高温用放射温度計の開発と黒体放射実験の教材化〇増田 健二 a)、鈴木 三男 b)a)

静岡大学 技術部、b)福島工業高等専門学校 一般教科

１．はじめに大学の教養課程での物理教育の中で熱放射現象に関して様々な法則が取り上げられている。
たとえば、基礎物理学の教科書 [1] においては、黒体放射の原理が扱われ、シュテファン・ボルツマンの法則やウィーンの変位則、さらにプランクの放射法則がかなり詳しく解説されている。 しかし、熱放射を実験的に理解させている例はほとんどない。つまり、シュテファン・ボルツマンの法則における熱放射の全エネルギーは絶対温度の 4 乗に比例する。あるいは黒体から放射されるエネルギーの輝度が最大となる波長は、絶対温度に反比例するといった内容は、実験的に理解されることが極めて重要である。なぜなら、これらの熱放射の法則の土台をなしているのは「黒体」という概念であり、熱放射実験においては、この黒体条件を実現することが肝要である。
静岡大学では、２年次の物理学実験に「光高温計による熱放射実験 [2],[3]」を導入しており、人気の高い実験種目の一つとなっている。この中で、あらかじめ検定して輝度温度 T  が分かった較正電球を使用し、放射物体の温度測定に波長 =650nm （赤色フィルター）を用いている。しかし、赤熱体の温度（赤色温度）の領域（800K< T <1500K）を超え、白熱体の温度領域（1700K<T ）になると不安定な測定となる。このほか、黒体（熱放射体）の放射輝度を測定する手法としては、熱電対赤外線センサ [4] や光高温計 [5] およびフォトトランジスタ[6],[7]が用いられ、熱起電力効果により放射温度測定が行われている。しかし、3500K 程度が温度測定の限界となっている。
今回の研究では、可視光の全波長域の温度を測定できる高温用放射温度計を開発した [8]。さらに、白熱電球（500W）を用いた黒体放射実験の教材開発を行った。
２．黒体放射の原理 [1],[9]黒体放射を再現するとされる空洞放射が温度のみに依存するというキルヒホッフの法則（電磁波をよく吸収する物体ほど電磁波の放射量も多くなるという関係）が 1859 年に発見された。電磁波を完全に通さない壁に囲まれた空間を考える。この空間が、まわりの壁を構成する物体と熱平衡状態にあるとき、この空間の中の放射（電磁波、光）を空洞放射という。空洞放射（黒体放射）における電磁波のエネル
ギーのうち、振動数が v ～ v + dv の間にあるエネルギーを udv とするとき、 u を 電磁波のエネルギー密度という。プランク（Planck）による黒体放射のエネルギー密度の式（プランクの公式）は、
8hv 31(1)u (v, T ) 
3hv / kTce1で表される。ここで、 T は絶対温度の単位で表した空洞壁の温度、 k はボルツマン定数、 h はプランク定数、 c は光速度、 v は振動数である。エネ
ルギー密度 u ( v 、T ) のかわりに、空洞内の任意の面での単位面積当たり、単位時間当たりの電磁波のエネルギーを考える。波長がと+dの間にある電磁波のエネルギーをLdとすれば、Lは、L 2 c 2 h51ech / kT1(2)で表される。ただし v  c である。この L を分光放射輝度という。空洞に小孔を開けて内部の放図 1 プランクの式による分光放射輝度スペクトル射を取り出すと、その輝度分布は、(2)式とよく一致する。図 1 に、プランクの (2)式による分光放射輝度スペクトルを示す。物体の表面から電磁波が放出される現象を熱放射という。
全波長域にわたる放射のエネルギーは、プランクの(2)式を   0 から  まで積分して求めることができる。すべての波長に対する黒体の総放射輝度 Lが次のように計算できる。

L0L d 2 4 k 4 4T
15c 2 h 3(3)この放射は等方的なので総放射発散量Mは、M  L 2 5 k 4 4T
15c 2 h3(4)となり、(4)式は、次のように表される。

M  T4(5)

これをステファン・ボルツマン（Stefan-Boltzmann）の法則という。ここで  は、

2 5 k 42 315c h

 5.67  10 8 [ W m - 2 K - 4 ]で与えられ、これをステファン・ボルツマン定数と呼ばれる。この式は、すべての波長にわたって積分したときの総放射エネルギーが黒体温度の4乗に比例することを示している。このエネルギーの波長分布は、プランクの(2)式で表される。黒体では、分光放射輝度 Lが最大となる波長max（ピーク波長）と、その放射体の温度 T は、プランクの(2)式を微分して、

max AT(6)で表される。この関係をウィ－ンの変位則（Wien’s displacement law）という。ここで、A をウィーン定数と呼び、その値は A = 2.898×10-3 [K m]である。たとえば、太陽の温度は、T  5800Kの黒体でよく近似でき、その分光放射輝度が最大値となる波長は max  500nmとなる。
試料の白熱電球フィラメントが、温度 T [K]の熱平衡状態になっているとして、エネルギーのつりあいを考える。単位時間当たり、放出（流出）するエネルギーを考えると、熱放射エネルギーとして、ステファン・ボルツマンの法則より  ST 4（S はフィラメントの全表面積）があり、フィラメントに単位時間当たり供給される電気エネルギー、即ち、電力 P [W] =VJがある。

P   ST 4(7)

図 2 回折格子による波長測定の原理図

３．回析格子を用いた放電管による波長測定
3.1 測定原理
等しい幅をもつ多数のスリットを等間隔 d で規則正しく並べたものを回折格子といい、 d を格子定数という。回折格子に平行光線を入射させると各格子によって回折した光が、後方のスクリーン上に明暗の分布をもつ回折縞を作る。図 2 のように、格子定数 d の回折格子に波長  の光が入射して、１次輝線（明線）が角度  の方向に生じる条件は、

  d sin(8)で表される。回折格子から距離  のスクリーン上に映し出された回折縞の輝線と輝線の距離を 2 x とすると輝線の回折角  は、

図 3 放電管(H,He,Ne)の干渉縞の写真

sin  x

表1 輝線間隔 x から求めた波長  と定数値 [10]色

輝線間隔x [mm]H

青2.52±0.02

440±4434.05

6612

He

黄3.45±0.02

591±4587.564925

Ne

橙2.63±0.03

631±6626.65

4618

2  x2で表される。

3.2 測定方法と結果の整理
光源として水素 H など低圧の気体を閉じこめたスペクトル放電管を用い、ネオントランスにより2000V、10mA程度の高電圧をかけ放電させる。その光 線 は ス リ ッ トを 通 過し て 、 格 子 定 数 d =5m（1mm par200本）の回折格子にあたり、スクリーン上に回折縞をつくる。各種物質の回折縞の写真を図3 に示す。最も輝度の高い色の輝線と輝線の距離 2 xを遊尺望遠鏡（1/100mm）で測定する。回折格子とスクリーンの距離  を 28.55mmとすると (8)式を用い、回折縞の輝線間の距離 2 x から入射光の波長 が算出できる。表１に各物質の最も輝度の大きい色の輝線間隔 2 x の測定から求めた波長  と定数表の値[10]と比較する。ウィーンの変位則(6)式より、max（ピーク波長）から黒体温度 T を算出する。スペクトル放電管による光回折実験によって、ネオンNeの橙色（  630nm）から水素Hの青色（  440nm）までの可視光全領域の測定が可能であることが分かった。
４．白熱電球による熱放射実験
4.1 測定原理
光源を白熱電球に換えて同様の測定を行った。放電管は、励起によって光（電磁波）を放出する輝線スペクトルである。これに対して熱放射体である白熱電球では、図 4 のような色線が連なった連続スペクトルのため、ピーク波長（最も輝いている輝線）を目測では見分けられない。そこで図 5 のように、フォトダイオードとデジタルマイクロメータを組み合わせた測定系を用いて、分光放射輝度の波長分布を定量的に測定する。

波長測定値 定数値
max [nm] [nm]図 4 白熱電球の回析縞

図 5 回析縞による波長測定の原理

図 6 白熱電球による熱放射実験
4.2 実験装置
図 6 に、白熱電球による熱放射実験を示す。光源には、白熱電球(岩崎電気 BB110V, 500W)を使用する。

白熱電球のフィラメントに加える電力P は可変変圧器を用い、15Vから5Vおきに60Vまで電圧Vをかけた際の電流値 J [A] を読み取り、電力をP [W] =VJで算出する。電球の光は放射線状に広がるため、平凸レンズを用いて平行な光に調節する。分光装置の内部を図 7 に示す。スリットを通過した光を回折格子により回折させる。回折格子とセンサの距離 

図 7 分光装置の内部

温度[K]

を20mmに設定する。回折縞の位置測定は、Ｘ軸ステージ上に固定した素子の受光面にアルミ箔スリット（0.05×3 mm）を貼り付け、デジタルマイクロメータを用いて、0.001mmの精度で移動させる。ピークの輝線の間隔 2 x を測定する方法を用いて、輝度が最大となる位置を高精度で読み取ることができる。
センサは、可視光～近赤外域用のシリコン(Si)フォトダイオード（浜松ホトニクスS2387- 66R）を使用する。フォトダイオードからの光電流信号は、フォトセンサアンプで電圧に変換され、1000倍に増幅されたのちデジタル電圧計で測定する。
4.3 実験結果
図 8 に、デジタルマイクロメータを用いて、センサを 0.1mm 間隔で移動させ、フォトダイオードの光電流値を測定したグラフを示す。たとえば、電圧値 V = 35V、電流値 J = 5.82A、電力 P = 203.7W において、中心軸とピーク輝線の間隔は x = 4.146 mm となり、(8)式よりピーク波長 λmax は 1040 nm となる。ここでピー
ク波長 λmax より、(6)式のウィーンの変位則を用いて、絶対温度を求めると T =2786 K となる。
表 2 に電力 P と輝線間隔 x から求めたピーク
波長max、ウィーンの変位則(6)式より求めた絶対温度 T と絶対温度の 4 乗 T 4 の関係を示す。
図 9 に、横軸に絶対温度の 4 乗 T 4 [×10134K ]、主軸に電力 P [W]（実測値）、2 軸にステファン・ボルツマンの法則の(5)式より総放射発散量 M [W m-2]（理論値）をとったグラフを示す。電力 P が 84.4 W より高い状態では、直線となることから黒体放射のステファン・ボルツマンの法則が確かめられる。
5. 総括
5.1 光高温計による黒体温度
プランクの(2)式および図 1 から分かるように、物体の熱放射の輝度は温度 T と波長の関数である。従って、適当なフィルターを用いて特定の波長を選択し、この波長での輝度を測定すれば、物体の温度についての有効な情報が得られる。可視光の波長は、0.4~0.7 m であるから、この実験では特定の波長として 0.65m（赤色）を選ぶことにする。輝度の絶対測定は一般に難しいので、光高温計では、標準電流のフィラメントの輝度との比較測定を行う。すなわち

図 7 分光装置の内部

図 8 輝線間の距離 x の測定
表 2 電力 P とピーク波長 max と絶対温度 T の関係
電力P [W]

輝線間隔x [mm]ﾋﾟｰｸ波長

温度T 4λ max [nm]

絶対温度
T [K]

29.554.34.56811402542

4.1754.4551114

2601

4.577

84.4

4.535

1089

2661

5.014

119.8

4.262

1072

2703

5.338

159.6

4.205

1064

2749

5.711

203.7

4.146

1040

2786

6.025

251.6

4.061

1019

2844

6.542

302.4

3.974

998.5

2902

7.092

356.0

3.914

984.0

2945

7.522

413.6

3.850

968.5

2992

8.014

474.0

3.778

951.0

3047

8.620

[×1013K4]

図 9 ステファン・ボルツマンの法則の理論値と実測値の比較

発光物体のレンズによる像を電球のフィラメント上に重ね、両者の明るさが一致するように、電球の輝度を調節する。標準電球は、あらかじめ較正されていることから光高温計の計器の指示により、物体の輝度温度を知ることができる。ここで輝度温度とは、測定している波長領域において、物体の熱放射の輝度と等しい輝度で熱放射する黒体の温度のことである。
5.2 白熱電球の分光放射輝度スペクトル
図 10 に、CCD 分光器（Ocean Optics HR2000）で測定した白熱電球の分光放射輝度スペクトルを示
図 10 白熱電球の分光放射スペクトルす。最大の輝度が特定できないため、(6)式のウィーンの変位則を用いて、ピーク波長から黒体温度を求めることは難しい。
5.3 白熱電球による熱放射実験
白熱電球による熱放射実験について考察を行う。空洞の壁に空けた小さな穴は黒体として振る舞うが、これは実際の物質のモデルとして妥当なものとはいえない。ここで、プランクの公式の(1)式で定義された黒体放射輝度は、よい放射体であり、よい吸収体でもある（キルヒホッフの法則）。この法則では温度 T のどんな物体も、同じ温度に対応するスペクトルをもつ黒体放射と熱平衡状態にならなければならない。
つまり、黒体放射体である光源（白熱電球）は、熱伝導のよい真空（低圧）状態にあり、熱平衡を保てる熱容量を持たなければならない。熱放射のエネルギーはその物体の温度に依存し、物体が黒体（完全放射体）の場合には、その分光放射輝度 Lと絶対温度 T の関係は、プランクの(2)式を積分すれば、すべての波長に対する黒体の総放射輝度 L が(3)式のように計算される。図 9 のように、黒体の総放射発散量 M（等方的な放射量）と絶対温度の 4 乗 T 4 が比例の関係になっている（ステファン・ボルツマンの法則）。図 9 において、絶対温度 T が 2660 K（電力 P =84.4W）より高い温度において、熱平衡状態にあると考えられる。
黒体では、分光放射輝度 Lが最大値となる波長がmax（ピーク波長）と、その放射体の温度 T は、白熱電球のフィラメントが、熱平衡状態になっているものとして、この関係はウィーンの変位則 (6)式で表される。図 9 において、絶対温度 T >2660K、電力では P >84.4W の条件で熱平衡状態になる。図 8 のように輝線間の距離 2 x を測定して、(9)式によりピーク波長 max を算出する。ウィ－ンの変位則 (6)式を用いて、ピーク波長 max から絶対温度 T を求める（表 2）。横軸に絶対温度の 4 乗 T 4 、縦軸に電力 Pをプロットすると、熱平衡状態では、直線となることから(8)式のステファン・ボルツマンの法則が確かめられた。
5.4 物理実験のレポート課題「熱放射実験」のレポートに下記のような課題を課している。学生の模範的な解答（例）を示す。
課題 1 「輝度温度と黒体温度の違い」を説明せよ。
・輝度温度は、測定している波長領域において、物体の熱放射の輝度と等しい輝度で熱放射する黒体の温度のことである。
・放射エネルギーの平衡を考えると、黒体は、放射を最もよく吸収するので、同時に、最もよく放出する性質をもつことになる（キルヒホッツフの放射法則）。つまり、熱平衡状態になった放射を黒体放射、そのときの温度が黒体温度である。

課題 2 「黒体放射の法則」について説明せよ。
・物体の温度が上昇するのに従って、物体の色が変わり、主に放射される光の波長が次第に短い方向にシフトして行くことが実験で確かめられる。このとき、エネルギーの波長の中で最大の強さの放射に対応する波長 max は、黒体の絶対温度 T に反比例する（ウィーンの変位則）。これにより、高温の物体から放射される最大のエネルギーの波長 max を測れば、その物体を黒体と仮定したときの温度が得られる。
・黒体放射輝度スペクトルでは、スペクトルの形が黒体温度 T だけで決まるが、さらにスペクトルを全波長域にわたって積分した総放射エネルギーも黒体温度 T だけの関数となり、温度の 4 乗に比例する。
課題 3 「地球表面 1m2 が 1 秒間に太陽から受け取るエネルギー（太陽定数）C=1.37×103 W m-2s-1 である。太陽半径 R =9.96×108m、太陽と地球の距離 L=1.5×1011m とするとき、太陽の表面温度 T は何 K か。」
太陽の全放射エネルギーE＝（太陽定数 C ）×（太陽と地球の距離 L を半径とする球の表面積 S1 ）E  C  S1 4 L2  3.85 1026[W]

太陽の表面積 S2 は、 S2  4  R2  6.98  108[m2 ]太陽表面 1m2 当りの放射エネルギーM は、M = E / S2 となり、M = 6.33×107 [W m-2]となる。
太陽を黒体と仮定するとステファン・ボルツマン法則(5)式より、

M   T 4   



T4 M




2 5 k 4
 5.67  10 8 [ W m -2 K 4 ] 2 315c h 1.116 1015[K 4 ]となり、T =5780K と計算できる。
以上のように、「白熱電球による熱放射実験」において、熱放射の法則の土台をなしている「黒体」 という概念が理解でき、黒体放射の知見が広げられたと考えられる。
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