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数理解析研究所講究録
第2078巻 2018年 121-126

集合値解析手法による
DC 計画問題の最適解について(On Set‐valued Analysis for an Optimal Solution of DC Programming Problem)

齋藤裕 Yutaka Saito , 木村寛 Yutaka Kimura $\dager$ , 荒谷洋輔 Yousuke Arayai*

秋田県立大学システム科学技術学部

Faculty of Systems Science and Technology, Akita Prefectural University

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はじめに

本研究は、変数 y \in Y により制約集合が変化する \mathrm{D}\mathrm{C} 計画問題の最適解の存在性、及びそれを導出する Y 上での下半連続性についてを集合値解析の観点から調査しまとめたものである。

凸集合は簡単な問題を考える上で現れる単純な集合である。また、差集合は排他条件の表現としてよく用いられる。DC計画問題は制約集合が2つの凸集合の差集合で表される最適化問題で、その適用範囲は非常に広く、現在も活発に研究されている数理計画問題である。なお、本研究で扱う DC 問題の形は逆凸問題の形である。(これらの背景については[3] によくまとまっている。)
我々はDC計画問題の2つの制約集合が集合値写像の像であると考えることで、「変数により制約集合が変化する DC計画問題」 を数理問題ヘモデル化した。例えば、時間により制約条件が連続変化する問題を扱うことができるだろう。

上述した問題の目的関数と集合値写像にいくつかの連続性を仮定することで、その問題の最適値の下半連続性が保証できる、という定理がある。この定理から最適解の存在性を示すことができた。

本稿では集合値写像の連続性と連続関数との関係性について触れ、定理の仮定がどのようにして与えられるかや、その問題の最適解の存在性定理についてまとめた。

*

yutakasai@akita‐pu.ac.jp
yutaka@akita‐pu.ac.jp$\d ag er$
y‐araya@akita‐pu.ac.jp$\dag er$122

2空間と定義の設定
n次元実数空間 \mathbb{R}^{n} 上の DC計画問題を(DCP)\displaystyle \min f(x)subject to x\in G :=G_{1}\backslash G_{2}

ただし、目的関数 f:\mathbb{R}^{n}\rightar ow \mathbb{R} 、制約集合 G_{1} :閉凸集合、G2:開凸集合 c\neq\emptyset とする。一般に G_{1} 、G2はある凸関数の不等式制約、例えば
G_{1}= { x|g_{1}(x) \leq 0, g_{1} :凸関数}

G_{2}= { x|g_{2}(x) <0, g_{2} :凸関数}のように与えられる。

ここで、(DCP) の制約条件がある制御変数によって変化する場合について考える。すなわち、制約条件を定める変数のある空間を位相空間 Y とし、 y\in Y で与えられる n 次元実数空間 \mathbb{R}^{n} 上の DC計画問題を(\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y}\displaystyle \min f(x)subject to x\in G(y) :=G_{1}(y)\backslash G_{2}(y)ただし、目的関数 f:\mathbb{R}^{n}\rightar ow \mathbb{R} 、制約集合値写像 G_{1}, G_{2}:Y\rightarrow 2^{\mathbb{R}^{n} 、 G_{1} () :閉凸集合 G2 () :開凸集合 G\neq\emptyset とする。
集合値写像 F の像 \mathrm{F}() が開 (閉、有界、凸) 集合であるとき、 F は開 (閉、有界、凸) 値であるという。また、集合値写像 F の像 \mathrm{F}() の補集合 \{F(\cdot)\}^{c} を像とする集合値写像 (以下、 F の補集合値写像) F^{c} を F_{2}(\cdot)^{c}:=\{F(\cdot)\}^{c} と書くこととする。このとき、 G() はG :=G_{1} \backslash G_{2}(1)=G_{1} \cap G_{2}^{c}(2)と書ける。

変数 y と (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} の最適値は次の \overline{ $\phi$}:Y\rightar ow\overline{\mathb {R} と G の合成写像によって表される:\overline{$\phi$} (\mathrm{G} ()) :=\displaystyle \inf\{f(x) |x\in G
本稿で集合値写像の連続性を論じるにあたり、点または集合の開近傍族のようなものを次のように定める。

定義2.1 (開近傍族) 位相空間 Y 上の点 x , 集合 A に対して、\mathcal{N}_{Y}(x) := { W\subset Y|x\in W= int W },\mathcal{N}_{Y}^{u}(A) := { W\subset Y|A\subset W= int W },\mathcal{N}_{Y}^{l}(A):={ W\subset Y|A\cap W\neq\emptyset, W= int W }.

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集合の開近傍族 \mathcal{N}_{Y}^{u} と \mathcal{N}_{Y}^{1} は集合値写像における次の2種類の連続性の定義で、関数の連続性における近傍のように用いられている。

定義2.2 (連続性 (集合値写像),[2]) 集合値写像 G:Y\rightarrow 2^{X}\backslash \{\emptyset\} について、(i) G が \overline{y} \in Y でupper‐continuous であるとは、 \forall W \in \mathcal{N}_{x}^{u}(G(\overline{y}) , \exists U \in \mathcal{N}_{Y}(\overline{y}) suchthat

W\in \mathcal{N}_{X}^{u}(G(y)) \forall y\in Uである。

(ii) G が \overline{y} \in Y でlower‐continuous であるとは、 \forall W \in \mathcal{N}_{x}^{l}(G(\overline{y}) , \exists U \in \mathcal{N}_{Y}(\overline{y}) suchthat

W\in \mathcal{N}_{X}^{l}(G(y)) \forall y\in Uである。

\forall\overline{y}\in Y で成り立つとき、それぞれ単に upper‐ continuous, lower‐ continuous と呼ぶ。

3(\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} の下半連続性
集合値写像の値域 (制約集合の空間) が \mathbb{R}^{n} である場合、集合値写像とその補集合値写像の連続性について次の対称性がいえる。

命題3.1 (補集合値写像の連続性) G を Y 上の集合値写像とする。
(i) G が \overline{y} でupper‐continuous ならば、 G^{c} は \overline{y} でlower‐continuous である。

(ii) G を開凸値な集合値写像で、 Y\rightar ow 2^{\mathbb{R}^{\mathrm{n} }\backslash \{\emptyset\} とする。このとき、 G が \overline{y}\in Y で有界値かつ lower‐continuous ならば、 G^{c} は \overline{y} でupper‐continuous である。
この命題3.1の(ii) を利用して次の定理が得られる。

定理3.2 ( (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} の最適解の下半連続性 (齋藤、木村、荒谷) ) (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} において、 f が下半連続、 G_{1} がupper‐continuous (かつ閉値) 、 G_{2} がlower‐continuous かつ有界 (開凸)値、 G\neq\emptyset ならば、 \overline{ $\phi$}\circ G は Y 上で下半連続。
[1 , 5 ], g(y) := e^{y}, G_{2}(g(y)) :=例3 3 (定理3.2の Y=\mathbb{R}, n=1 のときの例) G_{1}(y)]\displaystyle \max(2_{\dot{0}}4-2g(y)) , 4+g(y)[, f(x) :=(x-4)^{2} について、\cdot:=\displaystyle \min\{f(x) |x\in G(y) :=G_{1}(y)\backslash G_{2}\}124を考える。制約条件は定区間 G_{1}=[0 , 5 ] の点4を中心に時間 y とともに虫食いが広がるよ
うな変化をする (図1) 。
このとき、 G_{1}, G_{2}, f は定理3.2の仮定を十分に満たしており、最適値\overline{ $\phi$}(G(y))=\left{begin{ary}l e^{2y}\leq0\ 4mathr{o}\mathr{}\mathr{}\mathr{e}\mathr{}\mathr{w}\mathr{i}\mathr{s}\mathr{e} \nd{ary}\ight.

は下半連続関数となる。

ここで、上の例の9を 9(y) :=y-\lfloor y\rfloorは床関数) に置き換えてみる。 G_{2} は y の増加による広がりを下半連続 (不連続) にリセットし、周期的な変化をする。このとき、 G_{2}はlower‐continuous 集合値写像であるが、 f の最適値

\overline{ $\phi$}(G(y))=g(y)^{2}
は ( g(y) が下半連続なので) やはり下半連続となっていることがわかる。

図1: 例3.3の様子

4

下半連続性の保証と利用
本節では前節の定理3.2の周辺について、1 . 仮定の連続性がどのようなときに現れるか2. 定理3.2から導かれる最適解の存在定理の二つを紹介する。

4. 1

連続関数の逆写像とupper‐continuouity について

G_{1} の 「 \mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}‐continuous (かつ閉値) 」 という条件について見る。集合値写像の upper‐continuity と関数の連続性を結ぶ次の命題がある。

命題4.1 ベクトル値写像 v:Y\rightarrow \mathbb{R}^{n} について、vがコンパクト集合 D\subset Y 上で連続ならば、逆写像 v^{-1} は v(\mathrm{D}) 上で upper‐continuous である。ただし、任意の x \in v(\mathrm{D}) に対して v^{-1}(x) :=\{y\in Y|v(y)=x\} とする。

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証明

(ここでは開近傍族 \mathcal{N}_{Y}^{u} を D についての相対位相の開近傍族として扱う。) \foral \overline{x} \inv(D) , W \in \mathcal{N}_{Y}^{u}(v^{-1}(\overline{x}) について、 D\backslash W はコンパクト集合である。 D\backslash W=\emptyset ならばD\subset W は明らかである。

D\backslash W\neq\emptyset のとき、 $\epsilon$ := \displaystyle \frac{1}{2}\min_{y\in D\backslash W}\Vert\overline{x}-v(y)\Vert >0 がとれる。 \overline{x} の $\epsilon$‐近傍 U:=\{x\inv(D) | \Vert\overline{x}-x\Vert < $\epsilon$\} をとると、 U\in \mathcal{N}_{\mathbb{R}^{n} (勾かつ W\in \mathcal{N}_{Y}^{u}(v^{-1}(x)) (\forall x\in U) である。なぜならば、 \forall x\in U, y\in v^{-1}(x) について、 v(y)=x であり、\Vert\overline{x}-v(y)\Vert= \Vert\overline{x}-x\Vert< $\epsilon$<\displaystyle \min_{z\in D\backslash W}\Vert\overline{x}-v(z)\Vertであるため、 y\not\in D\backslash W 、すなわち y\in W 。したがって、 v^{-1}(x) \subset W (\forall x\in U) 。
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このことと定理3.2においては G_{1} に凸値性を必要としないことから、連続なベクトル値写像の逆写像を G_{1} として用いても下半連続性が保証されることがわかる。(連続写像において、一点集合は閉集合であるため逆像は閉集合になるため閉値性も保証される。)
つまり、(\mathrm{P})_{y}\displaystyle \min f(x)subject to v(x) =yx\not\in G_{2}(y)ただし、目的関数 f:\mathbb{R}^{n}\rightar ow \mathbb{R} 、制約写像 v:\mathbb{R}^{n}\rightarrow Y かつ連続、制約集合値写像 G2: Y\rightarrow 2^{\mathbb{R}^{n} 、G_{2} () :開凸集合を一般形に持つ問題 (P)“について、 f と G_{2} が定理3.2の条件を満たせば、同定理より最適値の下半連続性を導出できる。

なお、関数の逆写像は一般に lower‐continuous 性をもたない (図2) 。

図2: 単純な連続関数とその逆写像のグラフ

4.2(\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} の最適解の存在定理

最後に、定理3.2を利用して (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} の最適解の存在定理を紹介する。

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定理4.2 ( (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} の解の存在) (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} に対して定理3.2と同様の条件を仮定する。さらに集合値写像 G の定義域 D\subset Y がコンパクトかつ G_{1} () が有界集合ならば、\displaystyle\min_{y\inD}\{(\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P} 九の最適値} \in \mathbb{R}である。

即ち、定義域 Y がコンパクトで G もコンパクトかつ \overline{ $\phi$}\circ G が下半連続ならば最適解が存在する、という定理である。

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おわりに
本研究では、制御 DC 計画問題 (\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P})_{y} について、最適値の下半連続性を述べた定理3.2の周辺を考察した。また、仮定となる制約集合値写像の upper‐continuouiy と連続関数の逆写像との関連性を示し、等式制約を持つ差集合問題 (\mathrm{P})_{y} への適用可能性を示し、また導かれた下半連続性の利用先として、解の存在定理を示した。

参考文献[1] R. Horst, P. M. Pardalos, N. V. Thoai, Introduction to Global 0ptimization 2ndEdition, Springer, Dordrecht, 2000.

[2] A. A. Khan, C. Tammer, C. Zalinescu, Set‐valued optimization, An introduction withapplications, Springer‐Verlags, Berlin Heidelberg, 2015.

[3] T. Lipp, S. Boyd, Variations and extension of the convex‐concave procedure, Opti‐
mization and Engineering, Springer, 2016.