振動子・パラメータ抽出仕様

2008/3/10

第 1.0 版

ファイン MEMS システム化設計プラットフォーム
研究開発プロジェクト

1

はじめに
本文書では、MEMS 等価回路 Web ライブラリに掲載されたデバイスのうち、「振動子」の等価回路の回路定数を計算する際に必要なパラメータの抽出仕様について概説する。

更新履歴表
版名

改訂日付

主要改訂内容第 1.0 版

2008.3.10

初版

目次
1

振動子 ............................................................................................................................................................... 3
1.1

入力パラメータ値の制限 ....................................................................................................................... 3

1.2

抽出対象パラメータ ............................................................................................................................... 4

1.3

パラメータ抽出方法 ............................................................................................................................... 51.3.1

バネ定数 ........................................................................................................................................... 51.3.2

実効質量 ........................................................................................................................................... 61.3.3

直流動作点における振動子-電極間の容量 .................................................................................. 71.3.4

直流動作点での振動子のz方向撓み............................................................................................ 11

1.3.5

浮遊容量 ......................................................................................................................................... 121.3.6

基板-電極間の容量／基板-振動子間の容量 ............................................................................... 122

振動子

1

本節では、台形断面を有するシリコンナノ振動子のパラメータ抽出方法を示す。

y’zkSpringXxx’-x” cross-section
yx’〜x”Cin

C1C2CresCouty’-y” cross-section

CstrayThiBOXy”
図 1
1.1z

振動子

入力パラメータ値の制限
振動子の側面角 Angle：

0 < Angle ≤ 90z

振動子の幅と厚みの比：以下の条件を満たす Wr, ThiR の値を指定してください（この条件を満たさない場合、振動子の断面が三角形で、幅 Wr と側面角 Angle によって決まる厚みと、厚み Thi の入力値が整合しません）

Wr2≥
ThiR tan(Angle)

3

1.2

抽出対象パラメータ

パラメータ名

記号単位

実効質量massXkgmassZkgkSpringX

N/mkSpringZ

N/mCinFCout

F

基板-振動子間の容量

Cres

F

振動子接続電極の浮遊容量

CstrayF

直流動作点における振動子のたわみ

Z0m

直流動作点における振動子-電極間の容量

C1FC2FC1dxF/m≡ ∂C1 / ∂x | x = z =0C2dx

F/m≡ ∂C 2 / ∂x | x = z =0C1dz

F/m≡ ∂C1 / ∂z | x = z =0C2dz

F/m≡ ∂C 2 / ∂z | x = z =0

C1dx2F/m2≡ ∂ 2 C1 / ∂x 2 | x = z =0C2dx2F/m2C1dz2F/m2C2dz2F/m2C1dxdz

F/m2C2dxdz

F/m2≡ ∂ 2 C 2 / ∂x 2 | x = z =0
≡ ∂ 2 C1 / ∂z 2 | x = z =0
≡ ∂ 2 C 2 / ∂z 2 | x = z =0
≡ ∂ 2 C1 / ∂x∂z | x = z =0
≡ ∂ 2 C 2 / ∂x∂z | x = z =0

バネ定数
基板-電極間の容量

直流動作点における振動子-電極容量の 1 階微分値

直流動作点における振動子-電極容量の 2 階微分値

補足4

1.3

パラメータ抽出方法

1.3.1 バネ定数
一様荷重を加えた両持ち梁(図 2)のバネ定数の解析式を用いる。軸方向に張力N、長さlcの部分に一様荷重q0が働く両持ち梁のバネ定数は1、k eff =− 8κ 2 lλr N cosh(κl / 4)
q0 l c=(1-1)
y max {8 + κ 2 l 2 (λr − 2)λr } cosh(κ l / 4) − 8 cosh(κ l (1 − 2λr ) / 4) + 4κ lλr sinh(κ l / 4)と表せる。
ここで、軸方向の張力N=

π 2 EA
4l 2

荷重をかける部分の割合

2 （A は断面積、E は Young 率。残留応力は無視した）(1-2)
y max

λ = l c / l (1-3)

N（EI は曲げ剛性） (1-4)
EIである。尚、式(1-1)に現れるたわみ y max の計算方法については 1.3.4 節を参照してください。
パラメータ

κ=

図 2

1

部分的に一様荷重を加えた両持ち梁

S. Pamidighantam, R. Puers, K. Baert and H. A. C. Tilmans, “Pull-in voltage analysis of electrostatically actuated beam structureswith fixed-fixed and fixed-free end conditions”, J. Micromech. Microeng. vol.12 pp.458-464, 2002.

5

【参考】軸方向の張力が微小な場合
ここで、式(1-1)の右辺を Taylor 展開して κ l の 2 次までとると、

k eff =384EI⎛ κ 2l 2 ⎞⎜1 +⎟l 3 (2.5 − 1.5λr ) ⎝32 ⎠

梁全体に荷重が掛かっていて( λr = 1 )、かつ変位が小さく張力が無視できる場合( κ l 〈〈 1 )、k eff =384 EIl3となる。
1.3.2 実効質量振動子の実効質量は、各方向の振動の共振周波数から計算する。
両持ち梁の共振周波数は、

ω=

λi2L2EIM(1-5)

ここで、
E：ヤング率、I：断面 2 次モーメント（台形断面の公式2を適用）
M：単位長さあたりの質量（＝密度×断面積）、L：カンチレバーの長さである。また、両端固定の場合、係数 λi は以下の方程式を満たす3。

cosh(λi ) cos(λi ) = 1 (1-6)
この方程式から、1 次モードでは λ1 = 4.73 である。
一方、等価な集中質量系の共振角周波数は、

ω=kmeff

meff =kL4M
λ14 EI(1-7)

ここで、k はバネ定数。
(1-5)と(1-7)から、実効質量は

ddw1z

Iy =t
重心(1-8)xIz =t 3 ( w1 + w2 ) 2 + 2 w1w236
w1 + w2t[( w1 + w2 ) 2 {( w2 − w1 ) 2 + 2w1 w2 − d ( w2 − w1 ) + d 2 }36( w1 + w2 )+ 2 w1 w2 {d 2 − w1 w2 − d ( w2 − w1 )}]

w2
図 323

台形断面の断面 2 次モーメント

R. J. Roark and W. G. Young, “Formulas for Stress and Strain fifth ed.”, McGraw-Hill (1982).
D. E. Newland著、清水信行訳『機械振動の解析と計算』オーム社 (1992) pp.413.

6

1.3.3 直流動作点における振動子-電極間の容量2 つの寄与に分けて、振動子-電極間の容量を見積もる4、5。
(1) 斜面間のオーバーラップ容量(2) 上部のストリップ間の容量
斜面の重なり部分の電場は、図 5 に示すような斜面に垂直な円弧状であるとする。

we〜CinCres

図 4Coutd0

振動子-基板間の容量zEr

R2V=V0 (>0)
V=0R1

図 5x

円弧状の電場

4K.W. Lee and A.S. Holmes, “Electrostatic actuation in electroformed Ni microstructures”, at IEE Colloquium on“Microengineering, modeling and design”, Savoy Place, Mar. 4 , 1999.
5F.E.H. Tay, X. Jun, Y.C. Liang, V.J. Logeeswaran and Y. Yufeng, “The effects of non-parallel plates in a differentialmicroaccelerometer”, J. Micromech. Microeng., vol.9, pp. 283-293, 1999.

capacitive71.3.3.1 斜面の寄与（側面に垂直な円弧状の電場を考えた容量）rzθdBz0x0

θR2OR1

奥行き lβxA
図 6側面に垂直な円弧状の電場を考えた容量

まず、振動子が電極に対して上側に変位する場合を考える。直流動作点において、振動子はz方向にz0だけ変位しているとする。
このとき、直線 AO の方程式は z = (tan θ ) x 、直線 AB の方程式は z = ( − tan θ )( x + x 0 ) + z 0 であるから、交点 A の座標は、

z0xz ⎞⎛ x0+, − 0 tan θ + 0 ⎟ (1-2)⎜−22⎠⎝ 2 2 tan θ
したがって、sinθに関して、z ⎞z ⎞⎛ x⎛ xz 0 − ⎜ − 0 tan θ + 0 ⎟ d − ⎜ − 0 tan θ + 0 ⎟2⎠2⎠⎝ 2⎝ 2=sin θ =R1R2∴ R1 =2d − z 0x0z0x0+、 R2 =+(1-4)
2 cos θ 2 sin θ2 cos θ 2 sin θ

点 A から動径方向に r 座標を取ると、位置 r にある微小区間 dr の容量は、

dC = 誘電率 ×

台形側面の面積
円弧の長さ

=

ε ldr
βr

( l は振動子の長さ)したがって、
R2C = ∫ dC =R1ε l ⎛ R2 ⎞εl⎛ R2 ⎞ln⎜ ⎟ =ln⎜ ⎟β ⎝ R1 ⎠ π − 2θ ⎝ R1 ⎠2d − z 0 ⎞2d − z 0 ⎞
⎛ x0
⎛+⎜⎟
⎜ x0 +⎟lεtan θ ⎟=ln⎜
ln⎜ 2 cos θ 2 sin θ ⎟ =π − 2θ ⎜ x0 + z 0 ⎟ π − 2θ ⎜ x + z 0 ⎟⎜⎟⎜ 0⎟tan θ ⎠⎝ 2 cos θ 2 sin θ ⎠⎝εl(1-2)( z ≥ 0)8

一方、振動子が電極に対して下側へ変位する場合は、パラメータの対応から、前節の式で z 0 → − z 0 で置き換えればよいことが分かる。
以上まとめると、

2d − | z 0 | ⎞
⎛
x0 +
⎜
⎟
εltan θ ⎟C=ln⎜
π − 2θ ⎜ x + | z 0 | ⎟0⎜⎟tan θ ⎠⎝となる。ここで、直流動作点における振動子の位置を基準にした x 方向、z 方向の変位を導入すると、

2d − | z 0 + z | ⎞⎛⎜ x0 + x +⎟tan θ⎟ln⎜
C1 ( x, z ) =π − 2θ ⎜ x + x + | z 0 + z | ⎟0⎜⎟tan θ⎝⎠2d − | z 0 + z | ⎞⎛x0 − x +⎟⎜εltan θ⎟ln⎜
C 2 ( x, z ) =π − 2θ ⎜ x − x + | z 0 + z | ⎟0⎟⎜tan θ⎠⎝εl【参考】平行平板近似との比較「側面に垂直な円弧状の電場を考えたとき」の容量と「平行平板近似による」容量の比は、

C2=
C para (π − 2θ ) tan θ
この比を角度θ(degree)に対して plot すると、以下のようになる。角度θの単調減少関数であり、θ<90°で 1 以上、つまり「側面に垂直な電場を考えたとき」の方が大きくなる。

9

1.3.3.2 上面の寄与（ストリップ容量）
上面の寄与は、図 7 に示すストリップの容量の半分（上面のみ）で評価した。

C=

ε 0Vl ⎡ ⎧ ww
2 x0 ⎤⎫2)⎥⎢ln ⎨( + 1) − 1⎬ + (1 + ) ln(1 +π ⎣ ⎩ x0x0w ⎦⎭V=0x0

V=V0V=0w

図 7ストリップ10

1.3.4直流動作点での振動子の z 方向撓みz 方向のたわみは、両持ち梁に次の静電引力を印加して計算する。
(1) 台形側面に垂直に働く静電引力の垂直方向成分(2) 振動子下面と基板間の静電引力

直流動作点

FeleCinFsubst

図 8

たわみ計算

1.3.4.1. 台形側面に垂直な方向に働く静電引力6図 6 において、点 A から動径方向に r の位置にある微小区間 dr での表面電荷密度は、

σ=dC × V εV=
ldrβr

したがって、点 A から動径方向に r の位置における電場は、

E=σ V=ε βr

したがって、側面に垂直な方向に働く静電引力はFele =εR2∫ E dr =22 R1

ε lV 2 (d − z 0 )β 2 ( x0 tan θ + z 0 )( x0 tan θ + 2d − z 0 )1.3.4.2. 振動子下面と基板間の静電引力
平行平板間の静電引力の式を用いる。

Fsubst =6ε tlV 22(d 0 + z 0 ) 2

F.E.H. Tay, X. Jun, Y.C. Liang, V.J. Logeeswaran and Y. Yufeng, “The effects of non-parallel plates in a differential
microaccelerometer”, J. Micromech. Microeng., vol.9, pp. 283-293, 1999.

capacitive111.3.5

浮遊容量図 9 のように、平行平板容量を並列接続したものと見なして、

C stray = 2ε 0 ε r

t_box

t box

Cstray図 91.3.6A

浮遊容量

基板-電極間の容量／基板-振動子間の容量

基板との容量（基板-電極、基板-振動子間容量）は、平行平板近似で求める。

x’-x” cross-section
we〜

Cin

Cres

Cout

d0
電極奥行き長さLe

図 10

基板-電極間の容量12