可解量子スピン模型とループ代数の有限次元最高ウェイト表現理学専攻

1情報科学コース

渡邊隆子 (指導教官:萩田真理子)

研究背景と研究目的

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量子 XXZ スピン鎖

日常でもよく出会う磁石には様々な数学的モデルが考 定義えられている。可解量子スピン系を代表するモデルで 量子 XXZ スピン鎖 とは ⇔ 可解量子スピン系を代表すある量子 XXZ スピン鎖は、変数 q が 1 の冪根のとき、 るモデルで、周期境界条件下でそのハミルトニアンは以sl(2) ループ代数という無限次元の非可換リー代数に関 下で与えられる。
する対称性を持つ。[4] ここで変数 ｑ は量子群の ｑ 変L∑数に対応し、量子 XXZ スピン鎖の Ｒ 行列は、量子群 HXXZ = J(σjX σjX＋ 1 ＋σjY σYj ＋ 1 ＋ △ σjZ σjZ ＋ 1 )j=1U q(sl(2)) の Ｒ 行列で与えられる。量子 XXZ スピン鎖のハミルトニアンは非常に大きな次元の縮退固有空間
q+q −1を持つ。これは sl(2) ループ代数が無限次元リー代数で 但し、変数 △ は、異方性変数と呼ばれ、△ = 2 とあるためと思われる。一般に非常に巨大な行列の固有値 書く。
は、計算機で数値計算でもするより求めようがないが、 (変数 q は量子群の q パラメータに対応する)
今の場合は「量子群の表現論」と呼ばれる理論が背後に J は、ハイゼンベルグ結合定数とする。
aあるため、固有値や固有ベクトルが式できっちり書き表 また、σk (a = X, Y, Z, n = j, j + 1) は、パウリのスピンすことが出来る。「代数的ベーテ仮設法」と呼ばれる方 行列であり、状態空間上の作用素である。
法である。しかし、この方法からは固有値の縮退度まで 3
sl(2) ループ代数は記述出来ない。従って、縮退次元を知るためには別の)))((方法を考える必要が出て来た。量子 XXZ スピン鎖の 定義 (0 10 01 0sl(2) ループ代数に関する対称性により、このモデルの E =,F =,H=0 0
1 00 −1
ハミルトニアンの固有値の縮退度は、sl(2) ループ代数とおく。の適当な有限次元表現の次元あるいは、その和に等しい
nsl(2) ループ代数 (L(sl(2)) と書く) とは ⇔ x＋n = E ⊗z[2]。各有限次元表現は、適当な有限次元最高ウェイト表
mhl = H ⊗ z l (n, m, l ∈ Z, z ∈ C) を，x−m = F ⊗ z ，現たちの直和になることが予想され [1]、従って、固有生成演算子とし、交換子積 [X, Y ]=XY − Y X(X, Y ∈値の縮退が生じるハミルトニアンに対応する sl(2) ルーL(sl(2)) に関してリー環となる代数のこと。
プ代数の有限次元最高ウェイト表現の次元から分かる、
4 最高ウェイト表現と期待される。
また、対応する有限次元最高ウェイト表現は大部分が定義既約であるが、稀に可約なものも出現することが確かめ
L(sl(2))-加群 V の元 Ω が 最高ウェイト dk (∈ C) を持つられていた [2]。しかし、その可約表現の次元を求める
最高ウェイトベクトル であるとは ⇔Ω が以下を満たす
一般的な方法は未だ提示されていない。（既約表現は既こと。に分類済み [3]）そこで、各最高ウェイトに対する有限
次元最高ウェイト表現を全て構成する為のアルゴリズム
 V = L(sl(2)) · Ωx+が考案された [1]。しかし、このアルゴリズムは、ルーk Ω = 0 (∀k ∈ Z)hk Ω = dk Ω (∀k ∈ Z)
プ代数の生成演算子に関する conjectures に基づいている、などの点で未完成であった。
定義
本研究では、それら conjectures の検証を行い、実際
sl(2) ループ代数の 最高ウェイト表現 (最高ウェイト加群)に sl(2) ループ代数の有限次元最高ウェイト表現を具体とは ⇔ 表現空間が最高ウェイトベクトルにより生成さ的に構成する研究を行った。それにより、アルゴリズムれる表現 (最高ウェイトベクトルを持つL(sl(2))−加群からは構成出来ない表現が出現することが確かめられ、) のこと。
その結果、アルゴリズムに改訂を加えた。

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定義Ω:最高ウェイトベクトル とする。この時、Ω に付随する 最高ウェイトパラメータ とは ⇔ 以下の Drinf eld − highest weight polynomial を因数分解したときに現れる数ak たちのことで、最高ウェイトベクトル Ω に対して定まる。
s∏Pλ =(1 − ak u)mk ak

この図から、8 次元可約表現,6 次元可約表現,4 次元既約表現が存在することが分かる。
同様に図を描き、表のような結果が得られた。
但し、表中の表現の ⟨ 次元/個数 ⟩ は、本研究で構成した表現の次元と個数とした。
表 1: 最高ウェイトパラメータに対する表現の内訳

k=1

但し、s:異なる ak の個数、mk :ak の重複度5とした。

conjecturesl(2) ループ代数の生成演算子に関する conjecture{â = (aˆ1 , · · · , aˆr )とおくと、以下が成立する。
mj : aˆj の重複度n∑

kwj k+1 (â)wj n+1−k (â)Ω = 0f or0 ≤ n ≤ mjk=1

但し、− wj k ＝ xr − m (aˆA )

â = (aˆ1 , · · · , aˆr ),A : â の部分列に対し、aˆA = â\A

研究結果 1

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conjecture の部分的証明
本研究では、まず、この conjecture をいくつかの高次の表現に対して示した。
sl(2) ループ代数の生成演算子に関するいくつかの性質(定理等含む) を用いて、10 個までの最高ウェイトパラメータに対応する conjecture の部分的証明を行った。

研究結果 27対応する表現の構成証明を行った上記 conjecture の最高ウェイトパラメータのうちのいくつかに対応する最高ウェイト表現を構成し、そこに含まれる既約表現、及び可約表現を調べ、以下の表の結果が得られた。
(例)â = (a, a, a) の場合
U Ω：Ω によって生成された有限次元表現を表す、とする。
h0 の固有値 U Ω の各 sector に対する基底の間の作用

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Ω
↕
↘
−1 x0 Ωw12 Ω−→ w11 Ω↕
↕
↕
− 2−−− 1 (x0 ) Ω x0 w12 Ω −→ x0 w11 Ω↕
↗
− 3− 3 (x0 ) Ω8

最高ウェイトパラメータ

既約表現

可約表現â = (1, 1, 1)â = (1, 1, 1, 1)â = (1, 1, 1, 1, 1)

4/1
5/1
6/1

6/1,8/1
12/1,14/1
14/1,32/1

まとめと今後の課題

本研究では、conjecture の部分的証明を行い、そのことにより、sl(2) ループ代数の可約な有限次元最高ウェイ
ト表現を構成するためのアルゴリズムの欠陥を見つけ、訂正を加えた。この結果は、可解模型、特に、XXZ スピン鎖の研究において、非常に重要である。今後は、sl(2)ループ代数の、さらに高次元の表現を構成するために必要な基底間関係式の導出や、これまでに構成した表現とXXZ スピン鎖のハミルトニアンとの対応関係を調べ、その縮退次元をまとめたい。

参考文献[1] T.Deguchi, Irreducibility criterion for a ﬁnitedimensional highest weight representation of thesl(2)loop algebra and the dimensions ofreducible representations, J.Stat.Mech. (2007)
P05007[2] Deguchi T., Regular XXZ Bethe states at rootsof unity as highest weight vectors of the sl2 loop
algebra, J. Phys. A: Math. Theor. Vol. 40 (2007)
pp. 7473–7508[3] Chari V, Integrable representations of aﬃne Liealgebras, 1986 Invent. Math.85 pp. 317[4] T.Deguchi,K.Fabricius,andB.M.McCoy J.Stat.Phys.102(2001).701