数理解析研究所講究録 1223 巻 2001 年 19-30

19Projective structures on surfaces andlimits of quasi-Fuchsian groups
糸健大郎 (Kentaro Ito)

名古屋大学大学院多元数理科学研究科

1

クライン群の変形空間

を向き付け可能な境界付きコンパクト 3 次元多様体で, その内部 intM にが存在しては双曲構造が入るとする. すなわち, あるクライン群$M$$\Gamma\subset \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}M\cong N_{\Gamma}=\mathrm{H}^{3}/\Gamma$

であるとする. 表現空間
$R(M)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\pi_{1}(M), \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C}))/\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$

の部分集合
を考える.

$AH(M)=$ { $[\rho]\in R(M)|\rho$ is faithful and discrete}

これは複素力学系におけるマンデルブロー集合に対応するものと思うことができる. ここで $R(M)$ には代数的位相 (各点収束の位相) を入れておく. この
とき $AH(M)$ は閉集合で, その内点集合 intAH(M) は minimally parabolic な表

現全体 $MP(M)$ と一致する. ここで $[\rho]\in AH(M)$ が minimally parabolic であるが parabolic ならば が $\pi_{1}(M)$ の rank 2free abelian subgroup の元でとはあるときをいう. $\overline{MP(M)}=AH(M)$ であろうと予想されて る (Bers-Thhurston$\rho(g)$$g$$\mathrm{t}\backslash$

その境界挙動は非常 [こ複雑のトポロジーに注目して話を予想). $MP(M)$ 自体は complex manifold であるが,であることが近年分かつてきた. 以下では$\overline{MP(M)}$進める.

(場合によっては無限個の) 連結成分を持ち, その連結成分の集合は集合 $A(M)$ と 1:1 対応がつく. ここで $A(M)$ {ま組 $(M’, h’)$: $Marrow M’$ はホモトピー同値写の同値類の集合である : $M’$ は 3 次元多様体,が同値であるとは同相写像 : $M_{1}arrow M_{2}$ 力\leq 存在してと像で,う. Anderson.-Canary-McCullogh [4]がホモトピツク [こなるときをと$MP(M)$ は一般には幾つかの$h’$$(M_{1}, h_{1})$$j$$(M_{2}, h_{2})$$\psi\mathrm{a}$$j\circ h_{1}$$h_{2}$

によって $MP(M)$ の 2 つの連結成分の閉包が接するためのトポロジカノレな必要十分条件が与えられている. また同論文 [4] において $MP(M)$ が無限個の連結成分を持つための必要十分条件も与えられている.
また最近, Bromberg-Holt [6] によって $MP(M)$ の各連結成分力 白己接\beta 虫 (selfbumping) するための十分条件が与えられた :$\grave{\grave{1}}$Theorem 1.1(Bromberg-Holt[6]). $M$ {ま compact, orientable, atoroidal, irreducible な 3 次元多様体とする. Annulus から $M$ への essential, proper な emゝもの力\leq 存
bedding で core curve が $M$ の torus component [こホモトピツクでな$\mathrm{V}$20
在するとき, $MP(M)$ の各連結成分は自己接触する
連結成分 $B$ に対してある元が存在して$[\rho]\in\partial B$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$[\rho]$すなわち $MP(M)$ の任意のの十分小さい任意の近傍 $U$

に対して $U\cap B$ は非連結となる.

2曲面上の射影構造と擬フックス群空間は向き付け可能な種数 2 以上の閉曲面とする. 以下ではもっぱら $M=S\cross[0,1]$.
の場合を考える. 表現空間 $R(S)=$において, 忠実で離散的な表現の共役類の集合を $AH(S)$ と書
intAH(S) を $QF(S)$ と書き,
擬フックス群空間とよぶ. $QF(S)=MP(S\cross[0,1])$ であり, $QF(S)$ は唯一っの
連結或分から成る. $QF(S)$ には Teichm\"uller 空間 $T(S)$ の直積からの自然な同相
写像 $\mathrm{q}\mathrm{f}:T(S)\cross T(S)arrow QF(S)$ が存在する. $R(S)$ における $QF(S)$ の境界挙動を調べるには, $R(S)$ の「不変被覆もどき」 である射影構造空間 $P(S)$ に持ち上げて考えることがしばしば有用である.
$S$ 上の射影構造とは-構造; すなわち, 局所的にをモデルとし,その張り合わせ写像が M\"obius 写像であるような極大局所座標系のことである.
上の marking 込みの射影構造全体の空間 $P(S)$ は $T(S)$ の正則余接バンドルと同は $Y$ の普遍被一視できる. $Y\in P(S)$ に対して, developing map:
をホロノミー表覆) が定まり, この写像が誘導する準同型:を対応させるこ
現と呼ぶ. ここで $Y\in P(S)$ にそのホロノミー表現の共役類とで, ホロノミー写像$S$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\pi_{1}(S), \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C}))/\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$$\text{く}.$$\hat{\mathrm{C}}$$(\hat{\mathrm{C}}, \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C}))$$S$$f_{Y}$$\rho_{Y}$$\tilde{Y}arrow\hat{\mathrm{C}}(\tilde{Y}$$\pi_{1}(S)arrow \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$$[\rho_{Y}]$$\mathrm{h}\mathrm{o}1$:$P(S)arrow R(S)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\pi_{1}(S), \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C}))/\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$を定めると, これは局所同相な正則写像であることが知られている. ここでは, 主に $P(S)$ の部分集合 $Q(S)=\mathrm{h}\mathrm{o}1^{-1}(QF(S))$ を考察する. $Q(S)$ の任意の連結成分に対して $\mathrm{h}\mathrm{o}1|Q:Qarrow QF(S)$ は双正則写像である. さらに Goldman [7] によるフックス群ホロノミーをもつ射影構造の (grafting を用いた) 特徴付けより, $Q(S)$との整数点全体の連結成分全体は measured lamination の集合
1 対 1 対応がつくことがわかる. ここで$Q$$\mathcal{M}\mathcal{L}(S)$$\mathcal{M}\mathcal{L}_{\mathrm{Z}}(S)=${$\lambda\in \mathcal{M}\mathcal{L}(S)$:$\lambda=\sum n_{j}C_{j},$$n_{j}\in \mathrm{N},$$\mathcal{M}\mathcal{L}\mathrm{z}(S)$$C_{j}$

は単純閉曲線 }.

の元で, その developing map が単射であるものを standard, そうでないもと書くのを exotic と呼ぶ. いまに対応する $Q(S)$ の連結成分をと, $Q(S)$ の連結成分分解$Q(S)$$Q_{\lambda}$$\lambda\in \mathcal{M}\mathcal{L}_{\mathrm{Z}}(S)$$Q(S)= \prod_{\lambda\in \mathcal{M}\mathcal{L}\mathrm{z}(S)}Q_{\lambda}$.

は standard な射影構造より成る唯一の連結成分である. $Q(S)$ の異を得る.
なる戒分が接していると, ホロノミー写像 $\mathrm{h}\mathrm{o}1:P(S)arrow R(S)$ の局所同相性から$Q_{0}$$QF(S)$ の自己接触がいえることに注意されたい.

21
Anderson-Canary [2] のテクニックを用いて, McMullen は $QF(S)$ が自己接 虫
していることを示した.

Theorem 2.1 (McMullen [13]). exotic な射影構造の列で,るものが存在する. 従って$\partial Q_{0}$の点に収束すは境界付き多様体ではない.

$\overline{QF(S)}$Remark. 前述の Bromberg-Holt[6] の結果はこの定理を含んでぃる. $QF(S)$ に限定しても, 射影構造を用いずにその白己接触を示した所が彼らの仕事の特筆すべき点である.

以下の結果は McMullen の結果を精密化したものである.

Theorem 22 ([8]). 有限集合$\{\lambda_{i}\}_{i=1}^{m}\subset \mathcal{M}\mathcal{L}_{\mathrm{Z}}(S)-\{0\}$が $i(\lambda j, \lambda k)=0$ をみたすものに対して
こで$i(\cdot, \cdot)$

で任意の $j,$ $k\in\{1, \ldots, m\}$が成り立っ. こ$\overline{Q_{0}}\cap\overline{Q_{\lambda_{1}}}\cap\cdots\cap\overline{Q_{\lambda_{m}}}\neq\emptyset$

は幾何学的交点数を表す. 特に, 任意のが成り立つ. 従って $P(S)$ における $Q(S)$ の閉包$\lambda\in \mathcal{M}\mathcal{L}_{\mathrm{Z}}(S)-\{0\}$$\overline{Q_{0}}\cap\overline{Q_{\lambda}}\neq\emptyset$

Corollary 23([8]). 任意の自然数
して,
となる.

次の定理は

$Q_{\lambda}$

から腕が 2 本伸びてTheorem 24([9]). 任意の存在して,$Q_{0}$

に対しては連結である.

に対してある点 $[\rho]\in\partial QF(S)$ が存在の十分小さな任意の近傍 $U$ に対して $U\cap QF(S)$ の連結成分は$[\rho]$$\overline{Q_{\lambda}}$$n\in \mathrm{N}$$\overline{Q(S)}$

$n$

個以上

にぶっかることを示している.

$\lambda\in \mathcal{M}\mathcal{L}_{\mathrm{Z}}(S)-\{0\}$に対してあるの十分小さい任意の近傍 $U$ に対して
は境界付き多様体ではない.
$Y$$U\cap Q_{\lambda}$$Y\in\overline{Q_{0}}\cap\overline{Q_{\lambda}}$がは非連結となる. 特に

この定理より $QF(S)$ の自己接触は $P(S)$ に持ち上げたときにすべて解消されているわけではないことが分かる.
なる.

Problem 2.5.

$\overline{Q_{0}}$$Q_{0}$に持ち上げたときはどうかが自然に問題には境界付き多様体か ?

Theorem 22 と Theorem 2.4 の証明の手法を合わせると次が証明できる.
Theorem 26([9]). 任意の$\lambda,$$\mu\in \mathcal{M}\mathcal{L}\mathrm{z}(S)-\{0\}$に対して$\overline{Q_{\lambda}}\cap\overline{Q_{\mu}}\neq\emptyset$

が成り

立つ.

3

代数的極限と幾何的極限が異なる例
クライン群

を

$\Lambda(\Gamma)$

成分$\Gamma$

に対しての不連続領域を, 極限集合が唯一つの F-不変が糾 group であるとは,$N_{\Gamma}=\mathrm{H}^{3}/\Gamma$とする.

$\Gamma$と書く. クライン群をもち,が単連結のときをいう.

$\Omega_{0}(\Gamma)$$\Gamma$$\Omega_{0}(\Gamma)$$\Omega(\Gamma)$$\Omega(\Gamma)$

22
がに幾何的に収束するとは,にの中でHausdorff 収束するときをいう. $G$ は torsion-free で非可換な有限生成群であるとし, 忠実で離散的な表現の列が:: $Garrow\Gamma$ に代数的に収束するとクライン群の列

が$\Gamma_{n}$$\hat{\Gamma}$$\hat{\Gamma}$$\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$$Garrow\Gamma_{n}$$\rho_{n}$する. このとき, 部分列をとればが成り立つ.

$\Gamma_{n}$は$\rho$に幾何的に収束し,$\hat{\Gamma}$$\Gamma_{n}$$\hat{\Gamma}$

はクライン群で$\Gamma\subset\hat{\Gamma}$

ここでは quasi-Fuchsian group の列に限定して,その代数的極限と幾何的極限が異なる例を 3 つ挙げる. 前節の Theorem 21-26 の証明には, もっぱら Example
2 のタイプの表現列を用いる.

Example 1 (Kerckhoff-Thurston
を に関する Dehn twist とする.

).

$[\mathit{1}\mathit{1}J$

$c$

$c$

を $S$ の simple closed curve とし,$\tau=\tau_{c}$$(X, X’)\in QF(S)$ を 1 っとり$[\rho_{n}]=\mathrm{q}\mathrm{f}(X, \tau^{n}X’)\in QF(S)$という列を考えると, この列は収束する部分列を持ち, その極限を $[\rho]\in\partial QF(S)$が $\rho:\pi_{1}(S)arrow\Gamma$ に代数的に収束するとしてとする. いま代表元:
よい. 必要なら部分列をとればはは geometricallyに幾何的に収束する.
$\pi_{1}(S)arrow\Gamma_{n}$$\rho_{n}$$\hat{\Gamma}$$\Gamma$$\Gamma_{n}$finite&group で,$\hat{\Gamma}$t ま rank 2parabolic subgroup を含んでいる.

$[0,1]-c\cross\{1/2\})$ である.

compact core

$M$

$\pi$

:

$N_{\dot{\Gamma}}\cong \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(S\cross$を covering map とするとき,$N_{\Gamma}arrow N_{\dot{\Gamma}}$$N_{\Gamma}$ので $\pi|M$ が単射になるものが存在する.

Example 2(Anderson-Canary). Example1 と同様 [こして, 今回{ま$[\mathit{2}J$$[\rho_{n}]=\mathrm{q}\mathrm{f}(\tau^{n}X, \tau^{2n}X’)\in QF(S)$という列を考える. この列も $R(S)$ の中で収束する部分列をもち, その極限を$[\rho]\in\partial QF(S)$ とする.
がいま代表元
: $\pi_{1}(S)arrow\Gamma$ に代数的に:はに幾何的に収束する.
収束するとしてよい. 必要なら部分列をとればは rank 2parabolic subgroup を含んで ゝる.
は geometrically finite&group で,を covering map とするとである.
:の compact core $M$ に対し $\pi|M$ は rank 2cusp を 1 回まわっている. 特き,$\pi_{1}(S)arrow\Gamma_{n}$$\rho_{n}$$\rho$$\hat{\Gamma}$$\Gamma$$\Gamma_{n}$$\hat{\Gamma}$$1_{\mathit{1}}$$N_{\hat{\Gamma}}\cong \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(S\cross[0, 1]-c\cross\{1/2\})$$\pi$$N_{\Gamma}arrow N_{\hat{\Gamma}}$$N_{\Gamma}$に $\pi|M$ は単射でない.

ををとる.
). 図 1 のよう [こ simple closed curve[ま partiallyと定める.
[こ関する Dehn twist とし,それぞれ
pseudO-Anozov map である. $(X, X’)\in QF(S)$ を 1 つとり

Example 3(Brock
$a,$

$a,$

$[\mathit{5}J$$b$$\sigma=\tau_{a}\circ\tau_{b}$$b$$\tau_{a},$$\tau_{b}$$\tau$$[\rho_{n}]=\mathrm{q}\mathrm{f}(X, \sigma^{n}X’)\in QF(S)$という列を考えると,この列は収束する部分列をもち, その極限を $[\rho]\in\partial QF(S)$とする. いま代表元:してよい. 必要なら部分列をとれば$\rho_{n}$$\pi_{1}(S)arrow\Gamma_{n}$$\Gamma_{n}$がは$\rho$$\hat{\Gamma}$:に代数的に収束するとは partiallyに幾何的に収束する.
は rankとなる. 今回は$\pi_{1}(S)arrow\Gamma$$\Gamma$degenerate&group で,を covering map とするとき,:
2parabolic subgroup を含まない.
の compact core $M$ で $\pi|M$ が単射になるものが存在する.
$N_{\hat{\Gamma}}\cong \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(S \cross[0,1]-T\cross\{1/2\})$$\pi$$N_{\Gamma}arrow N_{\hat{\Gamma}}$$\hat{\Gamma}$$N_{\Gamma}$23$N_{\Gamma}$$\downarrow\pi$$\downarrow$$N_{\hat{\Gamma}}$

Example 1Example 2Example 3
図 1:

4

主張と問題
Anderson-Canary [2] や Bromberg-Holt [6] によって示されたクライン群の変形

空間の (白己) 接触の現象において, クライン群の列で代数的極限$\Gamma$と幾何的極が異なるものが本質的な役割を果たしている. さらにいえば,:を covering map とするとき,の任意の compact core $M$ に対して $\pi|M$ が単射とはならないような状況がもっぱら用いられている.
の compact core が単射に落ちない
ここでは擬フックス群の列に限定して,状況を詳しく調べる. この節では次の状況を考える :がに代数的に収束するとする.
「忠実な表現::はは -group とする. さらにに幾何的に収は quasi-Fuchsian group で,であり, 対応する covering map を束するとする. このとき:
限$\hat{\Gamma}$$\pi$$N_{\Gamma}arrow N_{\hat{\Gamma}}$$N_{\Gamma}$$N_{\Gamma}$$\rho_{n}$$\pi_{1}(S)arrow\Gamma_{n}$$\Gamma$$\rho$$\pi_{1}(S)arrow\Gamma$$\Gamma_{n}$$\hat{\Gamma}$$b$$\Gamma_{n}$$\Gamma\subset\hat{\Gamma}$と書く.

$Y\in\partial Q_{0}\subset P(S)$$Y_{n}arrow Y(narrow\infty)$

かつ

を

$\pi$

$\mathrm{h}\mathrm{o}1(Y)=[\rho]$$\mathrm{h}\mathrm{o}1(Y_{n})=[\rho_{n}]$となるようにとり,$N\mathrm{p}arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$$Y_{n}\in P(S)$をみたすタリとする.」

Lemma 4.1 ([8]). 次の条件は同値である :
(1)
(2)

$n$

が十分大きいとき$\Omega_{0}(\Gamma)\cap\Lambda(\hat{\Gamma})\neq\emptyset$$Y_{n}${ま exotic,.

目標としては上の補題の同値条件に次の条件を付け加えることである :(3)$N_{\Gamma}$の任意の compact core $M$ に対して $\pi|M$ は単射ではない.

は

24(3) $arrow(2)$ を以下で説明する. (2) $arrow(3)$ はまだ証明が付いていない予想である.
次の定理は (3) $arrow(2)$ を示すと同時に, 代数的極限 の幾何的極限 の中への入り方がある程度限定されたものであることを示している.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{F}$の任意の compact cooe $M$ に対して $\pi|M$ が単射でないとする. このとき次が成り立つ :Theorem 42.

$N_{\Gamma}$(1) ある doubly cusped parabolic elementとある parabolic element
は rank 2 parabolic subgroup で,が存在しての任意の compact$M$ に対して $\pi|M(M)$ はこの rank 2cusp に何回か巻きついている.
す
なわちはの共役類に対応する closed cune を含んでいる.
が成り立つ.
(2)$\delta\in\hat{\Gamma}-\Gamma$$\gamma\in\Gamma$$\langle\gamma, \delta\rangle\subset\hat{\Gamma}$$N_{\Gamma}$$\mathrm{C}O\mathfrak{k}$$\pi|M(M)\subset N_{\hat{\Gamma}}$$\delta$$\Omega_{0}(\Gamma)\cap\Lambda(\hat{\Gamma})\neq\emptyset$

ここで parabolic element$\gamma\in\Gamma$て $\gamma(z)=z+1$ としたときに,$\{z\in \mathrm{C}|a<{\rm Im} z<b\}$が doubly cusped であるとは,ある $a,$ $b\in \mathrm{R}(a<b)$ が存在してが成り立つときを$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$$\Gamma$の共役をとっ$\Lambda(\Gamma)-\{\infty\}\subset$

う.

が doubly cusped parabolic element を含まな
Corollary 43.
ある compact cooe $M$ [こ対して $\pi|M$ が単射となる.
のある compact cooe $M$ に対して $\pi|M$ が単射となる.
$\Gamma$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$ならば,$\Omega_{0}(\Gamma)\cap\Lambda(\hat{\Gamma})=\emptyset$

(3)

$n$

の

ならば

$N_{\Gamma}$

より次の主張を得る.

$\Rightarrow(2)\Rightarrow(1)$の任意の compact cooe $M$ に対して $\pi|M$ が単射でないならは exotic である.
が十分大きいとき

Corollary 44.
ば,$\Delta_{\Gamma}$$N_{\Gamma}$$Y_{n}$

これを言い換えると次のようになる.

Corollary 45.

$\{Y_{n}\}$がスタンダードな射影構造の列であれば,$N_{\Gamma}$のある compactがある Bers slice に
cooe $M$ に対して $\pi|M$ が単射となる. 特にのある compact cooe $M$ に対して $\pi|M$ が単射となる.
含まれていれば$\{[\rho_{n}]\}\subset QF(S)$$N_{\Gamma}$(2)$\Rightarrow(3)$であろうと予想される.

Problem 46.

$N_{\Gamma}$$\Omega_{0}(\Gamma)\cap\Lambda(\hat{\Gamma})=\emptyset$のある

compact cooe $M$ [こ対して $\pi|M$ が単射であるとき,がいえるか ?

これを言い換えると次のようになる.

Problem 47.
の$\Omega_{0}(\Gamma)/\Gamma$$N_{\Gamma}$のある compact cooe $M$ に対して $\pi|M$ が単射であるとき,$N_{\Gamma}$に対応する end の近傍 $U$ で $\pi|U$ が単射となるものが存在するか ?

これが言えると Theorem 42 より, exotic な点列の極限となる
doubly cusped parabolic element を持つことが必要であることがわかる.

$\partial Q\mathrm{o}$

の元は

25
5

代数的極限と幾何的極限

本節では, クライン群の代数的極限が幾何的極限にどのように入っているかを
一般的な状況で調べる. 本節で述べる主張を用いて次節で Theorem 42 の証明をする.

本節では常に次の状況を仮定する :「 $G$ は torsion-free で非可換な有限生成群であるとする. 忠実で離散的な表現にはがの列: $Garrow\Gamma$ に代数的に収束するとする. さらに:を coveringとし :幾何的に収束するとする.
map とする.」
始めに基本となる補題を述べる.
$\hat{\Gamma}$$Garrow\Gamma_{n}$$\rho_{n}$$\Gamma_{n}$$\rho$$N_{\Gamma}=\mathrm{H}^{3}/\Gamma,$

Lemma 51($\mathrm{J}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$$N_{\hat{\Gamma}}=\mathrm{H}^{3}/\hat{\Gamma}$-Marden[10]).

$\gamma\in\hat{\Gamma}$$\pi$$N_{\Gamma}arrow N_{\hat{\Gamma}}$に対して$\gamma^{k}\in\Gamma$

ならば$\gamma\in\Gamma$

である.

Proof.

$\exists\gamma\in\hat{\Gamma}\mathrm{s}.\mathrm{t}$ここで.

$\exists h\in G\mathrm{s}.\mathrm{t}$

とする.
なので

$\gamma^{k}\in\Gamma$.

.

$\exists g_{n}\in G\mathrm{s}.\mathrm{t}$$\rho_{n}(h)arrow\gamma^{k}$$\rho_{n}(g_{n})arrow\gamma$$\rho_{n}(h^{-1}g_{n}^{k})arrow \mathrm{i}\mathrm{d}$より$\rho_{n}(g_{n}^{k})arrow\gamma^{k}\in\Gamma$.

. 従って十分大きな $n$ (こ対であるが,の単射性が効いている.) よって. (ここでの乗根は一意的に定まと同型であるのでは torsion-free なクライン群

して$G$$h^{-1}g_{n}^{k}\equiv \mathrm{i}\mathrm{d}$$g_{n}^{k}=h$$\rho_{n}$$h$$\Gamma$

従って $g_{n}\equiv\exists g(n>>0)$ であり,

る.

$k$

$\gamma\in\Gamma$

次の定理は, クライン群の代数的極限.

口が幾何的極限 にどのように入っているかを調べる上で, 非常に有用である. (Matsuzaki-Taniguchi [12] Theorem 7.25$\hat{\Gamma}$$\Gamma$

参照.)

Theorem 52(Anderson-Canary-Culler-Shalen [3]). (1) 任意のが rank 1pambolic subgroup である.
{ま
(こ対して

$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}\neq$$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}$$\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}$のとき {ま

が存在して

(2)

に対して

.

$\rho_{n}(g_{n})arrow\gamma$

とする.

.

. $g_{n}^{-1}ag_{n}\equiv b(n\geq n_{0})$ .
[こ対して
従って
$\forall n\geq n_{0}$は $\rho(a)$ と可換.

5.1 よりよって

いま$\exists a,$(特 (こ$g_{n}g_{n0}^{-1}$より$g_{n_{0}}^{-1}ag_{n_{0}}=b$

?ま

$a$

$\gamma_{0}\in\Gamma$

とすると

と可換.

$\rho(a)=\gamma\rho(b)\gamma^{-1}\in\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}$$\rho(a)$と$\rho(b)$は$\Gamma$

ここで $narrow\infty$ として$\exists k,$$l\in \mathrm{Z}\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$\delta^{k}=\rho(a)^{l}\in\Gamma$$\langle\delta, \rho(a)\rangle\equiv \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$は purely parabolic である. また$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\delta\in \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})$.

.

$\exists n_{0}\in \mathrm{Z}$の中で共役.)$\delta:=\gamma\rho(g_{n_{0}}^{-1})$に注意する.

となり矛盾. 従って$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}$$b\in G-\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}\mathrm{s}.\mathrm{t}$

ここで $\rho_{n}(g_{n}^{-1}ag_{n})arrow\rho(b),$ $\rho_{n}(b)arrow\rho(b)$ より$\delta\in\hat{\Gamma}-\Gamma$$\langle\delta, \rho(a)\rangle\equiv \mathrm{Z}$$\delta\in\Gamma$

このとき

と

と (まならない.

$\langle\rho(a), \gamma\rho(b)\gamma^{-1}\rangle\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$ここで$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}=\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})\cong \mathrm{Z}$が成り立つ. また $\rho(a)=\gamma\rho(b)\gamma^{-1}$ であるとき, あるとなる.

$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}\neq\emptyset$$\exists g_{n}\in G\mathrm{s}.\mathrm{t}$(こ対して$\rho(a)=\gamma_{0}\rho(b)\gamma_{0}^{-1}$$\gamma\in\hat{\Gamma}-\Gamma$

Proof. (1)$\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}$$\{p\}=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1})$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\gamma\in\hat{\Gamma}-\Gamma$とであるとすると$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})$:となりであるので Lemma$\rho(a)$は parabolic.

もわ力 る.
$>$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\exists a’\in G\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$\langle\rho(a), \rho(a’)\rangle\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\langle\rho(a), \rho(a’)\rangle]<\infty$より$\exists k,$.

$l,$ $m\in \mathrm{Z}$26$\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$\delta^{k}=\rho(a)^{l}\rho(a’)^{m}\in\Gamma$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})\cong \mathrm{Z}$. 特に. よって Lemma 5.1 よりとなり矛盾. 従って$\delta\in\Gamma$

であるので$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}\subset \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})\cong \mathrm{Z}$$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}$は rank1parabolic subgroup.
レ$\mathrm{a}$

ま $g\in G$ [こ対して$\exists k\in \mathrm{Z}\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$\rho(g)^{k}\in\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}$であると仮定する.

こと書ける. これから $(\gamma^{-1}\rho(g)\gamma)^{k}=\rho(h)\in\Gamma$ なので$\gamma^{-1}\rho(g)\gamma=\rho(f)\in\Gamma$となる. 従って $\rho(g)=\gamma\rho(f)\gamma^{-1}$ より
である. よって.
のとき$\rho(g)^{k}=\gamma\rho(h)\gamma^{-1}$$\rho(g)\in\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}$$\Gamma\cap\gamma\Gamma\gamma^{-1}=\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})$(2) ここで$a,$ $b\in(ま primitive な元としてよG$仮定する. このとき$\rho(a)$は parabolic であり,であるとすると,$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$.

$\langle\rho(a), \gamma\rho(b)\gamma^{-1}\rangle\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$とする.

$\{p\}=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(\rho(a))$

Lemma 5.1 よりと$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})=\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})$が成り立つ. 従って $\gamma\rho(b)\gamma^{-1}=\rho(c)(\exists c\in G)$ となり, (1) と同じ議論によりより.
. かし, 一方でとなり矛盾.
従ってが成り立ち, 同様にして$\exists\delta\in\hat{\Gamma}-\Gamma \mathrm{s}.\mathrm{t}$$\langle\delta, \rho(c)\rangle\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\text{し}$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})=\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})$$\delta\in\Gamma$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}(\{p\})=\langle\rho(a)\rangle\cong \mathrm{Z}$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\gamma\Gamma\gamma^{-1}}(\{p\})=$

も成り立つ. 特に $G$ においての中心化群はで生成される巡回群であり,
についても同様であることに注意する.
いまとが可換なので, $n\geq n_{0}$ (こ対して
とする.
(ま
と
は
は可換である. 従っての幕乗である. ここでが全て共役であり,の異なる幕乗は共役ではないことから
成り立ち,
は
は
と可換である. 従ってと可換. よって$\langle\gamma\rho(b)\gamma^{-1}\rangle\cong \mathrm{Z}$

$a$

$a$

$b$

$\rho_{n}(g_{n})arrow\gamma$$\rho(a)$$b$$g_{n}^{-1}ag_{n}$$\gamma\rho(b)\gamma^{-1}$$b$$g_{n}^{-1}ag_{n}$$g_{n}^{-1}ag_{n}$$b$$g_{n}^{-1}ag_{n}\equiv g_{n_{0}}^{-1}ag_{n_{0}}$$a$$g_{n}g_{n0}^{-1}$$\rho(a)$$\gamma\rho(g_{n0}^{-1})$と書けるので,$\gamma\rho(g_{n_{0}}^{-1})=(\gamma\rho(b)\gamma^{-1})^{l}\rho(a)^{m}=\gamma\rho(b^{l})\gamma^{-1}\rho(a^{m})$$\gamma=\rho(a^{l}g_{n_{0}}b^{m})\in\Gamma$となり矛盾.

口Corollary 53(Anderson-Canary-Culler-Shalen [3]).
であるとする. このとき, 任意のが成り立つ. 特 [こからなる.

$\gamma\Gamma\gamma^{-1})$

いま$\epsilon$$(N_{\Gamma})_{0}=N_{\Gamma}-(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$(N_{\Gamma})_{0}$のは topologically tame$\Lambda(\Gamma)\cap\Lambda(\gamma\Gamma\gamma^{-1})=\Lambda(\Gamma$

口tt 空集合か parabolic fixed point 1 点$\Lambda(\Gamma)\cap\Lambda(\gamma\Gamma\gamma^{-1})$

を Margulis 定数よりも小さい数とする.

と書く. また
始めにに対して$\gamma\in\hat{\Gamma}-\Gamma$$\Gamma$$N_{\Gamma}$の$\epsilon$-thin cusp part を$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$とおく.

geometrically infinite end がの中にどのように入るかを$N_{\hat{\Gamma}}$

見る.

Theorem 54(Thurston, Canary). は topologically tame であるとする. こ[こ対してある近傍が存のとき,の任意の geometrically infinite end$\Gamma$$U$$E$$(N_{\Gamma})_{0}$

在して $\pi|U$ は単射となる.

Theorem 52 より,$N_{\Gamma}$の 2 つの closed geodesic が$N_{\hat{\Gamma}}$の同じ closed geodesicに落ちることはないので, 次の系を得る.
のをは topologically tame であるとする.
Corollary 55.
の互い [こ交わらな| ‘近傍
geometrically infinite end 全体とするとき,は単射となる.
が存在して$E_{1},$$\Gamma$$E_{1},$$\ovalbox{\tt\small REJECT},$$\ldots,$$U_{k}$$\pi|(U_{1}\cup\cdots\cup U_{k})$$\ldots,$$E_{k}$$\ldots,$$E_{k}$$(N_{\Gamma})_{0}$$\sqrt$

27
次に
$N,$

$(N,)_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$arrow N\ovalbox{\tt\small REJECT}$が荻の中にどのように入るかを調べる.

ここでは$(N,)_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$\pi\ovalbox{\tt\small REJECT}$によって (荻)cusp の中に写されることに注意する.

Lemma 56.

の異なる連結成分とする. このとき $\pi(V_{1})\cap\pi(V_{2})=$の連が戒り立つ. $V$ が rank 2parabolic subgroup の共役類 [こ対応するが topologically tame で $V$ が doubly
結成分であるとき, $\pi|V$ {ま単射である.
の連結成分
cusped でない rank 1 parabolic subgroup の共役類 [こ対応するであるとき, $\pi|V$ は単射である.
$V_{1},$ $V_{2}$を$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$\emptyset$$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$\Gamma$$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$Proof.

$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$\pi_{1}(V_{i})\subset\Gamma$

このときの異なる連結成分

に対し,$\pi(V_{1})=\pi(V_{2})$が存在して$\rho(a_{i})${ま$\hat{\Gamma}$と仮定する.

とする $(i=1,2)$ .
の中でも primitive である. いまある元は parabolic subgroup 1 こなる.

&こ含まれる primitive parabolic element を

Lemma 5.1 より$\gamma\in\hat{\Gamma}-\Gamma$$V_{1},$ $V_{2}$$\rho(a_{i})$$\langle\rho(a_{1}), \gamma\rho(a_{2})\gamma^{-1}\rangle\subset\hat{\Gamma}$とすると Theorem 52(2) に矛盾するので $\rho(a_{1})=$とlまの中で共役となりとなるが, Theorem 52(1) より$\langle\rho(a_{1}), \gamma\rho(a_{2})\gamma^{-1}\rangle=\mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\gamma\rho(a_{2})\gamma^{-1}$$\Gamma$$\rho(a_{2})$$\rho(a_{1})$

矛盾.

口

従って,
$\pi(x_{2})$$\Gamma$が topologically tame のとき,

$x_{1},$$x_{2}\in(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$\}$

こ対して $\pi(x_{1})=$となるならば, doubly cusped parabolic element の共役類に対応する$\pi(x_{1})=\pi(x_{2})$ は$x_{2}\in V$ となり,の連結成分 $V$ が存在してcusp component I こ含まれる.
の geometrically finite end が3 節の Example で見たよう (ニ,$(N_{\hat{\Gamma}})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$x_{1},$$(N_{\Gamma})_{0}$$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$の rank

$\pi$

:

2

$N_{\Gamma}arrow$によって単射に落ちるとは限らない. しかし component subgroup が quasiFuchsian であるような end に対しては, 単射に落ちる core の存在を示すことが$N_{\hat{\Gamma}}$

できる.
を
Definition 57.
ponent subgroup の組とする.
tem であるとは, 各 $m$ に対して$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{q})$の中で互いに共役でない quasi-Fuchsian comがの中の precisely embedded sys(\Lambda (\Phi m))=\Phi 。であり, 任意のときをいう.
のある成分の閉包に含まれる$\Gamma$$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{q})$に対して$\gamma\Lambda(\Phi_{m})$$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{q})$. は$\hat{\mathrm{C}}-\Lambda(\Phi_{k})$$\hat{\Gamma}$$\gamma\in\hat{\Gamma}-\Phi_{m}$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}$$(\forall k)$の spanning disc system $(.D_{1}, \ldots, D_{q})$とは, 各 $m$ に対して,$D_{m}$

はの境界における閉包の中への properly embedded disc であり,-\Phi 。に対してに一致し,が-(Dm)=\Phi 。が成り立ち, 任意の$\gamma(D_{m})\cap D_{k}=\emptyset(\forall k)$となるものを う.
$\mathrm{H}^{3}\cup\hat{\mathrm{C}}$$\overline{D_{m}}$$\mathrm{H}^{3}$$\gamma\in\hat{\Gamma}$$\Lambda(\Phi_{m})$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\Gamma}$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$の中で互いに共役でをTheorem 58(Anderson-Canary [1]).
はない quasi-Fuchsian component subgroup の組とする. このときの spanning disc systemの中の precisely embedded system であ$(D_{1}, \ldots, D_{q})$ が存在する.
$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{q})$$\Gamma$$\hat{\Gamma}$$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{q})$$\text{り},$$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{q})$参考までに, 論文 [1] で Anderson-Canary が得た結果を述べる.

28
Theorem 59 (Anderson-Canary [1]).
accidental parabolic element を含まな とき,$\Omega(\mathrm{F})\neq\emptyset$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash$て$\pi|M$$N_{\mathrm{F}}$で,$\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathrm{F})$が連結で,$\mathrm{F}$がのある compact core $M$ (こ対しが単射となる.

parabolic element を含まない」 という仮定は 「cuspedaccidental parabolic element を含まない」 という仮定に置き換えることができると予想される. その部分的な解答が Corollary 43 である. しかし 「cuspedaccidental parabolic element を含まない」 という仮定は本質的である. すなわち,が doubly cusped accidental parabolic element を含むとき, $\rho:Garrow\Gamma$ の擬等角変形
で次を満たすものが存在する : 忠実で離散的な表現の列::がに代数的に収束し,は, を:に幾何的に収束し,:の任意の compact core $M$ に対して $\pi’|M$ は単射
covering map とするとき,
ここで$\mathrm{r}_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}1}$$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{y}$$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{y}$$\Gamma$$\rho’$$Garrow\Gamma’$$\rho’$$Garrow\Gamma’$$\rho_{n}’$$\hat{\Gamma}’$$\pi’$$\Gamma_{n}’$$Garrow\Gamma_{n}’$$N_{\Gamma’}arrow N_{\dot{\Gamma}}$$N_{\Gamma’}$とならない.

最後に問題を一つ提起する.

Problem 5.10.
の$N_{\Gamma}$のある compact core $M$ に対して $\pi|M$ が単射となるとき,$N_{\Gamma}$

convex cooe

$C_{\Gamma}$[こ対して$\pi|C_{\Gamma}$は単射か ?

6Theorem 4.2 の証明
もう一度状況を思い出しておく :が $\rho:\pi_{1}(S)arrow\Gamma$ に代数的に収束するとする.
「忠実な表現:は quasi-Fuchsian group で,は &group とする. さらにはに幾何的に収とであり, 対応する covering map を束するとする. いま:書く.」
は &group なので以外の成分に対応する component subgroup は quasiFuchsian group である. また は topologically tame である.の primitive accidental parabolic element
以下の議論は図 2 を参照してほしい.
とする. それぞれに対応する互いに交わらない $S$の共役類全体を$\rho_{n}$$\pi_{1}(S)arrow\Gamma_{n}$$\Gamma_{n}$$\hat{\Gamma}$$\Gamma$$\Gamma_{n}$$\Gamma\subset\hat{\Gamma}$$\pi$$\Gamma$$N_{\Gamma}arrow N_{\hat{\Gamma}}$$\Omega_{0}(\Gamma)$$\Gamma$$\Gamma$$[\gamma_{1}^{\pm}1],$$[\gamma_{f}^{\pm}1]$$\ldots,$

上の simple closed curve を$c_{1},$$\ldots$, 果とする.

$S-(c_{1}\cup\cdots\cup c_{r})=(S_{1}\cup\cdots\cup S_{p})\cup(T_{1}\cup\cdots\cup T_{q})$とする. ただし$\rho(\pi_{1}(S_{\dot{l}}))$は quasi-Fuchsian group で,$\rho(\pi_{1}(Tj))${ま totally degen-

とおくと, Theorem 58 よりerate group である.の spanning disc
はの中の precisely embedded system であり,とする. 次にが存在する. Si=(Di/\Phi ８systemをの近傍の geometrically infinite endに対応するが単射となるようにとる (Corollary 55). 同相写
と交わらず
と
から火
と定める.
を用いて
像
:
$\Phi_{:}=\rho(\pi_{1}(S_{1}.))$$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{P})$$(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{P})$$\hat{\Gamma}$$(D_{1}, \ldots, D_{q})$$(N_{\Gamma})_{0}$$\cup S_{\dot{l}}$$\phi_{j}$$T_{1},$$(N_{\Gamma})_{0}$$E_{1},$$\ldots,$$E_{q}$$U_{1},$$\ldots,$$\ldots,$$U_{q}$$\pi|U_{1}\cup\cdots\cup U_{q}$$T_{j}\cross \mathrm{R}arrow U_{j}$$\mathcal{T}_{j}=\phi_{j}(T_{j}\cross\{0\})$$(N_{\Gamma})_{0}$$S_{i}$$T_{q}$

29$T_{j}$$S_{i}$

図 2:$\cup \mathcal{T}j$

によって$(N_{\Gamma})_{*}$

ロの中で$\Omega_{0}(\Gamma)/\Gamma$$(N\mathrm{r})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$c_{k}$

Iま$r$に対応しない end を切り離したものを個の annulus$A_{1},$$\ldots,$$A_{r}$

から成り,$A_{k}$と書くとき,$(N_{\Gamma})_{*}$のcore curve は$N_{\Gamma}$にホモトピックである. いま$\Sigma=(\cup S_{i})\cup(\cup \mathcal{T}_{j})\cup(\cup A_{k})$とおくと,$\Sigma$(に厚みをつけたもの) は$N_{\Gamma}$の compactcore になる.

が単射にならない状況を考える. 前節で調べたことより, あ$x_{2}\in A_{k}$(こ対してる{こ対して $\pi(x_{1})=\pi.(x_{2})$ となるならば, あるは doubly cusped parabolic element であり, $\pi(x_{1})=\pi(x_{2})$ (まであり,の fixed point をのある rank 2cusp component 1 こ含まれる. 従ってとすると{ま rank
き, ある parabolic elementが存在して次に$x_{1},$:$\pi|\Sigma$$\Sigmaarrow N_{\hat{\Gamma}}$$k$$x_{2}\in\Sigma$$x_{1},$$(N_{\hat{\Gamma}})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$\gamma_{k}$$p$$\gamma_{k}$$\delta\in\hat{\Gamma}-\Gamma$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}_{\hat{\Gamma}}(\{p\})=\langle\gamma_{k}, \delta\rangle\subset\hat{\Gamma}$

2parabolic subgroup となる. ゝま の 2 つの quasi-Fuchsian comonent subgroup
は 1 点
で接し
が存在して, 2 つの Jordan curve
は spanningとする. (ている.
に対応する spanning disc をはdisc system $(D_{1}, \ldots, D_{q})$ の の元による像である.)[こ接する horoboll をの lift でとするとき,
invariant である.の lift である. いまを 2 つの領
は
は
と
の領域
に挟まれる
が (i)
と
は同じ領域に含まれるとしてよい. このとき域に分けるがとを分離する場合と (ii) そうでない場合がある. (i) の場合,
は単射
であるので
であるので
は単射でな , (ii) の場合,であり Corollary 53 よりである. いま$|_{\sqrt}$$\Psi_{1},$$\Gamma$$\Psi_{1},$$D_{1},$ $D_{2}$$\Psi_{2}$$\hat{\Gamma}$$D_{2}$$\tilde{A}_{k}$$\partial \mathcal{H}$$\delta D_{1}$$D_{1},$ $D_{2}$$\Lambda(\Psi_{1}),$$\Lambda(\Psi_{2}),$ $D_{1},$ $D_{2}$$\{p\}$$(N_{\Gamma})_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}}$$D_{1}$$\{p\}$$\Lambda(\Psi_{1}),$ $\Lambda(\Psi_{2})$$\Psi_{2}\subset\Gamma$$\langle\gamma_{k}\rangle-$$D_{1}$$\mathcal{H}$$A_{k}$$D_{1}$$\mathrm{H}^{3}$$\delta D_{1}$$D_{2}$$\tilde{A}_{k}\cap\delta\tilde{A}_{k}\neq\emptyset$$D_{2}$$\pi|A_{k}$$\tilde{A}_{k}\cap\delta\tilde{A}_{k}=\emptyset$$\text{く}$$\delta\Lambda(\Psi_{1})\subset\Lambda(\delta\Gamma\delta^{1})$であるので,$\delta\Lambda(\Psi_{1})-\{p\}\subset\Omega(\Gamma)$

である.

$\delta\Lambda(\Psi_{1})-\{p\}$ある成分に含まれている. 明らかに (i) の場合はが成り立つ.

$\Omega_{0}(\Gamma)\cap\Lambda(\hat{\Gamma})\neq\emptyset$$\pi|A_{k}$$\Lambda(\Gamma)\cap\Lambda(\delta\Gamma\delta^{1})=\{p\}$は連結なので$\Omega(\Gamma)$$\delta\Lambda(\Psi_{1})-\{p\}\subset\Omega_{0}(\Gamma)$

の

であり
口

30
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