滴の融合：表面張力が駆動する流体動力学の一例として
Keyword: スケーリング現象論
1.

はじめに最近，アメリカ物理学会の流体部門の年会は発表件数の程度エネルギーが減少する．その分は粘性散逸されるか，あるいは運動エネルギーになる．

増加が著しい．2012 年 10 月の同年会では 30 近くのパラレ

ネックが接触した直後は運動している領域が微小である

ルセッションが組まれ，多くの参加者が聴きたい講演を求ため粘性散逸が支配的になる．初期には滴は殆ど点接触をめて次から次へと会場を走り回っていた．この中でもしていて長さスケールは r しかないので，単位時間あたりDrops, Bubbles 関連のセッションは大人気で多くの立ち見

2 3には Eη＝η（V/r）
r 程度になる．ただし，η は粘性係数，Vが出ていた．このように滴やバブルの物理は世界的にみるはネックの成長速度で V〜r/t の程度であり，単位時間・単と現代物理学のホットなテーマの一つである．

位体積当たりの粘性散逸が （η V/r）2 にスケールすることを滴やバブルの物理がこのように盛んになっている理由には，解析理論が着実に進んできていること，流体物理学者使った．
その後，運動する部分が大きくなってきてネックができ，が柔軟にスケーリング理論を受け入れてきていること，そ運動エネルギーも効いてくる．この時，運動している部分して，高速カメラの普及などがある．また，滴やバブルのはネックの部分であるが，ネックの長さは滴の半径を R と動力学の理解は，生物学における細胞や天文学における銀すると r 2/R 程度となる．従って，液体密度を ρ とすると単河団の融合や分裂などへの関連等アカデミックな側面もさ

2 2
位時間あたりの運動エネルギー変化は Eρ＝ρr（r/R）V 2/t 程ることながら，幅広い応用にも結び付いている．今日，少度である．

量の液体の制御に基づいた工業的応用が幅広い分野で行わ以上の議論から，融合の初期は表面エネルギー減少分がれている．例えば，インクジェット印刷技術は，文字の印粘性に散逸されるという理解が得られ，Eγ〜Eη から初期に刷を超えた応用に展開し，DNA チップの製造などを通し，は r 〜γt/η が予言される（実は Eggers らはこの議論に log 補

医学，生物，製薬，化学の分野で重要な応用技術となっている．つまり，上記のような活況の背景には工学系や企業の研究者たちの関心の高まりも反映している．本稿では，厳しいページ制限の中，数あるトピックスの中から滴の融合に焦点を絞って，この分野フレーバーを分野外の研究者にも親しみやすい形で紹介する．

2.

滴の融合

雨粒が水たまりに落ちると，滴は水たまりに同化していく．この現象は，基本的には，液滴が液槽と同化することで表面エネルギー（単位面積当たり γ とする）が下がるために生じる．この融合現象を，液滴が初速度を持たないように工夫して，高速カメラで観察したのが図 1 の連続写真
1）である．
ここでは，2 つのピペットの先に滴を保持してそれらを接触させることで滴が融合を起こしている．この連続写真から，二つの滴の間に首（ネック）のような連結部分ができてその半径が増大していく様子が分かる．
理論的に詳細な予言は 1999 年に Eggers らによってなされているが，ここでは次元解析的にスケーリング現象理論を構築してみよう．駆動力は表面張力であり，これに抗するのが慣性と粘性である．単位時間当たりのエネルギー変化を見積もってみよう．ネックの半径を r とすると，ネックの長さが短いときにはネックがができたことにより r2 程度，滴の表面積が減るので，単位時間あたりには Eγ＝γr 2/t2
©2014 日本物理学会

図 1 高速カメラで捉えた水滴の融合の瞬間．毎秒 11,200 コマで撮影．
下段左と右は，それぞれ粘性領域と慣性領域における実験と理論の一致をデータコラプスの形で示している．APS の許可を得て文献 1©2005 より転載．

日本物理学会誌

Vol. 69, No. 10, 2014

図 3 高い電場の下での液中液滴の融合（上段；低電場）と融合抑制（下段；高電場）の様子．左の図は実験の概念図．Macmillan Publishers Ltd.の許可を得て文献 3 ©2009 より転載．のだ．その結果，両方の動力学領域がきれいに交差することが図 2 のグラフのように一つの実験から捉えられた（rmin , S, η0 , ρ0 , τ は，上の r, γ, η, ρ, t に相当する）．
駆け足でさらに 2 つの関連研究に触れる．図 3 の上段に示したのは液中液滴の融合である．水と油を容器の中で相分離させ，水滴を上側の油の相に注入すると，重力によっ
図 2 水面に浮いた 2 次元的な油の滴の融合の様子を高速カメラで捉えたもの．約 1 ミリ秒ごとに撮影．下のグラフは粘性 ‒ 慣性クロスオーバーを捉えたグラフ．APS の許可を得て文献 2 ©2007 より転載．て降下し，やがて，その下にある水の相に出会って融合する．このとき，ある臨界値よりも強い電場をかけることによって水滴の融合が避けられることが示された．通常の融合ではネックが形成されるとその場所での液体圧力が周り正があることを示唆しているが，実験的にはいまだ確認さよりも低くなり，ますます液体がそこに流れ込むことで融れていない）．同様にして，後期には表面エネルギーが運合が進む．しかし，電場をかけると融合時に先端がとがる動エネルギーになり，Eγ〜Eρ から r〜（γR/ρ） t傾向を持つ（Taylor cone）ため，融合が始まった瞬間にネ1/4 1/2が予言さック内部の液体圧力が高くなる．このため，ネック部分かれる．
これらの法則が実は広い範囲で成り立つことを示したの

ら液体が流れ出し，滴は跳ね返されて融合が抑制される．3）が図 1 の下段のグラフである．その左では，水滴ではなくさらに，最近の研究 4）では，疑 2 次元の実験系を用いて，粘性の高い液体（シリコーン油）を使い，粘性領域を広げ動力学的スケーリング法則の次元クロスオーバー，ならびることで式 r 〜γt/η が成り立っていることを示している．に，同様の電場効果とそれによる自己相似な動力学が示さ

この式を滴の半径を R0 ，ネックのサイズを R と書き直しれている．て両辺を R0 で割って無次元化すると，τv＝ηR0 /γ を導入して R/R0〜t/τv と 書 け る．従 っ て，上 側 の R−t の グ ラ フ をR/R0−t/τv に軸を取り直すことで異なる実験条件で行った

3.

おわりに最後になるが，本稿で触れたのは冒頭に書いた活況のほデータが「一つの曲線」（ここでは直線だが）に乗ってくる．

んの一例にすぎない．本稿をきっかけにして，物理のフロ

図 1 の下段右側では，粘性の低い液体を使うことで，慣性ンティアの一つとして，表面張力・粘性・慣性そして重力領域を広げることで，式 r 〜（γR/ρ）1/4t1/2 が広く成り立つこが織りなす不思議で美しい滴やバブルの動力学に興味を持とを示している．この式も R0 で割って無次元化すると，っていただければ幸いである．

1/2
τi＝（ ρR30 /γ）を導入して R/R0〜（t/τi）1/2 と書ける．従って，上側の R−t のグラフが R/R0−（t/τi）1/2 と軸を取り直すことでデータが見事に「一つの曲線」上に集合する．
この二つの極限領域におけるネック半径 r が一致したときに両領域の交差が期待できる．この動力学のクロスオー
バーは，やや異なった実験系を使って明確に示された．そ2）の実験を示したのが図 2 である．
この実験では水面にある種の油（ドデカン等）を浮かべることで，偽 2 次元的な油の滴をつくった．醤油にラー油を混ぜた時の様子を思い浮かべてもらえばよい．そしてこれらの滴の融合を捉えた
現代物理のキーワード

滴の融合

参考文献
1）D. G. A. L. Aarts, H. N. W. Lekkerkerker, H. Guo, G. H. Wegdam and D.
Bonn: Phys. Rev. Lett. 95（2005）164503.
2）J. C. Burton and P. Taborek: Phys. Rev. Lett. 98（2007）224502.
3）W. D. Ristenpart, J. C. Bird, A. Belmonte, F. Dollar and H. A. Stone: Nature461（2009）377.
4）M. Yokota and K. Okumura: Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 108（2011）6395.

奥村

剛〈お茶の水女子大学大学院人間文化創成科学研究科

okumura@phys.ocha.ac.jp〉（2013 年 12 月 12 日原稿受付）
3©2014 日本物理学会