香川大学経済論叢

第７７巻

第４号抜刷 ２００
５年３月

因子分析における因子数決定法―― 平行分析を中心にして ――

堀

啓

造

香 川 大 学 経 済 論 叢第７７巻 第４号 ２
００５年３月 ３５−７０

因子分析における因子数決定法―― 平行分析を中心にして ――

堀

啓

造

因子数を決定する方法を平行分析を中心にカイザー基準，MAP，!

カイ２乗検定等と一緒に検討した。 因子間相関がある場合の母相"関行列をどの程度の相関で感知するか。 マイナー因子のある母相#関行列がどのように判断されるか。 実データにおいて判定困難な!

ものが起こる理由を Thurstone & Thurstone（１９４１）に探った。 において同一因子にする因子間相関と感度を新たに定義し，０．
７
０〜
０．
７
５の感度が適当であるとした。この感度を常に保つ指標はなかった。各指標を特徴づけるなか平行分析における平均と９５％点をとる
ものが０．
０５以内の感度差であることが分かり，対角１平行分析は
平均，対角 SMC 平行分析は９５％点を採用した。マイナー因子のあるときの因子数判定からカイ２乗検定，対角 SMC 固有値０以上基
準は探索的因子分析には使えないものであることがはっきりした。
対角１平行分析，MAP がよい推測をするが，これらも現実データ#

では役立たないこともあることを において示した。これらをふまえ，目的依存型因子数決定法とデータ依存型因子数決定法を提案した。そしてもっとも簡略な記述はデータ依存型である，MAP と対角 SMC 平行分析の挟み込み法である。

１． 因子数決定法の概観
因子数の決定は因子分析においてきわめて重要である。因子数の選び方によって大きく因子構造（パタン）が変わってくるからである。適正な因子数を選べなかった過小因子数，過大因子数の問題は，Fava & Velicer（１９９２），Wood,
Tataryn & Gorsuch（１９９６），Lawrence & Hancock（１９９９）が研究している。一−36−

香川大学経済論叢

５４６

般には過小因子数のときに深刻なゆがみが生じることがあり，過大因子数の場
合は１つまたは２つの顕著な負荷をもつ項目しかもたない因子が生じる（Reis,
Waller & Comrey, ２０００）。
因子分析適用の初期の研究において，Thurstone（１９３８）は逐次的に因子抽出をし，残差を分析しながら最大の因子を抽出する方法を用いた。因子分析における因子数決定法は Gorsuch（１９８３）が詳しく，さまざまな方法を挙げている。現在代表的なものとして次の方法がある。

! 固有値１以上の基準" スクリーテスト# MAP$ 平行分析
% 最尤解のカイ２乗検定

１．
１． カイザー基準
相関行列の固有値１以上の数を因子数とするものである。英語でのカイザー基準の呼び方として，the Kaiser criterion, the Kaise-Guttman rule, the eigenvalueone criterion, truncated principal components, the K１rule と様々なものがある（Preacher & MacCallum, ２００３）。日本語でもいろいろな言い方がある。
固有値１以上については Gutttman（１９５４）が Kaiser（１９６０）よりも先に指摘している。１つの因子にしか負荷しない因子（独自因子）は最大１であることから合理化される。カイザー基準は標本誤差の問題を無視したもので，サンプ
ルサイズが無限のときに正しい（Horn, １９６５）。標本誤差を含む時，カイザー
基準は因子数を多く推論してしまう。
さらに，平行分析に対して批判されていること（Buja & Eyuboglu, １９９２）はカイザー基準にもあてはまる部分がある。平行分析は一つ目の固有値に関しては意味のある結果がでているが，因子間に相関がある，第１固有値が大きいと第２固有値以降は小さくても意味のある因子であるとしている。カイザー基準
は第１固有値の統計的な面もないが，因子間の相関がある場合の批判はそのま因子分析における因子数決定法

５４
７

−37−

まあてはまる。つまり，因子間相関が高いと因子数を過小に推測してしまうことがある。Cattell & Vogelmann（１９７７）の人工データにおいてはカイザー基準
が１
５中９も過小推定している。
両方あわせると，カイザー基準では因子数を多くも，少なくも，正しくも推測する。つまり，カイザー基準は大雑把であり，それほどあてにならないということである。いろんな実例からもこのことは示される。
残念ながら，このカイザー基準が英語論文，日本語論文とももっともよく使われている方法である。SPSS，SAS など多くの統計パッケージにおいて既定値としてカイザー基準が採用されており，このことも多くの論文で使用される原因となっている。
１．
２． スクリーテスト
スクリーテストは Cattell（１９６６）が提唱した。相関行列の固有値を固有値順

図１

スクリープロット（SPSS v１２出力）

−38−

香川大学経済論叢

５４８

位に対してプロット（スクリープロット）し，これに最下位固有値から傾向線を引き，その傾向線から離れる固有値の順位が因子数となる。図１にスクリー
プロットの例があるが，この図から３因子と判断できる。
Cattell & Vogelmann（１９７７）は人工データを１５組作成し，カイザー基準とスクリーテストの精度を確かめている。極めて相関の高いデータが多く。また因子のないトリッキーなデータも含まれている。カイザー基準は適正推定４，
過大推定１，過小推定１０であった。スクリーテストは適正推定 ９，過大推定
４，過小推定２であった。スクリーテストはカイザー基準よりもいいが，過大推定，過小推定ともおこってしまう。雑誌論文ではカイザー基準の次によく使われる方法である（Fabrigar, Wegner, MacCallum, & Strahan, １
９
９
９）
。
１．
３． 最尤解のカイ２乗検定
最尤解の場合はカイ２乗検定によって因子数を決めることができる。有意差のない最小因子数が求める因子数となる。最尤解のカイ２乗検定においては，
サンプルサイズが大きいと，過大因子数になることはよく知られている。小サンプルで低共通性のときに必ず過小推定してしまい，サンプルサイズが増える
につれ，過大推定をしてしまう（Humphreys & Montanelli，
１９７５）。実用としては使いにくいものである。
最小２乗解においてもカイ２乗検定を使う場合がある。
１．
４． MAP（Minimum Average Partial，最小偏相関平均）
Velicer（１９７６）が開発した方法である。主成分を統制変数とする観測変数間の偏相関係数を求める。そして，その２乗平均を最小とする主成分の数を抽出
因子数とする（服部，２００２）。つまり，相関行列から再現相関行列を引いた残差行列の非対角要素が偏共分散行列となり，偏共分散行列を偏共分散行列の対角で調整した偏相関行列を求める。偏相関行列の非対角要素の２乗和を非対角要素数で割ったものが MAP となり，それが最小値となる主成分数が因子数となる。

因子分析における因子数決定法

５４９

−39−

Velicer, Eaton, & Fava（２０００）は MAP の改訂を試みている。２乗のところを４乗する方法と最大偏相関をとる方法と MAP を比較し４乗する方法が最も正確な推定をすることを明らかにした。
１．
５． 対角 SMC の固有値０以上基準
Guttman（１９５４）が最初に提起した方法である。芝（１９７２）でも言及されている。相関行列の対角に SMC（重相関係数の２乗，squared multiple correlation）に置き換え，０より大きい固有値の数を因子数とする。一般には用いられることはないが，対角 SMC 平行分析との対応のために取り上げた。
１．
６． 平 行 分 析
カイザー基準の弱点を補正したものといえる。Horn（１９６５）は，もとのデータと同じ変数の数，同じサンプルの数の正規乱数行列の相関行列の固有値を推定し，対応する固有値を比較し，乱数データの相関行列の固有値のほうが大

固
有
値

図２

相関行列のスクリー・プロットと対角１平行分析（平均値）（Thurstone & Thurstone, １
９４１の２
１変数データ）−40−

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５５０

きくなる前の因子までをとることを提案した。標本誤差によって生じる固有値の増加を考慮する点が新しい。乱数データの相関行列の固有値でも１以上の値をとる。固有値の順序によって１以上にも１以下にもなる。この乱数データの相関行列の固有値と比較し，乱数データから作成した相関行列の固有値よりも小さくなる１つ前の順位を因子数とする。図２のようにスクリープロットと平行分析の結果を重ねて描くと平行分析よりも上になるスクリープロットの点この図では４因子が平行分析の結果となる。
平行分析についてはあまり知られていないので詳細なレビューを行う。

２． 平行分析の展開
Horn（１９６５）においてはいくつかのランダムデータ行列から求めた相関行
列（複数）の各順位の固有値の平均をとるものであった。Humphreys & Ilgen（１９６９）において，対角１の平行分析に加え，対角に SMC，最大相関を入れる平行分析を調べている。
その後，重回帰式によって値を求める方法が提案されている。また，数表の形で与えられているものもある。これら２つの方法は Horn が行ったようにその場でランダムデータ行列を作成し，固有値を求めることができない場合に対応するものである。重回帰式を使って求める方法は Montanelli & Humphreys（１９７６）が一番早いが，対角に SMC を入れるものであった。Allen & Hubbard（１９８６）が対角に１をいれた固有値の平均値を求める式を公表した。これにパラメータを一つ増やし精度を高めたものが，Lautenschlager, Lance, & Flaherty（１９８９）である。同時期に Longman et al.（１９８９）が別の重回帰式を公表している。以上の重回帰式は固有値番号ごとの重み係数が必要であった。Keeling（２０００）は固有値の順位，サンプルサイズ，変数の数だけで推測する式を公表した。
Longman et al.（１９８９）は固有値の平均値（実際には５０％点つまり中央値を使っている）の式と併せて９５％点の固有値を求める重回帰式を作成している。こ因子分析における因子数決定法

５５１

−41−

の理由は，Zwich & Velicer（１９８６）の結果において，平行分析が失敗するとき，因子数を過大に見積もることが多いからである。Cota, et al.（１
９
９
３a）は９
５％点
の表を公表している。９５％点の使用を支持しているものに，Glorfeld（１９９５）
がある。理論的には Buja & Eyuboglu（１９９２）が詳しい。
２値データに対する修正平行分析が Drasgow & Lissak（１９８３）によって開発されている。
平行分析の利用例は，Turner（１９９８）に挙げられている。PsycINFO を検索しても平行分析を使った研究が散見されるが多くはない。

３． 平行分析の最近のプログラム事情
２
０
０
０年に２件の平行分析のプログラムが発表されている。Kaufman & Dunlap（２０００）と O’Connor（２０００）である。今までのプログラムはメインフレーム
や DOS 版であったのが Windows 版が現れた。堀（２００１a）は excel 版を作成し た。O’Connor（２０００）の，SPSS，SAS，MATLAB プ ロ グ ラ ム は O’Connorのサイトにある。SPSS のマクロと堀の excel のプログラムの処理結果を見ると，SPSS のマクロのほうが圧倒的に速い。その後，平行分析，MAP, SE screeを処理する SPSS のスクリプトを作成した（堀，２
０
０
１b）
。
服部（２
０
０
２，２
０
０
３）は，平行分析等の因子数決定用の指標を出力しかつ因子分析をする便利なプログラムを公表している。これを利用し，出力をわかりやすくした excel マクロを堀（２００２）が作っている。
Thompson & Daniel（１９９６）の SPSS マクロに修正を加えた Hayton, Allen, &Scarpello（２００４）の SPSS マクロがある。これらはリッカート尺度に対応して，その範囲の値をとるように乱数を修正するものである。しかし，範囲を決めているだけで離散データにするものではない。全体として，O’Connor（２０００）に比べて操作性等が低レベルである。

−42−

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５５２

４． 平行分析のバリエーションと評価
４．
１． 対 角 要 素
対角１と対角 SMC と対角最大相関行列の方法がある。いずれも共通性は反復推定しない主成分分析，主軸法となる。
対角 SMC と対角最大相関行列は Humphreys & Ilgen（１９６９）が比較して対角最大相関行列がよくないことを明らかにした。Buja & Eyuboglu（１９９２）は対角１と対角 SMC を比較して対角 SMC 平行分析は liberal である（つまり因子数を多くとる）ことを論じている。
４．
２． 乱数データ行列の数
各種平行分析の比較を Cota et al.（１９９３b）が行っているが，その中で３回の平均，４０回の平均について，２８の実データの因子数の違いを調べたがほとん
ど違いがないことを確かめている。違いがでる場合，３回の平均はほかと違うことがある。Velicer et al.（２０００）は４回と１００回とを比較しているが目立った
差は認めなかった。
４．
３． 乱数の分布型
平行分析は正規乱数を使うが，Gorfeld（１９９５）は一様分布，歪みの大きい
分布と比較し，どれでも同じ結果がでることを示した。
４．
４． 各種平行分析の比較
Humphreys & Ilgen
（１
９
６
９）
において，対角１の平行分析に加え，対角に SMC，最大相関を入れる平行分析と最尤解のカイ２乗検定との関係を調べている。最大相関の平行分析はよくない。対角 SMC 平行分析の結果が最尤解のカイ２乗検定の結果とよく一致することを示した。
Humphreys & Montanelli（１９７５）では対角 SMC 平行分析が最尤解のカイ２乗検定よりも優れていることを示した。対角 SMC 平行分析は共通性が広い範

５５３

因子分析における因子数決定法−43−

囲であっても，狭い範囲であっても正しく因子数を推定する。ただし，単一の心理データを単一のランダムデータから推定すると，過大，過小推定とも起こりうる。また，共通因子モデルがデータへの適合が貧弱な場合は，過大推定しやすい。
各種平行分析の比較を Cota et al.（１９９３b）が行っている。重回帰による平均値予測，表による平均値，３回の平均，４０回の平均，重回帰９５％点，表によ
る９
５％点，４
０回の９
５％点について，２８の実データの因子数の違いを調べたがほとんど違いがないことを確かめている。違いがでる場合，３回の平均はほかと違うことがある。また，もともとの主旨と対応して，９５％点のほうが因子数が少なくなることがある。その差が２因子のこともある。表と４０試行とは食い違いはない。
Velicer et al.（２０００）では，簡易法とその場に対応した乱数データを作成する
方法を比較している。５４の母相関行列に５つの標本をつくり２７０データを分析している。５，１００の乱数データ，Allen & Hubbard（１９８６），Lautenschlager et
al.（１
９
８
９）
，Lawrence & Hancoke（１９８９）の重回帰式，Lautenschlager（１９８９）の表を使った。重回帰式の２つは適用できないケースが多くあった。当てはまりの良さに大きな違いはなかった。
４．
５． 他の方法との比較
先に述べたように Humphreys & Montanelli（１９７５）では対角 SMC 平行分析
が最尤解のカイ２乗検定よりも優れていることを示した。
Zwick & Velicer（１９８６）は広範なシミュレーションをして平行分析を高く評価している。彼らによると，MAP に少し劣るがほぼ同等によい因子数決定法
である。MAP と平行分析はスクリーテストやカイザー基準に比べてはっきりよい。
Velicer et al.（２０００）は６つの平行分析と３つのタイプ MAP とカイザー基準とを比較して平行分析がもっともよい予測をすることを見いだした。カイザー
基準は他よりもはっきりと劣る。

−44−

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５５４４．
６． 平行分析が正しく因子数を推定しない場合
平行分析が因子数を過小推定する場合について Schweizer（１９９２）がまず論じ，ついで Turner（１９９８）が具体例を示して論じている。Turner（１９９８）の研究においては，具体的に実在データを組み合わせを５パタンつくり，１例において過小推定が起こった。具体的データを見てみると，２因子にそれぞれ５項
目が負荷し，因子間相関が高い（r＝０．
８）場合である。r＝０．
８なので１因子としてとらえたほうがいいという考え方もある（John & Benet-Martinez，２０００）。
相関が高い場合に１因子とする考えに賛成だが，どの程度の相関なら別の因子と認めるべきかは検討すべき問題である。
Buja & Eyuboglu（１９９２）は，平行分析が第１固有値のみが統計的推論をしていることになるが，そのほかについては疑似推論であるとした。平行分析の比較する数値として，固有値の平均は５０％点（中央値）を使用するのと同じでありよくない。上側 ５％点などつまり，９５％点などを使用するべきであるとする。
４．
７． 因子数決定法としての平行分析の評価
最近の因子分析 how to 論文においては因子数決定法を複数使うべきだと述べているものが多い。そのなかで平行分析が取り上げられていることが多い。
例えば，Fabrigar, Wegner, MacCallum, & Strahan（１９９９），Reis, Waller & Comrey
（２
０
０
０）
，Russell（２００２），Preacher & MacCallum（２００３），Thompson（２００４）
がある。スクリーテストと平行分析を挙げるものが多い。
Educational & Psychological Measurement 誌の editorial においてもその使用が薦められている（Thompson & Daniel,１
９
９
６）
。

５． 母相関行列に対する感度
因子数決定法に関して乱数データの検討が多く行われているが，モデル負荷量からの再現相関行列である母相関行列の分析は体系的に行われたことはな

因子分析における因子数決定法

５５５

−45−

い。母相関行列からどの程度正しく因子数を判定するかが分からなければその指標が因子数判断にとって意味があるのかないのかわからない。
母相関行列を作るときマイナー因子をどのようにするかという問題がある。
マイナー因子を直接操作した評価は６．
において検討する。ここでは従来まったく考えられていなかった，因子間相関を操作することにする。従来の探索的
因子分析の因子数決定法において因子間相関をきちんと考慮しているとは言えない。斜交回転においてどの程度の因子間相関の場合に同じ因子と認定するかを基準として各指標の因子認定の感度を測定する。
５．
１． 因子認定感度の測定法
因子間相関は０．
０
０から０．
９
５まで０．
０
５刻みで上昇させ，同一因子とする相関の大きさを調べる。高い相関まで同一因子としなければ少しの変動に影響されやすく，マイナー因子やサンプル誤差の影響を受けやすくなる。同一因子とする因子間相関係数を感度とする。感度は０．
００〜１．
００まで分布するものとなる。これは非感度というべき指標であるが，感度の０．
０５インフレさせた値としてそのまま感度と呼ぶ。Horn（１９６５）の指摘からわかるようにカイザー基
準は標本誤差に弱いことが分かっているので，カイザー基準よりも低い因子間相関であることが望ましいであろう。
５．
２． 方

法

Zwick & Velicer（１９８６）などの研究から，因子負荷量，１因子の項目数，サンプルサイズが因子数判定に影響を与えることが分かっている。母相関行列なので Zwick & Velicer（１９８６）などのように分散分析をするものでもない。また，分散分析において交互作用がでることが分かっているので，分散分析のような全体像よりも，個別の問題に答えるようにしたほうが実用的である。そこ
で次のように母相関行列を作成し，記述的に説明する。

! 因子負荷量０．６，２因子項目数５と４合計９項目，サンプルサイズ３００を基準とする。各項目の負荷量は同じとする。

−46−

香川大学経済論叢

５５６! 因子負荷量を０．８〜０．４まで０．１刻みに操作する。
" 一方の因子の項目数を５に固定し，もう一方の因子の項目数を１０〜２まで２項目刻みで操作する。

# ８＋７，７＋６，６＋５，５＋４，４＋３の比較的バランスのとれた項目
数で全項目数を操作する。

$ サンプルサイズを１０００，５００，３００，２００，１００と操作する。
% 負荷量０．５にし，８＋７，７＋６，６＋５，５＋４，４＋３の比較的バランスのとれた項目数で全項目数を操作する。

& ５＋２項目の因子負荷量を操作する。
' 一方の因子を２項目に固定し，もう一方の項目数を操作する。
( ５＋２項目でサンプルサイズを操作する。
) ３因子５＋４＋４項目の負荷量を操作する。
* ３因子５＋４＋４項目のサンプルサイズを操作する。
結果のグラフは２因子を同一因子とする因子間相関つまり感度である。１．
０とは０．
９５でも２因子としている指標である。０とは因子間相関が０でも１因子とする指標である。３因子の場合は３因子ではなく１または２因子とする相関係数を示している。
図３から図１２の記号は次のようになっている。
MAP-TEST ――― MAP
RAW-EIGEN ―― カイザー基準
PA-EIG-M ――― 対角１平行分析（平均）PA-EIG９５――― 対角１平行分析（９５％点）
SMC-EIGEN ―― 対角 SMC 固有値０以上基準
PA-SMC-M ――― 対角 SMC 平行分析（９５％点）
PA-SMC-９
５――― 対角 SMC 平行分析（平均）CHI＾２―――― カイ２乗検定

因子分析における因子数決定法

５
５７

５．
３． 結

−47−

果

５．
３．
１． 因子負荷量比較（２因子，５＋４項目，N＝３００，図３）
多くの指標が因子負荷量の影響を受けることを示している。その中でカイザー基準（RAW-EIGEN）のみ安定して感度０．
８０を示している。このことからも感度が０．
８０以上の場合には，感度が高すぎると考えていいだろう。対角 SMC
固有値０以上の基準（SMC-EIGEN）は負荷量０．
６以上の場合に感度１．
００となり極めて高い相関でも２因子とする。また負荷量０．
５，０．
４でも感度０．
９
５であり，高すぎる。このことは，母相関行列ならばどんな因子間相関があっても完全に因子を抽出する方法であることを示す。その一方で，対角 SMC 固有値０以上の基準は敏感すぎて実用にならないことがわかる。
平行分析の平均を使う方法（PA-EIG-M，PA-SMC-M）とそれに対応する９５％点（PA-EIG９
５，PA-SMC-９５）との感度差は０．
０
５以内である。対角 SMC の場
合，感度が高すぎる傾向があるので９５％点，対角１の場合は感度が低い面があるので平均を使うほうがいいであろう。このことから，以下は対角１平行分

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図３

２因子負荷量比較（５＋４項目，N＝３
００）

−48−

香川大学経済論叢

５５８

析は平均（PA-EIG-M），対角 SMC 平行分析は９５％点（PA-SMC-９５）を使用する。両者とも負荷量が０．
４の感度は低い傾向がある。対角 SMC 平行分析は負荷量０．
７以上においてカイザー基準よりも感度が高い。これは感度が高すぎることを示す。同じく，対角１平行分析，MAP 以外はカイザー基準より高くなっている。負荷量の高いときは対角１平行分析がもっとも信頼できるであろう。
カイ２乗検定（CHI＾２）は負荷量０．
４のときにまったく因子の区別がつかな
くなる。MAP はさらに極端で因子負荷量０．
５のときに因子の区別がつかない。
カイザー基準と対角 SMC 固有値０以上基準以外において因子負荷量０．
４で高い相関の因子をきちんと判断することは難しい。このような場合，別の因子と認めるには項目数が多くなければならない。
５．
３．
２． 項目数比較（２因子，負荷量０．
６，N＝３００，図４，図５）
項目数の効果は負荷量ほどではない。その中で MAP は大きな影響を受けている。一方の因子の２項目の時に因子を区別しなくなる。３＋４項目でも感度

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図４

２因子 x ＋５項目（負荷量０．
６
０，N＝３
００）

因子分析における因子数決定法

５５
９

−49−

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図５

合計項目数比較（負荷量０．
６，N＝３
０
０）

０である。項目数が多くなると感度は高くなる。
x ＋５項目のときはカイ２乗検定以外は大きく変化しないが，各指標とも同
じ総項目数である５＋２項目は４＋３項目よりも感度が低くなる。カイザー基
準および対角 SMC 固有値０以上基準以外のどの指標も項目合計数が同じとき
項目数のバランスがとれているほうが感度が高くなる。
カイザー基準は負荷量に比べると影響が大きい。バランスのとれた１５項目の場合感度０．
９５と極めて高い。これはノイズに極めて弱いことを示している。
８＋７項目と３＋２項目との間に感度０．
１５，１０＋５項目と２＋５項目との間に感度０．
２０の差がある。少ない項目数の因子が感度に強く影響することが分かる。
カイ２乗検定は項目数のバランスがとれている方が項目数の多さよりも感度にとって重要な要因である。カイ２乗検定は同じバランスなら項目数の影響を全く受けない。
平行分析は２＋５項目以外では比較的よい感度を示している。対角 SMC 平
行分析はカイザー基準と同じかそれ以下となっていて適切な感度となってい−50−

香川大学経済論叢

５６０る。対角１平行分析は２＋５項目が感度０．
５となり低い。
５．
３．
３． サンプルサイズ比較（２因子，負荷量０．
６，５＋４項目，図６）
MAP とカイザー基準はサンプルサイズの影響を受けない。
カイ２乗検定はサンプルサイズの影響を強く受けるが，３００以上のときに感度が高く，２００のときは適度な感度といえる。
平行分析は感度０．
２０〜０．
２５の影響を受ける。サンプルサイズが５００以上の時，対角 SMC 平行分析はカイザー基準より感度が高くなっている。１
０
０
０の時
は感度０．
９
０と極めて高い。他はいずれも０．
６以上なので問題はないだろう。
５．
３．
４． 負荷量０．
５の項目数比較（２因子，負荷量０．
５，５＋４項目，N＝３
０
０，図７）
負荷量０．
６の場合と同様の傾向がある。カイ２乗検定は全く項目数の影響を受けないほかは負荷量０．
６のときよりも影響が少し大きくなっている。MAP

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図６

２因子サンプルサイズ比較（負荷量０．
６，５＋４項目）因子分析における因子数決定法

５
６１

−51−

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図７

２因子合計項目数（負荷量０．
５，N＝３
０
０）

は４項目ですでに因子を見分けなくなる。負荷量，項目数の２つの要因が組み合わさるとより深刻な影響を受けることが分かる。対角 SMC 平行分析は感度０．
８を切り適正な水準にあると言える。
５．
３．
５． ５＋２項目の因子負荷量比較（２因子，５＋２項目，N＝３００，図８）
負荷量の影響は５＋４項目の場合と同様に大きい。その中で MAP はどの負荷量においても因子の区別をしなくなり負荷量の影響を受けない。
また，カイザー基準も全く因子負荷量の影響を受けない。
対角１平行分析は負荷量が小さいとかなり感度が悪くなる。対角 SMC 平行
分析は負荷量０．
４のときに因子を区別しない。この点に配慮すると対角 SMC
平行分析の場合平均を使ったほうがよいことになるが，０．
４の時は因子にするべきでないという立場から９５％点でよしとする。
対角 SMC 平行分析は５＋４項目と同じく，負荷量０．
７以上において，カイ
ザー基準よりも感度が高くなる。

−52−

香川大学経済論叢

５６２

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図８

２因子負荷量比較（５＋２項目，N＝３
０
０）

５．
３．
６． x＋２項目数比較（２因子，負荷量０．
６，N＝３
０
０，図９）
全体に５＋４項目よりも感度が低下している。
一見カイ２検定がおかしな動きをする。項目数が少ないほうが感度が高くなる。１３＋２項目のときに感度０が，２＋３ 項目のときに感度０．
６５まで感度が上がる。カイ２乗検定の場合，項目数が因子間でアンバランスになると感度が落ちていくことを明瞭に示している。
カイザー基準は項目数が少なくなると感度が下がる。３＋２ 項目のとき感度０．
６となる。感度は悪くないがカイザー基準としては低い。５＋４項目のときの感度０．
８に比較するとかなり低くなっている。
平行分析はわずかであるが，項目数が少なくなると感度が上がっている。対角１平行分析は最高で感度０．
５でありあまり感度がいいとは言えない。これもバランスがとれていると感度がよくなることと対応している。
MAP は片一方が２項目であると一貫して因子を感知できない。

因子分析における因子数決定法

５６３

−53−

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図９

２因子 x ＋２項目数比較（負荷量０．
６，N＝３
００）

５．
３．
７． ５＋２項目のサンプルサイズ比較（２因子，負荷量０．
６，５＋４項目，図１
０）
全体に５＋４項目よりも感度が低下している。
５＋４項目の場合と同じく，カイザー基準と MAP はサンプルサイズの影響を受けない。
カイ２乗検定は最もサンプルサイズの影響を受ける。１００だと因子を検知で
きない。１
０
０
０だと０．
８
０と感度が高い。
対角 SMC 平行分析は１００のときに目立って感度が落ちている。このとき対角１平行分析よりも感度が悪くなっている。またサンプルサイズ５００以上の時
カイザー基準より感度が高くなっている。
５．
３．
８． ３因子の負荷量比較（２因子，５＋４＋４項目，N＝３
０
０，図１
１）
２因子と同様の傾向がある。２因子の場合と比較しての感度の増減は全体としての項目数による変動と考えられる。カイザー基準は５＋４項目の２因子の−54−

香川大学経済論叢

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図１０

２因子サンプルサイズ比較（負荷量０．
６，５＋２項目）

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図１
１

３因子負荷量比較（５＋４＋４項目，N＝３
０
０）

５６４

因子分析における因子数決定法

５６５

−55−

場合と同じ感度であり，かつ負荷量によって全く変化しない。MAP は２因子より０．
０５低くなる程度の変化しかない。各平行分析，カイ２乗検定はそれより大きく感度が落ちている。対角１平行分析は ５＋４項目の２因子の場合と同様に負荷量０．
７以上においてカイザー基準より感度が高い。
５．
３．
９． ３因子のサンプルサイズ比較（２因子，負荷量０．
６，５＋４＋４項目，図１２）２因子の場合と同じような結果となっている。特に変化しているのはカイ２乗検定であり，感度が低くなっている。１００のときは０．
１と極めて低い。MAP，
平行分析はそれぞれ感度が少し落ちている。カイザー基準，MAP ともサンプ
ルサイズによる影響はない。
５．
４． ま と め
因子あたりの項目数ということが適切な因子を求める基準にされることがあ

感
度
︵
因
子
間
相
関
︶

図１２

３因子サンプルサイズ比較（負荷量０．
６，５＋４＋４項目）

−56−

香川大学経済論叢

５６６

るが，今回の検討によって平均項目数ではなく実際に一つの因子に何項目あるかが因子数判定に影響する。そして最低項目数の因子が因子判定に影響することが分かった。因子数に影響する要因として負荷量がもっとも大きいが，カイ
ザー基準は負荷量に関しては安定している。
感度をさげる要因は決定的に利く場合もあるが，他の要因で多少補うものである。感度を下げる要因が重なると感度が悪くなる。基本的に感度を悪くする
要因を基準に感度を考えるべきである。

! 対角 SMC の固有値０以上基準
極めて感度が高く，母相関行列においてはほぼどんな相関の因子でも抽出する。これは，標本誤差やマイナー因子にも敏感に反応することになり，実際のデータの因子数推定には大きな弱点となる。

" カイザー基準
感度は高い。項目数がバランスのとれているときのほうが感度が高い。バラ
ンスがとれていない場合，少ない項目数が感度を規定している。項目数が３以下にならなければ感度はかなり高い。項目数が２の場合でも０．
５５の相関なら
因子を検出するので少ない項目でもある程度の感度を保っている。項目数が多いときは感度が高くなる。７＋８項目の場合，感度０．
９０と極めて高い。
負荷量，サンプルサイズにおいては安定しているのがこの方法の長所である。しかし，負荷量やサンプルサイズの影響は受けないので，あまり尺度的によくない場合でも因子を検出するということも言える。この低負荷量でも検出力が高いことが因子分析研究においてカイザー基準がよく使用される理由の一つになっているものと思われる。低レベルの下位尺度を受け入れやすくしている。
標本誤差の影響を受けるので因子数を多く推論することがある。また，因子の項目数が少ないとき極めて高い相関の因子であるなら検出できない。

５６７

因子分析における因子数決定法−57−! 最尤解のカイ２乗検定
負荷量，サンプルサイズおよび項目数がアンバランスな時に影響を受ける。
そのため一つの因子が２項目にしか負荷しないときは，感知しない可能性が高まる。２項目のときに感知しないのは悪いことではない。
負荷量が小さく，サンプルサイズが小さく，項目数がアンバランスな場合は感知しない可能性が高く，この組み合わせでさらに因子を感知しない可能性を高める。

" 平行分析
対角１平行分析と対角 SMC 平行分析の傾向は似ている。それぞれ平均と９
５％点の感度は０．
０５の違いがある。両者を比較して，対角１平行分析は適度な感度を持っているので平均，対角 SMC 平行分析は感度が高いので９５％点を採用した。負荷量，項目数，サンプルサイズの影響はカイ２乗検定ほど大きくない。これらの要因が組み合わさったとき大きな影響を受ける。
負荷量０．
７以上の時対角 SMC 平行分析はカイザー基準より感度が高い。このことは標本誤差もしくはマイナー因子の影響を受けやすくすることを意味する。対角 SMC 平行分析は対角 SMC のスクリーテストに対応する（図１３参照）。これはこのテストが合理的なものであることを示している。つまり，標本誤差についてはきれいにコントロールしていることになる。対角 SMC 平行
分析は標本誤差としては問題がないがマイナー因子には対応できないものと考えられる。
負荷量が０．
４と他の要因が組み合わさったときは対角 SMC は対角１平行分
析よりも感度が悪くなる。これらのことからも０．
４のような低負荷量のときの感度はよくない。
さらに低負荷量，小サンプル，少項目数の組み合わせのときの感度はあまりよくない。
対角 SMC 平行分析は一般に感度が高いが，項目数が少ない３＋２ 項目の場
合は感度０．
５０と中程度であり十分高いとは言えない。この点に難点がある。

−58−

香川大学経済論叢

５６
８

固
有
値

図１３

対角 SMC の相関行列のスクリー・プロットと対角 SMC 平行分析（９５％）（Thurstone & Thurstone，１
９
４
１）

! MAP
サンプルサイズの影響は受けないが，負荷量と項目数の影響が大きい。合計
項目数が多いほど感度は高くなる。一方，３項目以下の因子は感知しない。サンプルサイズ３００，項目数５＋４と比較的まともな条件においても負荷量０．
５で感知しない。
これらのことは一見欠点に見えるが，尺度構成上は望ましい性質をもっている。つまり，因子に４項目以上もっている，負荷量およそ０．
６０以上でないと認めない。項目数が多いほど感度が増す。この点も尺度構成上望ましい。

６． 因子数決定におけるマイナー因子の影響
因子分析においてマイナー因子の影響は重要である。平行分析において標本誤差については考慮しているが，マイナー因子については考慮していない。マ
イナー因子の問題を検討したのは Tucker, Koopman, & Linn（１９６９）である。

因子分析における因子数決定法

５６９

−59−

MacCallum & Tucker（１９９１）が理論的検討を行っている。MacCallum et al.
（２００１）は Tucker らの相関行列作成法から母相関行列を作成し，その行列を公開している。この行列を利用して因子数決定法の検討をする。
MacCallum らは，３つの側面を操作している。

! 因子決定性 ―― １因子あたりの項目数。２０項目，３因子 or ７因子" 共通性の大きさ ―― 高（．６to ．８），低（．２to ．４），広（．２to ．８）# マイナー因子の大きさ ―― RMSEA の大きさ，０．０２５，０．０６５，０．０９０
このうち!の操作には問題があった。２
０項目７因子の複数のデータにおいて７因子を再現できなかった。つまり，７因子の場合に一つの因子に１項目しか負荷しないことが複数のデータにおいて生じた。３因子の場合はこのようなことがなかったので３因子の母相関行列を分析することにする。
６．
１． 処

理

MacCallum et al.（２００１）の母相関行列を服部（２００３）および堀（２００２）を使って分析した。母相関行列をそのまま，３００ケースのデータとみなし処理する。
６．
２． 結果と考察
因子数決定の指標から求めた因子数は表１にある。相関行列は１因子に負荷

表１
RMSEA

マイナー因子あるデータの各指標の因子数判定結果

０．
０９
０

０．
０
６５

０．
０２
５

判

定

共通性

高

低

広

高

低

広

高

低

広

正

大

小

MAP-TEST

３

３

３

３

３

３

３

２

３

８

０

１

RAW-EIGEN

３

７

４

３

５

３

３

３

３

６

３

０

PA-EIG-M

３

３

３

３

３

３

２

３

３

８

０

１

PA-EIG９
５

３

３

３

３

３

３

２

３

３

８

０

１

SMC-EIGEN

１０

９

９

１
０

９

９

５

７

７

０

９

０

PA-SMC-M

３

８

５

３

４

３

３

３

３

６

３

０

PA-SMC-９５

３

７

５

３

４

３

３

３

３

６

３

０

CHI＾２

９

８

７

４

４

４

３

２

３

２

６

１

−60−

香川大学経済論叢

５７０

する項目数および因子間相関を制御していないため厳密な比較ではない。
表１の正答数からみると，マイナー因子が大きい，RMSEA＝０．
０９０のときの推定因子数を多く推測する誤りが起こる。マイナー因子の小さい RMSEA＝０．
０２５の場合は推定因子数を少なく推測する誤りが起こる。
また，共通性が低いときに推定がうまくいかない。全体としては共通性が高いときの推定がもっともよい。ところが，RMSEA＝０．
０２５のときは共通性広のときのほうが少しよい。RMSEA＝０．
０２５の高共通性のとき以外は納得のい
く結果といってよい。本格的に分析するにはもっと多くの母相関行列を使用しないといけないが，このデータからすると，
RMSEAと共通性に交互作用がある。
９データ中不正解数３まではある程度使える可能性があるといえよう。５以
上の不正解数のカイ２乗検定，対角 SMC 固有値０以上基準は指標としては使えない。特に対角 SMC 固有値０以上基準はすべてかなり大きく判定するので，指標としてははっきりと不適である。カイ２乗検定はマイナー因子が大き
くない RMSEA＝０．
０２５の共通性が共通性高と共通性広のみを正しく推定している。マイナー因子が大きいとき，さらに共通性が高いときのみに正しく推測できる。外れる場合も過大，過小ともに起こっている。カイ２乗検定は条件に恵まれたときにのみ正しい推定をする。この２つの指標は探索的因子分析において使用できない指標である。
不正解数３のカイザー基準，対角 SMC 平行分析はあまりよくない。カイザ
ー基準は一貫して過大に推測する。また，対角 SMC 平行分析も一貫して過大推定している。感度が高い指標は因子数過大の方に外れやすいことを示している。マイナー因子がより大きいとき，共通性がより小さいときに因子数過大になっていてマイナー因子の影響を受けやすい。カイザー基準はマイナー因子をコントロールできないことを示している。
MAP，対角１平行分析は不正解数１と良好な推測をしている。Zwick&

Velicer（１９８６）と同じく，MAP，対角１平行分析がよい結果となった。対角１
平行分析が少ない因子数の誤りをしたのは因子間相関が０．
６５あったためである。MAP のほうは項目数の影響が強いのでこの点は乗り切っている。他の指５７１

因子分析における因子数決定法−61−

標は負荷が高いための高い因子間相関があっても検出できた。RMSEA＝０．
０２５の共通性低の時に MAP は因子数を少なく見積もっているが，１つの因子の負荷量０．
５以上の項目数が２になっているためである。
マイナー因子が大きくて低共通性の場合は過大因子数となり，マイナー因子が小さい場合は過小因子の危険性がある。
ここで考えたように因子負荷量，因子間相関がわかると個別事例を解釈できるようになる。この時回転にはハリス−カイザー解を用いるべきである。斜交
回転の代表的なものに直接オブリミン，プロマックス，ハリス−カイザー法（orthoblique，power＝０，独立解）がある。因子負荷量は大きく変わらなくても因子間相関はかなり違う。その中でハリス−カイザー法を使うのは次の理由からである。直接オブリミンとハリス−カイザー法はモデル負荷量を正しく再生できるが，プロマックスは正しく再現できない。プロマックス法は大雑把な方法であることがわかる。モデル負荷量が存在しないとき直接オブリミンはなるべく直交に近い解をだす。ハリス−カイザー法は斜交性が強い。ハリス−
カイザー法の解のほうが確証的因子分析の相関に近くなる。このことからハリス−カイザー法の解のほうが因子間相関を評価するのによい判断できる。直接
オブリミン解は直交解で許せるかどうか判断するのに適切と考えられる。

７． Thurstone & Thurstone（１９４１）基本能力因子の再分析
多くの指標が失敗する例として，Thurstone & Thurstone（１
９
４
１）の２
１変数の
データがある。Thurstone & Thurstone は５７変数を因子分析した結果から７因子各３項目の合計２
１変数を選び出し新たに８年生４３７人に基本能力検査を実施した。
最初から７因子を想定したものであるが，因子分析のハリス−カイザー解の負荷量の２乗和は２．
４
２
７，２．
１
０
６，１．
８
８
３，１．
８
３
４，１．
１
６
９，１．
８
９
８，１．
５
４
４と１以
上となって均衡しているので７因子解を受け入れることができる。MAP，対角１平行分析９５％点が３，対角１平行分析平均が４，カイザー基準が５，２

−62−

香川大学経済論叢

５７２

つの対角 SMC 平行分析が７，対角 SMC 固有値０以上が９，カイ２乗検定が８以上（不適解のため確定できない）となった。MAP の３因子を始め多くが失敗するなか，対角 SMC 平行分析は正しく７因子とする。
７因子解の因子パタン（表２）を見てみると数の因子，記憶因子が第３の項
目の０．
４
８，０．
３
６と負荷量が小さい。因子間相関（表３）は言語と推理および推理と知覚が同じく０．
６６４と極めて高い。３項目の因子において相関に高いものがあるため，カイザー基準でさえ検出できないものである。それより感度の低い対角１平行分析も因子検出ができない。対角 SMC 平行分析のみが検出できるレベルとなっている。このように下位尺度においては因子間相関が高い場
合がよくあり，対角 SMC 平行分析が有用である。
この結果は評判のよい対角１平行分析にも限界はあるし，MAP にも限界があることをはっきり示している。常に正しい因子数判定法はない。条件や想定モデルによって使用する因子数判定法を変えた方がよい。

８． 討

論

母相関行列分析の結果からすると，因子数決定の代表的指標は因子間相関がある場合因子数を正しく判断するとは言えない。唯一，一般に使われることのない対角 SMC 固有値０以上基準がもっとも正確に因子数を判断する。実際のデータにおいては標本誤差やマイナー因子があることを考慮すると，対角 SMC
固有値０以上基準は因子数を過大評価する。
標本誤差に配慮しているのが対角 SMC 平行分析である。しかし，対角 SMC
平行分析はマイナー因子に弱いという欠点を持つ。また対角 SMC 固有値０以上基準と同じく，カイザー基準はマイナー因子が大きく，共通因子が低負荷のとき過大評価する。カイザー基準がマイナー因子よりも標本誤差に対応しているようだ。Horn（１９６５）の主張からすると標本誤差に対応していないということからマイナー因子に対応したものではないかと思われるが，今回の分析結果からすると標本誤差に対応していると考えられるのである。

因子分析における因子数決定法

５７３
表２

−63−

Thurstone & Thurstone（１９４１）の因子パタン（ハリス−カイザー解）
１

２

３

言 語

空 間

数

４

５

語の流暢性 記

６

憶

推

７
理

知

覚

７：Sentences（V）

０．
８９６ −０．
０９５

０．
００３ −０．
０３５ −０．
０６９

８：Vocabulary（V）

０．
８８８ −０．
０２７

０．
０８１

９：Completion（V）

０．
８５６

０．
１３１ −０．
０４７

０．
００６ −０．
００９ −０．
０２８

１４：Figures（S）

−０．
００８

０．
８７７ −０．
００９

０．
００９ −０．
０１６ −０．
０４８ −０．
０１３

１５：Cards（S）

０．
０４９

０．
８０５ −０．
０１７ −０．
０４１

１３：Flags（S）

−０．
０２７

０．
７５１

０．
１０４

０．
０２７ −０．
０１８

１７：Multiplication（N）−０．
０３４ −０．
０８７

０．
９１７

０．
０１８

０．
０３３ −０．
０７４

０．
０２４

１６：Addition（N）

０．
０２６

０．
０３３

０．
７６４ −０．
０３８

０．
０２４ −０．
０３９

０．
０１１

１８：Three-Highter（N）

０．
０３５

０．
１６１

０．
４８０ −０．
００７ −０．
０２７

０．
２２２

０．
００５

１０：First-Letters（W）−０．
０２３ −０．
０２３ −０．
０２８

０．
８３４ −０．
０３７

０．
００８

０．
０９５

０．
８１０ −０．
０１３

０．
０７１ −０．
０８１

１１：Four-Letter Words（W） −０．
０９１

０．
０９６

０．
０１７

０．
０８８

０．
１１１

０．
０１２

０．
０５５ −０．
０６２ −０．
０８５

０．
０３７ −０．
０５０

０．
０４５
０．
０５８

０．
０５８ −０．
０５３

１２：Suffixes（W）

０．
１６３ −０．
０６５ −０．
０１５

０．
６０１

０．
０６４ −０．
０８６

４：First Names（M）−０．
０１９ −０．
０７３

０．
０７５

０．
０３１

０．
７１９

６：Word-Number（M）

０．
００５

０．
０３５

０．
０５２ −０．
０８０

０．
０６９

０．
００１

０．
６９２ −０．
１０５ −０．
０４１

５：Figure recognition（M） −０．
０３６

０．
０９０ −０．
２６８

０．
００１

０．
３６５

１９：Letter Series（R）

−０．
０６６

０．
０１４

０．
０９６ −０．
０２６ −０．
００８

０．
９４０ −０．
１４２

２１：Letter Grouping（R）

−０．
０９６

０．
００２

０．
０５９

０．
６６９

０．
０９５

２０：Pedigrees（R）

０．
１９８ −０．
０６７ −０．
０９６ −０．
０９８

０．
１０１

０．
６４４

０．
０７０

２：Face（P）

０．
０６０

０．
０４４

０．
０２７

０．
８４０

０．
０１９ −０．
０７５ −０．
１２８

０．
６４４

０．
０２３

０．
０９２ −０．
０７０

０．
０９２ −０．
０９６ −０．
１８９

１：Identical Numbers（P） −０．
０２６ −０．
１４７

０．
３０１

０．
１１６

０．
２６２

３：Mirror Reading（P）

−０．
０５３

０．
０１０ −０．
０６１

０．
２２６

０．
００３

０．
１２０

０．
５２９

負荷量の２乗和

２．
４２７

２．
１０６

１．
８３４

１．
１６９

１．
８９８

１．
５４４

表３
１

１．
８８３

因子間相関（ハリス−カイザー解）
２

３

４

５

６

７

言 語

空 間

数

語の流暢性

記 憶

推 理

知 覚

１

言 語

１．
００
０

０．
１８
３

０．
４
３
２

０．
５
８
１

０．
４６
９

０．
６６
４

０．
４
６３

２

空 間

０．
１８
３

１．
０
００

０．
２５
２

０．
１
７
４

０．
２
１９

０．
３
５０

０．
５
３
０

３

数

０．
４
３
２

０．
２
５
２

１．
０
００

０．
４
７
３

０．
３
５
１

０．
５
８
９

０．
６３
３

４ 語の流暢性

０．
５８
１

０．
１
７
４

０．
４
７３

１．
０
０
０

０．
４
８
６

０．
５
８４

０．
４
９４

５

記 憶

０．
４６
９

０．
２
１
９

０．
３５
１

０．
４８
６

１．
０００

０．
５
４
５

０．
４
２
６

６

推 理

０．
６
６
４

０．
３
５
０

０．
５
８
９

０．
５８
４

０．
５
４
５

１．
００
０

０．
６６４

７

記 憶

０．
４６
３

０．
５
３０

０．
６
３
３

０．
４
９
４

０．
４２
６

０．
６
６４

１．
０
０
０

−64−

香川大学経済論叢

５７４

標本誤差とマイナー因子を合わせると，カイザー基準は頻繁に過大因子数推定をする。この欠点を補うものであるのが対角１平行分析である。マイナー因子と標本誤差を考慮したものとしての対角１平行分析がある。しかし，これらの点に配慮しているために因子間相関が高いときに因子を感知できなくなるという欠点を持つ。現実のデータにおいては Thurstone & Thurstone（１
９
４
１）２
１変
数のように因子間に０．
６５以上の高い相関がある場合がある。因子の項目が少ない場合にこの程度の相関を検出することは難しい。カイザー基準でさえ検出できない。対角 SMC 平行分析がこれをぎりぎり検出できる。
因子間相関とマイナー因子および誤差のトレードオフ問題がどの程度の感度にすべきかを決定する。現実のデータを考慮すると因子間相関の感度は０．
７
０
から０．
７
５の間がよいだろう。この感度を常に保っている指標はない。
MAP は項目数，負荷量に厳しく，尺度として適切かどうかを判断するのによい。適切な尺度構成をしている場合には正しく因子数を推定するからである。現実のデータについて考えると，負荷量０．
６から０．
８くらいの尺度で項目数５〜１０くらいの因子が望ましい。これを満たしていれば MAP は適切に因子数を判断する可能性が高い。
これらのことから，マイナー因子のないきれいなデータの場合は対角 SMC
平行分析による判断，マイナー因子があるデータの場合は対角１平行分析，尺度を作成するには MAP の判断をベースに考えるのがよい。
一般的には
MAP≦対角１平行分析≦対角 SMC 平行分析となる。母相関行列の感度から分かるようにこうならない場合もあり得る。
以上のことから各指標の現れ方からデータのタイプを分けることができる。

! MAP＝対角１平行分析＝対角 SMC 平行分析

→マイナー因子がないよい構造をもったよい（下位）尺度
例えば堀（２００３a）が分析した Holzinger & Swineford（１９３９）の知能データ" 対角１平行分析＝対角 SMC 平行分析
→マイナー因子がないよいデータ

５７５

因子分析における因子数決定法−65−# 対角１平行分析＝MAP→尺度作成の問題がないよい尺度$ MAP＜対角１平行分析＜対角 SMC 平行分析
通常見られるデータ。例えば Thurstone & Thurstone（１
９
４
１）
。

!の場合は問題なく因子数を決定できる。"#$の場合には決定法をめぐって考慮しなければならないことがある。このとき，因子数決定のアプローチに２つのタイプがある。一つはデータ収集方法によって主たる判定法を決める方法であり，もう一つはデータ処理した結果から決める方法である。
目的依存型決定法
項目の集め方，目的によって最適の因子数決定法が変わる。

! 一般に因子分析をするとき下位尺度を作成するためである。項目の集め方
としてはまったくのランダムサンプリングで尺度を作成する場合である。いろんな項目をたくさん集めているのでマイナー因子がある。この場合，MAPがもっともいいだろう。その上で，項目を削除していく。これがよい尺度を作るコツである。なお，下位尺度の項目が足りないために下位尺度にならなかった因子を探るためには対角１平行分析を見る。さらに強い因子間相関があったときには対角 SMC 平行分析も最大数として参考にする。

" 下位尺度を想定して項目を集めた場合はマイナー因子は少なくなっている可能性がある。このときも尺度作成のためだから主として MAP である。想定した因子が現れなかったときは対角１平行分析を使って該当の項目が少な
かったかを調べる。

# 下位尺度関係なく，理論的に構造を知りたいために多くの項目を収集した。まずは対角１平行分析を参考にする。参考のため MAP，対角 SMC 平行分析を調べる。

$ マイナー因子のないきれいなデータは一度因子分析をして少数の項目を選んだ場合があてはまる。対角 SMC 平行分析と対角１平行分析をチェックする。対角 SMC 平行分析の因子数，つまり大きいほうから因子数を減らして

−66−

香川大学経済論叢

５７６

いき解釈可能性を探る。ある因子モデルに基づいて項目をきちんと集めた場合（例えば Thurstone & Thrustone の２１変数）などがこれにあたる。

! 小項目で単に構造を知りたい場合は対角１平行分析をまず参考にし，対角SMC 平行分析の因子数へと増やしていって解釈可能性を探る。最終的には確証的因子分析を行って構造を確認する。
これだけを基準にすることはできない。因子に負荷する項目数，解釈可能性に配慮して因子数を決める。ただし，高次因子が存在する場合には解釈可能な因子数が複数ある場合がある（堀，２００３b）ので注意が必要である。大きい因子数から減らしながら解釈可能性を探るのが基本であるが上に書いたように増やす方法もある。
データ依存的決定法
もっとも広い範囲に対角 SMC 平行分析を最大因子数，MAP を最小因子数として挟み込み解釈可能性を考慮して最終決定をする。これが堀（２
０
０
４）におい
て提案した挟み込み法である。
項目数が十分あり，負荷量も十分高いよい尺度の場合，MAP の予測は多くの場合に正しい（Zwick & Velicer，１９８６）。安定した推定をする（堀，２
０
０
３a）
。
過小推定することがあるが過大推定をしない（Zwick & Velicer，１
９
８
６）
。対角
SMC 平行分析はマイナー因子の影響を受けやすいこと。マイナー因子の影響を受けて因子数を多目に推測することがある。しかし，データの多少のゆれに関わらず安定した推定をする（堀，２００３a）。さらに，過小推定をすることはなく，推定数が間違う場合は，常に過大の推定である。MAP が正しくない場
合，対角 SMC 平行分析が正しく推定していることがあり，その意味でも参考にすべき因子推定法である。このことから，MAP と対角 SMC 平行分析の推定因子数の間に真の因子数があるとすることができる。
この挟み込み法はなるべくリスクを減らして広い範囲をとっている。実際には対角１平行分析がもっとも的中する可能性が高い。このことを考慮して次のように精緻化することができる。

因子分析における因子数決定法

５７
７

−67−

一応のガイドライン! 主成分分析（因子分析でもよい）を行ってスクリープロットの簡易検査をする。

" 第１固有値が飛び抜けて大きいとき& 対角 SMC 平行分析が基準
そうでないとき' 対角１平行分析が基準# MAP を求める。
$ "から順次因子を減らして#の因子数まで因子の解釈可能性を確かめる。
% 'の場合で$において満足できなければ&まで順次因子を増やし因子の解釈可能性を確かめる。
という手順になる。

"の判断が難しい。Thurstone & Thurstone（１９４１）の２１変数データは飛び抜けて大きい例である（図２参照）。Cattell & Vogelmann（１９７７）の人工データは多くが当てはまる。スクリープロットされているので参考になる。また，通常なら１因子としてよいデータはすべて&と判断できる。

このような面倒な判断を除いて，なるべく単純にすれば堀（２００４）で提案したように対角 SMC 平行分析と MAP で挟み込み解釈可能性と項目数によって因子数を決定することになる。
（謝辞）本稿の分析には服部環筑波大学助教授の faccon.exe を使っています。２００２年の公表以来使わせてもらっていますが，いくつかの処理や出力について追加をしていただいた。そのお蔭で本稿が成立しました。記して感謝します。

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