{nT_{n}+a+c})^{n+p}$(参照 Antoch et a1.[8]) となる.
et a1.[8] はその近似値を求めた.

$\hat{R}$のベイスリスクの直接計算は困難

ここでは,

.

$\vee.\mathrm{C}$あるため,

Antochそのベイズリスクと定理の系で与えた下界とを近似の面から検討する.
$g(\lambda)=e^{-c\lambda}$

とおく. 簡単な計算によって $g’(\lambda)=-ce^{-c\lambda},$$I=-E_{\lambda} \{^{2}\frac{\partial}{\partial\lambda}\tau\log f1(X_{1}, \lambda)\}=$

108$1/\lambda^{2}$となり$\int_{0}^{\infty}\frac{g^{\prime 2}q}{I}d\lambda=\frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}$,$\int_{0}^{\infty}(.\frac{d’q}{I}+g’(\frac{q}{I})’)^{2}\frac{d\lambda}{q}$$= \frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}(3a^{2}+4ac+2c^{2}+p^{2}c^{2}+pa^{2}+pc^{2})$$\int_{0}^{\infty}g^{\prime 2}qd\lambda=\frac{a^{p}c^{2}}{(a+2c)^{p}}$,,$\int_{0}^{\infty}\frac{g^{\prime 2}q}{I^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}d\mu d\lambda=-2\frac{a^{p}c^{2}p}{(a+2c)^{p+1}}$,$\int_{0}^{\infty}\frac{g’g’’q}{I}d\lambda=-\frac{a^{p}c^{3}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}$を得る. よって,(2.15)

近似式 (2.15) と (2.16) は, それぞれ$: \frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}n^{-1}+\frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{2(a+2c)^{p+4}}\{-c^{2}p^{2}-p(a^{2}+c^{2})$$-3a^{2}-2c^{2}-4ac \}n^{-2}+\frac{a^{p}c^{2}p^{2}}{2(a+2c)^{p+4}}(-2a-3c+cp)^{2}n^{-2}$$+O(n^{-3})$$= \frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}n^{-1}+\frac{a^{p}c^{2}p}{2(a+2c)^{p+4}}\{-c^{2}p^{3}-2p^{2}(a^{2}+5c^{2}+2ac)$$+p(-4a^{2}+3c^{2}+4ac)-6a^{2}-8ac-4c^{2}\}n^{-2}+O(n^{-3})$ ,(2.16)(3.1)$: \frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}n^{-1}+\frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{2(a+2c)^{p+4}}\{-c^{2}p^{2}-p(a^{2}+c^{2})$$-3a^{2}-2c^{2}-4ac\}n^{-2}+O(n^{-3})$ ,となる. 一方, ベイズリスクの漸近近似は$\frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{(a+2c)^{p+2}}n^{-1}+\frac{a^{p}c^{2}p(p+1)}{2(a+2c)^{p+4}}$

十 $c^{2}p^{2}-p(2a^{2}+5c^{2}+4ac)-2a^{2}+2c^{2}\}n^{-2}+\mathrm{O}(n^{-3})$(Antoch et a1.[8] を参照) となり, (3.1) と (3.2) の$n^{-2}$$(narrow\infty)$(3.2)の係数の差は$\frac{a^{p}c^{2}p}{2(a+2c)^{p+4}}\{4(a-\varphi+c)^{2}+2c^{2}p+2c^{2}\}>0$となる $(a, c,p>0)$ . 従って, 下界 (3.1) は (2.18) を改良するが,を達成しない.

$\hat{R}$のベイズリスク (3.2)

109 109
4. 局所ミニマツクスリスクに対する下界
ここでは,

$t$

のミニマツクス推定を考える. 定理 1 の条件下で$j(t):=E_{t} \{-3\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}}+2(\frac{f_{1}’}{f_{1}^{3}})^{3}\}$

とおく. このとき, 局所ミニマツクスリスクについて次を得る.
定理 2.

$\epsilon>0$と $a>0$ があって,$t\in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)$$0<a\leq j(t)$を満たすとする.

$(t_{0}-\epsilon, t_{0}+\epsilon)\subset \mathrm{e}$[こつ b) て(4.1)$j(t)<-a\leq 0$またはであるとき, 条件 (AO)–(A2) の下で,

$t_{0}$

こお$l\mathrm{J}$るミニマツクスリスクは,$(narrow\infty)$$t \in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)\mathrm{S}11\mathrm{p}E_{t}\{(\hat{t}-t)^{2}\}\geq\frac{1}{I^{*}}n^{-1}+(-\frac{\pi^{2}}{\epsilon^{2}I_{*}^{2}}+\frac{a^{2}}{2I^{*}3})n^{-2}+O(n^{-3})$

となる.

ただし,

$\hat{t}$は$t$の推定量で,$I^{*}= \sup_{t\in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)}I(t),$(4.2)$I_{*}= \inf_{t\in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)}I(t)$

と

する.

証明.

$g=t$ と $h=q$ を (2.1) に代入すると, 定理 1 の条件を満たす$\hat{t}$と$q$t こつ 1) て$B( \hat{t}, q)\geq\frac{1}{E(I)}n^{-1}-\frac{E(\phi/q)^{2}}{(E(I))^{2}}n^{-2}$$E_{t}( \frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}}))+2E(\frac{Iq’}{q})\}^{2}n^{-2}$$+ \frac{1}{2(E(I))^{2}E(I^{2})}\{E($$+O(n^{-3})$(4.3)$(narrow\infty)$となる. 条件 (A1) の下で, 部分積分を用いて$\frac{\partial}{\partial t}I(t)=\frac{\partial}{\partial t}\int\frac{f_{1}^{\prime 2}}{f_{1}}d\mu=\int\frac{\partial}{\partial t}(\frac{f_{1}^{\prime 2}}{f_{1}})d\mu$$=2 \int\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}}d\mu-\int\frac{f_{1}^{\prime 3}}{f_{1}^{2}}d\mu$,

だから$E( \frac{I\phi}{q})=-2E(E_{t}(\frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}}))+E(E_{t}(\frac{f_{1}’}{f_{1}})^{3})$

110
となる.

よって (4.3) の右辺は$\frac{1}{E(I)}n^{-1}-\frac{E(q’/q)^{2}}{(E(I))^{2}}n^{-2}$$+ \frac{1}{2(E(I))^{2}E(I^{2})}\{E($ $E_{t}(-3 \frac{f_{1}’f_{1}’’}{f_{1}^{2}}+2(\frac{f_{1}’}{f_{1}})^{3}))\}^{2}n^{-2}$$+O(n^{-3})$$\geq\frac{1}{I^{*}}n^{-1}-\frac{E(\phi/q)^{2}}{I_{*}^{2}}n^{-2}+\frac{a^{2}}{2I^{*}3}n^{-2}+O(n^{-3})$となる.

$q(t)= \frac{1}{\epsilon}\cos^{2\underline{\pi}\zeta t}A-a2\epsilon(|t-t_{0}|\leq\epsilon)$とおけば, (4.4) の右辺は$\frac{1}{I^{*}}n^{-1}-\frac{\pi^{2}}{\epsilon^{2}I_{*}^{2}}n^{-2}+\frac{a^{2}}{2I^{*3}}n^{-2}+O(n^{-3})$

となる.

$q$

を

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(q)\subset(t_{0}-\epsilon, t_{0}+\epsilon)$(4.4)$(narrow.\infty)$$(narrow\infty)$を満たす事前密度とすれば, 一般に$t\in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)\mathrm{S}11\mathrm{p}E_{t}\{(\hat{t}-t)^{2}\}\geq B(\hat{t}, q)$,となるので, 与式を得た.

注意. (1) 証明中で与えた口$q(t)= \frac{1}{\epsilon}\cos^{2\underline{\pi}\zeta t}A-a2\epsilon$は,$\int^{\acute{\mathrm{L}}^{2}}qdt$の最小値を与えてぃる (Ghosh[4],Borovkov[9] を参照).

(2) 条件 (4.1) は, $j(t)$ が連続で, $j(t_{0})\neq 0$ で
(3) Borovkov[9] は同様の下界を与えた:$t$$\epsilon>0$の推定量

力叶分小ならば満たされる.

$\hat{t}$につぃて$t \in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)\mathrm{S}11\mathrm{p}E_{t}\{(\hat{t}-t)^{2}\}\geq\frac{1}{nE(I)+\pi^{2}/\epsilon^{2}}$が成り立つ. ただし, 右辺分母の期待値$E(\cdot)$は$\mathrm{S}11\mathrm{p}\mathrm{p}(q)\subset(t_{0}-\epsilon, t_{0}+\epsilon)$

を満たす

$q$

に

ついてとるものとする. これより
$t \in(t_{0}-\epsilon,t\mathrm{o}+\epsilon)\mathrm{S}11\mathrm{p}E_{t}\{(\hat{t}-t)^{2}\}\geq\frac{1}{I^{*}}n^{-1}-\frac{\pi^{2}}{\epsilon^{2}I_{*}^{2}}n^{-2}+O(n^{-3})$となり, 従って, 下界 (4.2) は (4.5) を$t$を与えたときのとする. ただし,(-有限測度はの 3 回連続微分可能な関数で,と, 簡単な計算により,

$t$

$\mu$

(4.5)

に関する) 密度関数を, exp{a(t)T(x)-\gamma (t 丹$j(t)= \frac{a’’’}{a(},tt\mathrm{Q}\gamma’)(t)-\gamma’’’(t)$条件 (4.1) が満たされないとき,.

のオーダーまで改良することが分がる.

の$X$$a(t)$$n^{-2}$$(narrow\infty)$$a’(t)\neq 0$を満たすとする. するとなる.

(4.4) の左辺がら,(4.2) は次で置き換えられる :$t \in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon)\mathrm{S}11\mathrm{p}E_{t}\{(\hat{t}-t)^{2}\}\geq\frac{1}{I^{*}}n^{-1}-\frac{\pi^{2}}{\epsilon^{2}I_{*}^{2}}n^{-2}+O(n^{-3})$$(narrow\infty)$.

111 111
しかし,

例えば,
$t,$

これは (4.5) の右辺と一致してしまう.
$X_{1},$$\gamma(t)=t^{2}/2$$\ldots,$$X_{n}$

を互いに独立に, いずれも $N(t, 1)$ #こ従う確率変数列とすると, $a(t)=$となるから $j(t)=0$ となる.

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