数研

3章

1 次関数

単元14

教科書

₁ 次関数と方程式

P.88〜94

覚えよう！

2元1次方程式のグラフ

1a，b，cを定数とすると，2元1次方程式 ax+by=c のグラフは直線である。
a=0 の場合は，x軸に平行であり，b=0 の場合は，y軸に平行である。

2cy= b連立方程式とグラフ

ycbcaOx，yについての連立方程式の解は，それぞれの方程式のグラフの交点のx座標，y座標の組で表される。

チェック1 ₂ 元 ₁ 次方程式のグラフ
例題

方程式 5x+2y-10=0 のグラフをかきなさい。

y 5x+2y-10=05•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解55y について解くと，y=- x+5 だから，傾き - ，切片 5 のグラフをかく。
22〔別解〕5x+2y-10=0 は，x=0 のとき y=5，y=0 のとき x=2 だから，-52 点(0，5)，(2，0)を通る直線になる。

答⑴

x-y+2=0⑵-5右の図y3x+y-1=05-5⑶2x+3y+6=0⑷3x-2y=5次の方程式のグラフをかきなさい。
⑴

2y=4⑵

3x+15=0 y

3x+15=0⑴ yについて解くと，y=2 x がどんな値をとっても y=2 になるから，点(0，2)を通り，x 軸に平行な直線になる。

⑵ xについて解くと，x=-5 y がどんな値をとっても x=-5 になるから，-5⑴⑶y=5x=-1⑵⑷y5y+10=0

2x-14=0x右の図次の方程式のグラフをかきなさい。

確認問題 25O-5点(-5，0)を通り，y 軸に平行な直線になる。
答

2y=45•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解x5O-5

チェック2 x軸に平行な直線，y軸に平行な直線
例題

x5O

次の方程式のグラフをかきなさい。

確認問題 1xcx= a5-5O5x-5780066-0093_1_Keyワーク_数学_数研_2年_Q_3章.indd 782020/12/07 17:32

数研3章

1 次関数

チェック3 連立方程式とグラフ
例題

x+y=4……①2x-y=-1……②連立方程式の解を，グラフをかいて求めなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••x+y=4①をyについて解くと，y=-x+4

解

傾き -1 ，切片 4 のグラフになる。

y5②をyについて解くと，y=2x+1
傾き 2，切片 1 のグラフになる。

これらのグラフをかくと，交点の座標が(1，3)なので，解は x=1，y=3
答

確認問題 3⑴

次の連立方程式の解をグラフをかいて求めなさい。

3x+y=5yx-y=-1⑵5-52x-y=-1O5-5x=1，y=35x-53x+y=-5y

2x+3y=65x-5x5O-5-5〔O〕〔〕

チェック4 ₂ 直線の交点の座標
例題

2 直線 2x+3y=4，x-y+3=0 の交点の座標を求めなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2x+3y=4……①を解く。①+②*3 より，2x+3y= 4+) 3x-3y=-9
5x=-5x=-1
x=-1 を①に代入すると，2*(-1)+3y=4，y=2

連立方程式

解

x-y=-3……②

よって，交点の座標は(-1，2)
確認問題 4⑴答

次の問いに答えなさい。

右の図の 2 直線①，②の式を求めなさい。また，その式を連立方程式と②y(-1，2)①5して解き，交点の座標を求めなさい。

-5①の式〔〕

②の式〔〕

交点〔〕

⑵ 2 直線 x-2y=6，2x+y=2 の交点の座標を求めなさい。

5Ox-5〔〕
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3章

1 次関数

単元

教科書

₁ 次関数の利用

15

P.95〜101

覚えよう！

1

時間と道のりの関係を表すグラフ
・一定の速さで進むときのグラフは直線になる。

2・直線の傾きは速さを表す。速さが変わると折れ線

点の移動と面積¼APD の右の図で，A高さは点Ｐの位置によ・2 直線の交点は，出会う（追いこす）ことを表す。

DCCP
C

B

B P

Bって変わる。

チェック1 ₁ 次関数の利用

右のグラフは，弟が 8 時に家を出発し，歩いてA町まで行き，AＢ町 10000

町から自転車でB町に行ったときの時間を x 分，家からの道のり

y(m)

8000

を y m として，x と y の関係を表している。次の問いに答えなさい。

⑴

D A

底辺は AD で一定だが， Pになる。

例題

D A

6000

弟は家からA町まで，分速何 m で歩きましたか。

⑵ 8 時40分に，兄は分速 400m のバイクで家を出発し，弟を追いＡ町 4000
2000

かけた。このとき，弟に追いつく時刻をグラフをかいて求めなさい。また，追いつくのは家から何 m の地点か，求めなさい。

家

10O
(8時)

20 30

40 50

60

x(分)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴ 点(10，1000)を通るから，1000÷10=100(m/分)

解

Ｂ町 10000⑵ 兄は8時40分に出発したから，兄を表す直線は，点(40，0)を通る。

8000

また，分速 400m で進むから，直線の傾きは400となる。

6000

したがって，y=400x+b に x=40，y=0 を代入して解くと，0=400*40+b，b=-16000 より，y=400x-16000

Ａ町 4000
2000

このグラフをかき入れると，右の図のようになり，グラフの交点の座標は(60，8000)である。

よって，9 時に家から 8000m の地点で追いつく。

家〔別解〕グラフの交点を求めるときは，2 つの直線の式を連立方
y=400x-16000

答

確認問題 1⑴

分速 100m

妹が午前 9 時に家を出発し，自転車でA町まで行き，A町からは歩いてＢ町へ行った。右のグラフは，妹が家を出発してからＢ町につくまでの時間と道のりの関係を表したものである。このとき，⑵
Ｂ町 8
Ａ町 64⑴2

妹は，家からA町まで分速何 m で進んだか求めなさい。
家⑵〕

時刻… 9 時，地点… 8000m

y (km)

次の問いに答えなさい。

〔30 404000
より，点(40，0)と，その10点から右へ10，上へ4000進んだ点を通る。

弟のA町からＢ町までの式
兄の式

10 20O(8時)y=400x-16000
x50 60(分)傾き 400=程式として解き，x，y を求めることもできる。
y=200x-4000y(m)O10(9時)2030

40x (分)

午前 9 時15分に，兄が時速 21km の自転車で家を出発し，妹を追いかけた。兄が妹に追いつく時刻をグラフにかいて求めなさい。また，追いつくのは家から何 km の地点か，求めなさい。

時刻〔〕 地点〔〕

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3章

1 次関数

チェック2 点の移動と面積
例題

右のような長方形 ABCD の周上を，点Pは，毎秒 1 cm の速さで，Aか らB，Cを 通 っ てDま で 移 動 す る。 点PがAを 出 発 し て から x 秒後の¼APD の面積を y cm2 とするとき，次の問いに答えな
さい。

点Pが次の辺上にあるとき，それぞれ x と y の関係を表す式⑴と x の変域(□≦x≦□)を求めなさい。

①⑵⑶

辺 AB 上②

辺 BC 上ADPP 3 cmP

B8 cm

C

辺 CD 上③¼APD の面積の変化のようすをグラフに表しなさい。

¼APD の面積が 8 cm2 となるのは，点PがAを出発してから何秒後ですか。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴ 点ＰがAと重なるとき x=0，Ｂと重なるとき x=3，Ｃと重なるとき x=3+8=11，Ｄと重なるとき

解x=11+3=14となる。

11① y= *AD*AP と表せ，AD=8，AP=x より，y= *8*x，y=4x2
2② y=

③ y=

1
1*AD*AB と表せ，AD=8，AB=3 より，y= *8*3，y=1222

また，x の変域は，3ôxô111*AD*PD と表せ，AD=8，PD=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=14-x より，21y= *8*(14-x)，y=-4x+56
2

また，x の変域は，11ôxô14⑵ ¼ABD=¼ACD=12cm2 だから，①は 2 点(0，0)，(3，12)を結ぶ線分，②は 2 点(3，12)，(11，12)を結ぶ線分，③は 2 点(11，12)，(14，0)を結ぶ線分で，右の図のようになる。

⑶ グラフより，y=8 となるのは，x=2 と x=12 の 2 回ある。
答⑴①⑵

確認問題 2

また，x の変域は，0ôxô3

y=4x，0ôxô3上の図⑶②y12845O

y=12，3ôxô112 秒後，12秒後

10x15

y=-4x+56，11ôxô14③右 の 図 は，BC=6 cm，CA=4 cm， −C=90ßの 直 角 三 角 形 ABCAである。点Ｐは，辺 BC，CA 上を頂点ＢからAまで，毎秒 1 cm の速さで動く4 cm点である。点ＰがＢを出発してからx秒後の¼ABP の面積をycm2 として，次の問いに答えなさい。
⑴

点Ｐが辺 BC，CA 上にあるとき，それぞれyをxの式で表しなさい。

BCP6 cm

また，x の変域(□ôxô□)も求めなさい。

BC 上…式〔〕 変域〔〕CA 上…式〔〕 変域〔〕⑵ ¼ABP の面積の変化のようすをグラフに表しなさい。

y12⑶¼ABP の面積が 6 cm2 となるのは，点ＰがＢを出発してから何秒後か。

1086すべて求めなさい。

4〔〕

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3章

1 次関数

練
単元₁₄
1，2

1 ２元１次方程式のグラフ⑴ 2x-y-4=0問

題

その⑷1y次の方程式のグラフをかきなさい。
⑵⑶ 4y=12習

x-2y+2=05-5

3x-6=0x5O-5

単元₁₄
12 ２元１次方程式のグラフ
x y+ =12 4⑴y次の方程式のグラフをかきなさい。
x y⑵
- =1
3 25-5x5O-5

単元₁₄
33 連立方程式とグラフ
x+y=5y次の連立方程式の解を，グラフをかいて求めなさい。

5-x+2y=-8-5x5O-5〔
単元₁₄44 ２直線の交点の座標⑴⑵〕

y次の問いに答えなさい。

5右の図の直線①〜③の式を求めなさい。

①〔〕

②〔〕

③〔〕

〔〕

直線①，②の交点の座標を求めなさい。

-5③

①5O

②x-582

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解くためのヒントがあります。

3章

練ヒントで確認！

1 １次関数とみなすこと

習

問

題

右の表は，あるばねにxg のおもりを下げたときのばねの長さをycm として，対応するxとyの値の関係を調べた

x(g)

y(cm)

04.0

105.9

1 次関数

その

22030

40

8.3 10.2 12.0

ものである。図は，xとyの対応する点を表したものである。これについて，次の問いに答えなさい。
⑴

14

xとyの関係を表すグラフが2点(0，4)，とみなして考えることがある。

4⑴をもとに，50g のおもりを下げたときのば

2 １次関数のグラフの利用

とき，yはxの1次関数6〕2ねの長さを求めなさい。
単元₁₅1

ぼ一直線上に並んでいる8さい。

〔xとyの対応する点がほ10をかき入れなさい。また，yをxの式で表しな⑵

ヒント

12(40，12)を通る直線であるとして，そのグラフ式〔y(cm)〕O

10 20

Aさんは，家から 10000m 離れ

30 40

た図書館に行き，用事をすませて家に帰った。また，弟は， 10000y(m)50x (g)

Aさんが家を出発してから10分後に，同じ道を通って図書館に行った。右の図は，Aさんが出発してからx分後に，家からym の地点にいるとして，Aさんのようすをグラフに表5000したものである。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴

グラフから，Aさんが移動するときの速さを求めなさい。
O50

80

130x(分)〔⑵〕

弟は，時速 4km で移動する。このとき，弟が家を出発してから図書館に着くまでの時間と道のりの関係を表すグラフをかき入れなさい。

⑶ 2人が出会ったのは，Aさんが家を出発してから何分後で，家から何ｍの地点か求めなさい。

時間〔単元₁₅23 点の移動と面積〕 地点〔

右の図のような1辺の長さが6cm の正方形 ABCD があり，辺 CD〕
ADの中点をＭとする。点Ｐは，正方形 ABCD の周上を毎秒1cm の速さで，AからＢを通ってＣまで移動する。ＰがAを出発してからx秒後の ¼APM の面積をycm2 とするとき，次の問いに答えなさい。
⑴

次のxの変域に対して，yをxの式で表しなさい。

0ôxô6〔MP
B6 cmC〕 6ôxô12〔〕〔〕⑵ y=9 となるのは，点ＰがAを出発してから2回ある。何秒後と何秒後か求めなさい。

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3章

1 次関数

Key プラス

その1

1 次の問いに答えなさい。

⑴ 2つの関数 y=ax+6 と y=2x-6 のグラフがx軸上で交わるとき，aの値を求めなさい。

〔〕

a〔〔〕 b〕

a〔〔〕 b〕⑵ 2直線 -2x+3y=a，x+by=2 が点(3，1)で交わるとき，a，bの値を求めなさい。

2直線 ax+by=8，bx+ay=7 が点(2，3)で交わるとき，a，bの値を求めなさい。

⑶

直線 ax+y=2 が2直線 2x-y=5，x+2y=10 の交点を通るとき，aの値を求めなさい。

⑷〔

2 次の連立方程式の解はどうなるか，グラフをかいて考えなさい。
⑴

3x-y=2⑵

6x-2y=42x+y=2〕

y54x+2y=-2-55Ox-5〔〕〔

13 右の図の直線¾，mの方程式は，¾：y=2x+6，m：y= 2 x-3 である。

〕
y次の問いに答えなさい。
⑴¾

B

直線¾，mの交点Aの座標を求めなさい。

mxO

〔⑵〕

AC

直線¾，mとy軸との交点をそれぞれＢ，Ｃとするとき，¼ABC の面積を求めなさい。

〔⑶〕

直線¾上で，点A，Ｂの間に点Ｄをとる。¼ADC の面積が18になる点Ｄの座標を求めなさい。

〔〕

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3章

Key プラス
単元₁₅2

その1 右の長方形の縦，横の長さは，それぞれ9cm，12cm であり，点ＰはA12cmA

1 次関数

2Dを出発して，毎秒3cm の速さでこの長方形の辺上をＢ，Ｃ，Ｄの順にＤまで動く。ＰがAを出発してからx秒後の ¼APD の面積をycm2 として，次⑴点Ｐが辺 AB 上を動くときについて答えなさい。
①②③xの変域(□ôxô□)を求めなさい。

B

AD を底辺としたときの ¼APD の高さをxの式で表しなさい。
yをxの式で表しなさい。

⑵ 点Ｐが辺 CD 上を動くときについて，⑴の①〜③と同じものを答えなさい。
①〔〕

②〔〕

54y(cm2)

C〔〕〔〕〔〕36〕 18③〔⑶

9 cmPの問いに答えなさい。

点ＰがAからＤまで動くときのxとyの関係をグラフに表しなさい。

x10 (秒)

5O

2 右の図1のように，水が 30Ｌ入っている水そうがある。この水そうに，A管から毎分aＬの割合で水を入れ続ける。また，Ｂ管は，水そう内の水の量が 80Ｌに

図1

Ａ管なると開いて，毎分bＬの割合で排水し，水の量が減って 60Ｌになると閉じるようになっている。

Ｂ管

図2のグラフは，A管から水を入れ始めてからの時間x分と水そう内の水の量yＬの関係を表したものである。

y（L）
80

このとき，次の問いに答えなさい。
⑴

Ｂ管が最初に開いたのは，A管から水を入れ始めて何分後か求めなさい。

⑵ a，bの値を求めなさい。
a〔
⑶

〔〕 b〔

図260〕

3010〕 O20x（分）A管から水を入れ始めて20分たってから，その後ふたたびＢ管が開くまでの間のxとyの関係を，式に表しなさい。

⑷

〔〕

〔〕

A管から水を入れ始めてから1時間の間に，Ｂ管は何回開くか求めなさい。

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