加速器の基礎とダンピングリング
大西 幸喜
平成 18 年 8 月 31 日

目次
1

はじめに

1

2

進行方向のビーム力学
2.1 遷移エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 位相安定性の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 微小振幅のシンクロトロン振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 大振幅のシンクロトロン振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
2
3
4
4

3

横方向のビーム力学
3.1 強収束の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 ベータトロン振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 クーラン・シュナイダー不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 色収差 (クロマティシティ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
7
9
11
12

4

シンクロトロン放射
4.1 シンクロトロン振動の放射減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 垂直方向ベータトロン振動の放射減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 水平方向ベータトロン振動の放射減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 ダンピング・パーティション数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 シンクロトロン振動の放射励起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 ベータトロン振動の放射励起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
15
16
18
19
20

5

放射積分

20

6

低エミッタンスを実現するために
6.1 FODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Double Bend Achromat(DBA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Theoretical Minimum Emittance(TME) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21
22

–i–

24

7

ILC のダンピングリング
7.1 概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 ダンピングリングに対する要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 ダンピングリングのデザイン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 17 km リング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 6 km リング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 3 km リング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 ダイナミック・アパーチャー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 ウイグラーのフリンジ磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 ダイナミック・アパーチャー サーベイ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 その他に検討すべきこと . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26
27
28
28
29
29
29
29
31
36

8

あとがき

36

–ii–

1

はじめに

であり、相対論的速さとローレンツ因子もβ =世界には、電子、陽電子、陽子、反陽子、イオンなどを加速する加速器が存在するが、本書では
主に電子 (または陽電子) を加速する加速器を取り扱う。加速器の中では荷電粒子は基本的に電場によって進行方向に加速され、磁場によって横方向に曲げられる。このように荷電粒子が受ける力はローレンツ力と呼ばれる。ローレンツ力は~ + ~v × B)~
F~ = q(E

γ =

v
c

γ =

p

2

(1-1)

M. S. Livingston“Resonance Acceleration”
電子リングにおいて周回する電子は偏向磁石で進路が曲げられると光を放出しエネルギーの一部を失う。この光はシンクロトロン放射光と呼ばれる。つまり、加速器中の電子の平均的なエネル
ギーを増大させるだけでなく、一定に保つ場合にもシンクロトロン放射によって失ったエネルギーを補充する (加速する) 必要がある。このように荷電粒子を加速するための装置を高周波加速空洞(rf) と呼ぶ。高周波加速空洞に電磁波を送り定在波を立て進行方向に定在波の電場成分を作れば荷電粒子はローレンツ力によって加速される。電子リングに高周波加速空洞を設置したとしよう。高周波加速空洞にかかる電圧は(1-3)

γ ' 1 非相対論的 Non-relativistic
γ > 1 相対論的
Relativisticγ À 1 超相対論的 Ultra-relativisticと分類される。
エネルギー、運動量、質量の関係は
22 2

E − (pc) = (mc )進行方向のビーム力学

The third phase of accelerator history started
with the addition of the concepts and techniquesof “phase stability” to resonance acceleration.
With these techniques particles can be kept inresonance with the radiofrequency electric fieldindefinitely, and can be accelerated to muchhigher energies.
The principle of phase-stable or “synchronous” acceleration was proposed independently and nearly simultaneously by V. Vekslerof the U.S.S.R. and E. M. McMillan of the University of California, in 1945.

v は粒子の速さ、c は光速、3 × 108 m/s である。
しばしば、ローレンツ因子を用いて

2

(1-6)

Synchronous Acceleration(1-2)
1
1 − β2(1-5)と表される (または c = 1 として表現されることも多い)。

~ は電場、~v は荷電粒子の速度、B~と表される。Eは磁場である。電磁場によって荷電粒子を加速する加速器には線形加速器 (リニアック) と円型加速器 (リング) の２種類に分類される。 前者では荷電粒子は加速器の中を基本的に一度しか通過しないが、後者の場合は何度も加速器の中を周回する。本書では「ダンピングリング」をテーマとしているので円型加速器 (リング) を解説する。ダンピングリングとは何かという話は後で詳述する
ことにして電子を加速する円型加速器 (電子リング) の基本的な話から始めたいと思う。
まず、電子とは何かというと負の電荷を持った
質量 0.511 MeV の荷電粒子である。電子の質量は陽子 (938 MeV) の約２０００分の１と非常に軽い。従って、電子を加速器で加速する場合、電子の速さは容易に光速近くまで到達する。ほとん
どの場合、電子リングでは相対論的領域である。
ここで相対論的速さ (β) とローレンツ因子 (γ) を
定義する
β =

pc
E
E
mc2

V (t) = Vc sin(2πfrf t) = Vc sin(ωrf t)
(1-4)
1

(2-1)

と表される。Vc はピーク電圧、frf は rf 周波数、
ωrf は角 rf 周波数と呼ばれる。ちなみに、高周波と呼ばれるのは rf 周波数が通常 100 MHz のオーダーであるためである。従って、荷電粒子に最適なエネルギーを高周波加速空洞から補充するためには、ある決まった位相 (時間間隔) のみでしか行
えないことになる。このために電子ビームは進行方向に一様な分布をすることはなく、バンチ (塊)を形成する。本書ではビームを一定のエネルギーで周回させるリングを考える。rf 周波数と周回周
波数 (f0 ) とには整数比関係があり、

frf = hf0と書ける。ここで時間を変化させる要因として速さの違いと周長のずれがあることを示している。
ここでいう周長のずれとはリングが物理的に伸び縮みするわけではなく、粒子の飛行距離が変化するということである。今、運動量 p = mcγβ を導
入すると

dp
dβ
dβ
β

(2-2)

dT
T

C
dC
− 2 dβ
βc
β c
dC
dβ
= T
−T
C
β

1

µ

(2-9)

¶

1 dp
=
αp − 2
γ
p
ηs dE
dp
= 2
= ηs
p
β E

ηs = αp −(2-10)(2-11)

1γ2(2-12)

はスリップ因子 (slip factor) と呼ばれる。モーメ
ンタム・コンパクションは正負のどちらの量も取ることができるが、多くの加速器の場合、正の量で、１よりもずっと小さい。したがって、スリッ
プ因子は

1
γ=√
αp

(2-3)

(2-13)を境に正負の符号が変わる。このときのエネル
ギーを遷移エネルギーと呼ぶ。つまり、遷移エネ
ルギーよりも小さいエネルギーの場合、ηs < 0なので運動量が大きいほどリング１周にかかる時間が短くなる。逆に、遷移エネルギーよりも大きいエネルギーの場合、ηs > 0 なので運動量が大きいほどリング１周にかかる時間が長くなる。電子リングのほとんどの場合、遷移エネルギーよりも大きなエネルギー領域を考えることになる。したがって、電子の速度はほぼ光速に近く一定であ

(2-4)
(2-5)

となり、時間変化の割合は

dT
dC
dβ
=
−
T
C
β

(2-8)

と表現することができる。運動量とエネルギーの変換には式 (1-4) と式 (1-5) を用いた。ここでである。ここで、T の微小変化を考えると

= +

(2-7)

と定義する。以上より周回時間の変化の割合は

リング１周の長さを C として、粒子が１周するのに要する周回時間を T とすると

dT

1 dp
γ2 p

dC
dp
= αp
C
p

遷移エネルギー

C
T =
βc

=

dγ
γ2
=p
dβ
β

である。また、モーメンタム・コンパクション (運動量縮約率)、αp をとなる。h は整数でハーモニック数1 と呼ばれる。
ここで、バンチの中に理想的な粒子である基準
粒子 (synchronous particle) を考える。この基準
粒子をリングのある場所で観測していると何回周回しても、そのエネルギーは変化しない。また、
最適な位相の上にいるので位相もずれない。では、基準粒子と比べて少し異なる位相、つまり進行方の位置が基準粒子から少しずれた粒子の振舞いはどうなるだろうか。バンチを形成するという事実から、このような粒子も不安定な状態に陥って失われてしまうことはなく、基準粒子のまわりで位
相とエネルギーの振動をしながら分布することが予想される。

2.1= mcγ + mcβ(2-6)

プランク定数と混同しないこと。

2

た、図 1 の φs (unstable) 近傍を考えると位相安定性の原理が働かないことがわかる。なぜなら、位相の遅れた粒子はさらに空洞からエネルギーを受け取りさらに位相が遅れていくからである。ちなみに、遷移エネルギーより小さなエネルギーでは図中の φs (stable) と φs (unstable) の位置が入れ替わる。

り、基準粒子よりも大きな運動量を持った粒子はリングを大まわりすることにより 1 周にかかる時間が増えると解釈することができる。逆に、基準粒子よりも運動量の小さな粒子はリングを小まわりすることにより 1 周にかかる時間が減ることに
なる。

2.2

位相安定性の原理

eV(φ)
eVc

電子がリング１周でシンクロトロン放射光を放出することによって失うエネルギーを U0 とすると、これを高周波加速空洞によって補うためには∆E = eVc sin(2πfrf t) − U0
= eVc sin φ − U0 = 0

U0(2-14)(2-15)

φ=ωrftでなければならない。frf = ωrf /2π は rf 周波数である。この時の位相 φ を同期位相と呼び１周
期当たり２回現れる。但し、一方は安定位相で、他方は不安定位相となる。ここで基準粒子と同じエネルギーを持った電子が高周波加速空洞に遅れて通過する場合を考える。ここでは遷移エネ
ルギーよりも大きなエネルギー領域とする。図 1の φs (stable) の位置から少し遅れた場合、図 2 の(１) を考える。電子が空洞から受け取るエネル
ギーは U0 より少ないことになりエネルギーは次第に下がっていき、つまりリング１周する時間が短くなっていく。基準粒子と同じ位相に来たときエネルギーは基準粒子よりも低くなっている (２)。
さらに１周する時間が短くなると電子が空洞から受け取るエネルギーは U0 より多くなり、エネル
ギーは基準粒子と等しくなる (３)。しかし位相は進んでいるので、さらにエネルギーを受け取ることになり、リング１周する時間が長くなっていき
基準粒子と同じ位相となる (４)。しかし、エネル
ギーは基準粒子よりも大きいので、位相は遅れていき空洞から受け取るエネルギーも減少してエネ
ルギーも基準粒子と等しくなる (１)。このように
同期位相、基準粒子のエネルギーから、わずかにずれた粒子は位相振動、エネルギー振動をするだけで安定な運動をする。このメカニズムのことを「位相安定性の原理」と呼ぶ。このように粒子の位相すなわち進行方向の位置とエネルギーを交換する力学的運動をシンクロトロン振動と呼ぶ。まφsφs

unstablestableηs > 0

図 1: 同期位相。遷移エネルギーよりも大きなエ
ネルギー領域の場合。
基準粒子の位相 φs からずれた位相 φ である粒子を考える。実際にはシンクロトロン放射によって失うエネルギーは電子のエネルギーに依存するものであるがここでは U0 は粒子のエネルギーに依存せず一定であると仮定する。この粒子のリン
グ１周の間のエネルギー変化は∆E = eVc sin φ − U0
= eVc sin φ − eVc sin φs(2-16)(2-17)である。さて、位相の時間変化は式 (2-11) に rf 角
周波数を掛けてωrf ηs ∆E∆pdφ∆T= ωrf ηs=
(2-18)
= ωrf
dt
T0
p0
β 2 E0と与えられる。ここで基準粒子の運動量を p0 、エネルギーを E0 、周回時間を T0 した。T0 はシンク
ロトロン振動の周期よりも十分短いので位相の時

3するかを表す。ηs (− cos φs ) は常に正なのでシンクロトロン・チューンは虚数になることはない。
また、微小振幅の場合のシンクロトロン振動の運動方程式は調和振動子と同様のものなので、その解は間についての二階微分は、式 (2-17) を代入して

d2 φ
dt2

=
=

ωrf ηs
1 dφ
= 2
∆E
T0 dt
β E0 T 0ωrf ηs eVc(sin φ − sin φs ) (2-19)
β 2 E0 T 0

∆φ =

となる。

(E-E0)/E0ωrf ηs p
2Jz cos(ωs t + θ0 )ωs

δ = ∆p/p0 を定義すると、式 (2-18)、式 (2-20)
より
p

(4)

δ = − 2Jz sin(ωs t + θ0 )

(1)
(3)

φ−φs

Ã

(2)

微小振幅のシンクロトロン振動

微小振動の場合、位相の小さなずれを ∆φ とす
ると位相は

2.4

(∆φ)2 + δ 2(2-25)

大振幅のシンクロトロン振動

d2 φ
dt2

ωrf ηs eVc{sin(φs + ∆φ) − sin φs }β 2 E0 T 0
eVc ωrf ηs (− cos φs )∆φ' −β 2 E0 T 0(2-21)= −ωs2 ∆φωrf ηs eVc(sin φ − sin φs )β 2 E0 T 0
dΦ(φ)
= −
(2-26)dφ= −=である。上式の左辺を変位の二階微分、右辺を力と見なすと、これはニュートンの運動方程式である。
力を積分することによってポテンシャルはZとなる。これが微小振幅の場合のシンクロトロン
振動の運動方程式となる。このとき

ωs = 2πfs = 2πf0 νs!2

あらためて式 (2-19) を書くと(2-20)と書ける。したがって、式 (2-19) は ∆φ について
テーラー展開して一次の項まで取ると

d2 ∆φ
dt2

ωs
ωrf ηs

なる保存量を定義することができる。これは図 2に示すような ∆φ−δ の位相平面で楕円を表す。シンクロトロン振動は、スリップ因子が正の場合、位相点は楕円上を時計周りに回り、スリップ因子が負の場合、位相点は反時計周りに回ることに対応する。

図 2: 微小位相振動の様子。

φ = φs + ∆φ

(2-24)である。ここで Jz 、θ0 は初期条件によって決まるパラメータである。これらより

2Jz =

2.3

(2-23)

Φ(φ) =(2-22)=

で fs をシンクロトロン周波数、νs をシンクロト
ロン・チューンと呼ぶ。シンクロトロン・チュー
ンはリング一周のうちに何回シンクロトロン振動4ωrf ηs eVc φ(sin φ − sin φs )dφ
β 2 E0 T0 φsωrf ηs eVc{cos φs − cos φβ 2 E0 T 0−(φ − φs ) sin φs }(2-27)

れらより取り得る最大エネルギーは W0 = Φmaxの時でと表せる。また式 (2-26) の両辺に dφ/dt を掛けて t で積分すると
ZZ

dφ d2 φdt = −
2sdΦ(φ) dφdt (2-28)
dφ dt

δmax =(2-29)

=

dt dt
µ ¶
1 dφ 2= −Φ(φ) + W0
2 dt

s
s

なので

1
2

µ

dφ
dt

=

¶2

+ Φ(φ) = W0

(2-30)

2U0 F (q)ωrf ηs β 2 E0 T0
U0 F (q)πhηs β 2 E0

(2-35)となり、δmax は rf bucket height と呼ばれる。この rf bucket からこぼれた粒子は、もはや安定にリングを周回できなくなる。

ここで W0 はある定数である。この式の意味する
ところは運動エネルギーとポテンシャル・エネル
ギーの和が一定であるということである。つまり系の全エネルギーは保存する。また、式 (2-18) より δ を使って書くと

1 2 2 2ω η δ + Φ(φ) = W0
2 rf s

2Φmax
2 η2
ωrf
s

(2-31)となる。図 3 に異なる W0 を持つ粒子の軌跡を示す。
安定な振動のうち最大となるポテンシャル・エ
ネルギーを求めてみる。それは dΦ(φ)/dφ = 0 かつ δ = 0 となる位相

φ1 = π − φs(2-32)の時である。したがって

Φ(φ1 ) ===ωrf ηs eVc{cos φs − cos(π − φs )β 2 E0 T 0−(π − 2φs ) sin φs }½µ¶¾
ωrf ηs U0π
2 q cos φs −− φs
β 2 E0 T 02
ωrf ηs U0
F (q)(2-33)
β 2 E0 T 0

図 3: セパラトリックス (separatrix)。

が最大値 Φmax を取る。ここで、

q ≡

1
eVc
=
U0
sin φs½q

F (q) = 2

q 2 − 1 − cos−13

横方向のビーム力学

The Strong-Focusing Synchrotron-New High Energy Accelerator-(2-34)µ ¶¾1qStrong focusing forces result from the alternation of large positive and negative n-values insuccessive sectors of the magnetic guide field ina synchrotron. This sequence of alternately converging and diverging magnetic lenses of equalと置いた。q は overvoltage factor と呼ばれ、関数
F (q) は energy aperture function と呼ばれる。こ5strength is itself converging, and leads to significant reductions in oscillation amplitude, bothfor radial and axial displacements.

である。一方、ドリフト空間は何もない空間で、長さを L/4 とすると
ÃMO =E. D. Courant, M. S. Livingston, H. S. Snyder“Phys. Rev. 88, 1190-1196 (1952)”

3.1

M

長さ L の直線的なビームラインを考える。このビームラインの先頭から L/4 離れたところに発散タイプの四極磁石、それから L/2 離れて収束タ
イプの四極磁石を置く。収束四極磁石は光学系のレンズで言えば凸レンズに対応し、発散四極磁石
は光学系のレンズで言えば凹レンズに対応する。
これらの四極磁石の焦点距離は等しく f であるものとする。
一般に力学運動は位相点の正準変換と見なすことができるので、ビームラインの入口での位相点を x~1 = (x1 , x01 )、および出口での位相点を
x~2 = (x2 , x02 ) とすると

MF =

1
− f1

MD =

1 0
1
1
f

Ã

L
−
1 + 2f− 2fL2

L2
8f 2

(3-5)

!

L3

L − 32f 2

2LL
1 − 2f− 8f2

図 4: FODO ラティス (1 セル)。

!

(3-2)

収束四極磁石と発散四極磁石を交互に並べた
ビームラインは FODO ラティスと呼ばれる。今、この FODO ラティスを無限個並べたビームラインを考える。この場合、一つの FODO ラティス
はセルと呼ばれ、一つのセルの長さは L である。
ある位相点の粒子がこのビームラインによって安定に輸送されるためには転送行列のトレースの絶である。また、発散四極磁石の転送行列は焦点距
離 f の凹レンズであるから
Ã

(3-4)

1

となる。まず、この転送行列の 2 行 1 列成分の符号に着目して欲しい。これは、まさしく収束四極磁石の 2 行 1 列成分の符号と同じになっている。
これが何を意味するのかというと、収束四極磁石と発散四極磁石を規則正しく交互に並べたビーム
ラインは全体的に収束作用を持つということである。磁石によるレンズは水平方向が収束なら垂直方向は発散作用を持つところが普通の光学レンズとは異なる。強収束の原理は、このアイデアを基礎としている。現在、強収束の原理は世界中の加速器で応用されている。

(3-1)

0
1

!

= M O M F M O M O M D MO=と表せる。この時、M を転送行列と呼ぶ。ビーム
ラインは区分的に考えることができるので、ビー
ムライン 1 とビームライン 2 を繋ぎ合わせたビー
ムラインの転送行列は、ビームライン 1 とビーム
ライン 2 の転送行列の積として表すことができる。
さて、先ほどの 2 台の四極磁石を並べたビーム
ラインの転送行列は収束四極磁石、ドリフト空間、
発散四極磁石、ドリフト空間のそれぞれの転送行
列の積で表される。ここでは四極磁石の厚みは無視するという近似を行う (thin lens 近似)。収束
四極磁石の転送行列は焦点距離 f の凸レンズであ
るから
Ã

L
4

である。したがって、発散磁石と収束磁石の置かれた長さ L のビームラインの転送行列は強収束の原理x~2 = M x~1

1
0

!

(3-3)

6

と書ける。A、B は運動の初期値のよって決定される定数である。以後、A、B を除いて現れるほとんどのパラメーターは s の関数なので引数 s を省略する。しばしば、荷電粒子の運動量は px =px /p0 ' dx/ds と表現される。式 (3-13) から対値が 2 以下になっていなければならないという事実がある。つまり、
¯
¯
¯
L2 ¯¯
¯
¯2 −
¯≤2
¯
4f 2 ¯(3-6)

でなければならない。これを簡単に書くと

Lf≥4x0 = A(ω 0 cos ψ − ωψ 0 sin ψ)(3-7)+B(ω 0 sin ψ + ωψ 0 cos ψ)となり、焦点距離はセル長の四分の一より長くしなければならない。
磁石の収束、発散を表すパラメータとして k 値というものがよく使われる。これは焦点距離の逆数として定義され、k = 1/f である。k 値を使って式 (3-5) の転送行列を表すと
Ã

M=

2

2

k L
1 + kL2 − 8
2− k 2L2

3

L − k 32L
k2 L2
1 − kL
2 − 8である。今、s = s2 での位相点 (x2 , x02 ) を書き表
すと
Ã

x2
x02

!

Ã

=

Ã

=

ω2 cos ψ20
ω2 cos ψ2 − ωψ20 sin ψ2

ω2 sin ψ20
ω2 sin ψ2 + ω2 ψ20 cos ψ2

!

(3-8)

ω2
0
0
ω2 ω2 ψ20!Ãcos ψ2 sin ψ2− sin ψ2 cos ψ2

!Ã
!Ã

!

A
B
A
B

!

である。また、s = s1 での位相点 (x1 , x01 ) も同様に書き表せ、これらより定数 (A, B) を消去すると

となる。

3.2

(3-14)

Ã

ベータトロン振動

ハミルトニアンをH=Ã

p2x k 2
+ x
2
2

×

(3-9)

とする。x は荷電粒子の横方向の変位、px は正準運動量である。ここで x は水平方向の x 座標また
は垂直方向の y 座標を代表して表すものとする。
運動方程式はハミルトン方程式

dx
ds
dpx
ds

∂H
∂px
∂H
= −
∂x
=

!

Ã

=

ω2
0
ω20 ω2 ψ20cos ψ2 sin ψ2− sin ψ2 cos ψ2

!Ã

Ã

×
Ã

=

ω2
0
0
ω2 ω2 ψ20

(3-10)(3-11)

Ã!

cos ψ1 sin ψ1− sin ψ1 cos ψ1
!−1 Ã

ω1
0
0
ω1 ω1 ψ10

!Ã

×

!−1

x1
x01

cos ∆ψ sin ∆ψ− sin ∆ψ cos ∆ψω1
00
ω1 ω1 ψ10

!−1 Ã

x1
x01

!
!

!

となる。これは簡単に書くと３つの行列の積による変換

より

d2 x(s)= −k(s)x(s)
ds2

x2
x02

Ã

(3-12)と導かれる。基準粒子の速さを v 、時間を t とすると、s = vt であり加速器のある場所を示す。これはベータトロン振動の運動方程式と呼ばれる。
k(s) は加速器中の磁場を表し場所の関数である。
ベータトロン振動の運動方程式の解は

x2
x02

!

Ã

= T2−1 R21 T1

x1
x01

!

によって表現される。この３つの行列の積は、まさに転送行列である。ここで ∆ψ = ψ2 − ψ1 とおいた。位相空間における回転角 ∆ψ をベータトロン位相の進み (betatron phase advance) と呼ぶ。
位相の進みは 2nπ の不定性があるが s に対して単調増加するように取られるのが通常である。R21x(s) = Aω(s) cos ψ(s) + Bω(s) sin ψ(s) (3-13)7と書き表せる。やはり β が場所の関数であるために β が小さいところでは位相の進みは大きく逆にβ が大きいところでは位相の進みは小さい。そして α は β の s に対する変化分を表しは位相空間における回転を表し T1 、T2 は実座標から基準座標への変換を表している。転送行列がシンプレクティック行列であることから、R21 、
T1 、T2 はいずれもシンプレクティック行列なので det T1 = 1、det T2 = 1 より

ω12 ψ10ω22 ψ20α(s) = −= 1という条件を得る。よって一般的に

1
ω2(3-15)β(s + C) = β(s)である。式 (3-15) より位相の進み ∆ψ は普通の単振動とは異なり位相空間における回転は独立変
数 s に対して一様に進むわけではない。ω は s の関数である。
逆行列を書き直すと、転送行列はÃ

T2−1 R21 T1 =Ã×

ω2 ψ20 0−ω20 ω2cos ∆ψ sin ∆ψ− sin ∆ψ cos ∆ψα(s + C) = α(s)ψ(s + C) = ψ(s)がある場合、転送行列 M は
Ã

!−1

!Ã

M=
ω1 ψ10 0−ω10 ω1となる。ここでγ≡(3-16)µ = ψ(s + C) − ψ(s)
Z s+C
ds
=
β(s)
s

q

µ = 2πν

≡ M21



ν =
(3-18)=となる。β と α は Twiss パラメータと呼ばれる。
また式 (3-15) は Twiss パラメータを用いて

ψ 0 (s) =1β(s)(3-23)(3-24)と書き表され ν はベータトロン振動数またはベータトロン・チューン (betatron tune) と呼ばれる。
ベータトロン・チューンは加速器において最も重要なパラメータの一つであり、

β1
β2 (cos ∆ψ − α2 sin ∆ψ)(3-22)である。また µ は

β2
β1 (cos ∆ψ + α1 sin ∆ψ)=
α1 −α2√ 2 α1 sin ∆ψ + √− 1+αcos ∆ψ
β2 β1
β2 β1

β2 β1 sin ∆ψ

1 + α2βと定義した。µ は一周期分の位相の進みであり

q

√

!

(3-21)

α(s) = −ω(s)ω 0 (s)(3-17)√√とおくと転送行列は、ω = β 、ωψ 0 = 1/ β 、√−ω 0 = α/ β より
Ã
!−1
√
1/ β2
0
−1
√
√
×
T2 R21 T1 =α2 / β2β2!
Ã!Ã√cos ∆ψ sin ∆ψ
1/ β1
0
√
√
− sin ∆ψ cos ∆ψα1 / β1
β1
cos µ + α sin µβ sin µ−γ sin µ
cos µ − α sin µ!

である。ここで変数をβ(s) = ω 2 (s)(3-20)である。また α はこの運動がどれくらい調和振動子からずれているかを表している。
M21 は s = s1 から s = s2 への転送行列である
が、周期の長さを C として周期条件

= 1

ψ0 =

1 dβ(s)
2 ds

µ
2π
Z
1 s+C ds2π sβ(s)(3-25)である。当然、それぞれのモードにおいてベータ
トロン・チューンは存在し、x 方向については νx 、
y 方向については νy と表される。

(3-19)
8

Twiss パラメータを使って式 (3-13) と (3-14) を書いてみるとJq

2Jx β(s) cos(ψ(s) + ψ0 )=2Jx{α(s) cos(ψ(s) + ψ0 )β(s)+ sin(ψ(s) + ψ0 )}=x(s) =

x (s) = −= − 2Jx γ(s) sin(ψ(s) + φ0 ) (3-26)となる。ここで Jx と ψ0 は初期条件によって決まる定数である。このようなビームの進行方向と垂直な平面での運動はベータトロン振動と呼ばれて
いる。

J=

2J

実座標から基準座標への行列 T による変換

X
P

Ã

=

!Ã
!
√
0
x
1/ β
√
√
α/ β
β
p

P

(3-29)= −a(J) sin(ψ + ψ0 )X2tan(ψ + ψ0 )2

(3-30)∂F∂X= −X tan(ψ + ψ0 )= X2 + P 2

K = H+(3-36)

∂F
∂s

= H

2

(3-37)(3-40)(3-41)である。またハミルトン方程式は

dψ
ds
dJ
ds

(3-31)

を使うことにする。この最も簡単な形をした母関数による変換式は

P(3-35)となる。また W = 2J として実座標で書き表すとベータトロン振動の式 (3-26) と一致する。これは (ψ, J) から (X, P ) または (x, p) へのシンプレ
クティック変換と見なすことができる。
正準変換により新しいハミルトニアン K は母関数 F が s を陽に含んでいないのでとなる。これを X で積分して基準座標における(X, P ) から新しい正準変数 (ψ, J) への正準変換(シンプレクティック変換) を表す母関数

F (X, ψ) = −P dXは正準不変量であり、2J をクーラン・シュナイ
ダー不変量 (Courant-Snyder invariant) と呼ぶ。
クーラン・シュナイダー不変量を用いて (X, P ) を書き表すと式 (3-33) と式 (3-30) より√
X =2J cos(ψ + ψ0 )(3-38)√
P = − 2J sin(ψ + ψ0 )(3-39)の形に書ける。これらの式を一つにまとめるとP = −X tan(ψ + ψ0 )I

= γx + 2αxp + βpを施すと (X, P ) のビームラインに沿った変換は位相空間における回転であり、その軌跡は円を描く。ここで p = x0 、P = X 0 と置いた。したがって、基準座標の運動は新しい座標 ψ と運動量 J を使って(3-28)

12π

2(3-27)

X = a(J) cos(ψ + ψ0 )(3-34)

で定義され、作用変数 (action variable) と呼ばれる。一方、J に正準共役な変数 ψ は角変数 (angle
variable) と呼ばれる。ところで式 (3-34) で振幅の二乗和

クーラン・シュナイダー不変量!

(3-33)となる。式 (3-34) より J は明らかに (X, P ) が位相空間に描く円の面積を 2π で割ったものであり
s に依らず一定である。また J は

q

Ã

∂F
∂ψ

X2
2 cos2 (ψ + ψ0 )1 2
(X + P 2 )
2

s

0

3.3

= −

∂K
∂J
∂K
= −
∂ψ
=

(3-42)(3-43)

である。J はやはり s に依らず一定であるから、
式 (3-43) より

=

∂K
=0
∂ψ

(3-32)
9(3-44)

である。ψ 0 = 1/β を用いて式 (3-42) より新しい
ハミルトニアンは重要でない定数項を除いてK=J次元の場合、x2 、xp、p2 の全粒子の平均値を用いて次のような行列を考える。
Ã

dψ
J
=
ds
β(s)

(3-45)

Σ=

と書ける。

!

(3-46)

Σ はエンベロープと呼ばれる。エミッタンス ² を
√
det Σ
² ≡

p

q

hx2 ihp2 i − hxpi2=2Jγ(s)

Σ 2 = M Σ1 M T

2Jβ(s)

Area=2πJ(3-47)と定義する。s = s1 におけるエンベロープを Σ1 、
s = s2 におけるエンベロープを Σ2 とすると s1
から s2 への転送行列 M によってx(3-48)のように変換される。それでは det Σ2 に J を掛けたものは

det Σ2 JT

hx2 i hxpi
hxpi hp2 iP= ΣT2 JΣ2= (M Σ1 M T )T JM Σ1 M T

T-1= M ΣT1 M T JM Σ1 M T= M ΣT1 JΣ1 M T= det Σ1 M JM T

2J

= det Σ1 J

X

(3-49)となり、シンプレクティック変換の不変量である
ことがわかる。ここで転送行列 M はシンプレク
ティック条件を満たすこと、一般に 2×2 行列 X は
det XJ = X T JX となることを用いた。2 × 2 行
列がシンプレクティックであることと det X = 1
は同値である。ビームラインの入口でエンベロー
プを

Area=2πJ
図 5: 実座標 (上) と基準座標 (下) の位相空間における楕円と円。

ÃΣ0 = ²

次に、一定の J を持ち、様々な初期位相 ψ0 を持つ粒子の集まりを考える。図 5 のように、粒子√の集まりは基準座標の位相空間では半径 2J の円周上に分布し、実座標については s によって形が決まる楕円の周上に分布する。基準座標の位相空間における円の面積と実座標の位相空間における楕円の面積は等しく 2πJ で s に依らず一定である。さて、一般的に分布しているビームに対してエミッタンス (emittance) を定義する。まず一β0 −α0−α0 γ0!

(3-50)

つまり

hx20 i = ²β0
hp20 i = ²γ0(3-51)

hx0 p0 i = −²α0と決めるとβ0 γ0 − α02 = 1
10(3-52)

を得る。作用変数 J の期待値は、式 (3-36) よりなのでエミッタンスの定義式 (3-47) を満たす。基
準座標においてもエンベロープはÃ

Σ0 = ²1 0
0 1

1(hX 2 i + hP 2 i)
2
= ²

!

hJi =
(3-53)である。これより作用変数 J の期待値はエミッタンスを表していることがわかる。また、実座標の位相空間における x2 、p2 、xp の期待値は上式より式 (3-56) を得る。やはり、ここでも作用変数
J の期待値はエミッタンスを表している。さて式(3-56) で hx2 i は平均値 0 からのずれの二乗平均なので分散である。標準偏差はであり

hX02 i = ²
hP02 i = ²(3-54)

hX0 P0 i = 0という関係が得られる。s に対する変換は位相空間内の回転であるから任意の場所 s でq

σx (s) =hX 2 i = ²
hP 2 i = ²(3-55)

が成り立つ。したがって実座標においても

hx2 i = ²β(s)(3-56)

hxpi = −²α(s)と表される。これはビームラインの入口で Twiss
パラメータを式 (3-51) のように選んだ結果である。また、実座標と基準座標は式 (3-27) のように
Twiss パラメータで結ばれているので基準座標を式 (3-51) のように選んだ結果とも言える。このよ
うな基準座標はビームと適合 (match) していると呼ばれる。
粒子の分布がガウス分布であると見なせる場
合、分布関数はÃ

Ψ(X, P ) =1
X2 + P 2
exp −
2π²
2²

3.4

hX 2 i =

−∞ −∞

= ²Z
hP 2 i =

−∞ −∞

= ²Z
hXP i =

∞ Z ∞

∞ Z ∞

−∞ −∞

q

²β(s)

(3-59)

分散

運動量の基準粒子からのずれのある粒子を考える。この場合、横方向の運動方程式は

1d2 x+ k(s)x =
δ
ds2
ρ(s)

(3-60)

である。但し、δ = ∆p/p0 。この方程式の解は!

x(s) = C(s)x1 + S(s)x01 + D(s)δ1(3-57)と書ける。X 2 、XP 、P 2 の期待値は分布関数を掛けて積分することによって求まる。したがって、
Z ∞ Z ∞

hx2 i =である。したがって、ビームサイズを小さくした
ければエミッタンス、β(s) を小さくすれば良い。
電子・陽電子貯蔵リングの場合、ガウス分布の標準偏差をビームサイズと呼びビームサイズの二乗をベータ関数で割ったものをエミッタンスと呼んでいる。線形加速器や陽子ビームの場合、位相平面で 90 %の粒子が占める面積をもってエミッタ
ンスと呼んでいる場合があるので注意を要する。

hXP i = 0

hp2 i = ²γ(s)(3-58)(3-61)

また、軌道の傾きは

x0 (s) = C 0 (s)x1 + S 0 (s)x01 + D0 (s)δ1 (3-62)

X 2 Ψ(X, P )dXdPと表すことができる。x1 、x01 、δ1 は初期条件によって決まる。これを行列で書くとP 2 Ψ(X, P )dXdP











x
C(s) S(s) D(s)x1
 0   0
 0 
00
 x  =  C (s) S (s) D (s)   x1 
δ
0
0
1
δ1

XP Ψ(X, P )dXdP= 011ここで、分散関数、η(s) をとなり s̃ から s への変換は

x(s) = η(s)δ

ds̃ = 1 +のように、運動量が 100 %ずれた粒子の軌道であると定義し、周期条件を仮定する。つまり、








η
η0

Ã

=

C(s) S(s)C 0 (s) S 0 (s)

!Ã

η
η0

!

Ã

+

D(s)
D0 (s)

xp
ds
ρ
I
η(s)
= δ
ds
ρ(s)

∆C =

αp =

ついて解くと

η 0 (s) =(3-71)となる。xp = ηδ を使った。結局、モーメンタム・
コンパクションは!

という二連の連立方程式となる。これを η 、η 0 に

η(s) =(3-70)

I



を考える。または少し変形して
!

xp
ds
ρ

で与えられる。したがって、周長のずれは

ηC(s) S(s) D(s)η
 0   0
 η  =  C (s) S 0 (s) D 0 (s)   η 0 
1
1
0
0
1
Ã

¶

µ

(3-63)

1
C

I

η(s)
ds
ρ(s)

(3-72)と計算できる。

{1 − S 0 (s)}D(s) + S(s)D0 (s)2(1 − cos µ){1 − C(s)}D0 (s) + C 0 (s)D(s)2(1 − cos µ)

3.5

色収差とは粒子の運動量の違いによって収束力(焦点距離 = 1/k) に差が生じることである。したがって、リングのある場所にとなる。ここで軌道は前節で述べたベータトロン
振動 xβ と運動量のずれの寄与 xp = ηδ の二つが考えれる。

x(s) = xβ (s) + xp (s)Ã(3-64)q

σβ2 + (ησδ )2(3-65)となる。ここで、σδ = σp /p0 で σp は運動量の広がりを表す。
さて、モーメンタム・コンパクションは∆C= αp δ
C

Ã

M̃

·

I

ds

trM̃

cos µ + α sin µβ sin µ−γ sin µ
cos µ − α sin µ
1 0
kδ 1

!

!

(3-74)= 2 cos µ + δkβ sin µ(3-75)(3-68)
なので、色収差によるベータトロン・チューンのずれ (チューン・シフト) はで与えれる。しかし、加速器を周回する粒子の加速器上の回転角は両者共通であるから

ds
ds̃
=
dθ =
ρ + xpρ

(3-73)= 2 cos(µ + ∆µ) ' 2(cos µ − sin µ∆µ)

I

ds̃

!

と表現できる。この周回転送行列のトレースは(3-67)

で与えられる。また運動量のずれた粒子の周長もC + ∆C ==Ã

(3-66)と定義されている。基準粒子の飛行する周長は

C=

1 0
kδ 1

という色収差による摂動が加わったものと一般的に考えることができる。運動量のずれのない周回
転送行列に上の摂動が加わった新たな周回転送行
列はこれと関連してビームサイズもσ=

色収差 (クロマティシティ)∆µ = −δ(3-69)
12k(s)β(s)2(3-76)

となる。今まで一点についてのみ考えて来たがリング一周を考え、運動量のずれ当たりのベータト
ロン振動数のずれを色収差として

∆µ
1
∆ν
=
=−
ξ0 ≡
δ
2πδ
4π

K2

k(s)β(s)ds (3-77)

1
4π
×

LQ
Bρ

µ

∂By
∂x

∂ 2 By∂x2!

Pβx,SF ηx,SFP− βy,SF ηx,SF

K2,SF
K2,SD

!

Ã

+

ξx0
ξy0

P

(3-80)

βx,SD ηx,SDP− βy,SD ηx,SD

!

!

=0


1 X

 ξx0 = −
βx K1
4πX
1

 ξy0 =βy K1(3-81)(3-82)

4πを解くことによって K2 の値が得られる。

4

シンクロトロン放射

4.1

シンクロトロン振動の放射減衰

相対論領域にある電子が磁場 B で曲げられる時に放出する単位時間当たりのエネルギー (パワー)はPγ =2e2 re β 2 2 2
B E
3(mc)3(4-1)

で与えられる。電子の速さは、ほぼ光速であり
β ' 1 なので、以後省略するものとする。re は古典電子半径、m は電子の質量、E は電子のエネル
ギーである。したがって、電子がリング一周で失うエネルギーはU (E) ∝ B 2 E 2(3-78)(4-2)

であり、今まで一定として来たが実は自身のエネ
ルギーの二乗に比例する。今、基準粒子のエネル
ギーから ∆E だけわずかにずれた電子を考えると書ける。ここで四極磁石と六極磁石の K 値を

K1 = k LQ =

Ã

Ã

I

k2 (s)β(s)ηx (s)dsÃで定義する。LQ と LS は四極、六極磁石の長さである。K 値は水平方向に収束作用をもつ磁石の場合を正に取り、発散作用の磁石の場合を負に取ることにする。通常アーク部の複数のセルで同一の六極磁石を配置するため、共通した複数の六極磁石をファミリーと呼ぶ。SF と SD の二つのファ
ミリーでクロマティシティをゼロになるように補正を行う場合、Iと定義する。この量をクロマティシティと呼ぶことがある。特に、この色収差のことをナチュラル・
クロマティシティと呼ぶ。
ナチュラル・クロマティシティは一般に水平、垂直方向ともに負の値となる。収束磁石の時は kの符号は正で、発散磁石の時は負の符号である。
さらに、ベータ関数が大きい場所に収束磁石を設置し、小さい場所に発散磁石を設置するためである。特に低エミッタンス・ラティスや衝突型リングの場合のように強い四極磁石を用いてベータ関数を絞るときはナチュラル・クロマティシティが負の大きな値となる。ナチュラル・クロマティシ
ティが負の大きな値となるといくつかの問題が生じる。例えば、基準粒子のベータトロン・チュー
ンを安定領域に設定したところで運動量のずれた粒子のベータトロン・チューンは最適値から大きくずれてしまって不安定領域に陥ってしまうかも知れない。これでは後で述べるダイナミック・ア
パーチャー (力学的口径) が狭いということになってしまう。別の問題としてはヘッド = テイル不安定性というものがある。この不安定性はバンチ電流がある閾値を越えると現れ、バンチ前方の粒子で発生したウエ‐ク場がバンチ後方の粒子に影響を及ぼしビームが不安定になる現象である。したがって、ナチュラル・クロマティシティを補正して色収差をゼロか少し正の値に持っていけば、これらの問題を抑制することができる。色収差の補正には分散のある場所に六極磁石を設置することによって補正する。基本的に収束四極磁石の近くには収束六極磁石 (SF) を、発散四極磁石の近くには発散六極磁石 (SD) を置く。六極磁石によるクロマティシティ補正は1
ξsext =
4π

LS
= k2 LS =Bρ

¶(3-79)
13

ここでは δ の一次の項は無視した。また、と、リング一周で失うエネルギーはµ

dU (E0 )∆E + · · ·µ¶dEdU' U0 +
∆E
(4-3)
dE 0

U (E0 + ∆E) = U (E0 ) +

dt2

=

dU
dE

¶

=
0

dx = η

µd∆φ+ ωs2 ∆φ = 0 (4-4)
0 dt

dU
dE

¶

=
0

という運動方程式を得る。これは摩擦力と同様の位相の変化に比例した力の項が加わった減衰調和振動子を表す。この振動の減衰時間は

1
1
=
τs
2T0

µ

dU
dE

=

¶

(4-5)
0

となりシンクロトロン振動の放射減衰時間 (radiation damping time) と呼ばれる。また、解は
Ãs

− τt

∆φ(t) = ∆φ0 e

s

− τt

' ∆φ0 es1ωs2 − 2 t + θ0τscos

cos (ωs t + θ0 )

=

!

1
D=
U0 c

(4-6)

=
=

1
c

I

µ

Pγ 1 +

dU
dE

¶

=
0

'

1
c

I ½µ

I ½

µ

¶

2Pγ
2Pγ ∂B η+E0
B0 ∂x E0¾η+Pγdsρ0 E 0
U0
{2+
E0
¶ ¾
µ
I
1
1
Pγ η 2ρ0 k +
ds
U0 c
ρ0
U0
(2 + D)(4-11)
E0

I

¶

µ

1
ds
Pγ η 2ρ0 k +ρ0(4-12)

µ

∂B
∂x

¶

(4-13)

2E0 T0
U0 Js
= 2+D

τs =

(4-14)

Js(4-15)となり Js はシンクロトロン振動のダンピング・
パーティション数と呼ばれる。
ここで D についての有用な公式がある。放射光の放出によるエネルギー損失 (パワー) は(4-7)

である。これをエネルギーで微分して E = E0 とするとµ(4-10)と置いた。この k 値は四極磁石の磁場を表す。これよりシンクロトロン振動の減衰時間は

¶

ηδ
ds
ρ

1
c

1
k=
B0 ρ0

Pγ dt
ds̃
Pγ
c

dp
dE
'η
p0
E0

k 値を

Z
I

¶

を得る。ここで D をと書ける。通常、減衰時間がシンクロトロン振動の周期に比べて十分長いため最後の式の近似は十分精度がある。では、具体的にシンクロトロン振動の減衰時間を計算してみよう。
電子がリング一周で放射光を放射して失うエネ
ルギーは

U (E) =¶µ

を用いて表現した。したがって、式 (4-9) を式 (48) に代入して結局、式 (4-3) と式 (2-18) を使って、µµ

2Pγ ∂B
dx
2Pγ
+
E0
B0 ∂x
dE
µ
¶
2Pγ
2Pγ ∂B η+(4-9)
E0
B0 ∂x E0dx/dE は分散の定義

ωrf ηs{eVc sin(φs + ∆φ) − U (E)}
E0 T 0

1
d2 ∆φ
+
2
dt
T0

¶

=

である。シンクロトロン振動の微小な振幅の場合を再び考えてみよう。式 (2-16) の U0 を U に変更
したものを式 (2-19) に代入して

d2 ∆φ

dPγ
dE

¶

Pγ ∝ B 2 E 2 ∝

η
dPγ
+ Pγ
dE 0
ρ0 E 0
¶
¾
µ
ηδ
dPγ
ds
(4-8)
+
dE 0 ρ0
¶
¾
I ½µ
1
η
dPγ
+ Pγ
ds
c
dE 0
ρ0 E 0E4
ρ2(4-16)である。任意の s の関数 f (s) を考えると上式の比例関係から1c
14

IPγ f (s)ds ∝

1
c

I

f (s)
ds
ρ2

(4-17)

である。また、

U0 =

1
c

I

1
c

Pγ ds ∝

I

1
ds
ρ2

(4-18)

f (s)/ρ2 ds
1/ρ2 ds(4-19)

ムが存在し、そのような励起と放射減衰の平衡状態に到達するからである。このことは次に述べる
ベータトロン振動の減衰についても同様のことがあり、振動がゼロとなるわけではない。つまりエミッタンスも最終的にゼロとなるわけでなく、ある有限な値になる。

なので

1
U0 c

H

I

Pγ f (s)ds =H

4.2を得る。ここで D について考えてみると
µ

I

D =
=

¶

1
1
Pγ η 2ρ0 k +
ds
U0 c
ρ0
¡
¢
H
(η/ρ30 ) 2ρ20 k + 1 ds
H
(4-20)(1/ρ20 )ds

垂直方向には分散が無いものとする。分散がある場所で電子が放射光を放出すると軌道が変化す
るが、そのような影響がないと仮定する。簡単のため、加速空洞が 1 台リングに設置されているものとする。加速空洞を出た直後に運動量 p0 を持った電子を考える。この電子の軌道の傾きはとなる。
以下は荒い近似を用いたときの話。リング内の偏向磁石は全て同じ種類のものとする。

y0 =• セパレート型偏向磁石の場合。
ρk = 0 なのでD ==(4-21)µη ∼ R/νx2 という近似を使うとセクター型
偏向磁石の場合、D'R
νx2 ρ0¿1py1 = p0

¶

dp 0
y
1−
p0

µ

• コンバイン型偏向磁石の場合。
η ∼ R/νx2 、k ∼ (νx /R)2 、ρ0 ∼ R を使うと
1
>1
νx2

(4-24)(4-25)

放射光を放出しただけでは軌道と軌道の傾きは変化しないで運動量成分だけが減少する。したがって、リング 1 周で放射光の放出過程を積分すると運動量は(4-22)となり非常に小さい値となるが、さらにレ
クタングル型偏向磁石の場合、D ' 0 で
ある。

D '2+

py0
p0

である。この電子がリングを 1 周して放射光を放出してエネルギーを失い加速空洞の直前に来た時の軌道の傾きは、やはり同じく y 0 である。なぜならば放射光は軌道の接線方向に 1/γ の広がりを持って放出されるためである。したがって、垂直方向の運動量は全運動量の減少分を考慮して

I

1
η
Pγ ds
U0 c
ρ0
H
(η/ρ30 )ds
H(1/ρ20 )ds

垂直方向ベータトロン振動の放射減衰

¶

U0
y0
E0
µ
¶
U0
' p0 1 −E0

py ' p 0 1 −(4-26)

pz(4-27)となる。この後で加速空洞で進行方向に加速されて軌道の傾きが減少するわけだが、加速された後の進行方向の運動量は(4-23)となり、後に説明するようにベータトロン
振動は減衰せずに増大してしまう。

µ

p z ' p0 1 −電子の放出する放射光のエネルギーが電子のエネルギーに依存することからシンクロトロン振動の減衰が生じるが、実際には振動がゼロとなる
わけではない。なぜなら振動を励起するメカニズ

U0
E0

¶µ

1+

U0
E0

¶

' p0

(4-28)

なので加速空洞通過後の軌道の傾きは
µ

0
yrf
=

15

¶

py
U0
= 1−
y0
pz
E0

(4-29)

したがって、となり、軌道の傾きの変化は∆y 0 = −

D q

U0 0
y
E0

を得る。これよりとなる。
さて、放射光放出と加速空洞によって加速される場合、クーラン・シュナイダー不変量に相当するものの変化を考える。垂直方向のベータトロン
振動の振幅はp

dh 2Jy i
dt

q

2Jy

y = yβ ∝2Jy´2= γy y 2 + 2αy yy 0 + βy y 02

q

q

³ q
q

³q

=

2Jy + ∆ 2Jy

´2

³q

2Jy

´2

= γy (y + ∆y)2 + 2αy (y + ∆y)(y 0 + ∆y 0 )+βy (y 0 + ∆y 0 )2 − 2Jy©

¡¢= 2 γy y∆y + αy y∆y 0 + ∆yy 0 + βy y 0 ∆y 0³

+ γy ∆y 2 + 2αy ∆y∆y 0 + βy ∆y 02´

4.3(4-33)

q

³

´µU ¶
0

E0

ED q

2Jy

E

∆ 2Jy

³

0

02

µ

U0
E0

¶

µ

= −hJy i

U0
E0

¶

但し、

hyy 0 i = −hJy iαyhy 02 i = hJy iγyγy βy − αy2x(s) = xβ (s) + xp (s)(4-37)

0(4-38)x0β (s) + x0p (s)とする。xβ はベータトロン振動の軌道を表し、xpはエネルギーのずれた粒子の軌道を表す。電子が放射光を放出したとしよう。放射光を放出しても軌道は変化しないので
u∆x(s) = ∆xβ (s) + η(s)E0
= 0(4-39)u000∆x (s) = ∆xβ (s) + η (s)E0= 0(4-40)´= − αy hyy i + βy hy i×

水平方向ベータトロン振動の放射減衰x (s) =となる。最後は式 (4-30) を使った。この両辺の平
均をとると
Dq

(4-36)

水平方向のベータトロン振動の減衰時間の計算
は垂直方向と同様に行えるが、分散があるために放射光放出に伴うベータトロン振動の軌道変化を考慮する必要がある。今、電子の軌道を2Jy ∆ 2Jy = αy y∆y 0 + βy y 0 ∆y 0
= − αy yy 0 + βy y 02

2E0 T0U0 Jβyªとなる。これより第一項は軌道の変化がない、つまり ∆y = 0 であることを考慮して
qph∆ 2Jy i
=
T0
E
U0 Dq
2Jy (4-35)= −2E0 T0となる。但し、Jβy はベータトロン振動の垂直方向のダンピング・パーティション数と呼ばれ、Jβy = 1である。
もし仮に垂直方向に分散がある場合、式 (4-33)の第二項の時間的変化を考えると実は振動を励起することを表している。二次の微小量の時間変化なので微小時間を取れば無視できる量に思われるかも知れないが、放射光の放出過程がエネルギー、
時間ともに連続ではなく量子論に基づく確率過程であるため無視できない量である。

(4-32)´2−(4-34)

2Jy の時間変化は

τβy =であった。これはエネルギーの増減がない場合は不変量となるが、もやは不変量ではなくなっていp
る。したがって、 2Jy の変化は

2 2Jy ∆ 2Jy + ∆ 2Jy

p

E
U0 Dq
2Jy
2E0

と計算できる。したがって、垂直方向のベータトp
ロン振動、つまり h 2Jy i の減衰時間は2(4-31)という関係にある。垂直方向のクーラン・シュナ
イダー不変量は³q

E∆ 2Jy = −(4-30)

2

df /dt = −f /τ を満たす固有関数 f は Ae−t/τ の形の関
数である。

= 1
16

である。したがって、ベータトロン振動に以下の不連続点が現れる。

uE0u= −η 0E0∆xβ = −η

(4-41)∆x0β(4-42)なので、シンクロトロン振動によるエネルギーのずれ δ と x = xβ + xp を微小量として Pγ を展開する。磁場 B は x の関数であることに注意して

p2Jxとなる。式 (4-46) と式 (4-48) を式 (4-44) に代入
して(4-43)pという関係にあるが、式 (4-33) と同様に水平方
向も
p

³ p

p

2 2Jx ∆ 2Jx + ∆ 2Jx
³p

=

n

p

2Jx + ∆ 2Jx

´2
³

−

2Jx ∆

2Jx

= γx ηxβ + αx (η 0 xβ + ηx0β )´2µ

xβ + ηδ
× 1+
ρ0

´

o

³

´

p

³

p

´

o

(4-44)

1
Pγ0
2ρ0 k +
∆s
U0 c
ρ0
µ
¶
U0 Pγ01= h2Jx iη 2ρ0 k +∆s (4-50)
2E0 U0 c
ρ0

µ

¶

×

となる。ここで

また、第二項は´2U0 n
γx ηhx2β i
E0

o

n

= − γx ηxβ + αx (η 0 xβ + ηx0β )o u+βx η 0 x0β
E0Pγ0 ∆sE0 c+αx η 0 hx2β i + ηhxβ x0β i + βx η 0 hxβ x0β i+αx xβ ∆x0β + ∆xβ x0β + βx x0β ∆x0β

∆ 2Jx

p

h 2Jx ih∆ 2Jx i =2Jx ∆ 2Jx = {γx xβ ∆xβ´¶を得る。この両辺で平均を取る操作をするのであるが hx2β i と hxβ x0β i の項以外の hxβ i、hx0β i、hδi等は平均するとゼロである。したがって、と書ける。例によって上式の第一項は³ p(4-49)

o

³p

³

´

2Jx

+βx η 0 x0β {1 + 2δ + 2ρ0 k (xβ + ηδ)}+ γx ∆x2β + 2αx ∆xβ ∆x0β + βx ∆x02
β

p

³p

n

´2

= 2 γx xβ ∆xβ + αx xβ ∆x0β + ∆xβ x0β+βx x0β ∆x0β

¶ ¾

2 ∂B
x
= Pγ0 1 + 2δ +B0 ∂x
= Pγ0 (1 + 2δ + 2ρ0 kx)(4-48)Pγ

さて、水平方向のベータトロン振動の振幅も

xβ ∝

µ

½

hx2β i = hJx iβx= γx ∆x2β + 2αx ∆xβ ∆x0β

hxβ x0β i = −hJx iαx+βx ∆x02
β³= γx η 2 + 2αs ηη 0 + βx η 02

´ µ u ¶2E0

γx βx − αx2 = 1(4-45)である。これを一周について積分して、放射光の√放出による 2Jx の変化となる。第一項は減衰を表し第二項は励起を表す。
放射光を放出した時、周長に沿った単位長さ当
たりのエネルギー変化は
µ

p

¶

1
×
U0 c

I

U0
2E0

µ

¶

1
ds
Pγ η 2ρ0 k +
ρ0
p
U0
D
(4-51)= h 2Jx irad
2E0

xβ + xp ∆s∆E = −Pγ 1 +ρ0c¶µ
xβ + ηδ ∆s(4-46)= −Pγ 1 +ρ0cを得る。加速空洞を出た直後から加速空洞の直前√までの 2Jx が放射光の放出によってどのように変化するかを見て来たが、今度は、そうして失っと計算できる。また、Pγ ∝ B 2 E 2ph∆ 2Jx irad = h 2Jx irad

(4-47)17p

たエネルギーが加速空洞によって補われる過程に√ついて 2Jx の変化を計算する。最終的には放射光の放出と加速空洞によるエネルギー補償を合わ√せた過程について 2Jx の変化を計算すれば減衰時間が計算できるはずである。加速空洞直前の軌
道と軌道の傾きをh∆ 2Jx irf

p

p

p

h∆ 2Jx i = h∆ 2Jx irad + h∆ 2Jx irf
pU0(1 − D)h 2Jx i (4-55)
= −
2E0

u1
E0
0
0 u1
= xβ1 + ηE0x2 = xβ2 + ηである。時間変化を考えると√√
dh 2Jx ih∆ 2Jx i=(4-56)
dt
T0
p
U0
= −
(1 − D)h 2Jx i
2E0 T0x02となり、水平方向のベータトロン振動、つまり√
h 2Jx i の減衰時間はとすると、加速空洞を出た直後の軌道と軌道の傾
きは

u2
= x1
E0
µ
¶
U0
0
0 u2
= 1−
x01
= xβ2 + ηE0E0となる。これよりτβx =∆xrf = x2 − x1 = 0∆x0rf = x02 − x01 = x0β2 − x0β1 + η 0
= −

U0 0
x
E0 1

∆xβ,rf∆x0β,rf(4-52)= xβ2 − xβ1
U0u2 − u1
= −η
= −η
E0
E0
0
0
= xβ2 − xβ1
U0
U0
U0 u1
= − x0β1 − η 0− η0 2
E0
E0
E0

4.4

2Jx ∆

³

τβx =

2Jx = {γx xβ ∆xβ
´

o

τβy =

+αx xβ ∆x0β + ∆xβ x0β + βx x0β ∆x0β√と書ける。これより加速空洞を通過した時の 2Jxの変化は平均操作を行うとp

h 2Jx irf h∆ 2Jx irf= −2E0 T0U0 Js
2E0 T0U0 Jβx
2E0 T0U0 Jβy(4-58)(4-59)(4-60)と書ける。但し、対応するダンピング・パーティ
ション数は3U0 n
αx hxβ x0β i
E0o+βx hx2β i= −ダンピング・パーティション数

τs =

´

³p

(4-57)

放射光を放出して加速空洞によってエネルギーが補償される時のシンクロトロン振動とベータト
ロン振動の減衰時間はとなる。また、加速空洞を通過することによる
ベータトロン振動の減衰はp

2E0 T0U0 Jβxとなる。但し、Jβx はベータトロン振動の水平方向のダンピング・パーティション数と呼ばれ、Jβx =1 − D である。このことから D が 1 より大きい
場合、水平方向のベータトロン振動は減衰せず増幅されてしまうことがわかる。このためコンバイ
ンド型の偏向磁石を使う場合注意を要する。

u2 − u1
E0

したがって、加速空洞を通過した時の軌道と軌道の傾きの変化はp

U0 p
h 2Jx irf (4-54)
2E0となる。以上より放射光の放出と加速空洞によるエネルギー補償による合計は

x1 = xβ1 + η
x01

= −

U0
hJx irf (4-53)
E0

3

18

Js = 2 + D(4-61)

Jβx = 1 − D(4-62)Jβy = 1(4-63)

クーラン・シュナイダー不変量の 2J と混同しないこと。

である。これらより

但し、Js + Jβx + Jβy = 4Z ∞(4-64)0という関係があることがわかる。これは減衰時間
が周回時間に比べて十分長い場合、非常に一般的に成り立つ式である。D ' 0 と近似できる場合

2τs = τβx = τβyuc =(4-65)

dh2Jz idt

シンクロトロン振動の放射励起(4-66)

2Jz =

p

t

2Jz0 e− τsdh2Jz idt

(4-67)なので 2Jz の放射減衰の時間変化はd(2Jz )dt

= −2(2Jz )
τsh∆2Jz i =====(4-73)(4-74)¶∆E − u 2
−
E0
u2
2uδ
−
2
E0
E0
2
u
E02

µ

H

2
γ 2 U0 ds/ρ30
H= − h2Jz i + 2Cqτs
E0 T0 ds/ρ20= 0(4-75)

H∆E
E0(4-76)となる。エネルギーのずれの二乗平均を考えると

¶2

À

¿

σδ2

(4-69)

1 − cos 2(ωs t + θ0 )= hδ i = 2Jz
2= hJz i
(4-77)
H
2
3
Cq γ ds/ρ0H=(4-78)
Js
ds/ρ202となる。全ての偏向磁石が同じ曲率を持っている場合sσδ = γ

I

=

Pγ
ds
ρ0

55h̄
√
32 3mc2
ds/ρ30h2Jz i = Cq γ 2 H
Jsds/ρ20となる。δ は位相平均をとると消えてしまう。
2Jz の時間的変化はリング一周平均と確率的平均を取ると

dh2Jz idt

Iである。したがって、平衡状態での h2Jz i は(4-68)

である。一個の電子がエネルギー u の光子を放出した場合、2Jz の平均的な変化はµ(4-72)

である。放射減衰と放射励起を合わせ、これが平衡状態になる条件は放射減衰がある場合
p55h̄γ 2 U0
1√U
16 3mcE0 T0 0 c
H
γ 2 U0 ds/ρ30
H= 2Cq
E0 T0 ds/ρ20=

Cq =δ = − 2Jz sin(ωs t + θ0 )(4-71)となる。Cq は

式 (2-24) よりp55√ u c Pγ
24 3
3 h̄cγ 32 ρである。シンクロトロン振動の放射励起による2Jz の変化はとなり、ベータトロン振動の減衰時間はシンクロ
トロン振動の 2 倍の減衰時間を必要とする。

4.5

u2 n(u)du =h∆2Jz i ds
T0
c
I Z ∞
1
ds
u2 n(u)duc
T0 E02
0
I
55
ds
√ 2
uc Pγ
(4-70)
c
24 3E0 T0

Cq
Js ρ0

(4-79)となる。バンチの長さは位相のずれの二乗平均
µ

2
σ∆φ

19

¶

ωrf ηs 2
hJz i
=
ωs
µ
¶
ωrf ηs 2 2=σδωs(4-80)(4-81)

となる。また、エミッタンスはをもとに計算できる。ここでスリップ因子は電子が光速に近い場合、ηs = αp − 1/γ 2 ' αp となり
モーメンタム・コンパクションで置き換えられる。

σ∆φ
ωrf
c αp
σδ
ωs
C αp
σδ
2πνs

εx = hJx i
H
Cq 2 (H/ρ30 )ds
=
γ H
Jβx
ds/ρ20σz = c==(4-82)となる。全ての偏向磁石で同じ曲率を持つ場合、(4-83)Cq γ 2 1Jβx ρ0 2πρ0εx =と書ける。C は周長である。

4.6∆(2Jx ) =0γx η + 2αx ηη + βx η
µ

= H

u
E0

02

5

´ µ u ¶2

¶2

I1 =
I2 =
I3 =

Z

I4 =
I5 =
∆I4
δ

2Jx の放射減衰は
dh2Jx idt

(4-91)

η
ds
ρ
I
1
ds
ρ2
I
η
ds
|ρ|3
I
´
η ³ 2
2ρ
k
+
1
ds
ρ3
I
H
ds
|ρ|3

(5-1)
(5-2)
(5-3)
(5-4)
(5-5)

I

=

2k 2 η 2 ds

(5-6)

但し、上式で用いられている ρ、k 、H の意味は

= −U0
Jβx h2Jx i
E0 T 0(4-86)

p = eBρ
µ
¶
e ∂B
k =
p ∂x
H = γη 2 + 2αηη 0 + βη 02である。放射減衰と放射励起を合わせ、これが平衡状態になる条件は

dh2Jx idt

Hds

(4-90)

I

E0(4-84)

I

bend

Hds

放射積分と呼ばれる次の積分を定義する。

ds
H ∞ 2
u n(u)du
=
2
c
E0 0
I
U
1
H
0
= 2Cq γ 2
Pγ ds
E0 T0 U0 cρH
(H/ρ30 )ds
2 U0H= 2Cq γ(4-85)
E0 T 0ds/ρ20
1
T0

I

bend

放射積分

である。

dh2Jx i
dt

I

となる。

式 (4-45) より一個の電子がエネルギー u の光子を放出した場合、の 2Jx 変化は2

Js σδ2Jβx 2πρ0=

ベータトロン振動の放射励起³(4-89)U0
Jβx h2Jx i
E0 T 0H(H/ρ30 )ds
2 U0H+2Cq γ
E0 T 0ds/ρ20= 0(4-87)
= −

(5-8)
(5-9)

である。以上の式を用いて今までに表れたビーム
力学上、基本的な量を表現してみることにする。
まず、モーメンタム・コンパクションと電子が放射光を放出してリング一周で失うエネルギーは

αp =したがって、
H

2Cq 2 (H/ρ30 )ds
γ H
h2Jx i =Jβx
ds/ρ20

(5-7)

U0 =

(4-88)

20

I1
C

2re
E 4 I23(mc2 )3

(5-10)(5-11)

と表される。C は周長である。ダンピング・パー
ティション数は

Js = 2 +(5-12)

分は偏向磁石の中だけ行えばよい。しかも、全ての偏向磁石については同じ光学系となっているので一台の偏向磁石について着目する。エミッタン
スはJβx(5-13)εx = Cq γ 2

I4
I2
I4
= 1−
I2
= 1

Jβy

(5-14)

=
τβx =
=
τβy =
=

3T0 1
re γ 3 Js I2
µ
¶
1
3T0
re γ 3 2I2 + I4
3T0 1
re γ 3 Jβx I2
µ
¶
1
3T0
re γ 3 I2 − I4
3T0 1
re γ 3 Jβy I2
µ ¶
3T0 1
re γ 3 I2

Lb
ρ2
R
Hds
I5 = b 3
ρ(5-16)

hHib

s

µ

s

µ

σz =
=

Cαp
γ Cq
2πνs
Ã

εx

I3
Js I2

(5-17)(5-18)¶

I3
2I2 + I4

¶

(6-5)
(6-6)

εx,F ODO : εx,DBA : εx,T M E = ∼ 300 : 3 : 1
である。

6.1

FODO

(5-20)
最初に低エミッタンスではないが、いろいろ
なラティスと比較するのために 3.1 章で考えた
FODO セルについてエミッタンスを計算してみる。FODO の一つのセルには二台の偏向磁石を配置する。さて、長さ L の FODO セルの転送行
列は

である。

6

(6-4)

(5-19)!

I5= Cq γ 2
Jβx I2¶µI5
2= Cq γI2 − I4

hHib θ
Jβx LbhHib= Cq γ 2
Jβx ρ
R
Hds
= b
Lb

となる。したがって、基本的に低エミッタンスを実現するためには hHib を小さくすれば良いことになる。hHib を小さくする工夫は色々とあるが、中でも Double Bend Achromat(DBA) と Triple
Bend Achromat(TBA) は第三世代放射光リング
では良く使われているラティスである。さらに、リニアーコライダーのダンピングリングで提案されている Theoretical Minimum Emittance(TME)
ラティスも低エミッタンスを目標としている。後節で述べるように、それぞれのラティスでのエミッタンスの大きさは FODO ラティスと比較して

σδ2 = Cq γ 2

Cαp
γ Cq
2πνs

(6-3)

εx = Cq γ 2(5-15)

¶

I3
Js I2
¶
µ
I3
= Cq γ 2
2I2 + I4(6-2)

であるので、である。また、エネルギー広がりの二乗、バンチ
長、エミッタンスは、
µ

(6-1)

I2 =

となる。シンクロトロン振動とベータトロン振動の放射減衰時間は、それぞれ

τs =

I5
Jβx I2

低エミッタンスを実現するために偏向磁石は、すべて同じ曲率半径 ρ を持ち、一台の偏向磁石の偏向角を θ、長さを Lb = ρθ とする。基本的に閉軌道は考えていないので放射積ÃMcell =
21

2

2

k L
1 + kL
2 − 8
k2 L
− 2

2

3

L − k 32L
k2 L2
1 − kL
2 − 8

!

Ã

cos µ + α sin µβ sin µ−γ sin µ
cos µ − α sin µ=!

を得る。先の Twiss パラメータとこれらの分散を使って hHib を求めると

hHib = Lb (γη 2 + 2αηη 0 + βη 02 )/Lb
µ
¶
Lθ2
1
2 µ
4 µ
=
1
−
sin
+
sin
2 8
2
2 sin3 µ2 cos µ2である。µ は一つのセルのベータトロン位相の進みである。α、β 、γ はビームライン入口の Twiss
パラメータである。周期条件からビームライン入口と出口の Twiss パラメータは同じになっている。上式の二つの行列は等しいのでkL
2 sin µk2 L
2 sin µ

α =
γ =

2

である。ここで

sin2

(6-7)

3

(6-9)
(6-10)

F (µ) =

ηη0

Ã

= Mcell!

ηη0+ Vcell(6-11)=!

(2 − kL/2 − k 2 L2 /16)θ

となる。ただし、

Ã

Vb =
Ã

Vb

2

=

0
θ

2

(6-12)

!

0
θ/2

!

である。したがって
Ã

を解くと

η
η0

6.2

!

= (I − Mcell )−1 VcellÃLθ
k 2 L2η =4−
4(1 − cos µ)16θkLη0 = −
2(1 − cos µ)(6-17)Lθ3
2Lb Jβx(6-18)

によって最小エミッタンスが得られる。エミッタ
ンスを小さくするには偏向角を小さくする、ダンピング・パーティションを大きくすることが考えられる。ダンピング・パーティションを大きくするといっても、シンクロトロン振動を減衰させる
ため、せいぜい D ∼ −2 までが限界で Jβx ∼ 3 である。セパレート型でレクタングル型偏向磁石の場合、Jβx ' 1 なので、これの３倍程度しか大きくできない。偏向角を小さくすることについては３乗で効いてくるので磁石の数は増えるが非常に有効である。

Vcell = V b + MO MF MO (Vb + MO MD MO V b )(1 − kL/16 − k 2 L2 /64)Lθ

1 − sin2 µ2 + 18 sin4 µ2
sin3 µ2 cos µ2

εx ' 0.743 × Cq γ 2という関係にある。Vcell はエネルギーのずれを含めた 3 × 3 転送行列の３列目である。ここではセル当たり二台の偏向磁石は三つに分けて考えている。Vcell は
Ã2(6-16)となる。これよりエミッタンスが最小になる条件
は µ ' 2.54、つまりベータトロン位相の進みが約 145◦ の時でと分散も周期的であるために
!

Lθ3
F (µ)
2Lb Jβxεx = Cq γ 2である。ビームライン入口の分散を (η, η 0 ) とする
Ã

(6-15)を使った。最終的に FODO ラティスのエミッタ
ンスは

(6-8)

L − k 32L
β =sin µ
k 2 L2
2 cos µ = 2 −4

1 − cos µ
k 2 L2
µ
=
=
2
2
16

(6-13)

Double Bend Achromat(DBA)

Double Bend Achromat(DBA) またはチャス
マン＝グリーン (Chasman-Green) と呼ばれるラティスで、二台の偏向磁石で囲まれた部分で分散を局所的に作り (アクロマート、achromat)、その外側では分散はゼロである。したがって、収束系
では分散がゼロなので、エミッタンスは偏向磁石によって発生する分散で決まる。セルの入口と出!

(6-14)
22





m211
−2m11 m12m212

Mt =  −m11 m21 1 + 2m12 m21 −m12 m22 
m221−2m21 m22
m222
である。即ち、Twiss パラメータはssss− 2α0 ρ cos sin + γ0 ρ2 sin2
ρ
ρ
ρ¶
ρ
µ
β0
s
s
2 s
2 s
α = 2 sin
+ α0 1 − 2 sin− γ0 ρ cos sin
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
β0
2α0
s
s
2 s
2 s
γ = 2 sin+cos sin + γ0 cos
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
β = β0 cos2となり、分散はµsssη = η0 cos + η00 ρ sin + ρ 1 − cos
ρ
ρ
ρ
η0
s
s
s
η 0 = − sin + η00 cos + sinρρρρ

図 6: FODO ラティス (1 セル)。
口で分散がゼロとなっているので、分散がゼロでなければならないビームライン、例えば高周波加速空洞の設置ラインまたは挿入光源ライン等の直線部へとアーク部から接続させる場合、普通必要なディスパージョン・サプレッサーを作らなくて済むのでリングの場所に対する無駄がない。ビー
ム光学系は二台の偏向磁石を挟んで対称となっているので一台の偏向磁石について着目する。偏向
磁石入口の Twiss パラメータを (β0 , α0 , γ0 )、分散を (η0 , η00 ) とすると偏向磁石内では

(6-19)

η
η0
 0 
 0 
=
M
η


b  η0 
1
1(6-20)



(6-22)となる。
偏向磁石内の H の積分を行うと
Z L
0





Mb

(6-21)³

cos ρsρ sin ρs

ρ 1 − cos ρs0

cos ρs0

sin ρs11s=  − ρ sin ρ(6-23)

Hds(6-24)
L
Ã
!
β0 α0 L γ0 L2 L2
=
−
+
3
4
20
ρ2

hHib =

=  m210´

γη 2 + 2αηη 0 + βη 02 ds

RL

m11 m12 m13
m22 m23 
0
0
1

Z L³

となる。これは一般的な式であるが、もともとDBA では偏向磁石入口での分散はゼロである。
また、L/ρ で展開して二次までとることにすると結局と変換される。ここで Mb はセクター型の偏向磁石を表す水平方向の転送行列で、Mt はその転送行列による Twiss パラメーターの変換を表す。


Hds =

= (γ0 η02 + 2α0 η0 η00 µ+ β0 η002 )L ¶L
+2(α0 η0 + β0 η00 )ρ 1 − cos
ρ ¶
µ
L
0
−2(α0 η0 + γ0 η0 )ρ L − ρ sin
ρ
µ
¶
β0
ρ
2L
+
L − sin
2
ρ
¶
µ 2
L 1
2L
2 3
− cos + cos−2α0 ρ
ρ
4
ρ ¶
µ 4
3L
L
ρ
2L
+γ0 ρ2− 2ρ sin + sin
2
ρ
4
ρ



β
β0




 α  = Mt  α0 
γ
γ0

¶

´ 

0

となる。したがって、エミッタンスはεx = Cq γ 2= Cq γ23

hHib θ
Jβx L

2 θ

3

Jβx

µ

β0
α0 γ0 L
−
+
3L
4
20

(6-25)¶となる。
µ

εx ∝ F (β0 , α0 ) =α0 γ0 L
β0
−
+
3L
4
20

¶

(6-26)

であるから最小エミッタンスを求めるためには Fの極小値を求めればよい。

∂F
1
L (1 + α02 )−= 0 (6-27)=∂β0
3L 20 β02
∂F
1
L α0
=− +
=0
(6-28)∂α0
4 10 β0より最小エミッタンスとなる偏向磁石入口のTwiss パラメータは√
2 15
β0,min =L(6-29)√5
α0,min =15(6-30)

図 7: DBA ラティス (1 セル)。

H(s) を最小化する必要がある。まず、偏向磁石に着目する。式 (6-22) でも示されているが、分散の一般的な解はと求まる。したがって、最小エミッタンスは

θ3
1εx,min = √ × Cq γ 2
Jβx
4 15
θ3
' 0.0645 × Cq γ 2Jβx(6-31)

η 00 +(6-32)

を解くことにより、ssη = ρ 1 − a cos + b sin
ρ
ρ
(

2 s

s
s
s
β = β0 cos− 2α0 ρ cos sin + γ0 ρ2 sin2
ρ
ρ
ρ
ρ
2
' β0 + 2α0 s + γ0 s
(6-33)(6-34)
η0よりベータ関数の極小値を求める。ベータ関数をs で微分してゼロとおいたÃÃ

= 2α0,min + 2γ0.min s = 0 (6-35)

!

¶

s2
s
' ρ 1−a 1− 2 +b2ρρa 2
= ρ(1 − a) + bs + s
2ρss= a sin + b cos
ρρss2' a +b 1− 2ρ2ρab
= b + s − 2 s2ρ2ρより偏向磁石入口から 3L/8 のところでベータ関数は極小となり√15L(6-36)
βmin =
40)(6-38)!

(6-39)

である。a = 1 − η0 /ρ と b = η00 は分散の初期値によって決まるパラメータである。
偏向磁石内の s = sm で最小となるベータ関数
を βm とする。任意の場所 s での Twiss パラメー
タは

を得る。

6.3

(6-37)µとなる。また、

dβ
ds

1
1
η=
2
ρ
ρ

(s − sm )2βm
s − sm
α = −
βm
1
γ =
βm
β = βm +Theoretical Minimum Emittance(TME)

数値的にあたるのが効率的である。低エミッタンスを実現するためには偏向磁石内の平均的な

24(6-40)(6-41)(6-42)

のとき最小の

v (
)
u
µ
¶
µ
¶
u
sm
sm 2
t
2
+ Bθ
+C
hHib = 2ρ A AθL

L

(6-46)
を得る。また、これより hHib となるためにはsmB=−(6-47)
L2Aθ
にベータ関数の最小値を持ってこなければならな
い。ベータ関数が最小値となる場所を偏向磁石の真中、つまり sm = L/2 という制限を加えると
ÃAθ + B =図 8: TME ラティス (1 セル)。ILC ダンピングリ
ングとして検討された OCS リングのアーク部に配置されている。

µ

RL

= 0

Hds
L
= βm A
0

+

ρ2
βm

(

µ

Aθ

2

sm
L

¶2

µ

sm
+ Bθ
L

という条件式が得られる。
さて、sm = L/2 という制限のもと hHib の最小値を数値的に求めてみる。この条件のもとで式(6-46) は

)

¶

+C

q

hHib = ρ A {Aθ2 + 2Bθ + 4C}C =+a2 − b2b2

ab 3
θ + θ43
420
b 2 a2 − b2 3
2b(1 − a) + a(1 − a)θ − θ −θ34
3ab 4 b2 5
θ − θ
10
12
a(1 − a) 2 b(1 − a) 3
(1 − a)2 −
θ +
θ
3
4
a2 4 ab 5 b2 6
θ − θ + θ
(6-44)
20
12
28

A = b2 + abθ +

+

θ2 −

ρ2
dhHib
=A− 2
dβm
βm
=0

(

µ

Aθ

2

sm
L

¶2

µ

sm
+ Bθ
L

hHib
Jβx ρ
1 q
= Cq γ 2
A {Aθ2 + 2Bθ + 4C}
Jβxεx = Cq γ 2となる。一方、DBA のエミッタンスは

εx = Cq γ 2

)

¶

+C

という条件より

βm = ρ

θ2

µ

sm
L

¶2

µ

B
sm
+ θ
A
L

¶

(6-49)である。したがって TME のエミッタンスはである。hHib が最小となる βm を求める。

s(6-48)(6-43)となる。ここで

B =

¶

b
−
−2b + θ + bθ + θ4 a
20
!
Ã
2
θ
b 3
b 5
− b 2 + bθ −− θ − θ31230
2となる。以上より hHib を求めると

hHib =

!

θ2
θ−
a2
12

1 θ3
√
Jβx 4 15であった。偏向角 θ をある値に固定して a と b を変えながら TME の DBA に対するエミッタンスの比を計算すると b = −θ/2 付近で比が最小とな
り TME のエミッタンスは DBA の約三分の一まで小さくすることができる。図 9 を参照。この時、式 (6-48) から θ の最低次の a を求めると

a = 1−

C+(6-45)Ab = −25(6-50)

θ2

θ2
6(6-51)(6-52)

となる。したがって、sm = 3L/8 の時、最小値は

となる。

θ2
A'
12
θ3
B'−
12
θ4
C'
45

(6-54)となり、式 (6-50) を得る。

(6-56)1
θ3√
Jβx 12 15

1εx,DBA
3=(6-57)(6-58)

Emittance(TME)/Emittance(DBA)となる。これが理論的に実現できる最小のエミッ
タンスである。
0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

b

図 9: b を変化させて a をエミッタンスが最小になるように最適化した時の TME の DBA に対するエミッタンスの比。
ちなみに、TME のエミッタンスを計算した方法でも DBA のエミッタンスは計算できる。DBA
では偏向磁石入口での分散はゼロはなので a = 1、
b = 0 である。この時、式 (6-46) は2
hHib = ρθ3
3

sµ

sm 3
−
L
8

¶2

+

3
320

7

ILC のダンピングリング

7.1

概要

ILC のダンピングリングの役割は粒子源によって作られたビームのエミッタンスを小さくすることである。エミッタンスを減衰させる過程は既に述べた通りであるが、偏向磁石通過時の放射光放出と高周波加速空洞によるエネルギー補償の組合
せによるものである。したがって、ダンピングリン
グの平衡エミッタンスは十分小さく、減衰時間も十分短いことが要求される。超電導ライナックを採用していることによりビームの構造には 1 msecという一つの長いパルスの中に 2820 バンチが詰め込まれているという特徴がある。このままでは、
バンチ間隔が 337 nsec でダンピングリングの周長としては 300 km を必要としてしまう。これは現実的ではないので、実際にはリングへ入射する時にバンチ間隔を圧縮する。例えば、20 nsec まで圧縮できればリングの周長は 17 km で済む。さらに 6 nsec なら 6 km、3 nsec なら 3 km と必要とされる周長を短くすることが検討されている。しかしながら、バンチ間隔の圧縮には入射キッカーのパルスを如何に短くできるかに依存している。
当然、射出する時には入射時のバンチ構造を復元するようにリニアックへ射出する。
リングのエネルギーは 5 GeV を基本として検討されている。もともと、入射キッカーの性能の制約上、20 nsec のバンチ間隔が限度であると考えられていたので TESLA のデザインでは周長
17 km のダンピングリングを採用していた。長い周長であるために建設コストを低減するためにアーク部を短くし直線部を増やして、直線部
はメイン・ライナックのトンネルと共用する方針が取られていた。このためリングの形状は我々の思い描く「リング」とはほど遠く独特な形であるがために”dogbone”(犬の骨) リングと呼ばれる。
dogbone リングは長い直線部を持つため、空間電と計算できて、

εx,T M E = Cq γ 2(6-60)(6-55)

ρθ3
√
12 15

hHib =(6-53)

ρθ3
hHib = √4 15(6-59)

26

7.2

γ2Jy (m)荷効果によるエミッタンス増加が問題となる。これを低減するために XY カップリングをわざと作って見かけ上ビームサイズを大きくするためのカップリング・バンプが直線部に採用されている。
先に述べたビームのエネルギーは、こうした空間
電荷効果、減衰時間、高周波加速空洞のパワー、アーク部の設計等を考慮に入れて決められている。
前章で述べたように、アーク部は低エミッタンスのラティスである TME 等を採用しているがリングのエネルギーが高いため悲しいことにエミッタ
ンスの減衰に寄与しているのは主にダンピング・
ウイグラーである。このダンピング・ウイグラーのセクションは長く、ウイグラーの持つ非線形性がリングのダイナミック・アパーチャー (力学的口径) に対して問題となるかも知れない。
最近になって、入射キッカーのパルスを短くできる可能性が出て来たので周長が 6 km と 3 kmのリングも検討された。こうした比較的短いリングの形状は円型に近い形またはレーストラックである。最終的に現在の段階では、6 km のリング
が ILC の基本設計となっている。以下、ダンピン
グリングを単にリングと称することにする。

0.08

0.06

0.04

0.02

0

β

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

図 10: 陽電子入射ビームの規格化ベータトロン
振幅 (シュミレーション)。
ビームを、水平方向の規格化エミッタンス 8 µm、
垂直方向の規格化エミッタンス 0.02 µm となるよ
うにエミッタンスを減衰させて送りすことがリングに対して要求されている。そのためには、リングの平衡エミッタンスは 5 GeV で 5 × 10−10 m、カップリングは 0.2 %が目標となる。
表 1: ダンピングリングへ入射されるビームのパラメータ。

最終的に射出されるビームのエミッタンスは
− 2T
τ

0

γ2Jx (m)ダンピングリングに対する要求

εext = εeq + (εinj − εeq )e

0.1

電子

(7-1)
トレインの繰り返し
トレイン内のバンチ数
バンチ内の粒子数γ(2Jx + 2Jy )エネルギーのずれ許容値
入射規格化エミッタンス
エネルギーの広がり
偏極度となる。εeq はリングの平衡エミッタンス、εinj は
入射ビームのエミッタンス、εext は射出ビームのエミッタンスである。τD は横方向のベータトロン振動の減衰時間、T はリングでの蓄積時間である。バンチの詰まった一つのパルスに相当するものをトレインと呼ぶ。トレインのやってくる頻度
は設計上 5 Hz なのでリングにビームを蓄積できる時間は最大 200 msec である。十分な減衰を得るために約 7 ダンピング時間を確保するためには
横方向のベータトロン振動の減衰時間を 28 msec
以下にする必要がある。図 10 にシュミレーショ
ンによって得られた陽電子入射ビームのリングのエネルギーで規格化されたベータトロン振幅を示す。リングのエネルギーは 5 GeV である。最大規格化ベータトロン振幅で 0.09 m ある陽電子入射

陽電子

5
2820
2×10−10
0.09
0.5
45
0.1
>80
-

Hz

m
%
µm
%
%

電子リングと陽電子リングの基本設計は同じである。したがって、電子入射ビームのエミッタン
スは通常、陽電子入射ビームより小さいのでリングのダイナミック・アパーチャーは陽電子ビームを損失なく蓄積時間保てれば良い。陽電子入射ビー
ムの電荷量は大きく、エミッタンスも大きいので

27

Fw =

表 2: ダンピングリングから射出されるビームのパラメータ。
電子
バンチの分離規格化水平エミッタンス
規格化垂直エミッタンス
エネルギーの広がり
バンチ長垂直方向ジッター
偏極度

ここでアーク部の偏向磁石の曲率半径を ρb 、ウイ
グラー・セクションの偏向磁石の曲率半径を ρw 、
ウイグラー・セクションの長さを Lw とした。これより減衰時間は

陽電子

337
8
0.02
<0.15
6
<0.1σy>80-

Lw /ρ2wI2 wig=I2 arc2πFb /ρb

nsec
µm
µm
%
m

τβx =

ρb
3T0
re γ 3 2πFb (Jβx + Fw )(7-3)

となる。通常のリングの場合 Fb = 1 であるが、dogbone の場合、Fb ' 2 なので逆偏向磁石を導入することは減衰時間を短くすることに貢献している。
さて、エミッタンスはどうかというと%広いダイナミック・アパーチャーがリングには要求される。

I5 arc + I5 wig
Lwb
Jβx 2πFρb + ρ2(7-4)

Jβx εx arc + Fw εx wig
Jβx + Fw(7-5)

εx = Cq γ 2

w

7.3

=

ダンピングリングのデザイン7.3.1となる。εx arc と εx wig はそれぞれアーク部とウ
イグラー・セクションの平衡エミッタンスである。アーク部の偏向磁石をセパレート型にすれば Jβx ' 1 である。Fw を最適化することによって必要なエミッタンスと減衰時間が得られるように設計する。dogbone の場合、Fw ' 15 となっている。
ビーム・エネルギーに比べて非常に長い周長をもつため空間電荷効果によるインコヒーレントな
ベータトロン・チューンの広がりを考慮しなければならない。空間電荷効果によるチューンの広がりは

17 km リング

いわゆる TESLA タイプのリングで周長は17 km と長い直線部と小さなアーク部を持つ dogbone 型のリングである。鳥瞰図を図 fig:TESLAgeom に示す。直線部には高周波加速空洞を設置するためのセクションとウイグラー・セクションがある。アーク部のラティスは TME である。また、アーク部のラティスとして FODO、π セルのリングも検討されている。このリングには二本の直線部を共通のトンネルに設置するために順方向と逆方向へ曲げる二種類の偏向磁石がある。そのため、偏向角の総和は普通のリングでは 2π であるが dogbone の場合は 2πFb で Fb ' 2 なので、
ほぼ 4π となる。
リングのベータトロン振動の減衰時間は

τβx =

3T0 1
re γ 3 Jβx I2∆νx,y '

(7-6)

である。N はバンチ内の粒子数、C は周長、σzはバンチ長である。リングからメイン・ライナッ
クへとビームを戻す時バンチの長さを短くするためのバンチ圧縮システムによってリングの平衡バ
ンチ長が制限されている。基本的にバンチ長の設
計値は 6 mm である。チューンの広がりを低減するために直線部ではカップリング・バンプを採用
し見掛け上垂直方向のエミッタンスを局所的に増やしている。カップリング・バンプにはスキュー
四極磁石を用いて XY カップリングをつくり、直線部で閉じるようにしている。

(7-2)

である。I2 はアーク部とウイグラー・セクションを考慮する。また、ウイグラーの偏向磁石はレク
タングル型とし、ウイグラーでは Jβx ' 1 である。

2πFb Lw
+ 2
ρb
ρw
2πFb
(Jβx + Fw )ρb

Jβx I2 arc + I2 wig = Jβx
=

re CN
√
3/2
(2π) γ 2 εx εx,y σz28

7.3.26 km リングを粒子の運動を記述するパラメータを取る。px とpy は横方向の正準運動量で基準運動量で規格化されている。入射ビームの形は xy 平面では円形とし入射キッカーによる入射エラー (振動) は無視できるものと仮定する。粒子の初期条件として
y0 = x0 、px0 = py0 = 0 とする。あらかじめ定
められたターン数まで安定に粒子が回ることができれば、その初期を持つ粒子は無限に安定に回ると仮定する。与えられる初期値を大きくしていき
決められたターン数を回ることができる最大値を探す。その最大値を周回粒子の安定度としてダイナミック・アパーチャーと定義する。SAD では
探索する領域を 51 分割して初期値の小さいとこ
ろからトラッキングを始め定められたターン数回る初期値の最大値を探す。今の場合、定められたターン数は横方向の減衰時間に相当するターン数である。ダイナミック・アパーチャーで使われるターン数は一般に特に決められたものはないが、通常、放射減衰つきでトラッキングをする場合減衰時間くらいとれば評価には十分である。放射励
起は確率過程なので乱数を使用する必要があり、いささか厄介なのでトラッキングをする場合入れないことが多く結果にはそれほど影響しない。

基本的思想は TESLA のダンピングリングを縮小して長い直線部を省いた設計となっている。したがって、リングは周長約 6 km のほぼ円形でアー
ク部と短い直線部とからなる。アーク部のラティスは基本的には TME で FODO も検討されている。直線部にはウイグラー・セクションと高周波加速セクションがある。空間電荷効果によるチューンの広がりはほとんど無視できる。

7.3.3

3 km リング

周長約 3 km の円形もしくはレーストラック形
でアーク部と短い直線部とからなる。アーク部のラティスは基本的には TME で π セルも検討されている。周長 6 km のダウンスケール版である。
6 km リングと同様、空間電荷効果によるチューンの広がりはほとんど無視できる。

7.4

ダイナミック・アパーチャー

リングへの入射効率や蓄積ビームの Touschek
寿命はリングのアクセプタンスに依存している。
一般的には真空容器の大きさで制限される物理的アパーチャーよりも色収差補正のための六極磁石などの非線形効果を含むラティス設計に依存したダイナミック・アパーチャーによってリングのア
クセプタンスは決まっている。ダイナミック・ア
パーチャーの評価にはベータトロン振動の減衰時間の間のビームの安定度を調べる。横方向の減衰
時間は約 28 msec なので TESLA タイプのリン
グでは約 500 ターンに相当する。ビームの安定度は解析的な手法では、ほとんど不可能なので数値計算に頼らざるを得ない。具体的にはトラッキングを行う。トラッキングとは具体的にいくつかの粒子をリングに入れて加速器の構成要素の中での振舞を逐次追いかけるシュミレーション手法である。トラッキングを行うツールには色々なものがあるが、ここでは SAD(Strategic Accelerator
Design) によるトラッキングを用いた結果を紹介する。SAD は KEKB、KEK-ATF、ILC 等色々な加速器の設計や研究に幅広く使われている。
6 次元の正準パラメータとして (x, px , y, py , z, δ)

7.4.1

ウイグラーのフリンジ磁場

短い減衰時間と小さなエミッタンスを得るために長いウイグラー・セクションを持つ dogbone タ
イプのリングではウイグラー磁石の非線形効果がダイナミック・アパーチャーに影響を及ぼす可能性がある。ウイグラーの入っているリングの垂直方向ハミルトニアンはH = H0 +Lw 2 4
Lw 2
y +
k y
4ρ2w
12ρ2w

(7-7)

であり、H0 はウイグラーの入っていない場合のハミルトニアンである。k = 2π/λw で λw はウイ
グラーのピリオド長である。したがって、ウイグ
ラー磁石によるベータトロン・チューンシフトは

βy
∆νy =
4π

Ã

Lw
Lw k 2 2
+
y
2ρ2w
3ρ2w

!

(7-8)

となる。βy はウイグラー内の平均的なベータ関数である。第二項はウイグラーによるチューンシ

29

νy

フトで振幅に依存する項を含んでいる。一方、ハ
ミルトニアンをクーラン = シュナイダー不変量で展開した形は

0.32

Sextupole ON
nonlinear wiggler

0.3

wiggler w/o nonlinearity

Sextupole OFF
nonlinear wiggler

H = 4π (ν¯x Jx + ν¯y Jy + ν¯z Jz

0.28+cxx Jx2 + cyy Jy2 + czz Jz2(7-9)

sync. oscillation OFF
sync. oscillation and maxwellian fringe OFF

0.26+cxy Jx Jy + cyz Jy Jz + czx Jz Jx + · · ·)0.24である。これより Jy の一次までとるとチューンは

νy =

1 ∂H
= ν¯y + 2cyy Jy
4π ∂Jy0.22(7-10)

0.2となる。式 (7-8) と式 (7-10) を比較して、チューンの振幅に依存する項の係数は

cyy =βy2 Lw k 2
12πρ2w0

F1 = 6−∞

By (s)−
B0µ(7-11)By (s)
B0

0

20

40

60

80

100

120

ds (7-12)

160

180

By (T)

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

0.2

図 12 に TESLA dogbone リングについて SADのトラッキングによって得られた垂直方向のチューンの振幅依存を示す。図から六極磁石をオンの場合とオフの場合について、ウイグラー磁石の台形フリンジ磁場の影響を cyy で表現した結果を表
3 にまとめてみた。当然、シンクロトロン振動を

¶2 )

140

0.05

図 12: TESLA dogbone リングについての垂直方向のチューンの振幅依存。丸印は六極磁石をオン、四角印、三角印、バツ印はオフした場合。三角印はシンクロトロン振動をオフ。バツ印はシンクロトロン振動オフ、全ての磁石のマクセル・フ
リンジ磁場をオフ。

によってパラメータ定義する。B0 はウイグラー
磁石のピーク磁場で By (s) はウイグラー磁石の垂直方向の磁場で進行方向の場所の関数である。
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

0.025

γ2Jy0 (m)となる。こうしたチューンの振幅依存が生じるのはウイグラー磁石のフリンジ磁場の非線形効果によるものである。ウイグラー磁石の非線形フリン
ジ磁場の影響を SAD のトラッキングを用いて調べてみた。SAD ではウイグラー磁石の磁場は進行方向には台形で近似し (図 11)、O(y 4 ) までの項がモデル計算に含まれている。フリンジ磁場の領域はZ +∞ (

wiggler w/o nonlinearity

表 3: トラッキングによって求めた TESLA dogbone リングの非線形係数 cyy 。ウイグラー磁石の台形フリンジ磁場による非線形のある場合とない
場合。
六極

非線形なし

オン
オフ

−2361
+8858

非線形あり あり − なし

−238
+11061

+2123
+2203

200

z (mm)

オフして全ての磁石のフリンジ磁場をオフすれば振幅に依存したチューンシフトは生じない。六極磁石をオンした場合とオフした場合でウイグラー
磁石の台形フリンジ磁場の影響は、ほぼ同じで

図 11: ウイグラーの磁場分布 (進行方向)。青線
は実際のウイグラーの磁場分布で赤線は台形近似
したもの。

30

γ2Jx0+γ2Jy0 (m)約+2100 である。式 (7-11) を使って、解析的にウイグラー磁石の非線形効果による cyy を計算してみる。TESLA dogbone リングにおけるウイグ
ラー磁石での平均的なベータ関数を 8.7 m、ウイ
グラー・セクションの長さを 417 m、ウイグラー
磁石の曲率半径を 10 m、ピリオド長を 0.4 m とすると cyy は +2066 となる。この値は SAD によるトラッキングから得られた値と良く一致している。したがって、SAD によるトラッキングはウイ
グラー磁石のフリンジ磁場をよく再現している。
実際に、SAD のトラッキングを使ってダイナミッ
ク・アパーチャーを計算してみる。図 13 にダイナ
ミック・アパーチャーの計算結果を示す。図にある
ようにウイグラー磁石の台形フリンジ磁場がある
場合とない場合では、さほど大きな違いは見られなかった。したがって、この場合のウイグラー磁石のフリンジ磁場による非線形効果はダイナミッ
ク・アパーチャーに影響を及ぼしていないと考え
られる。
0.7

図 14: TESLA のウイグラー (1 セル)。
る誤差をいれた場合について調べてみた。マルチポール磁場による誤差としては既存の加速器である SPEAR や PEP-II などの経験または測定から、
だいたいこんなものだろうという値を使用した。
ダイナミック・アパーチャーを調べる時の初期条
件は Jy0 /Jx0 = 1 とした。テストしたラティスは、
TESLA dogbone(17 km、TME)、MCH(16 km、
π セル)、OCS(6 km、TME)、PPA(3 km、π セル) のラティスである。図 16 にダイナミック・ア
パーチャーの計算結果を示す。図 17 と図 18 にチューン・サーベイの結果を示す。チューン・サー
ベイでは、チューンを少しずつ変えながらダイナ
ミック・アパーチャー サーベイを行い、運動量のずれの初期値の絶対値が 0.5 %以内の範囲で最小のダイナミック・アパーチャーをプロットしたものである。一応、どのラティスも運動量のアクセ
プタンスが 0.5 %以内で γ(2Jx + 2Jy ) = 0.09 mのダイナミック・アパーチャーを確保している。
しかしながら、6 km リングの OCS というラティスがチューンスペース的に見ても一番ダイナミッ
ク・アパーチャーが広い。したがって、ダイナミッ
ク・アパーチャーが単に広いという理由だけではないが OCS が ILC ダンピングリングの基本設計となっている。検討を行ったラティスの一覧を表4 に示す。

γ2Jy0/γ2Jx0 = 1
Blue ... ideal
Red ... nonlinear wiggler

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-3

-2

-1

0

1

2

3

δ 0 (%)

図 13: TESLA dogbone リングのダイナミック・
アパーチャー。青線はウイグラー磁石の台形フリ
ンジ磁場なし。赤線は台形フリンジ磁場あり。

7.4.2

ダイナミック・アパーチャー サーベイ

17 km、6 km、3 km リングのそれぞれについてダイナミック・アパーチャーの計算結果についてまとめておく。偏向磁石、四極磁石、六極磁石の磁場に誤差のない場合とマルチポール磁場によ31

図 15: TESLA dogbone の鳥瞰図 (上)。片側のアーク部 (中)。TESLA dogbone のラティス (下)。

32γ2Jx0+γ2Jy0 (m)γ2Jx0+γ2Jy0 (m)

(a)

0.5
0.4
0.3

0.4
0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

-3

-2

-1

0

1

2

0

3

(b)

0.5

-3

-2

-1

0

1

(c)

0.5
0.4
0.3

0.8
0.6
0.4

0.1

0.2
-3

-2

-1

0

1

2

0

3

δ0 (%)

(d)

1

0.2

0

3

δ0 (%)
γ2Jx0+γ2Jy0 (m)γ2Jx0+γ2Jy0 (m)δ0 (%)

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

δ0 (%)

図 16: ダイナミック・アパーチャー。(a) TESLA dogbone、(b) MCH(Vc = 115 MV)、(c) OCS、(d)PPA。青色は磁場の誤差のない場合、赤色はマルチポール磁場の誤差を入れた場合。

33

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

図 17: ダイナミック・アパーチャーのチューン・サーベイ。初期条件は Jy0 /Jx0 = 1。| δ0 |< 0.5 %で最も小さい γ2Jx0 + γ2Jy0 を表示。色が薄いほど大きなダイナミック・アパーチャーを示す。白い領域は0.4 m より大きいダイナミック・アパーチャーがあるところ。左側は磁場の誤差のない場合。右側はマルチポール磁場の誤差を入れた場合。(a)(b) TESLA dogbone、(c)(d) MCH(Vc = 115M V )、(e)(f) OCS。

34

(a)

(b)

図 18: 図 17 と同様。(a)(b) PPA。

図 19: OCS ラティス。

35

ると思っています。したがって、もし興味があれば、特に若い世代の人々が積極的に参加されることを願っています。

表 4: ILC ダンピングリングとして検討されたラティス。
種類
周長 アーク部 エネルギー

TESLA
DAS
MCH
OCS
BRU
OTW
PPA

17 km
17 km
16 km
6.5 km
6.3 km
3.2 km
2.8 km

TME
π
FODO
TME
FODO
TME
π

5 GeV
5 GeV
5 GeV
5 GeV
3.74 GeV
5 GeV
5 GeV

参考文献
[1] 神谷幸秀、OHO ’84。
[2] 大見和史、OHO ’91。
[3] 小林幸則、OHO ’91。
[4] 船越義裕、 OHO ’94。

7.5

[5] “Configuration Studies and Recommendations for the ILC Damping Rings”,
LBNL-59449、Cockroft-06-04。

その他に検討すべきこと

ビーム力学として集団的効果について、以下の事も検討しなければならない項目である。

[6] D. Sagan et al, “A Magnetic Field Modelfor Wigglers and Undulators”, ICFA BeamDyn. Newslett. 31:48-52, 2003。

• 空間電荷効果• イオン不安定効果 (電子リング)[7] M. Tischer, J. Pfluger and W. Decking, “A
Permanent Magnet Wiggler Design for the
TESLA Damping Ring”, TESLA 2000-20,
Dec. 2003.。

• 光電子雲効果 (陽電子リング)
しかしながら、ここでは割愛させて頂く。その他、加速器のハードウエアとしての構成要素である真空システム、電磁石、高周波加速空洞等も割愛さ
せて頂く。

8

[8] Y. Cai, “Description of multipole errors
used in acceptance simulations”,
http://www.desy.de/∼awolski/ILCDR/
DRConfigurationStudy files/Task1.htm.

あとがき[9] SAD のホームページ、
http://acc-physics.kek.jp/SAD/sad.html。

とにかく、短く限られた時間で原稿を書いたこともあって、計算違いやミスタイプ等の誤りがあるかも知れません。読者からのご質問、コメント、
ご指摘、ご叱責を甘んじて受けるつもりです。以下のサイトに今回紹介できなかった内容の情報があります。意欲的な読者は参考にしてみて下さい。
https://wiki.lepp.cornell.edu/ilc/bin/view/
Public/DampingRings/ConfigStudyILC のダンピングリングの設計は、まだまだ始
まったばかりで建設のための具体的な検討の準備をしている段階です。ILC プロジェクトは長期にわたるプロジェクトで、あたかも惑星間宇宙旅行のようなもので一世代では到達し得ないものであ36