測定の不確かさ評価について―2. 不確かさの算出手順 1―
城野克広

は「検討もつかない」です．情報が不十分で決定的なことはは じめに言えません．
しかし，前回お話したように，そこをなんとかしてやろう

前回から 4 回に渡り，測定の不確かさについて解説してというのが不確かさなのです．不確かさ評価の世界では， 2おります．第 1 回は「不確かさとは何か」，今回と次回はつのあいまいな情報をまとめ上げるやり方は 1 つに決まっ「不確かさの算出手順」，第 4 回に「不確かさの活用」につています．それは「乗して足す」ということです．

いてお話していきます．今回は，不確かさの一番大切なルー

もう少し具体的に言いますと，「普通のずれ」を 2 乗してルからお話しして，平均値と標準偏差の関係までを解説して足し，正の平方根を取ります．そうしますと，最終的に知りいきます．

たい値の「普通のずれ」が求まるのです．(この「普通のずれ」は統計学で言う標準偏差のことです．それについては次･ 乗して足す節にて．）上の例に適用してみましょう．財布にはざっと 1000 円．

図.をご覧下さい．今，私の財布に1000円ほど入ってい普通のずれが 200 円あります．そこから， 600 円くらいの本るとします．ですが， 1000 円だったか， 1300 円だったか，を購入．本の値段も150円ほどは普通にずれています．財布900円だったか定かではありません．1000円がおおよその値の残額はおおよそ1000円－600円＝400円．この400円の普通としても，200円くらいのずれは驚くには値しません．のずれを上の方法で求めましょう．

その財布をもって，本屋で本を購入します．本は600円のような気もするのですが， 700 円だったか，あるいは 400 円だったか，あいまいです．600円がおおよその値としても，150円くらいのずれはあってもおかしくなさそうです．

そして，本を購入したのち，焼きいも屋さんと出くわしました．焼きいもはひとつ200円．購入できるなら，ぜひ食べたいところです．財布の中身を確認すればよいのですが，たった200円のために財布の中身を確認するなんてプライドが許しません．
さて，この場合，焼きいもの購入に踏み切ってよいものでしょうか
前回の解説で「あいまいな情報が複数あるとき，それらの両方が関係する事象についての確率を導き出すことは実は困難な問題」と述べました．つまり，上のクイズの厳密な答え

図 2.1｢普通のずれ」が分かっている 2 つの数の差の「普通のずれ」はどのくらいか上の場合， 800－750＝50円から1200－450＝750円ではない．

産業技術総合研究所 物質計測標準研究部門主任研究員(〒3058565 つくば市東 111)
Things about Measurement Uncertainty―2. How to Evaluate It ? (1/2)―; Katsuhiro Shirono(National Institute of Advanced Science andTechnology (AIST), Tsukuba)
Keywords; uncertainty, guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM)
2014年 6 月 4 日受理[doi:10.2320/materia.54.360]





入 門 講 座

計算しますと，( 200 円の 2 乗)＋( 150 円の 2 乗)＝ 62500

つまり，ひとつひとつの普通のずれをただ足してはいけな

円2＝(250円の 2 乗)です．つまり，財布に残っているお金はいのは，それらが同じ方向にずれるということが普通に起きおおよそ400円です．しかし，250円多い650円でも飛び上がることではないからなのです．なぜ 2 乗するのかはさておって喜んだりはしないし，逆に 250 円少ない 150 円でも悲嘆き，なぜ足してはいけないかは何となく分かっていただけたにくれるようなことではありません．

でしょうかずれそのものではなく，その 2 乗を計算にう残額が 150 円というのが普通にあることなら， 200 円のやきいもを購入するわけにはいかないでしょう．ずいぶんおおまく使うということは，不確かさ評価ではよく出てきます．
ぜひ慣れていただきたいと思います．

ざっぱな話ですが，一応結論を出すことができました．やきいもが食せないということは残念ではあるものの，意思決定･ 標準偏差のミステリーという観点からは，「検討もつかない」よりだいぶんましと言えましょう．

先の節で「普通のずれ」，「普通のずれ」と言ってきたもの

この「2 乗して足す」は，不確かさ評価を考える上で，最は，正しくは標準偏差と呼ばれるものです．数学嫌いの方も重要な約束です．ぜひ，覚えておいてください．今回は 2は，こういう難しそうな単語が出てくるだけでぎょっとする

つしか不確かな要因は有りませんでしたが，これが 3 つでかも知れませんが，これは普通(＝標準)のずれ(＝偏差)といも 4 つでも同じことです．
「2 乗して足す」が基本なのです†．

う意味でしかありません．具体的にはどういうものなのか確これは，誤差の伝ぱ(でんぱ)則にならって，不確かさの伝ぱかめていきましょう．

則と呼ばれています．

例えば，ある長さの 3 つの実験データとして，( 110 cm,とは言え，2 つ不確かな数があったら，それらを足したく120 cm, 130 cm )という値が得られたとします．この平均はなるのが人情ではないでしょうか．上の例で言えば，200円

120 cm です．ずれはどのくらいかと考えると，110－120＝と 150 円を足して 350 円を普通のずれと考えたくなるかも知－ 10(cm ) , 120 － 120＝ 0( cm ), 130 － 120＝＋ 10( cm )というれません．どうして足してはいけないのでしょう．

ことになります．

200 円と 150 円を足すということは，財布の中身はおおよ

標準偏差は普通のずれですから，この 3 つの平均を計算

その金額より 200 円多く，そして本の値段は 150 円安いことしたくなります．もちろん，平均というのは，データを足しを想定している，あるいは，その逆(財布の中身は 200 円少算して，データの個数で割った値のことです．この場合は，なく，本の値段は 150 円高い)ということになります．前者(－ 10 ＋ 0 ＋ 10 )/ 3 ＝ 0 ( cm )ということになります．すなわ

は二つの不確かな値がともに財布の中身を大きくする方を考ち，標準偏差はゼロということに……なりません．

えており，後者は小さくする方を考えているわけです．

それはそうでしょう．ばらつきが一定程度あるのに，普通

これはカジノでルーレットを 2 回続けて回したとき，のずれはゼロというのではいかにも不合理です．これは，(赤，赤)か(黒，黒)が出るのを想定しているようなもので110, 120, 130 と い う 組 み 合 わ せ だ か ら そ う な る の で は な

す．ところが，それ以外の場合，(赤，黒)や(黒，赤)の可能

く，上の手続きを踏めばいつでもゼロになります．標準偏差性もあるわけです．とは「ずれの平均」ではないのです．

赤 2 回や黒 2 回なら，簡単に目撃できる気もします．しそれではどうしたものか…．「 2 乗したらいいんじゃない

かし，5 つ不確かな要因があったらどうでしょう．それらのか」と考え付いた方は，かなり統計学のセンスがあると言ずれを単純に足すということになれば，これはルーレットでえます．実際，そのようにするのが良い結果を生むのです．

5 回連続赤かもしくは 5 回連続黒が出るのを想定しているよ－ 10 cm の 2 乗は＋ 100 cm2 ， 0 cm の 2 乗は 0 cm2 ，＋ 10うなものです．この確率はわずかに16分の 1．これは「普通cm の 2 乗は＋ 100 cm2 です．すべての値が正ですから，この」確率とは言えないでしょう．

れらの和は幸運なことにゼロにはなりません．和を 3 で割って平均をとりますと 66.6 cm2 ですね．

† きちんとした説明は難しいのですが， 2 乗が出てくることを計算結果から見てみたいと思います．財布の中身について，普通のずれのうちで最も多い場合( 1200 円)と少ない場合( 800円)を考えます．本の値段についても，最も安い場合( 450 円)と高い場合( 750 円)を考えます．ここで起こり得る 4 つのパターンを考えてみましょう．
 財布の中身1200円，本の値段450円→750円◯
 財布の中身1200円，本の値段750円→450円◯
 財布の中身800円，本の値段450円→350円◯
 財布の中身800円，本の値段750円→50円◯
この 4 つの場合での平均的な値 400 円からのずれ(＋ 350 円，＋50円，－50円，－350円)を 2 乗して，平均を取ってみましょう．これが，250円の 2 乗，つまり残額400円の普通のずれの 2乗，になるのは決して偶然ではありません． 2 乗して足すことで，色々なパターンを考慮した結果としての普通のずれが求まるのです．

ま て り あ 第54巻 第 7 号(2015)
Materia Japanただ，そもそもは長さの話をしていたはずなのに，最終的に長さの 2 乗，つまり面積の単位になっているのはいかがなものでしょうやはり，ここは正の平方根を取っておいてあげましょう．これでようやく標準偏差 8.2 cm が求まります． 3 つずれが－ 10, 0, ＋ 10 cm でしたから，それっぽい数値になったんではないでしょうか
なんとか求まった…と思って安心した方には驚かすことになり，申し訳ありません．なんと，この話はウソです．実験データ(110 cm, 120 cm, 130 cm)を持っているとき，標準偏差を計算すると 8.2 cm にはなりません．ではいくらになるかこれは 10 cm になるのです．
上の話のどこかに間違いがあります．このミステリーの犯人は，ミステリー・ドラマのセオリー通り，一番目立つ俳優異なります．図.に示したように，ひとつひとつの値が大ではありません．つまり，「 2 乗をする」というところはシ

きくても小さくても母平均は決まりきった値で，変化しませロです．この手続きに問題はありません．

ん．一方で，標本平均の方はそうはいきません．ひとつの値

2 時間の刑事ドラマですと，捜査が行き詰ったときに，家が大きければ，それを使って計算する標本平均は，つられて族の話題なんかが挿入されて，それが事件を紐解くヒントに大きくなります．このため，簡単に言うと，母平均からのずなりますよね．ここでも，ヒントになる挿話を挟んでみまし

れよりも，標本平均からのずれの方が小さくなりやすいのでょう．

す．

主人公である刑事の娘さんの学校での成績がかんばしくあ

どのくらい小さくなるかというと，標本平均からのずれのりません．主人公は娘さんに，今度のテストで平均点よりも2 乗を全てのデータについて足した和が，標準偏差の 2 乗をいい点を取ったら，ゲームを買ってあげるという約束をしま(データ数－ 1 )倍した大きさになるくらい小さくなるのです．けれども，娘さんのテストの点は，またも学年平均のす†．データ数ではなく，(データ数－ 1 )となっていること60 点を下回る 50 点．ゲームで釣ってもだめか…と思っていが，少し小さくなっていることに対応しています．このことたところ，娘さんは，「学年の平均の60点よりは悪かったけを使ってあげれば，標準偏差をうまく計算することができまども，私が 50 点で，隣の家の太郎くんは 30 点，向いの家のす．

次郎くんの点数は 40 点だから，うちのご近所の子の平均点つまり上の計算の過程で，「和を 3 で割って平均をとりまは 40 点じゃない．私はこの近所じゃ頑張っている方だよ．

すと 66.6 cm2 ですね．」というところを，「和を 2 (＝ 3 － 1 )ゲーム買ってくれてもいいじゃない」などと言い出します．

で割りますと 100 cm2 ですね．」とすれば，正しい手順になまったく…ご近所の子の平均点ってなんだよ…．学年の平るということです．いわば，先のミステリーの結末は「この均と比べるに決まっているだろう．…待てよ．平均点…平均

平均は 120 cm です」が首謀犯で，「和を 3 で割って」が実…そういえば，あの事件にも平均が関わっていたな．

行犯というところでしょう．100 cm2 の正の平方根は 10 cm

さて，お察しになったでしょうか先のミステリー，最初です．これを標準偏差とするのが通常の手順なのです．の方にしれっと登場した「この平均は 120 cm です」が犯人

これはひとつの値が母平均からどのくらい離れているかのなのです．この 120 cm が本当の平均なのかということを基準を与えてくれます．これを使って，どうやって繰返しの突き詰めて考えて下さい．よくよく考えれば， 120 cm は値のばらつきを表していくかについては，もう少し考えなく(110 cm, 120 cm, 130 cm)という限られた 3 つの値の平均値てはいけないことがあります．それについては次節にて．

でしかありません．これは言うなれば，ご近所の子の平均点みたいなものなのです．

･ 平均値の標準偏差では，学年の平均点みたいなものはというと，測定においては実験を何十，何百，何千…理論的には無限回繰返したと

前節では，標準偏差の計算の仕方について説明しました．

きの平均値ということになります．もちろん，これは知りよ

標準偏差とは，「ある確率で現れる値のひとつひとつが，普うがありません．

通どのくらい母平均からずれるか」という指標です．要する

統計学においては，本当の平均のことを母平均と言いまに普通のずれということでしたね．

す．限られた数の得ることができた値の平均のことを標本平ところで，1 回の実験の値を報告することもあると思いま

均と言います．母平均からのずれと，標本平均からのずれはすが，数回にわたっての平均値を報告することも多いと思います．その時の平均値というのは，どういうばらつきをもっているでしょうか
何を言っているのかちょっと伝わりづらいかも知れませ

図 2.2



母平均と標本平均とひとつの値の関係．簡単に言うと，「ひとつの値と母平均の差」より，「ひとつの値と標本平均の差」の方が，その大きさが小さくなりやすい．

† 一応の理由を説明し(ようとしてみ)ましょう．
ずれの 2 乗和にどれほどの情報が含まれているかを考えてみましょう．本文中でみたように，ずれにはすべて足すと必ずゼロになるという制約が必ずあります．この制約から， 1 つのずれが欠けても，それを復元することができると分かります．ということは，データ数を N とすると，標本平均からのずれはN 個あるけれども，それが持っている情報は( N － 1 )個分でしかないのです．
本文に記したように，ずれの 2 乗和は標準偏差の 2 乗の N倍より小さくなります．どのくらい小さくなるか実は，そのずれの持っている情報の量に比例して小さくなります．つまり，ずれの 2 乗和は標準偏差の 2 乗の( N － 1 )倍の大きさになっているのです．
これがよくされる一応の説明です．ただ，私自身がピンときていませんし，この説明で分からなくてもお気になさらずに．
ちなみに，ずれにどれだけ制約がかかっていないかという意味
で，(データ数－1)のことを自由度と呼びます．

入 門 講 座さまの直感の通り，測定回数を増やすと，測定の精度が大きくなるのです．
もう少し付け加えるならば， 2 と3 というのは，20ほど違いますが， 100 と 101 は 1も変わりません．このことは 2 回実験するのと 3 回実験するのは，測定の精度に影響する大きな違いですが， 100 回実験するのと 101 回実験するのは，精度に大した違いを与えないということになります．これもわれわれの直感の通りでしょう．
ともあれ，繰返したいくつかの値の平均値の標準偏差は以
図 2.3

1 と 2 と 3 が等確率で現れる場合の ( a ) 1 回の測定の結果の確率分布，( b ) 2 回繰返しの平均の確率分布，( c ) 3 回の繰返しの平均の確率分
布．縦軸はその値となる確率．範囲は 1 から 3で変わらないが，繰返しが増えると分布が鋭くなる．

ん．具体的な数値で考えていきましょう．数値の 1 と 2 と 3下の手順で計算できます．ちょっと，ややこしいかも知れませんが，覚える価値のある手順と思います．
★繰返しの平均値の標準偏差の計算の手順
◯

標本平均を計算する．

◯

標本平均からの差の 2 乗を計算し，すべて足す．

◯

それを(データ数－1)で割り，正の平方根を取る．

◯

それを データ数 で割る．

がそれぞれ 3 分の 1 の確率で現れる場合を考えてみましょう．どの数値がどれだけの確率で現れるかという様相を確率

今回は基本的な不確かさの伝ぱの方法と，繰返しによる不分布あるいは分布と言います．この確率分布の様子を図.

確かさ評価について説明してきました．次回は測定器のスペ(a)に示しました．

ックなどの実験以外の情報による不確かさ評価などについて

では，2 回繰返しの平均にはどんな値が考えられるかとい説明していきたいと思います．

(つづく)うと，2 つの数字の選び方には，(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1),(2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)という 9 つパターンがあ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
2007年

東京大学大学院新領域創成科学研究科博士課程修了
2009年 産業技術総合研究所研究員
2013年 3 月・現職
専門分野不確かさの評価の技術開発・比較試験の統計処理◎活動内容などは下記 Web サイトをご覧ください．
(https://staff.aist.go.jp/k.shirono/)

り，それぞれに 1, 1.5, 2, 1.5, 2, 2.5, 2, 2.5, 3 という値が平均値として与えられることになります．
集計してみますと， 1 が 1 回， 1.5 が 2 回， 2 が 3 回， 2.5
が 2 回，3 が 1 回表れています．この回数はそのまま，その値が平均として現れる確率に比例しますから，「平均値の確率分布」が分かります．これを図2.3(b)に示しました．もし，

城野克広★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

2 回繰返した値の平均値を報告するならば，知りたいのはこの平均の確率分布の標準偏差です．ひとつひとつの値の標準偏差は，極端な話，分からなくてもよいのです．
さて，標本平均は 1 から 3 の範囲でばらついていますから，ばらつきの範囲は平均を取るまえの値，言うなれば 1回繰返しの値の範囲と変わりません．一方で，2 が現れる確率が 1 や 3 が現れる確率の 3 倍も大きいわけです．図を見る限りでも，標本平均の確率分布は 1 つの値の分布より尖っていると分かります．
さらに，繰返しを 3 回にすると， 27 通りの組み合わせができます．その標本平均の確率分布を図 2.3 ( c )に示しました．より真ん中の値の確率が大きくなり，外側の確率が小さくなって，分布の形状が尖っていきます．2 が現れる確率は1 が現れる確率の実に 7 倍もあります．このように，繰返し回数を増やすと，分布はどんどん尖っていく…言い換えると，ばらつきは小さくなっていくのです．
どのくらい小さくなるかと言うと，平均値の標準偏差はひとつひとつのデータの標準偏差を データ数 で割ったものになります†．この関係は，データ数が増えれば増えるほど標準偏差が小さくなることを意味しています．おそらくはみな

ま て り あ 第54巻 第 7 号(2015)
Materia Japan† これは，不確かさの伝ぱ則から導くことができます．
まずは，平均をデータ数で割る前の値，つまりデータの和について考えてみましょう．データの和にはデータ数だけの不確かさの要因があります．不確かさの伝ぱ則によれば，標準偏差を 2 乗して足して，正の平方根を取れば，データの和の標準偏差となります．データ数が N ならば，ひとつひとつのデータの標準偏差を N 倍したものが，データの和の標準偏差です．
次に，データの平均値の標準偏差を考えます．言うまでもな
く，データの平均値とはデータの和をデータの数で割ったものです．あるばらつきのある値を定数で割った値の標準偏差がどうなるかは少し難しいですが，標準偏差もその定数で割ったものになります．
このことから，和の標準偏差を N で割ったもの，つまり，ひとつひとつのデータの標準偏差を N /N ＝1 / N 倍したものが平均値の標準偏差と分かります．

