Thermal Science & Engineering Vol.14 No.2 (2006)

液柱内温度差マランゴニ対流の振動流に対する全周加熱制御
工藤 正樹†

河村∗洋†

Control of Oscillatory Thermocapillary Convection in a Half-Zone Liquid
Bridge by Circumferential Round Heating
Masaki KUDO and Hiroshi KAWAMURA
Abstract
A new scheme of active control was tested on nonlinear thermocapillary convection in a half-zone liquid bridge of ahigh Prandtl number fluid. In the half-zone method, two co-axial cylindrical rods hold a liquid bridge by surface tension.
By applying a temperature difference between the rods, a thermocapillary flow is induced in the liquid bridge. The
convection changes from a two-dimensional steady flow to a three-dimensional oscillatory one at a critical value oftemperature difference or of Marangoni number. The control was realized by introducing concentric circular wire heaterin order to heat round of the liquid bridge azimuthally. With this control scheme, one can suppress the oscillatory
convection without minding the spatio-temporal fluctuation of the temperature over the free surface. The comparison
between the present control scheme and the previous local heating by our group was conducted in terms of the timeseries of the surface temperature variations and the visualized flow field from the top. The experiment was conducted
on a unit-aspect-ratio liquid bridge where the most unstable azimuthal mode had wavenumber 2 without control. The
control with the present scheme achieved more significant attenuation of the temperature oscillation for a wider range ofMarangoni number. The amplitude of the oscillation was able to be suppressed to a few percent of the initial value up to
about 200 percent of the critical Marangoni number. The dependence of the control performance upon the position of
the heater was investigated and found significant for both the control schemes. A mechanism of the stabilization fromthe oscillatory to the steady flow was examined. The stabilization is due to the reduction of the thermocapillary flowcaused by the variation of the axial surface temperature distribution.
Key Words : Thermocapillary convection, Half-zone liquid bridge, Oscillation, Control
記 号
H
:
Ma
:
n
:
Pr
:
Q
:
R
:
:
Reσ
T’
t

ΔT
ε

:
:
:
:

Γ
φ
γ
κ
ν
θ
ρ
σT

[m]

液柱高さ
マランゴニ数 = σTΔΤΗ/(ρνκ)
波数プラントル数 = ν /κ
[W]
制御入力
[m]
液柱半径
温度差マランゴニ･レイノルズ数= Ma / Pr[K]
表面温度の時間平均に対する変
動分
[s]
時間
[K]
液柱端面間温度差
過臨界パラメータ = (Ma-Macr) / Macr

:
:
:
:
:
:
:
:

アスペクト比 = H/R
[rad]
周方向位置
抑制比 = θrms controlled / θrms uncontrolled[m2/s]
温度拡散係数[m2/s]
動粘性係数
無次元表面温度変動 = T’ / ΔT
[kg/m3]密度[N/m⋅K]
表面張力の温度係数

添字
cr
controlled
uncontrolled
rms

:
:
:
:

臨界値
制御あり
制御無し
変動強さ

∗ 受理日: 2005 年 9 月 20 日, 担当エディター: 今石 宣之†
東京理科大学 理工学部機械工学科 (〒278-8510 千葉県野田市山崎 2641)- 19 -© 2006 The Heat Transfer Society of Japan

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1. 緒言
微小重力環境下において，自由表面を有する液体
では，表面上に温度差または濃度差が存在する場合，表面張力差を駆動力とするマランゴニ対流が顕在化する．特に温度差により表面張力差が生じるものを
温度差マランゴニ対流と呼ぶ．材料科学分野において，半導体単結晶育成法の一つ，フローティングゾーン法（Floating Zone 法，以下 FZ 法）の研究が行われている．この凝固過程において，融液柱の気液

Fig. 1 Half-zone liquid bridge (left: top view,
right: side view)

界面に生ずる三次元非定常マランゴニ対流が原因となり，均質な単結晶を精製できないことが知られている[1]．そのためマランゴニ対流の様々な遷移条件

より対流を安定化するという発想のもと，薄液膜[6]や流れの構造について検討し，最終的には対流の制や円筒状容器[7 -10]などの体系において，高 Pr 数流

御手法を確立することが求められる．

体マランゴニ対流の制御が行なわれるようになった.

FZ 法に関する基礎研究として，FZ の半分の領域

Shiomi ら[7 -10]は，円筒状容器内液層に生じる三次を模擬したハーフゾーン法（Half Zone 法，以下 HZ

元非定常流の抑制に成功した．彼らは液層表面温度法）が広く用いられている（図 1）．HZ 法は，液柱振動の空間的規則性に従って，対となる温度センサの一方の端面を高温に保ち，他方を低温に保つことと電気ヒータを配置した．その上でセンサが取得しで，液柱内にマランゴニ対流を生起させる方法であた局所的な表面温度を制御出力として，線形制御則

る．液柱に付加した温度勾配を増大させ，ある臨界に従い制御入力を求め，対となるヒータが表面を局点を越えると，その対流場は二次元定常流から三次所的に加熱するフィードバック制御を行った．本研

元非定常振動流へ遷移する[2, 3]．マランゴニ対流の究で対象とする HZ 液柱に制御を行った研究には，強さを表わす無次元数であるマランゴニ数を以下のPetrov ら[11, 12]の例がある．彼ら[11, 12]は，温度セように定義する．

ンサにより取得した局所的な表面温度を制御出力とMa =σ T ΔT ⋅ H σ T ΔT ⋅ H ν=⋅ = Reσ ⋅ Pr
ρνκ
κ
ρν 2

して，非線形制御則に従い制御入力を計算し，熱電(1)素子により表面を局所的に加熱および冷却するフィードバック制御を行っている．しかし，これらは振ここで σT：表面張力温度係数，ΔT：液柱端面間温度

動流遷移後(ε < 0.1)の非線形性の弱い領域にとどま差， ρ：密度，ν：動粘性係数，κ ：温度拡散係数，っていた．

Reσ：温度差マランゴニ･レイノルズ数，Pr：プラン

一方，著者ら[13]は Shiomi ら[7 - 10]と同様の単一トル数である．二次元定常流から三次元非定常振動

モード制御を用いて，比較的強い非線形性を有する流へ遷移する時のマランゴニ数を臨界マランゴニ数

対流場 (ε < 0.4)での振動流の完全な抑制に成功した．

Macr と呼び，過臨界状態を表わすパラメータを次のしかしさらに高いε では，制御中に異なる周方向波

ように定義する．

数を有するモード構造が励起され，制御効果が低下

ε=

Ma − Macr
Macr

することがわかった．これを克服するために，従来(2)対象としていた非制御時に支配的なモード構造だけ
でなく，制御により励起される新たなモード構造に

三次元振動流においては，液柱の縦横比（アスペクも対応できる複数モード制御を構築した[14]．このト比）に応じて，周方向に波数を有する様々な対流制御法を適用した結果，単一モード制御に比べて高構造が観察される．これをモード構造と呼ぶ[3, 4]．

い制御効果を得ることができた．また，単一モード

高 Pr 数流体を用いた実験では，
対流場と温度場の振制御では励起してしまうモード構造も，複数モード

動は強くカップリングしており，振動流への遷移と制御では抑制できることを示した．しかし，それで同時に液柱温度にも振動が生じる[5]．

もなお考慮できなかった高次のモード構造の出現に

近年，液体自由表面の温度振動を抑制することによって，完全な抑制は達成できなかった．原理的に- 20 -© 2006 The Heat Transfer Society of Japan

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は，センサと制御用ヒータを増やすことで，この問題を解決できると予想されるが，液柱のサイズによCCD Camera

Top Rod

る空間の制限があるため，その実現は難しい．
そこで本研究では，モード構造に依存しない制御

Heater(For the top rod)手法の構築を目的とし，従来の局所加熱ではなく周方向に一周加熱するという新しい方法を提案して，Ring Heater

制御下の表面温度の挙動，および対流場の変化を調（For the control)

べることを目的とする．特に抑制効果，モード構造
Sensor 1の変化に注目する．

Sensor 2

Liquid Bridge
Bottom Rod

Fig. 2 Experimental apparatus

2. 実験

μm のニクロム線を半径 3 ± 0.2 mm のリング状に加2.1 実験装置
本研究における実験装置（液柱形成部，
可視化部，

工し作成した．センサは液柱高さ 0.25 H において液制御入出力部）を図 2 に示す。試験流体として，動柱に触れる程度に挿入し，ヒータは上下ロッドに対粘度が 5 cSt のシリコーンオイル（信越化学工業（株）

して同心位置に配置し，高さを幾つか変えてその影

KF-96L-5cSt (Pr = 68 , at 25 ℃)を主として用い響を調べた．モード 2 の周方向温度分布を考慮し，た．同一半径 2.5 mm を有する上下ロッドの間に液二本のセンサをπ/4 だけ離して配置した．温度振動柱を形成する．液柱の体積は，上下ロッド直径と液の周方向波数は対流構造の持つ周方向波数と同一で柱高さにより決まる真円柱とほぼ等しくした．液柱あり，モード 2 ではπ/2 の整数倍で温度振動が 0 との高さ H と液柱半径 R の比で決定されるアスペクト

なる．

製

比Γ = H/R は 1.0 で一定とした．このアスペクト比では，液柱内振動流は周方向波数 n が 2 のモード構造

2.2 制御手法（以下，モード 2 と呼ぶ）を呈する[3, 4]．上部ロッ

ここで従来の制御法を「局所加熱制御」，新しく導ドに熱伝導率の高く透明な人工サファイアを用い，入した制御法を「全周加熱制御」と呼ぶことにする．

その周りにヒータを巻きつけて加熱ロッドとした．

全周加熱制御では，時間的(t)にも周方向(φ)にも一定

これにより上部端面からの観察を可能にした．下部の制御入力 Q を与えることとした点が，本研究の特ロッドはアルミニウムを用い，冷却ロッドとし，上色である．

下ロッドに取り付けた熱電対により付加した温度差
Q (φ , t ) = Const.

を測定しつつ，ロッド間に温度差を与えてマランゴ(3)

ニ対流を発生させた．本実験は室温環境下（およそ20 ℃）で行なった．

また制御効果の比較のために，局所加熱制御[13]も対流場の可視化を行なうために，密度が試験流体用いて実験した．文献[13]と同様に，センサ 1 －ヒに近い微粒子（ポリスチレン粒子，公称直径 17 μm，ータ 1，センサ 2－ヒータ 2 という二つのセンサ・ヒ

密度比 1.07）を用いて CCD カメラにより観測を行

ータ対を構成した．各センサ－ヒータは周方向にった．観察のために，コールドライトによる液柱全π/2 離して配置し，センサ 1－センサ 2 は π/4 離し体の照明および赤色半導体レーザにより液柱断面のて配置した．

照明を行なった．
表面温度計測には定電流型冷線温度計を用いた．

3. 実験結果

サンプリング周波数 50 Hz で自由表面温度を取得した．センサは対流場に影響を及ぼさないよう，微細3.1 非制御時の対流場

な白金線（受感部線径 2.5 μm，長さ約 300 μm）の

はじめに非制御時の対流場について説明する．本

プローブを用いた．先端形状は曲率を持たせ，受感実験ではアスペクト比Γ = 1.0の液柱においては，臨部のみを挿入し，センサ挿入によるメニスカスを極界マランゴニ数 Macr ≈ 2.6 × 104（常温環境下 20 ℃）

力抑える構造とした．また制御用ヒータは，線径 200を境として三次元非定常振動流へと遷移する[14]．
- 21 -© 2006 The Heat Transfer Society of Japan

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0.08
0.06

θ

0.04

(a -1) uncontrolled, t = 0 s

0.02
0(a-2) t = 0.23 s

Control on

-0.02
-0.04
0

(a-3) t = 0.46 s

5

10

15
20
Time [s]2530

Fig. 4 Time series of local temperature signal θ with
control started at t = 5 s (Q = 0.35 W, ε = 0.77)(b) controlled

Fig. 3 Flow visualization of the mode-2 travelingwave type oscillatory flow. (a): uncontrolled
flows, and (b): controlled(Q = 0.35 W, ε = 0.77)

元化した表面温度変動の計測値θ (φ, t) = T ’/ΔT である．T ’ は液柱高さ 1/4H における，ある周方向位置の表面温度に対して，非制御時の時間平均値を差し引いたものである．図中では 5 s で制御を開始した．

過臨界パラメータが 0 < ε < 0.4 の条件では脈動振制御開始前は約 1 Hz の振動が見られ，開始後は温動流が，さらにε ≥ 0.4 の条件では回転振動流が観察度の平均値が上昇するとともに振動が減衰するのがされる[13, 14]．上部ロッド端面側から観察すると，わかる．充分時間がたつと振動は消滅する．π/4 離液柱中心に可視化用粒子の入り込まない領域（粒子れたもう一つのセンサでも同様な結果が得られてお不在領域）を観察することができ(図 3)，モード 1

り，温度振動の抑制が液柱自由表面の広域に及ぶこでは偏心した円形，モード 2 は楕円形，n ≥ 3 のモーとを示している．このように，これまで行ってきた

ドは n 角形を呈する．図 3(a)に本研究で対象とする

局所加熱制御[13, 14]では，ε > 0.4 で振動流を二次元

モード 2 の振動流（ε = 0.77，回転振動流）の可視化

定常流へと抑制することはできなかったが，図 3, 4

画像を示す．図は回転振動流が時計回りに回転するに示すとおり，ε = 0.77 という高いεにおいても，全様子を示している．
粒子不在領域を観察することで，周加熱制御では抑制することができた．
次に全周加熱制御において，制御入力 Q と抑制効

対流場の変化がよくわかるので，本研究ではこれに果γ の関係を調べた．図 5 に全周加熱制御における注目する．

加熱量と抑制効果を示す．抑制効果を評価するパラメータである抑制比を以下のように定義する．

3.2 全周加熱制御
まず全周加熱制御において，ヒータの位置を液柱γ=

高さ 1/2H に定めて実験を行った．はじめに，制御下の対流場の変化を観察した．制御開始後，充分時間

θ rmscontrolledθ rmsuncontrolled(4)が経過した後の対流場を図 3(b)に示す．粒子不在領

ここでθrms uncontrolled は非制御時の温度変動強さを示

域は，制御開始後に周方向の振動がおさまり，楕円し，θ rms controlled は制御下での温度変動強さを示す．

形から円形に変化するのが見られる．これは回転振高ε では試験流体の蒸発が激しく，液柱の形状を一動流が二次元定常流に抑制されたことを示す．この

定に保つのが困難となってくるので，ε < 1.9 までの時，粒子不在領域は半径方向に広がっている．後の実験を行った．さて，いずれのεの結果も同様の傾向

節にて，これをふまえて振動流が抑制されるメカニを示すが，制御入力Q を 0 W から増加させるにつれズムを考察する．

，そて抑制効果が向上し（すなわちγが小さくなる）

続いて，制御下における液柱自由表面の局所的なの後，抑制効果が最大 ( γ ≈ 0 )となる．この時，対温度の時系列データを図 4 に示す．ここでθ は無次流の可視化によって，振動流が二次元定常流に制御- 22 -© 2006 The Heat Transfer Society of Japan

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0.6

ε =0.10ε =0.97ε =1.87

1.0

0.4

0.6

γ

γ

0.8

0.3

0.4

0.2

0.2

0.1

0

0

0.50
Q [W]

Local heating control(Pr =68)
Round heating control(Pr =28)
Round heating control(Pr =68)

0.5

0
0

1.00

Fig. 5 Control performance γ with respect to heater input
Q for different ε

0.5

1.0

ε

1.5

2.0

Fig. 6 Control performance γ vs. ε
図 6 から局所加熱制御はε ≤ 0.4 で振動流を完全に抑されるのが観察された．制御入力 Q をさらに増加さ制できるが，一方全周加熱制御は非常に高いεまで完せると抑制効果が減少することがわかる．この時，全に抑制できるのがわかる．以上から全周加熱制御

対流の可視化によって，モード１の回転振動流が励は非常に高いε まで振動流を抑制できるが，比較的起されるのが観察された．これらの傾向は，局所加大きな制御入力を必要とし，一方，局所加熱制御は熱制御における傾向[13, 14]と良く似ている．他方，

低いε での抑制に限られるが，少ない入力で済み，振動流を完全に抑制するのに必要な制御入力を見る

効率が良い制御法と言える．

と，およそ 0.10 ～ 0.50 W であり，これは局所加熱制御で振動流を抑制するのに必要な入力の 10 倍以

3.3 加熱位置と抑制効果上である．しかしε = 0.77 の状態に液柱端面間温度

次に両制御法においてヒータの高さ位置を変え差を維持するのに 1.5 W 強の入力が必要であることて，抑制効果を比較した．試験位置は，上部ロッドがわかっているので，全周加熱制御では，その 10 %近傍 7/8H（丸），液柱高さ 1/2H（三角），下部ロッド程度の制御入力で制御できていることになる．

近傍 1/8H（四角）の 3 箇所である．図 7(a)は局所加本実験では液柱高さ 1/2H にヒータを配置してい熱制御の結果を示し，図 7(b)は全周加熱制御の結果るため，制御入力が増大した場合には，中心位置がを示す．局所加熱制御では，制御開始直後の制御出最高温度となるフルゾーン状態に変化することが懸力を記す． 両図を見ると，ともに液柱高さ 1/2H で念される．そこで幾つかのε についてヒータ対向面抑制効果が最も高く，上部ロッド近傍 7/8H で最も低付近の液柱表面温度を計測した．表面温度の計測にいことがわかる．

微細な熱電対(素線径 25 μm)を用いた．ヒータと液まず液柱高さ 1/2H で制御を行った場合，局所加柱の隙間に斜め上から熱電対を挿入し，先端を液柱

熱制御では回転振動流を強度の弱い脈動振動流へ抑表面に接触させて測定した．例としてε = 1.00 の計

制することができた．また，全周加熱制御では振動測結果を示す．ヒータ対向面付近の液柱表面と下部流を二次元定常流に抑制することができた．入力をロッド（冷却側）の温度差は，非制御時では上下ロ増してゆくと，両制御において抑制効果が減少に転

ッド間温度差 ΔT の 61 %程度であったが，制御が良

ずるが，これはモード 1 を励起したためである．

好な場合にはΔT の 65 %程度となった．モード 1 を一方，上部ロッド近傍で制御を行った場合，局所励起する最小の入力を与えた場合でも，ΔT の 65 %

加熱制御では振動流を全く抑制することができなか程度であった．これからモード 1 が励起された条件

った．制御下で脈動振動流が回転振動流に変化する

でも，HZ 状態の温度分布が維持されるといえる．

など，対流が不安定になることを確認している．全次に局所加熱制御と全周加熱制御において ε とγ

周加熱制御においても同様な傾向が見られた．

の関係を図 6 に示す．全周加熱制御に関しては，Pr

最後に下部ロッド近傍 1/8H で制御を行った場合数の異なるシリコーンオイルを用いた結果も示す．

は抑制効果に差が見られた．局所加熱制御では上部- 23 -© 2006 The Heat Transfer Society of Japan

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2.0

γ

(a)
Local heating control

Vortex center

1.0

0

0

0.01

0.02

0.03

2.0
(b)
Round heating controlγTop
MiddleBottom

0.04

0.05

Top
MiddleBottomRing heater

1.0

0

Fig. 8 Flow field illuminated by a sheet light without thecontrol (Q = 0 W, at 1/ 2H, ε = 0.77)

0

0.20

0.40
0.60
Q [W]

0.80

1.00

Vortex center

Fig. 7 Effect of the position of heater upon thecontrol performance (ε = 0.77)
ロッド近傍での制御と同様に，振動流を抑制できなかった．他方，全周加熱制御では，液柱高さ 1/2Hでの制御に比べて大きな入力を必要とするものの，振動流を二次元定常流へと抑制することができた．
この場合，実験範囲ではモード 1 の励起は起こらな

Ring heater

かった．
以上から，両制御における加熱位置と抑制効果の関係に類似性が見出され，振動流の抑制に関して共Fig. 9 Flow field illuminated by a sheet light with thecontrol using the ring heater located at middle(Q = 0.30 W, at 1/2H, ε = 0.77)

通のメカニズムが存在するものと考えられる．
3.4 振動流抑制のメカニズム
全周加熱制御下の対流構造の変化から，振動流抑Vortex center

制のメカニズムを考察する．対流構造の観察のために，液柱の中心軸を通り，軸に平行な断面 (液柱側面) に対してシート状にした半導体レーザを照射し可視化した．非制御時の対流場を図 8 に，液柱高さ1/2H で制御を行い，完全な抑制が達成された場合の対流場を図 9 に示す．まず可視化写真の説明を行う．
写真中の細い点線で囲まれた領域は液柱を示し，太い点線はリングヒータを表している（ヒータには焦Ring heater

点が合っていないため写真では見えない）．次に太線の矢印は，自由表面での軸方向下向きの流れが，下部ロッドに当たることで誘起される流れ（リターンFig. 10 Flow field illuminated by a sheet light with thecontrol using the ring heater located at bottom(Q = 0.70 W, at 1/8H, ε = 0.77)フロー）の位置を示す．リターンフローは上部ロッド近傍の液柱表面に向かうことで，再循環渦が形成される．液柱中央付近の黒色の領域が粒子不在領- 24 -© 2006 The Heat Transfer Society of Japan

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域である．
はじめに非制御時の対流場を観察すると，に対し，全周加熱制御を適用した．その結果，従来

図 8 に示したように左右の自由表面付近に渦中心がの局所加熱制御では達成できなかった広範囲のマラ

1 つづつ見られる．このとき，自由表面での軸方向

ンゴニ数領域で十分高い抑制効果を得ることができ

下向きの流れが強いため，リターンフローは液柱中た．また制御下の対流場の可視化観察結果により，心軸付近に到達し，粒子不在領域の幅は狭い．

振動流が抑制される原因を考察した．

一方，完全な抑制が達成された際には，リターン
謝辞

フローが弱まり，その範囲は液柱中心軸付近に及ばなくなる．これは液柱高さ 1/2H を加熱することで，本研究は，科学研究費補助金（基盤研究（B））（No.

軸方向の温度こう配が広範囲に緩やかになり，その17360101）の援助を受けた．記して謝意を表す．

結果，液注表面の軸方向下向きの流れが弱まったのが原因と考えられる．自由表面での軸方向下向きの

参考文献

流れが振動流を駆動しており，これが弱まったため振動流がおさまったと考えられる．また，自由表面[1] Eyer, A., Leiste, H. and Nitsche, R., J. Crystal

近くの流跡線を見ると，
液柱高さ 1/2H を挟んで上下
2 つの定常渦が確認できる．これは，ヒータによりGrowth., 71, (1985), 173-182.
[2] Preisser, F., Schwabe, D. and Scharmann, A., J.

加熱された表面の温度がその位置で相対的に高くな

Fluid Mech., 126, (1983), 545 – 567.

り，温度差マランゴニ効果により軸方向下向きの流[3] 河村洋，小野嘉久，上野一郎, 機論，67－658，

れが激しく減速されるため，一種のはく離効果によB, (2001)，1466-1473.

り液柱内部の流れが形成されたと考えられる．

[4] Velten, R., Schwabe, D. and Scharmann, A., Phys.

続いて上部ロッド付近で制御を行った場合，可視

Fluids A3, (1991), 267-279.

化観測によってリターンフローが強まるのが確認された．これは表面の軸方向の流れが強まったことを[5] Wanschura, M., Shevtsova, V. M., Kuhlmann, H. C.

示しており，上部ロッド付近の表面温度が制御前にand Rath, H. J., Phys. Fluids, 7, (1995), 912-925.

比べて高くなることで，軸方向の温度こう配がより[6] Benz, S., Hintz, P., Riley, R. J. and Neitzel, G. P., J.
Fluid Mech., 359, (1998), 165- 180.

大きくなったのが原因と考えられる．これは相対的[7] Shiomi, J., Amberg, G. and Alfredsson, H., Phys.

に Ma を高めることに相当するから，振動流の抑制

Rev E., 64, (2001), 031205-1– 031205-7.

ができなかったものと考えられる．

[8] Shiomi, J. and Amberg, G., Phys. Fluids, 14, (2002),

最後に下部ロッド付近で制御を行った場合，可視3039 – 3045.

化観測によって，リターンフローが弱まるのが確認[9] Shiomi, J. and Amberg, G., Eur. J. Mech. B Fluids

された（図 10）．これは軸方向の流れが弱まったこ

24, (2004), 296 – 313.

とを示しており，下部ロッド付近の表面温度が制御[10] Shiomi, J. and Amberg, G., Phys. Fluids, 17, (2005),

前に比べて高くなり，軸方向の温度こう配が小さく

1 – 12.

なったためと考えられる．これは相対的に Ma を低[11] Petrov, V., Schatz, M. F., Muehlner, K. A., Vanhook,

くしたことに相当するから，振動流の抑制ができた

S. J., McComick, W. D., Swift, J. B. and Swinney,

ものと考えられる．
これらより全周加熱制御は，液柱表面の軸方向のH. L., Phys. Rev Lett.,77, (1996), 3779 – 3782.

温度こう配を変えることで，自由表面の軸方向下向[12] Petrov, V., Muehlner, K. A., Vanhook, S. J. andきの流れを変化させ，振動流を制御する手法と捉え

Swinney, H. L., Phys. Rev E., 58, (1998), 427- 433.
[13] Shiomi, J., Kudo, M., Ueno, I., Kawamura, H. andられる．

Amberg, G., J. Fluid Mech., 496, (2003), 193-211.
[14] 工藤正樹，塩見淳一郎，上野一郎, Gustav Amberg,

4. 結言

河村洋，機論，71－706, B, (2005), 1617-1624.
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