ニューラルネットワークを用いて算出した崩壊荷重係数を考慮した
ラチスシェルの部材断面最適化
Member Section Optimization of Lattice Shells
Considering Collapse Load Factor Obtained by Neural Network◦ 西江 太成 ∗1 ，藤田 慎之輔 ∗2Taisei NISHIE∗1 ，Shinnosuke FUJITA∗2∗1 北九州市立大学大学院 国際環境工学研究科 大学院生
Graduate Student, Faculty of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu∗2 北九州市立大学大学院 国際環境工学研究科 准教授
Assoc. Prof., Faculty of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu, Dr. Eng.
キーワード
キーワード：部材断面最適化; 多目的最適化; 崩壊荷重係数; シェル構造物; 機械学習; ニューラルネットワーク
Keywords：Member section optimization; multi-objective optimization; collapse load factor; shell structures; machinelearning; neural network

1. はじめには，外力に対して構造物の内力が釣り合い式と降伏条件

建築物の構造最適化では，目的関数をひずみエネルを満足するとき，求められた崩壊荷重係数は真の崩壊荷ギーやコンプライアンス，設計変数を構造物の形状や部重係数と等しいかそれより小さい．したがって，λ を崩材断面とし，部材の使用量などを目的関数や制約条件に壊荷重係数，λ∗ を真の崩壊荷重係数とすると次式が成り導入して最適化を行うことでコストを抑えた力学的合理立つ．

性のある解を得るのが一般的である

1, 2)

λ ≤ λ∗．しかし，建築(1)

構造物には剛性以外にも耐力といった力学的性能も求められる．そこで，本研究ではラチスシェルに対し，部材断面を設計変数とし，ひずみエネルギーおよび部材の使この下界定理より，以下の線形計画問題を解くことで構造物の崩壊荷重係数を求めることができる．

用量に加えて崩壊荷重係数を目的関数に導入した構造最maximize λ適化を行うことで，建築構造物の耐力を考慮したラチス

Hs = λ fv
Ys = ysubject to

シェルの部材断面最適化の有効性を検証する．構造設計
実務では，崩壊荷重係数は一般に荷重増分解析法を用いて求められる．しかし，荷重増分解析法では剛性方程式を解く計算を繰り返すため，最適化で繰り返し参照される関数としては扱いづらい．そこで，線形計画問題として定式化が可能である極限解析 3) を用いる．しかし，線形計画問題として定式化した極限解析を最適化計算に(2a)

ここで， H は全体釣り合い行列， s は内力ベクトル， fvは鉛直方向の外力を表す定ベクトル，Y は降伏条件を示す係数行列， y は降伏時の定数ベクトルを表す．なお，降伏条件は計算の簡単のため図 1 に示すものを採用することとする．

組み込んだ際の計算コストは決して小さくない．そのたNめ，本研究ではニューラルネットワークを用いて作成しNp

た崩壊荷重係数の予測モデルを極限解析の代わりに最適化計算に組み込むことを提案し，その有効性も検証して

(2b)
(2c)

Mz-MpyMpz

いく．

Mpy My-Mpz
2. 極限解析
本研究では，極限解析の下界定理を線形計画問題と-Npして定式化し，同問題を解くソルバーである mosek4) によって崩壊荷重係数を算出する．極限解析の下界定理で
日本建築学会情報システム技術委員会
第 44 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 415-418 ， 2021 年 12 月，京都
Proceedings of the 44th Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 415-418 ， Dec. ， 2021 ， Kyoto

図1

降伏条件－ 415 －N は部材の軸力， My は部材の要素座標軸 y 軸回りの4. 最適化問題

モーメント， Mz は部材の要素座標軸 z 軸回りのモーメ

本研究では，鋼管のみで構成されるラチスシェルに対ント，N p は部材の降伏軸力，M py は部材の要素座標軸 yして，設計変数に鋼管の外径をとり，目的関数を崩壊荷軸回りの降伏モーメント， M pz は部材の要素座標軸 z 軸重係数およびひずみエネルギー，部材の総体積とした次回りの降伏モーメントを表す．のような多目的最適化問題を解き，パレートフロントを生成する．

3. ニューラルネットワーク
機械学習は主に，教師あり学習，教師なし学習，強化minimize

学習の 3 種類に分けられ，ニューラルネットワークはD

教師あり学習の手法のうちの一つである．本研究ではこsubject toのニューラルネットワークを予測モデルの作成に用い5)

ネットワークライブラリである Kerasを用いた．図 2にニューラルネットワークの構造の例を示す．

300 ≤ De ≤ 900
te =る．ニューラルネットワークの構築には，Python で書かれた，TensorFlow 上で実行可能な高水準のニューラル−λpredE VDe
40(4a)(e = 1, · · · , m)(4b)(e = 1, · · · , m)(4c)

ここで，λpred はニューラルネットワークを用いて作成した予測モデルを用いて算出した崩壊荷重係数，E はひずみエネルギー [kNm]，V は部材の総体積 [m3 ]，De ，teはそれぞれ e 番目の要素の鋼管の外径 [mm] および板厚

Input layer

w1,11x1 = h0,1w1,13w1,21w1,12

1stinner layer

a1,1 h1,1w2,13w2,21w2,11w2,12w1,22 a1,2 h1,2 w2,22x2 = h0,2w1,23w2,23w1,31w2,31w1,32w2,32x3 = h0,3w1,33 a1,3 h1,3 w
2,33

2nd
inner layer

a2,1 h2,1

Output layer(4b) に示すように上下限値を設け，鋼管の板厚 te は制約w3,11a2,2 h2,2 w3,21[mm] を表す．要素数を m とし，鋼管の外径 De には制約(4c) に示すように外径の関数として従属的に決定するものとする．本研究における最適化計算では多目的最適y化も可能である MIDACO7) を用いる．MIDACO (Mixed

Integer Distributed Ant Colony Optimization) とは発見的

w3,31

手法の一つである蟻コロニー最適化を用いた汎用最適化

a2,3 h2,3ソルバーである．ひずみエネルギーはオープンソースの図2

ニューラルネットワークの基本構造構造解析ソフトとして知られている OpenSees8) による弾性解析によって算出する．

ここで，中間層の 1 層目の計算例を示す．説明変数の数を i，中間層の数を j，中間層のノード数を n1,··· , j とすると，次式で表せる．

a1 = W1 h0[]⊤a1 = a1,1 · · · a1,n1 w1,11 · · · w1,1i  .
.. ..
W1 =  ..
.
. 

w1,n1 1 · · · w1,n1 i[]⊤h0 = h0,1 · · · h0,i5. 数値解析例
5.1. 解析概要(3a)

図 3 に本解析例で用いた解析モデルの形状および部材(3b)

断面が初期値のときの部材断面の分布，λtrue ，λpred ，E ，V の値を示す．λtrue は極限解析を用いて算出した崩壊荷(3c)重係数を表す．De の初期値はすべて 300[mm] とする．
解析モデルの形状は 10 × 10 の格子グリッドで構成され(3d)るスパン 60m，初期形状ではライズが約 20m となる裁
断球殻ラチスシェルとする．ラチスシェルの部材断面にここで，h0 は説明変数ベクトル，W1 は重み係数行列と用いる鋼管の材料特性は基準強度が 235N/mm2 ，ヤングなる．式 (3) より算出された a1 は活性化関数で変換され率が 2.1×105 N/mm2 ，ポアソン比が 0.3 とする．境界条て，出力データ y を算出するまで式 (3) を繰り返す．活件は図中に○で示した四隅を固定支持とする．外力は部

性化関数は relu（正規化線形関数），最適化アルゴリズム

材の自重として 77kN/m3 および積載荷重として 1kN/m2は adam6) ，損失関数は mse（平均二乗誤差），評価関数を作用させる．また，本最適化計算における解析モデルは mae（平均絶対誤差）を用いる．には対称性を考慮しており，1/8 領域の De のみを設計変数とし，その他の値は対称性から従属的に決定した．なお，MIDACO の計算回数を除くパラメータはすべてデ報告 H51－ 416 －フォルト値とし，計算回数は 1,000,000 回とした．

5.3. 解析結果
図 5 に λtrue と λpred の E − λtrue 平面のパレートフロン
トを，図 6 に V − E 平面および V − λtrue 平面のパレートフロントを示す．図 5 より，λtrue と λpred の誤差は大きく，λtrue に対して最大で約 2.5 倍の λpred を算出した解も見られ，全体的に λpred は λtrue より大きな値を算出している．図 6 より，V − E 平面で見ると E は曲線状に分布しており，V=50[m3 ] を超えたあたりから E の値に大き(a) ラチスシェルの形状 (b) 部材断面の分布 (初期値)
λtrue = 0.233
λpred = 0.568
E = 3225.6[kNm]
V = 9.715[m3 ]図3

初期形状および初期制御点な変動は見られなかった．V − λtrue 平面で見ると λtrue は一部の解を除いて直線状に分布している．また，図 5 より，E が小さくなると λpred は大きくなっていることから，本研究で用いた裁断球殻ラチスシェルの形状における部材断面の分布では E と λpred は概ねトレードオフの関係にないといえる．

5.2. 予測モデル
4

図 4 に本研究における 10,000 個のテストデータに対して予測モデルを用いて算出した崩壊荷重係数と極限解3析によって算出したときの崩壊荷重係数の比を示す．予2.52

λ測モデルは，1/8 対称性を保ったまま形状および部材断

λtrue
λpred

3.5

1.5

面をランダムに変化させた解析モデルに対して，式 (2)1を解いて準備した 80,000 個の訓練データと 10,000 個の0.5検証データを用いて構築した．テストデータはこれらの00500

1000

1500

データと別に 10,000 個のテストデータを作成し，未知

2000

2500

3000

3500

E [kNm]のデータに対する予測モデルの予測精度を図 4 に示す．
説明変数は部材断面の外径，出力データは崩壊荷重係
図5数とし，説明変数の数 i=30，中間層の数 j=5，中間層のE − λtrue 平面のパレートフロント

ノード数は全ての層において 180 とした．図 4 より，本420% 以内に収まっているが，いくつかのデータでは誤差

3.5

3000

3λtrue20% 以上 30% 未満となっている．
1.33500

λE25002.52000

21500

1.5

1000

11.2500

λpred λtrue

0.51.100010.9

図60.8

E [kNm]研究で構築した予測モデルのテストデータでは概ね誤差10203040
V [m3]

50607080

V − E 平面および V − λtrue 平面のパレートフロント

0.702000

図440006000

800010000

図 7 から 10 にパレートフロントの一部の解の部材断

Number of test data

面の分布，λtrue ，λpred ，E ，V の値を示す．部材断面の分予測モデルの予測精度

布は線が太くなるほど鋼管の外径が大きいものを選択していることを表す．図 7 では，λpred は λtrue の 0.83 倍の値を示しており，部材断面の分布はラチスシェルの中心部の周囲に鋼管の外径が小さいものが選択されている．

報告 H51－ 417 －λtrue = 2.705
λpred = 2.235
E = 161.7 [kNm]
V = 74.278 [m3 ]図7

λtrue が最大のときの解

λtrue = 2.423
λpred = 3.062
E = 244.6 [kNm]
V = 76.882 [m3 ]

図9λtrue = 1.856
λpred = 2.259
E = 207.9 [kNm]
V = 49.580 [m3 ]λtrue = 1.680
λpred = 1.032
E = 99.8 [kNm]
V = 50.718 [m3 ]図8E が最小のときの解V が最大のときの解図 10V ≒50m3 のときの解図 8 では，λpred は λtrue の 0.61 倍の値を示しており，部ニューラルネットワークを用いて作成した崩壊荷重係数

材断面の分布は支持点近傍に鋼管の外径が大きいものがの予測モデルのテストデータに対する予測精度は高かっ選択されている．図 9 では，λpred は λtrue の 1.22 倍の値たが，最適化計算によって生成されたパレートフロントを示しており，部材断面の分布はラチスシェルの中心部に対しては予測精度が低かった．ただし，最適化計算ののの周囲と支持点と接する部材に鋼管の外径が小さいも計算効率の向上は見られたため，パレートフロントに対のが選択されている．図 10 は，図 8 と同程度の体積でする誤差の原因を検証し，予測モデルの最適化計算におλtrue の大きい解と比較するために選択した．図 10 では，ける予測精度の向上を目指したい．

λpred は λtrue の 1.22 倍の値を示しており，部材断面の分布はラチスシェルの外周部に鋼管の外径が大きいものが選択されている．図 7，8 と図 9 を比較すると，支持点と接する部材は鋼管の外径が大きい方が剛性および耐力は上昇する．また，図 9 の解は λpred が λtrue の解よりも大きく算出されたため，図 7 よりも剛性や耐力の低い解が生成されたと考えられる．図 8 と 10 を比較すると，ラチスシェルの支持点近傍に鋼管の外径が大きい部材が集中する方が剛性は高く，ラチスシェルの外周部に鋼管の外径が大きい部材が分布する方が耐力は高くなることがわかる．

6. まとめ本研究では，ひずみエネルギーに加えて耐力として崩壊荷重係数を目的関数に導入してラチスシェルの部材断面最適化を行った．その結果，パレートフロントが生成され，剛性および耐力の高い部材断面の分布を得ることができた．しかし，パレートフロントの一部に，予[参考文献]1） S. Fujita and M. Ohsaki. Shape optimization of free-form shells using invariants of parametric surface. International Journal of Space
Struct., Vol. 25, No. 3, pp. 143–157, 2010.
2） Y. Kanno. Mixed-integer second-order cone programming for global
optimization of compliance of frame structure with discrete design
variables. Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 54, pp.
301–316, 2016.
3） W. Prager and R. T. Shield. A general theory of optimal plastic design.
Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 34, pp.
184–186, 1967.
4） E. D. Andersen and K. D. Andersen. The mosek interior point optimizer for linear programming: An implementation of the homogeneous algorithm. H. Frenk, K. Roos, T. Terlaky, S. Zhang (eds) High
Performance Optimization. Applied Optimization, Vol. 33, pp. 197–232, 2000.
5） François Chollet, et al. Keras. https://keras.io, 2015.
6） Jimmy Lei Ba Diederik P. Kingma. Adam: A method for stochastic
optimization. 3rd International Conference on Learning Representations, ICLR2015, 2015.
7） M. Schlueter, J. A. Egea, and J. R. Banga. Extended ant colony optimization for non-convex mixed integer nonlinear programming. Computers & Operations Research, Vol. 36, No. 7, pp. 2217–2229, 2008.8.
8） M. Zhu, F. McKenna, and M. Scott. Openseespy: Python library forthe opensees ﬁnite element framework. SoftwareX, Vol. 7, pp. 6–11,
2018.1.

測モデルの予測精度が原因と考えられる解が見られた．

報告 H51－ 418 －