膜上のシワのシミュレーション
大町 麗奈

1(指導教員：工藤和恵)

はじめに生乾きの塗料に２度塗りをするとリフティングと呼ばれるシワが生じ、塗装失敗や油絵トラブルの原因になっている。生じるシワはさまざまで、これは最初に塗った塗料がどれだけ生乾きなのかに関係があるのではないかと考えた。そこで本研究では生乾きの塗料に２度塗りをした時にできるシワのシミュレーションを応力を加えた二層膜モデルを用いて行った。その後、生じるシワの波長と二層膜の厚み比の関係をみた。

2

図 2: 模式図
456710 , 10 , 10 , 10 、H/hf = 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60 に変えてシミュレーションを行った。他のパラメータはµR /µf = 0、νf = 0.3、νR = 0.45、σ の定数部分は圧縮方向に −0.01 に固定した。図 3 は t = 106 、H/hf =10 の時のシミュレーション結果である。H/hf = 10 で実験

金属板に塗料 (フタル酸樹脂塗料) を 0.15mm の厚さで塗装し、30 度の恒温槽の中で保存する。数時間後キシレンを滴下し、塗料表面の変化を観察する。ここ
でキシレンの滴下は２度塗りに相当しており、シワが確認された。図 1 は最初の塗料を塗ってから３３時間後にキシレンを滴下した時に観察されたシワの様子である。

図 3: t = 106 , H/hf = 10
図 1: シワの様子 (福岡工業大学下川先生による実験),キシレン滴下時を t = 0 とする。

3モデル

本研究では図 2 の様に断面図を考える。弾性膜と粘性流体から成る二層の膜に応力を加えた時に生じるシワのシミュレーションの文献 [1] がある。ここで、乾いた塗料が弾性膜、乾いていない塗料が粘性流体、キシレンによる２度塗りの効果が応力に相当すると考えられたため、この文献によるモデルを利用した。
][µf h2f∂w
1 − 2ν Hhf=−∇2 ∇2 w + ∇ · (σ · ∇w)∂t 2(1 − ν) η6(1 − νf )µRw−
η

固定し、シミュレーション結果を上から見た図を時間順に並べたものが図 4 である。時間がたつにつれてシワが大きくなっていることが見て取れ、これは力を加える時間が長くなるからだと考えられる。このシワの成長の仕方は実験で観察されたシワの様子 (図 1) に似ており、実験のシワを再現できたように思える。

∂u
HhfµR=∇·σ−u∂tηη
ここで、w は z 軸方向の変位、u は x, y 軸方向の変位、
hf は弾性膜の厚み、µf は弾性膜のせん断弾性率、νfは弾性膜のポアソン比、H は粘性流体の厚み、νR は粘性流体のゴム弾性率、η は粘性流体の粘度、σ は与える応力テンソルを表している。

4

図 4: H/hf = 10 の時のシワのシミュレーション
次に文献 [1] に基づきシワの振幅 A と波長 λ を計算した。シワには初期と中期と安定期があり、初期の振シミュレーション結果

前節の数式モデルを元に、終了時間 t と乾いてい な い 層 と 乾 い た 層 の 比 H/hf を そ れ ぞ れ t =3

幅 A と波長 λc は線形安定性解析から()
t
A = A0 exp, λc = 2πL
4τ1amplitude10010(1)amplitude
1000

H/hf=60
t1/4

H/hf=60t1/4

1A

A

0.1

1000.01と見積もられる。ただし0.001(1 − ν)hf µf ητ1 =, L=3(1 − 2ν)(1 − νf )Hσ020.0001
100 1000 100001000001x106 1x107 1x108√−µf h2ft(b) 波長

図 6: 比例関係の確認
く成長すると判明した。また、H/hf = 60 の時の振幅1の大きさのグラフと t 4 を同時にプロットし (図 6)、中期の振幅と波長が確かに時間 t の 1/4 乗に比例していることを確認した。
図 7 は横軸を粘性流体と弾性膜の比 H/hf 、縦軸を波長でとりなおし、t が同じ点を結んだグラフである。
H/hf が大きいほど波長も大きくなることが分かった。
つまり弾性層の比率が高いほどシワができにくいということである。前述の実験にあてはめて考えてみると、乾ききった層が厚いほどシワができにくいということである。

(2)と見積もられる。ただし(1 − 2ν)µf h3f H
12(1 − ν)(1 − νf )η

である。式 (1) より初期の振幅 A は指数関数的に増加
し、初期の波長 λc は一定であることが分かる。式 (2)より中期の波長 λ は時間 t の 1/4 乗に比例し、中期の振幅 A も中期の波長 λ から求められるため時間 t の1/4 乗に比例していることが分かる。数値計算では

200t=106t=2*105t=105t=2*104t=104150√∑[ ∑ 2 2 ]− 12w2|ŵ| k, λ = 2π ∑ 22N|ŵ|A=

1000 10000100000 1x106 1x107 1x108(a) 振幅6(1 − νf )σ0である。中期の振幅 A と波長 λ は√ ()λ41 λ2−1,
τ=A = hf
23 λ2c16π 4 K

K=10100t

λ10050を用いて振幅と波長を求めている。ここで N はグリッド点数、ŵ は w のフーリエ変換、k は波数である。計算結果は図 5 のようになった。

00102030

4050H/hf

60708090

amplitude
101H/hf = 60
H/hf = 50
H/hf = 40
H/hf = 30
H/hf = 20
H/hf = 10
H/hf = 5

図 7: 波長の H/hf 依存性

50.1

A

0.001

0.0001
100

1000

10000

1000001x106

1000001x106t(a) 振幅
wavelength
180100λ30
100H/hf = 60
H/hf = 50
H/hf = 40
H/hf = 30
H/hf = 20
H/hf = 10
H/hf = 51000

10000

まとめと今後の課題

弾性層と粘性流体に応力を加えたモデルを用いて、生乾きの塗料に２度塗りをした時にできるシワのシミュ
レーションを行った。力を加える時間が長くなるほどにシワの波長と振幅が大きくなること、どの時間においても粘性流体の比率が高いほどシワがはやく大きく成長することが分かった。
本研究におけるシミュレーションでは実験で観察されたシワを再現できていると見受けられる点もあるが、実際の現象と違う点も多く存在する。例えば、実際のシワの成長はある程度の時間がたったところで終了するが、このモデルでは力を与え続けているのでいつまでもシワが大きくなり続けるといったことがあげられる。これは現段階のシミュレーションモデルは実際の乾燥時に塗料内で起こる架橋形成や膨潤を再現していないことによると考えられる。そのため今後はモデルを実際の乾燥に近い形へ改良することを目指して進めていく。

0.01t(b) 波長

参考文献

図 5: H/hf を変えた時の時間変化[1] Rui Huang and Se Hyuk lm, Phys. Rev. E 74,026214 (2006).

この図より粘性流体と弾性膜の厚み比 H/hf が大きい方が、つまり粘性流体の比率が高い方がシワがはや4