ランダム行列理論を用いた時系列モデルの評価
理学専攻・情報科学コース

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郷治 雅

はじめに

σ1 , ..., σq はモデルパラメータ, Zt , Zt−1 , ... は標準正規分布に従っている.

ランダム行列理論とは, 20 世紀初めの Wishart らによる数理統計学の研究に起源を持ち, その後, 物理学の研究対象として注目され, 近年では数学分野において発展を続けている理論である. 時系列モデルとは, 時系列データを表現するモデルであり, 主に AR モデル,MA モデル, ARMA モデルが用いられているが, 本研究では最も一般の ARMA モデルによるシミュレーションを行う.
時系列データモデルのパラメータ推定に関する研究はこれまで多くされており, 複数の手法が提案されている. 本研究では, 定常条件を満たす時系列データを折りたたんだ行列を Compound Wishart 行列の標本とみなし, その行列の標本モーメント列と ARMA パラメー
タのみに依存する値から求まるモーメントとその分散の理論値を調べ, 推定されたモーメント値が理論値からどの程度離れているかを検証することで ARMA モデルの評価を行う手法の提案を目的としている.

2ARMA(p, q) は p 次の自己回帰と q 次の移動平均を組み合わせたモデルのことであり,
Xt = Zt +34ある時系列データ X1 , ...., Xn が定常である時, 自己分散はγ(h) = Cov(Xn+|h| , X)
で与えられ, 自己分散関数を用いて行列


γ(0)
γ(1)
···
γ(n)


γ(0)
· · · γ(n − 1)  γ(1)

Γ=
..
..
..
 ..
.
 .
.
.

γ(n)

X(n−1)(m+1)λ)2D=γ(0)······

Xmn

1 tH Hnとすると, D は

1GΓt Gnと相似であることが知られている. ただし G はガウスランダム行列である.
W =ϕp Xt−p + Zt

1GΓt Gnは compund Wishart 行列と呼ばれる. また行列 Γ のモーメント列は∫ 2π1mk =f (ω)k dt
(3)
2π 0

ϕ1 , ..., ϕp はモデルのパラメータ, c は定数, Zt は, 誤差項である.
MA モデルは MA(q) と表現され, q 次の移動平均モデルを意味し, 以下の式で表せる.
q∑···を構成する. ただし, 行列の縦横比 λ = mn とする.

i=1Xt = Zt +γ(n − 1)(1)を考える. ここで, 時系列データ Xn を以下の様に n×mに折りたたんで.

X1X2· · · Xm

Xm+1Xm+2 · · · X2m H=..
..
.. ..
 (2).
.
.
. 

時系列データを表すモデルはに主に AR モデル (自己回帰モデル) と MA モデル (移動平均モデル) が使われており, 更に, 2 つのモデルを一般化した ARMA モデルがある.
AR モデルは AR(p) と表現され, p 次の自己回帰モデルを意味し, 以下の式で書ける.

Xt = c +σi Zt−ii=1

ランダム行列と時系列データ

ARMA モデルp∑

ϕi Xt−i +q∑のように AR モデルと MA モデルの組み合わせで表現される.

一般に，ランダム行列とは確率変数を要素に持つ行列であり，その代表例として Wishart 行列が挙げられる. n × n 対称ランダム行列Ｓで p/n = λ を保ちながら， n → ∞，p → ∞ の極限を取ると, Wishart
行列Ｓの固有値の経験分布は, λmin ≤ t ≤ λmax のときに以下の確率密度関数 p(t) に収束する．この分布はMarchenko-Pastur 分布と呼ばれている．
√−(t − λmax )(t − λmin )1p(t) =2πλt√p∑
i=1

ランダム行列理論

λmaxmin = (1 ±(指導教員：吉田 裕亮)と求めることができる. ここで, f (ω) は γ(h) のフーリエ変換を用いてσi Zt−if (ω) = F(γ(h))(ω) =i=1∞ √∑e −1γ(h)ω
h=01(4)

と与えられる. さらに, W のモーメント列は m1 , ..., mkと行列の比 λ で表せることが知られている.
実際に, W のモーメント列を Mk とおくと, M1 , M2は以下の様に与えられる.

ARMA(1,3)λα254127737528M1 = λm1 ,M2 = λ2 m21 + λm2 .

σ22 =1λm21 ,n

本研究では以下の手順で実験を進める.

3. データから推定された ARMA モデルのパラメー
タと行列の縦横比を用いてモーメントの理論値
Mk , σk を求める.

2. 15 年間の為替レート (USD → JPY) の二階差分8
データ数:4310 λ = 1, 76 , 15
11 , 514.3677

2.137172.180935

24.002829.6787

2.137172.6626167

40.3583

46.9265

3.73177

1.76941773

37.1634

58.0506

4.27174

4.8896232

0.980967

14.22198

16.1891

40.3456

1.54132

15.672605

20.196437.1518

1.990052

8.921453

M2σ2|m2 −M2 |σ213.4331

16.48411.042029

2.9331605

16.841328.20941.191311

9.54251241

21.36631.15292.38851

4.0975089

ARMA(1,1)λα2M2σ2|m2 −M2 |σ217.71605

9.69270.754427

2.620068

7615
11859.60685

13.48760.990213

3.9181974

12.06123.08141.33613

8.24799982

15.03233

25.4899

1.67115

15.5815689

考察

おわりに

本研究では，時系列パラメータから求められるモーメントの理論値とデータから求められる推定値を比較することで時系列モデルの評価手法を提案することを目的とした. 2 つのデータを用いた実験から AR が 2 次以上の ARMA モデルに対してこの手法が有用であると考えられる. また, モデルの推定方法としてモーメント法を用いた場合により精度の高い結果を得られることがわかった. 今後更に多くのデータに対してこの手法を適用するためには、トレンド除去や定常化手法を改善することで精度が向上する可能性が考えられる.

実験結果

19.0168

23.9953

0.95910257以下に推定した 2 次のモーメントと, 対応するモーメントとその標準偏差の理論値を示す.
平均値の推定値を α2 , 平均値の理論値を M2 , 標準偏差の理論値を σ2 とし, 理論値と推定値がどの程度離れ|α −M |ているかを 2 σ2 2 を用いて表現した.
1.
ARMA(2,3)|m2 −M2 |λα2σ2M2σ25412773752810.044

2 種類のデータを用いた実験から, 推定された ARMAモデルのうち, パラメータから求まるモーメントの理論値とデータから求められる推定値が近いものと離れているものがあることがわかった. このことから, 本研究での提案手法を用いて ARMA モデルの評価を行うことは可能であると考えられる. しかし, データによって精度のばらつきが見られるため, トレンドを除去する方法や定常化の方法に改善の余地があると考えられる. また, モデルの推定方法として 2 種類の手法を用いて実験したが, それぞれ値が異なっていたことについても検証する必要があると考える.

1. 7 年分の日経平均株価の一階差分
7 75
データ数：2140 λ = 54 , 127 , 3 , 28

6.2

12.43886198

1.08393

6.3

4. 2 で得られたモーメント値と 3 で得られた Mk とどの程度離れているかを σk を用いて評価する.

実験設定

0.64726511.8461

2. D = n1 X t X のモーメント列を調べる.

6.1

14.3633

10.8065

1. 時系列データを n × m に折りたたんで行列 X を作成.

実験6.31206

761511852(4λ3 m21 m2 + 2λ2 m22 + 8λ2 m1 m3 + 4λm4 ).
n26|m2 −M2 |
σ21

提案手法

5σ22.
ARMA(2,1)
λα2

また, Compound-Wishart 行列の一般論より M1 , M2の分散 σ12 , σ22 も知られている.

σ12 =M2

参考文献[1] 茨木志織, モーメント法によるノイズ推定を用いたスペ
クトラルクラスタリグ, お茶の水女子大学大学院理学専
攻情報科学コース修士論文, 2011.
[2] 長谷川彩子, ランダム行列理論を用いた時系列データ解析, お茶の水女子大学大学院理学専攻情報科学コース修士論文, 2014[3] 長谷川彩子, 吉田裕亮, ランダム行列と自由キュムラン
ト行列を用いた時系列データ解析, 研究報告数理モデル
化と問題解決, 2013-MPS-932