高分解能光会合分光法による冷却イッテルビウム原子間相互作用の決定

UNI VE

KY O

O

昌明

ITY
RS

T

北川

ND

8
1
ED

U

2010 年

97

JAPAN

FO

KYOTO

i

abstract
The cooling and trapping of atoms made it possible to achieve Bose-Einstein condensate (BEC) of the cooled atoms. One of the useful atoms for the researches is an
Ytterbium (Yb) atom. Yb is a rare-earth element with an electronic structure similar
to that of the alkaline-earth atoms. One of the unique features of Yb atoms is arich variety of isotopes with five spinless bosons (168 Yb, 170 Yb, 172 Yb, 174 Yb, 176 Yb)
and two fermions (171 Yb with the nuclear spin I = 1/2 and 173 Yb with I = 5/2),
which enables us to study various mixtures of degenerate gases of Yb atoms. In fact,
recently, a BEC and a DFG of Yb atoms have been achieved.
One of the important physical process for ultracold atoms is a collision. The collision
between two atoms is fundamental and can be described by a few partial scatteringwaves for ultracold atoms. At a sufficiently low temperature the kinetic energy ofcolliding atoms becomes less than the centrifugal barrier, and only the s-wave scattering is possible. Therefore, the s-wave scattering length is an essential parameterfor describing ultracold collisions. It also governs the static and dynamic propertiesof quantum degenerate gases like a Bose-Einstein condensate (BEC) or a degenerate
Fermi gas (DFG) of fermionic atoms in different spin states. Since the s-wave scattering length is very sensitive to the ground state interatomic potential, especially atshort internuclear distance, the precise ab initio calculation of the scattering length
is very difficult, and therefore we must resort to experimental determination.
To determine the s-wave scattering length of 174 Yb, the expansion from a condensate was measured, which gave the result of 1 ∼ 16 nm. From the cross-dimensional
rethermalization technique, the absolute value of the scattering length for 173 Yb was
estimated as 6(2) nm, assuming that the spin was completely unpolarized. Fromthe expansion of a condensate, the value of the scattering length for 170 Yb was estimated as 3.6(0.9) nm. However, s-wave scattering length of the other isotopes has notbeen determined, and the higher precision of the determined scattering lengthes has
been needed. The purpose in this research is the precise determinations of scattering
lengths for all combinations of the Yb isotopes.
The most powerful approach for determining the scattering length is to measure theiiabstract
TABLE 1 Measured and calculated binding energies Eb for homonuclear isotopic pairs, where v and J are the vibrational and rotational quantum numbersof the ground state dimer level and v is numbered from the dissociation limit.

isotope
170

171

172

Yb
Yb
Yb

v
1
1
1

J

Eb (MHz)Eb (MHz)

Difference

experiment

theory(MHz)0-27.661(23)-27.755

0.094

2-3.651(26)-3.6830.032

0-64.418(40)-64.5480.130

2-31.302(50)-31.3920.090

0-123.269(26)-123.349

0.080

2-81.786(19)-81.879

0.093

173

Yb

1

0

-1.539(74)-1.613

0.074

174

Yb

1

0

-10.612(38)-10.642

0.030

2

0

-325.607(18)-325.607

0.000

2

2

-268.575(21)-268.576

0.001

1

0

-70.404(11)-70.405

0.001

1

2

-37.142(13)-37.118-0.024176

Ybbinding energy (Eb ) of the last few bound states in the molecular ground state, since
the energy Eb is closely related to the s-wave scattering length. So far, the binding energies were measured via two-color photoassociation (PA) spectroscopy for Li, Na, K,
Rb, Cs and He. In this research, we successfully determined the binding energy Eb of
twelve bound states near the dissociation limit of four homonuclear dimers comprisedof bosonic atoms (170 Yb2 , 172 Yb2 , 174 Yb2 , and 176 Yb2 ) and two dimers comprised offermionic atoms (171 Yb2 and 173 Yb2 ), by using two-color PA spectroscopy with theintercombination transition 1 S0 −3P1 . The results of the experimentally determinedbinding energies are listed in Table 1.
The binding energies of the bound states as well as scattering lengths of all isotopic
combinations are determined by the reduced mass and a single Born-Oppenheimer
potential V (r). We assume the following simple potential form to analyze the data:
µ
¶
C6
σ6
C8
V (r) = − 6 1 − 6 − 8 + B(r)J(J + 1),
(1)
r
r
r
where σ is a constant, C8 is the van der Waals constant associated with the dipolequadrupole interaction, and B(r) = ~2 /(2µr2 ) is due to molecular rotation.

Yb

Yb

Yb

Yb

Yb

Yb

Yb

168

170

171

172

173

174

176

Yb

13.33(18)168

Yb

3.38(11)

6.19(8)170

Yb-0.15(19)1.93(13)4.72(9)171

Yb-31.7(3.4)-4.46(36)-0.11(19)3.44(10)172

Yb

10.55(11)22.1(7)-30.6(3.2)-4.30(36)2.04(13)173

Yb

5.55(8)7.34(8)10.61(12)22.7(7)-27.4(2.7)

0.13(18)

174

TABLE 2 Calculated s-wave scattering lengths in nm for Yb isotopic combinations

Yb-1.28(23)2.88(12)4.22(10)5.62(8)7.49(8)11.08(12)-19.0(1.6)

176

iii

iv

abstract
The first term in Eq. (1) gives the Lennard-Jones form for the potential, for which
the short range form can be changed by varying σ. The C8 term is needed to improve the quality of the fit to the data. By solving the Schrödinger equation numerically for the eigenvalues and comparing to the measured binding energies, it ispossible to determine an optimum set of potential parameters. We estimate that
C6 = 1931.7 Eh a60 , C8 = 1.93 × 105 Eh a80 , σ = 9.0109362 a0 , N174 = 72, wherea0 ≈ 0.529 nm, Eh ≈ 4.36 × 10−18 J. These parameters then determine without
additional adjustment the binding energies of the other isotopic combinations shownin Table 1. The agreement shown in Table 1 with a precision less than 100 kHz
between the experimentally determined Eb and most of the calculated Eb values isquite impressive for such a simple model potential. Given the ground state potential
energy curve with the form of Eq. (1) and the parameters given above, we can calculate the s-wave scattering lengths for all isotopic combinations by numerically solving
the Schrödinger equation with the appropriate reduced mass. These are shown in
Table 2.
Using the three-parameter model potential, we can also calculate the collisional
properties of other partial waves at non-zero collision energies. Figure 1 shows theenergy-dependent cross section for the collision of like isotopic species. The crosssection can be resonantly enhanced by a shape resonance, caused by the existence ofquasibound rovibrational levels supported by the centrifugal barrier. A d-wave shaperesonance exists for 174 Yb as already pointed out. Our model predicts a broad peakin the collision cross section near E/h = 4.5 MHz, or E/kB = 220 µK, which is
off-scale in Fig. 1. We found that a low energy p-wave shape resonance also exists for
173

Yb, giving rise to a peak in the cross section near E/kB = 48 µK. A Ramsauer-

Townsend minimum in the cross section occurs at very low collision energy when the
scattering length has a small negative value, as for 171 Yb and for 176 Yb. Figure 1
shows the calculated cross section minima near 2 µK and 25 µK for these respective
species. This effect explains why evaporative cooling is found to be inefficient forthese isotopes.
These results provide an important foundation for future research with Yb atoms
on such topics as the efficiency of evaporative cooling, the stability of quantum gases
and their mixtures, and clock shifts.

v

10

-10

-11

2

(E) [cm ]

10

172
168
173

10

-12

174
170
176

10
10

-13

-14 171

solid: s +(p)+ddashed: s-only

-15

10 0

20

40
60
E/kB (µK)

80100FIG.1 Calculated cross section σ(E) versus collision energy E/kB for two
atoms of the same isotope. The label for each curve shows the isotopic mass
number. Even mass number corresponds to identical bosons and odd mass
number corresponds to two fermions with different spin projections. The
dashed lines show the s-wave contribution to the total cross section. The
solid lines show the contribution from s- and d- waves for the like boson cases,
and the contribution from s-, p-, and d-waves for the fermion case with different spin components. The E → 0 cross sections are 8πa2 and 4πa2 for therespective boson and fermion cases.

1

目次
abstracti

第1章

研究背景と目的

3

第2章

散乱理論

7

2.1

散乱断面積と位相シフト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72.2

散乱長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

低エネルギーにおける衝突 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92.4

質量スケーリング則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

冷却原子の光会合

13

3.1

Franck-Condon 原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2

Reflection 近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.3

エネルギー構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.4

分子ポテンシャルの振動準位. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.5

トラップ原子数変化による光会合スペクトル . . . . . . . . . . . . . . .

19

実験装置と実験手順

234.1

Yb 原子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2

実験の手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.3

実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合

35

5.1

1 光子光会合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2

実験配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.3

２光子光会合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

47

6.1

1 光子光会合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

6.2

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合の実験配置 . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6.3

結果と考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.4

２光子光会合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

第3章

第4章

第5章

第6章

2

目次

6.5

実験法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.6

実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Yb 同位体の散乱長と質量スケーリング則

69

7.1

Yb 同位体の散乱長の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

7.2

衝突断面積の温度依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

7.3

質量スケーリング則の検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

第8章

まとめと今後の展望

77

付録 A

2 原子分子に関して

79

A.1

電子項の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

A.2

Hund’s case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

付録 B

結合エネルギーと散乱長

83

付録 C

光会合用レーザー光の周波数補正85

光会合用レーザー光の周波数補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Photon scattering rate

87

第7章

C.1
付録 D

3

第1章

研究背景と目的1997 年に、レーザー光を用いた中性原子の冷却手法、いわゆるレーザー冷却の実現に寄与した、Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji, William D. Phillips の三氏に対してノーベル物理学賞が授与された。このレーザー冷却の技術の進歩によって、1924 年に S.

N. Bose と A. Einstein によって理論的に予想された Bose-Einstein condansate(BEC)が粒子間相互作用の少ない原子系において実現された。この業績に寄与した Eric A.

Cornell, Wolfgang Ketterle, Carl E. Wieman の三氏に対しても 2001 年にノーベル物理学賞が授与されている。現在では、1 H[1], 4 He[2], 7 Li[3], 23 Na[4], 41 K[5], 52 Cr[6],85Rb[7], 87 Rb[8], 131 Cs[9], 170 Yb[10], 174 Yb[11], 176 Yb の原子について BEC が達成されている。また、1999 年には 40 K[12] を用いてフェルミ縮退が実現された。さらに 2001
年には 6 Li [13] を用いたフェルミ縮退が、2007 年には 173 Yb[14] を用いたフェルミ縮退が実現されている。これら量子縮退した原子気体、もしくはそれに近い極低温にまで冷却された熱的原子気体を用いた研究対象としては、原子波レーザー、BEC 内の音波速度の測定、BEC 内の量子渦生成、コヒーレント原子波制御、量子情報分野への応用、BCS-BEC
クロスオーバー、原子時計、固体の量子シミュレーションなどと枚挙にいとまがない。これらの研究に用いる原子として有力なものとして Yb 原子が挙げられる。Yb 原子は、前
述のように量子縮退が実現されている原子であり、その実験的手法が確立されている。原
子番号７０で、量子縮退した原子の中では一番重い元素である。また下記の様に、現在広く用いられているアルカリ原子系の原子と違う特徴をもつ。

• 電子配置は最外殻電子が２電子であり、基底状態（1 S0 電子状態）において磁場などの外乱に対して安定である。

• 5 種の Boson、2 種の Fermion が存在し同位体が豊富で、混合気体のバリエーションが多い。

• スピン禁制遷移を持ち、高分解能な測定が可能である。
我々の研究室では、世界に先駆けて Yb 原子のレーザー冷却を行ってきた。先に挙げた量子縮退した原子気体の中にある 170 Yb、173 Yb、174 Yb、176 Yb はすべて当研究室において達成されたものである。

4

第 1 章 研究背景と目的
冷却原子を用いた研究を行う際に重要となってくるのが、原子間の相互作用である。対象となる原子気体は低密度なので、多くの場合で 2 体散乱のみを考えればよい。超低温の場合、低エネルギー散乱が支配的となるので、2 体散乱の相互作用の強さはｓ波散乱長 a
によって特徴づけられる。このｓ波散乱長が正ならば斥力、負ならば引力となる。Yb 原子のｓ波散乱長は、我々の研究室によってこれまでに実験的に調べられてきた。いくつかの Yb 原子同位体の、現在までにわかっているｓ波散乱長について述べる。Yb 原子のｓ波散乱長で一番最初に求められたのは 174 Yb である。BEC の動的振る舞いから、1[nm]から 16[nm] であると調べられた。その後、温度約 1µK の原子気体に対する 1 S0 +1P1 遷
移を用いた光会合から、より高精度に 5.53 ± 0.11 [nm] と求められた。また、170 Yb についても精度は低いが BEC の動的振る舞いから、2.9 ± 1 [nm] と求められている。176 Yb
は BEC の安定性から、ｓ波散乱長が負ではないかと予想されている。しかし、依然として多くの同位体についてｓ波散乱長がわかっておらず、わかっている同位体でもその精度は不十分である。そこで、すべての Yb 原子同位体のｓ波散乱長を高精度に決定し、極低温での原子間相互作用を明らかにする必要がある。
ｓ波散乱長を求める手法の一つとして光会合が広く用いられている。光会合 (Photoas-sociation) とは、原子同士が衝突を起こす際、光を照射しておくことにより原子から分子を生成する手法のことである。光会合の歴史は古く、1928 年の K2 を用いた実験がその最初である [15]。その後発展的に研究が重ねられた。しかし、初期の研究は 800K という高温の原子気体を用いたものであり、スペクトルの熱的広がりが振動準位間隔に比べて大きかった。さらに、大きな角運動量をもった部分波の影響も大きく、多くの部分波
由来の回転準位が混ざり、スペクトルから多くの情報を得ることが出来なかった。その状況は中性原子のレーザー冷却という手法が開発されると一変する。原子集団を高密度(∼ 1014 /cm3 ) かつ数 µK 以下の温度にトラップすることが可能となり、スペクトルの熱的広がりは多くの振動準位を分光するのに充分なほど抑えられた。例えば、10 MHz 間隔の振動準位を分光するためには、プランク定数を 2π で割ったものを ~、ボルツマン定数を kB として温度 T は、T ≤ ~ × 10 × 106 /kB から約 70µK となることから、原子集団の温度をこの温度以下にする必要がある。これはレーザー冷却を用いれば容易に到達可能な温度である。また、部分波の衝突に関しても、せいぜい回転量子数 J が 2 以下のものを考えれば済むようになった。これにより、分子の長距離部分での解離極限に近い振動回転
準位の分光が可能となった。
光会合によってｓ波散乱長を決定する方法として、２つの方法が考えられる。まず一つは、光会合を通じて基底状態の原子衝突の際の波動関数の振幅を測定し、そこからｓ波散乱長を決定する方法である。実際にいくつかの原子のｓ波散乱長は基底状態の波動関数から求められており、Yb 原子においても上記の 174 Yb のｓ波散乱長決定に用いた。もう一つは、結合エネルギー、つまり基底状態の最浅振動準位を測定し、それからモデルポテン
シャルを用いたシュレディンガー方程式を解くことによりｓ波散乱長を決定する方法である。その最浅振動準位の分光には、２光子光会合と呼ばれる方法が用いられる。これまでにも、Li[16], Na[17], K[18], Rb[7, 19, 20], Cs[21, 22], He[23] において２光子光会合を

5用いて最浅振動準位が測定され、ｓ波散乱長が決定されてきた。２光子光会合の信号の線幅は狭く、高精度に散乱長を決定する事ができる。
本研究の目的は、この２光子光会合を用いる事により、すべての Yb 原子同位体及び異種同位体間のｓ波散乱長を高精度に決定し、それを基に極低温での Yb 原子間衝突の全貌を明らかにすることである。

7

第2章

散乱理論
本研究で取り扱う原子集団は、極低温原子集団である。この様な系では、低エネルギーでの散乱が粒子間相互作用を特徴付ける。ここでは低エネルギー散乱に関する理論を述べる。

2.1 散乱断面積と位相シフト
低エネルギー領域での散乱を扱うには、角運動量状態をまとめて考察するのではなく、分解して考察するのが便利である。つまり、部分波展開を考える。中心場での散乱を記述するシュレディンガー方程式の解 ψ は、粒子の進行方向に単する軸対称性がある場合、

ψ=

∞
X

Al Pl (cosθ)Rkl (r)

(2.1)

l=0

で表される。ここで Al は定数、l、Pl 、θ 、r 、k 、m はそれぞれ軌道角運動量量子数、ルジャンドルの多項式、入射方向と散乱方向のなす角、粒子間距離、波数、粒子の質量であり、Rkl (r) は以下の式を満たす動径関数である。

µ
¶ ·
¸
1 d
l(l + 1) 2m
2 dRl
2
r
+ k −
− 2 U (r) Rl = 0
r2 dr
dr
r2
~

(2.2)

また、Rkl (r) の遠方での漸近形は、

Rkl (r)µ¶const.
lπ≈
sin kr −
+ δl
r
2

(2.3)

の定常波となる。δl は位相シフトである。散乱振幅を f (θ) とすると、ψ は遠距離で漸近形

ψ = eikz +f (θ) ikr
e
r

(2.4)

8

第 2 章 散乱理論をもつ。つまり、式 (2.1) は遠方で式 (2.4) と同じ形をもつ。このことから散乱振幅 f (θ)
を部分波展開の形であらわすと、∞f (θ) =

1 X
(2l + 1)(ei2δl − 1)Pl (cosθ)
2ik

(2.5)

l=0

となり、この位相シフト δl を用いて散乱振幅 f (θ) をあらわすことができる。また、部分
散乱振幅を fl として式 (2.5) はf (θ) =∞
X

(2l + 1)fl Pl (cosθ)

(2.6)

l=0

とあらわせる。この散乱振幅 f (θ) を用いて、全有効散乱断面積 σ を求めると、

Z π|f (θ)| sin θdθ

2

(2.7)

(2l + 1) sin2 δl(2.8)

σ = 2π
=

4π
k2

0
∞
X
l=0

となり、全有効散乱断面積 σ を位相シフト δl を用いてあらわすことができる。さらに、和の各項を有効部分断面積 σl として

σ=

∞
X

σl

(2.9)

l=0

と表すこともできる。

2.2 散乱長
2.1 においては、低エネルギーに限らない有効断面積についての考察を行った。次に低エネルギーの粒子散乱について考察をしていく。ポテンシャル U (r) が無視できる十分遠方での散乱波動関数の位相が、k が小さい極限でどう表されるかを見る。低エネルギー、
つまり速度の遅い粒子の衝突において、粒子のド・ブロイ波長はポテンシャル場 U(r) の作用半径 α に比べて大きく、粒子のエネルギーは作用半径 α 内部のポテンシャル場と比較して小さいと仮定する。r À k1 の遠方では、式 (2.2) において、ポテンシャル U (r) を無視することができ、

¸
µ
¶ ·
1 d
l(l + 1)2 dRl
2Rl = 0
r
+ k −
r2 dr
dr
r2

(2.10)

を考えればよい。式 (2.10) の解は以下の漸近形をもつ。

µ
¶
1
πl
Rl ∼ const. sin kr −
+ δl
r
2

(2.11)

2.3 低エネルギーにおける衝突9

ここで、位相 δl は次の等式によって決定される。

δl =

c2l
k 2l+1c1l (2l − 1)!!(2l + 1)!!

(2.12)

c1l と c2l は、具体的な関数 U (r) に対して式 (2.2) を解くことにより決定される定数である。式 (2.5) と式 (2.6) から fl ∼= δl であり、さらに式 (2.12) から
k

fl =

c2l
k 2l
c1l (2l − 1)!!(2l + 1)!!

(2.13)となる。式 (2.13) は低エネルギー衝突において f0 、つまり l = 0 の部分散乱振幅が他の部分散乱振幅より大きいことを表している。つまり、低エネルギー衝突においては l = 0の成分、いわゆる s 波が支配的である。この s 波衝突による位相変化 δ0 は、低エネルギー
衝突の極限、k → 0 において

c2l
δ0
=
k→0 k
c1l
lim

(2.14)となる。この右辺の定数を −a と置き、この a を s 波散乱長と定義する。低エネルギー衝突の極限では、f (θ) ∼
= f0 = −a(2.15)

σ = 4πa2(2.16)

であるから、全断面積 σ はとあらわされる。ただし、同一粒子のボソンに対しては

σ = 8πa2(2.17)となる。

2.3 低エネルギーにおける衝突
到達距離 R の引力ポテンシャルにおいて、kR ¿ 1 の低エネルギー衝突を考える。この時ｓ波散乱のみが重要であるとすると、散乱断面積 σ は式 (2.8) より

σ=4π
sin2 δlk2(2.18)となる。ここで、任意の k に対して、δl = π2 のとき σ は最大となり、δl = π のとき σは最小でゼロとなる。σ が最大の場合をユニタリティー極限という。また、σ がゼロで、

l = 0 の部分波が支配的であり入射波がほぼ透過する現象を Ramsauer 効果と呼ぶ。

10

第 2 章 散乱理論

2.4 質量スケーリング則G. F. Gribakin と V. V.Flambaum は、ゼロエネルギー極限において、ポテンシャルがr のべき乗に反比例する遠方での解と WKB 近似が成立する領域での解析解とを接続する
ことにより、散乱長 a を表す単純な式を導いた [37]。遠距離における分子ポテンシャルをU (r) ' −Cn
rn

(2.19)とすると、散乱長 a は、

·
µ
¶
µ
¶¸
π
π
a = ā 1 − tantan Φ −n−22(n − 2)(2.20)となる。ここで、Γ をガンマ関数, µ を換算質量として、平均散乱長 ā は、

ā = 2−3/2¢1
Γ(3/4) ¡2µCn /~2 4
Γ(5/4)(2.21)である。Φ は半古典的位相で、

√
Φ=

2µ
~

Z ∞p

−V (r)dr,(2.22)

r0

で定義される。ここで、r0 はゼロエネルギーにおける分子ポテンシャルの inner classicalturning point である。また、この時、ポテンシャル中の束縛状態の数 N は
·
¸
Φ
n−1
N=
−
+ 1,
π
2(n − 1)

(2.23)となる。ここで、[. . .] は整数部をあらわす。
例えば、n = 4 の場合は荷電粒子と中性粒子の衝突を表し、式 (2.19) において C4 =− 12 αd e2 となる。ここで、αd は原子分極率である。
今我々が興味のある中性原子の衝突においては、s 波散乱長は２原子間の Born-

Oppenheimer ポテンシャル V (r) によって決められる。遠距離において V (r) は、vander Waals 力由来の項によって特徴付けられ、V (r) ≈ −C6 /r6 と近似され、式 (2.19)
における n = 6 の場合となる。ここで C6 は、双極子ー双極子相互作用由来の van der

Waals 係数である。式 (2.21) において n = 6 とする事により、s 波散乱長 a として
h³
π ´i(2.24)
a = ā 1 − tan Φ −8を得る。また、この時、ポテンシャル中の束縛状態の数 N は式 (2.23) より、

·

¸
Φ 5
N=
−
+ 1,
π
8
となる。

(2.25)

2.4 質量スケーリング則11

式 (2.24) からわかるように、散乱長は位相 Φ の変化に対して敏感である。Φ の値が π変化する間に、散乱長は −∞ から +∞ の間の値をとる事ができる。また、ポテンシャルから Φ の値を計算する事が出来れば散乱長の値を決めることが出来る。しかし、Φ の値を計算するには分子ポテンシャルの inner classical turning point r0 からのポテンシャル
形状を知る必要があるが、r0 からのポテンシャル全体を知る事は困難であるので、Φ の値を計算することは難しい。
し か し な が ら 、式 (2.22) か ら わ か る よ う に Φ は

Φ0 =

√

2
~

R∞p
r0

√

µ に 比 例 す る 。今 、−V (r)dr とすると、式 (2.24) は
h
³√
π ´i
a = ā 1 − tanµΦ0 −8(2.26)となる。つまり、ポテンシャル形状が変わらないのであれば、散乱長を質量によってス
ケーリング出来る。このことは同位体が存在する原子に対して、各同位体の散乱長を質量によってスケーリング出来る事を示している。また、一つの同位体に関して散乱長 a と束縛状態の数 N を知ることが出来れば、他の同位体や異種同位体同士の散乱長を知ることが出来る事を示している。

.

13

第3章

冷却原子の光会合
3.1 Franck-Condon 原理
分子における電子遷移の基礎となる考え方について概説する。

3.1.1 Born-Oppenheimer 近似
ある基底状態のエネルギー準位から、電子励起状態のエネルギー準位に電子が遷移する場合を考える。分子における運動として、電子の運動、分子の振動、分子回転の運動を取り扱う必要がある。それぞれのエネルギースケールとして、電子の運動を 1 とした場合に、分子の振動は２ケタ程度、分子回転の運動は５ケタ程度小さなものとなる。量子力学
において、プランク定数を h とした時に時間スケールは h/(エネルギー) であるので、電子運動の時間スケールは他と比較して 100 倍以上速いと考えられる。つまり、原子核の運動に対して電子は即座に追従する。ここで、原子核の相対位置を表す座標を ra 、原子核の波動関数を χn (ra ) とし、電子の位置を表す座標を re 、原子核の座標 ra を固定した時の電子の波動関数を ψa (re ) としたとき、全波動関数 Ψ は、

Ψ=X

ψn (re )χn (ra )

(3.1)

n

となる。つまり、電子と原子核の波動関数を分けて扱うことが出来る。これを、Born-

Oppenheimer 近似と呼ぶ。

3.1.2 Franck-Condon 原理
光の吸収などにより、２原子分子において電子遷移が起こる場合を考える。電子遷移における始状態の波動関数を |ψg i、終状態の波動関数を |ψe i とする。3.1.1 の Born-

Oppenheimer 近似の下で、電子遷移の際に原子核は止まっていると考えてよい。つまり、電子遷移における始状態の原子核の相対位置が決定されていた場合、終状態においても原子核の相対位置は変化しない。これを、Franck-Condon 原理と呼ぶ。これを図 3.1 のように縦軸をエネルギー、横軸を核間距離として図示した場合、垂直に状態が遷移するよう14

第 3 章 冷却原子の光会合に見ることが出来る事から、垂直遷移と呼ばれている。その遷移確率 Γ は、|ψg i と |ψe i

E∝ C3 r −3
coupling∝ C6 r −6

RInternuclear distance
図 3.1 Franck-Condon 原理の概念図。r は 2 原子の相対距離を表す。

の内積の２乗に比例し、

Γ ∝ |hψe |ψg i|2(3.2)となる。この式 (3.2) の右辺を Franck-Condon Factor と呼ぶ。

3.2 Reflection 近似
Julinne 達は Reflection 近似を用いて、Franck-CondonFactor から冷却原子の基底状態における散乱波動関数 |φg i を知る式を導いた [24, 25]。Reflection 近似の名称の由来
は、|φg i の情報を Franck-Condon Factor に映し込むことによる。
電子基底状態の２原子が衝突する際に周波数 ν の光の場を印可した場合を考える。この光によって結合される電子励起状態の分子ポテンシャルを Ve (r)、電子基底状態のポテ
ンシャルを Vg (r) とする。ここで、r は２原子の相対距離を表す。この時、基底状態から励起状態への遷移は、次の式を満たす点 rc にて起こる。

hν = Ve (rc ) − Vg (rc ).

(3.3)

この rc を Condon point と呼ぶ。

Condon point において Reflection 近似を適用する事により、free-bound の FranckCondon Factor Fge は、
Fge =

∂Ev 1
|ψg (rc )|2
∂v dc

(3.4)

3.3 エネルギー構造

15と表すことが出来る。ここで、v は電子励起状態でのポテンシャル中の振動準位、Ev は振動準位 v でのエネルギーをそれぞれ表し、|ψg (r)i は２原子が衝突する際の規格化された波動関数を表す。また、dc は Condon point での Ve (r) と Vg (r) の差の傾きを表し、次式で定義される。

¯d¯¯¯dc = ¯ [Ve (r) − Vg (r)]¯
dr
r=rc

(3.5)

式 (3.2) は、reflection 近似によって式 (3.4) と表せるのであるが、この事は次のように解釈できる。基底状態での衝突波動関数は緩やかに振動するのに対して、電子励起状態での束縛状態の波動関数は、rc 近傍で急速に振動する。急速な振動のために電子励起状態の波動関数の寄与は平均化されてしまい、衝突波動関数の寄与のみが残る。

3.3 エネルギー構造
3.3.1 共鳴双極子相互作用
本研究で用いた Yb 原子を対象に含む、アルカリ土類２原子分子のエネルギー構造を考える。無限遠で２原子状態 1 S0 +1P1 に漸近する場合と、1 S0 +3P1 に漸近する場合の電子励起状態の分子ポテンシャルを求めたい。空間ベクトルと電荷を考え、簡単のために原子に 1, 2 と名前をつけ、原子 1 の電子を電子 3,4、原子 2 の電子を電子 5,6 と名前をつける。2 電子系を考えているので、電子の電荷を e として原子核の電荷は 2e である。相互作用として Coulomb 相互作用のみを考えるとすると、原子核の質量と電子の質量をそれぞれ M , m として、

H=

X Pi
i

2M

+

X pi
i

2m

+

X (2e × e)
X (e × e)(2e)2−+|r1 − r2 ||rei − rj ||rei − rej |
ij
ij

(3.6)

となる。第１項、第２項、第３項、第４項、第５項はそれぞれ核の運動エネルギー、電子の運動エネルギー、核間斥力相互作用、核電子間引力相互作用、電子間斥力相互作用を表している。今、電子の運動エネルギーに対して核の運動エネルギーは十分小さいと考えられるので、第１項を無視する。各原子内部の相互作用と原子間の相互作用をそれぞれ H1 ,H2 , Hint とすると、
H = H1 + H2 + Hint

(3.7)

と書くことができる。ここで、
4X
p1(e × e)(e × e)(2e × e)+++2m i=3 |rei − r1 | |re3 − re4 | |re4 − re3 |

(3.8)

6
X
p2
(e × e)(e × e)(2e × e)H2 =+++2m i=5 |rei − r2 | |re5 − re6 | |re6 − re5 |

(3.9)

H1 =

16

第 3 章 冷却原子の光会合

Hint =

4X(2e × e)(2e)2−|r1 − r2 | i=3 |rei − r2 |+6X
(2e × e)|rei − r1 |
i=5

+

X

(e × e)|r− rej |
i=3,4j=5,6 ei(3.10)

である。今、摂動として小さな相互作用を考えているので、核間距離 r は核と電子間距
離 |rei − rj | と比べて十分大きい。このとき、Hint は dipole-dipole interaction の形で書け、以下のようになる。

−→ −→d1 · d2 − 3d1z d2zHint =.
r3(3.11)−→

ここで、 di は原子の dipole モーメントである。である。式 (3.11) は、次の昇降演算子d±1d± = ∓p (dx ∓ idy ),2(3.12)

を用いて書き直すと、−→ −→d1 · d2 − 3d1z d2zHint =.
r3
d1x d2x + d1y d2y + 2d1z d2z=.
r3
d1+ d2− + d1− d2+ + 2d1z d2z=−r3(3.13)(3.14)(3.15)と表せる。
相互作用ポテンシャルの計算を、自由運動している２つの原子に、原子の持つ電気双極子モーメントによる摂動 Hint が加わったと考えて進める。つまり、H1 + H2 を摂動の 0
次、Hint を摂動項にとるとして、ポテンシャルを計算していく。摂動の 0 次 H1 + H2 の固有状態は、|a1, a2i = |S, P νi,(3.16)|a1, a2i = |P ν, Si,(3.17)

または、と表される。ここで、ν = −1, 0, 1 である。本研究で用いる遷移は 1 S0 +1P1 と 1 S0 +3P1
であり、1P1 ,3P1 のいづれの状態もが全角運動量のｚ成分において、−1, 0, 1 の３状態が縮退しているので、それぞれの状態を ν を用いて表した。ν は３つの状態を取り得るので、

3.3 エネルギー構造

17
表 3.1

固有値と固有ベクトルの組み合わせ

固有値

固有ベクトル2− 2dr3√1 (|S, P0 i + |P0 , Si)d2
r3√1 (|S, P± i + |P± , Si)
2

2

− dr3

2

√1 (|S, P± i − |P± , Si)

2d2
r3√1 (|S, P0 i − |P0 , Si)22

固有状態として６つの状態が考えられる。それらをそれぞれ、|1i = |S, P 1i,|2i = |S, P 0i,|3i = |S, P − 1i,|4i = |P 1, Si,|5i = |P 0, Si,|6i = |P − 1, Si,(3.18)(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)(3.23)と置く。ここで双極子演算子との関係、

dz |Si = d|P0 i,
dz |P0 i = d|Si,
d± |Si = d|P±1 i,
d± |P∓1 i = d|Si,(3.24)(3.25)(3.26)(3.27)と他の状態は固有値が 0 である関係を用いてVij = hi|V |ji,

(3.28)

を計算する。その結果、以下の固有ベクトルと固有値の組み合わせを得る。負符号をとるポテンシャルにおいて束縛状態をつくるので、表 3.3.1 の固有値の符号に着目すると、束縛状態を作り得るのは、√1 (|S, P0 i + |P0 , Si) と √1 (|S, P± i − |P± , Si) であると分か22る。上記のポテンシャル導出過程は、無限遠で２原子状態 1 S0 +1P1 に漸近する場合と、
1

S0 +3P1 に漸近する場合の電子励起状態の分子ポテンシャルのいずれにも適応できる。

各遷移に対する、束縛状態のポテンシャルとなる分子状態を分子の項記号を用いて表すと、表 3.3.1 を得る。

3.3.2 van der Waals 相互作用式 (3.11) の２次摂動によって、電子基底状態における van der Waals 相互作用が導かれる。電子基底状態では原子はＳ状態にあるので、２次の摂動エネルギー E (2) は、E (2) =

X
|ki6=|1 S

0

,1 S

0i

|hk|Hint |1 S0 ,1 S0 i|2
E0 − Ek(3.29)

18

第 3 章 冷却原子の光会合
表 3.2

各遷移に対する固有値と分子状態

遷移 (1 S0 +1P1 )遷移 (1 S0 +3P1 )

− 2d
r3

2

|1 Σ+
ui

0+
u

2

|1 Πg i

1g

固有値

− dr3

となる。|ki は基底状態 |1 S0 ,1 S0 i 以外の状態をとる。ここで、Hint は r −3 に比例するので、E (2) は r −6 に比例する。さらに、E0 が基底状態のエネルギーであるので、E (2) は負の値となる。符号を含めて E (2) を距離 r の関数として表すと、

E2 = −

C6
r6(3.30)と表せる。ここで、C6 は van der Waals 定数である。

3.4 分子ポテンシャルの振動準位２原子分子の遠距離ポテンシャルから振動準位を求める式が、LeRoy と Bernstein によって解析的に導かれている [26]。２原子分子の断熱ポテンシャル V (R) が、解離極限でのエネルギーを D、２原子分子の原子間距離を R、比例定数を Cn とした時に、V (R) = D −Cn
rn(3.31)と表される場合を考える。WKB の量子化条件から、

I

Z r2 (v)p1
pdr = 22µ(E(v) − V (r))dr = (v + )2
r1 (v)(3.32)

ここで、µ は原子の換算質量、v は振動量子数、r1 (v) および r2 (v) はそれぞれ古典的転回点である。今、v を連続変数と見なして v を E(v) で微分すると、

r Z
q
dv
1 µ r2 (v)1=(E(v) − V (r))− 2 drdE(v)π~ 2 r1 (v)(3.33)

を得る。ところで、古典的転回点において、E(v) = V (r2 ) であることから、

E(r) = D −Cnr2 (v)n(3.34)である。この式 (3.39) を式 (3.33) に代入し、y = r2 (v)/r を用いて変数変換を行うと、
1
r
Z r2 /r1
1
dv
1 µ
Cnn
=
y −2 (y n − 1)− 2 dy
1
1
−
dE(v)
π~ 2 (D − E(v)) 2 n 1(3.35)

を得る。今、r2 (v)/r1 (v) → ∞ とすると、式 (3.35) の積分結果として、

dv
=~
dE(v)

r

n+2
2π Γ(1 + n1 ) n
2n
1 (D − E(v))
11µ Γ( 2 + n ) Cnn(3.36)

3.5 トラップ原子数変化による光会合スペクトル19を得る。式 (3.36) を E(v) について解くと、振動準位を表す下記の式を得る。

E(v) = D −
µ
Xn =

Xn

2n

1

(µn Cn2 ) n−2(vD − v) n−2 ,p Γ(1 + 1 ) n(n − 2)
~ 2π 1 n1
2n
Γ( 2 + n )(3.37)

2n
¶ n−2

.

(3.38)

ここで vD は、解離極限における仮想的な振動準位を表すものであり、一般的には自然数ではない。
以上は回転を考慮しない場合だが、回転を考慮した場合は式 (3.31) に以下のように回転の項を追加すればよい、

E(r) = D −Cn
J(J + 1)~2
+
.
rn
2µr2

(3.39)

この場合、回転の高次の効果を考慮して振動回転準位を表す式は以下となる、E(v) = D −

4
X

Xnk

n 2
k=0 (µ Cn )

k

1
n−2

2n

(J(J + 1)) (vD − v) n−2 −2k .

(3.40)

ここで、係数 Xnk は文献 [26] で計算されている。
本研究において重要な場合として、n = 6 と n = 3 の場合の式を回転の高次の項を除いて表せば、次のようになる。

n = 6 の場合、E(v) = D −X60(vD − v)3 +X61(J(J + 1)) (vD − v).

(3.41)

X31
X30
6
(v
−
v)
+
(J(J + 1)) (vD − v)4 .
Dµ3 C32µ3 C32(3.42)

3

1
2µ 2 C631µ 2 C62n = 3 の場合、E(v) = D −3.5 トラップ原子数変化による光会合スペクトル3.5.1 １光子光会合
光会合信号は、トラップ原子数の変化によって知ることが出来る。ここでは、２つの原子から１つの２原子分子が生成される場合を考える。光会合が起こる事により２原子分子が１つ生成されるので、原子は２個減少することになる。また、レーザー光によるphoton scattering(付録 D) に関する項を考慮すると、原子数は次のレート方程式に従い変化する。

ṅ = −2Kn2 − Γn,(3.43)

ここで、Γ は background collision や off-resonant scattering による one-body loss rate
であり、K は周波数に依存する光会合の発生レートの定数である。原子集団の温度がｓ20

第 3 章 冷却原子の光会合
波散乱のみが主となるような十分低い温度であるとした場合、参考文献 [27] によると Kは以下の式で表される。

1
K=
hQT
ここで、µ を換算質量として、QT =Z

E

2 − k gT

|S| e

¡ 2πkB T µ ´ 32
h2

B

dEg

(3.44)

は分配関数である。また、１光子光会

2合の場合、散乱確率 |S| は以下の擬ローレンツ形式で表される [27]
2

|S| =

γ1 γs
(Ep − ∆1 )2 + (γ/2)2(3.45)∆1 と Ep は図 3.2 に示すように、それぞれ光会合用レーザーの離調と衝突する原子対

Ebe

∆1
γ1

|g>+|e>L1
Ep|g>+|g>

図 3.2

１光子光会合の模式図。∆1 、Ep 、Ebe は、それぞれ光会合用レーザーの離調、衝突する原子対の運動エネルギー、励起分子の束縛エネルギーを表す。γ1 は誘導放射に関する幅である。

の運動エネルギーと励起分子の束縛エネルギーをそれぞれ表す。また、γ1 と γs はそれぞれ、誘導放射に関する幅と、decay 幅であり、全幅 γ は γ = γ1 + γs である。
光会合用レーザー光の周波数変化に対する原子集団の原子数変化を考察するために式 (3.43) を解く。光会合による原子数密度の変化が無視できる程度に小さい場合、
式 (3.43) の解は

n(t) =

n0 e−Γt
1 + n0ΓK (1 − e−Γt)(3.46)となる。本研究で用いる原子集団の温度は約１ µ K と低温であるので、スペクトルの

thermal broadening を無視できるとし、光会合用レーザー光の照射時間を一定とすると、
2

式 (3.46) の関数型は |S| によって決定される。式 (3.45) の ∆1 は、光会合用レーザー光
2の周波数を ν とすると ∆1 = hν であるので、|S| は ν の関数としてローレンツ形式である。この時、原子数 n は図 3.3 のようになる。図 3.3 は、適当なパラメータの値を選び
式 (3.46) を周波数 ν の関数として表したものである。このように、原子数の増減として
光会合信号を得ることが出来る。

ේሶᢙ

3.5 トラップ原子数変化による光会合スペクトル

10000
8000
6000
4000
2000
0
-3 -2 -1 0 1 2
๟ᵄᢙ[MHz]

図 3.3

21

3

原子数減少による光会合信号。縦軸はトラップに残る原子数、横軸は光会合信号における周波数中心からの離調を表す。式 (3.46) を用いた。

3.5.2 ２光子光会合
次に２光子光会合の場合であるが、Bohn と Julienne の理論 [28] によると、２光子光
2会合の場合、散乱確率 |S| は以下の擬ローレンツ形式で表される。
2

|S| =

(Ep − ∆2 )2 γ1 γs[(Ep − ∆+ )(Ep − ∆− )]2 + (γ/2)2 (Ep − ∆2 )2(3.47)

γ1 、γs と γ は式 (3.45) と同じである。また、分子のラビ結合に関する項を Ω12 として、∆+ と ∆− は、
∆± =

q
1
1
(∆1 + ∆2 ) ±(∆1 − ∆2 )2 + 4h2 Ω212
2
2

(3.48)と表される。１光子光会合の場合は２光子光会合において bound-bound カップリングがない場合であると考え、式 (3.47) において ∆2 = 0、Ω12 = 0 とすると、式 (3.45) と一致する。
２光子光会合の信号を得る手法として、アウトラータウンズ分光と誘導ラマン分光の２つの手法がある。先ずアウトラータウンズ分光だが、図 3.4 において、Ebg と Ebe をカップリングするように L2 の周波数を合わせた場合に、Ebe の準位が分裂シフトする[29]。このため、L1 による１光子光会合が抑制される。この抑制を原子数の変化として測定するのがアウトラータウンズ分光である。冷却原子の光会合においても測定されている [30]。次に誘導ラマン分光だが、図 3.4 において L1 と L2 がそれぞれ free-bound、

bound-bound の共鳴となる周波数から ∆ だけ離調した周波数に合わせる。すると、励起状態を介して原子から分子への遷移が起こる [31]。この誘導ラマン遷移が起こると原子数が減少し、１光子光会合の場合と同様に図 3.3 と同様のグラフが得られる。この誘導ラ

22

第 3 章 冷却原子の光会合

Ebe

∆1
γ1

L2
∆2

図 3.4

|g>+|e>L1
Ep
Ebg|g>+|g>２光子光会合の模式図。∆1 と ∆2 はそれぞれ光会合用レーザー L1 と L2の共鳴周波数からの離調を表す。Ep 、Ebe 、Ebg は、それぞれ衝突する原子対の運動
エネルギー、励起分子の束縛エネルギー、基底分子の束縛エネルギーを表す。また、

γ1 は誘導放射に関する幅である。

マン遷移の光会合発生レートを KRaman とし、free-bound の 1 光子光会合発生レートをK1 とすると、¯ Ω ¯2¯ 12 ¯KRaman = K1 ¯¯∆と表される [32]。

(3.49)

23第4章

実験装置と実験手順
第 5 章で述べる 1 S0 →1 P1 遷移を用いた光会合実験および第 6 章で述べる 1 S0 →3 P1遷移を用いた光会合実験に共通の内容に関して説明する。

4.1 Yb 原子4.1.1 Yb 原子の同位体
Yb 原子はレーザー冷却されている他の原子と比較して、安定同位体が豊富であるという特徴がある。量子縮退が達成されている原子の同位体を中心に表にまとめた。これ
表 4.2 He、Cr および Yb
表 4.1

質量数

アルカリ金属と水素

質量数存在比 (%)

核スピン

存在比 (%)

核スピン

3

He

1.37 ×10−4

1/2

He

99.99990

1

H

99.985

1/2

4

2

H

0.015

1

50

Cr

4.345

0

6

Li

7.5

1

52

Cr

83.789

0

7

Li

92.5

3/2

53

Cr

9.501

3/2

23

Na

100

3/2

54

Cr

2.365

0

39

K

93.2581

3/2

168

Yb

0.13

0

40

K

0.0117

4

170

Yb

3.05

0

41

K

6.7302

3/2

171

Yb

14.3

1/2

Yb

21.9

0

85

Rb

72.165

5/2

172

87

Rb

27.835

3/2

173

Yb

16.12

5/2

7/2

174

Yb

31.8

0

176

Yb

12.7

0

133

Cs

100

から、Yb 原子の同位体の数が他の原子と比べていかに豊富かがよくわかる。当然、同位

24

第4章

実験装置と実験手順

体が豊富なだけで、レーザー冷却できなければ意味がない。後に述べるが、Yb 原子では168

Yb を除くすべての同位体について、数 µK 程度もしくはそれ以下まで冷却、トラップ

することに成功している。

4.1.2 Yb 原子のエネルギー準位
本研究に用いた中性 Yb 原子のエネルギー準位図を図 4.1 に示す。各準位のエネルギー「1 S0 」
は、基底状態である 1 S0 状態を基準として表してある。遷移について説明する前に、などの準位の表記法について簡単に説明する。S を電子系の全スピンの大きさ、J を電子系の全角運動量の大きさを、L は電子系の全軌道角運動量の大きさを表すものとして、
2S+1

LJ と表記してある。ただし、L の値、L = 0, 1, 2, 3, · · · に対して、S, P, D, E, · · · として表している。1 S0 →3 P1 遷移は光の吸収、放出サイクルを繰り返すことができ、遷移6s6p 1P1

25068cm-1

5.5ns
3P
2

Zeeman slower
Probe
PA
399nm

6s6p 3P1
3P
019710cm-1
17992cm-1

875ns

17288cm-1

MOT
PA
556nm
6s2

1S
0

0 cm-1
図 4.1

中性 Yb 原子のエネルギー準位図。本研究に関係するものを示している。

確率がある程度大きくなければならないという、レーザー冷却に用いる遷移としての必要な条件を満たしているものである。
1

S0 →1 P1 遷移は、電気双極子遷移の選択則を満たす許容遷移である。1 S0 →3 P1 遷移と比較して、振動子強度が大きい。寿命は 5.5ns と、1 S0 →3 P1 遷移の 875 ns と比較して短い。この遷移は、実験においてゼーマン減速用のレーザー光、吸収イメージング用のレーザー光、光会合用レーザー光として用いた。

1

S0 →3 P1 遷移は、電気双極子遷移の選択則を満たしていない遷移であるが、電子のスピンと軌道角運動量が混ざりあうために、弱くではあるが電気双極子遷移が可能である。この遷移の事をスピン禁制遷移と呼ぶ。その自然幅は 182 kHz であり、1 S0 →1 P1 遷移の自然幅、29 MHz と比較して二桁
狭い自然幅である。自然幅が狭いので、光会合用レーザー光として用いたときに解離極4.2 実験の手順
限近傍の振動回転準位を分光する事が可能である。また、自然放出による準安定状態への分岐がある 1 S0 →1 P1 と異なり、1 S0 →3 P1 遷移は自然放出により基底状態に落ちる
完全に閉じたサイクルの遷移である。その自然幅が狭いため、ドップラー冷却限界温度は約 4.4µK と低い。閉じていてかつドップラー冷却限界温度も低いので、後に説明する

MOT(Magneto-Optical Trap) に最適な遷移であり、実験には MOT 用レーザー光として用いた。また、自然幅が狭く高分解能の光会合に最適であるため、光会合用レーザー光としても用いた。

4.1.3 同位体シフト
同位体によって遷移の共鳴周波数が異なる現象を、同位体シフトと呼ぶ。多数の同位体をもつ Yb 原子も同位体によって遷移の共鳴周波数が異なる。同位体シフトの原因として、質量の違いと原子核の体積による電荷分布の違いが考えられる。原子番号の小さい軽い原子の場合、質量の違いが同位体シフトの主な要因となるが、Yb 原子の様に原子番号が大きな重い原子の場合、同位体シフトの主な要因は体積による電荷分布の違いとなる。
同位体シフトに加えて核スピンをもつ 171 Yb、173 Yb では、超微細構造により共鳴周波数が異なってくる。 1 S0 →1 P1 遷移における同位体シフトと 1 S0 →3 P1 遷移における同位体シフトのスペクトルとシフトの値を表した図を、それぞれ図 4.2 と図 4.3 に示す。図中にある分数値は、励起状態での全角運動量量子数を表す。同位体シフトの値は MHz を単位として 174 Yb を基準にしたものである。また、スペクトルは、参照用原子線にレーザー光を入射させてそのレーザー光の周波数を掃印し、蛍光を光電子増倍管で測定して得られたものである。

4.2 実験の手順
実験の手順について述べる。実験の大まかな流れとしては、原子気体を冷却、そこに光会合用レーザーを照射し、原子気体の温度と原子数をプローブするというものである。必要に応じて原子の温度や光会合用レーザーの周波数を変えながら、これを何度も繰り返してデータを取得していく。原子の冷却は以下の三つの段階に分けられる。

• ゼーマン減速• 磁気光学トラップ• 光トラップによる蒸発冷却
これらと光会合用レーザーの照射、原子気体の温度と原子数のプローブについて以下で説
明する。

25

26

第4章
168

170

1.5

171

Yb

0
0.5
Frequency (GHz)

172

Yb

173

Yb

-0.5

Yb

176

Yb

833.2

1/2
3/2

533.9

1

589.0 3/2
516.3

7/2

P1

0
-254.75/2-510.0

176

Yb

174

1886.61192.5 1152.9(F = 5/2)

Yb

Yb

1.0

(F =1/2)

Yb(F = 7/2)
170 YbYb(F =3/2)
171 Yb
171

173

173

174

Yb

172

Yb

173

Yb

(F =3/2)

Yb

実験装置と実験手順

S0 →1 P1 遷移における同位体シフトのスペクトルとその値。分数値は励起状態での全角運動量量子数を表す。同位体シフトの値は MHz を単位として、174 Yb
図 4.2

1

を基準にしたものである。また、スペクトルは参照用原子線にレーザー光を入射させてそのレーザー光の周波数を掃印し、その蛍光を光電子増倍管で測定したものである。

4.2.1 ゼーマン減速
Yb 原子気体は、固体の Yb を入れたオーブンを 375 ℃に熱することによって得る。この温度では原子の速さが大きく、次に行う磁気光学トラップでの捕獲が困難である。そこ
で、原子気体を一次元的に飛行する原子ビームとして、その進行方向の速さを減速させる。そのために、ゼーマン減速という手法を用いる。一次元的な磁場勾配を原子の進行方向に対して発生させ、ゼーマン分裂を起こさせる。原子の共鳴から赤方に離調したレーザー光を原子の進行方向に対して対向するよう照射すると、ドップラー効果により原子はレーザー光を吸収し、その際の輻射圧によって減速される。放射の際は等方向的に光子を放出するので、上記のサイクルを繰り返すことにより段階的に原子を減速することが出来る。ゼーマン減速のために用いる遷移は、1 S0 →1 P1 遷移である。そのレーザー光の波長は、図 4.1 に示したように、399nm である。399nm の波長のレーザー光を発生させる光源として、798nm のチタンサファイア (Ti:S) レーザーとそれの倍波を生み出す非線形光学結晶のシステムを用いている。それとは別に、1 S0 →1 P1 遷移を用いた光会合を行う時
は、798nm のチタンサファイア (Ti:S) レーザーとそれの倍波を生み出す非線形光学結晶

4.2 実験の手順

27
168(F = 5/2)

171

Yb

3804

3658

172

Yb

3/2

173

Yb

3810

174

Yb

176

Yb

3/2

2311

0
1
2
Frequency (GHz)

5/2

999.5

3

P1

0
-953

-1

176 Yb

-2131

1/2

-2389

7/2

-3

-2

(F =1/2)

171 YbYb

3

4

173 Yb (F =3/2)

172 Yb174 Yb173 Yb (F =7/2)

170

2287

170 Yb173 Yb168 Yb
171 Yb (F =3/2)

Yb

S0 →3 P1 遷移における同位体シフトのスペクトルとその値。分数値は励起状態での全角運動量量子数を表す。同位体シフトの値は MHz を単位として、174 Yb
図 4.3

1

を基準にしたものである。また、スペクトルは参照用原子線にレーザー光を入射させてそのレーザー光の周波数を掃印し、その蛍光を光電子増倍管で測定したものである。

のシステムを光会合用レーザー光として用いるため、Injection Lock システムの半導体
レーザー光をゼーマン減速用の光源として用いている。

4.2.2 磁気光学トラップ
磁気光学トラップ (Magneto-Optical Trap) は、一般的に MOT という略語で表される。これは、原子の共鳴に近い周波数のレーザー光を空間的に６つの方向から入射させて、原子を冷却、トラップするものである。ヘルムホルツコイルにより四重極地場を発生させ、ゼーマン分裂を起こす。ドップラー効果によって原子の速度ベクトル成分に対向するレーザー光のみを吸収するように、レーザー光に離調をかける。光を吸収することにより、原子は輻射圧を受け減速される。これを６方向から行う事により、中心力が原子集団に常に働くようにし原子集団を冷却、トラップする。MOT には、1 S0 →3 P1 遷移を用いた。そのレーザー光の波長は、図 4.1 に示したように、556nm である。556nm の波長のレーザー光を発生させる光源として、Ar+ レーザー光により Dye レーザーを励起させるシステムを用いている。MOT によって捕獲できる原子数と温度は 174 Yb の場合、それぞ

28

第4章

実験装置と実験手順

れ約 106 個と約 50µK である。また、密度は約 1011 /cm3 である。

4.2.3 光トラップと蒸発冷却
光トラップとは、シュタルクシフトにより光の強度に比例したポテンシャルを原子に対して生成させ、原子をトラップする手法のことである。far-off resonant trap とも呼ばれ、その頭文字をとって FORT と略される。典型的なポテンシャル深さは約 1mK であり、先の MOT 中の原子集団は温度が約 50µK であるので、MOT により予備冷却された原子集団を FORT に移行する事ができる。移行後は原子集団の温度が約 100µK に上昇するが、密度は約 1013 /cm3 と上昇する。レーザー光の強度を下げる事によりポテンシャ
ルの深さを浅くしていく事が可能で、これによって蒸発冷却を行い、より低温な原子集団を得る。本研究で用いた原子集団の典型的な温度は約 1µK であり、密度は約 1013 /cm3から 1014 /cm3 である。本研究には交差型光トラップを用いており、蒸発冷却後原子集団
は (数 µm)3 の空間にトラップされる。本研究で用いた FORT 用のレーザー光は、532nmの単一周波数で発振する最大 10W の出力を得ることが可能な半導体励起固体レーザーを光源としている。このレーザー光は原子の共鳴から 1014 Hz 程度の離調をとっており、同位体シフトが 1010 Hz 以下の大きさであるので、FORT による光トラップは、レーザー光の強度などの条件が同じであればどの同位体にもほぼ同じ深さのポテンシャルを形成する
ことができると考えられる。

4.2.4 光会合用レーザーの照射
蒸 発 冷 却 後 、光 会 合 用 レ ー ザ ー 光 を 照 射 す る 。図 4.4 に 1 S0 →3 P1 遷 移 を 用 いた２光子光会合の場合の模式図を示す。２光子光会合の場合は一つのレーザー光をPBS(Polarization Beam Splitter) を用いて二つに分け、それぞれダブルパスを通して周
波数を変調させ、再度 PBS を用いて同一のパスに重ねて光ファイバーに入射させる。光
ファイバーから出射後、λ/2 板と PBS を用いて偏光面を合わせて、交差型光トラップ中の原子集団に照射する。照射する時間は原子集団の原子数密度、光会合用レーザー光の強度、Frank-Condon factor などによって原子数の減少率が異なるため常に一定ではないが、約 30ms から 200ms 程度である。光会合用のレーザー光が交差型光トラップ中の原子集団に照射されるように、毎回実験ごとに調整を行っている。パス中に光ファイバーを用いているのは、光ファイバー後のパスをほぼ不動とすることによりアライメントの手間を省くためである。毎回の実験での調整は、この光ファイバーに入射する光と出射する光の強度比の最適化と crossed-FORT の中心に光会合用レーザー光を照射するアライメン
トである。詳しい光会合用レーザー光のパスや、調整については後に説明する。

4.2 実験の手順

29

fiber coupler

vertical FORT

λ/2 plate
PBS

Optical fiber

Yb atoms

horizontal FORT
fiber coupler
mirrorPBS

λ/4 platePBS
λ/4 plate
AOM 1

PBS
AOM 2

PBS

mirrorFrom Dye laser
図 4.4

光会合用レーザー光のセットアップの模式図。1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合の場合を示している。光会合用のレーザー光の光源は MOT 用レーザー
光と同じである。２光子光会合の場合、一つのレーザー光を PBS を用いて二つに分け、それぞれダブルパスを通して周波数を変調させ、また PBS を用いて一つのパスに重ねて、光ファイバーに入射させる。光ファイバーから出射後、λ/2 板と PBS を用いて偏光面を合わせて、交差型光トラップ中の原子集団に照射する。

4.2.5 プローブ光による撮像
光会合用レーザー光を照射した後、プローブ光を照射し、吸収イメージングにより原子数と温度を測定した。吸収イメージングとは、原子集団の影をＣＣＤカメラによってとらえる手法である。プローブ光の原子集団への入射方向を z 方向とし、入射前のプローブ光の強度を I0 (x, y)、透過後のプローブ光の強度を I0 (x, y) とすると、原子数密度 n(x, y, z)は以下の式で表わされる。

Zn(x, y, z)dz = −σab lnI(x, y))I0 (x, y)

(4.1)

30

第4章

実験装置と実験手順

ここで、σab は光の吸収断面積である。ポテンシャルを調和近似し、原子間相互作用を無視し、原子集団は Maxwell-Boltzmann 分布をしているとすると、ポテンシャルトラップ
から原子集団を開放して t 秒後の密度分布は、· 2¸
x + y2 + z2
n(x, y, z, t) =
exp −
3/2 3
2 σ 2 (T, t)(2π)σ (T, t)N

(4.2)

となる。ここで、N は原子数、T は原子集団の温度である。σ 2 (T, t) は時間 t における原
子分布の広がりで、次の式で表わされる。

σ 2 (T, t) = σ 2 (T, 0) +kB T 2tm(4.3)

式 (4.1) と式 (4.2) より·¸
1
I(x, y)N
x2 + y 2−ln=
exp − 2σab I0 (x, y)
2π σ 2 (T, t)
2 σ (T, t)(4.4)

を得る。左辺はＣＣＤカメラにより測定できるので、その測定結果に対して N と σ(T, t)
をフィッティングパラメータとして右辺の関数形を用いてフィッティングする事により、原子数 N と σ(T, t) を得ることが出来る。この σ(T, t) を用いれば、温度も決定でき
kB T
る。調和ポテンシャルのトラップ周波数を ω とすると、σ 2 (T, 0) = mω2 となるので、式(4.3) はσ 2 (T, t) =kB T 1( + t2 )
m ω

(4.5)

となる。σ 2 (T, t) は式 (4.4) から決定できるので、式 (4.5) から温度 T を求める事が出来る。

4.2.6 タイムチャート
以上の実験の手順を実際にはどのような時間スケールで行ったかを、タイムチャートにして図 4.5 に示した。ta はゼーマン減速による MOT への原子のローディング時間 [s]で、同位体や実験を行った時の装置の調子によって異なるが、おおよそ数秒から１分以下程度である。tb は MOT から FORT へ原子を移行させる時間 [s] である。tc は蒸発冷却の時間 [s] で、同位体や到達したい温度によって異なるが、数秒程度である。td は光会合用レーザー光の照射時間 [s] で、30ms から 200ms 程度である。この照射時間では、光会
合用レーザー光を照射しない場合において原子のトラップロスはほぼない。この事から、トラップ中で原子が三体衝突を起こし、２個の原子で分子を形成し、残りの１つの原子がその分子の束縛エネルギーを受け取ることによってトラップロスを起こす過程が支配的ではないとわかる。また、この過程で形成される分子は原子との衝突によって直ぐに解離してしまう。te は熱平衡化の時間 [s] で、10ms である。tf はプローブ光を照射する時間 [s]で、100µs である。

4.2 実験の手順

31

Zeeman slower

MOT

Horizontal FORT

Vertical FORT

PA laser

Probe laser

ta
図 4.5

tb

tc

t
td e tf

実験のタイムチャート。ta , tb , tc , td , te と tf は、それぞれ、ゼーマン減速による MOT への原子のローディング時間、MOT から FORT への移行時間、蒸発冷却の時間、光会合用レーザー光の照射時間、熱平衡化の時間、プローブ光の照射時
間を表す。

32

第4章

実験装置と実験手順

4.3 実験系
実験装置の配置を説明する。図 4.6 に概略的な配置図を示した。説明上便利なので、ローマ数字で光学除震台に番号をつける。一つの部屋の中に、光学除振台を４台配置してある。実際にはこの他にも光学除振台が実験室に配置してあるが、ここでは本研究に用いた光学系を配置してある物のみを示した。光学除振台に配置してある光学機器も、レー
ザーやチャンバーなど、主な機器のみを示してある。簡単な光学系ならば紙面に表すこともできるが、本研究で用いた光学系は非常に複雑に配置してあるので、すべての光学機器
を二次元の紙面に表すのは不可能である。実線はレーザー光の概略的なパスを表している。原子の冷却に用いるレーザー光は、ゼーマン減速用の 399nm のレーザー光、磁気光学トラップ (MOT) 用の 556nm のレーザー光、そして、光トラップ用の 532nm のレー
ザー光の三つである。各レーザー光をどのように準備するかを簡単に説明する。ゼーマン
減速用のレーザー光は、まず、光学除振台 III の verdi を励起光として、Ti:S から 798nmの光を発生させる。さらに、この光を非線形光学結晶を用いた二倍高調波発生器 (SHG)
を通して、399nm の光を得ている。その後、光学除振台 II を経て光学除振台 I のチャンバーに入射させている。図では最後矢印で実線が終わっているが、chamber に入射する様子を詳細に記すと煩雑になり、図がわかりにくくなるで、それを避けるためである。次に、

MOT 用の 556nm のレーザー光であるが、これは、光学除振台 II の Ar+ レーザーによって Dye レーザーを励起する事によって得ている。その後、光学除振台 I で PBS を用いて三つに分けられてそれぞれチャンバーに入射される。最終的にはそれぞれミラーで反射されて６方向からチャンバーに入射するようにしている。最後に、光トラップ用のレーザー光であるが、これは光学除振台 I の verdi を用いて発生させている。最終的には、verdi-1の光は水平 FORT 光として、verdi-2 の光は鉛直 FORT 光として用いている。この光トラップ用のレーザー光は、他の用途のレーザー光と比較して、特にレーザー光のパスの揺れを排除する必要がある。異なる光学除振台間をレーザー光を渡すと、光学除振台間のわ
ずかな振動がレーザー光のパスの振動として現れる。それを避けるために、光トラップ用のレーザー光源をチャンバーと同じ光学除振台に配置してある。
本研究で用いた実験系における原子の冷却に関する部分は、本研究室における 10 年以
上にわたる研究によって少しずつ構築されたものである。本研究ではその実験系に、第5 章および第 6 の実験配置で説明する光会合光に関する実験配置の構築を行い、実験を
行った。

Ti:S

PA lasersystem

Ar+ Laser

Υ

ULE

SHG

InjectionlocksystemEOM

PA lasersystemoptical fiber

probe
beam

verdi-1

verdi-2

ChamberΣ

Reference ovenreference cavity

Τverdi-3

33

Dye Laser

4.3 実験系

Φ

oven
図 4.6

実験装置の概略的な配置図。光学除震台に便宜的にローマ数字で番号をつけている。実線はレーザー光の概略的なパスを表す。

35

第5章

1S →1P 遷移を用いた光会合
01
5.1 1 光子光会合
世界初の Yb 原子の１光子光会合は、双極子許容遷移である 1 S0 →1 P1 を用いて我々の研究室にて行われた [34]。光会合に用いた冷却原子集団は、single FORT にトラップされた温度が約 100µK の 174 Yb である。d 波の遠心力障壁のポテンシャル高さが 100µK
以上であるので、その時は、s 波散乱長のみが光会合のスペクトルに寄与しているものと考えていた。しかし、後の章で述べる 1 S0 →3 P1 遷移を用いた 1 光子光会合の実験により、約 25µK の低温においても d 波の寄与が s 波と同等程度存在するとわかった。このよ
うに d 波の寄与が遠心力障壁の内側かつ低い温度で残る要因として有力なのが、d-wave

shape resonance の存在である。参考文献 [34] の光会合実験の目的の一つは 174 Yb のｓ
波散乱長の上限値を決定することであった。原子の s 波散乱長は電子基底状態の散乱波動関数の node と相関があり、光会合は実験的に散乱波動関数の node を求める事が出来る手段である。そして、実験的に求めた node が、原子間距離が約 3nm の 1 カ所であった
ので、ｓ波散乱長は 3nm 以下であると決定した。しかし、d-wave shape resonance などが原因で d 波の寄与が遠心力障壁の内側で残る場合には、光会合スペクトルは、ｓ波由来のものとｄ波由来のものが混合したものとなってしまう。このため、ｓ波散乱波動関数のnode を決定するためには、ｄ波の寄与が無視できる温度領域などで光会合スペクトルを得る必要がある。そこで、温度が 1µK 程度の crossed FORT にトラップされた原子集団を用いて再度光会合スペクトルを得ることにした。その結果から、node のみではなくｓ波散乱の波動関数を決定し、ｓ波散乱長および C6 を決定した。ここではその中で、1 光
子光会合の実験に関する部分を説明する。

5.2 実験配置
5.2.1 光会合用レーザー光とゼーマン減速用レーザー光
1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合用のレーザー光源として、波長 399 nm レーザー光が必要である。399 nm の波長の光源としては、Ti:S レーザーとその倍波を生み出す非線形光

36

第5章

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合

学結晶のシステムと、Injection Lock システムの半導体レーザー光がある。光会合用に用いる為には周波数の掃引可能範囲が広いレーザー光が望ましく、特に 1 S0 →1 P1 遷移を用いた光会合は、1 S0 →3 P1 遷移を用いた光会合と比較して測定対象となる振動準位間隔が大きく、GHz オーダーである。このため、数 GHz の周波数掃引が必要となる。また、そのような広範囲の周波数掃引には AOM(Acousto-Optic Modulator) での周波数変調は不適である。よって、光源で周波数を調整する必要がある。そのためには、Ti:S レー
ザーを用いるのが適している。Cavity のある MBR 中の、エタロンや複屈折板を調整する事により、数百 GHz の範囲で周波数を変える事ができる。そのため、ゼーマン減速用のレーザー光源には Injection Lock システムの半導体レーザー光を用い、光会合用レーザーとして Ti:S レーザーを用いた。この配置を用いて、1 S0 →1 P1 遷移を用いた光会合の実験を行った。
しかし、この配置にも弱点がある。得られるゼーマン減速光のパワーは、Ti:S レーザーのシステムでは約 60 mW であるのに対して、Injection Lock システムでは、約 30 mWである。しかも、Injection Lock システムで得られるレーザー光は、必要とする周波数以外の成分も混ざったものである。このため Injection Lock システムでのゼーマン減速の効率は、実際には Ti:S レーザーのシステムと比較して十分ではない。その結果 MOT での原子数が少なくなり、蒸発冷却前の光トラップ中での初期原子数も十分ではなくなり、実験に用いた原子集団の典型的な温度である約 1µK で十分な原子数が用意できなくなる場合がある。また、共同冷却を行う際にはゼーマン減速用のレーザー光の周波数をスイッ
チングする必要があるが、現行の Injection Lock システムはそのスイッチング機能を搭載していない。結局、Injection Lock システムをゼーマン減速用のレーザー光に用いる事
によって約 1µK で光会合に十分な原子数が用意できたのは 174 Yb のみであった。
なお、MOT への原子の Loading から、光会合用レーザー光を照射し原子数と温度を測定までの手順は、4.2 節にて述べたとおりである。
スピン許容遷移（1 S0 →1 P1 ）を用いた１光子光会合用レーザー光のパスは、チャンバーに入射する際に図 5.1 に示すように水平 FORT 光に重ねて配置してある。水平 FORT 光の原子をトラップしている領域での beam 経は約 14 µ m であり、光会合用レーザー光をその微小領域に当たるように調整しなければならない。そのために、次に述べる手法で調整を行った。

5.2.2 光会合用レーザー光のパス合わせ
光会合用レーザー光のパス合わせのために、ビームプロファイラーを用いた。ビームプ
ラファイラーは、ビームの形状と相対座標を知ることの出来る装置である。これを用いて
光会合用レーザー光の中心が FORT 光の中心に一致するように調整を行う。その調整手
順を以下で説明する。
図 5.2 に示すように、光会合用レーザー光の中心を FORT 光に合わせる為にチャンバー入射直前にガラス板を置き、そのガラス板表面での反射光をビームプロファイラーに5.2 実験配置

37

vertical FORT

PA beamprobe beam
Yb atoms

horizontal FORT

図 5.1

光会合用レーザー光、probe 光、FORT 光の配置図。水平 FORT と鉛直

FORT の交差領域に原子がトラップされている。光会合用レーザー光は水平 FORT
光に重ねて入射させ、原子集団に照射される。

入射させる。ここで、光会合用レーザー光を切った場合、ビームプロファイラーではＦＯ
ＲＴ光のみをモニター出来る。このとき、ＦＯＲＴ光の焦点とビームプロファイラーの受光素子が一致するようにビームプロファイラーの位置を調整する。次に、ＦＯＲＴ光を切り、光会合用レーザー光をビームプロファイラーに入射させ、先の FORT の焦点と相対座標が合うように光会合用レーザー光をミラーを用いて調整し、パス合わせを行う。

5.2.3 １光子光会合の実験結果
以上の実験系を用いて 1 S0 −1 P1 遷移を用いた光会合のスペクトルを得る事に成功した。結果を図 5.3 に示す。解離極限から約 10GHz 離調した信号から 345GHz 離調した信号まで得ることが出来た。1 S0 +1P1 状態では４つの分子電子状態が考えられるが、長距1 +離分子を考えた場合、基底状態の 1 Σ+
g 状態から励起状態の Σu 状態への遷移のみが可能である。約 1µK で得たスペクトルであるので、ｓ波散乱由来のスペクトルのみとなる。
ここで、励起状態の全角運動量 Je は１である。同定した振動量子数を図 5.3 に示す。
式 (3.4) を用いて、得られたスペクトルからゼロエネルギーでのｓ波散乱状態での波動

38

第5章

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合

horizontal FORT

beam profiler

chamberglass plate

mirrorPA beammirror
図 5.2

光会合用レーザー光を FORT 光に重なるように調整する際の配置図。光

会合用レーザー光は、水平 FORT 光を反射するミラーの後方から入射されて水平FORT に重ねられている。パス中に置かれたガラスプレートにて FORT 光と光会
合用レーザー光の一部が反射され、ビームプロファイラーに入射する。

図 5.3

１光子光会合スペクトルの例。1 S0 →1 P1 遷移の共鳴周波数からの離調周

波数を横軸、光会合用レーザー光を照射した後の原子数を縦軸として表している。
グラフ中のラベルは解離極限から数えた振動量子数を表す。

5.2 実験配置39関数を求めた。結果を図 5.4 に示す。黒丸印は振動準位が 165 番目以上の点を表しているが、白抜きの丸印に相当するスペクトルは線幅が約 0.11GHz であったのに対して、黒丸印に相当するスペクトルは線幅が約 0.75GHz であった。この原因として前期解離の影
響が考えられる [34]。このため、黒丸印のデータは実線で示した波動関数のフィッティン
C

グの際に参照していない。シュレディンガー方程式におけるポテンシャルを − r6g
6 としてフィッティングを行った。ここで C6g は、van der Waals 定数である。フリーパラメータは、C6g 、散乱帳 a および振幅とした。その結果、C6g = 2300 ± 250、a = 5.53 ± 0.11nm
を得た。

図 5.4

ゼロエネルギーにおけるｓ波散乱状態での波動関数。白抜きの丸印および黒丸印は実験結果、図の右下隅のバーはデータの誤差を表すエラーバーである。実線は波動関数のフィッティング結果を表す。黒丸印は振動準位が 165 番目以上の点を表している。白抜きの丸印に相当するスペクトルは線幅が約 0.11GHz であったのに対して、黒丸印に相当するスペクトルは線幅が約 0.75GHz であった。この原因として前期解離の影響が考えられる [34]。このため、黒丸印のデータは実線で示した波動関数のフィッティングの際に参照していない。

波動関数の振幅が大きければ Franck-Condon factor が大きくなり、光会合の効率がより高くなる。２光子光会合のスペクトルを探す際、free-bound 用レーザー光と bound-bound 用レーザー光の２本のレーザー光を用いることとなるが、実験装置および配置の制約上その強度には上限がある。free-bound 用レーザー光の強度を出来る限り小さくし、

bound-bound 用レーザー光の強度を大きく取った方が未知の振動準位を探す際に優位である。そのために図 5.4 の結果を参照し、光会合の効率が高くなる励起状態のエネルギー準位を用いた。２光子光会合の探求に関して、次節で詳しく述べる。

40

第5章

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合

5.3 ２光子光会合
5.3.1 ２光子光会合用のパス
２光子光会合には、レーザー光が二つ必要である。１光子光会合用のパスの途中に図5.5 に示すように、ダブルパスを二つ含む光学系を挿入することによって、それらを用意した。ミラー１はフリッパーに取り付けられており、これを倒したり起こしたりする事
により１光子光会合専用のレーザー光としての用途 (もしくは Zeeman 冷却用のレーザー光としての用途) と２光子光会合用のレーザー光としての用途を使い分けられるようにしてある。λ/2 板は、その直後の PBS によって分けられるレーザー光の強度比を調整するために設置している。AOM1 と AOM2 はそれぞれダブルパス中に配置されており、これによって周波数変調をかける。AOM2 のダブルパスを通過した後のミラー 2 と 3 は、

AOM1 を通過した後にチャンバーに向かうレーザー光と AOM2 を通過したレーザー光とを重ね合わせるための調整に使用するために設置してある。

5.3.2 ２光子光会合スペクトルの探索
２光子光会合スペクトルの探索を行った。Yb 原子の２光子光会合の前例はないため、
光会合用レーザー光の周波数および強度、原子集団の原子数、温度といった実験時のパラメータに関して、２光子光会合スペクトルを得るのに最適な条件は当然未知である。２光子光会合には、ラマン分光とアウトラータウンズ分光の二つの手法があるが、まずこのどちらで探索するかを考察した。アウトラータウンズ分光はラマン分光と比較して、光会合用レーザー光の強度に対して得られるスペクトルの線幅が広い事が予想される。このため、未知のスペクトルを探索するにはアウトラータウンズ分光が有利と考えた。次に、基底状態におけるどの振動回転準位を探すかである。これには以下の条件を考慮した。

1. free-bound の Frank-Condon factor が大きく、光会合用レーザー光の強度を小さく抑えられる準位

2. 1 S0 →1 P1 遷移の線幅が 30MHz 程度あるので、目安として 100MHz よりも深い
準位

3. bound-bound の Frank-Condon factor も大きくとれる準位
１．に関しては図 5.4 を参照すればよい。原子間距離が 4 nm 付近や 8nm 以上であれば波動関数の振幅が大きく、free-bound の Frank-Condon factor が大きくなると考えられる。２．に関して参考文献 [35] によれば、振動準位 v = 1、基底状態の回転量子数 Jg = 0の振動回転準位が解離極限からの離調が、-9.88〜 -14.83MHz の間にあると予想される。
これでは遷移の線幅の影響が考えられるので、振動準位 v = 2、回転量子数 Jg = 0 or

2 の振動回転準位より深い準位を探索する必要がある。5.2.3 節において C6 および散乱
長 a の値が求まっているので、これから数値的にシュレディンガー方程式を解き、遠方

5.3 ２光子光会合

41

λ/2 plate
λ/4 plate

3

AOM

PBS

mirror

lens

AOM2

2

AOM1

1

TiS߆ࠄ

chamber ߳
図 5.51

S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合用のレーザーパス。ミラー１はフリッパーに取り付けられており、これを倒したり起こしたりする事により１光子光会合
専用のレーザー光としての用途と２光子光会合用のレーザー光としての用途を使い分けている。λ/2 板は、その直後の PBS によって分けられるレーザー光の強度比を調整するために設置している。AOM1 と AOM2 はそれぞれダブルパス中に配置されており、これによって周波数変調をかける。AOM2 のダブルパスを通過した後のミラー 2 と 3 は、AOM1 を通過した後にチャンバーに向かうレーザー光と AOM2を通過したレーザー光とを重ね合わせるための調整に使用するために設置してある。

42

第5章

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合にて波動関数が 0 に収束する振動準位を求めることが出来る。その結果、解離極限から270MHz 離調した場所に基底状態の分子束縛準位 (v = 2) が存在すると予想した。３．に関しては、Frank-Condon 原理から考えて free-bound の Condon point が bound-boundの Condon point と近ければよい。以上、３つの点を考慮して、解離極限から 270MHz
離調した場所に基底状態の分子束縛準位が存在すると予想して探索を行うこととした。励起状態の束縛準位として、Condon point が約 4nm である v = 157 の準位を用いた。

5.3.3 ２光子光会合スペクトルの発見
上記の条件を考慮して２光子光会合スペクトルの探索を行い、振動準位 v = 2、回転量子数

Jg = 2 の振動回転準位を発見することに成功した。これは、世界で初めて Yb 原子における基底状態の分子ポテンシャル中の束縛状態の信号を得た実験である。その結果を図 5.6 に示す。 図 5.7 を参照しつつ、スペクトルの説明を行う。free-bound のカッ

Number of atoms

120000100000
80000
60000
40000
20000
0
268.2 268.4 268.6 268.8 269.0 269.2
Frequency difference (MHz)
図 5.6

174

Yb2 分子の、アウトラータウンズ分光を用いた、v = 2, Jg = 2 状態の２光子光会合スペクトル。約 1 µK の温度で測定した。縦軸は光会合用レーザーを照射した後に光トラップ中に残った原子数を、横軸は２色の光会合用レーザー光の周波数差をそれぞれあらわしている。縦方向のエラーバーは原子数の揺らぎをあらわしている。実線はデータをフィッティングしたローレンツ関数を表す。

プリングに用いるレーザー光を L1 、bound-bound のカップリングに用いるレーザー光を L2 とする。L1 、L2 が共に照射されていない場合、約 100000 個、1 µK の原子が交差型 FORT 光にトラップされている。L1 を free-bound のカップリングが起こる周波数に調整し照射すると (図 5.7 にて離調 ∆d = 0)、1 光子光会合によってトラップ原子数が約 50000 個に減少するよう L1 の強度を調整した。L1 の周波数と強度を上記に保ったま
ま照射した状態で、L2 の強度を適当に調整し、周波数を掃引した。図 5.6 の横軸は L1

5.3 ２光子光会合

431

S0+1P1ve
Energy

∆d
L2

vg

L1
1S +1S
0
0

Interatomic distance
図 5.7 Yb2 分子の、ポテンシャルエネルギーの模式図。vg は基底状態の振動準位
を、ve は励起状態の振動準位をそれぞれ表す。L1 、L2 はそれぞれ free-bound のカップリングに用いるレーザー光、bound-bound のカップリングに用いるレーザー光である。∆d は L1 の ve からの離調を表す。

と L2 の周波数差である。L2 によって bound-bound のカップリングが起こると、アウ
トラータウンズ分裂によって、free-bound のカップリングが解かれ、１光子光会合による原子数の減少が阻害される。図 5.6 の横軸約 268.65MHz のピークがそれである。このbound-bound のカップリングによって１光子光会合による原子の減少が抑制されるスペ
クトルは dark resonance と呼ばれる。
次に、１光子光会合スペクトル中の dark resonance [36] の測定を行った。図 5.6 では

L1 の周波数を固定したが、今回は L2 の周波数を bound-bound カップリングが起こるよ
うに固定する。その状態で、L1 の周波数を掃引する。L2 がなければ通常の１光子光会合
による原子の減少が観測されるが、L2 によって１光子光会合のスペクトル中心にて原子の減少が抑制される。結果を図 5.8 に示す。１光子光会合による原子の減少が、スペクトル中心にて抑制されている結果を得た。
以上、図 5.6、5.8 に示すように、２光子光会合の信号を得ることに成功した。この発見を足がかりに、次は最浅束縛準位を探索した。

5.3.4 最浅束縛準位の分光
振動準位 v = 2 のスペクトルを得たことから、最浅束縛準位は解離極限から約 10MHzであると範囲を絞る事が出来た。そこで、ラマン分光によって最浅束縛準位を探索するこ

44

第5章

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合

Number of atoms

120000100000
80000
60000
40000
20000
0
160

200
240
280
320
Frequency difference (MHz)

360

174

図 5.8

Yb の、アウトラータウンズ分光を用いた、v = 2, Jg = 2 状態の２光子
光会合スペクトル。約 1 µK の温度で測定した。縦軸は光会合用レーザーを照射した後に光トラップ中に残った原子数を、横軸は２色の光会合用レーザー光の周波数差をそれぞれ表している。265MHz 付近での原子数の増加は、dark state を表している。

ととした。1 S0 →1 P1 遷移の線幅が 100MHz 程度考えられるので、図 5.7 において離調∆d = 200MHz としてラマンスペクトルを探索した。結果、スペクトルを得ることに成功した。結果を図 5.9 に示す。ラマン遷移によって Yb 原子が分子となり、プローブされる
原子数が減少する。
スペクトルの中心周波数は、ライトシフトの影響を受けたものである。bound-boundカップリングのライトシフトがラマンスペクトルにおいて dominant であるから、ライトシフト δLS は、µδLS = βI1
I2+∆d + f1 − f2
∆d

¶
,

(5.1)

と表される。ここで、β は Frank-Condon factor に関する定数であり、I1 , I2 はそれぞれレーザー光 L1 , L2 の強度を表す。

I1 , I2 , ∆d , (f1 −f2 ) の値はそれぞれ誤差がある。それらを ∆I1 , ∆I2 , ∆(∆d ), ∆(f1 −f2 )とおくと、ライトシフト δLS の誤差 ∆(δLS ) は、

µ

¶2 µ
¶2
∂(δLS )∂(δLS )∆(δLS ) =
∆I1 +
∆I2
∂I1
∂I2
¶2 µ
¶2
µ
∂(δLS )∂(δLS )∆(∆d ) +∆(f1 − f2 ) ,+∂∆d∂(f1 − f2 )2(5.2)
と表される。∆I1 , ∆I2 , ∆(∆d ), ∆(f1 − f2 ) の要因を表 5.1 に示す。∆d , I1 と I2 のいく
つかの組み合わせで得た δLS を図 5.10 に示す。縦軸は共鳴周波数を、横軸はライトシフ

5.3 ２光子光会合

45

Number of atoms

120000100000
80000
60000
-10.0
-10.4
-10.8
Frequency difference [MHz]

図 5.9

174

Yb2 分子の、Raman spectroscopy を用いた、v = 1, Jg = 0 状態の２光子光会合スペクトル。約 1 µK の温度で測定した。縦軸は光会合用レーザーを照射した後に光トラップ中に残った原子数を、横軸は２色の光会合用レーザー光の周波数差をそれぞれ表している。縦方向のエラーバーは原子数の揺らぎを表している。スペクトルの中心周波数を決めるために実線で示すローレンツ関数でデータをフィッティングした。

表 5.1

ライトシフトの大きさを決めるパラメータの揺らぎとその要因。

パラメータ

要因

∆I1 , ∆I2

光会合用レーザー光の強度の揺らぎ∆(∆d )

電子励起状態の振動準位における中心周波数の誤差∆(f1 − f2 )２光子光会合スペクトルの中心周波数の誤差ト δLS をそれぞれ表す。縦軸のエラーバーは、共鳴周波数と温度の不確定さを横軸のエラーバーは表 5.1 に示した要因による δLS の不確定さをそれぞれ表す。図中の実線はデー
タをフィットした線形関数である。フィッテイングはエラーバーを考慮して行った。カイ
二乗を自由度で割った換算カイ二乗を算出しその確率を求めた。5 ％の有意水準を考えていたが、求めた確率は 80 ％以上であった。この結果から、式 (5.1) を仮定し解析を行う事
は妥当であると言える。この線形関数の切片から、δLS = 0、つまりライトシフトのない
共鳴中心周波数を得た。
このライトシフトの他に温度によるシフトを考慮する必要がある。また、ＦＯＲＴ光によるトラップ中で光会合を行っているので、ＦＯＲＴ光によるライトシフトの可能性も

46

第5章

1

S0 →1 P1 遷移を用いた光会合ある。これらについての詳細は第 6 章にて説明する。その温度によるシフトを考慮して、
1

S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合によって、基底状態における分子ポテンシャルの最f1 - f2 [MHz]

浅準位を 10.597 ± 0.059MHz と決定した。

-10.0
-10.4
-10.8
-11.2
-0.010

図 5.100.000
0.010
δLS [MHz]δLS の関数として、共鳴位置 f1 − f2 を示した。縦方向のエラーバーは共鳴の中心周波数の不確定さ、∆(f1 − f2 ) を表している。水平方向のエラーバーは、∆I1 , ∆I2 , ∆(∆d ), ∆(f1 − f2 ) を含んでいる。データを線形関数でフィットした結果を、実線で示している。

47

第6章

1S →3P 遷移を用いた光会合
01
この章では、スピン禁制遷移である 1 S0 →3 P1 遷移を用いた光会合について述べる。まず、Yb 原子における 1 S0 →3 P1 遷移を用いた 1 光子光会合の結果を示す。本研究の最大の目的である s 波散乱長の決定に必要不可欠な２光子光会合の実験を行う為には、まず始めに１光子光会合の信号を得る必要がある。次に、1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合の結果を示す。前章の 1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合では 174 Yb のみを分光出来たが、1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合では６つの同位体について分光することに成功した。

6.1 1 光子光会合
冷却原子を用いた光会合の研究は多くの場合、双極子許容遷移を用いて行われてきた。
例えば、アルカリ原子の場合は 2 S1/2 →2 P1/2,3/2 遷移が用いられ、アルカリ土類原子の場合は 1 S0 →1 P1 遷移が用いられ、準安定 He の場合は 3 S1 →3 P0,2 遷移が用いられてきた。双極子許容遷移が広く用いられた理由として、線幅が広く、実験的に比較的容易に到達できる温度である数百 µK 程度の原子集団を用いた場合でも熱的分布による線幅の広がりの影響が少ないことが挙げられる。このように双極子許容遷移を用いて行われた光会合であるが、光会合の重要な応用例の一つとして、光会合を用いて散乱長を制御する所謂、

optical Feshbach resonance が行われている。しかし双極子許容遷移を用いた光会合では実用的なオーダーで散乱長を変化させる場合において、線幅の広さ故にトラップした原子の多くをロスしてしまうという欠点がある。その原子のロスを回避するには、より線幅の狭い遷移を用いればよい。2004 年に Julienne らのグループによって提唱されたスピン
禁制遷移を用いた光会合 [33] は線幅が細く、双極子許容遷移を用いた光会合と比較して

optical Feshbach resonance における原子数のロスを抑えることが出来ると期待される。
さらには線幅の細さから、解離極限近傍の振動回転準位も高分解能に測定できると期待される。
本研究で用いた Yb 原子には、スピン禁制遷移である 1 S0 →3 P1 遷移がある。初めて

Yb 原子を用いて行った光会合は、双極子許容遷移である 1 S0 →1 P1 遷移を用いており、

48

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

原子集団の温度は約 100µK であった [34]。しかし、1 S0 →3 P1 遷移は遷移確率が比較的低いので、より高密度な原子集団を用意する必要がある。さらに、1 S0 →3 P1 遷移は線幅が細く、100µK 程度の原子集団を用いるとその熱的分布による線幅の広がり（数百 kHz）
が問題となるので、より低温な原子集団を用いる必要がある。以上の条件を満たすために交差型光トラップ中の極低温 Yb 原子集団を用意し、1 S0 →3 P1 遷移を用いた光会合を
行った。

6.2

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合の実験配置

原子集団を冷却し、その原子数と温度を測定する手法は 4.2 節で述べた場合と同様である。ここでは 1 S0 →3 P1 遷移を用いた光会合に用いるレーザー光について述べる。
1

S0 →3 P1 遷移に必要なレーザー光の波長は 556nm である。実験で用いる MOT は

1

S0 →3 P1 遷移を用いたものであり当然その波長は 556nm であるので、そのレーザー光を利用する事が出来る。光会合用レーザー光を照射する時には原子集団は光トラップに移行されているので、タイムシークエンス的にも転用は問題ない。そこで、MOT 用レー
ザー光のスイッチングをパス中の AOM で行い、そのプラス１次光を MOT 用レーザー
光として、その０次光を光会合用レーザー光として用いる事とした (図 6.1)。光会合用
レーザー光は、スイッチング用の AOM0 を通過した後、周波数変調行うシステムを通る。

AOM1 の部分はダブルパスになっている。AOM2 と AOM3 は必要に応じて付け加えるものであり、これら３つの AOM の組み合わせにより様々な値の周波数変調が可能である。1 S0 →1 P1 遷移を用いた光会合の場合と異なり、1 S0 →3 P1 遷移を用いた光会合の場
合は原子の共鳴の自然幅が 182 kHz と狭く、解離極限近くの振動回転準位を分光可能であり、それらの振動回転準位の分光には、数百 MHz の周波数掃印可能範囲があればよい。
そのため、光会合専用にレーザー光源を用意することなく、MOT 用に周波数安定化されたレーザー光を AOM を用いて周波数変調して用いる事が可能である。この運用法に従えば、各同位体で最適条件が異なる、光トラップへの移行以前の冷却手法や光学系の設定をそのまま用いる事ができる。つまり、1 S0 →1 P1 遷移を用いた光会合の場合と異なり実験システム的に共同冷却を用いて原子集団を冷却する事も可能であるし、ゼーマン減速光の光源として、現時点で最も最適な Ti:S レーザーのシステムを用いる事ができる。
光会合用レーザー光は周波数変調のパスを通った後に光ファイバーを通り、チャンバーに入射する。そのパスを図 6.2 に示す。チャンバー入射前に光会合用レーザー光の強度をモニターするシステムがある。これは、光会合用レーザー光の一部をガラス板で反射し、フォトダイオードに入射させ、フォトダイオードの出力電圧から光会合用レーザー光の強度を知るものである。チャンバーに入射する光会合用レーザー光をパワーメーターにて測定し、その時のフォトダイオードの出力電圧を記録する。これを２つ以上の強度値で行う
ことにより、フォトダイオードの出力電圧と光会合用レーザー光の線形対応関数を得る事が出来る。これにより、フォトダイオードの出力電圧から光会合用レーザー光の強度を知ることが出来る。

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合の実験配置

AOM0

49

AOM2

AOM3

AOM1

For MOT

1

From Dye laser

6.2

λ/2 plate
λ/4 platefiber coupler

AOM

PBS

mirrorlens

S0 →3 P1 遷移を用いた１光子光会合用のレーザーパス。MOT 用レーザー
光としての用途とを切り替えるスイッチ用 AOM0 を通過した後に、周波数変調を行うシステムを示している。”From Dye laser”以前と”For MOT”以後のパス、さらにファイバーカップラー以後は省略してある。AOM0 通過後に波線で示しているのは、MOT 用レーザー光としてのパスである。AOM1 の部分はばダブルパスになっている。AOM2 と AOM3 は必要に応じて付け加えるものであり、これら３つの AOM の組み合わせにより、様々な値の周波数変調が可能である。周波数変調後

図 6.1

1

は光ファイバーを通り、強度をモニターするシステムを通過後、チャンバーに入射
する。

50

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

To Chamber

a

a

a-a

図 6.2

1

λ/2 plate
λ/4 platefiber coupler

PD

PBS

mirrorlens

S0 →3 P1 遷移を用いた１光子光会合用のレーザーパス。図のファイバー

カップラー入射後、出射したのちにチャンバーに入射するまでのシステムを示している。PD はフォトダイオードを表している。この PD の出力電圧を光会合用レー
ザー光の強度の指標として用いている。その手前の黒い箇所は、PD の出力電圧に迷光によるノイズが入る事を避けるために用いた黒筒である。途中、チャンバー窓の高さにパスを合わせる為にパスを打ち上げている (a-a 部)。その後、プローブ光のパスと重ね合わせてチャンバーに入射している。

6.3 結果と考察

6.3 結果と考察
1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合スペクトルを得ることに成功した。共同冷却を用いて原子集団を冷却する事が可能である事、ゼーマン減速光の光源として現時点で最も最適な

Ti:S レーザーのシステムを用いる事が出来た事もあり、存在比が低く MOT が生成が困難である 168 Yb を除く同位体 170 Yb、171 Yb、172 Yb、173 Yb、174 Yb、176 Yb について光会合スペクトルを得ることが出来た。光会合スペクトルを得た同位体は、電子励起状態のポテンシャルエネルギーの形成の点から大きくボソン (170 Yb、172 Yb、174 Yb、176 Yb) とフェルミオン (171 Yb、173 Yb) に分けることが出来る。先ずは、174 Yb を例にボソンから
その結果を示す。次に、171 Yb を例にフェルミオンの実験結果を示す。

6.3.1 ボソン
174

Yb を用いた光会合について、得られたスペクトルを図 6.3 に示す。0+u 状態の振動回転準位の光会合信号を１３個観測することに成功した。測定に用いた原子集団の温度は
約 4 µK である。用いた光会合用レーザー光の強度は 6.5µW/cm2 から 69mW/cm2 である。得られたスペクトルの線幅の典型的な値は 1MHz 以下である。これは、双極子許容遷移を用いた光会合と比較して非常に細い。また、1 S0 →3 P1 遷移を用いた光会合は、その自然幅の細さから解離極限近傍の振動回転準位を分光する事ができる。今回得たスペク
トルでは、最も浅いもので解離極限から約 3MHz の振動準位を分光した。しかし、解離極限近傍では光会合用レーザー光の周波数が原子の 1 S0 →3 P1 遷移の共鳴周波数と近くなり、photon scattering rate が高くなる（付録 D）。この為、原子共鳴の photon scattering

rate による原子ロスと光会合信号による原子ロスが、光会合信号の判別がつく程度に最適化する事が肝要となる。
得られたスペクトルの同定を行った。Yb 原子は基底状態 (1 S0 ) において、全電子スピンがゼロであるので、1 S0 +1 S0 状態に漸近する分子ポテンシャルの取り得る電子状態は
1

1
3
+
Σ+
g のみとわかる。また、電子励起状態 S0 + P1 に漸近するポテンシャルは 0u である。これを図に表すと図 6.4 となる。遷移する際の選択則は、基底状態と励起状態の全角運動量をそれぞれ Jg と Je として、∆J = |Jg − Je | = 1 である。以上を模式的に描くと、
図 6.5 のようになる。s 波散乱過程での光会合からは Je = 1 の回転状態の分子が、d 波散
乱過程での光会合からは Je = 1, 3 の回転状態の分子が生成される。これはボソンである
すべての Yb 同位体に適用できる。図 6.3 に示したスペクトルは、約 4 µK で得られたものであが、この温度領域では s 波散乱が支配的であると考えられる。つまり、図 6.3 のス
ペクトルは、Jg = 0 から Je = 1 の状態への遷移であると考えられる。
図 6.6 は得られたスペクトルの中心周波数（∆(v)）を対応する振動準位 v に対して示したものである。ここで ∆(v) は 1 S0 +3P1 を基準としたものである。また、振動準位 vを決定するため式 (3.42) を用いた。この式 (3.42) から vd をフィッテイングパラメータ

51

52

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

Fraction of atoms remaining (arb. units)

1.0
0.5
0.0
-100

-80
-60
-40
-20
Frequency detuning (MHz)

0

-400
-300
-200
Frequency detuning (MHz)

-100

1.0
0.5
0.0
-500
1.0

1.0
0.5

0.5
0.0
-2000

0.0
-1980 -1970

-1500
-1000
Frequency detuning (MHz)-500

S0 →3 P1 遷移を用いた 174 Yb 原子の光会合スペクトル。原子集団の温度は約 4 µK。用いた光会合用レーザー光の強度は 6.5µW/cm2 から 69mW/cm2 。
解離極限から red-detuning で約 2GHz までの光会合スペクトルを観測した。2GHz
図 6.3

1

近傍の光会合スペクトルを拡大して示してある。

として決定し、各スペクトルの振動準位 vd は 7 から 19 であると同定した。
約 4 µK の原子集団を用いた光会合では s 波散乱由来のスペクトルのみを得たが、約 25µK で同様に光会合の信号を得ると約 4 µK での信号に加えてもう一つ、原子数の減少によるピークが観測される。これは、温度が高くなる事により s 波散乱過程での光会合に加えて d 波散乱過程での光会合の信号が観測された事による。
他のボソン同位体である、176 Yb、170 Yb、172 Yb についても同様に光会合のスペクトルを得た。176 Yb は蒸発冷却の効率が悪く、単独では高密度かつ低温の原子集団を得ることが難しい事が経験的に分かっていた。この為、174 Yb と共同冷却することにより低温か
つ高密度の原子集団を作り出し [41]、光会合スペクトルを得る事に成功した。170 Yb は単
独での蒸発冷却で BEC を達成している同位体である [10]。このため、比較的容易に光会合に必要な、低温かつ高密度な原子集団を用意する事が出来、光会合スペクトルを得た。
172

Yb は蒸発冷却の効率が悪く、高密度な原子集団を得ることが困難であったが、光会合

6.3 結果と考察

53Π 

Σ

576
58 9
:
;;

Π
    

0




;

Σ 

0%# -1# "
23234*+-,/.

Σ/!

 "!$# %'&"# ()"%

図 6.4

174

Yb2 のポテンシャル。556nm の光会合用レーザー光によって、基底状態（ S0 ）にある２つの原子が、1 S0 +3P1 に斬近する 0+
u 状態へと励起される。
1

Je = 0

1

2

3

1
p

2
d

3
f

+

0u

+

Σg

Jg = 0s+
Yb における 1 Σ+
g 状態から 0u 状態に遷移する際の選択則。Jg と Je はそれぞれ基底状態と励起状態の全角運動量を表す。Jg の値の下に記した s,p,d,f は、それぞれ s 波、p 波、d 波、f 波の衝突を表している。選択則は ∆J = |Jg − Je | = 1

図 6.5

174

であり、またボソンの統計生から、図の実線の遷移のみが可能である。

第6章

Frequency detuning (GHz)

54

図 6.6

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
6

8 10 12 14 16 18
Vibrational quantum number

20

振動量子数 v の関数として、光会合の共鳴周波数を表す。v は 7 から 19 である。実線は式 (3.42) を用いたフィッティングである。

用レーザー光の強度を最適化する事により、光会合スペクトルを得る事が出来た。以上の結果を表 6.1 に示す。なお、168 Yb は存在比が小さく MOT が困難なため、今回は測定出来なかった。

6.3 結果と考察

55

Yb, 172 Yb, 174 Yb, 176 Yb を用いた光会合信号のピーク値。v は解離極限から数えた振動準位の番号を表す。Je は励起状態での回転量子数を表し、観測された光会合信号のピークの解離極限からの離調 [MHz] を単位として示した。
表 6.1

170

174

v

Je = 17

Yb
Je = 3

176

170

Yb

Je = 1

Je = 3

3.26

5.98

4.60

8

8.47

14.69

12.56

9

18.52

14.97

30.23

26.17

10

36.25

31.26

54.43

48.76

11

67.29

12

119.06

13

190.19177.73

256.6

241.4

14

301.20283.27395.9415459.93

16683.42

17992.57181411.58

1364.9219

1972.36

1916.66

653.51Yb

Je = 1

Je = 3375.00273.52266.53592.15565.85411.88389.15865.8

831.29618.2211237.88

172

Je = 1

789.37Yb
Je = 3

56

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

6.3.2 フェルミオン
核スピンが 1/2 の 171 Yb と核スピンが 5/2 の 173 Yb の、２種類の同位体がある。核スピンの存在のため、ボソンとは異なる物理量が分子の電子状態を表すよい量子数となる。
171

Yb の光会合に関して説明した後に、173 Yb の光会合の結果を概観する。

171

Yb の光会合

ボソンの同位体と異なり、171 Yb は核スピンが 0 ではなく 1/2 である。この為、171 Yb
における電子励起状態での分子状態はボソンのそれと異なったものとなる。電子基底状態において、171 Yb の原子対は以下のように表すことが出来る、{|gi} = |(1 S0 )i1 |(1 S0 )i2 |Ig , Φg inucl .

(6.1)

ここで、添え字 1 と 2 は原子対の一つと残り一つをそれぞれ表す番号であり、全核スピン

Ig の分子軸への射影を Φg として |Ig , Φg inucl は核スピンの波動関数を表す。この時、電子励起状態における分子状態を次の |αi と |βi で表せて、|αi =|(3 P1 )f, φi1 |(1 S0 )ηi2 + |(1 S0 )ηi1 |(3 P1 )f, φi2
p
,
2

(6.2)

|βi =

|(3 P1 )f, φi1 |(1 S0 )ηi2 − |(1 S0 )ηi1 |(3 P1 )f, φi2
p
,
2

(6.3)

である。ここで、φ は 3 P1 状態における原子の全角運動量 f の分子軸への射影、η は 1 S0
状態における核スピン i の分子軸への射影をそれぞれ表す。|αi は原子の交換に対して

symmetric であり、|βi は原子の交換に対して antisymmetric である。1 S0 +3 P1 状態に漸近する 171 Yb 分子の断熱ポテンシャル曲線は、式 (3.11) に核スピンによる項と vander Waals 相互作用による項を加えて、Hint =−→ −→d1 · d2 − 3d1z d2z+ ahp (i1 · j1 + i2 · j2 ) + VvdW (r),
R3

(6.4)

のハミルトニアンから得られる。ここで、ahp は原子の超微細結合定数で ahp = 3957MHzである。ik と jk は原子 k(k = 1, 2) における核スピンと、電子の全角運動量である。

VvdW (r) は、電子励起状態における van der Waals 相互作用の項であり、C6e /r6 のみに依存すると近似できる。式 ( 6.4) を用いて断熱ポテンシャル曲線を求めた。結果を図 6.7に示す。原子の全角運動量が f = 1/2 の 1 S0 +3 P1 (f = 1/2) に漸近するポテンシャルと f = 3/2 の 1 S0 +3 P1 (f = 3/2) に漸近するポテンシャルがある。(a) と (b) はそれぞれ、分子状態が |αi の場合と |βi の場合である。図中の |Φe | は付録 A.2 における |Φe | である。(a) における |Φe | = 0 のポテンシャルと (b) における |Φe | = 1 のポテンシャルはpurely long-range ポテンシャルと呼ばれるものである。purely long-range ポテンシャルの可能性は約 30 年前に議論されており [42, 43]、冷却原子を用いた光会合によってアル

4000

57
(a)
|Φe| = 0 (F: even)
1S + 3 P (f=3/2)010| Φ e| = 1-40005935 MHz
1S + 3 P (f=1/2)
0
1

-8000
2

Energy (MHz)

Energy (MHz)

6.3 結果と考察

4000| Φe| = 10|Φ e| = 25935 MHz|Φe| = 0 (F:odd)-4000

1S + 3 P (f=1/2)
0
1

-8000

4
6
8
10
12
Internuclear distance (nm)(b)
1S + 3 P (f=3/2)
0
1

2

4
6
8
10
12
Internuclear distance (nm)S0 +3 P1 (f = 1/2) と 1 S0 +3 P1 (f=3/2) の解離極限に漸近する断熱ポテ
ンシャル。(a) と (b) はそれぞれ、{ |αi} を用いて計算した断熱ポテンシャルと {|βi} を用いて計算した断熱ポテンシャル。
図 6.7

1

カリ原子 [44, 45, 46, 47, 48, 49] や準安定ヘリウム [50] を用いて測定されている。それら
はスピンー軌道相互作用と双極子相互作用によって形成されているものであるが、今回は超微細相互作用と双極子相互作用によって形成される。
171

Yb の光会合実験はボソンの場合と同様の手順で行った。先ず始めに 25µK の温度

Fraction of atoms remaining (arb. units)

で得たスペクトルを図 6.8 に示す。 解離極限（1 S0 +3 P1 (f = 3/2)）より 200MHz から
12 3

1

PP P

12 3

1

PP P
S

S

1 23 11 312311 3P PP

PPP L L
S

S

L L

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0

図 6.8

-1000

171

-800
-600
Frequency detuning (MHz)-400

Yb の光会合スペクトル。25µK の温度で測定した。縦軸はトラップに残った原子の割合を表す。横軸は解離極限からの離調周波数を表し、実線はローレ
ンチアンでのフィッティング結果である。解離極限（1 S0 +3 P1 (f = 3/2)）より200MHz から約 1000MHz の範囲内に 20 個のピークを得た。グラフ上に示す S,Pはそれぞれ s 波衝突、p 波衝突由来の信号を表し、L は purely long-range ポテン
シャル由来の信号を表す。また、その上の数字 1,2,3 は、分子の全角運動量の量子数
T である。

約 1000MHz の範囲内に 20 個のピークを得た。25µK では s 波散乱に加えて p 波散乱も考慮に入れる必要がある。500MHz 付近までは６つの連続したスペクトルが２回見られ

-200

第6章

Fraction of atoms remaning (arb. units)

58

図 6.9

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

1

1

1

1

1 1 11SSSSS S SS

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-1000 -800 -600 -400 -200
Frequency Detuning (MHz)171

0

Yb の光会合スペクトル。2µK の温度で測定した。縦軸はトラップに残った原子の割合を表す。横軸は解離極限からの離調周波数を表し、実線はローレ
ンチアンでのフィッティング結果である。解離極限（1 S0 +3 P1 (f = 3/2)）から約900MHz の範囲内に 8 個のピークを得た。グラフ上に示す S は s 波衝突由来の信号を表す。また、その上の数字 1 は、分子の全角運動量の量子数 T である。

たが、600MHz 付近以降は連続して４つスペクトルとなっている。これは、前者の中に、ポテンシャル深さの浅い purely long-range ポテンシャル由来のスペクトルが含まれているためと考えられる。ここで、s 波散乱のみを考えればよい温度領域でスペクトルを得ることが出来れば、スペクトルの同定が比較的容易になる。そこで、s 波散乱のみが起こると考えられる 2µK にて再度光会合実験を行った。結果、図 6.9 に示すように、解離極限（1 S0 +3 P1 (f = 3/2)）より約 900MHz の範囲内に 8 個のスペクトルを得ることが出来た。この 8 個のスペクトルは、s 波散乱からのスペクトルである。25µK で得られていた
スペクトルの内 2µK で得られてないスペクトルは p 波由来のスペクトルであると考えられる。
ここで、選択則として以下の４点を考慮する。ただし、分子の全角運動量の量子数を Tとし、添え字 e、g はそれぞれ電子励起状態と電子基底状態を表す。

1. 分子状態 |αi は p 波散乱から、|βi は s 波散乱から遷移可能である。
2. Te ≥ Φe を満たす。
3. |Te − Tg | ≤ 1 を満たす。
4. |Φe − Φg | ≤ 1 を満たす。
以上の選択則を図 6.10 にまとめた。これから、図 6.8 と図 6.9 のスペクトルの同定を

6.3 結果と考察

59Φe = 1Φe = 0F =1
Te = 0 1 2 3State α ++__2
0 1 2 3++__

State βParityGround state
図 6.10

171

+
s

_
p

+
d

T =1 2 3
+ + +
_ _ _

+
s

_
p

+
d

Yb の光会合における選択則。F は原子の全角運動量、T は分子の全角運動量の量子数を表す。

行った。図中のスペクトルの上にある S、P はそれぞれ s 波、p 波由来のスペクトルを表し、L は purly long range ポテンシャルの振動回転準位への遷移由来のスペクトルを表している。図 6.9 にて測定された s 波由来の信号は、図 6.7(b) における |Φe | = 0 のポテン
シャルの振動回転準位である。図 6.8 にて S で示された信号は図 6.9 の S で示された信号と同じ遷移のものである。図 6.8 にて測定された P で示された信号は、図 6.7(a) における |Φe | = 1 のポテンシャルの振動回転準位であり、Te = 1, 2, 3 の三つが測定された。さらに、L で示された信号は図 6.7(a) における |Φe | = 0 の purely long-range ポテンシャ
ル由来の信号である。この超微細相互作用と双極子相互作用によって形成される purely

long-range ポテンシャルのスペクトルは、本実験にて世界で初めて得られたものである。
173

Yb の光会合

フェルミ縮退が達成されている同位体であり、核スピン I = 5/2 をもつ。171 Yb と同様に実験を行い、解離極限から約 500MHz から 1000MHz 離調した範囲でスペクトルを得た。結果を図 6.11 に示す。今回、詳しい分光は行わなかったが、後の２光子光会合に必要となる励起状態の信号として、s 波衝突由来の信号のみとなる温度 1µK で解離極限から-791MHz 離調した位置に信号を得ている。

60

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

12000

Number of atoms

10000
8000
6000
4000
2000
0
-1000

-900

-800

-700

-600

-500

Frequency detuning (MHz)図 6.11

173

Yb の光会合。約 6µK で測定した。解離極限から約 500MHz から
1000MHz 離調した範囲でスペクトルを得た。

6.4 ２光子光会合

6.4 ２光子光会合
本研究の目的は、Yb 原子におけるすべての同位体の s 波散乱長を決定する事である。
本研究で用いた実験系では 1 S0 →1 P1 遷移の光会合光を用意した場合、ゼーマン減速光を Injection Lock に変えざるを得なくなりゼーマン減速光の強度が不足するので、174 Yb
を除いて冷却時の初期原子数を十分な数用意することができない。また、Injection Lockによるシステムでは共同冷却に必要な周波数の切り替えをゼーマン減速光において行えない。そして、光会合スペクトルをとるために必要な程度、十分低温かつ多数の原子を用意する事が不可能となる。そのため、1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合を行う必要がある。1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合ならば共同冷却が可能であり、168 Yb を除いた同位体で光会合スペクトルを得るために必要な程度に十分低温かつ多数の原子を用意することができる。

6.5 実験法
２光子光会合を行う為には、周波数差を変化させる事のできる２本のレーザー光が必要である。6.2 で述べた 1 S0 →3 P1 遷移を用いた１光子光会合の実験配置に改良を加えて、これを可能にした。その２光子光会合の実験配置の概略図を図 6.12 に示す。周波数安定化された Dye laser からの光を PBS で２本に分ける。分けられたそれぞれのレーザー光
はダブルパスを通り周波数変調される。そして、PBS を用いてまた２本のレーザー光のパスを揃え、光ファイバーに入射させる。この時、互いに垂直に交わる偏光面をもった２本のレーザー光の重ね合わせとなっている。光ファイバーを出射後、PBS を通して２本のレーザー光の偏光面を一致させ、冷却原子に照射する。PBS を通過するレーザー光の強度が最大となるように、PBS 入射前に設置した λ/2 板の角度を最適化している。ファイバー出射後の２光子光会合用レーザー光のパスは１光子光会合用レーザー光のパスと同一であるので、実験シークエンスは１光子光会合の場合と同じものを用いる事が出来る。
それゆえ、２光子光会合の実験を行う際の原子の冷却や原子数と温度の測定方法は、他の実験と同様である。

6.6 実験結果
1

S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合の試みは初めてのものであった。しかし、7 種類存在する Yb 同位体のうち、174 Yb は 1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合によって、基底状態の振動回転準位（v=1,Jg =0）の解離極限からの離調がすでに分かっている。２光子光会合に用いる電子励起状態の準位が異なるだけで、当然電子基底状態の準位は同じであるから、1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合の情報をもとに 1 S0 →3 P1 遷移を用いた
２光子光会合信号を探索することにした。1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合で観測出

61

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

AOM2

62

From Dye laser

AOM3

AOM1

図 6.12

1

λ/2 plate
λ/4 platefiber coupler

AOM

PBS

mirrorlens

S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合用のレーザーパス。

来たのは 174 Yb のみであったので、先ずは 174 Yb を用いて 1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合の信号を探索した。その結果、信号を得ることに成功した。先に述べたように、
1

S0 →3 P1 遷移を用いて２光子光会合を行う場合、１光子光会合とほぼ同じシークエンス

で行うことができる。他の Yb 同位体に関しても２光子光会合の信号を探した。得られたスペクトルを図 6.13 に示す。スペクトルの中心周波数は、ライトシフトの影響を受けたものである。1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合の場合と同様に、ライトシフト δLS は
式 (5.1) で表される。ここで、離調 ∆d と強度 I1 , I2 の典型的な値は、それぞれ 2MHz と10 から 1000mW/m2 である。
1

S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合と同様に、I1 , I2 , ∆d , (f1 − f2 ) の値はそれぞれ

6.6 実験結果
表 6.2

63
光会合における free-bound 遷移に用いた励起状態の振動回転準位。ve とJe はそれぞれ振動と回転の量子数である。ve は解離極限から数えている。励起状態の準位の場所は、原子の 1 S0 −3P1 遷移の周波数からの離調で示されている。数値の単位は MHz である。フェルミオンの場合、3P1 状態における原子の全角運動量が最も大きいものを解離極限としている。

isotopeveJe

position (MHz)

170

Yb

16

1

618

171

Yb

172

Yb

173

Yb

174

Yb

176

Yb

904
17

1

789
791

18

1

993

19

1

1972

17

1

868

誤差がある。それらを ∆I1 , ∆I2 , ∆(∆d ), ∆(f1 − f2 ) とおくと、ライトシフト δLS の誤差∆(δLS ) は、式 (5.2) で表される。∆d , I1 と I2 のいくつかの組み合わせで得た δLS を図6.14 に示す。縦軸は共鳴周波数を、横軸はライトシフト δLS をそれぞれ表す。縦軸のエラーバーは共鳴周波数と温度の不確定さを、横軸のエラーバーは表 5.1 に示した要因による δLS の不確定さをそれぞれ表す。図中の実線はデータをフィットした線形関数である。
フィッテイングはエラーバーを考慮して行った。この線形関数の切片から δLS = 0、つまりライトシフトのない共鳴中心周波数を得た。
以上の様にライトシフトの影響を取り除いたが、スペクトルの中心周波数は温度シフトの影響も受けている。温度シフトは、aT を定数、kB をボルツマン定数、T を温度として、

aT kB T となる。参考文献 [23] によると定数 aT は 3/2 である。174 Yb2 の v = 1, Jg = 0
状態のスペクトルを 0.5 µK から 2 µK までの温度幅で測定し、今回も定数 aT が 3/2 である事を実験的に確認した。結果を図 6.15 に示す。データを線形関数でフィッティング
した結果、定数 aT は 9 ％以内の誤差で 3/2 である結果を得た。この結果から、中心周波数が受ける温度シフトは 3/2kB T 依存性があるとわかる。3/2kB T の関係を用いて、中心周波数の補正を行った。
今回の実験は、磁気トラップなどではなく FORT 光による光学トラップによって捕獲された原子集団に対して光会合用レーザー光を照射し、光会合をおこしている。このため、FORT 光によるライトシフトについて考察する必要がある。しかしながら、今解析の対象としている束縛準位では長距離分子となるので、分子の受けるライトシフトは原子の受けるライトシフトとなる。このため、今回の２光子光会合における FORT 光によるラ
イトシフトはほぼ無視できるくらいに小さいと考えられる。さらに実験データからも、束縛エネルギーを決定するためにライトシフトの確認を行った。原子集団の冷却の最終段階
では、原子集団をトラップする垂直ＦＯＲＴと水平ＦＯＲＴのうち水平ＦＯＲＴの強度を

64

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

変化させながら蒸発冷却を行っている。図 6.15 に示した温度変化のグラフは、蒸発冷却における水平ＦＯＲＴの最終強度を変化させることによって原子集団の温度を変化させて得たものである。そのため、図 6.15 のデータはライトシフトを含んだものとなっている。
そこでライトシフトを見積もるため、まず参考文献 [23, 27] の理論に基づいて温度シフト
が 3/2kB T となるとし、図 6.15 のデータから温度シフトを差し引いた。そして、IFORTを垂直ＦＯＲＴと水平ＦＯＲＴの強度の和として、aI IFORT でフィッテイングを行った。
その結果、0.005MHz の差となり表 6.3 に示す誤差と比較して十分小さい値となった。さらに、温度依存性の係数が 3/2kB でない場合を考え、aT と aI をフリーパラメータとして温度とＦＯＲＴによるライトシフトの式 aT kB T + aI IFORT を用いてフィッティングを行った。この場合でも外挿による T = 0, IFORT = 0 の周波数は 16kHz のずれとなり、
表 6.3 の誤差内に収まる結果を得た。以上より、ＦＯＲＴによるライトシフトは無視できるものと考えられる。アウトラータウンズスペクトルからも同様に、２本のレーザー光によるライトシフトの影響、温度によるシフトを差し引いて中心周波数の決定を行った。
以上の結果を各同位体についてまとめたものを、表 6.3 に示す。174 Yb の v = 1, Jg = 0
に関して、誘導ラマン分光から求めた周波数とアウトラータウンズ分光から求めた周波数が誤算の範囲内でよく一致している。また、第 5 章において 1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合から求めた 174 Yb の v = 1, Jg = 0 の周波数とも、誤差の範囲でよく一致している。

6.6 実験結果

表 6.3

65

同種原子で形成される Yb 分子における結合エネルギー Eb の実験値と理論計算値を示す。理論計算値は第 7 章にて述べる計算値である。Jg は基底状態での回転量子数を、v は基底状態での解離極限から数えた振動量子数をそれぞれ表す。Rと AT はそれぞれ、２光子光会合の手法として誘導ラマン分光を用いた場合とアウ
トラータウンズ分光を用いた場合を表す。

isotope
170

171

172

Yb
Yb
Yb

v
1
1
1

Jg

methodEb (MHz)Eb (MHz)

Difference

experiment

theory

(MHz)

0

R

-27.661(23)-27.755

0.094

2

R

-3.651(26)-3.683

0.032

0

AT

-64.418(40)-64.548

0.130

2

AT

-31.302(50)-31.392

0.090

0

AT

-123.269(26)-123.349

0.080

2

R

-81.786(19)-81.879

0.093

173

Yb

1

0

R

-1.539(74)-1.613

0.074

174

Yb

1

0

R

-10.612(38)-10.642

0.030

1

0

AT

-10.606(17)-10.642

0.036

2

0

R

-325.607(18)-325.607

0.000

2

2

R

-268.575(21)-268.576

0.001

1

0

R

-70.404(11)-70.405

0.001

1

2

R

-37.142(13)-37.118-0.024

176

Yb

66

第6章

1

S0 →3 P1 遷移を用いた光会合

100000
90000

170Yb

80000

v=1 Jg=075000

v=1 Jg=2

50000

70000
-27.80

Number of atoms

170Yb

24000
22000
20000
18000
16000
14000
-123.4-27.60

-4.0
32000
28000
24000
20000

172Yb

v=1 Jg=0-123.2

-3.8

172Yb

v=1 Jg=2-82.0-123.0

-3.6

-81.8

-81.6

280000240000200000176Yb

160000v=1 Jg=0-70.6240000-70.4160000150000140000174Yb
130000120000v=1 Jg=0110000-11.0-10.8

200000176Yb

160000v=1 Jg=2-70.2-37.40-37.20-37.00240000200000160000120000174Yb

v=2 Jg=0-325.8-10.6-325.6-325.424000070000

200000160000

174Yb

60000

173Yb

120000v=2 J=250000

v=1 Jg=0-268.8-268.6

55000
50000
45000
40000
35000
30000

171Yb

v=1 Jg=0
-64.6

-64.4

-1.4

-268.4

-64.2

50000
45000
40000
35000
30000

約 1 µK の温度で測定した、２光子光会合スペクトル。縦軸は光会合用レーザーを照射した後に光トラップ中に残った原子数を、横軸は２色の光会合用
レーザー光の周波数差をそれぞれあらわしている。縦方向のエラーバーは原子数の揺らぎをあらわしている。スペクトルの中心周波数を決めるためにローレンツ関数
でデータをフィッティングした。171 Yb2 の v = 1, Jg = 0, 2 状態および 172 Yb2 のv = 1, Jg = 0 状態はアウトラータウンズ分光を用いた。その他の準位はラマン分光
を用いた。

171Yb

v=1 Jg=2-31.6 -31.5 -31.4 -31.3 -31.2 -31.1

Frequency difference [MHz]図 6.13-1.2

6.6 実験結果

67

f1 - f2 [MHz]-10.55-10.60-10.65-10.70-10.75-10.80-0.2

図 6.14

174

-0.1
0.0
0.1
Light shift δ LS [MHz]Yb2 分子の v = 1, Jg = 0 準位の共鳴周波数 f1 − f2 を δLS の関数として表したもの。温度シフトの補正は行っていない。垂直方向のエラーバーは共鳴の中心周波数の不確定さ、∆(f1 − f2 ) を表している。水平方向のエラーバーは、∆I1 , ∆I2 , ∆(∆d ), ∆(f1 − f2 ) を含んでいる。実線に示すように、線形関数を用いてデータをフィッティングした。

f1 - f2 [MHz]-10.60-10.62-10.64-10.66-10.680.0
図 6.15174

0.5 1.0 1.5 2.0
Temperature [µK]2.5

Yb2 分子の v = 1, Jg = 0 準位の共鳴周波数 f1 − f2 を温度の関数として表したもの。ライトシフトの補正は行っていない。垂直方向のエラーバーは、ス
ペクトル中心の不確定さ、∆(f1 − f2 ) によるものである。水平方向のエラーバーは温度の不確定さを表す。実線に示すように、線形関数を用いてデータをフィッティ
ングした。

69

第7章

Yb 同位体の散乱長と質量スケーリ
ング則
7.1 Yb 同位体の散乱長の決定
7.1.1 ポテンシャルパラメータの決定
束縛状態のエネルギーとすべての同位体の散乱長を換算質量、Born-Oppenheimer ポ
テンシャルを用いて決定した。ポテンシャルにおいて最浅準位の位置を決定づける部分
は、長距離ポテンシャル部と、短距離ポテンシャル部である。つまり、次に示す単純なポテンシャルを用いてデータを解析する。

C6
V (r) = − 6
r

µ

σ6
1− 6
r

¶
−

C8
+ B(r)J(J + 1),
r8

(7.1)

ここで、σ は定数、C8 は dipole-quadrupole 相互作用に関する van der Waals 定数、B(r) = ~2 /(2µr2 ) は、分子の回転の項である。式 (7.1) の第１項は Lennard-Jones 形式のポテンシャルであり、σ により変化する。C8 はフィッティングの精度向上に導入した項である。C6 , C8 , σ の３つをパラメータとすることから、式 (7.1) を three parameter
モデルと呼ぶ。
シュレディンガー方程式を数値計算で解き、測定した束縛エネルギーと比較する事により、最適なポテンシャルパラメータを得る事が出来る。174 Yb2 の J = 0, v = 2 準位および176

Yb2 の J = 0, v = 1 準位を C6 の値と 174 Yb2 における束縛準位の数 N174 の決定に用いた。そして、174 Yb2 の J = 2, v = 2 準位を C8 の値の決定と C6 の値をより正確にする為に加えた。それにより、C6 = 1931.7 Eh a60 , C8 = 1.93 × 105 Eh a80 , σ = 9.0109362 a0 ,N174 = 72 という結果を得た。ただし、a0 ≈ 0.0529 nm, Eh ≈ 4.36 × 10−18 J である。
これらのパラメータ値から、他の同位体に関しても束縛エネルギーを求める事が出来る。
その結果を表 6.3 に示す。
短距離ポテンシャル、retardation 効果の寄与、高次のエネルギー分散項の詳細が不足
している事を考慮して、C6 と C8 はそれぞれ 2 ％と 25 ％の誤差があると見積もった。す

70

第7章
表 7.1

Yb 同位体の散乱長と質量スケーリング則C6 と C8 の値

定数

表 7.2

値

C6

1932(30) Eh a60

C8

1.9(5) × 105 Eh a80

C6 の比較。今回得られた値は、以前の実験値又は理論計算値より小さい。

決定法

値

実験値

1932(30) Eh a60 [今回]

実験値

2300(250) Eh a60 [第 5 章]

理論計算値2291.6 Eh a60 [52]理論計算値

2062 Eh a60 [53]理論計算値

2567.9 Eh a60 [54]

なわち、表 7.1 を得る。

−C10 /r10 項をフィッティングの際に加えると、わずかにフィッティングが良くなる。
しかし、C6 および C8 の値は上記の誤差範囲内である。C6 はこれまでに実験的、理論的に求められてきたが、以前に得られた C6 の値と比較すると表 7.2 となる。短距離領域のポテンシャルは pseudopotential であるが、それを用いて束縛状態数 N を正しく求める事が出来、N を求められるのであれば正確な形状を知る必要はない。ポテンシャル深さは De /h = 32469 GHz であり、参考文献 [54] やそこにあげられている参考文献に見られる値よりも大きなものである。
表 7.2 に示されるように、単純なモデル計算によりもとめた Eb と実験によって決定した Eb は 100kHz 以下の精度で一致している。シンプルなモデル計算によって実験値と高精度に一致することから、換算質量を用いた single mass-independent potential は、同位体の違いによる束縛エネルギー計算を行うに非常によい近似であるといえる。

7.1.2 Yb 同位体の散乱長
基底状態のポテンシャルエネルギー曲線が式 (7.1) であらわされ、パラメータは先に求めたものになるとして、各同位体に合った換算質量を用いてシュレディンガー方程式を数値計算する事により、すべての同位体の組み合わせについて s 波散乱長を計算する事が可能である。求めた散乱長を、表 7.3 と 図. 7.2(a) に示す。誤差は、モデルパラメータ値の不確定さと retardation 補正によるものである。ここで求めた散乱長の値を、他の研究などで得られた値と比較する。まず、174 Yb の散乱長は第 5 章で求めた 5.53(11) nm と非常に良く一致している。また、173 Yb の散乱長は参考文献 [14] において thermalization

experiments によって求められた値よりわずかに大きい。しかしながら、173 Yb の s 波7.1 Yb 同位体の散乱長の決定
弾性衝突断面積は、 E = 0 の場合と実験で用いられた 6 µK の温度とでは、約 10 ％減少
する。スピン偏極分布が均一であるという仮定が成立しない場合、実験値もより大きなものとなるはずである。.
これまでに、Yb 同位体を用いて行われて来た蒸発冷却や共同冷却の結果と、ここで求めた散乱長の値から類推される蒸発冷却の振る舞いとは非常によく一致する。170 Yb,
173

Yb, および 174 Yb は蒸発冷却の効率が良く、この結果は 170 Yb, 173 Yb, および 174 Ybの散乱長が、それぞれ 3.4 nm, 11 nm, および 5.6 nm と比較的大きい値である事と一致している。また、171 Yb および 176 Yb の蒸発冷却の効率が悪いという実験結果は、171 Yb
および 176 Yb の散乱長が、それぞれ −0.1 nm および −1.3 nm という比較的小さい値である事と一致している。さらに、172 Yb の場合、非常に速い原子数の減少が見られるが、おそらくこれは三体衝突によるものであり、−32 nm という非常に大きな値により説明できる。一方、共同冷却の場合を考察すると、171 Yb および 176 Yb を、いずれも 174 Yb と共同冷却した際に効率良い蒸発冷却を得るという結果は、171 Yb と 174 Yb および 176 Ybと 174 Yb の散乱長がそれぞれ 22 nm と 2.9 nm と比較的大きな値である事と一致して
いる。

71

Yb

Yb

Yb

Yb

Yb

Yb

Yb

168

170

171

172

173

174

176

Yb

13.33(18)168

Yb

3.38(11)

6.19(8)170

Yb-0.15(19)1.93(13)4.72(9)

171

Yb

Yb

10.55(11)22.1(7)-30.6(3.2)-4.30(36)2.04(13)173

Yb

5.55(8)7.34(8)10.61(12)22.7(7)-27.4(2.7)

0.13(18)

174

Yb-1.28(23)2.88(12)4.22(10)5.62(8)7.49(8)11.08(12)-19.0(1.6)

176

第7章

-31.7(3.4)-4.46(36)-0.11(19)3.44(10)172

表 7.3 Yb 同位体のすべての組み合わせに関して散乱長を求めた結果。単位は nm である。

72
Yb 同位体の散乱長と質量スケーリング則7.2 衝突断面積の温度依存性

7.2 衝突断面積の温度依存性
three-parameter モデルポテンシャルを用いて、ゼロエネルギーでない場合の部分波の衝突確率を計算する事が出来る。図 7.1 は、同種同位体のエネルギーによって変化する衝突断面積を表している。遠心力障壁による quasibound rovibrational levels の存
在によって形状共鳴が引き起こされ、衝突断面積が共鳴し大きくなる事がある。参考文
献 [38, ?] ですでに指摘されたように、 174 Yb には d 波形状共鳴が存在する。図 7.1 の範囲外であるが、モデルを用いた計算により E/h = 4.5 MHz, すなわち E/kB = 220 µK付近で衝突断面積が緩やかなピークをもつとわかる。また、 173 Yb に関して、図 7.1 のE/kB = 48 µK 付近に見られるように、 p 波形状共鳴が存在すると分かった。
s 波衝突による位相シフトがゼロであるとき、 衝突断面積への s 波の寄与もゼロとなる。このようなゼロエネルギーの点は、 衝突断面積における Ramsauer-Townsend 極小値である。この極小値は、他の部分波の衝突断面積における寄与が無視できる程度である
衝突エネルギーの時に、特に顕著となる。171 Yb や 176 Yb のように散乱長が絶対値の小
さい負の値を持つものが低エネルギー衝突をおこす場合に、この効果が起こる。図 7.1 のように、171 Yb と 176 Yb についてそれぞれ 2 µK と 25 µK 付近で衝突断面積の極小値がある。これは、これらの同位体が蒸発冷却を効率良く行えない事の説明となる。

7.2.1 Yb 同位体を用いた散乱長の選択
換算質量が 168/2 から 176/2 に変化する時、散乱長は −∞ から +∞ に変化する。実際、様々な散乱長の値を与える組み合わせが Yb 同位体には存在し、負で大きさの大きい
散乱長である 172 Yb -172 Yb, 171 Yb -173 Yb, 170 Yb -174 Yb, および 168 Yb -176 Yb の組み
合わせ、ほぼゼロの小さい散乱長となる 172 Yb -172 Yb, 171 Yb -173 Yb, 170 Yb -174 Yb, お
よび 168 Yb -176 Yb の組み合わせ、そして正で大きな散乱長となる 172 Yb -173 Yb および
171

Yb -174 Yb の組み合わせが存在する。つまり、同位体の組み合わせを選ぶ事により、選択的に実に広範囲の散乱長をもつ系を選ぶ事が出来る [51]。

7.3 質量スケーリング則の検証
式 (7.1) で表される three-parameter モデルポテンシャルは、Yb 同位体のすべての組
み合わせについて成り立つ時、式 (2.24) で表される単純な解析式も成立すると考えられる。この式から導き出される結果は、図. 7.2 (a) に示される数値計算結果と分けて考える事は出来ない。モデルポテンシャルから数値計算に導き出された散乱長と、式 (2.24)に示す解析式から導き出された散乱長の差は、最も大きな散乱長をもつ 172 Yb を除いて0.03 nm 以下である。 172 Yb の場合は 0.35 nm となる。また、同様の事が異種同位体間の散乱長に関しても成り立ち、ほぼ 0.03 nm 以下となる。

73

74

第7章

10

-10

-11

172
168
173
174

2

(E) [cm ]1010

Yb 同位体の散乱長と質量スケーリング則

-12

170
176

10
10

-13

-14 171

solid: s +(p)+ddashed: s-only

-15

10 0
図 7.1

20

40
60
E/kB (µK)

80100

同種の Yb 原子に関して、散乱断面積の温度変化を表したグラフ。横軸が衝突エネルギー E/kB 、縦軸が散乱断面積の計算値 σ(E) である。各曲線の数字は、同位体の質量数を表す。偶数はボソンであり、奇数はフェルミオンである。点線は全散乱断面積における s 波衝突の寄与を示しており、実線は、ボソンの場合は s 波
衝突と d 波衝突の寄与を示しており、フェルミオンの場合は s 波衝突、p 波衝突、d
波衝突の寄与を示している。ゼロエネルギー極限での散乱断面積は、ボソンは 8πa2であり、フェルミオンは 4πa2 である。

実験誤差値も考慮したデータへフィッティングした際にフィッティングエラーが大きければ、質量スケーリング則の破綻を示唆する事となる。しかし、単純なモデルを用いた事によるフィッティングへの制約の可能性も考えられる。1 GHz オーダーの small

mass-dependent 補正をポテンシャル深さに対して行ったところ、各同位体でほぼ実験誤差以内でフィッティングが出来た。その結果によると、重い同位体ほどポテンシャルが深いように思われる。質量スケーリングの確度と限界を定量的に測るに、Yb の同位体を用いた今回の実験が可能か否かを見極めるには、さらなる研究が必要である。

a [nm]7.3 質量スケーリング則の検証

30

75

(a)

20
10
0
-10
-20

Eb/h [MHz]

-30
-0.1

(b)
-1

-10

-100

-1000
166

168

170

172

174

176

178

2µ/mu
図 7.2

式 (7.1) で表される three parameter モデルによって計算された散乱長 (a)と束縛エネルギー (b) を横軸を換算質量の２倍、2µ として表す。グラフ中の垂線は、７つの同位体それぞれの質量を表す。(b) における実線と点線は、それぞれ J = 0と 2 の曲線である。エラーバーは、実験値の誤差である。(a) には第 5 章で求めた散乱長も示した。また、(a) の点線で表される水平線は、平均散乱長 ā である。

77

第8章

まとめと今後の展望
本研究において、２光子光会合によって 1 S0 電子基底状態における Yb 分子の束縛準位を直接分光することに世界で初めて成功した。スピン禁制遷移である 1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合での分光も世界初である。1 S0 →1 P1 遷移を用いた２光子光会合では
174

Yb のみであったが、1 S0 →3 P1 遷移を用いた２光子光会合では、Yb の 7 つの安定同位体のうち 168 Yb を除く 170 Yb、171 Yb、172 Yb、173 Yb、174 Yb、176 Yb の６つの同位体について束縛準位を分光する事に成功した。その束縛準位から s 波散乱長を算出し、Ybの 7 つの安定同位体すべてにおいて s 波散乱長を高精度に求める事が出来た。質量スケー
リング則に関しては、本研究での測定精度範囲内では成立しているとの結果を得たが、より詳細な議論をするにはより高精度な実験が必要である。

s 波散乱長は極低温の原子集団の振る舞いを決定する重要な物理量であり、高精度に求めた s 波散乱長の値は今後の Yb 原子を用いた冷却原子系の研究の発展に大いに寄与するものである。本研究が行われてからおよそ２年の月日が経過しており、Yb 原子を用いた研究にも飛躍的な進展が見られる。特に、光格子にトラップされた Yb 原子の BEC を用いた、超流動状態からモット絶縁体への相転移の実現 [55] が、光格子時計や量子コン
ピュータと言った応用へ向けて注目を集めている。その為に必須となる技術の中で、光会
合に関するものの展望について述べる。
まず、本研究においては s 波散乱長を決定したのであるが、この散乱長を制御することにより極低温での原子集団の振る舞いを制御出来る。Yb 原子においては、optical Feshbach
効果による散乱長制御が有効であると考えられているが、特に線幅の狭い 1 S0 →3 P1 遷移を用いる事により、optical Feshbach 効果に伴う原子数の減少を低減する事が可能である[56]。この 1 S0 →3 P1 遷移による Yb 原子の散乱長制御は 2008 年に我々の研究室により達成している [57]。今後、より線幅の狭い 1 S0 →3 P0.2 遷移を用いることによる、より実用的な optical Feshbach 効果の実験、研究などが期待される。さらに、本研究で行った光会合は同種原子を用いたものであるが、異種原子を用いたヘテロの２原子分子光会合実験が望まれる。特に同位体が豊富であるという Yb 原子の特徴を生かした異種同位体混合系などで optical Feshbach 効果の実験を行い散乱長を制御し、原子集団の振る舞いを制御する為にもヘテロ２原子分子の振動束縛準位を分光することは必須である。

79

付録 A

2 原子分子に関して
本章では２原子分子の理論的な面について概説する。

A.1 電子項の分類
原子における電子項の分類では、例えば全軌道角運動量 L による分類がある。しかし、分子は数個の核が集まって形成されるものであり、核の作る電場には中心対称性がなく、
全軌道角運動量 L における分類は出来ない。しかし、２原子分子では２つの原子核の中心を貫く軸を考えたとき、この軸周りの対称性がある。このため、軌道角運動量のこの軸への投影によって、分子の電子項を分類することが出来る。分子軸への軌道角運動量の投影は一般に Λ で表され、Λ = 0, 1, 2, . . . の値をとる。この Λ = 0, 1, 2, . . . をギリシャ文字を用いてそれぞれ Σ, Π, ∆, . . . と表す。さらに、Λ に加えて分子内のすべての電子の全スピン S によって分類され、(2S + 1) 重の縮退が存在する (S = 0 を除く)。この量子数(2S + 1) を多重度と呼ぶ。

図 A.1２原子分子を特徴付ける分子軸と鏡映面の概念図。

次に、分子軸を含む平面に対する鏡映対称性を考える。このような鏡映操作を行った場
合、分子のエネルギーは変化しないが角運動量の符号が変化し、鏡映操作前と後で状態は

80

付録 A 2 原子分子に関して同一ではない。この事から、２重に縮退している事が分かる。しかし、Λ = 0 の場合は鏡映操作前と後で状態が変化しない。鏡映操作は２回行うことにより、恒等変換と考えることが出来る。すなわち、Λ = 0 の場合の鏡映操作によって波動関数にかかる係数を c としたとき、c2 = 1 となる。今、Λ = 0 の場合、すなわち Σ 項を考えているので、c = 1 の場
合と c = −1 の場合をそれぞれ Σ+ 、Σ− と表す。
以上は２原子が同種原子、異種原子にかかわらず適応されるが、２原子が同種原子に限った場合新たな対称性が現れる。原子核の中心を結ぶ線分の中点に対して対称となる。
この中点を原点として座標を設定した場合、分子内の全電子の座標の符号を反転しても系を表すハミルトニアンは不変となる。この時、波動関数は符号を変える場合と変えない場合がある。前者を奇状態 (ungerade)、後者を偶状態 (gerade) と呼び、それぞれ指数 u、gで表す。
以上の例として、Λ = 0 で、全スピン s = 1 であり、鏡映操作によって波動関数の符号が変化せず、同種原子で奇状態の場合、3 Σ+u と表記する。

A.2 Hund’s case
分子スペクトルを実験で得た場合に、どの量子数がよい量子数になるかは様々な条件によって異なる。エネルギー間隔が比較的大きな物理量を先ず考え、次にエネルギー間隔が比較的小さな物理量を扱えばよい。この場合分けとして、いわゆる Hund’s case が知られている。ここでは、この Hund’s case などを説明する。なお、電子スピン S の分子軸への射影を Σ と表し、Σ の値は、Σ = S, S − 1, . . . , −S を取り得る。

• 電子スピンと電子の軌道角運動量が主な場合
原子核の回転 R と比較して、電子スピンと電子の軌道角運動量が大きい場合である。この時、電子スピンの分子軸への射影 Σ と軌道角運動量の分子軸への射影 Λの和を Ω として、

J =Ω+R(A.1)

で定義される J がよい量子数となる。これは Hunt’s case a と呼ばれる。

• 分子の回転エネルギーが主な場合
この場合は、S の分子軸への射影が小さい。主に Λ = 0 の Σ 状態で起こる。この時、J =R+S(A.2)

で表される J がよい量子数となる。これは Hunt’s case b と呼ばれる。

• 電子スピンと軌道角運動量の相互作用が主な場合
電子のスピンと軌道角運動量の相互作用が、それぞれの分子軸への射影より大きい場合である。２原子の核間距離が大きい場合に起こる。本研究における Boson

A.2 Hund’s case81の Yb 分子もこの場合に該当する。先ず、電子のスピン S と軌道角運動量 L によって、

Ja = S + L(A.3)

で表される Ja が形成される。この Ja の分子軸への射影によって Ω が形成される。
この Ω がよい量子数となる。これは Hunt’s case c と呼ばれる。この場合ではスピンと軌道角運動量の合成を先ず考えるので、それぞれの分子軸への射影である Λや Σ が定義されない。そこで、Ω の値のみを用いて、0 状態、, 12 状態、1 状態、. . .
と呼ぶ。

• 全角運動量と核スピンの相互作用が主な場合
全角運動量の分子軸への射影より、全角運動量と核スピンの分子軸への射影をそれ
ぞれ φ、η として、

Φe = φ + η(A.4)

で定義される Φe がよい量子数となる。本研究におけるフェルミオンの 171 Yb の光会合で初めて分光された。Hunt’s case c の場合よりもさらに原子核間の距離が大きくなると測定される。なお、Boson の Yb 分子は核スピンを持たないのでこの場合には当てはまらない。

83

付録 B

結合エネルギーと散乱長
結合エネルギー E と散乱長を結びつける解析的な式がいくつか知られている。これらは厳密に散乱長を決定するには不適であるが、例えば２光子光会合において最浅準位を探索する際に参考になる。
先ず、散乱長が非常に大きい場合だが、この時衝突する２原子の換算質量を µ として

E=−

~2
,
2µa2

(B.1)

で表される。
1 Γ(3/4)
次に、ā = √Γ(5/4) β6 として、a À ā であるが散乱長がそれほど大きくない場合に関2

2

して Gribakin と Flambaum は式 B.1 を修正し [37]、

E=−

~2
,
2µ(a − ā)2

(B.2)

6 1/4
を得た。ここで、β6 = ( mC
である。
~2 )

さらに、散乱長が a ≥ ā の場合に適応できる解析的な式が Gao によって求められた

[58],
E=−

³
~2
c1
c2 ´
1
+
+
.
2µ(a − ā)2(a − ā) (a − ā)2

(B.3)

ここで、c1 = 0.4387552、c2 = −0.2163139 である。
本研究で求めた s 波散乱長と式 B.1, B.2, B.3 を用いて、最浅束縛準位の解離極限からの離調 [MHz] を求めた。表 B.1 に結果を示す。平均散乱長と散乱長の差が小さい
174

Yb では、式 B.1 を用いた計算結果は測定値とオーダーでの一致が見られない。しかし、式 B.2, B.3 を用いた計算結果のいずれにおいても測定値とオーダーは合っている。
また、 173 Yb においても式 B.1 を用いた計算結果は測定値とオーダーでの一致が見られないが、式 B.2, B.3 を用いた計算結果のいずれにおいても測定値と非常に近い値を得ている。このことから、平均散乱長より散乱長が大きいほど実験結果に一致すると考えられる。168 Yb に関して、自然存在比の極端な少なさから冷却原子集団を用意できず実験結果を得ていないが、173 Yb と 174 Yb から推察するに、式 B.2, B.3 を用いた計算結果は測定

84

付録 B

結合エネルギーと散乱長表 B.1

a ≥ ā を満たす Yb の安定同位体のｓ波散乱長、平均散乱長、最浅束縛準位の測定値、および式 B.1, B.2, B.3 を用いて求めた最浅束縛準位の解離極限からの離調 [MHz]。平均散乱長より散乱長が大きいほど実験結果に一致すると考えられる。
168

Yb

173

Yb

174

Yb

散乱長 a [nm]

13.33

10.55

5.55

平均散乱長 ā [nm]

3.944

3.973

3.979

最浅束縛準位 (測定値) [MHz]

測定値なし

1.539

10.612

最浅束縛準位 (式 B.1) [MHz]0.33880.52531.887

最浅束縛準位 (式 B.2) [MHz]0.6836

1.352

23.56

最浅束縛準位 (式 B.3) [MHz]0.7139

1.435

28.08

値と非常に近い値であると考えられる。今後、168 Yb の最浅束縛準位を探索する場合、参考になるはずである。しかし、解離極限から 0.7139[MHz] という値から、光会合用レー
ザー光の強度を抑えるなどの工夫が必要であると推し量られる。

85

付録 C

光会合用レーザー光の周波数補正
C.1 光会合用レーザー光の周波数補正
光会合用のレーザー光は、MOT 光と光源が共通である。それを AOM を用いてスイッ
チングしており、MOT のローディング時は AOM によってはねられた一次光が MOT 光として用いられている。MOT のローディングが終わり、光トラップに原子が移されると

AOM のスイッチが OFF になり、周波数変調をうけることなくゼロ次光のみが AOM を通過して、光会合用レーザー光として用いられる。レーザー光のパスの模式図を図 C.1 に示した。パス中の fL 、f1 、fT は、それぞれ AOM 入射前のレーザー光の周波数、AOMによって変調される周波数、光会合用レーザー光の周波数変調システムによって変調される周波数をあらわす。MOT 光の周波数は、MOT が吹き飛ぶ周波数を基準としている。

f1 が約 80MHz であるため、実験中、扱いを簡単にするために fT が 80MHz で原子の共鳴となると考えている。しかし、MOT の原子数が最大になるように MOT レーザーは離調されており、それらを考慮して光会合用レーザー光が原子の共鳴となる周波数を考えられなければならない。
今、ULE に対する MOT 光の離調を fd 、MOT の共鳴周波数を f0 とすると、

fL + f1 = f0 − 2fd
fL + fT = f0

(C.1)
(C.2)

の関係式が成り立つ。これらから、

fT = f1 + 2fd(C.3)となる。これから、光会合用レーザー光の周波数が原子の共鳴となる時の fT の値がわかる。例えば、よく用いる値として、f1 = 79.25(MHz)、fd = 0.60(MHz) の時、 fd = 80.45(MHz) となる。

86

付録 C

+1st (f1)

fL

PA lasertuning system(fT)

FOR MOT

AOM
mirror
図 C.1

光会合用レーザー光の周波数補正

fiber coupler

光会合用レーザー光のパスの模式図。図中の AOM は、MOT 光のスイッ

チングをするものである。パス中の fL 、f1 、fT は、それぞれ AOM 入射前のレー
ザー光の周波数、AOM によって変調される周波数、光会合用レーザー光の周波数変調システムによって変調される周波数をあらわす。

87

付録 D

Photon scattering rate
2 2k
原子は光子を吸収することにより、recoil energy Er = ~2m
分加熱される。ここで、kは波数、m は原子の質量である。光の吸収を繰り返し原子が過熱されることにより、原子の温度がトラップポテンシャルを超えるとトラップロスとなる。単位時間あたりの光の吸
収回数 Γp は次の式で表わされる。

Γp =

γe I
2 Is
I
2
1 + Is + ( 2∆
γe )

(D.1)

ここで、I 、Is 、γe および ∆ はそれぞれ、レーザー光の強度、飽和強度、励起状態からのdecay rate および共鳴周波数からの離調である。式 (D.1) によると Γp は ∆ の２乗に反比例するので、共鳴周波数からの離調を十分大きくとれば photon scattering による原子のトラップロスを抑える事ができるとわかる。さらに、式 (D.1) により、I を小さくする
事によっても原子のトラップロスを抑える事ができる。また、Γp は単位時間当たりの光の吸収回数なので、レーザー光の照射時間を短くする事によっても原子のトラップロスを抑える事が可能である。
光会合を行う際は、photon scattering を抑えなければ、光会合以外の原子のトラップ
ロスが支配的になってしまい、光会合信号を得ることが困難となる。共鳴周波数からの離調は分光対象となる準位によってある程度決まってしまう。このため、光会合光の強度、照射時間に関して最適条件にてスペクトルを得ることが重要となる。

89

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