６章③円の性質の利用円1□⑴円と相似の証明⑴
右の図のように，線分 AB を直径とする半円の弧上に点 C，D を，

EA⌒D＝C⌒D となるようにとる。また，線分 BC の延長と線分 AD の延C長との交点を E とする。このとき，△ABD ∽△EACであることをD

次のように証明した。空欄をうめ，証明を完成させなさい。
〔証明〕 アとにおいて，AB は直径だから，イA＝90°……①∠ACB＝90°……②B②より，∠ECA＝180°−∠ACB＝90° ……③①，③より，ウ＝……④A⌒
D＝C⌒
D より，1 つの円で，等しい弧に対する円周角は等しいから，エよって，オ④，⑤より，カ＝＝……⑤がそれぞれ等しいから，△ABD∽△EAC□⑵

ア〔〕 イ〔〕ウ〔〕 エ〔〕オ〔〕 カ〔〕

右の図で，円 O は△ABC の外接円である。∠BAC の二等分線と辺 BC，円 O との交点をそれぞれ D ，E とする。このとき，△ABE∽△ADC であることを証明しなさい。

□⑶

右の図で， 3 点 A，B，C は円 O の周上の点で，BC は円の直径，A∠AOC＝72° である。また，∠CAD＝18° となるように点 D を線分 OC 上に18°とる。このとき，△ABD∽△OAD であることを証明しなさい。

72°
B

O

DC

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円と相似の証明⑵ ～線分の長さ～2⑴右の図で， 4 点 A，B，C，D は円周上の点であり，点 E は線分 AC，BDBの交点である。BC＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝8 cm，A⌒D＝C⌒
D であるとき，次の問いに答えなさい。
□①△BCD ∽△CED であることを次のように証明した。空欄をうめ，証明を完成させなさい。
〔証明〕 アAECとDにおいて，共通な角だから，
イ＝……ⅰウ＝……ⅱC⌒D＝A⌒
D より，1 つの円で，等しい弧に対する円周角は等しいから，ⅰ，ⅱより，エがそれぞれ等しいから，△BCD ∽△CED□②

ア〔〕 イ〔〕ウ〔〕 エ〔〕線分 CE，DE の長さをそれぞれ求めなさい。

CE〔□③⑵〕 DE〔〕〔〕線分 AB の長さを求めなさい。

右の図のように， 4 点 A，B，C，D が円の周上にある。弦 AC と弦 BD とFの交点を E とし，点 D を通り，弦 AC に平行な直線と弦 BA の延長との交点を F とする。次の問いに答えなさい。
□①D△DEC ∽△FDB であることを証明しなさい。
AEB

□②

C

BE＝3 cm，DE＝4 cm，DF＝8 cm のとき，線分 AC の長さを求めなさい。

〔〕

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9:38:26円周角の定理の逆と証明

3下の図の 4 点 A ，B ，C ，D は円周上の点である。

□⑴

点 E を線分 AC 上に，点 F を線分 BD の延長上に，BA™EF となるようにとる。このとき，4 点 D ，E ，C ，F は 1 つの円周上にあることを，右の内のよ

BA™EF より，平行線の錯角は等しいから，A⌒
D に対する円周角は等しいから，
イうに証明した。空欄をうめ，証明を完成させなさい。

……①∠ABD＝ア＝∠DCE ……②①，②より，∠DFE＝ウ……③2 点 F ，C が直線 DE について同じ側にあって，③が成り立つことより，4 点 D ，E ，C ，F は 1 つの円周上にある。

ア〔□⑵〕 イ〔〕 ウ〔〕

右の図のように，線分 AB と線分 CD が点 E で交わっている。AE＝CE，BE＝DE であるとき，4 点 A ，C ，B ，D は 1 つの円周上にあることを証明しなさい。

研究１⑴

接線と弦のつくる角の定理（接弦定理）

次の図で，AT は円 O の接線，A はその接点である。∠x の大きさを求めなさい。

□①

□②〔〕

□③〔〕〔〕□④〔〕

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研究２

方べきの定理下の図のように，4 点 A ，B ，C ，D が 1 つの円周上にある。

□⑴

直線 AB，CD が円の外部の点 P で交わるとき，PA×PB＝PC×PD が成り立つことを，右の内のように証明した。空欄をうめ，証明を完成させなさい。

△PAC とアにおいて，円に内接する四角形の性質から，……①∠PAC＝イ共通な角だから，

B……②∠APC＝ウA①，②より，エPがそれぞれ等しいから，

C△PAC ∽オ
相似な図形の対応する辺の長さの比Dは等しいから，⑵

ア〔〕 イ〔〕ウ〔〕 エ〔〕オ〔〕 カ〔〕

PA：PD＝カ
したがって，PA×PB＝PC×PD

次の図で，x の値を求めなさい。ただし，⑤，⑥で，PT は円の接線で，T はその接点である。

□①

□②〔〕

□③〔〕

〔〕〔〕

□④〔〕

□⑤

□⑥

〔〕

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６章の確認①
次の図で，∠x の大きさを求めなさい。ただし，点 O は円の中心である。

1□⑴

□⑵〔〕

□⑷

□⑶

〔〕

□⑸

〔〕

〔〕

〔〕

□⑹

〔〕

６章の確認②
下の図のように，2 つの円 O，O' が 2 点 A ，B で交わ

1□円 O で，A⌒
E に対する円周角は等しいから，っている。点 A を通る直線が円 O，O' と交わる点をそれぞれ C ，D ，点 B を通る直線が円 O，O' と交わる点をそれぞれ E，F とする。このとき，CE™FD であることを，右の内のように証明した。空欄をうめ，証明を完成∠ACE＝ア……①∠ABF＝イ……②

円 O' で，A⌒F に対する円周角は等しいから，①，②よりさせなさい。

∠ACE＝ウ
錯角が等しいから，CE™FD2

□ア〔〕

イ〔〕

ウ〔〕

右の図で，∠x の大きさを求めなさい。

〔〕

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６章の応用①下の図で， 4 点 A，B，C，D は円の周上の点で，BC1□は円の直径である。点 E は弦 AC と弦 BD との交点である。このとき，△ABE ∽△DCE であることを，右の内のように証明した。空欄をうめ，証明を完成させなさい。

において，

BC は円のイだから，∠BAE＝ウA⌒
D に対する円周角はエ＝90°①，②より，カE……①から，……②∠ABE＝オAB△ABE とアがそれぞれ等しいから，

D△ABE ∽キC

ア〔〕 イ〔〕 ウ〔〕 エ〔オ〔〕 カ〔〕 キ〔〕〕

右の図の△ABC は，AB＝AC の二等辺三角形で，周の長さは 78 cm である。

2

また，3 辺 AB，BC，CA が，それぞれ点 P ，Q ，R で，円 O に接している。
□⑴ BP＝16 cm のとき，線分 AP の長さを求めなさい。
〔〕□⑵ AP：BP＝3：5 のとき，線分 BP の長さを求めなさい。
〔〕

６章の応用②
1

右の図のように，円 O の直径 AB と弦 CD が点 P で交わり，∠APC＝63°，

A
⌒
C：B
⌒
D＝4：5 である。このとき，次の問いに答えなさい。

□⑴ ∠ABC の大きさを求めなさい。

□⑵ A⌒D に対する中心角の大きさを求めなさい。

〔〕〔〕

右の図のように，四角形 ABCD の 4 つの頂点 A，B，C，D は 1 つの円の2AD周上にある。点 E は弦 AC と弦 BD との交点である。
AB：DC＝4：3，BE：ED＝3：1 のとき，次の問いに答えなさい。
□⑴

E△ABE と△DCE の面積比を求めなさい。
CB〔□⑵

〕

四角形 ABCD の面積は，△DCE の面積の何倍ですか。
〔〕

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