ランダム行列のモーメントのゆらぎを用いた時系列パラメータの検定
理学専攻・情報科学コース

    でありは ゆらぎとして捉えられ
ランダム行列の場合 これらはオー
る 複合 の漸近正規性をもつ すなわち
ダー はじめに計算機パワーの増大に伴い 近年 ランダム行列理論は様々な分野で応用がなされている ランダム行列理論における研究では 確率変数を要素にもつ行列について 行列のサイズを無限大にしたときの固有値経験分布の漸近的挙動の統計的性質が調べられている 従来では 独立な確率変数を要素にもつランダム行列について調べられていたが 最近では 要素間の相関が時系列モデルで与えられるようなランダム行列に関する研究も始まっている
本論文では  次元および  次元  モデルで要素型ランダム行間の相関が与えられるような 列の固有値経験分布の極限分布のモーメントが その時系列モデルの時系列スペクトルによって完全に記型ラ述されることを述べる さらに 最近の ンダム行列のモーメントのゆらぎの厳密計算と併せて 応用の一つとして ゆらぎの漸近正規性を用いた時系列パラメータの検定が可能であることをみる長谷川彩子        はのとき平均  の   分布に分布収束 ゆらぎの情報は  
確率変数する したがって  であり 共分散の族   



               

! 

 




"

で与えられる行列の場合 共 が複合実 
分散  の 図  に表す 非交叉円環型置換を用いた表現も見つけられている



ランダム行列と自由確率論¾º½ ランダム行列
ランダム行列とは確率変数を要素にもつ行列であり 各要素が独立に標準正規分布に従う変数をもつランダム行列を とすると

   

図 ½º 非交叉円環型置換

 時系列モデルで要素間の相関が与えられで与えられる
対称ランダム行列 を 行列という ここでが漸近的にとなるような極限をとると 
行列 の固有値経験分布は     則に収束することが知られている      るランダム行列と時系列スペクトル

次元 単変量 または  次元 平面 モデル ¾º¾ 自由確率論
自由確率論とは自由独立性に基づく非可換確率論のことで 自由加法的・乗法的合成積により ランダム行列の和・積の固有値経験分布の極限分布の計算が可能となる
本研究で用いる自由キュムラントという特性値は 古
典的な確率論におけるキュムラントの自由確率版である 自由モーメント・キュムラント公式により 次モーメントと 次自由キュムラントは 各々 次以下の他方の値から求められる   ランダム行列  について







 

    〜    #$   ランダムで表される時系列モデルについて
行列

















 または  を確








率変数とみる 固有値経験分布の極限分布の 次モーメントは  

ランダム行列のモーメントのゆらぎ  または

から  %

& を構成しの漸近比 の固有値経験分布の極限分布の 次自由キュムラントを  とする
ここで  次元  モデルの場合 自己共分散関数





 




 



 ¾½










+



時系列パラメータの検定

前節の関係と  節のモーメントのゆらぎの厳密計算を併せて 応用の一つとして ゆらぎの漸近正規性を用いた時系列パラメータの統計的仮説検定が可能であることをみる
時系列データ   が与えられたとき それを  
過程の標本路とみなす 与えられた時系
行列列データから      

を構成しの標本共分散行列モーメント

  



を求め これらを検定統計量る   の    の観測値として用い        

$ %'





 



%

値は

' 

 %  '& +%に入るた

おわりに           /0  1  

参考文献

 

 モデル      ,     ,     に従う
長さ % の数値データを作る パラメータは          であるので 自己共分散関数は

 

 %時系列モデルで要素間の相関が与えられるランダム行列と 時系列スペクトルの関係について述べ ランダ
ム行列のモーメントのゆらぎの厳密計算と併せて 時系列パラメータの検定を行った 生成されたデータが設定したパラメータにしたがって生成されたという仮説の下 データ生成に用いたパラメータの検定を行った場合には 検定統計量の観測値は採択域に入り データ生成に用いたパラメータとは異なるパラメータの検定を行った場合には棄却域に入った  次元 平面
モデルパラメータの検定は 画像のテクスチャ解析などに有効であると考えられる 今後はその検定力についても議論したい

数値実験例

' 

上記の検定は 期待されるモーメントと分散が時系列スペクトルのみで計算されることから . および. モデルについても同様に適用可能である

 



   

ここで データ生成に用いたものとは異なるパラメータ 例えば          $     や           " で同様の検定を行ったところ それぞれ両側 $- の棄却域に入った   

となり 有意水準 $- の採択域
め 仮説は支持されるの関係が成立する



のデータ行列の  次モーメントは  に従っている





$

 %

 のモーメントは    となる

よって  次モーメントについて        "   "で表される  次元  モデルの場合には 行方向 列方向の時系列に対応する時系列スペクトルから定まる
( ) 行列をそれぞれ  その固有値経験分布の極限分布をそれぞれ   としたときの  と の自由乗法的合成積の 次モーメント  を求める
このとき
, 

生成されたデータが設定したパラメータにしたがって生成されたという仮説の下 パラメータの検定を行う モーメントのゆらぎの厳密計算から  次モーメン
トの期待される平均と分散は   '   '"% % によって与えられる よって  次モーメントはすなわち 時系列スペクトル関数を用いて
¾

   +を構成する このとき
$ %' であった

 ½

   ,     
次に 数値データから  '     と考えられる よって 極限分布から ( ) 行列  を与える 行列の固有値経験分布の極限分布 の 次モーメント は 自己共分散関数   の *  変換   





  となり その *  変換は     

2 3  4 5 # 1 6  7 7 

 5

# 

 

 (("$"

                    /0 82

# 4 .  4  '" ""%"9 