17三角形の合同の証明

4章

平行と合同復習問題
１ 三角形の合同条件（２年） 次の図で，同じ印をつけた辺や角はそれぞれ等しい。あてはまる合同条件を，それぞれ答えなさい。
⑴

A

B

C

⑶

EA

B

⑵

DF

A

B

DCE

F

D

C

E

F

学習の基本1 仮定と結論
重要「pならばq」という形で書かれたとき，pの部分を仮定，qの部分を結論という。

例

下のことがらの仮定と結論は，次のようになる。
⑴¼ABC×¼DEF ならば，AC=DFあることがらが「pならばq」という形で書かれたとき，仮定は「ならば」の前の部分のp結論は「ならば」のあとの部分のqである。
仮定…¼ABC×¼DEF⑵

合同な2つの三角形の面積は等しい。
文を「pならばq」の形になおすと，「2つの三角形が合同ならば，面積は等しい」となる。
仮定…2つの三角形が合同
結論…面積は等しい

結論…AC=DF確認問題

1 次のことがらの仮定と結論を書きなさい。
⑴

a=b ならば，a+c=b+c である。

1「ならば」の前の部分が仮定，あとの部分が結論である。
⑶「長方形ならば，1⑵xが6の倍数ならば，xは3の倍数である。

つの内角は 90ß である。
」と書きかえられる。

⑶

132

長方形の1つの内角は 90ß である。

17

三角形の合同の証明

学習の基本2 三角形の合同の証明あることがらが成り立つわけを，測定などにたよらず，それまでに学んだ性質を根拠にして理づ重要めで示すことを証明という。また，証明されたことがらで，よく用いられるものを定理という。
下の図で，AM=BM，CM=DM である。このとき，¼AMC×¼BMD を証明しなさい。

問題

考え方 「仮定…AM=BM，CM=DM」，「結論…¼AMC×¼BMD」である。
A

仮定と，対頂角が等しいことを使って，合同条件に導く。

C証明¼AMC と ¼BMD において，仮定から，AM=BMM

CM=DMD着目する三角形を書く。

……①

↓……②

「仮定からいえること」「図形の性質からいえること」を書く。

対頂角は等しいから，

B−AMC=−BMD ……③①，②，③より，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，↓合同条件を書き，「×」を使って表す。

¼AMC×¼BMD

確認問題

2 右の図で，AC=AD，BC=BD である。このとき，

C¼ABC×¼ABD となることを次のように証明した。
下線部をうめなさい。

〔仮定〕 AC=仮定で与えられた条件
Aよい。

……①BC=……②A

仮定から，AC=共通な辺だから，AB=①，②，③より，CD〔証明〕 ¼ABC と ¼ABD において，……③がそれぞれ等しいから，

×A−AEB=−CDB となることを次のように証明した。

3「−AEB =−CDB」が結論である。

D下線部をうめなさい。

¼ABE と ¼CBD の合，BD=B〔証明〕 ¼ABE とにおいて，仮定から，BA=……①

BE=……②共通な角だから，−EBA=①，②，③より，BD

3 右の図で，BA=BC，BD=BE である。このとき，〔結論〕 −AEB=は，図に印をつけるとB，BC=〔結論〕 ¼ABC×〔仮定〕 BA=

2EC同がいえれば，対応する角の大きさが等しいことから結論がいえる。

……③がそれぞれ等しいから，¼ABE×合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，−AEB=13317

三角形の合同の証明

学習の基本3 角度が等しいことを使った合同の証明
下の図で，四角形 A BCD と四角形問題

証明

CEFG は正方形である。このとき，正方形の1つの内角は90ßだから，

F−BCG=90ß-−GCD

G……③−DCE=90ß-−GCD ……④E

B……①CG=CE ……②なさい。
D

四角形 A BCD，四角形 CEFG は正方形だから，
BC=DC¼BCG×¼DCE であることを証明しA¼BCG と ¼DCE において，③，④より，−BCG=−DCE……⑤①，②，⑤より，2組の辺とその間の角がそれCぞれ等しいから，
考え方¼BCG×¼DCE

BC，DC は正方形 ABCD の辺，CG，CE は正方形 CEFG の辺である。
また，−BCG は「−BCD（90ß）から−GCD をひいた角」，−DCE は「−GCE（90ß）から −GCD をひいた角」
だから等しくなる。

確認問題

4 下の図で，¼ABC と ¼ADE は正三角形である。このとき，¼ABD×¼ACEとなることを証明した。下線部をうめて，証明を完成させなさい。
A4−BAD も，−CAE も，正三角形の1つの角から −DAC をひいてできることに着目する。

E

複雑な図では，証明する三角形を抜き出した図をかいて確認するとDBよい。

CA〔証明〕 ¼ABD と ¼ACE において，

E¼ABC，¼ADE は正三角形だから，
AB=……①AD=……②DB

正三角形の1つの内角は 60ß だから，
−BAD=60ß−CAE=60ß-③，④より，−BAD=①，②，⑤より，それぞれ等しいから，¼ABD×134……③……④……⑤がC

17

三角形の合同の証明

定 着 問 題学11 仮定と結論⑴⇨類 1

次のことがらの仮定と結論を書きなさい。

①a=b ならば，ac=bc である。

② ¼ABC×¼DEF ならば，−CBA=−FED である。

⑵

次のことがらの仮定と結論を，図の中の記号を使って，式の形で書きなさい。
¾「2直線が平行ならば，錯角は等しい。」
m

学22 三角形の合同の証明①下の図で，AB=AC，−BAD=−CADである。このとき，¼ABD×¼ACD であることを右のように証明した。下線部をうめて，証明を完成させなさい。

ab⇨類 2〔証明〕
仮定から，とにおいて，=……①=共通な辺だから，A①，②，③より，=……②……③がそれぞれ等しいから，×DB

C135

17
学2三角形の合同の証明

3 三角形の合同の証明②⇨類 3下の図で，AM=CM，BM=DM である。このとき，AB=CD であることを右〔証明〕仮定から，のように証明した。下線部をうめて，証において，=……①=明を完成させなさい。
Aと……②は等しいから，C−AMB=……③①，②，③より，Mがそれぞれ等しいから，×B

D

合同な図形の対応する=4 三角形の合同の証明③⇨類 4下の図で，AC°DB，CM=DM である。 〔証明〕 ¼ACM とこのとき，¼ACM×¼BDM であること

MDにおいて，……①は等しいから，−AMC=証明を完成させなさい。
C=仮定から，を右のように証明した。下線部をうめて，Aは等しいから，……②AC°DB より，平行線のは等しいから，=……③①，②，③より，がそれぞれ等しいから，×B平行線があるときは，同位角や錯角を考えてみる。

5 三角形の合同の証明④⇨類 5下の図で，AB°DC，AB=CD である。 〔証明〕 ¼AOB と=において，このとき，BO=DO であることを右のよ仮定から，うに証明した。下線部をうめて，証明をAB°DC より，平行線の完成させなさい。
AB−BAO=①，②，③より，OD−ABO=は等しいから，……②……③がそれぞれ等しいから，
C×合同な図形の対応する=136……①は等しいから，

17
学26 三角形の合同の証明⑤下の図で，AD=AE，−ADB=−AECである。このとき，¼ADB×¼AEC であ⇨類 6〔証明〕 ¼ADB とにおいて，仮定から，AD=B……①=ることを右のように証明した。下線部をうめて，証明を完成させなさい。

三角形の合同の証明……②共通な角だから，−BAD=……③①，②，③より，Eがそれぞれ等しいから，×ACD

7 三角形の合同の証明⑥下の図で，AB=CD，−ABE=−CDEである。このとき，¼ABE×¼CDE であ⇨類 7〔証明〕 ¼ABE とにおいて，仮定から，AB==ることを右のように証明した。下線部をうめて，証明を完成させなさい。
AC……①……②は等しいから，−AEB=……③=……④②，③と三角形の内角の和が 180ß であることから，

E①，②，④より，がそれぞれ等しいから，
B×D

2つの三角形で，2組の角がそれぞれ等しければ，残りの1組の角も等しい。

学38 角度が等しいことを使った合同の証明①
下の図で，¼ABC，¼CDE は正三角形である。このとき，¼CAD×¼CBE であ⇨類 8〔証明〕 ¼CAD とにおいて，¼ABC，¼CDE は正三角形だから，ることを右のように証明した。下線部を

CA=……①

うめて，証明を完成させなさい。

CD=

……②C

−ACD=60ß-−DCBA=60ß-−DCB=③，④より，BD

正三角形の1つの内角は 60ß だから，①，②，⑤より，E……③……④……⑤がそれぞれ等しいから，×137

17三角形の合同の証明

9 角度が等しいことを使った合同の証明②下の図で，四角形 ABCD，BEFG は正方形である。このとき，¼ABG×¼CBE⇨類 9〔証明〕 ¼ABG とにおいて，四角形 ABCD，四角形 BEFG は正方形だから，であることを右のように証明した。下線

AB=……①部をうめて，証明を完成させなさい。

BG=……②GF

正方形の1つの内角は 90ß だから，

−ABG=90ß+−CBG ……③=−CBG+90ß

C=③，④より，

DE

B……④……⑤①，②，⑤より，がそれぞれ等しいから，×A−ABG…90ß に −CBG を加えた角−CBE…−CBG に 90ß を加え等しいた角10 作図の証明⇨類110

下の図は，直線 XY 上の点Ｏを通り，〔証明〕 ＡとＣ，ＢとＣをそれぞれ結ぶ。

XY に垂直な直線 OC を作図したもので¼AOC とにおいて，ある。この作図が正しいことを右のよう仮定から，に証明した。下線部をうめて，証明を完

AO=……①成させなさい。

AC=……②②共通な辺だから，OC=②C……③①，②，③より，がそれぞれ等しいから，
×③
X

AO

B

Y

①OA と OB は①の円の半径だから等しい。

2つの②は，同じ半径のコンパスでつけた印だから，AC=BC となる。

138

合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，−AOC=④と−AOC=……④=180ß だから，=90ß

よって，OCﬂXY
ゆえに，直線 OC は直線 XY の垂線である。

17

三角形の合同の証明

類 題 演 習1 仮定と結論⑴

次のことがらの仮定と結論を書きなさい。

①¼PQR×¼STU ならば，PQ=ST②

a=b，b=c ならば，a=c⑵次のことがらの仮定と結論を，図の中の記号を使って，式の形で書きなさい。
¾「同位角が等しいならば，2つの直線は平行である。」

mxy

2 三角形の合同の証明①下の図で，AC=BC，−ACD=−BCD である。このとき，¼ACD×¼BCD であることを証明しなさい。
AC

D

B

3 三角形の合同の証明②下の図で，AO=BO，CO=DO である。このとき，AC=BD であることを証明しなさい。
CA
O
B
D139

17三角形の合同の証明

4 三角形の合同の証明③下の図で，AB°DC，AE=CE である。このとき，¼ABE×¼CDE であることを証明しなさい。
DA

EC

B

5 三角形の合同の証明④下の図で，AC°DB，AC=BD である。また，Ｍは AB と CD の交点である。このとき，AM=BM であることを証明しなさい。
A

C
M

D

B

6 三角形の合同の証明⑤下の図で，AE=BE，CE=DE である。このとき，¼ACE×¼BDE であることを証明しなさい。
A
D
B

E

C

7 三角形の合同の証明⑥下の図で，AC=BD，−ACO=−BDO である。このとき，¼ACO×¼BDO であることを証明しなさい。
AC
O
D
B

140

17三角形の合同の証明

8 角度が等しいことを使った合同の証明①下の図で，四角形 ABCD，DEFG は正方形である。このとき，¼CDG×¼ADE であることを証明しなさい。
F

G
B
A
C
D

E

9 角度が等しいことを使った合同の証明②下の図で，¼ABC，¼ADE は正三角形である。このとき，¼ADB×¼AEC であることを証明しなさい。
CAB

DE

10 作図の証明

下の図は，−XOY の二等分線 OR を作〔証明〕 ＰとＲ，ＱとＲをそれぞれ結ぶ。

図したものである。この作図が正しいこ¼POR とにおいて，とを，右のように証明した。下線部をう仮定から，めて，証明を完成させなさい。
②X③R

PO=……①

PR=……②共通な辺だから，OR=②①，②，③より，……③がそれぞれ等しいから，

P×①OQ

Y

合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，−POR=

よって，直線 OR は −XOY の二等分線である。

141