わくわく理学

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専 攻 紹 介数学
数理解析専攻
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数学 ・ 数 理 解 析 専 攻 に つ い て
研究紹介
堤誉志雄 教授

数理物理学

小西由紀子 准教授

代数幾何学

吉川謙一 教授

卒業生 interview
数学・数理解析専攻 修士課程
渋川元樹さん株式会社シーフル 取締役
高田智広さん021
mathematics

解析学

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

永遠の真理を求めて未開の曠野へ踏み込む
数学・数理解析専攻

古い起源をもち、長い歴史を経てきた数学は、時代によってさまざまな姿を呈してきました。現在、大学で標準的に学ぶのは、20 世紀に抽象化され、汎用性をもつ形に整理されたものですが、高校までの数学とは相当違った印象をもたらすことになるでしょう。
数学の世界には、まだ解くべき問題はあるのでしょうか。
未 解 決「 問 題 」は 実 際、 山 の よ う に あ り ま す。 最 近 で は、

022

フェルマーの大定理やポアンカレ予想の解決に伴い、一般

mathematicsの関心も高まってきましたが、現実に、数学でどのような研究をしているのか想像するのは難しいでしょう。
あるいは、リーマン予想のような大きな未解決問題について目にし、そのロマンに魅力を感じる人もいるでしょう。
しかし、個別的な問題を解くこと ─ それはそれ自体重要ですが ─ は究極の目的ではありません。研究者は、たとえて言えば、数学世界に広がる未知なる理論体系の「探検」を日々行っているのです。

幾何学

数学の分野は伝統的に、代数学、幾何学、

多様体論
講座

れは歴史的なものです。一方、20 世紀に
は、数学が抽象化され、このような区分を超え、それらを横断し統一する傾向が増大しました。たとえば「群」という概念は、代数学その出自である方程式を離れて、数学のみ

表現論代数
構造論講座

基礎数理
講座

相関数理
講座

数理解析研究所

解析学、という 3 つに分類されます。こ

保険数学

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

数学の 3 つの分野

解析学
講座

ならず、物理学の基本法則に関わるなど、
対称性記述の普遍的な言語となりました。

解析学

当然、分野間の境界は明確ではなく、互いに他の分野に関係します。それでも、この伝統的な分類は現在でも、研究対象と方法ます。そこで、代数にとどまらない多様なの特徴を大きく捉えるのに便利です。以

攻略方法も駆使されます。フェルマーの大下、これに従って、それぞれの分野、とく定理や素数分布にかかわるリーマン予想なに数学・数理解析専攻と関わるものの紹介

どが有名ですが、これらは微積分を発展さをしましょう。

せた解析学と密接に結びつきます。保型形
式やゼータ函数はその場合の主役です。

代数学

代数幾何学は、代数的形式性と幾何学的直観の利点を融合したもので、高校の「図代数学は、方程式の解法に関わる古くか

形と方程式」をはるかに高度にし、かつ抽らの問題に発し、その背後にある世界が象的にしたものです。代数幾何も、整数論

明らかになってきたことが発展の契機とに由来をもつ問題によって深化してきたと023なりました。上で述べた「群」以外にも基ころもありますし、場合によっては、解析本的な「代数系」として「環」や「体」があり学、とくに複素解析と呼ばれる手法を使う

ますが、それは「数」の加法や乗法を抽象ことがあります。「代数幾何」は、京大が化して得られる概念です。代数はこのよ

フィールズ賞学者を 2 人出した伝統ある分

mathematics

うな「操作」（＝代数的演算）に関わる学問

野です。

です。分野を代表する、2 つの大きなもの
は「整数論」と「代数幾何学」です。整数論
は、一見素朴な「整数」を扱いますが、見かけとは裏腹にきわめて難しい問題が現れ解析学

幾何学とは図形に関わる分野です。歴史

解析学は、微積分をさらに発展させたもの

的には現実の「空間」に存在する図形を扱

で、極限操作を含む演算を主要な対象・道い、物理学とも不可分な関係をもっていま具とする点に特徴をもちます。たとえば、した。現在では、より抽象的で広い範囲

ものごとの変化の法則を「微分方程式」での「空間」や「図形」を問題としますが、一

記述し、その解の性質を調べるというの方では理論に内在する必然と、他方では、は、ニュートン以来の数学の重要な考えで物理学などの「現実」から発したものとのす。類似の考えを確率現象に適用した「確両方によって、発展をとげてきました。分

率微分方程式」もあり、開拓者の名前を冠

野としては「微分幾何学」と「位相幾何学」

した「伊藤の公式」は数理ファイナンスにが代表的なものですが、これは対象・方法

応用されます。解析学は多様で、今述べたの違いから分けられます。微分幾何は、幾「微分方程式」「確率論」以外に「複素解析」

何学の研究に微積分を駆使し、曲線や曲面「実解析」「函数解析」などの諸分野があり（あるいは、より高次元の幾何学的対象）

ますが、それぞれがまたいろいろな側面をの曲がり具合などを計量的な指標を道具ともっています。解析学では「無限次元」のして研究します。位相幾何は、図形をより空間を舞台に理論が展開することが多く、自由に変形し、幾何学的対象のつながり具物理などへの応用も含め興味深いもので合を研究します。有名なポアンカレ予想

す。

は、もとは位相幾何の問題でしたが、そのまた、分野間を横断するものとして「力学解決には微分幾何的手法が用いられまし系」では幾何学とのつながりが強く、「表た。このように、数学の諸分野でも、その現論」は、代数・幾何・解析のいずれもと

対象内に閉じこもるのではなく、分野間の密接につながり、「無限可積分系」は物理

活発な相互作用が、研究を大きく推進する学の問題から発した無限自由度の世界を探024

ことがよくあります。さらに最近では、数求するのに、独自の代数的手法を基本的道

学にとどまらず最先端の素粒子物理学とも具として用います。その方法「代数解析」

結んで、興味深い研究がなされています。

は日本が生み出した大きな貢献です。

mathematics

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

幾何学

解析学は、無限を扱うので、思いもよらな
い結論が導き出されることがあります。そして、端正な理論もあれば、計算機を駆使する部分もあり、幅広い現象が隣り合わせになっているのです。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

解析学

堤誉志雄 教授
profile
1956年石川県生まれ。1985年東京大学理学博士。東京大学助教授、東北大学教授などを経て2004年より現職。非線形
偏微分方程式の解の特異性に挑む。

「問題を解く」のではなく、
自ら問題を設定する
アメリカのクレイ数学研究所が 20 世紀末に、懸賞金を用意してまで世に諮った
数学の 7 つの未解決問題というものがあります。一般にも比較的知名度の高い「ポアンカレ予想」は 21 世紀になって解決しましたが、同じく有名な「リーマン予025

想」などと並んで、「非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の解の存在とその滑ら

mathematics

かさについて」という問題も、この未解決問題に仲間入りしています。これは流体力学に関係の深い話題で、たとえば天気予報などに応用されるのですが、この
2 階非線形偏微分方程式に滑らかな（つまり、何回でも微分可能な）一般解がある
ことが示されれば、流体の挙動が解明されるという重要な問題なのです。
堤誉志雄教授は、このナビエ・ストークス方程式に関係が深い研究を行っています。いまだ証明も反証もされていないこの問題はどういう中身なのか、そしてそのアプローチの方法についてうかがいました。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

ナビエ・ストークス方程式の解の振る舞いを探るの超函数の微分を考えることにより微分方
程式を満たすと考える。ナビエ・ストークス方程式には弱解があることは知られていたとえば 2 次方程式などのような代数方程るが、強解が存在するかどうかが問題と式は、実数や複素数といった「数」が解になっているのである。一般的な初期値のもなるが、微分方程式というのは解自体がとで弱解が存在することは示されている「函数」である。解が数であるときとは異が、その解が強解であるとは断言できななり、解が存在するとは限らない。微分方

い。堤教授は目下、非線形偏微分方程式の程式の始まりは、ニュートンやガリレオと解が古典解ではなくなる瞬間にどのようないった歴史上の科学者までさかのぼるが、振る舞いをするのか、数学的に検証する研

力学の法則などの物理的な現象から発生し究を行っている。

たものであり、物理現象や化学現象を記述「たとえば、宇宙がなめらかなタチのいいする際の数理モデルとしての有用性があ函数として描けるとしても、時間が経てばる。

特殊な場合を除きほとんど特異性が表れて大学の数学が微分方程式に向き合う際は、しまいます。それはある意味、ブラック

微分方程式の数学的な構造や解の数学的性ホールみたいなものが宇宙に存在するとい質といったことを問題にする。そのためにうことにつながるんです。しかし私たちのは、「解があるのか否か」ということが、

地球は、何億年も、ブラックホールに遭遇

まず重要なのである。

していないわけですね」。

堤教授は、非線形偏微分方程式を研究しているが、冒頭で紹介した非圧縮性ナビエ・
ストークス方程式を例に取り、非線形偏微分方程式の研究とはどのようなものか説明しよう。一般に微分方程式には、「強解」
通に微分できる函数であるが、後者は微分できるとは限らない函数である。したがって、強解（古典解ともいう）は文句のつけようのない解であるが、弱解は微分方程式
をどのような意味で満たすかがまず問題とナビエ・ストークス方程式には、圧縮性と非圧縮性の 2 種類がある。非圧縮性方程式は圧縮性方程式の特殊な場合と考えられるが、非圧縮性方
程式も広い範囲で適用されている。
上記の式はクレイ数学研究所の懸賞問題にもなっている非圧縮性ナビエ・
ストークス方程式であるなる。普通、微分方程式研究では、弱解は函数ではなく函数の概念を数学的に拡張しつまり、こういうことである。ナビエ・スて定められる「超函数」となっており、そトークス方程式には特異性をもつ解がある

mathematicsと「弱解」があり、簡単にいえば前者は普026

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

かもしれない。しかしそれはものすごく例ンが解いたポアンカレ予想。彼は、微分方外的で、普通に物理現象を観察する分には

程式の解の特異性の特徴付け（分類）とい

表れないかもしれない。たとえば、もしアう、解析的な方法を援用して解いたのでインシュタイン方程式に特異性をもつ解がす。つまり、位相幾何学的な性質を微分方あると、因果律が壊れてしまう。時間が未程式で記述しよう、という新しい考え方で来から過去に向かうような逆転現象が起す。微分方程式というのは、解析学の分野

こってしまったりするのだが、現実にはそに属するわけですが、幾何学や代数学とものようなことはあり得ない。同様に、いま関係が深く、非常に多面的ですね」。

現在の研究成果からすると、ナビエ・ス

これはいわば、ある問題を「ほぼ同値の問

トークス方程式に特異性があるようには見題に置き換える」作業の価値を意味していえないのだ。もし仮にあったとしてもそれる。これまで、数学的にまったく違う対象

は、自然界には表れない現象と考えることだと思っていたものが、背後に同じ理論がができる。

絡んでいることがわかり、大きな発展につながることがあるのだ。フェルマーの最終解を見つけた後にこそ、やるべきことがある

定理などが典型かもしれない。整数論の世界から出た問題が、楕円曲線の問題と結びついたとき、がぜん真実味を帯び、急速に「ある問題があってその正しい解にたどり解明に向かったことは記憶に新しい。

つく、というのが高校までの数学でした。

「問題が解けるときというのは、同時に新

しかし、数学の問題というのは答えは実はしい理論ができる時ですね」。

ひとつじゃなくて、どういうものを答えと数学の魅力とは、端的に、こういうことなする（したい）のかを自分で設定していくのだろう。

ところから始まります」と堤教授。数学研
究の魅力やおもしろさは、「問題を自分で027設計できる」ところであるという。とりわmathematics

け微分方程式の分野は、科学のさまざまな分野から問題が投げかけられてくるため、自分で設計する問題も、豊富で多様な対象から選ぶことができるのだ。
「解が存在するかどうかはもちろん重要な問題ですが、私たち研究者の立場からすれば、いざ存在してからのほうがやることがいっぱいあるんです。たとえば、ペレルマ

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

数理物理学

小西由紀子 准教授
profile1976 年徳島県生まれ。2003 年東京大学理学博士。2008 年に京都大学大学院理学研究科講師、2009 年より現職。研究内容はミラー対称性について。

物理学の問題に数学サイドから厳密な定式化を数理物理学という分野は、文字通り、数学と物理学の境界の領域であり、物理学上の問題を数学的に厳密にとらえ定式化する、という理解がひとまずわかりやす
いでしょう。数理物理学の範疇として、一般になじみ深い物理学寄りの問題とし

028ては、量子力学、統計力学、一般相対性理論などがありますが、近年「弦理論」

mathematics

が、数学の多くの分野と関連するようになってきました。
小西由紀子准教授の研究は弦理論に関する数理物理学です。超弦理論によれば私たちの住んでいる時空は 10 次元のはずですが、実際には人間に感知できるのは
時間と空間の 4 次元だけです。それ以外の 6 次元は非常に小さい３次元カラビ・
ヤウ多様体になっていると考えられています。そしてそこから３次元カラビ・ヤ
ウ多様体に関する「ミラー対称性」と呼ばれる問題が現れました。それが小西准教授が専門としている分野です。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻「物理学」と「数学」、
2 つの学問分野の重なるところ「ミラー対称性」の研究が数学のなかの異なる分野を結びつける

物理学と数学。高校までだと科目が分かれ

ミラー対称性の起源は、物理学者キャンているこの 2 つの分野には、どんな関係性

デラスらによる 1990 年頃の研究の結果にがあるのだろうか。同じ研究対象を扱うとさかのぼる。彼らは、まったく異なるふた

きに、物理学では、理論の実用性をより重つの量─ある 3 次元カラビ・ヤウ多様体

視するため、「理論的な正確さの裏づけ」に入っている種数ゼロのリーマン面の数

よりも「次に進むための確信」を求める傾と、別の 3 次元カラビ・ヤウ多様体の周期向にあるがゆえ、「理論的な正確さの裏づと呼ばれるもの─の間に関係があることけ」が重んじられる数学と、いわば「持ちを示したのである。この不思議な現象を後つ持たれつ」的な関係性になることがあるにエドワード・ウィッテンという物理学者という。「もっとも、物理の人から “ ちゃが、「位相的弦理論」を使って説明してみんと定式化してくださいね ” と要請されてせた。ウィッテンは「A モデル」と「B モデいるわけではなく、数学をやっている人にル」というふたつの理論を作り、キャンデ

とっては、ちゃんとしていないと気持ちがラスたちの結果のリーマン面の数は A モデ

悪いので勝手にやってるだけなんですけど

ルの物理量、周期は B モデルの物理量であね」と小西准教授は笑う。

ることを明らかにした。A モデルと B モデ

もとは物理学の出身である小西准教授は、

ルはもともと同じ理論を変形してできたも

数理物理学という学問分野に関し、こんなのなので出てくる物理量は一致するはずだ

表現で説明する。「たとえば超弦理論に関と考えられる。

する話題は、数学の人も物理の人も研究していて、物理のほうから問題が投げかけら

029
mathematics

れ、数学の人がそれを論理的に検証して定式化しフィードバックする。そうすると、また次に新たな問題が投げかけられる。それの繰り返しがこの分野を発展させていくんです」。冒頭で述べたように、超弦理論から現れた問題のひとつにミラー対称性があるが、この問題はまさしくそのようにして発展してきたのである。

リーマン面とはこの図のような実 2次元（複素 1 次元）の曲面のこと。
あいている穴の数を種数という。図のリーマン面の種数はそれぞれ 0,1,2

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

最終的に数学者によって、ミラー対称性

たいへん難解な内容であるが、小西准教授

は、一見まったく異なる A モデルと B モデによると、
「私は物理学科出身だったので、ルが同じ「平坦構造」をもつことであると大学院に入学した頃は数学をまったく知ら

定式化された。「A モデル側のリーマン面

なくて大変でした。 最初はカラビ・ヤウの数え上げは、多様体のシンプレクティッ

多様体って何？

ク構造に関係しているのでそちら側はシンいう感じでしたけど、やっていくうちにおプレクティック幾何学という分野の話でもしろくなってきました。現代の数学の最す。一方、B モデルの方は複素構造の変形先端といえば、まあ、そのひとつかもしれなので代数幾何学の話になるんです。こんないですね」とのこと。

なふうに弦理論の話は数学の異なる分野を数学と物理学、そして数学のなかのいくつ

つなげてくれるんです」。

もの分野をつなぐ「ミラー対称性」は、奥またミラー対称性には、いろいろなバー

深いトピックであるとともに、未知の部分

ジョンがあるそうで、ここで説明したのはも持ち合わせる、可能性に満ちた領域であ「古典的」といわれているバージョンであるといえそうだ。

ミラー対称性って？

とる。「古典」というのはその名のとおり、古いバージョンということであるが、他には「圏論的ミラー対称性」といわれている、より発展した形のバージョンもあるそうである。

現代の数学の最先端をゆく「ミラー対称性」のこれからそ し て、 ミ ラ ー 対 称 性 に 関 す る 目 下 の030
mathematics

テーマは、種数が高くなるとどうなるか、ということであるという。A モデルの場合
は、高い種数のリーマン面からの写像の数えあげとしてすでに定式化されている。問題は、B モデル側で対応するものは何なのか、である。物理学者はそれは「正則アノ
マリー（異常）方程式」の解であるべきだと主張しているが、その数学的な意味がまだよくわかっていないのである。

弦理論とは、素粒子論における理論のひとつ。 粒子を 0 次元の点ではな
く 1 次元の弦と考える理論で、ひも理論ともいう。弦が、時間が経つのに従って動いたり、相互作用したり、生成消滅したりする様子は、リーマン曲面で表される

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

代数幾何学

吉川謙一 教授
profile1967 年新潟県生まれ。1995 年名古屋大学理学博士。東京大学准教授を経て、2010 年より現職。解析的トーションとモジュラス空間上の保型形式に関する研究で 2007 年に幾何学賞を受賞。

異なる分野のつながりが予想の解決を導く
高校で習う「行列」というのは、主として 2 行 2 列のもっとも初歩的な形式で、有限であり、次元も低いものでした。したがって、そこに示される「ベクトル」
は、平面や空間に矢印で表すように、方向や大きさの定まった、特定の「数」や

031「量」だったのです。

mathematics

ところが、行列を無限に拡張し高次元のものを考えるとき、それは「函数」になることがあります。特定の数でない函数を考えることによって、汎用性が高まり、これまで見えていなかったものが見えてくるようになります。
吉川謙一教授の研究のひとつの中心は、無限次元の行列の行列式です。サイズが無限大である発散量からなんらかの有限値を取り出したいとき、「正規化行列式」という手段を使います。この理論は 1980 年代の後半以降に急速に発展し、数理物理学やアラケロフ幾何学など数学の諸分野において重要な概念となっています。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

異なる分野間の研究のつながりが大きな成果を生む

複素平面上の二重周期函数全体のなすベクトル空間において、ある正規化行列式は「デデキントのエータ函数」と呼ばれる美しい函数と周期を用いて記述される。この吉川教授の研究を理解することは、数学をことを拡張したある予想が、物理学の弦理

専門に学ばない者にとっては、非常に難論におけるミラー対称性の研究から 1990

しい。難解を恐れずあえて短くいえば、年代初期に示されたが、これはたいへんな「高次元カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・

驚きをもって迎えられ、数学において正規

ウィッテン不変量が解析的トーションで記化行列式や解析的捩率が研究される重要な述できるというバシャドスキー・チェコッ

動機のひとつとなった。

ティ・大栗・ヴァファの予想を部分的に「数学の中でも、代数的にみれば行列式で検証した」と書ける。その業績に対して、あるものが、解析的にみれば微分方程式

2007 年に日本数学会より「幾何学賞」が与だったり、あるいは幾何学的にみれば楕円えられた。

曲線だったり、と。ここで重要なことは、バシャドスキー・チェコッティ・大栗・

異分野間のそうしたつながりが重大な発ヴァファの予想というのは、先に小西准教

見に結びついたり新しい理論が誕生した

授の紹介のページで触れたミラー対称性予り、あるいは難問の解決をみたりすること

想に関するひとつのトピックだ。3 次元カがある、ということです」、と吉川教授はラビ・ヤウ多様体の中に楕円曲線が何個あ言う。

るか数えることによって母函数が決まり、整数論分野の問題であったはずのフェルその母函数が解析的トーション（無限次元

マーの最終定理は、有理数を係数とする楕の行列の行列式の一種）として表される、

円曲線がモジュラー曲線と呼ばれるものでという予想である。この予想が吉川教授の覆えてしまう、という谷山＝志村予想とイ目下の研究の中心と密接に関わっている。

コールになったことをきっかけに、研究は032

専門的になりすぎたが、たとえば、自然科

急展開し解決に至った。フェルマーの最学の中で、物理学の分野で研究されていた

終定理より少し前に解決した「モーデル予

ことと数学者が研究していたことが、別々

想」は、フェルマーの予想をもう少し拡張の問題であると認識されているのに、どこ

し、有理数係数の方程式で定義されるリー

mathematics

かでつながったりすることがある。見かけ

マン面で種数が高いものは有限個の有理点の違うものでも本質はひとつだったりす

しかもたない、という予想であったが、こる、ということだ。1990 年代の初期、数れもアラケロフ幾何学とつながることで解学の世界で、まさに異なる問題が突然ひとけたのである。

つにつながる、という「事件」が起きた。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻「ミラー対称性予想」はどのようにして解明に向かうのか
無限次元の行列の研究が現代数学の中でどういう部分に向かっているのかといえば、がエンリケス曲面の住んでいる空間と同じだったのだ。

数学は、「ひとつの体系的な理論」

ひとつは先に小西准教授のページで述べ「数学の各分野は個別に存在しているのでた、弦理論の双対性の数学的な検証であはなく、ひとつの体系的な理論として深いる。つまり、物理学ではすでに使われていところでつながっています。このようなる理論に、数学サイドから「きちんとした（目の前にあるテーブルを指して）物体のOK」が出せるかどうか、ということ。ミ

ことを、日本人は『机』と言いアメリカ人

ラー対称性と直接関係しているわけではな

は『desk』と呼びますね。でも同じ類のもいが、無限次元の行列の研究から、特別なののことを言っているわけです。数学も同整数係数の方程式で定義されるエンリケス

じで、代数学とか幾何学とか解析学とかの曲面に対応するモジュライ空間の点におい立場ごとに記述する言語が違うだけで、実て高次元のモジュラー型式の値がわかったはひとつのものなんです」。

りする。すなわち、高次元のモジュラー型

さまざまな分野からの研究がつながって大式の値がエンリケス曲面の幾何学的な量ときな成果が得られていく、というのが、解析的な量とで具体的に表されることにな

20 世紀中頃からの数学界のひとつのトレる。

ンドであり、数学という学問の魅力をよりモジュラー型式というのは数学のさまざま際立たせているのではないだろうか。次なな分野に関連するが、モンスター単純群とる大きな「解決」は、現存するどの未解決いう大きな群が 1970 年代に発見され、こ予想に与えられるのだろうか…。

れに関連して「ムーンシャン予想」が立て033られた。これは、ひとことで言うとモンス

mathematics

ターという群が作用する代数系があって、そのモンスターの作用のトレースをとると種数ゼロのモジュラー函数が出てくる、というもので、それを南アフリカ出身の数学者リチャード・ボーチャーズが解決してフィールズ賞を受賞した。その過程で、ボーチャーズは 10 次元の保型形式をひとつ発見しているが、それが住んでいる空間

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

卒

業

生

inter view

数学は、古今東西を越えてあらゆる人の夢を継承する学問

渋 川 元 樹 さん

京都大学大学院理学研究科
数学・数理解析専攻 修士課程

profile1987 年 東 京 都 生 ま れ。2009 年 京 都 大 学 理 学 部卒。現在は大学院理学研究科修士課程に在学中。
研究テーマはゼータ函数の特殊函数的な側面について。

Q: 現在はどのような研究をされていますか？

Q: 数学に興味を持ったきっかけは？
A: 私は（生まれは東京ですが）育ちは群馬034

県でありまして、一般観望が可能な施設とmathematics「継承」されてこそ研究の価値があり、「独創」として結実する可能性が拓ける

しては日本でも有数の規模のぐんま天文台もあり、その頃は天文学に憧れていましA: イギリスのバーンズという人が考えたた。ですが、中学 3 年生の時、フェルマー

多重ゼータ函数についての研究をしていま予想を解いたワイルズを取り上げたテレビ

す。ゼータ函数は数学の非常に広範囲な分

番組を見て、そこで大数学者ヤコビの「数野に関係しますし、奥が深いんです。偉い

学とは人間精神の栄光そのものである」と

先生も「人の心を高ぶらせるのがゼータでいう言葉に感銘を受けました。それが数学ある」とおっしゃっているぐらいです。

に興味を持ったきっかけだと思います。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

卒

業

生

inter view
Q: 京都大学をめざそうとしたわけは？
A: 朝永振一郎先生と第一次南極越冬隊隊

独り立ちへの道

長の西堀栄三郎先生（いずれも京都帝国大

Q: 高校生へのメッセージをお願いします。

学卒）に憧れてあんな風になりたいと思っ

A: 母校の高崎高校（男子校）の後輩によくたこと、それと私の亡くなった曽祖父が三言うようなことでもいいですか？

高（旧制第三高等学校。現在の京都大学のと一般的じゃないかもしれませんが…。

ちょっ

前身のひとつ）に憧れていたことが大きいと思います。

Q: お願いします。
A:「男たれッ！」と。

Q: 数学の魅力とは何だと思いますか？
A: いろいろあるでしょうが、根本はやは

Q: どういう趣旨ですか？

り人類最古の “ 継承の学問 ” であるという

A:「男は男に『生まれる』のではなく、男ことだと私は思います。数学は古今東西をに『なる』のだ！」ということです。

越えて、あらゆる人の夢を継承できる、そ

私は、己が天命を知りその道を行く覚悟をれが魅力ですね。

した時、初めて男は男に「なる」のだと考えていますが、これは女性でもそうではな

Q:「独創」よりも「継承」ですか？

いでしょうか。そしてその天命を知るといA:「継承」なしに「独創」は存在しえない

うこともやはり「継承」を抜きにはできま（継承なしのまったくゼロからの独創はあせん。自分はいったい何の為に生まれ落

り得ず、またどんな素晴らしい独創も継承

ち、何を成すべきなのか。その解は自分がされなければなかったことになってしま

どういう環境で生まれ、育ち、何をどのよう）という点では、そうだと思います。数うに学んだのかということ、つまり自分が学の研究にはその長い歴史の中で、価値が継承したものを通さなければ得られないとあるにも関わらず陽の目を見ていない、つ

思います。

035

まり継承されていないものがたくさんあり

高校生の時にそんな境地に到達している人ます。だから他の誰にも継承されずに「俺はそうそういないでしょうが、これから大がやらねば誰がやる！」というものを見つ学に入り、社会に出ていく過程において、けて継承して、その結果を自分の「独創」

さまざまなことを学び（もちろん数学も）mathematicsとして結実させたいというのが、私の数学経験していく中で、その解を見つけていたにかける夢であり、願いです。

だきたい。そしていつの日にか真の男、あるいは女として独り立ちへの道、つまり「一身独立」の道へと凛として旅立つことを願います。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

卒

業

生

inter view

「ものごとを根本から考える」という学問の原点がベンチャービジネスに

高 田 智 広 さん
株式会社シーフル取締役

profile1977 年大阪府生まれ。2006 年京都大学博士（理学）。大阪経済大学非常勤講師などを経て 2006 年に起業、株式会社シーフル取締役を務める。四日市大学研究機構関孝和数学研究所研究員も兼務。

Q: いわゆるベンチャー企業を立ち上げられたのですね？

A: オーダー主の要望や実態にぴったり合うオリジナリティの高いソフトを開発し、036

役立ててもらうというところです。ですの

mathematics

オーダーサイドの実態に即したオリジナルソフトの開発

で、無駄がなく的確なソリューションを導くことができます。

A: はい。2003 年に、知人と 2 人でソフト

たとえば、工場の生産ラインにたくさんのウエアの受託開発を中心とする会社を立ち人間が関わるときに、作業のばらつきが全上げました。

体としての効率を悪化させてしまいます。
これを改善するために、データを収集・分

Q: ソフトの開発会社は多数あると思いま
すが、高田さんの会社の特徴は？

析し、それぞれの作業がいつ終わるかを予測し、無駄な残業を抑制したり、次の作業

数 学 ・数 理 解 析 専 攻

卒

業

生

inter viewに効率よく移行できるようなしくみを構築

まり知らないのかもしれません。だから、するためのソフトを作りました。

大学初学年の数学は「こんなもんか」という感じで、すんなり入っていけました。

Q: 学位を取得されてから起業というのは珍しいキャリアですね。

Q: 起業のきっかけは？

A: 不景気に直面し、新しい発想のビジネ

A: 社長の橋本英樹さんは工学部で、社会スが社会に必要だと思ったわけですが、大への応用や貢献というのを正面から考えて学院に進んでからの本格的な研究の中で、いて、ものごとを根本から考えるようなこ「ものごとを根本から考える」という発想とが好きな僕と対称的でした。そんな考や経験を得たことがいまの会社の力になっ

えの違いに刺激を受けるようになり、2 人ています。

でバランスをうまくとってやっていけるんじゃないかと思いました。

Q: それは、数学だったから、ですか？
A: そうですね。数学の研究というのは、根源的なところからものごとを考え定式化

Q: 研究生活から一転されたわけですが、すぐに馴染みましたか？

して理論を作る、というのが基本ですか

A: それまで狭かった視野がぐんと広がっら。

たことが、自分にとっては大きなプラスでしたね。

いろいろな人と交流することで幅広い視野を

Q: 後輩へのメッセージをお聞かせいただ

Q: 数学を専攻することはいつごろ決めら

A: 日本経済は厳しい時代が続くと思いまれましたか？

けますか？
す。いろいろなことの動きも早くなってい

A: 高校時代です。京大の理学部数学教室

ます。上の世代をあてにせずに、自分で切037が主催する、月 1 回の「高校生のための現り開いていくことが必要です。自分が何を代数学入門講座」に高校の 3 年間ずっと参したいのか、そのために何をすればいいの加していたんです。そのときに教わった上かをしっかり見定めてください。先生や上野健爾先生に、学部 4 年生から大学院まで

司から言われたことをそのままやるようなmathematics

もお世話になるんですが。

受け身の姿勢では世の中を渡っていけないと思います。京都大学の校風やカリキュラ

Q: 高校の数学の授業とはずいぶんギャッ
プがあったのではありませんか？
A: 逆に僕は、高校の数学っていうのをあムは、その意味で有用だと思います。

数 学 ・数 理 解 析 専 攻・用・語・解・説・

群

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保型形式

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図形や空間の対称性を記述する数学的な構造

周期性のような、ある種の対称性をもつ函数のこと。

として、三角函数は基本的であるが、保型形式とは、一次分数変換という対称性に対してよい振る舞いをする高等函数である。

ゼータ函数

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伊藤の公式

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現在ではいろいろな拡張や一般化があるが、古典力学のような決定論的な世界を記述する

最 初 の も の は オ イ ラ ー が 端 緒 を 見 い 出 し、典型が「微分方程式」であるのに対し、確率論

リーマンが素数分布の詳細な研究のために定的に変動する世界を記述するのが「確率微分方義した「リーマン・ゼータ」であり、単にゼー

程式」である。伊藤の公式はブラウン運動といタといえばそれを指すことも多い。ゼータはう最も基本的で典型的な確率過程に関する法

数学や物理とさまざまな形で深く関わる研究則を与える。

対象である。

数理ファイナンス〉〉〉戻 る

大まかにいえば、確率論を金融に応用した学問分野。証券市場の数理モデルを作り、その中で証券価格がいかに決定されるかというメカニズムを研究する。

表現論

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無限可積分系〉〉〉戻 る

場の理論のように、無限自由度をもつ系の場群を、行列 ( 但し、サイズは無限のものも考え

合、一般には自由度が多すぎて解を特定するる ) によって表現するものである。群自体を調ことは困難である。しかし、ある種の特別なべるというより、群という対称性を通じ、例

方程式の場合には、保存量（古典的にはエネル

えば微分方程式などの数学的対象に潜む秩序

ギーや運動量といったもの）が無限個存在しを明らかにし、その構造を詳しく解析するのて、非常に強い形に解が限定されるものがあに用いられる。最近では「群」以外にも「量子る。有名な例は、ソリトンであるが、その保群」の表現論が、数理物理などで強力な道具と存量の背後には隠れた対称性がある。その詳なっている。

しい解析には表現論などの手法を用いることが可能であり、数学的にも豊かな内容をもつ。

038
mathematics

通常は「群の表現論」を指す。平たくいえば、

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ナビエ・ストークス方程式

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特異性

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流体の運動を記述する 2 階非線形偏微分方程函数が微分可能でない点を、その函数の特異点式。

という。微分方程式の解が特異点をもつとき、解は特異性をもつという。特異点では普通の意
味では（つまり、微分できないので関数の微分としては）微分方程式を満たさないため、数学的に興味深い現象が起こっていることが多い。

アインシュタイン方程式

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ポアンカレ予想〉〉〉戻 る

万有引力・重力場を記述する場の方程式。そ「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S3 に同の対象は宇宙全体の幾何学にもおよぶ。

相である」とする予想。1904 年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出され、以後 100 年間にわたって解決をみなかった。
2006 年にロシアの数学者グリゴリー・ペレル
マンによって証明された。

フェルマーの最終定理

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楕円曲線

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「3 以上の自然数 n について、xn+yn=zn となる特異点をもたない、滑らかな平面 3 次曲線。

0 でない自然数 (x,y,z) の組み合わせが自明な高校などで習う「楕円」とは別物である。実数

もの以外にない」という定理。1637 年頃、フの世界における曲線は、複素数の世界としてランスの数学者ピエール・ド・フェルマーに考えると「曲面」になるが、その場合、楕円曲よって予想され、以後 360 年間にわたって数

線はドーナツの表面（浮き輪）のように「穴」の学 者 や ア マ チ ュ ア ま で も が 証 明 に 挑 み、 最数（＝種数：次項参照）が 1 のものとなる。

終的には 1995 年にイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによって証明された。

ミラー対称性〉〉〉戻 る

異なる 2 つの空間上の異なる２つの弦理論（A理論と B 理論）において、片方の空間の A 理論
理論を用いて計算した結果が同じであることをいう。ミラー対称性のもとでは、重要な量が鏡で映し合ったように入れかわる。

3 次元カラビ・ヤウ多様体

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種数

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ある種の平坦性をもつ複素 3 次元（実 6 次元）

その切断によって生じる多様体が連結のままの多様体。多様体とは空間を高次元化した概となるような単純な閉曲線に沿った切断の最念。

大数を表す整数。曲面を多人数用の浮き輪の表面と考えるとき、何人乗りの浮き輪かを表す量。

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mathematicsを用いて計算した結果ともう一方の空間の B

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位相的弦理論

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平坦構造

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物理学における超弦理論の一種で、エドワー「曲がった」空間である「多様体」を扱うのが現ド・ウィッテンによって提唱された。シグマ

代の幾何学であるが、その各点における「接空模型と呼ばれる、リーマン面から多様体への間」という「真っ直ぐな」空間を考えることで写像のなす空間を考える理論（これも超弦理論

空間の第一次近似がベクトル空間によって実の一種）に、topological twist という変形をして現される。幾何学的な「構造」はこの接空間自構成された。「位相的」という理由は、理論の身や、そのつながり具合によってさまざまに物理量が多様体の幾何学的な性質から定まる

記述される。

ため。topological twist の方法には 2 種類ある（以下の説明での「構造」は数学的に厳密なもので、A モデルと B モデルの 2 種類がある。

のではない）
平坦構造とは、多様体の接空間上の（さまざまな整合性を満たす）平坦な内積と結合的な積構造のことを指す。現在のミラー対称性の研究で基本的な役割を果たしている。

シンプレクティック構造

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複素構造

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多様体の接空間において、「内積」ではないが、多様体の接空間が複素数上のベクトル空間とそれの親類筋にあたる一種の積が定義されてなっているような構造。とくに「実」ベクトル

いる「構造」である。より正確には、ベクトル空間だと考えると、虚数単位倍するという演とベクトルから実数が「積」によって決まり、算子が与えられていることになる。

掛け合わせるベクトルの順序を入れ替えたら符号が変わるようなもの（歪対称）である。
弦理論

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複素平面

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粒子を 0 次元の点ではなく 1 次元の弦として扱

複素数を内部の点として含む平面のこと。1 つう理論。ひも理論ともいう。

の複素数は 2 つの実数によって特徴付けられる
き、複素数も 2 次元平面上の点と考えられる。

モジュラー型式〉〉〉戻 る

複素平面における函数であり、非常に多くの対 称 性 を も つ 型 式 の こ と で、 複 素 解 析、 数論、位相幾何学、弦理論まで、多くの分野に関連する理論である。

040
mathematics

が、この 2 つの実数を平面上の点と考えたと