35ADIABATIC LIMITS, THETA FUNCTIONS, AND GEOMETRICQUANTIZATION (ANNOUNCEMENT)
吉田 尚彦
明治大学 理工学部 数学科
TAKAHIKO YOSHIDA

DEPARTMENT OF MATHEMATICS, SCHOOL OF SCIENCE AND TECHNOLOGYMEIJI UNIVERSITY

1. INTRODUCTION

Lagrange fibration の幾何学的量子化において, Spin^{c} Dirac 作用素の指数と Bohr‐
Sommerfeld ファイバーと呼ばれる離散的に現れるファイバーの個数とが一致する現象が,様々な例で確認されている [1, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 18, 10, 14, 15].

これについて,ある条件の下,非特異 Lagrange fibration (つまり,Lagrange ファイバー束 ) に対して,Bohr‐Sommerfeld 点で添え字づけられた正則切断の族で(1) 正則切断の空間の基底をなし,(2) 各々の切断のサポートは,断熱極限の下で,対応する Bohr‐Sommerfeld 点の周りに集中するようなものが構成できたので,論文 [17] にまとめている.本稿はこの論文 [17] の予報である.[17] では本稿の内容よりも一般的な状況も論じる予定である.
2. LAGRANGE ファイバー束

2.1. 整アファイン構造. (M, \omega) をシンプレクティック多様体とする.
定義2.1. (M, \omega) を全空間とするファイバー束 \pi:(M, \omega)arrow B で,ファイバーがLagrange 部分多様体であるようなものを Lagrange ファイバー束とよぶ.
(列2.2. n 次元トーラス T^{n}=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n} の余接束の全空間 ( \mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i}) から \mathbb{R}^{n} への射影 \pi:(\mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i})arrow \mathbb{R}^ {n} はLagrange ファイバー束である.
ここで, x_{i} は \mathbb{R}^{n} 方向の,統は T^{n} 方向の標準的な座標とする.
例2.2は,Lagrange ファイバー束の局所モデルを与える.

定理2.3 (Arnold‐Liouville の定理 [2]). ファイバーがコンパクト,弧状連結であるようなLagrang e ファイバー束は,局所的には例2.2の ( \mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i})arrow \mathbb{R}^{n}と同一視できる.

以下では断らない限り,Lagrange ファイバー束は全てファイバーがコンパクト,弧状連結と仮定する.

定義2.4. Lagrange ファイバー束 \pi:(M, \omega)arrow B の切断 u で u^{*}\omega=0 となるものを
Lagrange 切断とよぶ.

補題2.5. \psi:(\mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i})arrow(\mathbb{R} ^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i}) を例2.2のLagrange
ファイバー束 \pi:(\mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i})arrow \mathbb{R}^ {n} のファイバーを保つシンプレクティッ
ク同相とする.このとき,行列 A\in GL_{n}(\mathbb{Z}) , 定数 c\in \mathbb{R}^{n} と \pi の Lagrang e 切断
u:\mathbb{R}^{n}arrow \mathbb{R}^{n}\cross T^{n}:x\mapsto(x,\overline{u}(x)) が存在して, \psi は\psi(x, y)=(Ax+c,tA^{-1}y+\overline{u}(x))と表せる.
Partly supported by Grant‐in‐Aid for Scientific Research (C)15K04857.

36
特に,補題2.5から次のことが分かる.

命題2.6. \pi:(M^{2n}, \omega)arrow B^{n} をLagrange ファイバー束とする.このとき,

B の座標近傍系 \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}_{\alpha\in A} と各 \alpha\in A に対してシンプレクテイック同相 \psi_{\alpha}:(\pi^{-1}(U_{\alpha}), \omega|_{\pi^{-1}(U_{\alpha})})arrow( \varphi_{\alpha}(U_{\alpha})\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i}) で次の図式が可換になるようなものがある( \pi^{-1}(U_{\alpha}), \omega|_{\pi^{-1}(U_{\alpha})})\underline{\psi_{\alpha} }(\varphi_{\alpha}(U_{\alpha})\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i})!_{\alpha}^{\pi\downar ow}\underline{\varphi_{\alpha} \varphi_{\alpha} (U_{\alpha}).

さらに,各 U_{\alpha}\cap U_{\beta} 上の局所定数な写像 A_{\alpha\beta}:U_{\alpha}\cap U_{\beta}arrow GL_{n}(Z) , c_{\alpha\beta}:U_{\alpha}\cap U_{\beta}arrow \mathbb{R}^{n}と La9^{range} 切断 u_{\alpha\beta}: \varphi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) arrow(\varphi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i} \wedge dy_{i}) が存在
して,\psi_{\alpha}\circ\psi_{\beta}^{-1}(x, y)=(A_{\alpha\beta}x+c_{\alpha\beta},tA_ {\alpha\beta}^{-1}y+u_{\alpha\beta}(\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}(x) )とかける.

定義2.7. 命題2.6の B の座標近傍系 \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\} を整アファイン構造とよび,多様体と整アファイン構造の組を整アファイン多様体とよぶ.

例2.8. (1) a_{1},a_{n}を実線型空間 \mathbb{R}^{n} の基底とする.このとき, \mathbb{Z}^{n} の \mathbb{R}^{n} への作用

\phi_{\gamma}(x)=x+\sum_{\dot{i}=1}^{n}\gamma_{i}a_{i} (\gamma\in \mathb {Z} ^{n}, x\in R^{n})による商空間 \mathbb{R}^{n}/\mathbb{Z}^{n} には,整アファイン構造が入る.この商空間は位相的には T^{n}

である.

(2) n を自然数,\phi_{e_{1}}(x)a, bをともに正の実数とする.このとき,(\begin{ar y}{l a O \end{ar y}) \phi_{e_{2}}(x) :=(\begin{ar ay}{l} 1 n O 1 \end{ar ay}) (\begin{ar y}{l O b \end{ar y})e_{1}=(\begin{ar ay}{l 1 0 \end{ar ay}) e_{2}=(\begin{ar ay}{l 0 1 \end{ar ay}):=x+で定める.ここで,\mathb {Z}^{2} の \mathbb{R}^{2} への作用を(x\in R^{2})

x+

,

,

とする.この作用の商空間には,整アファイン構造が入る.この商空間は位相的には T^{2} であるが,この作用から誘導される整アファイン構造は (1) のものとは同型でないことがMishachev によって知られてい6 [16, Theorem A].
(3) m, n\in \mathbb{Z}^{3} に対して,積 m\cdot n\in \mathbb{Z}^{3} を

m_{1}m\cdot n:=(\begin{ar y}{l 1 0 0 -1 0 -1 0 \end{ar y}) (\begin{ary}l n_{1} 2 n_{3}\end{ary}) (\begin{ary}l m_{1} 2 m_{3}\end{ary})+で定める. \mathb {Z}^{3} は積に関して,非可換な群になる.次に,群 (\mathbb{Z}^{3}, \cdot ) の \mathbb{R}^{3} への作用をれ1\phi_{n}(x) :=(\begin{ar y}{l 1 0 0 -1 0 -1 0 \end{ar y}) (\begin{ary}l x_{1} 2 x_{3}\end{ary}) (\begin{ary}l n_{1} 2 n_{3}\end{ary}) (n\in(\mathb {Z}^{3},\cdot),x\in\mathb {R}^{3})+で定めると,商空間には整アファイン構造が入る.
(4) l, m\in \mathbb{Z}^{n} に対して,積 l\cdot m\in \mathbb{Z}^{n} を

l\cdotm:=(\begin{ar y}{l 1 (-1)^{l_1} \dots (-1)^{l_n-1} \end{ar y})(\begin{ar y}{l m_{1} \vdots m_{n} \end{ar y}) (\begin{ary}l_{1\vdotsl_{n}\edary})
+

37
で定める.

\mathbb{Z}^{n} は積.に関して非可換な群になる.次に,群 (\mathbb{Z}^{n}, \cdot) の \mathbb{R}^{n} への作用を\phi_{m}(x):=(\begin{ar y}{l 1 (-1)^{m_1} \d ots (-1)^{m_n-1} \end{ar y})(\begin{ar y}{l x_{1} \vdots x_{n} \end{ar y}) (\begin{ary}lm_{1}\vdotsm_{n}\ed{ary}) (m\in(\mathb {Z}^{n},\cdot),x\in\mathb {R}^{n})+で定めると,商空間には整アファイン構造が入る.

n=2 の時,この商空間はクラインの壺である.

(5) 整数 \lambda_{1} , . . . , \lambda_{n-1}\in Z に対して,

Z^{n} の積を

\gam a_{\acute{n}\gam '\cdotgam :=(\begin{ary}l 1\lambd_{1} 1\lambd_{2} \dots\dots 1\lambd_{n-1} 1\end{ary}) (\begin{ary}l\gma_{1}\vdotsgam_{n}\edary}) (\begin{ary}l\gma_{1}'\vdotsgam_{n}'\edary})\phi_{gam }(x):=\begin{ary}l 1\lambd_{1} 1\lambd_{2} \dots\dots 1\lambd_{n-1} 1 \end{ary}) (\begin{ary}lx_{1\vdotsx_{n}\edary}) (\begin{ary}l\gma_{1}\vdotsgam_{n}\edary}) (\gam a\in(mathb{Z}^n,\cdot),x\in mathb{R}^n)
+

で定める.

\mathbb{Z}^{n} は積(\gamma', \gamma\in \mathbb{Z}^{n})に関して非可換な群になる.次に,群 (\mathbb{Z}^{n}, \cdot ) の \mathbb{R}^{n} への作用を\gamma_{n}+で定めると,商空間には整アファイン構造が入る.

命題2.9.

B を多様体とする.

要充分条件は,B がLagrange ファイバー束の底空間であるための必B が整アファイン構造を許容することである.

2.2. Developing map と completeness. \pi:(M^{2n}, \omega)arrow B^{n} を Lagrange ファイ
バー束, p:Barrow B を B の普遍被覆とする. \Gamma:=\pi_{1}(B) とおくと, B への \Gamma 作用の p^{*}(M, \omega)arrow\overline{B} への持ち上げが存在する.このとき,次が知られている.

命題2.10. \mathbb{R}^{n} の開集合 O, O 上の Lagrange ファイバー束 \underline{(\overline{M} ,\overline{\omega} ) arrow O,\overline{B} から
0 への全射はめ込み dev: \overline{B}arrow O\subset \mathbb{R}^{n} , 及び p^{*}(M,\omega\underline{)か}^{\ovalbox{\t smal REJ CT} ら (M,\overline{\omega}) へのファイバーを保つシンプレクティック同相写像 d—ev: p^{*}(M, \omega)arrow(M,\overline{\omega}) でdev をカバーするものが存在する.さらに, \Gamma の \mathbb{R}^{n} への整アファイン作用 \phi\in Hom(\Gamma, GL_{n}(\mathbb{Z})\ltimes \mathbb{R}^{n})と \Gamma の (\overline{M},\overline{\omega}) への作用 \varphi が存在し,次が成り立つ.

(1) \phi は 0 を保つ.
(2) \varphi は \phi をカバーする.
(3) dev と \overline{dev} は \Gamma 同変写像.
定義2.11. dev: \overline{B}arrow B をdeveloping map とよぶ.また, \overline{B} と \mathbb{R}^{n} が整アファイン多様体として同型であるとき1, B はcomplete であるという.
例2.12. 例2.8にある整アフィン多様体は全て complete である.

例2.13 (complete でない整アファイン多様体の例). \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{\pm 1, \pm\sqrt{-1}\} の \mathbb{C}^{n}\backslash \{0\}への自然な作用による商空間は整アファイン多様体であるが, n\geq 2 の場合はcomplete
でない.

Bieberbach の定理 [3, 4] より,次が従う.
命題2.14.
1\Leftrightar ow のとき,知られているB がコンパクトな平坦 Riemann 多様体ならば,complete である.
0=\mathbb{R}^{n}で,dev は \overline{B} から \mathbb{R}^{n} への,整アファイン多様体としての同型を与えることが38
Duistermaat による Lagrange ファイバー束の分類定理 [6] により,次が分かる.
補題2.15. B がcomplete ならば, ( \overline{M},\overline{\omega})=(\mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i} \wedge dy_{i}) ととることができ, \overline{dev} は p^{*}(M, \omega)arrow\overline{B} から ( \mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i})arrow \mathbb{R}^{n} へのファイバーを保つシンプレクティック同相写像で dev をカバーする.

(L, \nabla)arrow(M, \omega) を前量子化束とする. (L, \nabla) の p^{*}(M, \omega) への引き戻しも p^{*}(L, \nabla)と表すことにする.定義より, p^{*}(M, \omega) への \Gamma 作用の p^{*}(L, \nabla) への持ち上げが存在する.

補題 2.16.

は complete とする.このとき, p^{*}(L, \nabla) から (\mathbb{R}^{n}\cross T^{n}\cross \mathbb{C}, d2 \pi\sqrt{-1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}) への束同型で \overline{dev} をカバーするものが存在する.
B

注2.17. 補題2.16この同一視の下,の作用を \overline{\varphi} で表すことにする.

\Gamma の( \mathbb{R}^{n}\cross T^{n}\cross \mathbb{C}, d-2\pi\sqrt{-1}\sum_{i=1}^{n} x_{i}dy_{i}) へ

以上、まとめると次のようになる.

定理2.18. B がcomplete ならば,前量子化束付き Lagrange ファイバー束 (L, \nabla)arrow(M, \omega)arrow B は, ( \mathbb{R}^{n}\cross T^{n}\cross \mathbb{C}, d-2\pi\sqrt{-1}\sum_{\dot{\iota} =1}^{n}x_{i}dy_{i})arrow(\mathbb{R}^{n}\cross T^{n}, \sum_{i}dx_{i}\wedge dy_{i} )arrow\mathbb{R}^{n} を \Gamma 作用でわった商空間として得られる.

3. 主定理3.1. Bohr‐Sommerfeld 点. \pi:(M^{2n}, \omega)arrow B^{n} をLagrange ファイバー束, (L, \nabla)arrow(M^{2n}, \omega) を前量子化束とする.

定義3.1.

b\in B がBohr‐Sommerfeld であるとは,(L, \nabla)|_{\pi^{-1}(b)}arrow\pi^{-1}(b) が非自明な平行切断を許容するときをいう.

以下では,

B はcompleteと仮定する.また,N を自然数とする.

( \overline{M},\overline{\omega}):=(\mathb {R}^{n}\cros T^{n}, \sum_{i}dx_{i} \wedge dy_{i})( \overline{L},\overline{\nabla}) :=(\mathb {R}^{n}\cros T^{n}\cros \mathb {C}, d-2\pi\sqrt{-1}\sum_{\dot{i}=1}^{n}x_{i}dy_{i})とおくと,定理2.18から,(L, \nabla)^{\otimes N}arrow(M, N\omega)arrow B は (\overline{L},\overline{\nabla})^{\otimes N}ar ow(\overline{M}, N\overline{\omega})ar ow\overline{B}\cong \mathbb{R}^{n} への \Gamma:=\pi_{1}(B) 作用による商空間として得られる.このとき,

命題3.2. x\in \mathbb{R}^{n} が (\overline{L},\overline{\nabla})^{\otimes N}ar ow(\overline{M}, N\overline{\omega})ar ow \mathbb{R}^{n} のBohr‐Sommerfeld点である為には,F,

x \in\frac{1}{N}\mathb {Z}^{n} であることが必要十分である.特に,\mathbb{R}^{n} への \Gamma 作用の基本領域を(L, \nabla)^{\otimes N}arrow(M, N\omega)arrow B のBohr‐Sommerfe耐点全体のなす集合を B_{BS} とす

ると,F\cap\frac{1}{N}\mathb {Z}^{n} と B_{B8} は一対一に対応する.

3.2. 概複素構造.定理2.18より, N\omega と整合的な (M, N\omega) の概複素構造は N\overline{\omega} と整合的な (\overline{M}, N\overline{\omega}) 上の \Gamma 同変概複素構造と一対一に対応する.ここで,\mathcal{S}:= { Z=X+\sqrt{-1}Y\in M_{n}(\mathbb{C})|X, Y\in M_{n}(\mathbb{R}),tZ=Z, Y は正定値}とすると ( \mathcal{S} を Siegel 上半空間という),な概複素構造全体の集合は,対応C^{\infty}(\overline{M}, \mathcal{S})\ni Z\mapsto J_{Z}C^{\infty}(\overline{M}, \mathcal{S}) と (\overline{M}, N\overline{\omega}) 上の N\overline{\omega} と整合的:=(\begin{ar ay}{l } XY^{-1} -Y-XY^{-1}X Y^{-1} -Y^{-1}X \end{ar ay}) T_{(x,y)}\overline{M}=T_{x}\mathbb{R}^{n}\oplus T_{y}T^{n}\mathcal{O}で一対一に対応することが知られている.

:39(\overline{L},\overline{\nabla})^{\bigotimes_{-}N}(\overline{M}, N\overline{\omega})\vec{-}ar ow

3.3. r 作用.定理2.18から, (L, \nabla)^{\otimes N}arrow(M, N\omega)arrow B は\overline{B} への \Gamma:=\pi_{1}(B) 作用による商空間として得られる.そこで, B, (M,\overline{\omega}) , (\overline{L},\overline{\nabla})
への \Gamma 作用を, \gamma\in\Gamma に対してそれぞれ \phi_{\gamma}, \varphi_{\gamma}, \overline{\varphi}_{\gam a} とすると,補題2.5より,

A_{\gamma}\in GL_{n}(\mathbb{Z}), c_{\gamma}\in \mathbb{R}^{n} , 及び Lagrange 切断 u_{\gamma} が存在して,\varphi_{\gamma}と \phi_{\gamma} はそれぞれ\phi_{\gamma}(x)=A_{\gamma}x+c_{\gamma}, \varphi_{\gamma}(x, y)=(\phi_{\gamma} (x),tA_{\gamma}^{-1}y+u_{\gamma}(x))と表せる.このとき,

補題3.3. Z\in C^{\infty}(\overline{M}, \mathcal{S}) に対応する (\overline{M}, N\overline{\omega}) 上の N\overline{\omega} と整合的な概複素構造 Jz
が \Gamma 作用で保たれる為には,\{beginary}{l XY^-1}A_{\gam }-(Y+X^{-1})Du_{\gam }=A_{\gam }XY^{-1 (Y+X^{-1})tA_{\gam }^{-1=A_\gam }(Y+X^{-1})Y^{-1}A_\gam }-Y^{1XDu_{\gam }=Du_{\gam }XY^{-1+tA_\gam }^{-1Y } ^{-1Xt}A_{\gam }^{-1=Du_\gam }(Y+X^{-1})+tA_{\gam }^{-1Y }X\end{ary}が成り立つことが必要十分である.ここで, Du_{\gamma} は u_{\gamma} のヤコビ行列である.
また, \overline{\varphi}_{\gam a} については,直接計算により次が分かる.

補題3.4. 各 \gamma\in\Gamma に対して, \overline{\varphi}_{\gam a} が \overline{\nabla} を保つ為には,十分である.またこのとき, \overline{\varphi}_{\gam a} は

c_{\gam a} \in\frac{1}{N}\mathb {Z}^{n} であることが必要\overline{\varphi}_{\gamma}(x, y, w)=(\varphi_{\gamma}(x, y), g_{\gamma}\exp 2 \pi\sqrt{-1}N[\frac{1}{2}tx(tDu_{\gamma}A_{\gamma})x+t_{x^{t}Du_{\gamma} c_{\gamma} +t(A_{\gamma}^{-1}c_{\gamma})y]w)((x, y, w)\in\overline{L}) と表せる.ここで, g_{\gamma} は g\in Hom(\Gamma, \mathbb{C}^{\cross}) の \gamma における値である.
3.4. 主定理. (L, \nabla)arrow(M, \omega)arrow B を前量子化束付き Lagrange ファイバー束, N
を自然数とする.また, J を N\omega と整合的な (M, N\omega) の概複素構造とする.次が成り立つ.

定理3.5. B はcomplete であると仮定する.また, J の (\overline{M},\overline{\omega}) への引き戻しに対応
する Z\in C^{\infty}(\overline{M}, \mathcal{S}) は定値写像であると仮定する2. このとき,各 \frac{m}{N}\in F\cap\frac{1}{N}\mathbb{Z}^{n} に

対して,

L の切断

\vartheta_{\frac{m}{N} (x, y)\vartheta_{\frac{m}{N} を:= \sum_{\gamma\in\Gamma}g_{\gamma}\exp\pi\sqrt{-1}N [‐ \frac{tm}{N}(\Omega+tA_{\gamma}Du_{\gamma})\frac{m}{N}+t( \phi_{\gamma^{-1} (x)-\frac{m}{N})(\Omega+tA_{\gamma}Du_{\gamma}) (\phi_{\gamma-1}(x)-\frac{m}{N})-2 \frac{t_{m} {N}tA_{\gamma}u_{\gamma}(0)-2^{t}c_{\gamma}u_{\gamma}(0)+2^{t} \phi_{\gamma}(\frac{m}{N})y]と定義すると,全ての g_{\gamma} のノルムが |g_{\gamma}|<1 ならば \vartheta_{\frac{m}{N} は L の正則切断であり,\{\vartheta_{\frac{m}{N} \}\frac{m}{N}\in F\cap\frac{1}{N}Z^{n} は H^{0}(M;\mathcal{O}_{L}) の基底をなす.

定理3.5の証明の概要を述べる.定理2.18より,(M, \omega) の概複素構造に付随した L 係数 Spin^{C} Dirac 作用素の核に含まれる L の切断を求めるためには,上で同様の問題の \Gamma 同変版を考えればよい.そこで, (\overline{L},\overline{\nabla})ar ow(M,\overline{\omega})ar ow
B 上で微分方程式を解き, \Gamma 同変という条件を考慮すると,\vartheta_{\frac{m}{N} が得られる.

(\underline{\overline{L}, \overline{\nabla})ar ow(\overline{M},\overline{\omega})-ar ow\overline{B}

注3.6. 定理3.5における概複素構造についての仮定があると,M は平坦Riemann多様体になる.論文 [17] では,この仮定を弱めた場合を論じる予定である.
2このとき, (M, J, \omega) はKähler であり,Lには正則直線束の構造が入る.

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1‐1‐1 HIGASHIMITA, TAMA‐KU, KAWASAKI, 214‐8571, JAPANE‐mail address: takahiko@meiji. ac. jp