追検査

受検番号 第令 和 5 年 度 学 力 検 査 問 題時 25 分）
数 学〔学校選択問題〕 （10 時 35〈50分～11分間〉

注1

意

解答用紙について⑴

解答用紙は 1 枚で，問題用紙にはさんであります。

⑵

係の先生の指示に従って，所定の欄 2 か所に受検番号を書きなさい。

⑶

答えはすべて解答用紙のきめられたところに，はっきりと書きなさい。

⑷

解答用紙は切りはなしてはいけません。

⑸

解答用紙の ※ 印は集計のためのもので，解答には関係ありません。

2

問題用紙について⑴

表紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

⑵

問題は全部で 5 問あり，表紙を除いて 10 ページです。

⑶

問題用紙の余白を利用して，計算したり，図をかいたりしてもかまいません。

3

解答について⑴

答えに根号を含む場合は，根号をつけたままで答えなさい。

⑵

答えに円周率を含む場合は，πを用いて答えなさい。

〇

印刷のはっきりしないところは，手をあげて係の先生に聞きなさい。

番1 次の各問に答えなさい。（ 43 点）
1╳（ 1 － 0. ２5 ）3 ÷0. 25 2 を計算しなさい。（ ４ 点）
32⑴

３－⑵

   17    の小数部分を x とするとき，x 2 ＋ 8 x⑶２ a ２ － 18 b ２⑷次のア～エの中から，y が x の関数ではないものを一つ選び，その記号を書きなさい。（ ４ 点）

アの値を求めなさい。（ ４ 点）を因数分解しなさい。（ ４ 点）

水が 30 Ｌ入っている容器から毎分 x Ｌずつ水を抜くとき，すべての水を抜くためにかかる時間は y 分である。

イ

１ 辺の長さが x cm の正方形の周の長さは y cm である。

ウ

面積が x cm 2 の長方形の周の長さは y cm である。

エ

火をつけると １ 分間に 0. 5 cm ずつ短くなる線香がある。火をつける前の線香の長さが14 cm のとき，火をつけてから x 分後の線香の長さは y cm である。

1

１ から ６ までの目が出る大小 ２ つのさいころを投げて，大きいさいころの出た目の数を x，⑸

小さいさいころの出た目の数を y とします。このとき，２ x＋y が素数になる確率を求めなさい。
ただし，どの目が出ることも同様に確からしいものとします。（ ４ 点）⑹

濃度が ８％の食塩水が 100 ｇあります。この食塩水の一部を捨ててから，捨てた量と同じ重さの水を入れて，濃度が ７％の食塩水を 100 ｇつくります。このとき，もとの食塩水を何ｇ捨てればよいか，求めなさい。（ ４ 点）8のグラフ上に点Ａがあり，y 軸上に点Ｂ（ ０，６ ），x 軸上に点Ｃ（ 12，０ ）がxあります。原点をＯとするとき，△OAB と△OAC の面積の比が 2 ： 1 となるような，点 A の⑺関数 y ＝x 座標をすべて求めなさい｡（ ４ 点）

2⑻一 次 関 数 y＝ ４ x － ２の グ ラ フ 上 に 点 Ｐ が， 関 数 y ＝ x ２のグラフ上に点Ｑがあります。点Ｐ，Ｑの x 座標がともに a のとき，点ＰとＱの y 座標の差が ２ となるような a の値をすべて求めなさい。（ ５ 点）

右の図において，△ABC は正三角形で，辺 AB 上に⑼A

点Ｄ，Ｅを BD ＝ DE ＝ ２ cm となるようにとります。
また，点Ｄ，Ｅからそれぞれ辺 BC に平行な線をひき，辺 AC との交点を点Ｆ，Ｇとします。

△ADF の 面 積 が 8   3   cm ２ の と き， 台 形 EBCG のE面積を求めなさい。（ 5 点）

DB

⑽

G
F
C

次のア，イの標本調査のうち，標本の選び方として適切でないものを一つ選び，その記号を書きなさい。また，それが適切でない理由を説明しなさい。（ ５ 点）
ア 「日本に住んでいる人はどんなスポーツが好きか」を調査するために，あるサッカーの試合の全観客の中から，1000 人を無作為に抽出してアンケートをおこなった。
イ 「ある市におけるゴミの減量化に関する意識」を調査するために，その市の中から，1000 世帯を無作為に抽出してアンケートをおこなった。

3

2 次の各問に答えなさい。（ 12 点）⑴

下の図のように，円周上に ２ 点Ａ，Ｃがあり，この円周上に ２ 点Ｂ，Ｄをとって四角形 ABCDをつくります。４ つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがこの順に反時計回りに四角形の周上に並ぶとき，四角形 ABCD の面積が最も大きくなるような頂点Ｂ，Ｄをコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。（ ６ 点）AC⑵下の図のような長方形 ABCD において，点Ｅは線分 CD 上の点で，CE：ED ＝ １：２ とし，点Ｆは線分 AD の中点とします。また，線分 AC と，線分 BE，BF との交点をそれぞれ点Ｇ，Ｈとします。
このとき，△BGH の面積は長方形 ABCD の面積の何倍か，途中の説明も書いて求めなさい。
（ ６ 点）
A

F

D

H

GB

E

C

4

3 次は，先生とＸさん，Ｙさん，Ｚさんの会話です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。
（ 11 点）

Ｘさん「図 １ のように，円の中心Ｏが∠APB の内部にあるように円周上に点Ｐをとるとき，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の大きさの半分になるという関係を，次のように証明したよ。」

証明
P

点Ｐ，Ｏを通る直径 PK をひき，∠OPA ＝ a，
∠OPB ＝ b とする。
OP ＝ OA なので，∠OAP ＝ aO

∠AOK は△OPA の外角なので，∠AOK ＝ ∠OPA ＋∠OAP ＝ ２ a
OP ＝ OB なので，同様にして，∠BOK ＝ ２ bA

したがって，∠AOB ＝ ２（ a ＋ b ）B
K∠APB ＝ a ＋ b なので，
1
∠APB ＝∠AOB
2

図1

Ｙさん「これで，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の大きさの半分になることが証明されたね。」

P

Ｚさん「こ の証明の結論から，１ つの弧に対する円周角はOいつでも一定になるということも言えそうだね。」
Ｘさん「でも，点Ｐの位置が変わっても同じことが言えるのかな。」
先A

生「例えばどのような位置のときですか。」

B
図2Ｘさん「例えば，円周上の点Ｐが図 ２ や図 ３ のような位置にある場合です。」
Ｙさん「もし，点Ｐが図 ２ や図 ３ のような位置にある場合についても同じことが証明できれば，１ つの弧にO対する円周角はいつでも一定になるということが言えるのではないでしょうか。」
先生「そうですね。それでは，点Ｐの位置が変わっても，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の大きさの半分になるか，確かめてみましょう。」

5APB

図3

⑴

下線部について，下の図で∠APB ＝1∠AOB であることを証明しなさい。（ ７ 点）
2OA

⑵

P
B

右の図のように，円Ｏの円周上に ４ 点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤDがあり，線分 AC は円Ｏの直径です。
∠ADB ＝ 72°，∠OBD ＝ 40°のとき，∠ACD の大きさ x を求めなさい。（ ４ 点）

72°
AOx40°B6C

4 縦 40 cm，横 30 cm，高さ 40 cm の直方体の形をした ２ つの水そうＡ，Ｂがあります。これらの水そうに，次の【条件】で同時に水を入れ始めたところ，どちらも 60 分で満水になったため，水を止めました。
【条件】
水そうＡ

水そうＢ

・図 １ の よ う に， 高 さ a cm（ ０ ＜ a ＜40 ）・図 ２ の よ う に， 仕 切 り 板 は な く， 底 面の仕切り板で区切られている。仕切り板から k cm（ ０ ＜ k ＜40 ）の高さまで水がは底面に垂直で，正方形の側面には平行入っている。
・毎分 b cm 3 の割合で水を入れる。

である。
・水は入っていない。
・区 切られた底面のうち広いほうの真上から毎分 800 cm³ の割合で水を入れる。

40 cm

40 cm
10cm

a cm

k cm

40 cm

40 cm
30 cm

20 cm 10 cm

図2

図1
水そうAの一番高い水面の高さ

右の【グラフ】は，水そうＡに水を入れ始め（cm）てからの時間と，水そうＡの一番高い水面の高さとの関係をグラフに表したものです。このとき，あとの各問に答えなさい。
ただし，水そうの厚さおよび仕切り板の厚さは考えないものとし，水そうＡについては，水面が仕切り板の高さまで上昇すると，水があふれ出て仕切り板の反対側に入るもの

400c60 （分）

水を入れ始めてからの時間とします。（ 16 点）

【グラフ】

7

⑴ 【グラフ】中の時間 c の値を，a を使って表しなさい。（ ５ 点）⑵

水そうＢについて，b の値を，k を使って表しなさい。（ ５ 点）⑶

k＝ 15 のとき，水そうＡの一番高い水面の高さと，水そうＢの水面の高さが等しくなったのは満水時を除き，一度だけでした。このときの a の値を求めなさい。（ ６ 点）

8

5 図 １ の よ う な，AE ＝   2   cm，AD ＝   3   cm，DC ＝ 2 cm である直方体 ABCD－EFGH があり，長方形 CDHG の対角線 DG 上に，点Ｐを DP＝   3   cmIDBAPとなるようにとります。また，点Ｐから辺 DC に垂線

GHをひき，辺 DC との交点をＩとします。このとき，次Eの各問に答えなさい。（ 18 点）

F
図1⑴△DPI と△DGC が相似であることを証明しなさい。（ ６ 点）⑵

△API の面積を求めなさい。（ ５ 点）

9C

⑶辺 AB との交点をＯとします。△AOP を，辺 ABを軸として １ 回転させたときにできる円錐の体積

CD

図 ２ のように，点Ｐから辺 AB に垂線をひき，OABPを求めなさい。
Hま た， こ の 円 錐 の 底 面 の 円 周 が 直 方 体 の底面 EFGH と交わる点をＱとします。辺 AO を含GQE

F

む平面のうち，点Ｐを通る平面と点Ｑを通る平面

図2でこの円錐を切ると，図 ３ のような立体ができました。この立体の体積は，もとの円錐の体積の何AO倍になるか求めなさい。（ ７ 点）

PQ
図3（以上で問題は終わりです。）
10

1解⑴ ※

答用

紙

追検査

⑴

⑵ ※

⑷ ※

⑶ ※

⑸ ※

⑹ ※
g⑻ ※

⑺ ※

⑼ ※

＝

︵ 切 り は な し て は い け ま せ ん ︒︶

数 学 〔学校選択問題〕

数 学 〔学校選択問題〕

3解答用

紙

追検査⑵

⑴ ※
（証明）

cm2⑽ ※
（記号）
（説明）

2A⑴ ※

⑵ ※
度

︵ こ こ に は 何 も 書 い て は い け ま せ ん ︒︶

C⑵ ※
（説明）

1 ， 2 の計4⑴ ※

⑵ ※

＝5⑶ ※

＝＝⑴ ※

（証明）

1 ， 2 の計⑶ ※

⑵ ※

受検番号

cm2倍

第番

得点

※

体積

倍

cm3

受検番号

第番

解答用紙

答え