フラクタル図形による正方形二面体の展開図とタイル張りの関係
指導教官：竹尾根岸 伸江

はじめに定義く平面をうめることができるとき，タイル張りという．
タイル張りについては，大きさの異なる 種類の長方形によるタイル張り，フラクタル図形によるタイル張りなどいろいろな研究がなされている．
また，最近では多面体の展開図の決定問題   が研究されているが， ではこの問題にタイル張りの理 上におけるコンパクト集合  と正方形二面に対し，次の  を考える．
を適当に折りたたむことにより，重なりも隙間も無く を覆う．
の境界はジョルダン閉曲線である．
 のみを満たすとき を正方形二面体 の準展開図といい，   を満たすとき を正方形二面体の展開図ということにする．
体

同じ図形を平行移動して平面上に並べて重なりもな

富貴子





ここではタイル張りの理論を使って正方形二面体の論を適用して，正方形二面体の展開図になるタイル張展開図になるかどうかを考える．どのような条件のとりの条件を求める研究がなされている．
そこで本研究では， で求められた正方形二面体のきコンパクト集合

 が正方形二面体の展開図になるか展開図になる条件に新たな場合を追加し条件を求めた．

を調べ，次の定理を得た．

さらに，ある正方形二面体の展開図の像もまた展開図定理 になる条件についても調べた．



タイル張りの整数行列と    

     に対して，  
         









          子  に属する任意の       に対し， 
と   は内点を共有せず，  が平面をÛ 覆うことができるとき， は  によりタイル張り可定 理 の整数行列

と は

       て，とと

 

 に対し

のように定義されているとする．このとき，の固有値の絶対値が より大きい．
の元が一意に表現されている．
ならば，
 はタイル張りできる．

Û    で定義され， は  でタイル張り可能とし，次の（ または  が成り立つ．

 の面積が または である
 の面積が  のとき，   





能という．また，タイル張りに関して次の定理が知られている．

    であるの整数行列と    に対して， はそ

れぞれと定義する．このとき， がコンパクト集合となり，格   

いずれかの または である または で，さらに でタイル張り可能である
が ののとき の面 
積は であり，以下のようにして正方形に沿って折りたたむと正方形二面体になる．

例）

または



タイル張りと展開図
正方形二面体の展開図と準展開図について，次のように定義する  ．

表裏定理 を証明するために次の命題が必要である．

命題    であるの整数行列
 に対して，と 
お 
で定義されているに対し はによびよりタイル張り可能とする．
このとき， は中心に関して点対称である．

 

命題 

点対称な平面の部分集合に対し，の を考える 以下のいずれかの条件〜  を満たすならば， が  でタイル張り可能であるとき正方形  の  頂点はどれもの内点ではない．
  で，正方形  は             を頂点とする正方形と中心を原点とした座標系する．

 が準展開図になる条件として定理  を得た．
定理  は定理  の  と    の仮定を満たすとする．このとき， を点対称であり， でタイル張り可能な正方形二面体の準展開図とす  
ると，
 に対し帰納的に        と置くならば，  は正方形二面体の準展開図となる．
まず

さらに，展開図になる条件として次の定理を得た．

 は定理  と同じ仮定を満たすとし， を点対称であり， でタイル張り可能な正方形二面体の展開図とする さらに  は連結集合で   の位相次元は とする．
  
このとき，
 に対し      は正方形二面体の展開図と定理 なる．

    で，正方形  は  まとめと今後の課題 
今回，タイル張り出来るフラクタル図形が正方形二         面体になる場合について， で得た定理に  の面積   を頂点とする正方形とする．
が  になる場合を追加した． の面積が  のとき，によって正方形二面体の展開図にならないときがある    で ，正 方 形  は が，面積が または のときも含めて正方形二面体の 展開図になるには で定義された  に依存せず，          がどの  でタイル張り出来るかで決まることが分かった．定理 を頂点とする正方形とする．と定理 の仮定を満たす場合でも

の      で，正方形  は がまだ証明が出来ていない．また，定理  において  
 が展開図ならば帰納的に  も展開図になる条件は
        あるのか調べていきたい．
    を頂点とする正方形とする．
参考文献
    で ，正 方 形  は            を頂点とする正方形とする．

では，定理  が準展開図になりそうだ  
             ，    ， ! ! ．

           ，"       ，展開図の像が展開図になるかの固有値の絶対値がより大で，  ，      のとき，   ，       を考える．このときで定義される  は      を満たし，また，任意のコンパクト集合  に対し，        とおくと，   
 上の写像である ．

 を正方形二面体の展開図としたとき，何回かの写像を施したときの  もまた正方形二面体のそこで，展開図になっているかどうかを調べた．

!!  # "$%& "' $"' $  % $"" $& (  )．
  * +,$-&"，     ，. /0 )-  12 ， 3 33．
 4 5"，    ， "!"  )- 11 ， 1 (．
 神尾 奈央，フラクタル図形によるタイル張りと正方形二面体の展開図， お茶の水女子大学 修士
論文 3 ．