Maxima を使った流体力学基礎演習ノート

溝口純敏

http://http://www9.plala.or.jp/alcwitchery/
平成 24 年 6 月 5 日 初版
平成 25 年 2 月 17 日 第一回改訂
平成 25 年 12 月 17 日 第二回改訂
平成 26 年 11 月 15 日 第三回改訂
平成 30 年 1 月 10 日 第四回改訂
平成 30 年 10 月 10 日 第五回改訂

3目次
第 1 章 はじめに

1.1

11

主な記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第 2 章 基礎方程式

14

流体の特性

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1

2.1.1

流体の力学的平衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2気体の特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3

表面張力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

質量保存の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

運動方程式

2.4

流体要素表面に作用する力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5

流体要素表面に作用する応力と流体速度勾配との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6

Navier-Stokes の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7

Euler の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8

2.7.1 Euler の運動方程式 (回転動座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Bernoulli の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.1

Bernoulli の定理 (回転動座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8.2

気体に対する Bernoulli の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

速度ポッテンシャル. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10 質量保存の方程式 (ベクトル) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.11 Euler の運動方程式 (ベクトル) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.12 物体に作用する力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第 3 章 静止流体

3.1

3.2

3.3

37

流体の力学的平衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1

マノメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2

ゲートに作用する力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3

水タンクの底の球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.4

箱形浮体の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

動座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
直線加速中のタンクの水面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1
3.2.2

回転する水の水面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3

回転する U 字管の水位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

気体の特性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1

大気の圧力と高度の関係（温度一定）

3.3.2

大気の圧力と高度の関係（対流圏） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 4 章 Bernoulli の定理

4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4345

タンクの穴からの噴出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1

Torricelli の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2

くびれ係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3

円管より鉛直落下する水 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.4

円管より斜め上方へ放出した水 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4
4.1.5
4.1.6

側壁の穴からの噴出（液面積影響） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.7

柱状タンクの下端からの流出（液位と時間） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.8

半球タンクの下端からの流出（液位と時間） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.9

水時計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

側壁の穴からの噴出水の到達距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.10 下部開口部でつながった二つのタンクの液面変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.11 容器につめた気体が小さな穴から噴出
4.2

4.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

管路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1

ベンチュリ管 (Venturi tube) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2

断面積が不連続に急拡大・縮小する管路の損失 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.3

円管摩擦損失 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.4

貯水池を結ぶ分岐管路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.5

管路網の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.6

管路網の計算 (収束計算) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

管内非定常流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.1

一様な太さの管内非定常流れ

4.3.2

断面積がゆるやかに変化する管内非定常流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.3

タンク側壁につけた水平で一様な太さの管内非定常流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.4

管路内の水撃現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.5

一様な太さの U 字管の液体振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.6

断面積がゆるやかに変化する U 字管の液体振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4

回転動座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5

4.4.1 回転する円管 (遠心ポンプの原理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
せき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6

4.7

4.5.1

三角せき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.2

もぐりせき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

開水路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.1

ベルヌイの定理（開水路） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.2

一様・定常流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.3

流れのエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6.4

流れの運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.5

ゆるやかに水位が変化する流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.6

跳水現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.7

開水路水の過渡現象（ダムの崩壊モデル） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6.8

円形開水路の経済的な形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6.9

台形開水路の経済的な形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

漏洩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7.1

容器内圧力変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7.2

分子流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7.3

粘性流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7.4

Knudsen の半理論式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

第 5 章 2 次元完全流体

5.1

88

複素解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.1

2 次元速度ポッテンシャルと流れ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.2

複素演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.3

複素関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.4

Cauchy-Rieman の微分方程式の複素表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.1.5

Cauchy の積分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.6

Cauchy の積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5
留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.1.7
5.1.8

一様な流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.9

わき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.10 二重わき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.11 渦糸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.12 写像：角を曲がる流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.13 写像：平板・楕円変換 (Joukowski 変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.14 写像：折れ曲がり直線 (Schwarz-Christoﬀel の公式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.15 対数速度による多角形内外へ写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.16 円定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.17 Blasius の定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.18 Lagally の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2

数値解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.1
5.3

2 次元差分法 (流れ関数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

二次元完全流体の簡単な例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.1

特異点に作用する力 (Blasius の定理の例) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.2

一様流中のわき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3.3

一様流中のわき出しと吸い込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.4

一様流中の円柱まわりの流れ

5.3.5

一様流中の楕円柱まわりの流れ・作用力・運動エネルギー (Joukowski 変換) . . . . . . . . . 124

5.3.6

運動する楕円柱まわりの流体運動エネルギー (楕円座標変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3.7

平板をすぎる流れ (Joukowski 変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.8
5.3.9

円柱の外に置いたわき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

円柱の外に置いた二重わき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.10 一様流中に置かれた二つの円柱に作用する相互力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.11 写像：コ型の流路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3.12 写像：平行流路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.13 自由流線：平面壁のスリットから出る噴流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3.14 自由流線：Borda の吹き出し口 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.3.15 自由流線：死水をともなう流れに垂直な平板 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3.16 自由流線：平板に垂直にぶつかるジェット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3.17 二つの渦糸の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.18 直交する壁に置いた渦の動き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.19 円柱の外に置いた渦糸の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3.20 一様流中に置いた円柱の背後の渦対 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3.21 渦列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3.22 Karman 渦列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
第 6 章 3 次元完全流体

6.1

175

軸対称の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.1.1

速度ポッテンシャルの極座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.1.2

速度ポッテンシャルの円柱座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.1.3

流れ関数の極座標・円柱座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.1.4

軸対称流れの一般解（極座標表示） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.1.5

軸対称流れの一般解（円柱座標表示）

6.1.6

一様な流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.1.7

わき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.1.8

一様なわき出し分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.1.9

二重わき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.1.10 Kervin の球定理 (速度ポッテンシャル) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6
6.1.11 Weiss の球定理 (速度ポッテンシャル) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.1.12 Bulter の球定理 (流れ関数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.1.13 外部に特異点がある物体に作用する力. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.1.14 複素変換による流れ関数と流速の関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2

軸対称の流れの簡単な例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2.1

一様流中の半無限物体（わき出しによる） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2.2

一定速度で動く球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.2.3

一定速度で動く球 (複素変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.2.4

一様流中の球（球定理による） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.2.5

一様流中の球（二重わき出しによる）

6.2.6

球の外部にわき出しがある流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.2.7

球の外部に二重わき出しがある流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.2.8

一定速度で向かいあう２つの球の相互干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.2.9

一定速度で平行して動く２つの球の相互干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.2.10 回転楕円体 (複素変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2.11 楕円体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2.12 液中での大きい気泡の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
第 7 章 揚力

7.1

254

２次元翼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.1.1

Kutta-Joukowski の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.1.2

二次元翼に作用する揚力 (写像関数を用いた) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.1.3

二次元平板翼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.1.4

キャンバー・翼厚を有する二次元翼 (Joukowski 変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

7.1.5

薄翼理論 (フーリエ変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.1.6

平板翼・円弧翼・フラップの揚力特性 (薄翼理論を用いた) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.1.7

離散渦法による薄翼特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

7.1.8

薄翼理論 (積分方程式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

7.1.9

一様でない流れの中の翼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

7.1.10 翼列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.1.11 二次元翼の非定常運動 (Theodorsen の方法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.2

３次元翼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.2.1

7.3

7.4

わき出しと渦度による誘導速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.2.2

揚力線理論 (フーリエ変換) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

7.2.3

揚力面理論の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

7.2.4

揚力線理論 (プラントルの積分方程式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

7.2.5

翼が地面に及ぼす力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

プロペラ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

7.3.1

運動量理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

7.3.2

プロペラ翼素理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.3.3

プロペラと船体との干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

細長体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.4.1

細長体近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.4.2

縦方向の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

7.4.3

細長体に作用する横力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

7.4.4

細長い三角翼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

7
第 8 章 粘性流体

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

327
Navier-Stokes の式等まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.1.1

Navier-Stokes の式等 (x-y-z 座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8.1.2

Navier-Stokes の式等 (円柱座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

8.1.3

Navier-Stokes の式等 (極座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.1.4

渦度方程式 (x-y-z 座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.1.5

渦度方程式 (円柱座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

8.1.6

渦度方程式 (極座標系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

定常な一方向の流れ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

8.2.1

二枚の平板間の流れ (Couette Flow)

8.2.2

円管内流れ (Hagen-Poiseuille Theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

8.2.3

傾斜した板の上の流体層 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

8.2.4

二重円管間の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

8.2.5

楕円管内の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

8.2.6

矩形管内の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

8.2.7

回転する２円筒の中の流れ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

流れ関数を使った厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

8.3.1

細い管の先から流出するジェット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

8.3.2

二次元よどみ点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

8.3.3

三次元よどみ点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

8.3.4

二次元拡大縮小平面流路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

8.3.5

回転円盤による流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

レイノルズ数の小さい流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

8.4.1

潤滑の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

8.4.2

三次元軸対称の Stokes 流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

8.4.3

遅い一様流の中にある球のまわりの流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

8.4.4

遅い一様流中の球形の液滴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

レイノルズ数の大きい流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

8.5.1

境界層の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

8.5.2

柱状体の境界層の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.5.3

平板上の境界層 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.5.4

オリフィスからの二次元ジェット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

8.5.5

二次元物体後方の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

8.5.6

二次元くさび形の外部流れ (外部流速：U = xm U0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.5.7

斜航円柱まわりの粘性流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

8.5.8

境界層の運動量方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

8.5.9

運動量方程式の近似解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.5.10 運動量方程式の近似解法を用いた解析例（よどみ点、平板、円柱） . . . . . . . . . . . . . 438
8.5.11 運動量方程式の近似解法を用いた解析例（楕円、翼形状） . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
8.6

8.7

振動境界層

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

8.6.1

振動平板による流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

8.6.2

平行平板内での振動平板による流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

8.6.3

自由表面を有する振動平板による流れ

8.6.4

平行平板内での変動圧力勾配による流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

8.6.5
8.6.6

円管内での変動圧力勾配による流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

8.6.7振動する円柱に生じる定常流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

振動する円柱に作用する減衰力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

非定常な一方向の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

8.7.1

速度不連続な流れと静止流体中突然動き出した平板 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

8

8.8

8.9

8.7.2
8.7.3

静止流体中突然動き出した平板と静止平板の間の流体流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

8.7.4

二平板内の出発流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

8.7.5

円筒内静止流体で突然回転した円筒の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

8.7.6

渦糸の減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

8.7.7

自由表面に力が作用したときの流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

8.7.8

突然動き出した円柱まわりの粘性流れ

円管内の出発流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

渦度のある三次元軸対称流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

8.8.1

渦度表記の Euler の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

8.8.2

旋回流を有する定常軸対称流8.8.3

管内の旋回流の断面積変化による影響

8.8.4

外側の流速変化が渦の旋回流に及ぼす影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

地球の自転の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

8.9.1

地球の自転を考慮した海表面近くの流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

8.9.2

地球の自転を考慮した地面近くの大気の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

8.10 粘性流数値解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
8.10.1 渦度方程式を用いた二次元粘性流数値解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
第 9 章 表面波

9.1

9.2

9.3

9.1.1

三次元自由表面条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

9.1.2

一様流のある自由表面条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

二次元微小振幅進行波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

9.2.1

微小振幅波の速度ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.2.2位相速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

9.2.3

粒子運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

9.2.4

圧力変動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

9.2.5

波のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

9.2.6

群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

9.2.7

エネルギー速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

9.2.8

表面張力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

二次元波の簡単な例

9.3.1

9.4

9.5

9.6

529

自由表面条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

表面撹乱による二次元波の伝搬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

9.3.2

前進速度のある船の波と抵抗

9.3.3

前進速度のある没水二次元円柱による波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

9.3.4

周期的に変動するわき出し強さによる二次元波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

9.3.5

周期的に変動する二重わき出し強さによる二次元波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

9.3.6

二次元水中翼の水面影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

三次元微小振幅波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

9.4.1

三次元微小振幅波（xyz 座標）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

9.4.2

三次元微小振幅波（一様流）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

9.4.3

三次元微小振幅波（円柱座標） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

三次元波の簡単な例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

9.5.1

表面撹乱による軸対称波の伝搬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

9.5.2

船が起こす波紋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

9.5.3

前進速度のあるわき出しによる三次元波と造波抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

9.5.4

周期的に変動するわき出し強さによる三次元波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

定常波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

9.6.1

二次元定常波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

9.6.2

V 字断面水路の定常波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

9

9.7

9.6.3
9.6.4

直方体タンク内の定常波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

9.6.5

水平円筒タンクの液固有円周波数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

9.6.6

球形タンクの液固有円周波数

鉛直円筒タンク内の定常波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

着水衝撃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

9.7.1

二次元着水衝撃 (Karman の理論) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

9.7.2

二次元着水衝撃 (Wagnern の理論) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

9.7.3

二次元着水衝撃の数値シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

付 録 A 数学公式

652

A.1 時間微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
A.2 Gauss の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
A.3 Green の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
A.4 Transport Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
A.5 渦無し流れの運動エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
A.6

Parseval の等式

A.7
A.8

Riemann-Lebesgue の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
非常に多くの正弦波を積分範囲内に有する積分法 (Kelvin の方法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

A.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

数学公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

A.9.1

Hunkel 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

A.9.2

Hunkel の漸近級数初項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

A.9.3

第一種 Bessel 関数の積分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

A.9.4

Hunkel 関数の積分表示 (Heine の積分表示) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

A.9.5

Lipschitz の積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

A.9.6

b
a2 +b2 の積分表示aa2 +b2 の積分表示

A.9.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

付 録 B 座標変換

B.1 円柱座標系への変換

659. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

B.1.1 gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
B.1.2 divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
B.1.3 ∇2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
B.1.4 rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
B.1.5 Navier-Stokes の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
B.2 極座標系への変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
B.2.1 gradient(∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
B.2.2 divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
B.2.3 ∇2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
B.2.4 rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
B.2.5 Navier-Stokes の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
B.3 直交曲線座標系への座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
付 録 C Maxima によるベクトルとテンソル演算

685

C.1 ベクトルの表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
C.2 ベクトルの演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
C.2.1 和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
C.2.2 係数の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
C.2.3 ベクトル各要素同士の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
C.2.4 内積（スカラー積） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
C.2.5 内積（スカラー積）の分配法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

10
C.2.6 外積（ベクトル積） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
C.2.7 外積（ベクトル積）の分配法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
C.2.8 スカラー３重積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
C.2.9 ベクトル３重積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
C.2.10 ベクトルの座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
C.3 ベクトルの微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
C.3.1 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
C.3.2 gradient（傾き） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
C.3.3 divergence（発散） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
C.3.4 rotation（回転） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
C.3.5 depends 関数を使った微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
C.3.6 div(grad)),div(curl( )),curl(grad( )),curl(curl( )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
C.3.7 ∇ を使った演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
C.4 テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
C.4.1 テンソルの演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
C.4.2 テンソルの行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
C.4.3 二階テンソルの座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
C.4.4 テンソルの不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
C.4.5 主応力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
付 録 D よく使う Maxima の関数

698

D.1 wxMaxima を使用した演習の進め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
D.2 宣言文 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
D.3 数式操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
D.4 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
D.5 微分・積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
D.6 複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
D.7 極限・級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
D.8 プログラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
D.9 その他 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
D.10 グラフ作成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

11

第 1 章 はじめに
最近は、インターネットや電子辞書・電子書籍で多く

2) 流体力学の基本の理解：近年、数値流体力学の進の知識を容易に得ることができ、音声認識システムで、歩が目覚ましく、多分野で大きな成果をあげてい話したことを文章化できたり、翻訳できます。そして、ます。数値流体力学では基礎方程式を使用していこれらが可能な携帯情報端末が一般に使用される時代とるため、多くの分野・形状に活用できます。また、なっています。また、人工知能の発展は目を見張るもの

パソコンでも限度はあるものの任意形状まわりのがあり、将棋や囲碁の分野ではプロ棋士を負かすほどに流場を求めることができます。しかし、いわば数なっています。数式処理システムでは因数分解、微分、値実験であり、その特性を包括的に知ることはで積分、微分方程式など、多くの数式処理がパーソナルコ

きない。解析的な流体力学を学ぶ意義は、流体力

ンピューターで容易に可能になっています。フリーの数学の基本の理解であり、数値流体力学に対して、

式処理ソフト：Maxima も公開され、多くの人がこれを多くの例題で得られた知識、問題解決能力で、数使用していると思われます。このようなすばらしいシス

値解析結果の大まかな性質を予測でき、計算結果

テムが多く存在する時代では、これらを使いこなし、各の評価、問題解決に大きな助けとなることと思い人が求める深い知恵を得る活動に多くの時間を割くこます。

とがよいと思います。そこで著者は数式処理システムを使って、多くの例題を解き、問題の本質を学ぶことが大切と考え、既に、物理数学、力学などについて、多くの例題を Maxima で解いています。
ここでは流体力学の種々の基礎的例題について、演習ノートとしてまとめました。詳細な解説は一切行っていません。この内容は簡単な説明と入力、出力のみをまとめたものです。解説については、世の中にすばらしい解説書が多くあるので、それを参考にしていただきたい。

1) Maxima を使った効率的な問題解決：問題解決能力を高めるには、できる限り多くのよい問題を解くことを経験し、現象を理解するとともに、問題解決のプロセスを理解することが重要と言われています 35) 。昔に比べ、多くのことが明らかになり、分野も広がっている世の中で、全てを深く、手計算で多くの問題を経験することは現実的ではありません。ここに Maxima を活用して、多くの例
題を効率よく解き、理解を深め、経験を積むこと

3) 定性的性能把握：数値流体力学の数値解析結果から、物体のまわりの流場や物体に作用する力なども得られますが、数値実験であり、その条件のみの結果であり、・・の流速に比例するや・・の距離の？乗に比例するなどの定性的性能は得られません。解析的な流体力学では、解けている例題は限られているものの、流体の特性が包括的に得られるため、これらの知識を持っていれば、設計にも活用でき、全体の性能を予測できます。

4) 粘性流体をまとめるにあたり：数値解析で、任意物体周りの粘性流が高精度で得られるようになり、粘性流の解析解を学ぶ意義が薄れてきていると思われます。しかし、解析解の例題で、種々の粘性流の特徴を理解することができると考え、粘性流体の章をまとめました。ここでは非圧縮性の層流のみを扱い、流れに特徴があるものを中心にまとめました。

ができます。例えば、運動方程式の導出やその円
柱座標系や極座標系への変換では、全て手計算で本ノートは wxMaxima 13.04.2(Maxima-5.31.2) を使は気が遠くなるような作業であり、間違いがない

用してまとめました。これは会話形式で処理を実行でか、何回もチェックしながら進めなくてはいけな

き、数式出力結果を Tex 出力・コピーができるとともい。しかし、Maxima などの数式処理システムをに、グラフも出力・コピーできるので、大変便利です。ま用いれば、基本的な考え方をプログラムするだけた、これらを有効活用できる文書作成ソフト：LATEX 2εで、後の大変な式の展開は計算機が実行してくれを使用し、本ノートをまとめました。

ます。ここでは問題解決のプロセスを明らかにす以下では Maxima の入力部分を枠で囲って表し、出力ることが要求され、効率よく問題解決能力を高め

結果をその後に数式で示しています。また、小文字は関る訓練が行えると思います。

数、変数を、大文字は定数を表すのに統一して使ってい∂ます。Maxima の微分の出力で、例えば本来、∂xと記述

12されるべきが、 ddx と出力されます。ここでは Maximaの出力通りに記述しているので誤解の無いように願います。また、Maxima のプログラムに統一性を欠いたり、例題の選定・記述などで不十分なところもありますが、
まずは、まとめた結果を早期に公表し、皆様に供することとしたので、ご容赦願います。
本ノートをまとめるにあたり、参考文献に掲げた多くの著書を参考にしました。これらの著書をまとめられた著者に感謝します。また、これをまとめるのに活用した Maxima および LATEX 2ε の開発や普及に携わられた方々に感謝します。

平成 25 年 2 月 第一回改訂
年6月5日

揚力問題の充実 平成 24

初版では、「第 7 章翼」としてまとめていたが、これに、離散渦法による薄翼特性、プロペラ、細長体を追加し、「第 7 章 揚力」としてまとめた。
平成 25 年 12 月 第二回改訂 「第 8 章「付録 B

粘性流体」、

座標変換」で「変形速度テンソル」の節を追加した。また、全般で読みやすいように一部変更した。
平成 26 年 10 月 第三回改訂 「第 9 章 表面波」、「第四章

Bernoulli の定理」の 4.3 管内非定常流れ

で「管内の水撃現象」、4.6 開水路で「開水路の過渡現象 (ダムの崩壊モデル）」を追加した。また、「付録 A

数学公式」で「第 9 章

表面波」で必要な公式を追加した。
平成 30 年 1 月

第四回改訂 「2.10 質量保存の方程式(ベクトル)」、「2.11 Euler の運動方程式 (ベクトル)」、「2.12 物体に作用する力」、「4.7 漏洩 」、「6.2.11 楕円体 」、「B.3 直交曲線座標系への座標
変換 」、「C.3.7 ∇を使った演算 」 を追加した。
平成 30 年 10 月

第五回改訂 「7.1.8 薄翼理論 (積分方

程式)」、
「7.1.11 二次元翼の非定常運動 (Theodorsenの方法)」、「7.2.3 揚力面理論の定式化」、「7.2.4 揚力線理論 (プラントルの積分方程式) 」を追加した。

1.1. 主な記号

1.1

13

主な記号
x, y, z ：座標−→→→
ex , −
ey , −
ez ：xyz 座標の単位ベクトル−→
V ：流速のベクトル表示
u, v, w

：流速の xyz 座標コンポネント

ωx , ω y , ω z：渦度の xyz 座標コンポネント

r, θ, z ：円柱座標−→→→
er , −eθ , −
ez ：円柱座標の単位ベクトル
vr , v θ , v z：流速の円柱座標コンポネント

ωr , ωθ , ωz

：渦度の円柱座標コンポネント

θ, ϕ, r ：極座標−→→→eθ , −eϕ , −
er ：極柱座標の単位ベクトルvθ , v ϕ , v r：流速の極柱座標コンポネント

ρ ：密度µ ：粘性係数ν：動粘性係数g：重力加速度p：圧力Φ ：速度ポテンシャル
Ψ ：流れ関数m：わき出しの強さΓ ：渦循環強さ−→
F ：物体力−→P ：流体要素表面に作用する力


τzx

T


σx

τxy

τxy
σy


τyz 

τzx

τyz

σz

σx1 , σy1 , σz1


e11

e21
e31

：運動エネルギー：流体要素表面に作用する応力マトリックス：流体要素表面に作用する応力で圧力：p を除いた応力

σ1 , σ 2 , σ 3e12 e13e22 e23 e32 e33：応力マトリックスの主応力

e1 , e 2 , e 3：変形速度テンソルの主方向：変形速度テンソル

14

第2章

基礎方程式

2.1

流体の特性

2.1.2

2.1.1

流体の力学的平衡

気体の状態式は下記となる。
/* 状態式 */EQST:p*V=m*R/M*T;

体積：V の中にある流体に作用する全体積力は、流−→体密度：ρ、単位質量あたりに作用する体積力： F とす
ると、

∫∫∫

気体の特性

mRT
= m RM T(2.1.3)M
ここで、圧力：p、 体積：V 、気体の質量：m、 気体定
pV =

−
→
ρ F dV

数：R、 1 モルの質量：M 、温度（絶対温度） ：T 、気−→
ここで、ρ、F は位置の関数である。体積：V の境界面： 体定数と 1 モルの質量の比：RM とする。
A に対して、まわりの流体から作用する力は、流体が静 気体の内部エネルギー：U は熱エネルギー：Q と仕事：止しているときには、∫∫−W の和となる。
/* 内部エネルギー */

→
p−
n dA

INEN:dU=dQ+dW;→
ここで、p は圧力で位置の関数である。また、−
n は表
面：A の外向き法線である。当然、両者は等しいので、
∫∫∫
∫∫
−
→
→
ρ F dV −p−n dA = 0
面積分は下記の Gauss の定理から、体積分に変更でき、
∫∫
∫∫∫
→
−
p−
n dA = −grad(p)dV
以上から、

∫∫∫ (

+’diff(U,V,1)[T]*dV;
WK1:dW=-p*dV;
subst([INEN1,WK1],INEN);
HEN1:partfrac(solve(%,dQ),dV)[1];dU = dW + dQ
温度を dT だけ、体積を dV だけ変化すると、内部エネ
ルギーの変化：dU は、
(
)
(
)
d
d
dU = dT
U
+ dV
U
dT
dV
V
T

)
−
→
ρ F − grad(p) dV = 0−→
ρ F − grad(p) = 0

INEN1:dU=’diff(U,T,1)[V]*dT

ここで、サフィックス V は体積一定を、T は温度一定条(2.1.1)

静止した非圧縮性の流体では、密度：ρ は一定で、体積力は重力加速度：g のみで、下向きに z 軸をとると、kill(all);/* 水圧 */

件におけることを示す。圧力：p で体積が dV 変化すると、仕事は、

dW = −p dV
dQ = dU − dWであるから、上記を内部エネルギーの式、仕事の式を代EQ1:\rho*g-diff(p(z),z,1)=0;

入し、熱エネルギー変化は、
(
)
((
)
)
d
d
dQ = dTU+ dVU+ p (2.1.4)
dT
dV
V
T

atvalue(p(z),z=0,p[0]);desolve(EQ1,p(z));
流体の力学的平衡式は下記となる。

体積を変えないで温度を変化させると、/* 定積＋温度変化 */dgρ−p (z) = 0dzz = 0 における流体表面の圧力を p0 として、これを解くと圧力は下記となる。

p (z) = g ρ z + p0

HENV1:dQ=m*c[v]*dT;
subst([dV=0],HEN1);
subst([%],HENV1);(2.1.2)

HENV2:solve(%,c[v])[1];
HENV3:solve(%,’diff(U,T,1)[V])[1];2.1. 流体の特性

15

定積比熱の定義から、(2.1.3) 式に代入し、温度一定の時、圧力と密度の関係は、

dQ = m cv dT
ここで、定積比熱：cv とする。(2.1.4) 式で定積である(2.1.5)

周囲から熱エネルギーの交換を行わないで、圧力、体から、dV = 0 として、(

dQ = dT
上記の関係から、RTp== RM T = Constant
ρ
M

d
U
dT

( d

)

積変化を行うとき、断熱変化という。
/* 断熱変化 */V)

solve(%,dV)[1];dT U Vcv =subst([dQ=0],HEN1);
subst([HENV3],%);

m
圧力を変えないで温度を変化させると、/* 定圧＋温度変化 */HENP1:dQ=m*c[p]*dT;
subst([dV=’diff(V,T,1)[P]*dT,HENP1],HEN1);
HENP2:solve(%,c[p])[1];
HENP3:[’diff(V,T,1)[P]=m*R/M/p,’diff(U,V,1)[T]=0];EQSTA1:subst(HENP3,%);
subst([HENP5],EQST);EQSTA2:solve(%,V)[1];EQSTA3:\gamma=c[p]/c[v];EQSTA4:solve(%,c[p])[1];EQSTA1/EQSTA2;EQSTA41:factor(subst([EQSTA4],%));’integrate(lhs(EQSTA41)/dV,V);

expand(HENP2-HENV2);EQSTA42:ev(%,integrate);

HENP4:subst(HENP3,%);’integrate(rhs(EQSTA41)/dT,T);

HENP5:solve(%,R)[1];定圧比熱の定義から、

EQSTA43:ev(%,integrate);
EQSTA421:%e^EQSTA42;

dQ = m cp dT

EQSTA431:radcan(%e^EQSTA43);

ここで、定圧比熱：cp とする。圧力一定の時の体積変化

EQSTA421/EQSTA431=Constant;の温度変化は、

EQSTA5:radcan(lhs(%)^(\gamma-1))=Constant;
(
dV =

d
V
dT

)

EQSTA6:solve(EQST,T)[1];dTP

上式を (2.1.4) 式に代入し、整理すると、( d )( d ) ( d )( d )dT U V + dT V P dV U T + p dT V P
cp =
m
さらに、
( d ) ( d )()
p ddT V P
dT V P dV U T
cp − cv =+mm(2.1.3) 式から、
(
)
d
mR
V
=
dT
pM
P
希薄な気体（理想気体）では
(
)
d
U
=0
dV
T
上記の関係から下記を得る。

RM
温度一定の時の気体密度：ρ 変化は、/* 温度一定 */EQSTA7:solve(EQRO,V)[1];
radcan(subst([EQSTA6,EQSTA7],EQSTA5)*m*R/M/m^\gamma);
EQSTA8:lhs(%)=Constant;(2.1.4) 式で dQ = 0 とし、()
dT ddT U V
dV = − ( d )dV U T + p
前述の下記の関係を代入し、

(

d
U
dV

)

( d

)
= 0,

cv =

dV = −

m cv dTp

dT U VTm(2.1.3) 式に cp − cv の関係式を代入し、V =−cp − cv =(m cv − m cp ) T
p

両式から、

dV
m cv dTdT==−V(m cv − m cp ) T
T (γ − 1)

EQRO:m=\rho*V;
subst(EQRO,EQST);EQSTT:%/\rho/V;
密度と質量、体積の関係式は、
m = ρVc

ここで、γ = cvp とし、左辺を積分し、その指数をとると、∫

1
dV = log (V )V

第 2 章 基礎方程式

16
elog(V ) = V

2.1.3

右辺を積分し、その指数をとると、∫ 1dT
log (T )
− T
=−
γ−1
γ−1
log(T )

e− γ−1 =表面張力

二つの流体の境界の平衡状態について健闘する。

1
1
γ−1

T
指数をとった結果の比を求め、積分定数を加味すると、
1

T γ−1 V = Constant
簡素化して、

T V γ−1 = Constant
上式から断熱変化のとき、圧力と密度の関係は、

p= Constantργ

図 2.1.1: 表面張力(2.1.6)/* 表面張力 */SF1:T[1]=2*T*ds[2]*sin(\theta[1]/2);
SF2:T[2]=2*T*ds[1]*sin(\theta[2]/2);
sin(\theta/2)=taylor(sin(\theta/2),\theta,
0,7);
SF11:subst([sin(\theta[1]/2)=\theta[1]/2],
SF1);
SF21:subst([sin(\theta[2]/2)=\theta[2]/2],
SF2);
SF12:subst([\theta[1]=ds[1]/R[1]],SF11);
SF22:subst([\theta[2]=ds[2]/R[2]],SF21);\Delta*p*ds[1]*ds[2]=rhs(SF12)+rhs(SF22);
SF0:expand(%/ds[1]/ds[2]);lhs(SF0)=2*(subst([R[1]=R,R[2]=R],
rhs(SF0)));
単位長さあたりの張力：T とし、直角な座標（サフック
ス：1,2）について、長さ：ds1 に作用する張力は長さと直角方向に ds1 T となる。張力による垂直内向きの力：

T1 , T2 は下記となる。ここで、表面の曲率半径：R1 , R2 、
内角：θ1 , θ2 とする。

(
T1 = 2 ds2 sin(
T2 = 2 ds1 sin

θ1
2
θ2
2

)
T
)
T

上式に、下記の関係を代入して、
( )
θ
θ3
θ5
θ7
θ
= −
+
−
+ ...
sin
2
2 48 3840 645120

ds1 = R1 θ1 ,ds2 = R2 θ2

境界を越えた圧力差は、

ds1 ds2 ∆ p = T1 + T2 =ds1 ds2 T
ds1 ds2 T+
R2
R1

2.1. 流体の特性

17
∆p =

T
T
+
R2
R1

(2.1.7)dd x y (x) = Y (x) とし、上式の右辺を dy(x) で積分する。

その被積分関数は、()
dy (x) ddx Y (x) T() 32
2
Y (x) + 1

シャボン玉では、境界面は内と外の両面あるため、

∆p =

4T
R

垂直な壁と接する液体の表面張力について考える。

ここで、

d
d
d
Y (x) =
Y (x) ×y (x)dxd y(x)dxd=Y (x) × Y (x)d y(x)
上式から上記被積分関数は、

dY (x) Y (x) T() 32
2
Y (x) + 1
積分すると、∫T
Y (x) T(
) 23 dY (x) = − √22Y (x) + 1
Y (x) + 1

図 2.1.2: 垂直な壁と接する液体の表面

R1:[1/R[1]=0,1/R[2]=diff(y(x),x,2)/(1+(diff(y(x),x,1))^(2))^(3/2)];

左辺も y(x) で積分し、SFH:subst(R1,\rho*g*y(x)=rhs(SF0));∫g ρ y (x) dy (x) =’integrate(lhs(SFH),y(x));
ev(%,integrate);
subst([diff(y(x),x,1)=Y(x),diff(y(x),x,2)g ρ y (x)
2

2

以上から、
2

=diff(Y(x),x,1)],rhs(SFH*dy(x)));g ρ y (x)= C − √(
2Tdsubst([dy(x)=Y(x)*dY(x)/diff(Y(x),x,1)],%);

1)2

d x y (x)subst([dY(x)=1],%);+1’integrate(%,Y(x));

x が無限遠で y(x) = 0, ddx y (x) = 0 であるから、C = 1

ev(%,integrate);となり、

integrate(lhs(SFH),y(x))/T=subst([Y(x)2g ρ y (x)= 1 − √(
2Td=diff(y(x),x,1)],%)/T+C;

1)2

d x y (x)SFH1:subst([C=1],%);
subst([diff(y(x),x,1)=-cos(\theta)/+1−cos (θ)
dy (x) =dxsin (θ)sin(\theta),y(x)=y(0)],%);
trigsimp(%);

上記の関係を代入し、接触角：θ が知られているので、SFH2:factor(solve(%,y(0)^2)[1]);

壁面の液面高さは、%pi*a^2*h*\rho*g=2*%pi*a*T*cos(\theta);solve(%,h)[1];上図のように、液体の表面形状を y(x) とすると、曲率
半径：R1 , R2 は下記で表すことができる。

2y (0) = −2 (|sin (θ)| − 1) Tgρ

半径：a の細い円管の場合、液面高さ：h は下記となる。

2

[

d
1
1
d x2 y (x)= 0,=() 32 ]
( d
)2
R1
R2
+1
d x y (x)(2.1.8)

表面張力による圧力差は ρgy(x) であるから、(2.1.7) 式から、(
g ρ y (x) = (d2
d x2 y (x)( dd x y (x)

)2

)
T
+1

) 32

π a2 g h ρ = 2 π a cos (θ) Th=2 cos (θ) Tagρ

第 2 章 基礎方程式

18

2.2

質量保存の方程式

本節から 「2.6 Navier-Stokes の式」までを一連のプ
ログラムで記述しているため、変数などの定義などは再記述していない。流体要素に流れ込んだ質量、出た質量の関係を図および下記の式に示す。
kill(all);V:matrix([u],[v],[w]);depends(u,[x,y,z,t]);depends(v,[x,y,z,t]);depends(w,[x,y,z,t]);depends(\rho,[x,y,z,t]);depends([x,y,z],t);
CMEQ1:\rho*u*dt*dy*dz-(\rho*u+’diff(\rho*u,x,1)*dx)*dt*dy*dz;

図 2.2.1: 流体要素で x 軸方向に出入りする質量

CMEQ2:\rho*v*dt*dx*dz-(\rho*v+’diff(\rho*v,y,1)*dy)*dt*dx*dz;
CMEQ3:\rho*w*dt*dx*dy-(\rho*w+’diff(\rho*w,z,1)*dz)*dt*dx*dy;

LSUB:[’diff(\rho,t,1)=0,’diff(\rho,x,1)=0,’diff(\rho,y,1)=0,’diff(\rho,z,1)=0];

CMEQ5:(\rho+’diff(\rho,t,1)*dt)*dx*dy*dz

CMEQ02:expand(subst(LSUB,CMEQ01)/\rho);dddd[ ρ = 0,
ρ = 0,
ρ = 0,
ρ = 0]
dtdx
dydz-\rho*dx*dy*dz;

非圧縮性流体の質量保存の方程式は下記となる。

CMEQ4:expand(CMEQ1+CMEQ2+CMEQ3);

CMEQ00:expand((CMEQ5-CMEQ4)/dx/dy/dz/dt)=0;ddd
CMEQ01:ev (%, diff);
w+
v+
u=0
dz
dy
dx
−
→
流速：V を下記のように xyz 座標のベクトルで定義する。
ベクトル表記すると、
 
u
−
→
−
→  
div( V ) = 0
V = v w
密度を ρ、時間を t とすると、x 軸方向に出入りする質
量は、(
dt dy dz ρ u − dt dy dz

(
dx

)
)
d
(ρ u) + ρ udx

y 軸方向に出入りする質量は、
( (
)
)
d
dt dx dz ρ v − dt dx dz dy(ρ v) + ρ v
dyz 軸方向に出入りする質量は、
)
)
( (
d
(ρ w) + ρ w
dt dx dy ρ w − dt dx dy dz
dz
流体要素の密度変化は、
( (
)
)
d
dx dy dz dt
ρ + ρ − dx dy dz ρdt
上記から、質量保存の方程式は下記となる。

dddd(ρ w) +(ρ v) +(ρ u) +
ρ = 0 (2.2.1)
dz
dy
dx
dt
非圧縮性流体では、下記の関係から、(2.2.2)(2.2.3)

2.3. 運動方程式

2.3

19

運動方程式

2.4

流体要素表面に作用する力−→
流体要素表面に作用する応力を下図のように定義す
流体の単位質量に作用する物体力 (body force) を F 、−→
流体要素表面に作用する力 (surface force) を P とする る。
と、
F:matrix([X],[Y],[Z]);P:matrix([P[x]],[P[y]],[P[z]]);
LSUB1:[’diff(x,t,1)=u,’diff(y,t,1)=v,’diff(z,t,1)=w];
diff(V,t);
MTEQ0:\rho*subst(LSUB1,%)=F+P;
 
 
X
Px
−
→  
−
→  
F = Y  ,P =  Py 
Z

Pz
−
→
加速度項は、速度： V を時間微分して下記を得る。
d −
→
V =
dt
)(
) (
)(
) (
)(
)
(

d
d
d
d
u
z + d uy + d ux + ddt u (d z ) ( d t ) ( d y ) ( d t ) ( d x ) ( d t )



d
d
d
z + ddy v
y + ddx v
x + ddt v  ddz v
d
t
d
t
d
t
(
)(
) (
)(
) (
)(
)

d
d
d
d
d
d
d
w
z + dy w
y + dx w
x + dt w
dz
dt
dt
dt

図 2.4.1: 流体要素表面に作用する応力

ここで、u, v, w を x, y, z, t の関数として depends 関数

SX11:(\sigma[x]+’diff(\sigma[x],x,1)*dx-\sigma[x])*dy*dz;

で定義している。dt 時間後の変位：dx, dy, dz は下記の

SX12:(\tau[yx]+’diff(\tau[yx],y,1)*dy

ように表すことができる。

-\tau[yx])*dz*dx;
SX13:(\tau[zx]+’diff(\tau[zx],z,1)*dz

dx = u dt, dy = v dt, dz = w dt,-\tau[zx])*dx*dy;

上式から、

SX2:expand((SX11+SX12+SX13)/dx/dy/dz);dddx = u,
y = v,
z = w]dt
dt
dt
これを代入し、下記を得る。この微分を Lagrange 微分[または物質微分と呼ばれる。

SY11:(\tau[xy]+’diff(\tau[xy],x,1)*dx-\tau[xy])*dy*dz;
SY12:(\sigma[y]+’diff(\sigma[y],y,1)*dy-\sigma[y])*dz*dx;

→
d−
V =
dt (
(
)
)
(d )
( d )
d
d
ρ
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
d(y
dx
dt ) 
 (( d z )
)
( d )


d
d
d
v
w
+
v
v
+
u
v
+
 ρ
dy )
dx
d t v )
 ( d( z()()ρ w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w

SY13:(\tau[zy]+’diff(\tau[zy],z,1)*dz-\tau[zy])*dx*dy;
SY2:expand((SY11+SY12+SY13)/dx/dy/dz);
SZ11:(\tau[xz]+’diff(\tau[xz],x,1)*dx-\tau[xz])*dy*dz;
SZ12:(\tau[yz]+’diff(\tau[yz],y,1)*dy

上記から運動方程式は下記となる。
 ((
(
)
)
)
( d )
d
d
d
ρ
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
d(y
dx
dt ) 
 (( d z )
)
( d )


d
d
d
ρ
v
w
+
v
v
+
u
v
+

dy )
dx
d t v ) ( d( z()()ρ w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w
X + Px=  Y + Py 

Z + Pz(2.3.1)ベクトル表記すると、
(
)
→
−
→
−
→
−
→ −
→
d −
ρ
V + ( V · grad) V = F + P
dt(2.3.2)-\tau[yz])*dz*dx;
SZ13:(\sigma[z]+’diff(\sigma[z],z,1)*dz-\sigma[z])*dx*dy;
SZ2:expand((SZ11+SZ12+SZ13)/dx/dy/dz);
x 軸方向の応力の関係は、xy 平面に対して、
(
(
)
)
d
−σx +
σx dx + σx dy dz
dx
(
)
d
σx
= dx dy dz
dx
xz 平面に対して、
(
(
)
)
d
−τyx +
τyx dy + τyx dz dx
dy()
d= dx dy dz
τyxdy第 2 章 基礎方程式

20xy 平面に対して、
(
(
)
)
d
−τzx +
τzx dz + τzx dx dydz()
d= dx dy dzτzxdz

高次の項は小さいとして、省略し、

τyx = τxy
x 軸まわり、y 軸まわりの応力のモーメントの関係から、同様に下記を得る。

上記の３成分をまとめると x 軸方向の力は下記となる。

τzy = τyz

d
d
d
τzx +
τyx +
σx
dz
dy
dx

τxz = τzx

同様に y 軸方向、z 軸方向の力の関係は下記となる。

d
d
d
τzy +
σy +
τxy
dz
dy
dx
d
d
d
σz +
τyz +
τxz
dz
dy
dx

SX3:subst([TX4,TY4,TZ4],SX2);
SY3:subst([TX4,TY4,TZ4],SY2);
SZ3:subst([TX4,TY4,TZ4],SZ2);
P1:P=matrix([SX3],[SY3],[SZ3]);

LSUB2:[’diff(\tau[xy],x,1)=0,

MTS:matrix([\sigma[x],\tau[xy],\tau[zx]],’diff(\tau[yx],y,1)=0,’diff(\tau[zy],z,1)[\tau[xy],\sigma[y],\tau[yz]],=0,’diff(\tau[yz],y,1)=0,’diff(\tau[zx][\tau[zx],\tau[yz],\sigma[z]]);,z,1)=0,’diff(\tau[xz],x,1)=0];
TZ11:\tau[xy]*(dy*dz)*dx/2+(\tau[xy]MTSD:matrix([\sigma[x1],\tau[xy],\tau[zx]],[\tau[xy],\sigma[y1],\tau[yz]],+’diff(\tau[xy],x,1)*dx)*(dy*dz)*dx/2;[\tau[zx],\tau[yz],\sigma[z1]]);

TZ12:\tau[yx]*(dx*dz)*dy/2+(\tau[yx]+’diff(\tau[yx],y,1)*dy)*(dx*dz)*dy/2;
TZ2:expand((TZ11-TZ12)/dx/dy/dz)=0;
TX11:\tau[yz]*(dx*dz)*dy/2+(\tau[yz]+’diff(\tau[yz],y,1)*dy)*(dx*dz)*dy/2;
TX12:\tau[zy]*(dx*dy)*dz/2+(\tau[zy]+’diff(\tau[zy],z,1)*dz)*(dx*dy)*dz/2;
TX2:expand((TX11-TX12)/dx/dy/dz)=0;
TY11:\tau[zx]*(dx*dy)*dz/2+(\tau[zx]+’diff(\tau[zx],z,1)*dz)*(dx*dy)*dz/2;
TY12:\tau[xz]*(dy*dz)*dx/2+(\tau[xz]+’diff(\tau[xz],x,1)*dx)*(dy*dz)*dx/2;
TY2:expand((TY11-TY12)/dx/dy/dz)=0;
TZ3:subst(LSUB2,TZ2);
TX3:subst(LSUB2,TX2);
TY3:subst(LSUB2,TY2);
TZ4:-(TZ3-first(lhs(TZ3)));
TX4:-(TX3-first(lhs(TX3)));
TY4:-(TY3-first(lhs(TY3)));yz 平面で z 軸まわりの応力のモーメントの関係は、(( d))τxy (dy dz) dx
d x τxy dx + τxy (dy dz) dx+
22xz 平面で z 軸まわりの応力のモーメントの関係は、
((
)
)
d
τ
dy
+
τ
(dx dz) dy τ (dx dz) dy
yx
yx
dy
yx
+
2
2
上記をまとめ、z 軸まわりの応力のモーメントの関係は下記となる。
()()
dy ddy τyx
dx ddx τxy−− τyx +
+ τxy = 022

MTS=-p*ident(3)+MTSD;−→
流体要素表面に作用する力：P は上記から、下記となる。
  dddPx
d z τzx + d y τxy + d x σx   dPy  =  d z τyz + ddy σy + ddx τxy dddPzd x τzx + d z σz + d y τyz(2.4.1)

ここで流体要素に作用する応力のうち、面に垂直に作用する応力は圧力：p 項があるので、圧力とそれ以外の項
で下記のように分ける。そこで応力のマトリックスを下記のように表現できる。
 σx τxy τzx
σx1

 
τxy σy τyz  =  τxy

τzx

τyz

σz

τxy
σy1

τzx




τyz 

τzx τyz σz1


−p 0
0


+  0 −p 0 00 −p(2.4.2)

2.5. 流体要素表面に作用する応力と流体速度勾配との関係

2.5

流体要素表面に作用する応力と流体速度勾配との関係

21


VGT:matrix([’diff(u,x,1),’diff(u,y,1),’diff(u,z,1)],[’diff(v,x,1),’diff(v,y,1),’diff(v,z,1)],[’diff(w,x,1),’diff(w,y,1),
DR:matrix([dx],[dy],[dz]);

d
dx w

d
dy w

d
dz w

d
dz w

d y w− d z v

2

2

d
d
d z u− d x w

2dd
d z v− d y w

2






0

 d



u
−−→    ddx
DV =  dv  =  d x v
d
dw
dx w

d
dy u
d
dy v
d
dy w

VGT22:e[22]=VGT1[2][2];
VGT23:e[23]=VGT1[2][3];VGT31:e[31]=VGT1[3][1];
VGT32:e[32]=VGT1[3][2];VGT33:e[33]=VGT1[3][3];VGT3:matrix([e[11],e[12],e[13]],[e[21],−−→流素速度変化：DV は次式で表現できる。
e[22],e[23]],[e[31],e[32],e[33]]);


d
dx
dz u
 
d
v
dy 


dz
d
dz
dz w

(
)
)
( d )
d
u
+
dy
u
+
dx
dz
dx u
du

(d y )( d )
(d )
  

d
 dv  =  dz d z v + dy d y v + dx d x v 
 (
(
)
)
(
)
dw
dz ddz w + dy ddy w + dx ddx w
dz

d x w− d z uVGT21:e[21]=VGT1[2][1];

VGT2:(VGT-transpose(VGT))/2;
流体速度勾配のテンソル D を下記のように表現する。
 d

d
d
dx u
dy u
dz u


D =  ddx v ddy v ddz v 2

VGT13:e[13]=VGT1[1][3];VGT1:(VGT+transpose(VGT))/2;



2

d
d
d y w+ d z v

VGT12:e[12]=VGT1[1][2];EQVGT:DV=VGT.DR;



2
d
dy v
d
d
d y w+ d z v
2

上図から上式は回転を表現している。
VGT11:e[11]=VGT1[1][1];’diff(w,z,1)]);duddd x w+ d z u

上図から上式は伸び縮みを表現し、
ddd y u− d x v
02)  d v− d u1(dxdy
D−D =
0

2
2
d
d
d
d

DV:matrix([du],[dv],[dw]);

ddd x v+ d y u

dx u)  d dv+
d
1(
dx
dy u

D+D =
22ddd x w+ d z u2(d

流体速度勾配のテンソル D の転置行列を D とする。

VGT3S:matrix([e[1],0,0],[0,e[2],0],[0,0,e[3]]);
MTS11:matrix([\sigma[1],0,0],[0,\sigma[2],0],[0,0,\sigma[3]]);
流体要素表面に作用する応力が流体の伸び縮みに主に関係するとして、下記の変形速度テンソルで表現する。

e11 e12 e13e21 e22 e23 

e31

e32


e33

d
x u
 d dv+
d
dx
dy u

=
2
d
d
d x w+ d z u2ddd x v+ d y u

ddd x w+ d z u

2
d
dy v
d
d
d y w+ d z v
2

2

d
d
d y w+ d z v

2
d
dz w






(2.5.1)
上記の変形速度テンソルの主方向を選ぶと下記のように変換できる。

e11

e21

e12

e31



e22


e1


e23  →  0

e2


0

e32

e33

0

0

e3

e13



0

0

応力のマトリックスについても主方向を選ぶと下記のよ

図 2.5.1: 流体の伸び縮みと回転

うに変換できる。
σx1 τxy τxy σy1

τzx

τyz




σ1


τyz  →  0

σ2


0

0

0

σ3

τzx

σz1



0

0

第 2 章 基礎方程式

22
等方性物質では、応力テンソルの主軸と変形速度テン
ソルの主軸が一致するとして、下記の一次斉次方程式で

σ1 = e3 B + e2 B + e1 A表現できる。
EQS1:\sigma[1]=A*e[1]+B*e[2]+B*e[3];σ2 = e3 B + e1 B + e2 A

EQS2:\sigma[2]=A*e[2]+B*e[3]+B*e[1];EQS3:\sigma[3]=A*e[3]+B*e[1]+B*e[2];σ3 = e2 B + e1 B + e3 A

TR1:A=2*\mu+b;
TR2:B=b;係数を下記のように置き換えて、

EQS11:partfrac(subst([TR1,TR2],EQS1),b);
EQS21:partfrac(subst([TR1,TR2],EQS2),b);

A = 2µ + b

EQS31:partfrac(subst([TR1,TR2],EQS3),b);
MTS21:b*(e[1]+e[2]+e[3])*ident(3);B=b

下記の応力テンソルと変形速度の関係式が得られる。

MTS22:2*\mu*VGT3S;
σ1 = 2 e1 µ + (e3 + e2 + e1 ) b

MTS3:MTS11=MTS21+MTS22;
MTEQ1:MTSD=b*(e[11]+e[22]+e[33])*ident(3)σ2 = 2 e2 µ + (e3 + e2 + e1 ) b+2*\mu*VGT3;
MTEQ2:subst([VGT11,VGT12,VGT13,VGT21,VGT22,
VGT23,VGT31,VGT32,VGT33],MTEQ1);
マトリックス表示すると、
σ1 0
 0 σ200

σ3 = 2 e3 µ + (e3 + e2 + e1 ) b1
0  = (e3 + e2 + e1 ) b 0

0

σ3

0

0





e1
0


0 + 2µ  0
0
1

1

0

0

0



e2


0

0

e3

上記の主応力・変形速度テンソルを基の座標系に戻す。ここで、座標変換してもテンソルの対称軸の和は変わらな
いこと (C.4.4 節（695 ページ）) から、次式を得る。


σx1

 τxy
τzx

0

σy1


1


τyz  = (e33 + e22 + e11 ) b 010 + 2µ e21

τyz

σz1

0

1

τxy

τzx



0

0





e11

e31

e12

e13



e22


e23 

e32

e33

(2.5.1) 式を用いて、上記の応力テンソルと変形速度との関係は、下記となる。

σx1 τxy τzx τxy σy1 τyz 
τzx τyz σz1
 (
)
(
)
b ddz w + ddy v + ddx u + 2 µ ddx u

(
)

=
µ ddx v + ddy u()µ ddx w + ddz u()

dv + ddy u
dx
(
)
(
)
d
d
b d z w + d y v + ddx u + 2 µ ddy v()µ ddy w + ddz v

µ

(

)



d
w + ddz u

(d x
)

d
µ d y w + ddz v

(
)
(
)
d
d
d
d
b dz w + dy v + dx u + 2µ dz wµ

(2.5.2)

2.6. Navier-Stokes の式

2.6

23

Navier-Stokes の式
LMTEQ2A:’diff(\sigma[x],x,1)

流体要素表面に作用する応力の結果を基に運動方程式=’diff(\sigma[x1],x,1)-diff(p,x,1);を求める。
LMTEQ21:’diff(lhs(MTEQ2)[1][1],x,1)

LMTEQ2B:’diff(\sigma[y],y,1)=diff(rhs(MTEQ2)[1][1],x,1);

LMTEQ2C:’diff(\sigma[z],z,1)=’diff(\sigma[y1],y,1)-diff(p,y,1);

LMTEQ22:’diff(lhs(MTEQ2)[1][2],y,1)=’diff(\sigma[z1],z,1)-diff(p,z,1);=diff(rhs(MTEQ2)[1][2],y,1);

P2:subst([LMTEQ2A,LMTEQ2B,LMTEQ2C],P1);

LMTEQ23:’diff(lhs(MTEQ2)[1][3],z,1)

subst([LMTEQ21,LMTEQ22,LMTEQ23,LMTEQ24,=diff(rhs(MTEQ2)[1][3],z,1);

LMTEQ25,LMTEQ26,LMTEQ27,LMTEQ28,LMTEQ29]

LMTEQ24:’diff(lhs(MTEQ2)[2][1],x,1),P2);
MTEQ21:subst([b=-2/3*\mu],%);=diff(rhs(MTEQ2)[2][1],x,1);
LMTEQ25:’diff(lhs(MTEQ2)[2][2],y,1)

MTEQ011:lhs(MTEQ0)=F+rhs(MTEQ21);(2.4.1) 式、(2.4.2) 式から、=diff(rhs(MTEQ2)[2][2],y,1);
LMTEQ26:’diff(lhs(MTEQ2)[2][3],z,1)  ddddPxd z τzx + d y τxy + d x σx1 − d x p   dPy  =  d z τyz + ddy σy1 + ddx τxy − ddy p 
d
d
d
d
Pz
d x τzx + d z σz1 + d y τyz − d z p=diff(rhs(MTEQ2)[2][3],z,1);
LMTEQ27:’diff(lhs(MTEQ2)[3][1],x,1)=diff(rhs(MTEQ2)[3][1],x,1);
LMTEQ28:’diff(lhs(MTEQ2)[3][2],y,1)

Stokes の関係1 から、=diff(rhs(MTEQ2)[3][2],y,1);
LMTEQ29:’diff(lhs(MTEQ2)[3][3],z,1)=diff(rhs(MTEQ2)[3][3],z,1);b=(−2) µ3

上記の関係に、応力テンソルと変形速度の関係を (2.3.1 ) 式の運動方程式に代入し、下記の Navier-Stokes の式
を得る。
 ((
(
)
)
)
(
)
d
ρ
u w + ddy u v + u ddx u + ddt u
d
z
 ((
(
)
) 
)
( d )


d
d
d
v
w
+
v
v
+
u
v
+
v
 ρ

dx
dt
 ( d( z( dy )
)
)
(
)
d
d
d
d
ρ w dz w + v dy w + u dx w + dt w
( 2
)

(
d2
d2
d
2µ

d x d z w+ d x d y v+ d x2 u

)

d2
d2
d x d z w + d z 2 u) + µ

(

)

d2
d2
d x d y v + d y2 u

(

)

d2
d x2 u− ddx p

+µ
+ 2µ
X −
3
( 2


(
)
(
)
(
)
d
d2
d2
2 µ d y d z w+ d y2 v+ d x d y u


d2
d2
d2
d2
d2
d
= Y + µ

w
+
v
−
+
2
µ
v
+
µ
v
+
u
−
p
d z2
3
d y2
d x2
dxdy
dy 

( d y2 d z
)


(
)
(
)
(
)
d
d2
d2
2 µ d z2 w+ d y d z v+ d x d z u
d2
d2
d2
d2
d2
d
Z−
+
2
µ
w
+
µ
w
+
v
+
µ
w
+
u
−
p
2
2
2
3
dz
dy
dydz
dx
dxdz
dz
(2.6.1)

非圧縮性の流体では、
MTEQ3:subst(CMEQ02,MTEQ2);

LMTEQ31:’diff(lhs(MTEQ3)[1][1],x,1)

LMTEQ36:’diff(lhs(MTEQ3)[2][3],z,1)=diff(rhs(MTEQ3)[2][3],z,1);
LMTEQ37:’diff(lhs(MTEQ3)[3][1],x,1)=diff(rhs(MTEQ3)[1][1],x,1);=diff(rhs(MTEQ3)[3][1],x,1);

LMTEQ32:’diff(lhs(MTEQ3)[1][2],y,1)=diff(rhs(MTEQ3)[1][2],y,1);

LMTEQ38:’diff(lhs(MTEQ3)[3][2],y,1)

LMTEQ33:’diff(lhs(MTEQ3)[1][3],z,1)

LMTEQ39:’diff(lhs(MTEQ3)[3][3],z,1)=diff(rhs(MTEQ3)[1][3],z,1);=diff(rhs(MTEQ3)[3][3],z,1);

LMTEQ34:’diff(lhs(MTEQ3)[2][1],x,1)

diff(CMEQ02,x,1);=diff(rhs(MTEQ3)[2][1],x,1);

LMTEQ3A:first(lhs(%))=-(lhs(%)=diff(rhs(MTEQ3)[3][2],y,1);

LMTEQ35:’diff(lhs(MTEQ3)[2][2],y,1)-first(lhs(%)));=diff(rhs(MTEQ3)[2][2],y,1);diff(CMEQ02,y,1);

1 今井

功：流体力学（前編）P.274 18)

第 2 章 基礎方程式

24

非圧縮性流体の質量保存 (2.2.2) 式は、

LMTEQ3B:first(lhs(%))=-(lhs(%)-first(lhs(%)));

d
d
d
w+
v+
u=0
dz
dy
dx

diff(CMEQ02,z,1);
LMTEQ3C:last(lhs(%))=-(lhs(%)-last(lhs(%)));
subst([LMTEQ31,LMTEQ32,LMTEQ33,LMTEQ34,
LMTEQ35,LMTEQ36,LMTEQ37,LMTEQ38,LMTEQ39],P2);
MTEQ31:partfrac(expand(subst([LMTEQ3A,
LMTEQ3B,LMTEQ3C],%)),\mu);
MTEQ012:lhs(MTEQ0)=F+rhs(MTEQ31);

応力テンソルと変形速度テンソルの関係式：(2.5.2) 式に上記質量保存の式を代入し、b =(−2) µとすると、応3力テンソルと変形速度テンソルの関係は、


σx1

 τxy
τzx

exy

σy1


exx


τyz  = µ exy

τyz

σz1

eyz

τxy

τzx



eyy

ezx

ezx




2

( d

)

dx u

(

)

d
+ d u
dx v
( d y)()

2 ddy veyz  = µ  ddx v + ddy u
(
)
(
)
d
d
d
d
ezz
dx w + dz u
dy w + dz v

)

( d

w + ddz u
(d x
)
d
d
dy w + dz v

2

(d

dz w

)


 (2.6.2)
−→
流体要素表面に作用する力： P は、
 ( 2
)
( 2
)
( 2 )

2
2
 
µ d xd d z w + ddz2 u + µ d xd d y v + ddy2 u + 2 µ ddx2 u − ddx p
Px

( 2
)
( 2 )
( 2
)
2
2
−
→   
P = Py  =  µ d yd d z w + ddz2 v + 2 µ ddy2 v + µ ddx2 v + d xd d y u − ddy p 

( 2 )
( 2
)
(
)

2
2
2
Pz
2 µ ddz2 w + µ ddy2 w + d yd d z v + µ ddx2 w + d xd d z u − ddz p
更に、非圧縮性流体の質量保存 (2.2.2) 式を x, y, z で微分し、

d2
d2
d2
w+
v+
u = 0,
dxdz
dxdy
d x2

d2
d2
d2
w+
v
+
u=0
dydz
d y2
dxdy

d2
d2
d2
w+
v+
u=0
2
dz
dydz
dxdz
上式を更に代入すると、非圧縮性の Navier-Stokes の式は、
 ((
(
)
) 
( 2
)

)
(
)
2
2
d
ρ
X + µ ddz2 u + ddy2 u + ddx2 u − ddx p
u w + ddy u v + u ddx u + ddt u
d
z
 ((

(
)
)  
( 2
)
)
( d )

 

d
d
d
d
d2
d2
d
=
v
w
+
v
v
+
u
v
+
v
Y
+
µ
v
+
v
+
v
−
p
 ρ



2
2
2
d
z
d
y
d
x
d
t
d
z
d
y
d
x
d
y
 ( (
(
)
) 
( 2
)

)
( d )
d
d
d
d
d2
d2
d
ρ w dz w + v dy w + u dx w + dt w
Z + µ d z 2 w + d y 2 w + d x2 w − d z p
ベクトル表記すると、

(
ρ

)
→
−
→
−
→
−
→
d −
V + ( V · grad) V = F − grad(p) + µ∇2 Vdt

また、質量保存の方程式は、

dddd(ρ w) +(ρ v) +(ρ u) +
ρ=0
dz
dy
dx
dt
非圧縮性流体の場合の質量保存の方程式は、

d
d
d
w+
v+
u=0
dz
dy
dx

(2.6.3)(2.6.4)

2.7. Euler の運動方程式

2.7

25

Euler の運動方程式

運動方程式については、既に「2.3 運動方程式」に記述しており、流体の加速度変化は物質微分を用いているが、ここでは運動量の視点から導く。また、物体力は重力加速度：g のみを考慮し、流体要素表面に作用する力
は粘性率：µ = 0 の完全流体とするため、圧力項のみが作用するとする。
kill(all);V:matrix([u],[v],[w]);depends(u,[x,y,z,t]);depends(v,[x,y,z,t]);depends(w,[x,y,z,t]);depends(p,[x,y,z,t]);depends(\rho,[x,y,z,t]);

図 2.7.1: 流体要素を通過する質量

depends([x,y,z],t);F:matrix([0],[0],[-\rho*g]);
P:matrix([-diff(p,x,1)],[-diff(p,y,1)],[-diff(p,z,1)]);
MTV:’diff(\rho*V,t,1)*dx*dy*dz*dt;
MTSX11:-((\rho-diff(\rho,x,1)*dx/2)*dy*dz

dxdz 後面、前面を通過する質量は、
) 
)
(
(

dy ddy ρdy ddy v
 v −
−dt dx dz ρ −22*dt)*(u-diff(u,x,1)*dx/2);



MTSX12:+((\rho+diff(\rho,x,1)*dx/2)*dy*dz*dt)*(u+diff(u,x,1)*dx/2);
MTSX21:-((\rho-diff(\rho,y,1)*dy/2)*dx*dz*dt)*(v-diff(v,y,1)*dy/2);
MTSX22:+((\rho+diff(\rho,y,1)*dy/2)*dx*dz*dt)*(v+diff(v,y,1)*dy/2);

dt dx dz *dt)*(w+diff(w,z,1)*dz/2);−→−→
流体速度：V 、物体力: F 、流体要素表面に作用する力：−→P は下記となる。
 d 


 
− p
0
u
−
→  ddx 
−
→ 
−
→  

P = − d y pF =  0 ,
V = v  ,−g ρw− ddz p

流体要素 dxdydz 内の運動量変化は、





ρu



dt dy dz

dx

( d

dx ρ

2

)
+ρ

dx

+ ρ 

2

(
dy

d
dy v

)

2


+ v

dz

(d

dz ρ

)(

)

2

+ρ

dz

(d

dz w

2

)

)
+w

MTSX0:expand(MTSX11+MTSX12+MTSX21+MTSX22+MTSX31+MTSX32)=0;
expand(MTSX11*(u-diff(u,x,1)*dx/2)+MTSX12*(u+diff(u,x,1)*dx/2)+MTSX21*(u-diff(u,y,1)*dy/2)+MTSX22*(u+diff(u,y,1)*dy/2)+MTSX32*(u+diff(u,z,1)*dz/2));
expand(%-lhs(MTSX0)*u);
MTSX:subst([dx^3=0,dy^3=0,dz^3=0],%);
MTS:\rho*dx*dy*dz*dt*matrix

dydz 後面、前面を通過する質量は、
(
)) (
))
(
(
dx ddx ρdx ddx u−dt dy dz ρ −
u−
2
2
)(



+MTSX31*(u-diff(u,z,1)*dz/2)

 d  dt dx dy dz 
 ρ v 
dt
ρw

(

(
dt dx dy

MTSX32:+((\rho+diff(\rho,z,1)*dz/2)*dx*dy

)

d
dy ρ

dxdy 後面、前面を通過する質量は、
(
(
(
)) (
))
dz ddz ρdz ddz w−dt dx dy ρ −w−
2
2

MTSX31:-((\rho-diff(\rho,z,1)*dz/2)*dx*dy*dt)*(w-diff(w,z,1)*dz/2);

(
dy

( d

)

dx u

2

)
+u

([u*diff(u,x,1)+v*diff(u,y,1)+w*diff(u,z,1)],[u*diff(v,x,1)+v*diff(v,y,1)+w*diff(v,z,1)],[u*diff(w,x,1)+v*diff(w,y,1)+w*diff(w,z,1)]);

第 2 章 基礎方程式

26

expand((MTV+MTS)=F*dx*dy*dz*dt+P*dx*dy*dz*dt);
EQMT:expand(%/dx/dy/dz/dt);
上記の全ての和は、全面を通過する質量で質量保存から零である。
(
)
(
)
(
)
(
)
d
d
d
d
w + dt dx dy dz
ρ w + dt dx dy dz ρv + dt dx dy dz
ρ v
dt dx dy dz ρ
dz
dz
dy
dy
(
)
(
)
d
d
+ dt dx dy dz ρu + dt dx dy dz
ρ u=0
dx
dx
上記の各面を通過する質量に x 軸方向の速度 u を掛けることにより、流体要素表面を通過して流体要素に流入する流体の x 軸方向の運動量変化は下記となる。高次の項を削除し、上記の質量保存式を考慮すると、∫∫

dt dx dy dz−→
ρ V vn dS =

3

(d

dz ρ

)(d

)(d

dz u

4
(

)

)
(
)
d
d
+ dt dx dy dz ρ u
w + dt dx dy dz ρ
u w
dz
dz
(
)(
)(
)
d
d
dt dx dy 3 dz ddy ρ
dy u
dy v

dz w

(

)
d
+ dt dx dy dz
ρ uw +
dz
4
(
)
(
)
(
)
d
d
d
v + dt dx dy dz ρ
u v + dt dx dy dz
ρ uv+ dt dx dy dz ρ u
dy
dy
dy
(
)(
)2
(
)
(
)
dt dx3 dy dz ddx ρ ddx udd++ 2 dt dx dy dz ρ u
u + dt dx dy dz
ρ u2
4
dx
dx
)
(
)
(
)
(
d
d
d
u w + dt dx dy dz ρ
u v + dt dx dy dz ρ uu=dt dx dy dz ρ
dz
dy
dx

「2.3 運動方程式」の物質微分の結果と同じ結果が得られた。上式を考慮して、運動方程式をまとめると、
 (
(
)
)
(
)
  

ρ ddz u w + ρ ddy u v + ρ u ddx u− ddx p
ρu
 (

(
)
)
(
)
d   

(2.7.1) ρ ddz v w + ρ v ddy v + ρ u ddx v  + ρ v  =  − ddy p 

(
)
 dt
(d )
(
)
d
d
d
ρw
−g ρ − d z p
ρw
w + ρvw + ρuwdzdy

ベクトル表記すると、

(
ρ

dx

)
→
−
→
−
→
−
→
d −
V + ( V · grad) V = F − grad(p)dt(2.7.2)

2.7. Euler の運動方程式

2.7.1

27

Euler の運動方程式 (回転動座標系)

流体の外側の境界が運動している場合、その境界とともに動く座標系を使用した方が、便利である。座標軸が並進運動する場合には、その加速度により、単位質量が受ける力を見かけの体積力として考慮すればよい。回転運動を伴う場合には、一般的な慣性座標系のベクトル：−→−→
L1 が微少時間：∆t で P から P ′ へ移動したとする。 Ω
で回転する座標系では、P は回転で Q へ移動し、座標上から見ると Q から P ′ へ移動したことになる。上記か
図 2.7.3: z 軸が回転する動座標系

kill(all);load("vect")depends(a,[t]);depends(b,[t]);depends(c,[t]);depends(x,[t]);depends(y,[t]);depends(z,[t]);VX:X=matrix([x],[y],[z]);VX1:X1=matrix([a],[b],[z]);TR:matrix([cos(c),-sin(c),0],

図 2.7.2: 回転動座標系[sin(c),cos(c),0],[0,0,1]);TR1:transpose(TR);ら、下記の関係式が得られる。

−−→′
−
→
P P = ∆L1 ,

−−→ −
→ −
→
P Q = Ω × L2 ∆t,

XX11:x=a*cos(c)-b*sin(c);−−→′−→QP = ∆L2

−
→
−
→ −
→ −
→
∆L1 = ∆L2 + Ω × L2 ∆t

XX11DD:diff(XX11,t,2);
XX12DD:diff(XX12,t,2);

→
→ −
→ −
→
d −
d −
L1 =
L2 + Ω × L2
dt
dt

V1:matrix([lhs(XX11D)],[lhs(XX12D)],[diff(z,t,1)]);

この式を基に、

→
→ −
→ −
→
d −
d −
V1 =
V2 + Ω × V2
dt
dt
−
→ −
→
→ −
→
d −
d2 −→
Ω × X2= 2 X2 + 2 Ω × V2 +
dt
dt
−
→
−
→ −
→
+ Ω × ( Ω × X2 )XX11D:diff(XX11,t,1);
XX12D:diff(XX12,t,1);∆t → 0 とすると、次式となる。

→ −
→ −
→
−
→
d −
d −→
X1 =
X2 + Ω × X2
V1 =
dt
dt

XX12:y=a*sin(c)+b*cos(c);V2:matrix([u],[v],[w])=matrix([diff(a,t,1)(2.7.3)], [diff(b,t,1)],[diff(z,t,1)]);
V12:trigrat(expand(TR1.matrix([rhs(XX11D)], [rhs(XX12D)],[diff(z,t,1)])));(2.7.4)

回転する座標系での流体の運動方程式は、下記の単位質量あたりの見かけの体積力を加えることでよい。

subst([diff(a,t,1)=u[d],diff(b,t,1)=v[d],diff(c,t,2)=’diff(\Omega,t,1)],%);
V121:subst([a=x[d],b=y[d],diff(c,t,1)=\Omega,diff(z,t,1)=w[d]],%);
慣性系 xyz 軸系と z 軸が角速度 Ω で回転する動座標系の関係は下記である。ここでは Maxima の load(”vect”)

単位質量あたりの見かけの体積力

−
→ −
→
→ −
→ −
→
−
→ −
→
d −
= −2 Ω × V2 −
Ω × X2 − Ω × ( Ω × X2 )dt
(2.7.5)
別の方法で上記を検証する。下図に示すように z 軸が回転する動座標系を考える。

を使用する都合上、xd = a, yd = b と置く。

x = a cos (c) − b sin (c)y = a sin (c) + b cos (c)第 2 章 基礎方程式28
これを時間微分すると下記となる。ここでは x 軸のみを
示す。

(
)
(
)
d
d
d
x = − a sin (c)c − b cos (c)
c
dt
dt
dt
(
)
(
)
d
d
−
b sin (c) +a cos (c)dtdt
慣性系 xyz 軸系と z 軸が回転する動座標系に座標変換
する変換マトリックスは、
cos (c) sin (c)−sin (c) cos (c)

0

0

0




0

1

上式の右辺に変換マトリックスをかけ、整理すると、
d( d ) cud − yd Ωd t(a − b
d
t
)

 

a ddt c + ddt b = xd Ω + vd ddt z

時間の 2 階微分は下記となる。ここでは x 軸のみを示す。
( 2 )
( 2 )
d2
d
d
x = − a sin (c)c − b cos (c)
c
d t2
d t2
d t2
(
)2
(
)2
d
d
+ b sin (c)c − a cos (c)
c
dt
dt
(
)
(
)
d
d
−2
a sin (c)
c
dt
dt
(
)
(
)
d
d
−2
b cos (c)
c
dt
dt
( 2 )
( 2 )
d
d
−
b
sin
(c)
+
a cos (c)
2
dt
d t2

上式の右辺に変換マトリックスをかけ、整理すると、
( 2 )


(
)2
(
)(
)
2
−b ddt2 c − a ddt c − 2 ddt b ddt c + ddt2 a ( 2 )
 a d c − b ( d c)2 + 2 ( d a) ( d c) + d2 b 


d t2
dt
dt
dt
d t2
d2
d t2 zwd

OM:matrix([0],[0],[diff(c,t,1)]);
V13:rhs(V2)+col(adjoint(transpose(addcol(
OM,rhs(VX1),matrix([1],[1],[1])))),3);

以上から、加速度項は下記となる。

()−yd ddt Ω − xd Ω2 − 2 vd Ω + ddt ud)( xd ddt Ω − yd Ω2 + 2 ud Ω + ddt vd 

(2.7.6)dd t wd

V12-V13;
AC1:diff(V1,t,1);

上記の結果から回転する座標系での流体の運動方程式

AC2:trigrat(expand(TR1.matrix([rhs(XX11DD)

は、下記の単位質量あたりの見かけの体積力を加えるこ],[rhs(XX12DD)],[diff(z,t,2)])));
AC21:diff(rhs(V2),t,1);とでよい。また、これはベクトル表記式：(2.7.5 ) と同じ結果である。

AC22:2*col(adjoint(transpose(addcol(OM,
rhs(V2),matrix([1],[1],[1])))),3);
AC23:col(adjoint(transpose(addcol(
diff(OM,t,1),rhs(VX1),
matrix([1],[1],[1])))),3);
AC241:col(adjoint(transpose(addcol(OM,
rhs(VX1),matrix([1],[1],[1])))),3);
AC24:col(adjoint(transpose(addcol(OM,AC241,
matrix([1],[1],[1])))),3);
AC20:AC21+AC22+AC23+AC24;
AC2-AC20;
subst([diff(a,t,2)=’diff(u[d],t,1),
diff(b,t,2)=’diff(v[d],t,1),
diff(z,t,2)=’diff(w[d],t,1)],AC20);
subst([diff(a,t,1)=u[d],diff(b,t,1)=v[d],diff(c,t,2)=’diff(\Omega,t,1)],%);
AC201:subst([a=x[d],b=y[d],diff(c,t,1)=\Omega],%);

単位質量あたりの見かけの体積力)(−yd ddt Ω − xd Ω2 − 2 vd Ω()

= −  xd ddt Ω − yd Ω2 + 2 ud Ω 

0(2.7.7)

2.8. Bernoulli の定理

2.8

29

Bernoulli の定理

curl の下記の関係から、

grad,

(
)
grad w2 + v 2 + u2
 (2
)
(
)
(
)
w( ddx w) + v ( ddx v) + u (ddx u )


d
d
d

=
w (d y w ) + v ( d y v) + u ( d y u) w ddz w + v ddz v + u ddz u「2.7 Euler の運動方程式」で得られた運動方程式(2.7.1) 式の流体要素表面を通過して要素に流入する流体の運動量変化を表す下記の項に注目する。
(
(
)
)
(
)
d
u w + ddy u v + u ddx u
d
z
(
(
)
(
)
 d )

 d z v w + v ddy v + u ddx v 
(
 (
)

)
(
)
w ddz w + v ddy w + u ddx w

 d



d
dy w − dz vcurl ([u, v, w]) =  ddz u − ddx w
dd
dx v − dy ukill(all);V:matrix([u],[v],[w]);depends(u,[x,y,z,t]);depends(v,[x,y,z,t]);depends(w,[x,y,z,t]); ugrad w + v + u −  v  × curl ([u, v, w])
2
w
(
)
(
)
( d )
d
d
u
w
+
u
v
+
u
d(y
dx u
 (d z ))( d ) dd=  dz v w + v dy v + u dx v 
 (
(
)
)
(
)
w ddz w + v ddy w + u ddx w

depends(p,[x,y,z,t]);(

EQMT:matrix([rho*(’diff(u,z,1))*w+rho*(’diff(u,y,1))*v+rho*u*(’diff(u,x,1))],rho*(’diff(v,z,1))*w+rho*v*(’diff(v,y,1))+rho*u*(’diff(v,x,1))],[rho*w*(’diff(w,z,1))+rho*v*(’diff(w,y,1))+rho*u*(’diff(w,x,1))])+’diff(matrix([rho*u],[rho*v],[rho*w]),t,1)=matrix([-’diff(p,x,1)],

2

2

2

)

(2.8.1)[-’diff(p,y,1)],[-g*rho-’diff(p,z,1)]);
MTS0:expand(first(lhs(EQMT))/\rho);

流体要素表面を通過して流体要素に流入する流体の運動

load("vect")
GRV2:grad((u^2+v^2+w^2)/2);

量変化に基づく上記の項がこのように表現できる。
F0:grad(-\rho*g*z);

express(%);
ev(%,diff);

express(%);

GRV21:GRV2=expand(transpose(%));

F01:ev(%,diff);curl(transpose(V)[1]);P0:grad(-p);

express(%);

express(%);

ev(%,diff);

P01:ev(%,diff);transpose(%);

EQMT2:F0+P0-\rho*lhs(GRV21)+\rho*lhs(RTV1)

RTV1:V *curl(transpose(V)[1])=col(adjoint(transpose(addcol(V,%,=expand(F01+P01-\rho*rhs(GRV21)+\rho*rhs(RTV1));

matrix([1],[1],[1])))),3);

expand(rhs(EQMT1)-rhs(EQMT2));

lhs(GRV21)-lhs(RTV1)=

grad((u^2+v^2+w^2)/2+gz+p/\rho)

expand(rhs(GRV21)-rhs(RTV1));=V *curl(transpose(V)[1]);expand(rhs(%)-MTS0);(u^2+v^2+w^2)/2+gz+p/\rho=H;

運動方程式は (2.7.1) 式から、

()
v − ρ u ddx u − ddx p

)
(
)
(
)
d   
 ρ v  =  −ρ ddz v w − ρ v ddy v − ρ u ddx v − ddy p 
dt


(
)
(
)
(d )
ρw
−ρ w d z w − ρ v ddy w − ρ u ddx w − g ρ − ddz p


ρu





−ρ

(d

)

dz u

w−ρ

(

d
d(y u

)

第 2 章 基礎方程式30
右辺項を grad,curl を使って表現し、 ugrad w + v + u − grad (g ρ z) − ρ+ ρ  v  × curl ([u, v, w]) − grad (p)
2
w

(

)
(d )
(
)
−ρ d z u w − ρ ddy u v − ρ u ddx u − ddx p


(
)
)
(
)
(


=  −ρ ddz v w − ρ v ddy v − ρ u ddx v − ddy p 

(
)

(
)
(
)
−ρ w ddz w − ρ v ddy w − ρ u ddx w − g ρ − ddz p
(

2

2

2

)

上記の関係式を用いて、運動方程式をベクトル表記すると下記となる。
(
)
−
→2
→ −
→
−
→
d −
V
p
V − V × curl V = −grad g z +
+
dt
2
ρ

(2.8.2)

上記から、定常状態では、次式の関係を得る。

(
grad

2

2

2

w +v +up+ + gz
2
ρ

)

 
u
 
=  v  × curl ([u, v, w])
w(2.8.3)

上式で、右辺が零の場合には次式：Bernoulli の定理を得る。

p
w2 + v 2 + u2
+ + gz = H
2
ρ
または、

w2 + v 2 + u2+
2∫

(2.8.4)dp+ gz = Hρ(a) 流れの中いたるところで H が一定値をとる場合：
流れの中いたるところで curl([u, v, w]) = 0、即ち渦無し流れの場合はいたるところで H が一定値をとる。
−→
また、流体速度： V と curl([u, v, w]) = 0 が平行の場合 eqn:2-7-1) 式の右辺項が零となるため、H が一定値をとる。

(b) 流れの中いたるところで H が変化する場合：
H = const は一つの面を表す。(2.8.3) 式の左辺が H = const の面の垂直ベクトルを表す。即ち、(2.8.3) 式−→の右辺項が H = const の面上で垂直である。 V は流れの面：H = const の面内にあるので、curl([u, v, w])
も H = const の面内にあることになる。したがって、一つの流線上では H = const となる。

2.8. Bernoulli の定理

2.8.1

31

Bernoulli の定理 (回転動座標系)

回転する装置の中を流体が流れる場合、流れが定常になるように回転座標系を選べば記述が簡単になる。2.7.1「Euler の運動方程式 (回転動座標系)」に示すように、回転する座標系での流体の運動方程式は、(2.7.5) 式に示す
単位質量あたりの見かけの体積力を加えることでよい。
このことから、定常回転の場合の運動方程式は、上記を考慮し下記となる。

(

)
−
→2
→ −
→
−
→
d −
V
p
V − V × curl V = − grad g z +
+
dt
2
ρ
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→
− 2Ω × V − Ω × (Ω × X)

ところで、2.7.1「Euler の運動方程式 (回転動座標系)」の Maxima 計算過程から、下記の関係がある。
→ −
→)2
−
→
−
→ −
→
1 (−
Ω ×X
Ω × ( Ω × X ) = −grad2
これを上式に代入し、定常回転の場合の運動方程式を整
理すると、

→ −
→ (
−
→
−
→)
d −
V − V × curl V + 2 Ω
dt
(
)
−
→2
→ −
→)2
V
p 1 (−= −grad g z +
+ −
Ω ×X
2
ρ 2
(2.8.5)kill(all);load("vect")
OM1:matrix([l],[m],[n]);VX:X=matrix([x],[y],[z]);OM2:col(adjoint(transpose(addcol(OM1,
rhs(VX),matrix([1],[1],[1])))),3);curl(transpose(OM2)[1]);express(%);
transpose(ev(%,diff));(2.7.3 ) 式から、この両辺の rotation をとると、
(−
(−
(−
→)
→)
→ −
→)
curl V1 = curl V2 + curl Ω × X2
(2.8.6)
ここで、V1 は慣性座標系の速度、V2 は回転動座標系の速度を表す。右辺第二項について、
 
l
−
→  
Ω = mnと置くと、下記の関係を得る。


2l
(−
)
−
→
→ −
→


curl Ω × X2 = 2 m = 2 Ω

2n

−
→
−
→
以上のことから、curlV2 + 2 Ω = 0 であれば、慣性系で−→curlV1 = 0 で渦無し流れとなる。いま、流れが相対的
−
→
−
→
−
→
に定常で、curl V + 2 Ω = 0、即ち −2 Ω の渦度がある場合、左辺が零となり、渦無し流れで

gz +

−
→2
→ −
→)2
V
p 1 (−+ −Ω ×X =H2
ρ 2(2.8.7)

いたるところで H が一定な回転動座標系の Bernoulli の定理を得る。図 2.7.3 に示すように、z 軸が Ω で定常回転する回転動座標系の場合の Bernoulli の定理は下記となる。ここで xd , yd は回転動座標系の xy 座標を表す。
( 2)
yd + x2d Ω2V2p+ −+ gz = H(2.8.8)2
ρ2

第 2 章 基礎方程式

32

2.8.2

気体に対する Bernoulli の定理

2.9

気体では密度は圧力によって変化するので、kill(all);

速度ポッテンシャル

流体を非圧縮性として、流速：V とすると、速度ポテ

EQBP01:p=k*\rho^\gamma;

ンシャル：Φ を下記にように定義する。
kill(all);EQBP02:solve(EQBP01,\rho)[1];

V:matrix([u],[v],[w]);EQBP03:solve(EQBP01,k)[1];

depends(u,[x,y,z,t]);

P=integrate(1/rhs(EQBP02),p);

depends(v,[x,y,z,t]);factor(ratsimp(subst([EQBP03],%)));

depends(w,[x,y,z,t]);radcan(%);

depends(p,[x,y,z,t]);

EQBP04:factor(%);

depends(\Phi,[x,y,z,t]);c^2=’diff(p,\rho,1);

X:matrix([0],[0],[-\rho*g]);subst([EQBP01],%);
ev(%,diff);load("vect")subst([EQBP03],%);

grad(\Phi);EQBP05:radcan(%);

express(%);

EQBP06:solve(%,p)[1];PH01:ev(%,diff);

EQBE04:(u^2+v^2+w^2)/2+rhs(EQBP04)=H;

PH02:V=transpose(PH01);

EQBE05:subst([EQBP06],%);
Bernoulli の定理として下記を使用する。
∫
1w 2 + v 2 + u2
dp + gz +=Hρ
2curl(PH01);

ここで気体の場合、重力加速度の影響は通常無視でき

express(%);

る。また、気体は理想気体で下記の断熱法則に従うとEQC01:ev(%,diff);する。

div(grad(\Phi))=0;
express(%);

express(%);
ev(%,diff);div(transpose(V)[1])=0;

ここで、定圧比熱と定積比熱の比を γ 、比例定数を k

EQC02:ev(%,diff);とすると圧力：p と密度：ρ の関係は、

p = k ργ

 
 d 
u
dx Φ
−
→  


V =  v  = grad(Φ) =  ddy Φ

上式を Bernoulli の定理に代入すると、

∫

1
dp
= kγ
ρ

∫

1

w

1

k γ p1− γpγ=
1 dp =
1
ρ
(γ
− 1)
1− γ
pγ
1

上記から、Bernoulli の定理は、

pγw2 + v 2 + u2+=Hρ (γ − 1)2(2.8.9)

ここで、音速を c とすると、音速と圧力：p と密度：ρ

速度の rotation をとると、
(
)
−
→
d
d
d
curl V = curl [Φ,Φ,Φ] = [0, 0, 0]dxdydzとなり、流れの中、いたるところで渦無し流れとなる。
下記の質量保存の方程式に上記の関係式を代入すると、

−
→
d
d
d
div( V ) =
w+
v+
u=0
dz
dy
dx

の関係は、

d
c2 =
p
dρ

div (grad (Φ)) = 0

上記の圧力：p と密度：ρ の関係から、

c2 =上記から、速度ポテンシャル：Φ の質量保存の方程式はpγρ下記となる。

上式を Bernoulli の定理に代入すると、
222(2.9.1)ddz Φ

2w +v +u
c
+
=H
γ−1
2

d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d y2
d x2

(2.9.2)

2.9. 速度ポッテンシャル

33

diff(V,t,1)+transpose(V.transpose(grad(rhs(PH02).rhs(PH02)/2+diff(\Phi,t,1));

grad(transpose(V)[1])));

express(%);

express(%);

EQBE02:expand(transpose(ev(%,diff)));ev(%,diff);lhs(EQBE01)-EQBE02;

grad(-p);grad(rhs(PH02).rhs(PH02)/2+diff(\Phi,t,1)

express(%);+g*z+p/\rho)=0;

P:transpose(ev(%,diff));

express(%);

diff(rhs(PH02),t,1)+transpose(ev(%,diff);rhs(PH02).transpose(grad(

expand(transpose(lhs(%)))=0;

transpose(rhs(PH02))[1])))=X+P;
express(%);

rhs(PH02).rhs(PH02)/2+diff(\Phi,t,1)+g*z+integrate(1/\rho,p)=F(t);EQBE01:ev(%,diff);
加速度項を速度ポテンシャルで書き換え、下記となる。

→
−
→
−
→
d −
V + ( V · grad) V
dt
(
)

(d )
( d )
d
d
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
d(y
dx
dt

 (d z ))()
=  ddz v w + v ddy v + u ddx v + ddt v 
(
)

 (
)
(
)
w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w
( 2
)(
)(
) (

) ( 2
) ( d2 )2dddΦΦ + d xd d y ΦΦ + ddx Φ+ d tdd x Φ
2 Φ
d
x
d
z
d
z
d
y
d
x
( 2

)(
)
) ( d ) ( d2 ) ( d ) ( d2dd2
=  d yd d z Φ
Φ
+
Φ
Φ
+
Φ
Φ
+
Φ

2
(
( 2 d z ) ( d y ) ( d2y ) ( d x ) ( d x 2d y ) d t 2d y 
)
d
d
d
d
d
d
d
dz Φ
d z2 Φ + d y Φ
dydz Φ + dx Φ
dxdz Φ + dtdz ΦBernoulli の定理の加速度項 (2.8.1) 式、(29 ページ) で速度ポテンシャルでは、curl ([u, v, w]) = 0 であり、この加速度項を速度ポテンシャルで別表記すると下記となる。これを展開すると上記と同じとなる。
()2 ( d ) 2 ( d )2
d
Φ
+
Φ
+
Φ
dy
dx
d 
 dz
+
Φ
= grad 2dt
上記から Euler の運動方程式は下記となる。
(p
grad g z + +
ρ

)

2
d
+
dz Φ

(

d
dy Φ

)2
+

( d

dx Φ



)2
+

2

d 
Φ = 0dt

これを積分し、下記の速度ポテンシャルの Bernoulli の定理表記を得る。

pgz + +
ρ

(d

dz Φ

)2

(
+

d
dy Φ

2

)2
+

( d

dx Φ

)2
+

d
Φ = F (t)dt

(2.9.3)

第 2 章 基礎方程式

34

2.10

質量保存の方程式 (ベクトル)

流体密度を ρ とし、これが時間と位置により変化するとする。ある領域の体積：V 、表面積：S とする。領域内の質量は次式で得られる。
∫∫∫
ρdV領域の表面積から出入りする質量は、表面積要素：dS 、→→
その垂直単位ベクトル：−
n 、流速：−
q とすると、
∫∫
→
→
ρ−
q−
n dS
領域内の質量の時間：t 変化は、領域の表面積から出入りする質量に等しいことから、
∫∫∫
∫∫
∂
→
→
ρdV =
ρ−
q−
n dS
∂t
ガウスの定理：(A.2.3 ) 式から
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∂
−
→
−
→
→
ρdV =
ρ q n dS = −∇ (ρ−q ) dV
∂t
上式から、
∫∫∫

∂
→
ρ + ∇ (ρ−q ) dV = 0∂t上式のある領域の質量変化が、要素の質量変化に適用でき、∂→
ρ + ∇ (ρ−
q)=0
∂t
上式から、

∂
→
→
ρ+−
q (∇ρ) + ρ (∇−q)=0∂t
時間微分：(A.1.1 ) 式から全微分に変更でき、(2.2.1) 式と同じ結果が得られた。

d→ρ + ρ (∇−q)=0
dt

(2.10.1)

2.11. Euler の運動方程式 (ベクトル)

2.11

Euler の運動方程式 (ベクトル)→
ある領域の体積：V 、表面積：S 、流速：−q とすと、−→
領域内の運動量：M は次式で得られる。
∫∫∫
−
→
M=
q ρdV

35
上式をまとめると、
∫∫∫
−
→
d→
ρ −
q + ∇p − F dV = 0dt
要素の力に適用すると次式となり、

ρ領域の表面積から出入りする運動量は、表面積要素：→
dS 、その垂直単位ベクトル：−n とすると、

∫∫

−

→
→
→
ρ−
q (−
q−
n ) dS

上式から領域内の運動量の変化は、
∫∫
∫∫∫
∂
−
→
→
→
→
q ρdV −ρ−q (−q−n ) dS∂t
ガウスの定理：(A.2.3 ) 式、時間微分：(A.1.1 ) 式から、
∫∫∫
∫∫
∂
−
→
→
→
→
q ρdV −ρ−q (−q−n ) dS
∂t
∫∫∫
∂
−
→
=
q ρdV
∂t
∫∫∫
→
→
→
→
+
(ρ−
q ) (∇−q ) + (−q ∇) (ρ−q ) dV
∫∫∫
∂ −
→
→
→
→
=
(→
q ρ) + (ρ−q ) (∇−q ) + (−q ∇) (ρ−q ) dV
∂t
∫∫∫
d −
→
→
=
(→
q ρ) + (ρ−q ) (∇−q ) dV
dt
∫∫∫
d
d→ −
→
→
q +→
q
ρ + (ρ−q ) (∇−q ) dV
=
ρ −
dt
dt
(
)
∫∫∫
d−
d
→
−
→
−
→
q + q
ρ + ρ (∇ q ) dV
=
ρ
dt
dt

(2.10.1 ) 式から体積分内第二項括弧内は零となり、領域内の運動量の変化は、
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∂
d→
−
→
→
→
→
q ρdV −ρ−q (−q−n ) dS =
ρ −
q dV
∂t
dt
(2.11.1)
圧力：p により領域に作用する力は、
∫∫
→
p−
n dS

−
→
流体要素に作用する外力： F により領域内の流体に作用する力は、

∫∫∫

−
→
F dV

運動量変化は領域に作用する力を表しており、上記、
圧力により領域に作用する力、流体要素に作用する外力と釣り合わねばならないから、
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
−
→
d−
→
−
→
ρ
q dV =
p n dS +F dVdt
ガウスの定理：(A.2.3 ) 式を右辺第一項に適用すると、
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
−
→
d−
→
ρ
q dV = −∇pdV +
F dV
dt

−
→
d−
→
q = F − ∇pdt

時間微分：(A.1.1 ) 式から、(2.7.2 ) 式と同じ結果が
得られた。

−
→
∂ −
→
→
→
q + ρ−q ∇−q = F − ∇p
(2.11.2)
∂t
−
→
−
→
→
→
q ∇−
q について、(C.3.19 ) 式で A → −q と置くと、ρ

1 (→2 ) −→→→(−q ∇) −
q = ∇ −q −→q × (∇ × −
q)
2
上式から、

ρ

−
→
1 (→2 )
∂ −→→→q +ρ ∇ −q − ρ−
q × (∇ × −q ) = F − ∇p∂t2

いま、F を重力のポテンシャル場とすると、F = −ρ g =−ρ ∇ Ω, Ω = g z となり、上式は、∂ −1 (→2 )
∇p
→
→
→
q −−
q × (∇ × −q)=− ∇ −q − ∇Ω −∂t2
ρ(2.11.3)→
q = 0、渦無し流れとす
いま、定常状態とすると ∂ −∂t→ると ∇ × −q = 0 となり、左辺は零となる。これから

上式は下記となり、Bernoulli の定理：(2.8.4 ) 式が得ら
れた。

1 2
p
q + gz + = H
2
ρ(2.11.4)

第 2 章 基礎方程式

36

物体に作用する力

2.12(2.9.3 ) 式から速度ポテンシャルの Bernoulli の定理は、
1∂2p = −ρ (∇Φ) − ρ
Φ + F (t)2∂t

流体中の物体に作用する力を求める。ここで、流体は定常で、渦無し流れとする。このとき物体に作用する力−→→
F は、物体境界：S 、−
n を物体内向きとすると、
B

−
→
F =

∫∫

→
p−
n dS

(2.12.1)

SB

Bernoulli の定理：(2.8.4 ) 式および (2.11.4 ) 式から、
1
p = H − ρq 2
2
上式を (2.12.1 ) 式に代入し、
∫∫
−
→
1
−
→
→
F =− ρ
q 2−
n dS
2
SB

(2.12.2)

ない。

∫∫

−
→
→
→
→
→
q 2−
n − 2−q (−n−q ) dS(2.12.7)

ガウスの定理：(A.2.3 ) 式から、
∫∫
∫∫∫
d
d
→
ρ
Φ−
n dS = ρ∇ΦdV
dtdt
SB +SCV→→
Transport Theorem：(A.4.1 ) 式から Un = −
q−
n とし

→
→
→
上式に −2−q (−n−q ) を加える。ここで、物体上：SB−→−→では n q = 0 であるから上式のこれを加えても変化し−→1
F =− ρ
2

上式を (2.12.1 ) 式に代入し、
∫∫
−
→
1
∂
2→
Φ + (∇Φ) −n dS
F = −ρ
ρ∂t2
SB(2.12.3)

SB

て上式は、
∫∫
d
→
ρ
Φ−
n dS
dt
SB +SC
(
)
∫∫∫
∫∫
∂
→
→
=ρ
∇
Φ dV + ρ∇Φ (−q−n ) dS∂tV
SB +SC上式右辺第一項にガウスの定理：(A.2.3 ) 式を適用す

ると上式は、∫∫d→
SB 間の流体にガウスの定理：(A.2.3 ) 式を適用すると、
ρ
Φ−
n dS
d
t
SB +SC
∫∫
∫∫
−
→
→
→
→
→
∂ −
→
→
q 2−
n − 2−q (−n−q ) dS=ρΦ→n + ∇Φ (−q−n ) dS
SB +SC∂t
SB +SC
∫∫∫
→
→
→
→
→
=−
∇−
q 2 − 2−q (∇−q ) − 2 (−q ∇) −
q dV
ここで物体から十分離れた境界：SC は空間固定の境V→→界とする。この境界：
SC では −
q−n = 0 であり、時間微(2.12.4)
分の項を交換できる。これから上式の境界：SB と境界：
−
→
−
→
→
q 2 について、(C.3.19 ) 式で A → −q と置くと、SC 、それぞれの式に分けることができ、上式右辺で、物体から十分離れた境界：SC と物体上：

) →
1 (−
→
→
→
q2 =−
q × (∇ × −q ) + (−q ∇) −q∇ →2(2.12.4 ) 式に上式を代入し、
∫∫
−
→
→
→
→
→
q 2−
n − 2−q (−n−q ) dS
SB +SC
∫∫∫
→
→
→
→
=−
2−
q × (∇ × −q ) − 2−q (∇−q ) dVV→
ここで渦無し流れから ∇ × −q = 0、質量保存の方
程式で非圧縮で、定常状態とすると、(2.10.1 ) 式から→∇−
q = 0 となり、上式の右辺は零となる。以上から上
式は、
∫∫

ρ

d
dt

∫∫

→
Φ−
n dS

S

B
∫∫

=ρ

∂ −
→
→
Φ→
n + ∇Φ (−q−n ) dS∂tSB(2.12.8)→→∂(2.12.7 ) 式と (2.12.8 ) 式の和をとり、−
q−n = ∂nΦとして整理すると、
∫∫
d
→
F =−ρ
Φ−
n dS
dt
SB
∫∫
1
∂
2→
Φ∇Φ − (∇Φ) −
n dS
+ρ
2
SB ∂n

(2.12.9)→→∂
Φ であるから、上式右辺第(2.12.5 ) 式で −q−n = ∂n
二項は (2.12.5 ) 式の左辺 × 12 と同じであるから、

→
→
→
→
−
→
n − 2−q (−n−q ) dS
q 2−
SB
∫∫
−
→
→
→
→
→
=−
q 2−
n − 2−q (−n−q ) dS(2.12.5)−ρSC

上式から (2.12.3 ) 式は、
∫∫
−
→ 1
→
→
→
→
−
→
F = ρ
n − 2−q (−n−q ) dS
q 2−
2
SC

F =−ρ

(2.12.6)

d
dt
∫∫

∫∫

→
Φ−
n dS

SB

1
∂
2→
Φ∇Φ − (∇Φ) −
n dS
2
SC ∂n

(2.12.10)

37

第 3 章 静止流体
3.1

流体の力学的平衡

水位の関係、

h2 + h1 = h

例題 3.1.1

マノメータ

連続の式は、

h1 A1 = h2 A2

圧力の計測に下記のマノメータが使用される。その校正式を求める。

これらを整理して、計測水柱から圧力差を求める式は下記となる。

p2 − p1 = −図 3.1.1: マノメータ/* マノメータ */kill(all);
MA1:p[1]+\rho*g*(h[0]-h[1])=p[2]+\rho*g*(h[0]+h[2]);MA2:h[2]+h[1]=h;
MA3:A[1]*h[1]=A[2]*h[2];MA11:factor(expand(solve(MA1,p[1])[1]-p[2]));
MA31:solve(MA3,h[1]);factor(-subst([MA31],MA11));
タンクの断面積：A1 、計測ガラス管の断面積：A2 、タンク側に圧力：p1 、ガラス管側に圧力：p2 の圧力をかけたとき、計測前の平衡状態からのタンクの水位変化：

h1、ガラス管の水位変化：h2 とする。液体の密度：ρ、
平衡位置から計測ガラス管の連結部までの距離：h0 とすると、連結部の圧力の釣り合い式は、(2.1.2 ) 式、
（14ページ）から、(h0 − h1 ) g ρ + p1 = (h2 + h0 ) g ρ + p2

h2 (A2 + A1 ) g ρ
A1

第3章

38

例題 3.1.2

ゲートに作用する力曲面を持ったゲート：AB に作用する力を求める。

A 点中心の上下力のモーメント：MV は、∫ π2
MV = g ρ R
sin (t) (R − cos (t) R) (sin (t) R + h0 ) dt
0g ρ R2 (3 π R − 4 R + 6 h0 )=12xc = MV /FV から、
xc =

図 3.1.2: ゲートに作用する力/* ゲート */kill(all);
GTH1:dF[H]=dt*R*cos(t)*\rho*g*(h[0]+R*sin(t));
F[H]=’integrate(rhs(GTH1)/dt,t,0,%pi/2);
GTH2:factor(ev(%,integrate));
GTV1:dF[V]=dt*R*sin(t)*\rho*g*(h[0]+R*sin(t));
F[V]=’integrate(rhs(GTV1)/dt,t,0,%pi/2);
GTV2:factor(ev(%,integrate));
GTM1:dM[V]=rhs(GTV1)*(R-R*cos(t));
M[V]=’integrate(rhs(GTM1)/dt,t,0,%pi/2);
GTM2:factor(ev(%,integrate));x[c]=rhs(GTM2)/rhs(GTV2);
上図に示すように、水面から h0 下にある、半径：R のゲートに作用する水平力、上下力、上下力の作用する位
置：xc を求める。角度：t における圧力は、(2.1.2 ) 式、
（14 ページ）から ρg(sin(t)R + h0 ) となり、面：Rdt に作用する。
力の方向を各成分に分解し、水平力：FH は、∫ π2
FH =g ρ R

cos (t) (sin (t) R + h0 ) dt
0=g ρ R (R + 2 h0 )2

上下力：FV は∫ π2
sin (t) (sin (t) R + h0 ) dt

FV =g ρ R0=g ρ R (π R + 4 h0 )4

静止流体

R (3 π R − 4 R + 6 h0 )
3 (π R + 4 h0 )

3.1. 流体の力学的平衡

例題 3.1.339

水タンクの底の球

水深：h の水タンクの底に直径：d の穴が開いている。
そこに直径：D の軽い球がはまっている。軽い球が浮いてこない条件を求める。球のタンク内の浮力を計算する/* 水タンクの底の球 */kill(all);assume(t[0]>0);
assume(D>0);
TKA1:dt*D/2*2*%pi*D/2*sin(t);integrate(%/dt,t,0,%pi);
TKV2:dF[2]=dt*D/2*2*%pi*D/2*sin(t)*\rho*g*(h[1]+D/2*cos(t))*cos(t);F[2]=’integrate(rhs(TKV2)/dt,t,0,%pi);
TKF2:expand(ev(%,integrate));F[21]=’integrate(rhs(TKV2)/dt,t,0,t[0]);TKF21:expand(ev(%,integrate));TKF3:F[V]=rhs(TKF2)-rhs(TKF21);
H1:h[1]=h-D/2*cos(t[0]);T1:sin(t[0])=(d/2)/(D/2);

図 3.1.3: 水タンクの底の球のに、まず、球全体の浮力を計算し、球がタンクからは

T10:solve(T1,t[0])[1];
subst([H1],TKF3);ANSTK:factor(subst([T10],%));

み出している部分を差し引くことで求める。計算が簡単

rhs(%)=0;になるように、球の中心の水深；h1 とし、角度：t を図

solve(%,h)[1];h>rhs(%);
FV = 0 として、h を求めると、
する。
√
(
)
2 D3 + D2 − d2 2 D2 + d2
角度 t における円周は πDsin(t) であるから、微少面積h=
6 d2
は πDsin(t) × dtD/2 となる。角度)( t における圧力は、D+ h1 であ 下記が、球が浮いてこない条件となる。
(2.1.2 ) 式、（14 ページ）から ρg cos(t)2√()
る。球全体の浮力を求めると下記となり、体積に ρg を
2 D3 + D2 − d2 2 D2 + d2
かけたものである。
h>
6 d2
)
(
∫
π
D
+ h1 dt
π g ρ D2 0 cos (t) sin (t) cos(t)2F2 =2
π g ρ D3=6のようにとる。球が底と接している部分の角度を t0 と同様に t を 0〜t0 まで積分すると、()∫tD
π g ρ D2 0 0 cos (t) sin (t) cos(t)
+
h
dt
1
2
F21 =
2
3
2
3
π cos (t0 ) g ρ D
π g ρ D3
π h1 cos (t0 ) g ρ D2
π h1 g ρ D 2
=−
+
−
+
12
12
4
4

上記の結果から、球の浮力は3

FV = F2 −F21 =2

π cos (t0 ) g ρ D3 π g ρ D3 π h1 cos (t0 ) g ρ D2 π h1 g ρ D2
+
+
−
12
12
4
4

ここで、下記の関係式を代入すると、cos (t0 ) Dd, sin (t0 ) =
2
D
√
√
(
)
π g ρ 2 D2 D2 − d2 + d2 D2 − d2 + 2 D3 − 6 d2 hFV =24
h1 = h −第3章

40

例題 3.1.4

箱形浮体の安定性

静止流体

ついて積分すると下記となる。

∫ B2

箱形浮体の安定性について調べる。浮体の幅：B 、喫水：A2 =d とする。水線面と浮体の中心線の交点を中心に傾斜させると新たに水につかる部分と水から出る部分の浮力増(tan (t) x + d) dx
−B
2

= dB

減が無いので、浮力が変化しないで傾斜する。
同様に、y 軸まわりのモーメント：Mx 、傾斜したときの浮心：B ′ の x 座標：xc2 は下記となる。

∫ B2
Mx =
=

x (tan (t) x + d) dx−B2tan (t) B 3
12tan (t) B 2
12 d
同様に、x 軸まわりのモーメント：My 、傾斜したとき
xc2 =の浮心：B ′ の y 座標：yc2 は下記となる。

∫ B2
−B
2

My =

図 3.1.4: 箱形浮体の安定性

2(tan (t) x + d) dx
22/* 箱形浮体の安定性 */kill(all);
BK1:dx*d;
BK11:A[1]=integrate(BK1/dx,x,-B/2,B/2);

tan (t) B 2 + 12 d2
24 d
傾斜していないときの浮心：B を新しい座標の中心に選
yc2 =ぶと、B ′ の y 座標：yc3 は、
2

yc3 =

integrate(BK1/dx*x,x,-B/2,B/2);

tan (t) B 2
24 d

BK12:x[c1]=%/rhs(BK11);

この傾斜した浮体の浮心座標を B を中心に θ だけ傾斜

integrate(BK1/dx*(-d/2),x,-B/2,B/2);

した座標に変換し、その x 座標：Xcd は、下記となる。

BK13:y[c1]=%/rhs(BK11);
BK2:dx*(d+x*tan(t));
A[2]=’integrate((BK2/dx),x,-B/2,B/2);
BK21:expand(ev(%,integrate));M[x]=’integrate(BK2/dx*x,x,-B/2,B/2);
expand(ev(%,integrate));
BK22:x[c2]=factor(rhs(%)/rhs(BK21));
M[y]=’integrate(BK2/dx*(d+x*tan(t))/2,x,-B/2,B/2);
ev(%,integrate);y[c2]=factor(rhs(%)/rhs(BK21));
BK23:y[c3]=factor(rhs(%)-d/2);
BK3:x[cd]=rhs(BK22)*cos(t)+rhs(BK23)*sin(t);
BK4:GZ=rhs(BK3)-BG*sin(t);rhs(BK4)=0;
trigsimp(solve(%,BG)[1]);BG<rhs(%);
subst([t=0],%);
浮体が傾斜していないときの浮力の中心：B は中心線上で、底面から d/2 の位置にある。傾斜したときの水面を
図中の赤線で表し、その水面下の面積を求める。x における水面下の高さは tan (t) x + d となり、これを全幅に

2

xcd =

cos (t) tan (t) B 2
sin (t) tan (t) B 2
+
24 d
12 d

浮体の重力と浮力による復原モーメントのレバー：GZ
は、浮心からの重心高さ：BG を考慮し次式となる。

GZ = − sin (t) BG + xcd
2

sin (t) tan (t) B 2
24 dcos (t) tan (t) B 2+
12 d= − sin (t) BG +復原モーメントのレバー：GZ が零となる BG は、()
2
cos (t) + 1 B 2
BG =2
24 d cos (t)浮体が安定となる条件は下記となる。
()
2cos (t) + 1 B 2
BG <2
24 d cos (t)鉛直近傍：t ≈ 0 での安定となる条件は下記となる。

BG <

B2
12 d

この GZ 曲線は下記となる。

3.1. 流体の力学的平衡41/* 浮体の安定性 (GZ 曲線) */
B:5;
d:1;
BG:1.5;plot2d(rhs(BK4),[t,0,%pi/8]);

図 3.1.5: GZ 曲線/* 浮体の安定性 (微少傾斜角) */DM1:(2/3*B/2)*(B/2*B/2*dt/2)*2;
DI1:dI=DM1/dt;
DM2:dI*dt;
DA1:dV=B*d;
BB1:BBd=DM2/dV;
BM1:BBd=BM*dt;
subst([BB1],%);
solve(%,BM)[1];
subst([DI1,DA1],%);
BG<rhs(%);
微小傾斜角での安定性について検討する。新たに水につかる部分の三角形面積は B/2 · B/2 · dt/2、中心線からの面積中心までの距離は 2/3 · B/2 から、新たに水につかる部分と水から出る部分のモーメントはdt B 312となる。単位幅の慣性モーメント：dI 、体積：dV は

dI =

B3
12

dV = d B

ここで傾斜したときの浮心 B ′ から浮力線が中心線と交わる転をメタセンター：M とする。このとき下記の関係が得られる。

BB ′ =

dt dI
dVBB ′ = dt BM

BM =

dI
dV

以上から、一般的な船舶では、この式を船長方向に積分することにより、浮心：B からメタセンター：M までの距離：BM が得られる。

∫
dIdz
BM = ∫
dV dz
箱船の場合には上記と同じ下記の式が得られる。

BM =

B2
12 d

BG <

B2
12 d

第3章

42

3.2

動座標系

例題 3.2.2

静止流体

回転する水の水面

鉛直軸まわりを角速度：Ω で液を回転させる。このとき

例題 3.2.1

直線加速中のタンクの水面の液面の形状を求める。

水が入ったタンクを一定加速度：α で加速する。このときの液面の傾き：ϕ を求める。

図 3.2.1: 直線加速中のタンクの水面/* 直線加速中のタンクの水面 */図 3.2.2: 回転する水の水面

kill(all);
ALX:\alpha[x]=-\alpha*cos(\theta);
ALY:\alpha[y]=-\alpha*sin(\theta);/* 回転する水の水面 */\phi=atan(rhs(ALX)/(rhs(ALY)-g));単位質量に作用する力は、タンクに与えた加速度と重力

kill(all);が作用する。加速度成分を XY 座標に分けると、

ALX:\alpha[x]=x*\Omega^2;
ALY:\alpha[y]=-g;

αx = −α cos (θ)

tan(\phi)=-rhs(ALX)/rhs(ALY);
subst([tan(\phi)=dy/dx],%);

αy = −α sin (θ)’integrate(denom(rhs(%)),y)

図から、液面の傾きは下記となる。
()
α cos (θ)ϕ = − arctan−α sin (θ) − g=’integrate(num(rhs(%)),x)+C;
ev(%,integrate);
expand(solve(%,y)[1]);EQ1:expand(subst([C=C*g],%));
C:3;
g:9.8;\Omega:10;
plot2d(rhs(EQ1),[x,-1,1],[y,0,10]);(2.7.6) 式、(28 ページ) から単位質量あたりの見かけの体積力は下記となる。

αy = −gαx = Ω2 x

見かけの体積力の合力の傾き：ϕ は下記となる。tan(ϕ) =dy/dx から、tan (ϕ) =

Ω2 x
dy
=
dx
g

これを積分すると、∫

g y = C + Ω2

xdx

以上から液面の形状は

y=C+Ω2 x 22g

3.3. 気体の特性

例題 3.2.343

回転する U 字管の水位

3.3

気体の特性

下図のように U 字管の端：1 を鉛直軸まわりに角速度：Ω で U 字管を回転させる。このときの U 字管の液面差を求める。

例題 3.3.1
定）大気の圧力と高度の関係（温度一

大気の温度が変わらないとして、大気の圧力：p(z) と高度：z の関係を求める。
/* 大気圧と高度の関係 (1) */p(z)/\rho=p[0]/\rho[0];RH1:solve(%,\rho)[1];
EQRH1:diff(p(z),z,1)=-\rho*g;
EQRH2:subst([RH1],%);
atvalue(p(z),z=0,p[0]);desolve(EQRH2,p(z));
気体の状態式から、温度一定の場合、(2.1.5) 式、（15 ページ）から、圧力：p(z) と密度：ρ の関係は次式となる。
図 3.2.3: 回転する U 字管の水位/* 回転する U 字管の水位 */kill(all);

ここで地表：z = 0 の圧力：p0 と密度：ρ0 とする。

p (z)
p0
=
ρ
ρ0

ρ=

ρ0
p(z)
p0

流体の力学的平衡の (2.1.1) 式、（14 ページ）に上式

load("vect")を代入して ρ を消去し、下記の微分方程式を得る。

depends(p,[r]);EQR1:diff(p,r,1)*dr*A=\rho*A*dr*r*\Omega^2;
EQR1/dr/A;’integrate(1,p)=’integrate(rhs(%),r,0,L);
EQP1:ev(%,integrate);
EQP2:\rho*g*h[1]+rhs(%)=\rho*g*h[2];expand(%/\rho/g);
expand(%-h[1]);(2.7.6) 式、(28 ページ) の単位質量あたりの見かけの体積力から、微小幅：dr に作用する力は下記となる。
()
dp A = dr Ω2 r ρ A
drdr
整理すると、dp = Ω2 r ρdr
積分すると、回転によって生じる圧力差は、∫ LΩ2 ρ L 2
rdr ρ =
p = Ω22
0
U 字管の端：2 の下端の位置の圧力は、Ω2 ρ L 2+ h1 g ρ = h2 g ρ
2
U 字管の液面差は、
h2 − h1 =

Ω2 L2
2g

d
p (z) = −g ρdz
ρ0 g p (z)=−p0
上式を初期条件：地表 z = 0、圧力：p0 で解くと、
ρ0 g zp (z) = p0 e− p0

第3章

44

例題 3.3.2

静止流体

大気の圧力と高度の関係（対流圏） 初期条件：地表：z = 0 で圧力：p0 のもとで、積分定数：

対流圏では高度に比例して温度が低下していく。このときの大気の圧力：p(z) と高度：z の関係を求める。

/* 大気圧と高度の関係 (2) */TH2:T=T[0]-a*z;
p(z)/\rho=R[M]*T;
solve(%,\rho)[1];RHT2:subst([TH2],%);
EQRHT2:subst([RHT2],EQRH1);
desolve(EQRHT2,p(z));
ANSRHT1:integrate(1/p(z),p(z));
ANSRHT2:integrate(rhs(EQRHT2)/p(z),z);
ANSRHT3:%e^ANSRHT1=radcan(%e^ANSRHT2)+C;
subst([p(z)=p[0]],%);
subst([z=0],%);
solve(%,C)[1];
subst([%],ANSRHT3);
対流圏での高度と温度（絶対温度）：T の関係は次式となる。ここで、地表の温度：T0 、比例係数：a とする。

T = T0 − a z
気体の状態式から、(2.1.5) 式、（15 ページ）から、圧力と密度の関係は次式となる。ここで RM は気体定数と 1モルの質量の比を表す。

p (z)= RM T
ρ
上式から、

ρ=

p (z)
(T0 − a z) RM

流体の力学的平衡の (2.1.1) 式、（14 ページ）に上式を代入して下記の微分方程式を得る。

dp (z) = −ρgdz=−g p (z)(T0 − a z) RM

desolve 関数では解けなかったので、上式を下記のよう
に変形し、

1
g dz
dp(z) = −p(z)(T0 − a z) RM
左辺を積分すると、∫
1
dp (z) = log (p (z))
p (z)右辺を積分すると、∫
1
g T0 −ag log (T0 − a z)
z dz
−
=
RM
a RM
上両式の指数を取り、積分定数を考慮すると、gp (z) = C + (T0 − a z) a RM

C を求めると、大気の圧力と高度の関係式は、
g

g
a RM

p (z) = (T0 − a z) a RM − T0

+ p0

45

第 4 章 Bernoulli の定理
4.1

タンクの穴からの噴出

例題 4.1.2

くびれ係数

タンクの液体が側壁の穴から噴出する流れにおいて、噴例題 4.1.1

Torricelli の定理

流が徐々に絞られ定常になった位置での噴流の断面積とタンクの液体が側壁の穴から噴出する流速を求める。

穴の面積の比：くびれ係数 α を求める。

図 4.1.1: Torricelli の定理
図 4.1.2: くびれ係数/* トリチェリ (Torricelli) の定理 */kill(all);/* くびれ係数 */EQB2:p[0]/\rho+g*h=V^2/2+p[0]/\rho;

Q1:Q=A[0]*\alpha*rhs(V1);

V1:rootscontract(solve(%,V)[2]);大気圧：p0 、穴から液面までの高さ：h、重力加速度：g 、

MAS:M=\rho*rhs(Q1)*dt;

穴から液体が噴出し定常になった流速：V とする。ここF1:solve(MOM,F[1])[1];で、タンクの液面は十分広く、液体が流出することによ

F0:F[0]=A[0]*(\rho*g*h);

る液面高さの変化は小さいとする。液面の位置および噴EQF:rhs(F1)=rhs(F0);

流が定常になった位置で Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。液面では流速は零である。まsolve(EQF,\alpha)[1];
噴流の流量は流速 × 断面積から Torricelli の定理を使った、噴流位置での圧力は外界圧力：P0 に等しくなる。以て下記となる。ここで穴の断面積：A0 、流量：Q、大気上のことから式にまとめると下記となる。

圧：p0 、穴から液面までの高さ：h、重力加速度：g と

MOM:F[1]*dt=rhs(MAS)*rhs(V1);する。また、時間：dt 間に流れる質量：M は、

p0
V2
p0
+gh =
+
ρ
2
ρ

Q = A0 α√

2gh

M = A0 α dt

√

2ghρ

上式から流速を求めると、

V =√噴流によりタンクに作用する反力：F1 は運動量変化か

2gh(4.1.1)

ら、一方、タンクでは穴の部分で圧力が作用しないので、その分の力：F0 で押されるので、

F1 dt = 2 A0 α dt g h ρ

F 0 = A0 g h ρ

上記の両力：F0 、F1 は等しいとして、くびれ係数 α は、

α=

1
2

観測結果から、平面壁の円穴のくびれ係数 α ≈ 0.6 である。

第 4 章 Bernoulli の定理

46

例題 4.1.3

円管より鉛直落下する水

例題 4.1.4

円管より斜め上方へ放出した水出口が鉛直下方に向いた円管から鉛直落下する水の落下

円管より斜め上方へ放出した水の最高高さなどを求め速度などを求める。

る。

図 4.1.4: 円管より鉛直落下する水図 4.1.3: 円管より鉛直落下する水/* 円管より斜め上方へ放出した水 */kill(all);
EQB1:p[0]/\rho+V[1]^2/2=(V[1]*cos(\theta))^2/2+p[0]/\rho+g*h;/* 円管より鉛直落下する水 */kill(all);

ANS1:factor(solve(%,h)[1]);EQB1:p[0]/\rho+V[1]^2/2+g*h=V[2]^2/2+p[0]/\rho;

EQC1:V[1]*%pi*D[1]^2/4=(V[1]*cos(\theta))*%pi*D[2]^2/4;

ANS1:solve(%,V[2])[2];

solve(%,D[2])[2];
円管出口の直径：D1 、流速：V1 とする。水平より角度：

EQC1:V[1]*%pi*D[1]^2/4=V[2]*%pi*D[2]^2/4;

θ で斜め上方へ水を放出する。放出した水の最高高さ：

subst([ANS1],%);h では、水の流速：V2 は初期流速：V1 の cos(θ) で水平
solve(%,D[2])[2];方向である。最高高さでの水の直径：D2 とする。円管
円管出口の直径：D1 、流速：V1 とする。出口より下方：
出口および最高高さで Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30h における水の流速：V2 、直径：D2 とする。円管出口おページ) を適用する。
よび出口より下方：h の位置で Bernoulli の定理：(2.8.4)
式、(30 ページ) を適用する。

2

V2
p0
V2
p0
+gh+ 1 =
+ 2
ρ
2
ρ
2
出口より下方：h における水の流速は、√
V2 = 2 g h + V12
円管出口および出口より下方：h の位置で流量が等しいとして、

π D12 V1
π D22 V2=44
出口より下方：h における水の流速を上式に代入し、出口より下方：h の直径は、

D2 =

D1

√

V1
1

(2 g h + V12 ) 4

V2
V 2 cos (θ)
p0p0+ 1 = 1
+
+gh
ρ
2
2
ρ
上式から放出した水の最高高さ：h を求めると、

h=−V12 (cos (θ) − 1) (cos (θ) + 1)2g

円管出口および最高高さで流量が等しいとして、

π D12 V1
π V1 D22 cos (θ)=
44
上式から最高高さでの水の直径：D2 は、√
1
D2 = D1
cos (θ)4.1. タンクの穴からの噴出

例題 4.1.547

側壁の穴からの噴出（液面積影響） 液面積と流速の関係を下図に示す。液面積が有限の場

Torricelli の定理では液面が十分広いと仮定した。ここ
では液面積の噴出流速への影響について調べる。

合の流速はには、Torricelli の定理による流速より早い。
また、液面の面積を無限大にすると流速は下記となり、

図 4.1.5: 側壁の穴からの噴出（液面積影響）
図 4.1.6: 液面積と流速の関係

kill(all);/* 液面積影響 */EQB1:p[0]/\rho+g*h[1]+V[0]^2/2=V[1]^2/2

Torricelli の定理と同じになる。

+p[0]/\rho;
EQC1:V[0]*A=V[1]*a*\alpha;solve(%,V[0])[1];
subst([%],EQB1);
ANS1:rootscontract(solve(%,V[1])[2]);Q[1]=a*\alpha*rhs(ANS1);
ANS10:rootscontract(limit(rhs(ANS1),A,inf));
Q[1]=a*\alpha*rhs(ANS10);h[1]:0.5;
g:1;
a:1;\alpha:0.6;
plot2d(rhs(ANS1),[A,1,10]);大気圧：p0 、穴から液面までの高さ：h1 、重力加速度：
g 、液面の面積：A、穴の面積：a、くびれ係数：α、液面の下降速度：V0 、穴から液体が噴出し定常になった流
速：V1 、流量：Q1 とする。液面の位置および噴流が定常になった位置で Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。

p0
V2
p0
V2
+ h1 g + 0 =
+ 1
ρ
2
ρ
2
両点における流量は等しく、

V0 A = V1 a α
上記の二式から√

2 h1 gA2 − a2 α2√
2 h1 gQ1 = a α A
2
A − a2 α 2
V1 = Alim V1 =A→∞√

2 h1 g

第 4 章 Bernoulli の定理

48

例題 4.1.6

側壁の穴からの噴出水の到達距離

Torricelli の定理から、噴出水の到達距離を求める。

y (t) =

g t2
2

軌跡は下記となり、
2g x (t)2V 2√
2 y (t)Vx (t) =gy (t) =

上式に、流速、垂直距離を代入すると噴出水の上位の到達距離：X1 、下位の到達距離：X2 が次式で得られる。

X1 = 2
図 4.1.7: 側壁の穴からの噴出（液面積影響）

X2 = 2√√h1 (h3 + h2 )(h2 + h1 ) h3

ここで h1 = h3 とすると、上下位置の到達距離は同じ

kill(all);になる。

ANS10:V[1]=sqrt(2*g*h[1]);ANS20:subst([V[1]=V[2],h[1]=h[1]+h[2]],ANS10);
EQD1:diff(x(t),t,1)=V;
EQD2:diff(y(t),t,2)=g;
atvalue(x(t),t=0,0);
atvalue(y(t),t=0,0);
atvalue(diff(y(t),t,1),t=0,0);
assume(x(t)>0);
assume(y(t)>0);
ANSD1:desolve(EQD1,x(t));
ANSD2:desolve(EQD2,y(t));
solve(ANSD1,t)[1];lhs(ANSD2)=subst([%],rhs(ANSD2));
ANSD3:rootscontract(solve(%,x(t))[2]);ANSL1:factor(rootscontract(subst([x(t)=X[1],y(t)=h[2]+h[3],V=rhs(ANS10)],ANSD3)));
ANSL2:factor(rootscontract(subst([x(t)=X[2],y(t)=h[3],V=rhs(ANS20)],ANSD3)));Torricelli の定理：(4.1.1 ) 式、(45 ページ) から、液面から h1 および h2 + h1 の噴出流速：V1 ,V2 は下記となる。ここで g ：重力加速度とする。
√ √V1 = 2 h1 g
√ √V2 = 2 (h2 + h1 ) g
噴出水の軌跡は、速度：V で水平方向に放出された質点の軌跡で表すことができる。運動方程式は下記となる。
ここで、x(t)：水平距離、y(t)：鉛直距離、t：時間とする。

dx (t) = Vdtd2
y (t) = gd t2微分方程式を解くと、
x (t) = t V

4.1. タンクの穴からの噴出49

例題 4.1.7 柱状タンクの下端からの流出（液位と時間）
柱状タンク（液面積：A）の下端にある穴（面積：a）から液が流出する。このときの液位と時間の関係について調べる。

図 4.1.8: 柱状タンクの下端からの流出/* 柱状タンクの水位と時間 */kill(all);
EQB1:p[0]/\rho+g*h=V^2/2+p[0]/\rho;
ANS1:solve(%,V)[2];Q1:\alpha*a*rhs(ANS1)*dt;
Q2:-A*dh;
EQQ1:Q1=Q2;
EQQ2:lhs(EQQ1)/dt;
EQQ3:EQQ1/EQQ2;
assume(h[1]>0);
assume(h[2]>0);
assume((h[2]-h[1])>0);’integrate(lhs(EQQ3)/dt,t)=’integrate(rhs(EQQ3)/dh,h,h[1],h[2]);factor(ev(%,integrate));
タンク液面の位置および下端からの流出位置で Bernoulliの定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。大気圧：

p0 、流出速度：V 、くびれ係数：α、底面から液面までの高さ：h とすると、流出速度は、

p0
V2
p0
+gh =
+
ρ
2
ρ

V =

√ √
2 gh

時間：dt 間に流出する体積は√√下端の流出速度から 2 a α dt g h、液面の低下量：−dh から −dh Aとなり次の式が得られる。

√

2 a α dt√
g h = −dh A

整理して、

dt = − √dh A√
2aα gh

液位が h1 から h2 までになる時間：t は上式を積分して、

∫ h2
h1

√1 dh A
gh

√
2aα
√ (√
√ )
2
h2 − h1 A
=−
√
aα g

t=−

第 4 章 Bernoulli の定理

50

例題 4.1.8 半球タンクの下端からの流出（液位と時間）半径：R の半球の下端にある穴（面積：a）から液が流出する。このときの液位と時間の関係について調べる。

両者を等しいと置き、整理すると、()
2
π dh R2 − (R − h)√dt = −√
2aα gh
液位が h1 から h2 までになる時間：t は上式を積分して、

t=−

π
(

∫ h2 R2 −(R−h)2
h1

√

√

gh

2aα

dh

)
3
5
5
20 π h2 − 20 π h12 R − 6 π h22 + 6 π h12√=−√
15 2 a α g

図 4.1.9: 半球タンクの下端からの流出/* 半球タンクの水位と時間 */kill(all);
EQB1:p[0]/\rho+g*h=V^2/2+p[0]/\rho;
ANS1:solve(%,V)[2];Q1:\alpha*a*rhs(ANS1)*dt;
R1:sqrt(R^2-(R-h)^2);
A1:%pi*R1^2;
Q2:-A1*dh;
EQQ1:Q1=Q2;
EQQ2:lhs(EQQ1)/dt;
EQQ3:EQQ1/EQQ2;
assume(h[1]>0);
assume(h[2]>0);
assume((h[2]-h[1])>0);’integrate(lhs(EQQ3)/dt,t)=’integrate(rhs(EQQ3)/dh,h,h[1],h[2]);partfrac(ev(%,integrate),R);
タンク液面の位置および下端からの流出位置で Bernoulliの定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。大気圧：

p0 、流出速度：V 、くびれ係数：α、底面から液面までの高さ：h とすると、流出速度は、

p0
V2
p0
+gh =
+
ρ
2
ρ
√ √
V = 2 gh
時間：dt 間に下端から流出する体積は√√
2 a α dt g h
液面の低下量：−dh から流出する体積は()
2−π dh R2 − (R − h)32

4.1. タンクの穴からの噴出

例題 4.1.9

51

水時計

上記から、

(

水を入れた容器の下の小さな穴から水が流出し、水面の2

α v A = r (h) π降下速度が一定な水時計について考える。容器は底から水面の高さ：h(t) で、半径：r(h) の回転対称であるとす
る。

d
h (t)
dt

)

d
d t h (t) = C で水面の降下速度が一定とすると、

√

2α

√

2

g h (t) A = r (h) π C

容器の底から水面の高さ：h(t) と半径：r(h) の関係式は下記となる。

√
1
4

r (h) = 2 (g h (t))

図 4.1.10: 水時計

kill(all);/* 水時計 */EQA1:p[0]/\rho+g*h(t)=v^2/2+p[0]/\rho;
EQB1:dV=\alpha*A*v*dt;
EQC1:dV=\pi*r(h)^2*dh(t);ANSA1:solve(EQA1,v);
ANSA11:ANSA1[2];ANSB1:rhs(EQB1)=rhs(EQC1);ANSB2:subst([dh(t)=diff(h(t),t,1),dt=1],%);ANSB3:subst([ANSA11,diff(h(t),t,1)=C],%);ANSB4:solve(%,r(h))[2];
タンク液面の位置および下端からの流出位置で Bernoulliの定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。大気圧：

p0 、流出速度：v 、流出孔の断面積：A、くびれ係数：α、底面から液面までの高さ：h(t)、大気圧：p0 、密度：ρ、
重力加速度：g とすると、

g h (t) +

p0
v2
p0
=
+
ρ
2
ρ

下端から液体が流出する速度：v は上式から、v=√ √2 g h (t)時間：dt 間に下端から流出する体積：dV は、くびれ係
数：α を考慮して、

dV = α dt v A
液面の低下による流出する体積：dV は、
2

dV = r (h) π dh (t)

1
4

αA
πC

第 4 章 Bernoulli の定理

52

例題 4.1.10 下部開口部でつながった二つのタンクの液面変化

面までの高さ：h2 とすると、

p0
V2
p0
+ h1 g =++ h2 gρ2ρ

液面の面積：A1 と液面の面積：A2 が下図のように下部で穴が開いてつながっている。このときの両タンクの液
位と時間の関係を求める。

流出速度は下記となり、両液面高さの差：h = h1 − h2
とすると、

V =

√

(2 h1 − 2 h2 ) g =√2gh

時間：dt 間に下端から流出する体積：dQ は下記となる。
ここで、タンク１の液面変化：dh1 、タンク２の液面変化：dh2 とする。

dQ = dh1 A1 = dh2 A2 = a α dt V
両液面高さの差を導入し、式を整理すると、−dh = dh2 + dh1 =

図 4.1.11: 下部開口部でつながった二つのタンクの液面
変化

dQ dQ
+
A2
A1

流出する体積と流出速度の関係式を代入すると、√√2 (A2 + A1 ) a α dt g h
−dh =
A1 A2
式を整理し、/* 下部開口部でつながった二つのタンクの液面変化 */kill(all);
BE:p[0]/\rho+g*h[1]=V^2/2+p[0]/\rho+g*h[2];VV:rootscontract(solve(%,V)[2]);V1:rootscontract(factor(subst([h[1]=h+h[2]],VV)));
DQ1:dQ=A[1]*dh[1];DQ2:dQ=A[2]*dh[2];DQ3:dQ=V*a*\alpha*dt;
DH:-dh=dh[1]+dh[2];
DQ11:solve(DQ1,dh[1])[1];
DQ21:solve(DQ2,dh[2])[1];
subst([DQ11,DQ21],DH);
EQ1:factor(subst([DQ3,V1],%));
EQ2:EQ1/sqrt(g*h);assume(H[1]>0);
assume(H[2]>0);
assume((H[1]-H[2])>0);’integrate(lhs(EQ2)/dh,h,H[1],H[2])=’integrate(rhs(EQ2)/dt,t);ev(%,integrate);
factor(solve(%,t)[1]);タンク１の液面の位置およびタンク２の穴開口部位置でBernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。
大気圧：p0 、流出速度：V 、くびれ係数：α、タンク１の底面から液面までの高さ：h1 、タンク２の底面から液

dh
−√
=
gh

√

2 (A2 + A1 ) a α dt
A1 A2

両辺を積分し、∫ H1
H2

1√ dh =
gh

式を整理すると、√√

2 (A2 + A1 ) a α t
A1 A2

(√
√ )
2 A1 A2
H2 − H1t=−√(A2 + A1 ) a α g

4.1. タンクの穴からの噴出

例題 4.1.11
ら噴出

容器につめた気体が小さな穴か容器につめた気体が小さな穴から噴出する流速：V を求める。容器内の圧力：p0 、温度：T0 、外部圧力：p が与53
ここで必要な噴出部密度：ρ、容器内密度：ρ0 は与えられていないので、下記から得る。
気体が理想気体で、断熱変化すると仮定する。(2.1.6)
式、(16 ページ) から下記の関係がある。

p
p0
= γ
γ
ρ
ρ0

えられているとする。

1

ρ0 p γρ=

1p0γ
また、状態方程式から圧力、密度と温度の関係は (2.1.5)
式、(15 ページ) から下記となる。ここで気体定数：R、1 モルの質量：M 、容器内温度（絶対温度）：T0 とする。
p0 =

ρ0 T0 R
M

ρ0 =

p0 M
T0 R

気体の場合の Bernoulli の定理に上記二式を代入し噴
図 4.1.12: 容器につめた気体が小さな穴から噴出/* 容器につめた気体が小さな穴から噴出 */kill(all);kill(all);assume(\gamma>0);
assume(p>0);
assume(p[0]>0);
assume(\rho[0]>0);
EQBE01:(p*\gamma)/(\rho*(\gamma-1))+V^2/2

出速度：V を求めると,
)
(
1
1
γ
γ
2 T0 p0 p − p0 p R γ
V2 =1
p0 p γ M (γ − 1))(11
γ −1 1− γ
2 T0 1 − p0 pRγ
V2 =M (γ − 1)
√
√
1
1
−1
2 T0 R γ
1−
V = 1 − p0γ p γMγ−M=(p[0]*\gamma)/(\rho[0]*(\gamma-1));

上式から、小さな穴から噴出する流速は容器内外圧力

EQRHO:p/\rho^\gamma=p[0]/\rho[0]^\gamma;

比と容器内温度をあげることで、早くなる。しかし音速

EQRHO1:solve(EQRHO,\rho)[1];以上にはならない。

EQC:p[0]=R/M*\rho[0]*T[0];EQC1:solve(EQC,\rho[0])[1];
subst([EQC1],EQBE01);
subst([EQRHO1],%);
subst([EQC1],%);ANSV2:solve(%,V^2)[1];
factor((%));
V^2=(2*T[0]*(1-p[0]^(1/\gamma)*p/(p[0]*p^(1/\gamma)))*R*\gamma)/(M*(\gamma-1));
V=rootscontract(sqrt((2*T[0]*R*\gamma)/(M*(\gamma-1))))*sqrt(1-p[0]^(1/\gamma)*p/(p[0]*p^(1/\gamma)));気体の場合の Bernoulli の定理：(2.8.9) 式、(32 ページ) で、容器内部と噴出部で式をたてると下記となる。
ここで噴出部密度：ρ、容器内密度：ρ0 、定圧比熱と定積比熱の比：γ とする。

pγ
V2
p0 γ
+
=
ρ (γ − 1)2
ρ0 (γ − 1)

第 4 章 Bernoulli の定理

54

4.2

管路

例題 4.2.1

管の場所 1 と場所 2 について

ベンチュリ管 (Venturi tube)

p1
u2+ z1 g + 1 = H
ρ
2

p2
u2
+ z2 g + 2 = Hρ2

下図のベンチュリ管を用いて計測した圧力から流量：Q

両式を重量加速度：g で割ると、液柱となり、損失がなを求める。

いとすると各項は図のような関係となる。

p1
u2
H+ 1 + z1 =
gρ 2g
g

p2
u2
H
+ 2 + z2 =gρ 2gg

上方に解放した圧力指示管で場所 1 と場所 2 の指示の差：h とすると、

gh = −

p2
p1+− z2 g + z1 gρρ

上式を Bernoulli の定理の式に代入し、u2 を求めると、√√
gh
u2 = 2 S1 − 2S2 − S12
上式から流量は、Q=

図 4.2.1: ベンチュリ管√√
2 S1 S2−gh
S22 − S12

EQ3:p[1]+\rho*g*z[1]=p[2]+\rho*g*(z[2]-h[2])+\rho[2]*g*h[2];Z1:solve(EQ3,z[1])[1];
subst([U1,Z1],EQ1);/* ベンチュリ管 */kill(all);

ANS3:factor(solve(%,u[2])[2]);Q1:Q=u[1]*S[1];Q2:Q=u[2]*S[2];H1:u[1]^2/2+p[1]/\rho+g*z[1]=H;
H2:u[2]^2/2+p[2]/\rho+g*z[2]=H;
expand(H1/g);

subst([ANS3],Q2);
場所 1 と場所 2 をつないだ図下のマノメータでは、場所
1 の指示高さを基準位置とする。マノメータの指示差：
h2 、マノメータで使用する液体の密度：ρ2 とする。この位置における場所 1 および場所 2 の圧力を求め、圧力

expand(H2/g);
EQ1:lhs(H1)=lhs(H2);が等しいとすると、

z1 g ρ + p1 = (z2 − h2 ) g ρ + h2 ρ2 g + p2

subst([Q1],Q2);
U1:solve(%,u[1])[1];
subst([U1],EQ1);
ANS1:factor(solve(%,u[2])[2]);DH:g*h=(g*z[1]+p[1]/\rho)-(g*z[2]+p[2]/\rho);

上式を Bernoulli の定理の式に代入し、u2 を求めると、√√
h2 g (ρ − ρ2 )u2 = 2 S1(S22 − S12 ) ρ
上式から流量は、

DH1:solve(DH,z[1])[1];
ANS2:factor(subst([DH1],ANS1));
subst([ANS2],Q2);
ベンチュリ管における場所 1 における断面積：S1 、流速：u1 、圧力：p1 とし、場所 2 における断面積：S2 、流速：u2 、圧力：p2 、液体の密度：ρ とする。流量は下記の関係となる。

Q = u1 S1

Q = u2 S2Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) でベンチュリ

Q=

√

√
2 S1 S2h2 g (ρ − ρ2 )(S22 − S12 ) ρ4.2. 管路55

例題 4.2.2 断面積が不連続に急拡大・縮小する管路の損失一方、圧力による検査面に作用する力は、断面積は入口出口とも S2 で作用する力は、FP = (p2 − p1 ) S2(a) 急拡大する管路の場合：
断面積が不連続に急拡大する管路の損失を求める。

両方合わせた力は零となるので、

u22 S2 dt ρ − u21 S1 dt ρ+ (p2 − p1 ) S2 = 0
dt
u1 を基準の流速とするので u2 、圧力差は、
u2 =

u1 S1
S2

p2 − p1 =u21 S1 (S2 − S1 ) ρS22

入口、出口それぞれに Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30
図 4.2.2: 断面積が不連続に急拡大する管路ページ) を適用し、単位質量あたりのエネルギーは、

H1 =/* 断面積が不連続に急拡大・縮小する管路の損失 */

p1
u2
+ 1
ρ
2

p2
u2
+ 2
ρ
2

H2 =

単位質量あたりのエネルギー差は、

kill(all);
Q1:Q=u[1]*S[1];H1 − H2 = −Q2:Q=u[2]*S[2];

p2
p1
u2
u2
+
− 2+ 1ρρ
2
2

M1:\rho*u[1]*S[1]*dt;

重力加速度：g で割り、液柱として損失ヘッド：h は、上

M2:\rho*u[2]*S[2]*dt;

式から u2 、p2 − p1 を消去し、修正係数：ξ を導入して、

MT1:M1*u[1];2h=ξ

MT2:M2*u[2];FM:(MT2-MT1)/dt;

u21 (S2 − S1 )2 S22 g修正係数の値は急激な面積変化の場合、ξ ≈ 1 である。

FP:(p[2]-p[1])*S[2];(b) 急縮小する管路の場合：

F0:FP+FM=0;

断面積が不連続に急縮小する管路の損失を求める。流

ANS1:solve(F0,(p[2]-p[1]))[1];solve(Q2,u[2])[1];

れは下図にあるように一旦絞られ、そして拡大して流れ

Q3:subst([Q1],%);

下流部の拡大部に前述の急拡大する管路の式を適用す

ANS2:factor(subst([Q3],ANS1));

る。

る。絞られるまでは安定しており損出はほとんど無い。

H1:H[1]=p[1]/\rho+u[1]^2/2;
H2:H[2]=p[2]/\rho+u[2]^2/2;
DH:H1-H2;
solve(ANS2,p[2])[1];DH2:h=rhs(factor(expand(subst([%,Q3],DH))))/g;
狭い入口側の断面積：S1 、流速：u1 、圧力：p1 とし、拡大した出口側の断面積：S2 、流速：u2 、圧力：p2 とする。流量：Q は下記となる。

図 4.2.3: 断面積が不連続に急縮小する管路

Q4:solve(Q3,u[1])[1];Q = u1 S1 = u2 S2

ANS4:factor(subst([Q4],ANS1));
solve(ANS4,p[2])[1];

時間：dt 間に動く質量：m は、

m = u1 S1 dt ρ = u2 S2 dt ρ入口側運動量：u21 S1 dt ρ出口側運動量：u22 S2 dt ρ

上図の破線で囲まれた検査面について検討する。検査面に入る入口側運動量と検査面から出る出口側運動量の差は作用する力積であり、FM dt = u22 S2 dt ρ − u21 S1 dt ρDH4:h=rhs(factor(expand(subst([%,Q4],DH))))/g;
u1 は不明なので u2 を基準の流速とする。
( 2)
u2 S2 − S1 u22 ρ + p1 S1
u2 S2
u1 =
p2 =
S1
S1
液柱として損失ヘッド：h は、S1 の代わりに絞られた断面積：S3 に置き換え、2

h = ξcu22 (S2 − S3 )2 S32 g

この S3 は管の面積比から実験的に求められている。

第 4 章 Bernoulli の定理

56

例題 4.2.3

円管摩擦損失HFL3:subst([R=D/2],%);

円管の摩擦抵抗の損出について調べる。
/* 円管摩擦損失 */rhs(HFL2)=rhs(HFL3);
LA1:solve(%,l)[1];kill(all);

RN:R[e]=v[m]*D/\mu*\rho;’diff(p,z,1)*%pi*R^2=\tau*2*%pi*R;

solve(RN,v[m])[1];DPZ:solve(%,’diff(p,z,1))[1];

subst([%],LA1);

h=’diff(p,z,1)*L/\rho/g;
HFL1:subst([DPZ,R=D/2],%);(µ

HFL2:h=l*L/D*v[m]^2/2/g;

2

d
d
d2
d2
d θ 2 vzd r vz
v
+
+
v
+
z
z
d z2
r2
d r2
r

rhs(HFL1)=rhs(HFL2);
solve(%,\tau)[1];円管半径：R、圧力変化：dp/dz 、管壁の剪断応力：τ と
すると、

(
π

)
d
p R2 = 2 π τ R
dz

整理すると、

d
2τ
p=
dz
R
損失ヘッドで表し、摩擦損失係数：l を導入するとその関係は、)
l v2 Ldz p L
h=
= m
gρ
2gD

+ Fz −dp=0dz

定常状態であるとすると、
(
)
d
d2
d
d r v (r)µv (r) +
−
p=0
d r2
r
dz
この微分方程式を解くと、

v (r) =

(d(4.2.1)τ=%k1 log (r)
+
µ

解から、

(d

(d

)

dz p

Stokes の式：(B.1.25 ) 式、(666 ページ) から求める。
\rho*(v[z]*(’diff(v[z],z,1))+(v[\theta]

上式から平均流速：vm は、,2)+’diff(v[z],\theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)+F[z]-’diff(p,z,1);
rhs(%)=0;
EQN1:subst([F[z]=0,’diff(v[z],z,2)=0,’diff(v[z],\theta,2)=0],%);
EQN2:subst([v[z]=v(r)],EQN1);
atvalue(v(r),r=R,0);
atvalue(diff(v(r),r,1),r=0,0);desolve(EQN2,v(r));
ANS1:ode2(EQN2,v(r),r);DANS1:diff(ANS1,r,1);
K1:subst([%k1=0,r=R],rhs(ANS1)=0);
solve(%,%k2)[1];(dDP:-solve(VM,’diff(p,z,1))[1];h=rhs(DP)/\rho/g*L;

+

%k1
µr

r (R − r) (R + r) dr
2 µ R2(d ) 2p R= − dz8µvm = −

0

上式を整理し、−

8 vm µdp=dz
R2

損失ヘッドで表すと、

h=

32 vm µ Lg ρ D2

前記の (4.2.1) 式と比較して、次の関係を得る。

l=

64 µ
vm ρ D

レイノルズ数：Re とすると、

Re =vm ρ Dµ/R^2;
VM:v[m]=ev(%,integrate);

r

) ∫R

dz p

ANS2:factor(subst([%k1=0,%],ANS1));’integrate(rhs(ANS2)*2*\pi*r,r,0,R)/\pi

)

+ %k2

(R − r) (R + r)
4µv (r) = −+v[r]*(’diff(v[z],r,1)))=mu*(’diff(v[z],z

r2

4µ

2µ

円管の摩擦損失を円柱座標系の非圧縮性流体の Navier-+’diff(v[z],t,1)

)

dz p

v(R) = 0, ddr v(0) = 0 の境界条件から、

8*(’diff(v[z],\theta,1)))/r

(d

dz p

d
v (r) =
dr

上式から管壁の剪断応力：τ は、
2
l vm
ρ

)

l=

64
Re

4.2. 管路57

例題 4.2.4

貯水池を結ぶ分岐管路

B と J との間：zB = zJ +下図のように貯水池を結ぶ管路の各流量を求める。

J と C との間：zJ +pJ
k2 u22+gρ
2g

pJ
k3 u23= zC +gρ
2g

流量と流速の関係および分岐管路の連続の条件は、

Q1 =π u1 D124Q2 =π u2 D22
4Q3 =π u3 D32
4Q3 = Q2 + Q1
U1:solve(Q1,u[1])[1];U2:solve(Q2,u[2])[1];
図 4.2.4: 貯水池を結ぶ分岐管路

U3:solve(Q3,u[3])[1];
H11:subst([U1,K1,K2,K3],H1);/* 貯水池を結ぶ分岐管路 */H21:subst([U2,K1,K2,K3],H2);

kill(all);

H31:subst([U3,K1,K2,K3],H3);

DT:[l=0.03,L[1]=500,L[2]=400,L[3]=1000,

H13:lhs(H11+H31)-rhs(H11+H31)=0;

D[1]=0.15,D[2]=0.15,D[3]=0.25,z[A]=30,

H23:lhs(H21+H31)-rhs(H21+H31)=0;

z[B]=20,z[C]=0,g=9.8];

H131:(subst([QA],H13));

K1:k[1]=l*L[1]/D[1];H231:(subst([QA],H23));

K2:k[2]=l*L[2]/D[2];H1323:expand(H131*(-z[C]+z[B])-H231*(-z[C]+z[A]));

K3:k[3]=l*L[3]/D[3];H1:z[A]=z[J]+p[J]/\rho/g+k[1]*u[1]^2/2/g;

float(subst(DT,H1323));

H2:z[B]=z[J]+p[J]/\rho/g+k[2]*u[2]^2/2/g;

Q21:partfrac(solve(H1323,Q[2]),Q[1]);H3:z[J]+p[J]/\rho/g=z[C]+k[3]*u[3]^2/2/g;

float(subst(DT,Q21));

Q1:Q[1]=%pi*D[1]^2/4*u[1];Q210:Q21[2];Q2:Q[2]=%pi*D[2]^2/4*u[2];Q11:subst([Q210],H131);

Q3:Q[3]=%pi*D[3]^2/4*u[3];Q12:solve(Q11,Q[1]);QA:Q[3]=Q[1]+Q[2];貯水池：A と管路の分岐点：J との間の流速：u1 、流量：Q1 、float(subst(DT,Q12));

配管長さ：L1 、配管直径：D1 、同様に、貯水池：B と管路

QF1:%[1];Q10:Q12[1];の分岐点：J との間の流速など：u2 , Q2 , L2 , D2 、管路の分Q20:subst([Q10],Q210);

岐点：J と貯水池：c との間の流速など：u3 , Q3 , L3 , D3 とQF2:float(subst(DT,Q20));する。摩擦損失係数：l は厳密には、流速を求めレイノル

Q30:Q[3]=rhs(Q10)+rhs(Q20);

ズ数から係数を決める必要があるが、ここでは l = 0.03

QF3:float(subst(DT,Q30));一定とし、他の損失は無視できるとする。基準面から貯

float(subst(DT,lhs(H13)));

水池：A の水面高さ zA 、基準面から貯水池：B の水面

float(subst([QF1,QF2,QF3],%));

高さ zB 、基準面から貯水池：C の水面高さ zC 、基準面

float(subst(DT,lhs(H23)));から管路の分岐点：J の高さ zJ 、管路の分岐点：J の高float(subst([QF1,QF2,QF3],%));
損失ヘッドの式を流速から流量の式で表現すると、さの圧力：pJ とする。下記の係数を導入する。

L1 l
k1 =
D1

L2 l
k2 =
D2

L3 l
k3 =
D3

貯水池：A と管路の分岐点：J との間、貯水池：B と管路の分岐点：J との間、管路の分岐点：J と貯水池：Cとの間で Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を重力加速度：g で割り、損失ヘッドで表現すると下記となる。

zA = zJ +pJ
8 L1 Q2 l+ 2 51gρ
π D1 gzB = zJ +pJ
8 L2 Q2 l+ 2 52gρ
π D2 gzJ +pJ
8 L3 Q2 l= zC + 2 5 3gρ
π D3 g

上式で zJ 、pJ を消去すると、A と J との間：zA = zJ +k1 u21pJ+gρ
2g−zC + zA −8 L3 Q23 l 8 L1 Q21 l− 2 5 =0
π 2 D35 g
π D1 g(4.2.2)

第 4 章 Bernoulli の定理

58−zC + zB −8 L3 Q23 l 8 L2 Q22 l− 2 5 =0
π 2 D35 g
π D2 g(4.2.3)Q3 を消去すると、
8 (Q2 + Q1 ) L3 l 8 L1 Q21 l− 2 5 = 0 (4.2.4)
π 2 D35 g
π D1 g2−zC + zB −算を行うと、下記となり左辺 = 0 となり、結果が正しい
ことがわかる。

2−zC + zA −また、(4.2.3) 式に上記数値計算結果を代入し、確かめ

8 (Q2 + Q1 ) L3 l 8 L2 Q22 l− 2 5 =0
π 2 D35 g
π D2 g

上の式 × (zB − zC ) - 下の式 × (zA − zC ) で整理す
ると、

8 L2 Q22 l zC
8 L1 Q21 l zC
8 Q22 L3 l zB+−
π 2 D25 g
π 2 D15 g
π 2 D35 g
16 Q1 Q2 L3 l zB
8 Q21 L3 l zB
8 L1 Q21 l zB
−
−
−
5
5
2
2
π D3 gπ D3 gπ 2 D15 g
8 Q22 L3 l zA
16 Q1 Q2 L3 l zA
8 Q21 L3 l zA
+
+
+
5
5
2
2
π D3 gπ D3 gπ 2 D35 g
8 L2 Q22 l zA=0+
π 2 D25 g−

上式から、Q1 と Q2 の関係式の記述は非常に長いため省略し、下記の計算条件を入れると、

l = 0.03
L1 = 500

L2 = 400

L3 = 1000

D1 = 0.15 D2 = 0.15 D3 = 0.25
zA = 30zB = 20zC = 0

下記の二式の関係式を得る。ここで Q1 > 0, Q2 > 0 の条件の方を選択する。

Q2 = −0.91259976938036 Q1 ,Q2 = 0.79088677163431 Q1(4.2.4) 式に上式を代入し下記の二式を得る。ここで Q1 >0 の条件の方を選択する。
Q1 = 0.035001759462161,
Q1 = −0.035001759462161
上記から、流量は下記となる。

Q1 = 0.035001759462161
Q2 = 0.027682428542549
Q3 = 0.06268418800471(4.2.2) 式に上記数値計算結果を代入し、確かめ算を行うと、下記となり、左辺 = 0 となり、結果が正しいことがわかる。

(4.2.2) 式左辺 = − 2540.88715223887 Q23− 16338.00895215323 Q21 + 30.0
=4.0856207306205761 10−14(4.2.3) 式左辺 = − 2540.88715223887 Q23− 13070.40716172258 Q22 + 20.0
=2.8421709430404007 10−14

4.2. 管路

例題 4.2.559管路網の計算下図の管路網で流量の出入り：QA , QB , QC を与えた時の各配管の流量を求める。

pA
u2
pC
k3 u23u2
A と C との間： + 3 =
+
+ 3
gρ 2g
gρ
2g
2g
流量と流速の関係および分岐管路の連続の条件は、

Q1 =π u1 D124

QA = Q3 + Q1

Q2 =π u2 D22
4

QB = Q1 − Q2

Q3 =π u3 D32
4

QC = Q3 + Q2

Q31:solve(QA,Q[3])[1];
Q21:solve(QB,Q[2])[1];U1:solve(Q1,u[1])[1];U2:solve(Q2,u[2])[1];U3:solve(Q3,u[3])[1];

図 4.2.5: 管路網の計算

H11:subst([U1,U2,U3],lhs(H1)-rhs(H1)=0);
H21:subst([U1,U2,U3],lhs(H2)-rhs(H2)=0);/* 管路網の計算 */H31:subst([U1,U2,U3],lhs(H3)-rhs(H3)=0);

kill(all);ANSQ1:solve([QA,QB,QC],[Q[1],Q[2],Q[3]]);

DT:[l[1]=0.025,l[2]=0.025,l[3]=0.028,

ANSP1:solve([H11,H21,H31],[p[A],p[B],p[C]]

L[1]=250,L[2]=150,L[3]=250,D[1]=0.4,);

D[2]=0.4,D[3]=0.3,Q[A]=0.6,Q[B]=0.2,

PA:solve(H31,p[A])[1];Q[C]=0.4];
K1:k[1]=l[1]*L[1]/D[1];H123:expand(subst([PA],H11+H21));

K2:k[2]=l[2]*L[2]/D[2];Q12:solve(EQQ1,Q[1]);K3:k[3]=l[3]*L[3]/D[3];subst([K1,K2,K3],Q12);

H1:p[A]/\rho/g+u[1]^2/2/g=p[B]/\rho/g

float(subst([DT],%));

EQQ1:subst([Q21,Q31],H123);+k[1]*u[1]^2/2/g+u[1]^2/2/g;

Q10:Q12[2];H2:p[B]/\rho/g+u[2]^2/2/g=p[C]/\rho/g+k[2]*u[2]^2/2/g+u[2]^2/2/g;

Q20:subst([Q10],Q21);
subst([K1,K2,K3],Q20);

H3:p[A]/\rho/g+u[3]^2/2/g=p[C]/\rho/g+k[3]*u[3]^2/2/g+u[3]^2/2/g;

float(subst([DT],%));
Q30:subst([Q10],Q31);

Q1:Q[1]=%pi*D[1]^2/4*u[1];subst([K1,K2,K3],Q30);

Q2:Q[2]=%pi*D[2]^2/4*u[2];float(subst([DT],%));
損失ヘッドの式を流速から流量の式で表現すると、

Q3:Q[3]=%pi*D[3]^2/4*u[3];QA:Q[A]=Q[1]+Q[3];−

QB:Q[B]=Q[1]-Q[2];QC:Q[C]=Q[2]+Q[3];流量の出入り：QA = 0.6, QB = 0.2, QC = 0.4 とする。

pB pA 8 k1 Q21+−=0g ρ g ρ π 2 D14 g−

分岐点：A と管路の分岐点：B との間の流速：u1 、流

−

pC pB
8 k2 Q2+− 2 42 = 0g ρ g ρ π D2 g

pC
pA
8 k3 Q2+− 2 43 = 0g ρ g ρ π D3 g

量：Q1 、配管長さ：L1 、配管直径：D1 、摩擦損失係数： 上式で圧力：pA , pB , pC を消去すると、

l1 、同様に、分岐点：B と管路の分岐点：C との間の流速など：u2 , Q2 , L2 , D2 , l2 、分岐点：A と管路の分岐点：

C との間の流速など：u3 , Q3 , L3 , D3 , l3 とする。
k1 =

l1 L1
D1

k2 =

l2 L2
D2

k3 =

l3 L3
D3

下記の間で Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を

8 k2 Q22
8 k1 Q21
8 k3 Q23−−=0
π 2 D34 g π 2 D24 g π 2 D14 g
Q2 , Q3 を Q1 で表現し、上式に代入し、これを解くと
Q1 が得られる。式が長くなるので省略する。プログラ
ム第３行目の DT に示されているデータを入力すると、下記の流量：Q1 が得られる。２番目の解が妥当である。

重力加速度：g で割り、損失ヘッドで表現すると下記と
なる。

pA
u2
pB
k1 u21
u2
A と B との間： + 1 =
+
+ 1
gρ 2g
gρ
2g
2g
pB
u2
pC
k2 u22u2
B と C との間： + 2 =
+
+ 2
gρ 2g
gρ
2g
2g

[Q1 = 1.336880583865736, Q1 = 0.4016377783124]
Q2 , Q3 は、
Q2 = 0.2016377783124
Q3 = 0.1983622216876

第 4 章 Bernoulli の定理

60

例題 4.2.6管路網の計算 (収束計算)

下図の管路網で流量の出入り：QA , QB , QC , QD を与えた時の各配管の流量を求める。ここでは管路数が多く複雑な場合には、ここで示す収束計算で行うのがよい。

様に、分岐点：B と管路の分岐点：C との間の流速など：

u2 , Q2 , L2 , D2 , l2 、分岐点：A と管路の分岐点：D との間の流速など：u3 , Q3 , L3 , D3 , l3 、分岐点：D と管路の分岐
点：C との間の流速など：u4 , Q4 , L4 , D4 , l4 、分岐点：Aと管路の分岐点：C との間の流速など：u5 , Q5 , L5 , D5 , l5とする。ここで下記の k1 〜k5 を導入する。

k1 =

L1 l
D1

k2 =

L2 l
D2

k3 =

k4 =

L4 l
D4

k5 =

L5 l
D5

L3 l
D3

下記の間で Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を重力加速度：g で割り、損失ヘッドで表現すると下記となる。
図 4.2.6: 管路網の計算/* 分岐管路 (収束計算) */kill(all);DT:[l=0.02,L[1]=300,L[2]=300,L[3]=300,
L[4]=300,L[5]=600,D[1]=0.3,D[2]=0.3,
D[3]=0.3,D[4]=0.3,D[5]=0.4,Q[A]=0.4,
Q[B]=0.05,Q[C]=0.25,Q[D]=0.1,g=9.8];

pA
u2
pB
k1 u21
u2
A と B との間： + 1 =
+
+ 1
gρ 2g
gρ
2g
2g
pB
u2
pC
k2 u22u2
B と C との間： + 2 =
+
+ 2
gρ 2g
gρ
2g
2g
u2
pD
k3 u23u2
pA++ 3
A と D との間： + 3 =
gρ 2g
gρ
2g
2g
pD
u2
pC
k3 u24u2
D と C との間： + 4 =
+
+ 4
gρ 2g
gρ
2g
2g

K2:k[2]=l*L[2]/D[2];

pA
u2
pC
k3 u25u2++ 5
A と C との間： + 5 =
gρ 2g
gρ
2g
2g

K3:k[3]=l*L[3]/D[3];流量と流速の関係および分岐管路の連続の条件は、

K1:k[1]=l*L[1]/D[1];K4:k[4]=l*L[4]/D[4];K5:k[5]=l*L[5]/D[5];Q1 =π u1 D124Q2 =π u2 D22
4Q3 =π u3 D32
4

H1:p[A]/\rho/g+u[1]^2/2/g=p[B]/\rho/g+k[1]*u[1]^2/2/g+u[1]^2/2/g;
H2:p[B]/\rho/g+u[2]^2/2/g=p[C]/\rho/g+k[2]*u[2]^2/2/g+u[2]^2/2/g;
H3:p[A]/\rho/g+u[3]^2/2/g=p[D]/\rho/g

π u4 D42
π u5 D52
Q5 =44
QA = Q5 + Q3 + Q1 QB = Q1 − Q2
Q4 =QC = Q5 + Q4 + Q2

QD = Q3 − Q4

+k[3]*u[3]^2/2/g+u[3]^2/2/g;
H4:p[D]/\rho/g+u[4]^2/2/g=p[C]/\rho/g+k[3]*u[4]^2/2/g+u[4]^2/2/g;
H5:p[A]/\rho/g+u[5]^2/2/g=p[C]/\rho/g+k[3]*u[5]^2/2/g+u[5]^2/2/g;

U1:solve(Q1,u[1])[1];U2:solve(Q2,u[2])[1];U3:solve(Q3,u[3])[1];U4:solve(Q4,u[4])[1];

Q1:Q[1]=%pi*D[1]^2/4*u[1];U5:solve(Q5,u[5])[1];Q2:Q[2]=%pi*D[2]^2/4*u[2];H11:subst([U1],lhs(H1)-rhs(H1)=0);

Q3:Q[3]=%pi*D[3]^2/4*u[3];H21:subst([U2],lhs(H2)-rhs(H2)=0);

Q4:Q[4]=%pi*D[4]^2/4*u[4];H31:subst([U3],lhs(H3)-rhs(H3)=0);

Q5:Q[5]=%pi*D[5]^2/4*u[5];H41:subst([U4],lhs(H4)-rhs(H4)=0);

QA:Q[A]=Q[1]+Q[3]+Q[5];H51:subst([U5],lhs(H5)-rhs(H5)=0);

QB:Q[B]=Q[1]-Q[2];QC:Q[C]=Q[2]+Q[4]+Q[5];H125:H11+H21-H51;
H345:H31+H41-H51;

QD:Q[D]=Q[3]-Q[4];流量の出入り：QA = 0.6, QB = 0.2, QC = 0.4 とする。

DQ:[Q[1]=Q[1]+dQ[1],Q[2]=Q[2]+dQ[1],分岐点：A と管路の分岐点：B との間の流速：u1 、流量：

Q1 、配管長さ：L1 、配管直径：D1 、摩擦損失係数：l1 、同Q[3]=Q[3]+dQ[3],Q[4]=Q[4]+dQ[3],Q[5]=Q[5]-dQ[1]-dQ[3]];4.2. 管路

61

H125D:subst([DQ],H125);
H345D:subst([DQ],H345);

for i:1 thru 10 do(

H125D1:subst([dQ[1]^2=0,dQ[3]^2=0],

DQ1L:float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,
DTQ5L],DQ11)),

expand(lhs(H125D)-(16*dQ[1]*k[3]DQ3L:float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,*dQ[3])/(%pi^2*D[5]^4*g)=0));

DTQ5L],DQ31)),

H345D1:subst([dQ[1]^2=0,dQ[3]^2=0],
expand(lhs(H345D)-(16*dQ[1]*k[3]DTQ1L:Q[1]=rhs(DTQ1L)+rhs(DQ1L),*dQ[3])/(%pi^2*D[5]^4*g)=0));

DTQ2L:Q[2]=rhs(DTQ2L)+rhs(DQ1L),

DQ13:solve([H125D1,H345D1],[dQ[1],dQ[3]]);DTQ3L:Q[3]=rhs(DTQ3L)+rhs(DQ3L),

DQ1:DQ13[1][1];DTQ4L:Q[4]=rhs(DTQ4L)+rhs(DQ3L),

DQ3:DQ13[1][2];subst([K1,K2,K3,K4,K5],DQ1);

DTQ5L:Q[5]=rhs(DTQ5L)-rhs(DQ1L)-rhs(DQ3L),
print(DTQ1L));

DQ11:float(subst([DT],%));

print(DTQ1L);

subst([K1,K2,K3,K4,K5],DQ3);

print(DTQ2L);

DQ31:float(subst([DT],%));
損失ヘッドの式を流速から流量の式で表現し、pA , pB , pC ,print(DTQ3L);

pD を消去すると下記となる。これは上図の緑矢印管路

print(DTQ5L);

ループに沿った損失ヘッドを表し、元に戻ると当然、ヘッ

float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,DTQ5L

ド零となる。最初からこの方法で損失ヘッドの式をたて],H125));てもよい。

subst([K1,K2,K3,K4,K5],%);

print(DTQ4L);

float(subst([DT],%));

8 k3 Q25
8 k2 Q22
8 k1 Q21−−=044
π 2 D5 g π 2 D2 g π 2 D14 g

float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,DTQ5L],H345));

8 k3 Q25
8 k3 Q2
8 k3 Q2− 2 44 − 2 43 = 0
42
π D5 g π D4 g π D3 g

subst([K1,K2,K3,K4,K5],%);
float(subst([DT],%));

下記の流量補正：dQ1 , dQ3 を考える。各管路の流量補

float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,DTQ5L

正をいれた流量は下記となる。これで分岐管路の連続の],QA));

条件も満たしている。

float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,DTQ5L

Q1 → dQ1 + Q1

Q2 → dQ1 + Q2

Q4 → Q4 + dQ3],QB));

Q3 → Q3 + dQ3

float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,DTQ5L

Q5 → Q5 − dQ3 − dQ1],QC));
float(subst([DTQ1L,DTQ2L,DTQ3L,DTQ4L,DTQ5L

上式を損失ヘッドの式に代入すると、
8 k3 (Q5 − dQ3 − dQ1 )2 8 k2 (Q2 + dQ1 )2 8 k1 (Q1 + dQ1 )2−−=0
π 2 D54 g
π 2 D24 g
π 2 D14 g],QD));
Q1 の収束状況を下記に示す。５回程度で収束している。

8 k3 (Q5 − dQ3 − dQ1 )2 8 k3 (Q4 + dQ3 )2 8 k3 (Q3 + dQ3 )2−−=0
π 2 D54 g
π 2 D44 g
π 2 D34 g

Q1 = 0.11071428571429

上式を展開し、dQ1 , dQ3 の高次項は小さいとし、

Q1 = 0.09829718774265

8 k3 Q254g
π 2 D5
8 k3 Q254g
π 2 D5−−

16 k3 dQ3 Q54g
π 2 D5
16 k3 dQ3 Q54g
π 2 D5−−16 dQ1 k3 Q54g
π 2 D516 dQ1 k3 Q54g
π 2 D5−−8 k2 Q224g
π 2 D2
8 k3 Q244g
π 2 D4−−16 dQ1 k2 Q24g
π 2 D2
16 k3 dQ3 Q44g
π 2 D4−−8 k1 Q2
14g
π 2 D1
8 k3 Q234g
π 2 D3−−

この dQ1 , dQ3 の連立方程式を解く。式が長くなるので省略する。流量の初期値を分岐管路の連続の条件を満たすように入力し、dQ1 , dQ3 を得て、新たな流量を求める。これを繰り返し、収束するまで実施する。
DTQ1L:Q[1]=0.2;

DTQ2L:Q[2]=0.15;
DTQ3L:Q[3]=0.2;

16 k1 dQ1 Q14g
π 2 D1
16 k3 dQ3 Q34g
π 2 D3= 0

Q1 = 0.097834735532995
Q1 = 0.097833682422925= 0

Q1 = 0.097833682417444
Q1 = 0.097833682417444

他の解は下記となる。

Q2 = 0.047833682417444

Q3 = 0.1085640273076

Q4 = 0.0085640273075986

Q5 = 0.19360229027496

DTQ4L:Q[4]=0.1;

上記を損失ヘッドの式に代入し、確かめた結果、十分な

DTQ5L:Q[5]=0.0;

精度であることがわかる。

第 4 章 Bernoulli の定理

62

4.3

管内非定常流れ4.3.1

一様な太さの管内非定常流れ

下記の速度ポテンシャルの Bernoulli の定理：(2.9.3)
式、(33 ページ) から一様な太さの管内非定常流れについて検討する。

p
g z+ +
ρ

(d

dz Φ

)2

(
+

d
dy Φ

)2
+

断面積がゆるやかに変化する管内非定
常流れ

4.3.2

( d

dx Φ

2

)2

下記の速度ポテンシャルの Bernoulli の定理：(2.9.3)
式、(33 ページ) から断面積がゆるやかに変化する管内
非定常流れについて検討する。
kill(all);

BE1:g*z+p/\rho+u(t,s)^2/2+’diff(\Phi,t,1)d+Φ = F (t)dt
(4.3.1)=F(t);
U1:u(t,s)*S(s)=Q(t);U2:solve(U1,u(t,s))[1];kill(all);

PHI:\Phi=’integrate(u(t,s),s,0,b);

assume(g>0);

PHI1:subst([U2],PHI);

assume(h>0);

PHI2:subst([s=c],PHI1);

assume(L>0);

subst([PHI2,U2],BE1);

BE1:g*z+p/\rho+u(t)^2/2+’diff(\Phi,t,1)

BE2:ev(%,diff);=F(t);

BE3:subst([z=z[1],p=p[1],S(s)=S[1],b=s[1]],BE2);

PHI:\Phi=u(t)*s;

BE4:subst([z=z[2],p=p[2],S(s)=S[2],b=s[2]],subst([PHI],BE1);

BE2);

BE2:ev(%,diff);
BE3:subst([z=z[1],s=s[1],p=p[1]],BE2);

BE5:lhs(BE4)-lhs(BE3)=0;

BE31:subst([z=z[2],s=s[2],p=p[2]],BE2);
BE4:lhs(BE31)=lhs(BE3);

INTS:subst([0=s[1]],first(lhs(BE5)));solve(%,diff(u(t),t,1))[1];BE6:rest(lhs(BE5),2)+INTS=0;
流速：u(t, s)、流量：Q(t)、断面積：S(s) とする。管に沿った長さ：s とする。これらの関係は、

factor(%);
DU1:subst([p[2]=p[0]],%);
一様な太さであるから管内の流速；u(t) はすべて同じで、管に沿った長さ：s とする。速度ポテンシャル：Φ
は下記と定義できる。

u (t, s) =速度ポテンシャル：Φ は下記と定義できる。

∫ bΦ=

Φ = s u (t)

gz +s

∫ b
u (t, s) ds =001
dc Q (t)S (c)これを上記の Bernoulli の定理に代入し、これを上記の Bernoulli の定理に代入し、

(

Q (t)
S (s)

∫ b

)
2
d
u (t)
p
u (t) +
+ = F (t)
dt
2
ρ

gz +
0

1
dc
S (c)

(

)
2
p
d
Q (t)
Q (t) +
2 + ρ = F (t)dt
2 S (s)管の入口と出口における基準地からの距離：s1 , s2 、圧管の入口と出口における断面積：S1 , S2 、圧力:p1 , p2 、高力:p1 , p2 、高さ：z1 , z2 とし、管の入口と出口においてさ：z1 , z2 とし、管の入口と出口において Bernoulli のBernoulli の定理を適用すると、
(
)
2
d
u (t)
p2
s2
u (t) ++
+ z2 g
dt
2
ρ
(
)
2
d
u (t)
p1
= s1
u (t) ++
+ z1 gdt2ρ定理を適用すると、

上記を整理して、一様な太さの管内非定常流れの方程式を得る。

dz2 g ρ − z1 g ρ − p1 + p0
u (t) = −dt(s2 − s1 ) ρ(4.3.2)

∫ s2
s1

1
dc
S (c)

(

)
2
2
Q (t)
d
Q (t)
−
Q (t) +
dt
2 S22
2 S12
p2
p1
+
−
+ z2 g − z1 g = 0ρρ
(4.3.3)4.3. 管内非定常流れ

例題 4.3.3 タンク側壁につけた水平で一様な太さの管内非定常流れ

63
水平であることから z1 = z2 、管長さ：L = s2 − s1 であるから、

p0 − p1du (t) = −dt
ρL

タンク側壁につけた水平な一様な太さの管から流れ出る
液体の流速の過渡特性を調べる。

(4.3.4)

液面と管の入口に Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用し、p1 を求めると、
22u (t) p1
ρ u (t) − 2 g h ρ − 2 p0
p0
+g h =+ → p1 = −ρ2ρ2
上式を管内非定常流れの方程式 (4.3.4) 式に代入し、整理すると

dg h u (t)u (t) =−
dt
L2L

図 4.3.1: タンク側壁につけた水平管

両辺を積分すると、
∫
1

2

→

du (t)dt=
22gh − u(t)2Lt2 du (t) = 2 L + C

2 g h − u (t)kill(all);Maxima ではそのまま積分できるが結果が思わしくない

assume(g>0);ので、左辺の積分を下記のように分けて積分し、
∫
∫
1
√ √ √
√1 √ √ du (t) +du (t)
u(t)+ 2 g h
2 g h−u(t)√3 √22 g hassume(h>0);
assume(L>0);
DU1:’diff(u(t),t,1)=-(z[2]*g*rho-z[1]*g*rho-p[1]+p[0])/((s[2]-s[1])*rho);
DU2:subst([z[1]=z[2],s[1]=s[2]-L],DU1);
BE10:g*h+p[0]/\rho=p[1]/\rho+u(t)^2/2;
P1:solve(%,p[1])[1];DU3:expand(subst([P1],DU2));((√ √ √)√ √ √ )
log u (t) + 2 g h − log
2 g h − u (t)3 √ √22 g ht=2L

diff(u(t),t,1)=(2*g*h-u(t)^2)/2/L;’integrate(1/((sqrt(2*g*h))^2-u(t)^2),u(t))=’integrate(1/2/L,t)+C;
1/2/sqrt(2*g*h)*(’integrate(1/(sqrt(2*g*h)

両辺の指数をとると、
√ √ √
√ √ √
2 g htu (t) + 2 g h
L
√ √ √
=e
2 g h − u (t)+u(t)),u(t))+’integrate(1/(sqrt(2*g*h)-u(t)),u(t)));

整理し、流速を求めると下記となる。また、十分な時間%e^(lhs(%))=%e^(rhs(%));

がたつた結果は t → ∞ として、)
( √2 g h t√
2gh e L − 1√
u (t) =
2ght
e L +1

UT:rootscontract(factor(solve(%,u(t))[1]));

上式を図にすると下図になる。

ev(%,integrate)=t/2/L;
logcontract(%);%*2^(3/2)*sqrt(g*h);

lim u(t) =

t→∞

√

2gh

rootscontract(limit(rhs(UT),t,inf));
g:9.8;
h:1/2/9.8;
L:1;
plot2d(rhs(UT),[t,0,10]);管から液面までの高さ：h、管の長さ：L、管内の流速：u(t) は一様な太さから管内全て同じで時間の関数とする。管の入口の圧力 p1 とする。管の入口と出口で一様な太さの管内非定常流れの方程式：(4.3.2 ) 式、(62 ページ ) を適用する。

dz2 g ρ − z1 g ρ − p1 + p0
u (t) = −dt(s2 − s1 ) ρ

図 4.3.2: タンク側壁につけた水平な非定常管内流速第 4 章 Bernoulli の定理

64

例題 4.3.4

管路内の水撃現象

長い水平な弾力性のある管路で、流速：u0 で水が流れている時、末端の弁を急に閉じたとする。弁の直前の流体は、流速が急激に零となり、高い衝撃圧が生じる。この現象について調べる。ここで管の摩擦などの損失はないものとする。管の下流方向を x 軸とし、時間：t、流
体密度：ρ、圧力：p、流体の体積弾性率：K 、圧力波の伝搬速度：a とする。ここで管は円管とし、流速：u、管路の断面積：A、長さ：L、管路の直径：D、板厚さ：B 、

DD1:solve(%,dD)[1];A1:dA=%pi*(D+dD)^2/4-%pi*D^2/4;
expand(%);
A11:subst([dD^2=0],%);
A2:A=%pi*D^2/4;
A21:solve(%,%pi)[1];A12:subst([DD1,A21],A11);
圧縮性流体の質量保存の式は、応力：σ 、ひずみ：ϵ、ヤング率：E とする。

dd(ρ u) +(ρ) = 0dxdt
運動方程式は、
(
)
d
d
1 d
u
u +
u=−
p
dx
dt
ρ dx

(4.3.5)(4.3.6)または、エントロピー一定の a2 = ddρ p の関係から、(
u
図 4.3.3: 水撃現象

)
d
a2 d
d
u +
u=−
ρ
dx
dt
ρ dx

(4.3.5) 式を参考にして、圧力で管径が変化することから、断面積：A が変化することを考慮し、(1) 質量保存の法則から/* 管内水撃作用 質量保存の式から */kill(all);load("vect")$
depends(\rho,[x,t]);depends(A,[x,t]);depends(u,[x,t]);depends(p,[x,t]);depends(b,[e]);depends(c,[f]);dd(ρ u A) +(ρ A) = 0dxdt
上式を展開し、
(
)
(
)
(
)
d
d
d
ρu
A +ρ
A +ρ
u A
dx
dt
dx
)
(
)
(
d
d
ρ uA +
ρ A=0
+
dx
dt

管路で圧力が dp 上昇したときの管の応力：σ 、ひず
み：ϵ、管径：D の関係式は、

2 σ B = dp D,

σ = ϵ E,ϵ=depends(e,[x,t]);depends(f,[x,t]);

dD
D

σ=

/* 運動方程式 */上式から、圧力変化と管径変化の関係は、

dD E
dp D
=
2B
D

EQ1:’diff(\rho*A,t,1)+’diff(\rho*A*u,x,1)
=0;

dp D2
2BE

dD =

MT1:diff(u,t,1)+u*diff(u,x,1)=-1/\rho

また、管径変化と管断面積変化の関係は、

EQ11:ev(EQ1,diff);
SG1:2*B*\sigma=D*dp;
SG2:\sigma=\epsilon*E;(4.3.8)上式の関係式から、

assume(a>0);
assume(a[0]>0);*diff(p,x,1);(4.3.7)2dA =π (dD + D)
π D2
π D dD−≈442

上式から、圧力変化と管断面積変化の関係は、

EP1:1+\epsilon=(%pi*(D+dD))/%pi/D;
EP11:solve(EP1,\epsilon)[1];solve(SG1,\sigma)[1];rhs(%)=rhs(SG2);
subst([EP11],%);dA =dp A DBE(4.3.9)

4.3. 管内非定常流れ

65

K1:dp=-K*dV/V;solve(A3,D)[1];K11:dp*\rho=K*d*\rho;

subst([%],EQ13);

K2:a[0]=sqrt(K/\rho);

EQ2:factor(%);

K21:%^2;(4.3.7) 式に (4.3.13) 式を代入し、 ddt p >> ddx p であK22:solve(K21,\rho)[1];A2T:subst([dp=diff(p,t,1),dA=diff(A,t,1)],

るから、
(d

(
) (d )
ρ D ρ ddx up ρ++ dt 2
=0
BEK
K
K
)

dt p

A12);
A2X:subst([dp=diff(p,x,1),dA=diff(A,x,1)],
A12);
subst([dp=diff(p,t,1),d=diff(\rho,t,1)/\rho],K11);
K2T:solve(%,diff(\rho,t,1))[1];

上式を整理すると、(d )p (D K + B E)du = dt−dx
BEK
右辺の一部を下記のように置くと、subst([dp=diff(p,x,1),d=diff(\rho,x,1)

DK +BE
1
= 2
BEK
a ρ

/\rho],K11);
K2X:solve(%,diff(\rho,x,1))[1];
体積：V としたとき、dV ：体積が小さいとすると、圧dV K
V
上式を密度変化：dρ で表すと、
dp ρ = d ρ K
水の圧力伝搬速度：a0 は、(4.3.15)(4.3.14) 式を a を使って表現すると、力増加は、

dp = −(4.3.14)−(4.3.10)dpdu = d 2tdx
a ρ

(4.3.16)

MT2:subst([’diff(u,x,1)=0],MT1);(4.3.11)diff(EQ2,x,1)*a^2+diff(MT2,t,1);
expand(%);
EQMT1:lhs(%)=0;

√

a0 =

K
ρ

(4.3.12)(4.3.9) 式と (4.3.11) 式から、
(d )
( d )
p AD
d
d
dt p ADA=,
A = dxdt
dx ((4.3.13)( d B) E
) BE
d
p
ρ
p
ρ
d
d
dt
dx
ρ=
,
ρ=
dt
K
dx
K

diff(EQ2,t,1)+diff(MT2,x,1);%*a^2*\rho;
expand(%);
EQMT2:rest(rhs(%),2)=0;
P1:u=b+c;
subst([P1],EQMT1);
EQMT11:ev(%,diff);
D1:e=t+x/a;E1:f=t-x/a;

subst([A2T,A2X,K2T,K2X],EQ11);
EQ12:expand(%/A/K);
subst([’diff(p,x,1)=0],%);-solve(%,’diff(u,x,1))[1];
EQ13:factor(%);
A3:coeff(rhs(%),’diff(p,t,1),1)=1/\rho/a^2;
solve(%,a^2)[1];(denom(rhs(%))/(num(rhs(%))))/\rho;
expand(%);\rho*a^2=1/(%);
A4:%/\rho;sqrt(%);
subst([K22],A4);

D1T1:diff(D1,t,1);
D1T2:diff(D1,t,2);
E1T1:diff(E1,t,1);
E1T2:diff(E1,t,2);
D1X1:diff(D1,x,1);
D1X2:diff(D1,x,2);
E1X1:diff(E1,x,1);
E1X2:diff(E1,x,2);
subst([D1T1,D1T2,E1T1,E1T2,D1X1,D1X2,E1X1,
E1X2],EQMT11);
factor(%);
u=F(e)+G(f);subst([D1,E1],%);

A41:%/a[0]^2;
expand(denom(rhs(%)));
lhs(A41)=1/%;
sqrt(%);(4.3.6) 式の運動方程式で、ddt u >> ddx u であるから、dpdu = − dxdtρ

第 4 章 Bernoulli の定理

66
上式と (4.3.16) 式から下記の波動方程式を得る。
( 2 )
d2
d
2
u−a
u =0
d t2
d x2

d2
p − a2
d t2

(

)
d2
p =0
d x2

配管内の水に蓄えられたエネルギー：El を求める。
(4.3.10) 式から体積変化と圧力変化の関係は、

K=−
上式から、

上式の一般解は、次式の形をしており、次式を上式に代入すると確かに満足する。次式は F および G の形の波が伝搬速度：a で移動することを表しており、水撃現
象も a で圧力波が伝搬する。
(x
)
(
x)
u=F
+t +G t−
a
a

dp V
K
単位長さの水に蓄えられたエネルギー：∆ El は、圧
dV = −

力×体積変化であるから、
∫ dp
∫ dp
dp2 V
V
pdp =
∆ El =
p dV =
K 0
2K
0
長さ：L の配管内の水に蓄えられたエネルギー：El は、

上記から、伸びがある管の場合の圧力伝搬速度：a は、(4.3.15) 式から、
√
a=

dp V
dV

El =

π dp2 D2 L
dp2 A L=
8K
2K

(4.3.19)

配管構造に蓄えられたエネルギー：Es を求める。(4.3.8)

1)(1
ρ K + BDE

(4.3.17)

また、水の圧力伝搬速度との比は、(4.3.12) 式と上式

BE

∆ Es =(4.3.18)

K1:K=-dp/(dV/V);
K2:K=\rho*dp/(d*\rho);
A0:a[0]=sqrt(K/\rho);
A01:solve(A0^2,K)[1];ENB1:’integrate(-p,V,0,dp);
solve(K1,dV)[1];ENB2:’integrate(p*V/K,p,0,dp);
ENB21:ev(%,integrate);
V1:V=%pi*D^2/4*L;
subst(V1,ENB21);

dp D
2BE

1
σ×ϵ
2

長さ：L の配管構造に蓄えらたエネルギー：Es は、Es =kill(all);ϵ=

配管構造の単位面積に蓄えらたエネルギー：∆ Es は、(2) エネルギー保存の法則から/* 管内水撃作用 エネルギーの式から */

dp D
,
2B

σ=

から、

a
1
=√
a0
DK
+1

式から、応力とひずみは、

dp2 A D L
π dp2 D3 L
=
8BE
2BE

(4.3.20)

assume(a[0]>0);
assume(\rho>0);
assume(u>0);
assume(dp>0);
ENB3+ENS3=\rho*A*L*u^2/2;
DP2:solve(%,dp^2)[1];
DP21:subst([A01],num(rhs(DP2))/B/E);
DP22:expand(denom(rhs(DP2))/B/E);
lhs(DP2)=DP21/DP22;
sqrt(%);
a=rhs(%)/\rho/u;%/a[0];

ENB3:%*A/(%pi*D^2/4);
SG1:2*B*\sigma=D*dp;

配管内の水に蓄えられたエネルギー：El と配管構造に

SG2:\sigma=\epsilon*E;

蓄えらたエネルギー：Es の和は配管内の水エネルギー

EP1:1+\epsilon=(%pi*(D+dD))/%pi/D;から与えらるから、(4.3.19) 式と (4.3.20) 式から、

EP11:solve(EP1,\epsilon)[1];
SG21:solve(SG1,\sigma)[1];rhs(%)=rhs(SG2);
subst([EP11],%);
DD1:solve(%,dD)[1];EP2:subst([DD1],EP11);%pi*D*B*L/2*rhs(EP2)*rhs(SG21);
ENS3:%*A/(%pi*D^2/4);

dp2 A L dp2 A D L
ρ u0 2 A L
+
=
2K
2BE
2
上式から、

dp2 =

ρ u2 B E K
a2 ρ2 u0 2
= D0 K
DK +BE
BE + 1以上から、圧力上昇：dp は、

a0 ρ u 0
dp = √
DK
BE + 1(4.3.21)

4.3. 管内非定常流れ

67(3) 管内に空気が混入した場合

上式から、

dV l = −/* 管内水撃作用 空気混入の場合 */V2:V=V[l]+V[g];

dp Vl
,
Kl

dV g = −dp Vg
Kg(4.3.23)(4.3.10) 式から空気が混入した体積弾性率：K は次式

DV2:dV=dV[l]+dV[g];となり、(4.3.22) 式、(4.3.23) 式を代入すると、

KL1:K[l]=-dp/(dV[l]/V[l]);K=−

KG1:K[g]=-dp/(dV[g]/V[g]);DVL1:solve(KL1,dV[l])[1];dp V
Kg Kl V
dp V
=−
=
dV
dV l + dV g
Kg Vl + Vg Kl

上式を整理し、Vl = V − Vg であるから、DVG1:solve(KG1,dV[g])[1];V3:solve(V2,V[l])[1];K = Vg Kl

V4:V[g]=v*V;

Kg V

KLG1:KL1/KG1;

Kl(4.3.24)

V− Vg + 1

空気が混入した密度：ρ は次の関係から、

K3:factor(subst([DV2,DVL1,DVG1],K1));
K2N1:num(rhs(K3))/V/K[g];ρ V = ρl Vl + ρg Vg

denom(rhs(K3))/V/K[g];K2D1:expand(subst([V3],%));

次式で得られる、

lhs(K3)=K2N1/K2D1;
ρ=

K31:subst([V4],%);
K32:%/K[l];ρg V gρl Vl+
VV

管内に空気が混入した伝搬速度：a は、Vl = V − Vg

RH1:\rho*V=\rho[l]*V[l]+rho[g]*V[g];で、空気体積比：v = Vg /V とすると、expand(RH1/V);
expand(subst([V3],%));√a=RH2:subst([V4],%);

v
u
K
Kl
u
)
)(
=t (
ρg v
Kl v
ρ
ρ
−v+1
−v+1
l

RH3:expand(%/\rho[l]);ρlKg(4.3.25)

assume(a>0);

下記に水に空気が混入した場合の伝搬速度を示す。空K32/RH3;

気が少し混入しても伝搬速度は大幅に減少する。空気がlhs(%)*a^2/K*\rho=rhs(%);

1%混入すると伝搬速度は約 120m/s で、空気の音速よ%*K[l]/\rho[l];り遅いのは興味深い。

A31:sqrt(%);
subst([K[l]=2.07*10^4*10^4,K[g]=1.465*10^4,\rho[l]=102.0,\rho[g]=0.1251,v=0],A31);
subst([K[l]=2.07*10^4*10^4,K[g]=1.465*10^4,\rho[l]=102.0,\rho[g]=0.1251,v=0.01],A31);
subst([K[l]=2.07*10^4*10^4,K[g]=1.465*10^4,\rho[l]=102.0,\rho[g]=0.1251,v=0.01*t],
A31);
plot2d(rhs(%),[t,0,1],[xlabel,"Vg/V (%)"],[ylabel,"a (m/s)"]);
管内に空気が混入した場合の水撃現象について調べる1 。水の体積弾性率：Kl 、空気の体積弾性率：Kg 、水の密度：ρl 、空気の密度：ρg とする。水の体積：Vl 、空気の体積：Vg とすると、

V = Vl + Vg ,dV = dV l + dV g

(4.3.22)

また、体積弾性率の関係式は、

Kl = −

dp Vl
,
dV l

Kg = −

dp Vg
dV g

1 Victor L. Streeter, E. Benjamin Wylie：竹中利夫訳：流体過渡現象 20) , 1.3 空気混入の場合、 P.9

図 4.3.4: 管内に空気が混入した場合の伝搬速度

第 4 章 Bernoulli の定理

68

例題 4.3.5

一様な太さの U 字管の液体振動

一様な太さの U 字管の液体の振動について調べる。

上式を管内非定常流れの方程式：(4.3.26) 式に代入すると、(sin (α2 ) + sin (α1 )) g a (t)d2
a (t) = −d t2
L
上記微分方程式を初期変位：S0 として解くと、(√√ )sin (α2 ) + sin (α1 ) g t√
a (t) = S0 cos
L

図 4.3.5: 一様な太さの U 字管の液体振動/* 一様な太さの U 字管の液体振動 */kill(all);assume(g>0);
assume(h>0);
assume(L>0);
DU1:’diff(u(t),t,1)=-(z[2]*g*rho-z[1]*g*rho-p[1]+p[0])/((s[2]-s[1])*rho);
BE5:subst([p[1]=p[0]],DU1);
Z1:z[1]=-a(t)*sin(\alpha[1]);Z2:z[2]=+a(t)*sin(\alpha[2]);Z3:u(t)=diff(a(t),t,1);
Z4:diff(u(t),t,1)=diff(\a(t),t,2);S1:s[2]=s[1]+L;
EQ1:factor(subst([Z1,Z2,Z4,S1],BE5));
assume((sin(\alpha[1])+sin(\alpha[2]))>0);
atvalue(a(t),t=0,S[0]);atvalue(diff(a(t),t,1),t=0,0);desolve(EQ1,a(t));
左管の水平面からの傾斜角：α1 、右管の水平面からの傾
斜角：α2 とし、管中液体充填長さ：L とする。管内の流速：u(t) は一様な太さから管内全て同じで時間のみの関数となる。管の入口と出口で一様な太さの管内非定常
流れの方程式：(4.3.2 ) 式、(62 ページ ) を適用する。

d−z2 g ρ + z1 g ρ + p1 − p0
u (t) =
dt(s2 − s1 ) ρ
管の両端の圧力は大気圧で等しいので、

dz1 g ρ − z2 g ρ
u (t) =
dt(s2 − s1 ) ρ(4.3.26)

液運動の変位：a(t) とすると、下記の関係がある。

z1 = −sin (α1 ) a (t)z2 = sin (α2 ) a (t)u (t) =

d
a (t)
dt

4.3. 管内非定常流れ

例題 4.3.6 断面積がゆるやかに変化する U
字管の液体振動
断面積がゆるやかに変化する U 字管の液体の振動につ69
程式：(4.3.3 ) 式、(62 ページ ) を適用する。

∫ s2
s1

(

1
dc
S (c)

いて調べる。

)
2
2
d
Q (t)
Q (t)
Q (t) +
−
dt
2 S22
2 S12
p2
p1
+
−
+ z2 g − z1 g = 0ρρ
(4.3.27)

d
v (t)
dt
上記の関係となる v(t) を定義する。これから下記の関Q (t) =

係を得る。

ds1 =

v (t)
S1

z1 = −ds1 sin (α1 )

v (t)
S2

ds2 =

z2 = ds2 sin (α2 )上記から、
図 4.3.6: 断面積がゆるやかに変化する U 字管の液体

z1 = −

振動/* 断面積がゆるやかに変化する U 字管の液体振動 */kill(all);
BE6:integrate(1/S(c),c,s[1],s[2])*(’diff(Q(t),t,1))+Q(t)^2/(2*S[2]^2)sin (α1 ) v (t)
S1

z2 =

sin (α2 ) v (t)S2

上記関係と管の両端の圧力は大気圧で等しいことから、管内非定常流れの方程式：(4.3.27) 式は下記となる。

∫ s2
s1

1
dc
S (c)

-Q(t)^2/(2*S[1]^2)+p[2]/rho-p[1]/rho+z[2]*g-z[1]*g=0;

)2
)2
(d
) (d
d2
d t v (t)d t v (t)v (t) +
−
d t2
2 S22
2 S12
sin (α2 ) g v (t) sin (α1 ) g v (t)
+
+
=0
S2
S1

(

assume(g>0);
assume(h>0);

これは解けないので、管の入口近傍の管の断面積が等し

assume(L[S]>0);

い：(S1 = S2 = S0 ) とすると、
( 2
)
∫ s2
d
1
dc
v (t)
d t2
s1 S (c)assume(S[0]>0);
DS1:ds[1]=v(t)/S[1];DS2:ds[2]=v(t)/S[2];Z1:z[1]=-ds[1]*sin(\alpha[1]);+Z2:z[2]=+ds[2]*sin(\alpha[2]);sin (α2 ) g v (t) sin (α1 ) g v (t)
+
=0
S0
S0

Z11:subst([DS1],Z1);
Z21:subst([DS2],Z2);
V1:Q(t)=diff(v(t),t,1);
V2:diff(Q(t),t,2)=diff(v(t),t,2);

積分を下記のように置き換えて、
∫ s2
1
1
dc =
S
(c)
L
S
s1

EQ1:(subst([Z11,Z21,V1,V2,p[1]=p[0],p[2]=p[0]],BE6));
EQ2:subst([S[1]=S[0],S[2]=S[0]],EQ1);
LM:integrate(1/S(c),c,s[1],s[2])=1/L[S];EQ3:subst([LM],EQ2);
assume((sin(\alpha[1])+sin(\alpha[2]))>0);
atvalue(v(t),t=0,v[a]);atvalue(diff(v(t),t,1),t=0,0);rootscontract(desolve(EQ3,v(t)));左管の水平面からの傾斜角：α1 、右管の水平面からの傾
斜角：α2 とし、管内の流量：Q(t) とする。管の入口と出口で断面積がゆるやかに変化する管内非定常流れの方

運動方程式は、d2
d t2 v (t)LS+sin (α2 ) g v (t) sin (α1 ) g v (t)
+
=0
S0
S0

振動は下記となり、一様な太さの U 字管の長さ：L の部
分が等価な長さ：S0 /LS に代わり、質量の修正が行われたことになっている。

 √v (t) = va cos t(sin (α2 ) + sin (α1 )) g LS 
S0

第 4 章 Bernoulli の定理

70

4.4

回転動座標系
kill(all);

4.4.1

回転する円管 (遠心ポンプの原理)

水平面で回転する円管の噴出流速や作用するモーメン
トについて調べる。定常回転する回転動座標系の場合の/* 回転動座標系 *//* 回転する円管 */assume(\Omega>0);
assume(\rho>0);
assume(L>0);
assume(U>0);
BE1:1/2*V^2+p/\rho+gz-1/2*\Omega^2*(x[d]^2+y[d]^2)=H;

図 4.4.1: 回転する円管UR1:u=U+2*\Omega*y[d];solve(BE1,p)[1];
subst([V=rhs(UR1)],%);
PR1:subst([y[d]=y],%);

Bernoulli の定理：(2.8.8 ) 式から下記となる。z 軸が Ω

assume(a>0);で定常回転し、回転動座標系の xy 座標上の点を xd , yd 、DFY1:2*p*a*cos(t)*dt;

その場所の流速：V 、単位質量あたりの全エネルギー：

subst([cos(t)=y/a],%);

H とする。

subst([dt=dy/a/sin(t)],%);( 2)
yd + x2d Ω2V2p+ −+ gz = H
2
ρ
2
−
→
−
→
−
→
流れが相対的に定常で、curl V + 2 Ω = 0、即ち −2 Ω

subst([sin(t)=sqrt(a^2-y^2)/a],%);
subst([PR1],%);’integrate(%/dy,y,-a,a);
DFY2:ev(%,integrate);の渦度がある場合には渦無し流れで、管内流れは下記と’2*integrate(DFY2*x,x,0,L);なる。

MT1:ev(%,integrate);u = U + 2 yd Ω

上記流速を Bernoulli の定理に代入し、圧力：p を求め
ると、
((
)
)
ρ (U + 2 yd Ω)2 − 2 ρ H + −yd2 − x2d Ω2 + 2 gz ρp=−2

水平面で回転する半径：a の円管内に作用する力：dFy

subst([p=p[0],y[d]^2=0,x[d]^2=L^2,V=U,gz=0],BE1);
solve(%,U)[2];MS2:2*%pi*a^2*U*\rho;
F2:U*MS2;
MT2:F2*L*sin(\theta);

は圧力を管壁に沿って積分する。ここで下記の関係から
abs(MT1)=MT2;√%/2/%pi/a^2/\rho/L/U;ydy
a2 − y 2√cos(t) == sin(t) =Ω2 ρ L 2 + 2 ρ H − 2 p 0
a
adt
a
U=
√
ρ
∫ π
∫ a
2py
√
dy
dFy =
2 a p cos (t) dt =H<p/ρの場合でも円管を回転させれば水を吸い上げ
0a2 − y 20−a()∫ a y ρ (U + 2 Ω y)2 − 2 ρ H + ρ (Ω2 (−y 2 − x2 ) + 2 gz )
d
√
=−
dy
2
2
a −y
−a

= −2 π a2 Ω ρ U

ることができる。これが遠心ポンプの原理である。いま、円管の先を x 軸と角度：θ だけ角度を持たせる。この先か

半径方向に積分して、長さ：L の円管で作用するモーメ
ント：M T1 は、∫ L−2 π a2 Ω ρ U xdx = −2 π a2 Ω ρ L2 U

M T1 =

ら放出される単位時間あたりの水の質量は、2 π a2 ρ U 、
運動量は 2 π a2 ρ U 2 となる。これにより円管を回転させるモメント：M T2 は、

M T2 = 2 π a2 ρ sin (θ) L U 2

0Bernoulli の定理を入口と出口に適用すると、回転する円管の平均流速は

U2
Ω2 L2
p0
−
+
=H
2
2
ρ

円管を角速度：Ω で回転させるには、M T1 = M T2 から、下記となり、整理して、

2 π a2 Ω ρ L2 U = 2 π a2 ρ sin (θ) L U 2Ω L = sin (θ) U

4.5. せき

4.5

71

せき

例題 4.5.2

もぐりせき

下図のもぐりせきの流量：Q を求める。

例題 4.5.1

三角せき

下図の三角せきの流量：Q を求める。

図 4.5.2: もぐりせき

kill(all);/* もぐりせき */assume(h>0);
U1:u=sqrt(2*g*y);
図 4.5.1: 三角せき

Q1:dQ=u*b(y)*dy;
Q2:subst([U1],Q1);

kill(all);

Q3:Q[1]=’integrate(rhs(Q2)/dy,y,0,h);/* 三角せき */B1:b(y)=B;

assume(h>0);
assume(\theta>0);

EQ1:subst([B1],Q3);

U1:u=sqrt(2*g*y);U2:subst([y=h],U1);

Q1:dQ=u*b(y)*dy;

Q21:subst([U2],Q1);

Q2:subst([U1],Q1);

Q4:Q[2]=’integrate(rhs(Q21)/dy,y,0,h[2]);Q3:Q=’integrate(rhs(Q2)/dy,y,0,h);

EQ3:subst([B1],Q4);

B1:b(y)=2*(h-y)*tan(\theta);

EQ4:ev(%,integrate);
EQ5:rootscontract(EQ2+EQ4);下流の水位と上流の水位差：h、せき上端からの下流水

EQ2:ev(%,integrate);

EQ1:subst([B1],Q3);
EQ2:ev(%,integrate);
せきの深さ：h、切りかき角度：θ とする。せきの上流
水位を原点に y 軸をとる。y 下方の dy 幅のスリットに

位：h2 とする。せきの上流水位を原点に下方に y 軸をとる。y 下方の dy 幅のスリットにおいて Torricelli の定

おいて Torricelli の定理：(4.1.1) 式を適用した流速：u、 理：(4.1.1) 式を適用する。下流の水位と上流の水位の間では、流速：u、スリット部分からの流量：dQ は下記
この部分からの流量：dQ は下記となる。

u=となる。これを積分し、この部分の流量：Q1 は下記と

√ √
2 gy

dQ = dy u b (y) =

√

なる。

2 dy

√

g y b (y)せきの幅は下記で表現できる。

√ √2 g y dQ = dy u b (y) b (y) = B√ ∫ h√√ ∫ h√
Q1 = 2g y b (y) dy = 2
g ydy Bu=0b (y) = 2 tan (θ) (h − y)=
流量は上記を積分して、√ ∫ h√
g y b (y) dy
Q= 2
0

∫ h

3

(h − y)= 2 2 tan (θ)
7

=

22

√

0
5

g h 2 tan (θ)
15

√

g ydy

2

3
2

√

0
3
2

gh B
3

せき上端と下流の水位の間では、同様に下記となる。
√ √ √
√
√ √
u = 2 g h dQ = 2 dy g h b (y)√√ √ √ ∫ h2
√ √b (y) dy = 2 h2 g h B
Q2 = 2 g h0

上記を合わせて、全体の流量：Q は、√√
8 g h3 B+ h2 2 g h B
Q = Q2 + Q1 =3

第 4 章 Bernoulli の定理

72

4.6

開水路

4.6.1

ベルヌイの定理（開水路）

4.6.2

一様・定常流断面が一定で底面勾配が一定な水路における定常流れについて検討する。赤い破線で囲まれた検査面について

下図の開水路に Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) を適用する。

検討する。基準面から水深の半分の位置を z1 , z2 とする。
この位置における圧力を p1 , p2 とし、これは検査断面積：

A の平均圧力に相当する。z1 , z2 のおける流速を v1 , v2 、摩擦損失ヘッドを hf 、傾斜角：θ とする。Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30 ページ) をヘッドの形で表現すると下記の式となる。

v2
p2
v2
p1
+ 1 + z1 =+ 2 + hf + z2
gρ 2g
gρ 2g

図 4.6.1: ベルヌイの定理（開水路）kill(all);/* 開水路 ベルヌイの定理 */BE1:v^2/2/g+p/\rho/g+z=H;
P1:p=p[0]+\rho*g*(h-z);
BE2:expand(subst([P1],BE1));
上図の底面から z の位置にある点では Bernoulli の定理
を水頭で表すと下記となる。ここで z は水の中の任意点で底面からの高さ：z 、底面から水面までの高さ：h、流
速：v 、大気圧：p0 とする。

z+

図 4.6.2: 一様・定常流

p
v2
+
=H
2g gρ

kill(all);

なだらかな水位変化の場合、z 点の圧力分布を下記のよ/* 開水路 一様・定常流 */BE3:p[1]/\rho/g+v[1]^2/2/g+z[1]=p[2]/\rho/g

うに仮定でき、+v[2]^2/2/g+z[2]+h[f];p = g ρ (h − z) + p0

HF1:solve(BE3,h[f])[1];

上記を Bernoulli の定理に代入すると下記となる。これ
は水面の流線に沿って Bernoulli の定理を適用したものと同じである。即ち、どの位置でも下記の式が成り立つ。
2

v
p0
+
+h=H
2g gρ

(4.6.1)

P1:solve(BE3,p[1])[1];F1:(p[1]-p[2])*A+\rho*g*A*L*sin(\theta)-\tau[0]*L*s=0;
TU1:\tau[0]=l*\rho*v^2/8;
subst([TU1,P1,v[1]=v[2],z[1]=z[2]+L*sin(\theta)],F1);
J1:solve(%,v)[2];J2:subst([A=m*s,h[f]=i*L],J1);
一様で定常流と仮定すると、流量一定、断面積：A 不変
から v = v1 = v2 となる。赤い破線で囲まれた領域に運動量の定理を適用すると、領域に流れ込む流れに基づくものは零となり、領域に作用する力も零となる。作用す
る力は左右面に作用する圧力項、摩擦損失項、重量傾斜項から次式となる。ここで断面のぬれ長さ：s、検査断面間隔：L、壁面・底面の剪断応力：τ とする。

g ρ sin (θ) A L − τ0 s L + (p1 − p2 ) A = 0

4.6. 開水路

73

摩擦項の剪断応力を次式で表現する。ここで摩擦損失係
数：l とする。

l ρ v28上式と Bernoulli の定理から流速：v を求めると、√
3
hf g Av = 22
lsL
τ0 =

4.6.3

流れのエネルギー

開水路のある断面のエネルギーについて検討する。底面の傾斜が無く、損失がないとする。
kill(all);/* 開水路 流れのエネルギー */E1:E=y+v^2/2/g;
Q1:Q=v*A;

断面積：A とぬれ長さ：s から次式の関係がある平均深Q2:solve(Q1,v)[1];

さ：m を導入する。また、定常となるためには摩擦損

E2:subst([Q2],E1);

失：hf が水路の勾配：i と下記の関係となる。

Q3:v=q/y;

A = msQ4:solve(Q3,q)[1];hf = i L

E3:subst([Q3],E1);

整理して、流速：v を求めると、ここで流速係数：C と’diff(E,y,1)=diff(rhs(E3),y,1);

する。

C1:rhs(%)=0;√3

v = 22√gim= C iml(4.6.2)solve(C1,y)[3];
subst([Q4],C1);
C2:solve(%,v)[2];
subst([%],Q1);
C3:subst([A=B*y],%)^2;
assume(A>0);
assume(Q>0);solve(C3,y)[3];C4:subst([y=h[c]],%);
C5:subst([v=v[c],y=h[c]],C2);
q:1;
g:9.8;
plot2d([x+q^2/(2*g*x^2),x],[x,0,2],[y,0,2]);
水深：y 、流速：v とすると Bernoulli の定理：(4.6.1) 式、(72 ページ) から比総エネルギー (specific energy)：E は下記となる。

v22g
速度を流量の式：Q = v A から上式は、
E=y+(4.6.3)Q2+y
2 g A2E=

また速度を縦の単位幅の流量：q で表現すると、

E=y+

q2
2 g y2v=qy上式を図で表すと下図となる。この図からある一定のエネルギーでは２種類の水位 y1 , y2 となる流れがある。水位が低い：y1 の流れを射流 (rapid flow)、水位が高い：

y2 の流れを常流 (tranquil flow) という。また、最下端が限界点で、その水位、流速は上式を y で微分し零とおいて得られ下記となる。

d
q2
=0
E =1−
dy
g y3
2

y=

q3
g

1
3

v=

√

gy

第 4 章 Bernoulli の定理

74
上式を流量：Q、全幅：B で表現すると、限界水深：hc 、
限界流速：vc は次式となる。
2

hc =

Q3
1

2

g3 B3

√
vc = hc g

4.6.4

流れの運動量開水路のある断面の運動量について検討する。
kill(all);/* 開水路 流れの運動量 */Q3:v=q/y;MT1:\rho*Q*(v[2]-v[1])=p[1]*b[1]*d[1]-p[2]*b[2]*d[2]+W*sin(\theta)-F[f];MT11:subst([p[1]=\rho*g*d[1]/2,p[2]=\rho*g*d[2]/2],MT1);
subst([\theta=0,F[f]=0],MT11);v[2]*rho*Q+(b[2]*d[2]^2*g*\rho)/2=v[1]*rho*Q+(b[1]*d[1]^2*g*\rho)/2;v[1]*rho*Q+(b[1]*d[1]^2*g*\rho)/2;
MT2:F=expand(subst([v[1]=Q/A,b[1]=A/d[1],d[1]=y],%)/\rho/g);
subst([Q=v*A],MT2);
MT3:expand(subst([Q3],%)/A);

図 4.6.3: 比エネルギー (specific energy)

図 4.6.2 で赤い破線で囲まれた領域について運動量を適用すると下記となる。ここで、流速：v1 , v2 、流量：Q、
圧力：p1 , p2 、水深：d1 , d2 、水路幅：b1 , b2 、摩擦力：Ff 、囲まれた領域の水の重量：W 、傾斜角：θ とする。

(v2 − v1 ) ρ Q = sin (θ) W − Ff − b2 d2 p2 + b1 d1 p1
圧力が水深に比例して変化するとすると、平均圧力は下
記となる。

p1 =

ρ g d1,2p2 =ρ g d22

上式を運動量の式に代入すると、(v2 − v1 ) ρ Q = sin (θ) W −b2 d22 g ρ b1 d21 g ρ
+
− Ff
2
2

底面の傾斜が無く、摩擦損失がないとし、項を入れ替え
るとF =b2 d22 g ρ
b1 d21 g ρ+ v2 ρ Q =+ v1 ρ Q22

ρg で割り、整理すると、
F =

Q2
yA
+
gA
2

or

F =

y A v2 A+
2g(4.6.4)

4.6. 開水路

75d(Sf − S0 ) g
)
y=− (
dx
v d v +g

ゆるやかに水位が変化する流れ

4.6.5

dy

一様断面の水路でゆるやかに水位が変化する定常流を

下記の項の速度：v を流量：Q で v = Q/A と表す。流

検討する1 。
kill(all);

量：Q は一定であるが、断面積：A は水位により変化す/* 開水路 運動方程式 */BE4:v^2/2/g+z+y;
BEDX1:’diff(BE4,x,1)=-S[f]-’diff(v,t,1)/g;
subst([’diff(BE4,x,1)=’diff(z,x,1)+’diff(y,x,1)+v/g*’diff(v,x,1)],%);

るので、下記の関係が得られる。
(
)
d
Q
A
d
y
d
v=−
2
dy
A
上式を代入し、

BEDX2:subst([’diff(z,x,1)=-S[0]],%)+S[0];d(Sf − S0 ) gy=−( d A) Q2dx
g − d y A3

BEDX3:subst([’diff(v,t,1)=0],BEDX2);
subst([’diff(v,x,1)=’diff(v,y,1)*’diff(y,x,1)],BEDX3);

dA = Bdy であるから

DYX1:solve(%,’diff(y,x,1))[1];d(Sf − S0 ) gy=−2dx
g − B Q3

DVY1:’diff(v,y,1)=Q*diff(1/A,A,1)

A*’diff(A,y,1);

下記の限界水位：hc を使って表現すると、subst([DVY1,v=Q/A],DYX1);
DYX2:subst([’diff(A,y,1)=B],%);

h3c =

C4^3;
solve(%,Q);d(Sf − S0 ) A3
y= 3 3dx
hc B − A3

ratsimp(subst([%],DYX2));
DYX3:ratsimp(subst([A=B*h],%));
subst([h^3=1,h[c]^3=h[c]^3/h^3,S[f]-S[0]A = hB から、=-S[0]*(1-S[f]/S[0]),y=h],DYX3);
基準から底面までの高さ：z 、水位：y 、流速：v とすると Bernoulli の定理：(4.6.1) 式、(72 ページ) から

v2
H =z+y+2g
上記の流れの方向：x の微小範囲：dx のヘッド差はその間に作用する力に等しい。dx 間に作用する力は摩擦と加速度に基づく力があり下記となる。

d
dx

(

)
2

z+y+

v
2g

=−

( d

)

g

− Sf

整理して、
dx v

v
d
d
z+
y+
dx
dx

g

d

= − dtgv− Sf

底面の勾配：S0 とすると、 ddx z = −S0 となり、これを代入し、定常流であるとして加速度項を省略すると下記
となる。

v
d
y+
dx

( d

dx v

g

)
= S0 − Sfddd x v の項を下記のように変形し、 d x y でまとまると、

(
v

d
dy v

)(

g

d
dx y

)
+

(Sf − S0 ) h3dy=−dx
h3 − h3c
整理して、

(
)
S
S0 1 − Sf0
d
h=
h3
dx
1 − 3ch

上式から、S0 の正負、Sf と S0 の大小、h と hc の大小で、水位の変化： ddx h の正負、即ち、水位の増減が左右されることがわかる。

d
dt v

Q2
g B2

d
y = S0 − Sfdx

1 Handbook of Fluid Dynamics, Open Channel Flow, Steady
Gradually Veried Flow, 24.14 Flow Analysis P.24-17 14)

第 4 章 Bernoulli の定理

76

例題 4.6.6

跳水現象

下記のフルード数：Fn1 を導入し、上式を整理すると、合、連続的に変化せず急激に常流に変化する。この現象√
v1 = Fn1 g y1√
2 +1−1
8 Fn1
y2
=
y1
2

を跳水現象という。この跳水現象に伴う損出ヘッドを求

Fn1 ≈ 1 では水位変化はなく、Fn1 >> 1 の時激しい跳める。

水現象がおきる。

開水路で流れの状態として、常流と射流がある。常流から徐々に流速を上げて限界流速から射流に連続的に変化していく。流速が速い流れ：射流から速度が遅くなる場

流れのエネルギーの式：(4.6.3 ) 式から両検査面のエ
ネルギーヘッドに損失ヘッド：dh を加えて、

v12v2+ y1 = 2 + dh + y22g2g
下記の流量：Q の式を代入し、

Q = v1 y1 B = v2 y2 B
図 4.6.4: 跳水現象

v1 を求め、v12 =kill(all);( 2)
y2 + y1 y2 g
2 y1

損失ヘッド：dh を求めると、/* 開水路 跳水現象 */3

F1:Q^2/(g*A[1])+(y[1]*A[1])/2=Q^2/(g*A[2])+(y[2]*A[2])/2;
subst([A[1]=y[1]*B,A[2]=y[2]*B],F1);
F2:subst([Q=v[1]*B*y[1]],%);
F21:solve(%,y[2])[2];F3:subst([v[1]=F[n1]*sqrt(g*y[1])],%)/y[1];F4:lhs(F3)=subst([y[1]=1,g=1],rhs(F3));
CO10:v[1]*y[1]*B=v[2]*y[2]*B;
CO11:solve(CO10,v[2])[1];BE5:y[1]+v[1]^2/2/g=y[2]+v[2]^2/2/g+dh;
BE6:subst([CO11],BE5);
F5:solve(F2,v[1]^2)[1];
subst([F5],BE6);
DH:solve(%,dh)[1];
factor(%);
上流側と下流側の検査面で、流速：v1 , v2 、水位：y1 , y2 、
断面積：A1 , A2 、流量：Q とすると、流れの運動量の式：(4.6.4 ) 式から両検査面の力が等しい F1 = F2 として
Q2
y 1 A1
Q2
y2 A2
+
=
+
A1 g
2
A2 g
2
下記の関係式を

A1 = y1 B,

A2 = y2 B,

Q = v1 B y 1

上記運動量の式に代入し下記を得る。

v12 y1 By2 B
v2 y2 By2 B
+ 1 = 1 1 + 2
g
2
y2 g
2
上式から y2 を求めると、√
y12 g 2 + 8 v12 y1 g − y1 g
y2 =
2g

dh =

(y2 − y1 )4 y1 y2

4.6. 開水路

例題 4.6.7
モデル）

77

開水路水の過渡現象（ダムの崩壊

波の前後で右辺に単位時間あたりの運動量差を、左辺に圧力を直線分布とした水圧差による作用力を示すと、2

たとする。いま、ゲートを全て取り除いた時の水深の変ρ y (V − c) ((V − c) − (V − dV − c))ρ (y − dy) ρ y 2
−
=
2
2
g

化について調べる1 。下流方向：を x 軸、水深の上方を微小項の高次の項を省略し、整理すると、

長方形断面水路にダムがあり、ゲートで水を貯めていy 軸とし、流速：V 、波の伝わる速度：c、時間:t、密度：
dV
g
=−
dy
V −c

ρ、重力加速度：g とする。

(4.6.6)(4.6.5) 式と (4.6.6) 式から、
c
V
g
−
=−
y
y
V −c
上式から、
2

−(V − c) = −g y
図 4.6.5: 過渡現象座標系

c を求めると、
c=V ±

√ √
g y

(4.6.7)√
水深：y で流路を流れる速さに波の伝搬速度： y g を√合わせた流れとなっている。ここで波の伝搬速度： y g/* 開きょの過渡水波 ダムの崩壊モデル */kill(all);は、「表面波load("vect")$
depends(V,[y]);9.2.2 位相速度 (535 頁 )」の浅水の場合の波面形状の移動速度である位相速度：(9.2.20) 式と一致しており、「9.2.6 群速度 (539 頁)」の群速度：(9.2.40)

assume(g>0);式および「9.2.7 エネルギー速度 (541 頁)」のエネルギー

assume(y>0);

速度：(9.2.42) 式 から浅水では波面形状の移動速度であ/* 方程式 */る位相速度とエネルギー速度も一致している。

CN1:(V-dV-c)*(y-dy)=(V-c)*y;lhs(%)-rhs(%)=0;

factor(subst([VY1],CN2));

expand(%);

factor(subst([VY1],MT2));

subst([dy*dV=0],%);diff(V,y,1)=sqrt(g/y);solve(%,dV)[1];VY2:ode2(%,V,y);

CN2:expand(%/dy);
MT1:\rho/2*(y-dy)^2-\rho/2*y^2=\rho/g*(V-c)

factor(subst([VY1D],CN2));
factor(subst([VY1D],MT2));*y*((V-c)-(V-dV-c));diff(V,y,1)=-sqrt(g/y);lhs(%)-rhs(%)=0;

VY21:ode2(%,V,y);expand(%);

subst([V=V[0],y=y[0]],VY2);

MT2:subst([dy^2=0],%);

solve(%,%c)[1];solve(%,dV)[1];VY3:subst([%],VY2);

MT2:expand(%/dy);

VY11:subst([VY3],VY1);
X1:x=c*t;rhs(CN2)=rhs(MT2);%*y*(V-c);

X11:subst([VY11],X1);

factor(%);

solve(%,sqrt(y))[1];VY1:c=V+sqrt(g)*sqrt(y);%^2;

VY1D:c=V-sqrt(g)*sqrt(y);(4.6.5) 式と (4.6.6) 式に (4.6.7) 式を代入すると、
√
g
d
V =±√
dy
y

波の前後の質量保存の法則から、(y − dy) (V − dV − c) = y (V − c)微小項の高次の項を省略し、整理すると、

dV
c
V
= −
dy
y
y

上式を ode2 関数で解くと、(4.6.5)

1 Victor L. Streeter, E. Benjamin Wylie：竹中利夫訳：流体過渡現象 20) , 15. 開きよの過渡現象、

P.275

V = ±2√ √g y + %c

(4.6.8)

第 4 章 Bernoulli の定理

78
x 軸の正の方向にダムの水のたまりがあり、y = y0 で
V = V0 とすると、± の正の記号をとり、
V0 = 2√y0√

g + %c

上式から、%c を求め、(4.6.7) 式に代入し、

V =2

√ √
√ √
g y − 2 y0 g + V0

(4.6.9)上式を (4.6.8) 式に代入し、

c=3

√ √
√ √
g y − 2 y0 g + V0

(4.6.10)
図 4.6.6: ダムの崩壊モデル

また、水面の形状は、

x = ct
上式に (4.6.10) 式を代入し、√ √√ √x = t (3 g y − 2 y0 g + V0 )(4.6.11)上式から、別の形で表現すると、( √ √)x + 2 y0 g − V0 t
√
y=
√
3 gt

(

( √ √
) )2
x + 2 y0 g − V 0 t
y=
9 g t2(4.6.12)

ダムの崩壊モデルでは、初期の貯水は静止しているので、V0 = 0 とする。このとき、(4.6.12) 式から、x = 0
で、時間に関係なく、水深は y = 49 y0 で変化ないことを示している。また、(4.6.10) 式から、水の先端：y = 0√
では流速：2 y0 g で伸び、ダムの水位：y = y0 では、√
流速： y0 g で後退する。

X12:subst([t=0.001,V[0]=0,y[0]=1,g=9.8],
rhs(X11));
X13:subst([t=0.05,V[0]=0,y[0]=1,g=9.8],
rhs(X11));
X14:subst([t=0.1,V[0]=0,y[0]=1,g=9.8],
rhs(X11));
X15:subst([t=0.15,V[0]=0,y[0]=1,g=9.8],
rhs(X11));
X16:subst([t=0.2,V[0]=0,y[0]=1,g=9.8],
rhs(X11));
plot2d([X12,X13,X14,X15,X16],[y,0,1],[x,0,1.5],[legend,"t=0.001s","t=0.05s","t=0.1s","t=0.15s","t=0.2s"])
下記に、初期水深：y0 = 1m の場合のダムの崩壊モデ
ルの水位変化を示す。

4.6. 開水路

例題 4.6.8

79

円形開水路の経済的な形状

円形開水路でもっとも経済的な（摩擦損失が少ない→断面積一定で最大の流量を流す）円形開水路の水位と半径

下記の半径の式をぬれ長さの式に代入し、√
A
r= −cos (t) sin (t) − tの関係を求める。

√
s = 2t−Acos (t) sin (t) − t

ぬれ長さを最小にする条件は、()
2 cos (t) sin (t) − 2 t cos (t)2 A
d
)√
s= (
dt
2 t cos (t) sin (t) + cos (t)4 − cos (t)2 − t2−Acos(t) sin(t)−t=0

これを解くと[t =πsin (t),t =]2cos (t)以上から半円：t = π/2 が経済的な開水路となる。
図 4.6.7: 円形開水路の経済的な形状

kill(all);/* 円形開水路の経済的な形状 */V1:v=C*sqrt(m*i);M1:m=A/s;
Q1:Q=v*A;
Q2:subst([V1],Q1);
Q3:subst([M1],Q2);
A1:A=%pi*r^2*2*t/2/%pi-(r*sin(t))*(r*cos(t))/2*2;
S1:s=2*r*t;
A2:solve(A1,r)[2];S2:subst([A2],S1);
DF1:trigsimp(diff(rhs(S2),t,1)=0);
T1:trigsimp(solve(%,t));
開水路の一様・定常流の摩擦損失と流量の関係は (4.6.2)
式、(73 ページ) から下記となる。ここで、水路の勾配：

i、平均深さ：m、流速係数：C 、断面積：A、ぬれ長さ：s とする。

√

As
流量は下記で得られ、断面積：A 一定で最大の流量を流
v=

imC

m=

すにはぬれ長さ：s を最小にする角度：t を求めればよい。
√
iA
Q = vA = A
Cs
断面積と角度：t の関係式は、

A = r2 t − r2 cos (t) sin (t)
ぬれ長さと角度の関係式は、

s = 2rt第 4 章 Bernoulli の定理

80

例題 4.6.9

台形開水路の経済的な形状

台形の面積：A は、

台形開水路でもっとも経済的な（摩擦損失が少ない→断A = h2 tan (t) + b h

面積一定で最大の流量を流す）台形開水路の形状を求め
ぬれ長さ：s は、

る。

s=

2h
+b
cos (t)

次式をぬれ長さの式に代入し、

b=s=
図 4.6.8: 台形開水路の経済的な形状

A − h2 tan (t)hA − h2 tan (t)2h+hcos (t)h を変数としてぬれ長さを最小にする条件は、dA − h2 tan (t)2s=−=0− 2 tan (t) +dhh2
cos (t)kill(all);/* 台形開水路の経済的な形状 */水位、底の幅は、√

V1:v=C*sqrt(m*i);cos (t) A
h= √2 − sin (t))(√
tan(t) A
2 − sin (t) A − cos(t)2−sin(t)√b=cos (t) A

M1:m=A/s;
Q1:Q=v*A;
Q2:subst([V1],Q1);
Q3:subst([M1],Q2);
A1:A=h*b+h*h*tan(t);上記の比をとると、

S1:s=b+2*h/cos(t);2 sin (t) − 2b=−hcos (t)A2:solve(A1,b)[1];S2:subst([A2],S1);
diff(rhs(S2),h,1)=0;t を変数としてぬれ長さを最小にする条件は、

H1:trigsimp(solve(%,h)[2]);d
2 h sin (t)2s=2 − h sec (t) = 0
dtcos (t)B1:subst([H1],A2);
BH1:trigsimp(B1/H1);
diff(rhs(S2),t,1)=0;

上式を置き換えて、

subst([sec(t)^2=1/(1-sin(t)^2),d
2 h sin (t)
h
s=
2 −
2 =0
dt
1 − sin (t)1 − sin (t)cos(t)^2=(1-sin(t)^2)],%);
subst([sin(t)=T],%);

h
d
2hT
−
=0
s=
dt
1 − T2
1 − T2

T1:solve(%,T)[1];
subst([T=sin(t)],T1);
上式から、

solve(%,t)[1];

1
2

subst([%],BH1);
開水路の一様・定常流の摩擦損失と流量の関係は (4.6.2)

T =式、(73 ページ) から下記となる。ここで、水路の勾配：

sin (t) =12i、平均深さ：m、流速係数：C 、断面積：A、ぬれ長さ： 角度は、s とする。

√

Av = imC
m=s
流量は下記で得られ、断面積：A 一定で最大の流量を流すにはぬれ長さ：s を最小にする水位：h、底の幅：b、台形の開き角度：t を求めればよい。

Q = vAQ=√√
imAC = A

iA
C
s

t=

π
6

水位と底の幅比は、

b
2
=√
h
3

4.7. 漏洩

4.7

81

漏洩
PV = ν RT

気体がピンホールから漏れる現象は、ピンホールの大きさにより物理現象が異なり、その解析法も変わる。流

ここで、P

：圧力

V

：体積

ν

：気体のモル数

R

：気体定数

T

：絶対温度

路幅・高さに比べて流路長さが長い流路では、非常に小さなピンホールの場合には分子流が、比較的大きなピンホールでは粘性流が主現象となる。各現象についてその解析法を下記に示す。ここでは、容器内の空間は十分広く、そこで気体は静止しているとする。ピンホールから出た空間も十分広いとする。このときの容器などのモデルを下図とする。

(4.7.1)

上記から、P V /T ：一定となる。圧力：P2 となったときに外部に漏れた体積：dV とすると、
P1 V
P2 V + P2 dV=
T1
T2
ここで、P1：初期容器内初期封入圧力T1：初期容器内気体絶対温度

V

：容器体積

図 4.7.1: 漏洩のモデル

P2：t 時間後の容器内圧力T2：t 時間後の容器内気体絶対温度dV：圧力：P2 での漏洩体積

P0

：外界圧力

T0

：外界気体絶対温度Vℓ：外界圧力での漏洩体積Qℓ
Q：平均リーク量：リーク量 Q 値

上式から dV は、

4.7.1

容器内圧力変化

漏洩検知方法として、一般的には、容器に加圧気体を封入、放置し、ある時間後に減圧があったとき、漏れがあると認識される。容器の外界圧力：P0 とし、内容量：

V の容器に気体を封入し、初期の圧力：P1 、温度：T1とし、t 時間後に、容器の圧力：P2 、温度：T2 になった
とする。

dV =

(P1 T2 − T1 P2 ) V
T1 P2

容器圧力：P2 における漏洩体積：dV は外界圧力：P0における漏洩体積：Vℓ となり、その関係は、

P0 V ℓ
P2 dV
=
T2
T0
上式から dV は、

dV =kill(all);DV2:solve(%,dV)[1];rhs(DV1)=rhs(DV2);
QL1:factor(solve(%,V[l])[1]);%/T[0]/V*P[0];lhs(%)=expand(rhs(%));
VL1:%*T[0]*V/P[0];Q[l]=V[l]/t;(4.7.3)

P0 T2 Vℓ(P1 T2 − T1 P2 ) V
=
T1 P2
T0 P2

PV2:P[1]*V/T[1]=P[2]*(V+dV)/T[2];PV3:P[2]*dV/T[2]=P[0]*V[l]/T[0];P0 T2 Vℓ
T0 P2

(4.7.2 ) 式と (4.7.3 ) 式から、

PV1:p*V=\nu*R*T;
DV1:solve(%,dV)[1];(4.7.2)上式から、漏洩体積：Vℓ を求めると、()
T0 PT11 − PT22 V
Vℓ =P0
上式から平均リーク量（平均漏洩流量）：Qℓ は下記と
なる。

(
T0
Vℓ
Qℓ =
=
t

P1
P2
T1 − T2)
V

P0 t(4.7.4)

また、リーク量は出口圧力によって変化するので、一QL1:subst([VL1],%);

般に P V に相当する下記の Q 値が用いられる。また、セQ1:Q=lhs(%)*P[0];ンサー原理から Q 値は検知出力に比例しており、リー

subst([QL1],Q1);

ク量の評価に使用されている。
)(
T0 PT11 − PT22 V
Q = P0 Qℓ =t

気体の状態方程式は次式である。

(4.7.5)

第 4 章 Bernoulli の定理

82

4.7.2

分子流

R
,
NA

k=

ここで、P

：圧力

V

：体積

ν

：気体のモル数

R

：気体定数

T

：絶対温度

N

：分子の総個数NA：アボガドロ数 (1 モル中の分子数)

M = m NA ,n=

厚さの無視できる壁に開けられた分子レベルの非常に小さな孔を通って他方に流れ込む量は、下記の壁面を単N
V(4.7.7)N = ν NA ,

位時間にたたく分子数と大きく関係している。

kill(all);assume(\alpha>0);
assume(m>0);
assume(k>0);
assume(T>0);
assume(R>0);
PV1:p*V=\nu*R*T;
NA1:N=\nu*N[A];k：ポルツマン定数

M

：分子量

m

：分子の質量n：気体分子密度

NA11:solve(%,\nu)[1];(単位体積に存在する分子量)K1:k=R/N[A];(4.7.6 ) 式を (4.7.7 ) 式を用いて圧力：p を求めると、

K11:solve(%,N[A])[1];M1:M=m*N[A];p=

M11:solve(%,m)[1];

ν RT
N RT
kN T
=
=
= knT
V
NA V
V

(4.7.8)

一辺：L の立方体の中に一つの分子質量：m の気体がN1:n=N/V;
N11:solve(%,N)[1];

入っているとする。この時の分子の x 軸方向の速度：vx

PV1/V;とすると、この一つの分子が壁に当たって、壁に与える

subst([NA11],%);

力積は、
力積=運動量変化 = 2 m vx

subst([K11],%);
PV2:subst([N11],%);

t 秒間の分子の移動速度は vx t、立方体内での一面にMV1:2*m*v[x];当たる回数は vx t/(2L) であるから、t 秒間の一つの分

N1:v[x]*t/(2*L);子の力積は、

MVA1:MV1*N1/t;
t 秒間の力積 =V1:v^2=v[x]^2+v[y]^2+v[z]^2;
V2:v^2=3*v[x]^2;

m vx2 tL

上記の平均は、

V21:solve(%,v[x]^2)[1];V22:solve(V1,v[x]^2)[1];

平均力積 =

p=N*MVA1/L^2;

m vx2
L

総分子個数：N の平均力積は、速度の二乗平均：vx2 とP1:subst([L^3=V],%);

すると、立方体の一面に作用する力：F は、

P11:subst([V21],%);
%*V;

F =

rhs(%)=rhs(PV1);%/N*3;

N m vx2
L

立方体内の圧力：p は、立方体の体積：V = L3 とす

subst([NA1],%);

ると、

MV2:subst([K11],%);p=V3:%/m;N m vx2
N m vx2=
3
L
V(4.7.9)全ての方向の分子速度の二乗平均：v 2 は、

V31:v=sqrt(rhs(%));
subst([M11],V3);v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = 3 vx2

subst([K1],%);(4.7.10)(4.7.9 ) 式に上式を代入し、

v=sqrt(rhs(%));
V32:factor(subst([V22],%));

p=

気体の状態方程式と関連の式は下記である。

N m v23V(4.7.11)

上式と (4.7.6 ) 式から、

PV = ν RT(4.7.6)pV =N m v2= ν RT3(4.7.12)

4.7. 漏洩

83

(4.7.12 ) 式から次式が得られ、(4.7.7 ) 式の関係式
から、
m v2 =

3RT
3ν RT
=
= 3kT
N
NA

( )
h v 2 = f (vx ) f (vy ) f (vz )(4.7.16)(4.7.13)全ての方向の分子速度の平均：v は上式と (4.7.7 ) 式の関係式から、√√√
3kT
3 k T NA
3RT
v=
=
=
m
M
M

( )
(4.7.10 ) 式から、下記の h v 2 を考える1 。

(4.7.14)上式を vx で微分すると、
(
)
(
)
( )
d
d
2
h v2
vx =
f (vx ) f (vy ) f (vz )
d vx
d vx
上式を整理し、(( )dh v2 =d vx

G1:g(v)=f(v[x])*f(v[y])*f(v[z]);H1:h(v^2)=f(v[x])*f(v[y])*f(v[z]);’diff(h(v^2),v[x],1)*2*v[x]=diff(f(v[x]),v[x],1)*f(v[y])*f(v[z]);%/2/v[x];dd vx f (vx ))f (vy ) f (vz )2 vx

上式を (4.7.16 ) 式で割ると、( 2)ddd vx h v
d vx f (vx )=h (v 2 )2 vx f (vx )vy , vz についても同様の結果が得られ、%/H1;
rhs(%)=-\alpha;

( 2)
v

d
d
d
f (vx )f (vz )
d v f (vy )= d vx= y= d vz2 vx f (vx )2 vy f (vy )2 vz f (vz )ode2(%,f(v[x]),v[x]);dd vx hFVX1:subst([%c=A],%);
FVY1:subst([x=y],%);

これから、上式は次式に示す一定値：−α でなければh (v 2 )ならない。

FVZ1:subst([y=z],%);
1=’integrate(f(v[x]),v[x],-inf,inf);dd vx f (vx )subst([FVX1],%);

2 vx f (vx )

ev(%,integrate);

上式を ode2 関数で解くと、

A1:solve(%,A)[1];= −αf (vx ) = %c e−α vx
2

FVX1*FVY1*FVZ1;
subst([A1],%);

上式から、

g(v)=rhs(%);

f (vx ) = e−α vx A2

G2:factor(subst([V22],%));−α vy2(4.7.17)p=’integrate(2*N(v[x])*m*v[x]*f(v[x]),f (vy ) = e

A(4.7.18)v[x],0,inf)/dS/dt;

f (vz ) = e−α vz A

(4.7.19)2

subst([N(v[x])=n*v[x]*dS*dt],%);(4.7.17 ) 式の確率分布を積分すると 1 であるから次

subst([FVX1,A1],%);

式となり、
√
∫ ∞
∫ ∞
2
πA
1=
f (vx ) dvx =e−α vx dvx A = √α−∞−∞

P1:ev(%,integrate);
P2:p=n*k*T;
rhs(P1)=rhs(P2);
A2:solve(%,\alpha)[1];

上式から、

√
α
A= √
π

FVX2:subst([A1,A2],FVX1);
G3:subst([A2],G2);(4.7.20)(4.7.15 ) 式に (4.7.17 ) 式、(4.7.18 ) 式、(4.7.19 ) 式、

g(v)=rhs(G3)*v^2*sin(\theta);
g(v)=’integrate(’integrate(rhs(%),\theta,
0,%pi),\psi,0,2*%pi);(4.7.20 ) 式を代入すると、
g (v) =eG4:ev(%,integrate);
分子速度の x 軸方向成分の確率分布：f (vx ) とする。
等方性であるから、y, z 軸方向成分の速度の確率分布も同じであり、各々：f (vy ) , f (vz ) となる。各方向の分子速α 2 e−α vz −α vy −α vx
32−α vz2 −α vy2 −α vx

α 2 e−α v
3

=

3

A =

2

2

2

3

π2

2

3

π2

(4.7.21)度の確率分布：g (v) を各軸の積で表現できるとすると、

g (v) = f (vx ) f (vy ) f (vz )(4.7.15)1 松 田 七 美 男：気 体 分 子 運 動 論 の 基 礎 、
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jvsj2/56/6/56 13-LC020/ pdf

第 4 章 Bernoulli の定理

84(4.7.17 ) 式から圧力：p を求める。ある時間：dt に衝(4.7.27) 式、(4.7.28) 式を代入すると、突する総数：N は長さ：vx dt、面積：dS の体積に含まh1 = 1,れる分子数であるから、

N = n vx dS dt(4.7.22)

圧力：p は、上式と力積：2 m vx から、
∫ ∞
2m
p=
vx f (vx ) N (vx ) dvx
dt dS 0∫ ∞=2 m nvx2 f (vx ) dvx
0√∫
2 α m n ∞ −α vx2 2evx dvx
= √
π
0
mn
=
2α

h2 = r,h3 = r sin (θ)(4.7.29)

上記の結果から、

dx dy dz = h1 h2 h3 dr dθ dϕ = r2 sin (θ) dr dθ dϕ
上記より、
m v2

m 2 sin (θ) v 2 e− 2 k T
3g (v) dv =

3

3

3

3

22 π2 k2 T 2(4.7.23)

dv dθ dϕ

上式を θ, ϕ で積分し、
3

g (v) dv =また、(4.7.8 ) 式から、圧力：p は、

m2
3

√

p = knT3

3

3

22 π2 k2 T 2∫ 2π ∫ π
m v2
×sin (θ) v 2 e− 2 k T dθ dϕ dv
0

0
m v2

2 m 2 v 2 e− 2 k T
=
dv
√ 3 3
π k2 T 2

上記二式から、

3(4.7.30)

mn
= knT
2α
rhs(G4)*v;

以上から、

m
α=
(4.7.24)2kT(4.7.17 ) 式に (4.7.20 ) 式、(4.7.24 ) 式を代入し、
2m vx√
m e− 2 k T
f (vx ) dvx = √ √ √ √ dvx
2 π k T

v=’integrate(%,v,0,inf);
V4:ev(%,integrate);
V41:solve(%,sqrt(T))[1];Z1:Z[n]=’integrate(N(v[x])*f(v[x])/dS/dt,(4.7.25)v[x],0,inf);
subst([N(v[x])=n*v[x]*dS*dt],%);

上式から (4.7.15 ) 式は、
32g (v) dv =m e
3subst([FVX2],%);
Z11:ev(%,integrate);

v2
−m
2kT

3

3

3

22 π 2 k2 T 2

dvx dvy dvz(4.7.26)

xyz 座標系の dvx , dvy , dvz を極座標系の各方向の dvで表す。xyz 座標系と極座標系の関係式は、

x =cos (ϕ) r sin (θ) ,y = sin (ϕ) r sin (θ)

Z12:subst([V41],%);
solve(PV2,n)[1];lhs(Z11)=subst([%],rhs(Z11));
Z2:Z[V]=Z[n]/n;
subst([Z11],%);(4.7.27)z =r cos (θ)

subst([K1],%);
Z21:radcan(subst([M11],%));

直交曲線座標系1 ：u1 , u2 , u3 で極座標の変数は、

u1 = r,u2 = θ,u3 = ϕ(4.7.28)

Q=S*rhs(%)*(P[1]-P[2]);subst([S=%pi*D^2/4],%);
極座標系の v を使って、全ての方向の分子速度の平下記の (B.3.5) 式に、

(
h21 =
(
h22 =
(
h23 =

d
z
d u1
d
z
d u2
d
z
d u3

(

)2
+

(

)2
+

(

)2
+

d
y
d u1
d
y
d u2
d
y
d u3

均：v は、(4.7.30) 式の確率分布を使って、

(

)2
+

(

)2
+

(

)2
+

d
x
d u1
d
x
d u2
d
x
d u3

)2
v=
)2
)2

1 溝 口 純 敏：Maxima を 使った 物 理 数 学 基 礎 演 習 ノ ー
ト、4.5 座 標 変 換4.5.5 直 交 曲 線 座 標 系 へ の 座 標 変 換 、
http://www9.plala.or.jp/prac-maxima/Practice-MaximaPhysical%20math.pdf

√

∫ ∞
0

vg (v) dv = √

√ √
2
k T
= √ √
π m

∫ ∞

3

2 m2
3
2

πk T

3
2

m v2

v 3 e− 2 k T dv

0

3
2

(4.7.31)
上式の分子速度の平均：v と (4.7.14) 式の結果は、√√
8/π → 3 となっており、少し異なっている。ここでは以降、上式を用いる。

4.7. 漏洩85

壁面に分子が入射する頻度：Zn は、(4.7.23) 式と同様に考えて、(4.7.22) 式、(4.7.25) 式、(4.7.31) 式を代入し、∫∞∫ ∞f (vx ) N (vx ) dvx
0
Zn =
=n
vx f (vx ) dvx
dt dS
0
√
∫ ∞
2
m vx
mn
=√ √ √ √vx e− 2 k T dvx
2 π k T 0
√ √
kn T
nv
=√ √ √ =4
2 π m(4.7.32)

粘性流

マイクロ流路の粘性流では、圧力損失が大きいことから、気体の場合には、入口と出口の圧力比が大きい。入口から出口に向かって圧力の低下とともに密度が小さくなり、流速が早くなる。従って、流路径が小さいため、
レイノルズ数は低いが、圧縮性の効果が大きい現象が現れる。流路のある断面について考えると、通常のピンホール径ではレイノルズ数 < 3000 で、流れは非常に安定しており、層流の理論推定式で推定してもよい。ここで、単位時間におけるリーク重量は流路内で変化しな

上式を (4.7.8) 式を用いて表すと、

p
Zn = √ √ √ √ √2 π k m T

4.7.3

い。

(4.7.33)

この流路内では、摩擦による圧力損失が発生しているので、流体のエネルギー保存である断熱流ではない。圧力

分子の体積は分子密度の逆数であるから、単位面積に損失により、気体温度を高めたり、壁面と流体で熱伝達入射する体積：ZV は次式となり、(4.7.7) 式を用いて表する。厳密には温度項の入った境界層方程式を解く必要

すと、があるが、難解で現実的でない。そこで下記のように簡

√ √
Zn
k T
ZV =
=√ √ √
n
2 π m
√ √
√ √
R T
R T
=√ √ √ √=√ √ √
2 π m NA
2 π M

略化を行う。
壁面と流体の熱伝達率：h は、h = Nu · k/d (k：流体の(4.7.34)

熱伝導率、Nu：ヌセルト数) となり、層流ではヌセルト数は一定となる。これから、熱伝達率は円管径に反比例し、管径が小さくなればなるほど熱伝達はよくなる。以

上記の結果は出口の圧力が真空：P2 = 0 で、流路長上のことから、圧力と密度の関係は、断熱流と等温流のさがない場合である。これから Q 値は上式から下記と中間にあるはずであり、管径が小さくなればなるほど、なる。

断熱流から等温流に近くなる。

√ √ √D2 π R T√ √(P1 − P2 )
Q=
4
2 M

(4.7.35)kill(all);U1:u(r)=-’diff(p(x),x,1)*(D^2/4-r^2)/4/\mu;
G=\rho(x)*’integrate(u(r)*2*%pi*r,r,0,
D/2);
subst([U1],%);
G1:ev(%,integrate);\rho(x)=\rho[1]*p(x)/P[1];subst([%],G1);
PX1:ode2(%,p(x),x);
subst([p(x)=P[1],x=0],PX1);
C1:rhs(%)=lhs(%);
subst([p(x)=P[2],x=\delta,C1],PX1);
solve(%,G)[1];G2:factor(%);
R2:\rho[2]=\rho[1]*P[2]/P[1];Q[l]=G/\rho[2];Q1:subst([G2,R2],%);
Q=Q[l]*P[2];subst([Q1],%);
円管の場合には、流速分布：u を解析的に求めることができ、(8.2.7) 式から次式で表される。

第 4 章 Bernoulli の定理

86( du (r) = −ここで、ud x p (x)) ( D224 −r

流路出口における流量：Ql は次式となり、(4.7.38) 式)と上式を代入すると、

4µ
Ql =

：半径方向の流速分布

dpdx：円管流れ方向の圧力勾配

µ

：粘性係数

D

：円管直径

r

：円管半径方向長さ

P1：容器内初期圧力ρ1：容器内密度P2：流路出口の圧力

ρ2：流路出口の密度δ：流路長さ

れ、これに密度：ρ (x) をかけるとリーク重量：G となり、これは流路内で変化しないとし、求めると、∫ D2
r u (r) dr ρ (x)0)∫ D ( 2)(2Dπ ρ (x)drp (x)− r2 dr
2µ
dx
4
(
) 0
d
π ρ (x)p (x) D4
=−
128 µ
dx
(4.7.36)=−

流路中の x における密度：ρ (x) は等温流から、

ρ (x) =

ρ1 p (x)P1(4.7.36) 式に上式を代入すると、)(
π ρ1 p (x) ddx p (x) D4
G=−
128 P1 µ
上式を ode2 関数で解くと、
2−π ρ1 p (x) D4= x + %c
256 P1 µ G(4.7.37)

境界条件：x = 0, p (x) = P1 とすると、−

π ρ 1 P1 D 4= %c
256 µ G

境界条件：x = δ, p (x) = P2 とし、これと上式から、(4.7.37) 式は、−

π ρ1 P22 D4
π ρ 1 P1 D 4=−+δ
256 P1 µ G
256 µ G

上式から、G を求めると、

G=−

π ρ1 (P2 − P1 ) (P2 + P1 ) D4
256 P1 δ µ(4.7.38)流路出口の圧力、密度の関係式は等温流から、

ρ2 =ρ 1 P2
P1(4.7.39)

Q 値は次式となり上式を代入すると、
Q = P2 Ql =上式を半径方向に積分することにより平均流量が得ら

G =2 πG
π (P1 − P2 ) (P2 + P1 ) D4=
ρ2
256 P2 δ µπ (P1 − P2 ) (P2 + P1 ) D4
256 δ µ(4.7.40)

4.7. 漏洩87

Knudsen の半理論式

4.7.4

気体が小さなピンホール：マイクロ流路から漏れる現象は、分子流と粘性流が主現象となる。このようなマイクロ流路を気体が流れるとき、流量を次式の Knudsenの半理論式で求めることができる 36) 。ここで、次式の第一項は粘性流：(4.7.40) 式を、第二項は分子流：(4.7.35)
式を表している。

(
Q=

πD4 P
128µδ

D3
+
6δ

√

√
)
M dP
2πRT 1 + RT µ√
(P1 − P2 )M 1 + 1.24 M dP
RT µ(4.7.41)
図 4.7.2: 分子流、粘性流の領域とリーク量 36)
ここで、Q：リーク量 Q 値

D

：ピンホール直径

δ：ピンホール長さ

µ

：粘性係数

R

：気体定数

T

：絶対温度

M
P1 , P 2P：分子量：入口、出口圧力：入口、出口圧力の平均

この分子流、粘性流の領域におけるリーク量に関係す
る係数：J を 20 ℃の空気の場合について、下記に示し、その関係を図 4.7.2 に示す 36) 。ここで、ピンホール直径：D が 1µm 程度の時、DP ≈ 0.1 で、中間流の領域であるが、粘性流の延長で解析しても大きな誤差はない
ので、以降、ピンホール径が 1µm 程度以上の時、粘性流として解ける。

Q = C(P1 − P2 )d3
·J
δ

(4.7.43)

1 + 202DP + 2643(DP )2
1 + 236DP(4.7.44)

C = 1.21 × 102
J=(4.7.42)J = 11.2DP(DP ≥ 0.67 粘性流)

J =1(DP ≤ 0.02 分子流)

ここで、Q

：リーク量 Q 値 [Pa・m3 /sec]D：ピンホール直径 [m]δ：ピンホール長さ [m]P1 , P 2：入口、出口圧力 [Pa]P

(4.7.45)：入口、出口圧力の平均 [Pa]

88

第5章

2 次元完全流体

5.1

複素解析

5.1.1

2 次元速度ポッテンシャルと流れ関数(1) 流れ関数の関係式
下図点 A から点 P までの任意の面を考える。この面を∫P左から右に通過する流量は Ψ = A vn ds で、検査面にΨ が流量を表すので、dy 、dx 間での流量変化の関係は、()
ddy vx + Ψ = dy
Ψ +Ψ
dy
(
)
d
Ψ − dx vy = dx
Ψ +Ψ
dx
上記から、

よって変化しない。Ψ は点 P の位置の関数で、流線にvx =沿って点 P を移動させても、流線を通過して流れる流れはないので、Ψ は一定である。これから Ψ = 一定は流線を表す。

dΨ,dyvy = −dΨ
dx(5.1.1)

極座標：r, θ の流れ関数と流速の関係は、()
ddt r vr + Ψ = dt
Ψ +Ψ
dt
(
)
d
Ψ − dr vθ = dr
Ψ +Ψ
dr
上記から、
d
Ψ
vr = d θ ,rvθ = −dΨdr(5.1.2)

CIR1:\omega=’diff(v[y],x,1)
図 5.1.1: 2 次元流れ関数-’diff(v[x],y,1);
subst([STFX,STFY,\omega=0],CIR1);/* 二次元の流れの関数 */kill(all);ev(%,diff);-rhs(%)=lhs(%);
渦度：ω は次式で表現でき、完全流体では ω = 0 である。

load("vect")depends(\Psi,[x,y]);ω=

depends(\Phi,[x,y]);
STF1:\Psi=’integrate(v[n],s,A,P);\Psi+v[n]*ds=\Psi+’diff(\Psi,s,1)*ds;
STFN:solve(%,v[n])[1];\Psi+v[x]*dy=\Psi+’diff(\Psi,y,1)*dy;
STFX:solve(%,v[x])[1];

d
d
vy −
vx
dx
dy

上式に (5.1.1) 式を代入し流れ関数の関係式を得る。

d2
d2
Ψ
+
Ψ=0
d y2
d x2

(5.1.3)(1) 速度ポッテンシャルの関係式\Psi-v[y]*dx=\Psi+’diff(\Psi,x,1)*dx;
STFY:solve(%,v[y])[1];

PODX:v[x]=diff(\Phi,x,1);\Psi+v[r]*r*dt=\Psi+’diff(\Psi,t,1)/r*dt*r;

PODY:v[y]=diff(\Phi,y,1);solve(%,v[r])[1];rhs(PODX)=rhs(STFX);STFR:subst([t=\theta,y=r*sin(\theta)],%);

rhs(PODY)=rhs(STFY);
速度ポッテンシャルの定義から、\Psi-v[\theta]*dr=\Psi+’diff(\Psi,r,1)*dr;solve(%,v[\theta])[1];
STFT:subst([y=r*sin(\theta)],%);

vx =

d
Φ,
dx

vy =

d
Φ
dy

(5.1.4)

5.1. 複素解析

89

速度ポッテンシャルの関係式は質量保存の式から、

d2
d2
Φ+
Φ=0
2
dy
d x2

(5.1.5)(5.1.1) 式と (5.1.4) 式から速度ポッテンシャルと流れ関数の関係は、

d
d
Φ=
Ψ,
dx
dy

d
d
Φ=−
Ψ
dy
dx

(5.1.6)

極座標：r, θ の速度ポッテンシャルと流速の関係は、速度の xy 成分は、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vx =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dx
dθ
dx
dr
dx
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vy =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dy
dθ
dy
dr
dy
(5.1.8)座標から極座標に変換する下記の変換マトリックスを掛けることにより、速度の円柱座標表示を得ることがで
きる。

(
TR =

/*座標変換 二次元極座標へ*//*r-theta co-ordinate*/sin (θ))−sin (θ) cos (θ)

上式に (5.1.7) 式および (5.1.8) 式を代入し、変換マトkill(all);

リックスを掛けることにより、下記の極座標表記が得ら

load("vect")

れる。
( )
vr

depends(r,[t,x,y]);depends(\theta,[t,x,y]);
XR:x=r*cos(\theta);vθ

YR:y=r*sin(\theta);
LXR1:diff(XR,x,1);
LYR1:diff(YR,x,1);
solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),’diff(\theta,x,1)]);
LXYR1:trigrat(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,1);
LYR2:diff(YR,y,1);solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1)]);
LXYR2:trigrat(%)[1];
TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta)],[-sin(\theta),cos(\theta)]);depends(\Phi,[r,\theta]);
ADFX1:’diff(\Phi,x,1)=diff(\Phi,x,1);
ADFX2:subst(LXYR1,%);ADFY1:’diff(\Phi,y,1)=diff(\Phi,y,1);
ADFY2:subst(LXYR2,%);
expand(TR.matrix([rhs(ADFX2)],[rhs(ADFY2)]));GRADA:trigrat(%);
上記で$が記入できないので、Maxima 実行時には
load(”vect”) →load(”vect”)$として実行願う。
二次元の xy 座標と極座標の関係は、

x = r cos (θ) ,cos (θ)y = r sin (θ)

上記の関係から、ddsin (θ)r =cos (θ) ,
θ=−
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r =sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r

(5.1.7)( )( d ) ( d )
Φ
dx Φ
= TR
= ddr Φ
d
d
θ
dy Φ
r

(5.1.9)

第 5 章 2 次元完全流体

90

5.1.2

複素演算

複素数：z と z の複素共役の積は下記となる。

(1) 表示と和zz = z conjugate (z) = y12 + x21
複素数：z の逆数は、/* 複素演算 */11e−ı̇ atan2(y1 ,x1 )
=
= √ 2
z
ı̇ y1 + x1
y1 + x21

kill(all);declare(z,complex);(3) 対数declare(w,complex);
Z1:z=x[1]+%i*y[1];Z2:w=x[2]+%i*y[2];logexpand: all;PZ1:polarform(rhs(Z1));
AD1:Z1+Z2;
複素数：z, w を下記のように定義する。

z = ı̇ y1 + x1 ,w = ı̇ y2 + x2√
複素数：z の極形式は下記で、動径： y12 + x21 、偏角：
atan2 (y1 , x1 ) で表現される。
√
z = y12 + x21 eı̇ atan2(y1 ,x1 )
複素数：z と w の和は、

z + w = ı̇ y2 + x2 + ı̇ y1 + x1
(2) 積と商MP1:Z1*Z2;
polarform(rhs(MP1));
rectform(%);
factor(trigexpand(%));
realpart(rhs(MP1));
imagpart(rhs(MP1));
ZC1:conjugate(Z1);expand(Z1*ZC1);
1/Z1;
lhs(%)=polarform(rhs(%));
複素数：z と w の積は、
w z = (ı̇ y1 + x1 ) (ı̇ y2 + x2 )上記積の極形式は下記で、動径の積、偏角の和で表さ
れる。

√

√
wz =

y12 + x21

y22 + x22 eı̇ (atan2(y2 ,x2 )+atan2(y1 ,x1 ))また、この z と w の積の実部と虚部は下記となる。

ℜ(w z) = x1 x2 − y1 y2 ,ℑ(w z) = x1 y2 + y1 x2

複素数：z の複素共役：z は、

z = conjugate (z) = x1 − ı̇ y1log(PZ1);
複素数：z の対数は、()
log y12 + x21
log(z) =+ ı̇ atan2 (y1 , x1 )2

5.1. 複素解析

91複素関数の微分5.1.3ddd z , d w で整理すると、/* Gauss の定理 (複素形式)()
ddd x F − ı̇
dy F
d
F =
dz
2 (
)

*/

kill(all);load("vect")

ı̇
d
d
F =
F =
dw
dz

declare(z,complex);ddy F(5.1.13)+ ddx F2

declare(w,complex);declare(F,complex);depends(\Phi,[x,y]);depends(z,[x,y]);depends(\Psi,[x,y]);depends(w,[x,y]);F1:F=\Phi+%i*\Psi;depends(F,[z,w]);

lhs(FDZ)=subst([F1],rhs(FDZ));

Z1:z=x+%i*y;ev(%,diff);

CZ1:w=rhs(conjugate(Z1));

subst([’diff(\Phi,x,1)=v[x],’diff(\Phi,y,1)

XY1:solve([Z1,CZ1],[x,y]);=v[y],’diff(\Psi,x,1)=-v[y]X1:XY1[1][1];,’diff(\Psi,y,1)=v[x]],%);

Y1:XY1[1][2];expand(%);

Z1DX:diff(Z1,x);

lhs(FDW)=subst([F1],rhs(FDW));CZ1DX:diff(CZ1,x);ev(%,diff);

Z1DY:diff(Z1,y);subst([’diff(\Phi,x,1)=v[x],’diff(\Phi,y,1)

CZ1DY:diff(CZ1,y);=v[y],’diff(\Psi,x,1)=-v[y]’diff(F,x,1)=diff(F,x,1);,’diff(\Psi,y,1)=v[x]],%);
expand(%);
複素関数：F を速度ポッテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ

FDX:subst([Z1DX,CZ1DX],%);’diff(F,y,1)=diff(F,y,1);

で下記のように定義する。

FDY:subst([Z1DY,CZ1DY],%);
FDZW:solve([FDX,FDY],[’diff(F,z,1)

F = iΨ + Φ,’diff(F,w,1)]);
FDZ:FDZW[1][1];FDW:FDZW[1][2];複素数：z を下記のように定義する。その複素共役：z = wとする。

z = ı̇ y + x,

z = w = x − ı̇ y

(5.1.10)(5.1.14)(5.1.13) 式から ddz F を求めると、()
ddd x (i Ψ + Φ) − id y (i Ψ + Φ)
d
F =
dz
( (
) 2
)
(
)
−i i ddy Ψ + ddy Φ + i ddx Ψ + ddx Φ=
2x, y を z, w で表現すると、
x=

z+w
,
2

y=−

ı̇ z − ı̇ w
2

(5.1.11)(5.1.1) 式と (5.1.4) 式の関係を上式に代入すると下記の複素関数と流速の関係が得られる。

(5.1.10) 式から、
dz = 1,dxdw = 1,dxdz = ı̇,dydw = −ı̇dy(5.1.12)複素関数：F とし、x, y で微分すると、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
F =
z
F +
w
F
dx
dx
dz
dx
dw
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
F =
z
F +
w
F
dy
dy
dz
dy
dw
上式に (5.1.12) 式を代入し、

d
d
d
F =
F+
F
dx
dz
dw
(
)
(
)
d
d
d
F = ı̇
F − ı̇
F
dy
dz
dw

d
F = vx − i v ydz(5.1.15)

また、同様に (5.1.13) 式から ddz F を求めると、

d
d
F =
F =0
dw
dz

(5.1.16)

上式は、次節の (5.1.21) 式と同じ結果が得られた。

第 5 章 2 次元完全流体

92

5.1.4

Cauchy-Rieman の微分方程式の複素表示

RE1:realpart(rhs(DFZ1X))=realpart(rhs(DFZ1Y));
IM1:imagpart(rhs(DFZ1Y))=imagpart(rhs(DFZ1X));/* Cauchy-Rieman の微分方程式 */RE1-%i*IM1;

kill(all);lhs(%)=-%i*(rhs(IM1)+%i*rhs(RE1));
また、x0 で固定し、y → y0 として次式を (5.1.17) 式に

z=x+%i*y;
F1:F(z)=\Phi(z)+%i*\Psi(z);

代入し、

F0:F(z[0])=\Phi(z[0])+%i*\Psi(z[0]);z = ı̇ y + x0 ,DFZ:(F(z)-F(z[0]))/(z-z[0]);z0 = ı̇ y0 + x0

subst([F0],%);dΨ (ı̇ y + x0 ) − Ψ (ı̇ y0 + x0 )F (z) = lim
y→y0dz
y − y0ı̇ (Φ (ı̇ y + x0 ) − Φ (ı̇ y0 + x0 ))−(5.1.19)y − y0()
ddΨ − ı̇
Φ=dy
dy

subst([Z0],%);(5.1.18) 式、(5.1.19) 式の左辺は同じであるから、右辺

subst([Z1],%);
partfrac(%,%i);も等しいとして下記の Cauchy-Rieman の微分方程式を

DFZ1:’diff(F(z),z,1)=’limit(DFZ,z,z[0]);Z1:z=x+%i*y[0];Z0:z[0]=x[0]+%i*y[0];subst([F1],DFZ);得る。

’diff(F(z),z,1)=’limit(%,x,x[0]);

d
d
Φ=
Ψ,
dx
dy

DFZ1X:lhs(DFZ1)=’diff(\Phi,x,1)

−

d
d
Φ=
Ψ
dy
dx

(5.1.20)+%i*’diff(\Psi,x,1);
複素変数：z 、複素関数：F (z) とし、下記に示す。

z = ı̇ y + x(

F (z) = ı̇ Ψ (z) + Φ (z)F (z) が z0 で連続で、微分可能とする。
d
F (z) − F (z0 )F (z) = limz→zdzz − z00

上式を変形して、同様に下記の関係式が得られる。
(
)
( (
)
)
d
d
d
d
ı̇
Φ +
Φ = −ı̇ ı̇
Ψ +
Ψ
dy
dx
dy
dx

d
d
+ ı̇
dx
dy

(5.1.17)z0 = ı̇ y0 + x0dı̇ (Ψ (x + ı̇ y0 ) − Ψ (ı̇ y0 + x0 )) + Φ (x + ı̇ y0 ) − Φ (ı̇ y0 + x0 )F (z) = lim
x→x0dz
x − x0
(
)
d
d
=ı̇
Ψ +
Φ
dx
dx
(5.1.18)
Z1:z=x[0]+%i*y;
Z0:z[0]=x[0]+%i*y[0];subst([F1],DFZ);
subst([F0],%);
subst([Z0],%);
subst([Z1],%);
partfrac(%,%i);’diff(F(z),z,1)=’limit(%,y,y[0]);DFZ1Y:lhs(DFZ1)=-%i*’diff(\Phi,y,1)+’diff(\Psi,y,1);(Φ + ı̇ Ψ) = 0(5.1.13) 式から、

y0 で固定し、x → x0 として次式を (5.1.17) 式に代入し、
z = x + ı̇ y0 ,)d
F (z) = 0dz

(5.1.21)

5.1. 複素解析

5.1.5

93

Cauchy の積分定理(2)Cauchy の積分定理(1) 二次元 Gauss の定理の複素表示(5.1.21) 式から、

dF=0Gauss の定理：(A.2.1) 式、(652 ページ) は下記である。
dz
∫∫
∫∫∫
上式を (5.1.23) 式に代入すると、下記の Cauchy の積分−→
P n dS =grad(P )dV定理が得られる。
I
上式を二次元表記すると、
I∫∫∂F nx ds =F dS,∂x

F dz = 0I∫∫F ny ds =

∂
F dS
∂y
(5.1.22)(5.1.13) 式から上式右辺は、
(∫ ∫
)
∫∫
∫∫
∂
1
∂
∂
F dS =F dS + ı̇
F dS
∂w
2
∂x
∂y
上式に (5.1.22) 式を代入すると、
(I
)
I
∫∫
1
∂
F dS =
F nx ds + ı̇ F ny ds∂w
2(5.1.24)(3) 簡単な例 (楕円の面積)
長径：a、短径：b の楕円の面積を上記、二次元 Gauss の定理の複素表示を用いて求める。(5.1.23) 式から、F = z
とすると、

∫∫
dS = S =

1
2i

I
F dz

F1:F=w;
Z2:z=a*cos(\theta)+%i*b*sin(\theta);
F2:F=conjugate(rhs(Z2));
Z2DT:’diff(z,\theta,1)=diff(rhs(Z2),\theta,1);
S=1/(2*%i)*’integrate(rhs(F2)*rhs(Z2DT),\theta,0,2*%pi);
ev(%,integrate);
楕円形状を複素表示すると、
z = ı̇ b sin (θ) + a cos (θ)
また、dz = ı̇ b cos (θ) − a sin (θ)
dθ
複素関数：F は、

図 5.1.2: dz 表現

F = z = a cos (θ) − ı̇ b sin (θ)

kill(all)
NXY1:(n[x]+%i*n[y])=%e^(%i*\theta);
NXY2:lhs(NXY1)=rectform(rhs(NXY1));
DZ1:dz=ds*%e^(%i*(\theta+%pi/2));
法線ベクトルの各要素：nx , ny を複素表示すると下記となる。

ı̇ ny + nx = eı̇ θ = ı̇ sin (θ) + cos (θ)× (a cos (θ) − ı̇ b sin (θ)) dθ

この法線法線ベクトルを π/2 回転させたものが境界に沿った dz となり下記の関係を得る。

dz = ds eı̇ (π
2 +θ) = ı̇ ds eı̇ θ = ı̇ ds (ı̇ n + n )yx∂
1
F dS =
∂z
2i

I
F dz

=π a b楕円の面積が得られた。

上式を代入し、二次元 Gauss の定理の複素表示として下記を得る。
∫∫

これらの関係式を上式に代入すると、
∫ 2π
1
d
S=
F
z dθ
2ı̇ 0
dθ
∫ 2π
ı̇
(i b cos (θ) − a sin (θ))=−
2 0

(5.1.23)

第 5 章 2 次元完全流体

94

5.1.6

Cauchy の積分公式

小さな円：K を複素表示すると、

下記の複素関数：F (z) を考える。ここで f (z) は検討

z − z0 = δ eı̇ θ ,する領域内で正則とする。F (z) は z0 で正則でない。
ので、I

Cauchy の積分定理: (5.1.24) 式から、z0 を含む周：Cと周：C 内の z0 を囲む小さな円：K を考え、C の内側と K の外側の領域では正則である。この領域に Cauchyの積分定理: (5.1.24) 式を適用すると、

f (z)
dz −
C z − z0If (z)dz = 0K z − z0

ここで、K の積分は、C と逆方向に積分するため、負の符号を付ける。上記から、
I
I
f (z)
f (z)
dz =
dz
C z − z0K z − z0(5.1.25)

図 5.1.3: Cauchy の積分公式/* Cauchy の積分公式 */kill(all);declare(z,complex);
Z2:z=x+%i*y;
F2:F(z)=f(z)/(z-z[0]);Z2:z-z[0]=\delta*%e^(%i*\theta);
Z3:solve(Z2,z)[1];Z2D:’diff(z,\theta,1)=diff(rhs(Z2),\theta,1);
CIF2:’integrate(F(z),z);
CIF3:subst([F2],CIF2);
CIF4:subst([f(z)=f(z[0])],%)=’f(z[0])*’integrate(1/(z-z[0]),z);
CIF5:CIF3=f(z[0])*’integrate(1/rhs(Z2)*rhs(Z2D),\theta,0,2*%pi);%/2/%i/%pi;lhs(%)=rhs(%);(5.1.26)

また、小さな円：K 上では f (z) = f (z0 ) と考えられる

f (z)F (z) =z − z0Idz = ı̇ δ eı̇ θ
dθ

f (z)
dz = f (z0 )K z − z0I1dz
K z − z0(5.1.27)(5.1.26) 式、(5.1.27) 式を (5.1.25) 式に代入すると、
I
I
I
f (z)
1
f (z)
dz =
dz = f (z0 )
dz
z
−
z
z
−
z
z
−
z0
0
0
K
K
C
∫ 2π
)
1 (
=f (z0 )ı̇ δ eı̇ θ dθ
ı̇
θ
δe
0
=2 ı̇ π f (z0 )以上から下記の Cauchy の積分公式が得られた。
I
ı̇
f (z)
f (z0 ) = −dz(5.1.28)
2 π C z − z0

5.1. 複素解析

5.1.7

95
n < −1 では、

留数定理

I
fn (z) dz = 0

下記の複素関数：F (z) を考える。ここで f (z) は下記の級数和で表現され、z0 以外の領域で正則とする。

IF (z) =

f (z) dz,∞∑f (z) =Cnan (z − z0 )

n=−∞

K

n = −1 では、I∫
fn (z) dz = a−1
K

以上から、n = −1 の場合のみ積分の値を持ち、I
F (z) =/* 留数定理 */I
f (z) dz =Ckill(all);=2 i π a−1

declare(z,complex);
FZ1:f[n](z)=a[n]*(z-z[0])^n;
F1:f(z)=sum(rhs(FZ1),n,minf,inf);
INF1:’integrate(rhs(FZ1),z);Z2:z-z[0]=\delta*%e^(%i*\theta);
Z3:solve(Z2,z)[1];Z2D:’diff(z,\theta,1)=diff(rhs(Z2),\theta,1);
FZ2:subst([Z2],rhs(FZ1));
INF2:’integrate(FZ2*rhs(Z2D),\theta,0,2*%pi);
assume(n>=0);
INF1=ev(INF2,integrate);forget(n>=0);
assume(n<-1);
INF1=ev(INF2,integrate);
subst([n=-1],INF2);
subst([n=-1],INF1)=ev(%,integrate);
Cauchy の積分定理: (5.1.24) 式から、z0 を含む周：Cと周：C 内の z0 を囲む小さな円：K を考え、C の内側と K の外側の領域では正則である。この領域に Cauchyの積分定理: (5.1.24) 式を適用すると、IIf (z) dz =

C

∞
∑

n

an (z − z0 ) dz

K n=−∞

ここで級数和の各項は、
nfn (z) = an (z − z0 )IInfn (z) dz =an (z − z0 ) dz
KK

小さな円：K を複素表示すると、

z − z0 = δ e i θ ,dz = i δ ei θdθ

上式を代入すると、
I
∫ 2π
(
)n
fn (z) dz = i δ anei θ δ ei θ dθK0

この積分は、n ≥ 0 では、I
fn (z) dz = 0
K1
dz = 2 i π a−1z − z0∞∑C n=−∞nan (z − z0 ) dz

第 5 章 2 次元完全流体

96

5.1.8

一様な流れ

5.1.9

流速：U で x 軸と θ の角度を持つ一様な流れの複素速度ポッテンシャル：F (z) を求める。

わき出し(1) 速度ポッテンシャルの二次元質量保存の式から原点にわき出しを置いた場合、流れは下図のように原点対称となる。この流れを速度ポッテンシャルの二次元質/* 一様な流れ */量保存の式から求める。

kill(all);declare(z,complex);
assume(U>0);
F1:F(z)=\Phi+%i*\Psi;
FD1:diff(F(z),z,1)=v[x]-%i*v[y];VX:v[x]=U*cos(\theta);
VY:v[y]=U*sin(\theta);
subst([VX,VY],FD1);
FD2:lhs(%)=polarform(rhs(%));
subst([atan2(sin(theta)*U,cos(theta)*U)=\theta],%);
trigsimp(%);
ode2(%,F(z),z);
subst([%c=0],%);(5.1.14) 式から複素速度ポッテンシャルは、

図 5.1.4: 2 次元わき出し

F (z) = i Ψ + Φ(5.1.15) 式から複素速度ポッテンシャルと流速の関係は、/*座標変換 二次元極座標へ → わき出し*/dF (z) = vx − i vydzkill(all);load("vect")

流速：U で x 軸と θ の角度を持つ x, y 軸の流速の関係は、

vx = cos (θ) U,

depends(r,[t,x,y]);depends(\theta,[t,x,y]);vy = sin (θ) U

XR:x=r*cos(\theta);
上式を代入し、

YR:y=r*sin(\theta);d
F (z) =cos (θ) U − i sin (θ) Udz√=e−i θ

2

LXR1:diff(XR,x,1);
LYR1:diff(YR,x,1);
二次元の xy 座標と極座標の関係は、

2

sin (θ) U 2 + cos (θ) U 2=e−i θ U

x = r cos (θ) ,上式を解いて、一様流の複素速度ポッテンシャルは下記となる。

F (z) = e

−i θ

zU

(5.1.29)y = r sin (θ)

上記の関係から、ddsin (θ)r = cos (θ) ,
θ=−
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r = sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r
2

sin (θ)2 cos (θ) sin (θ)
d2
d2
r=
θ=
,
2
dx
r
d x2
r2
2

d2
cos (θ) d2
2 cos (θ) sin (θ)
r=, 2θ=−
2dyrdyr2
速度ポッテンシャルの二次元質量保存の式は、

d2
d2
Φ
+
Φ=0
d y2
d x2
2

上記の各項を展開する。 ddx2 Φ の展開は下記となる。

5.1. 複素解析

(

d2
d x2

97

) 

d

Φ =

Φ
dθ

+

d x2

+

d2
d r2

(

θ +

) (

d

))

d

Φ

(

r

+

Φ

d

))

(

d θ2

r

+
dr



 (

d2

Φ

drdθ


) 
Φ

dx

θ
dx



dx

/* わき出し */

)

d

Φ

) (

d

d

 (

d2

r

dx
 (



θ
dx

 (

d2

drdθ




d2



d2

d x2

)

d
θ
dx

r

kill(all);depends(\Phi,[r,\theta]);depends(\Psi,[r,\theta]);declear(z,complex);declear(F,complex);solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),

VRP:v[r]=diff(\Phi,r,1);’diff(\theta,x,1)]);

VTP:v[\theta]=diff(\Phi,\theta,1)/r;

LXYR1:trigrat(%)[1];VRS:v[r]=diff(\Psi,\theta,1)/r;

LXR2:diff(XR,y,1);

VTS:v[\theta]=-diff(\Psi,r,1);

LYR2:diff(YR,y,1);

Q1:Q=2*%pi*r*v[r];solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),

VR:solve(%,v[r])[1];’diff(\theta,y,1)]);

VT:v[\theta]=0;

LXYR2:trigrat(%)[1];PH1:subst([VRP],VR);

depends(\Phi,[r,\theta]);ode2(PH1,\Phi,r);/* nabla^2 */NABA:’diff(\Phi,x,2)+’diff(\Phi,y,2)=0;
ADDFX1:’diff(\Phi,x,2)=diff(\Phi,x,2);
ADFDX2:subst(LXYR1,%);ADFDY1:’diff(\Phi,y,2)=diff(\Phi,y,2);
ADFDY2:subst(LXYR2,%);PH2:subst([%c=0],%);
PS1:expand(subst([VRS],VR)*r);
PS2:\Psi=integrate(rhs(PS1),\theta);
F=\Phi+%i*\Psi;
F1:subst([PH2,PS2],%);
Z1:z=r*%e^(%i*\theta);

LXDDR1:diff(XR,x,2);Z2:solve(Z1,r)[1];LXDDR2:subst(LXYR1,%);LYDDR1:diff(YR,x,2);

subst([Z2],F1);
radcan(%);

LYDDR2:subst(LXYR1,%);solve([LXDDR2,LYDDR2],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2)])[1];
NABRAX:subst(%,ADFDX2);

subst([Q=m*2*%pi],%);
わき出しの流量：Q と半径：r における vr , vθ の関係は、
Q = 2 π r vr ,vθ = 0LXDDR11:diff(XR,y,2);
速度ポッテンシャル：Φ と流速：vr の関係から、

LXDDR21:subst(LXYR2,%);LYDDR11:diff(YR,y,2);

d
Q
Φ=
,
dr
2πr

LYDDR21:subst(LXYR2,%);solve([LXDDR21,LYDDR21],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2)])[1];
NABRAY:subst(%,ADFDY2);NABRA1:subst([NABRAX,NABRAY],NABA);NABRA2:expand(trigrat(expand(%)));NABRA3:first(lhs(NABRA2))+last(lhs(NABRA2))

Φ=log (r) Q
2π(5.1.30)

流れ関数：Ψ と流速：vr の関係から、

d
Q
Ψ=
,
dθ
2π

Ψ=

θQ
2π

複素速度ポッテンシャルは、

F = i Ψ + Φ,z = r ei θ=0;ode2(NABRA3,\Phi,r);
上式を整理し、原点対象とすると、二次元質量保存の式
はかきとなり、速度ポッテンシャル：Φ は、
d
dr Φ

r

+

d2
Φ = 0,d r2

Φ = %k1 log (r) + %k2

上記の関係から、()
log e−i θ z Q i θ Q
i θ Q log (r) Q
F =
+
=
+
2π
2π
2π
2π
log (z) Q=
2π(2) 複素ポッテンシャル(5.1.2) 式、(5.1.9) 式から流速と速度ポッテンシャル、流れ関数の関係は、

d
vr =
Φ,
dr

vθ =

d
dθ Φ

r

,

vr =

d
dθ Ψ

r

上記からわき出しの複素速度ポッテンシャル：F は、

F = m log (z) ,,dvθ = −
Ψ
dr

m=

Q
2π

(5.1.31)

第 5 章 2 次元完全流体

98

二重わき出し5.1.10x 軸から角度：α の位置：z0 に強さ：m のわき出しを置き、原点に −m のわき出しを置く。z0 を原点に近づけることにより二重わき出しの複素ポテンシャルを求める。

ei α m r e2 i α m r 2
e3 i α m r 3
−
−
2
z
2z
3 z3
4iα
4
5iα
5
e
mr
e
mr
−
−
+ ...
4 z4
5 z5

F =−

m → ∞, r → 0 の時、mr → µ とすると、
e4 i α µ r 3
ei α µ e2 i α µ r e3 i α µ r2
−
−
−
z
2 z2
3 z3
4 z4
5iα
4
e
µr
−
+ ...
5 z5
ei α µ→ −zF =−以上から、二重わき出しの複素ポテンシャル：F は下記
となる。

F =−

図 5.1.5: 2 次元二重わき出し/* 二重わき出し */kill(all);declare(z,complex);
F1:F=m*log(z-z[0])-m*log(z);logcontract(F1);F2:expand(%);
subst([z[0]=z[1]*z],%);
lhs(%)=taylor(rhs(%),z[1],0,5);
subst([z[1]=z[0]/z],%);
subst([z[0]=r*%e^(%i*\alpha)],%);
subst([m=\mu/r],%);
limit(%,r,0);(5.1.31) 式から二重わき出しの複素ポテンシャル：F は下記となる。

F =m log (z − z0 ) − m log (z)(z0 )=m log 1 −zz0z で Taylor 展開すると、

F =−z0 m z02 m z03 m z04 m z05 m
−
−
−
+ ...
−
z
2 z2
3 z3
4 z4
5 z5

ここで、

z0 = r e i α
これを上式に代入し、

ei α µz(5.1.32)

5.1. 複素解析

5.1.1199

渦糸

渦循環：Γ と半径：r における vr , vθ の関係は、

原点に渦循環強さ：Γ の渦糸を置いた場合の複素ポテ

vr = 0,Γ = 2 π r vθンシャルを求める。
速度ポッテンシャル：Φ と流速：vθ の関係から、
d
dθ Φ

r

=

Γ
2πr

θΓ
2π
流れ関数：Ψ と流速：vθ の関係から、
Φ=

−

d
Γ
Ψ=
dr
2πr

log (r) Γ2π
複素速度ポッテンシャルは、
Ψ=−F = i Ψ + Φ,z = r ei θ

上記の関係から、()
i log e−i θ z Γ θ Γi log (r) Γ θ Γ
F =−
+
=−
+
2π
2π
2π
2π
i log (z) Γ=−2π

図 5.1.6: 渦糸/* 渦糸 */
kill(all);depends(\Phi,[r,\theta]);

上記から渦糸の複素速度ポッテンシャル：F は、

depends(\Psi,[r,\theta]);declear(z,complex);F = −i κ log (z) ,declear(F,complex);
VRP:v[r]=diff(\Phi,r,1);
VTP:v[\theta]=diff(\Phi,\theta,1)/r;
VRS:v[r]=diff(\Psi,\theta,1)/r;
VTS:v[\theta]=-diff(\Psi,r,1);
G1:\gamma=2*%pi*r*v[\theta];
VT:solve(G1,v[\theta])[1];PH1:subst([VTP],VT);
PH2:\Phi=integrate(rhs(PH1)*r,\theta);
PS1:subst([VTS],VT);ode2(PS1,\Psi,r);PS2:subst([%c=0],%);
F=\Phi+%i*\Psi;
F1:subst([PH2,PS2],%);
Z1:z=r*%e^(%i*\theta);
Z2:solve(Z1,r)[1];
subst([Z2],F1);
radcan(%);
subst([\gamma=\kappa*2*%pi],%);(5.1.2) 式、(5.1.9) 式から流速と速度ポッテンシャル、流れ関数の関係は、

vr =

d
Φ,
dr

d
Φ
vθ = d θ ,rdΨvr = d θ ,rvθ = −

d
Ψ
dr

κ=

Γ
2π

(5.1.33)

第 5 章 2 次元完全流体

100

例題 5.1.12

写像：角を曲がる流れ

X21:subst([s=2,b=2],rhs(X1));
Y21:subst([s=2,b=2],rhs(Y1));
X22:subst([s=2,b=4],rhs(X1));
Y22:subst([s=2,b=4],rhs(Y1));
X23:subst([s=2,b=6],rhs(X1));
Y23:subst([s=2,b=6],rhs(Y1));
X24:subst([s=2,a=0],rhs(X1));
Y24:subst([s=2,a=0],rhs(Y1));
X25:subst([s=2,a=4],rhs(X1));
Y25:subst([s=2,a=4],rhs(Y1));
X26:subst([s=2,a=-4],rhs(X1));

図 5.1.7: 角を曲がる流れ

Y26:subst([s=2,a=-4],rhs(Y1));
XY1:[[0,0],[10,0]];/* 角を曲がる流れ */XY2:[[0,0],[10*cos(%pi/2),10*sin(%pi/2)]];kill(all);plot2d([[discrete,XY1],[discrete,XY2],

declare(z,complex);[parametric,X21,Y21,[a,-100,100],

declare(\zeta,complex);[nticks,300]],

assume(s>0);[parametric,X22,Y22,[a,-100,100],

assume(\zeta>0);[nticks,300]],

G0:\zeta=a+%i*b;[parametric,X23,Y23,[a,-100,100],

G1:\zeta=z^s;[nticks,300]],

Z1:solve(G1,z)[1];Z2:subst([G0],Z1);[parametric,X24,Y24,[b,0.01,100],[nticks,300]],

X1:x=realpart(rhs(Z2));[parametric,X25,Y25,[b,0.01,100],

Y1:y=imagpart(rhs(Z2));[nticks,300]],

ζ 平面から z 平面への変換関数として、下記を考える、
ζ = zs,1z = ζs

(5.1.34)

ζ 平面では、下記のように表現できる。

[parametric,X26,Y26,[b,0.01,100],[nticks,300]]],[x,-1,10],[y,-1,5]);
下記に、s = 2, 4, 3/2, 2/3 とした場合の変換結果を以下に示す。各変換のプログラムは上記プログラムの数字を変えるだけなので、省略する。

ζ = ib + a
上式を (5.1.34) 式に代入し、ζ 平面の座標：(a, b) が z 平
面でどのように変換されるかを求める。
1z = (i b + a) s

上式の実数部と虚数部から x, y 座標が得られる。
(
)
)1
( 2
atan2 (b, a)2 2s
x= b +a
cos
s
)
(
( 2
)1
atan2 (b, a)
2 2s
y = b +asins
図 5.1.7 の ζ 平面上で、a = 一定、b = 一定の直線がz 平面でどのように変換されるかの例を下記に示す。

5.1. 複素解析

101

図 5.1.8: z 平面 (s=2)
図 5.1.11: z 平面 (s=2/3)

図 5.1.9: z 平面 (s=4)

図 5.1.10: z 平面 (s=3/2)

第 5 章 2 次元完全流体

102

例題 5.1.13
変換)

写像：平板・楕円変換 (Joukowski

x, y 座標を次式のように変換する。
2/* 円→楕円変換 (Joukowski 変換)*/1=kill(all);declare(z,complex);

x2 R 2y 2 R2(R2 + A )(R2 − A2 )2sin (θ) + cos (θ) =

+
2 2

2

x2 R 2y 2 R2+2
2(R2 + A2 )(R2 − A2 )上式は明らかに楕円を表す式であり、ζ 平面上で半径：

declare(\zeta,complex);
assume(A>0);

R の円が z 平面で楕円に変換される。

Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;
ζ 平面上で半径：R の円および、θ：一定の線を描くプ

G0:\zeta=R*%e^(%i*\theta);

ログラムを下記に示す。
A1:a=realpart(rhs(G0));

Z2:subst([G0],Z1);
E10:%e^(%i*\theta);

B1:b=imagpart(rhs(G0));

E11:E10=rectform(E10);

AA:subst([\theta=t],A1);

E20:%e^(-%i*\theta);

BB:subst([\theta=t],B1);

E21:E20=rectform(E20);

X21:subst([R=1],rhs(AA));

subst([E21],Z2);

Y21:subst([R=1],rhs(BB));Z3:subst([E11],%);

X22:subst([R=2],rhs(AA));

X1:x=factor(realpart(rhs(Z3)));

Y22:subst([R=2],rhs(BB));

Y1:y=factor(imagpart(rhs(Z3)));

X23:subst([R=4],rhs(AA));

C1:solve(X1,cos(\theta))[1];Y23:subst([R=4],rhs(BB));

S1:solve(Y1,sin(\theta))[1];

X24:subst([t=%pi/4],rhs(AA));

CS1:C1^2+S1^2;

Y24:subst([t=%pi/4],rhs(BB));

CS2:trigsimp(lhs(CS1))=rhs(CS1);
変換関数として、下記を考える。
A2
z=ζ+
ζ

X25:subst([t=%pi/2],rhs(AA));
Y25:subst([t=%pi/2],rhs(BB));(5.1.35)

Y26:subst([t=3*%pi/4],rhs(BB));ζ 平面上で半径：R の円が z 平面でどうなるかを調べる。
ζ 平面上の点を下記の関数で表現する。
ζ = ei θ R

X26:subst([t=3*%pi/4],rhs(AA));(5.1.36)

plot2d([[parametric,X21,Y21,[t,0.01,6.28],[nticks,300]],[parametric,X22,Y22,[t,0.01,6.28],

このとき、a, b 座標は下記となる。

a = cos (θ) R,

b = sin (θ) R(5.1.36) 式を (5.1.35) 式に代入し、ζ 平面上の点を z平面上に変換する。

e−i θ A2
R

ところで、下記の関係が成り立つので、

e−i θ = cos (θ) − i sin (θ)

上式に代入し、z = (i sin (θ) + cos (θ)) R +(cos (θ) − i sin (θ)) A2
R

x, y 座標は、()
cos (θ) R2 + A2
x=Ry=[parametric,X23,Y23,[t,0.01,6.28],[nticks,300]],[parametric,X24,Y24,[R,1,6],[nticks,300]],[parametric,X25,Y25,[R,1,6],[nticks,300]],z = ei θ R +ei θ = i sin (θ) + cos (θ) ,[nticks,300]],sin (θ) (R − A) (R + A)R

[parametric,X26,Y26,[R,1,6],[nticks,300]]],[x,-5,5],[y,-5,5]);5.1. 複素解析

103z 平面で R の円および、θ：一定の線がどのようになるかのプログラムを下記に示す。。
XX:subst([\theta=t],X1);

YY:subst([\theta=t],Y1);
X21:subst([A=1,R=1],rhs(XX));
Y21:subst([A=1,R=1],rhs(YY));
X22:subst([A=1,R=2],rhs(XX));
Y22:subst([A=1,R=2],rhs(YY));
X23:subst([A=1,R=4],rhs(XX));
Y23:subst([A=1,R=4],rhs(YY));
X24:subst([A=1,t=%pi/4],rhs(XX));
Y24:subst([A=1,t=%pi/4],rhs(YY));
X25:subst([A=1,t=%pi/2],rhs(XX));
Y25:subst([A=1,t=%pi/2],rhs(YY));
X26:subst([A=1,t=3*%pi/4],rhs(XX));
Y26:subst([A=1,t=3*%pi/4],rhs(YY));
plot2d([[parametric,X21,Y21,[t,0.01,6.28],[nticks,300]],[parametric,X22,Y22,[t,0.01,6.28],[nticks,300]],[parametric,X23,Y23,[t,0.01,6.28],[nticks,300]],[parametric,X24,Y24,[R,1,6],[nticks,300]],[parametric,X25,Y25,[R,1,6],[nticks,300]],[parametric,X26,Y26,[R,1,6],[nticks,300]]],[x,-5,5],[y,-5,5]);

図 5.1.12: 円→楕円変換

第 5 章 2 次元完全流体

104

例題 5.1.14 写像：折れ曲がり直線 (SchwarzChristoﬀel の公式)

α = π2 , U = 1 について流れ関数は下記となる。これをgnuplot を使って描くと下図となる。

下図の ζ 平面で上面の領域を z 平面で折れ曲がり曲線()
Ψ = y 2 + x2 sin (2 atan2 (y, x))の境界を持つ半無限領域となる写像関数を求める。

#!/gnuplot
set xrange [-5:5]
set yrange [-5:5]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental 0,1,300
unset key
図 5.1.13: 折れ曲がり直線 (Schwarz-Christoﬀel の公式)

unset surface
set view map
splot (y**2+x**2)*sin(2*atan2(y,x))#/* Schwarz-Christoffel の公式 */EOF

kill(all);declare(z,complex);declare(F,complex);declare(\zeta,complex);declare(\xi,real);
declare(C,real);
assume(U>0);assume(\xi>\xi[1]);assume(\xi>\xi[2]);assume(\xi<\xi[3]);F1:F=U*\zeta;
Z1:z=\zeta^(\alpha/%pi);
Z2:\zeta=z^(%pi/\alpha);
図 5.1.14: z 平面 (α = π2 )F2:subst([Z2],F1);
XY1:z=x+%i*y;PS1:\Psi=imagpart(subst([XY1],rhs(F2)));
subst([\alpha=%pi/2,U=1],PS1);
subst([\alpha=%pi/4,U=1],PS1);
subst([\alpha=2*%pi/3,U=1],PS1);
5.1.12 節に示す角を曲がる流れの下記の写像関数を使用する。 ここで角の内角を α とする。
αz = ζπ,πζ = zα(5.1.37)

ζ 平面で ξ 方向の一様流の複素ポテンシャルは、
F =Uζ
上式の写像関数を代入すると、z 平面の複素ポテンシャ
ルは、
π

F = zα U
上式に z = i y + x を代入し、虚部をとれば下記の流れ関数が得られる。
)(( 2)π
π atan2 (y, x)2 2α
Ψ= y +xU
sinα

図 5.1.15: z 平面 (α = π4 )

5.1. 複素解析

105(1)Schwarz-Christoﬀel の公式
MU1:\zeta=1/\mu;
DMU1:’diff(\zeta,\mu,1)=diff(rhs(MU1),\mu
Z3:z=(\zeta-\zeta[k])^((%pi-\delta[k])/%pi);
expand(%);,1);
DZ5:’diff(z,\mu,1)=rhs(DZ4)*rhs(DMU1);
subst([(\zeta-\zeta[1])^(\delta[1]/%pi)

DZ3:’diff(z,\zeta,1)=diff(rhs(%),\zeta,1);
DZ4:lhs(DZ3)=C[1]*%e^(%i*\delta[0])=(1-\mu*\zeta[1])^(\delta[1]/%pi)/\mu^(\delta[1]/%pi)],DZ5);*product((zeta-zeta[k])^(-\delta[k]/%pi),k,1,3);

subst([(\zeta-\zeta[2])^(\delta[2]/%pi)=(1-\mu*\zeta[2])^(\delta[2]/%pi)

DZ41:lhs(DZ3)=C[1]*%e^(%i*\delta[0])*product((zeta-zeta[k])^(-\delta[k]/%pi)/\mu^(\delta[2]/%pi)],%);
DZ51:subst([(\zeta-\zeta[3])^(\delta[3],k,1,K);/%pi)=(1-\mu*\zeta[3])^(\delta[3]/%pi)log(dz)-log(d\zeta)=log(rhs(DZ4));/\mu^(\delta[3]/%pi)],%);

expand(radcan(%));

subst([\delta[1]=2*%pi-\delta[2]-\delta[3]]subst([\zeta=\xi,\zeta[1]=\xi[1],\zeta[2]=\xi[2],\zeta[2]=\xi[2]],%);,num(rhs(DZ51)));
expand(%);

imagpart(%);

DZ52:lhs(DZ51)=%/denom(rhs(DZ51));(5.1.37) 式から、ζk で折れ曲がり、角の内角：α を外DZ53:lhs(DZ52)=limit(rhs(DZ52),\mu,0);

角：δk で表現すると写像関数は、

z = (ζ − ζk )

ζ → ∞ のときの性質を調べる。ζ → ∞ のとき µ → 0となる µ を導入する。

π−δk
π

ζ=

上式を ζ で微分すると、

1 − δπkdz=δkdζ(ζ − ζ ) πµ で微分すると、
d
1
ζ=− 2
dµ
µ

k

上式を基に K 点の折れ曲がりがあるときに下記とする(Schwarz-Christoﬀel の公式)。

K = 3 の場合である (5.1.39) 式に上式を代入し、δ1 +δ2 + δ3 = 2 π の関係から、∏d1z = ei δ 0 C 1δkdζ(ζ − ζ ) π
K

k=1(5.1.38)k

ここで ei δ0 C1 は定数とする。上式で K = 3 の場合には、

d
e C1
z=
δ1
δ2
δ3
dζ
π
(ζ − ζ ) (ζ − ζ ) π (ζ − ζ ) π2

ei δ0 C 1
d
z =−
δ1
δ2
δ3
dµ
µ2 (ζ − ζ ) π (ζ − ζ ) π (ζ − ζ ) π
1

=−

i δ0

1

1
µ

(5.1.39)3()
dz の角度変化を求めるのに、log ei θ R = log (R) + i θ

=−

2

i δ0

e

(1 − ζ1 µ)

δ1
π

C1 µ

3

δ3
δ2
δ1
π + π + π −2
δ2

δ3

δ2

δ3

(1 − ζ2 µ) π (1 − ζ3 µ) π
ei δ 0 C 1

δ1(1 − ζ1 µ) π (1 − ζ2 µ) π (1 − ζ3 µ) πから角度が容易に求めることができることから、上式のlog をとり、

上式から、

δ3 log (ξ − ξ3 ) δ2 log (ξ − ξ2 )−ππ
δ1 log (ξ − ξ1 )−+ log (C1 ) + i δ0πlog (dz) − log (dζ) = −dz = −ei δ0 C1dµ(µ → 0)以上の結果から、ξ → ∞ のときの角度：δ0 で、C1 は倍率となっている。以上から (5.1.38) 式が折れ曲がり曲線

その虚部は、ξ > ξ1 ,

ξ > ξ2 ,ξ3 > ξ とすると、

atan2 (0, dz) − atan2 (0, dζ) = −δ3 + δ0以上の結果から、ξ → ∞ のときの角度：δ0 とし、ξ3 で

δ3 曲がり、同様に、ξ2 で δ2 、ξ1 で δ1 曲がる。

の境界を持つ半無限領域となる写像関数である。

第 5 章 2 次元完全流体

106以上から、複素変数：Λ は下記となる。

(2) 対数速度Λ=/* Schwarz-Christoffel の公式 対水速度 */K∑

mk log (ζ − ξk )k=1

(5.1.43)1∑=
δk log (ζ − ξk )π

F5:F=U*\zeta;

K

DF5:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F5),\zeta,1);

k=1

V[x]+%i*V[y]=V*%e^(%i*\theta);

K = 3 の場合には、

VF5:’diff(F,z,1)=V[x]-%i*V[y];VF6:’diff(F,z,1)=w;

δ3 log (ζ − ξ3 ) δ2 log (ζ − ξ2 ) δ1 log (ζ − ξ1 )
+
+
π
π
π

VF61:w=’diff(F,z,1);Λ=VF51:’diff(F,z,1)=V*%e^(-%i*\theta);(5.1.40) 式、(5.1.42) 式および上式を下記の式の代入し、
(
)(
)
d
d
d
z=
z
F
dζ
dF
dζ

LVF5:log(lhs(VF5))=radcan(log(rhs(VF51)));
LMVF5:\Lambda=log(lhs(VF5));
LM5:subst([VF6],LMVF5);
LM51:solve(LM5,w)[1];=e−Λ U

LM52:subst([VF61],LM51);=U e−

δ3 log(ζ−ξ3 )δ log(ζ−ξ2 )δ log(ζ−ξ1 )
− 2
− 1
π
π
π

TH1:\delta[k]=\theta[k]-\theta[k-1];=

M1:m[k]=\delta[k]/%pi;
LM6:\Lambda=sum(m[k]*log(\zeta-\xi[k]),k,1

U(ζ − ξ1 )

δ1
π

δ2

δ3

(ζ − ξ2 ) π (ζ − ξ3 ) π

上式から、K = 3 の場合の (5.1.39) 式と同じ結果が,K);
LM61:subst([M1],LM6);得られた。以上から対数速度の方法でも (5.1.38) 式のLM62:subst([K=3],LM61), simpsum;

Schwarz-Christoﬀel の公式が証明された。

DZ6:’diff(z,\zeta,1)=’diff(z,F,1)*’diff(F,\zeta,1);
DZ61:subst([’diff(z,F,1)=1/’diff(F,z,1),LM52,DF5],DZ6);
subst([LM62],DZ61);
radcan(%);ζ 平面で ξ 方向の一様流の複素ポテンシャル: F および
その ζ の微分は、

F = U ζ,

d
F =U
dζ

(5.1.40)z 平面で複素ポテンシャルと流速の関係は、
d
F = Vx − i Vy = e−i θ V
dz(5.1.41)

対数速度を下記とする。
()
dΛ = log
F = log (V ) − i θ
dz
上式から、

d
F = eΛ
(5.1.42)dz
折れ線の角度を θk とすると、角の外角は δk となる。
δk = θk − θk−1
このときの角に置くわき出し強さ：mk は、

mk =

δk
π

5.1. 複素解析

5.1.15107

対数速度による多角形内外へ写像

前節に示す耐水速度による写像を多角形内外への写像
関数を求める。

K = 3 の場合には、
Λ=δ3 log (ζ3 − ζ) + δ2 log (ζ2 − ζ) + δ1 log (ζ1 − ζ)π
− log (ζ)(1) 多角形内部(5.1.44) 式、(5.1.42) 式および上式を下記の式の代入し、
(
)(
)
d
d
d
z=
z
F
dζ
dF
dζ
(
)
d
=e−Λ
F
dζ
= − i κ e−=−

図 5.1.16: 多角形内部

δ3 log(ζ3 −ζ)+δ2 log(ζ2 −ζ)+δ1 log(ζ1 −ζ)πiκ(ζ1 − ζ)

δ1
π

δ2

δ3

(ζ2 − ζ) π (ζ3 − ζ) π

上式から一般化し次式の写像関数を得る。

∏
1
d
z=C
δk
dζ
k=1 (ζk − ζ) π
K/* 対数速度による多角形内外へ写像 */kill(all);

正多角形の場合には、

declare(z,complex);ζk = edeclare(F,complex);declare(\zeta,complex);

DF1:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F1),\zeta,1);
L1:\Lambda=sum(\delta[k]/%pi*log(\zeta[k]-\zeta),k,1,K)-log(\zeta);
L11:subst([K=3],L1), simpsum;
DZ1:’diff(z,\zeta,1)=%e^(-\Lambda)*’diff(F,\zeta,1);
subst([DF1,L11],DZ1);
DZ2:radcan(%);
DZ3:lhs(DZ2)=C*product((\zeta[k]-\zeta)^(-\delta[k]/%pi),k,1,K);/* 正多角形内部 */ZTK1:\zeta[k]=%e^(%i*2*%pi/K*k);
DL1:\delta[k]=2*%pi/K;
DZ31:subst([ZTK1,DL1],DZ3);
ζ 平面で渦循環の一様流の複素ポテンシャル: F および
その ζ の微分は、

d
iκ
F =−
dζ
ζ

(5.1.44)(5.1.43) 式を基に、内部は囲われており、外部に流れ出ないので、総わき出し量の 1/2 の吸い込みを置く必要があり、複素変数：Λ は下記となる。

∑K

k=1 δk log (ζk − ζ)

π

,

δk =

2π
K

− log (ζ)

∏
1
d
z=C
(
) K2
dζ
2iπk
k=1 e K − ζK

F1:F=-%i*\kappa*log(\zeta);

F = −i κ log (ζ) ,2iπkK

上式を代入し、次式の写像関数を得る。

/* 多角形内部 */Λ=(5.1.46)(5.1.45)

第 5 章 2 次元完全流体

108

正多角形の場合には次式の写像関数を得る。

(2) 多角形外部

C
d
z=
dζ

∏K (
k=1

ζ −e

2iπk
K

) K2

ζ2

K = 2 の場合の平板では上式から、
d
C (ζ − 1) (ζ + 1)
C
z=
=C− 2
dζ
ζ2
ζ
上式を積分して、∫CC
z = C − 2 dζ = C ζ +ζζ
図 5.1.17: 多角形外部

これは Joukowski 変換の結果と一致している。

/* 多角形外部 */L2:\Lambda=sum(-\delta[k]/%pi*log(\zeta-\zeta[k]),k,1,K)+log(\zeta);
L21:subst([K=3],L2), simpsum;
subst([DF1,L21],DZ1);
DZ4:radcan(%);
DZ5:lhs(DZ4)=C*product((\zeta-\zeta[k])^(\delta[k]/%pi),k,1,K)/\zeta^2;/* 正多角形外部 */DZ6:subst([ZTK1,DL1],DZ5);
subst([K=2],DZ6), simpproduct;
expand(%);
z=integrate(rhs(%),\zeta);
多角形内部の複素変数：(5.1.45) 式では辺で流体を狭める方向であるが、多角形外部では辺で流体を広げる方向であり、わき出し強さを負とする必要がある。このこと
から、多角形外部の複素変数は下記となる。
∑Kδk log (ζ − ζk )
Λ = log (ζ) − k=1π
K = 3 の場合には、(5.1.47)

δ3 log (ζ − ζ3 ) + δ2 log (ζ − ζ2 ) + δ1 log (ζ − ζ1 )π
(5.1.44) 式、(5.1.42) 式および上式を下記の式の代入し、
(
)(
)
d
d
d
z=
z
F
dζ
dF
dζ
(
)
d
=e−Λ
F
dζ

Λ = log (ζ)−

=−
=−

iκe

δ3 log(ζ−ζ3 )+δ2 log(ζ−ζ2 )+δ1 log(ζ−ζ1 )πζ2i κ (ζ − ζ1 )

δ1
π

δ2

δ3

(ζ − ζ2 ) π (ζ − ζ3 ) π
ζ2

上式から一般化し次式の写像関数を得る。
δk∏K
C k=1 (ζ − ζk ) π
d
z=
dζ
ζ2

(5.1.48)

5.1. 複素解析

5.1.16109

円定理

5.1.17

円柱がないときの複素ポテンシャル：f (z) とする。速度ポッテンシャルを Φ、流れ関数を Ψ とすると、

f (z) = ı̇ Ψ (z) + Φ (z)Blasius の定理

二次元完全流体中の物体に作用する力およびモーメン
トを求める。

(5.1.49)

原点に中心がある半径：R の円柱を考える。円上では次の関係がある。

R2 = zz(5.1.50)

次に示す関数を考える。

(
F (z) = f (z) + f

R2z)(5.1.51)

ここで下記の関係から、

f (z) = f (z)(5.1.52)

図 5.1.18: Blasius の定理(5.1.51) 式は、(5.1.50) 式、上式から、
F (z) = f (z) + f (z) = 2 Φ(5.1.53)/* Blasius の定理 */kill(all);

上式から Ψ = 0 となり、原点に中心がある半径：R のdeclear(z,complex);

円が流線となる。

declear(F,complex);
DFX:dF[x]=-p*dy;
DFY:dF[y]=p*dx;
DF:DFX-%i*DFY;
lhs(%)=factor(rhs(%));
lhs(%)=factor(subst([dy=%i*dy],rhs(%)));
DF1:subst([dy=-%i*dy],%);
P1:p=-1/2*\rho*(v[x]^2+v[y]^2);
V2:(v[x]-%i*v[y])*(v[x]+%i*v[y]);V21:expand(V2)=V2;
P11:subst([V21],P1);
DF1:subst([P11],DF);
VXY:v[xy]=v[x]-%i*v[y];DF2:subst([-%i*v[y]=v[xy]-v[x]],DF1);
DF3:lhs(DF2)=factor(expand(rhs(DF2)));
物体表面：x, y における圧力を p とすると、物体表面要素長さ：ds に作用する力の x, y 成分は下記となる。

dF x = −dy p,

dF y = dx p

これをまとめて、

dF x − i dF y = − (dy + i dx) p(5.1.54)

圧力：p は物体表面流速：vx , vy から下記で表現できる。
()
ρ vy2 + vx2
p=−2
ρ (vx − i vy ) (i vy + vx )=−2
一時的に下記に定義した vxy を導入する。

vxy = vx − i vy

第 5 章 2 次元完全流体

110
上式を作用する力に代入し、dF x − i dF y =DF10:dF=lhs(DF7);ρ vxy (i dy vy − dx vy + dy vx + i dx vx )2
(5.1.55)

DF11:dF=rhs(DF7);
DM1:dM=x*dF[y]-dF[x]*y;
DF10*z;lhs(%)=subst([z=x+%i*y],rhs(%));

DF4:subst([dx*v[y]=-dx*v[y],dy*v[x]DM2:lhs(%)=expand(rhs(%));=-dy*v[x]],DF3);
VXY1:v[xy1]=%i*(v[x]-%i*v[y])*(dx+%i*dy);
VXY2:expand(%);

DM3:’imagpart(lhs(DM2))=imagpart(rhs(DM2));
solve(DM1,dF[y])[1];
subst([%],DM3);

VX1:solve(VXY2,v[x])[1];solve(%,dM)[1];DF5:subst([VX1],DF4);

DM4:lhs(%)=(subst([DF11],rhs(%)));

lhs(DF5)=factor(expand(rhs(DF5)));DM5:lhs(%)=’realpart(rhs(DM4));

DF6:subst([VXY1,VXY],%);

M1:M=’realpart(’integrate(rhs(DM4)/dz,z));
下記に定義した dF を導入する。

DZ1:dz=dx+%i*dy;
DZ2:solve(DZ1,dx)[1];dF =dF x − i dF y()2i dz ρ ddz F=
2

DFZ1:’diff(F,z,1)=v[x]-%i*v[y];DFZ2:solve(DFZ1,v[x])[1];DF7:subst([DZ2,DFZ2],DF6);
F1:F[x]-%i*F[y]=’integrate(rhs(DF7)/dz,z);
境界も流線であるため、境界に沿った流れとなる。この

上式に z を掛け、整理すると、ため dx/vx = dy/vy の関係が成り立つ。(5.1.55) 式に

z dF = (dF x − i dF y ) z

dy vx = dx vy の関係から下記とする。
dF x − i dF y =ρ vxy (i dy vy + dx vy − dy vx + i dx vx )2
(5.1.56)

下記に定義した vxy1 を導入する。

= (i y + x) (dF x − i dF y )=y dF y − i x dF y + i dF x y + x dF x
物体表面要素長さ：ds に作用する原点まわりのモーメ
ントは、

vxy1 =i (i dy + dx) (vx − i vy )dM = x dF y − dF x y=i dy vy + dx vy − dy vx + i dx vx

上の二式から、(5.1.56) 式に上式を代入し、
ρ vxy vxy1
dF x − i dF y =22i (i dy + dx) ρ (vx − i vy )=2ℑm (z dF ) = dF x y − x dF y
(5.1.57)

dM = − ℑm (z dF )()2 )(dz ρ z ddz F=ℜe −2(5.1.15) 式などから、
dz = i dy + dx,d
F = vx − i v ydz

上式を積分し、((5.1.57) 式に上式を代入し、dF x − i dF y =i dz ρ

(d

dz F

)2

M = ℜe(5.1.58)2

上式を積分し、

Fx − i F y =

iρ
2

I (

d
F
dz

)2
dz

原点まわりのモーメントは、(5.1.59)

ρ
−
2

(

I
z

d
F
dz

)

)2
dz

(5.1.60)

5.1. 複素解析

5.1.18111

Lagally の定理

流速：U 、流向：α の一様流中の中に座標原点に柱状

上記流場の複素ポテンシャルは、下記のように表せる。

F =e−i α z U + m log (z − a) −体 C を置き、その原点に渦循環強さ：Γ の渦糸を、その+外部の z = a の位置に、わき出し強さ：m のわき出しを置いたとき、柱状体 C に作用する力、モーメントを求める。

i Γ log (z)
2π

A2
A3
A4
A1
+ 2 + 3 + 4 + ...
zzzz(5.1.59) 式の Blasius の定理の定理から、物体に作用する力は下記となる。
)2
I (
iρ
d
Fx − i F y =F dz
2 C dz上図から物体境界：C 、物体、わき出しを含む大きな円：

S 、わき出しを囲む小さな円：M とすると下記の関係が
ある。

iρ
2

I (

)2
)2
I (
d
iρ
d
F dz −
F dz
dz
2 C dz
S
)2
I (
iρ
d
−
F dz = 0
2 M dz上記から、物体に作用する力は下記となる。
)2
)2
I (
I (
d
iρ
d
iρ
F dz −F dz
Fx − i F y =2 S dz2 M dz(5.1.61)
図 5.1.19: Lagally の定理

FD1:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F4),z,1);
F[x]-%i*F[y]=%i*\rho/2*integrate((/* Lagally’s 定理 */’diff(F,z,1))^2,z);kill(all);

F1D1:diff(F1,z,1);

declare(z,complex);

F1D1=taylor(F1D1,a,0,3);

declare(F,complex);

F1D2:F1D1=rest(rhs(%),-1);

declare(a,complex);

FD2:subst([F1D2],FD1);

assume(r>0);

FD22:lhs(FD2)^2=expand(rhs(FD2)^2);

F0:U*%e^(-%i*\alpha)*z;

RFD22:coeff(rhs(FD22),z,-1);

F1:m*log(z-a);

FCS:F[xs]-%i*F[ys]=%i*\rho/2*(2*%pi*%i)F2:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z);F3:A[1]/z+A[2]/z^2+A[3]/z^3+A[4]/z^4;
F4:F=F0+F1+F2+F3;
一様流の複素ポテンシャルは、
F0 = e−i α z U
z = a に置いたわき出しの複素ポテンシャルは、
F1 = m log (z − a)
原点に置いた渦糸の複素ポテンシャルは、

F2 = −i Γ log (z)2π

柱状体による撹乱の複素ポテンシャルは、

F3 =

A3
a4
A1
A2
+ 2 + 3 + 4zzzz*RFD22;lhs(%)=expand(rectform(rhs(%)));
物体、わき出しを含む大きな円：S の積分について考
える。

d
m
iΓ
F =e−i α U +−dzz − a 2πz
2 A2
3 A3
4 A4
A1
− 2 − 3 − 4 − 5 + ...
zzzz(5.1.62)

右辺第２項を Taylor 展開して、

mm a3
m m a m a2=
+ 2 + 3 + 4 + ...
z−a
z
z
z
z
これを上式に代入し、

d
iΓ
am
m
F =e−i α U +
−
+ 2
dz
z
2πz
z
A1
a2 m 2 A2
3 A3
4 A4− 2 + 3 − 3 − 4 − 5 + ...
z
z
z
z
z

第 5 章 2 次元完全流体

112
(

d
F
dz

)2

i e−i α Γ U
2 e−i α m U
−
z
πz
−i α
−i α
2ae
mU
2 A1 e
U
+
−
+ ...
z2
z2

=e−2 i α U 2 +((5.1.61) 式の大きな円：S の積分項は、留数の定理から、
)2
I (
iρ
d
F dz
2 S dz()
iρ= (2πi ) 2 e−i α m U − i e−i α Γ U
2()
i e−i α Γ U= − π ρ 2 e−i α m U −π(5.1.63)

Fxs − i Fys =FZ1:f(z)=taylor(f(z),z,a,3);*coeff(rhs(FD33),z-a,-1);
FC1:F[x]-%i*F[y]=rhs(FCS)+rhs(FCM);
subst([FZ2],FC1);
わき出しを囲む小さな円：M の積分について考える。
(5.1.62) 式のわき出しの項以外を f (z) と置き換えて、dmiΓF =e−i α U +−dzz − a 2πz
2 A2
3 A3
4 A4
A1
− 2 − 3 − 4 − 5 + ...
z
z
z
z
m
=f (z) +z−a()2d
2 m f (z)m2
2F= f (z) +
+ 2
+ ...
dz
z−a
z − 2 a z + a2
f (z) を z = a で Taylor 展開すると、)(
d(z − a)f (z) =f (a) +
f (z)
dz
)z=a
( 2
2
d
(z − a)d z 2 f (z)
z=a
+
2 )
( 3
3
d
(z − a)d z 3 f (z)
z=a
+
+ ...
6
また、z = a では、わき出しの項以外による流速：um , vmとなり、

f (a) = um − i vm

m2

2 m f (a)z−a(z − a)(() )d2+ f (a) + 2
f (z)
m
dz
z=a
( (
)
d
f (a)
+ 2
f (z)
dz
z=a
( 2
) )
d
+
f (z)
m (z − a)
d z2
z=a
2 +

)2
I (
iρ
d
Fxm − i Fym = −F dz
2 M dziρ= − (2πi ) (2 m f (a))
2=2 π f (a) m ρ

FD32:lhs(FD1)^2=expand(rhs(FD3)^2);

FCM:F[xm]-%i*F[ym]=-%i*\rho/2*(2*%pi*%i)=

留数の定理から、

FD31:expand(solve(FD3,f(z))[1]);FD33:subst([FZ1],FD32);)2(5.1.61) 式のわき出しを囲む小さな円：M の積分項は、

FD3:rhs(FD1)=F1D1+f(z);FZ2:f(a)=u[m]-%i*v[m];dFdz(5.1.64)(5.1.63) 式と (5.1.64) 式の和から、物体に作用する力
は、

Fx − i Fy =2 π f (a) m ρ()
i e−i α Γ U−i α− πρ 2emU −π=2 π m (um − i vm ) ρ()
i e−i α Γ U−i α− πρ 2emU −π(5.1.65)

MD2:expand(FD22*z);
MCS:M[xs]+%i*N[xs]=-\rho/2*(2*%pi*%i)*coeff(rhs(MD2),z,-1);MD3:expand(FD33*z);
MCM:M[xm]+%i*N[xm]=\rho/2*(2*%pi*%i)*coeff(rhs(MD3),z-a,-1);
MC:M+%iN=rhs(MCS)+rhs(MCM);
subst([FZ2],MC);

5.1. 複素解析

113

物体に作用するモーメントは、(5.1.60) 式で与えられる。物体、わき出しを含む大きな円：S の積分について、

(
z

d
F
dz

)2

2 a e−i α m U
2 A1 e−i α U
2 a2 e−i α m U
4 A2 e−i α U
+
−
−
2
z
z
z
z2
6 A3 e−i α U
8 a4 e−i α U
i e−i α Γ U
m2
iΓm
Γ2
−
+ 2 e−i α m U −
+
−
−
−
3
4
z
z
π
z
πz
4 π2 z
2 a m2i a Γ m 2 A1 m i A 1 Γ
+
−
−
+
z2
π z2
z2
π z2

=e−2 i α z U 2 +大きな円：S の積分項は、

(
)
iΓm
Γ2
i Nxs + Mxs = −i π ρ 2 a e−i α m U − 2 A1 e−i α U + m2 −−π
4 π2
わき出しを囲む小さな円：M の積分について、

(
z

d
F
dz

)2

(( (
)
)
)
2 f (a) m a + m2
d
2
=
+
2
f (z)
m + f (a)a + 2 f (a) m
2 +
z−a
dz
(z − a)
z=a
(((
)
(
)
)
d2
d
m
f
a
f
(z)
f
(z)
+
+
2
(a)
d z2
dz
z=a
z=a
(
)
)
d
2
+2
f (z)
m + f (a)(z − a)
dz
z=a
m2 a

わき出しを囲む小さな円：M の積分項は、()
i Nxm + Mxm = i π m2 + 2 a f (a) m ρ
積分項の和から、物体に作用するモーメントは、
(
)
( 2
)
iΓm
Γ2
−i α
−i α
2
M + %iN =i π m + 2 a f (a) m ρ − i π ρ 2 a em U − 2 A1 e
U +m −
−
π
4 π2
(
)
(
)
iΓm
Γ2
2
−i α
−i α
2
=i π 2 a m (um − i vm ) + m ρ − i π ρ 2 a em U − 2 A1 e
U +m −−
π4 π2(5.1.66)

第 5 章 2 次元完全流体

114

5.2

数値解析

5.2.1

2 次元差分法 (流れ関数)

x 軸の二回微分は、
d2
Ψi+1,j − 2 Ψi,j + Ψi−1,j
Ψ=
d x2
h2

ここでは、流線の様子を把握するため、流れ関数：Ψ

y 軸の二回微分は、について解析する。二次元の完全流体を解析する場合、

d2
Ψi,j+1 − 2 Ψi,j + Ψi,j−1
Ψ=
d y2
h2

支配方程式は下記のラプラスの方程式である。

d2
d2
Ψ
+
Ψ=0
d y2
d x2

(5.2.1)x, y 軸で間隔：h のメッシュの交点：i, j 上の流れ関数：
Ψi,j を求める。

ラプラスの式から、

Ψi+1,j − 2 Ψi,j + Ψi−1,j Ψi,j+1 − 2 Ψi,j + Ψi,j−1
+
=0
h2
h2
i, j 上の流れ関数：Ψi,j は、/* 差分法 */Ψi,j =

kill(all);
NABA:’diff(\Psi,x,2)+’diff(\Psi,y,2)=0;

Ψi+1,j + Ψi,j+1 + Ψi,j−1 + Ψi−1,j4(5.2.2)

流速は、x = 0 の流れ関数の一回微分から、

PS0:\Psi=a*x^2+b*x+c;
d
Ψ=b
dx

PSDD0:’diff(\Psi,x,2)=diff(rhs(PS0),x,2);
PSD0:’diff(\Psi,x,1)=diff(rhs(PS0),x,1);dΨi−1,j − Ψi+1,j
Ψ=−
dx
2h
d
Ψi,j+1 − Ψi,j−1
Ψ=
dy
2h

PS1:\Psi[i-1,j]=a*(-h)^2+b*(-h)+c;
PS2:\Psi[i,j]=a*(0)^2+b*(0)+c;
PS3:\Psi[i+1,j]=a*(h)^2+b*(h)+c;
ABC:solve([PS1,PS2,PS3],[a,b,c])[1];
PSDD1:subst([ABC],PSDD0);

以上から、

PSDD2:’diff(\Psi,y,2)=(\Psi[i,j+1]

d
Ψ,
dy

vy = −

Ψi,j+1 − Ψi,j−1
,
2h

vy =

vx =

-2*\Psi[i,j]+\Psi[i,j-1])/h^2;
subst([PSDD1,PSDD2],NABA);vx =PSDD:solve(%,\Psi[i,j])[1];lhs(PSD0)=subst([x=0],rhs(PSD0));
PSD1:subst([ABC],%);dΨdx

Ψi−1,j − Ψi+1,j2h(5.2.3)(1)Excel を用いた数値解析例

PSD2:’diff(\Psi,y,1)=-(\Psi[i,j-1]-\Psi[i,j+1])/(2*h);

上記の計算では、反復計算により、収束した結果を求め

VX:v[x]=’diff(\Psi,y,1);

る必要がある。Excel では、容易に反復計算が行えるの

VY:v[y]=-’diff(\Psi,x,1);

で、これを使用した半円柱の数値計算例を示す。

VX1:subst([PSD2],VX);
VY1:subst([PSD1],VY);
まず、x 軸上で、流れ関数：Ψ を下記の二次方程式で近1. Excel の計算領域（D3〜AN28）を決める。また、メッシュの間隔：h を決める。物体の流れの影響が境界に影響が及ばない、十分な計算領域を選択す似する。

る。ここで示す示す例では流れの様子がわかりやΨ = a x2 + b x + c

すいように領域に対して大きな円となっている。

二回微分、一回微分は、

d2
Ψ = 2 a,d x2

d
Ψ = 2ax + b
dx

2. 物体境界の流れ関数の値を決める。物体境界の流れ関数の値は、境界も流線であるので、上の物体

x 軸：−h, 0, +h 上の流れ関数：Ψi−1,j , Ψi,j , Ψi+1,j は下境界 (D3〜AN3) の流れ関数値を零とする。下の記となる。

物体境界 (D28〜AN28) の流れ関数値を百とする。

Ψi−1,j = a h − b h + c
2

Ψi,j = cΨi+1,j = a h2 + b h + c
上式から常数：a, b, c を求めると、a=Ψi−1,j − Ψi+1,jΨi+1,j − 2 Ψi,j + Ψi−1,j,b = −, c = Ψi,j2 h22h

半円柱 (N28〜AD28 から V18〜W28) についても流れ関数値を百とする。

5.2. 数値解析

115

3. 流体境界の値を決める。(5.2.3) 式から一様な流速を与えるには、流体境界 (D4〜D27 および AN4〜AN27)で物体境界零から百までを等分間隔の数字を入力する。
4. 計算式を入力する。計算領域である E4 に = (E3 + D4 + E5 + F 4)/4 を入力する。E4 を他の計算領域全てにコピーする。

5. 反復計算の設定をする。設定は、ツール→オプション→計算方法→のページで反復計算の部分にチェックを入れ、最大反復回数、変化の最大値を入力する。

図 5.2.1: 流れ関数

図 5.2.2: 流線

第 5 章 2 次元完全流体

116

5.3

二次元完全流体の簡単な例

とも表現できる。上記のプログラム部分を入れ替えるだ
けでこの表現での結果が得られる。以下の結果では、結例題 5.3.1
定理の例)

特異点に作用する力 (Blasius の論のみの標記とした。

(1) わき出しに作用する力

流れの複素ポテンシャル：F0 の中で、座標原点に置いた、わき出し、渦糸、二重わき出しに作用する力を求/* わき出しに作用する力 */める。

F=F0+F1+F4;
FD1:’diff(F,z,1)=diff((rhs(%)),z,1);/* 特異点に作用する力 */F[x]-%i*F[y]=%i*\rho/2*integrate(kill(all);(’diff(F,z,1))^2,z);declare(z,complex);

FD21:lhs(FD1)^2=expand(rhs(FD1)^2);

declare(F,complex);

FCS:F[xs]-%i*F[ys]=%i*\rho/2*(2*%pi*%i)F0:U*%e^(-%i*\alpha)*z;*coeff(rhs(FD21),z,-1);

F1:m*log(z);FXS1:F[x]=expand(realpart(rhs(FCS)));

F2:%i*\Gamma/2/%pi*log(z);FYS1:F[y]=expand(-imagpart(rhs(FCS)));

F3:-%e^(%i*\beta)*\mu/z;

MD1:FD21*z;

F4:A[2]*z^2+A[3]*z^3+A[4]*z^4;
F5:F=F0+F1+F2+F3+F4;
特異点を除いた流れの複素ポテンシャル：F0 を下記と

MD2:expand(rhs(MD1));する

MCS:M[xs]+%i*N[xs]=-\rho/2*(2*%pi*%i)*coeff(MD2,z,-1);
MXS:M[xs]=expand(realpart(rhs(MCS)));
流れの複素ポテンシャル：F0 に、強さ：m のわき出し

F0 = e−i α z U + A4 z 4 + A3 z 3 + A2 z 2を加えた複素ポテンシャルは下記となる。

F = e−i α z U + m log (z) + A4 z 4 + A3 z 3 + A2 z 2/* 特異点に作用する力 (f(z) での表現) */md
F = e−i α U + 4 A4 z 3 + 3 A3 z 2 + 2 A2 z +
dz
z
)2
(
d
F
=e−2 i α U 2 + 8 A4 e−i α z 3 U
dzkill(all);declare(z,complex);declare(F,complex);
F00:f(z);+ 6 A3 e−i α z 2 U

F01:taylor(F00,z,0,5);+ 4 A2 e−i α z U +F02:rest(F01,-1);
F0:coeff(F02,z,1)*z;

2 e−i α m U+ 16 A24 z 6z+ 24 A3 A4 z 5 + 16 A2 A4 z 4 + 9 A23 z 4

F1:m*log(z);F2:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z);+ 12 A2 A3 z 3 + 8 A4 m z 2 + 4 A22 z 2

F3:-%e^(%i*\beta)*\mu/z;+ 6 A3 m z +F4:F02-F0;
F5:F=F0+F1+F2+F3+F4;
また、特異点を除いた流れの複素ポテンシャルを F0 =f (z) の形で表現し、z = 0 に特異点があるとき、この点で Taylor 展開すると、

(

)

(

d2
d z 2 f (z)

)

z
d
z=0
z+
F0 =f (0) +
f (z)
dz
2
)z=0 ( 4
)
( 3
d
d
3
z
z4
f
(z)
f
(z)
3
4
dz
dz
z=0
z=0
+
+
6
24
)
( 5
d
5
z
f
(z)
d z5
z=0
+
+ ...
120

2

m2
+ 4 A2 mz2Blasius の定理：(5.1.59) 式と留数定理から、
)2
I (
iρ
d
Fx − i F y =
F dz
2
dz
= − 2 π e−i α m ρ U()
d= −2 π m ρ
f (z)
dz
z=0

(5.3.1)

わき出しに作用する力は、

Fx = −2 π cos (α) m ρ U,

Fy = −2 π sin (α) m ρ U

原点まわりのモーメントについて、Blasius の定理：(5.1.60)式と留数定理から、(

M = ℜe

ρ
−
2

(

I
z

d
F
dz

)

)2
dz

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

117i N + M = −i π m2 ρ(3) 二重わき出しに作用する力

わき出しに作用する原点まわりのモーメントは、

M =0(5.3.2)/* 二重わき出しに作用する力 */F=F0+F3+F4;
FD1:’diff(F,z,1)=diff((rhs(%)),z,1);(2) 渦糸に作用する力

F[x]-%i*F[y]=%i*\rho/2*integrate((’diff(F,z,1))^2,z);/* 渦糸に作用する力 */F=F0+F2+F4;

FD21:lhs(FD1)^2=expand(rhs(FD1)^2);
FCS:F[xs]-%i*F[ys]=%i*\rho/2*(2*%pi*%i)FD1:’diff(F,z,1)=diff((rhs(%)),z,1);*coeff(rhs(FD21),z,-1);

F[x]-%i*F[y]=%i*\rho/2*integrate(

FXS1:F[xs]=expand(realpart(rhs(FCS)));
FYS1:F[ys]=expand(-imagpart(rhs(FCS)));(’diff(F,z,1))^2,z);FD21:lhs(FD1)^2=expand(rhs(FD1)^2);

MD1:FD21*z;

FCS:F[xs]-%i*F[ys]=%i*\rho/2*(2*%pi*%i)MD2:expand(rhs(MD1));*coeff(rhs(FD21),z,-1);

MCS:M[xs]+%i*N[xs]=-\rho/2*(2*%pi*%i)

FXS1:F[xs]=expand(realpart(rhs(FCS)));*coeff(MD2,z,-1);

FYS1:F[ys]=expand(-imagpart(rhs(FCS)));
MD1:FD21*z;

MXS:M[xs]=expand(realpart(rhs(MCS)));
流れの複素ポテンシャル：F0 に、強さ：µ の二重わき

MD2:expand(rhs(MD1));

出しを加えた複素ポテンシャルは下記となる。

MCS:M[xs]+%i*N[xs]=-\rho/2*(2*%pi*%i)*coeff(MD2,z,-1);
MXS:M[xs]=expand(realpart(rhs(MCS)));
流れの複素ポテンシャル：F0 に、渦循環：Γ の渦糸を加えた複素ポテンシャルは下記となる。

F = e−i α z U + A4 z 4 + A3 z 3 + A2 z 2 −

eiβ µ
z

上記と同様の方法（プログラムも１行目のみ異なり、他は上記と同じ）で求めると、二重わき出しに作用する力

F = e−i α z U −i Γ log (z)+ A4 z 4 + A3 z 3 + A2 z 22π

上記と同様の方法（プログラムも１行目のみ異なり、他は上記と同じ）で求めると、渦糸に作用する力は、

Fx − i Fy =i e

−i α

ΓρU
(
)
d
=i Γ ρ
f (z)
dz
z=0

Fx = sin (α) Γ ρ U,

(5.3.3)Fx = −4 π A2 cos (β) µ ρ,

(5.3.5)Fy = 4 π A2 sin (β) µ ρ

i N + M = − 2 i π eiβ−i α µ ρ U()
diβ= − 2iπe µρ
f (z)
dz
z=0

原点まわりのモーメントについて、i Γ2 ρ
4π

M =0

Fx − i Fy = − 4 π A2 eiβ µ ρ
)
( 2
d
iβ
= − 2πe µρ
f (z)
d z2
z=0

原点まわりのモーメントについて、

Fy = −cos (α) Γ ρ U

iN + M =は、下記に示すように A2 に比例している。これは速度勾配に関連したものである。

M = 2 π sin (β − α) µ ρ U(5.3.4)(5.3.6)

第 5 章 2 次元完全流体

118

例題 5.3.2

一様流中のわき出し

下記となり、物体境界の流れ関数値が得られる。

流速：U の一様な流れの中で、原点に強さ：m のわき出しを置いたときの流れを求める。
/* 一様流中のわきだし */Ψ = πm
上記結果を用いて、物体境界の式は、

r=−kill(all);declare(z,complex);mθ − πmsin (θ) U(5.3.9)

上記の結果から、U = 1, m = 1 として、gnuplot を用

declare(F,complex);
assume(r>0);

いて流線を求めた結果を下記に示す。
#!/gnuplot

F1:F=U*z+m*log(z);set xrange [-5:10]

FD1:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F1),z,1);

set yrange [-5:5]

FD2:rhs(FD1)=0;

set isosamples 150,150

Z1:solve(FD2,z)[1];

set contour base

Z11:subst([z=x[0]+%i*y[0]],Z1);

set cntrparam levels incremental -10.46864,

Z12:realpart(Z11);

0.2093728,10
unset key

Z13:imagpart(Z11);
F2:subst([z=x+%i*y],F1);

unset surface

PS1:\Psi=imagpart(rhs(F2));

set view map

F3:subst([z=r*%e^(%i*\theta)],F1);

splot atan2(y,x)+y

PS2:\Psi=imagpart(rhs(F3));#

PS20:subst([\theta=%pi,r=m/U],PS2);

EOF

BD1:solve(rhs(PS2)=rhs(PS20),r)[1];
一様な流れの複素ポテンシャルは (5.1.29) 式から、わき出しの複素ポテンシャルは (5.1.31) 式から一様な流れに中のわき出し流れの複素ポテンシャルとして下記を得る。

F = z U + m log (z)(5.3.7)先端のよどみ点では、流速が零であるから、

m
d
F =U+
=0
dz
z
よどみ点の位置：x0 , y0 は、

z=−

m
U

図 5.3.1: 一様流中のわきだしの流れmi y 0 + x0 = −Um
x0 = − , y 0 = 0U
流れ関数：Ψ を x, y 座標で表記すると、

lhs(FD1)=subst([z=r*%e^(%i*\theta)],rhs(FD1));
FD3:lhs(FD1)=subst([%e^(%i*\theta)

F = Φ + i Ψ = (i y + x) U + m log (i y + x)
Ψ = y U + m atan2 (y, x)(5.3.8)=cos(\theta)+%i*sin(\theta)],rhs(%));
VX1:v[x]=trigsimp(realpart(rhs(FD3)));
VY1:v[y]=-trigsimp(imagpart(rhs(FD3)));流れ関数：Ψ を極座標で表記すると、()
F = r ei θ U + m log r ei θ

V2:v^2=trigsimp(rhs(VX1)^2+rhs(VY1)^2);
P0:p[0]+\rho/2*U^2=p[1]+\rho/2*v^2;
P1:solve(P0,p[1])[1];Ψ = r sin (θ) U + m θ
よどみ点の下記の位置を上式に代入すると、

P01:(p[1]-p[0])/(1/2*\rho*U^2);
P01=expand(subst(P1,P01));
P02:subst([V2],%);mθ = π, r =U

P021:trigsimp(subst([BD1],P02));P022:subst([\theta=-%pi],P02);

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

119

物体周りの流速から、物体周りの圧力分布を求める。流速BDX:rhs(BD1)*cos(\theta);

は (5.3.7) 式を z で微分して得られる。極座標表記して、

BDY:rhs(BD1)*sin(\theta);dm e−i θF =vx − i vy = U +
dz
r
m
=U +
r (i sin (θ) + cos (θ))
以上から流速は、

BDX1:subst([U=1,m=1,\theta=t],BDX);
BDY1:subst([U=1,m=1,\theta=t],BDY);
P031:subst([\theta=t],rhs(P021));P032:subst([U=1,m=1],rhs(P022));
PS11:subst([U=1,m=1],rhs(PS1));vx =r U + m cos (θ)
rm sin (θ)
vy =r

plot2d([[parametric,BDX1,BDY1,[t,0.1,6.1],[nticks,100]],[parametric,BDX1,P031,[t,0.1,3.1],[nticks,100]],[parametric,-r,P032,[r,1,5],[nticks,100]]],
r2 U 2 + 2 m r cos (θ) U + m2
v =[x,-5,10],[y,-5,5]);r2
遠方の圧力：p0 、ある点の圧力：p1 と流速の関係は Bernoulli2の定理から、

2 (p1 − p0 )
v2
=
1
−
ρ U2
U2
流速の関係式を代入し、

r2 U 2 + 2 m r cos (θ) U + m2
2 (p1 − p0 )=1−2
ρU
r2 U 2物体境界の (5.3.9) 式を代入し、物体表面の圧力分布は、
2sin (θ) + (2 π − 2 θ) cos (θ) sin (θ)
2 p1 − 2 p0=−
ρ U2
θ2 − 2 π θ + π2
x 軸上の物体前方の圧力分布は、θ = π を代入し、
r2 U 2 − 2 m r U + m2
2 (p1 − p0 )=1−2
ρU
r2 U 2

図 5.3.2: 一様流中のわき出しの物体表面圧力分布

第 5 章 2 次元完全流体

120

例題 5.3.3

一様流中のわき出しと吸い込みΨ =y U + m atan2 (y, x + a)
− m atan2 (y, x − a)

流速：U の一様な流れの中で、x 軸上の x = −a に強さ：

m のわき出しを、x = a に強さ：−m の吸い込みを、置

よどみ点の上記の位置を代入すると、物体表面の流れ関いたときの流れを求める。
/* 一様流中のわき出しと吸い込み */数の値が得られ、

kill(all);declare(z,complex);declare(F,complex);
assume(r>0);

Ψ=0
上記の結果から、U = 1, m = 1, a = 1 として、gnuplotを用いて流線を求めた結果を下記に示す。

#!/gnuplot

assume(U>0);

set xrange [-4:4]

assume(m>0);

set yrange [-3:3]

assume(a>0);

set isosamples 150,150

assume(b>0);

set contour baseassume(b>a);set cntrparam levels incremental -10,0.2,10

F1:F=U*z+m*log(z+a)-m*log(z-a);FD1:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F1),z,1);FD2:rhs(FD1)=0;
Z1:solve(FD2,z)[1];Z11:subst([z=x[0]+%i*y[0]],Z1);

unset keyunset surface
set view map
splot atan2(y,x+1)-atan2(y,x-1)+y#

EOF

Z12:realpart(Z11);
B1:b^2=rhs(Z12)^2;
Z13:imagpart(Z11);
F2:subst([z=x+%i*y],F1);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(F2));
PS10:subst([x=b,y=0],PS1);
PS11:subst([U=1,m=1,a=1],PS1);
一様な流れの複素ポテンシャルは (5.1.29) 式から、わき出しの複素ポテンシャルは (5.1.31) 式から一様な流れに中のわき出しと吸い込みの流れの複素ポテンシャルとして下記を得る。

F = z U + m log (z + a) − m log (z − a)
先端のよどみ点では、流速が零であるから、

m
m
d
F =U+
−
=0
dz
z+a z−a
よどみ点の位置：x0 , y0 は、√ √a aU + 2m
√
z=−
U
√ √
a aU + 2m√
i y 0 + x0 = −U√ √a aU + 2m√
x0 = −, y0 = 0Ua (a U + 2 m)U
流れ関数：Ψ を x, y 座標で表記すると、
b2 =F =Φ + i Ψ = (i y + x) U + m log (i y + x + a)
− m log (i y + x − a)

図 5.3.3: 一様流中のわき出しと吸い込みまわりの流れ5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.4

121

一様流中の円柱まわりの流れに置き換えて、( −i α 2)eA Uei α A2 U
x 軸と α の角度を持ち、流速：U の一様な流れに中に、
F1 ==conjugate (z)z
半径：A の円柱を置いたときの流れを求める。また、円の中心に渦循環：−Γ を置いた場合の円柱まわりの流れ、 渦循環の複素関数：F2 は (5.1.33) 式から円柱に作用する力を求める。
i Γ log (z)F2 =2π以上から、全体の流れの複素関数：F は、

F =F0 + F1 + F2 =e i α A2 U
i Γ log (z)+ e−i α z U +z2π=Φ + iΨ(5.3.10)
極座標表記：z = r eiθ を上式に代入し、実部および虚部を取り、速度ポテンシャル：Φ、流れ関数：Ψ は、

Φ=cos (θ − α) A2 UΓθ+r cos (θ − α) U −(5.3.11)r
2πΨ=−
図 5.3.4: 一様流中の円柱まわりの流れ

sin (θ − α) A2 U
Γ log (r)+ r sin (θ − α) U +r
2π(5.3.12)xy 座標表記：z = i y + x を (5.3.10) 式に代入し、実部
および虚部を取り、速度ポテンシャル：Φ、流れ関数：Ψ

/* 円柱まわりの流れと作用力 (xmaxima) */kill(all);は、

Φ=load("plotdf")(sin (α) y + cos (α) x) A2 U
y 2 + x2
+ (sin (α) y + cos (α) x) U −declare(z,complex);declare(F,complex);
assume(r>0);F0:U*%e^(-%i*\alpha)*z;Ψ=Γ atan2 (y, x)
2π(5.3.13)(sin (α) x − cos (α) y) A2 U
y 2 + x2()
Γ log y 2 + x2
+ (cos (α) y − sin (α) x) U +4π(5.3.14)subst([z=A^2/conjugate(z)],F0);
F1:conjugate(%);
F2:%i*\Gamma/2/%pi*log(z);F3:F=F0+F1+F2;
F4:subst([z=r*%e^(%i*\theta)],F3);

VT1:v[\theta]=’diff(\Phi,\theta,1)/r;

PH1:\Phi=realpart(rhs(F4));

subst([PH1],VT1);

PS1:\Psi=imagpart(rhs(F4));ev(%,diff);

F5:F4:subst([z=x+%i*y],F3);
PH2:\Phi=realpart(rhs(F5));

VT2:expand(subst([r=A],%));
P0:p[0]+\rho/2*U^2=p+\rho/2*v[\theta]^2;

PS2:\Psi=imagpart(rhs(F5));一様流の複素関数：F0 は下記となる。

solve(P0,p)[1];P1:subst([VT2],%);
FX1:F[x]=-’integrate(rhs(P1)*cos(\theta)*A,

F0 = e−i α z U\theta,0,2*%pi);
この流れの中に円柱を置いたときの複素関数：F1 は、円定理の (5.1.51) 式から、(
F1 = f

R2
z

FY1:F[y]=-’integrate(rhs(P1)*sin(\theta)*A,\theta,0,2*%pi);

)

(
=f

R2
z

)

factor(ev(FX1,integrate));factor(ev(FY1,integrate));P2:(lhs(P1)-p[0])/(1/2*\rho*U^2)=(rhs(P1)

一様流の複素関数：F0 でz→

A2
conjugate (z)-p[0])/(1/2*\rho*U^2);
P3:lhs(P2)=expand(rhs(P2));
P4:subst([\Gamma=0],P3);

第 5 章 2 次元完全流体

122
円柱に作用する力を求める。r = A における円柱表面の流速は複素関数を微分して、下記のように得られる。こ流速 vθ は、の結果から Maxima の流向を表示できる plotdf では、dvθ = d θrxy 座標表記が要求されるので、表現式も xy 座標表記と

Φ

した。
2

A U
− sin(θ−α)− r sin (θ − α) U − 2ΓπrrΓ= − 2 sin (θ − α) U −2πA=e i α A2 U
iΓ
d
F =−
+ e−i α U +
dz
z2
2πz
e i α A2 U
iΓ
−i α
=−
U+
2 +e
2 π (i y + x)
(i y + x)(5.3.15)

下記に Bernoulli の定理から、
2=vx − i vy

ρ vθ2

ρU
+ p0 =+p22(

円柱表面の圧力：p は

vx = −

ρ U 2 − ρ vθ2 + 2 p0
p=
2
(
)2
−ρ −2 sin (θ − α) U − 2 πΓ A + ρ U 2 + 2 p0
=
2

vy =

円柱に作用する力は、圧力：p を円周方向に積分して、
∫ 2π
∫ 2π
Fx = −
p cos (θ) Adθ, Fy = −p sin (θ) Adθ
0

上式に圧力：p を代入し、まとめ、円柱に作用するとからは下記となる。

2(y 2 + x2 )Γy+ cos (α) U +2 π (y 2 + x2 )
(

0

)
)
(
cos (α) x2 − y 2 + 2 sin (α) x y A2 U))(
sin (α) x2 − y 2 − 2 cos (α) x y A2 U
2(y 2 + x2 )Γx+ sin (α) U −2 π (y 2 + x2 )

流線については、各点における流れ関数の値を求め、同じ値のところを結ぶ：等高線図を求めると流線となる。

Fx = −sin (α) Γ ρ U,

Fy = cos (α) Γ ρ U

しかし、Maxima の作図機能ではうまく描けなかったので、gnuplot を使用して描いた。下記は gnuplot で使用

円柱の圧力分布は、する流れ関数を求めた。

2 Γ sin (θ − α)Γ22 (p − p0 )
=
−
−
ρ U2
πAU
4 π 2 A2 U 2

Ψ=y−

2

− 4 sin (θ − α) + 1

yy 2 + x2)2(Γ = 0)(7 log y 2 + x
y
− 2
+y
4π
y + x2()
7 log y 2 + x2
y
Ψ=
− 2
+y
2π
y + x2Ψ=

渦循環がない場合の円柱の圧力分布は、

2 (p − p0 )2
= 1 − 4 sin (θ − α)ρ U2

(Γ = 7)(Γ = 14)gnuplot を起動させ、下記を入力すると流れ関数の等高FD1:diff(rhs(F3),z,1);FD2:subst([z=x+%i*y],FD1);
VX1:realpart(FD2);

線図：流線が得られる。
#!/gnuplot

VY1:-imagpart(FD2);

set xrange [-3:3]
set yrange [-3:3]

VX2:subst([\alpha=0,A=1,U=1,\Gamma=14,

set isosamples 150,150\theta=t],VX1);VY2:subst([\alpha=0,A=1,U=1,\Gamma=14,\theta=t],VY1);

set contour baseset cntrparam levels incremental -3,0.2,4
unset key

plotdf([VX2,VY2],[x,-4,4],[y,-4,4])

unset surface

PS31:subst([\alpha=0,A=1,U=1,\Gamma=0],

set view map

PS2);

splot (7*log(y**2+x**2))/(2*pi)-y/(y**2+x**2)+y

PS32:subst([\alpha=0,A=1,U=1,\Gamma=7],
PS2);
PS33:subst([\alpha=0,A=1,U=1,\Gamma=14],
PS2);

#

EOF

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

123

図 5.3.8: 一様流中の円柱まわりの流向：α = 0, A =1, U = 1, Γ = 7
図 5.3.5: 一様流中の円柱まわりの流れ関数：α = 0, A =1, U = 1, Γ = 0

図 5.3.6: 一様流中の円柱まわりの流向：α = 0, A =図 5.3.9: 一様流中の円柱まわりの流れ関数：α = 0, A =1, U = 1, Γ = 0

1, U = 1, Γ = 14

図 5.3.10: 一様流中の円柱まわりの流向：α = 0, A =1, U = 1, Γ = 14
図 5.3.7: 一様流中の円柱まわりの流れ関数：α = 0, A =1, U = 1, Γ = 7

第 5 章 2 次元完全流体

124

例題 5.3.5 一様流中の楕円柱まわりの流れ・
作用力・運動エネルギー (Joukowski 変換)

Z2:subst([ZT2,Z0],Z1);x 軸と α の角度を持ち、流速：U の一様な流れに中に、

Y1:imagpart(Z2);

半軸：a, b の楕円柱を置いたときの流れを z 平面の楕円

CO1:solve(X1,cos(\eta))[1];

外部領域を ζ 平面の半径：R の円外部領域に写像変換：

SI1:solve(Y1,sin(\eta))[1];

Joukowski 変換することにより求める。

COSI1:cos(\eta)^2+sin(\eta)^2=1;

X1:realpart(Z2);

COSI2:subst([CO1,SI1],COSI1);COSI3:x^2/a^2+y^2/b^2=1;
A1:first(lhs(COSI2))=last(lhs(COSI3));
B1:last(lhs(COSI2))=first(lhs(COSI3));
A2:solve(A1,a)[2];B2:solve(B1,b)[2];AB1:solve([A1,B1],[R,A])[2];R2:AB1[1];図 5.3.11: 一様流中の楕円柱まわりの流れ (Joukowski
変換)

A2:AB1[2];R, A と a, b の関係式を求める。(5.3.16) 式に下記の関係
式を代入し、/* 楕円柱まわりの流れ (Joukowski 変換) */kill(all);declare(z,complex);ζ = ei η σ,z = iy + x

境界である σ = R とし下記を得る。

i y + x = ei η R +declare(F,complex);declare(\zeta,complex);e−i η A2R

上式の実部、虚部から、

assume(a>0);
assume(b>0);
assume(\sigma>0);
assume(z^2>A^2);
Z0:z=x+%i*y;x = cos (η) R +cos (η) A2
R

y = sin (η) R −sin (η) A2
R

下記の関係式に代入し、

Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;
ZT1:\zeta=\sigma*%e^(%i*\eta);22

sin (η) + cos (η) = 1

ZT2:\zeta=R*%e^(%i*\eta);
F0:U*%e^(-%i*\alpha)*\zeta;

下記の楕円の関係式を得る。

subst([\zeta=R^2/conjugate(\zeta)],F0);x2 R 2y 2 R2+2
2 =1(R2 + A2 )(R2 − A2 )F1:conjugate(%);
F3:F=F0+F1;
F4:subst([ZT1],F3);

半軸：a, b の楕円の関係式から、写像関数を下記とする。

z=ζ+

A2
ζ

y2
x2
+
=1
b2
a2
(5.3.16)(5.3.10) 式から ζ 平面で流速：U の一様な流れに中に半
径：R の円柱を置いたときの複素ポテンシャルは下記となる。

F = e−i α U ζ +ei α R2 U
ζ(5.3.17)

R, A と a, b の関係は下記となる。
√
b+aa2 − b2
R=
, A=
2
2

(5.3.18)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

125(1) 複素ポテンシャルと流れ関数次式が得られる。

√

z 2 − 4 A2 + z = − √4 A2
z 2 − 4 A2 − z

ZT20:solve(Z1,\zeta);
ZT21:ZT20[1];上式を (5.3.21) 式に代入し、別の z 平面の複素ポテン

ZT22:ZT20[2];シャルを得る。

ZT23:(rhs(ZT21)*rhs(ZT22));
ZT23=expand(ZT23);

F =ZT24:%/rhs(ZT21)*2;
F40:subst([ZT22],F0);
F41:subst([ZT22],F1);)z 2 − 4 A2 + z U
2
(√
)
ei α
z 2 − 4 A2 − z R 2 U
−
2 A2

e−i α

(√

(5.3.22)

級数展開するのに便利なように、下記の関係式を
(√
)
√
4 A2
2
2
z − 4A + z = z
1− 2 +1z

F42:subst([ZT24],%);
F43:F=F40+F41;
F44:F=F40+F42;
SQ1:sqrt(z^2-4*A^2)+z;
SQ11:SQ1=z*(1+sqrt(1-4*A^2/z^2));
SQ3:1/SQ1;√z 2 − 4 A2 − z = z

(√

)
4 A2
1− 2 −1z

SQ5:sqrt(z^2-4*A^2)-z;
SQ51:SQ5=z*(sqrt(1-4*A^2/z^2)-1);
F401:subst([SQ11],F40);
F411:subst([SQ11],F41);
F421:subst([SQ51],F42);
F431:F=F401+F411;
F441:F=F401+F421;
PS1:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,R2,A2],rhs(F431)));
subst([a=2,b=1,U=1,\alpha=%pi/6],PS1);
trigsimp(%);
PS2:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,R2,A2],rhs(F441)));
trigsimp(%);

図 5.3.12: 一様流中の楕円柱まわりの流れ (Joukowski

subst([a=2,b=1,U=1,\alpha=%pi/6],PS2);

変換)(5.3.23) 式による：α = 30◦ , a = 2, b = 1, U = 1

trigsimp(%);(5.3.16) 式を ζ で解くと、√
z 2 − 4 A2 − zζ=−(5.3.19)2√z 2 − 4 A2 + z
ζ=(5.3.20)2
外部領域である z 2 >> A2 では、(5.3.20) 式が外部領域に対応していることが明らかで、この式を (5.3.17) 式のζ 平面の複素ポテンシャルに代入し、z 平面の複素ポテ
ンシャルを下記に得る。

e−i α
2 ei α R 2 U+
F =√z 2 − 4 A2 + z(√)
z 2 − 4 A2 + z U
2(5.3.21)

下記に関係から、) (√)(√
z 2 − 4 A2 − z
z 2 − 4 A2 + z
−
= A2
4

図 5.3.13: 一様流中の楕円柱まわりの流れ (Joukowski
変換)(5.3.24) 式による：α = 30◦ , a = 2, b = 1, U = 1

第 5 章 2 次元完全流体

126(5.3.21) 式に代入し、
2 ei α R 2 U)+
F = (√
4 A2z
1 − z2 + 1

e−i α z(√)
1 − 4zA2 + 1
2

U(5.3.23)2(5.3.22) 式に代入し、
e

−i α

(√
z

)
2
1 − 4zA2 + 1

F =

2

U

e

iα

−

(√
)
4 A2
z
1 − z 2 − 1 R2 U
(5.3.24)

2 A2

流れ関数は z = i y + x を複素ポテンシャルの式に代入し、その虚部として得られる。(5.3.23) 式の複素ポテンシャ
ルから得られる流れ関数は記述が長いため省く。(5.3.24) 式の複素ポテンシャルから得られる流れ関数を下記に
示す。

(
Ψ=

( 4 ( 2)())1
y + 2 x − 2 b2 + 2 a2 y 2 + x4 + 2 b2 − 2 a2 x2 + b4 − 2 a2 b2 + a4 4
( 2)(2 b −2 a2 ) x y y4 +(2 x2 −b2 +a2 ) y2 +x4 +(b2 −a2 ) x2(
y 4 +2 x2 y 2 +x4
 atan2 y4 +2 x2 y2 +x4 ,
× (a sin (α) y − cos (α) b x) sin 


2


(

 atan2+ (cos (α) b y + a sin (α) x) cos (2 b2 −2 a2 ) x y

y 4 +(2 x2 −b2 +a2 ) y 2 +x4 +(b2 −a2 ) x2
y 4 +2 x2 y 2 +x4 ,y 4 +2 x2 y 2 +x4

2

)
)
 U


) (
(
)1
(
)1 )
+ (−a cos (α) y − sin (α) b x) y 4 + 2 x2 y 2 + x4 4 U / (b − a) y 4 + 2 x2 y 2 + x4 4
上記の流れ関数から得られる流線を前頁に示す。

(2) 楕円柱に作用する力

DF435:’diff(F,z,1)=DF4311+DF4321+DF4331+DF4341;/* 作用する力 */DF436:expand(rhs(DF435)^2);

DF43:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F431),z,1);

F[x]-%i*F[Y]=%i*\rho/2*(2*%pi*%i)DF431:first(rhs(DF43));*residue(%,z,0);DF432:last(rest(rhs(DF43),-2));

DF437:expand(rhs(DF435)^2*z);DF433:first(rest(rhs(DF43),2));

M+%i*N=-\rho/2*(2*%pi*%i)*residue(%,z,0);DF434:last(rhs(DF43));

realpart(%);

SQR1:1/(sqrt(1-(4*A^2)/z^2)+1);

factor(trigexpand(%));

SQR1=rest(taylor(SQR1,A,0,8),-1);

subst([A2],%);(5.3.23) 式の複素ポテンシャルを z で微分し、SQR11:1/%;
DF4311:expand(subst([SQR11],DF431));
SQR2:1/(sqrt(1-(4*A^2)/z^2)*(sqrt(1-(4*A^2)/z^2)+1)^2);
SQR2=rest(taylor(SQR2,A,0,8),-1);
DF4321:expand(num(DF432)*rhs(%)/z^4);
SQR3:sqrt(1-(4*A^2)/z^2)+1;
SQR31:SQR3=rest(taylor(SQR3,A,0,8),-1);
DF4331:expand(subst([SQR31],DF433));
SQR4:1/(sqrt(1-(4*A^2)/z^2));
SQR4=rest(taylor(SQR4,A,0,8),-1);
SQR41:1/%;
DF4341:expand(subst([SQR41],DF434));

d
F =−
dz

2 ei α R 2 U
(√
)
4 A2
2
z
1 − z2 + 1

8 e i α A2 R 2 U
(√
)2
√
2
2
z 4 1 − 4zA2
1 − 4zA2 + 1
(√
)
2
e−i α
1 − 4zA2 + 1 U
2 e−i α A2 U
+
+ √
2
2
z 2 1 − 4zA2−

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

127

上式の下記の部分を級数展開し、

√

1

=

1 − 4zA2 + 1
2

√
1−

5 A6
A4
A2
1
+ 4 +
+ ,
6
2z
z
2 z2
2

√

1
14 A6
15 A4
A2
1
+
+ 2 +
(√
)2 =
6
4
z
4
z
z
4
2
2
1 − 4zA2
1 − 4zA2 + 1

4 A2
4 A6
2 A4
2 A2
+
1
=
−
−
−
+ 2,
z2
z6
z4
z2

√

1

=

1 − 4zA2

2

20 A6
6 A4
2 A2
+
+
+1
z6
z4
z2

上記展開式を代入し、

d112 ei α A8 R2 U
35 ei α A6 R2 U
10 ei α A4 R2 U
3 e i α A2 R 2 U
ei α R 2 U
F =−
−
−
−
−
dz
z 10
z8
z6
z4
z2
40 e−i α A8 U
10 e−i α A6 U
3 e−i α A4 U
e−i α A2 U++++
+ e−i α U
z8
z6
z4
z2
(5.1.59) 式に (5.3.25) 式を代入し、楕円柱に作用する力：Fx , Fy は、

Fx − i F y =

iρ
2

I (

d
F
dz

)2
dz = 0(5.3.26)(5.3.24) 式の複素ポテンシャルを z で微分し、

d
F =−
dz

(5.1.60) 式に (5.3.25) 式を代入し、楕円柱に作用するモー
メント：M は、
(
)2 )
I (
d
ρ
z
F dz
M =ℜe −2dz()
= − π cos (α) sin (α) a2 − b2 ρ U 2(5.3.25)

−

e

iα

(√

)
2
1 − 4zA2 − 1

R2 U

2 A2
iα

2

2e R U√2
1 − 4zA2
(√
)
2
e−i α
1 − 4zA2 + 1 U
z2(5.3.27)+22 e−i α A2 U
+ √2
z 2 1 − 4zA2

DF44:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F441),z,1);DF441:first(rhs(DF44));

上式の下記の部分を級数展開し、√

DF442:last(rest(rhs(DF44),-2));

1−

DF443:first(rest(rhs(DF44),2));
DF444:last(rhs(DF44));
SQR5:sqrt(1-(4*A^2)/z^2);
SQR51:SQR5=rest(taylor(SQR5,A,0,8),-1);
DF4411:expand(subst([SQR51],DF441));
DF4421:expand(subst([SQR41],DF442));
DF4431:expand(subst([SQR51],DF443));
DF4441:expand(subst([SQR41],DF444));
DF445:’diff(F,z,1)=DF4411+DF4421+DF4431+DF4441;
DF446:expand(rhs(DF445)^2);

4 A2
4 A6
2 A4
2 A2
=
−
−
−
+1
z2
z6
z4
z2

上記展開式および前述の展開式を代入し、

d40 ei α A6 R2 U
10 ei α A4 R2 U
F =−
−
dz
z8
z6
iα 2 2iα 2
3e A R U
e R U
−
−
z4
z2
40 e−i α A8 U
10 e−i α A6 U
+
+
z8
z6
−i α 2−i α 4
e
A U
3e
A U
+
+ e−i α U+
z4
z2
(5.3.28)F[x]-%i*F[Y]=%i*\rho/2*(2*%pi*%i)*residue(%,z,0);(5.1.59) 式に (5.3.28) 式を代入し、楕円柱に作用する

DF447:expand(rhs(DF445)^2*z);

力：Fx , Fy および (5.1.60) 式に (5.3.28) 式を代入し、楕

M+%i*N=-\rho/2*(2*%pi*%i)*residue(%,z,0);
realpart(%);

円柱に作用するモーメント：M は前述の結果と一致す

factor(trigexpand(%));

ントは時計回りで迎角をさらにつける方向に作用してsubst([A2],%);いる。

る。この結果から、楕円柱に作用する力は零で、モーメ

第 5 章 2 次元完全流体

128(3) 運動エネルギー

運動エネルギーは次の (A.5.3) 式で得られる。ここでddd n Φ = − d s Ψ から次式となる。ここで流体を囲む、無/* 運動エネルギー */限遠の積分：∞ と物体表面の積分：B になるが、無限F11:F=F0+F1-U*%e^(-%i*\alpha)*z;

遠の積分は零となるので、物体表面の積分のみが残る。

expand(subst([Z1],F11));

)2 (
)2
d
d
Φ +
Φ dxdy
dy
dx
I
ρ
d
=−
Φ
Φ ds
2
dn
I
I
ρ
ρ
Φd Ψ −
Φd Ψ
=
2 ∞
2 B

F12:expand(subst([ZT1],%));

ρ
T =
2

PH1:\Phi=realpart(rhs(F12));
PS1:\Psi=imagpart(rhs(F12));
DPS1:’diff(\Psi,\eta)=diff(rhs(PS1),\eta,1);
PHS1:rhs(PH1)*rhs(DPS1);∫∫ ((5.3.29)

PHS2:subst([\sigma=R],PHS1);

積分の容易さから、ζ 平面の複素ポテンシャルを使用す

T1:T=-\rho/2*integrate(PHS2,\eta,0,2*%pi);

る。上式から運動エネルギーの計算に使用する複素ポテ

subst([A2,R2],T1);

ンシャルは一様流成分を除く必要があり、(5.3.17) 式にtrigexpand(%);

その成分を引き、次式となる。さらに写像関数：(5.3.16)

T2:factor(%);

式から、

T3:factor(subst([cos(\alpha)=V[x]/U,
sin(\alpha)=V[y]/U,U^2=V[x]^2+V[y]^2],T2));

F = e−i α U ζ +ei α R 2 U
ei α R 2 U
e−i α A2 U
− e−i α z U =−ζζζζ = ei η σ, を代入し、

e−i η−i α A2 U
ei α−i η R2 U−σσ
上式から、速度ポテンシャル：Φ、流れ関数：Ψ は、
F = Φ + iΨ =

Φ=cos (η − α) R2 U
cos (η + α) A2 U
−
,
σ
σ

Ψ=

sin (η + α) A2 U
sin (η − α) R2 U−σσdcos (η + α) A2 U
cos (η − α) R2 U
Ψ=
−
dη
σ
σ
運動エネルギーは上式を (5.3.29) 式に代入し、
(
)
2
2
2
2
∫
π sin (α) b2 − cos (α) b2 − b2 − a2 sin (α) + a2 cos (α) − a2 ρ U 2
ρ 2π dΨdη = −
T =−
Φ
2 0
dη
4
一様流速：U の x 成分：Vx 、y 成分：Vy とすると、下記の関係から、

cos (α) =運動エネルギーはVx
Vy 2, sin (α) =, U = Vy2 + Vx2
UU()
π ρ a2 Vy2 + b2 Vx2
T =2(5.3.30)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.6 運動する楕円柱まわりの流体運動
エネルギー (楕円座標変換)

129
数：Ψ との関係は、

vx =

半軸：a, b の楕円柱が x 軸方向に VX 、y 軸方向に VY で動き、角速度: ω で回転する。この楕円柱まわりの流体

d
Ψ,
dy

vy = −dΨdx

運動との関係は、の運動エネルギーを楕円座標変換により求める1 。

vx = VX − ω y,vy = VY + ω x

これらを等しい置き、積分すると、dΨ = VX − ω y,dy

Ψx = y VX −

ω y2
2

d
ω x2
Ψ = VY + ω x, Ψy = −x VY −dx
2
以上から、境界条件は下記となる。
−

Ψ = −x VY + y VX −

ω y2
ω x2
−
2
2

(5.3.31)(2) 各種関係式
図 5.3.14: 運動する楕円柱まわりの流体運動エネルギー(楕円座標変換)/* 楕円関係式 */Z1:z=C*cosh(\zeta);
Z11:cosh(\zeta)=z/C;(1) 境界条件

ZT1:\zeta=\xi+%i*\eta;/* 運動する楕円柱まわりの流体運動エネルギー (楕Z2:z=x+%i*y;
Z3:subst([Z2,ZT1],Z1);

円座標変換)

X1:realpart(Z3);*/kill(all);Y1:imagpart(Z3);declare(z,complex);

S1:sin(\eta)^2+cos(\eta)^2=1;

declare(\zeta,complex);

S1S:solve(S1,sin(\eta)^2)[1];declare(F,complex);

S2:cosh(\xi)^2-sinh(\xi)^2=1;

assume(C>0);S2S:solve(S2,sinh(\xi)^2)[1];

assume(\xi[0]>0);

subst([\xi=\zeta],S2);assume(a>0);

subst([Z11],%);

assume(b>0);

Z12:solve(%,sinh(\zeta))[2];

assume(a>b);

Z13:%e^(\zeta)=cosh(\zeta)+sinh(\zeta);/* 境界条件 */Z14:%e^(-\zeta)=cosh(\zeta)-sinh(\zeta);

VX1:v[x]=’diff(\Psi,y,1);

Z15:subst([Z11,Z12],Z13);

VY1:v[y]=-’diff(\Psi,x,1);

Z16:subst([Z11,Z12],Z14);

VX2:v[x]=V[X]-y*\omega;

S11:solve(X1,cos(\eta))[1];VY2:v[y]=V[Y]+x*\omega;

S12:solve(Y1,sin(\eta))[1];VX3:rhs(VX1)=rhs(VX2);

S21:solve(X1,cosh(\xi))[1];VX4:\Psi[x]=integrate(rhs(VX3),y,1);S22:solve(Y1,sinh(\xi))[1];VY3:rhs(VY1)=rhs(VY2);

S3:subst([S11,S12],S1);

VY4:\Psi[y]=-integrate(rhs(VY3),x,1);

S4:subst([S21,S22],S2);

PS0:\Psi=rhs(VX4)+rhs(VY4);物体の境界条件について検討する。物体表面上のある点

XI1:\xi=\xi[0];の運動による速度を vx , vy とする。この速度と流れ関S31:subst([XI1],S3);
A1:a=sqrt(denom(last(lhs(S31))));
B1:b=sqrt(denom(first(lhs(S31))));
A2:cosh(xi[0])=a/C;

1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.83

71.

B2:sinh(xi[0])=b/C;

第 5 章 2 次元完全流体

130
subst([\xi=\xi[0]],S2);y2subst([A2,B2],%*C);2sinh (ξ0 ) C 2

C1:expand(%*C);

+

x2
2

cosh (ξ0 ) C 2=1

上記から、楕円の半軸：a, b との関係式が得られる。

C2:solve(C1,C)[2];AB1:A1+B1;

a = cosh (ξ0 ) C,

AB2:A1-B1;

b = sinh (ξ0 ) Ca,C
また、次式の関係から、
cosh (ξ0 ) =AB1/AB2;
trigrat(%);

sinh (ξ0 ) =bClog(rhs(%))=log(lhs(%));
2

2

cosh (ξ0 ) − sinh (ξ0 ) = 1

XI1:%/2;
楕円座標変換式は、下記を得る。

z = C cosh (ζ)(5.3.32)a 2 − b2 = C 2 ,上式に次式を代入すると、C=√

a2 − b2(5.3.34)

更に、下記の関係から、

ζ = ξ + i η,z = iy + x
b+asinh (ξ0 ) C + cosh (ξ0 ) C== e2 ξ0a−bcosh (ξ0 ) C − sinh (ξ0 ) C

i y + x = cosh (ξ + i η) C

上式から、上式の実部、虚部は、

x = cos (η) cosh (ξ) C,

ξ0 =y = sin (η) sinh (ξ) C(5.3.33)

また。下記の関係がある。
2

)
(
b+a
log − b−a2

(5.3.35)(3)VX , VY による運動エネルギー2

cosh (ζ) − sinh (ζ) = 1/*

上式と (5.3.31) 式から下記の関係を得る。
√
z2 − C 2zcosh (ζ) = , sinh (ζ) =CC(rhs(PS0),-2)));
F1:F[1]=-D[1]*%e^(-(\xi+%i*\eta));
PS1:\Psi[1]=imagpart(rhs(F1));
rhs(PS0X)=rhs(PS1);

上式と下記と関係から、

eζ = sinh (ζ) + cosh (ζ) ,√z2 − C 2
z
ζ
e =
+ ,
C
C
(5.3.33) 式から

x 方向 */

PS0X:\Psi[x0]=subst([Y1],first(reste−ζ = cosh (ζ) − sinh (ζ)√
zz2 − C 2
−ζ
e =
−
C
C

subst([\xi=\xi[0]],%);
solve(%,D[1])[1];
subst([B2,C2],%);
D1:radcan(subst([XI1],%));
PS11:\Psi[x1]=subst([D1],rhs(PS1));xcos (η) =,cosh (ξ) Cysin (η) =sinh (ξ) C

F11:subst([D1],F1);xcosh (ξ) =,cos (η) Cysinh (ξ) =sin (η) C\Psi[x1]=imagpart(rhs(F11));(5.3.31) 式の x 方向の境界条件：y VX に (5.3.33) 式を代入し下記の境界条件を得る。

下記の関係式に代入し、
22

sin (η) + cos (η) = 1,22cosh (ξ) − sinh (ξ) = 1

下記の関係式を得る。

y2sinh (ξ)
x

C2

2
2

cos (η)

C2

+
−

x

2

cosh (ξ)
yC2=1

また、流れ関数：Ψ1 は、

F1 = −D1 e−ξ−i η ,Ψ1 = D1 sin (η) e−ξ22sin (η) C 2=1

楕円上である ξ = ξ0 を上式に代入し、下記の楕円の式を得る。

Ψx0 = sin (η) sinh (ξ) C VX
上式を参考に下記の複素ポテンシャル：F1 を導入する。

2
2

PH11:\Phi[x1]=realpart(rhs(F11));

上式の流れ関数と境界条件が等しいとし、

sin (η) sinh (ξ) C VX = D1 sin (η) e−ξ5.3. 二次元完全流体の簡単な例

131√
a b + a cos (η) e−ξ VY√Ψ2 = −a−b

D1 を求め、(5.3.34) 式、(5.3.35) 式を代入し、√
b b + a VX
ξ0
D1 = e sinh (ξ0 ) C VX = √a−b/* x-y 方向運動エネルギー */上式を複素ポテンシャル：F1 に代入し、速度ポテンシャ
ル：Φ1 、流れ関数：Ψ1 は、√
b b + a e−ξ−i η VX√
F1 = −a−b√b b + a cos (η) e−ξ VX√
Φ1 = −a−b√b b + a sin (η) e−ξ VX
√
Ψ1 =
a−b

/*

(5.3.39)

PH3:\Phi=rhs(PH11)+rhs(PH21);
PS3:\Psi=rhs(PS11)+rhs(PS21);
DPS3:diff(rhs(PS3),\eta,1);
rhs(PH3)*DPS3;
DI1:subst([\xi=\xi[0]],%);(5.3.36)

T1:T=-\rho/2*integrate(DI1,\eta,0,%pi*2);
subst([%e^(2*xi[0])=-(b+a)/(b-a)],%);(5.3.37)y 方向 */

PS0Y:\Psi[y0]=subst([X1],last(rest(rhs(PS0),-2)));

T2:factor(%);(5.3.36) 式、(5.3.38) 式から VX , VY による速度ポテン
シャルは、
√
√
a b + a sin (η) e−ξ VY b b + a cos (η) e−ξ VX
√
√
Φ=−
−
a−b
a−b

subst([A2,C2],%);(5.3.37) 式、(5.3.39) 式から VX , VY による流れ関数は、√√
b b + a sin (η) e−ξ VX a b + a cos (η) e−ξ VY
√
√
−
Ψ=
a−b
a−b
√
√
d
a b + a sin (η) e−ξ VY b b + a cos (η) e−ξ VX
√
√
Ψ=
+
dη
a−b
a−b

D2:radcan(subst([XI1],%));(5.3.29) 式から、ξ = ξ0 として、下記の積分をして VX , VY

PS21:\Psi[y2]=subst([D2],rhs(PS2));による運動エネルギーを得る。

F2:F[2]=-%i*D[2]*%e^(-(\xi+%i*\eta));PS2:\Psi[2]=imagpart(rhs(F2));
rhs(PS0Y)=rhs(PS2);
subst([\xi=\xi[0]],%);
solve(%,D[2])[1];F21:subst([D2],F2);

ρ
T =−
2

PH21:\Phi[y2]=realpart(rhs(F21));\Psi[y2]=imagpart(rhs(F21));(5.3.31) 式の y 方向の境界条件：−x VY に (5.3.33) 式を代入し下記の境界条件を得る。

Ψy0 = −cos (η) cosh (ξ) C VY
上式を参考に下記の複素ポテンシャル：F2 を導入する。
また、流れ関数：Ψ2 は、

F2 = −i D2 e−ξ−i η ,Ψ2 = −D2 cos (η) e−ξ

上式の流れ関数と境界条件が等しいとし、−cos (η) cosh (ξ) C VY = −D2 cos (η) e−ξ
D2 を求め、(5.3.34) 式、(5.3.35) 式を代入し、√
a b + a VY
D2 = eξ0 cosh (ξ0 ) C VY = √a−b
上式を複素ポテンシャル：F2 に代入し、速度ポテンシャ
ル：Φ2 、流れ関数：Ψ2 は、√
i a b + a e−ξ−i η VY√
F2 = −a−b√
a b + a sin (η) e−ξ VY√Φ2 = −
a−b(5.3.38)

∫ 2π
0

)
(
π ρ a2 VY2 + b2 VX2
d
Ψdη =
Φ
dη
2
(5.3.40)

第 5 章 2 次元完全流体

132

D4 を求め、(5.3.34) 式、(5.3.35) 式を代入し、(4) 回転による運動エネルギー

2

D4 =

/* 回転方向 */PS0W:\Psi[\omega]=subst([X1,Y1]

e 2 ξ0 ω C 2(b + a) ω=44

上式を複素ポテンシャル：F4 に代入し、速度ポテンシャ,rest(rhs(PS0),2));

ル：Φω 、流れ関数：Ψω は、

PS0W1:expand(trigrat(%));

i (b + a) ω e−2 (ξ+i η)
42

F4 = −

S5:cosh(\xi)=(%e^(\xi)+%e^(-\xi))/2;
subst([\xi=2*\xi],S5);Φω = −(b + a) sin (2 η) ω e−2 ξ4Ψω = −(b + a) cos (2 η) ω e−2 ξ42

S51:%e^(2*xi)=2*cosh(2*xi)-%e^(-2*xi);
PS0W2:lhs(PS0W1)=expand(subst([S51],first(
rhs(PS0W1)))+rest(rhs(PS0W1),1));F4:F[4]=-%i*D[4]*%e^(-2*(\xi+%i*\eta));2

rhs(PS0W2)=rhs(PS4);d(b + a) sin (2 η) ω e−2 ξ
Ψω =
dη
2

subst([\xi=\xi[0]],%);(5.3.29) 式から、ξ = ξ0 として、下記を積分して、回転rhs(%)-lhs(%)=0;による運動エネルギーを得る。
∫
d
ρ 2π
Φω
Ψω dη
T =−
2 0
dη

2

PS4:\Psi[4]=imagpart(rhs(F4));

coeff(%,cos(2*\eta));
D4:solve(%,D[4])[1];
D41:factor(subst([XI1,C2],D4));

π e−4 ξ0 (b + a) ω 2 ρ
1622
π (b − a) (b + a) ω 2 ρ
=
16
4

=

F41:subst([D41],F4);
PH41:\Phi[\omega]=realpart(rhs(F41));
PS41:\Psi[\omega]=imagpart(rhs(F41));
DPS41:diff(rhs(PS41),\eta,1);
rhs(PH41)*DPS41;
DI1:subst([\xi=\xi[0]],%);
T1:T=-\rho/2*integrate(DI1,\eta,0,%pi*2);
subst([XI1],%);
2

2(5.3.31) 式の回転方向の境界条件：− ω 2y − ω 2x に (5.3.33)
式を代入し下記の境界条件を得る。これを整理して、
2

2

2

2

sin (η) ω sinh (ξ) C 2
cos (η) ω cosh (ξ) C 2−22
ω e−2 ξ C 2
cos (2 η) ω C 2
ω e2 ξ C 2
−
−
=−
8
8
4
ω cosh (2 ξ) C 2
cos (2 η) ω C 2
=−
−
4
4

Ψω = −

上式を参考に下記の複素ポテンシャル：F4 を導入する。
また、流れ関数：Ψ4 は、

F4 = −i D4 e−2 (ξ+i η) ,

Ψ4 = −D4 cos (2 η) e−2 ξ

上式の流れ関数と境界条件が等しいとし、−

ω cosh (2 ξ) C 2 cos (2 η) ω C 2−= −D4 cos (2 η) e−2 ξ44ξ = ξ0 とし、
cos (2 η) ω C 2 cosh (2 ξ0 ) ω C 2 −2 ξ0+−e
D4 cos (2 η) = 0
4
4
左辺第２項は定数であり、流れ関数の式から省くことが
でき、

ω C2
− e−2 ξ0 D4 = 0
4(5.3.41)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.7
換)

平板をすぎる流れ (Joukowski 変

133
COSI1:cos(\eta)^2+sin(\eta)^2=1;
COSI2:subst([CO1,SI1],COSI1);

ζ 平面上で円に対し流向：α の流場を x 軸上 −1 → 1 のCOSI3:x^2/a^2+y^2/b^2=1;

平板および y 軸上 −i → i に変換する写像関数とそれらA1:first(lhs(COSI2))=last(lhs(COSI3));の流場を求める。

B1:last(lhs(COSI2))=first(lhs(COSI3));
A2:solve(A1,a)[2];B2:solve(B1,b)[2];AB1:solve([A1,B1],[R,A])[2];R2:AB1[1];A2:AB1[2];例題 5.3.5 の結果を基に解く。(5.3.16) 式から写像関数を下記とする。

z=ζ+

A2
ζ

ζ 平面で流速：U の一様な流れに中に半径：R の円柱を置いたときの複素ポテンシャルは (5.3.17) 式から下記となる。

F = e−i α U ζ +ei α R 2 Uζ

半軸：a, b の楕円の関係式から、

x2
y2
+
=1
b2
a2
図 5.3.15: 平板をすぎる流れ

R, A と a, b の関係は (5.3.18) 式から下記となる。
√
b+aa2 − b2
R=
, A=
2
2

/* 平板をすぎる流れ (Joukowski 変換) */kill(all);

F442:F=(%e^(-%i*alpha)*(sqrt(1-(a^2-b^2)

declare(z,complex);/z^2)+1)*z*U)/2-(%e^(%i*alpha)*(b+a)^2

declare(F,complex);*(sqrt(1-(a^2-b^2)/z^2)-1)*z*U)

declare(\zeta,complex);
assume(a>0);/(2*(a^2-b^2));
AB2:subst([b=0],AB1);

assume(b>0);

R3:AB2[1];assume(\sigma>0);
assume(z^2>A^2);

A3:AB2[2];Z0:z=x+%i*y;PS2:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y],Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;

Z3:subst([R3,A3,a=2],Z1);
rhs(F442)));

ZT1:\zeta=\sigma*%e^(%i*\eta);

subst([a=2,b=0,U=1,\alpha=%pi/2],PS2);

ZT2:\zeta=R*%e^(%i*\eta);

trigsimp(%);

F0:U*%e^(-%i*\alpha)*\zeta;

subst([a=2,b=0,U=1,\alpha=%pi/4],PS2);

subst([\zeta=R^2/conjugate(\zeta)],F0);

trigsimp(%);

F1:conjugate(%);

AB3:subst([a=0],AB1);

F3:F=F0+F1;

R4:AB3[1];F4:subst([ZT1],F3);

A4:AB3[2];Z2:subst([ZT2,Z0],Z1);

Z4:subst([R4,A4,b=2],Z1);

X1:realpart(Z2);subst([a=0,b=2,U=1,\alpha=0],PS2);

Y1:imagpart(Z2);trigsimp(%);

CO1:solve(X1,cos(\eta))[1];

subst([a=0,b=2,U=1,\alpha=%pi/4],PS2);

SI1:solve(Y1,sin(\eta))[1];

trigsimp(%);

第 5 章 2 次元完全流体

134
z 平面の複素ポテンシャルは (5.3.24) 式から下記となる。
(√
(√
)
)
2
2
2
2
2
+ 1 z U ei α (b + a)
−1 zU
e−i α
1 − a z−b
1 − a z−b
2
2
−
F =
2
2 (a2 − b2 )b = 0 を代入し、x 軸上の平板の写像関数は下記を代
入し、

R=

a
,
2

A=

z=ζ+
a = 2, b = 0, U = 1, α = π2 ,

a
2

1
ζ

(5.3.42)α = π4 のときの流場を下記の gnupot を用いて求めた。その結果を下記に示す。

#!/gnuplot
set xrange [-4:4]
set yrange [-3:3]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -20,0.1,20
unset keyunset surface
set view map

図 5.3.17: 平板をすぎる流れ a = 2, b = 0, U = 1, α = π4

splot ((y**4+(2*x**2+8)*y**2+x**4-8*x**2+16)**(0.25)*(1.4142135*y*sin(atan2((
8*x*y)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4),(y**4+(2*x**2+4)*y**2+x**4-4*x**2)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4))/2)-1.4142135*x*cos(atan2((8*x*y)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4),(y**4+(2*x**2+4)*y**2+x**4-4*x**2)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4))/2))+1.4142135*y*(y**4+2*x**2*y**2+x**4)#

a = 0 を代入し、y 軸上の平板の写像関数は下記を代
入し、

a=0
ib
b
R= , A=
2
2
1
z=ζ−
ζ

(5.3.43)**(0.25))/(2*(y**4+2*x**2*y**2+x**4)

a = 0, b = 2, U = 1, α = 0 のときの流場を下記の**(0.25))

gnupot を用いて求めた。その結果を下記に示す。

EOF

図 5.3.18: 平板をすぎる流れ a = 0, b = 2, U = 1, α = 0
図 5.3.16: 平板をすぎる流れ a = 2, b = 0, U = 1, α = π2

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.8

円柱の外に置いたわき出し

135
シャル：F0 は (5.1.31) 式から、

半径：A の円の外の、z = R ei θ に強さ：m のわき出し

F0 = m log (z − c)を置いたときの流れを求める。

5.1.16 円定理 (109 ページ) から、半径：A の円が境界となるための複素ポテンシャル：F1 は、(
F1 = m log

(

A2
(z)

))
−c

(
= m log)A2−cz(5.3.44)以上から、全体の複素ポテンシャルは、下記となり、展
開すると、

(

)
A2
− c + m log (z − c)z)(
A2
+ m log (z − c) − m log (z)=m log z −
c
)
(
1
m
− log −
c
(5.3.45)

F =m log

図 5.3.19: 円柱の外に置いたわき出し

右辺最終項は常数であるため、省くことができるため、全体の複素ポテンシャルは下記となる。この結果から、/* 円柱の外に置いたわき出し */円の境界となるためには、円内で原点と外に置いたわきkill(all);出しを結んだ線上で原点から AR の位置に同じ強さのわ

declare(z,complex);

き出しを、原点に同じ強さの吸い込みを置けばよい。
()
A2
F =m log z −+ m log (z − c) − m log (z)
c
(
)
(
)
e i θ A2
=m log z − ei θ R + m log z −− m log (z)R(5.3.46)

declare(F,complex);declare(c,complex);
F0:m*log(z-c);
subst([z=A^2/conjugate(z)],F0);
conjugate(%);

2

F1:m*log(A^2/z-conjugate(c));
FF1:F=F0+F1;

流れ関数：Ψ は上式の虚部であり、θ = 0 としたとき、

factor(logcontract(%));

次式となる。

F11:factor(F1);F2:-m*log(z);F12:F11-F2;
F13:logcontract(F12);(

A2
Ψ =m atan2 (y, x − R) + m atan2 y, x −R)− m atan2 (y, x)

F3:-m*log(-1/(conjugate(c)));
F14:F13-F3;

円柱の左端における流れ関数の値は、x = −A, y =F15:expand(logcontract(F14));0, m = 1, A = 1, R = 1.5 を代入すると、

F4:F=F0+F15+F2+F3;

Ψ = 6.283185307179586 − π を得る。これをもとに流線

F5:F=F0+F15+F2;

を gnuplot を用いて描く。m = 1, A = 1, a = 1.5 としsubst([c=R*%e^(%i*\theta)],F5);て、gnuplot を用いて流線を求めた結果を下記に示す。

subst([z=x+%i*y,c=R*%e^(%i*\theta)

下記の図から、x = 0, x = A2 /a = 0.6666, x = 1.5 にわ,\theta=0],F5);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));
PS10:subst([x=-A,y=0],PS1);
subst([m=1,A=1,R=1.5],PS1);
subst([m=1,A=1,R=1.5],PS10);z = c = R ei θ に強さ：m のわき出しの複素ポテン

き出しがあるのがわかり、境界が円になっている。

第 5 章 2 次元完全流体

136(#!/gnuplot
set xrange [-2:3]
set yrange [-2:2]

d
F
dz

)2

2 z A2
+ z2
R2 −
R
2

−

set isosamples 150,150
set contour base+set cntrparam levels incremental

m2

= A4

2m

A2
z2 − z R
2

−

+

2 m2
A2
− zR
+ A2 + z 2 − R z
2
2

2m
m
+ 2
z2 − R zz − 2 a z + R2

m
z2

-12.566368,0.12566368,12.5
留数定理から下記積分は得られる。

unset keyunset surfaceiρ
Fx − i F y = −2

set view map
splot -atan2(y,x)と引き合っている。

+atan2(y,x-1.5)
EOF

図 5.3.20: 円柱の外に置いたわき出しの流線

DF5:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F5),z,1);
subst([c=R*%e^(%i*\theta),\theta=0],%);
DF52:lhs(DF5)^2=expand(rhs(%)^2);
FXY1:F[x]-%i*F[y]=-\rho*%i/2*(2*%pi*%i)*residue(rhs(DF52),z,R);
円柱および円柱外部のわき出しを含む大きな円：S 、円柱外部のわき出しを囲む小さな円：M とすると物体に作用する力は (5.1.61) 式から下記となる。

iρ
Fx − i F y =
2

I (
S

d
F
dz

)2

iρ
dz −
2

M

(

d
F
dz

)2
dz =

2 π m2 ρ A2
R 3 − A2 R

ここで A < R であるから、物体は円柱外部のわき出し+atan2(y,x-0.66666666666667)
#

I

I

(

M

d
F
dz

)2
dz

大きな円：S の積分は零となり、円柱外部のわき出しを囲む小さな円：M の積分が残る。(5.3.46) 式から、

d
m
m
m
F =
−
2 +
dz
z−R
z
z − AR

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.9

円柱の外に置いた二重わき出し

半径：A の円の外の、z = c = R ei θ に強さ：µ、方向：

α の二重わき出しを置いたときの流れを求める。

137(5.3.47) 式の右辺第二項から、円の外の、z = c に強さ：µ、方向：α の二重わき出しの複素ポテンシャルを求める。強さ：m のわき出しを z = c + ei α δ に、吸い込みを z = c に置くと、()
F0 =m log z − ei α δ − c − m log (z − c)()
z − ei α δ − c=m logz−c
上式を δ で Taylor 展開し、高次項を省略し、δ → 0 で

δm → µ とすると

図 5.3.21: 円柱の外に置いた二重わき出し( i α )2m δ2eei α m δ
F0 =
− 2
c−z
2 c − 4 z c + 2 z2
( i α )3
m δ3
e
+ 3
+ ...
3 c − 9 z c2 + 9 z 2 c − 3 z 3ei α µ=−z−c(5.3.48)/* 円柱の外に置いた二重わき出し */kill(all);

F151:subst([c=c+\delta*%e^(%i*\alpha)],declare(z,complex);

F15);

declare(F,complex);

F152:subst([m=-m],F15);

declare(c,complex);

F153:F151+F152;

F0:m*log(z-c);(logcontract(%));

subst([z=A^2/conjugate(z)],F0);

taylor(%,\delta,0,3);

conjugate(%);

factor(subst([\delta^2=0,\delta^3=0],%));

F1:m*log(A^2/z-conjugate(c));

F154:%e^(-%i*alpha)*\mu*A^2

FF1:F=F0+F1;
factor(logcontract(%));/((conjugate(c))^2*(z-A^2/conjugate(c)));(5.3.47) 式の右辺第一項、第三項から、円定理で、円内F11:factor(F1);に生じる複素ポテンシャルを求める。強さ：m のわき出

F2:-m*log(z);F12:F11-F2;

しを z = c + ei α δ に、吸い込みを z = c に置くと、円F13:logcontract(F12);
F3:-m*log(-1/(conjugate(c)));
F14:F13-F3;
F15:expand(logcontract(F14));
F4:F=F0+F15+F2+F3;
F5:F=F0+F15+F2;
z = c に強さ：m のわき出しを置いたときの複素ポテン
シャルは、(5.3.46) 式から、()
A2
F = m log z −+ m log (z − c) − m log (z)c(5.3.47)

F01:subst([c=c+\delta*%e^(%i*\alpha)],F0);
F02:subst([m=-m],F0);内に生じる複素ポテンシャルは、(
F11 = m log z −

A2
−i
α
e
δ+c

)

(
)
A2
− m log z −c

上式を δ で Taylor 展開し、高次項を省略し、δ → 0
で δm → µ とすると

A2 m δ
F1 = 2 i α
c e z − A2 c e i α( 2)
2 A c z − A4 m δ 2
− 4
2
2
2
2 c (ei α ) z 2 − 4 A2 c3 (ei α ) z + 2 A4 c2 (ei α )+ ...
e−i α µ A2
= 2(2)
c z − Ac(5.3.49)

F03:F01+F02;
expand(logcontract(%));
factor(%);

F6:F=F04+F154;

taylor(%,\delta,0,3);

F61:subst([c=R*%e^(%i*\theta)],F6);

subst([\delta^2=0,\delta^3=0],%);

subst([\alpha=0,\theta=0],F61);

F04:-(%e^(%i*alpha)*\mu)/(z-c);

subst([\alpha=%pi/2,\theta=%pi/2],F61);

第 5 章 2 次元完全流体

138

円柱の右端における流れ関数の値は、m = 1, A = 1, a =subst([\alpha=%pi/2,\theta=0],F61);

1.5, α = 0, x = 1, y = 0 を代入すると、Ψ = 0 を得る。

subst([\alpha=%pi,\theta=%pi/2],F61);(5.3.48) 式と (5.3.49) 式から二重わき出しの複素ポテン

これをもとに流線を gnuplot を用いて描く。m = 1, A =1, a = 1.5, α = 0 として、gnuplot を用いて流線を求シャルが得られる。

めた結果を下記に示す。下記の図から、x = A2 /a =e−i α µ A2
ei α µ)F = 2(−2z−cc z − Ac=(

0.6666, x = 1.5 に二重わき出しがあるのがわかり、境界(5.3.50)µ e2 i θ−i α A2ei α µ)−iθ2z − ei θ R
z − e RA R2が円になっている。
#!/gnuplot

set xrange [-2:4]
set yrange [-2:2]22

上式から、円内の二重わき出し強さは A /a 倍になっ

set isosamples 150,150ている。上式に下式を代入し、set contour baseset cntrparam levels incremental -20,0.05

α = 0, θ = 0、α = π2 , θ = π2 の複素ポテンシャルはそれぞれ対応している。

F =(

,20

µ A2
µ
)
−
A2
2
z
−
R
z− R Ri µ A2
iµ
)
F =(
−
i A2
2
z
−
iR
z− R R

unset key
(α = 0, θ = 0)

unset surface
set view mapππ(α = , θ = )22

splot y/(y**2+(x-1.5)**2)-(0.44444444444444*y)/(y**2α = π2 , θ = 0、α = π, θ = π2 の複素ポテンシャルについてもそれぞれ対応している。

F = −(F =i µ A2iµ−2)z−Rz − AR R2

µ
µ A2
)
+(
A2
z − iRz − iRR2+(x-0.66666666666667)**2)
#

(α =

EOF

π
, θ = 0)2

(α = π, θ =π)2

Z1:z=x+%i*y;
subst([Z1],rhs(F61));
PSI1:\Psi=imagpart(%);
subst([A=1,\mu=1,R=1.5,\alpha=0,\theta=0],PSI1);
subst([x=1,y=0],%);
subst([A=1,\mu=1,R=1.5,\alpha=%pi/2,
図 5.3.22: 円柱の外に置いた二重わき出しの流線 (α =\theta=0],PSI1);

0, θ = 0)

subst([x=1,y=0],%);
subst([A=1,\mu=1,R=1.5,\alpha=0,\theta=%pi/2],PSI1);

また、α = π/2, θ = 0、α = 0, θ = π/2 についても下

subst([x=1,y=0],%);

記に示す。

流れ関数：Ψ は (5.3.50) 式に次式、

z = iy + xを代入し、その虚部であり次式となる。

)
(


)
(
cos(θ) A2
sin(θ) A2
sin(2 θ−α) x−cos(2 θ−α) y−RRµ A2  ( sin(θ) A2 )2 ( cos(θ) A2 )2 − ( sin(θ) A2 )2 ( cos(θ) A2 )2 
y−
y−
+ x−
+ x−
R
R
R
R

Ψ=
−

R2
µ (cos (α) (sin (θ) R − y) + sin (α) (x − cos (θ) R))
2(y − sin (θ) R) + (x − cos (θ) R)2

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

139
DF5:’diff(F,z,1)=diff(rhs(subst([\theta=0],F61)),z,1);DF52:lhs(DF5)^2=expand(rhs(DF5)^2);
F[x]-%i*F[y]=-\rho*%i/2*(2*%pi*%i)*residue(rhs(DF52),z,R);
FXY1:factor(%);
F[x]=realpart(rhs(FXY1));
F[y]=-imagpart(rhs(FXY1));
θ = 0 のとき、
dei α µe−i α µ A2
F =
−
(
2
2 )2
dz
(z − R)z−A
R2
R

図 5.3.23: 円柱の外に置いた二重わき出しの流線 (α =留数定理から下記積分は得られる。

π/2, θ = 0)
Fx −i Fy = −

iρ
2

Fx =

(

I
M

d
F
dz

)2
dz =

4 π µ2 ρ A2 R
3(R − A) (R + A)

4 π µ2 ρ A2 R
3

3

(R − A) (R + A)

3,

Fy = 0DF5:’diff(F,z,1)=diff(rhs(subst([\theta=%pi/2],F61)),z,1);DF52:lhs(DF5)^2=expand(rhs(DF5)^2);
F[x]-%i*F[y]=-\rho*%i/2*(2*%pi*%i)*residue(rhs(DF52),z,%i*R);
FXY1:factor(%);
F[x]=realpart(rhs(FXY1));
F[y]=-imagpart(rhs(FXY1));

Fx = 0,Fy =4 π µ2 ρ A2 R
3

3

(R − A) (R + A)

上記から、円柱は外部の二重わき出しの方へ引かれている。
図 5.3.24: 円柱の外に置いた二重わき出しの流線 (α =0, θ = π/2)

円柱および円柱外部のわき出しを含む大きな円：S 、円柱外部のわき出しを囲む小さな円：M とすると物体に作用する力は (5.1.61) 式から下記となる。

Fx − i Fy =

iρ
2

I (
S

d
F
dz

)2
dz −

iρ
2

I
M

(

d
F
dz

)2
dz

大きな円：S の積分は零となり、円柱外部のわき出しを囲む小さな円：M の積分が残る。(5.3.50) 式から、

第 5 章 2 次元完全流体

140

例題 5.3.10 一様流中に置かれた二つの円柱に作用する相互力
一様流の流速：U の中に半径：A の円柱を原点に、半ei α A2 U+ e−i α z Uz上式から、半径：A の円柱の二重わき出しの強さ：µ1 、

径：B の円柱を z = c = R ei θ に置いたときの流れを求半径：B の円柱の二重わき出しの強さ：µ2 は下記となる。

F =

める。

µ1 = −A2 U,µ2 = −B 2 U(5.3.52)

一様流中に半径：A の円柱、半径：B の円柱がある場合のは、二つの二重わき出しで表現できる。この相互干渉
は円柱の外に置いた二重わきだしにより下記の (5.3.50)
式から得られる。

F =e−i α µ A2
ei α µ()−
2z−cc2 z − Ac

半径：A の円柱の外、z = c に置かれた半径：B の二重わき出しの複素ポテンシャルは、上式から、

F2 =
図 5.3.25: 一様流中に置かれた二つの円柱µ2 e−i α A2
µ2 ei α)(−2z−cc2 z − Ac(5.3.53)

上式から、半径：A の円柱の中に置いた二重わき出しの強さ：µ21 は、/* ２つの円柱の相互干渉 */kill(all);µ21 = −

declare(z,complex);µ2 e−i α A2c2

declare(F,complex);

同様に、原点に置いた半径：B の円柱の外、z = −cdeclare(c,complex);に置かれた半径：A の二重わき出しの複素ポテンシャル

F0:U*z*%e^(-%i*\alpha);は、上式から、

F1:(%e^(-%i*alpha)*mu*A^2)/(conjugate(c)^2
F =*(z-A^2/conjugate(c)))-(%e^(%i*alpha)*mu)/(z-c);
F12:subst([\mu=\mu[2]],F1);
MU21:\mu[21]=-\mu[2]*%e^(-%i*alpha)*A^2/(conjugate(c)^2);
subst([\mu=\mu[1],A=B,c=-c],F1);

上式から、z = c に置かれた半径：B の円柱の外、原点に置かれた半径：A の二重わき出しの複素ポテンシャ
ルは、

F1 =

F11:subst([z=z-c],%);
MU12:\mu[12]=-mu[1]*%e^(-%i*alpha)*B^2/(conjugate(c)^2);µ1 e−i α B 2µ1 ei α()−
2z+cc2 Bc + z

µ1 e−i α B 2µ1 ei α)(−2zc2 Bc + z − c(5.3.54)上式から、半径：B の円柱の中に置いた二重わき出しの強さ：µ12 は、

MU1:\mu[1]=-A^2*U;
MU2:\mu[2]=-B^2*U;µ12 = −

F2:F=F0+F11+F12;
F21:subst([MU1,MU2,\alpha=0],F2);µ1 e−i α B 2
2conjugate (c)一様流中に半径：A の円柱を原点に、半径：B の円柱

F22:subst([c=R*%e^(%i*\theta)],F21);

を z = c に置いたときの複素ポテンシャルは、(5.3.51)

F23:F=-(A^2*B^2*U)/(conjugate(c)^2*(z-c))式、(5.3.53) 式、(5.3.54) 式から、-(A^2*B^2*U)/(conjugate(c)^2*(z))
F =e−i α z U ++(B^2*U)/(z-c)+(A^2*U)/z+z*U;
F24:subst([c=R*%e^(%i*\theta)],F23);
一様流の複素ポテンシャル：F0 は (5.1.29) 式から、
F0 = e−i α z U−µ1 e−i α B 2µ2 e−i α A2
)+ 2(
( B2
2)
c
c z − Acc +z−c2µ2 ei αµ1 ei α−z−cz(5.3.51)

一様流中に円柱を置いたときの複素関数は円定理を用い

円柱間の距離：R と円柱の半径：A, B の関係が R >>て下記の (5.3.10) 式から、

A, R >> B のとき、円柱の中に置いた鏡像の二重わき出

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

141

しの位置が円柱の中心に一致するとし、α = 0、(5.3.52)

splot -(17*y)/(16*(y**2+x**2))+y

式および c = R ei θ を代入すると、-(y-4)/(16*((y-4)**2+x**2))A2 B 2 U
A2 B 2 U−
2c (z − c)
c2 z
B2 U
A2 U
+
+
+zU
z−c
z
e 2 i θ A2 B 2 U
B2 U
=− 2
+
i
θ
R (z − e R) z − ei θ R
A2 U
e 2 i θ A2 B 2 U
+zU
−
+
2
zR
z

+(4-y)/((y-4)**2+x**2)

F =−

#

EOF

(5.3.55)

subst([z=x+%i*y],F24);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));
subst([A=1,B=1,R=4,U=1,\theta=0],PS1);
subst([x=1,y=0],%);
subst([A=1,B=1,R=4,U=1,\theta=%pi/4],PS1);
図 5.3.26: 一様流中に置かれた二つの円柱 (θ = 0)

subst([x=1,y=0],%);
subst([A=1,B=1,R=4,U=1,\theta=%pi/2],PS1);
subst([x=1,y=0],%);
流れ関数：Ψ は上式の虚部であり、

z = iy + xを代入し、次式となる。

Ψ=−

A2 B 2 (cos (2 θ) (sin (θ) R − y) + sin (2 θ) (x − cos (θ) R)) U()
22
R2 (y − sin (θ) R) + (x − cos (θ) R)+

B 2 (sin (θ) R − y) U22(y − sin (θ) R) + (x − cos (θ) R)(sin (2 θ) x − cos (2 θ) y) A2 B 2 U
y A2 U
−
− 2
+yU
2
2
2
(y + x ) R
y + x2円柱の右端における流れ関数の値は、A = 1, B =1, R = 4, U = 1, θ = 0 を代入し、これをもとに流線を
gnuplot を用いて描く。また、A = 1, B = 1, R = 4, U =1, θ = π2 についても gnuplot を用いて流線を求めた結果を下記に示す。

#!/gnuplot
set xrange [-5:5]
set yrange [-3:7]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental-19.75,0.1,20
unset keyunset surface
set view map

図 5.3.27: 一様流中に置かれた二つの円柱 (θ = π2 )

第 5 章 2 次元完全流体

142

F3:F=rest(rhs(F24),2);

円柱：A に作用する力は、円柱：A の外部にある二重DF3:’diff(F,z,2)=diff(rhs(F3),z,2);

わき出しに作用する力を求めることができる。二重わきFXY:F[x]-%i*F[y]=-(-2*%pi*\rho*(\mu[2]出しに作用する力は、(5.3.5) 式から+\mu[12])*(subst([z=R*%e^(%i*\theta),c=R*%e^(%i*\theta)],rhs(DF3))));(
Fx − i Fy = −2 π eiβµρ

subst([MU12,MU1,MU2,\alpha=0,c=R*%e^(%i*\theta)],FXY);
expand(factor(%));

d2
f (z)
d z2
z=c

)

(5.3.55) 式において、z = c における二重わき出しを除いた複素ポテンシャル：f (z) は、

lhs(%)=rest(rhs(%),-1);
FXY1:factor(%);
FXY11:subst([\theta=0],FXY1);

f (z) = −e 2 i θ A2 B 2 U
A2 U
+zU
+
z R2
z

F[x]=realpart(rhs(FXY11));
F[y]=-imagpart(rhs(FXY11));
FXY12:subst([\theta=%pi/2],FXY1);d2
2 A2 U2 e 2 i θ A2 B 2 U
f (z) =−
23dz
zz 3 R2F[x]=realpart(rhs(FXY12));

円柱：A に作用する力は、z = c における二重わき出し

F[y]=-imagpart(rhs(FXY12));の作用反作用から下記となり、z = R ei θ を代入すると、

(
( 2
))
d
iβ
Fx − i Fy = − −2 π e µ ρ
f (z)
d z2
z=c
( −3 i θ 2)2e
A U
2 e−i θ A2 B 2 U=2 π (µ12 + µ2 ) ρ−R3R5µ2 , µ12 を代入し、R7 の項は小さいとして省き、整理すると) ( 2iθ 2 2)( −3 i θ 2
2 e−i θ A2 B 2 U
e
A B U
2e
A U
2
−
−B U
Fx − i Fy =2 π ρ
R3R5R24 π ρ e−3 i θ A2 B 2 U 2
4 π ρ e−i θ A2 B 4 U 2
4 π ρ e−i θ A4 B 2 U 2
4 π ρ ei θ A4 B 4 U 2 (5.3.56)
+
+
−
3
5
5
R
R
R
R7
( 2
) 2
−3 i θ 2 2
2iθ 2
2iθ 2
4πρe
A B R −e
B −e
A U
=−
5
R
=−

θ = 0 では、円柱：A に作用する力は下記となり、お互いに反発しあう力となる。
()
4 π ρ A 2 B 2 R 2 − B 2 − A2 U 2
Fx = −, Fy = 0R5θ = π2 では、円柱：A に作用する力は下記となり、お互いに引きあう力となる。
()
4 π ρ A 2 B 2 R 2 + B 2 + A2 U 2
Fx = 0, Fy =R5

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.11143

写像：コ型の流路

subst([\zeta=1],Z2);

下記に示すコ型の流路内の流れについて調べる。例題

subst([z=0],%);

5.3.55 に示す Schwarz-Christoﬀel の公式：(5.1.38) 式、

C2:solve(%,C[2])[1];105 頁を用いて、ζ 平面では ξ 方向に一様な流れ、z 平面

Z3:subst([\zeta=-1],Z2);ではコ型の流路幅：A の流路となる写像関数を求めて、

LG1:log(-1)=%pi*%i;

その流場を求める。

subst([LG1,C2,z=A*%i],Z3);
C1:solve(%,C[1])[1];Z4:subst([C1,C2],Z2);
Z5:subst([log(sqrt(zeta-1)*sqrt(zeta+1)+zeta)=acosh(\zeta)],Z4);
ZT1:solve(%,\zeta)[1];F1:F=U*\zeta;
subst([ZT1],F1);
subst([z=x+%i*y],%);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));

図 5.3.28: コ型の流路

subst([U=1,A=1,%pi=3.14159],PS1);
折れ点である ζ = 1, z = 0 を (5.3.58) 式に代入し、/* コ型の流路 */C2 = 0kill(all);

もう一方の折れ点である ζ = −1 を (5.3.58) 式に代入し、declare(z,complex);declare(\zeta,complex);z = C2 + log (−1) C1

declare(F,complex);DZ4:’diff(z,\zeta,1)=C[1]*product((zetaz = A i, log (−1) = i π であるから、-zeta[k])^(-\delta[k]/%pi),k,1,K);C1 =subst([K=2],DZ4),simpproduct;
DZ41:subst([\delta[1]=%pi/2,\delta[2]=%pi/2,\zeta[1]=1,\zeta[2]=-1],%);
Z1:z=integrate(rhs(DZ41),\zeta)+C[2];radcan(factor(%));
Z2:subst([C[2]=C[2]-C[1]*log(2)],%);(5.1.38) 式から Schwarz-Christoﬀel の公式の写像関数

以上から写像関数は、(√)√
A log ζ − 1 ζ + 1 + ζ
z=
π
ここで、

log

は、

∏
d
1
z = C1δkdζ(ζ − ζ ) π
K

k=1

(√

ζ −1

√

)
ζ + 1 + ζ = acosh (ζ)

であるから、写像関数は、

kz=

ここで、K = 2 とし、ζ1 = 1, ζ2 = −1、各々で折り曲げ、その角度は δ1 = π2 , δ2 = π2 であるから、

d
C1
√
z=√
dζ
ζ −1 ζ +1AπA
acosh (ζ) ,πζ = cosh(π z )
A(5.3.59)

ζ 平面では ξ 方向に一様な流れとする。この複素ポテン
シャル：F は下記となる。

(5.3.57)
F =Uζ

上式を積分し、
∫
C1
√
dζ
z= √
ζ −1 ζ +1( √)=C1 log 2 ζ 2 − 1 + 2 ζ + C2)(√√
ζ − 1 ζ + 1 + ζ + C1 log (2) + C2
=C1 log(√)√=C1 logζ − 1 ζ + 1 + ζ + C2

(5.3.58)

z 平面では上式に写像関数を代入し、(π z )
F = coshUA(5.3.60)z = i y + x を上式に代入し、その虚部から流れ関数：Ψ
は、

Ψ = sinh

(π x)

sin

(π y )UA
A
上式に、U = 1, A = 1, π = 3.14159 を代入し、流れの様子を gnuplot を用いて描く。

Ψ = sinh (3.14159 x) sin (3.14159 y)

第 5 章 2 次元完全流体

144#!/gnuplot
set xrange [-1:2]
set yrange [-1:2]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental 0,0.5,100
unset keyunset surface
set view map
splot sinh(3.14159*x)*sin(3.14159*y)#
EOF
下記に、コ型の流路の流線を示す。

図 5.3.29: コ型の流路

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.12145

写像：平行流路

下記に示す平行流路内の流れについて調べる。例題 5.3.55に示す Schwarz-Christoﬀel の公式：(5.1.38) 式、105 頁

ここで、境界面を D, E 点で折り返すようにするため、

K = 1 とし、ζ1 = 0 で折り曲げ、その角度は δ1 = π であるから、を用いて、z 平面で平行の流路幅：A の流路となる写像
関数を求めて、その流場を求める。

d
C1
z=
dζ
ζ

(5.3.61)z = C1 log (ζ) + C2

(5.3.62)

上式を積分し、

ζ = 1, −1 で流路幅：A の条件を満足させる。ζ = 1, z = 0
を (5.3.62) 式に代入し、

C2 = 0ζ = −1 を (5.3.62) 式に代入し、
図 5.3.30: 平行流路

z = C2 + log (−1) C1
z = A i, log (−1) = i π であるから、/* 平行流路 */kill(all);C1 =declare(z,complex);Aπ以上から写像関数は、

declare(\zeta,complex);declare(F,complex);DZ4:’diff(z,\zeta,1)=C[1]*product((zeta-zeta[k])^(-\delta[k]/%pi),k,1,K);z=

A log (ζ)
,
π

πz

ζ=eA

(5.3.63)z 平面で x 軸方向の流れを生むには、ζ 平面で D, E 点

subst([K=1],DZ4),simpproduct;にわき出しを置く必要がある。そこで、複素ポテンシャ

DZ41:subst([\delta[1]=%pi,\zeta[1]=0],%);

ル：F は、

Z1:z=integrate(rhs(DZ41),\zeta)+C[2];subst([\zeta=1],Z1);

F = m log (ζ)(5.3.63) 式を上式に代入し、subst([z=0],%);
C2:solve(%,C[2])[1];F =Z3:subst([\zeta=-1],Z1);

πmz
A

LG1:log(-1)=%pi*%i;

これは x 軸方向の一様流である。一様流の流速：U とわ

subst([LG1,C2,z=A*%i],Z3);

き出し強さ：m との関係は、

C1:solve(%,C[1])[1];m=Z4:subst([C1,C2],Z1);
ZT1:solve(%,\zeta)[1];F1:F=m*log(\zeta);
F2:subst([ZT1],F1);
F11:F=U*z;
rhs(F2)=rhs(F11);
M1:solve(%,m)[1];F11:subst([M1],F1);
F2:subst([ZT1,M1],F2);
subst([z=x+%i*y],%);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));(5.1.38) 式から Schwarz-Christoﬀel の公式の写像関数
は、

∏
d
1
z = C1δkdζ(ζ − ζ ) π
K

k=1

k

AU
π

第 5 章 2 次元完全流体

146

例題 5.3.13
ら出る噴流

自由流線：平面壁のスリットか

p0
U2
p q2
+
=
+
ρ
2
ρ
2

下記に示す間隔：A の平面壁のスリットから出る噴流

自由流線上の流速：U は一定となる。今、U = 1 とするの形状を求める。

と、上図に示す w 平面では、自由流線は単位円となる。
このことを考慮して、z 平面の平面壁のスリットから出る噴流の速度の関係を w 平面に描いてみる。

1) A-B-C：平面壁：AB では、スリットから十分遠い：A での流速は vx = 0, vy = 0 で w 平面の原点に位置する。スリットに近づくに従い vx = 0, −1 <vy < 0 で流速が増加し、スリット：B で自由流線に繋がり、vx = 0, vy = −1 で w 平面の i に位置する。BC では周囲圧力が大気圧となり、一定流
図 5.3.31: 平面壁のスリットから出る噴流/* 平面壁のスリットから出る噴流 */速：U = 1 で vx > 0, vy < 0 から単位円上を時計方向にまわり、噴流がスリットから十分遠いときには vx = 1, vy = 0 の w 平面の 1 の C に至る。

2) D-E：スリットから十分遠い：D での流速は vx =kill(all);declare(z,complex);

0, vy = 0 で w 平面の原点に位置する。x 軸上を流れ

declare(w,complex);

るので、流速は vx < 1, vy = 0 で流速が増加し、噴declare(\zeta,complex);

流がスリットから十分遠いときには vx = 1, vy = 0

declare(F,complex);

で w 平面の 1 の E に至る。

assume(\theta>=0 and \theta<=%pi/2);

3) F-G-H：平面壁：F G では、スリットから十分遠assume(cabs(w)<=1);

い：F での流速は vx = 0, vy = 0 で w 平面の原点

DFZ1:w=’diff(F,z,1);に位置する。スリットに近づくに従い vx = 0, 0 <DFZ2:’diff(z,F,1)=1/w;

vy < 1 で流速が増加し、スリット：G で自由流線

F0:F=m*log(z-(1+\delta))+m*log(z-1/に繋がり、vx = 0, vy = 1 で w 平面の −i に位置(1+\delta))-m*log(z);する。GH では周囲圧力が大気圧となり、一定流

lhs(F0)=limit(rhs(F0),\delta,0);

速：U = 1 で vx > 0, vy > 0 から単位円上を反時

F1:F=m/2*log(w)-m*log(w-1)+m/2*log(w)-m*log(w+1);

計方向にまわり、噴流がスリットから十分遠いときには vx = 1, vy = 0 の w 平面の 1 の H に至る。

F2:logcontract(F1);DF2:’diff(F,w,1)=diff(rhs(F2),w,1);以上から w 平面で原点:w = 0 にわき出しがあり、w = 1

DZ1:’diff(z,w,1)=’diff(z,F,1)*’diff(F,w,1);に吸い込みがある流れとなる。また、w 平面で自由流線

DZ2:factor(lhs(DZ1)=subst([DFZ2,DF2]は単位円となることから、単位円が流線とならねばならない。強さ：m のわき出しを単位円の少し外：w = 1 + δ,rhs(DZ1)));z=integrate(rhs(DZ2),w)+C;に置く。円定理を用いて、(5.3.46) 式から、下記の単位

Z1:subst([w-1=1-w],%);

円上に置いたわき出しと原点に置いた吸い込みの複素ポ

subst([w=%e^(%i*\theta)],Z1);

テンシャルとなる。
(()
1
F = lim m log z −+ m log (z − δ − 1)
δ→0
δ+1
)
− m log (z)Z2:logcontract(%);
下記の複素速度：w を導入する。ここで複素ポテン
シャル：F 、流速：q 、流向：θ、流速の x, y 軸の各コン
ポネント：vx , vy とする。

dw=
F = vx − i v y = q e i θ ,
dz

d
1
z=
(5.3.64)
dFw=2 m log (z − 1) − m log (z)(5.3.65)

ここで流体内圧力：p、大気圧：p0 、自由流線上の流速： 左右対称性から、上式から z = 1, −1 に吸い込みを、U とすると、下記の Bernoulli の定理：(2.8.4) 式、(30ページ) から、

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

147

z = 0 にわき出しを置いた複素ポテンシャルは、
F = − m log (w + 1) + m log (w) − m log (w − 1))(w=m logw2 − 1(5.3.66)
w 平面の流れ場を調べるため、上式から流れ関数：Ψ を
下記にように求める。
subst([w=x+%i*y,m=1],F2);

上式を積分し、|w| ≤ 0 であるから、下記となり、z 平
面と w 平面の相関が得られた。
()∫
m w2 + 1
z= −dw(w − 1) w2 (w + 1))(
1
=C − m −log (w + 1) + + log (1 − w)
w
(5.3.68)

PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));

E1:(%e^(%i*\theta)+1)/(%e^(%i*\theta)-1);

subst([x=0,y=1],PS1);

E2:E1=trigrat(E1);subst([x=0,y=-1],PS1);


y
x
+
1

Ψ = − atan2  √
,√
2
2
2
2
y + (x + 1)
y + (x + 1)


−
x
1
y

,√
− atan2  √22
y 2 + (x − 1)
y 2 + (x − 1)

E3:lhs(E2)=subst([cos(\theta/2)=cot(+ atan2 (y, x)\theta/2)*sin(\theta/2)],rhs(E2));
expand(radcan(subst([E3],Z2)));Z3:subst([p=%pi/2],%);
Z31:subst([\theta=%pi/2],Z3);
X0:realpart(rhs(Z31))=0;
Y0:imagpart(rhs(Z31))=A/2;
M1:solve(Y0,m)[1];Z4:subst([X0,M1],Z3);
X1:x=realpart(rhs(Z4));
Y1:y=imagpart(rhs(Z4));
y=first(rhs(Y1))+last(rhs(Y1));
Y2:factor(%);
subst([y=B/2,\theta=0],Y2);%*2/A;
X3:subst([A=2,\theta=t],rhs(X1));
Y3:subst([A=2,\theta=t],rhs(Y2));
plot2d([parametric,X3,Y3,[t,0.0001,1.571],[nticks,100]],[x,-1,3],[y,0,2],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"]);
自由流線の形状を求める。自由流線上では、w 平面で単位円上であるから、w = ei θ を (5.3.68) 式に代入し、
(
( iθ
)
)
e +1
z = e−i θ ei θ C + m ei θ log − i θ
−m
e −1
iθ

図 5.3.32: 平面壁のスリットから出る噴流の w 平面の
流れ

流れ図を上図に示す。単位円上に置いたわき出しと原点に置いた吸い込みが表現されている。(5.3.66) 式を w
で微分し、

d
F =
dw

)
(
)( 1
2 w2
−
m w2 − 122w −1(w2 −1)w

ところで、上式と ddF z の (5.3.64) 式から、
(
)(
)
d
d
d
z=
z
F
dw
dF
dw
( 2
)
m w +1=−(w − 1) w2 (w + 1)

(5.3.67)iθ

+1
log 内の eei θ −1
を分子分母とも e 2 で割り、整理する。

ここで p = π2 とする。

( )
( )
( )
i cos θ2ei p cos θ2ei θ + 1θip(θ) = −( θ ) = −e cot
=−
i
θ
e −1
2
sin 2
sin 2
上式を代入し、p = π2 から、( ( ))
θz =C + m log cot− m e−i θ + i m p
2( ( ))iπmθ− m e−i θ +=C + m log cot
2
2
スリット部では、θ = π2 を上式に代入し、z = i A
2 から、

z=C+

iπm
+ im
2

第 5 章 2 次元完全流体

148
次の結果を得る。

C = 0,m=A
π+2

上式を代入し、自由流線の形状は、(( ))log cot θ2 A e−i θ A
iπA
z=
−
+
π+2
π+2
2 (π + 2)
上式の実部、虚部から、(( ))log cot θ2
A cos (θ) A
x=
−
π+2
π+2

y=

πA
sin (θ) A+
π+2
2 (π + 2)

噴流の下流における幅：B とし、y の式に代入し、

y=

B
B
π
,θ = 0 →=≈ 0.6112
Aπ+2

図 5.3.33: 平面壁のスリットから出る噴流

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.14

自由流線：Borda の吹き出し口

下記に示す開口幅：A の吹き出し口から出る噴流の形状
を求める。

149
vx = 1, vy = 0 の w 平面の 1 の C に至る。
2) D-E：吹き出し口から十分遠い：D での流速は vx =0, vy = 0 で w 平面の原点に位置する。x 軸上を流れるので、流速は vx > 1, vy = 0 で流速が増加
し、噴流が吹き出し口から十分遠いときには vx =1, vy = 0 で w 平面の 1 の E に至る。
3) F-G-H：平面壁：F G では、吹き出し口から十分遠い：F での流速は vx = 0, vy = 0 で w 平面の原点に位置する。吹き出し口に近づくに従い vx < 0, vy = 0
で流速が増加し、吹き出し口：G で自由流線に繋がり、vx = −1, vy = 0 で w 平面の −1 に位置
図 5.3.34: Borda の吹き出し口する。GH では周囲圧力が大気圧となり、一定流
速：U = 1 で vy > 0 から単位円上を時計方向にまわり、噴流が吹き出し口から十分遠いときには/*

Borda の吹き出し口 */kill(all);declare(z,complex);declare(w,complex);declare(\zeta,complex);declare(F,complex);
assume(\theta>=0);
assume(\theta<=%pi/2);
assume(cabs(w)<=1);
DFZ1:w=’diff(F,z,1);
DFZ2:’diff(z,F,1)=1/w;
F0:F=m*log(z-(1+\delta))+m*log(z-1/(1+\delta))-m*log(z);vx = 1, vy = 0 の w 平面の 1 の H に至る。
以上から w 平面で原点:w = 0 にわき出しがあり、w = 1に吸い込みがある流れとなる。また、w 平面で自由流線は単位円となることから、単位円が流線とならねばならない。単位円上に置いたわき出しと原点に置いた吸い込
みの複素ポテンシャルは (5.3.65) 式で上記の流場は次式となる。

F =m log (w) − 2 m log (w − 1)()
w=m logw2 − 2 w + 1

w 平面の流れ場を調べるため、上式から流れ関数：Ψ を
下記にように求める。

lhs(F0)=limit(rhs(F0),\delta,0);F1:F=m*log(w)-2*m*log(w-1);
F2:logcontract(F1);DF2:’diff(F,w,1)=diff(rhs(F2),w,1);
DZ1:’diff(z,w,1)=’diff(z,F,1)*’diff(F,w,1);
DZ2:factor(lhs(DZ1)=subst([DFZ2,DF2],rhs(DZ1)));z=integrate(rhs(DZ2),w)+C;
Z1:subst([w-1=1-w],%);
前例 5.3.13 から、自由流線上の流速：U は一定となる。
今、U = 1 とすると、上図に示す w 平面では、自由流線
は単位円となる。このことを考慮して、z 平面の吹き出
し口から出る噴流の速度の関係を w 平面に描いてみる。

1) A-B-C：平面壁：AB では、スリットから十分遠いA での流速は vx = 0, vy = 0 で w 平面の原点に位置する。スリットに近づくに従い vx < 0, vy = 0
で流速が増加し、吹き出し口：B で自由流線に繋がり、vx = −1, vy = 0 で w 平面の −1 に位置する。BC では周囲圧力が大気圧となり、一定流速：

U = 1 で vy < 0 から単位円上を反時計方向にまわり、噴流が吹き出し口から十分遠いときには(5.3.69)

図 5.3.35: Borda の吹き出し口第 5 章 2 次元完全流体

150
subst([w=x+%i*y,m=1],F2);

自由流線の形状を求める。自由流線上では、w 平面で単PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));

位円上であるから、w = ei θ を (5.3.70) 式に代入し、subst([x=0,y=1],PS1);
subst([x=0,y=-1],PS1);(
Ψ =atan2 (y, x) − atan2 sin (2 atan2 (y, x − 1)) ,)cos (2 atan2 (y, x − 1))()
z = C − 2 m log 1 − ei θ − m e−i θ + 2 i m θ
次式の関係式を代入し、

1−e

iθ

= −2 i e

iθ
2

( )
θ
sin
,
2

log (−i) = −

iπ
2

上式から、
流れ図を上図に示す。単位円上に置いたわき出しと原点に置いた吸い込みが表現されている。(5.3.69) 式を w で微分し、 ddF z の (5.3.64) 式から、
(
)(
)
d
d
m (w + 1)
d
z=
z
F =−
dw
dF
dw
(w − 1) w2
上式を積分し、z 平面と w 平面の相関が得られた。
∫
m (w + 1)
z= −dw(w − 1) w2()
1=C − m −2 log (w) + + 2 log (1 − w)
w
(5.3.70)( ( ))
θ− m e−i θ + i m θ
z =C − 2 m log sin
2− 2 log (−i) m − 2 log (2) m( ( ))
θ− m e−i θ + i m θ=C − 2 m log sin
2− 2 log (2) m + i π m(5.3.71)
開口部では、θ = π で、これを上式に代入すると、

z = C − 2 log (2) m + 2 i π m + m
開口部では、x = 0, y = A
2 から、

subst([w=%e^(%i*\theta)],Z1);
Z2:expand(%);
E1:1-%e^(%i*theta);
E2:%e^(%i*\theta/2);
NE1:expand(E1/E2);
NE11:realpart(NE1);
NE12:imagpart(NE1);
E3:E1=%i*NE12*E2;
Z3:expand(radcan(subst([E3],Z2)));

m=

A
,
4π

C=

(2 log (2) − 1) A
4π

上記の関係を (5.3.71) 式に代入し、( ( ))
log sin θ2 A e−i θ A i θ A
A
iA
z=−
−
+
−
+
2π
4π
4π
4π
4
上式から、噴流の自由流線の軌跡は、(( ))log sin θ2
A cos (θ) A
A
x=−
−
−
2π
4π
4π

LG1:log(-%i)=-%i*%pi/2;
Z4:subst([LG1],Z3);
Z41:subst([\theta=%pi],Z4);
X0:realpart(rhs(Z41))=0;
Y0:imagpart(rhs(Z41))=A/2;
M1:solve(Y0,m)[1];sin (θ) A θ A A
+
+
4π
4π
4
開口部から噴流の十分下流で噴流幅：B とすると、
y=

y=

B
,θ = 0
2

→

B
1
=
A
2

subst([M1],X0);
C1:solve(%,C)[1];Z5:expand(subst([M1,C1],Z4));
X1:x=realpart(rhs(Z5));
Y1:y=imagpart(rhs(Z5));
Y2:y=rest(rhs(Y1),-2)+last(rhs(Y1));
subst([y=B/2,\theta=0],Y2);%*2/A;
X3:subst([A=2,\theta=t],rhs(X1));
Y3:subst([A=2,\theta=t],rhs(Y2));
plot2d([parametric,X3,Y3,[t,0.00001,
3.14159],[nticks,100]],[x,-1,3],[y,0,2],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"]);図 5.3.36: Borda の吹き出し口

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.15 自由流線：死水をともなう流れに垂直な平板下記に示す幅：L の流れに垂直な平板まわりに生じる死水の形状をおよび平板の抗力を求める。

151
2) E-F-G-H：EF では、平板から十分遠い：E での流速は vx = 1, vy = 0 で w 平面の w = 1 に位置する。平板に近づくに従い vx > 0, vy = 0 で流速が減少し、平板：F で vx = 0, vy = 0 で w 平
面の原点に位置する。F G では平板に沿って流れ、

vx < 0, vy = 0 で平板の端 G に至る。G から自由流線で周囲圧力が大気圧となり、一定流速：U = 1
で vy < 0 から単位円上を時計方向にまわり、平板から十分遠いときには vx = 1, vy = 0 の w 平面の

1 の H に至る。
以上から w 平面で w = 1 で上下から吸い込まれ、左右に流出する４重極がある流れとなる。また、w 平面で自由流線は単位円となることから、単位円が流線とならね
図 5.3.37: 死水をともなう流れに垂直な平板ばならない。
まず、x − y 座標の原点においた 4 重極の複素ポテン/* 死水をともなう平板 */kill(all);declare(z,complex);

シャルを求める。下図に示す原点から δ だけ離れた位置に置いたわき出しと吸い込みの複素ポテンシャルは下記となり、δ が十分小さいとして、Taylor 展開して、高次項を省略し得られる。

declare(w,complex);declare(\zeta,complex);declare(F,complex);declare(c,complex);
assume(\theta>=0 and \theta<=%pi/2);
assume(cabs(w)<=1);
assume(L>0);
DFZ1:w=’diff(F,z,1);
DFZ2:’diff(z,F,1)=1/w;
F0:F=m*log(z-\delta)+m*log(z+\delta)-m*log(z-(%i*\delta))

図 5.3.38: 4 重極

-m*log(z+(%i*\delta));logcontract(%);
taylor(rhs(%),\delta,0,10);
first(%);
F1:F=subst([2*m*\delta^2=\nu],%);
前例 5.3.13 から、自由流線上の流速：U は一定となる。
今、U = 1 とすると、上図に示す w 平面では、自由流線
は単位円となる。このことを考慮して、z 平面の吹き出
し口から出る噴流の速度の関係を w 平面に描いてみる。

F = − m log (z + i δ) − m log (z − i δ) + m log (z + δ)
+ m log (z − δ)()(z − δ) (z + δ)=m log(z − i δ) (z + i δ)
2 m δ62 m δ 102 m δ2
−
−
+ ...
=−
2
6
z
3z
5 z 102 δ2 m≈−z2

1) A-B-C-D：AB では、平板から十分遠い：A での流速は vx = 1, vy = 0 で w 平面の w = 1 に位置

以上から、4 重極の複素ポテンシャルは下記となる。こする。平板に近づくに従い vx > 0, vy = 0 で流速

こで 4 重極の強さを ν とする。

が減少し、平板：B で vx = 0, vy = 0 で w 平面

νF =− 2zの原点に位置する。BC では平板に沿って流れ、(2 m δ 2 → ν)

(5.3.72)

vx > 0, vy = 0 で平板の端 C に至る。C から自由流線で周囲圧力が大気圧となり、一定流速：U = 1

F0:F=m*log(z-c)+m*log(z-A^2/(conjugate(c)))

で vy > 0 から単位円上を反時計方向にまわり、平-m*log(z);板から十分遠いときには vx = 1, vy = 0 の w 平面

F01:subst([c=(1+\delta)*%e^(%i*\theta),A=1,の 1 の D に至る。

m=m[0]],rhs(F0));

第 5 章 2 次元完全流体

152
ル：F1 は上式から、

F02:subst([c=(1-\delta)*%e^(%i*\theta),A=1,
m=m[0]],rhs(F0));F03:subst([c=(1)*%e^(%i*(\theta+\delta)),(ei θ
F1 =m0 log z −
δ+1

)

(
)
+ m0 log z − (δ + 1) ei θ

− m0 log (z)A=1,m=-m[0]],rhs(F0));
F04:subst([c=(1)*%e^(%i*(\theta-\delta)),
A=1,m=-m[0]],rhs(F0));円の内：(1 − δ) ei θ に置いたわき出しの複素ポテンシャ

F01+F02+F03+F04;

ル：F2 は上式から、logcontract(%);

(
)
(
)
ei θ
F2 =m0 log z − (1 − δ) ei θ + m0 log z −1−δF05:taylor(%,\delta,0,5);
F06:first(F05);
F06-m[0]*\delta^2;− m0 log (z)factor(%);
F11:F=subst([m[0]=\nu/\delta^2],%);

単位円上に置いたわき出し複素ポテンシャルは (5.3.65)

F2:F=subst([\theta=0,z=w],rhs(F11))式から下記となる。

+subst([\theta=%pi,z=w],rhs(F11));subst([w=x+%i*y,\nu=1],F2);

F = 2 m log (z − 1) − m log (z)PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));
subst([x=0,y=1],PS1);

単位円上：θ + δ に置いた吸い込みの複素ポテンシャル：

subst([x=0,y=-1],PS1);
単位円上の角度：θ の位置に置いた 4 重極の複素ポテン
シャルを求める。円柱の外の c の位置に置いたわき出し

F3 は上式から、の複素ポテンシャルは (5.3.45) 式から下記となる。
()
A2
F =m log z −+ m log (z − c) − m log (z)c()
1− log −mc()
F3 = m0 log (z) − 2 m0 log z − ei (θ+δ)
単位円上：θ − δ に置いた吸い込みの複素ポテンシャル：

F4 は上式から、()
F4 = m0 log (z) − 2 m0 log z − ei (θ−δ)
上式をまとめ、単位円上の角度：θ の位置に置いた 4 重

円の外：(δ + 1) ei θ に置いたわき出しの複素ポテンシャ(
F = F1 +F2 +F3 +F4 = m0 log

極の複素ポテンシャル：F は下記となる。

(
)(
)(
)(
))
e2 i δ z + (−δ − 1) ei θ z + (δ − 1) ei θ (δ − 1) z + ei θ (δ + 1) z − ei θ22(δ − 1) (δ + 1) (z − ei θ+i δ ) (ei δ z − ei θ )上式で、δ が十分小さいとして、Taylor 展開して、高次項を省略すると、F =−4 z e i θ m0 δ 2
2(ei θ ) − 2 z ei θ + z 2−

11 z ei θ m0 δ 4

4 m 0 δ 2 ei θ z
+
...
≈
−
2
z 2 − 2 ei θ z + e2 i θ
6 (ei θ ) − 12 z ei θ + 6 z 2

上式に −m0 δ 2 を加え、整理すると、

F =−
=−
=−

w 平面の流れ場を調べるため、上式から流れ関数：Ψ を求め、その結果を下記に示す。

2 iθ

4 m0 δ e z− m0 δ 2z 2 − 2 ei θ z + e2 i θ()2m 0 δ 2 z + ei θ2(z − ei θ )()2
ν z + ei θ

(5.3.73)(m0 δ 2 → ν)2(z − ei θ ))()(x + 1)2 − y 2 − 2 (x + 1) y (x − 1)2 − y 2Ψ=−()2y 2 + (x + 1)2()()
2 (x + 1) y (x − 1)2 − y 2 − 2 (x − 1) y (x + 1)2 − y 2−()2
y 2 + (x − 1)22 (x − 1) y(以上から w 平面で w = 1 に 4 重極がある流れとなる。 w 平面の流れ図を下記に示す。単位円上に置いた 4 重極
また、w 平面で自由流線は単位円となることから、単位 が表現されている。
円が流線とならねばならない。対称性から、F =−ν (w + 1)(w − 1)2

2−

ν (w − 1)(w + 1)

2

2(5.3.74)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

153
X3:subst([L=2,\theta=t],rhs(X1));
Y3:subst([L=2,\theta=t],rhs(Y1));
plot2d([parametric,X3,Y3,[t,-1.571,1.571],[nticks,401]],[x,-2,8],[y,-4,4],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"]);(5.3.74) 式を w で微分し、
2d2 ν (w + 1)
2 ν (w − 1) 2 ν (w − 1)
F =
−
3
2 +
3
dw
(w − 1)(w + 1)(w + 1)2 ν (w + 1)−
2
(w − 1)2上式と ddF z の (5.3.64) 式から、

dz=dw
図 5.3.39: w 平面の死水をともなう平板の流れ

DF2:’diff(F,w,1)=diff(rhs(F2),w,1);
DZ1:’diff(z,w,1)=’diff(z,F,1)*’diff(F,w,1);

(

d
z
dF

)(

d
F
dw

)
=

(
)
32 ν w2 + 1
3(w − 1) (w + 1)

3

上式を積分し、z 平面と w 平面の相関が得られた。
(
log (w + 1)
w3 − 3 w
z =C + 32 ν −+8
4 w4 − 8 w2 + 4)log (1 − w)+
8

DZ2:factor(lhs(DZ1)=subst([DFZ2,DF2],
rhs(DZ1)));z=integrate(rhs(DZ2),w)+C;
Z1:subst([w-1=1-w],%);

z = 0, w = 0 のとき、C = 0 となり、)(
32 ν w3
96 ν w
1−w+−
z = 4 ν log
4
2
4
w+1
4 w − 8 w + 4 4 w − 8 w2 + 4

subst([z=0,w=0],Z1);
Z2:expand(subst([C=0],Z1));

単位円上の自由流線を求めるため、w = ei θ を上式に代Z21:first(rhs(Z2))+last(rhs(Z2));

入し、(

Z22:4*\nu*log((1-w)/(1+w));
Z23:rhs(Z2)-Z21;
Z24:z=Z22+Z23;
Z32:subst([w=%e^(%i*\theta)],Z22);z =4 ν log+

1 − ei θ
ei θ + 1)

32 ν e3 i θ
96 ν ei θ−4 e4 i θ − 8 e2 i θ + 4 4 e4 i θ − 8 e2 i θ + 4

Z33:subst([w=%e^(%i*\theta)],Z23);
E1:(1-%e^(%i*\theta))/(1+%e^(%i*\theta));

下記の関係から、

E2:E1=trigrat(E1);( )i sin θ2
1 − ei θ( )=−ei θ + 1
cos θ2

E21:E2*(denom(lhs(E2)));
E22:factor(subst([E21],Z32));
realpart(Z33);
E31:trigrat(%);
imagpart(Z33);
E32:trigrat(%);
Z4:z=E22+E31+%i*E32;
Z41:subst([\theta=%pi/2,z=-%i*L/2],Z4);
subst([log(-%i)=(-%i*%pi/2)],Z41);
NU1:solve(%,\nu)[1];Z5:subst([NU1],Z4);
X1:x=realpart(rhs(Z5));

上式は下記となる。
(( ))i sin θ28 ν cos (θ)
8iν
( ) −
z = 4 ν log −−cos (2 θ) − 1 sin (θ)
cos θ2(5.3.75)
平板の端では、θ = π2 , z = −i2 L であり、これを上式に代入すると、−iL= 4 log (−i) ν − 8 i ν
2以上から 4 重極の強さ：ν が得られる。

Y1:y=imagpart(rhs(Z5));ν=L
4 π + 16

第 5 章 2 次元完全流体

154(5.3.75) 式に代入し、()
i sin( θ2 )L
4 log − cos θ(2)
8 cos (θ) L−z=
4 π + 16(4 π + 16) (cos (2 θ) − 1)8iL−
(4 π + 16) sin (θ)

solve(%,dy)[1];DI1:%*(-(t^2-1));
CD5:C[D]=2*integrate(rhs(DI1)/dt,t,0,1)/L;
subst([NU1],%);
subst([%pi=3.14159],%);
平板の抗力は次式で表せる。ここで平板の上流側の圧力を p(y)、無限遠の圧力を p∞ とする。

∫ L2

実部および虚部から

D=
(
4 log

|sin( θ2 )||cos( θ2 )|4 π + 16

)

−L
2

L

8 cos (θ) L(4 π + 16) (cos (2 θ) − 1)
(
(
)
)
(
( ))
cos( θ )4 atan2 0, sin θ2 + atan2 0, √ 2θ 2 − π2 Lcos( 2 )y=
4 π + 16
8L−
(4 π + 16) sin (θ)
x=−p (y) − p∞ dy

平板上の流速を v(y) とすると、Bernoulli の定理から、
2

ρ v (y)ρ U2+ p∞ =+ p (y)22
無次元化した速度を t(y) を v (y) = t (y) U の関係とし、平板の抗力は、

D=−

上式から自由流線を描くと下図となる。

ρ

∫ L2
−L
2

2

t (y) − 1dy U 22

抗力を無次元化し、

D

CD = ρ U 2 L = −
2

2

∫ L2
0

2

t (y) − 1dy
L

平板上の流れは w = −i t, z = i y を (5.3.75) 式に代入し、()
it + 132 i ν t3
96 i ν ti y = 4 ν log+ 4+
1 − it4 t + 8 t2 + 4 4 t4 + 8 t2 + 4
上式を t で微分し、)(32 i ν (t − 1) (t + 1)
d
y =
i
2
dt
(i t − 1) (i t + 1) (t2 + 1)
抗力の無次元化式に代入し、積分して、CD =

図 5.3.40: 垂直な平板の死水をともなう流れ

8πν
8π
=
≈ 0.88L
4 π + 16

平板の抗力の実験は CD ≈ 2 で、上記の計算結果は背面の吸引現象が表現されていないため、精度が悪くなって

D1:D=integrate(p(y)-p[inf],y,-L/2,L/2);
H1:p[inf]+1/2*\rho*U^2=p(y)+1/2*\rho*v(y)^2;
H2:solve(H1,p(y))[1];D2:factor(subst([H2,v(y)=t(y)*U],D1));
CD2:C[D]=D/(1/2*\rho*U^2*L);
CD3:lhs(CD2)=subst([D2],rhs(CD2));
CD4:C[D]=-2*integrate(t(y)^2-1,y,0,L/2)/L;
Z6:subst([w=-%i*t,z=%i*y],Z24);
DZ6:%i*’diff(y,t,1)=factor(diff(rhs(Z6),t,1));
subst([’diff(y,t,1)=dy/dt],DZ6);いる。

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.16
るジェット

155

自由流線：平板に垂直にぶつか

0 で w 平面の w = 1 に位置する。自由流線上であるので、外界の圧力は p∞ 、一定であるため、流速も一定：v = 1 で C に至る。w 平面上では、単下記に示す幅：H 、流速：U のジェットが平板に垂直に

位円上を A から時計回りに C に至る。

ぶつかるジェットの形状を求める。

D-E-F：、D-E：については、上記と対称であるので説明を省く。以上から対称性を考慮し、w 平面で w = 1, −1にわき出しがあり、w = i, −i に吸い込みがある流れとなる。また、w 平面で自由流線は単位円となることか
ら、単位円が流線とならねばならない。単位円上に置いたわき出しの複素ポテンシャルは (5.3.46) 式から次式と
なる。

(
)
(
)
ei θ
F =m log z −+ m log z − (δ + 1) ei θδ+1
図 5.3.41: 平板に垂直にぶつかるジェット− m log (z)()=2 m log z − ei θ − m log (z)(δ → 0)/* 平板にぶつかるジェット */kill(all);declare(z,complex);declare(w,complex);(5.3.76)以上から、w = 1 に置いたわき出しの複素ポテンシャ
ル：F1 は、

F1 = 2 m log (w − 1) − m log (w)declare(F,complex);
assume(\theta>=-%pi/2 and \theta<=%pi/2);
assume(cabs(w)<=1);
DFZ1:w=’diff(F,z,1);

同様に、w = −1, i, −i の複素ポテンシャル：F2 , F3 , F4は、

DFZ2:’diff(z,F,1)=1/w;

F2 = 2 m log (w + 1) − m log (w)F0:F=m*log(z-(1+\delta)*%e^(%i*\theta))

F3 = m log (w) − 2 m log (w − i)+m*log(z-%e^(%i*\theta)/(1+\delta))

F4 = m log (w) − 2 m log (w + i)

-m*log(z);F01:lhs(F0)=limit(rhs(F0),\delta,0);F11:subst([\theta=0,z=w],rhs(F01));
F12:subst([\theta=%pi,z=w],rhs(F01));
F13:subst([\theta=%pi/2,z=w,m=-m],rhs(F01));

以上をまとめ、本流れの w 平面の複素ポテンシャルは、

F1 + F2 + F3 + F4
( 2)
(w − 1) (w + 1)
=m log(w − i) (w + i)F =(5.3.77)

F14:subst([\theta=-%pi/2,z=w,m=-m],rhs(F01));
F1:F=(F11+F12+F13+F14)/2;
F2:logcontract(F1);subst([w=x+%i*y,m=1],F2);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));
subst([x=0.7071,y=0.7071],PS1);
subst([x=-0.7071,y=-0.7071],PS1);

前例 5.3.13 から、自由流線上の流速：U は一定となる。今、U = 1 とすると、上図に示す w 平面では、自subst([x=0.7071,y=-0.7071],PS1);

subst([x=-0.7071,y=0.7071],PS1);
w 平面の流れ場を調べるため、上式に w = i y +x, m = 1
ジェットの速度の関係を w 平面に描いてみる。
を代入し、流れ関数を求めると、
1) A-B-C：AB では、平板から十分遠い A での流速
y
+
1
x

Ψ = − atan2  √,√は vx = 1, vy = 0 で w 平面の w = 1 に位置する。
2222(y + 1) + x(y + 1) + x
平板に近づくに従い vx > 0, vy = 0 で流速が減速+ atan2 (y, x + 1) + atan2 (y, x − 1)
し、よどみ点：B で w = 0 に位置する。BC では平
板に沿って流れ、vy > 0 で流速が加速し、vy = 1
y
−
1
x

− atan2  √,√で C に至る。
2222(y − 1) + x(y − 1) + x
2) A-C：平板から十分遠い A での流速は vx = 1, vy =由流線は単位円となる。このことを考慮して、z 平面の第 5 章 2 次元完全流体

156

上式を積分し、z 平面と w 平面の相関が得られた。
(
i log (w + i) log (w + 1)
z =C + 4 m −−44)i log (i − w) log (1 − w)++
44z = 0, w = 0 のとき、C = 0 となり、上式は、(
i log (w + i) log (w + 1)
z =4 m −−4
4)
i log (i − w) log (1 − w)++
44
単位円上の自由流線を求めるため、w = ei θ を上式に代
入し、

(
z=m

図 5.3.42: w 平面の流れ 平板に垂直にぶつかるジェット

( iθ
)
( iθ
))
e −i
e −1
i log − i θ+ log − i θ
e +i
e +1

ここで、わき出し強さ：m とその流量：Q の関係は、

m = 2Qπ であり、一方、ジェットの流量：Q は単位円の内部と外部の両方を考慮して、Q = 2 H U である。

w 平面の流れ図を下記に示す。単位円上に置いたわき出

U = 1 とすると、わき出し強さ：m とジェットの幅：H

し、吸い込みが表現されている。

の関係は、

H
π
log の中の項は、下記の関係があり、( )i sin θ2ei θ − 1( )=ei θ + 1
cos θ2m=

DF2:’diff(F,w,1)=factor(diff(rhs(F2),w,1));
DZ1:’diff(z,w,1)=’diff(z,F,1)*’diff(F,w,1);
DZ2:factor(lhs(DZ1)=subst([DFZ2,DF2],
rhs(DZ1)));z=integrate(rhs(DZ2),w)+C;
Z1:subst([w-1=1-w,w-%i=%i-w],%);
subst([z=0,w=0],Z1);
Z11:subst([C=0],Z1);
subst([w=%e^(%i*\theta)],Z11);
Z2:logcontract(%);
Q1:m=Q/2/%pi;
Q2:Q=2*(H*U);
subst([Q2,U=1],Q1);
Z21:subst([m=H/%pi],Z2);
E1:(%e^(%i*theta)-1)/(%e^(%i*theta)+1);
E11:E1=trigrat(E1);
E2:(%e^(%i*theta)-%i)/(%e^(%i*theta)+%i);
E22:E2=trigrat(E2);
Z23:subst([E11,E22],Z21);(5.3.77) 式を w で微分し、
d
4m
z=
dw
(w − 1) (w + 1) (w − i) (w + i)
上式と ddF z の (5.3.64) 式から、

)
d
F
dw
4m
=
(w − 1) (w + 1) (w − i) (w + i)

d
z=
dw

(

d
z
dF

)(

( ( )
( ))
i sin θ2 − cos θ2ei θ − i( )( )=ei θ + isin θ2 + cos θ2

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

157

上記の関係を代入して、

H
z=
π

(

(

(
( ( )
( )) )( ) ))
i sin θ2 − cos θ2i sin θ2
( )
( )
( )
i log −+ log −sin θ2 + cos θ2
cos θ2(5.3.78)

Z24:subst([z=x+%i*y],Z23);
X1:realpart(Z24);
Y1:imagpart(Z24);
X3:subst([H=2,\theta=t],rhs(X1));
Y3:subst([H=2,\theta=t],rhs(Y1));
plot2d([[parametric,X3,Y3,[t,-1.570,-0.0001],[nticks,100]],[parametric,
X3,Y3,[t,0.0001,1.570],[nticks,100]]],[x,-7,3],[y,-5,5],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"]);
上式に、z = x + i y を代入し、その実部、虚部から、自由流線は、

( (
)
(θ)
(θ) 
(θ) )
(
( )
( ))
sin 2 + cos 2
sin 2
θ
H
θ
π

( ) − atan2 0, √( ( )x=log+( θ ))2 − atan2 0, sin 2 − cos 2π2
cos θ2θsin 2 + cos 2


( (
)
( )
( ) )
( ) 
(
( ))
sin θ2 − cos θ2
cos θ2πHθ( ) + atan2 0, sin( )log+ atan2 0, √y=( θ )2 − 2π2sin θ2 + cos θ2
cos 2
上式で、H = 2 として、自由流線を描くと下図となる。

図 5.3.43: 平板に垂直にぶつかるジェット第 5 章 2 次元完全流体

158

例題 5.3.17

二つの渦糸の運動

x 軸上に置いた二つの渦糸の運動を求める。

vy1 = −

Γ2,2 π A2 − 2 π A1

Γ1
2 π A2 − 2 π A1

vy2 =回転中心である点：B は次式で得られる。

vy2
vy1
+
=0
A2 − b b − A1b=

Γ 2 A2 + Γ 1 A1
Γ2 + Γ 1

その回転角速度：ω は、

ω2 (A2 − b) = vy2
図 5.3.44: 二つの渦糸の動き

ω2 =/* 二つの渦糸の動き */22 π (A2 − A1 )

ω1 (b − A1 ) = −vy1kill(all);declare(z,complex);ω1 =declare(F,complex);
assume(A[2]>A[1]);F1:-%i*\Gamma[1]/2/%pi*log(z-A[1]);F2:-%i*\Gamma[2]/2/%pi*log(z-A[2]);F0:F=F1+F2;
V1:v[x1]-%i*v[y1]=subst([z=A[1]],diff(F2,z,1));V2:v[x2]-%i*v[y2]=subst([z=A[2]],diff(F1,z,1));VY1:solve(imagpart(V1),v[y1])[1];VY2:solve(imagpart(V2),v[y2])[1];v[y2]/(A[2]-b)+v[y1]/(b-A[1])=0;
solve(%,b)[1];
subst([VY1,VY2],%);
B1:factor(%);\omega[2]*(A[2]-b)=v[y2];factor(subst([VY2,B1],%));
factor(solve(%,\omega[2])[1]);\omega[1]*(b-A[1])=-v[y1];factor(subst([VY1,B1],%));
factor(solve(%,\omega[1])[1]);x 軸上 x = A1 に渦循環強さ：Γ1 、x = A2 に渦循環強さ：Γ2 を置くと、(5.1.33) 式から複素ポテンシャルは下
記となる。

F =−

Γ2 + Γ 1i Γ2 log (z − A2 ) i Γ1 log (z − A1 )−2π
2π

渦糸 2 による渦糸 1 の速度：vy1 は、渦糸 1 による渦糸

2 の速度：vy2 は次式から、
vx1 − i vy1 = −i Γ22 π (A1 − A2 )vx2 − i vy2 = −i Γ1
2 π (A2 − A1 )

Γ2 + Γ 1
2

2 π (A2 − A1 )

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.18159

直交する壁に置いた渦の動き

x − y 軸を壁とし、その中に置いた渦糸の運動を求める。

VR1:v[r]=v[x]*cos(\theta)+v[y]*sin(\theta);
VT1:v[\theta]=-v[x]*sin(\theta)+v[y]*cos(\theta);
VR2:trigsimp(subst([VX1,VY1],VR1));
VT2:trigsimp(subst([VX1,VY1],VT1));
VR3:v[r]=’diff(r,t,1);
VT3:v[\theta]=r*’diff(\theta,t,1);
VR21:subst([VR3],VR2);
VT21:subst([VT3],VT2);
VT22:VT21/r;’diff(r,\theta,1)=rhs(VR21)/rhs(VT22);
factor(%/r);
VRT1:trigrat(%);’integrate(1/r,r)=’integrate(rhs(VRT1)

図 5.3.45: 直交する壁に置いた渦の動き,\theta);ev(%,integrate);lhs(%)=rhs(%)+log(a);/* 直交する壁に置いた渦の動き */logcontract(%)*2;

kill(all);declare(z,complex);%e^(lhs(%))=%e^(rhs(%));
第１象限に置いた渦糸の移動速度は、第 1 象限の複素ポdeclare(F,complex);

テンシャル：F1 を除いた下記の複素ポテンシャル：f をdeclare(c,complex);

用いて、

assume(r>0);f=

F1:F[1]=-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-c);
F2:F[2]=+%i*\Gamma/2/%pi*log(z-conjugate(c));
F3:F[3]=-%i*\Gamma/2/%pi*log(z+c);c));F0:F=rhs(F1)+rhs(F2)+rhs(F3)+rhs(F4);
第１象限に置いた渦の動きを求める。第 1 象限の複素ポテンシャル：F1 とし、第 4 象限の複素ポテンシャル：

F2 、第 3 象限の複素ポテンシャル：F3 、第 2 象限の複素ポテンシャル：F4 とすると、

i Γ log (z − c)i Γ log (z − c)
, F2 =
2π
2πi Γ log (z + c)i Γ log (z + c)
, F4 =
F3 = −
2π
2π
流れ全体の複素ポテンシャル：F は下記となる。
F1 = −i Γ log (z + c) i Γ log (z − c)+2π2πi Γ log (z + c) i Γ log (z − c)
−
−
2π
2π

渦糸の移動速度は下記の式に渦糸の位置を代入し、

d
iΓ
iΓ
f=
+
dz
2 π (z + c) 2 π (z − c)iΓ−
2 π (z + c)
iΓ
iΓ
=
+
2 π (r ei θ + r e−i θ ) 2 π (r ei θ − r e−i θ )i Γ e−i θ−
4πrvx − i v y =F4:F[4]=+%i*\Gamma/2/%pi*log(z+conjugate(F =i Γ log (z + c) i Γ log (z − c) i Γ log (z + c)
+
−
2π
2π
2π

上式の実部と虚部から、

vx = −
vy = −(5.3.79)

Γ sin (θ)Γ+
4πr
4 π r sin (θ)ΓΓ cos (θ)+
4 π r cos (θ)
4πrvx , vy と vr , vθ の関係は、
vr = sin (θ) vy + cos (θ) vx

F01:F=rhs(F2)+rhs(F3)+rhs(F4);vθ = cos (θ) vy − sin (θ) vx

VXY1:v[x]-%i*v[y]=diff(rhs(F01),z,1);
VXY2:subst([z=r*%e^(%i*\theta),

上式を代入し、vr , vθ で表現すると、

c=r*%e^(%i*\theta)],VXY1);VX1:v[x]=realpart(rhs(VXY2));
VY1:v[y]=-imagpart(rhs(VXY2));

2

vr =

2 Γ cos (θ) − Γ,
4 π r cos (θ) sin (θ)

vθ = −

Γ4πr

第 5 章 2 次元完全流体

160
また、次の関係がある。

vr =

d
r,
dt

(
vθ = r

d
θ
dt

)

上記から、

(

2

d
2 Γ cos (θ) − Γr=,
dt
4 π r cos (θ) sin (θ)

r

d
θ
dt

)
=−

Γ
4πr

この比をとり、時間を消去すると、渦糸が移動する軌跡の関係式が得られ、()
2r 2 Γ cos (θ) − Γdr=−dθΓ cos (θ) sin (θ)
整理すると、
d
dθ r

r

=−

2 cos (2 θ)sin (2 θ)

図 5.3.46: 直交する壁に置いた渦の流線 (Γ = 1、渦位両辺積分すると、∫∫
1cos (2 θ)
dr = −2dθrsin (2 θ)

置：x0 = 2, y0 = 1)#!/gnuplot
log (r) = log (a) − log (sin (2 θ))
整理し、(
2 log (r) = 2 logasin (2 θ))

まとめると、渦糸が移動する軌跡の関係式が得らる。

r =set yrange [-5:5]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -20,0.01
,20

a2

2

set xrange [-5:5]

2

sin (2 θ)

unset keyunset surface
set view map

PS1:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,c=x[0]+%i*y[0]],rhs(F0)));splot -log((y+1)**2+(x+2)**2)/(12.56636)+log((y+1)**2+(x-2)**2)

subst([\Gamma=1,x[0]=2,y[0]=1],PS1);/(12.56636)

subst([\Gamma=1,x[0]=10,y[0]=0],PS1);+log((y-1)**2+(x+2)**2)/(12.56636)

subst([\Gamma=1,x[0]=0,y[0]=10],PS1);-log((y-1)**2+(x-2)**2)/(12.56636)

流れ関数：Ψ は、(5.3.79) 式に z = x + iy, c = x0 + iy0#を代入し、その虚部から下記となる。
()
22
Γ log (y + y0 ) + (x + x0 )
Ψ=−
4π
(
)
2
2
Γ log (y + y0 ) + (x − x0 )
+
4π
(
)
2
2
Γ log (y − y0 ) + (x + x0 )
+
4π
(
)
2
2
Γ log (y − y0 ) + (x − x0 )−4π

Γ = 1、渦位置：x0 = 2, y0 = 1 を上式に代入し、流線を描くと下記となる。

EOF

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.19161

円柱の外に置いた渦糸の運動

半径：A の円柱の外の、z = r ei θ に渦循環強さ：Γ の渦
糸を置いたときの流れを求める。

以上から、全体の複素ポテンシャルは、F = F0 + F1
から、整理して、( 2)Ai Γ log (z − c) i Γ log z − c
+
F =−
2π
(2 π
)
2

=

i Γ log z − Ac2(π )i log − 1c Γ−
2π−i Γ log (z − c) i Γ log (z)−2π2π

右辺最終項は定数のため削除して、半径：A の円柱の外に渦糸を置いたときの複素ポテンシャルは下記となる。
()
2i Γ log z − Aci Γ log (z − c) i Γ log (z)
F =
−
−
2π
2π
2π
(5.3.81)

F6:F=F15+F2;
図 5.3.47: 円柱の外に置いた渦糸の運動

DF6:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F6),z,1);
VXY1:v[x]-%i*v[y]=rhs(DF6);
VXY2:subst([z=r*%e^(%i*\theta),/* 円柱の外に置いた渦糸の運動 */c=r*%e^(%i*\theta)],VXY1);

kill(all);VX1:v[x]=realpart(rhs(VXY2));

declare(z,complex);

VY1:v[y]=-imagpart(rhs(VXY2));

declare(F,complex);

VR1:v[r]=v[x]*cos(\theta)+v[y]*sin(\theta);

declare(c,complex);

VT1:v[\theta]=-v[x]*sin(\theta)

F0:-%i*\Gamma*log(z-c)/2/%pi;+v[y]*cos(\theta);

subst([z=A^2/conjugate(z)],F0);

VR2:trigsimp(subst([VX1,VY1],VR1));

conjugate(%);

VT2:trigsimp(subst([VX1,VY1],VT1));

F1:(%i*Gamma*(log(A^2/z-conjugate(c))))

PS1:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,/(2*%pi);c=r*%e^(%i*\theta)],rhs(F5)));

FF1:F=F0+F1;

subst([\Gamma=1,A=1,r=1.5,\theta=0],PS1);

factor(logcontract(%));
F11:factor(F1);subst([x=1,y=0],%);
円柱の外に置いた渦糸の移動速度は、(5.3.81) 式から、

F2:-%i*\Gamma*log(z)/2/%pi;

右辺第二項の渦糸自体の複素ポテンシャルを除き、下記

F12:F11-F2;のから求められる。

F13:logcontract(F12);
F3:-%i*Gamma*log(-1/(conjugate(c)))/2/%pi;
F14:F13-F3;
F15:expand(logcontract(F14));
F4:F=F0+F15+F2+F3;
F5:F=F0+F15+F2;
z = c = R ei θ に渦循環強さ：Γ の渦糸を置いたときの複素ポテンシャル：F0 は (5.1.31) 式から、

F0 = −i Γ log (z)
+
2π

2π

d
iΓ
iΓ
(
f = vx − i v y = −
+
2)
dz
2πz
2 π z − Ac
=−

iΓ
iΓ
(
+
2)
2πz
2 π z − Ac

渦糸位置：z = r ei θ , c = r ei θ を代入すると、

i Γ log (z − c)2π5.1.16 円定理 (109 ページ) から、半径：A の円が境界となるための複素ポテンシャル：F1 は、
( 2
)
( ( 2
))
i Γ log Az − ci Γ log Az − c
F1 =
=
2π
2π

f =−

(
)
2
i Γ log z − Acvx − i v y = −i Γ e−i θ
iΓ
(
)
+
iθ
2
2πr
2 π r ei θ − e Ar(5.3.80)

第 5 章 2 次元完全流体

162
上式から、vx , vy は、()
sin(θ) A2
Γ
r
sin
(θ)
−
r
Γ sin (θ)((
vx = −
+
)2 (
)2 )
2
2πr
sin(θ) Acos(θ) A22πr sin (θ) −+ r cos (θ) −
r
r
(
)
A2
Γ r cos (θ) + cos(θ)
rΓ cos (θ)((
vy = −)2 ()2 ) + 2 π rsin(θ) A2cos(θ) A22πr sin (θ) −+ r cos (θ) −rrvx , vy と円柱座標の vr , vθ の関係は、
vθ = cos (θ) vy −sin (θ) vx

vr = sin (θ) vy +cos (θ) vx ,上式を代入すると、

vr = 0,vθ =Γ A2
2 π r A2 − 2 π r 3

r > A であるから、Γ > 0 とすると、vθ < 0 となり、渦糸は時計方向へ回る。

(5.3.81) 式に c = r ei θ を代入する。複素ポテンシャ
ルの虚部が流れ関数：Ψ となり、
((
)2 (
)2 )
(
)
cos(θ) A2
A2
(
)
2
2
+
x
−
Γ log
y − sin(θ)Γ log (y − r sin (θ)) + (x − r cos (θ))
rr
Γ log y 2 + x2
−
−
Ψ=
4π
4π
4π

Γ = 1, A = 1, r = 1.5, θ = 0 を上記に代入し、下記のgnuplot から、流線は下記となる。
#!/gnuplot
set xrange [-2:5]
set yrange [-3:3]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -19.93547,
0.02,20
unset keyunset surface
set view map
splot -log(y**2+x**2)/(12.56636)+log(y**2+(x-0.66666666666667)**2)/(12.56636)-log(y**2+(x-1.5)**2)/(12.56636)#

EOF

図 5.3.48: 円柱の外に置いた渦糸の流線 (Γ = 1, A =1, r = 1.5, θ = 0)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

例題 5.3.20
渦対

一様流中に置いた円柱の背後のx 軸方向、流速：U の一様流中に置いた半径：A の円柱の外の z = c, c の渦対の流れを求める。

163
以上から、全体の複素ポテンシャル：F は、
(
(
)
)
A2
A2
i
Γ
log
z
−
i
Γ
log
z
−
2
c
c
A U
F =
+zU −
+
z
2π
2π
i Γ log (z − c) i Γ log (z − c)
−
+
2π
2π
(5.3.82)

F4:F=rhs(F3)-(%i*Gamma*log(z-c))/(2*%pi);
DF4:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F4),z,1);DF40:subst([z=c],rhs(DF4)=0);
DF41:rest(lhs(DF40),-3);
DF5:DF41=-(lhs(DF40)-DF41);
DF51:factor(%);
DF52:DF51/(A-c)/(A+c)*c^2/\Gamma;
conjugate(rhs(DF52))=rhs(DF52);
DF53:factor(lhs(%)-rhs(%)=0);
DF6:A^4-2*c*conjugate(c)*A^2+
c*conjugate(c)^3-c^2*conjugate(c)^2+c^3*conjugate(c)=0;
図 5.3.49: 一様流中に置いた円柱の背後の渦対

DF61:A^4-2*c*conjugate(c)*A^2+c^2*conjugate(c)^2;
DF62:lhs(DF6)-DF61;/* 円柱の背後の渦対 */DF63:factor(DF61)=-factor(DF62);

kill(all);

DF7:factor(subst([c=r*%e^(%i*\theta)],declare(z,complex);DF63));

declare(F,complex);

DF71:trigsimp(realpart(DF7));

declare(c,complex);

DF72:trigsimp(imagpart(DF7));

assume(r>A);

subst([8*r^4*sin(theta)^4=a],%);

F0:U*z+U*A^2/z;

DF721:solve(%,a)[1];F1:-(%i*Gamma*log(z-A^2/conjugate(c)))

subst([8*r^4*sin(theta)^4=a],DF71);/(2*%pi)+(%i*Gamma*log(z-c))/(2*%pi)

trigsimp(subst([DF721],%));+(%i*Gamma*log(z))/(2*%pi);

DF711:factor(subst([sin(2*\theta)=

F2:+(%i*Gamma*log(z-A^2/conjugate(conjugate(c))))/(2*%pi)-(%i*Gamma*log(z-conjugate(c)))/(2*%pi)-(%i*Gamma*log(z))/(2*%pi);
F3:F=F0+F1+F2;
一様流の複素ポテンシャルは、(5.3.10) 式から、
A2 U
F0 =
+zU
z
z = c に渦循環強さ：Γ の渦糸を置いたときの複素ポテ
ンシャル：F1 は、(5.3.81) 式から、()
2i Γ log z − Aci Γ log (z − c) i Γ log (z)F1 = −
+
+
2π
2π
2π

x 軸に対称の z = c に渦循環強さ：−Γ の渦糸を置いた
ときの複素ポテンシャル：F2 は、()
2i Γ log z − Aci Γ log (z − c) i Γ log (z)
F2 =
−
−
2π
2π
2π

2*sin(\theta)*cos(\theta)],%));
DF712:factor(solve(%,sin(\theta)^2)[1]);DF713:solve(DF712,sin(\theta))[1];DF714:solve(DF713,\theta)[1];z = c における渦糸の移動速度は、それ自体の複素ポテ
ンシャルを除いて、)(
2i Γ log z − Ac

2

F =

A U
+zU −
z
i Γ log (z − c)
−
2π

2π

+

)
(
2
i Γ log z − Ac2π

渦糸の移動速度は ddz F = vx −i vy からこれを零と置き、

d
iΓ
iΓ
A2 U
(
(
F =− 2 +U −
2) +
2)
dz
z
2 π z − Ac
2 π z − Ac−iΓ=02 π (z − c)

第 5 章 2 次元完全流体

164
上式を整理すると、()
i c2 A4 + c2 A2 − 3 c c A2 + c3 c
U
− =−
2
2
Γ
2 π (c − c) (A − c) (A + c) (A2 − c c)
(5.3.83)(5.3.83) 式を変形し、(5.3.84) 式を代入し、()2
U −i c2 A2 − c c − i c2 c (c − c) (A − c) (A + c)
− =
2
2
Γ
2 π (c − c) (A − c) (A + c) (A2 − c c)2

i c3 c (c − c) − i c2 c (c − c) (A − c) (A + c)

上式の左辺は実数であるから、上式の右辺とその共役複=素数は等しい。これを整理して、()
i (c + c) A2 A4 − 2 c c A2 + c c3 − c2 c2 + c3 c
−
=0
2
2
2
2
2 π (A − c) (A + c) (A − c) (A + c)

=−

上式から、

2

2

2 π (A − c) (A + c)

2

上式から、

A − 2ccA + cc − c c + c c = 0
4

2

3

2 2

3

2 i π A 4 − 4 i π c 2 A2 + 2 i π c 4
Γ
=−
U
c2 c

整理して、

(

2

2 π (c − c) (A − c) (A + c) (A2 − c c)i c2 c)22
A2 − c c = −c c (c − c)

(5.3.84)c = r ei θ を代入し、()2 ( i θ)222(A − r) (A + r) = −r4 e−2 i θ ei θ − 1
e +1
上式の実部は、

c = r ei θ を代入し、その実部は、
2 π sin (θ) A4
Γ
=−
U
r3
3
2
4 π sin (θ) A2
4 π cos (θ) sin (θ) A2
−
−
r
r
5
2
3
− 2 π r sin (θ) + 4 π r cos (θ) sin (θ) + 6 π r

3A4 − 2 r2 A2 + r4 = 8 r4 cos (θ) sin (θ) sin (2 θ)()
24+ 4 r4 sin (θ) − 8 r4 sin (θ) cos (2 θ)

虚部は、
(
)
4
2
0 = 8 r4 sin (θ) − 4 r4 sin (θ) sin (2 θ)

PS1:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,3

4(5.3.86) 式を代入し、渦循環強さの関係式が得られる。
)
22 (2 π (A − r) (A + r) A2 + r2
Γ
=
U
r5

+ 8 r cos (θ) sin (θ) cos (2 θ)

c=r*%e^(%i*\theta)],rhs(F3)));

上記の実部と虚部の関係から、渦糸が静止する位置関係

TH1:subst([A=1,r=1.3],DF714);式が得られる。

GM1:subst([A=1,r=1.3,U=1,TH1],DF83);
PS2:subst([A=1,r=1.3,U=1,TH1,GM1],PS1);

2

2(A − r) (A + r) = 4 r sin (θ)
42(5.3.85)

0 < θ < π/2 の範囲では、
sin (θ) = −subst([x=1,y=0],PS2);
流れ関数は複素ポテンシャル：(5.3.82) 式に z = x +i y, c = r ei θ を代入し、その虚部から得られ、

A −r
2 r2
2

2

(5.3.86)Ψ=−

上記の曲線は r → ∞ のとき、θ → π/6 に漸近する。
DF8N:num(rhs(DF52));

DF8N1:-%i*c^2*(A^4-2*c*conjugate(c)*A^2++c^2*conjugate(c)^2);
DF8N2:DF8N-DF8N1;
DF8:lhs(DF52)=(factor(DF8N1)+factor(DF8N2))/denom(rhs(DF52));
subst([DF63],%);

DF82:factor(subst([c=r*%e^(%i*\theta)],%));
expand(realpart(%));
subst([cos(\theta)^4=(1-sin(\theta)^2)^2,
cos(\theta)^2=1-sin(\theta)^2,DF713],%);
DF83:factor(%);

((
Γ log

−
−

DF81:factor(%);
solve(%,\Gamma)[1]/U;

y A2 U+yU
y 2 + x2
((
)2 )
)2 (
sin(θ) A2cos(θ) A2
Γ log+y + x−rr+

A2
y − sin(θ)
r

4π
)2

(
)2 )
cos(θ) A2
+ x−
r

4π
(
)
2
2
Γ log (y + r sin (θ)) + (x − r cos (θ))(

4π2

Γ log (y − r sin (θ)) + (x − r cos (θ))
4π

2

)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

165#!/gnuplot
set xrange [-2:5]
set yrange [-3:3]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -20,0.1,20
unset keyunset surface
set view map
splot -0.17246608473631*log((y+0.26538461538462)**2+(x-1.272623670185794)**2)+0.17246608473631*log((y+0.15703231679563)**2+(x-0.75303175750639)**2)-y/(y**2+x**2)+y-0.17246608473631*log((y-0.15703231679563)**2+(x-0.75303175750639)**2)+0.17246608473631*log((y-0.26538461538462)**2+(x-1.272623670185794)**2)#

EOF

図 5.3.50: 一様流中に置いた円柱の背後の渦対 (A =1, r = 1.3, U = 1)

図 5.3.51: 一様流中に置いた円柱の背後の渦対 (A =1, r = 1.6, U = 1)

第 5 章 2 次元完全流体

166

例題 5.3.21

渦列

x 軸上に a 間隔に渦循環強さ：Γ の渦糸を置いたときの流れを求める1 。

LSUM2:logcontract(%);
L1:z^7-14*a^2*z^5+49*a^4*z^3-36*a^6*z;
L2:factor(%);
L3:z*(z^2-(3*a)^2)*(z^2-(2*a)^2)*(z^2-a^2);
L4:z*(1-(z/(3*a))^2)*(1-(z/(2*a))^2)*(1-(z/a)^2)*(-(a^2))*(-(2*a)^2)*(-(3*a)^2);
logexpand: all;expand(log(L4));
logexpand: false;-%i*\Gamma/2/%pi*(log(z)+sum(log(1-(z/a)^2/n^2),n,1,inf));-%i*\Gamma/2/%pi*(log(z*product(1-(z/a)^2/n^2,n,1,inf)));

図 5.3.52: 渦列まわりの流れ

SIN1:%pi*x*product((1-x^2/n^2),n,1,inf)=sin(%pi*x);log(lhs(SIN1))=log(rhs(SIN1));/* 渦列 */-%i*\Gamma/2/%pi*subst([x=z/a],%);

kill(all);

F4:F=rhs(%);
上式をまとめると、()
i Γ log z 7 − 14 a2 z 5 + 49 a4 z 3 − 36 a6 z
F =−2π
log の中を下記のように整理する。

declare(z,complex);declare(F,complex);declare(c,complex);
assume(a>0);F0:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z);F1:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-a)-%i*\Gamma/2/%pi*log(z+a);z 7 −14 a2 z 5 + 49 a4 z 3 − 36 a6 z
(
)(
)(
)
z2
z2
z2
6
= −36 a z 1 − 2
1−
1−
a
4 a2
9 a2

F2:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-2*a)-%i*\Gamma/2/%pi*log(z+2*a);F3:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-3*a)-%i*\Gamma/2/%pi*log(z+3*a);
LSUM1:F=F0+F1+F2+F3;
原点に置いた渦糸の複素ポッテンシャル：F0 は、

F0 = −i Γ log (z)2πx = ±a に置いた渦糸の複素ポッテンシャル：F1 は、
F1 = −i Γ log (z + a) i Γ log (z − a)−2π2π

同様に、x = 0, ±a, ±2a, ±3a に置いた渦糸の複素ポッ

上式を log の中に代入し、展開すると、
(
(
)
(
)
iΓ
z2
z2
F =−
log 1 −+ log 1 −
2π
9 a2
4 a2
(
)
)
2
z
+ log 1 − 2 + log (z) + 6 log (a) + log (−36)
a定数項を削除し、n = 3 項までを n → ∞ とすると、
)
(( ∞
))
(
∑
iΓ
z2
F =−
+ log (z)log 1 − 2 2
2π
a n
n=1
)
( ∞
∏
iΓ
z2
=−
log z
1− 2 22π
a nn=1

テンシャル：F は、F =−i Γ log (z + 3 a) i Γ log (z + 2 a)−2π
2πi Γ log (z + a)−
2πi Γ log (z − a) i Γ log (z − 2 a)
−
−
2π
2π
i Γ log (z − 3 a) i Γ log (z)
−
−
2π
2π

1 L. M. Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth

Edition 15) , 13.71 P.373

下記の公式を活用し、

πx

∞
∏
n=1

1−

x2
= sin (π x)n2x 軸上に a 間隔に無限個の渦糸を置いたときの複素ポテ
ンシャルは下記となる。
(
)
∞
iΓ
πz ∏
z2
F =−
log
1− 2 22π
a n=1
a n( ( π z ))iΓ=−log sin2π
a(5.3.87)

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

167
gnuplot を使った流線は下記のようになる。

(1) 渦列の移動速度と周辺流速#!/gnuplot
F5:F=rhs(F4)-F0;

set xrange [-2:2]

DF5:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F5),z,1);

set yrange [-2:2]

DF51:limit(rhs(%),z,0);

set isosamples 150,150

DF4:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F4),z,1);

set contour base

COS2:cos(c)=(%e^(%i*c)+%e^(-%i*c))/2;

set cntrparam levels incremental -20,0.02

SIN2:sin(c)=(%e^(%i*c)-%e^(-%i*c))/%i/2;
COS3:subst([c=%pi*z/a],COS2);,20
unset key

SIN3:subst([c=%pi*z/a],SIN2);
DF41:lhs(DF4)=subst([COS3,SIN3,z=%i*y],rhs(DF4));

unset surface
set view map
splot -log(sqrt(cos(3.14159*x)**2’diff(F,z,1)=limit(rhs(DF41),y,inf);*sinh(3.14159*y)**2+sin(3.14159*x)**2’diff(F,z,1)=limit(rhs(DF41),y,minf);*cosh(3.14159*y)**2))/(2*3.14159)

PS1:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y],#

EOF

rhs(F4)));
subst([a=1,\Gamma=1],PS1);
原点に置いた渦糸の移動速度を求める。原点の渦糸の複素ポテンシャルを除き、( ( ))i Γ log sin πaz
i Γ log (z)
+
f =−
2π
2π
原点の渦糸の移動速度は下記となる。
( )i Γ cos πazdiΓ(π z) +
f = vx −i vy = −
→0
dz
2πz
2 a sin a(z → 0)(5.3.88)以上から、渦糸は移動しないで停留する。渦列から離れた位置における流速は、(5.3.87) 式から、
( )i Γ cos πaz
d
(π z)
F =−
dz
2 a sin a
下記の関係を代入し、

ei c + e−i ccos (c) =,2()
i ei c − e−i csin (c) = −2

図 5.3.53: 渦列のまわりの流れ (a = 1, Γ = 1)

渦列から離れた位置における流速は、z = i y を代入し、
( πy
πy )
Γ e a + e− ad(2) 渦列の安定性 原点の渦糸が直線上の列から外れた
( −πy
F =
πy )
dz
2a e a − e a
場合
以上から、

DF51:subst([cos((%pi*z)/a)=cot((%pi*z)/a)dΓF = vx = −dz
2a(y >> a)Γd
F = vx = +(y << −a)dz
2a
渦列より十分上では、x 軸方向と逆方向の一様流となり、渦列より十分下では、x 軸方向の一様流なる。流れ関数：*sin((%pi*z)/a)],DF5);
DF52:lhs(%)=subst([z=d[0]],rhs(%));
DF53:first(rhs(DF52));
DF54:taylor(last(rhs(DF52)),d[0],0,5);lhs(DF5)=DF53+DF54;

DF6:du[0]-%i*dv[0]=rest(rhs(%),-2);
Ψ は (5.3.87) 式に z = x + i y を代入し、虚部をとり、
DF61:subst([d[0]=dx+%i*dy],DF6);(√)( π x )2
( π y )2
( π x )2
( π y )2
Γ log
cos a
sinh a+ sin acosh aΨ=−2π

第 5 章 2 次元完全流体

168

DF62:realpart(DF61);
DF63:imagpart(DF61);
DF62T:’diff(dx(t),t,2)=coeff(rhs(DF62),dy)*’diff(dy(t),t,1);
DF63T:-’diff(dy(t),t,2)=coeff(rhs(DF63),dx)
図 5.3.54: 渦列の安定性 (原点の渦糸が直線上の列から*’diff(dx(t),t,1);
DF64:desolve([DF62T,DF63T],[dx(t),dy(t)]);

外れた場

原点に置いた渦糸の移動速度は、(5.3.88) 式から下記
となる。

( )
i Γ cot πaz
iΓ
d
F =
−
dz
2πz
2a
ここで、原点の渦糸を z = d0 の位置にずらすと、その(3) 渦列の安定性 (渦糸が千鳥状に並んでいる場合)

FM:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-m*a-d[m])渦糸の移動速度は z → d0 に置き換えて、()
i cot π ad0 Γ
d
iΓ
F =
−
dz
2 π d02a

DFM:diff(FM,z,1);

上式の右辺第２項を d0 が十分小さいとして Taylor 展開

ZM2:z[-m]=z-d[-m];すると、

DM1:solve(ZM1,d[m])[1];

−

i cot

(π d )
0aΓ2a-%i*\Gamma/2/%pi*log(z+m*a-d[-m]);
ZM1:z[m]=z-d[m];π i Γ d0iΓπ 3 i Γ d30=−++
2
2 π d06a90 a4
π 5 i Γ d50++ ...
945 a6

DM2:solve(ZM2,d[-m])[1];DFM1:subst([DM1,DM2],DFM);
DFM1T:taylor(first(DFM1),z[m],0,3);
DFM2T:taylor(last(DFM1),z[-m],0,3);’diff(F[m],z,1)=rest(DFM1T,-2)+rest(DFM2T,-2);

上式を代入し、

DFM3:lhs(%)=subst([ZM1,ZM2,z=d[0]],rhs(%));

dΓ π i d0
Γ π 3 i d30
Γ π 5 i d50
F =
+
+
+ ...
2
4
dz
6a
90 a
945 a6d0 の高次項を省略し、渦糸の移動速度は、d0

DMC0:d[0]=d;→ i dy +dx を代入し、DMC1:d[m]=d*cos(m*\theta);
DMC2:d[-m]=d*cos(-m*\theta);
DFM4:factor(subst([DMC0,DMC1,DMC2],DFM3));
DFM5:’diff(F[0],z,1)=sum(rhs(DFM4),m,1i π (i dy + dx) Γi π d0 Γ=
du0 − i dv 0 =
6 a2
6 a2

,inf);

上式の、実部、虚部は、

SUMC:sum((cos(m*\theta)-1)/m^2,m,1,inf)

π dy Γ
du0 = −,
6 a2

π dx Γ
−dv 0 =
6 a2

上式を時間：t で更に微分し、()
π Γ ddt dy (t)d2dx (t) = −
,
d t2
6 a2

=1/4*\theta*(2*%pi-\theta);()π Γ ddt dx (t)d2− 2 dy (t) =dt
6 a2

上記の連立微分方程式の解は、下記となり、原点から少し離れたの渦糸は原点に戻らず、離れ、不安定となる。
(
)
(
))
πΓt (
e− 6 a2 18 a4 ddt dy (t) t=0 + 18 a4 ddt dx (t) t=0
dx (t) = −6 π a2 Γ
(
(
)
(
))
)
πΓt (
e 6 a2 18 a4 ddt dy (t) t=0 − 18 a4 ddt dx (t) t=0
6 a2 ddt dy (t) t=0 + π dx (0) Γ−+
6 π a2 ΓπΓe− 6 a2πΓt

dy (t) = −πΓt+e 6 a2

(

(

18 a4

18 a4

)

( d

( d

))

( d

))

4
d t dy (t) t=0 + 18 a
6 π a2 Γ( d)− 18 a4
6 π a2 Γd t dy (t) t=0

d t dx (t) t=0

d t dx (t) t=0

+

6 a2

( d

d t dx (t) t=0πΓ)+ π dy (0) Γ5.3. 二次元完全流体の簡単な例

169
上記を m = 1 → ∞ までの和から、無限に続く渦列に

DFM51:’diff(F[0],z,1)=-%i*d*Gamma/(%pi*a^2)

よる原点の渦糸の移動速度が得られる。

*1/4*\theta*(2*%pi-\theta);
DFM52:du[0]-%i*dv[0]=subst([d=dx+%i*dy,\theta=%pi],rhs(DFM51));idΓdF0 = −dz∑∞

cos(m θ)−1
m2
2
πa

m=1

ところで、下記の公式から、

DFM53R:realpart(DFM52);∞∑
cos (m θ) − 1

DFM53I:imagpart(DFM52);
DFM54R:’diff(dx(t),t,2)=coeff(rhs(DFM53R),

m2

m=1

dy)*’diff(dy(t),t,1);
DFM54I:-’diff(dy(t),t,2)=coeff(rhs(DFM53I),(2 π − θ) θ
4

上式を代入し、di d Γ (2 π − θ) θ
F0 = −dz
4 π a2dx)*’diff(dx(t),t,1);
DFM55:desolve([DFM54R,DFM54I],[dx(t),dy(t)]);=

d = i dy + dx, θ = π を代入し、
du0 − i dv 0 = −i π (i dy + dx) Γ4 a2

実部、虚部は、

du0 =
図 5.3.55: 渦列の安定性 (渦糸が千鳥状に並んでいる場合

原点の渦糸を m = 0 とし、x 軸の正方向の m 番目の渦糸の微小ずれを dm 、負方向の −m 番目の渦糸の微小ずれを d−m とし、この二つの複素ポッテンシャル：Fmは、

i Γ log (z − dm − a m) i Γ log (z − d−m + a m)−
Fm = −
2π2π
上式を z で微分し、

diΓiΓFm = −−dz
2 π (z − dm − a m) 2 π (z − d−m + a m)
微小項を zm , z−m でまとめ、z − dm → zm , z − d−m →z−m に置き換え、
diΓ
iΓ
Fm = −−dz
2 π (zm − a m) 2 π (z−m + a m)zm , z−m で Taylor 展開し、高次項を省略して、
di Γ z−mi Γ zm+Fm =dz
2 π a 2 m2
2 π a2 m2
zm → z − dm , z−m → z − d−m に戻し、z = d0 とおπ dy Γ
,4 a2−dv 0 = −π dx Γ
4 a2

上式を時間：t で更に微分し、)(
π Γ ddt dy (t)d2dx (t) =
,
d t2
4 a2
(
)
π Γ ddt dx (t)d2− 2 dy (t) = −dt
4 a2
上記の連立微分方程式の解は、下記となり、原点から少し離れたの渦糸は原点に戻らず、離れ、不安定となる。

())+ 8 a4 ddt dx (t) t=0
dx (t) =4 π a2 Γ
( d
)
(
))
Γt (
− π4 a4
2
8 a d t dy (t) t=0 − 8 a4 ddt dx (t) t=0e+2) 4πa Γ( d
2
4 a d t dy (t) t=0 − π dx (0) Γ
−
πΓ
πΓt

e 4 a2

(

8 a4

( d

)

(

( d

)

d t dy (t) t=0())+ 8 a4 ddt dx (t) t=0
dy (t) =4 π a2 Γ
)
(
))
(
Γt (
− π4 a2e
8 a4 ddt dy (t) t=0 − 8 a4 ddt dx (t) t=0−2() 4πa Γ4 a2 ddt dx (t) t=0 − π dy (0) Γ
−
πΓ
πΓt

e 4 a28 a4

d t dy (t) t=0

いて、

di Γ (d0 − dm ) i Γ (d0 − d−m )
+
Fm =
dz
2 π a2 m2
2 π a2 m2

上記の結果から、原点の渦糸が直線上の列から外れた場
合でも、渦糸が千鳥状に並んでいる場合でも共に渦列は渦糸が正弦状に並んでいるとして、下記に置き換える。 不安定である。また、原点の渦糸に対する流速は、渦糸が千鳥状に並んでいる方が強く、千鳥状の影響は無視でθ = π とすると、正負が逆の渦列となる。
きない程度ある。

d0 = d,dm = d cos (m θ) ,d−m = d cos (−m θ)di d Γ (cos (m θ) − 1)
Fm = −dz
π a 2 m2

第 5 章 2 次元完全流体

170

例題 5.3.22

Karman 渦列(1)Karman 渦列の相互位置

x 軸上に a 間隔に渦循環強さ：Γ の渦列を置き、s − i b
だけ下に平行移動した位置に同じ a 間隔に逆の渦循環強DF10:’diff(F[11],z,1)=diff(F1-F10,z,1);

さ：−Γ の渦列を置いたときの流れ、安定性について調DF2:’diff(F[21],z,1)=diff(F2,z,1);

べる1 。

V11:lhs(DF10)=limit(rhs(DF10),z,c[1]);V12:lhs(DF2)=limit(rhs(DF2),z,c[1]);V1:u[1]-%i*v[1]=rhs(V11)+rhs(V12);
DF12:’diff(F[12],z,1)=diff(F1,z,1);DF22:’diff(F[22],z,1)=diff(F2-F20,z,1);
V21:lhs(DF12)=limit(rhs(DF12),z,c[2]);V22:lhs(DF22)=limit(rhs(DF22),z,c[2]);V2:u[2]-%i*v[2]=rhs(V21)+rhs(V22);
V23:subst([Z0,Z1],V2);
U3:trigsimp(realpart(V23));
図 5.3.56: Karman 渦列

V3:v[0]=factor(trigsimp(-imagpart(rhs(V23))));/*

A1:solve(rhs(V3)=0,s);Karman 渦列 */kill(all);

A2:A1[1];declare(z,complex);

A3:A1[2];declare(F,complex);

U31:subst([A2],U3);

declare(c,complex);

U32:trigsimp(subst([A3],U3));

declare(d,complex);

PS1:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,Z0,Z1],
rhs(F3)));Z0:c[1]=0;

subst([a=1,b=1,s=0.5,\Gamma=1],PS1);
上の列の z = c1 のおける、上の渦列による流速を求め

Z1:c[2]=s-%i*b;
F1:-%i*\Gamma/2/%pi*log(sin(%pi/a*る。z = c1 の渦糸の複素ポテンシャルを除いた複素ポ(z-c[1])));

テンシャル：F11 から、
( (
))
1)
i Γ log sin π (z−cai Γ log (z − c1 )F11 = −+
2π
2π

F10:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-c[1]);F2:+%i*\Gamma/2/%pi*log(sin(%pi/a*(z-c[2])));
F20:+%i*\Gamma/2/%pi*log(z-c[2]);F3:F=F1+F2;
x 軸上に a 間隔に無限個の渦糸を置いたときの複素ポテ
ンシャルは (5.3.87) 式から下記となる。

F == −(iΓ
log sin
2π( π z ))a

上式を z で微分して、z → c1 とすると下記のように流速は零となる。

(
i Γ cos(5.3.89)

上の渦循環強さ：Γ の渦列の一つが c1 = 0 に、下の渦π (z−c1 )
a

)

d
iΓ
(
)
F11 =
−
dz
2 π (z − c1 ) 2 a sin π (z−c1 )a→0(z → c1 )循環強さ：−Γ の渦列の一つが c2 = s − i b にあるとす

下の列の z = c1 のおける、上の渦列による流速を求める。上式から、Karman 渦列の複素ポテンシャル：F はる。複素ポテンシャル：F21 から、
( (
))
2)
i Γ log sin π (z−c
a
F21 =
2π

下記となる。
( (
))
))
( (
π (z−c1 )2)i Γ log sin π (z−c
i
Γ
log
sin
a
a
F =
−
2π
2π
(5.3.90)

上式を z で微分して、(
i Γ cos

π (z−c2 )
a

)

d
)
(
F21 =
dz
2 a sin π (z−c2 )(5.3.91)a1 L. M. Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth
Edition 15) , 13.72 Karman vortex street,P375

z → c1 とすると z = c1 における流速：u1 , v1 が得られ、()
c1
i cos π c2 −πΓa( π c −π c )u1 − i v1 = −
2
1
2 sin
a
a

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

171

同様にして、下の列の z = c2 のおける流速：u2 , v2 を求

splot log(sin(3.14159*x)**2*sinh(3.14159*y

めると下記となる。

+3.14159)**2+sin(3.14159*x-0.5*3.14159)**2

u2 − i v2 = −()
c1
i cos π c2 −πΓa( π c2 −π
)
c1
a
2 sin
a

*cosh(3.14159*y+3.14159)**2)/(4*3.14159)-log(cos(3.14159*x)**2*sinh(3.14159*y)**2

c1 = 0, c2 = s − i b を上式に代入し、その実部、虚部
から、

(π b)

+sin(3.14159*x)**2*cosh(3.14159*y)**2)/(4*3.14159)
#

(π b)

EOF

cosh a sinh a Γ
( )2
( )2
2 a sin πas + 2 a sinh πab( )( )Γ cos πas sin πas
(
v2 =
( )2
( )2
( )2
( )2 )
2 a cosh πab sin πas + sinh πab cos πasu2 =上記から、一般的に斜めに移動するが、渦列の位置が変化しないためには、v2 = 0 とすると、

s = 0, s =a2

即ち、下の渦糸の縦位置が上と一致している場合：s = 0と下の渦糸の縦位置が上の渦糸の真ん中：s = a2 にある
場合である。このときの渦列の x 方向の移動速度は、( )cosh πab Γ( ) (s = 0)
(5.3.92)u2 =2 a sinh πab

u2 =

sinh

(π b)

Γ
(π b)

a

2 a cosh

a

(s =

a
)
2

図 5.3.57: Karman 渦列(5.3.93)

流れ関数：Ψ は (5.3.90) 式に z = x + i y を代入し、虚部をとり、
(
(
)2
(
)2
(
)2
(
)2 )
Γ log cos πax − πas sinh πay + πab + sin πax − πas cosh πay + πabΨ=4π(( π x )2
( π y )2( )2( )2 )
Γ log cos asinh a+ sin πax cosh πay−
4π

上式に a = 1, b = 1, s = 0.5, Γ = 1 を代入し、gnuplotを用いて流線を求めた結果を下記に示す。

#!/gnuplot
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:1]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -20,0.05,20
unset keyunset surface
set view map

第 5 章 2 次元完全流体

172(2)Karman 渦列の安定性

上式を z で微分して、

例題 5.3.21 から、渦列の安定性の検討には、渦糸が千diΓiΓFm = −−dz
2 π (z − dm − a m) 2 π (z − d−m + a m)

鳥状に並んでいる状態の方がよいことが示されているので、千鳥状に並んでいる場合のみについて検討する。

z → d0 を代入し、d0 , dm , d−m は小さいとして、Taylor
展開し、その高次項を省略すると、

di Γ (d0 − dm ) i Γ (d0 − d−m )
Fm =
+
dz
2 π a2 m2
2 π a2 m2
d0 , dm , d−m を次式のように、振幅：d1 、cos 関数で表現する。θ = π のとき、千鳥配列となる。

d0 = d1 ,dm = d1 cos (m θ) ,d−m = d1 cos (−m θ)

上式を代入し、m 番目と −m 番目の渦糸による x =0, m = 0 における渦糸位置の流速は、
図 5.3.58: Karman 渦列の安定性di d1 Γ (cos (m θ) − 1)
Fm = −dz
π a 2 m2-%i*\Gamma/2/%pi*log(z+m*a-d[-m]);

上式を m = 1 ∼ ∞ までの和をとり、∑∞
θ)−1
i d1 Γ m=1 cos(mdm2
F1 = −dz
π a2

DFM:diff(FM,z,1);

次式の公式を利用する。

FM:-%i*\Gamma/2/%pi*log(z-m*a-d[m])ZM1:z[m]=z-d[m];ZM2:z[-m]=z-d[-m];∞∑cos (m θ) − 1

m2=−(2 π − θ) θ4

DM1:solve(ZM1,d[m])[1];DM2:solve(ZM2,d[-m])[1];

上記公式を代入し、上の渦列による x = 0, m = 0 におDFM1:subst([DM1,DM2],DFM);

ける渦糸位置の流速は次式となる。

DFM1T:taylor(first(DFM1),z[m],0,3);
DFM2T:taylor(last(DFM1),z[-m],0,3);m=1

di d1 Γ (2 π − θ) θF1 =dz
4 π a2(5.3.94)’diff(F[m],z,1)=rest(DFM1T,-2)+rest(DFM2T,-2);

AN1:a[n]=(n+1/2)*a-%i*b;

DFM3:lhs(%)=subst([ZM1,ZM2,z=d[0]],rhs(%));
DMC0:d[0]=d[1];DMC1:d[m]=d[1]*cos(m*\theta);
DMC2:d[-m]=d[1]*cos(-m*\theta);
DFM4:factor(subst([DMC0,DMC1,DMC2],DFM3));
DFM5:’diff(F[1],z,1)=sum(rhs(DFM4),m,1,inf);
SUMC:sum((cos(m*\theta)-1)/m^2,m,1,inf)=-1/4*\theta*(2*%pi-\theta);
DFM51:’diff(F[1],z,1)=%i*d[1]*Gamma/(%pi*a^2)*1/4*\theta*(2*%pi-\theta);
まず、上の渦列で渦列が a の間隔で並んでいる複素ポテンシャル：F1 を求める。この上の渦列の x = 0 における渦糸を m = 0 とし、x 軸の正方向で m 番目のずれを dm 、x 軸の負方向で −m 番目のずれを d−m とする。

x = 0, m = 0 における渦糸位置の流速を求める。m 番
目と −m 番目の渦糸による複素ポテンシャル：Fm は、

Fm = −i Γ log (z − dm − a m) i Γ log (z − d−m + a m)−2π
2πAN2:a[-n]=-(n+1/2)*a-%i*b;
FN:%i*\Gamma/2/%pi*log(z-a[n]-d[n])+%i*\Gamma/2/%pi*log(z-a[-n]-d[-n]);DFN:diff(FN,z,1);
DFNT1:taylor(first(DFN),d[n],0,3);
DFNT2:taylor(last(DFN),d[-n],0,3);
DFN3:’diff(F[n],z,1)=rest(DFNT1,-2)+rest(DFNT2,-2);
DFN31:’diff(F[n1],z,1)=rest(rhs(DFN3),2);
DFN32:’diff(F[n2],z,1)=rest(rhs(DFN3),-2);
subst([AN1,AN2],DFN31);lhs(DFN31)=subst([z=d[1]],rhs(DF2));
subst([cos((%pi*(d[1]-c[2]))/a)=cot((%pi*(d[1]-c[2]))/a)*sin((%pi*(d[1]-c[2]))/a)],%);
taylor(rhs(%),d[1],0,3);rest(%,-2);
subst([tan((%pi*c[2])/a)=sin((%pi*c[2])/a)/cos((%pi*c[2])/a)],%);
DFN31T:subst([Z1,s=a/2],%);

5.3. 二次元完全流体の簡単な例

173(5.3.98) 式右辺第１項を ddz F2 とし、c2 → a2 − i b に置

DFN4:’diff(F[2],z,1)=last(DFN31T);

き換え、整理すると、( )sinh πab Γ
d
( )
F2 =
dz
2 a cosh πab

DFN4R:realpart(rhs(DFN4));DFN4I:imagpart(rhs(DFN4));
DFN41:lhs(DFN4)=DFN4R;(5.3.99)

DFN5:’diff(F[3],z,1)=first(DFN31T);(5.3.98) 式右辺第２項を ddz F3 とし、c2 → a2 − i b に置

factor(expand(%));

き換え、整理すると、

DFN51:trigsimp(%);
次に、下の渦列で上の渦列に比べ a2 だけずれ、渦列がd
i π d1 Γ
F3 = −( )22
dz
2 a cosh π ba の間隔で並んでいる複素ポテンシャルおよび下の渦列(5.3.100)aによる上の渦列の x = 0 における渦糸位置：z = d1 の流速を求める。下の渦列の n 番目と −n 番目の渦糸によ

DN1:d[n]=d[2]*cos((n+1/2)*\theta);

る複素ポテンシャル：Fn は、
(
)
(
)
1
1
an = a n +− i b, a−n = a −n −− ib
22
(5.3.95)i Γ log (z − dn − an ) i Γ log (z − d−n − a−n )
+
Fn =
2π
2π
上式を z で微分すると、

DN2:d[-n]=d[2]*cos((n+1/2)*\theta);

d
iΓ
iΓ
Fn =
+
dz
2 π (z − dn − an ) 2 π (z − d−n − a−n )dn , d−n は小さいとして、Taylor 展開し、その高次項を省略すると、

DFN6:lhs(DFN32)=subst([z=d[1]],rhs(DFN32));
DFN61:factor(first(rhs(DFN6)));subst([d[1]=d[N]*a[n]],DFN61);
factor(%);
taylor(%,d[N],0,5);
DFN611:first(%);
DFN62:factor(last(rhs(DFN6)));subst([d[1]=d[N]*a[-n]],DFN62);
factor(%);
taylor(%,d[N],0,5);i Γ dndFn =dz
2 π z 2 − 4 π an z + 2 π a2ni Γ d−n+22 π z − 4 π a−n z + 2 π a2−n
iΓ
iΓ
+
+
2 π z − 2 π an
2 π z − 2 π a−nDFN621:first(%);
DFN63:lhs(DFN6)=DFN621+DFN611;
DFN631:factor(subst([DN1,DN2],DFN63));
subst([AN1,AN2],num(rhs(DFN631)));
DFN63N:factor(expand(%));

上式で、dn , d−n を含まない項：ddz Fn1 と含む項：ddz Fn2

NN1:a[N12]=(n+1/2)*a;に下記のように分ける。

AN3:a[n]=a[N12]-%i*b;

iΓ
d
iΓ
Fn1 =
+
dz
2 π z − 2 π an
2 π z − 2 π a−ndi Γ dnFn2 =dz
2 π z 2 − 4 π an z + 2 π a2ni Γ d−n+2 π z 2 − 4 π a−n z + 2 π a2−n(5.3.96)

AN4:a[-n]=-a[N12]-%i*b;expand(subst([AN3,AN4],a[-n]*a[n]));2*%pi*%^2;(5.3.97)

DFN63D:subst([NN1],%);DFN64:lhs(DFN6)=DFN63N/DFN63D;

dd z Fn1 は下の渦列で一直線に並んでおり、それによるz における流速を表している。これは (5.3.91) 式そのものであり、

DFN65:’diff(F[4],z,1)=sum(rhs(%),n,0,inf);(5.3.97) 式の ddz Fn2 について検討する。dn , d−n , d1が小さいとして、Taylor 展開し、その高次項を省略す
ると、)(
i cos π (d1a−c2 ) Γ
d
)
(
Fn1 =
dz
2 sin π (d1 −c2 ) adi Γ d−ni Γ dn+Fn2 =dz
2 π a2n2 π a2−ndn , d−n を振幅：d2 の cos 形状とし、下記のように定義

acot に置き換え、z → d1 と置き換え、d1 が小さいとして Taylor 展開し、その高次項を省略すると、()
π (d1 −c2 )
i
cot
Γ
a
d
Fn1 =
dz
2a
(
)
( π c )2
2
i
π
d
tan
+
1
Γ
1
a
iΓ
( π c2 ) −=−( π c 2 )2
2 tan a a
2 tan
a2
a

(5.3.98)する。

((
dn = d2 cos

1
n+
2

) )
θ ,

((
d−n = d2 cos

1n+2

上式を代入すると、

d
Fn2 =
dz

(
)
(
)
θ
2
i d2 Γ a2n + a−ncos (2 n+1)22 π a2−n a2n) )θ第 5 章 2 次元完全流体

174(5.3.95) 式を代入し、
i d2 Γ (2 a n − 2 b + a) (2 a n + 2 b + a) cos
d
Fn2 =
(
)2
(
)2
dz
4 π −a2 n + 12 − b2(

(2 n+1) θ
2

上式を n = 0 ∼ ∞ までの和をとり、∞
di d2 Γ ∑ (2 a n − 2 b + a) (2 a n + 2 b + a) cos
F4 =
(
)2
(
)2
dz
4 π n=0−a2 n + 12 − b2()

(2 n+1) θ
2)(5.3.101)
下記の関係から、

DFT:’diff(F,z,1)=rhs(DFM51)+rhs(DFN41)+rhs(DFN51)+rhs(DFN65);
AA1:A=expand(coeff(rhs(DFT),d[1])/%i);

d
d
F
d1 =
dt
dz

CC1:C=coeff(rhs(DFT),d[2])/%i;上の渦列の x = 0 における渦糸位置の流速は下記となる。

DFF1:conjugate(’diff(d[1],t,1))=lhs(DFT);dd1 = i d 2 C + i d 1 A
dt

DFT1:conjugate(’diff(d[1],t,1))=%i*A*d[1]+%i*C*d[2];(5.3.102)上の渦列と下の渦列を置き換えると、Γ → −Γ と置き

DFT2:conjugate(’diff(d[2],t,1))=-(%i*A*d[2]換え、+%i*C*d[1]);dd2 = −i d1 C − i d2 A
dt
(5.3.102) 式の共役複素数をとると、DFT3:(’diff(d[1],t,1))=-%i*A*conjugate(d[1])-%i*C*conjugate(d[2]);DFT4:(’diff(d[1],t,2))=-%i*A*conjugate((5.3.103)dd1 = −i d2 C − i d1 A
dt’diff(d[1],t,1))-%i*C*conjugate(’diff(d[2],t,1));

さらに時間：t で微分すると、DFT41:expand(subst([DFT1,DFT2],%));ddd2
d1 = −id2 C − i
d1 A
d t2
dt
dt

subst([d[1]=d(t)],%);
rhs(AA1)=0;(5.3.102) 式、(5.3.103) 式を代入すると、subst([\theta=%pi],%);
solve(%,cosh((%pi*b)/a))[2];上の渦列の x = 0 における渦糸位置の流速は、(5.3.94)

d2
d1 = d1 A2 − d1 C 2
d t2

式、(5.3.99) 式、(5.3.100) 式、(5.3.101) 式の和から下記

上式から、安定条件は A2 − C 2 < 0 である。これから、のように得られる。ここで右辺第３項は定常項で安定性の検討には省くことができる。

di d2 Γ ∑ (2 a n − 2 b + a) (2 a n + 2 b + a) cos
F =
)2
(
(
)2
dz
4 π n=0−a2 n + 12 − b2
( )sinh πab Γi d1 Γ (2 π − θ) θ( )++4 π a22 a cosh πab∞i π d1 Γ−( )2
2 a2 cosh πab

A = 0 が安定条件となり、次式を得る。
((2 n+1) θ
2

)

−

Γθ
πΓ
Γ θ2
+
−
( )2 = 02
4 π a22 a2
2 a cosh π ba

上式で、渦列が千鳥状態となる θ = π を代入すると、πΓπΓ−( )2 = 02
4 a2
2 a cosh π ba

下記のように置き換え、

Γθ
πΓ
Γ θ2
+
−
A=−
( )2
2
4 π a22 a2
2 a cosh π ba∞Γ ∑ (2 a n − 2 b + a) (2 a n + 2 b + a) cos
C=
)2
(
(
)2
4 π n=0−a2 n + 12 − b2(

以上から安定条件は下記となる。
( )
√
πb
cosh
= 2, b = 0.281aa)(2 n+1) θ
2

175

第 6 章 3 次元完全流体
6.1

軸対称の流れLXR1:diff(XR,x,1);

6.1.1

速度ポッテンシャルの極座標表示

軸対称の流れ表示として、極座標から z 軸対称として、速度ポテンシャルの表示式を求める。下記に極座標

LYR1:diff(YR,x,1);
LZR1:diff(ZR,x,1);
solve([LXR1,LYR1,LZR1],[’diff(r,x,1),’diff(\theta,x,1),’diff(\phi,x,1)]);系を示す。

LXYZR1:trigsimp(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,1);
LYR2:diff(YR,y,1);
LZR2:diff(ZR,y,1);solve([LXR2,LYR2,LZR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1),’diff(\phi,y,1)]);LXYZR2:trigsimp(%)[1];
LXR3:diff(XR,z,1);
LYR3:diff(YR,z,1);
LZR3:diff(ZR,z,1);
solve([LXR3,LYR3,LZR3],[’diff(r,z,1),’diff(\theta,z,1),’diff(\phi,z,1)]);LXYZR3:trigsimp(%)[1];
上記の関係から、
図 6.1.1: 極座標系/* 座標変換 極座標へ → 軸対称流れの速度ポッテ
ンシャルと流れ関数*/

kill(all);load("vect")depends(r,[t,x,y,z]);depends(\phi,[t,x,y,z]);depends(\theta,[t,x,y,z]);depends(\Phi,[r,\theta,\phi]);
XR:x=r*sin(\theta)*cos(\phi);
YR:y=r*sin(\theta)*sin(\phi);
ZR:z=r*cos(\theta);
上記で$が記入できないので、Maxima 実行時には
load(”vect”) →load(”vect”)$として実行願う。
xyz 座標と極座標の関係は、
x = cos (ϕ) r sin (θ)
y = sin (ϕ) r sin (θ)
z = r cos (θ)

ddcos (ϕ) cos (θ)
r =cos (ϕ) sin (θ) ,
θ=
,
dx
dx
r
d
sin (ϕ) dd
ϕ=−r = sin (ϕ) sin (θ) ,dx
r sin (θ) d ydycos (ϕ)sin (ϕ) cos (θ) d
,
ϕ=
θ=
r
dy
r sin (θ)
ddsin (θ) dr =cos (θ) ,
θ=−
,
ϕ=0
dz
dz
r
dz
(6.1.1)
速度の xyz 成分は下記である。ここで load(”vect”)$とdepends 関数を使用すれば、下記の展開が容易に行える。
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vx =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dx
dθ
dx
dr
dx
(
)(
)
d
d
+
ϕ
Φ
dx
dϕ
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vy =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dy
dθ
dy
dr
dy
(
)(
)
d
d
+
ϕ
Φ
dy
dϕ
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vz =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dz
dθ
dz
dr
dz
(
)(
)
d
d
+
ϕ
Φ
dz
dϕ
(6.1.2)

第 6 章 3 次元完全流体

176
xyz 座標から極座標に変換する下記の変換マトリック
ス：T R を掛けることにより、速度の極座標表示を得る
ことができる。
cos (ϕ) cos (θ)
T R =  −sin (ϕ)

cos (ϕ) sin (θ)

sin (ϕ) cos (θ) −sin (θ)
cos (ϕ)0 sin (ϕ) sin (θ) cos (θ)(6.1.3)/* nabla^2 */NABA:’diff(\Phi,x,2)+’diff(\Phi,y,2)+’diff(\Phi,z,2)=0;
ADDFX1:’diff(\Phi,x,2)=diff(\Phi,x,2);
ADFDX2:subst(LXYZR1,%);ADFDY1:’diff(\Phi,y,2)=diff(\Phi,y,2);
ADFDY2:subst(LXYZR2,%);ADFDZ1:’diff(\Phi,z,2)=diff(\Phi,z,2);
ADFDZ2:subst(LXYZR3,%);

TR:matrix([cos(\theta)*cos(\phi),cos(\theta)*sin(\phi),-sin(\theta)],

LXDDR1:diff(XR,x,2);[-sin(\phi),cos(\phi),0],LXDDR2:subst(LXYZR1,%);[sin(\theta)*cos(\phi),LYDDR1:diff(YR,x,2);

sin(\theta)*sin(\phi),LYDDR2:subst(LXYZR1,%);cos(\theta)]);LZDDR1:diff(ZR,x,2);/* grad(\Phi) */LZDDR2:subst(LXYZR1,%);

grad(\Phi);

trigsimp(solve([LXDDR2,LYDDR2,LZDDR2],

GRADXYZ:transpose(express(%));[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2),

matrix([v[x]],[v[y]],[v[z]])=GRADXYZ;’diff(\phi,x,2)])[1]);

ADFX1:’diff(\Phi,x,1)=diff(\Phi,x,1);

NABRAX:subst(%,ADFDX2);

ADFX2:subst(LXYZR1,%);LXDDR11:diff(XR,y,2);

ADFY1:’diff(\Phi,y,1)=diff(\Phi,y,1);

LXDDR21:subst(LXYZR2,%);

ADFY2:subst(LXYZR2,%);LYDDR11:diff(YR,y,2);
LYDDR21:subst(LXYZR2,%);

ADFZ1:’diff(\Phi,z,1)=diff(\Phi,z,1);
ADFZ2:subst(LXYZR3,%);
expand(TR.matrix([rhs(ADFX2)],[rhs(ADFY2)],LZDDR11:diff(ZR,y,2);
LZDDR21:subst(LXYZR2,%);
trigsimp(solve([LXDDR21,LYDDR21,LZDDR21],[rhs(ADFZ2)]));GRADA:matrix([v[\theta]],[v[\phi]],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2),[v[r]])=trigsimp(%);−→
V の xyz 座標表記は、   d Φvx−→    ddx 
V =  vy  =  d y Φ ’diff(\phi,y,2)])[1]);NABRAY:subst(%,ADFDY2);LXDDR12:diff(XR,z,2);
LXDDR22:subst(LXYZR3,%);(6.1.4)

d
dz Φ

vz

LYDDR22:subst(LXYZR3,%);上式に (6.1.2) 式および (6.1.1) 式を代入し、(6.1.3) 式の−→変換マトリックスを掛けることにより、下記の V の最右辺に極座標表記が得られる。



vθ



−
→  
V =  vϕ  =
vr

(

)
TR

 d





d
dθ Φ

LZDDR12:diff(ZR,z,2);
LZDDR22:subst(LXYZR3,%);solve([LXDDR22,LYDDR22,LZDDR22],



r
dx Φ

d
 d  dϕ Φ =Φ d y   r sin(θ) 
d
d
dz Φ
dr Φ

[’diff(r,z,2),’diff(\theta,z,2),(6.1.5)’diff(\phi,z,2)])[1];
NABRAZ:subst(%,ADFDZ2);NABRA1:rhs(NABRAX)+rhs(NABRAY)

速度ポテンシャル：Φ の質量保存の方程式 (2.9.2) 式、+rhs(NABRAZ)=0;
NABRA2:expand(trigsimp(expand(%)));(32 ページ) から下記である。
d2
d2
d2
Φ+
Φ+
Φ=0
2
2
dz
dy
d x2

LYDDR12:diff(YR,z,2);(6.1.6)

6.1. 軸対称の流れ

177

上式の左辺最終項は下記のように展開できる。
() (()( 2 ) (
)( 2
) (
)( 2
))
d2
d
d
d
d
d
d
d
Φ=
θ
θ
A +
r
Φ +
ϕ
Φ
d x2
dx
dx
d θ2
dx
drdθ
dx
dϕdθ
( 2 )() () (()( 2 ) (
)( 2
) (
)( 2
))
d
d
d
d
d
d
d
d
d
+
θ
Φ +
r
r
Φ +
θ
Φ +
ϕ
Φ
d x2
dθ
dx
dx
d r2
dx
drdθ
dx
dϕdr
( 2 )() () (()( 2 ) (
)( 2
) (
)( 2
))
d
d
d
d
d
d
d
d
d
+
r
Φ +
ϕ
ϕ
Φ +
θ
Φ +
r
Φ
d x2
dr
dx
dx
d ϕ2
dx
dϕdθ
dx
dϕdr
( 2 )(
)
d
d
+
ϕ
Φ
d x2
dϕ

d2
d2
d y 2 Φ, d z 2 Φ も同様に求め、(6.1.1) 式を代入し、質量保存の方程式：(6.1.6) 式に代入し、整理すると下記の極座標表示を得る。

(d

)
) d2
(
d2
2 ddr Φd2
d ϕ2 Φd θ Φ cos (θ)
d θ2 Φ
+
+
+
+
Φ=0
2
r2 sin (θ)
r
r2
d r2
r2 sin (θ)/* z 軸対称の速度ポッテンシャル */NABRA21:expand((first(lhs(NABRA2))+rest(lhs(NABRA2),2))*r^2)=0;
NABRA21R:’r^2*’diff(\Phi,r,1);
NABRA21R1:’diff(%,r,1)=ev(diff(%,r,1),
diff);NABRA21T:’sin(\theta)*’diff(\Phi,\theta,1);
NABRA21T1:’diff(%,\theta,1)/sin(\theta)=expand(ev(diff(%,\theta,1),diff)/sin(\theta));
NABRA22:lhs(NABRA21R1)+lhs(NABRA21T1)=0;
PTR:v[r]=’diff(\Phi,r,1);
PTT:v[\theta]=’diff(\Phi,theta,1)/r;z 軸まわりの軸対称であることを考慮すると、ϕ の微分項は零となり、
(d )
( 2 )
(
)
d
d
d2
2
d θ Φ cos (θ)
+
Φ
r
+2
Φ
r+ 2 Φ = 0
2
sin (θ)drdrdθ(6.1.7)
更に整理すると、(( d )
)
((
) )
d
d
d
dθ
d θ Φ sin (θ)+Φ r2 = 0 (6.1.8)
sin (θ)dr
dr
流速成分は、(6.1.5) 式から、

vr =

d
Φ,
dr

d

vθ = d θrΦ(6.1.9)

第 6 章 3 次元完全流体

178

6.1.2

速度ポッテンシャルの円柱座標表示
TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta),0],軸対称の流れ表示として、円柱座標から z 軸対称とし[-sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);て、速度ポテンシャルの表示式を求める。下記に円柱座

depends(\Phi,[r,\theta,z]);標系を示す。

ADFX1:’diff(\Phi,x,1)=diff(\Phi,x,1);
ADFX2:subst(LXYR1,%);ADFY1:’diff(\Phi,y,1)=diff(\Phi,y,1);
ADFY2:subst(LXYR2,%);
expand(TR.matrix([rhs(ADFX2)],[rhs(ADFY2)],[’diff(\Phi,z,1)]));GRADA:trigrat(%);
速度の xy 成分は、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vx =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dx
dθ
dx
dr
dx
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
vy =
Φ=
Φ
θ +
Φ
r
dy
dθ
dy
dr
dy
(6.1.11)xyz 座標から円柱座標に変換する下記の変換マトリック
ス：T R を掛けることにより、速度の円柱座標表示を得

図 6.1.2: 円柱座標系

ることができる。

/*座標変換 円柱座標へ*/

cos (θ)
T R = −sin (θ)

kill(all);load("vect")0

depends(r,[t,x,y]);0

cos (θ)


0

0

1

−
→
V の xyz 座標表記は、   d Φvx−→    ddx 
V =  vy  =  d y Φ depends(\theta,[t,x,y]);depends(z,[t]);XR:x=r*cos(\theta);
YR:y=r*sin(\theta);vz

LXR1:diff(XR,x,1);ddz Φ

上式に (6.1.10) 式および (6.1.11) 式を代入し、変換マト−→リックスを掛けることにより、下記の V の最右辺に円

LYR1:diff(YR,x,1);
solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),

柱座標表記が得られる。

’diff(\theta,x,1)]); d  vr( ) ddx Φ
dr Φ
−
→  
 d   ddθ Φ 
V = vθ  = T R  d y Φ =  r  (6.1.12)
d
d
vz
dz Φ
dz Φ

LXYR1:trigrat(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,1);
LYR2:diff(YR,y,1);solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1)]);
LXYR2:trigrat(%)[1];
上記で$が記入できないので、Maxima 実行時には
load(”vect”) →load(”vect”)$として実行願う。
xyz 座標と円柱座標の関係は、
x = r cos (θ)
y = r sin (θ)
上記の関係から、ddsin (θ)r =cos (θ) ,
θ=−
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r =sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r

sin (θ)(6.1.10)

6.1. 軸対称の流れ

179
z 軸まわりの軸対称であることを考慮すると θ の微分項は零となり、速度ポテンシャル：Φ の円柱座標の軸対称/* nabla^2 */NABA:’diff(\Phi,x,2)+’diff(\Phi,y,2)+

表記の質量保存の方程式は、’diff(\Phi,z,2)=0;
ADDFX1:’diff(\Phi,x,2)=diff(\Phi,x,2);
ADFDX2:subst(LXYR1,%);

d
dr Φ

r

+

d2
d2
Φ+
Φ=0
2
dz
d r2

ADFDY1:’diff(\Phi,y,2)=diff(\Phi,y,2);
ADFDY2:subst(LXYR2,%);LXDDR1:diff(XR,x,2);
LXDDR2:subst(LXYR1,%);LYDDR1:diff(YR,x,2);
LYDDR2:subst(LXYR1,%);solve([LXDDR2,LYDDR2],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2)])[1];
NABRAX:subst(%,ADFDX2);LXDDR11:diff(XR,y,2);
LXDDR21:subst(LXYR2,%);LYDDR11:diff(YR,y,2);
LYDDR21:subst(LXYR2,%);solve([LXDDR21,LYDDR21],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2)])[1];
NABRAY:subst(%,ADFDY2);NABRA1:subst([NABRAX,NABRAY],NABA);NABRA2:expand(trigrat(expand(%)));NABRA3:subst([’diff(\Phi,\theta,2)=0],
NABRA2);
速度ポテンシャル：Φ の質量保存の方程式 (2.9.2) 式、(32 ページ) から下記である。
d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d y2
d x2

(6.1.13)

上式の第２項、第３項は下記のように展開できる。
()( 2 ) () (( 2 ) (
) ( 2
)(
))
d2
d
d
d
d
d
d
d
Φ=
Φ
θ +
θ
Φ
θ +
Φ
r
d x2
dθ
d x2
dx
d θ2
dx
drdθ
dx
(
) (( 2)() ( 2 )()) ()( 2 )
d
d
d
d
d
d
d
+
r
Φ
θ +
Φ
r
+
Φ
r
2
dx
drdθ
dx
dr
dx
dr
d x2
(
)
(
)
(
)
(
)
((
)
(
)
(
))
d
d
d
d2
d2
d2
d2
d
Φ
=
θ
+
Φ
Φ
θ
θ
+
Φ
r
2
2
2
dy
dθ
dy
dy
dθ
dy
drdθ
dy
(
) (( 2)() ( 2 )()) ()( 2 )
d
d
d
d
d
d
d
Φ
r
+
r
Φ
θ +
r
+
Φ
2
dy
drdθ
dy
dr
dy
dr
d y2
(6.1.14)
また、(6.1.10) 式を更に微分して、
2

sin (θ)2 cos (θ) sin (θ)
d2
d2
r=
θ=
,
2
2
dx
r
dx
r2
(6.1.15)222dcos (θ) d
2 cos (θ) sin (θ)
r=, 2θ=−d y2rdyr2
質量保存の方程式 (6.1.13) 式に (6.1.14) 式を代入し、更に (6.1.10) 式、(6.1.15) 式を代入し、速度ポテンシャル：Φ の円柱座標の質量保存の方程式は、
d
dr Φ

r

d2
2

+ dθ 2
r

Φ

+

d2
d2
Φ+
Φ=0
2
dz
d r2

(6.1.16)(6.1.17)

第 6 章 3 次元完全流体

180

6.1.3

流れ関数の極座標・円柱座標表示

z 軸まわりの軸対称の座標 yz 座標を考える。下図、点時にはload(”vect”) →load(”vect”)$として実行願う。)∫ P

O から任意の点 P までの任意の軸対称面：A を考える。

2πΨ =単位時間にこの面を左から右に通過する流量を考える。
これは検査面：A、検査面：B によって変化しない。そこで下記に示すこの流量を表す流れ関数：Ψ を考える。

((

vn ds 2 π y + 2 π Ψ = 2 π

Ψ は点 P の位置の関数である。流線に沿って点 P を移dvn = d sy

動させても、流線を通過して流れる流れはないので、Ψは一定である。これから Ψ = 一定は流線を表す。

2 π vn ydyO))dΨ ds + ΨdsΨ

(6.1.18)

上記と同様に dz, dy, rdθ, dr について行うと下記にように各速度成分を流れ関数：Ψ で表現できる。

図 6.1.3: 流れ関数：Ψ

/* z 軸対称の流れの関数 */kill(all);load("vect")depends(\Psi,[r,\theta]);depends(\Phi,[r,\theta]);
STF1:2*%pi*\Psi=’integrate(2*%pi*v[n]*y,s,O,P);

図 6.1.4: 流れ関数の速度成分表現

2*%pi*\Psi+v[n]*ds*2*%pi*y=2*%pi*(\Psi+’diff(\Psi,s,1)*ds);
STFN:solve(%,v[n])[1];2*%pi*\Psi+v[y]*dz*2*%pi*y=2*%pi*(\Psi+’diff(\Psi,z,1)*dz);
STFY:solve(%,v[y])[1];2*%pi*\Psi+v[z]*dy*2*%pi*y=2*%pi*(\Psi+’diff(\Psi,y,1)*dy);
STFZ:solve(%,v[z])[1];2*%pi*\Psi+v[r]*r*dt*2*%pi*y=2*%pi*(\Psi+’diff(\Psi,t,1)/r*dt*r);
solve(%,v[r])[1];
STFR:subst([t=\theta,y=r*sin(\theta)],%);
2*%pi*\Psi+v[\theta]*dr*2*%pi*y=2*%pi*(\Psi+’diff(\Psi,r,1)*dr);solve(%,v[\theta])[1];
STFT:subst([y=r*sin(\theta)],%);(上記プログラムで$が記入できないので、Maxima 実行

軸対称の円柱座標表記は、

(

(

)
)
d
Ψ +Ψ
dz
( (
)
)
d
2 π dy y vz + 2 π Ψ = 2 π dy
Ψ +Ψdy
2 π dz y vy + 2 π Ψ = 2 πdΨvy = − d z ,
y

dz

vz =

d
dy Ψ

y

(6.1.19)軸対称の極座標表記は、

(

)
)
d
2 π dθ r vr y + 2 π Ψ = 2 π rdθ
Ψ +Ψ
rd θ
( (
)
)
d
2 π dr vθ y + 2 π Ψ = 2 π dr
Ψ +Ψ
dr
vr =

d
dθ Ψ

r2 sin (θ),

vθ = −(ddr Ψr sin (θ)(6.1.20)

6.1. 軸対称の流れ

181(1) 流れ関数の関係式の極座標表示(2) 流れ関数の関係式の円柱座標表示

PTSTR:diff(\Phi,r,1)=’diff(\Psi,\theta,1)/r^2/sin(\theta);

depends(\Psi,[r,\theta,z]);depends(\Phi,[r,\theta,z]);PTSTT:diff(\Phi,theta,1)=-’diff(\Psi,r,1)

GRADA:matrix([’diff(\Phi,r,1)],[’diff(\Phi/sin(\theta);,theta,1)/r],[’diff(\Phi,z,1)]);

PTSTRT:diff(PTSTR,\theta,1);

PHPSR1:GRADA[1][1]=-diff(\Psi,z,1)/r;

PTSTTR:diff(PTSTT,r,1);

PHPSZ1:GRADA[3][1]=diff(\Psi,r,1)/r;

PTSTTR-PTSTRT;PHPSR2:diff(PHPSR1,z,1);

expand(-%*sin(\theta));

PHPSZ2:diff(PHPSZ1,r,1);

PTSTRT1:rhs(%)=lhs(%);

expand((PHPSZ2-PHPSR2)*r);

PSIT1:diff(\Psi,\theta,1)/sin(\theta);
PSIT2:’diff(PSIT1,\theta,1)*sin(\theta)/r^2

NABPSI1:rhs(%)=lhs(%);(6.1.12) 式と (6.1.19) 式から、速度ポテンシャル：Φ と=expand(diff(PSIT1,\theta,1)*sin(\theta)

流れ関数：Ψ の関係は下記となる。ここで (6.1.19) 式で/r^2);

は yz 座標であるが、ここでは rz 座標でで表記している
ので y → r に変換する。

NABPSI:lhs(PSIT2)+last(lhs(PTSTRT1))=rhs(PTSTRT1);dΨdΦ = − dz
drr

(6.1.9) 式と (6.1.20) 式から、速度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ の関係は、

vr =

d
Ψ
d
Φ = 2d θ,
drr sin (θ)

vθ × r =dΨdΦ = − drdθsin (θ)(6.1.21)dΨd
Φ = drdzr
上式をそれぞれ r, z で微分し、
2

d
d2
2 Ψ
Φ = − dz
drdzr

上式をそれぞれ , θ, r で微分し、
2

d
d2
2 Ψ
Φ = 2d θ−
drdθ
r sin (θ)(d)

d θ Ψ cos (θ)
2r2 sin (θ)

2

d
d
Ψ
d2
2 Ψ
Φ = dr− d r2drdz
rr
上式から下記の流れ関数の関係を得る。

2

d
d2
2 Ψ
Φ = − drdrdθsin (θ)d

上式から下記の流れ関数の関係式を得る。
(d )
d2
d2
d θ Ψ cos (θ)
d θ2 Ψ
−
+
+
Ψ=0
2
2
r sin (θ)
rd r2
下記の関係から)(ddθ Ψsin (θ) ddθ sin(θ)

r2=

流れ関数の関係式は、
(
)
d
dθ Ψ
sin (θ) ddθ sin(θ)

r2d2
d θ2 Ψ
−
r2

+

(d

− dr
r
(6.1.22))d θ Ψ cos (θ)
r2 sin (θ)

d2
Ψ=0
d r2

(6.1.23)

Ψ

+

d2
d2
Ψ
+
Ψ=0
d z2
d r2

(6.1.24)

第 6 章 3 次元完全流体

182

6.1.4

軸対称流れの一般解（極座標表示）

速度ポテンシャル：Φ の軸対称流れの質量保存の方程式は (6.1.7) 式、(177 ページ) から下記である。

(d)(1)R について(6.1.26) 式の R について解く。
/* R について解く */assume(K>=0);

(

)

(

)

assume(N>=0);d2
Φ=0last(lhs(NABRA7))=K;d θ2
NABRAR1:ev(%,diff);
これを変数分離法を用いて解く。r のみの関数である
ode2(NABRAR1,R,r);
R と θ のみの関数である T で速度ポテンシャルを下記
expand(subst([K=N*(N+1)],%));のように表現する。
RN:expand(subst([4*N^2=-4*N-1+(2*N+1)^2]
cos (θ)d2+
Φ
sin (θ)
d r2

dθ Φ

r2 +2

d
Φ
dr

r+

,%));

Φ = RT

RN1:subst([%k2=0],RN);
これを上記、質量保存の方程式に代入し整理すると/* 軸対称流れの一般解 */kill(all);

RN2:subst([%k1=0],RN);
微分方程式は下記となり、
( 2 )
(
)
r2 ddr2 R + 2 r ddr R
Rload("vect")
NABRA21:((’diff(Phi,theta,1))*cos(theta))

上式は ode2 関数で解くことができ、次式を得る。
√/sin(theta)+(’diff(Phi,r,2))*r^2+2*(’diff(Phi,r,1))*r+’diff(Phi,theta,2)=0;depends(\R,[r]);=K

R = %k1 r

4 K+1
− 21
2

+ %k2 r−

√

4 K+1
− 12
2

K = N ∗ (1 + N ), K ≥ 0, N ≥ 0 と置き換え、整理す
ると、

depends(\T,[\theta]);
R = %k1 rN + %k2 r−N −1

POTRT:\Phi=R*T;
NABRA5:subst([POTRT],NABRA21);(6.1.28)

ここで、右辺第１項は、N > 1 では無限遠方で発散す

ev(%,diff);るので、解としてふさわしくない。

NABRA6:%*r^2/R/T;
POTR:’diff(r^2*’diff(R,r,1),r,1);(2)T について

POTR1:POTR=ev(POTR,diff);
POTR2:solve(POTR1,’diff(R,r,2))[1];
POTT:’diff(sin(\theta)*’diff(T,\theta,1),(6.1.27) 式の T について解く。
/* T について解く */POTT1:POTT=ev(POTT,diff);

NABRAT1:first(lhs(NABRA7))=-K;
NABRAT2:subst([K=N*(N+1)],%);

POTT2:solve(POTT1,’diff(T,\theta,2))[1];

depends(t,[\theta]);subst([POTR2,POTT2],NABRA6)/r^2;

COS1:t=cos(\theta);

NABRA7:expand(%);(上記プログラムで$が記入できないので、Maxima 実行

DCOS1:diff(COS1,\theta,1);

theta,1);

時にはDTTH:’diff(T,\theta,1)=’diff(T,t,1)*’diff(t,\theta,1);load(”vect”) →load(”vect”)$として実行願う。)(( d ))( 2 ( d ))ddd θ sin (θ) d θ T
dr r
dr R
+
= 0 (6.1.25)
sin (θ) T
R

DTTH1:subst([DCOS1],DTTH);
subst([DTTH1],NABRAT2);’diff((-sin(theta)^2*(’diff(T,t,1))),t,1)*’diff(t,\theta,1)/(sin(theta)*T)

上式から、下記の二つの式が得られる。
( 2 ( d ))
d
dr r
dr R
=K
R
(
( d ))dd θ sin (θ) d θ T= −Ksin (θ) T=-N*(N+1);
subst([DCOS1,sin(\theta)^2=1(6.1.26)

cos(\theta)^2],%);NABRAT3:subst([cos(\theta)^2=t^2],%)*T;(6.1.27)

depends(\T,[t]);ev(NABRAT3,diff);
NABRAT4:lhs(%)-rhs(%)=0;

6.1. 軸対称の流れ

183

K = N ∗ (1 + N ), K ≥ 0, N ≥ 0 と置き換え、(( d ))dd θ sin (θ) d θ T= −N (N + 1)
sin (θ) T

下記が特解となる。

T = a1 t

また、t = cos (θ) と置き換えて、整理すると、
(
)
(
)
(
) d2
d
1 − t2T−
2tT+ N (N + 1) T = 0
d t2
dt(6.1.29)
これは Legendre の微分方程式で、級数解が得られる。

(6.1.28) 式の R に関する微分方程式で N = 1 として、
速度ポテンシャルは次式となる。
()%k2
Φ = a1 %k1 r + 2tr(3)N = 0 の速度ポッテンシャル%k2 cos (θ)(6.1.31)r2
上式の右辺第１項は後述する 6.1.6 一様な流れ (ページ

(6.1.29) 式の T に関する微分方程式で N = 0 として解188 ) を、右辺第２項は後述する 6.1.9 二重わき出し (ペーく。
/* N=0 について解く */ジ 191 ) となっている。

Φ = %k1 r cos (θ) +NTN0:subst([N=0],NABRAT4);
ode2(%,T,t);\Phi=subst([N=0],rhs(RN))*subst([%k1=0,%k2=1],rhs(%));
)
(
)
(
(
) d2
d
2
T − 2t
T =0
1−t
d t2
dt
上式は ode2 関数で解くことができ、次式を得る。
()
log (t − 1) log (t + 1)
T = %k1
−
+ %k2
2
2

t ± 1 で上記右辺第１項は発散するので、T = %k2 となる。(6.1.28) 式の R に関する微分方程式で N = 0 として、速度ポテンシャルは次式となる。

Φ=

%k2
+ %k1
r

(6.1.30)

これは後述する 6.1.7 わき出し (ページ 189 ) の速度ポテンシャルである。

(4)N = 1 の速度ポッテンシャル(6.1.29) 式の T に関する微分方程式で N = 1 として解く。
/* N=1 について解く */NTN1:subst([N=1],NABRAT4);
ode2(%,T,t);
T11:T=a[0]+a[1]*t;
subst([T11],NTN1);
factor(ev(%,diff));
T110:subst([a[0]=0],T11);\Phi=subst([N=1],rhs(RN))*rhs(T110);
POTN1:expand(subst([a[1]=1,t=cos(\theta)]
,%));
)
(
)
(
(
) d2
d
2
T − 2tT + 2T = 0
1−t
d t2
dt
上式は ode2 関数で解けない。そこで下記の１次までの多項式を考え、代入すると。

T = a1 t + a0

第 6 章 3 次元完全流体

184
・
・
・
・
・
・
・
・
・

(5) 級数解(6.1.29) 式の T に関する微分方程式の級数解を次式で表現する。ここで、b は初期の次数を表す。

T =

∞
∑

a (n) tn+bn=0

係数を求めると、a (1) = %r1, a (2) = −a (0) N 2 + a (0) N,
2%r1 N 2 + %r1 N − 2 %r1,···
6
最低指数：b = 0 の場合の係数の一般形式を求める。
a (3) = −/* 級数解 次数の確定 */EQ1:NABRAT4;EQSER1:subst([b=0],EQSER);

FC:T;

EQSUM:0;

VA:t;

for IJP:-3 thru 3 do(

EQSER:(VA)^b*a(n)*(VA)^n;

ANSND0:subst(n+IJP,n,EQSER1),

ANS:FC=sum(EQSER,n,0,12);ANSND1:diff(ANSND0,VA,1),

ANSD1:diff(ANS,VA,1);

ANSND2:diff(ANSND0,VA,2),

ANSD2:diff(ANS,VA,2);

EQ12:subst(ANSND2,diff(FC,VA,2),EQ1),

subst(rhs(ANSD2),lhs(ANSD2),EQ1);

EQ11:subst(ANSND1,diff(FC,VA,1),EQ12),

subst(rhs(ANSD1),lhs(ANSD1),%);

TR12:expand(subst(ANSND0,FC,EQ11)),

TR:expand(subst(rhs(ANS),lhs(ANS),%));EQSUM:EQSUM+TR12);

COr:coeff(TR,VA,b-2);

CON:ratsimp(coeff(EQSUM,VA,n-2));

rANS:solve(COr,b);n = 12 の項までの級数で T を表し、CON1:factor(solve(CON,a(n)))[1];T = · · · + a (3) tb+3 + a (2) tb+2 + a (1) tb+1 + a (0) tb(6.1.29) 式の T に関する微分方程式に代入する。指数：b − 2 で整理すると、
a (0) b2 − a (0) b = 0
下記に最低指数：b が得られる。

[b = 0, b = 1]
最低指数：b = 0 の特異解を求める。係数の関係を調べる。
/* 級数解 係数の確定 */TR1:subst([b=0],TR);for i:0 thru 8 do(
I:i-1,
print(COi[i]:coeff(TR1,VA,I)));solve([COi[0],COi[1],COi[2],COi[3],COi[4],COi[5],COi[6],COi[7],COi[8]],[a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),a(6),a(7),a(8),a(9)]);factor(%);
各指数の係数が零の関係から、
a (0) N 2 + a (0) N + 2 a (2) = 0
a (1) N 2 + a (1) N + 6 a (3) − 2 a (1) = 0
a (2) N 2 + a (2) N + 12 a (4) − 6 a (2) = 0
a (3) N 2 + a (3) N + 20 a (5) − 12 a (3) = 0

TR13:T[1]=a(0)*(1+sum(product((N-2*m+2)*(N+2*m-1)/(2*m-1)/(2*m),m,1,n)*t^(2*n),n,1,inf));6.1. 軸対称の流れ

185

係数の関係式は、()()
a (n − 2) N 2 +a (n − 2) N + n2 − n a (n)+ −n2 + 3 n − 2 a (n − 2) = 0
係数は、

a (n) = −a (n − 2) (N − n + 2) (N + n − 1)(n − 1) n

これから最低指数：b = 0 の特異解は
)
)
(( ∞
n
∑
∏
(N − 2 m + 2) (N + 2 m − 1)2n+1
T1 = a (0)t
2 m (2 m − 1)
n=1

m=1

最低指数：b = 1 の場合は b = 0 の場合と比べ、係数の関係から、独立であるので、最低指数：b = 1 の係数の一般形式を求める。
EQSER2:subst([b=1],EQSER);

EQSUM:0;for IJP:-3 thru 3 do(
ANSND0:subst(n+IJP,n,EQSER2),ANSND1:diff(ANSND0,VA,1),
ANSND2:diff(ANSND0,VA,2),
EQ12:subst(ANSND2,diff(FC,VA,2),EQ1),
EQ11:subst(ANSND1,diff(FC,VA,1),EQ12),
TR12:expand(subst(ANSND0,FC,EQ11)),
EQSUM:EQSUM+TR12);
CON:ratsimp(coeff(EQSUM,VA,n+1-2));
CON1:factor(solve(CON,a(n)))[1];TR14:T[2]=b(0)*t*(1+sum(product((N-2*m+1)*(N+2*m)/(2*m)/(2*m+1),m,1,n)*t^(2*n),n,1,inf));
T=subst([t=cos(\theta)],rhs(TR13)+rhs(TR14));係数の関係式は、()()
a (n − 2) N 2 +a (n − 2) N + n2 + n a (n)+ n − n2 a (n − 2) = 0
係数は、

a (n) = −a (n − 2) (N − n + 1) (N + n)n (n + 1)

これから最低指数：b = 1 の特異解は
)
)
(( ∞
n
∑
∏
(N
−
2
m
+
1)
(N
+
2
m)
+1
T2 = b (0) tt2 n
2 m (2 m + 1)
n=1

m=1

最低指数：b = 0 の特異解と最低指数：b = 1 の特異解を合わせた特解は
(( ∞
)
)
n
∑
∏
(N − 2 m + 1) (N + 2 m)
2n
T =b (0) cos (θ)
cos (θ)+1
2 m (2 m + 1)
n=1
m=1
(( ∞
)
)
n
∑
∏
(N − 2 m + 2) (N + 2 m − 1)2n
+ a (0)cos (θ)+1
2 m (2 m − 1)
n=1

m=1

第 6 章 3 次元完全流体

186

6.1.5

軸対称流れの一般解（円柱座標表示）

速度ポテンシャル：Φ の軸対称流れの質量保存の方程d2
Z + K2 Z = 0d z2
解は下記となる。

式は (6.1.17) 式、(179 ページ) から下記である。
d
dr Φ

r

Z = %k1 sin (z K) + %k2 cos (z K)

d2
d2
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d r2

(6.1.32)z → ∞ の時、Z → 0 とならないので解として採用できない。(6.1.33) 式の右辺について下記のように置くと、/* 軸対称流れの一般解 円柱座標*/−

kill(all);d2
d z2 Zload("vect")Z= −K 2(6.1.34)d2
Z − K2 Z = 0d z2

depends(r,[t,x,y]);depends(\theta,[t,x,y]);depends(z,[t]);NABRA3:’diff(\Phi,r,1)/r+’diff(\Phi,z,2)+’diff(\Phi,r,2)=0;
GRADA:matrix([’diff(\Phi,r,1)],[’diff(\Phi,解は下記となる。

Z = %k1 ez K + %k2 e−z Kz → ∞ の時、Z → 0 となる解は下記となる。
Z = %k2 e−z Ktheta,1)/r],[’diff(\Phi,z,1)]);
depends(\R,[r]);(2)R について

depends(\Z,[z]);POTRZ:\Phi=Z*R;
subst([POTRZ],NABRA3);

NABR2:expand(-(-lhs(NABR1)+rhs(NABR1))*R)

ev(%,diff);=0;

expand(%/R/Z);

depends(u,[t]);NABRA4:lhs(%)-first(lhs(%))=rhs(%)

depends(v,[x]);-first(lhs(%));
これを変数分離法を用いて解く。r のみの関数である R

depends(x,[t]);と z のみの関数である Z で速度ポテンシャルを下記のように表現する。

depends(t,[x]);BESS1:t^2*diff(u,t,2)+t*diff(u,t,1)+(t^2-n^2)*u=0;

Φ = RZ

V1:v=u*(t/B)^(A/C);

これを上記、質量保存の方程式に代入し整理すると

d2
d2(R Z) +(R Z) +
2
dz
d r2
2

d
d r (R Z)

r

=0

d
d
R
2 R
+ dr
+ dr = 0
Z
R
rR
d2
d
d2
R
R
2 Z
d r2
+ dr = − dzRrRZ(1)Z について

V1D:diff(V1,x,1);V1DD:diff(V1,x,2);2dd z2 Z

X1:x=(t/B)^(1/C);
T1:t=x^C*B;

T1D:diff(T1,x,1);
T1DD:diff(T1,x,2);(6.1.33)

U1:solve(V1,u)[1];solve(V1D,’diff(u,t,1))[1];U1D:lhs(%)=subst([T1D],rhs(%));

assume(K>0);solve(V1DD,’diff(u,t,2))[1];rhs(NABRA4)=K^2;

U1DD:lhs(%)=subst([U1D,U1,T1D,T1DD],

expand((-lhs(%)+rhs(%))*Z)=0;rhs(%));

ode2(%,Z,z);

subst([U1D,U1DD],BESS1);

NABR1:lhs(NABRA4)=-K^2;

subst([U1,T1],%);NABZ1:rhs(NABRA4)=-K^2;

VXX:expand(%*(x^C)^(A/C)*C^2);

expand((-lhs(NABZ1)+rhs(NABZ1))*Z)=0;
ode2(%,Z,z);

CVDD:coeff(lhs(VXX),’diff(v,x,2),1);Z1:subst([%k1=0],%);(6.1.33) 式の右辺について下記のように置くと、CV:coeff(lhs(VXX),v,1);

d2+CVDD*diff(v,x,2)=0;

− dz
Z
2

Z

= K2

CVD:factor(coeff(lhs(VXX),’diff(v,x,1),1));
BESS2:(CV)*v+CVD*diff(v,x,1)
expand(NABR2*r^2);

6.1. 軸対称の流れ

187

CNS1:C=1;

v → R に、x → r に変換して、(6.1.35) 式の解が得られる。ここで r → ∞ の時、R → 0 となり、下図に示す-(2*A-1)=1;

Bessel 関数の特性から下記となる。

CNS2:solve(%,A)[1];R = bessel j (0, r K) %k1

B^2*C^2=K^2;
CNS3:B=K;-n^2*C^2+A^2=0;以上から速度ポテンシャルの一般解は、

Φ = bessel j (0, r K) %k1 e−z K

subst([CNS1,CNS2],%);
CNS4:n=0;
BESS3:subst([CNS1,CNS2,CNS3,CNS4],BESS2);
T11:subst([CNS1,CNS2,CNS3,CNS4],T1);
U11:subst([CNS1,CNS2,CNS3,CNS4],U1);
ANBES1:ode2(BESS1,u,t);
ANBES2:subst([CNS4,T11,U11],ANBES1);
R1:subst([%k2=0,v=R,x=r],ANBES2);\Phi=rhs(Z1)*rhs(R1);
PHI01:subst([%k2=1],%);
plot2d([bessel_j(0,x),bessel_y(0,x)],[x,-50,50]);Z で解が得られた、(6.1.34) 式の右辺の定数を採用して、

図 6.1.5: Bessel 関数(6.1.33) 式の左辺は、
d
d2
dr R
+ K2 R = 0
R
+
d r2
r

(6.1.35)

上式は Bessel の方程式である。しかし、Maxima では下記の式の形しか解けない。Maxima を使った微分方程式演’diff(lhs(PHI01),r,1)=diff(rhs(R1),r,1)*rhs(Z1);

習ノート (http://www9.plala.or.jp/prac-maxima/)

PHI01D:subst([%k2=1],%);

4.5Bessel の微分方程式にならって、
( 2 )
)
(
(
)
d
d
t2
u
+ t2 − n2 u = 0 (6.1.36)
u
+
t
2
dt
dt

PHPSR1:GRADA[1][1]=-’diff(\Psi,z,1)/r;
subst([PHI01D],PHPSR1);
ode2(%,\Psi,z);
subst([%c=0],%);

そこで、下記の変数変換を行って解く。

(
v=u

t
B

) CA

(
,

x=

t
B

) C1

(6.1.36) 式に上記の変数変換を行うと下記が得られる。
(
)
( 2 )
( 2C 2 2
)
d
d
2 2
2
v x B C −n C +A −v x2 = 0v x (2 A − 1)+dx
d x2
上式と (6.1.35) 式を比較して、下記の関係が得られる。

C = 1,

1 − 2 A = 1,

A2 − n2 C 2 = 0,

B2 C 2 = K 2
上記に対応する流れ関数は、

上記の関係から、各係数は、

C = 1,

A = 0,

B = K,

n=0(6.1.36) 式の解は、
u = %k2 bessel y (n, t) + %k1 bessel j (n, t)
上記に各係数の関係を代入した変数変換を施すと、

v = bessel y (0, x K) %k2 + bessel j (0, x K) %k1dΨdΦ = − dzdrrd
Φ = −bessel j (1, r K) %k1 K e−z K
dr
上記から流れ関数は下記となる。
Ψ = −bessel j (1, r K) %k1 r e−z K

第 6 章 3 次元完全流体

188

6.1.6

一様な流れ

%c = 0 として、
Ψ=

z 軸方向に一様な流れの速度ポテンシャルと流れ関数

y2 U2

極座標表示すると、

を求める。

2

Ψ=

r2 sin (θ) U
2以上まとめると極座標表記の速度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ は2

Φ = r cos (θ) U,

図 6.1.6: z 方向の一様な流れ

kill(all);
ZR:z=r*cos(\theta);
CONPHI1:\Phi=U*z;
CONPHI2:subst(ZR,%);v[z]=’diff(Psi,y,1)/y;
CONST1:U=’diff(\Psi,y,1)/y;ode2(CONST1,\Psi,y);
CONST2:subst([%c=0],%);
STFUN:subst([y=r*sin(\theta)],%);
極座標と xyz 座標の関係は、
z = r cos (θ)
z 軸方向に一様な流れの速度ポテンシャルは (6.1.4) 式、(176 ページ) から
vz = U =dΦdz

これを解くと明らかに、

Φ = zU
極座標表示すると下記で、これは軸対称流れの速度ポッ
テンシャルの極座標一般解の (6.1.31) 式右辺第２項に相当しており、質量保存の法則を満足している。

Φ = r cos (θ) U
流れ関数の関係式 (6.1.19) 式、(180 ページ) から

U = vz =

d
dy Ψ

y

ode2 関数を用いて上式を解いて、
Ψ=

y2 U
+ %c
2

Ψ=

r2 sin (θ) U
2(6.1.37)

6.1. 軸対称の流れ

189

わき出し

r 方向の速度の速度ポテンシャルと流れ関数の関係式
から
d
Ψ
m
d
Φ = 2 = 2d θ
vr =
dr
r
r sin (θ)

6.1.7/* わき出し*/kill(all);load("vect")ode2 関数を用いて上式を解いて、NABRA21:((’diff(\Phi,\theta,1))*cos(\thetaΨ = %c − m cos (θ)))/sin(\theta)+(’diff(\Phi,r,2))*r^2+2*(

θ = 0 で Ψ = 0 として、%c = m とし、極座標表記の速’diff(\Phi,r,1))*r+’diff(\Phi,\theta,2)度ポテンシャルと流れ関数は=0;
NABRA3:lhs(%)-first(lhs(%))-last(lhs(%))=0;
NABRA4:first(lhs(NABRA3))+last(lhs(
NABRA3))=0;
POT1:ode2(NABRA4,\Phi,r);
POTSO:subst([%k1=0,%k2=-m],POT1);

Φ=−

m
,
r

Ψ = −m (cos (θ) − 1)

(6.1.38)(2) 原点から離れた位置にわき出しがある場合
下図のようにわき出しの位置が原点から c ずれている場
合には、

VR1:v[r]=’diff(lhs(POTSO),r,1);
VR2:v[r]=diff(rhs(POTSO),r,1);
Q1:Q=v[r]*S(r);Q2:Q=rhs(VR2)*4*%pi*r^2;v[r]=’diff(\Phi,r,1);v[r]=’diff(\Psi,\theta,1)/(r^2*sin(\theta));’diff(\Phi,r,1)=’diff(\Psi,\theta,1)/(r^2*sin(\theta));subst([POTSO],lhs(%))=rhs(%);
ev(lhs(%),diff)=rhs(%);%*r^2*sin(\theta);
ode2(%,\Psi,\theta);
STFSO:factor(subst([%c=m],%));(1) 原点にわき出しがある場合

図 6.1.7: z 軸上にずれているわき出し

POTR1:subst([r=r[1]],POTSO);
STFS1:subst([\theta=\theta[1]],STFSO);
R1:r[1]=sqrt(r^2+c^2-2*r*c*cos(\theta));T1:cos(\theta[1])=(r*cos(\theta)-c)/(r[1]);質量保存の方程式の z 軸まわりの軸対称極座標は (6.1.7)

POTR2:subst([R1],POTR1);式、(177 ページ) から
STFS2:subst([T1,R1],STFS1);
(d )
( 2 )
(
)
(6.1.38)
式から、
d
d
d2
2
d θ Φ cos (θ)
+
Φ
r
+2
Φ
r+
Φ
=
0
m
sin (θ)
d r2
dr
d θ2
Φ=−
r1
(6.1.39)
わき出しは、θ 方向にも対称であることから次式を得る。
Ψ = − (cos (θ1 ) − 1) m)(
2 ddr Φd2
三辺が c, r, r1 の三角形の第２余弦法則から下記の関係
Φ=0
+
r
d r2
を得る、
ode2 関数を用いて上式を解いて、r → ∞ のとき、Φ = 0√
r1 = −2 c r cos (θ) + r2 + c2とし、m > 0 の時 vr > 0 から
Φ=

%k2
m
+ %k1 → Φ = −rrcos (θ1 ) = √r cos (θ) − c−2 c r cos (θ) + r2 + c2

また、上式は軸対称流れの速度ポッテンシャルの極座標

上記の関係を代入し、z 軸上にずれているわき出しの速一般解の (6.1.30) 式右辺第１項に相当している。r 方向度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ はm
Φ=− √−2 c r cos (θ) + r2 + c2(
) (6.1.40)
r cos (θ) − c−1
Ψ=−m √−2 c r cos (θ) + r2 + c2

の速度は、

d
m
Φ= 2
dr
r
r における表面積：S(r) を通る流量：Q は、
vr =Q = vr S (r) = 4 m π

第 6 章 3 次元完全流体

190

6.1.8

一様なわき出し分布

上式を m → w dc とし、積分範囲：C1 〜C2 で積分す
ると、

∫ C2

1
√
dc w
−2 c r cos (θ) + r2 + c2
C1(()
r cos (θ) − C2
= asinhr sin (θ)())
r cos (θ) − C1
− asinhw
r sin (θ)(()
mr cos (θ) − C2=asinh
C2 − C1r sin (θ)())
r cos (θ) − C1
− asinhr sin (θ)Φ=−

(6.1.41)

DSTFL1:subst([m=w],rhs(STFS2));
lhs(STFS2)=’integrate(DSTFL1,c,C[1],C[2]);図 6.1.8: 一様なわき出し分布

STFL2:expand(ev(%,integrate));subst([CR1,CR2,MW2],%);
STFL3:\Psi=((r[2]-r[1])*m)/(C[2]-C[1]);軸対称 z 軸上の C1 から C2 に一様なわき出しが分布しているとする。下記プログラムは前記わき出しに続い(2) 流れ関数て実行するものとする。
/* Finite Line Source */z 軸上の c にわき出しがある場合の流れ関数は (6.1.40)

assume((C[2]-C[1])>0);
assume(r[1]>0);

式から、下記となる。
(

assume(r[2]>0);

Ψ = −massume(r>0);
assume(cos(\theta)<1 and cos(\theta)>0);
assume(sin(\theta)<1 and sin(\theta)>0);
MW1:m=w*(C[2]-C[1]);MW2:solve(MW1,w)[1];RC1:r[1]^2=r^2-2*C[1]*r*cos(theta)+C[1]^2;
RC2:r[2]^2=r^2-2*C[2]*r*cos(theta)+C[2]^2;CR1:solve(RC1,C[1]^2)[1];CR2:solve(RC2,C[2]^2)[1];r cos (θ) − c)√−1−2 c r cos (θ) + r2 + c2

上式を m → w dc とし、C1 〜C2 の範囲で積分すると、)∫ C2 (
r cos (θ) − c√
Ψ=−w− 1 dc−2 c r cos (θ) + r2 + c2
C1√
= −2 C2 r cos (θ) + r2 + C22 w√− −2 C1 r cos (θ) + r2 + C12 w + C2 w − C1 w

= (r2 − r1 ) w + w(C2 − C1 )DPOTL1:subst([m=w],rhs(POTR2));
lhs(POTR2)=’integrate(DPOTL1,c,C[1],C[2]);ev(%,integrate);
expand(subst([cos(\theta)^2=1-sin(\theta)^2,MW2],%));
POTL2:factor(%);(1) 速度ポテンシャル
分布強度：w とすると、全体のわき出し：m との関係は、

m = w (C2 − C1 )z 軸上の c にわき出しがある場合の速度ポテンシャルは(6.1.40) 式から、下記となる。
Φ = −√

m−2 c r cos (θ) + r2 + c2

上式を r → ∞ のとき Ψ → 0 として下記となる。

Ψ=(r2 − r1 ) m
C2 − C1(6.1.42)

6.1. 軸対称の流れ

6.1.9

191

二重わき出しΦ = −√(

二重わき出しの速度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ
を求める。また、二重わき出しの位置が原点からずれて

Ψ = −mいる場合の速度ポテンシャルと流れ関数も求める。

(1) 原点に二重わき出しがある場合√m−2 c r cos (θ) + r2 + c2
r cos (θ) − c−2 c r cos (θ) + r2 + c2)−1

上式から、z = c にあるわき出しと z = −c にある吸い込みの速度ポテンシャル：Φ は下記となる。

z 軸上の z = c の位置に強さ：m のわき出しを、z = −cの位置に強さ：−m の吸い込みを置く。c → 0 にした時の速度ポテンシャルと流れ関数を求める。

m
m
Φ= √
−√
2
2
2 c r cos (θ) + r + c−2 c r cos (θ) + r2 + c2
(6.1.43)(6.1.43) 式の速度ポテンシャルで c の高次項を省略し、
c について taylor 展開すると、
3

Φ=−

2 m cos (θ) c 5 m cos (θ) c3
−
+ ...
r2
r4

更に上式の c の高次項を省略し、c → 0, m → ∞ として、2cm → µ とすると、

Φ=−
図 6.1.9: 二重わき出し/* 二重わき出し */kill(all);assume(r>0);
assume(r[A]>0);
PHI0:\Phi=-m/r[A];PSI0:\Psi=-m*(cos(\theta[A])-1);
PHI00:\Phi=-m/sqrt(-2*c*r*cos(\theta)+r^2+c^2);
PSI00:\Psi=-m*((r*cos(\theta)-c)/sqrt(-2*c*r*cos(\theta)+r^2+c^2)-1);
PHI01:subst([c=-c,m=-m],PHI00);
PHDB1:\Phi=rhs(PHI00)+rhs(PHI01);
lhs(%)=taylor(rhs(%),c,0,3);
subst([c^3=0],%);PHDB2:subst([c=\mu/2/m],%);
PSI01:subst([c=-c,m=-m],PSI00);
PSDB1:\Psi=rhs(PSI00)+rhs(PSI01);

関数：Ψ は下記となる。
)(
r cos (θ) + c−1Ψ =m √
2 c r cos (θ) + r2 + c2(
) (6.1.44)
r cos (θ) − c−m √−1−2 c r cos (θ) + r2 + c2

(6.1.44) 式の流れ関数で c の高次項を省略し、c について taylor 展開すると、()
2
2 m cos (θ) − 2 m c
Ψ=−
r
(
)
4
2
5 m cos (θ) − 3 m cos (θ) c3
−
+ ...
r3
て、2 ∗ cm → µ とすると、()
22
c 2 m cos (θ) − 2 mµ sin (θ)Ψ=−→
rr
以上から二重わき出しの速度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ は下記となる。

subst([c^2=0],%);
lhs(%)=taylor(rhs(%),c,0,3);
subst([c^3=0],%);PSDB2:trigsimp(subst([c=\mu/2/m],%));
z 軸上の z = c の位置に強さ：m のわき出しの速度ポテ
ンシャルと流れ関数は下記である。(6.1.39) 式、(6.1.40)

Φ=−µ cos (θ)
,
r2

2

Ψ=

µ sin (θ)
r

(6.1.45)(2) 原点から離れた位置にある場合
上図に示すように、z 軸上に原点から CA 離れた位置
を中心に +c の位置に m のわき出しを、−c の位置に −m

式、(189 ページ) から

m,rAz = c にあるわき出しと z = −c にある吸い込みの流れ

更に上式の c の高次項を省略し、c → 0, m → ∞ としsubst([c^2=0],%);

Φ=−2 c m cos (θ)µ cos (θ)→−
r2r2

Ψ = −m (cos (θA ) − 1)のわき出し（吸いこみ）を置く。

第 6 章 3 次元完全流体

192\Psi=-m*(cos(\theta[A])-1);cos(\theta[A])=(r*cos(\theta)-C[A])/sqrt(
r^2-2*C[A]*r*cos(\theta)+C[A]^2);
subst([c=C[A]+c],PSI00);
PSI11:lhs(%)=taylor(rhs(%),c,0,3);
subst([c=C[A]-c,m=-m],PSI00);
PSI12:lhs(%)=taylor(rhs(%),c,0,3);
rhs(PSI11)+rhs(PSI12);
PSDB3:\Psi=trigsimp(factor(subst([c^3=0,
m=\mu/c/2],%)));
わき出しの流れ関数：Ψ は下記から得られる。
Ψ = −m (cos (θA ) − 1)

図 6.1.10: 二重わき出しの位置が原点から離れた位置に(6.1.49)

ここで +c の位置の Ψ を ΨA+ 、−c の位置の Ψ を ΨA−

ある場合

とすると、

ΨA+

\Phi=-m/r[A];r[A]=sqrt(r^2-2*C[A]*r*cos(\theta)+C[A]^2);
subst([c=C[A]+c],PHI00);= −m  √PHI11:lhs(%)=taylor(rhs(%),c,0,3);
ΨA−

subst([c=C[A]-c,m=-m],PHI00);
PHI12:lhs(%)=taylor(rhs(%),c,0,3);
PHDB3:\Phi=factor(subst([c^3=0,m=\mu/c/2]

2(CA + c) − 2 r cos (θ) (CA− 1+ c) + r2= m √

rhs(PHI11)+rhs(PHI12);−CA + r cos (θ) − c−CA + r cos (θ) + c
2(CA − c) − 2 r cos (θ) (CA− c) + r2− 1

(6.1.50),%));

わき出しの速度ポテンシャル：Φ は下記から得られる。 流れ関数：ΨA+ を c で taylor 展開し、c の高次項を省
略しわき出しの式を求める。また、流れ関数：ΨA− をm
Φ=−(6.1.46) c で taylor 展開し、c の高次項を省略し吸いこみの式をrA求める。これらのわき出し、吸いこみの両式の和をとっ
ここで +c の位置の rA を rA+ 、−c の位置の rA を rA− て、c → 0, m → ∞ として、2cm → µ とすると、二重
とすると、
√
2
rA+ = (CA + c) − 2 r cos (θ) (CA + c) + r2√2rA− = (CA − c) − 2 r cos (θ) (CA − c) + r2

(6.1.47)(6.1.47) 式を (6.1.46) 式に代入し、速度ポテンシャル：Φ を c で taylor 展開し、c の高次項を省略しわき出しと吸いこみの両式の和をとって、c → 0, m → ∞ として、2cm → µ とすると、二重わき出しの速度ポテンシャ
ル：Φ は、

Φ=µ (CA − r cos (θ))
3

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA(6.1.48)

わき出しの流れ関数：Ψ は、2

Ψ=µ r2 sin (θ)

3

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA(6.1.51)

6.1. 軸対称の流れ

6.1.10193

Kervin の球定理 (速度ポッテンシャ 半径：r = A の球の鏡像位置の関係とした下記の関数も調和関数となることを証明する。
ル)
(

AΦ
Φ1 =

/* Kervin の球定理 */kill(all);NABRA:’diff(((’diff(\Phi(r,\theta),

)

r

2

R = Ar の置き換えをすると、\theta,1)) *sin(\theta)),\theta,1)Φ1 =/sin(\theta) +’diff(((’diff(\Phi(r,\theta),r,1))*r^2),r,1)=0;

A2
r ,θ

R Φ (R, θ)A

Φ1 (R, θ) は r → R に置き換えているのみであるから、下RR2:solve(RR1,r)[1];記の質量保存の方程式は (6.1.8) 式を満足し下記となる。
())(()) d (sin (θ) ddθ Φ (R, θ)ddR2Φ (R, θ) + d θ=0dRdRsin (θ)(6.1.53)

PHI11:subst([RR2],PHI1);

Φ1 について、r の一回微分の下記の式に ddr R = − Ar2

NABRAR:subst([r=R],NABRA);を代入すると、()() (d )R Φ (R, θ)
R ddr R ddR Φ (R, θ)
d
Φ1 =
+ dr
dr
A
A
)
(
)
(
d
d
Φ1 r2 = −A R
Φ (R, θ) − A Φ (R, θ)drdR

PHI0:\Phi[0]=\Phi(r,\theta);
PHI1:\Phi[1]=A/r*\Phi(A^2/r,\theta);
RR1:R=A^2/r;

2

PHI1D:’diff(\Phi[1],r,1)=’diff(R,r,1)*\Phi(R,\theta)/A+R/A*’diff(\Phi(R,\theta),R,1)*’diff(R,r,1);
RR1D:’diff(R,r,1)=diff(rhs(RR1),r,1);
PHI1D1:expand(subst([RR1D],PHI1D)*r^2);
PHI1D21:-A*’diff(R,r,1)*’diff(\Phi(R,\theta),R,1)-A*R*’diff(\Phi(R,\theta),R,2)*’diff(R,r,更に上記を r で微分すると、

d
dr

((

d
Φ1
dr

)

)
r2

A3 R
=

1);
+

PHI1D22:-A*’diff(\Phi(R,\theta),R,1)*’diff(R,r,1);
PHI1D20:’diff(lhs(PHI1D1),r,1)=PHI1D21

(

=

R

2A

d2
d R2 Φ (R, θ)

r2
(
d
3

( d (
dR

lhs(%)=subst([RR2],rhs(%));
PHI1D21:lhs(%)=R/A*’diff(R^2*’diff(\Phi(R,\theta),R,1),R,1);
PHI11TD:’diff(\Phi[1],\theta,1)=R/A*’diff(\Phi(R,\theta),\theta,1);
NABRA1:’diff(((’diff(\Phi[1],\theta,1))*sin(\theta)),\theta,1)/sin(\theta)+’diff(((’diff(\Phi[1],r,1))*r^2),r,1)=R/A*(lhs(NABRAR));NABRA11:’diff(((’diff(\Phi[1],\theta,1)))d R Φ (R, θ)
r2

R2

( d

)))

d R Φ (R, θ)A(6.1.54)+PHI1D22;
subst([RR1D],PHI1D20);)

また、Φ1 について、θ の一回微分は()
R ddθ Φ (R, θ)
d
Φ1 =
dθ
A

(6.1.55)

下記左辺に上式の (6.1.54) 式、(6.1.55) 式を代入すると、右辺となる。
(( d
)
)
((
) )
d
d
d
dθ
d θ Φ1 sin (θ)+Φ1 r 2sin (θ)
dr
dr
(
)
d
))
(
(
(sin(θ) ( ddθ Φ(R,θ)))R ddR R2 ddR Φ (R, θ) + d θsin(θ)=
A*sin(\theta)),\theta,1)/sin(\theta)+’diff(((’diff(\Phi[1],r,1))*r^2),r,1)=0;
軸対称の非回転、非圧縮性の流れがあるとする。軸対称の速度ポテンシャル：Φ0 = Φ (r, θ) が調和関数であるとする。この速度ポテンシャルの質量保存の方程式は

上記右辺は (6.1.53) 式から零となり、Φ1 は下記の関係を満足する。
(( d
)
)
((
) )
d
d
d
dθ
d θ Φ1 sin (θ)+Φ1 r 2 = 0
sin (θ)drdr(6.1.8) 式から、以上から下記の関数も質量保存の方程式を満足し、調和
(( d
)
)
( (
))
d
Φ
(r,
θ)
sin
(θ)
d
d
dθ
dθ
+
r2
Φ (r, θ)= 0 関数である。
( 2 )sin (θ)drdr
A Φ Ar , θ(6.1.52)(6.1.56)
Φ1 =r

第 6 章 3 次元完全流体

194

6.1.11

Weiss の球定理 (速度ポッテンシャル)
PHI2:\Phi[1](r,\theta)=’integrate(rhs(

軸対称の非回転、非圧縮性の流れがあるとする。流れ

PHI1),r,\infty,r);の元の速度ポテンシャル：Φ0 とする。この流れに球がsubst([OMG2],PHI2);存在するときの鏡像関係の速度ポテンシャル：Φ1 を求

RR1:R=A^2/r;

める。
kill(all);

RR2:solve(RR1,r)[1];
RR2D:’diff(r,R,1)=diff(rhs(RR2),R,1);

NABRA:’diff(((’diff(\Phi(r,\theta),\Phi[1](r,theta)=-A*’integrate(\Omega[0](R,\theta,1))*sin(\theta)),\theta,1)\theta)/(A^4/R^2)*(-A^2/R^2),R,0,A^2/R);/sin(\theta)+’diff(((’diff(\Phi (r,subst([OMG10R],%);\theta),r,1))*r^2),r,1)=0;\theta),r,1);\Phi(r,\theta)=\Phi[0](r,\theta)+subst([R=r],rhs(%));
これを (6.1.59) 式の左辺最終項に代入すると左辺は零とsubst([\Phi=\Omega],NABRA);なり、Ω(r, θ) が (6.1.57) 式を満足している。(6.1.58) 式

subst([OMG0],%);にならい、

OMG0:\Omega(r,\theta)=r*diff(\Phi(r,(OMG01:expand(ev(%,diff));
NABRA1:expand(ev(diff(NABRA,r,1),diff));Ω0 (r, θ) = r

NABRA2:solve(NABRA1,’diff(\Phi(r,\theta),r,

)
(
)
d
d
Φ0 (r, θ) , Ω1 (r, θ) = r
Φ1 (r, θ)drdr

球が存在しない元の速度ポッテンシャルを Φ0 、球に関

1))[1];

する鏡像の速度ポッテンシャルを Φ1 とする。上式から、

expand(subst([NABRA2],lhs(OMG01)));OMG10:\Omega[0](r,\theta)=r*’diff(\Phi[0](Ω1 (r, θ)dΦ1 (r, θ) =drrr,\theta),r,1);(6.1.60)

OMG10R:subst([r=R],OMG10);

半径：r = A の球の鏡像の関係を Kervin の球定理 (6.1.56)

OMG11:\Omega[1](r,\theta)=r*’diff(\Phi[1](式から、

r,\theta),r,1);(

OMG2:\Omega[1](r,\theta)=-A/rΩ1 (r, θ) = −*\Omega[0](A^2/r,\theta);
PHI1:solve(OMG11,’diff(\Phi[1](r,\theta)

A Ω0

A2
r ,θ

)
(6.1.61)r2(6.1.60) 式を積分、(6.1.61) 式を代入、 Ar → R とし、()∫ r Ω0 A2 , θ∫ rrΩ1 (r, θ)する。
dr = −AdrΦ1 (r, θ) =
2
r
r
(( d
)
)
∞
∞
( (
))
d
(
)
d
d
∫ AR2
dθ
d θ Φ (r, θ) sin (θ)+
r2Φ (r, θ)=0
Ω0 (R, θ) −A2
sin (θ)
dr
dr
=−A
dR
A4
2
0
(6.1.57)
R2 R)∫ AR2 (
下記の関数：Ω(r, θ) を考える。
1
d
=
R
Φ
(R,
θ)
dR
(
)
0
A 0
dR
d
Ω (r, θ) = r
Φ (r, θ)(6.1.58)dr,r,1))[1];速度ポテンシャル：Φ(r, θ) は (6.1.8) 式から下記を満足Ω(r, θ) が上記の質量保存の方程式：(6.1.57) 式を満足し、 Φ (r, θ) に球が存在する場合の速度ポッテンシャル：Φ
0調和関数となることを示す。
は上式で R → r の置き換えて、
(( d
)
)
( (
))
d
d
d
)
2
dθ
d θ Ω (r, θ) sin (θ)∫ Ar2 (+r
Ω (r, θ)=01dsin (θ)drdr
Φ (r, θ) =
Φ0 (r, θ) dr + Φ0 (r, θ)r
A 0dr
上式に、(6.1.58) 式を代入し整理すると、(6.1.62)
( 2
)
d
)
( 2
)
(
( 3
)
d r d θ Φ (r, θ) cos (θ)
d
d3
d
d
2
Φ (r, θ) +4 r
Φ (r, θ) +
Φ (r, θ)+2+r
Φ (r, θ) = 0
sin (θ)d r3
d r2
d r d θ2dr
(6.1.59)(6.1.57) 式を展開し、 ddr Φ (r, θ) について解き、下記を得る。

dΦ (r, θ) = −
dr

(

r2

(

)

d3
d r 3 Φ (r, θ)

(
+ 4r

d2
d r 2 Φ (r, θ)

)

)
( 2
)
3
+ d rdd θ2 Φ (r, θ) sin (θ) + d rd d θ Φ (r, θ) cos (θ)
2 sin (θ)

6.1. 軸対称の流れ

6.1.12

195

Bulter の球定理 (流れ関数)

流れの元の流れ関数：Ψ0 とする。この流れに球が存在するときの鏡像関係の流れ関数：Ψ1 を求める。
/* Bulter の球定理 */kill(all);
PSI0:\Psi[0]=\Psi[0](r,\theta);
NABPSI:(sin(\theta)*(’diff(’diff(\Psi[0](r,\theta),\theta,1)/sin(\theta),\theta,1)))/r^2+’diff(\Psi[0](r,\theta),r,2)=0;
NABPSI1:expand(NABPSI*r^2);
NABPSIR:subst([r=R],NABPSI1);
PSI1:\Psi[1]=-r/A*\Psi[0](A^2/r,\theta);
PSI2:\Psi=rhs(PSI0)+rhs(PSI1);
PSI00:\Psi[0](0)=O(r^2);
PSIC0:\Psi=\Psi[0](r,\theta)-r/A*\Psi[0](A^2/r,\theta);

下記の半径：r = A の球と鏡像関係になる関数を考える。
( 2 )r Ψ0 Ar , θΨ1 = −
A
下記の置き換えをすると、

r Ψ0 (R, θ)
A2
,
R=
A
r
(6.1.63) 式で r → R と置き換え、Ψ0 (R, θ) について、
Ψ1 = −

下記が成り立つ。
)
(
( 2
)
d
d ddθ Ψ0 (R, θ)+R2sin (θ)
Ψ
(R,
θ)
=0
0
dθ
sin (θ)d R2(6.1.64)

Ψ1 について、r の一回微分、r の二回微分は、()()
r ddr R ddR Ψ0 (R, θ)Ψ0 (R, θ)dΨ1 = −−drA
A()
A ddR Ψ0 (R, θ)Ψ0 (R, θ)=−r
A

RR1:R=A^2/r;
RR2:solve(RR1,r)[1];RR1D:’diff(R,r,1)=diff(rhs(RR1),r,1);
PSI11:subst([A^2=R*r],PSI1);
PSI1D:’diff(\Psi[1],r,1)=-\Psi[0](R,\theta)/A-r/A*’diff(\Psi[0](R,\theta),R,1)*’diff(R,r,1);
PSI1D1:subst([RR1D],PSI1D);)) ( d2(A ddr Rd R2 Ψ0 (R, θ)
d2
Ψ1 =
d r2
( d ) ( rd)dr R
d R Ψ0 (R, θ)−A()
A ddR Ψ0 (R, θ)
−
2
)
( r
A3

’diff(\Psi[1],r,2)=diff(A/r,r,1)*’diff(\Psi[0](R,\theta),R,1)+A/r*’diff(\Psi[0](R,\theta),R,2)*’diff(R,r,1)-1/A*’diff(\Psi[0](R,\theta),R,1)*’diff(R,r,1);
subst([RR1D],%);PSI1D2:r^2*lhs(%)=subst([RR2],r^2*rhs(%));-%/A/R;
PSI31:rhs(%)=lhs(%);
PHI11TD:’diff(\Psi[1],\theta,1)=-r/A*’diff(\Psi[0](R,\theta),\theta,1);(

d2
d R2 Ψ0 (R, θ)

=−
r3
)
)
( 2
2
d
d
2
Ψ1 r = −A R
Ψ0 (R, θ)
d r2
d R2

また、Ψ1 について、θ の一回微分は、(())
r ddθ Ψ0 (R, θ)
A ddθ Ψ0 (R, θ)dΨ1 = −=−dθ
AR
上記の二つの関係式を次式左辺に代入する。
( 2
)
(
( (
) ))
d
d
r2 R
2 Ψ1
Ψ
R
d
r
d
1
dθ
sin (θ)−−=0dθsin (θ) A
A-subst([RR2],%)*R/A;
PSI32:rhs(%)=lhs(%);(6.1.64) 式の関係式を利用すると上式左辺は零となる。

subst([PSI31,PSI32],NABPSIR);
軸対称の非回転、非圧縮性の流れがあるとする。球のな

上記から Ψ1 も調和関数となる。よって、下記の Ψ も調

い軸対称の下記の流れ関数で、半径：r = A の球の外にれ関数：Ψ が得られた。

和関数となり、流れ関数：Ψ0 に球が存在する場合の流(特異点があるとする。

Ψ0 = Ψ0 (r, θ)
上式は (6.1.23) 式から、下記の関係がある。
(
)
)
( 2
d ddθ Ψ0 (r, θ)d2sin (θ)Ψ0 (r, θ) = 0+rdθsin (θ)d r2(6.1.63)Ψ = Ψ0 (r, θ) −

r Ψ0

A2
r ,θ

A

)
(6.1.65)

上式に r = A を代入すると、Ψ = 0 となり r = A の球面が流線となっている。

第 6 章 3 次元完全流体

196

6.1.13

外部に特異点がある物体に作用する力

いま、i におけるわき出しを囲む小さな半径：r の球の境界面：Si 上の流速は、

→
mi −
n
−
→
vi =
+−
v→
i0
r2

物体の外部にわき出しや二重わき出しがある場合に物体に作用する力を求める。1

ここで上式第１項は強さ：mi のわき出しによる流速で、第２項の −
v→ は m のわき出しを除いた流場における流(1) 物体の外部にわき出しがある場合i0i速を表す。この球の境界面：Si 上の圧力は、

ρρpi = − vi 2 = −
2
2

((

)
→
mi )2
mi −
n−
→
2
+ 2 2 vi0 + vi0
r2r

上式右辺第１項、第３項は定数の積分となり、∫−→
n dS = 0Siから零となる。そこで右辺第２項のみが残り、わき出し

mi に作用する力：Fi は
∫
−
→
→
Fi =
pi −
n dS = −4πρmi −v→
i0(6.1.66)Si

図 6.1.11: 外部に特異点がある物体に作用する力(2) 物体の外部に二重わき出しがある場合
物体の外部に置いた二重わき出しを図 (6.1.9) に示すよ−→
物体に作用する力：F は表面圧力を p、外向きの方向ベ→クトルを −
n とすると、
−
→
F =−

∫

→
p−
n dS

うにわき出しと吸いこみの関係と同じように考える。吸
いこみ −mi とこれと δ だけ離れたわき出し mi を考える。i における吸いこみを囲む小さな半径：r の球の境
界面：Si − 上の流速は、

→
−mi −
n
−
+−
v→
v→
=
i0
i−
r2

S0

Bernoulli の定理から、
p=−i におけるわき出しを囲む小さな半径：r の球の境界面：

ρ v2
2

Si + 上の流速は、δ だけ離れているので、物体外部に n 個のわき出しがあるとする。このわき出しを囲む球の境界面：Si を考える。そして物体、わき出し全体を囲む大きな球の境界面：Sn+1 を考える。そして物体境界面：S0 とすると、全体の境界内部では特異点がないので下記の積分は零となる。
n+1
∑∫
i=0

→
p−
n dS = 0

物体、わき出し全体を囲む大きな球の境界面：Sn+1 のであるので、R → ∞ とすると、

→
p−
n dS

−
→
F =−

S0

→
p−
n dS =

i=1−−→
Fi− = −4πρ(−mi )−v→
i0

上式の和をとり−→ −−→ −−→Fi = Fi+ + Fi− = −4πρmi ∇−v→
i0 δとなり、二重わき出しによる力：Fi は−→
Fi = −4πρµi ∇−
v→
i0

以上から、
n ∫
∑

Fi− は (6.1.66) 式から、

δ → 0 とすると、二重わき出しの定義から、mi δ → µi

→0

Sn+1

∫

わき出し mi による力：Fi+ 、吸いこみ −mi による力：−−→−→
Fi+ = −4πρ(+mi ) (−v→
i0 + ∇vi0 δ)Si

積分は、境界面の半径を R とすると、流速が O(1/R2 )

∫

→
mi −
n
−
→
−
+ (−
v→
v→
i0 + ∇vi0 δ)
i+ =
2
r

→
pi −
n dS

Si

1 L.M.Milne-Thomson：Theoretical Hydrodynamics 15) , 15-42
Force on an obstacle P.470(6.1.67)

6.1. 軸対称の流れ

197

複素変換による流れ関数と流速の関係式

6.1.14複素 (共形) 変換：conformal transformation を導入したときの流れ関数の関係式と流速の関係式を求める。

(1) 流れ関数の関係式 1
図 6.1.12: x − r 円柱座標系で複素表示：z/* 回転楕円体 */kill(all);load("vect")declare(z,complex);declare(w,complex);depends(\Psi,[r,x]);
EQZ1:z=x+%i*r;
EQZC:w=conjugate(rhs(EQZ1));EQZCDX:’diff(w,x,1)=diff(rhs(EQZC),x,1);
EQZCDR:’diff(w,r,1)=diff(rhs(EQZC),r,1);

r で除し、更に複素表示：z で微分すると、( 2 )()() ( d2
)
d
d
d
d
Ψ
x
+
Ψ
d x2
dz
drdx
dz r
d dw Ψ
=
dz r
(( 2
) (r
) ( d 2 ) ( d ))
d
d
ı̇
Ψ
drdx
d z x + d r2 Ψdz r+( d )(d )(r d ) ( d )
Ψ
r
ı̇
dz
dr Ψ
dz r
− dx
−
2
r2(
r
)
=

depends(r,[w]);d2
d x2 Ψ − ı̇(depends(x,[w]);

ı̇

r
d2
d r d x Ψ − ı̇

PSDW:’diff(\Psi,w,1)=diff(\Psi,w,1);+

subst([’diff(x,w,1)=1/rhs(EQZCDX)dΨ− d r2r,’diff(r,w,1)=1/rhs(EQZCDR)],PSDW);

d2
drdx Ψ

())

d2
d r2 Ψ

r

+

ı̇

( d

dx Ψ
r2

)

PSDW1:expand(%/r);
EQZDX:’diff(z,x,1)=diff(rhs(EQZ1),x,1);
EQZDR:’diff(z,r,1)=diff(rhs(EQZ1),r,1);
depends(r,[z]);depends(x,[z]);’diff(lhs(PSDW1),z,1)=diff(rhs(PSDW1),z,1);

上記の実数部分をとると下記となり、円柱座標系における流れ関数の複素数表示の関係式が得られた。
(
)
(
)
d
1 d
d
1 d
Ψ =
Ψ
dz r dz
dz r dw
2

2

d
d
d
Ψ
2 Ψ
2 Ψ
= dx
+ dr
− d r2
r(
r)
r (
)
d
1 d
d
1 d
=
Ψ +
Ψ =0
dx r dx
dr r drsubst([’diff(x,z,1)=1/rhs(EQZDX),’diff(r,z,1)=1/rhs(EQZDR)],%);PSDW2:realpart(expand(%));
円柱座標系における流れ関数の関係式はを得る。(6.1.24)式から次式となる。

−

d
dr Ψ

r

d2
d2
Ψ
+
Ψ=0
+
d x2
d r2

z と ζ の複素変換の式を下記とする。
(6.1.68)x − r 円柱座標系で複素表示：z とその共役複素表示：w は下記となる。
z = x + ı̇ r,

w = z = x − ı̇ r

流れ関数：Ψ を共役複素表示：w で微分すると、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
Ψ=
Ψ
x +
Ψ
r
dw
dx
dw
dr
dw
(
)
d
d
Ψ + ı̇
Ψ=dx
dr
1 L.M.Milne-Thomson：Theoretical Hydrodynamics 15) , 15-50

The equation satisfied by the stream function when the motion
in irrotational P.472

z = x + ı̇ r = f (ξ + ı̇η) = f (ζ)
∂
∂z

(

1 ∂Ψ
r ∂z

)

)
1 ∂ζ ∂Ψr∂z ∂ζ
)
(
∂ζ ∂
1 ∂Ψ
=
∂z∂z r ∂ζ)(∂ζ ∂ζ ∂1 ∂Ψ=0=∂z∂z∂ζ r ∂ζ
=

∂
∂z

(

以上の結果から複素変換による流れ関数の関係式は下記
となる。
(
)
(
)
∂
1 ∂
∂
1 ∂
Ψ +
Ψ =0
∂ξ r ∂ξ∂η r ∂η(6.1.69)

第 6 章 3 次元完全流体

198(2) 流速の関係式 1(3) 流れ関数が満足すべき境界条件 2

円柱座標系における速度：vx , vr と流れ関数：Ψ の関係

物体が x 軸方向に速度：U で動くとき、物体に垂直な方は (6.1.19) 式から下記となる。

向の速度は (6.1.18) 式から、

dvr = − d xrΨdvx = d r
r

,

Ψ

d

(6.1.70)

また、円柱座標系における速度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ の関係は (6.1.12) 式と (6.1.19) 式から下記と
なる。
d
Ψ
d
Φ = − dx ,
dr
r

d
Ψ
d
Φ = drdx
r(6.1.71)

vn = d srΨ= U cos(θ) = U

drds(6.1.73)

上記から、dΨ = rUdr1
Ψ = U r2 + Const.
2(6.1.74)(6.1.70) 式を複素表示すると下記となる。
vx + ı̇vr =

1 d
1 d
1 d
Ψ − ı̇
Ψ=
Ψ
r dr
r dx
r dz

上記から、

vx2 + vr2 =d
1 dζ d
dζ d
1 d
Ψ
Ψ= 2
Ψ
Ψ
r2 d z d z
r dz dζ dz dζz と ζ の下記の複素変換の式から、
z = f (ζ),

d
dz
=
f (ζ)
dζ
dζ

dz
d
=
f (ζ),
dζ
dζ

上記から、

J2 =

d
d
f (ζ)
f (ζ)
dζ
dζ

d
1 1 d
Ψ
Ψ
vx2 + vr2 = 2 2
r J dζ dζ
((
)2 (
)2 )
1 1
d
d
= 2 2
Ψ +
Ψ
r J
dξ
dη
要素長さの ξ, η 方向成分を dsξ , dsη とすると、
222(dsξ ) + (dsη ) =(ds) = (dx)2 + (dr)2
(
)(
)
d
d
=
f (ζ) dζf (ζ) dζdζdζ()=J 2 (dξ)2 + (dη)2速度と速度ポテンシャルとの関係は、

vξ =

d
1 d
Φ=
Φ,
dsξ
J dξ

vη =

d
1 d
Φ=
Φ
dsη
J dη

速度と流れ関数との関係は、

vξ =

1 d
1 d
Ψ=
Ψ,
r dsη
Jr dη

vη = −

1 d
1 d
Ψ=−
Ψ
r dsξ
Jr dξ

以上から、

d
1 d
Φ=
Ψ,
dξ
r dη

d
1 d
Φ=−
Ψ
dη
r dξ

(6.1.72)

1 L.M.Milne-Thomson：Theoretical Hydrodynamics 15) , 15-51
The velocity P.473

2 L.M.Milne-Thomson：Theoretical Hydrodynamics 15) , 15-52
Boundary condition satisfied by the stream function P.474

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

6.2

199

軸対称の流れの簡単な例(6.1.20) 式、(180 ページ) の流れ関数と流速の関係式
から、

例題 6.2.1
による）一様流中の半無限物体（わき出しvr =z 軸方向に一様な流れの中に、わき出しを置いたときのddθ Ψr2 sin (θ)

vθ = −

流れ関数を求め、半無限物体まわりの流れを求める。

=

d
dr Ψ

r sin (θ)

r2 cos (θ) U + m
r2(6.2.1)= −sin (θ) U(6.2.2)

原点から半無限物体の先端までの距離を A とし、ここでの流速は零となることから、(6.2.1) 式の流速：v[r] にθ = π, r = A を代入し、vr =r2 cos (θ) U + m
m − A2 U
=
=0
r2
A2

また、半無限物体の先端で Ψ = 0 とすると、

m = A2 U,%c = −m(6.2.3)

上記の関係を代入し、流れ関数：Ψ およびこれに対応す
図 6.2.1: 一様流中の半無限物体の形状と表面圧力分布

る速度ポッテンシャル：Φ は、
2

Ψ = −cos (θ) A2 U − A2 U +/* 一様流中のわき出し */r2 sin (θ) U
2(6.2.4)x − y 座標で表現すると、下記の式を代入し、kill(all);assume(A>0);θ = atan2 (y, x) ,VR:v[r]=’diff(\Psi,\theta,1)/(r^2*sin(\theta));Ψ = −√

VT:v[\theta]=-’diff(\Psi,r,1)/(r*sin(\theta));
PSI:\Psi=(r^2*sin(\theta)^2*U)/2-m*cos(\theta)+%c;xy 2 + x2r 2 = y 2 + x2
+

y2
−1
2

上式を用いて流線を gnuplot を用いて描いた図を下記に示す。
#!/gnuplot

subst([PSI],VR);set xrange [-5:10]

VR1:factor(ev(%,diff));

set yrange [-5:5]

subst([PSI],VT);

set isosamples 150,150

VT1:factor(ev(%,diff));

set contour baserhs(VT1)=0;

set cntrparam levels incremental -20,0.5,20

TH1:\theta=%pi;

unset key

subst([TH1,r=A],rhs(VR1)=0);
M1:solve(%,m)[1];

unset surface
set view map

PSI1:rhs(subst([TH1],PSI))=0;

splot -x/sqrt(y**2+x**2)+y**2/2-1

CO:solve(%,%c)[1];#

EOF

subst([CO],PSI);
PSI0:subst([M1],%);
TH1:\theta=atan2(y,x);RR2:r^2=x^2+y^2;
PSI01:subst([TH1,RR2,U=1,A=1],PSI0);
PHI0:\Phi=r*cos(\theta)*U-A^2*U/r;
流速：U の一様流の中、原点に強さ：m のわき出しを置く。(6.1.37) 式、(188 ページ) および (6.1.38) 式、(189ページ) から流れ関数は、2Ψ=r2 sin (θ) U− m cos (θ) + %c2

Φ = r cos (θ) U −A2 Ur(6.2.5)

第 6 章 3 次元完全流体

200
√

√
2 cos (θ)

z=

Ψ
2
2
U + cos (θ) A + A

sin (θ)Ψ = 0, θ = 0 を上記の y 式に代入し、無限後方における半無限物体の半径：D0 は、√
D0 = 2 A = 2mU(2) 物体表面の圧力分布
下記の Bernoulli の定理から、

p0
v 2 + vr2
p
U2
+
= θ
+
2
ρ
2
ρ

図 6.2.2: 一様流中の半無限物体の流線圧力の式は、流速の関係式：(6.2.1) 式、(6.2.2) 式および (6.2.3) 式から、

(1) 物体形状

2 p − 2 p0
A4 + 2 r2 cos (θ) A2
=
−
ρ U2
r4

RBON:solve(rhs(PSI0)=0,r)[2];(6.2.7)

物体表面の圧力は、流線の関係式：(6.2.6) 式に Ψ = 0

RBONY:subst([r=y/sin(\theta)],%)*sin(

を代入し、r と θ の関係式を上式の圧力の式：(6.2.7) 式\theta);に代入し、RBONZ:z=r*cos(\theta);
2

3 cos (θ) − 2 cos (θ) − 1
2 p − 2 p0
=
2
ρU
4

RBONZ1:subst([RBON],%);
RBONP:solve(PSI0,r)[2];
RBONY2:subst([r=y/sin(\theta)],%)

半無限物体の先端の z 軸上の圧力は、圧力の式：(6.2.7)*sin(\theta);

式に θ = π を代入し、

RBONZ2:subst([RBONP],RBONZ);

A4 − 2 r 2 A2
2 p − 2 p0
=
−
ρ U2
r4

DD0:D[0]=subst([\Psi=0,\theta=0],
rhs(RBONY2));
AA1:solve(M1,A)[2];DD1:subst([AA1],DD0);PRS0:p[0]/\rho+U^2/2=p/\rho+(v[r]^2+v[\theta]^2)/2;
last(rhs(PRS0))-last(lhs(PRS0))=first(
lhs(PRS0))-first(rhs(PRS0));
PRS1:expand(%/(U^2/2));
subst([VR1,VT1,M1],%);
PRS2:trigsimp(expand(%));
subst([RBON],PRS2);
PRS3:trigsimp(expand(%));
PRS4:subst([\theta=%pi],PRS2);
流れ関数：Ψ = 一定が流線を表す。流れ関数を r で解くと下記が得られ、流線を表す式となる。ここで、Ψ = 0
は物体境界を表す。
√ √
2
Ψ
r=
+ cos (θ) A2 + A2
sin (θ) U
上式から θ における流線の y, z 座標は、
√
√
Ψ
y= 2
+ cos (θ) A2 + A2
U

(6.2.6)6.2. 軸対称の流れの簡単な例(3) 物体に作用する力

201
分し、

(

∫ π
FZR = − 2 π R2

cos (θ) sin (θ)
θ0
)
m2 ρ
−
+ p0 dθ
2 R4

ここで、

−

m ρ cos (θ) U
R2

√
2 m
D0
U
θ0 =
=
R
R

θ02
θ4
θ2
2m
+ 0 + ... ≈ 1 − 0 = 1 − 2
2
24
2
R U
上式を代入して積分を実行すると、
cos (θ0 ) = 1 −FZR =図 6.2.3: 半無限物体の検査面

ρQU
3 ρ Q3
p0 Q
p0 Q2
+
+
−
3
32 π 2 R4 U
U
4 π R2 U 2
5 ρ Q4
ρ Q2−−
384 π 3 R6 U 2
4 π R2

図 6.2.3 に示すわき出し点を中心にする球面で物体部分を除く検査面：SR および物体表面：S0 を考える。SR 上

R → ∞ とすると、SR 全体に作用する軸方向の力はの圧力は、r = R における流速：(6.2.1) 式、(6.2.2) 式
を代入し、

p=

m ρ cos (θ) U m2 ρ
ρ U 2 − ρ vθ2 − vr2 ρ + 2 p0
=−
−
+p0
2
R2
2 R4
FZR →

PRS10:solve(PRS0,p)[1];

p0 Q
ρQU
+
3
U

(R → ∞)PRS11:expand(trigsimp(expand(subst([VR1,

球形の検査面による軸方向の力：FZR と物体による軸VT1,r=R],PRS10))));

方向の力：FZB の合計はその両検査面：SR + S0 内で特DFZ1:dF[ZR]=p*cos(\theta)*2*%pi*R^2

異点がないため零となるはずである。そこで、物体によ*sin(\theta);
DFZ2:subst([PRS11],DFZ1);
FZ1:F[ZR]=-’integrate(rhs(DFZ2),\theta,\theta[0],%pi);
THE0:\theta[0]=D[0]/R;
THE01:subst([DD1],THE0);
COSTH0:cos(\theta[0])=taylor(cos(\theta[0]),\theta[0],0,4);
COSTH1:lhs(COSTH0)=rest(rhs(COSTH0),-1);
COSTH3:lhs(COSTH1)=subst([THE01],
rhs(COSTH1));ev(FZ1,integrate);
FZ2:expand(subst([COSTH3,m=Q/4/%pi],%));
FZ3:lhs(FZ2)=expand(limit(rhs(FZ2),R,inf));
F[ZR]+F[ZB]=0;
F[ZB]=-rhs(FZ3);
SR 全体に作用する軸方向の力：FZR は、これを積る軸方向の力：FZB は、

FZR + FZB = 0
FZB = −

ρQU
p0 Q
−
3
U

(6.2.8)

第 6 章 3 次元完全流体

202(4) 運動量r = R における SR の θ 上の z 軸方向の運動量：dM T=(境界を通過する質量) × (z 軸方向の流速) から、

list1:[[subst([t=0.1],rhs(X)),subst([t=0.1],rhs(Y))]];
for J:2 thru 31 do(

dM T = 2 π vr ρ sin (θ) R2 dθ (vr cos (θ) − vθ sin (θ))

list1:append(list1,[[subst([t=0.1*J],

SR 上の流速：(6.2.1) 式、(6.2.2) 式を r = R として上rhs(X)),subst([t=0.1*J],rhs(Y))]]));

式に代入し、z 軸方向の運動量：M T はこれを積分し、∫ π()
sin (θ) cos (θ) R2 U + m
M T =2 π ρ

list4:[[subst([t=0.1],rhs(X)),subst(

(

=

θ0

(
)
cos (θ) cos (θ) R2 U + m
2+ sin (θ) U
R2)

R → ∞ とすると z 軸方向の運動量は下記となる。圧力積分による z 軸方向の力：(6.2.8) 式と比較すると、運動量によるものと穴の部分の力とによっていることがわ
かる。。

ρQU
3

for J:2 thru 31 do(
list4:append(list4,[[subst([t=0.1*J],

dθ

ρ Q3
ρ Q4
ρQU
ρ Q2
+
−
−
2
4
3
6
2
3
16 π R U
192 π R U
4 π R2MT →[t=0.1],P1)]];

rhs(X)),subst([t=0.1*J],P1)]]));
for J:10 thru 50 do(
list4:append(list4,[[subst([t=0.1*J],R2),
subst([t=0.1*J],P2)]]));
list5:[[subst([t=0.1],rhs(X)),subst([t=0.1],rhs(-Y))]];
for J:2 thru 31 do(
list5:append(list5,[[subst([t=0.1*J],
rhs(X)),subst([t=0.1*J],rhs(-Y))]]));(R → ∞)

plot2d([[discrete,list1],[discrete,list4],[discrete,list5]],[x,-5,10],[y,-3,5]);

MM0:\rho*v[r]*(2*%pi*R*sin(\theta))*(R);DMT0:dMT=(v[r]*cos(\theta)-v[\theta]*sin(\theta))*MM0;
DMT1:subst([VR1,VT1,r=R],DMT0);
MT0:MT=’integrate(rhs(DMT1),\theta,\theta[0],%pi);
ev(MT0,integrate);
MT1:expand(subst([COSTH3,m=Q/4/%pi],%));
MT2:lhs(MT1)=expand(limit(rhs(MT1),R,inf));(5) 図の作成
図 6.2.2 に物体境界：Ψ = 0、流線：Ψ = 0.5,2、物体表面の圧力分布を示す。下記に、図を作成するプログラ
ムを示す。
X:subst([A=1,z=x,\theta=t],RBONZ1);

Y:subst([A=1,\theta=t],RBONY);
X1:subst([A=1,z=x,\theta=t,\Psi=0.5,U=1],
RBONZ2);
Y1:subst([A=1,\theta=t,\Psi=0.5,U=1],
RBONY2);
X2:subst([A=1,z=x,\theta=t,\Psi=2,U=1],
RBONZ2);
Y2:subst([A=1,\theta=t,\Psi=2,U=1],RBONY2);
P1:subst([A=1,\theta=t],rhs(PRS3));
R2:-t;
P2:subst([A=1,r=-t],rhs(PRS4));
list1:[[subst([t=0.1],rhs(X)),subst([t=0.1],rhs(Y))]];
for J:2 thru 31 do(6.2. 軸対称の流れの簡単な例

例題 6.2.2203

一定速度で動く球(2) 運動エネルギー

軸対称軸：z 軸方向の一定速度：U で動く半径：A の球の速度ポッテンシャルを求める。

/* 運動エネルギー */PHI1D:diff(PHI1,r,1);
PHI1A:subst([r=A],PHI1);PHI1AD:lhs(PHI1D)=subst([r=A],rhs(PHI1D));
rhs(PHI1A)*rhs(PHI1AD)*A*2*%pi*A*
sin(\theta);
T1:T=-\rho/2*’integrate(%,\theta,0,%pi);
T11:ev(%,integrate);
ADM:T=1/2*M*U^2;
ADM1:solve(rhs(T11)=rhs(ADM),M)[1];
VOL:V=4/3*%pi*A^3;
VOL1:solve(VOL,A)[3];ADM2:subst([VOL1],ADM1);
運動エネルギーは次式で得ることができる。

図 6.2.4: 一定速度で動く球

ρ
T =−
2

(1) 速度ポッテンシャル

(

∫
Φ

d
Φ
dn

)
dS

(6.2.9) 式から、/* 一定速度で動く球 */Φ=−kill(all);load("vect")depends(\Phi,[r,\theta,n]);assume(r>0);
BC1:diff(\Phi,r,1)=U*cos(\theta);
PHI0:\Phi=%k2*cos(\theta)/r^2;
PHI0D:diff(PHI0,r,1);
PHI0D1:subst([r=A],rhs(PHI0D))=rhs(BC1);
K1:solve(%,%k2)[1];PHI1:subst([K1],PHI0);
r = A の球が z 軸方向に一定速度：U で動いている。境界条件は、dΦ = vr = cos (θ) U,
dr

式の下記の右辺第２項をここで使用する。この式とこれを r で微分した式を下記に示す。

%k2 cos (θ),
r2

d
2 %k2 cos (θ)
Φ=−
dr
r3

上式における r = A の式と境界条件から、−

2 %k2 cos (θ)= cos (θ) U
A3

A3 U
2
上式を速度ポッテンシャルに代入すると一定速度で動く%k2 = −

球の速度ポッテンシャルは下記となる。

Φ=−cos (θ) A3 U
2 r2dcos (θ) A3 U
Φ=
dr
r3

上式を代入し、球表面上では r = A から、
∫
πρ π
2
T =
cos (θ) sin (θ) dθ A3 U 2
2 0
π ρ A3 U 2
=
3
M U2
=
2

(6.2.10)

ここで、M を付加質量とする。球の体積：V とすると、

V =4 π A33

付加質量は、球の 1/2 の体積の質量に相当する。

(r = A)

軸対称流れの速度ポッテンシャルの極座標一般解の (6.1.31)

Φ=cos (θ) A3 U,
2 r2

(6.2.9)2 π ρ A3
3
ρV
=
2

M=

第 6 章 3 次元完全流体

204

例題 6.2.3

一定速度で動く球 (複素変換)

軸対称軸：x 軸方向に一定速度：U で動く半径：A の球の速度ポッテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ を複素変換の方法で求める。

subst([PSI10,EQ1IM],PSIEQ0);ev(%,diff);
PSIEQ1:expand(%*c/sin(\eta)/%e^(-\xi));
ode2(PSIEQ1,f(\xi),\xi);
F1:subst([%k1=0],%);PSI11:subst([F1],PSI10);
subst([\xi=\xi[0]],rhs(PSI11))=rhs(PSI01);
solve(%,%k2)[1];
PSI12:subst([%],PSI11);
A3:solve(A1,\xi[0])[1];PSI13:subst([A3],PSI12);
EQ13:rhs(EQ1)=R*%e^(%i*\eta);
EQ13*%e^(-%i*\eta);
EQ131:solve(%,\xi)[1];
subst([EQ131,\eta=\theta],PSI13);

図 6.2.5: 一定速度で動く球(6.1.74) 式による流れ関数の境界条件から、ξ = ξ0 の球の境界において、/* 球 (複素変換) */

2

Ψ0 =

kill(all);declare(z,complex);

r2 U
e2 ξ0 c2 sin (η) U=
2
2(6.2.11)

上記を参考に複素変換式を下記の変数分離型とする。

declare(w,complex);

2

EQ1:x+%i*r=c*%e^(\xi+%i*\eta);

Ψ = sin (η) f (ξ)

EQ1RE:realpart(lhs(EQ1))=realpart(rhs(EQ1));(6.1.69) 式から複素変換による流れ関数の関係式は下記

EQ1IM:imagpart(lhs(EQ1))=imagpart(rhs(EQ1)

となる。

);

∂
∂ξ

EQ1RE1:EQ1RE/(%e^\xi*c);
EQ1IM1:EQ1IM/(%e^\xi*c);
EQ12:expand(trigsimp(EQ1RE1^2+EQ1IM1^2));

(

)
(
)
1 ∂
∂
1 ∂
Ψ +
Ψ =0
r ∂ξ
∂η r ∂η

上式に複素変換式を代入すると、

d2df (ξ) −f (ξ) − 2 f (ξ) = 0d ξ2dξEQ121:subst([\xi=\xi[0]],EQ12);
A1:A=%e^(\xi[0])*c;

この解は ode2 関数で得られ、ξ → ∞ における条件から、

A2:solve(A1,c)[1];
subst([A2],EQ121);
EQ122:expand(%*A^2);z と ζ の複素変換の式を下記とする。

f (ξ) = %k1 e2 ξ + %k2 e−ξ = %k2 e−ξ
上記から流れ関数は、

z =x + ı̇ r

Ψ = %k2 sin (η) e−ξ2=f (ζ) = f (ξ + ı̇η) = c e
ここで、 x = c cos (η) eξ ,ξ+i η

r = c sin (η) eξ

上式と (6.2.11) 式の境界における流れ関数からこの関係式は半径：A の円を表す。

A = eξ0 c,

x 2 + r 2 = A2

%k2 =e3 ξ0 c2 U
2

ここで下記の極座標表示：R, θ を導入すると次式が得られ、流れ関数は下記となる。

PSIEQ0:’diff((1/r*’diff(\Psi,\xi,1)),\xi,1)c eξ+i η = ei θ R+’diff((1/r*’diff(\Psi,\eta,1)),\eta,1)=0;
PSI00:\Psi[0]=1/2*U*r^2;
PSI01:subst([EQ1IM,\xi=\xi[0]],PSI00);
PSI10:\Psi=f(\xi)*sin(\eta)^2;

c2 sin (η) e3 ξ0 −ξ U
A3 sin (η) e−ξ U=22c(6.2.12)2
A3 sin (θ) U
=
2R
2

Ψ=

2

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

205

PHPS1:’diff(\Phi,\eta,1)=-1/r*’diff(\Psi,\xi,1);’diff(\Psi,\xi,1)=diff(rhs(PSI12),\xi,1);
subst([%,EQ1IM],PHPS1);\Phi=integrate(rhs(%),\eta);
PHI1:subst([A3],%);
subst([EQ131,\eta=\theta],%);
速度と速度ポテンシャル、流れ関数との関係 (6.1.72) 式
から、

d
1 d
Φ=−
Ψ
dη
r dξ
上式に上記で得られた流れ関数を代入すると、

dc2 sin (η) e3 ξ0 −ξ U
Ψ=−
dξ
2
2

d
1 d
c sin (η) e3 ξ0 −2 ξ U
Φ=−
Ψ=
dη
r dξ
2
上式を積分し速度ポッテンシャルを求める。ここで前記同様極座標表示：R, θ を導入すると

c cos (η) e3 ξ0 −2 ξ U
A3 cos (η) e−2 ξ U
=−
2
2 c2
3
A cos (θ) U=−
2 R2(6.2.13)Φ=−

上式は前節で得られた (6.2.9) 式と一致している。
PHI2:subst([\xi=\xi[0]],rhs(PHI1));

diff(rhs(PSI13),\eta,1);
PSETD:subst([\xi=\xi[0]],%);
T=-%pi*\rho*integrate(PHI2*PSETD,\eta,0,%pi);
subst([A3],%);
運動エネルギーは下記で与えられる。
∫ πdT = −π ρ
Φ
Ψ dη
d
η
0
Φ
ξ=ξ0

=−

e−2 ξ0 cos (η) A3 U
2 c2de−ξ0 cos (η) sin (η) A3 U=Ψd η ξ=ξ0c
上記を積分し、運動エネルギーは、T =π ρ A3 U 2
π e−3 ξ0 ρ A6 U 2
=
3 c3
3

上記は前節の結果：(6.2.10) 式と一致している。

第 6 章 3 次元完全流体

206

例題 6.2.4

一様流中の球（球定理による）

軸対称軸：z 軸方向に一様な流れ：U の中に半径：A の

2

上式で r → Ar の置き換えを行って、球定理 (6.2.16) 式の右辺第２項は、球が存在する流れの速度ポッテンシャルと流れ関数を球定理により求める。
/* 一様流中の球 (球定理による) */2

Ψ1 (r, θ) = −sin (θ) A3 U
2r

以上から求める一様な流れの中に球が存在する流れの流

PHI0:\Phi[0](r,\theta)=r*cos(\theta)*U;
PHI0D:’diff(\Phi[0](r,\theta),r,1)=’diff((r*cos(\theta)*U),r,1);

れ関数：Ψ は、
2

2

PHI0D1:lhs(PHI0D)=ev(rhs(PHI0D),diff);

r2 sin (θ) U
sin (θ) A3 U−
2
2r

PHI1:\Phi[1](r,\theta)=1/A*integrate((r結果の一様流中の球の速度ポッテンシャル (6.2.15) 式お*’diff(\Phi[0](r,\theta),r,1)),r,0,A^2

よび流れ関数 (6.2.17) 式は次項にに示す二重わき出しに/r);よる一様流中の球の速度ポッテンシャルおよび流れ関数

Ψ (r, θ) =と一致している。

subst([PHI0D1],PHI1);
PHI11:ev(%,integrate);\Phi(r,\theta)=rhs(PHI0)+rhs(PHI11);(6.1.62) 式の球定理から速度ポッテンシャルは、)∫ Ar2 (1d
Φ0 (r, θ) dr + Φ0 (r, θ)Φ (r, θ) =r
A 0
dr
(6.2.14)
一様流の速度ポッテンシャルは (6.1.37) 式から、

Φ0 (r, θ) = r cos (θ) UdΦ0 (r, θ) = cos (θ) U
dr
球定理 (6.2.14) 式の右辺第１項は、)∫ Ar2 (1dr
Φ0 (r, θ) dr
A 0
dr
∫ Ar2
1
=
rdr cos (θ) U
A 0
cos (θ) A3 U=
2 r2

Φ1 (r, θ) =以上から求める一様な流れの中に球が存在する流れの速度ポッテンシャル：Φ は、

Φ (r, θ) =cos (θ) A3 U
+ r cos (θ) U
2 r2(6.2.15)

PSI0:\Psi[0](r,\theta)=r^2*sin(\theta)^2*U/2;
PSI1:\Psi[1](r,\theta)=-r/A*subst([r=A^2/r],rhs(PSI0));\Psi(r,\theta)=rhs(PSI0)+rhs(PSI1);(6.1.65) 式、から流れ関数は、(
Ψ = Ψ0 (r, θ) −

r Ψ0

A2
r ,θ

)

A
一様流の流れ関数は (6.1.37) 式から、
2

Ψ0 (r, θ) =r2 sin (θ) U
2(6.2.16)(6.2.17)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

例題 6.2.5
る）

207

一様流中の球（二重わき出しによ

軸対称軸：z 軸方向の一様な流れ：U の中に、二重わき出しを置いた半径：A の球まわりの流れを求める。

22µ sin (θ)
r2 sin (θ) U
+
+ %c
2
r
(6.1.20) 式、(180 ページ) の流れ関数と流速の関係式
Ψ=

から、

(
)
cos (θ) r3 U + 2 µ
vr = 2=r sin (θ)r3()
dsin (θ) r3 U − µdr Ψvθ = −=−
r sin (θ)
r3
d
dθ Ψ

(6.2.18)(6.2.19)

原点から物体の先端までの距離を A とし、ここでの流速は零となることから、θ = π, r = A を流速：(6.2.18)
式に代入し、()
cos (θ) r3 U + 2 µ
A3 U + 2 µ
vr =
−
=0
3
r
A3
また、物体の先端で Ψ = 0 とすると、

図 6.2.6: 一様流中の球の表面圧力分布µ=−/* 一様流れ中の二重わき出し */A3 U
2%c = 0(6.2.20)kill(all);

上記の関係を代入し、流れ関数：Ψ およびこれに対応すassume(r>0);

る速度ポッテンシャル：Φ は (6.1.37) 式および (6.1.45)

assume(A>0);

式から

VR:v[r]=’diff(\Psi,\theta,1)2

Ψ=/(r^2*sin(\theta));
VT:v[\theta]=-’diff(\Psi,r,1)/(r*sin(\theta));
PSI:\Psi=(r^2*sin(\theta)^2*U)/2+\mu*(sin(\theta))^2/r+%c;2

sin (θ) A3 U
r2 sin (θ) U−
2
2r(6.2.21)cos (θ) A3 U
+ r cos (θ) U(6.2.22)2 r2(6.2.21) 式に θ = atan2(y, x), r = sqrt(x2 + y 2 ), A =Φ=

1, U = 1 を代入すると、subst([PSI],VR);
VR1:factor(ev(%,diff));Ψ=subst([PSI],VT);
VT1:factor(ev(%,diff));

y2
y2
−
3
2
2 (y 2 + x2 ) 2

rhs(VT1)=0;

上式の流線を gnuplot を用いて描くと下図となる。
#!/gnuplot

TH1:\theta=%pi;

set xrange [-3:3]

subst([TH1,r=A],rhs(VR1)=0);

set yrange [-2:2]

M1:solve(%,\mu)[1];

set isosamples 150,150

PSI1:rhs(subst([TH1],PSI))=0;
CO:solve(%,%c)[1];

set contour basesubst([CO],PSI);

unset key

PSI0:subst([M1],%);

unset surface

PSI1:subst([\theta=atan2(y,x),r=

set view map

sqrt(x^2+y^2),A=1,U=1],PSI0);
PHI0:\Phi=r*cos(\theta)*U+A^3*U/2*cos(\theta)/r^2;
流速：U の一様流の中に、強さ：µ の二重わき出しを置く。(6.1.37) 式、(188 ページ) および (6.1.45) 式、(191ページ) から流れ関数は、

set cntrparam levels incremental -20,0.1,20

splot y**2/2-y**2/(2*(y**2+x**2)**(1.5))#

EOF

第 6 章 3 次元完全流体

208

物体表面の圧力は、r = A を代入し、
2

9 sin (θ) − 4
2 p − 2 p0
=−
2
ρU
4

(6.2.23)

物体外の z 軸上の圧力は、θ = 0 を代入し、()
A3 A3 − 2 r 3
2 (p − p0 )=−(6.2.24)
ρ U2
r6
物体表面の流速は、流速の関係式：(6.2.19) 式および(6.2.20) 式から、r = A を代入し、
vθ = −
図 6.2.7: 一様流中の球まわりの流線(1) 物体形状

3 sin (θ) U
2(6.2.25)(3) 物体に作用する力

PRS5:p(\theta)=rhs(solve(PRS3,p)[1]);FH:F[H]=’integrate(p(\theta)*cos(\theta)*2*%pi*A*sin(\theta)*A,\theta,0,%pi/2);

PSI2:subst([\Psi=0],PSI0);
solve(%,r);FH1:subst([PRS5],FH);

RBON:%[3];FH2:expand(ev(FH1,integrate));流れ関数：Ψ = 一定が流線を表す。流れ関数を r で解くと下記が得られ、流線を表す式となる。ここで、Ψ = 0
は物体境界を表す。

FV:F[V]=’integrate(’integrate(p(\theta)*sin(\theta)*A*sin(\theta)*A*cos(a),a,-%pi/2,%pi/2),\theta,0,%pi);
FV1:subst([PRS5],FV);

2

2

2

3

r sin (θ) U
sin (θ) A U−
22r
上式を解いて、0=

r=A

FV2:expand(ev(FV1,integrate));
物体表面圧力：p は、流速の関係式：(6.2.23) 式から、(
p (θ) = −)2
9 ρ sin (θ) − 4 ρ U 2 − 8 p0

これは球を表している。

8
完全流体中の球全体に作用する力は、球外部に特異点が(2) 物体表面の圧力分布

内ので、零であるが、球を半分に割り、球の前後半部分に作用する力：FH と球の上下部分に作用する力：FV/* 圧力分布 */PRS0:p[0]/\rho+U^2/2=p/\rho+(v[r]^2は、上記圧力分布を積分して、下記を得る。

∫ π2p (θ) cos (θ) 2 π A sin (θ) AdθFH =+v[\theta]^2)/2;
last(rhs(PRS0))-last(lhs(PRS0))0=π p0 A2 −=first(lhs(PRS0))-first(rhs(PRS0));
PRS1:expand(%/(U^2/2));
subst([VR1,VT1,M1],%);
PRS2:trigsimp(expand(%));
subst([RBON],%);π ρ A2 U 216∫ π ∫ π2
FV =
0

−π
2

p (θ) sin (θ) A sin (θ) A cos (a) dadθ=π p0 A2 −11 π ρ A2 U 2
32

PRS3:trigsimp(expand(%));
PRS4:factor(subst([\theta=0],PRS2));上式から、前後および上下に引き離そうとする力が働いVT2:subst([r=A,M1],VT1);ている。

下記の Bernoulli の定理から、

U2p0
v 2 + vr2
p
+
= θ
+
2
ρ
2
ρ
圧力：p の式は、流速の関係式：(6.2.18) 式、(6.2.19) 式および (6.2.20) 式から得られる。

6.2. 軸対称の流れの簡単な例(5) 図の作成
図 6.2.7 に物体境界と物体表面の圧力分布を示す。下記に、図を作成するプログラムを示す。
/* 図の作成 */solve(PSI0,r)[3];R1:subst([A=1,U=1,\theta=t],%);
assume(t>0);
R10:subst([\Psi=0],R1);
X1:rhs(R10)*cos(t);Y1:rhs(R10)*sin(t);list1:[[1,0]];
list11:[[1,0]];for J:1 thru 31 do(list1:append(list1,[[subst([t=0.1*J],X1),
subst([t=0.1*J],Y1)]]),
list11:append(list11,[[subst([t=0.1*J],X1),
subst([t=0.1*J],-Y1)]]));
PRS31:subst([\theta=t],rhs(PRS3));
list5:[[subst([t=0],cos(t)),
subst([t=0],PRS31)]];for J:2 thru 31 do(
list5:append(list5,[[subst([t=0.1*J],cos(t)),subst([t=0.1*J],PRS31)]]));PRS41:subst([A=1,r=t],rhs(PRS4));
list6:[[1,1]];
list7:[[-1,1]];for J:21 thru 100 do(
list6:append(list6,[[0.05*J,subst([t=0.05*J],PRS41)]]),
list7:append(list7,[[-0.05*J,
subst([t=0.05*J],PRS41)]]));
plot2d([[discrete,list1],[discrete,list11],[discrete,list5],[discrete,list6],[discrete,list7]],[x,-3,3],[y,-2,2]);

209

第 6 章 3 次元完全流体

210

例題 6.2.6

球の外部にわき出しがある流れ

RB3:RB2*C[A]^2;

球に軸対称軸 z 軸方向に一様な流れをあて、球の外部に

CA3:solve(RB3,A^4)[1];

わき出しを置いたときの球まわりの流れとその干渉力に

PHI021:subst([RA1],PHI02);

ついて調べる。流速：U 、z 軸方向の一様流の中に、原

PHI01D:’diff(lhs(PHI01),r,1)=

点：O に半径：A の球を置く。球の外部、原点から CA’diff((rhs(PHI01)),r,1);の z 軸上 A に強さ：m のわき出しを置く。この球まわ

PHI01D1:lhs(PHI01D)=ev(rhs(PHI01D),diff);りの流れを球定理から求める。

PHI02D:’diff(lhs(PHI021),r,1)=’diff((rhs(PHI021)),r,1);
PHI02D1:lhs(PHI02D)=ev(rhs(PHI02D),diff);
PHI11:\Phi[11](r,\theta)=1/A*integrate((r*’diff(\Phi[O1](r,\theta),r,1)),r,0,A^2/r);
subst([PHI01D1],PHI11);
PHI111:ev(%,integrate);
PHI12:\Phi[12](r,\theta)=1/A*integrate((r*’diff(\Phi[O2](r,\theta),r,1)),r,0,A^2/r);
subst([PHI02D1],PHI12);
PHI121:ev(%,integrate);
PHI122:expand(subst([cos(\theta)^2=

図 6.2.8: 球の外部にわき出しがある流れ(1)Weiss の球定理 (速度ポッテンシャル) による

1-sin(\theta)^2],%));
subst([CA3],%);
expand(subst([CB2],%));
一様流の速度ポッテンシャル：ΦO1 は、(6.1.37) 式から、
ΦO1 (r, θ) = r cos (θ) U/* 球の外部にあるわき出し（速度ポッテンシャル）*/kill(all);assume(m>0);
assume(A>0);
assume(r>A);
assume(M[1]>0);
assume(C[A]>A);
assume(C[B]<A and C[B]>0);
assume(r[A]>0);
assume(r[B]>0);
assume(cos(\theta)*C[B]<r);(6.2.26)

点 A に置いたわき出しの速度ポッテンシャル：ΦO2 は、(6.1.40) 式から、m
ΦO2 (r, θ) = − √ 2
CA − 2 r cos (θ) CA + r2

(6.2.27)

ここで点 A、A の球面に対する鏡像位置：B に関する関係式は下記となる。
√
2 − 2 r cos (θ) C + r 2
rA = CA
A

CB =

A2
CA

PHI02:\Phi[O2](r,\theta)=-m/r[A];√2 − 2 r cos (θ) C + r 2
rB = CBB√
A4
2 r cos (θ) A2
rB = −+ 2 + r2
CA
CA

RA1:r[A]=sqrt(r^2+C[A]^2-2*r*C[A]

一様流中に球が存在することによる鏡像関係の速度ポッ

assume(cos(\theta)<1 and cos(\theta)>0);
assume(sin(\theta)<1 and sin(\theta)>0);
PHI01:\Phi[O1](r,\theta)=r*cos(\theta)*U;*cos(\theta));
RA2:r[A]^2=r^2+C[A]^2-2*r*C[A]*cos(\theta);
CA2:solve(RA2,C[A]^2)[1];RB1:r[B]^2=r^2+C[B]^2-2*r*C[B]*cos(\theta);
CB11:C[B]=A^2/C[A];CB2:solve(CB11,A^2)[1];RB2:subst([CB11],RB1);

テンシャル：Φ11 は (6.1.62) 式から、)
∫ Ar2 (1d
Φ11 (r, θ) =r
ΦO1 (r, θ) dr
A 0
dr
∫ Ar2
1
=
rdr cos (θ) U
A 0
cos (θ) A3 U=
2 r2

(6.2.28)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

211

球の外部のわき出しがある流れに球が存在することによる鏡像関係の速度ポッテンシャル：Φ12 は同様に、)∫ Ar2 (∫ Ar2
1dmr (2 r − 2 cos (θ) CA )
Φ12 (r, θ) =
ΦO2 (r, θ) dr =
r
3 dr
2
A 0
dr
2A 0
(CA − 2 r cos (θ) CA + r2 ) 2())(
cos(θ)
cos(θ)
A2
m asinh r sin(θ)
−
m
asinh
CA
sin(θ)sin(θ)mA=−√+
2 − 2 r cos (θ) A2 C + A4
AA
r 2 CAA(())
cos(θ)
cos(θ)
CBm asinh r sin(θ) − sin(θ)
m asinh sin(θ)
mA
=
−
+
A
CA rB
A

(6.2.29)

上記右辺第２項は球の鏡像点に mA/CA の強さのわき出しによる項で、右辺第１項と第３項は (6.1.41) 式から一様な吸いこみ分布を表している。一様流中に球が存在する流れの速度ポッテンシャル：Φ31 は (6.2.26) 式および(6.2.28) 式から下記となる。これは一様流中の球（二重わき出しによる）の結果：(6.2.22) 式と一致している。
Φ31 (r, θ) =cos (θ) A3 U
+ r cos (θ) U
2 r2

球の外部にわき出しがある流れの速度ポッテンシャル：Φ32 は (6.2.27) 式および (6.2.29) 式から下記となる。
)(
cos(θ)
A2
m asinh r sin(θ)
CA − sin(θ)
mA
m
−√
−√ 2
Φ32 (r, θ) =
2
2
2
4
A
r CA − 2 r cos (θ) A CA + A
CA − 2 r cos (θ) CA + r2()
m asinh cos(θ)
sin(θ)+
A

一様流中にの球が存在する流れの r 方向の流速：vr1 は下記となり、球面：r = A では零となる。わき出しがある
流れの r 方向の流速：vr2 も球面：r = A では零となる。

cos (θ) A3 Ud
Φ31 , = cos (θ) U −vr1,r=A = 0
dr
r3
(
)
2
m A 2 r CA
− 2 cos (θ) A2 CA
m (2 r − 2 cos (θ) CA )
√(
vr2 =
3 +
3 −
2
2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 22224
2 (r CA − 2 r cos (θ) A CA + A )2 (CAAr2 sin (θ)
vr1 =

mA
cos(θ)
A2
r sin(θ) CA − sin(θ))2+ 1 CA

一様流中に球が存在する流れの θ 方向の流速：vt1 とその球面上の流速は下記となる。
dvt1 = d θ

Φ31sin (θ) A3 U=−
− sin (θ) Ur
2 r3

vt1,r=A = −3 sin (θ) U
2

わき出しがある流れの θ 方向の流速：vt2 とその球面上の流速は下記となる。
(
m r sin(θ) A3 CA
3

vt2 =

d
d θ Φ32r(r2 CA2 −2 r cos(θ) A2 CA +A4 ) 2+

3(CA2 −2 r cos(θ) CA +r2 ) 2=

vt2,r=A = −mm r sin(θ) CA+
A

cos(θ) A2cos(θ)2))(cos(θ)2
m − sin(θ)2 −1+ √2cos(θ)2+1 A+1sin(θ)2− r sin(θ)2 C + sin(θ)2 +1
A√()
cos(θ)
A2− sin(θ)
r sin(θ) CA

r
m

((

2
CA
− 2 cos (θ) A CA + A2

)

3
2

3
2
− CA
+ 3 cos (θ) A CA
− 3 A2 CA + cos (θ) A3
3

2 − 2 cos (θ) A C + A2 ) 2sin (θ) A2 (CAA)

第 6 章 3 次元完全流体

212

RB2:solve(RB1,C[B]^2)[1];
PHI31:\Phi[31](r,\theta)=rhs(PHI01)+rhs(PHI111);
PHI32:\Phi[32](r,\theta)=rhs(PHI021)+rhs(PHI122);

RB3:sqrt(RB1);
COSA1:r*cos(\theta)=r[A]*cos(\theta[A])+C[A];
solve(COSA1,cos(\theta[A]))[1];VR1:v[r1]=diff(rhs(PHI31),r,1);

COSA2:subst([RA2],%);

v[r1,r=A]=subst([r=A],rhs(VR1));

COSB1:r*cos(\theta)=r[B]*cos(\theta[B])VR2:v[r2]=diff(rhs(PHI32),r,1);+C[B];

v[r2,r=A]=subst([r=A],rhs(VR2));

COSB2:solve(COSB1,cos(\theta[B]))[1];

factor(%);

subst([RB3],%);

subst([sin(\theta)^2=1-cos(\theta)^2],%);
VT1:v[t1]=expand(diff(rhs(PHI31),\theta,1)

COSB3:subst([CB11],%);/r);v[t1,r=A]=subst([r=A],rhs(VT1));
VT2:v[t2]=(diff(rhs(PHI32),\theta,1)/r);

PSI2:\Psi[12]=-r/A*(-m*(cos(\theta[A])[B]-1)+%c);
PSI21:cos(\theta[A])[B]=subst([r=A^2/r],
rhs(COSA2));

expand(subst([cos(\theta)^2=1

PSI2N:num(rhs(PSI21))^2;-sin(\theta)^2],%));

PSI2D:denom(rhs(PSI21))^2;

subst([cos(\theta)^2=1-sin(\theta)^2],%);

PSI22:ratsimp(PSI2N/PSI2D);v[t2,r=A]=factor(subst([r=A],rhs(%)));

PSI22N:factor(num(PSI22)/C[A]^2);

factor(subst([cos(\theta)^2=1

expand(%);-sin(\theta)^2],%));

subst([A12,A14],%);(2)Bulter の球定理 (流れ関数) による

PSI22N1:factor(%);
PSI22D:expand(denom(PSI22)/C[A]^2);
subst([A12,A14],%);/* 球の外部にあるわき出し（流れ関数）*/PSI22D1:subst([RB2],%);

kill(all);

PSI23:lhs(PSI21)=-sqrt(PSI22N1)/

assume(m>0);sqrt(PSI22D1);

assume(A>0);

PSI24:lhs(PSI21)=-(r[B]+C[B]

assume(r>A);*cos(\theta[B]))/r;

assume(M[1]>0);

expand(subst([PSI24],PSI2));

assume(C[A]>A);

PSI25:subst([CB11],%);

assume(C[B]<A);

PSI26:subst([%c=-2*m],%);

assume(r[A]>0);

subst([COSB3],%);

assume(r[B]>0);

PSI27:subst([RB3],%);一様流の流れ関数：ΨO1 は、(6.1.37) 式から、

assume(cos(\theta)*C[B]<r);2

assume(cos(\theta)<1 and cos(\theta)>0);

ΨO1 =PSI01:\Psi[O1]=r^2*sin(\theta)^2*U/2;

r2 sin (θ) U
2(6.2.30)

PSI02:\Psi[O2]=-m*(cos(\theta[A])-1);

点 A に置いたわき出しの流れ関数：ΨO2 は、(6.1.39) 式

PSI0:\Psi[0]=rhs(PSI01)+rhs(PSI02);

から、

PSI11:\Psi[11]=-r/A*subst([r=A^2/r],
rhs(PSI01));
CB11:C[B]=A^2/C[A];A11:solve(CB11,A)[2];
A12:A11^2;
A14:A12^2;
RA1:r[A]^2=r^2+C[A]^2-2*r*C[A]*cos(\theta);
RB1:r[B]^2=r^2+C[B]^2-2*r*C[B]*cos(\theta);
RA2:sqrt(RA1);

ΨO2 = −m (cos (θA ) − 1)

(6.2.31)

ここで点 A、A の球面に対する鏡像位置：B に関する関係式は下記となる。

cos (θA ) = −CA − r cos (θ)
rA

CA − r cos (θ)
cos (θA ) = − √ 2
CA − 2 r cos (θ) CA + r2
r cos (θ) = rB cos (θB ) + CB

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

213
上式を代入して流れ関数：Ψ12 は、

CB − r cos (θ)
cos (θB ) = −rB
CB − r cos (θ)=− √ 2CB − 2 r cos (θ) CB + r2

Ψ12 = −m CB cos (θB ) m rB m r %c r−−−
(6.2.33)
A
A
A
A

一様流中に球が存在する流れの流れ関数：Ψ31 は (6.2.30)

A2CA − r cos (θ)

=− √
4
A2
− 2 r cos(θ)+ CA2 + r2
CA

式および (6.2.32) 式から下記となる。これは一様流中の球（二重わき出しによる）で示した流れ関数：(6.2.21)

A

一様流中に球が存在することによる鏡像関係の流れ関式と一致している。

数：Ψ11 は (6.1.65) 式から、
( 2 )2r Ψ01 Ar , θsin (θ) A3 U
Ψ11 = −=−
(6.2.32)
A
2r
わき出しがある流れに球が存在することによる鏡像関係

2

Ψ31 =

2

r2 sin (θ) U
sin (θ) A3 U−
2
2r

わき出しがある流れの流れ関数：Ψ32 は (6.2.31) 式およの流れ関数：Ψ12 は同様に、び (6.2.34) 式から下記となる。ここで特異性を除くため( 2 )%c = −2 m と置き、r Ψ02 Ar , θ
r (%c − m ((cos (θA ))B − 1))
Ψ12 = −=−AA
m A cos (θB ) m rB
mr
ここで (cos (θA ))B を抜き出し、
Ψ32 = −−−m (cos (θA ) − 1)+
CA
A
A
A2
CA − cos(θ)
r(cos (θA ))B = − √24
上式は右辺第３項が球の外部に置いたわき出し、右辺第C 2 − 2 cos(θ) A CA + A2
A

=−

r

r

１項が鏡像点に mA/CA の強さの鏡像関係のわき出し、

r − cos (θ) CB
PL
=−
rB
PB

右辺第２項と第４項は鏡像点：B から原点：O に分布した一様な吸いこみ分布を表している。球内のその分布△ P BL と△ P OM が相似であることから、(cos (θA ))B = −(Ψ32 = −m

強さは球の中で打ち消し合うようになっている。Ψ32 をPM−CB cos (θB ) − rB
PL
=−
=
PB
PO
r

−√

CA − r cos (θ)
2 − 2 r cos (θ) C + r 2
CAAr, θ で表現すると、()− 1 +√mA

A2
CA − r cos (θ)

√

)

4
A2
− 2 r cos(θ)+ CA2 + r2 CA
CA
A

−

m

2

A
− 2 r cos(θ)+ CA2 + r2
CA
4

A

A

+

一様流中に球が存在する流れの r 方向の流速：vr1 は下記となり、球面：r = A では零となる。わき出しがある流
れの r 方向の流速：vr2 も球面：r = A では零となる。

vr1 =
(
−m
d
Ψ12
vr2 = 2d θ=r sin (θ)

dcos (θ) A3 U
d θ Ψ11= cos (θ) U −,2r sin (θ)
r3

r sin(θ) CA (CA −r cos(θ))
3(CA2 −2 r cos(θ) CA +r2 ) 2− √ 2 r sin(θ)
CA −2 r cos(θ) CA +r 2

vr1,r=A = 0)(6.2.34)( 2)
Am r sin(θ) A3 C
−r cos(θ)
A
−(
)3
2
4
2 r cos(θ) A2
2−
CA+ A2 +r 2CACA

r2 sin (θ)
vr2,r=A = 0

一様流球が存在する流れの θ 方向の流速：vt1 とその球面上の流速は下記となる。
dΨ31
sin (θ) A3 U
− sin (θ) U,=−
vt1 = − d rr sin (θ)
2 r3

vt1,r=A = −3 sin (θ) U
2

わき出しがある流れの θ 方向の球面上の流速：vt2 は下記となる。
((
)
)3
2
3
2
m CA
− 2 cos (θ) A CA + A2 2 − CA
+ 3 cos (θ) A CA
− 3 A2 CA + cos (θ) A3
vt2,r=A = −3
2 − 2 cos (θ) A C + A2 ) 2sin (θ) A2 (CAA(6.2.35)

mrA

第 6 章 3 次元完全流体

214
上記の結果は Weiss の球定理 (速度ポッテンシャル)による結果と一致している。
PSI31:\Psi[31]=rhs(PSI01)+rhs(PSI11);

VRCA22:v[r2,r=C[A]]=subst([r=C[A],\theta=0,

PSI32:\Psi[32]=rhs(PSI02)+rhs(PSI26);

VRCA221:factor(%);

subst([COSA2,COSB3],%);

CA41:C[A]^4=(C[A]^2-A^2)^2-(-2*A^2*C[A]^2

CB11],rhs(%));

subst([RB3],%);+A^4);

PSI321:subst([CB11],%);

VRCA222:factor(subst([CA41],VRCA221));

VR1:v[r1]=expand(diff(rhs(PSI31),\theta,1)F[H]=4*%pi*\rho*m*(rhs(VRCA1)/r^2/sin(\theta));+rhs(VRCA221));v[r1,r=A]=subst([r=A],rhs(VR1));VR2:v[r2]=diff(rhs(PSI321),\theta,1)/r^2/sin(\theta);

subst([CA41],%);
球の表面の圧力積分により球に作用する力を求めることができるが、式が複雑になり Maxima では解けなかっv[r2,r=A]=subst([r=A],rhs(VR2));た。そこでここでは、6.1.13 節「外部に特異点がある物

factor(%);

体に作用する力」（196 ページ）の方法で球に作用する力

VT1:v[t1]=expand(-(diff(rhs(PSI31),r,1)/rを求める。物体の外部にわき出しがある場合、(6.1.66)
式から物体に作用する力：FH は下記で得られる。

/sin(\theta)));VT11:v[t1,r=A]=subst([r=A],rhs(VT1));

FH = −4 π m ρ v ′VT2:v[t2]=-(diff(rhs(PSI321),r,1)/r/sin(\theta));
VT21:v[t2,r=A]=factor(subst([r=A],rhs(%)));

ここで v ′ はわき出し強さ：m の場所における、わき出

VT3:v[t]=rhs(VT21);

し自体以外の流速を示す。(6.2.34) 式で r = CA として、わき出し点における一様流中の球による流速は下記で(3) 球に作用する力

ある。

(

)
3
CA
− A3 Uvr1,r=CA =3
CA/* 球に作用する力 */VRCA1:v[r1,r=C[A]]=trigsimp(subst([r=C[A],

球の外部のわき出しの流速は考慮しないので、(6.2.33)\theta=0],rhs(VR1)));v[r2,r=C[A]]=expand(diff(rhs(PSI27),\theta,

式からわき出しの球の鏡像によるわき出し点における流れ関数から流速は下記である。

1)/r^2/sin(\theta));1dvr2,r=CA = 2
Ψ12
r sin (θ) d θ
mA
m CB
√
+ √
=−
+(
4
2
2
2
r
cos(θ)A2
r A CB − 2 r cos (θ) CB + r
r −+ A2 + r2 CA
CA

CA

m A5
− (
) 32
A2
A4
3
2
r − 2 r cos(θ)
+
+
r
CA
2
CA
C
A

m A3
√
=
4 − 2 A2 C 2 + A4
CA (CA − A) (CA + A) CA
A
=

m A3
2

2

CA (CA − A) (CA + A)

以上から、球に作用する力は、

FH = − 4 π m ρ (vr1,r=CA + vr2,r=CA )
((
)
)
3
CA
− A3 U
m A3= − 4πmρ+32 − A2 ) 2CA
CA (CAm cos (θ) A3
2A− 2 r cos(θ)+ CA2 + r2
CA
4

A

) 32

2
CA

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

例題 6.2.7
れ球の外部に二重わき出しがある流

215
PHI02D1:lhs(PHI02D)=ev(rhs(PHI02D),diff);
PHI11:\Phi[11](r,\theta)=1/A*integrate((r*球に軸対称軸 z 軸方向に一様な流れをあて、球の外部に’diff(\Phi[O1](r,\theta),r,1)),r,0,A^2/r);

二重わき出しを置いたときの球まわりの流れを求める。

subst([PHI01D1],PHI11);

流速：U 、z 軸方向の一様流の中に、原点：O に半径：A

PHI111:ev(%,integrate);の球を置く。球の外部、原点から CA の z 軸上に強さ：

PHI12:\Phi[12](r,\theta)=1/A*integrate((r*µ の二重わき出しを置く。この球まわりの流れを球定理’diff(\Phi[O2](r,\theta),r,1)),r,0,A^2/r);から求める。

subst([PHI02D1],PHI12);
PHI121:ev(%,integrate);
RCA1:r^2*C[A]^2-2*r*cos(\theta)*A^2*C[A]+A^4=C[A]^2*(r^2-2*r*cos(\theta)*A^2/C[A]+A^4/C[A]^2);
RCA2:r^2*C[A]^3-2*r*cos(\theta)*A^2*C[A]^2+A^4*C[A]=C[A]^3*(r^2-2*r*cos(\theta)*A^2/C[A]+A^4/C[A]^2);
RCA3:r*cos(\theta)*C[A]-A^2=C[A]*(r*cos(\theta)-A^2/C[A]);
PHI12NU:factor(num(rhs(PHI121))/C[A]);
PHI12DN:subst([RCA1,RCA2],
denom(rhs(PHI121)))/C[A];lhs(PHI121)=PHI12NU/PHI12DN;

図 6.2.9: 球の外部に二重わき出しがある流れ

PHI122:subst([RCA3],%);
PHI31:\Phi[31](r,\theta)=rhs(PHI01)+rhs(PHI111);(1)Weiss の球定理 (速度ポッテンシャル) による/* 球の外部にある二重わき出し（速度ポッテンシャ

PHI32:\Phi[32](r,\theta)=rhs(PHI02)+rhs(PHI122);
一様流の速度ポッテンシャル：ΦO1 は、(6.1.37) 式から、
ΦO1 (r, θ) = r cos (θ) U

ル）*/(6.2.36)kill(all);

球の外部に置いた二重わき出しの速度ポッテンシャル：

assume(m>0);ΦO2 は、(6.1.45) 式から、

assume(A>0);
assume(r>A);
assume(C[A]>A);
assume(C[A]>0);
assume(C[A1]>0);
assume(C[A2]>0);
assume(cos(\theta)<1 and cos(\theta)>0);
assume(sin(\theta)<1 and sin(\theta)>0);
PHI01:\Phi[O1](r,\theta)=r*cos(\theta)*U;
PHI02:\Phi[O2](r,\theta)=-(\mu*(C[A]-r*cos(\theta)))/(C[A]^2-2*r*cos(\theta)*C[A]+r^2)^(3/2);
PHI01D:’diff(lhs(PHI01),r,1)=’diff((rhs(PHI01)),r,1);
PHI01D1:lhs(PHI01D)=ev(rhs(PHI01D),diff);
PHI02D:’diff(lhs(PHI02),r,1)=’diff((rhs(PHI02)),r,1);ΦO2 (r, θ) =µ (CA − r cos (θ))
3

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA(6.2.37)

一様流に球が存在することによる鏡像関係の速度ポッテ
ンシャル：Φ11 は (6.1.62) 式から、)
∫ Ar2 (
1cos (θ) A3 Ud
Φ11 (r, θ) =
ΦO1 (r, θ) dr =
r
A 0
dr
2 r2
(6.2.38)
二重わき出しがある流れに球が存在することによる鏡像関係の速度ポッテンシャル：Φ12 は同様の方法で下記となる。これは鏡像関係の二重わき出しが A2 /CA の位
置に強さ：−µ(A/CA )3 の二重わき出しとなるを表している。

)∫ Ar2 (1d
Φ12 (r, θ) =r
ΦO2 (r, θ) dr
A 0
dr
)
(
2
3
µ A r cos (θ) − CAA
=− (
) 32
A2
A4
3
2
− 2 r cos(θ)
+
+
r
CA
CA
C2
A

(6.2.39)

第 6 章 3 次元完全流体

216
一様流中に球が存在する流れの速度ポッテンシャル：Φ31

一様流中で球が存在し、球の外部に二重わき出しがあるは (6.2.36) 式と (6.2.38) 式から下記となる。

流れの z 軸方向の力：F を求める。一様流中で球が存在Φ31 (r, θ) =する場合の流速：vt1,r=A と球の外部に二重わき出しがcos (θ) A3 U
+ r cos (θ) U
2 r2(6.2.40)ある場合の流速：vt2,r=A から球面上の圧力 p(θ) は下記

また、二重わき出しがある流れの速度ポッテンシャル： となる。

Φ32 は (6.2.37) 式と (6.2.39) 式から下記となる。
Φ32 (r, θ) = −µ (CA − r cos (θ))

2p (θ) = −ρ (vt2,r=A + vt1,r=A )23

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2
(CA
A
)
(
2
3
µ A r cos (θ) − CAA
−(
) 32
A2
A4
3
2
− 2 r cos(θ)
+
CA
+
r
2
CA
C

/* 球に作用する力 */PRS0:p(\theta)=-1/2*\rho*v^2;
F0:F=’integrate(p(\theta)*2*%pi*AA(6.2.41)*sin(\theta)*A*cos(\theta),\theta,0,%pi);
PRS11:subst([v=rhs(VT11)],PRS0);
subst([PRS11],F0);

VR1:v[r1]=diff(rhs(PHI31),r,1);

F21:factor(ev(%,integrate));v[r1,r=A]=subst([r=A],rhs(VR1));

PRS21:subst([v=rhs(VT21)],PRS0);VR2:v[r2]=diff(rhs(PHI32),r,1);

subst([PRS21],F0);v[r2,r=A]=subst([r=A],rhs(VR2));

F21:factor(ev(%,integrate));factor(%);
subst([sin(\theta)^2=1-cos(\theta)^2],%);
VT1:v[t1]=expand(diff(rhs(PHI31),\theta,1)/r);
VT11:v[t1,r=A]=subst([r=A],rhs(VT1));
VT2:v[t2]=(diff(rhs(PHI32),\theta,1)/r);
VT21:v[t2,r=A]=factor(subst([r=A],rhs(%)));
一様流中で球が存在する流れの r 方向の流速：vr1 は(6.2.40) 式から下記となり、球面：r = A では零となる。
球の外部に二重わき出しがある流れの r 方向の流速：vr2も (6.2.41) 式から得られ、球面：r = A では零となる。

cos (θ) A3 Udvr1 =
Φ31 = cos (θ) U −drr3

PRS31:subst([v=lhs(VT11)+lhs(VT21)],PRS0);
PRS32:expand(%);
PRS321:p(\theta)=first(rhs(PRS32));
PRS323:p(\theta)=last(rhs(PRS32));
PRS322:p(\theta)=rhs(PRS32)-rhs(PRS321)-rhs(PRS323);
PRS3211:subst([VT11,VT21],PRS321);
PRS3221:subst([VT11,VT21],PRS322);
PRS3231:subst([VT11,VT21],PRS323);
subst([PRS3211],F0);
expand(%);

vr1,r=A = 0

F31:F[22]=rhs(factor(ev(%,integrate)));subst([PRS3221],F0);

vr2,r=A = 0

expand(%);一様流中で球が存在する流れの θ 方向の流速：vt1 とそ

F[12]=rhs(factor(ev(%,integrate)));の球面上の流速は (6.2.40) 式から下記となる。

subst([C[A]^2+2*A*C[A]+A^2=C[A1]^2],%);dvt1 = d θ

Φ31sin (θ) A3 U
− sin (θ) U
=−
r
2 r3

3 sin (θ) U(6.2.42)2
球の外部に二重わき出しがある流れの θ 方向の流速：vt2
vt1,r=A = −とその球面上の流速は (6.2.41) 式から下記となる。

vt2,r=A = −3 µ sin (θ) (CA − A) (CA + A)
5

2 − 2 cos (θ) A C + A2 ) 2(CAA

subst([C[A]^2-2*A*C[A]+A^2=C[A2]^2],%);
subst([C[A1]=(C[A]+A)],%);
subst([C[A2]=(C[A]-A)],%);
F32:ratsimp(%);
subst([PRS3231],F0);
expand(%);
F33:F[11]=rhs(factor(ev(%,integrate)));(6.2.43)(2) 球に作用する力 (圧力積分による)
Bernoulli の定理から、圧力は下記で表すことができる。
球面上の圧力 p(θ) を下記の積分をすることで z 軸方向の力：F を得ることができる。
∫ πρ v2
p (θ) = −p (θ) cos (θ) sin (θ) dθ A2, F = 2π20F=rhs(F31)+rhs(F32)+rhs(F33);
これを展開すると、

p (θ) = −22
ρ vt2,r=A
ρ vt1,r=A− ρ vt1,r=A vt2,r=A −2
2(6.2.44)(6.2.44) 式第１項は、球の外部に二重わき出しがある

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

217

場合の流速による項で、(6.2.43) 式から、
2p (θ) = −22

9 µ2 ρ sin (θ) (CA − A) (CA + A)
2 − 2 cos (θ) A C + A2 )
2 (CA
A

5

これを積分して、
22∫ π

F22 = −9 π µ2 ρ A2 (CA − A) (CA + A)

03

cos (θ) sin (θ)

2 − 2 cos (θ) A C + A2 )(CAA

5 dθ = −24 π µ2 ρ A3 CA
4(6.2.44) 式第２項は、球の外部に二重わき出しがある
場合の流速による項と一様流中で球が存在する場合の流速による項で、(6.2.43) 式と (6.2.42) 式から、
2p (θ) = −9 µ ρ sin (θ) (CA − A) (CA + A) U
5

2 − 2 cos (θ) A C + A2 ) 2
2 (CAA

これを積分して、∫ π
F12 = −9 π µ ρ A (CA − A) (CA + A)

3

cos (θ) sin (θ)

20

2 − 2 cos (θ) A C + A2 )(CA
A

(6.2.44) 式第３項は、一様流中で球が存在する場合の流速による項で、(6.2.42) 式から、
2p (θ) = −9 ρ sin (θ) U 2
8

これを積分して、

9πρ
F11 = −
4∫ π

3

cos (θ) sin (θ) dθ A2 U 2 = 00z 軸方向の力：F は上記の各項を合わせて、F = F11 +F12 +F22 = −12 π µ ρ A3 U
24 π µ2 ρ A3 CA
−
4
4
4
CA
(CA − A) (CA + A)
(6.2.45)5
2

4(CA − A) (CA + A)dθ U = −12 π µ ρ A3 U
4CA

第 6 章 3 次元完全流体

218

一様流球が存在する流れの流れ関数：Ψ31 は (6.2.46)(3)Bulter の球定理 (流れ関数) による式および (6.2.48) 式から下記となる。

/* 球の外部にある二重わき出し（流れ関数）*/

2

Ψ31 =

kill(all);2

r2 sin (θ) U
sin (θ) A3 U−
22r

assume(m>0);

二重わき出しがある流れの流れ関数：Ψ32 は (6.2.47) 式

assume(A>0);

および (6.2.49) 式から下記となる。

assume(r>A);
assume(M[1]>0);

Ψ32 =assume(C[A]>A);µ r2 sin (θ)

23

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA2

assume(C[B]<A);−(

assume(r[A]>0);µ r2 sin (θ) A3
2A− 2 r cos(θ)+ CA2 + r2
CA
4

) 23

A

assume(r[B]>0);

3
CA

assume(cos(\theta)*C[B]<r);
assume(cos(\theta)<1 and cos(\theta)>0);

PSI31:\Psi[31]=rhs(PSI01)+rhs(PSI11);

PSI01:\Psi[O1]=r^2*sin(\theta)^2*U/2;

PSI32:\Psi[32]=rhs(PSI02)+rhs(PSI121);

PSI02:\Psi[O2]=(\mu*r^2*sin(\theta)^2)

VR1:v[r1]=expand(diff(rhs(PSI31),\theta,1)/(C[A]^2-2*r*cos(\theta)*C[A]+r^2)^(3/2);/r^2/sin(\theta));

PSI0:\Psi[0]=rhs(PSI01)+rhs(PSI02);v[r1,r=A]=subst([r=A],rhs(VR1));

PSI11:\Psi[11]=-r/A*subst([r=A^2/r],rhs(PSI01));

VR2:v[r2]=diff(rhs(PSI32),\theta,1)/r^2

PSI12:\Psi[12]=-r/A*subst([r=A^2/r]v[r2,r=A]=subst([r=A],rhs(VR2));/sin(\theta);
factor(%);,rhs(PSI02));
RCA1:C[A]^2-(2*cos(theta)*A^2*C[A])/r+A^4/r^2=C[A]^2/r^2*(r^2-(2*cos(theta)*A^2

VT1:v[t1]=expand(-(diff(rhs(PSI31),r,1)/r/sin(\theta)));VT11:v[t1,r=A]=subst([r=A],rhs(VT1));/C[A])*r+A^4);

VT2:v[t2]=-(diff(rhs(PSI32),r,1)/r

PSI121:subst([RCA1],PSI12);
一様流の流れ関数：ΨO1 は、(6.1.37) 式から、

/sin(\theta));
VT21:v[t2,r=A]=factor(expand(factor(

2

ΨO1 =

r2 sin (θ) U
2(6.2.46)

subst([r=A],rhs(%)))));
球の外部に置いた二重わき出しの流れ関数：ΨO2 は、 一様流中に球が存在する流れの r 方向の流速：vr1 は下記となり、球面：r = A では零となる。
(6.1.45) 式から、
ΨO2 =µ r2 sin (θ)

23

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA(6.2.47)

vr1 =二重わき出しがある流れの r 方向の流速：vr2 も球面：

r = A では零となる。
(6.2.48)

二重わき出しがある流れに球が存在することによる鏡

vr2 =

d
d θ Ψ32=−
3
r sin (θ)

像関係の流れ関数：Ψ12 は同様の方法で下記となる。これは鏡像関係の二重わき出しが A2 /CA の位置に強さ：+

Ψ12 = −

r Ψ02

A2
r ,θ

)

A
µ r2 sin (θ) A3
2

2

2 − 2 cos(θ) A CA + A
r3 CA
r
r2

4

(

3 µ sin (θ) A5 CA24

2 µ cos (θ)
3

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2
(CA
A
2

−
(6.2.49)2=− (2 µ cos (θ) A3

2 − 2 cos(θ) A CA + A
r4 CA
r
r2

は当然であるが速度ポッテンシャルの結果と一致して((A− 2 r cos(θ)+ CA2 + r2
CA
4

A

)

3
2

3
CA

) 32

2

+

−µ(A/CA )3 の二重わき出しとなるを表している。これいる。

(6.2.50)

vr1,r=A = 0

一様流に球が存在することによる鏡像関係の流れ関数：

Ψ11 は (6.1.65) 式から、
( 2 )2r Ψ01 Ar , θsin (θ) A3 U
Ψ11 = −=−A2rdcos (θ) A3 U
d θ Ψ31
=
cos
(θ)
U
−
r2 sin (θ)
r3

3 µ r sin (θ) CA
5

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA

vr2,r=A = 0) 52

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

219

一様流中に球が存在する流れの θ 方向の流速：vt1 とそ

これは Weiss の球定理から求めた圧力の積分による結の球面上の流速は下記となる。

果：(6.2.44) 式と一致している。

dΨ31
sin (θ) A3 U
vt1 = − d r=−− sin (θ) Ur sin (θ)
2 r3/* 球に作用する力 */subst([\theta=0],rhs(VR1));
dv[r1,\theta=0]=diff(%,r,1);

3 sin (θ) U
vt1,r=A = −2
二重わき出しがある流れの θ 方向の球面上の流速：vt2
は長い記述になるので省く。球面上の流速は下記となる。

vt2,r=A = −3 µ sin (θ) (CA − A) (CA + A)
5

2 − 2 cos (θ) A C + A2 ) 2(CAA

この結果は「Weiss の球定理 (速度ポッテンシャル) によ

DVR1:dv[r1,\theta=0,r=C[A]]=subst([r=C[A]],rhs(%));’diff(rhs(PSI12),\theta,1)/r^2/sin(\theta);
expand(ev(%,diff));
subst([\theta=0],%);
dv[r2,\theta=0]=diff(%,r,1);
DVR2:factor(dv[r2,\theta=0,r=C[A]]=subst([r=C[A]],rhs(%)));

る」の結果と一致している。

CA41:C[A]^4=(C[A]^2-A^2)^2-(-2*A^2*C[A]^2(4) 球に作用する力 (外部に特異点がある方法による)
6.1.13 節「外部に特異点がある物体に作用する力」（196ページ）の方法で球に作用する力を求める。球に作用す+A^4);
DVR21:factor(subst([CA41],DVR2));
F=4*%pi*\rho*\mu*(rhs(DVR1)+rhs(DVR21));る力は下記の (6.1.67) 式から、−→
Fi = 4πρµi ∇−v→
i0(6.2.51)

一様流中に球が存在する流れの z 軸上の速度変化：∇−v→
i0
は、(6.2.50) 式から θ = 0 として、

∇v r1,θ=0 =3 A3 Ur4

特異点上の速度変化：∇−v→
i0 は、r = CA とおき、

∇v r1,θ=0,r=CA =3 A3 U
4
CA

二重わき出しの鏡像関係の流れの z 軸上の速度：vr2 は、(6.2.49) 式から、
vr2 = −

2 µ sin (θ)
3

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2
(CA
A

+

3 µ r sin (θ) (2 r − 2 cos (θ) CA )5

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2
2 (CA
A
(
)
A2
3 µ r sin (θ) A3 2 r − 2 cos(θ)
CA
2 µ sin (θ) A3
− (
+(
) 32
) 52
4
2 r cos(θ) A2
A2
A4
3
3
2
CA
+ C2 + r+ CA2 + r2 CA−
2 − 2 r cos(θ)
CA
CA
A

A

速度変化：∇−v→
i0 は、上式を r で微分し、θ = 0 として、
( 2)
4
3 µ A3 2 Ar2CA − 2rA3
6 µ A3∇v r2,θ=0 = ()3 + ()5
2 − 2 A2 CA + A4 2
2 − 2 A2 CA + A4 2
r 4 CAr 3 CArr2
rr2
特異点上の速度変化：∇−v→
i0 は、r = CA とおき、

∇v r2,θ=0,r=CA =6 µ A3 CA
4(CA − A) (CA + A)

4以上から球に作用する力は、(6.2.51) 式から、()
6 µ A3 CA
3 A3 U+F = −4 π µ ρ444CA(CA − A) (CA + A)

第 6 章 3 次元完全流体

220

例題 6.2.8
相互干渉

一定速度で向かいあう２つの球のPHIB2:\Phi[B2]=subst([C[A]=B^2/(L-A^2/L),\mu=-\mu[B]*(A/L)^3*(B/(L-A^2/L))^3],

z 軸方向に一定速度で向かい合う２つの球に作用する付rhs(PHI0));

加質量を求め1 。驕 B 半径：A の球：A を原点に置き、zMA1:\mu[A]=A^3*U/2;

軸の方向に速度：U で動いている。また、半径：B の球：MB1:\mu[B]=B^3*V/2;
原点から離れた位置にある二重わき出しの速度ポッテン

B を原点から L の位置に置き、z 軸と反対方向、球：A に向かいあう速度：V で動いている。球の中心間の距離：L

シャルは (6.1.48) 式、(192 ページ) から下記となる。

とし、球の半径に比べ十分長い：A/L << 1, B/L << 1

Φ=ものとする。

µ (CA − r cos (θ))(6.2.52)3

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2(CAA

球：A の二重わき出しの速度ポテンシャル：ΦA0 は原点にわき出し強さ：µA を、球：B の二重わき出しの速度ポ
テンシャル：ΦB0 は原点から距離：L にわき出し強さ：−µB を置き、上式から、
ΦA0 = −
ΦB0 = −cos (θ) µA
r2(6.2.53)µB (L − r cos (θ))
3

(L2 − 2 r cos (θ) L + r2 ) 2(6.2.54)

球：A の鏡像関係の二重わき出し位置は球：B の中とな
図 6.2.10: 一定速度で向かいあう２つの球の相互干渉/* 球の相互干渉（ｚ軸上） */kill(all);load("vect")depends(\Phi,[r,\theta,n]);assume(A>0);
assume(B>0);
assume(r>0);
assume(r>A);
assume(C[A]>A);
assume(C[A]>0);
assume(L>0);
PHI0:\Phi=\mu*(C[A]-r*cos(\theta))/(C[A]^2-2*r*cos(\theta)*C[A]+r^2)^(3/2);

り、位置およびわき出し強さは (6.2.39) 式、(215 ページ)
2

から、二重わき出しが L− BL の位置に強さ：−µA (B/L)3となり、速度ポッテンシャル：ΦA1 は次式となる。
()
2µA B 3 L − BL − r cos (θ)ΦA1 = − (
) 32
(
(
2 )2
2)
L3 L − BL − 2 r cos (θ) L − BL + r2

(6.2.55)
球：B の鏡像関係の二重わき出し位置は球：A の中とな
り、位置およびわき出し強さ上記と同様にして二重わき
2

出しが AL の位置に強さ：µB (A/L)3 となり、速度ポッ
テンシャル：ΦB1 は次式となる。
( 2)
A3 µB AL − r cos (θ)ΦB1 = (
) 23
A2
A4
2
− 2 r cos(θ)
+
+
r
L3
2
L
L

(6.2.56)

ここで、PHIA0:\Phi[A0]=subst([C[A]=0,\mu=\mu[A]],rhs(PHI0));µA =PHIB0:\Phi[B0]=subst([C[A]=L,\mu=-\mu[B]],rhs(PHI0));
PHIA1:\Phi[A1]=subst([C[A]=L-B^2/L,\mu=-\mu[A]*(B/L)^3],rhs(PHI0));
PHIB1:\Phi[B1]=subst([C[A]=A^2/L,\mu=+\mu[B]*(A/L)^3],rhs(PHI0));
PHIA2:\Phi[A2]=subst([C[A]=A^2/(L-B^2/L),

1 L.M.Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth
Edition, Chapter 16 Spheres and Ellipsoids, 16.30 Two spheres
moving in the line of centres, P.501 15)

µB =

B3 V
2

(6.2.57)

更に１次の鏡像関係の二重わき出しの球に対する２次の鏡像関係の二重わき出し強さは約 µB (A/L)3 (B/L)3 となり無視できるので、ここでは球に対する１次の鏡像関係までを考慮することとする。上記の二重わき出しの位置関係を図 6.2.10 に示す。運動エネルギーは次式で得ら
れる。

T =−

\mu=\mu[A]*(B/L)^3*(A/(L-B^2/L))^3],
rhs(PHI0));

A3 U
,
2

ρ
2

(

∫
Φ

d
Φ
dn

)
dS

ここで、

Φ = ΦA + ΦB ,

ΦA = ΦA0 + ΦA1 ,ΦB = ΦB0 + ΦB1

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

221

上式から運動エネルギーは、
(
)
∫
ρ
d
d
T =−
(ΦA + ΦB )
ΦA +
ΦB dS
2 A+B
dn
dn
(
)
∫
ρ
d
=−
(ΦA + ΦB )
ΦA dS
2 A
dn
(
)
∫
ρ
d
−
(ΦA + ΦB )
ΦB dS
2 A
dn
(
)
∫
ρ
d
−
(ΦA + ΦB )
ΦA dS
2 B
dn
(
)
∫
ρ
d
−
(ΦA + ΦB )
ΦB dS
2 B
dn

subst([A=a*L],denom(PHIB011));
taylor(1/%,a,0,3);num(PHIB011)*%;
subst([a=A/L],%);
PHIB01:expand(%);
PHIA12:subst([r=A],rhs(PHIA1));
assume((L-B^2/L)>0);
assume((L^2-B^2)>0);
RB2:(L-B^2/L)^2-2*cos(\theta)*A*(L-B^2/L)+A^2=(L-B^2/L)^2*(1-2*cos(\theta)*A/(L-B^2/L)+A^2/(L-B^2/L)^2);

ここで球面：A では ΦB0 と ΦB1 は鏡像関係にあり

PHIA123:subst([RB2],PHIA12);dd n ΦB

subst([A=a*(L-B^2/L)],denom(PHIA123));= 0 となる。また、球面：B では ΦA0 と ΦA1

は鏡像関係にあり ddn ΦA = 0 となる。これにより、
(
)
∫
ρ
d
T =−
(ΦA + ΦB )
ΦA dS
2 A
dn
(
)
(6.2.58)∫ρd−(ΦA + ΦB )
ΦB dS
2 B
dn

taylor(1/%,a,0,3);num(PHIA123)*%;
subst([a=A/(L-B^2/L)],%);
PHIA11:expand(%);
PHIB12:subst([r=A],rhs(PHIB1));

下記では、まず積分：A について検討する。
/* 運動量 */RB3:-(2*cos(\theta)*A^3)/L+A^4/L^2+A^2=A^2

PHIA:\Phi[A]=rhs(PHIA0)+rhs(PHIA1);

PHIB123:subst([RB3],PHIB12);

subst([r=A],diff(rhs(PHIA),r,1));

subst([A=a*L],denom(PHIB123));

PHADN:last(%);

taylor(1/%,a,0,3);

PHIA01:subst([r=A],rhs(PHIA0));num(PHIB123)*%;

RB1:L^2-2*cos(\theta)*A*L+A^2=L^2*(1-2subst([a=A/L],%);*(-2*cos(\theta)*A/L+A^2/L^2+1);*cos(\theta)*A/L+A^2/L^2);

PHIB11:expand(%);

subst([r=A],rhs(PHIB0));
PHIB011:subst([RB1],%);

d
d
ΦA
=
ΦA
=
dn
dr
r=A
r=A

cos (θ) µA B 3
((
) 32
(
2 )2
2)
L3 L − BL − 2 cos (θ) A L − BL + A2
)(
(
))
(
2
2
2 A − 2 cos (θ) L − BL
3 µA B 3 L − BL − cos (θ) A
2 cos (θ) µA
+ ...
+
+
((
) 52
)
(
)
A3
2
2
2
B
B
3
2
2L
L − L − 2 cos (θ) A L − L + A

B/L << 1 で、高次の微少項を省略して、
2 cos (θ) µA
d
=
ΦA
dn
A3
r=A

(6.2.59)

球面 A 上：r = A における球：A の速度ポテンシャル：ΦA0 は下記で与えられる。

ΦA0 = −cos (θ) µA
A2(6.2.60)

球面 A 上：r = A における球 B の速度ポッテンシャル：ΦB0 は、A/L << 1 として、Taylor 展開し、高次項を省第 6 章 3 次元完全流体

222
略すると、

ΦB0 = −

µB (L − cos (θ) A)
3(L2 − 2 cos (θ) A L + A2 ) 2= −(µB (L − cos (θ) A)
) 32
A
A2
− 2 cos(θ)
+
+
1
L3
2
L
L

2

µB
2 cos (θ) A µB
9 cos (θ) A2 µB
3 A2 µ B
−
−
+
2
3
4
L
L
2L
2 L4
3 3
4
2
10 cos (θ) A µB
6 cos (θ) A3 µB
35 cos (θ) A4 µB
15 cos (θ) A4 µB
−
+
+
−
+ ...
L5
L5
2 L6
2 L6

≈−

(6.2.61)

球面 A 上：r = A における球 B の中にある球 A の鏡像関係の速度ポッテンシャル：ΦA1 は、
)
(
)
(
2
2
µA B 3 L − BL − cos (θ) AµA B 3 L − BL − cos (θ) AΦA1 = − () 32 −
) 23
(
(
)
(
)
B2 2
B2
3
2
(
)
L
L − L − 2 cos (θ) A L − L + A
2
2 cos(θ) A
B2 3A
3L L− L+ ( B 2 )2 + 1
−
B2
L− L

L− L

(
)
2
A2 / L − BL << 1 として、Taylor 展開し、高次項を省略すると、
2

ΦB1 ≈

3 cos (θ) A µA B 3 L2
3 cos (θ) A2 µA B 3 L
−
8
2
6
4
4
6
2
8
8
−L + 4 B L − 6 B L + 4 B L − B−L + 4 B 2 L6 − 6 B 4 L4 + 4 B 6 L2 − B 85µA B 3 L2
3 cos (θ) A µA B+−
−L8 + 4 B 2 L6 − 6 B 4 L4 + 4 B 6 L2 − B 8−L7 + 3 B 2 L5 − 3 B 4 L3 + B 6 L
3cos (θ) A µA B LµA B 5−−+ ...
−L7 + 3 B 2 L5 − 3 B 4 L3 + B 6 L −L7 + 3 B 2 L5 − 3 B 4 L3 + B 6 L(6.2.62)

球面 A 上：r = A における球 A の中にある球 B の鏡像関係の速度ポッテンシャル：ΦB1 は、A2 /L << 1 して、Taylor 展開し、高次項を省略すると、
)
)
( 2
( 2
A3 µB AL − cos (θ) AµB AL − cos (θ) AΦB1 = (
=(
) 32
) 32
A3
2 cos(θ) A
A4
A2
2
3
+
+
A
+
+
1
− 2 cos(θ)
L
−
L3
2
2
L
L
L
L
2

≈−

3 cos (θ) A2 µB
A2 µ B
3 cos (θ) A3 µB
cos (θ) A µB
−
+
+
+ ...
L3
L4
L4
L5

(6.2.58) 式の A における積分を (6.2.59) 式〜(6.2.63)
式を代入して下記を得る。
(
)
∫
ρ
d
TAA0 = −
ΦA0
ΦA dS
2 A
dn
)
(
∫
ρ π
d
ΦA 2πA2 sin(θ) dθ
ΦA0
=−
2 0
dn

=

π ρ A3 U 2
4 π ρ µ2A=
3
3A
3

TAA1 = −
=

(
)
∫
ρ
d
ΦA1
ΦA dS
2 A
dn
2 π ρ A6 B 3 U 2333 (L − B) (L + B)

(
)
∫
ρ
d
TAB0 = −
ΦB0
ΦA dS
2 A
dn
2 π ρ A3 B 3 U V
=
3 L3
(
)
∫
ρ
d
TAB1 = −
ΦB1
ΦA dS
2 A
dn
( 4
)
3 3
π ρ A B L − 3 A4 U V
=
3 L7
3 3
πρA B U V=
3 L3

(6.2.63)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例-\rho/2*’integrate((PHIA01)*PHADN*2*%pi*A*sin(\theta)*A,\theta,0,%pi);
ev(%,integrate);
TIA1:subst([MA1],%);T[AA1]=-\rho/2*’integrate((PHIA11)*PHADN*2*%pi*A*sin(\theta)*A,\theta,0,%pi);
ev(%,integrate);
TIA2:factor(subst([MA1],%));
T[AB0]=-\rho/2*’integrate((PHIB01)*PHADN*2*%pi*A*sin(\theta)*A,\theta,0,%pi);
ev(%,integrate);
TIA3:factor(subst([MA1,MB1],%));
T[AB1]=-\rho/2*’integrate((PHIB11)*PHADN*2*%pi*A*sin(\theta)*A,\theta,0,%pi);
ev(%,integrate);
TIA4:factor(subst([MA1,MB1],%));
subst([A^4=0],%);
T=expand(rhs(TIA1)+rhs(TIA2)+rhs(TIA3)+rhs(TIA4));
TIA0:subst([A^7=0,A^6=0],%);
T=rhs(TIA1)+first(rhs(TIA0))*2+subst([A=B,
U=V],rhs(TIA1));
TIA01:T=expand(subst([B=A,V=U,L=2*H],
rhs(%))/2);
MAS1:1/2*M*U^2=rhs(TIA01);
MAS2:\Delta=\rho*4/3*%pi*A^3;
MAS3:solve(MAS2,\rho)[1];solve(MAS1,M)[1];
subst([MAS3],%);
上記の積分結果の総和は、高次の微少項を省略すると、

π ρ A3 B 3 U V π ρ A3 U 2+
L33
球 B の積分を上式の A → B, B → A, U → V, V → U
TAA0 +TAA1 +TAB0 +TAB1 =の置き換えを行って求め、球 A と球 B による総運動エ
ネルギーは、π ρ A3 U 2
π ρ B3 V 2
2 π ρ A3 B 3 U V
+
+
3
L3
3
球 A が壁までの距離：H とし、壁に向かって速度：UT =で動く球の運動エネルギーは、上式から

π ρ A6 U 2
π ρ A3 U 2+
38H
3
上式の運動エネルギーと付加質量：M の関係は、
T =

M U2
π ρ A3 U 2
π ρ A6 U 2
+
=
2
8 H3
3
付加質量：M は球の流体排出相当質量：∆ で表現すると、
3 ∆ A3∆+
3
16 H
2
上記の左辺第二項は球単体の付加質量項を表し、左辺第M=一項は壁と球の干渉項である。

223

第 6 章 3 次元完全流体

224

例題 6.2.9 一定速度で平行して動く２つの球の相互干渉

シャルは (6.1.48) 式、(192 ページ) から下記となる。

z 軸方向に一定速度で平行して動く２つの球に作用する

2 − 2 r cos (θ) C + r 2 ) 2
(CA
A

Φ=

µ (CA − r cos (θ))(6.2.64)3

付加質量を求める1 。半径：A の球：A を原点に置き、z

ここで球：A の二重わき出し強さ：µA 、球：B の二重軸の方向に速度：U で動いている。また、半径：B のわき出し強さ：µB は (6.2.9) 式から下記となる。

球：B を原点から y 軸上の L の位置に置き球：A と同じµA =方向の速度：V で動いている。球の中心間の距離：L と

A3 U
,
2

µB =

B3 V
2

(6.2.65)

し、球の半径に比べ十分長い (A/L << 1, B/L << 1)
ものとする。

/* 球 A 上の速度ポテンシャル *//* 球 A 上の二重わき出し：A の速度ポテンシャル */PHIA00:\Phi[A0]=rhs(PHIA0);
PHIA01:\Phi[A0]=subst([r=A],rhs(PHIA00));/* 球 A 上の二重わき出し：B の速度ポテンシャル */PHIB00:subst([\Phi[A0]=\Phi[B0],\mu[A]=\mu[B],r=r[B],\theta=\theta[B]],PHIA00);
r[B]^2=(L-A*sin(\theta)*sin(\phi))^2+(A*sin(\theta)*cos(\phi))^2+(A*cos(\theta))^2;trigsimp(%);
RB1:r[B]=sqrt(rhs(%));
COSB1:cos(\theta[B])=A*cos(\theta)/r[B];
COSB2:subst([RB1],COSB1);L^2-2*sin(phi)*sin(theta)*A*L+A^2=L^2*(1

図 6.2.11: 一定速度で平行して動く２つの球の相互干渉-2*sin(phi)*sin(theta)*A/L+A^2/L^2);
PHIB02:subst([COSB1,RB1,%],PHIB00);/* 球の相互干渉（y 軸上） */subst([A=a*L],denom(rhs(%)));
taylor(1/%,a,0,3);

kill(all);subst([a=A/L],%);

load("vect")

PHIB01:lhs(PHIB02)=expand(num(rhs(PHIB02))

depends(\Phi,[r,\theta,n]);assume(A>0);*%);
球面 A 上：r = A における球：A の二重わき出しの速assume(r>0);度ポテンシャル：ΦA0 は原点にわき出し強さ：µA をを

assume(r>A);

置き (6.2.64) 式から、

assume(r[A]>0);
assume(L>0);cos (θ) µA(6.2.66)
A2
球面 A 上：r = A における球：B の二重わき出しの速assume(cos(\theta)<1 and cos(\theta)>0);

度ポテンシャル：ΦB0 は原点から y 軸上の L の位置に

assume(cos(\theta-a)<1 and置きわき出し強さ：µB とすると一般的な二重吹き出し

cos(\theta-a)>0);の速度ポテンシャルは、

assume(r[B]>0);

assume(sin(\theta)<1 and sin(\theta)>0);
PHI0:\Phi=(\mu*(C[A]-r*cos(\theta)))/(C[A]^2-2*r*cos(\theta)*C[A]+r^2)^(3/2);
PHIA0:\Phi[A0]=subst([C[A]=0,\mu=\mu[A]],rhs(PHI0));ΦA0 = −

ΦB0 = −

µB cos (θB )2rB

ここでは球：A と球：B を z 軸を回転対称軸として解く
ことはできない。そこで、球：B の中心を基準とした上
記速度ポッテンシャルを球：A の中心である原点座標で

MA0:\mu[A]=A^3*U/2;表現する。球面：A 上の点を A, θ, ϕ で表現すると球面

MB0:\mu[B]=B^3*V/2;
原点から離れた位置にある二重わき出しの速度ポッテン

上に点と球：B の中心との距離：rB は、

1 L.M.Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth
Edition, Chapter 16 Spheres and Ellipsoids, 16.40 Two spheres
moving at right angles to the line of centres, P.504 15)

2

2

2

2
rB
=(L − sin (ϕ) sin (θ) A) + cos (ϕ) sin (θ) A2
2+ cos (θ) A2

6.2. 軸対称の流れの簡単な例
rB =

√

225

L2 − 2 sin (ϕ) sin (θ) A L + A2

また、cos (θB ) は、

cos (θB ) =vtB 、ϕ 方向の流速：vpB とする。
vrB =cos (θ) ArB

2 µB cos (θB )
,
3
rB

vtB =

µB sin (θB ),3
rB(6.2.68)
A << L とし、球：A、球：B は y 軸上にあるので、下これを上式に代入し、A/L << 1 として、Taylor 展開

記の微小パラメター：a, b を導入できる。

し、高次項を省略すると、

rB = L (a + 1) ,
ΦB0 = − (cos (θ) A µB
− 2 sin(ϕ)Lsin(θ) A + A
L2 + 12) 23

vpB = 0L3

cos (θ) A µB
3 sin (ϕ) cos (θ) sin (θ) A2 µB
≈−
−
3
L
L4
2
2 3
15 sin (ϕ) cos (θ) sin (θ) A µB−
2 L5
3
3 cos (θ) A µB
+
2 L5
3
3
35 sin (ϕ) cos (θ) sin (θ) A4 µB−
2 L6
15 sin (ϕ) cos (θ) sin (θ) A4 µB+
2 L6(6.2.67)

ル */VRB1:v[rB]=diff(rhs(PHIB00),r[B],1);
VTB1:v[tB]=diff(rhs(PHIB00),\theta[B],1)/r[B];π2

球：B による球：A 近傍の流れ：vrB , vtB を a, b で Taylor
展開すると、

vrBA = −2 sin (b) µB
3(a + 1) L3
10 a3 b3 µB
2 a2 b3 µB
a b 3 µB
b3 µ B
≈−
+
−
+
3 L3
L3
L3
3 L3
3
2
20 a b µB
12 a b µB
6 a b µB
2 b µB
+
−
+
−
L3
L3
L3
L3
2 b µB≈−
L3

vtBA =/* 球 A 上の二重わき出し：B の鏡像速度ポテンシャ

θB = b +cos (b) µB
3(a + 1) L3
3 a2 b2 µB
3 a b 2 µB
b2 µB
5 a3 b2 µB
−
+
−
≈
L3
L3
2 L3
2 L3
3
2
10 a µB
6 a µB
3 a µB
µB
−
+
−
+ 3
L3
L3
L3
L
µB
≈ 3
L

VPB1:v[pB]=diff(rhs(PHIB00),\phi,1)/r[B]/sin(\theta[B]);
VRB2:v[rBA]=subst([r[B]=L*(1+a),\theta[B]以上から球：A の近傍では、vrB << vtB であることがわかる。そこで vtB のみを考慮することとし、球：A の=%pi/2+b],rhs(VRB1));

中心：原点に下記に示す二重わき出し (強さ：µB1 ) を置

taylor(rhs(VRB2),a,0,3);

くことで球：B の球：A に対する影響を取り除ける。

taylor(%,b,0,3);
vtBA =

VRB3:v[rBA]=expand(%);
VTB2:v[tBA]=subst([r[B]=L*(1+a),\theta[B]=%pi/2+b],rhs(VTB1));
taylor(rhs(VTB2),a,0,3);
taylor(%,b,0,3);
VTB3:v[tBA]=expand(%);
VTB4:v[tBA]=last(rhs(VTB3));
subst([MB0],%);

球：A の球：B に対する影響も同様に求めることができ、それぞれの二重吹き出しの強さは下記となる。

µB1 =A3 B 3 V
,
4 L3

µA1 =

くことはできない。このため前節で使用した鏡像関係は扱えない。そこでまず球：B による球：A 近傍の流れを下記に示す。ここで r 方向の流速：vrB 、θ 方向の流速：(6.2.69)

テンシャルは下記となる。

ΦB1 = −

MA1:subst([V=U,\mu[B1]=\mu[A1]],MB1);,rhs(PHIA01));
ここでは球：A と球：B を z 軸を回転対称軸として解A3 B 3 U
4 L3以上から、球：B に対して球：A の境界を保つ速度ポッ

MB1:subst([\mu[A]=\mu[B1],U=rhs(%)],MA0);
PHIB11:\Phi[B1]=subst([\mu[A]=\mu[B1]]

B3 V
2 L3

cos (θ) µB1
A2

球：A に対して球：B の境界を保つ速度ポッテンシャル
は球：B の中心に置いた二重わきだし（強さ：µA1 ）で得られている。これによる球面：A 上の速度ポッテンシャ
ルは (6.2.67) 式で µB → µA1 に置き換えることで得られ下記となる。

ΦA1 ≈ −cos (θ) A µA1
L3

第 6 章 3 次元完全流体

226
これを ΦA0 と比較すると、下記となり

TB1A:T[B1A]=subst([MA1,MB1,MA0,MB0],%);
T=rhs(TA0A)+rhs(TB0A)+rhs(TB1A)+subst([A=BΦA1A3 B 3
=
≈0
ΦA0
2L6

,U=V],rhs(TA0A))+rhs(TB0A)+rhs(TB1A);
TIA01:T=expand(subst([B=A,V=U,L=2*H]

ΦA1 はΦA1 ≈ 0(6.2.70)

運動エネルギーは次式で得られる。
(
)
∫
d
ρ
T =−
Φ
Φ dS
2
dn

MAS1:1/2*M*U^2=rhs(TIA01);
MAS2:\Delta=\rho*4/3*%pi*A^3;
MAS3:solve(MAS2,\rho)[1];solve(MAS1,M)[1];
expand(subst([MAS3],%));
A/L << 1 で、高次の微少項を省略して、

ここで、

Φ = ΦA + ΦB ,,rhs(%))/2);

ΦA = ΦA0 + ΦA1 ,ΦB = ΦB0 + ΦB1

上式から運動エネルギーは、
(
)
∫
ρ
d
d
T =−
(ΦA + ΦB )
ΦA +
ΦB dS
2 A+B
dn
dn
(
)
∫
d
ρ
(ΦA + ΦB )
ΦA dS
=−
2 A
dn
(
)
∫
ρ
d
−
(ΦA + ΦB )
ΦB dS
2 A
dn
(
)
∫
d
ρ
(ΦA + ΦB )
ΦA dS
−
2 B
dn
(
)
∫
d
ρ
(ΦA + ΦB )
ΦB dS
−
2 B
dn

ここで球面：A では ΦB0 と ΦB1 は球面：A の境界を保つように決めたので ddn ΦB = 0 となる。また、球面：

B では ΦA0 と ΦA1 も球面：B の境界を保つように決めたので ddn ΦA = 0 となる。これにより、

(
)
∫
ρ
d
T =−
(ΦA + ΦB )
ΦA dS
2 A
dn
(
)
∫
ρ
d
−
(ΦA + ΦB )
ΦB dS
2 B
dn
下記では、まず球面：A の積分について検討する。
PHADN:subst([r=A],diff(rhs(PHIA0),r,1));

expand(-\rho/2*integrate(rhs(PHIA01)*A*sin(\theta)*PHADN,\phi,0,%pi*2));
expand(integrate(%*A,\theta,0,%pi));
TA0A:T[A0A]=subst([MA0,MB0],%);dd
2 cos (θ) µA
ΦA
=
ΦA
=
dn
dr
A3
r=A
r=A
上式と (6.2.66) 式、(6.2.67) 式、(6.2.69) 式、(6.2.70) 式から運動エネルギーの各項の積分は下記となる。
∫
d4 π ρ µ2A
π ρ A3 U 2
ρΦA0
ΦA dS ==
TA0A = −
3
2 A
dn
3A
3
∫
3 3
ρ
πρA B U Vd
TB0A = −ΦB0
ΦA dS =
2 A
dn
3 L3
∫
ρ
d
TA1A = −ΦA1
ΦA dS = 02 A
dn∫
π ρ A3 B 3 U VρdΦB1ΦA dS =TB1A = −
2 A
dn
6 L3
上記の結果から、球面：B の積分を上式の A → B, B →A, U → V, V → U の置き換えを行って求め、球 A と球B による総運動エネルギーは、T =π ρ B3 V 2
π ρ A3 B 3 U V
π ρ A3 U 2
+
+
3
3
L
3

球 A が壁までの距離：H とし、壁に平行に速度：U で動く球の運動エネルギーは、上式からT =π ρ A3 U 2
π ρ A6 U 2+
16 H 33

付加質量：M は、

M U2
π ρ A3 U 2
π ρ A6 U 2+=2
16 H 33
球の流体排出相当質量：∆ で表現すると、expand(-\rho/2*integrate(rhs(PHIB01)*A*sin(\theta)*PHADN,\phi,0,2*%pi));
expand(integrate(%*A,\theta,0,%pi));
TB0A:T[B0A]=subst([MA0,MB0],%);
expand(-\rho/2*integrate(rhs(PHIB11)*A*sin(\theta)*PHADN,\phi,0,%pi*2));
expand(integrate(%*A,\theta,0,%pi));M=

3 ∆ A3
∆
+
3
32 H
2

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

例題 6.2.10227

回転楕円体 (複素変換)

軸対称軸：x 軸方向に一定速度：U で動く下図の長径：

A、短径：B の回転楕円体の速度ポッテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ を複素変換の方法で求める1 。

EQ1RE1:EQ1RE/(sinh(\xi)*c);
EQ1IM1:EQ1IM/(cosh(\xi)*c);
EQ12:expand(trigsimp(EQ1RE1^2+EQ1IM1^2));
EQ121:subst([\xi=\xi[0]],EQ12);
A1:A=cosh(\xi[0])*c;
B1:B=sinh(\xi[0])*c;
A2:solve(A1,cosh(\xi[0]))[1];B2:solve(B1,sinh(\xi[0]))[1];EX2:subst([\xi=\xi[0]],EX1);
EQ122:subst([A2,B2],EQ121);
assume(A>0);
assume(B>0);
assume(A>B);
assume(E>0 and E<1);
subst([\xi=\xi[0]],SINCOSH);
subst([A2,B2],%)*c^2;
C1:solve(%,c)[2];E1:E=sqrt((A^2-B^2)/A^2);
E2:rhs(E1)*A=lhs(E1)*A;
BE1:solve(E2,B)[2];z と ζ の複素変換の式を下記とする。

図 6.2.12: 一定速度で動く回転楕円体

z =x + ı̇ r/* 回転楕円体 (複素変換) */kill(all);=f (ζ) = f (ξ + ı̇η) = c sinh (ξ + i η)
ここで、 x = c cos (η) sinh (ξ) ,r = c sin (η) cosh (ξ)

load("vect")declare(z,complex);

この関係式は上図の長径：A、短径：B の楕円体を表す。

declare(w,complex);x2

depends(\Psi,[r,x]);
EQZ1:z=x+%i*r;
EQZC:w=conjugate(rhs(EQZ1));
depends(\Psi,[\xi,\eta]);depends(\xi,[r,x]);depends(\eta,[r,x]);
EQ1:x+%i*r=c*sinh(\xi+%i*\eta);

r2

+
=1
2
2
sinh (ξ0 ) c2
cosh (ξ0 ) c2
x2
r2
+
=1
B2
A2
離心率：E と短径：B は、√√
A2 − B 2, B = A 1 − E2
E=A

EQ1RE:realpart(lhs(EQ1))=realpart(rhs(EQ1));
EQ1IM:imagpart(lhs(EQ1))=imagpart(rhs(EQ1));
SINH:sinh(\xi)=(%e^\xi-%e^(-\xi))/2;
SINH1:%e^\xi-%e^(-\xi)=2*sinh(\xi);
COSH:cosh(\xi)=(%e^\xi+%e^(-\xi))/2;
COSH1:%e^\xi+%e^(-\xi)=2*cosh(\xi);EX1:expand((SINH1+COSH1)/2);
SINCOSH:expand(-SINH^2+COSH^2);
SINH2:solve(%,sinh(\xi)^2)[1];
1 L.M.Milne-Thomson：Theretical

Hydrodynamics, Fourth
Edition, Chapter 15 Stokes’ Stream Function, 15.54 Stream
function for a planetary ellipsiod, P.475 15)

EQD1:1/(cosh(\xi)*sin(\eta))*’diff(\Psi,\xi,1);
EQD2:1/(cosh(\xi)*sin(\eta))*’diff(\Psi,\eta,1);
PSGH1:’diff(EQD1,\xi,1)+’diff(EQD2,\eta,1)=0;\Psi=r^2*U/2;
subst([EQ1IM],%);PSBD1:subst([\xi=\xi[0]],%);
PSI0:\Psi=f(\xi)*sin(\eta)^2;
subst([%],PSGH1);ev(%,diff);第 6 章 3 次元完全流体

228

factor(subst([’diff(f(\xi),\eta,1)=0

solve(%,%k1)[1];,’diff(f(\xi),\eta,2)=0],%));

subst([EX2],%);

PSI1:expand(%/sin(\eta)*cosh(\xi)^2);

K1:factor(subst([A2,B2],%));

ode2(PSI1,f(\xi),\xi);FG1:subst([%k2=0],%);

PSI2:factor(subst([K1],PSI1));(6.1.74) 式による流れ関数の境界条件から、ξ = ξ0 の回

FG10:FG1/8/%k1/cosh(\xi)^2;

転楕円体の境界において、

FG11:first(rhs(FG10));2

Ψ=FG12:last(rhs(FG10));expand(num(FG12)*%e^(-2*\xi));2

r2 U
cosh (ξ0 ) c2 sin (η) U=
2
2(6.2.71)

上記を参考に複素変換式を下記の変数分離型とする。

FG121:subst([SINH1],%);
factor(denom(FG12)*%e^(-2*\xi));2Ψ = sin (η) f (ξ)

8*(%e^(\xi)+%e^(-\xi))^2;
FG122:subst([COSH1],%);(6.1.69) 式から複素変換による流れ関数の関係式は下記

lhs(FG10)=FG11+FG121/FG122;となる。

FG13:factor(solve(%,f(\xi))[1]);

d
d
d
d
dξ Ψ
dη Ψ
+
=0
d ξ sin (η) cosh (ξ) d η sin (η) cosh (ξ)

ATN1:atan(t)=1/2*atan(-2/(t-1/t));subst([t=%e^\xi],ATN1);

上式に複素変換式を代入すると、ATN2:subst([SINH1],%);
FG14:subst([ATN2],FG13);
PSI1:factor(subst([FG14],PSI0));f(\xi[0])*sin(\eta)^2=rhs(PSBD1);
FG0:solve(%,f(\xi[0]))[1];
subst([\xi=\xi[0]],rhs(FG14))=rhs(FG0);(
cosh (ξ)

)
(
)
d2
d
f (ξ) − sinh (ξ)
f (ξ) − 2 f (ξ) cosh (ξ) = 0d ξ2dξ

この解は ode2 で得られ、ξ → ∞ における条件から整理すると、(
2f (ξ) = 8 %k1 cosh (ξ)

(
)
( ξ)
)
( ξ)
2
%k1
2
cosh
(ξ)
atan
e
+
sinh
(ξ)
3
ξ
ξ
atan e
e −e
+ 4ξ
=
8
8 e + 16 e2 ξ + 82

下記に関係式から、(
atan (t) = −上の関係式を代入し、

f (ξ) =

atan

(

)
,

2

atan
( )
atan eξ = −1sinh(ξ)

)

2

(
(
))
2
1
%k1 sinh (ξ) − cosh (ξ) atan sinh(ξ)
2

流れ関数：Ψ は、

Ψ=−

2
t− 1t

%k1 sin (η)

2

(

(

2

cosh (ξ) atan1sinh(ξ))− sinh (ξ))

2

上式と (6.2.71) 式の境界における流れ関数から2%k1 = −

cosh (ξ0 ) c2 U
c 2 A2 U
( )
(
)
=
2
1
c B − A2 atan Bc
cosh (ξ0 ) atan sinh(ξ
−
sinh
(ξ
)
0
0)

%k1 を代入し流れ関数：Ψ は、
Ψ=−

c2 sin (η)

2

(

)
)
(
2
1
− sinh (ξ) A2 U
cosh (ξ) atan sinh(ξ)(( ))2 c B − A2 atan Bc(6.2.72)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

229
PHI2:subst([\xi=\xi[0]],rhs(PHI1));

PHPS1:’diff(\Phi,\eta,1)=-1/r*’diff(\Psi

diff(rhs(PSI2),\eta,1);,\xi,1);PSETD:subst([\xi=\xi[0]],%);’diff(\Psi,\xi,1)=diff(rhs(PSI2),\xi,1);

T=-%pi*\rho*integrate(PHI2*PSETD,\eta,0,factor(subst([%,EQ1IM],PHPS1));%pi);\Phi=integrate(rhs(%),\eta);

subst([EX2],%);

subst([SINH2],%);

factor(subst([A2,B2],%));

subst([sinh(\xi)^3=(cosh(\xi)^2-1)

subst([C1],%);*sinh(\xi)],%);

subst([E2],%);

PHI1:factor(%);
速度と速度ポテンシャル、流れ関数との関係 (6.1.72) 式
から、

T1:factor(subst([BE1],%));
subst([E=0.01],T1);
lhs(T1)=limit(rhs(T1),E,0,plus);

d
1 d
Φ=−
Ψ
dη
r dξ
上式に流れ関数 (6.2.72) 式を代入すると、subst([E=0.99],T1);
lhs(T1)=limit(rhs(T1),E,1,minus);

(
(
)
(
)
)
3
2
2
1
1
c
sin
(η)
2
sinh
(ξ)
atan
+
2
sinh
(ξ)
atan
−
sinh
(ξ)
−
cosh
(ξ)
−
1
A2 U
sinh(ξ)sinh(ξ)
d
(
)(
Φ=
( ))
2
dη
2 sinh (ξ) + 1 c B − A2 atan Bc
上式を積分し速度ポッテンシャルを求める。
(
(
)
(
)
)
3
2
2
1
1
c cos (η) 2 sinh (ξ) atan sinh(ξ)+ 2 sinh (ξ) atan sinh(ξ)− sinh (ξ) − cosh (ξ) − 1 A2 U
(
)(
Φ=−
( ))
2
2 sinh (ξ) + 1 c B − A2 atan Bc
(
(
)
)
1
c cos (η) sinh (ξ) atan sinh(ξ)− 1 A2 U( )=−c B − A2 atan Bc(6.2.73)
運動エネルギーは下記で与えられる。

∫ π

d
Ψ dη
d
η
0
(
(
)
)
1
sinh (ξ0 ) atan sinh(ξ− 1 c cos (η) A2 U
0)
( )
=−
Φ
ξ=ξ0
c B − A2 atan Bc
(
(
)
)
2
1
cosh
(ξ
)
atan
−
sinh
(ξ
)
c2 cos (η) sin (η) A2 U00sinh(ξ0 )
d
(c)
Ψ =−
dη ξ
c B − A2 atan B
T = −π ρΦ

上記を積分し、運動エネルギーは、
)
)(
(
)
)
(
(
2
1
1
− sinh (ξ0 )sinh (ξ0 ) atan sinh(ξ− 1 c3 ρ A4 U 2
2 π cosh (ξ0 ) atan sinh(ξ
0)
0)
T =−
(
( ))2
3 c B − A2 atan Bc
)
)
(√
(
) 2
(
(c)
3
2 atan √ E
4
−
E
U2
2
π
ρ
A
1
−
E
2 π ρ A atan B B − c U
1−E 2
)
(
(
))
(
(
)
=
=−
√
E
3 c B − A2 atan Bc
3 atan √1−E
− E 1 − E22

(6.2.74)(6.2.74) 式で離心率：E → 0 とすると球となり、その運動エネルギーは下記となり、(6.2.10) 式、(203 ページ)の結果と一致している。

π ρ A3 U 2
3(6.2.74) 式で離心率：E → 1 とすると B = 0 で円板となり、その運動エネルギーは下記となる。
T =

T =

4 ρ A3 U 2
3(6.2.75)

第 6 章 3 次元完全流体

230

例題 6.2.11

楕円体

楕円体の直進、旋回運動による運動エネルギーを求める1 。楕円体の x 軸の径：A、y 軸の径：B 、z 軸の径：C とすると、楕円体の曲面は次式で表すことができる。
z2y2x2+ 2 + 2 =1
2CB
A

(6.2.76)(6.2.76) 式を変形し、次式は楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面の三つの直交系の共焦点二次曲面を表している。
図 6.2.13: 楕円体

y2
x2
z2
+
+
−1=0
C 2 + θ B 2 + θ A2 + θ
上式は θ の三次式である。その根を κ, µ, ν とする。
ここで A > B > C とする。−A2 < θ < ∞ の根を κ とする。このとき次式となり楕円体となる。

z2
y2
x2
+
+
−1=0
C1 2
B1 2
A1 2
−B 2 < θ < −A2 の根を µ とする。このとき次式となり一葉双曲面となる。

EL1:-x^2/(A^2)+y^2/(B^2)+z^2/(C^2)=1;
EL11:%-last(lhs(%));
Y1:y=r*cos(\theta);
Z1:z=r*sin(\theta);
EL2:subst([Y1,Z1],EL11);
solve(%,r^2)[1];

z2
y2
x2
−1=0
2 +
2 −
C2
B2
A2 2

R1:r=sqrt(rhs(%));−C 2 < θ < −B 2 の根を ν とする。このとき次式とな

subst([R1],rhs(Y1));

り二葉双曲面となる。

z2
y2
x2
−1=0
2 −
2 −
C3
B3
A3 2

X2:x;
Y2:subst([LI],%);
subst([R1],rhs(Z1));
Z2:subst([LI],%);
plot3d([X2,Y2,Z2], [\theta,0,2*%pi],[x,-5,5],[grid,60,60]);
一葉双曲面の形状は、

kill(all);assume(A>0);
assume(B>0);
assume(C>0);
EL1:x^2/(A^2)+y^2/(B^2)+z^2/(C^2)=1;
図 6.2.14: 一葉双曲面

LI:[A=3,B=2,C=1];
X1:x=r*sin(\theta)*cos(\phi);
Y1:y=r*sin(\theta)*sin(\phi);
Z1:z=r*cos(\theta);
EL2:subst([X1,Y1,Z1],EL1);

EL1:-x^2/(A^2)-y^2/(B^2)+(z)^2/(C^2)=1;

solve(%,r^2)[1];EL11:%*C^2;

sqrt(%);
PL1:subst([LI],rhs(%));

Z1:sqrt(rhs(%));
Z2:subst([LI],%);

plot3d(PL1, [\theta,0,%pi],[\phi,0,2*%pi],

Z3:-%;[transform_xy, spherical_to_xyz],

plot3d([Z2,[x,-10,10],[y,-10,10]],[grid,60,60]);楕円体の形状は、
1 ラム：今井 功、橋本 英典訳：流体力学（１）、第 5 章 液体の渦なし運動：3 次元の問題 112. 24)%-rest(lhs(%),1);[grid,30,30],[z,0,7]);

6.2. 軸対称の流れの簡単な例
二葉双曲面の形状は、

231
∇2 Φ

kill(all);depends([x,y,z,\Phi],[\kappa,\mu,\nu]);
depends([d],[\kappa]);
depends([e],[\mu]);depends([f],[\nu]);
assume(A^2+\kappa>0);
assume(B^2+\kappa>0);
図 6.2.15: 二葉双曲面

assume(C^2+\kappa>0);
assume(A>0);
assume(B>0);
assume(C>0);
EL1:x^2/(A^2+\theta)+y^2/(B^2+\theta)+z^2/(C^2+\theta)=1;
lhs(%-rhs(%))=0;
F1:lhs(%)=(\kappa-\theta)*(\mu-\theta)*(\nu-\theta)/(A^2+\theta)/(B^2+\theta)/(C^2+\theta);
F1*(A^2+\theta);
factor(%);
subst([\theta=-(A^2)],%);
solve(%,x^2)[1];X1:factor(%);
F1*(B^2+\theta);
factor(%);
subst([\theta=-(B^2)],%);
solve(%,y^2)[1];Y1:factor(%);
F1*(C^2+\theta);
factor(%);
subst([\theta=-(C^2)],%);
solve(%,z^2)[1];Z1:factor(%);κ, µ, ν が一定の局面の交点では各面が直交しており、直交曲面となっている。(6.2.76) 式は三次式で、その根は κ, µ, ν であるから、次式のように表現できる。

z2
C2 + θ

+y2
B2 + θ

+x2
A2 + θ

−1(6.2.77)(κ − θ) (µ − θ) (ν − θ)=(A2 + θ) (B 2 + θ) (C 2 + θ)()
(6.2.77) 式に A2 + θ を掛け、θ = A2 と置き x2 を求めると下記となり、他も同様に求めると、
( 2
)(
)(
)
A + κ A2 + µ A2 + ν
2x =(B − A) (B + A) (C − A) (C + A)
( 2
)(
)(
)
B + κ B2 + µ B2 + ν(6.2.78)y2 = −(B − A) (B + A) (C − B) (C + B)
( 2
)(
)(
)
C + κ C2 + µ C2 + ν
2z =(C − A) (C + A) (C − B) (C + B)

第 6 章 3 次元完全流体

232
速度ポテンシャル：Φ の満たすべき条件式は (2.9.2)

上式から、

d
x
x=
dκ
2 (A2 + κ)

式から ∇2 Φ = 0 であり、上記の直交曲線座標系では(B.3.20) 式から、
∇2 Φ =

1h1 h2 h3((

上式を κ で微分すると、)∂
h2 h3 ∂Φ∂ u1
h1 ∂ u1()
h1 h3 ∂∂Φ+∂ u2
h2 ∂ u2())∂
h1 h2 ∂+
Φ=0
∂ u3
h3 ∂ u3

d
d2
x
dκ x
x
=
−
2
2
2
dκ
2 (A + κ) 2 (A + κ)2(6.2.79)

h21 =
(
h22 =
(
h23 =

d
z
d u1
d
z
d u2
d
z
d u3

)2

(
+

)2

(
+

)2

(
+

d
y
d u1
d
y
d u2
d
y
d u3

)2

(
+

)2

(
+

)2

(
+

d
x
d u1
d
x
d u2
d
x
d u3

同様にして、(6.2.78) 式の第 2 式、第 3 式を κ で微分
すると、

)2

(6.2.80))2

式の u1 , u2 , u3 は、

u2 = µ,dxx=dκ
2 (A2 + κ)
d
y
y=
dκ
2 (B 2 + κ)
d
z
z=
dκ
2 (C 2 + κ))2

ここで直交系の共焦点二次曲面では、(6.2.79) 式、(6.2.80)

u1 = κ,上式に (6.2.82) 式を代入し、

d2
x
x=−
2
d κ2
4 (A2 + κ)

ここで、h1 , h2 h3 は (B.3.5) 式から、(

(6.2.82)

u3 = ν

(6.2.81)(6.2.83)(6.2.80) 式の第 1 式に上式を代入し、(6.2.78) 式を代
入すると、

h21 =

z2

2 +

y2

2 +

x2
2

4 (C 2 + κ)
4 (B 2 + κ)
4 (A2 + κ)(µ − κ) (ν − κ)=
2
4 (A + κ) (B 2 + κ) (C 2 + κ)diff(X1,\kappa,1);%/X1;
DXK1:%/2*x;diff(%,\kappa,1);

ここで下記とすると、√√√
d = A2 + κ B 2 + κ C 2 + κ(6.2.84)

DXK2:subst([DXK1],%);diff(Y1,\kappa,1);

h21 は、
h21 =

%/Y1;

(µ − κ) (ν − κ)
4 d2

(6.2.85)

DYK1:%/2*y;diff(Z1,\kappa,1);diff(X1,\mu,1);

%/Z1;

%/X1;

DZK1:%/2*z;

DXM1:%/2*x;

h[1]^2=rhs(DXK1)^2+rhs(DYK1)^2+rhs(DZK1)^2;

diff(%,\mu,1);

subst([X1,Y1,Z1],%);
H1:factor(%);

DXM2:subst([DXM1],%);

K1:d^2=(A^2+\kappa)*(B^2+\kappa)*(C^2%/Y1;+\kappa);

DYM1:%/2*y;D11:d=sqrt(rhs(%));

diff(Z1,\mu,1);

H1*K1;%/Z1;

H11:%/d^2;

DZM1:%/2*z;(6.2.78) 式の第 1 式を κ で微分すると、
( 2
)(
)
(
)
A + µ A2 + ν
d
2x
x =
dκ
(B − A) (B + A) (C − A) (C + A)

h[2]^2=rhs(DXM1)^2+rhs(DYM1)^2+rhs(DZM1)^2;
subst([X1,Y1,Z1],%);

上式を (6.2.78) 式の第 1 式で割ると、()
2 ddκ x
1
= 2
x
A +κ

E11:e=sqrt(rhs(%));

diff(Y1,\mu,1);

H2:factor(%);
K2:e^2=(A^2+\mu)*(B^2+\mu)*(C^2+\mu);H2*K2;
H21:%/e^2;

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

233

上記と同様にして、(6.2.78) 式を µ で微分すると、

d
x
x=
dµ
2 (A2 + µ)
d
y
y=
dµ
2 (B 2 + µ)
d
z
z=
2
dµ
2 (C + µ)(’diff(h[2]*h[3]/h[1]*’diff(\Phi,u[1]),u[1])+’diff(h[1]*h[3]/h[2]*’diff(\Phi,(6.2.86)e=’diff(\Phi,u[3]),u[3]));\u[3]=\nu],%);
DPH22:num(rhs(DPH21));
DPH23:denom(rhs(DPH21));(µ − κ) (ν − µ)h22 = −
4 e2

(6.2.87)

DPH24:first(DPH22);
DPH26:last(DPH22);

ここで、

√

u[2]),u[2])+’diff(h[2]*h[1]/h[3]*DPH21:subst([u[1]=\kappa,u[2]=\mu,(6.2.80) 式の第 2 式に上式を代入し、(6.2.78) 式を代入すると、DPH2:\nabla^2*\Phi=1/(h[1]*h[2]*h[3])*DPH25:DPH22-DPH24-DPH26;(A2 + µ) (B 2 + µ) (C 2 + µ)(6.2.88)

1/(h[1])*h[2]*h[3];%^2;H12:%=subst([H11,H21,H31],%);diff(X1,\nu,1);

solve(H12,h[1])[1];%/X1;

subst([%],DPH26);

DXN1:%/2*x;

DPH261:%i*(\nu-\mu)/(2*e*f)*’diff(d*(diff(%,\nu,1);’diff(\Phi,\kappa,1)),\kappa,1);

DXN2:subst([DXN1],%);

h[1]*h[3]/h[2];diff(Y1,\nu,1);

%^2;

%/Y1;
DYN1:%/2*y;H22:%=subst([H11,H21,H31],%);
solve(H22,h[2])[2];diff(Z1,\nu,1);

subst([%],DPH25);%/Z1;

DPH251:-%i*(\nu-\kappa)/(2*d*f)*

DZN1:%/2*z;
h[3]^2=rhs(DXN1)^2+rhs(DYN1)^2+rhs(DZN1)^2;

h[2]*h[1]/h[3];subst([X1,Y1,Z1],%);%^2;

H3:factor(%);

H32:%=subst([H11,H21,H31],%);

K3:f^2=(A^2+\nu)*(B^2+\nu)*(C^2+\nu);

solve(H32,h[3])[1];

F11:f=sqrt(rhs(%));

subst([%],DPH24);

H3*K3;

DPH241:%i*(\mu-\kappa)/(2*d*e)*

H31:%/f^2;’diff(((f*(’diff(\Phi,\nu,1)))),\nu,1);

上記と同様にして、(6.2.78) 式を ν で微分すると、

h[1]*h[2]*h[3];

d
x
x=
dν
2 (A2 + ν)
d
y
y=
2
dν
2 (B + ν)dzz=dν
2 (C 2 + ν)%^2;
H42:%=subst([H11,H21,H31],%);
H43:h[1]*h[2]*h[3]=-%i*((\mu-\kappa)(6.2.89)(6.2.80) 式の第 3 式に上式を代入し、(6.2.78) 式を代
入すると、

h23 =

(ν − κ) (ν − µ)4 f2

(6.2.90)

ここで、

f=

√
(A2 + ν) (B 2 + ν) (C 2 + ν)’diff(((e*(’diff(\Phi,\mu,1)))),\mu,1);(6.2.91)*(\nu-\kappa)*(\nu-\mu))/(8*d*e*f);(6.2.79) 式に (6.2.81) 式を代入すると、()(
1
d h1 h2 ddν Φ2∇ Φ=h1 h2 h3 d ν
h3
(
)
(
))
d
d h1 h3 d µ Φ
d h2 h3 ddκ Φ
+
+
=0
dµ
h2
dκ
h1

第 6 章 3 次元完全流体

234
上式より Φ の満たすべき条件式は、
(
)
( d )
d
h
h
Φ
1
3
h
h
Φ
dµ
d 1 2 dν
d
+
dν
h3
dµ
h2
(
)
d h2 h3 ddκ Φ
+
=0
dκ
h1

x 軸方向の運動(6.2.92)kill(all);depends([x,y,z,\Phi],[\kappa,\mu,\nu]);
depends([d],[\kappa]);

上式の h2h1h3 , h1h2h3 , h1h3h2 は、(6.2.85) 式、(6.2.87) 式、(6.2.90) 式から、

assume(A^2+\kappa>0);
assume(B^2+\kappa>0);
assume(C^2+\kappa>0);
assume(A>0);2d2 (ν − µ)h22 h23=−h21
4 e2 f 22
e2 (ν − κ)h21 h23=−h22
4 d2 f 22
h21 h22f 2 (µ − κ)=−h23
4 d2 e2

assume(B>0);
assume(C>0);(6.2.93)depends([\chi,g],[\kappa]);
DXK1:’diff(x,\kappa,1)=x/(2*(A^2+\kappa));
DYK1:’diff(y,\kappa,1)=y/(2*(B^2+\kappa));
DZK1:’diff(z,\kappa,1)=z/(2*(C^2+\kappa));
D11:d=sqrt(A^2+\kappa)*sqrt(B^2+\kappa)(DPH241+DPH251+DPH261)/rhs(H43);*sqrt(C^2+\kappa);-(4*((f*(\kappa-\nu)*(’diff((f*(’diff(PH1:\Phi=x*\chi;\Phi,\nu,1))),\nu,1)))+(e*(\nu-\kappa)*’diff(d*(’diff(\Phi,\kappa,1)),\kappa,1)=0;(’diff((e*(’diff(\Phi,\mu,1))),\mu,1)))

subst([PH1],%);+(d*(\mu-\nu)*(’diff((d*(’diff(\Phi,\kappa,1))),\kappa,1)))))/((\kappa-\mu)ev(%,diff);*(\mu-nu)*(\nu-\kappa))=0;rest(lhs(%),2)=0;

DPH3:((f*(\kappa-\nu)*(’diff((f*(’diff(%-first(lhs(%));\Phi,\nu,1))),\nu,1)))+(e*(\nu-\kappa)*(’diff((e*(’diff(\Phi,\mu,1))),\mu,1)))

expand(%/x);’diff(d*(’diff(chi,kappa,1)),\kappa,1)=+(d*(\mu-\nu)*(’diff((d*(’diff(\Phi,rhs(%);\kappa,1))),\kappa,1))))=0;

G0:subst([DXK1],%);(6.2.92) 式に (6.2.93) 式を代入し整理すると、
(
( (
)))
d
d
f (κ − ν)
f
Φ
dν
dν
(
( (
)))
d
d
+ e (ν − κ)eΦ
(6.2.94)
dµ
dµ
(
( (
)))
d
d
+ d (µ − ν)
d
Φ
=0
dκ
dκ

expand(%);

G1:g=(’diff(chi,kappa,1))*d;G2:solve(%,d)[1];
subst([G2],G0);
ode2(%,g,\kappa);
subst([G1],%);%/d;subst([D11],%);
PH11:1/denom(rhs(%));\chi=%k1*’integrate(PH11,\kappa)+%k2;
PH12:\Phi=%k1*x*integrate(PH11,\kappa,\kappa,\inf);
x 軸方向に速度：U で運動する楕円体の運動エネル
ギーを求める。いま、Φ を下記とし、χ は κ のみの関数とする。

Φ = χx(6.2.95)(6.2.94) 式に上式を代入し、χ は κ のみの関数である

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

235

ことを考慮すると1 、
(
) (
) (
)(
)
d
d
d
d
2
χ d
x +
χ
d x
dκ
dκ
dκ
dκ
( 2 )
d
+
χ dx = 0d κ2

PHN1:-’diff(\Phi,n,1)=U*cos(\theta[x]);PHN11:’diff(\Phi,n,1)=1/h[1]*’diff(\Phi,\kappa,1);
PHN12:cos(\theta[x])=1/h[1]*’diff(x,\kappa,1);
subst([PHN11,PHN12],PHN1);

上式を変形し、x で割ると、

(

(
) (
)
)(
) ( 2 )
2 ddκ χ d ddκ x
d
d
d
χ
d +
χ d=−
dκ
dκ
d κ2
x
左辺をまとめると、

d
dκ

((

d
χ
dκ

(
) (
)
) )
2 ddκ χ d ddκ x
d =−x

上式に (6.2.83) 式を代入すると、
( d )
((
) )
χ d
d
d
χ d = − d κ2
dκ
dκ
A +κ
上式の一部を下記と置くと、
)
(
d
χ d
g=
dκ

PHN13:-%*h[1];PHN14:lhs(PHN13)=subst([DXK1,\kappa=0],
rhs(PHN13));
DXK11:lhs(DXK1)=subst([\kappa=0],rhs(DXK1));%k1*’diff(x,\kappa,1)*integrate(PH11,\kappa,0,inf)+%k1*x*’limit(PH11,\kappa,inf)-%k1*x*’limit(PH11,\kappa,0);
subst([DXK11],%);
PHN15:ev(%,limit);(6.2.96)

AL10:\alpha[1]=A*B*C*integrate(PH11,\kappa,0,inf);
PHN151:%k1*x*\alpha[1]/2/A^3/B/C+last(PHN15);(6.2.97)(6.2.96) 式は、

rhs(PHN14)=PHN151;
K11:solve(%,%k1)[1];PH13:subst([K11],PH12);

d
g
g=− 2
dκ
A +κ
上式を ode2 関数で解くと、

%c
g= 2
A +κ
(6.2.97) 式に上式を代入し、d で割ると、
d
%c
χ=
dκ
d (A2 + κ)
上式に (6.2.84) 式を代入すると、

d
%c
χ=
√
3 √
dκ
2
2
(A + κ)B2 + κ C 2 + κ
上式を ode2 関数で解くと、∫
1
χ = %k1dκ + %k2√
3 √2
2(A + κ)B2 + κ C 2 + κ
上式から (6.2.95) 式の Φ は、
∫ ∞1dκ
Φ = %k1 x√
3 √κ
(A2 + κ) 2 B 2 + κ C 2 + κ(6.2.98)

1 L.M.Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth
Edition, Chapter 16 Sheres and Ellipsoids 16.51 Ellipsiodal harmonics, P.509 15)PH130:\Phi=\alpha[1]*x*U/(2-\alpha[1]);
PDPN1:\Phi*’diff(\Phi,n,1);
subst([-PHN1],%);
subst([PH130],%);
PDPN2:PDPN1=%;
T=-1/2*\rho*’integrate(PDPN1,S);
T=-1/2*\rho*’integrate(rhs(PDPN2),S);
subst([S=4/3*%pi*A*B*C/x/
cos(\theta[x])],%);
K1:k[1]=\alpha[1]/(2-\alpha[1]);subst([A=1,B=1,C=1],AL10);ev(%,integrate);
subst([%],K1);
float(%);
TT1:T=%pi*\rho*A^3*U^2/3;
TT2:T=1/2*\rho*k[1]*M*U^2;
MM1:M=4/3*%pi*A^3;
rhs(TT1)=rhs(TT2);
subst([MM1],%);
solve(%,k[1])[1];第 6 章 3 次元完全流体

236
境界面は、楕円面であるから、(6.2.77) 式で θ = κ であり、楕円体境界は κ = 0 となる。境界条件は次式と
なる。

−

d
Φ = cos (θx ) U
dnat κ = 0(6.2.99)(6.2.99) 式に上式を代入し、整理すると、
(
)
d
d
Φ=−
x U at κ = 0(6.2.100)dκ
dκ
(6.2.83) 式に κ = 0 を代入すると、
d
x
x=
dκ
2 A2

ここで上式の左辺、右辺は、(6.2.101)(6.2.100) 式に上式を代入すると、境界条件式は、
d
dκ Φ

d
Φ=
,
dn
h1

cos (θx ) =

d
dκ x

d
xU
Φ=−
dκ
2 A2

h1

at κ = 0(6.2.102)———————————————————————————————————–(6.2.98) 式から (6.2.102) 式の境界条件式の κ = 0 における ddκ Φ を求めると、
(
)
(
)∫ ∞
d
d
1
1
Φ =%k1 x lim
+ %k1
x
dκ
√
√
3 √
3 √
κ→∞
dκ
d
κ
0
(A2 + κ) 2 B 2 + κ C 2 + κ(A2 + κ) 2 B 2 + κ C 2 + κ)(1− %k1 x lim
√
3 √
κ→0
(A2 + κ) 2 B 2 + κ C 2 + κ———————————————————————————————————–
上式の極限を求め、(6.2.101) 式を代入すると、∫
d%k1 x ∞
1
dκ
Φ=
√
3 √
2
dκ
2A
0
(A2 + κ) 2 B 2 + κ C 2 + κ
%k1 x
− 3
A BC
(6.2.103)
上式の積分を下記とする。
∫ ∞1dκα1 = A B C
√
3 √
2
2
0
(A + κ)B2 + κ C 2 + κ(6.2.104)(6.2.103) 式を上式を使って表すと、

上式と (6.2.99) 式から、)(
α1 x cos (θx ) U 2
d
Φ =−
Φ
dn
2 − α1
流体の運動エネルギーは (A.5.2) 式から、次式となり、
上式から、

(
)
∫∫
1
d
T =− ρ
Φ
Φ dS
2
dn
∫
∫
α1 ρ U 2=x cos (θx ) dS
2 (2 − α1 )上式の二重積分は楕円体の体積を表しており、二重積
分 = 34 π A B C であるから、

α1 %k1 x
%k1 x
d
Φ=
− 3
dκ
2 A3 B C
A BC

T =(6.2.102) 式の境界条件式から、

2 π α1 ρ A B C U 2
1= k1 M U 2
3 (2 − α1 )2

ここで、k1：付加質量係数、M ：楕円体と同体積の流xU
α1 %k1 x
%k1 x
=
− 3
2 A2
2 A3 B C
A BC

体質量 = ρ 34 π A B C とすると、k1 は上式から、

上式から、%k1 を求めると、

k1 =AB C U%k1 = −
α1 − 2(6.2.105)(6.2.98) 式に上式を代入すると、速度ポテンシャル：Φ
は、

Φ=−

xAB C
α1 − 2∫ ∞κ

(A2 + κ)

3
2

√

1

dκ U
√
B2 + κ C 2 + κ(6.2.106)

境界上の速度ポテンシャル：Φ は、上式に κ = 0 を代Φ=α1
2 − α1α1 x U2 − α1(6.2.108)

例として、球では、A = B = C = 1 として下記の結果を得る。これは図 6.2.16 の結果と一致している。
∫ ∞
1
2
α1 =
5 dκ =
3
20(κ + 1)

12
前節の回転楕円体 (複素変換) の球の運動エネルギーk1 =の結果：(6.2.75) 式は次式である。

入し、(6.2.104) 式から、

(6.2.107)T =π ρ A3 U 2
k1 ρ M U 2=
32

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

2373

ここで、球と同体積の流体質量：M = 4 π3A を代入
し、k1 を求めると、下記となり、本方法と同じ結果が例として、楕円体で A = 8.01, B = C = 1 として、

(6.2.104) 式に Maxima の積分結果を使い、(6.2.108) に

得られた。

1
k1 =
2

代入すると下記の結果を得る。これは図 6.2.16(249 頁)の結果と一致している。

LI:[A=8.01,B=1,C=1];
α1 = 0.056737088992185

subst(LI,AL10);
AL101:ev(%,integrate);

k1 = 0.029196815660296

subst([AL101],K1);
float(%);(6.2.104) 式の次式の半無限積分の求め方1PL1:subst([LI],A*B*C*PH11);
plot2d(PL1,[\kappa,0,100]);∫ ∞α1 = A B C

depends([\kappa],[t]);0(A2 + κ)3
2

KD1:\kappa=%e^(2*sinh(t));

√

1

dκ
√
B2 + κ C 2 + κ(6.2.109)

上式の半無限積分を下記の変換関数を使って、DKD1:diff(KD1,t,1);
subst([KD1],PL1);

κ = e2 sinh(t)PL2:%*rhs(DKD1);(6.2.110)

plot2d(PL2,[t,-10,10]);
DT1:DT=0.1;dκ = 2 e2 sinh(t) cosh (t)dtsubst([t=DT*n],PL2);%*DT;

上式で、κ = 0 → t = −∞, κ = ∞ → t = ∞ となる

subst([DT1],%);’sum(%,n,-100,100);から、下記の半無限積分を無限積分に置き換えることがAL102:\alpha[1]=ev(%,sum);

できる。

∫ ∞

subst([AL102],K1);∫ ∞f (κ)dκ =subst(LI,%);0

float(%);

f (e2 sinh(t) ) e2 sinh(t) cosh (t) dt−∞(6.2.111)—————————————————————————————————–
上記から (6.2.109) 式を下記の無限積分にして、

∫ ∞
α1 =

−∞

(

2 e2 sinh(t) cosh (t) A B C
dt
√
)3 √
A2 + e2 sinh(t) 2 B 2 + e2 sinh(t) C 2 + e2 sinh(t)A = 8.01, B = 1, C = 1 とし、刻み幅：0.1 として、台形積分すると、下記となる。
α1 = 0.056737088992181(6.2.108) 式に上記結果を代入すると、下記となり上記の結果と一致している。
k1 = 0.029196815660294

1 渡部

力、名取 亮、小国 力：Fortran77 による数値計算ソフトウェア、丸善、14.6 二重指数関数公式による 1 次元半無限区間積分第 6 章 3 次元完全流体

238
y 軸方向の運動

kill(all);depends([x,y,z,\Phi],[\kappa,\mu,\nu]);

上式に (6.2.83) 式を代入すると、
( d )
((
) )
χ d
d
d
χ d = − d κ2
dκ
dκ
B +κ
上式を ode2 関数で解くと、depends([d],[\kappa]);

d
%c
χ= √
3 √
dκ
2
2
A + κ (B + κ) 2 C 2 + κassume(A^2+\kappa>0);
assume(B^2+\kappa>0);

更に上式を解くと、∫
1dκ + %k2
χ = %k1√
3 √2
2
A + κ (B + κ) 2 C 2 + κassume(C^2+\kappa>0);
assume(A>0);
assume(B>0);
assume(C>0);
depends([\chi,g],[\kappa]);
DXK1:’diff(x,\kappa,1)=x/(2*(A^2+\kappa));
DYK1:’diff(y,\kappa,1)=y/(2*(B^2+\kappa));
DZK1:’diff(z,\kappa,1)=z/(2*(C^2+\kappa));

上式から (6.2.112) 式の Φ は、
∫ ∞1
Φ = %k1 y
dκ
√
3 √
2
2
κ
A + κ (B + κ) 2 C 2 + κ(6.2.113)

D11:d=sqrt(A^2+\kappa)*sqrt(B^2+\kappa)*sqrt(C^2+\kappa);

PHN1:-’diff(\Phi,n,1)=U*cos(\theta[y]);PH1:\Phi=y*\chi;PHN11:’diff(\Phi,n,1)=1/h[1]*’diff(\Phi,’diff(d*(’diff(\Phi,\kappa,1)),\kappa,1)=0;\kappa,1);

subst([PH1],%);

PHN12:cos(\theta[y])=1/h[1]*’diff(y,ev(%,diff);\kappa,1);

expand(%);

subst([PHN11,PHN12],PHN1);

rest(lhs(%),2)=0;

PHN13:-%*h[1];%-first(lhs(%));

PHN14:lhs(PHN13)=subst([DYK1,\kappa=0],

expand(%/y);’diff(d*(’diff(chi,kappa,1)),\kappa,1)=

DYK11:lhs(DYK1)=subst([\kappa=0],

rhs(%);

rhs(DYK1));

G0:subst([DYK1],%);%k1*’diff(y,\kappa,1)*integrate(PH11,

G1:g=(’diff(chi,kappa,1))*d;\kappa,0,inf)+%k1*y*’limit(PH11,

G2:solve(%,d)[1];\kappa,inf)-%k1*y*’limit(PH11,\kappa,0);

subst([G2],G0);

subst([DYK11],%);

ode2(%,g,\kappa);

PHN15:ev(%,limit);

subst([G1],%);

AL20:\alpha[2]=A*B*C*integrate(PH11,%/d;\kappa,0,inf);

subst([D11],%);
PH11:1/denom(rhs(%));

PHN151:%k1*y*\alpha[2]/2/B^3/A/C+last(PHN15);\chi=%k1*’integrate(PH11,\kappa)+%k2;

rhs(PHN14)=PHN151;

PH12:\Phi=%k1*y*integrate(PH11,\kappa,

K11:solve(%,%k1)[1];\kappa,\inf);

PH13:subst([K11],PH12);y 軸方向に速度：U で運動する楕円体の運動エネル
ギーを求める。前述の「x 軸方向の運動」と同様にして、
いま、Φ を下記とし、χ は κ のみの関数とする。

Φ = χy(6.2.112)

rhs(PHN13));

PH130:\Phi=\alpha[2]*y*U/(2-\alpha[2]);
PDPN1:\Phi*’diff(\Phi,n,1);
subst([-PHN1],%);
subst([PH130],%);
PDPN2:PDPN1=%;
T=-1/2*\rho*’integrate(PDPN1,S);(6.2.94) 式に上式を代入し、χ は κ のみの関数であることを考慮すると、

d
dκ

((

(
) (
)
) )
2 ddκ χ d ddκ ydχ d =−dκyT=-1/2*\rho*’integrate(rhs(PDPN2),S);
subst([S=4/3*%pi*A*B*C/y/cos(\theta[y])],%);K2:k[2]=\alpha[2]/(2-\alpha[2]);6.2. 軸対称の流れの簡単な例

239

境界面は、楕円面であるから、(6.2.77) 式で θ = κ であり、楕円体境界は κ = 0 となる。境界条件は次式と
なる。

−

d
Φ = cos (θy ) Udnat κ = 0(6.2.114)

ここで上式の左辺、右辺は、dΦdΦ = dκ ,dnh1cos (θy ) =分 = 43 π A B C であるから、

h1

T =

ここで、k2 ：付加質量係数、M ：楕円体と同体積 =

d
y
y=
dκ
2 B2

LI:[A=8.01,B=1,C=1];

上式の境界条件は次式となる。

subst(LI,AL20);
AL201:ev(%,integrate);

at κ = 0

subst([AL201],K2);(6.2.113) 式から上式の境界条件式の κ = 0 におけるdd κ Φ を求めると、−√

plot2d(PL1,[\kappa,0,100]);

1
3

A2 + κ (B 2 + κ) 2√dκ
C2 + κ%k1 y
A B3 C

上式の積分を下記とする。
∫ ∞1α2 = A B C
dκ
√
3 √
0
A2 + κ (B 2 + κ) 2 C 2 + κ(6.2.116)
上記の α2 を使って境界条件式を表すと、%k1 = −

subst([KD1],PL1);
PL2:%*rhs(DKD1);
plot2d(PL2,[t,-10,10]);
DT1:DT=0.1;
subst([t=DT*n],PL2);%*DT;’sum(%,n,-100,100);
AL202:\alpha[2]=ev(%,sum);subst([AL202],K2);

上式から、%k1 を求めると、

subst(LI,%);AB C U
α2 − 2

float(%);(6.2.113) 式に上式を代入すると、速度ポテンシャル：Φ
は、例として、楕円体で A = 8.01, B = C = 1 として、

(6.2.116) 式の計算を Maxima で行うと下記となり、結∫ ∞κ

KD1:\kappa=%e^(2*sinh(t));

subst([DT1],%);d
α2 %k1 y
%k1 y
yU
=
Φ=
−
−
2
3
2B
dκ
2AB C
A B3 CyABC
α2 − 2depends([\kappa],[t]);DKD1:diff(KD1,t,1);(6.2.115)Φ=−

float(%);
PL1:subst([LI],A*B*C*PH11);∫ ∞0

2 π α2 ρ A B C U 2
1= k2 M U 2
3 (2 − α2 )2ρ 34 π A B C の流体質量とする。k2 は上式より、
α2
k2 =(6.2.118)
2 − α2(6.2.99) 式に κ = 0 を代入すると、

%k1 y
d
Φ=
dκ
2 B2

(
)
∫∫
1
d
T =− ρ
Φ
Φ dS
2
dn
∫∫
α2 ρ U 2=
y cos (θy ) dS
2 (2 − α2 )上式の二重積分は楕円体の体積を表しており、二重積ddκ y(6.2.114) 式に上式を代入し、整理すると、
(
)
d
d
Φ=−
y U κ=0
dκ
dκ

yU
d
Φ=−
dκ
2 B2

流体の運動エネルギーは (A.5.2) 式から、次式となり、
上式から、

√

1
A2 + κ (B 2 + κ)

3
2

√

dκ U
C2 + κ
(6.2.117)

境界上の速度ポテンシャル：Φ は、上式に κ = 0 を代入し、(6.2.116) 式から、

Φ=果が得られない。
∫ ∞α2 = 8.01
0(κ + 1)2√

1
κ + 64.1601dκ

半無限積分を無限積分に変換する (6.2.111) 式の方法
で α2 を求めると、下記となり、

α2 y U2 − α2上式と (6.2.114) 式から、()
dα2 y cos (θy ) U 2
Φ
Φ =−
dn
2 − α2α2 = 0.97163145550391(6.2.118) 式に上記結果を代入すると、下記となり、図6.2.16(249 頁) の結果と一致している。
k2 = 0.94482805868009

第 6 章 3 次元完全流体

240
x 軸方向の回転運動

kill(all);depends([x,y,z,\Phi],[\kappa,\mu,\nu]);
depends([d],[\kappa]);
assume(A^2+\kappa>0);ことを考慮すると、
(
)
(
)
(
) (
)
d
d
d
d
2
χ dy
z +2
χ d
y z
dκ
dκ
dκ
dκ
(
)(
)
( 2 )
d
d
d
+
χ
d yz +
χ dyz = 0
dκ
dκ
d κ2
(6.2.120)
上式に (6.2.83) 式を代入し、整理すると、(()() ( 2 ) )
d
d
d
χ
d +
χ d yz
dκ
dκ
d κ2
) (
)
(
yz
yz
d
χ d
+
= −2
dκ
2 (C 2 + κ) 2 (B 2 + κ)

assume(B^2+\kappa>0);
assume(C^2+\kappa>0);
assume(A>0);
assume(B>0);
assume(C>0);
depends([\chi,g],[\kappa]);
DXK1:’diff(x,\kappa,1)=x/(2*(A^2+\kappa));
DYK1:’diff(y,\kappa,1)=y/(2*(B^2+\kappa));
DZK1:’diff(z,\kappa,1)=z/(2*(C^2+\kappa));
D11:d=sqrt(A^2+\kappa)*sqrt(B^2+\kappa)*sqrt(C^2+\kappa);
PH2:\Phi=y*z*\chi;’diff(d*(’diff(\Phi,\kappa,1)),\kappa,1)=0;
subst([PH2],%);
ev(%,diff);
expand(%);
first(rest(lhs(%),3))+rest(lhs(%),6)=0;

左辺を変形すると、
(
((
) ))
d
d
χ d
yz
dκ
dκ
(
) (
)
d
yz
yz
= −2
χ d
+
dκ
2 (C 2 + κ) 2 (B 2 + κ)
(6.2.121)
次式の置き換えを行い、
)
(
d
χ d
g=
dκ

(6.2.122)(6.2.121) 式に代入すると、
(
)
(
)
d
yz
yz
g y z = −2 g+dκ
2 (C 2 + κ) 2 (B 2 + κ)%-rest(lhs(%),-2);
factor(%);
subst([DYK1,DZK1],%);
G0:y*z*’diff(d*’diff(\chi,\kappa,1),

上式を ode2 関数で解くと、\kappa,1)=rhs(%);
G1:g=(’diff(chi,kappa,1))*d;g=

G2:solve(%,d)[1];
subst([G2],G0);%c(B 2 + κ) (C 2 + κ)

(6.2.122) 式に上式を代入し、(6.2.84) 式を代入すると、

ode2(%,g,\kappa);

d
%c
χ=
dκ
d (B 2 + κ) (C 2 + κ)
%c
=√
3
3
2
2
A + κ (B + κ) 2 (C 2 + κ) 2

subst([G1],%);%/d;subst([D11],%);
PH21:1/denom(rhs(%));\chi=%k1*’integrate(PH21,\kappa)+%k2;
PH22:\Phi=%k1*x*y*integrate(PH21,\kappa,\kappa,\inf);
x 軸方向に角速度：ωx で回転する楕円体の運動エネ
ルギーを求める。いま、Φ を下記とし、χ は κ のみの関数とする。

Φ = χyz(6.2.119)(6.2.94) 式に上式を代入し、χ は κ のみの関数である

上式を ode2 関数で解くと、∫
1
χ = %k1
√
3 dκ
3
2
2
A + κ (B + κ) 2 (C 2 + κ) 2
上式から (6.2.119) 式の Φ は、
∫ ∞1
Φ = %k1 x y
√
3
3 dκ
κ
A2 + κ (B 2 + κ) 2 (C 2 + κ) 2
(6.2.123)6.2. 軸対称の流れの簡単な例

241

PHN2:-’diff(\Phi,n,1)=(-z*cos(\theta[y])+境界面は、楕円面であるから、(6.2.77) 式で θ = κ でy*cos(\theta[z]))*\omega[x];あり、楕円体境界は κ = 0 となる。境界条件は次式とPHN21:’diff(\Phi,n,1)=1/h[1]*’diff(\Phi,なる。

\kappa,1);
PHN22:cos(\theta[y])=1/h[1]*’diff(y,−\kappa,1);dΦ = ωx (y cos (θz ) − cos (θy ) z)dn

at κ = 0

PHN23:cos(\theta[z])=1/h[1]*’diff(z,(6.2.124)

ここで上式の左辺、右辺は、\kappa,1);
subst([PHN21,PHN22,PHN23],PHN2);dΦdΦ = dκ ,dnh1

PHN24:factor(%*h[1]);PHN25:subst([DYK1,DZK1],rhs(PHN24));dycos (θy ) = d κ ,h1dz
cos (θz ) = d κh1

PHN26:%k1*’diff(y,\kappa,1)*z*’integrate((6.2.124) 式に上式を代入し、整理すると、

PH21,\kappa,0,inf);
PHN27:%k1*y*’diff(z,\kappa,1)*’integrate(
PH21,\kappa,0,inf);−%k1*y*z*’limit(PH21,\kappa,inf)-%k1*y*zdΦ = ωx
dκ

( (
) (
) )
d
d
y
z −
y z
dκ
dκ

*’limit(PH21,\kappa,0);
上式に (6.2.83) 式を代入すると、PHN28:ev(%,limit);-PHN25=PHN26+PHN27+PHN28;
PHN29:subst([DYK1,DZK1],%);−

I21:I=’integrate(PH21,\kappa,0,inf);dΦ = ωx
dκ

(

yz
yz
−
2 (C 2 + κ) 2 (B 2 + κ))I22:’integrate(PH21,\kappa,0,inf)=I;(6.2.123) 式から上式の境界条件式の κ = 0 におけるsubst([I22,\kappa=0],PHN29);dd κ Φ を求めると、

K21:solve(%,%k1)[1];

(
−ωx

yz
yz
−
2
2 (C + κ) 2 (B 2 + κ)

)

)∫ ∞
1
d
z
=%k1 y
√
3
3 dκ
dκ
0
A2 + κ (B 2 + κ) 2 (C 2 + κ) 2
(
) ∫ ∞
d
1
%k1 y z
+ %k1
y z
√
3
3 dκ −dκA
B3 C 322
2
2
2
0
A + κ (B + κ) (C + κ)(

上式に (6.2.83) 式を代入すると、
(
)
∫ ∞
yz
yz
%k1 y z
1
−ωx
−
=
√
3
3 dκ
2
2
2
2 (C + κ) 2 (B + κ)
2 (C + κ) 0
A2 + κ (B 2 + κ) 2 (C 2 + κ) 2
∫ ∞%k1 y z1
%k1 y z+√33 dκ −
2 (B 2 + κ) 0A
B3 C 322
2
2
2
A + κ (B + κ) (C + κ)
(6.2.125)
上式の積分を下記のように置き、

∫ ∞
I=
0

√

1
3

3

dκ

(6.2.126)

A2 + κ (B 2 + κ) 2 (C 2 + κ) 2

(6.2.125) 式を上式の I で表し、表面の κ = 0 を代入すると、境界条件式は次式となる。
−ωx

( yz
2C

−
2

y z ) %k1 y z I%k1 y z I
%k1 y z
=
+
−
2
2
2
2B
2C
2B
A B3 C 3

上式から、

%k1 =

ωx A B C 3 − ωx A B 3 C(A B C 3 + A B 3 C) I − 2(6.2.127)

第 6 章 3 次元完全流体

242

I23:1/(B^2+\kappa)-1/(C^2+\kappa);

AL30:\alpha[3]=A*B*C*integrate(%,\kappa,

factor(%);

0,inf);

1/denom(%)=1/num(%)*I23;

AL31:%/A/B/C;

lhs(%)=expand(rhs(%));

I26:I=\alpha[2]/A/B/C/(C-B)/(C+B)

I24:lhs(%)=factor(first(rhs(%)))+-\alpha[3]/A/B/C/(C-B)/(C+B);

factor(last(rhs(%)));

subst([I26],K21);

PH21=lhs(I24)/d;

K22:factor(%);

lhs(%)=first(rhs(I24))/d+last(rhs(I24))/d;

下記の関係があり、subst([D11],%);
I25:I=’integrate(first(rhs(%)),\kappa,0,inf)+’integrate(last(rhs(%)),\kappa,0,1
B2 + κ

−1
C2 + κ

=(C − B) (C + B)
(B 2 + κ) (C 2 + κ)inf);
下記のように変形できる。

1/(B^2+\kappa)/d;
AL29:subst([D11],%);

1(B 2 + κ) (C 2 + κ)1=
(B 2 + κ) (C − B) (C + B)
1−
(C − B) (C + B) (C 2 + κ)

AL20:\alpha[2]=A*B*C*integrate(%,\kappa,
0,inf);
AL21:%/A/B/C;
1/(C^2+\kappa)/d;
AL39:subst([D11],%);—————————————————————————–

上式を用いて (6.2.126) 式の被積分関数は次のように表せる。

√

1
3
2

A2 + κ (B 2 + κ) (C 2 + κ)

3
2

=

1
d (B 2 + κ) (C 2 + κ)11−
d (B 2 + κ) (C − B) (C + B) d (C − B) (C + B) (C 2 + κ)
1=√√
3
A2 + κ (B 2 + κ) 2 (C − B) (C + B) C 2 + κ
1
−√
√
3
2
2
A + κ B + κ (C − B) (C + B) (C 2 + κ) 2=

上式から (6.2.126) 式の I は、

I=

1(C − B) (C + B)
−

∫ ∞
0

1
(C − B) (C + B)

ここで α2 , α3 を下記とする。

√

1
3A2 + κ (B 2 + κ) 2

∫ ∞
0

√

0

√

∫ ∞
α3 = A B C
0√dκ
C2 + κ

1√(6.2.128)3 dκ

A2 + κ B 2 + κ (C 2 + κ) 2

∫ ∞α2 = A B C√

1
3

A2 + κ (B 2 + κ) 2
A2 + κ

√√dκ(6.2.129)dκ(6.2.130)

C2 + κ

1
3

B 2 + κ (C 2 + κ) 2

(6.2.128) 式に (6.2.129)、式 (6.2.130) 式を代入すると、I は、
I=

α2
α3
−
A B C (C − B) (C + B) A B C (C − B) (C + B)

(6.2.131)(6.2.127) 式に上式を代入すると、
2%k1 = −

2

ωx A B C (C − B) (C + B)
α3 C 2 − α2 C 2 + 2 C 2 + α3 B 2 − α2 B 2 − 2 B 2(6.2.132)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

243\Phi=%k1*y*z*’integrate(PH21,\kappa,0,inf);

IT2:’integrate(z*’integrate(y*(y*cos(

subst([I22],%);\theta[z])-cos(\theta[y])*z),y),z)=

subst([I26],%);’integrate(’integrate(’integrate(y^2-z^2,

subst([K22],%);x),y),z);PH23:factor(%);

T3:T=CT2*(-(2*A*B*C*(2*%pi*C^2-2*%pi*B^2))\Phi*’diff(\Phi,n,1);/15);

subst([-PHN2],%);

T31:T=1/2*k[4]*I[x]*\omega[x]^2;

subst([PH23],%);

IZ1:I[x]=(4*%pi*rho*A*B*C*(C^2+B^2))/15;

T2:T=-1/2*\rho*’integrate(’integrate(%,y),rhs(T3)=rhs(T31);z);
CT2:subst([’integrate(z*’integrate(y*(y*subst([IZ1],%);
solve(%,k[4])[1];cos(\theta[z])-cos(\theta[y])*z),y),z)=1

K31:factor(%);],rhs(%));(6.2.123) 式で κ = 0 とし、(6.2.126) 式から次式となり、更に (6.2.131) 式、(6.2.132) 式を代入すると、Φ は、∫ ∞1
Φ =%k1 y z√
33 dκ = %k1 y z I220
A + κ (B + κ) 2 (C 2 + κ) 2
(
)
α2
α3
(6.2.133)=%k1 y z−
A B C (C − B) (C + B) A B C (C − B) (C + B)
(α3 − α2 ) ωx y z (C − B) (C + B)=
α3 C 2 − α2 C 2 + 2 C 2 + α3 B 2 − α2 B 2 − 2 B 2()
ところで、Φ ddn Φ は、)(d
Φ = − Φ ωx (y cos (θz ) − cos (θy ) z)Φdn
(6.2.134)(α3 − α2 ) ωx2 y z (y cos (θz ) − cos (θy ) z) (C − B) (C + B)=−
α3 C 2 − α2 C 2 + 2 C 2 + α3 B 2 − α2 B 2 − 2 B 2
流体の運動エネルギーは (A.5.2) 式から、次式となり、上式から、
(
)
∫∫
1
d
T =− ρ
Φ
Φ dS
2
dn
∫∫
(α3 − α2 ) ρ ωx2 (C − B) (C + B)=
z y (y cos (θz ) − cos (θy ) z) dS
2 (α3 C 2 − α2 C 2 + 2 C 2 + α3 B 2 − α2 B 2 − 2 B 2 )(6.2.135)

Gauss の定理：(A.2.1) 式から、上式の二重積分は次式となり、(6.2.167) 式から下記の積分は、
∫∫
∫∫∫
d 2
d
z y (y cos (θz ) − cos (θy ) z) dS =y z−
y z 2 dV
dz
dy
(
)
∫∫∫
2 A B C 2 π C 2 − 2 π B222=
y − z dV = −15(6.2.135) 式に上式を代入すると次式となる。ここで k4：付加質量係数、Ix：流体と同じ質量の楕円体の x 軸回りの慣性モーメントとすると、()(α3 − α2 ) ρ ωx2 A B C (C − B) (C + B) 2 π C 2 − 2 π B 2
k4 ωx2 Ix
T =−
=
2
2
2
2
2
2
15 (α3 C − α2 C + 2 C + α3 B − α2 B − 2 B )2

ここで Ix は (6.2.165) 式から、

(6.2.136)()
4 π ρ A B C C 2 + B2
Ix =15

(6.2.136) 式に上式を代入すると、()()(α3 − α2 ) ρ ωx2 A B C (C − B) (C + B) 2 π C 2 − 2 π B 22 π k4 ρ ωx2 A B C C 2 + B 2−=
15 (α3 C 2 − α2 C 2 + 2 C 2 + α3 B 2 − α2 B 2 − 2 B 2 )
15上式から k4 ：付加質量係数を求めると、
2

k4 = −

2(α3 − α2 ) (C − B) (C + B)
(C 2 + B 2 ) (α3 C 2 − α2 C 2 + 2 C 2 + α3 B 2 − α2 B 2 − 2 B 2 )(6.2.137)

第 6 章 3 次元完全流体

244

LI:[A=2,B=2,C=1];
subst(LI,AL20);
AL201:ev(%,integrate);
subst(LI,AL30);
AL301:ev(%,integrate);
subst([AL201,AL301],K31);
subst(LI,%);
float(%);
ev(%,integrate);
例として、楕円体で A = 2, B = 2, C = 1 として、

(6.2.129) 式、(6.2.130) 式の計算を Maxima で行うと下
記となる。

∫ ∞

1
2 dκ
κ
+
1
(κ + 4)0)(√π
2 3π + 9
=4
3 −
108
2 32
∫ ∞
1
α3 =4
dκ
3
0
(κ + 1) 2 (κ + 4))(√
3 π + 18
π
− 3
=4
27
32

α2 =4

√

(6.2.137) 式に上記結果を代入すると、下記となる。
k4 = 0.33857793042679

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

245z 軸方向の回転運動

kill(all);depends([x,y,z,\Phi],[\kappa,\mu,\nu]);
depends([d],[\kappa]);
assume(A^2+\kappa>0);ことを考慮すると、
(
)
(
)
(
) (
)
d
d
d
d
2
χ dx
y +2
χ d
x y
dκ
dκ
dκ
dκ
(
)(
)
( 2 )
d
d
d
+
χ
d xy +
χ dxy = 0
dκ
dκ
d κ2
(6.2.139)
上式に (6.2.83) 式を代入し、整理すると、(()() ( 2 ) )
d
d
d
χ
d +
χ d xy
dκ
dκ
d κ2
) (
)
(
xy
xy
d
χ d
+
= −2
dκ
2 (B 2 + κ) 2 (A2 + κ)

assume(B^2+\kappa>0);
assume(C^2+\kappa>0);
assume(A>0);
assume(B>0);
assume(C>0);
depends([\chi,g],[\kappa]);
DXK1:’diff(x,\kappa,1)=x/(2*(A^2+\kappa));
DYK1:’diff(y,\kappa,1)=y/(2*(B^2+\kappa));
DZK1:’diff(z,\kappa,1)=z/(2*(C^2+\kappa));
D11:d=sqrt(A^2+\kappa)*sqrt(B^2+\kappa)*sqrt(C^2+\kappa);
PH2:\Phi=x*y*\chi;’diff(d*(’diff(\Phi,\kappa,1)),\kappa,1)=0;
subst([PH2],%);
ev(%,diff);
expand(%);
first(rest(lhs(%),3))+rest(lhs(%),6)=0;

左辺を変形すると、
(
((
) ))
d
d
χ d
xy
dκ
dκ
(
) (
)
d
xy
xy
= −2
χ d
+
dκ
2 (B 2 + κ) 2 (A2 + κ)
(6.2.140)
次式の置き換えを行い、
)
(
d
χ d
g=
dκ

(6.2.141)(6.2.140) 式に代入すると、
(
)
(
)
d
xy
xy
g x y = −2 g+dκ
2 (B 2 + κ) 2 (A2 + κ)%-rest(lhs(%),-2);
factor(%);
subst([DYK1,DZK1,DXK1],%);
G0:x*y*’diff(d*’diff(\chi,\kappa,1),

上式を ode2 関数で解くと、\kappa,1)=rhs(%);
G1:g=(’diff(chi,kappa,1))*d;g=

G2:solve(%,d)[1];
subst([G2],G0);%c(A2 + κ) (B 2 + κ)

(6.2.141) 式に上式を代入し、(6.2.84) 式を代入すると、

ode2(%,g,\kappa);

d
%c
χ=
dκ
d (A2 + κ) (B 2 + κ)
%c
=
3
3 √
2
2
2
(A + κ) (B + κ) 2 C 2 + κ

subst([G1],%);%/d;subst([D11],%);
PH21:1/denom(rhs(%));\chi=%k1*’integrate(PH21,\kappa)+%k2;
PH22:\Phi=%k1*x*y*integrate(PH21,\kappa,\kappa,\inf);z 軸方向に角速度：ωz で回転する楕円体の運動エネル
ギーを求める。いま、Φ を下記とし、χ は κ のみの関数とする。

Φ = χxy(6.2.138)(6.2.94) 式に上式を代入し、χ は κ のみの関数である

上式を ode2 関数で解くと、∫
1
χ = %k1
dκ
3 √
3
2
2
2
(A + κ) (B + κ) 2 C 2 + κ
上式から (6.2.138) 式の Φ は、
∫ ∞1
Φ = %k1 x y
dκ
3
3 √
κ
(A2 + κ) 2 (B 2 + κ) 2 C 2 + κ(6.2.142)

第 6 章 3 次元完全流体

246

PHN2:-’diff(\Phi,n,1)=(-y*cos(\theta[x])+境界面は、楕円面であるから、(6.2.77) 式で θ = κ で

x*cos(\theta[y]))*\omega[z];あり、楕円体境界は κ = 0 となる。境界条件は次式とPHN21:’diff(\Phi,n,1)=1/h[1]*’diff(\Phi,なる。

\kappa,1);
PHN22:cos(\theta[y])=1/h[1]*’diff(y,−\kappa,1);dΦ = (x cos (θy ) − cos (θx ) y) ωzdn

at κ = 0

PHN23:cos(\theta[x])=1/h[1]*’diff(x,(6.2.143)

ここで上式の左辺、右辺は、\kappa,1);
subst([PHN21,PHN22,PHN23],PHN2);
PHN24:factor(%*h[1]);PHN25:subst([DYK1,DZK1,DXK1],rhs(PHN24));dΦd
Φ = dκ ,dnh1dycos (θy ) = d κ ,h1dxcos (θx ) = d κh1

PHN26:%k1*’diff(x,\kappa,1)*y*’integrate(
PH21,\kappa,0,inf);(6.2.143) 式に上式を代入し、整理すると、

PHN27:%k1*x*’diff(y,\kappa,1)*’integrate(
PH21,\kappa,0,inf);

d
−
Φ=
dκ

%k1*x*y*’limit(PH21,\kappa,inf)-%k1*x*y*

( (
) (
) )
d
d
x
y −
x y ωzdκdκ’limit(PH21,\kappa,0);
PHN28:ev(%,limit);
上式に (6.2.83) 式を代入すると、-PHN25=PHN26+PHN27+PHN28;
PHN29:subst([DYK1,DZK1,DXK1],%);
I21:I=’integrate(PH21,\kappa,0,inf);−

I22:’integrate(PH21,\kappa,0,inf)=I;d
Φ = ωz
dκ

(

xy
xy
−
2 (B 2 + κ) 2 (A2 + κ))

subst([I22],PHN29);(6.2.142) 式から上式の境界条件式の κ = 0 におけるsubst([\kappa=0],%);dd κ Φ を求めると、

K21:solve(%,%k1)[1];
(
−ωz

xy
xy
−
2
2 (B + κ) 2 (A2 + κ)

)

(

)∫ ∞
d
1
=%k1 x
y
dκ
3 √
3
dκ
0
(A2 + κ) 2 (B 2 + κ) 2 C 2 + κ
(
) ∫ ∞
d
1
%k1 x y+ %k1
x ydκ − 3 3
3 √
3
dκ
A
B C
2
2
2
2
2
0
(A + κ) (B + κ)
C +κ

上式に (6.2.83) 式を代入すると、
(
)
∫ ∞
xy
%k1 x y
1
xy
−ωz
−
=
dκ
√
3
2
2
2
2 (B + κ) 2 (A + κ)
2 (B + κ) 0 (A2 + κ) 2 (B 2 + κ) 23 C 2 + κ∫ ∞%k1 x y1
%k1 x y+dκ − 3 3√
2 (A2 + κ) 0 (A2 + κ) 32 (B 2 + κ) 32 C 2 + κ
A B C(6.2.144)
上式の積分を下記のように置き、

∫ ∞

1

I=
0

3
2

3

(A2 + κ) (B 2 + κ) 2√dκ

(6.2.145)

C2 + κ

(6.2.144) 式を上式の I で表し、表面の κ = 0 を代入すると、境界条件式は次式となる。
( xyx y ) %k1 x y I%k1 x y I
%k1 x y
−
=
+
− 3 3
−ωz
2
2B
2 A2
2 B2
2 A2
A B C
上式から、

(

)
ωz A B 3 − ωz A3 B C%k1 =(A B 3 + A3 B) C I − 2(6.2.146)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

247

I23:1/(A^2+\kappa)-1/(B^2+\kappa);

AL10:\alpha[1]=A*B*C*integrate(%,\kappa,0,factor(%);inf);%/num(%)=I23/num(%);

AL11:%/A/B/C;

lhs(%)=expand(rhs(%));

subst([AL11,AL21],I25);

I24:lhs(%)=factor(first(rhs(%)))

I26:I=\alpha[1]/A/B/C/(B-A)/(B+A)+factor(last(rhs(%)));-\alpha[2]/A/B/C/(B-A)/(B+A);

PH21=lhs(I24)/d;

subst([I26],K21);

lhs(%)=first(rhs(I24))/d+last(rhs(I24))/d;

K22:factor(%);

subst([D11],%);

下記の関係があり、’integrate(lhs(%),\kappa,0,inf)=’integrate(first(rhs(%)),\kappa,0,inf)+’integrate(1

last(rhs(%)),\kappa,0,inf);

A2 + κ

−1
B2 + κ

=(B − A) (B + A)
(A2 + κ) (B 2 + κ)

I25:I=rhs(%);
下記のように変形できる。

1/(B^2+\kappa)/d;
AL29:subst([D11],%);

1(A2 + κ) (B 2 + κ)
1=
2
(A + κ) (B − A) (B + A)
1−
(B − A) (B + A) (B 2 + κ)

AL20:\alpha[2]=A*B*C*integrate(%,\kappa,0,inf);
AL21:%/A/B/C;
1/(A^2+\kappa)/d;
AL19:subst([D11],%);—————————————————————————–

上式を用いて (6.2.145) 式の被積分関数は次のように表せる。

1
3
2(A2 + κ) (B 2 + κ)

3
2

√

=
C2 + κ1
d (A2 + κ) (B 2 + κ)1
1−
d (A2 + κ) (B − A) (B + A) d (B − A) (B + A) (B 2 + κ)
1
=
√
√
3
(A2 + κ) 2 (B − A) (B + A) B 2 + κ C 2 + κ
1
−√
3 √
2
A + κ (B − A) (B + A) (B 2 + κ) 2 C 2 + κ=

上式から (6.2.145) 式の I は、

I=

1(B − A) (B + A)

∫ ∞
√

1

dκ
√
B2 + κ C 2 + κ
∫ ∞
1
1
dκ
−
√
3 √
(B − A) (B + A) 0
2
2
A + κ (B + κ) 2 C 2 + κ

ここで α1 , α2 を下記とする。

0(A2 + κ)32

∫ ∞α1 = A B C
0∫ ∞(A2 + κ)

√

1

dκ
√
B2 + κ C 2 + κ
1

dκ
3 √
A2 + κ (B 2 + κ) 2 C 2 + κ(6.2.147) 式に (6.2.148)、式 (6.2.149) 式を代入すると、I は、
α1
α2
I=
−
A B (B − A) (B + A) C
A B (B − A) (B + A) C
α2 = A B C

0

√

3
2

(6.2.147)(6.2.148)(6.2.149)(6.2.150)(6.2.146) 式に上式を代入すると、
2%k1 = −

2

ωz A B (B − A) (B + A) C
α2 B 2 − α1 B 2 + 2 B 2 + α2 A2 − α1 A2 − 2 A2

(6.2.151)

第 6 章 3 次元完全流体

248\Phi=%k1*x*y*’integrate(PH21,\kappa,0,inf);

CT2:subst([’integrate(x*’integrate(y*(x*subst([I22],%);

cos(theta[y])-cos(theta[x])*y),y),x)=1],

subst([I26],%);

rhs(%));

subst([K22],%);

T3:T=CT2*(-(4*%pi*A*B*(B-A)*(B+A)*C)/15);

PH23:factor(%);

T31:T=1/2*k[6]*I[z]*\omega[z]^2;\Phi*’diff(\Phi,n,1);

IZ1:I[z]=(4*%pi*rho*A*B*(B^2+A^2)*C)/15;

subst([-PHN2],%);

rhs(T3)=rhs(T31);

subst([PH23],%);

subst([IZ1],%);

T2:T=-1/2*\rho*’integrate(’integrate(%,y),solve(%,k[6])[1];x);K31:factor(%);(6.2.142) 式で κ = 0 とし、(6.2.145) 式から次とし、更に (6.2.150) 式、(6.2.151) 式を代入すると、Φ は、∫ ∞1
Φ =%k1 x ydκ = %k1 x y I
3
3 √
2
2
0
(A + κ) 2 (B + κ) 2 C 2 + κ
(
)
α1
α2
(6.2.152)=%k1 x y−
A B (B − A) (B + A) C
A B (B − A) (B + A) C
(α2 − α1 ) x y ωz (B − A) (B + A)=
α2 B 2 − α1 B 2 + 2 B 2 + α2 A2 − α1 A2 − 2 A2()
ところで、Φ ddn Φ は、)(d
Φ = − Φ (x cos (θy ) − cos (θx ) y) ωzΦdn(6.2.153)(α2 − α1 ) x y (x cos (θy ) − cos (θx ) y) ωz2 (B − A) (B + A)=−
α2 B 2 − α1 B 2 + 2 B 2 + α2 A2 − α1 A2 − 2 A2流体の運動エネルギーは (A.5.2) 式から、次式となり、上式から、
(
)
∫∫
d
1
Φ
Φ dS
T =− ρ
2dn∫∫(α2 − α1 ) ρ ωz2 (B − A) (B + A)=
x y (x cos (θy ) − cos (θx ) y) dS
2 (α2 B 2 − α1 B 2 + 2 B 2 + α2 A2 − α1 A2 − 2 A2 )(6.2.154)

Gauss の定理：(A.2.1) 式から、上式の二重積分は次式となり、(6.2.168) 式から下記の積分は、
∫∫
∫∫∫
d 2
d
x y (x cos (θy ) − cos (θx ) y) dS =x y−
x y 2 dVdydx∫∫∫
4 π A B C (B − A) (B + A)=
x2 − y 2 dV = −15(6.2.154) 式に上式を代入すると次式となる。ここで k6 ：付加質量係数、Iz ：流体と同じ質量の楕円体の z 軸回りの慣性モーメントとすると、
2

T =−

2

2 π (α2 − α1 ) ρ ωz2 A B (B − A) (B + A) C
k6 ωz2 Iz
=
2
2
2
2
2
2
15 (α2 B − α1 B + 2 B + α2 A − α1 A − 2 A )2

ここで Iz は (6.2.166) 式から、

(6.2.155)()
4 π ρ A B C B 2 + A2
Iz =15

(6.2.155) 式に上式を代入すると、()
222 π k6 ρ ωz2 A B B 2 + A2 C
2 π (α2 − α1 ) ρ ωz2 A B (B − A) (B + A) C−=
15 (α2 B 2 − α1 B 2 + 2 B 2 + α2 A2 − α1 A2 − 2 A2 )15上式から k6 ：付加質量係数を求めると、
2

k6 = −

2(α2 − α1 ) (B − A) (B + A)
(B 2 + A2 ) (α2 B 2 − α1 B 2 + 2 B 2 + α2 A2 − α1 A2 − 2 A2 )(6.2.156)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

249(6.2.156) 式に上記結果を代入すると下記の結果を得

LI:[A=8.01,B=1,C=1];

る。これは図 6.2.161 の k ‘ の結果と一致している。

subst(LI,AL20);
AL201:ev(%,integrate);

k6 = 0.83967764125432

subst(LI,AL10);
AL101:ev(%,integrate);
subst([AL201,AL101],K31);
subst(LI,%);
float(%);
PL1:subst([LI],A*B*C*AL19);%plot2d(PL1,[\kappa,0,100]);
depends([\kappa],[t]);KD1:\kappa=%e^(2*sinh(t));
DKD1:diff(KD1,t,1);
subst([KD1],PL1);
PL2:%*rhs(DKD1);%plot2d(PL2,[t,-10,10]);
DT1:DT=0.1;
subst([t=DT*n],PL2);

図 6.2.16: 付加質量係数%*DT;subst([DT1],%);’sum(%,n,-100,100);
AL102:\alpha[1]=ev(%,sum);PL1:subst([LI],A*B*C*AL29);
plot2d(PL1,[\kappa,0,100]);
subst([KD1],PL1);
PL2:%*rhs(DKD1);
plot2d(PL2,[t,-10,10]);subst([t=DT*n],PL2);%*DT;
subst([DT1],%);’sum(%,n,-100,100);
AL202:\alpha[2]=ev(%,sum);subst([AL202,AL102],K31);
subst(LI,%);
float(%);
例として、楕円体で A = 8.01, B = 1, C = 1 として、

(6.2.148) 式、(6.2.149) 式の計算を Maxima で行うと下記となり。結果が得られない。
∫ ∞1
α1 =8.01
3 dκ0(κ + 1) (κ + 64.1601) 2=0.056737088992185∫ ∞1
α2 =8.01dκ2√(κ + 1) κ + 64.1601
0(6.2.111) 式の方法で、半無限積分を無限積分に変換
し、α1 , α2 を求めると下記となる。

α1 = 0.056737088992181
α2 = 0.97163145550391

1 ラム：今井 功、橋本 英典訳：流体力学（１）、第 5 章 液体の渦なし運動：3 次元の問題 115. 24)

第 6 章 3 次元完全流体

250
楕円体の体積・慣性モーメントを表す式は次式である。

y2
x2
z2
+ 2 + 2 =1
2CBAkill(all);(6.2.157)

次式の変換を行うと、assume(A>0,B>0,C>0,sin(theta)>0);
x = o A,depends([x,y,z],[o,p,q]);depends([o,p,q],[r,\theta,\phi]);EL2:x^2/(A^2)+y^2/(B^2)+z^2/(C^2)=1;

y = p B,z = qC

(6.2.158)

楕円体の (6.2.157) 式は、次式の球を表す式となる。

O1:x=A*o;q 2 + p 2 + o2 = 1(6.2.159)

P1:y=B*p;
Q1:z=C*q;
EL3:subst([O1,P1,Q1],EL2);h1 , h2 h3 は (B.3.5) 式から次式となり、(6.2.158) 式を代入すると、(

h[1]^2=(’diff(x,o,1))^2+(’diff(y,o,1))^2+(’diff(z,o,1))^2;
subst([O1,P1,Q1],%);
H11:ev(%,diff);h[2]^2=(’diff(x,p,1))^2+(’diff(y,p,1))^2+(’diff(z,p,1))^2;
subst([O1,P1,Q1],%);
H21:ev(%,diff);h[3]^2=(’diff(x,q,1))^2+(’diff(y,q,1))^2+(’diff(z,q,1))^2;
subst([O1,P1,Q1],%);
H31:ev(%,diff);O2:o=r*sin(\theta)*cos(\phi);P2:p=r*sin(\theta)*sin(\phi);Q2:q=r*cos(\theta);h[1]^2=(’diff(o,r,1))^2+(’diff(p,r,1))^2+(’diff(q,r,1))^2;
subst([O2,P2,Q2],%);
ev(%,diff);
H12:trigsimp(%);
h[2]^2=(’diff(o,\theta,1))^2+(’diff(p,\theta,1))^2+(’diff(q,\theta,1))^2;
subst([O2,P2,Q2],%);

h21 =
(

d
z
do

)2

(
+

d
z
dp

(

)2

(
+

d
x
do

)2
= A2

)2 (
)2
d
d
y +
x = B2
dp
dp
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
2
h3 =
z +
y +
x = C2dq
dq
dq(6.2.160)
h22 =

)2

d
y
do

+

opq 座標を次の極座標の変換する。
o = cos (ϕ) r sin (θ) , p = sin (ϕ) r sin (θ) , q = r cos (θ)(6.2.161)
h1 , h2 h3 は (B.3.5) 式から次式となり、(6.2.161) 式を代入すると、

)2 (
)2 (
)2
(
d
d
d
q +
p +
o =1
h21 =
dr
dr
dr
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
2
h2 =
q +
p +
o = r2
dθ
dθ
dθ
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
2
h23 =
q +
p +
o = r2 sin (θ)
dϕdϕdϕ(6.2.162)以上から、xyz 座標から opq 座標、極座標へ変換して積分するときには下記の修正を行う。

ev(%,diff);
H22:trigsimp(%);

dxdydz → A B C dodpdq → r2 sin (θ) A B C drdθdϕ

h[3]^2=(’diff(o,\phi,1))^2+(’diff(p,\phi,1))^2+(’diff(q,\phi,1))^2;
subst([O2,P2,Q2],%);
ev(%,diff);
H32:trigsimp(%);
H11*H12*H21*H22*H31*H32;
H0:h=sqrt(rhs(%));/* 体積 */
V=’integrate(’integrate(’integrate(rhs(
H0),r,0,1),\theta,0,%pi),\phi,0,2*%pi);
ev(%,integrate);
楕円体の体積、慣性モーメントなどを求める。楕円体(6.2.163)以上から楕円体の体積：V は次式の極座標積分で行える。

∫ 2π ∫ π ∫ 1
r2 sin (θ) dr dθ dϕ

V =A B C
04πAB C=300(6.2.164)

6.2. 軸対称の流れの簡単な例

251/* x 軸 楕円体の慣性モーメント */IN12:subst([O2,P2,Q2],IN11);

IN1:y^2+z^2;

I[x]=\rho*A*B*C*’integrate(’integrate(

IX1:I[x]=\rho*’integrate(’integrate(’integrate(IN12*r^2*sin(\theta),r,0,1),’integrate(IN1,x),y),z);\theta,0,%pi),\phi,0,2*%pi);

IN11:subst([O1,P1,Q1],IN1);ev(%,integrate);

I[x]=\rho*A*B*C*’integrate(

factor(%);’integrate(’integrate(IN11,o),p),q);x 軸回りの楕円体の慣性モーメントは次式で表せ、(6.2.158) 式、(6.2.161) 式を代入し、次の極座標積分で行える。
∫∫∫
Ix =ρ
z 2 + y 2 dxdydz∫∫∫=ρ A B C
q 2 C 2 + p2 B 2 dodpdq(6.2.165)∫ 2π ∫ π ∫ 1
(
)
2
2
2
=ρ A B Cr2 sin (θ) r2 cos (θ) C 2 + sin (ϕ) r2 sin (θ) B 2 drdθdϕ0( 0 0 )
4 π ρ A B C C 2 + B2=
15/* z 軸 楕円体の慣性モーメント */IN12:subst([O2,P2,Q2],IN11);

IN1:x^2+y^2;

I[z]=\rho*A*B*C*’integrate(’integrate(

IX1:I[z]=\rho*’integrate(’integrate(’integrate(IN12*r^2*sin(\theta),r,0,1),’integrate(IN1,x),y),z);\theta,0,%pi),\phi,0,2*%pi);

IN11:subst([O1,P1,Q1],IN1);ev(%,integrate);
factor(%);

I[z]=\rho*A*B*C*’integrate(’integrate(’integrate(IN11,o),p),q);z 軸回りの楕円体の慣性モーメントは次式で表せ、(6.2.158) 式、(6.2.161) 式を代入し、次の極座標積分で行える。
∫∫∫
Iz =ρ
y 2 + x2 dxdydz∫∫∫=ρ A B C
p2 B 2 + o2 A2 dodpdq(6.2.166)∫ 2π ∫ π ∫ 1
(
)
2
2
2
2
=ρ A B Cr2 sin (θ) sin (ϕ) r2 sin (θ) B 2 + cos (ϕ) r2 sin (θ) A2 drdθdϕ
0( 20 02 )4πρAB C B + A=
15/* x 軸回転 積分 */IN12:subst([O2,P2,Q2],IN11);

IN1:y^2-z^2;

I[x]=A*B*C*’integrate(’integrate(

IX1:I[x]=’integrate(’integrate(’integrate(IN12*r^2*sin(\theta),r,0,1),’integrate(IN1,x),y),z);\theta,0,%pi),\phi,0,2*%pi);

IN11:subst([O1,P1,Q1],IN1);ev(%,integrate);

I[x]=A*B*C*’integrate(’integrate(

factor(%);’integrate(IN11,o),p),q);

第 6 章 3 次元完全流体

252

x 軸回りの下記の積分は (6.2.158) 式、(6.2.161) 式を代入し、次式の極座標積分で行える。
∫∫∫
Ix‘ =
y 2 − z 2 dxdydz∫∫∫=A B C
p2 B 2 − q 2 C 2 dodpdq∫ 2π ∫ π ∫ 1
(
)
2
2
2
=A B Cr2 sin (θ) sin (ϕ) r2 sin (θ) B 2 − r2 cos (θ) C 2 drdθdϕ
00(6.2.167)

0

4 π A B C (C − B) (C + B)=−
15/* z 軸回転 積分 */IN12:subst([O2,P2,Q2],IN11);

IN1:x^2-y^2;

I[z]=A*B*C*’integrate(’integrate(

IX1:I[z]=’integrate(’integrate(’integrate(IN12*r^2*sin(\theta),r,0,1),’integrate(IN1,x),y),z);\theta,0,%pi),\phi,0,2*%pi);

IN11:subst([O1,P1,Q1],IN1);ev(%,integrate);

I[z]=A*B*C*’integrate(’integrate(

factor(%);’integrate(IN11,o),p),q);z 軸回りの下記の積分は (6.2.158) 式、(6.2.161) 式を代入し、次式の極座標積分で行える。
∫∫∫
Iz ‘ =
x2 − y 2 dxdydz∫∫∫=A B Co2 A2 − p2 B 2 dodpdq∫ 2π ∫ π ∫ 1
(
)
2
2
2
2
=A B Cr2 sin (θ) cos (ϕ) r2 sin (θ) A2 − sin (ϕ) r2 sin (θ) B 2 drdθdϕ000

4 π A B C (B − A) (B + A)=−
15

(6.2.168)6.2. 軸対称の流れの簡単な例

例題 6.2.12

液中での大きい気泡の運動

気泡が小さいと表面張力の影響が大きくなり、球形の気泡が上昇する。気泡体積が 5cc 以上では気泡は下図のように傘状になって上昇する。この傘状の気泡の上昇速

253
気泡の先端形状が球面に近いとすると、x と R, θ の関係
は Taylor 展開で高次の微少項を省略すると下記となる。

x = (1 − cos (θ)) R ≈

R θ4
θ2 R
R θ2
−
+ ... ≈
2
24
2

度：U を求める。
上式を流速に代入すると、

v1 = θ

√gR

また、球面の流速分布：v2 は (6.2.25) 式、(208 ページ) から Taylor 展開で高次の微少項を省略すると下記となる。

v2 =3 sin (θ) U
3 U θ U θ3
3θU≈−
+ ... ≈22
42

v1 = v2 から、√
3θU= θ gR
2
以上から、気泡の上昇速度：U は、
√
2 gR
U=
3
図 6.2.17: 液中での大きい気泡の運動/* 液中での大きな気泡 */kill(all);assume(\theta>0);P1:p[1]+1/2*\rho*v^2-\rho*g*x=p[0];P10:p[1]=p[0];subst([P10],P1);
VG1:solve(%,v)[2];X1:x=R*(1-cos(\theta));lhs(X1)=taylor(rhs(X1),\theta,0,4);
X2:subst([\theta^4=0],%);
VG2:subst([X2],VG1);
VH1:v=3/2*U*sin(\theta);lhs(VH1)=taylor(rhs(VH1),\theta,0,4);
VH2:subst([\theta^3=0],%);
subst([VH2],VG2);
U1:solve(%,U)[1];
軸を気泡に固定する。気泡先端のよどみ点における圧力：p0 とする。気泡表面の圧力：p は気泡内の圧力：p1と一致しなければならない。そこで泡の表面の流れはBernoulli の定理から下記となる。
ρ v1 2+ p1 = p02
よどみ点も気泡の表面にあるから、−g ρ x +p1 = p0
上記の二式から、気泡表面の流速：v1 は、√ √
v1 = 2 g x

254

第7章

揚力

7.1

２次元翼

7.1.1

Kutta-Joukowski の定理µµ µ c µ c2
µ c3
µ c4
µ c5
= + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
z−c
z
z
z
z
z
z

二次元の流場で、物体内にわき出し、二重わき出しや渦循環がある場合に物体に作用する力を求める/* Kutta-Joukowski の定理＋平板翼 */F0:F=U*%e^(-%i*\alpha)*z+A[0]+m*log(z)+%i*\gamma/2/%pi*log(z)+A[2]/z+A[3]/z^2+A[4]/z^3;
DF0:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F0),z,1);

kill(all);

DF02:lhs(DF0)^2=expand(rhs(DF0)^2);

declare(z,complex);

FXY1:F[x]-%i*F[y]=%i*\rho/2

declare(F,complex);*’integrate(lhs(DF02),z);

declare(c,complex);

COFF1:coeff(rhs(DF02),z,-1);

declare(\zeta,complex);

lhs(FXY1)=%i*\rho/2*2*%pi*%i*COFF1;

assume(a>0);

FXY2:lhs(FXY1)=rectform(rhs(%));

assume(b>0);

FX1:F[x]=realpart(rhs(FXY2));

assume(z^2>A^2);

FY1:F[y]=-imagpart(rhs(FXY2));

assume(A>0);

FX2:subst([m=0],FX1);

assume(\rho>0);

FY2:subst([m=0],FY1);

assume(U>0);

L1:L=sqrt(rhs(FX2)^2+rhs(FY2)^2);

assume(\gamma>0);

trigsimp(%);

M1:m*log(z-c);
G1:%i*\gamma/2/%pi*log(z-c);
LOG1:A[1]*log(z-c);
LOG2:A[1]*log(z*(1-c/z));

ZDF02:expand(z*DF02);
MXY1:M+%i*N=-\rho/2*’integrate(lhs(ZDF02),
z);
COFF2:coeff(rhs(ZDF02),z,-1);

taylor(%,c,0,5);

MXY1:M+%i*N=-\rho/2*2*%pi*%i*COFF2;

MU1:\mu/(z-c);

MXY2:lhs(MXY1)=rectform(rhs(%));

MU2:\mu/z/(1-c/z);
taylor(%,c,0,5);二次元流場で、c に位置するわき出しの複素ポテン
シャルは (5.1.31) 式から、渦循環の複素ポテンシャル
は (5.1.33) 式から、二重わき出しの複素ポテンシャルは(5.1.32) 式から、一般的に次式で表現できる。
わき出し：m log (z − c)(m：わき出し強さ)

i log (z − c) Γ
渦循環：
(Γ：渦循環強さ)2πµ二重わき出し：(µ：二重わき出し強さ)
z−cc が遠方の流場に比べ、小さいとして Taylor 展開すると、A1 c A1 c2
−
z
2 z2
3
4
A1 c
A1 c
A1 c5
−
−
−
+ ...
3
4
3z
4z
5 z5

A1 log (z − c) =log (z) A1 −M1:M=realpart(realpart(rhs(MXY2)));
subst([m=0],M1);
以上から、物体内にわき出し、二重わき出しや渦循環がある場合の複素ポテンシャルは下記のように表現で
きる。

F =

i log (z) Γ+ e−i α z U + m log (z)
2π
A4
A3
A2
+ 2 + 3 + A0 + ...
+zzz(7.1.1)

7.1. ２次元翼255

上式を z で微分し、その二乗を求めると、

d
iΓ
m A2
2 A3
3 A4
F =
+ e−i α U +− 2 − 3 − 4
dz
2πz
z
z
z
z
(

)2

Γ2
i e−i α U Γ i m Γ i A2 Γ 2 i A3 Γ 3 i A4 Γ
+
+
−
−
−
+ e−2 i α U 2
4 π2 z2
πz
π z2
π z3
π z4
π z5
2 A2 e−i α U
4 A3 e−i α U
6 A4 e−i α U
m2
2 e−i α m U
−
−
−
+
+ ...
+
z
z2
z3
z4
z2
物体に作用する力：Fx , Fy は、Blasius の定理：(5.1.59) 式から、積分を留数定理を用いて解き、
d
F
dz

=−

)2
d
F dz
dz
( −i α
)
ie
UΓ
−i α
=−πρ
+ 2e
mU
π
(
)
(
)
sin (α) U Γcos (α) U Γ=−πρ+ 2 cos (α) m U − i π ρ− 2 sin (α) m UππiρFx − i F y =
2

∫ (

上式より、

(7.1.2)()
sin (α) U Γ+ 2 cos (α) m U
π)(cos (α) U Γ− 2 sin (α) m U
Fy = π ρπFx = −π ρ

わき出しの総和は一般に物体の外に出ないので、m = 0 として、物体に作用する力：Fx , Fy は、

Fx = −sin (α) ρ U Γ,

Fy = cos (α) ρ U Γ,

L = ρU Γ(7.1.3)

物体に作用するモーメントについて、下記を求め、

(
z

d
F
dz

)2

Γ2
i e−i α U Γ i m Γ i A2 Γ 2 i A3 Γ 3 i A4 Γ
+
+
−
−
−
+ e−2 i α z U 2
4 π2 z
π
πz
π z2
π z3
π z4
2 A2 e−i α U
4 A3 e−i α U
6 A4 e−i α U
m2
−i α
−
−
−
+
2
e
m
U
+
z
z2
z3
z
2 A2 m 4 A3 m A22−+ 3 + ...
−
z2
z3
z

=−

物体に作用するモーメント：M は、Blasius の定理：(5.1.60) 式から、積分を留数定理を用いて解き、

)2
d
z
F dz
dz
(
)
Γ2
imΓ
= − iπρ − 2 +− 2 A2 e−i α U + m2
4ππρiN + M = −2∫(以上から、物体に作用するモーメント：M は、(
M = −π ρmΓ− 2 A2 sin (α) U−π)

上記同様、m = 0 として、

M = 2 π A2 sin (α) ρ U(7.1.4)

第7章

256

揚力

二次元翼に作用する揚力 (写像関数を用いた)

b << z であるので、b で Taylor 展開し、展開すると、
1
1
=
ζ z+b
B3
B4
2
写像関数を用いて、二次元翼形状を円写像する場合、− Bζ1 − B
ζ2 − ζ3 − ζ4=−
一様流中の翼の揚力性能について調べる。
z2()2
なお、下記のプログラムは、前前項、前項に続いて実
B3
B4
2
−
−
− Bζ1 − B
2
3
4
ζ
ζ
ζ
1
行する。
+
+
z3
z
ZT1:z=\zeta+B[1]/\zeta+B[2]/\zeta^2
B1
B2
B2
B3
2 B1 B21= 2 + 2 2 + 3 1 2 + 2 3 + 3 3 + + ...
+B[3]/\zeta^3+B[4]/\zeta^4;
z ζ
z ζ
z ζ
z ζ
z ζ
z
ZT2:lhs(ZT1)=rhs(ZT1)-\zeta+Z;
solve(ZT2,Z)[1];
上式を (7.1.6) 式に代入し、更に、この作業を繰り返
ZT3:expand(subst([Z=\zeta],%));
すと次の関係式が得られる。後にわかるが、ここの問題
ZT30:rhs(ZT3)-z;
では Cn を明らかにする必要はない。
ZT301:-B[1]/zeta-B[2]/zeta^2-B[3]/zeta^3
(∞
)
∑ Cn
B1
-B[4]/zeta^4=b;ζ=−(7.1.7)
+z−
n
z
z
n=2
ZT302:b=-B[1]/zeta-B[2]/zeta^2-B[3]/zeta^3
上式で、C3 までとし、-B[4]/zeta^4;
C2
B1
C3
ZT31:1/\zeta;− 2 − 3
ζ =z−zzz
ZT32:1/\zeta^2;
下記のように表現する。
ZT33:1/\zeta^3;
B1
C2
C3
subst([\zeta=b+z],ZT31);
ζ = (d + 1) z, (d = − 2 − 3 − 4 )(7.1.8)zzz
taylor(%,b,0,2);

7.1.2

subst([ZT302],%);

F1:%e^(-%i*\alpha)*U*\zeta;

expand(%);

F2:%e^(%i*\alpha)*U*R^2/\zeta;

ZT4:\zeta=z-B[1]/z-sum(C[n]/z^n,n,2,inf);
ZT41:\zeta=z-B[1]/z-C[2]/z^2-C[3]/z^3;F3:%i*\gamma/2/%pi*log(\zeta);
F0:F=F1+F2+F3;

ZT42:\zeta=z*(1-B[1]/z^2-C[2]/z^3-C[3]F11:subst([ZT41],F1);/z^4);

F12:expand(%);

ZT43:d=-B[1]/z^2-C[2]/z^3-C[3]/z^4;

F21:subst([ZT44],F2);

ZT44:\zeta=z*(1+d);
翼より十分遠方では、翼を表す z 平面と写像円を表す

taylor(%,d,0,3);

ζ 平面とで z ∼ ζ でなければならない。そこで円に写像する関数は、一般的に下記で表すことができる。

B1
B2
B3
B4
z=ζ+
+ 2 + 3 + 4 + ...
ζζζζ(7.1.5)subst([ZT43],%);
F22:expand(%);
F31:subst([ZT44],F3);%i*\gamma/2/%pi*log(z)+%i*\gamma/2/%pi*log(1+d);

ζ を z で表す式を求める。まず、上式から ζ を求め、右

taylor(%,d,0,3);

辺の z 以外を b とする。

subst([ZT43],%);

B1
B3
B4
B2
ζ =−
− 2 − 3 − 4 +z
ζ
ζ
ζ
ζ
B1
B3
B4
B2
b=−
− 2 − 3 − 4ζζζζF32:expand(%);
渦循環がある一様流中の半径：R の円柱まわりの流れの(7.1.6)複素ポテンシャルは、(5.3.10) 式から、

F =i Γ log (ζ)
ei α R 2 U+ e−i α U ζ +2π
ζ

(7.1.9)(7.1.9) 式の右辺第二項に (7.1.8) 式の関係を代入し、展
開すると、
)
(
C3
B1
C2
e−i α U ζ =e−i α z −− 2 − 3 U
z
z
z
−i α
B1 e
U
=e−i α z U −zC3 e−i α U
C2 e−i α U
−
−
z2
z3

7.1. ２次元翼257

(7.1.9) 式の右辺第三項に (7.1.8) 式の関係を代入し、展開すると、
ei α R 2 U ei α R 2 U=
ζ(d + 1) z
ei α R 2 U
ei α R2 U d ei α R2 U d2
ei α R 2 U d 3
=
−
+
−
+ ...
z
z
z
z
(
(
) 2
)
C2
C3
C2
C3 3 21
1ei α − Bei α − B
R U
z2 − z3 − z4 R U
z2 − z3 − z4
−
=−
z
z
)
(
C2
C3 2 2
1ei α − BR U
ei α R 2 U
z2 − z3 − z4
+
+
z
z
iα 2
iα 2
iα 2
B1 e R Ue R U
C2 e R U
C 3 ei α R 2 U
B 2 ei α R 2 U
+
=
+
+
+ 1 5
+ ...
3
4
5
z
z
z
z
z
(7.1.9) 式の右辺第一項に (7.1.8) 式の関係を代入し、展開すると、
i log ((d + 1) z) Γ i log (z) Γ i log (d + 1) Γ
=
+
2π
2π
2π
i log (z) Γ i Γ d i Γ d2
i Γ d3
+
−
+
+ ...
=
2π
2π
4π
6π
( B1
)
(
)
(
)
C2
C3 3
C2
C3 2
1
1
Γ i −BΓ
i log (z) Γ i − z2 − Cz32 − Cz43 Γ i − B
z2 − z3 − z4z2 − z3 − z4
=
+
+
−
+ ...
2π
2π
6π
4π
i log (z) Γ i B1 Γ i C2 Γ i C3 Γ
=
−
−
−
+ ...
2π
2 π z22 π z32 π z4F4:F=F12+F22+F32;

FX4:F[x]=realpart(rhs(FXY4));

F41:coeff(rhs(F4),z,1);

FY4:F[y]=-imagpart(rhs(FXY4));

F42:coeff(rhs(F4),log(z),1);

L=sqrt(rhs(FX2)^2+rhs(FY2)^2);

F43:coeff(rhs(F4),z,-1);

L1:trigsimp(%);

F44:coeff(rhs(F4),z,-2);

ZDF451:expand(z*DF451);

F45:F=F41*z+F42*log(z)+F43/z+F44/z^2;

MXY1:M+%i*N=-\rho/2*’integrate(lhs(ZDF451)

DF45:’diff(F,z)=diff(rhs(F45),z,1);,z);DF451:expand(DF45^2);
COFF4:coeff(rhs(DF451),z,-1);

COFF2:coeff(rhs(ZDF451),z,-1);

F[x]-%i*F[y]=%i*\rho/2*2*%pi*%i*COFF4;

MXY2:lhs(MXY1)=rectform(rhs(%));

FXY4:lhs(%)=rectform(rhs(%));

M1:M=realpart(realpart(rhs(MXY2)));

MXY1:M+%i*N=-\rho/2*2*%pi*%i*COFF2;

上式をまとめ、1/z 2 の項までを整理すると、

F =

−i α
1Γ
U
−iB
i log (z) Γ ei α R2 U − B1 e−i α U
2 π − C2 e++
+ e−i α z U
2
z
2π
z

(7.1.10)

上式を微分し、その二乗は、

(

(
)
−i α
1Γ
2 −iB
U
iΓ
d
ei α R2 U − B1 e−i α U
2 π − C2 e+
+ e−i α U
F =−
−
3
dz
z
2πz
z2

)2

B1 Γ2
B 2 Γ2i ei α R2 U Γ 2 i B1 ei α R2 U Γ i e−i α U Γ
Γ2− 2 4 − 12 6 −
−
+
2
2
4π z
π z
π z
π z3
π z5
πz
−i α
3 i B1 eUΓ+ ... + e−2 i α U 2+
π z3
翼に作用する力：Fx , Fy は、Blasius の定理：(5.1.59) 式から、積分を留数定理を用いて解き、
)2
∫ (
d
iρ
Fx − i F y =F dz = −i e−i α ρ U Γ = −sin (α) ρ U Γ − i cos (α) ρ U Γ
2
dz
d
F
dz

=−

(7.1.11)上式から、揚力：L は、

Fx = −sin (α) ρ U Γ,

Fy = cos (α) ρ U Γ,

L = ρU Γ(7.1.12)

第7章

258

揚力

翼に作用するモーメントについて、下記を求め、
(
)2
d
Γ2
B1 Γ2
B12 Γ2i ei α R2 U Γ 2 i B1 ei α R2 U Γ 3 i B1 e−i α U Γ 2 i C2 e−i α U Γ
z
F
=−
−
−
−
−
+
+
dz
4 π2 z
π2 z3
π2 z5
π z2
π z4
π z2
π z3
2 −i α−i α−i α
2iα 4 22 2
2 2
2 i B1 e
U Γ 4 i B 1 C2 e
U Γ ie
UΓ e
R U
2R U
2 B1 R U
+
+
+
+
−
−
4
5
3
πz
πz
π
z
z
z3
2 2
−2 i α 2−2 i α 2
2 −2 i α 2
4 C2 R U
2 B1 eU
4 C2 eU
B e
U
4 B1 C2 e−2 i α U 2−+ e−2 i α z U 2 +
+
+ 1
+
4
2
3
z
z
z
z
z4
2 −2 i α 2
4 C2 eU+
5z

翼に作用するモーメント：M は、Blasius の定理：(5.1.60) 式から、積分を留数定理を用いて解き、()
Γ2i N + M = − i π ρ − 2 − 2 R2 U 2 + 2 B1 e−2 i α U 2
4π
(
)
Γ2
= − i π ρ − 2 − 2 R2 U 2 + 2 B1 cos (2 α) U 2 − 2 π B1 sin (2 α) ρ U 2
4π(7.1.13)

翼に作用するモーメント：M は、

M = −2 π B1 sin (2 α) ρ U 2(7.1.14)

7.1. ２次元翼例題 7.1.3259

二次元平板翼次式の楕円の式と対照し、

y2x2+ 2 =12ba

二次元平板翼の揚力特性を求める。
なお、下記のプログラムは、前前項、前項に続いて実次式の関係が得られる。

行する。
B11:B[1]=A^2;

a=Z0:z=x+%i*y;
Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;

R 2 + A2,Rb=

R 2 − A2
R

また、

ZT1:\zeta=\sigma*%e^(%i*\eta);

b+a
R=
,
2

ZT2:\zeta=R*%e^(%i*\eta);√A=a2 − b22(7.1.17)

a
,
2

A=

a
2

(7.1.18)

平板では、

Z2:subst([ZT2,Z0],Z1);R=

X1:realpart(Z2);
Y1:imagpart(Z2);
CO1:solve(X1,cos(\eta))[1];F0;SI1:solve(Y1,sin(\eta))[1];DFZT1:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F0),\zeta,

COSI1:cos(\eta)^2+sin(\eta)^2=1;

1);

COSI2:subst([CO1,SI1],COSI1);

DZZT1:’diff(z,\zeta,1)=diff(rhs(Z1),\zeta,

COSI3:x^2/a^2+y^2/b^2=1;

1);

A1:first(lhs(COSI2))=last(lhs(COSI3));

DFZ1:’diff(F,z,1)=rhs(DFZT1)/rhs(DZZT1);

B1:last(lhs(COSI2))=first(lhs(COSI3));

DDFZ1:denom(rhs(DFZ1))=0;

A2:solve(A1,a)[2];

solve(%,\zeta);

B2:solve(B1,b)[2];AB1:solve([A1,B1],[R,A])[2];AZT1:%[2];R2:AB1[1];subst([AZT1,R3,A3],%);

A2:AB1[2];GM1:trigrat(solve(%,\gamma)[1]);R3:subst([b=0],R2);

L2:subst([GM1],L1);

A3:subst([b=0],A2);

M3:subst([b=0],M2);

M2:subst([B11,A2],M1);
Joukowski 変換：(5.1.35) 式を用いて、半径：R の円を

d=trigrat(rhs(M3)/rhs(L2)/cos(\alpha));NDFZ1:num(rhs(DFZ1))=0;

半軸：a, b の楕円 (平板を含む) に変換する。変換関数は

C[L]=rhs(L2)/(1/2*\rho*U^2*2*a);
渦循環がある一様流中の半径：R の円柱まわりの流れ

下記となる。

の複素ポテンシャルは、(5.3.10) 式から、

A2
z=ζ+
ζ

(7.1.15)F =

ここで (7.1.5) 式の一般的な変換関数との関係は、

B 1 = A2 ,Bn = 0 (n = 2 → ∞)形状を求めるため、次式を上式に代入し、

z = i y + x,

ζ = ei η Riηe−i η A2
R+
R

iy + x = e
上式から、

x = cos (η) R +cos (η) A2R

sin (η) A2
y = sin (η) R −R
また、下記の関係から、
22

sin (θ) + cos (θ) = 1

i Γ log (ζ)
ei α R 2 U+ e−i α U ζ +2π
ζ

(7.1.19)

翼まわりの流速を求めるため、下記の関係から、(7.1.16)diΓei α R2 U+ e−i α U
F =
−
dζ
2πζ
ζ2
d
A2
z =1− 2dζζ
翼まわりの流速は、

d2πζ −F = vx −i vy =dziΓei α R 2 U+ e−i α U
ζ2
2
1− A
ζ2

上式は分母が零のとき、発散し、

1−

A2
=0
ζ2

その場所は、下記で前縁と、後縁である。

ζ = −A, ζ = A(7.1.20)

第7章

260

揚力

後縁で流速が有限であるように、分子も零とすると

iΓ
ei α R 2 U−+ e−i α U = 02πζ
ζ2ζ = A を上記に代入し、
iΓ− ei α U + e−i α U = 0πa以上から、後縁で流速が有限となる渦循環強さ：Γ が得られた。

Γ = 2 π a sin (α) U(7.1.21)(7.1.12) 式から、二次元平板翼の揚力：L は、
L = 2 π a sin (α) ρ U 2(7.1.22)(7.1.14) 式に (7.1.16) 式、(7.1.18) 式を代入し、二次元平板翼のモーメントは、M =−図 7.1.1: 二次元平板翼まわりの圧力分布

ZT20:solve(Z1,\zeta);
ZT21:ZT20[1];ZT22:ZT20[2];π a2 sin (2 α) ρ U 2
2

ZT23:(rhs(ZT21)*rhs(ZT22));

揚力の翼に垂直な成分は L cos(α) であるから、翼の作
用点：d は

ZT23=expand(ZT23);
ZT24:%/rhs(ZT21)*2;a2
前縁から 1/4 コード長さの位置である。揚力を無次元化

F40:subst([ZT22],F1);

すると、

F45:subst([ZT22],F3);
F44:F=F40+F42+F45;d=−L
CL = ρ U 2 2 a = 2 π sin (α)(7.1.23)2

F41:subst([ZT22],F2);
F42:subst([ZT24],%);

SQ1:sqrt(z^2-4*A^2)+z;
SQ11:SQ1=z*(1+sqrt(1-4*A^2/z^2));
SQ3:1/SQ1;

P1:p=1-rhs(DFZ1)^2/U^2;
P2:subst([GM1,\zeta=R*%e^(%i*\theta),R3,A3,\theta=t],P1);
X1:subst([Z0,\zeta=R*%e^(%i*\theta),R3,A3,\theta=t],Z1);
YT3:subst([\alpha=%pi/6,a=1],rhs(YT1));
X3:subst([\alpha=%pi/6,a=1],rhs(X2));
plot2d([parametric,X3,-YT3,[t,0,%pi*2],[nticks,100]],[x,-2,2],[y,-2,10]);
翼まわりの圧力分布は、(7.1.20) 式の流速から、
rhs
(
=1 −
=−

dz F

F411:subst([SQ11],F41);
F421:subst([SQ51],F42);
F451:subst([SQ11],F45);

X2:realpart(%);

p =1 −

SQ51:SQ5=z*(sqrt(1-4*A^2/z^2)-1);
F401:subst([SQ11],F40);

YT1:trigrat(%);(d

SQ5:sqrt(z^2-4*A^2)-z;

)2

U2
iγ
ei α R 2 U+ e−i α U
2πζ −
ζ2
(
)2
2
U2 1 − Aζ2cos (t − 2 α) − cos (t)cos (t) + 1

α = π6 , a = 1 で圧力分布を描くと、)2

F441:F=F401+F421+F451;
PS2:\Psi=imagpart(subst([z=x+%i*y,R2,A2,
GM1],rhs(F441)));
trigsimp(%);
subst([a=1,b=0,U=1,\alpha=%pi/6],PS2);
trigsimp(%);(7.1.15) 式を ζ で解くと、√√
z 2 − 4 A2 − z
z 2 − 4 A2 + z
ζ=−
,ζ =
2
2
翼より十分遠方で z ∼ ζ でなければならないので、次式
を用いる。

√

z 2 − 4 A2 + z
2
また、次式の関係式から、
(√
) (√
)
z 2 − 4 A2 − z
z 2 − 4 A2 + z
−
= A2
4
ζ=

7.1. ２次元翼261

次式が得られる。
√
z 2 − 4 A2 + z = − √4 A2
z 2 − 4 A2 − z

これらの式を (7.1.15) 式に代入し、
)
(√
(√
)
(√
)
z 2 −4 A2 +z
i log
Γ ei αz 2 − 4 A2 − z R2 U e−i αz 2 − 4 A2 + z U
2
−
+
F =
2π
2 A2
2

z で整理し、(√)
4 A2
1− 2 +1
z
(√
)
√
2
4
A
z 2 − 4 A2 − z = z
1− 2 −1z√z 2 − 4 A2 + z = z

代入すると、
 (√i log z

F =2

1− 4zA2 +1
2

)

Γ

2π

e

iα

(√
z

−

)
2
1 − 4zA2 − 1

2 A2

2

R U

e
+

−i α

(√
z

)
2
1 − 4zA2 + 1

U2

上記の流れ関数は式が長くなるので省略する。上式から a = 1, b = 0, U = 1, α = π/6 における流線を下記に示す。

#!/gnuplot
set xrange [-3:3]
set yrange [-2:2]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -20,0.1,20
unset keyunset surface
set view map
splot ((y**4+2*x**2*y**2+x**4)**(0.25)*(log((sqrt(y**2+x**2)*sqrt(2*(y**4+2*
x**2*y**2+x**4)**(0.75)*(y**4+(2*x**2+2)*y**2+x**4-2*x**2+1)**(0.25)*cos(
atan2((2*x*y)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4),(y**4+(2*x**2+1)*y**2+x**4-x**2)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4))/2)+sqrt(y**4+2*x**2*y**2+x**4)*sqrt(y**4+(2*x**2+2)*y**2+x**4-2*x**2+1)+y**4+2*x**2*y**2+x**4))/(2*sqrt(y**4+2*x**2*y**2+x**4)))+1.7320508*y)+(y**4+(2*x**2+2)*y**2+x**4-2*x**2+1)**(0.25)*(y*sin(atan2((2*x*y)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4),(y**4+(2*x**2+1)*
y**2+x**4-x**2)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4))/2)-x*cos(atan2((2*x*y)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4),(y**4+(2*x**2+1)*y**2+x**4-x**2)/(y**4+2*x**2*y**2+x**4))/2)))/(2*(y**4+2*x**2*y**2+x**4)**(0.25))#

EOF

図 7.1.2: 二次元平板翼まわりの流れ

第7章

262

例題 7.1.4 キャンバー・翼厚を有する二次元
翼 (Joukowski 変換)
二次元平板翼に比べ、キャンバーや翼厚がある場合の揚力

ζ 平面で、下記の写像関数を用いて、半径：A の円を z平面に写像すると、前項で示したように、平板に写像さ
れる。

z=ζ+

揚力特性を Joukowski 変換を用いて求める。

A2
ζ

(7.1.24)

ζ 平面で R ＞ A である下記の中心が原点にある半径：R(1) 楕円の円では、

ζ = ei θ R(7.1.25)

上式を (7.1.24) 式に代入し、

i y + x = ei θ R +e−i θ A2R

上式の実部、虚部から、

x = cos (θ) R +cos (θ) A2
R

y = sin (θ) R −sin (θ) A2
R上式より、
図 7.1.3: 楕円への写像

cos (θ) =xR
R 2 + A2,

sin (θ) =yR
R 2 − A2

下記の関係から、/* Joukowski 変換*/

2declare(z,complex);declare(F,complex);declare(c,complex);declare(\zeta,complex);
assume(A>0);/* 楕円 */
Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;
ZT1:\zeta=R*%e^(%i*\theta);
Z0:z=x+%i*y;Z2:subst([ZT1,Z0],Z1);
X1:realpart(Z2);
Y1:imagpart(Z2);
CO1:solve(X1,cos(\theta))[1];2sin (θ) + cos (θ) = 1

kill(all);
上式を代入し、

y 2 R2+2
2 =1(R2 + A2 )(R2 − A2 )x2 R 2楕円の式は、y2
x2+ 2 =12ba
上記から、楕円の半軸：a, b と A, R との関係は、
a=

R 2 + A2,Rb=

R 2 − A2R√b+aa2 − b2R=, A=
2
2
A = 1.8, R = 2 のときの形状を図示すると、

SI1:solve(Y1,sin(\theta))[1];
COSI1:cos(\theta)^2+sin(\theta)^2=1;
COSI2:subst([CO1,SI1],COSI1);COSI3:x^2/a^2+y^2/b^2=1;
A1:first(lhs(COSI2))=last(lhs(COSI3));
B1:last(lhs(COSI2))=first(lhs(COSI3));
A2:solve(A1,a)[2];B2:solve(B1,b)[2];AB1:solve([A1,B1],[R,A])[2];X2:subst([A=1.8,R=2,\theta=t],rhs(X1));
Y2:subst([A=1.8,R=2,\theta=t],rhs(Y1));
plot2d([parametric,X2,Y2,[t,0,2*%pi],[nticks,50]],[x,-4,4],[y,-2,2]);

図 7.1.4: 楕円形状

(7.1.26)

7.1. ２次元翼263
円を表す式は下記となる。
√
R = A2 + δ12 , ζ = ei θ R + i δ1

(7.1.27)(7.1.24) 式の写像関数に代入し、
iy + x =

ei θ

√

A2
A2 + δ12 + i δ1

+ ei θ

√A2 + δ12 + i δ1

上式の実部、虚部から、

x =(A2 + δ12 + δ1√
+ cos (θ) A2 + δ12
sin (θ)図 7.1.5: 円弧翼 (キャンバーあり) への写像

(2) 円弧翼 (キャンバーあり)

/* 円弧

*/

RR1:R=sqrt(A^2+\delta[1]^2);√cos (θ) A2√)2

A2 + δ122+ cos (θ) (A2 + δ12 )()√
A2 −sin (θ) A2 + δ12 − δ1
y =(
)2
√
2
sin (θ) A2 + δ12 + δ1 + cos (θ) (A2 + δ12 )√+ sin (θ) A2 + δ12 + δ1

ZT2:\zeta=R*%e^(%i*\theta)+%i*\delta[1];Z21:subst([ZT2,Z0,RR1],Z1);

δ1 << A とすると、

X1:realpart(Z21);
Y1:imagpart(Z21);
X12:subst([\delta[1]^2=0],expand(X1));
Y12:subst([\delta[1]^2=0],expand(Y1));
X13:trigsimp(X12);
Y13:trigsimp(Y12);

x = 2 cos (θ) A,2

y = 2 δ1 sin (θ)

上式から θ を消去すると、()
x2
y = 2 δ1 1 −
4 A2(7.1.28)

X14:x=first(num(rhs(X13)))形状は円弧翼と言っているが、放物線である。θ = 0 を/first(denom(rhs(X13)));
Y14:y=first(num(rhs(Y13)))

代入し、δ1 << A とすると、下記となり、コード長は/first(denom(rhs(Y13)));x = 2A

X15:trigsimp(factor(dx=rhs(X1)-subst([\theta=-\theta],rhs(X1))));
Y15:trigsimp(factor(dy=rhs(Y1)

4A となる。

θ = π2 を代入し、キャンバーの高さは、
y = 2 δ1

-subst([\theta=-\theta],rhs(Y1))));
C1:solve(X14,cos(\theta))[1];A = 1, δ1 = 0.1 を代入し、円弧翼形状を描くと、XY6:subst([sin(\theta)^2=1-cos(\theta)^2,C1],Y14);
factor(subst([\theta=0],X1));
subst([\delta[1]=0],%);
factor(subst([\theta=%pi/2],Y1));
X2:subst([A=1,\delta[1]=0.1,\theta=t],
rhs(X1));Y2:subst([A=1,\delta[1]=0.1,\theta=t],rhs(Y1));
plot2d([parametric,X2,Y2,[t,0,2*%pi],[nticks,50]],[x,-4,4],[y,-2,2]);
ζ 平面で、(7.1.24) 式の写像関数を用いて、円の中心がζ = i δ1 にあり、ξ = ±A の点を通る円を z 平面に写像する。ここで、δ1 << A とする。このとき、半径：R、

図 7.1.6: 円弧翼形状

第7章

264

揚力

上式から渦循環強さ:Γ を求めると、

F1:%e^(-%i*\alpha)*U*\zeta;
F2:%e^(%i*\alpha)*U*R^2/\zeta;

Γ = (4 π sin (α) A + 4 π δ1 cos (α)) U

F3:%i*\gamma/2/%pi*log(\zeta);

翼端とキャンバー最高点を結んだ線の角度：β は下記の

F0:F=F1+F2+F3;

関係がある。

F01:subst([\zeta=\zeta-%i*\delta[1],RR1],
F0);tan (β) =DF01:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F01),\zeta,

2 δ1
,
2A

δ1 = tan (β) A(7.1.31)上式を使って渦循環強さ:Γ を表すと、

1);
DZ1:’diff(z,\zeta,1)=diff(rhs(Z1),\zeta,1);
DFZ1:’diff(F,z,1)=rhs(DF01)/rhs(DZ1);
DDFZ1:denom(rhs(DFZ1))=0;Γ=

4 π sin (β + α) A U
cos (β)(7.1.12) 式から、二次元翼の揚力：L は、

solve(%,\zeta);
AZT1:%[2];L = ρU Γ =NDFZ1:num(rhs(DFZ1))=0;4 π sin (β + α) ρ A U 2
cos (β)揚力をコード長で無次元化すると、subst([AZT1],%);
GM1:trigrat(solve(%,\gamma)[1]);L
2 π sin (β + α)
CL = ρ U 2 4 A =cos (β)TBE1:tan(\beta)=2*\delta[1]/(2*A);
TBE2:solve(%,\delta[1])[1];

翼まわりの圧力分布は、(7.1.30) 式の流速から、

subst([TBE2],GM1);
GM2:trigrat(%);

dp = 1 − dz

L1:L=\rho*U*\gamma;
L2:subst([GM2],L1);√

C[L]=rhs(L2)/(1/2*\rho*U^2*4*A);
ζ 平面で、流速：U 、流向：α の一様流中に半径：R の円柱があり、渦循環強さ：Γ がある場合の複素ポテンシャ
ルは、(5.3.10) 式から、F =ei α R 2 U
i Γ log (ζ)+ e−i α U ζ +2π
ζ合の複素ポテンシャルを求めるには、上式に下記の関係
を代入すればよい。
√
R → A2 + δ12 ,F =i Γ log (ζ − i δ1 ) e
+
2π

e
d
iΓ
F =
−
dζ
2 π (ζ − i δ1 )iαcos (θ) A2
A2 + δ12 + √A2 + δ12

α = π6 , A = 1, δ1 = 0.1, U = 1 で圧力分布を描くと、
P1:p=1-rhs(DFZ1)*conjugate(rhs(DFZ1))/U^2;\theta=t],P1);
X1:subst([Z0,\zeta=R*%e^(%i*\theta),RR1,\theta=t],Z1);
X2:realpart(%);
YT3:factor(rectform(subst([\alpha=%pi/6,

ζ → ζ − i δ1

( 2)
A + δ12 U+e−i α U (ζ − i δ1 )
ζ − i δ1

上式および z を ζ で微分し、

x = cos (θ)

F ddz FU2

YT1:subst([GM1,\zeta=R*%e^(%i*\theta),RR1,(7.1.29)

円の中心が ζ = i δ1 にあり、ξ = ±A の点を通る円の場

iα(7.1.32)

2

(

2

)

A + δ122(ζ − i δ1 )

A=1,\delta[1]=0.1,U=1],rhs(YT1))));
X3:subst([\alpha=%pi/6,A=1,\delta[1]=0.1,
U=1],rhs(X2));
plot2d([parametric,X3,-YT3,[t,0,%pi*2],U+ e−i α U

[nticks,100]],[x,-4,4],[y,-2,10]);dA2z =1− 2dζζz 平面における流速は、
ei α (A2 +δ12 ) UiΓ
+ e−i α Ud
2 π (ζ−i δ1 ) −(ζ−i δ1 )2(7.1.30)
F =
2
dz
1− A
ζ2

上式は、分母が翼端：ζ = −A, ζ = A で零となるため、翼後端で有限な流速とするため、ζ = A で次式のように分子も零とならねばならない。
()
ei α A2 + δ12 UiΓ
−+ e−i α U = 022 π (A − i δ1 )(A − i δ1 )

図 7.1.7: 円弧翼圧力分布7.1. ２次元翼(3) 翼厚ありの翼265
ζ 平面で、(7.1.24) 式の写像関数を用いて、円の中心がζ = −δ2 にあり、ξ = A の点を通る円を z 平面に写像する。ここで、δ2 << A とする。このとき、半径：R、円を表す式は下記となる。

R = A + δ2 ,

ζ = ei θ R − δ2

(7.1.24) 式の写像関数に代入し、
iy + x =A2+ ei θ (A + δ2 ) − δ2ei θ (A + δ2 ) − δ2

上式の実部、虚部から、

x=
図 7.1.8: 翼厚ありの翼への写像

A2 (cos (θ) (A + δ2 ) − δ2 )2

2

2(cos (θ) (A + δ2 ) − δ2 ) + sin (θ) (A + δ2 )+ cos (θ) (A + δ2 ) − δ2

y =sin (θ) (A + δ2 )
/* 翼厚

*/

RR1:R=A+\delta[2];ZT3:\zeta=R*%e^(%i*\theta)-\delta[2];Z31:subst([ZT3,Z0,RR1],Z1);
X1:realpart(Z31);
Y1:imagpart(Z31);−

sin (θ) A2 (A + δ2 )2

2(cos (θ) (A + δ2 ) − δ2 ) + sin (θ) (A + δ2 )2

δ2 << A とすると、
x = 2 cos (θ) A,

y = −2 δ2 (cos (θ) − 1) sin (θ)

X12:subst([\delta[1]^2=0],expand(X1));
Y12:subst([\delta[1]^2=0],expand(Y1));
X13:trigsimp(X12);
Y13:trigsimp(Y12);

最大の翼厚位置を求めるため、

d2
y = 4 δ2 sin (θ) + 2 δ2 cos (θ) − 2 δ2 = 0dθ

X14:x=first(num(rhs(X13)))/first(denom(1cos (θ) = − ,2rhs(X13)));
Y14:y=factor(first(num(rhs(Y13)))/first

trigsimp(%)=0;
subst([sin(\theta)^2=1-cos(\theta)^2],%);
solve(%,cos(\theta));%[2];
T1:solve(%,\theta)[1];
YM15:y[max]=subst([T1],rhs(Y14));
XM15:x[max]=subst([T1],rhs(X14));
factor(subst([\theta=0],X1));
factor(subst([\theta=%pi],X1));
factor(subst([T1],Y1));y[max]/l=2*3^(3/2)*delta[2]/2/4/A;
X2:subst([A=1,\delta[2]=0.1,\theta=t],rhs(X1));
Y2:subst([A=1,\delta[2]=0.1,\theta=t],rhs(Y1));
plot2d([parametric,X2,Y2,[t,0,2*%pi],[nticks,50]],[x,-4,4],[y,-2,2]);

2π
3

以上から、
3

(denom(rhs(Y13))));diff(rhs(%),\theta,1);θ=ymax =

3 2 δ22

その位置は、

x = −A翼厚さとコード長さの比は、
3ymax
3 2 δ2=l
4A
A = 1, δ2 = 0.1 として、翼形状を描くと、(7.1.33)

第7章

266

揚力

分子も零とならねばならない。

iΓ− ei α U + e−i α U = 0
2 π (A + δ2 )
上式から渦循環強さ:Γ を求めると、

Γ = (4 π sin (α) A + 4 π δ2 sin (α)) U(7.1.12) 式から、二次元翼の揚力：L は、
L = ρ U Γ = ρ (4 π sin (α) A + 4 π δ2 sin (α)) U 2
図 7.1.9: 翼厚ありの翼形状

揚力をコード長で無次元化すると、L
CL = ρ U 2 4 A

F1:%e^(-%i*\alpha)*U*\zeta;

2F2:%e^(%i*\alpha)*U*R^2/\zeta;
F3:%i*\gamma/2/%pi*log(\zeta);
F0:F=F1+F2+F3;
F01:subst([\zeta=\zeta+\delta[2],RR1],F0);
DF01:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F01),\zeta,

4 π sin (α) A + 4 π δ2 sin (α)=(2 A )
δ2=2 π sin (α) 1 +A
翼まわりの圧力分布は、上式の流速から、

1);dp = 1 − dz

DZ1:’diff(z,\zeta,1)=diff(rhs(Z1),\zeta,1);
DFZ1:’diff(F,z,1)=rhs(DF01)/rhs(DZ1);
DDFZ1:denom(rhs(DFZ1))=0;x=solve(%,\zeta);(7.1.34)

F ddz FU2

cos (θ) A2+ cos (θ) (A + δ2 )A + δ2

NDFZ1:num(rhs(DFZ1))=0;α = π6 , A = 1, δ2 = 0.1, U = 1 で圧力分布を描くと、
P1:p=1-rhs(DFZ1)*conjugate(rhs(DFZ1))/U^2;

subst([AZT1],%);

YT1:subst([GM1,\zeta=R*%e^(%i*\theta),RR1,

AZT1:%[2];GM1:trigrat(solve(%,\gamma)[1]);\theta=t],P1);
X1:subst([Z0,\zeta=R*%e^(%i*\theta),RR1,

L1:L=\rho*U*\gamma;\theta=t],Z1);

L2:subst([GM1],L1);
C[L]=rhs(L2)/(1/2*\rho*U^2*4*A);
factor(%);ζ 平面で、流速：U 、流向：α の一様流中に半径：R の円柱があり、渦循環強さ：Γ がある場合の複素ポテンシャ
ルは (7.1.29) 式で表せる。円の中心が ζ = −δ2 にあり、

ξ = A の点を通る円の場合の複素ポテンシャルを求めるには、(7.1.29) 式に下記の関係を代入すればよい。

R → A + δ2 ,X2:realpart(%);
YT3:factor(rectform(subst([\alpha=%pi/6,
A=1,\delta[2]=0.1,U=1],rhs(YT1))));
X3:subst([\alpha=%pi/6,A=1,\delta[2]=0.1,
U=1],rhs(X2));
plot2d([parametric,X3,-YT3,[t,0,%pi*2],[nticks,100]],[x,-4,4],[y,-2,10]);ζ → δ2 + ζ
2F =i Γ log (ζ + δ2 ) ei α (A + δ2 ) U −i α++eU (ζ + δ2 )2π
ζ + δ2上式を ζ で微分し、
2iΓei α (A + δ2 ) UdF =−+ e−i α U2dζ
2 π (ζ + δ2 )(ζ + δ2 )z 平面における流速は、
d2 π (ζ+δ2 ) −
F =
dz
iΓ

ei α (A+δ2 )2 U
+ e−i α U
(ζ+δ2 )2
2
1− Aζ2

上式は、分母が翼端：ζ = −A, ζ = A で零となるため、翼後端で有限な流速とするため、ζ = A で次式のように

図 7.1.10: 翼厚ありの圧力分布

7.1. ２次元翼

267(4) 翼厚＋キャンバーありの翼)(A + δ2 )2 + δ12 − δ2
x =(
)2 (
)2
√
√
sin (θ)(A + δ2 )2 + δ12 + δ1
(A + δ2 )2 + δ12 − δ2
+ cos (θ)(

A2√+ cos (θ)√

cos (θ)(A + δ2 )2 + δ12 − δ2()
(A + δ2 )2 + δ12 − δ1
y =(
)2 (
)2
√
√
+ cos (θ)
sin (θ)(A + δ2 )2 + δ12 + δ1
(A + δ2 )2 + δ12 − δ2
A2√
+ sin (θ)−sin (θ)√(A + δ2 )2 + δ12 + δ1

図 7.1.11: 翼厚＋キャンバーありの翼への写像/* 翼厚＋キャンバー*/

RR1:R=sqrt((A+\delta[2])^2+\delta[1]^2);
ZT4:\zeta=R*%e^(%i*\theta)+%i*\delta[1]-\delta[2];図 7.1.12: 翼厚＋キャンバーありの翼形状

Z41:subst([ZT4,Z0,RR1],Z1);
X1:realpart(Z41);
Y1:imagpart(Z41);
factor(subst([\theta=0],X1));
factor(subst([\theta=%pi],X1));
factor(subst([\theta=%pi/2],Y1));
X2:subst([A=1,\delta[1]=0.1,\delta[2]=0.1,\theta=t],rhs(X1));
Y2:subst([A=1,\delta[1]=0.1,\delta[2]=0.1,\theta=t],rhs(Y1));
plot2d([parametric,X2,Y2,[t,0,2*%pi],[nticks,50]],[x,-4,4],[y,-2,2]);
ζ 平面で、(7.1.24) 式の写像関数を用いて、円の中心がζ = i δ1 − δ2 にあり、ξ = A の点を通る円を z 平面に写像する。ここで、{delta1 << A, δ2 << A とする。このとき、半径：R、円を表す式は下記となる。
√
2
R = (A + δ2 ) + δ12 , ζ = ei θ R − δ2 + i δ1

(7.1.24) 式の写像関数に代入し、√

iy + x =A2
2(A + δ2 ) + δ12 − δ2 + i δ1
√
2
iθ
+e
(A + δ2 ) + δ12 − δ2 + i δ1ei θF1:%e^(-%i*\alpha)*U*\zeta;
F2:%e^(%i*\alpha)*U*R^2/\zeta;
F3:%i*\gamma/2/%pi*log(\zeta);
F0:F=F1+F2+F3;
F01:subst([\zeta=\zeta-%i*\delta[1]+\delta[2],RR1],F0);
DF01:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F01),\zeta,
1);
DZ1:’diff(z,\zeta,1)=diff(rhs(Z1),\zeta,1);
DFZ1:’diff(F,z,1)=rhs(DF01)/rhs(DZ1);
DDFZ1:denom(rhs(DFZ1))=0;
solve(%,\zeta);
AZT1:%[2];
NDFZ1:num(rhs(DFZ1))=0;
subst([AZT1],%);
GM1:expand(trigrat(solve(%,\gamma)[1]));TBE1:tan(\beta)=2*\delta[1]/(2*A);
TBE2:solve(%,\delta[1])[1];GM2:expand(subst([TBE2],GM1));
GM3:rhs(GM2)-last(rhs(GM2));
GM4:last(rhs(GM2));
L1:L=\rho*U*\gamma;

上式の実部、虚部から、

第7章

268
揚力をコード長で無次元化すると、

L2:trigrat(subst([\gamma=GM3],L1));
L3:subst([\gamma=GM4],L1);

2 π δ2 sin (α) 2 π sin (β + α)+Acos (β)()
2 π sin (β + α)δ2≈1+
cos (β)A

CL =C[L]=expand(rhs(L2+L3)/(1/2*\rho*U^2*4*A));
subst([A=A*cos(\beta),sin(\alpha)=sin(\alpha+\beta)],%);
factor(%);ζ 平面で、流速：U 、流向：α の一様流中に半径：R の円

dp = 1 − dz

ルは (7.1.29) 式で表せる。円の中心が ζ = i δ1 − δ2 にあり、ξ = A の点を通る円の場合の複素ポテンシャルを求めるには、(7.1.29) 式に下記の関係を代入すればよい。
√
2
R → (A + δ2 ) + δ12 , ζ → δ2 − i δ1 + ζi Γ log (ζ + δ2 − i δ1 )
+
2π
+e

−i α

(7.1.35)

翼まわりの圧力分布は、上式の流速から、柱があり、渦循環強さ：Γ がある場合の複素ポテンシャ

F =

揚力

x = cos (θ)

F ddz FU2√
cos (θ) A2
2(A + δ2 ) + δ12 + √2(A + δ2 ) + δ12

α = π6 , A = 1, δ1 = 0.1, δ2 = 0.1, U = 1 で圧力分布を描()
2ei α (A + δ2 ) + δ12 U

くと、
P1:p=1-rhs(DFZ1)*conjugate(rhs(DFZ1))/U^2;

ζ + δ2 − i δ 1

YT1:subst([GM1,\zeta=R*%e^(%i*\theta),RR1,

U (ζ + δ2 − i δ1 )\theta=t],P1);
X1:subst([Z0,\zeta=R*%e^(%i*\theta),RR1,\theta=t],Z1);

上式を ζ で微分し、

e
d
iΓ
F =
−
dζ
2 π (ζ + δ2 − i δ1 )

iα

(

2

(A + δ2 )+ δ12

X2:realpart(%);)
U

YT3:factor(rectform(subst([\alpha=%pi/6,
A=1,\delta[1]=0.1,\delta[2]=0.1,U=1],2(ζ + δ2 − i δ1 )+ e−i α U

rhs(YT1))));
X3:subst([\alpha=%pi/6,A=1,\delta[1]=0.1,\delta[2]=0.1,U=1],rhs(X2));z 平面における流速は、
d
F =
dz

e
iΓ
2 π (ζ+δ2 −i δ1 ) −plot2d([parametric,X3,-YT3,[t,0,%pi*2],
iα((A+δ2 )2 +δ12 ) U(ζ+δ2 −i δ1 )2

[nticks,100]],[x,-4,4],[y,-2,10]);+ e−i α U

1− A
ζ2

2

上式は、分母が翼端：ζ = −A, ζ = A で零となるため、翼後端で有限な流速とするため、ζ = A で次式のように分子も零とならねばならない。
()
2ei α (A + δ2 ) + δ12 UiΓ
−+e−i α U = 022 π (A + δ2 − i δ1 )(A + δ2 − i δ1 )
上式から渦循環強さ:Γ を求めると、

Γ = 4 π sin (α) A U + 4 π δ2 sin (α) U + 4 π δ1 cos (α) U

図 7.1.13: 翼厚＋キャンバーありの圧力分布(7.1.31) 式から、翼端とキャンバー高さ点を結んだ線の角度：β は下記の関係がある。

tan (β) =δ1,A

上図と平板翼の圧力分布：図 7.1.1 と比べると翼厚＋キャンバーの影響がよくわかる。

δ1 = tan (β) A

上式から、

Γ = 4 π cos (α) tan (β) A U +4 π sin (α) A U +4 π δ2 sin (α) U(7.1.12) 式から、二次元翼の揚力：L は、
L=

4 π sin (β + α) ρ A U 2+ 4 π δ2 sin (α) ρ U 2
cos (β)7.1. ２次元翼

7.1.5

269

薄翼理論 (フーリエ変換)

二次元の翼型が薄く、反りも少ないものとする。下図

G3:\gamma(s)*ds=rhs(DS1)*rhs(G2)*dt;
expand(rhs(%));に示すように翼型に沿って渦度：γ(s) を分布させる。翼

G31:\gamma[1](s)*ds=trigrat(last(%));のコード長さ:C 、流速：U 、迎角：α とする。

G4:\gamma[2](s)*ds=2*U*rhs(DS1)*(G20)*dt;
G34:\gamma(s)*ds=rhs(G31)+sum(rhs(G4),n,1,
inf);
x 軸上 s における渦度分布：dsγ(s) による複素ポテン
シャルは、(5.1.33) 式から、

F =i ds γ (s) log (z − s)2π(7.1.36)

上式を z で微分し、流速成分を求めると、

図 7.1.14: 薄翼理論

i ds γ (s)dF =dz
2 π (z − s)i ds γ (s)=2 π (i y + x − s)
渦度分布：dsγ(s) による y 軸方向の速度成分：dv(x) は、/* 薄翼理論 */上式の虚部から、y << C として、

kill(all);declare(z,complex);

dv (x) = −declare(F,complex);declare(a,complex);
assume(C>0);F1:F=%i*\gamma(s)*ds*log(z-s)/2/%pi;=−ds γ (s) (x − s)()
22 π y 2 + (x − s)ds γ (s)2 π (x − s)

上式をコード長さ分：−C/2 → C/2 で積分すると、

DF1:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F1),z,1);lhs(DF1)=subst([z=x+%i*y],rhs(DF1));
dv(x)=-imagpart(rhs(%));

1v (x) = −
2π

∫ C2
−C
2

γ (s)
ds
x−s

(7.1.37)

DV1:lhs(%)=subst([y=0],rhs(%));

境界条件として、翼の勾配が流速の勾配に一致するとし

V1:v(x)=’integrate(rhs(%)/ds,s,-C/2,C/2);て、x 軸方向の速度成分：u(x) とすると、

DYX0:’diff(y,x,1)=(U*sin(\alpha)+v(x))/(U*cos(\alpha)+u(x));
solve(DYX0,v(x))[1];%/U;
subst([cos(\alpha)=1,sin(\alpha)=\alpha,u(x)=0],%);
G1:rhs(%)=subst([V1],lhs(%));
S1:s=C/2*(-cos(t));

sin (α) U + v (x)dy=dxcos (α) U + u (x)(7.1.38)上式から v(x) を求め、u(x) << U とすると、
(
(
)
)
(
)
cos (α) ddx y − sin (α) U + u (x) ddx y
v (x)
=
U
U
d
=
y−α
dx

subst([C=1],S1);
plot2d(rhs(%),[t,0,%pi],[x,-1,4],[y,-1,1]);

上式に (7.1.37) 式を代入すると、

DS1:’diff(s,t,1)=diff(rhs(S1),t,1);
G20:A[n]*sin(n*t);
G2:\gamma(t)=2*U*(A[0]*cot(t/2)+sum(G20,n,1,inf));
plot2d([cot(x/2),sin(x),sin(2*x),sin(3*x)],

1
d
y−α=−
dx
2πU

∫ C2

γ (s)
ds
x−s
−C
2

(7.1.39)

下記の式で s を t に変換する。積分範囲は −C/2 → C/2
から 0 → π に変換される。この関係を下図に示す。

[x,0,%pi],[y,-1,5]);cos (t) C2(7.1.40)dsin (t) Cs=
dt
2(7.1.41)s=−
上式を t で微分すると、

第7章

270

揚力

L1:L=\rho*U*’integrate(lhs(G3)/ds,s,-C/2,
C/2);
L2:L[1]=\rho*U*’integrate(lhs(G31)/ds,s,-C/2,C/2);
L3:dL[2]=\rho*U*’integrate(lhs(G4)/ds,s,-C/2,C/2);
L21:rhs(L2)=\rho*U*’integrate(expand(rhs(G31)/dt),t,0,%pi);
rhs(%);
L211:lhs(L21)=ev(%,integrate);
L31:L[2]=sum(\rho*U*’integrate(expand(

図 7.1.15: x 軸の変換関数

rhs(G4)/dt),t,0,%pi),n,1,5);rhs(%);

渦度分布：γ(t) を下記の式で表現する。前縁では先端をL311:L[2]=ev(%,integrate);

回り込む流れから無限大となる cot(t) とし、後端では渦

L0:L=factor(rhs(L211)+rhs(L311));度を零とし、後端の流速がなだらかに流れるように前後

G41:\Gamma=rhs(L0)/\rho/U;端の条件を満足する数式とする。これを図示すると下図

CL1:C[L]=rhs(L0)/(1/2*\rho*U^2*C);となる。

(7.1.3) 式から揚力は、

γ (t) = 2

(( ∞
∑

)
An sin (n t)

n=1

( ))
t
+ A0 cotU2(7.1.42)(7.1.41) 式を上式に代入し、

∫ C2
L=ρ

γ (s) ds U

(7.1.44)−C2(7.1.43) 式の第２項による (7.1.44) 式の揚力：L1 は、
∫ C2
L1 =ρ

γ1 (s) ds U

−C
2

∫ π

=ρ U

A0 cos (t) C U + A0 C U dt

(7.1.45)0=π A0 ρ C U 2(7.1.43) 式の第１項による (7.1.44) 式の揚力：L2 は、
∫ C2
L2 =ρ

−C
2

γ2 (s) ds U

∫ π

図 7.1.16: 渦度の関数表現

ds γ (s) =dt sin (t)(( ∞∑sin (t) sin (5 t) dt C U 20∫ π+ A4 ρ
sin (t) sin (4 t) dt C U 20∫ π+ A3 ρ
sin (t) sin (3 t) dt C U 20∫ πsin (t) sin (2 t) dt C U 2+ A2 ρ
0∫ π
2sin (t) dt C U 2 + ...
+ A1 ρ

=A5 ρ)
An sin (n t)

n=1

( ))
t
+ A0 cot
CU
2
(∞
)
∑
=dt sin (t)An sin (n t) C U
n=1

( )
t
+ A0 dt cotsin (t) C U
2(∞)∑=dt sin (t)An sin (n t) C U
n=1(7.1.43)(7.1.46)0

π A1 ρ C U 2=
2(7.1.45) 式、(7.1.46) 式から、渦度強さ：Γ、揚力：L は、
π (A1 + 2 A0 ) C U
2(7.1.47)

π (A1 + 2 A0 ) ρ C U 2
2(7.1.48)Γ=+ dt (A0 cos (t) + A0 ) C U
L=7.1. ２次元翼271

上式をコード長さ：C で無次元化すると、L

CL = ρ U 2 C = π (A1 + 2 A0 )翼に作用するモーメントを揚力で割り、揚力の作用点を(7.1.49)

2

M0:M=\rho*U*’integrate(\gamma(s)*s,s,-C/2,
C/2);
G5:\gamma(s)*s*ds=rhs(DS1)*rhs(S1)*rhs(G2)*dt;
G51:expand(rhs(%));

求め、A0 >> A1 , A2 とし、コード長さ：C で無次元化
すると、

A2 + 2 A0
M=−
CL
4 (A1 + 2 A0 )A2 + 2 A0(A2 + 2 A0 ) A1=−+
+ ... (7.1.54)
8 A0
16 A20
A2
A1
1
=−
+
−
8 A0
8 A0
4
揚力の作用点は、ほぼ前縁から C/4 の位置にある。

M1:first(G51);
M2:G51-M1;
M11:-(dt*cos(t)*sin(t)*((A[n]*sin(n*t)))

G1;
X1:subst([s=x,t=\theta],S1);*C^2*U)/2/dt;
sum(’integrate(M11,t,0,%pi),n,1,5);

XS1:X1-S1;

M12:ev(%,integrate);

G34/XS1;’integrate(M2/dt,t,0,%pi);

rhs(G1)=-1/2/%pi/U*’integrate(factor(rhs(%)/dt),t,0,%pi);

M22:ev(%,integrate);’integrate(cos(n*t)/(cos(t)-cos(\theta)),t,

M01:M=factor(\rho*U*(M12+M22));0,%pi)=%pi*sin(n*\theta)/sin(\theta);

CM1:C[M]=factor(rhs(M01)/(1/2*\rho*U^2*C^2));

G50:’integrate(cos(n*t)/(cos(\theta)factor(M01/L0/C);-cos(t))lhs(%)=taylor(rhs(%),A[1],0,1);,t,0,%pi)=-%pi*sin(n*\theta)/sin(\theta);
G500:subst([n=0],A[0]/%pi*G50);

lhs(%)=expand(first(rhs(%)))+expand(last(

G501:subst([n=1],A[0]/%pi*G50);

rhs(%)));
lhs(%)=rhs(%)-first(rhs(%));
M[m]=rhs(M01)-rhs(L0)*x*C;

SN1:sin(t)*A[n]*sin(n*t)/(cos(\theta)factor(%);

SN2:SN1=trigrat(%);

subst([x=-1/4],%);

G51:’integrate(SN1/%pi,t,0,%pi)=’integrate(-cos(t));翼の前縁を中心とした翼に作用するモーメントは次式で表現できる。

M = −ρ
上式の被積分項は、

s γ (s) ds U

(7.1.50)−C2/sin(\theta);
G52:lhs(G51)=trigrat(%);

(( ∞
∑

)

上式を (7.1.50) 式に代入し、積分すると、

π (A2 + 2 A0 ) ρ C 2 U 2
M =−8
上式をコード長さ：C で無次元化すると、M
π (A2 + 2 A0 )CM = ρ U 2 C 2 = −4
2%pi*A[n]/2/%pi*sin((n+1)*\theta)/sin(\theta)-%pi*A[n]/2/%pi*sin((n-1)*\theta)

∫ C2

dt
cos (t) sin (t)An sin (n t)
2
n=1
( ))
t
C2 U
+ A0 cot2∑∞
dt cos (t) sin (t) ( n=1 An sin (n t)) C 2 U=−
2( )A0 dt cot 2t cos (t) sin (t) C 2 U−
2(7.1.51)ds s γ (s) = −rhs(SN2)/%pi,t,0,%pi);(7.1.52)

G53:lhs(G1)=lhs(G500)+lhs(G501)+sum(
lhs(G52),n,1,inf);
G54:lhs(G1)=rhs(G500)+rhs(G501)+sum(
rhs(G52),n,1,inf);
DYX1:%+\alpha;
A0:\alpha-A[0]=1/%pi*’integrate(’diff(y(\theta),x,1),\theta,0,%pi);
AN:A[n]=2/%pi*’integrate(’diff(y(\theta),x,1)*cos(n*\theta),\theta,0,%pi);
境界条件である (7.1.39) 式は、

d
1
y−α=−
dx
2πU

∫ C2
−C
2

γ (s)
ds
x−s

(7.1.55)(7.1.40) 式と同様 x についても、下記の変換を行う。
(7.1.53)x=−cos (θ) C2(7.1.56)

第7章

272

(7.1.58) 式、(7.1.59) 式、(7.1.60) 式を (7.1.57) 式に代

上式と (7.1.40) 式から、

x−s=

揚力

入し、

cos (t) C
cos (θ) C−
2
2(7.1.55) 式の被積分関数は、(7.1.43) 式と上式から、(( ∞)∑ds γ (s)dt sin (t)= cos(t) C
An sin (n t) C UCx−s− cos(θ)n=1
2
2)+ (A0 dt cos (t) + A0 dt) C U

d
y−α=
dx

(∞
∑

)
− A0

(7.1.62)+ α − A0

(7.1.63)

An cos (n θ)

n=1

上式から、

d
y=
dx

(∞
∑

)
An cos (n θ)n=1

上式は、フーリエ級数の表現になっており、各係数は、∫
1 π d
上式から (7.1.55) 式は、
α − A0 =y (θ) dθ(7.1.64)
π 0 dx
∫ C2
γ (s)
1
d
(
)
∫ π
y−α=−
ds
2
d
C
dx
2πU −2 x − sAn =cos (n θ)y (θ) dθ(7.1.65)
∑∞
π 0
dx
∫ π
sin (t) ( n=1 An sin (n t)) + A0 cos (t) + A0
1
=
dt
π 0
cos (θ) − cos (t)(7.1.57)
次式の積分公式から1 、∫ πcos (n t)
π sin (n θ)
dt =
cos
(t)
−
cos
(θ)
sin (θ)0
上記、公式から∫ π
π sin (n θ)cos (n t)
dt = −
cos
(θ)
−
cos
(t)
sin (θ)0(7.1.58)(7.1.57) 式の積分内分子の第３項は、(7.1.58) 式に n = 0
を代入し、

A0
π

∫ π
0

1
dt = 0cos (θ) − cos (t)(7.1.59)(7.1.57) 式の積分内分子の第２項は、(7.1.58) 式に n = 1
を代入し、
∫ π
A0
cos (t)dt = −A0
π 0 cos (θ) − cos (t)(7.1.60)(7.1.57) 式の積分内分子の第１項の和の要素は、
An sin (t) sin (n t)cos (θ) − cos (t)An cos ((n + 1) t) − An cos ((n − 1) t)=−
2 cos (θ) − 2 cos (t)上式を積分し、∫ π sin(t) sin(n t)
An 0 cos(θ)−cos(t)dtπ∫ π An cos((n+1) t)−An cos((n−1) t)=−

0

2 cos(θ)−2 cos(t)dt(7.1.61)π
An sin ((n + 1) θ) An sin ((n − 1) θ)=−
2 sin (θ)
2 sin (θ)= An cos (n θ)
1 森口

繁一、宇田川分・平面曲線、岩波書店

久、一松 信：岩波数学公式 1
2003 32)
P.248

微分積

7.1. ２次元翼273

例題 7.1.6 平板翼・円弧翼・フラップの揚力
特性 (薄翼理論を用いた)
薄翼理論を用いて、平板翼・円弧翼・フラップの揚力特性を求める。コード長さ：C とし、迎角:α は十分小さいとする。

A02:solve(%,A[0])[1];A[1]=2/%pi*’integrate(rhs(DCY31)*cos(\theta),\theta,0,%pi);
AN12:ev(%,integrate);
A[2]=2/%pi*’integrate(rhs(DCY31)*cos(2(1) 平板翼*\theta),\theta,0,%pi);
AN22:ev(%,integrate);

薄翼理論を用い平板翼の揚力特性を求める。
/* 平板翼 */CL3:factor(subst([A02,AN12],CL1));
CM3:factor(subst([A02,AN12,AN22],CM1));

DYX2:rhs(DYX1)=0;

factor(CM3/CL3);

A01:A[0]=\alpha;

緩やかな円弧は例題 7.1.4 キャンバー・翼厚を有する

AN0:A[n]=0;
CL2:subst([A0,A[1]=0],CL1);

二次元翼 (Joukowski 変換)、(7.1.28) 式から下記の放物CM2:subst([A0,A[1]=0,A[2]=0],CM1);線で表現できる。

CM2/CL2;
上記プログラムは前節：薄翼理論に続いて実行する。平板翼であるから、

(

y=B

x−

C
2

)(

C
+x
2

)

翼端とキャンバー最高点を結んだ線の角度：β を導入し、下記の関係式がある。ここで β は十分小さいとする。

d
y=0
dx
上式を (7.1.64) 式、(7.1.65) 式に代入し、A0 = α,

βC
B C2
=−
2
4
上式から係数：B を求めると、

An = 0上式を (7.1.49) 式、(7.1.53) 式に代入し、平板翼に作用する揚力、モーメントの無次元化式は、

CL = 2 π α,

CM =

πα
2

(7.1.66)

モーメントの作用点は、

CM
1
=
CL
4

(7.1.67)

上記の結果は、例題 7.1.3 二次元平板翼、(7.1.23) 式の
迎角：α が小さい場合の結果と一致している。

(2) 円弧翼
薄翼理論を用い円弧翼の揚力特性を求める。迎角:α お
よびキャンバーは十分小さいとする。
/* 円弧翼 */CY1:y=B*(x-C/2)*(x+C/2);
CY2:\beta*C/2=subst([x=0],rhs(CY1));

2βC
以上から、円弧翼の形状を次式で表す。
() (C)
2 β x − C2
2 +x
y=−
C
上式を x で微分し、(7.1.56) 式の変換式を導入すると、
B=−

dy = 2 β cos (θ)
dx
上式を (7.1.64) 式、(7.1.65) 式に代入し、∫π2 β 0 cos (θ) dθ
α − A0 ==0π∫π2
4 β 0 cos (θ) dθ
A1 =
= 2β
π
∫π
4 β 0 cos (θ) cos (2 θ) dθ
A2 =
=0
π
以上から、
A0 = α,A1 = 2 β,A2 = 0BT1:solve(CY2,B)[1];

上式を (7.1.49) 式、(7.1.53) 式に代入し、円弧翼に作用

CY3:subst([BT1],CY1);する揚力、モーメントの無次元化式は、

DCY3:’diff(y,x,1)=expand(factor(diff(rhs(CY3),x,1)));
DCY31:lhs(DCY3)=factor(subst([X1],rhs(DCY3)));A0;lhs(A0)=1/%pi*’integrate(rhs(DCY31),\theta,
0,%pi);
ev(%,integrate);

CL = 2 π (β + α) ,CM = −

πα2(7.1.68)

モーメントの作用点は、

CM
α
=−
CL
4 (β + α)(7.1.69)

上記の結果は、例題 7.1.4 キャンバー・翼厚を有する二次元翼 (Joukowski 変換)、(7.1.32) 式の迎角：α、β は十分小さい場合の結果と一致している。

第7章

274
(3) フラップ

揚力

平板翼部分とフラップ部分の勾配はそれぞれ、

δ1
d
y1 =
,
dx
1−F

薄翼理論を用い、平板の後端についたフラップの揚力特性を求める。迎角:α およびコード長さとフラップ長さの比:F 、フラップ角度：δ は十分小さいとする。

dδ1y2 = −dx
F

上式を (7.1.64) 式、(7.1.65) 式に代入し、

α − A0 =
=

1
π

∫ π

d
1
y2 dθ +π
π−ϕ d x

∫ π−ϕ
0

d
y1 dθ
dx

δ1 (π − ϕ) δ1 ϕ−
π (1 − F )πF(7.1.70)

δ1 ϕ δ1 (π − ϕ)−+α(7.1.71)πFπ (1 − F )∫π∫
2 π−ϕ ddx y2 cos (θ) dθ 2 0π−ϕ ddx y1 cos (θ) dθ
A1 =
+
π
π
∫π
∫ π−ϕ
cos
(θ)
dθ
2
δ
cos (θ) dθ
2 δ1 01 π−ϕ=−π (1 − F )πF
2 δ1 sin (ϕ)=−π (F − 1) F
(7.1.72)∫π∫
2 π−ϕ ddx y2 cos (2 θ) dθ 2 0π−ϕ ddx y1 cos (2 θ) dθ
A2 =
+
π
π
∫π
∫ π−ϕ
2 δ1 0cos (2 θ) dθ 2 δ1 π−ϕ cos (2 θ) dθ=−π (1 − F )πF
δ1 sin (2 ϕ)=π (F − 1) F
(7.1.73)A0 =図 7.1.17: 平板の後端についたフラップ/* フラップ */assume(\phi>0 and \phi<%pi);
DE1:\delta[1]=F*tan(\delta)/((1-F)/F);
DE2:subst([tan(\delta)=\delta],DE1);
PH1:(1-F)*C=(cos(\phi)+1)*C/2;
PH2:solve(PH1,\phi)[1];DXY1:\delta[1]/(1-F);
DXY2:-\delta[1]/F;\alpha-A[0]=1/%pi*’integrate(DXY1,\theta,0,%pi-\phi)+1/%pi*’integrate(DXY2,\theta,%pi-\phi,%pi);

CL4:partfrac(subst([A03,AN13,sin(\phi)=\phi],CL1),F);

A03:-%+\alpha;A[1]=2/%pi*’integrate(DXY1*cos(\theta),\theta,0,%pi-\phi)+2/%pi*’integrate(DXY2*cos(\theta),\theta,%pi-\phi,%pi);
AN13:factor(ev(%,integrate));A[2]=2/%pi*’integrate(DXY1*cos(2*\theta),\theta,0,%pi-\phi)+2/%pi*’integrate(DXY2*
cos(2*\theta),\theta,%pi-\phi,%pi);
AN23:factor(ev(%,integrate));上図に示すように平板の後端についたフラップの形状を定義する。ヒンジ部分の高さ:δ1 は、

δ F2tan (δ) F 2≈ δ1 =
1−F
1−F
ヒンジ位置を (7.1.32) 式で表現し、θ → π − ϕ に置き換
δ1 =CL41:last(rhs(CL4));
CL42:expand(rhs(CL4)-CL41);
subst([DE2,PH2],CL42);
taylor(%,F,0,3);
CL45:rest(%,-2);
CL5:lhs(CL4)=CL41+CL45;
上式の結果を (7.1.49) 式に代入し、フラップが後端についた平板に作用する揚力の無次元化式は、

4 δ1 ϕ 2 π δ 1 − 4 δ1 ϕ
+
+ 2πα
F
F −1
4 δ1 ϕ2 π δ1=−++ 2πα(F − 1) F
F −1
2π δ F2
4 δ F (π − acos (2 F − 1))+=−(1 − F ) (F − 1)
(1 − F ) (F − 1)

CL =

+ 2πα
3

えて、

C (1 − F ) =(cos (ϕ) + 1) C
2上式から ϕ を求めると、

ϕ = π − acos (2 F − 1)

≈ − 2π δ F2 + 8δ F 2 + 2π α(7.1.74)

7.1. ２次元翼275

CM4:partfrac(subst([A03,AN13,AN23,sin(\phi)=\phi,sin(2*\phi)=2*\phi],CM1),F);
CM41:last(rhs(CM4));
CM42:rhs(CM4)-CM41;
subst([DE2,PH2],CM42);
taylor(%,F,0,3);
CM45:rest(%,-1);
CM5:lhs(CM4)=CM41+CM45;
lhs(CM4)/lhs(CL4)=partfrac((rhs(CM4)/
rhs(CL4)),F);
CM51:subst([DE2,PH2],%);
CM52:first(rhs(CM51));
CM53:last(rhs(CM51));
taylor(CM52,F,0,3);
上式の結果を (7.1.53) 式に代入し、フラップが後端についた平板に作用するモメントの無次元化式は、

πα
π δ1
−
2 (F − 1)
2
2
πδF
πα
=−
−
2 (1 − F ) (F − 1)22πα πδF=−++ π δ F 3 + ...
22παπ δ F2−≈22

CM = −(7.1.75)

上式からモーメントの作用点は、

CM
δ1 ϕ
1
=−
−
2
CL
2 (π α F + (π δ1 − π α) F − 2 δ1 ϕ) 4
δ F 2 (π − acos (2 F − 1))
1
(
(
)
)−
=−
2
2 δ F 2 (π−acos(2 F −1))
δF
4
2 (1 − F ) −+ F π1−F− π α + π αF2
1−F
3
2

5
2

2

3

1 δF
13 δ F4δ F++− 2 2 + ...
4
πα
6πα
π α
3
1 δF2
≈− +
4
πα
=−

(7.1.76)

第7章

276

例題 7.1.7

離散渦法による薄翼特性

揚力

上下速度成分は、二次元の翼型が薄く、反りも少ないものとする。下図にvj,k = −示すように翼型を N 枚のパネルで近似する。図のようΓ2 π (z − s)に渦糸：Γk を置き、その中間で翼の境界条件を満足さj 点と j + 1 点との中間点を翼の境界条件を評価する位せる。ここで翼のコード長さ:C 、流速：U 、迎角：α と置とし、k 点に置いた渦糸：Γk による評価する位置のする。

上下速度成分は、

vj,k = −(2π

Γkxj+1 +xj
− xk
2

)

ここで、

xk = d (k − 1) ,xj = d (j − 1) ,xj+1 = d j,

d=

C
N

N = 10 とし、上式を代入すると、
vj,k =

図 7.1.18: 離散渦法10 Γkπ (2 k − 2 j − 1) C

上記の N 個の境界条件と後端でスムースな流れとなる
条件：ΓN +1 = 0 を付加して、
/* 離散渦法 */VXS1:v(x)=-\Gamma(s)/(2*%pi*(x-s));a1,1
 a2,1

 .
 ..

a
N,1
0

VJK1:lhs(%)=subst([\Gamma(s)=\Gamma[k],ここでkill(all);assume(C>0);x=1/2*(x[j]+x[j+1]),s=x[k]],rhs(%));

aj,k :=

XK1:x[k]=d*(k-1);

a1,2
a2,2
..
.
aN,2
0

...
...
..
.
...
0

a1,N
a2,N
..
.
aN,N
0


 

vb1
Γ1
a1,N +1
a2,N +1   Γ2   vb2   .   . ..
  ..  =  .. 
.

 

aN,N +1   ΓN   vbN 
0
1
ΓN +1
(7.1.78)(10,
π (2 k − 2 j − 1) C

vbj =

d
y−α
dx

)
U

XJ1:x[j]=d*(j-1);

上式から、Γk は aj,k の行列の逆行列を求め、

XJ2:x[j+1]=d*j;



N:10;
D1:d=C/N;
VJK2:factor(subst([XK1,XJ1,XJ2,D1],VJK1));

 
a1,1
Γ1
 Γ2   a2,1 
 .   .
 ..  =  ..

 
 Γ
 a
N,1
N
0
ΓN +1

a1,2
a2,2
..
.
aN,2
0

...
...
..
.
...
0

AJK1:rhs(VJK2)/\Gamma[k];

a1,N
a2,N
..
.
aN,N
0

(7.1.79)

−1 
a1,N +1
vb1
 vb2 a2,N +1 




 . 
..
.



.

 . 
 vb 
aN,N +1 N
10(7.1.80)a[m,n]:=block([b],ここで、Maxima では上記の逆行列を変数を残したま

if m=N+1 then if n=N+1 then b:1 else b:0

ま、求めることが出来る。

else b:subst([k=n,j=m],AJK1), return(b));
AMAT1:genmatrix(a,N+1,N+1);
AINV1:invert(%);
VB1:vb[j]=U*(’diff(y,x,1)-\alpha);
薄翼理論から、下記の (7.1.39) 式の積分を離散渦で解く。
∫ C2
γ (s)
d
1
y−α=−
ds
(7.1.77)dx
2 π U − C2 x − s
s に置いた渦糸：Γ による z 位置における複素ポテン
シャルは、

F =

i Γ log (z − s)
2π

上式を z で微分し、

d
iΓ
F =
dz
2 π (z − s)
渦糸：Γ による誘導速度は、

uj,k − i vj,k =iΓ
2 π (z − s)

7.1. ２次元翼277
上式から (7.1.78) 式で、N = 10 として解いて Γk を求(1) 平板翼

め、揚力：L を求めると、/* 平板翼 */L = ρU

VB2:subst([’diff(y,x,1)=0],VB1);

N
+1
∑

Γk =

k=1

9 π ρ β C U2
+ π α ρ C U2
10(

BK1:rhs(VB2);
CL = 2 π

vb1[m,n]:=block([f],if m=N+1 then e:0 else e:BK1,

一致している。この相違は積分の厳密性によるものであ

BMAT1:genmatrix(vb1,N+1,1);

ろう。

GMAT1:AINV1.BMAT1;

L
CL = ρ U 2 C = 2 π (β + α)sum(GMAT1[k][1],k,1,N);
L1:L=%*\rho*U;
平板では、 ddx y = 0 であるから、

2

vbj = −α U
上式から (7.1.78) 式で、N = 10 として解いて、Γk を求める。以上から揚力:L は、下記となり薄翼理論で得られた (7.1.66) 式と一致する。
N+1∑

Γk = π α ρ C U 2 ,

L
CL = ρ U 2 C = 2 π α

k=12(2) 円弧翼/* 円弧翼 */Y1:y=-2*B*x*(x-C)/C;
DY1:’diff(y,x,1)=factor(diff(rhs(Y1),x,1));
subst([DY1,x=1/2*(x[j]+x[j+1])],VB1);
VB2:factor(subst([XJ1,XJ2,D1,N=10],%));
vc[m,n]:=block([e],if m=N+1 then e:0 else e:subst([j=m],-((2*j*B-11*B+5*alpha)*U)/5),
return(e));
BMAT1:genmatrix(vc,N+1,1);
GMAT1:AINV1.BMAT1;
sum(GMAT1[k][1],k,1,N);
L1:L=factor(%*\rho*U);
expand(%);
円弧翼形状は、(7.1.28) 式から次の二次式で表現できる。
y=−)

上式は薄翼理論で得られた次式の (7.1.68) 式とは、概ね

return(e));

L = ρU9β+α
102 x β (x − C)C

上式を微分し、d2 β (C − 2 x)y=dx
C
(7.1.79) 式の vbj に上式を代入し、()
2 β (C − xj+1 − xj )(2 j β − 11 β + 5 α) U
vbj =−α U =−
C
5

第7章

278

7.1.8

薄翼理論 (積分方程式)

二次元の翼型が薄く、反りも少ないものとする。下図に示すように翼型に沿って渦度：κ を分布させる。翼のコード長さ:2A、流速：U 、迎角：α とする。

揚力

V21:subst([y=\delta,\kappa(\xi)=\kappa(x)],V1);v(x,+\delta)=’integrate(rhs(V21),\xi,
x-\epsilon,x+\epsilon);ev(%,integrate);
V22:subst([y=-\delta,\kappa(\xi)=\kappa(x)],V1);v(x,-\delta)=’integrate(rhs(V22),\xi,
x-\epsilon,x+\epsilon);ev(%,integrate);
x 軸上 ξ における渦度：κ(ξ) による複素ポテンシャル
は、(5.1.33) 式から次式となる。ここで右回りを渦度の図 7.1.19: 薄翼理論

正とする。

i κ (ξ) log (z − ξ)2π
上式を z で微分し、x, y 軸方向の流速：u (x, y) , v (x, y)F =kill(all);を求めると、

declare(z,complex);d
F =u (x, y) − i v (x, y)dzi κ (ξ)=2 π (i y − ξ + x)

declare(F,complex);declare(\kappa,real);
depends([F],[z]);depends([u,v],[x,y]);assume(\epsilon>0,\delta>0);
assume(A>0);

上式より、

diff(F1,z,1);
F11:lhs(%)=subst([z=x+%i*y],rhs(%));

v (x, y) = −V1:v(x,y)=-imagpart(rhs(F11));
U21:subst([y=\delta,\kappa(\xi)=\kappa(x)],U1);u(x,+\delta)=’integrate(rhs(U21),\xi,
x-\epsilon,x+\epsilon);ev(%,integrate);lhs(%)=limit(rhs(%),\delta,0,plus);(x − ξ) κ (ξ)()
22 π y 2 + (x − ξ)(7.1.82)渦近傍の流れについて調べる。x の位置の渦強さ：κ (x)u (x, −δ) = −

κ (x)
2

x の位置の渦強さ：κ (x) で δ だけ少し上の y 軸方向の流速はev(%,integrate);lhs(%)=limit(rhs(%),\delta,0,plus);(7.1.83)

同様に δ だけ少し下の x 軸方向の流速は、\kappa(x)],U1);
x-\epsilon,x+\epsilon);(7.1.81)2
y 2 + (x − ξ)で δ だけ少し上の x 軸方向の流速は、∫
δ κ (x) x+ϵ1
u (x, δ) =
dξ
2
2
2π
x−ϵ (x − ξ) + δ( )atan δϵ κ (x)
κ (x)
=
=
π
2

U22:subst([y=-\delta,\kappa(\xi)=u(x,-\delta)=’integrate(rhs(U22),\xi,κ (ξ) y)2πlhs(%)=u(x,y)-%i*v(x,y);U1:u(x,y)=realpart(rhs(F11));(u (x, y) =F1:F=%i*\kappa(\xi)*log(z-\xi)/2/%pi;v (x, δ) = −

κ (x)
2π

∫ x+ϵ
x−ϵ

x−ξ
2

(x − ξ) + δ 2

dξ = 0同様に δ だけ少し下の ｙ 軸方向の流速は、

v (x, −δ) = 0

7.1. ２次元翼
subst([y=0],V1);279
x = −A〜A の薄翼で、この間に渦：κ (ξ) が分布する

V3:lhs(%)=’integrate(rhs(%),\xi,-A,A);とする。このとき x における翼位置の上下方向の流速：

A1:a=x/A;v (x, 0) は、

A11:solve(A1,x)[1];1v (x, 0) = −2π

B1:b=\xi/A;v(a,0)=changevar(rhs(V3),lhs(B1)-rhs(B1),b,\xi);a=

V31:factor(%);(7.1.84)

x
,
A

b=

ξ
A

上式は、

%pi=f(t);v (a, 0) =XT1:x(t)=C/sqrt(1-t^2)-’integrate((

12πsqrt(1-\xi^2)*f(\xi))/(\xi-t),\xi,-1,1)/(%pi*sqrt(1-t^2));

κ (ξ)
dξ
x
−ξ
−A

下記の変数変換を行って、subst([A11,\kappa(b*A)=\kappa(b)],%);
IE1:’integrate(x(\xi)/(\xi-t),\xi,-1,1)/

∫ A

∫ 1

κ (b)
db
b
−1 − a「特異核を持つ積分方程式(7.1.85)

11.7.2 二次元薄翼理論

XT2:x(t)=C/sqrt(1-t^2)-(sqrt(t+1)*（有限ヒルベルト変 換）1 ,2 」から、下記の積分方程式の’integrate((sqrt(1-\xi)*f(\xi))/

とき、

1
π

(sqrt(\xi+1)*(\xi-t)),\xi,-1,1))/(%pi*sqrt(1-t));
XT3:x(t)=C/sqrt(1-t^2)-(sqrt(1-t)*
integrate((sqrt(\xi+1)*f(\xi))/(sqrt(1-\xi)*(\xi-t)),\xi,-1,1))/(%pi*sqrt(t+1));
subst([t=a,\xi=b],IE1);
subst([t=a,\xi=b],XT3);

∫ 1

x (ξ)
dξ = f (t)ξ−1 − t上式の解は次式の三種のタイプに記述できる。
∫ 1 √1−ξ2 f(ξ)
dξ
C
−1
√ ξ−t
−
x (t) = √1 − t2π 1 − t2√
x (t) = √C−
1 − t2

subst([x(a)=\kappa(a),f(b)=2*v(b,0)],%);
G1:subst([C=0],%);
V1:v(x)=U*diff(z[a](x),x,1);
ZA1:z[a](x)=-\alpha*x;(7.1.86)Cx (t) = √−1 − t2

√

t+1

1−t

∫1

√
1−ξ f(ξ)√
dξ−1 ξ+1 (ξ−t)√
π 1−t∫ 1 √ξ+1 f(ξ)
−1

π

√

√

1−ξ (ξ−t)dξ

t+1

翼後端のクッタの条件：t = 1 で x (1) = 0 から、C = 0

subst([ZA1],V1);とすると、最後の解が適合しているので、これを用いる。

V11:ev(%,diff);

上式に t = a, ξ = b, x (a) = κ (a) , f (b) = 2 v (b, 0) を代

V12:v(b,0)=rhs(%);

入し、渦度分布：κ (a) は、
√
∫ 1 √
2 1−a
b + 1 v (b, 0)√
κ (a) = − √db
π a + 1 −1 1 − b (b − a)subst([V12],G1);
G2:\kappa(a)=(2*sqrt(1-a)*\alpha*(7.1.87)

I[2](a)*U)/(%pi*sqrt(a+1));
I2:I[2](a)=’integrate(sqrt(b+1)/(sqrt(1-b)*(b-a)),b,-1,1);
I[2](a)=’integrate((b+1)/(sqrt(1-b^2)*(b-a)),b,-1,1);
I[2](a)=’integrate((b)/(sqrt(1-b^2)*(b-a)),b,-1,1)+’integrate((1)/(sqrt(1-b^2)*(b-a)),b,-1,1);
I[2](a)=%pi*sum(B[i]*t^(n-i-1),i,0,n-1);

翼を平板翼とし、その境界条件から、上式に v (b, 0) =−α U を代入すると、√√∫ 1
2 1 − aαU
b+1√√
κ (a) =
db (7.1.88)
π a+1
1 − b (b − a)−1
上式の積分を I2 (a) とし、√
2 1 − a I2 (a) α U√
κ (a) =
π a+1

(7.1.89)

subst([n=1],%);
ev(%,sum);I21:subst([B[0]=1],%);
G21:subst([I21],G2);
1 溝 口 純 敏：Maxima を 使った 物 理 数 学 基 礎 演 習 ノ ー ト
http://www9.plala.or.jp/prac-maxima/
2 7.4 翼理論の方程式 13)

第7章

280
I2 (a) を求めると、∫ 1
I2 (a) =−1

G22:\kappa(t)=subst([a=-cos(t)],
√

√

∫ 1

揚力

rhs(G21));b+1db
1 − b (b − a)

G221:num(rhs(G22));
G222:denom(rhs(G22));

b+1
√
db
(b
−
a)
1 − b2
−1
∫ 1
b
√
=
db
1 − b2−1 (b − a)
∫ 1
1
√
+
db
(b
−
a)
1 − b2−1=

assume(sin(t)>0);
G221*G222;
2*\alpha*U*sqrt(1-cos(t)^2);
trigsimp(%);
lhs(G22)=%/G222^2;
trigrat(%);

「特異核を持つ積分方程式

11.7.2 二次元薄翼理論（有限ヒルベルト変 換）1 」の下記の有限ヒルベルト変 換の結果から、

1π
1π−1 (ξ − t)

1√

1 − ξ2n−1 (ξ − t)

翼の揚力：L は次式で得られる。

∫ A

∫ 1

∫ 1

subst([cos(t/2)=cot(t/2)*sin(t/2)],%);

ξ√1 − ξ2dξ =L=ρ

dξ = 0n−1∑x
上式を a = Aの変数変換を行って、(7.1.90) 式を代入

Bi tn−i−1

し、積分すると下記となり、「2.1.3 二次元平板翼」の結果：(7.1.22) 式と一致する。

i=0

∫ 1 √
1−a
√
L=
da α ρ A U 2
κ (a) da ρ A U = 2
a+1
−1
−1

I2 (a) は、
I2 (a) = πκ (x) dx U
−A

∫ 1

0
∑
Bi
i=0

ti

= π B0 = π(7.1.89) 式に上記の結果を代入すると、√
2 1 − aαU√
κ (a) =
a+1

=2 π α ρ A U 2

また、翼中心のモーメントは次式で得られる。

∫ A(7.1.90)M =ρ

x κ (x) dx U
−A

L1:L=\rho*U*’integrate(\kappa(x),x,-A,A);x
上式を a = Aの変数変換を行って、(7.1.90) 式を代入

L=changevar(rhs(L1),lhs(A11)-rhs(A11),

し、積分すると下記となり、「2.1.3 二次元平板翼」の結

a,x);果：(7.1.22) 式と一致する。

L11:subst([\kappa(a*A)=\kappa(a)],%);∫ 1 √1 − aa√M=da α ρ A2 U 2a κ (a) da ρ A U = 2
a+1
−1
−1
AL
= − π α ρ A2 U 2 = −2subst([G21],L11);
L12:ev(%,integrate);
L121:subst([A=C[0]/2],L12);∫ 1

2

L13:solve(L12,\alpha)[1];M1:M=\rho*U*’integrate(\kappa(x)*x,x,-A,A);
M=changevar(rhs(M1),lhs(A11)-rhs(A11),a,x);
M11:subst([\kappa(a*A)=\kappa(a)],%);
subst([G21],%);
M12:ev(%,integrate);
subst([L13],M12);
factor(%);
CL1:C[L]=L/(1/2*\rho*U^2*C[0]);lhs(%)=subst([L121],rhs(%));

揚力：L を翼弦長：C0 で無次元化すると、

CL =

2L
= 2πα
C0 ρ U 2(7.1.91)「7.1.5 薄翼理論 (フーリエ変換)」の渦度分布と比較するため、(7.1.90) 式を a = −cos (t) で変数変換すると、√
2 α cos (t) + 1 U
2 α sin (t) Uκ (t) = √=1 − cos (t)1 − cos (t)(t)( )2 α cos 2 Ut(t)= 2 α cot
=
U
2
sin 2
上式から、(7.1.90) 式は「7.1.5 薄翼理論 (フーリエ変換)」の渦度分布と同じであることがわかる。

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7.1. ２次元翼例題 7.1.9281

一様でない流れの中の翼

質量保存の方程式から、

dv = 0,
dy

翼が一様な速度でない流場にある場合について検討する。迎角：α で流速：U の一様流に、y 方向の v1 x の流れが加わった流場を考える。

渦なし流れの条件から、

dv = v1 ,dx/* 一様でない流れの中の翼 */CON1:’diff(u,x,1)+’diff(v,y,1)=0;
CURL1:’diff(v,x,1)-’diff(u,y,1)=0;

d
u=0
dx

d
u = v1dy

以上から x 方向の流れ：u は、

u = cos (α) U + v1 y

VC1:v=U*sin(\alpha)+v[1]*x;
DVC1:’diff(v,x,1)=diff(rhs(VC1),x,1);

薄翼理論の境界条件：(7.1.38) 式は下記となる。ここでsubst([DVC1],CURL1);

u(x), v(x) は翼の渦循環による誘導速度である。

-last(lhs(%))=first(lhs(%));
dsin (α) U + v (x)y=dxcos (α) U + u (x)UC1:u=v[1]*y+U*cos(\alpha);
DYX0;
DYXC1:subst([v(x)=v(x)+last(rhs(VC1)),u(x)=u(x)+last(rhs(UC1))],DYX0);

一様流に、y 方向の v1 x の流れが加わったことにより、新たな薄翼理論の境界条件は、

DYXC2:lhs(DYX0)=expand(subst([cos(\alpha)=1dsin (α) U + v (x) + v1 xy=dx
cos (α) U + v1 y + u (x),sin(\alpha)=\alpha,u(x)=0,y=0],
rhs(DYXC1)));
expand(solve(%,v(x))/U)[1];迎角：α が小さく、v1 x, v1 y << U とすると、薄翼理論の境界条件は、subst([v[1]=v[1]/x*(-C/2*cos(\theta))],v (x) v1 x
d
y=
+
+α
dx
U
U

rhs(%)=subst([A=B],rhs(G54)));DYX3:lhs(%)=(sum(B[n]*cos(n*\theta),n,2,inf))+B[1]*cos(\theta)-B[0];(7.1.92)

上式から、

v1 x
d
v (x)
=−
+
y−α
U
U
dx

DYX4:DYX3-first(lhs(DYX3))-last(lhs(DYX3));
A0;
B01:B[0]=A[0];(7.1.62) 式にならって、境界条件は下記のように表現でsubst([n=1],AN);

きる。ここで、(7.1.56) 式による下記の変換を考慮し、

AN16:A[1]=B[1]-first(lhs(DYX3))/
cos(\theta);x=−

AN17:expand(solve(AN16,B[1])[1]);v1 cos (θ) C
d
+
y−α
2U
dx
(∞
)
∑
=
Bn cos (n θ) − B0

ANN6:AN;BN2N:B[n]=A[n];CL6:subst([A[0]=B[0],A[1]=B[1]],CL1);

cos (θ) C2

n=1

CL61:subst([B01,AN17],CL6);=

CL62:subst([A[0]=\alpha,A[1]=0],CL61);(∞∑)
Bn cos (n θ)+ B1 cos (θ) − B0

n=2

CM6:subst([A[0]=B[0],A[1]=B[1],A[2]=B[2]],CM1);
CM61:subst([B01,B[2]=A[2]],CM6);
CM62:subst([A[0]=\alpha,A[2]=0],CM61);
流場では、質量保存の方程式：(2.2.1) 式から二次元の場
合は次式、
d
d
v+
u=0
dy
dx
−
→
および渦なし流れの条件：curl( V ) を満足する必要が
ある。

d
d
v−
u=0
dx
dy
y 方向の流れ：v は、
v = sin (α) U + v1 x

上式から、

v1 cos (θ) C
d
y =−
+
dx
2U

(∞
∑
n=2

)
Bn cos (n θ)(7.1.93)+ B1 cos (θ) + α − B0
上式は、フーリエ級数の表現になっており、各係数は、∫
1 π d
α − A0 =y (θ) dθ, B0 = A0
(7.1.94)π 0 dx()∫ πd2cos (θ)A1 =y (θ) dθπ 0dx(7.1.95)
v1 C
v1 C
A1 =B1 −, B1 =
+ A1
2U
2U

第7章

282
An =

2
π

(

∫ π
cos (n θ)0)dy (θ) dθ,dx

B n = An(7.1.96)

揚力は、(7.1.49) 式から、

CL =π (B1 + 2 B0 )
(
)
v1 C
=π
+ A1 + 2 A0
2U
平板翼では、

A0 = α, A1 = 0
から、揚力は、(
CL = π

v1 C
+ 2α
2U

)
(7.1.97)

モーメントは、(7.1.53) 式から、

π (B2 + 2 B0 )4
π (A2 + 2 A0 )=−4

CM = −

平板翼では、

A0 = α, A2 = 0
から、モーメントは、

CM = −

πα2(7.1.98)揚力

7.1. ２次元翼例題 7.1.10283

翼列F72:F=sum(%i*\Gamma/2/%pi*log(1-((C/4+z)

翼コード長さ：C の平板翼が等間隔：H で一直線上に/(%i*n*H))^2),n,1,inf)+%i*\Gamma/2/%pi

無限に並んでいる翼列の揚力特性を求める。

*log(C/4+z);
F73:F=%i*\Gamma/2/%pi*log(product((1-((1) 翼間隔：H >> 翼コード長さ：C の場合(C/4+z)/(%i*n*H))^2),n,1,inf))+%i*\Gamma

翼間隔：H >> 翼コード長さ：C であることから、各翼/2/%pi*log(C/4+z);

は単独翼の流れに近く、主流の流れが変わらないものと

F731:F=%i*\Gamma/2/%pi*log(product((1-(考える。翼を単独の渦糸で置き換え、無限に並んでいる(C/4+z)/(%i*n*H))^2),n,1,inf))+%i*\Gamma

渦糸から、原点における流場を求め、その流場での揚力/2/%pi*log((C/4+z)/(%i*H));
F74:F=%i*\Gamma/2/%pi*log((C/4+z)/(%i*H)

特性を求める。

*product((1-((C/4+z)/(%i*n*H))^2),n,1,inf));
平板翼の揚力の作用点が (7.1.67) 式から前縁から C/4にあることから、ここに渦循環強さ：Γ の渦糸を置くことで代用できる。翼間隔を H とすると渦糸の位置は前に示す図から下記となる。

Zn = i n H −C4

これに基づく複素ポテンシャルは (5.1.33) 式から下記と
なる。
∞
iΓ ∑
log (z − Zn )2 π n=−∞
)
(
∞
iΓ ∑
C
=
log −i n H + + z
2 π n=−∞
4F =図 7.1.20: 翼列

H >> C/* 翼列 H>>C の場合 */(7.1.99)n と −n の項について、
(
)
(
)
iΓ
C
iΓ
C
log i n H + + z +log −i n H + + z
2π
4
2π
4
(
)
2
iΓ
C
zC
=
log n2 H 2 +
+
+ z2
2π
16
2


(
)2 
C
z
+
iΓ
4

=
log n2 H 2 1 −
2π
inH

(
)2 
(
)
z + C4iΓ + i Γ log n2 H 2=log 1 −2πinH
2πZ7:Z[n]=-C/4+n*H*%i;
F7N1:%i*\Gamma/2/%pi*log(z-Z[n]);F7N2:subst([Z7],F7N1);

上記、右辺第 2 項は定数であるため省略できる。n =F7N3:F7N2+subst([n=-n],F7N2);

1 → ∞ の項の和と n = 0 の項の和から、(7.1.99) 式のlogcontract(%);

複素ポテンシャルは、(

expand(%);
F7:F=sum(%i*\Gamma/2/%pi*log(z-Z[n]),n,minf

F =,inf);(

F71:subst([Z7],F7);%i*\Gamma/2/%pi*log(n^2*H^2*(1-((C/4+z)/(%i*n*H))^2));%i*\Gamma/2/%pi*log(n^2*H^2)+%i*\Gamma/2/%pi*log(1-((C/4+z)/(%i*n*H))^2);iΓ
C
log z +
2π
4

=

C
iΓ
log z +
2π
4

)
+

∞
∑
iΓ
n=1

)
+

2π



(

log 1 −


∞
∏

iΓ
log 
1−
2π
n=1

(

z + C4inH
z + C4
inH

)2 

)2 


(7.1.100)

第7章

284
定数を加え、log の中の項をそろえて、

(
)
(
)2 
∞
∏
z + C4z + C4
iΓ
iΓ

F =
log
+
log 
1−
2π
iH
2π
inH
n=1
(
(
)2 
) ∞
z + C4 ∏z + C4
iΓ

=
log 
1−
2π
iH
inH
n=1

(7.1.101)

SIN1:%pi*x*product((1-x^2/n^2),n,1,inf)=sin(%pi*x);

揚力原点に置いた翼近傍の流場を求めるには、原点に置いた翼の複素ポテンシャルを除く必要があり、下記となる。
( ( (
) ))
(
)
π C4 + z
iΓ
iΓ
C
F =
log sin
−
log
+z
2π
iH
2π
4
(7.1.103)
上式を z で微分し、流速を求めると、()
π (C4 +z )i Γ cosh
H
d
iΓ
)
(
(C
)
−
F =
C
dz
π ( 4 +z )2π 4 + z
H
2 sinhH
次式の置き換えを行って、log(lhs(SIN1/%pi))=log(rhs(SIN1/%pi));C%i*\Gamma/2/%pi*subst([x=(z+C/4)/(%i*H)]

Z= 4

+z
H

,%);
F40:F=rhs(%);

原点の翼近傍では、Z << 1 であるから、Taylor 展開を

F41:F=%i*\Gamma/(2*%pi)*log(sin(%pi*(z+C/4)

行って、高次項を省略すると、/(%i*H)))-%i*\Gamma/(2*%pi)*log(z+C/4);
DF41:’diff(F,z,1)=diff(rhs(F41),z,1);
ZZ1:Z=(z+C/4)/H;
ZZ2:solve(ZZ1,z)[1];DF42:lhs(DF41)=subst([ZZ2],rhs(DF41));
expand(factor(%));

di Γ cosh (π Z)
iΓ
F =
−
dz
2 H sinh (π Z) 2 π H ZiπΓZi π3 Γ Z 3
i π5 Γ Z 5
=
−
+
+ ...
6 H(
90
H
945 H
)
i π Γ C4 + z≈
6 H2(7.1.104)

DF43:lhs(DF42)=taylor(rhs(%),Z,0,5);

V4:expand(-imagpart(%));

以上から、原点近傍の流速は下記となる。
()
i π Γ C4 + i y + x
u − iv =6 H2

V41:v[0]=first(rhs(V4));y 軸方向の流速：v は、

DF44:subst([Z^3=0,Z^5=0,ZZ1],DF43);
DF45:u-%i*v=subst([z=x+%i*y],rhs(DF44));V42:v[1]=last(rhs(V4))/x;v=−

AL1:\alpha[1]=(U*sin(\alpha)+v[0])/(U*cos(\alpha));

πΓC
πΓx
−
2
24 H
6 H2

定常項：v0 および x に比例する項の係数：v1 は下記とAL2:expand(subst([sin(\alpha)=\alpha,cos(\alpha)=1,V41],AL1));

なる。

πΓC
πΓ
, v1 = −
2
24 H
6 H2
新たな迎角：α1 は迎角が小さいとすると、
v0 = −

GM71:expand(subst([\alpha=rhs(AL2),V42],\Gamma[1]=rhs(CL62)*C*U/2));
K1:k=rhs(GM71)/\Gamma;

α1 =K2:expand(subst([\Gamma=%pi*C*U*\alpha],
K1));
下記の公式を用いて、
πx

∞
∏
n=1

1−

x2
= sin (π x)n2πΓC24 H 2 U
一様でない流れの中の翼の揚力係数：(7.1.97) 式と (7.1.47)
α1 = α −式、(7.1.48) 式から、上記の流場における平板翼の渦循
環強さ：Γ1 は、log をとって、
( ∞
)
(
)
∏
x2
sin (π x)log x
1 − 2 = lognπn=1
上式から、渦循環強さ：Γ を n = −∞ → ∞ だけ置いた(7.1.99) 式の複素ポテンシャルは、
( ( (
) ))
π C4 + ziΓF =log sin
2πiH

sin (α) U + v0cos (α) U(7.1.102)Γ1 = π α C U −π2 Γ C 2
12 H 2平板翼単独での渦循環強さ：Γ との比：k = Γ1 /Γ、即ち、揚力の比は、
22π α C U − π12ΓHC2k=
Γ
π2 C 2=1 −12 H 2(7.1.105)

7.1. ２次元翼

285(2) 翼間隔：H << 翼コード長さ：C の場合
翼間隔：H << 翼コード長さ：C であることから、翼により翼前後の主流の流速・流向が変化する場合を考える。

翼列の上流側の流速:w1 、この x 軸方向の流速成分：wn1 、

y 軸方向の流速成分：wt1 とする。また、翼列の下流側の流速:w2 、この x 軸方向の流速成分：wn2 、y 軸方向の流速成分：wt2 とする。このとき上流側の流速、下流側の流速で下記の関係がある。
22
w12 = wt1
+ wn1
,

2
2
w22 = wt2
+ wn2

(7.1.106)

また、上流側から下流側へ x 軸方向へ流れる流量は同じであるから、

wn1 = wn2

(7.1.107)

A → B → C → D → A に沿った循環強さ：Γ を求める。B → C と D → A は流速が同じで逆方向の積分であるからこの部分は零となり、A → B と C → D の部
分による循環強さは下記となる。

Γ = (wt1 − wt2 ) H
これより下記の関係式を得る。

図 7.1.21: 翼列

wt2 − wt1 = −H << CΓ
H(7.1.108)

翼列の上流側と下流側を Bernoulli の定理：(2.8.4) 式/* 翼列 H<<C の場合 */から、

assume(w[0]>0);

w12 ρ
w2 ρ
+ p1 = 2 + p2
(7.1.109)22
上流側と下流側との圧力差から翼が受ける x 軸方向のassume(\Gamma>0);

力：Ln は、(7.1.108) 式、(7.1.109) 式から、

assume(\rho>0);

assume(L>0);
W1:w[1]^2=w[t1]^2+w[n1]^2;
W11:w[1]=sqrt(rhs(W1));
W2:w[2]^2=w[t2]^2+w[n2]^2;
W21:w[2]=sqrt(rhs(W2));
WN1:w[n1]=w[n2];Ln = (p2 − p1 ) Hρ (wt2 − wt1 ) (wt2 + wt1 ) H
2Γ ρ (wt2 + wt1 )=2=−(7.1.110)

GM8:\Gamma=(w[t1]-w[t2])*H;

上流側と下流側との運動量変化から翼が受ける y 軸方向

WT1:solve(GM8,w[t1])[1];の力：Lt は、(7.1.108) 式から、

WT2:w[t2]-w[t1];GM81:WT2=expand(subst([WT1],WT2));
BN1:p[1]+1/2*\rho*w[1]^2=p[2]+1/2*\rho*w[2]^2;
BN2:solve(BN1,p[1])[1];

Lt =wn1 ρ (wt1 − wt2 ) H

x 軸方向の力：Ln と y 軸方向の力：Lt の合力：L は、(7.1.110) 式、(7.1.111) 式から、

LN1:L[n]=(p[2]-p[1])*H;
LN2:factor(subst([BN2,W1,W2,WN1],LN1));

2

L2 = L2t + L2n =LN3:subst([GM81],LN2);
LT1:L[t]=\rho*w[n1]*H*(w[t1]-w[t2]);

L2:subst([LT2,LN3],L1);
W0:w[0]^2=w[n1]^2+((w[t1]+w[t2])/2)^2;
W01:solve(W0,w[n1]^2)[1];L3:factor(subst([W01],L2));
sqrt(L3);

Γ2 ρ2 (wt2 + wt1 )2+ Γ2 wn1
ρ2
4(7.1.112)

次式で示す平均流速：w0 を導入すると、

LT2:expand(subst([WT1],LT1));
L1:L^2=L[t]^2+L[n]^2;(7.1.111)=Γ wn1 ρ2

w02 =(wt2 + wt1 )
2
+ wn1
4

翼に作用する力：L は、

L = w0 Γ ρ(7.1.113)

第7章

286

7.1.11

二次元翼の非定常運動 (Theodorsen
の方法)

揚力

A2:subst([a=B,b=0],A1);
Z2:subst([R2,A2],Z1);

一様流中で微小運動する二次元平板翼に作用する非定

subst([\zeta=B/2*%e^(%i*s),z=x+%i*y],Z2);

常力を Theodorsen の方法で求める。Theodorsen は翼

Z21:realpart(%);

面上のわき出し分布と翼内部と後流の渦度分布から求めF2:subst([R2,A2],F1);ている1 。z 平面上の x 軸上に −B から B(コード長さ：DF1:’diff(F,z,1)=’diff(F,\zeta,1)

2B) にある平板翼を ζ 平面上の円に写像する。

*’diff(\zeta,z,1);
DZ1:’diff(lhs(Z1),\zeta,1)=diff(rhs(Z1),\zeta,1);’diff(F,z,1)=’diff(F,\zeta,1)/’diff(z,\zeta,1);
subst([’diff(F,z,1)=u-%i*v],%);
subst([’diff(F,\zeta,1)=q[x]-%i*q[y]],%);
subst([DZ1],%);
subst([\zeta=R*%e^(%i*\theta)],%);
DF2:subst([R2,A2],%);
DF21:num(rhs(DF2))*%e^(%i*\theta);
denom(rhs(DF2))*%e^(%i*\theta);
DF22:trigrat(%);
DF3:lhs(DF2)=DF21/DF22;
DF31:abs(%);
sqrt(u^2+v^2)=sqrt(q[x]^2+q[y]^2)/2/abs(sin(\theta));sqrt(u^2+v^2)=sqrt(q[r]^2+q[\theta]^2)/2/abs(sin(\theta));
QT1:q[\theta]=-u*2*sin(\theta);
QR1:q[r]=v*2*sin(\theta);

図 7.1.22: 二次元平板の円への写像「5.3.5 一様流中の楕円柱まわりの流れ・作用力・運動
エネルギー (Joukowski 変換)」で、写像関数は (5.3.16)
式から、kill(all);z=ζ+declare([z,\zeta,F],complex);declare([\alpha,h,v,f,Q],real);
depends([F],[z,\zeta]);(7.1.114)

流速：U の一様な流れに中に半径：R の円柱を置いた
ときの複素ポテンシャル：F は (5.3.17) 式から、

depends([\Phi],[x,t]);assume(B>0,f>0);A2
ζF = e−i α U ζ +ei α R 2 Uζ(7.1.115)

assume(B<2*f);assume(\epsilon>0);
assume(R>0);
assume(\delta>0);Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;
F1:F=%e^(-%i*\alpha)*U*\zeta+%e^(%i*\alpha)*R^2*U/\zeta;

いま、楕円の半径：a, b とすると、上式の A, R との関係は (5.3.18) 式から、

b+a
R=
,
2

R2:subst([a=B,b=0],R1);

A=

上式から、コード長さ：2B の平板翼を ζ 平面上の円

R=

B
,
2

A=

B
2

(7.1.116)

上式から、(7.1.114) 式の写像関数は、

1 Raymond L. Bisplinghoﬀ, Holt Ashley, Robert L. Halfman,

Aeroelasticity 22) 5-6 Thin airfoils oscillating in incompressible
flow P.251 を主に参考にした

a2 − b22に写像するには、

R1:R=(a+b)/2;
A1:A=sqrt(a^2-b^2)/2;

√

z=ζ+

B2
4ζ

(7.1.117)

7.1. ２次元翼287
is

上式に z = i y + x, ζ = e 2 B を代入し、

F2:F=Q(s,t)/2/%pi*log(z-R*%e^(%i*s));e−i s Bei s B+iy + x =2
2

subst([z=r*%e^(%i*\theta)],%);
PH2:\Phi=realpart(rhs(%));

上式の実部を取ると、x と s の関係式が得られる。

x = cos (s) B(7.1.118)ei α B 2 UUζ+4ζsubst([Q(s,t)=Q(\theta,t)],%);
subst([s=\theta+\mu],%);
subst([r=R+\delta],%);

また、(7.1.115) 式の複素ポテンシャルは、−i αQR2:q[r]=diff(rhs(PH2),r,1);

trigrat(%);(7.1.119)

subst([cos(\mu)=1-\mu^2/2],%);

上記の関係式を基に z 平面の流速と ζ 平面の流速の関factor(%);
lhs(%)=’integrate(rhs(%)*R,\mu,

F =e係を調べる。z 平面の x 軸方向の流速：u、y 軸方向の-\epsilon,+\epsilon);

流速：v とすると、次式で得られる。
(
)(
)
d
d
d
u − iv =
F =
F
ζ
dz
dζ
dz

ev(%,integrate);
subst([R+\delta=R,2*R+\delta=2*R,\epsilon*R^2=0],%);

ζ 平面の x 軸方向の流速：qx 、y 軸方向の流速：qy とすると、subst([2*delta*R^2=0,delta^2*R=0,\delta*\epsilon*R=0],%);
lhs(%)=limit(rhs(%),\delta,0,plus);du − iv =qx − i q y
d
dζ F
=
F = d
d
dz
z
dζ
dζ z

Q4:Q(r=B/2,\theta,t)=2*q[r];Q41:subst([QR1],Q4);
z 平面の平板翼の境界条件を表面においたわき出し、

ここで、
2

吸いこみで表す。ζ 平面では、円周上にわき出しと吸いdAz =1− 2dζζ

こみを置くことになる。

上記から、次式となる。

u − iv =qx − i q y
2
1− A
ζ2

z 平面で翼面上、ζ 平面で円上の流速の関係は、上式に ζ = R ei θ を代入し、(7.1.116) 式の関係式から、

u − iv =qx − i q y−2 i θ
2
1 − e R2 A=

qx − i qy
1 − e−2 i θ

上式の分子、分母に ei θ を掛けて、整理すると、

u − iv = −i ei θ (qx − i qy )2 sin (θ)

上式の絶対値をとると、|i v − u| =図 7.1.23: 円周上のわき出し|i qy − qx |2 |sin (θ)|

ζ 平面上の半径：R、θ の位置にわき出しを置いたと

上式は、また、次式のように記述できる。
√√
qy2 + qx2√
qθ2 + qr2
v 2 + u2 ==2 |sin (θ)|
2 |sin (θ)|

き、そのときのわき出しに近い位置での半径方向の流速：qr を求める。ζ 平面上の半径：R、θ の位置にわき出しを置いたとき複素ポテンシャルは、

0 ≥ θ ≥ π とし、等角写像から u, v と qr , qθ の比は等しいから、z 平面の翼面上の u, v と ζ 平面の円上のqr , qθ の関係は、qθ = −2 sin (θ) u,

qr = 2 sin (θ) v(7.1.120)()
Q (s, t)log z − ei s R
2π()
Q (s, t)log r ei θ − ei s R
=
2π

F =

第7章

288

揚力

上式の実部をとり、ポテンシャル：Φ は、()
2
2
Q (s, t) log (r sin (θ) − sin (s) R) + (r cos (θ) − cos (s) R)
Φ=4π
上式を r で微分すると半径方向の流速：qr が得られ、µ が θ にくらべ十分小さく、δ も R にくらべ十分小さいとして、s = θ + µ, r = R + δ を代入すると、

qR+δ =(cos (µ) − 1) Q (θ, t) R − δ Q (θ, t)(4 π cos (µ) − 4 π) R2 + (4 π δ cos (µ) − 4 π δ) R − 2 π δ 2µ が θ にくらべ十分小さいから、cos(µ) = 1 − µ2 /2
とすると、
(
)
Q (θ, t) µ2 R + 2 δ
qR+δ =4 π (µ2 R2 + δ µ2 R + δ 2 )
θ を中心に ±ϵ の範囲で積分し、δ, µ が十分小さいとして、

qR+δ =Q (θ, t) R
4π
Q (θ, t) R

=

∫ ϵ
−ϵ

µ2 R + 2 δµ2 R 2 + δ µ 2 R + δ 2

dµ

(√ √
( √ √
)
)
R R + δ (2 R + δ) atan ϵ R δ R+δ + ϵ R2 + δ ϵ R
2 π (R3 + 2 δ R2 + δ 2 R)F =上式で δ → 0 とすると、

qR =Q (θ, t) atan
=
π

(ϵR)
δ

Q (s, t) log (z − zU ) Q (s, t) log (z − zL )
−
2π
2π

ここで、

Q (θ, t)2

上記の結果と (7.1.120) 式から ζ 平面上の r = B
2 ,θ 位z=ei θ B,2zU =ei s B,2zL =e−i s B2

置におけるわき出し強さ：Q と z 平面上の v の関係は下
記となる。
)
(
B
Q r = , θ, t = 2 qr = 4 sin (θ) v
2(7.1.121)

F5:F=Q(s,t)/2/%pi*log(z-z[U])-Q(s,t)/2/%pi*log(z-z[L]);Z5:z=B/2*%e^(%i*\theta);
Z5U:z[U]=B/2*%e^(%i*s);
Z5L:z[L]=B/2*%e^(-%i*s);
Q5:Q(s,t)=4*sin(s)*v(s,t);
subst([Z5U,Z5L,Z5],F5);
PH1:\Phi=realpart(rhs(%));
dq[\theta]=diff(rhs(PH1),\theta,1)/(B/2);
trigsimp(%);
DQT0:factor(%);
DQR1:dq[r]=diff(rhs(PH1),r,1);
DQT1:subst([Q5],DQT0);
QT1:q[\theta](\theta,t)=’integrate(rhs(DQT1)*B/2,s,0,%pi);
ζ 平面上の円周上：r = B2 , θ = ±s の位置にわき出しと吸い込みを置いたとき複素ポテンシャルは、

図 7.1.24: わき出しによる境界条件

7.1. ２次元翼289

上式の実部をとり、速度ポテンシャル：Φ を求めると、((
Q (s, t) log)2

sin(θ) Bsin(s) B
−
2
2

Φ=
((
Q (s, t) log−(+

cos(θ) Bcos(s) B
−
2
2

)2 )

L1:L=-’integrate(P[U](x,t)-P[L](x,t),x,-B,B);
L=2*\rho*’diff(’integrate(\Phi[U](x,t),4πsin(θ) Bsin(s) B
+
2
2

)2

(
+

cos(s) Bcos(θ) B
−
2
2

)2 )

x,-B,B),t,1);
L=changevar(rhs(%),x-B*cos(\theta),

4π\theta,x);
Q, −Q による円周上の接線速度：dq θ は次式により得られる。

dq θ =

L2:subst([cos(theta)*B=\theta],%);
ZT1:z[a](t)=-h(t)-\alpha(t)*(x-B*B[a]);

d
dθ Φ

r

sin (s) Q (s, t)=−π (cos (θ) − cos (s)) B

V5:v(x,t)=diff(rhs(ZT1),t,1)-U*\alpha(t);(7.1.122)

V51:v(s,t)=subst([Z21],rhs(V5));
V52:v[1](s,t)=-\alpha(t)*U-’diff(h(t),t,1);

Q, −Q による円周上の半径：r 方向の速度：dq r は次式により得られる。

v[2](s,t)=-(’diff(alpha(t),t,1))*(cos(s)*B-B[a]*B);

dq r =dΦ=0dr(7.1.123)

V53:factor(%);
assume(\theta>0 and \theta<%pi);

上記の結果から θ ̸= s では dq r は零となり、Q による r

assume(1-cos(\theta)^2>0);方向の速度と v の関係は一対一の関係となる。

assume(sin(\theta)>0);
assume(acos(cos(theta))-%pi>0);(7.1.122) 式に (7.1.121) 式を代入すると、subst([\Phi[U](theta,t)=\Phi[U1]2

4 sin (s) v (s, t)
dq θ = −π (cos (θ) − cos (s)) B(theta,t),v(s,t)=v[1](s,t)],PHTU1);
subst([V52],%);

上式を 0 → π の範囲で積分すると、v (s, t) をもとに円周上に分布させた Q による円周上の接線速度：qθ はev(%,integrate);
PHTU21:factor(%);

下記となる。

subst([\Phi[U](theta,t)=\Phi[U2]2qθ (θ, t) = −
π

∫ π
0

(theta,t),v(s,t)=v[2](s,t)],PHTU1);

2

sin (s) v (s, t)dscos (θ) − cos (s)(7.1.124)

subst([V53],%);
ev(%,integrate);
trigexpand(%);’diff(\Phi,x,1)=u;PHTU22:factor(%);\Phi[2]-\Phi[1]=-’integrate(u(x,y),x,

PHTU2:Phi[U](\theta,t)=rhs(PHTU21)

x[1],x[2]);+rhs(PHTU22);

lhs(%)=’integrate(q[\theta](\theta,t)subst([PHTU2],L2);*B/2,\theta,\theta[1],\theta[2]);ev(%,integrate);\Phi(%pi,t)-\Phi[U](\theta,t)=ev(%,diff);(’integrate(q[\theta](\theta,t),

L3:factor(%);\theta,\theta,%pi)*B)/2;
subst([\Phi(%pi,t)=0],%);
PHTU0:solve(%,\Phi[U](\theta,t))[1];
PHTU1:subst([QT1],PHTU0);
PHTL1:\Phi[L](-\theta,t)=-\Phi[U](\theta,t);P1:p-p[inf]=-\rho*(’diff(\Phi,t,1)

速度ポテンシャルと速度の関係は、その定義：(5.1.4)
式から、dΦ = u,dx

Φ 2 − Φ1 = −ζ 平面上の半径：r = B2 上の積分を行い、速度ポテン
シャルを求める。

Φ2 − Φ1 =+U*’diff(\Phi[U],x,1))+\rho*(’diff(\Phi[L],t,1)+U*’diff(\Phi[L],x,1));
subst([\Phi[L]=-\Phi[U]],%);

1
2

∫ θ2
qθ (θ, t) dθ B
θ1

上式で上方の円周上で θ における速度ポテンシャル：ΦU (θ, t) は、

ev(%,diff);
factor(%);

u (x, y) dx
x1+U*’diff(\Phi,x,1));
P[U]-P[L]=-\rho*(’diff(\Phi[U],t,1)∫ x2

Φ (π, t) − ΦU (θ, t) =

1
2

∫ π
qθ (θ, t) dθ B
θ

第7章

290
θ = π の位置を基準として、その速度ポテンシャルを零とすると、−ΦU (θ, t) =

1
2

∫ π
qθ (θ, t) dθ B

(7.1.125)θ

以上から、円周上の θ における速度ポテンシャル：ΦU (θ, t) は、(5.1.9) 式を代入し、∫
1 π
ΦU (θ, t) = −qθ (θ, t) dθ B
2 θ
∫ ∫
2
1 π π sin (s) v (s, t)=
dsdθ Bπ θ 0 cos (θ) − cos (s)(7.1.126)
また、下記の関係がある。

から、

p − p∞ = −ρ

)

d
U+
Φ
dt

)

上式から、上部と下部の圧力差は、
((
)
)
d
d
ΦL U +
ΦL
PU − PL =ρ
dx
dt
( (
)
)
d
d
ΦU +
ΦU
−ρ U
dx
dt
( (
)
)
d
d
= − 2ρ U
ΦU +
ΦU
dx
dt
(7.1.127)
上式を積分して揚力：L が得られ、(7.1.118) 式の x =cos (s) B で座標変換すると、
∫ B
L=−

−B

(
=2 ρ
(
=2 ρ

PU (x, t) − PL (x, t) dx
)
∫

d
dt
d
dt

B

−B

= v1 (s, t) + v2 (s, t)
ここで

d
h (t)
v1 (s, t) = −α (t) U −dt()
dv2 (s, t) = −α (t) (cos (s) B − Ba B)
dt(7.1.130)1
ΦU 1 (θ, t) =π

速度ポテンシャルの Bernoulli の定理表記：(2.9.3) 式dΦdx

上式に (7.1.118) 式を代入し、)(
dα (t) (cos (s) B − Ba B)v (s, t) = −α (t) U −
dt
d
−
h (t)
dt

(7.1.126) 式に上式を代入し、

ΦL (−θ, t) = −ΦU (θ, t)

((

揚力

θ

0

∫ π∫ π2sin (s) v1 (s, t)
dsdθ Bcos (θ) − cos (s)2sin (s)dsdθ Bcos (θ) − cos (s)(θ 0)d× −α (t) U −
h (t)
dt
(
)
d
=sin (θ) B α (t) U +h (t)dt(7.1.131)
1
=
π

∫ ∫
2
1 π π sin (s) v2 (s, t)
dsdθ BΦU 2 (θ, t) =π θ 0 cos (θ) − cos (s)
(d
)
α (t)
= dt
π
∫ π∫ π2sin (s) (Ba − cos (s))×
dsdθ B 2
cos (θ) − cos (s)
θ
0
(d
)
2
d t α (t) (4 π sin (θ) Ba − π sin (2 θ)) B
=−
4π
(d
)
α
(t)
sin
(θ)
(2
Ba − cos (θ)) B 2= − dt2(7.1.132)(7.1.128)

ΦU (x, t) dx(∫ π∫ π∫ π))sin (θ) ΦU (θ, t) dθ B

0

二次元平板翼が h (t) で上下運動し、x = Ba B で α (t)で回転運動するとする。このとき翼の各点の上下運動：za (t) は、
za (t) = −α (t) (x − Ba B) − h (t)
速度：v (x, t) は、上式を時間：t で微分し、()
ddv (x, t) = −α (t) U −α (t) (x − Ba B) −
h (t)
dt
dt
(7.1.129)(7.1.131) 式、(7.1.132) 式から、
ΦU (θ, t) =ΦU 1 (θ, t) + ΦU 2 (θ, t)()
d=sin (θ) B α (t) U +
h (t)
dt
)
(d
α (t) sin (θ) (2 Ba − cos (θ)) B 2− dt2

7.1. ２次元翼291

(7.1.128) 式に上式を代入し、
(
( ∫
(
) ))
)
(
) (d
π
2
d
d
d t α (t) sin (θ) (2 Ba − cos (θ)) B
L =2 ρ
Bsin (θ) sin (θ) B α (t) U +h (t) −
dθ
dt
dt
2
0
(
(
(
)
(
) ))
d B π α (t) B U − π ddt α (t) Ba B 2 + π ddt h (t) B
=2 ρ
dt
2
((
)
( 2
)
)
d
d
d2
2
=π ρ Bα (t) U −α (t) Ba B + 2 h (t)
dt
d t2
dt
(7.1.133)
上記の結果は「5.3.5 一様流中の楕円柱まわりの流れ・
作用力・運動エネルギー (Joukowski 変換)」の (5.3.30)式の平板の付加質量の結果と一致している。

F6:F=-%i*\Gamma[0]/2/%pi*log(z-z[1])+%i*\Gamma[0]/2/%pi*log(z-z[2]);Z61:z[1]=f;
Z62:z[2]=B^2/4/f;
subst([Z61,Z62,Z5],F6);
PH1:\Phi=realpart(rhs(%));
q[\theta](\theta,t)=diff(rhs(%),\theta,1)/(B/2);
trigsimp(%);
DGT1:factor(%);
subst([DGT1],PHTU0);ev(%,integrate);
factor(%);\Phi[U](\theta,t)=(\Gamma[0]*(atan((

P[U]-P[L]=-2*\rho*(’diff(Phi[U](\theta,t),t,1)-U/B/sin(\theta)*’diff(Phi[U](\theta,t),\theta,1));
subst([’diff(Phi[U](\theta,t),t,1)=’diff(Phi[U](\theta,t),x,1)*’diff(x,t,1)],%);
subst([’diff(x,t,1)=U],%);
subst([PHGU2],%);
ev(%,diff);radcan(%);
factor(%);
P2:P[U]-P[L]=-(Gamma[0]*rho*(cos(theta)*B+x)*U)/(%pi*sin(theta)*sqrt(x^2-B^2)*B);
L=-’integrate(rhs(P2)*B*sin(\theta),\theta,0,%pi);
L5:ev(%,integrate);
L51:lhs(L5)=’integrate(subst([\Gamma[0]=-\kappa[w](x,t)],rhs(L5)),x,B,inf);sin(theta)*(B+2*f))/((cos(theta)+1)*(B-2*f)))+%pi/2))/(%pi);
PHGU1:lhs(%)=(\Gamma[0]*(-atan(((cos(theta)+1)*(B-2*f))/(sin(theta)*(B+2*f)))))/(%pi);
PHGU11:subst([sin(\theta)=sqrt(1cos(\theta))*sqrt(1+cos(\theta))],%);
Z1;
subst([z=x+%i*y,\zeta=\xi+%i*eta],%);
realpart(%);
Z7:subst([\eta=0],%);

図 7.1.25: 渦のsqrt(x-B)/sqrt(x+B);%=subst([Z7,A2],%);
radcan(%);

翼から後方に流れて行く渦について調べる。ζ 平面

subst([\xi=f],%);

で半径：R = B
2 の円の外に渦強さ：Γ0 の渦を ξ 軸上のrhs(%)=lhs(%);

z1 = f に置いた時、境界条件を満足させるには、「5.1.16

BF1:denom(lhs(%))=num(lhs(%))*

円定理」から、逆方向の渦を z2 = B
4 f に置く必要があ2

denom(rhs(%))/num(rhs(%));
subst([BF1],PHGU11);
PHGU2:factor(%);

る。この複素ポテンシャル：F は、F =i Γ0 log (z − z2 ) i Γ0 log (z − z1 )
−
2π
2π
B2
ここで、 z1 = f, z2 =
4f

第7章

292
上記から円周上の複素ポテンシャル：F は、
( iθ
)
( iθ
)
2
i Γ0 log e 2 B − Bi Γ0 log e 2 B − f
4f
F =
−
2π
2π
上式の実部をとって、円周上の速度ポテンシャル：Φ
は、(
Γ0 atan2Φ=sin(θ) B cos(θ) B
,
−f
2
2

( 2π
−

Γ0 atan2(7.1.114) 式に z = x + i y, ζ = ξ + i η を代入し、
A2+ ξ + iη
ξ + iη

iy + x =実部をとると、)

2
sin(θ) B cos(θ) B
,
−B
2
2
4f

揚力

x=
)

ξ A2
+ξ
ξ2 + η2

ζ 平面上の ξ 軸上では、

2π
Γ0 , −Γ0 による円周上の接線速度：dq θ は次式により

x=

A2
+ξ
ξ

得られる。
d

qθ (θ, t) = d θrΦ=Γ0 (B − 2 f ) (B + 2 f )π B (B 2 − 4 f cos (θ) B + 4 f 2 )(7.1.134)

上式の接線速度：dq θ を積分し、円周上の速度ポテン
シャル：Φ は、(7.1.125) 式から、

Γ0 (B − 2 f ) (B + 2 f )ΦU (θ, t) = −
2π
∫ π
1
dθ
×
2
2
θ B − 4 f cos (θ) B + 4 f
Γ0 (B − 2 f ) (B + 2 f )
=−
2(π
)
(
sin(θ) B+2 f sin(θ)
2 atan (cos(θ)+1)
B−2 f cos(θ)−2 f
× −B2 − 4 f 2)π− 2
B − 4 f2(())
sin(θ) (B+2 f )Γ0 2 atan (cos(θ)+1)(B−2 f ) + π=
2π()(cos(θ)+1) (B−2 f )Γ0 atansin(θ) (B+2 f )
=−
)
(√ π
cos(θ)+1 (B−2 f )√Γ0 atan1−cos(θ) (B+2 f )=−π(7.1.135)

上式に (7.1.116) 式を代入し、その結果を次式左辺に代入すると、√√
B2
4ξ − B + ξx−B
B − 2f√=√ 2=
B + 2f
B
B+x
+B+ξ
4ξ

(7.1.135) 式に上式を代入すると、(√)√
cos(θ)+1 x−B√
Γ0 atan√1−cos(θ)ΦU (θ, t) = −π

B+x(7.1.136)(7.1.127) 式から、
(

(d
) )
d
d θ ΦU (θ, t) U
PU − PL = − 2 ρΦU (θ, t) −dt
sin (θ) B
((
)(
)
d
d
= − 2ρ
ΦU (θ, t)
x
dx
dt
(d
) )
d θ ΦU (θ, t) U−
sin (θ) B
((
) )
(d
)
d
d θ ΦU (θ, t) U
= − 2ρ
ΦU (θ, t) U −dxsin (θ) B—————————————————————————————————— —————————–
上式に (7.1.136) 式を代入し、


(√
) 


√
cos(θ)+1 x−B
Γ0 atan √
√
(√
)




1−cos(θ) B+x√ d −
 U dθπ√cos(θ)+1 √x−B
Γ
atan
0

 d 
1−cos(θ) B+x 






PU − PL = − 2 ρ − U −
d
x
π
sin
(θ)
B





√

√
1 − cos (θ) B + x (Γ0 ρ cos (θ) B + Γ0 ρ x) U=− √√cos (θ) + 1 x − B ((π cos (θ) − π) B 2 + (π cos (θ) − π) x B)√
Γ0 ρ 1 − cos (θ) (cos (θ) B + x) U√=−√√
π (cos (θ) − 1) cos (θ) + 1 x − B B B + xΓ0 ρ (cos (θ) B + x) U√=−
π sin (θ) B x2 − B 2

7.1. ２次元翼293

上式を積分し、渦強さ：Γ0 による揚力：L は、∫πΓ0 ρ 0 cos (θ) B + xdθ U
Γ0 ρ x U
√
L=
=√
2
2
π x −Bx2 − B 2
上式で渦強さ：Γ0 を逆方向の渦度分布：−κw (x, t) に置き換え、渦度分布の分布範囲の翼後端から無限後方までの積分をすると、∫ ∞x κ (x, t)√ w
L = −ρ
dx U
x2 − B 2
B

plot2d([[parametric,PLX,PLY,[t,0.00001,
0.1],[nticks, 2000]],[parametric,PLX,
PLY,[t,0.1,0.5],[nticks, 2000]],[parametric,PLX,PLY,[t,0.5,1],[nticks, 2000]],[parametric,PLX,PLY,[t,1,100],[nticks, 2000]]],[x,0,1.2],[y,-0.3,0],(7.1.137)[style,[lines,3,1],[lines,3,2],[lines,3,3],[lines,3,4]],[legend,"k=0-0.1","k=0.1-0.5",

QT1;"k=0.5-1","k=1-100"]);QT2:subst([\theta=0],QT1);

翼の運動の境界条件を満足するために円周上に分布しsubst([BF1,\theta=0],DGT1);
factor(%);

た Q による円周上の接線速度：qθ で翼後端における流速は (7.1.124) 式に θ = 0 を代入し、GT2:lhs(%)=’integrate(subst([\Gamma[0]=-\kappa[w](x,t)],rhs(%)),x,B,inf);
QT2+GT2;
rhs(%)=0;2
q0 (0, t) = −
π

∫ π
0

2

sin (s) v (s, t)
ds
1 − cos (s)(7.1.138)

また、翼後方に置いた渦強さ：Γ0 による円周上の接線

last(lhs(%))=-first(lhs(%));

速度：qθ で翼後端における流速は (7.1.134) 式に θ = 0

QT3:\tau=rhs(%);

を代入し、OMG1:\omega=k*U/B;
L52:lhs(L51)=rhs(L51)*lhs(QT3)/rhs(QT3);
KG1:\kappa[w](x,t)=\kappa[w0]*%e^(%i*\omega*(t-x/U));
KG2:\kappa[w](x,t)=\kappa[w0]*%e^(%i*2√
Γ0 (B − 2 f ) B + x
q0 (0, t) = √π x − B B (B 2 − 4 f B + 4 f 2 )√Γ0 B + x= √π x−BB\omega*(-x/U));

上式で渦強さ：Γ0 を逆方向の渦度分布：−κw (x, t) に

subst([KG1],L52);

置き換え、渦度分布の分布範囲の翼後端から無限後方まsubst([KG2],L52);

での積分をすると、√∫ ∞κw (x, t) B + x
1√dx (7.1.139)
q0 (0, t) = −
πB B
x−B

subst([OMG1],%);
subst([\tau=\tau[0]*%e^(%i*\omega*t)],%);
lhs(%)=changevar(num(rhs(%)),a-x/B,a,x)/changevar(denom(rhs(%)),a-x/B,a,x);
L53:lhs(%)=subst([sqrt(a-1)=sqrt(a^2-1)/
sqrt(a+1)],num(rhs(%)))/denom(rhs(%));
L=(%pi*\tau[0]*rho*%e^(%i*omega*t)*B*U)*C(k);
CK1:C(k)=hankel_2(1,k)/(hankel_2(1,k)+%i*hankel_2(0,k));(7.1.138) 式と (7.1.139) 式の和が翼後端の流速で、翼のクッタ条件から、これは零となり、√∫ ∞1
κw (x, t) B + x
√
dx
−
πB B
x−B
∫ π
2
sin (s) v (s, t)
2−
ds = 0π 0
1 − cos (s)上式を左辺左辺第二項を τ とすると、

HK21:hankel_2(1,k)=bessel_j(1,k)
2
τ =−
π

- %i * bessel_y(1,k);HK22:hankel_2(0,k)=bessel_j(0,k)- %i * bessel_y(0,k);
CK2:subst([HK21,HK22,k=t],CK1);
PLX:realpart(rhs(CK2));
PLY:imagpart(rhs(CK2));∫ π

2sin (s) v (s, t)
ds
1 − cos (s)(7.1.140)√
κw (x, t) B + x
√
dx
x−B

(7.1.141)

0

また、

1
τ=
πB

∫ ∞
B

(7.1.137) 式の右辺に (7.1.141) 式の左辺を掛け、(7.1.141)
式の右辺で割ると、∫∞(x,t)π ρ τ B B x√κxw2 −B
dx U
2√
L = − ∫∞
κw (x,t) B+x
√
dx
B
x−B

(7.1.142)

第7章

294
翼の運動が円周波数：ω で周期運動するとすると、
τ, κw (x, t) を下記のように表現できる。

τ = τ0 ei ω ,κw (x, t) = κw0 ei ω (t− U )x(7.1.142) 式に上式を代入し、ω = kBU とすると、
L=−πρτ BU∫ ∞ x ei ω (t− Ux )B√

∫ ∞ √B+x ei ω (√B

x2 −B 2

t− x
U

x−B

)

dx

dx

∫ ∞ x e− i ωU x

π ρ τ B U B √x2 −B 2 dx
∫ ∞ √B+x e− i ωU x
√
dx
B
x−B
kx
∫ ∞ x e− i B
π ρ τ B B √x2 −B 2 dx U=−
kx
∫ ∞ √B+x e− i B
√
dx
B
x−B
ikx
∫
∞ x e− Bπ τ0 ρ e i ω t B B √dx U
x2 −B 2=−kx
∫ ∞ √B+x e− i B
√
dx
B
x−B
=−

x
で座標変換し、積分範囲を 1 → ∞ とすると、
a= B

L=−

π τ0

∫ ∞ a e−i a k√da ρ ei ω t B U
a2 −1∫ ∞ √a+1 e−i a k
√
da
1
a−1

1

積分を Bessel 関数で表すと、

L =π τ0 C (k) ρ ei ω t B U
ここで、C (k) =

hankel 2 (1, k)
hankel 2 (1, k) + i hankel 2 (0, k)

上式の C (k) を図示すると、

図 7.1.26: Theodorsen 関数

上図から、低周波数の運動では定常状態の揚力に近く、高周波数の運動では定常状態の揚力の 1/2 となる。

揚力

7.2. ３次元翼

295

7.2

３次元翼

7.2.1

わき出しと渦度による誘導速度

上式を (7.2.1) 式に代入すると、
)
(
d
d
d
−
→
Φ,
Φ,
Φ]
div ( v ) =div [
dx
dy
dz

→
わき出し：Θ と渦度：−
ω が与えられたとき、与えら=れた位置での流速を求める。

これは Poisson の方程式であり、その解は下記となる。
−−→ →ここで QP = −r とする。
∫∫∫
1
ΘQ
ΦP = −
dV(7.2.4)4πr(1) わき出しによる誘導速度/* わき出しと渦度による誘導速度

d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=Θ
d z2
d y2
d x2

*/

kill(all);

ところで、(B.2.7) 式、669 ページから、grad の極座標

load("vect")

表現は下記となり、



depends(u,[x,y,z]); d A dϕgrad (A) = rdepends(v,[x,y,z]);depends(w,[x,y,z]);r cos(θ)
ddr A

VV:matrix([u],[v],[w]);/* わき出しによる誘導速度ddθ A(7.2.3) 式から dV による速度は、
(
)
−
→
1
ΘQ
dv = −
grad
dV
4π
r


0
1 

=−
0

 dV
4 π ( d 1)
d r r ΘQ


0
1 

=−
 0  dV
4π
Θ
− r2Q

*/

DIV1:div(transpose(VV)[1])=\Theta;
DIV2:express(%);
ROT1:curl(transpose(VV)[1])=0;
ROT2:transpose(express(lhs(%)))=0;
grad(\Phi);
VV1:VV=transpose(express(%));
DIV3:div(transpose(rhs(VV1))[1]);DIV31:express(%);
DIV4:DIV31=rhs(DIV1);[’diff(A,\phi,1)/r/cos(\theta)],

以上から、わき出しによる誘導速度は次式で得られる。
∫∫∫
→
1
ΘQ −
r
−
→
v =
dV
(7.2.5)34πr[’diff(A,r,1)]);(2) 渦度による誘導速度\Phi=-1/(4*%pi)*’integrate(\Theta/r(V),V);
grad(A)=matrix([’diff(A,\theta,1)/r],grad(\Theta/r)=matrix([0],[0],[’diff(1/r,r,1)])*\Theta;/* 渦度による誘導速度

DPHI1:ev(%,diff);→
流速：−v を下記で表す。

*/

OM:matrix([\omega[x]],[\omega[y]],[\omega[z]]);

 
u
 
−
→
v = v w

DIV6:div(transpose(VV)[1])=0;
DIV61:express(%);→
わき出し：Θ と流速：−v は下記を満足するものとする。

ROT2:transpose(express(%))=OM;→
div (−
v)=

d
d
d
w+
v+
u=Θ
dz
dy
dx
 d

d
dy w − dz v→curl (−v ) =  ddz u − ddx w = 0

ROT1:curl(transpose(VV)[1]);DVOM1:dv=\Gamma*sin(\theta)*dx/(4*%pi*r^2);(7.2.1)R1:r=sqrt(h^2+x^2);
DVOM2:subst([SIN1,R1],DVOM1);(7.2.2)dddx v − dy u

流れを表している。いま、速度ポテンシャル:Φ を導入

w

d
dz Φ

assume(h>0);
VOM1:v=’integrate(rhs(DVOM2/dx),x,minf,

上式から、(7.2.1) 式はわき出しを、(7.2.2) 式は渦なし
すると、下記の関係がある。
   d udx Φ   d −→v =  v  =  d y Φ = grad (Φ)

SIN1:sin(\theta)=h/r;(7.2.3)inf);
ev(%,integrate);→
渦度：−ω を下記で表す。



ωx



 
−
→
ω = ωy 
ωz

第7章

296

揚力

→
渦度：ω と流速：−v は下記を満足するものとする。
→
div (−
v)=

d
d
d
w+
v+
u=0
dz
dy
dx
 d
  
d
ωx
dy w − dz v   →→
ωcurl (−v ) =  ddz u − ddx w = ωy  = −dddx v − dy u

(7.2.6)(7.2.7)ωz

上式から、(7.2.6) 式はわき出しがない流れを、(7.2.7) 式
は渦度を表している。いま、次式で定義するベクトルポ−→−→
テンシャル: A を導入する。ここで div( A ) = 0 とする。

−→−→
v = curl A(7.2.8)上式を (7.2.7) 式に代入すると、−→ →curl curl A = −ω

(7.2.9)

下記に定義する ∇ を使って、(C.3.7) 式、689 ページから、

→
d −
d −
d −
→
→
i +
j +
k
dx
dy
dz
−
→
−
→
→
curl curl A = ∇ × (∇ × A ) = −ω

図 7.2.1: 渦循環による誘導速度∇=

ここで、下記の関係式を上式に代入し、(7.2.10)３ベクトルの外積の関係式:(C.2.7) 式、687 ページ、gradsin (θ) =の ∇ 表示式：(C.3.5) 式、689 ページ、div の ∇ 表示式：

(C.3.6) 式から、上式は、
−
→
−
→
−
→
∇ × (∇ × A ) = − (∇ · ∇) A + (∇ · A ) ∇−→−→= − ∇2 A + ∇ (∇ · A )
−
→
−
→
→
= − ∇2 A + grad (div A ) = −
ω
以上から、

−
→
→
∇2 A = −−
ω

−→
1
AP =
4π

∫ ∫ ∫ −→
ωQ
dV
r

(7.2.8) 式から dV による誘導速度は、( −→ )
−
→
1
ωQ
dv =
curl
dV
4π
r
( )
1
1
=
grad
×−
ω→
Q dV
4π
r
→
1 −→ −r=
ωQ × 3 dV
4πr(7.2.12)(7.2.13)以上から、渦度による誘導速度は次式で得られる。
∫∫∫
−
→
r
1
−
−
→
ω→
(7.2.14)v =Q × 3 dV
4πr

x 軸上に渦循環強さ：Γ による誘導速度：dv は、(7.2.13)−→
式で −ω→dV → Γ ds と書き換え、
Q

−
→
→ −
Γ −
dv =
ds × →r3
4πrdx Γ sin (θ)
dv =4 π r2(7.2.15)r=√x2 + h 2dx Γ hdx Γ h=34 π r34 π (x2 + h2 ) 2(7.2.16)x 軸上の無限長さの渦循環強さ:Γ による誘導速度は、上式を −∞ → ∞ 積分し、
∫ ∞
1
1
v=
Γh
3 dx
4π
2
−∞ (x + h2 ) 2

Γ
=
2πh

(7.2.11)−→(7.2.4) 式と同様に考えて、ベクトルポテンシャル:AP
は、

dv =

h
,
r

(7.2.17)

7.2. ３次元翼297

揚力線理論 (フーリエ変換)

7.2.2

三次元の翼性能について調べる。一様流速：U の中に

y 軸上に置かれた、迎角：α、翼の長さ：2B の翼が左右に細長く、x − z 断面まわりの流れは二次元の翼理論が適用できるとする。各翼断面の渦循環：Γ(y) は翼断面ごとに異なり、翼で発生した渦は下図のように後方に一様流に沿って流れるものとする。このとき後方に流れた渦角の変化：αi は下記となる。

w (y)U
揚力は流向に直角に作用するので、ある断面の揚力の zαi =軸方向成分：dL と x 軸方法成分：dD は渦循環：Γ(y)が与えられると下記となる。

dL = dy cos (αi ) ρ Γ (y) U,

dD = dy sin (αi ) ρ Γ (y) Uの誘導速度により翼面に下方の downwash：w が生じる。 α が小さいとして、α → w(y) に置き換えると、iidL = dy ρ Γ (y) U,

dD = dy ρ Γ (y) w (y)(7.2.18)

上式を翼の長さ：y 軸方向に積分し、翼の揚力:L、抵抗：D
は、

∫ B
L=ρ

∫ B
Γ (y) dy U,

D=ρ

−B

Γ (y) w (y) dy−B(7.2.19)

η で後方へ流出する渦による翼上 y における downwash：
図 7.2.2: 揚力線理論/* 揚力線理論 */kill(all);
AL1:\alpha[i]=w(y)/U;
DL1:dL=\rho*U*\Gamma(y)*dy*cos(\alpha[i]);dw(y) は、(7.2.17) 式の 1/2 となり、()
d η ddη Γ (η)
dw (y) = −4 π (η − y)
翼上 y における downwash：w(y) は、上式を翼の長さ：

y 軸方向に積分し、
w (y) = −

1
4π

∫ B
−B

d
d η Γ (η)η−ydη

(7.2.20)

DD1:dD=\rho*U*\Gamma(y)*dy*sin(\alpha[i]);DL2:dL=\rho*U*\Gamma(y)*dy;

Y1:y=B*cos(\theta);

dD=\rho*U*\Gamma(y)*\alpha[i]*dy;

Y2:\eta=B*cos(t);DD2:subst([AL1],%);

DY1:’diff(y,\theta,1)=diff(rhs(Y1),

L1:L=integrate(rhs(DL2)/dy,y,-B,B);
D1:D=integrate(rhs(DD2)/dy,y,-B,B);\theta,1);
NGY1:\Gamma[n]*sin(n*\theta);

W1:dw(y)=-1/(4*%pi)*’diff(\Gamma(\eta),

GY1:\Gamma(\theta)=sum(NGY1,n,1,inf);\eta,1)*d*\eta/(\eta-y);

DGY1:’diff(lhs(GY1),y,1)*d*y=diff(rhs(GY1),\theta,1)*d*\theta;

assume(B>0);
W2:w(y)=’integrate(rhs(W1)/d/\eta,\eta,

DGY2:subst([y=\eta,\theta=t],DGY1);-B,B);

W3:w(\theta)=1/(4*%pi)*’integrate(rhs(DGY2)/d/t/(B*cos(t)B*cos(\theta)),t,0,%pi);
CSN0:’integrate(cos(n*t)/(cos(t)-cos(\theta)),t,0,%pi)=%pi*sin(n*\theta)/sin(\theta);
W4:w(\theta)=1/4/B*sum(\Gamma[n]*n*sin(n*\theta),n,1,inf)/sin(\theta);
L2:L=\rho*U*’integrate(sum((NGY1),n,1,inf)*rhs(DY1)*(-1),\theta,0,%pi);

図 7.2.3: downwash と揚力・抵抗成分

L3:L=sum(\rho*U*’integrate(NGY1*rhs(DY1)*(-1),\theta,0,%pi),n,1,inf);
subst([inf=5],%);

翼の迎角：α は小さいとし、downwash：w(y) も一様
流速：U に比べ十分小さい。downwash：w(y) による迎ev(%,sum);
L4:ev(%,integrate);

第7章

298

揚力

揚力：L は、(7.2.19) 式に渦分布：(7.2.22) 式を代入し、(7.2.21) 式の関係から、

W41:subst([n=m],W4);
D2:D=\rho*’integrate(sum((NGY1),n,1,inf)*rhs(W41)*rhs(DY1)*(-1),\theta,0,%pi);

∫ π
L =ρ
0

subst([inf=5],%);
ev(%,sum);=ρ

ev(%,integrate);
D3:D=\rho/8*%pi*sum(n*\Gamma[n]^2,n,1,inf);
y 座標を下記の θ に変換する、
y = cos (θ) B,

sin (θ)dy = −sin (θ) Bdθ

(7.2.21)

(∞
∑

∫ π

記で表現する。この関数を上図に示す。ここで、翼端で常に Γ が零となるようになっている。

Γ (θ) =∞∑

Γn sin (n θ)(7.2.22)n=1

上式を θ で微分すると、dΓn (θ) = n Γn cos (n θ)dθdd η Γ (η) は下記となり、

(
dη

)
∞
∑
d
Γ (η) = d tn Γn cos (n t)dη
n=1(7.2.20) 式に上式および (7.2.22) 式の関係式を代入し、downwash：w(y) は下記となる。ここで積分範囲 −B →B が π → 0 となるので、これを考慮する。
∫ π ∑∞
1n=1 n Γn cos (n t)w (θ) =
dt
4 π 0 cos (t) B − cos (θ) B(7.2.23)

次式の積分公式から1 、∫ πcos (n t)
π sin (n θ)
dt =
cos
(t)
−
cos
(θ)
sin (θ)0
上記、公式から (7.2.23) 式は、∑∞n Γn sin (n θ)w (θ) = n=1
4 sin (θ) B
1 森口 繁一、宇田川
分・平面曲線、岩波書店

久、一松 信：岩波数学公式 1
2003 32)
P.248(7.2.24)
微分積)sin (θ) sin (n θ) dθ

Γn

BU

0

n=1
∫ π

=Γ5 ρ

sin (θ) sin (5 θ) dθ B U∫ π+ Γ4 ρ
sin (θ) sin (4 θ) dθ B U∫0 π+ Γ3 ρ
sin (θ) sin (3 θ) dθ B U∫0 π+ Γ2 ρ
sin (θ) sin (2 θ) dθ B U
0∫ π
2+ Γ1 ρ
sin (θ) dθ B U + ...
00

翼の y 軸方向の分布を (7.2.21) 式で θ に置き換え、下Γn sin (n θ) dθ B U

n=1

π Γ1 ρ B U=
2

図 7.2.4: sin(nθ)∞∑(7.2.25)

7.2. ３次元翼

299

抵抗：D は、(7.2.19) 式に渦分布：(7.2.22) 式、downwash：w(θ)：(7.2.24) 式を代入し、(7.2.21) 式の関係から、(∞)∫ π ∑∞( m=1 m Γm sin (m θ)) ∑D =−ρΓn sin (n θ) (−B sin(θ)) dθ
4 sin(θ) B
0
n=1
)(∞
)
∫ ( ∞
∑
ρ π ∑
=
m Γm sin (m θ)Γn sin (n θ) dθ
4 0
m=1
n=1
∫
ρ π
=
(· · · Γ5 sin (5 θ) + Γ4 sin (4 θ) + Γ3 sin (3 θ) + Γ2 sin (2 θ) + Γ1 sin (θ))
4 0× (· · · 5 Γ5 sin (5 θ) + 4 Γ4 sin (4 θ) + 3 Γ3 sin (3 θ) + 2 Γ2 sin (2 θ) + Γ1 sin (θ)) dθ)· · · 5 π Γ25 + 4 π Γ24 + 3 π Γ23 + 2 π Γ22 + π Γ21 ρ
=
8
(

から

以上から、

D=

(∞
πρ ∑
8

)
n Γ2n

Γ=

(7.2.26)

n=1

Γ1

√

B 2 − y2Bとなり、楕円分布となる。また、downwash：w は下記となり、一定値となる。

L41:subst([n=1],L4);
D41:D=\rho/4*%pi/2*(1*\Gamma[1]^2);w=

GY2:\Gamma=\Gamma[1]*sin(\theta);
GY3:subst([sin(\theta)=sqrt(B^2-y^2)/B],%);

揚力、抵抗を翼面積：S で無次元化すると、

W5:w=\Gamma[1]/4/B;
CL =CL1:C[L]=rhs(L41)/(1/2*\rho*U^2*S);
CD1:C[D]=rhs(D41)/(1/2*\rho*U^2*S);Γ1
4B

π Γ1 B
,
SU

CD =

π Γ21
4 S U2

平均コード長さ：Cm 、平均コード長さを使った翼のア

CM1:C[m]=S/2/B;

スペクト比 Acm は下記となる。

A1:A[cm]=2*B/C[m];A2:subst([CM1],A1);Cm =S2:solve(A2,S)[1];solve(CL1,\Gamma[1])[1];

S
,
2B

Acm =

2B
4 B2
=
Cm
S

下記の関係式から、

subst([%,S2],CD1);
抵抗が最小となるには、(7.2.26) 式で n = 2 → ∞ のΓn = 0 の時である。このことから、最小抵抗の揚力と

4 B2
,
Acm

Γ1 =

CL S U
πB

以上から、抵抗の無次元化は下記となる。

抵抗は、

L=

S=

π Γ1 ρ B U,
2

D=

π Γ21 ρ8

このときの渦分布は、

Γ = Γ1 sin (θ)(7.2.27)

CD =

CL2
π Acm

(7.2.28)

上記から、抵抗を小さくするには、翼のアスペクト比を大きくした方がよい。

第7章

300

7.2.3

揚力面理論の定式化

三次元の翼で厚さが薄く、反りも少ないものとする。

揚力

DQA1:dq[a]=sqrt((y-b)^2+z^2)*\kappa[a](a,b)*da/(4*%pi*(((x-a)^2

この三次元翼の平面要素に渦度を分布させる揚力面理論+(y-b)^2+z^2)^(3/2)));の基礎方程式を導く1 。下図に示すように翼型に沿って

DWA1:dw[a]=dq[a]*(y-b)/sqrt((y-b)^2+z^2);x 軸方向の渦度：κa 、y 軸方向の渦度：κb を座標 (a, b)

DWA11:subst([DQA1],DWA1);に分布させる。渦度の正方向はそれぞれの軸の右ねじ方

渦近傍の流速は (7.1.83) 式から、向とする。また、翼形状を (x, y, za ) で表し、翼のコー

u (x, y, ϵ) =ド長さ：2A、翼のスパン：2B 、流速は x 軸方向に U 、
迎角：α とする。

κb (x, y)2

κa (x, y)2「8.1.4 渦度方程式 (x-y-z 座標系)」の (8.1.27) 式からv (x, y, ϵ) = −z 軸方向の渦度：ωz は理想流体であるから零となり、
ωz =

d
d
v (x, y) −u (x, y) = 0dxdy

上式から下記の関係式が得られる。

ddκb (x, y) +κa (x, y) = 0
dy
dx
d
d
κa (a, b) = −κb (a, b)dadb(7.2.29)

点：(x,y,z) における κb (a, b) による誘導速度：dq b は(7.2.16) 式から、√
2
κb (a, b) db z 2 + (x − a)dq b =()322 2
4 π z 2 + (y − b) + (x − a)
この z 軸方向の速度：dwb は、
図 7.2.5: 渦度：κa 、渦度：κb による誘導速度kill(all);dq (x − a)dwb = − √ b2z 2 + (x − a)=−assume(B>0);
assume(A>0);u(x,y,+\epsilon)=+\kappa[b](x,y)/2;v(x,y,+\epsilon)=-\kappa[a](x,y)/2;’diff(v(x,y),x,1)-’diff(u(x,y),y,1)=0;
KC1:’diff(\kappa[a](x,y),x,1)+’diff(\kappa[b](x,y),y,1)=0;
subst([x=a,y=b],%);
KC2:%-first(lhs(%));
DQB1:dq[b]=sqrt((x-a)^2+z^2)*\kappa[b](a,b)*db/(4*%pi*(((x-a)^2

DWB11:subst([DQB1],DWB1);

1 Raymond L. Bisplinghoﬀ, Holt Ashley, Robert L. Halfman,

Aeroelasticity 22) 5-5 Finite wings in steady motion flow P.221
を主に参考にした

(
)3
2
2 2
4 π z 2 + (y − b) + (x − a)点：(x,y,z) における κa (a, b) による誘導速度：dq a は(7.2.16) 式から、√
2
κa (a, b) da z 2 + (y − b)dq a =()322 2
4 π z 2 + (y − b) + (x − a)
この z 軸方向の速度：dwa は、

dq (y − b)
dwa = √ a2
z 2 + (y − b)+(y-b)^2+z^2)^(3/2)));DWB1:dw[b]=-dq[b]*(x-a)/sqrt((x-a)^2+z^2);(7.2.30)

κb (a, b) db (x − a)=(7.2.31)κa (a, b) da (y − b)()
22
4 π z 2 + (y − b) + (x − a)32

7.2. ３次元翼301

翼面上の渦及び翼から後方に流出する渦による翼面上：(x, y, 0) における z 軸方向の誘導速度は、κb (a, b) による

ev(%,integrate);

ものを wb (x, y, 0)、κa (a, b) によるものを wa1 (x, y, 0)、

IB12I:-(y-b)/(4*%pi*(x-a)*sqrt((y-b)^2

factor(%);κa (A, b) が後方に流出した渦によるものを wa2 (x, y, 0)+(x-a)^2));とする。
DWB10:subst([z=0],DWB11);

IB11*IB12I;
subst([\kappa[b](a,b)=\kappa[b](a,B),b-y=

WB1:w[b](x,y,0)=’integrate(’integrate(

B-y,y-b=y-B],%)-subst([\kappa[b](a,b)=rhs(DWB10)/db,a,-A,A),b,-B,B);\kappa[b](a,-B),b-y=-B-y,y-b=y+B],%);

assume(x-a>0);’integrate(%,a,-A,A);

IB1:rhs(DWB10)/db;

WB11:w[b](x,y,0)=-’integrate(’integrate(

IB11:-\kappa[b](a,b);

IB11D*IB12I,a,-A,A),b,-B,B);

IB11D:-’diff(\kappa[b](a,b),b,1);
IB12:IB1/IB11;

wb (x, y, 0) は (7.2.30) 式で z = 0 とし、これを積分することで得られる。さらに、部分積分し、翼左右端部で’integrate(IB12,b);は κb (a, −B) = 0, κb (a, B) = 0 であるから、これを代入し、

1
wb (x, y, 0) = −4π∫ B ∫ A
−B

∫ A

−A

(

κb (a, b) (x − a)2(y − b) + (x − a)2

) 32 dadb

κb (a, −B) (−B − y)κb (a, B) (B − y)
√
√
−
da
2
2
2
2
−A 4 π (x − a)(B + y) + (x − a)4 π (x − a) (y − B) + (x − a)
∫ B
∫ A
d
κb (a, b)1√d b+(b − y)dadb
4 π −B
2
2−A (x − a)(y − b) + (x − a)
∫ B
∫ A
d
κb (a, b)1√d b=(b − y)dadb
4 π −B
2
2−A (x − a)(y − b) + (x − a)=(7.2.32)

DWA10:subst([z=0],DWA11);

IA11*IA12I;

WA1:w[a1](x,y,0)=’integrate(’integrate(

subst([\kappa[a](a,b)=\kappa[a](A,b),a-x=rhs(DWA10)/da,b,-B,B),a,-A,A);

A-x,x-a=x-A],%)-subst([\kappa[a](a,b)=

IA1:rhs(DWA10)/da;\kappa[a](-A,b),a-x=-A-x,x-a=x+A],%);

IA11:\kappa[a](a,b);’integrate(%,b,-B,B);

IA11D:’diff(\kappa[a](a,b),a,1);

w[a1](x,y,0)=%-’integrate(’integrate(

IA12:IA1/IA11;

IA11D*IA12I,b,-B,B),a,-A,A);’integrate(IA12,a);WA11:subst([\kappa[a](-A,b)=0],%);
wa1 (x, y, 0) は (7.2.31) 式で z = 0 とし、これを積分ev(%,integrate);

することで得らる。さらに、部分積分し、翼前端部でfactor(%);

は κa (−A, b) = 0、翼後端部では κa (A, b) ̸= 0 である

IA12I:-(x-a)/(4*%pi*(y-b)*sqrt((y-b)^2

から、

assume(y-b>0);+(x-a)^2));

第7章

302

wa1 (x, y, 0) =1
4π

∫ A∫ B
−A

−B

(

∫ B

κa (a, b) (y − b)22(y − b) + (x − a)

揚力

) 32 dbda(A − x) κa (A, b)(−A − x) κa (−A, b)
√
√
−
db
2
2
2
2
−B 4 π (y − b)(x − A) + (y − b)
4 π (y − b) (A + x) + (y − b)
∫ A
∫ B
d
κa (a, b)1√d a(a − x)−dbda
4 π −A22−B (y − b)(y − b) + (x − a)∫(A − x) Bκ (A, b)
√ a
=
db
4π
2
2
−B (y − b)(x − A) + (y − b)
∫ A
∫ B
d
κa (a, b)1√d a(a − x)dbda−
4 π −A22−B (y − b)(y − b) + (x − a)=(7.2.33)

DWA20:subst([z=0,\kappa[a](a,b)=

WA212:dw[a22](x,y,0)=\kappa[a](A,b)\kappa[a](A,b)],DWA11);*last(IA20);

WA2:w[a2](x,y,0)=’integrate(’integrate(’integrate(’diff(\kappa[a](a,b),a,1),a,rhs(DWA20)/da,a,A,inf),b,-B,B);-A,A)=\kappa[a](A,b)-\kappa[a](-A,b);

DIA2:rhs(DWA20)/da/\kappa[a](A,b);rhs(%)=lhs(%);’integrate(DIA2,a);subst([\kappa[a](-A,b)=0],%);

ev(%,integrate);

subst([KC2],%);

factor(%);

WA22:subst([%],WA211);

IA2:-(x-a)/(4*%pi*(y-b)*sqrt((y-b)^2

lhs(WA22)=-’diff(\Gamma(b),b,1)/4/%pi/+(x-a)^2));(y-b);

limit(IA2,a,inf);

WA231:w[a21](x,y,0)=’integrate(rhs(%),b,

IA21:factor(%);-B,B);

IA22:subst([a=A],IA2);

WA232:w[a22](x,y,0)=’integrate(

IA20:IA21-IA22;

rhs(WA212),b,-B,B);

WA21:dw[a2](x,y,0)=\kappa[a](A,b)*IA20;

翼の後端から x 軸方向に流出した κa (A, b) による点：WA211:dw[a21](x,y,0)=\kappa[a](A,b)(x,y,0) における誘導速度：wa2 (x, y, 0) は (7.2.31) 式で*first(IA20);

z = 0 とし、a の積分を実施し、

1
wa2 (x, y, 0) =
4π

∫ B
−B

(y − b)

∫ ∞
A



(

κa (A, b)22(y − b) + (x − a)) 32 dadbA−x κa (A, b) db√
224 π (y − b) (x − A) + (y − b)
∫ B
∫ B
1
A−x
√
=
κa (A, b) db
κa (A, b) db −
4
π
(y
−
b)
2
2
−B
−B 4 π (y − b)(x − A) + (y − b)
∫ B

1

=
−
4 π (y − b)−B

(7.2.34)

上式の第一項：wa21 (x, y, 0)、第二項：wa22 (x, y, 0) とすると、∫ B
wa21 (x, y, 0) =(A − x)wa22 (x, y, 0) = −4π

1κa (A, b) db
4
π
(y
− b)
−B

∫ B
−B (y − b)√(7.2.35)

κa (A, b)2(x − A) + (y − b)db2

(7.2.36)

7.2. ３次元翼

303

ところで、
∫ A
d
κa (a, b) da = κa (A, b) − κa (−A, b)d−A a

WAB11:WB11+WA11+WA232;
subst([KC2],rhs(%));-(x-a)*’diff(kappa[b](a,b),b,1)/((y-b)*

翼の前縁で κa (−A, b) = 0 で、(7.2.29) 式から、∫ Adκa (A, b) =κa (a, b) da
d
−A a
∫ A
d
=−
κb (a, b) da−A d bsqrt((y-b)^2+(x-a)^2))/4/%pi-(y-b)*’diff(kappa[b](a,b),b,1)/((x-a)*sqrt((y-b)^2+(x-a)^2))/4/%pi;factor(%);-((’diff(kappa[b](a,b),b,1))*sqrt((y-b)^2

また、Γ (b) として下記とすると、∫ A
Γ (b) =
κb (a, b) da+(x-a)^2))/(4*%pi*(x-a)*(y-b));
WAB12:lhs(WAB11)=’integrate(−A’integrate(%,b,-B,B),a,-A,A);

∫ A

d
d
Γ (b) =
κb (a, b) da
db−A d b
(7.2.35) 式に上記の関係式を代入すると、

W1:w(x,y,0)=rhs(WAB12)+’integrate(rhs(WA22),b,-B,B);
W2:lhs(%)=rhs(WAB12)+rhs(WA231);∫ B

1
κa (A, b) db
4
π
(y
− b)
−B
∫ B
∫ A
1
d
=−
κb (a, b) dadb
4
π
(y
−
b)
d
b
−B
−A
∫ B d
Γ (b)
1
db
db
=−
4 π −B y − b(7.2.37)

wa21 (x, y, 0) =以上から、(7.2.32) 式、(7.2.33) 式、(7.2.36) 式、(7.2.37) 式の和から、w (x, y, 0) を求めると、

∫ B

∫ A

d
κb (a, b)
√d b
dadb
2
2
−B
−A (x − a)(y − b) + (x − a)
∫ A
∫ B d
∫ B
d
κa (a, b)11
d b Γ (b)√d a−dbda −db(a − x)(7.2.38)
4 π −A
4 π −B y − b22−B (y − b)(y − b) + (x − a)√
∫ A ∫ B ( ddb κb (a,b)) (y−b)2 +(x−a)2 db
∫ B d
1
1
y−b
−B
d b Γ (b)
=−
da −
db
4 π −Ax−a4 π −B y − b()
境界条件から、w (x, y, 0) = ddx za U を上式に代入すると下記となる。右辺第二項は「7.2.2 揚力線理論 (フーw (x, y, 0) =1
4π

(b − y)リエ変換)」の (7.2.20) 式に対応している。

(

d
za
dx

)
U =−

1
4π

∫ A ∫ B−A−B√
dd b κb (a, b)2(y − b) + (x − a)(x − a) (y − b)2dbda −

1
4π

∫ B
−B

d
d b Γ (b)y−bdb(7.2.39)

第7章

304

7.2.4

揚力

揚力線理論 (プラントルの積分方程式)

三次元の翼で厚さが薄く、反りも少なく、高アスペク
ト翼の場合を検討する1 。図 7.2.5 の上図に示すように

lhs(%)=’integrate(((’diff(\kappa[b](a,b),

翼型に沿って y 軸方向の渦度：κb を座標 (a, b) に分布b,1))*abs(y-b))/(y-b),b,-B,y)させる。渦度の正方向は軸の右ねじ方向とする。また、+’integrate(((’diff(\kappa[b](a,b),b,1))

平板翼とし、翼のコード長さ:2A、翼のスパン:2B 、流*abs(y-b))/(y-b),b,y,B);

速は x 軸方向に U 、迎角：α とする。ここで三次元翼で

lhs(%)=’integrate(’diff(\kappa[b](a,b),

翼のスパン：2B がコード長さ：2A に比べ十分大きい：b,1),b,-B,y)-’integrate(

B >> A：高アスペクトとする。本節の下記のプログラ’diff(\kappa[b](a,b),b,1),b,y,B);

ムは前節に引き続き実行する。

lhs(%)=(\kappa[b](a,y)-\kappa[b](a,-B))-(\kappa[b](a,B)-\kappa[b](a,y));UZ1:U*’diff(z[a],x,1)=rhs(W2);subst([\kappa[b](a,B)=0,\kappa[b](a,-B)

forget(y-b>0);=0],%);

WAB2:rhs(WAB12);

WAB13:subst([%],WAB12);

WAB21:’integrate(((’diff(\kappa[b](a,b),

UZ2:lhs(UZ1)=rhs(WAB13)+rhs(WA231);b,1))*sqrt((y-b)^2+(x-a)^2))/(y-b),b,
前節の結果から渦度と境界条件の関係式：(7.2.39) 式-B,B);
WAB21=subst([(y-b)^2+(x-a)^2=(y-b)^2],%);(w (x, y, 0) =

d
za
dx

)
U =−

1
4π

∫ A ∫ B−A

は下記である。

dd b κb (a, b)√22(y − b) + (x − a)(x − a) (y − b)−Bdbda −

1
4π

∫ B
−B

d
d b Γ (b)y−bdb(7.2.40)

上式の右辺第一項の積分について、高アスペクト：B >> A とすると |y − b| >> |x − a| と仮定でき、|x − a| の項を削除し、翼左右端で κb (a, B) = 0, κb (a, −B) = 0 とすると、√)∫ B ( d κ (a, b)) (y − b)2 + (x − a)2∫ B (ddb b
d b κb (a, b) |y − b|
db =
db
y−b
y−b
−B
−B
)
)
∫ y (d∫ B(dd b κb (a, b) |y − b|d b κb (a, b) |y − b|
=
db +
db
y−b
y−b
−B
y
∫ B
∫ y
d
d
κb (a, b) db −κb (a, b) db
=
d
b
d
b
−B
y

= − κb (a, B) − κb (a, −B) + 2 κb (a, y) = 2 κb (a, y)(7.2.40) 式に上式を代入すると、(
w (x, y, 0) =

d
za
dx

)
U =−

1
2π

∫ A

κb (a, y)1da −4π−A x − a∫ B−Bdd b Γ (b)y−bdb(7.2.41)

1 Raymond L. Bisplinghoﬀ, Holt Ashley, Robert L. Halfman, Aeroelasticity 22) 5-5 Finite wings in steady motion flow (a)Liftingline theory P.229 を主に参考にした

7.2. ３次元翼305

LKB1:\kappa[b](a,y)=sqrt(A-a)/sqrt(A+a)*K;

subst([’diff(z[a],x,1)=-\alpha],%);

LG1:\Gamma(y)=’integrate(lhs(%),a,-A,A);

subst([A=C/2],%);

subst([LKB1],%);-%*C*%pi/2;

ev(%,integrate);

UZ4:expand(%);

LG2:solve(%,K)[1];「7.1.8 薄翼理論 (積分方程式)」から二次元平板翼のWAB131:rhs(WAB13)=subst([LKB1],

渦度分布：(7.1.90) 式を基に、コード方向の渦度分布を

rhs(WAB13));

下記とする。

lhs(%)=changevar(rhs(%),a-A*c,c,a);√
A − aKκb (a, y) = √A+alhs(%)=subst([x=A*d],rhs(%));
factor(%);
lhs(%)=-(’integrate((1-c)/(sqrt(1-c^2)*(7.2.42)

上式をコード方向に積分すると、(d-c)),c,-1,1)*K)/(2*%pi);

∫ A √
A−a
√
da K
Γ (y) =
κb (a, y) da =
A+a
−A
−A
∫ A

lhs(%)=-(’integrate((1)/(sqrt(1-c^2)*(d-c)),c,-1,1)*K)/(2*%pi)+-(’integrate((-c)/(sqrt(1-c^2)*(d-c)),c,-1,1)*K)=π A K/(2*%pi);
上式から、下記の関係式が得られる。

lhs(%)=-1/2*K;
subst([LG2],%);

K=

subst([%],UZ2);

Γ (y)
πA

(7.2.43)(7.2.41) 式の右辺第一項でコード方向の渦度分布が (7.2.42) 式になるとして、これを代入し、x = A d, a = A cの変数変換を行い、「特異核を持つ積分方程式

11.7.2 二次元薄翼理論（有限ヒルベルト変 換）1 」の有限ヒルベルト変換の結果を使い、(7.2.43) 式を代入すると、

1
−
2π

∫ A

√

√
∫ 1
A−a
1
1−c
√
√
da K = −dc K
2 π −1 c + 1 (d − c)
A+a−A (x − a)
∫ 1
1
1−c
√
=−
dc K
2 π −1 1 − c2 (d − c)
∫ 1
∫ 1
c
1
Γ (y)
1
1
K
√
√
=
dc K −
dc K = − = −22
2 π −1 1 − c (d − c)
2 π −1 1 − c (d − c)2
2πA
(7.2.44)κb (a, y)1da = −
2π−A x − a∫ A(7.2.41) 式に上式を代入し、翼として平板翼とすると ddx za = −α となり、
w (0, y, 0) = −α U = −

Γ (y)
1
−
2πA 4π∫ B−Bdd b Γ (b)y−bdb(7.2.45)

上式に A = C2 を代入し、翼のコード長さ：C で表すと、下記のプラントルの積分方程式が得られた。

παC U
1
=
2
8

1 溝口純敏：Maxima を使った物理数学基礎演習ノート

∫ B
−B

d
d b Γ (b)y−bdb C +

Γ (y)2

http://www9.plala.or.jp/prac-maxima/(7.2.46)

第7章

306

揚力

級数で表す。

B1:b=B*cos(\phi);
Y1:y=B*cos(\theta);

Γ (ϕ) =(∞∑

DB1:’diff(b,\phi,1)=diff(rhs(B1),\phi,1);
DGM1:’diff(\Gamma(b),b,1)=’diff(\Gamma)
An sin (n ϕ)BU(7.2.49)

n=1

上式から、

(\phi),\phi,1)/rhs(DB1);dΓ (ϕ) =dϕ

UZ3L20:first(rhs(UZ4));
subst([DGM1],%);
changevar(%,lhs(B1)-rhs(B1),\phi,b);(∞∑)
n An cos (n ϕ)BU(7.2.50)n=1(7.2.48) 式の右辺に (7.2.50) 式を代入し、積分と和のsubst([Y1],%);

順序を変え、(7.1.58) 式の積分公式1 を適用すると、UZ3L20=C*integrate(sin(\phi)/(cos(\phi)*B-cos(\theta)*B)*(’diff(\Gamma(\phi),
18\phi,1))/sin(\phi),phi,0,%pi)/8;
UZ3L21:factor(%);
GP1:\Gamma(\phi)=U*B*sum(A[n]*sin(n*\phi),n,1,inf);
GP2:subst([\phi=\theta],GP1);GP3:subst([n=m],%);
DGP1:’diff(\Gamma(\phi),\phi,1)=diff(rhs(GP1),\phi,1);∫ B

dd b Γ (b)db Cy−b
∫ π ∑∞
1n=1 n An cos (n ϕ)=−dϕ C U8 0
cos (θ) − cos (ϕ)
(∞
)
∫ π
1 ∑
cos (n ϕ)=−
n An
dϕ C U
8 n=1
0 cos (θ) − cos (ϕ)(∞)∑π
n An sin (n θ) C U=
8 sin (θ) n=1−B(7.2.51)

subst([DGP1],UZ3L21);
lhs(%)=-(sum(’integrate(n*A[n]*cos(n*\phi)/(cos(\theta)-cos(\phi)),\phi,0,%pi),n,1,inf)*C*U)/8;
UZ3L22:subst([’integrate(cos(n*\phi)/(cos(\theta)-cos(\phi)),\phi,0,%pi)=-%pi*sin(n*\theta)/sin(\theta)],%);
subst([UZ3L22],UZ4);(7.2.46) 式に (7.2.49) 式、(7.2.51) 式を代入すると、
(∞
)
∑
παC U
π
=
n An sin (n θ) C U
2
8 sin (θ) n=1
(∞
)
1 ∑
+
An sin (n θ) B U
2 n=1

UZ42:subst([\Gamma(y)/2=
上式を B U で割ると、
(∞
)
∑
παC
π
=
n An sin (n θ) CB
4 sin (θ) B\Gamma(\theta)/2],%);
subst([GP2],UZ42);%/(B*U/2);

n=1

UZ5:expand(%);+(7.2.46) 式を下記の変数変換を行う。

∞∑(7.2.52)

An sin (n θ)n=1

b = cos (ϕ) B,

y = cos (θ) B(7.2.47)

上式から、

db = −sin (ϕ) B,dϕddd ϕ Γ (ϕ)
Γ (b) = −dbsin (ϕ) B

上記の関係式から (7.2.46) 式の右辺第一項は、

1
8

∫ B
−B

d
d b Γ (b)

y−b

db C

1
=−
8B

∫ π
0

d
d ϕ Γ (ϕ)

cos (θ) − cos (ϕ)(7.2.48)dϕ C

翼の左右端で Γ = 0 であるから、Γ を下記のフーリエ
1 森口

繁一、宇田川久、一松 信：岩波数学公式 1

微分積分・平面曲線、岩波書店

2003 32)

P.248

7.2. ３次元翼307
元化すると、

L1:L=’integrate(\rho*U*\Gamma(y),y,-B,B);changevar(%,lhs(Y1)-rhs(Y1),\theta,y);
subst([cos(theta)*B=\theta],%);
subst([GP2],%);
L=sum(’integrate(sin(\theta)*A[n]*sin(n*\theta),\theta,0,%pi),n,1,inf)*\rho*B^2

π A1 B 2
S
翼のアスペクト比：AR の関係式は、
CL =

4 B2
,
S

AR =

S=

4 B2
AR

CL を翼のアスペクト比：AR で表すと、*U^2;
subst([inf=5],%);

CL =ev(%,sum);π A 1 AR4

(7.2.54)(7.2.53) 式の翼の揚力：L が A1 にのみ関係している

L2:ev(%,integrate);
L3:C[L]=rhs(%)/(1/2*\rho*U^2*S);ことから渦分布：Γ をフーリエ級数の初項：A1 のみで表ACM1:A[R]=(2*B)^2/S;

すこととする。これは (7.2.47) 式の変換式から Γ が楕円

ACM2:solve(%,S)[1];分布となることを示している。このとき (7.2.52) 式は、

L4:subst([ACM2],L3);

παC
π A1 C=+ A1 sin (θ)
B
4B

subst([inf=1],UZ5);
UZ51:ev(%,sum);(7.2.55)

Γ が楕円分布とすると、翼のコード長さ：C も楕円分

assume(sin(\theta)>0);

布と考えることができ、翼根部のコード長さ：C0 とし、

C=C[0]*sqrt(B^2-y^2)/B;(7.2.47) 式で変数変換すると、√√
2
C0 B 2 − cos (θ) B 2
C0 B 2 − y 2C==(7.2.56)
B
B=C0 sin (θ)

subst([y=B*cos(\theta)],%);
trigsimp(%);
subst([%],UZ51);
A11:solve(%,A[1])[1];A12:num(rhs(A11))/2/C[0];(7.2.55) 式に上式を代入すると、denom(rhs(A11))/2/C[0];π C0 α sin (θ)π C0 A1 sin (θ)=+ A1 sin (θ)
B
4B

A13:expand(%);
A21:A[1]=A12/A13;

上式から、A1 を求めると、

A[R]=(2*B)^2/(%pi/2*B*C[0]);C00:solve(%,C[0])[1];2παA1 = 2 B π
C0 + 2

subst([A21,%],L4);
CL1:factor(%);
翼の揚力は次式で得られる。次式を (7.2.47) 式で変数変換し、(7.2.49) 式を代入すると、

AR =

∫ B
L =ρ

Γ (y) dy U
Γ (θ) sin (θ) dθ B U
∫ π

∞
∑

sin (θ)
0

=ρ

(∞
∑
(

C0 =

8B
π AR

高アスペクト比の翼では、AR >> 2 であるから次式
は 2 π α となり「7.1.8 薄翼理論 (積分方程式)」の CL ：

0

=ρ

8B
,
π C0

(7.2.54) 式に上記の A1 , C0 を代入すると次式となる。

−B
∫ π

=ρ

また、アスペクト比：AR を C0 を用いて表現すると、(7.1.91) 式と一致する。
An sin (n θ) dθ B 2 U 2

n=1

∫ π
An

)

sin (θ) sin (n θ) dθ

CL =
2

B U

2

0

n=1

∫ π

=ρ · · · + A2
sin (θ) sin (2 θ) dθ
0
)
∫ π
2
+ A1
sin (θ) dθ B 2 U 20

π A1 ρ B 2 U 2=
2(7.2.53)
翼面積：S として、上式の翼の揚力を 21 ρ U 2 S で無次2 π α AR≈ 2πα
AR + 2(7.2.57)

第7章

308

揚力

downwash：w (y) による抵抗：D は「7.2.2 揚力線理D1:D=\rho*’integrate(\Gamma(y)*w(y),y,論 (フーリエ変換)」、(7.2.19) 式から、

-B,B);∫ B

W1:w(y)=1/4/%pi*’integrate(’diff(\Gamma(b),b,1)/(y-b),b,-B,B);

D=ρΓ (y) w (y) dy(7.2.58)−B

subst([UZ3L22*8/C],W1);

downwash：w (y) は (7.2.45) 式の第二項から次式とな

W2:subst([w(y)=w(cos(theta)*B)],%);り (7.2.51) 式から、

changevar(D1,lhs(Y1)-rhs(Y1),\theta,y);
subst([W2],%);

1w (y) =
4π

subst([cos(theta)*B=\theta],%);
subst([GP3],%);
subst([inf=1],%);

∫ B
−B

1
=
4 sin (θ)

ev(%,sum);ev(%,integrate);dd b Γ (b)

db
y−b
(∞
)
∑
n An sin (n θ) U

(7.2.59)n=1(7.2.58) 式を (7.2.47) 式で変数変換し、(7.2.59) 式、

C[D]=rhs(%)/(1/2*\rho*U^2*S);(7.2.49) 式を代入すると、subst([A21,ACM2,C00],%);
CD1:factor(%);
solve(CL1,\alpha)[1];
subst([%],CD1);

D=

ρ
4

ρ
=
4
ρ
=
4

∫ π
Γ (θ)
0

∫ π (∑
∞
0

∫ π

∞
∑

n An sin (n θ) dθ B U

n=1

m=1

) ∞
∑
Am sin (m θ)n An sin (n θ) dθ B 2 U 2
n=1(7.2.60)(· · · + A5 sin (5 θ) + A4 sin (4 θ) + A3 sin (3 θ) + A2 sin (2 θ) + A1 sin (θ))
0× (· · · + 5 A5 sin (5 θ) + 4 A4 sin (4 θ) + 3 A3 sin (3 θ) + 2 A2 sin (2 θ) + A1 sin (θ)) dθ B 2 U 2)
1(= · · · 5 π A25 + 4 π A24 + 3 π A23 + 2 π A22 + π A21 ρ B 2 U 28
抵抗が少ない渦分布：Γ はそのフーリエ級数の初項：A1 のみのときで、上式は、

D=

π A21 ρ B 2 U 28上式の翼の抗力を 12 ρ U 2 S で無次元化し、CD を翼のアスペクト比：AR で表すと、

CD =4 π α 2 AR
(AR + 2)(7.2.61)2

上式を CL ：(7.2.57) 式で表すと次式となる。
2

CD =(CL AR + 2 CL )π AR (AR + 2)

2

=

CL2
π AR

7.2. ３次元翼

7.2.5

翼が地面に及ぼす力309

翼が地面に平行に一定速度：U で運動するとき、地面()
2
ρ (U + u) + w2 + v 2に作用する力について調べる。翼から出る渦の様子は前2

節の揚力線理論で表現できるとする。このとき、渦糸は
下図に示すようにコ字型（馬蹄形）の形の渦糸が多数流出する。このうちの一つの渦糸について調査する。

+p=

ρ U2
+ p∞
2

地面に作用する力：dp は、U >> u, v, w とすると、()
2
ρ (U + u) + w2 + v 2
ρ U2−
p − p∞ = dp =
2
2
ρ w2
ρ v2
ρ u2
= − ρuU −
−
−
2
2
2

≈ − ρuU(7.2.62)
上式から、x 軸方向の渦糸の誘導速度を求める必要が

図 7.2.6: コ字型（馬蹄形）渦kill(all);/* 地面効果：揚力とは */assume(H>0);
assume(HH>0);
P1:p+\rho/2*((U+u)^2+v^2+w^2)=p[inf]+\rho/2*U^2;

図 7.2.7: 地面における誘導速度

P2:-(P1-\rho/2*U^2-p);P3:rhs(P2)=lhs(P2);
P4:dp=expand(rhs(P3));ある。x 軸方向の誘導速度は x 軸方向の渦糸では発生せP5:subst([u^2=0,v^2=0,w^2=0],%);ず、y 軸方向の渦糸によるものである。渦の誘導速度はDS:matrix([0],[db],[0]);(7.2.15) 式から

R1:matrix([x],[y-b],[-H]);

−
→
dv =

R2:r=sqrt(R1.R1);
DV1:matrix([du],[dv],[dw]);
DV2:DV1=\Gamma/(4*%pi*rhs(R2)^3)*col(adjoint(transpose(addcol(DS,R1,matrix([1],[1],[1])))),3);DU1:lhs(DV2)[1][1]=rhs(DV2)[1][1];DU2:u=integrate(rhs(DU1)/db,b,-B,B);
u=taylor(rhs(DU2),B,0,7);
subst([B^3=0,B^5=0,B^7=0],%);

位置：(x = 0, y = b, z = 0) における y 軸方向の要素渦−→
糸：ds による渦糸より H 下方の位置：(x, y, z = −H)における誘導速度は、要素渦糸から地面上の x, y へのベ
−
→
→
クトル：−
r 、地面上の x, y における誘導速度：dv とすると、

inf),y,minf,inf);
P8:ev(%,integrate);
渦による地面上の誘導速度を u, v, w とし、Bernoulliの定理：(2.8.4) 式から、

x







−
→
r = y − b ,
√

r=

du

dw
2

H 2 + (y − b) + x2

以上から、



db Γ H−3
du4 π (H 2 +(y−b)2 +x2 ) 2 −→   
dv =  dv  = 0db Γ xdw−
34 π (H 2 +(y−b)2 +x2 ) 2






−
→  
dv =  dv −H

0

DU4:u=rhs(DU3)*2;
P7:P=’integrate(’integrate(rhs(P6),x,minf,



 
0
−
→  
ds = db ,DU3:factor(%);
P6:subst([DU4],P5);→ −Γ −ds × →r
4 π r3

第7章

310

揚力

x 軸方向の渦糸の誘導速度：du は、
du = −(

db Γ H2

4 π H 2 + (y − b) + x2

) 32

渦糸が y 軸上、−B → B まであるとして、上式を積分し、H >> B とすると、y 軸方向の渦糸による地面上 x, yにおける x 軸方向の誘導速度は、

∫ B
u=

−

ΓH

) 32 db2
4 π H 2 + (y − b) + x2(√
ΓH
(B + y) H 2 + B 2 + 2 y B + y 2 + x2=−
4 π H 4 + (B 2 + 2 y B + y 2 + 2 x2 ) H 2 + x2 B 2 + 2 x2 y B + x2 y 2 + x4)√
(B − y) H 2 + B 2 − 2 y B + y 2 + x2
+ 4
H + (B 2 − 2 y B + y 2 + 2 x2 ) H 2 + x2 B 2 − 2 x2 y B + x2 y 2 + x4
−B

≈−

(

(7.2.63)ΓBH
32 π (H 2 + y 2 + x2 ) 2

上式は地面より上方の渦糸による x 軸方向の誘導速度である。地面における境界条件：w = 0 を満足させる必要がある。このためには、鏡像位置に逆向きの渦糸を置けばよい。地面の境界条件を満足した x 軸方向の誘導速度は(7.2.63) 式を２倍すれば得られる。以上から、位置：(x, y) における地面に作用する力：dp は (7.2.62) 式に (7.2.63)
式 ×2 を代入し、

dp =ΓρB H U3

π (H 2 + y 2 + x2 ) 2
上式を無限領域積分し、地面に作用する力：P は、∫ ∞∫ ∞
ΓρB H U1P =3 dxdyπ−∞ −∞ (H 2 + y 2 + x2 ) 2(7.2.64)=2 Γ ρ B U
上記の結果は、(7.2.19) 式から −B → B に渦循環強さ：Γ を置いたときの揚力に一致している。このことは翼で発生した揚力は地面全体で支えていることを示している。上記は一つの渦糸について示したが、揚力線理論で表現するような多くの渦糸の集合についても、線形の関係にあるので、全く同じことが言える。

7.3. プロペラ

7.3

プロペラ

7.3.1

運動量理論

(1) 軸方向運動量理論

311
CT1:C[T]=T/(1/2*\rho*A*V^2);
CT2:solve(CT1,T)[1];
subst([%],T3);
VCT1:solve(%,v)[2];
factor(subst([%],EF2));プロペラによる軸方向の回転流はないものとして、軸方向の運動量理論から、プロペラディスク面積:A、プロペ
ラの前進速度：V のプロペラ効率を求める。

プロペラ面内への流入速度:V + vP 、プロペラから十分離れた後方でのプロペラ後流速度：V +v とする。プロ
ペラから十分離れた前方および後方の圧力：p0 、プロペ
ラ面前方の圧力：pP F 、プロペラ面後方の圧力：pP F +dpとする。プロペラ前方の流れに Bernoulli の定理：(2.8.4)式を適用し、2

ρV 2
ρ (V + vP )+ p0 =+ pP F
22
同様に、プロペラ後方の流れに Bernoulli の定理：(2.8.4)式を適用し、
22

ρ (V + vP )
ρ (V + v)+ pP F + dp =+ p022
上式から、プロペラ前後面における圧力差：dp は、

ρ v (2 V + v)
2

dp =図 7.3.1: プロペラ軸方向運動量理論

上式から、Bernoulli の定理によるプロペラ推力：T1 は、

T1 = dp A =/* プロペラ 軸方向運動量理論 */kill(all);ρ v A (2 V + v)
2

(7.3.1)

一方、プロペラディスクに流入する流体質量：m は、

BEF1:p[0]+1/2*\rho*V^2=p[PF]+1/2*\rho*(Vm = ρ A (V + vP )+v[P])^2;
BER1:p[PF]+dp+1/2*\rho*(V+v[P])^2=p[0]+1/2*\rho*(V+v)^2;
BEF2:solve(BEF1,p[PF])[1];
subst([BEF2],BER1);
DP1:factor(solve(%,dp)[1]);T[1]=A*dp;
T1:subst([DP1],%);

プロペラ前後部の運動量差から、プロペラ推力：T2 は、

T2 =m (V + v) − m V=ρ A (V + v) (V + vP ) − ρ A V (V + vP ) (7.3.3)=ρ v A (V + vP )T1 = T2 であるから、
ρ v A (2 V + v)
= ρ v A (V + vP )2

MDT1:m=\rho*A*(V+v[P]);MTF1:m*V;
MTR1:m*(V+v);

以上から、次式の関係を得る。

T[2]=MTR1-MTF1;
subst([MDT1],%);(7.3.2)vP =v
2(7.3.4)

T2:factor(%);

プロペラの入力：T × (V + vP ) に対して、出力：T × V

rhs(T1)=rhs(T2);であるから、効率：η は、

VP1:solve(%,v[P])[1];EF1:\eta[T]=(T*V)/(T*(V+v[P]));
EF2:subst([VP1],EF1);
T3:T=subst([VP1],rhs(T2));

η=

V
V
T ×V
=
=
T × (V + vP )V + vPV + v2(7.3.5)

また、(7.3.3) 式に (7.3.4) 式を代入し、(
v)
T = ρvA V +2
推力を次式で無次元化し、

CT =

2T
ρAV 2

(7.3.6)

第7章

312

揚力

上式を代入し、v を求めると、v=√
CT + 1 V − V

subst([DRM1,DA1],EQ1);(7.3.7)subst([DQ2],%);
WP1:solve(%,w[P])[1];上式を効率の式:(7.3.5) 式に代入し、WP11:solve(WP1,w)[1];2η=√CT + 1 + 1(7.3.8)

VP3:lhs(VP2)=factor(subst([VCT1],
rhs(VP2)));以上から、効率を上げるには、vP を小さくする、即ち、

solve(DQ2,w)[1];

大きなプロペラで、後流速度差がないようにすればよい。

lhs(WP1)=subst([%,VP3],rhs(WP1));
WP3:factor(%);

ET1:T*(V+v[P])=m*(1/2*(V+v)^2-1/2*V^2);
subst([MDT1],ET1);

EF3:\eta[r]=(dT*V)/(dQ*\omega);
subst([DQ2,DT1,DA1],%);

subst([T=rhs(T2)],%);

EF31:subst([VP21,WP11],%);

solve(%,v[P]);VW1:v[P]/w[P]=(r*\omega-w[P])/(V+v[P]);VP2:%[1];VW11:VW1*w[P];VP21:solve(VP2,v)[1];
上記は圧力差から推力：T を求めた。ここではエネル

EF4:subst([VW11],EF31);ギー式からもとめる。プロペラのした仕事率が流体に与えたエネルギーに等しいことから次式が得られる。これ

solve(EF1,v[P])[1];
factor(subst([%],EF4));にプロペラディスクに流入する流体質量：m の (7.3.2)
式を代入し、)
2
V2(V + v)−
T (V + vP ) =m
2
2
(
)
2
(V + v)
V2=ρ A (V + vP )−22(

上式に、プロペラ前後部の運動量差から求めた推力：Tの (7.3.3) 式を代入し、(
2

ρ v A (V + vP ) = ρ A (V + vP )2

V2
(V + v)−22)
図 7.3.2: プロペラ輪形部運動量

上式を整理し、次式を得る。これは上記で得られた (7.3.4)
推力：dT については流体の軸方向の運動量差の (7.3.3)式と同じである。

v
vP =2(7.3.9)(2) 輪形部運動量
プロペラ面の半径 r における輪形部の運動量について調式から、

dT = ρ v dA (V + vP )(7.3.10)半径 r における輪形部の面積：dA とそこを通過する質
量 dm は、べる。ここで後流の縮流を無視する。輪形部の断面積：

dA、輪形部の推力：dT 、輪形部のトルク：dQ、プロペラの前方流速：V 、プロペラ回転角速度：ω 、プロペラ
後流の軸方向流速：V + v 、プロペラのねじれた回転方
向の流速：w とし、プロペラ面における輪形部の軸方向
流速：V + vP 、回転方向の流速：wP とする。
DT1:subst([T[2]=dT,A=dA],T2);

DA1:dA=2*%pi*r*dr;
DRM1:dm=\rho*dA*(V+v[P]);dA = 2 π dr r,

dm = ρ dA (V + vP )(7.3.11)軸方向運動量理論におけるエネルギーの検討と同様にして、仕事率が流体に与えたエネルギーに等しいとして、)(
2
V2(V + v)−dT (V + vP ) =dm
2
2
(
)
2
(V + v)
V2=ρ dA (V + vP )−2
2

DQ1:dQ=dm*w*r;
DQ2:subst([DRM1,DA1],DQ1);
EQ1:dQ*w[P]/r=dm*1/2*w^2;

上式の推力：dT に、運動量差から求めた推力：dT の7.3. プロペラ313

(7.3.10) 式を代入し、(
2

ρ v dA (V + vP ) = ρ dA (V + vP )2

(V + v)
V2
−
2
2

)

上式を整理し、次式を得る。これは上記で得られた (7.3.4)式と同じである。

vP =

v
2

流体の回転方向の運動量差から、輪形部に作用するトルクは下記となり、(7.3.11) 式を代入すると、

dQ = dm r w = 2 π dr r2 ρ w (V + vP )図 7.3.3: プロペラ翼素に流入する流れ(7.3.12)

輪形部の仕事率と後流に与えたエネルギ−は等しいとし、上式の dm を代入して、

dQ wP
dm w2
=
= π dr r ρ w2 (V + vP )r
2

(7.3.13)(7.3.12) 式と (7.3.13) 式から、
2 π dr r ρ w wP (V + vP ) = π dr r ρ w2 (V + vP )整理すると、w(7.3.14)2
プロペラ面に流入する誘導速度：vP , wP を求める。(7.3.7)
wP =式と (7.3.4) 式から、(√)
CT + 1 − 1 VvP =2のである。らせん状に流出する渦循環は軸方向渦循環と(7.3.15)2 π dr r2 ρ

このことから上記の運動量で示された誘導速度：vP , wP
はプロペラの後方流出渦循環によるものと同じもので

dQ(√)
CT + 1 + 1 V

あり、その合速度：vi は揚力理論から翼面下方に誘導さ(7.3.16)

輪形部のプロペラ効率：ηr は出した推力による仕事率に対して、与えたトルクによる仕事率から次式となる。

(7.3.10) 式と (7.3.12) 式を代入し、v, w を (7.3.9) 式と(7.3.14) 式から、
ηr =の誘導流速を発生し、軸方向運動量理論で求めた vP に輪形部運動量理論で求めた wP に対応する。

dQ
2 π dr r2 ρ V + 2 π dr r2 ρ vP

(7.3.15) 式と (7.3.14) 式から
wP =輪形渦循環に分けることが出来る。輪形渦循環は軸方向対応し、軸方向渦循環は回転方向の誘導流速を発生し、(7.3.13) 式から
w=

図 7.3.4: プロペラの渦循環

dT V
vV
vP V
=
=
ω dQ
ωrw
ω r wPれる downwash に相当する。ここで翼流入速度：Ur にプロペラへの誘導速度を考慮した合成流入速度：Uri とする。この vi は合成流入速度：Uri に対して直角方向となるため、上図の「プロペラ翼素に流入する流れ」のvP − wP − vi の三角形と (V + vP ) − (ω r − wP ) − Uriの三角形とが相似形となる。これから下記の関係式を得る。

vP
ω r − wP=
wP
V + vP

(7.3.17)上式を (7.3.17) 式に代入し、(7.3.5) 式の効率を ηT とす
ると、輪形部のプロペラ翼素に流入する流れ図を下記に示す。
ここでプロペラで発生する渦循環の模式図をプロペラの渦循環に示す。後方に流出する渦循環はプロペラが回転しているのでらせん状に流出する。これは「7.2.2 揚力線理論」（297 ページ）で示されている後流渦と同様のも

ηr =

(
wP )
(ω r − wP ) VηT= 1−ω r (V + vP )
ωr

P
ここで w
ω r を回転干渉係数という。

第7章

314

7.3.2

プロペラ翼素理論

プロペラ翼素理論とは、プロペラ翼を半径方向に分割し、各半径における翼素の特性を二次元直進翼として解析する方法である。

(1) 単純翼素理論

プロペラの半径：r における断面の流速の関係図を上図に示す。回転による速度：ω r と前進速度：V の合成から、プロペラ翼断面に流入する合流速：Ur となる。この半径：r におけるプロペラのコード長さ：c(r) とする。
このときの翼断面の揚力：dL、抗力：dD、揚力係数：

CL 、抗力係数：CD とすると、プロペラの半径：r における断面の流速の関係から、プ

dr c (r) Ur2 CL
,
2

dL =

ロペラ効率を求め、最適な速度関係をもとめる。プロペラが回転角速度：ω で回転し、速度：V で前進しているとする。ここで運動量理論などで示されているプロペラ

揚力

dD =

dr c (r) Ur2 CD
2

このときプロペラ翼素に作用する推力：dT 、トルク：dQ
は、への誘導速度は考慮しないで、単純な前進速度とプロペ

dT = cos (ϕ) dL − sin (ϕ) dD

ラ回転からプロペラ翼への流入流速を求め、解析する。

dQ = r (sin (ϕ) dL + cos (ϕ) dD)
揚力：dL、抗力：dD の関係を上式に代入し、dr cos (ϕ) c (r) Ur2 CL
dr sin (ϕ) c (r) Ur2 CD
−
2
2
)
(
2
dr cos (ϕ) c (r) Ur2 CD
dr sin (ϕ) c (r) Ur CL+
dQ = r2
2
dT =プロペラ効率は次式で表現できる。上式の関係を代入し、

η=

=

dT V
ω dQ
(

dr cos(ϕ) c(r) Ur2 CL
dr sin(ϕ) c(r) Ur2 CDL CL
−
2
2

(

ωr

dr cos(ϕ) c(r) Ur2 CDL CL
2

+

)
V
)

dr sin(ϕ) c(r) Ur2 CL
2(7.3.18)
図 7.3.5: 単純翼素理論のプロペラ断面流速ダイアグラム

ここで下記の置き換えを行い、CDL =/* プロペラ 単純翼素理論 */DD1:dD=1/2*C[D]*c(r)*U[r]^2*dr;
DT1:dT=dL*cos(\phi)-dD*sin(\phi);
DQ1:dQ=(dL*sin(\phi)+dD*cos(\phi))*r;DT2:subst([DL1,DD1],DT1);
DQ2:subst([DL1,DD1],DQ1);
DEF1:\eta=(dT*V)/(\omega*dQ);
subst([DT2,DQ2,C[D]=C[DL]*C[L]],%);
DEF2:factor(subst([V=tan(\phi)*r*\omega,sin(\phi)=tan(\phi)*cos(\phi)],%));
DDEF2:factor(’diff(\eta,\phi,1)=diff(rhs(DEF2),\phi,1));num(rhs(%))=0;

tan (ϕ) =η=−tan (ϕ) (tan (ϕ) CDL − 1)
CDL + tan (ϕ)

最適な効率の条件は、()
22
sec (ϕ) CDL 2 tan (ϕ) CDL + tan (ϕ) − 1
d
η=−
2
dϕ
(CDL + tan (ϕ))
上式右辺の分子 = 0 から、()
2
2−sec (ϕ) CDL 2 tan (ϕ) CDL + tan (ϕ) − 1 = 0
上式から、tan (ϕ) を解き、CDL << 1 であるから、√
2 +1−Ctan (ϕ) = CDLDL

PH1:solve(%,tan(\phi))[2];=1 − CDL +taylor(rhs(%),C[DL],0,3);≈1

PH2:lhs(PH1)=%;

2
CDL
+ ...
2

上式から、下記の時、最適な効率となる。

subst([C[DL]=0],%);
PH3:solve(%,\phi)[1];Vrω

上式を (7.3.18) 式に代入し、kill(all);
DL1:dL=1/2*C[L]*c(r)*U[r]^2*dr;

CD
,
CL

ϕ≈

π
4

7.3. プロペラ(2) 運動量翼素理論
単純翼素理論ではプロペラ面の誘導流速を考慮していな
いが、ここではこれを考慮した特性を求める。プロペラの半径：r における翼断面の流速の関係から、誘導流速を考慮したプロペラ迎角を求める。プロペラ翼数：N でプロペラが回転角速度：ω で回転し、速度：V で前進し

315
とする。
プロペラの半径：r における翼断面のコード長さ:c(r)、プロペラ角度：θ で、揚力係数：CL 、抗力係数：CD とする。流入速度：Uri として、プロペラ揚力：dL、抗力：

dD は、
2
dr c (r) ρ Uri
CL
,
2

dL =

dD =

ているとする。

2
dr c (r) ρ Uri
CD2(7.3.19)ϕ は下記の関係があり、誘導流速による迎角減少：αi とすると、揚力：dL は流入速度：Uri に直角に作用するので、推力：dT 、トルク：dQ は、tan (ϕ) =V
ωr(7.3.20)

dT =cos (ϕ + αi ) dL − sin (ϕ + αi ) dD

(7.3.21)

dQ =r (sin (ϕ + αi ) dL + cos (ϕ + αi ) dD)
一般に翼では dL >> dD であるから、dD を省略し、

dT = cos (ϕ + αi ) dL,

dQ = sin (ϕ + αi ) r dL
(7.3.22)以下、輪形部運動量で示した方法と同様にプロペラ面
図 7.3.6: 運動量翼素理論のプロペラ断面流速ダイアグの半径 r における輪形部の運動量について調べる。半ラム

径；r におけるプロペラ輪形部を通過する流体の質量：dm は、
dm = 2 π dr r ρ (V + vP )/* プロペラ 運動量−翼素理論 */(7.3.23)

kill(all);

プロペラから十分離れた後方でのプロペラ後流速度：V +v

PHI1:tan(\phi)=V/(r*\omega);とすると、運動量差からプロペラ推力全体は (7.3.10) 式

DL1:dL=1/2*\rho*C[L]*c(r)*U[ri]^2*dr;から、

DD1:dD=1/2*\rho*C[D]*c(r)*U[ri]^2*dr;dT N = dm v

(7.3.24)

DT1:dT=dL*cos(\phi+\alpha[i])-dD*sin(\phi

前節、輪形部運動量で示したプロペラの運動量による誘+\alpha[i]);導流速とプロペラ後流循環渦による誘導流速：vi が同じ

DQ1:dQ=(dL*sin(\phi+\alpha[i])+dD*cos(\phi

ものであることから、この vi は翼流入速度：Uri に対し+\alpha[i]))*r;て直角方向となる。また、(7.3.9) 式から

DT2:subst([dD=0],DT1);
vP = vi cos (ϕ + αi ) ,DQ2:subst([dD=0],DQ1);
DM1:dm=\rho*2*%pi*r*dr*(V+v[P]);DT3:N*dT=dm*v;
VP1:v[P]=v[i]*cos(\phi+\alpha[i]);V1:v=2*v[P];DT31:subst([DT2,V1,DM1],DT3);
SPH1:sin(\phi+\alpha[i])=(V+v[P])/U[ri];SPH2:solve(SPH1,V)[1];
subst([SPH2,VP1],DT31);

v = 2 vP

V + vP
(7.3.25)sin (ϕ + αi ) =Uri
プロペラ推力全体について、(7.3.24) 式左辺は、(7.3.22)式から、dT N = cos (ϕ + αi ) dL N
(7.3.24) 式右辺は、(7.3.23) 式から、
dm v = 4 π dr r ρ vP (V + vP )両式を等しいと置いて、

VI1:solve(%,v[i])[1];cos (ϕ + αi ) dL N = 4 π dr r ρ vP (V + vP )(7.3.25) 式から、プロペラの半径：r における断面の流速の関係図を上図に示す。回転による速度：ω r と前進速度：V の合成か
ら、合流速：Ur とする。また、プロペラの誘導流速を考慮した流入速度：Uri とする。ここでプロペラ面の誘導
流速で軸方向：vP 、回転方向：wP とし、その合流速:vicos (ϕ + αi ) dL N = 4 π dr vi cos (ϕ + αi ) sin (ϕ + αi ) r ρ Uri
上式から、vi を求めると、

vi =

dL N
4 π dr sin (ϕ + αi ) r ρ Uri(7.3.26)

第7章

316

揚力

また、翼厚＋キャンバーありの翼では (7.1.35) 式から、()
2 π sin (β + α)
δ2
CL ≈
1+
cos (β)A

AL1:tan(\alpha[i])=v[i]/U[ri];subst([VI1],AL1);
AL2:subst([DL1],%);

以上から揚力特性として下記とする、

AL2*denom(rhs(AL2));
trigexpand(%);

CL = (δ + α) CL0

subst([tan(\alpha[i])=\alpha[i],sin(\alpha[i])=\alpha[i],(7.3.28)

迎角は下記となる。

cos(\alpha[i])=1],%);
α = θ − ϕ − αiexpand(%);
subst([\alpha[i]^2=0],%);
AL3:solve(%,\alpha[i])[1];(7.3.29)

上式を (7.3.27) 式に代入し、

CL1:C[L]=C[L0]*(\alpha+\delta);

αi =AL4:\alpha=\theta-\phi-\alpha[i];lhs(AL3)=subst([CL1,AL4],rhs(AL3));c (r) (θ − ϕ − αi + δ) CL0 N
8 π sin (ϕ) r改めて、αi を求めると、

AL5:factor(solve(%,\alpha[i])[1]);AL51:(num(rhs(AL5))/(c(r)*C[L0]*N));

αi =

θ−ϕ+δ

AL52:expand(denom(rhs(AL5))/(c(r)*C[L0]8 π sin (ϕ) r*N));c (r) CL0 N

lhs(AL5)=AL51/AL52;(7.3.30)+1

また、下記の関係から、

URI1:U[ri]=U[r]*cos(\alpha[i]);U1:U[r]=sqrt(V^2+(r*\omega)^2);

Uri = cos (αi ) Ur ,

Ur =

√

V 2 + ω2 r2

URI2:lhs(URI1)=subst([U1],rhs(URI1));
次式を得る。
プロペラの半径：r における断面の流速の関係図から、

αi は下記となり、(7.3.26) 式と (7.3.19) 式から、
tan (αi ) =√V 2 + ω2 r2(7.3.31)dT, dQ の (7.3.21) 式に、(7.3.19) 式、(7.3.20) 式、(7.3.28)

vi
Uri

式、(7.3.29) 式、(7.3.30) 式、(7.3.31) 式を代入すること

dL N
=
2
4 π dr sin (ϕ + αi ) r ρ Uri
c (r) CL N=
8 π sin (ϕ + αi ) r

により、dT, dQ が得られる。これを半径方向に積分することによりプロペラ特性が得られる。

上式から、

8 π tan (αi ) sin (ϕ + αi ) r = c (r) CL N
αi が小さいとして、
8 π αi (sin (ϕ) + αi cos (ϕ)) r = c (r) CL N
αi の高次項を省略し、
8 π αi sin (ϕ) r = c (r) CL N
αi を求めると、
αi =Uri = cos (αi )c (r) CL N
8 π sin (ϕ) r(7.3.27)

ここで、翼の迎角：α とすると、揚力特性：CL は、二次元平板翼では (7.1.23) 式から、

CL = 2 π sin (α)

7.3. プロペラ

7.3.3

317

プロペラと船体との干渉

船体の後方に置かれたプロペラと船体との干渉力について調べる1 。

/* プロペラと船体との干渉 */kill(all);

推力：T を次式の様に無次元化し、()
2 Γ0 VA0 + Γ20
2T
CT =
=
ρAV 2
V2
上式から Γ0 を求め、√
2 −V
Γ0 = CT V 2 + VA0
A0(7.3.32)

これを V で割って、
√
√
2 −V
2
CT V 2 + VA0
VA0
VA0
Γ0
A0
=
=
+ CT −V
V
V2
V

assume(V>0);
T1:T=rho*v*A*(V+v[P]);VP1:v[P]=v/2;
T2:subst([VP1],T1);
T3:subst([V=V[A0],v=\Gamma[0]],T2);

PH1:\Phi(P)=-’integrate(m(Q)/r(P,Q),s(Q))

CT1:C[T]=T/(1/2*\rho*A*V^2);+V*x+\Phi[P](P);CT2:lhs(%)=subst([T3],rhs(%));

M1:m(Q)=m[H](Q)+m[P](Q);GV1:solve(CT2,\Gamma[0])[2];DR1:dR=4*%pi*\rho*’integrate(m(Q)*v[XIP](Q)%/V;
GV2:factor(subst([V[A0]=VA0*V],%));,S(Q));
subst([M1],%);

VA01:VA0=V[A0]/V;

subst([m[P](Q)=C[MP](Q)*\Gamma[0],v[XIP](Q)

GV3:subst([VA01],GV2);=C[XIP](Q)*\Gamma[0]],%);
DR2:expand(%);
DR3:dR=\rho*(B[H]*\Gamma[0]+B[P]*\Gamma[0]^2);
DR4:expand(%/(1/2*\rho*A*V^2));
DR41:first(rhs(DR4));
subst([GV1],%);
factor(subst([V[A0]=VA0*V],%));
DR411:subst([VA01],%);
DR42:last(rhs(DR4));

図 7.3.7: プロペラ渦円筒

subst([GV1],%);
factor(subst([V[A0]=VA0*V],%));

プロペラ運動量理論から、推力：T 、プロペラ前進速度：

V 、プロペラ後流速度：v とプロペラ流入速度：vP の関
係は、(7.3.3) 式と (7.3.4) 式から、

T = ρ v A (V + vP )vP =DR412:subst([VA01],%);
lhs(DR4)=DR411+DR412;
lhs(DR4)=DR412;
DR5:subst([B[H]=B[H0]/2*A*V,V[A0]=(1-w[0])*V],%);

v
2

上式から、

(
v)
T = ρvA V +2プロペラ後流のプロペラディスクの円筒境界で内外部の流速差が v となっており、この境界流速差：v を渦円筒で表現でき、渦強さ：Γ0 に比例するとして、v → Γ0 と置き換えることができる。また、プロペラの前進速度：

V はプロペラが船体の後方にあることから、プロペラ面に流入する流速は一般的に船の前進速度より遅くなり、VA0 とする。これから上式で V → VA0 と置き換え、()
Γ0
T = Γ0 ρ A VA0 +2
1 足立宏之、菅井信夫「推力減少率について、−荷重度変更法による考察−、関西造船協会誌、第 171 号、昭和 53 年 12 月

図 7.3.8: プロペラと船体との干渉力

速度：V で進む船のまわりの速度ポテンシャル:Φ (P ) は、

第7章

318

揚力

船体表面条件を船体表面のわき出しで満足させることが一般に、船体位置におけるプロペラ誘導速度は船速よりできる。このわき出し強さ:m(Q) とし、プロペラによる十分遅いので、mP << mH の関係があり、BP の項は速度ポテンシャル：ΦP とすると、下記で、表現できる。 省略でき、(7.3.32) 式を代入すると、
∫
(√
)
m (Q)
2
VA0
VA0
Φ (P ) = x V −ds (Q) + ΦP (P )
2 BH
+
C
−
T
V2
V
r (P, Q)
2 dR
=
2
ρAV
AV
(√
)
船体を表現するわき出し強さ:m(Q) を一様流れ中の船
2
=B
C
+
(1
−
w
)
+
w
−
1
体表面条件を満足させるわき出し強さ:mH (Q) とプロ
H0
T00
ペラの撹乱により船体境界条件を満足させるわき出し強
ここで、伴流係数：1 − w0 =さ:mP (Q) にわけて考える。

BH0 =m (Q) = mP (Q) + mH (Q)

VA0
,
V

2 BH
AV
(7.3.33)(6.1.66) 式、196 ページから、わき出しに作用する力は、次式で与えられる。ここで、わき出しに作用する船長方−→向の力: Fi 、わき出し強さ:mi 、わき出し位置における船長方向の流速：−v→ である。
i0−→
Fi = −4πρmi −v→
i0
プロペラと船体との干渉力：dR は、上式から、わき出
し：m (Q) におけるプロペラによる船長方向の誘導速度：

vXIP とすると、∫
dR =4 π ρm (Q) vXIP (Q) dS (Q)∫=4 π ρ
(mP (Q) + mH (Q)) vXIP (Q) dS (Q)上式で、船が風や波などで船体抵抗が増え、推力も増加する。このプロペラ荷重度を変化させたときの船体とプロペラの干渉力の特性を明らかに出来た。

VA1:V[A]=V[A0]+V[AP];
VA2:subst([V[AP]=C[\Gamma]*\Gamma[0]],VA1);
subst([GV1],VA2);%/V;
subst([V[A]=(1-w)*V,V[A0]=(1-w[0])*V],%);
factor(%);
partfrac(%,C[\Gamma]);
VA3:subst([w[0]^2=2*w[0]-1+(1-w[0])^2],%);
次に、プロペラディスクに流入する速度とプロペラ荷重度の関係について調べる。プロペラディスクに流入する

プロペラによる船長方向の誘導速度：vXIP はプロペラ

速度：VA は、プロペラが無い状態での船体後方におけるの渦強さ：Γ0 に比例し、プロペラの撹乱によるわき出

流速：VA0 とプロペラにより誘引され流れてきた流速：

し強さ:mP (Q) もプロペラの渦強さ：Γ0 に比例するの

VAP に分けられる。
VAP はプロペラの渦強さ：Γ0 に比例するので、VAP =で、vXIP = Γ0 CXIP , mP (Q) = Γ0 CM P と置いて、CΓ Γ0 とし、(7.3.32) 式を代入すると、∫
dR =4 π ρ
Γ0 (Γ0 CM P (Q) + mH (Q)) CXIP (Q) dS (Q)VA =VAP + VA0∫
2=4 π ρ Γ0
CM P (Q) CXIP (Q) dS (Q)=VA0 + Γ0 CΓ
(√)∫
2+V2 −V
C
V
+ VA0
=C
T
A0
Γ
+ 4 π ρ Γ0mH (Q) CXIP (Q) dS (Q)A0()=ρ Γ20 BP + Γ0 BH

ここで、BP , BH は下記となり、船体とプロペラの関係で決まる。

∫
BP = 4 π

CM P (Q) CXIP (Q) dS (Q)∫BH = 4 πmH (Q) CXIP (Q) dS (Q)

上式を船速：V で割り、)(√2+V2 −V
C
V
+ VA0
C
T
A0
Γ
A0
VA
=
V
V
伴流係数で表現すると、)(√
2
CT + (1 − w0 ) + w0 − 1 − w0 + 1
1 − w = CΓ(7.3.34)
上式を無次元化すると、

2 dR
2 Γ20 BP2 Γ 0 BH
=
+
2
2
ρAV
AV
AV 2

7.4. 細長体

319

7.4

細長体

7.4.1

細長体近似

物体形状が飛行機胴体や船体のように細長い形状の場
合、下記のように速度ポテンシャル：Φ を近似できる。
細長物体の長さ方向を z 軸、横方向に x 軸、下方向に y−→軸とする。流速：U (Ux , Uz ) が細長体に当たっていると→する。また、−
n を物体表面の単位ベクトルとする。

ンポーネントを nx , ny , nz とすると、
(
)
(
)
(
)
d
d
d
Φ nz +
Φ ny +
Φ nx = 0 (7.4.1)dz
dydx
速度ポテンシャル：Φ の質量保存の方程式は (2.9.2) 式、

32 ページから下記となる。
d2
d2
d2
Φ+
Φ+
Φ=0
2
2
dz
dy
d x2

(7.4.2)細長体から十分離れたところでは、

Φ → z Uz − x Ux
以上から速度ポテンシャルは下記で表せる。ここで、ϕは細長体による撹乱速度ポテンシャルである。

Φ = z Uz − x Ux + ϕ(7.4.3)(7.4.1) 式に (7.4.3) 式を代入し、細長体による撹乱速度/* 細長体 */ポテンシャルの物体表面条件は、
) (
)
(
)
(
d
d
d
ϕ +
ϕ ny +nx
ϕ − Ux = 0
nz Uz +dz
dydx
(7.4.4)kill(all);(7.4.2) 式に (7.4.3) 式を代入し、質量保存の方程式は、

図 7.4.1: 細長体近似

depends([\Phi,\phi],[x,y,z,t]);

d2
d2
d2
ϕ
+
ϕ
+
ϕ=0
d z2
d y2
d x2

BC1:’diff(\Phi,n,1)=0;(7.4.5)

BC10:’diff(\Phi,x,1)*n[x]+’diff(\Phi,y,1)*n[y]+’diff(\Phi,z,1)*n[z]=0;
PH1:\Phi=U[z]*z-U[x]*x;(2.9.3) 式、33 ページに示す速度ポテンシャルの Bernoulliの定理から、下記を得る。

PH2:\Phi=U[z]*z-U[x]*x+\phi;LA1:’diff(\Phi,x,2)+’diff(\Phi,y,2)+’diff(\Phi,z,2)=0;

p
+
ρ

(d

dz Φ

)2

(
+

d
dy Φ

)2
+

( d

dx Φ

)2

2

+

d
U 2 + Ux2 p0
Φ= z
+
dt
2
ρ

subst([PH2],BC10);

上式に (7.4.3) 式を代入し、圧力を撹乱速度ポテンシャ

BC2:ev(%,diff);
subst([PH2],LA1);ルで表すと、

ev(%,diff);
LA2:subst([’diff(\phi,z,2)=0],%);
PH3:\phi=\phi[1]+\phi[2];LA21:subst([\phi=\phi[1]],LA2);
LA22:subst([\phi=\phi[2]],LA2);
BC21:subst([\phi=\phi[1],n[x]=0,n[y]=0],)dρ Uz +ϕ ρ Uxp − p0 = −dx()2( d )2( d )2
d
ϕ ρ
ϕ
ϕ ρ
ρ
d
y
dz
−
−
− dx
2
2
( 2 )
d
−
ϕ ρ
dt
(7.4.6)
(

d
ϕ
dz

)

(

BC2);
BC22:subst([\phi=\phi[2],n[z]=0],BC2);

ところで、細長体では、 ddz ϕ << ddx ϕ, ddy ϕ であるか

P1:p/\rho+(diff(\Phi,x,1)^2+diff(\Phi,y,ら、(7.4.5) 式の ddz2 ϕ の項を省略でき、下記の x − y 平1)^2+diff(\Phi,z,1)^2)/2+diff(\Phi,t,1)

面の撹乱速度ポテンシャルで表現できる。

2=p[0]/\rho+(U[x]^2+U[z]^2)/2;
subst([PH2],P1);
ev(%,diff);solve(%,p)[1];
expand(factor(%-p[0]));→
物体表面条件は、−
n を物体表面の単位ベクトルの各コ

d2
d2
ϕ
ϕ=0
+
d y2
d x2

(7.4.7)

第7章

320

7.4.2

縦方向の流れ揚力

上記の二つの関係式から、

Q (z)dR (z) Uz=
dz
2 π R (z)細長物体の縦方向の流れについて調べる1 。細長物体に z 軸方向に流速：Uz が当たっている。断面を円で近似し、細長物体の長さ：L、半径：R(z)、面積：S(z) とする。

ところで、半径：R(z) と断面積：S(z) の関係は、
(
)
d
d
2
S (z) = 2 π R (z)R (z)S (z) = π R (z) ,dzdz
以上から、流量：Q(z) と断面積：S(z) の関係は、()
dQ (z) = Uz
S (z)(7.4.8)dz
前節から、細長体では横断面の二次元流場で表現できる
ので、(7.4.7) 式から、流量：Q(z) の二次元速度ポテン
シャル：ϕ2 は、

ϕ2 =
図 7.4.2: 細長体近似

log (r) Q (z)2π(7.4.9)確認のため、流速：vr は前記の結果と一致している。

/* 縦方向 */Q (z)d log (r) Q (z)
=
dr
2π
2πr

vr =

kill(all);VR1:v[r]=U[z]*dR(z)/dz;

上式の ϕ2 は、物体表面近傍で r 方向に有効であるが、zQ1:Q(z)*dz=v[r]*2*%pi*R(z)*dz;

軸方向（縦方向）の流れは Uz のみで、その変化は表現

VR11:solve(Q1,v[r])[1];

できていない。そこで、Q(z) による三次元軸対象の速Q2:subst([VR1],%);

度ポテンシャル：ϕ3 について調べる。流量：Q による

S1:S(z)=%pi*R(z)^2;

三次元軸対象の速度ポテンシャル：ϕ3 は、

DS1:diff(S1,z,1);

ϕ3 = −

DS2:solve(DS1,R(z))[1];
subst([DS2,’diff(R(z),z,1)=dR(z)/dz],Q2);
Q3:solve(%,Q(z))[1];PHL1:\phi[2]=Q(z)/(2*%pi)*log(r);VR2:v[r]=’diff(rhs(PHL1),r,1);(7.4.10)

上記から、z 軸上に分布する Q(z) による三次元軸対象の速度ポテンシャル：ϕ3 は、

ϕ3 = −

ev(%,diff);dz Q (z)√4 π z 2 + r2

1
4π

∫ L
0

Q (s)
√
ds
2
(z − s) + r2

(7.4.11)subst([r=R(z)],%);
assume(r>0,L>0,z>0,L>z);
PHL2:\phi[3]=-Q(z)/4/%pi*dz/sqrt(z^2+r^2);

DS1:1/(sqrt((z-s)^2+r^2));

subst([z=0],%);

DS2:a=(z-s)/r;’diff(rhs(%),r,1);v[r]=ev(%,diff);

DS21:solve(DS2,z)[1];

PHL21:subst([Q(z)=Q(s),z=z-s],rhs(PHL2)/+sqrt(a^2+1)));DS4:subst([DS2],rhs(%));’integrate(1/(sqrt(a^2+1)),a)=log(abs(adz);
PHL3:\phi[3]=’integrate(%,s,0,L);
物体表面の境界条件から、r 方向の流速：vr は、*g(x))[a]^b-integrate(diff(f(x),x,1)*g(x)dz 間で流出する流量：Q(z) と流速：vr の関係は、
vr =DS31:lhs(DS3);
integrate(f(x)*diff(g(x),x,1),x,a,b)=(f(x)

dR (z) Uz
vr =dz

dz Q (z) = 2 π dz vr R (z) ,DS3:’diff(%,s)=factor(diff(%,s));Q (z)2 π R (z)1 Marine Hydrodynamics, Chapter 7 Hydrodynamics of Slender Bodies, 7.2 Longitudinal Motion, P.335 21),x,a,b);PHL31:lhs(PHL3)=-integrate(diff(Q(s),s,1)/4/%pi*DS4,s,0,L);

7.4. 細長体

321f(x) = Q(s) とし、z = 0, L では Q(z) = 0 であるから、(7.4.12) 式は、
)
∫ L(
1
d
ϕ3 = −
Q (s)
4π 0
ds

√
(7.4.13)2(z − s)z−s × log 
+
1
+
ds
r2
r

forget(z<s);assume(z>s);
DS41:log(2*(z-s)/r);
DS410:log(2*(z-s))-log(r);DS411:first(DS410);
DS412:last(DS410);
forget(z>s);r << L とすると、
√

(
)
2
z−s 
(z − s)
z−s
log 
+
1
+
≈
log
2
r2
r
r

assume(z<s);
DS42:log(2*(s-z)/r);
DS420:log(2*(s-z))-log(r);DS421:first(DS420);
DS422:last(DS420);
PHL4:lhs(PHL3)=-integrate(diff(Q(s),s,1)/4/%pi*DS411,s,0,z)z > s のときには、)(
2 (z − s)= log (2 (z − s)) − log (r)logr+integrate(diff(Q(s),s,1)/4/%pi*DS421,s,z,z < s のときには、()
2 (s − z)log= log (2 (s − z)) − log (r)rL)

関数は奇関数であるはずであるから、z > s と z < s で+integrate(diff(Q(s),s,1)/4/%pi*DS422,s,z,は正負が逆となることから、

L);log (r) (Q (L) − Q (z))
4 π)
∫z( d
Q (s) log (2 (z − s)) ds− 0 ds4πlog (r) (Q (z) − Q (0))
+
4π
)
∫L( d
d s Q (s) log (2 (s − z)) dsz+4πz = 0, L では Q(z) = 0 であるから、)∫z( dQ (s) log (2 (z − s)) ds
0 ds
ϕ3 = −
4πlog (r) Q (z)
+
2π
)
∫L( d
d s Q (s) log (2 (s − z)) dsz+4π
上記から r << L の場合の三次元速度ポテンシャルが得られた。上記の右辺第二項は二次元の速度ポテンシャル-integrate(diff(Q(s),s,1)/4/%pi*DS412,s,0,z)

ϕ3 = −

PHL5:subst([Q(L)=0,Q(0)=0],%);
Q4:Q(s)=U[z]*diff(S(s),s,1);
subst([Q3,Q4],PHL5);
PHL6:\phi=ev(rhs(%),diff);

下記の積分公式から、
∫
(√
)
1
√
da = log
a2 + 1 + a
a2 + 1a = z−sr を上式右辺に代入し、これを微分すると、
√

2
d
(z
−
s)
z
−
s

log 
+1+
ds
r2
r
= −√

1
z 2 − 2 s z + s2 + r2と同じである。これにより細長体近似したときの z 近傍

上記の関係を (7.4.11) 式に代入すると、

1
ϕ3 =
4π

∫ L
0

Q (s)
√

d
×
log 
ds


2
z−s 
(z − s)
ds
+1+
r2
r

の速度ポテンシャル：ϕ が得られた。
)∫z( dQ (s) log (2 (z − s)) ds log (r) Q (z)
0 ds
ϕ=−
+
4π
2π
)
∫L( d
Q
(s)
log
(2
(s
−
z))
ds
+ z ds4π(7.4.12)
下記の部分積分を活用して、
(
)
∫ b
d
b
f (x)
g (x) dx =(f (x) g (x))a
dx
a
)
(
∫ b
d
f (x) dx
−
g (x)
dx
a

上式に (7.4.8) 式を代入し、)∫z( 2Uz 0 dds2 S (s) log (2 (z − s)) ds
ϕ=−
4π)
(
log (r) Uz ddz S (z)+2π )∫ L ( d2
d s2 S (s) log (2 (s − z)) ds Uz
z+4π(7.4.14)

第7章

322

揚力

for m:2 thru N1+1 do(list2:append(list2,
PHL61:first(rhs(PHL6));[[float(subst([k=m],ZK3)),float(subst([

PHL71:log(2*(z-s));k=m],VK31))]]));PHL72:PHL71=diff(PHL71,z,1);

plot2d([[discrete,list1],[discrete,list2]],

VZ1:subst([PHL72],PHL61);
PHL62:last(rhs(PHL6));[x,-0.1,1.1]);(7.4.14) 式で得られた速度ポテンシャルから細長体近似

PHL81:log(2*(s-z));の場合の z 軸方向の速度を求める。z 軸方向の速度に関PHL82:PHL81=diff(PHL81,z,1);連する項は右辺第一項と右辺第三項である。これを z で

VZ2:subst([PHL82],PHL62);

微分し z 軸方向の速度を求めると下記となる。積分範囲

VZ02:v[2]=VZ1+VZ2;と z − s の正負を考慮してまとめると、

VZ021:lhs(VZ02)=subst([U[z]=U,z=L,L-s=abs(z-s),U=U[z]],VZ1);
DV02:-U[z]*’diff(S(s),s,2)/(4*%pi*v2 = −

abs(z-s));assume(L-s>0,N>0);
diff(PHL21,z,1);
DVZ03:subst([r=0,Q4],%);
VZ031:v[3]=’integrate(%,s,0,L);
S2:S[0]*1/2*(1-cos(2*%pi*s/L));
DS2:diff(S2,s,1);
DDS2:diff(S2,s,2);
DZ1:dz=L/N;
ZK1:z=(k-1)*dz;
SJ1:s=dz/2+(j-1)*dz;
ZK2:subst([DZ1],rhs(ZK1));
subst([’diff(S(s),s,1)=DS2],DVZ03*dz);
subst([U[z]=U,ZK1,SJ1,DZ1],%);
v[k]=factor(sum(%,j,1,N));=−Uz∫ z dds22 S(s)Uz

4π
∫ L dds22 S(s)

0

0

z−s

|z−s|

ds

∫ L dds22 S(s)
−

z

s−z

ds Uz

4π

ds

4π

(7.4.11) 式で得られた速度ポテンシャルから、細長体近似と同じわき出し流量を用いた三次元軸対象の速度ポ
テンシャルの場合の z 軸方向の速度を求めると下記と
なる。

Uz

∫L

d
d s S(s)ds
0 (z−s) |z−s|(7.4.16)4π
上記の v2 , v3 の比較を行う。細長体の断面積分布：S(s)として次式とする。計算条件：N = 100, L = 1, S0 =v3 =0.03, U = 1 のときの比較図を下記に示す。両者、概ね一致しており、細長体近似の妥当性が示された。
(( π s ))
S0 1 − cos 2 L
S(s) =
2

VK3:rhs(%);
subst([’diff(S(s),s,2)=DDS2],DV02*dz);
subst([U[z]=U,ZK1,SJ1,DZ1],%);
v[k]=factor(sum(%,j,1,N));
VK2:rhs(%);
N1:100;IN1:[N=N1,L=1,S[0]=0.03,U=1];
ZK3:subst([IN1],ZK2);
subst([IN1],VK2);
VK21:ev(%,sum);list1:[[float(subst([k=1],ZK3)),float(
subst([k=1],VK21))]];
for m:2 thru N1+1 do(list1:append(list1,[[float(subst([k=m],ZK3)),float(subst([k=m],VK21))]]));
subst([IN1],VK3);
VK31:ev(%,sum);list2:[[float(subst([k=1],ZK3)),float(
subst([k=1],VK31))]];(7.4.15)

図 7.4.3: z 軸方向誘導流速比較

7.4. 細長体

7.4.3

323

細長体に作用する横力

物体に作用する力を求める方法には、圧力を積分する方法と運動量変化から求める方法とがある。ここでは圧力を積分する方法から細長体に作用する横力を求める1 。上図に示すような細長体と共に移動する物体固定の検査

図 7.4.4: 積分領域面を考える。この図で S∞ は物体から十分離れた検査面、ST は物体を横断する検査面でで、物体を除いた流体部
分、SB は ST より前方の物体表面の検査面を表わす。V は S∞ , ST , SB で囲まれた体積を表す。撹乱速度ポテン−→→
シャル：ϕ とする。ここではベクトル表記しており、 U は流速、−
n は物体表面に垂直な単位ベクトルで物体の内方向を正とする。∇ は下記の gradient を表す。

 d



dx A


∇ = grad(A) =  ddy A
d
dz A

−
→
このとき圧力は (7.4.6) 式を使う。物体先端から ST まで即ち、物体表面：SB に作用する力： F は圧力積分により次式で表わされる。

−→
F = −ρ

[

∫∫
SB

}]
→
∂ϕ 1 { −−→2+−2 U ∇ϕ + (∇ϕ)
n dS
∂t
2

(7.4.17)上式を下記のように分解し、

−
→
F =ρ

∫∫

−
→
→
( U ∇ϕ)−n dS − ρ
SB

∫∫
SB

{

}
∂ϕ 1
2 −
+ (∇ϕ) →n dS∂t2(7.4.18)

A.2 Gauss の定理（652 ページ ）を利用し、上式の下線部を次のように置き、下記のように分解する。
∫∫∫
∫∫
∂ϕ 1
→
+ (∇ϕ)2∇gdV =g−n dS, g =
∂t
2
V
S
)
)
(
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫ (
∂
1
∂ϕ 1
∂ϕ 1
→
→
∇ϕdV +∇(∇ϕ)2 dV =+ (∇ϕ)2 −n dS ++ (∇ϕ)2 −
n dS
∂t
2
∂t
2
∂t
2
V
V
S∞ +ST
SB(7.4.19)
上式の下線部分を (7.4.18) 式の下線部分と入れ替えると、
(
)
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
−
→
−
→
∂ϕ 1
1
∂
→
→
F =ρ
( U ∇ϕ)−n dS + ρ+ (∇ϕ)2 −n dS − ρ∇ϕdV − ρ∇(∇ϕ)2 dV
∂t
2
∂t
2
SB
S∞ +STV
V(7.4.20)
1 Marine Hydrodynamics, Chapter 7 Hydrodynamics of Slender Bodies, 7.3 The Lateral Force, P.338 21)

第7章

324
Transport Theorem を利用し、h を次のように置き、上式の下線部を下記のように分解する。
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
−
→ →
d
∂h
hdV =
dV +
h( U · −n )dS, h = ∇ϕ
dt
∂t
V
S
V
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
−
→ →
∂
d
∇ϕdV = ρ∇ϕdV + ρ∇ϕ( U · −
n )dS
ρ
dt
∂t
V
V
SB +ST +S∞

揚力(7.4.21)

上式の下線部分を (7.4.20) 式の下線部分と入れ替えると、

}
{
∫∫
∫∫∫
−
→
∂ϕ 1
d
→
→
+ (∇ϕ)2 −n dS − ρ( U ∇ϕ)−n dS + ρ
∇ϕdV
∂t
2
dt
SB
ST +S∞
V
∫∫
∫∫∫
−
→ →
1
+ρ
∇ϕ( U · −n )dS − ρ∇(∇ϕ)2 dV
2
SB +ST +S∞
V

−
→
F =ρ

∫∫

(7.4.22)

A.2 Gauss の定理（652 ページ ）を利用し、上式の下線部を次のように置き、下記のように分解する。
∫∫∫
∫∫
→
ρ
∇gdV = ρg−n dS, g = ϕ, g = (∇ϕ)2
V

S

∫∫∫

∫∫

→
ϕ−
n dS

∇ϕdV =
1
ρ
2

∫∫∫

V

(7.4.23)

S∞ +ST +SB

1∇(∇ϕ) dV = ρ
2
V

∫∫

→
(∇ϕ)2 −n dS

2

(7.4.24)

S∞ +ST +SB(7.4.23) 式を (7.4.22) 式の上線部に代入し、(7.4.24) 式を (7.4.22) 式の下線部に代入し、(7.4.22) 式の面積分のST + S∞ が打ち消され、
∫∫
∫∫
−
→
−
→
→
F =ρ
( U ∇ϕ)−n dS + ρ
SB

1
− ρ
2

∫∫

∂ϕ −
d
→
n dS − ρ∂tdt
ST +S∞∫∫→
ϕ−n dS + ρ

SB +ST +S∞

∫∫

−
→ →
∇ϕ( U · −n )dS
SB +ST +S∞→(∇ϕ)2 −n dS
SB

(7.4.25)−→ → ∂ϕ
物体表面上：SB では、 U · −n = ∂n であるから、上式の下線部分をまとめ、
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−
→
−
→
−
→ →
∂ϕ −
d
−
→
→
−
→
F =ρ
( U ∇ϕ) n dS + ρ
n dS − ρϕ n dS + ρ∇ϕ( U · −
n )dS
dt
SB
ST +S∞ ∂t
SB +ST +S∞
ST +S∞
}
{
∫∫
∂ϕ 1
→
+ρ
− (∇ϕ)2 −
n dS
∇ϕ
∂n 2
SB
(7.4.26)
特異点のない領域の境界に作用する定常力は零であるから、
{
}
∫∫
∂ϕ
1
→
ρ
n dS = 0∇ϕ − (∇ϕ)2 −∂n2SB +ST +S∞(7.4.27)上式から (7.4.26) 式の下線部の積分領域が変わり、
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−
→
−
→
−
→ →
∂ϕ −
d
→
→
→
F =ρ
( U ∇ϕ)−n dS + ρn dS − ρϕ−n dS + ρ∇ϕ( U · −
n )dS
dt
SB
ST +S∞ ∂t
SB +ST +S∞
ST +S∞
}
{
∫∫
∂ϕ 1
→
2−
−ρ
∇ϕ
− (∇ϕ) n dS
∂n 2
ST +S∞(7.4.28)
上式の下線部の積分領域が同じであるので、これをまとめて、
∫∫
∫∫
−
→
−
→
d
→
−
→
F =ρ
ϕ−
n dS
( U ∇ϕ) n dS − ρdt
SB +ST +S∞
SB
{(
)
(
)}
∫∫
−
→ → ∂ϕ∂ϕ 1→+ρ− (∇ϕ)2 −n + ∇ϕ U · −
n −
dS
∂t
2
∂n
ST +S∞(7.4.29)

7.4. 細長体

325

−
→
d
∂
無限遠の領域：S∞ では、ϕ = 0 , ∂ϕ∂t = 0 , ∇ϕ = 0 であり、 dt = ∂t + U · ∇ であるから、上式の下線部は、
(
) ∫∫
∫∫
−
→
−
→
−
→
∂
−
→
→
F =ρ
( U ∇ϕ) n dS − ρ+ U ·∇
ϕ−
n dS
∂t
SB
SB +ST
(7.4.30)))}(∫ ∫ {(
−
→ −
∂ϕ 1
∂ϕ
→
→
2 −
+ρ
− (∇ϕ)n + ∇ϕ U · n −
dS
∂t
2
∂n
ST
−
→
→
SB に作用する横断面内の力 Y のみを求める。ST 面の −n 項は z 軸方向となるので、これを消去し、次式の下線−→ → ∂ϕ部はお互い消去でき、物体が細長く、横流れ角が小さいとすると上線部の S の領域では U · −n −≈ −U とT∂n書き換えることができ、
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−
→ −
−
→
−
→
−
→
∂ϕ
∂
→
−
→
−
→
−
→
Y =ρ
( U ∇ϕ) n dS − ρ
ϕ n dS − ρ( U · ∇ϕ) n dS + ρ∇ϕ U · n −
dS
∂t
∂n
SB
SB
SB
ST
∫∫
∫∫
∂
→
ϕ−
n dS − ρ Uz
∇ϕdS
=−ρ
∂t
SB
ST

z

(7.4.31)−→
また、A.2 Gauss の定理（652 ページ ）次の関係式がある。ここで ΣB は ST と SB の交差線の線積分を表し、 Lは横断面：ST における横断面内の力を示す。
∫∫
I∇ϕdS =
ST

→
ϕ−
n dℓ,

−
→
Y =

∫ z

ΣB

−
→
L dz

(7.4.32)

0(7.4.31) 式と (7.4.32) 式から、
−
→
−
→
−
→
L dz = Y SB +∆SB (z + dz) − Y SB (z)
∫∫
∫∫
I
I
∂
∂
→
→
→
→
ϕ−
n dS + ρϕ−n dS − ρ Uz
ϕ−n dℓ + ρ Uz
ϕ−
n dℓ
=−ρ
∂t
∂t
SB +∆SBSBΣB at z+dz
ΣB at z
∫∫
I
∂
∂
→
→
=−ρ
ϕ−
n dS − ρ Uz dz
ϕ−
n dℓ
∂t
∂z ΣB at z
∆SB
上式の右辺第一項は dz を小さいとすると、∆SB の面積分は ΣB の線積分となるので、
I
I
−
→
∂
∂
−
→
→
ϕ n dℓ − ρ Uz dz
ϕ−
L dz = −ρ dz(7.4.33)n dℓ∂t ΣB at z∂z ΣB at z−→
以上から、横断面内の力： L は次式となる。ここで速度ポテンシャル：ϕ は横断面内のものであり、(7.4.7) 式から二次元横断面の速度ポテンシャル：ϕ2 で表現できる。
)I
(
−
→
∂
∂
→
+ Uz
ϕ2 −
n dℓ
L = −ρ
∂t∂z
ΣB at z(7.4.34)

今、横方向（x 軸方向）流速：Ux (z, t) とする。二次元横断面の撹乱速度ポテンシャル：ϕ2 を次式のように置き、→このとき −
n は物体表面上で下記の関係となる。

∂ ′
−
→
n =
ϕ
∂n 2

ϕ2 = Ux (z, t) ϕ′2 ,

上式を (7.4.34) 式に代入し、横方向の力：Fx は、
(
)
I
∂
∂
∂ ′
Fx = −ρ+ Uz
Ux (z, t)
ϕ2 dℓ
ϕ′2
∂t
∂z
∂n
ΣB at z(7.4.35)

ここで上式の線積分は (A.5.3) 式（654 ページ）から、x 軸方向の付加質量：mxx とすると、流体の運動エネル
ギーは、

)2 (
)2
∫∫ (
I
ρ
d
ρ
d
ρ
d
Φ
mxx Ux2 =Φ +Φ dxdy = −
Φ dℓ
2
2
dy
dx
2
dn
上式の Φ を ϕ′2 に置き換えると、上式は単位流速あたりの運動エネルギー：T となり、x 軸方向の付加質量：mxx
T =

は、

I
mxx = ρϕ′2

ΣB at z

∂ ′
ϕ dℓ
∂n 2

以上から、横方向の力：Fx は下記となり、x 軸方向の流体の付加質量×速度→流体の運動量の変化が横力になっている。

(
Fx = −

∂
∂
+ Uz
∂t
∂z

)
Ux (z, t) mxx(7.4.36)

第7章

326

7.4.4

細長い三角翼揚力

以上から、半幅：a の平板の付加質量：m は、

細長い平板三角翼に作用する揚力を前節で示した細長

m = π a2 ρ

物体に作用する横力の (7.4.36) 式を活用して求める。三角翼の先端角度：θ、翼の長さ：Z0 、翼の後端翼幅：BZ 、 これを下記のように書き換えて、翼の前進速度：U 、迎角：α、三角翼の揚力：L とする。

myy (z) = π a2 ρ
平板三角翼の z における揚力：dL は、前節の細長体に作用する横力の (7.4.36) 式から、下記のように書ける。
(
)
d
dL =
(Uy myy (z)) U(7.4.37)dz
ここで、下記の関係があり、Uy = α U,

図 7.4.5: 細長い三角翼/* 細長い三角翼 */kill(all);

a=

x
,
2

x = θz

上式を (7.4.37) 式に代入し、)(
d π α ρ x2 U
dL =U
dz
4
(
)
d π α ρ θ2 z 2 U
=U
dz
4

=

T1:T=%pi/2*\rho*(a^2*V[y]^2+b^2*V[x]^2);
T2:subst([V[x]=0],%);π α ρ θ2 z U 22

上式を翼後端：z = Z0 まで積分し、三角翼の揚力：L

T3:T=m*V[y]^2/2;

は、

rhs(T2)=rhs(T3);solve(%,m)[1];MYY1:subst([m=m[yy](z)],%);
L1:dL=U*’diff(U[y]*m[yy](z),z,1);
UY1:U[y]=U*\alpha;X0:a=x/2;∫ Z0π
α ρ θ2zdz U 220
π Z02 α ρ θ2 U 2=
4

L=(7.4.38)翼の後端翼幅：Bz = Z0 θ で表現すると、

X1:x=\theta*z;
subst([UY1,MYY1,X0],L1);
subst([X1],%);
L2:ev(%,diff);assume(Z[0]>0);
L3:L=’integrate(rhs(L2),z,0,Z[0]);L31:ev(%,integrate);
B1:B[z]=\theta*Z[0];B2:solve(B1,\theta)[1];
subst([B2],L31);
長径：a、短径：b の楕円まわりの流体の運動エネルギー：
T は (5.3.30) 式 (128 ページ) から下記となる。
()
π ρ a2 Vy2 + b2 Vx2
T =2
平板では b = 0 として、

T =π a2 ρ Vy22

付加質量：m と運動エネルギー：T の関係は、

T =

m Vy2
2

L=

π α ρ Bz2 U 2
4(7.4.39)

327

第 8 章 粘性流体
8.1

Navier-Stokes の式等まとめ

非圧縮性流体の場合の各種座標系における Navier-Stokes の式、質量保存の方程式、変形速度ひずみの式を以降にまとめる。上記については、「2.6 Navier-Stokesの式 (23 頁)」に、「Navier-Stokes の式の座標変換」については「付録 B

座標変換 (659 頁)」に詳細に記述されているので、参照願う。

depends(w,[t,x,y,z]);depends(p,[x,y,z]);div(V1[1])=0;
MS1:express(%);
DT1:transpose(diff(V1,t,1));
grad(V1);
express(%);
ev(%,diff);
DM1:transpose(V1.%);

8.1.1

Navier-Stokes の式等 (x-y-z 座標系)

x − y − z 座標系の質量保存の方程式、変形速度と応力、Navier-Stokes の式をまとめる。x − y − z 座標系の速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν とする。

DD1:matrix(express(grad(u)),express(
grad(v)),express(grad(w)));
DD:DD1+transpose(DD1);
STM1:matrix([\sigma[x],\tau[xy],\tau[xz]],[\tau[xy],\sigma[y],\tau[yz]],[\tau[xz],\tau[yz],\sigma[z]]);STM2:STM1=\mu*DD;
div(DD[1]);express(%);
PX1:ev(%,diff);div(DD[2]);express(%);
PX2:ev(%,diff);div(DD[3]);express(%);
PX3:ev(%,diff);
MSX1:diff(MS1,x,1);
MSX11:solve(%,’diff(w,x,1,z,1))[1];MSY1:diff(MS1,y,1);
MSY11:solve(%,’diff(w,y,1,z,1))[1];

図 8.1.1: x-y-z 座標系

MSZ1:diff(MS1,z,1);
MSZ11:solve(%,’diff(v,y,1,z,1))[1];DD2:matrix([subst([MSX11],PX1)],[subst(/* xyz 座標の質量保存、ＮＳ方程式 */kill(all);load("vect")
V1:matrix([u,v,w]);
depends(u,[t,x,y,z]);depends(v,[t,x,y,z]);[MSY11],PX2)],[subst([MSZ11],PX3)]);-grad(p);PP1:transpose(express(%));
DT1+DM1=\nu*DD2+PP1/\rho;

第8章

328
−
→
流速： V はベクトル表記で下記となる。
 
u
−
→  
V = v (8.1.1)w
上式の div をとることで、下記の質量保存の方程式が得られる。

(8.1.2) ddx uD =  ddx v
d
dx w

exe


exy
exz

exy
eyy
eyz

Navier-Stokes の式のベクトル表記は、「2.6 NavierStokes の式 (2.6.4) 式、24 頁」から、
(
)
)−
→
→
−
→
→ (−
d −
ρ
V + V · grad V = F − grad (p) + µ∇2 V
dt(8.1.3)(2.6.2) 式から変形速度ひずみは下記となる。各速度コンポーネント：u, v, w の grad をとり D とする。D とそ

d
d
d
w+
v+
u=0
dz
dy
dx







2

の転置行列：DT の和から、変形速度ひずみが得られ、

d
dy u
d
dy v
d
dy w

( d



d
dz u

d
dz v
d
dz w

)

d
+ d u
dx v
( d y)
2 ddy vdddy w + dz vu
 d dx dT
eyz  = D + D =  d x v + d y u
ddezz
dx w + dz u

exz

粘性流体



d
d
dx w + dz uddd y w + d z v(d )2 dz w(8.1.4)

応力テンソルは、上式に µ を掛け、



σx

τxy

τxy

τxz

τyz

σy



(
)
2 µ ddx u
τxz
(
)
(
) 


τyz  = µ D + DT = µ ddx v + ddy u ()σzµ ddx w + ddz u


(

)
d
w
+
u
d z )(d x
dd
2µ dy v
µ d y w + ddz v 
(
)
(
) 
µ ddy w + ddz v
2 µ ddz wµ

dv + ddy u
dx (
)

)

µ

( d

次に、Navier-Stokes の式を求める。(8.1.3) 式左辺の慣性項について、次式で得られる。
()
()( d )
 d 
d
d
u
w
+
u
v
+
u
dz
d(y
dx u
u
)−
)
( d )→ (−→→  ddt  
d −

(d )
d
V + V · grad V =  d t v  +  d z v w + v d y v + u d x v 
dt

(
)
(
)
(
)
d
w ddz w + v ddy w + u ddx w
dt w(8.1.5)(8.1.6)

粘性力：Px , Py , Pz は、応力テンソルの div をとると得られ下記となる。
( 2( 2 ))
d
d
d
d
d2
d2
d2
d
Px =
σx +
τxy +
τxz = µ
w+
v+
u
+
u
+
2
u
dx
dy
dz
dxdz
dxdy
d z2
d y2
d x2
( 2
( 2 )
)
d
d
d
d
d2
d
d2
d2
Py =
τxy +
σy +
τyz = µ
w+
v
+
2
v
+
v
+
u
dx
dy
dz
dydz
d z2
d y2
d x2
dxdy
( ( 2 )
)
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d2
Pz =
τxz +
τyz +
σz = µ 2
w
+
w
+
w
+
v
+
u
dx
dy
dz
d z2
d y2
d x2
dydz
dxdz
上式に (8.1.2) 式の質量保存の方程式を用いると、(8.1.3) 式右辺第三項の粘性項が得られる。
 
 d2

d2
d2
Px
d z 2 u + d y 2 u + d x2 u
−
→  
2
2
 2

µ∇2 V = Py  = µ  ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v 

Pz
圧力項は、

(8.1.7)d2
d2
d2
d z 2 w + d y 2 w + d x2 w

 d



dx p


−grad (p) = −  ddy p
ddz p

以上をまとめると、Navier-Stokes の式は次式となる。
( 2
 ((
(
)
) 
)

)
(
)
2
2
d
u w + ddy u v + u ddx u + ddt u
Fx + µ ddz2 u + ddy2 u + ddx2 u − ddx p
ρ
d
z
 ((

(
)
)  
( 2
)
)
( d )

 

d
d
d
d2
d2
d
d
=
v
w
+
v
v
+
u
v
+
v
F
+
µ
v
+
v
+
v
−
p

 ρ


2
2
2
y
dx
dt
dy
dx
dy
 ( d( z( dy )
) 
( d2z
)
)
(
)
d
d
d
d2
d2
d
d
d
ρ w dz w + v dy w + u dx w + dt w
Fz + µ d z2 w + d y2 w + d x2 w − d z p(8.1.8)(8.1.9)8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

8.1.2

Navier-Stokes の式等 (円柱座標系)

円柱座標 r − θ − z 系の質量保存の方程式、変形速度と応力、Navier-Stokes の式をまとめる。r − θ − z 座標
系の速度コンポーネントを vr , vθ , vz とする。圧力：p、
密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν とする。

329
solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1)]);
LXYR2:trigrat(%)[1];
LXR11:diff(XR,x,2);
LYR11:diff(YR,x,2);
solve([LXR11,LYR11],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2)]);
LXYR11:trigrat(%)[1];
LXR21:diff(XR,y,2);
LYR21:diff(YR,y,2);solve([LXR21,LYR21],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2)]);LXYR21:trigrat(%)[1];
TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta),0],[-sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);TR1:transpose(TR);WRTZ1:transpose(V1)=TR1.WRTZ;
WA1:lhs(WRTZ1)[1][1]=rhs(WRTZ1)[1][1];WB1:lhs(WRTZ1)[2][1]=rhs(WRTZ1)[2][1];WC1:lhs(WRTZ1)[3][1]=rhs(WRTZ1)[3][1];
Maxima の処理の都合上、円柱座標 r − θ − z 系の速度
コンポーネント：vr , vθ , vz を表す f, g, h を導入する。ここで f, g, h は、r, θ, z の関数とする。

図 8.1.2: 円柱座標系/* 円柱座標系 */depends(r,[t,x,y]);depends(\theta,[t,x,y]);depends(z,[t]);depends(f,[t,r,\theta,z]);depends(g,[t,r,\theta,z]);depends(h,[t,r,\theta,z]);depends(q,[t,r,\theta,z]);
WRTZ:matrix([f],[g],[h]);XR:x=r*cos(\theta);
YR:y=r*sin(\theta);
LXR1:diff(XR,x,1);
LYR1:diff(YR,x,1);   vrf−
→    
V =  vθ  =  g vzhx, y, z と r, θ, z の関係は、
x =r cos (θ) ,y = r sin (θ)

ddsin (θ)r =cos (θ) ,
θ=−
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r =sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r
(
)(
)
(
)2
2
2
2 ddx r ddx θ
d
d
d
r
=r
θ
,
θ
=
−
d x2
dx
d x2
r
)(
)
(
d
d
(
)2 2
r
θ
2
2
d
y
d
y
d
d
d
r =r
θ , 2θ=−
d y2
dy
dy
r
(8.1.10)solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),

x − y − z 座標系から r − θ − z 座標系へ変換する変換マ’diff(\theta,x,1)]);

トリックス：T R は下記となる。
cos (θ) sin (θ)
T R = −sin (θ) cos (θ)

LXYR1:trigrat(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,1);
LYR2:diff(YR,y,1);

0

0

0




0

(8.1.11)1

変換マトリックス T R の転置マトリックス：T RT を使って、x − y − z 座標系の流速：u, v, w と r − θ − z 座標系

第8章

330
の流速：f, g, h の関係は下記となる。

粘性流体

diff(rhs(WRTZ1),t,1);

 

  
u
f
f cos (θ) − g sin (θ)
−
→  
  

V =  v  = T RT  g  = f sin (θ) + g cos (θ)whh
(8.1.12)subst([’diff(r,t,1)=f,’diff(theta,t,1)=g/r,’diff(z,t,1)=h,’diff(x,t,1)=0,’diff(y,t,1)=0],%);TR.%;DMRTZ1:expand(trigsimp(%));

subst([WA1,WB1,WC1],MS1);

subst([WA1,WB1,WC1],DD2);ev(%,diff);ev(%,diff);

subst(LXYR1,%);

subst(LXYR11,%);

subst(LXYR2,%);

subst(LXYR21,%);MSRTZ1:expand(trigsimp(%));

subst(LXYR1,%);

subst([f=v[r],g=v[\theta],h=v[z],q=p],%);

subst(LXYR2,%);

subst([WA1,WB1,WC1],DD);TR.%;

ev(%,diff);

DD2RTZ1:expand(trigsimp(%));

subst(LXYR1,%);

subst([WA1,WB1,WC1,p=q],PP1);

subst(LXYR2,%);ev(%,diff);

DDT:%;

subst(LXYR1,%);

DDT.TR1;

subst(LXYR2,%);

TR.%;

TR.%;

DDRTZ1:trigsimp(%);
DD11:subst([f=v[r],g=v[\theta],h=v[z],PPRTZ1:expand(trigsimp(%));

q=p],%);
DD12:subst([x=r,y=t,xy=rt,xz=rz,yz=tz],[F[r]],[F[\theta]],[F[z]]);NAV2:subst([f=v[r],g=v[\theta],h=v[z],STM1)=\mu*%;q=p],%);\rho*DMRTZ1=\mu*DD2RTZ1+PPRTZ1+matrix(

SG111:lhs(DD12)[1][1]=DD11[1][1];SG121:lhs(DD12)[1][2]=DD11[1][2];SG131:lhs(DD12)[1][3]=DD11[1][3];SG221:lhs(DD12)[2][2]=DD11[2][2];SG231:lhs(DD12)[2][3]=DD11[2][3];SG331:lhs(DD12)[3][3]=DD11[3][3];x − y − z 座標系の質量保存の方程式：(8.1.2) 式に(8.1.12) 式を代入し、微分を実行し、(8.1.10) 式を代入
すると、下記の r − θ − z 座標系の質量保存の方程式が
得られる。
d
vθ
d
d
vr
vz + d θ
+
vr +
=0
dz
r
dr
r

(8.1.13)x−y−z 座標系の変形速度ひずみ：(8.1.4) 式に (8.1.12)
式を代入し、微分を実行し、(8.1.10) 式を代入する。ここでテンソル：C の座標変換は、「付録 C
よるベクトルとテンソル演算

Maxima に

C.4.3 テンソルの座標変′

換 (694 頁)」に示されている C = T R.C.T RT で得られる。結果を下記に示す。



2

(d

)

dr f
 ( d g) r−g+
d
 dr
dθ f

r
d
d
dr h + dz f

( ddr g) r−g+ ddθ fr
2 ( ddθ g )+2 fr( ddz g) r+ ddθ h
r



d
d
dr h + dz fd
( d z g) r+ ddθ h 


r
(d )
2 dz h8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

331

以上から、応力テンソルは次式となり、
σr τrθ τrz
err erθ erzτrθ σθ τθz  =µ erθ eθθ eθz 

τrz

τθz

σz

eθz ezz()
2 µ dr vr
 µ (r ( d v )d−v
d
θ + d θ vr )
dr θ
=

r
(
)
µ ddr vz + ddz vrerzµ (r ( ddr vθ )−vθ + ddθ vr )r
µ (2 ( ddθ vθ )+2 vr )rµ ( ddθ vz +r ( ddz vθ ))
r

)

(d

d
d r vz + d z vrµ ( ddθ vz +r ( ddz vθ )) r(d)
2 µ d z vzµ

変形速度ひずみ、応力テンソルの各項は下記となる。
( (
)
)
(
)
r ddr vθ − vθ + ddθ vr
dσr =µ err = 2 µvr , τrθ = µ erθ = µ
dr
r
( (
)
)
(
)
2 ddθ vθ + 2 vrddτrz =µ erz = µvz +vr , σθ = µ eθθ = µ
dr
dz
r
(
)
(
)
(
)
d
vz + r ddz vθdτθz =µ eθz = µ d θ, σz = µ ezz = 2 µvz
rdz(8.1.14)

Navier-Stokes の式の慣性項は物質微分を直接実行して求める。(8.1.12) 式を時間：t で微分し、(8.1.10) 式およびdddd t r = f, d t θ = g/r, d t z = h を代入し、変換マトリックス：T R を掛けて整理すると、下記の r − θ − z 座標系の慣性項が得られる。

 2
(
)


( d f) g ( d )− gr + d θr
+ d z f h + ddt f + f ddr f
f cos (θ) − g sin (θ)
 g ( d g)d (d )(d ) 
fg
dθd
f sin (θ) + g cos (θ) → 
+
+
g
h
+
g
+
f

r
r
dz
dt
dr g dtd()()
g ( d θ h)h+h d h + d h+f d h
r

dz

dt

dr

同様に、x − y − z 座標系の Navier-Stokes の式で粘性項：(8.1.7) 式に (8.1.12) 式を代入し、微分を実行し、(8.1.10)
式を代入し、変換マトリックス：T R を掛けて整理すると、下記の r − θ − z 座標系の粘性項が得られる。

 d



2

d
f
2 ( ddθ g )
f
d2
d2
d θ2
−
+
2
r
r
r2 − r2 + d z 2 f + d r2 f 

2
d
d
 d

粘性項：(8.1.7) 式 →  d r g + d θ22 g − g2 + 2 ( d 2θ f ) + d22 g + d22 g 
r
r
r
dz
dr
 r

d2
d
h
d2
d2
dr h
d θ2
r + r2 + d z 2 h + d r2 h
dr f

x − y − z 座標系の Navier-Stokes の式で圧力項：(8.1.8) 式に p → q の置き換えを行ない、q を r, θ, z の関数とする。微分を実行し、(8.1.10) 式を代入し、変換マトリックス：T R を掛けて整理すると、下記の r − θ − z 座標系の圧力項が得られる。

d



dr q
 ddθ q 
圧力項：(8.1.8) 式 → −  r ddz q

以上をまとめ、f, g, h → vr , vθ , vz の置き換えを行うと円柱座標 r − θ − z 系の Navier-Stokes の式が次式で得ら
れる。



(

(d

)

(
)
( d vr ) vθv2vz − rθ + d θ r+ ddt vr + vr ddr vr) 

d z vr
 ρ

 (
)


(d )
(
)
vθ ( ddθ vθ )ρ+ ddt vθ + vr ddr vθ + vrrvθ 
d z vθ v z +
r




(
)


(d
) vθ ( ddθ vz )()
dd
ρ v z d z vz ++ d t vz + v r d r vz
r
)

 (
d2
d
v
2 ( ddθ vθ )
vr
d2
d2
d
d θ2 rd r vr+ d z2 vr + r2 + d r2 vr + r − r2 + Fr − d r pµ − r2

 (
)
d2


d
d
v
2 ( ddθ vr )vθd2
d2
d θ2 θ
d r vθdθ p =  µ d z 2 vθ + r 2 + d r 2 vθ + r − r 2 ++ Fθ − r 
r2


(
)
d2
d


v
d2
d2
d
d θ2 zd r vzµ d z 2 vz + r 2 + d r 2 v z + r+ Fz − d z p(8.1.15)

第8章

332

8.1.3

Navier-Stokes の式等 (極座標系)

極座標 θ − ϕ − r 系の質量保存の方程式、変形速度と応力、Navier-Stokes の式をまとめる。θ − ϕ − r 座標系の速度コンポーネントを vθ , vϕ , vr とする。圧力：p、密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν とする。

粘性流体

LXYZR3:trigsimp(%)[1];
LXR1:diff(XR,x,2);
LYR1:diff(YR,x,2);
LZR1:diff(ZR,x,2);
solve([LXR1,LYR1,LZR1],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2),’diff(\phi,x,2)]);LXYZR11:trigsimp(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,2);
LYR2:diff(YR,y,2);
LZR2:diff(ZR,y,2);solve([LXR2,LYR2,LZR2],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2),’diff(\phi,y,2)]);LXYZR21:trigsimp(%)[1];
LXR3:diff(XR,z,2);
LYR3:diff(YR,z,2);
LZR3:diff(ZR,z,2);
solve([LXR3,LYR3,LZR3],[’diff(r,z,2),’diff(\theta,z,2),’diff(\phi,z,2)]);LXYZR31:trigsimp(%)[1];

図 8.1.3: 極座標系

TR:matrix([cos(\theta)*cos(\phi),cos(\theta)*sin(\phi),-sin(\theta)],/* 極座標系 */[-sin(\phi),cos(\phi),0],[sin(\theta)*cos(\phi),sin(\theta)*sin(\phi),cos(\theta)]);depends(r,[t,x,y,z]);

TR1:transpose(TR);depends(\phi,[t,x,y,z]);depends(f,[t,r,\theta,\phi]);depends(\theta,[t,x,y,z]);depends(g,[t,r,\theta,\phi]);

XR:x=r*sin(\theta)*cos(\phi);depends(h,[t,r,\theta,\phi]);

YR:y=r*sin(\theta)*sin(\phi);depends(q,[t,r,\theta,\phi]);

ZR:z=r*cos(\theta);

WRTZ:matrix([f],[g],[h]);LXR1:diff(XR,x,1);

WRTZ1:transpose(V1)=TR1.WRTZ;

LYR1:diff(YR,x,1);WA1:lhs(WRTZ1)[1][1]=rhs(WRTZ1)[1][1];

LZR1:diff(ZR,x,1);

WB1:lhs(WRTZ1)[2][1]=rhs(WRTZ1)[2][1];solve([LXR1,LYR1,LZR1],[’diff(r,x,1),’diff(\theta,x,1),’diff(\phi,x,1)]);WC1:lhs(WRTZ1)[3][1]=rhs(WRTZ1)[3][1];
Maxima の処理の都合上、θ − ϕ − r 座標系の速度コン

LXYZR1:trigsimp(%)[1];

ポーネント：vθ , vϕ , vr を表す f, g, h を導入する。ここ

LXR2:diff(XR,y,1);

で f, g, h は、θ, ϕ, r の関数とする。

LYR2:diff(YR,y,1);
LZR2:diff(ZR,y,1);solve([LXR2,LYR2,LZR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1),’diff(\phi,y,1)]);LXYZR2:trigsimp(%)[1];
LXR3:diff(XR,z,1);
LYR3:diff(YR,z,1);
LZR3:diff(ZR,z,1);
solve([LXR3,LYR3,LZR3],[’diff(r,z,1),’diff(\theta,z,1),’diff(\phi,z,1)]);



 
f
−
→    
V = vϕ  =  g 
h
vr
vθ



8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

333

x, y, z と θ, ϕ, r の関係は、
x =cos (ϕ) r sin (θ) ,y = sin (ϕ) r sin (θ)

z =r cos (θ)
dcos (ϕ) cos (θ)
dr =cos (ϕ) sin (θ) ,
θ=
,
dx
dx
r
d
sin (ϕ)d
ϕ=−,r = sin (ϕ) sin (θ) ,dx
r sin (θ)
dydsin (ϕ) cos (θ)
dcos (ϕ)
θ=
,
ϕ=
dy
r
dy
r sin (θ)
dsin (θ)ddr =cos (θ) ,
θ=−
,
ϕ=0
dz
dz
r
dz
)
(
)
(
2
2
d2
d
d
2
θ
+
ϕ
r sin (θ) ,
r
=r
d x2
dx
dx
(
)(
) (
)2
2 ddx r ddx θ − ddx ϕ r cos (θ) sin (θ)
d2
θ
=
−
,
d x2
( d )
( dr )( d )( d )2 d x ϕ r cos (θ) d x θ + 2 d x ϕ d x r sin (θ)
d2
ϕ=−
2
dx
r sin (θ)
(
)2 (
)2
2
d
d
d
2
r =r
θ +
ϕ r sin (θ) ,
d y2
dy
dy
(
)(
) (
)2
d
d
2 ddy rr cos (θ) sin (θ)
dy θ − dy ϕ
d2
,
θ
=
−
d y2
r
(
)
(
)
(
)(
)
d
d
d
d
2
ϕ
r
cos
(θ)
θ
+
2
ϕ
r
sin (θ)
2
dy
dy
dy
dy
d
ϕ
=
−
d y2
r sin (θ)
(
)2 (
)2
2
d
d
d
2
r =r
θ +
ϕ r sin (θ) ,
2
dz
dz
dz
)(
) (
)2
(
2 ddz r ddz θ − ddz ϕ r cos (θ) sin (θ)
d2
θ =−
,
d z2
(d )
( dr )(d )(d )2 d z ϕ r cos (θ) d z θ + 2 d z ϕ d z r sin (θ)
d2
ϕ=−
d z2
r sin (θ)
x − y − z 座標系から θ − ϕ − r 座標系へ変換する変換マトリックス：T R は下記となる。

cos (ϕ) cos (θ) sin (ϕ) cos (θ) −sin (θ)
T R =  −sin (ϕ)
cos (ϕ)0 cos (ϕ) sin (θ)

sin (ϕ) sin (θ)(8.1.16)(8.1.17)cos (θ)変換マトリックス T R の転置マトリックス：T RT を使って、x − y − z 座標系の流速：u, v, w と θ − ϕ − r 座標系の流速：f, g, h の関係は下記となる。


  
 
h cos (ϕ) sin (θ) + f cos (ϕ) cos (θ) − g sin (ϕ)
f
u
−
→  

  
V =  v  = T RT  g  =  h sin (ϕ) sin (θ) + f sin (ϕ) cos (θ) + g cos (ϕ) h cos (θ) − f sin (θ)
hw(8.1.18)

第8章

334

粘性流体

diff(rhs(WRTZ1),t,1);
subst([WA1,WB1,WC1],MS1);

subst([’diff(r,t,1)=h,’diff(\theta,t,1)=ev(%,diff);f/r,’diff(\phi,t,1)=g/r/sin(\theta),

subst(LXYZR1,%);’diff(x,t,1)=0,’diff(y,t,1)=0,

subst(LXYZR2,%);’diff(z,t,1)=0],%);

subst(LXYZR3,%);TR.%;

MSRTP1:expand(trigsimp(%));

DMRTP1:expand(trigsimp(%));

subst([f=v[\theta],g=v[\phi],h=v[r],subst([WA1,WB1,WC1],DD2);q=p],%);

ev(%,diff);

subst([WA1,WB1,WC1],DD);

subst(LXYZR11,%);ev(%,diff);
subst(LXYZR1,%);

subst(LXYZR21,%);

subst(LXYZR2,%);

subst(LXYZR1,%);

subst(LXYZR3,%);

subst(LXYZR2,%);

DDT:%;

subst(LXYZR3,%);

DDT.TR1;

TR.%;

TR.%;

DD2RTP1:expand(trigsimp(%));

DDRTP1:expand(trigsimp(%));

subst([WA1,WB1,WC1,p=q],PP1);

DD21:subst([f=v[\theta],g=v[\phi],h=v[r],ev(%,diff);q=p],%);

subst(LXYZR1,%);

DD22:subst([x=t,y=p,z=r,xy=tp,xz=tr,

subst(LXYZR2,%);yz=pr],STM1)=\mu*%;
SG111:lhs(DD22)[1][1]=DD21[1][1];subst(LXYZR3,%);
TR.%;

SG121:lhs(DD22)[1][2]=DD21[1][2];

PPRTP1:expand(trigsimp(%));

SG131:lhs(DD22)[1][3]=DD21[1][3];\rho*DMRTP1=\mu*DD2RTP1+PPRTP1+matrix(

subst(LXYZR31,%);

SG221:lhs(DD22)[2][2]=DD21[2][2];[F[\theta]],[F[\phi]],[F[r]]);

SG231:lhs(DD22)[2][3]=DD21[2][3];NAV3:subst([f=v[\theta],g=v[\phi],h=v[r],SG331:lhs(DD22)[3][3]=DD21[3][3];x−y−z 座標系の質量保存の方程式：(8.1.2) 式に (8.1.18)q=p],%);

式を代入し、微分を実行し、(8.1.16) 式を代入すると、下記の θ − ϕ − r 座標系の質量保存の方程式が得られる。
dd θ vθ

r+dvθ cos (θ)
d2 vrd ϕ vϕ++vr +=0r sin (θ)
r sin (θ) d r
r(8.1.19)x−y−z 座標系の変形速度ひずみ：(8.1.4) 式に (8.1.18)
式を代入し、微分を実行し、(8.1.16) 式を代入する。ここでテンソル：C の座標変換は、「付録 A
よるベクトルとテンソル演算

Maxima に

C.4.3 テンソルの座標変′

換 (694 頁)」に示されている C = T R.C.T RT で得られる。結果を下記に示す。

8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

335

2 ( d θ f)
2h
r +
r

d
d
 g cos(θ)
dϕ f− r sin(θ) + r sin(θ) + d θr g

d
f
d
dθ h
r − r + dr f
d

d

d

f

g

dϕ
dθ
− gr cos(θ)
sin(θ) + r sin(θ) + r
2 ( ddϕ g )2 f cos(θ)
2hr sin(θ) + r sin(θ) + r
d
g
dϕ h
d
r sin(θ) − r + d r gddθ h− fr + ddr f





g
d

−
+
g
r sin(θ)
r
dr 
(d )
2 dr hrddϕ h以上から、応力テンソルは次式となり、
)
 (

d v
2
d θ θ + 2 vr 
µ 

r
r

 



τθr
d v
d v

vϕ cos(θ)

ϕ
dϕ θ
τϕr 
−
+ dθ
 = µ rr sin(θ)
r sin(θ)


σr




d v
vθ

r
d
d
θ

v −
+
µ
dr θ
r
r




σθ
τ
 θϕ
τθr

τθϕ
σϕ
τϕr




d v
d v
vϕ cos(θ)
dϕ θ
ϕ
−
+ dθ
r
r sin(θ)
r sin(θ)
(
)


d v
2
2 vθ cos(θ)
2 vr 
dϕ ϕ
µ 
+
+
r
r sin(θ)
r sin(θ)


d v
vϕ
dϕ r
d


µ
+
v
−
r
dr ϕ
r sin(θ)
µ 



d v
v
r
µ  d vθ − θ + d θ

dr
r
r




d v

vϕ
r

d
ϕ
d
µ 
−
+
v 
r
dr ϕ 
r sin(θ)



(
)

d
2µ
v
dr r

変形速度ひずみ、応力テンソルの各項は下記となる。
( (
)
( d
)
)
d
2 ddθ vθv
2 vr
vϕ cos (θ)ϕ
d ϕ vθ
σθ =µ eθθ = µ+, τθϕ = µ eθϕ = µ
−
+ dθ
,
r
r
r sin (θ)
r sin (θ)
r
(
)


(
)
d
d
2
v
ϕ
v
d
ϕ
d
vθ
2
v
cos
(θ)
2
v
r
θ
r
τθr =µ eθr = µ
vθ −
+ dθ
, σϕ = µ eϕϕ = µ 
+
+
,
dr
r
r
r sin (θ)
r sin (θ)
r
( d
)
(
)
vϕ
d
d
d ϕ vrτϕr =µ eϕr = µ−+vϕ , σr = µ err = 2 µvrr sin (θ)
rdrdr

(8.1.20)

Navier-Stokes の式の慣性項は物質微分を直接実行して求める。(8.1.18) 式を時間：t で微分し、(8.1.16) 式およびdddd t r = h, d t θ = f /r, d t ϕ = g/(r sin (θ)) を代入し、変換マトリックス：T R を掛けて整理すると、下記の θ − ϕ − r

座標系の慣性項が得られる。また、粘性項：(8.1.7) 式に (8.1.18) 式を代入し、微分を実行し、(8.1.16) 式を代入
し、変換マトリックス：T R を掛けて整理すると、下記の θ − ϕ − r 座標系の粘性項が得られる。
 2



( dϕ f ) g f h f ( ddθ f ) ( d )cos(θ)d− gr sin(θ)+ rdsin(θ)
+ r +
+
f
h
+
f
h cos (ϕ) sin (θ) + f cos (ϕ) cos (θ) − g sin (ϕ)
r
dr
dt 

d 
(
)



g ( ddϕ g )f ( d g)cos(θ)
 h sin (ϕ) sin (θ) + f sin (ϕ) cos (θ) + g cos (ϕ)  →  frgsin(θ)+ r sin(θ)+ grh + drθ + ddr g h + ddt g 
dt


(d )
g ( ddϕ h)f ( ddθ h)g2
f2
h cos (θ) − f sin (θ)
d
+
−
−
+
h
+
h
h
r sin(θ)
r
r
r
dt
dr

 d
2
d2
d
d
f
f
2 ( ddθ h)
2 ( ddr f )( d θ f ) cos(θ) 2 ( d ϕ g) cos(θ)
f
d ϕ2
d2
d θ2
+ r2
+ r2 + d r2 f 
2 +r
 r2 sin(θ) − r2 sin(θ)2 + r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)
 d g cos(θ) 2 d h
d2
d2
d
d
g
g
2
f
cos(θ)
2
g
(dϕ )
(dϕ )
(dθ )
(dr )

g
d ϕ2
d2
d θ2
粘性項：(8.1.7) 式 → ++g r2 sin(θ) + r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 + r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 +
2
2
r
r
dr

 d
2
d
d2
d
d
d
h
h
2 ( d r h)
2 ( d θ f)
( d θ h) cos(θ) 2 f cos(θ) 2 ( d ϕ g)
d ϕ2
2h
d2
d θ2
−
−
+
+
+
−
−
+
h
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r
r2
r2
r2
d r2
r 2 sin(θ)2Navier-Stokes の式で圧力項：(8.1.8) 式に p → q の置き換えを行ない、q を r, θ, z の関数とする。微分を実行し、(8.1.16) 式を代入し、変換マトリックス：T R を掛けて整理すると、下記の θ − ϕ − r 座標系の圧力項が得られる。
 d 
dθ q

 dr q dϕ
圧力項：(8.1.8) 式 → − r sin(θ)
ddr q

以上をまとめ、f, g, h → vθ , vϕ , vr の置き換えを行うと極座標 θ − ϕ − r 系の Navier-Stokes の式は次式で得られる。

)
(
(
) 
2
( d
) vϕ ddϕ vθ
vϕcos(θ)vθ ( ddθ vθ )
vr vθ
d
ρ
+
v
+
v
v
+
−
+
r
r
dt θ
dr θ
r sin(θ)
r sin(θ)
r


 (
(
)
)
d v
d v


(
)
v
v
ρ vϕ vθ cos(θ) + ϕ d ϕ ϕ + ( d θ ϕ ) θ + vϕ vr + d vϕ vr + d vϕ r sin(θ)
r sin(θ)
r
r
dr
dt


( ( d )
)
2


2
(
)
vϕ d ϕ vrv( ddθ vr ) vθ
vθ
ϕ
d
d
−
+
+
v
+
v
v
−
ρ
r
r sin(θ)
r
r
dt r
dr r
r

 (
)
)
(
d2 v
d2 v
d p
2 ddϕ vϕ cos(θ)
cos(θ) ( ddθ vθ )2 ( ddr vθ )2 ( ddθ vr )vθ cos(θ)2vθ
d ϕ2 θ
d2
d θ2 θdθ+ r2 sin(θ) + d r2 vθ ++ r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 −− r2 ++ Fθ − r 
µ
r
r2
r2
r 2 sin(θ)2




(
)
)
)
(
(
2
2


d
d
d
d
d
d
d
v
2 cos(θ) d ϕ vθ2 d ϕ vrvϕp
2
2 ( d r vϕ )vϕ( d θ vϕ ) cos(θ)
2d ϕ2 ϕd
ϕd+ d θr2 + d r2 vϕ − r sin(θ) + Fϕ +
+ r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 += µ
2 sin(θ)
2 sin(θ)2
r
r
r



 (
)
)
(


d2 v
d v
d2 v
d
d
d
2
r
2
2 ( d θ vθ )2 ( d r vr )r
( d θ vr ) cos(θ)

2 vθ cos(θ)
dϕ ϕ
2 vr
d ϕ2
d
d
d θ2
µ − r2−p+F−− r2 sin(θ) + r2 sin(θ) − r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 + r2 + d r2 vr +
r
2
r
dr
r



(8.1.21)

第8章

336

粘性流体

渦度方程式 (x-y-z 座標系)

Navier-Stokes の式は下記のようにも表記できる。
(
)
→ −
→
−
→
d −
Navier-Stokes の式から渦度方程式を求める。まず、
ρ
V − V × curl Vdt
x − y − z 座標系について求める。流速の各コンポーネ
)
( −
→2
−
→
V
ントを u, v, w、渦度の各コンポーネントを ωx , ωy , ωz と= F − grad ρ+ p + µ∇2 V
2
する。

8.1.4

/*

Nav - vortex ＆ 円柱・極座標表記 */kill(all);load("vect")
V1:matrix([u,v,w]);
WA:matrix([a,b,c]);
W1:matrix([\omega[x],\omega[y],\omega[z]]);LISW:[a=\omega[x],b=\omega[y],c=\omega[z]];depends(u,[t,x,y,z]);depends(v,[t,x,y,z]);

また、「B.1 円柱座標系への変換(5) 粘性項 ベクト

ルの式、(B.1.23) 式、665 頁」から、上式の右辺第三項−→の粘性項：µ∇2 V を書き換えると、Navier-Stokes の式
は下記のようにも表記できる。
(
)
→ −
→
−
→
d −
ρ
V − V × curl V
dt
( −
)
→2
V
= F − grad ρ
+p
2
(
(
(−
(
(−
→))
→)))
+ µ grad div V− curl curl V

depends(w,[t,x,y,z]);(8.1.23)

depends(a,[t,x,y,z]);depends(b,[t,x,y,z]);depends(c,[t,x,y,z]);depends(p,[t,x,y,z]);/* DT */curl(V1)[1];express(%);
WXYZ1:W1=%;
WABC1:WA=W1;
WABC2:WA=rhs(WXYZ1);transpose(W1)=transpose(rhs(WXYZ1));
A1:lhs(WABC2)[1][1]=rhs(WABC2)[1];B1:lhs(WABC2)[1][2]=rhs(WABC2)[2];C1:lhs(WABC2)[1][3]=rhs(WABC2)[3];diff(WABC2,t,1);
WT1:ev(%,diff);
subst(LISW,WT1);
WT11:subst([’diff(z,t,1)=0],%);
WT11T:transpose(lhs(WT11));diff(V1,t,1);curl(%)[1];

Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から下記となる。
(
)
)
 ((
)
( d )
d
d
d
ρ
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
d(y
dx
dt ) 
 (( d z )
)
( d )


d
d
v w + v d y v + u d x v + ddt v 
 ρ
(
)
)

 ( d( z)()ρ w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w
( 2

)

2
2
X + µ ddz2 u + ddy2 u + ddx2 u − ddx p


( 2
)
2
2


=  Y + µ ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v − ddy p 

( 2
)

2
2
Z + µ ddz2 w + ddy2 w + ddx2 w − ddz p(8.1.24)
渦度方程式は Navier-Stokes の式の curl から得られる。
ここでは Navier-Stokes の式の表記式として、(8.1.23)式を用いる。∇ の定義式は下記である。
(−
→)
−
→
∇ f = grad (f ) , ∇ · V = div V ,
(−
→)
−
→
∇ × V = curl V(8.1.25)−→→
また、流速： V と渦度：−
ω との関係は、−→ →∇× V =−
ω(8.1.26)

express(%);
ev(%,diff);
WT2:subst([’diff(z,t,1)=0],%);
rhs(WT11)-WT2;
Navier-Stokes の式をベクトル表記すると、「2.6 NavierStokes の式 (2.6.4) 式、24 頁」から、
(
)
)−
→ (−
→
→
−
→
d −
ρ
V + V · grad V = F − grad (p) + µ∇2 V
dt(8.1.22)「2.8 Bernoulli の定理、((2.8.2) 式、25 頁」から、上式)−−→→左辺加速度項の第二項： V · grad V を書き換えると、流速、渦度を流速の各コンポーネントで表現すると、

   ddωxdy w − dz v
  dωy  =  d z u − ddx w
ddωz
dx v − dy u

(8.1.27)(8.1.23) 式の左辺第一項の curl をとって、
d

d t ωx
−
→
d
d −
d

→
ω =  d t ωy 
∇× V =dt
dt
dd t ωz(8.1.28)

8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

337(8.1.23) 式の右辺第二項は、
( −
)
→2
V
grad ρ
+p2( ())ρ w 2 + v 2 + u2
= grad
+p
2


(
)
(
)
(
)
ρ w( ddx w) + ρ v ( ddx v ) + ρ u (ddx u )+ ddx p


d
d
d
d

=
ρ
w
w
+
ρ
v
v
+
ρ
u
u
+
p
d
y
d
y
d
y
d
y


(d )
(d )
(d )
ρ w d z w + ρ v d z v + ρ u d z u + ddz p/* DXU */div(rhs(WABC2));
express(%);
ev(%,diff);
grad(WA);
express(%);
ev(%,diff);
DXU2:V1.%;
subst([LISW],%);DXU2T:transpose(%);
grad(p+\rho/2*(V1.V1));

上式の curl をとって、
)
( −
→2
V
∇ × grad ρ+p =02

express(%);
ev(%,diff);curl(%);(8.1.31)express(%);
ev(%,diff);(8.1.23) 式の左辺第二項の curl をとって、/* NV1 */div(V1[1]);

−
→
−
→
−
→ →
−∇ × V × curl V = − ∇ × V × −ω−→→=∇ × −
ω ×V
(
−
→) →
−
→
→
= ∇· V −ω − (∇ · −ω)V(8.1.29)→上式右辺第二項の ∇ · −ω について、
(
d
d
d
d
−
→
∇ · ω =div [
w−
v,
u−
w,
dy
dz dz
dx
)
d
d
v−
u]
dx
dy
)
)
(
(
d
d
d
d
d
d
=
w−
v +
u−
w
dx dy
dz
dy dz
dx
(
)
d
d
d
+
v−
u
dz dx
dy
=0

express(%);
grad(%);
express(%);
ev(%,diff);curl(%);
express(%);
ev(%,diff);/* NV2 */curl(V1)[1];express(%);
ev(%,diff);curl(%);
express(%);
ev(%,diff);curl(%);
express(%);
ev(%,diff);
NV21:-transpose(%);

また、(8.1.29) 式の右辺第一項のカッコ内の積は前後入A2:diff(a,x,2)+diff(a,y,2)+diff(a,z,2);

れ替えてもよいので、以上から (8.1.23) 式の左辺第二項

B2:diff(b,x,2)+diff(b,y,2)+diff(b,z,2);の curl は、

C2:diff(c,x,2)+diff(c,y,2)+diff(c,z,2);−→−→−∇× V × curl V(−)→→= V ·∇ −
ω
 (
)
(
(
)
)
w ddz ωx + v ddy ωx + u ddx ωx
 (
)
(
(
)
)


=  w ddz ωy + v ddy ωy + u ddx ωy 
 (
)
(
(
)
)
w ddz ωz + v ddy ωz + u ddx ωz(8.1.30)→(8.1.28) 式と (8.1.30) 式の和は ddt −ω の物質微分である。

NV23:matrix([A2],[B2],[C2]);
subst([A1,B1,C1],%);
NV22:ev(%,diff);
NV21-NV22;
NV23T:subst(LISW,NV23);
NVW1:WT11T+DXU2T=\nu*NV23T;

第8章

338

粘性流体

(8.1.23) 式の右辺第三項の粘性項の第一項は、次式であり、((−→))
grad div V
(
)
d
d
d
=grad
w+
v+
u
dz
dy
dx
 d2

d2
d2
d x d z w + d x d y v + d x2 u
2
2
 2

=  d yd d z w + ddy2 v + d xd d y ud2
d2
d2
d z2 w + d y d z v + d x d z u

上式の curl は、

(
(−
→))
∇ × grad div V=0(8.1.32)(8.1.23) 式の右辺第三項の粘性項の第二項の curl は、次式であり、
 d3

d3
d3
d3
d3
d3
d y 3 w + d y d z 2 w + d x2 d y w − d z 3 v − d y 2 d z v − d x2 d z v
(−
))
→
3
3
3
3
3
3


−∇ × curl curl V= − ddx3 w − d xdd z2 w − d xdd y2 w + ddz3 u + d yd2 d z u + d xd2 d z u
(

d3
d3
d3
d3
d3
d3
d x3 v + d x d z 2 v + d x d y 2 v − d y 3 u − d y d z 2 u − d x 2 d y u

また、

 d2







d2
d2
d3
d3
d3
d3
d3
d3
d z 2 ωx + d y 2 ωx + d x2 ωx
d y 3 w + d y d z 2 w + d x2 d y w − d z 3 v − d y 2 d z v − d x2 d z v
3
2
2
3
3
3
3
3
 d2
 

 d z2 ωy + ddy2 ωy + ddx2 ωy  = − ddx3 w − d xdd z2 w − d xdd y2 w + ddz3 u + d yd2 d z u + d xd2 d z u
d2
d2
d3
d3
d3
d3
d3
d3
d2
d z 2 ωz + d y 2 ωz + d x2 ωz
d x3 v + d x d z 2 v + d x d y 2 v − d y 3 u − d y d z 2 u − d x2 d y u

上記の二式の右辺は同じであるから、

 d2

d2
d2
d z 2 ωx + d y 2 ωx + d x2 ωx
))
(−
→
2
2
 2

=  ddz2 ωy + ddy2 ωy + ddx2 ωy −∇ × curl curl V((8.1.33)d2
d2
d2
d z 2 ωz + d y 2 ωz + d x2 ωz(8.1.28) 式、(8.1.30) 式、(8.1.31) 式、(8.1.32) 式、(8.1.33) 式から、x − y − z 座標系の渦度方程式が得られ、次
式となる。
 (
(
)
  ( 2
)
)
)
(
2
2
w ddz ωx + v ddy ωx + u ddx ωx + ddt ωx
ν ddz2 ωx + ddy2 ωx + ddx2 ωx (  ( 2
(
)
)
)
)
(
2
2

 

 w ddz ωy + v ddy ωy + u ddx ωy + ddt ωy  =  ν ddz2 ωy + ddy2 ωy + ddx2 ωy 
 (
(

(
)

)

)
)
(
2
2
2
w ddz ωz + v ddy ωz + u ddx ωz + ddt ωz
ν ddz2 ωz + ddy2 ωz + ddx2 ωz(8.1.34)

8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

8.1.5

渦度方程式 (円柱座標系)

x − y − z 座標系の渦度方程式：(8.1.34) 式から円柱座
標系の渦度方程式を求める。x − y − z 座標系の流速の339
LXR21:diff(XR,y,2);
LYR21:diff(YR,y,2);solve([LXR21,LYR21],[’diff(r,y,2),

各コンポーネントを u, v, w、渦度の各コンポーネントを’diff(\theta,y,2)]);

ωx , ωy , ωz とする。円柱座標系の r − θ − z は下図に示LXYR21:trigrat(%)[1];

すとおりで、その流速の各コンポーネントを vr , vθ , vz 、渦度の各コンポーネントを ωr , ωθ , ωz とする。

TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta),0],[-sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);TR1:transpose(TR);x − y − z 座標系と円柱座標系の関係式は下記となる。
x = r cos (θ) ,y = r sin (θ)

ddsin (θ)r = cos (θ) ,
θ=−
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r = sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r
(
)(
)
(
)2
2
2
2 ddx r ddx θ
d
d
d
r=r
θ ,
θ=−
d x2
dx
d x2
r
(
)(
)
d
d
)2 2
(
2
r
θ
2
dy
dy
d
d
d
r=r
θ , 2θ=−
d y2
dy
dy
r
(8.1.35)
図 8.1.4: 円柱座標系

x − y − z 座標から円柱座標への座標変換マトリック
ス：T R は、

cos (θ)
T R = −sin (θ)/* 円柱座標系 */0sin (θ)0

cos (θ)


0

0

1

(8.1.36)

LISW1:[o=v[r],q=v[\theta],s=v[z],f=\omega[r],g=\omega[\theta],
h=\omega[z]];depends(r,[t,x,y]);depends(\theta,[t,x,y]);depends(z,[t]);XR:x=r*cos(\theta);
YR:y=r*sin(\theta);
LXR1:diff(XR,x,1);
LYR1:diff(YR,x,1);
solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),’diff(\theta,x,1)]);
LXYR1:trigrat(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,1);
LYR2:diff(YR,y,1);solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1)]);
LXYR2:trigrat(%)[1];
LXR11:diff(XR,x,2);
LYR11:diff(YR,x,2);
solve([LXR11,LYR11],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2)]);
LXYR11:trigrat(%)[1];

depends(f,[t,r,\theta,z]);depends(g,[t,r,\theta,z]);depends(h,[t,r,\theta,z]);
WRTZ:matrix([f],[g],[h]);WRTZ1:transpose(WA)=TR1.WRTZ;
WA1:lhs(WRTZ1)[1][1]=rhs(WRTZ1)[1][1];WB1:lhs(WRTZ1)[2][1]=rhs(WRTZ1)[2][1];WC1:lhs(WRTZ1)[3][1]=rhs(WRTZ1)[3][1];depends(o,[t,r,\theta,z]);depends(q,[t,r,\theta,z]);depends(s,[t,r,\theta,z]);
VRTZ:matrix([o],[q],[s]);VRTZ1:transpose(V1)=TR1.VRTZ;
VA1:lhs(VRTZ1)[1][1]=rhs(VRTZ1)[1][1];VB1:lhs(VRTZ1)[2][1]=rhs(VRTZ1)[2][1];VC1:lhs(VRTZ1)[3][1]=rhs(VRTZ1)[3][1];
Maxima の処理の都合上、流速と渦度のコンポーネントを下記のように置き換える。ここで f, g, h と o, q, s は、

t, r, θ, z の関数とする。
      f
ωraωx
      =,=ωbω θ  g  , y  
ωz

c

ωz

h

   ovr
   =v θ  q svz
(8.1.37)

第8章

340
−
→
→
x − y − z 座標と円柱座標の流速： V と渦度：−
ω の関
係は、
 
 
a
f
 
 
−
→
ω =  b  =T RT .  g 
c

h



f cos (θ) − g sin (θ)
= f sin (θ) + g cos (θ)
h
 
 
u
o
−
→  
 
V =  v  =T RT . q w

subst(LXYR11,%);
subst(LXYR21,%);
subst(LXYR1,%);
subst(LXYR2,%);TR.%;
expand(%);
NV24:trigsimp(%);
expand(subst(LISW,%));
NV241:subst(LISW1,%);
NV3:WT4=\nu*NV241;
transpose(rhs(WABC2));so cos (θ) − q sin (θ)
= o sin (θ) + q cos (θ)s
(8.1.38)

粘性流体(8.1.39)

subst([VA1,VB1,VC1],%);
ev(%,diff);
subst(LXYR1,%);
subst(LXYR2,%);TR.%;diff(rhs(WRTZ1),t,1);

expand(%);

TR.%;

WRTZ=trigsimp(%);

expand(trigsimp(%));
subst([’diff(r,t,1)=v[r],’diff(\theta,t,1)=v[\theta]/r,’diff(z,t,1)=v[z]],%);

WA3:subst(LISW1,%);WT4:subst(LISW1,%);
subst([WA1,WB1,WC1],NV23);ev(%,diff);x − y − z 座標系の渦度方程式：(8.1.34) 式の左辺は、物質微分を使って、次のようになる。(8.1.38) 式の右辺を
時間：t で微分を実行し、(8.1.35) 式を代入し、(8.1.36) 式の座標変換マトリックス；T R を掛けて整理すると下記
となる。




)(d )
(d ) (d )(d ) (d )(d )dd z f ) (d t z) − g
d t )θ ( + dθ f ( d t θ ) + ( d r f ) ( d t r) + d t f
(
(
)
d 
 

f sin (θ) + g cos (θ) =  ddz g ddt z + ddθ g ddt θ + f ddt θ + ddr g ddt r + ddt g dt(d )(d ) (d )(d ) (d )(d )dhdz hdt z + dθ h
dt θ + dr h
dt r + dt hf cos (θ) − g sin (θ)



( d

上式で、 ddt r = vr , ddt θ = vθ /r, ddt z = vz とし、f, g, h → ωr , ωθ , ωz の置き換えを行うと渦度方程式：(8.1.34) 式の左辺の円柱座標系表記が得られる。

(



)
(
)
( d ωr ) vθωθ vθd+ dθ r+ ddt ωr + vr ddr ωr
d z ωr vz −r( d ω ) v + vθ ( ddθ ωθ ) + d ω + v ( d ω ) + ωr vθ θrθ dz θ z
r
dt
dr
r 
) vθ ( ddθ ωz )
(d
)
(d
d
+ d t ωz + vr d r ωz
vz d z ω z +r(8.1.40)

8.1. Navier-Stokes の式等まとめ341

x − y − z 座標系の渦度方程式：(8.1.34) 式の右辺は、次のようになる。(8.1.38) 式を代入して、微分を実行し(8.1.35) 式を代入し、(8.1.36) 式の座標変換マトリックス；T R を掛けて整理すると下記となる。


 d2



d
d

ωr
2 ( ddθ ωθ )
d2
d2
d θ2
d r ωrd2
d2++− ωr2r −2
2 ωr +
2
2 ωr +
a
+
a
+
a
2
2
2
r
d
z
r
d
r
r
dz
dy
dx

2
d
2
2
d
d
 d2


 2
2
 d z2 b + ddy2 b + ddx2 b  →  d 2 ωθ + d θ22ωθ + d 2 ωθ + d r ωθ − ω2θ + 2 ( d θ2 ωr ) 
d
z
r
d
r
r
r
r


d2
d2
d2
d2
d
ωz
d2
d2
d θ2
d r ωzd z 2 c + d y 2 c + d x2 c
+ d r 2 ωz + r
d z 2 ωz +r2
2

(8.1.41)(8.1.40) 式、(8.1.41) 式をまとめると、円柱座標系の渦度方程式は次式となる
)
 (
d2 ω
d ω
r
2 ( ddθ ωθ )
ωr
d2
d2
d θ2
dr r
+ d z 2 ωr + r 2+ d r2 ωr + r − r2 ν −r2( ddθ ωr ) vθωθ vθd+ ddt ωr + vr ddr ωr  () r( d z ωr ) vz − r +


2
d
(
)
d ω
d ω




d ω
ω
2
2
2
θ
(
)
v
r
2
ωr vθ θ ( d θ θ)
θ
dθ
d
d
 d ω

ν ddz 2 ωθ + d θr2+ ddr2 ωθ + d rr θ − ω
+
=
+
ω
+
v
ω
+
2
2
r
θ
θ
 d z θ vz +



r
r
r
dt
dr
r




(
) v
(
)
d ω
(
)


θ ( d θ z)
2
d
d
d
d
d ω
v z d z ωz +
+
ω
+
v
ω


ω
z
r
z
2
2
z
z
2
r
dt
dr
ν ddz 2 ωz + d θr2+ ddr2 ωz + d rr
(

)

)

(

(8.1.42)

渦度の円柱座標表記を求める。(8.1.27) 式に (8.1.38) 式を代入し、微分を実行し (8.1.35) 式を代入し、(8.1.36) 式の座標変換マトリックス：T R を掛けて整理すると渦度の円柱座標表記が得られる。
   ddθ vz −r ( ddz vθ ) 
ωr
r

  
d
d

−
v
ωθ  = 
 d z r d r vz r ( ddr vθ )+vθ − ddθ vr
ωz(8.1.43)r(1) 二次元極座標の渦度方程式/* 二次元極座標系 */lhs(NV3)[3][1]=rhs(NV3)[3][1];subst([’diff(\omega[z],z,1)=0,’diff(\omega[z],z,2)=0,\omega[z]=\omega],%);
lhs(WA3)[3][1]=rhs(WA3)[3][1];subst([\omega[z]=\omega],%);
二次元極座標の渦度方程式は、円柱座標系の渦度方程式：(8.1.42) 式の z 軸成分で、 ddz ωz = 0、ωz → ω を代
入し、

(d

dθ ω

r

)

vθ

(
+

d
ω
dr

)

d
vr +
ω=ν
dt

(

d
dr ω

r

d2
d2
d θ2 ω
+
+
ω
r2
d r2

)

渦度の二次元極座標表記は、渦度の円柱座標表記：(8.1.43) 式の z 軸成分で、ωz → ω を代入し、()
r ddr vθ + vθ − ddθ vr
ω=r(8.1.44)(8.1.45)

第8章

342

8.1.6

渦度方程式 (極座標系)

x − y − z 座標系の渦度方程式：(8.1.34) 式から極座標系の渦度方程式を求める。x − y − z 座標系の流速のsolve([LXR3,LYR3,LZR3],[’diff(r,z,1),’diff(\theta,z,1),’diff(\phi,z,1)]);LXYZR3:trigsimp(%)[1];

各コンポーネントを u, v, w、渦度の各コンポーネント

LXR1:diff(XR,x,2);を ωx , ωy , ωz とする。極座標系の θ − ϕ − r は下図に示

LYR1:diff(YR,x,2);

すとおりで、その流速の各コンポーネントを vθ , vϕ , vr 、渦度の各コンポーネントを ωθ , ωϕ , ωr とする。

粘性流体

LZR1:diff(ZR,x,2);
solve([LXR1,LYR1,LZR1],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2),’diff(\phi,x,2)]);LXYZR11:trigsimp(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,2);
LYR2:diff(YR,y,2);
LZR2:diff(ZR,y,2);solve([LXR2,LYR2,LZR2],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2),’diff(\phi,y,2)]);LXYZR21:trigsimp(%)[1];
LXR3:diff(XR,z,2);
LYR3:diff(YR,z,2);
LZR3:diff(ZR,z,2);
solve([LXR3,LYR3,LZR3],[’diff(r,z,2),

図 8.1.5: 極座標系

’diff(\theta,z,2),’diff(\phi,z,2)]);LXYZR31:trigsimp(%)[1];/* 極座標系 */LISW2:[o=v[\theta],q=v[\phi],s=v[r],f=\omega[\theta],g=\omega[\phi],h=\omega[r]];depends(r,[t,x,y,z]);depends(\phi,[t,x,y,z]);

TR:matrix([cos(\theta)*cos(\phi),cos(\theta)*sin(\phi),-sin(\theta)],[-sin(\phi),cos(\phi),0],[sin(\theta)*cos(\phi),sin(\theta)*sin(\phi),cos(\theta)]);TR1:transpose(TR);x − y − z 座標系と極座標系の関係式は下記となる。

depends(\theta,[t,x,y,z]);x = cos (ϕ) r sin (θ) ,XR:x=r*sin(\theta)*cos(\phi);z = r cos (θ)

YR:y=r*sin(\theta)*sin(\phi);ddcos (ϕ) cos (θ)
r = cos (ϕ) sin (θ) ,
θ=
,
dx
dx
r
d
sin (ϕ) d
ϕ=−,r = sin (ϕ) sin (θ) ,dx
r sin (θ) d ydsin (ϕ) cos (θ) dcos (ϕ)
θ=
,
ϕ=
dy
r
dy
r sin (θ)
ddsin (θ) dr = cos (θ) ,
θ=−
,
ϕ=0
dz
dz
r
dz
(
(
)
)
2
2
d
d
d2
2
r
=
r
+
r sin (θ) ,
θ
ϕ
d x2
dx
dx
(
)2
d2
d
θ
=
cos (θ) sin (θ)
ϕ
d x2
dx
(
)(
)
2 ddx r ddx θ−,( d )r( d )2 d x ϕ cos (θ) d x θ
d2
ϕ=−
d x2
sin (θ)( d )( d )2 dx ϕ dx r−
r
(8.1.46)

ZR:z=r*cos(\theta);
LXR1:diff(XR,x,1);
LYR1:diff(YR,x,1);
LZR1:diff(ZR,x,1);
solve([LXR1,LYR1,LZR1],[’diff(r,x,1),’diff(\theta,x,1),’diff(\phi,x,1)]);LXYZR1:trigsimp(%)[1];
LXR2:diff(XR,y,1);
LYR2:diff(YR,y,1);
LZR2:diff(ZR,y,1);solve([LXR2,LYR2,LZR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1),’diff(\phi,y,1)]);LXYZR2:trigsimp(%)[1];
LXR3:diff(XR,z,1);
LYR3:diff(YR,z,1);
LZR3:diff(ZR,z,1);

y = sin (ϕ) r sin (θ)

8.1. Navier-Stokes の式等まとめ

343

(
)2 (
)2
−
→
→
d2
d
d
2
x − y − z 座標と極座標の流速：V と渦度：−
ω の関係は、r=r
θ+ϕr sin (θ) ,
2
dy
dy
dy
(
)2
 
 
d2
d
a
f
θ
=
ϕ
cos
(θ)
sin
(θ)
T
−
→
ω = b = T R . g 
d y2
dy
)(
)
(
c
h
d
θ
2 ddy rdy
h cos (ϕ) sin (θ) + f cos (ϕ) cos (θ) − g sin (ϕ),−=  h sin (ϕ) sin (θ) + f sin (ϕ) cos (θ) + g cos (ϕ) 
( r)
(
)
d
d
h cos (θ) − f sin (θ)
2 d y ϕ cos (θ) d y θ
d2(8.1.50)
ϕ=−d y2
sin (θ)




(
)(
)
u
o
d
−
→  
2 ddy ϕrdy
V = v = T R T . q −
(8.1.47)
w
s
r


)
(
)
(
2
2
2
cos
(ϕ)
s
sin
(θ)
+ o cos (ϕ) cos (θ) − sin (ϕ) q
d
d
d
2
θ
+
ϕ
r
sin
(θ)
,
r
=
r
=  sin (ϕ) s sin (θ) + o sin (ϕ) cos (θ) + cos (ϕ) q 
d z2
dz
dz
s cos (θ) − o sin (θ)
)
(
2
d2
d
(8.1.51)
ϕ cos (θ) sin (θ)
θ=
d z2
dz
(
)(
)
2 ddz r ddz θdiff(rhs(WRTZ1),t,1);
−
,
r
TR.%;
(
)
(
)
2 ddz ϕ cos (θ) ddz θd2expand(trigsimp(%));ϕ=−
d z2
sin (θ)subst([’diff(r,t,1)=v[r],’diff(\theta,t,1)(d )(d )2 dz ϕ dz r=v[\theta]/r,’diff(\phi,t,1)=v[\phi]/r/−rsin(\theta),’diff(z,t,1)=0],%);x − y − z 座標から極座標への座標変換マトリックス：
WT4:subst(LISW2,%);T R は、
subst([WA1,WB1,WC1],NV23);
cos (ϕ) cos (θ) sin (ϕ) cos (θ) −sin (θ)
ev(%,diff);
T R =  −sin (ϕ)
cos (ϕ)0 subst(LXYZR11,%);cos (ϕ) sin (θ) sin (ϕ) sin (θ) cos (θ)
subst(LXYZR21,%);(8.1.48)
subst(LXYZR31,%);
subst(LXYZR1,%);

depends(f,[t,r,\theta,\phi]);subst(LXYZR2,%);depends(g,[t,r,\theta,\phi]);subst(LXYZR3,%);depends(h,[t,r,\theta,\phi]);TR.%;

WRTZ:matrix([f],[g],[h]);WRTZ1:transpose(WA)=TR1.WRTZ;

expand(%);

WA1:lhs(WRTZ1)[1][1]=rhs(WRTZ1)[1][1];WB1:lhs(WRTZ1)[2][1]=rhs(WRTZ1)[2][1];WC1:lhs(WRTZ1)[3][1]=rhs(WRTZ1)[3][1];NV24:trigsimp(%);
expand(subst(LISW,%));
NV241:subst(LISW2,%);
WT4=\nu*NV241;

depends(o,[t,r,\theta,\phi]);transpose(rhs(WABC2));

depends(q,[t,r,\theta,\phi]);subst([VA1,VB1,VC1],%);

depends(s,[t,r,\theta,\phi]);ev(%,diff);

VRTZ:matrix([o],[q],[s]);subst(LXYZR1,%);

VRTZ1:transpose(V1)=TR1.VRTZ;
VA1:lhs(VRTZ1)[1][1]=rhs(VRTZ1)[1][1];VB1:lhs(VRTZ1)[2][1]=rhs(VRTZ1)[2][1];VC1:lhs(VRTZ1)[3][1]=rhs(VRTZ1)[3][1];subst(LXYZR2,%);
subst(LXYZR3,%);TR.%;
expand(%);

流速と渦度のコンポーネントを下記のように置き換える。ここで f, g, h と o, q, s は、t, θ, ϕ, r の関数とする。
         
o
vθ
f
ωθ
a
ωx
         ωy  =  b  , ωϕ  =  g  , vϕ  = q 

ωz

c

ωr

h

vr

s
(8.1.49)

WRTZ=trigsimp(%);
expand(subst(LISW2,%));

第8章

344

粘性流体

x − y − z 座標系の渦度方程式：(8.1.34) 式の左辺は、物質微分を使って、次のようになる。(8.1.50) 式の右辺を
時間：t で微分を実行し、(8.1.46) 式、(8.1.47) 式を代入し、(8.1.48) 式の座標変換マトリックス：T R を掛けて整理する。ここで、 ddt r = vr , ddt θ = vθ /r, ddt ϕ = vϕ /(r sin (θ)), ddt z = 0 とし、f, g, h → ωθ , ωϕ , ωr の置き換えを行うと渦度方程式：(8.1.34) 式の左辺の極座標系表記が得られる。


h cos (ϕ) sin (θ) + f cos (ϕ) cos (θ) − g sin (ϕ)
d  h sin (ϕ) sin (θ) + f sin (ϕ) cos (θ) + g cos (ϕ) dt
h cos (θ) − f sin (θ)
(d) vϕ ( ddϕ ωθ ) ωϕ vϕ cos(θ) ωr v vθ ( ddθ ωθ )
d
+
ω
+
v
ω
+ r sin(θ) − r sin(θ) + r θ
θ
r
θ
r
dt
dr


d
d
)


vϕ ( d ϕ ωϕ )( ωϕ ) vθ ( dv ωθ cos(θ)→  vϕrωsin(θ)+ r sin(θ)+ dθ r+ d r ωϕ vr + ϕr r + ddt ωϕ (d) ωϕ vϕ 
vϕ ( ddϕ ωr )( ddθ ωr ) vθ
ωθ vθ
d
−
+
+
ω
+
v
ω
− r
r
r
r
r sin(θ)
rr
dtdr(8.1.52)x − y − z 座標系の渦度方程式：(8.1.34) 式の右辺は、次のようになる。(8.1.50) 式を代入して、微分を実行し、(8.1.46) 式、(8.1.47) 式を代入し、(8.1.48) 式の座標変換マトリックス：T R を掛けて f, g, h → ωθ , ωϕ , ωr の置き換えを行い、整理すると下記となる。

 d2



d2
d2
d z 2 a + d y 2 a + d x2 a
2
2
 d2

 d z2 b + ddy2 b + ddx2 b d2
d2
d2
d z 2 c + d y 2 c + d x2 c



d2
ωθ
d θ2
r2



2

d
ωθ
2 ( ddϕ ωϕ ) cos(θ)
cos(θ) ( ddθ ωθ )2 ( ddr ωθ )2 ( ddθ ωr )
ωθ
d ϕ2
d2
+
ω
+
+
−
− r2 sin(θ)
2
2 +
2
2
θ
2
r sin(θ)
drrr2
r sin(θ)
r 2 sin(θ)2 2 cos(θ) d ω

d2
d2
d
d
d
ω
2
ω
2
ω
ϕ
2 ( d r ωϕ )ωϕ ) cos(θ)
(
(
(
2
ϕ
r)
θ)
ω


2
d
ϕ
d
ϕ
d
ϕ
ϕ
d
θ
d
d
θ
→
+
−
+
+
+
+
+
ω

2
2
2
2
2
2
2
ϕ
r sin(θ)
r sin(θ)
rr
drr 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)


2
2
d
d
d
d
d
d
ωr
ωr
2 ( d r ωr )2(ωθ )( ωr ) cos(θ) 2 ( ϕ ωϕ )cos(θ)
2 ωr
ϕ2
d2
d θ2
− 2rω2θsin(θ)+ d θr2 sin(θ) − r2dsin(θ)+ r2d sin(θ)+ω+−− drθ2+2
r2
d r2 rr
r2+(8.1.53)(8.1.51) 式、(8.1.52) 式、(8.1.53) 式をまとめると、極座標系の渦度方程式は次式となる
(d) vϕ ( ddϕ ωθ ) ωϕ vϕ cos(θ) ωr v vθ ( ddθ ωθ )
d
+
ω
+
v
ω
− r sin(θ) + r θr dr θ +rdt θr sin(θ)
d) vϕ ωθ cos(θ) vϕ ( d ϕ ωϕ ) ( ddθ ωϕ ) vθ ( d
vϕ ωr
d

 r sin(θ) + r sin(θ) +
+
ω
v
+
+
ω
ϕ
r
ϕ
r
dr
r
dt

(d
) ωϕ vϕ 
vϕ ( ddϕ ωr )( ddθ ωr ) vθ
ωθ vθ
d
− r +
+ d t ωr + vr d r ωr − r
r sin(θ)
r
( d2
) 

d2
ωθ
ωθ
2 ( ddϕ ωϕ ) cos(θ)
cos(θ) ( ddθ ωθ )2 ( ddr ωθ )2 ( ddθ ωr )
ωθ
d ϕ2
d2
d θ2
ν
+
+
ω
+
+
−
−
+
r2
r 2 sin(θ)
d r2 θ
rr2
r 2 sin(θ)2r 2 sin(θ)2r 2 sin(θ)2

(
) 
2
d2
d
d
d
d
d


ωϕ
ωϕ
2 cos(θ) ( d ϕ ωθ )2 ( d r ωϕ )( d θ ωϕ ) cos(θ) 2 ( d ϕ ωr )
ωϕ
d ϕ2
d2
d θ2

=
+
ω
+
−
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
ϕ
2
2
2
 ν

r sin(θ)
r sin(θ)
rr
drr sin(θ)
r sin(θ)
r sin(θ)
 (

)
2
2
d


d
ωr
ωr
2 ( ddθ ωθ )2 ( ddr ωr )( ddθ ωr ) cos(θ) 2 ( ddϕ ωϕ )2 ωθ cos(θ)
2 ωr
d ϕ2
d2
d θ2
ν − r2− r2 sin(θ) + r2 sin(θ) − r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 + r2 + d r2 ωr +− r2
r(8.1.54)
渦度の極座標表記を求める。(8.1.27) 式に (8.1.50) 式を代入して、微分を実行し (8.1.46) 式、(8.1.47) 式を代入し、(8.1.48) 式の座標変換マトリックスを掛けて整理すると渦度の極座標表記が得られる。








d
vϕ
d ϕ vrd
r sin(θ) − r − d r vϕ


d
  
vθ
d

d θ vrωϕ  = 
d r vθ + r −rddvϕ cos(θ)
d ϕ vθd θ vϕωr− r sin(θ) + r sin(θ) + r

ωθ(8.1.55)

8.2. 定常な一方向の流れ

8.2

定常な一方向の流れ

8.2.1

二枚の平板間の流れ (Couette Flow)

二枚の平板間の定常粘性流れを求める。x-y-z 座標軸

345
subst([h=1,U=1,\mu=1,’diff(p(x),x,1)=1,y=x],rhs(UY2));
plot2d(-%,[x,-0.5,0.5],[y,-0.1,0.2]);u[m]=1/h*’integrate(rhs(UY2),y,-h/2,h/2);の各速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘UYMEN1:ev(%,integrate);性係数：µ、x 方向の外力：X とする。

DPX1:solve(UYMEN1,’diff(p(x),x,1))[1];UYMAX1:u[max]=subst([y=0],rhs(UY2));UYMAX2:subst([DPX1],UYMAX1);
DUY1:diff(UY2,y,1);
DUY2:lhs(DUY1)=subst([y=h/2],rhs(DUY1));
DUY3:subst([DPX1],DUY2);
TAU1:’diff(p(x),x,1)*h*dx=dx*2*\tau;
TAU2:\tau=\mu*’diff(u(y),y,1);
subst([TAU2],TAU1);
subst([DUY3],%);
solve(%,’diff(p(x),x,1))[1];質量保存の方程式は (8.1.2) 式から、

d
d
d
w+
v+
u=0
dz
dy
dx

図 8.2.1: 二枚の平板間の流れ

kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)

x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
2
2
d
d
d
d
=X +µ
u+
u+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx

=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w

v = 0, w = 0, X = 0 で、u は y 方向のみ変化するから、+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

u = u(y) となる。これを上式に代入し、
)
)
(
(
d
d
u (y) +u (y)
ρ u (y)
dx
dt
( 2
)
2
d
d
d2
=µ
u
(y)
+
u
(y)
+
u
(y)
d z2
d y2
d x2
d
−
p (x)
dx

+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y),p=p(x)],%);

定常状態を求めるから、時間変化、x 軸方向の変化はな
く、 ddx u(y) = 0, ddt u(y) = 0 であるから、

(
0=µ

)
d
d2
u
(y)
−
p (x)
d y2
dx

UY1:ode2(NAV3,u(y),y);UY11:subst([u(y)=0,y=-h/2],UY1);

上式を ode2 関数で解いて、) 2( dd x p (x) yu (y) =
+ %k2 y + %k1
2µUY12:subst([u(y)=0,y=h/2],UY1);(1) 側壁固定

NAV3:ev(%,diff);(8.2.1)solve([UY11,UY12],[%k1,%k2])[1];UY2:subst([%],UY1);

両方の側壁が動かない場合、側壁の境界条件として、y =−h/2, y = h/2 で u(y) = 0 であるから、()
h2 ddx p (x)%k1 = −
, %k2 = 0
8µ

第8章

346

粘性流体

上式を代入し、流速分布：u(y) は下記の二次式となる。 (2) 一方の側壁が速度：U で移動
( d
) 2
(
)
h2 ddx p (x)d x p (x) yu (y) =−
(8.2.2)2µ8µ
UY11:subst([u(y)=0,y=0],UY1);
平均流速：um は次式となり、
)
(
)
∫ h (
h2 ddx p (x)1 2 ddx p (x) y 2
um =
−
dy
h − h22µ8µ()
h2 ddx p (x)=−12 µUY12:subst([u(y)=U,y=h],UY1);

平均流速：um と圧力損出： ddx p (x) の関係は、

subst([P1],%);d
12 um µp (x) = −dx
h2solve([UY11,UY12],[%k1,%k2])[1];UY3:subst([%],UY1);
P1:’diff(p(x),x,1)=P*2*U*\mu/h^2;
solve(P1,P)[1];
expand(UY3/U);
subst([h=1],rhs(%));(8.2.3),subst([P=1],%),subst([P=0],%)最大流速：umax は、()
h2 ddx p (x)3 um=umax = −8µ2
次に側壁に作用する摩擦力：τ から圧力勾配 (損失)：dd x p (x) を求める。(8.2.2) 式を y で微分し、

du (y) =dy

( dd x p (x)

)

µ
( d

,subst([P=-1],%),subst([P=-2],%),subst([P=-3],%)],[y,0,1]);
一方の側壁が速度：U で x 方向に移動する場合、側壁の境界条件として、y = 0 で u(y) = 0、y = h で u(y) = U
を (8.2.1) 式に代入し、各係数は、%k1 = 0, %k2 =y

側壁の速度変化は、

hdu (y) =
dy

plot2d([subst([P=3],%),subst([P=2],%))d x p (x)2µ()
2 µ U − h2 ddx p (x)2hµ上式を (8.2.1) 式に代入し、流速分布は、(()) ( d) 2
y 2 µ U − h2 ddx p (x)d x p (x) yu (y) =+
2hµ2µ(8.2.4)

上式を平均流速：um で表すと、

d6 umu (y) = −dyhh に作用する圧力損失は次式左辺となり、側壁に作用する摩擦力は次式の右辺で、これらは等しいから、次式を
得る。

(
dx h

)
d
p (x) = 2 dx τdx

ここで、摩擦力：τ は下記で得られる。
(
)
d
τ =µ
u (y)
dy
上式を代入し、
(
)
(
)
d
d
dx h
p (x) = 2 dx µ
u (y)
dx
dy
(
)
d
12 dx um µdx hp (x) = −dx
h(8.2.3) 式と同じ結果が得られた。
12 um µdp (x) = −dxh2

図 8.2.2: 一方の側壁が速度：U で移動する場合の流速
分布8.2. 定常な一方向の流れ

例題 8.2.2
Theory)円管内流れ (Hagen-Poiseuille347
EQN1:subst([F[z]=0,’diff(v[z],z,2)=0,’diff(v[z],\theta,2)=0],%);

半径：R の円管内の定常粘性流れを求める。r − θ − z

EQN2:subst([v[z]=v(r)],EQN1);

座標軸の各速度コンポーネントを vr , vθ , vz とする。圧

atvalue(v(r),r=R,0);

力：p、粘性係数：µ、z 方向の外力：Fz とする。また、

atvalue(diff(v(r),r,1),r=0,0);

円管の摩擦抵抗の損出について調べる。

desolve(EQN2,v(r));
ANS1:ode2(EQN2,v(r),r);DANS1:diff(ANS1,r,1);
K1:subst([%k1=0,r=R],rhs(ANS1)=0);
solve(%,%k2)[1];
ANS2:factor(subst([%k1=0,%],ANS1));’integrate(rhs(ANS2)*2*\pi*r,r,0,R)/\pi/R^2;
VM:v[m]=ev(%,integrate);
DP:-solve(VM,’diff(p,z,1))[1];

図 8.2.3: 円管内流れ

h=rhs(DP)/\rho/g*L;
HFL3:subst([R=D/2],%);/* 円管内流れ */rhs(HFL2)=rhs(HFL3);

kill(all);

LA1:solve(%,l)[1];’diff(p,z,1)*%pi*R^2=\tau*2*%pi*R;

RN:R[e]=v[m]*D/\mu*\rho;

DPZ:solve(%,’diff(p,z,1))[1];solve(RN,v[m])[1];h=’diff(p,z,1)*L/\rho/g;

subst([%],LA1);
円柱座標系の z 軸方向の Navier-Stokes の式：(8.1.15 )HFL1:subst([DPZ,R=D/2],%);
HFL2:h=l*L/D*v[m]^2/2/g;
rhs(HFL1)=rhs(HFL2);
solve(%,\tau)[1];円管内の摩擦損失の関係を調べる。半径：R、圧力勾配：

式は、
(

µ
−

2

d
d
d2
d2
d θ 2 vzd r vz
v
+
+
v
+
z
z
d z2
r2
d r2
r

)
+ Fz

d
p=0
dz

dp/dz 、管壁の剪断応力：τ とすると、次の関係がある。
)(
dp R2 = 2 π τ R
π定常状態で、vz が r のみの関数となるから、vz = v (r)dz
として、上式は、()
整理すると、
d
v (r)
d
2τ
d
d2
d
r
p=
µ
−
p=0
v (r) +
2
dz
R
dr
r
dz
損失ヘッド：h で表し、摩擦損失係数：l を導入するとこの微分方程式を ode2 関数で解き、r で微分すると、その関係は、(d ) 2%k1 log (r)(d )dz p r
v
(r)
=
+
+ %k2
2
l vm Ldz p Lµ4µh==(8.2.5)(8.2.6)
(d )
gρ
2gD
d
%k1
dz p rv (r) =+
dr2µµr
上式から管壁の剪断応力：τ は、
l v2 ρ
τ= m
8\rho*(v[z]*(’diff(v[z],z,1))+(v[\theta]*(’diff(v[z],\theta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(’diff(v[z],r,1)))=mu*(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],\theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)+F[z]-’diff(p,z,1);
rhs(%)=0;v(R) = 0, ddr v(0) = 0 の境界条件から、流速分布は下記の二次式となる。
(dv (r) = −)dz p(R − r) (R + r)
4µ(8.2.7)

上式から平均流速：vm は、
(
)∫ R
d
1
r (R − r) (R + r) drpvm = −
2 µ R2 d z
0(d ) 2p R= − dz8µ(8.2.8)

第8章

348
上式を整理し、−d
8 vm µp=dz
R2

損失ヘッドで表すと、

h=

32 vm µ Lg ρ D2

前記の (8.2.5) 式と比較して、次の関係を得る。

l=

64 µ
vm ρ D

レイノルズ数：Re とすると、

Re =
l=

64
Re

vm ρ Dµ(8.2.9)粘性流体

8.2. 定常な一方向の流れ

8.2.3

傾斜した板の上の流体層

傾斜した平板上で自由表面を有する二次元定常粘性349
UY1:ode2(NAV21,u(y),y);DUY1:diff(UY1,y,1);

流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポーネントをK1:subst([y=0],rhs(UY1))=0;

u, v, w とする。圧力：p、粘性係数：µ、平板に平行で主TAU1:\tau=\mu*’diff(u(y),y,1);

流方向を x 軸方向とし、平板の傾斜角：α、水位：h とrhs(TAU1)=0;

する。

TAU2:solve(%,’diff(u(y),y,1))[1];
subst([TAU2,y=h],DUY1);
K2:solve(%,%k2)[1];
subst([K1,K2],UY1);
UY2:factor(%);
x 軸方向および y 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9)

図 8.2.4: 傾斜した板の上の流体層

kill(all);

式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=X +µ
u
+
u
+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx
)
(
)
(
)
)
((
d
d
d
d
v w+v
v +u
v +
v
ρ
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=Y +µ
v
+
v
+
v −
p
d z2
d y2
d x2
dy

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

上記の仮定から、v = 0, w = 0 で、平板が角度：α だ+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

け傾斜しているため、各流体要素には X = sin (α) g ρ、

+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))

Y = cos (α) g ρ の力が作用する。また、u, p は y のみの+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))

変数であるため、u = u(y), p = p(y) となる。この関係+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))を上記の Navier-Stokes の式に代入すると、
)
( 2
d
u
(y)
+ sin (α) g ρ
0=µ
d y2

+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],(8.2.10)[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z0 = cos (α) g ρ −+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];subst([v=0,w=0,u=u(y),p=p(y),X=X(y),Y=Y(x)],NAV2);
ev(%,diff);
NAV21:subst([X(y)=\rho*g*sin(\alpha)],%);
subst([v=0,w=0,u=u(y),p=p(y),X=X(y),Y=Y(x)],NAV3);
ev(%,diff);

d
p (y)
dy

(8.2.11)(8.2.10) 式を ode2 関数で解き、y で微分すると、
u (y) = −sin (α) g ρ y 2+ %k2 y + %k1
2µdsin (α) g ρ yu (y) = %k2 −dyµ(8.2.12)(8.2.13)

境界条件、y = 0 で u(y) = 0、y = h の自由表面境界では、剪断力：τ = 0 であるから、 ddy u (y) = 0 となる。
この条件を (8.2.12) 式、(8.2.13) 式に代入すると、%k1 = 0,

NAV31:subst([Y(x)=\rho*g*cos(\alpha)],%);%k2 =sin (α) g h ρµ以上から、流速分布：u(y) は、

u (y) = −sin (α) g ρ y (y − 2 h)
2µ(8.2.14)

第8章

350
Q=’integrate(rhs(UY2),y,0,h);Q1:ev(%,integrate);solve(Q1,h);%[3];
PL1:subst([\alpha=0.314,g=9.8,\rho=1,h=1,y=x],rhs(UY2));
plot2d(subst([\mu=1],PL1),[x,0,1]);
上式の速度分布を積分し、水位：h の時の流量：Q を求
めると、

Q=−

sin (α) g ρ2µ∫ hy (y − 2 h) dy =0sin (α) g h3 ρ
3µ(8.2.15)

流量：Q から水位：h を求めると、

(
h=

3µQ
sin (α) g ρ) 13

図 8.2.5: 傾斜した板の上の流体流速(8.2.16)粘性流体

8.2. 定常な一方向の流れ

8.2.4

二重円管間の流れ

二重円管間の定常粘性流れを求める。円柱座標軸の各
速度コンポーネントを vr , vθ , vz とする。圧力：p、粘性係数：µ とする。二重円管の外部管の半径：Ro 、内部円管の半径：Ri とし、この間に流体が流れる。

351
上記の仮定から、vr = 0, vθ = 0 で、各流体要素に働く
力：Fz = 0 である。また、vz は r のみの変数であるため、vz = v(r) とする。この関係を上記の Navier-Stokesの式に代入すると、
)
(
d
d
d2
d r v (r)v (r) +
−
p=0
µ
d r2
r
dz
上式を ode2 関数で解くと、(d ) 2p r%k1 log (r)v (r) =
+ dz
+ %k2
µ
4µ

(8.2.17)(8.2.18)境界条件として、r = Ro で v(r) = 0、r = Ri で v(r) = 0

図 8.2.6: 二重円管間の流れ/* 二重円管内の流れ */kill(all);\rho*(v[z]*(’diff(v[z],z,1))+(v[\theta]*(’diff(v[z],\theta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(’diff(v[z],r,1)))=mu*(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],\theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)+F[z]-’diff(p,z,1);
rhs(%)=0;であるから、上式に代入して、()
Ro2 ddz p%k1 log (Ro )++ %k2 = 04µµ()
Ri2 ddz p%k1 log (Ri )++ %k2 = 04µµ上式を解いて、%k1, %k2 を求めると、)(( 2)
Ro − Ri2 ddz p,%k1 = −
4 log (Ro ) − 4 log (Ri )( 2)()
Ri log (Ro ) − log (Ri ) Ro2 ddz p%k2 = −
4 µ log (Ro ) − 4 log (Ri ) µ

EQN1:subst([F[z]=0,’diff(v[z],z,2)=0,’diff(v[z],\theta,2)=0],%);

上式を (8.2.18) 式に代入すると、流速分布：v(r) が得ら

EQN2:subst([v[z]=v(r)],EQN1);

れる。

ANS1:ode2(EQN2,v(r),r);)((d ) 2)Ro2 − Ri2 ddz p log (r)p r+ dz
v (r) = −µ (4 log (Ro ) − 4 log (Ri ))
4µ
( 2
)(d )
2
Ri log (Ro ) − log (Ri ) Ro d z p−
4 µ log (Ro ) − 4 log (Ri ) µ( )( )( d )( 2( R o ))
Ri
r
2
2
p
R
log
+
log
r
+
R
log
o
i
dz
Ri
Ro
r
( )
=
Ri
4µlog Ro

BC1:subst([r=R[o]],rhs(ANS1))=0;
BC2:subst([r=R[i]],rhs(ANS1))=0;
solve([BC1,BC2],[%k1,%k2])[1];
subst([%],ANS1);
ANS2:factor(%);
C1:C=’diff(p,z,1)/4/\mu;(

C2:solve(C1,\mu);(8.2.19)

subst([C2],ANS2);
logcontract(%);
factor(%);
ANS3:subst([C1],%);
PL1:subst([R[o]=2,R[i]=1,\mu=1,’diff(p,z,1)=1,r=x],rhs(ANS3));
plot2d(PL1,[x,1,2]);z 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式から、
( (
(
)
)
(
))
vθ ddθ vz
d
d
d
ρ vz
vz +
+
vz + vr
vz
dz
r
dt
dr
(
)
d2
d
d2
d2
d θ 2 vzd r vz
vz +
+
vz +
=µ
d z2
r2
d r2
r
+ Fz −dpdz

図 8.2.7: 二重円管間の流れ

第8章

352

8.2.5

楕円管内の流れ

楕円管内の定常粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各
速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係
数：µ、主流方向を z 軸方向とする。断面形状の楕円の長径、短径は x 軸方向を a、y 軸方向を b とする。

粘性流体

z 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
( (
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ w
w +v
w +u
w +
w
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d2
d2
d
d
=Z +µ
w
+
w
+
w −
p
d z2
d y2
d x2
dz

上記の仮定から、u = 0, v = 0 で、各流体要素に働く力：

Z = 0 である。また、w は x, y のみの変数であるため、
w = w(x, y) とする。この関係を上記の Navier-Stokes

図 8.2.8: 楕円管内の流れの式に代入すると、
( 2
)
d
d2
d
0=µ
p (z)
w (x, y) +w (x, y) −
2
2
dy
dx
dz
(8.2.20)
楕円形状から次式が上式を満足する解である。

/* 楕円管内の流れ */w (x, y) = C + y 2 B + x2 A

kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)

上式を (8.2.20) 式に代入すると、下記となり、上式が解=0;であることが確かめられた。

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w
0 = µ (2 B + 2 A) −+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu

d
p (z)
dz

境界が楕円形状であることから、流速分布は下記となり、境界の楕円形状では流速が零となるから、
)
( 2
x2
y
(8.2.21)w (x, y) = − 2 − 2 + 1 Cba*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))解が上式の時、(8.2.20) 式に代入すると、次式が得ら-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)れる。

+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);

0=µ

(
)
2C
2C
d
p (z)
− 2 − 2 −badz

上式から C を求めると、()
a2 b2 ddz p (z)C=−(2 b2 + 2 a2 ) µlhs(NAV1)[3][1]=rhs(NAV1)[3][1];subst([u=0,v=0,Z=0,w=w(x,y),p=p(z)],%);
NAV3:ev(%,diff);
W1:w(x,y)=A*x^2+B*y^2+C;

上式を (8.2.21) 式に代入すると、下記の流速分布：w (x, y)

subst([W1],NAV3);が得られる。

ev(%,diff);
W2:w(x,y)=C*(1-x^2/a^2-y^2/b^2);
subst([W2],NAV3);ev(%,diff);solve(%,C)[1];W3:subst([%],W2);
subst([a=2,b=1,\mu=1,’diff(p(z),z,1)=1],
rhs(%));
subst([x=0,a=2,b=1,\mu=1,’diff(p(z),z,1)=1,y=x],rhs(W3));
plot2d(%,[x,-1,1]);w (x, y) = −

( 2
)(
)
2
d
a2 b2 − yb2 − xa2 + 1
d z p (z)(2 b2 + 2 a2 ) µ(8.2.22)

8.2. 定常な一方向の流れ
断面形状の楕円の長径、短径が x 軸方向を a = 2、y軸方向を b = 1 としたとき、x = 0 断面における流速分
布を下記に示す。

図 8.2.9: 楕円管内の流れ (x = 0 断面)

楕円断面の流速の等高線を下記の gnuplot を用いて描いた。
#!/gnuplot

set xrange [-2:2]
set yrange [-1:1]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -50,0.02,0.02
unset keyunset surface
set view map
splot -(2*(-y**2-x**2/4+1))/5# EOF

図 8.2.10: 楕円管内の流れ（等流速線図）

353

第8章

354

8.2.6

矩形管内の流れ

矩形管内の定常粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各
速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係
数：µ、主流方向を z 軸方向とする。断面形状の矩形の長辺、短辺は x 軸方向を a、y 軸方向を b とする。

粘性流体

z 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
( (
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ w
w +v
w +u
w +
w
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=Z +µ
w
+
w
+
w −
p
2
2
2
dz
dy
dx
dz
上記の仮定から、u = 0, v = 0 で、各流体要素に働く力：

Z = 0 である。また、w は x, y のみの変数であるため、
w = w(x, y) とする。この関係を上記の Navier-Stokes

図 8.2.11: 矩形管内の流れの式に代入すると、
( 2
)
d
d2
d
0=µ
p (z)
w
(x,
y)
+
w
(x,
y)
−
d y2
d x2
dz
(8.2.23)「8.2.1 二枚の平板間の流れ (Couette Flow)」の結果：(8.2.2) 式から下記の二次式となり、これを w1 (x, y) と/* 矩形管内の流れ */する。次式を上式の Navier-Stokes の式に代入するとこ

kill(all);

れを満足していることが解る。

MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))(y − b) (y + b)
w1 (x, y) =2µ(dd z p (z))(8.2.24)

上記の結果を基に、流速分布：w (x, y) を下記のように仮定する。

w (x, y) = w2 (x, y) + w1 (x, y)(8.2.25)

ここで、w2 (x, y) は下記のように変数分離出来るとする。

+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))w2 (x, y) = f (x) g (y)+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);lhs(NAV1)[3][1]=rhs(NAV1)[3][1];(8.2.26)

上式を Navier-Stokes の式：(8.2.23) 式に代入し、
) ( 2
)
)
(
( 2
d
d
g
(y)
+
f
(x)
g
(y)
0 = µ f (x)
d y2
d x2
上式を整理して、
d2
d x2 f (x)f (x)subst([u=0,v=0,Z=0,w=w(x,y),p=p(z)],%);=−d2
d y 2 g (y)

g (y)

=C

NAV3:ev(%,diff);u(y)=((’diff(p(x),x,1))*y^2)/(2*mu)-(h^2ode2(W2EQ2,f(x),x);*(’diff(p(x),x,1)))/(8*mu);

FX1:f(x)=A*cosh(x*sqrt(C));

W1:factor(subst([u(y)=w1(x,y),h=2*b,’diff(p(x),x,1)=’diff(p(z),z,1)],%));

ode2(W2EQ3,g(y),y);
GY1:g(y)=cos(y*sqrt(C));

subst([w(x,y)=w1(x,y)],NAV3);

W21:subst([FX1,GY1],W2);

subst([W1],%);

subst([y=b],rhs(W21))=0;ev(%,diff);
W2:w2(x,y)=f(x)*g(y);cos(b*sqrt(C))=0;

subst([w(x,y)=w2(x,y),W2,

solve(%,sqrt(C))[1];’diff(p(z),z,1)=0],NAV3);

W22:subst([%],W21);ev(%,diff);

W23:lhs(W22)=sum(A[n]*rhs(W22)/A,n,0,inf);

W2EQ1:solve(%,’diff(f(x),x,2))[1]/f(x);W0:w(x,y)=w1(x,y)+w2(x,y);

assume(C>0);

W01:subst([W1,W23],W0);

W2EQ2:lhs(W2EQ1)=C;

subst([W01],NAV3);

W2EQ3:rhs(W2EQ1)=C;

ev(%,diff);b*sqrt(C)=(n/2)*%pi;

W02:subst([W1,W23],W0);

8.2. 定常な一方向の流れ355

上式を ode2 関数で解くと、

BN1:B[n]=1/(2*b)*’integrate(BC12*cos((%pi*n√√

f (x) = %k1 ex C + %k2 e−x C
( √ )
( √ )
g (y) = %k1 sin y C + %k2 cos y C
流速分布は x 軸、y 軸で対称であるから、上式は、
( √ )
( √ )
f (x) = A cosh x C , g (y) = cos y C*y)/(2*b)),y,-b,b)+1/(2*b)*’integrate(BC13*cos((%pi*n*y)/(2*b)),y,b,3*b);BN10:B[0]=1/(2*b)*’integrate(BC12,y,-b,b)+1/(2*b)*’integrate(BC13,y,b,3*b);BN101:ev(%,integrate);
BN11:ev(BN1,integrate);
AN1N:subst([BN11],BN2);

上式を (8.2.26) 式に代入し、
( √ )
( √ )
w2 (x, y) = A cosh x C cos y C

AN1N1:subst([a=2,b=1,\mu=1,

ここで y 軸方向の境界条件、y = b で w (x, b) = 0 から、
( √ )
( √ )
A cos b C cosh x C = 0’diff(p(z),z,1)=1,n=2],(AN1N));’diff(p(z),z,1)=1,n=1],(AN1N));
AN1N1:subst([a=2,b=1,\mu=1,’diff(p(z),z,1)=1,n=3],(AN1N));
AN1N1:subst([a=2,b=1,\mu=1,

上式から、

( √ )
cos b C = 0’diff(p(z),z,1)=1,n=4],(AN1N));
W021:lhs(W02)=subst([0=1,AN1N],rhs(W02))

上式を解くと下記となり、ここで n は奇数が要求されが、このまま進める。

√

√
πn
,
b C=
2

C=

πn
2b

上式から w2 (x, y) は、

w2 (x, y) = cosh

(π n x)2bcos(π n y )
2b

A

∞
∑

An cosh(π n x)n=02b+rhs(AN10);
ここで x 軸方向の境界条件、x = a で w (a, y) = 0 から、この条件を (8.2.28) 式に代入し、()(y − b) (y + b) ddz p (z)2µ(8.2.29)∞(π a n)(π n y)∑An cosh
+
cos
=0
2b
2b
n=0

上式を級数表現し、次式を得る。

w2 (x, y) =AN1N1:subst([a=2,b=1,\mu=1,

下記の置き換えを行い、

cos(π n y )2b(8.2.27)

上式と (8.2.24) 式を (8.2.25) 式に代入し、流速分布：

w (x, y) の級数表記が得られた。
()(y − b) (y + b) ddz p (z)w (x, y) =2µ∞(π n y)(π n x)∑cos+
An cosh2b2bn=0(8.2.28)

Bn = An cosh

(π a n)2b(8.2.30)

上式に代入し、(y − b) (y + b)
−
2µ

(d

)

d z p (z)

=

∞
∑
n=0

Bn cos(π n y )2b(8.2.31)

上式は Fourier 級数表記である。ここで上式で x 軸方向の境界条件、x = a で w (a, y) = 0 の条件を満足するよ
うに Bn を Fourier 級数の関係式から求める。ここで nは奇数が要求されるので、n が偶数で係数：Bn が零となるように、上式の左辺を下記のようにする。この関係

BC1:subst([x=a],rhs(W02))=0;を図示すると下図となる。

BN1:B[n]=A[n]*cosh((%pi*a*n)/(2*b));BN2:solve(%,A[n])[1];-first(lhs(BC1))=last(lhs(BC1));
BC11:subst([BN2],%);
BC12:lhs(BC11);
BC13:-subst([y=y-2*b],BC12);
plot2d([subst([b=1,\mu=1,’diff(p(z),z,1)=1],BC12),subst([b=1,\mu=1,’diff(p(z),z,1)=1],BC13)],[y,-1,3]);−(y − b) (y + b)
2µ(y − 3 b) (y − b)
2µ

(d

)

d z p (z)(d(−b < y < b))

d z p (z)(b < y < 3b)

第8章

356

粘性流体

(8.2.32) 式を (8.2.29) 式に代入し、流速分布：w (x, y) を得る。

w (x, y) =

(∞
∑
n=1

(
)
(
)(d
)
cosh π2nbx cos π2nby
p (z)
d
z
(
)
−
π 3 µ n3 cosh π2abn
(
)
)
(
)
(
)(d
2 b2 cos 3 π2 n cosh π2nbx cos π2nby
d z p (z)(π an)+
π 2 µ n2 cosh 2 b
(π n)
(
)
(
)(d
)
2
12 b sin 2 cosh π2nbx cos π2nby
p (z)
d
z
(
)
+
π 3 µ n3 cosh π2abn
( )
(
)
(
)(d
))
2 b2 cos π2n cosh π2nbx cos π2nby
p (z)
d
z
(
)
−
π 2 µ n2 cosh π2abn()()
b2 ddz p (z)y 2 ddz p (z)
+
−
2µ
2µ
(8.2.33)
2

4 b sin(3π n)
2

図 8.2.12: 積分範囲の関数形

PL1:subst([a=2,b=1,\mu=1,’diff(p(z),z,1)=1以上から、係数：Bn は次式で得られる。

)()((y − 3 b) (y − b) cos π2nby dy ddz p (z)
4bµ
)
(
)
(
∫b
(y − b) (y + b) cos π2nby dy ddz p (z)−b∫ 3bBn = b−4bµ,inf=20],-rhs(W021));
plot3d(PL1,[x,-2,2],[y,-1,1]);
plot3d (PL1, [x, -2,2], [y, -1,1],[mesh_lines_color, false],[elevation, 0], [azimuth, 0],[colorbox, true], [grid, 150, 150])

上式の積分を実行し、Bn = −++−

4 b2 sin(3π n) ( d)2 b2 cos(3π n) ( d)(π n) ( d)(π n) ( d)2d z p (z)
3
3
π µn

2
d z p (z)π 2 µ n2

12 b2 sin
2 b2 cos2d z p (z)π 3 µ n32
d z p (z)22π µn上式を (8.2.30) 式の関係式に代入し、An を求めると、()()
4 b2 sin 3 π2 n ddz p (z)()
An = −
π 3 µ n3 cosh π2abn())(
2 b2 cos 3 π2 n ddz p (z)()+π 2 µ n2 cosh π2abn(8.2.32)( )()
12 b2 sin π2n ddz p (z)()+π 3 µ n3 cosh π2abn( )()
2 b2 cos π2n ddz p (z)(π an)−
π 2 µ n2 cosh 2 b

図 8.2.13: 矩形管内の流れ

ここで n が偶数で係数：An が零になっていることを確
かめると下記となり、満足していることが解る。
図 8.2.14: 矩形管内の流れ

A2 = 0,A4 = 08.2. 定常な一方向の流れ

8.2.7

回転する２円筒の中の流れ

357
subst([v[z]=0,v[r]=0,v[\theta]=v(r),同心の二つの円筒が回転し、その円筒間の定常粘性流

p=p(r)],NAV2);

れを求める。内部円筒の外径：R1 、外部円筒の内径：R2

NAV21:ev(%,diff);とし、内部円筒が Ω1 、外部円筒が Ω2 で回転している。
回転軸を z 軸とし、円柱座標系：r − θ − z 座標軸の各
速度コンポーネントを vr , vθ , vz とする。圧力：p、粘性係数：µ とする。

lhs(NAV21)[1][1]=rhs(NAV21)[1][1];NAV3:subst([F[r]=0],%);
lhs(NAV21)[2][1]=rhs(NAV21)[2][1];subst([F[\theta]=0],%);
NAV4:%/\mu;
上記から、vz = 0, vr = 0, vθ = v(r), p = p(r) とすると、Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式から、
 v(r)2 ρ  Fr − ddr p (r)
− r
)
( 2
d

 
d
d r v(r)− v(r)
 0 =r2
Fθ + µ d r2 v (r) + r

0Fz

外力項を零とし、
2dv (r) ρ
=−
p (r)
r
dr
上式は、遠心力項と圧力の釣り合いの式であり、次式が−

図 8.2.15: 楕円管内の流れ/* 回転する２円筒の中の流れ */流れを表す運動方程式となる。
)
(
d
v
(r)
v
(r)
d2
v (r) + d r
− 2
0=µ
d r2
r
r
上式を µ で割り、

kill(all);
MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta0=,1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;dv (r) v (r)d2
v (r) + d r
− 2
2
dr
r
r

(8.2.34)

NAV2:matrix([rho*((’diff(v[r],z,1))*v[z]VR1:ode2(NAV4,v(r),r);-v[theta]^2/r+((’diff(v[r],theta,1))

VR11:subst([v(r)=R[1]*\Omega[1],r=R[1]]*v[theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r],VR1);*(’diff(v[r],r,1)))],[rho*((VR12:subst([v(r)=R[2]*\Omega[2],r=R[2]]’diff(v[theta],z,1))*v[z]+(v[theta],VR1);*(’diff(v[theta],theta,1)))/r+’diff(

K12:solve([VR11,VR12],[%k1,%k2])[1];v[theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[theta],r,1))

VR2:subst([K12],VR1);+(v[r]*v[theta])/r)],[rho*(v[z]*(’diff\tau[r\theta]=\mu*(1/r*’diff(v[r],\theta(v[z],z,1))+(v[theta]*(’diff(v[z],theta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(,1)+’diff(v[\theta],r,1)-v[\theta]/r);
SIG1:subst([v[z]=0,v[r]=0,v[\theta]=v(r)’diff(v[z],r,1)))])=matrix([mu*(-(2*(,p=p(r)],%);’diff(v[theta],theta,1)))/r^2+’diff(

DVR2:diff(VR2,r,1);v[r],z,2)+’diff(v[r],theta,2)/r^2+

subst([DVR2,VR2,r=R[1]],SIG1);’diff(v[r],r,2)+’diff(v[r],r,1)/r-v[r]/r^2)+F[r]-’diff(p,r,1)],[mu*SIG2:factor(%);(’diff(v[theta],z,2)+’diff(v[theta],

subst([DVR2,VR2,r=R[2]],SIG1);

theta,2)/r^2+’diff(v[theta],r,2)

SIG2:factor(%);+’diff(v[theta],r,1)/r-v[theta]/r^2

M1:M[2]=rhs(SIG2)*2*%pi*R[2]*R[2];上式を ode2 関数で解くと、+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)+F[theta]-’diff(p,theta,1)/r],[mu*M1:M[1]=rhs(SIG2)*2*%pi*R[1]*R[1];/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)%k1(8.2.35)2r境界条件として、r = R1 で v(r) = Ω1 R1 、r = R2 で/r)+F[z]-’diff(p,z,1)]);v(r) = Ω2 R2 であるから、(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],theta,2)v (r) = %k2 r −Ω1 R1 = R1 %k2 −

%k1
2 R1

第8章

358
Ω2 R2 = R2 %k2 −

%k1
2 R2

上式を解いて、()
R12 2 Ω1 R22 − 2 Ω2 R22[%k1 =,
R12 − R22
Ω1 R12 − Ω2 R22%k2 =]R12 − R22
上式を (8.2.35) 式に代入すると、)(Ω1 R12 − Ω2 R22 r
v (r) =
R12 − R22()
R12 2 Ω1 R22 − 2 Ω2 R22−
2 (R12 − R22 ) r(8.2.36)

次に円筒に作用するモーメントを求める。円柱座標系の変形速度ひずみは (8.1.14) 式、331 頁から、剪断力：τrθは次式で得られる。
(

τrθ = µ

d
vr
vθ
d
vθ −
+ dθ
dr
r
r

)

vr = 0, vθ = v(r) であるから、上式は、
)
(
v (r)
d
v (r) −
τrθ = µdrr(8.2.37)(8.2.36) 式を r で微分し、()
R12 2 Ω1 R22 − 2 Ω2 R22dΩ1 R12 − Ω2 R22v (r) =+dr
2 (R12 − R22 ) r2
R12 − R22
上式と (8.2.36) 式を (8.2.37) 式に代入し、r = R1 とす
ると、内筒の剪断力が得られる。

τrθ =2 (Ω2 − Ω1 ) R22 µ(R2 − R1 ) (R2 + R1 )内筒のモーメントは、

M1 = τrθ 2π R12 =4 π R12 (Ω2 − Ω1 ) R22 µ(R2 − R1 ) (R2 + R1 )同様に、外筒の剪断力は、r = R2 として、

τrθ =2 R12 (Ω2 − Ω1 ) µ(R2 − R1 ) (R2 + R1 )外筒のモーメントは、

M2 =4 π R12 (Ω2 − Ω1 ) R22 µ(R2 − R1 ) (R2 + R1 )

ここで、内筒のモーメントと外筒のモーメントは一致し
ている。

粘性流体

8.3. 流れ関数を使った厳密解

359

流れ関数を使った厳密解

8.3

NAV2:matrix([\rho*((v[\theta]*(

細い管の先から流出するジェット

8.3.1

細長い管の端から流体空間へ流体を一方向へ噴出させたときの粘性流場を求める1 。ジェットの噴出方向を z 軸にとった極座標系を用い、z 軸に対称な流れとする。ここで三次元極座標系：r − θ − ϕ の速度の各軸コンポー
ネントを vr , vθ , vϕ とする。

’diff( v[\theta],\theta,1)))/r+’diff(v[\theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[\theta],r,1))+(v[\phi]*(’diff(v[\theta],\phi,1)))/(r*sin(\theta))-(v[\phi]^2*cos(\theta))/(r*sin(\theta))+(v[r]*v[\theta])/r)],[\rho*((v[\phi]*v[\theta]*cos(\theta))/(r*sin(\theta))+(v[\phi]*(’diff(v[\phi],\phi,1)))/(r*sin(\theta))+((’diff(v[\phi],\theta,1))*v[\theta])/r+(v[\phi]*v[r])/r+(’diff(v[\phi],r,1))*v[r]+’diff(v[\phi],t,1))],[\rho*((v[\phi]*(’diff(v[r],\phi,1)))/(r*sin(\theta))-v[\theta]^2/r+((’diff(v[r],\theta,1))*v[\theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1))-v[\phi]^2/r)])=matrix([mu*(’diff(

図 8.3.1: 細い管の先から流出するジェットv[\theta],\theta,2)/r^2+(cos(\theta)*(’diff(v[\theta],\theta,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[\theta],r,2)/* ジェット */+(2*(’diff(v[\theta],r,1)))/r+’diff(kill(all);v[\theta],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)

load("vector");-(v[\theta]*cos(\theta)^2)/(r^2*sin(

depends(\Psi,[r,\theta]);\theta)^2)-(2*(’diff(v[\phi],\phi,1))

depends(f,[\theta]);*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta)^2)

depends(g,[\theta]);-v[\theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],\theta,1)

MAS2:’diff(v[\theta],\theta,1)/r+(v[\theta]))/r^2)+F[\theta]-’diff(p,\theta,1)/r],*cos(\theta))/(r*sin(\theta))+’diff([mu*((2*cos(\theta)*(’diff(v[\theta],v[\phi],\phi,1)/(r*sin(\theta))+’diff(\phi,1)))/(r^2*sin(\theta)^2)+((’diffv[r],r,1)+(2*v[r])/r=0;
流れ関数：Ψ を導入する。三次元極座標では、「6.1.3 流(v[\phi],\theta,1))*cos(\theta))/(r^2れ関数の極座標・円柱座標表示 軸対称の極座標表記：/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[\phi],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)-v[\phi]/(6.1.20) 式 180 頁から下記となる。
vr =

d
dθ Ψ

r2 sin (θ),

vθ = −ddr Ψr sin (θ)*sin(\theta))+(2*(’diff(v[r],\phi,1)))(r^2*sin(\theta)^2)+(2*(’diff(v[\phi](8.3.1),r,1)))/r+’diff(v[\phi],\theta,2)/r^2+’diff(v[\phi],r,2))-’diff(p,\phi,1)/

下記の三次元極座標系の質量保存の方程式は (8.1.19) 式(r*sin(\theta))+F[\phi]],[mu*(-(2*(から下記となる。

’diff(v[\theta],\theta,1)))/r^2-(2*dd θ vθ

r+dd ϕ vϕvθ cos (θ)
d
2 vr
+
+
vr +
=0
r sin (θ)
r sin (θ) d rr

上式に (8.3.1) 式を代入すると、次式となり、整理すると、当然ながら零となる。

v[\theta]*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta))+((’diff(v[r],\theta,1))*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta))-(2*(’diff(v[\phi],\phi,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[r],\phi,2)/(r^2*( ddr Ψ) cos(θ)
r sin(θ)2rd2
drdθ Ψ

− r sin(θ)

2+ddrdθ Ψ
2
r sin (θ)(d−)

d r Ψ cos (θ)=02
r2 sin (θ)

1 エリ・ランダウ：流体力学 １ 17) 、2-23、P.91 ＆ G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、4.6 P.206

sin(\theta)^2)+’diff(v[r],\theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+(2*(’diff(v[r],r,1)))/r-(2*v[r])/r^2)+F[r]-’diff(p,r,1)]);

第8章

360

粘性流体

(
)
)
d
(
) v
vθ
ϕ
v
d
ϕ
d
d
θ
dθ
ρ
+
vθ + vr
vθ +
r
dt
dr
r sin (θ))
2vϕ cos (θ) vr vθ
−+r sin (θ)
r
( 2
(
)
d
cos (θ) ddθ vθ
d2
d θ 2 vθ
=µ
+
+
vθ
r2
r2 sin (θ)
d r2
)
(
d2
2
2 ddr vθvθ cos (θ)
d ϕ 2 vθ
−
+
+
2
2
r
r2 sin (θ)
r2 sin (θ)()())
2 ddϕ vϕ cos (θ) v
2 ddθ vr
θ
−
− 2+
2
r
r2
r2 sin (θ)(

VR1:v[r]=’diff(\Psi,\theta,1)/(r^2*sin(\theta));
VT1:v[\theta]=-’diff(\Psi,r,1)/(r*sin(\theta));subst([v[\phi]=0,VR1,VT1],MAS2);ev(%,diff);
factor(%);
PS1:\Psi=r*\nu*f;
NAV21:lhs(NAV2)[1][1]=rhs(NAV2)[1][1];NAV22:lhs(NAV2)[3][1]=rhs(NAV2)[3][1];subst([VR1,VT1,v[\phi]=0,F[\theta]=0,
p=p(r,\theta),\mu=\nu*\rho],NAV21);vθ

(dsubst([PS1],%);d+ Fθ − d θrev(%,diff);plhs(%)-rhs(%)=0;
trigsimp(%-last(lhs(%)));

r 軸方向では、
)
( ( d
(d )
vϕ d ϕ vr
vr vθ
vθ2
d
ρ
−
+ dθ
+
vr
r sin (θ)
r
r
dt
)
)
(
vϕ2
d
vr −
+ vr
dr
r
(
(d )
(d )
2 d θ vθvr cos (θ)
2 vθ cos (θ)=µ −+ dθ 2− 2
2
rr sin (θ)
r sin (θ)
(
)
2
d
d2
2 ddϕ vϕd2
d ϕ 2 vrd θ 2 vr
+
− 2
+
+
vr
2
2
r sin (θ)
rd r2
r2 sin (θ)))(
2 ddr vr
2 vr
+
− 2
r
r

NAV211:factor(%/\nu^2/\rho*r^3*sin(\theta)^3);
subst([VR1,VT1,v[\phi]=0,F[r]=0,
p=p(r,\theta),\mu=\nu*\rho],NAV22);
subst([PS1],%);
ev(%,diff);lhs(%)-rhs(%)=0;
trigsimp(%-last(lhs(%)));
NAV221:factor(%/\nu^2/\rho*r^3*sin(\theta)^3);
P1:p(r,\theta)=\rho*\nu^2*g/r^2;
subst([P1],NAV211);
NAV31:ev(%,diff);+ Fr −

subst([P1],NAV221);
NAV32:ev(%,diff);
NAV321:diff(NAV32,\theta,1);
原点を囲む球面の閉曲面を通る全運動量は常に同じでな
いといけない。運動量は速度の二乗に比例し、閉曲面の面積は半径：r の二乗に比例するので、速度は r−1

Fr = 0, Fθ = とし、(8.3.2) 式と (8.3.3) 式を上記二式
に代入し、

に比

関係：(8.3.1) 式から、Ψ は r に比例する下記の関係式とする。ここで、f は θ の関数、ν は動粘性係数とする。

(8.3.2)圧力については、速度の二乗に比例するので、圧力はr−2に比例する必要があるから、下記のように定義する。

ここで g は θ の関数、ν は動粘性係数、ρ は密度とする。

p (r, θ) =g ν2 ρ
r2(8.3.3)

三次元極座標の Navier-Stokes の式：(8.1.21) 式は、θ軸方向では、

)
(
)
d
d2
2
f
sin
(θ)
+
f
cos (θ) sin (θ)
d θ2
dθ
(
)
d
+f
f sin (θ) − f 2 cos (θ)
dθ
(
)
d
3
=−
g sin (θ)
dθ(

例する必要がある。このことと速度と流れ関数：Ψ との

Ψ=fνr

d
p
dr

−

8.3. 流れ関数を使った厳密解
)
( 2 )
d4
d
2
2
−
f sin (θ) −f sin (θ)
d θ4
d θ2
( 3 )
( 3 )
d
d
−
f cos (θ) sin (θ) − f
f sin (θ)
3
dθ
d θ3
(
)( 2 )dd−3
f
f sin (θ)
dθ
d θ2
(
)
( 2 )
d
d
2
− 3f
f sin (θ) +f cos (θ)
dθ
d θ2
d2
− f 2 cos (θ) −
f
d θ2
(
)
d
3
2
=2
g sin (θ) + 6 g cos (θ) sin (θ)
dθ

361

(

subst([f=F,g=G],NAV31);
NAV41:subst([f=F,g=G,DF4,DF3,DF2,DF1,GF1,
G5,G4,G3,G2,G11,G12],NAV31);
NAV42:subst([f=F,g=G,DF4,DF3,DF2,DF1,GF1,
G5,G4,G3,G2,G11,G12],NAV32);
NAVG1:expand(solve(NAV41,’diff(G,\xi,1))[1]);
CNV412:factor(coeff(rhs(NAV411),’diff(F,\xi,2),1));
factor(rhs(NAV411)-(CNV412*’diff(F,\xi,2)));
NAVG2:expand(solve(NAV42,G)[1]);depends(F,[\xi]);

CNV423:factor(coeff(rhs(NAVG2),

depends(G,[\xi]);
depends(\xi,[\theta]);’diff(F,\xi,3),1));
CNV422:factor(coeff(rhs(NAVG2),

DF1:’diff(F,\theta,1)=diff(F,\theta,1);’diff(F,\xi,2),1));DF2:’diff(F,\theta,2)=diff(F,\theta,2);

CNV421:factor(coeff(rhs(NAVG2),

DF3:’diff(F,\theta,3)=diff(F,\theta,3);’diff(F,\xi,1)^2,1));

DF4:’diff(F,\theta,4)=diff(F,\theta,4);

CNV420:factor(coeff(rhs(NAVG2),

DF11:subst([F=f],DF1);F^2,1));

DF21:subst([F=f],DF2);

NAVG21:G=CNV423*’diff(F,\xi,3)+CNV422*

DF31:subst([F=f],DF3);’diff(F,\xi,2)+CNV421*’diff(F,\xi,1)^2

DF41:subst([F=f],DF4);+CNV420*F^2;

GF1:’diff(G,\theta,1)=diff(G,\theta,1);diff(NAVG21,\xi,1);

GF11:subst([G=g],GF1);

lhs(%)-rhs(%)=0;

NAVG3:factor(subst([NAVG1],%)*2);
Navier-Stokes の式は下記の F, G と ξ の関係は、
G11:cos(\theta)=\xi;
( 2 )
( 2 )
G12:sin(\theta)=sqrt(1-\xi^2);
d
d
4
2
ξ
F
2
ξ
2
dξ
d ξ2 Fd
G2:diff(G1,\theta,1);
G=− 4
+
dξ
ξ − 2 ξ2 + 1
ξ4 − 2 ξ2 + 1()
G3:diff(G1,\theta,2);d2
ξ 2 F ddξ FF2
dξ
G4:diff(G1,\theta,3);
− 4
+
ξ
−
2 ξ2 + 1 ξ4 − 2 ξ2 + 1
G5:diff(G1,\theta,4);()
F ddξ F
ξ F2
θ を次式で定義する ξ を導入する。
− 4−
ξ − 2 ξ2 + 1 ξ4 − 2 ξ2 + 1
( 3 )
( 2 )
ξ = cos (θ)(8.3.4)(ξ − 1) (ξ + 1) ddξ3 F(F + 2 ξ) ddξ2 FG=−−
上記では、f, g は θ の関数で、そのように宣言してい2
2()2
るので、f → F, g → G に置き換え、F, G は ξ の関数
d
dξ F
F2
と宣言する。下記などの変換を行って、上式に代入し、−+
22 (ξ − 1) (ξ + 1)
F の ξ の関数の関係式を求める。
(
)(
)
d
d
d
上式から G を省略すると、
F =
ξ
F
dθ
dθ
dξ
( 4 )
( 3 )
( 3 )
d
d4
d
d
ξ2
F
−
F
+
F
F
+
4
ξ
F
d ξ4
d ξ4
d ξ3
d ξ3
(
)2 ( 2 ) ( 2 ) ()()( 2 )
d
d
d
d2
d
d
d
F
=
F
+
ξ
ξ
F
+3
F =0
F
d θ2
dθ
d ξ2
d θ2
dξ
dξ
d ξ2
(8.3.5)
(
)(
)
d
d
d
G=
ξ
G
dθ
dθ
dξ
G1:\xi=cos(\theta);

第8章

362

粘性流体

対称軸：z 軸上では、vθ = 0 でないといけない。ここで、FF4:diff(F,\xi,1)*(1-\xi^2);
DFF4:diff(FF4,\xi,3);vθ = −DFF41:solve(%,’diff(F,xi,4))[1];FF2:F^2;ddr Ψr sin (θ)νF=− √r 1 − ξ2から、%c1 = 0 %c2 = 0 %c3 = 0 となる。以上から、
(
)
)
(
d
F2
2
F +
− 2ξF = 0
(8.3.9)− 1−ξdξ2

DFF2:diff(FF2,\xi,3);
DFF21:solve(%,F*(’diff(F,xi,3)))[1];
subst([DFF41,DFF21],NAVG3);
FF1:F*\xi;
DFF1:diff(FF1,\xi,3);

H1:F=(1-\xi^2)*h(\xi);

DFF11:solve(%,’diff(F,xi,2))[1];

subst([H1,%c1=0,%c2=0,%c3=0],NAVF4);

NAVG3;

NAVH1:factor(ev(%,diff));

A*DFF4+B*DFF2+C*DFF1;

NAVH2:2*(’diff(h(xi),xi,1))-h(xi)^2=0;

expand(%);

ode2(%,h(\xi),\xi);

subst([A=-1],%);

H2:solve(%,h(\xi))[1];

subst([B=1/2],%);

subst([H2],H1);

subst([C=-2],%);

H11:subst([%c=-C-1],%);

NAVF4:-1*FF4+1/2*FF2-2*FF1=%c1*\xi^2

C1:cos(\theta[0])=1/(1+C);+%c2*\xi+%c3;

C2:solve(C1,C)[1];
H12:factor(subst([\xi=cos(\theta[0]),C2],

diff(%,\xi,3);
上式で F の微分方程式が得られた。これを三回積分す
ると簡素化が図れそうなので、まず、(8.3.5) 式の第一，第二項は三回積分すると下記の成分を持っているはずでH11));
PS2:trigsimp(subst([f=F,H11,G1],PS1));
ここで F を下記のように仮定する。

ある。

(

)
d
1−ξ
F
→ 三回微分
dξ
( 4 )
( 3 )
( 2 )
(
)
d
d
d
2
1−ξ
F − 6ξ
F −6
F
4
3
dξ
dξ
d ξ2
(8.3.6))2()
F = 1 − ξ 2 h (ξ)(

第三項は三回積分すると下記の成分を持っているはずで(8.3.9) 式にニ (8.3.10) 式を代入し、
)
)
( (
2
2
2
(ξ − 1) (ξ + 1) 2 ddξ h (ξ) − h (ξ)
=0
−
2
以上から、

(

ある。

2
→ 三回微分( 3 )()( 2 )
d
d
d
2F
F
+
6
F
F
d ξ3
dξ
d ξ2

F2

(8.3.7))d2h (ξ) − h (ξ) = 0dξ

上式を ode2 関数で解いて、−第四項は三回積分すると下記の成分を持っているはずである。

(8.3.10)2= ξ + %ch (ξ)

h (ξ) で解いて、ξF
ξ(→ 三回微分
)
( 2 )
d3
d
F +3
F
d ξ3
d ξ2

(8.3.8)以上から、次式が (8.3.5) 式と等しいと置いて、

A × (8.3.6) 式 + B × (8.3.7) 式 + C × (8.3.8) 式 = 0
A = −1, B = 1/2, C = −2 の関係を得て、次式を得る。
()− 1 − ξ2

(

d
F
dξ

)
+

F2
− 2ξF
2

= %c1 ξ 2 + %c2 ξ + %c3

h (ξ) = −2
ξ + %c

上式を (8.3.10) 式に代入し、()
2 1 − ξ2F =−
ξ + %c1 − ξ の形を作って、()
2 1 − ξ2F =−−C + ξ − 1(8.3.11)

今、下記と置くと、cos (θ0 ) =1
C +1(8.3.12)

8.3. 流れ関数を使った厳密解363
上式から θ = θ0 における噴出方向：z 軸と直角方向の上式を (8.3.11) 式に代入すると、

流速：vy0 は、

F = 2 cos (θ0 )vy0 = vr cos (θ0 ) + vθ sin (θ0 ) = 0(8.3.11) 式を (8.3.2) 式に代入し、流れ関数：Ψ は、

これは θ = θ0 で流線の最下端を示す。

22 ν r sin (θ)Ψ=
C − cos (θ) + 1(8.3.13)

次に、原点を中心にした球面における運動量から得られる噴出方向：z 方向の力：F を求める。F は下記で与え
られる。

(

∫ π

subst([PS2],VR1);
F =2 π r

VR2:trigsimp(ev(%,diff));
subst([PS2],VT1);

2sin (θ)vr ρ (vr cos (θ) − vθ sin (θ))

0

VT2:trigsimp(ev(%,diff));)− (σrr cos (θ) − τrt sin (θ)) dθ

VR21:lhs(VR2)=trigsimp(subst([\theta=(8.3.15)\theta[0],C2],rhs(VR2)));
VT21:lhs(VT2)=trigsimp(subst([\theta=\theta[0],C2],rhs(VT2)));
VY21:v[y0]=rhs(VT21)*cos(\theta[0])+rhs(VR21)*sin(\theta[0]);ここで、(8.1.20) 式から、
(d )f ν
vr = d θ,r sin (θ)

vθ = −fν
r sin (θ)σrr = µ err − p (r, θ) , τrt = µ ert
(
)
d
vr
d vθ
d
vr , ert = r
err = 2
+ dθ
dr
dr r
r
上式を (8.3.14) 式に代入し、変数を θ → ξ に置き換え、

subst([PS1],VR1);
VR3:trigsimp(ev(%,diff));
subst([PS1],VT1);
VT3:trigsimp(ev(%,diff));
F1:\rho*v[r]*(v[r]*cos(\theta)-v[\theta]

assume(C>0);*sin(\theta))*2*%pi*r^2;

F5:F/(2*%pi*\rho*\nu^2)=-’integrate(-F4,

subst([VR3,VT3],F1);\xi,-1,1);

F11:expand(ev(%,diff));lhs(%)=subst([H11],rhs(%));

SRR1:\sigma[rr]=-p(r,\theta)+2*\mu*e[rr];ev(%,diff);

SRT1:\sigma[rt]=2*\mu*e[rt];F51:expand(ev(%,integrate));

ERR1:e[rr]=’diff(v[r],r,1);

CF51:factor(coeff(rhs(F51),log(C+2),1));

ERT1:e[rt]=r/2*’diff(v[\theta]/r,r,1)

CF52:factor(coeff(rhs(F51),log(C),1));+1/2/r*’diff(v[r],\theta,1);

CF53:factor(rhs(F51)-CF51*log(C+2)-CF52

F2:-\sigma[rr]*cos(\theta)*2*%pi*r^2;
F3:\sigma[rt]*sin(\theta)*2*%pi*r^2;

F52:lhs(F51)=CF53+CF51*log(C+2)+CF52

subst([SRR1,SRT1,ERR1,ERT1,VR3,VT3,P1],F2);*log(C);F21:expand(ev(%,diff));
subst([SRR1,SRT1,ERR1,ERT1,VR3,VT3,P1],F3);

F53:lhs(F51)=CF53+CF52*log(C/(C+2));
CF531:trigsimp(factor(subst([C2],CF53)));

F31:expand(ev(%,diff));

taylor(%,\theta[0],0,5);

expand((F11+F21+F31)/(2*%pi*\rho*\nu^2));

CF532:first(%);

subst([f=F,g=G,\mu=\nu*\rho,NAVG21,DF2,

CF52*log(C/(C+2));

DF1,G2,G3],%);

CF533:factor(subst([C2],%));

F4:subst([sin(\theta)^2=1-\xi^2,

subst([cos(\theta[0])=1-\theta[0]/2],%);

cos(\theta)=\xi],%);(8.3.1) 式に (8.3.13) 式を代入すると、流速が得られ、

F54:lhs(F51)=CF531+CF533;

vr =4 ν cos (θ) C − 2 ν cos (θ)2 + 4 ν cos (θ) − 2 νr C 2 + (2 r − 2 r cos (θ)) C + r cos (θ)2 − 2 r cos (θ) + r
2 ν sin (θ)
vθ = −r C − r cos (θ) + r(8.3.14)(8.3.12) 式を代入すると、
2 cos (θ0 ) ν2sin (θ0 ) r,

F55:lhs(F51)=CF532;
PL1:subst([\theta[0]=t*%pi/180],rhs(F54));
PL2:subst([\theta[0]=t*%pi/180],rhs(F55));
plot2d([[parametric,t,PL1,[t,13,80],[nticks,50]],[parametric,t,PL2,[t,13,50],[nticks,50]]],[x,0,90]);

2

vr =

*log(C));vθ = −

2 cos (θ0 ) νsin (θ0 ) r

solve(C1,\theta[0])[1];C3:tan(%);

第8章

364

粘性流体

subst([C=0.1],C3);

C を種々変えて流線を求めた結果を下記に示す。ここでは下記に示す gnuplot の等高線機能を使用して描いた。

subst([C=0.3],C3);

また、ジェット推力と流出半角：θ0 の関係を下記に示す。

subst([C=0.03],C3);F=−
2 π ν2 ρ

(

∫ 1
−1

−

−ξ

−

(ξ − 1) (ξ + 1)(d3
d ξ3 F)2((F + 2 ξ)d2
d ξ2 F

2

)

(
−

d
dξ F

)2

2
F2
+
2 (ξ − 1) (ξ + 1)
( 2 )
)2
(
(
)
d
d
− 1 − ξ2
F
F
−
ξ
d ξ2
dξ
(
)
(
)
d
d
+F
F + 2ξ
Fdξdξ
− 2 F dξ

(

2

)

C
C +2

図 8.3.2: 細い管の先から流出するジェット C = 0.1)=4 (C + 1) log()
8 (C + 1) 3 C 2 + 6 C + 4+
3 C (C + 2)

上式から、積分の半径にかかわらず推力が一定であるこ

図 8.3.3: 細い管の先から流出するジェット C = 0.03とが解る。上式の C を θ0 で表現すると、
(
)
0 )−1
2
4 log − cos(θcos(θ0 )+1
F
8 cos (θ0 ) + 24=+
22
2 π ν2 ρcos (θ0 )3 cos (θ0 ) sin (θ0 )
32
≈ 2
3 θ0
(8.3.16)

X1:x=r*cos(\theta);
Y1:y=r*sin(\theta);

図 8.3.4: 細い管の先から流出するジェット C = 0.3

R1:solve(Y1,r)[1];SI1:sin(\theta)=y/sqrt(x^2+y^2);
CO1:cos(\theta)=x/sqrt(x^2+y^2);
subst([C=0.1,\nu=1,R1,SI1,CO1],rhs(PS2));#!/gnuplot
set xrange [-2:4]
set yrange [0:3]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -1,0.2,100
unset keyunset surface
set view map

図 8.3.5: 細い管の先から流出するジェット ジェット推

splot (2*y**2)/(sqrt(y**2+x**2)*(1.1

力と半角：θ0-x/sqrt(y**2+x**2)))# EOF

8.3. 流れ関数を使った厳密解

8.3.2

二次元よどみ点

二次元のよどみ点近傍の粘性流れについて調べる1 。
流体は上方から流れ、底面の固定壁に当たり、左右に分365
渦度方程式を使って解く。x − y 座標の各速度成分：u, v とし、動粘性係数：ν とする。渦度：ω は (8.1.45)
式から、

ω=

かれる。

d
d
v−
u
dx
dy

渦度方程式は、(8.1.44) 式から、
(
)
(
)
d
d
d
ω v+
ω u+
ω
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
=ν
ω
+
ω
d y2
d x2

(8.3.17)(8.3.18)

一様流の流速：U とすると、複素ポテンシャルは F = zU
で、それを 1/2 の角度にして、二次元よどみ点の完全流体の複素ポテンシャルは下記となる。(参照：5.1.14 写
像：折れ曲がり直線 (Schwarz-Christoﬀel の公式))
2

F = z 2 U = (i y + x) U
図 8.3.6: 二次元よどみ点

以上から、流れ関数：Ψ は上式の虚部をとり、

Ψ = 2xyU/* 二次元よどみ点 */流れ関数：Ψ と流速：u, v との関係は、

kill(all);u=load("vector");

d
Ψ,
dy

v=−

d
Ψ
dx

load("dynamics");

上記から、二次元よどみ点の完全流体の流れの流速は下depends(u,[x,y,t]);

記となる。

depends(v,[x,y,t]);depends(p,[x,y,t]);u=depends(\omega,[x,y,t]);depends(\Psi,[x,f]);d(2 x y U ) = 2 x U
dy
d
v =−
(2 x y U ) = −2 y Udx

depends(\eta,[x,y]);depends(F,[\eta]);depends(f,[y]);PS2:\Psi=x*f;
subst([PS2],U1);

OM1:\omega=diff(v,x,1)-diff(u,y,1);

U3:ev(%,diff);

VLNV1:(’diff(\omega,y,1))*v+(’diff(\omega,

subst([PS2],V1);x,1))*u+’diff(\omega,t,1)=\nu*(’diff(

V3:ev(%,diff);\omega,y,2)+’diff(\omega,x,2));

subst([U3,V3],OM1);

declare(F,complex);

OM2:ev(%,diff);

declare(z,complex);

subst([OM2,U3,V3],VLNV1);

F1:F=z^2*U;

expand(ev(%,diff)/x);

subst([z=x+%i*y],F1);

VLNV2:lhs(%)-rhs(%)=0;

PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));

DF1:’diff(f,y,3);

U1:u=’diff(\Psi,y,1);

DF11:diff(DF1,y,1);V1:v=-’diff(\Psi,x,1);DF2:f*’diff(f,y,2);

subst([PS1],U1);

DF21:diff(DF2,y,1);

U2:ev(%,diff);

DF3:’diff(f,y,1)^2;

subst([PS1],V1);

DF31:diff(DF3,y,1);V2:ev(%,diff);

A*DF11+B*DF21+C*DF31;

1 Dr Harmann Schlihting, Boundary Layer Theory 12) 、V.b.8

Stagnation in plane flow、P.78

DF4:expand(%-lhs(VLNV2));
DF51:A-\nu=0;(8.3.19)

第8章

366

粘性流体

積分後の渦度方程式は下記となる。
( 3 )( 2 ) (
)2
d
d
d
f ν+f
f −
f
= %c (8.3.24)
d y3
d y2
dy

DF52:B-1=0;
DF53:2*C+B+1=0;
VLNV3:A*DF1+B*DF2+C*DF3=%c;
solve([DF51,DF52,DF53],[A,B,C])[1];
VLNV31:subst([%],VLNV3);
上記を参考に、二次元よどみ点の流れ関数を下記とす

OM2;る。ここで f は y の関数とする。

OBC1:’diff(f,y,2)=0;

subst([\omega=0],%);
OBC2:’diff(f,y,3)=0;

Ψ=fx
上記から、流速：u, v は、
(
)
d
d
u=
(f x) =
f x
dy
dy
d
v =−
(f x) = −fdxrhs(U2)=rhs(U3);
OBC3:’diff(f,y,1)=2*U;
OBC4:U=k/2;
subst([OBC1,OBC2,OBC3,OBC4],VLNV31);(8.3.20)solve(%,%c)[1];
VLNV32:subst([%],VLNV31);
Y1:y=(\nu/k)^(1/2)*\eta;

渦度：ω は上式を (8.3.17) 式に代入し、
((
) )
( 2 )
d
d
d
d
ω=
(−f ) −
f x =−
f x
dx
dy
dy
d y2
(8.3.21)

Y2:solve(%,\eta)[1];上式の渦度：ω を渦度方程式：(8.3.18) 式に代入し、( 4 )( 3 ) ()( 2 )
d
d
d
d
f ν+f
f −
f
f =0
d y4
d y3
dy
d y2
(8.3.22)

F2:f=(\nu*k)^(1/2)*F;

上式を積分する。各項の積分後の各項を下記のように想subst([Y23,Y22,Y21],%);

定し、それを微分すると矢印のようになる。

radcan(%)/(-k^2);

d4
d3
f→
f
3
dy
d y4
( 2 )
( 3 ) ()( 2 )
d
d
d
d
f
f →f
f +
f
f
2
3
dy
dy
dy
d y2
)2
(
)( 2 )
(
d
d
d
f
→2
f
f
dy
dy
d y2

Y21:diff(Y2,y,1);
Y22:diff(Y2,y,2);
Y23:diff(Y2,y,3);
F21:solve(%,F)[1];
subst([F2],VLNV32);
ev(%,diff);

VLNV4:expand(%);
PS3:subst([F2],PS2);
subst([F2],U3);
ev(%,diff);
subst([Y21],%);
U4:radcan(%);
V4:subst([F2],V3);

積分後の各項に係数：A, B, C を掛け、それを微分する

VLNV41:solve(VLNV4,’diff(F,\eta,3))[1];と矢印のようになる。

VLNV42:subst([’diff(F,eta,1)=G,

( 3 )
( 2 )
d
d
f
B
+
f A = %c
C +f
2
dy
d y3
(
( 3 )
)( 2 )
d
d
d
→ 2
f
C
+
f
f B
f
dy
d y2
d y3
(
( 4 )
)( 2 )
d
d
d
+
f
B
+
f A
f
dy
d y2
d y4
( 4 )
( 3 )
d
d
−
f
ν
−
f
f
d y4
d y3
(
)( 2 )
d
d
+
f
f
dy
d y2
(8.3.23)

(

d
f
dy

)2

上式と積分前の元の式：(8.3.22) 式と比較すると、各係数は下記となり、[A = ν, B = 1, C = −1]’diff(F,eta,2)=H],rhs(%));
境界条件として、壁面では、渦度は零であるから、(8.3.21) 式から、
( 2 )
d
f x
0=−
d y2

ω=0

at y = 0

故に、

d2
f = 0,
d y2

d3
f =0
d y3

上式を (8.3.24) 式に代入すると、下記の関係を得る。

(

d
−
f
dy

)2
= %c

流速：u の (8.3.19) 式と (8.3.20) 式の関係から、
)
(
d
f x
2xU =
dy

8.3. 流れ関数を使った厳密解367

下記の k を導入し、plot2d([[discrete,listF],[discrete,listdF],df = 2U = kdy[discrete,listddF]],[x,0,5],[y,0,5]);
plot2d([[discrete,listF],[discrete,listdF],

下記の関係を得る。

[discrete,listddF]],[x,0,5],[y,0,1.5]);−k = %c2

plot2d([[discrete,listF],[discrete,listdF],[discrete,listddF]],[x,0,10],以上から、渦度方程式は下記となる。
( 3 ))2( 2 ) (dddf ν +ff −f= −k 2 (8.3.25)
d y3
d y2
dy

plot2d([[discrete,listF],[discrete,listdF],

上式を無次元化するため、下記の関係式の F, η を導入[y,0.999,1.001]);
境界条件として、y = 0 で u = v = 0、y → ∞ で外界

する。

√
y=η

[discrete,listddF]],[x,0,10],

流：u = 2 x U = k U である。Runge-Kutta 法の初期条

ν
,
k

y
η = √ν ,d1
η = √ν
dy
k

k

√

f=

件として、壁面：y = η = 0 で流速：u, v は零であるから、(8.3.20) 式から、

f
F =√
kν

k ν F,d
F = 0,dη

上式を (8.3.25) 式に代入し、

d3− 3 F −Fdη[y,-0.001,0.001]);

(

d2
F
d η2

)

(
+

d
F
dη

また、壁面から十分離れたところでは、外界流と一致す)2=1(8.3.26)√kν xF

るはずだから、(8.3.23) 式から、

d
F →1
dη

また、流れ関数は下記となり、

Ψ=

F =0

(8.3.27)at η → ∞2

そこで上記になるように、 ddη2 F の初期値を選ぶ必要が2

各流速は、下記となる。
(
(
)
))
d (√
d
u =x
kνF
= kx
F
dy
dη
√
v =− kνFある。試行錯誤の結果、 ddη2 F = 1.2325877 で満足できる結果となった。下記に結果を示す。

(8.3.28)

数値解析、Maxima の Runge-Kutta 法を用いて解くため、下記のように置き換える。
( 2 ) (
)2
d3
d
d
F
=
−F
F
+
F
−1
d η3
d η2
dη

Tmax:10;
Tmin:0;
N:200;
DDF1:1.2325877;
dT:(Tmax-Tmin)/float(N);sol:rk([VLNV42,H,G],[H,G,F],[DDF1,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);listF:[[sol[1][1],sol[1][4]]];for J:2 thru N do(listF:append(listF,[[sol[J][1],sol[J][4]]]));
listdF:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listdF:append(listdF,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
listddF:[[sol[1][1],sol[1][2]]];for J:2 thru N do(listddF:append(listddF,[[sol[J][1],sol[J][2]]]));

図 8.3.7: 二次元よどみ点数値計算結果

第8章

368

粘性流体

DE1:subst([y=\delta,\eta=0.24],Y1);
u/u[o]=rhs(U4)/rhs(U2);
U5:subst([OBC4],%);
v/v[o]=rhs(V4)/rhs(V2);
V5:radcan(subst([Y1,OBC4],%));
listV:[[sol[2][1],sol[2][4]/sol[2][1]]];for J:3 thru N do(listV:append(listV,[[sol[J][1],sol[J][4]/sol[J][1]]]));
plot2d([[discrete,listdF],[discrete,listV]]);
S1:0.0;S2:0.0;S3:0.0;for J:100 thru N do(S1:S1+sol[J][1],S2:S2+sol[J][4],S3:S3+1);
S4:S1/S3;
S5:S2/S3;
図 8.3.9: おしのけ厚さ

B1:b=S5-S4;
F3:F=\eta+rhs(B1);
DE2:\delta[1]=subst([0.24=-rhs(B1)],
rhs(DE1));の直線と η 軸との交点はおしのけ厚さと考えることが出来る。

各流速は外界流：u0 , v0 で無次元化すると、()
k ddη Fud=F
(8.3.29)
=
uo
2U
dη
√
v
F
kνF
=
=
vo
2yU
η
図示すると下記となる。 uuo = 0.99 を境界層の厚さとす

F = η − 0.64788668085351
おしのけ厚さ：δ1 は、√
δ1 ≈ 0.648

νk(8.3.30)

Y21;
d*\eta/dy=rhs(%);
DY2:solve(%,dy)[1];(1-u/u[0])*dy;%=subst([DY2],%);
SS1:0;
for J:1 thru 100 do(SS1:SS1+(1listdF[J][2])*dT);\delta[1]=SS1*sqrt(\nu/k);
u/u[0]*(1-u/u[0])*dy;%=subst([DY2],%);
SS2:0;
for J:1 thru 100 do(SS2:SS2+listdF[J][2]*(1-listdF[J][2])*dT);

図 8.3.8: 二次元よどみ点流速分布\delta[2]=SS2*sqrt(\nu/k);
U6:solve(U5,u)[1];

ると、計算結果から、下記となり、x 軸方向に一定の厚\tau=\mu*’diff(u,y,1);

さとなっている。

subst([U6],%);√
δ ≈ 0.24νk

上記の計算結果で、固定壁から十分離れたとき、
dd η F → 1 から、F は勾配：1 の直線となっており、そ\tau=\mu*rhs(Y21)*u[0]*diff(F,\eta,2);
subst([’diff(F,eta,2)=DDF1],%);%/\mu/u[0]*sqrt(nu/k);

8.3. 流れ関数を使った厳密解

369

おしのけ厚さ：δ1 と運動量厚さ：δ2 、底面の剪断力：τ を数値解析結果から求める。おしのけ厚さ：δ1 は次式で定義される。

∫ ∞(
δ1 =
0

u
1−
u0

∫ ∞√

)
dy =

0

ν
k

(

u
1−
u0

)
dη

(8.3.29) 式から、 ddη F の数値計算結果を上式に代入し、数値積分して次式が得られる。
√
νδ1 ≈ 0.673(8.3.31)k
運動量厚さ：δ2 は次式で定義される。
(
)
∫ ∞
u
u
δ2 =
1−
dy
u0
u0
0
(
)
∫ ∞√
ν u
u
=
1−
dη
k u0
u0
0

(8.3.29) 式から、 ddη F の数値計算結果を上式に代入し、数値積分して次式が得られる。
√

δ2 ≈ 0.292

νk(8.3.32)

底面の剪断力：τ は次式で得られる。
()) u µ d2 F
(
2
0
dη
d
√ν
u =
τ =µ
dy
k
d2
d2
d η 2 F は η → 0 の値、即ち、 d η 2 F の初期値を代入することで得られ、τ=

1.2325877 u0 µ
√ν
k

以上から、

√ν

k τ

u0 µ

≈ 1.233(8.3.33)

ここで、おしのけ厚さ：δ1 と運動量厚さ：δ2 は x に無関係で、一定の厚さになっている。また、底面の剪断力：τ も x に無関係となっている。

第8章

370

粘性流体

三次元よどみ点z 方向は下記となり、z 軸対称から、θ 方向は不要である。
( (
(
)
)
vθ ddθ vzd
三次元のよどみ点近傍の定常粘性流れについて調べ
ρ vz
vz +
dz
r
る1 。流体は上方から流れ、底面の固定壁に当たり、四())
方に分かれ、z 軸対称の流れとなる。上方が z 軸の円柱dd+vz + vrvz
座標系:r − θ − z を用い、各軸の流速を vr , vθ , vz とし、
dt
dr
(
)
密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν とする。
d2
d
d2
d2
d θ 2 vzd r vz
=µ
vz +
+
vz +
d z2
r2
d r2
r

8.3.3

+ Fz −dp
dz(8.3.36)

NAV2:matrix([\rho*((v[\theta]*(’diff( v[\theta],\theta,1)))/r+’diff(v[\theta],t,1)+v[r]*(図 8.3.10: 三次元よどみ点’diff(v[\theta],r,1))+(v[\phi]*(/* 三次元よどみ点 R-1 */’diff(v[\theta],\phi,1)))/(r*sin(\theta))

kill(all);-(v[\phi]^2*cos(\theta))/(r*sin(\theta))load("vector");+(v[r]*v[\theta])/r)],[\rho*((v[\phi]load("dynamics");*v[\theta]*cos(\theta))/(r*sin(\theta))

depends(f,[z]);+(v[\phi]*(’diff(v[\phi],\phi,1)))/(r*depends(g,[\zeta]);depends(\zeta,[z]);sin(\theta))+((’diff(v[\phi],\theta,1))

MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta[\phi],r,1))*v[r]+’diff(v[\phi],t,1))],,1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;
質量保存の方程式は (8.1.13) 式から[\rho*((v[\phi]*(’diff(v[r],\phi,1)))/

d
vθ
d
d
vr
vz + d θ
+
vr +
=0
dz
r
dr
r

*v[\theta])/r+(v[\phi]*v[r])/r+(’diff(v(r*sin(\theta))-v[\theta]^2/r+((’diff(v[r],\theta,1))*v[\theta])/r+(8.3.34)

Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式から r 方向は、
((
(d )
)
vr vθ
d
vθ2
ρ
vr vz −
+ dθ
dz
r
r
(
))
d
d
+
vr + vr
vr
dt
dr
(
(
)
d2
2 ddθ vθd2
d2
d θ 2 vr
+
v
+
+
vr
=µ −
r
r2
d z2
r2
d r2
)
d
vr
d
d r vr+− 2 + Fr −prr
dr
(8.3.35)’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1))-v[\phi]^2/r)])=matrix([mu*(’diff(v[\theta],\theta,2)/r^2+(cos(\theta)*(’diff(v[\theta],\theta,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[\theta],r,2)+(2*(’diff(v[\theta],r,1)))/r+’diff(v[\theta],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)-(v[\theta]*cos(\theta)^2)/(r^2*sin(\theta)^2)-(2*(’diff(v[\phi],\phi,1))*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta)^2)-v[\theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],\theta,1)))/r^2)+F[\theta]-’diff(p,\theta,1)/r],[mu*((2*cos(\theta)*(’diff(v[\theta],\phi,1)))/(r^2*sin(\theta)^2)+((’diff(v[\phi],\theta,1))*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta))+(2*(’diff(v[r],\phi,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[\phi],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)-v[\phi]/(r^2*sin(\theta)^2)+(2*(’diff(v[\phi],r,1)))/r+’diff(v[\phi],\theta,2)/r^2

1 Dr Harmann Schlihting, Boundary Layer Theory 12) 、V.b.9
Stagnation in three-dimensional flow、P.81

8.3. 流れ関数を使った厳密解

371+’diff(v[\phi],r,2))-’diff(p,\phi,1)/(r*sin(\theta))+F[\phi]],[mu*(-(2*(’diff(v[\theta],\theta,1)))/r^2-(2*v[\theta]*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta))+((’diff(v[r],\theta,1))*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta))-(2*(’diff(v[\phi],\phi,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[r],\phi,2)/(r^2*

上記から、完全流体の各流速：Vr , Vz は、( 2)dd r −r z A
Vz == −2 z Ar()
d2
d z −r z A
Vr = −
= rA
( 2r
)
(
)
2
ρ Vz + Vrρ 4 z 2 A2 + r 2 A2
p=−
=−
2
2
(8.3.37)sin(\theta)^2)+’diff(v[r],\theta,2)/

上記を参考に下記の流れ関数：Ψ を導入する。ここで fr^2+’diff(v[r],r,2)+(2*(’diff(v[r],は z の関数とする。

r,1)))/r-(2*v[r])/r^2)+F[r]Ψ = −f r2-’diff(p,r,1)]);PS1:\Psi=-A*z*r^2;

このとき各流速：vr , vz は、()
d2
d r −f rvz == −2 f
r(
) (
)
d
2
d
d z −f r
vr = −
=
f r
r
dz
(
) 2
2
ρ F (z) + r A
p=−2

VZ1:V[z]=’diff(\Psi,r,1)/r;
VR1:V[r]=-’diff(\Psi,z,1)/r;
subst([PS1],VZ1);VZ2:ev(%,diff);
subst([PS1],VR1);VR2:ev(%,diff);
P1:p=-1/2*\rho*(V[r]^2+V[z]^2);(8.3.38)

PS2:\Psi=-f*r^2;
subst([PS2,V=v],VZ1);

質量保存の方程式：(8.3.34) 式に (8.3.38) 式を代入し、
((
) )
d
d
d
d
f r +
f+
(−2 f ) = 0
dr
dz
dz
dz

VZ3:ev(%,diff);

整理すると当然ながら、零となる。

subst([PS2,V=v],VR1);

Navier-Stokes の式：(8.3.35) 式に (8.3.38) 式を代入し、

VR3:ev(%,diff);(

subst([VR2,VZ2],%);

P2:p=-rho*A^2*(F(z)+r^2)/2;
subst([v[\theta]=0,VZ3,VR3],MAS2);ev(%,diff);
NAV21:lhs(NAV2)[1][1]=rhs(NAV2)[1][1];NAV23:lhs(NAV2)[3][1]=rhs(NAV2)[3][1];

d
f
dz

)2

(
−2 f

d2
f
d z2

)

(
= A2 +

d3
f
d z3

)
ν (8.3.39)

Navier-Stokes の式：(8.3.36) 式に (8.3.38) 式を代入し、
)
) (d
( 2 )
(
F (z) A2dd
2f
f = dz−f ν (8.3.40)
dz
4
d z2

subst([F[r]=0,v[\theta]=0,VZ3,VR3,\mu=\nu*\rho,P2],NAV21);ev(%,diff)/\rho/r;

G1:f=sqrt(A*\nu)*g;

NAV31:expand(%);

ZT1:\zeta=sqrt(A/\nu)*z;

subst([F[z]=0,v[\theta]=0,VZ3,VR3,\mu=\nu*

DZT1:’diff(lhs(ZT1),z,1)=diff(rhs(ZT1),z,1);\rho,P2],NAV23);

DZT2:’diff(lhs(ZT1),z,2)=diff(rhs(ZT1),z,ev(%,diff)/\rho/2;
NAV33:expand(%);
三次元よどみ点を表す完全流体の流れ関数：Ψ は、下記
Ψ = −r z A2

流れ関数：Ψ と完全流体の各流速：Vr , Vz の関係は、

Vz =

r

,

Vr = −

DZT3:’diff(lhs(ZT1),z,3)=diff(rhs(ZT1),z,3);
ZT2:solve(ZT1,z)[1];

となる。

d
dr Ψ

2);

d
dz Ψ

r

subst([G1],NAV31);ev(%,diff);
subst([DZT1,DZT2,DZT3],%);
radcan(%/A^2);
solve(%,’diff(g,zeta,3))[1];
f に代わり、下記の g を導入する。ここで g は ζ の関数
である。

f =g

√

νA

(8.3.41)

第8章

372

粘性流体

また、z の代わりに下記の ζ を導入する。
√
A
ζ
ζ =z
, z=√
ν
A

d
ζ=
dz

√

ν

(8.3.42)23dζ = 0,
d z2

A
,
ν

d
ζ=0
d z3

(8.3.39) 式に (8.3.41) 式、(8.3.42) 式を代入し、次式を
得る。
(

d
g
dζ

)2

(
− 2g

d2
g
d ζ2

)
=

d3
g+1
d ζ3

(8.3.43)

数値解析、Maxima の Runge-Kutta 法を用いて解くため、下記のように置き換える。
( 2 ) ()2ddd3
g = −2 g
g +
g −1
d ζ3
d ζ2
dζ

図 8.3.11: 三次元よどみ点数値計算結果

Tmax:10;
Tmin:0;v[r]/V[r]=rhs(VR3)/rhs(VR2);

N:200;

subst([G1],%);

dT:(Tmax-Tmin)/float(N);ev(%,diff);

sol:rk([-2*F2*F+F1^2-1,F2,F1],[F2,F1,F],

subst([DZT1,DZT2,DZT3],%);[1.311938,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);VR4:radcan(%);

listF:[[sol[1][1],sol[1][4]]];v[z]/V[z]=rhs(VZ3)/rhs(VZ2);

for J:2 thru N do(listF:append(listF,

lhs(%)=subst([G1,ZT2],rhs(%));[[sol[J][1],sol[J][4]]]));

VZ4:radcan(%);

listF1:[[sol[1][1],sol[1][3]]];

DE1:subst([z=\delta,\zeta=1.95],ZT2);

for J:2 thru N do(listF1:append(listF1,

listV:[[sol[2][1],sol[2][4]/sol[2][1]]];[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
listF2:[[sol[1][1],sol[1][2]]];for J:2 thru N do(listF2:append(listF2,[[sol[J][1],sol[J][2]]]));

for J:3 thru N do(listV:append(listV,[[sol[J][1],sol[J][4]/sol[J][1]]]));
plot2d([[discrete,listF1],[discrete,listV]],[x,0,5]);

plot2d([[discrete,listF],[discrete,listF1],

S1:0.0;[discrete,listF2]],[x,0,5],[y,0,5]);

S2:0.0;

plot2d([[discrete,listF],[discrete,listF1],

S3:0.0;[discrete,listF2]],[x,0,10],[y,-0.001,0.001]);

for J:100 thru N do(S1:S1+sol[J][1],S2:S2+sol[J][4],S3:S3+1);

plot2d([[discrete,listF],[discrete,listF1],

S4:S1/S3;[discrete,listF2]],[x,0,10],[y,0.999,1.001]);
初期条件として、壁面：z = ζ = 0 で流速：vr , vz は零S5:S2/S3;であるから、(8.3.38) 式から、

DE2:\delta[1]=subst([1.95=-rhs(B1)],dg = 0,dζ

g=0

また、壁面から十分離れたところでは、外界流と一致するはずだから、(8.3.37) 式から、

dg → 1 at ζ → ∞dζ2

そこで上記になるように、 ddζ 2 g の初期値を選ぶ必要が2ある。試行錯誤の結果、 ddζ 2 g = 1.311938 で満足できる結果となった。下記に結果を示す。

B1:b=S5-S4;
F3:G=\zeta+rhs(B1);
rhs(DE1));
各流速は外界流で無次元化すると、
( √ )
d
d
g νA
f
dz
d
vr
= dz =
=
g
Vr
A
A
dζ
√ √
g A
νA
vz
f
g
ν
=
=
=
Vz
zA
Aζ
ζ

8.3. 流れ関数を使った厳密解373

図 8.3.12: 三次元よどみ点流速分布vr
Vr= 0.99 を境界層の厚さとすると、計算結果から、下記となり、r 軸方向に一定の厚さとなっている。二次
元よどみ点の結果と比べ、0.24 → 1.95 で三次元よどみ
点の方が狭くなっている。

1.95
δ≈√
A
ν

上記の計算結果で、固定壁から十分離れたとき、ddζ g →1 から、g は勾配：1 の直線となっており、その直線と ζ軸との交点はおしのけ厚さと考えることが出来る。

g = ζ − 0.56888921663472
おしのけ厚さ：δ1 は下記となり、二次元よどみ点の結果と比べ、0.648 → 0.569 で三次元よどみ点の方が狭くなっている。

0.569
δ1 ≈ √
A
ν

第8章

374

8.3.4

二次元拡大縮小平面流路

角度：α0 で交わる平面壁間の二次元流で、壁の交点

TH1:solve(TH0,\eta)[1];DTH1:diff(TH1,\theta,1);にわき出しまたは吸い込みを置いたときの定常粘性流にOM2:subst(V1,OM1);

ついて調べる1 。ここで二次元極座標系：r − θ の流速のsubst([VR1],%);

各軸コンポーネントを vr , vθ 、動粘性係数：ν とする。

粘性流体

OM21:ev(%,diff);
渦度：ω の r − θ 極座標表記は (8.1.45) 式から、()
r ddr vθ + vθ − ddθ vr(8.3.44)ω=r
渦度方程式の r − θ 極座標表記は (8.1.44) 式から、
(d )
(
)
d
d
d θ ω vθ+ω vr +
ω
r
dr
dt
( 2 )
)
(
( 2 )
ν ddθ2 ων ddr ω
d
=
+
+ν
ω
r
r2
d r2
(8.3.45)

図 8.3.13: 二次元拡大縮小流路

質量保存の方程式は円柱座標系の (8.1.13) 式から、流速：v (r, θ) とすると、/* 収束、発散する流路の中の二次元流 */kill(all);load("vector");dv (r, θ)v (r, θ) +=0
drr
上式を ode2 関数で解いて次式を得る。

load("dynamics");v (r, θ) =MAS1:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[\theta],%cr\theta,1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;

上式から流速：v (r, θ) を次式のように記述し、関数：F (θ)

OM1:\omega=(r*(’diff(v[\theta],r,1))を導入する。流速：v (r, θ) の最大値を vM AX とし、関+v[\theta]-’diff(v[r],\theta,1))/r;

数：FM AX についても下記のように定義する。

OMNV1:((’diff(\omega,\theta,1))*v[\theta])/r+(’diff(\omega,r,1))*v[r]+’diff(\omega,t,1)=(nu*(’diff(\omega,r,1)))/r+(nu*(’diff(\omega,\theta,2)))/r^2+nu*(’diff(\omega,r,2));
V1:[v[z]=0,v[\theta]=0,v[r]=v(r,\theta)];v (r, θ) =

F (θ)
,
r

vM AX =

FM AX
r

(8.3.46)

次式で定義される関数：f を導入する。ここで f は下記に示す η の関数とする。

F (θ)
,
FM AX

f=

subst(V1,MAS1);

F (θ) = f FM AX(8.3.47)

MAS2:ev(%,diff);

下記で定義されるレイノルズ数：R を導入する。これら

ode2(MAS2,v(r,\theta),r);の関係式は、

VR1:v(r,\theta)=F(\theta)/r;

depends(\eta,[\theta]);r vM AXνR, vM AX =
ν
r
νR
FM AX
=
, FM AX = ν Rrr

F1:f=F(\theta)/F[MAX];θ を α0 で無次元化し、下記の η を導入する。

VR11:v[MAX]=F[MAX]/r;
depends(f,[\eta]);F2:solve(F1,F(\theta))[1];R1:R=v[MAX]*r/\nu;
R2:solve(%,v[MAX])[1];
subst([R2],VR11);
F21:solve(%,F[MAX])[1];TH0:\theta/\alpha[0]=\eta;
1 G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、5.6 P.294 ＆ Dr Harmann Schlihting, Boundary Layer Theory 12) 、V.b.11 P.89

R=

θ
= η,
α0

η=

θ
,
α0

d
1
η=
dθ
α0

(8.3.48)(8.3.49)

渦度の (8.3.44) 式に (8.3.46) 式を代入し、dω = − dθd F(θ)dv (r, θ)F (θ)(8.3.50)= − dθ r = − dθ 2rrr

8.3. 流れ関数を使った厳密解375(

OMNV2:subst(V1,OMNV1);
subst([VR1,OM21],%);

d
dη f

(

expand(ev(%,diff)*r^4);
OMNV21:lhs(%)-rhs(%)=0;)2

で整理すると、

d
f
dη

)2

2 α02 f 3 FM AX
2 %c1 f
+
3ν
ν
2 %c2
+
− 4 α02 f 2ν=−subst([F2],OMNV21);ev(%,diff);(8.3.51)

subst([DTH1,’diff(eta,theta,2)=0,’diff(eta,theta,3)=0],%);

F3:(A*f^2+B*f+C);

OMNV22:expand(%*\alpha[0]^3/F[MAX]);

F30:(1-f)*F3;

OMNV3:\alpha[0]^2*f^2*F[MAX]+(’diff(f,\eta

F31:expand(%);,2))*\nu+4*\alpha[0]^2*f*\nu=%c1;

C3:-coeff(F31,f^3,1)=-coeff(rhs(OMNV41),

diff(%,\eta,1)-OMNV22;f^3,1);OMNV31:expand(OMNV3*’diff(f,eta,1));

C0:C=(2*%c2)/\nu;

OMNV4:\alpha[0]^2*f^3/3*F[MAX]+(’diff(f,coeff(F31,f^2,1)=coeff(rhs(OMNV41),f^2,1);\eta,1))^2/2*\nu+4*\alpha[0]^2*f^2/2*

subst([C3],%);\nu=%c1*f+%c2;

C2:solve(%,B)[1];diff(%,\eta,1)-OMNV31;

coeff(F31,f,1)=coeff(rhs(OMNV41),f,1);

OMNV41:expand(solve(OMNV4,(’diff(f,eta,1))

subst([C2,C0],%);^2)[1]);
渦度方程式：(8.3.45) 式に渦度：(8.3.50) 式を代入し、()
d2 F (θ)
F (θ)
dθ
( 3
)
(
)
d
d
= −ν
F
(θ)
−
4
ν
F
(θ)
d θ3
dθ

C1:solve(%,%c1)[1];
subst([C3,C2,C1,C0,F21],F3);
subst([%c2=%c2*\nu/2],%);
F32:expand(factor(%));
OMNV42:lhs(OMNV41)=(1-f)*(F32);
assume(’diff(f,eta,1)>0);
OMNV5:sqrt(OMNV42);
上式の境界条件として、壁面で vr = 0 であるから、η =上式の右辺項を左辺に集約し、(8.3.47) 式と (8.3.49) 式を代入し、f と η で記述しすると、
(
)
( 3 )
d
d
2
2 α0 f
f FM AX +
f ν
dη
d η3
(
)
d
2
+ 4 α0f ν=0dη

±1 で f = 0、最大流速点で ddθ vr = 0 であるから、f = 1
で ddη f = 0 であるから、(8.3.51) 式右辺は (1 − f ) の項を有している。以上から (8.3.51) 式右辺は下記のように表記できる。

()(1 − f ) C + f B + f 2 A
上式を展開し、(8.3.51) 式右辺と照合すると、次式を得る。

上式を積分し、(
α02 f 2 FM AX +

d2
f
d η2

)
ν + 4 α02 f ν = %c1)()( 2 )dddf νf FM AX +
f
dη
dη
d η2
(
)
(
)
d
d
+ 4 α02 f
f ν = %c1
f
dη
dη
(

α02 f 2

上式を積分し、

(
3

d
dη f

)2
ν

+ 2 α02 f 2 ν2= %c1 f + %c2+

2 α02 FM AX,
3ν

A − B = −4 α02 ,上式に ddη f を掛け、

α02 f 3 FM AX

A=

2 %c2
ν

2 α02 FM AX− B = −4 α02
3ν

2 α02 FM AX + 12 α02 ν,3ν
上式から、(8.3.51) 式右辺は、
B=

C=

B−C =

2 %c1
ν

2 α02 f 2 R 2 α02 f R++ 4 α02 f + %c233
以上から、(8.3.51) 式は、(()2d2 α02 f 2 R 2 α02 f R= (1 − f )
f
+
dη
3
3
)
+ 4 α02 f + %c2

第8章

376
以上から、

RK1:subst([R=800,\alpha[0]=%pi/30,%c2=0.0617, f=H],rhs(OMNV5));

d
f
dη
√
=

粘性流体

(
(1 − f ))2 α02 f 2 R 2 α02 f R++ 4 α02 f + %c2
3
3(8.3.52)

sol8:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sol8]);
plot2d([[discrete,sol1],[discrete,sol2],[discrete,sol3],[discrete,sol8]]);
RK1:subst([R=-10,\alpha[0]=%pi/30,%c2=4.01,

上式は楕円関数であるが、%c が与えられていないので解f=H],rhs(OMNV5));

けない。そこで Runge-Kutta 法で解く。(8.3.49) 式から、

sol4:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);η = −1 は壁面、η = 0 は流路中央を表し、η → 1 で解く。
解法の初期値として、壁面：η = −1 で流速零：f = 0 とし、解析結果の流路中央：η = 0 で ddθ vr = 0 → ddθ f = 0となるような %c を選択する。
Tmax:0;

plot2d([discrete,sol4]);
RK1:subst([R=-100,\alpha[0]=%pi/30,%c2=4.7,
f=H],rhs(OMNV5));
sol5:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sol5]);

Tmin:-1;

RK1:subst([R=-1000,\alpha[0]=%pi/30,

N:500;%c2=15.5, f=H],rhs(OMNV5));

dT:(Tmax-Tmin)/float(N);sol6:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);

RK1:subst([R=10,\alpha[0]=%pi/30,%c2=3.86,
f=H],rhs(OMNV5));

plot2d([discrete,sol6]);
RK1:subst([R=-5000,\alpha[0]=%pi/30,

sol1:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sol1]);
RK1:subst([R=100,\alpha[0]=%pi/30,%c2=3,
f=H],rhs(OMNV5));
sol2:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);%c2=73.05, f=H],rhs(OMNV5));
sol7:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sol7]);plot2d([[discrete,sol4],[discrete,sol5],[discrete,sol6],[discrete,sol7]]);plot2d([discrete,sol2]);
RK1:subst([R=500,\alpha[0]=%pi/30,%c2=0.75,
f=H],rhs(OMNV5));
sol3:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sol3]);

図 8.3.15: 二次元縮小流路流速分布π/30

図 8.3.14: 二次元拡大流路流速分布

流速α0 = π/30

流速変化

α0 =

8.3. 流れ関数を使った厳密解

377

RK1:subst([R=-100,\alpha[0]=%pi/20,

RK1:subst([R=100,\alpha[0]=%pi/20,%c2=2.1,%c2=6.01, f=H],rhs(OMNV5));f=H],rhs(OMNV5));

sol9:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);

solc:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sol9]);plot2d([discrete,solc]);

RK1:subst([R=-100,\alpha[0]=%pi/15,%c2=7.8,

RK1:subst([R=100,\alpha[0]=%pi/15,%c2=1.1,

f=H],rhs(OMNV5));f=H],rhs(OMNV5));

sola:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);

sold:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,sola]);plot2d([discrete,sold]);

RK1:subst([R=-100,\alpha[0]=%pi/10,

RK1:subst([R=100,\alpha[0]=%pi/10,%c2%c2=13.7, f=H],rhs(OMNV5));=0.000000001,f=H],rhs(OMNV5));

solb:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);sole:rk([RK1],[H],[0],[t,Tmin,Tmax,dT]);plot2d([discrete,solb]);

plot2d([discrete,sole]);plot2d([[discrete,sol5],[discrete,sol9],

plot2d([[discrete,sol2],[discrete,solc],[discrete,sola],[discrete,solb]]);[discrete,sold],[discrete,sole]]);assume(f>0,f-1<0);
subst([\alpha[0]=0],OMNV5);’integrate(1/rhs(%),f,0,f)=\eta+%c3;
ev(%,integrate);%*sqrt(%c2);
%-2;
%^2;
solve(%,f)[1];

図 8.3.16: 二次元縮小平面流路流速分布

角度変化

R=-100

図 8.3.17: 二次元拡大平面流路流速分布

R=100

角度変化

第8章

378

8.3.5

回転円盤による流れ

円盤が一定の角速度：ω で回転している周りの定常粘性流れについて調べる1 。ここで三次元円柱座標系：

r − θ − z の流速の各軸コンポーネントを vr , vθ , vz とする。流体の密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν とする。

粘性流体

θ 方向は、((())
vθ ddθ vθ
ddρvθ vz +
+
vθ
dz
r
dt
)
)
(
d
vr vθ
+ vr
vθ +
dr
r
(
d2
d
d2
d2
vθ
d θ 2 vθd r vθ
=µ
v
+
+
v
+
− 2
θ
θ
2
2
2
dz
r
dr
r
r
( d ))d2 d θ vr
dθ p
+
+
F
−
θ
r2
r
(8.3.55)

NAV2:matrix([\rho*((v[\theta]*(
図 8.3.18: 回転円盤による流れ’diff( v[\theta],\theta,1)))/r+’diff(v[\theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[\theta],r,1))+(v[\phi]*(’diff(v[\theta],\phi,1)))/(r*sin(\theta))/* 回転円盤による遠心流 */-(v[\phi]^2*cos(\theta))/(r*sin(\theta))

kill(all);+(v[r]*v[\theta])/r)],[\rho*((v[\phi]load("vector");*v[\theta]*cos(\theta))/(r*sin(\theta))load("dynamics");
MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta+(v[\phi]*(’diff(v[\phi],\phi,1)))/(r*sin(\theta))+((’diff(v[\phi],\theta,1)),1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;*v[\theta])/r+(v[\phi]*v[r])/r+(’diff(v
質量保存の方程式は (8.1.13) 式から

d
vz +
dz

d
d θ vθ

r

+

d
vr
vr +
=0
dr
r

[\phi],r,1))*v[r]+’diff(v[\phi],t,1))],[\rho*((v[\phi]*(’diff(v[r],\phi,1)))/(8.3.53)

Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式から r 方向は、
((
(d )
)
vr vθ
d
vθ2
ρ
vr vz −
+ dθ
dz
r
r
(
))
d
d
+
vr + vr
vr
dt
dr
(
)
(
d2
2 ddθ vθd2
d2
d θ 2 vr
=µ −
+
v
+
+
vr
r
r2
d z2
r2
d r2
)
d
vr
d
d r vr− 2 + Fr −
p
+
r
r
dr
(8.3.54)(r*sin(\theta))-v[\theta]^2/r+((’diff(v[r],\theta,1))*v[\theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1))-v[\phi]^2/r)])=matrix([mu*(’diff(v[\theta],\theta,2)/r^2+(cos(\theta)*(’diff(v[\theta],\theta,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[\theta],r,2)+(2*(’diff(v[\theta],r,1)))/r+’diff(v[\theta],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)-(v[\theta]*cos(\theta)^2)/(r^2*sin(\theta)^2)-(2*(’diff(v[\phi],\phi,1))*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta)^2)-v[\theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],\theta,1)))/r^2)+F[\theta]-’diff(p,\theta,1)/r],[mu*((2*cos(\theta)*(’diff(v[\theta],\phi,1)))/(r^2*sin(\theta)^2)+((’diff(v[\phi],\theta,1))*cos(\theta))/(r^2*sin(\theta))+(2*(’diff(v[r],\phi,1)))/(r^2*sin(\theta))+’diff(v[\phi],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)-v[\phi]/(r^2*sin(\theta)^2)+(2*(’diff(v[\phi],r,1)))/r+’diff(v[\phi],\theta,2)/r^2

Harmann Schlihting, Boundary Layer Theory 12) 、
V.b.10 Flow near a rotating disk、P.83
1 Dr+’diff(v[\phi],r,2))-’diff(p,\phi,1)/

8.3. 流れ関数を使った厳密解

379
質量保存の方程式：(8.3.53) 式に (8.3.57) 式、(8.3.58)(r*sin(\theta))+F[\phi]],[mu*(-(2*(式を代入し、’diff(v[\theta],\theta,1)))/r^2-(2*dd ( √ )h νω +fω =0(f ω r) +drdzv[\theta]*cos(\theta))/(r^2*sin(dd θ (g ω r)

\theta))+((’diff(v[r],\theta,1))*rcos(\theta))/(r^2*sin(\theta))-(2*(上式を整理して、+’diff(v[\phi],\phi,1)))/(r^2*sindh + 2f = 0dζ(\theta))+’diff(v[r],\phi,2)/(r^2*sin(\theta)^2)+’diff(v[r],\theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+(2*(’diff(v[r],r,1)))/r-(2*v[r])/r^2)+F[r]subst([VR1,VT1,VZ1,P1],NAV2);-’diff(p,r,1)]);ev(%,diff);
NAV3:radcan(subst([DZT1,F[r]=0,F[\theta]=0,

z 方向は、
( (

d
vz
dz

ρ vz

)
+

vθ

(d

d θ vzr(

F[z]=0,’diff(zeta,z,2)=0,\mu=\rho*\nu],)%));
NAV31:lhs(NAV3)[1][1]-rhs(NAV3)[1][1]=0;))ddvz + vr
vz
dt
dr
(
)
d2
d
2
v
v
d2
d
2
z
z
=µ
vz + d θ 2 +vz + d r
d z2
r
d r2
r
+

d
+ Fz −pdz

NAV32:lhs(NAV3)[2][1]-rhs(NAV3)[2][1]=0;
NAV33:lhs(NAV3)[3][1]-rhs(NAV3)[3][1]=0;
MAS3;NAV41:expand(NAV31/r/\omega^2/\rho);
NAV42:expand(NAV32/r/\omega^2/\rho);
NAV43:expand(NAV33/sqrt(\nu)/\omega^(3/2)(8.3.56)/\rho);
MAS5:solve(MAS3,f)[1];
subst([MAS5],NAV41);

depends(\zeta,[z]);NAV51:ev(%,diff);

depends(f,[\zeta]);depends(g,[\zeta]);subst([MAS5],NAV42);
NAV52:ev(%,diff);

depends(h,[\zeta]);Navier-Stokes の式：(8.3.54) 式、(8.3.55) 式、(8.3.56)

depends(P,[\zeta]);

式に (8.3.57) 式、(8.3.58) 式を代入し、
)
)
((
d
2
2
f h−g +f
ω2 r ρdζ( 2 )d−f ω2 r ρ = 0
d ζ2
((
)
)
( 2 )
d
d
2
g ω2 r ρ = 0
g h + 2f g ω rρ −
dζ
d ζ2
(
)
√
3
d
h
ν ω2 ρhdζ((( 2 )
))
√ √
d
d
− ν ω
h ωρ−ωρ
P
=0
d ζ2
dζ

VR1:v[r]=r*\omega*f;
VT1:v[\theta]=r*\omega*g;
VZ1:v[z]=sqrt(\nu*\omega)*h;P1:p=\rho*\nu*\omega*P;
ZT1:\zeta=z*sqrt(\omega/\nu);ZT2:solve(ZT1,z)[1];
DZT1:diff(ZT1,z,1);
subst([VR1,VT1,VZ1],MAS2);ev(%,diff);
MAS3:radcan(subst([DZT1],%)/\omega);
ここで vr , vθ , vz , p を下記のように定義し、f, g, h, Pは ζ の関数とする。また、外力項：Fr = Fθ = Fz = 0とする。

vr = f ω r, vθ = g ω r√
vz = h ν ω, p = ν ω ρ P
また ζ は下記のように定義する。
√
√
ω
d
ω
ζ
ζ=
z, z = √ ω ,
ζ=
ν
d
z
ν
ν

(8.3.57)(8.3.58)

上式を整理して、

dh + 2f = 0
dζ
(
)
d
d2
f + f2 = 0
f h − g2 −
dζ
d ζ2
(
)
d
d2
g + 2f g = 0
g h−
dζ
d ζ2
(
)
d
d
d2
h
+
h
P−
h
=0
dζ
d ζ2
dζ

(8.3.59)

第8章

380
上式に下記の関係を代入し、f を消去して、

f =−

d
dζ h

2

Runge-Kutta 法に適用できる式にまとめると、
(
)2
d
( 2 )
h
3
dζ
d
d
h=h
h −
+ 2 g2
d ζ3
d ζ2
2
)
(
)
(
d2
d
d
g
h
−
g
h
g
=
d ζ2
dζ
dζ

粘性流体

listF:[[sol[1][1],-sol[1][4]/2]];
for J:2 thru N do(listF:append(listF,[[sol[J][1],-sol[J][4]/2]]));
plot2d([[discrete,listF],[discrete,listG],[discrete,listH]],[x,0,10],[y,-1.0,1.0]);
上式を Runge-Kutta 法で解く。境界条件として、

z = 0 では、vr = 0, vθ = r ω, vz = 0 で、これに対応して ζ = 0 では、f = 0, h = 0, g = 1, P = 0 である。また、z → ∞ では、vr = 0, vθ = 0 で、これに対応して[1]);

ζ → ∞ では、f = 0, g = 0 である。初期条件として、上記の ζ = 0 の境界条件を与え、ζ → ∞ の境界条件をRK2:solve(NAV52,’diff(g,zeta,2))[1];

満足するように ddζ 2 h と ddζ g の初期値を選ぶ。

RK1:expand(solve(NAV51,’diff(h,zeta,3))2

DH1:’diff(h,zeta,1)=h1;
DH11:’diff(h,zeta,2)=h2;
DH2:’diff(h1,zeta,1)=h2;’diff(h,zeta,3)=h3;’diff(h2,zeta,1)=h3;
DG1:’diff(g,zeta,1)=g1;
RK11:subst([DH1,DH11,DH2,G1],RK1);
RK21:subst([DH1,DH2,DG1],RK2);
DH1;
DH2;
DG1;
RK3:solve(MAS5,f)[1];RK4:solve(NAV43,’diff(P,zeta,1))[1];Tmax:50;
Tmin:0;
N:1000;dT:(Tmax-Tmin)/float(N);sol:rk([H*H2-H1^2/2+2*G^2,G1*H-G*H1,H2,H1,
G1],[H2,G1,H1,H,G],[-1.020465,-0.615922,0,0,1],[t,Tmin,Tmax,
dT]);
listH:[[sol[1][1],sol[1][5]]];for J:2 thru N do(listH:append(listH,[[sol[J][1],sol[J][5]]]));
listG:[[sol[1][1],sol[1][6]]];for J:2 thru N do(listG:append(listG,[[sol[J][1],sol[J][6]]]));
listddF:[[sol[1][1],sol[1][4]]];for J:2 thru N do(listddF:append(listddF,[[sol[J][1],sol[J][4]]]));
plot2d([[discrete,listH],[discrete,listG],[discrete,listddF]],[x,0,10],[y,-1,1]);
plot2d([[discrete,listH],[discrete,listG],[discrete,listddF]],[x,0,50],[y,-0.0001,0.0001]);

listFG:[[-sol[1][4]/2,sol[1][6]]];for J:2 thru N do(listFG:append(listFG,[[-sol[J][4]/2,sol[J][6]]]));
plot2d([[discrete,listFG],[discrete,[[0,0],[-sol[6][4]/2,
sol[6][6]]]],[discrete,[[0,0],[-sol[11][4]/2,
sol[11][6]]]],[discrete,[[0,0],[-sol[16][4]/2,sol[16][6]]]],[discrete,[[0,0],[-sol[21][4]/2,
sol[21][6]]]],[discrete,[[0,0],[-sol[26][4]/2,sol[26][6]]]]],[x,0,1],[y,0,1]);,[discrete,[[0,0],[-sol[21][4]/2,
sol[21][6]]]]
DVR1Z:’diff(lhs(VR1),z,1)=diff(rhs(VR1),z,1);
DVT1Z:’diff(lhs(VT1),z,1)=diff(rhs(VT1),z,1);tan(\phi[0])=-(’diff(v[r],z,1))/(’diff(v[theta],z,1));
subst([DVR1Z,DVT1Z],%);\phi[0]=-float(180/%pi*atan(-sol[1][2]/2/sol[1][3]));
VR1/r/\omega;
VT1/r/\omega;
listH2:[[sol[1][1],sol[1][2]]];for J:2 thru N do(listH2:append(listH2,[[sol[J][1],sol[J][2]]]));
listG1:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listG1:append(listG1,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
listS:[[sol[1][1],180/%pi/100*atan(-sol[1][2]/2/sol[1][3])]];

8.3. 流れ関数を使った厳密解

381

for J:2 thru N/2 do(listS:append(listS,[[sol[J][1],180/%pi/100*atan(

subst([\zeta=5.4],ZT1);-sol[J][2]/2/sol[J][3])]]));

solve(%,z)[1];

plot2d([[discrete,listH2],

float(subst([z=\delta],%));[discrete,listG1],[discrete,listS]],

SG1:\sigma=\mu*’diff(v[\theta],z,1);[x,0,5],[y,-1.0,1.0]);f, g, h の結果、即ち流速を下記に示す。ここで、
vr
= f,
ωr

vθ
=g
ωr

subst([VT1],%);
ev(%,diff);
subst([DZT1],%);
subst([’diff(g,zeta,1)=0.615921,\mu=\nu*\rho],%);
SG2:float(radcan(%));
M=’integrate(rhs(SG2)*2*%pi*r^2,r,0,R);
ev(%,integrate);
M=0.308*%pi*sqrt(nu)*omega^(3/2)*rho*R^4;
dQ=2*%pi*R*v[r]*dz;
subst([VR1,r=R],%);
DQ1:dQ=rhs(%)/dz/rhs(DZT1);
Q1:0;
for J:2 thru N do(Q1:Q1-(sol[J-1][4]/2+sol[J][4]/2)/2*dT);Q1;

図 8.3.19: 回転円盤による流れ

Q=0.442*radcan(rhs(DQ1)/f);
円盤の接線応力：τθz は (8.1.14) 式から、(
( d ))dv+
rz
d z vθ
τθz = µ d θr

円盤表面の流向：ϕ0 は、剪断応力の方向から得られ、 軸対称から d v = 0 と (8.3.57) 式から、
dθ z
d
)
(
)
(
d
vr
dζ f
d
d
tan (ϕ0 ) = − ddz=− dvθ = µ(g ω r)τθz =µdz
dz
d z vθ
dζ g
√
(
)
d
ω
d
d
=
g µω
r
d ζ f, d ζ g の初期値から、dζνϕ0 = 39.6◦

dd ζ g の初期値から、

τθz = 0.61592100134263√

3

ν ω2 rρ

円盤半径：R の片面に作用するモーメント：M は、∫ R
M =2 πτθz r2 dr0=2 × 0.6159 π ρ
M =0.308 π

√

√

νω

3
2

∫ R
r3 dr
0

3

ν ω 2 ρ R4

半径：R において外に出て行く流量：Q は、高さ：dz
間で、

dQ = 2 π dz vr R = 2 π dz f ω R2 =2 π f ω R2√ωdζν

計算結果の f を数値積分すると、0.44212872822251 が得られ、
図 8.3.20: 回転円盤による流向Q = 0.884 π√ √ν ω R2

第8章

382

8.4

レイノルズ数の小さい流れ

8.4.1

潤滑の理論

二つの壁の間に流体の薄い層があるとき、お互いに容易に滑ることが出来る。また、ある条件では壁間の流体+F[theta]-’diff(p,theta,1)/r],[mu*(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)+F[z]-’diff(p,z,1)]);二次元の質量保存の方程式は (8.1.2) 式から、層に高い圧力が生じる。狭い間隔で二枚の壁があり、x

d
d
v+
u=0
dy
dx

軸上にある下の壁は一定速度：U で x 方向に移動し、上の壁は静止しているとする。上の静止壁は長さ：L、溝の幅:h とし、x = 0 で溝の幅：h1 、x = L で溝の幅：h2 、溝の勾配：α とする。二次元座標軸の各速度コンポーネントを u, v 、外力：X 、とし、圧力：p、密度：ρ、粘性
係数：µ とする。

粘性流体

x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
)
d
d
d
ρ
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
( 2
)
2
d
d
d
=X +µ
p
u+
u −
d y2
d x2
dx
lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y),p=p(x)],%);
NAV3:ev(%,diff);
UY1:ode2(NAV3,u(y),y);UY11:subst([u(y)=U,y=0],UY1);
UY12:subst([u(y)=0,y=h],UY1);
solve([UY11,UY12],[%k1,%k2])[1];

図 8.4.1: 潤滑の理論

UY2:factor((subst([%],UY1)));
X = 0 で、間隔が狭いため v = 0 とし、u は y 方向のみ
変化するとして、u = u(y) となる。これを上式に代入/* 潤滑 */
kill(all);
MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta

し、定常状態を求めるので、時間変化はなく、ddd x u(y) = 0, d t u(y) = 0 であるから、(

0=µ,1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;
NAV2:matrix([rho*((’diff(v[r],z,1))*v[z]-v[theta]^2/r+((’diff(v[r],theta,1))*v[theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1)))],[rho*((’diff(v[theta],z,1))*v[z]+(v[theta]*(’diff(v[theta],theta,1)))/r+’diff(v[theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[theta],r,1))

上式を ode2 関数で解いて、( d) 2d x p (x) yu (y) =
+ %k2 y + %k1
2µtheta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(’diff(v[z],r,1)))])=matrix([mu*(-(2*((8.4.1)

境界条件として、y = 0 で u(y) = U 、y = h で u(y) = 0とすると、%k1, %k2 は、[%k1 = U,+(v[r]*v[theta])/r)],[rho*(v[z]*(’diff(v[z],z,1))+(v[theta]*(’diff(v[z],)d2du (y) −
p (x)
d y2
dx

(
)
2 µ U + h2 ddx p (x)%k2 = −]2hµ

上式を (8.4.1) 式に代入し、壁間の流速分布は、) )(((y − h) 2 µ U − h ddx p (x) y(8.4.2)u (y) = −2hµ’diff(v[theta],theta,1)))/r^2+’diff(v[r],z,2)+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+’diff(v[r],r,1)/r-v[r]/r^2)+F[r]-’diff(p,r,1)],[mu*(’diff(v[theta],z,2)+’diff(v[theta],
theta,2)/r^2+’diff(v[theta],r,2)+’diff(v[theta],r,1)/r-v[theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)

Q1:Q=’integrate(u(y),y,0,h);subst([UY2],%);
Q2:expand(ev(%,integrate));assume(L>0);
assume(h[1]>0);
assume(h[2]>0);
assume(\alpha>0);
assume(x>0);
PX1:expand(solve(Q2,’diff(p(x),x,1))[1]);8.4. レイノルズ数の小さい流れ383
上式の関係を (8.4.5) 式に代入し、p = p2 として、整理すると、

H1:h=h[1]+\alpha*x;
PX11:subst([H1],PX1);

p2 − p1 =PX2:p=integrate(rhs(PX11),x,0,x)+%c1;

6 (h2 − h1 ) µ (h1 h2 U − h2 Q − h1 Q)
h21 h22 α

PX21:p[1]=factor(subst([x=0],rhs(PX2)));

上の壁は流体の中に浸されており、壁間の両端の圧力はPX22:p-p[1]=rhs(PX2)-%c1;

近似的に等しく、p2 = p1 である。このとき、下記の関H2:h[2]=h[1]+\alpha*x;

係が成り立ち、H21:solve(%,x)[1];
6 (h2 − h1 ) µ (h1 h2 U − h2 Q − h1 Q) = 0

p{2]-p[1]=subst([H21],rhs(PX22));
PX3:factor(%);
QU1:num(rhs(PX3))=0;
Q3:solve(%,Q)[1];
流速：u(y) を y 軸方向に積分し、流量：Q を求める。
(8.4.2) 式を次式に代入し、積分を実行し、∫ hQ=u (y) dy
0

1
=−
2hµ

Q=

h1 h2 Uh2 + h1(8.4.7)

PX3:factor(subst([Q3],PX22));
P=integrate(rhs(PX3),x,0,x);∫ h

PX31:%/6/U*\alpha^2/\mu;(y − h)factor(subst([H21],%));) )(dp (x) y dy
2µU − hdx
( d)3
h d x p (x)
hU
=
−
2
12 µ
(

上式から流量：Q を求めると、

0(8.4.3)×PX32:partfrac(%,log(h[2]));
PX32N:num(rhs(PX32));
PX32D:denom(rhs(PX32));
PX32N1:first(PX32N);
PX32N2:first(PX32N-PX32N1);

上式の ddx p (x) を求めると、

PX32N3:PX32N-PX32N1-PX32N2;

d
6µU
12 µ Qp (x) =−
dxh2
h3

PX32N11:factor(PX32N1/PX32D);
PX32N21:factor(PX32N2/PX32D);
PX32N31:factor(PX32N3/PX32D);

壁の間隔は下記のように表現でき、

PX32N11+PX32N21;h = α x + h1

factor(%);

上式を代入し、PX331:logcontract(%);

6µU12 µ Qdp (x) =2 −3dx
(α x + h1 )(α x + h1 )(8.4.4)

上式を積分すると、∫ xdp=p (x) dxdx0
(6 α µ x + 6 h1 µ) U − 6 µ Q=−
α3 x2 + 2 h1 α2 x + h21 α
6 h1 µ U − 6 µ Q
+
+ %c1
h21 α

6 µ x (α x − h2 + h1 ) U
2(h2 + h1 ) (α x + h1 )上式を積分して、流体から受ける全垂直力、即ち壁のになう荷重：P を求めると、∫ x
P =p − p1 dx∫0 x
6 µ x (α x − h2 + h1 ) U=
2 dx(h2 + h1 ) (α x + h1 )0

p1 = %c1

上式の積分を実行して、(8.4.6) 式を代入して、x = 0 →この関係を上式に代入し、L 間の荷重：P は、

6 h1 µ U − 6 µ Q
p − p1 =h21 α(6 α µ x + 6 h1 µ) U − 6 µ Q−
α3 x2 + 2 h1 α2 x + h21 α(8.4.5)x = L では、h = h2 の下記の関係があるから、
x=

PX4:%*\mu*U*6/\alpha^2;
Q の関係式：(8.4.7) 式を (8.4.5) 式に代入し、
p − p1 =x = 0 で p = p1 とすると、%c1 は下記となる。

h2 = α x + h1 ,lhs(PX31)=PX331+PX32N31;

h2 − h1
α(8.4.6)α2 P
h2 log (h2 ) h1 log (h2 ) h2 log (h1 )
=−
−
+
6µU
h2 + h1
h2 + h1
h2 + h12 h2
2 h1
h1 log (h1 )
+
−
+
h +h
h2 + h1
h2 + h1(2 ) 1h1
2 (h2 − h1 )
=log
+
h2
h2 + h1

第8章

384
上式から、壁のになう荷重：P は、( ( ))2 −h1 )
6 log hh12 + 2 (hµU
h2 +h1P =2
α(8.4.8)diff(UY2,y,1);
lhs(%)=subst([y=0],rhs(%));\tau=\mu*rhs(%);
factor(subst([PX1,H1],%));

粘性流体

抗:W は、∫ x∫ x
du (y) dx
W =
τ dx =µ
dy0
0
4 h1 µ log (α x + h1 ) U=−
α2 x + h1 α
4 µ x log (α x + h1 ) U
4 log (h1 ) µ U−+
α x + h1
α
6µQ
6µQ
− 2
+
α x + h1 α
h1 α

expand(%);
上式に Q の関係式：(8.4.7) 式を代入し、更に (8.4.6) 式

WX3:W=integrate(rhs(%),x,0,x);
subst([Q3,H21],%)/\mu/U*\alpha/4;を代入し、x = 0 → L 間の下の面に作用する抵抗:W

WX31:factor(%);

は、

WX32:partfrac(%,log(h[2]));αW
2 h2 log (h2 ) 2 h1 log (h2 )=−−4µU
2 h2 + 2 h1
2 h2 + 2 h1
2 h2 log (h1 ) 2 h1 log (h1 )++2 h2 + 2 h1
2 h2 + 2 h1
3 h2
3 h1
+
−
2 h2 + 2 h1
2 h2 + 2 h1
( )h1
3 (h2 − h1 )
=log
+
h2
2 (h2 + h1 )WX32N:num(rhs(WX32));
WX32D:denom(rhs(WX32));
WX32N1:first(WX32N);
WX32N2:first(WX32N-WX32N1);
WX32N3:WX32N-WX32N1-WX32N2;
WX32N11:factor(WX32N1/WX32D);
WX32N21:factor(WX32N2/WX32D);

上式から、下の面に作用する抵抗:W は、
( ( )
)
4 µU
h1
3 (h2 − h1 )
W =
log
+
α
h2
2 (h2 + h1 )WX32N31:factor(WX32N3/WX32D);
WX32N11+WX32N21;
factor(%);(8.4.9)WX331:logcontract(%);
lhs(WX31)=WX331+WX32N31;
H3:k=h[1]/h[2];WX4:%*4*\mu*U/\alpha;下の平面が流体から受ける剪断力：τ は、τ = µ ddy u で

H31:h[2]=subst([x=L],rhs(H1));ある。そこで、流速：u(y) を y で微分して、( d)dd x p (x) (y − h)u (y) =dy
2µ()
2 µ U − h ddx p (x) y−2hµH32:solve([H3,H31],[h[1],h[2]])[1];

上式で、下の平面では y = 0 であるから、上式にこれをPX52N:num(rhs(PX5));

代入し、PX52D:denom(rhs(PX5));hdUu (y) = − −
dy
h

( d

d x p (x))

2µsolve(H31,\alpha)[1];
H33:factor(subst([h[1]=k*h[2]],%));
subst([H32],PX4);%/6/\mu/U*\alpha^2;
PX5:partfrac(%,log(k));

PX52N1:first(PX52N);
PX52N2:PX52N-PX52N1;
PX51:lhs(PX5)=PX52N1/PX52D+factor(PX52N2

上式から、下の平面が流体から受ける剪断力：τ は、次/PX52D);式となり、(8.4.4) 式を代入し、(())
h ddx p (x)dUτ =µu (y) = µ − −dyh2µPX52:%*6*\mu*U/\alpha^2;=−2 µ (2 α x U + 2 h1 U − 3 Q)
(α x + h1 )2

上式を積分して、x = 0 → L 間の下の面に作用する抵

PXK1:subst([H33],%);PXK11:%/6/\mu/L^2/U*h[2]^2;
PXK12:diff(rhs(PXK11),k,1);
subst([k=t],%);
K1:k=find_root(%,t,2.0,2.5);
K11:[[rhs(K1),-0.01],[rhs(K1),0.04]];
subst([K1],PXK1);
plot2d([rhs(PXK11),[discrete,K11]],[k,0.5,10],[y,-0.05,0.05],[x,0,3]);

8.4. レイノルズ数の小さい流れ

385
壁のになう荷重：P が最大となる条件は、上式を Maxima の find-root 関数を使って数値解析で k を求めると、次に示す k を導入する。

k=

h1
h2

k = 2.18870479637006 ≈ 2.2

h1 , h2 を k で表すと、次式と上式の k の定義式から、上式を (8.4.10) 式に代入し、その平面のになう最大荷

h2 = α L + h1
[h1 = −

重：P は、

αkL
αL, h2 = −]k−1
k−1

上式を (8.4.8) 式に代入し、
)
(
αL
kL
− k−1
2 αk−1
α2 P=+ log (k)kLαL6µU
− αk−1− k−1

P =0.16024314133842 µ L2 U
0.16 µ L2 U
≈
2
h2
h22

平面のになう荷重：P の k に対する特性を下図に示す。
下図から、k = h1 /h2 > 1 で P > 0 となり、k ≈ 2.2 で最大荷重となっている。

(k + 1) log (k) − 2 k + 2
k+1
2 (k − 1)=log (k) −
k+1
=

上式から、

P =

(
)
6 log (k) − 2 (k−1)
µU
k+1
α2

ここで、α も下記のように k の関数であるから、

α=h2 − h1,Lα=−h2 (k − 1)
L

上式を代入し、P は k の関数で表現できた。
()
6 log (k) − 2 (k−1)µ L2 U
k+1
P =(8.4.10)2h22 (k − 1)次式のように変換し、2 (k−1)log (k) − k+1
h22 P
=
2
2
6µL U
(k − 1)

最大点を求めるため、右辺を微分して、零とおき、
(k−1)
2
1
− k+1
+ 2(k+1)
2 + k
h22
d
P
=
2
6 µ L2 U d k(k − 1))(
2 log (k) − 2 (k−1)
k+1
=0
−
3
(k − 1)

図 8.4.2: 平面のになう荷重：P の k に対する特性

第8章

386

8.4.2

三次元軸対称の Stokes 流れ

粘性流体

流れ関数：Ψ を導入する。三次元極座標では、6.1.3 流

流速の遅い流れの三次元軸対称物体まわりの流れについて調べる。流速が非常に遅いため、方程式の慣性項が無視できるものとする。座標系として θ − ϕ − r の三次
元極座標を用い z 軸対称とする。軸対称であるため、各れ関数の極座標・円柱座標表示

軸対称の極座標表記(6.1.20) 式から下記となる。
vr =

d
dθ Ψ

r2 sin (θ),

vθ = −ddr Ψr sin (θ)(8.4.14)速度コンポーネントを vθ , vr 、渦度のコンポーネントは

ωϕ のみである。圧力：p、密度：ρ、粘性係数：µ とする。

kill(all);load("vect")depends(\Psi,[r,\theta]);depends(f,[r]);depends(g,[r]);depends(p,[r,\theta]);
WP1:omega[phi]=’diff(v[theta],r,1)+v[theta]/r-’diff(v[r],theta,1)/r;
OMP2:((’diff(omega[phi],theta,1))*cos(theta))/(r^2*sin(theta))-omega[phi]/(r^2*sin(theta)^2)+(2*(’diff(omega[phi],r,1)))/r+’diff(omega[phi],theta,2)/r^2+’diff(omega[phi],r,2)=0;
NV1:matrix([mu*(’diff(v[theta],theta,2)/r^2+(cos(theta)*(’diff(v[theta],theta,1

図 8.4.3: 三次元軸対称の Stokes 流れ)))/(r^2*sin(theta))+’diff(v[theta],r,2)+(2*(’diff(v[theta],r,1)))/r-(v[theta]*
軸対称の三次元極座標における渦度と流速の関係は、

cos(theta)^2)/(r^2*sin(theta)^2)-v[theta](8.1.55) 式から、vϕ = 0、ωθ = 0, ωr = 0、ϕ による微/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)-’diff

分を零として、次式が得られる。

(p,theta,1)/r],[0],[mu*(-(2*(’diff(

d
vθ
vθ +
−
dr
r

d
d θ vrv[theta],theta,1)))/r^2-(2*v[theta]*cos((8.4.11)

theta))/(r^2*sin(theta))+((’diff(v[r],三次元極座標における渦度方程式は、(8.1.54) 式で、流theta,1))*cos(theta))/(r^2*sin(theta))

速が非常に遅いため、方程式の慣性項が無視できるもの+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)

として、左辺を零とし、軸対称から、ωθ = 0, ωr = 0、+(2*(’diff(v[r],r,1)))/r-(2*v[r])/r^2)

ωϕ =

r

ϕ による微分を零として、次式が得られる。
(d))(
2 ddr ωϕωϕd θ ωϕ cos (θ)−
2 +r2 sin (θ)
rr2 sin (θ)
d2d2d θ 2 ωϕ+ωϕ = 0+r2
d r2-’diff(p,r,1)])=0;
VR1:v[r]=diff(\Psi,\theta,1)/r^2/sin(\theta);(8.4.12)

VT1:v[\theta]=-diff(\Psi,r,1)/r/sin(\theta);
subst([VR1,VT1],WP1);

三次元極座標における Navier-Stokes の式は (8.1.21) 式

ev(%,diff);で、流速が非常に遅いため、方程式の慣性項が無視でWP11:factor(%);

きるものとして、左辺を零とし、軸対称から vϕ = 0、

ωθ = 0, ωr = 0、ϕ による微分を零として、次式が得ら
れる。

( d2


µ

v
d θ2 θr2+22
cos(θ) ( ddθ vθ )2 ( d vθ )2 ( d vr )+ ddr2 vθ + d rr
− vrθ2 cos(θ)− vrθ2 + drθ2
r 2 sin(θ)
sin(θ)2)d− d θr

p








=0
0
 (

)


d2
d
d
d
2
v
2 ( d r vr )2 ( d θ vθ )( d θ vr ) cos(θ)
2 vθ cos(θ)
2 vrddd θ2 rµ − r2− r2 sin(θ) + r2 sin(θ) + r2 + d r2 vr +− r2 − d r p
r(8.4.13)

8.4. レイノルズ数の小さい流れ

387

渦度と流速の関係式：(8.4.11) 式に (8.4.14) 式を代入
し、(
ωϕ = −)

d2
d r2 Ψ

r2 sin (θ) +(d2
d θ2 Ψ

)sin (θ) −

(d

dθ Ψ

)

cos (θ)2

r3 sin (θ)(8.4.15)
上式から、

PS1:\Psi=U*f*sin(\theta)^2;(

subst([PS1],VR1);VR2:ev(%,diff);
subst([PS1],VT1);

d2
g
d r2

)
r2 − 2 g = 0

上式を ode2 関数で解いて、

VT2:ev(%,diff);
subst([PS1],WP11);

g = %k2 r2 −ev(%,diff);%k1
3r

上式を (8.4.19) 式に代入し、WP2:factor(%);
G1:g=(’diff(f,r,2))-2*f/r^2;−%k2 r2 +G11:solve(%,’diff(f,r,2))[1];
WP21:subst([G11],WP2);%k1 2 f
d2
− 2 +
f =0
3r
r
d r2

上式を ode2 関数で解いて、subst([WP21],OMP2);ev(%,diff);f=trigsimp(%);

3 %k2 r4 + 5 %k1 r%k1+ %k2 r2 −30
9r

上式を一般的な形に書き換えて、

G2:(’diff(g,r,2))*r^2-2*g=0;
G21:ode2(G2,g,r);f=

rhs(G1)-lhs(G1)=0;

D+ r C + r2 B + r4 A
r

(8.4.21)subst([G21],%);
F2:ode2(%,f,r);PS2:\Psi=C*r*sin(\theta)^2;

F21:f=A*r^4+B*r^2+C*r+D/r;

subst([PS2],VR1);

流れ関数：Ψ を次式のように変数分離型とし、f は r

VR3:ev(%,diff);
subst([PS2],VT1);の関数とする。
2

Ψ = f sin (θ) U(8.4.16)

subst([VR3,VT3],NV1);

上式を (8.4.14) 式に代入し、

vr =

(d

2 f cos (θ) U,
r2vθ = − d r

NV2:factor(ev(%,diff));)

f sin (θ) Ur(8.4.17)

上式を渦度と流速の関係式：(8.4.15) 式に代入し、(( 2 )
)
d
2
f
r
−
2
f
sin (θ) U2
dr(8.4.18)
ωϕ = −
3r

NV31:lhs(NV2)[1][1]=0;
NV32:lhs(NV2)[3][1]=0;
solve(NV31,’diff(p,\theta,1))[1];P11:ode2(%,p,\theta);
P3:p=rhs(%)-%c;
solve(NV32,’diff(p,r,1))[1];ode2(%,p,r);g を下記のように置き、
2g=VT3:ev(%,diff);

d
2f
f− 2
d r2
r

(8.4.19)

渦度と流速の関係式：(8.4.18) 式は、

g sin (θ) U
ωϕ = −
re[rr]=2*’diff(v[r],r,1);
subst([VR3,VT3],%);
ev(%,diff);
ERR1:factor(%);
e[tt]=2*(1/r*’diff(v[\theta],\theta,1)(8.4.20)

上式を渦度方程式：(8.4.12) 式に代入し、整理すると、)(( 2 )
d
2
g
r
−
2
g
sin (θ) U
2
dr
=0
−
r3

+v[r]/r);
subst([VR3,VT3],%);
ev(%,diff);
EPP1:factor(%);
e[pp]=2*(v[r]/r+v[\theta]/r*cot(\theta));subst([VR3,VT3],%);

第8章

388

粘性流体

変形速度マトリックスの各項は、(8.1.20) 式から、(

ev(%,diff);
EPP1:trigsimp(%);

err = 2e[tp]=0;(e[pr]=0;e[rt]=r*’diff(v[\theta]/r,r,1)+1/r*’diff(

ett = 2(v[r],\theta,1);
epp = 2

subst([VR3,VT3],%);

d
vr
dr

d
d θ vθ

r

)
=−

vr
+
r

)

vθ cot (θ) vr+rrev(%,diff);

4 cos (θ) Cr2
2 cos (θ) C
r2

=
)

=

2 cos (θ) C
r2

etp = 0

PRR1:p[rr](\theta)=-rhs(P3)+\mu*rhs(ERR1);
DD1:dD=p[rr](\theta)*cos(\theta)*dS;
D=’integrate(rhs(DD1)/dS*2*%pi*r*sin((
ert = r\theta)*r,\theta,0,%pi);

物体表面に作用する力 prr (θ) は、

subst([PRR1],%);
ev(%,integrate);
次に、抗力成分を求める。上式で、r4 A の項は無限遠で発散するので、軸対称物体では不適切で、A = 0 とする。r2 B の項は、下記の流れ関数：Ψ から 6.1.6 一様な流れ

epr = 0
)
d
vr
d vθ
+ dθ
=0
dr r
r

(6.1.37) 式 188 頁から一様流を表している。

prr (θ) = −p + µ err = −6 µ cos (θ) Cr2

物体表面の dS に作用する抗力成分 dD は、

dD = prr (θ) cos (θ) dS2

Ψ = r2 sin (θ) B

上式を積分して、r の関数でなくなっている。
∫ π
vr = 2 cos (θ) B, vθ = −2 sin (θ) BD=
2 π r2 prr (θ) cos (θ) sin (θ) dθ0D∫ πr の項は、下記の流れ関数：Ψ から 6.1.9 二重わき出し
2(8.4.25)= − 12 π µcos (θ) sin (θ) dθ C
(6.1.45) 式 191 頁」から二重わき出しを表している。
02= − 8πµC

sin (θ) DΨ=r
一様流や二重わき出しは渦無し流れであって、抗力は発生しない。次に下記の r C について調べる。流れ関数：

Ψ は下記となる。
2

Ψ = r sin (θ) C
上式を (8.4.14) 式に代入し、流速は、
(
)
2
d
r
sin
(θ)
C
dθ
2 cos (θ) Cvr ==r2 sin (θ)
r
(
)
2
d
r sin (θ) C
drsin (θ) Cvθ = −=−
r sin (θ)
r

(8.4.22)(8.4.23)

上式を (8.4.13) 式に代入し、

2 µ sin(θ) C+( ddθ p) r 2
−
r3



=0
0


3
d
4 µ cos(θ) C+( d r p) r
−
r3
上式から、

d
2 µ sin (θ) C
,
p=−
dθ
r2

d
4 µ cos (θ) C
p=−
dr
r3

上式を ode2 関数で解いて、圧力は、

p − p∞ =2 µ cos (θ) C
r2(8.4.24)

上式は r の関数でなく、一定値となっている。

8.4. レイノルズ数の小さい流れ

遅い一様流の中にある球のまわりの流
れ

8.4.3

389

VT1:v[\theta]=-diff(\Psi,r,1)/r/sin(\theta);

流速：U の遅い一様流の中にある半径：a の球のまわ

TA0:\tau=-\mu*(r*’diff(v[\theta]/r,r,1)

りの流れとその抗力について調べる1 。流速が非常に遅+’diff(v[r],\theta,1)/r);

いため、方程式の慣性項を無視できるものとする。座標

subst([PS1,F21],VR1);

系として θ − ϕ − r の三次元極座標を用い z 軸対称とす

VR21:ev(%,diff);る。軸対称であるため、各速度コンポーネントは vθ , vr

subst([PS1,F21],VT1);のみである。圧力：p、密度：ρ、粘性係数：µ とする。

VT21:ev(%,diff);
三次元軸対称の流速の遅い Stokes 流れでは、流れ関数：
Ψ は、(8.4.16) 式と (8.4.21) 式から次式となる。
Ψ =f sin (θ)

2

ここで、f =

D
+ r C + r2 B + r4 A
r

(8.4.26)

流れ関数と流速の関係は (8.4.14) 式から、

vr =

図 8.4.4: 遅い一様流中の球まわりの流れddθ Ψr2 sin (θ),

vθ = −ddr Ψr sin (θ)

上式に (8.4.26) 式を代入し、流速は、)(
242 cos (θ) D
r +rC +r B +r A
vr =
2
( D r
)
sin (θ) − r2 + C + 2 r B + 4 r3 Avθ = −
r(8.4.27)/* Stokes の流れ 球まわり */kill(all);rhs(VR21)=U*cos(\theta);load("vect")rhs(VT21)=-U*sin(\theta);

depends(\Psi,[r,\theta]);

expand(%/U/sin(\theta));depends(f,[r]);A1:A=0;depends(g,[r]);B1:B=1/2*U;

depends(p,[r,\theta]);subst([r=a,A1,B1],rhs(VR21))=0;

NV1:matrix([mu*(’diff(v[theta],theta,2)

VR22:(a^2*U)/2+D/a+a*C=0;/r^2+(cos(theta)*(’diff(v[theta],theta,1

subst([r=a,A1,B1],rhs(VT21))=0;)))/(r^2*sin(theta))+’diff(v[theta],r,2)

VT22:a*U-D/a^2+C=0;+(2*(’diff(v[theta],r,1)))/r-(v[theta]*

CD1:solve([VR22,VT22],[C,D])[1];cos(theta)^2)/(r^2*sin(theta)^2)-v[theta]

C1:CD1[1];/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)-’diff

D1:CD1[2];(p,theta,1)/r],[0],[mu*(-(2*(’diff(

F3:subst([A1,B1,C1,D1],F21);v[theta],theta,1)))/r^2-(2*v[theta]*cos(

PS3:subst([F3],PS1);

theta))/(r^2*sin(theta))+((’diff(v[r],VR3:factor(subst([A1,B1,C1,D1],VR21));

theta,1))*cos(theta))/(r^2*sin(theta))+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)

VT3:factor(subst([A1,B1,C1,D1],VT21));境界条件として、r → ∞ で一様流：vr = cos (θ) U 、+(2*(’diff(v[r],r,1)))/r-(2*v[r])/r^2)vθ = −sin (θ) U とし、r = a で vr = vθ = 0 である。

-’diff(p,r,1)])=0;(8.4.27) 式に vr = cos (θ) U 、vθ = −sin (θ) U を代入

PS1:\Psi=f*sin(\theta)^2;
F21:f=D/r+r*C+r^2*B+r^4*A;
VR1:v[r]=diff(\Psi,\theta,1)/r^2/sin(\theta);
1 今井

功：流体力学（前編） 19) , P.318

expand(%/U/cos(\theta));

し、次式を得る。ここで r → ∞ としたとき、()
24
2 cos (θ) D
r +rC +r B +r A
= cos (θ) U
r2()
sin (θ) − rD2 + C + 2 r B + 4 r3 A−
= −sin (θ) U
r

第8章

390
A の項は発散するので A = 0 とし、結果として、A = 0,

B=

U
2(8.4.28)(8.4.27) 式に vr = vθ = 0, r = a を代入し、次式を得る。
( 2)
2 cos (θ) a 2U + D
a + aC=0a2()
sin (θ) a U − aD2 + C−=0a
上式を解いて、
C=−

3aU
,
4

D=

a3 U
4

数：Ψ は、
2

( 2
)
r U
3arU
a3 U
−
+
2
4
4r

rhs(TA3)*sin(\theta)*2*%pi*a*sin(\theta)*a;’integrate(%,\theta,0,%pi);
DT1:ev(%,integrate);
D1:D=DT1+DP1;
D1/(\rho*U^2*S/2);
D11:lhs(%)=subst([S=%pi*a^2],rhs(%));
RN1:R[n]=U*(2*a)/\mu*\rho;
solve(RN1,\rho)[1];lhs(D11)=subst([%],rhs(D11));
D=-8*%pi*\mu*C;
subst([C1],%);(8.4.29)(8.4.28) 式、(8.4.29) 式を (8.4.26) 式に代入し、流れ関Ψ = sin (θ)

粘性流体

factor(%);(8.4.31) 式を (8.4.13) 式に代入し、粘性項と圧力項の関係式を得る。


(8.4.30)(8.4.28) 式、(8.4.29) 式を (8.4.27) 式に代入し、流速は、



3 a µ sin(θ) U −2 ( ddθ p) r 2
2 r3



0

3 a µ cos(θ) U −(
r3

d
dr p

)r

3

=0


上式から、

2

(r − a) (2 r + a) cos (θ) Uvr =3( 2 r2)(r − a) 4 r + a r + a2 sin (θ) Uvθ = −
4 r3(8.4.31)

3 a µ sin (θ) U
d
p=
,
dθ
2 r2

上式を ode2 関数で解いて、球表面：r = a の圧力は、

p − p∞ = −subst([VR3,VT3],NV1);
NV2:factor(ev(%,diff));

2

dDp =

NV32:lhs(NV2)[3][1]=0;
ode2(%,p,\theta);
P11:subst([r=a],%);
solve(NV32,’diff(p,r,1))[1];ode2(%,p,r);
subst([r=a],%);
P12:expand(%);

3 µ cos (θ) U
2a

球表面要素：dS の圧力による抗力成分：dDp は、

NV31:lhs(NV2)[1][1]=0;
solve(NV31,’diff(p,theta,1))[1];d
3 a µ cos (θ) U
p=
dr
r3

3 µ cos (θ) UdS
2a

上記を球表面積分して、圧力による抗力成分：Dp は、∫ π
Dp =dDp 2π asin (θ) a dθ0∫ π
2=3 π a µcos (θ) sin (θ) dθ U = 2 π a µ U
0(8.4.32)

rhs(P3)*cos(\theta)*2*%pi*a*sin(\theta)*a;

摩擦力は (8.1.20) 式から次式で表現できる。
( (
)
)
d
d vθ
d θ vrτ =µ r+dr r
r’integrate(-%,\theta,0,%pi);

上式に (8.4.31) 式を代入し、球表面の摩擦力は r = a を

DP1:ev(%,integrate);

代入し、TA1:\tau=-\mu*(r*’diff(v[\theta]/r,r,1)

3 µ sin (θ) U
2a
球表面要素：dS の摩擦力による抗力成分：dDf は、subst([%c=p[inf]],%);
P3:%-p[inf];+’diff(v[r],\theta,1)/r);
subst([VR3,VT3],%);
ev(%,diff);
TA2:factor(%);
TA3:subst([r=a],%);

τ=

2

dDf =

3 µ sin (θ) UdS
2a

上記を球表面積分して、摩擦力による抗力成分：Df は、∫ π
dDf 2π asin (θ) a dθDp =0
(8.4.33)∫ π
3
sin (θ) dθ U = 4 π a µ U=3 π a µ08.4. レイノルズ数の小さい流れ

391以上から、球に作用する抗力：D は、

D = Dp + Df = 6 π a µ U
上式をレイノルズ数：Rn を用いて無次元化すると、

D

24

=
,
1
2
Rn
2ρ S U

ここで Rn =2aρUµ

また、(8.4.25) 式に (8.4.29) 式を代入し、球に作用する
抗力：D を求めると、下記となり上記と同じ結果が得られる。

D = −8 π µ C = 6 π a µ U(8.4.30) 式の流れ関数：Ψ を用いて流線を gnuplot を用いて描くと下記となる。球の中の流れは二重わき出しによる流れが見られる。
#!/gnuplot

set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set isosamples 100,100
set contour baseset cntrparam levels incremental -1,0.002,1
unset keyunset surface
set view map
splot (y**2*(-(3*sqrt(y**2+x**2))/4+1/(4*sqrt(y**2+x**2))+(y**2+x**2)/2))/(y**2+x**2)# EOF

図 8.4.5: 遅い一様流中の球まわりの流れ

第8章

392

8.4.4

遅い一様流中の球形の液滴

流速：U の遅い一様流の中にある半径：a の球形の液

粘性流体

VR1:v[r]=diff(\Psi,\theta,1)/r^2/sin(\theta);

滴まわりの流れについて調べる1 。液滴の外部と内部はVT1:v[\theta]=-diff(\Psi,r,1)/r/sin(\theta);

異なる流体であるとする。流速が非常に遅いため、方TA0:\tau=-\mu*(r*’diff(v[\theta]/r,r,1)

程式の慣性項を無視できるものとする。座標系として+’diff(v[r],\theta,1)/r);

θ − ϕ − r の三次元極座標を用い z 軸対称とする。軸対

subst([PS0,F0],VR1);

称であるため、各速度コンポーネントは vθ , vr のみである。圧力：p、外部流体の粘性係数：µ1 、内部流体の粘性係数：µ2 、とする。

ev(%,diff);
expand(%);
subst([PS0,F0],VT1);ev(%,diff);
expand(%);
三次元軸対称の流速の遅い Stokes 流れでは、流れ関数：
Ψ は、(8.4.16) 式と (8.4.21) 式から次式となる。
2

Ψ =f sin (θ)

D+ r C + r2 B + r4 A
r流れ関数と流速の関係は (8.4.14) 式から、
ここで、f =

vr =

d
dθ Ψ

r2 sin (θ),

vθ = −ddr Ψr sin (θ)(8.4.34)(8.4.35)

上式に (8.4.34) 式を代入し、流速は、
図 8.4.6: 遅い一様流中の球形の液滴/* Stokes の流れ 球形の液滴 */kill(all);load("vect")depends(\Psi,[r,\theta]);depends(f,[r]);depends(g,[r]);depends(p,[r,\theta]);
NV1:matrix([mu*(’diff(v[theta],theta,2)/r^2+(cos(theta)*(’diff(v[theta],theta,1)))/(r^2*sin(theta))+’diff(v[theta],r,2)+(2*(’diff(v[theta],r,1)))/r-(v[theta]*cos(theta)^2)/(r^2*sin(theta)^2)-v[theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)-’diff(p,theta,1)/r],[0],[mu*(-(2*(’diff(v[theta],theta,1)))/r^2-(2*v[theta]*cos(theta))/(r^2*sin(theta))+((’diff(v[r],theta,1))*cos(theta))/(r^2*sin(theta))+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+(2*(’diff(v[r],r,1)))/r-(2*v[r])/r^2)-’diff(p,r,1)])=0;
PS0:\Psi=f*sin(\theta)^2;
F0:f=D/r+r*C+r^2*B+r^4*A;

vr =

vθ =

2 cos (θ) D 2 cos (θ) C++ 2 cos (θ) Br3r+ 2 r2 cos (θ) A
sin (θ) D sin (θ) C−− 2 sin (θ) B
r3r− 4 r2 sin (θ) A

F1:subst([A=0,B=U/2,C=C[1],D=D[1]],F0);
PS1:subst([F1],PS0);F2:subst([A=A[2],B=B[2],C=0,D=0],F0);
PS2:subst([F2],PS0);
subst([PS1],VR1);
ev(%,diff);
VR10:expand(%);
factor(subst([r=a],rhs(%)));
VR11:a^3*U+2*C[1]*a^2+2*D[1]=0;
subst([PS2],VR1);
ev(%,diff);
VR20:expand(%);
factor(subst([r=a],rhs(%)));
VR21:A[2]*a^2+B[2]=0;
subst([PS1],VT1);ev(%,diff);
VT10:expand(%);
VT11:factor(subst([r=a],%));
subst([PS2],VT1);ev(%,diff);

流体力学 18) , 4.9 (b) 異なる流体の球
功：流体力学（前編） 19) , P.355

1 G. K. Batchelor,：入門

滴 P.235 ＆ 今井

(8.4.36)

VT20:expand(%);
VT21:factor(subst([r=a],%));

8.4. レイノルズ数の小さい流れ393
上式から、境界条件として、球面：r = a で外部流速：,TA0);vθ と液滴の内部流速：vθ は等しいから、()
sin (θ) a3 U + C1 a2 − D1−
a3)(
= −2 2 A2 a2 + B2 sin (θ)

ev(%,diff);

以上から、

factor(%);

C1
D1+ 3 = −4 A2 a2 − 2 B2(8.4.42)aa剪断力は (8.1.20) 式から、
)
( (
)
d
d vθ
d θ vr+τθr = τ = −µ rdr rrrhs(VT11)=rhs(VT21);
VT12:expand(%/sin(\theta));subst([\tau=\tau[1],\mu=\mu[1],VR10,VT10]−U −TA1:subst([r=a],%);
subst([\tau=\tau[2],\mu=\mu[2],VR20,VT20],TA0);
ev(%,diff);
factor(%);(8.4.39) 式、(8.4.41) 式を上式に代入し、剪断力は、

TA2:subst([r=a],%);
rhs(TA1)=rhs(TA2);

6 µ1 D1 sin (θ)
for 外部流
r4
τ2 = 6 µ2 A2 r sin (θ) for 内部流τ1 =TA12:%/sin(\theta);
ABCD1:solve([VR11,VR21,VT12,TA12],[C[1],D[1],A[2],B[2]])[1];境界条件として、球面：r = a で外部剪断力：τ1 と液滴(8.4.36) 式から、球形の液滴の外部流：r > a について、 の内部剪断力：τ2 は等しいから(8.4.28) 式の一様流の条件と r → ∞ で、(8.4.34) 式の
6 µ1 D1= 6 µ 2 A2 a
(8.4.43)
a4
f および流れ関数：Ψ は、流速が有限であるから下記と境界条件：(8.4.40) 式、(8.4.42) 式、(8.4.43) 式を解いて、
なる。
r2 U
D1
µ2 a3 U(3 µ2 + 2 µ1 ) a U
f=+ C1 r +
,
D
=
,
C
=
−
1
1
2
r
4 µ2 + 4 µ1
4 µ2 + 4 µ1
( 2)
(8.4.44)
r U
D1
2
µ1 U
µ1 U
Ψ = sin (θ)+ C1 r +(8.4.37)
A
=
,
B
=
−
2
2
2
r
(4 µ2 + 4 µ1 ) a2
4 µ2 + 4 µ1
(8.4.36) 式から、球形の液滴の内部流：r < a について、流速が有限であるためには f および流れ関数：Ψ は下

PS12:factor(subst(ABCD1,PS1));

記となる。

PS22:factor(subst(ABCD1,PS2));
4

2

VR3:factor(subst(ABCD1,VR10));

f = A2 r + B 2 r)
2
Ψ = A2 r4 + B2 r2 sin (θ)((8.4.38)(8.4.37) 式、(8.4.38) 式を (8.4.35) 式に代入し、vr は、

forVR31:lhs(VR3)=subst([r=a],rhs(VR3));
VT31:subst([r=a],VT3);
VR4:factor(subst(ABCD1,VR20));

2 C1 cos (θ) 2 D1 cos (θ)+
rr3for 外部流

vr =cos (θ) U +vr =2 A2 r2 cos (θ) + 2 B2 cos (θ)

VT3:factor(subst(ABCD1,VT10));

VT4:factor(subst(ABCD1,VT20));
VR41:lhs(VR4)=subst([r=a],rhs(VR4));

内部流(8.4.39)

VT41:subst([r=a],VT4);
subst([\mu=\mu[1],VR3,VT3],NV1);
NV2:factor(ev(%,diff));

上式から、境界条件として、球面：r = a では、vr = 0

NV31:lhs(NV2)[1][1]=0;であるから、

NV32:lhs(NV2)[3][1]=0;

a3 U + 2 C1 a2 + 2 D1 = 0,

A2 a2 + B2 = 0 (8.4.40)(8.4.37) 式、(8.4.38) 式を (8.4.35) 式に代入し、vθ は、()
4 A2 r3 + 2 B2 r sin (θ)
vθ = −
for 外部流r()
4 A2 r3 + 2 B2 r sin (θ)
for 内部流vθ = −
r(8.4.41)solve(NV31,’diff(p,theta,1))[1];ode2(%,p,\theta);
P11:subst([r=a],%);
solve(NV32,’diff(p,r,1))[1];ode2(%,p,r);
subst([r=a],%);
P12:expand(%);
subst([%c=p[inf]],%);
P3:factor(%-p[inf]);
D=-8*%pi*\mu[1]*C[1];

第8章

394

粘性流体

subst([ABCD1],%);
D1:factor(%);
lhs(D1)=limit(rhs(D1),\mu[2],inf);lhs(D1)=limit(rhs(D1),\mu[2],0);
B1:B=4/3*a^3*(\rho[1]-\rho[2])*g;
rhs(D1)=rhs(B1);solve(%,U)[1];
factor(%);
R1:r=sqrt(x^2+y^2);
T1:\theta=atan2(y,x);
subst([a=1,U=1,\mu[1]=10,\mu[2]=1,R1,T1],PS12);
以上から、外部流の流れ関数、流速は、
Ψ=()(r − a) 2 µ2 r2 + 2 µ1 r2 − µ2 a r − µ2 a2 sin (θ)2 U
4 (µ2 + µ1 ) r()(r − a) 2 µ2 r2 + 2 µ1 r2 − µ2 a r − µ2 a2 cos (θ) Uvr =2 (µ2 + µ1 ) r3()
4 µ2 r3 + 4 µ1 r3 − 3 µ2 a r2 − 2 µ1 a r2 − µ2 a3 sin (θ) Uvθ = −4 (µ2 + µ1 ) r3

図 8.4.7: 遅い一様流中の球形の液滴以上から、内部流の流れ関数、流速は、2

Ψ=µ1 r2 (r − a) (r + a) sin (θ) U
4 (µ2 + µ1 ) a2

µ1 (r − a) (r + a) cos (θ) U
2 (µ2 + µ1 ) a2
( 2)
µ1 2 r − a2 sin (θ) Uvθ = −2 (µ2 + µ1 ) a2

vr =球形の液滴に作用する抗力は、(8.4.25) 式から、

D = −8 π µ1 C1 =2 π µ1 (3 µ2 + 2 µ1 ) a Uµ2 + µ1#!/gnuplot
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set isosamples 100,100
set contour baseset cntrparam levels incremental 0,0.05,1
unset keyunset surface
set view map

球形の液滴の内部が固体では、µ2 → ∞ として、下記とsplot (y**2*(-sqrt(y**2+x**2)+22*(y**2

なり、前節の結果と一致する。

+x**2)-1)*(sqrt(y**2+x**2)-1))/(44*(y**2+x**2)**(1.5))

D = 6 π µ1 a U# EOF

また、球形の液滴の内部が空気のように外部流に比べ、µ1 >> µ2 とすると、µ2 → 0 とし、#!/gnuplot
set xrange [-2:2]

D = 4 π µ1 a U

set yrange [-2:2]

今、外部流体の密度：ρ1 、内部流体の密度：ρ2 とする

set isosamples 100,100と、球形の液滴に作用する浮力：B は、

set contour baseB=

4 (ρ1 − ρ2 ) a3 g
3

set cntrparam levels incremental -1,0.005,0
unset key

上式の抗力と浮力が等しいとして、U を求めると下記

unset surfaceとなり、これは微小な球形の液滴が上昇する定常速度でset view map

ある。

splot (5*y**2*(sqrt(y**2+x**2)-1)*(sqrt(y**2+x**2)+1))/22

2 (µ2 + µ1 ) (ρ2 − ρ1 ) a2 gU =−3 π µ1 (3 µ2 + 2 µ1 )球形の液滴の内外の流線は、次式を流れ関数：Ψ に代入し、下記の図が得られた。
√
r = y 2 + x2 , θ = atan2 (y, x)# EOF

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

8.5

レイノルズ数の大きい流れ

8.5.1

境界層の方程式

固体表面に接する層では、粘性の影響を強く受ける境界層が生成される。この層から離れたところでは、渦度は零で、粘性の影響を受けない。今、レイノルズ数：Rが大きく、粘性の影響を強く受けている境界層の厚さが十分薄いときには、二次元 x − y 座標系の Navier-Stokes

395
二次元の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
)
)
 ((
( d )
d
d
ρ
u
v
+
u
u
+
u
dx
dt )
)
 ( d(y ρ v d v + u ( d v) + d v 


dy
dx
dt

0
)

 ( 2
2
µ ddy2 u + ddx2 u − ddx p
)
 ( 2

d2
d
=
v
+
v
− ddy p 
µ
2
2


dy
dx
0

の方程式は以下のように簡素化できる。x-y 座標軸の各
速度コンポーネントを u, v とする。圧力：p、粘性係数：µ、動粘性係数：ν 、x 方向の外力、y 方向の外力は零とassume(\delta<L);する。

R1:R=U*L/\nu;
D2:\delta/L=1/sqrt(R);/* R が大きい二次元 NAV */XD1:xd=x/L;

kill(all);

XD2:solve(XD1,x)[1];load("vector");

DXD1:diff(XD1,x,1);

depends(u,[x,y,t]);

DXD2:diff(XD1,x,2);

depends(U,[x]);YD1:yd=y/L*sqrt(R);depends(v,[x,y,t]);depends(p,[x,y]);YD2:solve(YD1,y)[1];DYD1:diff(YD1,y,1);

depends(ud,[xd,yd,td]);

DYD2:diff(YD1,y,2);depends(vd,[xd,yd,td]);
depends(pd,[xd,yd]);UD1:ud=u/U;

depends(xd,[x]);VD1:vd=v/U*sqrt(R);depends(yd,[y]);VD2:solve(VD1,v)[1];

depends(td,[t]);P1:pd=p/\rho/U^2;

MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)

P2:solve(%,p)[1];=0;T1:td=t*U/L;

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w

T2:solve(%,t)[1];+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))DT1:diff(T1,t,1);
粘性の影響を受けている境界層の厚さ：δ は物体長さ:L+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))UD2:solve(UD1,u)[1];に比べ、L >> δ とする。境界層の外部の流速：U とす
ると、レイノルズ数：R は+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)

LUν+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],以上を基に、境界層の厚さが+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))

R=√

R に比例することか[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)

ら、x, y, u, v, p, t を無次元化し、xd, yd, ud, vd, pd, td は+’diff(v,x,2))

下記のように表現できる。

-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);
subst([w=0,X=0,Y=0],MAS1);
MAS2:ev(%,diff);
subst([w=0,X=0,Y=0,Z=0],NAV1);
NAV2:ev(%,diff);
二次元の質量保存の方程式は (8.1.2) 式から、
d
d
v+
u=0
dy
dx

√
x
y R
xd = , yd =
L
L
√
u
v R
ud = , vd =
U
U
p
tU
pd =
, td =
ρ U2
L(8.5.1)

第8章

396
(
subst([UD2,VD2],MAS2);

ρ

ud

( d

d xd vdev(%,diff);(

subst([DXD1,DYD1],%);

vd+

MAS3:expand(%*L/U);

d x xdRdd yd vd

)(

)

U2

d
d y yd

)

U2

R
) )
d td vd U
√
+
R
)( 2
)
(( d
d
vd
yd
U
2
d yd
dy
√
=µ
R
( 2
)(
)2
d
d
vd
yd
U
2
dy
d yd
√
+
R
)
( d
) ( d2
vd
xd
U
2
d xd
dx
√
+
R
( 2
)(
)2 )
d
d
vd
U
d x xd
d xd2
√
+
R
) (
)
(
d
d
pd ρ
yd U 2
−
d yd
dy
(d

subst([UD2,VD2,P2],NAV2);

d t tdev(%,diff);
subst([DXD1,DYD1,DXD2,DYD2,DT1],%);%/\rho*L/U^2;
NAV3:subst([U=R*\mu/\rho/L],expand(%));
lhs(NAV3)[1][1]=rhs(NAV3)[1][1];NAV31:lhs(%)=rest(rhs(%),1);
expand(lhs(NAV3)[2][1]/sqrt(R)=rhs(NAV3)[2][1]/sqrt(R));
NAV32:0=last(rhs(%));
MAS4:subst([ud=u,vd=v,xd=x,yd=y],MAS3);
NAV4:subst([ud=u,vd=v,xd=x,yd=y,pd=p,td=t],lhs(NAV31)=\nu*first(rhs(NAV31))+1/\rho*last(rhs(NAV31)));
質量保存の方程式に上式 (8.5.1) 式を代入し、
(
)(
)
d
d
(
)(
)
d yd vdd y yd Udd√+ud
xd U = 0
d xd
dx
R

)( d

√

粘性流体

)( d

整理すると、
(
)
(
)
d
d
d
ud vd + ud
ud +
ud
d yd
d xd
d td
2

整理すると、dd
vd +ud = 0d yd
d xd
ud → u, vd → v に変換し、質量保存の方程式は下記となり、元と変わりない。

d
d
v+
u=0
dy
dx
Navier-Stokes の式に上式 (8.5.1) 式を代入し、
)
(
)
(( d
d
ud
vd
yd
U2
d yd
dy
√
ρ
R
(
)(
)
d
d
+ ud
ud
xd U 2
d xd
dx
(
)(
) )
d
d
+
td
ud U
dt
d td
((
)
)( 2
d
d
yd
U
ud
=µ
d yd
d y2
( 2
)(
)2
d
d
+
ud
yd U
dy
d yd2
(
)
)( 2
d
d
+
xd U
ud
d xd
d x2
( 2
)(
)2 )
d
d
+
ud
xd U
dx
d xd2
(
) (
)
d
d
−
pd ρ
xd U 2
d xd
dx

d
d2
d
2 ud
= d xd
+
ud −
pd
R
d xd
d yd2
(
)
(
)
d
vd d dyd vd
ud d dxd vd
vd++ d td
R
R
R
d2
d2
vd
vd
d
d yd2
d xd2
=
+
−
pd
2
R
R
d yd

(8.5.2)
レイノルズ数：R が十分大きいとして、微少項を省略す
ると、
(

)
(
)
d
d
d
ud vd + ud
ud +
ud
d yd
d xd
d td
d
d2
=
2 ud − d xd pd
d yd
d
0=−
pd
d yd

ud → u, vd → v, pd → p, td → t に変換し、境界層の方
程式は下記となる。
(
)
(
)
d
d
d
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
( 2 )
d
d
dx p
u
−
=ν
d y2
ρ

(8.5.3)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

assume(\delta<L);
subst([u=U],NAV4);
NAVU1:ev(%,diff);
DP1:solve(%,’diff(p,x,1))[1];x 軸方向の主流を U とし、定常状態では、u → U を上
記の簡素化された境界層の方程式：(8.5.3) 式に代入し整理すると、圧力項は下記のように記述できる。
()
ddp = −ρ U
U(8.5.4)dx
dx
以上から、定常状態で外部流速が与えられたときには、境界層の方程式は下記で近似できる。
(
)
(
)
(
)
( 2 )
d
d
d
d
u v+u
u =U
U +ν
u
dy
dx
dx
d y2
(8.5.5)

397

第8章

398

8.5.2

柱状体の境界層の方程式

d
d
d
w+
v+
u=0
dz
dy
dx

三次元の流場で柱状体が斜航状態の時の境界層の方程式を求める。レイノルズ数：R が大きく、粘性の影響を強く受けている境界層の厚さが十分薄いときには、三次
元 x − y − z 座標系の Navier-Stokes の方程式は以下のように簡素化できる。x 軸を柱状体の横断面方向で、物体の沿った方向とし、y 軸は物体の鉛直上方、z 軸を柱状体の縦方向とする。x-y-z 座標軸の各速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係数：µ、動粘性
係数：ν 、物体長さ：L、x 軸方向の外界流速：U 、z 軸方向の外界流速：W とし、x 方向の外力：X 、y 方向の

粘性流体

Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
(
)
)
 ((
( d )
)
d
d
d
ρ
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
d(y
dx
dt ) 
 (( d z )
)
( d )


d
d
v w + v d y v + u d x v + ddt v  ρ( ( d( z
)
)

)
(
)
ρ w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w


)
( 2
2
2
X + µ ddz2 u + ddy2 u + ddx2 u − ddx p


( 2
)
2
2


=  Y + µ ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v − ddy p 
)


( 2
2
2
Z + µ ddz2 w + ddy2 w + ddx2 w − ddz p

外力：Y 、z 方向の外力：Z は零とする。

/* R が大きい三次元 NAV */kill(all);load("vector");

流速：u, w および圧力：p は柱状体であることから、z軸方向の変化はなく、x, y, t の関数となる。このことを考慮すると、質量保存の方程式は、

d
d
v+
u=0
dy
dx

depends(u,[x,y,t]);depends(v,[x,y,z,t]);depends(w,[x,y,t]);depends(p,[x,y]);depends(ud,[xd,yd,td]);
depends(vd,[xd,yd,zd,td]);
depends(wd,[xd,yd,td]);
depends(pd,[xd,yd]);depends(xd,[x]);depends(yd,[y]);depends(zd,[z]);depends(td,[t]);(8.5.6)

Navier-Stokes の式は、
)
)
((


(
)
d
u v + u ddx u + ddt u
ρ
d
y
 ((
(
)
)
)
( d )


d
d
d
v
w
+
v
v
+
u
v
+
v

ρ
dz( (
dx
dt
) dy (
)


)
d
d
d
ρ v dy w + u dx w + dt w

( 2
)

2
µ ddy2 u + ddx2 u − ddx p
 ( 2

)
2
2


= µ ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v − ddy p

( 2
)

2
µ ddy2 w + ddx2 w(8.5.7)

MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;

D1:\delta=sqrt(\nu*t);

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w

assume(\delta<L);+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

R1:R=U*L/\nu;+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

D2:\delta/L=1/sqrt(R);+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))

XD1:xd=x/L;+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))

XD2:solve(XD1,x)[1];DXD1:diff(XD1,x,1);+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)

DXD2:diff(XD1,x,2);+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],YD1:yd=y/L*sqrt(R);[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)

YD2:solve(YD1,y)[1];+’diff(v,x,2))

DYD1:diff(YD1,y,1);-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)

DYD2:diff(YD1,y,2);+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);ZD1:zd=z/L;

subst([w=0,X=0,Y=0],MAS1);ZD2:solve(ZD1,z)[1];

subst([X=0,Y=0],MAS1);

DZD1:diff(ZD1,z,1);

MAS2:ev(%,diff);

DZD2:diff(ZD1,z,2);

subst([X=0,Y=0,Z=0],NAV1);

UD1:ud=u/U;

NAV2:ev(%,diff);
質量保存の方程式は (8.1.2) 式から、

UD2:solve(UD1,u)[1];VD1:vd=v/U*sqrt(R);VD2:solve(VD1,v)[1];8.5. レイノルズ数の大きい流れ

WD1:wd=w/W;

399

NAV53:subst([ud=u,vd=v,wd=w,xd=x,yd=y,zd=z,

WD2:solve(WD1,w)[1];td=t,pd=p],lhs(NAV33)=\nu*rhs(NAV33));

WD3:’diff(W,z,1)=0;

depends(U,[x]);P1:pd=p/\rho/U^2;

P3:p=-1/2*\rho*(U^2+W^2);

P2:solve(%,p)[1];diff(P3,x,1);

T1:td=t*U/L;

NAV51:subst([%],NAV41);

T2:solve(%,t)[1];MAS5;DT1:diff(T1,t,1);
レイノルズ数：R を下記とし、レイノルズ数が十分大き√
く、境界層厚さ：δ は物体長さ：L に比べ薄く、δ ∝ ν t

NAV51;とする。

LUν
このとき下記の関係が得られる。
R=

NAV53;
上記の関係式を (8.5.7) 式に代入すると、
(
)
(
)
d
d
d
ud vd + ud
ud +
ud
d yd
d xd
d td
=

δ
1
∝√
L
R
上記のことを考慮し、x, y, z, u, v, w, t を下記の関係式で

xd, yd, zd, ud, vd, zd, td に置き換える。
√
y R
z
x
, zd =
xd = , yd =
L
L
L
√
u
v R
w
ud = , vd =, wd =
U
U
W
td L
d
U
p
, t=
,
td =
pd =
2
ρU
U
dt
L
subst([UD2,VD2,WD2],MAS2);ev(%,diff);
subst([DXD1,DYD1,DZD1,WD3],%);
MAS3:expand(%*L/U);
subst([UD2,VD2,WD2,P2],NAV2);ev(%,diff);
subst([DXD1,DYD1,DXD2,DYD2,DZD1,DZD2,DT1],%);%/\rho*L/U^2;
NAV3:subst([U=R*\mu/\rho/L],expand(%));
lhs(NAV3)[1][1]=rhs(NAV3)[1][1];ρ( dd zd vd

)

=
(
vd

R
(

wd L W

µ R2
+

d2
ud
d xd2

vd
+

+

d2
d
2 ud − d xd pd
d yd

dd yd vd

R

)
+

ud

( d

d xd vd

Rdd td vd

R

d2
vd
d yd2

R

d2
d2
vd
vd
d
d zd2
d xd2
+
+
−
pd
2
2
R
R
d yd

)
(
)
d
d
d
wd + ud
wd +
wd
d yd
d xd
d td
d2
wd
d xd2

d2
wd
R
d yd2
レイノルズ数：R が大きいとして、微少項を省略すると、
(
)
(
)
d
d
d
ud vd + ud
ud +
ud
d yd
d xd
d td
d2
d
=
2 ud − d xd pd
d yd
=

+

d
0=−
pd
d yd
(
)
(
)
d
d
d
d2
wd
vd
wd + ud
wd +
wd =
d yd
d xd
d td
d yd2
圧力：p については次式となり、これを上式に代入し、NAV31:lhs(%)=rest(rhs(%),1);x, y, z, u, v, w に戻すと、質量保存の方程式、

expand(lhs(NAV3)[2][1]/sqrt(R)=境界層の方程式は下記となる。
()()
ρ W2 + U2ddp=−,p = −ρ UU2dxdx

rhs(NAV3)[2][1]/sqrt(R));
NAV32:0=last(rhs(%));
lhs(NAV3)[3][1]=rhs(NAV3)[3][1];expand(%/\rho/L/W*\mu*R);
NAV33:lhs(%)=last(rhs(%));
MAS5:subst([ud=u,vd=v,wd=w,xd=x,yd=y,zd=z,
td=t,pd=p],MAS3);
NAV41:subst([ud=u,vd=v,wd=w,xd=x,yd=y,zd=z,
td=t,pd=p],lhs(NAV31)=\nu*
first(rhs(NAV31))+1/\rho*last(rhs(NAV31)));

)

d
d
v+
u=0
dy
dx
)
(
)
(
d
d
d
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
(
)
( 2 )
d
d
=U
u
U +ν
dx
d y2
(
)
(
)
( 2 )
d
d
d
d
v
w
w +u
w +
w=ν
dy
dx
dt
d y2
(8.5.8)

第8章

400

8.5.3

平板上の境界層

薄い平板を一様流れ、流速：U の中に、流向に沿っておいたとき、平板周りの境界層の様子を調べる。ここでレイノルズ数：R は十分大きいとし、二次元 x − y 座標系の境界層の方程式を用いる。x-y 座標軸の各速度コン
ポーネントを u, v とする。粘性係数：µ、動粘性係数：ν とし、圧力、外力は零とする。

粘性流体

y の下記の無次元表記の η を導入する。その関係式は下
記となる。
√
U
η
η=y
, y=√
νx
U
d
η=
dy

√

νx

U
,
νx

d
yU
√ ,
η=−
dx
U
2 ν x2(8.5.12)

νx

d2
η=0
d y2
PS1:\Psi=sqrt(\nu*U*x)*f;
subst([PS1],U1);
ev(%,diff);
U2:radcan(subst([ET2],%));
subst([PS1],V1);

図 8.5.1: 平板上の境界層

ev(%,diff);radcan(subst([ET3],%));
V2:radcan(subst([ET4],%));/* 平板上の境界層 */kill(all);load("vector");load("dynamics");
MAS1:’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))=\nu*(’diff(u,y,2));depends(\Psi,[x,f]);depends(\eta,[x,y]);depends(f,[\eta]);
U1:u=’diff(\Psi,y,1);V1:v=-’diff(\Psi,x,1);
ET1:\eta=sqrt(U/\nu/x)*y;
ET2:diff(ET1,y,1);ET3:diff(ET1,x,1);ET4:solve(ET1,y)[1];ET5:diff(ET1,y,2);
レイノルズ数：R が十分大きく、平板では x 方向の圧力変化はない場合、二次元の質量保存の方程式：(8.5.2) 式

NDU1:U2/U;
NDV1:V2/U;
assume(R>0,\nu>0,x>0);
R1:R=U*x/\nu;
R3:solve(%,x)[1];
NDV2:subst([%],NDV1);
NDV3:%*sqrt(R);subst([U2,V2],MAS1);ev(%,diff);radcan(subst([ET2,ET3,ET4],%));
subst([U2,V2],NAV1);ev(%,diff);radcan(subst([ET5,ET2,ET3,ET4],%));
lhs(%)-rhs(%)=0;
NAV2:expand(-%/U^2*x);
下記の流れ関数：Ψ を導入する。f は η の関数とする。
√
Ψ = f ν xU
(8.5.13)
上式を (8.5.11) 式に代入し、流速：u, v を f で表現し、と定常状態の境界層の方程式：(8.5.3) 式は下記となる。 (8.5.12) 式を代入すると、
)
d ( √
u=
f ν xU
d
d
dy
v+
u=0
(8.5.9)
(
)(
)
dy
dx
√
d
d
)
(
)
( 2 )
(
=
ν xU
η
f
(8.5.14)
dy
dη
d
d
d
(
)
u
(8.5.10)
u v+u
u =ν
dy
dx
d y2
d
=
f U
dη
ここで流れ関数：Ψ を導入し、各流速は、
(
)
√
d
d
d
f ν xUv =−u=Ψ, v = −Ψ(8.5.11)
dx
(
)(
)
dy
dx
√
fνU
d
d
ν xU − √
=−
η
f
dx
dη
境界層厚さ：δ は下記の関係で発達するので、
2 ν x U (8.5.15)
( (
)
)√ √
√
ν U
η ddη f − f
νx
√
=
δ∝
2 x
U

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

401

下記のレイノルズ数：R を用いて、上記の u, v を無次元

listF:[[sol[1][1],sol[1][4]*0.1]];

化すると、for J:2 thru N do(listF:append(listF,

xU
ν
d
u
=
f
(8.5.16)
U
dη
(
)
d
η
f
−f
dη
v
√
=
U
2 R
(8.5.17)
(
)
√
d
η
f
−
f
d
η
v R
=
U
2
質量保存の方程式：(8.5.9) 式に、(8.5.14) 式、(8.5.15)
R=[[sol[J][1],sol[J][4]*0.1]]));
listdF:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listdF:append(listdF,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
listddF:[[sol[1][1],sol[1][2]]];for J:2 thru N do(listddF:append(listddF,[[sol[J][1],sol[J][2]]]));
plot2d([[discrete,listF],[discrete,listdF],[discrete,listddF]]);式、(8.5.12) 式を代入すると、下記となり、これを整理

listV:[[sol[1][1],1/2*(sol[1][1]*sol[1][3]すると零となり、当然ながら質量保存の方程式は満足さ-sol[1][4])]];れている。
()( 2 )
d
d
η
f U
dx
d η2
(
)( 2 )√ √dη ddy ην U
d η2 f√+=0
2 x

for J:2 thru N do(listV:append(listV,[[sol[J][1],1/2*(sol[J][1]*sol[J][3]-sol[J][4])]]));
plot2d([[discrete,listdF],[discrete,
listV]]);

境界層の方程式：(8.5.10) 式に、(8.5.14) 式、(8.5.15) 式、(8.5.12) 式を代入すると、下記となり、)()( 2 )
(
d
d
d
η
f
f U2
dx
dη
d η2
(
)( (
)
)( 2 )√3dd
η ddη f − fνU2
dy η
d η2 f√+2 x(()2 ( 3 )
d
d
=ν
η
f U
dy
d η3
( 2 )( 2 ) )
d
d
+
η
f U
2
dy
d η2

(8.5.18) 式を数値解析、Maxima の Runge-Kutta 法
を用いて解く。ここで、下記のように置き換える。

f = F,

d2
f =H
d η2

d
f = G,dη境界条件として、y = 0 で u = 0, v = 0 と y → ∞ で

u → U である。
Runge-Kutta 法の初期条件として、前記の境界条件に対応し、物体表面では η = 0 で、u = 0 は (8.5.14) 式から ddη f = 0、また、v = 0 は (8.5.15) 式から f = 0 となる。y → ∞ で u → U に対応する条件として、η → ∞で Uu = ddη f → 1 となる。η → ∞ は Runge-Kutta 法
2の初期条件として、与えられないので、 ddη2 f を適当に与え、η → ∞ で ddη f → 1 となる初期値を求めること

上式を整理して、
( 3 )
( 2 )
d
2
f ddη2 f U 2
d η3 f U−=
2xx
右辺を左辺に移動して、整理し、
( 2 )
d
f
3
d η2 f
d
f
+
=0
d η3
2

2

になる。結果として初期値： ddη2 f = 0.3320575 が得られた。下記に (8.5.18) 式を数値解析した結果および速度分布を下記に示す。

(8.5.18)

Tmax:10;
Tmin:0;
N:200;
DDF1:0.3320575;
dT:(Tmax-Tmin)/float(N);sol:rk([-1/2*F*H,H,G],[H,G,F],[DDF1,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);

図 8.5.2: 数値解析結果

第8章

402

粘性流体

DE1:\delta[1]=subst([1-’diff(f,eta,1)=S3],U31);
DE11:subst([R3,R=t],%)/\nu*U;
S4:0;
for J:2 thru N do(S4:S4+(sol[J-1][3]*(1sol[J-1][3])+sol[J][3]*(1-sol[J][3]))/2*sol[2][1]);DE2:\delta[2]=S4*sqrt(nu)/sqrt(U/x);
DE21:subst([R3,R=t],%)/\nu*U;
plot2d([TW31,rhs(DE11),rhs(DE21)],
図 8.5.3: 流速分布

TW1:\tau=\mu*’diff(u,y,1);’diff(lhs(U2),y,1)=diff(rhs(U2),y,1);
subst([ET2],%);[t,0.01,2],[x,0,2],[legend,"tau","delta1","delta2"]);
平板に作用する剪断応力：τ は次式で得られる。
(
)
d
τ =µ
u
dy
ここで、

)
d2
f
U
d η2
( 2 ) √
d
U
=
f U
2
dη
νx

subst([%],TW1);

d
u=
dy

TW2:subst([’diff(f,eta,2)=DDF1],%);
assume(x>0,U>0);
D1:D=2*integrate(rhs(TW2),x,0,x);

(

d
η
dy

)(

D2:D1/(\rho*U^2*x);2

RH1:\mu=\nu*\rho;

上式を剪断応力式に代入し、η = 0 の ddη2 f 、即ち、初D3:lhs(D2)=subst([%,RH1],rhs(D2));

期値： ddη2 f = 0.3320575 を代入すれば、

2(

C[f]=rhs(%);τ=

TW3:%/\rho/U^2;
TW31:subst([R=t],rhs(TW3));
DE3:subst([\eta=4.91,y=\delta],ET4);

τ
0.332
≈ √
ρ U2
R
∫ x

U3*%;

D=2

U31:rhs(%)/d/\eta;0

DE1:\delta[1]=subst([1-’diff(f,eta,1)=S]

U4*DET2;
U41:rhs(%)/d/\eta;
S3:0;
for J:2 thru N do(S3:S3+(1-(sol[J-1][3]+sol[J][3])/2)*sol[2][1]);√31.32823 µ x U 2√
τ dx =
ν

1.328
D
= √
2
ρxU
R

+sol[J][3])/2)*sol[2][1]);U4:U2/U*(1-U2/U);(8.5.20)

上式を無次元化し、

for J:2 thru N do(S:S+(1-(sol[J-1][3],U31);(8.5.19)

平板の両面の抗力は上式を積分し、DET2:solve(%,dy)[1];

S:0;

√

上式を無次元化し、

U3:1-U2/U;
ET2;d*\eta/dy=rhs(ET2);

)

U
µU
νx
√
U
≈0.332 µ U
νxsubst([R3,RH1],TW2);

subst([R3],%)/\nu*U;

d2
f
d η2

(8.5.21)境界層厚さとして、0.99U の位置とすると、数値解析結
果から、η = 4.91 となり、(8.5.12) 式から、√
νxδ ≈ 4.91
U(8.5.22)

おしのけ厚さ：δ1 は、下記で定義され、それを数値積分すると、

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

∫ ∞(
δ1 =
0

u)
1−
dy =
U

1.720853866546068√=√≈1.721

∫ ∞

√

403

(

1 − ddη f
√

0

)√

ν
dη

U
x

ν

U
x

νx
U
(8.5.23)

上式を無次元化し、√
δ1 U≈ 1.721 R
ν
運動量厚さ：δ2 は、下記で定義され、それを数値積分
すると、

∫ ∞

u (
u)
1−
dy
U
U
0
(
)(
)√ √
d
∫ ∞ 1− d f
ν x
dη
dη f
√
=
dη
U
0
√ √
0.66404313214512 ν x
√
=
U
√
νx
≈0.664U

δ2 =(8.5.24)

上式を無次元化し、√
δ2 U≈ 0.664 R
ν

図 8.5.4: 剪断応力・おしのけ厚さ・運動量厚さの分布以上の結果から、境界層の厚さは距離の平方根に比例する。剪断応力は距離の平方根に逆比例し、前方で大きな剪断力が発生する。

第8章

404

8.5.4

オリフィスからの二次元ジェット

流体が壁の細いオリフィス（隙間）から周囲も同じ流体の中に噴出する二次元粘性流れについて調べる1 。低レイノルズ数では、噴流は全ての方向に広がる。高レイ
ノルズ数では x 軸周辺の細長い噴流となる。そこで、ここではこの高レイノルズ数の細長い噴流について調べ
る。

粘性流体

程式：(8.5.3) 式を用いる。

ddv (x, y) +u (x, y) = 0(8.5.25)
dy
dx
(
)
(
)
d
d
v (x, y)u (x, y) + u (x, y)u (x, y)
dy
dx
( 2
)
d
=ν
u
(x,
y)
d y2
(8.5.26)
また、ある断面の噴流のよる流体の力：F は一定でないといけない。

∫ ∞
F =ρ

2

u (x, y) dy(8.5.27)−∞

ここで流れ関数：Ψ を導入すると、質量保存の方程式：(8.5.25) 式は満足される。次に関数の形として、各断面
図 8.5.5: オリフィスからの二次元ジェット

で速度分布が相似になる下記の変数分離型とする。

Ψ ∝ xm f( y )MAS2:’diff(v(x,y),y,1)+’diff(u(x,y),x,1)=0;xn以上から、流れ関数を下記とする。
( y )Ψ = 6 f ν xm
f =fxn

NAV2:v(x,y)*(’diff(u(x,y),y,1))+u(x,y)

下記の a を導入し、その関係式は、/* 二次元ジェット */kill(all);load("vector");*(’diff(u(x,y),x,1))=nu*(’diff(u(x,y),yy,xn

y = a xn ,

,2));

a=

F1:F=\rho*’integrate(u(x,y)^2,y,minf,inf);d2
a = 0,
d y2

depends(f,[a]);depends(a,[x,y]);Y1:a=y/x^n;(8.5.28)

d
1
a= n
dy
x

(8.5.29)da = −n x−n−1 ydx

流速：u, v は下記で得られる。

Y3:diff(Y1,y,2);

d
Ψ,
dy

Y4:diff(Y1,x,1);

上式に、(8.5.28) 式、(8.5.29) 式を代入し、

Y2:diff(Y1,y,1);u (x, y) =Y5:solve(Y1,y)[1];PS1:\Psi=6*\nu*x^m*f;

d(6 f ν xm )
dy
(
)(
)
d
d
=6
a
f ν xm
dy
da
(
)
d
=6
f ν xm−ndaV1:v(x,y)=-’diff(\Psi,x,1);
subst([PS1],U1);
ev(%,diff);
subst([PS1],V1);ev(%,diff);
V2:lhs(%)=subst([Y4],rhs(%));
噴流の方向を x 軸とする。x-y 座標軸の各速度コンポー
ネントを u, v とし、動粘性係数：ν 、圧力、外力は零とする。質量保存の方程式：(8.5.2) 式とレイノルズ数の大
きい流れの二次元 x − y 座標系の定常状態の境界層の方

1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , 9.g
The two-dimensional jet, P.164 ＆ G. K. Batchelor：入門 流体
力学 18) 、5.12(a) P.344dΨdxu (x, y) =U1:u(x,y)=’diff(\Psi,y,1);

U2:subst([Y2],%);v (x, y) = −(8.5.30)d(6 f ν xm )
dx
(
)(
)
d
d
= −6
a
f ν xm − 6 f m ν xm−1
dx
da
)
(
d
f n ν x−n+m−1 y − 6 f m ν xm−1
=6da(8.5.31)v (x, y) = −8.5. レイノルズ数の大きい流れ

405
ここで、F は x に依存しないから、下記の関係を得る。

subst([U2,V2],MAS2);ev(%,diff);n + 2 (m − n) = 0

MAS3:factor(subst([Y2,Y3,Y4],%));
subst([U2,V2],NAV2);(8.5.34)(8.5.33) 式、(8.5.34) 式を解いて、ev(%,diff);m=

NAV3:factor(subst([Y2,Y3,Y4],%));

1
2
,n =
3
3

(8.5.35)

MN1:-2*n+2*m-1=m-3*n;’u(x,y)^2*dy=u(x,y)^2/’diff(a,y,1)*da;lhs(%)=subst([U2,Y2],rhs(%));

PS2:subst([MN3],PS1);
YPS2:subst([MN3],Y1);

MN2:n+2*(m-n)=0;
MN3:solve([MN1,MN2],[m,n])[1];質量保存の方程式：(8.5.25) 式に u, v の (8.5.30) 式、

YA1:solve(%,y)[1];U3:subst([MN3],U2);(8.5.31) 式を代入し、
( (
)
)
d
d
−n+m−1m−1
6f nν xy − 6f mν x
dy
da
( (
)
)
d
d
m−n
+
6
f νx
=0
dx
da

diff(U3,y,1);

上式を (8.5.29) 式を用いて整理すると、左辺が零とな

NAV4:-%/6/\nu^2*x^(5/3);

り、質量保存の方程式は当然ながら満足されている。

diff(f,a,2)+2*f*diff(f,a,1)=%c1;

境界層の方程式：(8.5.26) 式に u, v の (8.5.30) 式、(8.5.31)

NAV5:subst([%c1=0],%);

式を代入し、
)
))
( (
(
d
d
f ν xm−n
6
dy
da
( (
)
)
d
× 6
f n ν x−n+m−1 y − 6 f m ν xm−1
da
(
)
(
( (
)
))
d
d
d
+6
f ν xm−n6f ν xm−ndadxda( 2 ( (
)
))
d
d
=ν
6
f ν xm−nd y2dadiff(%,a,1)-NAV4;

subst([Y2],%);
DU3:subst([MN3],%);
subst([MN3],V2);
V3:lhs(%)=factor(subst([YA1],rhs(%)));
subst([MN3],NAV3);
factor(lhs(%)-rhs(%))=0;

NAV6:diff(f,a,1)+f^2=1;
diff(%,a,2)-NAV4;(8.5.35) 式の結果を (8.5.28) 式、(8.5.29) 式、(8.5.30) 式、(8.5.32) 式に代入すると、
1

Ψ = 6 f ν x3
a=

y
2

x3

2

,

y = a x3)
da f ν

d2
d a2 f)νx(8.5.37)(8.5.32)境界層の方程式：(8.5.32) 式は、(36−以上から、x の次数を合わせて、下記の関係を得る。

−2 n + 2 m − 1 = m − 3 n

(

( d

6
d
u (x, y) =u (x, y) =
1
dy
x3
(
(
)
)
2 2 a dda f − f νv (x, y) =2x36

上式を (8.5.29) 式を用いて整理すると、
((
)2
( 2 )
d
d
− 36
f n+f
f m
da
d a2
(
)2 )
d
−
f m ν 2 x−2 n+2 m−1
da
( 3 )
d
=6
f ν 2 xm−3 nd a3(8.5.36)(8.5.33)

流体の力：(8.5.27) 式の要素式に u の (8.5.30) 式を代

(
f

d2
f
d a2

)

2

+

3

( dda f )

)

3

(

ν2

6
=

5

x3

d3
d a3 f

)

ν2

5

x3

上式を整理し、

d3
f + 2f
d a3

(

d2
f
d a2

)

(
+2

d
f
da

)2
=0

上式を積分し、入し、2

da u (x, y)dy u (x, y) =
d
dy a
)2
(
d
f ν 2 xn+2 (m−n)=36 dada2

d2
f + 2f
d a2

(

d
f
da

)
= %c1

ここで、境界条件として、y = 0 で v = 0 は、a = 0 で、

(8.5.37) 式から、f = 0 となる。また、y = 0 で u の x

第8章

406
2

軸対称性から、 ddy u = 0 は、a = 0 で dda2 f = 0 とな

粘性流体

u (x, y) は、(8.5.37) 式からり、%c1 = 0 となる。これから、()
d2
df + 2f
f =0
d a2
da

6 ν A2 sechu (x, y) =

(

yA

)2

2
x3

(8.5.40)1x3

断面の噴流のよる流体の力：F は上式を (8.5.27) 式に代上式を更に積分し、入し、

df + f 2 = %c2daF =36 ν 2 ρ A4
2

x3

ここで、x 軸上では、y = 0 で v = 0 は、a = 0 で、

(8.5.37) 式から、f = 0 となる。また、y = 0 で u =h=df + f2 = 1
da(8.5.38)

2

x3

)4
dy

2

yA

2 ,

y=

x3

h x3
,
A

d
A
h= 2
dy
x3

上式を (8.5.40) 式に代入し、
2

subst([f=g(a)],NAV6);u (x, y) =ode2(%,g(a),a);logcontract(%);

6 sech (h) ν A2
1

x3

2

ρ u (x, y)4= 36 sech (h) ν 2 ρ A3dhdy

subst([%c=0],%);
atanh(g(a))=a;上式から、断面の噴流のよる流体の力：F は下記とな

solve(%,g(a))[1];

り、主流：x 軸方向により変化していない。
∫ ∞4
F = 36sech (h) dh ν 2 ρ A3 = 48 ν 2 ρ A3

FANS1:f=A*subst([a=A*a],rhs(%));
subst([FANS1,Y1],PS1);
PS3:subst([MN3],%);−∞

subst([PS3],U1);
U4:ev(%,diff);
F2:subst([U4],F1);
D1:h=(y*A)/x^(2/3);
D2:solve(%,y)[1];D3:’diff(lhs(D1),y,1)=diff(rhs(D1),y,1);
subst([D2],rhs(U4));\rho*%^2/rhs(D3);
F=’integrate(%,h,minf,inf);
ev(%,integrate);
上式を f → g (a) と置き換えて、
d2g (a) + g (a) = 1
daode2 関数で解くと、log (g (a) + 1) − log (g (a) − 1)
= a + %c2
上式は次式のように書き換えることが出来、

atanh (g (a)) = a

sech
−∞

yA

下記の置き換えを行って、

uM AX ̸= 0 で、 dda f ̸= 0 で、%c2 ̸= 0 で %c2 = 1 と
仮にする。

(

∫ ∞

→

g (a) = tanh (a)以上から、定数を考慮し、f は、

f = A tanh (a A)(8.5.36) 式から流れ関数：Ψ は、
(
)
1
yA
3
Ψ = 6 ν x A tanh2x3

(8.5.39)(8.5.41)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

407

subst([D2],rhs(PS3));
subst([tanh(h)=(%e^h-%e^(-h))/(%e^h+%e^(-h))],%);
subst([D1],%);
subst([A=1,\nu=1],%);
流線は (8.5.39) 式を使って、下記の gnuplot で描いた。
#!/gnuplot
set xrange [0:6]
set yrange [-3:3]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental-100,0.5,100
unset keyunset surface
set view map
splot 0.6*10*x**(0.333)*tanh((0.1*10*y)/x**(0.66666))# EOF

図 8.5.6: 二次元ジェット流線

A = 1, ν = 1

第8章

408

8.5.5

二次元物体後方の流れ

粘性流体

おける後方検査面では、運動量損失は次式となり、物体
2

一様流速：U0 の中に置かれた二次元物体後方には、伴流が生じる。この伴流と物体抵抗との関係を調べる1 。
一様流方向を x 軸、後流の評価を行う場所：x に y 軸を抵抗に等しい。上式を代入し、u1 (x, y) は他項に比べ十分小さいので省略し、下記となる。
∫ ∞D =ρ
(U0 − u (x, y)) u (x, y) dy H−∞

置く。x における流速分布：u(x, y)、伴流の半幅:b(x)、検査面の深さ:H とする。

∫ ∞
=ρ

−∞

∫ ∞

(U0 − u1 (x, y)) u1 (x, y) dy H
2

=ρ
−∞

U0 u1 (x, y) − u1 (x, y) dy H

∫ ∞

=U0 ρ

−∞

u1 (x, y) dy H

抵抗係数：CD 、物体長さ:C0 として、抵抗：D と置き換えると、

C0 U02 ρ CD H
= U0 ρ2∫ ∞−∞u1 (x, y) dy H

上式より、

C0 U0 CD=2
図 8.5.7: 二次元物体後方の流れ/* 二次元物体後方の流れ∫ ∞−∞u1 (x, y) dy(8.5.43)

混合距離：LM IX とすると、下記の関係がある。
)2(du (x, y) L2M IX(8.5.44)τ (x, y) = ρdy*/kill(all);

上式から、

load("vector");)du (x, y)
dy
( 2
)
d
×
u (x, y) L2M IXd y2dτ (x, y) =2 ρdydepends(\eta,[y,x]);depends(f,[\eta]);
U11:u[1](x,y)=U[0]-u(x,y);U12:solve(%,u(x,y))[1];D1:D=H*\rho*’integrate(u(x,y)*(U[0]-u(x,y)),y,minf,inf);
D11:subst([U12],%);((8.5.45)

剪断力は次式で与えられる。
()
dτ (x, y) = µu (x, y)dy

expand(%);
D2:subst([u[1](x,y)^2=0],%);
subst([D=1/2*\rho*U[0]^2*C[D]*C[0]*H],%);
D3:%/\rho/H/U[0];上式から次の関係が得られる。
( 2
)
d
d
τ (x, y) = µu (x, y)dyd y2

ML1:\tau(x,y)=\rho*L[MIX]^2*’diff(u(x,y),ydd2d y τ (x, y)u (x, y) =2dyµ,1)^2;
DML1:diff(%,y,1);
TA1:\tau(x,y)=\mu*’diff(u(x,y),y,1);’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;

TA2:’diff(lhs(%),y,1)=diff(rhs(%),y,1);
TA21:solve(%,’diff(u(x,y),y,2))[1];x における一様流速：U0 と流速分布：u(x, y) の差を下記の u1 (x, y) とする。
u1 (x, y) = U0 − u (x, y)(8.5.46)(8.5.42)

MAS1:subst([u=u(x,y),v=v(x,y)],%);(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1)=nu*(’diff(u,y,2))-’diff(p,x,1)/rho;
NAV1:subst([u=u(x,y),v=v(x,y)],%);
subst([’diff(u(x,y),t,1)=0,’diff(p,x,1)=0],NAV1);

単位時間に失った運動量は、物体より十分前方の検査面
では、流速は一様流と一致し、運動量損失はない。x に
1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , 13.c.3
Two-dimensional wake behind a single body, P.600

subst([U12],%);
expand(ev(%,diff));
NAV11:last(lhs(%))=rhs(%);

8.5. レイノルズ数の大きい流れ
assume(L[MIX]>0);
subst([’diff(u(x,y),t,1)=0,’diff(p,x,1)=0,TA21,\nu=\mu/\rho,DML1],NAV1);
subst([U12],%);
expand(ev(%,diff));
NAV2:last(lhs(%))=rhs(%);
B1:b(x)=\alpha*x^m;409
上式に、(8.5.42) 式を代入し、展開して、()
d− v (x, y)u1 (x, y)
dy
(
)
(
)
d
d
+ u1 (x, y)u1 (x, y) − U0
u1 (x, y)
dx
dx
(
)( 2
)
d
d
=2
u1 (x, y)u1 (x, y) L2M IX
dyd y2

ET1:\eta=y/b(x);ET2:’diff(lhs(ET1),y,1)=diff(rhs(ET1),y,1);
ET3:’diff(lhs(ET1),y,2)=diff(rhs(ET1),y,2);ET4:’diff(lhs(ET1),x,1)=diff(rhs(ET1),x,1);
ET5:solve(ET1,y)[1];x 軸方向の Navier-Stokes の式：(8.1.9) 式で、定常状態
で、x における後方検査面では、圧力変化はなく次式となる。

(
v (x, y))()
ddu (x, y) + u (x, y)u (x, y)
dy
dx
( 2
)
d
=ν
u
(x,
y)
d y2
(8.5.47)

上式に、(8.5.42) 式を代入し、)(
d(U0 − u1 (x, y))v (x, y)dy()
d
+ (U0 − u1 (x, y))(U0 − u1 (x, y))
dx
( 2
)
d
=ν
(U
−
u
(x,
y))
0
1
d y2

微少項を省略し、次式を得る。
(
)
(
)
d
d
−U0
u1 (x, y) =2
u1 (x, y)
dx
dy
( 2
)
d
×
u1 (x, y) L2M IX
d y2(8.5.49)

U2:u[1](x,y)=U[0]*\beta*x^n*f;
DUX2:diff(U2,x,1);
diff(U2,y,1);
DUY2:subst([ET2,B1],%);diff(U2,y,2);
DUY3:subst([ET2,ET3,B1],%);
subst([DUX2,DUY2,DUY3,ET4,ET5,B1],NAV11);
factor(ev(%,diff));
u[1](x,y)*dy;
subst([dy=d*\eta*b(x)],%);
subst([B1,U2],%);
MN1:n-1=n-2*m;
MN2:m+n=0;
MN3:solve([MN1,MN2],[m,n])[1];

展開して、

(

)
d
− v (x, y)u1 (x, y)
dy
(
)
)
(
d
d
+ u1 (x, y)u1 (x, y) − U0
u1 (x, y)
dx
dx
)
( 2
d
u1 (x, y)
= −ν
d y2

subst([MN3],B1);
B3:subst([\alpha=B[0]*sqrt(C[D]*C[0])],%);
B31:solve(B3^2,x)[1];
subst([MN3],U2);
U3:subst([\beta=sqrt(C[D]*C[0])],%);
下記の η を導入する。
η=

微少項を省略し、次式を得る。
(
)
)
( 2
d
d
−U0
u1 (x, y) (8.5.48)
u1 (x, y) = −ν
dx
d y2

y
,
b (x)

d2
η =0,
d y2

d
1
η=
dy
b (x)
)
( d
d
d x b (x) y
η=−
2
dx
b (x)

(8.5.50)b(x) および u1 (x, y) を下記のように x のべき乗で変化
x 軸方向の Navier-Stokes の式の (8.5.47) 式に (8.5.46) するとする。また、α, β は定数、f は η の関数とする。
式を代入し、更に (8.5.45) 式を代入すると、混合距離：b (x) = α xm , u1 (x, y) = U0 β f xn
(8.5.51)
LM IX を使った表記式を得る。
(
)
(
)
d
d
上式の u1 (x, y) の x および y による微分結果は、
v (x, y)u (x, y) + u (x, y)u (x, y)
dy
dx
(
)(
)
)
(
)( 2
d
d
d
d
d
u
(x,
y)
=U
β
η
f
xn
2
1
0
u (x, y) LM IX=2u (x, y)
d
x
d
x
d
η
2
dy
dy
+ U0 β f n xn−1

第8章

410
)(
)
d
d
η
f xn
dy
dη
(
)
U0 β ddη f xn−mdu1 (x, y) =U0 β
dy
=

(

(

FF2:\eta*f=2*k^2*’diff(f,\eta,1)^2*\beta/\alpha+%c1;
diff(%,\eta);α)2 ( 2 )
d
d
η
f xn
dy
d η2
( 2 )()
dd+ U0 β
η
f
xn
d y2
dη
( 2 )
U0 β ddη2 f xn−2 md2
u1 (x, y) =U0 β
d y2

=

粘性流体

%-FF1;
FF21:subst([%c1=0],FF2);
solve(%,’diff(f,\eta,1))[1];
radcan(%/sqrt(f));
integrate(lhs(%)/’diff(f,eta,1),f)=
integrate(rhs(%),\eta)+%c2;
FF3:%^2/4;

α2

subst([f=0,\eta=1],%);
上式の結果を Navier-Stokes の式である (8.5.48) 式に代

solve(%,%c2)[1];

入し、

FF31:subst([%],FF3);(−U02 β

(
fn−η
(

=−

U0 β

d
f
dη

d2
d η2 f))

FF32:f=((sqrt(2)*sqrt(\alpha/\beta))/

m
)

x

n−1

ν xn−2 m(3*k))^2/4*(1-\eta^(3/2))^2;(8.5.52)

factor(FF31-FF32);(8.5.49) 式に (8.5.56) 式を代入し、Navier-Stokes の式

α2の LM IX 表記式は、)()(
抵抗の式である (8.5.43) 式の被積分関数は次式となり、
d U0 β fd U0 β f√√−U0=2
y → η で表現し、(8.5.51) 式を代入し、
dx
dy
x
x
( 2
)
d U0 β f√×
L2M IXdy u1 (x, y) =d η b (x) u1 (x, y)2dyx(8.5.53)=U0 α β d η f xn+m(8.5.52) 式で右辺、左辺の x の次数は等しいこと、微分を実行して、(8.5.53) 式で抵抗は x に依存しないことから、次式を
U02 β f得る。

n − 1 = n − 2 m,

−

3

2 x2

n+m=0

上式を解き、

1
1,n = − ](8.5.54)22
上式の結果を (8.5.51) 式を代入し、b(x) と u1 (x, y) の

=

U02 β

2 U02 β 2

(

[m =

+

2 U02 β 2

( d

dx η

)( d

√

d
dy η

(

x
)3 (

d
dy η

d
dη f

√

2

b (x)
α2
U0 β fu1 (x, y) = √
x
x,

x=

K1:k=L[MIX]/b(x);K2:solve(%,L[MIX])[1];
subst([U3],NAV2);
expand(ev(%,diff));
subst([ET2,ET3,ET4,ET5],%);(8.5.55)(8.5.56)dd y2 η

FF1:subst([B31,K2],%);d2
d η2 f

)(

)

d
dη f

L2M IX)2

L2M IXx(8.5.50) 式を代入し、()()
dU02 β η ddη f
d x b (x)U2 β f√+ 0 3
x b (x)2 x2()( 2 )dd
2 2
2
2 U0 βdη fd η 2 f LM IX=
3x b (x)(8.5.55) 式を代入し、
)(
(
√ )
d
U02 β η ddη f
d x (α x)

subst([B3],%);
ev(%,diff);
expand(%/U[0]^2*x^(3/2)*2/\beta);

)(

x
)( 2

形が得られた。

b (x) = α

)

dη f

=

U2 β f+ 0 3
αx2() ( 2 ) 2x
d
d
2 2
2
2 U0 βdη fd η 2 f LM IX
5α3 x 2微分を実行して、整理すると、()( 2 )
d
d
)
(
2
4
β
f
dη
d η 2 f LM IX
df +f =
ηdη
α3 x

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

411

伴流の幅：b(x) の中では、混合距離：LM IX が一定であるとして、下記の k を導入する。この関係式を上式に代
入し、

k=
(
η

d
f
dη

LM IX
,
b (x)

)

LM IX = k b (x)
(
4β

+f =

d
dη f

)(

d2
d η2 f)k2α

上式を積分し、

(
2β
ηf =

d
dη f

)2

ら、%c1 = 0 となり、

(
ηf =

d
dη f

)2

k2

α

上式を整理し、√(8.5.58)(8.5.43) 式から、抵抗と流速分布の関係は、∫ ∞C0 U0 CD=u1 (x, y) dy2−∞を代入して、+ %c1

η = 0 では、流速分布の対称性から ddη f = 0 であるか

2β

(
)2
3
U0 α 1 − η 2√
u1 (x, y) =18 k 2 x

上記、二式から次式となり、積分を実行し、(8.5.55) 式

k2

α(8.5.57) 式を (8.5.56) 式に代入し、

√ √
α η
d
df
f =− √→ √ = −√ √
dη
dη
f
2k
2 βk

C0 U0 CD
U0 α b (x)√=2
9 k2 xU0 α b (x)√=20 k 2 x
U0 α2=20 k 2∫ 1(

3

1 − η2)2dη0

上式から、α が得られる。

αηf
β

α=

√

10 k

√
C0 CD

上式の結果を (8.5.55) 式、(8.5.58) 式に代入し、下記の上式を積分し、

√ √ 3
√
2 αη2
√
2 f = %c2 −3 βk

伴流の幅と流速分布が得られた。伴分布の幅：b (x) は√x に比例して広がる。

f を求めると、b (x) =()2√ √3
2 √α η 2%c2 − 3 β kf=√u1 (x, y)=U04

η = 1 で、f = 0 であるから、%c2 は次式となる。
(√ √ )22 α√ √%c2 − 3 √2 αβk
0=
, %c2 = √43 βk
上式から、f は次式となる。
()23
α 1 − η2f=
18 β k 2

√

10 k

√ √
x C0 CD(() 32 )2 √y
10 1 − b(x)C0 CD√
18 k x後流の流速分布は下図となる。

(8.5.57)

assume(\eta>0 and \eta<1);
U4:subst([FF32],U3);
D3;
lhs(D3)=(\alpha*U[0])/(18*k^2*sqrt(x))*b(x)*’integrate((1-\eta^(3/2))^2,\eta,0,1)*2;
ev(%,integrate);
subst([B3],%);
B00:solve(%,\alpha)[2];
subst([B00],B3);
subst([B00,ET1],U4)/U[0];subst([C[D]=1,C[0]=1,b(x)=1,k=1,x=1,
y=abs(t)],rhs(%))*18/sqrt(10);plot2d(%,[t,-1,1]);

図 8.5.8: 後流流速分布(8.5.59)(8.5.60)

第8章

412

8.5.6

二次元くさび形の外部流れ (外部流速：U = xm U0 )先端半角：α0 の二次元くさび形の外部の粘性流れについて調べる。くさび形の流速分布は U = xm U0 となっている。この外部流速分布の時のレイノルズ数：R が高い場合の境界層流れについて調べる1 。下図のようにく

粘性流体

NAV1:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))=U*(’diff(U,x,1))+nu*(’diff(u,y,2));
くさび形状の流速：U の一様流れの写像から得られ、その複素ポテンシャル：F は「5.1.14 写像：折れ曲がり
直線 (Schwarz-Christoﬀel の公式)」から下記となる。

さび表面に沿った二次元 x − y 座標系の境界層の方程式nF = z n U = (i y + x) Uを用いる。x 軸を表面、後流方向とし、y 軸を x 軸に直角、上方とする。x − y 座標軸の各速度コンポーネント
を u, v とする。粘性係数：µ、動粘性係数：ν 、外力は零上式の虚部が流れ関数であり、下記となる。

()nΨ = y 2 + x2 2 sin (n atan2 (y, x)) U(8.5.61)とする。
上式を用いて、流速：u, v は、

u=

d
Ψ,
dy

v=−

d
Ψ
dx

(8.5.62)

上式から、u は、))nd (( 2y + x2 2 sin (n atan2 (y, x)) Udy(( y ))() n −1U=n y y 2 + x2 2 sin n atan
(8.5.63)
x
n
( 2
)
(
(
))
n y + x2 2 cos n atan xy U)
( 2+
x xy 2 + 1u=
図 8.5.9: 二次元くさび形の外部流れ/* くさび形の外部流れ */くさびの表面では y = 0 であるから、上式から、表面流

kill(all);速は次式となる。

load("vector");depends(u,[x,y]);depends(p,[x]);u = n xn−1 U
先端角度：α0 は次式で得られる。

depends(U,[x]);depends(f,[\eta]);depends(\eta,[x,y]);α0 = π −πn

また、n と m の関係は下記となる。

declare(F,complex);declare(z,complex);
F1:F=z^n*U;
subst([z=x+%i*y],F1);
PS1:\Psi=imagpart(rhs(%));
U1:u=’diff(\Psi,y,1);V1:v=-’diff(\Psi,x,1);
assume(x>0);

n=m+1(8.5.64)以上から、先端角度：α0 と m の関係は、

α0 =

πm
m+1

(8.5.65)

外部流速：U は次式となる。

U = U0 xm(8.5.66)

subst([PS1],U1);
ev(%,diff);
U2:subst([y=0],%);
AL1:\alpha[0]=%pi-%pi/n;n-1=m;
solve(%,n)[1];AL2:factor(subst([%],AL1));
U01:U=U[0]*x^m;
1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , 9.aFlow past a wedge, P.143 ＆ G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、5.9(a) P.316

レイノルズ数：R が高い場合で、定常状態で外部流速が与えられたときの境界層の方程式は (8.5.5) 式から
(
)
(
)
(
)
( 2 )
d
d
d
d
u
u v+u
u =U
U +ν
dy
dx
dx
d y2
(8.5.67)

PS2:\Psi=sqrt(\nu*U*x)*f;ET1:\eta=sqrt(U/\nu/x)*y;ET2:solve(%,y)[1];
DETY1:’diff(\eta,y,1)=diff(rhs(ET1),y,1);

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

413

DETY2:’diff(\eta,y,2)=diff(rhs(ET1),y,2);
DETY3:’diff(\eta,y,3)=diff(rhs(ET1),y,3);
DETX1:’diff(\eta,x,1)=diff(rhs(ET1),x,1);
DETXY1:’diff(eta,x,1,y,1)=diff(rhs(%),y,1);
subst([PS2],U1);
ev(%,diff);(8.5.67) 式に上式を代入し、( 2 ()) ( d ( √ √))√ √df x νUf x νU
dxdy
dy
(
)
(
)
))
d ( √ √d2 ( √ √−f x νUf x νU
dx
d y2
)
(
( 3 (
)
)
√ √
d
d
+U
U
=ν
f x νU
d y3
dx

subst([DETY1],%);
U2:radcan(%);
U3:U2/U;
subst([U1,V1,PS2],NAV1);ev(%,diff);
subst([DETY1,DETY2,DETY3,DETX1,DETXY1],%);
radcan(%*x);

上式を整理し、(8.5.69) 式、(8.5.66) 式を代入し、
( 2 )
( 2 )
f ddη2 f m ( d )2
f ddη2 f
−
+
f m−
2
dη
2
(8.5.70)
3
d
=m+
f
d η3

subst([U01],%);
Runge-Kutta 法で解く形式に変更して、( 2 )subst([’diff(U[0],x,1)=0],%);
f ddη2 f m ( d )2
d3
radcan(%/x^(2*m)/U[0]^2);
f =−
+
f m
d η3
2
dη
( 2 )
NAV2:expand(%);
f ddη2 f
expand(solve(%,’diff(f,eta,3))[1]);−m−2境界層を表す流れ関数：Ψ として、f は η の関数とする。
ev(%,diff);

Ψ=f

√ √
x νU

上式を Runge-Kutta 法を用いて解く。境界条件とし(8.5.68)て、y = 0 で u = v = 0 で、y → ∞ で u は外界流速：Uy を下記のように変換する。また、その関連式も記すと、
√
√
y Uν
η x
η= √ , y= √xUとなる。以上から、Runge-Kutta 法の初期条件は、η = 0√

で f = ddη f = 0 となる。また、y → ∞ で f = 1 とな
2

るように、 ddη2 f の初期値を選択する。m = 4 → −0.09に対する速度分布を下記に示す。

ν
U

d
d2
d3
ν
η= √ ,
η
=
0,
η=0
dy
d y2
d y3
x
√
(
)
y Uν
y ddx Udη=√ √ − 2 x 32
dx
2 ν x Uν
√
U
d
2
d
ν
dx U
√
η=
−
3
√
dxdy
U
2 x2
2ν x ν

Tmax:10;
Tmin:0;(8.5.69)(8.5.62) 式に (8.5.68) 式を代入して、微分し、上式を代入して、流速：u, v は、)
d ( √ √u=f x νU
dy
(
)(
)
√ √
d
d
=
η
f
x νU
dy
dη
(
)
d
=
f U
dη
)
d ( √ √v=−
f x νUdx
u を外界流速：U で無次元化すると、
u
d
=
f
U
dη

N:500;
dT:(Tmax-Tmin)/float(N);GG1:-G*G2*m/2+G1^2*m-m-G*G2/2;
GG2:subst([m=0],GG1);
G2I:0.33206;
sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);listU1:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listU1:append(listU1,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
plot2d([discrete,listU1],[x,0,10],[y,0,2]);
plot2d([discrete,listU1],[x,0,10],[y,0.999,
1.001]);
GG2:subst([m=1/9],GG1);
G2I:0.51184;
sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);listU2:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listU2:append(listU2,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));

第8章

414

粘性流体

Tmax:20;
plot2d([discrete,listU2],[x,0,10],[y,0,2]);

Tmin:0;

plot2d([discrete,listU2],[x,0,10],[y,0.999,

N:500;

1.001]);

dT:(Tmax-Tmin)/float(N);GG2:subst([m=1/3],GG1);

GG2:subst([m=-0.09],GG1);

G2I:0.757448;

G2I:0.019;

sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],

sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],[t,[t,Tmin,Tmax,dT]);

Tmin,Tmax,dT]);listU3:[[sol[1][1],sol[1][3]]];

listU7:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listU3:append(listU3,

for J:2 thru N do(listU7:append(listU7,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
plot2d([discrete,listU2],[x,0,10],[y,0,2]);

plot2d([discrete,listU7],[x,0,20],[y,0,2]);

plot2d([discrete,listU2],[x,0,10],[y,0.999,

plot2d([discrete,listU7],[x,0,20],[y,0.999,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));

1.001]);

1.001]);

GG2:subst([m=1],GG1);

plot2d([[discrete,listU5],[discrete,listU4]

G2I:1.2325878;,[discrete,listU3],[discrete,listU2],

sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],[t,[discrete,listU1],[discrete,listU6],[discrete,listU7]],[x,0,10],[y,0,1]);

Tmin,Tmax,dT]);listU4:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listU4:append(listU4,

各 m における外部境界層の流速分布を以下に示す。

[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
plot2d([discrete,listU4],[x,0,10],[y,0,2]);
plot2d([discrete,listU4],[x,0,10],[y,0.999,
1.001]);
GG2:subst([m=4],GG1);
G2I:2.4057248061;
sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);listU5:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listU5:append(listU5,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
plot2d([discrete,listU5],[x,0,10],[y,0,2]);
plot2d([discrete,listU5],[x,0,10],[y,0.999,
1.001]);

図 8.5.10: 二次元くさび形の外部境界層流速分布

Tmax:20;
Tmin:0;
N:500;

subst([n=3/2,U=1],PS1);

dT:(Tmax-Tmin)/float(N);(y^2+x^2)^(3/4)*sin((3*atan2(y,x))/2);

GG2:subst([m=-0.06],GG1);

subst([n=2,U=1],PS1);

G2I:0.182555;(y^2+x^2)*sin(2*atan2(y,x));

sol:rk([GG2,G2,G1],[G2,G1,G],[G2I,0,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);

subst([n=4/3,U=1],PS1);(y^2+x^2)^(2/3)*sin((4*atan2(y,x))/3);

listU6:[[sol[1][1],sol[1][3]]];

subst([n=10/9,U=1],PS1);

for J:2 thru N do(listU6:append(listU6,(y^2+x^2)^(5/9)*sin((10*atan2(y,x))/9);[[sol[J][1],sol[J][3]]]));
plot2d([discrete,listU6],[x,0,20],[y,0,2]);
plot2d([discrete,listU6],[x,0,20],[y,0.999,
1.001]);

subst([n=1-0.09,U=1],PS1);(y^2+x^2)^0.455*sin(0.91*atan2(y,x));8.5. レイノルズ数の大きい流れ

415

下記にくさび形状周りの外部流れを gunuplot を使って求めた結果を示す。
#!/gnuplot

set xrange [-50:50]
set yrange [-50:50]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -100,5,100
unset keyunset surface
set view map
splot (y**2+x**2)**(0.55556)*sin((10*atan2(y,x))/9)# EOF

図 8.5.13: 二次元くさび形の外部流れ (m = 1/9)

図 8.5.11: 二次元くさび形の外部流れ (m = 1)

図 8.5.14: 二次元くさび形の外部流れ (m = −0.09)

図 8.5.12: 二次元くさび形の外部流れ (m = 1/3)

第8章

416

8.5.7

粘性流体

斜航円柱まわりの粘性流
NAV13:v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))

流れに対して斜めに置かれた半径：R の円柱まわりの粘性流について調べる1 。流れに対して α の角度で円柱が置かれ、円柱の横断面方向の流速：U0 とする。今、+’diff(w,t,1)=nu*(’diff(w,y,2));
U0:U=a[1]*x+a[3]*x^3+a[5]*x^5+a[7]*x^7

レイノルズ数：Rn が大きく、粘性の影響を強く受けて+a[9]*x^9+a[11]*x^11;「8.5.2 柱状体の境界層の方程式」の (8.5.8) 式から質量いる境界層の厚さが十分薄いとする。境界層の座標とし保存の方程式、境界層の方程式は、て、円柱の横断面方向の流速：U0 で、円柱表面に沿った方向を x 軸とする。円柱表面上方を y 軸、円柱の縦方向を z 軸とする。x − y − z 座標軸の各速度コンポー
ネントを u, v, w とし、x 軸方向の円柱外部流速：U 、密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν とし、各軸の外力は零とする。

ddv+
u=0(8.5.71)
dy
dx
(
)
(
)
d
d
d
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
(8.5.72)
)
( 2 )
(
d
d
U +ν
=U
u
dx
d y2
(
)
(
)
( 2 )
d
d
d
d
v
w +u
w +
w=ν
w
dy
dx
dt
d y2
(8.5.73)x 軸方向の円柱外界流速：U を次式の 11 次式で表現する。

U = a11 x11 + a9 x9 + a7 x7 + a5 x5 + a3 x3 + a1 x
(8.5.74)
ET1:\eta=y*sqrt(a[1]/\nu);ET2:diff(ET1,y,1);ET4:solve(ET1,y)[1];ET5:diff(ET1,y,2);
図 8.5.15: 斜航円柱まわりの粘性流

PS1:\Psi=sqrt(\nu/a[1])*(a[1]*x*f[1]+4*a[3]*x^3*f[3]+6*a[5]*x^5*f[5]+8*a[7]*x^7*f[7]+10*a[9]*x^9*f[9]/* Yawed シリンダー 11 次式 */+12*a[11]*x^11*f[11]);kill(all);U1:u=diff(\Psi,y,1);load("vector");V1:v=-diff(\Psi,x,1);load("dynamics");

subst([PS1],U1);

depends(u,[x,y,t]);depends(v,[x,y,z,t]);expand(%);
ev(%,diff);

depends(w,[x,y,t]);subst([ET2],%);

depends(p,[x,y]);U2:radcan(%);

depends(U,[x]);subst([PS1],V1);

depends(\Psi,[x,\eta]);

expand(%);

depends(\eta,[y]);ev(%,diff);

depends(f,[\eta]);

V2:factor(%);

depends(g,[\eta]);subst([U2,V2,U0],MAS1);

MAS1:’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;

ev(%,diff);

NAV11:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

subst([ET2],%);+’diff(u,t,1)=U*(’diff(U,x,1))

factor(%);+nu*(’diff(u,y,2));

radcan(%);

1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , Chap-

ter 9 Exact solutions of the steady-state boundary layer equations, c. Flow past a cylinder, symmetrical case (the Blasius
series), Chapter 10 Axially symmetrical and three-dimensionalboundary layers b. Three-dimensional layers, the boundary layer
on a yawed cylinder

8.5. レイノルズ数の大きい流れ417

流れ関数：Ψ を下記で表現する。
√ (νΨ=
12 a11 f11 x11 + 10 a9 f9 x9 + 8 a7 f7 x7
a1)
53+ 6 a5 f5 x + 4 a3 f3 x + a1 f1 x(8.5.75)

NAVF70:expand(solve(NAVF7,’diff(f[7],eta,
3))[1]);
NAVF90:expand(solve(NAVF9,’diff(f[9],eta,
3))[1]);NAVFA0:expand(solve(NAVFA,’diff(f[11],eta,

3))[1]);
ここで、f は y 軸方向に変化し、下記の η の関数とする。
√√
x 軸方向の境界層の方程式：(8.5.72) 式の右辺を左辺
a1
d
a1
d2
y,
η=
,
η = 0 (8.5.76) に移動し、右辺を零とする。これに u, v の (8.5.77) 式、
η=
2
ν
dy
ν
dy
(8.5.78) 式、円柱外界流速：U の式：(8.5.74) 式を代入
このとき、流速：u, v は下記となる。
し、x、x3 、x5 、x7 、x9 、x11 の項の係数を求め、右辺
(
)(
)
d
d
d
を零と置くと次式を得る。
u=η
Ψ , v=−
Ψdydηdx
上式に (8.5.75) 式、(8.5.76) 式を代入すると流速：u, v
は、

)
(
)
d
d
11
f11 x + 10 a9
f9 x9
u =12 a11
dη
dη
(
)
(
)
d
d
7
+ 8 a7f7 x + 6 a5
f5 x5
dη
dη
)
)
(
(
d
d
3
f3 x + a1
f1 x+ 4 a3dηdη
(8.5.77)
√
√
ν 10
ν 8
v = − 132 a11 f11
x − 90 a9 f9
x
a1
a1
√
√
ν 6
ν 4
− 56 a7 f7
x − 30 a5 f5
x
a1
a1
√
√
ν 2
ν
x − a1 f1− 12 a3 f3
a1
a1(8.5.78)(

subst([U2,V2,U0],NAV11);ev(%,diff);
subst([ET2,ET5],%);
NAV21:expand(lhs(%)-rhs(%)=0);
coeff(NAV21,x,1)/a[1]^2;
NAVF1:radcan(%);
coeff(NAV21,x,3)/4/a[1]/a[3];NAVF3:radcan(%);
coeff(NAV21,x,5);
NAVF5:expand(radcan(%)/6/a[1]/a[5]);coeff(NAV21,x,7);
NAVF7:expand(radcan(%)/8/a[1]/a[7]);coeff(NAV21,x,9);
NAVF9:expand(radcan(%)/10/a[1]/a[9]);coeff(NAV21,x,11);
NAVFA:expand(radcan(%)/12/a[1]/a[11]);
NAVF10:solve(NAVF1,’diff(f[1],eta,3))[1];
NAVF30:solve(NAVF3,’diff(f[3],eta,3))[1];
NAVF50:expand(solve(NAVF5,’diff(f[5],eta,
3))[1]);

( 2
) (
)2
d3
d
d
− 3 f1 − f1
f1 +f1 − 1 = 0
dη
d η2
dη
)(
)
(
)
(
d3
d2
d
d
− 3 f3 − f1
f3 + 4
f1
f3
dη
d η2
dη
dη
( 2
)
d
− 3 f3
f1 − 1 = 0
d η2
(
)
(
)(
)
d3
d2
d
d
− 3 f5 − f1
f5 + 6
f1
f5
dη
d η2
dη
dη
(
( 2
)
)2
8 a23 ddη f3
8 a23 f3 ddη2 f3
+
−
a1 a5
a1 a5
( 2
)
d
a23
− 5 f5
f1 −
−1=0
d η2
2 a1 a5
( 2
)
(
)(
)
d3
d
d
d
− 3 f7 − f1
f
f
f
+
8
7
1
7
dη
d η2
dη
dη
( 2
)
9 a3 f3 a5 ddη2 f5
−
a1 a7
)(
)
(
d
f
24 a3 a5 ddη f3
5
dη
+
a1 a7
( 2
)
( 2
)
15 a3 a5 f5 ddη2 f3
d−− 7 f7
f
1
a1 a7
d η2
a3 a5
−
−1=0
a1 a7
(
)
(
)(
)
d2
d
d3
d
f9 + 10− 3 f9 − f1
f1
f9
dη
d η2
dη
dη
)
( 2
48 a3 f3 a7 ddη2 f7−
5 a1 a9()()
d
32 a3 a7 ddη f3
f
7
dη
+
a1 a9
)
)2
( 2
(
18 a25 f5 ddη2 f5
18 a25 ddη f5
−
+
a1 a9
a1 a9
( 2
)
d
)
( 2
112 a3 a7 f7 d η2 f3
df1−− 9 f95 a1 a9
d η2
a3 a7
a25
−
−
−1=0
a1 a9
2 a1 a9(8.5.79)

第8章

418

)
(
)(
)
d2
d
d
f
+
12
f
f
11
1
11
d η2
dη
dη
( 2
)
10 a3 f3 a9 ddη2 f9

d3− 3 f11 − f1dη−(

a1 a11(
40 a3 a9+−

a1 a11( 2

20 a5 f5 a7
48 a5 a7−dd η 2 f7

a1 a11(+−dd η f3)(dd η f528 a5 a7 f7dd η 2 f5/* 11 次式 円柱*/
assume(R>0);
X11:\phi=x/R;
X21:solve(%,x)[1];U01C:U=2*U[0]*sin(\phi);)lhs(%)=taylor(rhs(%),\phi,0,11);
U02C:subst([X11],%);
A1:a[1]=coeff(rhs(U02C),x,1);)A3:a[3]=coeff(rhs(U02C),x,3);)(

a1 a11( 2dd η f9粘性流体dd η f7A5:a[5]=coeff(rhs(U02C),x,5);)A7:a[7]=coeff(rhs(U02C),x,7);A9:a[9]=coeff(rhs(U02C),x,9);)a1 a11)( 2
30 a3 a9 f9 ddη2 f3− 11 f11
a1 a11
a3 a9
a5 a7
−
−
−1=0
a1 a11
a1 a11

A11:a[11]=coeff(rhs(U02C),x,11);
LISA:[A1,A3,A5,A7,A9,A11,R=1.0,U[0]=1.0,
(

d2
f1
d η2

)

\alpha[0]=45];
U01:subst([A1,A3,A5,A7,A9,A11,U[0]=1,X21,
R=1,\phi=t/180*%pi],rhs(U0));
U02:subst([A1,A3,A5,A7,A9,a[11]=0,U[0]=1,(8.5.80)

X21,R=1,\phi=t/180*%pi],rhs(U0));
U03:subst([A1,A3,A5,A7,a[9]=0,a[11]=0,
U[0]=1,X21,R=1,\phi=t/180*%pi],rhs(U0));

W2:w=tan(\alpha)*U[0]*(g[0]+a[3]/a[1]*x^2*g[2]);

U04:subst([A1,A3,A5,a[7]=0,a[9]=0,a[11]=0,U[0]=1,X21,R=1,\phi=t/180*%pi],rhs(U0));

subst([U2,V2,W2],NAV13);

U05:subst([A1,A3,a[5]=0,a[7]=0,a[9]=0,ev(%,diff);a[11]=0,U[0]=1,X21,R=1,\phi=t/180*%pi]

subst([ET2,ET5,’diff(U[0],x,1)=0],%);,rhs(U0));

NAV22:expand(lhs(%)-rhs(%)=0);

plot2d([U01,U02,U03,U04,U05],[t,0,180],

coeff(NAV22,x,0)/U[0]/a[1];[y,0,2.2],[legend,"power series up to

NAVG0:radcan(%);

11th power","up to 9th power","up to 7th power","up to 5th power",coeff(NAV22,x,2)/U[0]/a[3];NAVG2:radcan(%);
NAVG00;solve(NAVG0,’diff(g[0],eta,2))[1];"up to 3rd power"]);「例題 5.3.4 一様流中の円柱まわりの流れ、(5.3.15) 式、

NAVG20;solve(NAVG2,’diff(g[2],eta,2))[1];
流速：w を次式で表現する。ここで、g は y 軸方向に変122 頁」から、完全流体の円柱まわりの流速：U は、次化し、η の関数とする。
()
g2 a3 x2
w = U0 tan (α)+ g0a1

式で表現できる。

U = 2 U0 sin (ϕ) ,(8.5.81)x2 の項の係数を求め、右辺を零と置くと次式を得る。
(
(
))
d2
d
− 2 g0 − f1
g0tan (α) = 0
dη
dη
(
(
)
(
)
d
d2
d
− 2 g2 − f1
g2 + 2 g2
f1(8.5.82)
dη
dη
dη
)
(
)
d
− 12 f3
g0
tan (α) = 0dηx
R

上式を x で Taylor 展開し、x11 の項までを記述すると、

z 軸方向の境界層の方程式：(8.5.73) 式の右辺を左辺に移動し、右辺を零とする。これに上式を代入し、定数項、

ϕ=

U=

2 U0 x U0 x3
U0 x5
U0 x7
+
−
−
R
3 R3
60 R5
2520 R7
11
9
U0 x
U0 x
−
+
181440 R919958400 R11(8.5.83)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

419以上から、(8.5.74) 式の係数を求めると下記となる。

2 U0
U0
U0
, a3 = −, a5 =
R
3 R3
60 R5
U0
U0
a7 = −, a9 =
2520 R7
181440 R9
U0a11 = −
19958400 R11
a1 =(8.5.84)

3 次から 11 次までで、円柱まわりの流速：U を表現すると、下記となる。7 次以上になると円柱まわりの流速：

U を十分表現している。

図 8.5.16: 円柱の外界流れ

f の式：(8.5.79) 式、(8.5.80) 式と g の式：(8.5.82) 式に円柱まわりの流速：U を表す係数：(8.5.84) 式を代入
し、Runge-Kutta 法で解きやすいように次式の表現と
する。

( 2
) (
)2
d
d
d3
f1 = − f1
f1 +f1 − 1
d η3
d η2
dη
(
)
(
)(
)
d3
d2
d
d
f3 = − f1
f3 + 4
f1
f3
d η3
d η2
dη
dη
( 2
)
d
− 3 f3
f1 − 1
d η2
(
)
(
)(
)
d3
d2
d
d
f5 = − f1
f5 + 6
f1
f5
d η3
d η2
dη
dη
)
)2
( 2
(
80 f3 ddη2 f3
80 ddη f3
−
+
3
( 32
)
d
8
− 5 f5
f1 −
d η2
3
(
)
(
)(
)
3
2
d
d
d
d
f7 = − f1
f7 + 8
f1
f7
d η3
d η2
dη
dη
( 2
)
d
− 63 f3
f5
d η2
)(
)
(
d
d
f3
f5
+ 168
dη
dη
( 2
)
d
− 105 f5
f3
d η2
)
( 2
d
f1 − 8− 7 f7
d η2
(
)
(
)(
)
d2
d
d
d3
f9 = − f1
f9 + 10
f1
f9
d η3
d η2
dη
dη
)
( 2
576 f3 ddη2 f7−( 5 )(
)
d
d
f3
f7
+ 384
dη
dη
( 2
)
d
2268 f5 d η2 f5
−
5
(
)2
( 2
)
d
2268 d η f5
1344 f7 ddη2 f3
+
−
5
(52
)
d
128
− 9 f9
f1 −
d η2
5
(
)
(
)(
)
d2
d
d3
d
f11 = − f1
f11 + 12
f1
f11
d η3
d η2
dη
dη
)
( 2
550 f3 ddη2 f9
−
(3
)(
)
d
2200 ddη f3
d η f9+)( 32
df− 1320 f5
7
d η2
(
)(
)
d
d
+ 3168
f5
f7
dη
dη
)
( 2
)
( 2
d
d
f
−
550
f
f
− 1848 f7
5
9
3
d η2
d η2
)
( 2
256
d
f1 −
− 11 f11d η2
3(8.5.85)

第8章

420

(
)
d2
d
g
=
−
f
g
0
1
0
d η2
dη
(
)
(
)
d2
d
d
g
=
−
f
g
+
2
g
f
2
1
2
2
1
d η2
dη
dη
)
(
d
g0
− 12 f3dη

粘性流体

listF11:[[sol[1][1],sol[1][3]]];for J:2 thru N do(listF11:append(listF11,[[sol[J][1],sol[J][3]]]));(8.5.86)

listF10:[[sol[1][1],sol[1][4]]];for J:2 thru N do(listF10:append(listF10,[[sol[J][1],sol[J][4]]]));
listF31:[[sol[1][1],sol[1][6]]];

NAVF11:subst(LISA,NAVF10);
NAVF31:subst(LISA,NAVF30);
NAVF51:subst(LISA,NAVF50);
NAVF71:subst(LISA,NAVF70);
NAVF91:subst(LISA,NAVF90);
NAVFA1:subst(LISA,NAVFA0);

for J:2 thru N do(listF31:append(listF31,[[sol[J][1],sol[J][6]]]));
listF30:[[sol[1][1],sol[1][7]]];
for J:2 thru N do(listF30:append(listF30,[[sol[J][1],sol[J][7]]]));
listF51:[[sol[1][1],sol[1][9]]];for J:2 thru N do(listF51:append(listF51,

Tmax:20;[[sol[J][1],sol[J][9]]]));

Tmin:0;listF50:[[sol[1][1],sol[1][10]]];

N:1000;dT:(Tmax-Tmin)/float(N);F12I:1.2325867;
F32I:0.72444726;
F52I:1.031974791;
F72I:2.03806691128;
F92I:0.28666105194;
FA2I:67.3351948828;
G01I:0.5704712;
G21I:0.521032;
sol:rk([-F10*F12+F11^2-1,F12,F11,-F10*F32+4*F11*F31-3*F30*F12-1,F32,

for J:2 thru N do(listF50:append(listF50,[[sol[J][1],sol[J][10]]]));
listF71:[[sol[1][1],sol[1][12]]];for J:2 thru N do(listF71:append(listF71,[[sol[J][1],sol[J][12]]]));
listF70:[[sol[1][1],sol[1][13]]];for J:2 thru N do(listF70:append(listF70,[[sol[J][1],sol[J][13]]]));
listF91:[[sol[1][1],sol[1][15]]];for J:2 thru N do(listF91:append(listF91,[[sol[J][1],sol[J][15]]]));
listF90:[[sol[1][1],sol[1][16]]];F31,-F10*F52+6*F11*F51-80/3*F30*F32+80/3*F31^2-5*F50*F12-8/3,F52,F51,-F10*F72+8*F11*F71-63*F30*F52+168*F31*F51-105*F50*F32-7*F70*F12-8,
F72,F71,-F10*F92+10*F11*F91-576/5*F30*F72+384*F31*F71-2268/5*F50*F52+2268/5*F51^2-1344/5*F70*F32-9*F90*F12-128/5,F92,F91,-F10*FA2+12*F11*FA1-550/3*F30*F92+2200/3*F31*F91-1320*F50*F72+3168*F51*F71-1848*F70*F52-550*F90*F32-11*FA0*F12-256/3,FA2,FA1,-F10*G01,G01,-F10*G21+2*G20*F11-12*F30*G01,G21],[F12,F11,F10,F32,F31,F30, F52,F51,
F50, F72,F71,F70, F92,F91,F90, FA2,FA1,
FA0,G01,G00,G21,G20],[F12I,0,0,F32I,0,0,F52I,0,0,F72I,0,
0,F92I,0,0,FA2I,0,0,G01I,0,G21I,0],[t,Tmin,Tmax,dT]);for J:2 thru N do(listF90:append(listF90,[[sol[J][1],sol[J][16]]]));
listFA1:[[sol[1][1],sol[1][18]]];for J:2 thru N do(listFA1:append(listFA1,[[sol[J][1],sol[J][18]]]));
listFA0:[[sol[1][1],sol[1][19]]];for J:2 thru N do(listFA0:append(listFA0,[[sol[J][1],sol[J][19]]]));
listG01:[[sol[1][1],sol[1][20]]];for J:2 thru N do(listG01:append(listG01,[[sol[J][1],sol[J][20]]]));
listG00:[[sol[1][1],sol[1][21]]];for J:2 thru N do(listG00:append(listG00,[[sol[J][1],sol[J][21]]]));
listG21:[[sol[1][1],sol[1][22]]];for J:2 thru N do(listG21:append(listG21,[[sol[J][1],sol[J][22]]]));
listG20:[[sol[1][1],sol[1][23]]];for J:2 thru N do(listG20:append(listG20,[[sol[J][1],sol[J][23]]]));

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

421

plot2d([[discrete,listF10],

F71INF:[[0,1/8],[20,1/8]];[discrete,listF11],[discrete,listF30],

plot2d([[discrete,listF71],[discrete,listF31],[discrete,listF50],[discrete,F71INF]],[y,0.10,0.20],[discrete,listF51]],[x,0,20],[legend,"dF7"]);[y,-1.5,1.5],[legend,"F1","dF1","F3",

F91INF:[[0,1/10],[20,1/10]];"dF3","F5","dF5"]);plot2d([[discrete,listF91],

plot2d([[discrete,listF70],[discrete,F91INF]],[y,0.0,0.2],[discrete,listF71],[discrete,listF90],[legend,"dF9"]);[discrete,listF91],[discrete,listFA0],

FA1INF:[[0,1/12],[20,1/12]];[discrete,listFA1]],[x,0,20],[y,-10,10],[legend,"F7","dF7","F9",plot2d([[discrete,listFA1],[discrete,FA1INF]],[y,-0.5,0.5],"dF9","F11","dF11"]);[legend,"dF11"]);

plot2d([[discrete,listF70],

plot2d([[discrete,listG00],[discrete,listF71],[discrete,listF90],[discrete,F11INF]],[y,0.95,1.05],[discrete,listF91],[discrete,listFA0],[legend,"G0"]);[discrete,listFA1]],[x,0,20],

plot2d([[discrete,listG20]],[legend,"F7","dF7","F9","dF9","F11",[y,-0.05,0.05],[legend,"G2"]);"dF11"]);

f の式：(8.5.85) 式と g の式：(8.5.86) 式を Runge-

plot2d([[discrete,listG00],

Kutta 法で解く。境界条件として、物体表面：y = 0 で[discrete,listG01],[discrete,listG20],

u = v = w = 0 である。これは (8.5.77) 式、(8.5.78)[discrete,listG21]],[x,0,20],式、(8.5.82) 式から、η = 0 の時、f1 = f3 = f5 = f7 =[y,-1.5,1.5],[legend,"G0","dG0","G2","dG2"]);
plot2d([[discrete,listF10],[discrete,listF11],[discrete,listF30],[discrete,listF31],[discrete,listF50],[discrete,listF51]],[x,0,6],[y,0,1.2],[legend,"F1","dF1","F3","dF3","F5","dF5"]);
plot2d([[discrete,listF70],[discrete,listF71],[discrete,listF90],

f9 = 0、f11 = 0, ddη f1 = ddη f3 = ddη f5 = ddη f7 = 0、ddd η f9 = d η f11 = 0、g0 = g2 = 0 となる。また、外界流条件として、y = ∞ のとき外界流速となる。これは (8.5.77) 式から、η = ∞ のとき、 ddη f1 = 1, ddη f3 =1/4,、
dd η f5= 1/6, ddη f7 = 1/8, ddη f9 = 1/10, ddη f11 =2

1/12, g0 = 1, g2 = 0 となる。 ddη2 f1 の初期値を η = ∞2の条件となるように求め、順次、 ddη2 f3 →ddd η g0 , d η g2 の初期値を求め、解を求める。結果を以下に示す。

[discrete,listF91]],[x,0,6],[y,-15,5],[legend,"F7","dF7","F9","dF9"]);plot2d([[discrete,listFA0],[discrete,listFA1]],[x,0,6],[legend,"F11","dF11"]);
F11INF:[[0,1],[20,1]];
plot2d([[discrete,listF11],[discrete,F11INF]],[y,0.95,1.05],[legend,"dF1"]);F31INF:[[0,1/4],[20,1/4]];
plot2d([[discrete,listF31],[discrete,F31INF]],[y,0.20,0.30],[legend,"dF3"]);
F51INF:[[0,1/6],[20,1/6]];
plot2d([[discrete,listF51],[discrete,F51INF]],[y,0.10,0.20],[legend,"dF5"]);d2
d η 2 f11 、

図 8.5.17: f1 , f3 , f5 の計算結果

第8章

422

粘性流体

(1)x 軸方向剪断応力分布とはく離点/* tau */RN0:R[n]=U[0]*(R)/\nu;
RN1:solve(%,\nu)[1];TAU1:\tau=\mu*’diff(u,y,1);diff(U2,y,1);
DU2Y1:subst([ET2],%);
subst([A1,A3,A5,A7,A9,A11,X21],%);
subst([%],TAU1);%/\rho/U[0]^2*sqrt(R[n]);TAU2:subst([\mu=\nu*\rho,RN1],expand(%));
TAU21:subst([’diff(f[1],eta,2)=F12I,
図 8.5.18: f7 , f9 の計算結果’diff(f[3],eta,2)=F32I,’diff(f[5],eta,2)=F52I,’diff(f[7],eta,2)=F72I,’diff(f[9],eta,2)=F92I,’diff(f[11],eta,2)=FA2I],%);XSEP1:\phi=find_root(rhs(%)=0,\phi,1,3);
PSEP1:lhs(%)=float(rhs(%)*180/%pi);
レイノルズ数：Rn を円柱の半径：R を用いて、次式で
定義する。

U0 R
(8.5.87)ν
x 軸方向の円柱表面の剪断応力を求める。剪断応力：τ
Rn =は次式で得られる。

(
τ =µ

)
d
u
dy

上式に流速：u の (8.5.77) 式、(8.5.76) 式および (8.5.84)

図 8.5.19: f11 の計算結果

式を代入し、無次元化して整理すると、
( 2
( 2
)
)
√
d
d
11
f
f
ϕ
ϕ9
2
2
11
9
d
η
d
η
Rn τ
=
−
+
9
9
U02 ρ
51975 2 2567 2 2( 2))
√ ( d2d5
2 d η 2 f7 ϕ7d η 2 f5 ϕ
√
−
+
315
5 2
( 2
)
5
d
(
)
3
2 2 d η2 f3 ϕ
3
d2
2
f1 ϕ
−
+2
3
d η2
(8.5.88)22

上式で、物体表面：η = 0 の ddη2 f1 ∼ ddη2 f11 の値が要求される。これは Runge-Kutta 法の計算結果の初期値として得られており、これを代入し、右辺を零として解くとはく離点が得られる。以上から、はく離点：

ϕ = 1.898rad. = 108.76deg. となる。

図 8.5.20: g0 , g2 の計算結果

8.5. レイノルズ数の大きい流れ(2) 境界層内流速分布423’diff(f[9],\eta,1)=0,’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]]));

LISB:[R[n]=1000,\phi[x]=100];listU34:[[sol[1][1],float(subst([’diff(f[1]subst([\phi=\phi[x]/180*%pi],X21);,\eta,1)=listF11[1][2],’diff(f[3],\eta,1)

subst(LISA,%);=listF31[1][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51

X22:subst(LISB,%);[1][2],’diff(f[7],\eta,1)=0,’diff(f[9],subst(LISB,RN1);\eta,1)=0,’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]];

RN11:subst(LISA,%);for J:2 thru N do(listU34:append(listU34,

subst(LISA,rhs(U2)/rhs(U0));[[sol[J][1],float(subst([’diff(f[1],\eta,

U3:subst([X22],%);

1)=listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)=

listU31:[[sol[1][1],float(subst([’diff(f[1]listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51,\eta,1)=listF11[1][2],’diff(f[3],\eta,1)[J][2],’diff(f[7],\eta,1)=0,’diff(f[9],=listF31[1][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51\eta,1)=0,’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]]));[1][2],’diff(f[7],\eta,1)=listF71[1][2],listU35:[[sol[1][1],float(subst([’diff(f[1]’diff(f[9],\eta,1)=listF91[1][2],,\eta,1)=listF11[1][2],’diff(f[3],\eta,1)’diff(f[11],\eta,1)=listFA1[1][2]],U3))]];=listF31[1][2],’diff(f[5],\eta,1)=0,

for J:2 thru N do(listU31:append(listU31,[[sol[J][1],float(subst([’diff(f[1],\eta,’diff(f[7],\eta,1)=0,’diff(f[9],\eta,1)=01)=listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)=

for J:2 thru N do(listU35:append(listU35,

listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51[[sol[J][1],float(subst([’diff(f[1],\eta,[J][2],’diff(f[7],\eta,1)=listF71[J][2],1)=listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)=’diff(f[9],\eta,1)=listF91[J][2],’diff(f[11],\eta,1)=listFA1[J][2]],U3))

listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=0,’diff(f[7],\eta,1)=0,’diff(f[9],\eta,1)=0]]));,’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]]));

listU32:[[sol[1][1],float(subst([’diff(f[1],’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]];

plot2d([[discrete,listU31],,\eta,1)=listF11[1][2],’diff(f[3],\eta,1)[discrete,listU32],[discrete,listU33],=listF31[1][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51[discrete,listU34],[discrete,listU35]],[1][2],’diff(f[7],\eta,1)=listF71[1][2],[x,0,5],[y,-0.6,1.2],[legend, "u power’diff(f[9],\eta,1)=listF91[1][2],series up to 11th power","up to 9th’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]];

power","up to 7th power","up to 5th

for J:2 thru N do(listU32:append(listU32,

power","up to 3rd power"],[xlabel,[[sol[J][1],float(subst([’diff(f[1],\eta,"eta"]);

1)=listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)=

subst([A1],ET1)/sqrt(2);listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51

for J:1 thru 500 step 5 do([J][2],’diff(f[7],\eta,1)=listF71[J][2],if J=1 then listUU:[[float(listU31[J][1]’diff(f[9],\eta,1)=listF91[J][2],/sqrt(2)),listU31[J][2]]] else listUU:’diff(f[11],\eta,1)=0],U3))]]));

append(listUU, [[float(listU31[J][1]listU33:[[sol[1][1],float(subst([’diff(f[1]/sqrt(2)),listU31[J][2]]]));,\eta,1)=listF11[1][2],’diff(f[3],\eta,1)=listF31[1][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51

write_data(listUU,"M:\listUU100.cvs");[1][2],’diff(f[7],\eta,1)=listF71[1][2],V3:subst([X22,RN11],%);’diff(f[9],\eta,1)=0,’diff(f[11],\eta,1)

subst([X22,\alpha=\alpha[0]/180*%pi],=0],U3))]];

rhs(W2));for J:2 thru N do(listU33:append(listU33,[[sol[J][1],float(subst([’diff(f[1],\eta,

W3:subst(LISA,%);
listV31:[[sol[1][1],float(subst([f[1]1)=listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)==listF10[1][2],f[3]=listF30[1][2],f[5]listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=listF51=listF50[1][2],f[7]=listF70[1][2],f[9][J][2],’diff(f[7],\eta,1)=listF71[J][2],=listF90[1][2],f[11]=listFA0[1][2]],V3))

subst(LISA,rhs(V2));

]];

第8章

424

粘性流体

[legend, "v power series up to 11th
for J:2 thru N do(listV31:append(listV31,

power","up to 9th power","up to[[sol[J][1],float(subst([f[1]=listF10

7th power","up to 5th power",[J][2],f[3]=listF30[J][2],f[5]=listF50[J][2],f[7]=listF70[J][2],f[9]=listF90"up to 3rd power","w"]);
レイノルズ数：Rn = 1000、α = 45deg. の斜航状態の[J][2],f[11]= listFA0[J][2]],V3))]]));

円柱の境界層内の u, v, w の流速分布を求める。(8.5.77)

listV32:[[sol[1][1],float(subst([f[1]式、(8.5.78) 式、(8.5.81) 式に (8.5.84) 式を代入し、f, g=listF10[1][2],f[3]=listF30[1][2],f[5]の計算結果を用いて求める。ここで次数の影響について=listF50[1][2],f[7]=listF70[1][2],f[9]も示している。上流の加速流近傍：ϕ = 40deg. では次=listF90[1][2],f[11]=0],V3))]];

数の影響はなく、3 次式でも近似できる。しかし、はくfor J:2 thru N do(listV32:append(listV32,[[sol[J][1],float(subst([f[1]=listF10

離点近傍：ϕ = 108.76deg. では、3 次、5 次式では満足できない形状となっている。

[J][2],f[3]=listF30[J][2],f[5]=listF50[J][2],f[7]=listF70[J][2],f[9]=listF90[J][2],f[11]=0],V3))]]));
listV33:[[sol[1][1],float(subst([f[1]=listF10[1][2],f[3]=listF30[1][2],f[5]=listF50[1][2],f[7]=listF70[1][2],f[9]=0,
f[11]=0],V3))]];
for J:2 thru N do(listV33:append(listV33,[[sol[J][1],float(subst([f[1]=listF10[J][2],f[3]=listF30[J][2],f[5]=listF50[J][2],f[7]=listF70[J][2],f[9]=0,f[11]=0],V3))]]));
listV34:[[sol[1][1],float(subst([f[1]=listF10[1][2],f[3]=listF30[1][2],f[5]=listF50[1][2],f[7]=0,f[9]=0,f[11]=0],

図 8.5.21: u 流速分布 (次数の影響)V3))]];

Rn = 1000、α = 45deg.

ϕ = 40deg.

for J:2 thru N do(listV34:append(listV34,[[sol[J][1],float(subst([f[1]=listF10[J][2],f[3]=listF30[J][2],f[5]=listF50[J][2],f[7]=0,f[9]=0,f[11]=0],V3))]]));
listV35:[[sol[1][1],float(subst([f[1]=listF10[1][2],f[3]=listF30[1][2],f[5]=0,
f[7]=0,f[9]=0,f[11]=0],V3))]];
for J:2 thru N do(listV35:append(listV35,[[sol[J][1],float(subst([f[1]=listF10[J][2],f[3]=listF30[J][2],f[5]=0,f[7]=0,f[9]=0,f[11]=0],V3))]]));
listW1:[[sol[1][1],float(subst([g[0]=listG00[1][2],g[2]=listG20[1][2]],W3))]];
for J:2 thru N do(listW1:append(listW1,[[sol[J][1],float(subst([g[0]=listG00[J][2],g[2]=listG20[J][2]],W3))]]));

図 8.5.22: v, w 流速分布 (次数の影響)

plot2d([[discrete,listV31],

Rn = 1000、α = 45deg.

[discrete,listV32],[discrete,listV33],[discrete,listV34],[discrete,listV35],[discrete,listW1]],[x,0,5],[y,-0.6,1.2],

ϕ = 40deg.

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

図 8.5.23: u 流速分布 (次数の影響)

425

ϕ = 80deg.

Rn = 1000、α = 45deg.

図 8.5.26: v, w 流速分布 (次数の影響)

ϕ = 108.76deg.

Rn = 1000、α = 45deg.

(3) 物体表面流向’diff(lhs(U2),y,1)=diff(rhs(U2),y,1);
subst([ET2,X21],%);
subst(LISA,%);
DU3:subst([RN11],%);
subst([\alpha=\alpha[0]/180*%pi],W2);’diff(lhs(%),y,1)=diff(rhs(%),y,1);
subst([ET2,X21],%);
subst(LISA,%);
DW3:subst([RN11],%);
TH1:\theta[1]=atan2(rhs(DW3),rhs(DU3));
図 8.5.24: v, w 流速分布 (次数の影響)

ϕ = 80deg.

TH11:subst([’diff(f[11],\eta,2)=FA2I,’diff(f[9],\eta,2)=F92I,’diff(f[7],\eta,2)

Rn = 1000、α = 45deg.

=F72I,’diff(f[5],\eta,2)=F52I,’diff(f[3],\eta,2)=F32I,’diff(f[1],\eta,2)=F12I,’diff(g[0],\eta,1)=G01I,’diff(g[2],\eta,1)=G21I,’diff(c[5],\eta,2)=0,’diff(d[5],\eta,2)=0,\phi=t/180*%pi],%);
listTH1:[[0,90],[180,90]];
listTH2:[[108.76,60],[108.76,120]];
plot2d([rhs(TH11)*180/%pi,[discrete,listTH1],[discrete,listTH2]],[t,0,140],[x,0,180],[y,0,200],[legend,"limit streamline","90deg","108.76deg"]);
レイノルズ数：Rn = 1000、α = 45deg. の斜航状態の円図 8.5.25: u 流速分布 (次数の影響)

Rn = 1000、α = 45deg.

ϕ = 108.76deg.

柱の物体表面の流向：β は次式で得られる。
( d )
dy u
−1
β = tanddy w
上式の ddy u, ddy w は u, w の流速分布：(8.5.77) 式、(8.5.81) 式を代入し、(8.5.76) 式および (8.5.84) 式を代

第8章

426
入し次式を得る。

(4) 境界層厚さ()√

d2
a1 11 11
f11
ϕ R
d η2
ν
( 2
)√
d
a1 9 9+ 10 a9
f9
ϕ R
2
dη
ν
√
( 2
)
d
a1 7 7+ 8 a7
f
ϕ R
7
2
dη
ν
(8.5.89)( 2)√d
a1 5 5+ 6 a5
f
ϕ
R
5
d η2
ν
( 2
)√
d
a1 3 3+ 4 a3
ϕ R
f3
d η2
ν
( 2
)√
a1
d
ϕR
+ a1
f1
d η2
ν
( ( d ) √ a1 2 2()
a3 d η g2
ν ϕ R
d
πα
w =U0 tan
dy
180
a1
(
)√ )
d
a1
+
g0
dη
ν
d
u =12 a11dy

粘性流体

(8.5.90)22
上式で、物体表面：η = 0 の ddη2 f1 ∼ ddη2 f11 の値が要

\delta[1]=’integrate(1-u(y)/U,y,0,inf);ET2;d*\eta/dy=rhs(ET2);
DET1:solve(%,dy)[1];U2/U0;(1-%)*DET1;
subst([’diff(f[1],\eta,1)=’diff(f[12],\eta,1)+1,’diff(f[3],\eta,1)=’diff(f[32],\eta,1)+1/4,’diff(f[5],\eta,1)=’diff(f[52],\eta,1)+1/6,’diff(f[7],\eta,1)=’diff(f[72],\eta,1)+1/8,’diff(f[9],\eta,1)=’diff(f[92],\eta,1)+1/10,’diff(f[11],\eta,1)=’diff(f[112],\eta,1)+1/12],%);
subst([A1,A3,A5,A7,A9,A11,X21],%);
DLT11:factor(%/R*sqrt(U[0]*R/\nu));
DLT12:\delta[1]/R*sqrt(U[0]*R/\nu)=’integrate(rhs(DLT11)/d/\eta,\eta,0,inf);
DLT13:subst([’diff(f[12],\eta,1)=’diff(f[1]求される。これは Runge-Kutta 法の計算結果の初期値,\eta,1)-1,’diff(f[32],\eta,1)=’diff(f[3]として得られており、これを代入し、流向：β を求める,\eta,1)-1/4,’diff(f[52],\eta,1)=’diff(と下図となる。ϕ = 0deg. 近傍では、x 軸方向の流れは、

f[5],\eta,1)-1/6,’diff(f[72],\eta,1)=

よどみ点近傍の流れとなっており、z 軸方向の流れ：w の’diff(f[7],\eta,1)-1/8,’diff(f[92],\eta,

流れが主になり、β = 90deg. となる。ϕ = 40 → 90deg.

1)=’diff(f[9],\eta,1)-1/10,’diff(f[112],

では、U が早くなり、α = 45deg. であるが β はより小さ\eta,1)=’diff(f[11],\eta,1)-1/12],%);

い角度となっている。はく離点：ϕ = 108.76deg. 近傍でDLT14:subst([’diff(f[12],\eta,1)=’diff(f[1]は、z 軸方向の流れ：w の流れが主になり、β = 90deg.

,\eta,1)-1,’diff(f[32],\eta,1)=’diff(f[3]となる。翼などでは一部分ではく離し、z 軸方向の流れ,\eta,1)-1/4,’diff(f[52],\eta,1)=’diff(が生じると、他の部分にも影響を与え、はく離域が大幅

f[5],\eta,1)-1/6,’diff(f[72],\eta,1)=に広がる場合があり、注意を要する。

’diff(f[7],\eta,1)-1/8,’diff(f[92],\eta,1)=’diff(f[9],\eta,1)-1/10,’diff(f[112],\eta,1)=’diff(f[11],\eta,1)-1/12],
rhs(DLT11/d/\eta));
おしのけ厚さ：δ1 は次式で定義される。
∫ ∞
u (y)
1−
dy
δ1 =
U
0

図 8.5.27: 限界流線の角度：βRn = 1000、α = 45deg.

(8.5.77) 式と (8.5.83) 式から、
(
(
)
(
)
u
d
d
11
= 12 a11
f11 x + 10 a9
f9 x9
U
dη
dη
(
)
)
(
d
d
7
+ 8 a7f7 x + 6 a5
f5 x5
dη
dη
)
(
) )
(
d
d
3
f3 x + a1
f1 x+ 4 a3dηdη
(/ a11 x11 + a9 x9 + a7 x7 + a5 x5)3+ a3 x + a1 x
(8.5.91)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ427

上式をおしのけ厚さの定義式に代入し、円柱の外界流速の係数の (8.5.84) 式を代入し、無次元化すると円柱のおしのけ厚さの分布式を得る。
√( ∫ ∞ (
)
3
δ1 Rn
d
1
2
=− 2
3
f11 −
ϕ10
R
d
η
12
0
)
(
1
d
− 275
f9 −
ϕ8
dη
10
(
)
d
1
+ 15840
f7 −
ϕ6
dη
8
(
)
d
1
− 498960
f5 −
ϕ4
dη
6
)
(
1
d
f3 −
ϕ2
+ 6652800
dη
4
(
) )
d
− 9979200
f1 − 1 dηdη(/ ϕ10 − 110 ϕ8 + 7920 ϕ6 − 332640 ϕ4)+ 6652800 ϕ2 − 39916800

運動量厚さ：δ2 は次式で定義される。
(
)
∫ ∞
u (y)
u (y)
δ2 =
1−
dy
U
U
0
上式に (8.5.91) 式を代入し、おしのけ厚さと同様に処理
し、円柱の運動量厚さの分布式を得ることができる。ここでは記述式が長くなるので式の記述を削除する。
for K:1 thru 109 do(

L:K,
DLT10:0.0,
DLT20:0.0,
DLTPH:\phi=L*%pi/180,
for J:1 thru 500 do(
DLT1KJ:subst([DLTPH,’diff(f[1],\eta,1)=
listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)=
listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=
listF51[J][2],’diff(f[7],\eta,1)=
listF71[J][2],’diff(f[9],\eta,1)=
listF91[J][2],’diff(f[11],\eta,1)=(8.5.92)

listFA1[J][2]],DLT14),
DLT10:float(DLT10+DLT1KJ*dT),\delta[2]=’integrate(u(y)/U*(1-u(y)/U),y,0DLT2KJ:subst([DLTPH,’diff(f[1],\eta,1)=,inf);

listF11[J][2],’diff(f[3],\eta,1)=

U2/U0*(1-U2/U0)*DET1;

listF31[J][2],’diff(f[5],\eta,1)=

subst([’diff(f[1],\eta,1)=’diff(f[12],\eta

listF51[J][2],’diff(f[7],\eta,1)=,1)+1,’diff(f[3],\eta,1)=’diff(f[32],\eta

listF71[J][2],’diff(f[9],\eta,1)=,1)+1/4,’diff(f[5],\eta,1)=’diff(f[52],listF91[J][2],’diff(f[11],\eta,1)=\eta,1)+1/6,’diff(f[7],\eta,1)=’diff(f[72],\eta,1)+1/8,’diff(f[9],\eta,1)=’diff(

listFA1[J][2]],DLT24),
DLT20:float(DLT20+DLT2KJ*dT)),

f[92],\eta,1)+1/10,’diff(f[11],\eta,1)=

if K=1 then listDLT2:[[L,DLT20]] else

’diff(f[112],\eta,1)+1/12],%);

listDLT2:append(listDLT2, [[L,DLT20]]),subst([A1,A3,A5,A7,A9,A11,X21],%);

if K=1 then listDLT1:[[L,DLT10]] else

DLT21:factor(%/R*sqrt(U[0]*R/\nu));

listDLT1:append(listDLT1, [[L,DLT10]]));

DLT22:\delta[2]/R*sqrt(U[0]*R/\nu)=write_data(listDLT2,"M:\listDLT2.cvs");’integrate(rhs(DLT21)/d/\eta,\eta,0,inf);

write_data(listDLT1,"M:\listDLT1.cvs");

DLT23:subst([’diff(f[12],\eta,1)=’diff(f[1]TAU22:subst([\phi=t*%pi/180],rhs(TAU21));,\eta,1)-1,’diff(f[32],\eta,1)=’diff(f[3]plot2d([TAU22,[discrete,listDLT2],,\eta,1)-1/4,’diff(f[52],\eta,1)=’diff([discrete,listDLT1]],[t,0,109],

f[5],\eta,1)-1/6,’diff(f[72],\eta,1)=[legend,"tau","delta2","delta1"],’diff(f[7],\eta,1)-1/8,’diff(f[92],\eta,1)[xlabel,"phi"]);=’diff(f[9],\eta,1)-1/10,’diff(f[112],\eta,1)=’diff(f[11],\eta,1)-1/12],%);DLT24:subst([’diff(f[12],\eta,1)=’diff(
f[1],\eta,1)-1,’diff(f[32],\eta,1)=’diff(f[3],\eta,1)-1/4,’diff(f[52],\eta,1)=’diff(f[5],\eta,1)-1/6,’diff(f[72],\eta,1)=’diff(f[7],\eta,1)-1/8,’diff(
f[92],\eta,1)=’diff(f[9],\eta,1)-1/10,’diff(f[112],\eta,1)=’diff(f[11],\eta,1)-1/12],rhs(DLT21/d/\eta));

第8章

428
f, g の計算結果から、(8.5.92) 式などの数値積分を行

粘性流体

list:read_list("M:\listUU100.cvs");

い、円柱の x 軸方向のおしのけ厚さと運動量厚さの分布

for J:1 thru 100 do(を以下に示す。また、(8.5.88) 式による円柱の x 軸方向

if J=1 then listUU100:[[list[1],list[2]]]の剪断応力分布も以下に示す。

else listUU100:append(listUU100,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listUU108.cvs");for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU108:[[list[1],list[2]]]else listUU108:append(listUU108,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
plot2d([[discrete,listUU20],[discrete,listUU40],[discrete,listUU60],[discrete,listUU80],[discrete,listUU100],[discrete,listUU108]],[x,0,5], [legend,"phi=20deg","phi=40deg","phi=60deg","phi=80deg","phi=100deg","phi=108.76deg"],[y,0,1.2],[xlabel,"y*sqrt(Rn)/R"]);
また、境界層内の流速分布を下記に示す。

図 8.5.28: 剪断力、境界層厚さの分布

Rn = 1000/* 速度分布 */list:read_list("M:\listUU20.cvs");for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU20:[[list[1],list[2]]]else listUU20:append(listUU20,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listUU40.cvs");for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU40:[[list[1],list[2]]]else listUU40:append(listUU40,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listUU60.cvs");for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU60:[[list[1],list[2]]]図 8.5.29: 流速：u の分布

Rn = 1000

else listUU60:append(listUU60,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));

剪断応力の最大値は 60 度近辺で、最大流速の 90 度よ

list:read_list("M:\listUU80.cvs");り前にある。そして、60 度近辺以降から、境界層厚さ

for J:1 thru 100 do(

は急激に増す。

if J=1 then listUU80:[[list[1],list[2]]]else listUU80:append(listUU80,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

429

境界層の運動量方程式

8.5.8

境界層の方程式を主流方向：x 軸方向に運動量の法則を適用するため、境界層厚さ方向：y 方向に積分し、剪

上式を y 方向に積分して、∫ ydu (x, y, t) dy (8.5.96)v (x, y, t)−v (x, 0, t) = −dx0(8.5.95) 式を (8.5.94) 式に代入し、u → u (x, y, t)、v →式を得る。二次元の x − y 座標系で、流速の各コンポー v (x, y, t) に置き換えて、()
ネント：u, v 、圧力：p、密度：ρ、動粘性係数：ν とする。
dv (x, y, t)u (x, y, t)dy()/* 境界層方程式 */dd+ u (x, y, t)u (x, y, t) +u (x, y, t)kill(all);
dx
dt
(
)
load("vector");
d
d
−
U
(x,
t)
U
(x,
t)
−
U (x, t)MAS0:’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
dx
dt
( 2
)
NAV1:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))
d
=ν
u
(x,
y,
t)
+’diff(u,t,1)=\nu*(’diff(u,y,2))d y2-’diff(p,x,1)/\rho;(8.5.97)
NAV0:U*(’diff(U,x,1))+’diff(U,t,1)=
上式の左右項を入れ替えて、下記の下線部分の２項は以-’diff(p,x,1)/\rho;
降の式の展開をスムースに行うために付加する。
assume(\delta(x,t)>0);
)(a)
(
)(d)
( 2
MAS1:subst([u=u(x,y,t),v=v(x,y,t)],MAS0);
d
d
u
(x,
y,
t)
=v
(x,
y,
t)
u
(x,
y,
t)
ν
assume(y>0);
d y2
dy
(
)(e)
MAS11:first(lhs(MAS1))=-last(lhs(MAS1));d+u (x, y, t)u (x, y, t)
integrate(%,y,0,y);dx
MAS12:subst([v(x,0,t)=0],%);d(b)+ u (x, y, t)
dt
assume(y[i]>0);)(c)(d
NAV1-NAV0;
U (x, t)−U (x, t)dx
subst([u=u(x,y,t),U=U(x,t),v=v(x,y,t)],%);()(c)
d
NAV11:rhs(%)=lhs(%);+u (x, t)
U (x, t)dx
’integrate(lhs(NAV11),y,0,y[i]);()(e)
ev(%,integrate);d−u (x, t)
U (x, t)MO11:subst([limit(’diff(u(x,y,t),y,1),y,dx
y[i],minus)=0,limit(’diff(u(x,y,t),y,1),d(b)− U (x, t)
dt
y,0,plus)=\tau[0](x)/\mu,\nu=\mu/\rho],%);(8.5.98)
二次元の質量保存の方程式は、(8.5.2) 式から、
断応力：τ0 、おしのけ厚さ：δ1 、運動量厚さ：δ2 の関係

d
d
v+
u=0
dy
dx

(8.5.93)「8.5.1 境界層の方程式」から、境界層の方程式は、(8.5.3)
式から、
(

)
(
)
d
d
d
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
( 2 )
d
d
dx p
=ν
u
−
d y2
ρ

U

d
U
dx

)

d
p
d
+
U = − dxdtρddv (x, y, t) = −u (x, y, t)dydx

y = δ で ddy u = 0 であるから、∫ δ(8.5.94)(a)d2
u (x, y, t) dy
2
0 dy
(
)
d
d
=ν
lim
u (x, y, t) − limu (x, y, t)
y→0+ d yy→δ− d y(a)=−(8.5.95)(8.5.93) 式を u → u (x, y, t)、v → v (x, y, t) に置き換
えて、して、物体表面の y = 0 で µ ddy u = τ0 、境界層暑さのν

また、外界流：U と圧力との関係は、(8.5.5) 式から((8.5.98) 式の左辺を y 方向に 0 → δ 境界層厚さまで積分

τ0 (x)
ρ(8.5.99)

第8章

430

粘性流体

DLT1:\delta[1](x,t)=’integrate((1-u(x,y,t)
MOR0-MO21;/U(x,t)),y,0,\delta(x,t));lhs(%)*U(x,t)=’integrate((U(x,t)-u(x,y,t))MO41:last(%)+u(x,y,t)*’diff(U(x,t),x,1);
factor(MO41);,y,0,\delta(x,t));’integrate(%,y,0,\delta(x,t));

DLT2:rhs(%)=lhs(%);

MO42:subst([DLT3],%);
MO51:MOR0-MO21-MO41;

DLT3:’integrate(u(x,y,t)-U(x,t),y,0,\delta(x,t))=-\delta[1](x)*U(x,t);MO61:first(MO51);

THE1:\delta[2](x,t)=’integrate(u(x,y,t)

MO71:MO51-MO61;/U(x,t)*(1-u(x,y,t)/U(x,t)),y,0,

subst([MAS12],MO61);\delta(x,t));’integrate(%,y,0,\delta(x,t));

THE2:rhs(%)=lhs(%);
THE3:’integrate(u(x,y,t)*(U(x,t)-u(x,y,t)),y,0,\delta(x,t))=\delta[2](x,t)*U(x,t)^2;-((limit(u(x,y,t)*’integrate(’diff(u(x,y,t),x,1),y,0,y),y,\delta(x,t))-limit(u(x,y,t)*’integrate(’diff(u(x,y,t),x,1),y,0,y),y,MOR0:rhs(NAV11);
MO21:-’diff(U(x,t),t,1)+’diff(u(x,y,t),t,1);-’diff(’integrate(U(x,t)-u(x,y,t),y,0,,x,1),y,0,\delta(x,t)));MO62:-((U(x,t)*’integrate(’diff(u(x,y,t),x,\delta(x,t)),t,1);
MO22:subst([DLT2],%);
次に、おしのけ厚さ:δ1 、運動量厚さ：δ2 について準備しておく。おしのけ厚さ：δ1 (x, t) は次のように定義さ1),y,0,\delta(x,t)))-’integrate(u(x,y,t)*diff(u(x,y,t),x,1),y,0,\delta(x,t)));%+’integrate(first(MO71),y,0,\delta(x,t))+’integrate(last(MO71),y,0,\delta(x,t));れる。ここで δ (x, t) は境界層厚さである。

-’integrate((U(x,t)-u(x,y,t))*’diff(∫ δ(x,t)1−

δ1 (x, t) =0,plus))-’integrate(u(x,y,t)*diff(u(x,y,t)

0

u (x, y, t)dy
U (x, t)u(x,y,t),x,1),y,0,\delta(x,t))-’integrate(’diff((U(x,t)-u(x,y,t)),x,1)*u(x,y,t),y,

上式を変形して、

0,\delta(x,t));∫ δ(x,t)-’integrate(’diff((U(x,t)-u(x,y,t))U (x, t) − u (x, y, t) dy

δ1 (x, t) U (x, t) =0*u(x,y,t),x,1),y,0,\delta(x,t));-’diff(’integrate(((U(x,t)-u(x,y,t))*u(x,y,t)),y,0,\delta(x,t)),x,1);

上式から、∫ δ(x,t)MO52:subst([THE3],%);u (x, y, t) − U (x, t) dy = −δ1 (x) U (x, t)

0(8.5.100)
運動量厚さ：δ2 (x, t) は次のように定義される。

∫ δ(x,t)
δ2 (x, t) =0u (x, y, t)
U (x, t)(u (x, y, t)
1−
U (x, t)

MOA1:expand(-%);
subst([\delta[2](x,t)=\delta[2](x),)\delta[1](x,t)=\delta[1](x),U(x,t)=U(x)]dy

上式を変形して、,%);
lhs(%)=ev(rhs(%),diff);
MOA2:lhs(%)=partfrac(rhs(%),U(x)*(∫ δ(x,t)(U (x, t) − u (x, y, t)) u (x, y, t) dy0= δ2 (x, t) U (x, t)MO11=MO22+MO42+MO52;(8.5.101)2(8.5.98) 式の右辺第三項 (b) 、右辺第七項 (b) について y方向に積分し、(8.5.100) 式から、

d
d
(b)
(b)
u (x, y, t) −U (x, t)dt
dt
∫ δ(x,t)d
U (x, t) − u (x, y, t) dy
→−
dt 0
d
(b)
=−
(δ1 (x, t) U (x, t))dt(8.5.102)’diff(U(x),x,1)));(8.5.98) 式の右辺第四項 (c) 、右辺第五項 (c) について y方向に積分し、(8.5.100) 式から、
(
)
(
)
d
d
u (x, y, t)
U (x, t) − U (x, t)
U (x, t)dx
dx(
) ∫ δ(x,t)
du (x, y, t) − U (x, t) dy→
U (x, t)
dx
0
(
)(c)
d
= − δ1 (x) U (x, t)
U (x, t)dx
(8.5.103)(8.5.98) 式の右辺第一項 (d) の v (x, y, t) に (8.5.96) 式を代入すると次式となる。これを y 方向に積分し、部分

8.5. レイノルズ数の大きい流れ
積分を活用する。ここで y → δ (x, t) では u (x, y, t) →U (x, t) となり、y → 0+ では u (x, y, t) → 0 となり、次
式となる。

)(d)
d
v (x, y, t)u (x, y, t)
dy
(
)∫ y
d
d
=−
u (x, y, t)u (x, y, t) dy
dy
d
x
0
)∫ y
∫ δ(x,t) (dd→u (x, y, t)u (x, y, t) dydy
dy
0
0 dx
∫ y
d
u (x, y, t) dy= − lim u (x, y, t)
y→δ(x,t)0 dx∫ yd+ lim u (x, y, t)u (x, y, t) dy
y→0+
0 dx
(
)
∫ δ(x,t)d+u (x, y, t)u (x, y, t) dy
dx
0
(
)(d)
∫ δ(x,t)d=u (x, y, t)u (x, y, t)dydx0∫ δ(x,t)d(d)u (x, y, t) dy−U (x, t)dx0(8.5.104)((8.5.98) 式の右辺第二項 (e) 、右辺第六項 (e) について y方向に積分し、上式 (d) と合わせ、更に (8.5.101) 式を代入し、()(d)(e)∫ δ(x,t)d2u (x, y, t)u (x, y, t)dydx0∫ δ(x,t)d(d)−U (x, t)u (x, y, t) dydx
0() ∫ δ(x,t)d(e)−
U (x, t)u (x, y, t) dydx0)(∫ δ(x,t)du (x, y, t) dy=−(U (x, t) − u (x, y, t))dx
0()∫ δ(x,t)d−u (x, y, t)(U (x, t) − u (x, y, t)) dydx0∫ δ(x,t)d=−((U (x, t) − u (x, y, t)) u (x, y, t)) dydx0∫ δ(x,t)d(U (x, t) − u (x, y, t)) u (x, y, t) dy=−dx 0)(d)(e)d (2=−δ2 (x, t) U (x, t)
dx(8.5.105)(8.5.98) 式を各項に分けて y 方向に積分した結果：(8.5.99)
式、(8.5.102) 式、(8.5.103) 式、(8.5.105) 式から下記の境界層の運動量方程式が得られた。
(a)τ0 (x)
ρ=)(d)(e)d (2δ2 (x, t) U (x, t)
dx
d
(b)
+
(δ1 (x, t) U (x, t))
dt
)(c)
(
d
U (x, t)+ δ1 (x) U (x, t)
dx(8.5.106)431
定常状態では、下記の境界層の運動量方程式となる。
()
τ0 (x)d= (2 δ2 (x) + δ1 (x)) U (x)
U (x)
ρ
dx
(
)
d
2
+ U (x)δ2 (x)
dx(8.5.107)

第8章

432

8.5.9

運動量方程式の近似解法

Bohlen & Walz の運動量方程式の近似解法を以下に示す。ここで定常状態を扱うとして、前節同様 x − y 座
標系を用い、主流方向に x 軸、物体表面から垂直上方に

粘性流体

界層内の流速分布：u (x, y) を下記の 4 次式で表現し、ηの関数とする。

u (x, y)= A4 η 4 + A3 η 3 + A2 η 2 + A1 ηU (x)(8.5.108)y 軸とする。
kill(all);

ここで、物体表面：y = 0 で η = 0、境界層厚さ：y = δ(x)load("vector");で η = 1 とすると、

depends(\eta,[y]);NAV11:\nu*(’diff(u(x,y,t),y,2))=v(x,y,t)*(’diff(u(x,y,t),y,1))+u(x,y,t)*(’diff(u(x,y,t),x,1))+’diff(u(x,y,t),t,1)-U(x,t)*(’diff(U(x,t),x,1))-’diff(U(x,t),t,1);
MOA2:\tau[0](x)/\rho=(2*\delta[2](x)+\delta[1](x))*U(x)*(’diff(U(x),x,1))+U(x)^2*(’diff(\delta[2](x),x,1));U1:u(x,y)/U(x)=A[1]*\eta+A[2]*\eta^2+A[3]*\eta^3+A[4]*\eta^4;
U2:U1*U(x);LA1:\Lambda(x)=\delta(x)^2/\nu*’diff(U(x),x,1);
ET1:\eta=y/\delta(x);ET2:diff(ET1,y,1);ET3:diff(ET1,y,2);diff(U2,y,1);
DU2:factor(subst([ET2],%));diff(U2,y,2);
DDU2:factor(subst([ET2,ET3],%));
LA2:solve(LA1,’diff(U(x),x,1))[1];
NAV10:subst([u(x,y,t)=u(x,y)],lhs(NAV11))=subst([v(x,y,t)=0,u(x,y,t)=0,U(x,t)=U(x),’diff(U(x),t,1)=0],rhs(NAV11));subst([DDU2,LA2,\eta=0],%);
AA1:solve(%,A[2])[1];AA2:subst([u(x,y)=U(x),\eta=1],U2);
AA3:subst([\eta=1],rhs(DU2))=0;

η=

y
,
δ (x)

境界条件として、y = 0

また、y = δ(x)(η = 1) で、limy→δ(x)− u (x, y) = U (x)、2limy→δ(x)− ddy u (x, y) = 0、limy→δ(x)− ddy2 u (x, y) = 0
である。この関係を境界層の方程式：(8.5.3) 式に代入し()()
整理すると U (x) ddx U (x) = U (x) ddx U (x) で既に満足している。
ここで、下記の Λ (x) を導入する。
)
2 (δ (x) ddx U (x)Λ (x) =
ν

式を代入し、下記となる。
(
(
)
(
)
d
d
d
u (x, y) = 4 A4 η 3
η + 3 A3 η 2
η
dy
dy
dy
(
)
(
))
d
d
+ 2 A2 η
η + A1
η
U (x)
dy
dy
(
)
4 A4 η 3 + 3 A3 η 2 + 2 A2 η + A1 U (x)=δ (x)(8.5.112)d2
u (x, y) =
d y2

/6;
G1:g(\eta)=-(\eta^4-3*\eta^3+3*\eta^2-\eta)/6;

境界層の外界流速：U (x)、境界層厚さ：δ (x) で、境((4 A4 η

3

d2
η
d y2

)

)
( 2 )
d
d2
η + 2 A2 η
η
+ 3 A3 η
d y2
d y2
( 2 )
(
)2
d
d
2
+ A1
η
+
12
A
η
η
4
d y2
dy
(
(
)2
)2 )
d
d
+ 6 A3 ηη + 2 A2
η
dy
dy
(
)
2 6 A4 η 2 + 3 A3 η + A2 U (x)(2

F1:f(\eta)=-(-6*\eta^4+12*\eta^3-12*\eta)

U13:U12*U(x);(8.5.111)d2
dd y u (x, y)、d y 2 u (x, y) は (8.5.108) 式を微分し、(8.5.109)

U11:partfrac(%,\Lambda);

subst([F1,G1],U12);(η = 0) で、の関係を境界層の方程式：(8.5.3) 式に代入し整理すると
(
)
(
)
d2
d
ν
lim
u (x, y) = −U (x)U (x)y→0+ d y 2
dx(8.5.110)

subst([AA0],U1);

U12:lhs(U11)=f(\eta)+\Lambda(x)*g(\eta);(8.5.109)

limy→0+ u (x, y) = 0、limy→0+ v (x, y) = 0 である。こAA4:subst([\eta=1],rhs(DDU2))=0;
AA0:solve([AA1,AA2,AA3,AA4],[A[1],A[2],A[3],A[4]])[1];

d2
η=0
d y2

d
1
η=
,
dy
δ (x)

=

δ (x)

2

(8.5.113)
次に (8.5.108) 式の An を求める。(8.5.110) 式の境界条
件式に、(8.5.113) 式に η = 0 を代入した式を代入し、

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

433(8.5.111) 式を更に代入して、
2 A2 ν U (x)
δ (x)

2

=−

THE1;

ν Λ (x) U (x)δ (x)u(x,y)/U(x)*(1-u(x,y)/U(x))*dy;2

subst([U13,dy=\delta(x)*d*\eta],%);

上式から、\delta[2](x)=’integrate(%/d/\eta,\eta,0,1);Λ (x)A2 = −(8.5.114)2
y = δ(x) (η = 1) で limy→δ(x)− u (x, y) = U (x) から、(8.5.108) 式より、
U (x) = (A4 + A3 + A2 + A1 ) U (x)(8.5.115)

THE4:%/delta(x);subst([F1,G1],%);
THE5:expand(ev(%,integrate));THE6:factor(solve(THE5,\delta[2](x))[1]);TAU1:\tau[0](x)=limit(\nu*\rho*’diff(u(x,y),y,1),y,0);

y = δ(x)(η = 1) で limy→δ(x)− ddy u (x, y) = 0 から、(8.5.112) 式より、’diff(u(x,y),y,1)=subst([U13,F1,G1],’diff(u(x,y),y,1));(4 A4 + 3 A3 + 2 A2 + A1 ) U (x)
=0
δ (x)

ev(%,diff);(8.5.116)

subst([ET2,\eta=0],%);
subst([%],TAU1);

2

y = δ(x) (η = 1) で limy→δ(x)− ddy2 u (x, y) = 0 から、

TAU2:expand(%/U(x)*\delta(x)/\mu);(8.5.113) 式より、

TAU6:factor(solve(TAU2,\tau[0](x))[1]);2 (6 A4 + 3 A3 + A2 ) U (x)
2

δ (x)

=0

(8.5.117)(8.5.119) 式の境界層内の流速分布を用いて、境界層
厚さや剪断力を求める。おしのけ厚さ：δ1 (x, t) は次式

上記の (8.5.114) 式から (8.5.117) 式の連立方程式を解で定義される。

∫ δ(x,t)いて、

Λ (x) + 12
Λ (x), A2 = −,62
Λ (x) − 4
Λ (x) − 6
A3 =, A4 = −2
61−

δ1 (x, t) =0

A1 =(8.5.118)

u (x, y, t)dy
U (x, t)ここで、積分を η で行うので、(8.5.109) 式から被積分関数は次の関係がある。
()
u (x, y)上記を (8.5.108) 式式に代入し、境界層内の流速分布：
dy 1 −U (x)u (x, y) を外界流速変化：Λ (x) で表現できた。
=d η δ (x) (−g (η) Λ (x) − f (η) + 1)
( 4)
−η + 3 η 3 − 3 η 2 + η Λ (x)u (x, y)
=
以上から、
U (x)
6

+

6 η 4 − 12 η 3 + 12 η6u (x, y)=g (η) Λ (x) + f (η)
U (x)6 η 4 − 12 η 3 + 12 η
f (η) =
6
−η 4 + 3 η 3 − 3 η 2 + η
g (η) =
6

(8.5.119)δ1 (x)=δ (x)∫ 1−g (η) Λ (x) − f (η) + 1dη
0(8.5.120)

3
Λ (x)
= −
10
120
運動量厚さ：δ2 (x, t) は次式で定義される。

∫ δ(x,t)
δ2 (x, t) =

DLT1;

0

u (x, y, t)
U (x, t)(u (x, y, t)
1−
U (x, t))dy

(1-u(x,y)/U(x))*dy;

ここで、積分を η で行うので、(8.5.109) 式から被積分

subst([U12,dy=\delta(x)*d*\eta],%);

関数は次の関係がある。
()
dy u (x, y)u (x, y)
1−
U (x)
U (x)

\delta[1](x)=’integrate(%/d/\eta,\eta,0,1);
DLT4:%/\delta(x);subst([F1,G1],%);
DLT5:expand(ev(%,integrate));DLT6:factor(solve(DLT5,\delta[1](x))[1]);=d η δ (x) (−g (η) Λ (x) − f (η) + 1)
× (g (η) Λ (x) + f (η))

第8章

434
以上から、
∫ 1
δ2 (x)=(−g (η) Λ (x) − f (η) + 1)
δ (x)0

× (g (η) Λ (x) + f (η)) dηK3:subst([LA2,K1,THE6],LA81);\delta[1](x)/\delta[2](x);DLT7:%=subst([DLT6,THE6],%);(8.5.121)

DLT72:f[1]=rhs(DLT7);\tau[0](x)*\delta[2](x)/\nu/\rho/U(x);物体表面に作用する剪断応力：τ0 は、)(
du (x, y)τ0 (x) = ν ρ lim
y→0 d yTAU7:%=subst([TAU6,THE6],%);TAU71:lhs(%)=f[2];TAU711:solve(%,tau[0](x))[1];(8.5.119) 式の境界層内の流速分布：u (x, y) を y で微分
すると、

2η
d
u (x, y) = −
dy
3η

2

+

(
(

d
dy η

d
dy η

DLT71:lhs(%)=f[1];DLT711:solve(%,delta[1](x))[1];

2

Λ (x)
Λ (x)
37
=−
−
+
9072
945
315

3

TAU72:f[2]=rhs(TAU7);
下記の k (x)、z (x) を導入する。

)
Λ (x) U (x)k (x) =

3
)

)(a)
2 ( d
d x U (x)

δ2 (x)

ν(8.5.123)2δ2 (x)
z (x) =
ν()
dk (x) = z (x)
U (x)
dx

Λ (x) U (x)

) 2
d
−η
η Λ (x) U (x)dy)(
dd y η Λ (x) U (x)
+
( 6)
d
3
+ 4η
η U (x)dy)(dη U (x)− 6 η2dy()
d+2
η U (x)dy((8.5.125)の関数の式にすると、()22
Λ (x) 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328

k (x) =

2057529600(8.5.126)

δ1 (x)
δ2 (x) は、(8.5.120) 式と (8.5.121) 式から、378 (Λ (x) − 36)
δ1 (x)=
δ2 (x) 5 Λ (x)2 + 48 Λ (x) − 5328(b)

(8.5.127)=f1の剪断応力の式に代入すると、
(
)
Λ (x)
2
τ0 (x) = ν ρ+U (x)6 δ (x) δ (x)f1 =

378 (Λ (x) − 36)
2

5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328

τ0 (x) δ2 (x)ν ρ U(x) は、(8.5.121) 式と (8.5.122) 式から、

上式から、

τ0 (x) δ (x)
Λ (x)
=
+2
µ U (x)6(8.5.124)(8.5.123) 式に (8.5.111) 式と (8.5.121) 式を代入し、Λ (x)

上式に、(8.5.109) 式の関係式と η = 0 を代入し、上記(8.5.122)/* Bohlen & Walz */τ0 (x) δ2 (x)(Λ (x) + 12)=−
ν ρ U (x)272160()
2
× 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328
(c)

=f2

LA8:k(x)=\delta[2](x)^2/\nu*’diff(U(x),x,1);
K1:z(x)=\delta[2](x)^2/\nu;

f2 = −(Λ (x) + 12)( 272160
2

× 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328

K2:solve(K1,\delta[2](x)^2)[1];diff(K2,x,1);
DK2:solve(%,’diff(delta[2](x),x,1))[1];LA81:subst([K2],LA8);)(8.5.128)

K11:solve(LA8,delta[2](x)^2)[1];LA82:solve(LA81,z(x))[1];

粘性流体

2

(8.5.124) 式から、δ2 (x) を x で微分して、下記の関係式を得る。
2

δ2 (x) =ν z (x)
(
)
(
)(d)
d
d
2 δ2 (x)δ2 (x) =ν
z (x)
dx
dx

(8.5.129)8.5. レイノルズ数の大きい流れ

435

定常状態の運動量方程式は (8.5.107) 式から、()
τ0 (x)d= (2 δ2 (x) + δ1 (x)) U (x)
U (x)
ρ
dx
(
)
d
2
+ U (x)δ2 (x)
dx

上式を整理すると次式となる。
(
)
d
U (x)
z (x) = 2 f2 − (2 f1 + 4) k (x)
dx
(
)
d
U (x)
z (x) = fdx()
25 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328
f =−514382400()
3
2
× 5 Λ (x) + 237 Λ (x) − 8352 Λ (x) + 45360

δ (x)上式に ν 2U(x) を掛け、

τ0 (x) δ2 (x)ν ρ U (x)

(c)

=

)(a)
2 ( d
d x U (x)2 δ2 (x)ν+δ1 (x) δ2 (x)(8.5.130)( d)(a)(b)d x U (x)k (x) , f, f1 , f2 は Λ (x) の関数であり、その結果を下図に示す。よどみ点では U (x) = 0 であり、f = 0 となる。こ

ν
( d

)(d)
δ2 (x) U (x) d x δ2 (x)+ν(8.5.123) 式 (a) 、(8.5.127) 式 (b) 、(8.5.128) 式 (c) 、(8.5.129) 式 (d) を上式に代入し、
U (x)
(c)
f2 =

( d

d x z (x))(d)2(a)(b)+ f1 k (x)+ 2 k (x)(a)

MOA3:expand(MOA2*\delta[2](x)/\nu/U(x));
subst([DLT711,K11,TAU711,DK2],%);
MOA31:U(x)*solve(%,’diff(z(x),x,1))[1];
MOA32:lhs(%)=f;
F0:f=2*f[2]-(2*f[1]+4)*k(x);図 8.5.30: k (x) , f, f1 , f2

F01:factor(subst([DLT72,TAU72,K3],%));
K3PL:subst([\Lambda(x)=t],rhs(K3));
F0PL:subst([\Lambda(x)=t],rhs(F01));のときの Λ (x) , k (x) は根を Maxima の関数：find root

F1PL:subst([\Lambda(x)=t],rhs(DLT72));で求め、下記となる。

F2PL:subst([\Lambda(x)=t],rhs(TAU72));
plot2d([K3PL,F0PL,F1PL,F2PL],[t,-15,15],[legend, "K","F","F1","F2"],[xlabel,"Lambda"]);plot2d(F0PL,[t,-15,15],[legend, "F"]);Λ (x) = 7.052323,

k (x) = 0.07703562 at f=0

また、平板のように ddx U (x) = 0 では、(8.5.125) 式から、k (x) = 0 となり、このとき f は下記となる。

LAF0:\Lambda(x)=find_root(F0PL=0,t,-15,15);

f = 0.46984126984127

K0:subst([LAF0],K3);
F00:subst([LAF0],F01);

はく離点は (8.5.128) 式から、τ0 = 0 の時で、Λ (x) =F10:subst([LAF0],DLT72);−12 である。よって、Λ (x) = 7.052 → −12、k (x) =F20:subst([LAF0],TAU72);

0.0770 → −0.1567 の範囲で変動すると考えられる。次F02:float(subst([\Lambda(x)=0],F01));に、f と k (x) の関係を下図に示す。ここで、f を次の-F02/K0;

直線近似：f = a k (x) + b で表現する。よどみ点である

FD0:f=0.47-6.0*k(x);f = 0 の点と ddx U (x) = k (x) = 0 の点を通る直線とす

FD0PL:subst([k(x)=x],rhs(FD0));

ると、

plot2d([FD0PL,[parametric,K3PL,F0PL,[t,-15,15],[nticks,50]]],[x,-0.2,0.1],[legend, "F1","F"],[xlabel,"k(x)"]);

b = f = 0.4670,a=−f= −6.0k (x)以上から f を次式で近似する。次式は、よどみ点から
dd x U (x) = 0 近傍まではよく表現しているが、

第8章

436
d
d x U (x) = 0 近傍からはく離点に至る部分で近似度は悪くなる。

f = 0.470 − 6.0 k (x)(8.5.131)

粘性流体

ここで、

( 2
)
d
d
k (x) =z (x)
U (x)
dx
d x2
(
)(
)
d
d
+
z (x)
U (x)
dx
dx
上式を (8.5.132) 式に代入し、
(
)(
d
)
( 2
f
d k(x)ddz (x) = d
z (x)
U
(x)
dx
d x2
d x U (x)
(
)(
))
d
d
+
z (x)
U (x)
dx
dx

上式から、 ddx z (x) を求めると下記となる。更に、f は(8.5.130) 式から Λ (x) の関数であるから、(

図 8.5.31: f の k (x) による近似/* Initial Condition */MOA4:MOA32/U(x);MOA41:lhs(MOA4)=’diff(f,k(x),1)*’diff(k(x),x,1)/diff(U(x),x,1);
DF01:’diff(lhs(F01),k(x),1)=’diff(lhs(F01)

( 2
)
d
z
(x)
U
(x)
2
dx
d
)(
z (x) = − ()
dddxd k(x) f − 1
d x U (x)()
dd Λ(x) f k (x)
)(
=− (
)
d
f
d Λ(x)
d
−
1
k
(x)
d
d
Λ(x)
k(x)
d Λ(x)
( 2
)
d
U
(x)
2
dx
× (
)2
d
d x U (x)dd k(x) f)(8.5.133),\Lambda(x),1)/’diff(k(x),\Lambda(x),1);
DF011:’diff(lhs(F01),\Lambda(x),1)=d(10 Λ (x) + 48)
f =−d Λ (x)514382400(
3
2
× 5 Λ (x) + 237 Λ (x)diff(rhs(F01),\Lambda(x),1);
DK31:’diff(lhs(K3),\Lambda(x),1)=
diff(rhs(K3),\Lambda(x),1);)

DK32:diff(LA81,x,1);− 8352 Λ (x) + 45360

subst([DK32],MOA41);(

solve(%,’diff(z(x),x,1))[1];−lhs(%)=subst([LA82,DF01],rhs(%));
subst([DF011,DK31,K3],%);)
25 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328

514382400()
2
× 15 Λ (x) + 474 Λ (x) − 8352

DZX0:subst([LAF0],%);
subst([K3],LA82);
ZX0:subst([LAF0],%);(8.5.130) 式から次式の微分方程式が得られた。
dfz (x) =dx
U (x)上式の初期値は、右辺を x → 0 にすれば得られるが、分()225 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328dk (x) =d Λ (x)2057529600
Λ (x) (10 Λ (x) + 48)+( 1028764800)
2× 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328

子、分母ともに零となり、得られない。そこで、分子、分母を x で微分し、下記の式で求めることになる。ここで f は k (x) の関数とする。
(
)(
)
d
d
f
d k(x)
d x k (x)dz (x) =ddx
d x U (x)(8.5.133) 式に上記二式と (8.5.126) 式を代入し、x = 0
では、よどみ点で、(8.5.132)

Λ (x) = 7.052323101184553(8.5.134)8.5. レイノルズ数の大きい流れ437であるから、()

d2

0.065285720568109 d x2 U (x)dz (x) = −( d)2dxd x U (x)(8.5.135)2k (x)z (x) = dd x U (x)()22
Λ (x) 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328()=
2057529600 ddx U (x)0.47
δ2 (x) U (x)
=
5
ν
U (x)

0.07703562498172
z (x) =
dd x U (x)に示す。

(8.5.136)

ZU2:subst([K1],ZU1);ZU3:solve(ZU1,z(x))[1];MOA5:’diff(z(x)*U(x),x,1)=diff(z(x)*U(x),x,1);
subst([MOA32],%);
subst([FD0],%);
subst([LA81],%);
subst([ZU3],%);
ode2(%,zu(x),x);
float(subst([%c=0,ZU2],%));MOA51:(\delta[2](x)^2*U(x))/\nu=0.47*’integrate(U(x)^5,x,0,x)/U(x)^5;
z (x) U (x) について、
)
d
U (x)
dx
(
)
d
+ U (x)
z (x)
dx

(

(8.5.130) 式から、)
d
U (x) + fdx

(8.5.131) 式から、()
d
U (x) −6.0 k (x)+0.470
dx(8.5.125) 式から、
d(z (x) U (x)) = 0.47 − 5.0 z (x)dx((8.5.137)0

手法については、次節の「円柱まわりの粘性流近似解」

ZU1:zu(x)=z(x)*U(x);d(z (x) U (x)) = z (x)dx

5

U (x) dx

しのけ厚さ：δ1 (x) も得ることが出来る。この具体的な/* Approx. method */(∫ x

運動量厚さ:δ2 (x) が与えられると、剪断応力：τ0 やお

上式に、(8.5.134) 式の Λ (x) の値を代入し、

d(z (x) U (x)) = z (x)dx(8.5.124) 式から、運動量厚さ:δ2 (x) が外界速度分布：
U (x) を与えることで得られる。

また、(8.5.125) 式と (8.5.126) 式から、

d(z (x) U (x)) =z (x)dx

上式を ode2 関数で解くと、
∫
0.470
5
zu (x) =U (x) dx + %c
5
U (x)

)
d
U (x)
dx

今、zu (x) = z (x) U (x) と置くと、)(5.0 zu (x) ddx U (x)dzu (x) = 0.470 −
dx
U (x)

第8章

438

8.5.10

運動量方程式の近似解法を用いた解析例（よどみ点、平板、円柱）

粘性流体

外界流速：U (x) は、(8.3.19) 式、2 U = k から、d
U (x) = kdx

U (x) = k x,
二次元よどみ点、平板、円柱まわりの粘性流れを前
節の「運動量方程式の近似解法」で解き、厳密解と比較よどみ点であるから、前節の初期値の流れとなり、する。

(8.5.136) 式に上記の外界流速：U (x) の関係式を代入し、0.07703562498172
dd x U (x)0.07703562498172=
k2
δ2 (x)
0.07703562498172==
νk(1) 二次元よどみ点

z (x) =

二次元よどみ点まわりの粘性流れを「境界層の運動量方
程式の近似解法」で解き、「8.3.2 二次元よどみ点、365
ページ」の厳密解結果と比較する。
kill(all);assume(x>0);LA1:\Lambda(x)=(\delta(x)^2*(’diff(U(x),x,以上から、運動量厚さ：δ2 (x) は、√

δ2 (x) = 0.277552923915771)))/\nu;νk(8.5.138)

LA8:k(x)=\delta[2](x)^2/\nu*’diff(U(x),x,1);(8.5.127) 式から、おしのけ厚さ：δ1 (x) は次式で得られ、

K1:z(x)=\delta[2](x)^2/\nu;

上式とよどみ点の Λ (x) の値：(8.5.134) 式を代入し、LA81:k(x)=z(x)*(’diff(U(x),x,1));K3:k(x)=(\Lambda(x)*(5*\Lambda(x)^2+48*

δ1 (x) =DLT7:\delta[1](x)/\delta[2](x)=(378*(\Lambda(x)-5328);
TAU7:(\tau[0](x)*\delta[2](x))/(\nu*\rho*U(x))=-((\Lambda(x)+12)*(5*\Lambda(x)^2+48*\Lambda(x)-5328))/272160;
MOA32:U(x)*(’diff(z(x),x,1))=f;(8.5.139)(8.5.128) 式から、剪断力：τ0 (x) は次式で得られ、(8.5.138) 式とよどみ点の Λ (x) の値：(8.5.134) 式を代
入し、

(
3
2
5 ν ρ Λ (x) + 108 ν ρ Λ (x))− 4752 ν ρ Λ (x) − 63936 ν ρ

U (x)τ0 (x) = −272160 δ2 (x)F01:f=-((5*\Lambda(x)^2+48*\Lambda(x)-5328)*(5*\Lambda(x)^3+237*\Lambda(x)^2-8352*\Lambda(x)+45360))/514382400;

25 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328√
ν
=0.64061716741327
k\Lambda(x)-5328)^2)/2057529600;\Lambda(x)-36))/(5*\Lambda(x)^2+48*

378 δ2 (x) Λ (x) − 13608 δ2 (x)=1.195723006048602 µ U (x)√νk

FD0:f=0.47-6.0*k(x);MOA51:(\delta[2](x)^2*U(x))/\nu=(0.47*integrate(U(x)^5,x,0,x))/U(x)^5;/* よどみ点 */solve(LA81,z(x))[1];ZX1:subst([K3],%);

上式を無次元化して、√νk τ0 (x)= 1.195723006048602µ U (x)(8.5.140)

上記の境界層の運動量方程式の近似解法を用いた結果とLAF0:\Lambda(x)=find_root(subst([\Lambda(x)=t],rhs(F01)=0),t,-15,10);「8.3.2 二次元よどみ点」の厳密解の結果：(8.3.31) 式、

U(x)=k*x;(8.3.32) 式、(8.3.33) 式と比較すると下記となる。両者、

diff(%,x,1);

よく一致している。

subst([%,LAF0],ZX1);
subst([K1],%);STDLT2:float(solve(%,\delta[2](x))[2]);solve(DLT7,\delta[1](x))[1];STDLT1:subst([STDLT2,LAF0],%);

項目

近似解法
√ν

δ1 (x)0.641

δ2 (x)√ν0.278

k τ0 (x)µ U(x)

√ νk

1.196

k

厳密解
√ν

0.673
0.292

√ νk
k

1.233

solve(TAU7,\tau[0](x))[1];
subst([STDLT2,LAF0,\rho=\mu/\nu],%);%/\mu/U(x)*sqrt(\nu/k);

表 8.5.1: 二次元よどみ点の解の比較

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

439(2) 平板
平板まわりの粘性流れを「境界層の運動量方程式の近似解法」で解析した結果と「8.5.3 平板上の境界層、400ページ」の厳密解結果と比較する。

以上から、運動量厚さ：δ2 (x) は、√

δ2 (x) = 0.68544968439796

νxU(8.5.141)(8.5.127) 式から、おしのけ厚さ：δ1 (x) は次式で得られ、
上式と Λ (x) = 0 を代入し、/* 平板 */FLDUX1:’diff(U(x),x,1)=0;

δ1 (x) =378 δ2 (x) Λ (x) − 13608 δ2 (x)25 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328√
νx=1.750675545286694
U

Z1:z(x)=\delta(x)^2/\nu;
LA7:subst([FLDUX1],LA1);
MOA4:MOA32/U(x);(8.5.142)

subst([U(x)=U,F01,LA7],%);(8.5.128) 式から、剪断力：τ0 (x) は次式で得られ、

ode2(%,z(x),x);(8.5.141) 式と Λ (x) = 0 を代入し
(
U (x)
3
2
τ0 (x) = −5 ν ρ Λ (x) + 108 ν ρ Λ (x)272160 δ2 (x))− 4752 ν ρ Λ (x) − 63936 ν ρ

FLZ1:float(subst([%c=0],%));
K1;
subst([K1],FLZ1);
FLDL2:float(solve(%,\delta[2](x))[2]);
DLT7;

=

%*\delta[2](x);0.3427248469628
√
x

√

3

ν ρU 2

FLDL1:float(subst([LA7,FLDL2],%));
TAU7;
上式を無次元化して、%/\delta[2](x)*\nu*\rho*U(x);τ
0.3427248469628
√
=
ρ U2
R

FLTAU1:float(radcan(subst([LA7,FLDL2,
U(x)=U],%)));(8.5.143)

float(radcan(subst([\nu=x*U/R[n]],%))/\rho

上記の境界層の運動量方程式の近似解法を用いた結果/U^2*sqrt(R[n]));平板では、外界流速：U (x) は下記の関係がある。

と「8.5.3 平板上の境界層」の厳密解の結果：(8.5.21) 式、項目(8.5.111) 式から、
Λ (x) =)2 ( dd x U (x)

δ (x)

ν

=0

f
d
z (x) =
dx
U (x)
(
)
2
5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328
f =−514382400()
3
2
× 5 Λ (x) + 237 Λ (x) − 8352 Λ (x) + 45360

ここで、上記から Λ (x) = 0 であるから、

d0.46984126984127
z (x) =
dxU
ode2 関数で解いて、z (x) =

148 x
+ %c
315 U

初期条件から、%c = 0 として、
2

0.46984126984127 x
δ2 (x)
=
ν
U

近似解法
√ν x

δ1 (x)1.751

δ2 (x)
√
τ

0.685

ρ U2

(8.5.130) 式から、

z (x) =

(8.5.23) 式、(8.5.24) 式と比較すると下記となる。両者、よく一致している。

dU (x) = 0
dx

R

√ νUx

0.343

U

厳密解
√ν x

1.721
0.664

√ νUx

0.332

表 8.5.2: 平板の解の比較

U

第8章

440

粘性流体

さ：δ2 (x) は、(3) 円柱まわりの粘性近似解
円柱まわりの粘性流を「境界層の運動量方程式の近似解2

δ2 (x) =∫ x

0.47 ν

5

U (x) dx

6

U (x) 0∫ x( x )50.235 ν=sindx( x )6R
0
U0 sin R((x))3
47 cos R−1=−( x )6
3000 Rn sin R()( x )2(x)
× 3 cos+ 9 cos+ 8 R2RR(8.5.144)

法」の解析結果と「8.5.7 斜航円柱まわりの粘性流、416
ページ」の級数解析結果と比較する。半径：R の円柱に一様流速：U0 の流れが当たっているとする。円柱表面に沿った主流方向を x 軸とする。

以上から、
√

√

δ2 (x) =√図 8.5.32: 円柱まわりの粘性流近似解=

x −1 3 3 cos x 2 +9 cos x +8(cos( R
) )
(R)
(R)

10

√
47

)

(

−

47

−

√

Rn

30 sin(cos(ϕ)−1)3

10

√

(

(x)
R

sin

( x )2RR

3 cos(ϕ)2 +9 cos(ϕ)+8

)

Rn

R

30 sin (ϕ) |sin (ϕ)|
2(8.5.145)/* 円柱 */
RN1:R[n]=U[0]*R/\nu;
RN2:solve(%,U[0])[1];
assume(R>0,\delta[2](x)>0,x>0);
X11:\phi=x/R;
X21:solve(%,x)[1];U01C:U(x)=2*U[0]*sin(\phi);

上式から、δ2 (x) を無次元化して、
√ √ (
(x)
)3
√
47 − cos R−1
Rn δ2 (x)= √(x)( x )2R
sin R
10 30 sin R√()(x)( x )2+ 9 cos
×
3 cos
+8
R
R

(8.5.146)

U02C:subst([X11],%);MOA51*\nu/U(x);subst([U02C],%);CIRDUX1:diff(U02C,x,1);

factor(ev(%,integrate));CIRKX1:lhs(LA8)=subst([%,CIRDLT2,RN2,X21],CIRDLT2:subst([RN2],%);

rhs(LA8));CIRDLT21:sqrt(%);

CIRLAB1:subst([CIRKX1],K3);

CIRDLT2*R[n]/R^2;

LP2:lhs(CIRDLT21)=subst([X21],rhs(CIRDLT21CIRDLT22:sqrt(%);));

CIRDLT23:subst([X21,\phi=t/180*%pi],

CIRDLT24:radcan(LP2/R*sqrt(R[n]));rhs(%));

LP3:DLT7*\delta[2](x);plot2d(CIRDLT23,[t,0,110]);

LP4:lhs(LP3)=subst([CIRDLT21],rhs(LP3));

中心角：ϕ との関係などを下記とする。

CIRDLT1:radcan(LP4/R*sqrt(R[n]));
LP6:TAU7/\delta[2](x)*U(x)*\nu/U[0]^2;

U0 R
Rn =
,
ν

Rn ν
U0 =
R

x
ϕ = , x = ϕRR
円柱まわりの流速：U (x) は「例題 5.3.4 一様流中の円柱まわりの流れ、(5.3.15) 式、122 頁」から下記となる。
(x)
U (x) = 2 U0 sin (ϕ) = 2 U0 sin
R(8.5.137) 式と上式の円柱まわりの流速から、運動量厚LP7:subst([U01C,CIRDLT21],LP6);
LP8:lhs(LP7)=subst([RN2],rhs(LP7));
CIRTAU1:radcan(LP8*sqrt(R[n]));THE5:\delta[2](x)/\delta(x)=-\Lambda(x)^2/9072-\Lambda(x)/945+37/315;
U11:u(x,y)/U(x)=-((\eta^4-3*\eta^3+3*\eta^2-\eta)*\Lambda(x)-6*\eta^4+12*\eta^3-12*\eta)/6;

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

441

for J:1 thru 108 do(/* 速度分布 */L:J,

1/THE5;

CIRPH:\phi=L*%pi/180,%*\delta[2](x);LP1:subst([CIRPH,\Lambda(x)=a],CIRLAB1),

subst([CIRDLT21],%);CIRLAB2:\Lambda(x)=find_root(LP1,a,-15,10),

TAU1:radcan(%*sqrt(R[n])/R);LDLT2:float(subst([CIRPH],rhs(CIRDLT24))),

CIRPH:\phi=20*%pi/180;

if J=1 then listDL2:[[L,LDLT2]] else
listDL2:append(listDL2, [[L,LDLT2]]),

LP1:subst([CIRPH,\Lambda(x)=a],CIRLAB1);
CIRLAB2:\Lambda(x)=find_root(LP1,a,-15,10);

LP5:lhs(CIRDLT1)=float(subst([CIRLAB2,X21,

DLT0:lhs(TAU1)=float(subst([CIRLAB2,X21,

CIRPH],rhs(CIRDLT1))),

CIRPH],rhs(TAU1)));

if J=1 then listDL1:[[L,rhs(LP5)]] else

for J:1 thru 101 do(

listDL1:append(listDL1, [[L,rhs(LP5)]]),

L:J-1,

LP9:lhs(CIRTAU1)=float(subst([CIRLAB2,X21,

ETDO1:\eta=float(L/100),

CIRPH],rhs(CIRTAU1))),YDO1:rhs(ETDO1)*rhs(DLT0),

if J=1 then listTA1:[[L,rhs(LP9)]] else

UL1:float(subst([ETDO1,CIRLAB2],rhs(U11))),

listTA1:append(listTA1, [[L,rhs(LP9)]]));

if J=1 then listUL20:[[YDO1,UL1]] else

LPTAN1:-(0.0012955304450755*\phi^11)/2^

listUL20:append(listUL20, [[YDO1,UL1]]));(9/2)+(5.0557504751322748*10^-4*\phi^9)/2

list:read_list("M:\listUU20.cvs");^(9/2)-0.0064700536866032*sqrt(2)*\phi^7

for J:1 thru 100 do(+(0.2063949582*\phi^5)/sqrt(2)-0.24148242

if J=1 then listUU20:[[list[1],list[2]]]*2^(5/2)*\phi^3+1.2325867*2^(3/2)*\phi;else listUU20:append(listUU20,LPTAN2:subst([\phi=t/180*%pi],%);
list:read_list("M:\listDLT1.cvs");[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listUU40.cvs");for J:1 thru 108 do(

for J:1 thru 100 do(

if J=1 then listDLT1:[[list[1],list[2]]]if J=1 then listUU40:[[list[1]+1,list[2]]]else listDLT1:append(listDLT1,

else listUU40:append(listUU40,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));[[list[2*J-1]+1,list[2*J]]]));

list:read_list("M:\listDLT2.cvs");

list:read_list("M:\listUU60.cvs");for J:1 thru 108 do(

for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU60:[[list[1]+2,list[2]]]if J=1 then listDLT2:[[list[1],list[2]]]else listDLT2:append(listDLT2,

else listUU60:append(listUU60,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));[[list[2*J-1]+2,list[2*J]]]));

plot2d([LPTAN2,[discrete,listDLT2],

list:read_list("M:\listUU80.cvs");[discrete,listDLT1],[discrete,listDL2],

for J:1 thru 100 do([discrete,listDL1],[discrete,listTA1]],

if J=1 then listUU80:[[list[1]+3,list[2]]][t,0,110],[legend,"tau","delta2",

else listUU80:append(listUU80,"delta1","delta2(approx.)",[[list[2*J-1]+3,list[2*J]]]));"delta1(approx.)","tau(approx.)"],

list:read_list("M:\listUU100.cvs");[xlabel,"phi"]);for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU100:[[list[1]+4,list[2]]]else listUU100:append(listUU100,[[list[2*J-1]+4,list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listUU108.cvs");for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU108:[[list[1]+5,list[2]]]else listUU108:append(listUU108,[[list[2*J-1]+5,list[2*J]]]));

第8章

442

粘性流体

円柱まわりの外界流速：U (x) を x で微分し、

2 U0 cosd
U (x) =
dx
R

(x)
R

δ1 (x)、τ0 (x) の計算に必要な、ϕ または x/R と Λ (x) の関係を求める。(8.5.123) 式の関係式に、上記で求めた
δ2 (x) の結果：(8.5.144) 式、上記の円柱まわりの外界流速：U (x) の x 微分の結果を代入し、運動量方程式から得られた k (x) を ϕ の関数で表現すると、k (x) =)2 ( dd x U (x)

δ2 (x)

ν

=−

(
)
3
2
47 (cos (ϕ) − 1) cos (ϕ) 3 cos (ϕ) + 9 cos (ϕ) + 8
1500 sin (ϕ)

6流速分布から得られた k (x) は (8.5.126) 式から、

k (x) =(
)22
Λ (x) 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328
2057529600

両者の k (x) は等しいとして、

−

(
)
3
2
47 (cos (ϕ) − 1) cos (ϕ) 3 cos (ϕ) + 9 cos (ϕ) + 8
1500 sin (ϕ)

6

=

(
)2
2
Λ (x) 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328
2057529600(8.5.147)

上式から、円柱上の位置：ϕ が与えられたとき、Λ (x) を求めることが出来る。ここでは Maxima の関数：find rootを使って Λ (x) を求めた。以下、円柱状の点：ϕ または x/R を与え、(8.5.147) 式から Λ (x) を求め、下記に示す
境界層厚さ：δ (x)、おしのけ厚さ：δ1 (x)、剪断力：τ0 を求める。
境界層厚さ：δ (x) は (8.5.121) 式から、次式となり、上記で求めた δ2 (x) の結果：(8.5.145) 式を代入し、
√
(
)
3
2
√
(cos( Rx )−1) 3 cos( Rx ) +9 cos( Rx )+8R
47 −δ2 (x)Rn()=δ (x) = Λ(x)2(8.5.148)
√
(
(
)
)
2
Λ(x)
Λ(x)
37
x 2
37
x
− 9072 − 945 + 315
sin
10 30 − Λ(x)
−
+
sin
9072
945
315
R
R
おしのけ厚さ：δ1 (x) は (8.5.127) 式から、次式となり、上記で求めた δ2 (x) の結果：(8.5.145) 式を代入し、

δ1 (x) =378 δ2 (x) (Λ (x) − 36)
2

5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328
√
(
)
3
2
√
(cos( Rx )−1) 3 cos( Rx ) +9 cos( Rx )+8
189 47 (Λ (x) − 36) −
R
Rn
)
=
√ (
(
)
(
)
2
x
x 2
5 30 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328 sin R
sin R

上式を無次元化し、√

5

Rn δ1 (x)
=−
R

7 32

√

√
(x) (
( x )2(x)(x))√
47 (Λ (x) − 36) 1 − cos R
3 cos R
+ 9 cos R
cos R
−1
+8
)
√ 3 (
(
(
)
)
2
x 2
x
sin R
2 5 2 5 Λ (x) + 48 Λ (x) − 5328 sin R(8.5.149)

剪断応力：τ0 は、(8.5.128) 式に上記で求めた δ2 (x) の結果：(8.5.145) 式を代入し、
(
)
2
ν
(Λ
(x)
+
12)
5
Λ
(x)
+
48
Λ
(x)
−
5328
U (x)
τ0 (x)=−
2
2
U0 ρ
272160 U0 δ2 (x)上式を無次元化し、

√

(
)
(x)
( x )2
2
5
sin
(ϕ)
(Λ
(x)
+
12)
5
Λ
(x)
+
48
Λ
(x)
−
5328
sin R
sin R
Rn τ0 (x)
=
√
(x)
(x) (
(x)
)√
( x )2
59 √U02 ρ+ 9 cos R
7 2 2 3 2 47 1 − cos R
cos R−1
3 cos R+8√

(8.5.150)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

443
十分と思われる。しかし、ϕ = 100deg. では一致度が悪listDATA:[[-10,-10],[-12,-12]];

く、はく離点近傍：ϕ = 108deg. では一致度は特に悪い。

plot2d([[discrete,listUL20],[discrete,listUL40],[discrete,listUL60],[discrete,listUL80],[discrete,listUL100],[discrete,listUL108],[discrete,listDATA],[discrete,listDATA],[discrete,listUU20],[discrete,listUU40],[discrete,listUU60],[discrete,listUU80],[discrete,listUU100],[discrete,listUU108]],[x,0,14],[y,0,1.2],[legend,"phi=20deg(approx.)","phi=40deg(approx.)","phi=60deg(approx.)","phi=80
deg(approx.)","phi=100deg(approx.)","phi=107.7deg(approx.)"," "," ","phi=20deg","phi=40deg","phi=60deg","phi=80deg","phi=100deg","phi=108.76
deg"],[xlabel,"y*sqrt(Rn)/R"]);
下記に、円柱まわりの剪断応力：τ0 、おしのけ厚さ：δ1 (x)、運動量厚さ：δ2 (x) の近似解結果と級数解結果の比較結果を示す。両者、よく一致しているが、ϕ = 90deg.
近傍以降で、近似度が悪くなっている。これは (8.5.131)
式で f を直線近似しており、また、近似解法では速度分布を (8.5.108) 式で四次式で表現しており、双方とも

ϕ = 90deg. 近傍以降で近似度が悪くなっていることによっているものと思われる。

図 8.5.33: おしのけ厚さ：δ1 、運動量厚さ：δ2 、剪断応力：τ0 の級数解と近似解の比較

各位置の境界層内流速分布は、(8.5.147) 式に位置の値：

ϕ を与え、Λ (x) を求める。Λ (x) が得られると (8.5.119)
式から流速分布が得られる. また、境界層厚さ：δ(x) は(8.5.148) 式から得られる。下記に境界層内流速分布の近似解結果と級数解結果の比較結果を示す。ϕ = 80deg. 近
傍までは、両者よく一致しており、流速の四次式近似で

図 8.5.34: 境界層内流速分布の級数解と近似解の比較

第8章

444

運動量方程式の近似解法を用いた解析例（楕円、翼形状）

8.5.11楕円や翼形状まわりの二次元粘性流れを「運動量方程式の近似解法」で解き、各種楕円形状、翼形状の比較を行う1 。「7.1.4 キャンバー・翼厚を有する二次元翼(Joukowski 変換)」を用いて、ζ 平面の円を z 平面の楕
円や翼形状に写像変換して、迎角：α が零度の楕円や翼形状まわりの流速を求める。楕円の長径：a、短径：b、翼厚パラメタ：δc 、流速：U とする。

粘性流体

Z0:z=x+%i*y;Z2:subst([ZT1,Z0],Z1);
X1:realpart(Z2);
Y1:imagpart(Z2);
CO1:solve(X1,cos(\theta))[1];SI1:solve(Y1,sin(\theta))[1];
COSI1:cos(\theta)^2+sin(\theta)^2=1;
COSI2:subst([CO1,SI1],COSI1);COSI3:x^2/a^2+y^2/b^2=1;
A1:first(lhs(COSI2))=last(lhs(COSI3));
B1:last(lhs(COSI2))=first(lhs(COSI3));
A2:solve(A1,a)[2];B2:solve(B1,b)[2];
solve([A1,B1],[R,A])[2];AB1:subst([R=R[0]],%);
LIS1:[a=1,b=0.5,U=1,\alpha=0,\delta[c]=0];
Z2:subst([ZT3,Z0],Z1);
X1:realpart(Z2);
Y1:imagpart(Z2);subst(AB1,rhs(X1));
X2:subst(LIS1,%);
subst(AB1,rhs(Y1));
Y2:subst(LIS1,%);/* 楕円形状

図 8.5.35: Joukowski 変換による楕円*/

N:500;
N1:N-1;/* 楕円＋翼形状
換

まわりの粘性流

Joukowski 変

dT:%pi/N;
N2:2*N;*/kill(all);declare(z,complex);

for J:0 thru N do(

declare(F,complex);

listX, [1-subst([\theta=float(J*dT)],declare(c,complex);X2)]));

declare(\zeta,complex);

for J:0 thru N2 do(depends(\zeta,[\theta]);if J=0 then listXY:[[subst(LIS1,a),0]] else

if J=0 then listX:[0] else listX:append(depends(z,[\zeta]);listXY:append(listXY, [[subst([\theta=

assume(A>0);

float(J*dT)],X2),subst([\theta=float(J*dT)

assume(R>0);],Y2)]]));

assume(b>0);

plot2d([discrete,listXY],[x,-2,2]);(7.1.24) 式,262 頁から、円を楕円に変換する写像関数は/* 楕円下記となる。

assume(a>0);*/Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;
ZT1:\zeta=R*%e^(%i*\theta);
ZT3:\zeta=(R[0]+\delta[c])*%e^(%i*\theta)+\delta[c];A2(8.5.151)ζ
ここで、楕円および翼形状上の線は ζ 面上の半径：δc +R0
z=ζ+の円に対応しており、

ζ = (δc + R0 ) ei θ + δc

(8.5.152)

このとき楕円の半径：a, b と A, R0 の関係は (7.1.26) 式から下記となる。
1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , Chap-

ter 12 Approximate methods for the solution of the boundary
layer equations, d. Further examples P.254

b+a
R0 =
,A =
2

√

a2 − b2
2(8.5.153)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

445

ここで楕円形状を与えるときは、楕円の半径：a, b を与え、δc = 0 とする。また、翼形状を与えるときは、翼半長：a と翼最大厚に関係する δc を与え、b = 0 とする。翼最大厚：ymax と δc の関係は、a >> ymax の時、(7.1.33)
式から、δc = ymax 23 で与えられる。楕円形状および翼形状の x, y 座標は、(8.5.151) 式に (8.5.152) 式を代入し、
32

次式で与えられる。

z = iy + x =A2+ (δc + R0 ) ei θ + δc
(δc + R0 ) ei θ + δc

(8.5.154)

上式の実部、虚部から、x=((δc + R0 ) cos (θ) + δc ) A22

2 + (δc + R0 ) cos (θ) + δc

2

(8.5.155)(δc + R0 ) sin (θ) + ((δc + R0 ) cos (θ) + δc )y = (δc + R0 ) sin (θ) −(δc + R0 ) sin (θ) A2
2

2(8.5.156)2(δc + R0 ) sin (θ) + ((δc + R0 ) cos (θ) + δc )/* ガース長さ */subst([ZT3],Z1);

DS11:subst(LIS1,rhs(DS1));

diff(%,\theta,1);

listS:[0];DS2:rhs(%)*conjugate(rhs(%));

for J:1 thru N1 do(

DS21:trigsimp(realpart(DS2));

S:S+(subst([\theta=float((J-1)*dT)],DS11)

DS22:trigsimp(imagpart(DS2));+subst([\theta=float(J*dT)],DS11))*dT/2,

DS1:’diff(s,\theta,1)=sqrt(subst(AB1,listS:append(listS, [float(S)]));

DS21));S;

S:0;z 平面上の楕円および翼形状の周長さ：s と ζ 平面上の θ との関係を求める。(8.5.154) 式を θ で微分し、)()(
di (δc + R0 ) ei θ A2dz
ζ = i (δc + R0 ) ei θ −2dζdθ((δc + R0 ) ei θ + δc )上式から、物体の周長さ：s と θ との関係は次式で得られる。展開式は記述が長くなるので省略する。
√(
)(
)(
)(
)
d
d
d
d
d
s=
z
ζ
z
ζ
(8.5.157)
dθ
dζ
dθ
dζ
dθ
楕円の場合には、上式は次式となる。
√
4
2
2 )2
(b+a)2 (a2 −b2 ) (2−4 cos(θ)2 )2+ (a −b+ (b+a)
d
16
16
16
s=
dθ
b+a
上式を積分し、物体の周長さ：s は次式で得られる。

∫ 2π
s=
0

複素ポテンシャル：F は (7.1.29) 式,264 頁から、
2

d
sdθ
dθ

(8.5.158)F =ei α (δc + R0 ) U+ e−i α U (ζ − δc )
ζ − δcF, z を ζ で微分し、
2

F1:%e^(-%i*\alpha)*U*\zeta;dei α (δc + R0 ) U
F = e−i α U −2dζ(ζ − δc )F2:%e^(%i*\alpha)*U*(R[0]+\delta[c])^2dA2
z =1− 2dζζ/\zeta;F0:F=F1+F2;
F01:subst([\zeta=\zeta-\delta[c]],F0);
DF01:’diff(F,\zeta,1)=diff(rhs(F01),\zeta,1);
DZ1:’diff(z,\zeta,1)=diff(rhs(Z1),\zeta,1);
DFZ1:’diff(F,z,1)=rhs(DF01)/rhs(DZ1);

物体まわりの流速：vx , vy は、dddF =vx − i vy =
F/
z
dz
dζ
dζ
=

(δc +R0 )2 U
(ζ−δc )22
1− A
ζ2

e−i α U − eiα(8.5.159)

第8章

446

粘性流体

if J=0 then listUG:[[listS[J+1],subst(/* 流速分布*/[\theta=0],U2)]] else listUG:append(u^2=rhs(DFZ1)*conjugate(rhs(DFZ1));

listUG,[[listS[J+1],subst([\theta=

subst([ZT3],%);

float(J*dT)],U2)]]));

U1:subst(AB1,%);

plot2d([discrete,listUG],[x,0,%pi]);sqrt(realpart(%));/* 流速変化U2:subst(LIS1,rhs(%));

DU1:’diff(u,\theta,1)=diff(U2,\theta,1);

for J:0 thru N1 do(

DUS1:DU1/DS11;

if J=0 then listU:[[subst(LIS1,a),subst(

DUS11:subst(LIS1,%);[\theta=0],U2)]] else listU:append(listU,

DUS12:subst([\theta=t],rhs(%));[[subst([\theta=float(J*dT)],X2),subst([

X3:subst([\theta=t],X2);\theta=float(J*dT)],U2)]]));

plot2d([parametric,X3,DUS12,[t,0,%pi],

plot2d([discrete,listU],[x,-2,2],[y,-1,2]);[nticks,181]],[x,-2,2]);for J:0 thru N do(

plot2d(DUS12,[t,0,%pi],[nticks,181]);*/

物体上の流速：u は (8.5.159) 式に、(8.5.152) 式および (8.5.153) 式を代入し、次式の実部から得られる。更なる式の記述は長くなるので省略する。
√(
)(
) v
u
d
d
(e−i α U − ei α−2 i θ U ) (ei α U − e2 i θ−i α U )u)()
F
F = u(u(θ) =tdz
dz
a2 −b2a2 −b21−
1−
2
2−i θ +δ
i θ +δ
4 ((δc + b+a
4 ((δc + b+a
c)
c)
2 )e
2 )e
物体上の流速変化： dds u は次式で得られる。

(8.5.160)

listDL22:append(listDL22, [SDL21]),
listDL2N:append(listDL2N, [RN11*

d
d
d
u=
u/
s
ds
dθ
dθ

sqrt(SDL21)]),(8.5.161)

listDL2NX:append(listDL2NX, [[float(
listX[J+1]),RN11*sqrt(SDL21)]]),
listDL2NS:append(listDL2NS, [[float(
listS[J+1]),RN11*sqrt(SDL21)]]));/* delta-2 */plot2d([discrete,listDL2NX]);

RN1:sqrt(U/a);plot2d([discrete,listDL2NS],[y,0,1]);(8.5.144) 式から、おしのけ厚さ：δ2 は、

RN11:subst(LIS1,RN1);
U2^5*DS11;
IDL2:U2^5*DS11;
SDL2:0;∫ s

2

δ2 (s)
0.47
=
6
ν
u (s)

listDL22:[0];=listDL2N:[0];listDL2NX:[[0,0]];

0

∫ θ

0.47
u (θ)

5

u (s) ds
(8.5.162)
5

u (θ)

6

0

d
s dθ
dθ

listDL2NS:[[0,0]];listDL2DU:[0];for J:1 thru N1 do(

上式に、(8.5.160) 式および (8.5.157) 式を代入し、θ =2

SDL2:SDL2+(subst([\theta=float((J-1)*dT)],を求め
0 → π までを N 分割し、台形積分して、 δ2 (s)ν√Ua
る。レイノルズ数：Rn =ν として、δ2 の無次元表

IDL2) +subst([\theta=float(J*dT)],

記は次式で得られる。

IDL2))*dT/2,
SDL21:float(0.47*SDL2/subst([\theta=
float(J*dT)],U2)^6),
listDL2DU:append(listDL2DU, [SDL21*subst([\theta=float(J*dT)],rhs(DUS11))]),√√
Rn δ2 (s)=a2

δ2 (s)
×ν√Ua(8.5.163)

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

447/* Lambda */K3:k(x)=(\Lambda*(5*\Lambda^2+48*\Lambda

おしのけ厚さ：δ1 (s) は (8.5.127) 式から、次式となる。

-5328)^2)/2057529600;
δ1 (s) = δ2 (s)K31:subst([\Lambda=l],K3);

378 (Λ − 36)
5 Λ2 + 48 Λ − 5328

listLAM:[7.052323];
listLAMS:[[0,7.052323]];

おしのけ厚さ：δ1 (s) 無次元表記は次式で得られ、listLAMX:[[0,7.052323]];(8.5.163) 式の結果と (8.5.165) 式の Λ の結果から得られる。

for J:1 thru N1 do(
K32:listDL2DU[J+1],
if K32>0.07703562 then K32:0.07703562,
if K32<-0.17 then K32:-0.17,√

Rn δ1 (s)=aK33:rhs(K31)-K32,√

378 (Λ − 36)
Rn δ2 (s)×a5 Λ2 + 48 Λ − 5328
(8.5.166)

LAM:find_root(K33,l,-20,10),/* tau */listLAMS:append(listLAMS,

listTAUNX:[[0,0]];[[listS[J+1],LAM]]),

listTAUNS:[[0,0]];listLAMX:append(listLAMX,

for J:1 thru N1 do([[listX[J+1],LAM]]),

LAM:listLAM[J+1],

listLAM:append(listLAM, [LAM]));

LAM1:(LAM+12)*(5*LAM^2+48*LAM-5328)/272160,

plot2d([discrete,listLAMX]);

TAUN:-LAM1/listDL2N[J+1]*subst([\theta=

plot2d([discrete,listLAMS]);(8.5.123) 式の k (s) は次式で得られ、(8.5.162) 式のδ2 (s)2および (8.5.161) 式の dds u から、k (s) の結果が得ν

られる。

f ind root 関数を使って、Λ を求める。
()2
Λ 5 Λ2 + 48 Λ − 5328
k (x) =
2057529600

listTAUNX:append(listTAUNX, [[float(
listX[J+1]),TAUN1]]),)2 ( dd s u (s)

δ2 (s)(8.5.164)ν
上記の得られた k (s) から (8.5.126) 式の次式でk (s) =

float((J+1)*dT)],U2)/U,
TAUN1:subst(LIS1,TAUN),

listTAUNS:append(listTAUNS, [[float(
listS[J+1]),TAUN1]]));
plot2d([discrete,listTAUNX]);
plot2d([discrete,listTAUNS]);(8.5.165)/* delta-1 */剪断応力：τ0 は、(8.5.128) 式から、

τ0 (s)
ν u (s)=− 2
ρ U2
U δ2 (s)()(Λ + 12) 5 Λ2 + 48 Λ − 5328
×272160listDL1NX:[[0,0]];listDL1NS:[[0,0]];for J:1 thru N1 do(
LAM:listLAM[J+1],
LAM1:378*(LAM-36)/(5*LAM^2+48*LAM-5328),

上式の無次元表記は次式で得られ、(8.5.160) 式と(8.5.163) 式の結果と (8.5.165) 式の Λ の結果から得られる。

DL1N:listDL2N[J+1]*LAM1,
listDL1NX:append(listDL1NX, [[float(
listX[J+1]),DL1N]]),
listDL1NS:append(listDL1NS, [[float(
listS[J+1]),DL1N]]));
plot2d([discrete,listDL1NX],[y,0,2]);
plot2d([discrete,listDL1NS],[y,0,2]);√Rn τ0 (s)u (s))= − (√
2
Rn δ2 (s)
ρU
U
a
(
)
(Λ + 12) 5 Λ2 + 48 Λ − 5328
×272160(8.5.167)

第8章

448

粘性流体

"Displacement thickness","Viscous stress",
listDL2NS1:[[listDL2NS[1][1],"Velocity","Body"],[x,-1.03,1.01]);

listDL2NS[1][2]]];for J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 thenfor J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 then

NPL:J+1);

listDL2NS1:append(listDL2NS1,

NPL;[[listDL2NS[J+1][1],listDL2NS[J+1][2]]]));

write_data(listDL1NS1,"M:\listDL1NS8.cvs");listDL1NS1:[[listDL1NS[1][1],write_data(listTAUNS1,"M:\listTAUNS8.cvs");listDL1NS[1][2]]];

write_data(listDL1NX1,"M:\listDL1NX8.cvs");for J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 thenwrite_data(listTAUNX1,"M:\listTAUNX8.cvs");
上記を基に、楕円の径比：a/b = 1, 2, 4, 8 について、運

listDL1NS1:append(listDL1NS1,[[listDL1NS[J+1][1],listDL1NS[J+1][2]]]));
listTAUNS1:[[listTAUNS[1][1],

動量厚さ、おしのけ厚さ、剪断力、流速の無次元結果を

listTAUNS[1][2]]];り、楕円が細長くなるに従い、後方へ移動している。

以下に示す。境界層のはく離点は剪断力が零の位置であfor J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 thenlistTAUNS1:append(listTAUNS1,[[listTAUNS[J+1][1],listTAUNS[J+1][2]]]));
plot2d([[discrete,listDL2NS1],[discrete,listDL1NS1],[discrete,
listTAUNS1],[discrete,listUG]]);
listDL2NX1:[[listDL2NX[1][1]-subst(LIS1,a),
listDL2NX[1][2]]];for J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 thenlistDL2NX1:append(listDL2NX1,[[listDL2NX[J+1][1]-subst(LIS1,a),
listDL2NX[J+1][2]]]));
listDL1NX1:[[listDL1NX[1][1]-subst(LIS1,a),
listDL1NX[1][2]]];for J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 thenlistDL1NX1:append(listDL1NX1,[[listDL1NX[J+1][1]-subst(LIS1,a),
listDL1NX[J+1][2]]]));
listTAUNX1:[[listTAUNX[1][1]-subst(LIS1,a),listTAUNX[1][2]]];for J:1 thru N do( if listLAM[J+1]>-12 thenlistTAUNX1:append(listTAUNX1,[[listTAUNX[J+1][1]-subst(LIS1,a),listTAUNX[J+1][2]]]));
listU1:[[-listU[1][1],listU[1][2]]];for J:1 thru N do( listU1:append(listU1,[[-listU[J+1][1],listU[J+1][2]]]));
listXY1:[[-listXY[1][1],listXY[1][2]]];for J:1 thru N2 do( listXY1:append(listXY1,[[-listXY[J+1][1],listXY[J+1][2]]]));

図 8.5.36: 楕円 a/b = 1 における運動量厚さ、おしのけ

plot2d([[discrete,listDL2NX1],

厚さ、剪断力、流速、楕円形状[discrete,listDL1NX1],[discrete,
listTAUNX1],[discrete,listU1],[discrete,listXY1]],[legend, "Momentum thickness",

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

449

図 8.5.37: 楕円 a/b = 2 における運動量厚さ、おしのけ
厚さ、剪断力、流速、楕円形状

図 8.5.38: 楕円 a/b = 4 における運動量厚さ、おしのけ
厚さ、剪断力、流速、楕円形状

第8章

450

粘性流体

果を以下に示す。最大翼厚の位置が楕円では中央にあるが、翼型では前方より 1/4 翼コード長さの位置にある。
このため流速が減速となる位置は翼型の方が前方にあり、剪断力分布からはく離点も翼型の方がかなり前方となる。層流翼による低抵抗の翼はこの現象を利用し、最大翼厚の位置を後方にすることにより、乱流に遷移する
位置を後方にずらすことができ、低抵抗翼とすることができる。

図 8.5.39: 楕円 a/b = 8 における運動量厚さ、おしのけ
厚さ、剪断力、流速、楕円形状

楕円 a/b = 8 と同じ翼コード長さ・翼厚比の翼形状の運動量厚さ、おしのけ厚さ、剪断力、流速の無次元結

図 8.5.40: 翼形状 翼コード長さ/翼厚=8 における運動
量厚さ、おしのけ厚さ、剪断力、流速、翼形状

8.5. レイノルズ数の大きい流れ

451
plot2d([[discrete,listpTAUNS1],[discrete,

list:read_list("M:\listDL1NS1.cvs");listpTAUNS2],[discrete,listpTAUNS4],

for J:1 thru 300 do(if J=1 then[discrete,listpTAUNS8],0.332*sqrt(2)/listpDL1NS1:[[list[1],list[2]]]elselistpDL1NS1:append(listpDL1NS1,

sqrt(t)],[t,0.01,2],[legend, "a/b=1",[[list[2*J-1],list[2*J]]]));"a/b=2","a/b=4","a/b=8","Flat Plate"]);以下に楕円の径比：a/b = 1, 2, 4, 8 のおしのけ厚さと剪

list:read_list("M:\listDL1NS2.cvs");

断力の比較結果を示す。ここで横軸は楕円に沿った長さ：

for J:1 thru 338 do(if J=1 thens である。また、平板の厳密解のおしのけ厚さ：(8.5.23)

listpDL1NS2:[[list[1],list[2]]]else

式と剪断力：(8.5.20) 式の結果も併せて表示した。楕円listpDL1NS2:append(listpDL1NS2,の径比：a/b が大きくなると平板の厳密解の結果に近く[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listDL1NS4.cvs");なっている。

for J:1 thru 379 do(if J=1 thenlistpDL1NS4:[[list[1],list[2]]]elselistpDL1NS4:append(listpDL1NS4,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listDL1NS8.cvs");for J:1 thru 413 do(if J=1 thenlistpDL1NS8:[[list[1],list[2]]]elselistpDL1NS8:append(listpDL1NS8,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
plot2d([[discrete,listpDL1NS1],[discrete,
listpDL1NS2],[discrete,listpDL1NS4],[discrete,listpDL1NS8],1.75*sqrt(t)],[t,0,2],[legend, "a/b=1","a/b=2","a/b=4","a/b=8","Flat Plate"]);list:read_list("M:\listTAUNS1.cvs");for J:1 thru 300 do(if J=1 thenlistpTAUNS1:[[list[1],list[2]]]elselistpTAUNS1:append(listpTAUNS1,

図 8.5.41: 各種楕円形状のおしのけ厚さの比較[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listTAUNS2.cvs");for J:1 thru 338 do(if J=1 thenlistpTAUNS2:[[list[1],list[2]]]elselistpTAUNS2:append(listpTAUNS2,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listTAUNS4.cvs");for J:1 thru 379 do(if J=1 thenlistpTAUNS4:[[list[1],list[2]]]elselistpTAUNS4:append(listpTAUNS4,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
list:read_list("M:\listTAUNS8.cvs");for J:1 thru 413 do(if J=1 thenlistpTAUNS8:[[list[1],list[2]]]elselistpTAUNS8:append(listpTAUNS8,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));

図 8.5.42: 各種楕円形状の剪断力の比較

第8章

452

8.6

振動境界層

粘性流体

流速は x 軸方向のみで、時間：t と y の関数で、u = u(y, t)とする。圧力：p は均一となる。これらから、運動方程

8.6.1

振動平板による流れ

水平底板が速度振幅：U 、円周波数：ω で左右振動している粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポー

式は下記となる。
)
( 2
)
(
d
d
u (y, t) = µu (y, t)ρdt
d y2

(8.6.1)

ネントを u, v, w とする。水平振動方向を x 軸とし、鉛直方向をを y 軸とする。流体は上方無限にあるものとす

UYT1:u(y,t)=f(y)*g(t);る。圧力：p、粘性係数：µ とする。

subst([UYT1],NAV21);ev(%,diff);
EQ1:%/f(y)/g(t)/\rho;
EQT1:lhs(EQ1)=C;
EQY1:rhs(EQ1)=C;
EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);
EQT21:subst([C=%i*\omega],EQT2);
assume(C>0,\mu>0,\rho>0,\omega>0);
EQY2:ode2(EQY1,f(y),y);EQY21:subst([C=%i*\omega],EQY2);EQU3:subst([EQT21,EQY21,%k1=0],UYT1);
EQU31:lhs(%)=realpart(rhs(%));
U01:subst([t=0,y=0],rhs(%))=U;
U02:solve(%,%c)[1];

図 8.6.1: 振動平板による流れ

EQU4:subst([U02],EQU31);
上式：u(y, t) を下記の変数分離法で解く。

/* 振動平板による流れ h：無限*/kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))u (y, t) = g (t) f (y)(8.6.1) 式に代入し、
)
( 2
)
(
d
d
g (t) f (y) = µ g (t)
f
(y)
ρ
dt
d y2
( 2
)
d
d
µ
f
(y)
2
dy
d t g (t)
=
=C
g (t)
ρ f (y)
上式を ode2 関数で解くと、それぞれ、

g (t) =%c et C+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)√

f (y) =%k1 e

√
ρy C
√
µ

+ %k2 e

−

√

√
ρy C
√
µ

(8.6.2)振動問題であるから、C = i ω と置くと、+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];g (t) =%c ei ω tf (y) =%k1 e

1 √ √(−1) 4ω ρy√µ+ %k2 e1 √ √(−1) 4ω ρy√µy → ∞ で u(y, t) = 0 であるから %k1 = 0 となり、subst([u=u(y,t),v=0,w=0,p=0,X=0],NAV2);
NAV21:ev(%,diff);
x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=X +µ
u
+
u
+
u −
p
2
2
2
dz
dy
dx
dx

−

u (y, t) = %c %k2 e

i ω t−1 √ √(−1) 4ω ρy√µ振動振幅：U であるから、%c %k2 = U を上式に代入し、実部をとると、流体運動：u (y, t) は、
(√ √
)
√ √
ω ρy
ω ρy
− √2 √µu (y, t) = e
cos √ √ − ω t U
2 µ(8.6.3)

8.6. 振動境界層453
剪断力：τ は、

PL1:subst([\omega=1,U=1,\mu=1,\rho=1,y=x]du (y, t)
dy
(√ √
)
√ √
ω ρ sin (ω t) Uω ρ cos (ω t) U
√ √
√ √
=µ
−
2 µ
2 µ

τ =µ

,rhs(EQU4));
plot2d([subst([t=0],PL1),subst([t=0.785], PL1),subst([t=1.57],PL1),subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),subst([t=5.495],PL1)],[x,0,10],[legend,"t=0", "t=0.785","t=1.57", "t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71"

平板の行った仕事：W は、剪断力：τ ×変位であるから、

W = − cos (ω t) τ U(√ √ω ρ sin (ω t) U√ √= − µ cos (ω t) U
2 µ
√ √
)
ω ρ cos (ω t) U
√ √
−
2 µ

, "t=5.495"]);diff(EQU4,y,1);
TA1:\tau=\mu*subst([y=0],rhs(%));
W1:W=-\tau*U*cos(\omega*t);

上記の時間平均をとると、

W2:subst([TA1],W1);
T1:2*%pi=T*\omega;(√ √ω ρ sin (ω t) U√ √cos (ω t)
2 µ
0
√ √
)
ω ρ cos (ω t) U
√ √
dt
−
2 µ
√ √ √ 2µ ω ρUµU
W =−T

T2:solve(T1,T)[1];
assume(T>0);
W3:W=1/T*’integrate(rhs(W2),t,0,T);
ev(%,integrate);
factor(subst([T2],%));=

図 8.6.2: 振動平板による流れ(8.6.3) 式を微分し、(√ √)√ √ − √ω2 √ρµy
ω ρy
√ √
ω
ρ
e
sin
−
ω
t
U
d
2 µ
√ √
u (y, t) = −
dy
2 µ
√ √
(√ √
)
√ √ − √ω2 √ρµyω ρycos √2 √µ − ω t U
ω ρe
√ √
−
2 µ
√

√

∫ T

3

22

第8章

454

8.6.2

平行平板内での振動平板による流れ

下部水平底板が速度振幅：U 、円周波数：ω で左右振動し、上部水平板が静止している平行平板内の粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポーネントを u, v, wとする。水平振動方向を x 軸とし、鉛直方向をを y 軸とする。圧力：p、粘性係数：µ とする。

粘性流体

x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d2
d2
d
d
=X +µ
u
+
u
+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx
流速は x 軸方向のみで、時間：t と y の関数で、u = u(y, t)とする。圧力：p は均一となる。これらから、運動方程式は下記となる。
(
)
( 2
)
d
d
ρ
u (y, t) = µ
u
(y,
t)
dt
d y2

(8.6.4)

上式：u(y, t) を下記の変数分離法で解く。

u (y, t) = g (t) f (y)図 8.6.3: 平行平板内での振動平板による流れ(8.6.5)

上式に代入し、
)
( 2
(
)
d
d
ρ
(g (t) f (y)) = µ
(g
(t)
f
(y))
dt
d y2
)
( 2
d
µ ddy2 f (y)
g
(t)
dt
=
=C
g (t)
ρ f (y)/* 平行平板内での振動平板による流れ h：有限 */kill(all);

EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)

EQT21:subst([C=%i*\omega],EQT2);=0;

assume(C>0,\mu>0,\rho>0,\omega>0);

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w

EQY2:ode2(EQY1,f(y),y);+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

subst([C=%i*\omega],EQY2);+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

EQY3:f(y)=%k1*sinh(((-1)^(1/4)*sqrt(omega)+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu))+%k2*cosh(((-1)^(1/4)*sqrt(omega)+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu));+’diff(w,t,1))])=matrix([XEQY31:lhs(%)=subst([y=h-y],rhs(%));+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],

EQY32:subst([y=0],rhs(EQY31))=U;[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)

solve([EQY32,EQY33],[%k1,%k2])[1];+’diff(v,x,2)) -’diff(p,y,1)],[Z

EQY34:subst([%],EQY31);+mu*(’diff(w,z,2) +’diff(w,y,2)

EQU1:u(t,y)=rhs(EQT21)*rhs(EQY34);+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);

subst([%c=1],%);

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];EQU2:lhs(%)=realpart(rhs(%));
上式を ode2 関数で解くと、それぞれ、NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];subst([u=u(y,t),v=0,w=0,p=0,X=0],NAV2);
NAV21:ev(%,diff);
UYT1:u(y,t)=f(y)*g(t);subst([UYT1],NAV21);ev(%,diff);
EQ1:%/f(y)/g(t)/\rho;

EQY33:subst([y=h],rhs(EQY31))=0;

g (t) =%c et C√

f (y) =%k1 e+ %k2 e

−

√

√
ρy C
√
µ

(8.6.6)振動問題であるから、C = i ω と置くと、

g (t) =%c ei ω t

EQT1:lhs(EQ1)=C;
EQY1:rhs(EQ1)=C;

√
ρy C
√
µ

f (y) =%k1 e

1 √ √(−1) 4ω ρy√µ+ %k2 e−1 √ √(−1) 4ω ρy√µ(8.6.7)

8.6. 振動境界層455

上式の第二式は y = h で f (y) = 0 とするため、y → h−yに置き換え、下記のようにも表現できる。
(
)
1 √
√
(−1) 4 ω ρ (h − y)f (y) =%k1 sinh√µ) (8.6.8)(
1 √√(−1) 4 ω ρ (h − y)
+ %k2 cosh√µ
境界条件の y = 0 で f (y) = U 、y = h で f (y) = 0 で

plot2d([subst([t=0],PL1),subst([t=0.785],
PL1),
subst([t=1.57],PL1),subst([t=2.355],PL1),
subst([t=3.14],PL1),subst([t=3.925],PL1),
subst([t=4.71],PL1),subst([t=5.495],PL1)],[x,0,h],[legend, "t=0", "t=0.785","t=1.57","t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71","t=5.495"]);

あるから、

(

1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρ%k1 sinh
√
µ
(
1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρ+ %k2 cosh
=U
√
µ

h:2;
plot2d([subst([t=0],PL1),subst([t=0.785],
PL1),
subst([t=1.57],PL1),subst([t=2.355],PL1),
subst([t=3.14],PL1),subst([t=3.925],PL1),
subst([t=4.71],PL1),subst([t=5.495],PL1)],%k2 = 0[x,0,h],[legend, "t=0", "t=0.785",以上から、"t=1.57",([%k1 =
sinh

U
1
√ √
(−1) 4 h ω ρ√) , %k2 = 0]"t=2.355","t=3.14","t=3.925", "t=4.71","t=5.495"]);µ上式を (8.6.8) 式に代入し、
(
)
1 √ √
(−1) 4 ω ρ (h−y)
√
sinh
U
µ
(
)
f (y) =1√ √(−1) 4 h ω ρ√sinhµ上式と (8.6.7) 式を (8.6.4) 式に代入し、
(
)
1 √ √
(−1) 4 ω ρ (h−y)
iωt
√
e
sinh
U
µ
(
)
u (t, y) =1√ √(−1) 4 h ω ρ√sinhµ
上式の実部をとれば流速分布：u(y, t) が得られるが、式

図 8.6.4: 平行平板内での振動平板による流れ h=5が非常に長くなるので、記述を省略する。

subst([y=h],EQU2);
subst([y=0],EQU2);
PL1:subst([\omega=1,U=1,\mu=1,\rho=1,y=x],rhs(EQU2));
h:5;

図 8.6.5: 平行平板内での振動平板による流れ h=2

第8章

456

8.6.3

自由表面を有する振動平板による流れ

下部水平底板が振幅：U 、円周波数：ω で左右振動し、
水深：h の自由表面がある粘性流れを求める。x-y-z 座

粘性流体

EQT1:lhs(EQ1)=C;
EQY1:rhs(EQ1)=C;
EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);

EQT21:subst([C=%i*\omega],EQT2);x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、動方向を x 軸とし、鉛直方向をを y 軸とする。圧力：p、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
粘性係数：µ とする。
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
)
( 2
2
2
d
d
d
d
=X +µ
u+
u+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx
標軸の各速度コンポーネントを u, v, w とする。水平振

流速は x 軸方向のみで、時間：t と y の関数で、u = u(y, t)とする。圧力：p は均一となる。これらから、運動方程式は下記となる。
(
)
( 2
)
d
d
ρ
u (y, t) = µu (y, t)dt
d y2

(8.6.9)上式：u(y, t) を下記の変数分離法で解く。

u (y, t) = g (t) f (y)図 8.6.6: 自由表面を有する振動平板による流れ/* 自由表面を有する振動平板による流れ */kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;(8.6.10)

上式に代入し、
(
)
( 2
)
d
d
ρ
(g (t) f (y)) = µ(g (t) f (y))
dt
d y2
( 2
)
d
d
µ
f
(y)
2
dy
d t g (t)
=
=C
g (t)
ρ f (y)NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

assume(C>0,\mu>0,\rho>0,\omega>0);+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

EQY2:ode2(EQY1,f(y),y);+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))

subst([C=%i*\omega],EQY2);+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))

EQY3:f(y)=%k1*sinh(((-1)^(1/4)*sqrt(omega)+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu))+%k2*cosh(((-1)^+’diff(w,t,1))])=matrix([X(1/4)*sqrt(omega)*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu));+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],

EQY31:lhs(%)=subst([y=h-y],rhs(%));[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)

EQY32:subst([y=0],rhs(EQY31))=U;+’diff(v,x,2)) -’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2) +’diff(w,y,2)

EQY33:subst([y=h],rhs(DEQY31))=0;
solve([EQY32,EQY33],[%k1,%k2])[1];+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);

EQY34:subst([%],EQY31);

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];EQU1:u(t,y)=rhs(EQT21)*rhs(EQY34);

NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];subst([%c=1],%);

subst([u=u(y,t),v=0,w=0,p=0,X=0],NAV2);

EQU2:lhs(%)=realpart(rhs(%));

NAV21:ev(%,diff);

diff(EQU2,y,1);

UYT1:u(y,t)=f(y)*g(t);subst([y=h],rhs(%));

subst([UYT1],NAV21);

factor(subst([y=0],EQU2));
上式を ode2 関数で解くと、それぞれ、

ev(%,diff);
EQ1:%/f(y)/g(t)/\rho;

DEQY31:diff(EQY31,y,1);

g (t) =%c et C
f (y) =%k1 e

√
√
ρy C
√
µ

+ %k2 e

−

√

√
ρy C
√
µ

8.6. 振動境界層

457

振動問題であるから、C = i ω と置くと、上式の実部をとれば流速分布：u(y, t) が得られるが、式が非常に長くなるので、記述を省略する。

g (t) =%c ei ω tf (y) =%k1 e

1 √ √
ω ρy
(−1) 4√µ+ %k2 e

−

1 √ √
ω ρy
(−1) 4√µ(8.6.11)

PL1:subst([\omega=1,U=1,\mu=1,\rho=1,y=x],rhs(EQU2));
h:5;

上式の f (y) は y = h で f (y) = 0 とするため、y → h − yplot2d([subst([t=0],PL1),に置き換え、下記のように表現できる。
)
(
1 √
√
(−1) 4 ω ρ (h − y)f (y) =%k1 sinh
√
µ
(
)
1 √
√
(−1) 4 ω ρ (h − y)
+ %k2 cosh√µsubst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),(8.6.12)subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),
subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,0,h],[legend,"t=0","t=0.785","t=1.57", "t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71","t=5.495"]);h:2;

上式を y で微分し、

plot2d([subst([t=0],PL1),

d
f (y)
dy

subst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),

(
)
1 √ √
√ √
(−1) 4 ω ρ (h−y)√(−1) %k2 ω ρ sinh
µ
=−
√
µ
(
)
1 √ √
1
√ √
(−1) 4 ω ρ (h−y)√(−1) 4 %k1 ω ρ coshµ−√µ(8.6.13)1
4

subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),
subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,0,h],[legend,"t=0", "t=0.785","t=1.57", "t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71","t=5.495"]);境界条件の y = 0 で f (y) = U 、y = h で ddy f (y) = 0
であるから、1√ √ )(−1) 4 h ω ρ%k1 sinh
√
µ
(
1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρ+ %k2 cosh
=U
√
µ
1
√ √
(−1) 4 %k1 ω ρ
−
=0
√
µ

(

上式を解いて、([%k1 = 0, %k2 =
cosh

U
1
√ √
(−1) 4 h ω ρ√µ図 8.6.7: 自由表面を有する振動平板による流れ

h=5

図 8.6.8: 自由表面を有する振動平板による流れ

h=2

)]

上式を (8.6.12) 式に代入し、
(
)
1 √ √
(−1) 4 ω ρ (h−y)
√
cosh
U
µ
(
)
f (y) =1√ √(−1) 4 h ω ρ√coshµ上式と (8.6.11) 式を (8.6.10) 式に代入し、
(
)
1 √ √
(−1) 4 ω ρ (h−y)√
ei ω t coshUµ()
u (t, y) =1√ √(−1) 4 h ω ρ
√
cosh
µ

(8.6.14)

第8章

458

8.6.4

平行平板内での変動圧力勾配による流れ

平行平板間隔：2h 内で圧力勾配が円周波数：ω で変動している粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポーネントを u, v, w とする。水平振動方向を x 軸とし、鉛直方向をを y 軸とする。圧力：p、粘性係数：µ と
する。

粘性流体

x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
2
2
d
d
d
d
=X +µ
u+
u+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx
流速は x 軸方向のみで、時間：t と y の関数で、u = u(y, t)とする。圧力：p は − ddx p = ei ω t P で変動しているものとする。これから運動方程式は下記となる。
(
)
( 2
)
d
d
iωt
ρ
u (y, t) = e
P +µu (y, t) (8.6.15)
dt
d y2
流速：u(y, t) を下記のように、粘性の影響項：u1 (y, t)と圧力による主流流速：U (t) に分ける。

u (y, t) = u1 (y, t) + U (t)図 8.6.9: 平行平板内での変動圧力勾配による流れ/* 平行平板内での変動圧力勾配による流れ h：有限 */kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))(8.6.16)上式を (8.6.15) 式に代入し、
)
(
)
(
d
d
ρ
u1 (y, t) + ρ
U (t)
dt
dt
( 2
)
d
= ei ω t P + µ
u1
(y,
t)
d y2
上式から下記の運動方程式に分けられる。
()
dρU (t) = ei ω t P
dt
(
)
( 2
)
d
d
ρ
u1 (y, t) = µu1 (y, t)dt
d y2(8.6.17)(8.6.18)+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))

ode2(NAV31,U(t),t);+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))UT1:subst([%c=0],%);+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))

UYT1:u1(y,t)=f(y)*g(t);+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(

subst([UYT1],NAV32);’diff(u,z,2) +’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))

ev(%,diff);-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)

EQ1:%/f(y)/g(t)/\rho;+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)]

EQT1:lhs(EQ1)=C;,[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)

EQY1:rhs(EQ1)=C;+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);

EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);
EQT21:subst([C=%i*\omega],EQT2);

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];subst([u=u(y,t),v=0,w=0,X=0,’diff(p,x,1)

assume(C>0,\mu>0,\rho>0,\omega>0);=-P*%e^(%i*\omega*t)],NAV2);

subst([C=%i*\omega],EQY2);

NAV21:ev(%,diff);

EQY3:f(y)=%k1*sinh(((-1)^(1/4)*sqrt(omega)

U0:u(y,t)=U(t)+u1(y,t);*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu))+%k2*cosh(((-1)^

EQY2:ode2(EQY1,f(y),y);subst([U0],NAV21);(1/4)*sqrt(omega)*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu));

NAV22:expand(ev(%,diff));

subst([y=h],rhs(EQY3))=-U(t)/(%e^(%i

NAV31:last(lhs(%))=first(rhs(%));*\omega*t));

NAV32:NAV22-NAV31;

subst([%k1=0,UT1],%);
solve(%,%k2)[1];
EQY4:subst([%k1=0,%],EQY3);
U11:lhs(UYT1)=subst([%c=1],rhs(EQT21))*rhs(EQY4);

8.6. 振動境界層

459
上式から、

U12:factor(subst([UT1,U11],U0));

(

%k2 =

U13:lhs(%)=realpart(rhs(%));

ω coshsubst([y=h],U12);
factor(subst([y=h],U13));subst([y=0],U12);
factor(subst([y=0],U13));(8.6.17) 式を ode2 関数で解いて、U (t) = %c −i ei ω t P
i ei ω t P
sin (ω t) P
=−
=
ωρ
ωρ
ωρ
(8.6.19)u1(y, t) を下記の変数分離法で解く。
u1 (y, t) = g (t) f (y)(8.6.20)(8.6.18) 式に上式を代入し、
(
)
( 2
)
d
d
ρ
(g (t) f (y)) = µ
(g
(t)
f
(y))
dt
d y2
整理して、

(
d
d t g (t)

g (t)

µ
=

上式と (8.6.21) 式を (8.6.20) 式に代入し、
(
)
1 √ √
(−1) 4 ω ρ y√i ei ω t coshPµ()
u1 (y, t) =1
√ √(−1) 4 h ω ρ√ω coshρµ
上式を (8.6.16) 式に代入し、(

u (y, t) ==C

上式を ode2 関数で解いて、

g (t) = %c et C√

f (y) = %k1 e

√
ρy C
√
µ

+ %k2 e−ρi ei ω t1√ √(−1) 4 h ω ρ
√
µ

)
ρ

√ √ )
ω ρy
cosh
√
µ
(
1
√ √ ))(−1) 4 h ω ρ− coshP√µ2

ρ f (y))%k1 = 0 および上式を (8.6.21) 式に代入し、
(
)
1 √ √
(−1) 4 ω ρ y√i coshPµ()
f (y) =1√ √(−1) 4 h ω ρ√ω coshρµω cosh
(

)
d
f
(y)
d y2

iP
1
√ √
(−1) 4 h ω ρ
√
µ

(

1

(−1) 4(8.6.23)

上式の実部をとれば流速分布：u(y, t) が得られるが、式

√
√
ρy C
√
µ

が非常に長くなるので、記述を省略する。

振動問題であるから、C = i ω と置くと、(1) 平行平板間隔：2h が十分狭い場合

g (t) =%c ei ω tf (y) =%k1 e

1 √ √(−1) 4ω ρy√µ+ %k2 e

−

1 √ √
ω ρy
(−1) 4√µtaylor(%,a,0,7);(8.6.21)

また、f (y) を下記のようにも表現できる。
(
1 √
√ )
(−1) 4 ω ρ yf (y) =%k1 sinh
√
µ
(
1 √
√ )
(−1) 4 ω ρ y+ %k2 cosh√µ

COSH1:cosh(a);COSH11:lhs(COSH1)=rest(%,-2);
COSH12:subst([a=((-1)^(1/4)*sqrt(omega)*sqrt(rho)*y)/sqrt(mu)],COSH11);
COSH13:subst([a=((-1)^(1/4)*sqrt(omega)(8.6.22)*sqrt(rho)*h)/sqrt(mu)],COSH11);
U121:subst([COSH12,COSH13],U12);
U122:lha(U121)=num(rhs(U121))/\omega/\rho;

境界条件として、y = h で u (h, t) = 0 であるから、f (y)factor(%);の境界条件は下記となる。
(
1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρ%k1 sinh
√
µ
(
1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρ+ %k2 cosh√µU123:lhs(U121)=realpart(rhs(%));
h が十分小さい場合について検討する。cosh (a) は a が−i ω t=−e

U (t)対称性から %k1 = 0 で、上式を整理すると、
(
1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρiP=%k2 cosh√µωρ

小さい場合、

cosh (a) = 1 +

a2
a4
a6
a2
+
+
+ ... ≈=
+1
2
24 7202(8.6.23) 式中の cosh 項を上式で近似すると、
(
1 √
√ )
(−1) 4 ω ρ yi ω ρ y2
=
cosh
+1
√
µ
2µ
(
cosh

1
√ √ )
(−1) 4 h ω ρi h2 ω ρ
=
+1
√
µ
2µ

第8章

460
上式を (8.6.23) 式に代入し、更に、()
22i ei ω t i ω2ρµy − i h2 µω ρ P( 2)
u (y, t) =ω ρ i h2 µω ρ + 1()
2
2
i ei ω t i ω2ρµy − i h2 µω ρ P=
ωρ
上式の実部をとれば流速分布：u(y, t) は下記の二次式となる。これは各瞬間、各瞬間、圧力勾配による「8.2.1 二

粘性流体

P と主流：U (t) の関係は、下記で位相が π/2 ずれている。
P = P cos (ω t) ,U (t) =sin (ω t) Pωρ

間隔：h が広い場合には、中央部分では主流：U (t) の流れで、壁面に近い境界層部分は圧力変動の影響を受けた
流れとなっており、主流とは位相が異なる。また、間隔：

h が非常に狭い場合には、圧力変動による流れのみで、
各瞬間、各瞬間、定常流れの流速分布となっている。

枚の平板間の流れ (Couette Flow)、345 頁」の定常流れの流速分布となっている。

u (y, t) = −cos (ω t) (y − h) (y + h) P
2µPL1:subst([\omega=1,P=1,\mu=1,\rho=1,y=x],rhs(U13));h:100;
plot2d([subst([t=0],PL1),
subst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),

図 8.6.10: 平行平板内での変動圧力勾配による流れ

subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),

h = 100

subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,-h,h],[legend,"t=0", "t=0.785","t=1.57", "t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71", "t=5.495"]);plot2d([subst([t=0],PL1),
subst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),
subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),
subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,0.9*h,h],[legend,"t=0", "t=0.785","t=1.57", "t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71", "t=5.495"]);h:5;
plot2d([subst([t=0],PL1),

図 8.6.11: 平行平板内での変動圧力勾配による流れ

subst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),

h=5

subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),
subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,-h,h],[legend,"t=0","t=0.785","t=1.57", "t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71", "t=5.495"]);h:0.1;
plot2d([subst([t=0],PL1),
subst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),
subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),
subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,-h,h],[legend,"t=0", "t=0.785","t=1.57", "t=2.355",
図 8.6.12: 平行平板内での変動圧力勾配による流れ"t=3.14", "t=3.925","t=4.71", "t=5.495"]);
下記に種々の平板間隔：h の流速分布を示す。圧力変動： h = 0.1

8.6. 振動境界層

8.6.5

円管内での変動圧力勾配による流れ

半径:R の円管内で圧力勾配が円周波数：ω で変動している粘性流れを求める1 。円柱座標系の r − θ − z 座標
軸の各速度コンポーネントを vr , vθ , vz とする。水平振461
NAV21:ev(%,diff);
W0:w(r,t)=W(t)+w1(r,t);
subst([W0],NAV21);
NAV22:expand(ev(%,diff));

動方向を z 軸とし、鉛直方向をを r 軸とする。圧力：p、NAV31:first(lhs(%))=first(rhs(%));

粘性係数：µ とする。

NAV32:NAV22-NAV31;
円柱座標系の z 軸方向 Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式から、(

図 8.6.13: 円管内での変動圧力勾配による流れ())
vθ ddθ vz
d
d
vz +
+
vz
ρ vz
dz
r
dt
(
))
d
+ vr
vz
dr
(
)
d2
d
2
v
v
d2
d
2
z
z
=µ
vz + d θ 2 +vz + d r
d z2
r
d r2
r
(

+ Fz −/* 円管内での変動圧力勾配による流れ */dpdzkill(all);

流速は z 軸方向のみで、時間：t と r の関数で、vz =MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta,w(r, t) とする。圧力：p は次式のように変動しているも1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;のとする。

NAV2:matrix([rho*((’diff(v[r],z,1))*v[z]v[theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[theta],r,1dp = −ei ω t P(8.6.24)dz
これから運動方程式は下記となる。
()
dw (r, t) ρ =ei ω t P
dt
(
)
d
w
(r,
t)
d2
+µ
w (r, t) + d r
d r2r))+(v[r]*v[theta])/r)],[rho*(v[z]* (’(8.6.25)-v[theta]^2/r+((’diff(v[r],theta,1))*v[theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1)))],[rho*((’diff(v[theta],z,1))*v[z]+(v[theta]*(’diff(v[theta],theta,1)))/r+’diff(diff(v[z],z,1))+(v[theta]*(’diff(v[z],theta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(’diff(

流速：w(r, t) を下記のように、粘性の影響項：w1 (r, t)v[z],r,1)))])=matrix([mu*(-(2*(’diff(と圧力による主流流速：W (t) に分ける。

v[theta],theta,1)))/r^2+’diff(v[r],z,2)w (r, t) = W (t) + w1 (r, t)(8.6.26)+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+’diff(v[r],r,1)/r-v[r]/r^2)+F[r]-’diff(p,r,1)],[mu*(’diff(v[theta],z,2)+’diff(v[theta],theta,2)/r^2+’diff(v[theta],r,2)+’diff(v[theta],r,1)/r-v[theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)+F[theta]-’diff(p,theta,1)/r],[mu*(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)+F[z]-’diff(p,z,1)]);
NAV20:lhs(NAV2)[3][1]=rhs(NAV2)[3][1];P1:’diff(p,z,1)=-P*%e^(%i*\omega*t);
subst([v[\theta]=0,v[r]=0,F[z]=0,v[z]=w(r,t),P1],NAV20);

1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , 11.e.2
Oscillating flow through a pipe, P.229

上式を (8.6.25) 式に代入し、
(
) (
)
d
d
ρ
W (t) +
w1 (r, t) ρ
dt
dt
( 2
)
d
iωt
=e
P +µ
w1 (r, t)d r2(d)µ d r w1 (r, t)+r
上式から下記の運動方程式に分けられる。
()
dρ
W (t) = ei ω t P
dt(d
w1 (r, t)
dt

)

)
d2
w1 (r, t)
ρ =µ
d r2
(
)
µ
d
+
w1 (r, t)r dr(8.6.27)((8.6.28)

第8章

462

粘性流体

ode2(NAV31,W(t),t);

A:0;

WT1:subst([%c=0],%);

C:1;

WRT1:w1(r,t)=a(r)*b(t);B:sqrt(rhs(B2));

subst([WRT1],NAV32);

N:0;ev(%,diff);
EQ1:expand(%/a(r)/b(t)/\rho);

EQ:EQR11;
FC:v(r);

EQT1:lhs(EQ1)=C;

VA:r;

EQR1:rhs(EQ1)=C;

FCTR:u(t);EQT2:ode2(EQT1,b(t),t);

VATR:t;EQT21:subst([C=%i*\omega,%c=1],EQT2);
expand(EQR1/\mu*a(r)*\rho);

TRFC:v(x)=f(t)*u(t)+g(x);lhs(%)-rhs(%)=0;

TRFCG:g(x)=0;

EQR11:subst([a(r)=v(x),r=x,C=%i*\omega],%);

subst(rhs(TRFCVA),lhs(TRFCVA),TRFC);

B1:B^2=coeff(lhs(EQR11),v(x));

TRFC0:subst(rhs(TRFCG),lhs(TRFCG),%);

B2:subst([C=%i*\omega],B1);(8.6.27) 式を ode2 関数で解いて、

TRFC1:solve(TRFC0,FCTR)[1];W (t) = %c −TRFCVA:f(t)=(t/B)^(A/C);

TRVA:t=B*x^C;
TRVA1:x=(t/B)^(1/C);

i ei ω t P
i ei ω t P
=−
ωρ
ωρ

(8.6.29)

EQTRFC:EQ;

w1(r, t) を下記の変数分離法で解く。

DVX1:’diff(v(x),x,1)=’diff(u(t),t,1)*

w1 (r, t) = a (r) b (t)(8.6.30)(8.6.28) 式に上式を代入し、
)
( 2
)
(
d
d
b (t) =µa (r) b (t)a (r) ρ
dt
d r2
(
)
µ
d
+
a (r) b (t)r dr
整理すると、(dd t b (t)

b (t)

µ
=

)
d2
a
(r)
2
dr

a (r) ρassume(t>0);

1/(diff(rhs(TRVA1),t,1));
DVX2:’diff(v(x),x,2)=’diff(u(t),t,2)*
1/(diff(rhs(TRVA1),t,1)^2);
subst([DVX1,DVX2,TRFC0,TRVA1],EQTRFC);
expand(-%*\mu/%i/\omega/\rho);(8.6.33) 式は、このままでは ode2 関数で解けないので、下記の式に (8.6.33) 式を当てはめ、A, B, C, N を求め変数変換を行う。(参照：Maxima を使った微分方程式演

+

µ

(d

r a (r) ρ習ノート)

d r a (r)= C (8.6.31)

上式左辺項から、dd t b (t)b (t)4.5 Bessel の微分方程式（23 頁））(1 − 2 A) dd2v (x) +
v (x)
2
d x(
x
dx
)
A2 − C 2 N 2
2 C−2 2 2++x
B Cv (x) = 0x2

=C(v (x) = u (t)上式を ode2 関数で解いて、振動問題で、C = i ω であ

(

るから、

x=
b (t) = %c et C = %c ei ω t(8.6.31) 式右辺項から、( 2)µ ddr2 a (r)a (r) ρ(8.6.32)√v (x) = u (t) ,C = i ω を代入し、変数を a(r) → v (x) に変えて、
dd x v (x)x√
− i ωµ ρ , N = 0 となり、下記の変換関数となる。

)µ d r a (r)+=Cr a (r) ρ(dda (r) ρ Cd2
d r a (r)
a
(r)
+
+
=0
µ
d r2
r

d
v (x) +
d x2

) CA

) C1

以上から、A = 0, C = 1, B =

整理して、

2

t
B

t
B

−

i ω ρ v (x)
=0
µ

−

iωρ
x
µ

(8.6.34)

上式から、下記の関係が得られる。
√
(
)
d
iωρ
d
v (x) = −
u (t)
dx
µ
dt

(
2

(8.6.33)t=dv (x) = −
d x2

iωρ

)

d2
d t2 u (t)µ8.6. 振動境界層463(1) 円管径：R が十分細い場合

上式を (8.6.33) 式に代入し、整理すると、
d
u (t)
d2
u (t) + d t+ u (t) = 02
dtt(8.6.35)
BES1:bessel_j(0,d);taylor(%,d,0,7);

ode2(%,u(t),t);

BES11:BES1=rest(%,-2);

subst([u(t)=a(r),TRVA,x=r],%);

BES12:subst([d=r*sqrt(-(%i*omega*rho)/mu)]

EQR2:subst([%k2=0],%);,BES11);ANS1:subst([WT1,WRT1,EQR2,EQT21],W0);

BES13:subst([d=R*sqrt(-(%i*omega*rho)/mu)]

subst([t=0,r=R],rhs(ANS1))=0;,BES11);solve(%,%k1)[1];

subst([BES12,BES13],ANS2);

ANS2:subst([%],ANS1);(8.6.35) 式を ode2 関数で解くと、factor(%);
subst([R^2=0],%);

u (t) = bessel y (0, t) %k2 + bessel j (0, t) %k1
変数変換:(8.6.34) 式を上式に代入し、v(x) → a(r) に変
えて、

√

(

)
iωρ
a (r) =bessel y 0, r −
%k2
µ
√
(
)
iωρ
%k1
+ bessel j 0, r −µ√w (r, t) =bessel j 0, r

iωρ
−
µ

%k1 ei ω t(8.6.36)

bessel j 0,

)
%k1 −

iP
=0
ωρ

上式から、

%k1 =

iP
( √
)
bessel j 0, − i ωµ ρ R ω ρ

上式を (8.6.36) 式に代入し、下記の流速分布：w (r, t) が得られた。しかし、次式の実部は容易に得られないので、以降に円管径が十分小さい場合と十分大きい場合について、流速分布を求める。
√)(
i bessel j 0, r − i ωµ ρ ei ω t P)( √w (r, t) =bessel j 0, − i ωµ ρ R ω ρ

−

ie

iωt

ωρ

P

の流速分布が得られる。これは各瞬間、各瞬間、圧力勾

347 頁」の定常流れの流速分布となっている。
)(
2i i ω4rµ ρ + 1 ei ω t P
i ei ω t P() −w (r, t) =2ωρ
ω ρ iωρR + 1
4µ境界条件として、上式を ei ω t で割り、r = R で w (r, t) =

iωρ
−
R
µ

上式を (8.6.37) 式に代入し、整理すると次式の二次式
配による「8.2.2 円管内流れ (Hagen-Poiseuille Theory)、)i ei ω t P−
ωρ
0 であるから、
( √

d2
d4
d6
d2
+
−
+ ... ≈ 1 −4
64 23044(8.6.37) 式の Bessel 関数項は上式から、
√
(
)
iωρ
i ω r2 ρ
bessel j 0, r −
=
+1
µ
4µ
)
( √
i ω ρ R2iωρR =+1
bessel j 0, −µ4µ上式、(8.6.29) 式、(8.6.30) 式、(8.6.32) 式を (8.6.26) 式(

し、高次の項を省略し、下記の関係が得られる。

bessel j (0, d) ≈ 1 −z 軸に対称であるから %k2 = 0 として、
√
(
)
iωρ
a (r) = bessel j 0, r −%k1µに代入すると、

lhs(%)=realpart(rhs(%));
下記の Bessel 関数の d が十分小さい場合、Taylor 展開(8.6.37)ei ω t P (R − r) (R + r)=i ω ρ R2 + 4 µcos (ω t) P (R − r) (R + r)=
4µ(8.6.38)

第8章

464(2) 円管径：R が十分太い場合

粘性流体

PL1:expand(subst([\omega=1,P=1,\mu=1,\rho=1,r=x],rhs(ANS3)));

BES2:BES1=sqrt(2/%pi/d)*%e^(%i*d)*(%i^(-1/2));BES21:BES1=sqrt(2/%pi/d)*cos(d-%pi/4);

R:10;
plot2d([subst([t=0],PL1),
subst([t=0.785],PL1),subst([t=1.57],PL1),
subst([t=2.355],PL1),subst([t=3.14],PL1),

assume(d>0);
assume(\omega>0,\rho>0,\mu>0,R>0,r>0);

subst([t=3.925],PL1),subst([t=4.71],PL1),
subst([t=5.495],PL1)],[x,0.000001,R],

BES1=factor(realpart(rhs(BES2)));[legend, "t=0", "t=0.785","t=1.57",

factor(trigexpand(BES21));
BES22:lhs(BES12)=subst([d=r*sqrt(-’(%i"t=2.355","t=3.14", "t=3.925","t=4.71","t=5.495"]);*omega*rho)/mu)],rhs(BES2));
BES23:lhs(BES13)=subst([d=R*sqrt(-(%i*omega*rho)/mu)],rhs(BES2));
subst([BES22,BES23],ANS2);
ANS3:lhs(%)=realpart(rhs(%));
下記の Bessel 関数の d が十分大きい場合、下記の Hankelの漸近展開の初項で近似できる。
√()
2 cos d − π4√
bessel j (0, d) =√π d上式の複素表示は、√

bessel j (0, d) =2 ei d
√ √
(−1)
π d
1
4

(8.6.37) 式の Bessel 関数項は上式から、
√

(

)

√

1

√
√
√
−i i ω r ρ√µ
2 µ4 ebessel j 0, r
=
1 √
1
1
1 √
(−1) 4 π (−i) 4 ω 4 r ρ 4
√
√
√
( √
)
√ 1 −i i √ ω ρ Rµiωρ
2 µ4 ebessel j 0, −
R =
1 √
1
1
1 √
µ
(−1) 4 π (−i) 4 ω 4 ρ 4 R

iωρ
−
µ

上式を (8.6.37) 式に代入し、実部を整理すると次式の流速分布が得られる。

w (r, t) =
−
=

P

+

ie

iP

iωt

ωρ
√

√

Re

−

√
√
√ √
√
√
−i i ω ρ R−i i ω r ρ√√+i ω t+
µ
µ

ω

√

rρ

P
√ √
ω ρ
√ √ (r−R)

Re 2 µ
√
ω rρ

)
(√ √
ω ρ (R − r)
√ √
−ωt
sin
2 µ

sin (ω t) Pωρ
(8.6.39)

図 8.6.14: 円管内での変動圧力勾配による流れ

R = 108.6. 振動境界層

8.6.6

振動する円柱に作用する減衰力465(8.5.2) 式から質量保存の方程式は、
d
d
v+
u=0
dy
dx

半径:R の円柱が円周波数：ω で水平方向に振動速度：

U0 の振幅で振動している。このとき円柱に作用する減衰力について調べる1 。境界層厚さが円柱の半径：R に(8.5.3) 式から Navier-Stokes の式は下記の境界層の方程比べ、十分小さいとする。このとき、「8.5.1 境界層の方

式となる。
)
(
)
(
程式」の二次元 x − y 座標の境界層方程式を活用する。
d
d
d
u v+u
u +
u
x − y 座標軸の各速度コンポーネントを u, v とする。時
dy
dx
dt
( 2 )
間：t、圧力：p、密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：
d
d
dx p
=
ν
u
−
ν とする。
d y2
ρ
今、質量項のうち、振動運動では、 ddt u >> u

( d

)

dx u

とでき、次式となる。また、u → u(y, t) に置き換える。

du (y, t) = ν
dt

(

)
d
d2
d x p (x, t)(8.6.40)
u
(y,
−
t)
d y2
ρ

ある位置：x における境界層の外界流:U (t) とすると、圧力：p との関係は上式より、
dp (x, t)d
U (t) = − d xdtρ

図 8.6.15: 振動する円柱

上式を境界層方程式：(8.6.40) 式に代入すると、
( 2
)
d
d
d
u (y, t) = νu (y, t) +U (t) (8.6.41)
dt
d y2
dt

/* 振動する境界層 R-1 */円柱上のある点の境界層の外界流:U (t)、その振動流速

kill(all);

振幅：U とすると、

MAS1:’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV2:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1)=\nu*(’diff(u,y,2))-’diff(p,x,1)/\rho;
subst([u=u(y,t),v=0,X=0,p=p(x,t)],NAV2);
NAV21:ev(%,diff);

U (t) = ei ω t U = cos (ω t) U

(8.6.42)境界層の内部流：u (y, t) を次式のように変数分離法で表現する

u (y, t) = g (t) f (y) + U (t)(8.6.43)

NAV22:subst([\nu=0,u(y,t)=U(t)],NAV21);
P1:solve(NAV22,’diff(p(x,t),x,1))[1];
NAV41:subst([P1],NAV21);
U1:U(t)=U*%e^(%i*\omega*t);
U1R:lhs(U1)=realpart(rhs(U1));
NAV42:subst([U1],NAV41);
UY1:u(y,t)=U(t)+f(y)*g(t);assume(\omega>0,\rho>0,\nu>0,C>0);

上式を (8.6.41) 式に代入し、整理すると、
)
(
)
( 2
d
d
f
(y)
g (t) f (y) = ν g (t)dtd y2
上式を変形し、(dd t g (t)

g (t)

ν
=

)

d2
d y 2 f (y)

=C

f (y)

subst([UY1,U1],NAV42);ev(%,diff);%-%i*omega*%e^(%i*omega*t)*U;

上式を ode2 関数で解くと、

g (t) =%c et C

GF1:%/g(t)/f(y);GF11:lhs(GF1)=C;
GF12:rhs(GF1)=C;
GT1:ode2(GF11,g(t),t);FY1:ode2(GF12,f(y),y);
1 G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、5.13(a) 振動する物体に働く減衰力 P.355

f (y) =%k1 e

√
y C
√
ν

√

+ %k2 e− y√νC

(8.6.44)

第8章

466

粘性流体

assume(\delta>0);
UY20:subst([GT1,FY1,U1,%c=1,%k1=0,C=%i

WD11:realpart(subst([TU2R],WD1));*\omega],UY1);\omega*T[W]=2*%pi;

M14:(-1)^(1/4);

T1:solve(%,T[W])[1];

M14R:realpart(M14);

W[A]=’integrate(rhs(WD11),t,0,T[W])/T[W];

M14I:imagpart(M14);ev(%,integrate);

M141:M14=M14R+M14I*%i;

W[A]=subst([T1],rhs(%));

UY2:subst([M141],UY20);

WA1:factor(ev(%,integrate));subst([u(y,t)=0,y=0],UY2);

diff(UY22,y,1);solve(%,%k2)[1];

DUY1:lhs(%)=realpart(rhs(%));

subst([%],UY2);%/U/%e^(%i*omega*t);%^2;
DUY11:\mu*trigsimp(%);

UY21:expand(%);’integrate(lhs(%),y,0,inf)=’integrate(

DL1:\delta=1/((sqrt(\omega))/(sqrt(2)rhs(%),y,0,inf);*sqrt(\nu)));DUY21:lhs(%)=ev(rhs(%),integrate);solve(%,sqrt(\nu))[1];W[A]=’integrate(rhs(DUY21),t,0,T[W])/T[W];subst([%],UY21);ev(%,integrate);

UY22:%*U*%e^(%i*omega*t);
振動流であるから C = i ω とし、(8.6.44) 式を (8.6.43)

subst([T1],%);
物体表面に作用する剪断力：τ は次式で表せる。
)(
du (y, t)τ =µdy

式に代入し、境界条件から、y → ∞ で u (y, t) = U (t) =ei ω t U から、%k1 = 0 となり次式となる。
u (y, t) = ei ω t U + %k2 e

i ω t−1 √ωy(−1) 4√ν

上式に、(8.6.47) 式を代入し、微分を実行し、y = 0 と(8.6.45)

ここで下記の関係があり、
11i(−1) 4 = √ + √2
2(i + 1) µ ei ω t U
δµ (cos (ω t) − sin (ω t)) U=δ=y → 0 で u (y, t) = 0 から、%k2 = −U(u (y, t) = e

U −ei ω t−(8.6.48)上式から、剪断力による単位時間あたりの仕事（力×流速）：W は、U (t) = cos (ω t) U から次式となる。

上記の関係式を (8.6.45) 式に代入し、
iωtし、実部を求めると、
(
)
y
iy
i
1
τ =− − −µ e− δ − δ +i ω t Uδδ1√i + √
22√ν)

下記の δ を導入し、整理すると、
√ √
2 ν
δ= √
ω
(
)
iy
y
u (y, t) = ei ω t 1 − e− δ − δ U

W =cos (ω t) τ U

√
ωy

U

=

µ cos (ω t) (cos (ω t) − sin (ω t)) U 2
δ(8.6.49)

物体の振動周期:TW は、(8.6.46)(8.6.47)

TU1:\tau=\mu*diff(u(y,t),y,1);
subst([UY22],%);
ev(%,diff);
TU2:factor(subst([y=0],%));
TU2R:lhs(TU2)=realpart(rhs(TU2));
subst([\omega=1,U=1,\mu=\delta],rhs(TU2));

TW =

2π
ω

剪断力による単位時間あたりの仕事：W の平均:WA は、
上式の時間平均をとり、
∫ TW
µ U2
WA =
cos (ω t) (cos (ω t) − sin (ω t)) dt
δ TW 0)(TW )2 +2 ω TW1−
µ U 2 sin(2 ω TW )+2 cos(ω
4ω
2ω
=
δ TW
µ U2
=
2δ
(8.6.50)

TU2RP:realpart(%);
assume(T[W]>0);
WD1:W=\tau*rhs(U1R);

境界層内のある点における単位体積あたりのエネルギー()2の散逸は、µ ddy u (y, t) で表すことができる。

8.6. 振動境界層

467
均：WF は、dd y u (y, t) は次式となり、

(
)
iy
y
d
i
1
e− δ − δ +i ω t U
u (y, t) = − − −dyδδ
上式の実部から、

∫ ∞(
µ
0

=

=

)2
d
u (y, t) dy
dy
(
(
∫

)
y−δωt
δ
0
)
(
)
y−δωt
sin
+ 1 dyδ)(δ cos(2 ω t)
ω t)
δ
+
+
U2
µ − δ sin(2
4
4
2
µ U2
δ2

∞

2y

e− δ

の流れ、(5.3.15) 式、122 頁」から次式となる。

U (θ) = 2 U0 sin (θ)(8.6.50) 式の単位時間あたりの仕事の平均を円柱の円周方向に積分し、=δ sin (2 ω t) δ cos (2 ω t)
+
4
4
δ
+ dt
2

−

0

∫π
2
µ 0 U (θ) dθ R
µ U2
WT =2
R dθ =
2δδ0∫π
2
4 U02 µ 0 sin (θ) dθ R=δ
2 π U02 µ R=δ∫ π

上式の時間平均をとり、∫ TW(8.6.52)

円柱の流速分布は、「例題 5.3.4 一様流中の円柱まわり

2 cos

δ2

µ U2
WA = 2
δ TW

∫ TW
U0 F
2
WF =
cos (ω t) dt
TW 0
U0 F (sin (2 ω TW ) + 2 ω TW )=4 ω TW
U0 F
=
2

µ U2
2δ

(8.6.53)(8.6.52) 式の WF と (8.6.53) 式の WT は等しいから、
U0 F
2 π U02 µ R=
2δ(8.6.51)
上式の結果は、(8.6.50) 式に示す剪断力による単位時間あたりの仕事の平均から求めた結果と一致している。
W[F]=’integrate((F*cos(\omega*t))*(U[0]*上式から F は、F =cos(\omega*t)),t,0,T[W])/T[W];

4 π U0 µ Rδev(%,integrate);

円柱物体の運動エネルギー：T (t) は、物体密度：ρM とWF1:subst([T1],%);

すると、

WT1:W[T]=’integrate(subst([U=U(\theta)],

π U02 ρM R2
2
円柱物体の運動エネルギーの減少は、剪断力等による

rhs(WA1))*R*2,\theta,0,%pi);

単位時間あたりの仕事（エネルギー散逸）の平均である

subst([UT1],WT1);
WT2:ev(%,integrate);

から、

UT1:U(\theta)=2*U[0]*sin(\theta);

T (t) =

rhs(WF1)=rhs(WT2);2 π U02 µ Rd
T (t) = −dtδエネルギーの基本である U02 の減衰は、減衰比：B とす

F1:solve(%,F)[1];

ると、次式の形となるから、

WT3:subst([DL1],%);

MT1:T(t)=1/2*%pi*R^2*\rho[M]*U[0]^2;

U02 = A e−ω t B

DT1:diff(T(t),t,1)=-rhs(WT2);
U02:U[0]^2=A*%e^(-B*\omega*t);
subst([MT1,U02],DT1);ev(%,diff);solve(%,B)[1];
subst([DL1,\mu=\nu*\rho],%);%*2*%pi;
今、減衰力：F が、物体の振動速度：U (t) と同位相とし、その速度振幅：U0 とすると、これによる仕事の平上式を代入し、

d π A e−ω t B ρM R2
2 π µ A e−ω t B R
=−
dt
2
δ
B を求めると、
3 √4µ
22 ν ρ
√B==δ ω ρM Rω ρM R

一周期のエネルギーの減衰比は、√√
522 π ν ρ2νρ
2πB = √
= 4π
ρM
ω R2
ω ρM R

(8.6.54)

第8章

468

8.6.7

振動する円柱に生じる定常流

粘性流体

subst([PX1],%);

半径:R の円柱が円周波数：ω で水平方向に振動流速：

expand(%);

U0 の振幅で振動している。このとき円柱周囲に生じる%-NAVU1;

定常流について調べる1 。境界層厚さが円柱の半径：Rrest(lhs(%),3)=rhs(%);に比べ、十分小さいとする。このとき、「8.5.1 境界層のrest(lhs(%),-2)+last(lhs(%))=rhs(%);

方程式」の二次元 x − y 座標の境界層方程式を活用する。

NAVU2:%-v[1](x,y,t)*(’diff(u[1](x,y,t)

x − y 座標軸の各速度コンポーネントを u, v とする。時間：t、圧力：p、密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：

ν とする。

,y,1))-u[1](x,y,t)*(’diff(u[1](x,y,t),x,1))-\nu*(’diff(u[2](x,y,t),y,2));(8.5.2) 式から質量保存の方程式は、
d
d
v+
u=0
dy
dx
(8.5.3) 式から Navier-Stokes の式は下記の境界層の方程
式となる。
(
)
(
)
d
d
d
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
( 2 )
d
d
dx p
=ν
u
−
d y2
ρ

(8.6.55)

境界層の外界流速:U (x, t) とすると、圧力：p との関係は、(
U (x, t)
図 8.6.16: 振動する円柱に生じる定常流)
dp (x, t)dd
U (x, t) +U (x, t) = − d xdxdtρ(8.6.56)

ここで、流速：u を下記の u1 (x, y, t) , u2 (x, y, t) で表現する。u1 (x, y, t) , v1 (x, y, t) は線型理論で決定される/* 振動する境界層による定常な流れ */kill(all);
MAS1:’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;

もので、外界流速：U (x, t) と同じ周波数で変動する。

u2 (x, y, t) は非線型な要素で決まるもので、u1 (x, y, t)と比べ、十分小さいとする。

NAV2:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

u = u2 (x, y, t) + u1 (x, y, t)(8.6.57)+’diff(u,t,1)=\nu*(’diff(u,y,2))-’diff(p,x,1)/\rho;
subst([\mu=0,u=U(x,t),p=p(x,t),X=0],NAV2);(8.6.55) 式に u → u1 (x, y, t) と v → v1 (x, y, t) を代入し、)
du1 (x, y, t)
dy
(
)
d
d
+ u1 (x, y, t)u1 (x, y, t) +u1 (x, y, t)
dx
dt
( 2
)
(
)
d
d
=ν
u
(x,
y,
t)
+
U
(x,
t)
U
(x,
t)
1
d y2
dx
d
+
U (x, t)dt(

NAV21:ev(%,diff);
PX1:solve(%,’diff(p(x,t),x,1))[1];
subst([u=u[1](x,y,t),v=v[1](x,y,t),p=p(x,t),X=0],NAV2);ev(%,diff);
subst([PX1],%);
expand(%);
NAVU1:last(lhs(%))=first(rhs(%))

v1 (x, y, t)+last(rhs(%));

v=v[1](x,y,t),p=p(x,t),X=0],NAV2);線型の方程式として、次式となる。
)
( 2
d
d
d
u
(x,
y,
t)
+
u1 (x, y, t) = νU (x, t)
1
2
dt
dy
dt
(8.6.58)

ev(%,diff);(8.6.55) 式に (8.6.57) 式を代入し、線型の関係式：(8.6.58)

expand(solve(%,’diff(U(x,t),t,1))[1]);NAVU11:subst([\mu=\nu*\rho],%);
subst([u=u[1](x,y,t)+u[2](x,y,t),式を差し引き、
1 G. K. Batchelor：入門
よる定常な流れ P.358

流体力学 18) 、5.13(b) 振動境界層に

8.6. 振動境界層()
d
v1 (x, y, t)u2 (x, y, t)dy()
d+ u2 (x, y, t)u2 (x, y, t)
dx
(
)
d
d
+ u1 (x, y, t)u2 (x, y, t) +u2 (x, y, t)
dx
dt
(
)
d
u1 (x, y, t)+ v1 (x, y, t)dy)(du1 (x, y, t)+ u2 (x, y, t)dx()
d+ u1 (x, y, t)u1 (x, y, t)
dx
( 2
(
)
)
d
d
=ν
u2 (x, y, t) + U (x, t)
U (x, t)d y2dx

u1 (x, y, t) >> u2 (x, y, t) として、微小項を省き、上式の下線部分を残し、u2 (x, y, t) に関する方程式は、
( 2
)
d
d
u2 (x, y, t) − ν
u
(x,
y,
t)
2
dt
d y2
(
)
d
= −v1 (x, y, t)u1 (x, y, t)dy(8.6.59)()
d− u1 (x, y, t)u1 (x, y, t)dx()
d+ U (x, t)
U (x, t)dx

U1:U(x,t)=U(x)*%e^(%i*\omega*t);
U1R:lhs(U1)=U(x)*realpart(%e^(%i*\omega*t));469
UY2:subst([M141],UY20);
subst([u[1](x,y,t)=0,y=0],UY2);
solve(%,%k2)[1];
subst([%],UY2);%/U(x)/%e^(%i*omega*t);
UY21:expand(%);
DL1:\delta=1/((sqrt(\omega))/(sqrt(2)*sqrt(\nu)));solve(%,sqrt(\nu))[1];
subst([%],UY21);
UY22:%*U(x)*%e^(%i*omega*t);%/U(x);
expand(realpart(rhs(%)));
UY22R:lhs(UY22)=%*U(x);境界層の外界流速:U (x, t) を次式とする。
U (x, t) = ei ω t U (x) = cos (ω t) U (x)境界層内の線型理論の流速：u1 (x, y, t) を変数分離法を導入し、次式とする。

u1 (x, y, t) = g (t) f (y) + U (x, t)(8.6.61)(8.6.60) 式と (8.6.61) 式を線型の方程式：(8.6.58) 式に代入し、)
d ( iωt
e
U (x)
dt
)
d (
=
g (t) f (y) + ei ω t U (x)
d(
t
)
)
d2 (
iωt
−ν
g (t) f (y) + e
U (x)
d y2
上式を整理して、(

NAVU12:subst([U1],NAVU11);
UY1:u[1](x,y,t)=U(x,t)+f(y)*g(t);dd t g (t)assume(\omega>0,\rho>0,\nu>0,C>0);g (t)subst([UY1,U1],NAVU12);(8.6.60)

ν
=

)

d2
d y 2 f (y)

f (y)

=C

ode2 関数を用いて、

ev(lhs(%)-rhs(%)=0,diff);
GF1:(-last(lhs(%))=first(lhs(%)))/g(t)g (t) = %c et C

/f(y);
GF11:lhs(GF1)=C;

f (y) = %k1 e

√
y C
√
ν

√

+ %k2 e− y√νCGF12:rhs(GF1)=C;
GT1:ode2(GF11,g(t),t);線型解で外界流速と同じ周波数で変動するはずであるか

FY1:ode2(GF12,f(y),y);

ためには、%k1 = 0 であるから、解は次式となる。

ら、C = i ω とし、y → ∞ で u1 (x, y, t) が有限である

assume(\delta>0);
UY20:subst([GT1,FY1,U1,%c=1,%k1=0,C=%i*i ω t−

u1 (x, y, t) = %k2 e\omega],UY1);
M14:(-1)^(1/4);
M14R:realpart(M14);
M14I:imagpart(M14);
M141:M14=M14R+M14I*%i;

ここで、

1 √
(−1) 4ωy√ν

+ ei ω t U (x)1i1(−1) 4 = √ + √2
2

y = 0 で u1 (x, y, t) = 0 であるから、%k2 = −U (x)

第8章

470
また、下記と置き、

√ √
2 ν
δ= √
ω

NAVU2;(8.6.62)以上から、u1 (x, y, t) は次式となる。
()
iyyu1 (x, y, t) = ei ω t U (x) 1 − e− δ − δ
上式の実部は、(

u1 (x, y, t) =U (x)y−sin (ω t) e− δ sin− cos (ω t) e

− yδ

cos

粘性流体

(y)
δ

NAVU21:first(rhs(NAVU2));
NAVU23:last(rhs(NAVU2));
NAVU22:rhs(NAVU2)-NAVU21-NAVU23;(8.6.63)(y)assume(T[W]>0);\omega*T[W]=2*%pi;
T1:solve(%,T[W])[1];δ)+ cos (ω t)subst([UY22R,VY2R],NAVU21);
ev(%,diff);’integrate(%,t,0,T[W])/T[W];(8.6.64)ev(%,integrate);
U21A:NAVU21=factor(subst([T1],%));

DUY21:diff(UY22,x,1);
VY1:v[1](x,y,t)=-’integrate(’diff(u[1]subst([UY22R,VY2R],NAVU22);(x,y,t),x,1),y,0,y);’integrate(%,t,0,T[W])/T[W];subst([DUY21],VY1);ev(%,integrate);ev(%,integrate);

U22A:NAVU22=factor(subst([T1],%));%/(%e^(%i*omega*t)*(’diff(U(x),x,1)));

subst([U1R],NAVU23);

expand(%);

ev(%,diff);

VY2:%*(%e^(%i*omega*t)*(’diff(U(x),x,1)));’integrate(%,t,0,T[W])/T[W];%/’diff(U(x),x,1);

ev(%,integrate);

expand(realpart(rhs(%)));

U23A:NAVU23=subst([T1],%);

VY2R:lhs(VY2)=%*’diff(U(x),x,1);(8.6.63) 式を x で微分し、
(
)(
)
iy
y
d
d
1 − e− δ − δ
u1 (x, y, t) = ei ω t
U (x)
dx
dx

subst([u[2](x,y,t)=u[A](y)],last(

質量保存の方程式:(8.6.55) 式から、次式が得られ、上式を代入し、積分を実行すると、v1 (x, y, t) が得られ、

v1 (x, y, t)∫ yd=−u1 (x, y, t) dy
d
x
0
(
)∫ y
iy
y
d
= − ei ω t
U (x)1 − e− δ − δ dy
dx
0
(
)(
y
iy
d
δ e− δ − δ
iy
iωt
=e
U (x)
−
−
dx
i+1
i+1
)
y
δ
−
+
i+1 i+1

ev(%,diff);lhs(NAVU2)))=rhs(U21A)+rhs(U22A)+rhs(U23A);
expand(%/(U(x)*(’diff(U(x),x,1))));
ode2(%,u[A](y),y);UA2:expand(%);
subst([y=0],rhs(UA2))=0;
K1:solve(%,%k1)[1];UA21:subst([K1,%k2=0],UA2);
UA210:u[A](x)=limit(rhs(%),y,inf);(8.6.65)

UX1:U(x)=U[0]*2*sin(x/R);
subst([UX1],UA210);ev(%,diff);lhs(%)=trigrat(rhs(%));
UA22:subst([DL1],%);
u[A]=subst([x=\phi*R],rhs(UA22));

上式の実部は、subst([U[0]=1,\omega=1,R=1],rhs(%));

v1 (x, y, t)
( )
y
(
)(
δ sin (ω t) e− δ sin yδ
d
=
−
U (x)
dx
2
(y)
( )
y
− yδ
δ cos (ω t) e sin δδ sin (ω t) e− δ cos yδ
+
−
2
2
(
)
y
δ cos (ω t) e− δ cos yδ−− cos (ω t) y2)
δ sin (ω t) δ cos (ω t)++2
2(8.6.66)

plot2d(%,[\phi,0,3.1415]);周期は次式で得られ、

TW =

2π
ω

u2 (x, y, t) の定常成分：uA (y) を求めるため、u2 (x, y, t)
に関する方程式：(8.6.59) 式の右辺項の平均を求める。
右辺各項に (8.6.64) 式と (8.6.66) 式を代入し、一周期を

8.6. 振動境界層471

平均すると各々下記となる。
(
)
∫ TW
1
d
−v1 (x, y, t)u1 (x, y, t) dt
TW 0
dy
( d
) −y
U (x) d x U (x) e δ
=
2δ
)
(
(y)
(y)
(y)
− δ sin+ y cos× y sinδδδ

(8.6.67)
1
TW

∫ TW

(
−u1 (x, y, t)

0

=−
×

U (x)
(
sin

( d

d x U (x)( y )2
δ
y

)

2
+ cos

− 2 e δ cos

(y)

)
d
u1 (x, y, t) dt
dx
2y

e− δ

( y )2δ

(8.6.68))2y

上記から、定常成分：uA (y) は次式となる。
)
( )
(
y
δ U (x) ddx U (x) y e− δ sin yδ
uA (y) =
( )
( 4ν
)
y
δ 2 U (x) ddx U (x) e− δ sin yδ
+
ν )
( d
( )
y
δ U (x) d x U (x) y e− δ cos yδ−( d 4 ν ) −y( ) (8.6.70)
2
δ U (x) d x U (x) e δ cos yδ
+
4ν
( d
)
2y
2
δ U (x) d x U (x) e− δ+)(8 ν
3 δ 2 U (x) ddx U (x)−8ν
上式で、y → ∞ とすると、ある x における境界層のすぐ外での移動速度：uA (x) は、()
3 δ 2 U (x) ddx U (x)uA (x) = −8ν+e δ(8.6.71)
δ
(
)
∫ TW
1
d
円柱の速度分布は「例題 5.3.4 一様流中の円柱まわりのU (x, t)U (x, t) dt
TW 0dx(8.6.69) 流れ、(5.3.15) 式、122 頁」から、
( d
)
(x)
U (x) d x U (x)
=
U
(x)
=
2
U
sin
0
2
R
(8.6.67) 式から (8.6.69) 式を u2 (x, y, t) に関する方程式：
上式を代入すると円柱が振動したときの境界層のすぐ外(8.6.59) 式に代入し、u2 (x, y, t) の定常成分：uA (y) とでの移動速度：uA (x) は (8.6.62) 式を代入し、し、ある x における定常項の式は、u2 (x, y, t) → uA (y)( )( )
3 U02 sin 2Rx
3 U02 δ 2 sin 2Rxの置き換えをおこない、整理すると、=−
uA (x) = −
)
( 2
4ν R
2ωR
d
(8.6.72)
ν d y2 uA (y)( d)
3 U02 sin (2 ϕ)−uA = −
U (x) d x U (x)
2ωR
)
)
(
(
y
2y
2
y e− δ sin yδe− δ sin yδ
上式から、水平の振動に対して、境界層のすぐ外での移
+
=−
2
2δ
動速度が得られ、下図のように左右に流れ出る定常流が
( )
( )2
y
2y
e− δ sin yδe− δ cos yδ
発生する。
−
−
2 ( )
2
y
(y)
y e− δ cos yδy++ e− δ cos
2δδ
上式を ode2 関数で解くと、
)
( )
(
y
δ U (x) ddx U (x) y e− δ sin yδ
uA (y) =( d4 ν)( )y2
δ U (x) d x U (x) e− δ sin yδ
+
ν )
( )
(
y
δ U (x) ddx U (x) y e− δ cos yδ
−
4ν )
(
( )
y
δ 2 U (x) ddx U (x) e− δ cos yδ
+
4ν
(
)
2y
δ 2 U (x) ddx U (x) e− δ+8ν+ %k2 y + %k1
y → ∞ で uA (y) が有限であるためには、%k2 = 0 とな
り、y = 0 では、()
3 δ 2 U (x) ddx U (x)+ %k1 = 08ν

図 8.6.17: 振動する円柱に生じる定常流分布

第8章

472

8.7

非定常な一方向の流れ

8.7.1

速度不連続な流れと静止流体中突然動き出した平板(1) 速度不連続な流れ

粘性流体

NU2:solve(%,\mu);
NAV22:subst([NU2],NAV21/\mu);assume(p>0,\nu>0,t>0);
UYT1:u(y,t)=f(y)*g(t);subst([UYT1],NAV22);ev(%,diff);

二次元の十分広い流場で、時間：t が t = 0 の時、y > 0

EQ1:%/f(y)/g(t);で u(y, 0) = U0 で、y < 0 で u(y, 0) = 0 の不連続な流EQT1:lhs(EQ1)=-p^2;

れの t > 0 以降の粘性流れについて調べる。x-y-z 座標

EQY1:rhs(EQ1)=-p^2;軸の各速度コンポーネントを u, v, w、圧力：p とし、主EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);流方向を x 軸、密度：ρ、粘性係数：µ、動粘性係数：ν

EQY2:ode2(EQY1,f(y),y);とする。

UTY2:subst([EQT2,EQY2,%c=1],UYT1);x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=X +µ
p
u
+
u
+
u −
d z2
d y2
d x2
dx
流速は x 軸方向のみで、時間：t と y の関数で、u = u(y, t)とする。圧力：p は均一となる。これらから、運動方程式は下記となる。
(
)
( 2
)
d
d
ρ
u (y, t) = µu (y, t)dt
d y2

(8.7.1)

上式：u(y, t) を下記の変数分離法で解く。

u (y, t) = g (t) f (y)図 8.7.1: 速度不連続な流れ/* 速度不連続な流れ */kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))(8.7.2)

上式に代入し、ν = µ/ρ とすると、
(d
)
( 2
)
d
d t g (t) f (y)= g (t)
f
(y)
ν
d y2
d
d t g (t)ν g (t)=d2
d y 2 f (y)

f (y)

= −p2

上式を ode2 関数で解くと、+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

g (t) = %c e−ν p t
2+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))

f (y) = %k1 sin (p y) + %k2 cos (p y)
上式から解は、+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))u (y, t) = e−ν p t (%k1 sin (p y) + %k2 cos (p y))2-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)(8.7.3)+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)

UTY3:lhs(UTY2)=’integrate(subst([%k2=A(p),+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);%k1=B(p)],rhs(UTY2)),p,0,inf);

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];UTY30:subst([t=0],UTY3);

subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y,t),p=0],%);
NAV21:ev(%,diff);

AP1:A(p)=1/%pi*’integrate(subst([y=u],ode2(NAV3,u(y,t),[y,t]);

BP1:B(p)=1/%pi*’integrate(subst([y=u],

NU1:\nu=\mu/\rho;lhs(UTY30))*sin(p*u),u,minf,inf);lhs(UTY30))*cos(p*u),u,minf,inf);

8.7. 非定常な一方向の流れ

473

UTY31:subst([AP1,BP1],UTY3);u(y,t)=’integrate(U[0]*%e^(-(y-u)^2

u(y,t)=1/%pi*’integrate(%e^(-\nu*p^2*t)*/(4*nu*t)),u,0,inf)/(2*sqrt(%pi)’integrate((u(u,0)*sin(p*u)*sin(p*y)*sqrt(nu)*sqrt(t));+u(u,0)*cos(p*u)*cos(p*y)),u,-inf,inf),p,ev(%,integrate);

0,inf);UTY41:factor(%);

trigreduce(%);

PL1:expand(subst([U[0]=1,\nu=1,y=x],

UTY32:u(y,t)=’integrate(u(u,0)*rhs(%)));’integrate(%e^(-\nu*p^2*t)*cos(p*y-p*u)

plot2d([subst([t=0.00001],PL1),,p,0,inf),u,minf,inf)/%pi;(8.7.3) 式の基本解から、境界領域が無限大であるから、subst([t=0.2],PL1),subst([t=1],PL1),

この基本解の下記の Fourier 積分が解となる。
∫ ∞(2u (y, t) =e−ν p t B (p) sin (p y)0(8.7.4))+ A (p) cos (p y) dp

subst([t=50],PL1),subst([t=200],PL1)],

初期条件：t = 0 では、下記の関係となる。
∫ ∞u (y, 0) =B (p) sin (p y) + A (p) cos (p y) dp
0(8.7.5)
このとき、係数：A (p) , B (p) は下記となる。
∫
1 ∞u (u, 0) cos (p u) duA (p) =π −∞1
B (p) =π∫ ∞u (u, 0) sin (p u) du

subst([t=3],PL1),subst([t=10],PL1),[x,-50,50],[y,-0.5,1.5],[legend,"t=0.00001", "t=0.2","t=1", "t=3","t=10", "t=50", "t=200"]);(8.7.6) 式の一部の積分を実行すると、∫ ∞e−ν p2 t√cos (p y − p u) dp =0

上記の結果を (8.7.6) 式に代入すると、∫ ∞(y−u)21√u (y, t) = √ √u (u, 0) e− 4 ν t du2 π ν t −∞(8.7.7)
初期の流速：u (u, 0) は、y = −∞ → 0 で零、y = 0 → ∞で U0 であるから、上式は、−∞上式を (8.7.5) 式に代入し、∫∫
1 ∞ −ν p2 t ∞u (y, t) =eu (u, 0) sin (p u) sin (p y)π 0−∞+ u (u, 0) cos (p u) cos (p y) dudp∫∫
1 ∞ −ν p2 t ∞=eu (u, 0) cos (p y − p u) dudp
π 0
−∞
∫ ∞
∫ ∞
2
1
u (u, 0)e−ν p t cos (p y − p u) dpdu=
π −∞0(8.7.6)u (y, t) =U0

∫ ∞ − (y−u)2e 4 ν t du0√ √ √2 π ν t上式の積分を実行すると、( ())
U0 erf 2 √yν √t + 1
u (y, t) =2
上式から、流れは √yν t に依存することが解る。

I0:I=’integrate(%e^(-\nu*p^2*t)*cos(p*y-p*u),p,0,inf);
I01:ev(%,integrate);
I1:-y^2/(4*nu*t)+(u*y)/(2*nu*t)-u^2/(4*nu*t)=N;
I2:N=factor(lhs(%));
subst([I1,I2],I01);
rhs(I0)=rhs(%);
UTY4:subst([%],UTY32);
u(y,t)=’integrate(U[0]*%e^(-(y-u)^2/(4*nu*t)),u,0,inf)/(2*sqrt(%pi)*sqrt(nu)*sqrt(t));(y−u)2π e− 4 ν t
√ √
2 ν t

図 8.7.2: 速度不連続な流れ

第8章

474

粘性流体

(2) 静止流体中突然動き出した平板
上方十分広い範囲に流体があり、静止していた平板が、
時間：t = 0 の時、速度：U0 で突然動き始めた。この平板周りの流体の粘性流れについて調べる。主流方向を x 軸とする。この問題は右模式図に示すように、上記で得られ図 8.7.3: 静止流体中突然動き出した平板

た (1) 速度不連続で、流場を y > 0 では u (y, 0) = −U0 、

y < 0 では u (y, 0) = U0 の速度不連続な流場と一定流
速：U0 の流場を重ね合わせた流場が y > 0 で静止流体
中突然動き出した平板まわりの流場に対応する。

/* 静止流体中突然動き出した平板 */kill(all);u(y,t)=U[0]*(1-erf(y/(2*sqrt(nu)*sqrt(t))));
PL1:expand(subst([U[0]=1,\nu=1,y=x],
図 8.7.4: 静止流体中突然動き出した平板の模式図

rhs(%)));
plot2d([subst([t=0.00001],PL1),
subst([t=0.2],PL1),subst([t=0.4],PL1),
subst([t=1],PL1),subst([t=10],PL1),
subst([t=50],PL1)],[x,0,20],[y,-0.5,1.5],[legend, "t=0.00001", "t=0.2","t=0.4","t=1","t=10", "t=50"]);
上記から、流速分布は下記となる。
(())
yu (y, t) = U0 1 − erf
√ √
2 ν t

(y ≤ 0)(8.7.8)図 8.7.5: 静止流体中突然動き出した平板

8.7. 非定常な一方向の流れ

8.7.2

静止流体中突然動き出した平板と静止平板の間の流体流れ

平行平板間隔：h 内に静止流体があり、下面の平板が突然動き出したときの粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係数：µ、x 方向の外力：X とする。

475
UTY0:u(y,t)=U*(1-y/h)-u1(y,t);
subst([UTY0],NAV22);
NAV23:ev(%,diff);assume(p>0,\nu>0,t>0);
UYT1:u1(y,t)=f(y)*g(t);subst([UYT1],NAV23);ev(%,diff);
EQ1:%/f(y)/g(t);EQT1:lhs(EQ1)=p^2;
EQY1:rhs(EQ1)=p^2;
x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
p
=X +µ
u
+
u
+
u −
d z2
d y2
d x2
dx

上記から、流速は x 軸方向のみで、時間 t と y の関数となり、v = 0, w = 0, X = 0, u = u(y, t) とする。圧力：p は均一である。また、ν = µρ と置く。以上から上記の運動方程式は下記となる。
図 8.7.6: 静止流体中突然動き出した平板と静止平板のdd t u (y, t)間の流体流れν/* 静止流体中突然動き出した平板と静止した平板 */kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=d2
u (y, t)d y2

(8.7.9)今、「8.2.1 二枚の平板間の流れ (Couette Flow)」(8.2.4)式、346 頁から、 ddx p = 0 とすると、u(y) = (1 − hy ) Uの定常流が得られる。時間：t が十分経てば、これに収+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

束するはずである。これを基に u (y, t) を下記と置く。
(
y)
U − u1 (y, t)(8.7.10)u (y, t) = 1 −h+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

上式を (8.7.9) 式に代入すると、u1 (y, t) のみの次式が+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))

得られる。

=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))

d

− dt

+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))u1 (y, t)d2= − 2 u1 (y, t)νdy+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y,t),p=0],%);u1 (y, t) を下記のように変数分離して解く。下記の式を上式に代入すると、

u1 (y, t) = g (t) f (y)(8.7.11)
(d
)
)
( 2
d
d t g (t) f (y)−f (y)= −g (t)νd y2
上式を整理して、

NAV21:ev(%,diff);ode2(NAV3,u(y,t),[y,t]);
NU1:\nu=\mu/\rho;
NU2:solve(%,\mu);
NAV22:subst([NU2],NAV21/\mu);−dd t g (t)ν g (t)=−d2
d y 2 f (y)

f (y)

= p2

(8.7.12)

第8章

476

粘性流体

次に、初期条件：t = 0 で、流速は零であるから、

EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);∞((π n y )∑y)u (y, 0) = 1 −U−
An sin=0hh
n=1

EQY2:ode2(EQY1,f(y),y);UTY2:subst([EQT2,EQY2,%c=1],UYT1);
UTY21:subst([y=0],rhs(UTY2))=0;

上式から、

UTY22:subst([y=h],rhs(UTY2))=0;(

BC1:%k2=0;

1−

subst([BC1],UTY22);∞(π n y)∑y)U=
An sinhh
n=1BC2:p=n*%pi/h;

上式は Fourier 級数表記である。このとき係数：An はUTY3:subst([BC1,BC2],UTY2);

次式で得られる。

UTY31:lhs(UTY3)=sum(A[n]*rhs(UTY3)/%k1,n,1,inf);U1TY1:subst([UTY31],UTY0);
subst([t=0],U1TY1);∫ h((π n y)
y)
2U
1−
sin
dy
An =
h 0
h
h
(
)
2U
h
h sin (π n)
2U
=
−
=
h
πn
π 2 n2πnsubst([u(y,0)=0],%);U1TY3:first(rhs(%))=-last(rhs(%));

上式を (8.7.13) 式に代入し、流速分布：u (y, t) が得ら

assume(h>0);

れた。

(
y)
U
u (y, t) = 1 −(h)
π 2 n2 ν t∑∞ e− h2 sin( π hn y )
2
U
n=1
n

A[n]=2/h*’integrate(lhs(U1TY3)*
sin((%pi*n*y)/h),y,0,h);ev(%,integrate);
subst([sin(%pi*n)=0],%);−

AN1:%;

π(8.7.14)

UTY5:subst([AN1],U1TY1);(8.7.12) 式を ode2 関数で解くと、
PL1:expand(subst([U=1,\nu=1,h=1,y=x,g (t) = %c e−ν p t2

inf=100],rhs(%)));
f (y) = %k1 sin (p y) + %k2 cos (p y)plot2d([subst([t=0.0001],PL1),
subst([t=0.001],PL1),subst([t=0.01],PL1),

上式を (8.7.11) 式に代入し、解が得られた。

subst([t=0.03],PL1),subst([t=0.1],PL1),u1 (y, t) = e−ν p2 t(%k1 sin (p y) + %k2 cos (p y))境界条件：y = 0 で u1 (y, t) = 0、y = h で u1 (y, t) = 0
から、

subst([t=0.2],PL1),subst([t=20],PL1)],[x,0,1],[y,-0.5,1.5],[legend, "t=0.0001","t=0.001","t=0.01", "t=0.03","t=0.1","t=0.2", "t=20"]);%k2 e−ν p t = 02(%k1 sin (h p) + %k2 cos (h p)) e−ν p t = 0
2

以上から、次式が得られ、常に成り立つには、%k2 = 0,

%k1 sin (h p) e−ν p t = 0,
2

p=

πn
h

以上から、

u1 (y, t) = %k1 e−

π 2 n2 ν th2

sin(π n y)h

上式を級数表示して、

u1 (y, t) =∞∑An e −

π 2 n2 ν t
h2

n=1

sin

(π n y )h

上式を (8.7.10) 式に代入すると、∞((π n y )∑π 2 n2 ν ty)u (y, t) = 1 −U−An e− h2 sinhhn=1(8.7.13)

図 8.7.7: 突然動き出した平板と静止平板の間の流体流れ

8.7. 非定常な一方向の流れ

8.7.3

円管内の出発流

半径:R の円管内に静止流体があり、突然圧力勾配が加477
subst([v[r]=0,v[z]=v(r),v[theta]=0,
F[z]=0,p=p(z)],NAV2);

わった軸対称の粘性流れを求める。円柱座標系の r−θ−z

NAV22:ev(%,diff);

座標軸の各速度コンポーネントを vr , vθ , vz とし、圧力：rhs(%)=0;
円柱座標系の z 軸方向 Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式

p とする。円管軸方向を z 軸とし、それに直角方向を r軸とし、粘性係数：µ とする。

図 8.7.8: 円管内の出発流

から、
(

(
)
)
vθ ddθ vz
d
d
ρ vz
vz +
+
vz
dz
r
dt
(
))
d
+ vr
vz
dr
(
)
d2
d
d2
d2
d θ 2 vzd r vz
=µ
vz +
+
vz +
d z2
r2
d r2
r
(

+ Fz −dpdz

流速は時間：t と r の関数で、流速：vz = w = w(r, t)/* 円管内の出発流 */kill(all);
MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta,とすると運動方程式は、
(
)
(
)
d
d
d2
d r w (r, t)w (r, t) ρ =µw (r, t) +
dt
d r2
r

1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;−

NAV2:matrix([rho*((’diff(v[r],z,1))*v[z]

d
p (z)
dz
(8.7.15)-v[theta]^2/r+((’diff(v[r],theta,1))*v[theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1)))],[rho*((’diff(v[theta],z,1))*v[z]+(v[theta]*(’diff(v[theta],theta,1)))/r+’diff(v[theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[theta],r,1

時間が十分経った定常状態では、流速:vz = v (r) とすると運動方程式は、)(
ddd2
d r v (r)v (r) +−
p (z) = 0
µ
d r2
r
dz

(8.7.16)))+(v[r]*v[theta])/r)],[rho*(v[z]* (’diff(v[z],z,1))+(v[theta]*(’diff(v[z],theta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(’diff(v[z],r,1)))])=matrix([mu*(-(2*(’diff(v[theta],theta,1)))/r^2+’diff(v[r],z,2)+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+’diff(v[r],r,1)/r-v[r]/r^2)+F[r]-’diff(p,r,1)],[mu*(’diff(v[theta],z,2)+’diff(v[theta],theta,2)/r^2+’diff(v[theta],r,2)+’diff(v[theta],r,1)/r-v[theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))/r^2)+F[theta]-’diff(p,theta,1)/r],[mu*(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)+F[z]-’diff(p,z,1)]);NAV2:lhs(NAV1)[3][1]=rhs(NAV1)[3][1];subst([v[r]=0,v[z]=w(r,t),v[theta]=0,
F[z]=0,p=p(z)],%);
NAV21:ev(%,diff);ode2(%,v(r),r);ANS01:subst([%k1=0],%);
subst([r=R],rhs(%))=0;
solve(%,%k2)[1];
ANS02:factor(subst([%],ANS01));(8.7.16) 式を ode2 関数で解くと、()
r2 ddz p (z)%k1 log (r)v (r) =
−
+ %k2
4µ
µ
境界条件：r = R で v (r) = 0 とすると、%k1 = 0 で、
(d) 2
d z p (z) R+ %k2 = 04µ
) 2(dd z p (z) R%k2 = −
4µ以上から、時間が十分経った定常状態の流速:v (r) は、(d)
p (z) (R − r) (R + r)
v (r) = − d z(8.7.17)
4µ

第8章

478

粘性流体

EQR11:subst([a(r)=v(x),r=x],%);
W1:w(r,t)=rhs(ANS02)+w1(r,t);

B2:B^2=coeff(lhs(EQR11),v(x));

subst([W1],NAV21);

A:0;ev(%,diff);

C:1;

NAV32:expand(factor(%));

B:sqrt(rhs(B2));

WRT1:w1(r,t)=a(r)*b(t);N:0;subst([WRT1],NAV32);

EQ:EQR11;ev(%,diff);

FC:v(r);

EQ1:expand(%/a(r)/b(t)/\rho);

VA:r;

EQT1:lhs(EQ1)=-L^2;

FCTR:u(t);EQR1:rhs(EQ1)=-L^2;
assume(L>0,\rho>0,\mu>0,R>0);

VATR:t;EQT2:ode2(EQT1,b(t),t);

TRFCVA:f(t)=(t/B)^(A/C);

EQT21:subst([%c=1],EQT2);

TRFCG:g(x)=0;

expand(EQR1/\mu*a(r)*\rho);

subst(rhs(TRFCVA),lhs(TRFCVA),TRFC);

lhs(%)-rhs(%)=0;
時間が十分経った定常状態の流速を考慮し、(8.7.17) 式

TRFC0:subst(rhs(TRFCG),lhs(TRFCG),%);

TRFC:v(x)=f(t)*u(t)+g(x);から、流速分布：w(r, t) を次式とする。
(d)
d z p (z) (R − r) (R + r)w (r, t) = w1 (r, t) −4µ(8.7.18)上式を (8.7.15) 式に代入すると、
)
( 2
)
(
d
d
w1 (r, t) ρ =µw1 (r, t)
dt
d r2
)
(d
µ d r w1 (r, t)+r

TRFC1:solve(TRFC0,FCTR)[1];
TRVA:t=B*x^C;
TRVA1:x=(t/B)^(1/C);
assume(t>0);
EQTRFC:EQ;
DVX1:’diff(v(x),x,1)=’diff(u(t),t,1)*1/(diff(rhs(TRVA1),t,1));
DVX2:’diff(v(x),x,2)=’diff(u(t),t,2)*1/(diff(rhs(TRVA1),t,1)^2);
subst([DVX1,DVX2,TRFC0,TRVA1],EQTRFC);

w1 (r, t) を変数分離法で解く。次式を上式に代入し、expand(%*\mu/\rho);ode2(%,u(t),t);w1 (r, t) = a (r) b (t)(8.7.19)
)
( 2
)
d
d
a (r) ρb (t) =µa (r) b (t)
dt
d r2
(d
)
µ d r a (r) b (t)+r上式を整理すると、
)
( 2
(
)
d
µ ddr2 a (r)µ ddr a (r)
b
(t)
dt
=
+
= −L2
b (t)
a (r) ρr a (r) ρ(8.7.20)(

上式左辺項の b (t) を ode2 関数で解くと、

b (t) = e−t L2subst([u(t)=a(r),TRVA,x=r],%);
EQR2:subst([%k2=0],%);(8.7.22) 式は Bessel の微分方程式であるが、このままでは ode2 関数で解けないので、下記の式に (8.7.22) 式を当てはめ、A, B, C, N を求め変数変換を行う。(参照：

Maxima を使った微分方程式演習ノート
微分方程式（23 頁））(1 − 2 A) dd2v (x) +
v (x)
2
d x(
x
dx
)
A2 − C 2 N 2
2 C−2 2 2+x
BCv (x) = 0+x2(

(8.7.21)v (x) = u (t)上式右辺項の a (r) を整理すると、

d2
a (r) ρ L2
a (r) ++µ
d r2

dd r a (r)

r

t
B

(

) CA
,

以上から、A = 0, C = 1, B ==0(8.7.22)

4.5 Bessel の

x=
√

t
B

ρ L2
µ ,N

) C1

= 0 となり、

下記の変換関数となる。
dρ v (x) L2
d2
d x v (x)
v
(x)
+
+
=0
µ
d x2
x
√
√
ρxL
µt
v (x) = u (t) , t = √ , x = √µρL8.7. 非定常な一方向の流れ
下記の変数を求めておき、)√ (dρ d t u (t) Ldv (x) =
√
dx
µ
( 2
)
d
ρ
u
(t)
L2
2
2
d
t
d
v
(x)
=
d x2
µ
代入して、次式が得られる。
(d
) 2
( 2
)
d
2
d t u (t) Lu (t) L ++ u (t) L2 = 0
d t2
t

479
上式が成り立つ係数：En を導入し、√Ln ρ R= En√µ
この関係を級数表記の式に代入すると、(∞)()µ E2 t∑En r− ρ Rn2w (r, t) =bessel j 0,
Dn e
R
n=1
(d
)
d z p (z) (R − r) (R + r)−
4µ(8.7.24)

これを ode2 関数で解くと、BC1:subst([t=0],rhs(ANS21))=0;
u (t) = bessel y (0, t) %k2 + bessel j (0, t) %k1
変数を元に戻して、a (r) を求めると、
(
√ )
r ρL
%k2
a (r) =bessel y 0, √
µ
(
√ )
r ρL
%k1
+ bessel j 0, √µbessel y は適合しないので、%k2 = 0 として、
(
√ )
r ρL
%k1
(8.7.23)a (r) = bessel j 0, √µBC2:%-last(lhs(%));
DN1:D[n]=2/R^2/(bessel_j(1,(E[n]*R)/R))^2*’integrate(r*rhs(BC2)*bessel_j(0,(E[n]*r)/R),r,0,R);
DN11:subst([r=R*x],DN1);
subst([R=1],num(rhs(DN11)))*R^4;
DN2:lhs(DN1)=%/denom(rhs(DN11));
DN3:lhs(DN1)=(’diff(p(z),z,1))*R^2*4/(2*(E[n]^3)*bessel_j(1,E[n])*mu);
ANS3:subst([DN3],ANS21);
DANS31:(2*(’diff(p(z),z,1))*R^2*(
bessel_j(0,(E[n]*r)/R)*%e^(-(ANS1:subst([WRT1,EQR2,EQT21],W1);

mu*E[n]^2*t)/(rho*R^2)))/(bessel_j(1,E[n])first(rhs(%));*E[n]^3))/mu;

CANS1:subst([%k1=1,L=L[n]],%);DANS32:subst([E[n]=n*%pi-%pi/4],DANS31);

CANS2:D[n]*CANS1;

subst([E[n]=2.40483],DANS31)+subst([E[n]ANS2:lhs(ANS1)=sum(CANS2,n,1,inf)=5.52008],DANS31)+subst([E[n]=8.65373],+last(rhs(ANS1));DANS31)+subst([E[n]=11.79153],DANS31);

BESLA1:subst([t=0,r=R],CANS1)=0;

ANS31:%+sum(DANS32,n,5,inf)+last(rhs(ANS1

EN1:(L[n]*sqrt(rho)*R)/sqrt(mu)=E[n];EN2:solve(%,L[n])[1];));次に、初期条件として、t = 0 で w (r, 0) = 0 であるか

ANS21:subst([EN2],ANS2);(8.7.23) 式、(8.7.21) 式、(8.7.19) 式を (8.7.18) 式に代入
すると、
(
√ )
r ρL
2
w (r, t) =bessel j 0, √%k1 e−t Lµ)(dp (z) (R − r) (R + r)
− dz
4µ

ら、これを上式に代入し、
(
)
∞
∑
En r
bessel j 0,
Dn
R
n=1
)
(d
d z p (z) (R − r) (R + r)=4µ上式を級数表記にして、
(∞
)
(
√ )
∑
Ln r ρ
−L2n tbessel j 0, √w (r, t) =
Dn e
µ
n=1
)
(d
d z p (z) (R − r) (R + r)−
4µここで上式は r = R で w (r, t) = 0 が常に成り立たねばならないから、次式の関係が要求される。
()√
Ln ρ Rbessel j 0, √=0µ上式は Fourier-Bessel 級数であり、その係数：Dn は次式で得られる。
(d

Dn =

=

)

d z p (z)2

2 bessel j (1, En ) µ R2
(
)
∫ R
En r
×
bessel j 0,
r (R − r) (R + r) dr
R
0
) 2
(d
d z p (z) R2

2 bessel j (1, En ) µ∫ 1×bessel j (0, En x) (1 − x) x (x + 1) dx
0()
2 ddz p (z) R2=
bessel j (1, En ) µ En3

第8章

480
上式を (8.7.24) 式に代入し、流速分布：w (r, t) が得られる。

()
2 ddz p (z) R2w (r, t) =µ bessel j (1, En ) En3
(
)
∞
2 t
µ En
∑
En r
−
e ρ R2 (8.7.25)
×bessel j 0,
R
n=1
)
(d
p (z) (R − r) (R + r)
− dz
4µ
ここで En は bessel j (0, z) = 0 となる z であり、数表から下記の値となる。

図 8.7.9: 円管内の出発流

E1 = 2.40483, E2 = 5.52008, E3 = 8.65373,
E4 = 11.79153
z が大きいときは Bessel 関数は次式で近似できる。
()√
2 cos z − π (2 m+1)
4
√ √bessel j (m, z) ≈π z
上式から bessel j (m, z) = 0 となる z は cos 項を零とし
て得られ、

z−

π (2 m + 1)
π
= πn−
4
2

求める z は次式で得られる。

z=

π
πm
+πn−
2
4

m = 0 であるから、En は、
En = π n −π4PL1:expand(subst([’diff(p(z),z,1)=1,R=1,\mu=1,\rho=1,r=x,inf=10],%));
plot2d([subst([t=0.0001],PL1),
subst([t=0.01],PL1),subst([t=0.03],PL1),
subst([t=0.1],PL1),subst([t=0.3],PL1),
subst([t=0.5],PL1),subst([t=1],PL1)],[x,0,1],[y,-0.3,0],[legend, "t=0.0001","t=0.01","t=0.03", "t=0.1","t=0.3","t=0.5", "t=1"]);

粘性流体

8.7. 非定常な一方向の流れ

8.7.4

二平板内の出発流

平行平板間隔：h 内に静止流体があり、突然圧力勾配が加わった粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係数：µ、x 方向の外力：X とする。

481
x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
2
2
d
d
d
d
=X +µ
u+
u+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx

流速は x 軸方向のみで、時間：t と y の関数で、流速：u = u(y, t) とすると運動方程式は、
(
)
( 2
)
d
d
d
ρ
u (y, t) = µ
p (x)
u
(y,
t)
−
2
dt
dy
dx
(8.7.26)
ここで、まず、定常流について求めると、流速は x 軸方向のみで y の関数で、流速：u = u(y) とすると運動方
程式は、(
図 8.7.10: 二平板内の出発流/* 二平板内の出発流 */kill(all);

0=µ

)
d2
d
p (x)
u
(y)
−
d y2
dx

(8.7.27)

上式を ode2 関数を用いて解くと、( d)p (x) y 2
+ %k2 y + %k1
u (y) = d x
2µMAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)

境界条件として、y = 0 で u(y) = 0、y = h で u(y) = 0=0;であるから、

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))[%k1 = 0, %k2 = −h+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))( d)

d x p (x)2µ]以上から、時間が十分経った定常状態の流速:u(y) は、( d)p (x) y (y − h)(8.7.28)u (y) = d x
2µ+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],

UTY1:u(y,t)=rhs(ANS02)+u1(y,t);[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)

subst([UTY1],NAV21);+’diff(v,x,2))

NAV3:factor(ev(%,diff));-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)

assume(\nu>0,C>0,y>0,h>0);+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);UTY2:u1(y,t)=a(y)*b(t);NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];subst([UTY2],NAV3);

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];ev(%,diff);

subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y,t),p=p(x)],%);%/a(y)/b(t)/\rho;

NAV21:ev(%,diff);

NAV31:subst([\mu=\nu*\rho],%);

subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y),p=p(x)],NAV2);
NAV20:ev(%,diff);

NAV32:lhs(NAV31)=-C^2;

ANS01:ode2(%,u(y),y);BC01:subst([y=h],rhs(ANS01))=0;
BC02:subst([y=0],rhs(ANS01))=0;
solve([BC01,BC02],[%k1,%k2])[1];
ANS02:factor(subst([%],ANS01));

NAV33:rhs(NAV31)=-C^2;
以上から、流速:u(y, t) を定常状態を考慮して下記とする。
)( dd x p (x) y (y − h)u (y, t) = u1 (y, t) +(8.7.29)2µ上式を運動方程式:(8.7.26) 式に代入すると、
)
)
( 2
(
d
d
u1 (y, t)u1 (y, t) = µ
ρ
dt
d y2
上式を下記の変数分離法で解く。次式を上式に代入し、

u1 (y, t) = b (t) a (y)(8.7.30)

第8章

482
(
ρ

)
( 2
)
d
d
b (t) a (y) = µ b (t)
a
(y)
dt
d y2

上式を整理すると、
dd t b (t)

b (t)

µ
=

(

)
d2
d y 2 a (y)ρ a (y)

上式は Fourier 級数表記であるから、係数：An は次式で得られる。
( d) ∫ h(π n y )y (y − h) sin
dy
hµ
h
0
(
)
2 h2 (cos (π n) − 1) ddx p (x)=−π 3 µ n3(8.7.34)

An = −= −C 2粘性流体(8.7.31)ode2(NAV32,b(t),t);d x p (x)ANSB1:subst([%c=1],%);

上式を (8.7.33) 式に代入すると流速分布：u (y, t) が得ら

ode2(NAV33,a(y),y);

れる。

( d

(
)
y (y − h) 2 h2 ddx p (x)u (y, t) =
−
2µ
π3 µ
∞
(π n y)∑ (cos (π n) − 1) − π2 n2 ν t
h2
×
sin
e
n3
h
n=1

ANSA1:subst([%k2=0],%);)

d x p (x)UTY21:subst([ANSB1,ANSA1],UTY2);
BC1:(h*C)/sqrt(nu)=n*%pi;
BC11:solve(BC1,C)[1];UTY22:subst([BC11],UTY21);(8.7.35)

DUTY2:subst([%k1=1],rhs(%));
UTY3:u(y,t)=rhs(ANS02)+sum(A[n]*DUTY2,n,1,inf);
ode2 関数で解いて次式が得られる。

PL1:expand(subst([’diff(p(x),x,1)=1,h=1,\nu=1,\mu=1,y=x,inf=10],rhs(UTY31)));b (t) = %c e−t C
(
)
(
)
yC
yC
a (y) = %k1 sin √+ %k2 cos √νν2

境界条件から、y = 0 で u(y) = 0、y = h で u(y) = 0
が常に成り立つためには、、

u1 (y, t) = %k1 e
そして、hC√ = π n,ν−t C 2

(
sin

yC
√
ν

)

plot2d([subst([t=0.00000000001],PL1),
subst([t=0.01],PL1),subst([t=0.03],PL1),
subst([t=0.1],PL1),subst([t=0.2],PL1),
subst([t=0.4],PL1),subst([t=1],PL1)],[x,0,1],[y,-0.2,0],[legend,"t=0.00000000001", "t=0.01","t=0.03","t=0.1","t=0.2", "t=0.4", "t=1"]);

√
πn ν
C=
h

上式から運動方程式が成り立つ解は下記となる。
(π n y )π 2 n2 ν t
u1 (y, t) = %k1 e− h2 sin(8.7.32)h

UTY4:subst([t=0],rhs(UTY3))=0;
UTY41:-(%-first(lhs(%)));
AN1:A[n]=2/h*’integrate(lhs(UTY41)*sin((%pi*n*y)/h),y,0,h);ev(%,integrate);
AN11:factor(subst([sin(%pi*n)=0],%));UTY31:subst([AN11],UTY3);(8.7.32) 式を (8.7.29) 式に代入し、級数表記すると、)(∞(π n y)∑2 n2 ν t−π h
2u (y, t) =
sin
An e
h
n=1
(8.7.33)
( d
)
p
(x)
y
(y
−
h)
+ dx
2µ
上式で、t = 0 の初期条件では、u (y, t) = 0 であるから、次式を得る。
)( d∞(π n y )∑d x p (x) y (y − h)−=An sin2µhn=1

図 8.7.11: 二平板内の出発流

8.7. 非定常な一方向の流れ

8.7.5

円筒内静止流体で突然回転した円筒の流れ

483

subst([v[z]=0,v[r]=0,v[theta]=v(r,t),F[z]=0,F[r]=0,F[\theta]=0,p=p(r)],NAV1);

半径:R の円筒内に静止流体があり、突然回転角速度：

ev(%,diff);Ω で回転した円筒内の軸対称の粘性流れを求める。円

NAV2:lhs(%)[2][1]=rhs(%)[2][1];柱座標系の r − θ − z 座標軸の各速度コンポーネントを/* 定常流れ */vr , vθ , vz とする。回転軸を z 軸とし、粘性係数：µ、動subst([v(r,t)=w(r)],NAV2);

粘性係数：ν とする。

NAV3:ev(%,diff);
ANS01:ode2(%,w(r),r);
subst([%k1=0,r=R],rhs(%))=\Omega*R;
BC01:solve(%,%k2)[1];
ANS02:subst([%,%k1=0],ANS01);

図 8.7.12: 円筒内静止流体で突然回転した円筒の流れ/* 円管内の出発流 */kill(all);
MAS2:’diff(v[z],z,1)+’diff(v[theta],theta,θ 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.15) 式から、((())
vθ ddθ vθ
ddv θ vz +
+
vθ
ρ
dz
r
dt
)
(
)
vr vθ
d
vθ +
+ vr
dr
r
(
2
d
d
d2
d2
d θ 2 vθd r vθ
=µ
v
+
+
v
+
θ
θ
d z2
r2
d r2
r
)
(d )
d
2 d θ vrpvθ− 2++ Fθ − d θ2rrr1)/r+’diff(v[r],r,1)+v[r]/r=0;
NAV2:matrix([rho*((’diff(v[r],z,1))*v[z]流速は θ 向のみで、時間：t と r の関数で、流速：vθ =-v[theta]^2/r+((’diff(v[r],theta,1))v (r, t) とすると運動方程式は、
(
(
)
d
d
d2
d r v (r, t)v (r, t) ρ =µ
v
(r,
t)
+
dt
d r2
r
)
v (r, t)−r2*v[theta])/r+’diff(v[r],t,1)+v[r]*(’diff(v[r],r,1)))],[rho*((’diff(v[theta],z,1))*v[z]+(v[theta]*(’diff(v[theta],theta,1)))/r+’diff(v[theta],t,1)+v[r]*(’diff(v[theta],r,1))+(v[r]*v[theta])/r)],[rho*(v[z]* (’(8.7.36)diff(v[z],z,1))+(v[theta]*(’diff(v[z],

時間が十分経った定常状態では、流速:vθ = w (r) とす

theta,1)))/r+’diff(v[z],t,1)+v[r]*(’diff(v[z],r,1)))])=matrix([mu*(-(2*(’diff(v[theta],theta,1)))/r^2+’diff(v[r],z,2)+’diff(v[r],theta,2)/r^2+’diff(v[r],r,2)+’diff(v[r],r,1)/r-v[r]/r^2)+F[r]-’diff(p,r,1)],[mu*(’diff(v[theta],z,2)

ると運動方程式は、
)
(
d
d2
w (r)
d r w (r)w (r) +
0=µ
− 2
d r2
r
r

(8.7.37)

上式を ode2 関数で解くと、+’diff(v[theta],theta,2)/r^2+’diff(w (r) = %k2 r −v[theta],r,2)+’diff(v[theta],r,1)/r%k1
2r-v[theta]/r^2+(2*(’diff(v[r],theta,1)))

境界条件から、r = R で、流速：w (r) = Ω R である/r^2)+F[theta]-’diff(p,theta,1)/r],[mu*から、(’diff(v[z],z,2)+’diff(v[z],theta,2)/r^2+’diff(v[z],r,2)+’diff(v[z],r,1)/r)%k2 = Ω,

%k1 = 0以上から、定常状態の流速分布:w (r) は、+F[z]-’diff(p,z,1)]);NAV2:lhs(NAV1)[3][1]=rhs(NAV1)[3][1];subst([v[r]=0,v[z]=w(r,t),v[theta]=0,
F[z]=0,p=p(z)],%);
NAV21:ev(%,diff);w (r) = Ω r(8.7.38)

第8章

484

粘性流体

V1:v(r,t)=w(r)+v1(r,t);

NAV43:expand((lhs(NAV42)-rhs(NAV42)=0)

V2:subst([ANS02],V1);/\nu*a(r));

subst([V2],NAV2);

EQR11:subst([a(r)=v(x),r=x],%);

ev(%,diff);

A:0;

NAV31:expand(%/\rho);

C:1;

NU1:\nu=\mu/\rho;

B:sqrt(L[n]^2/\nu);

NU2:solve(%,\mu)[1];

N:1;

NAV32:subst([NU2],NAV31);

EQ:EQR11;

V3:v1(r,t)=a(r)*b(t);FC:v(r);subst([V3],NAV32);

VA:r;ev(%,diff);

FCTR:u(t);NAV4:expand(%/a(r)/b(t));

VATR:t;assume(L[n]>0);

TRFC:v(x)=f(t)*u(t)+g(x);NAV41:lhs(NAV4)=-L[n]^2;

TRFCVA:f(t)=(t/B)^(A/C);

NAV42:rhs(NAV4)=-L[n]^2;

TRFCG:g(x)=0;

ANSB1:ode2(NAV41,b(t),t);subst(rhs(TRFCVA),lhs(TRFCVA),TRFC);
TRFC0:subst(rhs(TRFCG),lhs(TRFCG),%);

時間が十分経った定常状態を考慮し、(8.7.38) 式から、

TRFC1:solve(TRFC0,FCTR)[1];

流速分布：v (r, t) を次式とする。

TRVA:t=B*x^C;v (r, t) = v1 (r, t) + Ω r(8.7.39)

上式を (8.7.36) 式に代入し、ν = µρ とすると、())
ν ddr v1 (r, t)
d2
v1 (r, t) +d r2
rν v1 (r, t)−
r2(8.7.40)dv1 (r, t) =ν
dt(

TRVA1:x=(t/B)^(1/C);
assume(t>0);
EQTRFC:EQ;
DVX1:’diff(v(x),x,1)=’diff(u(t),t,1)*1/(diff(rhs(TRVA1),t,1));
DVX2:’diff(v(x),x,2)=’diff(u(t),t,2)*1/(diff(rhs(TRVA1),t,1)^2);
subst([DVX1,DVX2,TRFC0,TRVA1],EQTRFC);
expand(%*\mu/\rho);

上式を下記の変数分離法で解く。次式を上式に代入し、

ode2(%,u(t),t);subst([u(t)=a(r),TRVA,x=r],%);

v1 (r, t) = a (r) b (t)(8.7.41)
(
)
( 2
)
d
d
a (r)
b (t) = ν
a
(r)
b (t)
dt
d r2
)
(
ν ddr a (r) b (t) ν a (r) b (t)−+rr2
上式を整理して、
( 2
)
(
)
d
d
ν
a
(r)
2
ν ddr a (r)drνd t b (t)=+− 2 = −L2n
b (t)
a (r)
r a (r)r(8.7.42)
上式左辺を ode2 関数で解くと、ANSA1:subst([%k2=0],%);(8.7.42) 式の右辺を整理し、
da (r) L2 a (r)d2d r a (r)a(r)+
− 2 + n
=0
2
dr
r
r
ν

a (r) → v (x) に置き換えると、
dd2
v (x) L2n v (x)d x v (x)
v
(x)
+
+
−
= 0 (8.7.44)
d x2
x
x2
ν

上式は Bessel の微分方程式で、このままでは ode2 関数で解けないので、下記の式に (8.7.44) 式を当てはめ、

b (t) = %c e−Ln t
2

A, B, C, N を求め変数変換を行う。（参照：Maxima を(8.7.43)

使った微分方程式演習ノート

4.5 Bessel の微分方程式（23 頁））d2(1 − 2 A) dv (x) +
v (x)
2
d x(
x
dx
)
A2 − C 2 N 2
2 C−2 2 2++x
B Cv (x) = 0x2(
v (x) = u (t)

t
B

) CA

(
,

x=

t
B

) C1

8.7. 非定常な一方向の流れ
以上から、A = 0, C = 1, B =485√
L2n /ν, N = 1 となり、 上式を級数表記して、下記の変換関数となる。

v (x) = u (t) ,Ln x
t= √ ,
ν

∞
∑

νt
x=
Ln

)

Dn e−Ln t (8.7.46)
2

上式を (8.7.39) 式に代入し、運動方程式を満足する流速

下記の変数を求めておき、

分布：v (r, t) が得られた。
(∞
)
(
)
∑
Ln r
−L2n tv (r, t) =bessel j 1, √
Dn e
+ Ωr
ν
n=1

(
)
Ln ddt u (t)d√v (x) =
dx
ν
( 2
)
d
2
L
u
(t)
2
2
n
dt
d
v (x) =
d x2
ν
代入して、次式が得られる。

境界条件として、r = R で下記の関係が成り立たねばならない。これが成り立つ En を導入する。
)
(
Ln R
Ln R
bessel j 1, √= 0, En = √
ν
ν

d
d2
u (t)
d t u (t)− 2 + u (t) = 0
u
(t)
+
2
dt
t
t

上式を ode2 関数で解いて、

u (t) = bessel y (1, t) %k2 + bessel j (1, t) %k1
変数を元に戻して、a (r) を求めると、()
Ln ra (r) =bessel y 1, √
%k2
ν
(
)
Ln r
%k1
+ bessel j 1, √νbessel y は適合しないので、()
Ln ra (r) = bessel j 1, √
%k1
ν

(

Ln r
v1 (r, t) =bessel j 1, √
ν
n=1

√

上記の関係から、
(∞
)
(
)
2 νt
∑
En
En r
v (r, t) =bessel j 1,
Dn e− R2
+ ΩrR
n=1
(8.7.47)
初期条件として、t = 0 で v (r, 0) = 0 であるから、

(

∞
∑

En r
−Ω r =
bessel j 1,
R
n=1

)
Dn

上式は Fourier-Bessel 級数であるから、その係数：Dn(8.7.45)

V31:subst([ANSA1,ANSB1,%c=1],V3);
rhs(V31)/%k1;
V32:lhs(V31)=sum(D[n]*%,n,1,inf);
V33:subst([V32],V2);
BC1:rhs(ANSA1/%k1)=0;
EN1:E[n]=(L[n]*R)/sqrt(\nu);EN2:solve(EN1,L[n])[1];は次式で得られる。
(
) 2
∫R
nr
2 Ω 0 bessel j 1, ER
r dr
Dn = −
2 2
bessel j (2, En ) R∫1
2 Ω 0 bessel j (1, En x) x2 dx R=−2
bessel j (2, En )ここで下記の積分公式を活用し、∫ 1
bessel j (2, En )bessel j (1, En x) x2 dx =En0
係数：Dn は、

V4:subst([EN2],V33);
Dn = −

subst([t=0],rhs(V4))=0;
INC1:-(%-last(lhs(%)));
DN1:D[n]=2/R^2/bessel_j(2,E[n])^2*’integrate(r*lhs(INC1)*bessel_j(2ΩR
bessel j (2, En ) En

上式を (8.7.47) 式に代入し、流速分布：v (r, t) が得られた。

1,(E[n]*r)/R),r,0,R);
DN11:subst([r=R*x],DN1);v (r, t) = Ω r − 2 Ω R

2 νt
En
(
)
∞
∑
bessel j 1, En r e− R2Rn=1

subst([R=1],num(rhs(DN11)))*R^3;

bessel j (2, En ) En
(8.7.48)

DN2:lhs(DN1)=%/denom(rhs(DN11));

ここで En は bessel j (1, z) = 0 となる z であり、数表’integrate(bessel_j(1,E[n]*x)*x^2,から下記の値となる。

x,0,1)=1/E[n]*bessel_j(2,E[n]);DN3:subst([%],DN2);

E1 = 3.83171, E2 = 7.01559, E3 = 10.17347,

V5:subst([DN3],V4);

E4 = 13.32369(8.7.43) 式と (8.7.45) 式を (8.7.41) 式に代入し、
(
)
2
Ln r
v1 (r, t) = bessel j 1, √%k1 e−Ln tνz が大きいときは Bessel 関数は次式で近似できる。
()√
2 cos z − π (2 m+1)
4
√ √bessel j (m, z) ≈
π z

第8章

486
上式から bessel j (m, z) = 0 となる z は cos 項を零とし
て得られ、

z−

π (2 m + 1)
π
= πn−
4
2

求める z は次式で得られる。

z=

πm
π
+πn−
2
4

m = 1 であるから、En は、()
1
En = π n +4

DV5:-2*\Omega*R*(bessel_j(1,(E[n]*r)/R)*%e^(-(E[n]^2*\nu*t)/R^2))/(bessel_j(2,E[n])*E[n]);first(rhs(V5))+subst([E[n]=3.83171],DV5)+subst([E[n]=7.01559],DV5)+subst([E[n]=10.17347],DV5)+subst([E[n]=13.32369],
DV5)+sum(DV5,n,5,inf);
V51:subst([E[n]=%pi*(1/2+n-1/4)],%);
PL1:expand(subst([\Omega=1,R=1,\nu=1,\rho=1,r=x,inf=100],V51));
plot2d([subst([t=0.0003],PL1),
subst([t=0.003],PL1),subst([t=0.01],PL1),
subst([t=0.03],PL1),subst([t=0.1],PL1),
subst([t=0.2],PL1),subst([t=1],PL1)],[x,0,1],[y,-0.5,1.5],[legend, "t=0.0003","t=0.003","t=0.01", "t=0.03","t=0.1","t=0.2", "t=1"]);

図 8.7.13: 円筒内静止流体で突然回転した円筒の流れ

粘性流体

8.7. 非定常な一方向の流れ

8.7.6

渦糸の減衰

487
渦度：ω を ω = w (r, t) とおき、vr = 0 であるから、渦渦強さ：Γ の渦糸が原点にあり、初期状態では、r = 0
以外は渦度が零とする。この初期に集中していた渦度の拡散の軸対称の粘性流れについて調べる1 。二次元極座標系の r − θ 座標軸の各速度コンポーネントを vr , vθ 、
動粘性係数：ν とする。

度方程式は、dw (r, t) = ν
dt

(

(
)
)
ν ddr w (r, t)
d2
w
(r,
t)
+
d r2
r
(8.7.50)

次式の変数分離法を用いて上式を解く。

w (r, t) = f (r) g (t)(8.7.51)

上式を (8.7.50) 式に代入し、
)
(
d
g (t)
f (r)
dt
)
(
( 2
)
ν ddr f (r) g (t)d=νf (r) g (t) +d r2r
整理すると、dd t g (t)g (t)図 8.7.14: 渦糸の減衰

=

( ( 2
)
)
ν r ddr2 f (r) + ddr f (r)r f (r)= −p2

上式の左辺を ode2 関数で解くと、/* 渦糸の減衰 極座標表記 */g (t) = %c e−p t2(8.7.52)

kill(all);NAVW1:((’diff(\omega,\theta,1))*v[\theta])/r+(’diff(\omega,r,1))*v[r]+’diff(\omega,t,1)=(\nu*(’diff(\omega,r,1)

右辺を整理すると、( 2)ddp2 r f (r)
r
f
(r)
+
f
(r)
=
−
d r2
dr
ν

))/r+(\nu*(’diff(\omega,\theta,2)))/r^2+\nu*(’diff(\omega,r,2));
subst([\omega=w(r,t),v[r]=0],NAVW1);
NAV21:ev(%,diff);ode2(%,w(r,t),[r,t]);
W1:w(r,t)=f(r)*g(t);subst([W1],NAV21);

A:0;
C:1;
B:sqrt(p^2/\nu);
N:1;
EQ:EQR11;
FC:v(r);ev(%,diff);
NAV3:factor(%/f(r)/g(t));
assume(p>0);
NAV31:lhs(NAV3)=-p^2;
ANSG1:ode2(%,g(t),t);rhs(NAV3)=-p^2;

VA:r;
FCTR:u(t);VATR:t;
TRFC:v(x)=f(t)*u(t)+g(x);TRFCVA:f(t)=(t/B)^(A/C);
TRFCG:g(x)=0;%/\nu*r*f(r);subst(rhs(TRFCVA),lhs(TRFCVA),TRFC);

NAV32:%-rhs(%);
EQR11:subst([f(r)=v(x),r=x],%);
二次元極座標系の渦度方程式は、(8.1.44) 式から、
(d )
(
)
d
d
d θ ω vθ+ω vr +
ω
r
dr
dt
( 2 )
)
(
( 2 )
ν ddθ2 ων ddr ω
d
+ν
ω
=
+
r
r2
d r2
(8.7.49)

TRFC0:subst(rhs(TRFCG),lhs(TRFCG),%);
TRFC1:solve(TRFC0,FCTR)[1];
TRVA:t=B*x^C;
TRVA1:x=(t/B)^(1/C);
assume(t>0);
EQTRFC:EQ;
DVX1:’diff(v(x),x,1)=’diff(u(t),t,1)*1/(diff(rhs(TRVA1),t,1));
DVX2:’diff(v(x),x,2)=’diff(u(t),t,2)*1/(diff(rhs(TRVA1),t,1)^2);

1 G. K. Batchelor：入門

流体力学 18) 、4.5 P.201

第8章

488
subst([DVX1,DVX2,TRFC0,TRVA1],EQTRFC);

粘性流体

領域が無限であるので、極座標の Fourier 積分に相当す
る、下記の Hankel Transform を活用する。
∫ ∞f (r) =
bessel j (ν, kr) k Fν (k) dk0∫ ∞Fν (k) =bessel j (ν, kr) r f (r) dr

expand(%*\mu/\rho);ode2(%,u(t),t);subst([u(t)=f(r),TRVA,x=r],%);ANSF1:subst([%k2=0],%);(8.7.56)0

W11:subst([ANSG1,ANSF1,%c=1],W1);
W12:lhs(%)=’integrate(rhs(W11)/%k1*h(p)*p,
p,0,inf);
上式を f (r) → v (x) に置き換え、( 2)dp2 x v (x)
d
x
v
(x)
+
= 0 (8.7.53)
v
(x)
+
d x2
dx
ν

上式を考慮して、(8.7.55) 式を下記のように書き換える。
(
)
∫ ∞
2
pr
w (r, t) =bessel j 0, √p h (p) e−p t dp
ν0(8.7.57)

W121:subst([t=0],%);

上式は Bessel の微分方程式で、このままでは ode2 関数

DE1:de(r)=E*%e^(-r^2/\sigma^2/2);

で解けないので、下記の式に上式を当てはめ、A, B, C, N

assume(\sigma>0,\Gamma>0);を求め変数変換を行う。
（参照:Maxima を使った微分方’integrate(rhs(DE1),r,0,inf)*2;

程式演習ノート

1=ev(%,integrate);

4.5 Bessel の微分方程式（23 頁））

d(1 − 2 A) dv (x)v (x) +
2
d x(
x
dx
)
A2 − C 2 N 2
2 C−2 2 2++x
BCv (x) = 0x22solve(%,E)[1];DE2:subst([%],DE1);
PL1:subst([\sigma=1],rhs(DE2));
plot2d(PL1,[r,0,10]);以上から、A = 0, C = 1, B = √pν , N = 1 となり、下記’integrate(rhs(DE1)*2*%pi*r,r,0,inf);の変換関数となる。

1=ev(%,integrate);v (x) = u (t) ,px
t= √ ,
ν√x=solve(%,E)[1];νtpDE3:subst([%],DE1);
PL1:subst([\sigma=1],rhs(DE3));

下記の変数を求めておき、)
p d t u (t)d√v (x) =
dx
ν
)
( 2
d
2
p
u
(t)
2
2
dt
d
v (x) =d x2
ν
上式を代入して、次式が得られる。
( 2
) (
)
d
d
t
u (t) +
u (t) + t u (t) = 0
d t2
dt

plot2d(PL1,[r,0,10]);上式を ode2 関数で解いて、

HP1:subst([%],INC2);(du (t) = bessel y (0, t) %k2 + bessel j (0, t) %k1

INC1:\Gamma*rhs(DE3)=rhs(W121);
INC2:h(p)=’integrate(lhs(INC1)*bessel_j(0,(p*r)/sqrt(\nu))*r,r,0,inf);
BINT1:’integrate(%e^(-a^2*r^2)*r*bessel_j(0,b*r),r,0,inf)=%e^(-(b^2)/(4*a^2))/(2*a^2);
subst([a=sqrt(1/(2*\sigma^2)),b=p/sqrt(\nu)],%);
W14:subst([HP1],W12);
subst([r=p],BINT1);

変数を元に戻して、f (r) を求めると、()
prf (r) =bessel y 0, √
%k2
ν
(
)
pr
+ bessel j 0, √%k1
νbessel y は適合しないので、()
prf (r) = bessel j 0, √%k1
νexpand(subst([a^2=(t+\sigma^2/2/\nu),
b=r/sqrt(\nu)],%));
subst([%],W14);
W15:subst([\sigma=0],%);(8.7.57) 式で t = 0 とすると、
(
)
∫ ∞
pr
w (r, 0) =bessel j 0, √p h (p) dp
ν0(8.7.54)

ここで w (r, 0) として、問題の仮定から、r = 0 の集中する delta 関数を考える。関数の形として、e−r の形で、2上式と (8.7.52) 式を (8.7.51) 式に代入し、下記の基本解が得られた。

()
2prw (r, t) = bessel j 0, √%k1 e−p tν(8.7.58)

体積が単位量となる delta 関数は下記となる。ここで σは分散である。
r2(8.7.55)e− 2 σ 2de (r) =2 π σ2

8.7. 非定常な一方向の流れ

489

渦強さ：Γ とし、上記 delta 関数から、w (r, 0) を求め、

VR1:v(r)=’integrate(r*w(r,t),r,0,r)/r;(8.7.58) 式は次式となる。

subst([W15],%);r2

Γ e− 2 σ 2=
2 π σ2

∫ ∞
0

(

pr
bessel j 0, √ν)VR2:factor(ev(%,integrate));p h (p) dp

PL1:expand(subst([\Gamma=1,\nu=1],
rhs(VR2)));(8.7.56) 式の Hankel Transform から、
)
(
∫ ∞
2
Γ
pr
− 2rσ2√h (p) =
besselj0,redr
2 π σ2 0ν
(8.7.59)

plot2d([subst([t=0.0003],PL1),

下記の積分公式から、[r,0,5],[y,0,1],[legend, "t=0.0003",∫ ∞bessel j (0, b r) r e
0subst([t=0.03],PL1),subst([t=0.1],PL1),
subst([t=0.2],PL1),subst([t=1],PL1)],"t=0.003","t=0.01", "t=0.03","t=0.1",

b2−a2 r 2

subst([t=0.003],PL1),subst([t=0.01],PL1),e− 4 a2dr =2 a2"t=0.2", "t=1"]);
次に上記の渦度分布による流速分布：v (r, t) を求める。

(8.7.59) 式の積分は下記となり、()∫ ∞p2 σ 2
r2
prbessel j 0, √r e− 2 σ2 dr = σ 2 e− 2 νν0

渦度：ω と流速の関係は (8.1.45) 式から、)(
r ddr vθ + vθ − ddθ vr
ω=r(8.7.59) 式は下記となる。

上式で、ω = w (r, t) , vθ = v (r, t) , vr = 0 を代入し、)(
r ddr v (r, t) + v (r, t)w (r, t) =r

p2 σ 2Γ e− 2 νh (p) =2π

上式を (8.7.57) 式に代入すると、()∫ ∞p2 σ 22Γprw (r, t) =p e−p t− 2 ν dp
bessel j 0, √2π 0
ν(8.7.60)
上記の積分公式から、(8.7.60) 式の積分は()∫ ∞p2 σ 22
prbessel j 0, √p e−p t− 2 ν dp
ν
0
1
=
r2

2te

r2
4 ν t+2 σ 2

上式を ode2 関数で解いて、(8.7.61) 式の結果を代入し、
∫
∫ r
r2
1 r
Γ
v (r, t) =r w (r, t) dr =r e− 4 ν t drr 0
4πrt 0積分を行うと流速分布：v (r, t) が次式で得られる。

v (r, t) =)Γ ν − r2 ( r2e 4ν t e4ν t − 12πr

初期状態では、渦が中心に集中し、周りの流体は完全流体で粘性がないときの流れとなっており、t > 0 で粘性

2 4 ν t+2 σ 2+σ e ν

の影響が出て、渦が拡散していく様子が示されている。

以上の結果を (8.7.60) 式に代入し、

Γ(w (r, t) =

r2

2π

2te

4 ν t+2 σ 2

−

r2

r2

)

2 4 ν t+2 σ 2+σ e νΓ ν e 4 ν t+2 σ2=2 π (2 ν t + σ 2 )上式で、σ → 0 とすると、渦度の分布と時間変化は、
r2

Γ e− 4 ν tw (r, t) =4πt(8.7.61)

assume(r>0);
W2:\omega=(r*(’diff(v[\theta],r,1))+v[\theta]-’diff(v[r],theta,1))/r;
subst([\omega=w(r,t),v[\theta]=v(r),v[r]=0],W2);(8.7.62)

図 8.7.15: 渦糸の減衰

第8章

490

8.7.7

自由表面に力が作用したときの流れ

水面：y = 0 から下に無限大の水深があるとする。水面に x 軸方向に風などによる一定力：µ S が作用したときの粘性流れを求める。x-y-z 座標軸の各速度コンポー
ネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係数：µ、x 方向

粘性流体

x 軸方向の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d2
d2
d
d
=X +µ
u
+
u
+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx

の外力：X とする。
上記から、流速は x 軸方向のみで、時間 t と y の関数となり、v = 0, w = 0, X = 0, u = u(y, t) とする。圧力：p は均一である。また、ν = µρ と置く。以上から上記の運動方程式は下記となる。ここで u (y, t) の境界条件は、

y = 0 で µ ddy u (y, t) = µ S 、y = −∞ で u (y, t) = 0 である。

du (y, t) = ν
dt

(

)
d2
u
(y,
t)
d y2

(8.7.63)

上式を y で微分すると、

d2
u (y, t) = ν
dtdy

(

)
d3
u
(y,
t)
d y3

(8.7.64)

ここで、下記で定義される v (y, t) を導入する.
図 8.7.16: 自由表面に力が作用したときの流れv (y, t) =/* 静止流体中突然動き出した平板と静止した平板 */du (y, t)dy

(8.7.65)

上式を t で１階微分、y で２階微分すると下記となり、kill(all);
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))d2du (y, t) =v (y, t)
dtdy
dt
d3
d2
u
(y,
t)
=
v (y, t)d y3
d y2
上式を (8.7.64) 式に代入すると次式を得る。
( 2
)
d
d
v (y, t) = ν
v
(y,
t)
dt
d y2

(8.7.66)+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],V3:v(y,t)=S*(1+erf(y/(2*sqrt(\nu*t))));[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)

V31:subst([V1],V3);+’diff(v,x,2))

expand(integrate(V31,y));-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)

U1:lhs(%)=rhs(%)-last(rhs(%));+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);limit(rhs(U1),t,inf);

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];

ここで v (y, t) の境界条件は、y = 0 で v (y, t) = S 、subst([v=0,w=0,X=0,u=u(y,t),p=0],%);

y = −∞ で v (y, t) = 0 でとなる。これは「8.7.1 静止流

NAV21:ev(%,diff);

体中突然動き出した平板、(472) 頁」で上が流体のとこ

NAV22:subst([\mu=\nu*\rho],NAV21/\rho);

ろを、下が流体になっている。以上から結果の (8.7.8)

NAV3:diff(NAV22,y,1);式を参考に v (y, t) の解は下記となる.
( (
)
)
y
√
v (y, t) = erf
+1 S
2 νt

V1:v(y,t)=diff(u(y,t),y,1);V2:rhs(V1)=lhs(V1);
DVT1:diff(V2,t,1);
DVY2:diff(V2,y,2);
NAV31:subst([DVT1,DVY2],NAV3);

上式に (8.7.65) 式を代入し、
)
)
( (
d
y
√
+1 S
u (y, t) = erfdy
2 νt8.7. 非定常な一方向の流れ491とすると、t = 100000000 秒、即ち、約 1057 日で水深：約40m までしか流れが到達しない。あまり現実的でない。

図 8.7.17: 流れの模式図

上式を y で積分し、(u (y, t) = y erf

y
√
2 νt

)
S+

2

√

y2

ν t e− 4 ν t S√+y S+%c1π

境界条件から %c1 = 0 となるので、流速分布：u (y, t)は下記となる.

(u (y, t) = y erf

y
√
2 νt

)
S+

2

√

y2

ν t e− 4 ν t S√+ySπ

PL1:expand(subst([\nu=1.045*0.000001,S=1,y=x],rhs(U1)));
plot2d([subst([t=100],PL1),
subst([t=1000],PL1),
subst([t=10000],PL1),
subst([t=100000],PL1),
subst([t=1000000],PL1),
subst([t=10000000],PL1),
subst([t=100000000],PL1)],[x,-50,0.1],[legend, "t=100", "t=1000","t=10000","t=100000","t=1000000", "t=10000000","t=100000000"]);

図 8.7.18: 自由表面に力が作用したときの流れ

動粘性係数として、20 度の海水の値：ν = 1.045 10−6

第8章

492

8.7.8

突然動き出した円柱まわりの粘性流れ

半径:R の円柱が静止流体中を速度：U0 で突然動き始

subst([u=u[1](x,y,t)+u[2](x,y,t),v=v[1](x,y,t),p=p(x,t),X=0],NAV2);

めたときの、円柱周囲に生じる粘性流について調べる1 。

ev(%,diff);

境界層厚さが円柱の半径：R に比べ、十分小さいとする。

subst([PX1],%);

このとき、「8.5.1 境界層の方程式」の二次元 x − y 座標

expand(%);の境界層方程式を活用する。x − y 座標軸の各速度コン

粘性流体%-NAVU1;

ポーネントを u, v とする。時間：t、圧力：p、密度：ρ、rest(lhs(%),3)=rhs(%);

粘性係数：µ、動粘性係数：ν とする。

rest(lhs(%),-2)+last(lhs(%))=rhs(%);
NAVU2:%-v[1](x,y,t)*(’diff(u[1](x,y,t),y,1))-u[1](x,y,t)*(’diff(u[1](x,y,t),x,1))-\nu*(’diff(u[2](x,y,t),y,2));(8.5.2) 式から質量保存の方程式は、
d
d
v+
u=0
dy
dx
(8.5.3) 式から Navier-Stokes の式は下記の境界層の方程
式となる。
(
)
(
)
d
d
d
u v+u
u +
u
dy
dx
dt
( 2 )
d
d
dx p
u
−
=ν
d y2
ρ

図 8.7.19: 突然動き出した円柱まわりの粘性流れ

境界層の外界流速:U (x, t) とすると、圧力：p との関係は、(/* 突然動き出した円柱 */kill(all);(8.7.67)

U (x, t))dp (x, t)dd
U (x, t) +U (x, t) = − d xdxdtρ(8.7.68)

load("vector");load("dynamics");

ここで、流速：u を下記の u1 (x, y, t) , u2 (x, y, t) で表現

depends(F,[\eta]);

ので、外界流速：U (x, t) につれた流れとする。u2 (x, y, t)depends(G,[\eta]);は非線型な要素で決まるもので、u1 (x, y, t) と比べ、十depends(\eta,[y,t]);分小さいとする。

する。u1 (x, y, t) , v1 (x, y, t) は線型理論で決定されるもMAS1:’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV2:(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1)=\nu*(’diff(u,y,2))-’diff(p,x,1)/\rho;
subst([\mu=0,u=U(x,t),p=p(x,t),X=0],NAV2);
NAV21:ev(%,diff);
PX1:solve(%,’diff(p(x,t),x,1))[1];u = u2 (x, y, t) + u1 (x, y, t)(8.7.69)(8.7.67) 式に u → u1 (x, y, t) と v → v1 (x, y, t) を代入
し、線型の方程式として、次式となる。
)
( 2
d
d
d
u
(x,
y,
t)
+
u1 (x, y, t) = νU (x, t)
1
2
dt
dy
dt
(8.7.70)

subst([u=u[1](x,y,t),v=v[1](x,y,t),(8.7.68) 式に (8.7.69) 式を代入し、(8.7.70) 式を差し引

p=p(x,t),X=0],NAV2);

き、u1 (x, y, t) >> u2 (x, y, t) として、u2 (x, y, t) に関

ev(%,diff);
subst([PX1],%);
expand(%);
NAVU1:last(lhs(%))=first(rhs(%))+last(rhs(%));
expand(solve(%,’diff(U(x,t),t,1))[1]);NAVU11:subst([\mu=\nu*\rho],%);
1 Dr Harmann Schlihting：Boundary Layer Theory 12) , 11.b.1.
Two-dimentional case, P.212

する方程式は、)
d2
u2 (x, y, t)
d y2
(
)
d
= −v1 (x, y, t)u1 (x, y, t)dy()
d− u1 (x, y, t)u1 (x, y, t)dx()
d+ U (x, t)
U (x, t)dxdu2 (x, y, t) − ν
dt((8.7.71)

8.7. 非定常な一方向の流れ

493
上式を ode2 関数で解くと、assume(p>0,\nu>0,t>0);

g (t) = %c e−ν p t
2

UYT1:u[1](x,y,t)=U(x)*f(y)*g(t);subst([UYT1,U(x,t)=U(x)],NAVU11);f (y) = %k1 sin (p y) + %k2 cos (p y)
上式から解は、ev(%,diff);%+\nu*g(t)*U(x)*(’diff(f(y),y,2));
EQ1:%/f(y)/g(t)/U(x)/\nu;
EQY1:lhs(EQ1)=-p^2;

u1 (x, y, t)= e−ν p t U (x) (%k1 sin (p y) + %k2 cos (p y))
2

EQT1:rhs(EQ1)=-p^2;
EQT2:ode2(EQT1,g(t),t);上式の基本解から、境界領域が無限大であるから、このEQY2:ode2(EQY1,f(y),y);UTY2:subst([EQT2,EQY2,%c=1],UYT1);

基本解は下記の Fourier 積分が解となる。
∫ ∞(2u1 (x, y, t) =e−ν p t B (p) sin (p y)0)+ A (p) cos (p y) dp

UTY3:lhs(UTY2)=’integrate(subst([%k2=A(p),%k1=B(p)],rhs(UTY2)),p,0,inf);
UTY30:subst([t=0],UTY3);
AP1:A(p)=1/%pi*’integrate(subst([y=u],lhs(UTY30))*cos(p*u),u,minf,inf);

初期条件：t = 0 では、下記の関係となる。
∫ ∞u1 (x, y, t) =B (p) sin (p y) + A (p) cos (p y) dp
0

BP1:B(p)=1/%pi*’integrate(subst([y=u],lhs(UTY30))*sin(p*u),u,minf,inf);
UTY31:subst([AP1,BP1],UTY3);
u[1](x,y,t)=U(x)/%pi*’integrate(%e^(-\nu*p^2*t)*’integrate((u(x,u,0)*sin(p*u)*sin(p*y)+u(x,u,0)*cos(p*u)*cos(p*y)),u,-inf,inf),p,0,inf);
trigreduce(%);
UTY32:u[1](x,y,t)=U(x)/%pi*’integrate(u(x,u,0)*’integrate(%e^(-\nu*p^2*t)*cos(p*y-p*u),p,0,inf),u,minf,inf);
I0:I=’integrate(%e^(-\nu*p^2*t)*cos(p*y-p*u),p,0,inf);
I01:ev(%,integrate);
I1:-y^2/(4*nu*t)+(u*y)/(2*nu*t)-u^2/(4*nu*t)=N;
I2:N=factor(lhs(%));
subst([I1,I2],I01);
rhs(I0)=rhs(%);
UTY4:subst([%],UTY32);
u[1](x,y,t)=U(x)*’integrate(%e^(-(y-u)^2/(8.7.72)(8.7.73)
このとき、係数：A (p) , B (p) は下記となる。
∫
1 ∞
A (p) =u (u, 0) cos (p u) du
π −∞
∫
1 ∞
B (p) =u (u, 0) sin (p u) duπ −∞
上式を (8.7.71) 式に代入し、

u1 (x, y, t)∫∫
1 ∞ −ν p2 t ∞eu (u, 0) sin (p u) sin (p y)=π 0−∞+ u (u, 0) cos (p u) cos (p y) dudp∫∫
1 ∞ −ν p2 t ∞=eu (u, 0) cos (p y − p u) dudp
π 0
−∞
∫
∫ ∞
2
1 ∞
u (u, 0)e−ν p t cos (p y − p u) dpdu=
π −∞0(8.7.74)(8.7.74) 式の一部の積分を実行すると、√ − (y−u)2∫ ∞π e 4νt−ν p2 tecos (p y − p u) dp =
√ √
2 ν t
0

(4*nu*t)),u,minf,0)/(2*sqrt(%pi)

上記の結果を (8.7.74) 式に代入すると、∫ ∞(y−u)21
u1 (x, y, t) = √ √ √u (u, 0) e− 4 ν t du2 π ν t −∞(8.7.75)*sqrt(nu)*sqrt(t));

境界条件から、y > 0, t = 0 で u1 (x, y, t) = U (x)、y <ev(%,integrate);

0, t = 0 で u1 (x, y, t) = −U (x) とすると、次式の解がUTY41:factor(%);(8.7.70) 式の u1 (x, y, t) を下記の変数分離法で解く。

得られる.

(4*nu*t)),u,0,inf)/(2*sqrt(%pi)*sqrt(nu)*sqrt(t))-U(x)*’integrate(%e^(-(y-u)^2/

u1 (x, y, t) = g (t) U (x) f (y)上式に代入し、整理すると、d2
d y 2 f (y)

f (y)

d
g (t)
= dt
= −p2
ν g (t)U (x)u1 (x, y, t) = √ √ √2 π ν t∫ ∞0(y−u)2e− 4 ν t du

∫ 0(y−u)2U (x)e− 4 ν t du (8.7.76)√ √ √2 π ν t −∞()
y√
=U (x) erf
√
2 ν t
−

第8章

494

粘性流体

(8.7.78) 式の関係式を使って、
(
(
(
)
√ √
d
d
2 ν t t U (x)U (x) Gu (x, y, t) =
dy
dx
))

ET1:\eta=y/2/sqrt(\nu*t);
ET2:diff(ET1,y,1);ET3:diff(ET1,y,2);ET4:diff(ET1,t,1);+ U (x) FET5:diff(ET1,t,2);(

ET6:solve(ET1,y)[1];PSI1:\Psi=2*sqrt(\nu*t)*(U(x)*F+t*U(x)*’diff(U(x),x,1)*G);
U1:u(x,y,t)=’diff(\Psi,y,1);

)(
)
d
d
=t U (x)
U (x)
G
dx
dη
(
)
d
F
+ U (x)dη
(8.7.80)

V1:v(x,y,t)=-’diff(\Psi,x,1);
subst([PSI1],U1);

流速：v (x, y, t) も (8.7.79) 式に (8.7.77) 式を代入し、ev(%,diff);(8.7.78) 式の関係式を使って、
(
)
(
(
√ √
d
d
v (x, y, t) = −2 ν t t U (x)U (x) Gdx
dx))
+ U (x) FU11:expand(subst([ET2],%));
subst([PSI1],V1);ev(%,diff);
V11:expand(subst([ET2],%));
subst([U(x,t)=U(x),u[1](x,y,t)=

)
d2
U
(x)
G
d x2
(
)2
√ 3
d
2
−2 νt
U (x) G
dx
(
)
√ √
d
−2 ν tU (x) Fdxu(x,y,t)],NAVU11);=−2

subst([U11],%);
ev(%,diff);
expand(subst([ET2,ET3,ET4,ET5],%));
F1:rest(rhs(%),3)=0;
expand(-%/U(x)*4*t);

√

(

3

ν t 2 U (x)F11:subst([ET6],%);(8.7.81)first(lhs(%))=-last(lhs(%));(8.7.70) 式の u1 (x, y, t) に関する方程式は下記となり、
( 2
)
d
d
d
U (x) =u (x, y, t) − νu (x, y, t)
dt
dt
d y2

F2:’diff(F,\eta,1)=erf(\eta);
F21:diff(F2,\eta,1);
F22:diff(F2,\eta,2);
subst([F21,F22],F11);(8.7.80) 式を上式に代入し、u1 (x, y, t) は F に対応して

F12:solve(F1,’diff(F,\eta,3))[1];流れ関数：Ψ を次のように定義する。ここで F は下記いるので、F の項を残し、
( 3 )
( 2 )
U (x) ddη3 F
U (x) y ddη2 F
−
=0
−
√ 3
4t
4 ν t2に示す η の関数で u1 (x, y, t) に対応する。G も下記に示す η の関数で u2 (x, y, t) に対応する。
(
(
)
)
√ √
d
Ψ = 2 ν t t U (x)U (x) G + U (x) F
dx(8.7.77)
ここで、

y
d
1
η= √ √ ,η= √ √
d
y
2 ν t
2 ν t
d
d2
y
η =0,
η=− √ 3d y2dt
4 ν t2(8.7.78)

2

d
Ψ
dx

d2
F
d η2

)
=0

(8.7.82)

4 η e−η
d3
√
F
=
−
d η3
π

2

(8.7.83)

当然ながら、上式は、(8.7.82) 式を満足している。

流れ関数：Ψ から流速は次式で得られる。

v (x, y, t) = −(d
F =erf (η)
dη
2 e−η
d2
√ ,
F
=
d η2
π

3y
d
η= √ 5d t2
8 ν t2dΨ,dyd3
F + 2η
d η3(8.7.76) 式の u1 (x, y, t) の解から次の関係を得る。

2u (x, y, t) =

整理すると、(8.7.79)

流速：u (x, y, t) は (8.7.79) 式に (8.7.77) 式を代入し、

8.7. 非定常な一方向の流れ

495

subst([U(x,t)=U(x),u[1](x,y,t)=u(x,y,t),T[max]:10;

u[2](x,y,t)=u(x,y,t),v[1](x,y,t)=T[min]:0;v(x,y,t)],NAVU2);

N:500;

subst([U11,V11],%);

dT:float((T[max]-T[min])/N);ev(%,diff);

G2I:1.6072781;

expand(subst([ET2,ET3,ET4,ET5],%));

sol:rk([erf(t),-2*t*g2+4*g1-8*%e^(-t^2)*f

subst([F12,ET6],%);/sqrt(%pi)+4*erf(t)^2-4,g2,g1],%/(U(x)*(’diff(U(x),x,1)));[f,g2,g1,g],[0,G2I,0,0],[t,T[min],

G1:expand(lhs(%)=subst([G=0],rhs(%)));

T[max],dT]);

G11:solve(G1,’diff(G,\eta,3))[1];

listF:[[sol[1][1],sol[1][2]]];

subst([ET6],UTY41);

for J:2 thru N do(listF:append(listF,’diff(F,\eta,1)=erf(\eta);[[sol[J][1],sol[J][2]]]));

subst([F21,F2],G11);(8.7.71) 式の u2 (x, y, t) に関する方程式は下記となり、左辺は u2 (x, y, t) について、右辺は u1 (x, y, t)、v1 (x, y, t)についての項となる。

for J:2 thru N do(listG11:append(listG11,[[sol[J][1],sol[J][4]]]));
plot2d([discrete,listG11],)d2
u (x, y, t)
d y2
(
)
d
= − v (x, y, t)u (x, y, t)dy()
d− u (x, y, t)u (x, y, t)dx()
d+ U (x)U (x)dxdu (x, y, t) − νdtlistG11:[[sol[1][1],sol[1][4]]];((8.7.80) 式、(8.7.81) 式を上式に代入し、左辺は u2 (x, y, t)[y,-0.0001,0.0001]);
plot2d([discrete,listG11]);
plot2d([erf(t),[discrete,listG11]],[t,0,10],[x,0,3]);diff(U11,y,1);
subst([ET2],%);
rhs(%)=0;
expand(%*2*sqrt(\nu)*sqrt(t)/U(x));
SP1:subst([F21,’diff(G,\eta,2)=G2I,についてであり、G の項を残し、右辺は u1 (x, y, t)、\eta=0],%);

v1 (x, y, t) についてであり F の項を残すと、( 2 )d3
η ddη2 G
G
3
d
dη
−
+
G
−
4
2
dη
( 2 ) (
)2
d
d
=F
F
−
F
+1
d η2
dη

U01:U(x)=2*U[0]*sin(x/R);
DU01:diff(U01,x,1);
subst([DU01],SP1);(8.7.84)

Maxima の Runge-Kutta 法を用いて解くため、下記のように変形して、
3dG = − 2η
d η3

(

2

)

(

)

d
d
G +4
G
2
dη
dη
(
)2
( 2 )
d
d
F
+
4
F
−4
− 4F
d η2
dη

(8.7.83) 式の F の解を上式に代入し、
( 2 )
(
)
d3
d
d
G = − 2η
G +4
G
d η3
d η2
dη
8 e−η F2√
+ 4 erf (η) − 4
π2−

上式を Runge-Kutta 法を用いて解いて、G を求める。

solve(%,t)[1];
subst([cos(x/R)=-1],%);
subst([t=s[s]/U[0]],%);
float(%*U[0]);境界条件として、物体表面で流速は零であるから、η = 0
で、G = ddη G = 0 となり、物体より十分離れたところ
では、u2 (x, y, t) = 0 であるから、η = ∞ で、ddη G = 02となる。そこで、上記となるような ddη2 G の初期値を求める。結果を下記に示す。

第8章

496

粘性流体

(8.7.85) 式に上式を代入し、t を求めると、
t=−

7641

4754 R(x)√
π U0 cos R

最後端ではく離が始まる時間は、

t=4754 R√
7641 π U0

円柱が動いた距離に換算すると、4754 Rss√=
U07641 π U0
上式から、円柱が動き始めてから約 0.35R 移動したとき、最後端ではく離が始まる。

ss = 0.35102176157388 R ≈ 0.35 R
図 8.7.20: ddη F, ddη G の結果

TN1:t[n]=U[0]*t/2/R;
TN2:solve(TN1,t)[1];

はく離位置と時間の関係を求める。はく離点ではせ

RN1:R[n]=U[0]*2*R/\nu;

ん断力が零であるから、τ = µ ddy u (x, y, t) = 0 である

RN2:solve(RN1,\nu)[1];

から、

(

)

d
η t U (x)dy()( 2 )
d
d
×
U (x)
G
dx
d η2
(
)
( 2 )
d
d
+
η U (x)
F
dy
d η2
(
√
(
) d2 )t U (x) ddx U (x)d η2 G
√
=
2 ν
( 2 )
U (x) ddη2 F
+
√ √
2 ν t

d
u (x, y, t) =dy

Y1:y[n]=y/R;
Y2:solve(Y1,y)[1];X1:x[n]=x/R;
X2:solve(X1,x)[1];
expand(U11/U(x));
UN1:lhs(%)=subst([F2,DU01,TN2,X2],rhs(%));
UN2:subst([x[n]=\phi,’diff(G,eta,1)=G12],
rhs(UN1));
ET7:radcan(subst([TN2,RN2,Y2],ET1));
ET8:solve(ET7,y[n])[1];
PLTSET1:[R[n]=1000,\phi=170/180*%pi];
PLT1:[t[n]=0.1];

上式の右辺を零とおき、
( 2 )
√
(
) ( d2 )t U (x) ddx U (x)U (x) ddη2 F
d η2 G
√
=0
+
√ √
2 ν
2 ν t

PLT2:[t[n]=0.175];
PLT3:[t[n]=0.5];

上式を整理すると、()( 2 )
d
d2
d
t
G
+
F =0
U (x)
dx
d η2
d η2

UN3:subst(PLTSET1,UN2);

2= erf (η) から、はく離位置と時間の関係は次式

となる。

(

1.6072781 t)
d2
U (x) + √ = 0dx
π(8.7.85)

また、円柱周りの流速は、「例題 5.3.4 一様流中の円柱まわりの流れ、(5.3.15) 式、122 頁」から、

U (x) = 2 U0 sin

(x)
R

,

PLT5:[t[n]=1.0];
YN3:subst(PLTSET1,rhs(ET8));
次に、下記の無次元関係式を使って、流速分布を求める。

物体表面では η = 0 であるから、 ddη2 G の初期値とddη F

PLT4:[t[n]=0.7];

2 U0 cosd
U (x) =
dx
R

(x)
R

U0 t
2 U0 R, Rn =2Rνxyyn = , x n =RR(8.7.80) 式から、主流方向の流速分布：u (x, y, t) を無
tn =次元表記すると、()()
u (x, y, t)
d
d
d
=t
U (x)
G +
F
U (x)
dx
dη
dη
(
)
(8.7.86)d=4 tn cos (xn )G + erf (η)
dη8.7. 非定常な一方向の流れ

497

η → y の関係式から、y 軸を無次元表記して、√
4 η tnyn = √
Rn
for J:1 thru 150 do(
L:J,
ETP1:\eta=listG11[L][1],GP1:G12=listG11[L][2],UN4:float(subst([ETP1,GP1],UN3)),
YN4:float(subst([ETP1],YN3)),
if L=1 then listU1:[[subst(PLT1,UN4),subst(PLT1,YN4)]]
else listU1:append(listU1,[[subst(PLT1,UN4),subst(PLT1,YN4)]]),

図 8.7.21: 流速分布の時間経過

ϕ = 50deg.

図 8.7.22: 流速分布の時間経過

ϕ = 70deg.

図 8.7.23: 流速分布の時間経過

ϕ = 90deg.

if L=1 then listU2:[[subst(PLT2,UN4),subst(PLT2,YN4)]]
else listU2:append(listU2,[[subst(PLT2,UN4),subst(PLT2,YN4)]]),
if L=1 then listU3:[[subst(PLT3,UN4),subst(PLT3,YN4)]]
else listU3:append(listU3,[[subst(PLT3,UN4),subst(PLT3,YN4)]]),
if L=1 then listU4:[[subst(PLT4,UN4),subst(PLT4,YN4)]]
else listU4:append(listU4,[[subst(PLT4,UN4),subst(PLT4,YN4)]]),
if L=1 then listU5:[[subst(PLT5,UN4),subst(PLT5,YN4)]]
else listU5:append(listU5,[[subst(PLT5,UN4),subst(PLT5,YN4)]]));
plot2d([[discrete,listU1],[discrete,listU2],[discrete,listU3],[discrete,listU4],[discrete,listU5]],[x,-1,2],[y,0,0.4],[legend,"phi=170deg. tn=0.1","tn=0.175","tn=0.5","tn=0.7","tn=1.0"]);
下記に各点の流速分布の時間経過を下記に示す。ϕ =50deg. と ϕ = 70deg. の円柱の前半で外界流速が加速流
中では、境界層の外側で時間とともに早い速度が見られる。また、ϕ = 150deg. と ϕ = 170deg. の円柱の後半
で、はく離領域が時間とともに大きくなっていくのが見られる。(8.7.86) 式から、時間とともに境界層がどんどん発達していく形となっており、十分な時間が経てば定常状態の境界層の形にならない。これは流れ関数：Ψ として、突然動き出した無限に長い平板の関数形：erf (η)
をしており、時間とともに境界層がどんどん発達していく形となっている。このため、本例の適用は初期の時間のみに限定されると思われる.

第8章

498

図 8.7.24: 流速分布の時間経過

粘性流体

ϕ = 110deg.

図 8.7.27: 流速分布の時間経過

図 8.7.25: 流速分布の時間経過

ϕ = 130deg.

図 8.7.26: 流速分布の時間経過

ϕ = 150deg.

ϕ = 170deg.

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

499

8.8

渦度のある三次元軸対称流れ

8.8.1

渦度表記の Euler の運動方程式度コンポーネント：u, v, w とする。
 
u
−
→  
V = v 

粘性の直接的な効果が無視できる流れで、渦度がある

w1

完全流体について調べる 。粘性を無視すると、運動方
程式は Euler の運動方程式となる。
「2.7
方程式

Euler の運動

(8.8.1) 式の左辺初項は、
 d26 頁」の Euler の運動方程式のベ−→−→クトル標記を下記に示す。ここで、流速: V 、外力： F 、
圧力:p とする。
(
)
→
−
→
−
→
−
→
d −
ρ
V + ( V · grad) V = F − grad(p)
dt
また、
「2.8

Bernoulli の定理(2.8.2) 式(8.8.1)30 頁」のBernoulli の定理から求めた Euler の運動方程式のベク−→→
トル標記を下記に示す。本式は渦度：−
ω = curl V が含まれており、本目的には、下記の式が適合している。
(
)
−
→2
→ −
→
−
→
d −
V
p
V − V × curl V = −grad g z ++dt2ρ(8.8.2)
まず、上式が同じものであるかどうか、x − y − z 座標
系で確認する。
/* Euler の運動方程式 */kill(all);load("vect");u→  ddt d −V =  dt v
dt
d
dt w

(2.7.2) 式−→(8.8.1) 式の左辺第二項の一部：grad V は、
(
)
d
d
d
u
v
w
dx
d x )
(d x
−
→ 


grad V =  ddy u ddy v ddy w 
(
)
d
d
d
dz u
dz v
dz w
上記から、(8.8.1) 式の左辺第二項は、()
()( d )
d
d
u
w
+
u
v
+
u
dz
d(y
dx u 
)
(
)
−
→
−
→ 
(d )
( V · grad) V =  d z v w + v ddy v + u ddx v 
 (
(
)
)
(
)
w ddz w + v ddy w + u ddx w−→(8.8.1) 式の右辺項は、外力項： F を無視して、
 d 
dx p
 d 
grad(p) =  d y pddz p

depends(u,[t,x,y,z]);depends(v,[t,x,y,z]);

以上をまとめると、当然であるが、Euler の運動方程式

depends(w,[t,x,y,z]);が得られた。
(
)

(
d
)
( d )
d
d
d
dx p
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
+
dy
dx
dt
ρ

 (d z )
(
)
d
(
)
p 
 d
 d z v w + v ddy v + u ddx v + ddt v + d yρ 

 (
(
)
d
)
(
)
p
w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w + d zρdepends(p,[x,y,z]);VXYZ:matrix([u],[v],[w]);EU1:(diff(VXYZ,t,1));
grad(transpose(VXYZ));
express(%);
transpose(ev(%,diff));=0(8.8.3)

EU2:transpose(VXYZ.%);
grad(p);
EU3:transpose(express(%));
EU0:(EU1+EU2)+EU3/\rho=0;
grad(p/\rho+(VXYZ.VXYZ)/2);
express(%);
H1:transpose(ev(%,diff));curl(transpose(VXYZ)[1]);transpose(express(%));
H2:col(adjoint(transpose(addcol(VXYZ,%,(8.8.2) 式の右辺項で、外力項：gz を無視して、
(−
)
→2
V
p
grad
+
2
ρ
( 2
)
w + v 2 + u2
p
= grad+2ρd2 w ( ddx w)+2 v ( ddx v )+2 u ( ddx u)
dx p
+
2
ρ 

d
d
d
d


=  2 w ( d y w)+2 v ( d y v)+2 u ( d y u) + d y p 
2
ρ 

d
2 w ( ddz w)+2 v ( ddz v )+2 u ( ddz u)p+ d zρ
2

matrix([1],[1],[1])))),3);BE0:expand(EU1-H2+H1)=0;EU0-BE0;−→
流速： V を次式に示す。ここで、x − y − z 座標の各速
1 G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、7.15 旋回をともなった定常な軸対称流 P.546−→→(8.8.2) 式の左辺第二項の一部：curl V は渦度：−
ω で、
 d

d
dy w − dz v
−
→


−
→
ω = curl V =  ddz u − ddx w
dd
dx v − dy u

第8章

500
(8.8.2) 式の左辺第二項は、−→−→
V × curl V
 (
)
(
)
v ddx v − ddy u − w ddz u − ddx w
 (
)
(
)


= w ddy w − ddz v − u ddx v − ddy u 
 (
(
)

)
u ddz u − ddx w − v ddy w − ddz v

粘性流体

depends(a,[t,r,\theta,z]);depends(b,[t,r,\theta,z]);depends(c,[t,r,\theta,z]);depends(h,[r,\theta,z]);/* rotation */VOX1:matrix([\omega[x]],[\omega[y]],[\omega[z]]);
VOR1:matrix([\omega[r]],[\omega[\theta]],

以上をまとめると、当然であるが、下記に (8.8.3) 式と[\omega[z]]);

同じ Euler の運動方程式が得られた。
(
)

(
d
)
( d )
d
d
d
dx p
u
w
+
u
v
+
u
u
+
u
+
dy
dx
dt
ρ

 (d z )
(
)
d
(
)
p 
 d
 d z v w + v ddy v + u ddx v + ddt v + d yρ 

 (
(
)
d
)
(
)
p
w ddz w + v ddy w + u ddx w + ddt w + d zρUA:u=a*cos(\theta)-b*sin(\theta);=0

VA:v=a*sin(\theta)+b*cos(\theta);curl(transpose(VXYZ)[1]);express(%);
VXYZCURL:transpose(ev(%,diff));
VOX2:VOX1=%;
subst([UA,VA,w=c],VXYZCURL);ev(%,diff);
subst(LXYR1,%);

depends(r,[t,x,y]);subst(LXYR2,%);depends(\theta,[t,x,y]);VXRTCURL0:trigrat(expand(TR.%));

depends(z,[t]);VXRTCURL:subst(LISVR1,%);

XR:x=r*cos(\theta);
YR:y=r*sin(\theta);

VOR2:VOR1=%;
VOR21:subst([’diff(v[z],\theta,1)=0,

LXR1:diff(XR,x,1);’diff(v[r],\theta,1)=0],%);

LYR1:diff(YR,x,1);
solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),

VRTZDT1:matrix([’diff(v[r],t,1)-v[\theta]’diff(\theta,x,1)]);v[\theta])/r],[’diff(v[z],t,1)]);

LXYR1:trigrat(%)[1];col(adjoint(transpose(addcol(VRTZ0,VOR1,LXR2:diff(XR,y,1);

matrix([1],[1],[1])))),3);

LYR2:diff(YR,y,1);

HH1:%-VRTZDT1;

solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),

grad(h);^2/r],[’diff(v[\theta],t,1)+(v[r]*’diff(\theta,y,1)]);transpose(express(%));

LXYR2:trigrat(%)[1];ev(%,diff);

TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta),0],subst(LXYR1,%);[-sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);

subst(LXYR2,%);

TR1:matrix([cos(\theta),-sin(\theta),0],

trigsimp(TR.%);[sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);HH2:subst([’diff(h,theta,1)=0],%);

ERTZ:matrix([e[r]],[e[\theta]],[e[z]]);HH3:HH1=HH2;

EXYZ:matrix([e[x]],[e[y]],[e[z]]);VRTZ;

ERTZ1:TR.EXYZ;VXRTCURL0;

VXYZ:matrix([u],[v],[w]);col(adjoint(transpose(addcol(VRTZ,

VRTZ:matrix([a],[b],[c]);VXRTCURL0,matrix([1],[1],[1])))),3);

LISVR1:[a=v[r],b=v[\theta],c=v[z]];subst(LISVR1,%);

VRTZ0:subst(LISVR1,VRTZ);
VRTZ0=VRTZ;

DVVOM1:expand(-VRTZDT1+%);
DVVOM2:%[2][1]=0;

depends(u,[t,x,y,z]);subst([’diff(v[z],theta,1)=0,’diff(v[r],depends(v,[t,x,y,z]);depends(w,[t,x,y,z]);theta,1)=0],%);
DVT1:solve(%,’diff(v[theta],t,1))[1];
次に、Bernoulli の定理から求めた Euler の運動方程式

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

501

−
→
−
→
の円柱座標標記を求める。流速： V の円柱座標標記は、 ddt V の項は、「B.1.5 Navier-Stokes の式 (1) 加速度 
項 ベクトルの式による (B.1.17) 式、662 頁」から下
vr
−
→  
記となる。
V =  vθ 
(8.8.4)


vθ2
d
vz
d t vr − r
→ d
d −

−
→
V =  d t vθ + vrrvθ →
渦度：−ω = curl V は x − y − z 座標標記で下記となる。
dt
dd t vz   ddωxdy w − dz v
  d(8.8.5) 以上から、
ωy  =  d z u − ddx w
)
(
d
d
ωz
→ −
→
−
→
d −
dx v − dy u
V − V × curl V−
dt
円柱座標系の速度コンポーネント:vr , vθ , vz を微分を
v2
−ωθ vz + vθ ωz + rθ − ddt vr
する上で、Maxima の処理上の都合から、下記の a, b, c= ωr vz − vr ωz − ddt vθ − vrrvθ と置き換える。ここで、x − y − z 座標の各速度コンポー− ddt vz − ωr vθ + vr ωθ

ネント：u, v, w と円柱座標系の速度コンポーネント:a, b, c

(8.8.9)の関係は下記である。ここで、a, b, c は r, θ, z の関数とする。

   vra
    vθ  =  b vzc

Bernoulli の定理から、下記の h を定義する。
−
→2
V
p
gz +
+ =h
2
ρ

u =a cos (θ) − b sin (θ)

ここで h は r, θ, z の関数とし、(8.8.7) 式から、

(8.8.6)v =a sin (θ) + b cos (θ) ,w=cx − y − z 座標系と円柱座標系の関係は下記となる. ここdsin (θ)dr =cos (θ) ,
θ=−
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r =sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r


cos (θ) sin (θ) 0
T R = −sin (θ) cos (θ) 0
0

整理し、軸対称とすると、

d





−



(8.8.8)− ddz vθωr−
→   ddcurl V = ωθ  = 
 d z vdr − d r vz r ( d r vθ )+vθωzr
(8.8.2) 式の左辺第二項は、(8.8.4) 式と上式から、
vθ ωz − ωθ vz
−
→
−
→ 

V × curl V = ωr vz − vr ωz 
vr ωθ − ωr vθ







d
dr h
dr h
 ddθ h  grad (h) =  r  =  0 
d
d
dz h
dz h



r ( ddz vθ )− ddθ vz
r


−
→  
d
d

curl V = ωθ  = 
v
−
v
r
z
 dz

dr
d
d
r ( d r vθ )+vθ − d θ vr
ωzr

軸対称とすると、))(

上式に (8.8.7) 式の座標変換マトリックル：T R を掛け、座標標記が得られる。



(

1

a, b, c → vr , vθ , vz に置き換えると、下記の渦度の円柱


)

d
dz h

式を代入し、座標変換マトリックス：T R を掛け整理し、

ωr

)(

(

)
( ddθ h) sin(θ)
d
h
cos
(θ)
−
r
( d r )( ddθ h) cos(θ) d=
 d r h sin (θ) +r(8.8.7)(8.8.5) 式に (8.8.6) 式を代入し、微分を実行して、(8.8.7)



(

d
d
d
h
θ + d hr( dd θ ) ( ddx ) ( ddr ) (ddx )= dθ hdy θ + dr h
dy r 
ddz hy = r sin (θ)

0



dx h
 d 
grad (h) =  d y hddz h

で T R は座標変換マトリックスである。

x =r cos (θ) , d(8.8.10)(8.8.2) 式に (8.8.9) 式、(8.8.10) 式の結果を代入し、次式が得られ、渦度を含んだ Bernoulli の定理から求めた
円柱座標系軸対称の Euler の運動方程式が得られた。

v2−ωθ vz + vθ ωz + rθ − ddt vr



d

dr h




 

ωr vz − vr ωz − ddt vθ − vrrvθ  =  0  (8.8.11)
d− ddt vz − ωr vθ + vr ωθ
dz h

第8章

502

粘性流体

上式で渦度を (8.8.8) 式から速度に変換すると、

 
) (
)
(
) 2 v2(( d vr ) vθdvz ddr vz − ddz vr vz + vθ ddr vθ + r θ − d θ r− ddt vrdr h vz ( d vz ) (
d
)
(
)


vr ( d θ vr ) dθ− ddz vθ vz − ddt vθ − vr ddr vθ − 2 vrr vθ +
= 0 

r
r
(
)
(
)
(
)
d
vθ ( ddθ vz )dz h−− ddt vz − vr ddr vz + vθ ddz vθ + vr ddz vr
r


θ 項は、
vz

(d

d θ vz

r

)

(
−

d
vθ
dz

)

d
vz −
vθ − vr
dt

(

d
vθ
dr

)

vr
2 vr vθ
−+r(dd θ vrr)=0軸対称とし、 ddt vθ を求めると、

rdvθ = −dt(dd z vθ

)vz + r v rr(dd r vθ

)+ 2 vr v θ(8.8.12)

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

8.8.2

503

旋回流を有する定常軸対称流

軸対称の旋回流で断面変化の影響について調べる1 。
上流側の管径、外径：D1 、内径：D2 とし、下流側の断面変化後の管径、外径：E1 、内径：E2 とする。上流側の流

depends(c,[t,r,\theta,z]);depends(h,[r,\theta,z]);
VOR2:matrix([omega[r]],[omega[theta]],[omega[z]])=matrix([-(r*(’diff(v[theta],

体の軸方向流速：U 、角速度：Ω で対称軸を中心に流体z,1))-’diff(v[z],theta,1))/r],[’diff(は剛体回転しているものとする。ここで粘性の直接的な

v[r],z,1)-’diff(v[z],r,1)],[(r*(’diff(

効果が無視できる流れとすると、運動方程式は Euler のv[theta],r,1))+v[theta]-’diff(v[r],theta,

運動方程式となる。また、上流側、下流側とも十分定常1))/r]);となった流れとする。座標系として、円柱座標 r − θ − z

VOR21:subst([’diff(v[z],\theta,1)=0,

系とし、対称軸を z 軸とする。流速の円柱座標コンポー’diff(v[r],\theta,1)=0],%);

ネントを vr , vθ , vz とする。また、渦度：ω の円柱座標コ

HH3:matrix([-omega[theta]*v[z]+v[theta]

ンポーネントを ωr , ωθ , ωz とする。重力加速度：g 、圧力:p、密度：ρ とする。

*omega[z]-’diff(v[r],t,1)],[omega[r]*v[z]-v[r]*omega[z]-’diff(v[theta],t,1)],[’diff(v[z],t,1)-omega[r]*v[theta]+v[r]*omega[theta]])=matrix([’diff(h,r,1)],[0],[’diff(h,z,1)]);(8.8.8) 式から渦度の円柱座標の軸対称表記は、  − ddz vθ
ωr

  
d
d

(8.8.13)ωθ  = 
 d z vdr − d r vz r ( d r vθ )+vθωzr

(8.8.11) 式から渦度を含んだ Bernoulli の定理から求めた軸対称の Euler の運動方程式は下記である。



図 8.8.1: 旋回流を有する定常軸対称流v2−ωθ vz + vθ ωz + rθ − ddt vr



d

dr h




 

ωr vz − vr ωz − ddt vθ − vrrvθ  =  0  (8.8.14)
d− ddt vz − ωr vθ + vr ωθdz h
ここで h は Bernoulli の定理から、下記である。

/* 旋回を伴った z 軸対称流 R-1

gz +

*/

kill(all);

−
→2
V
p
+ =h
2
ρ

load("vect");
depends(r,[t,x,y]);depends(\Psi,[r,z]);depends(\theta,[t,x,y]);

PSIR1:v[r]=-diff(\Psi,z,1)/r;

depends(z,[t]);PSIR2:solve(%,’diff(Psi,z,1))[1];VXYZ:matrix([u],[v],[w]);PSIZ1:v[z]=diff(\Psi,r,1)/r;

VRTZ:matrix([a],[b],[c]);PSIZ2:solve(%,’diff(Psi,r,1))[1];

LISVR1:[a=v[r],b=v[\theta],c=v[z]];lhs(VOR21)[2][1]=rhs(VOR21)[2][1];

VRTZ0:subst(LISVR1,VRTZ);

subst([PSIR1,PSIZ1],%);

VRTZ0=VRTZ;

OMT1:ev(%,diff);

depends(u,[t,x,y,z]);

DVT1:’diff(v[theta],t,1)=-(r*(’diff(depends(v,[t,x,y,z]);v[theta],z,1))*v[z]+r*v[r]*(’diff(depends(w,[t,x,y,z]);v[theta],r,1))+2*v[r]*v[theta])/r;

depends(a,[t,r,\theta,z]);

UA:u=a*cos(\theta)-b*sin(\theta);

depends(b,[t,r,\theta,z]);

VA:v=a*sin(\theta)+b*cos(\theta);
WA:w=c;
TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta),0],

1 G. K. Batchelor：入門

流体力学 18) 、7.15(a) 回転する流体の流れについて管の断面積が変化することの効果 P.549[-sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);’diff(r*VXYZ,t,1);

第8章

504

粘性流体

(8.8.13) 式から ωθ を上式の流れ関数：Ψ で表現すると、subst([UA,VA,WA],%);

d
d
vr −
vz
dz ( dr )dΨdd ddr Ψ
=
− dz
−
dz
r
dr r

ωθ =

ev(%,diff);
subst([’diff(r,x,1)=0,’diff(r,y,1)=0,’diff(\theta,y,1)=0,’diff(\theta,x,1)=0,’diff(r,t,1)=a,’diff(\theta,t,1)=b/r,=−’diff(z,t,1)=c],%);
TR.%;

d2
d z2 Ψ

r−d2
d r2 Ψ

r(8.8.16)dΨ+ d r2rdd t (r vθ ) について調べる。Maxima の処理の都合上、expand(trigsimp(%));
subst(LISVR1,%);%[2][1];
subst([DVT1,’diff(v[\theta],theta,1)=0],%);
流れ関数：Ψ を導入する。円柱座標では下記の関係がvr , vθ , vz を下記の a, b, c に置き換える。
   vra
    vθ  =  b 
vz

ある。

c

x − y − z 軸系の流速：u, v, w と円柱座標系の流速：a, b, cの関係は下記となる。
dΨdΨ = −r vr
vr = − d z ,
r
dz
d
Ψ
d
vz = d r ,Ψ = r vzrdru = a cos (θ) − b sin (θ) ,(8.8.15)v = a sin (θ) + b cos (θ)

w=c(8.8.17)−→r V の円柱座標系の物質微分は、下記のように x − y − z 軸系のものに (8.8.17) 式を代入し、

r (a cos (θ) − b sin (θ))
→
d  
d 
d −

rV =
r v  =r (a sin (θ) + b cos (θ))
dt
dt
dt
rw
cr
ru



微分を実行し、座標変換マトリックス：T R を掛けることにより得られる。
 ( d )

(
)
(
)
(
)
c r + ddt a r + a ddr a r − b2 + ddθ a b + a2
r (a cos (θ) − b sin (θ))
d(z a )
(
)
(
)
(
)
→
d −
d 
 

r V = T R.
r (a sin (θ) + b cos (θ)) =  ddz b c r + ddt b r + a ddr b r + b ddθ b + 2 a b 
dt
dt
(d )
(d )
(d )
(d )
cr
c dz c r + dt c r + a dr c r + b dθ c + aca, b, c → vr , vθ , vz の置き換えを行い、
   (d )

(
)
(
)
(
)
vr
r d z vr vz − vθ2 + ddθ vr vθ + r ddt vr + r vr ddr vr + vr2
(
)
(
)
(
)
→
d −
d    (d )rV =r vθ  =  r d z vθ vz + vθ ddθ vθ + r ddt vθ + r vr ddr vθ + 2 vr vθ 
dt
dt
)
(d
)
(d )
(d )
(d
vz
r v z d z vz + vθ d θ vz + r d t vz + r v r d r vz + vr vz
以上から、 ddt (r vθ ) は軸対称とすると、

d(r vθ ) = r
dt

(

d
vθ
dz

)

(
vz + r

d
vθ
dt

)

(
+ r vrdvθ
dr)+ 2 vr vθ

(8.8.18)(8.8.12) 式から Euler の運動方程式から得られた ddt vθ は、
−r
d
vθ =
dt

(d

d z vθ

)vz − r v rr(dd r vθ

)− 2 vr v θ

上式の関係を (8.8.18) 式に代入すると、次式が得られる。

d(r vθ ) = 0
dt(8.8.19)

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ505
上式から、ωz は、(

depends(H,[\Psi]);dCdΨωz = vz

depends(C,[\Psi]);
HH4:H=(a^2+b^2+c^2)/2+p/\rho;)(8.8.22)(8.8.21) 式を z で微分し、
(
)(
)
(
)
d
d
d
Ψ
C =r
vθ
dz
dΨ
dz

HH41:subst(LISVR1,%);
CC4:C=r*b;
CC41:subst(LISVR1,%);(8.8.15) 式を代入し、
(
)
(
)
d
d
−r vr
C =r
vθ
dΨ
dz

CC411:solve(%,v[\theta])[1];diff(CC4,r,1);
subst([PSIZ2],%);
CC42:subst(LISVR1,%);lhs(VOR21)[3][1]=rhs(VOR21)[3][1];(8.8.13) 式の関係式：ωr = − ddz vθ から、
(
)
d
−r vr
C = −r ωrdΨ

solve(%,’diff(v[theta],r,1))[1];
subst([%],CC42);上式から、ωr は、

CC51:solve(%,omega[z])[1];diff(CC4,z,1);(

ωr = vr

subst([PSIR2],%);

d
C
dΨ

)
(8.8.23)

CC43:subst(LISVR1,%);(8.8.14) 式の h と (8.8.20) 式の H は同じものであり、こlhs(VOR21)[1][1]=rhs(VOR21)[1][1];

れを z で微分すると、
(
)(
)
d
d
d
h=
Ψ
H
dz
dz
dΨ

VOR31:solve(%,’diff(v[\theta],z,1))[1];
subst([%],CC43);
CC52:solve(%,omega[r])[1];

上式に (8.8.14) 式を代入し、定常とすると、
(
)(
)
d
d
vr ωθ − ωr vθ =
Ψ
H
dz
dΨ

lhs(VOR21)[2][1]=rhs(VOR21)[2][1];VOR32:solve(%,’diff(v[r],z,1))[1];’diff(h,z,1)=diff(H,z,1);lhs(HH3)[3][1]=rhs(HH3)[3][1];subst([’diff(v[z],t,1)=0,’diff(h,z,1)=diff(H,z,1)],%);
subst([PSIR2,CC52,CC411],%);

上式に (8.8.23) 式と (8.8.21) 式を代入し、)()(
vr C ddΨ C
d= −r vrH
vr ωθ −rdΨωθ を求めると、

OMT2:expand(solve(%,\omega[\theta])[1]);
PSHC1:expand(-r*(rhs(OMT1)=rhs(OMT2)));
ここでは粘性効果を無視しているので、Bernoulli の定理から次式は流線に沿って一定：H となる。ここで Hは Ψ の関数とし、gz の項は z 軸が水平であるとして省略できる.

vz2 + vθ2 + vr2
p+(8.8.20)2ρ
また、(8.8.19) 式から次式となる。ここで C は Ψ の関
H=

数とする。

ωθ =

C

( d

dΨ C

)

r

(
−r

d
H
dΨ

)

上式と (8.8.16) 式の ωθ を等しいとおいて、整理すると、
d
Ψ d2
d2
− dr + 2 Ψ +Ψrd z ( d r2 )
(
)
d
d
= r2
H −C
C
dΨ
dΨ

(8.8.24)

CC6:C=2*\Omega*\Psi/U;
C = r vθ(8.8.21)

HH6:H=1/2*U^2+2*\Omega^2*\Psi/U;

上式を r で微分し、
(
)(
)
(
)
d
d
d
Ψ
C =r
vθ + vθdrdΨ
drsubst([CC6,HH6],PSHC1);(8.8.15) 式を代入し、
)
(
)
(
d
d
C =r
v θ + vθ
r vz
dΨ
dr

PSIF1:\Psi=1/2*U*r^2+r*F;

r ( d vθ )+vθ(8.8.13) 式の関係式：ωz = d r r
から、
(
)
d
r vz
C = r ωzdΨPSHC2:ev(%,diff);
depends(F,[r,z]);subst([PSIF1],PSHC2);
factor(ev(%,diff)/r);PSHC3:expand(lhs(%)-rhs(%)=0);
K1:k=2*\Omega/U;
K2:solve(%,\Omega)[1];
PSHC31:subst([’diff(F,z,2)=0,K2],PSHC3);

第8章

506

粘性流体

上流側の流体では、一様な軸方向の流速：U で、角速度：Ω で剛体回転しているとする。このとき、(8.8.15) 式のdd r Ψ = r U 、(8.8.21) 式から

Ψ=1
U r2 ,
2

DVX2:’diff(F,r,2)=’diff(u(t),t,2)*1/(
diff(rhs(TRVA1),t,1)^2);

C = Ω r2

subst([DVX1,DVX2,TRFC0,TRVA1],PSHC31);(8.8.20) 式から

expand(%/k^2);

1 2
U + Ω2 r 2(8.8.25)2
上式から、上流側の H, C を Ψ で表現すると、
H=

ode2(%,u(t),t);(8.8.30) 式は Bessel の微分方程式であるが、このままでは Maxima では解けないので、下記の変数変換を行う。

2ΩΨU2
2 Ω2 Ψ
C=, H=+(8.8.26)
U
2
U
これは流場全体にわたっての H, C の Ψ の関数でないとならない。上式を (8.8.24) 式に代入すると、下記の式が
得られる。
d
Ψ
d2
d2
2 Ω2 r 2 4 Ω2 Ψ
− d r + 2 Ψ+ 2 Ψ =−(8.8.27)
r
dz
dr
U
U2
Ψ を上流側の一様流成分とそれからのずれ分：r F で下記のように表現する。ここで F は r, z の関数とする。

r2 U
+rF
(8.8.28)2
上式を (8.8.27) 式に代入すると、
)
)
( 2
( 2
d2
d2
r U
r U
+
r
F
+
+
r
F
d z2
2
d r2
2
( 2
)
d
r U
dr
2 +rF
−
r
)
( 2
r U
2
4
Ω
+
r
F
2 2
2
2Ω r
=
−
U
U2
微分を実行し、右辺を左辺に移項し、整理すると、
Ψ=

2

2

2

d
dr F

4Ω F
F
d
d
− 2 =0
+
F+
F+
U2
d z2
d r2
r
r
ここで、下流側で、十分定常状態になった位置では、

F = u (t) ,
d
F =k
dr

d2
F = k2
d r2

(

d2
u (t)
d t2

)

d
u (t)
d2
d t u (t)u(t)+
− 2 + u (t) = 0
d t2
t
t

これは Maxima で下記の解が得られる。

u (t) = bessel y (1, t) %k2 + bessel j (1, t) %k1
上記の変数変換を行い、元の関数：F に戻すと、

F = bessel y (1, k r) %k2 + bessel j (1, k r) %k1(8.8.31)
上式を (8.8.26) 式に代入すると、

2 Ω2
U2
+
H=
2
U

入すると、

2Ω
kU
, Ω=
U
2
d
F
d2
F
F + d r − 2 + k2 F = 0
d r2
r
r

)
d
u (t) ,
dt

上式を (8.8.30) 式に代入し、整理すると、d2
d z 2 F = 0 となる。そして下記の k を導入し、上式に代k=(t = kr((r2 U+ bessel y (1, k r) %k2
2) )+ bessel j (1, k r) %k1 r(8.8.29)(8.8.32)(8.8.30)

上流側の管壁の H の初期値は (8.8.25) 式に r = D1 , D2
を代入し、

A:0;
C:1;
B:k;
N:1;
TRFCVA:f(t)=(t/B)^(A/C);
TRFC:F=f(t)*u(t);TRFC0:subst([TRFCVA],TRFC);
TRFC1:solve(TRFC0,u(t))[1];
TRVA:t=B*r^C;
TRVA1:r=(t/B)^(1/C);
assume(t>0);
DVX1:’diff(F,r,1)=’diff(u(t),t,1)*1/(
diff(rhs(TRVA1),t,1));

H1 =

U2
+ D12 Ω2 ,
2

H2 =

U2
+ D22 Ω2
2

下流側の管壁の H は (8.8.32) 式に r = E1 , E2 を代入し、

2 E1 bessel y (1, E1 k) %k2 Ω2
U2+
2U
2 E1 bessel j (1, E1 k) %k1 Ω2++ E12 Ω2U
2 bessel y (1, E2 k) E2 %k2 Ω2
U2
+
H2 =
2
U
2 bessel j (1, E2 k) E2 %k1 Ω2++ E22 Ω2
U
H1 =

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

507

上記の H1 , H2 に関する四式から、%k1, %k2 を求めると。
(())
E1 bessel y (1, E1 k) E22 − D22 − E12 bessel y (1, E2 k) E2 + D12 bessel y (1, E2 k) E2 U
%k1 = −,
2 E1 bessel y (1, E1 k) bessel j (1, E2 k) E2 − 2 E1 bessel j (1, E1 k) bessel y (1, E2 k) E2
( 2
)
)
(
E1 bessel j (1, E1 k) E2 − D22 − E12 bessel j (1, E2 k) E2 + D12 bessel j (1, E2 k) E2 U
%k2 =2 E1 bessel y (1, E1 k) bessel j (1, E2 k) E2 − 2 E1 bessel j (1, E1 k) bessel y (1, E2 k) E2を上式に代入すれば得られる。しかし、PSHC4:subst([TRFC1,TRVA],%);

limE2 →0 bessel y (1, E2 k) → −∞ で発散するが、HH7:subst([PSIF1,PSHC4],HH6);

bessel y (1, E2 k) E2 とすれば、下図のように、

HH710:H[1]=subst([r=D[1],%k1=0,%k2=0],

収束し、その結果は、rhs(HH7));
lim bessel y (1, E2 k) E2 = −HH720:H[2]=subst([r=D[2],%k1=0,%k2=0],

E2 →0

2
π

rhs(HH7));
HH711:H[1]=subst([r=E[1]],rhs(HH7));
HH721:H[2]=subst([r=E[2]],rhs(HH7));
HH712:rhs(HH710)=rhs(HH711);
HH722:rhs(HH720)=rhs(HH721);

この結果を代入すると、
( 2
)
2 E1
2 D12
π
−
U
π
π
%k1 = −,
4 E1 bessel j (1, E1 k)%k2 = 0 (8.8.33)

BSB20:bessel_y(1,E[2]*k)*E[2]=-2/%pi;(8.8.33) 式を (8.8.31) 式に代入すると、
( 2
)
2 E1
2 D12
π
−
bessel j (1, k r) Uππ
F =−4 E1 bessel j (1, E1 k)

BSB21:solve(%,bessel_y(1,E[2]*k))[1];

上式を (8.8.28) 式に代入すると、流れ関数:Ψ が得られる。

K12:solve([HH712,HH722],[%k1,%k2])[1];
plot2d(bessel_y(1,x)*x,[x,0.00001,10]);subst([x=0.0000000001],bessel_y(1,x)*x);

subst([D[2]=0],K12);(

subst([BSB21],%);

2

K121:subst([E[2]=0],%);
次に、管内部の物体がない場合について、D2 = 0, E2 = 0

Ψ=

r U
−
2

図 8.8.2: bessel y (1, x) x

π

2 E12
2 D12
π − π

)
bessel j (1, k r) r U

4 E1 bessel j (1, E1 k)(8.8.34)

508

8.8.3

管内の旋回流の断面積変化による影響

管内の旋回流の断面積変化の影響について調べる。ここで、下流側では十分定常状態になった位置での流れを

第8章

粘性流体

r
,
E1

δ = ασ強度を表している。

α=

E1
,
D1

D1 =

調べる。上流側の管外径：D1 とし、断面変化後、下流

2 Ω D1
,
U
σ
k=
,
D1

σ = D1 k =側の管外径：E1 とする。上流側の流体の軸方向流速：

E1
,
α

η=

r = E1 η,δα(8.8.36)σ=

U 、角速度：Ω で対称軸を中心に流体は剛体回転しているものとする。前述の結果を基に具体的な流れを計算する。ここでプログラムは前節に続いて実行するものとする。座標系として、円柱座標 r − θ − z 系とし、対称軸を z 軸とする。流速の円柱座標コンポーネントを(8.8.35) 式を (8.8.15) 式に代入し、軸流速：vz は、
vz ddr Ψ=UrU
d r Udr
2 −vr , vθ , vz とする。また、渦度：ω の円柱座標コンポーネントを ωr , ωθ , ωz とする。
C1:\alpha=E[1]/D[1];

(
2

=

π

2
2
2 D1
2 E1
π − π



)
bessel j(1,k r) r U

4 E1 bessel j(1,E1 k)

rU

C2:\sigma=k*D[1];C3:\eta=r/E[1];微分を実行し、

C4:\delta=\sigma*\alpha;
C11:solve(C1,D[1])[1];vz
E1 bessel j (1, k r)=−
U
2 bessel j (1, E1 k) r
D12 bessel j (1, k r)+
2 E1 bessel j (1, E1 k) r
E1 bessel j (2, k r) k
D2 bessel j (2, k r) k+
− 1
4 bessel j (1, E1 k)
4 E1 bessel j (1, E1 k)bessel j (0, k r) E1 kbessel j (0, k r) D12 k−+
4 bessel j (1, E1 k)
4 E1 bessel j (1, E1 k)

C21:solve(C2,k)[1];C31:solve(C3,r)[1];C41:solve(C4,\sigma)[1];
PSHC5:subst([K121],PSHC4);
PSIF2:subst([PSHC5],PSIF1);
subst([PSIF2],PSIZ1)/U;
VZ1:ev(%,diff);+1

VZ11:expand(VZ1);VZ2:subst([C21,C31,C11],VZ11);
VZ3:subst([C41],%);
VT0:subst([CC6],CC411);
VT1:expand(subst([PSIF2],%));
VT11:expand(%/\Omega/r);
VT2:lhs(VT11)=subst([C21,C31,C11],
rhs(VT11));
VT3:subst([C41],%);\omega[z]=1/r*’diff(rhs(VT1)*r,r,1);(8.8.37)
上式に (8.8.36) 式を代入すると、

vz bessel j (2, α η σ) α σ bessel j (0, α η σ) α σ=−U
4 bessel j (1, α σ)
4 bessel j (1, α σ)bessel j (0, α η σ) σ
bessel j (2, α η σ) σ−+
4 bessel j (1, α σ) α 4 bessel j (1, α σ) α
bessel j (1, α η σ)bessel j (1, α η σ)+−2
2 bessel j (1, α σ) α η 2 bessel j (1, α σ) η
+1(8.8.38)

OMZ1:expand(ev(%,diff));
OMZ11:expand(OMZ1/2/\Omega);(8.8.21) 式に (8.8.26) 式を代入し、さらに (8.8.35) 式をOMZ2:lhs(OMZ11)=subst([C21,C31,C11],

代入して、旋回流速：vθ は、

rhs(OMZ11));
OMZ3:subst([C41],%);
前節の結果から、流れ関数:Ψ は (8.8.34) 式で得られる。
)
( 2
2 D12
2 E1
−
bessel j (1, k r) r U
π
2
π
π
r U
Ψ=
−
2
4 E1 bessel j (1, E1 k)(8.8.35)

vθ =

2ΩΨ
rU
E1 bessel j (1, k r) Ω
bessel j (1, E1 k)
2
D bessel j (1, k r) Ω
+ 1
E1 bessel j (1, E1 k)=Ω r −

以降、無次元化するための変数の関係式を以下に示す。 上式を無次元化し、ここで α は、流路径の拡大率であり、σ は、上流側の渦E1 bessel j (1, k r)vθ=−Ωr
bessel j (1, E1 k) r

D12 bessel j (1, k r)+
+1
E1 bessel j (1, E1 k) r

(8.8.39)

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ509

上式に (8.8.36) 式を代入すると、vθ
bessel j (1, α η σ)=
Ω r bessel j (1, α σ) α2 ηbessel j (1, α η σ)−+1bessel j (1, α σ) η

LISCH:[U=1,D[1]=1,\sigma=1.0,\alpha=0.4];
K1:k=\sigma/D[1];(8.8.40)

Q1:\Omega=k*U/2;
EE1:E[1]=\alpha*D[1];subst([EE1,Q1,K1],rhs(VZ11));(8.8.13) 式に (8.8.40) 式を代入し、軸方向渦度：ωz は、()
r ddr vθ + vθ
1 d
ωz =
=
(r vθ )r dr
(r (E1 bessel j (1, k r) Ω1 dr Ωr −=
r dr
bessel j (1, E1 k)))
D12 bessel j (1, k r) Ω+
E1 bessel j (1, E1 k)

VZ111:subst(LISCH,%);
subst([EE1,Q1,K1],rhs(OMZ1));
OMZ111:subst(LISCH,%);\alpha*D[1];R1:subst(LISCH,%);
N:10000;
DE1:R1/N;
S1:0;

微分を実行し、

S2:0;
for J:1 thru N do(

E1 bessel j (1, k r) Ω
bessel j (1, E1 k) r
D12 bessel j (1, k r) Ω+
E1 bessel j (1, E1 k) r
E1 bessel j (2, k r) k Ω+
2 bessel j (1, E1 k)
D12 bessel j (2, k r) k Ω−
2 E1 bessel j (1, E1 k)bessel j (0, k r) E1 k Ω−
2 bessel j (1, E1 k)bessel j (0, k r) D12 k Ω++ 2Ω
2 E1 bessel j (1, E1 k)

ωz = −

L:J,
ET1:DE1*L,
S2:float(S2+subst([r=ET1],OMZ111)*2*%pi*ET1*DE1),
S1:float(S1+subst([r=ET1],VZ111)*2*%pi*ET1*DE1));
S1;
S2;
S1/(%pi*R1^2)*\alpha^2;
float(subst(LISCH,%));
S2/%pi/D[1]^2/\Omega/2;

上式を無次元化し、E1 bessel j (1, k r)
ωz=−
2Ω
2 bessel j (1, E1 k) r
D12 bessel j (1, k r)+
2 E1 bessel j (1, E1 k) r
E1 bessel j (2, k r) k+
4 bessel j (1, E1 k)
D2 bessel j (2, k r) k
− 1
4 E1 bessel j (1, E1 k)bessel j (0, k r) E1 k−
4 bessel j (1, E1 k)bessel j (0, k r) D12 k+1+
4 E1 bessel j (1, E1 k)

subst([Q1,K1],%);
float(subst(LISCH,%));
上記のプロセスで、上流側および下流側の軸流速：軸流速：vz を断面積分し、流量が等しいことを確認した。
また、また、上流側および下流側の軸方向渦度：ωz を断面積分し、循環が等しいことを確認した。

(8.8.41)

下記に軸流速：vz 、旋回流速：vθ 、軸方向渦度：ωz の計
算結果を示す。

上式に (8.8.36) 式を代入すると、

ωzbessel j (2, α η σ) α σ bessel j (0, α η σ) α σ=−
2Ω
4 bessel j (1, α σ)
4 bessel j (1, α σ)bessel j (2, α η σ) σ
bessel j (0, α η σ) σ−+
4 bessel j (1, α σ) α 4 bessel j (1, α σ) α
bessel j (1, α η σ)bessel j (1, α η σ)+−2
2 bessel j (1, α σ) α η 2 bessel j (1, α σ) η
+1(8.8.42)

第8章

510

粘性流体

plot2d([OMZ204,OMZ206,OMZ208,OMZ212,OMZ215
VZ204:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.4,\eta=t],OMZ220],[t,0.01,1],[nticks,100],[x,0,1],,rhs(VZ2));[legend,"E/D=0.4","E/D=0.6","E/D=0.8",

VZ206:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.6,\eta=t]"E/D=1.2","E/D=1.5","E/D=2.0"]);,rhs(VZ2));

VZA001:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,

VZ208:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.8,\eta=t]\eta=0.01],rhs(VZ2));,rhs(VZ2));

VZA02:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.2]

VZ212:subst([\sigma=1.0,\alpha=1.2,\eta=t],rhs(VZ2));,rhs(VZ2));

VZA04:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.4]

VZ215:subst([\sigma=1.0,\alpha=1.5,\eta=t],rhs(VZ2));,rhs(VZ2));
VZ220:subst([\sigma=1.0,\alpha=2.0,\eta=t]

VZA06:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.6],rhs(VZ2));

VZA08:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.8]

plot2d([VZ204,VZ206,VZ208,VZ212,VZ215,,rhs(VZ2));

VZ220],[t,0.01,1],[nticks,100],[x,0,1],

VZA10:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=1.0][legend,"E/D=0.4","E/D=0.6","E/D=0.8",,rhs(VZ2));"E/D=1.2","E/D=1.5","E/D=2.0"]);

plot2d([VZA001,VZA02,VZA04,VZA06,VZA08,

VT204:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.4,\eta=t]

VZA10],[t,0.1,4],[x,0,4],[y,-15,15],,rhs(VT2));[nticks,100],[legend,"R=0","R=0.2",

VT206:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.6,\eta=t]"R=0.4","R=0.6","R=0.8","R=1.0"]);,rhs(VT2));

OMZA001:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,

VT208:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.8,\eta=t],rhs(VT2));\eta=0.01],rhs(OMZ2));
OMZA02:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.2]

VT212:subst([\sigma=1.0,\alpha=1.2,\eta=t],rhs(OMZ2));,rhs(VT2));

OMZA04:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.4],rhs(VZ2));

VT215:subst([\sigma=1.0,\alpha=1.5,\eta=t],rhs(OMZ2));,rhs(VT2));

OMZA06:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.6]

VT220:subst([\sigma=1.0,\alpha=2.0,\eta=t],rhs(OMZ2));,rhs(VT2));

OMZA08:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=0.8]

plot2d([VT204,VT206,VT208,VT212,VT215,,rhs(OMZ2));

VT220],[t,0.01,1],[nticks,100],[x,0,1],

OMZA10:subst([\sigma=1.0,\alpha=t,\eta=1.0][legend,"E/D=0.4","E/D=0.6","E/D=0.8",,rhs(OMZ2));"E/D=1.2","E/D=1.5","E/D=2.0"]);OMZ204:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.4,\eta=t]

KE1:k*E[1]=find_root(bessel_j(1,x),x,2,4);,rhs(OMZ2));

MXKE1:[[float(rhs(KE1)),-2],

OMZ206:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.6,\eta=t][float(rhs(KE1)),2]];,rhs(OMZ2));

plot2d([OMZA001,OMZA02,OMZA04,OMZA06,

OMZ208:subst([\sigma=1.0,\alpha=0.8,\eta=t]

OMZA08,OMZA10,[discrete,MXKE1]],[t,0.1,4],rhs(OMZ2));,[x,0,4],[y,-15,15],[nticks,100],OMZ212:subst([\sigma=1.0,\alpha=1.2,\eta=t][legend,"R=0","R=0.2","R=0.4","R=0.6",,rhs(OMZ2));"R=0.8","R=1.0","J1(kE1)=0"]);OMZ215:subst([\sigma=1.0,\alpha=1.5,\eta=t]

VZ204:subst([\sigma=2.0,\alpha=0.4,\eta=t],rhs(OMZ2));,rhs(VZ2));

OMZ220:subst([\sigma=1.0,\alpha=2.0,\eta=t]

VZ206:subst([\sigma=2.0,\alpha=0.6,\eta=t],rhs(VZ2));,rhs(OMZ2));

KE2:k*E[2]=find_root(bessel_j(1,x),x,6,8);

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

511

VZ208:subst([\sigma=2.0,\alpha=0.8,\eta=t],rhs(VZ2));
VZ212:subst([\sigma=2.0,\alpha=1.2,\eta=t],rhs(VZ2));
VZ215:subst([\sigma=2.0,\alpha=1.5,\eta=t],rhs(VZ2));
plot2d([VZ204,VZ206,VZ208,VZ212,VZ215],[t,0.01,1],[nticks,100],[x,0,1],[legend,"E/D=0.4","E/D=0.6","E/D=0.8","E/D=1.2","E/D=1.5"]);OMZ204:subst([\sigma=2.0,\alpha=0.4,\eta=t],rhs(OMZ2));
OMZ206:subst([\sigma=2.0,\alpha=0.6,\eta=t],rhs(OMZ2));

図 8.8.3: 軸流速：vz 半径方向分布

σ = 1.0

図 8.8.4: 旋回流速：vθ 半径方向分布

σ = 1.0

図 8.8.5: 軸方向渦度：ωz 半径方向分布

σ = 1.0

OMZ208:subst([\sigma=2.0,\alpha=0.8,\eta=t],rhs(OMZ2));
OMZ212:subst([\sigma=2.0,\alpha=1.2,\eta=t],rhs(OMZ2));
OMZ215:subst([\sigma=2.0,\alpha=1.5,\eta=t],rhs(OMZ2));
plot2d([OMZ204,OMZ206,OMZ208,OMZ212,OMZ215],[t,0.01,1],[nticks,100],[x,0,1],[legend,"E/D=0.4","E/D=0.6","E/D=0.8","E/D=1.2","E/D=1.5"]);
OMZA001:subst([\sigma=2.0,\alpha=t,\eta=0.01],rhs(OMZ2));
OMZA02:subst([\sigma=2.0,\alpha=t,\eta=0.2],rhs(OMZ2));
OMZA04:subst([\sigma=2.0,\alpha=t,\eta=0.4],rhs(OMZ2));
OMZA06:subst([\sigma=2.0,\alpha=t,\eta=0.6],rhs(OMZ2));
OMZA08:subst([\sigma=2.0,\alpha=t,\eta=0.8],rhs(OMZ2));
OMZA10:subst([\sigma=2.0,\alpha=t,\eta=1.0],rhs(OMZ2));
MXKE1:[[float(rhs(KE1)/2),-2],[float(rhs(KE1)/2),2]];
MXKE2:[[float(rhs(KE2)/2),-2],[float(rhs(KE2)/2),2]];
plot2d([OMZA001,OMZA02,OMZA04,OMZA06,
OMZA08,OMZA10,[discrete,MXKE1],[discrete,MXKE2]],[t,0.1,4],[x,0,4],[y,-15,15],[nticks,100],[legend,"R=0","R=0.2","R=0.4","R=0.6","R=0.8","R=1.0","J1(kE1)=0","J1(kE2)=0"]);

第8章

512

図 8.8.9: 軸方向渦度：ωz 半径方向分布
図 8.8.6: 軸流速：vz 径比：α の影響

粘性流体

σ = 2.0

σ = 1.0

図 8.8.7: 軸方向渦度：ωz 径比：α の影響

図 8.8.10: 軸方向渦度：ωz 径比：α の影響

σ = 2.0

σ = 1.0E1
上図の半径方向分布の結果から、α = D< 1 場合1には、縮小流になり、軸流速：vz では中心部の流速が早く、周辺部の流速が遅くなり、軸方向渦度：ωz では
中心部の渦度が強く、周辺部の渦度が弱くなる。一方、
E1
α= D> 1 場合には、拡大流になり、軸流速：vz では
1

中心部の流速が遅く、周辺部の流速が早くなり、軸方向
渦度：ωz では中心部の渦度が弱く、周辺部の渦度が強くなる。また、上流側の渦度が強い方がこの傾向は顕著にE1なり、α = D> 1 の拡大流では、軸流速：vz や軸方向1

渦度：ωz が負の結果となる場合がある。しかし、H, Cが Ψ の関数で上流から下流へ繋がっていくことを前提にしているので、軸流速：vz が負で逆流する流場を表現しているとは思えないので、軸流速：vz が正の場合のみ有効な結果と見るべきであろう。
図 8.8.8: 軸流速：vz 半径方向分布

σ = 2.0

上図の径比の結果から、ある部分で発散している。これは式中の分母の bessel j (1, α σ) が零になったときで、

α σ ≈ 3.83, 7.02 で発生し、この近傍では渦の崩壊に繋がると思われる。

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

513

VZ2;
VZ21:rest(rhs(VZ2),-3);
VZ22:rhs(VZ2)-VZ21;
subst([\eta=0],VZ21);
VZ201:factor(%);
BES1:bessel_j(1,alpha*eta*sigma)/\eta;num(%);diff(%,\eta,1);
subst([\eta=0],%);
BES1=factor(%);
solve(%,bessel_j(1,alpha*eta*sigma))[1];VZ202:subst([%],VZ22);
VZ201+VZ202;
factor(%);
num(%)=0;
subst([\sigma=\delta/\alpha],%);
ALD1:solve(%,\alpha)[2];
subst([\delta=\alpha*\sigma],%);
plot2d(rhs(ALD1),[\delta,0.1,5],[x,0,3.83],[y,0,5]);
軸流速：vz が正となる条件を調べる。(8.8.38) 式で η = 0
として vz /U を求める。しかし、下記の項は η → 0 としたとき、下記になることを考慮して、

bessel j (1, α η σ)ασ=η2
η = 0 で軸流速：vz が零となる条件式は、次式となり、α を求めると−α2 σ + σ + 2 bessel j (1, α σ) α = 0√ασα=α σ − 2 bessel j (1, α σ)上式を図示すると下図となる。ここで、前述の計算結果
から α σ ≈ 3.83 で発散することから、横軸として α σとし、3.83 までとした。即ち、横軸の範囲内では発散せず、線より下では vz > 0 である。

図 8.8.11: 軸流速：vz が正となる条件

第8章

514

外側の流速変化が渦の旋回流に及ぼす
影響

8.8.4

粘性流体

subst([\eta=1,U=U[1],v[z]=U[2]],VZ2);U1U2:subst([\sigma=\delta/\alpha],%);

流れの中に渦が存在し、その周囲の流速変化により、
1

rhs(%)=\gamma;

渦の旋回流がどのようになるか調べる 。ここでプログ

solve(%,\alpha^2)[1];

ラムは前節に続いて実行するものとする。座標系とし

AL1:sqrt(rhs(%));て、円柱座標 r − θ − z 系とし、対称軸を z 軸とする。流

AL02:subst([\gamma=0.2],AL1);

速の円柱座標コンポーネントを vr , vθ , vz とする。渦は

AL04:subst([\gamma=0.4],AL1);

渦なし流れの中では、円管によって表現でき、その中心

AL06:subst([\gamma=0.6],AL1);

軸を z 軸とする。上流における渦管の半径：r1 とし、渦AL08:subst([\gamma=0.8],AL1);

管内、外の流速とも U1 とする。渦管内では角速度：Ω
で対称軸を中心に流体は剛体回転しているものとする。

AL12:subst([\gamma=1.2],AL1);
AL14:subst([\gamma=1.4],AL1);以上から、上流における流速は、

plot2d([AL02,AL04,AL06,AL08,AL12,AL14,

vr = 0,vθ = r Ω,

vz = U1(r < r1 )rhs(ALD1)],[\delta,0.1,5],[x,0,3.83],

r2 Ω
vr = 0, vθ = 1 , vz = U1 (r ≥ r1 )r下流の渦管の外側の流体は、渦度は保存されることから、[y,0,5],[nticks,100],[legend,r12 Ω, vz = U2 (r ≥ r2 )r下流の渦管の内部の流体は、外側の流速が変化するか"v=0"]);

vr = 0,vθ =ら、渦管管径も変化し、前節の結果から、渦管内部の流速も変化する。そこで下流の渦管内部の流体の境界条
件は、

vr = 0,vz = U2(r = r2 )ここで r2 は与えられておらず、下記から拡大率：α を得て、得られる。前節同様下記の無次元化するための変数の関係式を使用する。ここで α は、流路径の拡大率であり、σ は、上流の渦強度を表している。
r2 Ω D1E1, η=, σ = D1 k =, δ = ασ
α=
D1
U
E1

(8.8.38) 式に前述の境界条件を代入する。
r = r2 → η = 1、vz /U → U2 /U1 として、次式を得る。
U2 bessel j (2, α σ) α σ bessel j (0, α σ) α σ=−
U1
4 bessel j (1, α σ)
4 bessel j (1, α σ)bessel j (2, α σ) σ
bessel j (0, α σ) σ−+
4 bessel j (1, α σ) α 4 bessel j (1, α σ) α
1
1
+
+
2
2α
2
上式で、U2 /U1 、上流の渦強さ：σ を与えると流路径の拡大率：α が得られるが、Bessel 関数の特異性を考慮して、δ = α σ を変数とすると、

U2
bessel j (0, δ) δ
bessel j (2, δ) δ+=−U1
4 bessel j (1, δ) α2
4 bessel j (1, δ) α2bessel j (2, δ) δ
bessel j (0, δ) δ+−
4 bessel j (1, δ)
4 bessel j (1, δ)
1
1
+
+
2 α2
2
1 G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、7.15 (b) 外側の速度の変化が孤立した渦におよぼす効果 P.553"U2/U1=0.2", "U2/U1=0.4","U2/U1=0.6","U2/U1=0.8","U2/U1=1.2","U2/U1=1.4",
find_root(bessel_j(0,x),x,1,3);
上式から、流路径の拡大率：α を求めると、次式となる。

8.8. 渦度のある三次元軸対称流れ

√
α=

−

(bessel j (2, δ) − bessel j (0, δ)) δ − 2 bessel j (1, δ)
4 bessel j (1, δ) γ + (bessel j (0, δ) − bessel j (2, δ)) δ − 2 bessel j (1, δ)(8.8.43)

ここで γ = U2 /U1 である。上式で、δ = α σ から、上流の渦強度を表す σ を与えれば、流路径の拡大率：α が得られるが、α の関数が U 字型をしており、数値的に求めるのも複雑である。そこで、Bessel 関数の特異性を考慮して、上式そのままの横軸に δ = α σ 、縦軸に α で外側の流速変化と流路径の拡大率の関係：(8.8.43) 式を下図に描いた。ここでは前節の式の仮定条件である軸流
速：vz = 0 の結果も入れた。また、α σ ≈ 2.4 で結果が発散している。これは bessel j (0, α σ) が零になった
ときで、このとき、α σ = 2.404825557695773 である。
このため、安定した渦の結果が得られる外側流速変化は

α σ < 2.4 で vz = 0 の線より下方にある。

図 8.8.12: 外側の流速変化と流路径の拡大率の関係

上図で上流の渦強度を表す σ を与えれば、横軸と縦軸の関係から、原点を通る直線が得られる。この直線と U2 /U1 一定の曲線との交点で vz = 0 の曲線より下方の交点が流路径の拡大率：α である。流路径の拡大率：

α が得られると、前節の結果から、軸流速：vz 分布は(8.8.38) 式から、軸方向渦度：ωz 分布は (8.8.42) 式から
得られる。

515

第8章

516

粘性流体

地球の自転の影響

緯度：LAM 、物体の質量：M 、地球の自転角速度：W 、
xd 軸は南方、yd 軸は東方、zd 軸は鉛直上方とする。
8.9.1 地球の自転を考慮した海表面近くの流
( 2
)
d
xd
(t)
M
れ
d t2
(
)
d
水面：z = 0 から下に無限大の水深があるとする。水=2yd (t) sin (LAM ) M W + Fxd
dt
面に風などによる一定力が作用し、x 軸方向に：µ Sx 、y)( 2
d
軸方向に：µ Sy としたときの粘性流れを求める1 。x-y-z
yd (t) M
d t2
座標軸の各速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：()
dp、粘性係数：µ、動粘性係数：ν 、x 軸方向の外力：X 、= −2
xd (t) sin (LAM ) M W
dt
y 軸方向の外力：Y とする。
()
d−2
zd (t) cos (LAM ) M W + Fyd
dt/* 地球の自転を考慮した海表面近くの流れ */( 2)dkill(all);zd (t) M
d t2
declare(c,complex);
(
)
d
=
2
yd
(t)
cos (LAM ) M W + Fzd
declare(A,complex);dt
declare(u,real);(8.9.1)declare(v,real);
自転している地球の水面近傍の流れでは、zd 関連項を省
assume(A>0,\nu>0,\Omega>0,sin(L[AM])>0);

8.9

MX1:(’diff(xd(t),t,2))*M=2*(’diff(yd(t),t,1))*sin(L[AM])*M*W+F[xd];き、上式の下線部分を外力として考慮する必要がある。
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)

MY1:(’diff(yd(t),t,2))*M=-2*(’diff(xd(t),t,=0;1))*sin(L[AM])*M*W-2*(’diff(zd(t),t,1))

NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w*cos(L[AM])*M*W+F[yd];+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))

MZ1:(’diff(zd(t),t,2))*M=2*(’diff(yd(t),t,+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w1))*cos(L[AM])*M*W+F[zd];+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)+’diff(v,x,2))-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];subst([v=v(z),w=0,X=2*v(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,Y=-2*u(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,u=u(z),p=0],NAV2);ev(%,diff);
NAV21:expand(subst([\mu=\nu*\rho],%)/\rho);

図 8.9.1: 自転している地球に固定した座標

subst([v=v(z),u=u(z),w=0,X=2*v(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,Y=-2*u(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,p=0],NAV3);

自転している地球に固定した座標：xd − yd − zd の運動方程式は、「Maxima を使った質点の力学演習ノート：

2.5.3 自転している地球に固定した座標系の運動方程式、
68 頁、(2.5.1) 式〜(2.5.3) 式」から下記となる。ここで、
1 G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、4.4(a) 自由表面にある層 P.197ev(%,diff);
NAV31:expand(subst([\mu=\nu*\rho],%)/\rho);

8.9. 地球の自転の影響

517

U1:factor(realpart(C4));
V1:factor(imagpart(C4));
u (z) , v (z) を下記の複素数：c (z) に置き換える。
c (z) = i v (z) + u (z)(8.9.2) 式は次式にまとめることができる。
( 2
)
d
0=ν
c (z) − 2 i Ω c (z) sin (LAM )d z2
上式の係数を下記の A で置き換え、A = 2 i Ω sin (LAM )(8.9.3)

図 8.9.2: 海表面近くの流れ

上式に置き換えると、
( 2
)
d
0=ν
c (z) − c (z) A
ところで、上記の xd − yd 軸に合わせ、南方に x 軸、
d z2
東方に y 軸、鉛直上方に z 軸を考える。x, y 軸方向の上式を ode2 関数で解くと、Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、
√
√
z√ A
((
)
(
)
(
)
)
− z√νAddddc (z) = %k1 e ν + %k2 e
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
境界条件として、z → −∞ で流速は零であるから、
d
d2
d2
d
=X +µ
u
+
u
+
u
−
p
%k2 = 0 となり、(8.9.3) 式を代入すると、
d z2
d y2
d x2
dx
((
)
(
)
(
)
)
√
1 √ √
d
d
d
d
2 Ωz
sin(LAM )(−1) 4
√
ρ
v w+v
v +u
v +
v
ν
(8.9.4)c (z) = %k1 e
dz
dy
dx
dt
( 2
)
2
2
d
d
d
d
z = 0 で µ Sx , µ Sy が作用するから、µ ddz u (z) = µ Sx 、
=Y +µ
v+
v+
v −
p
d z2
d y2
d x2
dy
µ ddz v (z) = µ Sy であるから、(8.9.4) 式を z で微分し、上記でコリオリの力は、X = 2 v sin (LAM ) ρ Ω、

Y = −2 u sin (LAM ) ρ Ω とする。ここで Ω は地球の自転角速度とする。また、流速は x, y 軸方向で z の関数となり、u = u (z) , v = v (z) , w = 0, p = 0 で、上式のNavier-Stokes の式は、

)
( 2
d
u
(z)
0 =2 Ω v (z) sin (LAM ) + ν
d z2
( 2
)
d
0 =ν
v (z) − 2 Ω u (z) sin (LAM )d z2

NAV4:expand(NAV21+%i*NAV31);
C1:c(z)=u(z)+%i*v(z);C2:solve(C1,u(z))[1];
subst([C2],NAV4);
NAVC1:expand(ev(%,diff));
A1:2*%i*Omega*c(z)*sin(L[AM])=A*c(z);(8.9.2)i Sy + Sx と置と、
√ √1 √(−1) 4 2 %k1 Ω sin (LAM )√= i Sy + Sx
ν
上式から %k1 をもとめ、√√i ν Sy + ν Sx
%k1 =
√
1 √ √
(−1) 4 2 Ω sin (LAM )(8.9.4) 式に代入すると、下記の流速分布が得られる。
√√(i ν Sy + ν Sx )i v (z) + u (z) =√1 √ √(−1) 4 2 Ω sin (LAM )(8.9.5)√1 √ √(−1) 42×e×(Sy − Sx ) e

subst([A1],NAVC1);
ode2(%,c(z),z);C3:subst([A2,%k2=0],%);diff(rhs(C3),z,1)=S[x]+%i*S[y];subst([z=0],%);
solve(%,%k1)[1];C4:subst([%,C1],C3);sin(LAM )

上式の実部で u (z) が、虚部で v (z) が得られる。
√
νu (z) = − √ √2 Ω sin (LAM )
(
√
√
Ωz

A2:solve(A1,A)[1];

Ωz
√
ν

(√
× sin

sin(LAM )√ν

)√sin (LAM )
√
ν
√
√

Ωz

Ωz

sin(LAM )√ν+ (−Sy − Sx ) e(√))√Ω z sin (LAM )
√
× cos
ν

(8.9.6)

第8章

518
√
ν
v (z) = √ √2 Ω sin (LAM )(√×

plot2d([[discrete,XY1],[discrete,XY2],Ωz(Sy + Sx ) e√[discrete,XY3],[discrete,XY4],

sin(LAM )√ν[discrete,XY5],[discrete,XY6],[discrete,XY7],[discrete,XY8],

(√
× sin

)
√
Ω z sin (LAM )
√
ν
√
√
Ωz

+ (Sy − Sx ) e
(√
× cos

粘性流体

(8.9.7)sin(LAM )√ν))√Ω z sin (LAM )√ν[discrete,XY9]],[y,-0.1,0.1]);
ここで緯度：北緯 45 度、海水温度：20 ℃の動粘性係数：
ν を使用し、流速分布および各水深における流速、流向を下記に示す。粘性の及ぶ水深範囲は 0.6m 程度である
が、実際は表面の撹乱が大きく、粘性の及ぶ水深範囲は
もっと少ない。

Q[U]=’integrate(rhs(U1),z,minf,0);ev(%,integrate);
Q[V]=’integrate(rhs(V1),z,minf,0);ev(%,integrate);
上式を積分して流量を求めると、
∫ 0
ν Sy
QU =
u (z) dz =2 Ω sin (LAM )
−∞

∫ 0
QV =

−∞

v (z) dz = −ν Sx
2 Ω sin (LAM )PL1:subst([L[AM]=%pi/4,\Omega=2*%pi/24/60/60,\nu=1.05*0.000001,S[x]=0,S[y]=1],

図 8.9.3: 海表面近くの流れ (Sx のみ)

rhs(U1));PL2:subst([L[AM]=%pi/4,\Omega=2*%pi/24/60/60,\nu=1.05*0.000001,S[x]=0,S[y]=1],
rhs(V1));
plot2d([PL1,PL2],[z,-1,0]);
XY1:[[0,0],[subst([z=0],PL1),subst([z=0],PL2)]];
XY2:[[0,0],[subst([z=-0.05],PL1),
subst([z=-0.05],PL2)]];
XY3:[[0,0],[subst([z=-0.1],PL1),
subst([z=-0.1],PL2)]];
XY4:[[0,0],[subst([z=-0.15],PL1),
subst([z=-0.15],PL2)]];
XY5:[[0,0],[subst([z=-0.2],PL1),
subst([z=-0.2],PL2)]];
XY6:[[0,0],[subst([z=-0.3],PL1),
subst([z=-0.3],PL2)]];
XY7:[[0,0],[subst([z=-0.4],PL1),
subst([z=-0.4],PL2)]];
XY8:[[0,0],[subst([z=-0.5],PL1),
subst([z=-0.5],PL2)]];
XY9:[[0,0],[subst([z=-0.6],PL1),
subst([z=-0.6],PL2)]];

図 8.9.4: 海表面近くの流れ (Sx のみ)

8.9. 地球の自転の影響

519

図 8.9.5: 海表面近くの流れ (Sy のみ)

図 8.9.8: 海表面近くの流れ (Sx &Sy )図 8.9.6: 海表面近くの流れ (Sy のみ)

図 8.9.7: 海表面近くの流れ (Sx &Sy )

第8章

520

8.9.2

地球の自転を考慮した地面近くの大気の流れ

地上：z = 0 から上に無限大の大気があるとし、大気の圧力差による地面近くの粘性流れを求める1 。x-y-z 座
標軸の各 速度コンポーネントを u, v, w とする。圧力：p、粘性係数：µ、動粘性係数：ν 、x 方向の外力：X と、
y 方向の外力：Y とする。
/* 地球の自転を考慮した大気の流れ */kill(all);declare(c,complex);declare(A,complex);

粘性流体

NAV2:lhs(NAV1)[1][1]=rhs(NAV1)[1][1];NAV3:lhs(NAV1)[2][1]=rhs(NAV1)[2][1];subst([v=v(z),w=0,X=2*v(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,Y=-2*u(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,u=u(z),p=p(x,y)],NAV2);ev(%,diff);
NAV21:expand(subst([\mu=\nu*\rho],%)/\rho);
subst([v=v(z),u=u(z),w=0,X=2*v(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,Y=-2*u(z)*sin(L[AM])*\rho*\Omega,p=p(x,y)],NAV3);ev(%,diff);
NAV31:expand(subst([\mu=\nu*\rho],%)/\rho);declare(u,real);
declare(v,real);
declare(p,real);
assume(A>0,\nu>0,\Omega>0,sin(L[AM])>0);
MX1:(’diff(xd(t),t,2))*M=2*(’diff(yd(t),t,1))*sin(L[AM])*M*W+F[xd];MY1:(’diff(yd(t),t,2))*M=-2*(’diff(xd(t),t,1))*sin(L[AM])*M*W-2*(’diff(zd(t),t,1))*cos(L[AM])*M*W+F[yd];MZ1:(’diff(zd(t),t,2))*M=2*(’diff(yd(t),t,1))*cos(L[AM])*M*W+F[zd];
自転している地球に固定した座標：xd − yd − zd の運図 8.9.9: 地面近くの大気の流れ

動方程式を (8.9.1) 式に示す。ここで、緯度：LAM 、物
体の質量：M 、地球の自転角速度：W 、xd 軸は南 方、

yd 軸は東方、zd 軸は鉛直上方とする。
地球の自転を考慮した地面近くの大気の流れでは、zd関連項を省き、(8.9.1) 式の下線 部分を外力として考慮する必要がある。
MAS1:’diff(w,z,1)+’diff(v,y,1)+’diff(u,x,1)=0;
NAV1:matrix([\rho*((’diff(u,z,1))*w+(’diff(u,y,1))*v+u*(’diff(u,x,1))+’diff(u,t,1))],[\rho*((’diff(v,z,1))*w

ところで、上記の xd − yd 軸に合わせた x, y 軸を考える。x, y 軸方向の Navier-Stokes の式は、
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
u w+
u v+u
u +
u
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=X +µ
u
+
u
+
u −
p
d z2
d y2
d x2
dx
((
)
(
)
(
)
)
d
d
d
d
ρ
v w+v
v +u
v +
v
dz
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
d2
d
=Y +µ
v
+
v
+
v −
p
d z2
d y2
d x2
dy

+v*(’diff(v,y,1))+u*(’diff(v,x,1))+’diff(v,t,1))],[\rho*(w*(’diff(w,z,1))+v*(’diff(w,y,1))+u*(’diff(w,x,1))

上記でコリオリの力は、X = 2 v sin (LAM ) ρ Ω、+’diff(w,t,1))])=matrix([X+mu*(’diff(u,z,2)

Y = −2 u sin (LAM ) ρ Ω とする。ここで Ω は地球の自+’diff(u,y,2)+’diff(u,x,2))-’diff(p,x,1)],

転角速度とする。また、 流速は x, y 軸方向で z の関数[Y+mu*(’diff(v,z,2)+’diff(v,y,2)となり、u = u (z) , v = v (z) , w = 0, p = p(x, y) で、上+’diff(v,x,2))式の Navier-Stokes の式は (8.1.9) 式から、-’diff(p,y,1)],[Z+mu*(’diff(w,z,2)+’diff(w,y,2)+’diff(w,x,2))-’diff(p,z,1)]);

1 G. K. Batchelor：入門 流体力学 18) 、4.4(b) 剛い平面境界での層 P.200

8.9. 地球の自転の影響

521
上式を置き換えると、(
0 =2 Ω v (z) sin (LAM ) + νd− dxp (x, y)ρ

0 = − 2 Ω u (z) sin (LAM ) + ν
−

2

d
u (z)
d z2
(

)

)
d2
c (z)
0 = − c (z) A + ν
d z2
(
)
d
i ddy p (x, y)p (x, y)
−
− dx
ρ
ρ
(

)
d2
v
(z)
d z2

(8.9.8)上式を ode2 関数で解くと、

dd y p (x, y)

√
z√ A

√

− z√ Aνc (z) =%k1 e ν + %k2 e)(
i ddy p (x, y) + ddx p (x, y)−ρAρ

NAV4:expand(NAV21+%i*NAV31);
C1:c(z)=u(z)+%i*v(z);境界条件として、z → ∞ で流速は零であるから、

C2:solve(C1,u(z))[1];%k1 = 0 となり、(8.9.9) 式を代入する と、))( (i i ddy p (x, y) + ddx p (x, y)c (z) =
2 Ω ρ sin (LAM )√1 √ √subst([C2],NAV4);
NAVC1:expand(ev(%,diff));
A1:2*%i*Omega*c(z)*sin(L[AM])=A*c(z);A2:solve(A1,A)[1];−(−1) 42+ %k2 esubst([A1],NAVC1);
ode2(%,c(z),z);Ωz√ν

(8.9.10)sin(LAM )境界条件として、z = 0 で流速は零であるから、))( (i i ddy p (x, y) + ddx p (x, y)+ %k2 = 0
2 Ω ρ sin (LAM )C3:subst([A2,%k1=0],%);
subst([z=0],rhs(%))=0;
solve(%,%k2)[1];C4:subst([%,C1],C3);

上式から %k2 を求め、

U1:factor(realpart(C4));
V1:factor(imagpart(C4));QU1:Q[U]=’integrate(rhs(U1),z,0,inf);%k2 =ev(%,integrate);dd y p (x, y) − i( dd x p (x, y))

2 Ω ρ sin (LAM )(8.9.10) 式に代入すると、
(
( d
))
d
d y p (x, y) − i d x p (x, y)i v (z) + u (z) =2 Ω ρ sin (LAM )√1 √ √QV1:Q[V]=’integrate(rhs(V1),z,0,inf);
ev(%,integrate);
subst([’diff(p(x,y),x,1)=0],QU1);
ev(%,integrate);−(−1) 4×e

subst([’diff(p(x,y),x,1)=0],QV1);
ev(%,integrate);+

subst([’diff(p(x,y),y,1)=0],QU1);

2

Ωz
√
ν

sin(LAM )( ())
i i ddy p (x, y) + ddx p (x, y)
2 Ω ρ sin (LAM )ev(%,integrate);
subst([’diff(p(x,y),y,1)=0],QV1);
ev(%,integrate);u (z) , v (z) を下記の複素数：c (z) に置き換 える。

上式の実部で u (z) が、虚部で v (z) が得られる。
√√−

c (z) = i v (z) + u (z)(8.9.8) 式は次式にまとめることができる。
(

d2
c (z)
d z2

)

0 = − 2 i Ω c (z) sin (LAM ) + ν()
di ddy p (x, y)p (x, y)
−
− dx
ρ
ρ

sin(LAM )√(8.9.11)上式の係数を下記の A で置き換え、A = 2 i Ω sin (LAM )Ωzνeu (z) = −2 Ω ρ sin (LAM )
((
(√
)
√
)
Ω z sin (LAM )d√×p (x, y) sin
dx
ν
(√
)
√
(
)
Ω z sin (LAM )d√−p (x, y) cosdyν() √Ω z √sin(L ) )
AM
d
√
ν
+
p (x, y) edy

(8.9.9)

第8章

522
√

−

Ωz

粘性流体

√

sin(LAM )√ν
ev (z) = −2 Ω ρ sin (LAM )
((
(√
)
√
)
Ω z sin (LAM )d√×p (x, y) sin
dy
ν
(√
)
√
(
)
Ω z sin (LAM )d√+p (x, y) cosdxν
() √Ω z √sin(L ) )
AM
d
√
ν
−
p (x, y) edx

(8.9.12)plot2d([[discrete,XY1],[discrete,XY2],[discrete,XY3],[discrete,XY4],[discrete,XY5],[discrete,XY6],[discrete,XY7],[discrete,XY8],[discrete,XY9]],[y,-40,40]);
ここで緯度：北緯 45 度、大気温度：20 ℃の動粘性係数：
ν を使用し、流速分布および各高度における流速、流向を下記に示す。粘性の及ぶ高度範囲は 3m 程度であるが、実際は表面の撹乱が大きく、粘性の及ぶ高度範囲はもっと少ない。

上式を積分して流量を求めると、 ddx p (x, y) = 0 の時、

QV = −)√ ( dν d y p (x, y)
3

3

4 Ω 2 ρ sin (LAM ) 2dd y p (x, y) = 0 の時、

QU = −)√ ( dν d x p (x, y)
3

3

4 Ω 2 ρ sin (LAM ) 2

PL1:subst([L[AM]=%pi/4,\Omega=2*%pi/24/60/60,\nu=15.01*0.000001,\rho=0.1228,’diff(p(x,y),y,1)=-0.0003,’diff(p(x,y),x,1)= -0.0000],rhs(U1));
PL2:subst([L[AM]=%pi/4,\Omega=2*%pi/24/60/60,\nu=15.01*0.000001,\rho=0.1228,

図 8.9.10: 地表面近くの流れ ( ddx p (x, y) = 0 の時)’diff(p(x,y),y,1)=-0.0003,’diff(p(x,y),x,1)= -0.0000],rhs(V1));
plot2d([PL1,PL2],[z,0,5]);
XY1:[[0,0],[subst([z=0.05],PL1),
subst([z=0.05],PL2)]];
XY2:[[0,0], [subst([z=0.25],PL1),
subst([z=0.25],PL2)]];
XY3:[[0,0],[subst([z=0.5],PL1),
subst([z=0.5],PL2)]];
XY4:[[0,0],[subst([z=0.75],PL1),
subst([z=0.75],PL2)]];
XY5:[[0,0],[subst([z=1],PL1),
subst([z=1],PL2)]];
XY6:[[0,0],[subst([z=1.5],PL1),
subst([z=1.5],PL2)]];
XY7:[[0,0],[subst([z=2],PL1),
subst([z=2],PL2)]];
XY8:[[0,0],[subst([z=2.5],PL1),
subst([z=2.5],PL2)]];
XY9:[[0,0],[subst([z=5],PL1),
subst([z=6],PL2)]];

図 8.9.11: 地表面近くの流れ ( ddx p (x, y) = 0 の時)

8.10. 粘性流数値解析

8.10

523

粘性流数値解析

ここで流れ関数：Ψ を導入する。流れ関数と流速：u, vとの関係式は、(5.1.1) 式、88 頁から

8.10.1渦度方程式を用いた二次元粘性流数
値解析

u=

d
Ψ,
dy

v=−

d
Ψ
dx

(8.10.3)

非圧縮性粘性流れの基礎方程式は、Navier-Stokes の連続の方程式：(8.10.2) 式に上式を代入すると、次式と方程式と連続の方程式である。二次元の x − y 座標の速なり、流れ関数：Ψ を導入することで、連続の方程式は度コンポーネントを u, v 、渦度を ω 、時間を t、動粘性

自動的に満足される。
(
)
d
d2
d
−
Ψ +
Ψ=0
dy
dx
dxdy

係数を ν とする。二次元の Navier-Stokes の二つの方程式を渦度方程式で表現すると (8.1.34) 式、338 頁から一つの方程式となり、圧力項もなくなる。以上から基礎方
程式は下記の渦度方程式：
(
)
(
)
d
d
d
ω v+
ω u+
ω
dy
dx
dt
( 2
)
d
d2
=ν
ω+
ω
d y2
d x2

渦度は (8.1.27) 式から次式となり、これを流れ関数：Ψ
で表現すると、(8.10.1)

連続の方程式：

d
d
v+
u=0
dy
dx

(8.10.2)

これを基に差分法で数値計算をする方法を以下に述べる。
/* 粘性数値解析 */kill(all);

ω=

d
d
d2
d2
v−
u=− 2 Ψ−
Ψ
dx
dy
dy
d x2

(8.10.4)

渦度方程式：(8.10.1) 式を書き換えて、
(
)
(
)
d
d
d
ω =−
ω v−
ω u
dt
dy
dx
( 2 )
( 2 )
d
d
+ν
ω +ν
ω
2
dy
d x2

(8.10.5)

上式を代表の長さ：L、流速：U 、レイノルズ数：Rn =U L/ν で無次元化し、

depends(y,[t]);ΨL, ω′ = ω ,ULUyxx′ = , y ′ =LLdepends(z,[t]);流れ関数と流速：u, v との関係式は、(8.10.3) 式から、

load("vect")$
depends(x,[t]);Ψ′ =depends(u,[t,x,y,z]);depends(v,[t,x,y,z]);

u′ =

d
Ψ′ ,
d y′

u′ =

u
,
U

v′ =

v
,
U

d
Ψ′
d x′

(8.10.6)

d2
d2
′
Ψ
−
Ψ′
d y′ 2d x′ 2(8.10.7)v′ = −

depends(w,[t,x,y,z]);depends(p,[x,y,z]);depends(\omega,[t,x,y]);depends(\Psi,[t,x,y]);declare(z,complex);declare(c,complex);declare(F,complex);
U1:u=diff(\Psi,y,1);V1:v=-diff(\Psi,x,1);
MAS1:diff(u,x,1)+diff(v,y,1)=0;

渦度は (8.10.4) 式から、

ω′ = −

渦度方程式は (8.10.5) 式から、
(
)
(
)
d ′
d ′
d ′
′
ω v −
ω u′
ω =−
dt
d y′
d x′
)
) (8.10.8)
( 2
( 2
1
1
d
d
′
′
+
ω
+
ω
Rn d y ′ 2
Rn d x ′ 2

subst([U1,V1],%);
VOR1:omega=’diff(v,x,1)-’diff(u,y,1);Y1:y=A*x^2+B*x+C;

subst([U1,V1],%);

Y11:subst([x=-dx,y=y[-1]],Y1);

VOR3:ev(%,diff);

Y12:subst([x=0,y=y[0]],Y1);

NAV1:(’diff(omega,y,1))*v+(’diff(omega,x,1))*u+’diff(omega,t,1)=nu*(’diff(omega,y,2)

Y13:subst([x=dx,y=y[1]],Y1);+’diff(omega,x,2));’diff(lhs(Y1),x,1)[0]=subst([x=0],

NAV2:solve(%,’diff(omega,t,1))[1];diff(rhs(Y1),x,1));

YABC:solve([Y11,Y12,Y13],[A,B,C])[1];

第8章

524

DY0:subst(YABC,%);’diff(lhs(Y1),x,1)[1]=subst([x=dx],diff(rhs(Y1),x,1));
DY1:factor(subst(YABC,%));
Y1D:solve(%,y[1])[1];’diff(lhs(Y1),x,2)[0]=subst([x=0],
diff(rhs(Y1),x,2));
DDY0:subst(YABC,%);’diff(lhs(Y1),x,2)[1]=subst([x=dx],diff(rhs(Y1),x,2));
DDY1:subst(YABC,%);
微分方程式を dx, dy 間隔のメッシュ上で解くため、三粘性流体

端点：x = dx の一階微分は、)(
3 y1 − 4 y0 + y−1
dy = B + 2 dx A =
dx
2 dx
1
端点：x = dx の一階微分を与えたときの端点の値は、()
2 ddx y 1 dx + 4 y0 − y−1y1 =3
中心点：x = 0 の二階微分は、( 2 )dy1 − 2 y0 + y−1
y = 2A =
2
dx
dx2
0

/* セル計算式 */VORI1:\omega[i]=-((\Psi[i+1,j]-2*\Psi[i,j]点間を下記の二次式で近似する。

+\Psi[i-1,j])/dx^2)-((\Psi[i,j+1]
2

y = C + xB + x A-2*\Psi[i,j]+\Psi[i,j-1])/dy^2);

x = −dx, x = 0, x = dx の三点の y の値：y−1 , y0 , y1 とすると、(\omega[i,j,N]-\omega[i,j])/dt=-(-(\omega[i,j-1]-\omega[i,j+1])/(2*dy))*v[i,j]-(-(\omega[i-1,j]-\omega[i+1,j])y−1 = C − dx B + dx2 A,

y0 = C/(2*dx))*u[i,j]+\nu*((\omega[i,j+1]-2*\omega[i,j]+\omega[i,j-1])/dy^2)y1 = C + dx B + dx2 A+\nu*((\omega[i+1,j]-2*\omega[i,j]+\omega[i-1,j])/dx^2);

上式から A, B, C を求めると、

NAVI1:subst([\nu=1/R[n]],%);

y1 − 2 y0 + y−1
y−1 − y1A=
,B = −, C = y0
2
2 dx
2 dx
中心点：x = 0 の一階微分は、)(
y−1 − y1d
y =B=−dx
2 dx
0

PSII2:solve(VORI1,Psi[i,j])[1];
NAVI2:\omega[i,j,N]=\omega[i,j]+dt*(rhs(NAVI1));
U2:u[i,j]=-(\Psi[i,j-1]-\Psi[i,j+1])/(2*dy);
V2:v[i,j]=(\Psi[i-1,j]-\Psi[i+1,j])/(2*dx);

上式を基に、渦度：(8.10.7) 式、渦度方程式：(8.10.8) 式を差分表示すると次式となる。以降、煩雑となる ′ を除いて表す。

ωi = −

Ψi,j+1 − 2 Ψi,j + Ψi,j−1Ψi+1,j − 2 Ψi,j + Ψi−1,j
−
2
dx
dy 2

ωi,j,N − ωi,j ωi+1,j − 2 ωi,j + ωi−1,jωi,j+1 − 2 ωi,j + ωi,j−1
=
+
2
dt
dx Rn
dy 2 Rnui,j (ωi+1,j − ωi−1,j ) vi,j (ωi,j+1 − ωi,j−1 )
−
−
2 dx
2 dy
上式を書き換え、Ψi,j , ωi,j , ui,j , vi,j を求める式は下記となる。ここで、ωi,j,N は新しく得られた渦度：ω である。

dy 2 Ψi+1,j + dx2 Ψi,j+1 + dx2 Ψi,j−1 + dx2 dy 2 ωi + dy 2 Ψi−1,j2 dy 2 + 2 dx2(
ωi+1,j − 2 ωi,j + ωi−1,jωi,j+1 − 2 ωi,j + ωi,j−1
ωi,j,N =dt+
dx2 Rndy 2 Rn)ui,j (ωi+1,j − ωi−1,j ) vi,j (ωi,j+1 − ωi,j−1 )−−+ ωi,j
2 dx
2 dy

Ψi,j =

ui,j =

Ψi,j+1 − Ψi,j−1,
2 dyvi,j =

Ψi−1,j − Ψi+1,j
2 dx(8.10.9)(8.10.10)(8.10.11)

8.10. 粘性流数値解析

525/* 流れ関数：Psi 境界条件 */\omega[i,j]=-(2*\Psi[i,j+1]-2*\Psi[i,j])/* 下部境界 *//dy^2;\Psi[i,1]=0;/* 垂直境界 *//* 流入口境界 */VOR1;

U=-(\Psi[1,j-1]-\Psi[1,j])/(dy);subst([u=0,V1],%);

solve(%,\Psi[1,j])[1];ev(%,diff);/* 下部境界 */\omega[i,j]=-(2*\Psi[i+1,j]-2*\Psi[i,j])\Psi[i,N]=dy*U+Psi[1,N-1];/dx^2;/* 流出口境界 *//* 流出口境界 */v=-’diff(\Psi,x,1);
diff(%,x,1);

diff(\omega,x,2)=0;(\omega[N,j]-2*\omega[N-1,j]+\omega[N-2,j])lhs(%)=0;/dx^2=0;(’diff(\Psi,x,2))[1]=(\Psi[N,j]solve(%,\omega[N,j])[1];渦度の境界条件として、粘性の影響を受けていない場所-2*\Psi[N-1,j]+\Psi[N-2,j])/dx^2;

は渦度は零となる。このため、入り口境界や固定壁でな

rhs(%)=0;

い上下境界では、渦度は零となる。

solve(%,Psi[N,j])[1];流れ関数：Ψ の境界条件として、流線となる境界は Ψ が水平壁の境界では、v = 0 となり、渦度を流れ関数：Ψ

’diff(\Psi,x,2)=0;

一定となる。そこで、上下境界では、

Ψi,1 = 0(at y = 0)

Ψi,M = U × yM

(at y = yM )入り口境界では、一様流：U となるので、

U=Ψ1,j − Ψ1,j−1dyから、

Ψ1,j = dy U + Ψ1,j−1
出口境界では、下記となり、

d
v=0
dx
v を流れ関数で表現すると、(8.10.6) 式から、
dd2
v=− 2Ψ=0dx
dx
上式を差分表記すると、
(

d2
Ψ
d x2

)
=
1

ΨN,j − 2 ΨN −1,j + ΨN −2,j=0dx2で表現すると、

ω=

d
d
d2
v−
u=− 2Ψ
dx
dydy

上式を差分表記すると、水平壁の境界の渦度は、
2 Ψi,j − 2 Ψi,j+1
ωi,j =
dy 2
垂直壁の境界では、u = 0 となり、渦度を流れ関数：Ψ
で表現すると、

d
ω=
dx

(

d
−
Ψ
dx

)
=−

d2
Ψ
d x2

上式を差分表記すると、垂直壁の境界の渦度は、
2 Ψi,j − 2 Ψi+1,j
ωi,j =
dx2
出口境界では、下記とし、

d2
ω=0
d x2
上式を差分表記すると、
ωN,j − 2 ωN −1,j + ωN −2,j=0dx2
以上から、出口の渦度：ωN,j は、
ωN,j = 2 ωN −1,j − ωN −2,j以上から、出口の流れ関数：ΨN,j は、

ΨN,j = 2 ΨN −1,j − ΨN −2,j/* 壁との干渉 */F0:F=-(A^2*B^2*U)/(conjugate(c)^2*(z-c))-(A^2*B^2*U)/(conjugate(c)^2*(z))/* 渦度境界条件 */+(B^2*U)/(z-c)+(A^2*U)/z+z*U;/* 流入口境界 */F01:subst([A=R,B=R,c=%i*H*n],%);\omega[1,j]=0;

F02:subst([A=R,B=R,c=-%i*H*n],/* 水平境界 */rest(rhs(F0),-2));

VOR1;

F1:lhs(F01)=rhs(F01)+F02;

subst([v=0,U1],%);

UI:u-%i*v=diff(rhs(F1),z,1);

第8章

526

粘性流体

対称軸を中心に、上下に N 個の円を置いたとき、x 軸方向の流速：u は、半径：R の位置では、
(N
∑
R4 U
R2 U
u=
+
2
2
2
2
(R + n H)
n=1 n H (R + n H)
)
R4 U
R2 U
+
+
+ 2U
2
2
n2 H 2 (R − n H)
(R − n H)

UI1:realpart(subst([z=%i*R],UI));UI11:rest(rhs(UI1),-2);
UI10:rest(rhs(UI1),5);
UI2:u=sum(UI11,n,1,N)+UI10;
subst([N=10],%);
ev(%,sum);
float(subst([H=6*R],%));
UI1:realpart(subst([z=%i*H/2],UI));

二円間の中間位置： 21 H の位置では、

UI11:rest(rhs(UI1),-2);
UI10:rest(rhs(UI1),5);
UI2:u=sum(UI11,n,1,N)+UI10;u=

subst([N=10],%);
ev(%,sum);
float(subst([H=6*R],%));

(N
∑

R4 U
R4 U
+
(
)
(
)2
2
2 nH + H 2
n2 H 2 H
n=1 n H2
2 − nH)
8 R4 U
R2 U
R2 U+ 2 4 +(
)2 + ( H)2n HnH + H− nH
2

2

4 R2 U++U
H2

F03:subst([B=0,A=R],F0);
UI3:u-%i*v=diff(rhs(F03),z,1);
realpart(subst([z=%i*R],UI3));

上記を基に試算すると、

float(realpart(subst([z=%i*R*3],UI3)));
ある限られた数値解析範囲の中の物体まわりの粘性流

円間隔を求める場合、境界の影響を受ける。その度合いを知るため、物体を円とし、壁の影響を壁に対称においた円で表現する。二つの円の流れを表す複素関数：F は、例題

5.3.10「一様流中に置かれた二つの円柱に作用する相互力」の (5.3.55) 式、141 頁から下記となる。ここで、半円の相互干渉

単円

3R

2.48U

2.0U

4R

2.23U

2.0U

6R

2.09U

2.0U

表 8.10.1: 半径：R 位置の流速

径：A を原点に、半径：B を c に置き、一様流：U と
する。

円間隔

A2 B 2 UF =−2conjugate (c) (z − c)
A2 U
B2 U
+
+zU
+
z−c
z

−

A2 B 2 U
2conjugate (c) z

単円

3R

2.29U

1.44U

4R

1.67U

1.25U

6R

1.28U

1.11U

表 8.10.2: 12 H の位置の流速

円の半径：R、円の間隔：nH とし、c = inH 、c = −inHの位置に円を置いたとき、複素関数：F は、円の相互干渉以上から、最低限、4R、即ち、物体と物体の間に物

R4 U
R4 U
+ 2 2
F = 2 2n H (i n H + z) n H (z − i n H)
2 R4 U
R2 U
R2 U
+ 2
+
+
n z H2
inH + zz − inH
2
R U
+
+zU
z

体の大きさと同じ程度以上、離す必要があることが分かる。

このとき、流速：u − i v は、

u − iv = −

R4 U

2 −

R4 U
2

n2 H 2 (i n H + z)
n2 H 2 (z − i n H)
2
4
R U
R2 U
2R U
−
− 2 2 2−2
2n z H
(i n H + z)
(z − i n H)
−

R2 U
+U
z2

図 8.10.1: 垂直平板の流れ

境界条件

8.10. 粘性流数値解析

527

垂直平板まわりの粘性流れを、上記の粘性数値解析

垂直平板で Rn = 1 の場合、平板の後方に小さな後流
12Hで求める。x 軸方向に 80 メッシュ、y 軸方向に 50 メッ域が発生しており、対称軸上の流速は表 8.10.2

シュの計算領域を設け、垂直平板として、x 軸方向に 2の位置の流速に近い。垂直平板で Rn = 10 の場合、平メッシュ、y 軸方向に半幅：20 メッシュとした。計算は、 板の後方の後流域は x 軸方向に長くなり、後流域が大き

Excel の繰り返し計算機能を用いて粘性流を求めた。境く、長くなり、渦度も Rn = 1 に比べ強くなっている。

界条件を上記に示す。垂直平板で Rn = 1, 10, 100 の計算結果と前方が半円の物体で、Rn = 100 の計算結果を以下に示す。

図 8.10.2: 垂直平板

Rn = 1 流線

図 8.10.6: 垂直平板

Rn = 10 流線

図 8.10.3: 垂直平板

Rn = 1 渦度

図 8.10.7: 垂直平板

Rn = 10 渦度

図 8.10.4: 垂直平板

Rn = 1 流速：u

図 8.10.8: 垂直平板

Rn = 10 流速：u

図 8.10.5: 垂直平板

Rn = 1 流速：v

図 8.10.9: 垂直平板

Rn = 10 流速：v

第8章

528

粘性流体

前方が半円で Rn = 100 の場合、平板と同様に後方の垂直平板で Rn = 100 の場合、平板の後方の後流域は
x 軸方向に長く、y 軸方向にも外へ大きくせり出し、そ後流域は x 軸方向に長く、それが帯状に後方に続いていれが帯状に後方に続いている。渦度は Rn = 1, 10 に比るが、端部での流れがよりスムースとなっているため、

べ更に強く、平板後方の逆流流速も強くなっている。

y 軸方向へのせり出しは平板に比べ少ない。

図 8.10.10: 垂直平板

Rn = 100 流線

図 8.10.14: 半円

Rn = 100 流線

図 8.10.11: 垂直平板

Rn = 100 渦度

図 8.10.15: 半円

Rn = 100 渦度

図 8.10.12: 垂直平板

Rn = 100 流速：u

図 8.10.16: 半円

Rn = 100 流速：u

図 8.10.13: 垂直平板

Rn = 100 流速：v

図 8.10.17: 半円

Rn = 100 流速：v

529

第 9 章 表面波9.1

自由表面条件波の表面を表す条件式について調べる。

remove (y, dependency);
remove (z, dependency);/* Bernoulli の定理 */BE1:p/\rho+diff(\Phi,t,1)+g*z

9.1.1

三次元自由表面条件

波のない平衡状態での水面を x 軸、y 軸とし、鉛直上方に z 軸をとる。波高：η とする。時間:t、密度：ρ、重力加速度：g とする。

+(diff(\Phi,x,1)^2+diff(\Phi,y,1)^2+diff(\Phi,z,1)^2)/2=F(t);subst([p=p[0],F(t)=p[0]/\rho,g*z=g*\eta],%);
BE2:expand(solve(%,\eta)[1]);FS3:first(lhs(FS2))+last(lhs(FS2))=
rhs(FS2);
BE3:lhs(BE2)=last(rhs(BE2));
diff(BE3,t,1);
FS4:subst([%],FS3);
非圧縮性流体で、速度ポテンシャル：Φ とすると、質図 9.1.1: 三次元波座標系

量保存の方程式は、(2.9.2) 式、32 頁から次式となる。

d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d y2
d x2
/* 自由表面条件 U=0*/(9.1.1)

変形する水面を下記で表す。

kill(all);load("vect")$
depends(\Phi,[x,y,z,t]);depends(\eta,[x,y,t]);depends(x,[t]);depends(y,[t]);depends(z,[t]);assume(t>0);/* 質量保存の方程式 */PH1:diff(\Phi,x,2)+diff(\Phi,y,2)+diff(\Phi,z,2)=0;/* 表面条件 */FS1:z-\eta=0;
diff(FS1,t,1);
subst([’diff(x,t,1)=u,’diff(y,t,1)=v,’diff(z,t,1)=w],%);
FS2:subst([u=diff(\Phi,x,1),v=diff(\Phi,y,1),w=diff(\Phi,z,1)],%);
remove (x, dependency);

F (x, y, z, t) = z − η = 0
運動学的条件として、上式の実質微分をとり、ここで ηが x, y, t の関数であるから、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
z−
η
y −
η
x
dt
dy
dt
dx
dt
d
−
η=0
dt

x 軸方向の流速： ddt x = u = ddx Φ、y 軸方向の流速：ddddd t y = v = d y Φ、z 軸方向の流速： d t z = w = d z Φであるから、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
Φ−
η
Φ −
η
Φ
dz
dy
dy
dx
dx
d
−
η=0
dt
(9.1.2)

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(2.9.3)
式、33 頁から次式となる。
( d )2 ( d ) 2 ( d )2
+ dy Φ + dx Φdz Φpdg z+ ++
Φ = F (t)ρ2dt
(9.1.3)

第9章

530
表面圧力：p は変化しないので、p = p0 とし、z = ηとして、波高：η を求めると、(dΦ
η = − dz
2g

(

)2
−

d
dy Φ

2g

)2

9.1.2

表面波

一様流のある自由表面条件

一様流速：U がある場合の自由表面条件について、調

( d

dx Φ

−

2g

)2

d

− dt
g

Φ

べる。x 軸方向に一様流速：U があり、波のない平衡状(9.1.4)態での水面を x 軸、y 軸とし、鉛直上方に z 軸をとる。
波高：η 、密度：ρ、重力加速度：g とする。

いま、波高が十分小さいとすると、(9.1.2) 式の水面の運動学的条件の高次の微小項を省き、

d
d
Φ−
η=0
dz
dt

(9.1.5)

また、(9.1.4) 式の Bernoulli の定理の高次の微小項を省き、dη = − dtgΦ(9.1.6)

図 9.1.2: 三次元波座標系

上式を t で微分し、
2

d
d
2 Φ
η = − dt
dt
g/* 自由表面条件 U：あり */kill(all);(9.1.5) 式に代入すると、微小振幅の自由表面条件は次式となる。

depends(\Phi,[x,y,z,t]);

2

d
d
2 Φ
Φ + dt=0dzgload("vect")$(9.1.7)

depends(\phi,[x,y,z]);depends(\eta,[x,y]);depends(x,[t]);depends(y,[t]);depends(z,[t]);assume(t>0);PH0:\Phi=U*x+\phi;/* 質量保存の方程式 */PH1:diff(\Phi,x,2)+diff(\Phi,y,2)+diff(\Phi,z,2)=0;
subst([PH0],%);
PH2:ev(%,diff);/* 表面条件 */FS1:z-\eta=0;
diff(FS1,t,1);
subst([’diff(x,t,1)=diff(\Phi,x,1),’diff(y,t,1)=diff(\Phi,y,1),’diff(z,t,1)=diff(\Phi,z,1)],%);
subst([PH0],%);
FS2:expand(ev(%,diff));
remove (x, dependency);
remove (y, dependency);
remove (z, dependency);/* Bernoulli の定理 */BE1:p/\rho+diff(\Phi,t,1)+g*z+(diff(\Phi,x,1)^2+diff(\Phi,y,1)^2+diff(\Phi,z,1)^2)/2=F(t);9.1. 自由表面条件531
上式に (9.1.8) 式を代入するとsubst([p=p[0],F(t)=p[0]/\rho+U^2/2,g*z(=g*\eta],%);
subst([PH0],%);

U + ddx ϕ

)2

+

(d

dz ϕ

)2

(
+

d
dy ϕ

)2
+

2

ev(%,diff);
BE2:expand(solve(%,\eta)[1]);p0
U 2 p0+η g =+
ρ2ρ

波高：η を求めると、

FS3:rest(lhs(FS2),-2)=rhs(FS2);( d)( d )2ϕ
dx ϕ U
η=−
− dz
−
g
2g

BE3:lhs(BE2)=first(rhs(BE2));
diff(BE3,x,1);

(

d
dy ϕ

)2

2g

FS4:subst([%],FS3);
一様流速：U がある速度ポテンシャル：Φ は、次式で表現できる。

Φ = xU + ϕ(9.1.8)非圧縮性流体で、速度ポテンシャル：Φ とすると、質の運動学的条件の高次の微小項を省き、
(
)
d
d
ϕ−
η U =0
dz
dx

( d
η=−

上式に (9.1.8) 式を代入すると新たな質量保存の方程

dx ϕ

)

U

(9.1.13)(9.1.14)

g
(

2

d
η=−
dx

(9.1.9)

変形する水面を下記で表す。

d2
d x2 ϕ)Ug(9.1.13) 式に代入すると、微小振幅の自由表面条件は

F (x, y, z) = z − η = 0
運動学的条件として、上式の実質微分をとり、ここで η次式となる。
( 2

が x, y の関数であるから、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
z−
η
y −
η
x =0
dt
dy
dt
dx
dt
(9.1.10)x 軸方向の流速： ddt x = u = ddx Φ、y 軸方向の流速：ddddd t y = v = d y Φ、z 軸方向の流速： d t z = w = d z Φであるから、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
Φ−
η
Φ −
η
Φ =0
dz
dy
dy
dx
dx
上式に (9.1.8) 式を代入すると自由表面の運動学的条
件は下記となる。
(
)
(
)(
)
d
d
d
d
−
η U+
ϕ−
η
ϕ
dx
dz
dy
dy
(
)(
)
d
d
−
η
ϕ =0
dx
dx

2g
(9.1.12)上式を x で微分し、式は次式となる。

d
d
d
ϕ+
ϕ+
ϕ=0
d z2
d y2
d x2

)2

また、(9.1.12) 式の Bernoulli の定理の高次の微小項
を省き、

d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d y2
d x2

2

−

dx ϕ

いま、波高が十分小さいとすると、(9.1.11) 式の水面

量保存の方程式は、(9.1.1) 式から次式となる。

2( d(9.1.11)

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(2.9.3)
式、33 頁から次式となる。
( d ) 2 ( d ) 2 ( d )2
+ dy Φ + dx Φdz Φpdg z+ ++
Φ = F (t)ρ2dt
表面圧力：p は変化しないので、p = p0 とし、z = η 、
一様流速：U があるとして、( d ) 2 ( d ) 2 ( d )2
+ dy Φ + dx Φ
dz Φ
p0
d
U 2 p0++ Φ+η g =
+
ρ
2
dt
2
ρ

d
d x2 ϕ

g

)

U2
+

d
ϕ=0
dz

(9.1.15)

第9章

532

9.2

二次元微小振幅進行波

液面に出来る、一方向に伝わっていく波の運動で波高が小さい場合について調べる。

表面波/* 質量保存 */subst([PHT2],PH1);ev(%,diff);
PH11:expand(%/a/b/c);
PH12:first(lhs(PH11))=k^2;9.2.1

微小振幅波の速度ポテンシャル

波のない平衡状態での水面を x 軸とし、鉛直上方に y軸をとる。水底の深さを h、水面の高さ：η 、時間:t、x軸方向の流速:u、y 軸方向の流速:v 、圧力：p、波の振動
円周波数：ω 、波長:L、波高の片振幅:A、密度：ρ、重力PH13:-last(lhs(PH11))=k^2;
PHA1:ode2(PH13,a,x);
PHB1:ode2(PH12,b,y);
速度ポテンシャル：Φ とすると、二次元の質量保存の方程式は、(9.1.1) 式から次式となる。

加速度：g とする。

d2
d2
Φ
+
Φ=0
d y2
d x2

(9.2.1)(9.1.6) 式から波高：η は、dη = − dtgΦ(9.2.2)(9.1.7) 式から、自由表面条件は、
2

d
d
2 Φ
Φ + dt=0dyg

図 9.2.1: 二次元波座標系(9.2.3)

いま、速度ポテンシャルとして、変数分離法で次式を考える。ここで、a, b, c は a = a(x), b = b(y), c = c(t)/* 微小振幅進行波 No.2*/の関数とする。

Φ = abckill(all);load("vect")$(9.2.4)(a) 質量保存の方程式

depends(\Phi,[x,y,z,t]);depends(\eta,[x,t]);

上式を質量保存の方程式：(9.2.1) 式に代入し、depends(\phi,[y]);d2d y2 bdepends(p,[x,y,t]);bdepends(u,[x,y,t]);depends(a,[x]);depends(b,[y]);depends(c,[t]);assume(k>0);
assume(t>0);
assume(L>0);

d2
2

+ dx
a

a

=0

整理して、右辺を k 2 と置くと、
d2
d y2 bbd2= k2 ,

− dx
a

2

a

= k2

上式をそれぞれ ode2 関数で解くと、

a = %k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)(9.2.5)b = %k1 ek y + %k2 e−k y(9.2.6)

assume(\omega>0);
assume(A>0);
assume(g>0);(9.2.5) 式、(9.2.6) 式を (9.2.4) 式に代入すると、assume(h>0);/* 境界条件 */PH1:diff(\Phi,x,2)+diff(\Phi,y,2)=0;
PH3:’diff(\Phi,y,1)+’diff(\Phi,t,2)/g=0;
Y1:\eta=-’diff(\Phi,t,1)/g;
PHT2:\Phi=a*b*c;

Φ =c (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)))(
× %k1 ek y + %k2 e−k y(9.2.7)

9.2. 二次元微小振幅進行波533(b) 底の条件
subst([%k1=%c1,%k2=%c2],%);
PHT41:subst([%],PHT4);/* 底の条件 */(9.2.8) 式を自由表面条件：(9.2.3) 式に代入し、y = 0

PHT3:subst([PHA1,PHB1],PHT2);とし、整理すると、

diff(PHT3,y,1);(

subst([y=-h],rhs(%))=0;c=−

C0:expand((%k1*k*%e^(-h*k)-%k2*k*%e^(h*k))/k)=0;)d2
d t2 ccosh (h k)g k sinh (h k)

いま、下記とすると、

C1:C=first(lhs(C0));C2:C=-last(lhs(C0));ω2 =C11:solve(C1,%k1)[1];C21:solve(C2,%k2)[1];

g k sinh (h k)= g k tanh (h k)cosh (h k)(9.2.10)

上式から、

subst([C11,C21],PHB1);d2

c = − dt2
ω
上式を ode2 関数で解くと、
2

B4:b=C*cosh(k*(y+h));
PHT4:subst([B4,PHA1],PHT2);底の条件として、底面：y = −h で、y 軸方向の流速：v は、零であるから、()
dv=
Φ =c %k1 k e−h k − %k2 k eh kdycc = %c1 sin (ω t) + %c2 cos (ω t)
上式を (9.2.8) 式に代入すると、速度ポテンシャル：Φ
の一般解は、× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) = 0

Φ = (%c1 sin (ω t) + %c2 cos (ω t))× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))

以上から、(9.2.11)× cosh (k (y + h)) C%k1 e−h k − %k2 eh k = 0(d) 波振幅：A の導入

上式を解いて、%k1 = eh k C%k2 = e−h k C/* 波振幅：A の導入 */subst([PHT41],Y1);

上式を (9.2.6) 式に代入し、

ev(%,diff);b = cosh (k (y + h)) C

Y5:factor(subst([y=0],%));

上式および (9.2.5) 式を (9.2.4) 式に代入すると、速度

A5:A=cosh(h*k)*\omega*C/g;
A51:solve(%,C)[1];

ポテンシャル：Φ は、

Y51:subst([%],Y5);
Φ =c (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))
× cosh (k (y + h)) C(9.2.8)limit(%,h,inf);
ev(%,limit);

ここで、

k=

2π
L

(c) 自由表面条件

PHT42:subst([A51],PHT41);(9.2.9)

PHT43:ev(%,limit);
OM21:limit(OM2,h,inf);
K1:k*L=2*%pi;
K2:solve(%,k)[1];/* 自由表面条件 *//* 進行波 */subst([PHT4],PH3);

trigreduce(PHT42);ev(%,diff);\Phi=-((g*cos(k*x+omega*t)*cosh(k*y+h*k)*A)

subst([y=0],%);/(2*omega)+(g*cos(k*x-omega*t)

C4:solve(%,c)[1];*cosh(k*y+h*k)*A)/(2*omega))/cosh(h*k);

OM2:\omega^2=g*k*sinh(h*k)/cosh(h*k);

expand(%);

solve(%,g)[1];

PHT6:lhs(%)=last(rhs(%))*2;

subst([%],C4);

subst([PHT6],Y1);

ode2(%,c,t);ev(%,diff);

第9章

534

表面波

になっている。このことから、進行波の速度ポテンシャ
ルとして、上式を変更し、次式とする。

Y4:factor(subst([y=0],%));
limit(PHT6,h,inf);Φ=−

ev(%,limit);g cos (k x − ω t) cosh (k y + h k) A
cosh (h k) ω

(9.2.16)

PHT61:ev(%,limit);
上式を (9.2.2) 式に代入し、水面条件：y = 0 を代入

subst([K2],Y4);

すると、波高：η が得られる。

subst([L=1,\omega=1,A=1],rhs(%));
plot2d([subst([t=0],%),subst([t=0.5],%),

η = sin (k x − ω t) A

subst([t=1.0],%), subst([t=1.5],%)],

ここで、下記の波の振動円周波数：ω と波長：L、水[x,0,2]);

深:h の関係がある。
上式を (9.2.2) 式に代入し、水面条件：y = 0 を代入
すると、波高：η が得られ、

η=cosh (h k) ω C(%c2 sin (ω t) − %c1 cos (ω t))g
× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))

cosh (h k) ω C
,
g

C=

gA
cosh (h k) ω

上記の関係を代入し、波高を振幅：A で表現すると、

η = (%c2 sin (ω t) − %c1 cos (ω t))× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) A(9.2.12)

また、上記の関係を (9.2.11) 式に代入し、速度ポテン
シャルを振幅：A で表現すると、

Φ=g cosh (k (y + h)) A(%c1 sin (ω t) + %c2 cos (ω t))cosh (h k) ω× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))(9.2.13)

水深が十分深い場合は、上式で h → ∞ とすると次式
となる。

Φ=

g ek y A(%c1 sin (ω t) + %c2 cos (ω t))ω
× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))(9.2.14)

このとき、(9.2.10) 式は次式となる。

ω2 = g k

g k sinh (h k)= g k tanh (h k) ,cosh (h k)(9.2.15)(9.2.13) 式を変形し、
g cos (k x + ω t) cosh (k y + h k) A
2 cosh (h k) ωg cos (k x − ω t) cosh (k y + h k) A−
2 cosh (h k) ωΦ=−

いま、G(k x−ω t ) の関数では、dt 後に dx = ω/k ×dt
ずれた位置で同じ形となり、G 関数の形が進行したよう

k=

2π
L

水深が十分深い場合は、速度ポテンシャルは (9.2.16) 式
を h → ∞ とすると次式となる。

Φ=−

上式で、振幅を A とすると、下記の関係となる。

A=

ω2 =

g cos (k x − ω t) ek y A
ω

このとき、

ω2 = g k(9.2.17)

9.2. 二次元微小振幅進行波

535

位相速度

9.2.2

以上から、位相速度：Vp は下記となり、(9.2.10) 式から、波面が進行する速度：（位相速度）：Vp を求める。座

ω
dx
= =
Vp =
dt
k

標、記号は 9.2.1 節と同じである。また、プログラムは

9.2.1 節から順次、引き続いて、実行する。

√

g tanh (h k)√k(9.2.18)

水深：h が非常に深い場合の位相速度：VpD は、h → ∞とし、波長：L とすると、
√
√
√ √
g
g L
g tanh (h k)√
VpD = lim
= √ = √ √ (9.2.19)
h→∞
2 π
k
k
水深：h が非常に浅い場合は、(9.2.18) 式を h が十分小さいとして、Taylor 展開し、

√ √Vp = g h −図 9.2.2: 波面の進行速度：位相速度

√

5
9
√
g k2 h 2
19 g k 4 h 2
+
+ ...
6
360

上式の第一項をとり、非常に浅い場合の位相速度：VpS
は、

VpS =

/* 位相速度 */

√ √
g h

(9.2.20)subst([x=x+dx,t=t+dt],Y4);

上式の関係を図にすると下図となる。図から、h/L > 0.5

rhs(%)=rhs(Y4);の時、深水とすることができ、h/L < 0.005 の時、浅水

k*(x+dx)-\omega*(t+dt)=k*x-\omega*t;とすることができる。

solve(%,dx)[1];%/dt;
VP1:V[p]=rhs(%);%^2;
subst([OM2],%);
subst([sinh(h*k)=tanh(h*k)*cosh(h*k)],%);
VP2:solve(%,V[p])[2];VP2D:V[pD]=limit(rhs(VP2),h,inf);
subst([K2],%);
V[pS]=taylor(rhs(VP2),h,0,5);
VP2S:lhs(%)=first(rhs(%));
VP2/VP2D;
VP2D1:radcan(subst([K2],%));
VP2D11:subst([L=h/a],rhs(VP2D1));
VP2/VP2S;
VP2S1:radcan(subst([K2],%));VP2S11:radcan(subst([L=h/a],rhs(VP2S1)));
plot2d([lhs(VP2D11),VP2S11],[a,0.001,10],[logx],[y,0,1.0],[legend, "Deep water","Shallow Water"]);dt 後に波面が dx 進行した波形と、基の波形が同じであるとし、

η = − sin (k (x + dx) − ω (t + dt)) A= − sin (k x − ω t) A
上式を整理して、

dx =

dt ω
k

図 9.2.3: 深水、浅水時の位相速度

第9章

536

9.2.3

表面波

粒子運動

波による流体粒子の運動について調べる。座標、記号は 9.2.1 節と同じである。また、プログラムは 9.2.1 節
から順次、引き続いて、実行する。

/* 粒子運動 */U1:u=diff(\Phi,x,1);

流体の流速：u, v は、(9.2.16) 式から、

dg k sin (k x − ω t) cosh (k (y + h)) AΦ=−dxcosh (h k) ωdg k cos (k x − ω t) sinh (k (y + h)) Av=Φ=dycosh (h k) ω
(9.2.21)u=

XX1:X=integrate(rhs(U11),t);

上式を時間積分し、流体粒子の運動：X, Y が得られる。
∫
g k cos (k x − ω t) cosh (k (y + h)) A
X = udt = −cosh (h k) ω 2∫
g k sin (k x − ω t) sinh (k (y + h)) A
Y = vdt = −cosh (h k) ω 2

YY1:Y=integrate(rhs(V11),t);

上式の cos, sin 項を求め、その自乗和をとると、

XX11:solve(XX1,cos(k*x-omega*t))[1];

1 =sin (k x − ω t) + cos (k x − ω t)

V1:v=diff(\Phi,y,1);
subst([PHT6],U1);
U11:ev(%,diff);
subst([PHT6],V1);
V11:ev(%,diff);

YY11:solve(YY1,sin(k*x-omega*t))[1];XX11^2+YY11^2;
trigsimp(%);

2

2
2

2

=

cosh (h k) ω 4 Y 2+2

g 2 k 2 sinh (k y + h k) A2

XY2:expand(%);

cosh (h k) ω 4 X 22

g 2 k 2 cosh (k y + h k) A2(9.2.22)1=x^2/E^2+Y^2/D^2;

上式は下記の楕円形を表す式で、粒子運動は楕円の軌跡

XY21:rhs(XY2);となる。

E1:1/E^2=coeff(XY21,X,2);
D1:1/D^2=coeff(XY21,Y,2);
solve(E1,E)[2];
E11:subst([OM2],%);
solve(D1,D)[2];
D11:subst([OM2],%);
ED1:E11/D11;
ED12:trigrat(ED1);

X2
Y2
+ 2
2
D
E
ここで、x 軸方向の径:E 、y 軸方向の径:D は下記となる。
1=g k cosh (k y + h k) A
cosh (k y + h k) A=2cosh (h k) ωsinh (h k)g k sinh (k y + h k) A
sinh (k y + h k) AD==
cosh (h k) ω 2
sinh (h k)(9.2.23)E=

E12:trigrat(E11);

水深：h が深い場合には、上式で h → ∞ とすると、粒E12N:expand(num(rhs(E12))/%e^(2*h*k));

子運動の径は下記となり、円形の軌跡となり、水深が深E12D:expand(denom(rhs(E12))/%e^(2*h*k));

くなるにつれ、小径となる。

E12N1:limit(E12N,h,inf);
E12D1:limit(E12D,h,inf);
E13:E=E12N1/E12D1;
D12:trigrat(D11);
D12N:expand(num(rhs(D12))/%e^(2*h*k));
D12D:expand(denom(rhs(D12))/%e^(2*h*k));
D12N1:limit(D12N,h,inf);
D12D1:limit(D12D,h,inf);
D13:D=D12N1/D12D1;
subst([K2],ED1);
ED12:abs(rhs(subst([y=h*b,L=h/a,A=1],%)));
plot2d([1/subst([b=0],ED12),1/subst([b=-0.75],ED12),1/subst([b=-0.5],ED12),
1/subst([b=-0.25],ED12)],[a,0.001,10],[logx],[logy],[y,0,5],[legend, "y/h=0","y/h=-0.75","y/h=-0.5","y/h=-0.25"],[xlabel,"h/L"],[ylabel,"b/a"]);E = ek y A,

D = ek y A

水深が浅いとき、y → −h, h → 0 とすると、D → 0となり、水面に平行な扁平な軌跡となる。

9.2. 二次元微小振幅進行波

9.2.4

537
(

圧力変動

2

v =

波による圧力変動について調べる。座標、記号は 9.2.1

d
Φ
dy

)2

2

=

2

g 2 k 2 cos (k x − ω t) sinh (k (y + h)) A2
2

cosh (h k) ω 2

v 2 +u2の時間平均は、一周期分：2ωπ の積分から得られ、
2

節と同じである。また、プログラムは 9.2.1 節から順次、引き続いて、実行する。

v 2 + u22
∫ 2ωπ ( 2 222
g k cos (ω t) sinh (k y + h k) A2
ω
=
2
2π 0
2 cosh (h k) ω 2)
22
g 2 k 2 sin (ω t) cosh (k y + h k) A2+
dt
2
2 cosh (h k) ω 2()
22
g 2 k 2 sinh (k (y + h)) + cosh (k (y + h)) A2=2
4 cosh (h k) ω 2(9.2.25)/* 圧力変動 */S1:’integrate((A*sin(t))^2+(B*cos(t))^2,t,0,2*%pi)/(2*%pi);
S11:S1=ev(S1,integrate);
expand(%);
PH0;
U12:U11^2;
V12:V11^2;
UV12:(v^2+u^2)/2;
subst([U12,V12],UV12);dd t Φ は (9.2.16) 式から下記となる。

UV13:expand(subst([x=0],%));

g sin (k x − ω t) cosh (k (y + h)) AdΦ=−dtcosh (h k)

U13:coeff(UV13,sin(\omega*t)^2);
V13:coeff(UV13,cos(\omega*t)^2);
UV2:factor((U13+V13)/2);ddt ΦS2:’integrate(abs(A*sin(t)),t,0,2*%pi)の時間平均は、半周期分毎に正負が変わるので、下記の半周期分毎の積分から得られ、/(2*%pi);
ω
d
Φ =
dt
π

S21:’integrate((A*sin(t)),t,0,%pi)/(%pi)+’integrate((-A*sin(t)),t,%pi,2*%pi)(/(%pi);

g cosh (k y + h k) A
cosh (h k)−

S22:S2=ev(S21,integrate);
PHT7:diff(PHT6,t,1);
subst([x=0],%);=∫ ωπsin (ω t) dt
0gcosh (k y + h k) A
cosh (h k)

∫ 2ωπ

)
sin (ω t) dt

πω

4 g cosh (k (y + h)) A
π cosh (h k)(9.2.26)

PHT71:-coeff(rhs(%),sin(\omega*t))*4/%pi;
UV2/PHT71;(9.2.25) 式と (9.2.26) 式の比をとり、UV20:subst([OM2],%);
v 2 +u22dΦdt

limit(UV20,h,inf);
subst([K2],%);(9.2.27)

expand(solve(PH0,p)[1]/\rho);

上式で、深水として、h → ∞ とする。また、波高は

PT1:expand(subst([’diff(Phi,y,1)=0,

波長より十分小さいので A << L であるから、下記と’diff(Phi,x,1)=0,F(t)=0],%));なる。

DPT1:\Delta*p=last(rhs(%));

v 2 +u22ddt ΦDPT2:subst([PHT7],%);
圧力は、(9.1.3) 式から、二次元であるから ddz = 0、自由表面では F (t) = pρ0 であるから、下記となる。

(
p − p0= −g y −
ρ
上式から、

)2

2

( d

dx Φ

−

2

( ddy Φ)
2
2

d
dy Φ

2
2

+

( ddx Φ)
2

)2
−

(

d
Φ
dx

)2

2

d
Φ (9.2.24)dt

2
2= v +uと ddt Φ につい
2

2

=

2

cosh (h k) ω 2<< 1(9.2.28)2は次式で与えられる。
()
d∆p = −Φ ρdtg ρ sin (k x − ω t) cosh (k (y + h)) A=
cosh (h k)

g 2 k 2 sin (k x − ω t) cosh (k (y + h)) A222πyπ k ek y A
π2 A e L≈=
8
4Lは無視でき、波による圧力変動：∆ p
以上から、 v +u
2て、評価する。u と v 2 は (9.2.21) 式から下記となる。

u2 =

(
)
π k sinh (k (y + h))2 + cosh (k (y + h))2 A=
16 sinh (h k) cosh (k (y + h))(9.2.29)

第9章

538

波のエネルギー

9.2.5

表面波

波の波長分の全エネルギーは、(9.2.30) 式と (9.2.31) 式

波のエネルギーについて調べる。座標、記号は 9.2.1から次式となる。

節と同じである。また、プログラムは 9.2.1 節から順次、

V +T =

引き続いて、実行する。

g ρ A2 L
2(9.2.32)以上から、単位幅あたりの波の全エネルギーは、/* 波のエネルギー */V +T =

V1:dV=(\rho*\eta*dx)*g*\eta/2;

g ρ A2
2

V11:subst([Y4,K2,t=0],%);
V=’integrate(rhs(V11)/dx,x,0,L);
V2:ev(%,integrate);
T1:dT=\rho/2*(u^2+v^2)*dx*dy;
subst([U12,V12],%);
T11:subst([t=0],%);
T=’integrate(’integrate(rhs(T11)/dx/dy,y,-h,0),x,0,L);
T12:ev(%,integrate);
T13:subst([OM2,K2],%);
SNH1:sinh((2*%pi*h)/L)=(%e^((2*%pi*h)/L)-%e^(-(2*%pi*h)/L))/2;
CNH1:cosh((2*%pi*h)/L)=(%e^((2*%pi*h)/L)+%e^(-(2*%pi*h)/L))/2;
SCNH1:expand(SNH1*CNH1);
lhs(T13)=rhs(T13)*lhs(SCNH1)/rhs(SCNH1);
T2:radcan(%);
VT2:V2+T2;
波高：η 、幅:dx の位置エネルギー：dV は下記となる。
( π x )2
dx g ρ A2 sin 2 L
dx η 2 g ρ
=
dV =
2
2
上式を波長分積分し、波長分の位置エネルギー：V は、()2∫ L
g ρ A22πxg ρ A2 L
V =
sin
dx =
(9.2.30)2L40微小部分 dxdy の運動エネルギー：dT は、()
dx dy ρ v 2 + u2dT =2
上式を波長・水深分積分し、波長分の運動エネルギー：

V は、(9.2.21) 式から
ρ
T =
2
ρ
=
2

∫ L∫ 00−h∫ L∫ 00)( 2
v + u2 dy dx
2

2

−h

(

ρ A2 L2 e− L

4πh

=−

2

g 2 k 2 cos (k x) sinh (k (y + h)) A2

32 π g cosh

cosh (h k) ω 2
2
2 π g2− 2 π g LeL

(2π h)
L

sinh

8πh
L

2

+

2

g 2 k 2 sin (k x) cosh (k (y + h)) A2)(2π h)Lg ρ A2 L=
4(9.2.31)2

cosh (h k) ω 2

dydx(9.2.33)

9.2. 二次元微小振幅進行波

9.2.6

539

群速度

ほぼ等しい二つの波の群速度：Vg を求める。座標、記号は 9.2.1 節と同じである。また、プログラムは 9.2.1 節

波の片振幅：A が等しく、波長：L、波の振動円周波数：ω が、ほぼ等しい二つの波：η1 , η2 を合成すると、

η1 = −sin (k x − ω t) A

から順次、引き続いて、実行する。

η2 = −sin ((k + dk) x − (ω + dw) t) A/* 群速度 */SI1:sin(t);SI2:sin(1.1*t);
SI12:SI1+SI2;
SI3:2*sin((1+1.1)/2*t)*cos(-0.1/2*t);
plot2d([SI12,2*cos(-0.1/2*t),-2*cos(-0.1/2*t)],[t,0,100]);

これらを合成すると、)(
dk x dw t−sin (k x − ω t) A
η2 + η1 = −2 cos
22
この波は、下図の元の波と緩やかに振動する波とになる。元の波の位相速度：Vp は (9.2.18) 式から、

Y51:\eta[1]=rhs(Y4);
Y52:\eta[2]=subst([k=k+dk,\omega=\omega+dw],rhs(Y4));
XT1:KXT1=k*x-\omega*t;
XT2:KXT2=(k+dk)*x-(\omega+dw)*t;
KX2:solve(XT1,k)[1];DK2:solve(XT2,dk)[1];Y511:factor(subst([KX2],Y51));Y521:factor(subst([DK2],Y52));

図 9.2.4: ほぼ等しい二つの波の合成

Y511+Y521;
lhs(%)=-2*A*sin((KXT2+KXT1)/2)*cos((KXT2-KXT1)/2);

ω
Vp = =ksubst([XT1,XT2],%);\eta[2]+\eta[1]=-2*cos((dk*x)/2-(dw*t)/2)*sin(k*x-\omega*t)*A;

√

Vg =

VP1;

VP22:solve(%,\omega)[1];dw
dk(9.2.35)(9.2.34) 式と (9.2.10) 式から、

VP2^2;
VP21:%/VP1;(9.2.34)

同様に、緩やかな波の位相速度、群速度：Vg は、

V[g]=dw/dk;
VP2;

g tanh (h k)
√
k

Vp2 =

g tanh (h k),kω 2 = g k tanh (h k)(9.2.36)上式から、下記の関係を得る。

OM2;
OM21:lhs(OM2)=g*k*tanh(h*k);Vp =2*\omega*’diff(\omega,k,1)=diff(rhs(OM21),k);%/2/\omega;
V[g]=subst([VP22],rhs(%));%*2/V[p];expand(%);

Vg =dg tanh (h k) + g h k sech (h k)
ω=
d
2ω
(k
)
2

g tanh (h k) + g h k sech (h k)=lhs(VG11)=taylor(rhs(VG11),h,0,5);lhs(%)=first(rhs(%));(9.2.37)

2Vp

2 g tanh (h k)cosh(h*k)],%);
limit(rhs(VG11),h,inf);

g tanh (h k)Vp

上式から、下記となり、(9.2.37) 式を代入すると、subst([sech(h*k)=1/cosh(h*k)],%);
VG11:subst([sinh(h*k)=sinh(2*h*k)/2/or ω =

2
Vg = dw
dk は、ω = g k tanh (h k) を k で微分し、
(
)
d
2
2ω
ω = g tanh (h k) + g h k sech (h k)dk

VG1:%/2*V[p];subst([tanh(h*k)=sinh(h*k)/cosh(h*k)],%);

g tanh (h k)ω

上式を整理すると、
(

Vg =

2hk
sinh(2 h k) + 1

2)
Vp(9.2.38)

第9章

540
深水の場合、h → ∞ として、下記となり、群速度は位相速度の 1/2 となる。

Vg =

Vp
2

(9.2.39)

水深：h が非常に浅い場合は、(9.2.38) 式を h が十分小
さいとして、Taylor 展開し、

Vg = Vp −k 2 Vp h2
7 k 4 Vp h4
+
+ ...
3
45

上式の第一項をとり、非常に浅い場合の群速度は位相速度と等しくなる。

Vg = Vp(9.2.40)表面波9.2. 二次元微小振幅進行波

9.2.7

541

エネルギー速度圧力として ρ gy の項は寄与しないので省き、x = 0 のエネルギーの伝播速度を求める。y 軸より左側におけ
るの流体の総エネルギー：W 、ある点の圧力：p、x 軸方向の流速：u とする。座標、記号は 9.2.1 節と同じである。また、プログラムは 9.2.1 節から順次、引き続いて、実行する。

位置において、p として (9.2.29) 式、u として (9.2.21)
式を代入すると、
2 ∫0
2g 2 k ρ sin (ω t) −h cosh (k (y + h)) dy A2
d
W =
2
dt
cosh (h k) ω

積分を実行し、( −2 h k 4 h k)e(e −1) h2g2 k+
ρ sin (ω t) A2
8k
2
d
W =
2
dt
cosh (h k) ω
上式の時間平均は、一周期分： 2ωπ の積分で得られ、

d
W =
dt

図 9.2.5: エネルギーの伝播速度

g2 k

×

e

(e4 h k −1)
8k

∫ 2ωπ

)
+ h2

2 π cosh (h k)

2

g k
=

W11:’diff(W,t,1)=’integrate(rhs(DPT2)

ρA2

2

2

sin (ω t) dt( −2 h k)0/* エネルギー速度 */W1:’diff(W,t,1)=’integrate(p*u,y,-h,0);*rhs(U11),y,-h,0);( −2 h ke(e4 h k −1)
8k

+ h2

ρ A2

2

2 cosh (h k) ω

波の平均エネルギー：V + T は (9.2.33) 式で得られ、subst([x=0],%);
ev(%,integrate);lhs(%)=’integrate(rhs(%),t,0,2*%pi/\omega)/(2*%pi/\omega);ev(%,integrate);
subst([A^2=(V+T)*2/g/\rho],%);

その A2 を代入すると、( −2 h k 4 h k)e(e −1) hgk+ 2 (V + T )
8k
d
W =
2
dt
cosh (h k) ω
群速度と位相速度の関係式:(9.2.38) 式で両辺を割ると、( −2 h k 4 h k)e(e −1) h
2gk
+2
d
8k
dt W
(
)
=
2
sech(h k)2
Vg (V + T )cosh (h k) h ktanh(h+ 1 ω Vpk)

W2:%/VG1/(V+T);
G1:solve(OM2,g)[1];lhs(W2)=subst([G1],rhs(W2));
subst([VP1],%);
subst([sech(h*k)=1/(cosh(h*k)),tanh(h*k)=sinh(h*k)/cosh(h*k)],%);(9.2.10) 式を使って g を消去し、(9.2.18) 式を使ってVp を消去し、

subst([cosh(h*k)=(%e^(h*k)+%e^(-h*k))/2],%);
subst([sinh(h*k)=(%e^(h*k)-%e^(-h*k))/2],%);
factor(%);( −2 h kddt W

Vg (V + T )2ke(e4 h k −1)
8k=cosh (h k) sinh (h k)

(

)
+ h2

h k sech(h k)2+1
tanh(h k))

上式を整理すると、%*V[g];ddt W

p dy が dy に作用する力であり、p dy dx が仕事となる。仕事率は、この仕事を時間：dt で割り、p dy dx/dt = p u dyとなる。これを基に、y 軸より左側におけるの流体の総エネルギー：W の変化率は、1∫ 0d
p u dyW =dt−hVg (V + T )上式から、次式を得る。次式から、エネルギーの平均伝
播速度は群速度：Vg に等しい。
ddt W(9.2.41)

1 L. M. Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth
Edition 15) , P.399 14-24 Wave resistance

=1

V +T

= Vg

(9.2.42)

第9章

542

(9.2.41) 式の基礎式を別の観点から求める2 。流体要素：∆ V の総エネルギー：∆W は、流速:V とすると、
(
)
1 2
∆W =
V + gy ρ∆V2

y 軸の V 領域内の流体の総エネルギー：W は下記と
なる。

(

∫∫∫
W =

ρ
V

「A.4

1 2
V +gy
2

)

表面波

GRP4:\diff(\Phi,t,1)*(\diff(\Phi,x,2)+\diff(\Phi,y,2)+\diff(\Phi,z,2));
expand(GRP3-GRP4);
GRP2-%;
PHT6;
DPT1:diff(PHT6,t,1);
DPX1:diff(PHT6,x,1);dV\rho*DPT1*DPX1;

Transport Theorem （654 頁）」の (A.4.1)

式から、

(
)
∫∫∫
d
d
1 2
W =
ρ
V + g y dV
dt
dt
2
V
(
)
∫∫∫
d
1 2
=
ρ
V + g y dV
dt 2
V
(
)
∫∫
1 2
+
ρ
V + g y Un dS
2
S

lhs(%)=subst([x=0],rhs(%));’integrate(-rhs(%),y,-h,0);ev(%,integrate);
subst([A^2=(E)*2/g/\rho],%);%/rhs(VG1);(9.2.43)

subst([VP1],%);
subst([G1],%);
subst([sin(\omega*t)^2=1/2],%);
subst([sech(h*k)=1/(cosh(h*k)),tanh(h*k)=sinh(h*k)/cosh(h*k)],%);/* エネルギー速度 Newman */grad(\Phi);

subst([cosh(h*k)=(%e^(h*k)+%e^(-h*k))/2],

express(%);

subst([sinh(h*k)=(%e^(h*k)-%e^(-h*k))/2],ev(%,diff);%);

GRP1:transpose(%);

factor(%);%);%.%/2;
GRP2:expand(diff(%,t,1));diff(\Phi,t,1)*GRP1;(9.2.43) 式の ddt

transpose(%);

(1

2 V

2

)

の項について、流速：V は、

 ddiv(%[1]);express(%);

V

GRP3:ev(%,diff);



dx Φ
 d 
= ∇ Φ = grad (Φ) =  d y Φ
d
dz Φ

上記から、

( d ) 2 ( d ) 2 ( d )2
+ dy Φ + dx Φ
dz Φ
1 2
1
V = ∇Φ · ∇Φ =222
上式を時間：t で微分して、
(
) ( 2
)(
) ( 2
)(
) ( 2
)(
)
d
1 2
d
d
d
d
d
d
V
=
Φ
Φ +
Φ
Φ +
Φ
Φ
dt 2
dtdz
dz
dtdy
dy
dtdx
dx

また、

(

)(

)

d
d
Φ
Φ
( dd t ) ( ddx )
dΦ∇Φ =  dt Φdy Φdt( d ) ( d )
dt Φ
dz Φ

2 J. N. Newman, Marine Hydrodynamics 21) , P.260 6.8 Wave Energy(9.2.44)9.2. 二次元微小振幅進行波

543

上式の divergence をとり、(
) ( d )d()
d t Φ ( d x Φ)( d ) dd∇·Φ ∇ Φ =div 
Φ
Φ
d
t
d
y


dt
(d )(d )
Φ
Φ
dt
dz
((
)(
))
((
)(
))
((
)(
))
d
d
d
d
d
d
d
d
d
=
Φ
Φ
+
Φ
Φ
+
Φ
Φ
dz
dt
dz
dy
dt
dy
dx
dt
dx
(
)( 2 ) ( 2)() ()( 2 ) ( 2
)(
)
d
d
d
d
d
d
d
d
=
Φ
Φ +
Φ
Φ +
Φ
Φ +
Φ
Φ
dt
d z2
dtdz
dz
dt
d y2
dtdy
dy
(
)( 2 ) ( 2
)(
)
d
d
d
d
+
Φ
Φ
Φ
Φ +
dt
d x2
dtdx
dx
(9.2.45)(9.2.44) 式と (9.2.45) 式を比較し、下記の項を (9.2.45) 式から引けば、(9.2.44) 式と同じになる。
(

以上から、

d
dt

(

d
Φ
dt

1 2
V
2

)

)
=

(
∇ Φ=
2

d
dt

(

d
Φ
dt

)(

1
∇Φ · ∇Φ
2

d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ
d z2
d y2
d x2

)

(
=∇ ·

)

) (
)
d
d
Φ∇Φ −
Φ ∇2 Φ
dt
dt

質量保存の方程式：(9.1.1) 式から、∇2 Φ = 0 であるから、上式は、
(
)
(
)
(
)
d
1 2
d
1
d
V
=
∇Φ · ∇Φ = ∇ ·
Φ∇Φ
dt 2
dt 2
dt

(9.2.43) 式の右辺第一項について、ρ ddt (g y) → 0 であり、更に上式の結果を代入し、
(
)
(
)
∫∫∫
∫∫∫
d
1 2
d
ρ
V
dV =
ρ∇ ·
Φ ∇ Φ dV
dt 2
dt
V
V
「A.2

Gauss の定理（652 頁）」の (A.2.2) 式から、
(
)
(
)
(
)
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
d
d
d
d
ρ∇ ·
Φ ∇ Φ dV =ρ divΦ ∇ Φ dV =
ρ
Φ
Φ dS
dt
dt
dt dn
V
V
S

上式を (9.2.43) 式に代入し、
(
)
(
)
(
)
∫∫∫
∫∫
∫∫
d
d
1 2
d
d
1 2
W =
ρ
V + g y dV =ρΦΦ dS +
ρV + g y Un dS
dt
dt
2
dt dn
2
V
S
S

(9.2.46)

上式を二次元問題に適用し、一波長の流体境界の線積分の時間平均をとると、V 領域の左から入り右に出ていくエネルギーは等しいから、流体の総エネルギー：W の変化は、 ddt W = 0 となる。また、左右の線積分は等し
くなり、

d
W =2
dt

(

∫ 0
ρ
−h

d
d
Φ
Φ
dt dn

)

(

∫ 0
ρ

dy + 2
−h

1 2
V +gy
2

)
Un dy = 02

上式の右辺第二項は (9.2.33) 式から、2 × g ρ2A × Un であるから、エネルギーの平均伝播速度：Un は、

Un =

(
)
∫0
− −h ρ ddt Φ ddn Φ dyg ρ A22

上式は、(9.2.41) 式と (9.2.43) 式の結果と同じであり、(9.2.42) 式と同じ結論が得られる。

(9.2.47)

第9章

544

9.2.8

表面張力

表面張力が波面に与える影響について調べる。座標、

表面波

float(solve(%,a)[2]);float(subst([%],VPT1D21));

記号は 9.2.1 節と同じである。また、プログラムは 9.2.1

plot2d([VP2D1,VPT1D21],[a,0.0001,0.2],

節から順次、引き続いて実行する。水面の高さ:h、水面[y,0,0.6],[xlabel,"L"],[ylabel,"Vp"],の曲率半径:R、表面張力による圧力増加：∆pT 、表面張[legend ,"without Surface tension effect"力の係数：T (水の場合：T = 72.75mN/m) とする。

,

"with Surface tension effect"]);「2.1.3表面張力（16 頁）」の (2.1.7) 式から表面張力による圧力増加：∆pT は、

∆p =

T
R

(2.1.8) 式から
2d1
d x2 η (x)
=(
) 32
( d
)2
R
η
(x)
+
1
dx

図 9.2.6: 表面張力以上から、波面の表面張力による圧力増加は、波面の変化が小さいとして、(/* 表面張力 */∆ pT = −’diff(\Phi,y,1)-’diff(\eta,t,1)=0;

d2
η
d x2

)
T

(9.2.48)

Y21:solve(%,’diff(\eta,t,1))[1];DP2:\Delta*p[T]=-T*diff(\eta,x,2);
PH21:lhs(BE1)+\Delta*p[T]/\rho=rhs(BE1);
subst([’diff(Phi,z,1)=0,z=y],%);
subst([’diff(Phi,x,1)=0,’diff(Phi,y,1)=0],%);
lhs(%)-p/\rho=rhs(%)-F(t);solve(%,y)[1];
expand(subst([y=\eta,DP2],%));diff(%,t,1);
subst([Y21],%);
PH22:subst([diff(Y21,x,2)],%);
subst([PHT42],PH22);ev(%,diff);
subst([y=0],%);

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(9.1.3)
式に波面の表面張力による圧力増加を考慮すると、
(
)2 (
)2
d
+ ddx Φ
dy Φ
p
d
∆ pT
+gy+ ++
Φ = F (t)ρρ2dt
自由表面上では F (t) = pρ0 とし、微小振幅の場合、
22( d Φ)( d Φ)「9.2.4 圧力変動」から、 d y2
+ d x2<< ddt Φ と
なるので、

d
∆ pT
+gy+
Φ=0
ρ
dt
上式から、y を求め、()
∆ pT + ddt Φ ρy=−gρfactor(%);

y → η に置き換え、(9.2.48) 式を代入し、
( 2 )
d
d
Φ
d x2 η T
η=
− dt
gρ
g

VPT1:V[p]=sqrt(rhs(%));

時間：t で微分し、solve(%,\omega^2)[1];%/k^2;
subst([sinh(k*h)=tanh(k*h)*cosh(k*h)],%);(VPT1D:lhs(%)=limit(rhs(%),h,inf);
VPT1D2:subst([K2],%);
VP2D1:subst([L=a,T=0,g=9.8,\rho=102],
rhs(VPT1D2));
VPT1D21:subst([L=a,T=72.75/1000*0.102,
g=9.8,\rho=102],rhs(VPT1D2));
diff(%,a,1)=0;

d
η=
dt

d3
d t d x2 η

gρ

)
T

−

d2
d t2 Φ

g

水面の運動力学的条件式：(9.1.5) 式に上式を代入し、
( 3
)
d
d2
Φ
T
2
dx dy
d
2 Φ
Φ=
− dt
(9.2.49)dygρ
g

9.2. 二次元微小振幅進行波

545(9.2.16) 式を上式に代入し、波の振動円周波数：ω を
求めると、

ω2 =

k 3 sinh (k y + h k) T + g k ρ sinh (k y + h k)
ρ cosh (k y + h k)

上式を k 2 で割り、

tanh (k (y + h))
ω2
=
k2
k

( 2

k T
ρ +g

)

位相速度は、(9.2.18) 式から、

ω
k

Vp =

以上から、表面張力のある場合の位相速度：Vp は、

√
Vp =

(
tanh (h k)
√

k2 T
ρ +g

)
図 9.2.7: 深水における表面張力の位相速度への影響(9.2.50)k

上式から、深水の場合：h → ∞ の表面張力を考慮した位相速度は下記となる。

√
Vp =k2 T +g ρρ√k

水で深水における表面張力の位相速度への影響を下図に示す。
図から、水で深水における表面張力の影響は、波長が約 20cm 以下で現れる。また、その位相速度の最下点は、
波長：L = 0.017119194589256、約 1.7cm で位相速度：23.1cm/s である。これからより短い波長では急激に位相速度が速くなるが、現実的でなく、波長：1.7cm 以下の波は発生しない。

第9章

546

9.3

表面波

二次元波の簡単な例
PH0:\Phi=(g*(%c1*sin(\omega*t)+%c2*cos(

例題 9.3.1

表面撹乱による二次元波の伝搬\omega*t))*(%k1*sin(k*x)+%k2*cos(k*x))*%e^(k*y)*A)/\omega;

表面の局所的な撹乱を初期に与えたあと生じる二次元

PH2:Phi=-(g*sin(\omega*t)*cos(k*x)

波の伝搬について調べる。波のない平衡状態での水面を*%e^(k*y)*A)/\omega;x 軸とし、鉛直上方に y 軸をとる。水深は十分深いとし、

OM1:\omega^2=g*k*tanh(h*k);

波の高さ：η 、時間：t、密度：ρ、重力加速度：g 、振動limit(rhs(OM1),h,inf);

円周波数：ω とする。

OM11:sqrt(lhs(OM1)=ev(%,limit));(1) 自由表面のもりあがり

subst([PH2],ET0);

初期状態で、原点に自由表面の集中的なもりあがりがあev(%,diff);
ET2:subst([y=0],%);

る場合について調べる1 。

二次元微小振幅進行波の速度ポテンシャル：Φ は、水深が十分深いとき、(9.2.14) 式から次式となる。

Φ=g ek y A(%c1 sin (ω t) + %c2 cos (ω t))ω
× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))(9.3.1)

波高：η は、(9.2.2) 式から、d

η = − dtgΦ(9.3.2)

波形が y 軸対称で、初期：t = 0 で、有限値を持つので、速度ポテンシャル：Φ は、

Φ=−g sin (ω t) cos (k x) ek y Aω(9.3.3)

ここで (9.2.15) 式から

ω=

図 9.3.1: 自由表面のもりあがりによる二次元波の伝搬

√ √
g k

(9.3.4)(9.3.3) 式を (9.3.2) 式に代入し、y = 0 として波高を求めると、

η = cos (ω t) cos (k x) A

(9.3.5)/* 波の伝搬 */kill(all);/* 表面撹乱 */load("vector");

FX1:f(x)=1/%pi*’integrate(’integrate(f(t)

depends(\eta,[t,x]);*cos(y*(x-t)),t,minf,inf),y,0,inf);

depends(\Phi,[t,x,y]);ET3:\eta=1/%pi*integrate(integrate(cos(declare(f,real)declare(s,real)\omega(k)*t)*F(a)*cos(k*(x-a)),a,minf,inf)assume(g>0);PH3:\Phi=-g/%pi*integrate(integrate(sin(assume(k>0);\omega(k)*t)/\omega(k)*%e^(k*y)*F(a)assume(x>0);*cos(k*(x-a)),a,minf,inf),k,0,inf);

assume(\omega>0);

PH31:\Phi=-g/%pi*’integrate(sin(assume(t>0);\omega(k)*t)/\omega(k)*%e^(k*y)

assume(y<0);*cos(k*x),k,0,inf);

assume(m>0);ET31:\eta=1/%pi*integrate(cos(ET0:\eta=-diff(\Phi,t,1)/g;\omega(k)*t)*cos(k*(x)),k,0,inf);

1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.384

238.

,k,0,inf);

9.3. 二次元波の簡単な例

547(9.3.8) 式の積分式は、多くの変動を有する積分で、

ET32:\eta=1/2/%pi*integrate(cos(\omega(k)*t-k*(x)),k,0,inf)+1/2/%pi「A.8 非常に多くの正弦波を積分範囲内に有する積分法*integrate(cos(\omega(k)*t+k*(x)),k,0,inf(Kelvin の方法)」、657 頁の方法を活用する。

);(A.8.6) 式から、

ET33:\eta=1/%pi*integrate(cos(∫ ∞)√ √ ( i2 π √2 + √12 ei f(d) s (d)√ei f(k) s (k) dk =−∞d2
d ξ 2 f (d)\omega(k)*t-k*(x)),k,0,inf);
フーリエ積分の式は下記である。
∫∞∫∞
f (t) cos ((x − t) y) dtdy
f (x) = 0 −∞π

(9.3.9)(9.3.6)

また、(A.8.7) 式から、上式は次式：δ が小さいという条件で成り立つ。

上式を活用し、初期における波高を F (x) とすると、波高および速度ポテンシャルは、次式となる。
∫
∫ ∞
1 ∞
η=
cos (ω (k) t)
F (a) cos (k (x − a)) dadk
π 0
−∞
∫ ∞
g
sin (ω (k) t)
Φ=−
π 0
ω (k)
∫ ∞
F (a) cos (k (x − a)) da ek y dk
×−∞d3
d k3 f (d)δ=3(9.3.10)2d2
d k2 f (d)/* 積分法の適用 */FK:f(k)=-(k*x-\omega(k)*t);
DFK1:diff(FK,k,1);
DFK11:rhs(DFK1)=0;
subst([\omega(k)=rhs(OM11)],%);

上式の速度ポテンシャルで、初期における波高：F (x)が非常に狭い範囲に分布し、他では F (x) = 0 とし、∫ ∞F (a) da = 1−∞

上記の関係があるとすると、上記の速度ポテンシャルは下記となる。
∫ ∞sin (ω (k) t) cos (k x) ek y
g
dk
Φ=−
π 0
ω (k)

ev(%,diff);
DFK12:solve(%,k)[1];D1:d=rhs(%);
FKD1:subst([f(k)=f(d),\omega(k)=sqrt(g*k),
DFK12],FK);
DFK2:diff(FK,k,2);
subst([\omega(k)=rhs(OM11)],%);(9.3.7)ev(%,diff);
subst([f(k)=f(d)],%);

上式を (9.3.2) 式に代入し、y = 0 として波高を求めると、∫
1 ∞η=cos (ω (k) t) cos (k x) dk
π 0

DFK21:lhs(%)=subst([DFK12],rhs(%));
DFK22:subst([k=\xi],%);

次式の変形を行い、∫ ∞1
cos (k x + ω (k) t) dk
η=
2π 0
∫ ∞
1
cos (k x − ω (k) t) dk+
2π 0ev(%,diff);x > 0 の場合を扱うとして、x 軸方向に進行する波としsolve(%,x)[1];て、波高は次式となる。
∫
1 ∞η=cos (k x − ω (k) t) dk
π 0

subst([s(k)=1,s(d)=1],SF2)/%pi;

DFK3:diff(FK,k,3);
subst([\omega(k)=rhs(OM11)],%);
subst([f(k)=f(d)],%);
DFK31:lhs(%)=subst([DFK12],rhs(%));
subst([DFK31,DFK21],DXT1);%^2;

subst([DFK22],%);(9.3.8)/* 積分法 */subst([minf=0],lhs(%))=rhs(%)/2;
subst([FKD1],%);
realpart(%);
ET4:subst([FK,\omega(k)=\omega],%);

DIF0:s(k)*%e^(%i*f(k));\eta=lhs(ET4);

SF0:’integrate(DIF0,k,minf,inf);\eta=rhs(ET4);

SF2:SF0=%e^(’%i*(f(d)+%pi/4))*s(d)subst([cos((g*t^2)/(4*x))=sin((g*t^2)*sqrt(%pi)/sqrt(abs(’diff(f(d),xi,2))/2);/(4*x))+sqrt(2)*cos((g*t^2)/(4*x)

DXT1:\delta=’diff(f(d),k,3)/+%pi/4)],%);

sqrt(abs(’diff(f(d),k,2))^3);

expand(%);

第9章

548

表面波

この結果から、x は比較的原点に近い領域で成り立つ。

ET41:subst([g=9.8,x=a],rhs(ET4));
plot2d([subst([t=4],ET41),subst([t=2],
ET41),
subst([t=1],ET41),subst([t=0.5],ET41)],[a,0.2,4],[x,0,4],[y,-5,5],[xlabel,"x (m)"], [legend, "t=4sec","t=2sec","t=1sec", "t=0.5sec"] );(9.3.8) 式を (9.3.9) 式に適用すると、(9.3.11) 式、(9.3.15) 式を (9.3.9) 式に代入し、()√∫ ∞ i f(k)√i + √1ei f(d) g t
e
dk
2
2
−∞
=
√ 3
π
π x2
左右対称であるから、積分範囲を 0 → ∞ に変更し、積分結果を 1/2 とし、(9.3.14) 式を代入すると、

1πs (k) = 1

(9.3.11)f (k) = ω (k) t − k x(9.3.12)(9.3.12) 式を k で微分すると、(9.3.4) 式の関係から
ω (k) を得て、(A.8.2) 式の関係から、dξ → dk とでき、(A.8.4) 式の関係式は、()
ddf (k) =
ω (k) t − x
dk
dk
(
)
√
gt
d (√ √ )=g kt−x= √ −x=0
dk
2 k

(

∫ ∞
e
0

i f(k)

dk =√i + √1
2
2

2

)√

√

i g t2g t e 4x3

π x2

上式の実部をとって、伝搬する波形：(9.3.8) 式は、∫
1 ∞η=cos (k x − ω t) dk
π 0( ( 2)( 2 ))
cos g4tx
sin g4tx
√
√
gt
− √2
2
(9.3.16)=√ 3
2 π x2( 2)√
g t cos g4tx + π4=√ 3
2 π x2
上式を基に波の伝搬の様子を下図に示す。

上式から、d は、

k=d=

g t2
4 x2

(9.3.13)(9.3.4) 式の関係式と上式の関係式を (9.3.12) 式に代
入し、

g t2
(9.3.14)4x(9.3.12) 式を k で二階微分すると、(9.3.4) 式の関係
f (d) =から、)d2
ω (k) t
d k2
( 2 (
)
√
gt
d
√ √ )
=
g k
t=− 3
d k2
4k2

d2
f (k) =d k2(

図 9.3.2: 自由表面のもりあがりによる二次元波の伝搬(9.3.13) 式の関係式を上式に代入し、
2 x3
d2
f
(d)
=
−
d ξ2
g t2

(9.3.15)(A.8.7) 式の条件式について評価する。
( 3
)
d3
d
f (k) =
ω (k) t
d k3
d k3
( 3 (
)
√
3 gt
d
√ √ )
=
g
k
t
=
5
d k3
8k2
(9.3.13) 式の関係式を上式に代入し、
√
3 gt
d3
12 x5
f
(d)
=
= 2 4
5
3
dk
g t
8k2
上式と (9.3.15) 式を (A.8.7) 式の条件式に代入すると、
√ √
3 2 x
δ= √
gt

9.3. 二次元波の簡単な例(2) 撃圧作用
初期状態で、原点に自由表面の集中的な衝撃圧力を加えた場合について調べる1 。

549
solve(%,cos(k*x))[1];
subst([%],ET72);
ET73:subst([sin(k*x-omega(k)*t)=cos(k*x-omega(k)*t-%pi/2)],%);
FK:f(k)=-(k*x-\omega(k)*t-%pi/2);
FKD1:subst([f(k)=f(d),\omega(k)=sqrt(g*k),
DFK12],FK);
subst([s(k)=\omega(k),s(d)=\omega(d)],SF2)/%pi/\rho/g;
subst([DFK22],%);
subst([minf=0],lhs(%))=rhs(%)/2;
subst([FKD1],%);
realpart(%);
subst([FK],%);
lhs(%)=subst([\omega(d)=\omega,OM11,
DFK12],rhs(%));
subst([sin((g*t^2)/(4*x))=sqrt(2)*sin((g*t^2)/(4*x)+%pi/4)-cos((g*t^2)/(4*x))],%);

図 9.3.3: 衝撃圧力による二次元波の伝搬

ET8:expand(%);
ET81:\eta=lhs(ET8);
ET82:\eta=rhs(ET8);
ET41:subst([g=9.8,x=a,\rho=102],rhs(ET82));
plot2d([subst([t=4],ET41),subst([t=2],/* 撃圧 */

ET41),

PH7:lhs(PH2)*\rho=-subst([sin(\omega*t)=

subst([t=1],ET41),subst([t=0.5],ET41)],cos(\omega*t)],rhs(PH2))*\omega/g;[a,0.2,4],[x,0,4],[y,-0.05,0.055],[xlabel,

PH71:PH7/\rho;"x (m)"],[legend, "t=4sec","t=2sec",

subst([PH71],ET0);"t=1sec","t=0.5sec"] );ev(%,diff);
ET7:subst([y=0],%);

波による圧力は、(9.2.29) 式から、()
d∆p = −
Φ ρ
dt\Phi=1/%pi/\rho*’integrate(’integrate(F(a)*cos(k*(x-a))*cos(\omega(k)*t)*%e^(k*y),a,minf,inf),k,0,inf);

撃圧は力×時間による運動量で表現できるので、 ∆ pdt

PH72:\Phi=1/%pi/\rho*’integrate(cos(k*x)

から撃圧は ρΦ で表現できる。また、波形が y 軸対称で、*cos(\omega(k)*t)*%e^(k*y),k,0,inf);

初期：t = 0 で、波高が零である。この条件から速度ポ

subst([PH72],ET0);

テンシャル：Φ は、水深が十番深い場合、(9.3.1) 式からev(%,diff);
ET72:subst([y=0],%);sin(\omega(k)*t)*cos(k*x)=1/2*sin(\omega(k)*t+k*x)+1/2*sin(\omega(k)*t-k*x);
sin(\omega(k)*t)*cos(k*x)=-sin(\omega(k)*t-k*x);

撃圧は、

Φ ρ = cos (ω t) cos (k x) ek y A
上式で A は撃圧の振幅である。上式から速度ポテン
シャル：Φ は、

Φ=cos (ω t) cos (k x) ek y Aρ(9.3.17)

撃圧の振幅：A を撃圧分布：F (x) として、フーリエ1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.387

239.

積分の式：(9.3.6) 式から、
∫ ∞1cos (ω (k) t)
Φ=
πρ 0
∫ ∞
F (a) cos (k (x − a)) da ek y dk
×
−∞

第9章

550
上式の速度ポテンシャルで、初期における撃圧：F (x)が非常に狭い範囲に分布し、他では F (x) = 0 とし、∫ ∞F (a) da = 1−∞

上記の関係があるとすると、上記の速度ポテンシャルは下記となる。
∫ ∞1Φ=cos (ω (k) t) cos (k x) ek y dk
πρ 0
ると、

1
η=
πgρ

∫ ∞
ω (k) sin (ω (k) t) cos (k x) dk0

次式の関係から、

sin (ω (k) t) cos (k x)=sin (k x + ω (k) t) sin (k x − ω (k) t)−
2
2

x > 0 の場合を扱うとして、x 軸方向に進行する波として、波高は次式となる。
∫ ∞1η=ω (k) sin (k x − ω (k) t) dk
πgρ 0

上式の実部をとり、(9.3.4) 式を代入すると、∫∞
ω (k) cos (f (k)) dk
0
πgρ
(
( 2)
( 2 ))

ω (d) t=√(9.3.18)上式を (9.3.2) 式に代入し、y = 0 として波高を求め

表面波

(
gt

2

−

sin

gt
4x

√

2

−

cos

gt
4x

√

2

√ √
3
2 π g ρ x2

( 2)( 2 ))
sin g4tx
cos g4tx√− √2 −
2√54 π ρ x2)(2
√ 2
g t sin g4tx + π4=−√54 π ρ x2=

以上から、伝搬する波形：(9.3.19) 式は、∫∞
ω (k) sin (k x − ω (k) t) dk
η= 0
πgρ
( 2
)
√ 2
g t sin g4tx + π4=−√54 π ρ x2

(9.3.22)

上式を基に波の伝搬の様子を下図に示す。

(9.3.19)

上式を (9.3.9) 式の積分公式を活用し、sin 項を cos 項に変更するには、 π2 で修正し、f (k) は、

f (k) = −k x + ω (k) t +π2(9.3.20)dd k f (k) = 0 から、d は (9.3.13) 式と同じである。以上から、

f (d) =

g t2
π
+
4x
2

(9.3.21)2

また、 ddξ2 f (d) は (9.3.15) 式と同じである。以上の結果を (9.3.9) 式の積分公式に代入し、)√ ( i∫ ∞ i f(k)2 √2 + √12 ei f(d) ω (d)
e
ω
(k)
dk
−∞
√
=
πgρ
√
d2
π
d ξ 2 f (d) g ρ()√i + √1ei f(d) ω (d) t
2
2
=
√ √
3
π g ρ x2

左右対称であるから、積分範囲を 0 → ∞ に変更し、積分結果を 1/2 とし、(9.3.21) 式を代入すると、)(∫ ∞ i f(k)√i + √1ei f(d) ω (d) t
e
ω
(k)
dk
2
2
0
=
√ √
3
πgρ
2 π g ρ x2
( 2
)
)
(
i g4tx + π
2√i + √1
ω (d) t e
2
2
=
√ √
3
2 π g ρ x2

図 9.3.4: 撃圧作用による二次元波の伝搬2以上の検討結果から、位相関係（波長）は g4tx で整理され、原点より遠方の波は近い波に比べ、波長は長くなる。また、波振幅は時間と共に増加する。

9.3. 二次元波の簡単な例

例題 9.3.2

前進速度のある船の波と抵抗

二次元の船が速度：U で航走し、波のない平衡状態で

551
一様流：U がある速度ポテンシャル：Φ は (9.1.8) 式から、の水面を x 軸とし、鉛直上方に y 軸をとる。水底の深Φ = xU + ϕ(9.3.23)

さを h、船が起こした波の高さ：η とする。x 軸方向の

ここで、ϕ は x, y の関数である。このとき、質量保存

流速:u、y 軸方向の流速:v 、波高の片振幅:A、密度：ρ、 の方程式は (9.1.9) 式から、
重力加速度：g とする。

d2
d2
ϕ
+
ϕ=0
d y2
d x2
波の高さ：η は、(9.1.14) 式から、
( d )
ϕ U
η = − dxg

図 9.3.5: 前進速度のある船の波

自由表面条件は、(9.1.15) 式から、
( 2 )
d
2
d x2 ϕ U
d
+
ϕ=0
g
dy

(9.3.24)(9.3.25)(9.3.26)(9.3.23) 式の速度ポテンシャル：ϕ を変数分離法で下記とし、a = a(x), b = b(y) の関数とする。

ϕ = ab(1) 前進速度のある二次元の船の波(9.3.27)(a) 質量保存の方程式/* 二次元抵抗 */kill(all);load("vector");depends(\eta,[x]);depends(\Phi,[x,y]);

上式を質量保存の方程式：(9.3.24) 式に代入し、( 2 ) ( 2 )
d
d
a
b +
a b=0
d y2
d x2
整理して、下記とする。
d2
d y2 bdepends(\phi,[x,y]);=−d2
d x2 a= k2

depends(a,[x]);bdepends(b,[y]);上式を、それぞれ ode2 関数で解くと、

aassume(y>0);
assume(k>0);b = %k1 ek y + %k2 e−k y(9.3.28)

assume(U>0);assume(k>0);

a = %k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)(9.3.29)

PH0:\Phi=U*x+\phi;EQ1:’diff(\phi,y,2)+’diff(\phi,x,2)=0;
ET0:\eta=-diff(\phi,x,1)*U/g;
EQ2:’diff(\phi,y,1)+U^2/g*’diff(\phi,x,2)=0;(9.3.28) 式、(9.3.29) 式を (9.3.27) 式に代入し、
ϕ = (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))()
× %k1 ek y + %k2 e−k y(9.3.30)(b) 底の条件

PH0:\phi=a*b;/* 質量保存 */subst([PH0],EQ1);
ev(%,diff);%-last(lhs(%));
EQ11:expand(%/a/b);
EQ12:lhs(EQ11)=k^2;
EQ13:rhs(EQ11)=k^2;
CH1:ode2(EQ12,b,y);CH2:ode2(EQ13,a,x);
PH01:subst([CH1,CH2],PH0);/* 底の条件 */diff(PH01,y,1);
subst([y=-h],rhs(%)=0);%k1*k*%e^(-h*k)-%k2*k*%e^(h*k)=0;
C1:%k1=C*%e^(h*k);
C2:%k2=C*%e^(-h*k);
subst([C1,C2],CH1);
CH11:b=C*cosh(k*(y+h));PH11:subst([CH2,CH11],PH0);
PH2:\phi=C*cosh(k*(y+h))*sin(k*x+\epsilon);

第9章

552
y 軸方向の流速：v = ddy ϕ で、底面：y = −h で、v = 0であるから、()
dϕ = %k1 k e−h k − %k2 k eh kdy

波の高さ：η は、(9.3.25) 式に (9.3.32) 式を代入し、

η=−k cosh (h k) cos (k x + ϵ) C U
g

波の振幅を A とすると、

× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) = 0

C=−

上式から、

gA
k cosh (h k) U

η = cos (k x + ϵ) Aϕ=−

上式を解いて、%k2 = e−h k C

g sin (k x + ϵ) ek y A
kU
ここで、(9.3.33) 式は、
gk= 2
U(2) 二次元の船の波による抵抗
ϕ=−(9.3.31)

上式と (9.3.29) 式を (9.3.27) 式に代入し、

ϕ = (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) cosh (k (y + h)) C
上式を書き換えて、

ϕ = sin (k x + ϵ) cosh (k (y + h)) Cg sin (k x + ϵ) cosh (k (y + h)) Ak cosh (h k) U

水深：h が十分に深い場合は、h → ∞ とし、上式を (9.3.28) 式に代入し、

b = cosh (k (y + h)) C(9.3.34)

このときの速度ポテンシャル：ϕ は、%k1 k e−h k − %k2 k eh k = 0%k1 = eh k C,

表面波(9.3.32)(c) 自由表面条件(9.3.35)(9.3.36)

E1:U*1/2*g*\rho*A^2=V[g]*1/2*g*\rho*A^2+D*U;
solve(%,D)[1];

subst([PH2],EQ2);

D1:factor(%);

ev(%,diff);

VG1:V[g]=(((2*h*k)/sinh(2*h*k)+1)*V[p])/2;

subst([y=0],%);

subst([VG1],D1);

expand(%/sin(k*x+epsilon)/C/k);
K1:solve(%,k)[1];

subst([V[p]=U],%);

K11:k=(g*tanh(k*y+h*k))/(U^2);

D2:expand(%);

factor(%);(9.3.32) 式を自由表面条件：(9.3.26) 式に代入し、y = 0
として、

ET2:\eta=-B*cos(k*x+\epsilon+k*L[p]);ET3:\eta=rhs(ET1)+rhs(ET2);

k cosh (h k) U 2=0sinh (h k) −g

K21:K2=k*x+\epsilon;
K31:K3=k*x+\epsilon+k*L[p];上式から、

g tanh (k y + h k)k=U2(d) 波振幅：A の導入

D21:lhs(D2)=limit(rhs(D2),h,inf);

K22:solve(K21,k)[1];(9.3.33)

K32:solve(K31,L[p])[1];
subst([K32,K22],ET3);\eta=-2*B*sin((K2+K3)/2)*sin((K2-K3)/2);/* 波振幅：A の導入 */subst([PH2],ET0);ev(%,diff);
ET11:subst([y=0],%);
ET1:\eta=A*cos(k*x+\epsilon);rhs(ET11)=rhs(ET1);solve(%,C)[1];
subst([%],PH2);
limit(%,h,inf);
ev(%,limit);ev(%,limit);
K12:lhs(K11)=limit(rhs(K11),h,inf);

subst([K21,K31],%);
A1:A=2*sin((L[p]*k)/2)*B;
FN1:F[n]=U/sqrt(g*L[p]);FN2:solve(FN1,U)[1];
subst([A1],D21);%/(1/4*\rho*g*B^2);
subst([K12],%);
subst([FN2],%);
subst([F[n]=t],rhs(%));
plot2d(%,[t,0.1,2],[xlabel, "Fn"],[ylabel, "D"]);9.3. 二次元波の簡単な例

553

波エネルギーと船の抵抗の関係を空間固定座標で下図に示す1 。船は船速：U で x 軸方向に進む。このとき波は、船から見ればいつも同じ形で変化しないので、船速と同じ位相速度で進行する波となっている。船と共に動く検査面と空間固定の y 軸の検査面を考える。この検査面間での波の単位幅あたりのエネルギーは、(9.2.33)
2式から g ρ2A であり、この間におけるエネルギー増加率
2は、船の検査面が U で伸びているので、 g ρ2A × U である。船位置の検査面から与えられるエネルギー増加率

す2 。この波は下記で表現でき、

η =cos (k x + ϵ) B − cos (k x + k Lp + ϵ) B())(
2 k x + k Lp + 2 ϵ
k Lp
sin
B
=2 sin2
2(9.3.40)以上から船首、船尾の波の干渉による波高は、()
k Lp
A = 2 sinB
2は、船の抵抗：D から DU である。また、進行波の y 軸の検査面から流入するエネルギー速度は、(9.2.42) 式か上式を (9.3.39) 式に代入すると船の抵抗は、(

ら、群速度：Vg であるため、この面からのエネルギー

D = g sin2
増加率は、 g ρ2A × Vg である。

k Lp
2

)2
ρ B2

2

上式を g ρ4B で無次元化し、(9.3.36) 式およびフルー
ド数：Fn = √ U の関係を代入すると、
g Lp

4D=4 sing ρ B2((=4 sin(

図 9.3.6: 波エネルギーと船の抵抗=4 sin

k Lp
2
g Lp
2 U2
1
2 Fn2

)2
)2
(9.3.41))2

上式を図示すると下図となる。船首と船尾の波の干

上記をまとめると、

渉で、船速により抵抗が大きく変化する。

g Vg ρ A2
g ρ A2 U= DU +
2
2
以上から、抵抗：D を求めると、g ρ A2 (U − Vg )2U

D=(9.3.37)

ここで、エネルギー速度≡群速度： Vg は (9.2.38) 式から下記となる。

(
Vg =

2hk
sinh(2 h k) + 1

)
Vp

2

上式を (9.3.37) 式に代入し、Vp = U であるから、抵
抗は、

D=g ρ A2g h k ρ A2−
4
2 sinh (2 h k)

(9.3.38)

図 9.3.7: 船の抵抗

水深：h が十分に深い場合は、h → ∞ とし、下記となる。

D=g ρ A24(9.3.39)

いま、船の場合、船首部で正の波（波高：B ）を起こし、船長：Lp 離れた船尾で負の波（波高：−B ）を起こ

1 L. M. Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth
Edition, Macmillan 15) , P.399 14-24 Wave resistance

2 J. N. Newman, Marine Hydrodynamics 21) ,P.266 6.9 TwoDimensional Ship Waves

第9章

554

例題 9.3.3
よる波

前進速度のある没水二次元円柱に

没水二次元円柱 (半径：A、没水深度：h) が速度：U で航表面波

DI2:ev(DI1,integrate);
A11:lhs(A1)=U*A^2*DI1;
B1:\phi[2]=’integrate(f(k)*%e^(k*(y))

走するとき、円柱の後方に生ずる波について調査する1 。

*sin(k*x),k,0,inf);

波のない平衡状態での水面で円柱の進行方向と逆方向を

PH1:\phi=\phi[1]+\phi[2];x 軸とし、円柱の中心を通り、鉛直上方に y 軸をとる。

PH11:subst([A11,B1],PH1);

水深は十分深いとし、円柱が起こした波の高さ：η 、水

一定速度：U がある速度ポテンシャル：Φ は (9.1.8)の密度：ρ、重力加速度：g とする。

式から、

Φ = xU + ϕ(9.3.42)

ここで、ϕ は円柱固定の動座標で、x, y の関数である。
このとき、質量保存の方程式は (9.1.9) 式から、

d2
d2
ϕ
+
ϕ=0
d y2
d x2
波の高さ：η は、(9.1.13) 式から、
( d )
ϕ U
η = − dxg
図 9.3.8: 没水二次元円柱による波/* 二次元円柱による波の伝搬 */自由表面条件は、(9.1.15) 式から、
( 2 )
d
2
d x2 ϕ U
d
+
ϕ=0
g
dy

K0 =

g
U2

depends(\phi,[x,y]);assume(g>0);

波の高さ：η は、(9.3.44) 式から、

depends(\Phi,[x,y]);assume(y>0);dϕη = − dx
K0 U

assume(h>0);
assume(K[0]>0);
PH0:\Phi=U*x+\phi;EQ1:’diff(Phi,y,2)+’diff(Phi,x,2)=0;
ET1:\eta=-diff(\phi,x,1)*U/g;
subst([PH0],EQ1);=0;
K1:K[0]=g/U^2;

シャルで、ϕ2 は自由表面条件などを満足するように ϕ1を補正する関数とする。

ϕ = ϕ2 + ϕ1

テンシャルは (5.3.11) 式、121 頁から、次式となる。

Φ=cos (θ) A2 U
+ r cos (θ) Ur

上式から、ϕ1 は下記となる。

ϕ1 =DI1:’integrate(%e^(-k*(y+h))*sin(k*x),k,0,

1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.410

247.

(9.3.49)「5.3.4 一様流中の円柱まわりの流れ」から、その速度ポA1:\phi[1]=U*A^2*x/(x^2+(y+h)^2);
inf);(9.3.48)

無限流体中を一定速度で航行する円柱を表す速度ポテン

K11:solve(K1,g)[1];
EQ21:expand(K[0]*subst([K11],EQ2));
ET11:subst([K11],ET1);(9.3.47)

速度ポテンシャル：ϕ を下記の ϕ1 , ϕ2 に分ける。ϕ1 はEQU1:ev(%,diff);
EQ2:’diff(\phi,y,1)+U^2/g*’diff(\phi,x,2)(9.3.45)(9.3.46)

自由表面条件：(9.3.45) 式は、
)
(
d2
d
ϕ +
K0
ϕ=0
dy
d x2

depends(\eta,[x]);(9.3.44)

ここで、下記とすると、

kill(all);load("vector");(9.3.43)x A2 U2(y + h) + x2

(9.3.50)b
また、次式の積分公式：「A.9.6 a2 +b2 の積分表示」の(A.9.12) 式、658 頁から、
∫ ∞sin (k x) e−k (y+h) dk =0x2(y + h) + x2

(y > −h)9.3. 二次元波の簡単な例
上式を使って、ϕ1 を表すと、∫ ∞ϕ1 =sin (k x) e−k (y+h) dk A2 U

555

(y > −h)(9.3.47) 式に代入し、y = 0 を代入すると、
(∫
∞

K0

0

(9.3.51)
上式は当然ながら、質量保存の方程式を満足している。

−

この式にならって、ϕ2 に f (k) を導入し、下記とする。
∫ ∞ϕ2 =f (k) sin (k x) ek y dk
(9.3.52)

0

subst([PH11],EQU1);∫ ∞)k e−h k sin (k x) dk A2 U

0

−

∫ ∞
∫ ∞

k 2 e−h k sin (k x) dk A2 U

00

以上から、速度ポテンシャル：ϕ は次式となる。
∫ ∞ϕ=sin (k x) e−k (y+h) dk A2 U
0(9.3.53)∫ ∞ky+f (k) sin (k x) e dk

k f (k) sin (k x) dk
0−

k 2 f (k) sin (k x) dk = 00

上式が常に成り立つためには、被積分関数をとって、()
K0 k f (k) sin (k x) − k e−h k sin (k x) A2 U

− k 2 e−h k sin (k x) A2 U − k 2 f (k) sin (k x) = 0

f (k) を求めると、

ev(%,diff);
f (k) = −EQUB1:factor(%);
subst([PH11],EQ21);
ev(%,diff);(k + K0 ) e−h k A2 U
k − K0上式を (9.3.53) 式に代入すると、subst([y=0],%);
K[0]*((k*f(k)*sin(k*x))-(k*%e^(-h*k)*ϕ=sin(k*x))*A^2*U)-(k^2*%e^(-h*k)*sin(k*x))*A^2*U(k^2*f(k)*sin(k*x))=0;x A2 U2(y + h) + x2
∫ ∞(k + K0 ) sin (k x) ek y−h k−
dk A2 Uk−K
00(y < h)FK1:solve(%,f(k))[1];PH2:subst([A1,B1,FK1],PH1);
K2:K[2]=2*K[0];次式の K2 を導入し、

K21:k-K[0]=l(k);K2 = 2 K0

K22:solve(%,l(k))[1];(9.3.54)

subst([k+K[0]=k-K[0]+K[2],K22],PH2);\phi=(x*A^2*U)/((y+h)^2+x^2)-’integrate((

上式を使って速度ポテンシャルを変形すると、(k-K[0])*sin(k*x)*%e^(k*y-h*k))/(k-K[0]),ϕ=k,0,inf)*A^2*U-’integrate(((K[2])*sin(k*x)*%e^(k*y-h*k))/(k-K[0]),k,0,inf)*A^2*U;
subst([K2],%);x A2 U2(y + h) + x2
∫ ∞(k + K2 − K0 ) sin (k x) ek y−h k−
dk A2 Uk−K
00

PH3:subst([’integrate(sin(k*x)*%e^(k*y-h*k),k,0,inf)=x/(x^2+(y-h)^2)],%);
PH31:\phi=rhs(PH3)-first(rhs(PH3));
PH32:\phi=first(rhs(PH3));
subst([%],ET11);ev(%,diff);

上式を展開し、∫ ∞sin (k x) ek y−h k
ϕ = − K2
dk A2 U
k
−
K
0
0
∫ ∞
x A2 Uk y−h k−sin (k x) e
dk A2 U +2(y + h) + x20ET2:subst([y=0],%);(9.3.53) 式の速度ポテンシャルを質量保存の方程式：(9.3.43) 式に代入すると、質量保存の方程式を満足していることが分かる。
次に、(9.3.53) 式の速度ポテンシャルを自由表面条件：

上式に (9.3.54) 式を代入し、∫ ∞sin (k x) ek y−h k
ϕ = − 2 K0
dk A2 U
k
−
K
0
0
∫ ∞
x A2 Usin (k x) ek y−h k dk A2 U +−2(y + h) + x2
0

第9章

556
右辺第二項の積分を実行し、∫ ∞sin (k x) ek y−h k
ϕ = − 2 K0
dk A2 Uk−K00x A2 Ux A2 U+−(y < h)22(y + h) + x2
(y − h) + x2
(9.3.55)

表面波

DINT0:(%e^(-h*k)*cos(k*x))/(k-K[0]);INT0:’integrate(DINT0,k,0,inf);
DINT01:subst([cos(k*x)=%e^(%i*(k*x))],DINT0);
INT01:’integrate(DINT01,k,0,inf);
INT1:IN[1]=realpart(%);

上式の右辺第二項は没水深度：h の一様流中の円柱を/* x>0表し、右辺第三項は円柱に対し、水面から対称の位置に/* IN[2]置いた逆の二重わき出しを表している。上式の右辺第二KI2:k=K[0]+\delta*%e^(%i*t);

項および第三項は下記となり、

ϕ=x A2 U2(y + h) + x2

−

*/
*/

DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);
CKI2:subst([k=K[0]],num(DINT01));x A2 U2(y − h) + x2

subst([KI2],1/denom(DINT0));

上式を (9.3.48) 式に代入すると零となり、上記の項は波DINT2:%*rhs(DKI2);を発生させない。そこで (9.3.55) 式の右辺第一項のみがintegrate(%,t,%pi,0);有効で次式となる。
∫ ∞sin (k x) ek y−h k
ϕ = −2 K0
dk A2 Uk−K
0
0%*CKI2;INT2:IN[2]=realpart(%);(y < h)(9.3.56)/* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);

上式を (9.3.48) 式に代入し、y = 0 とすると、波高：η

DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);

は、

subst([KI3],DINT01);
∫ ∞
η=2
0

k e−h k cos (k x)dk A2
k − K0%*rhs(DKI3);(9.3.57)

subst([K[0]=0],%);
DINT3:realpart(%);
IN[3]=’integrate(DINT3,t,0,%pi/2);’integrate((k*%e^(-h*k)*cos(k*x))/(k-K[0]),INT3:IN[3]=0;k,0,inf)+’integrate((-K[0]*%e^(-h*k)*/* IN[4]cos(k*x))/(k-K[0]),k,0,inf)=’integrate((

KI4:k=%i*b;%e^(-h*k)*cos(k*x)),k,0,inf);

DKI4:’diff(k,b,1)=%i;ev(%,integrate);

subst([KI4],DINT01)*rhs(DKI4);

DI3:lhs(%)-last(lhs(%))=rhs(%)-last(lhs(%));

realpart(%);

ET21:subst([DI3],ET2);

IN[4]=’integrate(DINT4,k,inf,0);
INT4:subst([x=abs(x)],%);(9.3.57) 式の右辺積分について、次式を考える。
∫ ∞∫ ∞ −h kk e−h k cos (k x)ecos (k x)
dk − K0
dk
k
−
K
k
−
K0
0
0
0
∫ ∞
=
e−h k cos (k x) dk
0*/

DINT4:subst([b=k],%);

INT1+INT2+INT3+INT4;
0=rhs(%);-%+rhs(INT1);
INT5:lhs(%)=last(rhs(%));(9.3.58) 式の括弧内第一項の積分を IN 1 とし、下記右辺の積分を実行し、左辺第二項を右辺に移項すると、 に示す線積分を使用して求める。
∫ ∞ −h k∫ ∞ −h k∫ ∞ecos (k x)ecos (k x)
k e−h k cos (k x)
IN
=
dk
1
dk =K0dk
k − K0k − K0k − K0000h
上式の cos (k x) → ei k x に置き換える。
+ 2
x + h2∫ ∞ i k x−h keIN 1 = ℜdkk − K00
上式を (9.3.57) 式に代入すると、()∫ ∞ −h kecos (k x)hη = 2 K0
A2
dk + 2k − K0x + h20(9.3.58)(9.3.59)(9.3.60)

9.3. 二次元波の簡単な例

557(1)x > 0 で |x| が十分大きい場合

IN4 について、k は下記のように表現でき、

k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は

k = i b,(9.3.60) 式の求める積分で、IN1 である。a 軸上の特異

d
k=i
db

点：k = K0 では、半径：δ の半円の積分で特異点を除

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は、b → k と置き換え

き、IN2 とする。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大て、実部をとると、∫ 0 −b x−i b h
ieIN 4 =dbi b − K0∞
∫ ∞(k cos (h k) − K0 sin (h k)) e−k |x|dk=−
k 2 + K02
0(9.3.63)

きい半径：R の円弧の線積分で、IN3 とする。b 軸上の線積分を IN4 とする。

(9.3.59) 式、(9.3.61) 式、(9.3.62) 式、(9.3.63) 式から、
IN 4 + IN 3 + IN 2 + IN 1
∫ ∞ −h kecos (k x)
=
dk
k
−
K0
0
∫ ∞
(k cos (h k) − K0 sin (h k)) e−k |x|−dk
k 2 + K020
+ π e−K0 h sin (K0 x) = 0

以上から、

∫ ∞

図 9.3.9: x > 0 の線積分0e−h k cos (k x)dkk − K00(k cos (h k) − K0 sin (h k)) e−k |x|dk
k 2 + K02

IN 1 =∫ ∞IN2 について、k は下記のように表現でき、=

dk = i δ ei tdt

k = δ ei t + K0 ,− π e−K0 h sin (K0 x)t = π → 0 の積分結果は、下記となり、半径：δ が十分小さいとし、実部をとると、∫ 0i dt = −i π ei K0 x−K0 h
IN 2 =ei K0 x−K0 hπIN3 について、k は下記のように表現でき、
dk = i ei t R
dt

t = 0 → π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 となり、x > 0, R > 0, h > 0sin(t) > 0, cos(t) > 0 で次式下線部が → −∞ となり、
∫ π2
it
it
i R ei e x R−h e R+i t
dt
IN 3 =
ei t R − K0
0
∫ π2
it
it
=
i ei e x R−h e R dt
0=−e−h k cos (k x)dkk − K0=−πe(9.3.61)∫ π2∫ ∞IN 1 =
0=π e−K0 h sin (K0 x)

k = ei t R,

|x| が十分大きいとき、上式は次式となる。

e −sin(t) x R−h cos(t) R0× sin (cos (t) x R − h sin (t) R) dt=0(9.3.62)−K0 h

sin (K0 x)(9.3.64)(x > 0)

第9章

558/* x<0/* IN[2]*/*/integrate(DINT2,t,-%pi,0);%*CKI2;/* IN[3]t = −π → 0 の積分結果は、下記となり、半径：δ が十分小さいとし、実部をとると、∫ 0
IN 2 =ei K0 x−K0 h
i dt = −i π ei K0 x−K0 h
−π

=−πe

INT2:IN[2]=realpart(%);

表面波

−K0 h

sin (K0 x)(9.3.65)*/

IN[3]=’integrate(DINT3,t,0,-%pi/2);

IN3 について、(9.3.62) 式から、t = 0 → −π/2 のINT3:IN[3]=0;

積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき/* IN[4]R >> K0 となり、x < 0, R > 0, h > 0*/

KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=-%i;
subst([KI4],DINT01)*rhs(DKI4);sin(t) < 0, cos(t) > 0 で次式下線部が → −∞ となり、
∫ 0
IN 3 =
e −sin(t) x R−h cos(t) R−f racπ2

realpart(%);× sin (cos (t) x R − h sin (t) R) dt

DINT4:subst([b=k],%);
IN[4]=’integrate(DINT4,k,inf,0);=0(9.3.66)

INT4:subst([x=-abs(x)],%);
INT1+INT2+INT3+INT4;
0=rhs(%);

IN4 について、k は下記のように表現でき、
k = −i b,-%+rhs(INT1);
INT6:lhs(%)=first(rhs(%));

dk = −idb

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は下記となる。b → kと置き換えて、実部をとると、∫ 0i eb x+i b h
a 軸上は (9.3.60) 式の求める積分：IN1 である。a 軸
IN 4 =−−i b − K0∞上の特異点：k = K0 では、半径：δ の半円の積分で特異∫ ∞(K0 sin (h k) − k cos (h k)) e−k |x|
点を除き、IN2 とする。a 軸から −b 軸に至る線積分は、
dk=
k 2 + K020
十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN3 とする。b
(9.3.67)
軸上の線積分を IN4 とする。
(9.3.59) 式、(9.3.65) 式、(9.3.66) 式、(9.3.67) 式から、

(2)x < 0 で |x| が十分大きい場合、IN 4 + IN 3 + IN 2 + IN 1
∫ ∞ −h kecos (k x)dk=
k − K00∫ ∞(K0 sin (h k) − k cos (h k)) e−k |x|+dk
k 2 + K020
− π e−K0 h sin (K0 x) = 0

以上から、∫ ∞ −h kecos (k x)
IN 1 =
dkk−K00

図 9.3.10: x < 0 の線積分

IN2 について、k は下記のように表現でき、
k = δ ei t + K0 ,dk = i δ ei tdt

=π e−K0 h sin (K0 x)∫ ∞(K0 sin (h k) − k cos (h k)) e−k |x|dk−
k 2 + K020|x| が十分大きいとき、次式となる。
∫ ∞ −h kecos (k x)
IN 1 =dkk − K0
0
=π e

−K0 h

sin (K0 x)(x < 0)(9.3.68)

9.3. 二次元波の簡単な例

559

ET21;
INT6*2*K[0]*A^2;
lhs(ET21)=rhs(ET21)-rhs(%);
subst([INT5],%);
expand(%);
ET3:lhs(%)=last(rhs(%));
subst([K1],rhs(%));
subst([h=0.5,g=9.8,A=0.3],%);
plot2d([subst([U=1],%),subst([U=2],%),
subst([U=3],%),subst([U=4],%)],[x,0,20],[legend, "U=1m/s","U=2m/s","U=3m/s","U=4m/s"]);
R1:D=((rhs(ET3))/sin(K[0]*x))^2*g*\rho/4;
subst([K1],%);

図 9.3.11: 没水二次元円柱による波diff(rhs(%),U,1)=0;
solve(%,U)[2];二次元円柱の半径：A = 0.3m において、(9.3.71) 式

subst([K1,g=9.8,A=0.3,\rho=102,U=t],の円柱の造波抵抗を下図に示す。

rhs(R1));
plot2d([subst([h=0.4],%),subst([h=0.6],%),
subst([h=0.8],%),subst([h=1],%)],[t,0,5],[legend, "h=0.4m","h=0.6m","h=0.8m","h=1m"],[xlabel, "U m/s"]);
円柱の十分前方（進行方向）：x < 0 では (9.3.68) 式から、x → −∞ でその右辺項が残り、前方に波があることになる。これは実現象に矛盾する。そこで、(9.3.68)
式の右辺項を引くことで、円柱の十分前方に波が無くなり、波高は次式となる。
)(∫ ∞ −h khecos (k x)
dk + 2A2
η =2 K0
k − K0x + h20− 2 π K0 e−K0 h sin (K0 x) A2(9.3.69)
図 9.3.12: 没水二次元円柱による造波(9.3.64) 式から円柱の十分後方の波高は次式となる。
η = −4 π K0 e−K0 h sin (K0 x) A2(9.3.70)(9.3.39) 式から、円柱の抵抗は、K0 = Ug2 を代入し、
ρ g η24=4 π 2 K02 g e−2 K0 h ρ A4D==

4 π 2 g 3 ρ A4 e
U4

(9.3.71)− 2Ug2h

上式を U で微分し、抵抗が最大となる速度：U は、

U=

√ √
g h

(9.3.70) 式を基に、二次元円柱の半径：A = 0.3m、没水深度：h = 0.5m の時の波形を下図に示す。速度が速くなると波長が長くなっている。

第9章

560

例題 9.3.4 周期的に変動するわき出し強さによる二次元波表面波

K1:K[0]=\omega^2/g;
K2:solve(K1,g)[1];

水面下 h にあるわき出し（強さ：m）が周期的に変動するときに生ずる波について調査する1 。波のない平衡状態での水面を x 軸とし、わき出しの中心を通り、鉛直
上方に y 軸をとる。水深は十分深く、わき出しが起こした波高：η 、水の密度：ρ、重力加速度：g 、時間：t、圧力：p とする。

subst([PH0],FS11);ev(%,diff);
expand(%/%e^(%i*omega*t));
FS2:subst([K2,\mu=\mu*\omega/K[0]],%);
subst([PH0,A0,\mu=0],ET1);ev(%,diff);
subst([K2],%);
AM1:factor(%/%e^(%i*omega*t));
CAM1:coeff(rhs(AM1),\phi);
わき出しの強さ：m が円周波数：ω で周期的に変動す
る速度ポテンシャル：Φ を次式で表現する。

Φ = ϕ ei ω t(9.3.72)

質量保存の方程式は、(9.1.1) 式から次式となる。

d2
d2
Φ
+
Φ=0
d y2
d x2

図 9.3.13: 周期的に変動するわき出し強さによる波(9.3.73)

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(9.1.3)
式で高次の微小項を省き、粘性修正：µ Φ を導入すると次式となる。

/* 二次元振動わき出しによる波の伝搬 \mu*/kill(all);load("vector");depends(\eta,[x,t]);depends(\Phi,[x,y,t]);

gy+

p
d
+
Φ + µΦ = Cρ dt(9.3.74)

水面の運動学的条件で高次の微小項を省くと、(9.1.5)式から次式となる。

d
d
Φ−
η=0
dy
dt

depends(\phi,[x,y]);assume(g>0);(9.3.75)

assume(y>0);

Bernoulli の定理：(9.3.74) 式で自由表面では圧力：passume(h>0);は一定であるから、C → p/ρ と置き換え、また、y → ηassume(K[0]>0);と置き換えると、

assume(m>0);
assume(\omega>0);PH0:\Phi=\phi*%e^(%i*\omega*t);
A0:\eta=A*%e^(%i*\omega*t);
EQ1:’diff(Phi,y,2)+’diff(Phi,x,2)=0;
BE1:p/\rho+g*y+\mu*\Phi+diff(\Phi,t,1)=C;
FS1:diff(\Phi,y,1)-diff(\eta,t,1)=0;
subst([C=p/\rho,y=\eta],BE1);
ET1:expand(solve(%,\eta)[1]);diff(%,t,1);
FS11:subst([%],FS1);
ET11:subst([\mu=0],ET1);
subst([PH0],EQ1);
ev(%,diff);
EQ2:factor(%/(%e^(%i*omega*t)));1 船舶技術研究所、流力研究グループ：船舶流体力学ノート (2)-2

次元動揺問題の解法について-、造船協会誌第 534 号、1973.12 P.659dpp+
Φ + µΦ + ηg =ρ dt
ρ上式から、波高：η を求めると、dη = − dt
g

Φ

−

µΦ
g

(9.3.76)

上式を t で微分すると、
2

d
µ
d
2 Φ
η = − dt
−
dt
g

(d

dt Φ

)

g

上式を水面の運動学的条件：(9.3.75) 式に代入すると、次式の自由表面条件が得られる。
)(
d2µ ddt Φd2 Φ
Φ + dt+=0dygg(9.3.77)

また、波高：η は (9.3.76) 式から、µ = 0 として、d

η = − dtgΦ(9.3.78)

9.3. 二次元波の簡単な例

561

質量保存の方程式：(9.3.73) 式に (9.3.72) 式を代入し、整理すると、

d2
d2
ϕ
+
ϕ=0
d y2
d x2

(9.3.79)

自由表面条件：(9.3.77) 式に (9.3.72) 式を代入し、整理すると、

ω2 ϕ i µ ω ϕ
d
ϕ−
+
=0
dy
g
g

上式を積分し、()∫ ∞log y 2 + x2
cos (k x) e−k y
=−
dk
2
k
0

(9.3.83)以上から、水面下 h にわき出しがある場合の速度ポテ

下記の置き換えを行い、

K0 =

また、次式の積分公式：(A.9.12) 式、658 頁から、
∫ ∞x=sin (k x) e−k y dk (y > 0)y 2 + x20

ンシャルは次式で表せる。次式は当然ながら、質量保存ω2g(9.3.80)

上記の自由表面条件に代入し、µ を次式のように再定
義すると、

dϕ + i µ ϕ − K0 ϕ = 0
dy(9.3.81)の方程式を満足している。
()
2
m log (y + h) + x2
ϕ1 =
2
∫ ∞
cos (k x) e−k (y+h)
=−m
dk
k
0

(y > −h)(9.3.84)

上式にならって、ϕ2 に F (k) を導入し下記とする。次PH1:\phi=\phi[1]+\phi[2];式も当然ながら、質量保存の方程式を満足している。
∫ ∞ϕ2 = mF (k) cos (k x) ek y dk
(9.3.85)

PH11:\phi[1]=m*log(sqrt(x^2+y^2));
DIN1:%e^(-k*y)*sin(k*x);0

IN1:x/(x^2+y^2)=’integrate(DIN1,k,0,inf);

次に、(9.3.84) 式、(9.3.85) 式の被積分関数は下記とev(%,integrate);

なる。

IN21:integrate(lhs(IN1),x);DIN22:integrate(DIN1,x);ϕ′ = F (k) m cos (k x) ek y −IN22:’integrate(DIN22,k,0,inf);
IN2:IN21=IN22;
IN31:subst([y=y+h],IN21);

m cos (k x) e−k (y+h)
k(9.3.86)

上式を自由表面条件：(9.3.81) 式に代入し、y = 0 とし、F (k) を求めると、

DIN32:subst([y=y+h],DIN22);
PH31:\phi[1]=m*IN31;
PH311:\phi[1]=m*’integrate(DIN32,k,0,inf);

F (k) =

e−h k (i µ − k − K0 )k (i µ + k − K0 )(9.3.87)

PH312:rhs(PH31)=rhs(PH311);
DPH31:m*DIN32;
DPH32:-m*F(k)*subst([-k*y=k*y],DIN22*k);PH32:\phi[2]=’integrate(DPH32,k,0,inf);

K3:K[1]=k-K[0]+%i*\mu;
K4:solve(K3,K[0])[1];
subst([K4],FK1);

PH33:\phi=DPH31+DPH32;

FK2:expand(%);

subst([PH33],FS2);

FK21:first(rhs(FK2));ev(%,diff);last(rhs(FK2));

subst([y=0],%);

FK22:subst([K3],%);

solve(%,F(k))[1];

DPH41:subst([F(k)=FK21],DPH32);

FK1:factor(%);

PH41:\phi[21]=’integrate(DPH41,k,0,inf);
速度ポテンシャル：ϕ を下記の ϕ1 , ϕ2 に分ける。ϕ1 はsubst([y+h=-y+h],-PH312);

無限流体中のわき出しを表す速度ポテンシャルで、ϕ2 はPH411:\phi[21]=lhs(%);

自由表面条件などを満足するように ϕ1 を補正する関数

DPH42:subst([F(k)=FK22],DPH32);とする。

PH42:\phi[22]=’integrate(DPH42,k,0,inf);
ϕ = ϕ2 + ϕ1

PH4:\phi=\phi[1]+\phi[21]+\phi[22];

わき出し強さ：m の二次元速度ポッテンシャルは、(5.1.31) 式、97 頁から、()
m log y 2 + x2
ϕ1 = m log r =2

PH41:subst([PH31,PH411,PH42],%);
AM2:subst([PH41,y=0],AM1);
IN0:IN[0]=’integrate(DPH42,k,0,inf);(9.3.82)

第9章

562(9.3.87) 式を展開すると、(9.3.92) 式の積分を分解し、

e−h k
2 e−h kF (k) =−ki µ + k − K0

(9.3.88)∫ ∞ek y+i k x−h kdk
i µ + k − K00
∫ ∞ k y−i k x−h ke−mdk
i µ + k − K00

IN 0 = − m

上式右辺第一項を (9.3.85) 式に代入し、ϕ21 とし、(9.3.83)
式から、次式となる。
∫ ∞cos (k x) ek y−h k
ϕ21 =mdkk0()
2
m log (h − y) + x2
=−
2

表面波

ここで、

(9.3.93)
k y+i k x−h kedkiµ + k − K00
∫ ∞ k y−i k x−h kedk
IN 2 = −mi µ + k − K00(y < h)(9.3.89)∫ ∞IN 1 = −m(1)x > 0 の場合(9.3.88) 式右辺第二項を (9.3.85) 式に代入し、ϕ22 とし、次式となる。
∫ ∞cos (k x) ek y−h k
ϕ22 = −2 mdk
i µ + k − K00(y < h)(9.3.90)以上から、速度ポテンシャル：ϕ は、(9.3.84) 式、/* x>0IN1 *//* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DIN1)*rhs(DKI3);(9.3.89) 式、(9.3.90) 式から、

subst([K[0]=0,\mu=0],%);
ϕ =ϕ22 + ϕ21 + ϕ1
∫ ∞cos (k x) ek y−h k= − 2mdk
i µ + k − K00()
2
m log (y + h) + x2
+
( 2
)
2
m log (h − y) + x2−(−h < y < h)2
(9.3.91)

IN[13]=’integrate(realpart(%),t,0,%pi/2);
IN3:IN[13]=0;/* IN[4]*/KI4:k=%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN1)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[14]=’integrate(DIN4,k,inf,0);IN[1]+IN[13]+IN[14]=0;

上式右辺第二項、第三項の波高を求めると零となるの

subst([IN3,IN4],%);

で、これを省き、右辺第一項のみが有効である。そこで、

IN11:solve(%,IN[1])[1];

この積分について調べる。
∫ ∞cos (k x) ek y−h kdk
ϕ = IN 0 = −2 m
i µ + k − K00(a)IN 1 の積分(y < h)(9.3.92)k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は求める積分で、IN1 である。a 軸から b 軸に至る線積分

CS1:cos(k*x)=%e^(%i*k*x)/2+%e^(-%i*k*x)/2;

は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN13 とす

DIN0:expand(subst([CS1],DPH42));る。b 軸上の線積分を IN14 とする。この線積分内に特DIN1:first(DIN0);

異点はない。

DIN2:last(DIN0);
IN1:IN[1]=’integrate(DIN1,k,0,inf);
IN2:IN[2]=’integrate(DIN2,k,0,inf);
IN01:IN[0]=rhs(IN1)+rhs(IN2);(9.3.92) 式の cos (k x) を下記で置き換える。
cos (k x) =ei k xe−i k x+22IN13 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x > 0, y < h, R > 0,sin(t) > 0, cos(t) > 0 から、

9.3. 二次元波の簡単な例

563/* x>0IN2 *//* IN[2]*/KI2:k=K[0]+-%i*\mu+\delta*%e^(%i*t);
DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);
CKI22:subst([KI2,\delta=0,\mu=0],num(DIN2));
subst([KI2],1/denom(DIN2));%*rhs(DKI2);
integrate(%,t,0,2*%pi);%*CKI22;
IN2:IN[22]=%;/* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);

図 9.3.14: x > 0, IN 1 の積分

DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DIN2)*rhs(DKI3);
subst([K[0]=0,\mu=0],%);
∫ π2

it

−

IN 13 =
0∫ π2
0i m ei t R ee y R+i e x R−h eei t R + i µ − K0
it−i m ee

=

∫ π2

=m
0

it

y R+i ei t x R−h ei t RitIN[23]=’integrate(realpart(%),t,0,-%pi/2);R

dt

IN3:IN[23]=0;/* IN[4]dtecos(t) y R−sin(t) x R−h cos(t) R(× sin sin (t) y R + cos (t) x R)− h sin (t) R dt

=0*/

KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN2)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[24]=’integrate(DIN4,k,inf,0);IN[2]+IN[22]+IN[23]+IN[24]=0;
subst([IN2,IN3,IN4],%);
IN21:solve(%,IN[2])[1];(9.3.94)
IN14 について、k は下記のように表現でき、
k = i b,dk=idb

IN[0]=rhs(IN11)+rhs(IN21);
realpart(%);
PH5:\phi=factor(rhs(%)-last(rhs(%)))+last(rhs(%))+rhs(PH31)+rhs(PH411);
PH51:\Phi=%e^(%i*\omega*t)*(rhs(IN11)b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → k+rhs(IN21)+rhs(PH31)+rhs(PH411));に置き換えて、下記となる。
∫ 0
i m ei b y−b x−i b h
IN 14 =−db
i µ + i b − K0∞
∫ ∞ i k y−k x−i h k
e
=i m
dk
i k − K00

subst([%],ET11);ev(%,diff);
subst([y=0],%);(9.3.95)

trigreduce(%);
ET5:lhs(%)=factor(first(rhs(%)))

また、下記の関係があり、+last(rhs(%));

IN 14 + IN 13 + IN 1 = 0(b)IN 2 の積分

IN 1 は (9.3.94) 式、(9.3.95) 式から下記となる。
IN 1 = −i m∫ ∞0ei k y−k x−i h kdk
i k − K0

realpart(%);(9.3.96)k を複素平面で表現し、k = a+i b とする。a 軸上は求める積分で、IN2 である。線積分内の特異点：k = K0 −i µでは、半径：δ の円の積分で特異点を除き、IN22 とする。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN23 とする。b 軸上の線積分を IN24
とする。

第9章

564

表面波

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → kに置き換えて、下記となる。
∫ 0
i m e−i b y−b x+i b h
IN 24 =dbi µ − i b − K0∞
(9.3.99)∫ ∞ −i k y−k x+i h ke= − imdk−i k − K00
また、下記の関係があり、IN 24 + IN 23 + IN 22 + IN 2 = 0
IN 2 は (9.3.97) 式、(9.3.98) 式、(9.3.99) 式から下記
となる。

∫ ∞
IN 2 =i m0e−i k y−k x+i h k
dk−i k − K0+ 2iπme
図 9.3.15: x > 0, IN 2 の積分(9.3.100)K0 y−i K0 x−K0 h(9.3.93) 式、(9.3.96) 式、(9.3.99) 式から ϕ は下記となる。

IN22 について、k は下記のように表現でき、

ϕ = − 2m

半径：δ が十分小さいとし、t = 0 → 2 π の積分結果は下記となる。

e−k x
2
k + K02(

K0 sin (k (y − h)))+ k cos (k (y − h)) dk()
2
m log (y + h) + x20dk = i δ ei tdt

k = δ ei t − i µ + K0 ,

∫ ∞

+

∫ 2π
IN 22 = − m eK0 y−i K0 x−K0 h= − 2iπme

i dt

0K0 y−i K0 x−K0 h(9.3.97)2+ 2 π m sin (K0 x) eK0 y−K0 h()
2m log (h − y) + x2−
2
(9.3.101)

IN23 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → −π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x > 0, y < h,

R > 0, sin(t) < 0, cos(t) > 0 から、
∫ 0

it

it

it

i m ei t R ee y R−i e x R−h e
IN 23 =−
ei t R + i µ − K0
−π
2
∫ 0
it
it
it
=
−i m ee y R−i e x R−h e R dt
−π
2

=−m

R

dt

∫ 0
ecos(t) y R+sin(t) x R−h cos(t) R−π2(
× sin sin (t) y R − cos (t) x R)− h sin (t) R dt

=0(9.3.98)
IN24 について、k は下記のように表現でき、
k = −i b,dk = −idb

また、Φ は (9.3.72) 式から(∫ ∞ i k y−k x−i h k
e
iωt
Φ=e
− im
dk
i k − K00
∫ ∞ −i k y−k x+i h k
e
+ im
dk
−i k − K00()
2
m log (y + h) + x2
(9.3.102)+2+ 2 i π m eK0 y−i K0 x−K0 h())
2m log (h − y) + x2−
2
波高：η は (9.3.78) 式から得られ、y = 0 として、その実部を整理して下記となる。右辺第一項は |x| → ∞で零となる波で、右辺第二項は x の正の方向に進行する波を表している。

2mω
η=sin (ω t)g∫ ∞0(K0 sin (h k) − k cos (h k)) e−k xdk
k 2 + K02

2 π e−K0 h m ω+cos (K0 x − ω t)g
(9.3.103)

9.3. 二次元波の簡単な例

565(2)x < 0 の場合/* x<0IN2 *//* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);sin(t) > 0, cos(t) > 0 から、∫ π2
IN 23 =mecos(t) y R+sin(t) x R−h cos(t) R0(× sin sin (t) y R − cos (t) x R)− h sin (t) R dt

subst([KI3],DIN2)*rhs(DKI3);=0subst([K[0]=0,\mu=0],%);(9.3.104)

IN[23]=’integrate(realpart(%),t,0,%pi/2);

IN24 について、k は下記のように表現でき、

IN3:IN[23]=0;/* IN[4] */KI4:k=%i*b;

d
k=i
db
b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → k
k = i b,

DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN2)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[24]=’integrate(DIN4,k,inf,0);IN[2]+IN[23]+IN[24]=0;
subst([IN3,IN4],%);
IN21:solve(%,IN[2])[1];に置き換えて、下記となる。
∫ 0
i m ei b y+b x−i b h
IN 24 =−db
i µ + i b − K0∞
∫ ∞ i k y+k x−i h k
e
=i m
dk
i k − K00(9.3.105)

また、下記の関係があり、IN 24 + IN 23 + IN 2 = 0(b)IN 2 の積分
k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は求める積分で、IN2 である。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN23 とする。b 軸上の線積分を IN24 とする。この線積分内に特異点はない。

IN 2 は (9.3.104) 式、(9.3.105) 式から下記となる。
∫ ∞ i k y+k x−i h keIN 2 = −i mdk
(9.3.106)i k − K00/* x<0IN1 *//* IN[2]*/KI2:k=K[0]+-%i*\mu+\delta*%e^(%i*t);
DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);
CKI22:subst([KI2,\delta=0,\mu=0],num(DIN1));
subst([KI2],1/denom(DIN1));%*rhs(DKI2);
integrate(%,t,0,2*%pi);%*CKI22;
IN2:IN[12]=%;/* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
図 9.3.16: x < 0, IN 2 の積分

subst([KI3],DIN1)*rhs(DKI3);
subst([K[0]=0,\mu=0],%);
IN[23]=’integrate(realpart(%),t,0,-%pi/2);
IN3:IN[13]=0;

IN23 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x < 0, y < h, R > 0,/* IN[4]*/KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN1)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[14]=’integrate(DIN4,k,inf,0);

第9章

566

表面波

半径：δ が十分小さいとし、t = 0 → 2 π の積分結果は

IN[1]+IN[12]+IN[13]+IN[14]=0;
subst([IN2,IN3,IN4],%);

下記となり、IN 12 = −2 i π m eK0 y+i K0 x−K0 h

IN11:solve(%,IN[1])[1];IN[0]=rhs(IN11)+rhs(IN21);(9.3.107)

IN13 について、k は下記のように表現でき、

realpart(%);
k = ei t R,

PH6:\phi=factor(rhs(%)-last(rhs(%)))

dk = i ei t R
dt+last(rhs(%))+rhs(PH31)+rhs(PH411);

t = 0 → −π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R がPH61:\Phi=%e^(%i*\omega*t)*(rhs(IN11)

十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x < 0, y < h,+rhs(IN21)+rhs(PH31)+rhs(PH411));

R > 0, sin(t) < 0, cos(t) > 0 から、∫ 0
IN 23 = − mecos(t) y R−sin(t) x R−h cos(t) R

subst([%],ET11);ev(%,diff);−π2(
× sin sin (t) y R + cos (t) x R)− h sin (t) R dt

subst([y=0],%);
realpart(%);
trigreduce(%);
ET6:lhs(%)=factor(first(rhs(%)))+last(rhs(%));=0

ET7:\eta[0]=abs(coeff(rhs(ET6),cos(K[0]*x(9.3.108)+\omega*t)));IN14 について、k は下記のように表現でき、(a)IN 1 の積分

k = −i b,k を複素平面で表現し、k = a+i b とする。a 軸上は求める積分で、IN1 である。線積分内の特異点：k = K0 −i µでは、半径：δ の円の積分で特異点を除き、IN12 とする。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN13 とする。b 軸上の線積分を IN14とする。

dk = −idb

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → kに置き換えて、下記となる。
∫ 0
i m e−i b y+b x+i b h
IN 14 =dbi µ − i b − K0∞
∫ ∞ −i k y+k x+i h ke= − imdk−i k − K00(9.3.109)

また、下記の関係があり、IN 14 + IN 13 + IN 12 + IN 1 = 0
IN 1 は (9.3.107) 式、(9.3.108) 式、(9.3.109) 式から下
記となる。

∫ ∞
IN 1 =i m0e−i k y+k x+i h k
dk−i k − K0(9.3.110)+ 2 i π m eK0 y+i K0 x−K0 h(9.3.93) 式、(9.3.106) 式、(9.3.110) 式から ϕ は下記となる。

ϕ = − 2m∫ ∞ek x
k 2 + K02(

K0 sin (k (y − h)))+ k cos (k (y − h)) dk()
2
m log (y + h) + x20

図 9.3.17: x < 0, IN 1 の積分+

IN12 について、k は下記のように表現でき、
k = δ ei t − i µ + K0 ,dk = i δ ei tdt

2
− 2 π m sin (K0 x) eK0 y−K0 h()
2m log (h − y) + x2−
2
(9.3.111)

9.3. 二次元波の簡単な例

567

また、Φ は (9.3.72) 式から(∫ ∞ i k y+k x−i h k
e
iωt
Φ=e
− im
dk
i k − K00
∫ ∞ −i k y+k x+i h k
e
+ im
dk
−i k − K00()
2
m log (y + h) + x2
(9.3.112)+2+ 2 i π m eK0 y+i K0 x−K0 h())
2m log (h − y) + x2−
2
波高：η は (9.3.78) 式から得られ、y = 0 として、その実部を整理して下記となる。右辺第一項は |x| → ∞で零となる波で、右辺第二項は x の負の方向に進行する波を表している。

2mω
η=sin (ω t)g∫ ∞0(K0 sin (h k) − k cos (h k)) ek x
dk
k 2 + K02

2 π e−K0 h m ω+cos (K0 x + ω t)g
(9.3.113)
外部に進行していく波の波高：η0 は下記となる。

η0 =2 π e−K0 h m ωg(9.3.114)

第9章

568

例題 9.3.5 周期的に変動する二重わき出し強さによる二次元波

表面波

K2:solve(K1,g)[1];
subst([PH0],FS11);

水面下 h にある二重わき出しの強さ：m が周期的に変動するときに生ずる波について調査する。波のない平衡状態での水面を x 軸とし、わき出しの中心を通り、鉛直上方に y 軸をとる。水深は十分深く、二重わき出しが起こした波の高さ：η 、水の密度：ρ、重力加速度：g 、時
間：t、圧力：p とする。

ev(%,diff);
expand(%/%e^(%i*omega*t));
FS2:subst([K2,\mu=\mu*\omega/K[0]],%);
subst([PH0,A0,\mu=0],ET1);ev(%,diff);
subst([K2],%);
AM1:factor(%/%e^(%i*omega*t));
CAM1:coeff(rhs(AM1),\phi);
わき出しの強さ：m が円周波数：ω で周期的に変動す
る速度ポテンシャル：Φ を次式で表現する。

Φ = ϕ ei ω t(9.3.115)

質量保存の方程式は、(9.1.1) 式から次式となる。

d2
d2
Φ+
Φ=0
2
dy
d x2
図 9.3.18: 周期的に変動する二重わき出し強さによる波(9.3.116)

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(9.1.3)
式で高次の微小項を省き、粘性修正：µ Φ を導入すると次式となる。

gy+/* 二次元振動二重わき出しによる波の伝搬 \mukill(all);load("vector");

*/

p
d
+
Φ + µΦ = Cρ dt(9.3.117)

水面の運動学的条件で高次の微小項を省くと、(9.1.5)式から次式となる。

depends(\eta,[x,t]);depends(\Phi,[x,y,t]);

d
d
Φ−
η=0
dy
dt

depends(\phi,[x,y]);Bernoulli の定理：(9.3.117) 式で自由表面では圧力：p(9.3.118)

assume(g>0);

は一定であるから、C → p/ρ と置き換え、また、y → ηassume(y>0);と置き換えると、

assume(h>0);
assume(K[0]>0);
assume(m>0);
assume(\omega>0);PH0:\Phi=\phi*%e^(%i*\omega*t);
A0:\eta=A*%e^(%i*\omega*t);
EQ1:’diff(Phi,y,2)+’diff(Phi,x,2)=0;dpp+
Φ + µΦ + ηg =ρ dt
ρ上式から、波高：η を求めると、dη = − dt
g

Φ

−

µΦ
g

上式を t で微分すると、

BE1:p/\rho+g*y+\mu*\Phi+diff(\Phi,t,1)=C;
2

FS1:diff(\Phi,y,1)-diff(\eta,t,1)=0;
subst([C=p/\rho,y=\eta],BE1);
ET1:expand(solve(%,\eta)[1]);diff(%,t,1);
FS11:subst([%],FS1);
ET11:subst([\mu=0],ET1);
subst([PH0],EQ1);
ev(%,diff);
EQ2:factor(%/(%e^(%i*omega*t)));K1:K[0]=\omega^2/g;(9.3.119)

d
µ
d
2 Φ
η = − dt
−
dt
g

(d

dt Φ

)

g

上式を水面の運動学的条件：(9.3.118) 式に代入すると、次式の自由表面条件が得られる。
()
d2µ ddt Φdd t2 Φ
Φ+
+
=0
dy
g
g

(9.3.120)

また、波高：η は (9.3.119) 式から、µ = 0 として、d

η = − dtgΦ(9.3.121)9.3. 二次元波の簡単な例

569

質量保存の方程式：(9.3.116) 式に (9.3.115) 式を代入
し、整理すると、PH411:\phi[21]=lhs(%);

d2
d2
ϕ
+
ϕ=0
d y2
d x2

DPH42:subst([F(k)=FK22],DPH32);(9.3.122)

自由表面条件：(9.3.120) 式に (9.3.115) 式を代入し、整理すると、

PH42:\phi[22]=’integrate(DPH42,k,0,inf);
PH4:\phi=\phi[1]+\phi[21]+\phi[22];PH41:subst([PH31,PH411,PH42],%);
AM2:subst([PH41,y=0],AM1);dω2 ϕ i µ ω ϕ
ϕ−
+
=0
dy
g
g

IN0:IN[0]=’integrate(DPH42,k,0,inf);
CS1:sin(k*x)=%e^(%i*k*x)/(2*%i)

下記の置き換えを行い、

K0 =-%e^(-%i*k*x)/(2*%i);ω2g(9.3.123)

上記の自由表面条件に代入し、µ を次式のように再定
義すると、

dϕ + i µ ϕ − K0 ϕ = 0
dy

DIN0:expand(subst([CS1],DPH42));
DIN1:first(DIN0);
DIN2:last(DIN0);
IN1:IN[1]=’integrate(DIN1,k,0,inf);
IN2:IN[2]=’integrate(DIN2,k,0,inf);(9.3.124)

PH1:\phi=\phi[1]+\phi[2];F=-\mu/(x+%i*y);\Phi=realpart(rhs(%));

IN01:IN[0]=rhs(IN1)+rhs(IN2);
速度ポテンシャル：ϕ を下記の ϕ1 , ϕ2 に分ける。ϕ1 は無限流体中のわき出しを表す速度ポテンシャルで、ϕ2 は自由表面条件などを満足するように ϕ1 を補正する関数とする。

ϕ = ϕ2 + ϕ1

PH11:\phi[1]=m*x/(x^2+y^2);
DIN1:%e^(-k*y)*sin(k*x);
IN1:x/(x^2+y^2)=’integrate(DIN1,k,0,inf);

二重わき出しの複素速度ポッテンシャル：F は、(5.1.32)
式、98 頁から、

F =−IN31:subst([y=y+h],IN1);
DIN32:subst([y=y+h],DIN1);
PH31:\phi[1]=m*lhs(IN31);

上式の実部をとり、速度ポッテンシャル：Φ は、

µx
Φ=− 2
y + x2

PH311:\phi[1]=m*’integrate(DIN32,k,0,inf);
PH312:rhs(PH31)=rhs(PH311);
DPH31:m*DIN32;
DPH32:m*F(k)*subst([-k*y=k*y],DIN1);
PH32:\phi[2]=’integrate(DPH32,k,0,inf);
PH33:\phi=DPH31+DPH32;
subst([PH33],FS2);
ev(%,diff);
subst([y=0],%);
solve(%,F(k))[1];µiy + x

また、次式の積分公式：(A.9.12) 式、658 頁から、
∫ ∞x=sin (k x) e−k y dk (y > 0) (9.3.125)
y 2 + x20以上から、水面下 h に二重わき出しがある場合の速度
ポテンシャルは次式で表せる。次式は当然ながら、質量保存の方程式を満足している。上式の積分公式を使って、

mx

ϕ1 =

2

(y + h) + x2
∫ ∞=msin (k x) e−k (y+h) dk

FK1:factor(%);
K3:K[1]=k-K[0]+%i*\mu;(y > −h)0K4:solve(K3,k)[1];(9.3.126)

subst([K4],rhs(FK1));
FK2:expand(%);

上式にならって、ϕ2 に F (k) を導入し下記とする。次FK21:last(FK2);式も当然ながら、質量保存の方程式を満足している。
∫ ∞ϕ2 = mF (k) sin (k x) ek y dk
(9.3.127)

FK2-FK21;
factor(subst([K3],%));
FK22:subst([\mu=0],num(%))/denom(%);
DPH41:subst([F(k)=FK21,K3,\mu=0],DPH32);0

次に、(9.3.126) 式、(9.3.127) 式の被積分関数は下記となる。

expand(%);
PH41:\phi[21]=’integrate(DPH41,k,0,inf);
subst([y+h=-y+h],PH312);ϕ′ = m sin (k x) e−k (y+h) + F (k) m sin (k x) ek y
(9.3.128)

第9章

570
上式を自由表面条件：(9.3.124) 式に代入し、y = 0 と表面波(1)x > 0 の場合し、F (k) を求めると、

e−h k (i µ − k − K0 )i µ + k − K0
2 K0 e−h k=ei h µ−K1 h−K0 h +i µ + k − K0

F (k) = −(9.3.129)(h − y)*/DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DIN2)*rhs(DKI3);IN[3]=’integrate(realpart(%),t,0,%pi/2);(y < h)IN3:IN[13]=0;/* IN[4]mx2/* IN[3]subst([%i*\mu=K[0]],%);

0=IN2 */

KI3:k=R*%e^(%i*t);

上式右辺第一項を (9.3.127) 式に代入し、ϕ21 とし、(9.3.125) 式から、次式となる。
∫ ∞ϕ21 =msin (k x) e−k (h−y) dk/* x>0*/KI4:k=%i*b;+ x2(9.3.130)(9.3.129) 式右辺第二項を (9.3.127) 式に代入し、ϕ22とし、次式となる。
∫ ∞sin (k x) ek y−h kdk
ϕ22 = 2 K0 m
i µ + k − K00

DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN2)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[14]=’integrate(DIN4,k,inf,0);(y < h)subst([IN3,IN4],%);(9.3.131)以上から、速度ポテンシャル：ϕ は、(9.3.126) 式、(9.3.130) 式、(9.3.131) 式から、
ϕ =ϕ22 + ϕ21 + ϕ1
∫ ∞sin (k x) ek y−h k=2 K0 mdk
i µ + k − K0
0
mx
mx
+
+
2
2
2
(y + h) + x(h − y) + x2

IN[2]+IN[13]+IN[14]=0;
IN11:solve(%,IN[2])[1];(a)IN 2 の積分
k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は(9.3.132)

求める積分で、IN2 である。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN13 とする。b 軸上の線積分を IN14 とする。この線積分内に特異点はない。

上式右辺第一項の積分：IN 0 について調べる。
∫ ∞sin (k x) ek y−h k
IN 0 = 2 K0 m
dk (9.3.133)
i µ + k − K00(9.3.133) 式の sin (k x) を下記で置き換える。
sin (k x) =i e−i k x
i ei k x−22(9.3.133) 式の積分を分解し、∫ ∞ek y−i k x−h kdk
i µ + k − K00
∫ ∞ k y+i k x−h ke− i K0 m
dkiµ + k − K00

IN 0 =i K0 m

ここで、

∫ ∞

ek y−i k x−h k
IN 1 = i K0 m
dk
i µ + k − K00
∫ ∞ k y+i k x−h keIN 2 = −i K0 m
dki
µ + k − K00(9.3.134)

図 9.3.19: x > 0, IN 2 の積分

IN13 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x > 0, y < h, R > 0,sin(t) > 0, cos(t) > 0 から、

9.3. 二次元波の簡単な例

IN[23]=’integrate(realpart(%),t,0,-%pi/2);

∫ π2

it

0

=

it

K0 m R ee y R+i e x R−h eei t R + i µ − K 0

IN 13 =
∫ π2571

K0 m e e

0

it

it

y R+i ei t x R−h ei t R

IN3:IN[23]=0;

R+i t

dt

*/

KI4:k=-%i*b;
dt

∫ π2

ecos(t) y R−sin(t) x R−h cos(t) R0(× cos sin (t) y R + cos (t) x R)− h sin (t) R dt

=K0 m/* IN[4]DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN1)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[24]=’integrate(DIN4,k,inf,0);IN[1]+IN[22]+IN[23]+IN[24]=0;
subst([IN2,IN3,IN4],%);
IN21:solve(%,IN[1])[1];=0(9.3.135)
IN14 について、k は下記のように表現でき、
k = i b,(b)IN 1 の積分
k を複素平面で表現し、k = a+i b とする。a 軸上は求める積分で、IN1 である。線積分内の特異点：k = K0 −i µ

d
k=i
db

では、半径：δ の円の積分で特異点を除き、IN22 とす

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → kる。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R のに置き換えて、下記となる。
∫ 0
K0 m ei b y−b x−i b h
IN 14 =db
i µ + i b − K0∞
∫ ∞ i k y−k x−i h ke= − K0 m
dk
i k − K00円弧の線積分で、IN23 とする。b 軸上の線積分を IN24とする。

(9.3.136)

また、下記の関係があり、IN 14 + IN 13 + IN 2 = 0
IN 2 は (9.3.135) 式、(9.3.136) 式から下記となる。
∫ ∞IN 2 = K0 m
0/* x>0ei k y−k x−i h kdk
i k − K0(9.3.137)

IN1 *//* IN[2] */KI2:k=K[0]+-%i*\mu+\delta*%e^(%i*t);
DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);
CKI22:subst([KI2,\delta=0,\mu=0],num(DIN1)

図 9.3.20: x > 0, IN 1 の積分);
subst([KI2],1/denom(DIN1));%*rhs(DKI2);

IN22 について、k は下記のように表現でき、

integrate(%,t,0,2*%pi);
k = δ ei t − i µ + K0 ,%*CKI22;
IN2:IN[22]=%;/* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DIN1)*rhs(DKI3);
subst([%i*\mu=K[0]],%);dk = i δ ei t
dt

半径：δ が十分小さいとし、t = 0 → 2 π の積分結果は下記となり、∫ 2π
IN 22 =i K0 m eK0 y−i K0 x−K0 h= − 2 π K0 m e

i dt

0K0 y−i K0 x−K0 h(9.3.138)

第9章

572

表面波

IN23 について、k は下記のように表現でき、
ET52:realpart(rest(rhs(ET51),2));dk = i ei t Rdt

k = ei t R,

rest(rhs(ET51),-2);

t = 0 → −π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x > 0, y < h,realpart(%);

R > 0, sin(t) < 0, cos(t) > 0 から、

ET53:factor(%);

trigreduce(%);
ET5:lhs(ET51)=ET52+ET53;

∫ 0

it

it

it

K0 m ei t R ee y R−i e x R−h e
IN 23 =−
ei t R + i µ − K0
−π
2
∫ 0
it
it
it
=
−K0 m ee y R−i e x R−h e R dt
−π
2

R

dt

∫ ∞

ei k y−k x−i h kdk
i k − K00
∫ ∞ −i k y−k x+i h ke+ K0 mdk−i k − K00

IN 0 =K0 m

∫ 0

=K0 m

(9.3.134) 式、(9.3.137) 式、(9.3.141) 式から IN 0 は下記となる。

ecos(t) y R+sin(t) x R−h cos(t) R−π2(

× cos sin (t) y R − cos (t) x R)− h sin (t) R dt

(9.3.142)+ 2 π K0 m eK0 y−i K0 x−K0 h
ϕ は (9.3.132) 式から∫ ∞=0

ei k y−k x−i h kdk
i k − K00
∫ ∞ −i k y−k x+i h ke+ K0 mdk−i k − K00

ϕ =K0 m(9.3.139)

IN24 について、k は下記のように表現でき、
k = −i b,(9.3.143)

K0 y−i K0 x−K0 h+ 2 π K0 m e
mx
mx
+
+
2
2
2
(y + h) + x(h − y) + x2dk = −idb

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → kに置き換えて、下記となる。
∫ ∞K0 m e−i b y−b x+i b hdb
IN 24 =
i µ − i b − K00(9.3.140)∫ ∞ −i k y−k x+i h ke= − K0 m
dk−i k − K00
また、下記の関係があり、また、Φ は (9.3.115) 式から(∫ ∞ i k y−k x−i h k
e
iωt
Φ=e
K0 m
dk
i k − K00
∫ ∞ −i k y−k x+i h ke+ K0 mdk−i k − K00+ 2 π K0 m eK0 y−i K0 x−K0 h

IN 24 + IN 23 + IN 22 + IN 1 = 0+
IN 1 は (9.3.138) 式、(9.3.139) 式、(9.3.140) 式から下mx
2(y + h) + x2

+

)

mx
2

(h − y) + x2
(9.3.144)

記となる。

∫ ∞
IN 1 =K0 m0e−i k y−k x+i h k
dk−i k − K0+ 2 π K0 m e

波高：η は (9.3.121) 式から得られ、y = 0 として、そ(9.3.141)

K0 y−i K0 x−K0 hの実部を整理して下記となる。右辺第一項、第三項は|x| → ∞ で零となる波で、右辺第二項は x の正の方向に進行する波を表している。

IN[0]=rhs(IN11)+rhs(IN21);
realpart(%);
PH5:\phi=rhs(%)+rhs(PH31)+rhs(PH411);\phi=rhs(IN11)+rhs(IN21)+rhs(PH31)+rhs(PH411);
PH51:\Phi=%e^(%i*\omega*t)*(rhs(IN11)+rhs(IN21)+rhs(PH31)+rhs(PH411));subst([%],ET11);ev(%,diff);
subst([y=0],%);
ET51:expand(%);

2 K0 m ωsin (ω t)g∫ ∞(k sin (h k) + K0 cos (h k)) e−k x
×dk
k 2 + K02
02 π K0 −K0 hem ω sin (K0 x − ω t)−g
2 m ω sin (ω t) x+
g x 2 + g h2
(9.3.145)

η =−9.3. 二次元波の簡単な例

573(1)x < 0 の場合∫ π2
IN 13 =/* x<0IN1 *//* IN[3]

*/

0

∫ π2
=

it

−K0 m ee0KI3:k=R*%e^(%i*t);= − K0 m(

DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DIN1)*rhs(DKI3);
subst([%i*\mu=K[0]],%);

it

K0 m ei t R ee y R−i e x R−h e−ei t R + i µ − K0
∫ π2

it

y R−i ei t x R−h ei t R

it

R

dt

dt

ecos(t) y R+sin(t) x R−h cos(t) R

0cos sin (t) y R − cos (t) x R

IN[13]=’integrate(realpart(%),t,0,%pi/2);)

IN3:IN[13]=0;− h sin (t) R dt/* IN[4] */KI4:k=%i*b;=0

DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);(9.3.146)

subst([KI4],DIN1)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);

IN14 について、k は下記のように表現でき、

IN4:IN[14]=’integrate(DIN4,k,inf,0);
k = i b,IN[1]+IN[13]+IN[14]=0;

d
k=i
db

subst([IN3,IN4],%);

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → k

IN21:solve(%,IN[1])[1];に置き換えて、下記となる。
∫ 0
K0 m ei b y+b x−i b h
IN 14 =−db
i µ + i b − K0∞
∫ ∞ i k y+k x−i h k
e
=K0 m
dk
i k − K00(b)IN 1 の積分
k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は求める積分で、IN1 である。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN13 とする。b 軸上の線積分を IN14 とする。この線積分内に特(9.3.147)

また、下記の関係があり、異点はない。

IN 14 + IN 13 + IN 1 = 0
IN 2 は (9.3.146) 式、(9.3.147) 式から下記となる。
IN 1 = −K0 m∫ ∞0/* x<0IN2 *//* IN[2]*/ei k y+k x−i h kdk
i k − K0(9.3.148)

KI2:k=K[0]+-%i*\mu+\delta*%e^(%i*t);
DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);
CKI22:subst([KI2,\delta=0,\mu=0],num(DIN2));
subst([KI2],1/denom(DIN2));
図 9.3.21: x < 0, IN 1 の積分%*rhs(DKI2);
integrate(%,t,0,2*%pi);%*CKI22;
IN2:IN[22]=%;IN13 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x < 0, y < h, R > 0,sin(t) > 0, cos(t) > 0 から、/* IN[3]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DIN2)*rhs(DKI3);
subst([%i*\mu=K[0]],%);

第9章

574

表面波

IN[23]=’integrate(realpart(%),t,0,-%pi/2);
IN3:IN[23]=0;/* IN[4]*/KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DIN2)*rhs(DKI4);
DIN4:subst([b=k,\mu=0],%);
IN4:IN[24]=’integrate(DIN4,k,inf,0);IN[2]+IN[22]+IN[23]+IN[24]=0;
subst([IN2,IN3,IN4],%);
IN11:solve(%,IN[2])[1];IN[0]=rhs(IN11)+rhs(IN21);
realpart(%);
PH6:\phi=rhs(%)+rhs(PH31)+rhs(PH411);\phi=rhs(IN11)+rhs(IN21)+rhs(PH31)
図 9.3.22: x < 0, IN 2 の積分+rhs(PH411);
PH61:\Phi=%e^(%i*\omega*t)*(rhs(IN11)+rhs(IN21)+rhs(PH31)+rhs(PH411));

IN23 について、k は下記のように表現でき、

subst([%],ET11);ev(%,diff);k = ei t R,

subst([y=0],%);dk = i ei t R
dt

t = 0 → −π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R がET61:expand(%);
ET62:realpart(rest(rhs(ET61),2));十分大きいとき R >> K0 , µ となり、x < 0, y < h,rest(rhs(ET61),-2);

R > 0, sin(t) < 0, cos(t) > 0 から、∫ 0

realpart(%);

it

it

it

K0 m R ee y R+i e x R−h e R+i t
dt
ei t R + i µ − K0
−π
2
∫ 0
it
it
it
=
K0 m ee y R+i e x R−h e R dt

IN 23 =

trigreduce(%);
ET63:factor(%);
ET6:lhs(ET61)=ET62+ET63;−π2

ET7:\eta[0]=abs(coeff(rhs(ET6),sin(K[0]*x∫ 0= − K0 m+\omega*t)));ecos(t) y R−sin(t) x R−h cos(t) R−π2(
× cos sin (t) y R + cos (t) x R)− h sin (t) R dt(b)IN 2 の積分
k を複素平面で表現し、k = a+i b とする。a 軸上は求める積分で、IN2 である。線積分内の特異点：k = K0 −i µでは、半径：δ の円の積分で特異点を除き、IN22 とす=0(9.3.150)

る。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN23 とする。b 軸上の線積分を IN24とする。

IN24 について、k は下記のように表現でき、
k = −i b,

IN22 について、k は下記のように表現でき、
k = δ e − i µ + K0 ,itdk = i δ ei t
dt

半径：δ が十分小さいとし、t = 0 → 2 π の積分結果は下記となり、∫ 2π
IN 22 = − i K0 m eK0 y+i K0 x−K0 h

i dt
0

d
k = −idb

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、b → kに置き換えて、下記となる。
∫ 0
K0 m e−i b y+b x+i b h−
IN 24 =dbi µ − i b − K0∞
∫ ∞ −i k y+k x+i h k
e
=K0 m
dk
−i k − K00
また、下記の関係があり、=2 π K0 m eK0 y+i K0 x−K0 h(9.3.149)

IN 24 + IN 23 + IN 22 + IN 2 = 0(9.3.151)

9.3. 二次元波の簡単な例

575

IN 2 は (9.3.149) 式、(9.3.150) 式、(9.3.151) 式から下記となる。

IN 2 = − K0 m

∫ ∞0e−i k y+k x+i h k
dk−i k − K0(9.3.152)− 2 π K0 m eK0 y+i K0 x−K0 h(9.3.134) 式、(9.3.148) 式、(9.3.153) 式から IN 0 は下
記となる。

∫ ∞

ei k y+k x−i h kdk
i k − K00
∫ ∞ −i k y+k x+i h ke− K0 mdk−i k − K00

IN 0 = − K0 m

(9.3.153)− 2 π K0 m eK0 y+i K0 x−K0 h
ϕ は (9.3.132) 式から∫ ∞ei k y+k x−i h kdk
i k − K00
∫ ∞ −i k y+k x+i h kedk− K0 m−i k − K00

ϕ = − K0 m

(9.3.154)− 2 π K0 m eK0 y+i K0 x−K0 h
mx
mx
+
+
2
2
(y + h) + x2
(h − y) + x2
また、Φ は (9.3.115) 式から(∫

Φ = ei ω t∞

0

ei k y+k x−i h kdk
i k − K00e−i k y+k x+i h k
dk−i k − K0− K0 m− K0 m∫ ∞− 2 π K0 m eK0 y+i K0 x−K0 h+mx
2(y + h) + x2

+

)

mx
2

(h − y) + x2
(9.3.155)

波高：η は (9.3.121) 式から得られ、y = 0 として、その実部を整理して下記となる。右辺第一項、第三項は|x| → ∞ で零となる波で、右辺第二項は x の負の方向に進行する波を表している。
∫ ∞2 K0 m ω(k sin (h k) + K0 cos (h k)) ek xη=dksin (ω t)g
k 2 + K02
02 π K0 e−K0 h m ωsin (K0 x + ω t)g
2 m ω sin (ω t) x+
g x2 + g h2−

(9.3.156)
外部に進行していく波の波高：η0 は下記となる。

η0 =2 π K0 e−K0 h m ωg(9.3.157)

第9章

576

例題 9.3.6

二次元水中翼の水面影響

表面波

ev(%,diff);
subst([g*y=g*\eta],%);

水面下 h にある水中翼が速度：U で進行するときにsolve(%,\eta)[1];生ずる波の翼特性影響について調査する1 。波のない平expand(%);

衡状態での水面を x 軸とし、翼の進行方向と逆の方向を

BE2:lhs(%)=last(rest(rhs(%),-3))正とする。翼の中心を通り、鉛直上方に y 軸をとる。翼

+last(rhs(%));の弦長：Cl 、迎角：α とする。水深は十分深く、翼が起

diff(BE2,x);

こした波の高さ：η 、水の密度：ρ、重力加速度：g 、圧subst([%],FS2);

力：p とする。

FS21:expand(%*g/U^2);
K1:K[0]=g/U^2;
K11:solve(K1,g)[1];
FS22:subst([K11,\mu=\mu*U],FS21);
FS23:subst([\mu=0],FS22);
一様流速：U がある速度ポテンシャル：Φ は、次式で表現できる。

Φ = xU + ϕ(9.3.158)

質量保存の方程式は、(9.1.1) 式から次式となる。

d2
d2
Φ+
Φ=0
2
dy
d x2

図 9.3.23: 水中翼の水面影響(9.3.159)

上式に (9.3.158) 式を代入すると新たな質量保存の方
程式は次式となる。

/* 水中翼による波の伝搬

d2
d2
ϕ
+
ϕ=0
d y2
d x2

No.2 */

kill(all);load("vector");depends(\eta,[x]);depends(\Phi,[x,y]);depends(\phi,[x,y]);assume(g>0);
assume(y>0);(9.3.160)

水面の運動学的条件で、波高が十分小さいとし、高次の微小項を省くと、(9.1.13) 式から、
(
)
d
d
ϕ−
η U =0dy
dx(9.3.161)

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(9.1.3)
式で、粘性修正：µ Φ を導入すると次式となる。

(

assume(h>0);

d
dy Φ

)2
+

( d

dx Φ

)2

assume(k>0);

p
gy+ +
ρ

EQ1:’diff(Phi,y,2)+’diff(Phi,x,2)=0;

上式に (9.3.158) 式を代入、y → η と置き換え、高次assume(K[0]>0);

BE1:p/\rho+diff(\Phi,t,1)+g*y-\mu*\Phiの項を省くと、+(diff(\Phi,x,1)^2+diff(\Phi,y,1)^2)/2
µϕ
η=
−
g

=F(t);
FS1:diff(\Phi,y,1)-diff(\eta,t,1)=0;
PH0:\Phi=U*x+\phi;

d
η=
dx

EQ2:ev(%,diff);
FS2:-(’diff(\eta,x,1))*U+’diff(\phi,y,1)=0;
subst([F(t)=\p/\rho+U^2/2,PH0],BE1);

1 丸尾孟：水中翼に及ぼす水面の影響について、造船協会論文集第86 号、1949.11、 P.43

( d

dx ϕ

)

U

(9.3.163)g

上式を x で微分し、subst([PH0],EQ1);

ET1:\eta=-diff(\phi,x,1)*U/g;− µ Φ = F (t) (9.3.162)

2

µ

)
dx ϕ
−
g

( d

(

d2
d x2 ϕ)Ug

上式を水面の運動学的条件：(9.3.161) 式に代入する
と、、

−

µ

( d

dx ϕ

U

(

)

g
+

d
dy ϕ

U2

)
+

d2
ϕ=0
d x2

9.3. 二次元波の簡単な例

577
上式から、

下記の置き換えを行い、

K0 =

g
U2

(9.3.164)

上記の自由表面条件に代入し、µ を次式のように再定
義すると、
(
)
(
)
d
d
d2
K0
ϕ +
ϕ
−
µ
ϕ
=0
dy
d x2
dx

(9.3.165)

PH0:\phi=\phi[1]+\phi[2];dΓxϕ1 = −dy
2 π (y 2 + x2 )∫ ∞Γ=−sin (k x) e−k y dk
2π 0
上式を y で積分し、速度ポテンシャル：ϕ1 は、( )∫ ∞Γ atan xyΓsin (k x) e−k y
ϕ1 = −
=
dk
2π
2π 0
k
上式から、水面下：h にある水中翼の速度ポテンシャ

PH1:F=%i*\Gamma/2/%pi*log(x+%i*y);

ル：ϕ1 は次式となる。

PH11:\phi[1]=realpart(rhs(PH1));diff(PH11,y,1);

ϕ1 =DIN1:%e^(-k*y)*sin(k*x);
IN1:x/(x^2+y^2)=’integrate(DIN1,k,0,inf);
IN11:-IN1*\Gamma/2/%pi;
integrate(%,y);

∫ ∞

Γ
2π

0

sin (k x) e−k (y+h)
dkky > −h
(9.3.169)

ここで、下記と置けるから、()
sin (k x) = ℜ −i ei k x

DIN11:-DIN1*\Gamma/2/%pi;
水面下：h にある水中翼の速度ポテンシャル：ϕ1 は、

DPH1:integrate(DIN11,y);DPH11:subst([y=y+h],DPH1);
PH12:\phi[1]=’integrate(DPH11,k,0,inf);iΓ
ϕ1 = −2π∫ ∞0ei k x−k (y+h)
dkky > −h (9.3.170)

DPH2:F(k)*%e^(k*y)*sin(k*x);PH2:\phi[2]=’integrate(DPH2,k,0,inf);

上式は当然ながら、質量保存の方程式を満足している。この式にならって、ϕ2 に F (k) を導入し、y < 0 で

SN2:sin(k*x)=-(%i*%e^(%i*k*x));
DPH12:subst([SN2],DPH11);
DPH22:subst([SN2],DPH2);
PH14:\phi[1]=’integrate(DPH12,k,0,inf);
PH24:\phi[2]=’integrate(DPH22,k,0,inf);

成り立つように下記とする。
∫ ∞ϕ2 = −iF (k) ek y+i k x dk

(9.3.171)0上式から、速度ポテンシャル：ϕ は、

PH21:subst([PH14,PH24],PH0);
速度ポテンシャル：ϕ を下記の ϕ1 , ϕ2 に分ける。ϕ1 は無限流体中の二次元水中翼を表す速度ポテンシャルで、

ϕ2 は自由表面条件などを満足するように ϕ1 を補正する関数とする。

ϕ =ϕ1 + ϕ2
∫ ∞ i k x−k (y+h)
e
iΓ
dk
=−
2π 0
k
∫ ∞
−i
F (k) ek y+i k x dk0

ϕ = ϕ2 + ϕ1
二次元水中翼の渦糸の複素速度ポッテンシャル：F は、(5.1.31) 式、97 頁から、渦循環強さ：Γ の向きを右回りとして一般的に、

F =\phi=DPH22+DPH12;
subst([%],FS22);ev(%,diff);i Γ log (i y + x)2π(9.3.166)

solve(%,F(k))[1];

水中翼の速度ポテンシャル：ϕ1 は上式の実部をとり、

ϕ1 = −

Γ atan2 (y, x)
2π

subst([y=0],%);
FK1:factor(%);
K3:K[1]=k-K[0]-%i*\mu;(9.3.167)

K5:solve(K3,K[0])[1];
subst([K5,\mu=0],rhs(FK1));

上式を y で微分し、factor(%);Γxdϕ1 = −dy
2 π (y 2 + x2 )積分公式：(A.9.12) 式、658 頁から、
∫ ∞xsin (k x) e−k y dk y > 0=
y 2 + x20

FK2:expand(%);(9.3.168)(9.3.172)

第9章

578

表面波

ϕ1 および ϕ21 による原点の x 軸方向の渦の誘導速度

FK21:F(k)=first(FK2);
FK2-rhs(FK21);

について調べる。(9.3.170) 式の ϕ1 を x で微分すると、

FK22:F(k)=factor(subst([K3],%));

x 軸方向の誘導速度が得られ、x = 0, y = 0 を代入する

DPH221:subst([FK21],DPH22);と、原点における x 軸方向の誘導速度：u1 が得られる。

PH221:\phi[21]=’integrate(DPH221,k,0,inf);

当然ながら、水面下：h の右回りの渦の誘導速度となっ

DPH222:subst([FK22],DPH22);ている。

PH222:\phi[22]=’integrate(DPH222,k,0,inf);
PH3:\phi=\phi[1]+\phi[21]+\phi[22];PH31:subst([PH14,PH221,PH222],PH3);(9.3.172) 式の被積分関数は下記となる。
i Γ ei k x−k (y+h)− i F (k) ek y+i k x
2πk
上式を自由表面条件：(9.3.165) 式に代入し、y = 0 とϕ=−

し、F (k) を求めると、

u1 =

∫ ∞
d
Γ
ϕ1 =
ei k x−k (y+h) dk
dx
2π 0
∫ ∞
Γ
=
e−h k dk
2π 0
Γ
=
2πh

(9.3.177)(9.3.174) 式の ϕ21 を x で微分すると、x 軸方向の誘導速度が得られ、x = 0, y = 0 を代入すると、原点における x 軸方向の誘導速度：u21 が得られる。
∫ ∞
d
Γ
u21 =
ϕ21 =
ek y+i k x−h k dk
(9.3.173)
dx
2π 0
∫ ∞
Γ
(9.3.178)=e−h k dk
2π 0(9.3.173) 式右辺第一項を (9.3.171) 式に代入すると、
Γ=
下記となり、ϕ1 ：(9.3.170) 式と対比して、渦が y = h2πhにあることを示している。
上記から、ϕ21 は水中翼の渦と対称の位置：y = h に、
∫ ∞ k y+i k x−h kiΓeϕ21 = −
dk y < h (9.3.174) 水中翼とは渦循環強さは同じであるが、方向は反対の左2π 0k回りの渦を表している。

Γ e−h k (µ − i k − i K0 )F (k) = −2 π k (µ − i k + i K0 )
Γ e−h kΓ e−h k+=2πkπ (i µ − k + K0 )(9.3.173) 式右辺第二項を (9.3.171) 式に代入すると、∫i Γ ∞ ek y+i k x−h k
ϕ22 = −
dk
(9.3.175)
π 0 i µ − k + K0
以上から、速度ポテンシャル：ϕ は、

ϕ =ϕ1 + ϕ22 + ϕ21∫ ∞ i k x−k (y+h)
e
iΓ
dk
=−
2π 0
k
∫
i Γ ∞ ek y+i k x−h k−dk
π 0 i µ − k + K0
∫ ∞ k y+i k x−h k
iΓ
e
dk
−
2π 0
k
PH14;
diff(%,x,1);u[1]=subst([x=0,y=0],rhs(%));
ev(%,integrate);
PH221;diff(%,x,1);u[21]=subst([x=0,y=0],rhs(%));
ev(%,integrate);
PH14;
diff(%,y,1);v[1]=subst([y=-h],rhs(%));
diff(DPH12,y,1);
DVPH14:subst([y=-h],%);

assume(x>0);/* IN[3] */KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
IN32:subst([KI3],DVPH14)*rhs(DKI3);
realpart(%);(9.3.176)/* IN[4] */KI4:k=%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DVPH14)*rhs(DKI4);
subst([b=k],%);’integrate(%,k,inf,0);v[11]=-ev(%,integrate);forget(x>0);
assume(x<0);/* IN[4] */KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DVPH14)*rhs(DKI4);
subst([b=k],%);’integrate(%,k,inf,0);v[12]=-ev(%,integrate);forget(x<0);9.3. 二次元波の簡単な例

579

ϕ1 による y 軸方向の渦の誘導速度について調べる。 0, R > 0 であるから、十分大きい R では、IN3 = 0 と(9.3.170) 式の ϕ1 を y で微分すると、y 軸方向の誘導速 なる。次に、IN4 について、b 軸上では、度が得られ、y = −h を代入すると、渦位置における yk = −i b,

軸方向の誘導速度：v1 が得られる。

∫ ∞
d
iΓ
v1 =
ϕ1 =
ei k x−k (y+h) dk
dy
2π 0
∫ ∞
iΓ
=
ei k x dk = IN1
2π 0dk = −idbであるから、これを (9.3.179) 式に代入し、積分を実行すると、(9.3.179)Γ
IN4 = −
2π

∫ ∞ek x dk = −

0

Γ
2πx

下記の関係から、

IN1 + IN3 + IN4 = 0
上記から、

Γ
2πx
上記の結果は、渦の誘導速度を表しており、x < 0 で
v12 = IN1 = −正の方向である。上記の検討結果から、上記で検討した
渦の速度ポテンシャルが誘導速度を正しく表現できるこ
図 9.3.24: 積分経路とが分かる。

PH4:\phi=rest(rhs(PH31),1);(9.3.179) 式の積分で、x > 0 の場合について検討する。下図の IN3 について、半径：R 上では、

dk = i ei t Rdt

k = ei t R,であるから、これを (9.3.179) 式の被積分関数に代入し、その実部：∆IN3 は下記となる。

∆IN3 = −Γ R e−sin(t) x R cos (cos (t) x R + t)
2π(9.3.180)sin (t) > 0, x > 0, R > 0 であるから、十分大きい R

U0:diff(PH4,x,1);
last(rhs(U0));
subst([x=0,y=-h],%);
U11:ev(%,integrate);
DU1:diff(DPH222,x,1);
K1:K[1]=k-K[0]-%i*\mu;
K2:solve(K1,k)[1];
subst([%],DU1);
expand(%);
DU2:subst([K1],%);

では、IN3 = 0 となる。次に、IN4 について、b 軸上

DU21:factor(last(DU2));

では、

DU220:factor(last(rest(DU2,-1)));

d
k=i
db
であるから、これを (9.3.179) 式に代入し、積分を実
k = i b,

行すると、

IN4 =

Γ
2π

∫ ∞

DU22:-num(DU220)/%pi/rhs(K1);
U10:lhs(U0)=last(rhs(U0))+’integrate(DU21,
k,0,inf)+’integrate(DU22,k,0,inf);last(rhs(U10));e−k x dk =

0

Γ
2πx

下記の関係から、

subst([x=0,y=-h],%);
U21:ev(%,integrate);’integrate(DU22,k,0,inf);
subst([x=0,y=-h,\mu=0],%);

IN1 + IN3 + IN4 = 0

U22:+K[0]*Gamma/%pi*%e^(-2*h*K[0])*E[i](2*h*K[0]);上記から、

U01:u[i]=U21+U22;Γ
2πx上記の結果は、渦の誘導速度を表しており、x > 0 で負響を求める。水中翼位置における流速は、水中翼の速度の方向である。

ポテンシャル：ϕ1 を除いた速度ポテンシャルは下記と

v11 = IN1 = −x < 0 の場合について検討する。上図の IN3 について、半径：R 上では、(9.3.180) 式から、sin (t) < 0, x <水中翼の位置における流速から、水中翼特性の水面影

第9章

580

表面波

以上から、x 軸方向の流速：ui は、なる。

ϕ =ϕ22 + ϕ21∫
i Γ ∞ ek y+i k x−h k=−dk
π 0 i µ − k + K0
∫ ∞ k y+i k x−h k
e
iΓ
dk
−
2π 0
k

ui =
(9.3.181)d
K0 Γ −2 K0 hΓϕ=e
Ei (2 K0 h) −dx
π
4πh(9.3.184)

V0:diff(PH4,y,1);DV1:diff(DPH222,y,1);

上式を x で微分し、水中翼位置における x 軸方向の流速：ui を求める。
∫dΓ ∞ k ek y+i k x−h k
ui =
ϕ=
dk
dx
π 0 i µ − k + K0
(9.3.182)∫ ∞Γ
+
ek y+i k x−h k dk
2π 0
上式の右辺第一項の被積分関数を展開すると、

K2:solve(K1,k)[1];
subst([%],DV1);
expand(%);
DV2:subst([K1],%);
DV21:factor(last(DV2));
DV22:factor(first(rest(DV2,1)));
V10:lhs(V0)=last(rhs(V0))+’integrate(DV21,

Γ k ek y+i k x−h kΓ ek y+i k x−h k=−π (i µ − k + K0 )π
K0 Γ ek y+i k x−h k−π (−i µ + k − K0 )上記の結果を (9.3.182) 式に代入すると、
∫ ∞
Γ
d
ϕ=
ek y+i k x−h k dk
dx
2π 0
∫
K0 Γ ∞ ek y+i k x−h k−dkπ−i µ + k − K0
0
∫ ∞
Γ
−
ek y+i k x−h k dk
π 0∫
K0 Γ ∞ ek y+i k x−h k=−dkπ−i µ + k − K00∫ ∞Γek y+i k x−h k dk−
2π 0

K1:K[1]=k-K[0]-%i*\mu;

k,0,inf)+’integrate(DV22,k,0,inf);
first(rhs(V10));subst([x=0,y=-h],%);
ev(%,integrate);
V21:realpart(%);
DV230:subst([y=-h],DV22);
DV23:(-num(DV230))/(%pi*rhs(K1));
IN10:IN[1]=’integrate(DV23,k,0,inf);(9.3.181) 式を y で微分し、水中翼位置における y 軸(9.3.183)(9.3.183) 式の右辺第二項に x = 0.y = −h を代入し、積分すると、∫∞∫∞
Γ 0 ek y+i k x−h k dk
Γ 0 e−2 h k dk
−
=−
2π
2π
Γ
=−
4πh

方向の流速：vi を求める。
∫
di Γ ∞ k ek y+i k x−h k
ϕ=−
dk
dy
π 0 i µ − k + K0
∫ ∞iΓ−ek y+i k x−h k dk
2π 0
上式の右辺第一項を展開すると、
∫ ∞
iΓ
d
ϕ=
ek y+i k x−h k dk
dy
2π 0
∫
i K0 Γ ∞ ek y+i k x−h k−dkπi µ − k + K0
0(9.3.185)(9.3.185) 式右辺第一項は、下記となり、実部は零と(9.3.183) 式の右辺第二項に x = 0.y = −h を代入し、 なる。
下記の公式1 から、∫ ∞ −a xedx = −e−a b Ei (−a b)x+b0a, b > 0

iΓ
2π

∫ ∞

∫ ∞
iΓ
e−2 h k dk
2π 0
iΓ
=
=0
4πh

ek y+i k x−h k dk =0

積分結果は下記となる。ここで Ei は積分指数関数である。

∫
K0 Γ ∞ ek y+i k x−h kdkπ−i µ + k − K00∫
K0 Γ ∞ e−2 h kdk=−πk − K00
K0 Γ −2 K0 h=eEi (2 K0 h)π−

1 森口 繁一他：岩波数学公式 1
2003 32) , P.230

微分積分・平面曲線、岩波書店(9.3.185) 式右辺第二項は、次式と置いて、下記の線積分で求める。

i K0 Γ
IN 1 =π∫ ∞0ei k x−2 h k
dk−i µ + k − K0

(9.3.186)

9.3. 二次元波の簡単な例/* IN[2]581
x > 0 の場合、k を複素平面で表現し、k = a + i b と*/

KI2:k=K[0]+%i*\mu+\delta*%e^(%i*t);する。a 軸上は求める積分で、IN1 である。線積分内のDKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);特異点：k = K0 + i µ では、半径：δ の円の積分で特異

CKI22:subst([KI2,\delta=0,\mu=0],num(DV23)

点を除き、IN12 とする。a 軸から b 軸に至る線積分は、);十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN13 とする。bsubst([KI2],1/denom(DV23));

軸上の線積分を IN14 とする。

%*rhs(DKI2);
integrate(%,t,0,-2*%pi);

IN12 について、k は下記のように表現でき、%*CKI22;dk = i δ ei tdt

k = δ ei t + i µ + K0 ,subst([x=0],%);

半径：δ が十分小さいとし、t = 0 → −2 π の積分結IN12:IN[12]=%;/* IN[3] */果は下記となり、x = 0 とおき、

KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);

IN12 =iIN32:subst([KI3],DV23)*rhs(DKI3);i dt
0(9.3.187)=2 K0 Γ e−2 K0 hnum(IN32)/subst([\mu=0,K[0]=0],denom(IN32));∫ −2 πK0 Γ i K0 x−2 K0 heπ

円上の積分：IN 13 では、下記の関係を (9.3.186) 式に

realpart(%);

代入し、

dk = i ei t R
dt
その被積分関数は R が十分大きいとすると、

IN13:IN[13]=0;k = ei t R,/* IN[4] */KI4:k=%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DV23)*rhs(DKI4);it−

DIN4:subst([\mu=0,b=k],%);=−’integrate(DIN4,k,inf,0);K0 Γ e−i t ei e

K0 Γ
=−
π

subst([x=0],%);
IN14:IN[14]=realpart(%);

it

K0 Γ ei t R ei e x R−2 h eπ (ei t R − i µ − K0 )itR

x R−2 h ei t R+i tπ(sin (t) e−sin(t) x R−2 h cos(t) R

IN[1]+IN[12]+IN[13]+IN[14]=0;

× sin (cos (t) x R − 2 h sin (t) R + t)

solve(%,IN[1])[1];IN11:subst([IN12,IN13,IN14],%);+ cos (t) e−sin(t) x R−2 h cos(t) R)× cos (cos (t) x R − 2 h sin (t) R + t)
(9.3.188)
上記で、x > 0, h > 0, R > 0, sin (t) > 0, cos (t) > 0 でR が十分大きいとき、下記となる。
IN 13 = 0

(9.3.189)

b 軸上の積分：IN 14 では、下記の関係を (9.3.186) 式
に代入し、

d
k=i
db
x = 0, y = −h を代入、b = ∞ → 0 の b 軸上の積分
k = i b,

結果は µ → 0 とし、b → k に置き換え、その実部をとると、

図 9.3.25: 積分経路

x>0∫
K0 Γ ∞ e−2 i h k
IN 14 =dkπ
i k − K0∫0 ∞−k sin (2 h k) − K0 cos (2 h k)
K0 Γ
dk
=
π
k 2 + K02
0(9.3.190)

第9章

582

表面波

き、下記となる。

また、下記の関係があり、IN 23 = 0
IN 14 + IN 13 + IN 12 + IN 1 = 0(9.3.192)

b 軸上の積分：IN 24 では、下記の関係を (9.3.186) 式IN 1 は (9.3.187) 式、(9.3.189) 式、(9.3.190) 式から下

に代入し、

d
k = −idb∫ ∞K0 Γ−k sin (2 h k) − K0 cos (2 h k)
x = 0, y = −h を代入、b = ∞ → 0 の b 軸上の積分
IN 1 = −dk
2 + K2πk
結果は µ → 0 とし、b → k に置き換え、その実部をと00k = −i b,

記となる。

− 2 K0 Γ e−2 K0 h

ると、

(9.3.191)

IN23:IN[23]=0;/* IN[4] */∫K0 Γ ∞ e2 i h k
IN 24 = −dk
π−i k − K0∫0 ∞K0 Γ−k sin (2 h k) − K0 cos (2 h k)=−dkπk 2 + K02
0(9.3.193)

KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4],DV23)*rhs(DKI4);

また、下記の関係があり、IN 24 + IN 23 + IN 1 = 0

DIN4:subst([\mu=0,b=k],%);
IN 1 は (9.3.192) 式、(9.3.193) 式から下記となる。
∫
K0 Γ ∞ −k sin (2 h k) − K0 cos (2 h k)dk
IN 1 =πk 2 + K02
0(9.3.194)’integrate(DIN4,k,inf,0);
subst([x=0],%);
IN24:IN[24]=realpart(%);
IN[1]+IN[23]+IN[24]=0;

水中翼位置における y 軸方向の誘導速度：vi で、(9.3.191)

solve(%,IN[1])[1];

式は x = +0 における値であり、(9.3.194) 式は x = −0

IN21:subst([IN23,IN24],%);
V01:v[i]=(rhs(IN11)+rhs(IN21))/2;

における値であるから、x = 0 における値は、これらの平均値となり、下記となる。

vi = − K0 Γ e−2 K0 h

EI0:E[i](z)=0.577215664901532+log(z)+sum(((z)^(n)/n/n!) ,n,1,20);
EI1:subst([z=2*K[Y]],%);
U01;
UN1:expand(U01/\Gamma*h);
KY1:K[Y]=K[0]*h;
KY2:solve(KY1,K[0])[1];UN2:u[n]=lhs(UN1);
UN21:subst([KY2],u[n]=rhs(UN1));
UN23:subst([EI1],UN21);
UN22:solve(UN2,u[i])[1];
図 9.3.26: 積分経路

x<0

V01;
VN1:expand(V01/\Gamma*h);
VN2:v[n]=lhs(VN1);

x < 0 の場合、k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は求める積分で、IN1 である。a 軸から b
軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分
で、IN23 とする。b 軸上の線積分を IN24 とする。
円上の積分：IN 23 では、(9.3.188) 式で x < 0, h >0, R > 0, sin (t) < 0, cos (t) > 0 で R が十分大きいとVN21:subst([KY2],v[n]=rhs(VN1));
VN22:solve(VN2,v[i])[1];FN1:F[h]=U/sqrt(g*h);
FN11:solve(FN1,U)[1];
subst([K[0]=g/U^2],KY1);
FN12:subst([FN11],%);
PLU2:subst([K[Y]=t],rhs(UN23));
PLV2:subst([K[Y]=t],rhs(VN21));(9.3.195)9.3. 二次元波の簡単な例

583|vn | が最大となる Fh を求める。(9.3.197) 式から、

plot2d([PLU2,PLV2,-1/4/%pi],[t,0.001,100],[legend, "un","vn","-1/4\pi"],[logx]);e − t2,t2
2vn = −

PLU2:subst([K[Y]=1/t^2],rhs(UN23));

ここで、t = Fh

上式を t で微分し、右辺を零とおき、PLV2:subst([K[Y]=1/t^2],rhs(VN21));diff(PLV2,t,1)=0;

2 e − t2
4 e − t2
−
=0
t3
t5
2

solve(%,t);plot2d([PLU2,PLV2,-1/4/%pi],[t,0.1,100],解を求めると、[legend, "un","vn","-1/4\pi"],[logx]);√√[t = − 2, t = 2]x 軸方向の流速：ui ：(9.3.184) 式を Γ, h で無次元化
し、次式とする。

以上から、Fh =

h ui
un =
Γ
e−2 KY KY Ei (2 KY )
1
=
−
π
4π
ここで、KY = K0 h

2√2 のとき、|vn | が最大となる。

(9.3.196)y 軸方向の流速：vi ：(9.3.195) 式を Γ, h で無次元化
し、次式とする。

vn =

h vi
= − e−2 KY KY
Γ
ここで、KY = K0 h

(9.3.197)

水中翼位置における誘導速度：un , vn を以下に示す。
ここで横軸として下記を用いる。

KY =

gh
,
U2

U
Fh = √ √g h(9.3.198)
図 9.3.28: 水中翼位置における誘導速度ここで積分指数関数：Ei は次式で近似する。
( 20
)
∑ zn
Ei (z) =+ log (z) + 0.57721566490153
n n!
n=1

横軸：Fh

Fh > 40 では、vn ≈ 0, un ≈1
− 4π となり、この範囲では、水面に対し、水中翼と対称
上図から、Fh < 0.25の位置に、水中翼と同じ渦循環強さ、同じ向きの渦をおくことに対応している。

G0:\Gamma[0]=%pi*C[l]*U*\alpha;
L0:L[0]=\rho*U*\Gamma[0];AL1:solve(G0,\alpha)[1];G1:\Gamma=%pi*C[l]*(U+u[i])*(\alpha+v[i]/(U+u[i]));
L1:L=\rho*\Gamma*(U+u[i]);subst([UN22,VN22,AL1],G1);
G11:solve(%,\Gamma)[1];G12:-num(rhs(%))/h/U;
G13:expand(-denom(rhs(G11))/h/U);
G14:lhs(G11)=G12/G13;
CL1:C[L]=L/(1/2*\rho*U^2*C[l]);図 9.3.27: 水中翼位置における誘導速度

横軸：KY

CL11:solve(CL1,L)[1];
CL0:C[0]=L[0]/(1/2*\rho*U^2*C[l]);subst([L0],CL0);

第9章

584

表面波

上式を (9.3.200) 式の L の式に代入し、
(
)
Γ0 un
(
)
Γ0 ρ U +π C l vn
Γ0 un

CL01:solve(%,\Gamma[0])[1];CLH1:a=C[l]/h;L=

CLH11:solve(CLH1,C[l])[1];
subst([UN22,G14],L1);

h −

hU

−

h

+1

un
− Γh0 U
− π Chl vn + 1

subst([CL11,CL01],%);

次式の無次元化を行う。ここで、水中翼揚力の無次元%*2/C[l]/\rho/U^2/C[0];化：CL 、水面影響のない翼揚力の無次元化：C0 、翼弦

CL12:factor(%);

長と翼水深比：a である。

expand(num(rhs(CL12))/(4*h^2));
CL =CL13:subst([CLH11],%);
expand(denom(rhs(CL12))/(4*h^2));
subst([CLH11],%);

2L,
Cl ρ U 2

C0 =

Cl
2 Γ0
,a=
Cl U
h
(9.3.202)

4 (1 − π a vn )
CL
=
2
C0
(2 π a vn + C0 a un − 2)

(9.3.203)

C0 =

2 L0
,
Cl ρ U 2

以上から、

CL14:factor(%);
CL15:lhs(CL12)=CL13/CL14;
CL2:subst([VN21,UN21],CL15);

上式に (9.3.196) 式、(9.3.197) 式を代入し、(9.3.198)
式の Fh で表すと、

CL21:subst([VN21,UN23],CL15);(

subst([FN12],CL2);

− 22

)

F
h
πae
2
Fh

CL22:subst([FN12],CL21);

4
+1
CL
= 
 − 2

2
(
)
C0
F2
2
− 22
h Ei
e
F
F2




h
− 41π  − 2 π aFe2 h − 2
 C0 a 
π F2

CL31:subst([a=1.0,C[0]=0.5,F[h]=t],rhs(CL22));
CL32:subst([a=0.5,C[0]=0.5,F[h]=t],hhrhs(CL22));Lh/Cl を変えて C
C0 を求めると下図となる。

CL33:subst([a=0.25,C[0]=0.5,F[h]=t],rhs(CL22));
CL34:subst([a=0.125,C[0]=0.5,F[h]=t],rhs(CL22));
plot2d([CL31,CL32,CL33,CL34],[t,0.1,20],[x,0,10],[legend,"h/Cl=1","h/Cl=2","h/Cl=4","h/Cl=8"]);
二次元平板翼で翼弦長：Cl 、迎角：α とすると、渦循
環強さ：Γ0 、揚力：L0 は (7.1.21) 式、(7.1.22) 式、260頁から下記となる。

L0 = Γ0 ρ U,

Γ0 = π α Cl U,α=Γ0π Cl U(9.3.199)

上式から水中翼位置における誘導速度：ui , vi を考慮
すると、渦循環強さ：Γ、揚力：L は、

L =Γ ρ (U + ui )
Γ =π Cl (U + ui )図 9.3.29: 水中翼の揚力

(

vi
+α
U + ui)(9.3.200)

Γ の ui , vi に (9.3.196) 式、(9.3.197) 式の無次元化式を使用し、(9.3.199) 式の α を代入すると、
)
(
)(
Γ un
Γ vn
Γ0
(
)+
Γ = π Cl U +hπ Cl Uh U + Γ hun
上式から、Γ を求め、整理すると、

Γ=

Γ0
un
− Γh0 U
− π Chl vn + 1(9.3.201)Fh ≈√

2 のとき、vn が負、即ち、下方の流れが最大となり、迎角が小さくなり、揚力の減少が最も大きくなる。

9.3. 二次元波の簡単な例

585
C0 = 1/2 のとき、h/Cl を変えて CR を求めると下図

R1:R=-L*v[i]/(U+u[i]);となる。

CR1:C[R]=rhs(R1)/(1/2*\rho*U^2*C[l]);subst([L1,UN22,VN22],%);
subst([G11],%);
subst([CL01],%);
CR11:subst([CLH11],%);
CR12:num(rhs(CR11))/h^2/U^2;
CR13:factor(expand(denom(rhs(CR11))/h^2/U^2));
CR2:lhs(CR11)=CR12/CR13;
CR21:subst([VN21,UN21],CR2);
CR22:subst([VN21,UN23],CR2);
subst([FN12],CR21);
CR23:subst([FN12],CR22);
CR31:subst([a=1.0,C[0]=0.5,F[h]=t],rhs(CR23));

図 9.3.30: 水中翼の抵抗増加

CR32:subst([a=0.5,C[0]=0.5,F[h]=t],rhs(CR23));
CR33:subst([a=0.25,C[0]=0.5,F[h]=t],

やはり、Fh ≈2 のとき、抵抗は最大となる。
√
以上の結果から Fh ≈ 2 のとき、水面影響は最も大きく

rhs(CR23));
CR34:subst([a=0.125,C[0]=0.5,F[h]=t],or Fh > 40 では、vn ≈ 0, un ≈1
− 4 π となり、この範囲では、水面に対し、水中翼と対なる。Fh < 0.25

rhs(CR23));
plot2d([CR31,CR32,CR33,CR34],[t,0.001,20],

称の位置に、水中翼と同じ渦循環強さ、同じ向きの渦を[x,0,10],[legend,"h/Cl=1","h/Cl=2",

置くことに対応している。

"h/Cl=4","h/Cl=8"]);
水中翼の抵抗は、vn が負、即ち、下方へ流れが生じているため、迎角が小さくなり、揚力の方向が迎角変化
分後方にずれ、それによる抵抗が発生し、次式で表現で
きる。

R=−

vi L
U + ui

上式を無次元化し、(9.3.200) 式、(9.3.201) 式、(9.3.202)
式の関係を代入し、

CR = −=−

2 vi L2 Γ 2 vn=−2
Cl ρ U (U + ui )h Cl U 2
2 Γ20 h vn
2

Cl ((π Cl vn − h) U + Γ0 un )C02 h Cl vn U 2=− ()2
2 (π Cl vn − h) U + C0 Cl2un U=−

2 C02 a vn
(2 π a vn + C0 a un − 2)2

(9.3.204)
上式に (9.3.196) 式、(9.3.197) 式を代入し、(9.3.198)
式の Fh で表すと、

CR =



2 C02 a e

 − 2Fh2 C0 a 

e

F2
h

(
Ei
π Fh2

)
2
F2
h

− 22
F

h



− 41π  −√− 22
2 π a e Fh
2
Fh

2
− 2

第9章

586

9.4

表面波

三次元微小振幅波
EQ3:\eta=-diff(\Phi,t,1)/g;

液面に出来る波で平面に伝わっていく波の運動で波高が小さい場合について調べる。

PHT1:\Phi=a*b*c*d;/* 質量保存 */subst([PHT1],EQ1);

9.4.1

三次元微小振幅波（xyz 座標）

ev(%,diff);
expand(%/b/c/a/d);

xyz 座標で、図 9.4.1 の θ 方向に進む波の速度ポテン

EQ11:%-’diff(c,z,2)/c;

シャルを求める。波のない平衡状態での水面を x 軸、yEQ12:lhs(EQ11)=-k^2;軸とし、鉛直上方に z 軸をとる。水底の深さを h とし、

EQ13:rhs(EQ11)=-k^2;

波高：η 、時間:t、x 軸方向の流速:u、y 軸方向の流速:v 、

z 軸方向の流速:w、波の振動円周波数：ω 、波長:L、波C1:ode2(EQ13,c,z);
last(lhs(EQ12))=-p^2;

高の片振幅:A、重力加速度：g とする。

A2:ode2(%,a,x);
first(lhs(EQ12))=-q^2;
ode2(%,b,y);
B2:subst([%k1=%c1,%k2=%c2],%);
K1:k^2=p^2+q^2;
P1:p=k*cos(\theta);
Q1:q=k*sin(\theta);
subst([P1,Q1],K1);
trigsimp(%);
速度ポテンシャル：Φ とすると、質量保存の方程式は、(9.1.1) 式から次式となる。
d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d y2
d x2

(9.4.1)

自由表面条件は (9.1.7) 式から、
2

d
d
2 Φ
Φ + dt=0dz
g

図 9.4.1: 三次元微小振幅波（xyz 座標）(9.4.2)

波高：η は (9.1.6) 式から、d/* 三次元波の速度ポテンシャル（xyz 座標） */kill(all);load("vect")$

η = − dtgΦ(9.4.3)

いま、速度ポテンシャルとして、変数分離法で次式

depends(\Phi,[x,y,z,t]);を考える。ここで、a, b, c, d は a = a(x), b = b(y), c =depends(a,[x]);c(z), d = d(t) の関数とする。

depends(b,[y]);Φ = abcd(9.4.4)depends(c,[z]);depends(d,[t]);(a) 質量保存の方程式

assume(k>0);

上式を質量保存の方程式：(9.4.1) 式に代入し、assume(t>0);
assume(\omega>0);d2
d z2 ccassume(g>0);
assume(p>0);
assume(q>0);/* 境界条件 */EQ1:diff(\Phi,z,2)+diff(\Phi,y,2)d2
d y2 b

+

d2
2

+ dx
a

b

a

=0

上式の左辺第一項を右辺に移項し、−k 2 と置くと、
d2
d y2 b

b

d2
2

+ dx
a

a

d2

= − dzc2c= −k 2上式を下記の二式に分けると、+diff(\Phi,x,2)=0;
EQ2:diff(\Phi,z,1)+diff(\Phi,t,2)/g=0;d2
d y2 b

b

d2
2

+ dx
a

a

= −k 2(9.4.5)

9.4. 三次元微小振幅波587
上式の関係を満足する %k1, %k2 は、

2

d
2 c
− dz
= −k 2c(9.4.6) 式を ode2 関数で解くと、(9.4.6)%k2 = e−h k C%k1 = eh k C,
上式を (9.4.7) 式に代入し、

c = %k1 ekz+ %k2 e−k z

(9.4.7)(9.4.5) 式を次式の関係を持つ p, q を使って、下記の

c = ek z+h k C + e−k z−h k C
更に次式とする。

二式に分ける。

k 2 = q 2 + p2
d2
d x2 a= −p ,
2d2
d y2 bab
上記の二式を ode2 関数で解くと、

c = cosh (k (z + h)) C(9.4.8)(9.4.13)(9.4.13) 式、(9.4.9) 式、(9.4.10) 式を (9.4.4) 式に代入

= −q 2すると、

Φ =d (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))

a = %k1 sin (p x) + %k2 cos (p x)(9.4.9)b = %c1 sin (q y) + %c2 cos (q y)(9.4.10)× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))(9.4.14)× cosh (k (z + h)) C(c) 自由表面条件

x 軸に θ の角度で伝搬する波では、p, q は下記の関係となる。

/* 自由表面条件 */p = k cos (θ) ,q = k sin (θ)(9.4.11)subst([PHT2],EQ2);
ev(%,diff);(9.4.7) 式、(9.4.9) 式、(9.4.10) 式を (9.4.4) 式に代入
すると、subst([z=0],%);
EQ21:solve(%,d)[1];OM1:\omega^2=(g*k*sinh(k*h))/cosh(k*h);Φ =d (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))
× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))()
× %k1 ek z + %k2 e−k z(9.4.12)

OM2:\omega^2=(g*k*tanh(k*h));OM11:solve(OM1,g)[1];
subst([OM11],EQ21);
ode2(%,d,t);(b) 底の条件

D2:subst([%k1=%d1,%k2=%d2],%);
PHT3:subst([A2,B2,C2,D2],PHT1);/* 底の条件 */PHT11:subst([C1,A2,B2],PHT1);(9.4.14) 式を自由表面条件：(9.4.2) 式に代入し、整理すると、(

diff(%,z,1);
subst([z=-h],rhs(%))=0;d=−%k1*k*%e^(-h*k)-%k2*k*%e^(h*k)=0;
K1:%k1=C*%e^(h*k);
K2:%k2=C*%e^(-h*k);
subst([K1,K2],C1);
C2:c=C*cosh(k*(z+h));
PHT2:subst([A2,B2,C2],PHT1);z 軸方向の流速：w = ddz ϕ で、底面：z = −h で、
w = 0 であるから、()
dΦ =d %k1 k e−h k − %k2 k eh kdz
× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))
× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y)) = 0d2
d t2 d)cosh (h k)g k sinh (h k)

ここで下記とすると、

ω2 =g k sinh (h k)= g k tanh (h k)cosh (h k)d2
d t2 dd=− 2ω

上式を ode2 関数で解くと、

d = %d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t)(9.4.17)上式を (9.4.14) 式に代入すると、

Φ = (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))%k1 e−h k − %k2 eh k = 0(9.4.16)上式から (9.4.15) 式は、× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))以上から、(9.4.15)× cosh (k (z + h)) C(9.4.18)

第9章

588

表面波

(d) 波振幅：A の導入/* 波振幅：A の導入 */\Phi=limit(rhs(PHT42),h,inf);

subst([PHT3],EQ3);

PHT44:ev(%,limit);ev(%,diff);

subst([P1,Q1],%);

ET1:factor(subst([z=0],%));(9.4.18) 式を (9.4.3) 式に代入して、波高を求めると、

A0:A=cosh(k*h)*\omega*C/g;
ET4:subst([A01],ET1);

cosh (h k) ω C(%d2 sin (ω t) − %d1 cos (ω t))g

PHT4:subst([A01],PHT3);× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))

lhs(%)=limit(rhs(PHT4),h,inf);× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))

A01:solve(A0,C)[1];η=

ev(%,limit);
limit(OM1,h,inf);
trigreduce(ET4);

ここで波振幅：A を導入すると、次式の関係となる。

ET41:\eta=%f1*cos(q*y+p*x+\omega*t+\epsilon[1])+%f2*cos(q*y+p*x-\omega*t+\epsilon[2])+%f3*cos(q*y-p*x+\omega*t+\epsilon[3])+%f4*cos(q*y-p*x-\omega*t+\epsilon[4]);ET42:\eta=A*cos(q*y+p*x-\omega*t+\epsilon[2]);PHT42:Phi=g*cosh(k*(z+h))*A/(cosh(h*k)*\omega)*sin(q*y+p*x-\omega*t+\epsilon[2]);A=

subst([z=0],%);C=

gA
cosh (h k) ω

上式の関係を上記波高、速度ポテンシャル：(9.4.18) 式に代入すると、

η = (%d2 sin (ω t) − %d1 cos (ω t))× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))(9.4.19)× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y)) A

subst([PHT42],EQ3);
ev(%,diff);

cosh (h k) ω C,gΦ=g cosh (k (z + h)) A
cosh (h k) ωsubst([P1,Q1],%);× (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))subst([P1,Q1],PHT42);× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))

limit(OM1,h,inf);× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))(9.4.20)(9.4.19) 式を変形すると、
η=%c2 %d2 %k2 sin (q y + p x + ω t) A
%c1 %d1 %k2 sin (q y + p x + ω t) A
%c1 %d2 %k1 sin (q y + p x + ω t) A
−
−
4
4
4
%c2 %d1 %k1 sin (q y + p x + ω t) A
%c1 %d2 %k2 cos (q y + p x + ω t) A
%c2 %d1 %k2 cos (q y + p x + ω t) A
−
−
−
4
4
4
%c2 %d2 %k1 cos (q y + p x + ω t) A
%c1 %d1 %k1 cos (q y + p x + ω t) A
%c2 %d2 %k2 sin (q y + p x − ω t) A
−
+
−
4
4
4
%c1 %d2 %k1 sin (q y + p x − ω t) A
%c2 %d1 %k1 sin (q y + p x − ω t) A
%c1 %d1 %k2 sin (q y + p x − ω t) A
+
−
−
4
4
4
%c1 %d2 %k2 cos (q y + p x − ω t) A
%c2 %d1 %k2 cos (q y + p x − ω t) A
%c2 %d2 %k1 cos (q y + p x − ω t) A
+
−
+
4
4
4
%c1 %d1 %k1 cos (q y + p x − ω t) A
%c2 %d2 %k2 sin (q y − p x + ω t) A
%c1 %d1 %k2 sin (q y − p x + ω t) A
+
+
−
4
4
4
%c1 %d2 %k1 sin (q y − p x + ω t) A
%c2 %d1 %k1 sin (q y − p x + ω t) A
%c1 %d2 %k2 cos (q y − p x + ω t) A
+
+
−
4
4
4
%c2 %d1 %k2 cos (q y − p x + ω t) A
%c2 %d2 %k1 cos (q y − p x + ω t) A
%c1 %d1 %k1 cos (q y − p x + ω t) A
−
+
−
4
4
4
%c1 %d1 %k2 sin (q y − p x − ω t) A
%c1 %d2 %k1 sin (q y − p x − ω t) A
%c2 %d2 %k2 sin (q y − p x − ω t) A
−
−
−
4
4
4
%c2 %d1 %k1 sin (q y − p x − ω t) A
%c1 %d2 %k2 cos (q y − p x − ω t) A
%c2 %d1 %k2 cos (q y − p x − ω t) A
+
+
−
4
4
4
%c2 %d2 %k1 cos (q y − p x − ω t) A
%c1 %d1 %k1 cos (q y − p x − ω t) A−−
44

9.4. 三次元微小振幅波589

上式を整理すると、

η =%f 1 cos (q y + p x + ω t + ϵ1 )+ %f 2 cos (q y + p x − ω t + ϵ2 )+ %f 3 cos (q y − p x + ω t + ϵ3 )+ %f 4 cos (q y − p x − ω t + ϵ4 )ここで x 軸と θ の角度をもち、図 9.4.1 の矢印の方向へ進行する波は次式となる。

η = cos (q y + p x − ω t + ϵ2 ) A(9.4.21)上式に対応した速度ポテンシャルは、(9.4.20) 式から、

Φ=

g sin (q y + p x − ω t + ϵ2 ) cosh (k (z + h)) A
cosh (h k) ω

上記波高、速度ポテンシャルに p, q の関係式：(9.4.11)
式を代入すると、

η = cos (k sin (θ) y + k cos (θ) x − ω t + ϵ2 ) A(9.4.22)g A cosh (k (z + h))Φ=cosh (h k) ω× sin (k sin (θ) y + k cos (θ) x − ω t + ϵ2 )(9.4.23)
ここで、

ω2 =

g k sinh (h k)= g k tanh (h k)cosh (h k)

いま、水深が十分深いとすると、h → ∞ とし、速度ポテンシャル：(9.4.23) 式は、

Φ=

g sin (k sin (θ) y + k cos (θ) x − ω t + ϵ2 ) ek z Aω(9.4.24)(9.4.16) 式は、
ω2 = g k

第9章

590

9.4.2

三次元微小振幅波（一様流）

一様流速：U がある場合の波の伝搬について調べる。
波のない平衡状態での水面を x 軸、y 軸とし、鉛直上方に z 軸をとる。一様流の流速：U の方向は x 軸と一致

表面波

FS4:((’diff(phi,x,2))*U^2)/g+’diff(phi,z,1)=0;
PHT1:\phi=a*c;/* 質量保存 */するとする。水底の深さを h、波高：η 、x 軸方向の流

subst([PHT1],EQ1);

速:u、y 軸方向の流速:v 、z 軸方向の流速:w、波の振動

ev(%,diff);

円周波数：ω 、波長:L、波高の片振幅:A、重力加速度：

expand(%/c/a);g とする。

EQ11:-%+first(lhs(%));
EQ12:rhs(EQ11)=k^2;(1) 一様流の流向と波の進行方向が同じ場合

EQ13:lhs(EQ11)=k^2;
A2:ode2(EQ13,a,x);一様流速：U の方向と波の伝搬する方向が一致し、共に x 軸方向であるとする。

C1:ode2(EQ12,c,z);
PHT11:subst([A2,C1],PHT1);
一様流：U がある速度ポテンシャル：Φ は (9.1.8) 式
から、

Φ = xU + ϕ(9.4.25)

ここで、ϕ は x, z の関数である。このとき、質量保存の方程式は (9.1.9) 式から、

d2
d2
ϕ+
ϕ=0
2
dz
d x2

(9.4.26)

微小振幅の自由表面条件は (9.1.15) 式から次式となる。
( 2 )
d
2
d x2 ϕ Ud+
ϕ=0(9.4.27)gdz

図 9.4.2: 三次元微小振幅波（一様流）

波高：η は、(9.1.14) 式から次式となる。
( d )
ϕ U
η = − dxg

(9.4.28)(9.4.25) 式の速度ポテンシャル：ϕ を変数分離法で下記とし、a = a(x), c = c(z) の関数とする。

/* U：あり */ϕ = ac(9.4.29)

kill(all);load("vect")$
depends(\Phi,[x,y,z,t]);depends(\phi,[x,y,z]);(a) 質量保存の方程式
上式を質量保存の方程式：(9.4.26) 式に代入し、
d2
d z2 cdepends(\eta,[x,y]);cdepends(a,[x]);+depends(b,[y]);整理して、下記とする。

depends(c,[z]);d2
d x2 aassume(t>0);
assume(k>0);
assume(p>0);
assume(q>0);
PH0:\Phi=U*x+\phi;EQ1:’diff(phi,z,2)+’diff(phi,y,2)+’diff(phi,x,2)=0;
BE3:eta=-((’diff(phi,x,1))*U)/g;

−

a

d2
d x2 a=ad2
d z2 c

c

=0

= k2

上式を下記のように分ける。
d2
d z2 cc= k2(9.4.30)

2

d
2 a
− dx
= k2
a
(9.4.30) 式を ode2 関数で解くと、

c = %k1 ek z + %k2 e−k z(9.4.31)(9.4.32)

9.4. 三次元微小振幅波

591(9.4.31) 式を ode2 関数で解くと、(9.4.36) 式を自由表面条件：(9.4.27) 式に代入し、整a = %k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)(9.4.33)

理すると、

k=

上式と (9.4.32) 式を (9.4.29) 式に代入し、速度ポテン
シャル：ϕ が得られた。

g sinh (h k)cosh (h k) U 2(9.4.37)(d) 波振幅：A の導入

ϕ = (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x))()
× %k1 ek z + %k2 e−k z(9.4.34)/* 波振幅：A の導入 */subst([PHT2],BE3);(b) 底の条件

ev(%,diff);
subst([z=0],%);/* 底の条件 */diff(%,z,1);ET1:factor(%);
A0:A=k*C*U*cosh(k*h)/g;

subst([z=-h],rhs(%))=0;

A01:solve(%,C)[1];%k1*k*%e^(-h*k)-%k2*k*%e^(h*k);

subst([A01],ET1);

K1:%k1=C*%e^(h*k);

PHT3:subst([A01],PHT2);

K2:%k2=C*%e^(-h*k);limit(PHT3,h,inf);

subst([K1,K2],C1);

ev(%,limit);

C2:c=C*cosh(k*(z+h));
PHT2:subst([A2,C2],PHT1);z 軸方向の流速：w = ddz ϕ で、底面：z = −h で、w = 0であるから、()
dϕ = %k1 k e−h k − %k2 k eh kdz

PHT31:ev(%,limit);
limit(K0,h,inf);
ev(%,limit);
K01:ev(%,limit);
subst([K01],PHT31);

× (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) = 0

subst([%],BE3);ev(%,diff);
subst([z=0],%);

上式を整理して、

ET2:factor(%);

%k1 e

−h k

− %k2 ehk

=0(9.4.36) 式をを (9.4.28) 式に代入し、波高：η は、

上式から、%k1 = ehkC,%k2 = e−h kk cosh (h k) (%k2 sin (k x) − %k1 cos (k x)) C Ugη=C

上式で波の振幅を A とすると、下記の関係が得られる。

上式を (9.4.32) 式に代入し、

c = ek z+h k C + e−k z−h k C

A=

更に変形して、

k cosh (h k) C U
,
g

C=

gA
k cosh (h k) U

上記の関係から、波高と速度ポテンシャル：ϕ は、

c = cosh (k (z + h)) C(9.4.35)
η = (%k2 sin (k x) − %k1 cos (k x)) A

上式と (9.4.33) 式を (9.4.29) 式に代入し、速度ポテン
シャル：ϕ が得られた。

ϕ=

ϕ = (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) cosh (k (z + h)) C(9.4.36)g (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) cosh (k (z + h)) Ak cosh (h k) U
(9.4.38)

ここで、k=(c) 自由表面条件

g sinh (h k)cosh (h k) U 2

水深：h が十分に深い場合は、h → ∞ とし、速度ポ/* 自由表面条件 */subst([PHT2],FS4);

テンシャル：ϕ と k は、

ev(%,diff);ϕ=

subst([z=0],%);
solve(%,U^2)[1];K0:%*k/U^2;g (%k1 sin (k x) + %k2 cos (k x)) ek z A(9.4.39)kU

2πg=(9.4.40)
U2L
ここで L は流れに逆らってその位置を保てる波長である。
k=

第9章

592
(2) 一様流の流向と波の進行方向との角度：θ の場合

記とし、a = a(x), b = b(y), c = c(z) の関数とする。

ϕ = abc

図 9.4.3 に示すように一様流速：U の方向が x 軸方向で、これと波の伝搬する方向との角度が θ の場合につい
て調べる。

表面波

(9.4.42)(a) 質量保存の方程式
上式を質量保存の方程式：(9.4.41) 式に代入し、
d2
d z2 cd2
d y2 b+cb
整理して、下記とする。
d2
d y2 b

d2
2

+ dx
a

2

a

=0

2

d
d
2 a
2 c
− dx
= dz
= k2
b
a
c
上式を下記のように分ける。

−

d2
d z2 cc= k2

d2
d y2 b

2

d
2 a
− dx
= k2
b
a
(9.4.43) 式を ode2 関数で解くと、−(9.4.43)

c = %k1 ek z + %k2 e−k z(9.4.44)(9.4.45)(9.4.44) 式を次式の関係を持つ p, q を使って、下記の
図 9.4.3: 三次元微小振幅波（一様流）

二式に分ける。

k 2 = q 2 + p2/* Theta 方向の波 */−d2
d x2 a(9.4.46)d2
d y2 b=p , −= q2ab
上式の二式を ode2 関数で解くと、PHT1A:\phi=a*b*c;/* 質量保存 */2

subst([PHT1A],EQ1);

a = %k1 sin (p x) + %k2 cos (p x)(9.4.47)ev(%,diff);b = %c1 sin (q y) + %c2 cos (q y)(9.4.48)

expand(%/c/b/a);

x 軸に θ の角度で伝搬する波では、p, q は下記の関係

EQ11A:-%+first(lhs(%));となる。

EQ12A:rhs(EQ11A)=k^2;

p = k cos (θ) ,EQ13A:lhs(EQ11A)=k^2;
C1:ode2(EQ12A,c,z);q = k sin (θ)(9.4.49)(9.4.45) 式、(9.4.47) 式、(9.4.48) 式を (9.4.42) 式に代last(lhs(EQ13A))=p^2;

入すると、

A2:ode2(%,a,x);ϕ = (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))

first(lhs(EQ13A))=q^2;

× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))()
× %k1 ek z + %k2 e−k zode2(%,b,y);
B2:subst([%k1=%c1,%k2=%c2],%);
K1:k^2=p^2+q^2;(b) 底の条件

P1:p=k*cos(\theta);
Q1:q=k*sin(\theta);/* 底の条件 */subst([P1,Q1],K1);

diff(%,z,1);

trigsimp(%);

subst([z=-h],rhs(%))=0;

subst([A2,B2,C1],PHT1A);
ここで、ϕ は x, y, z の関数である。このとき、質量保存の方程式は (9.1.9) 式から、

d2
d2
d2
ϕ+
ϕ+
ϕ=0
2
2
dz
dy
d x2

%k1*k*%e^(-h*k)-%k2*k*%e^(h*k)=0;
K1:%k1=C*%e^(h*k);
K2:%k2=C*%e^(-h*k);(9.4.41)(9.4.25) 式の速度ポテンシャル：ϕ を変数分離法で下

subst([K1,K2],C1);
C2:c=C*cosh(k*(z+h));
PHT2A:subst([A2,B2,C2],PHT1A);(9.4.50)

9.4. 三次元微小振幅波593

z 軸方向の流速：w = ddz ϕ で、底面：z = −h で、 (d) 波振幅：A の導入
w = 0 であるから、()
dϕ = %k1 k e−h k − %k2 k eh kdz
× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))/* 波振幅：A の導入 */subst([PHT2A],BE3);ev(%,diff);× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y)) = 0

ET2A:subst([z=0],%);
A02:A=cosh(h*k)*p*C*U/g;

上式を整理して、

A021:solve(%,C)[1];
%k1 e

−h k

− %k2 ehk

factor(subst([A021],ET2A));=0

subst([A021],PHT2A);
上式から、%k1 = eh k C,

trigreduce(%);
lhs(%)=rhs(%)/sech(k*h)/cosh(k*h);%k2 = e−h k C

expand(%);
上式を (9.4.45) 式に代入し、\phi=-g*cosh(k*(z+h))*A/(cosh(h*k)*p*U)*sin(q*y+p*x+\epsilon[1]);c = ek z+h k C + e−k z−h k C

PHT2A1:subst([P1,Q1],%);
subst([%],BE3);

更に変形して、

ev(%,diff);c = cosh (k (z + h)) C(9.4.51)

subst([z=0],%);
limit(PHT2A1,h,inf);(9.4.51) 式、(9.4.47) 式、(9.4.48) 式を (9.4.42) 式に代入すると、ev(%,limit);
PHT3A:ev(%,limit);
limit(K4,h,inf);

ϕ = (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))
× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))(9.4.52)ev(%,limit);ev(%,limit);× cosh (k (z + h)) C

波高：η は、上式を (9.4.28) 式に代入し、(c) 自由表面条件η=cosh (h k) p C U(%k2 sin (p x) − %k1 cos (p x))g× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))/* 自由表面条件 */subst([PHT2A],FS4);
ev(%,diff);

上式で波の振幅を A とすると、下記の関係が得られる。

subst([z=0],%)*U;
solve(%,U^2)[1];
subst([P1,Q1],%);

A=

K4:solve(%,k)[1];C=gA
cosh (h k) p U

上記の関係から、速度ポテンシャル：ϕ は、上式を自由表面条件：(9.4.27) 式に代入し、z = 0 とϕ=

し、整理すると、k=cosh (h k) p C U,
gg sinh (h k)2cosh (h k) cos (θ) U 2(9.4.53)g cosh (k (z + h)) A
cosh (h k) p U× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))
× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))

第9章

594
上式を変形すると、

ϕ=%c1 %k2 g sin (q y + p x) cosh (k z + h k) A
2 cosh (h k) p U%c2 %k1 g sin (q y + p x) cosh (k z + h k) A+
2 cosh (h k) p U%c2 %k2 g cos (q y + p x) cosh (k z + h k) A+
2 cosh (h k) p U%c1 %k1 g cos (q y + p x) cosh (k z + h k) A−
2 cosh (h k) p U%c1 %k2 g sin (q y − p x) cosh (k z + h k) A+
2 cosh (h k) p U%c2 %k1 g sin (q y − p x) cosh (k z + h k) A−
2 cosh (h k) p U%c2 %k2 g cos (q y − p x) cosh (k z + h k) A+
2 cosh (h k) p U%c1 %k1 g cos (q y − p x) cosh (k z + h k) A+
2 cosh (h k) p U

ここで x 軸と θ の角度をもち、図 9.4.3 の矢印の方向へ進行する波は次式となる。

ϕ=−g cosh (k (z + h)) Ak cosh (h k) cos (θ) U(9.4.54)

× sin (k sin (θ) y + k cos (θ) x + ϵ1 )
ここで、

k=

g sinh (h k)2cosh (h k) cos (θ) U 2

波高：η は、(9.4.54) 式を (9.4.28) 式に代入し、

η = cos (k sin (θ) y + k cos (θ) x + ϵ1 ) A(9.4.55)

水深：h が十分に深い場合は、h → ∞ とし、速度ポテ
ンシャル：ϕ は、

ϕ=−g sin (k sin (θ) y + k cos (θ) x + ϵ1 ) ek z A
k cos (θ) U(9.4.56)

ここで、(9.4.53) 式は、

k=

g
2

cos (θ) U 2(9.4.57)表面波9.4. 三次元微小振幅波

9.4.3

三次元微小振幅波（円柱座標）

図 9.4.4 に示す r − θ − z 円柱座標で原点対称の波の速度ポテンシャルを求める。波のない平衡状態での水面を r − θ 平面とし、鉛直上方に z 軸をとる。水底の深さ
を h、波高：η 、r 軸方向の流速:vr 、θ 軸方向の流速:vθ 、

z 軸方向の流速:vz 、波の振動円周波数：ω 、波長:L、波
高の片振幅:A、重力加速度：g とする。

595
EQ3:\eta=-diff(\Phi,t,1)/g;
PHT1:\Phi=a*b*c*d;/* 質量保存 */subst([PHT1],EQ1);
ev(%,diff);
expand(%/b/c/a/d);
EQ11:%-’diff(c,z,2)/c;
EQ12:lhs(EQ11)=-k^2;
EQ13:rhs(EQ11)=-k^2;
C1:ode2(EQ13,c,z);
EQ12;
expand(%*r^2);
EQ21:%-last(lhs(%))-rhs(%);
EQ22:lhs(EQ21)=q^2;
EQ23:rhs(EQ21)=q^2;
B2:ode2(EQ23,b,\theta);
EQ31:expand((EQ22-rhs(EQ22))*a/r^2);
BES0:diff(v(x),x,2)+(1-2*A)/x*diff(v(x),x,1)+(B^2*C^2*x^(2*C-2)+(A^2-N^2*C^2)/x^2)*v(x)=0;
BES1:v(x)=%c1*x^A*bessel_j(N,B*x^C)

図 9.4.4: 三次元微小振幅波（円柱座標）+%c2*x^A*bessel_y(N,B*x^C);
subst([A=0,N=q,C=1,B=k],BES0);
subst([A=0,N=q,C=1,B=k],BES1);A2:subst([v(x)=a,x=r,%c2=0],%);
subst([A2,B2,C1],PHT1);/* 三次元波の速度ポテンシャル（円柱座標） */kill(all);load("vect")$

流速の速度ポテンシャル：Φ 表記で円柱座標系による
ものは (6.1.12) 式、178 頁から、

  d vrdr Φ   ddθ Φ =v θ  r 
d
vz
dz Φ

depends(\Phi,[r,\theta,z,t]);depends(a,[r]);depends(b,[\theta]);depends(c,[z]);depends(d,[t]);assume(k>0);
assume(t>0);

速度ポテンシャル：Φ の円柱座標の質量保存の方程式
は、(6.1.16) 式、179 頁から、ddr Φ

assume(\omega>0);
assume(r>0);
assume(g>0);r[diff(\Phi,\theta,1)/r],[diff(\Phi,z,1)]);EQ1:diff(\Phi,z,2)+diff(\Phi,\theta,2)/r^2

2

Φ

+

d2
d2
Φ+
Φ=0
2
dz
d r2

(9.4.59)自由表面条件は、xyz 座標、円柱座標に関係なく (9.1.7)
2

d
d
2 Φ
Φ + dt=0dz
g/* 境界条件 */matrix([diff(\Phi,r,1)],d2+ dθ 2r

式から、

assume(q>0);
V1:matrix([v[r]],[v[\theta]],[v[z]])=(9.4.58)(9.4.60)

波高：η は xyz 座標、円柱座標に関係なく (9.1.6) 式から、dη = − dtgΦ(9.4.61)+diff(\Phi,r,2)+diff(\Phi,r,1)/r=0;

いま、速度ポテンシャルとして、変数分離法で次式

EQ2:diff(\Phi,z,1)+diff(\Phi,t,2)/g=0;を考える。ここで、a, b, c, d は a = a(r), b = b(θ), c =c(z), d = d(t) の関数とする。
Φ = abcd(9.4.62)

第9章

596

上式で、A = 0, C = 1, B = k, N = q とすると、微分(a) 質量保存の方程式
上式を質量保存の方程式：(9.4.59) 式に代入し、整理す
ると、
d
dr a

ar

d2
d2
d2
d θ2 bd z2 cd r2 a
+
+
+
=0
b r2
c
a

2

2

方程式の一般型は次式となり、(9.4.69) 式と一致する。

(
)
d
d2
q2
2
d x v (x)v (x) ++ k − 2 v (x) = 0d x2xx
このとき解は、上式の左辺第三項を右辺に移項し、−k 2 と置くと、

v (x) = %c2 bessel y (q, k x) + %c1 bessel j (q, k x)

2

d
d
d
2 b
2 a
2 c
+ dθ 2 + dr
= − dz= −k 2
ar
br
a
c

d
dr a

bessel y (q, k r) は適合しないので、(9.4.69) 式の解は、
a = %c1 bessel j (q, k r)

上式を下記の二式に分けると、
d
dr a

ar

表面波

d2
d2
d θ2 bd r2 a++= −k 2b r2
a(9.4.63)(9.4.70)(9.4.62) 式に (9.4.65) 式、(9.4.68) 式、(9.4.70) 式を代
入すると、

2

d
2 c
− dz
= −k 2c(9.4.64) 式を ode2 関数で解くと、

c = %k1 ek z + %k2 e−k z(9.4.64)Φ =%c1 d bessel j (q, k r) (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ))()
× %k1 ek z + %k2 e−k z(9.4.65)(b) 底の条件(9.4.63) 式から、a, b について、
d
dr a

ar

/* 底の条件 */d2
d2
d θ2 bd r2 a++= −k 2b r2adiff(%,z,1);

r2 倍して、左辺第二項と右辺を移項し、下記のように

subst([z=-h],rhs(%))=0;

整理して、q 2 と置くと、
( 2 )
(d )
d
2
d2
a r
d r2 a r
2 b
2 2
+ dr
= − dθ
= q2
k r +
a
a
b

%k1*k*%e^(-h*k)-%k2*k*%e^(h*k)=0;

上式を下記の二式に分けると、
( 2 )
(d )
d
2
a r
d r2 a r
2 2
k r +
+ dr
= q2
a
a

C2:c=C*cosh(k*(z+h));−d2
d θ2 b= q2
b(9.4.67) 式を ode2 関数で解くと、
b = %k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ)(9.4.66)r

subst([K1,K2],C1);z 軸方向の流速：vz = ddz ϕ で、底面：z = −h で、
vz = 0 であるから、(9.4.67)()
dΦ =%c1 d %k1 k e−h k − %k2 k eh kdz
× bessel j (q, k r)
× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ)) = 0(9.4.68)の微分方程式である。

d2
a q2
a=0
− 2 + a k2 +r
d r2

K2:%k2=C*%e^(-h*k);

subst([A2,B2,C2],PHT1);(9.4.66) 式を整理すると、次式となり、これは Besselddr a

K1:%k1=C*%e^(h*k);(9.4.69)以上から、%k1 e−h k − %k2 eh k = 0

上式の関係を満足する %k1, %k2 は、Bessel の微分方程式の一般型とその解は次式である。
( 2)%k1 = eh k C, %k2 = e−h k C
A − C2 N 2
2 C−2 2 2
v (x)
+x
B C
x2
上式を (9.4.65) 式に代入し、( d)d2
d x v (x) (1 − 2 A)+
v (x) = 0+xd x2
c = ek z+h k C + e−k z−h k C()
ACv (x) =%c2 x bessel y N, x B()
更に次式とする。
+ %c1 xA bessel j N, xC B

c = cosh (k (z + h)) C(9.4.71)

9.4. 三次元微小振幅波

597(9.4.62) 式に (9.4.71) 式、(9.4.68) 式、(9.4.70) 式を代入すると、(9.4.62) 式に (9.4.71) 式、(9.4.68) 式、(9.4.70) 式、(9.4.73)
式を代入すると、

Φ =%c1 d bessel j (q, k r) (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ)) Φ =%c1 bessel j (q, k r) (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))× cosh (k (z + h)) C× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ)) cosh (k (z + h)) C(c) 自由表面条件

上式を (9.4.61) 式に代入し、z = 0 とし、波高を求めると、/* 自由表面条件 */η=

subst([%],EQ2);%c1 cosh (h k) ω C
bessel j (q, k r)gev(%,diff);× (%d2 sin (ω t) − %d1 cos (ω t))subst([z=0],%);× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ))

EQ41:solve(%,d)[1];OM1:\omega^2=(g*k*sinh(k*h))/cosh(k*h);
OM2:\omega^2=(g*k*tanh(k*h));OM11:solve(OM1,g)[1];
subst([OM11],EQ41);

ここで波振幅：A を導入すると、次式の関係となる。

A=%c1 cosh (h k) ω C
,
g

C=

gA
%c1 cosh (h k) ω

上記の関係を波高、速度ポテンシャルに代入すると、

ode2(%,d,t);η =bessel j (q, k r) (%d2 sin (ω t) − %d1 cos (ω t))

D2:subst([%k1=%d1,%k2=%d2],%);× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ)) A

PHT2:subst([A2,B2,C2,D2],PHT1);(9.4.74)

自由表面条件式 (9.4.60) 式に上式を代入し、整理す
ると、

(
d=−

d2
d t2 d)cosh (h k)Φ=g k sinh (h k)× (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))

ここで、下記とすると、

g k sinh (h k)= g k tanh (h k)ω =cosh (h k)2(9.4.72)

いま、水深が十分深いとすると、h → ∞ とし、上式の速度ポテンシャルは、d2
d t2 dd=− 2ωΦ=

上式を ode2 関数で解くと、

d = %d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t)(d) 波振幅：A の導入/* 波振幅：A の導入 */subst([PHT2],EQ3);
ev(%,diff);
ET1:factor(subst([z=0],%));
A0:A=%c1*cosh(k*h)*omega*C/g;
A01:solve(A0,C)[1];ET3:subst([A01],ET1);
PHT3:subst([A01],PHT2);lhs(%)=limit(rhs(PHT3),h,inf);
limit(OM1,h,inf);(9.4.75)× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ))

上式は、

ev(%,limit);gcosh (k (z + h)) A
bessel j (q, k r)
cosh (h k) ω

(9.4.73)

gek z Abessel j (q, k r)
ω× (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))(9.4.76)× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ))(9.4.72) 式は、
ω2 = g k(9.4.77)

第9章

598

9.5

表面波

三次元波の簡単な例/* 三次元の無限水深の波の伝搬 */例題 9.5.1

表面撹乱による軸対称波の伝搬

kill(all);assume(k>0);
assume(t>0);

表面の局所的な撹乱を初期に与えたあと生じる平面波の伝搬について調べる1 。図 9.5.1 に示す r − θ − z 円柱
座標系を用い、波のない平衡状態での水面を r − θ 平面

assume(L>0);
assume(\omega>0);
assume(A>0);とし、原点からの距離：r、x 軸と r との角度：θ、鉛直

assume(r>0);

上方に z 軸をとる。水深は十分深いとし、波の高さ：η 、

assume(m>0);

時間：t、密度：ρ、重力加速度：g 、振動円周波数：ω とassume(g>0);

する。

ET1:\eta=-’diff(\Phi,t,1)/g;
PHT41:\Phi=-(bessel_j(0,k*r)*g*
sin(\omega*t)*%e^(k*z)*A)/\omega;
ET41:\eta=bessel_j(0,k*r)*cos(\omega*t)*A;
OM11:omega=sqrt(g)*sqrt(k);/* 表面撹乱 */F1:f(r)=’integrate(k*bessel_j(\nu,k*r)*
F[\nu](k),k,0,inf);
F2:F[\nu](k)=’integrate(bessel_j(\nu,k*r)*r*f(r),r,0,inf);
F11:subst([F2],F1);
F21:subst([r=s],F2);
subst([\omega=\omega(k),A=1],rhs(PHT41));\Phi=subst([bessel_j(nu,k*r)=%],rhs(F1));
図 9.5.1: 平面波の伝搬（円柱座標）

subst([F21,\nu=0],%);
PHT5:subst([integrate(bessel_j(0,k*s)*s*f(s),s,0,inf)=1/2/%pi],%);(1) 自由表面のもりあがり

subst([PHT5],ET1);ev(%,diff);

初期状態で、原点に自由表面の集中的なもりあがりがあET5:subst([z=0],%);

る場合について調べる。

BES2:bessel_j(m,R)=sqrt(2/%pi/R)*cos(R-%pi*(2*m+1)/4);
BES21:subst([m=0,R=k*r],%);
ET21:subst([BES21],ET5);cos(k*r-%pi/4)*cos(\omega(k)*t)=1/2*cos(k*r-%pi/4-\omega(k)*t)+1/2*cos(k*r-%pi/4+\omega(k)*t);
CS1:lhs(%)=last(rhs(%))*2;
CS2:solve(%,cos(omega(k)*t))[1];ET22:subst([CS2],ET21);
いま、水深が十分深いとき、平面波の速度ポテンシャ
ルは、(9.4.76) 式から、波の振幅：A とすると、

図 9.5.2: 自由表面のもりあがりによる平面波の伝搬Φ=g ek z A
bessel j (q, k r)
ω× (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ))

1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.429

255.

(9.5.1)

9.5. 三次元波の簡単な例

599

ここで、(9.4.77) 式から、

ω=

(9.5.4) 式を (9.5.3) 式に代入し、z = 0 として波高を

√ √
g k

求めると、

(9.5.2)
η = bessel j (0, k r) cos (ω t) A

波高：η は、(9.4.61) 式から、d

η = − dtg(9.5.5)

領域が無限であるので、極座標の Fourier 積分に相当Φ

(9.5.3)

する、下記の Hankel Transform を活用する。
∫ ∞f (r) =k Fν (k) bessel j (ν, k r) dk

波形が原点対称で、q = 0、初期：t = 0 で、有限値を持つので、速度ポテンシャル：Φ は、

0bessel j (0, k r) g sin (ω t) ek z A
Φ=−
ω

∫ ∞
Fν (k) =(9.5.4)bessel j (ν, k r) r f (r) dr0

上記 Hankel Transform を書き換えると、∫ ∞∫ ∞f (r) =
k bessel j (ν, k r)
bessel j (ν, k r) r f (r) drdk
0

0

∫ ∞
Fν (k) =bessel j (ν, k s) s f (s) ds
0

Hankel Transform を (9.5.4) 式に適用すると、∫∞∫ ∞bessel j (0, k r) k 0 bessel j (0, k s) s f (s) ds sin (ω (k) t) ek zdk
Φ = −gω (k)0(9.5.6)

上式の速度ポテンシャルで、初期における波高：f (s) が非常に狭い範囲に分布し、他では f (s) = 0 とし、∫ ∞2π
s f (s) ds = 10

上式を (9.5.6) 式に代入すると、

g
Φ=−
2π

∫ ∞
0

bessel j (0, k r) k sin (ω (k) t) ek z
dk
ω (k)

波高は上式を (9.5.3) 式に代入し、z = 0 として、∫∞
bessel j (0, k r) k cos (ω (k) t) dk(9.5.7)η= 02π
次式の Bessel 関数で、R が大きいとき、「A.9.2 Hunkel の漸近展開初項」の (A.9.3) 式、658 頁の次式で近似できる。

√
bessel j (m, R) =()
2 cos R − π (2 m+1)
4
√ √
π R

(9.5.7) 式で上式を m → 0、R → k r と対応でき、bessel j (0, k r) =上記の結果から、波高は、

∫∞√
η=

0

√

(
)
2 cos k r − π4
√ √ √
π k r

(
)
k cos k r − π4 cos (ω (k) t) dk
√ 3√
2π2 r

上式の積分内の三角関数を変形すると、
(
)
(
)
(
cos ω (k) t + k r − π4cos ω (k) t − k r + π4π)cos (ω (k) t) =+cos k r −422
r の方向に波が伝搬することから、次式とする。
(
(
π)
π)
cos k r −cos (ω (k) t) = cos ω (k) t − k r +44
上記の結果を (9.5.8) 式に代入し、()∫∞√
k cos ω (k) t − k r + π4 dk
0
η=
√ 3√
2π2 r

(9.5.8)(9.5.9)

第9章

600

表面波

(A.8.6) 式から、/* 積分法 */SF2:integrate(%e^(%i*f(k))*s(k),k,-inf,inf)=%e^(’%i*(f(d)+%pi/4))*s(d)*sqrt(%pi)/sqrt(abs(’diff(f(d),xi,2))/2);/* 積分法の適用 */FK:f(k)=(k*r-%pi/4-\omega(k)*t);)√ √ ( i2 π √2 + √12 ei f(d) s (d)√ei f(k) s (k) dk =−∞d2
d ξ 2 f (d)∫ ∞(9.5.10)(9.5.9) 式を上式に適用すると、

DFK1:diff(FK,k,1);
DFK11:rhs(DFK1)=0;
subst([\omega(k)=rhs(OM11)],%);
ev(%,diff);
DFK12:solve(%,k)[1];D1:d=rhs(%);
FKD1:subst([f(k)=f(d),\omega(k)=sqrt(g*k),
DFK12],FK);
DFK2:diff(FK,k,2);s (k) =√

k(9.5.11)π(9.5.12)4(9.5.12) 式を (9.5.2) 式の関係から k で微分すると、()
ddf (k) =r −ω (k) t
dk
dk
(
)
√
gt
d (√ √ )=r −g k
t=r− √ =0
dk
2 k
f (k) = −ω (k) t + k r −subst([\omega(k)=rhs(OM11)],%);
ev(%,diff);
subst([f(k)=f(d)],%);

上式から、d は、

k=d=

DFK21:lhs(%)=subst([DFK12],rhs(%));
DFK22:subst([k=\xi],%);
SK1:s(k)=sqrt(k)/(sqrt(2)*%pi^(3/2)*
sqrt(r));SD1:s(d)=sqrt(k)/(sqrt(2)*%pi^(3/2)*
sqrt(r));subst([SK1,SD1,DFK22],SF2);
lhs(%)=subst([DFK12],rhs(%));
subst([-inf=0,FK],lhs(%))=rhs(%)/2;

入し、

π
g t2
−
(9.5.14)4r
4(9.5.12) 式を k で二階微分すると、(9.5.2) 式の関係
f (d) = −

から、

)
d2
ω
(k)
t
d k2
( 2 (
)
√
gt
d
√ √ )
g
k
t
=−
=
3
2
dk
4k2

d2
f (k) = −d k2

realpart(%);
rhs(ET22)=rhs(%);((9.5.13) 式の関係式を上式に代入し、
2 r3
d2
f (d) = 22dξgt

ET6:subst([\omega(k)=\omega],%);
cos(omega(k)*t-k*r+%pi/4);%=expand(trigrat(%));(9.5.13)(9.5.2) 式の関係式と上式の関係式を (9.5.12) 式に代

subst([FKD1],%);
lhs(%)=trigrat(rhs(%));

g t2
4 r2

(9.5.15)(9.5.11) 式、(9.5.15) 式を (9.5.10) 式に代入し、\eta=lhs(ET6);\eta=rhs(ET6);
ET61:subst([g=9.8],rhs(ET6));
plot2d([subst([t=4],ET61),subst([t=2],ET61),subst([t=1],ET61),subst([t=0.5],ET61)],[r,0.2,4],[x,0,4],[y,-5,5],[legend,

(

∫∞ √

k ei f(k) dk
−∞
=
√ 3√
2π2 r
=

√i + √1
2
2

)

√

(

ei f(d)√ √g kt

2 π r2)√i + √1ei f(d) g t222
3

2 2 π r3

"t=4s", "t=2s","t=1s","t=0.5s"]);(9.5.9) 式の積分式は、多くの変動を有する積分で、「A.8 非常に多くの正弦波を積分範囲内に有する積分法(Kelvin の方法)」、657 頁の方法を活用する。

軸対称であるから、積分範囲を 0 → ∞ に変更し、積分結果を 1/2 とし、(9.5.14) 式を代入すると、()∫ √∞√1 − √ik ei k r−i ω(k) t dk
0
2
2
√ 3√
2π2 r
(
)
(
)
g t2
π
2 i − 4r − 4√i + √1
g
t
e
2
2
=
5
2 2 π r3

9.5. 三次元波の簡単な例

601(2) 撃圧作用

上式の実部をとり、整理すると、

∫∞√
0

(

)
2

(
)
g t2 cos g4tr
k cos ω (k) t − k r + π4 dk
=
√ 3√
5
2π2 r
2 2 π r3以上から、伝搬する波形：(9.5.9) 式は、()∫∞√
k cos ω t − k r + π4 dk
0
η=
√ 3√
2π2 r
( 2)
g t2 cos g4tr=
5
2 2 π r3

初期状態で、原点の自由表面に集中的な衝撃圧力を加えた場合について調べる。

(9.5.16)上式を基に波の伝搬の様子を下図に示す。

図 9.5.4: 衝撃圧力による二次元波の伝搬/* 撃力撹乱 */図 9.5.3: 自由表面のもりあがりによる平面波の伝搬-\rho*lhs(PHT41)=-subst([A=1,sin(\omega*t)=cos(\omega*t)],rhs(PHT41))*\omega/g;-%/\rho;\Phi=-1/\rho*integrate(integrate(
bessel_j(0,k*r)*cos(\omega(k)*t)*%e^(k*z)*k*F(s)*bessel_j(0,k*s)*s,s,0,inf),k,0,
inf);
PHT7:subst([integrate(bessel_j(0,k*s)*s*F(s),s,0,inf)=1/2/%pi],%);
subst([PHT7],ET1);ev(%,diff);
ET7:subst([z=0],%);
ET71:subst([BES21],ET7);
cos(k*r-%pi/4)*sin(\omega(k)*t)=-1/2*sin(k*r-%pi/4-\omega(k)*t)+1/2*sin(k*r-%pi/4+\omega(k)*t);
SS1:lhs(%)=last(rhs(%))*2;
SS2:solve(%,sin(omega(k)*t))[1];ET72:subst([SS2],ET71);
ET73:subst([sin(\omega(k)*t-k*r+%pi/4)=
cos(omega(k)*t-k*r+%pi/4-%pi/2)],%);
FK:f(k)=(k*r-\omega(k)*t+%pi/4);

第9章

602
FKD1:subst([f(k)=f(d),\omega(k)=sqrt(g*k),
DFK12],FK);
SK2:s(k)=\omega(k)*sqrt(k)/(-sqrt(2)*%pi^(3/2)*g*sqrt(r)*\rho);SD2:s(d)=\omega(d)*sqrt(k)/(-sqrt(2)*%pi^(3/2)*g*sqrt(r)*\rho);
subst([SK2,SD2,DFK22],SF2);
lhs(%)=subst([\omega(d)=rhs(OM11),DFK12],
rhs(%));

表面波

上式を (9.5.10) 式の形に合わせ、波高は、()∫∞√
k ω (k) cos k r − π4 sin (ω (k) t) dk
0
η=−
√ 3 √
2π2 g rρ(9.5.18)
上式の積分内の三角関数を変形すると、()(
sin ω (k) t + k r − π4π)
cos k r −sin (ω (k) t) =4
( 2)
sin ω (k) t − k r + π4+
2

subst([-inf=0,FK],lhs(%))=rhs(%)/2;
subst([FKD1],%);

r の方向に波が伝搬することから、次式とする。
(
(
π)
π)
sin (ω (k) t) = sin ω (k) t − k r +cos k r −4
4

realpart(%);
lhs(%)=trigrat(rhs(%));
rhs(ET73)=rhs(%);

上記の結果を (9.5.18) 式に代入し、()∫∞√
k ω (k) sin ω (k) t − k r + π4 dk
0
η=−
√ 3 √
2π2 g rρ(9.5.19)

ET8:rhs(ET73)=rhs(%);
cos(omega(k)*t-k*r-%pi/4);%=expand(trigrat(%));\eta=lhs(ET8);\eta=rhs(ET8);
ET61:subst([g=9.8,\rho=102],rhs(ET8));
plot2d([subst([t=4],ET61),subst([t=2],ET61),subst([t=1],ET61),subst([t=0.5],ET61)],[r,0.2,4],[x,0,4],[y,-0.1,0.1],(9.5.19) 式を (9.5.10) 式に適用すると、√k ω (k)s (k) = − √ 3 √2π2 g rρf (k) = −ω (k) t + k r +[legend,"t=4s","t=2s","t=1s","t=0.5s"]);
撃圧は ρΦ で表現でき、波形が軸対称で、初期：t = 0
で、波高が零である。いま、水深が十分深いとき、平面波の速度ポテンシャルは (9.4.76) 式から、

−Φ ρ = bessel j (0, k r) cos (ω t) ek z
以上から、速度ポテンシャルは、

Φ=−bessel j (0, k r) cos (ω t) ek zρ

上式から、Hankel Transform を活用すると、
∫
1 ∞
Φ=−
bessel j (0, k r) k cos (ω (k) t) ek z
ρ 0
∫ ∞
×
bessel j (0, k s) s F (s) dsdk
0(9.5.17)
上式の速度ポテンシャルで、初期における撃圧：F (s)が非常に狭い範囲に分布し、他では F (s) = 0 とし、∫ ∞s F (s) ds = 12π0

上式を (9.5.17) 式に代入すると、∫∞bessel j (0, k r) k cos (ω (k) t) ek z dk
Φ=− 0
2πρ
波高は上式を (9.5.3) 式に代入し、z = 0 として、∫∞
bessel j (0, k r) k ω (k) sin (ω (k) t) dk
η=− 0
2πgρ

(9.5.20)

π
4

上式から、

π g t2−(9.5.21)44r(9.5.20) 式、(9.5.15) 式を (9.5.10) 式に代入し、∫ ∞ √ i f(k)ke
ω (k) dk
− −∞ √ 3 √2π2 g rρ()√√i + √1ei f(d) ω (d) k t
2
2
√ √
=−
2 π g r2 ρ()
√i + √1ei f(d) g t322=−
5
2 2 π r4 ρ
f (d) =

軸対称であるから、積分範囲を 0 → ∞ に変更し、積分結果を 1/2 とし、(9.5.21) 式を代入すると、)∫ √(∞√i + √1k ω (k) ei k r−i ω(k) t dk
0
2
2
−
√ 3 √
2π2 g rρ
(
)
)
(
g t2
π
3 i 4 − 4r
√i + √1
gt e
2
2
=−
7
2 2 π r4 ρ
上式の実部をとり、整理すると、)(∫∞√k ω (k) cos ω (k) t − k r − π4 dk
0
−
√ 3 √
2π2 g rρ( 2)
g t3 sin g4tr=−
7
2 2 π r4 ρ

9.5. 三次元波の簡単な例
以上から、伝搬する波形：(9.5.18) 式は、()∫∞√
k ω (k) cos ω (k) t − k r − π4 dk
0
η =−
√ 3 √
2π2 g rρ( 2)
g t3 sin g4tr=−
7
2 2 π r4 ρ
(9.5.22)

上式を基に波の伝搬の様子を下図に示す。

図 9.5.5: 撃圧作用による平面波の伝搬

603

第9章

604

例題 9.5.2

船が起こす波紋式から次式となる。

η=−

船の起こす波の波紋について調べる1 。船の波は船首などの撹乱で波が生じ、平面に拡散していく。波のない平衡状態での水面を x 軸、y 軸とし、鉛直上方に z 軸

g t3 sin

(

g t2
4r

)
(9.5.23)72 2 π r4 ρ

波形が山の位置のときには、

g t2π= 2πn +
4r2をとる。撹乱源は x 軸上を負の方向に一定速度：U で進み、水底の深さは十分深いものとする。波高：η 、時
間:t、重力加速度：g とする。

表面波(9.5.24)

B 周辺の撹乱源からの波が A に伝搬し、波形が変化しないで、とどまる（停留）ためには、(9.5.23) 式の sin
項の中が下記の関係となる必要がある。
()()
g ddt r t2
d g t2
gt
=
−
=0
dt 4r
2r
4 r2
上式から、

2r
d
r=
(9.5.25)
dtt
一方、B は速度：U で移動するので、下記の関係がある。

dr = cos (θ) U
dt(9.5.26)(9.5.25) 式と (9.5.26) 式から ddt r を消去すると、
図 9.5.6: 船の起こす波紋

2r= cos (θ) Ut上式から、次式の関係を得る。

/* 船の起こす波紋 */tU =kill(all);load("vect")$
depends(r,[t]);assume(r>0);
ET1:\eta=-(g*t^3*sin((g*t^2)/(4*r)))/(2^(7/2)*%pi*r^4*\rho);
PH1:(g*t^2)/(4*r)=%pi/2+2*%pi*n;diff(PH1,t,1);
EQ1:solve(%,’diff(r,t,1))[1];
EQ2:’diff(r,t,1)=U*cos(\theta);(9.5.27)

撹乱源：B 点は時間：t 後に O に至り、BO = t U である。いま、停留した波線は BA = r に直角である。この停留波線を延長し、O から垂線を下ろし、交点を C とする。AC と x 軸との交点を D とする。また、AC = bとする。BD = r/cos(θ) と (9.5.27) 式から、点：D はBO を二等分しており、BD = DO となり、△ BDA と△ ODC は合同である。よって、BA = OC = r となる。

(9.5.27) 式から t2 を求め、

rhs(EQ1)=rhs(EQ2);

t2 =EQ3:solve(%,U)[1]*t;
EQ4:U*t*cos(\theta)=2*r;

2r
cos (θ)4 r2
2

cos (θ) U 2

上式を (9.5.24) 式に代入すると、EQ4^2;

grsolve(%,t^2)[1];2

cos (θ) U 2= 2πn +π2

EQ5:subst([%],PH1);
EQ51:solve(%,r)[1];A1:a=((4*%pi*n+%pi)*U^2)/(2*g);
A2:solve(%,g)[1];
EQ52:subst([A2],EQ51);

上式から r を求めると、
2r=(4 π n + π) cos (θ) U 22g

上式の一部を下記に示す a と置くと、EQ6:b=2*r*tan(\theta);
B 点において撹乱源は x 軸上を速度：U で移動する。
B 点からの撃圧作用による平面波の伝搬波形は (9.5.22)a=(4 π n + π) U 2
2g(9.5.29)上式から (9.5.28) 式は、

1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.433

256.

(9.5.28)r = a cos (θ)

2(9.5.30)

9.5. 三次元波の簡単な例

605
上式に (9.5.31) 式を代入すると、また、AC = b は、

b = 2 r tan (θ)(9.5.31)x = 2 r sin (θ) tan (θ) + r cos (θ)
y = r sin (θ) − 2 r cos (θ) tan (θ)

X1:x=r*cos(\theta)+b*sin(\theta);
Y1:y=r*sin(\theta)-b*cos(\theta);
X2:subst([EQ6],X1);

上式に (9.5.30) 式を代入すると、
2

x = 2 a cos (θ) sin (θ) tan (θ) + a cos (θ)

3

Y2:subst([EQ6],Y1);
subst([EQ52],X2);
trigreduce(%);
X3:factor(%);
subst([EQ52],Y2);
trigreduce(%);
Y3:factor(%);
X31:subst([\theta=z,A1,U=1,g=9.8],
rhs(X3));
Y31:subst([\theta=z,A1,U=1,g=9.8],

23

y = a cos (θ) sin (θ) − 2 a cos (θ) tan (θ)
上式を整理し、a (cos (3 θ) − 5 cos (θ))
4
a (sin (3 θ) + sin (θ))
y =−
4

x=−

(9.5.32)

上式で、a は (9.5.29) 式で与えられる。n = 1 ∼ 6 で計算した波線の結果を下記に示す。

rhs(Y3));
X4:subst([n=0],X31);
Y4:subst([n=0],Y31);
X41:subst([n=1],X31);
Y41:subst([n=1],Y31);
X42:subst([n=2],X31);
Y42:subst([n=2],Y31);
X43:subst([n=3],X31);
Y43:subst([n=3],Y31);
X44:subst([n=4],X31);
Y44:subst([n=4],Y31);
X45:subst([n=5],X31);

図 9.5.7: 船の起こす波紋

Y45:subst([n=5],Y31);
X46:subst([n=6],X31);
Y46:subst([n=6],Y31);
plot2d ([[parametric,X41,Y41,[z,-%pi,%pi],

XY3:Y3/X3;[nticks,100]],[parametric,X42,Y42,

plot2d(rhs(%),[\theta,-%pi/2,%pi/2],[z,-%pi,%pi],[nticks,100]],[ylabel, "y/x"]);[parametric,X43,Y43,[z,-%pi,%pi],

DXY3:diff(rhs(XY3),\theta,1);[nticks,100]],

plot2d(%,[\theta,-%pi/2,%pi/2]);[parametric,X44,Y44,[z,-%pi,%pi],

TXY3:\theta=find_root(DXY3,0.5,1);[nticks,100]],\theta=float(rhs(%)*180/%pi);[parametric,X45,Y45,[z,-%pi,%pi],

subst([TXY3],XY3);[nticks,100]],\theta=float(atan(abs(rhs(%)))*180/%pi);[parametric,X46,Y46,[z,-%pi,%pi],[nticks,100]]],[x,0,6],[y,-2,2],[legend, "n=1","n=2","n=3","n=4","n=5","n=6"]);
O を座標の原点としたとき、停留点 A の座標は下記となる。

(9.5.32) 式から y/x を求め、原点：O からの波の広がりを調べる。

ysin (3 θ) + sin (θ)=
xcos (3 θ) − 5 cos (θ)(9.5.33)

上式の結果を図にすると、下図になる。上記の結果：y/xが最大となる θ は

x = b sin (θ) + r cos (θ)
y = r sin (θ) − b cos (θ)θ = 0.61547970867039rad = 35.26438968275465deg.

第9章

606
上記の結果から y/x を求めると、

y= −0.35355339059327x
この角度は、

表面波の広がり角度を求める2 。

ω (k) = k (θ) (sin (θ) y + cos (θ) x)(9.5.34)

ここで、

k (θ) =
θ = 19.4712206344907deg.

g2

cos (θ) U 2(9.5.35)

上式を (9.5.34) 式に代入すると、

ω (k) =g (sin (θ) y + cos (θ) x)
2

cos (θ) U 2

波が停留するには、dω (k)dω (k) = d θ d
=0
dk
dθ k

図 9.5.8: 船の起こす波紋の広がり角度

上式を求めると、(
3cos (θ) U 2 2 g sin (θ) (sin (θ) y + cos (θ) x)
3
2 g sin (θ)
cos (θ) U 2)g (cos (θ) y − sin (θ) x)+=02
cos (θ) U 2

上式から y/x を求めると、/* 斜め波 */’diff(\omega(k),k,1)=’diff(\omega(k),cos (θ) sin (θ)
y
=−
2
2
x
2 sin (θ) + cos (θ)\theta,1)/’diff(k,\theta,1);K1:k(\theta)=g/(U*cos(\theta))^2;
DK1:diff(K1,\theta,1);

上式を整理すると (9.5.33) 式と同じになる。
以上から船の起こす波紋は下図に示すように船から後K2:\omega(k)=k(\theta)*(x*cos(\theta)

方 ±19.47 度の範囲に分布し、その先端の波の向きは+y*sin(\theta));θ = 35.26 度である。

subst([K1],K2);
diff(rhs(%),\theta,1)/rhs(DK1)=0;
solve(%,y)[1];DK2:%/x;
plot2d(rhs(DK2),[\theta,-%pi/2,%pi/2]);
DDK2:diff(rhs(DK2),\theta,1)=0;
plot2d(lhs(%),[\theta,-%pi/2,%pi/2]);
TH1:\theta=find_root(lhs(DDK2),0,1);
lhs(%)=float(rhs(%)*180/%pi);
subst([TH1],DK2);\theta=atan(-rhs(%));
lhs(%)=float(rhs(%)*180/%pi);
rhs(XY3)-rhs(DK2);
trigreduce(%);

図 9.5.9: 船の起こす波紋の広がり角度

上記の検討を別の方法で行う。一様流がある場合の波
高は (9.4.55) 式から

η = cos (k sin (θ) y + k cos (θ) x + ϵ1 ) A
上式の下記に示す cos 項の中の関係から船の起こす波紋

2 J. N. Newman, Marine Hydrodynamics 21) ,P.270 6.10
Three-Dimensional Ship Waves

9.5. 三次元波の簡単な例

例題 9.5.3 前進速度のあるわき出しによる三次元波と造波抵抗
わき出しが速度：U で航走し、波のない平衡状態での水面を x 軸、y 軸とし、鉛直上方に z 軸をとる。わき出しは x 軸上を負の方向に一定速度：U で進み、水底の深さは十分深いとする。わき出しが起こした波の高さ：η とし、密度：ρ、重力加速度：g とする1 。

607

DA1:bessel_j(0,k*sqrt(y^2+x^2))*%e^(-k*z);
A1:1/sqrt(x^2+y^2+z^2)=’integrate(DA1,k,0,inf);/* Bessel 正 */DBE1:%e^(b*cos(theta))*cos(a*sin(theta))/%pi;
BE1:bessel_j(0,sqrt(a^2-b^2))=’integrate(
DBE1,\theta,0,%pi);
BE11:subst([b=%i*d],BE1);
subst([d=k*x,a=k*y],BE11);
BE2:factor(%);
前進速度：U がある速度ポテンシャル：Φ は、次式で表現できる。

Φ = xU + ϕ
ここで、ϕ はわき出し固定の動座標で、x, y, z の関数で
図 9.5.10: 前進速度のあるわき出しの波ある。このとき、(9.1.9) 式から質量保存の方程式は次
式となる。

d2
d2
d2
ϕ
+
ϕ
+
ϕ=0
d z2
d y2
d x2
/* 三次元波の船の造波 */kill(all);load("vect")$
depends(\Phi,[x,y,z,t]);depends(\phi,[x,y,z]);depends(\eta,[x,y]);depends(a,[x]);depends(b,[y]);(9.5.36)(9.1.14) 式から波高：η は次式となる。
( d )
ϕ U
η = − dxg

(9.5.37)(9.1.15) 式から自由表面条件は次式となる。
( 2 )
d
2
d x2 ϕ U
d
+
ϕ=0
g
dz

(9.5.38)

上式で、次式の置き換えを行うと、depends(c,[z]);assume(t>0);
assume(k>0);
assume(K[0]>0);

K0 =(9.5.39)

自由表面条件は次式となる。
2

d
d
2 ϕ
ϕ + dx=0dz
K0

assume(a>0);
assume(b<0);/* 境界条件 */gU2(9.5.40)

速度ポテンシャル：ϕ を下記の ϕ1 , ϕ2 に分ける。ϕ1 はPH0:\Phi=U*x+\phi;

無限流体中を一定速度で航行するわき出しを表す速度ポ

EQ1:’diff(\phi,z,2)+’diff(\phi,y,2)

テンシャルで、ϕ2 は自由表面条件などを満足するよう+’diff(\phi,x,2)=0;に ϕ1 を補正する関数とする。

ET0:\eta=-((’diff(\phi,x,1))*U)/g;
ϕ = ϕ1 + ϕ2

FS4:((’diff(\phi,x,2))*U^2)/g+’diff(\phi,z,1)=0;
K1:K[0]=g/U^2;
K2:solve(%,g)[1];FS5:subst([K2],FS4);
PH1:\phi=\phi[1]+\phi[2];PHA1:\phi[1]=1/sqrt((x-x[1])^2+(y-y[1])^2+(z+h)^2);
1 丸尾孟：造波抵抗理論概説、造船協会誌第 434 号、1965,9 p378

(9.5.41)

三次元流場でわき出しの速度ポテンシャル Φ は、(6.1.38)式、189 頁から、

mr
上式から、わき出しが位置：(x1 , y1 , −h) にあるとすΦ=−

ると、わき出しの速度ポテンシャル：ϕ1 は、

ϕ1 = √

1
2(9.5.42)2(z + h) + (y − y1 ) + (x − x1 )

2

第9章

608
また、次の Lipschitz の積分公式：(A.9.11) 式、658 頁
から、

√

表面波

A3:lhs(A2)=’integrate(’integrate(DA3,\theta,0,%pi),k,0,inf);
A31:’integrate(DA3,\theta,0,%pi/2);

1z 2 + y 2 + x2
∫ ∞

=

(

bessel j 0, k√

A32:’integrate(DA3,\theta,%pi/2,%pi);)

y 2 + x2 e−k z dk

(z > 0)0(9.5.43)
更に、次の Bessel の積分表示：(A.9.8) 式、658 頁から、
( √)bessel j 0, a2 − b2∫
1 π b cos(θ)=
ecos (a sin (θ)) dθπ 0DT2:’diff(lhs(T2),t)=diff(rhs(T2),t,1);
DA32:subst([T2],DA3)*rhs(DT2);
A321:’integrate(subst([t=\theta],DA32),\theta,-%pi/2,0);
A31+A321;
A4:lhs(A2)=’integrate(’integrate(DA3,\theta,-%pi/2,%pi/2),k,0,inf);
realpart(%);

b = i d と置くと、上式は、( √)bessel j 0, d2 + a2∫
1 π i d cos(θ)=
ecos (a sin (θ)) dθ
π 0
上式から、
(
)
√
bessel j 0, k y 2 + x2∫
1 π i k cos(θ) xecos (k sin (θ) y) dθ=π 0

T2:\theta=%pi+t;

DF5:DA2F*2;
DF51:realpart(%);
A5:lhs(A2)=’integrate(’integrate(DF5,\theta,-%pi/2,%pi/2),k,0,inf);
ここで、

cos (k sin (θ) y) =(9.5.44)

A2:subst([BE2],A1);
CO1:cos(a)=(%e^(%i*a)+%e^(-%i*a))/2;
rectform(%);
CO11:subst([a=k*sin(theta)*y],CO1);
subst([CO11],A2);
DA2:%e^(%i*k*cos(theta)*x)*(%e^(%i*k*sin(theta)*y)+%e^(-%i*k*sin(theta)*y))ei k sin(θ) y + e−i k sin(θ) y2であるから、(9.5.43) 式と (9.5.44) 式から、(9.5.42) 式
は次式となる。

1√
2
z + y 2 + x2
∫ ∫1 ∞ π i k cos(θ) x=ecos (k sin (θ) y) dθ e−k z dk
π 00∫ ∞∫ π1=ei k cos(θ) x
2π 0
0
(
)
i k sin(θ) y−i k sin(θ) y× e+edθ e−k z dk*%e^(-k*z)/2/%pi;
DA21:expand(DA2);
DA2F:first(DA21);
DA2L:last(DA21);
A2F:’integrate(DA2F,\theta,0,%pi);
A2L:’integrate(DA2L,\theta,0,%pi);
T1:\theta=%pi-t;
DT1:’diff(lhs(T1),t)=diff(rhs(T1),t,1);
A2L1:’integrate(subst([T1],DA2L)*rhs(DT1),
t,%pi,0);
DA2L1:%e^(-k*z-%i*k*sin(t)*y-%i*k*cos(t)*x)/2/%pi;
DA2L2:subst([t=\theta],DA2L1);
DA3:DA2F+DA2L2;(9.5.45)
上式の θ に関する積分は下記となり、∫ π1e−k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x dθ
2π 0
∫ π
1
e−k z−i k sin(θ) y+i k cos(θ) x dθ+
2π 0(9.5.46)

上式第二項を θ = π − t で置き換えると、∫ π1e−k z−i k sin(θ) y+i k cos(θ) x dθ
2π 0
∫ π
1
→
e−k z−i k sin(t) y−i k cos(t) x dt
2π 0t → θ に戻すと、(9.5.46) 式は次式となり、積分範囲

9.5. 三次元波の簡単な例

609

を 0 → π/2 と π/2 → π に分けると、∫ π
0A6:subst([x=x-x[1],y=y-y[1],z=z+h],A5);e−k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x
2π

A61:\phi[1]=lhs(A6);
DF6:subst([x=x-x[1],y=y-y[1],z=z+h],DF5);e−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) x+dθ2π∫ π2 −k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x
e
=
2π
0
+
∫ π

e

PH6:\phi=DF6+DFF6;
subst([PH6],FS5);−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) xev(%,diff);
dθ

2π
e

+

DFF6:F(k,\theta)*subst([k*z=-k*z],DF5)*%pi;

subst([z=0],%);−k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x

solve(%,F(k,\theta))[1];

2π

π
2

+

e

factor(%);
subst([%],DFF6);−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) xdθ

2π

subst([y[1]=y-y[0],x[1]=x-x[0]],%);

積分範囲：π/2 → π の積分について、θ = t + π で置

B6:\phi[2]=’integrate(’integrate(DB6,

き換え、t → θ に戻すと、∫ π −k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x
e
π
2π
2

\theta,-%pi/2,%pi/2),k,0,inf);
K3:K[2]=2*K[0];K4:K[3]=k*cos(\theta)^2-K[0];e−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) xdθ+2π∫ 0 −k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x
e
=
π
2π
−2
+

DB6:factor(%);

K[3]+K[2];subst([K3,K4],%);
subst([k*cos(\theta)^2+K[0]=K[3]+K[2]],DB6);e−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) xdθ
2πexpand(%);

以上をまとめると、θ に関する積分：(9.5.46) 式は下記となる。

DB61:subst([K3,K4],%);
DB62:factor(first(DB61));
DB63:last(DB61);
subst([x[0]=x-x[1],y[0]=y-y[1]],DB62);∫ 0e−k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x\phi[21]=’integrate(’integrate(%,\theta,

2π

−π
2

-%pi/2, %pi/2),k,0,inf);−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) x

+
∫ π2
+

e

dθ

2π
e

subst([x=x-x[1],y=y-y[1],z=-z+h],A5);
B61:\phi[21]=lhs(%);−k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x\phi[22]=’integrate(’integrate(DB63,\theta,

2π0-%pi/2,%pi/2),k,0,inf);
denom(DB63)*sec(\theta)^2;

e−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) x+dθ
2πDB64:num(DB63)*sec(\theta)^2/%pi/(k-K[0]以上から、(9.5.45) 式は下記となる。

*sec(\theta)^2);
DB65:subst([x[0]=x-x[1],y[0]=y-y[1]],DB64);

1√z 2 + y 2 + x2
∫ ∞ ∫ π2 −k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x
e
=
2π
−π
0
2

B62:\phi[22]=’integrate(’integrate(DB65,\theta,-%pi/2,%pi/2),k,0,inf);
PH6:\phi=\phi[1]+\phi[21]+\phi[22];e−k z−i k sin(θ) y−i k cos(θ) x
dθdk
+
2π
∫ ∞ ∫ π21=
cos (k sin (θ) y + k cos (θ) x) dθ e−k z dk
π 0
−π
2

PH61:subst([A61,B61,B62],PH6);(z > 0)(9.5.47)
または、上式は下記と表現できる。

1
1
√
= ℜ
2
2
2
π
z +y +x∫ ∞ ∫ π20e−k z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x dθdk

−π2(9.5.48)(z > 0)

第9章

610

表面波

わき出しが位置：(x1 , y1 , −h) にあるとすると、(9.5.48) 式からわき出しの速度ポテンシャル：ϕ1 は、

ϕ1 = √

1=

2

2(z + h) + (y − y1 ) + (x − x1 )2

1π

∫ ∞ ∫ π2e−k (z+h)+i k sin(θ) (y−y1 )+i k cos(θ) (x−x1 ) dθdk

−π
2

0

(z > −h)(9.5.49)

上式は当然ながら、質量保存の方程式を満足している。自由表面条件などを満足するように ϕ1 を補正する ϕ2は、ϕ1 にならって、F (k, θ) を導入し、下記とする。

∫ ∞ ∫ π2ϕ2 =F (k, θ) ek z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) x dθdk

(9.5.50)−π20以上から、速度ポテンシャル：ϕ は ϕ = ϕ1 + ϕ2 で与えられる。F (k, θ) を求めるのに、上記二式の被積分関数：′

ϕ を導入すると、下記となる。
ϕ′ =e−k (z+h)+i k sin(θ) (y−y1 )+i k cos(θ) (x−x1 )+ F (k, θ) ek z+i k sin(θ) y+i k cos(θ) xπ

上記、被積分関数：ϕ′ を自由表面条件：(9.5.40) 式に代入し、z = 0 とし、F (k, θ) を求めると、()
2e−i y1 k sin(θ)−i x1 k cos(θ)−h k k cos (θ) + K0()
F (k, θ) = −2
π k cos (θ) − K0
以上から、上式を (9.5.50) 式に代入する。ここで記述を簡単にするため次式を導入する。

ϕ2 = −x0 = x − x1 , y0 = y − y1()
∫ ∞ ∫ π2 k cos (θ)2 + K0 ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k1π2k cos (θ) − K0

−π
2

0

(9.5.51)dθdk(z < h)(9.5.52)

上式の被積分関数は、下記のように分けることができ、−

ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k
2 K0 ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k−2ππ k cos (θ) − π K0(9.5.53)

上式の第一項の積分形は (9.5.51) 式を代入し、

1
ϕ21 = −π

∫ ∞ ∫ π2=− √ek z+i k sin(θ) (y−y1 )+i k cos(θ) (x−x1 )−h k dθdk

−π
2

0

(9.5.54)1
2(z < h)22(h − z) + (y − y1 ) + (x − x1 )上式は、水面に対し、わき出し位置：(x1 , y1 , −h) の対称の位置：(x1 , y1 , h) においた逆強さのわき出しによる
速度ポテンシャルを表している。次に、(9.5.53) 式の第二項の積分形は (9.5.51) 式を代入し、

ϕ22 = − 2 K0

∫ ∞ ∫ π2
0

2 K0
=−
π

ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k2π k cos (θ) − π K0

−π2

∫ ∞ ∫ π20dθdk
(9.5.55)2

sec (θ) ek z+i k sin(θ) (y−y1 )+i k cos(θ) (x−x1 )−h k2k − K0 sec (θ)

−π
2

dθdk

(z < h)以上から、速度ポテンシャル：ϕ は、

2 K0
ϕ = ϕ1 + ϕ21 + ϕ22 = −π+√∫ ∞ ∫ π202

sec (θ) ek z+i k sin(θ) (y−y1 )+i k cos(θ) (x−x1 )−h k2k − K0 sec (θ)

−π
2

dθdk

1

1
−√
2
2
2
2
2
2
(z + h) + (y − y1 ) + (x − x1 )(h − z) + (y − y1 ) + (x − x1 )上式の右辺第一項の |x| が十分大きい場合の積分を、下記に示す線積分を使用して求める。

(9.5.56)

9.5. 三次元波の簡単な例

611(1)x > 0 で |x| が十分大きい場合

subst([KI3],DB64);%*rhs(DKI3);

INT1:IN[1]=’integrate(DB64,k,0,inf);

subst([K[0]*sec(\theta)^2=0],%);/* x>0

DINT3:realpart(%);/* IN[2]*/IN[3]=’integrate(DINT3,t,0,%pi/2);*/

KI2:k=\delta*%e^(%i*t)+K[0]*sec(\theta)^2;

INT3:IN[3]=0;

DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);/* IN[4]num(DB64)/%pi;KI4:k=%i*b;

CKI2:subst([k=K[0]*sec(\theta)^2],%);

DKI4:’diff(k,t,1)=%i;subst([KI2],%pi/denom(DB64));

subst([KI4],DB64)*rhs(DKI4);

DINT2:%*rhs(DKI2);

factor(realpart(%));

integrate(DINT2,t,%pi,0);

subst([b=k],%);%*CKI2;

INT4:IN[4]=’integrate(%,k,inf,0);

INT2:IN[2]=factor(realpart(%));

INT1+INT2+INT3+INT4;/* IN[3]0=rhs(%);*/*/

KI3:k=R*%e^(%i*t);-%+rhs(INT1);

DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);

INP1:lhs(%)=first(rhs(%));(9.5.56) 式の右辺第一項の k に関する下記の積分について調べる。ここで記述を簡単にするため (9.5.51) 式を導
入する。

2 K0
2
IN 1 = −sec (θ)π∫ ∞ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k02k − K0 sec (θ)

dk(9.5.57)k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は上記の求める積分で、IN1 とする。a 軸上の特異点：
2

k = K0 sec (θ) では、半径：δ の半円の積分で特異点を除き、IN2 とする。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大
きい半径：R の円弧の線積分で、IN3 とする。b 軸上の線積分を IN4 とする。

図 9.5.11: x > 0 の線積分

IN2 について、k は下記のように表現でき、
2

k = K0 sec (θ) + δ ei t ,d
k = i δ ei tdt

t = π → 0 の積分結果は、下記となり、半径：δ が十分小さいとし、

第9章

612

2 K0 sec (θ) eK0 sec(θ) z+i y0 K0 sec(θ) sin(θ)+i x0 K0 cos(θ) sec(θ) −K0 h sec(θ)π
22IN 2 = −222= 2 i K0 sec (θ) eK0 sec(θ) z+i y0 K0 sec(θ) sin(θ)+i x0 K0 cos(θ) sec(θ) −K0 h sec(θ)
2

2

2

2

表面波

∫ 0
i dt
π

2

上式の実部をとり、積分結果は、
(
)
2
2
2
2
IN 2 = −2 K0 sec (θ) sin K0 sec (θ) (y0 sin (θ) + x0 cos (θ)) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)(9.5.58)

IN3 について、k は下記のように表現でき、
dk = i ei t Rdt

k = ei t R,

t = 0 → π/2 の積分は R >> K0 で実部をとり、下記となり、∫ π2
IN 3 =
0

∫ π2
=

2

=
0

it

it

cos(θ) R−h ei t R

dt

2

−

0

∫ π2

it

2 i K0 ei t sec (θ) R ee z R+i y0 e sin(θ) R+i x0 e)(−
2π ei t R − K0 sec (θ)

2 i K0 sec (θ) ei t z R+i y0 ei t sin(θ) R+i x0 ei t cos(θ) R−h ei t Redt
π(9.5.59)

2

2 K0 sec (θ) cos(t) z R−y0 sin(t) sin(θ) R−x0 sin(t) cos(θ) R−h cos(t) Reπ× sin (sin (t) z R + y0 cos (t) sin (θ) R + x0 cos (t) cos (θ) R − h sin (t) R) dt

z < h, R > 0, sin(t) > 0, cos(t) > 0, x0 cos(θ) > 0, y0 sin(θ) > 0 で R が十分大きいとき、下記となる。
IN 3 = 0(9.5.60)

IN4 について、k は下記のように表現でき、
k = i b,dk=idb

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分は下記となる。この実部をとり、b → k に置き換えて、∫ 0
22 i K0 sec (θ) ei b z−y0 b sin(θ)−x0 b cos(θ)−i b h()
IN 4 =−db
2∞
π i b − K0 sec (θ)()
22 ∫ ∞ e−y0 k sin(θ)−x0 k cos(θ) K0 sec (θ) sin (k (z − h)) + k cos (k (z − h))
2 K0 sec (θ)=
dk4π
K02 sec (θ) + k 2
0(9.5.57) 式、(9.5.58) 式、(9.5.60) 式、(9.5.61) 式において、下記の関係がある。
IN 4 + IN 3 + IN 2 + IN 1 = 0()∫ ∞ e−y0 k sin(θ)−x0 k cos(θ) K0 sec (θ)2 sin (k (z − h)) + k cos (k (z − h))
2 K0 sec (θ)=
dk4π
K02 sec (θ) + k 2
02 ∫ ∞ k z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k
2 K0 sec (θ)
e
−
dk
2
π
k − K0 sec (θ)
0
(
)
2
2
2
2
− 2 K0 sec (θ) sin K0 sec (θ) (y0 sin (θ) + x0 cos (θ)) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)
2

以上から、

2 K0 sec (θ)
IN 1 = −
π

2

∫ ∞
(

0

ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k2k − K0 sec (θ)

dk

)
2
2
2
2
=2 K0 sec (θ) sin K0 sec (θ) (y0 sin (θ) + x0 cos (θ)) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)()
22 ∫ ∞ e−y0 k sin(θ)−x0 k cos(θ) K0 sec (θ) sin (k (z − h)) + k cos (k (z − h))
2 K0 sec (θ)
dk−4π
K02 sec (θ) + k 2
0(9.5.61)9.5. 三次元波の簡単な例

613|x| が十分大きいとき、上式右辺第二項は零となり、
2 ∫ ∞ k z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k
2 K0 sec (θ)
eIN 1 = −dk2
πk − K0 sec (θ)
0
(
)
2
2
2
2
=2 K0 sec (θ) sin K0 sec (θ) (y0 sin (θ) + x0 cos (θ)) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)(2)x < 0 で |x| が十分大きい場合/* IN[4](9.5.62)*/

KI4:k=-%i*b;/* x<0/* IN[2]

DKI4:’diff(k,t,1)=-%i;
subst([KI4],DB64)*rhs(DKI4);*/*/

factor(realpart(%));

integrate(DINT2,t,-%pi,0);

subst([b=k],%);%*CKI2;

INT4:IN[4]=’integrate(%,k,inf,0);

INT2:IN[2]=factor(realpart(%));/* IN[3]INT1+INT2+INT3+INT4;*/

0=rhs(%);

IN[3]=’integrate(DINT3,t,0,-%pi/2);-%+rhs(INT1);

INT3:IN[3]=0;

INN1:lhs(%)=last(rhs(%));
2

a 軸上は (9.5.57) 式の求める積分で、IN1 とする。a 軸上の特異点：k = K0 sec (θ) では、半径：δ の半円の積分で特異点を除き、IN2 とする。a 軸から −b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN3 とする。b 軸上の線積分を IN4 とする。

図 9.5.12: x < 0 の線積分

IN2 について、k は下記のように表現でき、
dk = i δ ei tdtt = −π → 0 の積分結果は、下記となり、半径：δ が十分小さいとし、
2k = K0 sec (θ) + δ ei t ,∫ 0

2 K0 sec (θ) eK0 sec(θ) z+i y0 K0 sec(θ) sin(θ)+i x0 K0 cos(θ) sec(θ) −K0 h sec(θ)π
2

IN 2 = −

2

2

2

2

= −2 i K0 sec (θ) eK0 sec(θ) z+i y0 K0 sec(θ) sin(θ)+i x0 K0 cos(θ) sec(θ) −K0 h sec(θ)
2

2

2

2

i dt
−π
2

上式の実部をとり、積分結果は、
(
)
2
2
2
2
2
IN 2 = 2 K0 sec (θ) sin y0 K0 sec (θ) sin (θ) + x0 K0 cos (θ) sec (θ) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)(9.5.63)

第9章

614

表面波

IN3 について、(9.5.59) 式から、
∫ − π2IN 3 =
0

2

2 K0 sec (θ) cos(t) z R−y0 sin(t) sin(θ) R−x0 sin(t) cos(θ) R−h cos(t) Reπ× sin (sin (t) z R + y0 cos (t) sin (θ) R + x0 cos (t) cos (θ) R − h sin (t) R) dt

z < h, R > 0, sin(t) < 0, cos(t) > 0, x0 cos(θ) < 0, y0 sin(θ) < 0 で R が十分大きいとき、下記となる。
IN 3 = 0(9.5.64)

IN4 について、k は下記のように表現でき、
k = −i b,dk = −idbb = −∞ → 0 の b 軸上の積分結果は下記となる。この実部をとり、b → k に置き換えて、∫ 0

2 i K0 sec (θ) e−i b z+y0 b sin(θ)+x0 b cos(θ)+i b h
(
)
db
2
−∞
π −K0 sec (θ) − i b()
22 ∫ ∞ ey0 k sin(θ)+x0 k cos(θ) K0 sec (θ) sin (k (z − h)) + k cos (k (z − h))
2 K0 sec (θ)=
dk4π
K02 sec (θ) + k 2
02

IN 4 =(9.5.65)(9.5.57) 式、(9.5.63) 式、(9.5.64) 式、(9.5.65) 式において、下記の関係がある。
IN 4 +IN 3 + IN 2 + IN 1 = 0()∫ ∞ ey0 k sin(θ)+x0 k cos(θ) K0 sec (θ)2 sin (k (z − h)) + k cos (k (z − h))
2 K0 sec (θ)=
dk4π
K02 sec (θ) + k 2
02 ∫ ∞ k z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k
2 K0 sec (θ)
e
dk
−
2
π
k − K0 sec (θ)
0
(
)
2
2
2
2
+ 2 K0 sec (θ) sin K0 sec (θ) (y0 sin (θ) + x0 cos (θ)) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)
2

以上から、

∫ ∞

2

2 K0 sec (θ)
IN 1 = −πek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k2k − K0 sec (θ)
(

0

dk

)
∫ ∞ ey0 k sin(θ)+x0 k cos(θ) K0 sec (θ)2 sin (k (z − h)) + k cos (k (z − h))
2 K0 sec (θ)
=−
dk
4
π
K02 sec (θ) + k 2
0
(
)
2
2
2
2
− 2 K0 sec (θ) sin K0 sec (θ) (y0 sin (θ) + x0 cos (θ)) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)
2|x| が十分大きいとき、上式右辺第一項は零となり、
2

IN 1 = −2 K0 sec (θ)
π

∫ ∞
0

ek z+i y0 k sin(θ)+i x0 k cos(θ)−h k2k − K0 sec (θ)

dk

(
)
2
2
2
2
= − 2 K0 sec (θ) sin y0 K0 sec (θ) sin (θ) + x0 K0 cos (θ) sec (θ) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ)
2(9.5.66)

9.5. 三次元波の簡単な例

615

PH7:lhs(PH61)=rhs(PH61)-’integrate(

factor(%);

rhs(INN1),\theta,-%pi/2,%pi/2);

subst([tan(\theta)=sin(\theta)

PH71:subst([x[0]=x-x[1],y[0]=y-y[1]],%);/cos(\theta)],%);

INB5:factor(rhs(INP1)-rhs(INN1));

subst([y[i]=y-y[0],x[i]=x-x[0]],%);

INB6:subst([x[0]=x-x[1],y[0]=y-y[1]],%);

factor(%);

PH72:\phi=’integrate(%,\theta,-%pi/2,%pi/2);

PQ12:subst([x[0]=x-x[i],y[0]=y-y[i]],%);

P1:p=x*cos(\theta)+y*sin(\theta);

PHPQ81:\phi=’integrate(PQ12,\theta,-%pi/2,

P2:P=cos(K[0]*sec(\theta)^2*(x[i]%pi/2);*cos(\theta)+y[i]*sin(\theta)))*%e^(K[0]subst([PH72],ET0);*z[i]*sec(\theta)^2);
Q2:Q=sin(K[0]*sec(\theta)^2*(x[i]ev(%,diff);
ET72:subst([z=0,K2],%);*cos(\theta)+y[i]*sin(\theta)))*%e^(K[0]PQ2:\phi=subst([P1],PQ1);*z[i]*sec(\theta)^2);

subst([PQ2],ET0);

PQ1:4*K[0]*(P*sin(K[0]*p*sec(\theta)^2)

ev(%,diff);-Q*cos(K[0]*p*sec(\theta)^2))*%e^(K[0]*z

subst([z=0,K2],%);*sec(\theta)^2)*sec(\theta)^2;

ETPQ2:rhs(factor(%));

PHPQ8:\phi=’integrate(PQ1,\theta,-%pi/2,

ET8:\eta=’integrate(ETPQ2,\theta,-%pi/2,%pi/2);%pi/2);

PQ11:subst([P1,P2,Q2],PQ1);
trigreduce(%);
わき出しの十分前方（進行方向）：x < 0 では (9.5.66) 式から、x → −∞ でその右辺項が残り、前方に波があることになる。これは実現象に矛盾する。そこで、(9.5.66) 式の右辺項を引くことで、わき出しの十分前方に波が無くなる。ここで (9.5.51) 式に (9.5.66) 式を引き、速度ポテンシャル：ϕ は下記となる。

ϕ=−

2 K0
π

+ 2 K0+√∫ ∞ ∫ π2−π22k − K0 sec (θ)

−π
2

0

∫ π2

2

sec (θ) ek z+i k sin(θ) (y−y1 )+i k cos(θ) (x−x1 )−h k

dθdk

(
)
2
2
2
2
2
sec (θ) sin K0 sec (θ) sin (θ) (y − y1 ) + K0 cos (θ) sec (θ) (x − x1 ) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ) dθ
1
2

2

2

(z + h) + (y − y1 ) + (x − x1 )

−√

1
2

2

2

(h − z) + (y − y1 ) + (x − x1 )(9.5.67)
上式右辺第三項、第四項から波高を求めると零となるため、この項は省くことができ、わき出しの十分後方では、上式右辺第一項は (9.5.62) 式から得られ、わき出しの十分後方の速度ポテンシャル：ϕ は下記となる。

∫ π2
ϕ = 4 K0

−π
2

(
)
2
2
2
2
sec (θ) sin K0 sec (θ) (sin (θ) (y − y1 ) + cos (θ) (x − x1 )) eK0 sec(θ) z−K0 h sec(θ) dθ (9.5.68)

いま、上式を基に下記の速度ポテンシャルの記述を考える。

∫ π2
ϕ =4 K0

2

2

sec (θ) eK0 sec(θ) z

−π
2

ここで、

(

(
)
(
) )
2
2
sin K0 p sec (θ) P − cos K0 p sec (θ) Q dθ

p = sin (θ) y + cos (θ) x
P =

N
∑

(
)
2
2
mi eK0 zi sec(θ) cos K0 sec (θ) (yi sin (θ) + xi cos (θ))

i=1

Q=

N
∑
i=1

(
)
2
2
mi eK0 zi sec(θ) sin K0 sec (θ) (yi sin (θ) + xi cos (θ))(9.5.69)

第9章

616

表面波

N = 1, mi = 1 の場合、上式を展開すると次式となり、上記で求めた (9.5.68) 式と次式は一致している。上式は多くのわき出しを置く場合に都合がよいので、以降、(9.5.69) 式を用いる。
(
)
∫ π2
2
2
K0 sec (θ) (sin (θ) (y − yi ) + cos (θ) (x − xi ))2
ϕ = 4 K0
sec (θ) sin
eK0 sec(θ) z+K0 zi sec(θ) dθcos (θ)−π2(9.5.37) 式に (9.5.69) 式を代入し、z = 0 として、波高：η を求め、展開すると次式となる。
( (
∫ π2
)
4 K0
4
2
η=−
cos (θ) sec (θ) sin K0 sec (θ) (sin (θ) y + cos (θ) x) Q
U
−π
2
(
) )
2
+ cos K0 sec (θ) (sin (θ) y + cos (θ) x) P dθ

(9.5.70)

前進速度のあるわき出しの造波抵抗%/rhs(DU1);
trigsimp(%);
D1:D=\rho*g*A^2*(U-V[g])/U;

ETPQU1:factor(%);

D2:dD=\rho*g*A^2*(U-V[g]*cos(\theta))/U;

ETPQU11:expand(%);

subst([V[g]=U*cos(\theta)/2],%);

ET81:\eta=’integrate(ETPQU1,u,-inf,inf);

DC1:factor(coeff(rhs(%),A^2));
D3:D=’integrate(DC1*\eta(x,y)^2,y,minf,inf);
expand(ETPQ2);

二次元の造波抵抗：D は (9.3.37) 式、553 頁から、次式となる。ここで波高：A、波の群速度：Vg とする。

trigexpand(%);

D=

ETPQ21:expand(%);
U1:u=K[0]*sec(\theta)^2*sin(\theta);
DU1:’diff(u,\theta)=diff(rhs(U1),\theta,1);g ρ A2 (U − Vg )U

上式を dy における θ 方向の進行波の x 軸方向の抵抗：

dD とすると、

subst([\theta=0],U1);
limit(U1,\theta,%pi/2);

dD =limit(U1,\theta,-%pi/2);g ρ A2 (U − Vg cos (θ))
U

水深が十分深い場合には、Vg = U2 cos(θ) であるから。

limit(U1,\theta,%pi);
subst([y=u*y/(K[0]*sec(\theta)^2

D=−*sin(\theta))],ETPQ21);

gρ
2

∫ ∞(
−∞

)
2
2
cos (θ) − 2 η (x, y) dy(9.5.71)(9.5.70) 式の波高の被積分関数を展開すると、

−

(
)
(
)
4
2
2
4 K0 cos (θ) sec (θ) cos K0 cos (θ) sec (θ) x sin K0 sec (θ) sin (θ) y Q

−

(

U

(

U

(9.5.72))()
2
2
4 K0 cos (θ) sec (θ) cos K0 cos (θ) sec (θ) x cos K0 sec (θ) sin (θ) y P
4

−

U

)
(
)
2
2
4 K0 cos (θ) sec (θ) sin K0 cos (θ) sec (θ) x sin K0 sec (θ) sin (θ) y P
4

+

(

)
(
)
2
2
4 K0 cos (θ) sec (θ) sin K0 cos (θ) sec (θ) x cos K0 sec (θ) sin (θ) y Q
4U

ここで次式の u を導入する。
2

u = K0 sec (θ) sin (θ) ,d22
u = 2 K0 sec (θ) sin (θ) tan (θ) + K0 cos (θ) sec (θ)
dθ(9.5.72) 式を上式で変換を行い、(9.5.70) 式の波高を求めると、
(
(
)
(
)
∫ ∞
K0 x
4
K0 x
)
cos
−(
sin (u y) Q + sincos (u y) Qη=2cos (θ)cos (θ)−∞sin (θ) + 1 U
)
(
)
)
(
K0 x
K0 x
sin (u y) P + cos
cos (u y) P du− sincos (θ)cos (θ)(9.5.73)(9.5.74)

9.5. 三次元波の簡単な例

617
られる。

/* Parseval の等式

∫ ∞

*/

f(y)=’integrate(F[1]*cos(u*y)+F[2]*sin(u*y)

F2 sin (u y) + F1 cos (u y) du()
F1 ei u y + e−i u y
=
2
−∞
( iuy
)
F2 e
− e−i u y
+
du
2
∫ ∞
F2 e i u y
F1 e i u y
=
+
2
2
−∞

f (y) =−∞∫ ∞,u,-inf,inf);
subst([cos(u*y)=(%e^(%i*u*y)+%e^(-%i*u*y))/2,sin(u*y)=(%e^(%i*u*y)-%e^(-%i*u*y))/2],%);
expand(%);
assume(F[1]^2>0);
assume(F[2]^2>0);−’integrate(f(y)^2,y,-inf,inf)=2*%pi*(9.5.75)

F2 e−i u y
F1 e−i u y
+
du
2
2

’integrate((F[1]/2)^2*2+(F[2]/2)^2*2,u,minf,inf);「A.6 Parseval の等式」、655 頁から、次の関係が得

∫ ∞

2

∫ ∞(

f (y) dy = 2 π
−∞

−∞

F2
F22
+ 1
2
2

)
du

(9.5.76)(PP1^2*P^2)+(PP2^2*P^2)+QQ1^2*Q^2+QQ2^2*
PP0:coeff(ETPQU11,P);

Q^2;

PP1:coeff(PP0,sin(u*y));PP2:coeff(PP0,cos(u*y));%pi*%*rhs(DU1)*DC1;

QQ0:coeff(ETPQU11,Q);

factor(%);

QQ1:coeff(QQ0,sin(u*y));subst([K2,P=P(\theta),Q=Q(\theta)],%);

QQ2:coeff(QQ0,cos(u*y));D=’integrate(%,\theta,-%pi/2,%pi/2);

trigsimp(%);

波高の (9.5.74) 式を (9.5.75) 式に対応させると、波高の自乗の y 積分は (9.5.76) 式から、下記の u 積分となる。

(
)2
)2
)2
)2
(
(
(
)
K0 x
K0 x
K0 x
2
2
2
∫ ∞ ( 16 sin K0 x
Q
Q
P
P2
16
cos
16
sin
16
cos
cos(θ)
cos(θ)
cos(θ)
cos(θ)
η 2 dy = π()2 + ()2 + ()2 + (
)2 du
2
2
2
2
−∞
−∞
sin (θ) U + U
sin (θ) U + U
sin (θ) U + U
sin (θ) U + U∫ ∞上式を造波抵抗の式：(9.5.71) 式に適用し、変数を u → θ に変更し、整理すると、

∫ π2

)(
)
πgρ (
2
2
2
cos (θ) − 2
2 K0 sec (θ) sin (θ) tan (θ) + K0 cos (θ) sec (θ)
2
−π
2


(
(
(
(
)2
)2
)2
)2
K0 x
K0 x
K0 x
K0 x
2
2
2
2
16 cos cos(θ) Q
16 sin cos(θ) P
16 cos cos(θ) P  16 sin cos(θ) Q× ()2 + ()2 + ()2 + ()2  dθ2222
sin (θ) U + U
sin (θ) U + U
sin (θ) U + U
sin (θ) U + U∫ π2
22
Q (θ) + P (θ)
2dθ=8 π K0 ρ
3cos (θ)
−π
2

D=

−

DET9:S(\theta)*sin(K[0]*p*sec(\theta)^2)%/rhs(DU1);+C(\theta)*cos(K[0]*p*sec(\theta)^2);

trigsimp(%);

ET9:\eta=’integrate(DET9,\theta,-%pi/2,

factor(%);%pi/2);

DET92:expand(%);

subst([P1],DET9);

ST0:coeff(DET92,S(\theta));

expand(%);

ST1:coeff(ST0,sin(u*y));trigexpand(%);

ST2:coeff(ST0,cos(u*y));DET91:expand(%);

CT0:coeff(DET92,C(\theta));subst([y=u*y/(K[0]*sec(\theta)^2*sin(\theta))],DET91);

CT1:coeff(CT0,sin(u*y));CT2:coeff(CT0,cos(u*y));(9.5.77)

第9章

618

表面波

(ST1^2*S(\theta)^2)+(ST2^2*S(\theta)^2)+CT1^2*C(\theta)^2+CT2^2*C(\theta)^2;%pi*%*rhs(DU1)*DC1;
trigsimp(%);
factor(%);
subst([cos(\theta)^2=1-sin(\theta)^2],%);
factor(%);
trigsimp(%);
factor(%);
subst([K2,P=P(\theta),Q=Q(\theta)],%);
D=’integrate(%,\theta,-%pi/2,%pi/2)
また、次の波高の記述について検討する。ここで p は (9.5.69) 式による。
∫ π2
(
)
(
)
2
2
η=
S (θ) sin K0 p sec (θ) + C (θ) cos K0 p sec (θ) dθ

(9.5.78)−π2

上式の被積分関数に (9.5.69) 式の p = sin (θ) y + cos (θ) x を代入し、展開すると、
(
)
(
)
2
2
− C (θ) sin K0 cos (θ) sec (θ) x sin K0 sec (θ) sin (θ) y
(
)
(
)
2
2
+ S (θ) cos K0 cos (θ) sec (θ) x sin K0 sec (θ) sin (θ) y
(
)
(
)
2
2
+ S (θ) sin K0 cos (θ) sec (θ) x cos K0 sec (θ) sin (θ) y
(
)
(
)
2
2
+ C (θ) cos K0 cos (θ) sec (θ) x cos K0 sec (θ) sin (θ) y(9.5.73) 式の変換を行い、(9.5.78) 式の波高を求めると、
)
(
)
(
(
∫ ∞
3
cos (θ)K0 x
K0 x() C (θ) sinη=−sin (u y) − S (θ) cossin (u y)2cos (θ)cos (θ)−∞K0 sin (θ) + 1
(
)
(
)
)
K0 x
K0 x
− S (θ) sincos (u y) − C (θ) cos
cos (u y) ducos (θ)cos (θ)(9.5.79)

波高の (9.5.79) 式を (9.5.75) 式に対応させると、波高の自乗積分は (9.5.76) 式から、
(
)2
(
)2
2
6
K0 x
∫ ∞
∫ ∞ ( S (θ)2 cos (θ)6 sin K0 x
C
(θ)
cos
(θ)
sin
cos(θ)
cos(θ)
η 2 dy = π
+
(
(
)2
)2
2
2
−∞
−∞
K0 sin (θ) + K0
K0 sin (θ) + K0
(
)2
(
)2 )
2
6
2
6
K0 x
K0 x
C (θ) cos (θ) cos cos(θ)
S (θ) cos (θ) cos cos(θ)
+
du
+
(
)2
(
)2
2
2
K0 sin (θ) + K0
K0 sin (θ) + K0
上式を造波抵抗の式：(9.5.71) 式に適用し、変数を u → θ に変更し、整理すると、

∫ π2

)(
)
πgρ (
2
2
2
cos (θ) − 2
2 K0 sec (θ) sin (θ) tan (θ) + K0 cos (θ) sec (θ)
2
−π
2
(
)2
(
)2
(
2
6
2
6
K0 x
K0 x
S (θ) cos (θ) sin cos(θ)
C (θ) cos (θ) sin cos(θ)
×
+
(
)2
(
)2
2
2
K0 sin (θ) + K0
K0 sin (θ) + K0
(
)2
(
)2 )
2
6
2
6
K0 x
K0 x
S (θ) cos (θ) cos cos(θ)
C (θ) cos (θ) cos cos(θ)
+
+
dθ
(
)2
(
)2
2
2
K0 sin (θ) + K0
K0 sin (θ) + K0
∫ π2 ()πρ
22
3
S (θ) + C (θ) cos (θ) dθ U 2=
2 − π2D=−(9.5.80)

9.5. 三次元波の簡単な例

619

例題 9.5.4 周期的に変動するわき出し強さによる三次元波subst([PH0],EQ1);

水面下 h にあるわき出し（強さ：m）が周期的に変動す

EQ2:expand(%/%e^(%i*\omega*t));

るときに生ずる軸対称波について調査する。波のない平

subst([PH0],FS11);

衡状態での水面を r 軸とし、わき出しの中心を通り、鉛ev(%,diff);

直上方に z 軸をとる。水深は十分深く、わき出しが起こ

expand(%/%e^(%i*\omega*t)/g);

した波の高さ：η 、水の密度：ρ、重力加速度：g 、時間：

FS2:subst([\mu=\mu/\omega*g],%);

1t、圧力：p とする 。

ev(%,diff);

K1:K[0]=\omega^2/g;
K2:solve(%,\omega)[2];
FS21:subst([K2],FS2);
subst([PH0],ET11);ev(%,diff);
ET2:\eta[0]=(rhs(%)/%e^(%i*\omega*t));
わき出しの強さ：m が円周波数：ω で周期的に変動す
る速度ポテンシャル：Φ を次式で表現する。

Φ = ϕ ei ω t

図 9.5.13: 周期的に変動するわき出し強さによる波(9.5.81)

速度ポテンシャル：Φ の円柱座標の質量保存の方程式
は、(6.1.16) 式、179 頁から、/* 周期的に変動するわき出し強さによる三次元波
*/

d
dr Φ

r

d2
d2
d2
d θ2 Φ
+
+
Φ
+
Φ=0
r2
d z2
d r2

(9.5.82)

Bernoulli の定理の速度ポテンシャル表記は、(9.1.3)

kill(all);式で高次の微小項を省き、粘性修正：µ Φ を導入するとload("vect")$

次式となる。

depends(\Phi,[r,\theta,z,y,x,t]);depends(\phi,[r,\theta,z,y,x]);depends(\eta,[r,\theta,z,t]);assume(k>0);
assume(t>0);

gz +

d
p
+
Φ + µΦ = Cρ dt(9.5.83)

水面の運動学的条件で高次の微小項を省くと、(9.1.5)式から次式となる。

assume(\omega>0);
assume(r>0);

d
d
Φ−
η=0
dz
dt

assume(g>0);

Bernoulli の定理：(9.5.83) 式で自由表面では圧力：passume(z<0);は一定であるから、C → p/ρ と置き換え、また、y → η/* 境界条件 */PH0:\Phi=\phi*%e^(%i*\omega*t);
EQ1:diff(\Phi,z,2)+diff(\Phi,\theta,2)/r^2(9.5.84)と置き換えると、pdp+Φ + µΦ + ηg =ρ dt
ρ+diff(\Phi,r,2)+diff(\Phi,r,1)/r=0;
BE1:p/\rho+g*z+\mu*\Phi+diff(\Phi,t,1)=C;
FS1:diff(\Phi,z,1)-diff(\eta,t,1)=0;
subst([C=p/\rho,z=\eta],BE1);
ET1:expand(solve(%,\eta)[1]);diff(%,t,1);
FS11:expand(g*subst([%],FS1));
ET11:lhs(ET1)=first(rhs(ET1));

上式から、波高：η を求めると、dη = − dt
g

Φ

−

µΦ
g

(9.5.85)

上式を t で微分すると、
2

d
µ
d
2 Φ
η = − dt
−
dt
g

(d

dt Φ

)

g

上式を水面の運動学的条件：(9.5.84) 式に代入すると、
1 船舶技術研究所、流体研究グループ：船舶流体力学ノート (3)-3次元波動流場のグリーン函数を求める方法-、日本造船学会誌、第 536号、1974.2 p21

次式の自由表面条件が得られる。
(
(
)
)
d
d
d2
g
Φ + 2 Φ+µ
Φ =0
dz
dt
dt

(9.5.86)

第9章

620
また、波高：η は (9.5.85) 式から、µ = 0 として、d

η = − dtg(9.5.87)

整理すると、r

K5:solve(K3,k)[1];
subst([K4],FK1);Φ

質量保存の方程式：(9.5.82) 式に (9.5.81) 式を代入し、

d
dr ϕ

表面波

FK2:expand(%);
FK21:first(rhs(FK2));
last(rhs(FK2));
FK22:subst([K3],%);

d2
d2
d2
2 ϕ
+ dθ2 +
ϕ+
ϕ=0
2
r
dz
d r2

DPHB11:subst([F(k)=FK21],DPHB1);(9.5.88)自由表面条件：(9.5.86) 式に (9.5.81) 式を代入し、整PHB11:\phi[21]=’integrate(%,k,0,inf);
PHB12:lhs(%)=-subst([z+h=z-h],rhs(PHA1));
DPHB21:subst([F(k)=FK22],DPHB1);

理すると、

PHB21:\phi[22]=’integrate(%,k,0,inf);dω2 ϕ i µ ω ϕ
ϕ−
+
=0
dz
g
g

PH2:\phi=\phi[1]+\phi[21]+\phi[22];subst([PHA2,PHB11,PHB21],%);

下記の置き換えを行い、

K0 =

ω2
,
g

ω=

PH21:subst([PHA1,PHB12,PHB21],PH2);
√

K0

√

g

(9.5.89)

上記の自由表面条件に代入し、µ を次式のように再定

速度ポテンシャル：ϕ を下記の ϕ1 , ϕ2 に分ける。ϕ1 は無限流体中のわき出しを表す速度ポテンシャルで、ϕ2 は自由表面条件などを満足するように ϕ1 を補正する関数
とする。

義すると、

d
ϕ + i µ ϕ − K0 ϕ = 0dz

ϕ = ϕ2 + ϕ1
(9.5.90)

波高：(9.5.87) 式に (9.5.81) 式を代入すると、

η=−

iωϕe
g

iωt

(9.5.91)

式、189 頁から、

mr
上式から、わき出しが位置：(0, 0, −h) にあるとする
Φ=−と、わき出しの速度ポテンシャル：ϕ1 は、

波高の振幅は上式から、

iωϕη0 = −g

三次元流場でわき出しの速度ポテンシャル Φ は、(6.1.38)m
ϕ1 = − √2(z + h) + r2

(9.5.92)(9.5.93)

また、次の Lipschitz の積分公式：(A.9.11) 式、658 頁/* PHI*/

PH1:\phi=\phi[1]+\phi[2];

から、

1
=
z 2 + r2

∫ ∞bessel j (0, k r) e−k z dk

PHA1:\phi[1]=-m/sqrt((r)^2+(z+h)^2);√

DA1:bessel_j(0,k*sqrt(r^2))*%e^(-k*z);
A1:1/sqrt(r^2+z^2)=’integrate(DA1,k,0,inf);

上式から、(9.5.93) 式は、

subst([z=z+h],%);
PHA2:lhs(PHA1)=-m*rhs(%);

DPH1:\phi=DPHA2+DPHB1;
subst([DPH1],FS21);ev(%,diff);
subst([z=0],%);
FK1:factor(solve(%,F(k))[1]);K3:K[1]=k-K[0]+%i*\mu;
K4:solve(K3,K[0])[1];2(z + h) + r2
(9.5.95)∫ ∞=−mbessel j (0, k r) e−k (z+h) dk

PHB1:phi[2]=m*integrate(F(k)*bessel_j(0,DPHB1:m*bessel_j(0,k*r)*F(k)*%e^(k*z);

1

ϕ1 = √

DPHA2:-m*bessel_j(0,k*r)*%e^(-k*(z+h));k*r)*%e^(k*(z)),k,0,inf);(9.5.94)00

上式にならって、ϕ2 に F (k) を導入し下記とする。次式も当然ながら、質量保存の方程式を満足している。
∫ ∞ϕ2 = mbessel j (0, k r) F (k) ek z dk
(9.5.96)0

次に、(9.5.95) 式、(9.5.96) 式の被積分関数は下記となる。

ϕ′ =bessel j (0, k r) F (k) m ek z
− bessel j (0, k r) m e−k (z+h)

9.5. 三次元波の簡単な例

621

上式を自由表面条件：(9.5.90) 式に代入し、z = 0 とし、F (k) を求めると、

e−h k (i µ − k − K0 )i µ + k − K0
2 k e−h k=e−h k −i µ + k − K0

PHB222:\phi[222]=’integrate(%,k,0,inf);
PH23:\phi=rhs(PHB221)+rhs(PHB222);

F (k) =

H12:hankel_1(v,q)=-2*%i*%e^(-v*%pi*%i/2)(9.5.97)

し、(9.5.94) 式から、次式となる。
∫ ∞ϕ21 =mbessel j (0, k r) ek z−h k dk=√

H1:hankel_1(v,q)=bessel_j(v,q)+%i*bessel_y(v,q);
subst([H1,v=0,q=k*r],H12);
BE31:realpart(%);(9.5.98)m/%pi*’integrate(%e^(+%i*q*cosh(s))*
cosh(v*s),s,0,inf);(9.5.97) 式右辺第一項を (9.5.96) 式に代入し、ϕ21 と

0

DPHB222:subst([F(k)=FK223],DPHB1);

DBE31:bessel_j(0,k*r)=(2*(sin(k*r*cosh(s))))/%pi;2(z − h) + r2

SIN1:sin(u)=%i*%e^(-%i*u)/2-%i*%e^(%i*u)/2;(9.5.97) 式右辺第二項を (9.5.96) 式に代入し、ϕ22 とし、次式となる。
∫ ∞bessel j (0, k r) k ek z−h k
ϕ22 = −2 mdk
i µ + k − K00(9.5.99)

ϕ は、(9.5.93) 式、(9.5.98) 式、(9.5.99) 式から

SIN11:subst([u=k*r*cosh(s)],SIN1);
BE32:subst([SIN11],BE31);
PH32:subst([BE32],PHB222);
DPH32:expand(subst([DBE31,SIN11],DPHB222));
DPH321:factor(first(DPH32));
DPH322:factor(last(DPH32));
PH321:’integrate(’integrate(DPH321,k,0,inf)

ϕ =ϕ22 + ϕ21 + ϕ1
∫ ∞bessel j (0, k r) k ek z−h k= − 2mdk
i µ + k − K00
∫ ∞+m
bessel j (0, k r) ek z−h k dk
0
∫ ∞−mbessel j (0, k r) e−k (z+h) dk
0∫ ∞bessel j (0, k r) k ek z−h k= − 2mdk
i µ + k − K0
0
m
m
+√
−√
2
2
(z + h) + r2
(z − h) + r2
(9.5.100)

subst([PH21],ET2);
subst([z=0],%);
PH22:\phi=first(rhs(PH21));FK22;-(2*(-%i*mu+K[1]+K[0])*%e^(-h*k))/(K[1]);expand(%);
FK221:rest(%,1);
FK222:last(FK221);,s,0,inf);
PH322:’integrate(’integrate(DPH322,k,0,inf),s,0,inf);
PH321:lhs(PH32)=PH321+PH322;(9.5.100) 式を (9.5.92) 式に代入し、z = 0 として、波
振幅：η0 を求めると、

η0 =

2imω
g

∫ ∞
0

上式から、速度ポテンシャル：ϕ は (9.5.100) 式の右辺第一項のみが有効であるので下記となる。
∫ ∞bessel j (0, k r) k ek z−h k
ϕ = −2 m
dk (9.5.101)
i µ + k − K00
上式に被積分項の一部を下記のように分けることができる。

−

2 k e−h k
2 K0 e−h k= −2 e−h k −(9.5.102)
i µ + k − K0
i µ + k − K0

(9.5.102) 式の右辺第一項から、∫ ∞bessel j (0, k r) ek z−h k dk
ϕ221 = − 2 m

FK223:subst([K3],first(FK221));
DPHB221:subst([F(k)=FK222],DPHB1);\phi[221]=’integrate(%,k,0,inf);-2*m*subst([z=-z+h],A1);
PHB221:\phi[221]=lhs(%);

bessel j (0, k r) k e−h kdk
i µ + k − K0

0

=− √

2m
2

(h − z) + r2
(9.5.103)(9.5.102) 式の右辺第二項から、
ϕ222 = −2 K0 m

∫ ∞0bessel j (0, k r) ek z−h kdk
i µ + k − K0
(9.5.104)

第9章

622

表面波

以上から、速度ポテンシャル：ϕ は (9.5.103) 式、(9.5.104)
式から、IN1:IN[1]=’integrate(DPH321,k,0,inf);
IN2:IN[2]=’integrate(DPH322,k,0,inf);

ϕ =ϕ221 + ϕ222
∫ ∞bessel j (0, k r) ek z−h k= − 2 K0 m
dk
i µ + k − K0
0
2m
−√
2
(h − z) + r2
(9.5.105)
第一種 Hunkel 関数は (A.9.6) 式、658 頁から、

hankel 1 (v, q) = i bessel y (v, q) + bessel j (v, q)/* IN[1]*/KI3:k=R*%e^(%i*t);
DKI3:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI3),t,1);
subst([KI3],DPH321)*rhs(DKI3);num(%)/subst([\mu=0,K[0]=0],denom(%));
IN[13]=’integrate(realpart(%),t,0,%pi/2);
IN13:IN[13]=0;
KI4:k=%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4,\mu=0],DPH321)*rhs(DKI4);

また、Hunkel 関数の積分表示 (Heine の積分表示) は(A.9.9) 式、658 頁から、

IN14:subst([b=k],%);
IN[1]+IN[13]+IN[14]=0;

hankel 1 (v, q)=−IN[14]=’integrate(%,b,inf,0);∫ ∞2 i −iπv
e 2πsolve(%,IN[1])[1];
ei q cosh(s) cosh (s v) ds

0

IN11:subst([IN13,IN14],%);/* IN[2]*/KI2:k=K[0]-%i*\mu+\delta*%e^(%i*t);
上記二式から、v = 0, q = k r として、

DKI2:’diff(k,t,1)=diff(rhs(KI2),t,1);

i bessel y (0, k r) + bessel j (0, k r)
∫ ∞
2
=− i
ei k r cosh(s) dsπ0IN[22]=’integrate(subst([KI2],DPH322)*rhs(DKI2),t,0,2*%pi);
IN22:subst([\mu=0,\delta=0],%);
subst([KI3],DPH322)*rhs(DKI3);num(%)/subst([\mu=0,K[0]=0],denom(%));

上式の実部は、

bessel j (0, k r) =2
πIN[23]=’integrate(realpart(%),t,0,-%pi/2);∫ ∞IN23:IN[23]=0;
sin (k r cosh (s)) ds

0(9.5.106)
また、

i ei ui e−i u−sin (u) =2
2
上式で u = k r cosh (s) と置き換えて、
sin (k r cosh (s)) =i e−i k r cosh(s)i ei k r cosh(s)−22

上式を (9.5.106) 式に代入し、

2
bessel j (0, k r) =
π

∫ ∞
0

KI4:k=-%i*b;
DKI4:’diff(k,b,1)=diff(rhs(KI4),b,1);
subst([KI4,\mu=0],DPH322)*rhs(DKI4);
IN[24]=’integrate(%,b,inf,0);
IN24:subst([b=k],%);
IN[2]+IN[22]+IN[23]+IN[24]=0;
solve(%,IN[2])[1];IN21:subst([IN22,IN23,IN24],%);
lhs(PH321)=’integrate(-rhs(IN14),s,0,inf)i e−i k r cosh(s)2−i ei k r cosh(s)ds2+’integrate(-rhs(IN24),s,0,inf)+’integrate(-rhs(IN22),s,0,inf);
PH4:\phi=rhs(PHB221)+rhs(%);(9.5.104) 式の右辺第一項を IN 1 、右辺第二項を IN 2として、上式を (9.5.104) 式に代入し、

2 i K0 m
ϕ222 =π−∫ ∞∫ ∞
02 i K0 mπ0IN 1 =
ek z+i k r cosh(s)−h kdkds
i µ + k − K0

∫ ∞∫ ∞
00ek z−i k r cosh(s)−h kdkds
i µ + k − K0
(9.5.107)

2 i K0 mπ∫ ∞02 i K0 m
IN 2 = −πek z+i k r cosh(s)−h kdk (9.5.108)
i µ + k − K0
∫ ∞0

ek z−i k r cosh(s)−h kdk
i µ + k − K0
(9.5.109)9.5. 三次元波の簡単な例

623(a)IN 1 の積分

IN 1 は (9.5.110) 式、(9.5.111) 式から下記となる。

k を複素平面で表現し、k = a + i b とする。a 軸上は求める積分で、IN1 である。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN13 とする。b 軸上の線積分を IN14 とする。この線積分内に特異点はない。

IN 1 = − IN 14 − IN 13∫
2 K0 m ∞ ei k z−k r cosh(s)−i h kdk=−π
i k − K00(9.5.112)(b)IN 2 の積分
k を複素平面で表現し、k = a+i b とする。a 軸上は求める積分で、IN2 である。線積分内の特異点：k = K0 −i µでは、半径：δ の円の積分で特異点を除き、IN22 とする。a 軸から b 軸に至る線積分は、十分大きい半径：R の円弧の線積分で、IN23 とする。b 軸上の線積分を IN24とする。

図 9.5.14: IN 1 の積分

IN13 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → π/2 の積分結果は、下記となり、半径：R が十分大きいとき R >> K0 , µ となり、実部をとって、

r > 0, y < h, R > 0, sin(t) > 0, cos(t) > 0 から、

2 K0 mIN 13 = −π

∫ π2

図 9.5.15: IN 2 の積分

sin (t) ecos(t) z R−r cosh(s) sin(t) R−h cos(t) R0× sin (sin (t) z R − h sin (t) R + r cosh (s) cos (t) R + t)
+ cos (t) ecos(t) z R−r cosh(s) sin(t) R−h cos(t) R× cos (sin (t) z R − h sin (t) R + r cosh (s) cos (t) R + t) dt=0(9.5.110)
IN14 について、k は下記のように表現でき、
k = i b,dk=idb

IN22 について、k は下記のように表現でき、
k = δ e i t − i µ + K0 ,dk = i δ ei t
dt

半径：δ が十分小さいとし、t = 0 → 2 π の積分結果

b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、 は下記となる。
b → k に置き換えて、下記となる。
∫
2 K0 m ∞ ei b z−b r cosh(s)−i b h
IN 14 =dbπ
i b − K0
0∫
2 K0 m ∞ ei k z−k r cosh(s)−i h k=dkπ
i k − K00(9.5.111)
また、下記の関係があり、IN 14 + IN 13 + IN 1 = 0

IN 22 = 4 K0 m eK0 z−i K0 r cosh(s)−K0 h(9.5.113)

IN23 について、k は下記のように表現でき、
k = ei t R,dk = i ei t R
dt

t = 0 → −π/2 の積分結果は、下記となり、半径：Rが十分大きいとき R >> K0 , µ となり、実部をとって、

第9章

624

表面波

r > 0, y < h, R > 0, sin(t) < 0, cos(t) > 0 から、∫
2 K0 m 0
IN 23 = −sin (t) ecos(t) z R+r cosh(s) sin(t) R−h cos(t) Rπ−π2× sin (sin (t) z R − h sin (t) R − r cosh (s) cos (t) R + t)
+ cos (t) ecos(t) z R+r cosh(s) sin(t) R−h cos(t) R× cos (sin (t) z R − h sin (t) R − r cosh (s) cos (t) R + t) dt=0(9.5.114)

subst([%,z=0],ET2);

IN24 について、k は下記のように表現でき、

ET3:expand(%);

dk = −idb
b = ∞ → 0 の b 軸上の積分結果は µ → 0 として、IIN22:(4*%i*K[0]*m*\omega*integrate(%e^(-%i*K[0]*r*cosh(s)-K[0]*h),s,0,inf))/g

k = −i b,b → k に置き換えて、下記となる。
∫
2 K0 m ∞ e−i b z−b r cosh(s)+i b h
IN 24 =db
π−i b − K0
0∫
2 K0 m ∞ e−i k z−k r cosh(s)+i h k=dkπ−i k − K00(9.5.115)=(4*%i*K[0]*m*\omega*%e^(-K[0]*h)*’integrate(%e^(-%i*K[0]*r*
cosh(s)),s,0,inf))/g;
H2:hankel_2 (v, r) =bessel_j(v,r)- %i * bessel_y(v,r);
H21:subst([r=K[0]*r,v=0],%);
H22:hankel_2 (v, r) =+2*%i*%e^(+v*%pi*%i/2)/%pi*’integrate(%e^(-%i*r*cosh(t))

また、下記の関係があり、*cosh(v*t),t,0,inf);
IN 24 + IN 23 + IN 22 + IN 2 = 0

subst([r=K[0]*r,v=0,t=s],H22);

IN 2 は (9.5.113) 式、(9.5.114) 式、(9.5.115) 式から下記となる。
IN 2 = − IN 24 − IN 23 − IN 22∫
2 K0 m ∞ e−i k z−k r cosh(s)+i h k=−dkπ−i k − K00− 4 K0 m eK0 z−i K0 r cosh(s)−K0 h(9.5.116)
ϕ222 は (9.5.112) 式、(9.5.116) 式から下記となる。
∫ ∫2 K0 m ∞ ∞ ei k z−k r cosh(s)−i h k
ϕ222 = −dkds
πi k − K000
∫ ∞ ∫ ∞ −i k z−k r cosh(s)+i h k
2 K0 me−dkds
π−i k − K0∫ 0∞ 0eK0 z−i K0 r cosh(s)−K0 h ds
− 4 K0 m
0(9.5.117)%*%pi/2/%i;H221:rhs(%)=lhs(%);
subst([H221],IIN22);
ET31:subst([%,H21],ET3);
ET32:\eta=rhs(ET31)*%e^(%i*\omega*t);
ET33:realpart(%);
coeff(rhs(ET33),cos(\omega*t));factor(%);
expand(%);
ET3C:last(%);
coeff(rhs(ET33),sin(\omega*t));
ET3S:subst([realpart(bessel_y(0,K[0]*r))=
bessel_y(0,K[0]*r)],%);
ET34:\eta=ET3C*cos(\omega*t)+ET3S*
sin(\omega*t);
expand(%);

以上から、速度ポテンシャル：ϕ は (9.5.103) 式、(9.5.117) \eta=rest(rhs(%),2);
式から、

ϕ=−
−

2 K0 m
2 K0 m− 4 K0 m∫ ∞ ∫ ∞ ei k z−k r cosh(s)−i h k0

i k−K00ET35:factor(%);
dkds

π∫ ∞ ∫ ∞ e−i k z−k r cosh(s)+i h k0∫ ∞−i k−K00

J1:bessel_j(v,r)=sqrt(2/%pi/r)*cos(r-(2*v+1)*%pi/4);

dkds

Y1:bessel_y(v,r)=sqrt(2/%pi/r)*sin(r-(2*v+1)*%pi/4);πeK0 z−i K0 r cosh(s)−K0 h ds

J11:subst([r=K[0]*r,v=0],J1);
Y11:subst([r=K[0]*r,v=0],Y1);

0

2m

−√
2
(h − z) + r2

subst([J11,Y11],ET35);
factor(%);(9.5.118)

ET36:trigreduce(%);

9.5. 三次元波の簡単な例

625

波高の振幅：η0 の (9.5.92) 式に (9.5.118) 式を代入し、z = 0 として、
∫ ∫∫ ∫2 i K0 m ω ∞ ∞ ei h k−k r cosh(s)2 i K0 m ω ∞ ∞ e−k r cosh(s)−i h kη0 =dkds +
dkds
πg−i k − K0πgi k − K0000
0∫
4 i K0 m ω ∞ −i K0 r cosh(s)−K0 h2imω+eds + √g
g r 2 + h2
0(9.5.119)

第二種 Hunkel 関数は (A.9.7) 式、658 頁から、

hankel 2 (v, r) = bessel j (v, r) − i bessel y (v, r)
第二種 Hunkel 関数の積分表示 (Heine の積分表示) は (A.9.10) 式、658 頁から、
∫ ∞2 i iπv2hankel 2 (v, r) =ee−i r cosh(t) cosh (t v) dt
π0
上記二式に v = 0, r = K0 r を代入して、hankel 2 (0, K0 r) = bessel j (0, K0 r) − i bessel y (0, K0 r) ,hankel 2 (0, K0 r) =

2i
π

∫ ∞

e−i K0 r cosh(s) ds

0(9.5.120)(9.5.119) 式の右辺第三項は上式から、∫
4 i K0 m ω ∞ −i K0 r cosh(s)−K0 h
2 π K0eds =hankel 2 (0, K0 r) e−K0 h m ωgg
0(9.5.121)

上式を (9.5.119) 式に代入し、(9.5.120) 式の関係から、∫ ∫∫ ∫2 i K0 m ω ∞ ∞ ei h k−k r cosh(s)2 i K0 m ω ∞ ∞ e−k r cosh(s)−i h kη0 =dkds +
dkds
πg−i k − K0πgi k − K000002 π K02imω
(bessel j (0, K0 r) − i bessel y (0, K0 r)) e−K0 h m ω++ √gg r2 + h2(9.5.122)

波高は (9.5.91) 式に上式を代入し、その実部をとり、(∫ ∫4 K0 m ω ∞ ∞ (−k sin (h k) − K0 cos (h k)) e−k r cosh(s)2mωη= −dkds − √πg
k 2 + K02
g r2 + h200)2 π K02 π K0bessel y (0, K0 r) e−K0 h m ω sin (ω t) +bessel j (0, K0 r) e−K0 h m ω cos (ω t)+gg(9.5.123)
r が十分大きいときには、
η=

2 π K0 bessel y (0, K0 r) e−K0 h m ω sin (ω t) 2 π K0 bessel j (0, K0 r) e−K0 h m ω cos (ω t)+gg(9.5.124)

Bessel 関数は r が十分大きいときには、Hunkel の漸近級数初項で近似でき、第一種 Bessel 関数：(A.9.4) 式、第二種 Bessel 関数：(A.9.5) 式、658 頁から、()√
2 cos π (2 4v+1) − r√ √bessel j (v, r) =,π r
上記二式に v = 0, r = K0 r を代入して、√()
2 cos K0 r − π4
bessel j (0, K0 r) =,√ √ √π K0 r√bessel y (v, r) = −

(
2 sin

√
bessel y (0, K0 r) =π (2 v+1)
−r
4

)

√ √
π r

(
)
2 sin K0 r − π4√ √ √π K0 r

上式を (9.5.124) 式に代入し、r が十分大きいときの波高は下記となり、遠方に進行する波を表している。
(√
)
√
(
)
(
)
2 sin K0 r − π4 sin (ω t)
2 cos K0 r − π4 cos (ω t)
2 π K0 e−K0 h m ω
η=
+
√ √ √
√ √ √
g
π K0 rπ K0 r
(9.5.125)
√
√
3
(
π)
2 2 π K0 −K0 h√em ω cos ω t − K0 r +
=
4
g r

第9章

626

9.6

定常波

表面波

PH1:\Phi=rhs(PH0)+subst([t=-t],rhs(PH0));

箱の中の波は、側壁からの波の反射で、前節の進行波の波が正負の方向に進み、波は上下に震動しているだ
けで、停止しているように見え、震動している腹の部分と、震動がない節の部分ができる。ここでは、この波について調べる。

PH11:factor(%);
CO1:cos(D)+cos(E)=2*cos((D+E)/2)*cos((D-E)/2);
subst([D=k*x+\omega*t,E=k*x-\omega*t],%);
CO11:%-last(lhs(%));
PH12:subst([CO11],PH11);
ET1:\eta=-diff(subst([y=0],rhs(PH12)),t,1)9.6.1

二次元定常波/g;

波のない平衡状態での水面を x 軸とし、鉛直上方にy 軸をとる。水位を h とする。水位変化：η とする。時間:t、波の振動円周波数：ω 、重力加速度：g とする。

PH2:subst([C=A/2],PH12);
U1:u=diff(rhs(PH2),x,1);V1:v=diff(rhs(PH2),y,1);
subst([x=0],U1);
subst([x=B],U1);
X1:k*B=n*%pi;
X12:solve(X1,k)[1];
subst([X12,x=B],U1);
subst([X12],OM1);
sqrt(%);
integrate(rhs(U1),y);-integrate(rhs(V1),x);PS2:\Psi=%;sin(k*x)*sinh(k*(y+h))=C;

図 9.6.1: 定常波

subst([k=2*%pi/L],%);
subst([x=x*L,y=y*L],%);
subst([h=0.5*L,%pi=3.1415],%);

kill(all);ET2:rhs(ET1)/2/sin(\omega*t)/C;load("vect")$
depends(\Phi,[x,y,t]);K1:subst([n=3,B=1],X12);
subst([K1],ET2);

depends(\eta,[x,t]);plot2d([%,-%],[x,0,1]);declare(n,integer);assume(k>0);

上式から、正負の方向に進む波の速度ポテンシャルは、

assume(t>0);
assume(\omega>0);g cos (k x + ω t) cosh (k (y + h)) C
cosh (h k) ωg cos (k x − ω t) cosh (k (y + h)) C+
cosh (h k) ωg (cos (k x + ω t) + cos (k x − ω t)) cosh (k (y + h)) C=
cosh (h k) ωΦ=assume(A>0);/* 定常波 */PH0:\Phi=(g*cos(k*x-\omega*t)*cosh(k*(y+h))*C)/(cosh(h*k)*\omega);
OM1:\omega^2=(g*k*tanh(h*k));x 軸の方向に進行する波の速度ポテンシャル：Φ は、(9.2.16) 式から次式となり、k と波の振動円周波数：ω
の関係は、

Φ=

g cos (k x − ω t) cosh (k (y + h)) C
cosh (h k) ω2

ここで、 ω = g k tanh (h k)

下記の関係式を使って、(cos (E) + cos (D) = 2 cos

D−E
2

)

(
cos

E+D
2

)

上式の速度ポテンシャルは、(9.6.1)Φ=

2 g cos (ω t) cos (k x) cosh (k (y + h)) C
cosh (h k) ω

波高：η は、(9.1.6) 式から
dη = − dtgΦ

= 2 sin (ω t) cos (k x) C

(9.6.2)

9.6. 定常波

627

振幅：A とすると、C = A/2 で速度ポテンシャルは、Φ=g cos (ω t) cos (k x) cosh (k (y + h)) A
cosh (h k) ω

(9.6.3)x 軸の方向の流速：u、y 軸の方向の流速：v は、
dg k cos (ω t) sin (k x) cosh (k (y + h)) AΦ=−dxcosh (h k) ωdg k cos (ω t) cos (k x) sinh (k (y + h)) Av=Φ=dycosh (h k) ω
(9.6.4)u=

図 9.6.2: 定常波流線

幅：B の隔壁がある場合に発生する定常波の条件は、隔壁で u = 0 であるから、sin (k x) = 0 から、次式を
得る。

k=

πn
B

(n = 0, 1, 2, 3 · · · )このときの円振動周波数：ω は、
√
( hn)
√
g n tanh π B
ω= πB(9.6.5)(9.6.6)

速度ポテンシャル：Φ と流れ関数：Ψ の関係は、(5.1.6)

図 9.6.3: 定常波

n=1

図 9.6.4: 定常波

n=2

図 9.6.5: 定常波

n=3

式、89 頁から

d
d
Φ=
Ψ,
dx
dy

d
d
Φ=−
Ψ
dy
dx

(9.6.3) 式の速度ポテンシャルを上式を用いて、流れ
関数：Ψ を求めると次式となる。
∫
d
Ψ=
Φ dy
dx
(9.6.7)g cos (ω t) sin (k x) sinh (k (y + h)) A=−
cosh (h k) ω
上式から、k = 2 π/L とすると、流線は、
(
)
(
)
2πx
2 π (y + h)
sin
sinh
=C
L
L
上式を gnuplot で描くと下図となる。

#!/gnuplot
set xrange [0:1]
set yrange [0:1]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -50,0.1,50
unset keyunset surface
set view map
splot cos(3.14159*x)*cos(3.14159*y)#

EOF
上記の (9.6.4) 式の流速：u、流速：v や上記の流線から、波の節では v = 0 で水平方向にのみ運動し、波の腹では u = 0 で上下方向にのみ運動する。n = 1, 2, 3 における定常波を下記に示す。

第9章

628

例題 9.6.2

V 字断面水路の定常波

側壁が 45 度の傾斜を持つ断面の水路1 で、水位：h とし、水底で水平方向を x 軸とし、鉛直上方に y 軸をとる。水位変化：η 、時間:t、波の振動円周波数：ω 、重力
加速度：g とする。

して、次の二式が考えられる。
(
Ψ =cos (ω t) sin (k x) sinh (k y))− sinh (k x) sin (k y) A(
cos (k x) cosh (k y))− cosh (k x) cos (k y) A

表面波

(9.6.8)Ψ =cos (ω t)(9.6.9)

また、流れ関数：Ψ の質量保存の方程式は (5.1.3) 式
から、次式となり、上記の二式を代入すると満足していることがわかる。

d2
d2
Ψ+
Ψ=0
2
dy
d x2

(9.6.10)

図 9.6.6: V 字断面水路

diff(PS1,y,1);/* V 型断面の定常波 */PH1:\Phi=integrate(rhs(%),x);diff(PS1,x,1);

kill(all);\Phi=-integrate(rhs(%),y);load("vect")$

ET1:\eta=-1/g*diff(subst([y=h],rhs(PH1)),

depends(\Phi,[x,y,t]);t,1);depends(\Psi,[x,y,t]);diff(rhs(PH1),t,2)+g*diff(rhs(PH1),y,1)=0;

assume(k>0);

subst([y=h],%);

assume(t>0);WC1:expand(%/A/cos(\omega*t));assume(\omega>0);

coeff(lhs(WC1),cosh(k*x));

PS1:\Psi=A*cos(\omega*t)*(sinh(k*y)

WC11:solve(%,\omega^2)[1]/k/g;*sin(k*x)-sinh(k*x)*sin(k*y));coeff(lhs(WC1),cos(k*x));

subst([x=y],PS1);

WC12:solve(%,\omega^2)[1]/k/g;

subst([x=-y],PS1);

WC13:rhs(WC11)=rhs(WC12);

PS2:\Psi=A*cos(\omega*t)*(cosh(k*y)

B1:b=k*h;*cos(k*x)-cosh(k*x)*cos(k*y));B2:solve(B1,k)[1];

subst([x=y],PS2);

WC14:subst([B2],WC13);

subst([x=-y],PS2);
EQ1:diff(\Phi,x,2)+diff(\Phi,y,2)=0;

plot2d(lhs(WC14)-rhs(WC14),[b,0,10],

EQ1:diff(\Psi,x,2)+diff(\Psi,y,2)=0;

B3:b=find_root(lhs(WC14)-rhs(WC14),b,2,3);

subst([PS1],EQ1);

B4:subst([B3],B2);ev(%,diff);

WC15:subst([B4],WC12);

factor(%);

solve(%,\omega)[2];

subst([PS2],EQ1);
ev(%,diff);

WC16:float(%);
subst([sin(omega*t)=1,\omega=1,A=1,g=1],

factor(%);

rhs(ET1));[y,-1,1]);y=ET11:subst([B4,h=1],%);−x で Ψ = 0 となる境界条件を満足する流れ関数：Ψ と

x/h=find_root(%,x,0,1);

側壁が流線となる流れ関数：Ψ として、y = x,plot2d([ET11,-ET11],[x,-1,1]);
rhs(PS1)/A/cos(\omega*t);
subst([x=x*h,y=y*h,B4],%);
1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , Surface Waves P.442 258.

9.6. 定常波

629

速度ポテンシャル：Φ は、(5.1.6) 式、89 頁から

d
d
Φ=
Ψ,
dx
dy

d
d
Φ=−
Ψ
dy
dx

(9.6.8) 式の流れ関数を用いて、速度ポテンシャル：Φ
は、次式となる。
(∫dΦ=Ψ dx =cos (ω t) −cos (k x) cosh (k y)dy)− cosh (k x) cos (k y) A

(9.6.11)
水位変動：η は、(9.1.6) 式に上式を代入し、y = h と図 9.6.7: kh を求める図

して、dΦη = − dtg(ω sin (ω t) A=
−cos (h k) cosh (k x)g)− cosh (h k) cos (k x)

水面の自由表面条件は、(9.2.3) 式から、)(
d2
d
Φ + 2Φ
0=gdydt

上記の関係を水位変動：η の (9.6.12) 式に代入し、上図が得られる。また、水位変動がない節の部分は η = 0(9.6.12)として得られ、その位置は下記となる。

x= 0.55168495459528h
流れ関数から gnuplot で流線を求めると、上図となる。

(9.6.13)(9.6.11) 式の Φ を上式に代入し、水面である y = h とし、整理すると、

cos (h k) ω 2 cosh (k x) + g k sin (h k) cosh (k x)+ cosh (h k) ω 2 cos (k x) − g k sinh (h k) cos (k x) = 0

上式が x に無関係に成り立つためには、次の二条件となる。

ω2
sin (h k)cos (h k) ω + g k sin (h k) = 0,=−
gkcos (h k)
ω2sinh (h k)cosh (h k) ω 2 − g k sinh (h k) = 0,=
gkcosh (h k)(9.6.14)

図 9.6.8: V 字断面水路

水位変動

2

上式をまとめた条件は次式となる。

b=−sin (h k)sinh (h k)−=0cos (h k) cosh (h k)

上式で b = 0 が成り立つ kh は下図の横軸との交点を
find root 関数で得られ、その初期値は kh = 2.365020372431352 で、
図 9.6.9: V 字断面水路

k は次式となる。
k=2.365020372431352h

また、円周波数：ω は、(9.6.14) 式に上式を代入し、√
gω = 1.524348299974038
h

流線

第9章

630

表面波

#!/gnuplot
set xrange [-1:1]

diff(PS2,y,1);

set yrange [0:1]

PH2:\Phi=integrate(rhs(%),x);

set isosamples 150,150

diff(PS2,x,1);

set contour base\Phi=-integrate(rhs(%),y);set cntrparam levels incremental -100,0.2

ET2:\eta=-1/g*diff(subst([y=h],rhs(PH2)),t

,100

,1);

unset keydiff(rhs(PH2),t,2)+g*diff(rhs(PH2),y,1)=0;

unset surface

subst([y=h],%);

set view map

WC2:expand(%/A/cos(\omega*t));splot sin(2.365020372431352*x)*sinh( 2.365020372431352*y)coeff(lhs(WC2),sinh(k*x));WC21:solve(%,\omega^2)[1]/k/g;-sinh(2.365020372431352*x)

coeff(lhs(WC2),sin(k*x));*sin(2.365020372431352*y)WC22:solve(%,\omega^2)[1]/k/g;#

EOF

WC23:rhs(WC21)=rhs(WC12);
WC24:subst([B2],WC23);
plot2d(lhs(WC24)-rhs(WC24),[b,0,10],[y,-1,1]);
B3:b=find_root(lhs(WC24)-rhs(WC24),b,0.5,2);
B4:subst([B3],B2);
WC25:subst([B4],WC22);
solve(%,\omega)[2];
WC26:float(%);
subst([sin(omega*t)=1,\omega=1,A=1,g=1],
rhs(ET2));
ET21:subst([B4,h=1],%);
x/h=find_root(%,x,0,1);
plot2d([ET21,-ET21],[x,-1,1]);
rhs(PS2)/A/cos(\omega*t);
subst([x=x*h,y=y*h,B4],%);(9.6.9) 式の流れ関数を用いて、速度ポテンシャル：Φ
は、次式となる。
(∫dΦ=Ψ dx =cos (ω t) sin (k x) sinh (k y)dy)+ sinh (k x) sin (k y) A

(9.6.15)
水位変動：η は、(9.1.6) 式に上式を代入し、y = h として、dΦη = − dtg(ω sin (ω t) A=
sin (h k) sinh (k x)g)+ sinh (h k) sin (k x)(9.6.16)

水面の自由表面条件：(9.6.13) 式に (9.6.15) 式の Φ を9.6. 定常波

631

代入し、水面である y = h とし、整理すると、− sin (h k) ω 2 sinh (k x) + g k cos (h k) sinh (k x)− sinh (h k) ω 2 sin (k x) + g k cosh (h k) sin (k x) = 0

上式が x に無関係に成り立つためには、次の二条件となる。

ω2
cos (h k)=gksin (h k)2ωcosh (h k)g k cosh (h k) − sinh (h k) ω 2 ,=gksinh (h k)(9.6.17)g k cos (h k) − sin (h k) ω 2 ,

図 9.6.11: V 字断面水路

水位変動

上式をまとめた条件は次式となる。

b=cos (h k)sinh (h k)−=0sin (h k)cosh (h k)

上式で b = 0 が成り立つ kh は下図の横軸との交点を

find root 関数で得られ、

図 9.6.12: V 字断面水路

流線#!/gnuplot
set xrange [-1:1]
set yrange [0:1]
set isosamples 150,150
図 9.6.10: kh を求める図

set contour baseset cntrparam levels incremental -50,0.05

その初期値は次式となる。

,50
unset key

0.93755203435598k=h
また、円周波数：ω は、(9.6.17) 式に上式を代入し、√
gω = 1.130111787960803h上記の関係を水位変動：η の (9.6.16) 式に代入し、下図が得られる。水位変動がない節の部分は η = 0 として、その位置は下記となる。

x
= 0.0
h
流れ関数から gnuplot で流線を求めると、下図となる。

unset surface
set view map
splot cos(0.93755203435598*x)*cosh(0.93755203435598*y)-cosh(0.93755203435598*x)*cos(0.93755203435598*y)
#
#

EOF
EOF

第9章

632

表面波

B3:b=find_root(lhs(WC24)-rhs(WC24),b,3.5,4.5);
B4:subst([B3],B2);
WC25:subst([B4],WC22);
solve(%,\omega)[2];
WC26:float(%);
subst([sin(omega*t)=1,\omega=1,A=1,g=1],
rhs(ET2));
ET21:subst([B4,h=1],%);
x/h=find_root(%,x,0.2,1);

図 9.6.14: V 字断面水路

流線

plot2d([ET21,-ET21],[x,-1,1]);
rhs(PS2)/A/cos(\omega*t);
subst([x=x*h,y=y*h,B4],%);#!/gnuplot

kh を求める図の横軸との交点で、2 番目の交点は次

set xrange [-1:1]
set yrange [0:1]式となる。

3.927378719118806k=h
また、円周波数：ω は、(9.6.17) 式に上式を代入し、√
gω = 1.982530369138615h上記の関係を水位変動：η の (9.6.16) 式に代入し、下図が得られる。水位変動がない節の部分は η = 0 とし

set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -50,1,50
unset keyunset surface
set view map
splot cos(3.927378719118806*x)*cosh(3.927378719118806*y)て、その位置は下記となる。

-cosh(3.927378719118806*x)x= 0.73563866326652h
流れ関数から gnuplot で流線を求めると、下図となる。

図 9.6.13: V 字断面水路

水位変動*cos(3.927378719118806*y)#

EOF

9.6. 定常波

633

例題 9.6.3

直方体タンク内の定常波

p*A=m*%pi;

直方体タンクの縦長さ:A、横長さ:B 、水位：h とし、波AQ1:solve(%,p)[1];のない平衡状態で、直方体の端を原点とし、直方体の縦subst([AQ1],VX12);

方向を x 軸、横方向を y 軸、鉛直上方に z 軸とする。水

VY1:diff(PH2,y,1);

位変化：η 、時間:t、波の振動円周波数：ω 、重力加速度：

VY11:lhs(VY1)=subst([y=0],rhs(VY1));

g とする。

VY12:lhs(VY1)=subst([y=B],rhs(VY1));
q*B=n*%pi;
BP1:solve(%,q)[1];
subst([BP1],VY12);
subst([AQ1,BP1],K1);
K2:sqrt(%);
subst([K2],OM1);
OM2:sqrt(%);
subst([PH2],EQ2);
ev(%,diff);
subst([AQ1,BP1,z=0,K2],%);
ET11:cos((%pi*m*x)/A)*cos((%pi*n*y)/B);
subst([A=1,B=1,m=1,n=1,%pi=3.14159],ET11);
plot3d(%,[x,0,1],[y,0,1]);
図 9.6.15: 直方体内の定常波

波高：η は (9.1.6) 式から、d/* 直方体内の定在波

η = − dtgNo.2 */

kill(all);depends(\Phi,[x,y,z,t]);depends(\eta,[x,y,z,t]);declare(m,integer);Φ(9.6.18)「9.4.1 三次元微小振幅波（xyz 座標）」、586 頁の速度ポテンシャルの一般解は、(9.4.20) 式から、

Φ=g cosh (k (z + h)) C
cosh (h k) ωdeclare(n,integer);× (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))

assume(k>0);× (%k1 sin (p x) + %k2 cos (p x))

assume(p>0);× (%c1 sin (q y) + %c2 cos (q y))assume(q>0);
assume(t>0);

ここで、(9.4.8) 式から、

assume(\omega>0);k 2 = q 2 + p2

EQ2:\eta=-diff(\Phi,t,1)/g;
PH1:\Phi=(g*(%d1*sin(\omega*t)+%d2*
cos(\omega*t))*(%k1*sin(p*x)+%k2*cos(p*x))*(%c1*sin(q*y)+%c2*cos(q*y))*cosh(k*(z+h))*C)/(cosh(h*k)*\omega);
OM1:\omega^2=g*k*tanh(h*k);*cosh(k*(z+h))*C)/(cosh(h*k)*\omega);
VX1:diff(PH2,x,1);
VX11:lhs(VX1)=subst([x=0],rhs(VX1));
VX12:lhs(VX1)=subst([x=A],rhs(VX1));(9.6.20)波の形から、速度ポテンシャル：Φ は、

g cos (ω t) cos (p x) cos (q y) cosh (k (z + h)) C
cosh (h k) ω
(9.6.21)
ここで、(9.4.16) 式から、

Φ=K1:k^2=p^2+q^2;
PH2:\Phi=(g*cos(\omega*t)*cos(p*x)*cos(q*y)(9.6.19)

ω2 =g k sinh (k z + h k)
= g k tanh (h k)cosh (k z + h k)

x 軸方向の側壁の条件：ddx Φ = 0

at(9.6.22)x = 0, A から、dg pcosh (k (z + h)) CΦ=−dxcosh (h k) ω× cos (ω t) sin (p x) cos (q y) = 0
上式から、

p=

πm
A

(m = 0, 1, 2, 3 · · · )(9.6.23)

第9章

634
y 軸方向の側壁の条件：ddy Φ = 0

at

表面波

y = 0, B から、

dg qcosh (k (z + h)) CΦ=−dycosh (h k) ω× cos (ω t) cos (p x) sin (q y) = 0
上式から、

q=

πn
B

(n = 0, 1, 2, 3 · · · )(9.6.24)(9.6.20) 式に上式と (9.6.23) 式を代入すると、√
π 2 n2π 2 m2k=+(9.6.25)
2
B
A2(9.6.22) 式に上式を代入すると、
v
( √
)(
u
)1
2 n2
2 m2
u
π
π 2 m2 4π
π 2 n2t++ω = g tanh h
B2
A2
B2
A2
(9.6.26)
波高：η は、(9.6.18) 式に (9.6.21) 式を代入し、z = 0
図 9.6.17: 直方体内の定常波として、dη = − dtgΦ=

(π m x)(π n y )C ω sin (ω t)
cos
cos
g
A
B
)
( √
2
2
2
2
π m
π n
+
× cosh h
B2
A2#!/gnuplot
set xrange [0:1]
set yrange [0:1]
set isosamples 150,150

上式から、A = 1, B = 1, m = 1, n = 1 の時の定常波波
高分布を以下に示す。

set contour baseset cntrparam levels incremental -50,0.1,50
unset keyunset surface
set view map
splot cos(3.14159*x)*cos(3.14159*y)#

図 9.6.16: 直方体内の定常波

EOF

9.6. 定常波

例題 9.6.4635

鉛直円筒タンク内の定常波

KR02:subst([k=s/R],%);

中心軸を鉛直方向に立てた円筒の半径:R、水位：h とし、

plot2d(lhs(KR02),[s,0,10]);

波のない平衡状態で、表面の中心を原点とし、半径方向

k*R=find_root(KR02,s,3,4);を r 軸、x 軸と r との角度を θ、鉛直上方に z 軸とする。

K1:float(solve(%,k)[1]);水位変動：η 、時間:t、波の振動円周波数：ω 、重力加速

subst([K1],OM1);

度：g とする1 。

sqrt(%);
subst([PH11],EQ2);
subst([Q1],%);
ev(%,diff);
ETQ1:subst([z=0],%);ETQ11:subst([K1],%);
ETQ12:bessel_j(0,(3.831705916140149*r)/R);
subst([R=1],ETQ12);
plot2d(%,[r,-1,1]);
subst([r=sqrt(x^2+y^2),cos(\theta)=x/
sqrt(x^2+y^2),R=1],ETQ12);
plot3d(%,[x,-1,1],[y,-1,1]);

図 9.6.18: 鉛直円筒タンク内の定常波

波高：η は (9.1.6) 式から、d/* 円筒内の定在波 No.2

η = − dtg*/kill(all);depends(\Phi,[r,\theta,z,t]);declare(n,integer);assume(k>0);
assume(t>0);

度ポテンシャルの一般解は、(9.4.75) 式から、

Φ=

gcosh (k (z + h)) A
cosh (h k) ω× bessel j (q, k r) (%d1 sin (ω t) + %d2 cos (ω t))× (%k1 sin (q θ) + %k2 cos (q θ))(9.6.28)

assume(\omega>0);
assume(q>0);(9.6.27)「9.4.3 三次元微小振幅波（円柱座標）」、595 頁の速depends(\eta,[x,y,z,t]);declare(m,integer);Φ

また、(9.4.72) 式から、

EQ2:\eta=-’diff(\Phi,t,1)/g;
PH0:\Phi=(g*bessel_j(q,k*r)*(%d1*ω2 =sin(\omega*t)+%d2*cos(\omega*t))*(%k1g k sinh (k z + h k)
= g k tanh (h k)cosh (k z + h k)*sin(q*\theta)+%k2*cos(q*\theta))

波の形から、速度ポテンシャル：Φ は、*cosh(k*(z+h))*A)/(cosh(h*k)*\omega);
OM1:\omega^2=g*k*tanh(h*k);Φ=PH1:\Phi=(g*bessel_j(q,k*r)*cos(\omega*t)*cos(q*\theta)*cosh(k*(z+h))*A)/(cosh(h*k)*\omega);
PH11:PH1;

gA
bessel j (q, k r)
cosh (h k) ωdiff(%,r,1);(9.6.30)× cos (ω t) cos (q θ) cosh (k (z + h))
q = 0 におけるモードのついて調べる。(9.6.30) 式に
q = 0 を代入し、

Q1:q=0;subst([Q1],PH11);(9.6.29)Φ=Ag
bessel j (0, k r)
cosh (h k) ω

(9.6.31)× cos (ω t) cosh (k (z + h))ev(%,diff);
subst([r=R],%);
KR01:bessel_j(1,k*R)=0;

1 浅水の場合：Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edi-tion 11) , Tidal Waves P.284 191.

側壁：r = R での境界条件： ddr Φ = 0 から、

dbessel j (1, k r) g kAΦ=−drcosh (h k) ω× cos (ω t) cosh (k (z + h)) = 0

第9章

636

表面波

図 9.6.19: q = 0 で k R を求める図

上式が、時間：t、側壁の上下位置：z に無関係に成り立
図 9.6.21: q = 0 の定常波

つためには、

bessel j (1, k R) = 0
上式の関係図は上図となり、横軸との最初の交点は、

Q1:q=1;

find root 関数を使って、
k R = 3.831705970207513,

3.831705916140149
k=R

このモードでの円振動周波数：ω は、√()
hg tanh 3.831705916140149
Rω = 1.957474371770969
R
波高：η は、(9.6.27) 式に (9.6.31) 式を代入し、z = 0
として、

subst([Q1],PH11);diff(%,r,1);
ev(%,diff);
subst([r=R],%);
KR11:bessel_j(0,k*R)-bessel_j(2,k*R)=0;
KR12:subst([Q1,k=s/R],%);
plot2d(lhs(KR12),[s,0,10]);
k*R=find_root(KR12,s,1,2);
K1:float(solve(%,k)[1]);

η =−

d
dt Φ

g

=bessel j (0, k r) sin (ω t) A
以上から定常波の形は、上記 k を代入し、()
3.831705916140149 r
η = bessel j 0,R
上式の定常波の形は q = 0 では z 軸対称となり、図示すると下記となる。

subst([K1],OM1);
sqrt(%);
subst([PH11],EQ2);
subst([Q1],%);
ev(%,diff);
ETQ2:subst([z=0],%);
ETQ21:subst([K1],%);ETQ22:bessel_j(1,(1.841183779509771*r)/R)*cos(\theta);
subst([\theta=0,R=1],ETQ22);
plot2d(-%,[r,-1,1]);
subst([r=sqrt(x^2+y^2),cos(\theta)=x/
sqrt(x^2+y^2),R=1],ETQ22);
plot3d(-%,[x,-1,1],[y,-1,1]);
k*R=find_root(KR12,s,4,6);
K1:float(solve(%,k)[1]);subst([K1],OM1);
sqrt(%);
subst([PH11],EQ2);
subst([Q1],%);

図 9.6.20: q = 0 の x 軸上の定常波

9.6. 定常波

637以上から定常波の形は、上記 k を代入し、()
1.841183779509771 r
cos (θ)η = bessel j 1,Rev(%,diff);
ETQ3:subst([z=0],%);
ETQ31:subst([K1],%);ETQ32:bessel_j(1,(5.331442750797589*r)/R)

上式の定常波の形を図示すると下記となる。

*cos(\theta);
subst([\theta=0,R=1],ETQ32);
plot2d(%,[r,-1,1]);
subst([r=sqrt(x^2+y^2),cos(\theta)=x/
sqrt(x^2+y^2),R=1],ETQ32);
plot3d(%,[x,-1,1],[y,-1,1]);
q = 1 におけるモードのついて調べる。(9.6.30) 式に
q = 1 を代入し、
Φ=

bessel j (1, k r) g
cosh (h k) ω

図 9.6.23: q = 1、最初の x 軸上の定常波(9.6.32)× cos (ω t) cos (θ) cosh (k (z + h)) A
側壁：r = R での境界条件： ddr Φ = 0 から、

dg kcosh (k (z + h)) AΦ=dr
2 cosh (h k) ω× (bessel j (0, k r) − bessel j (2, k r))
× cos (ω t) cos (θ) = 0
上式が、時間：t、側壁の上下位置：z に無関係に成り立つためには、

bessel j (0, k R) − bessel j (2, k R) = 0
上式の関係図は下図となり、横軸との最初の交点は、
図 9.6.24: q = 1、最初の定常波#!/gnuplot
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set isosamples 150,150
図 9.6.22: q = 1 で k R を求める図

find root 関数を使って、

set contour baseset cntrparam levels incremental -10,0.02,10

1.841183779509771
R
このモードでの円振動周波数：ω は、√)(
hg tanh 1.841183779509771
Rω = 1.356902273382196
R

unset key

波高：η は、(9.6.27) 式に (9.6.32) 式を代入し、z = 0 と#

k R = 1.841183781340659,

k=unset surface
set view map
splot besj1(1.841183779509771*sqrt(y**2+x**2))*x/sqrt(y**2+x**2)
EOF
横軸との 2 番目の交点は、find root 関数を使って、して、
dη = − dtgΦ=bessel j (1, k r) sin (ω t) cos (θ) A

k R = 5.331442773525033,

k=

5.331442750797589
R

第9章

638

表面波

図 9.6.27: q = 1、二番目の定常波

図 9.6.25: q = 1、最初の定常波波高分布

このモードでの円振動周波数：ω は、√()
hg tanh 5.331442750797589
Rω = 2.308991717351448
R
以上から定常波の形は、()
5.331442750797589 r
η = bessel j 1,cos (θ)R
上式の定常波の形を図示すると下記となる。

図 9.6.28: q = 1、二番目の定常波波高分布#!/gnuplot
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set isosamples 150,150
図 9.6.26: q = 1、二番目の x 軸上の定常波

set contour baseset cntrparam levels incremental -10,0.05,10unset keyunset surface
set view map
splot besj1(5.331442750797589*sqrt(y**2+x**2))*x/sqrt(y**2+x**2)#

EOF

9.6. 定常波

例題 9.6.5639

水平円筒タンクの液固有円周波数

中心軸を水平向に置いた円筒タンクの半径:a、長さ：l、横（半径）方向の荷液の固有円周波数：ωn は下図のλn から次式で得られる。

√

水位：h としたときの、荷液の固有円周波数：ωn は、

ωn = λn

MaCarty, J.L. と Stephens, D.G. により、実験的に求g
R

められ、下図から得られる1 。

図 9.6.29: 水平円筒タンクの定常波

縦（長さ）方向の荷液の固有円周波数：ωn は下図のγn から次式で得られる。
√
ωn = γn( hn)g tanh π L
L

直方体内の荷液の固有円周波数では (9.6.6) 式から上√π ≈ 1.77 となっている。

式の γn =

図 9.6.31: 水平円筒タンクの横（半径）方向の荷液の固有円周波数

図 9.6.30: 水平円筒タンクの縦（長さ）方向の荷液の固有円周波数

1 MaCarty, J.L. and Stephens, D.G. : Investigation of NaturalFrequencies of Fluids in Spherical and Cylindrical Tanks, NASA
Technical Note D-252, 1960

第9章

640

例題 9.6.6

表面波

球形タンクの液固有円周波数

球形タンクの半径:R、水位：h としたときの、荷液の固有円周波数：ωn は、MaCarty, J.L. と Stephens, D.G.
により、実験的に求められ、下図から得られる1 。

図 9.6.32: 球形タンクの定常波

荷液の固有円周波数：ωn は下図の λn から次式で得られる。

√
ωn = λ ngR

図 9.6.33: 球形タンクの荷液の固有円周波数

1 MaCarty, J.L. and Stephens, D.G. : Investigation of NaturalFrequencies of Fluids in Spherical and Cylindrical Tanks, NASA
Technical Note D-252, 1960

9.7. 着水衝撃

9.7

着水衝撃

着水衝撃は速度を持った物体が水面に衝突したとき生じる現象で、着水時の飛行艇や波浪中動揺する船舶など
において発生する。

641
subst([DCT2],%);
P2:subst([DCT1],%);
P21:num(rhs(P2))/8/m^3/tan(\alpha)^2;
denom(rhs(P2))/8/m^3/tan(\alpha)^2;
factor(%);
P22:tan(alpha)*(%pi*c^2*rho/2/m+1)^3;

9.7.1

二次元着水衝撃 (Karman の理論)

質量：m、楔型（傾斜角：α）の二次元物体が速度：V0 で、水面に垂直に突入し、物体の速度が v になった

P3:P=P21/P22;
水面に突入前と突入後の運動量保存から、次式となる。ここで、mV は流体による付加質量とする。

とする。楔型の接水幅：2 c、水の密度：ρ とする。最初V0 m = v (mV + m)に Karman により、この問題は検討された1 。ここでは物体の水面への突入で、水面は変化しないと仮定した。

次に、物体速度 v と接水幅：c の関係は、()
dv = tan (α)
cdt(9.7.1)(9.7.2)一様流中の楕円柱まわり運動エネルギー：T は、「例題 5.3.5 一様流中の楕円柱まわりの流れ・作用力・運動
エネルギー (Joukowski 変換)」の (5.3.30) 式、128 頁か
ら次式となる。ここで、楕円の半軸：a, b、流速：Vx , Vy
とする。

(
)
π ρ a2 Vy2 + b2 Vx2
T =2
上式から、半幅：c の平板が垂直方向に速度：v で動いたとき、まわりの流体に与える運動エネルギー：T は、
図 9.7.1: 着水衝撃 (Karman の理論)

T =π c2 ρ v 2
2

流体に与えられる運動エネルギー：T を付加質量：mV/* Karman 二次元着水衝撃 */kill(all);load("vector");で表すと、

v 2 mV
2
以上から、付加質量：mV は、T =depends(v,[t]);mV = π c2 ρdepends(c,[t]);MT1:m*V[0]=(m+m[V])*v;
V1:v=tan(\alpha)*diff(c,t,1);(9.7.3)

楔による付加質量は下半分であるから、上式の 1/2 となる。

MV1:lhs(%)=rhs(%)/2;

π c2 ρ
(9.7.4)2(9.7.1) 式に (9.7.2) 式、(9.7.4) 式を代入すると、
(
)( 2
)
d
πc ρ
V0 m = tan (α)
c
+m
dt
2

MT2:subst([MV1,V1],MT1);

上式から、

T1:T=%pi*\rho*c^2*v^2/2;
T2:T=m[V]*v^2/2;
rhs(T1)=rhs(T2);solve(%,m[V])[1];DCT1:M1:solve(MT2,diff(c,t,1))[1];DCT2:diff(%,t,1);P1:P=-m*diff(v,t,1);
subst([V1],%);
ev(%,diff);

1 von Karman, T. : The Impact on Seaplane Float During
Landing, NACA Technical Note D-321, 1929mV =2 V0 mdc=dt
π tan (α) c2 ρ + 2 tan (α) m(9.7.5)上式を更に t で微分すると、()
4 π V0 tan (α) c ddt c m ρ
d2
c=−
2
d t2
(π tan (α) c2 ρ + 2 tan (α) m)(9.7.6)

物体に作用する衝撃力：P は、運動結果から、)(
dv
P = −m
dt

第9章

642
上式に、(9.7.2) 式を代入すると、
(
(
(
)))
d
d
tan (α)
P =−
c
m
dt
dt
( 2 )
d
= − tan (α)
c md t2
上式に、(9.7.6) 式を代入すると、
2P =4 π V0 tan (α) c(d ) 2dt c m ρ2(π tan (α) c2 ρ + 2 tan (α) m)

上式に、(9.7.5) 式を代入し、整理すると、衝撃力：Pは、P =π V02 c ρ
( 2
)3tan (α) π2cmρ + 1(9.7.7)表面波9.7. 着水衝撃

9.7.2

二次元着水衝撃 (Wagnern の理論)

質量：m、楔型（傾斜角：α）の二次元物体が速度：V0643
ET4:\eta=’integrate(subst([B2],u*rhs(VY2)/v*x),b,0,1);

で、水面に垂直に突入し、物体の速度が v になったとす

ev(%,integrate);

る。Wagnern は楔が突入することによる水面の盛り上

subst([\eta=x*tan(\alpha)],%);がりを考慮した1 。ここで接水幅：2 c、水の密度：ρ とU3:solve(%,u)[1];する。

楔が突入することによる水面の盛り上がり：η を水面の上下流速：vY から求める。この流速を平板の外端部の流速で近似するとする。一様流中の楕円柱まわり (外部流) の複素ポテンシャル：F は、「例題 5.3.5 一様流中の楕円柱まわりの流れ・作用力・運動エネルギー (Joukowski
変換)」の (5.3.24) 式、126 頁から次式となる。ここで、

図 9.7.2: 着水衝撃 (Wagnern の理論)/* Wagner 二次元着水衝撃 */kill(all);load("vector");declare(z,complex);declare(F,complex);declare(\zeta,complex);depends(v,[t]);depends(c,[t]);depends(u,[t]);depends(p,[x]);assume(c>0);

楕円に当たる流速：U とする。
(√)
2e−i α z1 − 4zA2 + 1 U
F =
(√ 2
)
2
iα
e z
1 − 4zA2 − 1 R2 U−
2 A2
流速：vX , vY は上式を z で微分して得られ、
(√
)
2
ei α
1 − 4zA2 − 1 R2 Ud
F = vX − i v Y = −
dz
2 A2
iα 2
2e R U− √22z
1 − 4zA2
(√
)
2
e−i α
1 − 4zA2 + 1 U+
2
2 e−i α A2 U
+ √2
z 2 1 − 4zA2

assume(x>c);F1:F=(%e^(-%i*alpha)*z*(sqrt(1-(4*A^2)/z^2)

幅：2 c の平板に垂直な流れが当たった場合は、+1)*U)/2-(%e^(%i*alpha)*z*(sqrt(1-(4*A^2)z = x + i y, A = c/2, R = c/2, α = π/2, U = v を代

/z^2)-1)*R^2*U)/(2*A^2);

入し、

(√

V2:v[X]-%i*v[Y]=diff(rhs(F1),z,1);
subst([z=x+%i*y,A=c/2,R=c/2,\alpha=%pi/2,
y=0,U=v],V2);
factor(%);
VY1:subst([v[X]=0],%)*%i;
VY2:v[Y]=v/sqrt(1-c^2/x^2);

iv
i c2 v−
vX − i v Y = − √2
1 − xc 2 x2
(√
)
2
iv
1 − xc 2 − 1−
2)
2
1 − xc 2 + 1

2

ET1:\eta=’integrate(rhs(VY2),t,0,t);U1:u=v/diff(c,t,1);
U2:solve(%,diff(c,t,1))[1];ET3:\eta=’integrate(u*rhs(VY2)/v,c,0,x);
B1:c/x=b;
B2:c=b*x;

1 Wagner, H. : Uber Stoss-und Gleitvorgange an der Oberflache von Flussigkeiten, ZAMM 12, 1932

以上から、水面の上下流速：vY は、

vY = √v,(x > c)1 − xc 2
2

水面の盛り上がり：η は、上式を積分し、
∫ t
∫ t
v
√
vY dt =
η=dt
200
1 − xc 2(9.7.8)第9章

644
下記に示す u を導入する。

v

u=

d
dt c

,

d
v
c=
dt
u

(9.7.9)

盛り上がった水面は物体境界面でそれに沿った流れを(9.7.12) 式に (9.7.13) 式を代入し、
)
( 2
πc ρ
+m v
V0 m =
2
上式から、v を求めると、生じるが、これは考慮しない。物体形状座標：(x, y) にv=

x = c, y = η となる点を考える。(9.7.8) 式を (9.7.9) 式
で変換し、積分を実行すると、
∫ x
1
πux
√
η=u
dc =
2
2
c
0
1 − x2(9.7.10)
MT = v m V =πux
22 tan (α)π(9.7.14)π c2 ρ v
2

物体に作用する衝撃力：P は、上式の流体の運動量を

以上から、

u=

2 V0 mπ c2 ρ + 2 m

流体の運動量：MT は、次式となる。

楔型の形状を角度：α の直線とすると、

y = tan (α) x =表面波(9.7.11)

時間：t で微分して得られ、(9.7.9) 式を代入し、()()
π c2 ρ ddt v
d
+πc
c ρv
P =
2
dt
(9.7.15)(d )2
π c ρ dt v
π c ρ v2=+2u
物体に作用する衝撃力：P は、運動結果から、
(
)
d
d
P
P = −m
v ,
v=−
dt
dt
m

MT1:m*V[0]=(m+m[V])*v;
T1:T=%pi*\rho*c^2*v^2/2;
T2:T=m[V]*v^2/2;
rhs(T1)=rhs(T2);

上式を (9.7.15) 式に代入し、これに (9.7.14) 式を代

solve(%,m[V])[1];

入し、

MV1:lhs(%)=rhs(%)/2;

P =subst([MV1],MT1);
V1:solve(%,v)[1];MT1:M[T]=m[V]*v;

4 π V02 c m2 ρ2

(π c2 ρ + 2 m) u−

π c2 ρ P
2m

上式から、P を求め、(9.7.11) 式を代入し、整理す
ると、

MT2:subst([MV1],MT1);
8 π V02 c m3 ρ
(π 3 c6 ρ3 + 6 π 2 c4 m ρ2 + 12 π c2 m2 ρ + 8 m3 ) u
π 2 V02 c ρ=( 2)3
2 tan (α) π2cmρ + 1

P1:P=diff(rhs(MT2),t,1);P =P2:subst([U2],%);
P3:P=-m*diff(v,t,1);
P4:solve(%,diff(v,t,1))[1];
subst([P4,V1],P2);(9.7.16)

solve(%,P)[1];
factor(%);

forget(x>c);

P5:subst([U3],%);

assume(x<c);

P21:num(rhs(P5))/8/m^3;

Z1:z=\zeta+A^2/\zeta;

denom(rhs(P5))/8/m^3;

F2:F=%e^(-%i*\alpha)*U*\zetafactor(%);+(%e^(%i*\alpha)*R^2*U)/\zeta;
Z2:\zeta=%e^(%i*\eta)*R;

P22:tan(alpha)*(%pi*c^2*rho/2/m+1)^3;
P6:P=P21/P22;

X1:x=cos(\eta)*R+(cos(\eta)*A^2)/R;

水面に突入前と突入後の運動量保存から、次式となる。ここで、mV は流体による付加質量とする。

V0 m = v (mV + m)

(9.7.12)

半幅：c の平板の付加質量の下半分：mV は、(9.7.4)

Y1:y=sin(\eta)*R-(sin(\eta)*A^2)/R;
XY1:sin(\eta)^2+cos(\eta)^2=1;
R1:R=(b+a)/2;
A1:A=sqrt(a^2-b^2)/2;
subst([Z2,\alpha=%pi/2],F2);
PH1:\Phi=realpart(rhs(%));

式から、

π c2 ρ
mV =2(9.7.13)

9.7. 着水衝撃

645
半幅：c の平板の表面流速を求めるためには、上式のXY2:solve(XY1,sin(\eta))[2];速度ポテンシャル：Φ が x の関数である必要があるの

solve(X1,cos(\eta))[1];

で、下記の関係から、√
2sin (η) = 1 − cos (η) ,subst([%],XY2);
subst([%],PH1);
subst([R1,A1],%);
PH2:subst([b=0],%);cos (η) =上式から、次式が得られる。
√

PH3:\Phi=-v*sqrt(c^2-x^2);
U1:v[x]=’diff(\Phi,x,1);

1−

sin (η) =-\rho*(v[x1]-v[x2])=(\Delta*p)*(\delta*t);-\rho*diff(v[x],t,1)=’diff(p,x,1);xR
R 2 + A2x2 R 2(R2 + A2 )

2上式を (9.7.21) 式に代入し、√
x2 R 2
Φ = 2R 1 −2 U(R2 + A2 )subst([U1],%);
integrate(%,x);P3:p=-\rho*’diff(\Phi,t,1);
subst([PH3],P3);

上式に (9.7.20) 式を代入し、平板とするには、b = 0ev(%,diff);として、

expand(%);
物体に作用する衝撃力の圧力分布を求める。このため半幅：c の平板の表面流速を求める。
「例題 5.3.5 一様vuuΦ = (b + a) u
t1 −流中の楕円柱まわりの流れ・作用力・運動エネルギー(Joukowski 変換)」から、写像関数：(5.3.16) 式、複素√=aポテンシャル：(5.3.17) 式、124 頁から次式となる。こ

1−

2

(
4

(b + a) x222(b+a)2+ a −b
4
4

)2 U

x2
U
a2

半幅：c の平板で端部へ行くほど流速が速くなるには、

こで、流速：U 、楕円の半軸：a, b とする。

b → c, U → −v とし、速度ポテンシャル：Φ、平板に沿った流速：u は、写像関数は、z = x + iy = ζ +A2ζΦ = −v(9.7.17)√c2 − x2 ,

vx =

d
Φ
dx

(9.7.22)急激な流速変化に基づく圧力は、運動量変化で近似

複素ポテンシャルは、

でき、

F = e−i α U ζ +ei α R 2 U
ζ

上記から、

物体表面では、下記であるから、
iη

ζ=e

(
−ρ

R

上式を (9.7.17) 式に代入し、x, y を求めると、

cos (η) A2R
sin (η) A2
y =sin (η) R −R

x =cos (η) R +(9.7.19)

d
vx
dt

)
=

d
p
dx

(9.7.23)

上式に (9.7.22) 式の流速：vx を代入し、
( 2
)
d
d
−
Φ ρ=
p
dtdx
dx
上式を x で積分し、(また、R, A と楕円の半軸：a, b の関係は、√
a2 − b2
b+a, A=(9.7.20)R=22

α = π/2 のときの複素ポテンシャルは、
F = i e−i η R U − i ei η R U
上式の実部は速度ポテンシャル：Φ であるから、

Φ = 2 sin (η) R U−ρ (vx1 − vx2 ) = δ ∆ p t(9.7.18)(9.7.21)

p=−

d
Φ
dt

)
ρ

上式に (9.7.22) 式を代入し、圧力分布：p が得られる。
(d )
(
)√
c
c ρv
d
p=ρ
c2 − x2 + √ d t(9.7.24)v
dt
c2 − x2

第9章

646

9.7.3

二次元着水衝撃の数値シミュレーショ
ン

前節の理論を数値解析することで、着水衝撃の性質を理解する。ここでは着水衝撃を直接受ける楔型の構造物とそれを支える支持材、後部構造物の全体の構造応答について検討する。そのモデルを下図に示す。楔型の構造

表面波

solve(Y20,diff(y[2](t),t,2))[1];Y22:expand(%);
subst([P2,B1],Y10);
Y12:solve(%,diff(y[1](t),t,2))[1];Y13:solve(Y10,diff(y[1](t),t,2))[1];楔型の構造物および後部構造物の運動方程式は以下と物の質量：m1 、下方への運動：y1 (t)、後部構造物の質 なる。
( 2)
量：m2 、下方への運動：y2 (t)、楔型の構造物と後部構
d
m
y
(t)
= m2 g − k (y2 (t) − y1 (t)) (9.7.25)
22
造物をつなぐ支持材のばね定数：k 、バネによる力：F 、
d t2
浮力：B 、衝撃力：P 、楔の角度：α、水の密度：ρ、重( 2)d
力加速度：g とする。
m1y(t)
= −P − B + k (y2 (t) − y1 (t)) + m1 g
1
d t2
(9.7.26)
バネによる力：F は以下となる。

F = k (y2 (t) − y1 (t))(9.7.27)

浮力：B は以下となる。

g ρ y1 (t)tan (α)B=

2(9.7.28)

着水衝撃荷重：P として、Karman の理論を用いる。
ここでは下記の (9.7.16) 式を用いる。

)
2 ( dd t v (t)π ρ c (t)

P =

2

(
+ π ρ c (t) v (t)

)
d
c (t)
dt

y (t)

1
ここで、v (t) = ddt y1 (t) , c (t) = tan(α)
であるから、

上式は、
図 9.7.3: 着水衝撃の構造応答π ρ y1 (t)P =d t y1 (t)y1 (t)
d t tan(α))

tan (α)( 2)π ρ y1 (t) ddt2 y1 (t)2/* Karman 二次元着水衝撃数値解 */+kill(all);assume(m[1]>0);
assume(m[2]>0);

)(d

(d

=

2

2 tan (α)( 2)2π ρ y1 (t) ddt2 y1 (t)2

2 tan (α)

assume(k>0);+(d

π ρ y1 (t)tan (α)(9.7.29)

Y20:m[2]*diff(y[2](t),t,2)=m[2]*g-k*(y[2](t)-y[1](t));
Y10:m[1]*diff(y[1](t),t,2)=m[1]*g(9.7.26) 式に (9.7.27) 式、(9.7.28) 式、(9.7.29) 式を代入し、+k*(y[2](t)-y[1](t))-B-P;
F1:F=k*(y[2](t)-y[1](t));
B1:B=y[1](t)^2/tan(\alpha)*\rho*g;
P1:P=%pi*c(t)^2*\rho*diff(v(t),t,1)/2+%pi*c(t)*diff(c(t),t,1)*\rho*v(t);subst([c(t)=y[1](t)/tan(\alpha),v(t)

(
m1

2

d
y1 (t)
d t2

)

2

=−
−

π ρ y1 (t)

(

)

d2
d t2 y1 (t)2

2 tan (α)()2π ρ y1 (t) ddt y1 (t)2tan (α)+ k (y2 (t) − y1 (t))=diff(y[1](t),t,1)],P1);
P2:ev(%,diff);)2

d t y1 (t)22−g ρ y1 (t)+ m1 gtan (α)(9.7.30)

9.7. 着水衝撃

647

(9.7.25) 式、(9.7.30) 式の運動方程式を整理すると、
k y2 (t)k y1 (t)d2y2 (t) = −
+
+g
d t2
m2
m2
(
)2
2 π ρ y1 (t) ddt y1 (t) − 2 tan (α)2 k y2 (t) + 2 tan (α) g ρ y1 (t)2 + 2 tan (α)2 k y1 (t) − 2 m1 tan (α)2 gd2
y1 (t) = −d t2
π ρ y1 (t)2 + 2 m1 tan (α)2(9.7.31)

B4:subst([y[1](t)=Y1,y[D1](t)=YD1,
Y14:’diff(y[1](t),t,1)=y[D1](t);Y13:subst([’diff(y[1](t),t,2)=’diff(y[D1]y[2](t)=Y2,y[D2](t)=YD2],B1);
F4:subst([y[1](t)=Y1,y[D1](t)=YD1,(t),t,1),’diff(y[1](t),t,1)=y[D1](t)],Y12);y[2](t)=Y2,y[D2](t)=YD2],F1);

Y24:’diff(y[2](t),t,1)=y[D2](t);Y2A:subst([g=0,y[1](t)=a(t),Y23:subst([’diff(y[2](t),t,2)=’diff(y[D2]y[2](t)=b(t)],Y20);(t),t,1),’diff(y[2](t),t,1)=y[D2](t)],Y22);

Y1A:subst([g=0,y[1](t)=a(t),RK1:subst([y[1](t)=Y1,y[D1](t)=YD1,

y[2](t)=b(t),P=0,B=0],Y10);y[2](t)=Y2,y[D2](t)=YD2],Y14);

atvalue(a(t),t=0,0);RK2:subst([y[1](t)=Y1,y[D1](t)=YD1,

atvalue(diff(a(t),t,1),t=0,0);y[2](t)=Y2,y[D2](t)=YD2],Y13);

atvalue(b(t),t=0,Y[20]);

RK3:subst([y[1](t)=Y1,y[D1](t)=YD1,

atvalue(diff(b(t),t,1),t=0,0);y[2](t)=Y2,y[D2](t)=YD2],Y24);
RK4:subst([y[1](t)=Y1,y[D1](t)=YD1,

desolve([Y2A,Y1A],[a(t),b(t)]);y[2](t)=Y2,y[D2](t)=YD2],Y23);*sqrt(m[2]))=2*%pi;

P4:subst([’diff(y[1](t),t,2)=YDD1,

TW1:solve(%,T[W1])[1];’diff(y[1](t),t,1)=YD1,y[1](t)=Y1],P2);

TW2:T[W0]=(2*%pi*sqrt(m[1]))/(sqrt(k));(sqrt(m[2]+m[1])*sqrt(k)*T[W1])/(sqrt(m[1])上式を Runge-Kutta 法で解くため、下記のように書き換える。
dy1 (t) =yD1 (t)dt
2 π ρ y1 (t) yD1 (t)2 − 2 tan (α)2 k y2 (t) + 2 tan (α) g ρ y1 (t)2 + 2 tan (α)2 k y1 (t) − 2 m1 tan (α)2 gdyD1 (t) = −dt
π ρ y1 (t)2 + 2 m1 tan (α)2dy2 (t) =yD2 (t)dtk y2 (t)k y1 (t)dyD2 (t) = −
+
+g
dt
m2
m2
(9.7.32)

楔型の構造物、支える支持材および後部構造物のみの固有周期：TW を求める。この系のみの運動方程式は下記となる。ここで、y1 (t) = a (t) , y2 (t) = b (t) と置き換えると、次式となる。
( 2
)
d
m2
b
(t)
= − k (b (t) − a (t))
d t2
( 2
)
d
m1
a
(t)
=k (b (t) − a (t))
d t2
上式を desolve で解くと、(9.7.33)

(√
√ )
m
√2 +m
√1 k tm2 Y20 cos
m1 m2
m2 Y20a (t) =−,
m2 + m1
m2 + m1(√√ )m√1 k t√2 +m
m1 Y20 cos
m1 m2
m2 Y20b (t) =+
m2 + m1
m2 + m1
上式から、固有周期：TW 、固有周波数：fW は、√ √2 π m1 m2
1√=√(9.7.34)TW =fW
m2 + m1 k

第9章

648

表面波

for J:2 thru Nd do(listP:append(listP,
CLIS:[\rho=102,g=9.8,m[1]=0.1,m[2]=0.9,[[sol[J][1],float(subst([Y1=sol[J][2],\alpha=%pi/18,k=4000000000];

YD1=sol[J][3],YDD1=listY12[J][2]],RK11:subst(CLIS,RK1);

rhs(P5)))]]));

RK21:subst(CLIS,RK2);

plot2d([[discrete,listY1],

RK31:subst(CLIS,RK3);[discrete,listY11],[discrete,listY12],

RK41:subst(CLIS,RK4);[discrete,listY2]],[legend, "10Y1",

P5:subst(CLIS,P4);"10YD1","YDD1","10Y2"],[style,

B5:subst(CLIS,B4);[lines,2,1],[lines,2,2],[lines,2,3],

F5:subst(CLIS,F4);[lines,2,4]]);

Tmax:0.05;
dt:0.00001;

float(subst([CLIS],TW1));

Nd:fix(Tmax/dt);

float(subst([CLIS],TW2));

Ndd:Nd-1;

1/%;

V0:4;

plot2d([[discrete,listB],

sol:rk([rhs(RK11),rhs(RK21),rhs(RK31),[discrete,listF],[discrete,listP]],rhs(RK41)],[Y1,YD1,Y2,YD2],[0,V0,0,V0],[legend, "B","F","P"],[t,0,Tmax,dt]);[style,[lines,2,1],[lines,2,2],[lines,2,3]

1/%;

listY1:[[sol[1][1],sol[1][2]*10]];]);for J:2 thru Nd do(listY1:append(listY1,

write_data(listP,[[sol[J][1],sol[J][2]*10]]));
listY11:[[sol[1][1],sol[1][3]*10]];for J:2 thru Nd do(listY11:append(listY11,[[sol[J][1],sol[J][3]*10]]));
listY12:[[sol[1][1],float((sol[2][3]-sol[1][3])/dt)]];for J:2 thru Ndd do(listY12:append(listY12,[[sol[J][1],float((sol[J+1][3]"m:listP-V4-M01-A18-K4000000000.cvs");ρ = 102kgs2 /m4 , g = 9.8m/s, m1 = 0.1kgs/m, m2 =0.9kgs/m とし、バネ定数：k は剛体として k = 4 ×
109 kg/m の高い数値とした。楔の傾斜角：α = 10deg 、水面への突入初期速度：ddt y1 (t) = yD1 (t) = 4m/s, ddt y2 (t) =yD2 (t) = 4m/s の条件で上記の Runge-Kutta 法で求めた結果を下記に示す。

-sol[J-1][3])/2/dt)]]));
listY12:append(listY12, [[sol[Nd][1],float((sol[Nd][3]-sol[Nd-1][3])/dt)]]);
listY2:[[sol[1][1],sol[1][4]*10]];for J:2 thru Nd do(listY2:append(listY2,[[sol[J][1],sol[J][4]*10]]));
listB:[[sol[1][1],float(subst([Y1=sol[1][2]],float(rhs(B5))))]];
for J:2 thru Nd do(listB:append(listB,[[sol[J][1],float(subst([Y1=sol[J][2]],rhs(B5)))]]));
listF:[[sol[1][1],float(subst([Y1=sol[1][2],Y2=sol[1][4]],rhs(F5)))]];
for J:2 thru Nd do(listF:append(listF,[[sol[J][1],float(subst([Y1=sol[J][2],Y2=sol[J][4]],rhs(F5)))]]));
listP:[[sol[1][1],float(subst([Y1=sol[1][2],YD1=sol[1][3],YDD1=listY12[1][2]],図 9.7.4: 楔の運動

v = 4m/s, α = 10deg

rhs(P5)))]];
非常に短時間の衝撃加速度が観察される。

9.7. 着水衝撃

649したことにより、小さく、緩やかな衝撃加速度となっている。

図 9.7.5: 衝撃荷重v = 4m/s, α = 10deg

バネによる力：F 、浮力：B 、衝撃力：P から、非常に

図 9.7.7: 衝撃荷重v = 2m/s, α = 45deg

短時間の衝撃力：P が観察され、それとほぼ同じバネによる力：F が見られる。この衝撃が発生した時間では、
浮力：B は非常に小さく、衝撃問題への貢献はほとんど無い。

バネによる力：F 、浮力：B 、衝撃力：P から、衝撃
力：P 、バネによる力：F は緩やかな変化となり、浮力：

B は比較的に小さい。

楔の傾斜角：α = 45deg 、水面への突入初期速度： (1) 楔角度の影響ddd t y1 (t) = yD1 (t) = 2m/s, d t y2 (t) = yD2 (t) = 2m/sの条件で上記の Runge-Kutta 法で求めた結果を下記に/* Karman 二次元着水衝撃数値解示す。

Plot */

kill(all);list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A36-K4000000000.cvs");for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP1:[[list[1],list[2]]]else listP1:append(listP1, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));
list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A18-K4000000000.cvs");for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP2:[[list[1],list[2]]]else listP2:append(listP2, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));
list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A9-K4000000000.cvs");for J:1 thru 5000 do(
図 9.7.6: 楔の運動

v = 2m/s, α = 45deg

if J=1 then listP3:[[list[1],list[2]]]else listP3:append(listP3, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));

楔の傾斜角を小さく、水面への突入初期速度を遅く

第9章

650

表面波

(2) 突入速度の影響

list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A6-K4000000000.cvs");for J:1 thru 5000 do(

list:read_list("
M:\listP-V1-M01-A18-K4000000000.cvs");if J=1 then listP4:[[list[1],list[2]]]else listP4:append(listP4, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));

for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP1:[[list[1],list[2]]]list:read_list("else listP1:append(listP1, [[list[2*J-1],

M:\listP-V4-M01-A4-K4000000000.cvs");list[2*J]]]));

for J:1 thru 5000 do(

list:read_list("

if J=1 then listP5:[[list[1],list[2]]]M:\listP-V2-M01-A18-K4000000000.cvs");else listP5:append(listP5, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));

for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP2:[[list[1],list[2]]]plot2d([[discrete,listP1],[discrete,listP2],[discrete,listP3],[discrete,listP4]

else listP2:append(listP2, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));,[discrete,listP5]],[legend, "5deg","10deg","20deg","30deg","45deg"],[style,list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A18-K4000000000.cvs");[lines,2,1],[lines,2,2],[lines,2,3],

for J:1 thru 5000 do([lines,2.4],[lines,2,5]]);if J=1 then listP3:[[list[1],list[2]]]24

楔角度の影響について調べる。ρ = 102kgs /m , g =else listP3:append(listP3, [[list[2*J-1]

9.8m/s, m1 = 0.1kgs/m, m2 = 0.9kgs/m とし、バネ,list[2*J]]]));

定数：k は剛体として k = 4 × 10 kg/m の高い数値

list:read_list("とした。水面への突入初期速度： ddt y1 (t) = yD1 (t) =M:\listP-V8-M01-A18-K4000000000.cvs");

4m/s, ddt y2 (t) = yD2 (t) = 4m/s の条件で、楔の傾斜角

for J:1 thru 5000 do(

として、α = 5deg, 10deg, 20deg, 30deg, 45deg と変え

if J=1 then listP4:[[list[1],list[2]]]る。上記の Runge-Kutta 法で求めた結果を下記に示す。

else listP4:append(listP4, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));

9

plot2d([[discrete,listP1],[discrete,listP2],[discrete,listP3],[discrete,listP4]],[legend, "1m/s","2m/s","4m/s","8m/s"],[style,[lines,2,1],[lines,2,2],[lines,2,3],[lines,2.4]]);plot2d([[discrete,listP1],[discrete,listP2],[discrete,listP3],[discrete,listP4]],[logy],[legend, "1m/s","2m/s","4m/s","8m/s"],[style,[lines,2,1],[lines,2,2],[lines,2,3],[lines,2.4]]);
突入速度の影響について調べる。ρ = 102kgs2 /m4 , g =9.8m/s, m1 = 0.1kgs/m, m2 = 0.9kgs/m とし、バネ定
数：k は剛体として k = 4×109 kg/m の高い数値とした。
楔の傾斜角として、α = 10deg の条件で、水面への突入初期速度：ddt y1 (t) = ddt y2 (t) = 1m/s, 2m/s, 4m/s, 8m/sと変える。上記の Runge-Kutta 法で求めた結果を下記
図 9.7.8: 衝撃荷重

楔角度の影響上図の結果から、楔角度が小さくなると衝撃圧のピー
ク値は急激に上昇している。

に示す。

9.7. 着水衝撃

651
き、構造体はどのような応答をするかを認識しておく必要がある。
バネ定数：k の影響について調べる。ρ = 102kgs2 /m4 ,g = 9.8m/s, m1 = 0.1kgs/m, m2 = 0.9kgs/m、楔の傾
斜角：α = 10deg 、の条件で、水面への突入初期速度：ddd t y1 (t) = d t y2 (t) = 4m/s の条件で、バネ定数：k と
9
5
4kg/m

して、k = 4 × 10 kg/m, 4 × 10 kg/m, 4 × 10と変える。このとき (9.7.34) 式から固有周波数はそれぞれ
約 31, 830Hz, 318Hz, 100Hz となる。このときの上記の Runge-Kutta 法で求めた結果を下記に示す。ここで構造の振動問題では、接水振動での付加質量を用いるべきであるが、ここでは衝撃問題の付加質量を使用しており、正確ではない。

図 9.7.9: 衝撃荷重

突入速度の影響

上図の結果から、水面への突入初期速度が大きくなると衝撃圧のピーク値は急激に上昇している。

(3) 構造の剛性の影響

list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A18-K4000000000.cvs");for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP1:[[list[1],list[2]]]else listP1:append(listP1, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));
list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A18-K400000.cvs");

図 9.7.10: 衝撃荷重

構造の剛性の影響

for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP2:[[list[1],list[2]]]上記の結果は正確な解析ではないが、着水衝撃で、構else listP2:append(listP2, [[list[2*J-1],

造強度を検討する場合、この構造応答も重要な部分を占list[2*J]]]));

めていることがわかる。

list:read_list("
M:\listP-V4-M01-A18-K40000.cvs");for J:1 thru 5000 do(
if J=1 then listP3:[[list[1],list[2]]]else listP3:append(listP3, [[list[2*J-1],
list[2*J]]]));
plot2d([[discrete,listP1],[discrete,listP2],[discrete,listP3]],[legend, "Stiff","f=318Hz","f=100Hz"], [style,[lines,2,1],[lines,2,2],[lines,2,3]]);
衝撃力を直接受ける表面の構造と飛行艇や船舶などの大きな構造物とは一般的にバネで結合されている構造体と考えられる。このような構造体に衝撃力が作用したと

652

付 録A
A.1

数学公式

時間微分

まず、時間に関係しているベクトルの微分1 について、−→→
位置ベクトル：−r 、時間：t とすると、速度： V は、

−
→
d−
→
V =
r
dt
変数：α が時間と位置により変化するとすると、→
α = f (−
r , t)

または、

∑ ∫∫

→
P−
n dS =∫∫∫
div(P )dV

なり、Gauss の定理は、∫∫∫∫∫
P dydz =∂P dxdydz∂x

上記右辺は、x について部分積分すると、∫∂
P dx = P∂x(A.1.1)(A.1.2)であるから、下記となり、∫∫∫∫∫∂
P dxdydz =P dydz∂x

Gauss の定理が証明できた。
ベクトル表記すると、ガウスの定理2 は下記のようにも記述できる。
∫∫∫
∫∫
−
→
−
→−
∇ P dV =P→
n dS
V

1 Maxima を使った物理数学基礎演習ノート、4.3.5 ∇ を使った演

時間微分(A.2.2)向について記述すると、nx dS はその投影面積 dydz と

上式から、

算

(A.2.1)

上式でその一要素である xyz 座標の i = 1 の場合の x 方

d
∂
d−
∂
→
→
α= α+
r → f (−
r , t)
dt∂t
dt ∂ −r−→ ∂∂→= α+ V −f (−r , t)
∂t
∂→
r
−
→ ∂
∂
α
= α+ V −
∂t
∂→
r

→
→ −
→ −
→
d−
∂ −
A =
A + V ∇Adt∂t

下記の Gauss の定理を証明する。
∫∫
∫∫∫
→
P−
n dS =
grad(P )dVi

上式を時間：t で微分すると、

−
→
∂
d
α=
α + V ∇αdt∂t−→
いま、(A.1.1 ) 式で α → A と置くと、Gauss の定理

A.2

(A.2.3)S

2 Maxima を使った物理数学基礎演習ノート、4.4.2 ガウスの定理

A.3. Green の定理

A.3

653

Green の定理

(A.3.3) 式の左辺の被積分関数は下記のように展開できる。

下記の Green の定理を証明する。
∫∫∫()
Q ∇2 R + grad (Q) · grad (R) dV
)
∫∫ (
∂
=
Q
R dS
∂n
∫∫∫
(
)
Q ∇2 R − R ∇2 Q dV
)
∫∫ (
∂
∂
=
Q
R−R
Q dS
∂n
∂n

(

) (
)(
)
d
d
d2
R
+
Q
R
d z2
dz
dz
)(
)
( 2 ) (
d
d
d
+Q
R
+
Q
R
d y2
dy
dy
( 2 ) (
)(
)
d
d
d
+Q
R
+
Q
R
d x2
dx
dx

div (Q grad (R)) = Q(A.3.1)(A.3.2)
ここで、



dx Q


grad (Q) =  ddy Q
ddz Q

Gauss の定理で下記の置き換えを行う。
P = Qgrad (R)
上式を Gauss の定理：(A.2.1) 式に代入すると、
∫∫∫
∑ ∫∫
→
div (Qgrad (R)) dV =Q grad (R) −n dSi(A.3.3)/* Green の定理 */

 d

上記から、

grad (Q) · grad (R)
)(
) (
)(
)
(
d
d
d
d
Q
R +
Q
R
=
dz
dz
dy
dy
(
)(
)
d
d
+
Q
R
dx
dx

kill(all);load("vect")

以上から、

depends(Q,[x,y,z]);depends(R,[x,y,z]);div(Q*grad(R));
express(%);
DIVGRA1:’div(Q*’grad(R))=ev(%,diff);
QG1:grad(Q);express(%);
ev(%,diff);
QG2:transpose(%);
RG1:grad(R);express(%);
ev(%,diff);
RG2:transpose(%);’grad(Q).’grad(R)=QG2.RG2;

div (Q grad (R)) = Q ∇2 R + grad (Q) · grad (R)(A.3.3) 式の右辺の被積分関数で、∂→≡−n · grad∂n
上記の二式から下記が得られ、(A.3.1) 式が証明された。
∫∫∫()
Q ∇2 R + grad (Q) · grad (R) dV
)
∫∫ (
∂
=
Q
R dS
∂n
上式で Q → R, R → Q に置き換えると、∫∫∫()
R ∇2 Q + grad (R) · grad (Q) dV
)
∫∫ (
∂
=
R
Q dS
∂n
上記の二式から、(A.3.2) 式が証明された。
∫∫∫()
Q ∇2 R − R ∇2 Q dV
)
∫∫ (
∂
∂
R−R
Q dS
=
Q
∂n
∂n

付 録A

654

A.4

Transport Theorem

渦無し流れの運動エネルギー

A.5

下記の Transpor Theorem の定理を証明する。
∫∫∫
∫∫∫
d
∂
→
−
→
f (−
x , t)dVf ( x , t)dV =
dt
∂
t
V
∫ ∫V
(A.4.1)→+f (−x , t) Un dS
S

数学公式

領域における流体の総運動エネルギー：T は、速度ポッテンシャル：Φ とすると、
∫∫∫
∫∫∫
ρ
ρ 2
2
v dV =(grad (Φ)) dV
T =22(A.5.1)

Green の定理：(A.3.1) 式で Q → Φ, R → Φ に置き換え

下記の一般的な体積分：I(t) とする。
∫∫∫→
I(t) =f (−x , t)dV(A.4.2)V∆t 変化したときの上記の変化 ∆I は、∆I =I(t + ∆t) − I(t)
∫∫∫
∫∫∫
→
→
=
f (−
x , t + ∆t)dV −f (−x , t)dVV +∆V

ると下記が得られる。
∫∫∫()
Φ ∇2 Φ + grad (Φ) · grad (Φ) dV
)
∫∫ (
∂
=
Φ
Φ dS
∂n
ここで、渦無し流れでは質量保存の方程式：(2.9.2) 式、(32 ページ) から、

V→
ここで関数：f (−x , t) が ∆t 変化したとき、下記のよう
に書ける。

∂
→
→
→
f (−
x , t + ∆t) = f (−x , t) + ∆t
f (−x , t)∂t以上から、∆I は下記のように書ける。
∫∫∫
∫∫∫
→
→
∆I =
f (−
x , t + ∆t)dV −f (−x , t)dV
V +∆V
V
∫∫∫
∫∫∫
∂
→
→
=∆t
f (−
x , t) +f (−x , t)dV
V ∂t
∆V

d2
d2
d2
Φ
+
Φ
+
Φ=0
d z2
d y2
d x2
上式を代入すると、∫∫∫
2(grad (Φ)) dV
)
∫∫ (
∂
=
Φ
Φ dS
∂n
上式を (A.5.1) 式に代入すると、
)
∫∫ (
∫∫∫
ρ
∂
ρ 2
v dV =
Φ
Φ dS
T =
2
2
∂n

(A.5.2)二次元の場合、運動エネルギーは次式で得られる。
ところで、体積分の変化分：∆V は境界が Un ∆t で変化
し、面積：S であるから、下記のように書ける。

∆V = Un ∆tS
ここで ∆t が十分小さいと、体積分の変化分の幅は小さ→
く、この部分では境界：S の f (−x , t) と変わらないと考えられるから、∫∫∫∆I = ∆t∂→f (−x , t) +V ∂t∫∫

上記で証明できた。

ρ
2

∫∫ (

→
Un ∆t f (−x , t)dS

S(A.5.3)

ここで ddn Φ = − dds Ψ から、

T =以上から、∆t → 0 としたとき、
∫∫∫
∫∫∫
d
∂
−
→
→
f ( x , t)dV =f (−x , t)dV
dt
∂
t
V
∫ ∫V
→
+
f (−
x , t) Un dS
S

)2 (
)2
d
d
Φ +
Φ dxdy
dy
dx
I
ρ
d
=−
Φ
Φ dℓ
2
dn

T =

ρ
2

I
Φd Ψ

(A.5.4)A.6. Parseval の等式

655

Parseval の等式

A.6

F(k)=1/(2*%pi)*integrate(f(x)*%e^(-%i*k*x),x,-inf,inf);
subst([k=-k],%);

kill(all);/* Parseval の等式

FK1:rhs(%)*2*%pi=lhs(%)*2*%pi;*/f(x)=a[0]/2+sum(a[n]*cos(n*%pi*x/L)+b[n]f(x)=integrate(F(k)*%e^(%i*k*x),k,-inf,
inf);*sin(n*%pi*x/L),n,1,inf);
AN1:a[n]=1/L*integrate(f(x)*cos(n*%pi*x/L),

integrate(f(x)^2,x,-inf,inf)=integrate(
integrate(f(x)*F(k)*%e^(%i*k*x),x,-inf,

x,-L,L);inf),k,-inf,inf);

AN0:subst([n=0],%);
BN1:b[n]=1/L*integrate(f(x)*sin(n*%pi*x/L),

subst([FK1],%);
f(y)=’integrate(F[1]*cos(u*y)+F[2]*sin(u*y)

x,-L,L);,u,-inf,inf);

AN01:rhs(AN0)*L=lhs(AN0)*L;

subst([cos(u*y)=(%e^(%i*u*y)+%e^(-%i*u*y))AN11:rhs(AN1)*L=lhs(AN1)*L;/2,sin(u*y)=(%e^(%i*u*y)-%e^(-%i*u*y))/2]

BN11:rhs(BN1)*L=lhs(BN1)*L;
integrate(f(x)^2,x,-L,L)=integrate(f(x)*,%);
expand(%);

a[0]/2,x,-L,L)+sum(integrate(f(x)*a[n]assume(F[1]^2>0);*cos(n*%pi*x/L),x,-L,L)+integrate(f(x)

assume(F[2]^2>0);*b[n]*sin(n*%pi*x/L),x,-L,L),n,1,inf);’integrate(f(y)^2,y,-inf,inf)=2*%pi*

subst([AN01,AN11,BN11],%);’integrate((F[1]/2)^2*2+(F[2]/2)^2*2,u,
下記にフーリエ変換の式を示す。

f (x) =(∞∑

bn sinn=1(π n x)L+ an cos∫ L

minf,inf);(π n x))L

上式のフーリエ積分への拡張は、次式のフーリエ積分a0+2(π n x)

ここで、

1
F (k) =
2π

f (x) dx =
−L

∫ L
bn

n=1

∫ L

+ an
+

f (x) sin−Lf (x) cos

(π n x)L(π n x)L−L∫L
a0 −L f (x) dx

dx

dx

2

証明された。
2

f (x) dx =
−L

(∞
∑
n=1

)
b2n L + a2n L+∫ ∞e−i k x f (x) dx

−∞
∫ ∞

1
ei k x f (x) dx
2 π −∞(A.6.2) 式に f (x) を掛け、積分すると、
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
2
f (x) dx =F (k)ei k x f (x) dxdk
−∞
−∞
−∞
∫ ∞
=2 π
F (−k) F (k) dk−∞)

上式を整理すると、次式となり、 Parseval の等式が

∫ L

(A.6.2)F (−k) =上式に f (x) を掛け、積分すると、(∑∞F (k) ei k x dk−∞

(A.6.1)

2∫ ∞f (x) =

1
f (x) cos
ここで、 an =
dx
L −L
L
∫
1 L
a0 =
f (x) dx
L −L∫
(π n x)
1 Ldx
bn =f (x) sin
L −L
L

∫ L

の関係式から、

a20 L
2

以上の関係から、次の関係が得られる。
∫ ∞f (y) =
F2 sin (u y) + F1 cos (u y) du
−∞
(
)
∫ ∞
F1 ei u y + e−i u y
=
2
−∞
( iuy
)
F2 e
− e−i u y
+
du
2
∫ ∞
F2 ei u yF1 ei u y
=
+
2
2
−∞

F1 e−i u y
F2 e−i u y
+
du
2
2
)
∫ ∞
∫ ∞( 2F2
F2
2
f (y) dy = 2 π+ 1 du2
2−∞−∞(A.6.3)−(A.6.4)

付 録A

656

Riemann-Lebesgue の定理

A.7(A.7.4) 式と (A.7.5) 式の和は、∫ be−i n x f (x) dx +2F =/* Riemann-Lebesgue の定理 */

π
b− n
∫ a

∫ b− nπe−i n x f (x) dxa(π)
e−i n t f t +
dt
π
n
a− n
∫ b− nπ(π)−
e−i n t f t +dtnakill(all);−assume(n>0);
DF1:f(x)*%e^(-%i*n*x);
F1:F=’integrate(DF1,x,a,b);(A.7.6)

X1:x=t+%pi/n;
X11:expand(solve(%,t)[1]);DF2:subst([X1],DF1);

上式を整理すると、

F2:F=’integrate(DF2,t,a-%pi/n,b-%pi/n);

2F = −

F1+F2;∫ b n−πnea∫ bF11:F=’integrate(DF1,x,a,b-%pi/n)+−i n x( ())
nx + πf− f (x) dxn

e−i n x f (x) dx

b− π
∫ an

+’integrate(DF1,x,b-%pi/n,b);
F21:F=’integrate(DF2,t,a-%pi/n,a)−+’integrate(DF2,t,a,b-%pi/n);(π)
e−i n t f t +
dt
π
n
a− n
(A.7.7)

F11+F21;F12:first(rhs(F11));上式で n → ∞ とすると、上式右辺第一項は被積分関()
数：f n x+π
− f (x) → 0 となり積分結果は零となる。
nF13:last(rhs(F11));
F22:first(rhs(F21));上式右辺第二、三項は積分範囲が零となり積分結果は零F23:subst([t=x],last(rhs(F21)));となる。以上からフーリエ係数：F は F → 0 となる。

F13+F23;
integrate(%e^(-%i*n*x)*f(x)-%e^(-%i*n*x)*f(x+%pi/n),x,a,b-%pi/n);
F123:factor(%);
2*F=F12+F123+F22;
フーリエ係数を定義した下記の式で、n → ∞ とした
時、係数：F が零に収束することを証明する。
∫ b
F =e−i n x f (x) dx(A.7.1)a

上式を下記の変換を行うと、
πx=t+n(A.7.1) 式は下記となる。
∫ b− nπ(π)
F =−e−i n t f t +
dt
π
n
a− n

(A.7.2)(A.7.3)(A.7.1) 式と (A.7.3) 式の和は、∫ b∫ b− nπ(π)−i n xe−i n t f t +2F =e
f (x) dx −
dt
π
n
a
a− n
(A.7.1) 式の積分範囲を下記のように分割する。
∫ b− nπ∫ be−i n x f (x) dx +e−i n x f (x) dx
F =
π
b− n

数学公式

a

(A.7.4)
また、(A.7.3) 式の積分範囲を下記のように分割する。
∫ a
(
π)
dt
F =−
e−i n t f t +πna− n(A.7.5)∫ b− nπ(π)−i n t
−
e
f t+
dt
n
a

A.8. 非常に多くの正弦波を積分範囲内に有する積分法 (Kelvin の方法)

非常に多くの正弦波を積分範囲A.8内に有する積分法 (Kelvin の方法)/* ケルビン積分法 */657

f (k) を上式を使って、Taylot 展開し、
( 3
)
( 2
)
d
d
3
f
(d)
ξ
f
(d)
ξ2
3
2
dξ
dξ
f (k) =
+
2
( 6
)
d
+
f (d) ξ + f (d)dξ
次式が成り立つ d をとる。

kill(all);df (d) = 0dξassume(m>0);
DIF0:s(k)*%e^(%i*f(k));(A.8.4)

このとき、(A.8.3) 式は ξ の二次の項までとすると、
( 2
)
d
2
d ξ 2 f (d) ξf (k) =+ f (d)(A.8.5)2

SF0:’integrate(DIF0,k,minf,inf);
KF1:k=d+\xi;
F0:f(k);subst([KF1],F0);

上式を (A.8.1) 式に代入すると、s (k) → s (d) となり、

F0=taylor(%,\xi,0,3);
F1:f(k)=f(d)+’diff(f(d),\xi,1)*xi+ ’diff( f(d),\xi,2)*xi^2/2

i f(d)

u=e

∫ ∞
s (d)

(
i

e

)
d2 f(d) ξ2d ξ22

上式の無限積分は Maxima で得られ、次式となり、

F11:’diff(f(d),xi,1)=0;∫ ∞subst([F11],F1);
F2:lhs(%)=rhs(%)-first(rhs(%));

ei m2 ξ 2−∞

DIF1:s(d)*%e^(%i*first(rhs(F2)))

√

iπ

πe 4
dξ = −
m

上式を代入し、(A.8.1) 式は、*%e^(%i*last(rhs(F2)));SF0=s(d)*%e^(%i*last(rhs(F2)))*integrate(%e^(%i*first(rhs(F2))),\xi,minf,inf);
SF1:%;
SFB1:’integrate(%e^(%i*m^2*\xi^2),\xi,minf,inf);
SFB11:SFB1=ev(%,integrate);%e^(%i*%pi/4);√ √ i (f(d)+ 1 π)
4
2 πe
s (d)
√
u=
e
s (k) dk =−∞d2
d ξ 2 f (d))√ √ ( i2 π √2 + √12 ei f(d) s (d)√=d2d ξ 2 f (d)∫ ∞i f(k)(A.8.6)

SF2:SF0=%e^(’%i*(f(d)+%pi/4))*s(d)*sqrt(%pi) /sqrt(abs(’diff(f(d),xi,2))/2);
DXT1:\delta=’diff(f(d),k,3)/(A.8.3) 式の展開式を (A.8.5) 式で近似するので、次式が小さいという条件となる。

sqrt(abs(’diff(f(d),k,2))^3);
いま、次式のような積分式を考える。s (k) は緩やかに変化する関数で、ei f(k) は三角関数で積分範囲内で非常に多くの周期を有している。このような積分の近似的法がケルビンにより下記のように示されている1 。
∫ ∞u=ei f(k) s (k) dk(A.8.1)−∞

変数：k を次式と置き換える。ここで ξ は小さい値とする。

(A.8.2)

1 Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition 11) , P.395

241.

dξ

−∞

+’diff(f(d),\xi,3)*xi^3/6;

k =ξ+d(A.8.3)δ=d3
d k3 f (d)32d2
d k2 f (d)(A.8.7)

付 録A

658

A.9

数学公式

A.9.1

Hunkel 関数

Hunkel 関数の積分表示 (Heine の
積分表示)

A.9.4

Hunkel 関数の定義は、森口 繁一他：岩波数学公式
3 特殊函数、岩波書店 2002 34) , P.145 から、

森口 繁一他：岩波数学公式 3

2002

34)

特殊函数、岩波書店, P.183 から、第一種 Hunkel 関数

第一種 Hunkel 関数

hankel 1 (v, z)hankel 1 (v, r) = i bessel y (v, r) + bessel j (v, r)=−(A.9.1)
第二種 Hunkel 関数

2 i −iπv
e 2
π

∫ ∞

|ℜv| < 1,

ei z cosh(t) cosh (t v) dt

0±ℑz > 0(A.9.9)hankel 2 (v, r) = bessel j (v, r) − i bessel y (v, r)(A.9.2)

第二種 Hunkel 関数

hankel 2 (v, z)

Hunkel の漸近級数初項

A.9.2

2 i iπve 2
π=Bessel 関数は、r が大きいとき (|r| → ∞)、Hunkel の

e−i z cosh(t) cosh (t v) dt (A.9.10)

0±ℑz > 02002 34) , P.154 から、

特殊函数、岩波書店

第一種 Bessel 関数

Lipschitz の積分公式

A.9.5

bessel j (v, r)√()
π (2 v + 1)
2
cos r −=
πr4

森口 繁一他：岩波数学公式 3(A.9.3)2002√

複素表記では、√
bessel j (0, z) =∫ ∞|ℜv| < 1,

漸近級数初項で近似できる。森口 繁一他：岩波数学公
式3

数学公式

34)

, P.198 から、

1
a2 + b2∫ ∞=2 iz −1e i 2πz特殊函数、岩波書店(A.9.4)bessel j (0, b x) e−a x dx

ℜ (a ± i b) > 00(A.9.11)

第二種 Bessel 関数√
bessel y (v, r) = −

(
2 sin

π (2 v+1)
−r
4

)

√ √
π r

A.9.6
(A.9.5)√hankel 1 (v, r) =π (2 v+1)

2 er− 4√ √π r

(A.9.6)

第二種 Hunkel 関数√

π (2 v+1)

2 e 4 −r√ √π r

森口 繁一他：岩波数学公式 3(A.9.7)特殊函数、岩波書店(A.9.8)a>0(A.9.12)aの積分表示
a2 +b2

森口 繁一他：岩波数学公式 1
岩波書店

34)

, P.178 から、( √)bessel j 0, a2 − b2∫
1 π b cos(θ)
ecos (a sin (θ)) dθ
=
π 0

2002

微分積分・平面曲線、

2003 32) , P.231 から、∫ ∞b=e−a x sin (b x) dx
a2 + b20

A.9.7

第一種 Bessel 関数の積分表示

A.9.3

森口 繁一他：岩波数学公式 1
岩波書店

第一種 Hunkel 関数

hankel 2 (v, r) =bの積分表示
a2 +b2

微分積分・平面曲線、

32)

2003 , P.231 から、∫ ∞a=e−a x cos (b x) dx a > 0
a2 + b2
0(A.9.13)

659

付 録B
B.1

座標変換

円柱座標系への変換

円柱座標系の質量保存の方程式や運動方程式等を求める。xyz 座標系の流速を u, v, w、円柱座標系の流速をvr , vθ , vz とする。下記に円柱座標系を示す。

LXYR2:trigrat(%)[1];
TR:matrix([cos(\theta),sin(\theta),0],[-sin(\theta),cos(\theta),0],[0,0,1]);TR1:transpose(TR);xyz 座標と円柱座標の関係とその関係式は、
x = r cos (θ) ,y = r sin (θ)

ddsin (θ)r = cos (θ) ,
θ=−
,
dx
dx
r
d
d
cos (θ)r = sin (θ) ,
θ=
dy
dy
r

(B.1.1)xyz 座標から円柱座標に変換する変換マトリックス：
T R は、
cos (θ)sin (θ)
T R = −sin (θ)
00cos (θ)


0

0

1

(B.1.2)

ERTZ:matrix([e[r]],[e[\theta]],[e[z]]);
図 B.1.1: 円柱座標系

EXYZ:matrix([e[x]],[e[y]],[e[z]]);ERTZ1:TR.EXYZ;VXYZ:matrix([u],[v],[w]);kill(all);

VRTZ:matrix([a],[b],[c]);load("vect")depends(u,[t,x,y,z]);depends(r,[t,x,y]);depends(v,[t,x,y,z]);depends(\theta,[t,x,y]);depends(w,[t,x,y,z]);depends([z],[t]);depends(a,[t,r,\theta,z]);

XR:x=r*cos(\theta);

depends(b,[t,r,\theta,z]);

YR:y=r*sin(\theta);

depends(c,[t,r,\theta,z]);

LXR1:diff(XR,x,1);

VXYZ1:VXYZ=TR1.VRTZ;

LYR1:diff(YR,x,1);

VRTZ1:VRTZ=TR.VXYZ;

solve([LXR1,LYR1],[’diff(r,x,1),

VA1:lhs(VXYZ1)[1][1]=rhs(VXYZ1)[1][1];’diff(\theta,x,1)]);VB1:lhs(VXYZ1)[2][1]=rhs(VXYZ1)[2][1];LXYR1:trigrat(%)[1];VC1:lhs(VXYZ1)[3][1]=rhs(VXYZ1)[3][1];

LXR2:diff(XR,y,1);→→→xyz 座標の単位ベクトル：−
ex , −
ey , −
ez と円柱座標の単
−
→
−
→
−
→
位ベクトル： e , e , e の関係は、

LYR2:diff(YR,y,1);solve([LXR2,LYR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1)]);

r

θ

z

  
er
cos (θ)  eθ  = −sin (θ)
0
ez

 
ex
 
cos (θ) 0 ey 01ezsin (θ)0(B.1.3)

付 録B

660
−
→
−
→
V の xyz 座標表記、 V の円柱座標表記は、    uavr−
→    −→  V =  b  =  vθ 
V = v 
w

c

B.1.2

座標変換

divergence/* divergence */div(transpose(VXYZ)[1]);vz

express(%);
ここで、サフィックス付きの vr , vθ , vz では、微分展開が

DIVXYZ:ev(%,diff);

Maxima でうまくいかないため、一時的に a, b, c の表記−→を使用し、t, r, θ, z の関数とする。 V の xyz 座標表記とsubst([VA1,VB1,VC1],%);

円柱座標表記の関係は、
 


a
sin (θ) v + cos (θ) u
−
→ 
 

 b  = T R. V = cos (θ) v − sin (θ) u

subst(LXYR1,%);

c

B.1.1

subst(LXYR2,%);(B.1.4)DIVXRT11:expand(trigsimp(%));
DIVXRT2:subst([a=v[r],b=v[\theta],c=v[z]]

w



 
a cos (θ) − b sin (θ)
u
→ 

 
T −
 v  = T R . V = a sin (θ) + b cos (θ)wcev(%,diff);,%);(B.1.5)

MS1:DIVXYZ=0;
divergence は xyz 座標表記で下記にように表現できる。
−
→
d
d
d
w+
v+
u
div( V ) =
dz
dy
dx

(B.1.8)上式に (B.1.5) 式の関係を代入し、a, b, c が r, θ, z の関gradient

数として微分を実行すると下記のように展開でき、−→div( V )/* gradient */depends(A,[r,\theta,z]);d(a cos (θ) − b sin (θ))
dxdd+(a sin (θ) + b cos (θ)) +
c
dy
dz
)(
) (
)(
))
((
d
d
d
d
b
θ +
b
r
=cos (θ)
dθ
dy
dr
dy
((
)(
) (
)(
))
d
d
d
d
+ sin (θ)
a
θ +
a
r
dθ
dy
dr
dy
(
)
(
)
d
d
− b sin (θ)θ + a cos (θ)
θ
dy
dy
((
)(
) (
)(
))
d
d
d
d
− sin (θ)
b
θ +
b
r
dθ
dx
dr
dx
((
)(
) (
)(
))
d
d
d
d
+ cos (θ)
a
θ +
a
r
dθ
dx
dr
dx
(
)
(
)
d
d
d
− a sin (θ)θ − b cos (θ)
θ +
c
dx
dx
dz
=

grad(A);transpose(express(%));
ev(%,diff);
subst(LXYR1,%);
subst(LXYR2,%);GRADA:trigsimp(TR.%);
gradient は xyz 座標表記で下記にように表現できる。
 d 
dx A
 d 
grad(A) =  d y A
(B.1.6)ddz A

A が r, θ, z の関数として上式の微分を実行すると下記のように展開できる。Maxima では、depends 関数を使用すると容易に展開できる。
() ( d ) ( d ) ( d )
d
θ
A +
r
A
( ddx ) ( ddθ ) (ddx ) (d dr )

grad(A) =  d y θdθ A + dy r
dr A ddz A
上式に (B.1.1) 式の関係を代入し、座標変換マトリック
スを掛けることにより、円柱座標系へ変換する。結果を整理して下記を得る。

d

dr A

d
dz A

に置き換えると、円柱座標系の結果が得られる。
d
vθ
−
→
d
d
vr
div( V ) =vz + d θ
+
vr +
dz
r
dr
r

(B.1.7)(B.1.9)円柱座標系の非圧縮流体の質量保存の方程式は、
d
vθ
d
vr
d
vz + d θ
+
vr +
=0
dz
r
dr
r



 d 
grad(A) =  d θr A 

上式に (B.1.1) 式の関係を代入整理し、a, b, c → vr , vθ , vz

(B.1.10)

B.1. 円柱座標系への変換

B.1.3

661

∇2

(B.1.1) 式や下記の関係式を代入し、
2d2
sin (θ)d2
2 cos (θ) sin (θ)
r=
,
θ=
2
2
dx
r
dx
r2
(B.1.12)222dcos (θ) d
2 cos (θ) sin (θ)
r=, 2θ=−
d y2
r
dy
r2

NABA:’diff(A,x,2)+’diff(A,y,2)+’diff(A,z,2);
LXDDR1:diff(XR,x,2);
LXDDR2:subst(LXYR1,%);

整理すると、下記の円柱座標系の結果が得られる。

LYDDR1:diff(YR,x,2);2∇2 A =LYDDR2:subst(LXYR1,%);
LXYR11:solve([LXDDR2,LYDDR2],[’diff(r,x,2), ’diff(\theta,x,2)])[1];B.1.4

LXDDR11:diff(XR,y,2);

d
d
d2
d2
d θ2 A
dr A
A
+
+
A
+
d z2
r2
d r2
r

(B.1.13)rotationLXDDR21:subst(LXYR2,%);LYDDR11:diff(YR,y,2);/* rotation */LYDDR21:subst(LXYR2,%);curl(transpose(VXYZ)[1]);LXYR21:solve([LXDDR21,LYDDR21],

express(%);[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2)])[1];VXYZCURL:transpose(%);

ev(NABA,diff);

subst([VA1,VB1,VC1],%);

subst(LXYR11,%);ev(%,diff);

subst(LXYR21,%);

subst(LXYR1,%);

subst(LXYR1,%);

subst(LXYR2,%);

subst(LXYR2,%);VXRTCURL0:trigrat(expand(TR.%));NABRA2:expand(trigsimp(%));∇2 は、xyz 座標表記で下記にように表現できる。

VXRTCURL:subst([a=v[r],b=v[\theta],∇2 A =

d2
d2
d2
A
+
A
+
A
d z2
d y2
d x2

c=v[z]],%);
rotation は xyz 座標表記で下記にように表現できる。

(B.1.11) d
ddy w − dz v
)
(−
→


curl V = curl ([u, v, w]) =  ddz u − ddx w

A が r, θ, z の関数として上式の微分を実行すると、

dddx v − dy u

∇2 A

(
) ((
)( 2 )d2ddd= 2 A+
θ
θ
A
dz
dy
dy
d θ2
)( 2
))
(
d
d
r
A
+
dy
drdθ
(
) ((
)( 2 )
d
d
d
+
θ
θ
A
dx
dx
d θ2
(
)( 2
))
d
d
+
r
A
dx
drdθ
( 2 )() ( 2 )(
)
d
d
d
d
+
θ
A
+
θ
A
d y2
dθ
d x2
dθ
(
) ((
)( 2 )
d
d
d
+
r
r
A
dy
dy
d r2
)( 2
))
(
d
d
θ
A
+
dy
drdθ
(
) ((
)( 2 )
d
d
d
+
r
r
A
dx
dx
d r2
(
)( 2
))
d
d
+
θ
A
dx
drdθ
( 2 )() ( 2 )(
)
d
d
d
d
+
r
A
+
r
A
d y2
dr
d x2
dr

(B.1.14)
上記右辺項に、(B.1.5) 式の関係を代入し、





d
d
d y c − d z (a sin (θ) + b cos (θ))


d
d


d z (a cos (θ) − b sin (θ)) − d x cddd x (a sin (θ) + b cos (θ)) − d y (a cos (θ) − b sin (θ))

上式の a, b, c が r, θ, z の関数として微分を実行し、(B.1.1 ) 式を代入し、座標変換マトリックス：T R を掛け、a, b, c → vr , vθ , vz に置き換えることにより、円柱座標系へ変換する。結果を整理して下記を得る。
r ( ddz vθ )− ddθ vz−(−r→)  ddcurl V = (B.1.15)
v
−
v
r
z
 dz

dr
d
d
r ( d r vθ )+vθ − d θ vr
r

付 録B

662

B.1.5

Navier-Stokes の式

Navier-Stokes の式をベクトル表記すると、(2.6.4) 式
から、
(
)
→
−
→
−
→
−
→
d −
ρ
V + ( V · grad) V = F − grad(p) + µ∇2 V
dt(B.1.16)上式を基に、加速度項、粘性項などに分けて円柱座標系の Navier-Stokes の式を求める。

(1) 加速度項 ベクトルの式による

円柱座標系の時間変化は、

er = sin (θ) ey +cos (θ) ex ,VRTZ2:subst([a=diff(r,t,1),b=r*diff(\theta,t,1),c=diff(z,t,1)],VRTZ);
VRTZDT:’diff(VRTZ,t,1)*ERTZ+VRTZ*’diff(ERTZ,t,1);
ER:ERTZ[1][1]=ERTZ1[1][1];
ET:ERTZ[2][1]=ERTZ1[2][1];
EZ:ERTZ[3][1]=ERTZ1[3][1];EIJK:trigsimp(solve([ER,ET,EZ],[e[x],e[y],e[z]]))[1];
DER:’diff(e[r],t,1)=diff(rhs(ER),t,1);
DET:’diff(e[\theta],t,1)=diff(rhs(ET),t,1);
DEZ:’diff(e[z1],t,1)=diff(rhs(EZ),t,1);eθ = cos (θ) ey −sin (θ) ex ,→→→から、これらを微分し、xyz 座標の単位ベクトル：−
ex , −
ey , −
ez
−
→
−
→
−
→
を円柱座標の単位ベクトル： e , e , e に置き換えて整rθz

理すると下記となる。
(
)
(
)
d
d
d
d
er = eθθ ,eθ = −er
θ
dt
dt
dt
dt
   dadt r
   ( d ) b  = r d t θ c/* differential of V with respect to t */

座標変換

d
dt z

→
→
→
から、上式に掛け、極座標の単位ベクトル：−
er , −eθ , −
ez で整理すると、    

(
)2 
er
a
−r ddt θ d     ( d ) ( d )eθ   b  =  d t r d t θ 

dt
c
ez
0
速度の時間微分は、下記となる。

 
 d
a
r
d
t
d   d  ( d )b =r d t θ 
dt
dt
d
c
dt z


d2
2 r
d
t
 ( d 2 ) ( d ) ( d )=
r d t2 θ + d t r d t θ 2
dd t2 z

DER1:trigsimp(subst(EIJK,DER));
DET1:trigsimp(subst(EIJK,DET));

RT1:’diff(r,t,1)=v[r];DEZ1:trigsimp(subst(EIJK,DEZ));

RT2:r*’diff(\theta,t,1)=v[\theta];

DE1:expand(rhs(DER1)*VRTZ2[1][1]RT21:’diff(\theta,t,1)=v[\theta]/r;+rhs(DET1)*VRTZ2[2][1]+rhs(DEZ1)

RT3:’diff(r,t,2)=’diff(v[r],t,1);*VRTZ2[3][1]);VERTDT:matrix([coeff(DE1,e[r],1)],RT4:r*’diff(\theta,t,2)+’diff(r,t,1)[coeff(DE1,e[\theta],1)],

RT41:solve(RT4,’diff(\theta,t,2))[1];[coeff(DE1,e[z1],1)]);

subst([RT41,’diff(z,t,2)=’diff(v[z],t,1)]’diff(VRTZ2,t,1);,ERTDT5);

express(%);

subst([RT1,RT21,RT3,a=v[r],b=v[\theta],

ERTDT3:ev(%,diff);

c=v[z]],%);ERTDT5:VRTZDT=ERTDT3+(VERTDT);
下記の加速度項の内、*’diff(\theta,t,1)=’diff(v[\theta],t,1);

VRTDT:rhs(%);
d
d
d
vθ
d2
r=
r = vr ,
θ= ,
vr
2
dt
dt
r
dt
dt
→
−
→
−
→
d −
(
)
(
)
d
d
d
V + ( V · grad) Vd2
dt
d t vθ − d t r
dt θ
θ
=
d t2
r
→
d −
V
を求める。加速度を求める場合、
xyz
座標系では、
上記の関係を代入し、下記を得る。
dt       
時間変化がないので、速度の時間微分が加速度となる。
er
a
er
a
→  d      d    d −しかし、円柱座標系では時間変化があるので、下記のよV = b  eθ  + 
eθ   b dt
dt
dt
うに速度の微分項と座標系の微分項、両方について調査
c
ez
c
ez
する必要がある。
2 vθ
dd t vr − r       


er
a
a
er
=  ddt vθ + vrrvθ →  d      d    
d −
d
V =
 b  eθ  +  eθ    b 
d t vz
dt
dt
dt
ez
c
c
ez
(B.1.17)

B.1. 円柱座標系への変換

663
速度項を得る。

→
d −
V =
dt
 (
)
(d ) 
( ddθ vr ) vθ
vθ2
d
d
v
v
−
+
+
v
+
v
r
z
r
r
r
r
dt
d r vr( d z ) d v v + vθ ( ddθ vθ ) + d v + v ( d v ) + vr vθ r dr θ
 dz θ zrdt θr ) vθ ( ddθ vz )()(+ ddt vz + vr ddr vz
vz ddz vz +r/* (V grad)V term */VVRTX:matrix([v[r]],[v[\theta]],[v[z]]);VGRADV1:VVRTX.subst([A=v[r]],GRADA);VGRADV2:VVRTX.subst([A=v[\theta]],GRADA);VGRADV3:VVRTX.subst([A=v[z]],GRADA);VGRADV:matrix([VGRADV1],[VGRADV2],(B.1.19)[VGRADV3]);−→−→
加速度項の内、( V · grad) V の項について、grad(vr ) は(B.1.7) 式から下記となり、
d

当然であるが、上式は (B.1.17) 式と (B.1.18) 式の和と一致している。

(3) 外力項他

d r vr ddθ vr grad(vr ) =  r dd z vr/* force term */FXRT:matrix([F[r]],[F[\theta]],[F[z]]);−→vθ , vz についても同様に行い、 V を掛けると、
(



)
(
)
( ddθ vr ) vθd+ vr ddr vr
d z vr vz +r−→−→ ( d )()vθ ( ddθ vθ )( V ·grad) V = + vr ddr vθ  d z vθ vz +r) vθ ( ddθ vz )(d )(d+ vr d r vz
vz d z vz +r

PGRAD:-subst([A=p],GRADA);−→−→
物質力項： F 、圧力項： P = −grad(p) は下記となる。
 d 
 
− p
Fr
−
→  dddrθ p −→  
P = − r (B.1.20)F =  Fθ  ,Fz(B.1.18)(2) 加速度項 物質微分による− ddz p(4) 変形速度テンソル/* 変形速度テンソル *//* differential of V with respect to*/DD1:matrix(express(grad(u)),express(diff(rhs(VXYZ1),t,1);

grad(v)),express(grad(w)));

TR.%;

DD:DD1+transpose(DD1);

subst([diff(r,t,1)=a,diff(\theta,t,1)=b/r,

subst([VA1,VB1,VC1],DD);diff(z,t,1)=c],%);

ev(%,diff);

expand(trigsimp(%));

subst(LXYR1,%);

VRTDT1:subst([a=v[r],b=v[\theta],c=v[z]],subst(LXYR2,%);%);%.TR1;VRTDT+VGRADV-VRTDT1;−→
V の xyz 座標表記と円柱座標表記の関係は、(B.1.5) 式

TR.%;

から、

DD11:subst([a=v[r],b=v[\theta],c=v[z]],%);  a cos (θ) − b sin (θ)
u−→   V =  v  = a sin (θ) + b cos (θ)cw

expand(trigsimp(%));
DD12:matrix([e[rr],e[rt],e[rz]],[e[rt],e[tt],e[tz]],[e[rz],e[tz],e[zz]]);DD13:matrix([\sigma[r],\tau[rt],\tau[rz]],[\tau[rt],\sigma[t],\tau[tz]],

上式右辺の a, b, c が t, r, θ, z の関数として時間：t の微[\tau[rz],\tau[tz],\sigma[z]]);分を実行し、座標変換マトリックスを掛け、(B.1.1 ) 式
および ddt r = vr , ddt θ = vθ /r, ddt z = vz を代入する

SG111:lhs(DD12)[1][1]=DD11[1][1];SG121:lhs(DD12)[1][2]=DD11[1][2];ことにより、円柱座標系へ変換する。結果を整理して、SG131:lhs(DD12)[1][3]=DD11[1][3];a, b, c → vr , vθ , vz に置き換えると、物質微分による加SG221:lhs(DD12)[2][2]=DD11[2][2];SG231:lhs(DD12)[2][3]=DD11[2][3];SG331:lhs(DD12)[3][3]=DD11[3][3];DD13=\mu*DD12;
DD13=\mu*DD11;

付 録B

664
x − y − z 座標系の変形速度テンソルは (2.6.2) 式から、
)
(

 
2 ddx uexx exy exz

  d
d
exy eyy eyz  = 
 dx v + dy uddexz eyz ezz
dx w + dz u

d
+ d u
dx v
( d y)
2 ddy vdddy w + dz v

座標変換



d
d
dx w + dz uddd y w + d z v(d )2 dz w

上記右辺項に、(B.1.5) 式の関係を代入し、a, b, c が r, θ, z の関数として微分を実行し、(B.1.1 ) 式を代入する。ここでテンソル：C の座標変換は、座標変換マトリックス：T R を使用して、「C.4.3 テンソルの座標変換 (694 頁)」に示されている C ′ = T R.C.T RT を活用し、x − y − z 座標系の変形速度テンソルを円柱座標系へ変換する。結果を整理して下記を得る。



)
dr a

(d

d

a

− rb + d θr + ddr bd2 ( ddθ b)
− b + d θ a + d b
+ 2ra
 r
r
dr
r
2

d
d
dr c + dz a

d
dθ c

r

+ ddz bdddr c + dz a

d
d 
dθ c
r + d z b()
2 ddz c以上から、円柱座標系の変形速度テンソルは a, b, c → vr , vθ , vz に置き換えると、

d
)
(

 
vθ
d
d
d
d θ vr2 ddr vrerr erθ erz
d r vθ − r +rd r v z + d z vr

d
d

 d
2 ( ddθ vθ )

vθ
2 vr
d
d θ vrd θ vzerθ eθθ eθz  = 
+
+
v
θ

 d r vθ − r + r
r
r
r
dz
d
(
)
v
d
d
d
d
dθ z
erz eθz ezz+ d z vθ2 d z vzd r v z + d z vr
r
(
)
d
vr
d
vθ
d
d
d
err = 2
vr , erθ =vθ −+ d θ , erz =
vz +
vr
dr
dr
r
r
dr
dz
(d )
(
)
d
2 d θ vθ
vz
d
2 vr
d
+
, eθz = d θ+vθ , ezz = 2
vz
eθθ =
r
r
r
dz
dz
円柱座標系の応力テンソルは、σr τrθ τrz
err



τrθ σθ τθz  =µ erθ

τrz

τθz

σz



erz

erθ
eθθ

erz

(B.1.21)




eθz 

eθz ezz)(
2 µ ddr vr

 (
)

d
vθ
d
d θ vr
=
µ
v
−
+
θ
dr
r
r


(d
)
d
µ d r vz + d z v r

(
µ

d
v
d
vθ − vrθ + d θr r
d
r
(
)

µ
µ

2(

d
d θ vθ

( dr)+ 2 rvr)dd θ vz
+
v
θ
r
dz

)

)
( d
)

d
d θ vzµ+ d z vθ 
r


(d
)
2 µ d z vzµ

(ddd r vz + d z vr

(B.1.22)

B.1. 円柱座標系への変換

665
上記の二つの式から、(5) 粘性項 ベクトルの式/* vector difinition of nabla^2 */NAB:matrix([’diff(e[x],x,1)],[’diff(e[y],y,1)],[’diff(e[z],z,1)]);−→−→
grad(div( V )) − curl(curl( V ))
 d2

d2
d2
d z 2 u + d y 2 u + d x2 u
2
2
 2

=  ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v d2
d2
d2
d z 2 w + d y 2 w + d x2 w−→
= ∇2 V

NAB1:NAB*VXYZ;
subst([u=1,v=1,w=1],%);
subst([e[x]=u,e[y]=v,e[z]=w],%);
col(adjoint(transpose(addcol(NAB,VXYZ,

で証明できた。
/* viscous term */matrix([1],[1],[1])))),3);

subst([A=DIVXRT11],GRADA);

subst([u=1,v=1,w=1],%);NABRARTX1:ev(%,diff);

subst([e[x]=u,e[y]=v,e[z]=w],%);CURL1:v[1]=row(VXRTCURL0,1)[1][1];div(transpose(VXYZ)[1]);CURL2:v[2]=row(VXRTCURL0,2)[1][1];express(%);

CURL3:v[3]=row(VXRTCURL0,3)[1][1];ev(%,diff);

VXRTCURL1:subst([a=v[1],b=v[2],c=v[3]],grad(%);VXRTCURL0);

express(%);

subst([CURL1,CURL2,CURL3],VXRTCURL1);

ev(%,diff);

NABRARTX2:expand(ev(%,diff));

NABRAXYZ1:transpose(%);
curl(transpose(VXYZ)[1]);expand(NABRARTX1-NABRARTX2);NABRARTX:subst([a=v[r],b=v[\theta],

express(%);

c=v[z]],%);−→
円柱座標系について、まず、粘性項の grad(div( V )) にev(%,diff);ついて、(B.1.9) 式から div の式が得られているので、
)
(
d
−
→
a
d
d
dθ b
+ +
c+
a =A
div( V ) =
r
r
dz
dr

curl(%);
express(%);
ev(%,diff);
NABRAXYZ2:transpose(%);
NABRAXYZ:NABRAXYZ1-NABRAXYZ2;−→
粘性項は ∇2 V で表せる。下記の関係式を証明する。
−
→
−
→
−
→
∇2 V = grad(div( V )) − curl(curl( V ))(B.1.23)
)
(
−
→
d
d
d
w+
v+
u
grad(div( V )) = grad
dz
dy
dx
 d2

d2
d2
d x d z w + d x d y v + d x2 u
2
2
 2

=  d yd d z w + ddy2 v + d xd d y ud2
d2
d2
d z2 w + d y d z v + d x d z u−→curl(curl( V ))
)
(
d
d
d
d
d
d
w−
v,
u−
w,
v−
u]
= curl [
dy
dz dz
dx
dx
dy
 d2

d2
d2
d2
d x d z w + d x d y v − d z2 u − d y2 u
2
2
2
2


=  d yd d z w − ddz2 v − ddx2 v + d xd d y u 
2

2

2

2

− ddy2 w − ddx2 w + d yd d z v + d xd d z u

これを grad の式：(B.1.7) 式に代入し、

d



dr A
 d 
grad(A) =  d θr A ddz A

微分を実行すると下記となる。

付 録B

666



d
dr


−
→
grad(div( V )) = 



( d

)

dθ b

a
d
d
r + r + dz c + dr a
( d
)
b
d
d θ + a + d c+ d a
dθ
r
r
dz
dr



 
 
=
 
r
( d
) 
d
a
d
d
dθ b
dz
r + r + dz c + dr ad2
drdθ b

r

座標変換


d
d
2
2
a
b
+ d rr − drθ2 − ra2 + d rd d z c + ddr2 a
d2 b

d a
2
2
d θ2 + d θ
 (B.1.24)+ d θd d z c+ d rd d θ a
r
r

r

d2
d
2
2
b
a
d
d
dθdz
dz
+
+
c
+
a
r
r
d z2
drdz

−
→
−
→
curl(curl( V )) について、(B.1.15) 式の curl( V ) の各項を下記のように v1 , v2 , v3 と対応させ、
(d )
(d )
b r − ddθ cb r + b − ddθ a
d
d
,
v2 =
a−
c,
v3 = d r
v1 = − d z
r
dz
dr
r
上記の関係を代入して、展開すると下記となる。


−→curl(curl( V )) = 








( d b) r+b− d a( d ( d a− d c)) r− d d r r d θ−( d z d z d r ) r d θ( d b) r− d c( d b) r+b− ddθ ad− dz r dθ− ddr d r
dz
r





 

d
d



=

d z v1 − d r v3 
(
)
d
d


d
d
( d r v2 ) r− d θ v1 +v2
 − d − ( d z b) r− d θ c +( d ( d a− d c)) r− d c+ d a ( d v2 ) r− d v3
− dz r dθ

r



d2

dθ

b

d

b

d2
a
d θ2
r2

r

2

dr

dz

r



2

dr

dr

dz

(B.1.25)drdθ
+ drθ2 −+ d rd d z c − ddz2 a
r

 2
2
d
d
d

 d
=  d θ d z c − d r b + d r d θ a + b2 − d θ2 a − d22 b − d22 b
r
r
r
r
dz
dr

 r
d2
d
d2
d
2
2
c
c
b
a
− d rr + d θ rd z + d zr − d rθ22 − ddr2 c + d rd d z a(B.1.24) 式、(B.1.25) 式から a, b, c → vr , vθ , vz に置き換えると、粘性項は、


d2
d
v
2 ( ddθ vθ )vrd2
d2
d θ2 rd r vr
−
+
v
+
+
v
+
−
2
2
2
2
2
r
r
r
dz
r
dr
r
r 

−
→
−
→
−
→
d2
d
d


∇2 V = grad(div( V )) − curl(curl( V )) =  d22 vθ + d θ22 vθ + d22 vθ + d r vθ − vθ2 + 2 ( d θ2 vr ) 
r
dr
r
r
r
 dz

d2
d
v
d2
d2
d θ2 zd r vz+ d r 2 vz + r
d z 2 vz +r2

(B.1.26)

MSZ1:diff(DIVXYZ=0,z,1);
MSZ11:solve(%,’diff(v,y,1,z,1))[1];DD2:matrix([subst([MSX11],PX1)],[subst((6) 粘性項∇2 V の変換[MSY11],PX2)],[subst([MSZ11],PX3)]);
subst([VA1,VB1,VC1],DD2);ev(%,diff);
subst(LXYR11,%);/* viscous term R-1 */subst(LXYR21,%);div(DD[1]);subst(LXYR1,%);express(%);

subst(LXYR2,%);PX1:ev(%,diff);TR.%;div(DD[2]);DD2RTZ1:expand(trigsimp(%));

express(%);

NABRARTX1:subst([a=v[r],b=v[\theta],

PX2:ev(%,diff);

c=v[z]],%);

div(DD[3]);NABRARTX1-NABRARTX;

express(%);/* Navier-Stokes Equations */PX3:ev(%,diff);\rho*(VRTDT+VGRADV)=FXRT+PGRAD+\mu

MSX1:diff(DIVXYZ=0,x,1);
MSX11:solve(%,’diff(w,x,1,z,1))[1];*NABRARTX;DIVXRT2=0;

MSY1:diff(DIVXYZ=0,y,1);

subst([A=\Phi],NABRA2)=0;

MSY11:solve(%,’diff(w,y,1,z,1))[1];B.1. 円柱座標系への変換

667

−
→
x − y − z 座標系の ∇2 V は (2.6.3) 式から下記である。 (B.1.12 ) 式を代入し、座標変換マトリックス：T R を掛けることにより、円柱座標系へ変換し、結果は下記と
 d2

d2
d2
u
+
u
+
u
2
なる。
d y2
d x2
−
→  d z222
∇2 V =  ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v 
 d

d2
a
2 ( ddθ b)
d2
d2
d2
a
d2
d2
dr a
d θ2
w
+
w
+
w
−
+
−
+
a
+
a
2
2
2
2
2
2
2
2
dz
dy
dx
r
r
r
dz
dr
 r

d2
 ddr bb
2 ( ddθ a)
b
d2
d2
d θ2


 r + r2 − r2 + r2 + d z 2 b + d r2 b 
上式右辺に (B.1.5) 式の関係を代入し、a, b, c が r, θ, zの関数として微分を実行する。更に、(B.1.1 ) 式および

d
dr c

r

d2

c

2

2

+ d rθ22 + ddz2 c + ddr2 ca, b, c → vr , vθ , vz に置き換え、


d2
d
v
2 ( ddθ vθ )vrd2
d2
d θ2 rd r vr
+
v
+
+
v
+
−
−
r2
d z2 rr2
d r2 r
r
r2 
−
→ 
d2
d
d


∇2 V =  d22 vθ + d θ22 vθ + d22 vθ + d r vθ − vθ2 + 2 ( d θ2 vr ) 
r
dr
r
r
r

 dz
d2
d
v
d2
d2
d θ2 zd r vz+ d r 2 vz + r
d z 2 vz +r2

(B.1.27)

上式は当然であるが、(B.1.26) 式と一致する。

(7)Navier-Stokes の式他まとめ
円柱座標系の各式をここにまとめる。非圧縮性流体の Navier-Stokes の式は下記となる。
 (
) 
(d )
(d )
( ddθ vr ) vθ
vθ2
d
ρ
v
v
−
+
+
v
+
v
v
r
z
r
r
r
dz
r
r
dt
dr


 (
)


(d )
(
)
vθ ( ddθ vθ )ρ+ ddt vθ + vr ddr vθ + vrrvθ 
d z vθ vz +
r




(
)


(d
) vθ ( ddθ vz )()
dd
ρ vz d z v z ++ d t vz + vr d r vz
r
 (
)

d2
d
v
2 ( ddθ vθ )
vr
d2
d2
d
d θ2 rd r vr+ d z2 vr + r2 + d r2 vr + r − r2 + Fr − d r pµ − r2
 (

)
d2


d
d
v
2 ( ddθ vr )vθd2
d2
d θ2 θ
d r vθdθ p =  µ d z 2 vθ + r 2 + d r 2 vθ + r − r 2 ++ Fθ − r 
r2


(
)
d2
d


v
d2
d2
d
d θ2 zd r vzµ d z 2 vz + r 2 + d r 2 vz + r+ Fz − d z p(B.1.28)

非圧縮流体の質量保存の方程式は、
d
vθ
−
→
d
d
vr
div( V ) =vz + d θ
+
vr +
=0
dz
r
dr
r

(B.1.29)

非圧縮流体の速度ポッテンシャルの質量保存の方程式は、
2

d
d
d2
d2
d θ2 Φ
dr Φ
Φ
+
+
Φ
+
=0
∇ Φ=
d z2
r2
d r2
r
2

(B.1.30)

付 録B

668

B.2

極座標系への変換

座標変換

xyz 座標と極座標の関係は、極座標系の質量保存の方程式や運動方程式等を求め

x = cos (ϕ) r sin (θ)

y = sin (ϕ) r sin (θ)

る。下記に極座標系を示す。

z = r cos (θ)
上記の関係から、

ddcos (ϕ) cos (θ)
r = cos (ϕ) sin (θ) ,
θ=
,
dx
dx
r
d
sin (ϕ)d
ϕ=−r = sin (ϕ) sin (θ) ,dx
r sin (θ) d ydsin (ϕ) cos (θ)
dcos (ϕ)
θ=
,
ϕ=
dy
r
dy
r sin (θ)
dsin (θ)ddr = cos (θ) ,
θ=−
,
ϕ=0
dz
dz
r
dz
(B.2.1)xyz 座標から極座標に変換する変換マトリックス：T Rは、cos (ϕ) cos (θ) sin (ϕ) cos (θ) −sin (θ)
T R =  −sin (ϕ)
cos (ϕ)0 
図 B.2.1: 極座標系

cos (ϕ) sin (θ)

sin (ϕ) sin (θ)

cos (θ)(B.2.2)/* 座標変換 極座標へ R-1 */TR:matrix([cos(\theta)*cos(\phi),cos(kill(all);\theta)*sin(\phi),-sin(\theta)],[-sinload("vect")$(\phi),cos(\phi),0],[sin(\theta)*cos

depends(r,[t,x,y,z]);(\phi),sin(\theta)*sin(\phi),depends(\phi,[t,x,y,z]);cos(\theta)]);depends(\theta,[t,x,y,z]);

TR1:transpose(TR);XR:x=r*sin(\theta)*cos(\phi);

ERTP:matrix([e[\theta]],[e[\phi]],[e[r]]);

YR:y=r*sin(\theta)*sin(\phi);

EXYZ:matrix([e[x]],[e[y]],[e[z]]);

ZR:z=r*cos(\theta);

ERTP1:ERTP=TR.EXYZ;

LXR1:diff(XR,x,1);

VXYZ:matrix([u],[v],[w]);

LYR1:diff(YR,x,1);

VRTP:matrix([a],[b],[c]);LZR1:diff(ZR,x,1);

depends(u,[t,x,y,z]);solve([LXR1,LYR1,LZR1],[’diff(r,x,1),

depends(v,[t,x,y,z]);’diff(\theta,x,1),’diff(\phi,x,1)]);

depends(w,[t,x,y,z]);LXYZR1:trigsimp(%)[1];

depends(a,[t,r,\theta,\phi]);

LXR2:diff(XR,y,1);

depends(b,[t,r,\theta,\phi]);

LYR2:diff(YR,y,1);

depends(c,[t,r,\theta,\phi]);

LZR2:diff(ZR,y,1);

VXYZ1:VXYZ=TR1.VRTP;

solve([LXR2,LYR2,LZR2],[’diff(r,y,1),’diff(\theta,y,1),’diff(\phi,y,1)]);

VRTP1:VRTP=TR.VXYZ;LXYZR2:trigsimp(%)[1];VA1:lhs(VXYZ1)[1][1]=rhs(VXYZ1)[1][1];VB1:lhs(VXYZ1)[2][1]=rhs(VXYZ1)[2][1];

LXR3:diff(XR,z,1);VC1:lhs(VXYZ1)[3][1]=rhs(VXYZ1)[3][1];

LYR3:diff(YR,z,1);
LZR3:diff(ZR,z,1);
solve([LXR3,LYR3,LZR3],[’diff(r,z,1),’diff(\theta,z,1),’diff(\phi,z,1)]);LXYZR3:trigsimp(%)[1];B.2. 極座標系への変換

669

→
→
→
xyz 座標の単位ベクトル：−
ex , −
ey , −
ez と極座標の単位
−
→
−
→
−
→
ベクトル： e , e , e の関係は、
θ

ϕ

B.2.1

gradient(∇)

r

 
eθ
 
eϕ 
er

cos (ϕ) cos (θ)
=  −sin (ϕ)/* grad(A) */depends(A,[r,\theta,\phi]);grad(A);
 
ex
 
0   ey cos (θ)ezsin (ϕ) cos (θ) −sin (θ)

cos (ϕ) sin (θ)

cos (ϕ)sin (ϕ) sin (θ)(B.2.3)transpose(express(%));
ev(%,diff);
subst(LXYZR1,%);
subst(LXYZR2,%);
subst(LXYZR3,%);−→−→V の xyz 座標表記、 V の極座標表記はそれぞれ下記
である。

 
u
−
→
 
V (xyz 座標) =  v w

GRADA:trigsimp(TR.%);
gradient は xyz 座標表記で下記にように表現できる。
 d    
dx A
a
vθ
 d 
−
→
   grad(A) =  d y A
(B.2.6)
V (極座標) =  b  = vϕ 
d
dz A
c
v
r

ここで、サフィックス付きの vθ , vϕ , vr では、微分展開
が Maxima でうまくいかないため、一時的に a, b, c の表−→記を使用し、t, θ, ϕ, r の関数とする。V の xyz 座標表記と極座標表記の関係は、
 a→ b  =T R.−Vc
cos (ϕ) cos (θ)=  −sin (ϕ)
cos (ϕ) sin (θ)
 u→ v  =T RT .−Vw
cos (ϕ) cos (θ)=  sin (ϕ) cos (θ)−sin (θ)

sin (ϕ) cos (θ)
cos (ϕ)sin (ϕ) sin (θ)

 −sin (θ)
u v 
0cos (θ)w(B.2.4)

A が θ, ϕ, r の関数として上式の微分を実行すると下記のように展開できる。Maxima では、depends 関数を使用すると容易に展開できる。

grad(A)
(
)(
) (
)(
) (
)( d )
dθ ddθ A + ddx r ddr A + ddx ϕ
d
x
dϕ A
(
)(
) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) dd=  dy θdθ A + dy r
dr A + dy ϕ ( dϕ A
)

 (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
d
d
d
d
d
d
dz θ
dθ A + dz r
dr A + dz ϕ
dϕ A

上式に (B.2.1) 式の関係を代入し、座標変換マトリック
ス：T R を掛けることにより、極座標系へ変換する。結−sin (ϕ)
cos (ϕ)0 cos (ϕ) sin (θ)
asin (ϕ) sin (θ)   b 
cos (θ)c(B.2.5)

果を整理して下記を得る。



d
dθ A



 d A dϕgrad(A) = rr sin(θ)
ddr A(B.2.7)

付 録B

670

B.2.2

divergence

B.2.3

座標変換

∇2

/* divergence *//* nabla^2 */div(transpose(VXYZ)[1]);NABA:’diff(A,x,2)+’diff(A,y,2)

express(%);+’diff(A,z,2);

DIVXYZ:ev(%,diff);

LXDDR1:diff(XR,x,2);

subst([VA1,VB1,VC1],%);LXDDR2:subst(LXYZR1,%);ev(%,diff);

LYDDR1:diff(YR,x,2);

subst(LXYZR1,%);
subst(LXYZR2,%);LYDDR2:subst(LXYZR1,%);LZDDR1:diff(ZR,x,2);

subst(LXYZR3,%);LZDDR2:subst(LXYZR1,%);DIVXRT11:expand(trigsimp(%));

LXYZR11:trigsimp(solve([LXDDR2,LYDDR2,DIVXRT2:subst([c=v[r],a=v[\theta],

LZDDR2],[’diff(r,x,2),’diff(\theta,x,2),b=v[\phi]],%);’diff(\phi,x,2)])[1]);MS1:DIVXYZ=0;
divergence は xyz 座標表記で下記にように表現できる。
−
→
d
d
d
w+
v+
u
div( V ) =
dz
dy
dx

(B.2.8)

上式右辺に (B.2.5) 式の関係を代入し、

LXDDR11:diff(XR,y,2);
LXDDR21:subst(LXYZR2,%);LYDDR11:diff(YR,y,2);
LYDDR21:subst(LXYZR2,%);LZDDR11:diff(ZR,y,2);
LZDDR21:subst(LXYZR2,%);d(c sin (ϕ) sin (θ) + a sin (ϕ) cos (θ) + b cos (ϕ))
dyd+(c cos (ϕ) sin (θ) + a cos (ϕ) cos (θ) − b sin (ϕ))
dxd+(c cos (θ) − a sin (θ))
dz

LXYZR21:trigsimp(solve([LXDDR21,LYDDR21,LZDDR21],[’diff(r,y,2),’diff(\theta,y,2),’diff(\phi,y,2)])[1]);LXDDR12:diff(XR,z,2);
LXDDR22:subst(LXYZR3,%);LYDDR12:diff(YR,z,2);a, b, c が θ, ϕ, r の関数として微分を実行し、(B.2.1) 式

LYDDR22:subst(LXYZR3,%);の関係を代入し、整理すると、円柱座標系の結果が得ら

LZDDR12:diff(ZR,z,2);れる。

LZDDR22:subst(LXYZR3,%);LXYZR31:solve([LXDDR22,LYDDR22,LZDDR22],

d
d
a
−
→
a cos (θ)
2cddϕ bdiv( V ) =+++ dθ +
cr sin (θ)
r sin (θ)
rr
dr
(B.2.9)以上から、a, b, c → vθ , vϕ , vr に置き換えると、[’diff(r,z,2),’diff(\theta,z,2),’diff(\phi,z,2)])[1];ev(NABA,diff);
subst(LXYZR11,%);
subst(LXYZR21,%);−→div( V ) =dd θ vθ

r+dd ϕ vϕvθ cos (θ)
d
2 vr
+
+
vr +
r sin (θ)
r sin (θ) d rr

円柱座標系の非圧縮流体の質量保存の方程式は、

subst(LXYZR31,%);
subst(LXYZR1,%);
subst(LXYZR2,%);
subst(LXYZR3,%);dd θ vθ

r+dd ϕ vϕvθ cos (θ)
d
2 vr
+
+
vr +
=0
r sin (θ)
r sin (θ) d rr

NABRA2:expand(trigsimp(%));∇2 は、xyz 座標表記で下記にように表現できる。
∇2 A =

d2
d2
d2
A
+
A
+
A
d z2
d y2
d x2

(B.2.10)

B.2. 極座標系への変換

671

A を θ, ϕ, r の関数とすると、上式の右辺最終項は下記のように展開できる。
() (()( 2 ) (
)( 2
) (
)( 2
))
d2
d
d
d
d
d
d
d
A=
θ
θ
A +
r
A +
ϕ
A
d x2
dx
dx
d θ2
dx
drdθ
dx
dϕdθ
( 2 )() () (()( 2 ) (
)( 2
) (
)( 2
))
d
d
d
d
d
d
d
d
d
+
θ
A +
r
r
A +
θ
A +
ϕ
A
d x2
dθ
dx
dx
d r2
dx
drdθ
dx
dϕdr
( 2 )() () (()( 2 ) (
)( 2
) (
)( 2
))
d
d
d
d
d
d
d
d
d
+
r
A +
ϕ
ϕ
A +
θ
A +
r
A
d x2
dr
dx
dx
d ϕ2
dx
dϕdθ
dx
dϕdr
( 2 )(
)
d
d
ϕ
A
+
2
dx
dϕ
他の項も同様に展開し、(B.2.1) 式や下記の関係式を

B.2.4

rotation

代入し、
2

2

2

d2
cos (ϕ) cos (θ) + sin (ϕ)
r=
,
2
dx
r
2
2
2
d2
2 cos (ϕ) cos (θ) sin (θ) − sin (ϕ) cos (θ)
θ
=
−
,
d x2
r2 sin (θ)
d2
2 cos (ϕ) sin (ϕ)
ϕ=
2
2
dx
r2 sin (θ)
2

2

2

d2
sin (ϕ) cos (θ) + cos (ϕ)
r=
,
d y2
r
2

2

/* rotation */curl(transpose(VXYZ)[1]);express(%);
VXYZCURL:transpose(ev(%,diff));
subst([VA1,VB1,VC1],VXYZCURL);ev(%,diff);2d2
2 sin (ϕ) cos (θ) sin (θ) − cos (ϕ) cos (θ)
θ =−
,
2
dy
r2 sin (θ)
d2
2 cos (ϕ) sin (ϕ)
ϕ=−
2
2
dy
r2 sin (θ)

subst(LXYZR1,%);
subst(LXYZR2,%);
subst(LXYZR3,%);VXRTCURL0:expand(trigrat(TR.%));2d2
sin (θ) d2
2 cos (θ) sin (θ) d2
r
=
,
θ
=
, 2ϕ=0
d z2
r
d z2
r2
dz
(B.2.11)VXRTCURL:subst([c=v[r],a=v[\theta],
b=v[\phi]],%);
rotation は xyz 座標表記で下記にように表現できる。

整理すると、下記の極座標系の結果が得られる。
()
d2
cos (θ) ddθ A
d2
2
d θ2 A∇ A= 2 ++A
2rr sin (θ)
d r2
(B.2.12)()
d2
2 ddr Ad ϕ2 A++2r
r2 sin (θ)

 dddy w − dz v
)
(−
→


curl V = curl ([u, v, w]) =  ddz u − ddx w
dd
dx v − dy u

(B.2.13)

上記右辺項に、(B.2.5 ) 式の xyz 座標と極座標の関係式を代入し、





d
d
d y (c cos (θ) − a sin (θ)) − d z (c sin (ϕ) sin (θ) + a sin (ϕ) cos (θ) + b cos (ϕ))


d
d


d z (c cos (ϕ) sin (θ) + a cos (ϕ) cos (θ) − b sin (ϕ)) − d x (c cos (θ) − a sin (θ))
d
d
(c
sin
(ϕ)
sin
(θ)
+
a
sin
(ϕ)
cos
(θ)
+
b
cos
(ϕ))
−
(c
cos
(ϕ)
sin
(θ)
+
a
cos
(ϕ)
cos
(θ)
−
b
sin
(ϕ))
dx
dy

更に、(B.2.1) 式の関係式を代入し、座標変換マトリックス：T R を掛けることにより、極座標系へ変換する。結果を a, b, c → vθ , vϕ , vr に置き換え、整理して下記を得る。

(( ddr vϕ ) r+vϕ ) sin(θ)− ddϕ vr

−
(−
→) 

curl V =  dr sin(θ)
r ( ddr vθ )+vθ − ddθ vrr− d ϕ vθ +( ddθ vϕ ) sin(θ)+vϕ cos(θ)
r sin(θ)(B.2.14)

付 録B

672

B.2.5

Navier-Stokes の式

Navier-Stokes の式をベクトル表記すると、(B.1.16)式となり、その加速度項、粘性項などに分けて極座標系の Navier-Stokes の式を求める。

(1) 加速度項 ベクトルの式による/* differential of V with respect to t */

座標変換

→
d −
d t V を求める。加速度を求める場合、xyz 座標系では、時間変化がないので、速度の時間微分が加速度となる。
しかし、極座標系では時間変化があるので、下記のように速度の微分項と座標系の微分項、両方について調査する必要がある。

       aerera→  d      d    d −V = b  eθ  + 
eθ   b 
dt
dt
dt
c
ez
ez
c

VRTP1:subst([c=diff(r,t,1),a=r*diff(\theta,t,1),b=r*diff(\phi,t,1)*sin(\theta)],
VRTP);
VRTPDT:’diff(VRTP,t,1)*ERTP+VRTP*

極座標系の時間変化は、

eθ = −sin (θ) ez + sin (ϕ) cos (θ) ey + cos (ϕ) cos (θ) ex’diff(ERTP,t,1);eϕ = cos (ϕ) ey − sin (ϕ) ex

ER:ERTZ[1][1]=ERTZ1[1][1];
ET:ERTZ[2][1]=ERTZ1[2][1];er = cos (θ) ez + sin (ϕ) sin (θ) ey + cos (ϕ) sin (θ) ex

EZ:ERTZ[3][1]=ERTZ1[3][1];から、これらを微分し、xyz 座標の単位ベクトル：
−
→
→
→
→
→
→
e ,−
e ,−
e を極座標の単位ベクトル：−
e ,−
e ,−
e に置き換ET:ERTP[1][1]=rhs(ERTP1)[1][1];
EH:ERTP[2][1]=rhs(ERTP1)[2][1];
ER:ERTP[3][1]=rhs(ERTP1)[3][1];EIJK:trigsimp(solve([ET,EH,ER],[e[x],e[y],e[z]]))[1];
DET:’diff(e[\theta],t,1)=diff(rhs(ET),t,1);
DEH:’diff(e[\phi],t,1)=diff(rhs(EH),t,1);

x

y

z

θ

ϕ

r

えて整理すると下記となる。
)
)
(
(
d
d
d
eθ = eϕϕ cos (θ) − er
θ
dt
dt
dt

)
(
)
d
d
ϕ er sin (θ) −ϕ eθ cos (θ)
dt
dt
)
)
(
(
d
d
d
er = eθθ + eϕϕ sin (θ)
dt
dt
dt

d
eϕ = −dt

DER:’diff(e[r],t,1)=diff(rhs(ER),t,1);
DET1:trigsimp(subst(EIJK,DET));
DEH1:trigsimp(subst(EIJK,DEH));

(

  
(
) 
a
r ddt θ  ( d ) b  =  d t ϕ r sin (θ)
d
c
dt r

DER1:trigsimp(subst(EIJK,DER));
DE1:expand(rhs(DET1)*VRTP1[1][1]+rhs(DEH1)*VRTP1[2][1]+rhs(DER1)*VRTP1[3][1]);VERTDT:matrix([coeff(DE1,e[\theta],1)],→→→
から、上式に掛け、極座標の単位ベクトル：−eθ , −eϕ , −
er で[coeff(DE1,e[\phi],1)],

整理すると、[coeff(DE1,e[r],1)]);’diff(VRTP1,t,1);
express(%);
ERTDT3:ev(%,diff);
ERTDT5:VRTPDT=expand(ERTDT3+VERTDT);
下記の加速度項の内、

→
−
→
−
→
d −
V + ( V · grad) V
dt   eθa d    eϕ   b 
dt
er
c

 ( d ) ( d ) ( d )2
r d t θ − d t ϕ r cos (θ) sin (θ)
d
t
)
(
) (
)(
)

(
=  ddt ϕ r cos (θ) ddt θ + ddt ϕ ddt r sin (θ)( d ) 2 ( d )22
−r d t θ − d t ϕ r sin (θ)(B.2.15)

B.2. 極座標系への変換

673

速度の時間微分は、下記となる。

( 2 ) (

)(
)
 

(
)  
r ddt2 θ + ddt r ddt θar ddt θ( 2 )
d ( d )d  (d ) (d )(d ) ( d )db = d t ϕ r sin (θ) = 
ϕ
r
cos
(θ)
θ
+
ϕ
r
sin
(θ)
+
 dt
dt
dt
dt
d t2 ϕ r sin (θ)
dt
dt
d
d2
c
dt r
2 r
dt

(B.2.16)(B.2.15) 式と (B.2.16) 式を合わせて、       aeθeθa d      d     b  eϕ  + 
eϕ   b 
dt
dt
c
er
er
c
( 2 )


(
)(
) (
)2
r ddt2 θ + 2 ddt r ddt θ − ddt ϕ r cos (θ) sin (θ)
( 2 )
 (

)
(d )
(d )(d )dd=2 d t ϕ r cos (θ) d t θ + 2 d t ϕ d t r sin (θ) + d t2 ϕ r sin (θ)
(
)2 (
)2
2
2
−r ddt θ − ddt ϕ r sin (θ) + ddt2 r/* (V grad)V term */RT1:’diff(r,t,1)=v[r];VVRTP:matrix([v[\theta]],[v[\phi]],[v[r]]);

RT2:r*’diff(\theta,t,1)=v[\theta];

VGRADV1:VVRTP.subst([A=v[\theta]],GRADA);

RT21:’diff(\theta,t,1)=v[\theta]/r;

VGRADV2:VVRTP.subst([A=v[\phi]],GRADA);

RT3:’diff(r,t,2)=’diff(v[r],t,1);

VGRADV3:VVRTP.subst([A=v[r]],GRADA);

RT4:r*’diff(\theta,t,2)+’diff(r,t,1)

VGRADV:matrix([VGRADV1],[VGRADV2],*’diff(\theta,t,1)=’diff(v[\theta],t,1);[VGRADV3]);

RT41:solve(RT4,’diff(\theta,t,2))[1];RT5:r*diff(\phi,t,1)*sin(\theta)=v[\phi];
RT51:solve(RT5,’diff(\phi,t,1))[1];RT6:diff(RT5,t,1);
RT61:solve(RT6,’diff(\phi,t,2))[1];
expand(subst([RT41,RT61],ERTDT5));
subst([RT1,RT21,RT3,RT51],%);VRTDT:rhs(%);
d
vθ
d2
d
θ= ,
r=
vr
2
dt
r
dt
dt
(d )(d )ddvϕd2
d t vθ − d t r
dt θ
θ=
,
ϕ=
d t2
r
dt
r sin (θ)
dr = vr ,
dt

d2
ϕ=
d t2(
)
(d ) (d )(d )ddd t ϕ r cos (θ) d t θ + d t ϕ
d t r sin (θ) − d t vϕ−r sin (θ)
上記の関係を代入し、下記を得る。

       eθaeθa d      d     b  eϕ  + 
eϕ   b 
dt
dt
c
er
c
er


(B.2.17)2v
cos(θ)dvθ − rϕsin(θ) + vrrvθ
dt
 vϕ vθ cos(θ) vϕ vrd= r sin(θ) + r + d t vϕ 22vv
− rθ + ddt vr − rϕ


−
→
−
→
加速度項の内、( V · grad) V の項について、grad(vθ ) は(B.2.7) 式から下記となる。
dd θ vθ d vθ dϕgrad(vθ ) = rr sin(θ)
dd r vθ

−→vϕ , vr についても同様に行い、 V を掛けると、( d ) vϕ ( ddϕ vθ ) vθ ( ddθ vθ )+v
rr
d r vθ + r sin(θ) 
−
→
−
→ 
) 
 vϕ ( ddϕ vϕ ) ( ddθ vϕ ) vθ ( d( V ·grad) V =  r sin(θ) ++ d r vϕ vr r( d )
vϕ ( ddϕ vr )( ddθ vr ) vθv++
rr sin(θ)
rd r vr
(B.2.18)

付 録B

674

座標変換

(2) 加速度項 物質微分による−→
V の xyz 座標表記と極座標表記の関係は、(B.2.5) 式/* differential of V with respect to t

から、

R-1 */  uc cos (ϕ) sin (θ) + a cos (ϕ) cos (θ) − b sin (ϕ)
   v  =  c sin (ϕ) sin (θ) + a sin (ϕ) cos (θ) + b cos (ϕ) w
c cos (θ) − a sin (θ)

diff(rhs(VXYZ1),t,1);TR.%;
subst([diff(r,t,1)=c,diff(\theta,t,1)=a/r,
diff(\phi,t,1)=b/r/sin(\theta)],%);
expand(trigsimp(%));

上式右辺の a, b, c が t, r, θ, ϕ の関数として時間：t の微VRTDT1:subst([a=v[\theta],b=v[\phi],分を実行し、座標変換マトリックスを掛け、(B.2.1 ) 式

c=v[r]],%);

および ddt r = c, ddt θ = a/r, ddt ϕ = b/(r sin (θ)) を代入

VRTDT+VGRADV-VRTDT1;することにより、極座標系へ変換する。


 2


( dϕ a) b a c a ( ddθ a) ( d )cos(θ)− br sin(θ)+ rdsin(θ)+ r ++ d r a c + ddt ac cos (ϕ) sin (θ) + a cos (ϕ) cos (θ) − b sin (ϕ)
r


d 
(
)



b ( ddϕ b)a ( d b)cos(θ)
 c sin (ϕ) sin (θ) + a sin (ϕ) cos (θ) + b cos (ϕ)  →  arbsin(θ)+ r sin(θ)+ brc + drθ + ddr b c + ddt b 
dt


(d )
b ( ddϕ c)a ( ddθ c)c cos (θ) − a sin (θ)
b2
a2
d
+
− −
+ c+c
c
r sin(θ)

r

r

r

dt

a, b, c → vθ , vϕ , vr の置き換えを行って、物質微分による加速度項を得る。
( d ) vϕ ( ddϕ vθ ) vϕ2 cos(θ) vr v vθ ( ddθ vθ )
d
θ
+
v
+
v
r d r vθ + r sin(θ) − r sin(θ) + r
r
dt θ

→
−
→
−
→ 
d −
(
)

 vϕ vθ cos(θ) vϕ ( ddϕ vϕ ) ( ddθ vϕ ) vθ
vϕ vr
d
d
V + ( V · grad) V =  r sin(θ) + r sin(θ) +

+
+
v
v
+
v
ϕ
r
ϕ
r
r
dr
dt
dt


2
(
)
vϕ ( ddϕ vr )v
( ddθ vr ) vθ
vθ2
ϕ
d
d
+ d t vr + v r d r vr − r
r sin(θ) − r +rdr(B.2.19)

当然であるが、上式は (B.2.17) 式と (B.2.18) 式の和と一致している。

(3) 外力項他
subst(LXYZR2,%);/* force term */FXRT:matrix([F[\theta]],[F[\phi]],[F[r]]);PGRAD:-subst([A=p],GRADA);−→−→
物質力項： F 、圧力項： P = −grad(p) は下記となる。


d
 
p
− d θr
Fθ

d
−
→  
−
→ 
dϕ p 
(B.2.20)F = Fϕ  ,P =− r sin(θ) 
d
Fr
−dr p

subst(LXYZR3,%);%.TR1;
TR.%;
expand(trigsimp(%));
DD11:subst([a=v[\theta],b=v[\phi],c=v[r]],%);DD12:matrix([e[tt],e[tp],e[tr]],[e[tp],e[pp],e[pr]],[e[tr],e[pr],e[rr]]);
DD13:matrix([\sigma[t],\tau[tp],\tau[tr]],[\tau[tp],\sigma[p],\tau[pr]],[\tau[tr],\tau[pr],\sigma[r]]);(4) 変形速度テンソル

SG111:lhs(DD12)[1][1]=DD11[1][1];SG121:lhs(DD12)[1][2]=DD11[1][2];/* 変形速度ひずみ */SG131:lhs(DD12)[1][3]=DD11[1][3];DD1:matrix(express(grad(u)),express(

SG221:lhs(DD12)[2][2]=DD11[2][2];grad(v)),express(grad(w)));

SG231:lhs(DD12)[2][3]=DD11[2][3];

DD:DD1+transpose(DD1);

SG331:lhs(DD12)[3][3]=DD11[3][3];subst([VA1,VB1,VC1],DD);

DD13=\mu*DD12;ev(%,diff);

DD13=\mu*DD11;

subst(LXYZR1,%);B.2. 極座標系への変換

675

x − y − z 座標系の変形速度テンソルは (2.6.2) 式から、
)
(

 
2 ddx uexx exy exz

  d
d
exy eyy eyz  = 
 dx v + dy uddexz eyz ezz
dx w + dz u



d
+ d u
dx v
( d y)
2 ddy vdddy w + dz v

dddx w + dz uddd y w + d z v(d )2 dz w

上記右辺項に、(B.2.5) 式の関係を代入し、a, b, c が r, θ, ϕ の関数として微分を実行し、(B.2.1 ) 式を代入する。ここでテンソル：C の座標変換は、座標変換マトリックス：T R を使用して、「C.4.3 テンソルの座標変換 (694 頁)」に示されている C ′ = T R.C.T RT で x − y − z 座標系の変形速度テンソルを極座標系へ変換する。結果を整理して下記を得る。

d

2 ( d θ a)
2c
r +
r

d
d
 b cos(θ)
dϕ a− r sin(θ) + r sin(θ) + d rθ b

d
a
d
dθ c
r − r + dr a
d

d

a

d
dθ c

b

dϕ
dθ
− br cos(θ)
sin(θ) + r sin(θ) + r
d
2
b
(
)
2 a cos(θ)
dϕ2cr sin(θ) + r sin(θ) + r− ar + ddr a




b
d 

−
+
b
r sin(θ)
r
dr 
(d )
2 dr c
r

d
dϕ c

d
dϕ c
b
d
r sin(θ) − r + d r b

以上から、a, b, c → vθ , vϕ , vr の置き換えを行って極座標の変形速度テンソルは、



eθθ

eθϕ

eϕϕ

eθϕ

eθr

eϕr





2 ( ddθ vθ )+ 2 rvreθrr
 dd  ϕ vθv
v cos(θ)
eϕr  =  rdsin(θ)− rϕsin(θ) + d θr ϕ

d
vθ
err
d
d θ vrd r vθ − r +
r

(d

)

d
d ϕ vθ

dv cos(θ)

v

ϕdθ ϕr sin(θ) − r sin(θ) +rd
2 ( d ϕ vϕ )2 vθ cos(θ)
2 vrr sin(θ) + r sin(θ) + r

dd ϕ vθ

dvϕd ϕ vrd
r sin(θ) − r + d r vϕ

d



vθ
d
d θ vrd r vθ − r +
r

d

vϕ
d ϕ vrd
r sin(θ) − r + d r vϕ (d )2 d r vrdvϕvϕ cos (θ)+ dθrr sin (θ)
r sin (θ)
r
(
)
d
d
2
v
ϕ
vr
dϕ
d
vθ
2 vθ cos (θ)
2 vr
eθr =
vθ −
+ d θ , eϕϕ =
+
+
dr
r
r
r sin (θ)
r sin (θ)
r
(
)
d
vϕ
d
d
d ϕ vr−+vϕ , err = 2vreϕr =r sin (θ)
r
dr
dr

eθθ =

2

d θ vθ

+

2 vr
,
r

eθϕ =

−

(B.2.21)
極座標の応力テンソルは、σθ τθϕ τθr
eθθ



τθϕ σϕ τϕr  = µ eθϕ

τθr

τϕr

eθϕ
eϕϕ

σr
eθr eϕr()
2 ( ddθ vθ )
2 vr
µ
+
r
r

eθr




eϕr 
err

(
) 
d
vθ
d
d θ vr
µ
v
−
+
θ
dr
r
r


 (
)
(
)
( d
)
d
d


d
2
v
v
v
( d ϕ ϕ ) 2 vr
vϕ cos(θ)
v
cos(θ)dϕ θ
ϕ r
d θ vϕµ 2 rvθsin(θ)+ r sin(θ)+ rµ rdsin(θ)− rϕ + ddr vϕ =µ r sin(θ) − r sin(θ) + r


( d
)
(
)
d


(
)
v
vϕ
vθ
dϕ r
d
d
d
d θ vrµ d r vθ − r + rµ r sin(θ) − r + d r vϕ
2 µ d r vr


(

µ

d
d ϕ vθ

v cos(θ)

d

)

v

ϕ
dθ ϕ
r sin(θ) − r sin(θ) +r(B.2.22)

付 録B

676
(5) 粘性項 ベクトルの式−→
粘性項は ∇2 V で表せる。下記の関係式から、
−
→
−
→
−
→
∇2 V = grad(div( V )) − curl(curl( V ))(B.2.23)

座標変換

NABRARTX2:expand(ev(%,diff));
expand(NABRARTX1-NABRARTX2);
subst([a=v[\theta],b=v[\phi],c=v[r]],%);NABRARTX:subst([v[\phi]/r^2=-v[\phi]*cos(/* viscous term */subst([A=DIVXRT11],GRADA);\theta) ^2/r^2/sin(\theta)^2+v[\phi]/r^2/

NABRARTX1:ev(%,diff);

NABRA2X:matrix([subst([A=v[\theta]],

CURL1:v[1]=row(VXRTCURL0,1)[1][1];NABRA2)], [subst([A=v[\phi]],NABRA2)],

CURL2:v[2]=row(VXRTCURL0,2)[1][1];[subst([A=v[r]],NABRA2)]);sin(\theta)^2],%);VXRTCURL1:subst([a=v[1],b=v[2],c=v[3]],NABRARTX-NABRA2X;−→
grad(div( V )) 項について、(B.2.9) 式から div の式が得

VXRTCURL0);

られているので、これを grad の式：(B.2.7) 式に代入し、subst([CURL1,CURL2,CURL3],VXRTCURL1);

微分を実行すると下記となる。

CURL3:v[3]=row(VXRTCURL0,3)[1][1];expand(%);





−
→

grad(div( V )) = 







=




(

d b
d a
a cos(θ)ϕ+ r dsin(θ)+ 2rc + d θr + ddr cr sin(θ)

d
dθ



)




d b
d a
a cos(θ)
dϕ

d
2c
d
d
θ
+ r sin(θ) + r + r + d r c
dϕr sin(θ)
rsin(θ)()dda cos(θ)
dϕ b
2c
d
d
dθ a
dr
r sin(θ) + r sin(θ) + r + r + d r c
(

)

r



2

2

( ddθ a) cos(θ) + d ϕd d θ b − a cos(θ)2 − ( ddϕ b) cos(θ) + 2 ( ddθ c) + ddθ2 a − a + d2
r sin(θ)

r sin(θ)(

r sin(θ)2

r sin(θ)2d2 b
d a cos(θ)
2dϕ
ϕ2+ rdsin(θ)+
r sin(θ)

)

r

r

r

drdθ cr( ddϕ c)rd2
ad2
+ d ϕ rd θ + d ϕ
dr c

r sin(θ)
d2
d
d2
d
2
2 ( d c)( ddr a) cos(θ)
aaa cos(θ)
dϕdr bdϕ b− r2 sin(θ) + r sin(θ) − r2 sin(θ) + drr + d r dr θ − 2r2c − drθ2 + ddr2 cr sin(θ)









(B.2.24)−→−→curl(curl( V )) について、(B.2.14) 式の curl( V ) の各項を下記のように v1 , v2 , v3 と対応させ、(( d )
)
(d )
(d )
d
d
d
d r b r + b sin (θ) − d ϕ c
d θ b sin (θ) + b cos (θ) − d ϕ a
dr a r − dθ c + a
v1 = −, v2 =, v3 =
r sin (θ)
rr sin (θ)
上記の関係を代入して、
(( ddr v2 ) r+v2 ) sin(θ)− ddϕ v3−
r sin(θ)


−
→


( ddr v1 ) r− ddθ v3 +v1
curl(curl( V )) = 

r
 d

d
( d θ v2 ) sin(θ)+v2 cos(θ)− d ϕ v1

r sin(θ)

d2d2a2 ( ddr a)d ϕ2
d2
drdθ c
−
−
a
−
+
r
r
d r2


r 2 sin(θ)2r 2 sin(θ)2 ( d b) cos(θ)

d2
d
d2
d2
2
2
b
c
a
a) cos(θ)
2 ( ddr b)(bcos(θ)
2

d
ϕ
d
r
d
ϕ
d
θ
d
ϕ
d
θ
b
d
= − 2+ r sin(θ) + r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 −− d rθ 2 + r2 − d r2 b r sin(θ)
r
 d

d2
d2
d2
d
d2
d
c
c
b
b
( d r a) cos(θ) ( ddθ c) cos(θ)
2aaa cos(θ)
dϕdr
dϕ
dϕ
drdθ
d θ2
dθ
− r2 sin(θ) + r2 sin(θ) + r sin(θ) + r2 sin(θ) − r2 sin(θ)2 + r − r2 + r2
r sin(θ)
d2dϕdθ br 2 sin(θ)+( ddϕ b) cos(θ)(B.2.25)

B.2. 極座標系への変換

677(B.2.24) 式と (B.2.25) 式に a, b, c → vθ , vϕ , vr の置き換えを行って、粘性項は、
−
→
−
→
−
→
∇2 V = grad(div( V )) − curl(curl( V ))

 d2
d2
v
v
2 ( ddϕ vϕ ) cos(θ)
cos(θ) ( ddθ vθ )2 ( ddr vθ )2 ( ddθ vr )vθ cos(θ)2vθ
d ϕ2 θ
d2
d θ2 θ
+ r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 −− r2 +rr2
r 2 sin(θ)2 r2 + r2 sin(θ) + d r2 vθ +
 2 cos(θ) d v
d2
d2
d
d
d
v
2
v
2
v
ϕ
v
cos(θ)
2v( d ϕ θ ) ( d θ ϕ)
( d ϕ r)
( d r ϕ)
vϕ

d ϕ2
d
d θ2 ϕ
=
+
+
+
+
v
+
−
+


2
2
2
2
2
2
2
ϕ
r sin(θ)
r sin(θ)
rr
drr 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)


2
d
d2
d
d
d
d
v
v
2 ( d r vr )2(vθ )( vr ) cos(θ) 2 ( ϕ vϕ )cos(θ)2 vr
ϕ2 r
d2
d θ2 r− 2rv2θsin(θ)+ d θr2 sin(θ) − r2 dsin(θ)+ r2dsin(θ)+
v+−− drθ2+2
r2
d r2 rr
r2(B.2.26)

subst(LXYZR21,%);
subst(LXYZR31,%);∇2 V の変換(6) 粘性項

subst(LXYZR1,%);
subst(LXYZR2,%);/* viscous term R-1 */subst(LXYZR3,%);div(DD[1]);TR.%;

express(%);

DD2RTZ1:expand(trigsimp(%));

PX1:ev(%,diff);

NABRARTX1:subst([a=v[\theta],b=v[\phi],div(DD[2]);c=v[r]],%);

express(%);

trigsimp(NABRARTX1-NABRARTX);

PX2:ev(%,diff);/* Navier-Stokes Equations */div(DD[3]);\rho*(VRTDT+VGRADV)=FXRT+PGRAD

express(%);+\mu*NABRARTX;PX3:ev(%,diff);

DIVXRT2=0;

MSX1:diff(MS1,x,1);
MSX11:solve(%,’diff(w,x,1,z,1))[1];MSY1:diff(MS1,y,1);

subst([A=\Phi],NABRA2)=0;−→
x − y − z 座標系の ∇2 V は (2.6.3) 式から下記である。
 d2



d2
d2
d z 2 u + d y 2 u + d x2 u
−
→  2
2
2

∇2 V =  ddz2 v + ddy2 v + ddx2 v 
2
2
2
d
d
d
d z 2 w + d y 2 w + d x2 w

MSY11:solve(%,’diff(w,y,1,z,1))[1];MSZ1:diff(MS1,z,1);
MSZ11:solve(%,’diff(v,y,1,z,1))[1];DD2:matrix([subst([MSX11],PX1)],[subst([MSY11], PX2)],[subst([MSZ11],PX3)]);上式に (B.2.5) 式の関係を代入し、a, b, c が r, θ, ϕ の関数

subst([VA1,VB1,VC1],DD2);として微分を実行する。更に、(B.2.1 ) 式および (B.2.11

ev(%,diff);) 式を代入し、座標変換マトリックス：T R を掛けるこ

subst(LXYZR11,%);とにより、極座標系へ変換し、結果は下記となる。



d2
a
d ϕ2
2
r sin(θ)2

2



d
a
2 ( ddr a)
2 ( ddθ c)
a
d2
d θ2
−
+
−
+
+
+
2
2
2
2
2
2
r
r
r 2 + d r 2 ar sin(θ)
r sin(θ)
 r sin(θ)
 d b cos(θ) 2 d c

d2
d2
b
b
2 ( ddr b)( d ϕ ) 2 ( ddϕ a) cos(θ)
 (dθ )

d ϕ2
b
d2
d θ2
+
+
b
 r2 sin(θ) + r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 + r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 +

2
2
r
r
dr
 d

2
2
d
d
d
d
d
c
c
2 ( d r c)
2 ( d θ a)( d θ c) cos(θ) 2 a cos(θ) 2 ( d ϕ b)
d ϕ2
2c
d2
d θ2
−
−
+
+
+
−
−
+
c
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r
r2
r2
r2
d r2
r 2 sin(θ)2( ddθ a) cos(θ)

2 ( ddϕ b) cos(θ)

a, b, c → vθ , vϕ , vr に置き換え、
d2
v
d θ2 θ
r2

2



d
v
2 ( ddϕ vϕ ) cos(θ)
2 ( ddθ vr )cos(θ) ( ddθ vθ )2 ( ddr vθ )vθd ϕ2 θ
d2
−
−
+
+
+
v
+
+
2
2
2
2
2
θ
2
2
2
r sin(θ)
drrr2
r sin(θ)
r sin(θ)
r sin(θ)



d2
d2
d
d
→ 
d
d
v
v
2
2
cos(θ)
v
v
ϕ
2−
2
v
v
cos(θ)( d ϕ r)( d ϕ θ ) ( d θ ϕ)
( d r ϕ)
vϕ

d ϕ2
d2
d θ2 ϕ∇ V =
+
+
+
+
v
+
−
+


2
2
2
2
2
2
2
ϕ
r sin(θ)
r sin(θ)
rr
drr 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)
r 2 sin(θ)


2
d
d2
d
d
d
d
v
v
2(
2 ( d r vr )vθ )( vr ) cos(θ) 2 ( ϕ vϕ )cos(θ)2 vr
ϕ2 r
d2
d θ2 r− drθ2+− 2rv2θsin(θ)+ d θr2 sin(θ) − r2 dsin(θ)+ r2dsin(θ)
+
v
+
−
2
r2
d r2 rr
r2(B.2.27)
上式は当然であるが、(B.2.26) 式と一致する。

付 録B

678

座標変換

(7)Navier-Stokes の式他まとめ
極座標系の各式をここにまとめる。非圧縮性流体の Navier-Stokes の式は下記となる。
(
)
(
) 
2
( d
) vϕ ddϕ vθ
cos(θ)vϕvθ ( ddθ vθ )
vr vθ
d
ρ
+
v
+
v
v
+
−
+
r
θ
θ
r
dt
dr
r sin(θ)
r sin(θ)
r


 (
(
)
)
d v
d v


(
)
v
v
ϕ
ϕ
v
v
v
v
cos(θ)
(
)
ϕ
θ
dϕ
ϕ θ
ρ
+ r sin(θ)+ dθ r+ ϕr r + ddr vϕ vr + ddt vϕ r sin(θ)
( ( d )
)
2
d v


2
(
)
vϕ d ϕ vrvϕ( d θ r ) vθ
vθ
d
d
ρ
−
−
+
+
v
+
v
v
r
r
r
r sin(θ)
r
r
dt
dr
r
 (
)

(
)
d2 v
d2 v
d p
2 ddϕ vϕ cos(θ)
cos(θ) ( ddθ vθ )2 ( ddr vθ )2 ( ddθ vr )vθ cos(θ)2vθ
d ϕ2 θ
d2
d θ2 θdθ+ r2 sin(θ)2 − r2 sin(θ)2 −+ r2 sin(θ) + d r2 vθ +− r2 ++ Fθ − r 
µ
r
r2
r2
r 2 sin(θ)2




)
(
(
(
)
)


d2 v
d v
d v
d2 v
d p
d v
d v
2
2
cos(θ)2ϕ2
cos(θ)rvϕ( d θ ϕ)( d r ϕ)


dϕ θ
dϕ
d ϕ2
dϕ
d
d θ2 ϕ
−
+
+
+
−
+
+
v
= µ
+
+
F

ϕ
ϕ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
r sin(θ)
r sin(θ)
r sin(θ)
rdrr sin(θ)
r sin(θ)
r sin(θ)


 (

)
(
)
2
2


d
d
d
vr
2 d ϕ vϕvr
2 ( ddr vr )2 ( ddθ vθ )( ddθ vr ) cos(θ)

2 vθ cos(θ)
2 vr
d ϕ2
d2
d
d θ2
− r2 sin(θ) + r2 sin(θ) − r2 sin(θ) + r2 sin(θ)2 + r2 + d r2 vr ++ Fr − d r pµ − r2− r2r



(B.2.28)

非圧縮流体の質量保存の方程式は、
d
d
vθ
−
→
vθ cos (θ)
d2 vrd ϕ vϕdiv( V ) = d θ
+
+
+
vr +
=0
r
r sin (θ)
r sin (θ) d rr(B.2.29)

非圧縮流体の速度ポッテンシャルの質量保存の方程式は、

(d
∇ Φ=
2

)

d θ Φ cos (θ)+
r2 sin (θ)

d2
d ϕ2 Φ

r2 sin (θ)

2 +

2

(d

dr Φ

r

)

d2
d2
d θ2 Φ
+
+
Φ=0
r2
d r2

(B.2.30)

B.3. 直交曲線座標系への座標変換

B.3

679

直交曲線座標系への座標変換

直交座標系：x, y, z の点は、x = 一定, y = 一定, z =一定 のお互いに垂直な面の交点で与えられる。直交座
→
−
→ −
→ −
標系：x, y, z の単位ベクトルを各々 i , j , k とする。
いま、直交座標系：u1 , u2 , u3 とする。これを x, y, z 座
標系で表すと、

kill(all);depends([x,y,z,\Phi],[u[1],u[2],u[3]]);
DS1:(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2;
DS2:(ds)^2=h[1]^2*(du[1])^2+h[2]^2*(du[2])^2+h[3]^2*(du[3])^2;
DX1:dx=diff(x,u[1])*du[1]+diff(x,u[2])*du[2]+diff(x,u[3])*du[3];x =f1 (u1 , u2 , u3 ), y = f2 (u1 , u2 , u3 ),DY1:dy=diff(y,u[1])*du[1]+diff(y,u[2])z =f3 (u1 , u2 , u3 )*du[2]+diff(y,u[3])*du[3];DZ1:dz=diff(z,u[1])*du[1]+diff(z,u[2])直交座標系：u1 , u2 , u3 の点は、u1 = 一定, u2 = 一定,*du[2]+diff(z,u[3])*du[3];u3 = 一定 のお互いに垂直な面の交点で与えられる。
−
→ −
→ −
→
u1 , u2 , u3 の単位ベクトルを各々 i1 , i2 , i3 とする。

DS2:subst([DX1,DY1,DZ1],DS1);

u1 , u2 , u3 と u1 + du1 , u2 + du2 , u3 + du3 に対応する面

factor(%);

で、端部：h1 du1 , h2 du2 , h3 du3 の直方体の図を描くと%/(du[1])^2;

下図となる。

H12:h[1]^2=rhs(%);

ここで h1 , h2 , h3 は下記の関係式で得られる。

ds2 = dz 2 + dy 2 + dx2(B.3.1)

ここで、
(
)
)
)
(
(
d
d
d
dx =du3x + du2x + du1
x
d u3
d u2
d u1
)
)
)
(
(
(
d
d
d
dy =du3y + du2y + du1
y
d u3
d u2
d u1
(
)
)
)
(
(
d
d
d
dz =du3z + du2z + du1
z
d u3
d u2
d u1
(B.3.2)(B.3.1) 式に (B.3.2) 式を代入すると、
)
(
)
(
))2
(
(
d
d
d
z + du2z + du1z
ds2 = du3
d u3
d u2
d u1
(
(
)
(
)
(
))2
d
d
d
+ du3
y + du2y + du1
y
d u3
d u2
d u1
(
(
)
(
)
(
))2
d
d
d
+ du3
x + du2x + du1
x
d u3
d u2
d u1
(B.3.3)

subst([du[2]=0,du[3]=0],DS2);

subst([du[3]=0,du[1]=0],DS2);
factor(%);%/(du[2])^2;
H22:h[2]^2=rhs(%);
subst([du[1]=0,du[2]=0],DS2);
factor(%);%/(du[3])^2;
H32:h[3]^2=rhs(%);
上式で直交座標系の性質から、du1 du2 の高次項を無視する。また、du1 について、du1 の方向に対して、du2 、

du3 の方向は直角であるため、上式で du2 = 0, du3 = 0と置くことができ、下記の関係式を得る。
((
)2 (
)2 (
)2 )
d
d
d
ds2 = du21
z +
y +
x
d u1
d u1
d u1
上式から、h1 は下記となる。
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
h21 =
z +
y +
x
d u1
d u1
d u1
上記から、

ds2 =dz 2 + dy 2 + dx2=du23 h23 + du22 h22 + du21 h21

図 B.3.1: 直交曲線座標

ここで、
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
2
h1 =
z +
y +
x
d u1
d u1
d u1
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
h22 =
z +
y +
x
d u2
d u2
d u2
(
)2 (
)2 (
)2
d
d
d
2
h3 =
z +
y +
x
d u3
d u3
d u3

(B.3.4)(B.3.5)直交座標系：x, y, z では ∇ は (C.3.9) 式から、

∇=

→
d −
d −
d −
→
→
k
i +
j +
dx
dy
dz

(B.3.6)

付 録B

680∇ を直交座標系：u1 , u2 , u3 で表すと、
1 ∂
1 ∂
1 ∂
−
→
−
→
−
→
F i1 +
F i2 +
F i3
h1 ∂ u1h2 ∂ u2h3 ∂ u3−→−→−→=F1 i1 + F2 i2 + F3 i3

∇F =

1 ∂
F,
h1 ∂ u1
1 ∂F,
F2 =h2 ∂ u2

ここで、 F1 =

F3 =

座標変換

∇ × (∇ u1 ) = 0 から零となる。よって、上式は、
( )
1 (
1
−
→) −
→
∇ × i1 = i1 × ∇
h1
h1
(
1 ∂
−
→
−
→
= − i1 ×h1 i1
3h1 ∂ u1

)
1
∂
1
∂
−
→
−
→
+ 2
h1 i2 + 2
h1 i3
h1 h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u3

1 ∂F
h3 ∂ u3(B.3.7)

=−

1

−
→

∂

1

∂

−
→

h1 i3 + 2
h1 i2
h21 h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u3

また、

∇=

1 ∂ −
1 ∂ −
1 ∂ −
→
→
→
i1 +
i2 +
i3
h1 ∂ u1h2 ∂ u2h3 ∂ u3(B.3.8)−→∇ F について、(B.3.7) 式から、−→
= − i2 ×

−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
∇ F =F1 ∇ i1 + i1 ∇ F1 + F2 ∇ i2 + i2 ∇ F2
(B.3.9)−→ −→+ F3 ∇ i3 + i3 ∇ F3=

0 であるから、同様に、−→= − i3 ×=−

同様にして、
(−
−
→
→ −
→) −
→(
−
→) −
→(
−
→)
∇ i1 =∇ i2 × i3 = i3 ∇ × i2 − i2 ∇ × i3
(−
−
→
→ −
→) −
→(
−
→) −
→(
−
→)
∇ i2 =∇ i3 × i1 = i1 ∇ × i3 − i3 ∇ × i1
(−
−
→
→ −
→) −
→(
−
→) −
→(
−
→)
∇ i3 =∇ i1 × i2 = i2 ∇ × i1 − i1 ∇ × i2

(B.3.11)−→
さらに、∇ × i1 について、(C.3.20) 式から、
(
)
( )
1
1 (
−
→)
−
→ 1
−
→
∇ × i1 = ∇ × i1
+ i1 × ∇
h1
h1
h1
−
→
(B.3.8) 式から i1 h11 = ∇ u1 で上式の右辺第一項は

1
∂
−
→
h2 i1
h1 h22 ∂ u1

(

1
h3
(

)

∂
1
−
→
h3 i1
h1 h23 ∂ u1

)
∂
1 ∂
1
−
→
−
→
h3 i2 + 3
h3 i3+
h2 h23 ∂ u2
h3 ∂ u3(B.3.10)−→(B.3.9) 式の ∇ i1 について、(C.3.15) 式から、
(−
−
→
→ −
→) −
→(
−
→) −
→(
−
→)
∇ i1 = ∇ i2 × i3 = i3 ∇ × i2 − i2 ∇ × i3

)

1
∂
∂
1
−
→
−
→
h2 i3 − 2h2 i1
h1 h22 ∂ u1
h2 h3 ∂ u3

1 (
−
→) −
→
∇ × i3 = i3 × ∇
h3

1 ∂
−
→
F1
i1 ∇ F1 =h1 ∂ u1

1
h2
(

)
1 ∂
1
∂
−
→
−
→
+ 3
h2 i2 + 2
h2 i3
h2 ∂ u2
h2 h3 ∂ u3

−
→−
→
−
→−
→
−
→−
→
上式の ∇ F1 について、i1 · i1 = 1, i1 · i2 = 0, i1 · i3 =1 ∂−→i1 ∇ F1 =F1
h1 ∂ u1
1 ∂−→F2
i2 ∇ F2 =h2 ∂ u21 ∂−→i3 ∇ F3 =F3h3 ∂ u3

(

1 (
−
→) −
→
∇ × i2 = i2 × ∇
h2

∂
∂
1
1
−
→
−
→
h3 i2 +
h3 i1
h1 h23 ∂ u1
h2 h23 ∂ u2

上式から、

∂
1
∂
1
−
→
−
→
h1 i3 +
h1 i2
h1 h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u3
1
∂
∂
1
−
→
−
→
−
→
∇ × i2 = +h2 i3 −
h2 i1
h1 h2 ∂ u1
h2 h3 ∂ u3
∂
1
∂
1
−
→
−
→
−
→
h3 i2 +
h3 i1
∇ × i3 = −h1 h3 ∂ u1
h2 h3 ∂ u2
(B.3.12)−→∇ × i1 = −(B.3.11) 式に (B.3.12) 式を代入し、
1
∂
1
∂
−
→
∇ i1 =
h2 +h3
h1 h2 ∂ u1
h1 h3 ∂ u1∂
1=
(h2 h3 )h1 h2 h3 ∂ u1
1
∂
1
∂
−
→
∇ i2 =h3 +h1
h2 h3 ∂ u2
h1 h2 ∂ u2
1∂=
(h1 h3 )h1 h2 h3 ∂ u2
1
∂
1
∂
−
→
∇ i3 =
h1 +h2
h1 h3 ∂ u3
h2 h3 ∂ u3∂
1
(h1 h2 )=h1 h2 h3 ∂ u3

(B.3.13)

B.3. 直交曲線座標系への座標変換

681(B.3.9) 式に (B.3.10) 式、(B.3.13) 式を代入し、
−
→ 1 ∂
F1
∂
∇F =
F1 +
(h2 h3 )h1 ∂ u1
h1 h2 h3 ∂ u1
1 ∂
F2
∂
+
F2 +
(h1 h3 )h2 ∂ u2
h1 h2 h3 ∂ u2
1 ∂
F3
∂
+
F3 +
(h1 h2 )h3 ∂ u3
h1 h2 h3 ∂ u3
(B.3.14)
1∂=(F1 h2 h3 )h1 h2 h3 ∂ u1
1∂+
(F2 h1 h3 )h1 h2 h3 ∂ u2∂
1
(F3 h1 h2 )+h1 h2 h3 ∂ u3

(

(
)
∂
h2 h3 ∂F∂ u1
h1 ∂ u1()∂
h1 h3 ∂+F∂ u2
h2 ∂ u2())∂
h1 h2 ∂+F∂ u3
h3 ∂ u31∇ F = ∇ (∇F ) =h1 h2 h32

(B.3.15)−→∇ × F について、(B.3.7) 式から、
( −
−
→
→
−
→
−
→)
∇ × F = ∇ × F1 i1 + F2 i2 + F3 i3(C.3.20) 式から、上式は、∇2 F について、上式に (B.3.7) 式の下記の関係を代
入し、

F1 =

1 ∂
F,
h1 ∂ u1

F2 =

1 ∂
F,
h2 ∂ u2

F3 =

1 ∂
F
h3 ∂ u3

(
−
→
−
→
−
→)
∇ × F = − i1 × ∇F1 + F1 ∇ × i1
(
−
→
−
→)
− i2 × ∇F2 + F2 ∇ × i2
(
−
→
−
→)
− i3 × ∇F3 + F3 ∇ × i3———————————————————————————
上式に (B.3.7) 式、(B.3.12) 式から、
(
)
−
→
1 ∂
1 ∂
F1 ∂
1 ∂
F1 ∂
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
F1 i1 +
F1 i2 +
F1 i3 −
h1 i3 +
h1 i2
∇ × F = − i1 ×
h1 ∂ u1h2 ∂ u 2
h3 ∂ u3
h1 h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u3
)
(
1 ∂
1 ∂
1 ∂
F2 ∂
F2 ∂
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
F2 i1 +
F2 i2 +
F2 i3 +
h2 i3 −
h2 i1
− i2 ×h1 ∂ u1h2 ∂ u 2
h3 ∂ u3
h1 h2 ∂ u1
h2 h3 ∂ u3
(
)
1 ∂
1 ∂
1 ∂
F3 ∂
F3 ∂
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
− i3 ×F3 i1 +
F3 i2 +
F3 i3 −
h3 i2 +
h3 i1
h1 ∂ u1h2 ∂ u 2
h3 ∂ u3
h1 h3 ∂ u1
h2 h3 ∂ u2

−
→ −
→ −
→
上式に単位ベクトル： i1 , i2 , i3 の外積から、
−
→
1 ∂
1 ∂
F1 ∂
F1 ∂
−
→
−
→
−
→
−
→
∇× F =−
F1 i3 +
F1 i2 −
h1 i3 +
h1 i2
h2 ∂ u2h3 ∂ u3
h1 h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u3
1 ∂
F2 ∂
F2 ∂
1 ∂
−
→
−
→
−
→
−
→
F2 i3 −
F2 i1 +
h2 i3 −
h2 i1+
h1 ∂ u1h3 ∂ u3
h1 h2 ∂ u1
h2 h3 ∂ u3
1 ∂
1 ∂
F3 ∂
F3 ∂
−
→
−
→
−
→
−
→
−
F3 i2 +
F3 i1 −
h3 i2 +
h3 i1
h1 ∂ u1h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u1
h2 h3 ∂ u2
1
∂
1
∂
1
∂
1
∂
−
→
−
→
−
→
−
→
=−
h1 F1 i3 +h1 F1 i2 +h2 F2 i3 −h2 F2 i1
h1 h2 ∂ u2
h1 h3 ∂ u3
h1 h2 ∂ u1
h2 h3 ∂ u3
1
∂
1
∂
−
→
−
→
−
h3 F3 i2 +h3 F3 i1
h1 h3 ∂ u1
h2 h3 ∂ u2
上式から、

(
)
(
)
1
∂
∂
1
∂
∂
−
→
−
→
h3 F3 −
h2 F2 i1 +h1 F1 −
h3 F3 i2h2 h3 ∂ u2
∂ u3
h1 h3 ∂ u3
∂ u1
(
)
1
∂
∂
−
→
+
h2 F2 −
h1 F1 i3
h1 h2 ∂ u1
∂ u2

−
→
∇ × F == +(B.3.16)

付 録B

682
上記までの式をまとめる。ここでベクトルをマトリックスで表現する。

座標変換

上記の結果をプログラムすると、/* 直角座標系 */kill(all);

 
F1
−
→  
F = F2 F3 d (B.3.17)

 dh1 F∇F =  d u2  dh2 (B.3.18)

depends([x,y,z,F],[u[1],u[2],u[3]]);
DS1:(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2;
DS2:(ds)^2=h[1]^2*(du[1])^2+h[2]^2*(du[2])^2+h[3]^2*(du[3])^2;

d u1 F

DX1:dx=diff(x,u[1])*du[1]+diff(x,u[2])d u3 F*du[2]+diff(x,u[3])*du[3];DY1:dy=diff(y,u[1])*du[1]+diff(y,u[2])h3*du[2]+diff(y,u[3])*du[3];
−
→
∇F =

1
∂
(F1 h2 h3 )h1 h2 h3 ∂ u1
1∂+
(F2 h1 h3 )h1 h2 h3 ∂ u2
1∂+
(F3 h1 h2 )h1 h2 h3 ∂ u3

DZ1:dz=diff(z,u[1])*du[1]+diff(z,u[2])*du[2]+diff(z,u[3])*du[3];(B.3.19)

DS2:subst([DX1,DY1,DZ1],DS1);
subst([du[2]=0,du[3]=0],DS2);
factor(%);%/(du[1])^2;

(

(
)
∂
h2 h3 ∂F∂ u1
h1 ∂ u1()∂
h1 h3 ∂+F∂ u2
h2 ∂ u2))(∂
h1 h2 ∂+F∂ u3
h3 ∂ u31∇ F =h1 h2 h3
2



(

)

H12:h[1]^2=rhs(%);
subst([du[3]=0,du[1]=0],DS2);
factor(%);(B.3.20)1∂∂h2 h3 ( ∂ u2 h3 F3 − ∂ u3 h2 F2 )

−
→ 

∇ × F =  h11h3 ∂ ∂u3 h1 F1 − ∂ ∂u1 h3 F3  (B.3.21)
(

)
∂
∂
1
h1 h2
∂ u1 h2 F2 − ∂ u2 h1 F1%/(du[2])^2;
H22:h[2]^2=rhs(%);
subst([du[1]=0,du[2]=0],DS2);
factor(%);%/(du[3])^2;
H32:h[3]^2=rhs(%);
DF1:\nabla*F=matrix([ 1/h[1]*’diff(F,u[1],1) ],[ 1/h[2]*’diff(F,u[2],1) ],[ 1/h[3]*’diff(F,u[3],1) ]);DF2:\nabla*F=1/(h[1]*h[2]*h[3])*(’diff((h[2]*h[3]*F[1]),u[1],1)+ ’diff((h[3]*h[1]*F[2]),u[2],1)+ ’diff((h[1]*h[2]*F[3]),u[3],1));
DF3:\nabla^2*F=1/(h[1]*h[2]*h[3])*(’diff(h[2]*h[3]/h[1]*’diff(F,u[1]),u[1])+’diff(h[1]*h[3]/h[2]*’diff(F,u[2]),u[2])+’diff(h[2]*h[1]/h[3]*’diff(F,u[3]),u[3]));
DF4:\nabla*F=matrix([ 1/(h[2]*h[3])*(’diff((h[3]*F[3]),u[2],1)-’diff((h[2]*F[2]), u[3],1) )],[ 1/(h[3]*h[1])*(’diff((h[1]*F[1]),u[3],1)-’diff((h[3]*F[3]),u[1],1) )],[1/(h[1]*h[2])*(’diff((h[2]*F[2]),u[1],1)-’diff((h[1]*F[1]),u[2],1) )]);

B.3. 直交曲線座標系への座標変換

683(B.3.18) 式に (B.3.23) 式、(B.3.24) 式を代入し、

円柱座標系

d



dr F
 d 
∇ F =  d θr F ddt F/* 円柱座標系 */depends([x,y,z,F],[r,\theta,t]);
X1:x=r*cos(\theta);(B.3.19) 式に (B.3.23) 式、(B.3.24) 式を代入し、

Y1:y=r*sin(\theta);

d
F2
−
→
F1
d
d
∇ F = dθ
+
+
F3 +
F1
r
r
dt
dr

Z1:z=t;U1:u[1]=r;
U2:u[2]=\theta;(B.3.20) 式 (B.3.23) 式、(B.3.24) 式を代入し、

U3:u[3]=t;
subst([U1,U2,U3],H12);
subst([X1,Y1,Z1],%);

∇ F =
2

(B.3.21) 式に (B.3.23) 式、(B.3.24) 式を代入し、
ddd θ F3
−
F
r
dt 2

−
→ 
d
d

∇ ×F =
F
−
1


dt
d r F3ev(%,diff);trigsimp(%);
H13:h[1]=1;
subst([U1,U2,U3],H22);dev(%,diff);trigsimp(%);
H23:h[2]=r;
subst([U1,U2,U3],H32);
subst([X1,Y1,Z1],%);
ev(%,diff);trigsimp(%);
H33:h[3]=1;
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF1);ev(%,diff);
expand(%);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF2);ev(%,diff);
DF21:expand(%);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF3);ev(%,diff);
expand(%);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF4);ev(%,diff);
expand(%);
xyz 座標と円柱座標の関係式は、
y = r sin (θ) ,z=t(B.3.22)円柱座標の変数は、

u1 = r,u2 = θ,u3 = t(B.3.23)(B.3.5) 式に (B.3.22) 式、(B.3.23) 式を代入し、
h1 = 1,h2 = r,F− d θr 1 + Fr2 + ddr F2

subst([X1,Y1,Z1],%);

x = r cos (θ) ,

d2
d
d2
d2
d θ2 F
dr F
+
F
+
F
+
r2
d t2
d r2
r

h3 = 1(B.3.24)

付 録B

684
極座標系

座標変換

(B.3.18) 式に (B.3.26) 式、(B.3.27) 式を代入し、
dF
 ddr F dθ∇F = 
 dr 

/* 極座標系 */dϕ Fr sin(θ)

depends([x,y,z,F],[r,\theta,\phi]);
X1:x=r*cos(\phi)*sin(\theta);(B.3.19) 式に (B.3.26) 式、(B.3.27) 式を代入し、

Y1:y=r*sin(\phi)*sin(\theta);
Z1:z=r*cos(\theta);

d
d
F2
−
→ F2 cos (θ)
2 F1dd ϕ F3
∇F =
+
+ dθ
+
+
F1
r sin (θ)
r sin (θ)
rrdrU1:u[1]=r;
U2:u[2]=\theta;(B.3.20) 式に (B.3.26) 式、(B.3.27) 式を代入し、

U3:u[3]=\phi;subst([U1,U2,U3],H12);
subst([X1,Y1,Z1],%);

d2∇2 F = d θ 2r2ev(%,diff);+trigsimp(%);
H13:h[1]=1;

F

+

)
)
(
(
cos (θ) ddθ F
2 ddr Fd2+F+
r2 sin (θ)
d r2
r

d2
d ϕ2 F2

r2 sin (θ)

subst([U1,U2,U3],H22);(B.3.21) 式に (B.3.26) 式、(B.3.27) 式を代入し、subst([X1,Y1,Z1],%);

ev(%,diff);
H23:h[2]=r;
subst([U1,U2,U3],H32);
subst([X1,Y1,Z1],%);
ev(%,diff);trigsimp(%);
H33:h[3]=r*sin(\theta);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF1);ev(%,diff);
expand(%);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF2);ev(%,diff);
expand(%);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF3);ev(%,diff);
expand(%);
subst([H13,H23,H33,U1,U2,U3],DF4);ev(%,diff);
expand(%);
xyz 座標と極座標の関係式は、
x =cos (ϕ) r sin (θ) ,y = sin (ϕ) r sin (θ)(B.3.25)z =r cos (θ)
極座標の変数は、

u1 = r,u2 = θ,u3 = ϕ(B.3.26)(B.3.5) 式に (B.3.25) 式、(B.3.26) 式を代入し、
h1 = 1,h2 = r,dd
F3 cos(θ)
d ϕ F2d θ F3r sin(θ) − r sin(θ) +r−→  ddϕ F1
F3
d∇ ×F =
 r sin(θ) − r − d r F3 dF− d θr 1 + Fr2 + ddr F2

trigsimp(%);

h3 = r sin (θ)(B.3.27)

685

付 録C

Maxima によるベクトルとテンソル演算

演習問題を解くに当たり、ベクトルとテンソルの基本的な関係を、Maxima を使って簡単な説明を以下に示す。
詳細な説明は数学や物理の解説書や Maxima の解説書

係数の積ベクトルに係数をかける演算は下記で得られる。

a*MTA;

を参考願う。

C.1

C.2.2



A1 a
−
→ 

a A = A2 aA3 a

ベクトルの表現ベクトルの表現方法として、下記の横マトリックス、

MTAR:matrix([A[1],A[2],A[3]]);

C.2.3
−
→ (
A = A1)A2

A3

ベクトル各要素同士の積ベクトル同士の積の結果は下記となる。

MTA*MTB;と下記の縦マトリックスの表現がある。ここでは、式A1 B 1
A2 B2 
A3 B 3の表現などから下記の縦マトリックスを使用する。

MTA:matrix([A[1]],[A[2]],[A[3]]);
 
A1
−
→  
A = A2 
A3

C.2.4

内積（スカラー積）ベクトルの内積は下記で得られる。

SPR:MTA.MTB;

C.2

ベクトルの演算

C.2.1

和

−
→ −
→
A · B = A3 B3 + A2 B2 + A1 B1ベクトルの和は下記で得られる。
MTA:matrix([A[1]],[A[2]],[A[3]]);

MTB:matrix([B[1]],[B[2]],[B[3]]);
MTSUM:MTA+MTB;

SPRAB:MTA.MTB;
SPRBA:MTB.MTA;
expand(SPRAB-SPRBA);

 
A1
−
→  
A = A2 
A3
 
B1
−
→  
B = B2 
B3
B 1 + A1
−
→ −
→ 

A + B = B2 + A2 
B 3 + A3ベクトルの内積の順序を入れ替えても変わらない。

−→ −→A · B = A3 B 3 + A2 B 2 + A1 B 1−→ −→B · A = A3 B3 + A2 B2 + A1 B1
−
→ −
→ −
→ −
→
A·B =B·A(C.2.1)

付 録C

686

C.2.5

内積（スカラー積）の分配法則

MTC:matrix([C[1]],[C[2]],[C[3]]);C.2.7

Maxima によるベクトルとテンソル演算

外積（ベクトル積）の分配法則

VPRABC:col(adjoint(transpose(addcol(MTA,

MTBC:MTB+MTC;

MTBC,matrix([1],[1],[1])))),3);

MTABC:MTA.MTBC;VPRAB:col(adjoint(transpose(addcol(MTA,MTB,

MTAB:MTA.MTB;

matrix([1],[1],[1])))),3);

MTAC:MTA.MTC;

VPRAC:col(adjoint(transpose(addcol(MTA,MTC,

MTABC1:MTAB+MTAC;

matrix([1],[1],[1])))),3);

expand(MTABC-MTABC1);

expand(VPRABC-(VPRAB+VPRAC));ベクトルの内積の分配は、ベクトルの外積の分配は、

A2 (C3 + B3 ) − (C2 + B2 ) A3
−
→
−
→ −
→


A × ( B + C ) = (C1 + B1 ) A3 − A1 (C3 + B3 )

−
→ −
→ −
→
A · ( B + C ) =A3 (C3 + B3 ) + A2 (C2 + B2 )+ A1 (C1 + B1 )

A1 (C2 + B2 ) − (C1 + B1 ) A2


A2 B3 − B2 A3
−
→ −
→ 

A × B = B1 A3 − A1 B3 
A1 B2 − B1 A2

A2 C3 − C2 A3
−
→ −
→ 

A × C = C1 A3 − A1 C3 −→ −→A · B = A3 B 3 + A2 B 2 + A1 B 1−→ −→A · C = A3 C 3 + A2 C 2 + A1 C 1
以上から、

−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −
→
A · (B + C ) = A · B + A · C(C.2.2)A1 C2 − C1 A2
以上から、

C.2.6

外積（ベクトル積）

−
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −
→
A × (B + C ) = A × B + A × C(C.2.4)ベクトルの外積は下記で得られる。

C.2.8

col(adjoint(transpose(addcol(MTA,MTB,

スカラー３重積

matrix([1],[1],[1])))),3);
VPRBC:col(adjoint(transpose(addcol(MTB,MTC,
A2 B3 − B2 A3
−
→ −
→ 

A × B = B1 A3 − A1 B3 
A1 B2 − B1 A2matrix([1],[1],[1])))),3);SPRABC:MTA.(VPRBC);SPRBCA:MTB.(-VPRAC);SPRCAB:MTC.VPRAB;VPRAB:col(adjoint(transpose(addcol(MTA,MTB,

expand(SPRBCA-SPRCAB);

matrix([1],[1],[1])))),3);
VPRBA:col(adjoint(transpose(addcol(MTB,MTA,
matrix([1],[1],[1])))),3);
expand(VPRAB-(-VPRBA));
ベクトルの外積の順序を入れ替えると、負となる。


A2 B3 − B2 A3
−
→ −
→ 

A × B = B1 A3 − A1 B3 
A1 B2 − B1 A2

−
→ −
→ −
→
A · ( B × C ) =A1 (B2 C3 − C2 B3 )+ A2 (C1 B3 − B1 C3 )+ (B1 C2 − C1 B2 ) A3
−
→ −
→ −
→
B · ( C × A ) =B1 (C2 A3 − A2 C3 )+ B2 (A1 C3 − C1 A3 )+ (C1 A2 − A1 C2 ) B3
−
→ −
→ −
→
C · ( A × B ) = (A1 B2 − B1 A2 ) C3

B 2 A3 − A2 B 3
−
→ −
→ 

B × A = A1 B3 − B1 A3 
B 1 A2 − A1 B 2
−
→ −
→
−
→ −
→
A × B = −B × A

expand(SPRABC-SPRBCA);+ C1 (A2 B3 − B2 A3 )+ C2 (B1 A3 − A1 B3 )(C.2.3)

以上から

−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
A · ( B × C ) = B · ( C × A ) = C · ( A × B ) (C.2.5)

C.2. ベクトルの演算

687

ベクトル３重積

C.2.9

C.2.10ベクトルの外積の入れ替えの関係式から、ベクトルの座標変換

ベクトルの座標変換は座標変換マトリックス：L を使

−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
A ×( B × C ) = A ×( C × B ) = ( C × B )× A ) (C.2.6)

用して行う。
/* ベクトルの座標変換 */TNL2:matrix([l[11],l[12],l[13]],[l[21],VPRABC1:col(adjoint(transpose(addcol(MTA,l[22],l[23]],[l[31],l[32],l[33]]);
MTB=TNL2.MTA;

VPRBC,matrix([1],[1],[1])))),3);
PMTB:p*MTB;

TRRE:TNL2.transpose(TNL2)=ident(3);QMTC:q*MTC;

TR11:lhs(TRRE)[1][1]=1;

PAC:p=MTA.MTC;

TR12:lhs(TRRE)[2][2]=1;

QAB:q=MTA.MTB;

TR13:lhs(TRRE)[3][3]=1;

VPRABC2:subst([PAC],PMTB)-subst([QAB],

TR14:lhs(TRRE)[1][2]=0;

QMTC);

TR15:lhs(TRRE)[1][3]=0;

expand(VPRABC1-VPRABC2);
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −
→
A × ( B × C ) について考える。 B × C は B と C
−
→
−
→ −
→
−
→
の作る面に垂直である。また、 A × ( B × C ) は A と
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
B × C の作る面に垂直である。以上から、A ×( B × C )−→ −→は B と C の作る面内にある。これを式で書くと、
−
→
−
→ −
→
−
→
−
→
A × (B × C ) = pB + q C
−
→
−
→ −
→
A × (B × C )
A2 (B1 C2 − C1 B2 ) − A3 (C1 B3 − B1 C3 )= A3 (B2 C3 − C2 B3 ) − A1 (B1 C2 − C1 B2 )
A1 (C1 B3 − B1 C3 ) − A2 (B2 C3 − C2 B3 )TR16:lhs(TRRE)[2][3]=0;
座標変換マトリックス：L として、

l11 l12 l13
L = l21 l22 l23 
l31

l32

 


B1
A3 l13 + A2 l12 + A1 l11
−
→  
−
→ 

B = B2  = L A = A3 l23 + A2 l22 + A1 l21 B3
A3 l33 + A2 l32 + A1 l31
座標変換マトリックスは下記の関係がある。


1 0 0


LLT = 0 1 0

0

−
→ −
→
−
→ −
→
p = A · C 、q = − A · B とすると、

l33

0

1

即ち、

p = A3 C3 + A2 C2 + A1 C1
q = A3 B3 + A2 B2 + A1 B1
−
→ −
→−
→
−
→ −
→−
→
( A · C ) B + (− A · B ) C
B1 (A3 C3 + A2 C2 + A1 C1 ) − C1 (A3 B3 + A2 B2 + A1 B1 )
= B2 (A3 C3 + A2 C2 + A1 C1 ) − C2 (A3 B3 + A2 B2 + A1 B1 )
B3 (A3 C3 + A2 C2 + A1 C1 ) − (A3 B3 + A2 B2 + A1 B1 ) C3
以上から、

−
→
−
→ −
→
−
→ −
→−
→
−
→ −
→−
→
A × (B × C ) = ( A · C )B − ( A · B )C

(C.2.7)

2
2
2
l13
+ l12
+ l11
=1
2
2
2
l23
+ l22
+ l21
=1
2
2
2
l33
+ l32
+ l31
=1

l13 l23 + l12 l22 + l11 l21 = 0
l13 l33 + l12 l32 + l11 l31 = 0
l23 l33 + l22 l32 + l21 l31 = 0

付 録C

688

C.3

ベクトルの微分

微分演算で gradient,divergence,rotation を演算する場

grad (ux (x, y, z))合、load(”vect”)$ を事前に実行しておく必要がある。

C.3.1

=[

d
d
d
ux (x, y, z) ,ux (x, y, z) ,ux (x, y, z)]
dx
dy
dz

微分

ベクトルを微分すると下記となる。
MTVU:matrix([u[x](x,y,z)],[u[y](x,y,z)],grad(MTVU);[u[z](x,y,z)]);ev(%,diff);

MTVV:matrix([v[x](x,y,z)],[v[y](x,y,z)],

express (%);

ux (x, y, z)
grad uy (x, y, z)uz (x, y, z) d  d u (x, y, z)  d
u (x, y, z)u (x, y, z)
dy x
dx x
dz x


d
d
d
=[ d x uy (x, y, z) ,  d y uy (x, y, z) ,  d z uy (x, y, z)]dddu (x, y, z)u (x, y, z)u (x, y, z)
dx z
dz z
dy z

[v[z](x,y,z)]);diff(MTVU,x,1);ux (x, y, z)−→u = uy (x, y, z)
uz (x, y, z)vx (x, y, z)−→v = vy (x, y, z)

grad(transpose(MTVU));
express (%);

vz (x, y, z) d
d x ux (x, y, z)
d −


→
u =  ddx uy (x, y, z)
dxdd x uz (x, y, z)ev(%,diff);((
grad

diff(MTVU*MTVV,x,1);
(



)

(

)

d
vx (x, y, z) + vx (x, y, z) ddx ux (x, y, z)

(dx
)
(
)


d
 uy (x, y, z) d x vy (x, y, z) + vy (x, y, z) ddx uy (x, y, z) 

(
)
(
)
uz (x, y, z) ddx vz (x, y, z) + vz (x, y, z) ddx uz (x, y, z)ux (x, y, z)

gradient（傾き）))ux (x, y, z) uy (x, y, z) uz (x, y, z)(=[ ddx ux (x, y, z)(dd y ux (x, y, z)(dd z ux (x, y, z)

C.3.3
C.3.2

Maxima によるベクトルとテンソル演算)dd x uy (x, y, z)dd x uz (x, y, z),dd y uy (x, y, z)dd y uz (x, y, z),dd z uy (x, y, z)dd z uz (x, y, z)))

divergence（発散）ベクトルの divergence は下記となる。

ベクトルの gradient は下記となる。

div ([x^2, y^2, z^2]);
grad (x^2 + y^2 + z^2);express (%);

express (%);

ev (%, diff);ev (%, diff);()
grad z 2 + y 2 + x2
) d ( 2)d ( 2=[z + y 2 + x2 ,z + y 2 + x2 ,
dx
dy
)
d ( 2
z + y 2 + x2 ]dz=[2 x, 2 y, 2 z]()
div [x2 , y 2 , z 2 ]
=

d 2
d 2
d 2
z +
y +
x
dz
dy
dx

=2 z + 2 y + 2 x

div(transpose(MTVU)[1]);express (%);
ev(%,diff);

grad(u[x](x,y,z));express (%);

div ([ux (x, y, z) , uy (x, y, z) , uz (x, y, z)])ev(%,diff);

=

d
d
d
uz (x, y, z) +uy (x, y, z) +ux (x, y, z)
dz
dy
dx

]

C.3. ベクトルの微分

C.3.4

689

rotation（回転）C.3.6

ベクトルの rotation は下記となる。

curl ([x^2, y^2, z^2]);express (%);

div(grad )),div(curl( )),curl(grad( )),curl(curl( ))grad,div,curl の組み合わせの関係式を求める。
depends(f,[x,y,z]);ev (%, diff);

depends(g,[x,y,z]);depends(h,[x,y,z]);()
curl [x2 , y 2 , z 2 ]/* div(grad f) */NAB:grad(f);d 2
d 2 d 2d 2 d 2
d 2
=[
z −
y ,
x −
z ,
y −
x ]
dy
dz
dz
dx
dx
dy
=[0, 0, 0]transpose(express(%));
div(transpose(%)[1]);express(%);/*div(curl) */curl(transpose(MTFGH)[1]);curl(transpose(MTVU)[1]);transpose(express(%));

express (%);

div(transpose(%)[1]);ev(%,diff);

express(%);
ev(%,diff);curl ([ux (x, y, z) , uy (x, y, z) , uz (x, y, z)])dd=[uz (x, y, z) −uy (x, y, z) ,
dy
dz
d
d
ux (x, y, z) −uz (x, y, z) ,
dz
dx
d
d
uy (x, y, z) −ux (x, y, z)]
dx
dy

C.3.5

depends 関数を使った微分

depends 関数を用いれば、下記に示すような展開形式の微分も扱える。ただし、使用できる変数、関数は一文字で表現し、サフィックスは使用できない。
depends(r,[t,x,y]);depends(\theta,[t,x,y]);depends(z,[t]);depends(A,[r,\theta,z]);ADFX1:’diff(A,x,1)=diff(A,x,1);
変数の定義は、/* curl(grad f) */NAB:grad(f);transpose(express(%));
curl(transpose(%)[1]);express(%);
上記の grad, div, curl から、下記の関係を得る。
(
)
d
d
d
div (grad (f )) =div [f,f,f]
dx dy dz
(C.3.1)
d2
d2
d2
= 2f+
f+
f
dz
d y2
d x2
div (curl ([f, g, h]))
)
(
d
d
d
d
d
d
h−
g,
f−
h,
g−
f]
=div [
dy
dz dz
dx dx
dy
)
)
(
(
d
d
d
d
d
d
=
h−
g +
f−
h
dx dy
dz
dy dz
dx
(
)
d
d
d
+
g−
f
dz dx
dy
=0
(C.3.2)r (t, x, y) , θ (t, x, y) , z (t)関数の定義は、(
curl (grad (f )) =curl [A (r, θ, z)

d
d
d
f,
f,
f]
dx dy dz)
(C.3.3)=[0, 0, 0]
A を x で微分すると、
(
)(
) (
)(
)
d
d
d
d
d
A=
θ
A +
r
A
dx
dx
dθ
dx
dr

いま、下記のように ∇ を定義すると、

∇=

→
d −
d −
d −
→
→
i +
j +
k
dx
dy
dz

(C.3.4)

下記の関係を得る。

∇ f = grad(f )−→−→∇ · A = div A−→−→∇ × A = curl A(C.3.5)(C.3.6)(C.3.7)

付 録C

690
curl(curl( )) については、下記のように表現できる。
−→−→
curl (curl C ) = ∇ × (∇ × C )∇ を使った演算

C.3.7∇ は下記の微分を含んだベクトルの式とする。
∇=

３ベクトルの外積の (C.2.7) 式から、−→−→
curl (curl C ) =∇ × (∇ × C )−→−→=(∇ · C )∇ − (∇ · ∇) C )−→−→=∇(∇ · C ) − ∇2 C−→−→
=grad(div C ) − ∇2 C

Maxima によるベクトルとテンソル演算(C.3.8)

→
d −
d −
d −
→
→
i +
j +
k
dx
dy
dz

(C.3.9)

また、行列表記すると、
d
dx

d
∇ =  dyddz

∇ とスカラー積 → grad
kill(all);load("vect")$
depends([f,g,h],[x,y,z]);depends([a,b,c],[x,y,z]);
MTA:matrix([a],[b],[c]);MTB:matrix([f],[g],[h]);NABM:matrix([d/dx],[d/dy],[d/dz]);
NABM*f;grad(f);transpose(express(%));−→−→
ベクトル： A 、ベクトル： B を下記とする。
 
 
f
a
−
→  
−
→  
A = b , B = g hc
∇ とスカラー：f の積は、
df 
dx

 
∇ f =  ddyf dfdz

上記は grad (f ) であり、次の公式となる。

 d



dx f
 d 
∇ f = grad (f ) =  d y f ddz f(C.3.10)∇ と内積 → div
NABM.MTB;
div(transpose(MTB)[1]);express(%);−→∇ とベクトル： B の内積は、−→ dh dg df
∇B =
+
+
dz
dy
dx
(−
)
→
上記は div B であり、次の公式となる。
−
→
d
d
d
∇ B = div ([f, g, h]) =h+g+f (C.3.11)
dz
dy
dx

C.3. ベクトルの微分691∇ と外積 → curl∇2

col(adjoint(transpose(addcol(NABM,MTB,

expand((NABM.NABM)*f);

matrix([1],[1],[1])))),3);curl(transpose(MTB)[1]);NAB:grad(f);transpose(express(%));

div(transpose(%)[1]);ev(%,diff);

express(%);−→∇ とベクトル： B の外積は、
dh dg− dz−→  ddyf∇ × B =  dz − ddxh expand((NABM.NABM)*MTB);

transpose(express(%));

matrix([div(grad(MTB[1][1]))],[div(grad(MTB[2][1]))],[div(grad(MTB[3][1]))]);dgdf
dx − dy

express(%);(−→)
上記は curl B であり、次の公式となる。
 d



d
dy h − dz g
−
→
d

d
∇ × B = curl ([f, g, h]) =  d z f − d x h (C.3.12)dddx g − dy f

∇2 は、∇ の内積で、∇2 はスカラーであり、∇2 = (∇ ∇) =

d2
d2
d2
+
+
dz 2
dy 2
dx2

∇2 とスカラー：f の積は、
∇2 f =

d2 f
d2 f
d2 f
+
+
dz 2
dy 2
dx2

上記は div (grad (f )) であり、次の公式となる。
(
)
d
d
d
∇2 f =div (grad (f )) = div [f,f,f]
dx dy dz

=

d2
d2
d2
f+
f+
f
2
2
dz
dy
d x2
(C.3.13)−→∇2 とベクトル： B の積は、
 2

d f
d2 f
d2 f
+
+
2
2
2

2
−
→  ddz2 g ddy2 g ddx
g∇2 B =  dz2 + dy2 + dx2 22d2 h+ ddy2h + ddxh2
dz 2
上記は div (grad (ベクトルの各要素)) であり、次の公
式となる。



div (grad (f ))−→ ∇2 B =  div (grad (g)) 
div (grad (h))
 d2

d2
d2
d z 2 f + d y 2 f + d x2 f
2
2
 2

=  ddz2 g + ddy2 g + ddx2 g d2
d2
d2
d z 2 h + d y 2 h + d x2 h

(C.3.14)

付 録C

692

Maxima によるベクトルとテンソル演算

(−
→ −
→)
∇ A·B

(−
→ −
→)
∇ A×B
∇ を作用させないものにサフィックス：0 を付けると、下記のように書ける。
(−
(−
(−
→ −
→)
→ −
→)
→ −
→)
∇ A × B = ∇ A × B 0 + ∇ A0 × B∇ を作用させないものにサフィックス：0 を付けると、下記のように書ける。
(−
(−
(−
→ −
→)
→ −
→)
→ −
→)
∇ A · B = ∇ A0 · B + ∇ B 0 · A

スカラー 3 重積：(C.2.5) 式から、
(−
(−
(−
→ −
→)
→ −
→)
→ −
→)
∇ A × B =∇ A × B0 + ∇ A0 × B
−
→(
−
→) −
→(
−
→)
=B0 ∇ × A − A0 ∇ × B

ベクトル 3 重積：(C.2.7) 式から下記となる。
(−
(
) −
→ −
→)
−
→
−
→) (−
→
→
∇ A0 · B = A0 × ∇ × B + A0 · ∇ · B

上式から、
(−
→ −
→) −
→(
−
→) −
→(
−
→)
∇ A × B = B ∇ × A − A ∇ × B (C.3.15)

以上から、
(−
→ −
→)
∇ A·B
(
−
→
−
→) (−
→ ) −
→
= A × ∇ × B + A∇ ·B
(
−
→
−
→) (−
→ ) −
→
+B × ∇× A + B∇ ·A

(−
(
) −
→ −
→)
−
→
−
→) (−
→
→
∇ B0 · A = B0 × ∇ × A + B0 · ∇ · A

(−
→ −
→)
∇× A × B∇ を作用させないものにサフィックス：0 を付けると、下記のように書ける。
(−
(−
(−
→ −
→)
→ −
→)
→ −
→)
∇ × A × B = ∇ × A × B 0 + ∇ × A0 × B
ベクトル 3 重積：(C.2.7) 式から下記となる。ここで、
−
→
−
→
−
→
−
→
∇A0 → A0 ∇、∇B0 → B0 ∇ とする。
(−
→
→ ( −
→) −
→
−
→) (−
→ )−
∇ × A × B0 = B0 ∇ A − ∇ A B0

(−
→
→ )−
→ (−
→
−
→) ( −→) −∇ × A0 × B = ∇ B A0 − A0 ∇ B
以上から、
(−
→ −
→)
∇× A × B
(−
(−
→ −
→)
→ −
→)
= ∇ × A × B 0 + ∇ × A0 × B
(−
→ )−
→ ( −
→) −
→
= B0 ∇ A − ∇ A B0
( −
→) −
→ (−
→ )−
→
+ ∇ B A0 − A0 ∇ B
上式から、
(−
→ −
→)
∇× A × B
(−
→ )−
→ ( −
→) −
→
= B∇ A − ∇A B
( −
→) −
→ (−
→ )−
→
+ ∇B A − A ∇ B(C.3.16)(C.3.17)

C.3. ベクトルの微分

693

(−
→ )−
→
A∇ B

物質微分 (時間微分)
まず、時間に関係しているベクトルの微分について、−→→
位置ベクトル：−r 、時間：t とすると、速度： V は、

(C.3.16) 式から、
(−
→
→ )−
A∇ B
(−
→ )−
→ ( −
→) −
→
= B∇ A − ∇A B
( −
(−
→) −
→
→ −
→)
+ ∇B A − ∇ × A × B

−
→
d−
→
V =
r
dt
変数：α が時間と位置により変化するとすると、→
α = f (−
r , t)(C.3.17) 式から、
(−
→ ) −
→
A∇ ·B
(−
(
→ −
→) −
→
−
→)
=∇ A·B −A × ∇ × B
(
−
→
−
→) (−
→ ) −
→
−B × ∇× A − B∇ ·A
上記二式の和を取ると、
(−
→ ) −
→
A∇ ·B
(
( −
→
→) −
1
=
− ∇A B
2
( −
(−
→) −
→
→ −
→)
+ ∇B A − ∇ × A × B
(−
(
→ −
→) −
→
−
→)
+∇ A · B − A × ∇ × B
)
(
−
→
−
→)
−B × ∇× A

上式を時間：t で微分すると、

d
∂
d−
∂
→
→
r , t)
α= α+
r → f (−
dt∂t
dt ∂ −r−→ ∂∂→= α+ V −f (−r , t)
∂t
∂→
r
−
→ ∂
∂
= α+ V −
α
∂t
∂→
r
上式から、

(C.3.18)

→
→ −
→ −
→
d−
∂ −
A =
A + V ∇A
dt
∂t

−
→
−
→
いま、上式を B → A と置くと、(−(→ 1 (−
→ )−
→ ) −
→
−
→)
A ∇ A = ∇ A2 − A × ∇ × A(C.3.19)2(−→ )∇ × Aϕ
(−
(−
(−
→ )
→ )
→ )
∇ × A ϕ =∇ × A0 ϕ + ∇ × A ϕ0
(
−
→
−
→)
= − A × (∇ ϕ) + ϕ ∇ × A

−
→
d
∂
α=
α + V ∇αdt∂t−→
いま、(C.3.21 ) 式で α → A と置くと、(C.3.20)(C.3.21)(C.3.22)

付 録C

694

C.4

テンソル

C.4.1

テンソルの演算C.4.2

Maxima によるベクトルとテンソル演算

テンソルの行列式テンソルの行列式その行列の行列式であると定義する。
/* テンソル（行列式） */MTA:matrix([A[1]],[A[2]],[A[3]]);

TN41:determinant(TNL);

MTB:matrix([B[1]],[B[2]],[B[3]]);

TN42:determinant(TNL.TNM);

TNL:matrix([l[11],l[12],l[13]],[l[21],TN43:determinant(TNL)*determinant(TNM);

l[22],l[23]],[l[31],l[32],l[33]]);
TNM:matrix([m[11],m[12],m[13]],[m[21],expand(TN42-TN43);
下記のテンソルの積の行列式はそれぞれの行列式の式に

m[22],m[23]],[m[31],m[32],m[33]]);等しくなる。

MTB=TNM.MTA;−→ −→ベクトル： A 、 B 、テンソル：L、M を下記のように定
義する。


l11

L = l21
l31

 
A1
−
→  
A = A2 A3l12 l13
l22 l23 l32 l33

 
B1
−
→  
B = B2 
B3m11 m12
M = m21 m22


m23 

m31

m33

m32

C.4.3

m13



テンソルは下記の様式で使われることが多い。Maxima
ではテンソル同士の積やベクトルとの積を.

を使って演算できる。
 B1
A3 m13 + A2 m12 + A1 m11
−
→  
−
→ 

B = B2  = M A = A3 m23 + A2 m22 + A1 m21 

B3

A3 m33 + A2 m32 + A1 m31

また、下記のように積の展開などが行える。

−
→ −
→
−
→
−
→
M(A + B ) = M A + M B−→−→
M (k A ) = k(M A )−→−→M (L A ) = (M L) A
この確かめ算を下記に示す。
TN11:TNM.(MTA+MTB);

TN12:TNM.MTA+TNM.MTB;
expand(TN11-TN12);

det[LM ] = det[L]det[M ]二階テンソルの座標変換/* テンソル（座標変換１） */TN51:MTA.transpose(MTB);
TN52:TNL.MTA;
TN53:TNL.MTB;
TN54:transpose(MTB).transpose(TNL);
TN55:TN52.TN54;
TN56:(TNL.TN51).transpose(TNL);
expand(TN55-TN56);−→ −→ベクトル A と B を使った下記のテンソル：C からテンソルの座標変換法を調べる。
 
A1
−
→−
→T   (C = A B = A2  B1

)
B2

B3

A3

A1 B 1= B1 A2A2 B2

A2 B 3 

B 1 A3B 2 A3A3 B 3

A1 B2

A1 B 3/* テンソル（座標変換１） */TN51:MTA.transpose(MTB);
TN52:TNL.MTA;

TN21:TNM.(k*MTA);
TN22:k*(TNM.MTA);
expand(TN21-TN22);

TN53:TNL.MTB;
TN54:transpose(MTB).transpose(TNL);
TN55:TN52.TN54;
TN56:(TNL.TN51).transpose(TNL);

TN31:TNL.TNM;
TN32:TNM.(TNL.MTA);
TN33:(TNM.TNL).MTA;
expand(TN32-TN33);

expand(TN55-TN56);
座標変換マトリックス：L とすると、

l11 l12 l13
L = l21 l22 l23 
l31

l32

−
→
−
→
ベクトル A は L A で、
−
→T
−
→T T
B は B L で変換できる 。

l33

C.4. テンソル695以上から、上記のテンソルは下記の方法で座標変換でき

2
2
2
l32
+ l22
+ l12
=1

る 31) 。

2
2
2
l33
+ l23
+ l13
=1

−
→−
→
C ′ = L A B T LT = LCLT−→−→
B = M A において、座標変換を行う。上記の結果か−→−→ら、M → LM LT 、 A → L A となり、合わせると、−→′−→
B = LM LT L A
ここで LT L について調べる。xyz 座標の各座標の単位
→
−
→ −
→ −
ベクトルを i 、 j 、 k とし、x′ y ′ z ′ 座標の各座標の単→→→位ベクトルを −e 、−e 、−e とする。この関係を下図に示
12l31 l32 + l21 l22 + l11 l12 = 0l32 l33 + l22 l23 + l12 l13 = 0
l31 l33 + l21 l23 + l11 l13 = 0
上式を LT L に代入すると下記の単位マトリクスとなる。


1 0 0


LT L = 0 1 0

3

0

0

1

す。
この結果から下記となり、確かに座標変換されている。

−
→′
−
→
−
→
−
→
B = LM LT L A = LM A = L B

C.4.4

テンソルの不変量

テンソル：M 、座標変換マトリックス：L とする。このとき座標変換後も対角要素の和：m33 + m22 + m11 が一定であることを示す。
/* テンソル（不変量１） */図 C.4.1: 座標変換

TN57:(TNL.TNM).transpose(TNL);
TN571:expand(TN57[1][1]+TN57[2][2]/* テンソル（座標変換２） */+TN57[3][3]);TN572:expand(subst([TR110,TR120,TR130,
TR140*m[12],TR150*m[23],TR160*m[13]],

TN71:transpose(TNL).TNL;
EV1:TNL.matrix([1],[0],[0]);TN571));

EV2:TNL.matrix([0],[1],[0]);EV3:TNL.matrix([0],[0],[1]);TN573:expand(subst([TR140*m[21],TR150

TR11:EV1.EV1=1;*m[32],TR160*m[31]],TN572));

TR12:EV2.EV2=1;l11
L = l21
l31

TR13:EV3.EV3=1;
TR14:EV1.EV2=0;
TR15:EV2.EV3=0;
TR16:EV3.EV1=0;

l12

l13



l22


l23 

l32

l33


m11

M = m21
m31

m12

m13



m22


m23 

m32

m33

TR110:solve(TR11,l[31]^2)[1];テンソル：M を座標変換し、その対角要素の和を求め、
→
−
→ −
→ −
上記の単位ベクトル： i 、 j 、 k のスカラー積の関係

TR120:solve(TR12,l[32]^2)[1];

式を代入すると、対角要素の和が元の和となる。

TR130:solve(TR13,l[33]^2)[1];
TR140:solve(TR14,l[11]*l[12])[1];222tr(LM LT ) =l33
m33 + l23
m33 + l13
m33 + l32 m32 l33

TR150:solve(TR15,l[12]*l[13])[1];+ m23 l32 l33 + l31 m31 l33 + m13 l31 l33

TR160:solve(TR16,l[11]*l[13])[1];2+ l22 l23 m32 + l12 l13 m32 + m22 l32

subst([TR110,TR120,TR130,TR140,TR150,+ m21 l31 l32 + m12 l31 l32 + l21 l23 m31

TR160],TN71);
−
→
→
→
→
i = l11 −e1 + l21 −e2 + l31 −
e3
−
→
→
→
→
j =l −
e +l −
e +l −
e
12 1

22 2

32 3

−
→
→
→
→
k = l13 −e1 + l23 −e2 + l33 −
e3
→
−
→ −
→ −
この単位ベクトル： i 、 j 、 k のスカラー積から下記の関係を得る。

2+ l11 l13 m31 + m11 l31+ l22 l23 m23
2+ l12 l13 m23 + m13 l21 l23 + l22
m22
2
+ l12
m22 + l21 m21 l22 + m12 l21 l22
2+ l11 l12 m21 + m11 l21+ l11 l13 m13
2+ l11 l12 m12 + l11
m11=m33 + m22 + m11
2
2
2
l31
+ l21
+ l11
=1

付 録C

696
テンソル：M の主方向を選び、/* テンソル（不変量１） */C.4.5

TN61:matrix([\sigma[1],0,0],[0,\sigma[2],0],[0,0,\sigma[3]]);
TN62:matrix([\sigma,0,0],[0,\sigma,0],Maxima によるベクトルとテンソル演算

主応力

xyz 軸に対して傾斜した物体表面：ds に作用する応→力：−
p と物体要素に作用する応力の関係図と関係式を下→記に示す。−
p の xyz 軸に対する方向余弦を [l, m, n] と[0,0,\sigma]);TN63:TN61-TN62;
TN64:partfrac(expand(determinant(TN63)),\sigma);coeff(TN64,\sigma^2);-expand(coeff(TN64,\sigma));last(TN64);m11
M = m21
m31

m22

σ2


0

m32

m33

0

σ3

m13






σ1


m23  →  0

m12

0

0

0

これは座標のとり方に無関係に定まる。

σ1 − σ00det  0σ2 − σ0 00

σ3 − σ= − σ 3 + (σ3 + σ2 + σ1 ) σ 2

図 C.4.2: 物体要素の応力成分
すると、kill(all);

X1:p[x]*ds=\sigma[x]*dydz/2+\tau[yx]*dzdx/2+\tau[zx]*dxdy/2;
Y1:p[y]*ds=\sigma[y]*dzdx/2+\tau[zy]*dxdy/2+\tau[xy]*dydz/2;
Z1:p[z]*ds=\sigma[z]*dxdy/2+\tau[yz]*dzdx/2+ ((−σ2 − σ1 ) σ3 − σ1 σ2 ) σ + σ1 σ2 σ3+\tau[xz]*dydz/2;
DSLMN:[dydz=2*ds*l,dzdx=2*ds*m,dxdy=2*ds

=0

*n];
以上の結果から、第１不変量：σ3 + σ2 + σ1
第２不変量：σ2 σ3 + σ1 σ3 + σ1 σ2
第３不変量：σ1 σ2 σ3
第３不変量については、テンソル：M の座標変換したテンソルの行列式から、

det[LM LT ] = det[L]det[M ]det[LT ] = det[M ]det[LLT ]= detM ]となり、テンソルを座標変換しても元のテンソルの行列

X2:subst([DSLMN],X1);
Y2:subst([DSLMN],Y1);
Z2:subst([DSLMN],Z1);
X3:factor(X2/ds);
Y3:factor(Y2/ds);
Z3:factor(Z2/ds);
dxdy τzx
dzdx τyx
dydz σx
ds px =++
2
2
2
dxdy τzy
dzdx σydydz τxy
ds py =++
2
2
2
dzdx τyz
dydz τxz
dxdy σz++
ds pz =
22
2
[dydz = 2 ds l, dzdx = 2 ds m, dxdy = 2 ds n]
上記の関係から、式となり不変となる。

px = n τzx + m τyx + l σxpy = n τzy + m σy + l τxy
pz = n σz + m τyz + l τxz→
これをマトリックスで表現し、−
p が ds に垂直な場合、
p を σ に置き換えて、剪断応力が零となり、下記で表現
できる。

σ 0

0 σ

0

0

  
σxl  
0  m = τxy
n
σ
τxz
0

τyx
σy
τyz

 
l
 
τzy  m
n
σz

τzx

C.4. テンソル

697

MXYZL:matrix([lhs(X3)],[lhs(Y3)],[lhs(Z3)]);MXYZC:matrix([coeff(rhs(X3),l,1),coeff(rhs(X3),m,1),coeff(rhs(X3),n,1)],[coeff(rhs(Y3),l,1),coeff(rhs(Y3),m,1),
coeff(rhs(Y3),n,1)],[coeff(rhs(Z3),l,1),coeff(rhs(Z3),m,1),
coeff(rhs(Z3),n,1)]);MXYZV:matrix([l],[m],[n]);MXYZ:MXYZL=MXYZC.MXYZV;MXYZC1:MXYZC-\sigma*ident(3);MXYZC2:subst([\tau[yx]=\tau[xy],\tau[zy]=\tau[yz],\tau[xz]=\tau[zx]],
MXYZC1);
EQS:partfrac(determinant(MXYZC2)=0,\sigma);
剪断力の下記の関係を考慮して、[τyx = τxy , τzy = τyz , τxz = τzx ]下記の行列式を解くことで、主応力：σ1 , σ2 , σ3 が得られる。

σx − σ

τxy

τzx

τxy

σy − σ

τyz

=0

τzx
τyz
σz − σ( 2)22
σ τzx + (−σy − σx ) σz + τyz− σx σy + τxy
2− σy τzx+ 2 τxy τyz τzx()
22+ σ 2 (σz + σy + σx ) + σx σy − τxyσz − σx τyz− σ3 = 0
得られた主応力：σ1 , σ2 , σ3 を元の連立方程式に代入し、
方向余弦：[l, m, n] を求めることができる。

698

付 録D

よく使う Maxima の関数演習問題を解くに当たり、Maxima を使った進め方と

D.2

宣言文

ここでよく使う Maxima の関数の使用例の簡単な説明を以下に示す。詳細な説明は Maxima の解説書を参考願う。

関数定義：depends([f,g],[x,y])f, gy が変数：x, y の関数であることを宣言する。現状の関数定義の確認：dependencies;、定義の削除：remove(f, y);

D.1

wxMaxima を使用した演習の進め方

wxMaxima を使用して、入力、出力を会話形式で実行できる。しかし、トライアンドエラー的に一歩一歩進めていくので、入力結果を残しておいた方が便利である。
まず、wxMaxima の設定を確認する。wxMaxima の編
集→設定で、「Enter でセルを評価する」にチェックを入れる。ワードパッドやメモ帳などのテキストエディター
で Maxima の実行テキストを作成しておき、この評価さが他にある
kill(all);depends ([f, g], x);depends ([r, s], [u, v]);depends (u, t);dependencies;diff (r*s, u);diff (r*s, t);remove (r, dependency);diff (r.s, t);
出力結果：

せたい部分をコピーし、wxMaxima に貼り付け、Enterdone

で評価、実行できる。これを繰り返し、意図した結果と[f (x) , g (x)]なっているか確認しながら、作業を進めていくのがよいと思います。

[r (u, v) , s (u, v)]

また、最初の行には必ず、kill(all); を入力し、これま[u (t)]

での設定を解除しておく。ファイル内のリストの区切り
はセミコロン ;であるので、必ず記述の最後に ;をつける。記述が長く、２行にまたがってもよいが、必ず記述の最後につける。

リスト、TEX 出力
wxMaxima の数式出力結果を左クリックで網掛けし、
右クリックで「コピー」を選択すると、wxMaxima の実[f (x) , g (x) , r (u, v) , s (u, v) , u (t)]
(
) (
)
d
d
r
s +
r s
du
du
)(
) (
) (
)
(
d
d
d
d
s
u +
r s
u
r
du
dt
du
dt
(
r.

done
)(
)
d
d
s
u
du
dt

行テキストが得られ、テキストエディターに貼り付けす
ることができる。

変数宣言：declare(x,A)

また、wxMaxima の数式出力結果を左クリックで網掛けし、右クリックで「Latex としてコピー」を選択す
ると、Latex の実行テキストが得られる。Texworks な

変数：x に整数や実数などの属性：A を宣言する。
declare(i,integer);

どの Latex エディターに貼り付けすることができ、数式

declare(x,real);

を綺麗に出力できる文書作成フリーソフト：LATEX 2ε のdeclare(z,complex);

数式記述として使える。

D.3. 数式操作

仮定：assume(A)
変数の正負などの仮定を宣言する。現状の仮定の確認：f acts();、仮定の削除：f orget(A); が他にある。
assume(A>0);

assume(B>=2);
assume(C<1 and C>0);facts();
forget(A>0);
出力結果：

699

D.3

数式操作

数式の定義：X:A=B
数式：A = B を X として、入力、定義する。以降、X で A = B を呼び出せる。
X:x(t)=r(t)*cos(p(t));
Y:y(t)=r(t)*sin(p(t));
出力結果：x (t) = r (t) cos (p (t))
y (t) = r (t) sin (p (t))

右辺抽出：rhs(X)式の右辺を抽出する。そして、XR として入力、定義する。
X:x(t)=r(t)*cos(p(t));

XR:rhs(X);
出力結果：
x (t) = r (t) cos (p (t)) → r (t) cos (p (t))

左辺抽出：lhs(X)式の左辺を抽出する。
X:x(t)=r(t)*cos(p(t));

lhs(X);
出力結果：
x (t) = r (t) cos (p (t)) → x (t)置換：subst(B,A,EQ)
数式：EQ の中に含まれる A を→ B に置き換える。

X:x(t)=r(t)*cos(p(t));
subst(L,r(t),X);
出力結果：
x (t) = r (t) cos (p (t)) → x (t) = cos (p (t)) L

置換：subst([A=B],EQ)
数式：EQ の中に含まれる A を→ B に置き換える。

X:x(t)=r(t)*cos(p(t));
subst([r(t)=L],X);
出力結果：
x (t) = r (t) cos (p (t)) → x (t) = cos (p (t)) L

付 録D

700

よく使う Maxima の関数

因数分解：factor(EQ)

三角関数の簡素化：trigreduce(EQ)

式 EQ を因数分解する。
EQ:2*x^2+x-6;三角関数の積を倍角公式などを使って簡素化する。
EQ1:sin(A)*cos(B);factor(EQ);
出力結果：

trigreduce(EQ1);
出力結果：

2 x2 + x − 6 → (x + 2) (2 x − 3)

展開：expand(EQ)
式 EQ の和の積を展開し、積の和にする。
EQ1:(x+2)*(2*x-3);

expand(EQ1);
出力結果：

sin (A) cos (B) →sin (B + A) sin (B − A)−22

三角関数の簡素化：
trigexpand(EQ)
三角関数が含まれる式を倍角公式などを使って展開する。
EQ2:sin(A*x+y);(x + 2) (2 x − 3) → 2 x2 + x − 6

有理式の簡素化：ratsimp(EQ)
展開、通分、約分で簡易化する
EQ2:x/(x^2+x);

ratsimp(EQ2);
出力結果：
1
x
→
2
x +x
x+1

有理式の簡素化：partfrac(EQ,x)
x で簡易化する
EQ:(2*x+3)*(A*x-2)*(x+B);

trigexpand(EQ2);
出力結果：
sin (x A + y) → cos (y) sin (x A) + sin (y) cos (x A)

三角関数の簡略化準線形形式：trigrat(EQ)
三角関数の式の標準的な簡略化準線形形式を与える。

E0:sin(3*a)/sin(a+%pi/3);
E0=trigrat(E0);E1:(1-%e^(%i*\theta))/(1+%e^(%i*\theta));
E2:E1=trigrat(E1);
出力結果：√
sin (3 a)()
3 sin (2 a) + cos (2 a) − 1
π =sin a + 3

EQ1:expand(%);
partfrac(EQ1,x);( )i sin θ2
1 − ei θ( )=−ei θ + 1
cos θ2

factor(EQ1);
出力結果：(2 x + 3) (x A − 2) (B + x) →2 x2 A B + 3 x A B − 4 x B − 6 B + 2 x3 A + 3 x2 A
− 4x − 6x対数関数の簡素化：logcontact(EQ)2

対数関数を含む式の簡易化をする。
EQ:2*log(x)+2*log(y);partf rac(EQ1, x); の結果
x ((3 A − 4) B − 6) + x (2 A B + 3 A − 4)2

− 6 B + 2 x3 A

logcontract(EQ);
出力結果：
(
)
2 log (y) + 2 log (x) → log x2 y 2

f actor(EQ1); の結果(2 x + 3) (x A − 2) (B + x)三角関数の簡素化：trigsimp(EQ)

指数、対数の簡素化：radcan(EQ)
指数、対数のを含む式の簡易化をする。
(log(x+x^2)-log(x))^a/log(1+x)^(a/2);

radcan(%);
三角関数が含まれる式を sin(x)2 + cos(x)2 = 1 とcosh(x)2 − sinh(x)2 = 1 を使って簡素化する。行列の積を参照。

((%e^x-1)/(1+%e^(x/2)));
radcan(%);

D.3. 数式操作

701

出力結果：
( ( 2
)
)a
log x + x − log (x)log (x + 1)a2

分母：denom(EQ)a→ log (x + 1) 2式 EQ の分母を出力する。
EQ:x/(x^2+x);

denom(EQ);
出力結果：x
ex − 1→ e2 − 1
x
2
e +1

x
x2 + x→ x2 + x

係数：coeﬀ(EQ,X,N)
式 EQ の X の N 乗の係数を抽出する。
EQ:2*x^2+x-6;

coeff(EQ,x,2);
出力結果：

方程式を解く：solve([EQ1,EQ2],[x,y])
式 EQ1, EQ2 を x, y について解く。結果は行列表示で出力される。
EQ:2*x^2+x-6=0;

2 x2 + x − 6 → 2

solve(EQ,x);
出力結果：

最初の項：first(EQ)

2 x2 + x − 6 = 0
3[x = , x = −2]2式 EQ の最初の項を抽出する。
EQ:2*x^2+x-6;

first(EQ);
出力結果：

EQ1:2*x+y=4;
2x + x − 6 → 2x
22

EQ2:x+3*y=7;
ANS:solve([EQ1,EQ2],[x,y]);最後の項：last(EQ)
式 EQ の最後の項を抽出する。
EQ:2*x^2+x-6;

last(EQ);
出力結果：

ANS[1][1];
ANS[1][2];
出力結果：
y + 2x = 4
3y + x = 7

2 x2 + x − 6 → −6[[x = 1, y = 2]]
x=1

項の削除：rest(EQ,N)式 EQ の最初から N 個成分を除いた項を出力する。
ここで、N を負とすると、最後から N 個成分を除いた項を出力する。
EQ:2*x^2+x-6;

rest(EQ,2);
出力結果：
2 x2 + x − 6 → −6

分子：num(EQ)
式 EQ の分子を出力する。
EQ:x/(x^2+x);num(EQ);
出力結果：x→xx2 + x

y=2

付 録D

702

D.4

よく使う Maxima の関数[

行列

行列の定義：matrix([A,B],[C,D])
行列を入力、定義する。

B H + AF
DH +CF]

転置行列：transpose(M)XY:matrix([A,B],[C,D]);
出力結果：
[
]
A B
C

B G + AE→
DG+CE

行列：M の転置行列を求める。
M1:matrix([A,B],[C,D]);

M2:matrix([A],[B]);D

運動を行列で表現するときには、下記のように列行列でtranspose(M1);

表現した方が、変数変換行列の表現、演算表現で教科書

transpose(M2);
出力結果：に近い表現となり、理解しやすい。
kill(all);[X:x(t)=r(t)*cos(p(t));
Y:y(t)=r(t)*sin(p(t));
XY:matrix([ rhs(X)],[ rhs(Y) ]);→VXY:diff(XY,t);
AXY:diff(VXY,t);
TR:matrix([cos(p(t)), sin(p(t))],

A

C

]

B D
[
]
A B
C D
[ ]
A
B

[ -sin(p(t)),cos(p(t))]);
VRP:trigsimp(TR.VXY);[→ A

v[r](t)=VRP[1,1];]Bv[p](t)=VRP[2,1];

運動エネルギーを求めるとき、各速度成分の二乗和が必

ARP:trigsimp(TR.AXY);要となる。速度の行列表現の転置行列と元行列の積から

a[r](t)=ARP[1,1];

容易に求まる。

a[p](t)=ARP[2,1];

T:1/2*M*trigsimp(transpose(VXY).VXY);EQR:M*ARP[1,1]=F[r];EQP:M*ARP[2,1]=F[p];行列式：determinant(M)
要素の抽出：M[N][M]

行列：M の行列式を求める。
M:matrix([2*D^2+2, D^2],[D^2,D^2+1]);

N 行、M 列目の要素を抽出する。
XY:matrix([A,B],[C,D]);
XY[2][1];
出力結果：

[

A

B

C

D

]

determinant(M);
出力結果：[
2 D2 + 2

D2]

D2
D2 + 1()()→ D2 + 1 2 D2 + 2 − D4

→C

行列の作成：genmatrix(a,M,N)行列の積：A.B
行列：A と行列：B の積を求める。
M1:matrix([A,B],[C,D]);
M2:matrix([E,F],[G,H]);

M1.M2;
出力結果：

[

A

B

C
[
E

D

G

H

F

]
]

定義された h の行列を作成する。
h[i,j]:=1/(i+j);

genmatrix(h,4,4);
出力結果：
hi,j :=


1
 21
3

1
4
1
5

1
3
1
4
1
5
1
6

1
i+j
1
4
1
5
1
6
1
7



1
5

1
6
1
7
1
8

D.5. 微分・積分

703

微分・積分

条件文が入った定義された a の行列を作成する。
AJK:1/(j+k);

D.5

a[m,n]:=block([b],微分：diﬀ(EX,x,N)

if m=4 then if n=4 then b:1 else b:0
else b:subst([k=n,j=m],AJK), return(b));
genmatrix(a,4,4);
出力結果：


1

diff(EX,x,2);
出力結果：



1
3
1
4
1
5

1
4
1
5
1
6

1
5

1
6
1
7

0

0

1

x3 →
3 x2
6x

逆行列の計算：invert(a)X:x(t)=r(t)*cos(p(t));
diff(X,t,1);

定義された a の逆行列を計算する。
h[i,j]:=1/(i+j);

x (t) = r (t) cos (p (t)) →()
ddx (t) =cos (p (t))
r (t)
dt
dt
(
)
d
− r (t) sin (p (t))
p (t)
dt

genmatrix(h,4,4);
invert(%);
出力結果：
hi,j :=
200

−1200 2100

−1120

1
 21
3

1
4
1
5

1
3
1
4
1
5
1
6

1
i+j
1
4
1
5
1
6
1
7

れば、1 階微分をする。
EX:x^3;diff(EX,x,1);

1
k+j

 21
3

1
4
0

EX を微分変数：x で N 階微分を行う。N を省略す



1
5

1
6
1
7
1
8

−1200

2100

8100

−15120積分：integrate(EX,x,A,B)
EX を積分変数：x で、A から B の積分を行う。、A、
−1120




8400 

−15120 29400 −16800

8400−168009800

B を省略すれば、不定積分となる。
EX:x^2;integrate(EX,x,0,2);
integrate(EX,x);
x2 →
8
3
x3
3
EX:y(x)^2;
integrate(EX,x);
integrate(EX,y(x));
2y (x) →∫
2y (x) dx
3

y (x)
3

付 録D

704

積分における変数変換：
changevar(EX,EQ,B,A)

よく使う Maxima の関数

微分方程式を解く：ode2(EQ,f(x),x)
２階以下の微分方程式：EQ で従属変数：f (x)、独立

積分記述：EX を式：EQ = 0 の関係を使って、変数： 変数：x を解く。境界条件は下記のように、関数：ode2
を実行後に、関数：ic1,ic2,bc2 を使用して定義する。
A から変数：B に変換する。

EX:’integrate(%e^(sqrt(a*y)),y,0,4);
EQ:y-z^2/a=0;changevar(EX,lhs(EQ),z,y);∫ 4√
e a y dy
0

y−
−

2

∫0
−2

z2
=0
a
√

a

z e|z| dz

一階微分方程式の場合
kill(all);

EQ: diff(y(x),x,1)=-(x-C)/y(x);ANS:ode2(EQ,y(x),x);
ANS1:ic1(ANS,x=0,y(x)=1);
下記に出力結果を示す。y (x) の関数形で解は得られるが、境界条件を ic1 で求めた結果は満足ではない。

dC −xy (x) =
dx
y (x)

a

微分方程式を解く：
desolve([EQ1,EQ2],[f1(x),f2(x)])

2

y (x)
2 x C − x2
=
+ %c
2
2
2

f 2(x) を解く。初期条件は下記のようにして、従属変数の初期条件における値を定義する。連立微分方程式の場

kill(all);合、解は行列表示となる。
EQ1:diff(y(x),x,2)+2*y(x)+z(x)=0;

depends(y,x);

EQ2:y(x)+diff(z(x),x,2)+2*z(x)=0;
atvalue(y(x),x=0,1);

2

y (x)
2 x C − x2 + y (0)=22連立微分方程式：EQ1、EQ2、で従属変数：f 1(x)、EQ: diff(y,x,1)=-(x-C)/y;
ANS:ode2(EQ,y,x);

atvalue(diff(y(x),x,1),x=0,0);

ANS1:ic1(ANS,x=0,y=1);
下記に depends を使った関数形の出力結果を示す。境界

atvalue(z(x),x=0,2);

条件を ic1 で求めた結果は満足できる。

atvalue(diff(z(x),x,1),x=0,0);[y (x)]

desolve([EQ1,EQ2],[y(x),z(x)]);d2
y (x) + z (x) + 2 y (x) = 0d x2
d2z (x) + 2 z (x) + y (x) = 0
d x2
(√ )
3 cos 3 xcos (x)[y (x) =−22(√ )3 cos 3 xcos (x), z (x) =
+
]
2
2

C −x
d
y=
dx
y
y2
2 x C − x2
=
+ %c
2
2
y2
2 x C − x2 + 1=
22
二階微分方程式の場合
kill(all);
EQ:x^2*diff(y(x),x,2)+x*diff(y(x),x,1)-4*y(x)=0;
ANS:ode2(EQ,y(x),x);
ANS1:ic2(ANS,x=1,y(x)=1,diff(y(x),x,1)=0);
ANS2:bc2(ANS,x=1,y(x)=0,x=2,y(x)=1);
下記に出力結果を示す。y (x) の関数形で解は得られるが、境界条件を ic2,bc2 で求めた結果は満足ではない。
( 2
)
(
)
d
d
x2
y
(x)
+
x
y
(x)
− 4 y (x) = 0
d x2
dx

y (x) = %k1 x2 +y (x) =%k2
x2

y (1) x2
y (1)
+
2
2 x2

D.5. 微分・積分
y (x) =

705

16 y (1) − 4 y (2) (y (1) − 4 y (2)) x2
−
15 x2
15

微分方程式の数値解：rk([EQ1, EQ2],[x, y], [X0, Y 0], [t, T 0, T 1, DT ])ルンゲ・クッタ法で微分方程式を数値解析する。左辺

kill(all);depends(y,x);が１階微分の形で微分方程式を表現する。右辺を EQ1、EQ:x^2*diff(y,x,2)+x*diff(y,x,1)

EQ2 で表し、左辺の従属変数を x、y とする。それぞれの、初期値を X0、Y 0 とし、独立変数を t とする。独立-4*y=0;
ANS:ode2(EQ,y,x);

変数の T 0 から T 1 まで、DT 間隔で数値解析する。こANS1:ic2(ANS,x=1,y=1,diff(y,x,1)=0);

こで独立変数は x(t) の形は扱えない。実行する前に、ル

ANS2:bc2(ANS,x=1,y=0,x=2,y=1);
下記に depends を使った関数形の出力結果を示す。境界

ンゲ・クッタ法のプログラムをロードする必要があるので、load(”dynamics”); を入力する。

条件を ic2,bc2 で求めた結果は満足できる。

(
x2[y (x)]
(
)
d2
d
y +x
y − 4y = 0
d x2
dx

d
x = −4 y 2 − x2 + 4dtdy = y 2 − x2 + 1
dt

)

%k2
y = %k1 x2 + 2xの場合、
EQ1:’diff(x,t)=4-x^2-4*y^2;

EQ2:’diff(y,t)=y^2-x^2+1;

x2
1
y=
+
2
2 x2

load("dynamics");

4
4 x2
−
y=
15
15 x2

[-1.25,0.75],[t,0,4,0.02]);
入っている出力は、リストの形式で出力されるので、下

sol:rk([rhs(EQ1),rhs(EQ2)],[x,y],記の例に示すように sol に結果を入れ、必要な項目を

list12 に入れなおす。そして、下記の図形関数：plot2dなどで見ることができる。

d2
x = −sin (x)d t2の場合、下記の１階連立微分方程式に置き換えて解く。

d
x=y
dt
d
y = −sin (x)dtkill(all);
EQ1:’diff(x,t,2)=-sin(x);Tmax:3;dT:0.03;
Nplot:fix(Tmax/dT);load("dynamics");
P[0]:%pi/9;
sol:rk([y,rhs(EQ1)],[x,y],[P[0],0],[t,0,Tmax,dT]);
list12:[[sol[1][1],sol[1][2]]];for J:2 thru Nplot do(list12:append(list12,[[sol[J][1],sol[J][2]]]));
plot2d([discrete,list12]);

付 録D

706

D.6

複素数

よく使う Maxima の関数

xy 座標表示：rectform(z)複素変数宣言：declare(z,complex)

複素数:z を極座標表示で出力する。
kill(all);z が複素変数であることを宣言する。
declare(z,complex);declare(z,complex);
Z1:z=r*%e^(%i*\theta);
rectform(rhs(Z1));z = r ei θ → i r sin (θ) + r cos (θ)

実部：realpart(z)複素数:z の実部を出力する。
kill(all);declare(z,complex);
Z1:z=x[1]+%i*y[1];residue (z/(z^2+a^2), z, a*%i);z = i y 1 + x1 → x1

虚部：imagpart(z)複素数:z の虚部を出力する。
kill(all);declare(z,complex);
Z1:z=x[1]+%i*y[1];imagpart(rhs(Z1));z = i y 1 + x1 → y1複素共役：conjugate(z)複素数:z の複素共役を出力する。
kill(all);declare(z,complex);
Z1:z=x[1]+%i*y[1];conjugate(rhs(Z1))
z = i y 1 + x1 → x1 − i y 1

極座標表示：polarform(z)複素数:z を極座標表示で出力する。
kill(all);declare(z,complex);
Z1:z=x[1]+%i*y[1];z = i y 1 + x1 →式：EQ、変数：z で、z0 における留数を求める。
kill(all);declare(z,complex);

realpart(rhs(Z1));

polarform(rhs(Z1));

留数：residue(EQ,z,z[0])√y12 + x21 ei atan2(y1 ,x1 )residue (sin(a*z)/z^4, z, 0);
1
2
−

a3
6

D.7. 極限・級数

D.7

707

極限・級数

級数和の簡素化：simpsum
上部で定義されている級数和を、true にすることで簡極限：limit(EQ,x,A,dir)
変数 x を方向:dir から A に接近する場合、式：EQ の素化する。結果が得られたら、false にする。
assume(E>0, E<1);

極限を計算する。dir としては、plus か minus を入力

HH:h[0]+2*sum(h[0]*E^(2*n),n,1,inf);

する。A に接近した場合、値が分かれない場合は、dir

HH, simpsum;は入力しなくてよい。ここでプラス無限大は inf 、マイsum(1/n^2,n,1,inf);

ナス無限大は minf である。

sum(1/n^2,n,1,inf), simpsum;x (t) =

U 0 e−t C U 0−CCsum (1/3^i, i, 1, inf);

U0
C

(∞
∑

Xmax =%,simpsum;

2 h0

)
E

2n

+ h0 →

n=1

kill(all);∞∑1

XX:x(t)=U0/C-(%e^(-t*C)*U0)/C;

n=1

Xmax=limit(rhs(XX),t,inf);
U 0 e−t C U 0−CCU0Xmax =
C

n

→
2

∞
∑
1

x (t) =

3ii=1→

2 h0 E 2+ h0
1 − E2π2
612

級数積：product(EX,n,n1,n2)級数展開：taylor(EX,x,A,N)

式 EX を変数：n の n1 から n2 までの級数積を求め

式 EX を A のまわりで、変数：x の Taylor 級数を N乗まで求める。

product(k,k,1,n);taylor(sin(x),x,0,7);
sin(x) → x −

3

n
∏
5

7

x
x
x
+
−
+ ...
6
120 5040

級数和：sum(EX,n,n1,n2)
式 EX を変数：n の n1 から n2 までの級数和を求める。
HH:h=h[0]+2*sum(h[0]*E^(2*n),n,1,inf);

h=h[0]+2*sum(h[0]*E^(2*n),n,1,4);
(∞
)
∑
2n
h = 2 h0
+ h0
E
(

n=1

)
h = 2 h0 E + h0 E 6 + h0 E 4 + h0 E 2 + h0
8る。
kill(all);kk=1

級数積の簡素化：simpproduct
定義されている級数積を、簡素化する。
kill(all);

product (k,k,1,n), simpproduct;
n!

付 録D

708

D.8

プログラム

反復：for N:k step l thru m do(A);A を N が k から m まで i ステップ毎に反復実行する。
A で複数の処理をする場合は , で区切る。

D.9

よく使う Maxima の関数

その他

第一種完全楕円積分関数：elliptic kc(m)下記の第一種完全楕円積分関数を求める。

∫ π2
0

√

1
1 − m sin (x)dx2

条件分岐：if B then C else D;
条件式：B が真なら C を実行し、虚なら D を実行する。条件式として、N = 1, N > 0 などである。

第一種ベッセル関数：bessel j(n,x)
次数：n で変数：x の第一種ベッセル関数を求める。

kill(all);for J:1 thru 10 do(

第二種ベッセル関数：bessel y(n,x)

if J=1 then listUU20:[[1,2]]
else listUU20:append(listUU20,

次数：n で変数：x の第二種ベッセル関数を求める。

[[2*J-1,2*J]]));
listUU20;

第一種変形ベッセル関数：bessel i(n,x)
次数：n で変数：x の第一種変形ベッセル関数を求める。

リストのファイル出力、読み込み：
write data, read list
計算結果などのリストデータを外部メディアにファイル出力し、外部メディアにファイル出力したリストを読第二種変形ベッセル関数：bessel k(n,x)
次数：n で変数：x の第二種変形ベッセル関数を求める。

み込む。

根を得る：find root(Fn,x,a,b)kill(all);listUU:[[1,11],[2,22],[3,33]];
write_data(listUU,"M:\listUU20.cvs");
list:read_list("M:\listUU20.cvs");for J:1 thru 100 do(
if J=1 then listUU20:[[list[1],list[2]]]根を数値解析で得る。関数：F n を与え、変数：x がa〜b の範囲で F N = 0 の根を求める。
kill(all);find_root(bessel_j(1,x),x,2,4);
besselj (1, x) の根を x が 2 から 4 の範囲で求める。

else listUU20:append(listUU20,[[list[2*J-1],list[2*J]]]));
listUU20;
リストデータ:listUU を作成する。
[[1, 11], [2, 22], [3, 33]]
外部メディアにファイル：M:listUU20.cvs の名前で、出力する。
外部メディアにファイル：M:listUU20.cvs をリストとして読み込む。読み込んだ結果は下記、[1, 11, 2, 22, 3, 33]
連続したデータリストとなっているので、振り分け作業を行い、元の形にする。

[[1, 11], [2, 22], [3, 33]]

定数：π ：%pi
定数：自然対数の底：%e
定数：虚数：%i
定数：正の無限大：inf
定数：負の無限大：minf
浮動小数点で近似値：float(EQ)D.10. グラフ作成

D.10

709

グラフ作成

二次元グラフ：plot2d([EX1,EX2],[range],[op])
二次元のグラフを作成する。EX1、EX2 に数式や点列の指定、range に横軸の計算レンジ、op に縦軸に指定などのオプションを指定する。

(1) 数式を与えて

図 D.10.3: 点列を与えて数式と x の計算レンジを与えたグラフの作成をする。
(4) 複数の数式を与えてplot2d (x^3+2, [x, -3, 3]);
数式と x の計算レンジを与えたグラフの作成をする。

plot2d ([-10*x,2*x^2-2,x^3+2],[x,-3, 3]);

図 D.10.1: 数式を与えて

図 D.10.4: 複数の数式を与えて(2) 数式を与えて軌跡
x、y の変数：t の数式を与え、x − y 面上のグラフの作成をする。nticks で分割点数を与える。
plot2d ([parametric,2*cos(t),10*sin(t),[t,-5,5],[nticks,80]]);(5) 複数のグラフの合成
数式と x の計算レンジを与えたグラフの作成をする。
plot2d ([x^3+2,[parametric,2*cos(t),10*sin(t),[t,-5,5],[nticks,80]],[discrete,xy]],[x,-3,3]);

図 D.10.2: 数式を与えて軌跡(3) 点列を与えてx、y の点列の行列を与え、グラフの作成をする。
xy:[[-2,30],[-1,20],[0,10],[1,-10],[2,-20]];
plot2d([discrete,xy]);

図 D.10.5: 複数のグラフの合成

付 録D

710
(6) オプション

よく使う Maxima の関数

縦軸、横軸のコメント

線の種類を指定

plot2d (x^3+2,[x,-3,3],[y,-40,50],[style, [lines, l1, l2]]
l1：線の太さ、l2：線の色を指定する。lines：線で描く[xlabel, "X axis"],[ylabel, "Y axis"]);が、これを points、linespoints、dots と指定することもできる。
plot2d([x,2*x,-x,-2*x],[x,-10,10],[y,-10,10],[nticks,5],[style,[lines,8,1],[points,4,2],[linespoints,2,3],[dots,8,4]]);

図 D.10.8: 縦軸、横軸コメント

対数軸

図 D.10.6: 線の種類

plot2d(%e^x,[x,-100,100],[logy]);plot2d(log(x),[x,0.1,100],[logx]);線のコメントplot2d([x,2*x,-x,-2*x],[x,-10,10],[y,-10,10],[legend, "A","B","C","D"]);図 D.10.9: y 軸対数軸

図 D.10.7: 線にコメント

図 D.10.10: x 軸対数軸D.10. グラフ作成

三次元グラフ：plot3d(EX1,[x range],[y range])711

等高線グラフ (gnuplot による)
等高線グラフを gnuplot で作成する。

三次元のグラフを作成する。EX1 に数式の指定、xrange set xrange [X1:X2]に横軸の計算レンジ、yrange に縦軸の計算レンジの指 set xrange [Y1:Y2]
定などのオプションを指定する。
数式と x, y の計算レンジを与えたグラフの作成をす

x rangey rangeset isosamples NX,NYx,y 軸の分割点数

set cntrparam levels incremental Z1,dz,Z2

る。

値、増分、終値

plot3d (2^(-u^2+v^2),[u,-3,3],[v,-2,2]);splot EXz 軸の初期数式#!/gnuplot
set xrange [-3:3]
set yrange [-3:3]
set isosamples 150,150
set contour baseset cntrparam levels incremental -3,0.2,4
unset keyunset surface
set view map
splot (7*log(y**2+x**2))/(2*pi)

図 D.10.11: 三次元グラフ-y/(y**2+x**2)+y#
EOF

円柱座標三次元グラフ：
円柱座標三次元グラフを作成する。
plot3d(r^2,[r,0,1],[\theta,0,2*%pi],[grid,20,50],[transform_xy,polar_to_xy]);

図 D.10.13: 等高線グラフ

図 D.10.12: 円柱座標三次元グラフ

参考文献

712

参考文献
1) Maxima の公式ホームページ、http://maxima.sourceforge.net/
2) 横田博史：はじめての Maxima、工学社 2005
3) 竹内 薫：はじめての数式処理ソフト CD-ROM 付、 (ブル-バックス) (新書) 20074) 中川義行：Maxima 入門ノート 1.2.1 、http://www.eonet.ne.jp/ kyo-ju/maxima.pdf
5) 横田博史：Maxima 簡易マニュアル、 http://www.bekkoame.ne.jp/ ponpoko/Math/books/ManualBook.pdf
6) Maxima 普及委員会、 http://www.cymric.jp/maxima/top.html
7) Profesional Maxima、 http://www.muskmelon.jp/maxima/pro-maxima-20080303.pdf
8) 奥村晴彦：[改訂第 4 版]LATEX 2ε 美文書作成入門、技術評論社 20079) 山本昌志：gnuplot の精義、株式会社カットシステム 201010) Robert L. Zimmerman, Fredrick I. Olness： Mathematica for Physics, 訳：武藤 覚、小泉 悟、ピアソン・
エデュケーション

1999

11) Sir Horance Lamb, Hydrodynamics sixth edition, Cambridge University Press, 1932
12) Dr Harmann Schlihting, Boundary Layer Theory, McGRAW-HILL BOOK C., 1955
13) 近藤次郎：積分方程式とその応用、、コロナ社 1959
14) Victor L. Streeter：Handbook of Fluid Dynamics, McGRAW-HILL BOOK C., 1961
15) L. M. Milne-Thomson：Theretical Hydrodynamics, Fourth Edition, Macmillan & Co. Ltd., 196216) 藤本武助：流体力学、養賢堂、1965
17) エリ・ランダウ、イェ・リフシッツ、竹内 均：ランダウ−リフシッツ理論物理学教程：流体力学 １・２、
東京図書 (株)197118) G. K. Batchelor, 橋本英典、松信八十男訳：入門 流体力学、東京電機大学出版、1972
19) 今井 功：流体力学（前編）、裳華房、1973
20) Victor L. Streeter, E. Benjamin Wylie：竹中利夫訳：流体過渡現象、日本工業新聞、1973
21) J. N. Newman, Marine Hydrodynamics, The MIT Press, 1977
22) Raymond L. Bisplinghoﬀ, Holt Ashley, Robert L. Halfman, Aeroelasticity, DoverPublications, inc, 198323) 太田 栄一、南和 一郎、小山 正晴：流体力学演習、学献社、1987
24) ラム：今井 功、橋本 英典訳：流体力学（１・２・３）、東京図書（株）、1988
25) 今井 功：複素解析と流体力学、日本評論社、1989
26) 吉野 章男、菊山 功嗣、宮田 勝文、山下 新太郎：詳解 流体力学演習、共立出版（株）1989
27) 今木 清康：詳解 水力学（第２版）、理工学社、1990
28) 神部 勉：基礎演習シリーズ 流体力学、裳華房、1995
29) 森下 悦生：Excel で学ぶ流体力学、丸善（株）、2000
30) 吉澤 徴：流体力学、東京大学出版会、2001

参考文献

713

31) 京谷 孝史：よくわかる連続体力学ノート、非線形 CAE 協会編、森北出版（株）200832) 森口 繁一、宇田川 久、一松 信：岩波数学公式 1

微分積分・平面曲線、岩波書店

200333) 森口 繁一、宇田川 久、一松 信：岩波数学公式 2級数・フーリエ解析、岩波書店

199834) 森口 繁一、宇田川 久、一松 信：岩波数学公式 3特殊函数、岩波書店

35) G. ポリア、柿内賢信訳：いかにして問題を解くか、丸善出版
36) 漏れ試験、（社）日本非破壊検査協会、PP.14、PP.152 (1995)

1954

2002